Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. Книга 1 - Уманский А.А.

Автор: Уманский А.А.
Теги: cтроительная механика графический и аналитический методы статики для исследования и расчета строительных конструкций строительные конструкции справочник строительное проектирование строительство зданий жилые дома
Год: 1972
Похожие
Руководство по проектированию железобетонных пространственных конструкций покрытий и перекрытий
Бетон и железобетон №02 за 2009 год
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений Кн.1
Динамический расчет зданий и сооружений
Текст
                    -
ад
&W!$Si
M^tW
^йЙОШ
H^§s$s§3<fe?




СПРАВОЧНИК
ПРОЕКТИРОВЩИКА
ПРОМЫШЛЕННЫХ, жилых
И ОБЩЕСТВЕННЫХ
ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
РАСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ
Под редакцией
д-ра техн, наук, проф. А. А. УМАНСКОГО
Рассмотрено и одобрено
Центральным научноисследозателъсним институтом строительных конструкций
им. В. А. Кучеренко
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
В ДВУХ КНИГАХ
КНИГА 1
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
Москва
19 7 2
ОПЕЧАТКИ
Стр.
47
48
70
90
320
320
326
328
328
329
331
331
335
338
342
342
344
399
422
446
479
490
616
Строке	Напситпо	Долпо быть		
Левый столбец, 33-я сверху Левый столбец, 16-я снизу Правый столбец, 2-я снизу Правый столбец, 21-я снизу Пропущена сноска п. 14 п. 22 п. 50	+«о=0. Sm+1+  |/‘4>(х)| ..integral i; 1 ИТС, РПК, СМРС —сот кий сборников «Исследования чет пространственных коиструк механика и расчет сооружений Гарелкии Б. Г. Стрелецкая А. И. Мнекладзе Ш. Е.	...+о,=0. ^т+1= • • • .. Integer 1; ращенные обозначения назва- но теории сооружений!, «Рас- ций» и журнала «Строительная » (Стройиэдат). Галеркин Б. Г. Стрельбицкая А. И. Микеладзе Ш. Е.		
Правый столбец, ll-я сверху Правый столбец, 5-я сверху Правый столбец, 9-я сверху Левый столбец, 28-я сверху Левый столбец, 5-я снизу Правый столбец, 24-я сверху Формула (6.111) Левый столбец, 12-я сверху	°1/=Ч в/- Собственные векторы, отвечающие ... Предположим сначала. ... Пусть теперь ... 11 Виу= ... м,/2=... *Г’ = »,1< А/	Собствен] венной сиь от Пусть А - метрнчная лож Пусть А матрица. Uf IT *$*’=	а1/=с1в/- ыс вектор метрнчно! вечающие - веществе матрица нм сначал — неси мм и пусть Виу = . .. -1/2= 6,1*1*’+! А// Ft	ы вещест - матрицы, иная енм- Предпо- а,... втрнчная геперь ... >и4*’
Ф-лы (6.156) и (6.157) Формула (6.158) Формула (6.178) Ннжпяя таблица слева; 2-й столбец справа, 4-я строка снизу 3-я снизу	-i.'l 1]	Homxom ... (CFC)-1... 2.7459 стоики но табл. 8.1.4	ригсл	'Fm Fi Fm (CFC)-* 0,7459 я по табл.	QnOtCm 81.3
4-я сверху	«•4			
1-я снизу Табл. 8.2.18, левая графа Табл. 8.2.22. правая графа Средняя графа, 1-я строка сверху	*» й, (1+25')		а; X Al k (1+R')	
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию
Предисловие ко второму изданию
РАЗДЕЛ 1
МАТЕМАТИКА
В. М. Дарееский
1.1.	Алгебра . . . . ................................. 11
1.1.1.	Стетемн м корим	.«»«.•.......................... }}
I.IX	Логарифмы ....................................... "
1.1.3.	Прогрессии ..................................... J;
1.1.4.	Факторная ...»..................
1.1.5.	Соединен ня............................
1.1.6.	Бниом Ньютона................................... *
1.1.7.	Определители (детерминанты)...................... и
1.1.8.	Линейные уравнения .............................. J
1.1.9.	Уравнения высших степеней........................ И
1.1.10.	Приближенное решение уравнений.................. w
IX Геометрия	16
1X1. Плоские фигуры	J8
1X2. Тела..................................... 17
1.3.	Тригонометрия . ......................  •	19
1-3.1- Измерение углов	*ь..
1.3.2.	Тригонометрические	Функции...................... ,у
IJJ. Тригонометрические фувжцнн от суммы и разно-
сти углов, кратных	углов	и	половинного угла . .	20
1.3.4.	Квадраты н кубы синуса п жОснпуса ......	21
1.3.5.	Приведение к виду, удобному для логарифмиро-
вания ...........9................................21
1.3.6.	Зависимости между тригонометрическими фупк-
цнямн трах углов а* 0 н у, сумма которых рав-
и. 180*.......................................... 21
1-3.7. Зиисимостп шжлу оврапымк трягоюмпрпче-
схв мн функциями .............	2*
1.3.8.	Формулы, применяемые при решении треугольников
1-3.9. Гижерболичесжие функции ... ••..»	а
1.4.	Аналитическая геометрия.......................... 23
1.4.1.	Точка иа плоскости ............	J3
1.4.2.	Прямая линия ...............	24
1.4.3.	Окружность	   24
1.4.4.	Парабола ........ .........	24
1.4.5.	Эллипс н гипербола ...................  "
1л.6.	Построение конических сечений	.......	»
1.4.7.	Цепная линия. Циклоида. Спираль	......	26
1.4-	8. Точка в пространстве •  . . ..
1.4.9.	Плоскость	**
1.4.10.	Прямая в пространстве....е	. . . ЭТ
1.4.11.	Поверхности второго порядка...... 27
1.5.	Дифференциальна* геометрия.......... 28
1.5.1.	Плоские кривые	..«••»•-•••••>	®
1.5.2.	Пространственные	кривые . *	.......	.	29
1.5.3.	Поверхности	31
1.6.	Дифференциальное исчисление ................. 33
1.61.	Функция, предел, непрерывность .......	33
1.6.2	. Производная и дифференциал .........	33
1.6.3	. Раскрытне неопределенностей ..........  .	35
1.6.4	. Исследование функций ............	35
1.6.5	. Функция двух переменных ..........	35
1.7.	Интегральное исчисление...................... 36
1.7.1.	Неопределенный интеграл	36
1.7.2.	Интегрирование рациональных функций......... 37
1.7.3.	Иитегрироввпне иррациональных функций ...	37
Стр.
1.7.4.	Интегрирование транспеяаеитяых функций • * .	38
1.7.5.	Определенный интеграл .....................  46
1.7.6.	Кратные интегралы	41
1.7.7,	Криволинейные интегралы . .................. 42
1.8.	Ряды ......................................... 42
1.8.1.	Числовые ряды •	42
1.8.2.	Степенные ряды ..............	43
1.8.3.	Разложение функций в степенные ряди ....	43
1.9.	Дифференциальные уравнения.................... 45
1.9.1.	Основные понятия ..........................  45
1.9.2.	Уравнения первого порядка . ...............  46
1.9.3.	Уравнения второго порядка..................  46
1.9.4.	Линейные уравнения второго порядка .....	47
1.9.5.	Линейные уравнения высших порядков с постоя и-
иымн коэффициентами ............	47
1.9.6.	Метод начальных параметров .........	48
1.9.7.	Общие решения дифференциального уравнения
четвертого порядка с биквадратным характеристи-
ческим уравнением (А. И. Тюленев) ......	49
1.9.8.	Приближенные методы .....•••••«	49
1.9.9.	Уравнения математической физики	S3
1.10.	Функции комплексной переменной ....	65
1.10.1.	Комплексные числа ............	55
1.10.2.	Комплексные функции ...........  55
1.103. Конформные отображения ..........	56
1.11. Вариационное исчисление ........	57
1.11.1. Общие сведения ....................................  57
1.1 IX Основные случен . . .............................	57
1-11-3. Прямые методы ..................................	.	67
1.12.	Разностное исчисление . .................... 58
1.12.1.	Определенна разностей ..................... 58
1.12.2.	Разностные уравнения .....................  59
1.13.	Интегральные уравнения	........	®
1 13.1. Уравнения Фредгольма......................  59
LI3.2. Уравнения Вольтевра второго ряда............ 60
1.13.3.	Уравнения Абеля ........................... 60
1-13.4. Сингулярные уравнения . . « .............. 61
1.14.	Специальные функции...............  81
1.14.1.	Полиномы Лежандра ...	.........	61
I.14X Полиномы Чебышева .  ............  61
1.143.	Гамма-функция .................... 62
1.14.4	. Фуякция Бесселя « . ........  .	62
1.15.	Операционное нечкелеине ........	62
1.15.1.	Преобразование Лапласа..................	. G2
1.15.2.	Применение	операционного	исчисления	....	63
1.16.	Векторное	н	тензорное	исчислении	...	84
1.16.1.	Векторная	алгебра	64
1.16.2.	Векторный анализ • . • 	.............. 64
1.16.3.	Тензоры	...................... 65
1.17.	Приближенные вычисления .	. . .	85
1.17.1.	Общие положения  ......................«	65
1.17.2.	Приближенные формулы , ........ «	66
1.18.	Нпмография ................................. 87
1.18.1.	Функциональная шкала . . . ............... 67
I.I6X	Номограммы из выравненных точек	67
1.18.3	. Сетчатые номограммы ...... ......	67
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
1.18.4	. Номограммы для уравнений с числом перемен-
ных более трех..............................• «
1.19.	Приближенное представление функций . . .
1.19.1.	Постановка задачи
1.19.2.	Интерполяционные формулы.................
1.19.3.	Приближение функций по методу наименьших
квадратов .................................... •
1.19.4.	Приближенное вычисление определенных интег-
ралов ...»«............................• - • •
1.20.	Ряды Фурье . ....................
1.20.1.	Разложение функций в рнд Фурье ......
1.20.2.	Интеграл Фурье....................
1.20.3.	Приближенный гармонический анализ........
1.21.	Теория вероятностей.. ь	•
1.21.1.	События и вероятность . . »................
1.21.2.	Случайные величины н их характеристические
числа ................. ............. • •*•••
1.21.3.	Задача математической ст аг и ст аки •
1.21.4.	Основы теории корреляции.................
67
68
68
68
€9
70
71
71
74
7S
76
76
1.22.	Основные сведения о линейном програымиро-
в&ннн (А. М. Проценко).............................  19
1.22.1.	Задача математического программирования . .	79
1.22.2.	Формулировка задач линейного программирова-
..................................... «>
1.223. Двойственные задачи линейного программирова-
ния..........................................  5*
1.22.4. Преобразования задач к различным формам . •
1.22.5. Вычислительные методы......................
1.23. Основы применения электронных цифровых
вычислительных машин (А. П. Филин,
С. 3. Динкевич)..............................
1.23.1. Некоторые принципы действия ЭЦВМ . . » • •
1.23.2. Краткое описание устройства ЭЦВМ ......
1.23.3. Особенности решения задач на ЭЦВМ . . . . .
1.23.4. Некоторые приемы программирования....
1-23.5- Автоматизация программ крова в на. Алг<ч>итмиче-
ские языки. АЛГОЛ—60..................... .
1.21.6. Некоторые рекомендации по использованию ЭЦВМ
1.24. Таблицы элементарных функций...........
Литература .....................................
РАЗДЕЛ 2
90
91
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Т. А. Попова
2.1.	Общая часть .
2.1.	1. Основные понятия
2.12.	Основные законы ........................
2.13.	Системы единиц измерения ...............
2.2.	Геометрическая статика . .................
2.2.1.	Действия с силами
2.2.2.	Действия с моментами....................
2.2.3.	Произвольная система сил . .........  •
22.4.	Частные случаи расположения сил.........
22.5.	Условия равновесия тел и систем тел.....
2.2.6.	Правила прикрепления твердого тела......
22.7.	Системы с трением ......................
2.2.8.	Центр масс
2.3.	Графические приемы........................
2.3.1.	Применение грефическик метаем ж решению не-
которых частных задач....................... ...	«и
2.32.	Определение усилий в стержнях плоской стати-
чески определимой фермы ••••««•
2.4.	Кинематика точки ............................ 109
2.4.1.	Задание движения точки • .................  J09
2.42.	Пройденный путь. Графики двнжепня .....
2.4.3.	Частные случаи..............
2.4.4.	Сложное движение точки ..................... «
2.5.	Кинематика твердого тела ........	112
2.5.1.	Поступательное движение твердого тела ....	1J2
2.5.2.	Вращение вокруг неподвижной осы , . . « » .	112
2.5.3.	Винтовое движение..........................
2.5.4.	Плоско-параллельное движет:?.............
23.5.	Сферическое движение тела................
2.5.6.	Общий случай движения твердого тела ....
2.5.7.	Сложение мгновенных движений твердого тела
2.5.8.	Элементы кинематики механизмов .......
2.6.	Динамика точки............................
2.6.1.	Дифференциальные уравнения движения мате-
Е калькой точки .................................
1итегрмрование дифференциальных уравнений
движения точки............................
2.6.3.	Частные случаи интегрирования............
2.6.4.	Относительное движение точки.............
2.7.	Динамика системы ......	...
2.7.1.	Основные попит ня динамики...............
2.7.2.	Основные теоремы динамики................
2.7.3.	Кинетостатика. Принцип Даламбера.........
2.8.	Динамика твердого тела . ..................
2.8.1.	Теория моментов инерции . ........ .
2.8.2.	Вращательное движение твердого тела
2.6.3.	Физический и математический маятник . . . .
2.8.4.	Давление вращающегося твердого тела на опоры
2.8.5.	Плоско-параллельное движение ........
2.9.	Элементарная теория удара .......
2.9.1.	Основные положения.......................
2.9	2. Основные теоремы динамики при ударе . ... .
2.9.3.	Удар тела о неподвижную поверхность......
2.9.4.	Прямой центральный удар двух тел ......
2.9.5.	Применение элементарной теории удара ....
2.9.6.	Действие удара на тело, закрепленное на непод-
вижной оси ....... .........
2.10.	Аналитическая механика...................
2.10.1.	Начало (принцип) возможных перемещений . .
2.10.2.	Основные приложения НВП к расчету конструкций
2.10.3.	Принцип Даламбера—Лагранжа (общее уравне-
ние динамики)............................. . • «
2.104.	Уравнения Лагранжа 2-го рода
2.10.5.	Интегральные принципы механики
Литература .........................................
Стр.
113
113
>15
115
116
117
117
118
118
118
119
119
121
122
122
122
125
125
126
127
127
127
127
123
128
129
129
129
139
130
130
130
131
131
РАЗДЕЛ 3
НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИИ,
ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
И. И. Трапезин
3.1.	Напряжения.......................&	• • « .	132
Э.1.1.	Основные понятия..........................  13?
3.1-2-	Одноосвое напряженное состояние...........  132
3.1-3.	Плоское напряженное состояние............... ю*
3.1.4.	Объемное напряженное состояние........... 134
3.1.6.	Преобразование компонентов напряжения к но-
вым осям координат................................ >35
3.1.6.	Интенсивность	напряжений в данной точке ...	136
3.1.7.	Круги Мора	136
3.2.	Дефврмацяи................................... 137
3.2.1.	Компоненты деформаций.................•	-	I37
3.2.2,	Определение деформаций и величин гласных уд-
линений по удлинениям в трех направлениях в
случае плоской деформации .........	137
3.2.3.	Интенсивность деформаций ....•«••	138
ЭЛ. Зависимости между напряжениями к дефор-
мациями в пределах упругости ......	139
3.3.1.	Закон Гука для изотропного тела •••••••	138
332.	Закон Гука для анизотропного тела ......	140
33.3.	Плоскость симметрии в отношении упругих
свойств.........................................
3.3.4.	Ортотропное упругое тело ................
3.3.5.	Потепцнальпая энергия упругого тела......... н*
3.4.	Связь между напряжениями и деформациями
за яределамн упругости........................... 141
3.4.1.	Условия пластичности	^1
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Стр.
3.4.2.	Напряжения и деформации при простом нвгруже-
лин и при разгрузке................................
3.4.3.	Диаграммы растяжения......................  }*>
3.4.4.	Схематизация диаграмм растяжения..........
3.4.5.	Построение кривой зависимости о—е ..... w
3.5.	Прочность материалов (А. И. Коданев) . .	143
3.5.1.	Упругость, пластичность н разрушение........ J43
3.5.2.	Влияние характера напряженного состояния . •	144
3.5.3.	Влияние температуры.............. » . . .	*♦>
3.5.4.	Влияние	длительности	нагружения ............ 147
3.5.5.	Влияние	переменности	нагрузки ........	147
3.5.6.	Влияние	концентрации	напряжений....... 149
3.5.7.	Влияние	скорости приложения нагрузки	....	149
Литература	149
РАЗДЕЛ 4
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Ю. М. Иванов, Л. В. Клепиков, В. А. Отставное,
К. В. Панферов, Л. Н. Пицхель, С. А. Семенцое,
С. В. Тарановский. В. Г. Чернашкин
4.!. Стали (В. Г. Чернашкин)	150
4.1.1.	Общие денные ...............	1W
4.12	Углеродистые стали . . ........•	***
4.1.3.	Стали низколегированные и высокой прочисти .	155
4.1.4.	Сталь для арматуры железобетонных конструкций 1Н)
4.2.	Алюминиевые сплавы (С. В. Тарановский) . .	161
4.3.	Бетон (С. А. Семенцое) ........	165
4.4.	Каменные материалы и растворы .....	170
4л. Каменная кладка........................... 172
4.6.	Армированные материалы (Л. В. Пицкель) .	174
4.6.1.	Общие данные ............ ...	174
4.62.	Железобетон	175
4.6.3	Армоцемект .............................  IW
4.6.4.	Армированные каменные ясисгрулции .....	179
4.6.5.	Армированный асбестоцемент .........	179
4.7.	Древесина (Ю. М. Иванов)	iso
4.7.1.	Общие сведения ...............	180
4.7.2.	Механические свойства • . ....«	181
4.8.	Пластмассы (К. В. Панферов).............. 182
4.9.	Методы расчета конструкций (Л. В. Клепиков.
В. А. Отставное) ..........	190
Литература ...............	193
РАЗДЕЛ 5
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО
СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
А. А. Уманский
5.1.	Основные положения технической теории стер-
жня ................ И»
5.1.1.	Определения	196
5.12.	Основные факторы работы стержня. Статнко-мм-
нематмческая аналогия ...................... 19b
5.13.	Интегральные соотношения между напряжениями
н усилиями в поперечных	сечениях ......	198
5.1.4.	Соответствующие силы я перемещения, усилия н
сосредоточенные деформации.................. 198
5.1.5.	Начальная, темперагурвав н упругая расиреде-
ленные деформации .......................... 199
5.1.6.	Две системы координатных осей упругого стерж-
ня с несимметричным сечением ........	200
5.1.7.	Упругое основание .............	200
5.1.8.	Плоский нероэветвленный упругий стержень.
Обобщенная статике-кинематическая аналогия .	201
Стр.
5.2.	Определение нормальных напряжений . . . , 2Ш
52.1.	Геометрические характеристики поперечных сече-
ний стержней....................................
522.	Определение моментов инерции относительно ис-
ходных осей.......................................
52.3.	Редуцирование площадей при вычислении момен-
тов инерции ......................................
52.4.	Общая формула нормального напряжения при
ростяженнн-сжатнн и изгибе. Нейтральная линии
62.5.	Максимальные нормальные напряжения . . . .
52.6.	Ядро сечения
52.7.	Случай переменного модуля £ ....... .
52.8.	Пользование центральными неглавными осями .
53. Определение касательных напряжений и де-
формаций в стержнях. Особенности тонкостен-
ных сечений .....................................
63.1. Расчет на срез (сдвиг)...............	• . .
632. Расчет на направленный срез (сдвиг) .....
533.	Касательные напряжения ори изгибе. Центр нзга-
53.4.	Деформации сдвига при изгибе стержней с мас-
сивным сечением н двутавровых балок ....
53.5.	Касательные напряжения при изгибе н центр вэ-
гнба открытых тонкостенных сечений.................
53.6.	Касательные напряжения при изгибе и центр из-
гиба замкнутых тонкостенных сечений................
53,7.	Касательные напряжения к относительный угол
закручивания при свободном кручении. Геометри-
ческие характеристики
63.8.	Депламацня при свободном крученнв • • • • .
53.9. Стесненное кручение
53.10. Сложное сопротивление тонкостенных стержней.
Приведение нагрузок к типам усилий . . . . ,
5.4.	Классификация стержневых систем н общие
методы строительной механики.......................
6.4.1.	Основные определения •
5.4.2.	Виды систем ::.................
6.43.	Статический метод определения перемещений
к кинематический метод определении усилий на
примере балки. Линии и поверхности влияния
6.4.4. Метод потенциальной энергии
5.5.	Балки
53.1. Определение усилий н перемещений и построение
эпюр в балках во методу начальных параметров
632. Абсолютно жесткая балка на упругом основании
R обыкновенная балка с защемленными концами
533. Приемы, упрощающие построение эпюр в линий
влияния статически определимых балок ....
53.4. Равнопролетные нераэрезные балки на жестов
опорах. Метод бесконечной основной системы . .
5.53. Равнопролетные неразрезные балки постоянного
сечения на упруго оседающих опорах .....
53-6. на Упругом (вииклеровсиом) основании
53.7. Общий метод расчета неразрезных балок на же-
стких опорах. Уравнение трех опорных моментов
53Л Решение системы уравнений трех моментов и об-
щих трехчленных уравнений .........................
6.5.9. Неразрезная балка на упруго оседающих опорах.
Уравнение пяти опорных моментов •
5.8. Арки и простые рамы ........ ,
5.6.1. Общие положения
Б.62. Трехшарнирная арка....................
6.63. Статически неопределимые арки .......
5.6.4. Двухшаркириая арке . . -..............
Б.63. Упрощенный расчет двухшарвирных и бссшар-
ннрных параболических арок...............
6.6.6.	Одноконтурные (простые) рамы..........
6,6,7,	Бесшариирные арки и рамы под натрузкой, пер-
пендикулярной их плоскости
5.7.	Сложные рамы ............................
6.7.1.	Классификация мето дор................
5.7.2.	Расчет рам по методу трех и четырех моментов
5.7.3.	Метод перемещений . ................
6.7.4.	Распределение моменгсв методом п осле но Ка тель-
ных приближений (М. С. Сойбельмак. Н. Н. Тро-
Й'м)................
етод сил ..........................>	• 
§ Н ОШ 8 я § § я S 8 S3 S3 м И! И 8 8 sr М 888 88
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
5.8.	Пространственные раны (В. Г. Чудновский) зоо
6.8.	1. Рамы с взаимно перпендикулярными стержнями 300
5.82.	Рамы с наклонными стойками	303
5.9.	Циклические симметричные рамы . . . а .	зоз
5.10.	Тонкостенные стержни (А. А. Уманский) . .	зю
6.10.1.	Прямые тонкостенные стержни с жестким попе-
речным сечением и пренебрежимо малой жест-
костью свободного кручения .................... 310
6.10.2.	Тонкостенные стержни с жестким поперечным се-
чением н конечной жесткостью свободного кру-
чения ......................................... 311
5	ЮЛ. Кривые тонкостенные стержни н арки с жестким
поперечным сечением	314
5.11.	Конструкции типа составных	стержней ...	315
5.12.	О расчете стержневых систем на ЭВМ
(О. Н. Родинко) :	.	318
Литература ....................................  зао
РАЗДЕЛ 6
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ
АЛГЕБРЫ. МАТРИЦЫ В СТРОИТЕЛЬНОЙ
МЕХАНИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
А. П. Филин С, 3. Динкееич
6.1.	Некоторые сведения из теории матриц ...	322
6.1.1.	Матрицы и нл виды, определители к миноры . .	322
61.2.	Алгебраические операции над матрицами ....	323
6.13.	Обратная матрица. Ортогональная матрица ...	325
6.1.1.	Норма матрицы.............................. 326
6.1.5.	Представление квадратной матрицы в виде произ-
ведения двух треугольных........................ 326
6.1.6.	Собственные значения н собственные векторы
квадратной матрицы.............................. 327
6.1.7.	Квадратичная форма. Пучок квадратичных форм	329
6.2.	Некоторые сведения по численным методам
линейной алгебры................................ 332
62.1.	Общие вопросы решения систем линейных влге-
Й>а и чес к их уравнений ............	332
етод исключений ....... ......	332
622.	Схемы обращения матрицы, использующие разло-
жение ее на треугольные множители............... 334
62.4.	Итерационные методы решения систем уравнений 335
62.5.	Об устойчивости решения систем линейных алге-
браических уравнений............................ 337
62.6.	О методах решения проблемы собственных зна-
чений	337
6.3.	Матрицы в статике стержневых систем ... ззз
6.3.1.	Матрицы податливостей и жесткостей. Потен-
ииальная энергия  ................................  338
622. Механическая интерпретация гауссовой схемы ме-
тода исключений...................................  ззэ
633.	Матричная форма метода сил ........ 
62.4.	Матричные формы метода перемещений ....
6.3.5.	Матричная форма смешанного метода .  « • •	345
6.4.	Матрицы в теории колебаний и устойчивости
стержневых систем.................................. 345
64.1.	Свободные колебания систем с конечным числом
степеней свободы  ................................  345
6.4.2.	Вынужденные колебания консервативной дискрет-
ной системы  .....................................  347
6.4.3.	Свободные колебания н статическая устойчивость
статически (кинематически) неопределимых стерж-
невых систем с бесконечным числом стеисией
свободы	34?
6.4.4.	Вычиг теине	реактивных усилив ........	35-1
Литература ......................................... ЗЯ
Стр.
РАЗДЕЛ 7
ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
В. В. Новицкий
7.1.	Геометрические характеристики при растяже-
нии — сжатии и изгибе ...	.......... 356
7.2.	Приближенные значения радиусов инерции . .	367
7.3.	Геометрические характеристики сдвига при из-
гибе (направленные площади F9)	.	.	368
7.4.	Положение центра изгиба некоторых сечений
(|А — коэффициент Пуассона) . . . . « .	369
7.5.	Геометрические характеристики при кручении 371
Литература................................... 374
РАЗДЕЛ 8
ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК,
РАМ И АРОК
М. С. Волчегорский, Д. Л. Шапиро
8.1.	Балки ...............	375
8.1.1.	Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибы
и углы поворота сечений............................  875
8.12.	Простая балка. Опорные реакции, изгибающие
моменты, прогибы, углы поворота опорных се-
чений .............................................. 377
8.13.	Однопролетная балка с одним защемленным и
другим шарнирно опертым концом. Опорные ре-
акции и опорные моменты............................. 384
8.1.4.	Однопролетная балка с обоими защемленными
концами. Опорные реакции н оперные моменты 387
8.1.5.	Однопролстная балка с одним защемленным и
другим шарнирно спертым концом к с обоими
защемленными концами. Прогибы . .................... 390
8.1.6.	Коэффициенты приведения нагрузки к эквива-
лентной равномерно распределенной интенсив-
ностью рэк для определения опорных моментов
в нераэрезных балках ............................... 391
8.1.7.	Неразреэныс равнопролстные балки. Изгибающие
моменты, поперечные силы к опорные реакции
от различных нагрузок............................... 392
8.1.6.	Неразреэныс равнопролетные балки. Опорные мо-
менты при осадке опор  .............................. 3»
8.1.9.	Неразреэныс балкн с неравными пролетами. Дан-
ные для определения Опорных моментов от на-
грузок н осадок опор методом фокусов ....	400
8-1.10. Грузовые члены ............................  402
8.1.11.	Двух- п трехпролетиые балки с неравными про-
летами. Изгибающие моменты	405
8.1.12.	Неразреэныс разнопролетныс балки. Ординаты
линий влияния изгибающих моментов и попе-
речных сил	4С8
8.1.13.	Однопролетные подкрановые балки. Данные для
расчета	410
8.1.14.	Перекрытия с перекрестными балками (кессонные
перекрытия). Данные для расчета	412
Схемы распределения нагрузки в перекрестных
балках (412). Нагрузки н нзгнбающые моменты
в перекрестных балках при квадратных в плане
перекрытиях (413).
8.1.15.	Усилия в элементах шпренгельной балки . . • •	414
8.1.16.	Балкн с ломаной или криволинейной (круговой)
в плане осью. Данные для расчета...........  416
Балка с ломакой в плане осью (416). Белка с изо-
гнутой в плане по дуге круга осью (419).
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
8.2.	Рамы .st;............................ ... .
82.1. Моменты в Г-образной раме с гормзош длинны
или наклонным ригелем . ..........................
822. Моменты в Г-образмой раме с горизонтальным
или наклонным защемленным ригелем н защем-
ленной СТОЙКОЙ
82.3. Моменты в Т-обраэноЙ раме с шарвырно опертым
Кигелем н защемленной стойкой
Моменты в Т-образной раме с защемленными ри-
гелем и стойкой
6.2.5. Моменты в Г-образной раме со ступенчатой за-
щемленной стойкой и горизонтальным или на-
клонным шарнирно опертым ригелем..................
8 2.6. Моменты в Г-образной юаме со ступенчатой за-
щемленной стойкой н горизонтальным или на-
клонным защемленным ригелем.......................
8.2.7. Моменты в Т-образной раме со ступенчатой за-
щемленной стойкой и шарнирно опертым ригелем
82.8. Моменты в Т-образной раме со ступенчатой за-
щемленной стойкой и защемленным ригелем . .
6.2.9. Моменты и распоры в П-образной раме со стой-
ками постоянного сечения..........................
Стойкн шарнирно оперты. Стойки защемлены . .
82.lv. Моменты в П-образной раме со ступенчатыми
стойками . . . . . ...............................
82.11. Моменты и реакции П-образной рамы с абсо-
лютно жестким ригелем и стойками постоянного
сечення или ступенчатого очертания..................
С шарнирно прикрепленным ригелем (+49). С жест-
ко прикрепленным ригелем (451).
8j2.12. Расчет одноэтажных многопролетных рам с шар-
нирно опертыми абсолютно жесткими ригелями
и ступенчатыми защемленными стойками ....
8,2.13. Расчет одноэтажных многопролетных рам с абсо-
лютно жесткими ригелями и ступенчатыми за-
щемленными стойками
82.14. Расчет одноэтажных ыпогопролетных рам со сту-
пенчатыми защемленным]! стойками .................
82.15. Примеры расчета сложных ол поэтажных рам ме-
тодом расчленения с применением таблиц гото-
вых формул
8.2.16. Рамы со стойками, имеющим и два уступа (двух-
ступенчатые). Указания по расчету с использо-
ванием таблиц .................................. •
8.2.17. Многолролетные одноэтажные я многоэтажные
рамы. Изгибающие моменты от вертикальной,
горизонтальной нагрузок н осадок опор ....
а) Двухпрояетяые рамы (468). б) Трехпролетные
рамы (470). в) Четырехпролетные рамы (472)
г) Примеры (477)
8.2.18. Коэффициенты й0 для определения в ступенчатых
стойках перемещений от единичной силы и реак-
ций от взаимного смещения опор н поворота
нижнего сечення
8.2.19. Ступенчатая стойка с защемленным нижним н
шарнирно опертым верхним концом. Реакции
верхних опор при различных л и X..................
а) Формулы для определения реакций fy от раз-
личных нагрузок (479). б) Реакция Р^ от дей-
ствия горизонтальной равномерно распределенной
нагрузки по всей высоте стойкн (481). в) Реакция
Рд от действия горизонтальной равномерно рас-
пределенной нагрузки на верхний участок стойки
(482). г) Реакция Р^ от действия горизонтальной
силы на верхний участок стойки (483). д) Реак-
ция Р^ от действия момента на верхний участок
стойки (484).
82.20	. Моменты н реакции стойкн с двумя уступами
с защемленным ннжннм и шарнирно опертым
верхним концом
82.21	Ступенчатая стойка с защемленными конца мн.
Моменты защемления я реакции верхних опор
прн различных ли &...••............................
8.2.2	2 Моменты и реакции стойкн с двумя уступами и
обоими защемленными концами..................... . .
8.2.2	3. Формулы для подсчета интегралов Мора « » , •
8.3. Арки	................
8.3.1« Геометрические данные осей параболической и
круговой арок......................................
а) Параболическая арка (498). б) Круговая арка
(500). в) Длина н центр тяжести половины дуги
8.32. Симметричные трехшврннрмые арки любого очер-
тания. Изгибающие моменты, распоры и опорные
реакции от различных нагрузок
Стр.
422
422
42S
427
429
431
433
435
437
440
440
445
449
453
456
460
461
467
467
479
479
485
487
490
49Л
498
501
501
Стр.
82Д Трекшарякрвые круговые и параболические арки.
Опорные реакции, изгибающие моменты, попереч-
ные н продольные силы от равномерно распреде-
ленной нагрувкн	603
8.3.4-	Трвкшарннрная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, опорные реакции н распоры от
сосредоточенного груза	505
BJ.5. Трехшарпнрная аараболичесяая арка. Изгибаю-
щие моменты, опорные реакция и распоры от
односторонней частичной равномерно распреде-
ленной нагрузки	505
ВЛ.6. Трех ш ври крив я параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, опорные реакции я распоры от
симметричной частичной равномерно распреде-
ленной нагрузки ............................... 506
8.3.7. Двукшарннрная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, распоры в опорные реакции от
различных нагрузок..............•........ 507
83.8. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, распоры н опорные реакции ст
сосредоточенного груза .................  609
8Л.9. Двухшарнирная параболическая арка. Изгибаю-
щие моменты, распоры н опорные реакции от ча-
стичной равномерно распределенной нагрузки . .	510
83.10. Двухшарнирная круговая арка. Изгибающие мо-
менты н распоры от сосредоточенного груза . .	613
63.11. Двухшарнирная круговая арка. Изгибающие мо-
менты н распоры от частичной равномерно рас-
пределенной нагрузки...................  513
6.3.12. Бесшарннрные параболические врян. Изгибаю-
щие моменты, распоры  опорные реакции ст
различных нагрузок
Литература	....	617
РАСДЕЛ О
СТЕРЖНИ. ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА,
И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
Ю. /7. Григорьев
9.1. Круговые стержни	518
Основные обозначения н общие указания
(стр. 518). Общие формулы для усилий и пере-
мещений (519). Монорельс на трех и на четырех
равноотстоящих опорах (стр. 524). Стержень мас-
сивного поперечного сечення (стр. 526). Усилия
в ключевом сечекнн тонкостенного стержня, за-
щемленного двумя концами я нагруженного пер-
пендикулярно плоскости кривизны (арочная бал-
ка, эркер) (стр. 532). Массивный стержень, защем-
ленный двумя концами (стр, 537).
9.2. Круговые кольца ...........	538
Общие формулы для определения усилий н пере-
мещений колец, нагруженных сосредоточенными
силовыми факторами (стр. S3&. Кольцо с тонко-
стенным или массивным сечением, нагруженное
силами и моментами перпендикулярно плоскости
кривизны (стр. 551). Кольцо массивного асиммет-
ричного сечення. нагруженное произвольными си-
лами н моментами (стр. 551). Напряжение в коль-
цах. вызванное наличием сосредоточенных дефор-
маций (стр. 551). Кольцо на упругом основании
(стр. 552).
Литература	655
РАЗДЕЛ 10
ФЕРМЫ
А. Г. Иммерман
10.1. Плоские фермы........... s . : . . .
10.1.1. Основные положения расчета ..........
1U.I.2. Определение усилий в статически определимых
при неподвижной нагрузке .........
Установление неработающих стержней и стерж-
ней. усилия в которых определяются местной на-
грузкой (556). Аналитическое определение усилий
(557). Графическое определение усилий (558). Рас-
чет ферм на вксузловую нагрузку (558). Расчсг
ферм с криволинейным поясом (558). Расчет со-
ставных ферм (558). Способ замены стержней (558).
Тонкостенные Фермы (311 (558). Распорные и ком-
бинированные фермы (559).
% 88
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
10.12.	Перемещения узлов статически определимых
ферм .......................................... 659
10.1.4.	Линин влияния усилий и перемещений в стати-
чески определимых фермах......................  560
Статический способ построения линий влияния
усилий (560). Кинематический способ построения
линий влияния усилий (561). Линия влияния пере-
мещения (561). Невыгодная установка грузов на
линии влияния (562).
10.1.5.	Определение усилий в статически неопредели-
мых фермах прн неподвижной нагрузке ....	562
Метод сил (562). Фермы с нецентрнрованнымн уз-
лами (562). Учет защемления ферм, жестко свя-
занных с колоннами (563). Работа «нулевых»
стержней (563).
10.1.6.	Учег жесткости узлов. Расчет ферм на ЭВМ . о®
IU.I.7. Определение перемещений в статически неопре-
делимых фермах................................. 563
10.1.8.	Линии влияния усилий в статически неопредели-
мых фермах..................................... 563
10.1.	У. Предварительно напряженные фермы. Основные
положения расчета	и конструирования ....	564
Фермы с предварительно напряженеымн отдель-
ными стержнями (564). Предварительно напряжен-
ные фермы с затяжками (565).
10.1.10.	Отыскание оптимальных ферм • »»«•••	566
10.2.	Пространственные фермы................... 566
10.2.1.	Основные положения образования и расчета . .	666
10.2.2.	Общие методы определения усилий ..... 666
10.2.3. Башни и мачты.....................  .	667
102.4.	Стержневые пластины — структурные конструк-
ции ....................................  668
102.5.	Стержневые	купола...................... 669
102.6.	Тонкостенные ребристые цикличесхн симметрич-
ные купола	(А. Г.	Чудновский)	675
Без момент на я расчетная схема (575)
Литература ...............	577
Стр.
РАЗДЕЛ II
ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ
КОНСТРУКЦИИ
С. А. Алексеев, Э. Н. Кузнецов, Р. Н. Мацелинский
11.1.	Гибкие нити (Р. И. Мацелинский) ....	679
11.1.1.	Общне сведения....................
11.12.	Определение величины распора нерастяжнмой
нити . .’..............................
11.1.3.	Определение распора упругой нити ......
11.1.4.	Вычисление длины янти...........
11.1.5.	Расчет струны ...............
ИХ Вантовые системы (3. Н. Кузнецов) . . .
11	2.1. Общне сведения ..............
1122.	Особенности расчета н общне расчетные пред-
посылки ..................................
II23.	Двухпоясные вантовые системы .......
1124.	Вантовые сети ......................
112.5	. Контурное кольцо ...................
11.3. Пневматические конструкции (С. А. Алексеев)
11.3.1. Основные сведения...............
11.32. Особенности расчета пневматических конструкций
1122. Расчет мягких оболочек
112.4. Расчет пневмостержней
11.3.5. Ветровые нагрузки.................
112.6. Материалы для пневматических конструкций
(Г. И. Зубарев) ........................
Литература................................
9 9 §9999 § S § gSSg а
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Расчетно-теоретический том «Справочника проекти-
ровщика» содержит результативные формулы современ-
ных методов расчета конструкций иа прочность, жест-
кость н устойчивость, л также необходимые сведения по
элементарной и высшей математике, теоретической меха-
нике и числовые таблицы функций, входящих в более
сложные расчетные формулы, нормы нагрузок и габа-
риты. Данные, связанные с подбором сечеинй элементов
из конкретных материалов, за некоторыми исключения-
ми, отнесены к конструктивным томам «Справочника
проектировщика» и в данный том не включены. Наряду
с этим в настоящем томе справочника помещен раздел,
посвященный механическим свойствам важнейших стро-
ительных материалов; это должно дать возможность
проектировщику, пользующемуся схематизированными
расчетными методами, скорректировать в случае надоб-
ности свои расчеты на основе учета действительных
свойств материалов, исходя из работы конструкции в уп-
ругой илн упруго-пластической стадии.
По характеру изложения данный справочник близок
к Расчетно-теоретическому тому «Справочника инжене-
ра-проектировщика». изданному в 1934 г. и до сих пор
пользующемуся застуженной популярностью у проекти-
ровщиков.
Перед коллективом авторов нового справочника бы-
ла поставлена задача отразить результаты быстрого по-
ступательного движения советской строительной техни-
ки н науки о прочности, содействовать внедрению но-
вых прогрессивных методов расчета, разработанных за
последние десятилетия в научно-исследовательских ин-
ститутах, вузах и проектных организациях, привлекая
также результаты, полученные в других отраслях про-
мышленности — машиностроении, авиастроении, судо-
строении. Решение этой задачи привело к полной пере-
стройке и расширению программы справочника по срав-
нению с предшествующим, к устранению нескольких,
редко используемых, разделов и к более широкому при-
менению метода ссылок — рекомендаций взамен изло-
жения деталей вопроса. При этом большую помощь ав-
торам оказал вышедший в 1957 г. обзорный труд «Стро-
ительная механика в СССР»1, содержащий исчерпы-
вающие библиографические данные по методам расчета
сооружений.
При распределении объема учтены важнейшие новые
направления и тенденции строительной техники. Значи-
тельное внимание уделено тонкостенным конструкциям,
плитам и оболочкам. Индустриализация строительства,
широкое применение сборного железобетона потребова-
ли более подробных данных по расчету равнопролетных
конструкций, брусьев и арок, очерченных по дуге круга.
Важное значение, которое приобрели в настоящее время
предварительно напряженные конструкции, получило от-
ражение в более шнроиой разработке расчета стержне-
вых систем на действие наперед заданных деформаций.
Прогрессирующее применение легких сплавов в строи-
тельстве привело и необходимости расширить разделы,
посвященные устойчивости и расчету конструкций по
деформированной схеме. Большое внимание уделено
практическим вопросам теории пластичности и ползуче-
сти, позволяющим более обоснованно применять приня-
тые в СССР методы расчета конструкций по расчетным
предельным состояниям.
Основное назначение данного справочника — помочь
в работе инженерам-строителям, проектирующим про-
мышленные и гражданские здания и сооружения. На-
ряду с этим справочник может быть использован инже-
нерами-конструкторами и расчетчиками другого про-
филя, а также студентами, аспирантами и преподавате-
лями вузов.
Все замечаиня и пожелания относительно содержа-
ния справочника просим направлять в адрес издатель-
ства: Москва, Кузнецкий мост, 9, Стройиэдат.
А. А. Уманский
' Строительны механика в СССР. 1917—1957. под редакцией
«л.-корр. АН СССР, действ, «л. АСиА СССР И. М. Рабиновича,
М.. Госстройиздат. IBS7,
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
При составлении второго издания Справочника мы
воспользовались советом многих читателей — разделить
содержащийся в Справочнике обширный материал на
две книги, облегчив тем самым пользование им.
В первую книгу вошли разделы:
1.	Математика
2.	Теоретическая механика
3.	Напряжения, деформации, прочность материалов
4.	Материалы для строительных конструкций. Мето-
ды расчета
5.	Строительная механика упругого стержня и стерж-
невых систем
6.	Численные методы линейной алгебры. Матрицы в
строительной механике стержневых систем
7.	Таблицы геометрических характеристик сечений
стержней
8.	Таблицы и формулы для расчета балок, ран и арок
9.	Стержни, очерченные по дуге ируга, и круговые
кольца
10.	Фермы
11.	Вантовые и пневматические конструкции
Во вторую книгу вошли разделы:
12.	Уравнения и формулы теории упругости, пластич-
ности и ползучести
13.	Упругие тонкие пластины (плиты и балки-стены)
14.	Оболочки
15.	Метод сеток в приложении к расчету пластин н
оболочек
16.	Моделирование
17.	Устойчивость стержневых систем
18.	Устойчивость пластинок и оболочек. Расчет гиб-
ких пластинок.
19.	Расчет сооружений, взаимодействующих с грун-
том
20.	Динамика сооружений
21.	Расчет конструкций (стержневых, пластинок и
оболочек) по предельному равновесию и учет ползуче-
сти
Первая книга, наряду со Строительными нормами и
правилами (СНиП), а также со специализированными
томами «Справочника проектировщика!, должна
удовлетворять практическую потребность инженеров,
занятых расчетом прежде всего стержневых конструк-
ций. Вторая книга предназначена для инженеров, ре-
шающих более сложные задачи, в частности, по расчету
оболочек.
Разделы 6, 11, 15, 16 — новые, написанные специаль-
но для второго издания. Разделы 17 и 21 коренным об-
разом переработаны по сравнению с соответствующими
разделами первого издания. Остальные разделы пере-
работаны частично и дополнены краткими сведениями
о расчетных методах, развитых в последнее десятилетне
Раздел «Нормы нагрузок и габаритов» исключен, как
дублирующий официальные нормативные издания.
РАЗДЕЛ I
МАТЕМАТИКА*
1.1.	АЛГЕБРА
1.1.1.	Степени и корни
Степень числа а определяется при п натуральном
равенством а"=оа... а. где число множителей равно п.
Корень степени л определяется равенством(1^ с) = а.
При положительном рациональном г—mln (m, n —
натуральные числа) принимается <f = тЛтга .
Если v — положительное иррациональное число, то
о* определяется как такое действительное число а, для
которого выполняется условие
ар<а<а4, когда а>1,
или
о’<а<а₽, когда 0<о<1
при любых положительны! рациональных р, q, между
которыми заключено v, p<v<q (можно доказать, что
такое число существует и единственно). Если а—I, при-
нимается а’ =!.
При любом положительном и но определению а-"=
= 1/0'* и а‘=1, если очМ).
При любых показателях справедливы следующие
формулы:
ат.аЛ = а"'+а; ат:ап =ат~”; (ат)" = а™;
Уу-а
Формулы сокращенного умножения и деления:
(a ± й)« = o’ ± 2аЬ + б*
(а ± й)« = о’ ± Загй + За6=±*’,
(а + А)(а —й) = о» —й»;
(о ± b) (а* Т о» + 6«) = о« ± й».
°	= on—,+on—2fr+o"—3Ьг+-  -Ч-ай'1-2+6л—
а —и
Матрицы и решение линейных уравнений см. в разд. 6.
j?+l+ft2ll+.1 =аг»_лгл-«6+а2"-56»_...+ 62л.
-° ~Ь -=aln~l--ai"~ib+ain^ Ь*---------й2'1-1.
о + й
Примечание. В приведенных формулах предпо-
лагается, что знаменатели отличны от нуля, а иррацио-
нальные величины являются действительными числами.
1.1.2.	Логарифмы
Если a“—N, где а>0 в очМ, то показатель п назы-
вается логарифмом числа N при основании а, обозначе-
ние: n=logs N. Всякое положительное число имеет ло-
гарифм.
Основные формулы:
logoi-О, |oga О = 1;
logo (Л/1 А/J = logo	+ logo Ni
!<«« ^- — >ogaAll- logo Кц
logo (Al*) = * logo N‘. logo = у logo N.
Широко используются две системы логарифмов: де-
сятичные, для них основанием служит число 10 (обозна-
чение lg N); натуральные, для них основанием с/.уисит
число е (обозначение In N).
е= 11m (1 + —= 2,71828...
Л-»«ю \ Л /
При основании о>1 имеют место следующие свой-
ства:
большему числу соответствует больший логарифм;
логарифмы чисел, меныиих единицы, отрицательны;
логарифмы чисел, бйльшвх единицы, положительны;
l°ga А/ -» + со при N + «о;
log,, А/ ч- — со при А/ ч 0.
График логарифмической функции при о>1 дан на
рнс. 1.1.
Десятичный логарифм числа состоит нз целой части.
12
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
называемой характеристикой, н дробной части, называе-
мой мантиссой. Характеристика числа, большего едини-
цы. на единицу меньше числа его цифр, стоящих левее
запятой; характеристика числа, меньшего единицы, отри-
цательна и равна по модулю, т. е. по абсолютному значе-
Рис. 1.1
нию числу нулей, стоящих ле-
вее первой значащей цифры,
включая нуль целых. Напри-
мер, характеристика логариф-
ма числа 25,3 равна 1, а числа
0,00253 равна —3. Мантиссы
десятичных логарифмов см.
[1.23.3]. Натуральные логариф-
мы даны в табл. 1.33.
Логарифмы числа при двух
различных основаниях связа-
ны соотношением
1<®»М =
loga W
logo*'
в частности, log, a logo 6=1;
число l/logo Ь называется модулем перехода от основа-
ния а к основанию Ь. Между десятичными и натураль-
ными логарифмами существует соотношение:
InW = — « 2,30259lg
1g е
loN = ^- «0.43429 In N.
6 In 10
1.1.3.	Прогрессии
Арифметической прогрессией называется последова-
тельность чисел, в которой каждое последующее число
получается прибавлением к предыдущему одного н того
же числа d, называемого разностью прогрессии. Геомет-
рической прогрессией называется последовательность
чисел, в которой каждое последующее число получает-
ся умножением предыдущего на одно и то же число q,
называемое знаменателем прогрессии. Числа л,. щ..., об-
разующие прогрессию, называются ее членами.
Формулы дли n-го члена прогрессий:
арифметической on=oi+d(n—1);
геометрической oI,=Oi<7',_|.
Формулы для суммы л членов прогрессий:
арифметической
Sn = (Ol4-fln)y = [2л, + d(n - 1)| у;
геометрической
anq — ai Qi(d" — D
i	„	
q —1	я—1
Если модуль знаменателя геометрической прогрессии
менее единицы (|?| <1), то прогрессия называется убы-
вающей. Если при этом число членов безгранично воз-
растает (п-ьоо), то
3 = Нт Зл = °* -.
п—™	1 — q
1.1.4.	Факториал
Факториал натурального числа п обозначается п! и
определяется равенством nl=l-2... и. Основное свойст-
во факториала (»4-1)1—л!(л4-1). Понятие факториала
распространяется на число О, а именно: принимают 0! =
= 1; при этом остается в силе основное свойство:
(0-Н)1=0!(0-Н). При больших п приближенные зна-
чения факториалов могут быть найдены с практически
достаточной точностью но формуле Стирлинга:
л! « V 2лл ) .
1.1.5.	Соединения
Группы элементов, отличающиеся одна от другой или
порядком этих элементов, или самими элементами, на-
зываются соединениями.
Размещениями из п элементов по m при m л на-
зываются соединения, из которых каждое содержит гл
элементов из заданных л и которые различаются или
самими элементами, или нх порядком. Число размеще-
ний нз п элементов по т:
И” = л(л —1)(л — 2)---[л — (ш — 1)] =	"!	.
(и — ту.
Перестановками из л элементов называются соеди-
нения, из которых каждое содержит все и элементов н
которые различаются только порядком элементов. Число
перестановок из и элементов:
РП = ^=Л1.
Сочетаниями нэ и элементов no m при т^л назы-
ваются соедннення, нз которых каждое содержит т эле-
ментов из заданных и н которые различаются, по край-
ней мере, одним элементом. Число сочетания нз и эле-
ментов по т:
ст_^н_ я (я—|)...(л — (m— 1)] _ л!
" ~ Рт	ml	пй (л—m)! ‘
Свойство сочетаний:
C?=CJ-m.C? = C^_1 + C^I1.
Вместо обозначения CJ используется также символ
О-
1.1.6.	Бином Ньютона
При л натуральном
(л + Ь)п = л" + С'„ 0я-16 +	о"-2 6г+
-,+C*dn-*b*+—|-^.
Свойства биномиальных коэффициентов-.
коэффициенты членов, равноотстоящих от концов,
равны между собой;
сумма всех коэффициентов равна 2я;
сумма коэффициентов членов, стоящих на нечетных
местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на
четных местах.
Формула бинома может быть распространена на от-
рицательные и дробные поназателн; при этом получается
в правой части равенства бесконечный ряд (сы. 1.8.2).
1.1.7.	Определители (детерминанты)
Определителем второго порядна называется выраже-
ние D, образованное нэ четырех величии (элементов).
1.1 АЛГЕБРА
13
расположенных в квадратную таблицу, н определяемое
по формуле
IОц аи I
D = I I = «и Ом — Оц ац.
I «я «и I
Определителем n-го порядка называется выражение
D, образованное из п* величин (элементов), расположен-
ных в квадратную таблицу
«и °1Г  о1л
Оц Оц- • '«Зп
«т «и—«пл
н определяемое следующим образом: D равно алгебраи-
ческой сумме nl членов, каждый из которых является
произведением п элементов определителя, взятых по од-
ному из каждой строки и каждого столбца; произведе-
ние берется со знаком плюс нлн минус в зависимости от
того, четно нлн нечетно число инверсий в перестановке
из вторых индексов перемножаемых элементов, если пер-
вые индексы расположены в возрастающем порядке (в
перестановке числа < и / составляют инверсию, если
/<г, но / стоит в этой перестановке после i). Например,
для определителя третьего порядка
«и °и о»
Оц «и Ом = «п«п«зз— «п «аз «аз4-«13«»«я—
«я «я Ом — оц о» O33 + о1э Ом озз—ога оп Оц
число слагаемых равно 3!, т. е. 6; первые индексы сле-
дуют в порядке I, 2. 3; во вторых индексах имеется
шесть перестановок: в первом слагаемом нет инверсий,
во втором есть одна инверсия (32), в третьем — две ин-
версии (21 н 31) и т. д.
Свойства определителей:
1)	при замене строк столбцами величина определи-
теля не меняется:
2)	при перестановке двух столбцов нлн строк опре-
делитель меняет знак;
3)	определитель с двумя одннаковымн столбцами
(или строками) равен нулю;
4)	множитель, общий для элементов некоторого
столбца нлн строки, можно вынести за знак определи-
теля;
5)	величина определителя не изменится, если к эле-
ментам некоторого столбца нлн строки прибавить эле-
менты параллельного столбца или строки, предваритель-
но умножив эти последние на одни и тот же произволь-
ный множитель /.
Вычисление определителя можно свести к вычисле-
нию определителей порялка на единицу ниже. Назовем
минором элемента он определитель, получаемый вычер-
киванием i-й строки и ft-ro столбца данного определите-
ля. Назовем адъюнктой (нлн алгебраическим дополне-
нием) элемента о<> его минор, умноженный на (—)«**;
обозначим адъюнкту элемента о,* через Тогда
справедливы равенства:
D = «n А и + °i!^ii4--+«jn A mi
D = An 4- «а* А» 4--  -4- «я* Ап*,
т. с. определитель равен сумме произведений элементов
какой-нибудь строки (нлн столбца) на нх алгебраиче-
ские дополнения. Эти равенства называются разложе-
ниями определителя соответственно по элементам i-й
строки и ft-ro столбца.
Пример 1.1:
«и
«и
Ои
«13 «13
Озз См
«И «33
= «и Ai + «« Ат + «1з Аз =
«п «331	«и «33 , «я «м
= «11 I — «13 I + «13
Юаз «зэ!	1«31 «ail I«31 «зз
Вычисление определителя n-го порядка требует вы-
числения л определителей порядка л—1. Можно, однако,
пользуясь свойствами определителей, свести задачу к
вычислению лишь одного определителя порядка л—1;
с этой целью преобразуют данный определитель так, что-
бы в какой-либо строке (или столбце) обратились в нуль
все элементы, кроме одного.
Пример 1.2:
3—2	1	5
6	4	2	-1
-3 С	1	4	’
-2-37	2
Обратим в вулн элементы второго столбца, для чего
умножим элементы первой строки на 2 и прибавим их
ко второй строке: затем умножим элементы первой стро-
ки на —13 и прибавим нх к четвертой строке (от этих
операций определитель не изменит своей величины):
3—215
12	0	4	9
-3	014-
-6.5	0 5.5 -5,5
Теперь разложим определитель по элементам второго
столбца:
1 12	4	9	|
О = (-1),+г-(-2)-3	1	4	;
1-6,5 5,5 —5,5
остается вычислить определитель третьего порядка.
В теории линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами находит применение сле-
дующий определитель, называемый определителем Ван-
дермонда и вычисляемый по формуле
1 X, X2—
1
1
= (Хз-Х,) (х,-х,)-  (Гл-Xt) (х,—
- ха)-"К-А)-•(*„-
Необходимым и достаточным условием неравенства
этого определителя нулю является отсутствие одинако-
вых чисел в последовательности Х|, къ ... хл.
1.1.8. Линейные уравнения
Дана система трех линейных уравнений:
«и х 4" «и!/ 4" «ц 2 = bii
«и х 4- «за У 4- «аз 2 =
«я * 4-«13 Р 4-«эз х = бз-
Обозначим определитель, составленный из коэффициен-
тов при неизвестных, через D, а определитель, получен-
14
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
ный заменой 1-го столбца определителя D столбцом сво-
бодных членов, через Dt, i= 1, 2, 3:
	°11 °12 °13		0|t 013
о =	О83	; Di =	bi вгз Oss
	°Э1 °37 0»		b> am cM
	fl11 Ь1 013		Оц flit
Dt =	fltl ^2	°*3	; Л,-	вд| On bi
	ДВ1	°S3		»n b,
Если D^O, то вмеется единственное решение:
Di D, D,
Т' у=^- г=~ъ
Если D—0, но хотя бы один нэ определителей Dh
Dt. Dt отличен от нуля, то корней нет, система несов-
местна.
Если 0=0 н Di=D>= Da=0, то система либо несов-
местна, либо неопределенна (имеет бесконечное множе-
ство корней). Система несовместна тогда, когда все
миноры определителя D равны нулю, а хотя бы одни
определитель второго порядка нз таблицы
°п аи о» *1
аи ои ап 6а
ая аээ азз
не равен нулю. Система неопределенна в двух случаях:
1) если хотя бы один из мнноров определителя D не
равен нулю; тогда система сводится к двум уравнениям,
из коэффициентов которых образован такой минор;
2) если все определители второго порядка вз указанной
таблицы равны нулю; тогда система сводится к одному
уравнению.
Если свободные члены равны нулю (bi=bi“6i-0),
то система уравнений называется однородной В этом
случае Dt-Dt—Dt=0, однако несовместность невоз-
можна, поскольку система имеет нулевые корни х=у-
=г=0, каковы бы нн были коэффициенты уравнения;
если D&0, то имеются только нулевые корня; если
D=0, то имеется бесчисленное множество корней.
Приведенные рассуждения распространяются яа си-
стемы линейных уравнений с числом неизвестных, отлич-
ным от трех.
Определителя применяются для исследования линей-
ных уравнений. Что касается вычисления корней, то при
большом числе неизвестных пользуются приближенны-
ми методами (см. раздел 6). В настоящее время приме-
нение счетных машин дает возможность решать (я при-
том достаточно быстро) системы линейных уравнений с
большим числом неизвестных.
1.1.9. Уравнения высших степеней
Уравнение второй степени: х’+рх+у=О. Корпи
Xi, вычисляются по формуле
р>
Выражение D = — —q называется дискриминантом
4
уравнения. Если D>0, то корни действительные; раз-
личные; если 0=0, то корни действительные, равные]
если D<0, то корни комплексные, сопряженные. Свой-
ства корней: Х1+Х1-—р; Х|Ха—q. Квадратный трехчлен
хг+рк+я разлагается иа множители: х’+рх+у=
= (х—х,)(х—xt).
Уравнение третьей степени х*+ах’+Рх+с=0 при-
водится подстановкой 1=у—а13 к виду у’+ру+?=О,
где
о’ 2.1
Р = Ь--; 9 = — ^--аЬ+е.
Дискриминант уравнения: D=y’/4+p’/27. При D>0
уравнение имеет одни действительный а два сопряжен-
ных комплексных корня:
Vb=“'11/ —~Y + Vd + »l'l/ — -у — Vd ;
Уа=®1Д/^—-у+ VD —	'у—1^0.
где
-i-mVT -1-/Гз" . _г—
“*=------2---------------2-----U=/-l.
При D=0 уравнение имеет три действительных корня,
нэ которых два равны:
При D<0 уравнение имеет действительные корни; их
удобно вычислять пе формулам
У: = -у Уз” Р"|р[ cos ф;
Уя = V Уз” Vw cos (<p + 12(ГХ
О
»э= VlM О»(ф-120”),
1	—ЗрТу
где ф = — arccos--------.
3 sVp’
Возвратное уравнение третьей степени х’+ах’+ах+
.+1=0 решается разложением иа множители: :
х* + ах’ + ar + 1 = (х + 1) (*’ + (а — 1) * + 1);
Биквадратное уравнение х'+рх’+у™0 приводится к
квадратному уравнению подстановкой &=г.
Возвратное уравнение четвертой степени х*+ах’+
+йх’+ах+1=0 приводится к квадратному уравнению
у’+су+б—2=0 подстановкой х+1/х-у.
1.1. АЛГЕБРА
15
Другие уравнения четвертой степени, хотя н могут
быть решены по общей формуле в радикалах, в практи-
ческих приложениях при численных коэффициентах ре-
шаются приближенными методами. Корин уравнений об-
щего вида более высоких степеней отыскиваются также
приближенными методами.
Рис. 1.2
1.1.10. Приближенное решение уравнений
Действительные корни уравнения Дх)=0 (как ал-
гебраического, так и трансцендентного) можно прибли-
женно найтн графически нлн посредством отделения
корней. Для графического решения уравнения Дх)=0
строят график функции у=
=Дх); абсциссы точек пересе-
чения н точек касания графи-
ка с осью абсцисс являются
корнями уравнения. Метод от-
деления корней состоит в том,
что находят таких два числа
а и Ь, при которых функция
Дх), предполагаемая непре-
рывной. имеет различные
знаки—в этом случае между
а н Ь заключен, по крайней мере, один корень; если
производная f'(x) сохраняет знак в интервале от а до Ь
н, значит, Дх)— монотонная функции, то этот корень
единственный (рнс. 1.2).
Более совершенными приемами, позволяющими найтн
корень с любой точностью, являются следующие. Пусть
найдены такие два значения аргумента х—а, х=Ь
(а<Ь}, что на концах интервала [а, 6] функция f (х) при-
нимает значения разных знаков, а внутри этого интер-
вала производные f'(x) н /"(х) не изменяют своих зна-
ков; предполагается, что в интервале [с, 6] существует
непрерывная вторая производная Г(х).
По способу хорд: значение корня х( уравнения Дх) =
=0 в интервале [а, 6] в первом приближении находится
по формуле
(б-а)/(а)
Xi “ tW-IW’
Затем выбирается тот нэ интервалов [о, х«]. [х,, б], на
концах которого значения Дх) имеют различные знаки
и находится корень хг во втором приближении по той
же формуле, но с заменой числа х1 на хг, а числа b или
о на х< (в зависимости от того, взят ли интервал [о, xt|
или (хг, 6]). Аналогично находятся последующие при-
ближения (рнс. 1.3).
По способу касательных (пли способу Ньютона} рас-
сматривают тот из концов интервала [а, 6) где Дх) н
Рис. 1.3	Рнс. 1.4
Г'(х) имеют одинаковые знаки (рис. 1.4). В зависимости
от того, выполняется ли это условие на конце х=а нлн
на конце х=Ь, значение корня Х| в первом приближении
определяется по одной нз формул
/(о)
х2 = а — — нлн х,=Ь~
I (°)
f(b}
f'W
Затем рассматривается интервал (х<, б] (если была ис-
пользована первая нз указанных формул) или [a, х2]
(если была использована вторая формула) н аналогич-
ным путем находится значение корня Хг по второму при-
ближению и т. д.
Совместное применение способа хорд и способа каса-
тельных заключается в следующем. Устанавливают, на
каком конце интервала [а. 6] величины Дх) н /"(х) име-
ют одинаковые знаки. Для этого конца интервала при-
меняют соответственно одну нэ формул способа каса-
тельных, получая значение х2. Применяя для одного яз
интервалов [а, х(], |х(, б] формулу по способу хорд, по-
лучают значение х2. Затем таким же образом проводят
вычисления для интервала [xi, х2] н т. д.
Пример 1.3: y=f(x} =х’4-2х—6=0 Путем проб на-
ходим 1.4<х<1,5. Определяем корень по способу хорд:
0=1,4; До) =-0,456; 6=1,5, ДЬ) =0,375.
Первое приближение:
, 4 0,1 (-0,456)
1	’	0,3754-0.456 = ,455’
Повторяем операцию, заменяя значения a, f(o) на
х;=1,455; Дх,) =-0,010.
Второе приближение:
_ .	0,045 (-0,010) .
Х,= ’,4SS~ 0,375 + 0,010 = 1 -456 и т. д.
Пример 1.4: х—1,5 cosx=0. Первое приближение на-
ходим с помощью табл. 1,35: если задаться х(=0,92, то
cos х,=0,60582 и 0,92 ss 1,5-0,61. Уточняем корень по спо-
собу касательных: /=1+1,5 sin х; /'=1,5 cos х. По
тон же таблице имеем:
sin 0,92 = 0.79560;
Л = 0,92—1,5 0,60582 = 0,0113 > 0;
у\ = 1+1,5-0,79560=2,1934; yj = 1,5-0,6058 > 0.
Окончательно
х, = 0,92-
0,0113
2,19
0,9148.
К приближенным приемам решения уравнений отно-
сится также способ итераций*. Ои состоит в том, что
каким-либо способом уравнение приводится к виду х=
=Ф(х). Найдя приближенно xt, подставляют найден-
ное значение в правую часть уравнения и находят уточ-
ненные приближенные значения x2=<p(xl), х3=ф(х2)
н т. д.; числа х2. х3,... приближаются к искомому корню
(процесс сходится), если |ф'(х)|<1.
Пример 1.5: найти корни уравнения x=tgx по спо-
собу итераций.
Для нахождения первых приближений к нориям по-
строим графики двух линий — ji-х н у—tgx (рнс. 1.5);
точки пересечения этих ли-
ний дадут значения х, удов-
летворяющие заданному
уравнению. Ках видим, гру-
бо приближенные значения
корней будут
Зл Зл 5л
— —; 0; —, —;...;
2	2’2’
2л—1
—Z—я-
Рис. 15
2
1 См. раздел 63,
16
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Учтя, что (tgx)'—sec2x>l, перепишем уравнение
Зл
в следующем виде: х-arctg х. Положим х0- —, тогда
Зл
Xi = arctg — = 4,5033 (см. табл. 1.36):
х, = arctg X! = arctg 4,5033 = 4.4938;
хэ = arctg х, -= arctg 4,4938 = 4,4935.
Нетрудно убедиться, что подстановка значения х=
-4,4935 в заданное уравнение x-tgx обращает его
в тождество (в пределах заданной точности).
1.2. ГЕОМЕТРИЯ
В этом разделе даются формулы для вычисления
площадей плоских фигур, объемов тел н др. Обозна-
чения: F, / — площади фигур и поверхностей, / — пери-
метр, V — объем.
1.2.1. Плоские фигуры
Правильный п-уголышк (R — радиус описанной
окружности, г — радиус вписанной окружности). Сто-
рона п-2 /?’—г2. Угол, под которым сторона видна
нз центра: ф—3607л.
1	Ф I	ф
F = — па* ctg — = — л/?1 sin ф=лг= tg—
Ф	Ф
l = na = 2л)? sin — = 2лг tg —.
2	' 2
Тела вращения (теоремы Гюльдена). Поверхность
тела, полученного вращением плоской лнннн вокруг
осн, лежащей в плоскости этой липни и ее не пересе-
кающей, равна длине этой лнннн. умноженной на дли-
ну дуги, описанной ее центром тяжести.
Объем тела, полученного вращением плоской замк-
нутой фигуры вокруг осн, лежащей в плоскости этой
фигуры и ее не пересекающей, равен произведению пло-
щади этой фигуры на длину дуги, описанной ее цен-
тром тяжести.
Призматоид — тело, основания которого параллель-
ны, а боковые поверхности представляют собой плоско-
сти (рис. 1.35). Объем нрнзматонда
V = -^-h(F+4F0+l),
О
где F п /— плошали основания;
Fn— площадь среднего сечения:
Л— высота.
Пример призматоида — насыпь дороги (рис. 1.36).
Т|блиоа 1.1
Многоугольники
Рома	Параллелограмм	Трапеция	Четырехугольник произвольного вида	
о /о с Рис. 1.6.	О а Рис. 1.7	О б Рис. 1.8	Рис. 1.9	Ряс. 1.10
F •=& sin ф	Р еш ah — ab sin ф	F « — (а + Ь) Л 2	F- — (Л. + МО 2	Р — — DtD. aln ф 2
Таблица I.*
Круг и его части
Круг	Сектор	Сегмент	Концентрическое кольцо
Ряс. 1.11	Рис. 1.12	Рис. 1.13	Рис. 1.14
_	. гиР F в № — 	 4	F-J.br--Г-жу. 2	360	2 1 180	} г (Ь —а)+аЛ 2	Р - л (Я> — г») - Л	-2лр0 6 — R — г. р —	 2
1.2. ГЕОМЕТРИЯ
17
Площади, ограниченные кривыми второго порядка
Таблица 1.3
~ .	I  V Л И Ц В I
Значение * в завнсммсстч от >/<!
b/а | ОД | 0.2 | <\3 | (ij | 03 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | ОдТ
| 4X1640 | <-2П2° | 4-ЗМ0 | 4-№16 | 4-й4г- | Б-,0Я | 5-3824 | 5-6723 | 5 9732
1.2.2. Тела
Тела, ограниченные плоскостями
Таблица 1.5
Прямая ЛГ11.1М.1	Треугольная усеченная призма 1	Пнрамим	Усеченная пчрами да
		/К	ДГг
О		/ф	
Рнс. 1.19	Рнс. 1.20	Рис. 1.21	Vjz Рис. 1.22
Г— Ph	V-1 (о+ b + f)F 3	V- — Fh 3	1 Si—. -1» . 1	-|« 1
18
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Цилиндр и конус
Л— кратчайшее расстояние между осно- ва ни кым		ft. м Л,— наименьшее н на- ибольшее расстояния между контурами оснований	l-^r’ + h'	Р - 4- (Я + г): 2
V— Fft	V - лг’Л: F, — 2ягЛ; Г,-2лг(л + Л)	V--лг« (Л,+ *,)•. 2 F, = лг (Л. 4. Л,)	V * — лг’Л: 3 F, о яг! с ЯГ г* + Л1	4 + +	i *	1 «|« * 1 Зь
Т а б л и п  1-7
Шар к его частя
Шар		Шаровой сегмент	Шаровой пояс	Шировой сектор
—а—* Рис. 128		Рис. 1.29	Рис. 1.30	Рмс. 1Л1
d — 2г		а’ — Л (2г—Л)	1 а + Г s * । • «о	а» — Л (2г —ft)
V —— яг5 —4.189 гЧ» 3 - —nd»-0.6236 d* 6		-^(3,-А)	V-— (За' + ЗМ + А*) 6	V - — лг’Л Э
F — 4«/« - jtzF		F «= 2 лгЛ — я (a9 -f- Л*)	F— 2кЛг	F = 3V (2Л + о)
I. ТРИГОНОМЕТРИЯ
19
Некоторые другие тела
Рис. 1.35
Рис. 1.36
1.3. ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.3.1. Измерение углов
За единицу измерения угла принимается Г и 1 рад.
Центральный угол, дуга которого равна 1/360 длины
окружности, называется арадусом и обозначается Г.
Центральный угол, дуга которого равна радиусу, назы-
вается радианом н обозначается 1 рад. Угол в 1° равен
в радианной мере л/180, приближенно 0,017453; угол
в 1 рад равен в градусной мере 1807л. приближенно
57°17'48,8". Перевод градусной меры угла в радианную
и обратно см. в табл. 1.3&
1.3.2. Тригонометрические функции
Каждому углу соответствует шесть чисел, рассмат-
риваемых как отношении отрезков, связанных с углом
(рис 1.37) и определяемых следующим образом:
ВС	OB AD
alna=—, соза = —
ЕР	OD	ОР
= —; sece = —; cosec а = —.
R	R	R
Этим числам присваивается знак, как указано в
табл. 1.9.
С изменением угла изменяются значения рассматривае-
мых отношений, твк что эти отношения являются функ-
циями угла; графики этих функций даны на рнс 1.38
в 1.39. В табл. 1.10 приведены значения тригонометри-
Конец дуги	•Ina	сова	tga	•tga	seea	ccseca
I четверть II	• III	» IV	•	++11	+ 11 +	+ +	+ +	+ 11 +	11++
Рве 1.37
ческих функций для некоторых
аначеввй аргумента.
Тригонометрические функ-
ции — функции периодичес-
кие; период синуса я косинуса
равен 2л, первод тангенса и
котангенса равен л:
sin (в + 2 ля) = sin а?
cos (а	2ля)= cos а;
lg (a+« я) = fg а; etg (в + ля) = etg а;
т — целое число.
Значения тригонометрических функций углов от 0
до 90° см. табл. 1.34., а углов в радианной мере
табл. 1.35. Тригонометрические функции углов, больших
20
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Таблица 1.10
Угол в град	0	80	160	270	360	30	45	60
Угол в рад	0.0000	— -1,5708 2	л-3.1416	— л-4.7124 2	2л-6.2832	— -0.6236 6	— -0.7854 4	— -1.0472 3
sin a	0	+•	0	—1	0	-L^.6ooo 2	/г —- -0.7071 2	-0.8660 2
со» a	+1	0	—1	0	+1	— -0.8660 2	/Г —— ^),7071 2	— -0.5000 2
a	0	±““	0	±“°	0	— -0.6774 3	1	УГ -1,7321
etg a * Знак в таблице	т- ± со означа верхний	0 ет. что tg< как относи	±« z (или etg a) тся к углам.	0 тремнтся к *® ыеньшим рассм	т- при ст ре мае атриваемогс	/з -1,7321 мин угла к COOTB4 . ннжннй знак—к	1 ‘тетвуюшему значе углам, большим р	/г -0,6774 3 лим. указанному ассматрнваемого.
90°, а также отрицательных равны соответственно взя-
тым функциям острых углов согласно формулам при-
ведения (табл. 1.11).
При операциях над тригонометрическими функциями
находят применение формулы, данные в табл. 1.11—1.12.
Таблица 1.11
Рис. 1.38
Рис. 1.39
Ф	—а	90° ± а	180°±а	ЭТ0°±<х	360“—а
Sin ф	—tin а	4-соз а	Tsln а	-со. а	— sin а
СОЗф	4-cosa	Т sin а	— соз а	±slna	+ cos а
ШФ	— Uta	Т Ctg а	± «а	Trig а	— tga
с1СФ	—etg а	Т tga	±ctga	Ttga	— ciga
1.3.3. Тригонометрические функции
от суммы и разности углов,
кратных углов и половинного угла
sin (a ± р) = sin a cos 0 ± cos a sin р;
cos(a± p) = cos a cos P=F sin a skip;
tg(a±P) =
*g°±»gp
• Tlgoigp’
ctg(a±P) =
ctgactgpTl
clgpTctga’
Между тригонометрическими функциями любого уг-
ла существует пять основных соотношений:
sin a	cos а
sin* а 4-cos’а = 1; tga =----; ctga = -----;
cos a	sin а
1 1
seca=-------: coseca = ------.
cos a	sin a
№ этих соотношений выводятся дополнительные со-
отношения:
tgactga — 1; tg-a + 1 = sec*a, ctg*a-{-l = cosec*a.
sin 2a = 2 sin a cos 05 cos 2a = cos* a — sin* a;
2tga _ cfg’a—1
tg 2a =------; etg 2a = ——-------;
8	1 —tg’a	2ctga
sin 3a=3 sin a —4 sin* a; cos 3a = 4 cos’a — 3 cos a;
3 tg a — tg* a	etg* a — 3 etg a
Ч*- l-3tg*T: C,g3tt= 3ctg*a-1 :
1.3. ТРИГОНОМЕТРИЯ
21
1.3.6. Зависимости между
тригонометрическими функциями трех углов
а, р и у, сумма которых равна 180°
slna 4- sinр4- sin V = 4cos — cos— cos —:
2	2	2
cl R у
sin a 4- sin P —sin у = 4 sin —sin — cos—;
2tg*-7
i+te>y
1-ie‘y
l + tg’y
Знакп перед радикалами берутся в запзснмостн от
того, к какой четверти относится угол а/2.
1.3.4. Квадраты и кубы синуса и косинуса
1	— cos 2а .	1 + cos 2а
sin* а =---------; cos’ а =------------:
2	2
3sina — sin За .	3 cos а + cos За
sin* а =-------------; cos" а =------------- .
cos a 4- cos p 4- cos у = 4 sin — sin — sin —
2	2	2
.	a P у
cos a 4-cos P — cosy = 4 cos — cossin— 1;
sin* a 4- sin*p 4- sin* у --2cosacosPcosy 4 2;
sin* a 4- sin* p —sin* у = 2sinasinPcosy,
sin 2a 4- sin2p4-sin2y = 4 sin a sin Psiny;
sin 2a 4- sin 2p — sin 2y = 4 cos a cos p sin y,
tc<* +*e P + *ev = te<* *g₽te v;
a p у a P v
c*8 у + c‘e у 4- etg — = etg — cig c'g -L;
etg a etg p 4-etg a etg у 4-dgP etg у = 1.
1.3.5. Приведение к виду, удобному
для логарифмирования
D порядке упрощения тригонометрических выраже-
ний нередко полезно преобразование сумм н разностей
в произведении:
a + p а —Р
sin а 4- sin р = 2 sin —-— cos —-—;
slna — sin р = 2 cos —sin —-—;
_ _ a4-p a —
cos a 4- cos P = 2 cos —— cos-
2	2
cos a — cos P = 2 sin ——— sin E;
2	2
_ sin (a P)
tg a — tg p=---------------—;
®	cos a cos p
. . sin (P st: a)
cig a — cig p = —;-------—— ;
e H sin a sin p
sin* a — sin* P = cos* P — cos* a = sin (a -f- P) sin (a — P);
cos: a — sin* p = cos* p — sin* a = cos (a + p) cos (a — p);
cos (a — P) — cos (a 4- p) = 2 sin a sin P;
cos (a — p) 4- cos (a 4- P) = 2 cos a cos P;
sin (a 4- P) 4" sin (a — P) = 2 sin a cos P;
1.3.7. Зависимости между обратными
тригонометрическими функциями
Таблице 1.12
Тригономет- рические функции	Обратные три- гонометричес- кие функции	Область изменения хну
x — sin у	У"агсз1п X	-1<х<1; 2	2
к « cos у	y=urccos X	— 1<х<1; л>у>0
	paxretg X	—»<к<»; — — < у < — 2	2
x—«ПК	y-*arcctgx	— 00 < х < со; П>У>О
arcsin u = arccos VI — u2 = arctg —zrrrr
Vl— u*
=	— arccos к
>/------- r 1 — u*
arccos и — arcsin у 1 — u2 = arctg-------------
и
n
= — — arcsin щ
и	1
arctg и — arcsin 1	= arccos — - - 
V I + u2 И1 + U*
— sin a = 1^2 cos (45’ 4- a).
es arcctg —;
и
22
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
aruln и ±: arcsin v « arcsin (u 1A — vl с У1 — u1) =>
= arccos (У1 — И»У1—e*
arccos u x arccos о = arcsin (о УI — u’ ±« 1^1 — u*) =
= arccos (uo x V^l — u’ V1 —o’):
arctg u x arctg о = arctg
1.3.8. Формулы, применяемые
при решении треугольников
(рис. 1.40)
° 4-Р 4-У = 180’;
sin (а 4- Р) = sin у;
cos (а + ₽)=— cosy;
а+Р 1|п V
— SlD ,
2	2
Рис. 1.40
. be
ft0 = 6siny = cslnp = —
4*\
(R — радиус описавного круга).
Теорема синусов:
а b с
	=	=	= 2R.
sin а-------------------------sin р-sin у
Теорема косинусов:
о* = 6* 4- с* — !Ьс cos а = (Ь + с)* —
— 46с cos’ -у- = (6 — с)* + 46с sin’ -у .
Формулы для площади
_	1	1 . . а’ sin Р sin у
г = — aha = — об sin у = ———--------— =
2	2	2 sin а
обе
=	= 2R’sin а sin р sin у =
= Ур (P — о)(Р — Ь)(р — с) = рг
(г — радиус вписанного круга).
Соотношения в прямоугольном треугольнике:
a = cslna; 6 = ccosa; o=6tga; 6 = actga;
c	b j- c — д
<” + **-* R=y; ---------------------
(с — гипотенуза; а н 6 — катеты; a—угол, противоле-
жащий катету a).
Между элементами треугольника можно установить
также дифференциальные зависимости, вытекающие из
приведенных выше формул.
В прямоугольном треугольнике
ada 4- bdb = cdc,
da de	2a
----=-----4- C*E da = tg adb 4---------da.
a c	sin 2a
В косоугольном треугольнике
da 4- dp 4- dy — 0;
da	db	de
— — etg ada = —— — etg pjp  -----------etg ydy;
a	b	c
ada = (6— c cos a) db 4- (c — 6 cos a) de 4- be sin ada,
ccos p da 4- ady =— sin у db 4- sin p de.
Эти формулы можно считать практически точными,
если дифференциалы сторон da, do, de, а также углов
da, dfl, dy будут соответственно заменены малыми при-
ращениями До, Дб, Дс и Да, Др, Ду.
Теорема тангенсов:
1.3.9. Гиперболические функции
о — 6 ™ а — Р
'е—
Формулы Мольвейде:
, Р —У
sin—-—
2
2
Выражение углов треугольника через его стороны:
а / (р —6)(р —с)
6 2 “|/ р(р — а)
aln а » Ур (р — а)(р — Ь)(р — о),
6с
где
I .	_ о Р V
Р=у (o + * + «) = 4R cosy cos — cosy.
Некоторую аналогию с тригонометрическими функ-
циями представляют гиперболические функции. Триго-
нометрические функции имеют аргументом угол; можно
было бы, однако, считать аргументом площадь кругово-
го сектора с центральным углом, равным 2х. Аналогич-
но этому можно рассмотреть гиперболический сектор н.
приняв его птощадь эа аргумент, дать геометрическое
определение гиперболических функций. Можно также
определить эти функции аналитически следующими ра-
венствами:
cthx =
Между четырьмя функциями имеются три основных
соотношения:
sh х . ch *
ch’ * — sh’ X = 1; th x = —— ; cth x = —г— •
chx	shx
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
23
Графики гиперболических функций даны на рнс. 1.41,
а значения в табл. 1.35. При действительных значениях
аргумента ch х> 1; |th х| <1; |cth х| >1 между гипербо-
лическими функциями име-
ют место соотношения, мно-
гие из которых аналогичны
соответствующим соотноше-
ниям между круговыми
функциями:
Рнс. 1.41
знак плюс при a>0, знак минус при a<0;
a 4- 0 a— В
ch а 4- ch р = 2 ch —ch —-—;
a + fl a— В
ch a — chp = 2sh--sh-----;
н 2	2 ’
ch х 4- sh х = е*; ch х — sh х = е~~
thxcthx=l: sh(—х)=—shx; ch(—x)=chx-,
th (—x) =— th x; cth (—x) = — cth r,
sh(a± 0) = shachP±chash&,
ch(ai p) = ch a ch pi shash 0;
л thaithp
th(aip)=	H ;
1 ± th a th p
„ licthacthp
cth (a i p) =	.
cth a — cth p
sh2a = 2shacha;
ch 2a = ch* a 4-sh* a = 2sh*a4- 1 =2ch!a— 1;
th2a =
2tha
1 4- th* a ’
cth 2a =
14-cth* a
2 cth a
(ch a i sh a)" = ch na i sh na.
Обратные гиперболические функции обозначаются
следующим образом: если x-shy, то y-Arsh-т (чита-
ется ареасииус), аналогично имеем Arch х, A.-lh х,
Arcthx. Эти функции определяются аналитически фор-
мулами
Arsh и = In (u4- У и* 4- 1);
Arch и = In (u± У u* — l); и > I;
Arthu— In ; |u|<l;
I и +1
Arcthu = — In——- ; |u|> 1.
О зависимостях между обратными тригонометриче-
скими, гиперболическими и показательными функциями
в комплексной области см. 1.10.1.
1.4.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1.4.1.	Точка на плоскости
Положение точки на плоскости определяется двумя
числами; в декартовых координатах абсциссой х и ор-
динатой у. в полярных координатах радиусом-вектором
р и полярным углом ф (<р и р могут принимать любые
значения; радиусу-вектору приписывается положитель-
ное значение, если он откладывается в положительном
направлении оси, составляющей угол ф с полярной
осью; если же он откладывается в противоположном
направлении, то р считается отрицательным). Между
декартовыми и полярными координатами существуют
следующие зависимости (полюс совпадает с началом
координат, а полярная ось с осью абсцисс):
x = pcosqr, p=±Vx*4-S*;
у = рз1Пф; 1вф = -^-
(четверть, к которой относится угол ф, определяется
знаками х и у}.
Расстояние i между тоннами (х,. у,) н (хг, ут):
4“ УЧ — х»)* + (у, — ytf.
Координаты точки Af(x, у), делящей направленный
отрезок АВ (А(хь у,) —начало отрезка, В(х», у,} — его
конец] в отношении k=AM: MB (i,>0 — внутреннее де-
ление; Х<0 — внешнее деление), определяются по фор-
мулам
Xi + Хх, _ у, 4- Ку,
14-Ь ’ у 14-х '
Площадь треугольника с вершинами в точках
(xi. У1), (хз, у2). (Хь у,) дается формулой
s=y|A|.
*t У1 1
xt Ух 1
*з Уз 1
Формулы преобразования координат: при параллель-
24
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
пои переносе осей x-x'+o, у—у'+Ъ; при повороте осей
на угол а против часовой стрелки
х = х' cos а — у' sin а;
х = х‘ sin а 4-/cos а.
1.4.2. Прямая линия
Всякая прямая на плоскости выражается уравнением
первой степени относительно координат; обратно, вся-
кое уравнение первой степени с двумя переменными вы-
ражает на плоскости прямую линию. Общее уравнение
прямой; Ах+Ву+С—0. где хотя бы один из коэффици-
ентов А, В отличен от нуля.
Частные случаи общего уравнения в завися мости от
тех геометрических элементов, которыми прямая за-
дана:
1)	уравнение прямой с угловым коэффициентом
(если прямая не параллельна оси у)-. y=kx+b, где
A—tga; a — угол наклона прямой к оси х (0<^а<п);
b — ордината точки пересечения прямой с осью У; част-
ным случаем k-=0 является уравнение прямой, парал-
лельной оси X: у=Ь;
2)	уравнение прямой, параллельной оси У: х—
3)	уравнение прямой по точке и направлению
у — y1 = fe(x — х,);
4)	уравнение прямой по двум точкам:
У — У1 _ * — *i
УХ—У1 X, —X! ’
где х»^хь Уг^уг,
5)	уравнение прямой в отрезках:
х	и
— +-7- = 1. а^О,
а	b
в) нормальное уравнение прямой:
х cos <р + у sin ф — р = 0,
где р—длина перпендикуляра, опущенного из начала
координат на прямую:
Ф— угол между этим перпендикуляром и осью *;
0<ф<2л.
Общее уравнение прямой может быть приведено
к нормальному виду умножением на нормирующий мно-
житель:
зультате совместного решения их уравнений; возможны
следующие три случая:
AjAt^BilBt — существует единственная общая точка,
прямые пересекаются;
Л|/4В—Bi/Bt^Cj/Cx — общих точек нет, прямые парал-
лельны;
4|/4>~В|/в,»С|/С| — общих точек бесчисленное мно-
жество, прямые совпадают.
Условие расположения трех точек на одной прямой
в соответствии с формулой для площади треугольника
по координатам его вершин:
Xi Уг 1
As Ух 
*3 УХ >
Условие прохождения трек прямых через одну точку:
A А С>
Л, в, С,
А А С»
1.4.3.	Окружность
Уравнение окружности с центром в точке (а, Ь) и
радиусом R: (х—а)2+ (у—Ь)2—Л2; частный случай
(центр окружности в начале координат): х2+у2—Л2.
Окружность выражается уравнением второй степени
и, значит, является линией второго порядка. Уравнение
второй степени относительно координат выражает ок-
ружность лишь в том случае, если равны коэффициен-
ты при квадратах переменных и отсутствует произведе-
ние переменных. Окружность может быть задана также
параметрически: x-o+Bcosf; y=fc+/JsiM.
Уравнение касательной к окружности в точке (хо,
№):
(х0 - а) (х — хс) + (у, — Ь) (у — у,) = Л’.
1.4.4.	Парабола
Парабола есть геометрическое место точек плоско-
сти, равноудаленных от данной точки, называемой фо-
кусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
т= ----- ~	1 в
^Уа»+В»
причем знак перед корнем должен быть противополо-
жен знаку С.
Расстояние точки (Xi, yt) от прямой 4х+Ву+С—0;
_ I	С I
Угол между двумя прямыми определяется из ра-
венств
ki — kt
*БФ= ь~
1 + «1 «2
либо tg9 =
Ах Bt — Aa Bi
At At + Bj B#
Признак параллельности прямых:	либо
признак перпендикулярности прямых:
^1^2" — 1 либо /1И2+В.В2-0.
Точка пересечения двух прямых отыскивается в ре-
Уравнение параболы, симметричной относительно осн
X, с вершиной в начале координат (каноническое урав-
нение): у2-2рх (р —параметр); О —вершина; F —фо-
кус; LL — директриса; LO=OF=p/2; ордината FF в
1.4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
25
фокусе равна р (рис 1.42). Полярное уравнение (F —
полюс, FO — полярная ось);
_ Р .
₽ — 1 +cosq> *
Прямая, параллельная оси X, является диаметром
параболы; диаметр параболы делит пополам хорды, па-
раллельные касательной, проведенной в точке пересече-
ния параболы с диаметром. Если угловой коэффициент
хорд равен А, то уравнение соответствующего диамет-
ра есть y-plk.
Уравнение касательной в точке Л1о(Хо, </0):
УУс = Р (х + х,).
Уравнение нормали в точке (х,, Уо):
У — So = —	(* — *о)-
Радиус кривизны в точке (х»; Уе)'-
/(p + 2x0)s
---------= Ч> I/ •
Р--------ГР
где р — полярный радиус
Эволюта параболы (геометрическое место центров
кривизны параболы) — полукубнческая парабола:
Уравнение параболы с осью симметрии, параллель-
ной осн У:
у = ах* + 6х + с.
Пример: уравнение параболической арки (рнс L43)
р = -^-х(( —х).
Вершина параболы у—ах*+Ьх+с находится в точке
/ Ь 4ае—&\
V" 2в '	4а/’
если а>0, парабола направлена вогнутостью вверх, ес-
ли а<0 — вогнутостью вниз.
1.4.5.	Эллипс и гипербола
Эллипс (гипербола) есть геометрическое место точек
плоскости, сумма (разность) расстояний которых от
двух данных точек есть величина постоянная. В при-
веденных ниже формулах и равенствах верхние знаки
относятся к эллипсу (рис. 1.44), нижние — к гиперболе
(рис. 1.45); оси симметрии совпадают с осями коор-
динат.
Каноническое уравнение
а и b — полуоси.
Рис. 1.44
Фокусные расстояния OFt, OF* и эксцентрицитет е:
OFi = OF, = с = У а’=ь У; е = —;
а
для эллипса е<1, для гиперболы е>1.
Уравнения касательной и нормали в точке (xh ув)-.
«о УУо _ х —х,^ у—у0
о’ Ь* ’ b*xt а*ул
Уравнение равнобочной гиперболы (о—Ь): относи-
тельно осей симметрии х*—у*—а\ относительно асимп-
тот ху—а’/2.
Радиус кривизны в точке (х0. уа):
Полярное уравнение (полюс в левом фокусе):
Р	Р
Р =	. где р =— .
1 -f-ecosip	а
Геометрическим местом середин параллельных хорд
конического сечения служит прямая линия, называемая
диаметром. Два диаметра называются сопряженными,
если каждый из них делит пополам хорды, параллель-
ные другому. Угловые коэффициенты сопряженных диа-
метров удовлетворяют соотношению kW — 5:— .
а*
Приближенное значение длины эллипса:
s = л ^3	— Vоб) .
Уравнения в параметрической форме:
эллипса х-=а cos Г; y=b sin /;
гиперболы х=а sec 1; y^b tg /.
1.4.6. Построение конических сечений
Построение эллипса по полуосям а и Ь (рис. 1.46).
Из центра О описывают окружности радиусами а и 6;
из точек пересечении А и В произвольного луча с ок-
ружностями проводят прямые, параллельные координат-
ным осям (из А параллельно осн X, из В параллельно
26
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
осн У): точка пересечения С этих прямых есть точка
эллипса. Имеется другой прием построении эллипса
(этот прием дает возможность сконструировать эллип-
тический циркуль): если отрезок длиной а+Ь движется
так, что его концы скользят по осям декартовых коор-
динат. то точка D опишет эллипс с центром в начале
координат (рис. 1.47).
Рис. 1.47
1.4.7. Цепная линия. Циклоида. Спираль
Цепная линия (рис. 1.51) является лиикей провиса-
ния гибкой нерастяжнмой инти, закрепленной на кон-
цах; ее уравнение
Построение параболы по вершине О, оси ОХ и точ-
ке М. проводят OAJ.OX, ЛМ||ОХ; делят ОА и ЛИ на
одно и то же число равных частей (рис. 1.48); получен-
ные точки нумеруют, как указано на чертеже. Из точек
на ОА проводят параллели осн ОХ, каждую точку на
AM соединяют с О прямыми — пересечение этик пря-
мых с соответствующими параллелями даст точки па-
раболы.
Построение параболы по вершине О, оси X и точ-
кам Л1, и Мг, лежащим на параболе: проводят ОУ1.ОХ.
ОА и ОВ — произвольные прямые (рис. 1.49); через М,
и Mt проводят лараллс-
»	ли к Ол и ОУ, причем
между ОХ и ОА, а так-
I	же между ОУ и ОВ об-
X	разуются трапеции, в ко-
«г-s.	\*	торых CD и EF—диаго-
| J g	иалн; параллельно по-
«	— Д-рЛ	слединм в каждом из
1, углов А ОХ и ВОУ про-
д -------1----- водят зигзагообразную
линию: полученные точ-
Рис. 1.50	ки на ОХ н ОУ являют-
ся абсциссами и ордина-
тами параболы.
Построение гиперболы по полуосям о н b (рис. 1.50):
из центра О описывают окружности радиусами а и Ь.
Проводят произвольный луч, а также касательные к ок-
ружностям в точках С н D- находят пересечение К н L
первой касательной с лучом и второй касательной с
осью х; из найденных точек проводят прямые, парал-
лельные осям, — точка их пересечения М является точ-
кой гиперболы.
Ра.тиус кривизны r=y,fa: длина з = ash —.
Циклоида — кривая, описываемая точкой окружно-
сти, катящейся без скольжения по прямой (рис.. 1.52);
се уравнение
х — a (a — sin а); р = а(1 — cos а).
Рис. 1.53
Рис. I 54
Длина одной арки циклоиды: 1=8о; площадь. ограни-
ченная одной аркой и осью X: F=3ла*.
Спирали и их уравнения: архимедова р=оф
(рис. 1.53); гиперболическая р—о/ф (рис. 1.54), лога-
рифмическая р-ое'1' (рис. 1.55). где п>0.
Рис. 1.55
Рис. 1.56
1.4.8. Точка в пространстве
Положение точки в пространстве можно определить
тремя декартовыми координатами: абсциссой х, ордина-
той у, аппликатой а (рис. 156)*. Расстояние d между
* инлнндричсскнс и сферические координаты см. 1.7.6.
И. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
27
двумя точками (хь уи г,) и (xj, й. аз) (PHt 1-57) оп-
ределяется по формуле
d = /(xi - *s)2 + (й - й)’ + U1 - «»)’-
Условие параллельности двух плоскостей: АЛАг—
—Bt/B2-C,/C1, условие перпендикулярности: Vit
4"^|Й2+С|Сэ«0.
1.4.10. Прямая в пространстве
Прямая в пространстве задается как линия пересе-
чения двух плоскостей:
Ai* + &1У + Ctz +	= 0; ЛзХ + Brf + Суг + D, = 0.
Если выбрать плоскости, проектирующие прямую на
координатные плоскости, то получим канонические
уравнения прямой:
х— а у — Ь г —с
Рнс. 1.57
1.4.9. Плоскость
где (а, Ь, с) — данная на прямой точка; I, т, п— проек-
ции на оси координат какого-либо вектора, параллель-
ного данной прямой; числа I. m, п пропорциональны
направляющим косинусам прямой:
1
cosa =---- —;
±/Р4-т»4-п«
Всякая плоскость задается уравнением первой сте-
пени относительно текущих координат; обратно, всякое
уравнение первой степени с тремя переменными опре-
деляет плоскость. Общее уравнение плоскости:
Л*4-Ву4-Сг+£> = 0,
где хотя бы один из коэффициентов А, В. С отличен от
нуля.
Применяются различные частные случаи общего
уравнения в зависимости от тех геометрических элемен-
тов, которыми плоскость задана.
I. Уравнение плоскости, проходящей через три дан-
ные точки:
cos Р =------- —;
_ ]/<’ + т’ + п’
cosy =
У — й
й~ й
Уз — й
а — г,
а,-?!
г, —xi
2. Уравнение плоскости в отрезках:
= 0.
(знак перед корнями может быть взят любой, ио оди-
наковый во всех трех равенствах; а, р. у — углы между
прямой и осями координат).
Угол ф между двумя прямыми отыскивается нэ ра-
венства
COS ф = COS aj COS <Ц + COS Pl COS Pl + cos y, cos y«.
Условие параллельности двух прямых: li/ljwmi/m,—
—njnj. Условие перпендикулярности: /i/j+m^j+ninj—
-0.
Условие параллельности прямой и плоскости: А1+
+Вт+Сп~0. Условие перпендикулярности прямой и
плоскости: А/1=В1т=С/п.
У
Ь
I
(а, Ь, с—величины направленных отрезков, отсекаемых
плоскостью на осях координат).
3. Нормальное уравнение плоскости:
xcosa + j/cosp + zcosy — р = 0
(и. р. у — направляющие углы перпендикуляра, опу-
щенного из начала координат на плоскость, так что
cosju+cos’₽+cos2y—1; р— длина этого перпендику-
ляра).
Расстояние d точки (х0, й, *о) от плоскости <4х+
+Bs+Cz+D=0:
_ I Лхс -)- Ву0 -)- Сг0 + D |
УЛ' + В’+С’
Угол <р между двумя плоскостями определяется нз
раиснстоа
-|- В^В^ CjCo
cos ф = —-- -------------- ----------.
/ + + + +
1.4.11. Поверхности второго порядка
Уравнение сферы с центром в точке (а, Ь, с) и ра-
диусом Л;
(х — а») + (у - 6)« + (а _ в)я = дз.
Рнс. 1.58
28
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Эллиптический параболоид (рис. 1.61):
Гиперболический параболоид (рис. 1.62):
Конус второго порядка (рис 1.63):
Гиперболический цилиндр (рис 1.65):
Параболический цилиндр (рис 1.66):
у - ех*.
1.5.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1.5.1.	Плоские кривые
Кривей на плоскости может быть задана в декарто-
вых координатах одним уравнением А(х. у) =0 или у»
—f(x), а также двумя уравнениями	у—у(Т),
где I — переменная величина, называемая параметром.
В частности, в качестве параметра может быть выбра-
на длина дуги s между фиксированной (начальной) и
текущей точками кривой; тогда х—x(s), y^y(s). В по-
лярных координатах кривая определяется уравнением
Р-Ц<Р).
Для дифференциала длин и дуги as справедливы ра-
венства
ds = Vdx’ + dy’; ds = У 1 + y'adr.
ds = j/ с/ + y'2 dt, ds =	+ p'2 й’ф.
Угол а между осью X и касательной (рис 1.67) оп-
ределяется по одной из формул
. dy ,	dx	dy
tga = — = y; cosa= —; sma= —.
dx	ds	ds
Касательная считается направленной в сторону воз-
растания х (первая формула) или в сторону возраста-
1.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
29
ння s (вторая н третья формулы). Для угла ф между
касательной н полярным радиусом (рис. 1.68) имеем
dp	pd<p	dq>
сояф = —; sin ф = ——; tg4 = P~ •
ds	ds	dp
Уравнения касательной н нормали к кривой в ее
точке приведены в табл. 1.13.
Тавхица 1.13
Геометрические еле менты	Уравнения лнннн	
	в основном виде 1М(«)	в параметрическом виде ж—ж (/): у-у (0
Уравнение ка- сательной	У— lh—lf (Х.)Х Х(х — X.) ,	(У — ft) *' «•) “ (Q «-М
Уравнение нор- мали	(У-В.) / (х.> -  Ж, — Ж	<»—»•)»' <м — — х' (1.) (х, — X)
Длина подкаса- тельной РТ (рнс. 1.69)	1у,:у' (х> И	ц/.х'«.):,'(1.)|
Длина поднор- мали РЯ	ls.li' (х.)|	Is. к' (MIX' (Ml
	Ж,	1	f.
Длина дуги я	г — J К 1-K*d*	-J V 4+4^
Радиус кривиз- ны Я н коорди- наты £. Т) цент- ра кривизны лн- ннн	и E_X_WV . 1+/' ™+—	(x'1+/,)‘/‘ *'»• — x's'
Дуга кривой называется вогнутой (выпуклой), если
она лежнт выше (ниже) касательной в любой точке
этой дуги. Точка, отделяющая вогнутый участок кри-
вой от ее выпуклого участка, называется точкой пере-
гиба. Если кривая задана уравнением у—f(x) и для
всех эиачений х нэ данного интервала у">0 (у*<0), то
дуга кривой, соответствующая данному интервалу, вог-
нута (выпукла).
Точка перегиба М(х0, у0) кривой у—у(х) иаходится
на основании какого-либо нэ двух условий:
1)	у'(хо)”О (или при х—х, функция у(х) не имеет
конечной второй пронэводной). а при переходе через
значение х, величина р"(х) изменяет знак;
2)	у"(хо)-0. а иаинизшая нз производных у"',
0IV>,..., которая при х—хо отлична от нуля, имеет не-
четный порядок.
Кривизной линии в точке М называется величина
К= lim I-Z—
где О— угол между направленными касательными в
точках Af, Mt данной лнннн, a AfAfi —длина
дуги.
Величина	называется радиусом кривизны.
Пусть через точку М линии проведена в сторону ее
вогнутости нормаль; точка С нормали, находящаяся на
расстоянии R от М, называется центром кривизны лнннн
(соответствующим точке М). Формулы для определения
радиуса кривизны н координат центра кривизны даны
в табл. 1.13.
Эволюта кривой — геометрическое место ее центров
кривизны (рнс 1.70); исходная кривая по отношению
к своей эволюте называется эвольвентной (инволютой,
разверткой). Касательные к эволюте являются норма-
лями к эвольвенте; длина дуги между двумя точками
эволюты равна разности радиусов кривизны в соответ-
ствующих точках эвольвенты. Этн свойства позволяют
рассматривать эвольвенту как кривую, получающуюся
нэ эволюты разматыванием натянутой на нее нити.
Еслк координаты £, т) любой точки эволюты заданы как
функции дуги s эволюты, то уравнение эвольвенты иа-
ходится из соотношений
' = £ —(s —So)~ ; 9 = п — (S — s0A.
ds	ds
Здесь s,— значение параметра s для точки эволюты,
где начинается развертывание кривой.
Огибающей называется линия, касающаяся в каж-
дой своей точке какой-либо из кривых семейства
F(х, у. р) =0, зависящего от одного параметра р, и име-
ющая точку касания с каждой кривой этого семейства.
Уравнение огибающей находится в результате исключе-
ния р из двух уравнений:
dF(x, у, р)
~ д’ =0; F(x.y,p)=o.
°Р
Ортогональной траекторией семейства кривых Г(х,
у, р)=0 называется линия, пересекающая все кривые
этого семейства под прямым углом. Для получения
дифференциального уравнения ортогональной траекто-
рии исключают р из уравнений
d^_dF df
dx йу ' дх ’
F = (х,у,р) = 0.
1.5.2.	Пространственные кривые
Кривая в пространстве может быть задана как пе-
ресечение двух поверхностей Ft(x, у, z)-=0, F,(x, у.
г) — О или в параметрическом виде тремя уравнениями
х-х(Г), y-yW, г-г(0 (( — параметр). Кривая может
быть определена также одним векторным уравнением
7(/) = х(0Г+9(0‘ + г(/)й,
где г—радиус-вектор произвольной точки кривой;
«, /. k — единичные векторы в направлении
осей X, У, Z.
30
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Дифференциал длины дуги ds к длина дуги s опреде-
ляются по формулам
ds =	4- Ч-dz’ =
(фиксированное значение t=tt соответствует начальной
точке дуги; конечной точке дуги соответствует произ-
вольное значение I).
Если параметром является длина дуги s, т. е. если
x=x(s), y=y(s), z=4(s), то для углов а, 0, у между
касательной к кривой в точке (х,у, г) и осями коорди-
нат X, У, Z имеют место соотношения cos a=dxlds,
cos fi=dylds, cosy*-dzlds.
Плоскость, проходящая через точку М пространст-
венной линии и перпендикулярная касательной в точ-
ке М, называется нормальной плоскостью. Плоскость,
проведенная через три точки кривой М, А11, Afj, при
Aft и Aft-»-Af стремится принять положение плоскости,
которая называется соприкасающейся плоскостью к кри-
вой в точке М. Плоскость проходящая через точку М
и перпендикулярная нормальной и соприкасающейся
плоскостям, называется спрямляющей плоскостью.
Рис 1.71
Три указанные плоскости образуют так называемый
сопровождающий трехгранник пространственной Линин
(рис. 1.71). Его элементы даны в табл. 1.14. В этой
таблице х, у, г — координаты вершины М трехгранника;
X, У, Z — текущие координаты элемента трехгранника;
производные берутся по параметру I и вычисляются
при значении (, соответствующем точке Af (x,y,z).
Нормаль к кривой, лежащая в соприкасающейся
плоскости (линия пересечения нормальной и соприка-
сающейся плоскостей), называется главной нормалью.
Нормаль, лежащая в спрямляющей плоскости (линия
пересечения нормальной и спрямляющей плоскостей),
называется бинормалью.
Единичный вектор касательной т, определяется ра-
венством
Таблица 1.14
Элементы Трехгран- ника	Уравнения		
Нормальная плос- кость	х'(Х-х)+и' (у-й+z' (Z-z)-O		
Соприкасающаяся плоскость	1IX - X) + Ш (У — 0 + Л (Z - 1) - 0		
Спрямляющая ПЛОСКОСТЬ		X—х У—у Z—2 7 Г 7	-
Касательная	»'	If*	2*		
Главная нормаль	Х — х	Y — ff	Z — 2 r;i i^i		
Бинормаль	т| = nI Л- ii-		
Кривизной пространственной линии в точке М назы-
вается величина
где Дтх — приращение вектора Tt при переходе от точ-
ки М к точке Aft.
Кривизну можно определить по формуле
К= V*'2 (3) +	(3) + Z*2 (S) -
Радиус кривизны R определяется как величина, об-
ратная К. R^IIK. Точка С, лежащая на главной нор-
мали к кривой В точке М, для которой CAf“/?, назы-
вается центром кривизны (направление от С к Af соот-
ветствует погнутости кривой). Координаты хе, рс. ze
центра кривизны, соответствующего точке М (x,p,z)
кривой, определяются по формулам
хс = х4-/?,х'(з);	= у + Rfy" (s);
Ze = г + ₽*?'(s).
Круг в соприкасающейся плоскости, описанный ра-
диусом R из центра кривизны, называется кругом кри-
визны, или соприкасающимся кругом.
Кручением кривой в ее точке М называется вели-
чина
где Д₽,—приращение единичного вектора бинормали
р, при переходе от точки А1 к точке Af,
(знак минус берется, если направление век-
Tj = — = х' (s) Г+ у' (»)/' +t (s) k.
тора -Е— совпадает с направлением парал-
ds
I.S. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
31
лельного ему вектора ——, я знак плюс —
ав
в противоположном случае). Кручение мож-
но определить по формуле
x'(s) g’(s) a'(s)
*'(s) S'(s) *•(«)
*”(s) &"(«) z"(s)

Для плоских кривых T=0.
Пример 1.6. Винтовая ливня: x=acos<p; у-a sin ф;
г~с<р. где а — радиус цилиндра; <р — угол поворота
прямой; с — коэффициент пропорциональности.
Шаг винта Л=2лс: подъем винта
h	с
tg а = -— “ — ,
2гш	а
где а — угол между касательной к кривой и плос-
костью XV.
Длина дуги
s = У о* + с’ <р - -  — 1;
cos а
длина дуги одного внтка 2п/*а*+с*.
Кривизна в произвольной точке
кручение
1.5.3.	Поверхности
Поверхность может быть задана одним уравнением
Ф(л. У. г) = 0.	(I)
или
т = /(х.И.
(»)
а также в параметрическом виде тремя уравнениями
х = х(а. ₽); у = у(а, ₽); г = г(а, Р), (III)
где а, 0 — параметры. Эти уравнения можно заменить
одним векторным уравнением
'(“. Р) = х(а, Р)7 + у (а, р)7 + т(а, р) ft. (IV)
где г — радиус-вектор точки поверхности.
Линия на поверхности, заданной параметрически,
дается этими же уравнениями, если а н ₽ — функции
одного параметра. Линии a—const, р=const образуют
на поверхности сеть криволинейных координат. Квад-
рат дифференциала ds длины дуги лннян на поверхно-
сти можно представить в виде
ds» = dx» + dp» + dr» «= Eda* + 2 Fdadp + GdP»,
где
дх дх ду ду дг де
да ‘~д$ + да ' ~д$ + ~да ' ~д$ '
— коэффициенты Гаусса.
Выражение Eda»+2Fdadp-|-Gdp» называется первой
квадратичной формой поверхности.
Если поверхность задана уравнением (I) или (II),
то уравнение касательной плоскости соответственно
будет
a>;(X-x) + <i/(y-0+®;(z-3)=o
нлн
z-»=4(x-x)+/;(K-p).
Если же поверхность задана уравнениями (III) или
уравнением (IV), то уравнение касательной плоскости
Х — х Y — yZ — г
ха Уа га
жй У» *й
= 0.
где М (х.у.г) —точка касания; X, У, 2 —текущие коор-
динаты касательной плоскости.
Уравнение нормали к поверхности, заданной урав-
нением (I), имеет вид
Х—х	У —у	Z—t
ф' Ф’ Ф’
Дифференциал площади поверхности da опреде-
ляется по формуле
do = (ф*)-1 ifdxdy=
= ]f I+ f'* +f 'y dxdy или do =УеО — Л dadp.
_ Пусть поверхность задана уравнением (IV). а п.
Т1 —единичные векторы (орты), касательные к ливням
о(Р—const), p(a—const) и направленные в стороны
возрастании параметрона, jl. (7i, та совпадают по на-
правлению с векторами гв, гр). Обозначим через л еди-
ничный вектор нормали к поверхности^ направленный
в каждой ее точке так, что орты Тз, Та, л образуют пра-
вую систему.
Рассмотрим какую-либо линию Ц, проведенную яа
поверхности через ее точку Afi. Пусть К—кривизна
линии в точке Aft, а v—единичный вектор главной
нормали к згой лннни в точке Mi, направленный в сто-
рону вогнутости линяв. Прикипи вектора кривизны
Kv на направление вектора л в точке At, называется
нормальной кривизной линнн Lt в точке Mt. Линия на
поверхности, у которой в каждой точке нормальная
кривизна равна нулю, называется асимптотической ли-
нией.
Если через точку М  поверхности провести нормаль-
ное сечение (плоскостью, проходящей через нормаль
к поверхности в точке At,), то получится плоская ли-
ния, у которой в точи At, вектор главной нормали v
совпадает с вектором л нлн противоположен ему. Поэ-
тому кривизна нормального сечення совпадает или от-
личается только знаком от нормальной кривизны К»
этого сечення. Величина К* определяется по формуле
Idg* + 2Afdadp + ATdp
Eda>4-2Fadp + Gdp> *
32
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
где
	x«
LVEG-F* = [7j'B]7m =	!/fl 4
	xaa Vaa 2aa
	xa Уа га
mvec-^ =[v₽]	хй у» !t>
	9	9	*
	хар Усф гар
	ха Уа га
NVEC-P -[VbPm-	хв у» гр
	х№ У» г№
Выражение 1Лаг+2Mdadfi+Ndfp называется второй
квадратичной формой поверхности. Знак величины К»
определяется знаком второй квадратичной формы (по-
скольку первая квадратичная форма равна t's1 и, сле-
довательно, положительна).
Центр кривизны наклонного сечения поверхности
совпадает с проекцией на его плоскость центра кри-
визны нормального сечения, имеющего общую касатель-
ную с наклонным сечением. Если R — радиус кривизны
нормального сечення, то радиус кривизны р наклон-
ного сечения можно определить из равенства p=KccsX
Х(ч л), где v — единичный вектор главной нормали ли-
нии, образованной наклонным сечением^а п—единичный
вектор нормали к поверхности (v и л берутся в той
точке поверхности, через которую проведены оба се-
чення).
Средн всевозможных нормальных сечений поверх-
ности, проходящих через ее точку М, имеются два се-
чения, образованных взаимно перпендикулярными плос-
костями, для которых К„ принимает наибольшее и наи-
меньшее значения. Эти два сечения называются глов-
иьыш нормальными сечениями, а соответствующие нм
значения Кп называются главными кривизнами поверх-
ности я обозначаются Кг, Кг. Величины /?i“l/Ki. Rt=
= 1/К2 называются главными радиусами кривизны по-
верхности. Величины Кг. Кг находятся как корни квад-
ратного уравнении
(ЕС - Р) К* + (2FM — EN - GL) К + LN - М* = 0.
Направления касательных к главным нормальным
сечениям поверхности называются главными направле-
ниями на поверхности. Линия на поверхности, в кахщой
точке которой касательная имеет главное направление,
называется линией кривизны. Через каждую точку по-
верхности проходят две взаимно ортогональные липни
кривизны. Поэтому удобно выбирать криволинейные
координаты а, В так, чтобы липни а, Р были бы линии-
мн кривизны. Величины
й = ±(К1 + К1)=±(±+±):
иазывается средней и гауссовой (полной) кривизнамя
поверхности.
Точка поверхности, в которой Кг и Кг имеют оди-
наковые знаки (К>0) называется эллиптической: в этой
точке LN — Мг>0. В более частном случае, когда в
точке поверхности Кг” Кг, эта точка называется омби-
лической, а когда	точкой уплощения. Т041
поверхности, в которой Kt и Кз имеют разные знаки
(К<0), называется гиперболической; в этой точке
L/V — М*<0. Точка, в которой одна из величии Кь Кг
равна нули: (К—0), называется параболической; в ней
/.А—/И«-0.
Через каждую точку поверхности в любом направ-
лении проходит геодезическая линия, которая опреде-
ляется тем, что в каждой ее точке главная нормаль
этой линии совпадает с нормалью к поверхности. Гео-
дезическая линия на поверхности обладает свойством
прямой линии на плоскости: из всевозможных линий
на поверхности, проходящих через две произвольные
точки, кратчайшую дугу, соединяющую эти точки, имеет
геодезическая линия.
Многие строительные конструкции имеют очертания
поверхностей вращения нлн поверхностей переноса.
Поверхность вращения образуется вращением плос-
кой линии (образующей или меридиана) вокруг оси.
Линия пересечения поверхности вращения с плоскостью,
перпендикулярной оси вращения, есть окружность,
называемая параллелью. Пусть ось вращения принята
за координатную ось Z. Если меридиан, расположенный
в плоскости XOZ, задан уравнениями х=х(а), г-г(а),
где а — длина дуги меридиана, отсчитываемая от вы-
бранной начальной точки, то сама поверхность > ге-
ния определяется уравнениями х-R(a) cos) -
=Я(а) sin р. г—л(о). В этих уравнениях: Я(а)=х(а) —
радиус параллели, проходящей через точку М (х, у, г)
данной поверхности, ар — угол между плоскостью XOZ
и плоскостью, проходящей через ось /н точку М. Когда
поверхность вращения задана указанными уравнениями,
имееы
ds‘ = <fa» + ^(a)dp«;
E=l, F=0. G = R-(a).
Поверхностью переноса называется поверхность, опи-
сываемая линией (производящей), которая перемещает-
ся в пространстве, оставаясь параллельной самой себе
(два положения линии называются параллельными, если
одно нз них получается из другого в результате сме-
щения каждой точки линии на одни н тот же вектор —
вектор переноса). При перемещении производящей лю-
бая ее фиксированная точка Мй вычерчивает линию.
Поэтому можно считать, что производящая, переме-
щаясь в пространстве, опирается своей точкой Мо на
некоторую линию, называемую направляющей.
Пусть
r = o(a) = ox(a)7 + fl„(a)7 + oI(a)*;
; = 5 (р) = Ь, (₽)7 + Ьу (Р) Г + Ьг (Р) k
— векторные уравнения соответственно производящей
и пгправляюшей поверхности переноса. Тогда уравне-
ние самой поверхности переноса с точностью до посто-
янного вектора будет
7 = 5(а) + Б(Р)
пли в другом виде
т=х(а, Р)7+у(о,Р)7 + г(а, Р)й,
где *(а, Р) = ож(а) + бг(Р). у (а, Р) = а и(а) + btt (Р);
z(a,P) = a2(a) + 62(P).
1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
33
1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.6.1. Функция, предел, непрерывность
Если каждому рассматриваемому значению одной
переменной соответствует определенное значение другой
переменной, то вторая переменная есть функция первой.
Совокупность рассматриваемых значений аргумента на-
зывается областью определения (нлн областью суще-
ствования) функции.
Если существует такое число А, от которого функ-
ция отличается сколь угодно мало в достаточно малой
окрестности точки а, т. е. если |/(х)—Л|<е при всех
значениях х=#а, для которых |х—а|<о. где е — как
угодно малое произвольное положительное число, а
б — положительное число, зависящее от е, то говорят,
что функция имеет в точке а предел, равный А; обо-
значение: lim / (х) =А. Понятие предела вводится н для
х—а
случая, когда |/(х)—Л|<е при достаточно больших
по абсолютной величине значениях аргумента; обозна-
чение: limf (х)=Л н lim f (х) =А К этому случаю от-
носится понятие предела последовательности, т. е. функ-
ции, определенной лишь для натуральных значений ар-
гумента. Функция, которая стремится к пределу, рав-
ному нулю, называется бесконечно малой.
При вычнеленнн пределов применяются теоремы
о пределах.
I.	Предел постоянной величины: lim а=а.
2.	Предел алгебраической суммы нескольких функ-
ций и(х), о(х)....ш(х), каждая из которых имеет
предел в точке о:
Jim(u±o±-..±u>) = limui: limo±...^limto.
x—а	x-~a x—a	x—a
3.	Предел произведения нескольких функций, каж-
дая из которых имеет предел в точке а:
lim(w. ..w)= lim и Um о. ..lim ш.
х—а	х—а х—о	х—а
4.	Предел отношения двух функций, каждая нз ко-
торых имеет предел в точке а, причем предел знамена-
теля отличен от нуля:
limn
,. и х—а
lim — = ------.
х—а v limo
5.	Если h W W  lim /1W = lim /, (x) = A,
x—a	X—a
TO
Предел, к которому стремится функция, когда х
стремится к а, принимая только значения, меньшие
(большие) а, называется левым (правым) пределом
функции в точке а.
Если для любого положительного числа М сущест-
вует такое положительное число б, что при всех значе-
ниях хч^о, дЛЯ которых |х—о|<б, выполняется усло-
вие И(х)|>Л1, то говорят, что функция f(x) стремится
к бесконечному пределу при х—а; обозначение
limf(x) = os.
х—а
Функция f(x) называется непрерывной в точке а.
если она определена в этой точке и в некоторой ее
Рис. 1.72
окрестности и если limf(x) -1(a), т. е. если значение
функции в точке а является пределом функции, когда
х стремится к а. Из этого определения следует, что ес-
ли функция непрерывна, то бесконечно малому прира-
щению аргумента Дх соответствует бесконечно малое
приращение функции бу: lim Д</-0. Элементарные
функция непрерывны в каждой точке, где они существу-
ют. Точки, в которых функция не является непрерывной,
носит название точек разрыва.
Если в точке а функция имеет конечные, но различ-
ные левый и правый пределы, или если эти пределы
одинаковые, ио в точке а функция не определена нлн
имеет значение, отличное от указанных пределов, то
точка а называется точкой разрыва первого рада. Все
прочие точки разрыва называются точками разрыва вто-
рого рода. К ины, в частности, относятся точки, в кото-
рых функция имеет бесконечный левый или правый
предел. На рис. 1.72 показана функция, имеющая две
точки разрыва а и с первого рода (в точке с функция
не определена) н точку разрыва Ь второго рода (в этой
точке левый н правые пределы функции бесконечны).
1.6.2. Производная и дифференциал
Производной функции у—[(х) называется функция
/'(*). равная пределу отношения приращения функции
f(x) к приращению аргумента, когда последнее произ-
вольным образом стремится к пулю:
........ /(Х-f- Дх) —/(х)
/ (х) = lim--------------
Дх
где Дх — приращение аргумента х.
Производная функция у обозначается также через o'
и-^-.
dx
Если функция y-f(x) изображается кривой в де-
картовых координатах, то у' при рассматриваемом зна-
чении аргумента выражает угловой коэффициент каса-
34
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
тельной к кривой в соответствующей точке, т. е. tf=
=tgo, где а —угол наклона касательной к осн X. Про-
изводная имеет не только геометрическое толкование,
она выражает скорость изменения функции относитель-
но аргумента, например скорость движения, интенсив-
ность нагрузки, силу тока, теплоемкость и т.п.
Если функция имеет в рассматриваемой точке про-
изводную, то она в этой точке непрерывна; таким обра-
зом. непрерывность является необходимым условием
существования производной, ио это условие не явля-
ется достаточным, так как непрерывность не гаранти-
рует существования производной.
Общие правила дифференцирования (о — константа,
и и v — функции от х) см. в табл. 1.15.
V	vr	V	V*
tUi	ои*	о □ I в 		VU’—UV’ О*
	“1+“2 +	F(u), гае и^и (л)	dP du du dx
ио		-	-
Производные основных элементарных функций при-
ведены в табл. 1.16.
Пусть в окрестности фиксированной точки х при пе-
реходе от этой точки к любой другой точке х+Дх при-
ращение Др функции у(х) можно представить в виде
Ду<=ЛДх-(-аДх, где А—постоянное (соответствующее
фиксированному значению х), а а — бесконечно малая
величина при Дх-ьО; тогда величина ЛДх называется
дифференциалом функции у в точке х.
Дифференциал функции есть главная часть ее при-
ращения, пропорциональная приращению независимого
переменного.
Если функция у(х) имеет в данной точке х диффе-
ренциал, то она имеет в этой точке производную у* и на-
оборот, причем Л=р'. Дифференциал независимого пе-
ременного х равен по определению приращению Дх.
Дифференциалы величин у н х обозначаются через dy
и dx. Дифференциал функции выражается формулой
dy=y'dx.
Дифференциал dy эквивалентен приращению функ-
ции Др, т. е.
lim -^ = 1;
Дж—и Лу
поэтому при малых приращениях Дх можно пользовать-
ся приближенным равенством dy*s&y.
Производная от производной называется второй про-
изводной от данной функции; вообще производной по-
рядка п называется производная от пронзподмой поряд-
ка л—1; обозначения: у'\ уш,...,у^ либо
d2y <Ру dny
d? * ~dx? ** ’ dx" '
Аналогично определяются дифференциалы высших по-
рядков; обозначения: d2y, d*y.dny. Формула для диф-
ференциала порядка «: dn у=у{п} dxn. В табл. 1.17 при-
ведены производные порядка п для некоторых функций,
а также для произведении двух функций.
Таблица 1 IG
и	1	«	V	V'
a	0	ах + Ь	a
X»	их"-1	УГ	1 2-/x
л /7	1 л	 п У х”-1		
о»	в* In fl	In л	1 X
	1 Л In fl	sin л	COS X
сое л	— slnr	tgx	1 C09*X
Ctg X		1 sin9 х	arcsin л	1
	1	arctg X	I
arccos л			1 +**
arccig л	1 1+л'	sh л	ch x
ch л	sh л	th л	1 chax
cth л	1 «Ъ’л	Arshx	1 /i+7
Arch л	1 Ух1—1	Ar th л	I
Arclh л	1 1 —л1	-	-
Табл ни а 1.17
V			V	
e*			J*	*" e*x
Inx	|-1)л~|(Л-1>!		sin Л	»-л(х+^)
COS X	f . 22 cos(x+ 2		X™	m (m — 1)... (m—n-H)X Xxm~n
	u(n) p -f. 1 +...+	И(Л—I) n' + ( 2		| «Iя”®) d"+
В последней формуле табл. 1.17 правая часть полу-
чается. если разложить (и+о)я по правилу бинома
Ньютона н заменить степени производны мн соответству-
ющих порядков, причем =«, о1'11
1.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
35
1.6.3. Раскрытие неопределенностей
Может случиться, что вычисление пределов приво-
дит к «неопределенностям» вида
О со	о о
— ; — ; 0-со; оэ — со; 0 ; оо ; 1".
О оо
Если
/(х) =
ф(х)
Ф(х)
.причем числитель и знаменатель
стремятся при х-»а (или прнх-*±®) оба к нулю
или оба к бесконечности (неопределенность вида 0/0
нлп оо/оо ), то неопределенность может быть раскры-
та по правилу Лолнталя:
г Ф<*)
lim ------
ж-о Ч-(х)
— lim
(Х-.+09)
ф'(х)
М>'(Х)
если выполнены условия: 1) в некоторой окрестности
точки х=а, за исключением, быть может, самой этой
точки (или вне некоторой окрестности точки х=0, если
х-ь±оо). функции <р(х). ф(х) имеют конечные произ-
водные, причем ф'(х)чЬ0; 2) отношение производных
Ф'(х), ф'(х) стремится к конечному или бесконечному
пределу при х -» а (нлн х — ±: ®).
Когда отношение производных не имеет предела, то
отношение функции все же может иметь предел, ио
его надо находить каким-либо иным способом.
Если /(х) =<р(х)ф(х), причем при х—а (или при
х—>-оо), один нз множителей стремится н нулю, а
другой — к бесконечности (неопределенность вида
0- со), то задача сводится к предыдущему случаю по-
средством преобразования произведения в частное:
1
ф(х)ф(х) = ф(х):	- 
а. Функция может иметь зкетремум (т. е. максимум или
минимум) лишь в такой точке, где производная либо
равна нулю, либо не существует (необходимое условие).
Функция действительно имеет в такой точке экстремум,
если прн переходе через испытуемое значение (соответ-
ствующем увеличению х) производная меняет знак (до-
статочное условие), а именно: если производная пере-
ходит от положительного значения к отрицательному,
то функция имеет максимум; если от отрицательного
к положительному, то функция имеет минимум.
В точке, в которой у'=0 н существуют производные
высших порядков, можно применить другое достаточное
условие, а именно: если
f (п) = 0. Г (а) = 0..../’"-Ч	(а) = 0. /<"» (а) + 0.
то. если п — четное число, функция имеет максимум
при fta>(a)<0 и минимум при /<п* (о)>0; если п — не-
четное число, то экстремума нет в испытуемой точке,—
функции возрастает прн /*л* (а)2>0 и убывает прн
(о)<0.
1.6.6. Функция двух переменных
Понятие функции двух переменных, а также поня-
тия ее предела и непрерывности устанавливаются ана-
логично тому, как это делается для функции одного пе-
ременного. Частные производные функции г=/(х, у) оп-
ределяются равенствами
дх Джт
— =lim ——;
дх дх-.о Ьх
дг	Двг
—- = lim
ду	by
Если /(х)-<р(х)—ф(х), причем при х—а (или при
х— со), обе функции стремятся к бесконечности од-
ного и того же знака (неопределенность вида оо — со),
то полагают
где Д.г и Д,г— частные приращения функции, получа-
емые ею, когда изменяется лишь одни из аргументов.
Частные производные по каждому переменному отыски-
ваются по правилам, известным для функции одного ар-
гумента, поскольку другой аргумент остается постоян-
ным. Частные дифференциалы выражаются формулами
. дг	дг
ОжХ	‘•у2 — ну, где dx = Дх, dy = by.
0
после чего получается неопределенность вида —:
и >_ о(*) —и(х)
'W и (х) о (X)
Если /(х)=ф(х)’(х> при х—а (или при х — zt оо)
принимает одну из форм 0°, со*. 1°°, то логарифми-
руют функцию и ищут сначала lim lnf(x) по выше-
указанным правилам, а затем lim f(x).
х-а
1.6.4. Исследование функций
Функция называется возрастающей в некоторой точ-
ке. если ее значение в этой точке больше, чем в левой
части некоторой окрестности этой точки, н меньше, чем
в правой части. Аналогично определяется убывание
функции в точке. Достаточные признаки возрастания и
убывания: если производная в испытуемой точке поло-
жительна. то функция возрастает; если производная от-
рицательна, то функция убывает.
Функция имеет максимум {минимум) в точке х^а,
если ее значение в этой точке больше (меньше), чем
значения в других точках некоторой окрестности точки
Полное приращение функции: Дг—f(x-|-Ax; y+by)—
—[(х, у)- Пусть в окрестности фиксированной точки
(х, у) прн переходе от нее к любой другой точке
(х+Дх, у+Ду) полное приращение Дг функции
г=/(х, у) можно представить в виде
Дг = Abx + Bby + abx + [J by,
где А и В — постоянные (соответствующие фиксирован-
ной точке), a a, (J— бесконечно малые ирн Дх. by-й);
тогда величина Abx+Bby называется полным диффе-
ренциалом функции z в точке (х, у) и обозначается че-
рез dz. Полный дифференциал функции г есть часть ее
полного приращения Дх, линейная относительно прира-
щений Дх, by независимых переменных. При малых Дх,
by верно приближенное равенство dzaebz.
Из существования полного дифференциала следует
существование частных производных, причем
дх ду
поэтому
дг . дг
dz= — dx + — dy.
дх ду
Достаточное условие существования полного диффе-
ренциала dz о тачке (х. у): функция г имеет в окрест-
но'тм точки (к, у) частные производные dz/dx, dz/dy,
36
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
непрерывные в самой точке (х, у). Функция, имеющая
о данной точке полный дифференциал, называется диф-
ференцируемой в этой точке.
Производные высших порядков определяются так
же, как для функции одного переменного. Производных
второго порядка имеется четыре:
&г &г №г &г
дх3 ' дхду ’ дудх ’ <й/2
но если смешанные производные непрерывны, то онн не
&г
зависят от порядка дифференцирования, т. е. =
=	, так что остается лишь три различных произ-
водных. Различных производных третьего порядка ока-
зывается четыре:
дЪ д>г д>г д>г
дха ’ дх3ду ’ дхду3 ’ ду3
Вообще различных производных порядка л имеется
п+1. Если г=Ци. о), где и=<р(х, у). о=ф(х. у), т. е.
если г есть сложная функция от х. у, причем все эти
функции дифференцируемы в рассматриваемой точке, то
частные производные отыскиваются по формулам
дг	дг	ди	дг	до	_
дх	ди	дх + ди	дх	’
дг	дг	ди	дг	до
ду	ди	ду	ди	ду
Если х=/(“, ь’). где u=<p(f). г=ф(1), т. е. если г
есть сложная функция одного аргумента I, то производ-
ная от г no t отыскивается по формуле
dz	дг	du	дг	do
dt	ди	dt	до	dt	'
Из формулы для полного дифференциала видно, что
dz = Р (х, у)dx + Q(х, y)dy.
д*	dz
где₽(х.у) = — , Q(x,y) = —
Однако не всякое выражение такого вида является пол-
ным дифференциалом некоторой функции, ио лишь та-
кое. в котором выполняется условие dPldy=dQfdx.
Функция /(х, у) имеет максимум или минимум
в точке (X|, j/i), если в этой точке выполняются ус-
ловия
ЗНх.у) = 0. <У(х,у) _
дх ’ ду
Г^(х.У) Г _ *Ш.У) ЭУ(х.у)
|_ дхду J дх3 ду3
При этом частные производные -г— и ——
ох* ду*
имеют одинаковые знаки: если обе они отрицательны,
функция имеет максимум; если обе онн положительны,
функция имеет минимум. Функция двух переменных
может иметь экстремум и в такой точке, где частные
производные не существуют.
Если требуется найти максимум или минимум функ-
ции /(х, у), причем х и у связаны соотношением
<р(х, у) =0, то вводится неопределенный множитель %
н рассматривается экстремум функции Г(х, у, Х) =
=/(х,.у)+Х<р(х, у), так что для определения экстре-
мальных точек к X имеются три уравнения:
«F	dF
— = 0; — =0; ф = 0,
дх	ду
причем эти равенства выражают ляшь необходимые ус-
ловия максимума или минимума.
Можно установить понятие функции также трех
и более переменных, ее частных производных и диффе-
ренциалов. Полный дифференциал функции трех пере-
менных выражается формулой
ди	ди	ди
du = —dx + — dy + — dz.
дх	ду	дг
Выражение вида ₽(х, у, z)dx+Q(x, у, z)dy+:
+Я(х, у. z)dz лишь в том случае является полным диф-
ференциалом некоторой функции, если выполняются ус-
ловия
ДР	df?___
ду дх ' дг ду ’ дх дг '
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.7.1. Неопределенный интеграл
Первообразной от данной функции называется функ-
ция. производная которой равна данной функции, т. е.
F(х) есть первообразная от f(x), если F'(x)—)(х). Если
функция непрерывна в замкнутом интервале, то она
имеет первообразную в каждой точке этого интервала
в притом не одну, а бесчисленное множество, но все
онн отличаются одна от другой лишь той или иной по-
стоянной. Общее выражение первообразной функции от
Дх), т. е. а функция вида F(x)-|-C, где С—произвольная
постоянная, называется неопределенным интегралом н
обозначается так: Jf(x)dx. Таким образом. jf(x)dx~
-F{x)4-C, если F'(x) -Цх}.
Свойства неопределенного интеграла выражены сле-
дующими равенствами, в которых и и и — функции от
х, а —постоянная:
Joudx^aJu dr.
j(u-f-v)dx = judx +jodx;
f udo = un — j о du (интегрирование по частям)!
j7 (x) dx = j Д Ф (У)) Ф' (У) dy, x = <p (у) (способ
подстановки);
д Г..	. . Г df(x.a) .
— jHx.a)dx = J——dx
(дифференцирование под знаком интеграла); формула
справедлива, если Цх, а) и /в(х, а) непрерывны кок
функции двух переменных хна.
Ниже приводятся основные формулы интегрирова-
ния функций, получаемые обращением формул диффе-
ренцирования функций, а также некоторые обобщения
основных формул.
Основные формулы интегрирования:
[x"dx = 2jl+C.n^-!;
J п + 1
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
37
f — = In |х| + С;
J *
J t ’dx = e* + C;
(0'<fx=^-+c:
J Ino
J sin xdx = — cos x + C,
J cos xdx = sin x + C;
f dx	„
I —~ = — ctgx + O,
J sin’x
f dx	~
\—— = ttx + C.
J COS=X
J sh x dx = ch x + O,
j* ch xdx = sh x + C,
------cthx + G’
J sh2x
f * thx+G
J ch*x
Jdx
—— = arctg x + C = — arcctg x + Ctf
1 + x’
Г ——-	= arcsin x + C = — arccos x + Q;
J Vl-x>
f e”1-* dx = — eml + G
J m
f sin mxdx = — — cosmx +C;
J	m
I cos mxdx — — sin mx + Ci
J	m
C dx	I	x	I	x
-T—Г  -----arctg— + C = - — arcctg — + C,;
J u*-f-xs	a	a	a	a
(* dx	X	X
к —= arcsin — + C = — arccos— 4- Ct.
J Га’-х»
1.7.2. Интегрирование рациональных
функций
Интегрирование дробно-раинональных функций вы-
полняется посредством предварительного разложения
подынтегральной функции на сумму многочлена н эле-
ментарных дробей, после чего интегрирование всегда
выполнимо в элементарных функциях. Ниже приводят-
ся интегралы ст
функций:
некоторых дробио-рацноиальных
= 4- ln|u + 6x|+G
о
(а + Ьх)г Ь (а + Ьх) '
С dx	1	УаЬ + bx
J 0 bx~	гУаЬ	Vab — bx
В последующих формулах введено обозначение
а + 2Ьх + схг = Xi &=ас — Ьг-,
1 b + сх
—~ ardg ——- + С при Д > 0;
/д /д
1	. | V-Д-Ь-сх | . _
—7==' П ----=-------- -г С =
2V— Д | У-Л + b-t-cx |
1	. . b + СХ
--------- Ar th —- -f- С при Д < 0;
V—Л V—Д
— ------+ С при Д = 0;
f — =	1 ь + сх (2р —3)с Г dx
J А'А =2Д(р- 1)'Л₽-1 + 2Д(р- 1)J А**-1 1
v '**	С J л
Г (a+Px)dx_________Р I________
J X» 2с(р— 1) X»-1 +
ах — pb С dx
+ с J ‘
f Z- (о + bxf dx = .<-1(° + ^Г+1 _
J	(m + n)h ~
fx-’(a + 6x)"dx = ^^±^
J	m + >i
(ni— I) fl
(Л1 + n)b
+ —— {xT'-^a + bxf-'dx + C.
m + nj
1.7.3. Интегрирование иррациональных
функций
Интегралы от иррациональных функций в общем
случае не выражаются в элементарных функциях. Ни-
же приводятся интегралы от некоторых иррациональ-
ных функцнП
за
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
J х Уа + bx dx =	(bx — -у-) (Ко + Ьх)3 + О,
(* /dl =-^T(bx — ia}Va + bx + C.
JVa+bx 36
Cx'VnTxdx-, Г-^Ц
J	J Ko + bx
(указание: применить подстановку y=o-l-6x);
f------
J (о+ 6x) Ko 4-6x
(указание: применить подстановку
р = У о + 6х);
JKT^ кг а )
С А*,Ко+»х) ,
I--------------dx,
J ф(х,ь^о+6х)
где f и ф —целые функции (указание: применить под-
становку
у = lfa + bx).
В последующих формулах введено обозначение
Ко + 2bx + cxs = X; ас —& = Л;
	-^;1п|б4-сх + Ксх1+С прнс>0; Kc
dx	—^7- Arsh	+ С прн c>0, A > 0; Kc KT
X	1	6 +ex	...
		Arch—^з. + С при с > 0.Д < 0; КГ К-д 1	. 6 +ex —	arcsin —	+ С при c < 0; K^ K-A
f (a + ₽x)dx ₽ ас —fib dx
J X ~ c + c J X +G
Гxmdx _ x"-'x _ (т—Ца Г xn'-idx
J X ~ тс /kJ X ~
(2т— 1)6 (* xn~'dx .
~ тс J X
J Оо + Q1X + atx1 +   + апх"
*= (А> + V +	+ • - - + Хп_1хя *) X + A J* ——
(указание: для определения постоянных Л. Аг.......
A„_i, А дифференцируем обе части равенства и сравни-
ваем коэффициенты):
[ -7=^=1п|х+Кх»±о!| + С;
J Ух«±о»
Г Ко-- — хг dx =	Ко1 — х* + —- arcsin ~ + Q
v	2	2	2
JKx!±o=dx = у Кх*-о’ ±
±~ In (х + Кха±о=)+С;
f v. b + cx ас —b1 Г dx
jxdx = __x + __j_+с;
C(g-}-Px)dx (ofi — 6g)+ (6р — са) х
J X’ “	(6= — ac)X +
1.7.4. Интегрирование трансцендентных
функций
Интегралы от трансцендентных функций в общем
случае не выражаются в элементарных функциях. Ниже
приводятся интегралы от некоторых трансцендентных
функций:
У Xя e*dx = е1 [х" — лх"-' + л (л - 1) х"-2—
-...+(-l)"rt]+Q
У In xdx = х In х — x + Q
У (In х)" dx =n (Inx)" — л У (In x)n—1 dx + C, n^ — li
f x" In xdx = jCtl In x — 	+ С, nyH —I;
J	n-H (n + D‘
f-^-dx = y (Inx)’-t-C;
J x 2
Г(1пх)я 1	...
I5-----dx=—— (lnx)"+,+C. n - 1;
J x n +1
f—y—= ln| lnx| + Q
У sins x dx = — у sin 2x + у x -|- C;
У cos’ x dx = у sin 2x + у x -f- Q
C  j cosmx . „
1 sin mx dx ------1- C;
J	m
f . sinmx
I cosmxdx =-------+C;
J	m
Г .	cos(m + n)x
1 sin mx cos nx dx = — —------
J	2(m + n)
cos(m —n)x . „
— -	+ C, tn + л;
2 [m — n)
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
39
с	sin(m — n)x sin(m + n)x
l sin mx sin nx == ——-— — “T7—• — +
J	2(m —n)	2(m + «)
+ C, m ¥
j’	sin (m — n) x	sin (m + n) x
cos mx cos nx dx = — -—- + ———;—— +
2(m —n) 2(m + n)
4-C, m ± n;
tg x dx — — in | cos x | + C-,
J etg xdx = In | sin x | + Q
f — = ln|lgy| + C;
J smx |	2 |
f — =-2Arlh(ex) + C.
J shx
f = 2arctg (e*) + C
J chx
"'f+o
J sin x cos x dx = ~ sin* 1 x + C;
f-r-^------=ln|tgx| + O.
J sin X cos X
’sin" x dx = - cos *5|пЯ~'* + — f sin"-\dx + C
n nJ
J cos" xdx = sin *«*"-* + 2z± J cosn-2x dx + c.
J tg" xdx = У * — J tg"-2 xdx + C, n + 1;
Jctg"xdx = — cy * — Jetg"-2 xdx, n^l;
f dx _ cosx
J sin" x	(n — 1) sin"-*x
n-2 Г dx
“i~----I -----„ > -I- C t л 1;
n—1 J s:n"-2x T
C dx	sinx
J cos" X	(n — 1) cos"-'x +
+ ^rf—^3-+c. «*•;
n — I J cos" X
Г sin? X cos’ X dx = sin^'xcos’-'x *
+ 4 * f sin” x cos’-2xdx =
P + 9 J
sirf’-’xcos’+'x , P—1 f  л-7
sin-®'*"lx cos’+1.
+ ~,	f sin v+tx cos’ xdx + O,
P-1 J
' sin? x cos-’xdx = sinp'Hxcos-’+lx
?-l r
+	J sinP x cos-’+2 * xdx + C,
J xm sin xdx = — xm cos X + m J xm-1 cos xdx + O,
I xmcosxdx = Xяsinx — m | xra-,sinxdx + C:
dx
a-f-bcosx
2	(.fa-b
----- ar”g I к —Г tg X
У a’ — 4s	' У ° + b
X — J + С. если a- > 6’;
/Й^1ПХ
Ь + acosx+Vf — a’sinx t
a + bcosx
+C =	Arth f 1—— X
/6«_а. Vk 4 4-a
x \
Xtgy l+C, если d»<b>;
’ cos xdx_______x	a (* dx
a + bcosx	b	b J a + bcosx
f sin xdx	1 ,
I —TT--------=— — In a + fccosxl + C
J a + bcosx	b
a
Л + Bcosx+ Cslnx Г dф
a-f-bcosx-f-csinx J a + pcos<₽
+ (B cos a + C sin a) f—_
J e + pcoscp
_ C smipdw
— (B sin a —Ceos a) I-------+C,
J a + pcos<p
если принять 6 = p cos a, c = psina; x — а=<И
)' 	osinfex — bcosbx
e°x sinbxdx =--------:——--------
a’ + b»
40
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
J e°xcos6xdx =
a cos 6x4-6 sin bx
n5 4-6*
j* arcsin xdx = x arcsin x 4-1^1 — xi 4- G
J arccos xdx = x arccos x — 1 — x*4- C-,
arctg xdx = x arctg x — ln(l 4- x2) 4- C;
arcctg xdx = x arcctg x 4- ~ In (I 4-x*)4-G
sin x sh x dx = -y (sin x ch x — cos x sh x) 4- C;
sin x ch x dx =	(sin x sh x — cos x ch x) 4- G
cos x ch xdx —	(cos x sh x 4-sin x ch x) 4-G
cos x sh x dx =	(cos x ch x 4- sin x sh x) 4- C,
J sin oxsh6xdx =
=------— (6 sin ox ch bx — a cos ox sh bx) 4- G
a2 4-6=
У sin ox ch Ox dx -
=------— (b sin ax sh bx — a cos ox sh bx) 4- G
a* 4- 6*
Jcos ax stibxdx =
=	—---(b cos ax ch bx 4- osin ax sh bx) 4- G
o*4-b2
J cos ox ch bx dx =
=	—-— (6 cos ax sh bx 4- a sin ax ch bx) 4- G
0-4-6*
1.7.5. Определенный интеграл
%
Определенным интегралом функции J(x) на отрезке
[о. 6) называется предел интегральной суммы вида
л
£ f(*>)&Xi. когда длина наибольшего из частичных ни-
I—।
тервалов стремится к нулю, т. е.
Ъ	п
f f (х) dx =lim S f (5 ) Дх.; x. . С I. < x.;
Если функция непрерывна на отрезке [а. Ь). то опреде-
ленный интеграл существует. Имеет место формула
Ньютона — Лейбница:
b
Гf(x)dx = F(b) — F(a). где F'(x)=f(x).
а
Средним значением функции Дх) на отрезке [о. 6]
называется отношение
Ь
$f(x)dx
о________
b — а ‘
если функция Дх) непрерывна на этом отрезке, то су-
ществует такое значение х—(, о<|<6, что
Ь
\f(x)dx
= ---------
о — а
Определенным интегралом могут быть выражены
площадь плоской фигуры, длина плоской кривой, объем
тела вращения н площадь поверхности вращения во-
круг одной из осей координат, равнодействующая на-
грузки, действующей на балку, момент этой нагрузки,
момент инерции поперечного сечения балки, работа си-
лы, длина пути, количество тепла н т.п.
Понятие определенного интеграла можно распростра-
нить на случай бесконечного интервала, а также на слу-
чай разрыва непрерывности подынтегральной функции.
Такие интегралы называются несобственными. Если
функция непрерывна и задана при аСл<4-°°. то
f /(x)dx= lim ff(x)dx;
а 6-4-» i
если этот предел (конечный) существует, в этом слу-
чае говорят: несобственный интеграл существует (схо-
дится)-, если конечного предела нет. то несобственный
интеграл не существует (расходится). Аналогично
Ь	Ь
j f(x)dx = Jlm $f(x)dx.
Если функция задана иа конечном отрезке н имеет
разрыв в точке с этого отрезка, то несобственный ни-
ь
теграл f l(x)dx определяется формулой
b	с—а	Ъ
f/(x)dx= lim f /(x)dx4- lim f f(x)dK
д	a-*4-0 □	0-4-0
если оба предела существуют при а н ₽, стремящихся
к нулю независимо друг от друга, то интеграл сходит-
ся: если же хотя бы один нз пределов не существует, то
интеграл расходится. Может случиться, что интеграл
расходится, по существует предел
ali+o[ H*)d* + J /(x)dxj;
этот предел называется главным значением интеграла.
Значении некоторых определенных интегралов:
1.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
41
dx	л
° + tx’ “ 2y^
sjn2m+1 xdx
**m4.i 	2*4*6...2m
cos* + x dx = -----------------;
3*5*7... (2m + I)
dx
a + 6x®
dx
/о/Ь
Valb
4 У ab
dx
%Уь
dl~ 2
прн 6 > 0;
tgfa . n
-----dx — —
X	2
6
dx = У nt
J e *"dx = VGi.
—OO
Встречаются определенные интегралы, и которых
подынтегральная функция /(х, а) и пределы интегриро-
вания a (a), 6(a) зависят от параметра а. Пусть прн
ai<a<a> функции a (a), 6(a) непрерывны н А<а(а),
6(а)<В; если в прямоугольной области А^х<в,
ai<a<a> функции /(х, а) и fa(x, а) непрерывны (как
функции двух независимых переменных х, о), то при
значениях а из интервала a(^a<ai имеем
Ь(а)	На)
da J	J	да
а(а)	а(а)
db	da
+ f(b, а) — —/(а, а) — .
da	da
Если а н 6 не зависят от параметра а, то последние
два слагаемых обращаются в нуль.
dx= —-—i
2a
? “ dx = ——- , a > 0, n — натуральное число;
n"+‘
О
x" ‘dx________я
x + 1 sin лл
e—“sin6xdx = —-
j sinxdx= j cosxdx» I;
J sin* xdx = J"cos* xdx =
с	и
T.	T.
I sin»" xdx = f cos"1 xdx = 1 3'5' "(2”1 ~ *> . 21.
J	J	2-4*6...2m	2
)	и
1.7.6. Кратные интегралы
Аналогично определенному интегралу двойные н
тройные интегралы определяются как пределы интег-
ральных сумм:
Jf/(x. y)da = lim £ ffy, rtf Im,,
c	^MKC**’1 r-i
где /(x,у)—функция, заданная в плоской области С;
^иакс—наибольший нз диаметров частичных об-
ластей, на которые разбита область С;
До(— площадь i-й частичной области, а Ь, »1< —
координаты произвольной точки в этой об-
ласти.
Аналогично
Пр(*. у. z)do= lim S/(t), 4i. С1)Дог.
с	\..«**° 1-1
где f(x, у, г)—функция, заданная в пространственной
области О.
Если подынтегральная функция непрерывна в обла-
сти интегрирования (эта область считается замкнутой,
т. е. рассматривается вместе со своей границей), то ин-
тегралы существуют.
Вычисление двойного (тройного) интеграла при не-
которых ограничениях, налагаемых на границу области,
сводится к вычислению двух (трех) определенных ин-
тегралов:
$\flx,y)da — $dx f /(х, y)dy,
C	a 4iM
42
РАЗДЕЛ I. .МАТЕМАТИКА
»	Ф1</>
ffjKx,y.zMo=fdx J dy J fix,y,z)dz,
О	a <р,(х)	i.(x.H)
где линии х=а, x=t, у=Ф1(х). £/=Ф=(х) ограничивают
область С или проекцию иа плоскость XOY области G
(если имеется в виду тройной интеграл), a г=ф,(х, у),
г=ф2(х, у) — поверхности, ограничивающие область G.
Вычисление интегралов во многих случаях упроща-
ется посредством замены переменных. Если хи у связа-
ны с новыми переменными оно соотношениями х=
=Ф(и, о), у=ф(и, о), то
JJ /(*» Ю dx dy = J J Дф(и, и), ф(и, v)J du dm
где
	дх	дх	
D(x, р)	ди	до	
О(и, с)	ду	ду	(определитель Якоби)
	ди	до	
Геометрически замена переменных может быть истол-
кована как преобразование координат: тогда модуль оп-
ределителя Якоби выражает коэффициент искажения
элемента площади прн переходе от системы (х, у) к
системе (и, и). Например, при переходе к полярным
координатам (x=pcosq>. y=psinq>) имеем
D(x, у) I cos q> — psincpl
Dip, ф) I sin ф рсозф| ₽'
JJ/(x. y)dxdy = fj/[pcos<p. psinф)pdpdq>.
Аналогично истолковывается замена переменных в трой-
ном интеграле. Прн переходе, например, от декартовых
координат к сфернческнм (x=psin0cos<p, у=
=р sin 0 sin ф, z=pcos0) имеем
’Djx, у, г)
Dip, О.ф) ~
sin 0 cos ф р cos 0 cos ф
sin U sin ф р cos 0 sin ф
cos 0	—psin0
— р5т05|Пф
р sin 0 cos ф
О
= р! sin 0.
1.7.7.	Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл определяется так же, как
предел интегральной суммы, причем функция предпо-
лагается заданной на отрезке линии, плоской нлн про-
странственной. Различают криволинейные интегралы но
дуге, координатам н составной:
по дуге
f Hx,y,z)ds = lim S Uh, ,E,)As,;
AB	максд5(-о(=1
no координатам
f fix, y. z)dx — lim S /(El, Ц.. £,) Ax;;
M	макс Д4/-0 i„i
аналогично f /(x,y,z)dy и f /(x,y,z)dz;
AB	AB
составной
J P (jt. y, g)dx + Q (x, у, г) dy+ P(x. у, г) dz.
AB
Вычисление криволинейных интегралов сводится к
вычислению определенных интегралов.
Составной интеграл пс зависит от формы кривой, а
только от положения точек /нВ при том и только том
условии, если подынтегральное выражение является пол-
ным дифференциалом некоторой функции, т. е. если
ЭР
ду дх ’ дг ду ' дх дг '
В случае плоской кривой должно выполняться лишь од-
но равенство:
дР	dQ
ду	дх
Можно, наконец, установить понятие поверхностного
интеграла для функции, данной на куске некоторой по-
верхности. Между интегралами различных видоа (двой-
ным. тройным, криволинейным, поверхностным) имеются
зависимости, выраженные теоремами Грина, Остроград-
ского — Гаусса, Стокса.
1.8. РЯДЫ
1.8.1.	Числовые ряды
Пусть дана бесконечная последовательность чисел
u,. и2.un, ... Выражение u14-Uj+...4-Un+... называет-
ся числовым рядом. Выражение, определяющее и„ как
Функцию номера л, называется общим членом ряда; п-й
частичкой суммой ряда называется сумма первых его п
членов, Sn =Ui+uz+...+un. Ряд называется сходящим-
ся, если существует конечный предел s=limsn. а число
Л —*»
s называется суммой ряда; если же limsn бесконечен
Л-*<ю
нлн нс существует, ряд называется расходящимся.
Исследование ряда ня сходимость путем непосред-
ственного исследования sn удастся далеко нс всегда, так
что требуются косвенные признаки, называемые приз-
наками сходимости.
Необходимый признак: если ряд сходится, то его об-
щий член un стремится к нулю прн л-*оо. Этот признак
недостаточен, т. е. если общий член ряда стремится к
нулю, то сходимость ряда еще не установлена. Достаточ-
ный признак расходимости рила: общий член его нс
стремится к нулю.
Для рядов, члены которых положительны, имеется
несколько достаточных признаков; здесь даются неко-
торые нз них.
Признак, основанный на сравнении рядов: если ui +
+u2+...+u„+... и Ui+Pa+...+»n+... числовые ряды с
положительными членами и. начиная с некоторого значе-
ния л, выполняется условие ип^ип. то сходимость вто-
i.e. Fni
43
рого ряда влечет за собой сходимость первого, а расхо-
димость первого влечет за собой расходимость второго.
°Я-Н
Признак сходимости Далаябера: если lim------=к,
п-“ “л
то ряд сходится при £<1 и расходится при й> 1; при
й=1 вопрос остается открытым.
Признак сходимости Коши: если lim (/%„ = ft, то
Л —О»
ряд сходится при й<1 и расходится при А>1; при й=
= 1 нопрос остается открытым.
Интегральный признак сходимости: ряд с общим чле-
ном и„=/(л) сходится, если несобственный интеграл
[ /(x)dx сходится, н расходится, если этот интеграл
расходится (о — произвольное число; f (х) — непрерыв-
ная положительная убывающая функция в интервале
о^*<4-оо).
Ряд называется знакопеременным, если он содержит
бесконечное множество как положительных, так и отри-
цательных членов Знакопеременный ряд называется
знакочередующимся, если за каждым положительным
членом следует отрицательный и за каждым отрицатель-
ным следует положительный. Для знакочередующихся
рядов имеется достаточный признак сходимости Лейб-
ница: если в знакочередующемся ряде члены убывают
по абсолютной величине н общий член стремится и нулю,
то ряд сходится. Для общего случая знакопеременных
рядов имеется следующий достаточный признак; если
сходится ряд на абсолютных величин членов данного ря-
да, то сходится и данный ряд; в этом случае сходимость
называют абсолютной. Приведенный признак нс явля-
ется необходимым, т. с. из сходимости знакопеременного
ряда не следует сходимость ряда из абсолютных вели-
чин. Сходимость знакопеременного ряда называется
условной, если этот ряд сходится, а ряд, составленный
нэ абсолютных величин его членов, расходнтсн. Абсо-
лютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что
над ними можно совершать операции, аналогичные
операциям над конечными суммами, некоторые нз этих
операций к условно сходящимся рядам не применимы.
1.8.2.	Степенные ряды
Выражение и, (х) 4-иг(х)	(х) +.... где функ-
ции ui(x). пз(х)...., и„(х).... образуют бесконечную пос-
ледовательность функций, называется функциональным
рядом. Ряд сходится в точке х=х«. если сходится чис-
ловой ряд и, (хо) +иг(хс) +...4-а„ (х0) +... Совокупность
точек сходимости называется областью сходимости
функционального ряда. Так как каждой точке области
сходимости соответствует определенное число (сумма
соответствующего числового ряда), то функциональный
ряд выражает некоторую функцию в области сходимо-
сти; эта функция называется суммой ряда. Обозначения:
$„ (х) = щ (х) + иДх) +• • -+ и„ (х);
« W = “1 (*) + “1(«) 4--|-иЛ (X) +  ••
Если для любого е>0 может быть найдено такое нату-
ральное число N, общее для всех х, лежащих в области
сходимости, что |s(x)—з„(х)|<е при n>N. то ряд
S и>(х) называется равномерно сходящимся в данной
|'и|
области; если такого числа N нс существует, то ряд схо-
дится в области неравномерно. Сумма ряда нз непре-
рывных функций, равномерно сходящегося в некоторой
области, есть функция непрерывная в этой области.
Равномерно сходящийся в интервале [л. Ь] ряд
Ui(x)4-uI(x)+...-(-u»(x)4-...=f(x), у которого члены яв-
ляются непрерывными на отрезке (в, б] функциями, мож-
но почленно интегрировать в пределах от а до Ь, т. е.
ряд, полученный в результате интегрирования, сходит-
ся и
ь	ь	ь
j f(x)dx = [щ	(x)dx+ f u,(x)dx +
a	a	a
b
-I---|-J	“n (*)<**+•••
a
Если члены сходящегося на отрезке (л, б] ряда
ui(x)4-us(x)+...-f-u»(x)-f-...=Kx) имеют в ннтераале
(а, б) конечные производные н если ряд. составленный
нз этих производных U|(x)-f-u.,(x)+...4-un (х)+.... рав-
номерно сходится в интервале [о, б], то исходный ряд
можно почленно дифференцировать в интервале ja. б],
т. е. в этом интервале /'(x)=u1(x)-)-u:i(x)+...+u„ (х)...
Одним нз видов функциональных рядов является
степенной ряд Ос+0|Х-(-0зх*+...+а„х"+.... где at,
.... а„, ...—заданная последовательность чисел. В зави-
симости от коэффициентов ряда указанного вида могут
иметь место лишь следующие три случая: I) ряд схо-
дится только при х=0; 2) ряд абсолютно сходится при
всех значениях х; 3) ряд абсолютно сходится внутри не-
которого интервала с центром в нуле н расходится вне
его. Такой интервал называется интервалом сходимости
степенного ряда, а полудлнна этого интервала — радиу-
сом сходимости.
Степенной ряд обладает свойством равномерной схо-
димости, так что его сумма есть непрерывная функция,
н он допускает почленное интегрирование и дифферен-
цирование в любом интервале, внутреннем по отношению
к интервалу сходимости; выражаемая нм функция имеет
производные любых порядков в области сходимости.
1.8.3.	Разложение функций
в степенные ряды
Если в некоторой окрестности точки х=а функция
Дх) имеет конечные производные f'(x), f"(x)....
/<"+о(х), то для каждого значения х нэ этой окрестно-
сти справедлива формула Тейлора:
IW = /(а) +	/' (О) + Г (о) +• • • +
+ ^Z,n,(a)+(^tlz<u+,>({)>
где л<£<х или х<Е<в. В частном случае, когда в=0,
эта формула называется формулой Маклорена.
Если последний член в формуле Тейлора (остаточный
член) стремится к нулю при л-иоо. то в данной окрест-
ности точки х=а функция f(x) может быть представ-
лена рядом Тейлора (при а=0 он называется рядсм
Маклорена):
х — а	(к — al2
/(*)•=/(«)+ —r<o) + L^-L/'(o)+-+
+ -^/,",(а)+.-
44
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
В частности, такое представление функции /(х) спра-
ведливо, если в рассматриваемой окрестности точки
х=а выполняется условие
|/(п) (х) | < М =cons!
при любом натуральном п (М не зависит от л). Это
есть достаточное условие для того, чтобы остаточный
член в формуле Тейлора стремился к нулю.
Степенные ряды дают возможность заменить данную
функцию приближенно равной ей суммой некоторого
числа первых членов ряда, т. е. многочленом; для при-
ложений важны ряды, сходящиеся быстро, т. е. такие,
в которых сумма небольшого числа первых членов дает
приближение с желаемой точностью, ниже приводятся
некоторые нз примечательных степенных рядов.
Биномиальный ряд
т	т(т—I)
(1 + х)"=1+ —х+ ' х» +
II 21
m(m— l)(m —2)
31
с интервалом сходимости — 1<х<1. Прн т натураль-
ном ряд превращается в многочлен степени т (разло-
жение бинома Ньютона). Прн т>0 ряд сходится так-
же на границах интервала сходимости, т. е. прн х=±1;
прн —1<т<0 ряд сходится иа правой границе н рас-
ходится иа левой; прн т<—1 ряд расходится на обеих
границах.
Частные случаи биномиального ряда:
-ц— = 1Тх + х>Тх’+--.
(убывающая геометрическая прогрессия);
,/-- 1	1-1	1-1-3
/1+х=1+ух-—х»+—х’-
1-1-3-5
2-46-9
1	1-3 , 1-3-5
2 * + 2-4 Х" ~ 2-4 -6
1-3-5-7
У(1 + х)'
т 2-4-6-в
— т т(т — п)
У" =1 + —х +
п п-2п
m(m — n)(m — 2л)
п-2л-3л
ni(m-(-n)
л-2л
V(l+x)n
m (m -Н n)(m + 2л)
л-2л-3л
Ряды для некоторых трансцендентных функций:
х In а	(х In о)3
° х = 1+ —+-^Г’ +
(х In а)3
а
+ ••• =2.71828;
х3 х3
1п(1 4-х) = х — — + ——
— -7-+- -. -I <х< 1;
4
ха х3
1п(1 — х) =—х —— — ——
----. -1 <х<1.
4
Последние два ряда сходятся медленно, а потому
неудобны для вычисления логарифмов; кроме того, пои
значениях х нз интервала сходимости этих рядов (—1.1)
получаются лишь логарифмы чисел, меньших единицы.
Вычитая последний ряд нз предыдущего, получаем бо-
лее быстро сходящийся ряд:
м I +х	л
причем величина N= —— принимает любые положи-
тельные значения, когда х изменяется в интервале
(—1,1). Таким образом, для любого Af>0 имеем
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
15
Некоторые специальные ряды, пстречающнеся в тео-
рнг балок на упругом основании (интервал сходимости
2! а
til
chxcosx = 1 — 2г — + 2* — — 2® —+•
-2»- +
sbxsinx = 2 —4-2’—+ 21 — — 2’—+
2 лл
2 cos— •
а
и 2 а
chxsin х = х + 2 —— V — - 2=
9!
Shxcosx = x-2--2S- + 23- + 2«-
х® х® х® х®
— 23— — 2!—+ 2’ — + 2* — 4.
41	5171 К +
2
Э
9!
rcosx = I — —-f-2——2:
— 2®— +
ia
+25г-2’т+2,г-
—(chxsinx —shxcosx) = —— 2= — +2’ ——
х«
-2,ЙГ+-
е x(cosx + sinx) = l —2—+2'- —— 2!
4

S 2 . пл ж"
2 sin —  —
4 nl
21 а
е ®(cosx—sinx)= 1 — 2—+2 —
41
2» — — 2’ — — 2s — +
а а я т
+ 2’ — + S’ —
а а
а
1.6.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.9.1.	Основные понятия
Уравнение называется дифференциальным, если оно
содержит какую-либо производную от неизвестной (ис-
комой) функции (или дифференциал от этой функции).
Если искомая функция зависит от одного аргумента, то
дифференциальное уравнение называется обыкновен-
ным-, если же искомая функция зависит от нескольких
аргументов, то дифференциальное уравнение называется
уравнением в частных производных. Порядком диффе-
ренциального уравнения называется порядок наивысшей
производной от неизвестной функции, входящей в урав-
нение. Решением дифференциального уравнения называ-
ется функция, которая, будучи подставлена вместо не-
известной функции в уравнение, обращает его в тожде-
ство; приемы отыскания решений называются
интегрированием уравнения. График решения обыкно-
венного дифференциального уравнения называется инте-
гральной кривой. Дифференциальные уравнения допус-
кают бесконечное множество решений (решение обык-
новенного дифференциального уравнения может
зависеть от нескольких произвольных постоянных, а ре-
шение уравнения в частных производных — от несколь-
ких произвольных функций).
В задачах, приводящих к дифференциальным урав-
нениям, на искомую функцию накладываются дополни-
тельные условия, называемые начальными и граничными.
При этих условиях искомое решение может оказаться
единственным. Для обыкновенного дифференциального
уравнения n-го порядка начальные условия состоят в
том, чтобы в заданной точке х—хь неизвестная функция
У н ее производные tf', —, у*-1 принимали заданные
значения у0, у0,—. yj',—11 Отыскание решения уравне-
ния, удовлетворяющего заданным начальным условиям,
называется задачей Коши. Есж на концах интервала
(хс, xi) заданы те илн иные нэ величин у, /, ..„
то такие условия (общим числом л) являются гранич-
ными. а отыскание решения, удовлетворяющего этим
условиям, называется краевой задачей.
Достаточным условием того, чтобы уравнение у<*>=
=1(х,у, у1. у1"-11) имело единственное решение, удов-
летворяющее начальным условиям у(хо)=у«, у'(хо) =
=у„,—, у,л~,> (хо)=у0,—является непрерывность
функции 1(х,у,!/',.„pl*-») и ее частных производных
ио аргументам и, у', _ у<»-«> в окрестности точки (хо,
Уо-Уо.... у!,)-
Решение дифференциального уравнения, эавясящее
от произвольных постоянных, число которых равно по-
рядку уравнения н зиаченпя которых можно выбрать
так. чтобы удовлетворить начальным условиям, допуска-
ющим единственное решение, называется общим реше-
нием дифференциального уравнения. Геометрически оно
изображается семейством интегральных кривых. Любое
решение дифференциального уравнения, зависящее толь-
ко от аргумента, можно назвать частным решением. Ес-
ли в общем решении дать определенные значения произ-
вольным постоянным, то получится частное решение.
46
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Если частное иля общее решение получено в виде неяв-
ной функции, то оно называется интегралом уравнения
(частный или общим).
Обратимся к обыкновенному дифференциальному
уравнению первого порядка. Точка (хо, уо) называется
особой точкой по отношению к указанному уравнению,
если через нее не проходит нн одна интегральная кривая
этого уравнения или проходят по меньшей мерс две
интегральные кривые. Решение дифференциального урав-
нения называется особым, если соответствующая ему
интегральная кривая состоит только нз особых точек
(через каждую точку этой кривой проходит по меньшей
мере еще одна интегральная кривая). Особое решение,
вообще говоря, не получается нз общего решения нн прн
каких значениях произвольных постоянных; его график
является огибающей семейства интегральных кривых, со-
ответствующих общему решению.
1.9.2.	Уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными. Если
дифференциальное уравнение приводится к виду
<f(x)dx=ip(y)dy, то общее решенне в явном нлн не-
явном виде найдется нэ уравнения
J <р (х) dx= j ф (у) dy + С.
Здесь я ниже (пп. 1.9.2—1.9.4) символ неопределенного
интеграла используется для обозначения какой-либо
первообразной от подынтегральной функции.
Уравнение в полных дифференциалах. Если уравне-
ние приводится к виду Р(х, y)dx-f-Q(x, y)dy=0. причем
дР dQ
— = — , то общий интеграл будет
ду дх
JP(x,y)dx + Ур?(х,у)—	dxjdy = Ci
или
J Q (х, у) dx+ J (х. у)—	dyj dx = С,.
Однородное дифференциальное уравнение у' =
Подстановка y=-xt приводит это уравнение и урав-
нению с разделяющимися переменными.
Линейное дифференциальное уравнение y'+p(x)y-f-
4-у(х)=0 имеет общее решение
у = е~ f	[с - q (x)ef	dx] .
Дифференциальное уравнение Бернулли
У" + р(х)У + у(х)уп = 0, nfU
подстановкой z=y,_“ приводятся к линейному.
Дифференциальное уравнение Клеро y=xy'+f(yr)
имеет общее решенне у=Сх+[(С), изображаемое се-
мейством прямых. Особый интеграл уравненяя Клеро вы-
ражает огибающую этого семейства и получается исклю-
чением постоянной С из уравнений
ду
у = Сх + /(С), ^- = х + Г(С) = 0,
ос
что приводит к уравнениям огибающей в параметриче-
ской форме
х = —Г(ц); у = —«/'(“) +Нм).
где и — переменный параметр.
1.9.3.	Уравнения второго порядка
Уравнение вида у"—Цх).
Общий интеграл
у = J dx j f (X) dx + C,x + Cli
отсюда интегрированием no частям получаем
у = X J / (x) dx — J х/ (x) dx + C1X + C
ИЛИ
у = f(x- t)f(t)dt + C.X 4-Ca.
v
Эта формула, в частности, выражает зависимость между
изгибающим моментом М н нагрузкой р на балку:
<РМ	С
— =-Р, M=Qex + M0-\(x — t)p{t)dt.
иха	J
где Мд — изгибающий момент, a Qo— перерезывающая
сила в сечении балкн х=0.
Для случая дифференциального уравнения n-го по-
рядка y<">=f(x) результат обобщается следующим об-
разом:
9 —	j (х-/)"-,/(ОЛ + Со + С1х +
*о
Уравнение вида y"=f(y).
Общий интеграл
J VCi 4- 2 J f (у) dy
Уравнение вида if—Ulf).
Полагаем y'-z, у"—z'; тогда
Эти равенства дают решенне в параметрической
форме (z-параметр); нсключнв из этих уравнений z,
получим решение в форме F (х, у, С>, С-) =0.
Уравнение вида у"—/(х.у').
Положив у'—г, получаем дифференциальное урав-
нение первого порядка: z/—f(z, х), интегрирование ко-
торого дает z как функцию от х и С<; затем получим
у = Jz(x)dx-f-C,.
Уравнение вида if-f^.y')-
Полагая у'—z, if—г—, получаем днфференпиаль-
dy
ное уравнение первого порядка, интегрирование кото-
рого дает z как функцию от у и Ci; затем получим
zCy.CJ
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
47
1.9.4.	Линейные уравнения
второго порядка
У’ + Р(х)у' + у(х)у = Р (х).
Это уравнение — неоднородное линейное; если F(x) =
—О, то уравнение называется однородным линейным.
Общее решение неоднородного уравнения равно
сумие общего решения однородного уравнения н какого-
либо частного решения неоднородного уравнения. Об-
щее решение однороднсго уравнения имеет вид у=
“С^+СгУг, где С,,Сг— постоянные; yi.уг — линейно
независимые решения уравнения (две функции назы-
ваются линейно независимыми, если нх отношение не
является постоянной). Тайне решения yt н уг образуют
так называемую фундаментальную систему решений.
Если известно только одно частное решение одно-
родного уравнения у,. то другое находится по фор-
муле
Г
yt = Cyi I —------dx.
где С — постоянная.
Если коэффициенты р(х), ?(х) и Е(х) разлагаются
в сходящиеся ряды по степеням х—х« в некоторой ок-
рестности точки х», то решения ищут также в форме
рядов по степеням х— х«, сходящихся в той же окрест-
ности. Коэффициенты разложения находятся приравни-
ванием коэффициентов нрн одинаковых степенях раз-
ности х—х«.
Задача отыскания решений однородного уравнения
значительно упрощается, если коэффициенты дифферен-
циального уравнения постоянны;
ад* + ад' + ад = Е(х),
где a,. ci, а,—данные числа. Решения уравнения зави-
сят от корней характеристического уравнения щЛ’-)-
4-а1й-|-ао=О. В табл. 1.18 даны результаты в зависи-
мости от дискриминанта
D=all — 4al>ai.
Таблица 1.18
D>0	D —0	D<0
-а,+УБ; *“	2а. 2а.		Oi /^о ь — ₽ ± al
4-C,»~*»»4-4’U)	П-(С,4- +С.х>	4- 4-О’00	у — eV* (С, sin qx + + С. сомх) + <?(»)" — Dt е?* cos (е* + D,) + + ф(*>-
В табл. 1.18 функция ф(х) есть частное решение
неоднородного уравнения; оно может быть найдено по
способу неопределенных коэффициентов) если правая
часть дифференциального уравнения имеет следующую
структуру:
Е(х) =	[Р, (х) cos fix 4- Р, (х) sin ₽х],
где Р,(х) и Рв(х) — многочлены.
В общем же случае применяют вариацию произволь-
ных постоянных, а именно: заменяют постоянные Ci
и Ci функциями Ci(x) и Сг(х); производные этих функ-
ций должны удовлетворять системе алгебраических ли-
нейных уравнений:
С| У14- с2У2 = 0;
^•i^i + Qfe = F(x).
Найдя С| и С2, получают
CiW = fc;U)dr + Di:
^2 М = f (*)
где Di и Dt—произвольные постоянные.
Уравнение вида хгу"+хр(х)у'+у(х)у=О в том слу-
чае, если р(х) и ?(х) разлагается в сходящиеся ряды
по степеням х, имеет решение
У = х*(ао4-п1х4---).
где k определяется нэ уравнения
*(й-1)4-р(0)й4-9(0) = 0,
а коэффициенты Од, аь ... находят методом неопределен-
ных коэффициентов.
Пример 1.7. Уравнение Эйлера:
х’р* 4- а,ху' 4- ад = 0.
В этом случае
k(k —1)4- a,k 4- а2 = О,
и решение имеет вид
y = Cix*‘4- Ctx^.
Пример 1.6. Уравнение Бесселя:
х*У° 4- ху' + (х« - у’) у = 0.
Для k получается
k(k —1)4-*-9* = 0,
откуда Ь=±у. Два решения имеют вид
У1 = х> £ ар х?; у, = х-> £ асх?.
р=0
Определенне аг с помощью метода неопределенных
коэффициентов приводит к функциям Бесселя
(см. 1.14.4).
1.9.5. Линейные уравнения высших
порядков с постоянными коэффициентами
Интегрирование линейных дифференциальных урао-
нений связано с понятием линейной независимости
функций. Функции yi, у г, .... уп называются линейно
зависимыми в данном интервале изменения аргумента к,
если в этом интервале выполняется тождество Ci^t+
“0, где Ct, Сг, .... С„ — постоянные,
нз которых хоть одна отлична от нуля. Если же в дан-
ном интервале изменения х указанное тождество выпол-
48
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИК»
няется только тогда, когда лее постоянные Ci, С?,Сп
равны нулю, то функции у г. уг.Уг. называются линей-
но независимыми в данном интервале.
Необходимое условие линейной зависимости функ-
ции: если функции уг, уг,.... уп линейно зависимы в дан-
ном интервале изменения аргумента, то определитель
Вронского (вронскиан)
		Уг	Уг	Уп
		Уг	Уз	Уп
Ф(Уг. Уг.--	-.9п) =	Н’-" УГ"” • •		- 9‘"-,‘
тождественно равен нулю в этом интервале. Отсюда:
если Уг.........Уп)^=0. то функции линейно незави-
симы в этом интервале (достаточное условие лннейиой
независимости функций).
Пусть дано линейное неоднородное дифференциаль-
ное уравнение с постоянными коэффициентами ао, «,
... о»:
а„ у(п’ + о,	+ • • • + ап у = F (х).
Общее решение имеет внд
V = С1У1 +СуУг)----I- Сп Уп + Уп-
здесь Ci, Сг, .... Сп — произвольные постоянные: уг, уг,
.... уп—аннейно незавнснмыс решения соответствующе-
го однородного уравнения (система таких решений на-
зывается фундаментальной)- у. — какое-либо частное
решение данного неоднородного уравнения.
Для отыскания у,, уг, .... уп следует найти корни
характеристического уравнения:
о0гп4-а1гя-’+ ---4-ои = 0.
Простому действительному корню г„ соответствует
решение однородного уравнения у„=е m 
Действительному корню г„ кратности А соответст-
вуют решения
Ут=е'т1 - Ут+г + хе'”?........УтИ-г =
Если rr,=<i4-ip (комплексный корень), то имеется
и сопряженный корень гт»а—>Р; этой паре корней со-
ответствуют
у„, = е" cos₽r. ym+1 = е" sin ₽х.
Если r„-=a+iP — комплексный корень кратности А,
то имеется и сопряженный корень rm=a—ip той же
кратности А; этой паре корней соответствуют решения
Ут = е<“ c°s Sm+1 = cos flx............ym+Ji_l =
= x4-1 e" cos px;
9m+)l = <,*“smpx>
Ут+Ь4 "“sin fa...........9m+2*-l =«*“' «'"sinpx.
Пример 1.9. Уравнение изгиба балки на упругом ос*
ковании
«,4> + 64у = 0.
Характеристическое уравнение А‘+А*=О имеет корни
Г! = — г, = а + ip: гэ = —г« = а —ip; а —р = ——•
Кг
отсюда получаем
Уг — «"cosax; ys = e"sinax;
у, = е-"cos ax: yt = е~" sin ax.
Общее решение однородного уравнения
У =	+ С»У1 + СгУг + Сьу,.
Для нахождения частного решения у. неоднородного
уравнения либо применяют способ неопределенных ко-
эффициентов, если правая часть имеет структуру, ука-
занную выше (см. 1.9.4). либо пользуются вариацией
произвольных постоянных. При этом в общем случае
частное решение у. ищут в форме
Уп = (х)Уг +--- + С„(х)уп.
Производные Ct (х) определяют нз системы алгебраи-
ческих линейных уравнений, определитель которой есть
определитель Вронского, отличный от нуля в силу ли-
нейной независимости решений уг, уг.Уп:
91 ci + Уг с2 +• • •+ Уп С„ = 0;
9i ci + Уг С, -|-F уп С„ = ft
yt—’lcj +у<"-2>с; + --+ у‘п-г,< = 0;
9}п_,‘ С[ + И*4» С2 +•  -+ у’я-,) С; = F(x).
ямея С( (х) находят интегрированием С((х).
Наряду с методом вариация произвольных постоян-
ных применяется «символический метод» [1.11.1].
1.9.6. Метод начальных параметров
Преобразование общего решения. Пусть дано, напри-
мер, обыкновенное линейное дифференциальное уравне-
ние второго порядка без правой части F(y", у', у, х) =0
и найдено его общее решение, содержащее две произ-
вольные постоянные:
y(x) = CIF1(x)-f-C.Ft(x):
здесь У1(х) и Уг(х) — линейно независимые частные ре-
шения уравнения, образующие фундаментальную систе-
му. Дифференцируя, находнм
y'W^rjxj+qy^xj.
При х=0 имеем
у(0) = С1У1(0) + С,У,(0):
y'(0) = C1r;(0) + C2yjO).
Эти два уравнения решаются относительно Сг н Сг:
Ci = cliy(O) + clty‘(0):
Сг = Са у (0) + Сгг У’ (0)-
Подстапив эти выражения в общее решение, полу-
чаем его в виде
у (х) = у (0) Zi (х) + у' (0) Z, (х).
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
49
Произвольные величины 9(0), у'(0) называются началь-
ными параметрами, a Z,(x). &г(х)—функциями влия-
ния. Функции влияния Zi, Z- представляют собой ли-
нейные комбинации частных решений:
Zl(x) = CiiK1(x) + c„F1(*);
Z2(x) = Си Yt (*) + CnYtW-
Аналогично для уравнения четвертого порядка
S (х) = У (0) Zl (х) 4- у' (0) Zt (л) 4- у" (0) Z. (х) 4-
4- y-(0)Z,(x).
Частное решение неоднородного уравнения может
быть получено методом развертывания общего решения
однородного уравнении (см. S.5.6).
1.9.7. Общие решения
дифференциального уравнения
четвертого порядка с биквадратным
характеристическим уравнением
Большое число задач строительной механикя, отно-
сящихся к прямым упругим стержням постоянного се-
чения. приводится н дифференциальным уравнениям ука-
занного вида с постоянными коэффициентами. Имея
общий интеграл однородного уравнения, содержащий
четыре произвольных постоянных, можно получить част-
ные решения, отвечающие произвольной правой части,
используя метод вариации постоянных нлн метод на-
чальных параметров.
В табл. 1.19 для частных случаев уравнения у<’>±
±2о’у"±64у=0 даны формулы линейно независимых
частных решений, образующих общий интеграл однород-
ного уравнения. Эти частные решения даны в трех ва-
риантах в виде функций аргументов ах и ₽х. где а н
if} — действительная и мнимая части корней характери-
стических (биквадратных) уравнений.
Уравнения табл. 1.19 соответствуют: / — простой бал-
ке постоянного сечення; 2 — балке на упругом основа-
нии; 3 — колебаниям балки; 4 — сжато-изогнутой балке и
колебаниям упругой системы с одной степенью свободы;
5 — растянуто-изогнутой балке, стесненному кручению
тонкостенного стержня, составной балке нз двух стерж-
ней; 6—13 — статическим и динамическим задачам для
балок с двумя упругими характеристиками самой балки
и ее основания и т. д. Эти же уравнения находят при-
менение в теории цилиндрических оболочек.
1.9.8. Приближенные методы1
Метод последовательных приближений. Пусть требу-
ется найти решенне уравнения у'=/(х. у), удовлетво-
ряющее условию: у—у<> при	Вместо данного урав-
нения можно написать
У = 9о + |/(*. 9)dx-
Положим, что в некоторой прямоугольной области из-
менения х. у с центром в точке (х0, у0) функция /(х, у)
непрерывна н удовлетворяет условию Липшица:
V(х, 91) — / (х, у-)| < АГ 191 — Уг\,
где N — постоянная. Тогда последовательность функций
(последовательных приближений)
9i(x)=9o+ J/(x, 9o)dx, 9i(x)=9o4-
+ J/(x. y,)dx......9л(х)=9о4- f(*. 9л—i)dx,-..
сходится в некоторой окрестности точки х=х. к функ-
ции у(х), которая является решением данного диффе-
ренциального уравнения и удовлетворяет поставленному
начальному условию. Останавливаясь на одной из функ-
ций 9я(х) указанной последовательности, получают прн
достаточной большом л приближенное решение с требуе-
мой точностью.
Метод рядов. Допустим, что нужно найти решенне
уравнения у'=Цх, у), удовлетворяющее начальному
условию у(Хь)=уь. Прн некоторых ограничениях, на-
кладываемых на функцию f(x, у), эту задачу можно ре-
шить следующим образом. Подставляя в правую часть
уравнения вместо х, у нх начальные эначеиня х», уа,
получаем у'(хо). Затем, последовательно дифференци-
руя уравнение и заменяя в правой частя х, у, tf, ... нх
начальными значениями, определяем шаг за шагом yj =
=9 (*о). Уо = У ('о)....Это позволяет представить
решение у в виде ряда Тейлора (см. 1.8.2). Указанный
метод применим к уравнению любого порядка, разре-
шенному относительно старшей производной, если ре-
шается задача Коши.
Численное интегрирование. Требуется найти решение
уравнения у"=/(х, у.у'), удовлетворяющее начальным
данным у=у0, У = Уо прн <=V БеРУт ряд последо-
вательных значений Х|. х2, .... х„ аргумента х с постоян-
ным приращением Ax=x„+i—х, и вычисляют эначеиня
функции 9р 92...Уп и ее производной y't, у2, у'п,
соответствующие этим значениям аргумента, следующим
образом. Сначала вычисляют
9^ = /(*0. Уо- Уо): Ур = Уо + Уб Ах; У1« = Уо 4-Уо Дх;
затем
' «г • i '	• . Уо + У|» .
У|. = /(Х|, у,.. у,.); У|=у04--------Дх
и находят более точно первое приближение:
Уо + У\ .
91 = 9о + —~— Дх.
Затем все действия с уже иайдеияымп величинами лов-
торяют до получения требуемой точности, переходя от
л-го приближения к n-f-1-му следующим образом:
Уп = 1(хп- Уп- у'п)- Уп+1- = Ул 4-У»А*.
Уп+л- = Уп + УпЬг-
Уп+1* — f (хп+1> У/1+1” %!+!•)•
. , УЙ + 9Й+1 .
Уп+1 = Ул +-------5----
2
1 В настоящее время с поваленном электронных счетных ма-
шин разливаются специальные метолы приближенного интегри-
рования дифференциальных уравнении.
Ул+1 - Уп+ 2
Дх.
Таблица 1.19 сл
Виды общего решения однородного дифференциального уравнения у"’ ±2а*у ±Ь*у = 0
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
51
Продолжение табл t.19
52
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Приближенные методы решения краевых задач. Пусть
дано дифференциальное уравнение, обыкновенное или
в частных производных L(u>)=M, где L(w)—диффе-
ренциальный оператор от неизвестной функции «в; М —
заданная функция от независимых переменных. Поло-
жим, что поставлена краевая задача: найтн решение
указанного дифференциального уравнения в области Q,
удовлетворяющее заданным однородным граничным ус-
ловиям на границе области. Весьма общим приближен-
ным методом решения этой задачи является обобщенный
метод Галеркина. Он состоит в следующем.
Выбираем две системы функций: фк <рг,...; фи фз.
подчиненные следующим требованиям. Функции фь ф-.
... удовлетворяют заданным граничным условиям и взя-
тые в любом конечном числе являются линейно незави-
симыми; система ф|, фз,... полна в пространстве L2 функ-
ций с интегрируемым квадратом. Это означает, что каж-
дая функция нэ L* может быть с любой точностью ап-
проксимирована полиномом а|ф|+а|фз+...-Н>пфп прн
достаточно большом л (такое требование эквивалентно
условию, чтобы не существовало ненулевой функции нз
L\ ортогональной к каждой функции фя); см. [1.20.6].
Если ищется решенне шя, приближенное в «среднем» в
том или ином смысле, то соответственным образом сле-
дует трактовать полноту выбираемой системы функций;
см. (1.9.10]—[1.9.12].
Приближенное решенне о>я поставленной краевой
задачи ищется в виде
®л = Фз + ф» Ч--------1- Ап Фп-
Постоянные коэффициенты А,. Аг..А„ определяются
нз условия, чтобы выражение Г(шя)—М было ортого-
нально к каждой нэ функций ф|, фг,.Фа. Это приво-
дит к уравнениям
f(L(ron)-M]^dw = 0 (* = 1.2.........л),
В
т. е. получается линейная алгебраическая система отно-
сительно коэффициентов А<:
X А,- f L (ф() ф* Ло = f Мф* da (fc= 1,2, ... , n).
г-1 о	о
Таким образом, решение краевой задачи по излагаемо-
му метолу сводится к решению указанной системы для
А,.
Из этого метода как частные случаи получаются дру-
гие приближенные методы решения краевых задач. Этот
метод тесно связан с так называемыми вариационными
методами (его частные формы при некоторых условиях
приводят к тем же уравнениям, что н вариационные
методы).
а)	При ф*=Ф» получается метод Галеркина (или.
как его еще называют, метод Бубнова— Галеркина).
В этом случае система уравнений для At принимает вид
X Ai f £. (<р,) Фэ» efeo = f Мфьйсй (.4= 1,2, ... , л).
Метод Галеркина часто приводит к дополню точно-
му результату даже при небольшом п (см. пример 1.10).
Для задач, в которых решенне ш приводит к минимуму
некоторого функционала, этот метод эквивалентен ва-
риационному методу Рнтиа (см. 1.11.3).
б)	Прн ф»=Д(ф«),
где Л — какой-либо подходящим образом выбранный
оператор, получается метод моментов. В частности, прн
фа=£(фи) он совпадает с методом наименьших квад-
ратов. Последний состоит в том. что коэффициенты А<
в выражении w. определяются нэ условия, что они об-
ращают в минимум интеграл
л
1 =J [L ( ХЛф,)—МрЛв.
Тогда для А< получаются уравнения
dj
— = 0 (i = l,2....л),
дА/
Ряс 1.73
которые совпадают с вышеуказанны-
ми общими уравнениями для А, прн
Ф* = £(Ф*).
Пример 1.10. Рассмотрим прямо-
угольную пластинку (рнс. 1.73), за-
щемленную по всему контуру и нахо-
дящуюся под действием равномерной
нагрузки q кГ/см*. Уравнение для
прогиба пластинки:
д*а> д*и>	d*w	q
дх*	2 Зх’Эу3 ду*	D '
где ® —прогиб пластинки;
D— цилиндрическая жесткость пластинки прн из-
гибе.
Граничные условия задачи: прн х=±а н у—±6
дш ди>
и = — = — = 0.
дх ду
Для приближенного решения задачи задаемся линей-
но независимой системой функций, удовлетворяющих
граничным условиям:
ф> = (** — о’)’ (У1 — б’)8; Фэ = (** — а»)» (у» - 63)’;
ф, = (х’ - о’)’ (у» - 63)3 нт. д..
так что
ш = А, (х’-о3)3(у» — £>’)*+Аз(х3 — л»)» (у> - 6’)’+--.
Для первого приближения ограничимся первым слагае-
мым. положив ф|=ф>; получим
А j |»|(х»-Д’)2(у’-6’)’]+
<У[(х’-а3)3(у3-63)3]
+	дх’ду’
д* Г(х3—а3)3 (у3—Ь2)=) )
+ “-------ГТ-----— (x’-o’PJy’-b’Pdxdy =
«У*	)
а Ь
= J J -^-(х3 — л3)3 (у3 — IFjdxdy,
У~Ь___________7а___________
At^ I 4	\ *
I28lM+y a’b’ + o’jD
и>= AiWi =-------------------— (xs—а’)’ (у3—б3)3.
128lt>1 + ya36! + a‘jD
1.9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
&3
Максимальный прогиб квадратной пластинки
са4
«»« = 0.0213 у-
По точному решению получается
да*
«макс = 0.0202^.
1.9.9.	Уравнения математической физики
Во многих приложениях приходится иметь дело с
дифференциальным уравнением, которое в случае двух
независимых переменных имеет вид
дЪ
дх*
д’®
дхду
дя дя
дх' ду
где А, В, С — функции от х и у. Особенно важен случай,
когда / линейно относительно ш. дя/дх. dw/ду. в этом
случае уравнение называется линейным.
Характеристиками уравнения называются интеграль-
ные кривые обыкновенного дифференциального уравне-
ния
dy В±Ув2-АС
dx	А
Могут иметь место три случая:
В’—ЛОО — уравнение имеет два семейства дейст-
вительных характеристик и называется уравнением ги-
перболического типа;
В1—АС—0 — уравнение имеет одно семейство дей-
ствительных характеристик и называется уравнением
параболического типа;
В1—АС<0— уравнение не имеет действительных ха-
рактеристик и называется уравнением эллиптического
типа.
Если общие интегралы дифференциального уравне-
ния характеристик имеют вид ф(х, у)=и. ф(х, у}=о,
то. приняв и н и за новые независимые переменные,
можно привести уравнение к каноническому виду:
для уравнения гиперболического типа
д*ш
ди до
дя дя\
я, —, —I
ди ди /
и. о.
= 0;
для уравнения параболического типа
Д’®
Л?
f	дя дш\
и. о, я. —1
,	ди ди/
= 0;
для уравнения эллиптического типа
д’® д*я / дя дя\
здесь
| = и + tr. т) = i (и — о).
Особенно часто встречаются следующие частные слу-
чаи рассматриваемого здесь дифференциального уравне-
ния второго порядка:
уравнение распространения колебаний в однородной
среде
дР =	<Эх=’
уравнение теплопроводности
дя д*я
— = дЯ----------------------’
dt дх*'
уравнение распространения электрического тока по
проводу
д2» дш д2ш
уравнение теории потенциала
И* iP
бш = 4лр (х, у); Д = — + —
ох’ оу’
(уравнение Пуассона}. При р—0 это уравнение назы-
вается уравнением Лапласа, или гармоническим уравне-
нием.
Часто приходится встречаться также с уравнениями
более высоких порядков:
уравнение поперечных колебаний балки
д’® <Р Г д2®]
’ (х> +rd £/ю rd=°.
дР дх* I ox’J
гае q(x) — масса балки на единицу длины; I(х) — мо-
мент ннерцнн поперечного сечения балки;
уравнение изгиба пластинок
*(*.»)	.. д* . _ д* . д*
ДД®=—-—; ДД = —Ц-2	+ —,
D	дх* дх*ду* ду*
где у(х. у) — поверхностная нагрузка; D — цилиндри-
ческая жесткость пластинки.
Уравнение плоской задачи теории упругости (бигар-
моническое уравнение}
Д Дф =0.
Определнемая дифференциальным уравнением мате-
матической физики функция я должна удовлетворять
заданным условиям на границе области интегрирования
Q и в начальный момент времени; эти условия называ-
ются граничными н начальными условиями; нм должно
удовлетворять решение уравнения. Наиболее часто встре-
чаются следующие начальные н граничные условия:
в начальный момент времени 1=0 даны значения
искомой функции я (х. Г) и ее производной по t:
дя
® = Ф(х), — = ф(х);
OL
на границе области □ (x-x(s), y=y(s)J задана иско-
мая функция ®(х, у):
® = Ф(з)
пли производная искомой функции по направлению нор-
мали к границе:
дя
т~ = Ф («)
on
При интегрировании линейных уравнений применяют-
ся следующие приемы.
Метод Фурье (метод разделения переменных) исполь-
зуется для решения линейных уравнений всех трех вы-
шеуказанных типов. Изложим его, обратившись к зада-
че о свободных колебаниях закрепленной на концах
струны. Полагая, что струна расположена на оси X,
имеем для прогиба струны ш(х, 0 (I — времп) уравне-
иенне гиперболического типа:
З1® о д*я
дР “ дх- ‘
54
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Нужно найти решение этого уравнения, удовлетворлю-
щее граничным условиям ®(0, t)=w(l, t)=0 (х=0.
х=1 — концевые точки струны) и начальным условиям
М*. 0)=/(х),	=ф(*). гДе К*). ФИ—за-
данные функции. Метод Фурье состоит в следующем.
Ищется частное решение уравнения колебаний в виде
w=X(x)T(t). Прн подстановке этого выражения в ука-
занное уравнение переменные разделяются, т. е. прихо-
дим к уравнению
X' Г*
— =------= с.
X &т
где с — постоянная. Нетривиальное решение, удовлетво-
ряющее граничным условиям, получается лишь при с=
=—*»(* *0). Тогда
Х" + Л’Л' = 0; Т’ + Л’о«Т = 0.
Отсюда
X = Ai cos кх + Л» sin kx; Т = Bl cos kat + Bt sin Ш.
Из граничных условий следует А=0. к= -j- (n =
= 1. 2. ...). Таким образом, получается частное решение
уравнения колебаний
(яле ... . яло \ . ял
oBcos — < + 6Bsm— Л sin — х,
удовлетворяющее прн любых значениях констант ал, 6.
граничным условиям. Поскольку уравнение колебаний
линейно и однородно, его решением будет также ряд
VT [ пла	пла \ ля
и>= 2JoBcos —« + 6„sin—dsin-px
П=1
(прн условии, что его можно два раза почленно диф-
ференцировать). Коэффициенты ап, Ьп находятся нз на-
лил
чальных условии. Из них следует, что ап, долж-
ны быть коэффициента мн Фурье (см. 1.20.1) соответст-
венно для функций /(х). ф(х) прн нх разложении в ряды
по синусам, т. е.
I	I
2 Г	лях	2 Г	ллх
ап = — I/(*) Sin — dx, b„ = — I <p(x)sin — dx.
I j	l	пла j	i
о	a
Метод Римана применяется для решения следующей
задачи. Дано линейное уравнение гиперболического типа:
d!u	ди	ди
—— +а(х.у) —+ 6(х.у)— +с(х.у)и = р(х. у)
дх ду	дх	ду
и задана линия	I уравнением y=f(x), причем Г(х)=#0.
Ищется решение и указанного уравнении такое, что ве-
ди	ди
личины и, —, — принимают на линии I заданные зна-
дх	ду
чепня. Метод состоит в том, что определение
значения искомой функции и в произвольной точке
М(хо, у.) сводится к отысканию вспомогательной функ-
ции и(х, у, хо, yt) (функции Римана), которая должна
удовлетворять уравнению
и условиям	,
р
О (х0. Я. х0. у0) = exp J а (х0, у) dy,
V»
Ч(х,у<>, *е,уо) = ехр (б(х,у0)дх.
Если функция о найдена, то
“ (»о. Уо) =	(«Р)л + -у (“Р)в т
ММВ
Здесь АВ — дуга лнннн I. причем ордината точки А
равна уо. а абсцисса точки В равна Хо.
В частном случае, когда а=Ь=с=0, функция Ри-
мана им), а в случае, когда a=b=0. c=const, имеем
о = Л>(2 Vc(xt> — х)(уе — у).
где /о —функция Бесселя (см. 1.14.4).
Метод Грина. Пусть требуется найти функцию и, ко-
торая внутри области D, ограниченной замкнутой ли-
нией С, удовлетворяет уравнению эллиптического типа:
д^и д*и	ди	ди
+ 77. + °	77 + ь <*•	77 +с(* я)»=Кх.Л.
я на контуре С принимает заданные значения. Для ре-
шения этой задачи ищется функция Грина G(x, у, х., у.),
удовлетворяющая «сопряженному» уравнению
dV	дгС	d(oG)	d(*G)
	J----------—---------4- ст=0
дх1-----------------------ду» дх ду
и имеющая вид
6 (х, у, х0. уо) = U (х, у) In г + V (х, у).
Здесь (хо, у.) — произвольная внутренняя точка обла-
сти D; U(x, у), V(x, у) — функции непрерывные вместе
со своими первыми и вторыми частными производными
в области D, причем
Ихо. Уо) = — 1; г = У(х — х0)» + (у — Уо)»-
Кроме того, функция б(х, у, Хо. у0) должна равняться
нулю на контуре С. Если такая функция найдена, то зна-
чение искомой функции и в точке (хс. у0) определяется
по формуле
и(*0. Уо)
= Л dxdy‘
2л .1 dn 2л JJ
с	D
d’-и д(оу)
дх ду дх
д{ЬЛ п
- —- + со—0
ду
где dG/dn— производная функции G по направлен!!
внутренней нормали к контуру С.
1.10. ФУНКЦИИ-КОМ-ЛЕКСНОИ ПЕРЕМЕННОЙ
1.10.	ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.10.1.	Комплексные числа
Комплексным числом г называется лара действитель-
ных чисел а н Ь, следующих одно за другим в указан-
ном порядке. Если Ь следует за а. то г=(а, 6). Два
комплексных числа zi—(oi, 6i), zi=(oi, bi) считаются
равными тогда и только тогда, когда oi=o;. 6i=6s.
Число (а. 0) считается равным действительному числу а,
т. е. (о, 0)=а. Число (0, 6) называется чисто мнимым
числом и обозначается ib, т. е. (0, b}=ib; (0, l)=i —
мнимая единица.
Для комплексных чисел устанавливаются операции
сложения н умножения с помощью следующих равенств.
Пусть Zi(fli, 01), zs(oi, 61), тогда zi+zt= (oi-J-a-, 6i4-62),
(определение суммы), ztzz= (oioi—6161, Oi6:4-ai6i) (оп-
ределение лронзведення).
Вычитание и деление определяются как операции, об-
ратные сложению и умножению. Произведение п одина-
ковых множителей z называется n-й степенью z, z". Ko-
rt __
рень n-й степени нз комплексного числа г определяет-
ся как такое число zt, что z"=z.
На основании указанных определений каждое комп-
лексное число z=(o, 6) можно представить в виде z=
=a4-i6. причем Р=—1. i= у' —I. Число а называется
действительной частью комплексного числа z— (а, 6) =
=о4-<6, a ib — мнимой частью г. Для а и b установлены
обозначения: o=Rez. 6=Jmz. Число а—ib называется
сопряженным числу z=a+ib и обозначается г, z=a—ib.
Полагая о—г cos ф, 6—г sin ф, можно представить
комплексное число z<=a+'& в виде z=r (cos <p+isin<p);
величины г и ф определяются через а и Ь по формулам
Число г называется модулем комплексного числа г,
гг — нормой; ф — аргументом. С помощью показатель-
ной функции комплексного переменного (см. 1.10.2) комп-
лексное число z представляется в виде а=ге,ф.
Основные формулы:
ai + bi I = a> + bti, если at = о, и bt = 6t;
(°i + 610 ± (°з + 6j i) = (O| ± Oi) + (6] -t 6t) i;
(<>i 4- 6i0 (о» 4-610 = (Oi at — 6| fri) 4- (O| bt 4- at 6t) i;
Oi + 6i i O| Oi -|- 6i 63	c* 6i — П| fri
ов 4- 6] ( af 4- 6f + of 4- &f
(a 4- 6i) (o — 6i‘) = os 4- 63;
i’ = - 1; 1’ = — i; ? = 1; i-1 = — i;
cos Ф 4- i sin ф = е,ф; cos ф — i sin ф = e~‘^
(формулы Эйлера);
e<v 4. g—>v	e>v _ e-'o
cos Ф =-------; sin ф =-------—-----;
1: (cos ф -|-1 sin ф) — cos ф — i sin ф.
ft (cos ф ± i sin ф) rt (cos ф + i sin ф) =
= г, тг [cos (Ф 4- Ф) ± i sin (ф 4- ф)|;
/1 (cos ф ± i sin ф):г1 (cos ф ± i sin ф) —
= — (cos (ф — ф) ± i sin (ф — ф)|;
г»
(cos ф + i sin Ф)" — cos пф ± i sin пф (формула Моавра);
(о ± bi)a = [г (cos ф ± i sin q>)]“ = г" (cos п<р ± i sin пф)|;
В/Г^ = |^"| • (cos^+ .sin^)
(Ф — в радианах, к = 0, 1,2...п — I);
sinix = ishx; cosix = chx;
tgix = ithx; etg ix = — i cth x;
ch ix = cos x; sh ix — i si n x;
th ix — i tg x; cth ix = — i etg x;
"/— 2ftn 26л
у 1 — cos — 4- i sin — — e •
n n
nr— (264-1) я (264-1) л
y—l = cos---------4-i sin--------— e
n	n
(6 = 0,1.2......n—1).
1.10.2.	Комплексные функции
Если в комплексной плоскости задана область 6,
каждой точке которой z=x4-iy соответствует комплекс-
ное число w=u4-w. то и> называют функцией от z, a>=
=f(z). Для функций комплексного переменного вводят
понятие дифференцируемости: функция /(г) дифферен-
цируема в точке г, если существует
.. /(z4-6)-/(z)
lim-------------
ii-o h
независимо от того, по какому пути комплексная вели-
чина 6 стремится к нулю; этот предел называется про-
изводной и обозначается f'(z).
Необходимые условия дифференцируемости функции
f(z)=u4-io в точке z=x4-iy (условия Коши—Римана)
состоят в том. что в точке (х. у) существуют частные
производные функции и, и и выполняются равенства
ди до_ ди	до
дх ду' ду	дх '
Эти условия являются также достаточными для того,
чтобы функция /(z)=u-[-w была дифференцируема в
точке z=x4-iy. если функции и, v непрерывны в точке
(х, у). Функция f(z), дифференцируемая в точке z, на-
зывается моногенной в этой точке.
Однозначная функция f(z) называется аналитической
в области G, если она дифференцируема в каждой точке
этой области. Функция /(z) называется аналитической
в точке z, если она аналитическая в некоторой окрест-
ности точки г. Действительная и мнимая части аналити-
ческой функции f(z)=u4-it> удовлетворяют уравнению
Лапласа, т. с.
<Pu div д-и
+ dx= + ajp ‘ °‘
56
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Функция f(z). аналитическая в точке го. может быть
представлена в некоторой окрестности этой точки сте-
пенным рядом
/(г) = S c„(z-z<,)«.
С другой стороны, степенной ряд указанного вида в
своем круге сходимости определяет аналитическую
функцию.
Таким способом определяются (задаются), в частно-
сти, функцпн:
а® г»	гг"+1
Sina = Z--+-—-+(-l)"-J5rn7+...
cosz=l-f + -J — - +	^+-
Интеграл функции комплексной переменной f(z) =
= u+iu вдоль дуги с определяется так:
J/(z)<fz= lim £ /(С*)(гА+1-г*)-
Вычисление ннтег рала производится при помощи фор-
мулы
f/(z)dz = fudx — vdy + ijudy + odx.
с	с	с
Если внутри и на границе области, ограниченной
замкнутым контуром с, /(г) — однозначная аналити-
ческая функция, то J7(z)dz=0 (теорема Коши). Если С
лежит на контуре с, а г — внутри области, то
^z) = 2Hi	(интеграл Коши).
С
Формула для n-й производной
с
Пример 1.11. Найтн гармоническую (удовлетворяю-
щую уравнению Лапласа) в круге радиуса R функцию
по ее значениям на окружности.
Считая в интеграле Коши контур с кругом и перейдя
к полярным координатам, найдем
I р ре‘й + г
/(z)=ib(0)+— I ——------u(R.O)dS(формула Шварца).
2nJ Re*® —г
1.10.3.	Конформные отображения
Аналитическая функция при отображении сохраняет
утлы н переводит бесконечно малый треугольник в по-
добный ему с коэффициентом подобия |/'(г)|. Приво-
дим некоторые конформные отображения.
_ ,	аг + b
Дрооно-линеиная функция w = —преобразует
совокупность кругов и прямых плоскости z в совокуп-
ность кругов и прямых плоскости w. Две точки, удов-
аг + Ь
лстворяющне условию г=--------остаются непод-
сг + d
внжнымн.
Линейная функция ш=аг+Ь, где a=rel<f, дает сдвиг
на Ь, поворот на угол ф н растяжение в г раз. Точки
Ь
-----л « неподвижны.
I —о
Инверсия <B=!/z. Точка z с полярными координа-
тами (г, ф) переходит в точку с координатами (1/r, <f).
Точки г=+1 и z=—1 — неподвижны:
где а — дсйствлтельнос число, отображает круги |г| =
=const плоскости г на конфокальные эллипсы плоско-
сти ш, если |г|=#а, а круг |г|=о—на участок |и|^2а.
Функция св=г". где п>0 целое вещественное чисто,
отображает всю плоскость г на л-кратную плоскость
Римана, состоящую из л частей; точка ш=0 есть л-крат-
ная точка разветвления.
Функция св=г,;“. где а — действительное чисто, ото-
бражает область угла па, вершина которого лежит в
точке г=0 и одна нз сторон которого лежит на поло-
жительной осн X, на верхнюю полуплоскость (ш>0),
а соответствующий сектор единичного круга —на верх-
ний полукруг ш=+ V1—и*.
Функция te=ln(z1— 1). Прямые и=const, о=const
плоскости св. параллельные осям, являются отображе-
ниями конфокальных лемнискат с фокусами х=±1 и
равнобочных гипербол, проходящих через те же точки.
Функция
и> = С j К-О1)°*_1 tt - о.)01-1 • • «-Пл)''”-’« + С,
(формула Крнстоффеля — Шварца) отображает верх-
нюю полуплоскость С на внутреннюю область много-
угольника; здесь а<п — положительные значения внут-
ренних углов многоугольника; О|, Оз.о„ — действи-
тельные числа, расположенные в порядке возрасталня;
г», С, Ci — комплексные постоянные
Функция
Отделив вещественную часть, получим
гл
| Р	р2__Г1
й J R»-2Rrcos(0-<p) + z3U(j?-в)Л)-
и
= СI -----------------—---------а£+м
J	(г— o)a(z— о)г
отображает верхнюю полуплоскость £ на внешнюю об-
ласть многоугольника с внешними углами а(я.
1.11. ВАРИАЦИОННОЕ. ИСЧИСЛЕНИЕ
&7
1.11.	ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.11.1.	Общие сведения
Задачей вариационного исчисления является отыс-
кание экстремума функционала, Если каждой функции
у(х) нэ некоторого класса функций соответствует опре-
деленное значение величины и, то и называется функ-
ционалом, зависящим от р(х); (у(х)— аргумент функ-
ционала)]; это записывается так: u=u(y(x)]. Аналогич-
но определяется функционал, зависящий от нескольких
функций, н функционал, зависящий от функций несколь-
ких независимых переменных. Важным примером функ-
ционала ивляется интеграл
/[»(*)) =J Пх. У (х). У'W) dx.
Функции р(х) [линии у=у(х)], которые рассматри-
ваются прн отыскании экстремума функционала и[р(х)]
(они определяются условиями решаемой задачи), назы-
ваются допустимыми функциями (линиями). Если зна-
чение функционала и прн у=уо(х) больше (меньше),
чем его значение при всех других допустимых функциях
у(х), достаточно близких к ро(х), то но определению
функционал и имеет максимум (минимум) прн у=у<М.
Функции ро(х), р(х) (линии у=у«(х}, у=у(х)] счита-
ются близкими, если мала величина |р(*)~уо(х)| (бли-
зость нулевого порядка).
Пусть у(х), pi(x) — две допустимые функции, т. е.
два допустимых значения аргумента функционала. Раз-
ность Р1(х)—р(х) называется приращением, нлн вариа-
цией аргумента функционала по отношению к его рас-
сматриваемому значению у=в(х). Она обозначается
через бу, 6y=yi(x)—у(х). Вариацией функционала
8
и[р(х)] называется величина би=-^-ц(у(х)-|-абр]|а1Ч).
Если прн р=ро(х) функционал u=u[y(x)J имеет
экстремум, то его вариация би прн у=у*(х) (предпола-
гается. что она существует) равна нулю, ои=0. Для
вышеуказанного функционала /[у(х)) необходимое усло-
вие экстремума 6/=0 приводит к уравнению Эйлера:
(если он существует) реализуется экстремалью, для ко-
торой выполняется «естественное граничное условие*:
(Мх=х, = 0-
Таким образом, указанные вариационные задачи сво-
дятся к решению соответствующего дифференциального
уравнения прн тех или иных граничных условиях. То же
самое имеет место но отношению к некоторым более
сложным вариационным задачам.
Много задач строительной механики н теории упру-
гости можно привести к задачам вариационного исчис-
ления, а эти последние решить точно (классический при-
мер: решение Эйлера об устойчивости прямолинейного
стержня, к концам которого приложены сжимающие си-
лы) или приближенно (используя так называемые пря-
мые методы вариационного исчисления и их обобщения,
в частности энергетический метод, метод Бубнова — Га-
леркина и др.).
1.11.2.	Основные случаи
Для основных случаев вариационных проблем реше-
ния путем приведения к дифференциальным уравнениям
даны в табл. 1.20.
Пример 1.12. Найти критическую силу Р для стержня
длиной I, шарнирно опертого по концам.
Потенциальную энергию стержня можно выразить
так:
Требование минимума V дает уравнение
8 (РУ*	d д IPyt _ул\
ду \2Е1	2 ) dx ду' \2FI 2 ) ~ °'
При £/=const имеем
lT+-^y = Ot У(О) = у(() = О,
или в развернутом виде
?ху' ^уУ У ?УУ 9 = О'
Этому уравнению должна удовлетворять функция р(х),
реализующая экстремум функционала /(р(х)]. Посколь-
ку уравнение Эйлера — второго порядка, его интеграль-
ные крнаые образуют семействоy=j/(x,C1,Cs),завися-
щее от двух параметров — произвольных постоянных Сь
Са. Эти кривые называются экстремалями. Пусть по отно-
шению к функционалу /(р(х)] решается вариационная
задача с «неподвижными границами», когда на концах
интервала [xi. х«] допустимые линии у=у(х) должны
иметь заданные ординаты: у(х,) =у,, у(х3) =уг. В этом
случае экстремум функционала l[y(x) J (если он суще-
ствует) реализуется экстремалью, удовлетворяющей ука-
занным граничным условиям.
В случае, когда решается варнацноииая задача для
/(у(х)] с «подвижной границей» (или границами), т.е.
когда на конце интервала [xi, хг] (пусть для определен-
ности ка одном конце x=xi) ординаты допустимых ли-
ний произвольны, то экстремум функционала /(р(х)]
откуда находим Р,г= . Прн £/ переменной уравне-
ние получается сложнее и решение его затруднительно.
В этом случае применяют метод Рнтца (см. 1.11.3).
1.11.3.	Прямые методы
Если интегрирование дифференциальных уравнений
затруднительно, прибегают к прямым методам вариа-
ционного исчисления. Сущность нх заключается в сле-
дующем. Задаются видом искомой функции так, чтобы
она удовлетворяла граничным условиям и содержала
некоторое количество постоянных параметров. Послед-
ние подбирают так, чтобы обратить п минимум искомый
функционал. Чаще всего применяют метод Рнтца.
Пусть требуется иайтн функцию у, реализующую ми-
ь
инмум интеграла Ф= j£(x, у, у', y")dx и удовлетво-
ряющую заданным граничным условиям. Искомой функ-
цией задаемся в виде y=o1u1(x)4-o2u2(x)4-...-(-o,>u11(x).
58
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Таблица 1.20
Основной случай	3— f F(*. ». K'jdx. у (х,) “ а, »<х.) —Ь	F —— Fu* —। 0 — дифференциальное уравнение второго " dx порядка относительно р прн условная: р (*») — ь
Случал, когда под интегралом содержится втор он производная	3 = J F(x. и, o', y'}dx. ц(х,)=а И(х,) — Ь. О' (х.) = с. <J (X.) — d	d	d» F^ — — Fy> + —— F^e —0- дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно р прп условиях: p(*i)—o. р(х,)—6, р' (ijof. р' (х,) — d
Случсй двух искомых функций	J = j F (x. p. p', z, 2') dx. Xi у(Х|)“О, p(.rT)“b. Z(x,) = C. 2(.T,)«d	d	d F	Fye “0, F	F2’ — 0— система двух днффе- vdx	dx ренинальных уравнений второго порядка относительно р н z при условиях: ц(х,) —а, |/(х,)-Ь. »<х,) — е. г(х.) — d
Случай искомой функции, за- висящей or двух переменных V	3 = J j f (X. y. u. Ujt, U(J duly s при условии прохождения поверхно- сти u-u (х. р) через заданную кри- вую	F	F„	F "0— уравнение в честных прокз- “ дх “< ду иУ ватных второго порядка относительно и при условии; и должно проходить через заданную кривую
Условный экстремум	3 — у F(*. у, г, у‘. x’Jdx при условии Hix. р. 7)-0 и граничных условиях	Ф,-—Ф^-0-. Ф,	-Ф^—ТС » dx r	zdx (Ф-F+XH); Н(х.!/.!)-0 — система трех уравнений относительно трех неиз- вестных функций р(х). г(х). А(г)
где Ui(x), ut(x), .... un(х) — последовательность функ-
ций. которые в интервале [а. 6] линейно независимы,
имеют непрерывные вторые производные и удовлетво-
ряют граничным условинм. Подставив это выражение в
интеграл Ф. потребуем, чтобы получившаяся после ин-
тегрирования функция Ф=Ф(в|, аг, .... ал) приняла
экстремальное значение. Это дает систему уравнений
ЭФ
— = 0, 1—1,2........п, из которых опрсделяютсп все
OOj
а<-
Пример 1.13. Найтн прогиб консольной балки длиной
I, нагруженной равномерной нагрузкой д. Задача сво-
дится к отысканию функции, обращающей в минимум
потенциальную энергию балки:
V=
О
Задаемся упругой линией в виде y =	cos—j; от-
сюда находим
(-!)•
„ dV п	fl* 32 f 2 \
Условие — = 0 дает о = — • — 11 — —)
да	EI я* \ л /
мальное значение прогиба при х=1:
 Макси-
ql*
Унаке — 0,1194
что отличается от точного значения — - — на 4,5%.
Заметим, что в методе Ритца можно не удовлетво-
рять силовым граничным условиям.
1.12.	РАЗНОСТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.12.1.	Определение разностей
Конечные разности в инженерно-строительных рас-
четах встречаются прн приближенном интегрировании
дифференциальных уравнений (например, прн расчете
балок-стенок), прн использовании интерполяционных
формул, при расчете статически неопределимых систем
(в частности, уравнение трех моментов есть уравнение
в конечных разностях) и в ряде других случаев. Диф-
ференциалы заменяют приближенно конечными разно-
стями.
Разность двух значений функции Дх), т. е. f (х+Дх) —
—Дх), называется конечной разностью первого порядка
нлн просто разностью и обозначается через ДДх).
ДДх) = Дх-|-Дх)—Дх). Точно так же ДДх+Дх) =
=/(х-|-2Лх)—Дх-|-Дх). Если Дх — бесконечно малая ве-
личина, то ДДх) есть величина эквивалентная <1Дх).
Разностью второго порядка называется разность от
1.13. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
разности первого порядка:
а* / (х) = а (а/ <х)] = af (х + ах) - а/ (х) =
= I (х + 2ах) - 2/ (х + ах) + f (х).
Аналогичную формулу можно составить для разности
л-го порядка:
a" f (*) = /(* +пах)—-р/[х+(л — 1)ах] +
+ Я(”~1)	+ (”-2) Дх] — •  + (-1)" f (х).
Формула длп приращенного значения функции
7(х + лах) = /(х)+-у-а/(х) +
+ Д* /(*)+• • •+ Дяf (X).
Приложение конечных разностей в теории интерполи-
рования см. 1.19.2.
1.12.2.	Разностные уравнения
Уравнения строительной механики часто преобразуют
так, что ах=1; обозначим еще для краткости f(x) =
f(x-t-l) =y»+i и т. д. Уравнение
f(x^x.yr+,................Ух+га)=0
называется уравнением в конечных разностях, нлн раз-
ностным уравнением. Уравнение
Уж+m + Вх Ух+m-t + "'' + ^х Уж =
называется линейным разностным уравнением порядка
т. Известное уравнение трех моментов
Мж-1 'х-1 + 2МХ (1Х_, + 1х) + Мх+1 =
относится к этому типу.
Общее решение линейного разностного уравнения
складывается нз общего решения этого уравнения при
Lx—0 и частного решения этого уравнения при задан-
ном Lx. В случае, когда уравнение имеет постоянные
коэффициенты н правая часть его есть также постоян-
ная величина, Вх—В,.... КХ = К, L* = L, его ре-
шение имеет вид
»х=слг+-+сх+со.
где £i,	... £м — корни характеристического уравне-
ния;
АГ + вГ-Ч--Н(=о
(имеется в виду случай, когда все корни простые и дей-
ствительные). Постоянная С, равна —;--------,
А -г Я-Ь- - -4-К
Постоянные Ct, С,.Ст определяются из дополнитель-
ных условий (начальных и др.).
1.13.	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение, в котором под знаком интеграла содер-
жится неизвестная функция, называется интегральным.
Это уравнение называется линейным, если неизвестная
функция входит в него линейно. Если в линейное инте-
гральное уравнение неизвестная функция входит только
под знаком интеграла, то уравнение называется линей-
ным интегральным уравнением первого рода', в против-
ном случае — второго рода.
Линейное интегральное уравнение первого или вто-
рого рода называется уравнением Фредгольма, если ин-
теграл, под знаком которого содержится неизвестная
функция, имеет постоянные пределы: если же верхний
предел этого интеграла переменный, то уравнение назы-
вается уравнением Вольтерра.
К интегральным уравнениям приводятся задачи, в
которых значение искомой величины в той нлн иной
точке зависит от совокупности значений этой величины
в других точках некоторой области. Эта зависимость
обычно выражается с помощью определенного интегра-
ла. В качестве примера укажем, что перемещение одной
точки соприкосновения балки с упругим основанием, на
котором она находится, зависит от совокупности пере-
мещений всех других точек ее соприкосновения, вследст-
вие чего определение этих перемещений сводится к ре-
шению некоторого интегрального уравнения.
В строительных задачах интегральные уравнения ис-
пользуются в различных вопросах теории упругости, тео-
рии колебаний и др.
1.13.1.	Уравнения Фредгольма
Интегральное уравнение Фредгольма первого рода
имеет вид
ь
fW = jK(x.t)<p(t)dt.
а
Уравнение Фредгольма второго рода записывается так:
f(x) = <p(x)-A |к(х. 1)ф(()Л,
а
где ф(х) —искомая функция;
К(х, I)—ядро уравнения — непрерывная функция в
прямоугольнике а^х, t^b;
А — постоянный параметр;
а, Ь— постоянные пределы интегрирования.
Значения А, при которых однородное уравнение
ъ
Ф<х)=х [ Д(х.	имеет решения, отличные от
а
нуля, называются собственными значениями ядра К(х, /)
или интегрального уравнения, а соответствующие реше-
ния <р(х) — собственными функциями ядра. При этих
значениях X неоднородное уравнение имеет решение в
том н только в том случае, если
f / (х)ф»(х)<1х = 0,
а
60
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
где ф(х) — любое решение уравнения
ь
ф(х)=А|К(Г,х)ф(ОЛ
fl
это уравнение, отличающееся от данного тем, что в ядре
переменная интегрирования и параметр поменялись ме-
стами, называется сопряженным. При других значениях
X неоднородное уравнение всегда имеет решение.
Методы решения однородного уравнения. Если ядро
ь
симметрично, т. е. К(х, t)=K(t, х) hJ№(x, /)dl<«. то
а
собственное значение н собственную функцию, удовлетво-
ь
ряюшую условию Уф2(х)<1х=1, можно найти методом
последовательных приближений (итераций): этим ме-
тодом определяются в результате n-го приближения не-
известные функции <рп(х) и соответствующие ей соб-
ственные значения параметров А, по формулам
* 1
Ч>„ (х) = J К (х. О <рл_, (0 dt-, <р1 (х) =	;
а	у Ь — а
(х)= . ---------------•
У
при п — оо имеем: ф„ (х) — <р(х), А„(х) -• А. Если А« —
наименьшее собственное значение ядра, а у(х) — соот-
ветствующая собственная функция, то величина
ьь
|j j К (х, s) Ф (х) ф (s) dx dS|
ьа“
прн условии J у* (х) dx = 1 достигает максимума, рав-
Методы решения неоднородного уравнения. В общем
случае решение имеет вид
ОО Ъ
tf(x) = /(x)+ Е A'"jKra(x,o/W<«;
Km (*. t) = jKm_, (x, s) к (s. t)ds,
K<,(x.t) = K(x.t).
Функция
Г(х, t. A) = E ^-'Kmtx.t)
m-l
называется резольвентой неоднородного уравнения.
С помощью резольвенты решение представляется в виде
b
y(K)~^IV)r^.t.K)dt + IV).
Если ядро вырождено, т. е.
K(x,t) = Е о,(X)6,(0.
то решение имеет вид
л
!/(х) = /(х) + Х Е qo/(x);
г—i
с< определяется из системы алгебраических уравнений
Л
Ci— X Е aikck = h i = l,2,...,n,
*=1
где
ь	ь
aik=\bi(t)ab(t)dt; ft =
а	а
Аппроксимируя заданное илро вырожденным, получим
приближенное решение интегрального уравнения.
Если ядро л(х, 0 непрерывно и симметрично и из-
вестны все собственные значения А, и собственные функ-
ции р,(х) ядра, то при любом несобственном значении
А решение имеет вид
y(x) = /(x)+Aj]^-^v,(A),
1
ь
1.13.2.	Уравнения Вольтерра второго ряда
“(х) = /(х) + A JK(x, Ou(Odl)
а
здесь заданы: нижний предел o=const; параметр А; яд-
ро К(х, 1)^=0, действительное и непрерывное в прямо-
угольнике о^х^б, о^/^6; функция цх) действитель-
ная и непрерывная в интервале а^х^б.
Решение выражается равномерно и абсолютно схо-
дящимся для всех А рядом
"(*) = ЕАЧ(«).
Мх) = /(х); uI(x) = jK(x,/)4,(/)dfc
а
“m+lM^Kix.nu^Ddt.
а
Это уравнение не обладает собственными значениями.
1.13.3.	Уравнения Абеля
/(х) С —0 < р < 1.
J (х- Е)“
Неизвестная функция и(х) определяется по формуле
. . sinpn d ( /(/)«
и (х) =---- — 1---------,
я dxj(x_oi-H-
1.14. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
61
а также
и(х) =
______________ь_______________
(а* — 6») л((1 - а),-'п (1 - ₽)т
1.13.4.	Сингулярные уравнения
Если ядро интегрального уравнения К(х, t) не огра-
ничено при а<х<Ь, но главное значение интеграла
ь
JK(x, t)y(t)dt (см. 1.7.5) в правой части этого урав-
а
нения существует, то уравнение называется сингуляр-
ным. Некоторые сингулярные уравнения имеют решение
в замкнутой форме.
Уравнение вида
2л
Ju(3)ctg?^<fs = /(0
б
2п
при условии J f(s)ds=0 имеет общее решеипе
2л
u(s) = — Г" f f(Octg*—— d/4-С
ul	л
О
(С — произвольная постоянная).
Уравнение вида
б С <Р (о)
Оф(1)+— I --------da = f(s)
га .1 о —s
L
(где а, Ь — постоянные, <ij—Л2#Ю, /. — замкнутый кон-
тур) имеет решение
Если контур L незамкнутый, то общее решение урав-
нения имеет вид
здесь С — постоянная.
m= — 1п-----0 < arg------ < 2л;
2щ а —д	а—д
а н ₽ — начало и конец контура L.
Уравнение1
а
Jp(/)ln^yd/ = /(x)(-o<x<o)
имеет решение
л Кв1—л1 [ я	J
где
р= fp«)dt
—а
Если I(х) — постоянная величина, то
р
Р(') ----------------;
«Уп’-х’
1 к этому уравнению приводит задача о вдавливании в уп-
ругую полуплоскость жесткого штампа длиной 2 а; /(<) — функ-
ция. характеризующая очертание штанпа н зависящая от упру-
гих постоянных основания (см. С. П. Тимошенко Теория
упругости. ОНТИ. Л. - М.. 1937: И. Я. Ш т а е р н а и. Контакт-
ная задача теории упругости. Гостехтеоретнздат. М. — Л.. 1949).
1.14.	СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1.14.1.	Полиномы Лежандра
Определение:
р _______!_ ^"^•->"1
F"( ’	2"п! dxn
Основные свойства: Р»(х) удовлетворяют уравнению
(1 — х»)у* — 2ху‘ -|-л(п+ 1)у = 0;
(л + О ₽л+1 = (2л + 1) хРя - nP„_i:
(*2-')Л,='фЛ,-₽я-1);
+1	( 0. т ¥ п;
J Рт (х) Р„ (х) dx =	=
-	I 2л + 1	'
1.14.2.	Полиномы Чебышева
Определение:
Т„ (х) = cos (narccos ж).
Основные свойства: Г»(х) удовлетворяют уравнению
(1 — х’) у’ — ху' + п*у = 0;
Гп+1— х7л + ~^ тл-1 = 0
(првп < 2 Т, -Х7\ + Го = -
\	4	4
и 71 — лТо = о);
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
С	<*Х
Гл(х)Тт(х) —------
j	/1-х»

Из всех полиномов степени л с коэффициентом прн
старшем члене, равном единице, Т»(х) наименее укло-
няется от нуля в интервале —1<х^|.
1.14.3.	Гамма-функция
Определение:
Г(х + 1)= | fe-'dt.
о
Основные свойства: при х=п, где п — натуральное
число.
Г (л + 1) = 1-2.3...л = л1
Г(.т + I) — хГ(х), Г(х)Г(1—х)= —
График функции Г(х) дан на рнс. 1.74.
1.14.4.	Функции Бесселя*
Функция первого рода порядка v:
JV(X) = S
-*(ir
Л!Г(Н-у + А) ’
1 Этн функции называются также цнлиндрнчесиимн функция-
ми: отдельный видам их присвоены разные наименования;
сн. литературу (1.14.3 и 1.14.5). В этих монографиях изложены
свойство Бесселевых функций и истоды их вычисления.
1.15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1.15.1. Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа функции / (х) называет-
ся переход от f (х) к функции
F(p)=j
и
Обратное преобразование дается формулой Медлила
C-rioo
J е₽*F(p>dp-
C—ico
Функция f(x) называется оригиналом, функция F(p) —
се изображением. В табл. 1.21 приведены основные свой-
ства преобразования Лапласа.
Прн применении операционного йечнеления к задачам
техники приходится находить оригинал по изображе-
нию. Основные изображения и оригиналы даны в
табл. 1.22.
функция второго рода порядка v:
V . . /ц(х)созрх —J (х)
(х) = lim -=--------------S— ,
в-v sin px
Функции Бесселя удовлетворяют уравнению Бесселя:
* 'У’ + х/ + (х* — v«) у = 0.
Общее решенне имеет вид (если v —не целое число)
J = C1Jv(x) + C>J_v(x);
при v=n (л —целое)
/ = С1/л(х) + С,Г„(х).
Основные свойства:
Таблица IJ1
Ормгннал	Изображение
И*)	Лр)
о1М	aF(p)
'(т)	F(ap)
d ZT' <‘>	p|F(P)-f(0)l
d" —~К*) dx*1	n—1 Г	V )W(0)l
x6* 1 (ax)	lb u. •li
JfUldx	F(p) P
f.(x-t)f,(E)dJ	1 Ft (P) F, (p)
1.15. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
63
Таблица IJ2
Изображение	Оригинал
ар~1	а
1	к
л1 ₽"+	ж”
рП-1	Г(1-л)
е— вр	1 в| ч
1 р+в	
1 р(р+к)	а
1 ₽+»	х	1 + ах
	СОЗАХ
а	•Шах
Р	ch ах
1 Ь	ah ах
р + Ь (Р + М" + о*	е^Ьх со, „
(р + ЬР-М*	Ьх В|п „
1	хл—1 е—ах
& + О>"	<п-1)!
(р’+а*)’	t •^7 sin а/
1 ₽• +	1 У4 (ах) _ — (ch ах sin ах — — ah ox cos ах)
Р Р’ + КГ	1 у, (ах) — ~ зЬ ах sin ах
рЧ-ла*	1 У, (ах) — — (ch ах sin ах + + sh ах cos ах)
р* + 40*	Yt (ах) « ch ах cos ах
1.16.2. Применение операционного
исчисления
Применение операционного исчисления к решению
дифференциальных уравнений сводит интегрирование к
алгебраическим преобразованиям. Пусть требуется най-
ти решение уравнения
d"u
—+--H>nP = fW.
Применив преобразования Лапласа, получим
(р" + flip"-1 + -  +e„) Y (р) = F (р) + Ф (Р).
где F(p) — изображение функции f (х),
Ф (Р) = (PV„_! + • • +Р"Р0) +
+ «I (ррп-г+- • •+Рп-,%) +' • -+on-iP (So) •
а ра — значение й-й производной от Дх) прн х=0.
Полагая L»(p) =р"+п4р"_,+...+Лп, получим
£(Р) + Ф(Р)
™
Разложив дробь на простейшие и пользуясь таблицей
оригиналов, найден решение, зависящее от п постоян-
ных, pg, Pi.рп-1. Применение метода удобно, если все
у<—0 и Ф(р)—0.
Пример 1.14. Расчет балки ип упругом основании.
Исходное уравнение
Ут (х) + 4а*у (х) =	•
Примепяем преобразование Лапласа:
Q(p\
I(P) = P‘ + 4a«; F(p) = ^-;
Q(p) — изображение функции р(х);
Ф (Р) “ УеР* + У1Р1 + РзР2 + РаР!
Р*	д’	Q (₽)
Y (р) =ув“ ,	' +</i	. 4 -I-F . .	.
р* + ад* р* + ад* Е/ (р* + ад*)
Пользуясь третьей н седьмой строками табл. 1.21 н че-
тырьмя последними строками табл. 1.22, получаем ори-
гинал:
У = Усу1 (<“) + Р1У1 (ох) -|-1-
К
+ “еЬ‘ $У^ОХ-°ИЧ(6)^.
о
64
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
1.16. ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ
1.16.1. Векторная алгебра
Величина, определяемая только числовым значением,
называется скалярной величиной, илн скаляром. Вели-
чина, определяемая числовым значением и направлением
в пространстве, называется векторной величиной. Она
изображается геометрически отрезком, длина которого
(в принятой единице масштаба) и направление совпа-
дают с числовым значением н направлением векторной
Рис. 1.75	Рис. 1.76
величины. Такой <направлснный»
1	отрезок (отрезок, имеющий опре-
С	деленную длину и определенное
направление в пространстве) па-
у	зывается вектором. Длина векто-
Лр	ра называется его модулем. Обыч-
/	но вектор обозначается буквой
/	с верхней черточкой.
Сумма нескольких векторов оп-
р	—	ределяется вектором, замыкающим
Нис.	1.7/	ломаную, составленную нз аекто-
ров-слагаемых. Частные случаи:
сумма трех векторов изображается диагональю парал-
лелепипеда (рис 1.75), сумма двух векторов изобража-
ется диагональю параллелограмма (рис. 1.76).
Разность векторов а и b определяется как вектор
который, будучи сложен с вектором Ь, дает вектор и:
а—Ь=с, если с+6=о.
Произведением скаляра а и вектора а называется
вектор с=аа, направление которого совпадает с а при
а>0 и противоположно ему при а<0, а модуль равен
произведению модуля вектора а на абсолютную вели-
чину числа а.
Скалярным произведением векторов а н b [обозна-
чается ab нлн (пб)1 называется скаляр, определенный по
формуле
ab = | а 11Ь | cos ф,
где <р — угол между направлениями векторов_п и Ь.
Векторным произведением векторов а н b (обозна-
чается axb нлн_[пБ]) называется вектор с, модуль кото-
рого равен |п| |&| sin ср, где <р—угол между векторами^
£ направление перпендикулярно плоскости векторов а.
b н_прнтом так, чтобы после совмещения начал векторов
а, Ь н с кратчайший поворот от а к Ь, если смотреть с
конца с, казался совершаемым против часовой стрел-
ки (рис. 1.77).
Свойства произведений векторов:
дБ -= Ба; а (аБ) = (ад) 6,
и (Б + с) = ab + ас,
аХЬ =—(ЬхЪ); a(axb) = (аа)ХЙ
дХ(Б+с) = дХ7> + аХс.
Вектор а может быть задан тремя скалярными ве-
личинами a,. at, а. — его проекциями на координатные
осн. Координатными ортами называются векторы с мо-
дулем, равным единице, направленные вдоль положи-
тельных направлений осей X,_Y, Z; онн обозначаются
соответственно i, /, k. Вектор а может быть представлен
в виде
Скалярное
представлены
зом:если
а = axi + ay~j + atk.
н векторное произведения могут быть
в координатной форме следующим обра-
а — axi + ау / + аг Л;
Б = ь, ।+ьу I+ьг k.
ab = axbx + ау Ьу + аг Ьх,
аХЬ=
1 *
ах ау аг
Ьх Ьу Ьг
1.16.2. Векторный анализ
Если каждому значению скалярного аргумента t в
некоторой области соответствует определенный вектор а,
то имеем векторную функцию a(t) скалярного аргумен-
та t. Такая функция определена, если заданы три ска-
лярные функции а,(О, а»(0, os(t). Производная век-
da	Ла
торной функции а — определяется как
дах	day	dat
и является вектором с проекциями , —г~, ,. •
al	al	и»
Правила дифференцирования векторов:
d - _ da	db
—— (а + Б) =	+	;
dt	dt	at
d	, -v	du	-	da
	(ua) -	a + и	
dt--------------------dt-dt
(u — скалярная функция аргумента 1);
d	da	-	- db
dt	'	dt	dt
Вектор v, зависящий от положения точки Q_b прост-
ранстве. называется векторной функцией точки, o=o(Q).
Функция и определяется заданием векторного аргумента
г. определяющего положение точки Q-. v=v(r) есть век-
торная функция векторного аргумента. _
Криволинейный интеграл от функции и (г) вдоль путл
АВ определяется формулой
л
J и (г) dr = lim Е vt- Arg.
АВ	О /"О
V = их1 + Uy j 4- ох k.
1.17. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
65
то
J’o(r)dr = f v,dx + vl/dy 4-t>2dz.
В	AB
Интеграл в правой части есть обычный криволинейный
интеграл вдоль пути /В. Криволинейный интеграл, взя-
тый по замкнутому контуру, называется циркуляцией
вектора.
Градиентом скалярной функции и(х, у, г) называется
вектор, направленный по нормали к поверхности и(х. у,
z) = const (поверхности уровня) в сторону возрастания и
и модуль которого равен производной от и по направле-
нию нормали; обозначение: grad и. Свойства градиента:
ди -	ди — ди -
grad и = — 1 + — / + — й;
дх	ду дг
grad с = 0; grad (из 4- «») = grad u1 4- grad и£
grad (ui -uj) = ui grad u> + ut grad щ.
Дивергенция векторной функции о является скаляром,
вычисляемым по формуле
. - ди.	dvu	до,
dlvu = _^. + _JL + _J.,
дх	ду	дг
Свойства дивергенции:
div 7 = 0; div (Oj-f-oj) = div Uj + divoj;
div (un) = и div v 4- v grad и
Ротор (вихра) векторной функции о есть вектор, вы-
числяемый по формуле
“4/ =
\ дх ду )
Свойства ротора:
rot 7=0; rot (t>i + Vi) = rot t»i 4- rot ад
rot (uv) = и rot v 4- grad uX v.
1.16.3. Тензоры
Пусть вектор а задан своими координатами а,. аг, аг
в системе декартовых координат с базисом ei, е2, е> (е«,
е=, ег —орты, направленные по осям координат). В дру-
гой системе прямоугольных декартовых координат с ба-
зисом ер е2, е3 координаты вектора и будут
а
Xai*°* (' = 1.2,3),
Л— I
,Л_
гдеол = С05р;,г*).
Это позволяет определить вектор как совокупность трех
величин О( (<=1, 2, 3). которые определены в каждой
системе декартовых координат н при переходе от одной
нз этих систем к другой преобразуются по указанным
формулам. При таком определении вектора а назовем его
тензором (аффинным ортогональным тензором) первого
ранга о< (по числу индексов в этом обозначении).
Обобщением данного определения вектора является
понятие тензора второго ранга. Если в каждой системе
прямоугольных декартовых координат определена сово-
купность величин (', fc=l. 2. 3), которые при пере-
ходе от системы координат с базисом е,, е2, е3 к системе
координат с базисом et, е2, е3 преобразуются но форму-
лам
з
4= 2 а.^а^ а,Л = 1,2,3).
т.Ла>1
то совокупность величин Ott называется аффинным орто-
гональным тензором второго ранги (ио числу входящих в
это обозначение индексов).
Аналогично можно определить тензоры третьего, чет-
вертого н т. д. рангов (и не только в трехмерном прост-
ранстве. но в в пространстве любого числа измерений).
Тензор второго ранга можно представить в форме
“11 “it
“и оа
“31
“13
°«э
“зз
Тензор называется симметричным. если о<д^оы. и
кососимметричным, если а,»=—о»,.
Всякий тензор второго ранга может быть представлен
в виде суммы симметричного н кососимметричного тензо-
ров по формуле
1 1
"г/ = у (“4/ 4- ац) 4- у (оу - оц).
Совокупность девяти компонентов напряжения о>, о,.
Тж«=т,ж.	образует симметричный
тензор второго ранга — тензор напряжений
Т =
1.17. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
1.17.1. Общие положения
Для вычислений применяют логарифмические линей-
ки. таблицы логарифмов, степеней, корней н специаль-
ных функций, арифмометры, номограммы. В настоящее
время широко используются для различного рода трудо-
емких расчетов и решения сложных уравнений быстро-
действующие электронные вычислительные машины
(ЭВМ). При выполнении инженерных вычислений надо
отдавать себе отчет в необходимой для каждого отдель-
ного случаи точности и сообразно этому составлять рас-
четные схемы и выбирать вспомогательные средства.
Если некоторая величина А имеет своим приближен-
ным значением число а, то абсолютной погрешностью &
числа а называется абсолютная величина разности чисел
Ано. Д= | А—о|. Неточность вычислений нлн измере-
ний лучше характеризуется относительной погрешностью
6~Д/а. Так как абсолютная н относительная погреш-
66
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
кости неизвестны, то вводятся соответствующие предель-
ные погрешности. Наименьшее число Af(6>). 0 котором
можно утверждать, что прн данном приближенном вы-
числении нлн нэмереннн абсолютная (относительная) по-
грешность не превосходит (6j). называется предельной
абсолютной (относительной) погрешностью.
Влияние относнтелыюП погрешности исходных вели-
чин таково:
относительная погрешность алгебраической суммы
заключена между наименьшей и наибольшей относи-
тельными погрешностями слагаемых:
относительная погрешность произведения и частного
равна сумме относительных погрешностей сомножителей
нлн соответственно делимого и делителя;
относительная погрешность степени равна произве-
дению показателя степени на относительную погреш-
ность основания.
Если Дх, Др — малые абсолютные погрешности, соот-
ветствующие величинам х. </, то погрешность Д/ при вы-
числении функции f(x, у) определяется по формуле
в частном случае суммы, произведения н частного
имеем
А (х + У) = А* + Д!Г. д Сф) = М А* + 1*1 ДК
./х\	|р| Дх + |х| Д(/
А(7Г V* •
Если в десятичной дроби желают освободиться от
лишних знаков, то пользуются правилом дополнения:
последнюю нэ остающихся цифр оставляют без измене-
ния, если первая нз отбрасываемых цифр меньше пяти;
если же она больше нлн равна пяти, то последнюю нз
остающихся цифр увеличивают на единицу.
Прн выполнении действий с приближенными числа-
ми придерживаются следующих правил:
прн сложении (нлн вычитании) сохраняют в слагае-
мых столько десятичных знаков, сколько их имеется
в слагаемом с наименьшим числом знаков, а в резуль-
тате одним знаком меньше;
при умножении (или делении) число значащих цифр
в множителях должно быть такое, как у сомножителя
с наименьшим числом значащих цифр, а в результате
одной цифрой меньше;
при возведении во вторую и третью степени или
извлечении корня число значащих цифр результата
должно быть на единицу меньше, чем у числа, над ко-
торым производится соответствующее действие;
результаты промежуточных вычислений должны со-
держать одной верной цифрой больше, чем окончатель-
ный результат: в окончательном результате последняя
цифра отбрасывается;
если имеется возможность, то в исходных данных
надо давать одной верной цифрой больше, чем требу-
ется в результате;
следует избегать вычитания близких друг к другу
чисел; следует по возможности преобразовать форму-
лы так, чтобы в них отсутствовали разности близких
чисел.
1.17.2. Приближенные формулы
Прн очень малых значениях х применимы прибли-
женные формулы, приведенные в табл. 1.23.
Таблица 1.23
Приближенные формулы (к в рад)	Предельные змаченнв х в град прн ошибке	
	0.1%	%
Sin X " X	±4.4	±14
COS *=1	±2.6	±*.1
1(1-1	+3.1	±10.6
.1ПХ = Х--^-	±36	±га
г’ cos Д-1- —	±22	±31.2
<« Х-Х+ у-	±22	±Э0.5
Применяются также следующие приближенные фор-
мулы:
2
(I х х)т(I ^у)л(1 iz)₽ = 1 * ПИХ
* + У ь/~ _ * — у
—— V ху < —— прн * > у > 0;
это неравенство дает возможность оценить, в каких
* + у
2
случаях можно приближенно положить Уху =
Ух* + у* яг О.ЭбОх + 0,398у прн * > у
(ошибка меньше 4% истинной величины);
У*’ + р* » 0,9938х + 0,0708у + 0,3567 —
(ошибка меньше 2% истинной величины);
Ух* + У* + Xs » 0,939х + о,389р + 0,297г
(прн х>у>г ошибка меньше 6% истинной величины) *.
Приближенное значение корня второй н третьей сте-
пени нз положительного числа N можно найти, поль-
зуясь логарифмической линейкой; корень любой степени
можно извлечь с помощью таблиц десятичных логариф-
мов, руководствуясь формулой
lgx=-^-lgW
Если необходимо найти более точное значение корня,
то хорошие результаты дает формула
<п + О+ (п ~ |)п"_
У (n_|)W + (n + l)fln.
=0Г1+-------М------------1
L (n-l)(V+(n+l)n”J
где а — приближенное значение корня. Например,
________
1 Последние три формулы получаются нз теории Чебышеве
о фумжциях, наименее уклоняющихся от куля.
1.18. НОМОГРАФИЯ
67
1.18. НОМОГРАФИЯ
1.18.1. Функциональная шкала
1.18.3. Сетчатые номограммы
Задачей номографии является графическое представ*
ление уравнений с несколькими переменными, позволя-
ющее для данных значений независимых переменных
найти соответствующее значение зависимого переменно-
го с точностью, достаточной дли обычных инженерных
задач.
Основным понятием в номографии является функ-
циональная шкала, т. с. шкала, на которой откладыва-
ются значения функции, а пометки делаются соответ-
ствующими значениями аргумента. Примером может
служить логарифмическая шкала счетной линейки.
Шкалы могут быть прямолинейные н криволинейные.
Для уравнения с двумя переменными F(x, у) «О приме-
няются номограммы со сдвоенной шкалой (рнс. 1.78).
1.18.2. Номограммы из выравненных
точек
Применяются для решения уравнений с тремя пере-
менными типа бф(х)+лф(у) —(аЧ-б)х(а). Три парал-
лельные прямые шкалы отстоят друг от друга на рас-
стояниях а и б (рис. 1.79). Начало отсчета —на пря-
мой, перпендикулярной шкалам. На шкалах х, у в г
откладываются <р(х), ф(у) и х(2) в одинаковом равно-
мерном масштабе.
Если уравнение имеет внд
ф (*) + Ф (у) = X (Г)
н если ф(х) откладывается в масштабе тж, а ф(у) —
в масштабе т„. то х(г) откладывается в масштабе,
определяемом формулой
W7jf tJly
тх—---------—.
тх /Ир
Положение средней шкалы получается из соотношения
тх	а
nig	b
Зная х( н yt, соединяют точки, которые нм соответству-
ют на шкалах к к у прямой, называемой индексом- точ-
ка пересечения этой прямой со шкалой z дает искомое
значение z<.
Посредством такой номограммы можно решать так*
же уравнения вида |ф(х))'|ф(у)|т =1х(г)Г:для этого
нужно прологарифмировать уравнение н представить
его в виде
I >8<К*) + " «8 Ф(У) = " 18XW-
Применимы для любого уравнения типа )(х, у) ~г.
Онн строятся в виде сетки взаимно перпендикулярных
прямых (рнс. 1.80); по одному направлению в любом
масштабе откладываются значения х, по другому — у
Давая г поочередно значения г,. г,. .... г„. строят необ-
ходимое количество кривых, соответствующих уравне-
нию/(х, у)=г,. Зная х* и у», строим точку А, по ко-
торой ищем г». Если А не попала ин на одну нз кри-
вых г., zt, .... г., то значение г. берется по интерполя-
ции. Если известны г„ н х„ то, очевидно, нс представ-
ляет труда найти у„.
1.18.4. Номограммы для уравнений
с числом переменных более трех
Рассмотрим простейший случай с четырьмя перемен-
ными: F(xlr х,. хь х,)=0.	н
Е““ Функцию F можно представить в виде F(x,.
Хз. х,) — Ф[ф(Х|, х.), х51 х,]. то для построения номо-
граммы вводят новое переменное ф=ф(х,. х,) и строят
одну номограмму для уравнения Ф(ф. Xs, х4) =0 и вто-
рую номограмму для уравнения <₽=ф(х,. х2).
Шкала ф является обшей для обеих номограмм
н служит шкалой связи.
Подобным образом можно составлять разнообразные
номограммы с большим числом переменных (рнс. 1.81).
Рнс. 1.81
68
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
1.19. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
1.19.1. Постановка задачи
Вопрос о приближенном представлении функций
(аппроксимации) имеет большое значение. Приведем
примеры.
Прн обработке наблюдений мы можем получить зна-
чения некоторой функции для соответствующих значе-
ний аргумента; надо построить функцию по этим зна-
чениям. Дана функция, которая имеет сложный вид;
надо представить ее приближенно в более простом ви-
де. Дано дифференциальное уравнение: надо найтн при-
ближенное выражение его решения.
С приближенным представлением функции связаны
другие многочисленные задачи, например: вычислить
приближенно площадь, ограниченную данной кривой,
двумя ординатами н осью абсцисс; дана сложная пери-
одическая функция — представить ее приближенно по-
средством тригонометрических функций (разложить на
гармоники).
Если произвольную функцию y-f(x) желают выра-
зить в данном интервале посредством заданной функ-
ции t/i=F(x, а. Р, у,...), которая зависит от параметров
о. ₽, V. т0 задача сводится к определению этих пара-
метров.
Кривой ошибок называется кривая, заданная урав-
нением у—Д(х), где Д(х) —f(x)— F(x) (ркс. 1.82).
Если абсолютные величины максимумов и миниму-
мов этой кривой равны между собой, то кривая ошибок
называется, согласно Чебышеву, функцией. наименее
уклоняющейся от нуля. Одкако обычно применяют ни-
жеописанные приемы, так как они приводят к более
простым вычислениям.
1.19.2. Интерполяционные формулы
Если требуется найтн функцию y-F(x), график ко-
торой должен пройти через заданные точки (л®, уи):
(хь У1);	(*». У»), то можно пользоваться интерпо-
ляционной формулой Лагранжа:
(x-x,)(x-xt)-(x-.r,,)
(*0 — х1)(хо — х»)‘  (х« — Х„)
(х — ХД) (X — X.)- • (х — х„) +
(Х| — Х0)(Х1 — х®) — (х® — хл)
(Х-ХдЦх-Х,) -(Х-Х,.,)
У" (х„-хо)(хл-х1)" (хп-*«-) '
Для этой же цели применяется интерполяционная фор-
мула
F (х) = F (х0) + (х — Xj) Л (л,) +
4-(х-—-cj *• +
+ (х - хо)(х - х1)  •  (х - Xn-1) fn-l (х„_1).
где
f.(х)=-^.-f<x»> . flW_....
X —Хо	X - X,
При равных разностях h аргумента пользуются фор-
мулой Ньютона:
у = f (X) = У, 4-	+ ^ • (-х~х°)(х-Х1) +
ft П Л*	21
Д"Уо (х-хо)(х~х1) •(х-хп-1)
+ ft"	П1	;
разности Дуд, Д9уо,... вычисляются по формулам
Ауо = У1 —Уо: Дуз = У« — yt; . .•
Д»у0 = Дут — Ду0...
В табл. 1.24 приведена разностная схема.
Таблица 1.21
X	и	Лк	А*»		д*к
X.	V,				
*1	У\	Ая.	Л’у.		
ЛЛ	У»	Др)	Л'к*	д’к*	
*1	Vt	Дк,	о’е,		
х«	У<	Ай			
		Ар,			
Интерполяционная формула Ньютона дает точный
результат только в том случае, если в одном нэ столб-
цов таблиц разностей всюду получается нуль (это име-
ет место, если заданная функция — полином). Если зна-
чении разностей в каком-либо столбце отличны от ну-
ля, но достаточно малы, формула дает приближенный
результат.
Обозначив —г~ =«, представляют формулу Ныо-
Л
тона в виде
и и(и— I) ..
У — Уо + "jj" дУо +	Уо +
u(u—!)(« —2)
-------------А*Уо+-” +
31
u(u-l)--
л!
^±^-Д"Уо.
Практнческн сохраняют в правой части формул
столько членов, чтобы при добавлении новых членов
оставались неизменными те десятичные знаки, которые
обеспечивают нужную точность результата. Прн вычис-
лении значений, относящихся к последним срокам раз-
1.19. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
69
костной схемы, применяется вторая интерполяционная
формула Ньютона:
о	о (о 4-1) ..
У = </„ + [] АУп-1 +--й----Л Уп-г +
. o(t>4- 1)(р4-2) ,,
4---------~-----А’ »л-з+ ".
<0.
А*»-з4-А*у>
51
г = у (д* «,-1 - пг +у д* :
,	1 /А’17-24-Л’р_|
r(Xe, = F(---------2--------
30 а‘17_з4- а‘Р_2	\
“s’	2	+• 1 •
Формула Стирлинга:
1.19.3. Приближение функций
по методу наименьших квадратов
u»(u* — 1). -(и* — (п—|)»|
+	(2п)|	9-
х — х„
где «= —г— и разности соответствуют случаю, когда
п
заданы значения функций р_р ув, уг yz,...
для значений аргумента
•••*_2=*о-2Л; x_t = xt-k
х» х, = х0 4- /ц ха « х0 4- 2А..
В формулу входят значения функции у, примыкающие
с обеих сторон к ул поэтому эта формула применяется,
когда аппроксимирующая функция должна давать до-
статочно точные результаты для значения х близко к
значению х», лежащему в средней части разностной
схемы.
Между разностями н производными имеются при-
водимые здесь зависимости.
Из формулы Ньютона получаем
Г (*о) = -J- (ip. - V д* 9о +
h \	2
4-у д’й>--7 Д4И> + ”):
/'(х.) = zr(A,s'»-A’s«+ ТА‘*“_
ГГ \	IZ
5 .	137 А	\
“Тд •«• + -]55-а’й+-):
1 7	3
/"(х.) = — Л’р,-—Д‘Уо4-
Л \	X
7	15 .	\
4- -у А*»о+ "У А’»о + -
Из формулы Стирлинга получаем
' W = T(.-2-----
। AJy?4-А3».
31 '	2
Идея этого метода заключается в том, что заданная
функция f(x) аппроксимируется функцией Г(х, и. В....),
у которой параметры а, 0,... подбираются так, чтобы
интеграл
/= Jl/(x)-F(x,a,0,...)|=dx
получил минимальное значение. Это приводит к таким
уравненинм для определения коэффициентов а, 0,-.
ь
дУ f ,	„	dF (х, а. 0..J
— = -2 I (/ (х) - F (х. а, 0,...)}-* ’ Р-' dx = О,
ua J	da
а
Ь
dJ (•	dF(x.a,0. )
-=-2j [f (х) —f (х, g,P, —dx=0:
Можно указать на соответствие между методами ап-
проксимации функций и «.телами строительной меха-
ники. Аппроксимации ио методу функций, наименее
уклоняющихся от нуля, соответствует расчет брусьев
по предельному состоянию (выравнивание моментов);
методу наименьших квадратов — расчет по началу наи-
меньшей работы: методу интерполяции — способ пре-
вращения многопролетной статически неопределимой
балкн в статически определимую введением дополни-
тельных шарниров (фиксирование точек с нулевыми мо-
ментами') Различные методы аппроксимации дают
различную точность.
Пример 1.15. Дана функция f (х) —sin х. Требуется
представить ее приближенно в интервале (0, л) ио-
посредством полинома
Fix, а, р) = ах — 0Х3.
Разлагая sinx в ряд Маклорена и ограничиваясь
первыми двумя членами разложения, получаем при-
ближенно
slnx = х —— = х — 0,167х3.
ь
Подбираем а в р так. чтобы кривая у—ax—fix’ имела
с кривой у—sinx общие точки (0. 0),	')и ^п*
1 См. И.-Я. Штаермвм. Современные методы иппроксн-
маинн. Известна ОТН АН СССР. 1. 1У^-
70
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Найдя а и (3 и подставив в искомую функцию, получим
Л(х) =0,846 х—0,0866 х3.
Подбираем а и Р по методу наименьших квадратов:
J— j (sin х — ах -f- ₽х’)« dr,
о
dJ Г
=—2 I (sin х — ах + fix’) xdx = 0;
и
п
dJ	С
-г- =2 I (sin х — ах + 8х») x’dx = 0.
op	J
о
Вычислив интегралы и найдя а и р. получим
F (х) = 0,856х - 0,0934ха.
Рис. 1.83
На рнс. 1.83 показаны синусоида и все три прибли-
женные кривые. Нетрудно убедиться, что разложение
по Маклорену очень точно аппроксимирует функцию
вблизи одного значения аргумента (в данном случае —
начал координат), но по мере удаления от этого зна-
чения быстро теряет в точности. Что же касается ин-
терполяционного метода н метода наименьших квадра-
тов, то они дают хорошую аппроксимацию во всем ин-
тервале разложения; по методу наименьших квадратов
получаются кривые, которые приближаются лучше, чем
по методу интерполяции, но зато вычисления получа-
ются несколько сложнее.
1.19.4. Приближенное вычисление
определенных интегралов
Правило П. Л. Чебышева для приближенного вычис-
ления длины дуги выпуклой симметричной кривой
(рнс. 1.84):	__________
s « AD + DB= j/p + -у- й’ .
Это правило дает приемлемые результаты при
А/7^0.5. Для достаточно малых значений Л/I эго пра-
вило приводит к приближенному равенству
Приближенное вычисление определенных интегра-
лов можно провести по одной нз следующих формул:
ь
JI (х) dx = Ь—^~ (у0 + р,+ . . . + Sn_();
f, Ь — а
j f(x)dx а —— (у, +р, + . . . +у„);
Рнс. 1.84
ъ
f	& — а
J/(x)dx» ——^1+уз+...4-у	^(формулы
прямоугольника);
b
Г»,	6 — 0 fSo + Pn ,	\
) IW =•	+ «X + •• %-!)
а
(формула трапеций);
ь
С	Ь — а
l/(x)dx» ——[ро + р„ + 2(у1 + у4+ . . . +уп_2)+
J	ол
а
+ 4 (Si + Ух + • • • + »я_|)1 (формула барабол или
формула Симпсона).
В этих формулах: а<6; л — число равных интервалов,
на которые разбивается интервал [а, б] (в формуле
Симпсона л —четное число); Xi, xj.х„_, — точки де-
ления интервала [о. б];
х0 = а; х„ = б; =	(• = 0.1.......п);
Если в интервале (о. Ь) существует непрерывная
вторая производная f"(x) н |/"(х) | ^Л1. то при вычис-
лении интеграла J по третьей формуле прямоугольников
абсолютная ошибка
Д/<\^-(Дх)’М,
а при использовании формулы трапеций
Д/С^-(Л*)’Л1-
Если в интервале (о, б), функция /(х) имеет непре-
рывную четвертую производную н jf'<*>(х) | то при
использовании формулы Симпсона ошибка
1.20. РЯДЫ ФУРЬЕ
71
(	®—а \
I во всех этих оценках Дх= —— j.
Помещая начало координат посередине интервала
[а, 6] н выбирая такой масштаб по оси X, чтобы а=—1,
6 = 1, можно применить формулу Чебышева:
а
I / (х) dx ~ Ь-^~ (/ (ЛХ) + / (хя) + . - + / (хл)1,
где значения Хь х», ...,хв в зависимости от п даны
в табл. 1.25.
Таблица 1.25
Л	X
2	xi -—х, —0,6774
3	ж^ — х»-0,7071. х,-0
4	X. — — х. —0.7947, х, - — х. — 0.1876
5	х4 - — х,- 0,8325, х,- —х. - 0.3745. х,-0
1.20. РЯДЫ ФУРЬЕ
1.20.1. Разложение функций
в ряд Фурье
Одним нэ видов функциональных рядов является
тригонометрический ряд
п0
4- Ot cos х + bt sin x + аг cos 2x +
+ 6tsin 2» + - - • + a„ cosnx 4- bn sin nx 4- ...
Ставится задача подобрать коэффициенты ряда так.
чтобы он сходился к заданной в интервале [—п, л]
функции: иначе говоря, требуется разложить данную
функцию в тригонометрический ряд. Достаточное усло-
вие разрешимости этой задачи состоит в том, чтобы
функция была в интервале (—л, л] кусочно-непрерывна
и кусочно-дифференцируема, т. е. чтобы интервал
(—л, л] мог быть разбит на конечное число частичных
интервалов, в каждом из которых данная функция не-
прерывна и имеет производную (на концах частичных
интервалов функция должна иметь конечные односто-
ронние пределы н односторонние производные, прн вы-
числении которых в качестве значения функции в конце
частичного интервала берется ее односторонний пре-
дел). Условие кусочной дифференцируемости может
быть заменено условием кусочной монотонности функ-
ции, т. е. требованием, чтобы в каждом из частичных
интервалов функция была монотонна. Достаточным
условием разложимости функции в интервале [—л, л]
в тригонометрический ряд является также требование,
чтобы в этом интервале функция имела ограниченное
изменение. По определению функции /(х) имеет в ин-
тервале [а, 6] ограниченное изменение, если прн любом
разбиении этого интервала на конечное число интер-
валов
ko.xi], fa.xi]....kn-pxj (х0 = а, х„ = 6)
величина
Е I/(*<) — /(х,_,) I
г-1
ограничена сверху одним и тем же числом.
Именно с такими функциями приходится иметь дело
прн решении практических задач.
Прн выполнении любого нз трех указанных доста-
точных условий функция f(x) представляется в интер-
вале [—л, л] тригонометрическим рядом, у которого
коэффициенты определяются по формулам
Я	«
О, = -^-J/(x)dr, °* = ~ Jf(x)cos*xdx;
6»=-^-J/(x)sin*xdr,
* = 1,2,3...
Прн таких коэффициентах тригонометрический ряд на-
зывается рядом Фурье. Этот ряд сходится к f(x)
в каждой точке ее непрерывности; в точках разрыва
он сходится к среднему арифметическому левого н пра-
вого предельных значений, т. е. к~[Цх—0)4-/(х40)],
если х есть точка разрыва (рнс. 1.85); на границах от-
резка ряд сходится к ~ [/(—я+0)+/(л—0)].
Рнс. 1.86
Функция, выражаемая рядом Фурье, есть функция
периодическая, а потому ряд. составленный для функ-
ции, заданной на отрезке [—л, л], сходится вне этого
отрезка^ периодическому продолжению этой функции
72
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
f (л) вз ь прн и < x < я: / (x) — — b при л < x < 2л; ,, ,	44 .smx , sln3x , sinSx , '(X,"T(— +—+— +”)					1 1		"Р Г 9 1*1 й|	1	
f (x) — x при 0 < x < 2л: , (x) _ „ _ 2 pEf +	+ !1^£.+...					|0 2Г			
I	/ (*) - /«>“- /<Х>-1ГР		24x	„	Л —	при	о < x	<	—; я	2 l — X)	я 	— при — < x < я; л	2 -К— X) —-/(х + Я»: rslnx sin Зх sinSx \ k !	У	5’	)				/		
lit) ((*)- '“’"f-T		» х прн 0 < х < я; 2л — х при л < х < 2л: cos х созЗх cos ох	\ 1’	3»	У ’ “ J					/Тч У4	
							a f ?г	
ля	,,	Ьх	л /(х)м— при 0 < х < a: и Цх)-*Ь прн а < х < я — а; %	4(Л —X) f (х) — —1	— прн л — я < х < л; /(х)--Г(- х)-~/ (х + п); — sin a sin х + — sin 3a sin Зх 4- — sin Sa sin 5x +   l1	3»	S’						и	t
/<х>" x (л — x) при и < x < я: / (— X) - — f (X) прн — л < х < 0; ...	8 / sin к sin Зх sin 5х н“-т(—+—+—+”			)					
Если рядом Фурье представляется функция /(*), за-
данная в произвольном интервале [и. а+2л] длиной 2л.
то коэффициенты ряда оо, а*. 6* (коэффициенты Фурье)
можно определить по указанным формулам, в которых
пределы интегрнровання заменены на а н а+2л. Вооб-
ще, поскольку в формулах для Оо, а>, б* стоят функции
с периодом 2л, интегрирование можно проводить по лю-
бому интервалу с длиной 2л.
Ряд Фурье может быть использован для прибли-
женного представления функции, а именно: функция
1(х) заменяется приближенно равной ей суммой s„(x)
первых нескольких членов ряда Фурье:
I (х) « sn (х) = -у- + Oi cos х -f- bt sin х +
+ atcos2x-(-b1sin2x+ ... -|-ancosnx+ bnsinnx.
Выражение s«(x), где ao, at, fr* являются коэффициен-
тами Фурье функции /(х), по сравнению с другими вы-
ражениями такого же вида с тем же значением п. ко
с другими коэффициентами, приводит к минимальному
среднему квадратичному отклонению s«(x) от /(х), ко-
торое определяется как
Jl/W- snU)l»dx.
В зависимости от рода симметрии функции возмож-
ны некоторые упрощения. Если функция четная, т. е.
/(-л)-/(х). то
О
a*= — (x)cosftxdx» — О (Л «=1, 2, 3-..)
и
1.20. РЯДЫ ФУРЬЕ
73
Таблица 1.27
График функции			Ряд Фуръе	п
				
	<	>- —л 1	лл а —	 п 1	
		~1 2сГ 1 innM _	T’ + T’S'^' ’In»«««»%<«-и	1,2.3- . .
			ГПТП- I 		
			2рс , 4р VI 1	. _ 	J-—	— sin a_ccosa_ с cos а к	1.2.3. . .
	—1 2с к-	—J 2с 1— ! С Н /Р 1	1	J» 'i* t М я •s|- 4* Э	3 а« е» 8 “•	3 з° N а	
liiiniiiiiiiiiH		tilltill IIIIIIM		1.2.3. . .
-Isck ' ill|fcp |			Р	Р Vi —+ -£-!«»% (*-*)	1.2.3. . .
	'Г"	12кД_	Р . 2Р V 	1	7. cos a„ е cos а к	1.2.3. . . 1,3.5. . .
		р	1	Р , 4р	1 		1	Л —я- cos а к	
	1 .Р	-^ттгггГ?ГП|гГП ла парабола	2	Х>	аа р	V 1 	У “7 C0S “и Л 2 X’ / t	п	
П!1!1!1!11|ЯН1				1.3.5. . .
			" “л	
			тр+^Е'?(_пп+'"5''пЖ	1,2.3. . .
	р	Kt парабола	ап	
	жгцштямвнм		32р V 1 / 	71	(— 1)	cos а к	1.3.5. . .
Ш! HUH		МШИ»		
		Г		
Таблица | .*»
График функции	Pei Фурье	I	Л
1“— А	~|* л—*	лп °и “ — я X	
; *,2сг	4р	1	
Г	1ПТП-Р _	— у — sin a г sin a » sin a x A	1, 2. 3...
		
ш|	 |птпп4» |нцццц|-Р . [пт	— + — V — sin a x 2 X	« p ъ> Vi i . 	> — sin a x 2 X £ a„ я	1. 3. 5... 1. 3. 5...
I' 1	2P V , — 7, sin a_ t sin a„ к	1. 2. 3...
ТЧе-r J	K	л	л	
! ^’^•ЦпЩРр	1	2p V 1 . —- > 	sin а к X Zjan n	1. 2. 3...
	— V1 — (— l)n+1 sin a z	1, 2. 3...
74
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
и функция разлагается в ряд по косинусам. Если функ-
ция нечетная, т. е. /(—*)—,Дх). то
Оо = О, д* = 0,
Ь*= — I
я г'
sintxdx № = 1,2.3...)
и функция разлагается в ряд по синусам. Если функ-
ция удовлетворяет условию Дх+л) ——Дх), т. е. кри-
вая, относящаяся к половине отрезка длиной 2я, явля-
ется зеркальным отражением другой ноловяны кри-
вой, то
2 С
aj*+i = — j / (х) cos (2ft + 1) xdx;
2 Г
6J*+l = ~ | / M sin (2* + I) xdx;
an = 6«* = 0.
Функция может быть задана не только ка отрезке
длиной 2л, но также на отрезке любой длины 21. Если
она на этом отрезке удовлетворяет приведенным выше
условиям, то она разложима в ряд Фурье следующего
вида:
ап	лх	лх	2пх
/(х) = -у + a, cos —— + 6i sin -у + a, cos —— 4-
2лх	Лях . Лях
4-6.sin—— + -.. 4-o*cos—j-l-6*sin-y-+ ...
причем коэффициенты ряда вычисляются по формулам
I	I
оо= у J/(x)dx, п*=у J/(x)cos-y-dx,
-I	-I
If, . йлх ,
6* = у | /(x)siny-dx.
В табл. 1.26 даны разложения некоторых функций.
Тригонометрический ряд можно записать в в таком
виде:
/(х) = Я© + Rn sin + ф* j.
Символом о j обозначается такая величина, что
р. о (y-J -» 0 при Р-» о».
Разложение в тригонометрический ряд называют
гармоническим анализом, а тригонометрические функ-
ции, входящие в этот ряд, — гармониками. Вычисление
по составляющим гармоникам называется гармоничес-
ким синтезом.
При расчетах конструкций часто приходится разла-
гать в ряд Фурье различные функции, заданные графи-
ками. и прежде всего изображающие нагрузку. В табл.
1.27 и 1.28 даны разложения для некоторых функций,
характерных для нагрузок, в том числе н ряды, соот-
ветствующие сосредоточенным силам.
1.20.2. Интеграл Фурье
Если функция Дх) на любом конечном интервале
удовлетворяет условиям, указанным в 1.20.1, в если при
этом сходится интеграл
J |/(x)|dx,
то справедлива формула (интеграл Фурье)
оо	со
Hx)=-yje"“du J /(Г)«-,“'Л =
= — du J / (<) cos и (I — х) dt.
Если f(x)— четная функция, то справедливы соот-
ношения
/(х) = — j g(u)cosuxdx,
и
g(u) = f / (О cos cdd/
b
(косниус — преобразование Фурье).
Если f (х) — нечетная функция, то
2 f
/(х) — — I g(u)sinuxdx,
я J
где

tg<P»= — •
о*
₽(«) = ! /(О sin utdt
Ряд Фурье функции Дх) сходится тем скорее, чем
более гладкой является функция. Если функция Дх) и
ее производные /Дх), )"(х),.., /|,_|,(х) всюду непре-
рывны, а Р*>(х) допускает лишь точки разрыва 1-го ро-
да в конечном числе, то коэффициенты Фурье а., 6„
функции Дх) будут
(синус — преобразован не Фурье).
В табл. 1.29 по аналогии с табл. 1.27 п 1.28 пред-
ставлены в виде интеграла Фурье некоторые функции,
характерные для нагрузок1
1 Тебя. 1.27. 1.28 и 1.» взяты нэ книги Beton—Kalender, 1955,
ч. 11. Verl W. Ernst.
I.Я. РЯДЫ ФУРЬЕ
75
График функции
I— с — — с—-I
1.20.3. Приближенный гармонический анализ
Формулы Чебышева. Во многих случаях (например,
если вычисление коэффициентов разложения представ-
ляет трудности, если функции заданы графически или
в табличной форме) применяют другие приемы разло-
жения в трнгонометрнческий ряд. Одни нз них заклю-
чается в замене интегралов суммами.
Пусть период 2л разделен иа т равных частей точ-
ками
*о = 0; *,, ......хт = 2я
** = -------ДЛЯ 4 = 0, 1,2..........m
; т	i
н значения функции ((*»)=/» заданы или могут быть
намерены. Тогда для вычисления коэффициентов суммы
/(*) = а0 + о, cos * + ascos 2* + ... +
+on_i cos (n — 1) * + oncos nx + bt sin * +
-t-d,sin2x + ... +6n_lsin(n— 1)*,
76
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
содержащей 2л коэффициентов, при т-2п можно
пользоваться следующими формулами:
где
/7ШО = 2 S /*; та„ = Б (— 1)* fo;
fc-1	Л-1
т
moD = 2 £ fitcospxit, р = 1,2..........л— 1;
t-1
шбр = 2 £ Ik sin pxk, P = 1.2.....n — 1
(формулы Чебышева — Бесселя).
Формулы по методу наименьших квадратов. При
ш>2л, т. е. когда число измерений превышает число ко-
эффициентов, следующие формулы дают нанлучшее
приближение по методу наименьших квадратов:
mo0 = 2£f»; mop = £/а cos рх*;
mbD = Е fksinрх*; k = 1,2,.... m;
k
р=1,2......п; т>2л
Если ограничиться первыми тремя гармониками и ес-
ли не требуется большая точность, можно вычислить
коэффициенты разложения по следующей схеме:
/ (х) = а0 + Oi cos х + о, cos 2х + о, cos Зх +
+ sin х + Ьг sin 2х + bt sin Зх;
о# = _jy <.'« + /i+/i+	+ fio+fn);
a, = — Ila — la~i~ta — h+f» /ю)1
О
6, = ~ (/1 — /а + la — h +1» /11)!
О
bi = “ (/э — /о) + bai
= "J" ~ ~~ °3’
= "T'tfo — / з +k — />)•
4
-'m
Для вычисления Ьг разделим период 2л не иа 12 час-
тей, как для вычисления других коэффициентов, а иа
8 равных частей, допуская, что соответствующие зна-
чения
можно снять с графика; тогда
б» = ~7~ (7т~ 7з + 7« — /7)-
4
Пример 1.16. Найти приближенную формулу для три-
гонометрического ряда, представляющего наблюдения,
приведенные в табл. 1.30.
Таблица 130
А	А	1.	А	А	А
2,714 |	3,042 |	5.134	1,273	0.738	0.43S
А	А 1	А	А	/<•	А.
<>.370 |	0,5441 |	<1,191	-0,357	-0.437	0,767
Пользуясь приведенными выше формулами, находим
II
во =	J] Ik = 6 * * * * 11.50°-jy = 0,96ft
as = 0,271; 6, = 0,100: 6, = 0.915;
a, =0.901; a, =0.542.
Построив график функции f(x) и сияв с него ординаты
h, la. fa. h. получим 46a«fi—/а+/а—/т“2,36, откуда
б}-0,59 (приближенно).
Таким образом, приближенная формула для искомо-
го ряда Фурье будет
I (х) = 0,96 + 0,90 cos х + 0,54 cos 2х + 0,27 cos Зх +
4-0.92 sin х+ 0,59 sin 2х + 0.10 sin Зх.
Гармонический анализ и синтез можно производить
посредством приборов (гармонических анализаторов и
синтезаторов).
1.21.	ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1.21.1.	События и вероятность
В теории вероятностей событием называется резуль-
тат опыта, осуществляемого прн заданных условиях.
Событие называется достоверным, если оно ненэбежио
происходит при данных условиях. Если же прн данных
условиях событие заведомо не может произойти, то оно
называется невозможным. Событие называется случай-
ным, если при данных условиях оно может произойти,
а может н не произойти. Для оценки возможности реа-
лизации случайного события каждому событию ставит-
ся в соответствие некоторое число, называемое вероят-
ностью.
Вероятность невозможного события принимается рав-
ной нулю; вероятность достоверного события считает-
ся равной единице. Вероятность любого случайного со-
бытия заключается между нулем и единицей. Она мо-
жет определяться различным образом для разных
классов задач, но в согласии с правилами (аксиомами)
сложения н умножения вероятностей, которые для ко-
1.21. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
77
вечного числа событий указываются ниже (современная
теория вероятности построена аксиоматический путем
без конкретизации самого понятия вероятности: cn. [I]).
Простейшее (классическое) определение вероятности
Р(Л) события А выражается формулой
где N — общее чнело раоновозможных я несовместимых
случаев; и — число случаев, благоприятствующих собы-
тию А (случай называется благоприятствующим собы-
тию А, если прн реализации этого случая реализуется
н событие Л).
Указанная формула может также служить опреде-
лением (статистическим) приближенного значения ве-
роятности события А, если в результате большого чис-
ла N испытаний событие А реализуется п раз..
В задачах, где появлению события А соответствует
попадание точки в часть и области О, вероятность Р(А)
может быть определена (геометрически) по формуле
(mes и, mes Q — меры областей в> и й; в частности, для
двухмерной области мерой является ее площадь).
Если вероятность события А меняется в зависимости
от того, произошло лн событие В или нет, то событие
А называется зависящим от события в. Событие А на-
зывается не зависящим от события В. если вероятность
Р(А) не зависит от того, произошло лн событие В или
нет.
Вероятность события А, вычисленная прн условии,
что произошло событие В, называется условной вероят-
ностью события А и обозначается Р(А1В).
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного
из событий А и В, называется суммой событий А я В
и обозначается А + В. Событие, состоящее в наступлении
обоих событий А и В, называется их произведением и
обозначается АВ.
Правило сложения вероятностей выражается фор-
мулой
Р(Л + В) = РМ) + Р(В),
которая обобщается на любое число слагаемых.
Правило умножения вероятностей имеет вид
Р(АВ) = Р(А) Р(В/А).
Это равенство для независимых событий А и В перехо-
дят в следующее:
Р (АВ) = Р (А) Р (В)
и обобщается на любое число сомножителей.
Пусть событие А может осуществляться с одним и
только с одним нз п несовместимых событий Bt, В* ....
Вя. Тогда имеет место равенство
P(A) = i PiBriPiAIBfi,
которое называется формулой полной вероятности.
Прн том же условии относительно события А веро-
ятность события В.» если событие А произошло, опреде-
ляется по формуле
Р(Я(/Л) = _£!^И1^_
Z p(Bt)P(AiBa
называемой формулой Байеса, или формулой вероятно-
сти гипотез.
Пусть производится п испытаний, каждое нз которых
может иметь два исхода — появление и непоявление со-
бытия А. Пусть, кроме того, вероятность р появления
события А прн каком-нибудь испытании не зависит от
номера этого испытания и от результатов остальных ис-
пытаний (такие испытания называются независимыми).
Тогда вероятность того, что при m испытаниях событие
А наступает, а прн п-m испытаниях не наступает, ес-
ли ее обозначить Р„(Л), определяется по формуле

где
о
п!
гл! (л — /71)1

Эта формула выражает так называемое биномиальное
распределение вероятностей (название связано с нали-
чием в формуле биномиальных коэффициентов )«
1.21.2.	Случайные величины
и их характеристические числа
Случайной называется величина, которая принимает
повторных опытов.
дискретна, т. е. ее значения
могут быть перенумерова-
ны. то она определяется
своими значениями хь х7...
и нх вероятностями plt р*..
Если случайная величина
непрерывна, т. е. заполняет
своими значениями всю
числовую ось нлн некоторые
ее интервалы, то эта вели-
чина X определяется обла-
стью своих значении н
различные значении в результате
Если случайная величина Л
И-2
-3-2-1 0 12 3
Рнс. 1.87	функцией распределения
F(x). выражающей вероят-
ность того, что X принимает
какое-либо значение (безразлично какое именно), мень-
шее. чем х, т. е. Г(х) »Р(Х<х). Производная этой
функции F'(x) называется плотностью вероятности нлн
дифференциальной функцией распределения. Если обо-
значить плотность вероятности через /(х), то
/(x) = F'(x): F(x) = f/(x)dx.
—ОО
Для выражения существенных особенностей распре-
деления случай мой величины X вводят характеристиче-
ские числа. Основными из них являются так называе-
мые моменты первого и второго порядка, нлн, иначе,
математическое ожидание М(Х) н дисперсия D(X). Для
дискретной случайной величины X, принимающей зна-
чения Xi, х21 .... хЛ с вероятностями рь рз, рж:
п	п
М(Х)= Е Х/РГ. D(X) — Ъ (X/ — /л)® р/.
«“I	г=1
Здесь н ниже для сокращения записи введено обозна-
чение m-Af(X). Для непрерывной случайной величины
X с плотностью вероятности /(х)
М(Х) = f x/(x)dx; D(X) = f (x-m)=/(x)dx.
78
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Корень квадратный из дисперсна называется сред-
ним квадратичным отклонением (нлн стандартом) и
обозначается о, т. е.
а=УЪ(Х).
При изучении непрерывных случайных величии ши-
роко используется нормальное распределение (нлн рас-
пределение Гаусса), характеризуемое плотностью ве-
роятности
!(*)=—-~е ** .
а V 2л
Этой плотности Дх) соответствует функция распреде-
ления
При нормальном распределении математическое ожи-
дание н среднее квадратичное отклонение (стандарт)
окаэываютси соответственно равными числами m и а из
формулы для /(х).,При m-О. о-| получается нормиро-
ванная случайная величина X, для которой ЛДХ) — О,
D(X)-1 и
Эти функции табулированы (интеграл во втором равен-
стве называется интегралом вероятности, или интегра-
лом Гаусса).
Важное значение в теории вероятности имеет закон
больших чисел. В простейшем варианте (теорема Я. Бер-
нулли) он формулируется следующим образом.
Пусть п — число наступлений события А в N неза-
висимых испытаниях, ар — вероятность наступления
события А в каждом нз испытаний. Тогда дли любого
фиксированного сколь угодно малого числа е>0 имеем
Лт/(|т-р| <е)=’-
Если для случайной величины Хн выполняется равен-
ство lim Р (| X — А | < е |) =-1,	то говорят, что л м схо-
днтся к А по вероятности. Теорему Я. Бернулли можно
сформулировать так: частота nIN события А сходится
по вероятности н вероятности р этого события в каж-
дом испытании.
Наряду с одномерными случайными величинами, ко-
торые определяютсн значениями одной переменной,
встречаются величины, определяемые значениями двух
и более переменных. Для двухмерной случайной величи-
ны (X, У) вводится функция распределения F(x, у), вы-
ражающая вероятность того, что составляющие случай-
ные величины X и У принимают значения, соответствен-
но меньшие, чем хну, т.е.
F(х,у) = Р(Х < х, У <у).
Плотность вероятности f(x, yi для (X, У) определя-
ется как предел отношения вероятности попадания слу-
чайной величины в бесконечно малый прямоугольник,
примыкающий к точке (х, у), к площади этого прямо-
угольника. Тогда
f(x,y)	п*,ю=J J/(x.0dx<(p.
— СО
Составляющие X и У двухмерной случайной величи-
ны могут быть либо независимыми друг от друга, либо
находиться в некоторой зависимости. Необходимое и до-
статочное условие их независимости выражается ра-
венством
f(*-y) = fi(x)ft(y).
Для двухмерной величины с независящими составляю-
щими нормальное распределение характеризуется сле-
дующей плотностью вероятности Дх, у):
(*-mx)1 (»~mti)i
Входящие в это равенство постоянные тг, ту ока-
зываются равными математическим ожиданиям состав-
ляющих X, У, а аж, ак — нх средним квадратичным от-
клонениям (стандартам).
1.21.3.	Задача математической
статистики
Основная задача математической статистики состоит
в установлении распределения реальной случайной ве-
личины или ее числовых характеристик по наблюден-
ным значениям этой величины, причем используя не всю
совокупность возможных значений (генеральную сово-
купность), г лишь часть ее — выборку.
Для решения этой задачи делается предположение о
структуре искомого распределения. Иногда это удается
по теоретическим соображениям, а иногда — по распо-
ложению на чертеже точек, отображающих наблюден-
ные значения случайной величины, число которых долж-
но быть достаточно большим для применимости закона
больших чисел. Если, например, ожидается нормальное
распределение, то искомых параметров два: математи-
ческое ожидание т и среднее квадратичное отклонение
о. Задача ставится не об отыскании точных значений
параметров, а лишь об нх вероятных значениях. С этой
целью задаются достаточной (для рассматриваемой
практической проблемы) вероятностью, называемой
доверительной, и находят интервал, называемый дове-
рительным, покрывающий значения искомого парамет-
ра. При этом используют эмпирические параметры, вы-
численные по наблюденным значениям случайной вели-
чины.
По нахождении параметров устанавливают плот-
ность вероятности согласно заранее сделанному пред-
положению о ее структуре. В более ответственных слу-
чаях требуется сверх того проверка полученного рас-
пределения в целом, что осуществляется с помощью так
называемых критериев согласия.
В настоящее время статистические методы широко
исяользуются прн решении многих технических вопро-
сов. В частности, эти методы используются в строитель-
ной механике прн исследовании: устойчивости конст-
рукций с учетом возможных отклонений задаваемых ус-
1.22. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИНЕИНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
79
ловий от реальных; колебаний упругих систем под дей-
ствием случайных нагрузок; накопления повреждений в
результате различных случайных обстоятельств и т. д.
1.21.4.	Основы теории корреляции
Нередко наблюдаются случайные величины, между
которыми имеется некоторая зависимость. Например,
прочность бетона каи-то зависит от количества воды,
вводимой в бетонную смесь: однако прочность зависит
также от соотношения между колнчествамн цемента н
заполнителей, так что прн данном количестве воды воз-
можны различные прочности. Зависимость такого рода
не функциональная, поскольку каждому значению аргу-
мента соответствует некоторое распределение другой
переменной: эта зависимость статистическая.
Допустим, что в табл. 1.31 приведены численные ре-
зультаты наблюдений над двумя переменными: в ней
даны значения обеих переменных к числа появлений
соответствующих пар значений.
Таблица IJI
	х, г,. .	х,. .		
1/.	"11 "»1’ ’	• ”11 • •	•л*1	
Vt	«и Я1в .	• "п- •	• "и	П(Р|>
»/	”17 лэ/ •			"1«7>
		. .	а .		
в!	"1/ "1/  л(х.) л(х,).	"U  • . Л(хр.		я
По такой таблице могут быть вычислены различные
числовые характеристики, используемые в формулах и
уравнениях теории корреляции. Например, полные сред-
ние значения обеих переменных Хь, Уо отыскиваются по
формулам
*0 = — J] Xi п (xfr, у„ = у/ п (у,).
М	г-1
Непосредственное изучение статистической таблицы
может дать лишь поверхностное представление о зави-
симости между обеими переменными (даже в преде-
лах наблюденной выборки). Лучшее представление мо-
жет дать сопоставление средних значений одной вели-
чины со осени значениями другой. Такая зависимость
называется корреляционной. О структуре этой зависи-
мости первоначально судят по отображению статистиче-
ской таблицы на чертеже.
Нередко оказывается, что построенные точки груп-
пируются вдоль некоторой прямой, так что искомую
связь предполагают линейной. Тогда ищут функцию в
форме у=ах+6 и подбирают коэффициенты по спосо-
бу наименьших квадратов, причем оказывается, что ис-
комая прямая проходит через точку (хо, Ро)- Линейное
уравнение приводят к виду у—уо=р»х(х—*о). называе-
мому уравнением регрессии у на х; здесь р=2(х<—x«)
2
(у<—Ус)пц1по‘ и вычисляется по статистической таб-
лице.
Полезно (даже, если по физическому смыслу пере-
менные неравноправны) составить также уравнение
регрессии х на у: взаимное расположение обеих пря-
мых дает довольно ясное представление о тесноте ли-
нейной зависимости. Для уточнения тесноты образуют
выражение, симметричное относительно обеих перемен-
ных и называемое козффициентом корреляции,
Е (х,—x0)(yj—y„)ni/
IJ
г =------------------------.
flOjf Оу
При г—0 линейной корреляции нет (прямые парал-
лельны координатным осям); при |г| = 1 имеется функ-
циональная зависимость (прямые совпадают); при 0<
< |r| < 1 есть линейная корреляционная зависимость; с
возрастанием |г| теснота связи возрастает.
Прн |г| =0,4 считают линейную связь слабой и ищут
другую связь, о структуре которой заключают по рас-
положению точек, отображающих статистическую таб-
лицу. И в этом случае подбирают коэффициенты наме-
ченной связи по способу наименьших квадратов и про-
веряют тесноту связи по корреляционному отношению,
получаемому нэ той же статистической таблицы.
1.22.	ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНОМ
ПРОГРАММИРОВАНИИ*
1.22.1.	Задача математического
программирования
Экстремальное (максимальное или минимальное)
значение функции f(x) =f(xh xt,.... хп), зависящей от п
переменных х< (i= 1, 2, ..., л), если на эти переменные
не наложено никаких ограничений, определяется нз ре-
шения и в общем случае нелинейных уравнений
^ = 0 (7 = 1,2.........л).	(I)
дх(
Решение такой системы единственно тогда, когда
матрица, составленная нз вторых частных производных
L(x) = ||d,f(x)/dx<dxj||, имеет отличный от нуля опреде-
литель (ранг равен л).
 Автор в. 1.22. А. М. Проценко,
Точка х*. удовлетворяющая системе (I). есть точка
безусловного экстремума н является точкой максимума
(минимума), если матрица Цх*) строго отрицательно
(положительно) определенная.
Определение экстремального значения /(х) прн до-
полнительных условиях
♦*(х) = 0 (й=1.2......т)	(2)
и прн условии, что ранг матрицы Цдфя/dxdl меньше л,
сводится к определению безусловного экстремума функ-
ции Лагранжа
Л(х,1) = Нх)+ ЕЛлЫх). (3)
л—1
80
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
Значения множителей Лагранжа К* (А= 1, 2, ш)
выбираются так, чтобы уравнения (2) выполнялись.
Значения (х*. А*), удовлетворяющие (2) н доставляю-
щие (3) экстремальное значение, называются координа-
тами седловой точки функции Лагранжа, а х* есть точ-
ка условного экстремума функции fix) прн условиях (2).
Задача математического программирования — опре-
деление максимального значения функции f(x) прн ог-
раничениях типа (2) и дополнительных ограничениях в
виде неравенств
SvW>0 (Т = 1.2-------s).	(4)
Такне ограничения вносят существенные качествен-
ные нэменення в задачу н решение х*. доставляющее
f(x) максимальное значение н удовлетворяющее усло-
виям (2) н (3), называется оптимальным планом за-
дачи.
Наиболее широко исследованы задачи, когда псе
функции Цх), ф»(х) и gT(x),выпуклые. Выпуклость не-
которой функции F(x) определяется условием F(Xx'+
+(l-A)/)<AF(x') + (l—A)F(x") (0<Х<1). Частный
случаем является линейность всех функций f, фа и .
В таком случае определение максимума f(x) прн линей-
ных ограничениях (2) и (3) является задачей линейно-
го программирования.
1.22.2.	Формулировка задач
линейного программирования
Естественной формой задачи линейного программи-
рования является задача об определении максимума ли-
нейной нелепой функции, обычно называемой линейной
формой.
)(х) = с,х1 +с»х>+---4-спхл	(5)
прн соблюдении т лннейных равенств и s /инейных не-
равенств
бц*1 + 615х2 -|-------1- Ь1п х„ 4- Pi - - О,
6ml *1 + 6m 2 X's 4--|-6mn хп 4" Pm—0.
°n*i 4“ я1гла 4-  —I- flin xn 4- 4n 0»
(6)
(7)
о,IX1 4- ns;Xj ч----h °sn xn 4" 4 > 0.
Значения x, i = l. 2,..., n). удовлетворяющие всем
условиям (G) и (7), называются допустимыми решения-
ми. Значении х] ('= I, 2, .... п), являющиеся допустн-
..:ь!мн н сообщающне форме (5) максимальное значение,
называются оптимальным планом задачи.
Уравнения (6) прн ш<п задают (п—ш)-мсрное
лз:к*й:юс многообразие в л-мерном пространстве ис-
иэтсстннх Хь Это будет только в том случае, если ранг
:лточны Я. составленной нэ коэффициентов уравнений
(G), .labcuM.'i.Tbiiijfi и равен т
В 
f’u'Jit • • • 61л
6«|6-2 - - . 62я
6m|6m2 - - - б.пп
Неравенства (7) определяют в л-мерном прост-
ранстве неизвестных xt выпуклый многогранник. Нера-
венство
Х1 жв 4---------1" aiji хп 4" С, > 0	(8)
называется жестким, если выполнение какой-то группы
неравенств нз остальных неравенств (7) превращает (8)
в строгое равенство. В противном случае неравенство
(8) называется нежестким. Например, неравенство
—х+о>0 будет жестким, если х—а>0. и неравенство
—х+а> 0 будет нежестким, если х—6 »0 прн Ь<а.
Неравенство (8) несовместно с остальными нера-
венствами (7), если средн всех х°, удовлетворяющих
л—1 неравенству (7), нет х, удовлетворяющего (8).
В противном случае неравенство (8) совместно с ос-
тальными неравенствами (7).
Многогранник, описанный условиями — неравенства-
ми (7), является выпуклым телом (л-мерным выпу-
клым телом), если ранг матрицы А, составленной из
коэффициентов прн неизвестных в неравенствах, равен
мни (s. л) и средн неравенств (7) нет жестких. Други-
ми словами, если существуют некоторые значения х,
(4=1. 2, .... л), при которых все неравенства (7) явля-
ются строгими,
апх|4-ав^4"-+ °<лхп 4-4 >° 0 = 1.2..........л),
то многогранник — выпуклое тело. В двухмерном прост-
ранстве (иа плоскости) многогранник (7) — плоский
многоугольник. В трехмерном пространстве это много-
гранник в обычном понимании. В пространствах боль-
шей размерности многогранник (7) — обобщенное по-
нятие. перенесенное из трехмерного представления.
Система неравенств —Х|—xi—...—х„4-1>0, х(>0
(>=1, 2, .... л) выделяет л-мерную пирамиду с осно-
ванием в виде гиперповерхности, наклоненной пол оди-
наковыми углами ко всем координатным осям, верши-
ной в начале координат (х=0) и длиной каждого реб-
ра, равной единице. Такой многогранник называется
симплексом.
Сечение многогранника, определенного условиями
(7). линейным многообразием, заданным уравнениями
(6), есть множество допустимых решений задачи, кото-
рое в свою очередь есть выпуклый (п—гл) — мерный
многогранник. Координаты вершин этого многогранника
называются множеством опорных планов задачи. Опти-
мальный план находится в этом множестве.
Векторио-матричивя формулировка задачи. Вводят-
ся следующие векторы и матрицы: х=(хь Хз, .... ди-
вектор неизвестных, с=(сь с}.... с»)' —вектор цен
(термин из экономической трактовки задачи) нлн вектор
коэффициентов целевой функции, < = (Л, /j.Л)'—век-
тор в неравенствах н p~(pt, Pi...........РтУ — вектор в ра-
венствах. Так же вводятся матрицы: В размером тхп,
составленная нз коэффициентов прн неизвестных в
уравнениях (6) н А размером зхл. составленная нз ко-
эффициентов прн неизвестных в неравенствах (7). Сим-
вол (') означает транспонирование вектора нлн мат-
рицы. В таких обозначениях задача о максимуме (5)
прн ограничениях (6) н (7) записывается в весьма ком-
пактной форме
Bx-f-p = 0, Лх-(-/>0. с'х— макс. (9)
Нормальная форма задачи. В такой форме средн л
неравенств (7) имеются условия неотрицательности
всех переменных, которые выделяются в отдельную
группу условий
х > 0 нлн х/ > 0 (i = 1,2,..., и).
1.И. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЛИКЕРНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
81
В нормальной форме отсутствуют уравнения (6). а
задача формулируется только с помощью ограниче-
ний — неравенств
Zx + />0. х>0, с'х-макс. (10)
Здесь матрица А ис включает условия х;0.
Условие х^гО задает так называемые несвободные
переменные в отличие от залачн (9). где все перемен-
ные свободные, т. е. ограничений по знаку ист.
Каноническая форма задачи. В этой форме ограни-
чения записаны только в виде равенств для несвобод-
ных переменных
Вх + р = 0, х>0, с'х-макс. (II)
Переход от нормальной формы к канонической возмо-
жен введением дополнительных s переменных хп ц (/=*
—=1.2. .... з) — по числу неравенств я нормальной фор-
ме. и расширением матрицы А на s столбцов присоеди-
нением единичной матрицы размером sXs
В=||Л, -Е.Ц =
ОцАи. - -а1п— 1 0. . . 0
0210м» • -Ойл 0—1 . . . О
(12)
anasi • • • о$л 0 0 . . . —1
Считая новые переменные (л-f-s)-мерным вектором
х= (xi, xi.. хп+<)'. приходим к канонической форме
задачи (II), в которой следует считать p=t.
Смешанная форма задачи. Эта форма содержит в
качестве ограничений равенства и неравенства н отли-
чается от естественной формы тем. что все переменные
несвободные
Вх + р = 0, Лх-|-Г>0, х > 0. с'х—макс.
Определение минимума целевой функции. В тех слу-
чаях когда вместо максимума линейной формы (5)
требуется определить минимум, тогда вводится обрат-
ная по знаку целевая функция F(x) —f (х) -—с'х, для
которой определяется максимальное значение. В этом
случае — мни (—с'х) =макс (с'х) при одних и тех же ог-
раничениях задачи.
1.22.3.	Двойственные задачи
линейного программирования
Естественной формулировке прямой задачи (9) соот-
ветствует двойственная задача с m-f-s переменными —
по числу равенств и неравенств прямой задачи. Целе-
сообразно эти переменные разделить па две группы и=
= (Ui, u2  Um)' — m-мерный вектор (no числу ра-
венств) н-и=(О|, v}..... V,)' — з-мерный вектор (по
числу неравенств прямой задачи). Целевой функцией
двойственной задачи являете» линейная форма
а (и. о) = р'и — t'v -	+ pyi, -|---)- рт ит —
/>0] 1*1*2 —' •	(j Vf.	(13)
Ограничения двойственной задачи следующие
В'и — А'о + оО. о s> 0.	(1-1)
Здесь переменные ui («—!. 2. .... m) являются сво-
бодными, а переменные о(: 0 (з = 1, 2.. з)—несво-
бодными.
Если х*—оптимальный план прямой залачн. а и» и
о* — оптимальный план двойственной задачи, то
/(x*) = a(u*,t>*).
Нормальной форме прямой задачи соответствует
двойственная задача, заключающаяся в определении ми-
нимума линейной формы
г (<,) = — t’v	(15)
при ограничениях только в виде неравенств
— Л'» + о0	(16)
несвободных переменных oiO (о(>0, (—1, 2. .... з).
Здесь число неизвестных з равно числу неравенств
в прямой задаче, а число ограничений — неравенств
равно числу неизвестных в прямой задаче. Для опти-
мальных планов прямой н двойственной задач равенст-
во целевых функций будет:
/(х*) = г(о*).
Канонической форме прямой задачи соответствует
задача па минимум линейной формы
г(и)=р’и	(17)
при ограничениях — неравенствах
D'u-f-oO	(18)
и всех свободных переменных и< (7—1, 2, .... т).
Для оптимальных планов обеих задач равенство це-
левых функций
/(х*) = а (и*).
1.22.4.	Преобразования задач
к различным формам
Практически во всех случаях задача линейного
программирования должна быть ирнведена к нормаль-
ной. канонической или смешанной форме при несвобод-
ных переменных. Это необходимо в тех случаях, когда
прелусматрняается решенне задачи с помощью ЭВМ.
Естественная форма задачи может быть приведена
к канонической посредством перехода к двойственной
задаче (13), (14) с последующим преобразованием сво-
бодных переменных по одному нэ приведенных ниже
приемов.
Заменой переменных yl=Af(-|-xl, где Mi — достаточ-
но большие положительные числа, можно обеспечить вы-
полнение условий yt>0 (у>0) и, учитывая, что х(-у,—
—Mi (г=1, 2, .... л), получается следующая смешанная
форма задачи с несвободными неременнымн и(>0 («-1.
2...л).
Ву + Р = 0, Ау 4-1 > 0. у>0. с'у + со-макс. (1S)
где р — р — Вт, t = t — Am, с0— — с'т,
т = (М1,Мг.................Мпу.
Здесь число неизвестных не изменяется, однано если
Mi —достаточно большие числа, то оптимальный план
может быть определен с большой погрешностью.
Удвоение числа переменных. Каждая переменная
х< заменяется» разностью двух неотрицательных пере-
менных xi—xt—X/ или в векторной форме х=х*—х**.
В этом случае задача (9) записывается
Вх* — Вх** + р = 0, Ах* — АХ** +1» 0,	(20)
х* > 0, х** > 0, с'х* — с'х** — макс.
Такой метод приводит к удвоению числа перемен-
ных. а в вычислительном плане предъявляет повышен-
ные требования к точности всех вычислений.
82
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
Введение дополнительной переменной ш^О н пере-
ход н новым переменным по правилу	у„и=
приводит к новым (п+1) переменным, иа которые
можно наложить требования неотрицательности
(« —I. 2.п+1).
Преобразованная задача выглядит следующим об-
разом:
By + p = 0, Ay + t>0. р>0, с'у- макс (21)
Здесь В и А соответственно матрицы шХ(п+1) и
sX(n+l), образованные из матриц В и А по правилу
В = II В. fc|| . Л=М. а ||.
где й=(й'ь bi....Ь„У н а— (а,. а9....а,)' — векторы
размерности т и s соответственно и являются дополни-
тельными столбцами в матрицах В и А
bi = - ЕЬ/, (/ = 1,2.......т).
оу=— Еа/( (/ = 1,2.........s).
1=1
Компоненты этих векторов являются суммой всех
элементов строи матриц В и А, взятых с обратным зна-
ком. Вектор с имеет размерность п+1
Оптимальный план преобразованной задачи связан
с оптимальным планом исходной задачи следующим об-
разом:
=	2.....п).
Такой прием выгодно применять, когда ожидается,
что в оптимальном плане исходной задачи все перемен-
ные принимают значения одного порядка.
1.22.5.	Вычислительные методы
Как правило, решение задач линейного программиро-
вания возможно только с помощью ЭВМ. Для этой це-
ли дли ЭВМ разработаны стандартные программы ре-
шения задачи линейного программирования. Практиче-
ски все стандартные программы ориентированы иа не-
свободные переменные н на какую-нибудь стандартную
форму задачи — нормальную, каноническую и реже
смешанную. Поэтому переход от естественной формы к
стандартной практически асегда необходим.
Вычислительные методы отличаются по своей орга-
низации и используют различные модификации задачи.
Большинство стандартных программ построено иа
снмплекс-методс нлн его модификациях. Эти методы яв-
ляются конечными, так как позволяют за конечное чис-
ло вычислительных этапов получить оптимальный план
задачи, если он существует, или установить несовмест-
ность условий задачи или установить, что целевая
функция неограниченна. Решение задачи линейного
программирования ручными методами нерационально.
1.23.	ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН1
В за вися мости от способа представления информации
электронные вычислительные машины подразделяются
на машины дискретного н непрерывного действия. Нн-
1 Пользуясь данными настоящего раздела, следует учитывать
быстроту развития этой отрасли знаний. Еще недавно в отече-
ственной практике использовались главным образом вычисли-
тельные машины первого поколения (нв электронных лампах):
программирование выполнялось вручную иа языке машины, при-
чем составитель мн потребитель программы непосредственно ра-
ботал за пультом машины. Информация °® этой системе состав-
ляет основное содержание раздела. На смену машинам такого
рода пришли машины второго поколения (на полупроводниках).
С моментом их появления совпало начало автоматизации про-
граммирования. Программа составляется ня специальном алго-
ритмическом языке и с помощью трансляторов автоматически
переводится с этого языка на язык машины. Работа на таких
машинах второго поколения выполняется, как правило, в пакет-
ном режиме: программы объединяются в пакет и специальный
оператор пропускает их последовательно одну за другой. При
этом составитель и потребитель программы уже непосредствен-
но с машиной не общаются. Пакетный режим работы сущест-
венно повышает к. п. д. вычислительной машины.
Для машин третьего поколения характерна работа в режи-
ме с разделением времени, когда одновременно решается не-
сколько задач: поочередно для одной выполняется счет, для
другой — обисн информацией между различными устройства мн
машины.
Потребитель программы снова получает возможиоч-п. непо-
средственно общаться с машиной в режиме диалога, работая
за ее пультом. Прн этом пультов (терминальных устройств)
уже множество, м они. будучи соединенными с машиной кана-
лами связи, могут быть удалены от нее на тысячи километров.
Одновременно с машинами существенному совершенсткова-
нию подвергаются алгоритмические языки — они становятся бли-
же к человеческому.
Многие из упомянутых вопросов ые нашли освещения в дан-
ном разделе. Вместе с том в настоящее время отпали некото-
рые проблемы, характерные для периода ручного программиро-
вания. Для читателя, незнакомого с вычислительным и маигиняил
н программированием, приводимая здесь информация будет по-
лезной — без нее труднее уяснить современное состояние вопроса.
же рассматриваются основы применения электронных
машин дискретного действия.
Универсальные электронные цифровые вычислитель-
ные машины (ЭЦВМ) с программным управлением
предназначены для решения сложных математических,
логических и экономических задач. Отличительными их
особенностями являются универсальность, автоматизм
работы, быстродействие, программное управление. По-
следнее означает, что все операции, выполняемые
ЭЦВМ для преобразояання исходных данных в конеч-
ный результат, осуществляются по определенной про-
грамме, составленной заранее н вводимой в машину
имеете с исходными данными; под программой подра-
зумевается последовательность прнназов (команд) на
выполнение тех нлн иных операций.
1.23.1.	Некоторые принципы
действия ЭЦВМ
Системы счисления. Конструкция ЭЦВМ и процесс
программирования тесно связаны с системами счисле-
ния. Системы счисления подразделяются на позицион-
ные, в которых каждая цифра принимает различное
значение в зависимости от занимаемой ею познинн в
последовательности инфр. образующей число, и непо-
зиционные (например, римская система). Любое число
в позиционной системе счисления с основанием р пред-
ставляется в виде
N =ОлРпЧ------1-о1р + о0р0 +
+ a-ip~l -|---|-o-mp~m.
1.23. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

где ал, ал-..... о-™ — цифры р-й системы счисления;
число различных цифр равно основанию системы р.
В подавляющем большинстве случаев в современ-
ных ЭЦВМ используется двоичная система счисления
(в отечественной машине <Проминь> используется де-
сятичная система счисления).
В качестве промежуточного звена для записи про-
грамм на бланках для ЭЦВМ с двоичной системой
счисления используется восьмеричная система счисле-
ния.
Фиксированная и плавающая запятая. Прн исполь-
зовании ЭЦВМ применяются две формы представлении
чисел: с фиксированной и плавающей запятой. Первая
форма представления чисел предусматривает строго оп-
ределенное положение запятой относительно старшего
разряда. В большинстве машин, работающих в форме с
фиксированной запятой, последняя располагается перед
старшим разрядом; поэтому числа с фиксированной за-
пятой являются правильными дробями 0<|Л'|<1 и
изображаются в машине следующим образом: 6а, где
6 — знак числа, а — его абсолютное значение. Если
|Л‘| > 1, вводятся специальные масштабные множители
I N
1/М, такие, что 1—1 <1.
Изображение числа в форме с плавающей запятой
имеет вид: N^mp”, где р — основание системы счисле-
ния; m — мантисса числа; л —его порядок. Если ман-
тисса числа представляет собой правильную дробь с
первой значащей цифрой, расположенной в старшем
разряде, то такая форма записи числа с плавающей за-
пятой называется нормализованной. Мантиссы норма-
лизованных чисел удовлетворяют неравенству Чр^ш<
<1. т. е. для десятичных чисел 1/10^т<|, а для двоич-
ных 1/2<т<1. Таким образом, старшая цифра мантис-
сы нормализованного двоичного числа равна едниице, и
процесс нормализации состоит в сдвиге разрядов ман-
тиссы влево с одновременным уменьшением порядка до
тех пор, пока в старшем разряде мантиссы не окажется
единица. Все арифметические операции для машин, ра-
ботающих в форме с плавающей запятой, совершаются
над нормализованными числами. Числа в форме с пла-
вающей запятой представляются в машине в виде
6|п6а/п, где 61 —знак порядна; л — порядок; 6j — знак
мантиссы (самого числа); ш — мантисса (у разных
ЭЦВМ мантисса, порядок и их знаки могут быть разме-
щены в ячейке в различной последовательности относи-
тельно друг друга).
Для изображения числа в каждой ЭЦВМ отводится
конечное число разрядов. Пусть для изображения ман-
тиссы п н порядка л в разрядной сетке отведено соот-
ветственно ц и v разрядов. Тогда диапазон представи-
мых в машине нормализованных чисел определяется не-
равенством
г-2’ < J N | < (1—2" •*) 2V-1.
Диапазон чисел с фиксированной запятой, представи-
мых в машине, значительно уже. Пусть ант — количе-
ство разрядов, отводимых для изображения целой и
дробной частей, тогда
2-т<|АГ| <2° —2~\
Так как в большинстве машин, работающих в форме с
фиксированной запятой. <т=0, то
2“т< |W| < 1-2~т.
Например, разрядная сетка машины <Минск-22», рабо-
тающей в обеих формах, равна 37: величины ц, v и т
равны соответственно 28, 6 и 36. Поэтому для машины
<Мннск-22> диапазон представления чисел в форме с
плавающей запятой (нормализованных) составляет
2"“ <|.V|< (1—2-®)2“, а в форме с фиксированной за-
пятой —2-иС |W| С1— 2~к.
Большинство современных ЭЦВМ работает в обеих
формах — с фиксированной и плавающей запятой.
Из приведенных выше неравенств следует, что для
всякой ЭЦВМ существует максимальное по абсолютной
величине число, представимое в машине. Всякое боль-
шее (по абсолютной величине) число является машин-
ной бесконечностью, н появление его в процессе вычис-
лений вызывает переполнение разрядной сетки н ава-
рийный останов (АВОСТ) машины, предусмотрен-
ный на этот случай. С другой стороны, из тех же не-
равенств следует, что для каждой ЭЦВМ в окрестности
нуля существует некоторый интервал чисел, называемый
областью машинных нулей; машинный нуль может быть
положительным и отрицательным.
Ячейки оперативной памяти машины. Вся вводимая
в машину информация (исходные данные н команды
программы), а также промежуточные н конечные ре-
зультаты размещаются в специальных запоминающих
устройствах машины: оперативном н внешнем.
Оперативное запоминающее устройство машины
(оперативная память —ОП) содержит определенное
число ячеек. Все ячейки занумерованы; порядковый но-
мер ячейки называется ее адресом. Для машин, работа-
ющих в двоичной системе, ячейки памяти занумерованы
в восьмеричной системе счисления.
Число ячеек оперативной памяти (емкость ОП) яв-
ляется одним из основных параметров машины; обычно
оно равно степени числа два (2**, 2й и т. д ). Прн за-
писи в ячейку числа (команды) старое содержимое ее
автоматически стирается, при выборке информации из
ячейки содержимое ее сохраняется. Ячейки состоят из
разрядов, каждый из которых предназначен для записи
одной цифры. Совокупность разрядов ячейки оператив-
ной памяти называется разрядной сеткой машины.
Команды. Строение команды. Адресность машины.
Работа ЭЦВМ состоит в выполнении в некоторой задан-
ной последовательности определенного числа машин-
ных операций, выполняемых по специальным прика-
зам— командам. Все машинные операции занумерова-
ны числами натурального ряда. Номер операции назы-
вается ее кодом (код операции —КОП). Каждая
ЭЦВМ может выполнять конечное число различных опе-
раций, которым соответствует совокупность команд,
именуемая системой команд: последняя различна для
разных машин. Команды состоят из двух основных ча-
стей: кодовой, содержащей КОП, и адресной, содержа-
щей адреса тех объектов, над которыми выполняется
операция. По числу адресов, записываемых в одной
команде, ЭЦВМ подразделяются в основном на три ти-
па: одноадресные (например. ЭЦВМ серин <Урал>,
БЭСМ-6), двухадресные (например, <Мниск-22>) и трех-
адресные (например, М-220). Принципиальный вид
соответственно:
|КОП|А | |КОП|А, |А, | |КОП| А, |А,| А,|
Число разрядов ячейки, отводимых для записи адреса
и кода операции, согласуется с емкостью оперативной
памяти к числом команд ЭЦВМ.
Порядок выполнения к виды команд. Решенне зада-
чи на ЭЦВМ выполняется автоматически: команды
программы в определенной последовательности переда-
ются из памяти машины в устройство управления, рас-
шифровываются и направляются в виде специальных
сигналов в различные устройства машины, которые на
84
РАЗДЕЛ t. МАТЕМАТИКА
основании этих сигналов выполняют соответствующие
операции.
Различают два типа машин: со свободным и задан-
ным порядком выполнения команд. В ЭЦВМ со сво-
бодным порядком выполнения команд в каждой коман-
де указывается адрес следующей выполняемой коман-
ды, т. е. адрес ячейки 'Памяти, в которой хранится сле-
дующая команда. В ЭЦВМ с заданным (есте-
ственным) порядком выполнения команд адрес
следующей команды, как правило, образуется из адреса
очередной команды путем прибавления и нему едини-
цы. Когда же возникает необходимость нарушить есте-
ственный порядок выполнения команд, переход к следу-
ющей команде осуществляется специальной командой
перехода. Все отечественные и большинство зарубежных
ЭЦВМ относятся к этому типу.
Операции (команды), выполняемые ЭЦВМ, можно
разделить на четыре основные группы: арифметические
операции, логические операции и операции с парамет-
рами, операции изменения команд, операции управ-
ления.
К арифметическим операциям относятся: сложение,
вычитание, умножение и деление чисел. В некоторых
ЭЦВМ имеются операции вычисления модулей, а также
сложные операции: V~x. Ig х. sin х. tg х, е, и т. п.
Логические операции и операции с параметрами
включают логическое умножение (выделение части ко-
манды нлн числа), логическое сложение (формирование
команды или числа из нескольких частей), отрицание
равнозначности (сложение по модулю 2). циклическое
сложение, едпнг и т. п.
Операциями изменения команд являются сложение
и вычитание команд, изменение команд па величину
индексного регистра и т. п.
Наконец, и операциям управления откосятся: оста-
нов. условный останов, а также ряд операций сравне-
ния и перехода (передачи управления). Прн выполне-
нии команды безусловного перехода нарушается естест-
венный порядок выполнения команд — совершается
переход к команде, адрес которой указан в адресной
части команды безусловного перехода. Команда услов-
ного перехода осуществляет передачу управления лишь
прн выполнении определенного условия. К операциям
управления относят также очень важные в работе
ЭЦВМ операции печати, обращения к внешним запоми-
нающим устройствам и т. п.
Рис.
1.88
1.23.2. Краткое описание
устройства ЭЦВМ
ЭЦВМ состоит нз следующих основных устройств:
устройств ввода, запоминающих устройств (ЗУ), ариф-
метического устройства (АУ), устройства управления
(УУ), устройств вывода (рис. 1.88).
Устройства ввода н вывода. Исходная информация и
программа вводятся в машину с перфокарт (ПК), пер-
фоленты (ПЛ) или непосредственным набором кодов
на клавиатуре пульта управления. Скорость ввода ин-
формации с перфолент 50—2000 кодов/сек, с перфокарт
ООО—700 карт/мин, с помощью клавиатуры 10 кодов/мин.
Последний способ ввода применяется в машинах <Про-
минь» и «Мир>. а в служебных целях используется во
всех ЭЦВМ. Для ввода информации в ЭЦВМ может
быть также использована магнитная лента (МЛ), одна-
ко запись информации на МЛ предварительно произво-
дится с помощью самой ЭЦВМ с какого-либо другого
носителя (ПК или ПЛ).
Результаты вычислений выдаются машиной на пер-
фокарты, перфоленту, а также на узкую бумажную лен-
ту в цифровой форме. Широкое применение получило
алфавитно-цифровое печатающее устройство (АЦПУ).
Для оформления результатов счета на ЭЦВМ могут
быть также использованы чертежно-графические авто-
маты, подключаемые непосредственно к машине нлн ра-
ботающие от промежуточного носителя информации
(магнитная лента нлн перфолента).
Запоминающие устройства машины ЗУ предназна-
чены для храпения исходной информации, промежуточ-
ных и конечных результатов, а также самой программы.
В современных ЭЦВМ используется два вида запомина-
ющих устройств: оперативное н внешнее. В зависимо-
сти от мощности машины объем оперативного запоми-
нающего устройства (ОЗУ) может быть самым разно-
образным: от нескольких сотен до сотен тысяч ячеек.
Основными характеристиками ОЗУ являются его ем-
кость н время выборки из ОЗУ содержимого одной
ячейки (от времени выборки в основном зависит быст-
родействие машины). Выборку из ОЗУ можно осущест-
влять нз отдельных ячеек в любой последовательности.
Внешние запоминающие устройства выполняются на
магнитных барабанах (МБ), магнитных дисках (МД)
нлн магнитных лентах (МЛ). Во всех этих устройствах
время считывания одного числа значительно превышает
время выборки нз ОП.
Арифметическое устройство (АУ)
предназначено для выполнения опера-
ций над кодами. В арифметическое
устройство из оперативной памяти по-
ступают исходные числа, а нэ устройст-
ва управления — указания, какую опе-
рацию необходимо выполнить. Резуль-
тат нз АУ поступает в намять машины
по указанному адресу. Скорость выпол-
нения операций в серийных ЭЦВМ ко-
леблется от нескольких сотен до милли-
она операций в секунду. Однако уже
существуют машины, выполняющие до
100 миллионов операций в секунду.
Устройство управления (УУ) пред-
назначено для последовательной выбор-
ки команд н управления работой всех
устройств машины. К устройству управ-
ления относится пульт ЭЦВМ, предназ-
наченный для пуска и останова машины,
контроля за работой, ремонтных н спе-
циальных (например, отладочных) ра-
бот.
Таблице 1.32
Основные технические характеристики некоторых отечественных ЭЦВМ
				Внешние запоминающие устройства							Форма			Л Ё	е	г		Т"	
																			
	вв X		терати ячеек)	на магнитных барабанах		нэ магнитных		лентах	2	представле- ния чисел			4	i	ё ??	а-	! 	3 э	
Название ЭЦВМ	I £ Q.		я емкость о) (количество	§	меня (колп- а 1 сек)	с и	□1 ленты СЛОВ)	йена (ноли- в 1 сек)	и X я	* ।	।	ИНОЙ 98П8-	ода/выводл л карт а 1 мим	ода/вывода л строк В 1 Св1	1воаа ня уэк) стран в 1 mi	0,0 = а з& 5 Й	и а i S я	з 1 я	Примечание
	Средняя сна в оп/ак	Адресность	5s Is	общая смкси ство слов)	скорость об чество слов	SS -а х 35 1!	емкость одн (количество	скорость об чество слов	2 а» h	!	•	с фикснрова той	Скорость вв (количество	Скорость вв । (количество	Скорость въ (количество	во е4 68	ч о	Плошать ра	
БЭСМ-6	1 000 000	1	32 768	612 000	50 000	3?	1000 000	10 000	48	Есть		Нет	700/100	1000/20		400	20	200	
М-222	25 000	3	32 768	192 00С	17 000	8	4 000 00С	10 000	45				700/10С	1600/80		400	10	80	
М-220А	25 000	3	16 384	65536	I7 0OJ	4	4 000 00С	10 003	43				700/106			400	20	70	
М-20*	20 000	3	4 096	1230(1	6400	4	75 ООС	3000	45			а	120/100			1200		60	150	
БЭСМ-4	16 000	3	8 192	65536	12 000	4	1 000 оос	5 000	45				700/IM			1200	400	8	65	
БЭСМ-2М*	10 000	3	2 048	12388	800	4	30 000	400	39				120/100		1200		50	170	—
• Урал-16»	60 000	1	624 288	1 440000	39 СО»	24	1 ОСЮ оос	14 ООО	48			Есть	700/110	1000/80		400	150	150	
•Урпл-14»	15 U00	1	65 636	1 44OU0C	63 000	'24	1 000 оос	28 000	24				700/110	1000/80		400	32	80	
«Урал-11»	3000	1	16 384	1 440UCV	00 000	24	1000 000	28 000	24				700/110	100/80	—	400	12	40	
•Урал-4* сУра.1-2*	6000	1	2 048	65 536	ЗСОи	4	100 000	2000	40				400/100		1200	300	40	150	—«
	боио	1	2 048	16 381	3 «>•	1	100 (XX	2 000	49				400/100			1200		30	100	
• Раздан-3*	И) 000	2	32 768	14>UX<	4 40	16	318 000	4UU0	48			Нет	700/100	1000/20	900	400	60	150	—»
(Минск-32*	30 000	2	65 536	-	-	6	4 000 000	10 000	37	•		Есть	G0U/120	1600/80	-	400	16	80	Воэ можно под- ключение до 136
																			внешних	уст- ройств
«Минск-22**	5000	2	8 192			16	100 000	2 500	37				300/100	800/80	1200	400	10	80	
•Минск-2»*	5 000	2	4096	—	—	4	100 000	2 МО	37			а		800/20	1200		4	50	—
«Мир *2»	300	АЛГОЛ	8 192		—	—	—	—	12	•		•	—	1500/-	10 симе/сек	—	3,6	10	Имеет экран — устройство ото-
«Мнр-1»	300	•	4 096	—	—	—	—	—	12			*		1500/—	10 симе/сек		1,5	10	бражепкя на 1024 символа и вывод иа пишущую ма- шинку
«Нанря-2»	2000	2	2048						36						700/80	7 симе/сек		1,6	10	Имеет долговре-
«Наира*»	2 000	2	1 024					—	36	•		•		10/10	7 симе/сек	—	1.6	10	ценное запомина- ющее устройство на 16384 символа и вывод на пи- шущую машинку
Прочинь -2»	600	1	48t)	—	—	—	—	—	5(леся-	•		Нет	—	—	7 симе/сек	—	0.5	10	Ввод с пульта (10 чисел,'мин)
									яых)										
Лромннь*»	600	1	200		—	в			5 (де-			а					0,5	10	
									САТ11Ч- кых)										
																			
• ЭЦВМ снята с Арошводегиа.
1.23. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
86
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
В большинстве ЭЦВМ многие машинные операции,
в частности все арифметические, вырабатывают управ-
ляющий сигнал и>, равный 1 влн 0 и характеризующий
некоторые признаки результата операции, например
знак. Значение величины ш является тем условием, ко-
торое определяет передачу управления той или иной
команде по команде условного перехода.
Таким образом, между устройством управления и
арифметическим устройством имеются два вида связи:
а) прямая (управляющая) —УУ выдаст команды, кото-
рые выполняет АУ; б) обратная (информационная) —
АУ — выдает УУ управляющий сигнал ш, определяющий
выбор той или иной команды. Кроме сигнала <о выда-
ется сигнал переполнения разрядной сетки <р, сопровож-
даемый остановом машины.
Основные характеристики некоторых серийных оте-
чественных ЭЦВМ представлены в табл. 1.32.
1.23.3. Особенности решения
задач на ЭЦВМ
Порядок решения задач на ЭЦВМ. Решение задач
На ЭЦВМ включает следующие основные этапы:
1)	выбор нлн разработку алгоритма;
2)	программирование, т. е. процесс разработки
предписания (программы) для реализации на данной
машине принятого алгоритма;
3)	отладку программы на машине, т. е. устранение
ошибок, допущенных в процессе разработки алгоритма
и программы:
4)	составление инструкции, т. е. необходимых сведе-
ний об алгоритме, о способе задания исходной информа-
ции, о работе за пультом и о технике расшифровки ко-
нечных результатов;
5)	автоматическое решение задачи на машине;
6)	обработку результатов счета.
Разработка алгоритма. Под алгоритмом решения за-
дачи понимается точное, общепонятное предписание,
определяющее процесс преобразования исходных дан-
ных в искомый результат. Основой для построения ал-
горитма служат обычно методы вычислительной мате-
матики. Однако при выборе численного метода на ос-
нове соображений надежности, быстроты сходимости,
обеспечения требуемой точности, простоты вычислитель-
ной схемы и т. д. учитывают также следующие особен-
ности ЭЦВМ:
а)	высокую скорость выполнения операций над ко-
дами, хранящимися в оперативной памяти;
б)	относительно низкую скорость ввода исходных
данных и вывода результатов;
в)	ограниченную емкость оперативной памяти прн
большей емкости внешних запоминающих устройств;
г)	относительно низкую скорость обмена между от-
дельными видами памяти;
д)	ограниченную представимость чисел, в ряде слу-
чаев приводящую к необходимости вычислений с удво-
енной точностью и к масштабированию числовой ин-
формации;
с) возможность случайных сбоев в процессе работы
машины и необходимость контроля пычнелепнй.
К алгоритму предъявляется требование минималь-
ной связности. Это означает, что общий алгоритм ре-
шения должен распадаться на фрагменты, которые не-
обходимо по позможиостн сделать автономными с тем.
чтобы прспратнть всю нх совокупность в последователь-
ную цепочку н использовать результаты предыдущего
звена как исходную информацию для последующего.
Прн решсинн на ЭЦВМ многих задач строительной
механики возникает ряд специфических задач. К ним
относятся, например, задание информации о конфигу-
рации сооружения, машинное построение основной си-
стемы, особенно прн использовании сложных основных
систем, формирование систем канонических уравнений
и т. п. Эти задачи н целый ряд им подобных составля-
ют содержание новой для строительной механики проб-
лемы — проблемы формализации решения.
Все алгоритмы должны удовлетворять требованию
формализации. Решению этой проблемы посвящено
большое число работ.
Программирование. Сущность программирования со-
стоит в представлении алгоритма в виде последователь-
ности элементарных операций (команд), выполняемых
электронной машиной. Процесс составления програм-
мы включает:
1)	разработку логической схемы;
2)	запись программы в содержательных обозначе-
ниях нлн относительных адресах;
3)	распределение памяти машины:
4)	присвоение командам, константам и ячейкам ра-
бочих массивов истинных адресов (кодирование).
Поскольку прн работе машины возможны случайные
сбоя, в программе должен быть предусмотрен кроме
реализации алгоритма контроль правильности вычис-
лений. Программа также должна обеспечивать ввод
исходных данных я вывод результатов, обмен информа-
цией между различными видами памяти, останов маши-
ны и т.н.
Различают два основных метода программирования:
непосредственное (ручное) и автоматическое. Прн руч-
ном программировании вся работа, начиная с разработ-
ки общей схемы-программы и кончая кодированием, вы-
полняется непосредственно программистом. Прн авто-
матическом программировании программист составляет
только схему программы и записывает ее специальным
образом. Вся же техническая работа, связанная с со-
ставлением программы и кодированием ее. выполняется
программным способом.
С целью облегчения программирования перед напи-
санием программы составляется ее логическая схема
в форме блок-схемы млн операторной схемы. Блок-схе-
ма программы представляет собой графическое изобра-
жение последовательности выполняемых вычислений
в виде набора прямоугольников и кружков (блоков),
соединенных стрелками. Каждый блок —это часть про-
граммы. осуществляющая определенную логически за-
конченную процедуру, например счет по формуле, про-
верку логического условия н т. н. Разбивка программы
иа блоки достаточно произвольна.
Б больших, сложных в логическом отношении про-
граммах первоначально составляется укрупненная блок-
схема, элементы которой (обобщенные блоки) в свою
очередь представляются в виде блок-схем. Блочная
структура программы обладает следующими достоин-
ствами:
1)	прн написании программы каждый блок програм-
мируется отдельно;
2)	разбиение программы на блоки позволяет при
небольшом изменении (уточнении) задания ограничить-
ся переделкой одного нлн нескольких блоков, не затра-
гивая остальной части программы;
3)	блочная структура облегчает отладку программы,
позволяя вести се независимо (поблочно) и делая бо-
лее обозримой всю программу:
4)	программа, составленная нэ блоков, обладает
большей гибкостью, ибо один и те же блоки могут ис-
пользоваться в разных частях программы.
Другой формой изображения логической схемы про-
1раммы является операторная схема. Прн операторном
методе программирования логическая схема представ-
1.23. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
87
ляется последовательностью записанных слева направо
операторов — символов групп команд, объединенных по
определенному признаку. В тех случаях, когда порядок
записи операторов в схеме ие соответствует порядку
нх выполнения, применяют специальные эианн перехо-
да. В отличие от блоков все операторы имеют четкое
функциональное назначение (арифметические и логиче-
ские операторы, операторы переадресации, восстановле-
ния, записи и т. д.) и строятся по определенным прави-
лам. Преимуществом операторного метода является
возможность формального преобразования логических
схем программ по определенным законам.
После составления логической схемы программы осу-
ществляется программирование в содержательных обоз-
начениях (предложение А. Л. Брудно) или в относи-
тельных (буквенно-числовых) адресах.
По окончании составления всей программы (или од-
ного нз ее обобщенных блоков) производится подсчет
команд, констант, рабочих ячеек и числовых массивов
и осуществляется распределение памяти машины, т. е.
всем этим элементам отводятся определенные места
в запоминающем устройстве, после чего производится
кодирование программы.
В основе программирования лежит принцип оптими-
зации (оптимальный объем программы, оптимальное за-
гружеиие памяти, оптимальное машинное время и т. п.).
Методы программного контроля. Ошибки, возникаю-
щие при решении задач с помощью ЭЦВМ, подразде-
ляются на две категории: ошибки, ие зависящие от ма-
шины, и ошибки, связанные с машиной.
К первой категории относятся ошибки программиро-
вания п кодирования (устраняются в процессе отлад-
ки). ошибки оператора прн работе за пультом (для нх
предотвращения каждая программа снабжается ин-
струкцией, содержащей указания о работе за пультом
машины), ошибки перфорации (исключаются прн пер-
форации в две <рукн> с последующей сверкой на кон-
трольио-считывающем устройстве) и т. д.
Ошибки второй категории (машинные) делятся на
систематические и случайные. Систематические ошибки
связаны с неисправностью машин (устранение и предот-
вращение их — задача обслуживающего персонала).
Случайные ошибки (сбои) вызываются различного ро-
да внешними помехами. Возможность сбоев ие препят-
ствует решению задачи, но требует контроля правильно-
сти работы ЭЦВМ.
В некоторых машинах имеются специальные устрой-
ства. осуществляющие так называемый приборный
(схемный) контроль. Ниже рассматриваются способы
программного контроля, предусматриваемого прн про-
граммировании задачи.
I.	Контроль ввода осуществляется двумя способами.
Первый способ, применяемый преимущественно для
программ, состоит в проверке совладения контрольной
суммы (вычисляемой машиной в процессе ввода) с из-
вестным ее значением S. вводимым в машину вместе
с программой. Второй способ контроля главным обра-
зом исходных данных предусматривает двойной ввод
исходной информации н заключается в проверке совпа-
дения значений контрольных сумм, получаемых при
каждом вводе: J!i=Ej. Этот способ освобождает от
предварительного вычисления значения контрольной
суммы, однако он исключает лишь возможность случай-
ных ошибок.
2.	Контроль обмена. При обмене информацией меж-
ду различными запоминающими устройствами машины
возможны три вида ошибок: ошибки прн записи во
внешние запоминающие устройства, ошибки прн считы-
вании в оперативную память и, наконец, искажение ин-
формации в процессе хранения ее на магнитных бара-
банах. лентах или дисках.
Для устранения первых двух видов ошибок обмен
информацией сопровождается двукратным вычислением
контрольных сумм с последующей их сверкой. Для пре-
дотвращения ошибок, связанных с возможностью иска-
жения информацнн во время хранения ее во внешней
памяти, запись информации на МБ, МЛ влн диски со-
провождается засылкой туда же значения контрольной
суммы £. Она используется в дальнейшем для контроля
прн считывании.
3.	Контроль правильности работы машины в процес-
се вычислений. Двойной счет с контрольным суммиро-
ванием позволяет исключить случайные ошибки в про-
цессе вычислений: считается, что получены правильные
результаты, если они повторены на машине дважды.
Повторный счет с обновлением оперативной памяти
используется при решении задач большой продолжи-
тельности. Программа и весь числовой материал засы-
лаются во внешние запоминающие устройства машины
н перед каждым счетом считываются в оперативную па-
мять. Этот способ позволяет выявить искажения в про-
грамме. возникающие вследствие случайного сбоя. До-
стоинство его состоит также в возможности прервать
работу в любой момент времени с последующим возоб-
новлением.
4.	Включение тестов в решение задачи. В случае
многовариантиых задач в решение периодически вклю-
чается отладочный вариант исходных данных, для ко-
торого известны результаты ручного счета. Сравнение
может вестись автоматически (no I) и визуально путем
выдачи результатов на печать.
5.	Контроль выдачи результатов осуществляется
в процессе наладки машины с помощью тест-программ
печати и вывода на перфоратор, а в отдельных случаях
в процессе решения задачи —путем повторения печати
результатов
Отладка программы на машине производится
с целью выявления и исправления ошибок, допущенных
при разработке алгоритма в процессе программирова-
ния. Первоначальная отладка ведется по блокам (авто-
номная отладка). Прн этом в первую очередь обычно
отлаживаются арифметические блоки. Каждый арифме-
тический блок желательно оканчивать отладочной пе-
чатью. На печать выводятся исходные данные, проме-
жуточные и окончательные результаты.
После автономной отладки приступают к отладке
логической структуры всей программы (комплексная от-
ладка). Комплексная отладка включает проверку пра-
вильности передачи управления от блока к блоку н пра-
вильность обмена информацией между блоками. Инфор-
мация, доставляемая комплексной отладкой, обычно
столь велика, что на практике ее получают лишь для
отдельных узловых точек программы.
Пульт управления ЭЦВМ содержит систему уст-
ройств. позволяющих использовать при отладке про-
граммы ряд эффективных приемов: останов но записи,
чтению и адресу, занесение с пульта команд и констант,
передачу управления с пульта, наконец, работу в режи-
ме одиночных команд и т.д. Использование всех этих
возможностей сильно сокращает календарное время от-
ладки, хотя и увеличивает относительно непродуктив-
ное время работы машины.
В целях упрощения отладки составлено большое
число специальных программ отладки (СПО). Они поз-
воляют вести узловую отладку н отладку методом про-
крутки, когда за работой программы ведется непрерыв-
ное наблюдение с выдачей информации о работе каж-
дой команды.
88
РАЗДЕЛ 1. МАТЕМАТИКА
1.23.4.	Некоторые приемы
программирования
Описываемые ниже приемы программирования дале-
ко не исчерпывают всех возможностей, заложенных в
системах команд современных ЭЦВМ, и представляют
собой лишь отдельные примеры для демонстрации этих
возможностей.
Логические разветвления в программах. Програм-
мирование математических формул, т. е. написание си-
стемы выполняемых последовательно команд арифмети-
ческих н логических операций, является обязательным
элементом почти всякой программы и представляет со-
бой достаточно простую задачу. Однако при решении
подавляющего большинства задач обычно па некоторой
стадии (стадиях) вычислений естественный порядок вы-
полнения команд должен быть нарушен. Если изменение
порядка выполнения команд не связано с некоторыми
условиями, вырабатывающимися в процессе решения, то
переход к очередной операции выполняется командой
безусловного перехода. Значительно чаше условие пе-
рехода зависит от величины некоторого промежуточно-
го результата. В этих случаях используется команда
условного перехода, а сама программа называется раз-
ветвляющейся.
Примером разветвляющейся программы может слу-
жить программа решения квадратного уравнения ах1+
+йх+С”0. Прн положительном значения дискриминан-
та корни определяются по формуле х=т± р, при
отрицательном — по формуле
* = m ±: i V — р. тцет = — -^~,
2а
р = т* — — .
а
Блок-схема программы решения квадратного урав-
нения показана на рис. 1.89*. Здесь блок A i — вычисле-
ние т и р; блон Pi — распределение управления; в за-
висимости от знака р блок — вычисление веществен-
ных корней х—т± ^р; блок — вычисление ком-
плексных корней х=л1±г/ —р; блок Яа —останов ма-
шины («стоп»).
Циклы. Возможность многократного использования
одних н тех же команд (циклов) в программах являет-
ся основным фактором, обеспечивающим решение иа
ЭЦВМ сложных задач. Использование циклов основа-
но на особенности устройства ЭЦВМ, заключающейся
в приицнне адресности: в командах машины указыва-
ются не числа, а их адреса. Над адресами команд мо-
жно выполнять арифметические операции (в форме с
фиксированной запятой). Различают два принципиаль-
ных вида циклов*
а)	цикл с заданной кратностью (заданным числом
повторений), нзпсстиой из условий задачи нлн устанав-
ливаемой программным путем к началу выполнения
цикла;
б)	цикл с неизвестной кратностью.
Циклы с заданной кратностью обычно организуются
с помощью счетчика циклов — специально отводимой
ячейки оперативной памяти. Цикл повторяется до тех
пор, пока в счетчике циклов нс будет накоплена задан-
ная величина.
• Здесь и далее о целях упрощении показывается яе вся
г[<гграмм8 решения задачи, а лишь основной фрагмент сс. На-
помним. что полная программа включает ввод в машину про-
граммы и исходных данных, перевод исходных данных из деся-
тичного вида в двоичный (10—2). решение, перевод результатов
из типичного вида в десятичный (2-*-10). вывод результатов на
печать.
Для многократного использования циклической про-
граммы счетчик циклов необходимо восстановить (при-
вести в исходное положение). Операцию восстановления
счетчика циклов практически удобнее помещать перед
циклической программой. Принципиальная блок-схема
самовосстаиавливающейся циклической программы по-
казана на рис. 1.90. Во многих ЭЦВМ имеются спе-
циальный регнстр-счстчнк циклов или специальные
команды, существенно облегчающие организацию цик-
Рнс. 1.92
лнческих программ.
Примером цикла с не-
известным числом повто-
рений является итераци-
онный цикл. Пусть тре-
буется методом итераций
решить уравнение Цх)—
—х=0 с заданной вели-
чиной погрешности е.
Вычисления организуют-
ся по формуле Х| =
=/(х<-1) и продолжают-
ются до тех пор, пока не
выполнится условие
|х<—х<_1|Се. Принци-
пиальная блок-схема
итерационного цикла по-
казана иа рис. 1.91.
Метод подпрограмм.
Использование стандарт-
ных подпрограмм. При
составлении программ
часто встречаются по-
вторяющиеся участки.
1.S3. ОСНОВЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
89
С целью уменьшения общего объема программы и упро-
щения программирования они выделяются в некоторую
подпрограмму, размещаемую, например, после основной
программы (рнс. 1.92). Разбиение программы на основ-
ную и подпрограмму требует специальной организации
входа в подпрограмму н выхода из нее. а также занесе-
ния исходных данных для работы подпрограммы. Вход
в подпрограмму выполняется командой безусловного пе-
рехода. Выход нэ подпрограммы можно осуществить
с помощью ячейки возврата, в которую перед входом
в подпрограмму засылается константа возврата на ос-
новную программу. В этом случае в последней команде
подпрограммы записывается команда безусловного пе-
рехода на ячейку возврата, тогда управление на нее
передастся естественным путем к концу работы под-
программы.
Во многих ЭЦВМ в системе команд предусмотрена
специальная организацнп выхода из подпрограммы. Ес-
ли машина имеет два счетчика команд (напрнмер,
БЭСМ-2М), то при использовании длв основной про-
граммы первого счетчика, а для подпрограммы второго
вход в подпрограмму выполняется командой безуслов-
ного перехода с автоматическим остановом первого
счетчика и включением второго, а выход из подпро-
граммы— также командой безусловного перехода, при
которой вновь включается первый счетчик с того адре-
са. на котором он был прерван. Машины, снабженные
одним счетчиком (например. <Урал>), в большинстве
случаев содержат команду безусловного перехода с воз-
вратом, в процессе выполнения которой управление пе-
редается на вход в подпрограмму, а в ячейку возврата
автоматически засылается команда возврата на основ-
ную программу.
Исходная информация для подпрограммы {аргумен-
ты подпрограммы) задается в стандартных ячейках,
с которыми работает подпрограмма; результаты вычис-
лений но подпрограмме также выдаются ею в стандарт-
ные ячейки.
Решение задач на ЭЦВМ сопровождается накопле-
нием н систематизацией ие только приемов программи-
рования, но также и самих программ (или нх фрагмен-
тов), представляющих интерес прн решении многих за-
дач. Такие программы (подпрограммы) получили на-
именование стандартных (СП); к составлению их
предъявляется ряд требований, преследующих основную
цель — эффективное их использование. Стандартные
программы (подпрограммы) образуют библиотеку стан-
дартных программ (СП), включающую СП решения
некоторых общематематических задач и вычисления не-
которых функций, СП обслуживания и т. п. Каждая
ЭЦВМ обычно снабжается БСП еще на стадии разра-
ботки машины.
На практике нашли широкое применение интерпре-
тирующие и компилирующие программы. Использование
их позволяет размещать СП в любом месте оператив-
ной памяти, а также предельно упростить обращение
к СП.
1.23.5. Автоматизация программирования.
Алгоритмические языки, АЛГОЛ-60
Под автоматизацией программирования понимается
автоматизация разработки программы по ее логической
схеме. Автоматизация программирования развивается
ко двум основным направлениям: использование биб-
лиотеки стандартных программ (метод БСП) н состав-
ление программ заносов с помощью программирующих
программ (метод ПП), называемых обычно транслято-
рами. Прн реализации метола ПП логическая схема
формируемой программы составляется на входном язы-
ке машины, в качестве которого используются различ-
ные алгоритмические языки. Получаемая с помощью
ПП программа подлежит отладке, выполняемой обычно
также автоматически.
Развитие вычислительной техники потребовало для
единого, гибкого и однозначного описания алгоритмов
создании специальных алгоритмических языков.
АЛГОЛ-60, ФОРТРАН, КОБОЛ. АЛГЭК. КОМИТ н др.
Алгоритмические языки создавались как универсальные
входные языки, удобные для изложения алгоритмов,
благодари чему оин оказались хорошим средством об-
мена информацией. Значительную часть наиболее удач-
ных сторон ранее известных языков программирования,
предназначенных дли изложения научно-технических за-
дач, сконцентрировал в себе язык АЛГОЛ-60, принятый
на Международной парижской конференции. АЛГОЛ-60
является живым, развивающимся языком. О степени его
распространения свидетельствует тот факт, что в оте-
чественных ЭЦВМ серии <Мнр> этот язык заложен
(в несколько измененном виде) непосредственно в логи-
ну машины.
Для различных целей использования предусмотрено
три уровня языка: зталонный (базисный) язык, язык
публикаций* и язык конкретного представления (при-
менение эталонного языка к конкретной ЭЦВМ).
В формальном описании языка АЛГОЛ-60 принята
специальная символика — метаязык Бэнуса. использую-
щий металингвистические формулы. Как и обычные ма-
тематические формулы, они содержат левую и правую
части, соединенные символом (::и), имеющим смысл
•равно по определения». Металингвистические форму-
лы строятся с использованием операций перечисления
(для определения более сложных понятий через более
простые) н (или) построения определяющего выраже-
ния по составлению (дли рекурсивных определений, в
которых определяемое понятие само участвует в опре-
делении). Примером металингвистической формулы, ис-
пользующей операцию перечисления, может служить
формула
<цнфра>::=0|1 |2|Э|4|5|6|7|8|9|.
Здесь цифра — определяемое понятие, вертикальная
черта — символ операции перечисления (операции
Металингвистическая формула с использованием ре-
курсивного определения имеет, напрнмер. такой вид:
<целое без знака>:: =
= < цифра > | < целое без знака > < цифра >
Из этой формулы следует, что целым числом без
знака является как отдельная цифра, так и любая по-
следовательность цифр.
Ниже кратко излагаются* 1 основные понятия языка
АЛГОЛ-60. Законченное описание алгоритма называет-
ся в языке АЛГОЛ-60 программой Программа обычно
представляет собой блок. Всякий блок, будь-то вся
программа или только се часть, состоит из описаний
и операторов. Описания помещаются в начале блока,
операторы —за ннмн. Описания служат для характери-
стики встречающихся в данном блоке переменных
и других объектов (переключателей и процедур). Все
объекты, используемые в программе, должны быть опи-
саны. Сами по себе описания ие предписывают каких-
1 Многие авторы предпочитают использовать в публикациях
эталонный мэык {прим. ред.1.
1 Это наложение заимствовано из работы С. С. Лаврова.
90
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
либо действий в программе; операторы, напротив, явля-
ются указаниями о выполнении определенных действий.
Описания и операторы можно рассматривать как от-
дельные предложения языка. После каждого такого
предложения ставится точка с запятой. Операторы бы-
вают следующих типов.
Оператор присваивания вызывает вычисление значе-
ния некоторого выражения н приписывание этого зна-
чения одной или нескольким переменным.
Оператор перехода прерывает естественный порядок
выполнения операторов и указывает, какой нз операто-
ров программы должен выполняться следующим. Что-
бы такое указание было возможным, перед оператора-
ми могут ставиться метки, к которым н адресуются опе-
раторы перехода. Иногда оператор перехода указывает
нужную метку не непосредственно, а путем обращения
к описанию переключателя. Описание переключателя
задает действия, которые нужно произвести для выбо-
ра такой метки.
Условный оператор проверяет, выполняются ли
в данный момент работы программы некоторые усло-
вия, и в зависимости от результатов проверни застав-
ляет работать одни нэ входящих в его состав опера-
торов.
Оператор цикла заставляет входящий в его состав
внутренний оператор выполняться несколько раз, при-
чем перед каждым выполнением некоторой переменной
присваивается новое значение.
Оператор процедуры служит для обращения к соот-
ветствующему описанию процедуры. Он заставляет вы-
полняться оператор, входящий в состав описания про-
цедуры и называемый телом процедуры. Предваритель-
но оператор процедуры для некоторых переменных,
фигурирующих в теле процедуры и называемых фор-
мальными параметрами процедуры, либо задает началь-
ные значения, либо указывает, какими выражениями
эти переменные должны быть заменены.
Несколько операторов любого вида и в произволь-
ном количестве могут быть объединены в один состав-
ной оператор. Для этого нх заключают в операторные
скобки (начало, конец). В начале составного оператора
могут быть помещены описания, в этом случае он пре-
вращается в блок.
Описания, включенные в блок, имеют силу только
внутри данного блока. Описывать в каждом блоке сле-
дует лишь те объекты, которые используются только
в этом блоке. Наряду с описанными в начале блока
объектами в нем можно использовать другие объекты,
описанные в охватывающих его блоках.
Операторы н описания строятся из более мелких
единиц, называемых выражениями, которые по опреде-
ленным правилам соединяются между собой спе-
циальными символами — ограничителями. В качестве
ограничителей используются: во-первых, знаки арифме-
тических и логических операций, знаки равенства и не-
равенств, скобки н небольшое количество специально
введенных знаков; во-вторых, ряд вспомогательных
слов, выделяемых в рукописном и машинописном тексте
подчеркиванием, а в печатном тексте полужирным
шрифтом. Эти же символы служат и для конструирова-
ния выражений.
Для построения выражений используются преимуще-
ственно символы первой группы, т. е. знаки, тогда как
операторы и описания строятся нэ отдельных выраже-
ний с помощью главным образом символов второго ти-
па — выделенных слов. Благодаря этому выражения
имеют почти обычный в математике вид, а запись опе-
ратора также оказывается довольно наглядной.
Выражения строятся из первичных выражений, к ко-
торым относятся числа, переменные, указатели функций
н логические значения. Числа записываются в десятич-
ной системе счисления. Для обозначения переменных
и для некоторых других целей служат идентификаторы.
Идентификаторами могут быть просто буквы, как, на-
пример, A, F, п, х, а также группы букв или букв
и цифр, ко начинающиеся обязательно с буквы, например
sin, exp, 012. Integral, х!7с8(.
Кроме скалярных величин переменными считаются
также компоненты массивов. Такие переменные изобра-
жаются идентификаторами, снабженными индексами.
Идентификатор должен быть одним и тем же для лю-
бой компоненты данного массива. В качестве индексов
могут использоваться любые арифметические выраже-
ния. Значения этих выражений определяют место ком-
поненты в массиве. Указатель функции также изобра-
жается идентификатором, за которым в скобках следу-
ет список аргументов, от которых должна быть вычис-
лена данная функция. Способ вычисления значения
функции задается описанием
процедуры специального
вида. Указатель функции
служит для обращения к
этому описанию.
Переменные и функ-
ции могут быть различ-
ных типов: целые, веще-
ственные и логические.
Типы задаются описани-
ем переменных и опреде-
ляют свойства эначе-
Рнс. 193
ний этих переменных. Переменные типов целый и ве-
щественный могут принимать соответственно целые или
вещественные числовые значения, а переменные типа
логический — одно из двух логических значений: истина
или ложь.
В качестве иллюстрации изложенного рассматрива-
ется описание иа языке АЛГОЛ-60 элементарной зада-
чи строительной механики — вычисления изгибающего
момента в каждой точке через 0,1I в однопролетной
балке длиной I со сплошной равномерно распределенной
нагрузкой у (рнс. 1.93).
1. Описание на эталонном языке:
begin array Af[O: 10]: real q. I; integral i;
for i: = 0 step 1 until 10 do;
At [i]:=9X(f 2XiX0.1X(l — iXO-1)/2; end.
2. Описание на принятом в части отечественной ли-
тературы языке публикаций:
начало массив М (0:10); вещественный q. I;
целый ;
для i: = 0 шаг 1 до 10 цикл
М |i| = qXl t 2X1X01 Х(1 — iX0.1)/2, конец
1.23.6. Некоторые рекомендации
по использованию ЭЦВМ
Для решения различных задач на ЭЦВМ в СССР со-
здано большое количество универсальных н специализи-
рованных программ. Поэтому прн необходимости выпол-
нения каких-либо машинных расчетов в большинстве
случаев бывает достаточно найти соответствующую
программу, изучить правила подготовки исходных дан-
ных н произвести счет иа машине. Накопление готовых
программ и алгоритмов осуществляется по различным
отраслям специально выделенными головными органи-
зациями. В строительной отрасли такой организацией
1.24. ТАБЛИЦЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
91
является институт Гипротнс (Москва), иа который воз-
ложены накопление и публикация «Отраслевого фонда
алгоритмов к программ по строительству», аннотиро-
ванного каталога публикуемых программ и др. При
решении многих задач могут быть использованы также
алгоритмы, публикуемые в изданиях Вычислительного
центра Академии наук СССР и др.
Иногда, особенно при решении задач небольшого
объема, бынает проще не искать готовую программу,
а составить се вновь. Такой случай особенно типичен
при использовании малых ЭЦВМ («Мир», «Напри».
«Промннь»). Хотя для этих машин составлено множест-
во программ, большинство применяющих эти ЭЦВМ
организаций в основном пользуется собственными про-
граммами. Это объясняется, в частности, тем. что про-
граммирование для малых ЭЦВМ отличается относи-
тельной простотой (разумеется, при соблюдении необхо-
димых ограничений на объем задач). Здесь же следует
отметить, что небольшие габариты, простота обслужи-
вания и относительно низкая стоимость малых ЭЦВМ
позволяют иметь нх в каждой проектной оргаинзацин.
При решении задач по готовым программам воз-
можны два случая: а) решение задачи не требует ин-
женерной подготовки и б) решение задачи требует ин-
женерной подготовки. В первом случае подготовка
исходных данных является элементарной операцией и
выполняется по достаточно простым правилам, изло-
женным в инструкции к программе. Характерным при-
мером таких программ являются, например, программы
решения систем линейных алгебраических уравнений.
Во втором случае подготовка исходных данных ча-
сто может оказаться серьезной задачей, требующей глу-
боких знаний конструкций, строительной механики
и т.д. Это относится, в частности, ко многим универ-
сальным программам расчета стержневых систем.
С целью унификации исходных данных к програм-
мам строительного проектирования разработан спе-
циальный язык ВХОД, применение которого позволяет
избежать изучения правил подготовки исходных данных
к каждой конкретной программе. Расчетчику будет до-
статочно изучить диалект языка ВХОД, непосредствен-
но относящийся к интересующей его области (напри-
мер, расчет стержневых систем, расчет железобетонных
конструкций и т.д.). Расшифровка записи иа языке
ВХОД осуществляется транслятором, который автома-
тически превращает ее в исходные данные к конкретной
программе. Далее эта программа автоматически вступа-
ет в работу, осуществляя счет и выдачу результатов.
1.24. Таблицы элементарных функций								Ta 6	липа 1.33
		Тригонометрические, показательные и гиперболические функции (аргумент о радианах и градусах)							
х в рад	8|ПХ	cos х	ч*	г	е-*	sh х	ch x	th x	x в epad
О 00	0,00000	1,00000	0,00000	1.00000	1,00000	0.00000	1.00000	0,90000	0.00
0^61	0.01000	0,99995	О.О1000	1,01005	0.99005	0.01000	1.00006	О.01ООО	0,57
О.ГО	0,02000	0.99960	0,02000	1,02020	0.98020	0.02000	1,00020	0,02000	1,15
О*03	0.03000	0.99955	0.03001	1,03046	0.97045	0.03000	1,00045	0,02000	1.72
0^04	0.03999	0.99920	0,04002	1,04081	0.96079	0.04001	1.00060	0,03998	2.29
0,06	0.04998	0,99875	0,06004	I.OS127	0.95123	0.05002	1.00125	0,04996	2.66
0*06	0.05996	0*99820	0.06007	1,06184	0.94176	0.08004	1,00180	0,05993	3,44
0.07	0.06994	0.99765	0,07011	1.07251	0.93239	0,07004	1.00245	0,06989	4,01
0 08	0,07991	0,99680	0,08017	1,08329	0.92312	0.08009	1.00320	0,07963	4.58
0.09	0.08988	о:99595	0,09024	1,09417	0,91398	0,09012	1,00405	0,08976	5,16
0.10	0.09983	0,99500	0.10003	1.10517	0.90484	0,10017	1,00500	0,09967	5.73
о.н	0.10978	0,99396	0.11045	1,11628	0.89583	0,11022	1.П0606	0.10956	6.30
о’12	0.11971	О/ОД!	0,12058	1.12750	0.68692	0.12029	1,007?!	0.11943	6.68
0J3	0.12963	O.991S6	0,13074	1.13883	0.87810	0,13037	1,01846	0,12927	7,45
0J4	0.13954	0,99022	О.И®2	1,15027	0.86936	0,14046	1,00962	O.13909	8,02
0 16	0.14944	0.96877	0,15114	1,16183	0.86071	0,15056	l.oi 127	0.14889	8,59
016	0.15932	0.96723	0,16188	1,17351	0,85214	0.16058	1,01284	0,15666	9.17
OJ7	0.16918	0,98558	0,17166	1,18530	0.84366	0.17082	1.01448	0,16839	9.74
0*18	0.17903	ЙЛЖ384	0.18197	1,19722	0,83627	0,18097	1.01624	0,17808	10.31
0.19	0.18886	0,98200	0,19232	1,20925	0.82696	0,19115	1,01810	0,18775	10,69
0,20	0.19867	0,98007	0.20271	1.22140	0,81873	0.20134	1.02007	0,19738	11.45
0 21	0.20846	0,97803	0.21314	1.23368	0,81058	0.21155	1.02213	0,20697	12,03
0 22	( ,*1623	0,97590	0.22362	1,24608	0.80252	0.2217ft	1.02430	0,21652	12.61
0 23	0.22796	0,97367	0,23414	1.25860	0.79453	0.23203	1,02657	0.22603	13.18
0.24	0,23770	6:97134	0.24472	1,27125	0.78663	0.24231	1,02894	0.23550	13.75
0 25	0.24740	0 96891	0.25534	1,28403	0.77880	0.35261	1,03141	0,2449?	14,32
0.26	0.25706	0,96639	0,26602	1.29693	0.77105	0.26294	1,03399	0.25430	14.90
0.27	0.26673	0,96377	0,27676	1,30996	0.76338	0.27329	1.03667	0,26362	15.47
0*28	0.27636	0.96106	0,28755	1,32213	0.75578	0.28367	1.00946	0,27291	16.04
0.29	0.28596	6,95824	0.29811	1,33643	0.74826	0,-rMM	1,04235	0,28213	16,62
0.30	0.29552	0,95534	0,30934	1.34986	0.74082	0.30452	1.04534	0,29131	17.19
0 31	0.30506	0,95233	0,32033	1,36343	0.73345	0.31499	1,04844	0,30044	17,76
0*32	0.31457	0:94924	0.33139	1.37713	0.72615	П. 32549	1.05164	0,30961	18.33
0,33	0.32401	0:946О4	0.34252	1.39097	0,71892	0.33602	1,05495	0,31852	18.91
0’34	0.33349	0>275	0.35374	1,40495	0.71177	O.346S9	1,05835	0,32748	19.48
0 35	0,34290	0.93937	0,36503	1.41907	0.70469	0.35719	1.06188	0,33638	20.05
0*36	0.35227	6.93590	0,37640	1,43333	0.69768	0.36783	1.06550	0,34621	20.63
6*37	0.36162	0 93233	0.38786	1,44773	0.69073	0.37850	1,06923	0,35339	21.20
0 38	0,37092	0	0,39941	1.46228	O.ta 86	0.38921	1.07307	0.36271	21.77
о.»	0.38019	0,92491	0,41105	1,47696	0,67706	0.39996	1.07702	0.37136	22.35
9 “s
| ! W йй> Ш s»} s® Ж-Й SS5S5 ЙШ Й5И Щ£ 5ЙЯ ?ИЙ
17 Й!!!!!!!! !-g ИЙ! ИЯ! ИШ ИШ !!!!! M НИ! Я Ий! » д
* ; ИЯ Яй И ВШ ЙЯ М1И Я ШЯ18 И ffl ЯМ 1® И!
; ШИ ИИ! ИЯ! ИШ !!Ш И!!! ШИ !!Й1 !Ш1 ИИ ИИ! И й® !Н
ЙШ И!!! !Я!!!!! ЙЙ! И ШИ ШИ !В !ИЙ !Я ИИ! 1® !ЙИ
РАЗДЕЛ 1.
«Ш 8Й И ВИ 1« И Я !Я !Я ®! Я Я И И
®! ШИ ШИ Я !Ш! !Я ШИ ШИ Я И И ШИ Ий! ®1
i !!!й ШВ ШВ ШИ И!!! MS ЙЙ! ШИ !ИЙ 1®!® 1ИН Я Ий!
; Ий!!!!!!!® В!!! !!И!!!!!!!!!!! ШИ МИ! ИЙ! М! И!!! ИШ ШИ
. о’о’о’о-о' о’о-о'о’о- 52SS5 555S ЙШ 35SS 55555 55555 5155В 5ВВ5В 55555 55555 553В5 55523
ЛИТЕРАТУРА
93
Продолжение табл. 1.33
ж в рад	sin ж	С 08 Ж		.л	*	sh ж	ch ж	th ж	ж в ерад
I.1O 1.П 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1,17 1.18 1.19 1,20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1,27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39	0.89121 О.89570 0,90010 <1,90441 О.У0863 0,91276 0,91680 0.92075 0,92461 0,92637 0,93204 0.93562 0.93910 0.94249 0.94578 0,94898 0,95209 0,95510 0.95802 0,96084 0,96356 0.96618 0,96872 0.97115 0,97348 0,97572 0,97786 0,97991 0,98185 0,98370	0.45360 0.44466 0,43568 0.42666 0.41759 0.40849 0,39934 0.39015 0.38092 0.37166 0.36236 O.3S302 0.34365 0.33424 0.32480 0,31532 0,30582 0,29628 0.28072 0.27712 0.267») 0.25785 0.24818 0.23848 0,22875 0,21901 0,20924 0.19945 0.18964 0.1798!	1.96476 2,01434 2.06596 2.11976 2.17683 2.23450 2.29680 2.35998 2.42727 2,49790 2,57215 2.65033 2.73275 2.81962 2.91193 3.00967 3.11327 3.22963 3.34135 3.46721 3,60210 3.74706 3.9033$ 4.07231 4.25562 4,45522 4.67344 4.91306 6.17744 5,47069	3,00417 3.03436 3.06485 3.09566 3.12G77 3.15819 3.16993 3.22199 3,25437 3,28708 3.3201'2 3.35348 3.38719 3.42123 3.45561 3.49034 3.52542 3.56085 3.59664 3.63279 3,66930 3.70617 3.74342 3.78104 3.81904 3.85743 3.89619 3.93535 3.97490 4.01485	0.33287 0.32956 0,32628 0.32303 0.31982 0,31664 0.31349 0,31037 0.30728 0,30422 0,30119 0,29820 0.29523 0.29229 0.28938 0,28660 0.28365 0.28083 0.27804 0.27527 0.272S3 0,26982 0.26714 0.26448 O.2616S 0.25924 0,25666 0.25411 0.25158 0.24908	1.33565 1,35240 1.36929 1.38631 1.40347 1.42076 1.43822 1,45581 1,47355 1.49143 1.60946 1.52764 1.64598 1.56447 1.58311 1,60192 1.62088 1.64001 1.65930 1.67876 1.69638 1.71616 1,73814 1.75828 1,77860 1.79909 1,81977 1.84062 1.66166 1,88289	1,66852 1.68196 1.69557 1.70934 1.72329 1.73741 1.75171 1.76616 1.78083 1.79565 1.61066 1.82584 1.84121 1.85676 1.87250 1.88842 1.90454 1,92084 1.93734 1,95403 1.97091 1.98800 2.00628 2.02276 2,04044 2.06833 2.07643 2,09473 2.11324 2,13196	o.xnoso 0.80406 0.80757 (I. HI 102 <‘.81441 <1.81775 <I.H21G4 0.82427 0,82745 0.83058 0.83365 0.8ЭМ8 O.R396S П.84258 0.84548 0.84828 0,85106 0.85380 0,85648 0.85913 0.86172 «.86428 <».bi'67R <>.86925 0.87167 0.87405 О.Я7639 0.87869 0.88095 0.88317	63.03 63.60 64.17 64.74 65.32 65.89 66,46 67.04 67.61 68.18 68.76 69,33 69.90 70.47 71.06 71.62 72.19 72.77 73.34 73.91 74.48 75.06 75,63 76.20 76.78 77.35 77.92 78.50 79.07 79,64
Таблица 134
Некоторые постоянные
Величина	п	1g п	Величина	л	IgA	Величина	n	IgA
1 л	3,1415927	0.49716	л	2.4221442	0.34663	Я	9.81	0.99167
я/2	1.5707963	0,19612				в1	96.2361	1.98334
л/3	1.0471976	0020®				1/2«	3.1320919 0.0509®	
«/4 Я’	0.7853982 9.6696044	0,89509-1 0.99430	/гй	2.506628	0.39909			0,49683 0.70730-2
п*	31,006277	0,49145	/п:2	1,253314	0.09803	/?g	4,429447	0.64635
1/л 1/rt1	0.3183099 0,1013212	0,50285-1 0.00570-1	V 2:я	0.797885	0.90194—1	я/ g	9.839757	0,99298
1/л*	0.0322515	0,60856—2	/з-л — У 2л	0.977205	0.98998-)	n/ig	13.91536	1.14350
V Я	1.7724539	0.24887		1.845261	0.26606	n:/t	1.003033	0,00132
3	 V я	1,4646919	0,16572		1.162447	0.06537		0.709252	0.88080-1
			fa			e	2.716282	0,43429
лу^ л	5.5683280	0.74572		0.922835	0,96603-1		7.389CS5	0.66859
3/“		0,66287				1/e	0,367879	0,56571-1
л/ л	4.6011511		/ 2:л	0,860264	0,93463-1	v	0,135335	0.13141—1
4л*	39.478418	1.69636				1 "1		
п’/4	2,4674011	0.39224	3/ — у з:л	0,984745	0,99332-1		1.648721	C,21715
я/2	4.4428829	0.64767	M-lge	0.434ZM	0.63778-1		1,395612	0,14476
			1:8!	2.302585	(1,36222			
ЛИТЕРАТУРА
1.1. Алгебра
I. Kvpoiu А. Г. Курс высшей алгебры. ГТТИ. 1971.
2. I словння Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее
пр||..ол.1ння. «Наука». 1971.
1.4.	Аналитическая геометрия
I.	Привалов Н. П. Аналитическая геометрия. «Нау-
ка». 1**л.
2.	И л ь н и В А.. Позняк 3. Г, Аналитическая геомет-
рия. «Наука». 1871,
1.5.	Днфференцнальнав геометрив
‘•Р * шевскиД П. К. Курс дифференциальной геонст-
рни. ГТТИ. 1956.
I i JИ *952* Н и ° в С‘ П' Д|<ФФеРСМ11иальной геометрии.
1 Н орден А. П. Теория поверхностей. ГТТИ. 1956.
1.6.	и 1.7. Дифференциальное
и интегральное исчисление
1.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального н ин-
тегрального исчисления, т. 1 и 2. «Наука». №. — Л., 1969.
2.	Б е р м а н т А. Ф. Курс математического анализа, т. I
и II. ГТТИ. 1956.
3.	Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное
исчисления, т, 1 и 11. «Наука». 19fc,
94
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА
1.0. Дифференциальные уравнения
1.	Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
Фиэматгнз. 1958.
2.	Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и ва-
риационное исчислен нс. «Наука». 1965.
3.	К а и к е Э. Справочник по обыкновенный дифференци-
альным уравнениям. «Наука». 1971.
4.	Кармэн Т. и Био М. Математические методы в ин-
женерном деле. ГТТИ. М. — Л.. 1956.
5.	Арамановпч И. Г.. Левин В. И. Уравнения ма-
тематической физики. «Наука». 1964.
6,	Т н и о н о о А. Н.. Самарский А. А. Уравнения ма-
тематической физики. ГТТИ. 1953.
7.	К о ш л я к о о Н. С. н др. Дифференциальные уравнения
математической физики. Фиэматгнз. 1967.
8.	Михлин С. Г. Прямые методы в математической фн
знке. ГТТИ. М - Л.. 1956.
1.10.	Функции комплексной переменной
I.	П р н в а л о в И. И. Введение в теорию функций комп-
лексного переменного. «Наука». 1962.
2.	Лаврентьев М. А. Конформные отображения. ГТТИ.
М. - Л.. 1946.
3.	Фукс Б. А. н Шабат Б. В. Функции комплексного
переменного и некоторые нх приложения. «Наука». 1964.
4.	Лаврентьев М. А. н Шабат Б. В. Методы тео-
рии функции комплексного переменного. «Наука». 1965.
S.	Свешников А. Г.. Тихонов А. Н. Теория функ-
ции комплексной переменной. «Наука». 1967.
1.11.	Вариационное исчисление
I.	Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. IV. Физ-
ыптгнэ. 1958.
2.	Эльсгольц Л. Э. Вариационное исчисление. ГТТИ.
М.-Я. 1958.
3.	М н х л н н С. Г. Вариационные методы в математической
физике. «Науке». 1970.
1.12.	Разностное исчисление
1.	Блейх Ф. и Мслан Е. Уравнения в конечных раз-
ностях статики сооружений. ОНТИ. Харьков. 1936.
2.	П а н о в Д. Ю. Справочник по численному решению лиф-
ференцнальных уравнений в частных производных. ГТТИ.
М.- Л.. 1951.
3.	Канторович Л. В.. Крылов В. И. Приближенные
методы высшего анализа. ГТТИ. 1949.
4.	Самарский А. А. Введение в теорию разностных
схем. «Наука». 1971.
1.13.	Интегральные уравнения
1.	Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. IV. Физ-
матгнз. 1958.
2.	Справочная математическая библиотека. Интегральные
уравнения. «Наука». 1968.
3.	Справочная математическая библиотека. Приближенные
методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.
«Наука». 1965.
1.14.	Специальные функции
(.Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. III.
Фнэматгиэ. 1958.
2.	Лебедев Н. Н. Специальные функции н нх приложе-
ния. ГТТИ. 1953.
3.	Справочная математическая библиотека. Высшие транс-
цендентные функции. «Наука». 1965.
4.	Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функ-
ций. «Наука». 1971.
1.15, Операционное исчисление
(.Лурье А. И. Операционное исчисление м его прило-
жения к задачам механики. ГТТИ. 1950.
2. Днткнн В. А. и Прудников А. П. Операционное
исчисление. «Высшая школа». 1966.
3. Кареллу Г. н Егер Д. Операционные методы в
прикладной математике. ИЛ., 1946.
1.16.	Векторное и тензорное исчисление
(.Кочни Н. Е. Векторное исчисление н начала тензор-
ного исчисления. «Наука». 1965.
2.	К н л ь ч е в с к и й Н. А. Элементы тензорного исчисле-
ния и его приложения к неханнке. ГТТИ. М. —Л., 1954.
3.	А к и в н с М. А.. Гольдберг В. В. Тензорное исчис-
ление «Наука». 1969.
4.	Сокольников И. Тензорный анализ. «Наука». 1971.
1.18.	Ноиографма
I	.Невский Б. А. Справочная книга по номографии.
ГТТИ. М. - Л.. 1953.
2	. П е н т к о в с к и й М. В. Номография. ГТТИ. 1649.
1.19.	Приближенное представление функций
1. Милн В. Э. Численный анализ. ИЛ.. 1951.
2. X е м м н н г Р. В. Численные методы. «Наука». 1972.
120.	Ряды Фурье
I.	Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы.
ИЛ.. 1948.
2.	Толстов Г. П. Ряды Фурье. ГТТИ. М.-Л.. 1951.
3.	Хардн Г. X. н Рогозн некий В. В. Ряды Фурье.
Фнэматгиэ. 1952.
121.	Теория вероятностей
I.	Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. Фиэыат-
гнз. 1961.
2.	Г н у р м а в В. Е. Введение в теорию вероятностей н ма-
тематическую статистику. «Высшая школа». 1966.
3.	Дунин-Барковский И. В. н Смирнов Н. В.
Краткий курс математической статистики для технических при-
ложений. Фнзматгиз. 1959.
4.	Уилкс С. Математическая статистика. «Наука». 1967.
5.	Б о л от и и В. В. Статистические методы в строительной
механике. Госстройиздат. 1961.
122.	Основные сведения о линейном программировании
1.	ЗуховскнЙ С. И.. Авдеев Л. И. Линейное и вы-
пуклое программирование. «Наука». 1967.
2.	Ю д и н Д. Б.. Гольштейн Е. Г. Линейное и выпук-
лое программирование (теория и конечные методы). Фнэмаг-
гиз. 1967.
3.	Юдин Д. Б.. Гольштейн Е. Г. Линейное програм-
мирование (теория, методы н приложения). Фиэматгиз. 1969.
1.23.	Основы применения электронных
цифровых вычислительных машин (ЭЦВМ)
Алгоритмы. Сборник под общей редакцией М. И. Агесви.
ВЦ АН СССР. М. (публикуется нерегулярно с 1966 г.).
2.	Алгоритмы н алгоритмические языки. Сборник. ВЦ АН
СССР. М. (публикуется нерегулярно с 1967 г.).
3.	Базилевич В. Л.. Базилевич Л. В. Системы
команд н программирование для БЭСМ-2. «Судостроение».
Л.. 1964.
4.	Бру дно А. Л. Программирование в содержательных
обозначениях. «Наука». 1965.
Б. Гу тер Р. С. и др. Программирование н вычислительная
математика. «Наука». 1965.
• 6. Дондошанскнй В. К. Расчет колебаний упругих
систем на электронных вычислительных машинах. «Машино-
строение». М.—Л.. 1965.
7.	Дукарскнй О. М.. Лавнтыан В. С. Расчет рам
на электронных машинах. Стройнздат, 1965.
8.	Зуховицкий С. И.. Авдеева В. И. Линейноенвы-
пуклое программирование. Фнзматгиз. 1964.
9.	К а б у л о в В. К. Алгоритмизация в теории упругости
н деформационной теории пластичности. Изд. Уз. ССР. Таш-
кент. 1966.
10.	К и т о я А. И.. К р и и и ц к и А Н. А. Электронные циф-
ровые машины и программирование. Фнэматгиэ. 1961.
II.	Китов А. И. Программирование информационно-логи-
ческих задач. «Советское радио». 1967.
12.	Лавров С. С. Универсальный язык программирования.
«Наука». 1064.
13.	Резников Р. А. Решение задач строительной меха-
ники на ЭЦМ. 2-е изд. Стройнздат. 1971.
14.	С ы н р н о в А. Ф. н др. Расчет сооружений с приме-
нением вычислительных машин. Стройнздат. 1964.
15.	Современные методы расчета сложных статически неопре-
делимых систем (составление, общая редакция н дополнен ня
А. П. Филина). Судпромгнз. Л.. 1961.
16.	С о с н с П. М. Алгоритмический язык АЛГОЛ-GO и его
применение в строительной механике. «Буд1вельннк>. Киев. 1965.
17.	Справочно-методическое пособие по применению вычис-
лительной техники при проектировании строительных конструк-
ций. 2-е изд. Гнпротис. 1969.
18.	Ф н л и я А. П. Матрицы в статике стержневых систем.
Стройнздат. 1967.
19.	Язык «ВХОД» для описания исходной информации к рас-
четам на ЭВМ. Высшие инженерные курсы Госстроя СССР. 1969.
20.	Информация (пер. с англ, под ред. н с предисловием
А. В. Шнлейко). «Мнр». 1968.
124.	Математические таблицы
1.	Рыжик II. М.. Градштейн. Таблицы интегралов,
сумм рядов и произведений. ГТТИ. М-—Л.. 1951.
2.	Я и к е Е. и др. Специальные функции, формулы, гра-
фики. таблицы. «Неуке». 1964.
3.	Бронштейн И. Н.. Семендяев К. А. Справочник
по математике для инженеров в учащихся втузов. «Наука», 1964.
4.	Справочник проектировщика. Расчетно-тсоретнчесннЙ. Го-
сударственное издательство литературы по строительству, архи-
тектуре н строительным материал ин. 1961. Раздел I.
РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.1 ОБЩАЯ ЧАСТЬ
2.1.1. Основные понятия
Материальная точка — материальное тело, размера-
ми которого можно пренебречь в рассматриваемой за-
даче. Механическая система — совокупность материаль-
ных точек, движение и положение которых в прост-
ранстве взаимосвязано. Абсолютно твердое тело (неиз-
меняемая или жесткая система) — механическая систе-
ма, расстояние между
точками которой не ме-
няется в условиях рас-
сматриваемой задачи.
Сила — мера механи-
ческого взаимодействия
материальных тел, зада-
ваемая вектором. Вектор
силы направлен в сторо-
ну действия силы и ра-
вен по величине данной
силе. Силу, приложен-
ную к абсолютно твердо-
Направление вектора МО(Р) совпадает с осью вра-
щения, вызываемого силой, т.е. вектор направлен пер-
пендикулярно плоскости ОАВ (см. рис. 2.2), содержа-
щей силу Р н точку О так, чтобы нз его конца враще-
ние представлялось происходящим против часовой
стрелки.
Геометрически величина момента силы относительно
точки выражается удвоенной площадью треугольника
ЛОВ.
му телу, можно переио-
р 91	сить *Д0Ль ее лнннн дей-
гис' '*	ствня, при этом условия
движения или равнове-
сия тела не меняются, т. е. сила, приложенная к абсолют-
но твердому телу, рассматривается как скользящий век-
тор.
Векторы сил в тексте обозначаются заглавной бук-
вой с черточкой сверху (в некоторых книгах — жирным
шрифтом). На чертеже черточка над обозначением век-
тора не ставится. В проекции на перпендикулярную
плоскость сила изображается кружком с точкой (если
вектор направлен к наблюдателю) или кружком с кре-
стиком (если он направлен от наблюдателя) (рис. 2.1).
Момент силы относительно точки О ровен векторно-
му произведению радиус-вектора г точки А линии дей-
ствия силы на вектор силы (рнс. 2.2):
Рис. 2.2
М0(Р) = ~тХР.
(2.1)
На чертеже момент силы относительно точки изобра-
жается волнистой стрелкой.
Момент силы — приложенный вектор, численно рав-
ный произведению модуля силы иа ее плечо h — крат-
чайшее расстояние от точки до линии действия силы:
Мо (P) = Ph.
(2.1а)
Момент силы относительно оси — проекция иа эту
ось вектора момента силы относительно точки О, лежа-
щей иа осн:
Ми (Р) = пр„М0 (Р) = Мо (Р) cos q>.	(2.2)
Момент силы относительно оси равеи_ произведению
проекции силы Р иа плоскость Q (npqP). перпендику-
лярную оси. иа расстояние А, от точки О_ пересечения
осн с плоскостью Q до лнннн действия npqP:
96
РАЗДЕЛ 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Mu(P) = ±npQPht	(2.3)
Геометрическая величина момента силы относитель-
но оси выражается удвоенной площадью треугольника
ОаЬ (см. рис 2.2.).
Момент силы относительно оси имеет знак +. если
нэ конца оси вращение, вызываемое силой, представля-
ется происходящим против часовой стрелки. Момент
силы относительно осн равен нулю, если сила и ось
компланарны, т. е. сила параллельна осн нлн пересека-
ет ее.
Момент силы относительно точки (осп) характери-
зует способность силы сообщать телу вращательное
движение вокруг дайной точки (оси).
Парой (ил называется силовое воздействие, вызыва-
ющее вращение твердого тела. Пара сил является про-
стейшим силовым воздействием и не может быть заме-
нена одной силой. Пара_сил характеризуется векто-
ром — моментом пары М (имеющим размерность
сила-длина), направленным параллельно оси враще-
ния, вызываемого парой, так чтобы это вращение из
конца вектора момента представлялось происходящим
против часовой стрелки. Пара сил может быть пред-
ставлена в виде двух одинаковых антипараллельных
сил Р, лежащих в плоскости, перпендикулярной момен-
ту пары, и расположенных таким образом, чтобы вызы-
ваемое ими вращение с конца вектора момента пары
представлялось происходящим против часовой стрелки
(рнс. 2.3,0). Силы Р связаны с моментом пары М соот-
ношениями:
М=7 ХР; |М| = РЛ.	(2.4)
где Л —плечо пары (расстояние между линиями дей-
ствия сил пары).
Пара без изменения ее действия на абсолютно твер-
дое тело может быть перенесена в любую точку прост-
ранства, т. е. момент пары является свободным векто-
ром. Момент пары изображается на пространственном
чертеже волнистой стрелкой, а иа плоском (если плос-
кость проекций перпендикулярна направлению вектора
момента)—дугообразной стрелкой, указывающей на-
правление вращения, вызываемого парой (см.
рнс. 2Да).
Пары с равными моментами эквивалентны.
Мотор сил (наиболее общий образ ^илового воздей-
ствия)— совокупность вектора силы Р н вектора мо-
мента пары М (рнс 2.3,6). Мотор сил, компоненты ко-
торого коллинеарны, называется динамическим винтом
(динама. силовой винт) (рис. 23,в).
Системы сил — совокупности силовых воздействий,
приложенных к абсолютно твердому телу. Системы сил,
оказывающие одинаковое действие иа движение (или
равновесие) тела, — эквивалентны Равнодействую-
щая — сила, эквивалентная системе сил.
Внешние силы (Р') — силы, действующие иа точки
механической системы со стороны тел, не входящих
в систему.
Внутренние силы (Р1)—силы взаимодействия меж-
ду точками системы. Внутренние силы попарно равны.
Рис. 2.4
противоположны по направлению и имеют общую ли-
нию дейстння.
Связи — факторы, ограничивающие свободу переме-
щения материальных тел в пространстве.
Реакция связи — сила (пара, мбтор сил), с которой
связь действует на тело. В отлнчне от реакций связей
пес остальные силы, действующие на тело, называются
активными силами. Реакция связи без трепня направ-
лена в сторону, противоположную тому перемещению,
которому сиязь препятствует, и составляет 90’ с тем
перемещением, которое связь допускает. Если связь
препятствует поступательному перемещению тела, то ее
реакция — сила, если сиязь препятствует повороту тела,
то ее реакция — пара сил.
2.1. ОБЩАЯ ЧАСТЬ
97
Некоторые виды связей: односторонние или иеудср-
живающие связи: гладкая поверхность (рис. 2.4, о);
гладкая линия или точка (рис. 2.4.6, в), гибкая иерас-
тяжимая нить (рис. 2.4. а)—эти связи допускают все
перемещения, кроме перемещения в направлении г —
определепа_лииия действия и направление силы реак-
ции связи 2.
Двусторонние или удерживающие связи: подвижный
шарнир (рис. 2.4,6), жесткий недеформируемый стер-
жень (рис. 2.4, е) — связи допускают любое перемеще-
ние. кроме поступательного вдоль оси г —определена
только линия действия силы реакции связи; плоский
шарнир (рис. 2.4, ас) — допускает поворот вокруг осн
шарнира: сферический шар-
в	иир (рис. 2.4, э) — допуска-
/	_	ет поворот вокруг любой
X	оси. проходящей через центр
/	/	\	шарнира — определена точ-
/	й J,	\	ка приложения силы реак-
/ г |Ё • нии связи.
I /	Защемление или жест-
\	кая заделка (рис. 2.4, и.к)—
\^/	возможность перемещения
7	тела исключается — харак-
тер связи определяет воз-
никновение не только сил
Рис. 25	реакций связей, ио и реак-
тивных моментов.
Все виды связей могут
быть осуществлены комбинацией некоторого числа
стержней. Например, защемление может быть осущест-
влено посредством трех стержней на плоскости или ше-
сти стержней в пространстве (рис 2.4. л, ж).
Скорость точки — вектор о, величина которого рав-
на быстроте изменения положения точки в простран-
стве, а направление совпадает с направлением движе-
ния точки в данный момент.
Ускорение точки — быстрота изменения скорости точ-
ки в данный момент времени. Ускорение характеризует-
ся вектором ш (применяется также обозначение л),
do
равным производной —— от скорости по времени в дан-
ol
иый момент.	_
Угловая скорость о> вращения твердого тела вокруг
мгновенной оси и (быстрота изменении угла поворо-
та) — скользящий вектор, направленный вдоль осн вра-
щения так, чтобы, глядя из его конца, вращение пред-
ставлялось происходящим против часовой стрелки
(рис 25).
Угловое ускорение в (быстрота изменения угловой
скорости с_течеинем времени) — вектор, равный проиэ-
d<i>
водной —— от угловой скорости по времени в данный
di
момент (см. рис. 25).
2.1.2.	Основные законы
Законы механики справедливы для макротел, дви-
жущихся со скоростями, малыми по сравнению со ско-
ростью света.
Закон инерции (1-й закон Ньютона): материальная
точка, изолированная от действия других материальных
тел (изолированная от действия сил), движется прямо-
линейно и равномерно. Системы отсчета, в которых со-
блюдается этот закон, называются инерциальными.
Закон изменения движения (2-й закон Ньютона).
Ускорение материальной точки пропорционально прило-
женной к точке силе Р н направлено в сторону дейст-
вия силы:
тпи> = Р,
(2.5)
где m — масса точки (мера инерции точки, мера инер-
ции твердого тела при поступательном дви-
жении).
Масса точки m связана с ее весом О зависимостью
G
где g— ускорение силы тяжести (£-9,80665 м/сек’—
-9,81 м/сек’ для средней широты).
Закон действия и противодействия (3-й закон Нью-
тона). Силы взаимодействия двух тел всегда равны по
величине, противоположны по направлению и имеют об-
щую линию действия.
2.1.3.	Системы единиц измерения
В основе измерения всех механических величии ле-
жат три единицы, являющиеся основными; через них
могут быть выражены все прочие единицы, называемые
производными. По выбору основных единиц различают-
ся системы единиц (табл. 2.1). В настоящее время со-
гласно ГОСТ 9867—61 установлено, что система СИ
должна применяться как предпочтительная во всех об-
ластях науки, технику народного хозяйства, а также
при преподавании. Во всей технической литературе в
области строительства до настоящего времени исполь-
зуется техническая система единиц. В табл. 2.2 приве-
дены размерности физических величии механики в си-
стемах технической и СИ и формулы перехода от тех-
нических единиц к единицам системы СИ.
Таблица 2.1
Системы единиц измерения
Наименование системы единиц измерение	Основные единицы измерении и нк сокра- щенное обозначение			
	длина	время	масса	сила
Интернациональ- ная-СИ (МЮ	метр (ж)	секуляа (WK)	кило- грамм (KZ)	-
Техническая	метр (ж)	секунда (сея)	-	кнло- гримы- енла (к/'*)
Система COS	сантиметр 1СМ)	секунда (с/к)	граны (г)	—
• В последующих разделах Справочника килограмм-сил с обозначается дГ.				
98
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Система единиц механики
Таблица 2.2
Название величины	Единица измерения» ее обозначение н размерность		Техническая единица.
и ее обозначение	в системе СИ	в технической системе	выраженная в единицах системы СИ
Длина / Время t Масса т Сила* Давление** Скорость V Ускорение ® (а) Угловая скорость ы Угловое ускорение е Частота v Работа А и анергия Мощность N Количество движе- ния Q и импульс си- лы S Момент количестве движения (кинетиче- ский момент) К Момент инерции J •	Обозначается л •	• Обозначается ле	метр (м) секунда (сек} килограмм (кг) , . .	. яГм ньютон (и) 1« — 1	 сек!* ньютон на квадратный метр (н/м*) метр на секунду (м/сек) метр на секунду в квадрате (м/сек*) радиан на секунду (pad/сек) или [рад-сек" ’) радная на секунду в квадрате (pad/сек*) нлн (рад - сек-4) герц (оборот на секунду) (гц) джоуль (дж) 1 дж  1 кГмЧсе/Р ввтт (аг) 1 вг — 1 кГм*/сек* 1 нсек - 1 кГм/сек кГм н-м-сек "  сек кГ-м* обой заглавной латинской буквой (чаще обой прописной латинской буквой (чащ	метр (м) секунда (сек) техническая единица массы (г.е.м.) ,	сек’ 1 г.е.м. - ке 	 м килограмм-сила (кГ) килограмм иа квадратный метр (kW) метр на секунду (м/сек) метр на секунду в квадрате (м!сек}) ладнан ич секунду (рад/сек) нлн (рад-сек-1) радиан на секунду в квадрате (pad/сек*) или (рад-сек- герц (оборот на секунду) (гц) килограммометр (кГм) килограммометр	на	секунду (кГм/сек) кГ-сек кГ м-сек т. е. м. -м1 - кГм-сек* Р. <?). Р. Q).	1 г. е. м. - 9.01 кГ 1 кГ - 9.61 н 1 кГ/м* - 9.81 н/м» 1 кГж — 9.81 джоулей 1 кГм/сек • 9.81 аг 1 кГсек - 9.81 н-сек 1 кГм-сек - 9.81 н-м-сек 1 кГм-сек1 - 9.81 яГ-м*
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
2.2.1.	Действия с силами
(2.6)
Правило параллелограмма сил. Равнодействующая
двух сил. приложенных к одной точке, изображается
диагональю параллелограмма, построенного на этих си-
лах, как на сторонах (рис. 2.6,о). Величина равнодей-
ствующей может быть определена из тригонометриче-
ских соотношений:
Л=/(’? + (’2 + 2/>ЛсоМа + ₽) :
R _ Pi _ Ра
sin (а 4- р) sin а sin р ’
С помощью параллелограмма сил могут быть выполне-
ны обратные задачи: а) разложение силы R па две со-
ставляющие Р| и Pj, направление которых задано (рнс.
2.6,о); б) разложение силы R на две составляющие, ве-
личина которых задана (рис. 2.6,6); в) разложение си-
лы R иа две составляющие, направление одной нз ко-
торых и величина другой заданы (рнс. 2.6,в). В слу-
чаях б н в задача имеет два решения.
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
99
Разложение силы по осям декартовых координат.
В прямоугольной системе координат имеет место разло-
жение (рнс. 2.7):
p = x7+n + z* = x + F+z. (2.7)
где X. У, Z — компоненты силы (составляющие) по
осям координат;
X, Y, Z—проекции силы на оси координат;
I,	/. 4 — единичные векторы (орты) осей.
Проекции силы Р (обозначаемые также через Рж, Ру,
Р,) вычисляются либо через углы а, 0, у, образуемые
силой с осями координат, либо через угол у с одной из
осей (г) и угол q>, определяющий положение плоскости,
в которой лежат сила и ось:
X = Рж = Pcosa = Psinycosq^ |
y = P(, = Pcosp = Psinysinq>; |	(2.8)
Z = Pt = P cos у.	)
Рис 2.7
Если сила лежит в
плоскости хОу. то
у = 90°, 0 = 90° —а
и X = Pcosa;
Y = Psincc
Z = 0-	(2.9)
Если сила Р задана
ее проекциями X, У, Z.
то модуль силы
P = Vx* + Y* + Z* .
Направляющие коси-
нусы:
cosap = — ; cosPp = —; cosyP = y. (2.10)
2.2.2.	Действия с моментами
Разложение вектора-момепта силы относительно точ-
ки по осям декартовых координат. Момент силы
Р (X, Y, Z), проходящей через точку М (х, у, г), отно-
сительно точки А (а, Ь, с) (рнс. 2.8):
Мл (Р) = АЛ1ХР =
i	I
х—а, у—Ь,
X	Y
k
Z
(2.11)
Проекции вектора МЛ(Р)_ иа оси декартовых коор-
динат (или моменты силы Р относительно осей хг. у,;
Zt, проходящих через точку Л):
Ll = мх, = (У ~ 4) - (г - с) Y;
М, — Myi = (z—c)X — (x — a)Z;
Nt = MZi = (x-a)Y — (y-b)X.
(2-12)
Момент силы Р относительно начала координат О:
м0(р)=7хр = | х
Моменты силы относительно осей
пат х, у, г:
7 4
9 г
Y Z
(2-13)
декартовых коорди-
L = yZ — zY\ M=zX-xZ; N = xY-yX. (2.14)
_ Определение момента силы относительно точки
Мл(Р) по его проекциям Lt, Мь N,:
M4(P) = LI7 + Mi;+Af14.’
Рис. 2.8
МА(Р)=-^Lj + M' + Ni .
Направляющие косинусы:
W,
“SVA,=^T-	(2J5)
Определение линии действия силы по ее проекциям
(X. У, Z) и координатам точки М (х, у, г) иа ее линии
действия:
* —*1 = У-Уз = г — zt
X Y Z '
(2.16)
В случае расположения силы Р и точки М в плоскости
хОу уравнение линии действия:
(2.16а)
Отрезки, отсекаемые линией действия силы, лежащей в
плоскости хОу иа осях координат:
xtY — у,Х
на осн х: х0 =----------; на оси у. уа =
— 91X
X
(2.166)
Определение линии действия силы Р по ее проекци-
ям (X. У, Z) и моменту МО(Р) (Z, М, N) относительно
начала координат:
100
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
L = yZ-zY: M = zX-xZ~. N = xY-yX, (2.17)
где х, у, г— координаты точки па линии действии си-
лы. В случае расположения силы в плоскости хОу
N = xY — yX.	(2.17а)
Отрезки, отсекаемые линией действия силы на осях
координат:
N	N
иа оси х: х0 = — ; на оси р: у0 = — — - (2.176)
Разложение вектора-момеита пары М по осям де-
картовых координат. В декартовой системе координат
имеет место разложение:
М = Li + Mj + Nir, где L = |M| cos aM;
M = |A1| cos Рд,; N = |Af| cos yM.
Модуль вектора-момента пары:
IMI = УЪ -f-	.
Направляющие косинусы:
L „ М
cosa., =-----; cospM = -—;
"	|M|	" !м1
N
м 1м|
(2. 18
2.2.3.	Произвольная система сил
Параллельный перенос силы. Силу Р. нс меняя дей-
ствия на тело, можно перенести в любую точку прост-
Рнс. 2.9
рапства О. при этом добавляется присоединенная па-
ра, момент которой Мосас равен моменту силы относи-
тельно точки О (рис. 2.9):
Л«пркс = 5Йо(Р)-	(2.19)
Приведение системы сил к данному центру в вектор-
ной форме. Выполняется операция параллельного пере-
носа со всеми силами системы. Векторы сил, перенесен-
ных в точку О, посредством построения силового мно-
гоугольника, заменяются главным вектором системы сил
R', равным их геометрической сумме (рис. 2.10):
R'= Ъ~РС	(2.20)
Моменты присоединенных пар посредством построения
многоугольника моментов заменяются результирующей
парой, момент которой — главный момент системы Л1О
равен геометрической сумме моментов присоединенных
пар (рнс. 2.10):
"о=2^прнс = 2«о(Л)-	(2.21)
Таким образом, при приведении системы сил к данному
центру О последняя заменяется мбтором — совокупно-
стью скользящего вектора — главиого вектора Я' и сво-
бодного вектора — главного момента Мо.
Рис. 2.10
Перемена центра приведения. Инварианты статики.
При переносе центра приведения рэ точки О в точку О|
имеют место соотношения: Ro=^o,- т- е-> главный век-
тор мбтора сил ие изменяется (1-й инвариант стати-
ки);
M0l = M0 + M0, (Ro)-	(2.22)
главный момент мотора сил — изменяется иа величи-
ну момента прежнего главного вектора относительно
нового центра приведения;
Ro^o= — скалярное произведение главного век-
тора и главного момента мбтора сил ие зависит от вы-
бора центра приведения (2-й инвариант статнкп). Гео-
метрическая интерпретация второго инварианта стати-
ки — проекция главного момента иа направление
главного вектора ие зависит от выбора центра приве-
дения.
Частные случаи приведения:
I)	Л'-О; Мо -О—равновесие;
2)	Л'«0; Мо 5*0 —пара сил;
3)	Л'т*0; А10—0 — система приводится к равнодейст-
вующей. проходящей через центр приведения. В этом
случае имеет место теорема Варниьоиа: момент равно-
действующей относительно какой-либо точки равен гео-
метрической сумме моментов всех составляющих отно-
сительно той же точки. Момент равнодействующей от-
носительно какой-либо оси равен алгебраической сумме
составляющих относительно той же оси;
4)	Л'^0; Мо 5*0; R’lM0— система приводится к рав-
нодействующей, нроходящей от центра приведения на
Мо
расстоянии , откладываемом по перпендикуляру к
?иЛ(0 (рис. 2.11) ;
5)	Л'ч*0; Мо 5* 0; R' II Мо— дииама, ось которой прохо-
дит^ через центр приведения (см. рис. 2.3, в);
6)	Л' 1*0; Afo^0; R'+Mo— система приводится к дина-
ме, ось которой проходит от центра приведения иа рас-
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
101
Afosln (Мо₽)
куляру к R' и М о (рис. 2.12).
Приведение системы сил к центру в аналитическое
форме.
Определен не главного вектора системы:
проекции на осн координат:
XR = Е X,; YR = Е Y,; ZR = Z Z,;	(2.23)
модуль
+	:	(2.23а)
направляющие косинусы:
—(2.236)
Определение главного момента системы:
проекции па осн координат:
L = ZL (/>,-); М = ГМ (Рг); N = 2N (Р{). (2.24)
где
L (Pt) = yt Zi- г; Г,;
M(Pz) = ?fXf-x,Z/;
модуль:
Мо = Vl* + M* + N*.	(2.24а»
направляющие косинусы:
L „ М	N
cosaM = 7Г: C0S₽" = 7T: cosvw-тг:: (2-иб>
/Ио	Mq	м п
угол между R’ н Мо :
линия действия равнодействующей при cos (R'Mo} -0:
yZR — zYR - iXR — xZ" t = xY R — yX’ =0, (2.26)
где *, </, z — координаты точки на линии действия рав-
нодействующей:
уравненне центральной осн дннамы (при cos(/?'A1o)^
*0):
L - (yZR -	_ /И - (ах; - xZR) _
X'j	/7
z«
где х, у, г — координаты точки на осн дннамы:
определение момента дннамы:
условия приведения системы снл к паре:
XX = rr = ZZ = 0;	(2.29)
условия приведения системы снл к равнодействующей:
X* L + VR М + ZR N = °-	(2-30)
2.2.4.	Частные случаи расположения сил
Сходящиеся силы (линии действия всех снл пересе-
каются в точке О). Приняв точку О за центр приведе-
ния, получаем:
L = М = N = 0; Мо = 0.	(2.31)
Система приводится к равнодействующей /!«Е₽<. про-
ходящей через точку О схода снл, ее модуль н направ-
ляющие косинусы определяются по формулам (2.23).
Векторное условие равновесия сходящихся сил
2Р, = 0.	(2.31а)
Система nap. XR=YR=ZR = 0. Главный вектор систе-
мы равен нулю. Система приводится к паре
(2.32)
Проекции модуля и направляющие косинусы вектора-
момента М определяются по формулам (2.24).
102
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Векторное условие равновесия
2Л1, = 0.	(2.32а)
Плоская система сил. Приняв плоскость действия
сил за плоскость хОу, получаем
ZZ, = 2L (Pf) = IM (Р,) = 0.
Главный вектор системы лежит в плоскости хОу, а
главный момент направлен вдоль осн г. Проекции глав-
ного вектора на осях хну главного момента на ось
г ояределяются по формулам (2.23) и (2.24). Векторные
условия равновесия плоскости системы сил:
R' = 0, N =0.	(2.33)
2.2.5.	Условия равновесия
тел и систем тел
Равновесие двух сил: две силы образуют уравнове-
шенную систему, если они равны по величине, противо-
положны по направлению и имеют общую линию дей-
ствия.
Равновесие трех сил: три силы, лежащие в одной
плоскости, образуют уравновешенную систему, если нх
линии действия пересекаются в одной точке и на этих
силах, как на сторонах, можно построить замкнутый
силовой треугольник.
Равновесие произвольной системы сил имеет место,
если главный вектор системы и ее главный момент отно-
сительно произвольного полюса О равны нулю.
Этим векторным уравнениям равновесия соответст-
вуют шесть аналитических уравнений равновесия. В том
случае, когда на расположение сил наложены какие-
либо ограничения, число аналитических уравнений рав-
новесия уменьшается. В табл. 2.3 приведены аналити-
ческие уравнения равновесия (и нх варианты) для раз-
личных случаев расположения сил.
Равновесие твердого тела осуществляется, если к
нему приложена уравновешенная система сил.
Равновесие изменяемой (деформируемой) системы
под действием сил можно рассматривать как равнове-
сие абсолютно твердого тела, форма которого тождест-
венна форме изменяемой системы после деформации
(аксиома об отвердевании).
Равновесие системы тел (совокупности тел, соеди-
ненных друг с другом и с землей связями). Общее чис-
ло уравнений равновесия для системы тел равно числу
уравнений для каждого нэ тел в отдельности, умножен-
ному на число тел системы. В общее число уравнений
могут входить уравнения системы в целом, имеющие то
отличие, что в них не входят внутренние силы.
Понятие о статически определимых н статически не-
определимых задачах (системах). Если число независи-
мых уравнений равновесия для данной системы тел
равно числу неизвестных в задаче, система статиче-
ски определима. Если число уравнений равновесия для
данной системы меньше числа неизвестных в задаче —
система статически неопределима, т. е. задача не мо-
жет быть решена методами статики. Если число ш
уравнений статики больше числа л неизвестных в зада-
че— система изменяема н может находиться в равнове-
сии только прн такой нагрузке, прн которой т—п урав-
нений равновесия обращаются в тождества. При реше-
нии подобной задачи в первую очередь необходимо
проверить: обращаются лн прн данной нагрузке т—л
уравнений в тождества. Если число неизвестных в зада-
че равно числу оставшихся уравнений — система нахо-
дится в равновесии.
Прн составлении уравнений равновесия следует стре-
миться посредством рационального выбора осей (и мо-
ментных точек для плоской задачи) расчленить систему
уравнений иа отдельные уравнения с одним неизвест-
ным каждое. Для этой цели можно использовать ва-
рианты условий равновесия, приведенные в табл. 2.3.
2.2.6.	Правила прикрепления
твердого тела
Свободное твердое тело обладает шестью степенями
свободы перемещения. Для прикрепления твердого тела
к земле необходимо и достаточно иметь шесть связей,
каждая из которых устраняет одну степень свободы,
напрнмер шесть стержней.
Рис. 2.13
Прн правильном расположении связей одновремен-
но устраняется подвижность тела (геометрическая из-
меняемость системы) и обеспечивается статическая оп-
ределимость системы. Прн неправильном расположе-
нии связей некоторые перемещения оказываются неуст-
ранениымн, а для устранения других перемещений
используется излишнее число связей. Поэтому при оцен-
ке возможности решения конкретной задачи методами
статики необходимо кроме сравнения общего числа не-
известных н общего числа уравнений статики для зада-
чи произвести также проверку правильности располо-
жения связей.
Если связи расположены неправильно, то прн состав-
лении уравнений равновесия определитель D системы
(см. 1.1.7) обращается в нуль и решение задачи стано-
вится невозможным.
О прикреплении тел см. [12. 15).
Различаются мгновенная и конечная изменяемость
системы. Изменяемость, исчезающая при бесконечно ма-
лом смешении тела, называется мгновенной. Напрнмер.
прикрепление балки, показанное на рис. 2.13, а, допус-
кает бесконечно малое перемещение 6 по горизонтали:
при этом опорные стержни перестают быть параллель-
ными н изменяемость исчезает. Прикрепление балки по
рис 2.13.6 допускает конечное перемещение Д. так как
опорные стержни остаются параллельными. Такая из-
меняемость называется конечной.
Пример 2.1. Определить опорные реакции в точках
прикрепления А, В и С твердого тела, нагруженного си-
лой Р н парой сил с моментом N (рнс. 2.14).
Решение. Тело находится в равновесии под действи-
ем системы сил, произвольно расположенных в прост-
ранстве. Неизвестными в данной задаче являются со-
ставляющие опорных реакций Ул. Хл. Zb. Хс. Тс. Ze.
Число неизвестных (6) равно числу уравнений равнове-
сия для произвольной системы сил в пространстве (6).
Уравнения равновесия следует составлять в такой пос-
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
103
Таблица 2.3
Варианты аналитических уравнений равновесия
Особенности расположения сил	Число уравнений	Варианты уравнений равновесия
Система сил. лежащих на одной прямой	1. См 1	жы расположены в одной олоежоетк ЕР,-0
Система сходящихся сил (О — точка схода)	2	1)	ЕХ, —Ch 1У,-О. 2)	— О.	" 0, где АО не перпендикулярен осн ж; 3)	ЕМ д/ - 0: SA1— 0, где АВО — ломаная
Система параллельных сил	2	1) ЕХ,-0; EAf^-O, гае x|Pf: 2) ЕМд; — О. ЕМ# — 0, где АВ не перпендикулярен ?4
Система пар	1	ЕМ,-0
Произвольном плоская си- стема сил Система сходящихся сил (О — точка схода)	3 2. (указаны только 3	1)	ЕХ( - 0: ЕУ, - О. ЕМД/ - 0; 2)	IXj—O: 1Мд/ — 0: ЕМд^—0, где Двне перпендикулярен оси к; 3)	ЕМд/ —0: EM# — 0; ЕМ^( —0, где АВС — ломаная Силы расположены в пространстве наиболее употребительные варианты уравнений) 1) ЕХ,-0: Е^-0: EZ^-0: 2) EMf/ - О. ЕМт1 - 0: ЕА4„; - 0. где 1. т. п — произвольные оси. отвечающие условию- через точку О нельзя провести прямую, пересекающую все три осн
Система параллельных сил	3	1) EXf-0: ЕМ4-0: E/V4-O. где xfPf. 2) ЕМН - О. ЕМт/ -0: ЕМд/ - 0. где 1. т, л — оси. ке пересекающиеся в одной точке, ие параллельные силам и не все параллельные между собой
Система пар	3	11,-0: ЕМ,-Ch ЕЛ/,-0
Произвольная система сил	б	1)	ЕХ — О. ЕИ — 0-. EZ — О. EL-Ch ЕМ—О. ЕЛ/-0; 2)	EX — Ch ЕУ — 0: El — О. ем - о; ew - о-. ем, - а где / — ось, не проходящая через начало координат и не параллельная осн Z; 3)	EZ-Ch EL-0: ЕМ-0: 2LV -0: ЕА4, - О. ЕМ^ -0, где 1. т — осн. ие лежащие обе в плоскости хОр; 4)	ЕМ, —0: £\-0: ЕМл-0: ЕМр -О; ZMg -О. ЕМ, — 0, где оси должны отвечать тем же требованиям, что н стержни, прикрепляющие твердое тело (см. 2.2.6)
104
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
лс.товательностн, чтобы из каждого уравнения опреде-
лялось одно неизвестное:
— Рс
1)	1L = Рс + глАВ = й, гА = -^_:
Рс
2)	2М — ZABC + ZBBC = 0; zB=—zA--
3)	ZN = Ра + YaBC + N = OI
_-ра+2У
Га~ вс 1
4)	1Х = Хс = 0; Хс = &.
5)	И' = УЛ+ГС + Р = О;
Ус=-Р-Уд;
G) ZZ = 2Л+ ZB-t-Zq = 0:
ic=-zA-zB=B.
2.2.7. Системы с трением
Трением скольжения называется сопротивление, воз-
никающее прн попытке сдвинуть тело по шероховатой
поверхности. Основными причинами трения являются
силы сцепления неровностей соприкасающихся поверх-
ностей (уменьшаются прн улучшении качества обра-
ботки) н силы взаимодействия молекул пограничных
слоев соприкасающихся тел (увеличиваются с улучше-
нием качества обработки). Полное устранение трения
таким образом невозможно.
Наличие трения проявляется в возникновении силы
трения, приложенной в точке контакта к сдвигаемому
телу н направленной в сторону, противоположную на-
правлению движения. При этом к поверхности, но ко-
торой происходит движение, со стороны сдвигаемого
тела прикладывается равная по величине н противопо-
ложная по направлению сила. В первом приближении
силы трения (прн сухих н слабо смазанных поверхно-
стях) подчиняются законам Кулона:
I) сила трения не зависит от размеров соприкасаю-
щихся поверхностей;
2) максимальная сила трения пропорциональ-
на нормальному давлению N соприкасающихся тел
Fu^c = fN.	(2.34)
Таблица 24
Коэффициент трения скольжения для
некоторых веществ [15]
Пара веществ	'ст
Бронза—чугун Бронза—железо Сталь—сталь Металл—дуб Дуб—дуб Кожа—дуб Кожа—чугуя Камень—камень Камень—железо Камень—дерево Сталь—лед	0.16 0,19 0,15 0,62 1	0,62 вдоль волокон |	0,54 поперек волокон 0,47 0,28 0,60—0,73 0.42—0.49	1 0.46-0.60 0,027
где f — коэффициент тре-
ния, зависящий от мате-
риала, качества обработ-
ки и физического состоя-
ния (температура, влаж-
ность) соприкасающихся
поверхностей. Коэффи-
циенты трення опреде-
ляются эксперименталь-
но (табл. 2.4).
В состоянии покоя н
ирн малых скоростях
движения имеет место
статический коэффициент
трения fet- При боль-
ших скоростях движе-
ния для некоторых ве-
ществ динамический ко-
эффициент трения
может значительно нз-
является функцией от ско-
Рнс. 2.15
меняться н в общем случае
рости.
Углом трення <ртр называется предельный угол меж-
ду полной реакцией R шероховатой поверхности и нор-
малью к ней (рнс. 2.15). Угол трення н коэффициент
трення связаны зависимостью tg<pTp— f. Конус с углом
раствора 2<ртр, ось которого является общей нормалью
соприкасающихся поверхностей, называется конусом
трення. Если соприкасающиеся поверхности неизотроп-
ны (т. е. коэффициент трепня прн перемещении в раз-
личных направлениях неодинаков), конус трення не яв-
ляется круговым. Свойство конуса (угла) трения: пол-
ная реакция шероховатой поверхности в состоянии
покоя проходит в пределах конуса (угла) трения, а прн
взаимном движении соприкасающихся тел — по грани-
це конуса (угла) трения. Например, равновесие тела
(см. рнс. 2.15) возможно под_действнсм равнодействую-
щей активных сил Р,. а не Р^ так как сила Pi может
быть уравновешена реакцией R, лежащей в пределах
угла трения, а сила Рг нет. Таким образом, при нали-
чии трення возможна некоторая область положений рав-
новесия, в то время как прн связях без трения возмож-
но только одно положенно равновесия.
2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА
105
Трением качения называется сопротивление, возни-
кающее при попытке катить колесо по поверхности.
Трение качения проявляется в возникновении момента
трения качения М,9, стремящегося повернуть колесо в
сторону, противоположную движению. В состоянии по-
коя Mrf<kN, при движении МГр—kN, где N — нор-
мальная реакция основания, k — коэффициент трения
качения. Коэффициент k определяется эксперименталь-
но н не зависит от радиуса колеса н величины нормаль-
ного давления. Качение возможно только при наличии
между колесом и основанием трения скольжения, до-
статочного для того, чтобы воспрепятствовать скольже-
нию точки опирания колеса.
На рис. 2.16, о показана система снл, приложенных к
ведущему колесу, получающему вращающий момент М
от двигателя, а на рис. 2.16,6 — система сил, приложен-
ных к ведомому колесу, приводимому в движение силой
тяги Т. Здесь Р— нормальная нагрузка_иа колесо, Л/=
—Р— нормальная реакция основания, F — сила трения,
Г| — сила тяги, развиваемая ведущим колесом. Качение
без проскальзывания возможно при соотношении
k
<(Л+/Я) N для ведущего колеса и при для ве-
•X
дом ого.
2.2.6.	Центр масс
Центром масс материальной системы (тела) называ-
ется точка С приложения равнодействующей системы
параллельных снл инерции (см. 2.7.3). приложенных ко
всем точкам системы (тела) н пропорциональных их
массам. Центр тяжести совпадает с центром масс. По-
ложение этой точки, называемой также центром па-
раллельных сил, определяется соотношениями:
Длчж,	Ътм
*с~ м -Рс- м -гС~ м №
или в векторной форме
где mt — масса частицы с _коордииатамн г. у<, z< (ра-
диус-вектор r< i-ft точки rt~Xti+y,/ + z,k);	—
масса всей системы (тела).
Основные положения:
1.	Если тело (система) имеет центр (ось или плос-
кость) материальной симметрии, то центр масс совпа-
дает с этим центром (лежит на этой оси или плоско-
сти).
Материальной симметрией называется случай, когда
симметричны не только геометрические размеры, но и
массы отдельных частей тела (системы).
2.	Если центры масс отдельных частей тела (систе-
мы) лежат на одной прямой (плоскости), то и центр
масс лежит на этой прямой (плоскости).
3.	Если тело имеет полости (пустоты), то его можно
рассматривать как систему, состоящую из сплошного
тела н тел в форме пустот, имеющих отрицательную
массу (метод отрицательных масс).
Координаты центра масс однородных тел:
однородный объем V
JpdV fzdV
Рс=-\~’ "ctV"’	(2 3б)
однородная поверхность S
fxdS \ydS JzdS
(2.36а)
однородная липни L
J xdL	J ydL	\ zdL
хс=—[~- Ус=—[~’ гс=—[~- (2.366)
однородная плоская фигура F
^xdF ^ydF
(2 36в)
Положение центра масс некоторых однородных гел
дано в табл. 2.6.
Рис 2.17
Для определения положения центра масс некоторых
тел могут быть полезны теоремы Гюльдена (см. 1.2.2).
Графическое определение положения центра тяжести
плоской фигуры. Разбиваем плоскую фигуру на отдель-
ные части, положение центра тяжести которых из-
вестно. В центре тяжести всех частей прикладываем па-
раллельные силы, пропорциональные их площадям.
Дальнейшее построение тождественно определению по-
ложения следа равнодействующей параллельных сил.
Устойчивость рквиовесня. Равновесие материальной
системы является устойчивым, если при достаточно ма-
лом отклонении ее от этого положения она стремит-
ся вернуться в него (рнс. 2.17,а); если при отклонении
система стремится удалиться от первоначального по-
ложения, равновесие является неустойчивым (рис.
2.17,6); если система не проявляет тенденции ни к уда-
лению от первоначального положения, ни к возвраще-
нию в него, равновесие является безразличным (рис.
2.17, в).
106
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Принцип Торичелли: если при малом отклонении си-
стемы от положения равновесия ее центр тяжести повы-
шается — равновесие устойчиво, если понижается — не-
устойчиво, если остается иа прежнем уровне — безраз-
лично.
Устойчивость иа опрокидывание. В предельный мо-
мент перед опрокидыванием тело балансирует, опира-
ясь на точку (линию), вокруг которой происходит опро-
кидывание. Определяется момент сил, вызывающих оп-
рокидывание, Моор и момент сил, удерживающих от оп-
рокидывания. Л1„. Отношение М„ к Л1олр называется
коэффициентом устойчивости на опрокидывание
Пример 2.2. Для плотины, изображенной иа рис. 2.18.
опрокидывание возможно поворотом вокруг ребра О.
Коэффициент устойчивости иа опрокидывание:
_ Му.	Qb
Р Мопр	Р& h3
где Р. — давление воды; Р» — давление земли; Q —вес
плотины.
Веревочный многоугольник — построение, сводящее
плоскую систему нз л сил к двум силам, направленным
вдоль крайних сторон веревочного многоугольника и
равным крайним лучам силового многоугольника.
Порядок построения: 1) нумеруем поля, т. е. участ-
ки плоскости между линиями действия соседних сил
(рнс. 2.19. а): 2) строим силовой многоугольник (рис.
2.19.6), обозначая начало и коней каждой силы номера-
ми полей, границей которых она является; 3) выбира-
ем полюс 0 н проводим лучи силового многоугольника
1—0, 2—0 и т. д„ соединяя его вершины с полюсом;
4) строим веревочный многоугольник, начиная с произ-
вольной точки в поле / и проводя сторону 0—1 в поле
1. параллельно одноименному лучу силового много-
угольника, сторону 0—2 в поле 2 и т. д., кончая сторо-
ной 0—5 в поле 5 (см. рнс. 2.19, а).
Особенности силового и веревочного многоугольни-
ков в частных случаях
I.	Система сил приводится к равнодействующей. Си-
ловой многоугольник незамкнут, крайние стороны вере-
вочного многоугольника пересекаются (см. рнс. 2.19).
Равнодействующая равна замыкающей стороне 1—5 си-
лового многоугольника и проходит через точку m пере-
сечения крайних сторон веревочного многоугольника.
Если крайние стороны веревочного многоугольника пере-
секаются за пределами чертежа, равнодействующую
можно определить дополнительным построением, смысл
которого ясен из рнс. 2.20.
2.	Система приводится к паре. Силовой многоуголь-
ник замкнут, крайние стороны веревочного многоуголь-
ника параллельны. Момент результирующей пары ра-
вен произведению луча 1—0 (он же 0—5) силового мно-
гоугольника на расстояние й между параллельными сто-
ронами веревочного многоугольника (рнс. 2.21).
3.	Система находится в равновесии. Силовой много-
угольник замкнут, веревочный многоугольник сомкнут
(т. е. его крайние стороны совпадают) (рнс. 2.22).
2.3. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ
107
Задача о разложении силы по трем направлениям в
данной плоскости (способ Кульмана). Задача сводится
к двум последовательным разложениям ouia на два на-
правления: сначала раскладываем силу Р иа составля-
ющие Pi н Р„„ вдоль одной нэ заданных прямых и
вдоль линии тп, соединяющей точку т пересечения си-
лы с прямой / н точку л пересечения двух остальных
прямых. Затем составляющую Рпп раскладываем вдоль
линий 2 н 3 (рнс. 2.23) на составляющие Pt и Ра.
2.3.	ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ
2.3.1. Применение графических методов
к решению некоторых частных задач
Определение опорных реакций балки (рнс. 2.24):
I) обходим вокруг балки по часовой стрелке н нумеруем
поля между силами. Все известные силы должны ндтн
подряд, поэтому некоторые нз внешних известных сил
ординату ус веревочного многоугольника следует умно-
жить на полюсное расстояние силового многоугольника
d (рнс. 2.26, о)
Мс = dyc.
Случай распределенной нагрузки. Если к балке при-
ложена распределенная вертикальная нагрузка (рнс.
2.27), то для построения веревочного многоугольника ее
Рис. 2.24
в случае необходимости следует переместить вдоль нх
линий действия на другую сторону балки (напрнмер, си-
лу Pt на рнс. 225 переносим вверх); 2) строим много-
угольник внешних сил, изображая силы в порядке ну-
мерации полей, выбираем по-
люс н проводим лучи; 3) стро-
им веревочный многоугольник,
начиная с центра А неподвиж-
ного шарнира. Смыкаем вере-
вочный многоугольник, прово-
дя последнюю сторону АС из
конца предпоследней стороны
в начало веревочного много-
угольника, т. е. в центр непод-
вижного шарнира; 4) прово-
дим недостающий луч 0—4
силового многоугольника па-
стороне АС веревочного много-
угольника и заканчиваем построение силового много-
угольника (рнс. 2.24,6). Опорные реакции балки равны
соответствующим сторонам силового многоугольника:
Рис. 2.25
раллельно смыкающей
RB — 3—4; RA — 4—1.
Если балка опирается на три стержня (см. рнс. 2.25),
то точку пересечения двух стержней принимаем за
центр неподвижного шарнира Л, а после определения
его опорной реакции раскладываем ее на составляющие
вдоль стержней, равные усилиям в них (см. рнс. 2.6, а).
В частном случае только вертикальной нагрузки
(рнс 2.26), когда направление опорных реакций заранее
известно, построение веревочного многоугольника можно
начинать с любой точки иа лнинн действия одной нз
опорных реакций. Ордината веревочного многоугольни-
ка ус, т. е. расстояние между двумя его точками, ле-
жащими на одной вертикали, в этом случае пропорцио-
нальна изгибающему моменту в данном сечении С бал-
ки. Для определения величины нагибающего момента
BI
Рис. 2.26
Рис. 2.27
следует разбить на ряд участков и загрузить балку со-
средоточенными силами, приложенными в центре тяже-
сти каждого участка н равными равнодействующей на-
грузке этого участка. Полученный веревочный много-
угольник является описанным многоугольником так
называемой веревочной кривой, т. е. эпюры изгибающих
моментов, ординаты которой поделены иа полюсное
расстояние d силового многоугольника.
108
РАЗДЕЛ 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Определение опорных реакций трехшарнирной арки.
Одним из возможных приемов решения является опре-
деление реакций от действия нагрузки на каждую из
полуарок в отдельности (при этом опорная реакция не-
загруженной полуарки проходит через ключевой шар-
нир С). Например, при определении опорных реакций
Рис. 2.28
от действия силы Pi и Рг (рис. 2.28) строим два вере-
вочных многоугольника AM и Впт и два силовых мно-
гоугольника /—2—4' и 2—3—#" (рис. 2.28,6). Окон-
чательные значения реакций определяются графическим
суммированием, для чего строится параллелограмм
4"—4-4'—2 (рис. 2.28,6): /?*=•/—/; RB=3—4.
Многоугольником давлений называется построение,
показывающее положение лапши действия равнодейст-
вующей внутренних усилий ₽ на каждом участке осн
арки (линия ApqB на рис. 2.28, а). В поле /: Rbb—Rb<
т. е. стороне 4— 1 силового многоугольника (см^2.2&6),
в поле_2: (?»—(?л+Р|—<—2, в поле 3: R.«“Ra+Pi +
-|-Рг=/?в=<—3. В соответствии с этим стороны много-
угольника давлений параллельны соответствующим сто-
ронам силового многоугольника Лр||4—/; pql\4—2;
уВ||4—3. Многоугольник давлений используется для оп-
ределения внутренних усилий в поперечном сечении арки:
проекции вектора /? на нормаль и касательную к осн
арки в данной точке дают соответственно значения по-
перечного Q и продольного N усилия в поперечном се-
чении арки, а произведение Rn на расстояние от дан-
ной точки на осн арки до соответствующей стороны
многоугольника давлений дает значение изгибающего
момента в данном сечснни.
Определение липни действия равнодействующей про-
странственной системы параллельных снл. Пусть силы
параллельны оси г.
На плоскости хОу, перпендикулярной силам (рис.
2.29,0), их положение определяется следами Сь Сг и
т.д. Приложим в следах силы, равные данным и на-
правленные параллельно осн у, и определим линию дей-
ствия их равнодействующей АС с помощью силового
(рнс. 2.29,6) и веревочного многоугольника. Повернем
затем все силы на 90°, т. е. направим их параллельно
оси х н определим линию действия их равнодействую-
щей ВС (при этом стороны второго веревочного много-
угольника проводятся перпендикулярно одноименным
сторонам первого).
Точка С пересечения прямых АС и ВС яоляется сле-
дом равнодействующей пространственной системы па-
раллельных снл.
Если силовой многоугольник окажется замкнутым, а
псревочиые сомкнутыми, система приводится к паре.
Для определения момента пары находим момент Mt
равнодействующей снл, параллельных оси х. и момент
М3 равнодействующей снл. параллельных оси у. Пол-
ный момент системы определится как
М = Mii+ Mtl
Разложение силы на три параллельных направления
в пространстве (рнс. 2.30).
Пусть точка О — след силы Р на плоскости, перпен-
дикулярной силе, а точки Л, В и С — следы направле-
ний, на которые требуется разложить силу. Задача сво-
дится к двум последовательным разложениям силы на
две параллельные составляющие. Сначала раскладываем
силу на составляющие Ре н ₽к_(К — точка пересечения
прямых АВ н ОС), затем силу Рн на составляющие Рл
и Рв._ При графическом определении составляющих
силе Р придается произвольное направление на плоско-
сти чертежа. Смысл графических построений ясен из
чертежа.
Разложение силы на три направлении в пространстве.
Дана сила Q и направления Л 2, 3, пересекающиеся в
одной точке (рнс. 2.31, а). Определение вертикальных
составляющих Zi, Zj, Zs (вертикалов) искомых снл эк-
вивалентно разобранной выше (рнс. 2.30)_задаче о раз-
ложении силы Р, равной вертикалу силы Q и приложен-
ной в точке О на три параллельные составляющие в
точках Л, В и С (где О. А, В, С — соответственно точки
пересечения силы Q н направлений /, 2 а 3 с горизон-
тальной плоскостью).
2.4. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
109
Силы Zh 2г. могут быть найдены графически (см.
рнс. 2.30) нлн нэ уравнений равновесия: сила Z, нз
уравнения моментов относительно осн ВС, сила Z3 нз
уравнения моментов относительно осн АС, сила Z3 нэ
уравнения моментов относительно оси АВ. По вертика-
лу силы определяется графически ее проекция иа вер-
тикальную плоскость V (рнс. 2.31.6), а по ней — проек-
ция иа горизонтальную плоскость Н. Полная величина
силы определится из формулы
p = Vh*+z*.
2.3.2.	Определение усилий в стержнях
плоской статически определимой фермы
Число стержней л, включая опорные, н число узлов
т в плоской статически определимой ферме связаны
условием
п = 2т.	(2.37)
В общее число стержней должно входить не менее
трех опорных стержней, ярнкрепляющнх ферму к земле.
Если число опорных стержней равно трем и л—2m, то
ферма, освобожденная от опор, остается неизменяемой
(такая ферма называется свободной). Если число опор-
ных стержней больше трех и л—2m, то ферма, освобож-
денная от опор, становится изменяемой системой (такай
ферма называется прикрепленной). Если л>2т или л—
=2т. но число опорных стержней меньше 3, то ферма
является статически неопределимой (расчет статически
неопределимых ферм см. разд 10).
Графический метод определения усилий в стержнях
фермы (диаграмма Кремоны — Максвелла). В первую
очередь определяем аналитически или графически опор-
ные реакции фермы. Обходя вокруг фермы в одном из-
бранном направлении (по или против часовой стрелки),
нумеруем ноля между линиями действия соседних внеш-
них сил (рнс. 2.32, л). Строим силовой многоугольник
внешних сил. изображая силы в порядке нумерации по-
лей (рнс. 2.32,6). Нумеруем поля внутри фермы и стро-
им силовой многоугольник для каждого из узлов фер-
мы, изображая приложенные к узлу силы в том поряд-
ке, в котором они встречаются при обходе вокруг узла
п принятом ранее направлении (см. рис. 2.32.6). Полу-
ченный совмещенный для всех узлов силовой много-
угольник позволяет определить ие только величину, но
н знак всех усилий: усилие, направленное от узла, имеет
знак плюс, т. е. данный стержень растянут. Растяжение
на диаграмме обозначается тонкой линией, сжатие —
жирной. Построение диаграммы оказывается невозмож-
ным, если встречается узел, в котором сходятся более
двух неизвестных усилий. В этом случае может оказать-
ся полезным прием: одно или несколько усилий опреде-
ляются аналитически одним из способов, изложенных в
10.1.1, после чего построение диаграммы можно продол-
жать.
2.4.	КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
2.4.1.	Задание движения точки
Векторный способ задания движения точки: положе-
ние точки задается ее радиус-вектором г (рнс. 2.33)
7 = 7(0-	(2-38)
Скорость точки определяется как вектор о—г, на-
правленный по касательной к годографу радиус-вектора
г в направлении движения (рнс. 2.33, а).
Ускорение определяется как вектор со-о—г, направ-
ленный по касательной к годографу скорости (рнс.
2.33,6).
Координатный способ задания движения точнн.
В декартовых координатах положение точки задает-
ся ее координатами (рис. 2.34, а);
но
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Рнс. 2.33
Движение точки в плоскости может быть задано
также н в полярных координатах (рнс. 2.34,б):
r = r(t). ф = ф(0.	(2.42)
Скорость точки определяется ее составляющими:
модуль скорости:
М = / р’ + о£-
! Ускорение точки определяется составляющими:
<Ра;Щф = гф 4-2? ф; (2.426)
модуль ускорения:
ш = у о? 4- а>ф.	(2.42в)
jt=x(O; y = y(t}: ? = ?(()
(2.39)
Естественный способ зада-
ния движения точки. Задается:
а) траектория движения,
т. е. линия в пространстве, с
точками которой последова-
тельно совмещается в своем
движении исследуемая точка:
с траекторией связана естест-
венная система координат,
показанная на рнс. 2,35, где
Q — соприкасающаяся плос-
кость, Т — касательная, N —
главная нормаль н в —бинор-
маль к траектории в той ее
точке, в которой находится
движущаяся точка М в данный
осей Т н N:
Рнс. 235
момент, г, л — орты
Скорость точки определяется ее проекциями иа осн
координат:
ож = г, vv = y, o2 = z;
модуль скорости:
V «£+«£ + <£
направляющие косинусы:
cos а *= —; cos В = —;
и	о
cosy = —.
о
б) начало 0 н направление (+, —) отсчета расстоя-
ний вдоль траектории:
в) закон движения s-s(/), определяющий расстоя-
ние s от начала отсчета расстояний до положения точки
в данный момент (дуговую координату точки).
Скорость точки определяется своей проекцией на ка-
сательную:
(2-40)
vT = S,
(2.43)
имеющий знак «4-> в том случае, когда движение проис-
ходит в направлении отсчета расстояний.
Ускорение определяется своими проекциями иа осн
естественных координат:
нормальное ускорение
Ускорение определяется его проекциями на осн коор-
динат:
(2.43а)
модуль ускорения:
W =
поправляющие косинусы:
wx л «о
cos а = —; cos р =
w	w
«4
cosy = —.
(2.41)
где р — радиус кривизны траектории в данной точке;
касательное ускорение
tot=it=s.	(2.436)
Полное ускорение
ш = а>дл4-и>тт.	(2.43в)
Нормальное ускорение определяет изменение скорости
по направлению, а касательное — по величине.
Модуль ускорения:
ш
=+wi-
(2-43г)
2.4. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
111
Связь векторного способа с координатным н естест-
венным выражается соотношениями:
(2.44>
Графики движения: величины s, /, о, w часто изо-
бражаются в виде графиков; иногда графики одной из
этих величии (например, о или s), полученные экспери-
ментально, являются основными нсходиыыи данными
задачи. В этом случае графики в и и, по графику s
строятся методами
где т — орт касательной к траектории в данной^ точке,
направленный в сторону отсчета расстояний, л —орт
нормали к траектории в данной точке, направленный в
сторону центра кривизны (см. рис. 2.35).
Связь координатного способа с естественным. Урав-
нение траектории f(x. у)=г; /|(х, г)=у получается из
уравнений движения в координатной форме посредством
исключения времени t. Дополнительным анализом зна-
чений, которые могут принимать координаты точки, оп-
, Ш. «/) = *)	.
ределяется тот участок кривой	|, который
является траекторией. Например, если движение точки
задано уравнениями: x=sin/; p»sin4—х*, то траектори-
ей точки является тот участок параболы у—хг, для ко-
торого —1<х< +1,	Начало и направление от-
счета расстояний выбираются произвольно, этим в даль-
нейшем определяется знак скорости и величина и знак
начального расстояния So.
Закон движения определяется зависимостью:
графического дифференцирования
(рис. 2.36.0), а график s
по графику v — методом
графического интегриро-
вании (рнс. 2.36,6). Для
построения графика пу-
ти I вместо интегриро-
вания по модулю можно
воспользоваться взаимо-
связью графика I с гра-
. фиком s, которая ясна
из рнс 2.37, где 1 — воз-
растающий участок гра-
фика s; /' — параллель-
ный ему участок графи-
ка /; 2 — убывающий
участок на графике s:
У — зсркально-симмет-
оси 5 участок на графике I.
рнчный ему относительно .... _ ,______ __ ........ .,
3 —экстремум на графике s; 4 —точка перегиба с го-
ризонтальной касательной на графике I.
— So +	— «о + j ± M &
2.4.3. Частные случан
I. Прямолинейное движение. Приняв
движения за ось х, получим:
траекторию
(2 45)
знак + или — определяется в зависимости от принято-
го направления отсчета расстояний.
(2 47)
2.4.2.	Пройденный путь.
Графики движения
Путь. Число единиц длины, пройденных точкой с на-
чала движения, называется пройденным путем 1:
2. Равномерное движение (и>,-0):
v = const; s = So4-o(< —f0).
(2 48)
3. Равнопеременное движение (wT=const):
1= ро]«.
(2-46)
(2.49)
2
4. Гармоническое колебательное движение
s = a sin (М 4- р).
(2.50)
где а—амплитуда колебаний;
И+Р—фаза колебаний;
Р — начальная фаза колебаний:
k — круговая (угловая, циклическая) частота;
2п
7=— — период колебаний (промежуток времени, че-
к
рез который точка возвращается в то же положение,
двигаясь в том же направлении);
— Т — полупериод;
I k
v =	— частота колебаний (число колебаний в
секунду).
112
РАЗДЕЛ 3. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.4.4.	Сложное движение точки
Движение точки относительно неподвижной системы
отсчета в ряде случаев полезно рассматривать нак со-
вокупность двух движений:
а)	движение точки относительно подвижного тела
отсчета £i)q> (подвижной системы отсчета) (рис.
2.38. а) — относительное движение;
б)	движение подвижного тела отсчета относительно
системы хуг, принятой за неподвижную. — переносное
Рис. 2.38
движение. Скорость и ускорение точни М но отношению
к подвижной системе отсчста_иазываются соответствен-
но относительной скоростью о, и относительным уско-
рением ш,, а по отношению к неподвижной системе от-
счета — абсолютной скоростью о. и абсолютным уско-
рением wa.
Скорость и ускорение точки, неизменно связанной с
подвижной системой отсчета н совпадающей по поло-
жению в пространстве в данный момент с движущейся
точкой М, называются соответственно_переносной ско-
ростью V. н переносным ускорением wt точки М. Аб-
солютная скорость точки М равна геометрической сум-
ме переносной н относительной скоростей
«о = »< + £-	(2.51)
Абсолютное ускорение точки в сложном движении рав-
но геометрической сумме переносного, относительного и
кориолисова (добавочного, поворотного) ускорений:
и>а = w, + wt-f- we.
(2.51а)
Кориолисово ускорение
we = 2<1>ехЪг?	(2.516)
где — угловая скорость переносного движения.
Для определенна направления кориолисова ускоре-
ния удобно правило Жуковского (рнс. 2.38,6): вектор
относительной скорости проектируется на плоскость, пер-
пендикулярную оси переносного вращения, полученная
«направленная» проекция поворачивается иа 9<Г в сто-
рону переносного вращения.
Кориолисово ускорение обращается в нуль, если:
1)	переносное движение поступательное (ш«—0);
2)	относительное движение происходит параллельно
оси переносного вращения (sinm«u, — 0);
3)	относительное движение имеет мгновенную оста-
новку (о,=0).
2.5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
В твердом теле скорости точек распределяются та-
ким образом, что проекции скоростей двух точек на
прямую, их соединяющую, равны между собой (кинема-
тическое определение твердого тела).
Положение твердого тела в общем случае определя-
ется шестью параметрами; в частных случаях, когда на
движение тела наложены ограничения, число парамет-
ров соответственно уменьшается.
2.5.1.	Поступательное движение
твердого тела
Поступательным движением твердого тела называет-
ся такое его движение, при котором всякая примая, не-
изменно связанная с телом, перемешается параллельно
самой себе. Для этого достаточно, чтобы две непарал-
лельные прямые, связанные с телом, перемешались па-
раллельно самим себе. Прн поступательном движении
все точки тела описывают одинаковые, параллельно
расположенные траектории и имеют в любой момент
времени одинаковые скорости я ускорения. Таким об-
разом, поступательное движение тела определяется
движением одной его точки О.
2.5.2.	Вращение вокруг неподвижной осн
Вращением вокруг неподвижной оси называется та-
кое движение твердого тела, при котором во все время
движения две его точки остаются неподвижными. Пря-
мая, проходящая через эти точки, называется осью вра-
щения. Все остальные точки тела движутся в плоско-
стях. перпендикулярных оси вращения, по окружностям,
центры которых лежат иа осн вращения. Положение
вращающегося твердого тела определяется одним пара-
метром — углом ср между начальным положением
ЛЛ10О некоторой плоскости, связанной с телом и про-
ходящей через ось, и ее положением АМО в данный
момент времени (рнс. 2.39). Закон вращательного дви-
жения:
ф = ф(Г) рад.	(2.52)
Проекция лектора угловой скорости на ось и определя-
ется зависимостью:
<йи = ф [ рад/сек].	(2.53)
Угловая скорость рад/сек связана с числом оборотов
в минуту п зависимостями:
пл	30 tu
01 = —= 0,10472 л; п =-------= 9.549 ш. (2.53а)
30	л
Проекция вектора угловой скорости на ось и определя-
ется зависимостью
еи = ши=ф.	(2.536)
Скорость и ускорение точки М вращающегося твердого
тела определяются соотношениями (рис. 2.39):
2.5. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО Т ЕЛА
113
и =<1>Хг; шя = u>Xv, wx - еХг,
или в скалярной форме:
v - шК; Ц'я = <ы> = <о’ R;
uiI = iR; w — R
(2.54)
(2.54а)
Частные случаи:
1)	равномерное вращение (е=0):
<|>и = const <р = ф0 + <в„ (/ — t0);	(2.55)
2)	равнопеременное вращение (eu=const):
<оа = <!)<, + е (Z — /0);
ф = Фо + и» («-*.)+ Е|,(<~Ц1 •	(2.55а)
2.5.3.	Винтовое движение
Сочетание вращательного движения твсрлого тела с
поступательным в направлении осн вращения называет-
ся винтовым движением. Различается правое (рис.
2.40, а) и левое (рис. 2.40,6) винтовое движение. Рас-
стояние й. пройденное проекцией точки М тела иа ось
винта при одном обороте, называется шагом винта.
При равномерном винтовом движении подъем винтовой
линии (траектории точки М, отстоящей иа расстоянии
R от осн винта):
' =	(2.56)
Скорость точки М
ом =	+ <>«(?>,	(2.56а)
где о —скорость поступательного движения в направ-
лении оси винта; св —угловая скорость вращения вок-
руг оси винта.
2.5,4.	Плоскопараллельное движение
Плоскопараллельным движением твердого тела на-
зывается движение, прн котором все точки тела дви-
жутся в плоскостях, параллельных некоторой непод-
вижной плоскости. Это движение определяется движе-
нием плоской фигуры — проекции тела иа плоскость, па-
раллельно которой происходит движение (рис. 2.41).
Рис. 2.41
Положение плоской фигуры в плоскости хОу определя-
ется координатами х», у„ произвольно выбранного по-
люса О и углом поворота <р вокруг полюса.
Уравнения движения:
*о='о№ Уо = Уо(0: ф = ф(0-	(2.57)
Первые два уравнения описывают поступательное дви-
жение вместе с полюсом О, зависящее от выбора по-
люса. последнее — вращение вокруг оси г. проходящей
через полюс, которое от выбора полюса не зависит.
Координаты хл, ул точки А, положение которой
на плоской фигуре определено ее координатами L Л
(см. рис. 2.41):
*A = xo+6cosip—Т)з1п<р;
Ул-»Ь+6»«пФ+ЧС0»Ф-	(2.57а)
Распределение скоростей. Скорость Од _точкн А рав-
на геометрической сумме скорости полюса и. и скорости
вол точки А во вращении плоской фигуры вокруг полю-
са О (см. рис 2.41):
= ®о + “ол-	(2.576)
114
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Та точка Р фигуры, скорость которой в данный момент
равна нулю, называется мгновенным центром скоростей.
а совпадающая с ней точка неподвижной плоскости —
мгновенным центром вращения. Во всякий момент вре-
мени скорости точек фигуры распределяются так, как
если бы фигура вращалась вокруг мгновенного центра
скоростей (рнс. 2.42).
Определение положения мгновенного центра скоро-
стей Р («С- рис. 2.42): для нахождения положения
Р по <о и Ол производны поворот на 90° от о л в на-
правлении вращения и на полученном направлении от-
кладываем расстояние ол/а>. Для нахождения Р по на-
правлениям нЛ и Vb продолжаем перпендикуляры к ол
и 1>в до пересечения. Для определения положения Р по
1>в н Ос иаходим_точку пересечения общего перпенди-
куляра к в® и ос с прямой, соединяющей концы ов
и Ос. Если точка Р удаляется в бесконечность, то а>—0
и имеет место мгновенно поступательное движение, т. е.
скорости (ио не ускорения) всех точек фигуры одина-
ковы.
Центроиды. Геометрическое место мгновенных цент-
ров скоростей на движущейся фигуре называется под-
вижной центроидой, а геометрическое место центров
вращения на неподвижной плоскости — неподвижной
центроидой. Плоское движение осуществляется таким
образом, что подвижная центроида катится без сколь-
жения по неподвижной.
Уравнения движения точки, вычерчивающей непод-
вижную центроиду на плоскости:
l/о	^0
х = ха-^, У = у(1 + -Г-	(2.57г)
ф	Ф
Уравнения движения точки, вычерчивающей под-
вижную центроиду на движущейся фигуре:
х0 sin ф — у0 cos	i0 cos <р+у0 sin ф
Е =----------=-------; 4 =---------Т---------. (2 57д)
ф	Ф
Распределение ускорений. Ускорение точки А равно
геометрической сумме усиореиия ш0 полюса О и уско-
рения w0A точки А во вращении плоской фигуры вок-
руг точки О. Ускорение и> 0А состоит из центростреми-
тельной wn н вращательной u>t составляющих (рис.
2.43):
“а = “о + “ол = wo + w'n + “V
ц>я = о>гОД; и>’=еОЛ. (2.57е)
Если за полюс при определении ускорений принять точ-
ку К, ускорение которой в паяный момент равно нулю
(мгновенный центр ускорений), то ускорения точек оп-
ределяются как при вращении вокруг точки К:
“л =	= “л + ®т-	(2.57ж)
2.Б.Б. Сферическое движение тела
Сферическим движением (движением тела с одной
закрепленной точкой) называется такое движение тела,
при котором одиа его точка О остается неподвижной во
все время движения. Все остальные точки тела движут-
ся при этом по траекториям, расположенным на поверх-
ности сфер с центром в неподвижной точке О. Положе-
ние тела определяется углами Эйлера (рис. 2.44): углом
прецессии ф, углом нутации 0 н углом собственного вра-
щения ф. Эти углы характеризуют положение коорди-
натного трехгранника осей OfcoC. связанного с телом, по
отношению к неподвижному трехграннику Охуг. Линия
ON пересечения координатных плоскостей Оху и О^ч
называется линией узлов.
25. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
115
Уравнения сферического движения:
ф = ф(О; 0 = 0(1); <р = <р(О.	(2.58)
Распределение скоростей. Во всякий момент времени
существует проходящая через неподвижную точку О
прямая OQ, скорости точек которой равны нулю. Это
мгновенная ос» вращения. Мгновенная угловая скорость
и определяется соотношением
ш = Ф + 0 4-Ф,	(2.58а)
где ф. 8, ф — векторы, численно равные производным
углов Эйлера и направленные соответственно по осям
z, ON и С Мгновенная угловая скорость может менять
свое положение в пространстве, описывая коническую
поверхность, поэтому вектор углового ускорения
1 = а	(2.586)
в общем случае не совпадает по направлению с ш (рис.
2.45). Скорость точки при сферическом движении тела
р = ш х г	(2.58а)
или в аналитической форме (формулы Эйлера):
рх = СОу г — Шх у,
vv = <вг х — и>ж г;
vt = и>„ у — шр х.
(2.58г)
Ускорение точки складывается из осестремнтельной
t»oc и вращательной w.p составляющих (рис 2.45):
ш00 = ® X й швр = ё х г. (2.58д)
2.5.6.	Общий случай движения
твердого тела
Движение твердого тела в общем случае определяет-
ся как сумма двух движений: поступательного вместе
с произвольно выбранным полюсом О и сферического
движения относительно этого полюса.
Уравнения движения:
*0 = хо <0; Уо = Уо (К го = *о (К
ф = ф(Г); 0 = 0(/у, ф = ф(Г).	(2.59)
Первые три уравнения опясымют поступательную
часть движения, зависящую от выбора полюса, послед-
ние три — сферическую, ие зависящую от выбора
полюса. Скорость и ускорение точки А тела:
С'д — Йюст + йф = о© + ^ол = о© 4- шХ
ХОЛ;
_	_	_	_	_	_	(2.59а)
«М= “пост + “сф = и>о+ и>ол = «О +
+	+ w.p = w0 + ш X й0А + 7хбл. '
2.5.7.	Сложение мгновенных движений
твердого тела
Мгновенное движение твердого тела в общем случае
определяется мбтород: скоростей, т. е. совокупностью
свободного вектора й> скорости точки О, принятой за
полюс, и скользящего вектора угловой скорости со. Век-
тор оо зависит от выбора точки О, вектор ш— ие за-
висит.
Если тело одиовременно участвует в нескольких
мгновенных движениях, то в результате приведения ско-
ростей О( и угловых скоростей ы, к данному центру О
получается результирующий мбтор скоростей, компо-
ненты которого определяются формулами:
оо = I в/ + Е ш/ х ОМ/; ш = Еш< (2.60)
или в аналитической форме:
шх = Ешх(; Шр = Earf шх = Еш2(;
°* = Як/ + Е (<йр< г, — шх( у if,	(2.60а)
Op = Eop, + Е (<он xi — шх/ zj);
о, =Еох/ + Е (<вх1 yt —	х().
Сравнивая формулы (2.60) и (2.20), (2.21), (2.23),
(2.24), можно отметить, что операции с мбторами сил
и с мбторами скоростей (или пропорциональными им
бесконечно малыми перемещениями) осуществляются
аналогично, причем аналогия существует межд^, сколь-
зящими векторами: силы Р и угловой скорости ш, с од-
ной стороны, и между свободными векторами: момен-
том пары М и вектором скорости поступательного дви-
жения о, с другой стороны. В этом выражается стати-
ко-кинематическая аналогия (см. 5.1.2 и 5.1.8). Поэто-
му все положения статики, включая графостатнку, при-
ложимы к исследованию мгновенного движения тел с
круговой заменой обозначений Р иа ш и М иа и.
Различные случаи сложения движений:
1)	й>—0; ш—0— мгновенная остановка;
2)	Оо^0; ш-0 — мгновенное поступательное движение
(только вотношении скоростей);
3)	о-О; ш^0—мгновенное вращение вокруг оси, про-
ходящей через точку О:
4)	о^0; штЮ; оо<о=90’ — мгновенное плоскопараллель-
ное движение (мгновенное вращение с угловой скоро-
стью ш вокруг оси, отстоящей от точки О иа расстоя-
нии Од/ш);
5)	Оо^О: вЛ оош—0° или 180° — мгновенное винтовое
движение (кинематический винт);
6)	й^0; шч^О; йш— произвольный угол — мгновенное
винтовое движение, ось которого не проходит через
точку О.
Некоторые частные случаи.
116
РАЗДЕЛ 9. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Сложение нескольких поступательных движений
аналогия со сложением пар): результирующее движе-
ние — поступательное со скоростью »-2о<.
Сложение нескольких вращений относительно осей,
пересекающихся в одной точке О (аналогия со сложе-
нием сходящихся сил): результирующее движение —
мгновенное вращение вокруг осн^_ проходящей через
точку О, с угловой скоростью ш >£<!><.
Сложение нескольких вращений вокруг параллель-
ных осей (аналогия со сложением параллельных сил):
результирующее движение — вращение с угловой скоро-
стью вокруг оси, положение которой определя-
ется по правилу сложения параллельных сил. Если и>=
=0, то тело либо остается в покое, либо совершает
мгновенное поступательное движение.
Пара вращений — совокупность двух вращений с па-
раллельными, равными и противоположно направленны-
ми угловыми скоростями (аналогия с парой сил); пара
вращений эквивалентна мгновенному поступательному
движению со скоростью: о—и>ХАВ (рис. 2.46). Обрат-
но: мгновенное поступательное движение можно пред-
ставить как пару вращений.
Мйтор перемещений. Все сказанное о ыбторах ско-
ростей относится н к мбторам, пропорциональным ско-
ростям бесконечно малых перемещений точек тела. Всю-
ду вместо скорости о следует брать бесконечно малое
перемещение бг, а вместо угловой скорости ш— беско-
нечно малый вектор поворота бф, направленный вдоль
оси и, вокруг которой осуществляется поворот.
2.5.8.	Элементы кинематики механизмов
Основные понятия и определения [2]. Подвижное сое-
динение нескольких твердых тел называется кинемати-
ческой цепью. Тела, образующие цепь, называются
звеньями кинематической цепи. Простейшая цепь, со-
стоящая из двух звеньев, называется диадой. Кинемати-
ческая цепь с одним неподвижным звеном (стойкой),
предназначенная совершать вполне определенные движе-
ния. называется механизмом. Если все точки кинемати-
ческой цепи в нх относительном движении могут пере-
мешаться только параллельно некоторой плоскости,
цеяь называется плоской; в противном случае цепь на-
зывается пространственной. Соединение двух звеньев в
кинематической цепи осуществляется посредством кине-
матической пары.
Классификация кинематических пар. Кинематиче-
ские пары делятся на классы в зависимости от числа
условий связи, налагаемых ими на относительное дви-
жение звеньев. Номер класса лары S определяется фор-
мулой
3 = 6-//,	(2.61)
где Н— число степеней свободы одного звена пары от-
носительно другого. Наиболее часто встречающиеся па-
ры имеют специальные наименования н условные обоз-
начения (табл. 2.5).
Таблица 2.5
Условное изображение пар
I Класс I	Название пары		Схематическое изображение	Полуконструктивное изображение
V	Враща- тельная	В	/х	
	Поступа- тельная	п		
	Винтовая	р		
IV	Цилинд- рическая	U	-FT-	
	Сфера- чзская с пальцем	S		
III	Сфери- ческая	с		
Структура кинематической цепи. Если одно звено
кинематической пары принять за неподвижное, то чис-
ло w степеней свободы цепи относительно этого звена
называется степенью подвижности или степенью изме-
няемости цепи (механизма).
Структурная формула кинематической цепи имеет
вид
2.6. ДИНАМИКА ТОЧКИ
117
ш = 6л — 5рв — 4р< — Эр, — 2р,— Pi. (2.61а)
где л — число подвижных звеньев, р< — число пар «-го
класса. Эта формула имеет место для цепей нулевого
семейства, т. е. для таких, на движение звеньев кото-
рых не наложено каких-либо общих ограничений: в про-
тивном случае уменьшаются коэффициенты при всех
членах правой части. Так, для плоских цепей (формула
Чебышева)
и> = Зл — 2рв — р*.	(2-616)
Мгновенные центры я угловые скорости относитель-
ного вращения звеньев кинематической цепи. Прн вся-
ком бесконечно малом перемещении трех звеньев плос-
кой кинематической цепи I. т н п центры их взаимного
поворота Pin, Pm. Pnn лежат иа одной прямой, ана-
логично точкам приложения двух параллельных сил
и нх равнодействующей (теорема Ароигольда—Кеннеди)
(рнс. 2.47). Прн всяком бесконечно малом перемещении
трех звеньев пространственной цели оси нх взаимного
вращения at„, ain. пересекают под прямым углом
одну и ту же прямую (теорема И. М. Рабиновича).
Здесь имеется аналогия с определенном равнодействую-
щей нлн уравновешиванием двух перекрещивающихся
сил в пространстве.
Планы скоростей. Графическое определение скоро-
стей точек плоской кинематической цепи производится
построением мана скоростей (рис. 2.48.6). Если извест-
на скорость ил точки А эвена АВ и направление скоро-
сти оя другой его точки Я, то для построения плана
скоростей откладываем от произвольно выбранного по-
люса_о отрезок оа. равный в принятом масштабе скоро-
сти вл, далее через точку о проводим прямую, парал-
лельную Ов, а через точку с—прямую, перпендикулярную
АВ. Фигура oab, выражающая графически зависимость
ов=оА+опв. представляет собой полярный план ско-
ростей звена АВ. Геометрически полярный план скоро-
стей представляет собой фигуру, подобную эвену АВ
и повернутую относительно него на 90' в направлении
мгновенного вращения звена. Полюс о плана скоростей
соответствует мгновенному центру скоростей Р звена
АВ. Чтобы найти скорость любой точки С звена АВ,
следует найтн подобно расположенную точку с иа пла-
не скоростей и соединить се с полюсом о; ос — ос. Ко-
эффициентом подобия плана скоростей по отношению
к звену является мгновенная угловая скорость эвена со.
Планы скоростей звеньев кинематической цепи стро-
ят последовательно, переходя от звена к звену.
Неполярный план АСЯВ,С|А| нормальных (нлн по-
вернутых) скоростей точек звена АВС можно получить
поворотом на 90° скоростей точек звена (рис. 2.48, о).
Пряведенное построение сохраняет силу н для бес-
конечно малых перемещений.
2.6.	ДИНАМИКА ТОЧКИ
2.6.1.	Дифференциальные уравнения
движения материальной точки
Векторная форма (2-й закон Ньютона):
тш = Р.	(2.62)
Координатная форма (2-й закон Ньютона в проекциях
на осн декартовых координат):
тх = Х; my = Y\ mz = Z. (2.62а)
Естественная (эйлерова) форма (2-й закон Ньютона
в проекциях на оси естественных координат):
о»
mm = то = Р- mw_ = т---------= Р„ (2.626)
Р
mwfl=Рв.
где х. У. г— координаты точки массой т;
X, У, Z— проекции действующей на точку силы
(или равнодействующей действующих
на точку сил) Р иа оси декартовых ко-
ординат:
Pg—проекции силы Р иа осн естественных
координат: касательную Т, главную
нормаль N и бииормаль В (см.
рис. 2.35).
Если точка является несвободной (иа движение точ-
ки наложены связи), в число действующих иа точку
сил включаются реакции связей.
Силы, входящие в правую часть дифференциальных
уравнений движения, в общем случае могут являться
функциями от времени t, скорости о и координат х, у,
а точки.
118
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.6.2.	Интегрирование дифференциальных
уравнений движения точки
Для определения уравнений движения точки
(см. 2.4.1) двукратно интегрируют дифференциальные
уравнения движения в координатной форме. Постоян-
ные интегрирования определяются из начальных усло-
вий: нри /-(о, х-хо, У—Уч, г»гь, х-хо, у—Уч. г—гь.
2.6.3.	Частные случаи интегрирования
I.	Правая часть дифференциального уравнения есть
функция времени (например, действие поля переменно-
го тока на заряженную частицу) Р—P(t):
I
™ = P(t); ;=— (*Р(0df =/1 (<) + Xg'.
x = j/i(Od/+io«-'.) + x.-
2.	Правая часть дифференциального уравнения есть
функция скорости (например, сила сопротивления вяз-
кой среды) Р—Р (о):
mx =	= Р(х);
at
разделяем переменные и интегрируем:
—-= | dt-, i = +
J РЮ J
г,
с помощью алгебраических преобразований выражаем
х через (:
; = f,(Z-(0),
интегрируя по t, получаем
г
x=f/.(<-Ud« + x0.
3.	Правая часть дифференциального уравнения есть
функция перемещения (например, реакция упругой свя-
зи, сила всемирного тяготения) Р—Р(х):
тх = т^- = Р(х);
умножая обе части на dx н замечая, что	По*
лучим:
тх d х = Р (х) dx и j тх dx = J Р (х) dx;
интегрируя, получим:
^_^ = Zl(x)-f1(xe).
2	2
отсюда
dx
dt
V ~ IM*) — fi (x0)l =/t(x),
F /Л
разделяем переменные н интегрируем:
X	t
с помощью алгебраических преобразований получаем
окончательно
X = /«(()-
Интегрирование дифференциального уравнения дви-
жения точки в частном случае действия реакции упру-
гой связи Р,Ор=—сх см. в рзделе XXIV.
2.6.4.	Относительное двнжение точки1
Движение точки относительно подвижной системы
отсчета описывается дифференциальными уравнениями
относительного движения.
Дифференциальное уравнение относительного дви-
жения точки:
mu>r = Р—mu>f—тшс = Р + Фг+Фс. (2.63)
где Ф,=—im>f— переносная сила инерции (о силах
инерции см. 2.7.3);
Фс=—тшс — —2т<о,Х о, — кориолисова	сила
инерции.
Дифференциальные уравнения относительного дви-
жения точки в координатной форме:
т^ = Х + Х,ии + Х£в;
myr = Y + У"“ + У с";
mzr = Z + Z‘B + Z”a.
(2.63а)
Из уравнений (2.63) и (2.63а) следует, что относи-
тельное движение точки можно изучать как движение
относительно неподвижной системы отсчета, если к чис-
лу действующих на точку сил добавить переносную
и кориолисову силу инерции.
В случае относительного покоя (ог“0, u>r»0) урав-
нение (2.63) приобретает вид:
О = Р + Фе.	(2.636)
т. е. приложенные к точке силы и переносная сила инер-
ции образуют уравновешенную систему сил.
В случае движения относительно инерционной систе-
мы отсчета, т. е. системы отсчета, движущейся поступа-
тельно. прямолинейно и равномерно, уравнение (2.63)
приобретает вид:
ти>г = Р,	(2.6Эв)
ие отличающийся от (2.62). Таинм образом, никакие на-
блюдения в инерциальной системе отсчета не позволяют
установить факта ее равномерного прямолинейного дви-
жения (принцип относительности классической меха-
ники).
1 Си. также 2.1.1.
2.7. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
119
2.7.	ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
2.7.1.	Основные понятия динамики
Количеством движения Q материальной точки мас-
сой^т, движущейся со скоростью о, называется вектор
те (рис. 2.49). Количеством движения i-й точки систе-
мы называется вектор Q<—mtvt.
Количество движения механической системы Q есть
сумма векторов количеств движения ее точек:
Q = EQ, = 2m/of = Л4ос,	(2.64)
где М — масса всей системы;
ve—скорость центра масс системы.
Количество движения системы в ее движении отно-
сительно центра масс равно нулю.
Проекция вектора количества движения на оси де-
картовых координат:
для точки
Qx =mr. Qv = ту, Qt = mr.
для системы
Qx = Em,i, = Mjc;	у, = М<7С;	(2'Ма)
Qi = Em(a| — AJzc.
Импульс силы. Элементарным импульсом dS силы
Р называется величина
dS^Pdt (рис. 2.49).	(2.65)
Импульсом силы 3 за конечный промежуток време-
ни At—tj—f| называется вектор
(2.65а)
Импульс суммы сил равен геометрической сумме им-
пульсов каждой из сил в отдельности.
Проекции импульса сил на осн декартовых коорди-
нат:
•• *•
Зж= (ЛЛ; Su=\Ydl; S,= (Zdl. (2.656)
Моментом количества движения К точки А относи-
тельно некоторого центра О называется вектор, равный
векторному произведению радиуса-вектора г точки А на
вектор ее количества движения Q (рнс. 2.49);
K = 7xQ =
Q, Qe Qz
(2-66)
Моментом количества движения системы относитель-
но центра О называется сумма векторов моментов ко-
личества движения всех точек системы относительно
того же центра:
K = 2K/«=S"rlXQl.	(2.66а)
Проекции вектора момента количества движения иа
осн декартовых координат (моменты количества движе-
ния относительно осей декартовых координат):
для точки
Кг = т(уг — угУ, Ки = т(>а~хгУ.
Кг = т(ху — гуУ,
для системы
К и = 2 \	Е mi (*/ zi ~ xi *i) •
Кинетической анергией точки называется
величина:
(2.666)
скалярная
(2.67)
Кинетической энергией системы называется сумма
кинетических энергий ее точек:
т. Ме‘ <п
Т = ЕТ, = Е-^-----------+	(2.67')
где М—масса всей системы;
vc —скорость центра масс системы;
f>rt — скорость /-й точки системы в движении отно-
сительно центра масс системы.
Кинетическая энергия твердого тела:
Мо* 1си>‘
Г=—+ —.	(2.67а)
где М — масса тела;
ос — скорость его центра масс;
<i>— угловая скорость тела;
/с — момент инерции тела относительно мгновен-
ной оси вращения, проходящей через центр
масс тела С (см. 28.1).
Кинетическая энергия тела в частных случаях:
прн поступательном движении
Мо»
Т “-у-:	(2.676)
при вращении вокруг оси г
1гай
(2.67в)
120
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Работа. Элементарной работой 6Л силы Р на веско-
иечио налом перемещении dr точки ее приложения на-
зывается скалярное произведение векторов Р и dr:
6Л = Pdr.	(2.68)
Здесь знак б следует понимать как обозначение бес-
конечно малой величины, а ие как знак полного диффе-
ренциала, так как работа в общем случае нс является
полным дифференциалом.
Элементарная работа в координатной форме:
6A = Xdx + Ydy + Zdz, (2.68а)
где X, Y, Z— проекции силы на оси декартовых коор-
динат;
х, у, z — координаты точки приложения силы;
dx, dy, de—проекции элементарного перемещения
точки приложения силы иа оси декарто-
вых координат.
Элементарная работа силы в естественной форме:
6Л = Pcosa|ds|,	(2.686) я
где |ds| — элементарное перемещение точки вдоль тра-
ектории; а —угол между силой и элементарным пере-
мещением ds.
Элементарная работа силы Р, приложенной к твер-
дому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси и:
6А = Mu(P)d<p.	(2.68в)
Элементарная работа мйтора_сил Р, М на мбторе
элементарных перемещений dr, dtp:
6A = Pdr + Mdtp	(2.68г)
или в координатной форме:
б» = Xdx + Ydy + Zdx+Lda + Md? + Ndr, (2.68д)
где dtp — элементарный угол поворота, представленный
в виде вектора, отложенного вдоль осн поворота: da,
dp, dy — элементарные углы
Kara	поворота вокруг осей коордн-
иат х, у, г (или проекции век-
gjZZi тора d<p на осн координат).
Элементарная работа, вы-
раженная через обобщенные
Vs/A < координаты системы. Если по-
si Sj ложеине точек системы мож-
но полностью определить по-
Рис. 2.50 средством некоторого чясла к
независимых параметров qi,
4г... 4», то эти параметры называются обобщенными
координатами системы. Перемещения всех точек систе-
мы определяются как функции элементарных прираще-
ний обобщенных координат системы dq, и элементарная
работа сил получает вид:
М = Qidyi + Qedqt + •••+ Qndqn.	(2.68е)
Коэффициенты Q при приращениях обобщенных коор-
динат носят название обобщенных сил системы.
Работа силы Р на конечном перемещении точки ее
приложения выражается криволинейным интегралом,
взятым по перемещению MN:
А = C6Z = [Pcosad«=f(Xdx + Fdy + Zdz). (2.68ж)
~MN ~MN ~MN
Работа суммы сил равна алгебраической сумме ра-
бот, совершаемых каждой из сил в отдельности.
Графически работа изображается площадью графика
Рcos a-f(s) (рис. 2.50).
Работа некоторых видов сил:
1)	сила тяжести P—mg (рис. 2.51, а) производит ра-
боту только иа вертикальной составляющей перемеще-
ния:
Ряс 2.S1
2)	сила всемирного тяготения P——klr* (рис. 2.51, б)
(г — расстояние между центрами тяготеющих масс)
производит работу при иэмеиении расстояния г между
тяготеющими массами:
Л=-й
3)	реакция упругой связи РТоР — сХ, пропорцио-
нальная перемещению X точки приложения и направ-
ленная в сторону, противоположную перемещению, про-
изводит работу:
4)	работа силы трения всегда отрицательна:
Л=- j ₽Tpds;
ч
5)	работа реакций идеальных связей па любом пе-
ремещении, допускаемом_ связями, равна нулю;
6)	внутренние силы Р* производят работу на взаим-
ном сближении нлн удалении точек системы
(рнс 2.51,0):
А* = fp'dx,
где х — расстояние между точками системы.
Особенность работы сил в потенциальном силовом
поле. Потеицнальиая энергия. Силовым полем называ-
ется область пространства, в которой проявляется дей-
ствие силы. Потенциальным называется такое силовое
поле, в котором сила есть функция положения точки,
причем имеется функция положения точки координат
t/-l/(x, у, г), называемая потенциалом и связанная
с проекциями действующей силы зависимостью:
Х = ^:	г*
дх	ду	дг
3.7. ДИНЛМИКЛ СИСТЕМЫ
121
В потенциальном силовом поле можно выделить эк-
випотенциальные поверхности, в точках которых U<=
— const.
Свойства потенциального силового поля:
1)	элементарная работа силы равна полному диффе-
ренциалу функции U:
bA = Xdx+Ydy + Zdz = ^-dx^^-dy^-
ох оу
dU
+ —dz = dU;
дх
2)	работа силы на конечном перемешенни зависит
только от разности потенциалов начальной (Л и конеч-
ной 11г точек:
3)	работа силы на перемешенни между двумя точ-
ками эквипотенциальной поверхности, а также на замк-
нутом перемещении равна нулю;
4)	в потенциальном силовом поле справедлив закон
сохранения механической энергии: сумма потенциальной
П и кинетической 7* энергии точки есть величина посто-
янная:
/7 + Т = const.	(2.69)
Потенциальной энергией П называется работа, со-
вершаемая силой прн переходе тела нэ данной точки
с потенциалом U на поверхность, условно принятую за
поверхность нулевого иотенцнала С/о:
п = и„-и.
Из числа рассмотренных выше сил потенциальным
силовым полем обладаетсила тяжести (U=—mgz), сила
7
тяготения (1/-А/Г), реакция упругой связи 11/=—
2.7.2. Основные теоремы динамики
Теорема количества движения (в дифференциальной
форме).
1. Для точки: производная от количества движения
точки по времени равна равнодействующей приложен-
ных к точке снл Я:
dQ -	-
— = Я = 2 Р,	(2 70)
dt
или в координатной форме:
—	22.	(2.70а)
2. Для системы: производная от количества движе;
ння системы по времени равна главному вектору Я*
внешних снл системы (векторной сумме внешних снл
Я', приложенных к системе):
-^- = ^=1?',	(2.706)
dt
нлн в координатной форме:
= X’ = EX'; = ^=2)";
dt я	dt R
dO.
-*- = EZ’ = Z’K.	(2.70В)
Теорема импульсов (теорема количества движения
в конечной форме).
1. Для точки: нэмененне количества движения точки
за конечный промежуток времени равно сумме импуль-
сов. приложенных к точке сил (нлн импульсу равнодей-
ствующей приложенных к точке снл)
Qi - Qi = 2$ = 2 f ~Pdt.	(2.70г)
нлн в координатной форме:
Qar — Qi* = 2LSx; — Qty = 2S^ 1
=	J ‘ V
2. Для системы: нэмененне количества движения си-
стемы за конечный промежуток времени равно сумме
импульсов внешних снл:
ёэ-ё1 = Й'.	(2.70е)
или в координатной форме:
Qix-Qix-^ QJy-Qly = ^ |
} (2.70Ж)
I
Следствия: прн отсутствии внешних сил количество
движения системы есть величина постоянная: если
внешние силы системы перпендикулярны некоторой осн,
то проекция количества движения иа эту ось есть ве-
личина постоянная.
Теорема о моменте количества движения
1. Для точки:
Производная по времени от момента количества
движения точки относительно некоторого центра (осн)
равна сумме моментов приложенных к точке сил отно-
сительно того же центра (оси):
-^S-=2M0; ~ = 2L; -^ = £Л!;
at	dt	at
2. Для системы:
Производная по времени от момента количества дви-
жения системы относительно некоторого центра (оси)
равна сумме моментов внешних снл системы относи-
тельно того же центра (осн):
"-•-MJ
(2.71а)
Следствия: если внешние силы системы не дают момен-
та относительно данного центра (осн), то момент ко-
личества движения системы относительно этого центра
(осн) есть величина постоянная.
Если силы, приложенные к точке, не дают момента
относительно данного центра, то момент количества
движения точки относительно этого центра есть величи-
на постоянная н точка описывает плоскую траекторию.
Теорема о кинетической энергии
1. Для точки: нэмененне кинетической энергии точки
на конечном ее перемешенни равно работе приложен-
ных к ней активных сил (касательные составляющие
122
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
реакций нендеальных связей включаются в число актив-
ных снл):
Tt-Tl = SAaKT = ^P‘K,cosads. (2.72)
Для случая относительного движения: изменение
кинетической энергии точки при относительном движе-
нии равно работе приложенных к ней активных снл
н переносной силы инерции (см. 2.63):
Тг - Г, = гл1" + ел;,,.	(2.72а)
2. Для системы: изменение кинетической энергии си-
стемы на некотором перемещении ее точек равно работе
приложенных к ней внешних активных снл и внутрен-
них снл, приложенных к точкам системы, расстояние
между которыми меняется:
Т2 - Т, = ЕЛ;кт + ЕЛ'. (2.726)
Если система неизменяема (твердое тело), то
ЕЛ'=0 и изменение кинетической энергии равно рабо-
те только внешних активных снл.
Теорема о движении центра масс механической си-
стемы. Центр масс механической системы движется
как точка, масса которой равна массе всей системы
М=Ет(, к которой приложены все внешние силы си-
стемы:
Мшс = ЕР*.
(2.73)
или в координатной форме:
Mxe = ZXe-, Мус = 2У*‘, Mzc = 1Zr, (2.73а)
где шс, хс, Ус, ге — ускорение центра масс и его про-
екции на осн декартовых коорди-
нат;
Р1, Xе. Yr, Z'—внешняя сила и ее проекции на
оси декартовых координат.
Теорема импульсов для системы, выраженная через
движение центра масс.
тс*
Mvc — Mvc = ES или % —= -т;— (2-74)
• Ж	ж д м
Изменение скорости центра масс системы за конечный
промежуток времени равно импульсу внешних сил си-
стемы за тот же промежуток времени, деленному на
массу всей системы.
2.7.3.	Кинетостатика
Принцип Даламбера
Силой инерции Ф„ материальной точки называется
сила, направленная в сторону, противоположную уско-
рению точки, и равная:
Фни = —<пй.	(рнс. 2.52
п	Силы инерции точек ыехаинче-
ской системы образуют систему
сил инерции.
Система сил инерции может
_быть заменена главным вектором
Рнс. 2.S2 R„ и главным моментом Мяя
снл инерции. Главный вектор сил
инерции системы равен по вели-
чине массе М системы, умноженной на ускорение цент-
ра масс и>с, и направлен в сторону, противоположную
Wc. Главный момент снл инерции относительно центра
масс системы Маи равен:
Мин = — Е7/ х т/ uirt,
где /(—радиус-вектор i-й точки системы относительно
центра масс;
_mi—масса i-ft точки;
шГ| — ускорение i-ft точки системы в ее движении
относительно центра масс.
Принцип Даламбера. Если к числу снл, действую-
щих на механическую систему (точку), добавить силы
инерции, то образуется уравновешенная система снл,
для которой могут быть составлены уравнения равно-
весия статики (см. табл. 2.3), носящие в этом случае
назваине уравнений кинетостатики системы (точки).
2.8. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
2.8.1.	Теория моментов инерции
Моментом инерции / тела относительно точки, оси
нлн плоскости называется сумма вроизведеннй массы
точек -тела пц на квадраты их расстояний г, до точки,
осн нлн плоскости:
/ = Ezn/ Г/ = j* г1 dm.
(2.76)
Момент инерции тела относительно осн является ме-
рой инерции тела во вращательном движении вокруг
этой осн.
Момент инерции тела может быть также выражен
через массу М тела и его радиус инерции г:
где г~
(2.76а)
/ = Мг=,
Моменты инерции относительно осей, плоскостей
и начвла декартовых координат.
Осевые моменты ниерцнн:
+ т®)Лп; /(, = f(** + т’)дпц
lc = i<x’‘ + y»)dm.	(2.766)
Моменты инерции относительно плоскостей коор-
динат:
1г01=^угдт-,	= jx’dm. (2.76в)
Момент инерции относительно начала координат
(полярный момент ниерцнн):
>0 = J (*’ + Уг + г1) dm. (2.76г)
2.8. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
123
Таблица 2.6
Фигура или тело
Осевые моменты инерции
Идеалов тонкий сперюмь
Лдоортвлышй гчраллелалЛ
— W+IH-
9	12
При е-*0 получается пря-
моугольная пластина
Продолжены гаВл. 2.6
Фигура	или тело		Осевые моменты инерции
г	к»		'«-'я-'а-Т"1* к(д.+^_	«*•	)
/г 1.4'	-TV*-. \\ С ''41	И	\ ' ^+Кг + >*)
vz ху Сфера			при г -* R .	.	, mW 'ж-'e-'a-V
	Z		
	-i- е-		1,- у-(ЗД-Я):
	t				
	Яг		.	Л (4Я - й) *«" 4 ' (ЗД-Л)
бородой Cfxfnop			
	г		
l/			
	4-д		f м т^* *	3
1S- 1—л — nopaboaoui	Вращения		
и н е р и н и
V 1	12
f _ m (Я» + г»).
— (ЗЯЧ^Ч-П
У г 12
Прямой ируийой локус
/Z/др
Центробежные моменты ннерцнн
/X|/ = f xydrrr, l„ = $xzdm, lyi = $yzdrn. (2.76д)
Связь между осевыми, плоскостными и полярным
моментами инерции:
ГО = lzOi/ + ,Юг + ,цОг =	I1* +	+ ^т);
= = (2’77)
f, —1Юг + 1110г-
Значения осевых моментов ннерцнн некоторых гео-
метрических тел приведены в табл. 2.6.
Изменение моментов инерции при перемене осев
Момент инерции относительно оси U|, параллель-
ной данной осн и (рнс. 2.53):
Ц = lu + М ( /? — I2) =l„ + Ma2 — 2Ма1.	(2.77а)
где /и—момент инерции тела относительно осн и;
Z((i)—расстояние от осн и (от осн ui) до параллель-
ной нм оси ие, проходящей через центр масс
тела;
а — расстояние между осями и и щ.
Если ось и центральная (1=0), то
= 'и + Ма*.	(2.776)
124
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
т. е. для любой группы параллеьляых осей момент инер-
ции относительно центральной осн наименьший.
Момент ниерцнн /, относительно осн и, составляю-
щей углы о, р. у с осями декартовых координат х, у, г
(рнс. 2.54):
7u = /xcos4a4-/1,cos4P + /zcos4y —
— 2(/J4,cosacosp + /jricosacos,y +
+ !yt cos Р cos у)	(2.77в)
Осн х, у, г главные, если
1ху— 1хх = 1уг = 0-
Рнс. 2.53
Рнс. 2.54
=/jri,cos2a+ — /р) sin 2 a. (2.77е)
Определение положения главных осей инерции. Ось
материальной симметрии тела — главная ось инерции
тела.
Если плоскость хОг является плоскостью мате-
риальной симметрии тела, то любая на осей у — глав-
ная ось инерции тела.
Если положение одной на главных осей гг* извест-
но, то положение двух других осей хта и угя определя-
ется поворотом осей х и у вокруг оси г13 на угол <р
(рнс. 2.55):
1	2/„
? = _.arc(g__
(2-78)
Эллипсоид и параллелепипед инерция. Эллипсоидом
инерции называется эллипсоид, осн симметрии которого
совпадают с главными центральными осями тела хгж,
угз, ггл, а полуоси a<, а,, а, равны соответственно:
Момент ннерцнн относительно осн и, составляющей
углы а, р, у с главными осями инерции х, у, г:
1и = /х cos4 a + Iу cos4 P + 1г cos* у.	(2 77г)
Изменение'центробежных моментов инерции при па-
раллельном переносе осей:
— 7 Ясус 4- Мхс ус.
(2-77д)
где IjtgVc — центробежный момент инерции относитель-
но центральных осей хс. yt, параллельных
осям х, у,
М— масса тела;
хс, Ус— координаты центра ыасс в системе осей
х. у.
Изменение центробежного момента инерции при по-
вороте осей х. у вокруг осн г на угол а в положение
х,у, (рис. 255):
Рнс. 2.55
где Гхох. Гхох. г,0> — радиусы инерции тела относи-
тельно главных плоскостей ннерцнн.
Параллелепипедом инерции называется параллелепи-
пед, описанный вокруг эллипсоида ннерцнн п имеющий
с ним общие осн симметрии (рис. 2.56).
Рис. 2.56
Редуцирование (замена с целью упрощения расчета)
твердого тела сосредоточенными массами. При вычис-
лении осевых, плоскостных, цситрооежиых и полярных
моментов ннерцнн тело массой М можно редуцировать
восемью сосредоточенными массами М/9, расположен-
ными в вершинах параллелепипеда ннерцнн. Моменты
инерции относительно любых осей, плоскостей, полюсов
вычисляются по координатам вершин параллелепипеда
инерции xt, yt, z( (i-=l. 2,..., 8) по формулам:
2.8. ДИНАМИГЛ ТВГРДОГО ТЕЛА
125
(2.80)
Экспериментальное определение моментов инерции
1. Определение моментов инерции тел вращения
с использованием дифференциального, уравнения враще-
ния—формулы (2.82).
Исследуемое тело закрепляется на горизонтальной
оси х, совпадающей с его осью симметрии, и приводит-
ся во вращение вокруг нее с помощью груза Р, при-
крепленного к гибкой ннтн, навернутой на исследуемое
тело (рис. 2.57), при этом замеряется время t опуска-
ния груза иа высоту Л. Для исключения влияния тре-
ння в точках закрепления тела на осн х опыт произво-
дится несколько раз при разных значениях веса груза
Р. Прн двух опытах с грузами Р\ и Рз
2. Экспериментальное определение моментов инер-
ции тел посредством изучения колебаний физического
маятника (см. 2.8.3).
Исследуемое тело закрепляют на горизонтальной
оси х (нецентральной) и замеряют период малых ко-
лебаний около этой осн Т. Момент ннерцнн относитель-
но осн х определится по формуле
/ = Л_
* 4л2Р(0 ’
где Р — пес тела; 10 — расстояние от оси вращения до
центра масс С тела.
2.8.2.	Вращательное движение
твердого тела1
Момент количества движения твердого тела относи-
тельно оси вращения:
Кг = 1гаг.	(2.81)
Дифференциальное уравнение вращения твердого
тела относительно неподвижной осн
/2ф = 12«Ь = /2е, = Л(',	(2.82)
где N* — момент внешних снл, приложенных к твердо-
му телу, относительно осн вращения.
Изменение угловой скорости тела за конечный про-
межуток времени
где Л/($*) — момент импульса внешних снл относитель-
но осн вращения.
2.8.3.	Физический и математический
маятник
Физическим маятником называется твердое тело,
шарнирно закрепленное иа горизонтальной осн н дви-
жущееся иод действием силы тяжести (рис. 2.58).
1 Ось вращения обозначена ж.
126
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Точка О пересечения осн вращения х с плоскостью,
проходящей через центр масс тела н перпендикулярной
осн х, называется точкой подвеса маятника.
Дифференциальное урав-
нение колебаний физическо-
го маятника
GLsinw
Ф+ - , — = 0, (2.84)
где lt=OC—расстояние от
центра масс
С до точки О;
G — вес тела.
Дифференциальное урав-
нение малых колебаний фи-
зического маятника (прн
<p»sin ф)
Ч> + 7±Ф = 0.	(2.84а)
Кинематическое уравне-
ние малых колебаний физи-
ческого маятника
Ф = фо cos И 4- sinй/ = asin(M-)- В), (2.846)
н
где фо н <i>o — начальный угол отклонения от вертикали
н начальная угловая скорость маятника;
— амплитуда колебаний;
„	. *Фо
р = arctg — — начальная фаза;
— круговая частота физического маятника.
При амплитуде о < 8° погрешность при рассмотрении
колебаний физического маятника как малых составляет
менее 0.1%, прн амплитуде о <22° погрешность ме-
нее 1%.
Период малых колебаний физического маятника:
(2.84 в)
Математический маятник — сосредоточенная масса
на конце гибкой иерастяжимой нити длиной ( — являет-
ся частным случаем физического маятника.
Дифференциальное уравнение малых колебаний ма-
тематического маятника
S
ф + уФ = 0-	(2.84г)
Период малых колебаний математического маятника
(2.84д)
Приведенной длиной /„р физического маятника на-
зывается длина такого математического маятника, ко-
торый имеет одинаковый период колебаний с данным
физическим маятником:
/пр=-^ = *е + -^ .	(2-85)
ЛПф	Iff
где т— масса тела;
rXf— радиус инерции тела относительно центральной
осн Хе, параллельной осн подвеса х.
Точка К, лежащая на рас-
стоянии от центра подвеса
О на прямой ОС, называется
центром качания. Если центр
качания К поменять местами
с центром подвеса О, иериод
малых колебаний ие изме-
нится.
Если менять положение точ-
ки подвеса О физического ма-
ятника, период колебаний его
может меняться (рнс. 2.59) от
оо (прн /о—О и /<, — оо) до не-
которой минимальной величи-
ны Дарр прн /о=гх :
Тмня — 2л
2.8.4.	Давление вращающегося твердого
тела на опоры
При вращении тела (рис. 2.60, о) вокруг неподвиж-
ной осн полные реакции опор слагаются из статических,
определяемых по правилам статики, и динамических,
перпендикулярных осн вращения и вращающихся во-
круг иее вместе с телом. Последние, в свою очередь,
распадаются иа реакции 61Л в NB, обусловленные глав-
ным вектором енл инерции (?, т. е. смещением центра
масс тела с осн вращения, н реакции NA и NB, обуслов-
ленные главным моментом сил ннерцнн Мп, т. е. откло-
нением главной оси инерции тела от оси вращения:
Лян=т/сУ®, + е*:
A<--=K( £ + 4) (««+«’).
где М— масса тела;
г с— расстояние от центра тяжести тела до осн
вращения;
1уг, центробежные моменты инерции.
Динамические реакции (рнс. 2.60,6):
Л "Н *! + Л,
----"в
1>,
Л1+ Л,’
Й1 + Л, ’
"в — Яя„
При вращении вокруг свободной оси динамические
реакции равны нулю. Свободная ось г должна быть
центральной (гс=0, статическая уравновешенность)
и главной txi”/pI=0 — динамическая уравновешен-
ность).
Редуцирование твердого телв восемью точками прн
вычнелеиин динамических реакций. Определяются реак-
ции ХЛ, Ул, Хв, У в от действия сил 4>аи восьми точек.
2.9. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА
127
РНС. 2.60
редуцирующих твердое тело (рнс. 2.60, в, г), для чего
можно применить аппарат статнкн, в частности графи-
ческое определение опорных реакций балкн (см. 2.3.1).
Динамические реакции в точках А и В иа осн вра-
щения:
е - Ya <>’)* + (Хл <Р» + Ya е)*; 1
RB = У(*в е ~ У в “*)“ + (*в “2 + У в е)! I
2.8.5. Плоскопараллельное движение
Обозначим (рнс. 2.61): К — сеченне тела неподвиж-
ной плоскостью, проходящей через центр масс тела С;
Рнс. 2.61
тхс - X'
R'. X*, У», Z* —главный
вектор внешних сил и его
проекции на оси декарто-
вых координат; — глав-
ный момент внешних снл
относительно центральной
осн тела, перпендикулярной
плоскости л; 1с — момент
инерции тела относительно
этой осн.
Дифференциальные урав-
нения плоскопараллельного
движения:
myc = Y*; lc<f = Mc. (2.87)
2.9.	ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРА
2.9.1.	Основные положенно
Ударом называется весьма кратковременное взаимо-
действие материальных тел. прн котором их скорости
изменяются на конечную величину, что обусловливает-
ся возникновением при ударе чрезвычайно больших снл
Р„, называемых мгновенными нлн ударными. Действие
ударной силы измеряется ударным импульсом или уда-
ром~5уЛ:

(2.88)
где т — время удара.
Основные допущения при ударе: действием неудар-
ных снл, а также смещением тел за время удара мож-
но пренебречь.
2.9.2.	Основные теоремы
динамики прн ударе
Теорема количества движения: нэмененне количест-
ва движения системы прн ударе &Q равно геометриче-
ской сумме внешних ударов IS^,, полученных точками
системы прн уларе:
6(2 = 2^;
&QV = is; уЯ; = is;УЯ. (2.89)
Теорема о движении центра масс: изменение скоро-
сти центра масс системы Аос прн ударе равно сумме
внешних ударов ESJ,, приложенных к системе, делен-
ной на массу всей системы М;
128
о 13J ’ - 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
- nSpyj д- 2^уа
Ус М с М
(2.90)
Теорема моментов количества движения: изменение
прн ударе момента количества движения системы отно-
сительно точки (оси) равно сумме моментов внешних
ударов относительно той же точки (осн):
лл0 = ел(Л^л): «*,=2^ j (29I)
Д^ = 1М„(5;Я): ькг = ыг(з'„). /
2.9.3.	Удар тела о неподвижную
поверхность
Прямой центральный удар,
ра лежит на общей нормали i
верхнее™, скорость о тела до
Рис. 2.62
Центр масс тела до уда-
1 тела и неподвижной по-
удара направлена по этой
нормали (рнс. 2.62, о).
Ударной силой является
мгновенная нормальная
реакция поверхности
ЛуД. Удар разделяется
иа две фазы:
первая фаза: от мо-
мента прикосновения те-
ла к поверхности до мо-
мента полной остановки
тела в деформированном
состоянии. Ударный нм*
пульс за время первой
фазы:
5УЛ = I Nv* dl =	(2.92)
и
где т— масса тела:
0</<Т]—длительность фазы;
вторая фаза: от конца первой фазы до момента, ког-
да тело, частично восстановившее под действием упру-
гих сил свою форму, отделяется от неподвижной по-
верхности со скоростью и. Ударный импульс за время
второй фазы
\я= f NVKdl = mu,	(2.92а)
где	длительность фазы:
т— длительность удара.
Для скоростей и и о, а также для импульсов Зул
и Sy, имеет место соотношение
— =	(2.93)
° sm
где k — коэффициент восстановления (определяется эк-
спериментально для каждой пары веществ, нз которых
изготовлены соударяющиеся тела).
Экспериментальное определение коэффициента вос-
становления. Шарик нз испытуемого вещества роняют
с высоты Н без начальной скорости па плиту из того
же вещества н замеряют высоту отскока Л
Предельные случаи:
й—О— иеулругнй улар (вторая фаза улара отсутствует);
k— I — абсолютно упругий удар (тело после удара пол-
ностью восстанавливает свою скорость н форму).
Для реальных веществ 0<А< 1. Например, для ста-
ли 6/», для слоновой кости */«. для стекла
Косой удар тела о неподвижную поверхность. Ско-
рость тела до удара о направлена под углом падения а
к общей нормали л тела и поверхности (рнс. 2.62,6).
После удара тело отскакивает от неподвижной поверх-
ности со скоростью и под углом отражения (J к общей
нормали Л.
Между скоростями иной между углами аир име-
ет место соотношение:
tg В = —т—-tga;
R
и = V Уч + [(1 — Л)= — *•«) sin1 а.
(2-94)
где X — коэффициент мгновенного трепня, определяемый
экспериментально (часто полагают Л-0).
2.9.4.	Прямой центральный удар двух тел
Скорости тел щ н v, до удара направлены по нх об-
щей нормали, проходящей через нх центры масс. Разли-
чают две фазы удара:
первая фаза: от момента соприкосновения тел до мо-
мента, когда все точки соударяющихся тел приобретут
общую скорость и и оба тела получат максимальную
деформацию. Скорость и в конце фазы:
л1] -j-ma
где пц — масса первого тела; т3 — масса второго тела;
вторая фаза: с момента окончания первой фазы до
того момента, когда тела под действием упругих снл
частично восстановят свою форму, приобретут разные
скорости U| и иг и разъедини гея. Скорости тел после
улара:
“1 = »1 + —-у— (•+*)(»« — 01);
««=«« + —-------(I + *) («1 — о»)-
Oil Т <П«
(2.95а)
Полный ударный импульс, полученный каждым нэ
тел прн ударе:
3У1 = ".'Mo.-o,)(l+Q , р.дэд
ГП1 4-пи
где знак минус берется для первого тела, а знак плюс
для второго.
Кинетическая энергия, потерянная при ударе. Прн
уларе часть кинетической энергии ударяющихся тел
ДТ теряется, т. е. переходит в немеханнчеекке формы:
ДГ=^Т’ = —^5—(о1-о,)»(1-Л>). (2.96)
* + *	2 (/Л1 4- Л1в)
где 7* — кинетическая энергия потерянных скоростей
V|—U| и —Мд:
2.10. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
129
_ Л1| (Ot — ujF m,(o> —u»)1 _
2	+	2
niimtfa —о»)»(1 +*)*
2(mi + mj
Частные случаи:
*-0.
АГ = п?1'п*—1—= т* (теорема Карно);
2(m> 4-т,)
А—1, АГ—О (потерн энергии не происходит).
2.9.5.	Применение элементарной
теории удара
Ковка металла. Цель удара — сообщить телу необ-
ратимые пластические деформации. Коэффициент полез-
ного действия удара ч при ковке
АГ 1-й»
То 1 + nii/m,
где То—кинетическая энергия молота массой т, до
удара.
Коэффициент полезного действия при ковке металла
повышается при уменьшении упругости удара, т. е. при
й-Н), и при увеличении массы наковальни /Пь т. е. при
mi/mj— 0.
Забивка свай. Цель удара — сообщить телу т? (свая)
после удара максимальную скорость (максимальную ки-
нетическую энергию), избежав, по возможности, пла-
стических деформаций (разрушения) оголовннка сван.
Коэффициент полезного действия удара ц при забивке
свай
= 1_ ДТ 1-й*
4 Го 1 +т,/т, '
где Го — кинетическая энергия молота массой т, до
удара.
Коэффициент полезного действия при забивке свай
повышается при увеличении упругости удара, т. е. при
Ин увеличении массы молота Ш|, т. е. при mi/m,— ®.
2.9.6.	Действие удара на тело,
закрепленное на неподвижной оси
Изменение угловой скорости тела при ударе Ди
равно моменту удара относительно осн вращения
Д'(5ГЖ), деленному на момент ннерцнн тела относитель-
но осн вращения
tf(Sy.)
Аш = —w . (2.98)
'а
Условия равенства
нулю ударных реакций
тела, вращающегося
вокруг осн г.
1. Ось вращения z должна
быть главной осью инерции
тела.
2. Удар $1Д должен быть
нанесен перпендикулярно плос-
Рис 263 кости, содержащей центр масс
тела С и ось вращения г в
точке Л — центре удара, лежа-
щей на перпендикуляре к оси вращения, проходящем
через центр масс тела С, и находящейся на расстоянии
I от оси вращения (рис. 2.63):
(2.98а)
где 10—расстояние от оси вращения до центра масс С
тела;
г~с— радиус ниерцнн тела относительно централь-
ной оси г,, параллельной оси вращения;
гг— радиус инерции тела относительно осн враще-
ния.
Центр удара совпадает с центром качаний физичес-
кого маятника (см. 2.8.3).
2.10.	АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
2.10.1.	Начало (принцип) возможных
перемещений
Возможным перемещением системы нз данного ее
положения называется всякое бесконечно малое переме-
щение ее точек, одновременно допускаемое наложенны-
ми на систему связями. Возможное перемещение обоз-
начается 6 в отлнчне от действительного перемещения
системы под действием приложенных к ней снл, которое
обозначается d.
Число независимых возможных перемещений систе-
мы определяется числом ее степеней свободы, которое
в свою очередь равно числу обобщенных координат си-
стемы 9.
Начало (принцип) возможных перемещении (НВП):
для равнонесня системы необходимо и достаточно, что-
бы сумма элементарных работ всех приложенных к си-
стеме активных сил на любом независимом возможном
леремешеннн системы из данного ее положения равня-
лась нулю:
SOXaxr = 0.	(2.99)
Уравнение НВП в векторной форме
(2.99а)
в координатной форме
Z(X.KT6* + r.KI6y + Z„T6z) = 0;	(2.996)
в естественной форме
_Л
£Р.кт 16г I cos (Р,к1б7) = 0.	(2.99в)
где |б7| = |6S|.
В чисто активных снл при составлении уравнения
НВП кроме внешних нагрузок включаются реакции уп-
ругих связей, силы треиня кенлеальных связей, а так-
же внутренние силы, действующие между теми точками
системы, расстояние между которыми изменяется.
130
РАЗДЕЛ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Практически наиболее удобный способ определении
независимых возможных перемещеииА системы состоит
в том. чтобы определить эти перемещении, сообщай бес-
конечно малое приращение 6q одной нэ обобщенных
координат. Уравнение (2.99) в таком случае приобрета-
ет вид:
К?,б?( = 0.	(2.99г)
Коэффициенты Q, носит название обобщенных сил. Так
как 6q> иезавнснмы друг от друга, НВП может быть
сформулировано следующим образом: для равновесии
системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщен-
ные силы системы были равны нулю.
2.10.2.	Основные приложения НВП
к расчету конструкций
Рассматриваются два состояния системы:
I. Статически возможное состояние, характеризуемое
нагрузками н соответствующими внутренними усилиями.
II. Кинематически возможное состоииие, характери-
зуемое малыми деформациями стержней и соответству-
ющими смешениями точек приложения нагрузок в I
состоянии.
Составляется уравнение работ: работа обобщенных
сил I состояния на обобщенных перемещениях II состо-
яния равна нулю.
Для фермы имеем
л
2РК1 лкп cos Л л ~ 2Nn Л'Ч = °’	1001
где — узловая нагрузка в I состоянии в узле К;
ДКц —перемещение узла К во II состоянии;
Л',] —усилия в стержне i в I состоянии;
ЛП| — удлинение стержня I во И состоянии.
На использовании уравнения (2.100) основаны:
I) кинематический метод определения усилия Nlt ;
2) статический метод определения перемещения узла
Лкп 
Для определения усилия Л'(| в стержне i от дейст-
вия нагрузок РК1 даем только стержню  в состоянии II
малое удлинение, принимаемое равным безразмерной
единице:
Лж = 1.
н определяем (безразмерные) перемещения узлов X. не-
сущих нагрузки РК1 в I состоянии.
Вторая сумма в уравнении (2.100) обращается в Л'(|.
Отсюда
л
/Vfu = Ддц cos РД. (2.100а)
Для определения перемещения узла Д^цПО наперед
заданному направлению прикладываем в I состоянии по
этому направлению единичную безразмерную силу
PKt -1. Тогда перемещение Д.<цпо этому направлению
выразится суммой
ДК11 = ЕЛ’д Л4„ .	(2.1006)
Итак, усилие в стержне выражается возможной ра-
ботой внешних сил, перемещение узла — работой внут-
ренних сил.
2.10.3.	Принцип Даламбера — Лагранжа
(общее уравнение динамики)
Сумма элементарных работ всех активных сил
Ракт, приложенных к материальной системе, а также
всех сил ннерцнн Фа. точек системы на любом воз-
можном перемещении системы нз данного ее положе-
ния равна нулю:
2бЛ.кт + 26Лк« =	б'< -	= 0	(2’10*)
или в координатной форме
S (хГ’ — m, xt) 6xt + £ (кГТ — тщ) Ъу: +
+ E(zT,T-/nli'l)&;=0.	(2.101а)
где Xj”. KJ”, ZJ*T—проекции активных снл Р‘кт'.
*<• №• —координаты точек нх прило-
жения;
"><• yi, — масса и проекции ускорения
>-й точки системы.
В частном случае равновесия системы (*<—y<=Zr=
-=0) уравнение (2.101а) преобразуется в уравнение на-
чала возможных перемещений (2.996), называемое так-
же общим уравнением статики.
2.10.4.	Уравнения Лагранжа 2-го рода
При отнесении движения системы к обобщенным
координатам qt. qa...о» уравнения движения системы
приобретают вид:
d /дТ\ _ дТ_
dt / dqt
(2.102)
где Т — кинетическая энергия системы; qi — обобщен-
ные координаты; Qi — обобщенные скорости и Q< —
обобщенные силы системы.
Эти уравнения являются обыкновенными дифферен-
циальными уравнениями второго порядка относительно
обобщенных координат. Если действующие на систему
силы имеют потенциальное снловое поле (являются
ЗЛ
консервативными), то Qi = — ——. где П — потенциаль-
иля энергия системы, и уравнение (2.102) приобретает
вид:
d	ат	ат	ап	„
—	- — = - — .	(2.102а)
dt	dqt	dfj	dqi
Введя функцию Лагранжа L^T—П и учитывая, что
d ап
— 	— 0, получаем
dt dqt
d	dL	dl.
-£-.-^- — = 0.	(2.1026)
dt	dqt	dq,
Пример 2.3. Составить дифференциальные уравне-
ния движения математического маятника, состоящего
из сосредоточенной массы т, подвешенной к концу уп-
ругой инти, длина которой в положении равновесия I и
жесткость с (рис. 2.М).
Р
Решение. Длина нити р—l+z—lo+—,+г, где
с
ЛИТЕРАТУРА
131
1g —длина нерасгяиутой нити; mglc — статическое удли-
нение инти иод действием веса P—mg; г — удлинение
Рнс. 2.64
инти сверх I.
Система имеет две степени
свободы; в качестве обобщен-
ных координат приникаем уд-
линение нити от положения
равновесия г и угол отклоне-
ния ннтн от вертикали ф. Ско-
рость точки в полярных коор-
динатах см. формулу (2.42а)
ор = р = г.
= РФ = V + *)Ф:
о = V г’ + (I + г)3 ф* .
Кинетическая энергия
7 = у Р + О + гИФ*]-
Потенциальная энергия (за пулевое положение при-
нято положение статического равновесия)
П =mg [Z— (/4-г)соэф] +
Функции Лагранжа
£ = ~- [z’-f-(/+ г)‘ф*] — mg[l — (I + г) соз Ф)-
Дпфференинальные уравнения движения:
^-5Г=т(' + г,’* +
dt оф оф
4-2/п (I + г) фг-f-mg sin ф = 0;
d dL dL
— ’ ^--т-='«-'я(' + г)ф- +
at oz oz
4-mg(l —соэф)Ч--= 0.
2.10.5.	Интегральные принципы механики
Некоторые общие свойства движения, происходящего
за конечный промежуток времени, описываются интег-
ральными принципами (принцип Остроградского — Га-
мильтона, принцип Молертюн — Лагранжа) [1].
ЛИТЕРАТУРА
I.	Б х г о л ъ а Н. И. Основной курс теоретической меха-
ники. Ч. 2. ОНТИ НКТП СССР М.-Л.. 1937.
2.	Воронков И. М. Курс теоретической механики. Изд.
13-е. «Наука». 1966.
3.	ГОСТ 9967-61.
4.	Жуковский Н. Е. Полное собр. соч. Лекции, вы о.
3-6. НКАП ГИОП. 1939.
5.	Кирпичей в. Л. Основания графической статики. Гос.
теор.-тех. изд.. 1933.
6.	Лойиявскмй Л. Г. и Лурье А. И. Курс теорети-
ческой механики. Ч. I и 2. Гостехиздат. 1954.
7.	Николаи Е. Л. Теоретическая механика. Ч. I м 2.
Фнэматгиэ. 1950.
6. Рабинович И. М. Строительная механика стержневых
систем. Ч. I. Стройнздат. 1940.
9.	Справочник машиностроителя. Ч. 2 и 3. Машгиэ. 1955.
10.	Т а р г С. М. Краткий курс теоретической механики.
«Наука». 1966.
II.	Уманский А. А. Пространственные системы. Строй*
иэдат. 1948.
12.	Уманский А. А. Статика н кинематика ферм. Гос-
строй» да г. 1957.
13.	Чертов А. Г. Международная система единиц иэме*
рения. Росвузмэдат. 1963.
14.	Энциклопедический справочник машиностроении, Т. 1.
кн. 2. Мвштиэ. 1947.
15.	Atanasiu М.. -Mecanica tehnica» Editura teh-
nica Bucuresti, 1963.
16.	Яблонский А. А., Никифорова В. M. К)pc
теоретической механики. Ч, t м 2. «Высшая школа», 19oJ.
РАЗДЕЛ 3
НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИИ И ПРОЧНОСТЬ
МАТЕРИАЛОВ
3.1.	НАПРЯЖЕНИЯ
3.1.1.	Основные понятия
Твердое тело, находящееся под воздействием системы
внешних сил. мысленно разделяется какой-либо поверх-
ностью, например плоскостью, иа две части I и II
(рис. 3.1). Эти части тела действуют друг на друга с
Рис. 3.1
Касательное напряжение есть проекция рп па плос-
кость площадки &F:
т„ = p„sin(p„, л).	(3.3)
Напряжение определяет интенсивность сил, дейст-
вующих иа площадку &F в точке А. На разных пло-
щадках. проходящих через одну и ту же точку, напря-
жения различны.
Главные напряжения. Площадки, иа которых каса-
тельное напряжение т„ равно нулю, называются глав-
ными. Нормальные напряжения, действующие иа глав-
ных площадках, называются главными напряжениями.
Через любую точку проходят три взаимно перпендику-
лярные главные площадки. Главные напряжения обозна-
чаются через о., at. Os. при этом 0|>0з>оз. Главные
напряжения достигают экстремальных значений по срав-
нению со всеми напряжениями, действующими в рас-
сматриваемой точке. Одно нэ них о( наибольшее, а дру-
гое Оз наименьшее по алгебраической величине. По аб-
солютной величине наибольшим напряжением является
напряжение Oi или оз.
Свойство парности касательных напряжений. Если
на площадку I действует касательное напряжение Ti. то
иа площадку II, перпендикулярную вектору Ть действует
касательное напряжение т7—Т|. Векторы и тз перпен-
дикулярны линии пересечения плоскостей, в которых
расположены площадки / и II.
силами, распределенными по разделяющей их поверхно-
сти. Обозначим через &Р равнодействующую усилий,
приходящихся на площадку ДГ. Если стягивать контур,
ограничивающий площадку ДГ, к точке А, т. е. стре-
мить ДГ к нулю, то отношение &PI&F будет стремиться
к некоторому пределу, который называется полным на-
напряжением в точке А на площадке ДЕ и обозначает-
ся р.
Вектор полного напряжения в точке А на площадке
ДГ с нормалью л (см. рис. 3.1)
Нормальное напряжение есть проекция вектора пол-
ного напряжения иа нормаль п:
0п-₽п«°з(рл.п).	(3.2)
3.1.2.	Одноосное напряженное состояние
Напряженное состояние называется одноосным, ес-
ли вектор полного напряжения рп (рнс. 3.2) иа любой
площадке параллелен одной и той же оси. В этом слу-
?ис. 3.2
чае только одно из трех главных напряжений 01=0»
отлично от нуля. Примеры — растяжение прямого бруса,
чистый изгиб.
3.1. НАПРЯЖЕНИЯ
133
Напряжения на площадке с нормалью л (рнс. 3.2).
полное напряжение pn = oxcosa;
нормальное напряжение оя = охcosS
касательное напряжение тя = — axsin2a.
(3.4)
где сгх — напряжение на площадке, перпендикулярной
векторам полных напряжении, т. е. главное
напряжение olt отличное от нуля.
Напряжение тя считается положительным, если век-
тор внешней нормали л и рассматриваемой площадке
для совмещения по направлению с вектором тп должен
быть повернут на 90° по часовой стрелке (см. рнс. 3.2).
Наибольшее н наименьшее касательные напряжения
т =4.— о,.	(3.5)
‘макс, мин X 2 х	'	'
Напряжения Тмамс. мая
для которых a—45, 135®.
действуют иа площадках.
3.1.3.	Плоское напряженное состояние
Если все векторы напряжений параллельны одной и
той же плоскости, напряженное состояние называется
плоским (рнс. 3.3). Иначе: напряженное состояние яв-
ляется плоским, если одно из трех главных напряжений
равно нулю.
Плоское напряженное состояние реализуется в пла-
стине, нагруженной по ее контуру силами, равнодейст-
вующие которых расположены в ее срединной плоско-
сти (срединная плоскость — плоскость, делящая пополам
толщину пластины).
Направления напряжений на рис. 3.3 приняты за по-
ложительные. Угол а положителен, если он откладыва-
ется от оси х к осн у. На площадке с нормалью п:
нормальное напряжение
1 1
«п = у (°х + о,) + у (о, - о,) cos 2a +
+ т„ sin2a;	(3.6)
касательное напряжение
т„ = у (о, — о,) sin 2a — тж, cos 2a;
прн a—О г.”—г,,.
Нормальное напряжение о. положительно, если оно
растягивающее. Положительное напряженно т. показа-
но на рис. 3.3. Правило знакоп для т. по формуле
(3.6) то же самое, что для напряжений т„ по формуле
(3.4).
Данное здесь яравпло знаков относится к наклон-
ным площадкам. Ниже (3.1.4) сформулировано правило
знаков для компонентов напряжений в точке, т. е. для
напряжений на площадках, перпендикулярных осям
координат. Это правило знаков принято в теории упру-
гости.
Главные напряжения на площадках, перпендикуляр-
ных плоскости напряжений:
<’.,2 = ^У^±у/(<’х-<’е)2 + Ч- ™
(Поскольку здесь рассматриваются только два главных
напряжения, они обозначены через о, и о,, хотя может
оказаться, что оа<0, т. е. о, не будет средним нз трех
главных напряжений). Угол at, составляемый нормалью
к первой главной площадке с осью х, находится нэ ра-
венства:
о. — о.
•gOi------!----~-	(3.8)
Наибольшее н наименьшее касательные напряжения
’«КС. ми. =± у И(°х - Оу¥ +	(3.9)
Эти напряжения действуют иа площадках, располо-
женных под углом 45° к первой и второй главным пло
шадкам.
Если главные напряжения О| и о, имеют одинако-
вый знак, то наибольшее касательное напряжение дейст-
вует на площадке, расположенной под углом 45° к плос-
кости иапряжеинй (плоскости ху). В этом случае:
’икс. ми =±“у . «ли "1 > 0 и о, > 0;
тм«с. мн. =:F —  «ли «1 < 0 н о, < 0.
В стенке балки (здесь имеется в виду обычная бал-
ка, а ие балка-стенка) при ее изгибе силами реализует-
ся частный случай плоского напряженного состояния.
В стенках балки одно нэ нормальных напряжений о,
равно нулю. В этом случае напряжения получатся по
формулам (3.6), (3.7) н (3.9), если в этих формулах
положить сг.-О. Положение первой главной площадки
определяется формулой (38).
Растяжение по двум направлениям (рис 3.4):
°х = <4; °, = °,'.
134
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
»п = — (О1 + ot) + — (о, - о.) cos 2а;
1
Тл = у (о,-ot) sin 2а.
При О| >0 н о, < О ты„с М1(И =± у (а, - о,).
я	при О! > 0 и о, > О
ГНС. о.э
Чистый сдвиг (рнс. 3.5)
О, = о„ = 0; о„ = т,у sin 2а; ।
I
т„ = — TX(,cos2a. J
°l.3=±»xy, ТМ«КС. мии =i Tw. (3.11)
Пример, a,=300 кГ/cju*. о,=—200 кГ/cjh*. тж,=
=300 кГ/см‘. Найти величины и направления главных
напряжений.
По формуле (3.7) находим:
300 — 200	1	---------------------
о, г =---------± — V(300 + 200)» + 4-300» =
= 50 ±390;
Oj = 440 кПсм\ о, = — 340 кГIctfi;
440 - 300 „ „
tg«i =—— = 0,466; a, = 25“.
Если смешения точек в направлении одной нз коор-
динатных осей равны нулю, то деформация называется
плоской. Например, если смешения w в направлении оси
г равны нулю, то деформация называется плоской.
3.1.4.	Объемное напряженное состояние
Если напряжения на любой площадке, проходящей
через рассматриваемую точку, ие параллельны одной и
той же плоскости, то напряженное состояние является
объемным. Это самый общий вид напряженного состоя-
ния.
Компоненты напряжений в точке. Проекции векто-
ров напряжений рХ1 pt, р„ действующих иа площадках,
перпендикулярных осям координат, на эти оси называ-
ются компонентами напряжений.
Компоненты напряжений иа площадках, перпенди-
кулярных осям х, у. г, обозначаются соответственно
(рис. 3-6): о>. Тух. Тгх; Су, тху, т..; о,, т.,. Ту,.
Первый индекс показывает, какой осн параллельно
напряженке, второй — какой оси перпендикулярна пло-
щадка.
Правило знаков для компонентов напряжения. Если
направления внешней (по отношению к рассматривае-
мой части тела) нормали к площадке и параллельной
ей осн совпадают, то положительными направлениями
компонентов напряжений иа этой площадке считаются
направления осей координат. Согласно этому правилу,
нормальное напряженке положительно, если оно растя-
гивающее. На рнс. 3.6 все компоненты напряжений по-
ложительны.
В силу парности касательных напряжений:
Тху = ТуХ; Туг = Туу; Тух = Тху
Нормальное напряжение иа площадке с нормалью п
оя = ох cos* (х ,п) ± Оу cos* (у ,п) ± о, cos* (z ,п) ±
+ 2тХу cos (х ,п) cos (у, л) ± 2Ту, cos (у ,п) cos (z. л) ±
± 2Тух cos (z.n) cos (х, л).	(3.12)
Проекции вектора полного напряжения, действую-
щего иа площадку с нормалью п, иа осн координат:
Х„ = ох cos(x.n) ± Тхуcos (у,п) ± Txxcos(z.n);
У л = Ty<cos(x,n) ± Оу cos (у, л) ± Ту, cos (z,n);	J3)
Z„ = Тух COS(X.n) + TyyCOS (y.n) ± Oy cos (z,n).
Полное напряженке на площадке с нормалью л
Pn = l/A» + ^ + Z„2-	(3.14)
Угол ф между вектором рп и нормалью л определя-
ется равенством:
cos ф = —— .
Рп
Главные напряжения в рассматриваемой точке явля-
ются корнями уравнения
°V -	(°х + °у + °х) + °V (°х Оу + °у °у +
+ °х °, - Тху ~	~	- (°х °у °х +
+ 2тлу Тут Т*у ~ °х Ъ - °у - °х О = °’ <3-15>
Все три корня этого уравнения всегда действи-
тельны.
Коэффициенты и свободный член уравнения (3.15)
являются инвариантами напряженного состояния [см.
ниже формулы (3.20)].
31. НАПРЯЖЕНИЯ
135
Косинусы углов, которые составляет нормаль л„ к
главной площадке номера v (v»l, 2, 3) с осями х, у. г
(направляющие косинусы нормали ), определяются на
системы уравнений:
(°х ~ ’») 008 (* •"») + тж„ 005 (к-я«) +
+ Txicos(x.nv)=ft
т (*,nv) + (°, ~ °v)cos («•”») +
+ Twcos(a.nv)=0:
’« c“ (’•"») + T4,C0S(y-nv) +
+ (°x — °v) cos (*-"v) = °:
coa« (x,nv) + cos‘^,nv) + cos* (z.nv) = 1.
(3-16)
°«a = у (”1 + о. + OaX
Экстремальные значения касательных напряжений:
--2LZS-. я,—г, = -^.(3.18)
Наибольшее напряжение ti действует на площадке,
перпендикулярной второй главной площадке н накло-
ненной к первой н третьей главным площадкам под уг-
лами 45°.
З.1.	Б. Преобразование компонентов
напряжения к новым осям координат
Рис. 3.7
Из первых трех уравнений
этой системы независимыми явля-
ются только два.
Октаэдрические напряжения —
напряжения, действующие на пло-
щадке. равноиаклонеиной к трем
главным площадкам (октаэдриче-
ской площадке) (рис. 3.7):
Косинусы углов, которые составляют новые осн коор-
динат х*. if, г' с осями х, у, г, заданы таблицей:
Осн			1
		•п.	
»•	-		
’’	-	ж.	_2__i
Компоненты напряжения в осях х*. if, г'-. о,.. оу....
связаны с компонентами напряжения в осях х, у, г соот-
ношениями:
о,- = ож + ovm’ + сг + 2тг|/1] т, 4- 2ти т, л, 4- 2т<ж
°,- = °, +”и	+ Ог Л.} + 2тхр 1., т, 4 2ти т, л_, 4- 2т„ /г л,;
°г- = °, 'з + ° у тз + °z "з + 2тху 13 Л13 + 2^ тз пз + 2т„ 13 :
'.-и- = Стх '1\ + % mi т1 + «ж п! я, +	(>1т 1 + lt mJ 4 Tw (m, п, + mt nJ 4ти (л, /,4л, 7J -.
Vz- = °Х '* 'з + °, тт тз + °, "х "з + Txv ('а тз + 'з тт) + ТУХ (т. яз + тз ят)+тхх (яа 'з+яз М
Тх-Г = °, ‘з + аут1 тз + о, п1 «а + \у (,1'"з+ 1зт1) + тк<т| пэ + т3nJ + Т,ж(п, l3 +п3 ZJ.
Инварианты напряженного состояния. Пусть о,, напряжений в той же точке в осях Z, if,
.... т„—компоненты напряжений в рассматриваемой Величины:
точке в осях х. у, г и о^-.о^.,.... т,-г- — компоненты
(3.20)
сохраняют при переходе от одной системы декартовых
координат (х. у. г) к другой (ж*, у', г') неизменное зна-
чение; они инвариантны по отношению к преобразова-
нию прямоугольных прямолинейных координат.
Шаровой тензор и девиатор напряжений. Напряжен-
ное состояние, заданное компонентами напряжения
(тензора напряжений)
'°* хуг тхх\
т<у Оу xty I (гпензор напряжгний)
Jxi тух j
может быть разложено па два напряженных состояния.
136
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
Первое нз них характеризуется компонентами так
называемого шарового тензора
'« 0 0 \
О о О I (шаровой тензор),
О 0 о /
о= у (°х + о» + о,) = у (о, + в, 4- о,).
Второе напряженное состояние характеризуется ком-
понентами девиатора напряжений, представляющими
собой разность между компонентами заданного напря-
женного состояния и компонентами шарового тензора:
[девиатор напряжений).
3.1.6.	Интенсивность напряжений
в данной точке
Величина
Vo
О/ = — V (о, - 0„)« + (Оц — о,)* + (о, - ох)’+
"Ь® ( ^xif
Vo _________________________________
= -у V (01 - о,)‘ + (о, - о,)‘ + (о, - о,)» =
точки В проводится прямая под углом а к оси а. Коор-
динаты точки О пересечения этой прямой с окружно-
стью дают напряжения по наклонной площадке: 0Е=
-Оп. ЕО=т».
Заданы напряжения а«, а,. т1(, (рис. 39). Отклады-
ваются отрезки ОЕ-о. и OF—о» с учетом знаков. Из
Рис. 3.8
точки £ (независимо от
ее положения) отклады-
вается отрезок ED—т»,
также с учетом знака.
Из точки С, делящей от-
резок EF пополам, как
из цеятра строится ок-
ружность радиусом CD.
Прямая BD определяет
направление действия
вектора главного напря-
жения 01. а абсциссы то-
чек пересечения окруж-
ности с осью о дают ве-
личины главных напря-
жений: ОА — 01, 0В=Oj.
Рис. ЗЭ
а
= — Тонг	(3.21)
/2
носит название интенсивности напряжений.
Эллипсоид напряжений. Концы векторов полных на-
пряжений. действующих иа площадках, проходящих че-
рез рассматриваемую точку, располагаются иа поверх-
ности эллипсоида [24). Уравнение эллипсоида напря-
жений
Рнс. 3.10
Здесь Х„. К., Zn — проекции вектора полного напряже-
ния. действующего иа площадке с нормалью л иа оси х,
у. г-. О|. оа, Оз — главные напряжения в рассматривае-
мой точке.
3.1.7.	Круги Мора
Зависимость напряжений оп и т«. действующих иа
площадку с нормалью л, проходящую через рассматри-
ваемую точку, можно представить наглядно графиче-
ски прн помощи круговой диаграммы Мора (кругов
Мора).
Плоское напряженное состояние. Заданы главные на-
пряжения о, и о9 (см. рис. 3.4). Откладываются отрез-
ки 0.4— О| н OB jj с учетом знаков (рис. 3.8). На от-
резке ЛВ. как иа диаметре, строится окружность. Из
Объемное напряженное состояние. Строятся три по-
луокружности на отрезках, изображающих разности
главных напряжений о,—оЭ1 oj—Оз, О|—Оз. как на диа-
метрах (рис. 3.10). Напряжения о„ и тп по наклонной
площадке, нормаль к которой образует углы «.Риус
направлениями трех главных напряжений, определяются
путем следующего построения. Проводятся линии АЕ
и BF соответственно под углами а н у от вертикали.
Через полученные точки пересечения Е н F проводятся
дуги радиусами С2Е н CtF до пересечения в точке D,
координаты которой и дают величины напряжений о. и
т„. Точки, изображающие напряженные состояния по
разным площадкам, не выхолит нэ области, заключен-
ной между тремя полуокружностями (заштрихована на
рисунке).
3.2. ДЕФОРМАЦИИ
137
3.2.	ДЕФОРМАЦИИ
Привезенные ниже соотношения справедливы при ус-
ловии малых перемещений н деформаций.
3.2.1.	Компоненты деформаций
В рассматриваемой точке е<. е, и е, — относительные
удлинения (укорочения) линейных элементов, парал-
лельных до деформации соответственно осям х, у н х;
V»». V», и у„ — угловые деформации (относительные
сдвиги)1. Например, величина у», равна изменению нря-
Рис. 3.11
х
мото угла между элементами dy и dz, параллельными
до деформации осями у и г (рис. 3.11). Величины у.,.
tin- Т*< ечнтаютси положительными прн уменьшении
прямых углов в результате деформации.
Компоненты деформации связаны с перемещениями
ц, с, w рассматриваемой точки по осям координат х, у, г
соотношениями:
ди	до	да>
*ж^~дх‘ *у = ~ду' е’ = ~дг ’
до ди	ди> до
Хжу=~д7 + ~д^"’ Ууг = ~д^ + ~дг’’
да ди
v" = -d7 + ’*’-
(3.23)
1 Угловые деформации (пгкосигсльлые сдвиги) часто обо-
значают в виде e<J#. е^. е.х
Относительное удлинение в направлении элемента
dr, составляющего с осями х, у, г углы а, 0. у:
е, = е, cos’а + cos’0 4-е, cos* у + yx|/cos а cos i 4-
4-у,, cos 0 cos у 4-ух, cos а cos у.	(3.24)
Изменение (в результате деформация) угла между
двумя взаимно перпендикулярными направлеииями
г, и г,
V,,,, — 2®ж cos о, cos а, 4- 2е^ cos 0, cos 0, 4-
+ 2е, cos У! cos у, + Тхя (cos a, cos 0, 4- cos a, cos J,) 4-
+ Via (cos 0! cos y, + cos 0, cos y,) 4-
+ V„ (cos a, cosy, 4 cos a, cos yO-	(3.25)
Здесь Oi н a,. 0, и 0,. у, ну, — углы направлений
г। и г, соответственно с осями х, у и г.
Главные направления деформаций в рассматривае-
мой точке — три таких взаимно перпендикулярных на-
правления. углы между которыми в результате дефор-
мации не изменяются. Линейные деформации по глав-
ным направлениям называются главными деформациями
нлн главными удлинениями. Главные деформации обоз-
начаются через с,. в2. е,: прн этом е, е, - е».
Величины главных удлинений ev (v=l, 2. 3) суть
корни уравнения
ev~ ( Ч +% +с«) + [ \ % + % *, +
"У ( Vx„ T”Tia +'|'хх) J ev ~
4 ^xyiyTxa 4 ^Ех*'рг^*
+ e,vL+M;|))] = O- (3-26)
Коэффициенты и свободный член уравнения (.3.26)
являются инвариантами деформированного состояния.
Инварианты деформированного состояния прн
преобразовании координат можно получить но форму-
лам (3.20), если в эти формулы вместо a*. ои. о, по-
ставить еХ1 ев, е„ а вместо тх>. Тц, Ъ* поставить
1 I 1
уЪ». уу,.. “5"Y« lCM 11 12 выражение (11.6)1
3.2.2.	Определение деформаций
и величин главных удлинений
по удлинениям в трех направлениях
в случае плоской деформации
При экспериментальном исследовании напряженного
состояния, имеющего место в точке поверхности детали,
на нес наклеиваются тензодатчики, с помощью которых
измеряются удлинения в окрестности этой точки в трех
направлениях. Ниже приводятся формулы, с помошью
которых, зная три замеренных удлинения, можно найти
компоненты деформаций ек, е„ я ухж и главные удлине-
ния, а в дальнейшем с помощью закона Гука определить
компоненты напряжений и главные напряжения.
Оси х, у расположены в плоскости деформаций нлн
в плоскости напряжении.
138
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
а)	Заданы величины е«, е,, ей (eis — удлинение в
направлении под углом 45° к оси х) (рис. 3.12):
уХ|/ = 2еа - (еж + еи);
I	}У ________________________
'1.2= У ( *, +	± — /(
*8 Ч>1 =
2(4-4)
<Г. = Ф1 + у •
Углы наклона ф> и <р» направлений главных удлине-
ний к осн х положительны, если они отсчитываются от
осн л против часовой стрелки.
6)	Заданы е». tso. е™ (рис. 3.13):
2	I
f n = у (4о +• еи») — 3 4:
2
Ужи = (е«о — 4м);
Уз
ei.2=y(ex+eeo + eiM)-
_________________________________
— “у У (еж — 4о)1+ (4 — е,ю)2 + (е«| — 4м)5 
,	2 (4 - 4)	, л
•8 Ф1 —	I фх — 4*1 + о 
ГХД	*
в)	Заданы ei. е». е„.
где е, — удлинение по осн х:
е« — удлниеине в направлении осн и, расположен-
ной в плоскости ху и составляющей угол а> с
осью х;
е„— удлинение в направлении осн в. расположен-
ной в плоскости ху и составляющей угол Ог с
осью х.
Удлниеине в направлении оси у, составляющей угол
в 90° с осью х, найдется по формуле
I
— (ео sin 2а, — 4 sin 2а,) +
ev =----:------:-----:----------------
sin a, sin a, sin (а, — а,)
+ 4 cos <X| cos о, sin (а, — а,)
sin а, sin а, sin (а, — а,)
Деформации сдвига
4 si п» а, — ец sin1 а, 4-
^6 sin а, sin а, sin (а,— а,)
+ 4 (cos2 a, sin2 а, — sin1 а, cos2 а,)
sin а, sin а, sin (a, — а,)
3.2.3.	Интенсивность деформаций
Интенсивностью деформаций называется величина
1/2 ,-------------------------------------
= — У (4 - 4)’ + (4 - 4)а + (4 - «в)’ • (3-27)
Относительное нзменеине объема
6 = е, + е„ + е, = е, -f- е, + е,.	(3.28)
3.3.	ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
3.3.1.	Закон Гука
для изотропного тела
Упругость — свойство тела восстанавливать свои
первоначальные размеры и форму после удаления внеш-
них нагрузок. Тело остается упругим, пока напряжения
в нем не превысили некоторых определенных значений.
Тело называется изотропным упругим телом, если его
упрчгие свойства по всем направлениям одинаковы.
Модуля упругости для изотропного материала и
связь между ними.
Е — модуль продольной упругости;
3.3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
139
G — модуль сдвига.
_ сила
Размерность модулей Е и G: -----;
площадь
р — коэффициент Пуассона (число отвлеченное);
К —объемный модуль;
„	£	2 1+р
д =---------= — •-------и.
3(1-2g)	3	1—2g
Плоская деформация (е,-у„-у„-0) (рис. 3.16).
Компоненты деформаций:
 +g
«х = —1(1 — g) Ох — goj:
1 +g
К1 “ И) о» ~ И°хГ.
Одноосное растяжение (рис. 3.14):
Плоское напряженное состо-
яние (01^т1ж=т1,=0)
(рис. 3.15).
Компоненты деформаций:
1
ех = у (®х - go»); Ч =
1
= у (о» - мо»):
Р
е,=—у(ох + о,):
Vx|,= у* •	(3 30)
Относительное изменение
объема
Компоненты напряжений:
£ £
Ох = у^ (И, + gev): о„ = j—а(е„+ре, 1:
Относительное иэмеиениг оЛъсча
0= (I + И) Юж 4- о„)
ЭК
Компоненты напряжений:
°’--(Г+(,)а_2р) ГП-М)ег + м^1
Е
Ох = g (Ох + Оу); тх„ GyIS/.
(3 341
(3.35)
140
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
Объемное напряженное состояние (рис. 3.6)
Компоненты деформации:
у (О, — р(ох4-ох));
ех = -у |ох — Р (ох + О „)];
Vz»- с • »эт = с •
Txz
Vzt = с •
Относительное изменение объема
(3.36)
о	1
6 = еж + е₽ + е, = — . где о= — (o^o^Oz). (3.37)
Л	о
Компоненты напряжений:
ох = Х04-2Оех,
a, = M + 2Ge^
^1/г = Gfyv
Оу = М 4- 2Gbji
= Glut
Тхг = бУи-
(3.38)
3лесьХ= (1+ц)(1- 2р)
— коэффициент Ляме.
мации а», нз которых только 21 различны [13]. Компо-
ненты напряжений, выраженные через деформации:
°z = Аз ех + At Ву 4И вг + 41д ухр+
+ As \уг 4- 4ц ухх;
°1/ = Ам ех 4- 4М Ву . . . . 4 At ухх;
т« = 4ai в„ 4 442 е₽4.... 44u Ухз
При этом 40—411.
3.3.3. Плоскость симметрии
в отношении упругих свойств
(3-42)
Если через каждую точку тела можно провести пло-
скость. обладающую тем свойством, что любые два на-
правления. симметричные относительно этой плоскости,
эквивалентны в отношении упругих свойств, уравнения
(3.41) и (3.42) упрощаются. В частности, когда ось г
перпендикулярна плоскости симметрии:
ez = Оц °х + °п °1/ + aia °г + au Vzj;
By = Оц о, 4 а2т оу 4- асэ ох 4 Оц рСу,
Т» = оЯ| ох 4 flat Оу 4 ам ох-гОз4 уХр1
Vz7=O|l °z+°« °ч + О|3 Ог -f- Оц Vz«;
Vya — O|$ Tyy 4 Оц TXJ;
Vzz = Оц ти 4 oBa TX2.
(3.43)
Коэффициенты	оц—0ц—Ois—Ои—Оц—o«—оц—Оц—0.
Иная форма выражений для нормальных компонен-
тов напряжений:
ож — о = 20(ех — е): 1
Су — о = 20 (Су— е); I	(3,39)
ох — о = 20(вг — е). I
Здесь е-— (ех+е,+е,).
Зависимость между интенсивностью напряжений а<
и интенсивностью деформаций е<:
а/ = Збе(,
(3.40)
ci н е< —см. формулы (3.21) и (3.27).
3.3.2.	Закон Гука
для анизотропного тела
Анизотропное упругое тело обладает различными
упругими свойствами по различным направлениям.
В общем случае анизотропии закон Гука в декартовой
системе координат имеет вид:
е^ОцСл+ОиС^+о^^+ОкТ )i4tfllTvx4-aloTzii )
е#=о1,ох4-оц01/+...............+оиТп:	I (3.41)
Txx=a<iOz4-Oc2tTy-b  .........+a« тхх. J
При этом ац-Оц.
Уравнении (3.41) содержат 36 коэффициентов дефор-
3.3.4.	Ортотропное упругое тело
Если через каждую точку проходят три взаимно пер-
пендикулярные плоскости упругой симметрии, то тело
называется ортотропным. Направив оси координат пер-
пендикулярно плоскостям симметрии, получим:
ех = о„ ох 4 о1Я Оу 4- flia
By = оп о, + оа о., 4 ом 04
(3.44)
Ej = Оц Ох 4 Оц 0у + Оуу о/
Ужу =044 ТХ(/;	=	Vzг^flмтzz•
Прн ЭТОМ О||—OJI.
Выражая упругие постоянные через так называемые
технические постоянные, можно соотношениям (3.44)
придать иной вид:
Здесь	£1. Et. Е3 — модули продольной упру-
гости;
Gn, С,„ — модули слинга:
Ни. Ря. Pi». Psi, Р». Ра —коэффициенты Пуассона.
3.4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
141
При этом £|Ци£>Ри=£гЦи: £sPu=£iPji-
Преобразование упругих постоянных прн повороте
координатных осей н другие виды анизотропии см. [14}
3.3.5.	Потенциальная энергия
упругого тела
Приведенные ниже соотношения имеют место только
для изотропных тел. Удельная энергия деформации, т. е.
энергия, рассчитанная на единицу объема и выражен-
ная через компоненты напряжений:
U = ± [о» + о’ + — 2g (ох ов + оу ог +
+ а2ах) + 2(1+р)(т;р + т2р1 + тУ]. (3.46)
Удельная энергия деформации, выраженная через
компоненты деформации:
</-e(«+<+^+i4re*+
+ уО£ + £ + »У]-	(3-47)
Удельная энергия, выраженная через главные напря-
жения н главные деформации;
У =	[о? + Oj + Оэ — 2ц (о, о2+о2о34-о, о3)]; (3-48)
у = с(а?+е’ + ^ + т-^-е»у	(3.49)
Величина U может быть разбита на два слагаемых:
одно — энергия, обусловленная изменением объема, а
другое — энергия формоизменения.
Энергия изменения объема
Vo = ‘-^(oi + o, +о,)’-	(3.50)
ОС
Энергия формоизменения
Уф =	1(°1 - а,)« + (о, - о,)«+(»> - о,)’]. (3.51)
3.4.	СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ
И ДЕФОРМАЦИЯМИ ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
3.4.1.	Условия пластичности
Пластичность — способность материала сохранять
полностью нлн частично деформацию после устранения
сил. ее вызвавших.
Закон Гука теряет свою силу, как только начинают
возникать остаточные (пластические) деформации. Ус-
ловие, которому должны удовлетворять напряжения в
рассматриваемой точке тела для того, чтобы в ней поя-
вились первые пластические деформации, называется
условием пластичности.
При простом растя женин условие пластичности
ох = от,	(3.52)
где От — предел текучести.
В общем случае напряженного состояния условие
пластичности:
по Сен-Венану
о, — оа = о1;	(3-53)
по Мизесу
о,- = о,,	(3.54)
о< — интенсивность напряжений [см. формулу (3.21)].
3.4.2.	Напряжения и деформации
при простом нагружении
и при разгрузке
Приводимые инже формулы, связывающие напря-
жения н деформации, справедливы прн условии, что
деформация является активной, т. е. величина интенсив-
ности деформации е< в каждый последующий момент
нагружения больше величины е, во все предыдущие
моменты. Величина о< монотонно возрастает во всех
точках деформируемого тела в том случае, если нагру-
жение является простым, т. е. если все внешние на-
грузки возрастают пропорционально одному общему па-
раметру. например времени.
В этом случае для малых деформаций соотношения
будут следующие:
20/	О;
~ ° - 3ei <е« — е>- т*к “
О/	о,-
~ т„ = — у„.	(3.55)
Здесь:
° = V (°х + % + ”х). е = 4-(Гж + с.+ег).
о	□
о, и е< — величины интен-
сивности напряжений и де-
формаций. определяемые
соответственно формулами
(3.21) и (3.27).
В случае разгрузки
(ряс. 3.17) зависимость'ме-
жду исчезнувшими частями
величин и е< линейная:
°/р«*гр = ЗСе/р,эгр. (3.56)
Рис. 3.17
3.4.3.	Диаграммы растяжения
Диаграммы растяжения дают зависимость напряже-
ния от относительного удлинения при простом одпоис-
яом.раетяжеипи н получаются из опыта.
Истинная и условная диаграммы растяжения (рис.
142
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
3.18). По осн абсцисс откладывается истинное удли-
нение
где/о и 1ч—начальная длина образца н длина образца
ва данной стадии деформирования.
По оси ординат откладывается истинное напряжение
Р
а‘-а“-Fu-
где Р — величина растягивающей силы на данной ста-
дии деформирования:
Ри — площадь сечення образца на этой стадии (с
начала образования местного сужения — шей-
ки — это площадь сечения в месте наибольше-
го сужения).
Иногда вместо е« по осн абсцисс откладывается
F-F„
нлн относительное сужение в шейке Ф = —-----100%.
Fи
нлн величина 0 = -—-.
1-ф
Здесь F — первоначальная площадь поперечного се-
чення.
Дли малых удлинений вместо еи откладывают вели-
чину
Д1
в = —>
I
где Ы— приращение длины образца, а 1 —его перво-
начальная длина.
Если по осн ординат отложить условное напряже-
Р
ние о,— где F — первоначальная площадь попереч-
&1
него сечения, а по осн абсцисс удлинение в — ~ .
то получим условную анаграмму растяжения.
3.4.4.	Схематизация диаграмм
растяжения
С целью упрощения расчетов анаграммы растяжения
иногда схематизируются.
а)	Диаграмма при отсутствии упрочнения (рис. 3.19).
От
В этом случае о.-Ее. при 0<е. 4вт-— (о, —пре-
дел текучести: Е— модуль упругости материала).
б)	Диаграмма растяжения с линейным упрочнением
(рнс. 3.20):
•я
ох = °т + Fi (вх — в,) при ех > в,.
о.
ох = Еех прн 0 < ех < в* = —,
ох = от при в, < вх < ва;
ег-
Рнс. 3.19
Здесь Е| — модуль упрочнения,
численно равный tg₽. В случае отсу-
тствия на диаграмме площадки теку-
чести (рнс. 3.21):
Ох — Евх при 0 вх < в,;
ох — от + Е, (ех — вт) прн ех> в,.
в)	Диаграмма растяжения со степенным упрочнени-
ем (рнс. 3.22):
ох = Еех прн вх С Вт!
ох = от при в, < ех < еь;
°х = °т(в£)
Величина показателя степени m изменяется в преде-
лах	она зависят от материала.
ЗЛ ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
143
°- = °т прн В(т < е( < е10 =
о, = от + Dt (tt — в,0)
прво(>ей.
Рнс. 3.24
где «пл — остаточное относительное удлинение (пла-
стическая часть деформации);
Туп — упругая часть деформации.
Чтобы разделить полное удлинение е< на пластиче-
ское н упругое удлинение, следует нз рассматриваемой
точки fA диаграммы провести прямую, параллельную
прямой ОА, до пересечения с осью е> (рнс. 3.24).
При упрочнении по линейному закону (рнс. 3.21):
„	2(1 +р)
о, = Det ирн ai < aft=--------е^
Здесь
D = g-- +—j- = 36 (G — модуль сдвига);

3.S.	ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
3.S.1,	Упругость, пластичность и разрушение
Все материалы под действием внешней нагрузки де-
формируются. При действии возрастающей нагрузки на-
блюдаются три условно различающиеся стадии работы
материала: упругая, пластическая и стадия разрушения.
В упругой стадии материал получает преимущест-
венно упругие деформации. Все материалы на этой ста-
дии с тем нлн иным приближением рассматриваются прн
расчетам как идеально упругие. Основная зависи-
мость— закон Гука. Эта стадия работы материала яв-
ляется предметом исследования теории упругости (см.
раздел 12). Наряду с упругой различают высокоэластн-
ческую деформацию, свойственную высокополнмерам,
которая может достигать сотен процентов Она возни-
кает под действием нагрузки и исчезает после ее сня-
тия ие со скоростью распространения упругой волны
(скорость звука в материале), а гораздо медленнее.
Скорость возникновении н нсчезиовения высокоэластн-
чесной деформации сильно зависит от температуры: уве-
личивается с ее повышением н уменьшается прн ее пе-
ни жевнн.
После увеличения нагрузки выше некоторого предела
наряду с упругими начинают появляться пластические
(остаточные) деформации. У одних материалов (напри-
мер. металлов) пластическая деформация может дости-
гать значительной величины (пластичные материалы), у
других же (например, камин) она является весьма ма-
лой (хрупкие материалы). У строительных сталей на-
блюдается так называемое явление текучести — рост
пластической деформацнн прн примерно постоянной на-
грузке; после текучести наступает период упрочнения,
когда для дальнейшего роста пластической деформации
требуется увеличенная нагрузка. Закономерности пове-
дения материала на этой стадии рассматриваются а
теории пластичности (см. раздел 12). Если упругая де-
формация (прн однократном нагружении) практически
не влияет на механические свойства материалов, то
пластическая деформация приводит к значительному из-
менению их. Например, у строительных материалов про-
исходит упрочнение (увеличение Ог) и снижение пла-
стичности (уменьшение 6). Хрупкие материалы не име-
ют выраженной стадии пластических деформаций: она
практически сливается со стадией разрушения.
Разрушение является сложным процессом, завися-
щим как от самого материала, так и характера нагру-
жения. Исследование механизма разрушения идет по раз-
личным направлениям. Одно из направлений, учитыва-
ющее молекулярное строение тел. связано с физикой
твердого тела и развивается на основе теории дислока-
ций [9, IS, 18). Другое направление основывается на ста-
тистических методах и может учитывать полнкрнстал-
ляческое или зернистое строение материалов [5, 6, 12].
Третье направление связано с исследованием разруше-
ния. рассматриваемого как результат развития мнкро-
трешнн [1]. Эти направления в известной степени взаи-
мосвязаны н дополняют друг друга прн нсследоваинн
процесса разрушения в целом. Феноменологический
подход к вопросу разрушения базируется на следующих
положениях. Разрушение сводится и двум основным ти-
пам: разрушенне путем отрыва в разрушение путем
сдвнга. Разрушенне путем отрыва связывается с дейст-
вием нормальных растягивающих напряжений нлн удли-
нений. а разрушение путем сдвига — с действием каса-
тельных напряжений. У металлов хрупкое разрушенне
обычно связано с отрывом, пластическое — со сдвигом.
Отрыв может быть осуществлен без предварительной
пластической деформацнн, так как значительные растя-
гивающие напряжения могут возникать при очень ма-
лых одновременно действующих касательных напряже-
ниях, недостаточных для возникновения пластических
деформаций. Для разрушения путем сдвнга необходимы
значительные касательные иапряженвя, которые до раз-
рушения могут вызвать развитие пластических деформа-
ций. В камне оба типа разрушения происходит, как
правило, хрупко.
144
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
3.5.2.	Влияние характера
напряженного состояния
Характер напряженного состояния оказывает суще-
ственное влияние ва поведение материала (20]. Напри-
мер. при всестороннем равномерном растяжения («,“
»Oj«Os>0) даже пластические материалы разрушают-
ся хрупко, а при напряженном состоянии, близком я
всестороннему равномерному сжатию (главные напря-
жения близки по величине друг я другу), даже такой
хрупкий материал, как мрамор, способен получить зна-
чительные пластические деформация (17J.
Исследование влвявия напряженного состояния тре-
бует проведения достаточно большого числа опытов прн
различных соотношениях между oi. оз. oj Фиксируя при
опытах величины напряжений в момент наступлении те-
кучести (считан, например, что текучесть наступает
тогда, когда остаточная часть интенсивности деформа-
ций достигает определенной величины), а также разру-
шающие иапрнжеиии, можно построить в координатах
Oi, От, Од предельные поверхности текучести в разру-
шения. Вид этих поверхностей и нх взаимное располо-
жение будут зависеть от типа материала. На рнс. 3.25
схематически показан внд предельных поверхностей дли
стали (I — поверхность текучести: 2 — поверхность
разрушении; 3— разрушение; 1 — наступление текуче-
сти). Имея предельные поверхности, легко определить
напрнжения вызывающие наступление текучести нлн
разрушение материала при любом напряженном состоя-
нии. Для этого достаточно провести линию ОС (см.
рис. 3.25), изображающую аакои роста напряжений при
нагружении тела, и определить координаты точек в и С
пересечения этой линии с предельными поверхностями.
Если нагружение является вростым (все внешние силы
растут пропорционально одному параметру) я пет на-
чальных напряжений, то линия нагружения будет пря-
мой, выходящей из начала
координат. Координаты точ-
ки В дадут зяаченни напря-
жений, вызывающих начало
текучести материала, а ко-
ординаты точки С — значе-
ния разрушающих напряже-
ний. В одних случаях на-
гружения (например, по
линии ОС) разрушению бу-
дет предшествовать пласти-
ческая деформация, в дру-
гих (когда линяя нагруже-
ния близка к прямой ОД
равионаклопенной к осям
координат) будет хрупкое
разрушение.
Однако построение та-
ких предельных поверхно-
стей требует проведения для
каждого материала большо-
го количества довольно сложных экспериментов. Поэтому
на практике используются критерии прочности — упро-
шенные гипотезы наступления текучести нлн разруше-
ния прн сложном напряженном состоянии. Они позво-
ляют определить условия наступления текучести нлн
разрушения прн сложном напряженном состоянии на
основания результатов испытания образцов прн некото-
рых простейших напряженных состояниях (обычно —
растяжение, сжатие, кручение). Любое сложное напря-
женное состояние О|, Oi, оэ получается эквивалентным
одноосному с напряжением о>а. Сводка основных кри-
териев прочности в виде формул для эквивалентных на-
пряжений дана в табл. 3.1.
Условие наступления текучести для материалов с
выраженной пластичностью (сталь, дюраль) выражается
по критерию наибольших касательных напряжений нлн
критерию октаэдрических напряжений: о»«**от. Для ма-
териалов с ограниченной пластичностью используется
критерий прочности Мора, по которому условие наступ-
ления текучести определяется огибающей больших кру-
гов напряжений (влияние среднего напряжения Oi не
учитывается) для предельных напряженных состояний
(рнс. 3.26) текучесть
наступает тогда, ког-
да больвюй круг на-
пряжений для рас-
сматриваемого напря-
женного состояния
коснется этой огиба-
ющей. В табл. 3.1 да-
ны формулы для эк-
вивалентного сжима-
ющего или растягива-
ющего напряжений,
получающихся при
замене чвети огибаю-
щей прямой линией.
Условие текучести
выражается равенст-
вами: Огк^О, ИЛИ
о.и.С|«=0т.еи1. Име-
ется вндоиэмененная
теория Мора, в кото-
рой вместо о и т ис-
пользуются октаэдри-
ческие напряжения
(41. По критериям
Баландина н Миро-
любова условие на-
ступления текучести
имеет такой же внд:
с„ =о,.
Условие разрушении (хрупкого) определяется по
критерию наибольших нормальных напряжений и кри-
терию наибольших относительных удлинений н выража-
ется равенством: о,„—о,. Для хрупких материалов с
различным сопротивлением растяжению в сжатию (чу-
гун, камень) условие разрушения определяется по тео-
рии Мора огибающей предельных кругов напряжений,
соответствующих разрушению (рнс. 3.27), и выражается
равенствами: о,,-о, нлн о»и.еж"Оа.сж. По критериям
Баландина и Миролюбова условие разрушения имеет
вид: о.,-о,.
Условие вязкого разрушения определяется прибли-
женно по критерию наибольших касательных напря-
жений.
Рнс. 3.28
Ожидаемый тнп разрушения материала можно опре-
делить с помощью диаграммы механического состояния
(рис. 3.28). На левой части диаграммы наносятся пре-
35. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
145
Формулы эквивалентных напряжений по различным критериям прочности
Таблива 3.1
Критерий прочности	Объемное напряженное состояние			Частный случай плоского напряженного состояния				
	б.				с			
					Z±=L		б	
			г	б				
		1						
Критерий наиболь- ших нормальных на- пряжений (I крите- рий прочности)	"эк- ’1							Отображают раэру теине путем отрыва (разрушение связывается с действием нормальных растягивающих напряжений или удлинений)
						О’ + «*		
Критерий наиболь- ших относительных удлинений (II крите- рий прочности)	«эк-«1-и("э + "э)			1 - ‘1 Sx- —°+ +i+jLk<>’+«' 2				
Критерия наиболь- ших касательных на- пряжений (III крите- рий прочности)				OJK- /о*+4г>				Отображает наступление текучести или разрушение путем сдвига для материа- лов. одинаково сооротввля- ющнхея растяжению и сжа- тию
Критерий октаэдри- ческих касательных напряжений (IV кри- терий прочности)	%, - —— V (О,—О,)’+(О,—О.Р+Ю,—OJ’ /г			«эк “/«Г+Э’Г				Отображает наступление текучести. Применяется дли пластичных	материалов, имеющих одинаковый пре- дел текучести при растяже- нии н сжатии
Критерий Мора (приведение к экви- валентному растяже- нию)				1 —X "эк- — " + 2				Отображает наступление о текучести при и — - - от-сж или х “ -	и paspywe- ине при х *	-— %-сж °в“1в или и« и и
Критерий	Мора (приведение к экви валентному сжатию)	«эк-сж-^.-’э			”ви.сжв 2	°+ 4- ^±_L / о« + 4V 2				Отображает наступление текучести при X — —т,сж и °в еж разрушение прн 1“——. Применяется для материа- лов. имеющих разное сопро- тивление растяжению и сжатию
146
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ, ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
Продолжение табл. 3.1
Критерий прочности	Объемное напряженное состояние				Частный случай плоского нал ряженного состояния				Прикечаяве
		Л- V	*4	**•	6,	г у* 	и	а	
Критерий П. П. Ба- ландина	<0,4-0, + ад4-				1 — х , + — /(1 + Х)’в" + 12ХТ’ 2				Отображают наступление
	+-L / (1 - х)’(о, + о,+а,)»+2х |(о,—0,)’+'* 2 *"+ (о, — ад*+<о, — адч								°т-сж О я разрушенне прим—	, °»с При ж —I совпадают с критерием октаэдрических касательных напряжений. Применяются для материа- лов, имеющих различное со- противление растяжению и сжатию анаками: растягивающие —
Критерий И. Н. Ми- ро любой а Примечание, полжнтелъные, сжима	ою -1^2- (с, + о, + о,» +				°3K-LTLo + +	o’ + Зт» 2 в формулы со своими				
	+ 1/ — 2 г 2 1ормальные напряжении должны подставлятъс ющне — отрицательные.								
дельные линии: / — сопротивление срезу: 3 — предел
текучести; 6 — сопротивление отрыву: о,в определяется
по I нлн II критерию прочности. Там же изображается
напряженное состояние тела в виде выходящих из на-
чала координат лучей; 2 — сжатие; 4 — кручение; 5 —
растяжение. В правой части диаграммы даются обоб-
щенные кривые деформации. В зависимости от того, ка-
кую предельную линию пересечет луч, устанавливается
характер нарушения прочности (текучесть, разрушение
путем отрыва или сдвнга) при данном напряженном
состоянии, что дает возможность выбрать наиболее под-
ходящий для данного случая критерий прочности. Свод-
ка критериев прочности для изотропных и анизотропных
материалов дана в [7].
3.5.3.	Влияние температуры
Температура сильно влияет на все механические
свойства материалов. Как правило, повышение темпе-
ратуры приводит к уменьшению прочности и повышению
пластичности. Значительное изменение температуры мо-
жет коренным образом изменить свойства материала:
пластичный становится хрупким (прн низкой темпера-
туре). а хрупкий — пластичным (при высокой темпе-
ратуре), изменяются прочность н деформативные свой-
ства. При этом некоторые изменения приобретают
необратимый характер (ие восстанавливаются перво-
начальные свойства после возвращения к обычной тем-
пературе). Это связано с тем. что при изменении тем-
пературы часто происходят сложные фнзнко-хнмнческне
процессы.
Большое влияние на механические свойства дефор-
мированных строительных металлов (например, холод-
нотянутая проволока) оказывают возникающие в них
прн высоких температурах процессы разупрочнения —
«отдых» (возврат) и рекристаллизация. «Отдых» связан
с частичным снятием искажений кристаллической решет-
ки вследствие деформации в холодном состоянии. Ои
проявляется в том, что свойства деформированного ме-
талла приближаются к первоначальным. Рекристалли-
зация представляет собой появление в холоднодефор-
мированном металле вновь зародившихся кристаллов,
отличающихся от старых отсутствием упрочнения. Рек-
ристаллизация у углеродистой стали протекает прн тем-
пературе выше 400° С, «отдых» — прн температуре вы-
ше 200° С. В результате этих процессов происходит сни-
жение прочности наклепанной стали.
При повышении температуры у углеродистой стали
уменьшаются модуль упругости н предел текучести,
временное сопротивление вначале несколько повышает-
ся. а затем резко падает. В интервале 200—300° отме-
чается наибольшее увеличение о, и уменьшение 6,
сталь становится хрупкой (синеломкость); прн даль-
нейшем повышении температуры происходит повыше-
ние пластичности. Ударная вязкость вначале возраста-
ет (в интервале 100—400°). а затем уменьшается (см.
4.1.3). Кроме того, начинают заметно проявляться но-
вые свойства — ползучесть и релаксация (см. 3.5.4),
которые при комнатной температуре не наблюдаются
нлн пронвлякися лишь прн высоком уровне напря-
жений.
Прн низких температурах у металлов, как правило,
наблюдается повышение прочности н снижение пластич-
ности, ударная вязкость уменьшается. Увеличивается
опасность разрушения конструкций, особенно в зоне
концентрации напряжений. Прн весьма низких темпера-
турах наблюдается переход конструкционных сталей
нэ вязкого в хрупкое состояние.
3.5. ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
147
Прочность бетона прн повышении температуры так-
же уменьшается, что становится заметным уже в нн-
тервале 200—300’. Нагрев до 400’С уменьшает проч-
ность примерно в 2 раза, а до 500’ С — иочти в 3 раза.
Первоначальная прочность бетона после нагрева свы-
ше 200° С уже нс восстанавливается при охлаждении.
Нагрев вызывает также увеличение деформатнвностн
бетона. Модуль упругости уменьшается. Прн темпера-
туре 550’С модуль упругости при сжатии уменьшается
почти в 17 раз.
3.5.4.	Влияние длительности нагружения
Действие длительной нагрузки в ряде случаев су-
щественным образом отличается от действия кратко-
временной нагрузки такой же величины. Достаточно
большое постоянное напряжение, которое при кратно-
_ временном действии вы-
зывает только упругие
деформации, прн дли-
тельном действии может
вызвать растущие со
временем пластические
деформации (ползучесть)
и даже разрушение.
Ползучесть может про-
являться не только прн
постоянных, но и прн
убывающих напряжени-
ях. Например, в предва-
рительно напряженных
железобетонных конструкциях часть упругой деформа-
ции арматуры с течением времени переходит в пласти-
ческую и напряжение в иен постепенно снижается. Это
явление называется релаксацией напряжений.
Ползучесть в бетоне н древесине проявляется при
комнатной температуре, а в металлах, как правило, —
прн повышенных температурах (у стали выше 350° С).
У высокопрочной арматурной проволоки ползучесть и
релаксация проявляются и прн обычной температуре.
Различают три периода ползучести (рнс. 3.29):
I)	неустановившейся ползучести, когда скорость на-
растания пластической деформации с течением времени
уменьшается (участок ай);
2)	установившейся ползучести, когда скорость на-
растания деформации постоянна (участок Ьс);
3)	прогрессирующей ползучести, когда скорость
ползучести возрастает (участок cd); этот период пол-
зучести заканчивается разрушением.
Методы расчета на ползучесть даны в разделе 12.
3.5.5.	Влияние переменности нагрузки
Действие многократно изменяющейся во времени
иагрузкн (рис. 3.30) может привести к внезапному
разрушеняю материала, носящему хрупкий характер
(усталостное разрушение). Окончательному разруше-
нию предшествует образование трещины усталости.
Излом имеет две зоны: гладкую (зона развития тре-
щин) и грубозернистую (зона окончательного излома).
Для исследования сопротивляемости материала дей-
ствию переменных напряжений строится ио данным
экспериментов кривая усталости (рнс. 3.31). Кривая
усталости стали имеет горизонтальный участок, начи-
нающийся с 5—10 млн. циклов. Напряжение, соответ-
ствующее горизонтальному участку, называется пре-
делом выносливости. Для материалов, нс имеющих
горизонтального участка (например, дюраль), опреде-
ляется ограниченный предел выносливости, соответст-
вующий определенному числу циклов (например,
io*, io').
На величину предела выносливости оказывает влия-
ние целый ряд факторов. Прежде всего сильно влияют
концентрация напряжений (см 3.5.6). размеры сечекня
элементов конструкций, состояние поверхности и окру-
жающая среда. С увеличением размера сечения предел
выносливости снижается. Поверхностные дефекты (сле-
ды механической обработки, царапины, следы коррозии
Рнс. 3.30
б
Рнс. 3.31
и др.), являясь концентраторами напряжений, также
снижают предел выносливости. Химически активная
среда (например, морская вода) вызывает резкое сни-
жение предела выносливости. Предел выносливости за-
висит и от закона изменения напряжений цикла, харак-
теристиками которого являются: наибольшее оя„с н
наименьшее Ом>в напряжения, среднее напряжение
o» = */s (ои«ис+о«».) и амплитуда цикла о,*=
= ,/з(0на><с—Оы1п), коэффициент асимметрии цикла г=
=Cmi,c/o«h. Наиболее опасным является симметрич-
ный цикл (Оа.,-—ои,,с, г=—1): предел выносливос-
ти при симметричном цикле о_, является наименьшим.
С увеличением аенмметрни цикла (с ростом о,, г)
предел выносливости увеличивается.
Для изображения зависимости предела выносливос-
ти от аенмметрни цикла используются диаграммы двух
Рис. 3.32
типов. На диаграмме первого тяпа (рис. 3.32, а) пре-
делы выносливости равны ординатам кривой АВ; на
диаграмме второго типа (рис. 3.32, б) — сумме абсцис-
сы и ординаты точек кривой Ав.
При сложном переменном напряженном состоянии
расчет на прочность ведется на основании критериев
прочности, которые являются обобщением статических
критериев прочности.
Для пластичных материалов прн симметричном цик-
ле эквивалентные напряжения определяются по крите-
рию наибольших касательных напряжений нлн по кри-
терию октаэдрических касательных напряжений:
°ЗК — °1* —
148
РАЗДЕЛ 3. НАПРЯЖЕНИЯ. ДЕФОРМАЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
с»к = 	(°i«—°ti)’ + (°«i	°*JS-
V2
гае Он. аз,. alt — амплитуды главных напряжений.
Коэффициент запаса прочности определяется по
формуле
Прн совместном растяжении н кручении нлн изгибе
и кручении
где т_| — предел выносливости нрн кручении:
При несимметричном цикле частные запасы проч-
ности п„ и пт определяются на основании схематизи-
рованной диаграммы (рис. 3.33):
°—1 _ т-|
"а~ ♦оот+°. ’ "’ ♦ттт + т.’
где от, тт — средине напряжения цикла;
<т0 .то —пределы выносливости при пульсирующих
циклах (напряжения меняются от нуля до
максимума).
Для малопластичных н хрупких материалов эквива-
лентные напряжения определяются по критерию проч-
ности Мора
°эк — °и —
где
х =----------.
т-1
Расчет яа прочность с учетом концентрации напря-
жений. масштабного фактора и состояния поверхности
дан в (23).
При действии яа конструкцию переменных напряже-
ний с изменяющейся во времени амплитудой условие
разрушения от усталости определяется на основе ли-
нейного суммирования повреждений, которое записы-
вается следующим образом:
где л, — число циклов с амплитудой ос
/Vj — число циклон, необходимое для разрушения
прн напряжении а< (рис. 3.34):
а—число, зависящее от материала н режима
изменения нагрузки (определяется на осно-
вании экспериментов; прн отсутствии дан-
ных принимают о—|).
Рис. 3.34
в
Кривая усталости в логарифмических координатах
схематизируется (рис. 3.3S). Схематизированной кривой
соответствует аналитическая зависимость
amW=o2|W0>
где о_|— предел выносливости;
— число циклов, соответствующее перелому
кривой усталости либо базе испытаний
(тогда о-i будет ограниченным пределом
выносливости, соответствующим базе №о)-
Прн изгибе стальных образцов без концентрации на-
пряжений m=9-j-!8. Л^о=(1-?4) 10*. с концентрацией
напряжений m=6-=-IO, Nt= (1-^4) 10*.
Используй эту зависимость, условие разрушении
можно представить в следующем виде:
Прн суммировании принимаются во внимание толь-
ко напряжения <?«><?—.
Методы определения запаса прочности при различ-
ных режимах изменения нагрузки даны в (23).
В ряде случаев на конструкцию действуют нагрузки,
сравнительно медленно изменяющиеся ао времени (час-
тота в пределах 60 циклов в 1 мин.). Если эти нагрузки
повторяются многократно, то возможно разрушение
конструкции, носящее усталостный характер. Подобные
нагрузки называются повторно статическими. Спо-
собность материала конструкции сопротивляться разру-
шению прн повторно статических нагрузках называ-
ется статической выносливостью. Исследовании пока-
зывают. что прн повторно статических нагрузках раз-
рушение наступает прн существенно меньшем числе
циклов, чем прн исрсменных нагрузках, повторяющихся
с большой частотой. Кривая статической выносливости
в координатах о, N проходит ниже усталостной кринов,
получаемой прн более высоких частотах изменения на-
грузки. При расчете конструкций, работающих в усло-
виях повторно статических нагрузок, также неполна! -
ется метод суммирования повреждений, однако прн
этом следует исходить из кривой статической выносли-
вости. При использовании кривой усталости, получен-
ной прн высоких частотах повторении нагрузи!!, будут
получаться необоснованно высокие сроки службы кон-
струкции.
ЛИТЕРАТУРА
149
3.S.6.	Влияние концентрации напряжений
II1114 t-Lt-t
6кГ/сн\
Большие местные напряжения, возникающие в мес-
тах резкого изменения формы нлн размеров тела, около
выточек, отверстий, вырезов н т. д (концентрация на-
пряжений), оказывают зна-
чительное влияние на проч-
ность. Особенно чувстви-
тельны к концентрации на-
пряжений хруикне материа-
лы, прочность которых при
наличии концентраторов на-
пряжений резко снижается.
С повышением пластичности
чувствительность к концен-
трации напряжений обычно
снижается. Пластичные ма-
териалы (малоуглеродистая
сталь) малочувствительны,
так как возникающие под
действием высоких местных
напряжений пластические
деформации смягчают эф-
фект концентрации напря-
жений. На рнс. 3.36 показа-
но распределение напряже-
ний в пластинке с отверстием при растяжении за пре-
делом упругости [11]. Однако возникающее в эоне кон-
центрации напряжений объемное напряженное состоя-
ние может затруднить развитие пластических деформа-
ций и вызвать в некоторых случаях хрупкое разрушенне
(в растянутой эоне).
Особенно сильно концентрация напряжений сказы-
вается прн переменных напряжениях. Для количествен-
ной оценки ее влияния используется эффективный ко-
эффициент концентрации К„. равный отношению пре-
нии выносливости гладкого образца o-i к пределу
выносливости образца с концентрацией напряжений
----56----1
ТТЛ ГТ 17 П
Рис. 3.36
Величины коэффициентов Кл для различных случа-
ев даны в [23]. О концентрации напряжений см. также
раздел 12.
3.5.7.	Влияние скорости
приложения нагрузки
Сопротивление пластическим деформациям и разру-
шению зависит от скорости деформации. Особенно рез-
ко меняется сопротивляемость материала при действии
импульсных (ударных) нагрузок, когда деформация
протекает прн больших ско-
'	с	ростах. Сопротивляемость
ударным нагрузкам опреде-
3k	ляется энергоемкостью ма-
4	\ тернала, равной работе, за-
трачнваемон на разрушение
образца нз данного матерп-
~	ала. Хрупкие материалы,
обладая малой эпергоеыко-
0*---------------стью. плохо сопротивляются
ударным нагрузкам. Хоро-
Рнс. 3.37	шо сопротивляются удар-
ным нагрузкам вязкие мате-
риалы, способные поглотить
большую механическую энергию прн пластическом де-
формировании
Вязкость материала зависит от скорости деформиро-
вания. Испытания на растяжение прн ударных нагруз-
ках (на копрах) образцов с постоянным сечением нэ
малоуглеродистой стали показывают увеличение вяз-
кости по сравнению с нспытаннямн прн обычных ско-
ростях. Прн этом заметно увеличиваются предел теку-
чести (до двух раз) и до некоторой степени временное
сопротивление. Закаленные стали получают при ударных
нагрузках значительно меньшее упрочнение.
У некоторых сталей с увеличением скорости дефор-
мацнн наблюдается склонность к хрупкому разруше-
нию. Переход к хрупкому разрушению поясняется
диаграммой (рнс. 337), на которой проведены линия
хрупких разрушений АВ и линия вязких разрушений
Си [8]. При увеличении скорости деформирования кри-
вая деформации ОК поднимается выше. Если подъем
кривой будет таким, что она пересечет лннню АВ, то
произойдет хрупкое разрушение.
Для практической оценки способности материала
воспринимать ударные нагрузки производят испытания
иа копрах надрезанных образцов с определением удар-
ной вязкости (см. 4.1.1). С понижением температуры
ударная вязкость падает, причем прн некоторой темпе-
ратуре. называемой критической температурой хруп-
кости. наблюдается резное падение ударной вязкости.
Критическая температура хрупкости служит косвенным
показателем склонности материала к хрупкому разру-
шению: чем ниже эта температура, тем меньше склон-
ность к хрупкому разрушению.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Баренблатт Г. И. ПММ. аып. 3. 4. 6. 1969: вып. 4,
1964.
2.	Безухов Н. И. Основы теории упругости и пластично-
сти. «Высшая школа». 1961.
3.	Б е л я с в Н. М. Сопротивление материалов. ОГИЗ, 195S.
4.	Бернштейн С. А. Избранные труды по строительной
механике Гпсстройиздот. 1961.
5.	Болотин В. В. Статистические методы в строительной
механике. Госстройнздат. 1961.
6.	В о л к о в С. Д. Статистическая теория прочности. Маш*
гнэ. 1960.
7.	Гольденблат П. И. и Коп но в В. А. Критерии
прочности и пластичности конструкционных материалов. «Ма-
шиностроение». 1968.
8.	Д । в и if н ков Н. Н. Динамические испытания метал-
лов. ОНТИ. 1966.
9.	И и д е и б о м В. Л. О критериях разрушения в дислока-
ционных теориях прочности. ФТТ. т. 3. вып. 7, 1961.
10.	И л ь нз ш и н А. А. Пластичность. Гостехиэдат, 1948.
II.	Коданев А. И. Концентрация напряжений в пласти-
ческой области. Труды ВВИА нм. Жуковского, вып. 319. 1949.
12.	К о н т о р о в в Т. А. и Френкель Я. И. Статистиче-
ская теория хрупкой прочности реальных кристаллов, ЖТФ,
Т. II. М» 3. 1941.
13.	Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. ОГИЗ.
1947.
14.	Л е х и и ц к и й С. Г. Теория упругости анизотропного
тела. Гостехиэдат. 1950.
15.	М и р к и и Л. И. Физические основы прочности и пла*
этичности. МГУ. 1968.
16.	Мускелн таили Н. И. Некоторые основные задачи
математической теории упругости. Изд. АИ СССР. 1949.
17.	На дан А. Пластичное ib и разрушение твердых тел.
ИЛ. 1954.
18.	Одни г И. А. Процесс разрушения металлов как ре-
зультат взаимодействия дислокаций. Изв. АИ СССР. ОНТ.
Мет. и топл.. № 3. 1960.
19.	Папковнч П. Ф. Теория упругости. Оборонгнэ. 1939.
20.	П о и о м а р е в С. Д. н др. Расчеты па прочность в Ма-
шиностроении. Машгиз. т. I, 1956*. т. II. 1968.
21.	Ра бот нов Ю. Н. Сопротивление материалов. Госфнз-
матгнэ. 1962.
22.	Соколовский В. В. Теория пластичности. Гостех-
теоретнздат. 1950.
23.	Справочник машиностроителя, т. 3. Машпи. 1963.
24.	Т и м о ш е н к о С. П. Теория упругости. ОНТИ—ГТТ,
1834.	_
25.	Фнлонсмко-Бородич М. М. Теория упругости.
Гостсхнзавт. 1947.
26.	Ф р н д м а н Я. Б. Механические свойства металлов.
Оборонгнз. 1932.
РАЗДЕЛ 4
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
4.1.	СТАЛИ
4.1.1.	Общие данные
Для стальных и железобетонных конструкций при-
меняются углеродистые и низколегированные стали по-
вышенной и высокой прочности. Стали для конструкций
классифицируются по способу выплавнн, технологии рас-
кисления, химическому составу, способу упрочнения, ка-
честву н назначению, а также по прочности.
По способу выплавки стали делятся на мартеновские,
кислородно-конверторные н бессемеровские; по техно-
логия раскисления — на спокойные, полуспокойные н ки-
пящие (в том числе закупоренные кипящие); по способу
упрочнения — на холоднодеформнрованные и термиче-
ски обработанные (термоупрочнениыс).
Сталь по назначению подразделяется: па сталь об-
щего назначения — углеродистая горячекатаная обыкно-
венного качества н сталь разных назначений — углеро-
дистая горячекатаная повышенного качества (низколеги-
рованная) и высокой прочности.
Установлены следующие классы прочности стали (по
значениям временного сопротивления н предела текуче-
сти): С 38/23. С 44/30, С 46/34, С 52/40, С 60/45, С 70/60.
Предел пропорциональности сПц — напряжение, при
котором отступление от линейной зависимости между
напряжениями н удлинениями достигает некоторой уста-
навливаемой техннческнмн условиями или стандартом
величины (напрнмер. уменьшения тангенса угла накло-
на касательной к диаграмме растяжения по отношению
к осн деформаций на 20 или 33% своего первоначаль-
ного значения).
Предел упругости а,и — напряжение, прн котором
остаточные удлинения достигают некоторой малой вели-
чины. устанавливаемой техническими условиями или
стандартом (например, 0.001; 0,01% ит. д.). Иногда пре-
дел упругости обозначается соответственно допуску
Оо.СИЬ Оол| H т. Д.
Предел текучести От для материалов, имеющих пло-
щадку текучести (малоуглеродистая сталь), определяет-
ся как напряжение, соответствующее ннжней точке пло-
щадки текучести; для материалов, не имеющих площадки
текучести, определяется условный предел текучести
Сто.а — напряжение, при котором остаточное удлинение
образца достигает 0.2%.
Временное сопротивление (яредел прочности) о. —
напряжение, равное отношению наибольшей нагрузки,
предшествовавшей разрушению образца, к первоначаль-
ной площади сечения образца. Временное сопротивле-
ние можно отождествлять с пределом прочности только
для хрупких материалов, разрушающихся без образова-
ния шейки. Для пластичных материалов это характери-
стика своеобразной потерн устойчивости при растяже-
нии, т. е. характернстниа сопротивления значительным
пластическим деформациям.
Относительное удлинение при разрыве 6 — отношенне
(обычно в %) прирашення расчетной длины образца пос-
ле разрыва к ее исходной величине. Для длинного круг-
лого образца ((p>c4=IOd)—6к>; для короткого образ-
на (/расч35^) — 6s.
Относительное сужение при разрыве ф — отношенне
уменьшения площади наименьшего поперечного сечення
образца (после разрыва) к исходной площади попереч-
ного сечення образца.
Условный предел текучести при изгибе от « — нор-
мальное напряжение, вычисленное условно по форму-
лам для упругого нзгнба. прн котором остаточное удли-
нение наиболее напряженного крайнего волокна достига-
ет 0,2% нлн другой величины того же порядка соответ-
ственно требованиям технических условий.
Временное сопротивление (предел прочности) при из-
гибе Ов-а — нормальное напряжение, вычисленное услов-
но по формулам для упругого нзгнба н соответствующее
наибольшей нагрузке, предшествовавшей излому об-
разца.
Условный предел текучести при кручении To.z, тт —
касательное напряжение, вычнеленное условно по фор-
мулам для упругого кручения, прн котором остаточные
деформации удлинения или сдвига по поверхности образ-
ца достигают 0,2% нлн другой величины того же поряд-
ка соответственно требованиям технических условий.
Временное сопротивление (предел прочности) при
кручении Та — касательное напряжение, вычнеленное ус-
ловно по формулам для упругого кручення н соответ-
ствующее наибольшему скручивающему моменту, пред-
шествовавшему разрушению образца.
Твердость по Бринеллю НВ— твердость материала,
определяемая путем вдавливания в него стального ша-
рика н вычисляемая как частное от деления нагрузки на
поверхность полученного отпечатка. Для некоторых ма-
териалов существует приблизительно прямая пропорцио-
нальность между твердостью НВ н временным сопротив-
лением; напрнмер. для углеродистых сталей
ns 0.36 НВ.
Твердость по Роквеллу HRC. HRB — твердость мате-
риала, определяемая путем вдавливания стального шарн-
4.1. СТАЛИ
151
ка или алмазного конуса стандартных размеров к
измеряемая в условных единицах с помощью разных
шкал по приращению оставшейся глубины погружения
при переходе от малого стандартного груза к большому.
Твердость по Виккерсу Н V — твердость материала,
определяемая путем вдавливания алмазной четырехгран-
ной пирамиды стандартных размеров и вычисляемая как
частное от деления стандартной нагрузки иа боковую
поверхность полученного отпечатка.
Предел ползучести (условный) —длительно действу-
ющее напряжение, при котором скорость или деформа-
ция ползучести за определенный промежуток времени
прн данной температуре ие превышает величины, уста-
новленной техническими условиями.
Предел длительной прочности — напряжение, вызыва-
ющее разрушение образца после заданного срока его
непрерывного действия при определенной температуре.
Предел выносливости — наибольшее периодически из-
меняющееся напряжение, которое может выдержать ма-
териал без разрушения при большом числе циклов, за-
данном техническими условиями (иаяример, 10*; Ю7;
10*). Обозначается прн симметричном цикле о-1 (изгиб),
o-t. (растяжение-сжатие), т-t (кручение), при пульси-
рующем цикле (напряжения меняются от нуля до макси-
мума) соответственно оо. о.. н То.
Ударная вязкость о* — работа, затраченная иа раз-
рушение образца при ударном изгибе, отнесенная к ра-
бочему поперечному сечеиню образца.
Упругое последействие: прямое — постепенное увели-
чение деформации после быстрого прекращения роста на-
грузки; обратное — сохранение или медленное уменьше-
ние деформации после быстрого снятия нагрузки или
остановим разгоуэки.
Наклеп — упрочнение металла, происходящее благо-
даря пластической деформации при процессах холодной
обработки (холодной прокатке, вытяжке, волочении).
Старение (механическое) — самопроизвольное дли-
тельное изменение мехаиичесиих свойств стали после на-
клепа, вызванное фазовыми превращениями. Различают
естественное старение, протекающее прн комнатной тем-
пературе, н искусственное старение —прн повышенных
температурах.
Разрушение стали возможно вязкое (пластичное) —
от сдвига, хрупкое — от отрыва. В обоих случаях раз-
рушение состоит в иарушеннп целостности, в разрыве.
Нарушение сплошности может возникнуть прн условии
накопления энергии, отвечающей величине поверхностной
энергии на поверхностях нарушения целостности, н в со-
ответствии с этим расстояние между атомами должно
достичь критических величии, при которых происходит
нарушение связи между ними.
Работа разрушения — величина всей площади диа-
граммы растяжения образца в координатах Р—Ы, упру-
гая работа — площадь упругой части той же диаграммы;
удельная работа — работа, приходящаяся иа единицу
объема рабочей части образца и соответствующая пло-
щади диаграммы растяжения в координатах а—в.
Удельный вес в расчетах принимают равным для ста-
ли 7.85, для чугуна 7.2; удельный вес стали с содержа-
нием 0.1% С —7.06 (в жидком состоянии).
Модуль упругости £ стали и другие упругие констан-
ты практически ие зависят от величины зерна, структуры,
соотношений между объемами феррита и перлита, от
содержания углерода и других легирующих добавок.
Модуль упругости для прокатной стали, литья, горя-
чекатаной арматуры из сталей марок Ст.5 и Ст.З £=
=2.1 10* xT/rat*; для сталей 30ХГ2С и 25Г2С £=
=2 10* кГ/смг. Для холоднотянутой круглой и перно-
Таблица 4.1
Коэффициент линейного расширения а -10* в град-*
(средний) [0]
Сталь	В расчетах при обычной температуре	При температуре в ° С			
		200	400	600	600
Углеродистая	12	12.2	13.5	14.4	-
Низколегиро- ванная	12	12.6	13. В	14.2	14.4
дического профиля проволоки, а также для холодно-
сплющенной арматуры £=1,8-10* кГ/см*.
Для пучков и прядей высокопрочной проволоки (с
параллельным расположением проволок) £=
=2-10* кГ/см*: для канатов стальных спиральных и ка-
натов (тросов) с металлическим сердечником £=
= 1,5-10* кГ/смг, для тросов с органическим сердечни-
ком £=1,3-10* кГ/см1.
Для отливок из серого чугуна марок СЧ28-48,
СЧ24-44, СЧ21-40 и СЧ18-36 £=1-10* кГ/см\
Модуль сдвига для прокатной стали G=8.4X
Х10» кПсгР
Коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной де-
формации) р =0,3.
4.1.2.	Углеродистые стали
Сталь углеродистая горячекатаная обыкновенного ка-
чества по ГОСТ 380—71. В зависимости от назначения
н гарантируемых характеристик сталь подразделяется иа
три группы:
группа А — поставляемая по механическим свойствам;
группа Б — поставляемая по химическому составу;
группа В — поставляемая по механическим свойствам
и химическому составу.
В зависимости от нормируемых показателей сталь-
каждой группы подразделяется иа категории:
группы А — I, 2, 3;
группы Б — I, 2;
группы В — I. 2. 3. 4. 5. 6.
Сталь изготовляется следующих марок:
группы А —Сг.О; Ст.1; Ст.2: Ст.З; Ст.4: Ст.5: Ст 6;
группы Б — БСт.0. БСт.1, БСт.2, БСт.З. БСт.4, БСт.5.
БСт.6;
группы В — ВСт.2, ВСг.З. ВСт.4. ВСт.5.
Химический состав и механические свойства приведе-
ны в табл. 4.2 и 4.3.
Ударная вязкость стали марок ВСт.Зпс. ВСт.Зсп,
ВСт.ЗГпс. ВСт.4пс. ВСт.4сп должна соответствовать
нормам, приведенным в табл. 4.4.
Влияние углерода на механические свойства стали по-
казано на рнс. 4.1. Изменение механических свойств уг-
леродистой стали в зависимости от температуры дано
в табл. 4.S и 4.6 и на рис. 4.2. На рис. 4.3 показано влия-
ние наклепа на ударную вязкость, а на рнс. 4.4 показаны
потери от коррозии углеродистых сталей. В табл. 4.7
даны пределы выносливости углеродистых сталей.
За нормативное сопротивление растяжению, сжатию
и изгибу углеродистой стали принимается [130] наимень-
шее значение предела текучести, установленное стан-
дартами или техническими условиями.
Проектирование стальных конструкций зданий и со-
оружений ведется по СНиП 1I-BJ-62* [135].
152
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Нормы химического состава для стали, поставляемо* по группе Б (ГОСТ 380—71)
Т а б л а ц а 4.2
Марка стали	Содержание элементов • %								
	С	Мп	Si	₽	S	О	NI	Си	As
				не более					
БСт. 0 БСт. 1кп БСт. Inc БСт. 1сп БСт. 2кп БСт. 2пс БСт. 2сп ЕСт. Зкп БСт. Эпс БСт. Зсп БСт. ЗГпс БСт 4m БСт. 4пс БСт. 4сп БСт. Snc БСт. Sen БСт. 5Гпс БСт. блс Кт. 6с п	Не Солее С,23 0.06—0.12 0.06-0.12 0.06-0.12 О.09—0.1Б 0.09-0.15 0.09-0,15 8,14—0.22 0.14-0.22 0.14-0.22 0.14-0.22 0,18-0.27 0.18-0.27 0,1В—0,27 0.28—0.37 0.28-0.37 0.22-0,30 0.38-0,49 0.38-0.49	0.25-0.50 0.25-0.50 0,26-0.50 0,25—0.SO 0.25-O.S'J 0.25—0.50 0.30-0.6П 0,40-0.65 0.40-0.65 0.80-1,10 0.40—0.70 0.40-0.70 0,40-0,70 0.50-0.80 0.50-0.80 0.80—1.20 0.50—0.80 0.50-0.80	Не более 0.05 0.05—0.17 0.12-0.30 Не более 0.07 0.05—0.17 0.12—0.30 Не более 0.07 0,05—0.17 «, 12—0.30 Не более 0.15 Не более 0.07 0,05—0.17 0,12-0.30 г.05-0.17 П.15-0..Ч5 Не более 0.1S (1.05—0.17 0,15—0,35	0,07 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 О.(Н 0.04 О.(Н 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04	0.06 0.05 0.05 0.(6 0.05 0.05 0.06 0.05 0.06 0.06 0.05 0.(6 (1.06 0.06 (1.05 0.06 0.05 0.05 0.05	п.зо 0.30 0.30 (1.30 о.зп 0.30 0.30 о.зп 0,30 0,30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0,30 0.30 0,30	0.30 0.30 0.30 0,30 О.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 0.30 О.30 0,30 0.30 0.30 0.30 0.30	0.3П 0.30 о.зп 0.30 0.30 0.30 0.30 п.зо 0.30 0.30 0.30 0.30 о.х 0.30 0.30 0.30 0.30 о.х	0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0,08 0.08 0.08 0,08 0.08 0.08
Мехеннческие свойства углеродистой стали, постевляемой яо группе А (ГОСТ 380—71)
Марке стали	Временное сопротивле- ние св в кГ/мм*	Предел текучести о в кГ1мм* ДЛЯ ТОЛЩИН в мм				Относительное удлинение в % дли толщин в мм			Нагиб на 180е (а—толщина образ* ua. d—диаметр оправки} для толщин до 20* мм
		ДО 20	св. 20 ДО 40	СВ. *1 до 100	ст. 100	ДО 20	ст. М ло«	св. 40	
		не менее							
Ст. 0	Не менее 31	-	-	-	-	23	22	X	d^'la
Ст. Un	31-40	-	-			35	34	32	Л — 0 (без о нрав к и)
Ст. Inc. Ст. 1сп	32—42	-	-	-		34	33	31	
Ст 2кп	33—42	22	21	30	19	33	32	X	d "0 (без оправки)
Ст. ?пс. Ст. 2сп	34—44	23	22	21	20	1	32	3!	29	
Ст. Зкп	37—47	24	23	22	20	27	26	24	d—0,6 а
Ст. *пс. Ст. Зсп	39—49	25	24	23	21	26	25	23	
Ст. ЗГпс	38-50	25	24	23	21	26	25	23	
Ст. 4кп	41-52	26	25	24	23	25	24	22	d-2a
Ст. 4пс. Ст. 4с п	42-S4	27	26	25	•л	24	23	21	
Ст. Яле. Ст. Sen	6О-ЧМ	29	23	27	26	20	19	17	4-3 0
Ст. 5Гпс	чб—60	29	28	27	26	20	19	17	
Ст. бпс. Сг. йсп	Не менее 60	32	31	30	X	15	14	12	-
• Для тол шня свыше 20 мм лнэчетр оправки увеличивается ив тел шину обрати о.									
4.1. СТАЛИ
153
Таблица 4.4
Нормы ударной вязкости углеродистой стали
р од нс той стали в зависимости от содержания
углерода [9]
Тегчпвротуро 8 *С
Рис. 4.2. Ударная вязкость
строительной стали марки Ст.З
в зависимости от температуры
/ — мартеновская сталь спокойная;
2 —то же. кипящая; 3 — бессеме-
ровская сталь спокойная; 4 — то
же. кипящая (14]
Таблица 4.5
Механические свойства углеродистой стали при
температурах от —60 до 4-600® С [9]
(Состав стали. 0.18% С; 0.24% Мп; 0,12% Si; 0.011% S;
0011% Р)
Темпера- тура ис- пытаний н вС		вв. кПмм1		♦. %	кГм см-	Е. кГмм1
—СО								1.01	
-50	——ь.		——	Art	1.09		
-30	—	—	—	—	2.27	—
-10		—					9.02	
+20	23.8	40.3	32.7	68.6	10.62	20 200
+100	21.7	37.8	21.3	64.6	12.99	18 700
+200	25.1	48.5	16.2	55.5	13.49	I7 90U
+300	14.9	44.3	26	62,4	12.19	17 00)
+400	12.9	35.9	31	71.4	9.06	16 101
+450	12.6	30.8	29.8	71.9	7.05	13 7DU
+500	10.9	21.5	2У.9	75	6.73	
+550	8	18.fi	34.3	79.3	6.1»	
+&Ю	5.6	14.2	42.2	87.1	8.15	—
Рнс. 4.3. Изменение ударной вязкости углероди-
стой стали в зависимости от процента наклепа
прн различных температурах (6)
/ — вытяжка 2%; 2 —вытяжка 6%; 3—вытяжка 1U%;
4 — исходное состояние
154
РАЗДЕЛ <. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Таблице 4.6
Изменение механических саойств стали марки МСт.Э
спокойной, содержащей мышьяк, прн различных
емпературах [8|
(Состав стали: 0.21% С: 0.38% Мп; 0.20% Si; 0.036% S;
0.026% Р; 0.289% AS)
Темпера- туре ис- пытаний в °C	кПмм>	°п- кПмм'	%	♦. %	кГмкм'
-40	31.4	46.5	32.4	61.1	10,6
—20	29,3	4S.R	34.7	62.5	13
и	27.4	42.6	40.4	63.5	19.2
+20	26.1	43	40.1	67.7	20.1
+ IO)	24.3	42.9	28.5	60.5	21.8
4-200	23	52,9	21.2	53.5	25
4300	1М	50.9	24.8	60.5	23
+*w	16.0	463	26.9	62.9	15.9
+500	15	25.9	30.6	71,9	10,2
Про9ол1*иты1ъ"остъ &tvw/na*vii
6 года я
Рис. 4.4. Потери от коррозии углеродистых ста-
лей а атмосфере промышленного города [16]
/ —БСт.З. 2 — М Ст.Зел; J-МСт.Зкп
В табл. 4.8 приведены характеристики сварочных ма-
териалов, рекомендуемых дли сварки элементов сталь-
ных конструкций.
Сталь углеродистая для мостостроения. Особые усло-
вия работы мостовых конструкции, подверженных виб-
рационным нагрузкам, требуют применения стали, мало-
чувствительной к концентрации напряжений, ие склон-
ной к старению после наклепа и имеющей достаточно
низкую температуру перехода в хрупкое состояние. При
выборе стали для сварных мостов к этим условиим до-
бавляется требование хорошей свариваемости н доста-
точной вязкости металла около сварного шва.
Марки электродов к порошковой проволоки для сварка
соединений конструкций нз малоуглеродистых и
низколегированных сталей
Тил по ГОСТ 9467—60	Марка	Сталь	Механические свойства			Примечание
					ол, яГм;см' при температуре ис- пытания М“ С	
		Электроды				
Э42	АНО-5 АНО-1	Малоугле- родистое	47 46	25 28	14 13	Для сварки в нижнем положения
342 А	УОНИ-13/45 УП-2/45	Мало- углеро- дистая и низколе- гирован- ная	46 48	26 28	22 20	Постоянный ток. поляр- ность обрат- ная Ня постоян- ном н пере- менном токе
	ОЗС-2		46	24	18	Постоянный ток. поляр- ность обрат- ная
Э46	МР-3	Мало- углеро- диста а	48	25	15	—
Э50А	УОНИ-13/55 ДСК-50	Мало- углеро- дистая и низколе- гирован- ная	62 52	24 28	20 20	Постоянный ток, поляр- ность обрат- ная Постоянный и перемен- ный ток
	Л	орошковая	про»	олоя	а	
Э5ПД	-ПС-15 СП-1 ЛП-АНЗ ПП-АН4 ММ-АН8	Мало- углеро- дистая и низко, легнро- 'аинан	55 55 52 53	23 25 -’4 -6	16 16 15 15	Для полу- аьтомвтичсс- кои сварки соединении с 6>3 мм в нижнем положении То же. во всех положениях То же, в ниж- нем положе- нии То же. с до- полнительной зашитой СО,
Э50	СП-2	Мало- углеро- дистая	58	18	8	Для полуавто- матической сварки без дополнитель- ной зашиты
П или э коме!	рнмечзн иг келлуэтируемы дуются >лектр	Для свар при темпе оды марки	КН к	окст ’ни	рукций —40 д 13/45 к	возводимых о —бй*С. ре УОНИ-ISiSi.
4.1. СТАЛИ
155
Таблица 4.7
Предел выносливости углеродистой стали марок
Ст. 1 —Ст .6 [8]
Мариа стали	°я- *!'**'		♦. %	От	°т.в	Тт	°0р	о®	т.	°-1р	°-1	х-1
				в кГ.'мм1								
Ст 1	32-40	28	55	18	22	11	17	19	10	11	14	7
Ст.2	34-42	26	S3	21	24	12	18	21	11	13	15	8
Ст.З	38-47	22	55	22	26	13	21	24	13	14	17	9
Ст.4	42-52	20	50	24	29	14	22	26	14	15	18	10
Ст.5	50-Я	16	45	28	34	17	27	31	17	19	22	11
Ст.6	60-72	12	45	30	36	18	30	34	18	20	24	13
Таблица 4.9
Химический состав и механические свойства углеродистой стали для мостовых конструкций (ГОСТ 8713—53)
Марка стали	Химический состав в %					Механические характеристики						
	С	Мл	Si	S	₽	А	«и. о к	в„. %				♦. %
				не более				сортовая и фасон- ная	листовая и широко- полосная	СППТиВЭЙ и фасон- ная	листовая н широко- полосная	
						н. менее						
М16С Ст.З мост.	0,12-0.2 0,14—3.22	Г. 2 i i о о	0,I2-U.25 0.15-0.3	0.45 0.05	0,04 0.045	23 24	38 38	24 24	22 22	28 28	а а 1		8 8
Материалом для изготовления сварных и клепаных
мостовых конструкций служит спокойная углеродистая
строительная сталь с гарантированными химическим со-
ставом и механическими свойствами по ГОСТ 6713—53:
для сварных мостовых конструкций — сталь марки М16С,
для клепаных — сталь марки Ст. Змост. Химический со-
став и механические свойства сталей этих марок даны
в табл. 4.9 и 4.10.
Таблица 4.10
ную сталь, применяемую в строительстве и машинострое-
нии.
Химический состав и механические свойства стали в
состоянии поставки класса С 46/34 приведены в табл. 4.11
и 4.12, класса С 52/40 —в табл. 4.13.
На рис. 4.5 указаны потерн от коррозии некоторых
низколегированных сталей.
Ударная вязкость углеродистой стали для мостовых
конструкций
Профиль проката и расположение образцов	Од лГmIcm*. не менее		
	при ком- натной темпе- ратуре^	О с 1	й
Листовая и широкополосная: нв продольных образцах . .	8	4	4
» поперечим я	•	- 	7	3.5	3.S
Сортовая н фасонная на продоль- ных образцах 		10	4	5
4.1.3. Стали низколегированные
н высокой прочности
Марки и общие технические требования к низколеги-
рованным сталям предусмотрены ГОСТ 5058—65*. Этот
ГОСТ распространяется па листовую широкополосную
(универсальную), сортовую и фасонную низколегирован-
VQ 5				f	^>2^.	
					zJZ		
			Т/Г			
		.77, //// W.	г			
с ч** 1 0						
						
'	2	3	*	5
ЛроЗОМЯс/тепьяост	в
Рис. 4.5 Потери от коррозии низколегированной стали
в атмосфере
I — сталь 15ХСНД. 2 — сталь ЮХНДП. 3 — сталь 12.ХГ: Г—сталь
ыедефосфористая
156
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Нормы химического состава для низколегированной стали (по ГОСТ 5058—65*)
Таблица 4.11
	Химический состав в %
Марка стада	,	Ст	I	NI |	Си
	С	SI	Мп		!	!	
	не более
	А. Стада дли металлических конструкций
МГ	0.12—0.18	0,17—0.37	0,7—1	0.3	0,3	0.3
ЮГ	0.16—0.22	0.17—0.37	0.8—1.15	0.3	0,3	0.3
09Г2	<0,12	0,17-0.37	1.4—1.8	0,3	0,3	0,3
14Г2	0.12—0.18	0.17—0,37	1.2—1.С	0.3	0.3	0,3
18Г2	0,14-0.2	0,25—0,55	1.2-1.6	0.3	0,3	0,3
12ГС	0,09-0.1Б	0,5—0,8	0,8-1,2	0.3	0,3	0.3
16ГС	0,13—0,18	0.4—0.7	0.9—1.2	0,3	0,3	0.3
17ГС	0.14—0,2	0.4—0,6	1—1.4	0.3	0,3	0,3
О9Г2С	<0,12	0,5—0,8	1.3-1,7	0,3	0,3	0,3
10Г2С1	<0.12	0.9-1,2	1,3-1.65	0.3	0.3	0.3
15ГФ	0,12-0.18	0.17-0,37	0,9—1,2	0.3	0.3	0.3
	(ванадий 0.05—0.1)
14ХГС	0.11—0.16	0.4—0.7	0.9—1,3	О.5—0,8	0.3	0.3
16ХСНД	0,12-0.18	0,4—6,7	0.4—0.7	0,6—0.9	0,3—0,6	О.2-0.4
юхенд	<0.12	0.8-1.1	0,5—0,8	0,6—0.9	0.5—0,8	0.4—0.65 I
	Б. Сталь для армировании железобетонных конструкций
85ГС	0.3-0.37	0,6—0.9	0.8-1.2	0.3	0,3	0.3
18Г2	0,14-0.23	0.6—0.9	1.2—1.6	0,3	0,3	0.3
25Г2С	0.2—0.29	0.6—0.9	1.2—1.6	О.Э	О.З	0.3
2ОХГ2Ц	0.19—0.26	0.4—0.7	1.5—1.9	0.9-1,2	0.3	О.Э
	(цирконий 0.07—0,14)
800	0.74—0.82	0.6-1	0.S—0,8	О.З	0,3	0.3
В обозначении марок стали двузначные цифры слева указывают приблизительное содержание углерода в сотых долях	
Процента. Буквы обозначают: Г — марганец. С — кремний, X— хром. Н — никель. Д - медь. U — цирконий. Ф — ванадий:	
цифры после букв указывают приблизительное процентное содержание соответствующего элемента в целых единицах.	|	
4.1. СТАЛИ
(57
Механические cboIctkb низколегированной стала (ГОСТ 5058—65*)
Марж* стали		Толщина проката а мл	Механические свойства						Испытание ва загиб в хохолком СОСТОЯНИИ: С—толщина оп- равки; в—толщи- на прожата; 4—диаметр стержни
			при растаженыи			Ударила вазкость а* в кГ*!с& при температуре в °C			
			временное сопротивле- ние разрыву Ов в кГ/мм'	предел теку- чести о в кГ/мм*	относитель- ное удлинение 6* в 54				
						+20	—Ю |	-70		
			не менее						
				А. Сталь дав	металличссамх	шмктрунди!			
14Г		4—10	<6	29	21				3.6			180е С-2а
19Г		4-1(1	*8	32	22	—	3.6	—	160" С—2а
О9Г2		4-20	46	31	21		3			160° С—2а
		21-32	46	30	21	—	4	—	
		4—10	47	34	21			3.5		180° С—2а
14Г2		II—32	46	33	21	—	3	—	
18Г2		8—10	52	36	21		4		180" С—2а
12ГС		4-10	47	32	26	—		—	160" С-а
		4—10	60	33	21	—	4	3	160" С-2а
		11—20	49	32	21	6	3	2.S	
16ГС		21-32	48	30	21	6	3	2.5	
		33-60 Свыше 60	47	29	21	6	3	2.5	—
									
		до 160	46	28	21	6	3	2.5	—
17ГС		4-10 11—20	62 60	35 34	23 23	-	4.5 3.5	-	180" С—2а
		4—10	50	35	21	—	4	3,5	180" С—2а
		11-20	48	33	21	6	3.5	3	
		21—32	47	31	21	6	3.5	3		
09Г2С		33-60	46	29	21	6	3.5	3	—	
		61—80 Свыше 80	45	28	21	6	3.5	3	—
		До 160	44	27	21	6	3.5	3	—
		4-10	52	38	21		4	3	180* С—2а
		11-20	51	36	21	6	3	2.6	
1ОГ2С1		21-32	50	35	21	6	3	2.5	—	
		33-60 Свыше 60	48	34	21	6	3	2,6	—
									
		ли 160	46	32	21	6	3	2,5	—
		4—10	62	38	21		4			180* С—2а
15ГФ		11-20	52	36	21		3		
		21—32	48	34	21	—	3	—	—
ИХ ГС		4-10	50	35	22	-	4	-	180" С—2а
15ХСНД		4-32	60	35	21	-	3	3	180" С-2а
		4-10	54	40	19	__	5		180" С—?а
юхенд		11—15	54	40	19		4	3	180" С-2а
		1S-32	54	40	19	—	5	3	180" С—2а
		34—40	52	40	19	—	5	3	—
			Б. Ста	lb для арммро!	1ВМВЯ желетобе	тонных моаструинв			
35ГС		6—40	60	40	14	-	—		90" С-34
шггс		6—9	60	40	14					90 С-34
		40—90	50	30	14	—	—		—
25Г2С		6—10	60	40	14				90" С-34
20ХГ2Ц		10-32	90	60	6	—	—		45* С-54
«ос		10-18	90	60	6	—	—		45" С-54
158
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Механические свойства сталей классов С 52/40, С 60/45, С 70/60, С 85/75
Класс стали (ус- ловное обозна- чение)	Марка стали	Вид прока- та	ГОСТ или ТУ	Толшнвз проката в мм	Механические свойства			Ударная вяз- кость в„ в кГм/см* при теыПь- ратуре ис- пытания ь *С		Состояние поставки
					предел текучести от в кПмм'	временное сопротив- ление разрыву ов в кГ/мм*	относительное удли- нение б, в %			
								-40	-во	
					яе менее					
			Сталь повышен	мой про	«костя					
С 52/40	15ГХФ			4 32	40			3		Горячекатаная
			цниичм							
	ЮГХ1		ЧМТУ ЦНИИЧМ	4-32	40	54	19	5	-	Термообрабо- танная (закалка+ +отпуск)
	юхенд	Листовая, сортовая, фа- сонная. ши- рокополосная (универсаль- ная)	ГОСТ 6058—65*		40	52	19	6	3 (-70е)	Горячекатаная
	14Г2	/1 истовая, широкопо- лосная	551.61 ЦНИИЧМ	4-50	40	55	19	4	3	Т ер необрабо- танная
Сталь высокой прочное»
С 60/45	16Г2АФ	То же	ЧМТУ 1-45-87	4-60	45	60	20	4	3	То же
	16Г2АФпс		То же	4-60	45	60	20	4	3	
	15ХСНД	Листовая	ГОСТ 5068-65-	10-32	60	60	17	4	3 (-70-)	Термообрвбо- танивя (закал- ка + ОТПУСК!
	15ХГХФР			4-20		65	15	3		Горячекатаная
			ЦНИИЧМ							
	1БГ2СФ		То Же	0-32	50	60	17	5	-	Термообрабо- твннвя (закалка+ -е отпуск)
С 70/60	14ГСМФР		ЧМТУ 1-45-57	4-40	60	70	12	3	—	Нормализован- ная
	12ХГ2СФМР		чмту. 1-м.ы ЦНИИЧМ	4-2U	СО	80	13	3	-	Горячекатаная
С 85/75	15ХГ2СФМР		ЧМТУ —	— 1389-65 ЦНИИЧМ	И—32	70	85	12	4	-	Термообрабо- такняя	(эикал- ка + отпуск)
П р и м г ч а ни е. Класс стали с буквой Р означает, что сталь рвэупрочняетсл прн сварке.
Таблица 4.14
Химически* состав н механические свойства сталей повышенной и высокой прочности, применяемых в строительстве за границей
Классифика- ция стали в СССР	Страна, произво- дящая сталь	Марка стали	Химический состав в %										Механические свойства				Примечание
			С	Мп		Si	Р	Ст	NI	Си	Мо	другие элементы	предел теку |естн °т в Kl'/MM*		временное сопротив- ление ов в кГ/мм1	относи- тельное удлинение Ь в %	
С 38/23 С */34	США •	А-36 А-50 А -55 BSCV-5S	0.28	0 1	25*	0,15- ОЛ	0.01	-	-	-	-	-	25 35 38 38		42 43 49 49	20	Все виды проката
СЫ1«	в Франция	А-50 BSCV.63 B-12IC	0Л2	м		-	-	оТи	o'i		о~	0.UV		1! 10	62.5 5?Л 58-17	-	-
С 60/45	США » ФРГ » Австрия Япония	А-353 А-65 BSCV-66 ВМ46К FB70 HSB55 SI-50T TEN-60	0.13 0,2 0,22 0,12- 0.18 0,18 0,16	0,8- 0.9 1,3 1.6 0.83- 1,2 1.5 1.3»		0.13— 0.33 0.45 0,45 0,35— 0.5 0.45 0.55	и, 35 0.U4	-	оГв- 1.2 ол	03- 1,2 0,5	0,12 0.3 0,3	0, ISTi 0,18 У 0,15 V	45 45 4$ 45 45 45 45 46		63-53,5 6S 5» 53-70 60-74 67—74 6$ 60	16-22 26 16	Листы, пла- стины, стержни
С 60/45	США ФРГ	NES-70 N-A»XTPA-75 Wei >Mtmlx	0,1- 0.2 0,2	0.5— 0,9 0.5— 0,7		Ол- V. 8	0,04	0,5— 0.7	1.4— 1,9	1,0- 1.5	о.!— 0.3 0.1— 0,1	0,05— U.I5ZT	66 53 50		74 66.6 65-80	16	-
С 60/45	Англия	Aldur $0/65 Марганце молиб- деновая	0,2 0,2	13» 1.5		0,5 0,3	оГо;	0.25	0Л5	-	0,15	-	57 67,8		7.3 64,5	18	-
С 70/60	в Япония США в в Япония в	Някельмолибде* нобсристяя Лиаллой S90 USST-I N-A-XTRA-100 SSS-100 И* A-XTRA-I03 H-A-XTRA-90 2H-Ulira	0. is 0,15 O.I7 0.2 0,12- 0,2 0,16 2,1 0,16	0.57 1.5 О.9 0.5— 0,7 0.4- 0,7 ОЗ 0,8 1.2		0,3 0,705 0,23 0,5— 0,8 0.20— 0.35 0.7 0.15 0.55	0,015 0,018 0.04 0,04 0.15 0.04 0,01	0,48 0.5— 0.2 1,4-2 0,6	2,05 0.81 2,0— 2.25 1.1	Ill II	°1 1	0.8 0,5 0.1- 0.! 0,4- 0,6 0.2 0.4 0.7	0.MV 0.05— 0.152г 0JV	61.8 65 63,4 - 70,4 71.1 70 71,4 65 70		71,8 70 73.7-95 84,5 81-94 83 77 80	1	1 1	1 ьдв	Термически обработана. Все виды про- ката, кроме широкопо- лочного двутавра Лист, плас- тина. стер- жень
С 85/75	США в	N-A-XTRA-125 N-A-XTRA-160	0,3 0,3	О 0 0 0	5- 7 5— 7	0,5 — (% 8 0,5- 0,8	0.01 0.Л1	0.5— 0.7 0.5- 0.7	-	-	0,1- 0,2 0.1- 0,2	-	89,2 111		97,8 116	-	-
4.1. СТАЛИ
160
РАЗДЕЛ «. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Механические свойства сталей высокой прочности
(классов С 60/45—С 85/75) даны в табл. 4.13.
За нормативное сопротивление низколегированных
сталей н сталей высокой прочности принимается мень-
шая из двух величин: наименьший предел текучести нлн
наименьшее временное сопротивление разрыву, умножен-
ное на коэффициент условий работы материала ОД
Проектирование конструкций из низколегированных ста-
лей ведется по СНиП II-B.3-62* (135). из сталей высокой
прочности — по СН 347-66 (I]. Конструкции, работающие
при инзкнх температурах (от —40 до —60° С). проекти-
руют по СН 363-66 (15J.
В табл. 4.14 даны характеристики основных марок
сталей, применяемых за рубежом.
4.1.4.	Сталь для арматуры
железобетонных конструкций
Сталь арматурная стержневая. По условиям приме-
нения стержневая арматура может быть ненапрягаемой
(класс А-1, А-П, A-1I1) —для обычных и предварительно
напряженных конструкций н напрягаемой (класс A-IV.
А-111в) для предварительно напряженных конструкций.
Таблица 4.15
Основные характеристики сталей для стержневой
арматуры [10]
Класс		Нормативное сопротив- ление Я” в кГ/мм’ (ло		пределу текучести)	1	Модуль упругости в кГ[см1 10«
	Горячекатаная				
А-1 А-П	Сталь марки Ст.З, ГОСТ 380-71: 9543-60; 5781-61	. Сталь марок Ст.5 н Ст.ЗГпс ГОСТ 380-71;	9543-60. 5781—61 . .			24 30		2.1 2.1
A-III	Сталь марок 25Г2С н 35ГС. ГОСТ 5058—65’; 5781-61	.		40		2
A-IV	Сталь марок 20ХГ211. ЮС и др.. ГОСТ 6058-65’: 5781-61		60		2
	Упрочненная аытяж	НОЙ			
А-Пв А-111»	Сталь класса А-П: уп- рочненная вытяжкой до 45 кГпрн удлинении кс более 5Л%	 То же. с удлинением 5.5% без контроля усилий . . . Сталь класса А-111. уп- рочненная вытяжкой до 65 кГ/ммг при удлинении не более 3.5% для 25Г2С н 4.5% для 35ГС 		 То же. с удлинением 3.3 или 4.5. но без контроля уд- линений 			45 45 65 65		2.1 2.1 2 2
К классам А-П, А-Ill и A-IV относится сталь перио-
дического профиля по ГОСТ 5781—61, она представляет
собой круглые стержни с выступами, идущими по трех-
заходной винтовой линии, с двумя продольными ребра-
ми. Основные характеристики стержневой арматуры да-
ны в табл. 4.15.
Высокопрочная проволока. Для армирования пред-
варительно напряженных железобетонных конструкций
применяется также высокопрочная проволока круглая
и периодического профиля по ГОСТ 7348—63, ГОСТ
8480-63 (табл. 4.16).
Таблице 4.16
Основные характеристики сталей для проволочной
арматуры [10]
Класс		Нормативное сопротивление Я, в кГ/мм*	Модуль упру- ^кПсм'	
В-11	Проволока стальная кру- глая для предварительно напряженных железобетон- ных конструкций (ГОСТ 7348—63) диаметром: 5	 6 »	 7	 			 .	152 144 136 128 1» 112	1.8	
Вр-11	То же. периодического профиля (ГОСТ 8480-63) диаметром: 3	мм ....... 4	»		 		 6	»	 7	»	....... 8	»		144 136 128 ГЛ 112 104	1.8	
П-7	Семипропо.точные	приди диаметром: 9 мм ........ 12 »	.	 15 »			136 128 ГЛ	1.8	
Рнс. 4.6. Изменение механических свойств высо-
копрочной проволоки диаметром 5 мм
(ГОСТ 7348—63)
а — .цененное сопротнялсние (/): предел текучести (3):
предел упругости (3): О—нодуль упругости
f t. АЛЮМИНИЕВЫЕ СПЛАВЫ
161
Рнс. 4.7. Ползучесть високоирочиой прово-
локи прн температуре 18'С. Состав: 0.70% С;
0,48% Мп, 0,16% Si; 0,036% S, 0,022% Р
Маркн стали, как указано в стандартах, устанавли-
ваются заводом-изготовителем; требования к проволоке
предъявляются лишь по механическим свойствам.
На рнс. 4.6—4.9 показаны изменения механических
свойств проволоки прн нагреве, данные о ползучести и
релаксации напряжений.
Врвпя t 1
Рнс. 4.8. Релаксации высокопрочной про-
волоки прн температуре 18' С. Состав:
0,70% С; 0,48% Мп; 0,16% Si; 0,036% S;
0.022% Р
4.2.	АЛЮМИНИЕВЫЕ СПЛАВЫ
Общие сведения. Особенности алюминиевого сплаве
как строительного материала: малый удельный вес, со-
ставляющий около 2.7 Г/см3, т. е. примерно в 3 раэв
меньше, чем у стали; широкие пределы изменения проч-
ностных характеристик н высокая относителвная проч-
ность некоторых сплавов; повышенная коррозионная
стойкость ряда сплавов; сравнительно низкое значение
модуля продольной упругости — в среднем 710000 кГ1смг.
т. е. в 3 раза меньше, чем у стали; пониженное по срав-
нению со сталью значение предела выносливости (уста-
лости) ; высокая технологичность, определяемая возмож-
ностью получения с металлургических заводов полуфаб-
рикатов необходимой формы и размеров; трудность полу-
чения равнопрочных сварных соединений при применении
сплавов с высокими показателями прочности; необходи-
мость бережного обращения с полуфабрикатами, изде-
лиями и конструкциями иа всех стадиях хранения, изго-
товления. перевозки, монтажа и эксплуатации; возмож-
ность придания поверхности алюминиевых элементов ка-
честв, обеспечивающих архитектурную выразительность,
путем полировании, анодирования, эмалирования и т. д.;
высокая отражательная способность; сохранение проч-
ностных характеристик при низких температурах; отсут-
ствие нскрообразовання; отсутствие магнитных качеств.
Из перечисленных особенностей основными являются:
легкость, коррозионная стойкость и технологичность.
Основной недостаток — высокая в настоящее время
стоимость полуфабрикатов и конструкций, что приводит
к технико-экономической целесообразности применения
алюминиевых сплавов только прн особых условиях ком-
поновки зданий или сооружений, строительства н экс-
плуатации. Примером могут служить: конструкции, в ко-
торых собственный вес составляет значительную часть
суммарной нагрузки (напрнмер. конструкции покрытий
большепролетных зданий, панели стен и покрытий) и его
уменьшение обеспечивает облегчение несущих конструк-
ций; здания, возводимые в отдаленных и труднодоступ-
ных районах, предназначаемые для эксплуатации в аг-
рессивных средах, возводимые в районах высокой сей-
смичности; фвеады и интерьеры здвннй; подвижные,
сборно-разборные конструкции; монтажное оборудование
и приспособления.
Конструкции и элементы из алюминиевых сплавов
удачно сочетаются с другими строительными материа-
лами: сталью, пластмассами, стеклом, деревом и т. д.
Алюминиевые сплавы делятся на деформируемые,
допускающие прокат и прессование, и литые. Деформи-
руемые алюминиевые сплавы, являющиеся основным ма-
териалом для строительных конструкций, делятся на
упрочняемые в неупрочняемые термической обработкой.
Термическая обработка осуществляется путем закалки
и последующего старения (естественного при комнатной
температуре или искусственного при нагреве) и приводит
к повышению прочностных показателей сплавов и сни-
жению нх пластичности. Повышение прочностных вока-
зателей сплавов, не упрочненных термической обработ-
кой. может достигаться с помощью наклепа (деформи-
рования в холодном состоянии).
Чистый и технический алюминий обладает высокой
пластичностью, но низкой прочностью, поэтому эти ма-
териалы применяются в незагруженных нлн малонагру-
женных конструкциях.
Алюминиевые сплавы определяются: группой (систе-
мой) в зависимости от основных легирующих компо-
нентов, маркой сплава и его состоянием. К числу со-
стояний относятся: отожженное (мягкое), обозначаемое
буквой М: полунагартованное — П: закаленное и есте-
ственно состаренное — Т; закаленное и искусственно со-
старенное— Т|.
Расчет алюминиевых1 конструкций в значительной
' Под алюмнакевымн подразумеваются конструкции из алю-
мивиевых сплавов в из технического алюминия.
162
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
Алюминиевые сплавы для строительства (СНиП II-B.5-64)
Таблица 4.17
Группа сплава	Марка я состоя- ние спла- ва	Легирующие компоненты в %						Механические свойства				
		маг- ний	мар- ганец	кремнвй	цинк	медь	прочие	св. кГ/мм1	°0.2. кГ/мм'	кГ/мм*	#. %	НВ. кГ/мм*
А. Деформируемые сплавы для ааемеюта мжструщий												
Алюминий техниче- ский	АД1-М			-	-	-	Сумма примесей 0.7%	8	3	5.5	35	25
Алюминий—марта* ней	АМц-М	-	1—1,6	-	-	-	-	10	5	8	20	30
	АМц-П							15	12	-	10	40
Алюминий—нагний (магналии)	АМг2-М	'ЙГ	о о	-	-	-	-	17	8	12	16	45
	АМгЗ-М	3.2- 3,8	0.3- 0,6	0,5- 0,8	-	-	-	20	10	-	15	-
	АМг2-П АМгЗ-П	2-2,8 3.2-3.6	0,2- 0.6* 0.3-0.6	0.6—0,8	-	-	-	24	20	15	4	60
	АМг5-М		0.5- 0,8	-	-	-	Титан 0.02-0.1	27	12	-	15	65
	АМгв-М	5.8- €.8	0.5- 0.8	-	-	-	Тятан 0,02—0,1	32	18	-	15	-
	АМгЫ-М**	6,1	0,7	-	-	-	-	40	24	-	11	-
Алюминий-маг- ний— кремний	АДЭ1-Т	0,4- 0,9	-	0,3—0,7	-	-	-	17	8	-	20	-
	АД31-Т1							20	15	15	В	60
	АДЗЭ-Т	0,8- 1.2	-	0,4—0.8	-	0,15— 0,4	Хром 0,15-0,35	23	12	15	8	-
	АДЗЗ-Т1							27	24	15	10	-
	АД35-Т	0.8- 1.4	0,5— 0.9	0.8-1,2	-	-	-	26	13	-	-	-
	АД35-Т1							30	28	-	10	30
	АВ-М	0.45- 0,9	0,15— 0,35*	0,5—1.2	-	0,1— 0.5	-	12	-	в	30	30
	АВ-Т							20	12	16	18	65
	АВ-Т!							30	28	21	10	95
Алюминий—цинк— магний	В92-Т	3.75	0.8	-	2.75	-	Титан 0.2	36	20	-	20	-
Алюминий-мель— магний (.ЦпрАЛЮМНИ)	Д1.Т	0,4— 0,8	0.4- 0,8	-	-	3.8- 4.8	-	38	20	-	12	95
	Д16-Т	1,2— 1.8	0.3- 0.9	-	-	3,8— 4.9	-		30	27	10	105
Алюминий—Ш1НК— магний—медь	B95-TI	1,8- 2,8	0,2— 0,6	-	5—7	1.4-2	Хром 0.1-0.26	52	*	40	а	160
Алюминий—мель— млгннП	Д1В-Т	Б. Деформируемые °йг| - 1 -			сплавы -	для заалеоея я болтов 2.2—3 |	-	|	30			17	19	24	1 "
	B6S-T		к	-	-		-	*	-	25	20	-
ЛЗ. АЛЮМИНИЕВЫЕ СПЛАВЫ
163
Продолжение табл. е.П
Группа сплава	Марка и состоя- ние спла- ва	Легирующие компоненты в %						Механические свойства				
		маг- ний	мар- ганец	кремний	цинк	медь	прочие	°в’ кГ/асм’	°0.2- яГ/лм*	яГ/£м*	». %	НВ. кПмм*
Алюынннй—цинк— магний—медь	B94-TI	1.2- 1.6	-	-	5.9- 6.8	1,8— 2.4	Титан 0,02-0.08	62	44	29	15	150
Алюминий—магний	АЛ-В	9.5- 11.6	£ -	. Сплавы для литых деталей - 1 -1 -1 -				28	-	23		70
Г. Сплавы дли сварных соединений |	По СНнП П-В. 5-64. Проволока сварочная из алюминия и алюминиевых сплавов принимается по ГОСТ 7871—63 • Марганец няи хром в том же количестве. м Данные — ориентировочные.												
мере сходен с расчетом стальных конструкций. Однако
пониженный модуль продольной упругости алюминиевых
сплавов приводит к необходимости выбора систем, а ко-
торых эти особенности не валяются недостатком, напрн-
мер мембранные н висячие конструкции, а также систе-
мы, обеспечивающие относительно небольшие прогибы, —
неразрезные, рамные, арочные и т. д. Большое внимание
должно быть обращено на обеспечение общей н местной
устойчивости.
По назначению алюминиевые конструкции делятся на
следующие три группы: ограждающие, напрнмер окон-
ные переплеты, витражи, подвесные потолки; совмеща-
ющие несущие н ограждающие функции, напрнмер пане-
ли стен и покрытий, пространственные конструкции по-
крытий; несущие.
Механнчесиие свойства алюминиевых сплавов опре-
деляются нх химическим составом, состоянием (обработ-
кой), видом и размерами полуфабрикатов, наличием нлн
отсутствием плакировки и т. д. Поэтому приведенные
в табл. 4.17 данные о химическом составе и механических
характеристиках приняты с некоторым осреднением по
сравнению с данными СНиП 1I-E.5-64 [137]. Диаграммы
растяжения н сжатия разных алюминиевых сплавов
сравнительно мало отличаются друг от друга, однако в
отличие от стали у них отсутствует площадка текучести;
за условный предел текучести сплавов принимается обыч-
но напряжение прн относительном остаточном удлинении
0,2%.
Химический состав и механические характеристики
алюминиевых сплавов для строительства, включенных в
СНиП II-B.5-64, приведены в табл. 4.17.
Перечисленные в табл. 4.17 алюминиевые сплавы
предназначаются:
для ограждающих конструкций — АД1-М, АМц-М.
АМг-М н АД31-Т; эти сплавы отличаются высокой кор-
розионной стойкостью и технологичностью;
для конструкций, совмещающих несущие н ограждаю-
щие функции (в зависимости от необходимой прочности
и коррозионной стойкости) — АМц-М. АМц-П, АМг-М.
АМг-П. АМг5-М. АД31-Т. АД31-Т1. АДЗЗ-Т. АДЗЗ-Т1.
АД35-Т, АВ-М, АВ-Т; эти сплавы отличаются высокими
или средними показателями коррозионной стойкости н
технологичности;
для несущих сварных конструкций — АМг5-М,
АМгб-М. АМгбЬМ. АДЗЗ-Т1. AB-TI, В92-Т; сплав АВ-Т1
по условиям коррозионной стойкости должен приме-
няться с содержанием медн до 0.1%:
для несущих клепаных н болтовых конструкций — те
же сплавы, что и для несущих сварных конструкций с
добавлением сплавов Д1-Т, Д16-Т и В95-Т1; однако пос-
ледние три сплава обладают пониженной коррозионной
стойкостью.
Помимо перечисленных СНиП II-B.5-64 предусматри-
вает применение при соответствующем обосновании и
других марок и состояний алюминиевых сплавов.
Для заклепок и болтов помимо указанных в табл. 4.17
могут применяться сплавы АД1-М (нагартованные за-
клепки), АМц, АМг5п-М (здесь индексом «п» обозначен
сплав для изготовления проволоки н прутков), АМг,
АДЗЗ-TI, АВ-Т1 и др.
За нормативное сопротивление деформируемых алю-
миниевых сплавов растяжению, сжвтню н изгибу прини-
мается меньшая нз двух величин: 0,7 наименьшего вре-
менного сопротивления разрыву, установленного стан-
дартами нлн техническими условиями, или условный
предел текучести, соответствующий напряжению при
относительном остаточном удлинении 0,2%.
Ударная вязкость алюминиевых сплавов меняется в
пределах от 1 кГм/смх (В95-Т1) до 9 кГм!смг. Данные
по пределу выносливости (усталости) приведены в СНиП
I1-B.5-64.
Коэффициент линейного расширения алюминиевых
сплавов а=23-10~* град т. е. примерно вдвое боль-
ше, чем у стали. Однако температурные напряжения в
алюминиевых конструкциях ниже, чем в стальных кон-
струкциях, в связи с более низким значением £. Модуль
сдвига О=270 000 кГ1см1.
Приводимые в СНнП II-B.5-64 расчетные сопротивле-
ния соответствуют температуре металла от —40 до
+50° С. При понижении температуры от —40 до —70° С
расчетные сопротивления не меняются.
Прн повышении температуры сверх 50 и до +100° С
к расчетным сопротивлениям вводятся понижающие ко-
эффициенты 0,8—0,95 в зависимости от марки сплава н
условий работы конструкций. Прн температуре свыше
100° С должны приниматься еще более низине значения
коэффициентов нлн использоваться теплопрочиые алю-
миниевые сплавы.
Соединения алюминиевых элементов. Широкие пре-
делы нзменення системы, марок и состояний алюминие-
вых сплавов, а также толщин соединяемых элементов
приводят к необходимости использования большого ко-
личества видов соединений: сварных, клепаных, болто-
вых, клеевых н др. В алюминиевых конструкциях приме-
няются различные виды сварки, основными из которых
являются:
164
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
а)	механизированная (автоматическая нлн полуавто-
матическая) нлн ручная электродуговая сварка в защит-
ной среде инертных газов с применением иеплавяшегося
вольфрамового электрода и присадочной проволоки;
б)	механизированная электродуговая сварка в защит-
ной среде инертных газов с применением плавящегося
электрода;
в)	электрическая контактная сварка.
Применение сваркн в струе инертного газа (обычно
аргона) препятствует образованию оксидной пленкн.
В качестве электродного и присадочного материала
применяются: в конструкциях из сплавов АД1. АМц —
проволока нз того же сплава: в конструкциях из магна-
лнев — проволока из основного металла нлн магналия с
более высоким (по сравнению с основным металлом)
содержанием магния; в конструкциях нэ сплавов систе-
мы алюминий — магний — кремний — проволока нэ спла-
вов особого состава; в конструкциях нз сплавов В92 —
проволока из того же сплаве нлн из сплава особого со-
става.
Под влиянием нагрева прн сварке наблюдается раз-
упрочнение основного металла, особенно сплавов, упроч-
ненных термической обработкой. Это приводит практи-
чески к отказу от сваркн таких сплавов, как дюралю-
мннь: Д1-Т н Д16-Т, а также сплава В95-Т1 и учету
значительного разупрочнения, особенно для сплавов си-
стемы алюминий — магний — кремний.
Электрическая контактная сварка применяется для
соединения тонкостенных элементов.
Заклепочные соединения в алюминиевых конструкци-
ях выполняются с применением холодных заклепок нз
материалов более пластичных (по сравнению с основ-
ным материалом), чем алюминиевые сплавы, обычно той
же системы.
Болты в соединениях алюминиевых конструкций при-
меняются:
а)	повышенной и нормальной точности, выполненные
пэ алюминия и стали;
б)	болты с обжимными кольцами (лок-болты). состоя-
щие нэ закладного стержня с головкой, выполняемого нз
алюминиевого сплава средней н высокой прочности, и
замыкающей части (обжимного кольца) нз алюминие-
вых сплавов повышенной пластичности;
в)	высокопрочные стальные болты.
Во избежание контактной коррозии стальные болты
небходимо оцинковывать.
Клеевые соединения могут применяться как самосто-
ятельно. так н в сочетании со сварными и болтовыми сое-
динениями. Помимо этого клеевые соединения применя-
ются в трехслойных конструкциях, напрнмер прн соеди-
нении среднего слоя нз пластмасс н наружных слоев нз
алюминиевых сплавов.
Полуфабрикаты (профили) для конструкций. Алюми-
ниевые полуфабрикаты поставляются металлургическими
за одами в виде гладких и профилированных листов,
плит, прутков, профилей, труб, поковок, штамповок и
проволоки. Гладкие листы небольшой толщины могут
поставляться в рулонах.
Алюминиевые полуфабрикаты в ряде случаев выпол-
няются тонкостенными, что определяется высокой кор-
розионной стойкостью и технологичностью. Согласно
СНиП II-B.5-64 минимальная толщина листов н стенок
профиля для несущих конструкций дояускается 1.5—
3 мм: для конструкций, ограждающих н совмещающих
несущие н ограждающие функции, толщина не лимити-
руется.
Прессованные профили изготовляются различного по-
перечного сечення: сплошные и полые (замкнутые профи-
ли); прессованные профили с утолщениями (бульбами)
и отбортовками; сплошные профили для поясов трехгран-
ных конструкций; профили с очертанием, приспособлен-
ным для присоединения стекла, и т. д.
Размеры поперечного сечення прессованного профиля
(диаметр описанного круга) определяются диаметром
цилиндра пресса, который равен обычно 320 мм. а в от-
дельных случаях 530 мм н более.
Коррозионная стойкость. Высокая коррозионная стой-
кость алюминиевых еялавов определяется образованием
иа нх поверхности тонкой окисной пленкн, которая пре-
пятствует дальнейшему прониканию кислорода н сильно
замедляет процесс окисления. Прн этом коррозия алю-
миниевых сплавов имеет затухающий во времени харак-
тер. Коррозия алюминиевых сплавов может выэыватьсн
как химическими, так и электрохимическими реакциями.
Химические реакции возникают обычно под влиянием
кислот с водородным показателем pH < 4,8 нлн под
влиянием щелочей с pH >9.5. Прн этом коррозия алю-
миния, например газовая, может быть и прн отсутствии
влаги. Электрохимическая коррозия может проявляться
прн контакте металлов с разными потенциалами н при
наличии электролита, а также прн контакте алюминие-
вых сплавов с некоторыми неметаллическими материа-
лами из-за содержания агрессивных веществ, напрнмер
щелочей, в бетоне.
Коррозионная стойкость алюминиевых сплавов н кон-
струкций нз этих материалов зависит от: характера и
степени агрессивности среды; системы, марок и состоя-
ния сплава; формы элементов и конструкций; вида кон-
тактов с другими материалами и т. д.
По отношению к алюминиевым сплавам химические
элементы могут быть неагрессивными, агрессивными врн
определенных условиях н агрессивными.
К числу неагрессивных элементов и соединений отно-
сятся: водород, аргон, кислород, озон, жидкий кислород,
сера, азот, углерод, сернистый газ, сероводород, аммиак,
мочевина и др.
К числу элементов и соединений, агрессивность кото-
рых зависит от концентрации, влажности, температуры
и других условий, относятся кислоты: сернистая, серная,
азотная, угольная, борная, фосфорная и др.
Агрессивными по отношению к алюминиевым элемен-
там и соединениям являются фтор, хлор, бром, йод, соля-
ная кислота, мышьяковистая кислота, карбонат калня
(поташ), карбонат натрня( сода) и др.
Наибольшей коррозионной стойкостью обладают чис-
тый алюминий; технический алюминий АД1 с малым ко-
личеством прнмесей: сплав алюминий — марганец; маг-
налии с относительно невысоким содержанием магния
(до 4—5%): сплавы систем алюминий — магний — крем-
ний (прн отсутствии медн нлн ограниченным ее содер-
жанием до 0.1 %): сплав В92-Т.
Невысокой коррозионной стойкостью обладают спла-
вы Д1-Т, Д16-Т и B95-TI.
Наклеп обычно несколько снижает коррозионную
стойкость алюминиевых сплавов, неупрочняемых терми-
ческой обработкой. Термическая обработка снижает кор-
розионную стойкость.
Выбор марок и состояний алюминиевых сплавов дол-
жен увязываться с условиями эксплуатации. Напрнмер.
прн применении алюминиевых конструкций в приморской
среде рекомендуются сплавы системы алюминий — маг-
ний (магналии) н должны исключаться сплавы, содержа-
щие медь. В целях повышения коррозионной стойкости
следует избегать труднодоступных для осмотра и очист-
ки мест, а также мест скопления воды и пыли.
В целях исключения контактной коррозии следует
применять долговечные прокладки (СНиП I1-B.5G4).
«3 БЕТОН
1Ь5
Коррозионная стойкость алюминиевых сплавов может
быть в необходимых случаях повышена в результате:
а) применения покрытий (плакирования) листов, на-
пример, чистым алюминием во время прокатки листового
материала, что сопряжено, однако, с небольшим сниже-
нием показателей прочности; прн этом плакирование яв-
ляется обязательным для листов из дюралюмннов н
сплава B95-TI;
б) анодирования, как повышающего коррозионную
стойкость, так и улучшающего архитектурные качества
конструкций;
в) применения лакокрасочных покрытий.
4.3.	БЕТОН
Общие сведения. Бетон — искусственный каменный
материал; состоит нэ цементного камня (нлн камня, об-
разующегося нз других вяжущих материалов), тяжелых
нлн легких заполнителей (гравия, щебня, керамзита,
шлака, песка и пр.), пор и капилляров, заполненных воз-
духом и водой в жидкой н газообразной фазе.
Основные виды бетонов:
а)	цементный бетон, изготовленный нэ смеси порт-
ландцемента нлн цемента других видов, заполнителей
и воды;
б)	силикатный бетон, изготовленный нз смеси извести,
воды, тонкомолотой добавки (молотого кварцевого пес-
ка, доменного гранулированного шлака н др.), песка н
других заполнителей; силикатный бетон применяется
преимущественно в изделиях, твердеющих в автоклаве;
в)	ячеистый бетон, имеющий равномерно распреде-
ленные поры с размерами до 3 мм, изготовленный нэ
смеси вяжущего (цементного, известкового), тоикоднс-
персного компонента (например, молотого песка) и по-
рообраэователя.
По объемному весу бетоны подразделяются:
а)	иа обыкновенные (тяжелые) — с объемным весом
более I860 до 2500 кг/м*; изготовляются с тяжелыми
заполнителями (обычно с гравием и щебнем тяжелых
горных пород);
б)	легкие —с объемным весом 600—1800 кг/м3;
к ним относятся бетоны с легкими заполнителями (ке-
рамзитом, шлаком, пемзой) н ячеистые бетоны.
Кроме указанных существуют особо тяжелые цемент-
ные бетоны с объемным весом более 2500 кг/м*, применя-
емые для специальных защитных сооружений, и особо
легкие теплоизоляционные бетоны с объемным весом ме-
нее 500 кг/м3.
Более подробную классификацию бетонов см. [31].
Прочность (так же. как деформации и другие свой-
ства) в значительной степени зависит от соотношений и
свойств входящих в состав бетона материалов, методов
укладкн и обработки смеси, возраста к моменту загруже-
нни, размеров бетонного элемента, температуры и влаж-
ности среды, в которой находится бетон, и др.
Обобщенные данные о прочности и деформациях бе-
тона в зависимости от различных факторов, а также о
методах испытания, приведены в [23, 24, 26, 27, 29, 30,
32].
Прочность образцов бетона при сжатии зависит от
абсолютных и относительных (отношение высоты образ-
ца й к его толщине d) размеров образца. Это объясня-
ется действием возникающих прн сжатии сил трення
между поверхностями образца и плит пресса. Эти силы
препятствуют поперечным деформациям и увеличивают
разрушающую нагрузку. Влияние снл трення тем боль-
ше, чем меньше отношение h/d. Например, для образцов,
имеющих одинаковые размеры в плане, но разную высо-
ту, при h/d = 0,5 разрушающая нагрузка составляет
от 1.5 до 2,5 Ркув. а при h/d=4 — от 0.75 Ркт>
до 0.95 РКус. где РК1ь — разрушающая нагрузка для ку-
ба (h/d =1). Влияние сил трення изменяется также с
изменением абсолютных размеров образцов — кубов бе-
тона.
Превила изготовления, условия хранения и методы
испытания образцов бетона различных видов см. [25, 26,
Прочность бетона в конструкциях близка к прочности
бетона, получаемой прн испытании призмы, с отношени-
ем h/d = 44-8. Предел прочности прн сжатии призмы
сечением 20X20 см и высотой 80 см называется призмен-
ной прочностью Rat>. Она может быть вычислена, поль-
зуясь формулами (а) и (б), с подстановкой в них вме-
сто нормативных сопротивлений — пределов прочности
бетона.
Прн сжатии бетона образуются мнкротрещины (раз-
рывы). обнаруживаемые с помощью тензометрических,
ультразвуковых и других методов испытания прн срав-
нительно небольших напряжениях Ят. равных для очень
слабых бетонов 0,3—0,4 Я„г„ а для очень прочных 0,65—
0,75 Япр [24]. Видимые трещины появляются при напря-
жениях, превышающих 0,7 R„r.
Влияние длительности приложения нагрузки на проч-
ность зависит главным образом от величины напряже-
ний. Если напряжения в бетоне меньше Rr, то дли-
тельное приложение нагрузки не уменьшает (а по
некоторым данным немного увеличивает) предел проч-
ности бетона по сравнению с бетоном, не подвергавшим-
ся длительному загружению и испытанным в том же
возрасте. Если же напряжения превышают длительное
сопротивление бетона Ren =0,8 Rar, то длительное дей-
ствие нагрузки вызывает его разрушение.
Повторное приложение нагрузки прн большом коли-
честве циклов загружения приводит к разрушению, если
максимальное напряжение прн этой нагрузке превышает
Rr, т. е. для прочных и высокопрочных бетонов больше
0.5-0.75 Яир.
Различные факторы по-разному влияют на проч-
ность бетона при сжатии Яир. растяжении R„ и срезе
ЯсР. поэтому соотношения между этими показателями
прочности бетона изменяются в широких пределах. От-
ношение RnrIRf находится для разных бетонов в пре-
делах от 5 до 16, причем обычно (но не обязательно)
увеличивается с новышеннем марин бетона.
Сопротивление бетона растяжению при изгибе при
соизмеримых размерах образцов [35] ЯР., = 1,84-2,2 Яр;
прн этом Яр.* вычисляется по условной (для упруго-
пластнческнх тел) формуле сопротивления материалов
Ярв=М : V. При изгибе бетон разрушается в растяну-
той зоне. Разрушенне бетона в сжатой зоне возможно
только в железобетонных балках.
Сопротивление бетона марок 100—300 срезу Яср =
—0.184-0,27 ЯПр при длине площадок среза порядки 15—
20 см; в среднем Яср—0,22 Яир. Подробнее о сопротив-
лении и методах испытания бетона прн растяжении н из-
гибе см. [30, 35].
Проектные марки бетона по прочности на сжатие
н по прочности на растяжение являются характеристи-
ками прочности бетона, назначаемыми прн проектиро-
вании. Нормами установлены следующие проектные
марки бетона по прочности на сжатие Я: 15. 25. 35,
50. 75. 100. 150. 200, 300. 400. 600. 800. Марки 15-75 от-
носятся только к бетонам на пористых заполнителях, а
166
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
марки 400—800 — только к тяжелым бетонам.
Соответствие фактической прочности бетона его
проектном марке должно устанавливаться испытанием
кубов бетона; при опенке результатов испытаний следу-
ет учитывать не только средние пределы прочности бе-
тона. но н его коэффициенты изменчивости.
Нормативная кубнковая прочность бетона прн сжа-
тии R" назначается с учетом изменчивости прочности
бетона и принимается равной
R’ = R(1—2Г,),
где Си —нормативное значение коэффициента изменчи-
вости, равное для тяжелого бетона и бетона на
легких заполнителях с,=0,135, а для авто-
клавного ячеистого цементного бетона с,=0,18.
Нормативная призменная прочность бетона опреде-
ляется но формулам:
лля тяжелых бетонов н бетонов на пористых запол-
нителях:
R"
-^- = 0,8-0,0001 Я >0.75.	(а)
для ячеистых бетонов
Ян	_
-^5-= 0,95-0.0005 Я-	(б)
к"
Расчетное сопротивление бетона определяется деле-
нием его нормативной призменной прочности на коэф-
фициенты безопасности. Коэффициенты безопасности
при сжатии Ко.с при расчете по 1-й группе предельных
состояний принимаются равными для тяжелых бетонов
н бетонов на пористых заполнителях Лс.о = 1.20, а для
ячеистых автоклавных цементных бетонов Ко.о=1,50.
Нормативные и расчетные сопротивления бетонов раз-
личных видов см. в соответствующей главе СНиП.
Деформации. Зависимость между напряжениями о
и деформациями в для бетона различна прн разной ско-
рости, длительности нлн повторяемости процессов эагруз-
кн и разгрузки. Прн очень быстром (<мгновениом>) за-
гружении бетон ведет себя как идеально упругое тело.
Однако прн обычной в лабораторных условиях длитель-
ности испытаний (от нескольких минут до одного часа)
н тем более при длительной загрузке бетона в элементах
конструкций он должен рассматриваться как упруго-
пластический материал. Пластические, необратимые де-
формации происходят вследствие сдвига о гелевой струк-
туре цементного камня и иа контактах между заполните-
лем н цементным камнем. Прн напряжениях, превышаю-
щих /?» (см. выше), развиваются квазипластическне
деформации, вызванные процессом мнхрораэрушения бе-
тона.
Полная относительная деформация еа<,лч бетона без
учета усадкн может быть выражена формулой
Споли = еупр + еп»
где еуп» — упругая относительная деформация, соответ-
ствующая очень быстрому росту нагрузки:
в» — деформация ползучести, возникающая прн
длительном загруженни (в том числе в те-
чение многих лет): деформация ползучести
состоит нз обратимой (упругое последейст-
вие) и необратимой частей.
Зависимость в и а не однозначна н может быть пред-
ставлена полем о—в. Пример такой зависимости прн
сжатии тяжелого бетона (с постоянной скоростью загру-
Рис. 4.9. Зависимость деформаций от напряже-
ний
жеиня) показан на рис. 4.9 (по данным [41]). Поле с—е
ограничено кривыми: / — упругих деформаций; 2 — пре-
дельных деформаций прн длительном загруженни;
3 — пределов прочности бетона прн длительном затру-
женнн(цлнтельной прочности).
Деформации сжатия бетона при кратковременном
загруженни. Существующие нормативные документы
устанавливают зависимость между она, соответствую-
щую кратковременному эагруженкю, длительность кото-
рого не регламентврована, но обычно ие превышает
30 мим.
Диаграмма о — в прн постоянной скорости роста де-
формаций показана на рнс 4.10. Кривая деформаций
имеет нисходящий участок, соответствующий падению
нагрузки.
Вследствие разнообразия свойств бетонов, влияния
размеров образцов, влияния влажности бетона, зависи-
мости деформаций от скорости нагруженяя н условности
измерения предельной деформации, предшествующей
разрушению, результаты экспериментальных данных раз-
ных исследователей различны, особенно в части опреде-
ления предельной величины деформации.
Для установления связи между наиряжениями и де-
формациями вводят величины (рнс. 4.10): Е„ — модуль
упругости (начальный модуль деформаций); Е,—сред-
ний (секущий) модуль деформаций; Е, — касательный
модуль.
Приближенно Ев я в можно определять по форму-
ле Л. И. Оннщнка:
1.1 ftnp
Значения начальных модулей упругости при сжатян
бетона Е0=£о равны отношению нормального напри-
4.3. БЕТОН
167
Т в б л и и а 4.18
Начальные модули упругости тяжелого бетона
прн сжатии. Ев в кгс!см*
Проектные марки по прочности на сжатее			
150	|	200	|	300 |	400	|	600	«00
200 00U	| 240000 | 290000 | 330 000 |	350 000	400 000
Тавлввв 4.19
Начальные модули упругости ячеистого автоклавного
цементного бетона прн сжатии. Ев в mcfcxfi
Рнс. 4.10. Зависимость напряжений от де-
формаций прн кратковременном эагруже-
инн и определение модулей £№ Ес и Ев
Проектные нерки по прочности на сжатие
IS |	25 | 3S | GO |	73 |	100 |	>60
12000 |	17 000 |	2S000 |	30 000 |	60000 |	75000 |	100000
жения 0 к относительной деформации е прн величине
о<0.2Хср-
Значения Ев для тяжелых бетонов н автоклавных
цементных ячеистых бетонов приведены в табл. 4.18 и
4.19. Для бетонов на пористых заполнителях начальный
модуль упругости при сжатии определяется по формуле
£#=4000	-j- 25000,
где модуль упругости Ев н прочность бетона Я в кгс/см\
а объемный вес у в г/л3.
Через Ев по формулам, приведенным в СНнП П-В. 1-72
[133), выражается жесткость В бетонных н железобе-
тонных элементов, принимаемая прн расчете деформа-
ций н колебаний конструкций. Средний модуль дефор-
маций бетона при значениях напряжений, близких к рас-
четным сопротивлениям, можно принимать равным:
£е=0.85£».
Доля упругой части е,ц> полной деформация умень-
шается с ростом напряжений. Прн напряжениях о
<Ц,5Япр упругая деформация составляет обычно более
0,8 полной деформации.
Предельные деформация вер прн кратковременном
сжатии бетона, соответствующие Яор, обычно составляют
от 0,8 до 2.2 мм/м для разных видов бетона. Прн все-
стороннем сжатии бетона можно получить очень большие
предельные деформации, порядка 10 мм/м н более.
Коэффициенты поперечного расширения тяже-
лого бетона при напряжениях о^0,5-?0,6 ₽пр обыч-
но находятся в пределах р=0,14-0,2. Прн
напряжениях более 0,6 ЛПр коэффициент р быстро воз-
растает н прн напряжениях 0,9 — 0.95 ЛОр р = 0,5. Сог-
ласно [130] прн отсутствии опытных данных принимает-
ся для тяжелого н легкого бетона р = 0.15. для ячеис-
того бетона р = 0,2. Прн одноосном сжатии объем
бетона прн высоких напряжениях начинает постепенно
увеличиваться по сравнению с объемом, соответствую-
щим более ннэкнм напряжениям, н к моменту разруше-
ния превышает первоначальный объем, что объясняется
развитием мнкротрещни внутри массы бетона,
Деформации сжатия бетона при прерывных и повтор-
ных кратковременных нагрузках. На рнс. 4. 11 показана
диаграмма сжатия бетона прн прерывной (ступенчатой)
нагрузке и одинаковой длительности выдерживания
Рис. 4.11. Зависимость между деформациями
н напряжениями прн прерывной нагрузке и
одинаковой длительности выдерживания каж-
дой ступени нагрузки
каждой ступени нагрузки. После каждой ступени нагруз-
ки на диаграмме отмечена горизонтальная площадка,
длина которой зависит от длительности п величины на-
грузки. С течением времени развитие деформаций прек-
ращается тем быстрее, чем меньше напряжение о. При
очень больших напряжениях, близких к Лою. деформа-
ция развивается непрерывно, сначала при постоянной,
а затем н при уменьшающейся нагрузке.
При повторных нагружениях в загрузках постепенно
увеличиваются остаточные деформации, а кривая раз-
грузки и нагрузки выпрямляется, если напряжения не
превышают предела выносливости бетона. После не-
скольких циклов нагрузки н разгрузки бетон начинает
работать, как идеально упругое тело (рнс. 4. 12, а). Ес-
ли же напряжения превышают предел выносливости, то
кривые нагрузки после ряда циклов нагружения остают-
ся искривленными, н прн продолжении таких испытаний
происходит разрушение бетона.
168
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ^ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
На рнс. 4.12.6 (первый иикл загрузим и разгрузки)
видно, что в процессе разгрузки до нулевых напряжений
исчезает упругая часть деформаций erOp. С течением вре-
мени после разгрузки постепенно исчезает еще неболь-
шая часть деформации еу|ф (деформация упругого пос-
ледействия). Остальная часть деформации е001 является
необратимой (остаточной).
Физические явления, происходящие в бетоне прн пов-
торных нагружениях, близки к возникающим прн очень
с*
а '
Рис. 4.12. Диаграмма деформаций
бетона при повторных нагруже-
ниях
л— при напряжении. меньшем пре-
доа buxoc-iiiuoci и: б — при первой
uiiK.i« зчгружения
длительном приложении нагрузки. Поэтому, если напря-
жения прн повторных нагрузках не превышают R.. то
можно ожидать, что с увеличением количества циклов
эагруження полные деформации бетона достигнут пре-
дельных полных деформаций с учетом ползучести бето-
на (см. ниже).
Деформации при растяжении и сдвиге бетона мало
исследованы. Прн длительном приложении нагрузки об-
наруживаются пластическве деформацнн растяжения,
преимущественно прн высоких напряжениях в бетоне.
Более подробные данные о деформациях бетона прн ра-
стяжении см. (35).
Согласно (130) модули упругости прн растяжении при-
нимаются теми же, что и прн сжатии.
Предельная деформация бетона прн растяжении при-
мерно в 10 раз меньше, чем прн сжатии, и составляет от
0,07 до 0,2 мм/м. Растяжимость бетона в большой сте-
пени зависит от вида заполнителя. Для легких бетонов
на щебне из туфа Г. Д. Цнскрелн (35) получил величину
предельной деформации прн растяжении от 0,16 до
0,3 мм/м.
Согласно (130) при отсутствии опытных данных раз-
решается принимать модуль сдвнга бетона G«=0,4 £«
Деформация ползучести при сжатии бетона наблю-
дается даже при сравнительно небольших напряжениях:
если напряжения не чрезмерно велики, эти деформации
с течением временя затухают. Затухание деформаций
объясняется, с одной стороны, постепенным перераспре-
делением напряжений в бетоне от высокопластнчной ге-
левой составляющей на значительно более жесткие за-
полнитель и цементный сросток, п с другой — уменьше-
нием по мере твердения бетона количества геля в пос-
леднем.
Деформацнн ползучести, в том числе н предельная
(соответствующая <-*«>). зависят от многих факторов.
Возраст бетона в момент нагружения влияет особенно
сильно в первый период времени после нагружения н в
меньшей степени в дальнейшем. С течением времени
устанавливается одинаковая скорость деформации бе-
тона, нагруженного в разных возрастах. Прн относитель-
но небольших напряжениях, не превышающих 0.5/?пр,
деформации ползучести за определенный промежуток
иремеии действия нагрузки, а также и предельные
Рас 4.13. Номограмма И. И. Улицкого для определения предельной харак
тсристшш ползучести
приблизительно пропорциональны ве-
личине действующего постоянного на-
пряжения. Прн напряжениях более
0.5 Ku г зависимость между предель-
ной деформацией ползучести и на-
пряжением нелинейна: предельная
деформация растет быстрее напря-
жения. Например, прн о=0.6К„г
предельная деформация может быть
в два раза больше, чем при о =
=0.5 /?»Р.
Существенно влияют и размеры
сечения испытываемых образцов По
опытам [39] деформация ползучести
через 500 дней для образцов диамет-
ром IS см была на 60% больше, чем
для образцов диаметром 25 см. Вли-
яют на деформацнн ползучести так-
же вид применяемого цемента, со-
став бетона, вид заполнителя, влаж-
ность бетона и среда, в которой он
находится.
Ползучесть прп напряжениях, не
превышающих 0.5 характеризу-
ют так называемой мерой ползуче-
сти с (в иР/кГ), равной огноентель-
«.3. БЕТОН
169
нон деформации ползучести при напряжении 1 кГ/смг.
Мера ползучести является функцией времени и увеличи-
вается с длительностью приложения нагрузки.
Иногда ползучесть определяют не мерой ползучести,
а так называемой характеристикой ф|, равной отноше-
нию деформации ползучести еа к упругой деформации
е10р:
Рнс. 4.14. Деформация ползучести ,39. 40,. Об-
разцы-цилиндры <1=10 см, h-Зо см. Состав бе-
тона 1:5 по весу. B/U =0.69
Зависимость между мерой н характеристикой ползу-
чести определяется формулой
е = ^Ф"
Деформация ползучести может определяться по фор-
муле
где t— время, отсчитываемое от момента изготовления
бетона.в годах;
т—возраст бетона в момент нагружения в годах;
о—напряжение в кГ/смг (оСО.о Лор).
Формула дает хорошие результаты для тяжелых бе-
тонов при коэффициентах «п=1,5 и п=2.
По экспериментальным данным (40), соответствую-
щим длительности нагружения бетонных образцов до 7—
10 лет. была установлена предельная мера ползучести о
зависимости от вида применяемого цемента —от 0.007
до 0,018 мм/м. Согласно [38, 39) предельная мера пол-
зучести составляла для образцов нз тяжелого бетона
на портландцементе, загруженных в возрасте 28 дней.
0,017—0,018 мм/м, а загруженных в возрасте 90 дней,
0,015—0,016 мм/м.
Деформация ползучести развивается в основном о
течение первых двух лет после нагружения бетона; че-
рез год достигает 65—75%. а через 2 года—80—90%
величины предельной деформации. На рнс. 4.14 показаны
деформации ползучести бетона по опытам [39, 40,.
Усадка бетона происходит вследствие изменений объ-
ема гелевой структуры, вызванных постепенным испа-
рением избыточной воды н погло-
щением ее зернами цемента прн
 ндратаинн. Прн обезвоживании
гель уплотняется, причем остаю-
щаяся в гелевой структуре вода
стягивает частицы геля ,36).
Усадку бетона вызывают также
химические процессы, происходя-
щие при его твердении.
В первые дни твердения бетона
при быстром процессе кристалло-
образования и вследствие влия-
ния экзотермнн возможно некото-
рое увеличение объема бетона.
В последующем происходят опи-
санные выше процессы, вызываю-
щие усадку бетона. Скорость усад-
ки уменьшается с течением вре-
мени, ио прекращение ее иногда
наблюдается только через не-
сколько лет.
Исследования [22, показали,
что ирн достаточно высокой влаж-
ности бетона высыхание его, свя-
занное с удалением свободной во-
ды нз крупных пор, не вызывает
9 Шлет усадки. По достижении некоторой
«критической* влажности бетона
начинается удаление влаги нз гелевой структуры и про-
исходит усадка.
Величина «критической* влажности в опытах [22, для
тяжелого бетона находилась в яредслах 1—2%. По дру-
гим данным усадка начинается при более высокой
влажности бетона. Опыты, яроведенные над небольши-
ми образцами затвердевшего бетона, показывают, что
его усадка составляет обычно от 0.2 до 0.4 мм/м, до-
стигая в некоторых случаях 0,7 мм/м (для бетонов,
имевших в начале измерений возраст несколько дней)
Прн увлажнении происходит увеличение объема бето-
на (набухание). Оно начинается также после достиже-
ния некоторой «критической* влажности. Деформации
набуханпя (отнесенные к 1% влажности бетона) значи-
тельно меньше деформаций усадки.
Подробнее о деформациях усадки и набухания и ме-
тодах их определении см. [22. 133].
Коэффициент линейного температурного расширения
а, нс является устойчивой величиной н зависит от вила
и состава бетона, вида заполнителя н пр.
Величина ш, прн изменении температуры конструк-
ции от —50° С до 4-50° С. принимается в пределах от
0,7-10-5 в зависимости от вида и состава бетона, если
влажность бетона близка к условиям естественного воз-
душно-сухого хранения. Прн более высокой влажности
щ принимается от 1-10*’ до 1.5-10*’ —при отрица-
тельных температурах и увеличивается на 0.1 • 10*’ —
при положительных температурах.
170
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
4.4.	КАМЕННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И РАСТВОРЫ
Общие сведения. Каменные материалы подразделя-
ются по своему происхождению на искусственные и
природные. К искусственным камням относится обыкно-
венный. пустотелый я пористый (обожженный) кирпич,
пустотелые керамические камни, силикатный кирпич,
крупные и обыкновенные сплошные н пустотелые бетон-
ные н легкобетонные камин, камин нз ячеистых бетонов,
сырцовые каменные материалы (сырцовый кирпич, са-
Рис. 4.15. Виды современных искусственных каменных
материалов
а—кирпич сплошной; б*—кирпич нустотслый пластического
прессования; в—то же. сухого прессования; г—пустотелые ке-
рамические камин; д — бетонные камин сплошные: е —то же.
пустотелые с щелевидными пустотами: ж — крупные блоки лег-
кобетонные сплошные
ман) н др. Наиболее распространенные типы современ-
ных искусственных каменных материалов показаны на
рнс. 4.15.
Природные камни подразделяются на камин правиль-
ной н неправильной формы. Камин правильной формы
применяются для кладки стен и облнцовкн. Камин для
кладки стен выпиливают нз мягких горных пород (с
пределом прочности от 4 до 100—150 кг/см3) — вулка-
нических туфов, мягких известняков (типа ннкерманс-
кого в Крыму), известняков-ракушечников. Плиты н
камин для облнцовкн изготовляют распиловкой нлн рас-
калыванием (с последующей обработкой поверхностей)
нз гранита, диорита, базальта, лабрадорита, известняка,
песчаника, мрамора и других изверженных, метаморфи-
ческих и осадочных пород. Камень неправильной формы
(бут рваный, бут постелнстын, плитняковый бут) полу-
чают из местных горных пород всех видов, но преиму-
щественно нз известняка.
Растворы для каменных кладок подразделяются:
а) но объемному весу в сухом состояннн — на обыкно-
венные (тяжелые) с объемным весом 1500 ке/м3 и лег-
кие с объемным весом менее 1500 кг1м,\ б) по виду вя-
жущих — на цементные, известковые н смешанные (це-
ментно-известковые. цементно-глиняные). Для зимней
кладки применяются растворы с противоморозными до-
бавками — нитритом натрия, поташом и др.
Более подробные данные о каменных материалах и
растворах см. |65).
Прочность. Методику испытаний каменных материа-
лов определяет ГОСТ 8462—62 [49]. Основной вид испы-
тания— испытание на сжатие, иа основании которого
устанавливается марка камня.
Прочность на изгиб определяется только для кирпи-
ча высотой 65 и 88 зон (рнс. 4.15).
Испытания на осевое растяжение и на срез ГОСТом
не предусматриваются.
Марки камня, принимаемые прн проектировании и
характеризующие предел прочности камня на сжатие
в кГ/см\ установлены следующие: 4, 7, 10. 15. 25, 35, 50,
75. 100. 125. 150, 200, 300. 400. 500, 600. 800 и 1000.
Природные камин одной н той же горной породы от-
личаются большим разнообразней механических свойств,
различных не только для камня разных карьеров или
разных участков одного и того же карьера, но даже
Таблица 4.Я»
Пределы прочности иа сжатие и марки природных
камней из различных горных пород
Материал	Объемный вес в кг!м*	Предел прочности в кПсм*		Наиболее распро- странен- ные марки камней
		от	ДО	
Известняк плотный.				
прочный 	 Известняк малой прочности (мягкий, пильный) типа ин-	2000-2600	150	2000	200. 300. 400. ЫЮ
керманского . . .	1800-2000	30	150	38, 50. 75, 100 1000
Мрамор		2500-2800	1000	3000	
Песчаник ....	2100-2800	100	2000	300. 400. 500. 600. 800
Гранит	2500-2800	1000	3200	1000
Споки г .	. .	2500-2900	1500	20U0	1000
Диабаз	. .	3000	2000	4000	1000
Базальт	. . Вулканические ту- фы: артнкскнй (Ар-	2700-3300	1000	4000	1000
ыянская ССР) . тслзаысннй (Гру-	900-1600	35	150	35. 75. 100
зпнекая ССР) . Известняки - раку- шечники: крымский жел- тый (евпаторкй-	1200	50	150	50, 75. 100
скнй) .... крымский белый	900—1200	4	15	4, 7. 10
(керченский)	1200-1400	7	25	7. 10. IS
одесский . . .	1100-1300	7	15	7. Ш. IS
молдавский . . бакинский:	1400-1600	15	50	15, 25
пористый	1300—1400	7	1S	7. 10. IS
более плотный	1500-2000	25	150	35. 50. 75, ion. 150
««^КАМЕННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И РАСТВОРЫ
171
одного и того же пласта породы. Особенно неоднородны
осадочные породы.
В табл. 4.20 приведены пределы прочности на сжатие
камня наиболее распространенных горных пород [44,
55-581
При увлажнении осадочные породы теряют часть
своей прочности. Так, коэффициент потерн прочности
при увлажнении плотных известняков равен обычно
0,85—0,65, а мягких известняков — 0,70—0,50. Песчаники
в зависимости от содержания в них глины могут терять
еще бблыиую часть прочности (до 70%). Допускается
применение камней, имеющих коэффициент потери проч-
ности не ниже 0,6. Увлажнение изверженных пород
практически ие снижает нх прочности.
Установленные ГОСТами [42, 43, 46—48] марки раз-
личных видов кирпича, керамических к бетонных кам-
ней приведены в табл. 4.21. В табл. 4.22 даны соотноше-
ния между пределами прочности образцов кирпича при
различных испытаниях.
Таблица «I
Марки искусственных каменных материалов
Матерная	Марки, установленные ГОСТом и нормами
Кирпич: глиняный обыкновенный . * силикатный		 глиняный пустотелый пла* стмческого прессования . . то же. полусухого прессова- ния ....».»•• шлаковый Камни: керамические	пустотелые пластического прессования . бетонные, легкобетонные н из ячеистого бетона (вклю- чая крупные блоки): сплошные нз обыкновенных тяжелых бетонов	 то же. пустотелые .... сплошные нз легких бетонов и силикатные автоклавные . то же. пустотелые .... сплошные из особо легких бетонов ......... Сырцовый кирпич, саман и т. п.	200. 1S0. 125. 100, 75. SO 200,	150,	125,	100,	75 150.	125.	100.	75,	50 100,	75.	50 75.	60,	25 150.	I .	100, 75.	60 200.	150,	125.	100,	75.	50 100,	75.	50»	35 100.	75.	60.	35 75,	60,	36.	25 100.	75.	60.	35 IS.	10.	7»	4
Таблица 4.22 Отношение пределов прочности кирпича при изгибе, растяжении и срезе и пределу прочности при сжатии, определяемому стандартным испытанней [60]		
Испытание	Пределы коле- баний относи- тельной проч- ности	Средняя от- носительная прочность
Изгиб .«••••••« Растяжение • •••>• Срез		1 0.Ю-0.36 0,02-0,1 0,13—0.33	1 0.2 0,06 0,2
Прочность кладки из кирпича высотой 65 иля 88 мм
в значительной степени зависит не только от его сопро-
тивлении сжатию, ио н от других показателей прочно-
сти, в частности от сопротивления растяжению и иэгн-
. . Но.гимг ГОСТами (10. Ill установлены для каждой
марки кирпича также и требования к прочности прп из-
гибе, ^приведенные для основных видов кирпича в
Пределы прочности бетонных камней при сжатии,
изгибе, растяжении и срезе определяются прочностью
бетона, из которого оив изготовлены.
Таблица 4.23
Средине винчения предела прочности глиняного
в силикатного кирпича при изгибе в кГ/см2
Марка кирпича	200	150	125	100	75
Предел прочности при изгибе (среднее) в иПсм*	34	28	25	22	18
Марки раствора, принимаемые прн проектировании
н характеризующие предел прочности на сжатие стан-
дартных образцов по ГОСТ 5802—66 [45] в возрасте 28
дней (для монтажных швов кладки из панелей н круп-
ных блоков в для ручной кладки), установлены следу-
ющие: 4, 10, 25, 50, 75, 100, 150 и 200.
О назначении марок см. [65].
Деформации. Деформации природных камней иссле-
дованы сравнительно мало. По испытаниям [51] гранит
достаточно близок по своим механическим свойствам к
идеально упругим материалам. При напряжении 0,8 раз-
рушающего упругие деформации гранита составляли
85% общей деформацнн.
Для гранита с пределом прочности 1100 кГ/см2 прн
а—0,8Я| (где /?,— предел прочности образна ирн сжа-
тии) модуль упругости Е=450 000 кГ/см2, секущий мо-
дуль (средний модуль полных кратковременных дефор-
маций) Е«—375000 кГ1см2, полная деформация сжатия
0.2 мм!м, коэффициент поперечного расширения р—
-0,08 ч-0,15.
По данным [50], для известняков с пределом прочно-
сти 500—1000 кГ/см2 предельные деформацнн сжатия
составляют от 1,4 до 3,4 мм1м прн максимальной упру-
гой деформации 0,7—2,4 мм!м. Секущий модуль пля из-
вестняков Ее = 180000-т-315000 кГ/см2. Коэффициент
поперечного расширения р=0,2+0,3 пря oC0,6/?i; при
больших напряжениях р—0,3+0,4.
Деформации обожженного кирпича [54] примерно про-
порциональны напряжениям. Модуль упругости кирпича
пластического прессования, определяемый по деформаци-
ям кубиков или призм, вырезанных нз кирпича. Е—
-=200+1200/?!- Более инэкне значения Е получаютсн для
образцов меньшей плотности (меньшего объемного ве-
са). имеющих трещины, и слабообожжениых.
Модуль упругости кирпича полусухого прессования
прн сжатии в направлении прессования Е=300+ 400/?h
а в направлении, перпендикулярном направлению прес-
сования. Е—80+120/?).
Зависимость между напряжениями и деформациями
силикатного кирпича криволинейна. Его упругие свойст-
ва зависят в значительной степени от плотности кирпи-
ча. По экспериментальным данным, прн о=0,4/?| секу-
щий модуль упругости силикатного кирпича Е.=350+-
+ 1200 /?>.
Коэффициент поперечного расширения кирпича
р-0,08+0,12.
Предельная деформация сжатия керамических кам-
ней [53] при /?|—150+300 кГ/см1 составляет от 1,1 до
3 мм/м. Отношение предельной деформации сжатия к
предельной деформацнн растяжения изменяется от 9 до
172
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
15 (большая цифра —для более прочной керамики).
Пластические деформации составляют от 10 до 25%
полной величины деформации. Секущий модуль керами-
ки при /?=200-5-330 кГ/см1 Ес-50000-5-80000 кГ/см*.
Коэффициент поперечного расширения прн о—0,5/?i ра-
вен. ji=0,1; с ростом напряжений и увеличивается, до-
стигая к моменту разрушения р—0.25.
О деформациях раствора см. [54].
Деформации ползучести обожженного кирпича пла-
стичсско) о прессования [52] незначительны н составляют
в возрасте 180 дней прн o=0,55Ri около 0,12 мм/м. Де-
формации ползучести силикатного кирпича в том же
возрасте прн o=0,3/?i равны 0,59 мм1м.
Усадочные деформации глиняного обожженного кир-
пича прн увлажнении н сушке незначительны и в зави-
симости от степени обжига и пористости кирпича нахо-
дятся в пределах от 0.01 до 0,06 мм1м. Усадка силикат-
ного кирпича, согласно требованиям английского стан-
дарта. может составлять 0.25—0,35 мм/м.
Коэффициенты линейного расширения каменных ма-
териалов (32)
гранит .
известняк
сланцы
кирпич .
0,8-10-»
0,9-10-»
1,0-10-»
0,45-10-»
4.5.	КАМЕННАЯ КЛАДКА
Прочность. Каменная кладка хорошо сопротивляется
сжатию н относительно плохо — растяжению. Сопротив-
ление кладки растяжению зависит от сцепления раство-
ра с камнем, которое определяется рядом факторов и
колеблется в широких пределах. Проектная прочность
сцепления может быть обеспечена только прн условии
соблюдения ряда специальных производственных меро-
приятий. Поэтому каменные стены н столбы проектиру-
ют таким образом, чтобы эксцентрицитет нс превышал
0,45(1, где й высота сечення; прн этом в расчете не учи-
тывают сопротивление кладки растяжению, н внутрен-
нее продольное усилие уравновешивается напряжениями
одной лишь сжатой зоны.
Вследствие местных неровностей н неодинаковой
плотности раствора в швах при сжатии кладки камин
испытывают, кроме напряжений сжатия, также наяряже-
ння изгиба н среза. Если модуль упругости
камня больше, чем раствора, то в поперечном
направлении в камне возникают напряжеиня растяже-
ния, а в растворе — сжатия. Вертикальные швы клад-
ки вследствие слабого сцепления раствора с камнем
могут рассматриваться как узине вертикальные щели, у
концов которых возникает концентрация напряжений.
Таким образом, при сжатии кладки ее элементы нахо-
дятся в весьма сложном напряженном состоянии, что
является причиной значительной разницы между проч-
ностью кладки н составляющих ее камня н раствора.
Напрнмер. прочность кирпичной кладки на самом проч-
ном растворе составляет обычно лишь 35—40% прочно-
сти кирпича. Наибольшее влияние на прочность кладки
имеют:
а)	прочность камня; увеличение предела прочности
камня прн сжатии в 2 раза повышает прочность кладки
в 1.6—1.8 раза; прочность кнрпкчной кладки, кроме того,
зависит в очень большой степени от сопротивления кир-
пича изгибу н срезу;
б)	размеры камня; чем больше высота камня, тем
больше момент сопротивления его сечення н, следова-
тельно, тем меньше влияние сопротивления камня изги-
бу н срезу; с увеличением высоты камня прочность
кладки, прн прочих равных условиях, существенно по-
вышается (рнс. 4.16);
в)	форма камня; в кладке нз камней неправильной
формы прн сжатии очень велики местные концентрации
напряжений н, кроме того, уменьшается сопротивление
кладки сдвигу по плохо перевязанным сечениям; поэто-
му. напрнмер, кладка нз рваного бутового камня высо-
кой прочности даже на прочном растворе имеет предел
прочности, равный лишь ,2—6% прочности камня;
г)	наличие пустот в камне; кладка из пустотелых
камней, как правило, слабее кладки из сплошных кам-
ней при одинаковой прочности камня вследствие нерав-
номерного распределения напряжений в кладке; степень
этого уменьшения прочности зависит от формы и рас-
положения пустот в кладке и для кладки из оптималь-
ных типов пустотелых камней может быть минималь-
ной;
Рнс. 4.16. Зависимость между пределом прочно-
сти кладки ₽» н раствора fa (прочность камня
fa-100 кПсмЦ
I — кирпичная кладка: Э — кладка из сплошных бетон-
ных камней: 3 — кладка из пустотелых бетонных кам-
ней: 4 — кладка из крупных блоков кэ тяжелого бетона:
5 — то же. из легкого бетона; 6 — кладка нз равного
бута
д)	прочность раствора (см. рис. 4.16); ее влияние
значительно и тем больше, чем меньше высота камня;
увеличение прочности раствора с 4 до 100 кГ/см1 повы-
шает прочность обычной кирпичной кладки в 1,8—2 ра-
зя; имеет существенное значение также плотность рас-
твора: применение пористых, сильносжнмаемых раство-
ров (например, на легких заполнителях) понижает проч-
ность кладки на 10—30%;
е)	качество кладки; неровная поверхность н неоди-
наковая плотность раствора в горизонтальных швах,
плохое заполнение швов н т. п. значительно уменьшают
прочность кладкн; если принять за 100% установленный
нормами средний предел прочности ручной кирпичной
I.S. КАМЕННАЯ КЛАДКА
173
кладки при обычном ее качестве, то при более низком
качестве прочность кладки составляет всего лишь
80—85%. а прн очень высоком —150—160%; вибриро-
вание кирпичной кладки значительно улучшает заполне-
ние швов, что является одной из причин большого повы-
шения прочности внброкирпичной кладки по сравнению
с обычной; применение жестких, трудноукладываемых
растворов ухудшает качество швов и понижает проч-
ность кладки па 10—15%;
ж)	перевязка кладки; имеет весьма существенное
значение при внеиентренном пркложенин нагрузок, прн
действии горизонтальных нагрузок (например, сейсмиче-
ских), при зимних кладках, выложенных методом замо-
раживания н пр.;
з)	сцепление раствора с камнем; имеет решающее
значение в случаях, когда кладка работает на растяже-
ние или на изгиб.
Наиболее вероятные (ожидаемые) пределы прочности
прн сжатии кладки среднего качества приведены в
табл. 4.24. Они вычислены по формуле Л. И. Оннщика
(65]. которая связывает прочность кладки с прочностями
камня и раствора.
Тавявда 4.34
Пределы прочности при сжатии каменных кладок R0
Кладка	Марка камня	Значения Я» при прочности раствора в хГ/ся<		
		100	60	25
Кирпичная не тяжелых	160	46	35	30
растворах с добавлением	100	35	30	25
извести нлн глины	75	эо	25	22
111 сплошных бетонных	100	46	40	35
камней при высоте ряда	76	37	32	*И|
кладки 200—300 хм	60	30	25	23
Крупноблочная; блоки мл	160	п	77	74
тяжелого бетона	100	61	64	51
То же. нз легкого бетона	75	42	42	41
	60	29	29	2Я
Из рваного бута	400	30	23	16
	200	22	17	13
Примечание. Пределы	прочности бутовой к			ладкн
указаны для возраста 3 мес.,	для остальных кладок — на			
26-я день.				
Вибрнрованная кладка кирпичных панелей может
иметь прочность в 1,7—2 раза более высокую, чем проч-
ность обычной кладки из тех же материалов.
Влияние длительности приложения нагрузки иа со-
противление кладки сжатию зависит от величины напря-
жений. Длительное сопротивление /(£. сжатию ориенти-
ровочно равно: для кирпичной кладки на растворах ма-
рок 50 н выше — 0.8 R°, марок 10 и 25 — 0.7 Я0, для кла-
док на известковом растворе—0,6Л*. При напряжени-
ях о</?д(| кладка может нести нагрузку неограничен-
ное время. Прн напряжениях 0,2Я°<о<Л^л прочность
кладки с течением времени даже несколько повышает-
ся (на 5—15%) в результате ее уплотнения под на-
грузкой.
Сцепление раствора с кладкой зависит от прочности
н усадки раствора, скорости поглощения камнем воды,
чистоты поверхности камня, температуры и влажности
воздуха, при которых твердеет кладка, содержания при-
месей в камне н растворе. Различают нормальное (к
плоскости контакта раствора н камня) и касательное
сцепление.
Осевое растяжение и растяжение прн изгибе возмож-
но по неперевязанным сечениям, напрнмер по горизон-
тальному шву (рнс. 4.17,с), н по перевязанным, напри-
мер по ступенчатым или плоским вертикальным сечени-
ям (рис. 4.17,6). Сопротивление растяжению но непере-
Рис. 4.17. Растяжные кладки
п - 1клсрсвяэян||ых сечений: 6 — псрсоя-
О.1ИПЫХ сечений: I — сеуненчятое сече-
ние: ? — плоское сечение
вязанному сечению зависит исключительно от величины
нормального сцепления, а сопротивление по перевязан-
ным сечениям — главным образом от величины каса-
тельного сцепления, а иногда, прн малой прочности кам-
ня, от его сопротивления растяжению.
Подробные данные о сцеплении и сопротивлении
кладки растяжению н изгибу приведены в [62, 65], а
расчетные сопротивления при сжатии и других видах
напряженного состояния — в [134].
При расчете каменных конструкций, работающих
в обычных условиях, разрешается учитывать только рас-
тяжение по перевязанным сечениям (напрнмер, прн рас-
чете силосных башен); сопротивление кладки но иене-
рсвязаниым сечениям принимается в расчет только прн
действии сейсмических нагрузок.
Во всех случаях, когда прочность конструкции обес-
печивается ее сопротивлением растяжению, должны
приниматься специальные меры прн производстве работ,
обеспечивающие надежное сцепление.
В обычных условиях растяжение при изгибе по непе-
ревязаиным сечениям учитывается только при расчете
на виеиентренное сжатие прн больших эксцентриците-
тах; в этом случае расчет растянутой зоны, с учетом
растяжения, является лишь условным методом ограни-
чения раскрытия горизонтальных швов (трешнн).
Деформации. Кладка является упруго-пластическим
телом. Характер зависимости между деформациями н
напряжениями для кладки тот же. что н для бетонов
(см. 4.3): изменяются лишь числовые значения характе-
ристик.
Абсолютная деформация кладки при сжатии значи-
тельно превышает суммарную деформацию рядов кирпи-
ча н горизонтальных растворных швов, образующих
кладку. Эго объясняется смятием раствора в зонах кон-
174
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
тактов камня н раствора н постепенным закрытием воз-
душных промежутков, образовавшихся вследствие не-
ровной поверхности горизонтальных швов [54].
Зависимость между напряжениями н деформациями
является функцией длительности приложения нагрузки
и может быть представлена полем о—е, иак это пока-
зано для кладки на прочном растворе на рнс. 4.18.
Рис. 4.18. Примерная зависимость между напряжениями
н деформациями для кирпичной кладки на прочном
растворе. Я°=30 кЛсм3; £о=30000 кГ/см’. Загрузка
в 28-дневном возрасте
/ — кривая упругих деформаций: 3 — то же. длительной прочно-
сти; 3 — то же, предельных деформаций при длительном за гру-
жении
Модуль упругости кладок (начальный модуль дефор-
маций) £о определяется по формуле
£о = аЯн,
где а—упругая характеристика: принимается для не-
, армированных кладок по табл. 4.25;
Я"—средний предел прочности кладки прн сжатии.
Значение среднего модуля упругости прн напряже-
ниях, соответствующих эксплуатационным нагрузкам,
£=0,8 £». а прн напряжениях, близких к разрушающим,
£=0.5 Еь-
Прн кратковременной нагрузке относительные дефор-
мации е при любом напряжении могут быть вычислены
по формуле, приведенной в 4.3. Полная относительная
деформация прн длительной нагрузке н прн напряже-
нии а определяется (с учетом ползучести, но без учета
усадки) яо формуле
а
ЙПОЛН.ЛЛГП — Ч^упр = 4 £ •
где 4=2>2 — для кладин из обыкновенного глиняного
кирпича и из керамических камней;
4=3— для кладки нз силикатного кирпича, а так-
же нз крупных блоков и камней нз легко-
го нлн силикатного бетона;
4=2,8—для кладки из крупных блоков нлн кам-
ней, изготовленных из тяжелого бетона;
4=3,5—для кладки нз крупных блоков или кам-
ней. изготовленных из автоклавного ячеи-
стого бетона.
Подробнее о деформациях ползучести каменных кла-
док см. [52].
Деформации усадки кладки из обыкновенного глиня-
ного кирпича малы, и ими обычно пренебрегают. Дефор-
мации усадкн кладки из силикатного кирпича принима-
ют равными 3 • 10'*. а кладки из различных видов бе-
тонных камней — от 2,5 • 10“* до 3,5  10* (подробнее
см. (65]).
Коэффициент линейного расширения кладки из гли-
няного кирпича и керамических камней а=0,5Х
X 10'* град-'; кладки из силикатного кирпича, бетонных
камней, крупных блоков и бутобетона — 1  10'* град-';
кладки нз природных камней —0.8-10'* град-'.
Приведенные выше данные о прочности н деформа-
тнвиых свойствах кладок относятся к условиям возведе-
ния их прн нормальных температурах. О выполнении
кладки в зимних условиях н об особенностях ее работы
прн этом см. [65, 134].
Более подробные данные о свойствах кладок см.
[59-65].
Таблица 4.25
Значения упругой характеристики а
Кладка	упругая характеристика а при марках раствора			
	25 и выше	10	4	0
Из кирпича глиняного пла- стического прессования, пу- стотелых керамических кам- ней. легкобетонных н легких природных камней ....	1000	750	500	200
Из кирпича силикатного	750	500	3S0	200
Крупноблочная: блоки из тяжелого бетона нлн из тя- желого природного камня (V > 1000 лг/л’)		1500	1000	750	500
То же. из .легкого бетона, силикатного бетона, авто- клавного ячеистого бетона, легкого природного камня .	750	750	500	350
Из тяжелых природных и цементных бетонных камней н бута		1500	1000	750	350
Из глиняного кирпича по- лусухого прессования обык- новенного и пустотелого . .	500	500	350	200
Примечание. Для клоаки на легких растворах				1НП-
ченпя а снижаются на 30%.				
4. 6. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И КОНСТРУКЦИИ
4.6.1.	Общие данные
Рациональное сочетание двух различных по своим
физико-механическим свойствам материалов — бетона и
стали, каменной кладки н стали, асбестоцемента и ста-
ли нлн стеклопластика — позволяет получить железобе-
тон различных видов, армокаменную кладку, армирован-
ный асбестоцемент. Их свойства зависят от свойств
исходных (бетона, стали, камня и др.), но в них появля-
ется ряд ценных свойств, которыми не обладали состав-
ляющие материалы.
Бетон н каменная кладка имеют предел прочности
при сжатии, превышающий предел прочности при растя-
жении в 10—15 раз н более, асбестоцемент — в 4—5 раз.
«.в. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛ!" И КОНСТРУКЦИИ
175
Использование высокой прочности при сжатии этих ма-
териалов в элементах конструкций, работающих на нэ-
п-6 или внецентренное сжатие, прн значительных экс-
центрицитетах возможно только прн усилении растяну-
той зоны сечення арматурой.
Если обычная бетонная нлн каменная балка при по-
яв-'еннн трещин в растянутой зоне разрушается, то прн
армировании растянутой зоны, несмотря на наличие тре-
щин в бетоне или в кладке, несущая способность балки
такого же сечения не исчерпана и нагрузка может воз-
расти во много раз.
В железобетонной нлн армокачеииой сжатой колон-
не достижение предела текучести в арматуре еще ие оз-
начает исчерпания ее несущей способности. Армирован-
ные конструкции, таким образом, обеспечивают н более
рациональное использование стали. В армированном
элементе арматура всех видов, кроме того, надежно за-
щищена от механических повреждений и коррозии.
Соединение бетона, кладки или асбестоцемента со
стальной арматурой обеспечивается силами сцепления
между этими материалами; малая разница в величине
коэффициентов линейного расширения этих материалов
практически исключает внутренние напряжения прн из-
менении температуры.
Работа конструкций нэ армированных материалов
более сложна, чем работа конструкций нз неармирован-
иых материалов; этим обусловлен н более сложный ме-
тод нх расчета.
Для армированного элемента не может быть приня-
то каких-либо постоянных модулей зависимости напря-
жение — деформация.
В зависимости от казначеикя конструкции и величи-
ны нагрузки для различных напряженно-деформирован-
ных состояний принимаются различные предпосылки
для расчета, установленные в основном эмпирическим
путем.
Единых методов испытаний армированных материа-
лов не установлено. Оценка нх прочности может произ-
водиться на основании оценки свойств исходных мате-
риалов: бетона, стали, каменной кладки, раствора, асбе-
стоцемента. стеклопластика. Прочность, жесткость н тре-
шнностойкость изделий, изготовляемых промышленны-
ми методами из армированных материалов, оценивается
испытаниями этих изделий по соответствующим ГОСТам
и техническим условиям.
4.6.2.	Железобетон
Подробные сведения о железобетоне см. в [77]. дан-
ные об арматуре и бетоне —в 4.1 и 4.3, о расчете —
в (77. 133).
Железобетонные конструкции, в которых отсутству-
ют искусственно созданные начальные напряжения, на-
зываются обычными. Если в процессе изготовления или
возведения железобетонных конструкций в них искус-
ственно создаются начальные напряжения, то этя кон-
струкции называются предварительно напряженными.
Начальные напряжения создаются предварительно
растянутой арматурой. Арматура подвергается растя-
жению либо до укладки бетона в опалубку, либо после
установки ее в каналах или по поверхности отвердевше-
го бетона отдельного элемента, либо же после сборки
конструкции. Иногда предварительно напряженные эле-
менты сами используются в качестве арматуры при об-
разовании более мощных железобетонных элементов.
Стадии иапряженио-деформяроваиного состояния.
В процессе нагружения железобетонный элемент испы-
тывает последовательно различные состояния, которые
условно разделяются иа три стадии.
На рнс. 4.19 показаны примерные кривые прогибов
середины железобетонной 2 и бетонной / балок, на
рис. 4.20—эпюры напряжений в различных стадиях.
В начале загруженни (стадия /. рис. 4.12) напряже-
ния в сжатой и растянутой зонах сечения балки нахо-
дятся в линейной зависимости от деформаций, эпюры
напряжений также линейные, деформации носят упру-
гий характер. По этой стадии проводится расчет жест-
кости бетонных или слабо армированных элементов, в
которых при эксплуатационной нагрузке нет трещин
в растянутой эоне. Напряжения в растянутой арматуре
Ста fun 1
Рис. 4.20
нс превышают 200—300 кГ/см1. Прн дальнейшем увели-
чении нагрузки эпюра напряжений искривляется и, ког-
да напряжения в растянутой зоне достигают предела
прочности, наступает стадия 1а. Бетонная балка в этой
стадии разрушается.
По стадии 1а ведут проверку иа образование трещин
в изгибаемых элементах н определяют их жесткость до
момента появления трещин.
В стадии II в растянутой зоне образуются трещины,
н все усилия растянутой зоны воспринимаются армату-
рой. На участках между трещинами сцепление бетона
с арматурой ие нарушается, и бетон здесь продолжает
работать иа растяжение. Наибольшие напряжения в ар-
176
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ТЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
натуре возникают в местах образования трещин, наи-
меньшие—в средней части участка между трещинами.
Между нагрузкой иа балку и прогибами (см. рнс. 4.19)
в стадии П существует криволинейная зависимость —
прогибы растут быстрее нагрузки.
В стадии На напряжения в растянутой арматуре до-
стигают предела текучести. Напряжения в сжатой зоне
бетона еще не достигают предела прочности бетона на
сжатие прн изгибе. Вследствие текучести арматуры
н увеличения плеча внутренней пары нагрузки в стадии
Па может еще несколько возрастать — до достижения
в сжатой зоне бетона предела прочности его на сжатие
прн изгибе, что характеризует уже стадию III — разру-
шение.
В этой стадии деформации ползучести распространя-
ются на значительную часть сжатой зоны сечения, эпю-
ра нормальных напряжений резко искривляется. Напря-
жения сжатой арматуры достигают значения предельно-
го сопротивления, напряжения растянутой арматуры
равны или менее величины предельного сопротивления.
По стадии II ведется расчет по второму и третьему
предельным состояниям, а также определяются усилия
в статически неопределимых системах с учетом нх пе-
рераспределения. вызванного пластическими деформа-
циями. По стадии /// ведется расчет по первому пре-
дельному состоянию, прн этом криволинейную эпюру
сжатия бетона допускается заменять прямоугольной.
Полностью сжатые или растянутые сечения состав-
ляют частные случаи рассмотренного выше напряженно-
деформированного состояния. В полностью сжатых се-
чениях могут быть лишь I и III стадии, в полностью
растянутых — все три стадии.
Если арматуру балкн натянуть и создать в бетоне
предварительные напряжения сжатия, то прн изгибе та-
кой балкн трешнны в растянутой эоне появятся только
после исчерпания предварительного напряжения сжатия
п достижения бетоном предельного удлинения. До этого
момента, если в сжатом бетоне не появились пластиче-
ские деформации, конструкция будет работать по ста-
дии I, т. с. балка будет деформироваться упруго. После
появления трещин эффект предварительного напряжения
не сказывается.
Сцепление стальной арматуры с бетоном обеспечива-
ет совместную нх работу. Сцепление определяется:
1) механическим зацеплением неровностей на поверхно-
сти арматуры за бетон — трением стержня о бетой под
действием давления от усадки: 2) собственно сцеплени-
ем или «склеиванием» поверхности стержня с бетоном.
Установлено (особенно ирн применении арматуры пе-
риодического профиля нлн другой арматуры с негладкой
поверхностью), что решающее значение имеет первый нз
указанных факторов [71], хотя многие исследователи н
считали (основываясь на испытаниях гладкой армату-
ры), что собственно сцепление имеет не меньшее зна-
чение.
Сцепление зависит от вида поверхности арматуры,
состава и свойств бетона, способа хранения конструк-
ций в раннем возрасте, расположения арматуры в сече-
нии. длительности н характера прилагаемой Нагрузки
н некоторых других причин. Сцепление относительно вы-
ше при арматуре периодического профиля и при арма-
туре меньшего диаметра; прн круглой стали — иа 20—
25% больше, чем прн стали квадратного сечения; наи-
меньшее — при полосовой стали. Сцепление значительно
повышается прн поперечных хомутах н сварных карка-
сах. Сцепление в конструкциях при статической нагруз-
ке колеблется от 5 до 100 кПсм\ а при пульсирующей
нагрузке нижний предел составляет иногда 2—3 кГ1см\
Сцепление круглых стальных стержней обычно колеблет-
ся от 25 до 40 кПсм* для бетона марки 100 н выше.
Стандартных испытаний на сцепление нет. При испыта-
нии на выдергивание напряжение сцепления распреде-
ляется неравномерно по длине стержня (рис. 4.21).
Приведенные численные значения сцепления выра-
жают ие максимальное значение (Яся, см. рис. 4.21),

Рнс. 4.21
а средине величины в предположении равномерного
распределения напряжений сцепления по длине стерж-
ня. Усилие, требующееся для выдергивания стержня,
почти ие возрастает при увеличении длины заделки I
сверх 25—30 диаметров. Сцепление стальной арматуры
с бетоном близко по величине к пределу прочности бето-
на при сдвиге, который равен примерно 1/5 предела
прочности при сжатии (это отношение уменьшается
с повышением марки бетона). Сцепление растет с воз-
растом бетона.
Усадка в железобетонных конструкциях протекает
несколько иначе, чем в бетонных, вследствие влияния
арматуры. Прн усадке бетона часть усилий, возникаю-
щих в бетоне, арматура принимает на себя. Напряже-
ния в арматуре от усадин бетона могут достигать 600—
700 кГ/см* и более. По длине стержня напряжения о г
усадки распределяются неравномерно — в середине дли-
ны стержня оно примерно в 2 раза выше, чем у концов.
Усадка в железобетоне зависит ие только от состава
бетона, но н от количества н расположения арматурных
стержней, а также от условий начального хранения.
При хранении образцов в воде наблюдается проти-
воположное явление — разбухание железобетона.
На рис. 4.22 приведены примерные данные о нараста-
нии усадки и разбухания со временем для бетонного н
железобетонного образцов. Усадка железобетонных об-
разцов почти в 2 раза меньше бетонных.
В армированном сечении напряжения от усадки н
разбухания в бетоне концентрируются вблизи стержней
арматуры. Радиус взаимодействия арматуры с бетоном
принимается обычно равным 3—4 диаметрам арматуры.
Рис. 4.22
4.6. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И КОНСТРУКЦИИ
177
В элементах железобетонных конструкций усадка
приводит к появлению напряжений двух видов: во-иер-
вых. в арматуре н бетоне возникают иапряжеиня, обус-
ловленные внутренней статической неопределимостью
каждого элемента [32]; во-вторых, возникают напряже-
ния, обусловленные линейными н угловыми деформа-
циями отдельных элементов вследствие статической не-
определимости конструкции в целом. Последние опреде-
ляются методами строительной механики, как и темпе-
ратурные напряжения.
Следует учитывать отрицательное действие усадки
прн изгибе и растяжении, так как опа ускоряет появле-
ние трешни в бетоне, увеличивая в нем растягивающие
напряжения. В сжатых элементах усадка разгружает бе-
тон и нагружает арматуру, обычно недогруженную.
Согласно [133] коэффициент линейного расширения
тяжелого бетона прн нагреве от 0 до 100° С а=
=I-IO-S град-1; коэффициент линейной усадки Р—
=3-10-3; коэффициент линейного набухания ц—5-10-3.
Армирование бетона приводит к уменьшению ползу-
чести вследствие того, что арматура деформируется
упруго и тем задерживает деформации ползучести бето-
на. Конечная деформация ползучести в железобетонных
конструкциях может нее же достигать значительных
величии (превышать упругую в два раза и более) [74],
и в некоторых случаях се надо учитывать.
Ползучесть зависит от возраста бетона к моменту
нагружения. Раннее нагружение резко увеличивает пол-
зучесть (рис. 4.23). Ползучесть значительно уменьшает-
ся прн повышении марки бетона.
Уменьшение ползучести достигается ие только при-
менением специальных цементов и соответствующим
подбором составов бетона, ио н конструктивными ме-
рами.
Для предварительно напряженных железобетонных
конструкций ползучесть может быть значительно умень-
шена (70], если арматуре предварительно даются напря-
жения в течение короткого срока (несколько дней) на
Време с иоиента иттвшевлеиал в днях
Рис. 4.23
10% больше требующихся по расчету. При повышенной
влажности н пониженной температуре ползучесть прек-
ращается. Приближенный расчет иа ползучесть приве-
ден в [781.
Предельное удлинение бетона прн растяжении (пре-
дельная растяжимость) ер*= I  10~‘ н не зависит от ко-
личества арматуры н характера армирования. Однако
многочисленными опытами установлено, что такая оцен-
ка предельной растяжимости является неточной, так как
размеры и расположение трешнн в бетоне зависят ог
величины н характера армирования.
Установлено (72, 73], что в большинстве случаев рас-
Рнс. 4.24
178
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
крытие трешии до 0,2 мм неопасно и нс приводит к кор-
розии арматуры. Такую величину раскрытия трешни
можно принять за предельно допустимую, и если пре-
дельную растяжимость бетона оценивать по условиям
раскрытия трещин, то можно считать, что она зависит
от армирования.
Арматура выравнивает напряжения в бетоне, ликви-
дирует отдельные местные перенапряжения, препятству-
ет раскрытию появившихся местных трещин сверх 0,2 мм
н тем самым увеличивает предельную растяжимость
участка конструкции. Чем больше арматуры и чем рав-
номернее она распределена в бетоне, тем больше ее эф-
фективность (35].
Трещииостойкость конструкции повышается с увели-
чением прочности сцепления и при применения арматуры
периодического профиля. По трешиностойкостн армату-
ра периодического профиля примерно в 2 раза эффек-
тивнее гладкой.
Предельная сжимаемость железобетона зависит от
характера армирования. Арматура способствует более
равномерному распределению напряжений в бетоне и
предупреждает появление местных перенапряжений. По-
перечная арматура сокращает поперечные деформации
бетона и в несколько раз увеличивает предельную де-
формацию сжатия (предельную сжимаемость).
4.6.3.	Армоцемент
Армоцемеит — особый вид тонкостенного железобе-
тона. состоящий нз мелкозернистого (цементно-песчаио-
го) бетона, насыщенного очень тонкой арматурой — в
виде тканых или сварных сеток из проволоки диаметром
от 0,7 до 1.2 мм, с ячейками от 6 до 25 мм (дисперсное
армирование). Толщина плоских и криволинейных эле-
ментов обычно находится в пределах 10—30 мм*.
Применяется также вторая разновидность армоце-
мента. в котором вместе с сетками, в наиболее напря-
женных утолщаемых участках конструкции укладывает-
ся арматура в виде стержней различного диаметра
(комбинированное армирование). Последняя разновид-
ность армоцемента близка по своим физико-механиче-
ским свойствам, методам расчета и испытаний к обыч-
ному железобетону.
Для армоцемента применяется бетон марки 300 и вы-
ше, укладываемый вибрационными или иными метода-
ми, обеспечивающими получение изделий высокой плот-
ности.
Объемный вес армоцемента 2.5—2,8 г/м’ (прн рас-
четах принимается 2,5 t/jh3 при двух сетках и по
50 кг/м* на каждую дополнительную сетку). Расход це-
мента от 400 до 800 кг/м3, а иногда и более. Однако
увеличение расхода цемента нежелательно, так как это
приводит к увеличению усадки армоцемента. Крупность
частиц песка должна быть не более 5 мм: ВЩ — в пре-
делах 0,25—0,28. Расход стали на I м’ армоцемента ко-
леблется от 150 до 300 кг и больше.
По сравнению с железобетонными конструкциями ар-
моцемеитиые не требуют общего увеличения расхода це-
мента н стали на сооружение, так как объем армоце-
мептных конструкций в 3—4 раза меньше.
Армоцемеитиые конструкции применяются для прост-
ранственных, сборно-монолитных покрытий промышлен-
ных зданий средних н больших пролетов, в виде плит
различной формы для покрытий и перекрытий, для под-
весных потолков, в виде объемных элементов (рнс. 4.24).
стеновых панелей для неотапливаемых зданий. Имеются
* «Указания по проектированию армоцеиенгных конструк-
ций* (СН 366-67). СтроВяадат, 1966,
примеры использования армоцемента в гидротехнических
сооружениях н т. д. Благодаря безопалубочиому изго-
товлению и возможности придания конструкциям разно-
образных конфигураций из армоцемента возводятся со-
оружения сложных архитектурных форм больших про-
летов. Однако общая изученность армоцемента еще
недостаточна. Поэтому приводимые ниже данные подле-
жат уточнению, особенно в части эксплуатационной
стойкости.
Коррозионная стойкость армоцемента значительно
ннже, чем железобетона, что объясняется небольшой
толщиной защитного слоя н применением проволоки
небольшого диаметра. В условиях нормальной влажно-
сти прн хорошей гидроизоляции допустимая величина
защитного слоя для сеток 4 мм, для стержневой (про-
волочной) арматуры 8 лл. а в местах утолщений ребер
10 мм.
Рационально применение защитных покрытий, осо-
бенно в условиях атмосферных воздействий и агрессив-
ных сред, в внде нескольких слоев покрасок перхлорвн-
ннловыми, эпоксидно-цементными и другими составами
или оклейки пленками.
Армоцементпыс конструкции применяются, как пра-
вило, при отсутствии агрессивных воздействий окружа-
ющей среды к бетону. При слабой степени агрессивно-
сти должна применяться антикоррозионная зашита.
Прн средней и сильной агрессивности применение
армоцемеитных конструкций не допускается.
Предел прочности армоцемента на сжатие на 10—
15% выше, чем для песчаного бетона (при испытании
армоцемеитных образцов о виде полых цилиндров или
призм). Напряжения в проволоке при разрушении до-
стигают 2500—2700 кГ(см\ Предел прочности на растя-
жение определяется на образцах-пластинах и равен вре-
менному сопротивлению на растяжение армирующей
сетки. Примерная величина предела прочности армоце-
меита прн растяжении — около 100 кПсмг. Предел проч-
ности на изгиб н внеиентрениое сжатие и растяжение
определяется работой сжатой и растянутой зон. В пре-
делах до 0.3 разрушающих нагрузок работу армоцс-
ментного элемента можно считать упругой (стадия I
напряженно-деформированного состояния железобетона)
о/	S)
Рнс. 4.25
Характерная кривая зависимости о—е при сжатии
приведена на рпс. 4.25,о. Предельные деформации ири
сжатии достигают £^=20-10-’ [66]. Зависимость о—£
яри растяжении приведена на рнс. 4.25,6. Точка А кри-
вой соответствует напряжениям, прн которых начинает-
ся раскрытие трещин в бетоне [(10 •+• 20) 10-3]; точка
Б — началу интенсивного роста трешнн (условный пре-
дел текучести), после которого нагрузка почти не воз-
4.6. АРМИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ И КОНСТРУКЦИИ
179
растает, котя деформацнн растут, достигая при разрыве
сеток 20—25%.
Прн поперечном изгибе прн напряжениях около 0.3
предельных остаточные деформацнн ие превышают 5—
7%.
Допустимое раскрытие трещин в армоцемеите не
должно превышать 0,05—0.1 мм. Прн таком раскрытии
отдельных трещин в зависимости от количества арма-
туры н размера сеток деформации составляют от
10-10'* до 50-10-4 (до 5 мм на 1 пог. м длины). Если
влажность среды более 75% н даже при любой влаж-
ности воздуха, ио прн наличии химически агрессивной
среды, раскрытие трещин ие допускается.
Ползучесть армоиемента больше, чем обычного же-
лезобетона. Например, для сжатых образцов прн на-
грузках 0,25—0,3 разрушающих деформации через год
в 3 раза превышали кратковременные. Относительно
большая деформируемость отмечается у образцов с ди-
сперсным армированием.
Коэффициент линейного расширения прн нагреве от
О до 100° С а=1-10-’ град-'-, коэффициент линейной
усадки ₽=4,5-10"’; коэффициент линейного набухания
И=5-10-’.
Морозостойкость армоиемента, как правило, превы-
шает 100 циклов. Водонепроницаемость также высокая.
НИИСельстрой проводил испытания армоиемента тол-
щиной 20 мм на давление 16 оти с положительными
результатами.
Огнестойкость армоцементиых конструкций ниже,
чем железобетонных.
4.6.4.	Армированные каменные конструкции
Армирование каменной кладки стальной арматурой
в виде сеток, стержней или профильного проката при-
водит к увеличению несущей способности и к изменению
упругих свойств кладки.
Для армирования применяются, как правило, стали
низких марок. Применяются два вида армирования: по-
перечное (сетчатое) [79] и продольное (стержневое).
Арматура в армокаменных конструкциях устанавли-
вается в растворные швы н покрывается слоем раство-
ра. обеспечивающим соединение ее с кладкой. Прочность
сцепления арматуры с раствором меньше, чем в железо-
бетоне. Сцепление нарушается прн достижении напря-
жений в кладке около 80—85% предельных. Прн попе-
речном армировании сцепление улучшается благодари
давлению вышележащей иладкн. Однако прн небольших
напряжениях в кладке увеличение сцепления в резуль-
тате этого фактора незначительно. Сцепление увеличи-
вается с повышением марки раствора.
Обычно для армированных кладок применяется рас-
твор марки 25 и выше, что диктуется также н необходи-
мостью обеспечения зашиты от коррозии.
Предельная сжимаемость армокаменных столбов
(для обычной кладки) больше, чем неармнрованных. и
достигает величины в= (20-5-30)10-’ [69]. Однако об-
щий вид диаграммы сжатия не меняется (рнс. 4.26)
и остается близким к логарифмической зависимости.
В связи с относительно небольшим содержанием стали
в армокаменных конструкциях ползучесть последних
может приниматься такой же, как н неармнрованных.
О расчете см. [65, 134].
4.6.5.	Армированный асбестоцемент
Асбестоцемент представляет собой цементный ка-
мень. армированный волокнами асбеста (12—15% по яс-
су цемента), которые придают цементному камню ряд
особых свойств. Объемный вес асбестоцемента 1.55—
1.9 т/м3, предел прочности на сжатие 400—500 кПсм\
на растяжение 100—140 кПсм1, иа изгиб 160—220 кГ/смг
и выше.
Однако асбестоцемент как конструктивный материал
имеет существенные недостатки — низкая ударная вяз-
кость (1,5—3 кГ-см/см?), относительно низкая прочность
при растяжении (в 3—4 раза меньше, чем прн сжатии),
большая деформатнвность прн изменении влажности
(до 200-10-’).
Резкое улучшение качества изделий н конструкций
нэ асбестоцемента достигается прн армировании нх
стальной сеткой, отдельными стержнями, лентами или
же полосами нз стеклошпона.
Армирование осуществляется либо по таи называемо-
му способу накладного армирования [75], либо неио
средственной укладкой арматуры в формуемую массу
на лнетоформовочной машине. Последний способ наибо-
лее просто осуществить на машинах, работающих на
концентрированных суспензиях нлн же по полусухой
технологии.
<Накладной> способ может применяться при армиро-
вании сырого асбестоцементного листа или посте его
отвердения. В первом случае арматуру закладывают прн
формовке изделия в слое цементно-асбестового раство-
I — неармнроваккые столбы: 2 — продольное армирование О'. 26%: 3 — продольное Армирование из
уголков с поперечными планками; / — армировоннс нз уголков 0.92%; 5 — армирование сетками через
шов 0.25%; 6 — армирование сетками 0,82%
180
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРНА -1 ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ра между двумя слоями свсжеотфорыоваипого асбесто-
цемента. Затем пакет подвергается прессованию нлн же
уплотнению катком. Наименьшая толщина армирован-
ного листа 10 мм. наибольшая — нс ограничена техно-
логией изготовления. Сырой лист можно также армиро-
вать укладывая арматуру, покрытую слоем цементно-
асбестового раствора, в специально отформованные в
изделии борозды. При армировании по «накладному»
способу отвердевшего асбестоцемента арматуру уклады-
вают либо в специальные борозды, либо в швы. либо
непосредственно иа поверхность изделия, соединяя се
с асбестоцементом изделия клеем, обычно эпоксидно-
цементным.
Впервые накладным способом армировали лотковые
утепленные плиты для покрытий промышленных зданий.
Рнс. -1.27. Общие характерные диаграммы прогибов
образцов балок, армнроваииых:
а — ниию'ТлероднстоЯ сталью, имеющей площадку текучести;
6 — высокопрочной сталью, ие имеющей площадки текучести
Стальную арматуру из 4-лш проволоки укладывали в
свсжсизготовлсиныи асбестоцементный лоток, составля-
ющий основу плиты, в специально образованные при
формовке борозды н покрывали асбестоцементным рас-
твором. Несущая способность отвердевшей армирован-
ной плиты увеличивалась на 20—2о%, исключалось се
хрупкое разрушение.
Таким же способом изготовляли армированные стено-
вые панели. Выпущены также армированные асбестоце-
ментные волнистые листы нз концентрированных сус-
пензий. Листы армированы стальными 3-мм стержнями
и сеткой из 0,7-лм проволоки.
Испытаниями установлено, что ударная прочность
листов увеличивалась в 5—7 раз сравнительно с неар-
мированными листами.
Сцепление стальной нлн стеклошяоиочиой арматуры
с эпоксидным клеем составляет примерно 60—70 кГ па
1 см3 поверхности арматуры. Прочность сцепления эпок-
сидного клея с аебессоцемеитом составляет 45—
55 кГ/см3.
Предельная сжимаемость асбестоцемента составляет
(304-40) 10-*, предельная растяжимость—(254-30) 10~*.
Следовательно, одновременно с использованием несу-
щей способности асбестоцемента в стальной арматуре
достигаются напряжения около 6000 кГ/см3. если в ней
не превзойден предел текучести. В этом состоит одно
из основных отличий армированного асбестоцемента от
железобетона. Если арматура имеет более низкое значе-
ние предела текучести, то при его достижении произои
дет разрыв асбестоцемента, но разрушения конструкции
не произойдет (рис. 4.27).
Прн применении в качестве арматуры высокопрочной
проволоки или стеклошпона (модуль упругости которо-
го небольшой — (44-5) 10' кГ/см3), она предварительно
натягивается. Отпуск натяжения производится после от-
верждения клея. Такое армирование применено в пли-
тах ПАК [661.
Плиты ПАК размером 6X1,5 м состоят из плоских
асбестоцементных 10-жл листов обшнвкн, которые эпок-
сидным клеем крепятся к асбестоцементным швеллерам,
образующим каркас плиты. В клеевой шов, соединяю-
щий нижний лист со швеллером, укладывают полосу
стеклошпониой арматуры сечением 0,8x30 мм. В шов
можно укладывать и стальную арматуру.
Ползучесть армированных асбестоцементных конст-
рукций примерно в 2 раза меньше, чем неармнроваи-
иых [76]. Армированные асбестоцементные конструкции
рассчитываются по общим методам расчета железобе-
тонных конструкций.
4.7.	ДРЕВЕСИНА
4.7.1.	Общие сведения
Древесина представляет собой природный материал
высокомолекулярного состава. Основным веществом се
яолчетея целлюлоза, образующая утолщенные вторич-
ные слон стенок механических волокон. Физнко-механн-
чсские свойства древесины обусловлены главным обра-
зом свойствами природной целлюлозы, а также мнкро-
н макроструктурой древесины, что в целом определяет
неоднородность н анизотропность этого материала.
Неоднородность древесины проявляется в различии
строения и свойств годичных слоев, образующихся в
процессе роста дерева в зависимости от условий внеш-
ней среды. Вследствие анизотропности строения древе-
сины. отклонение волокон от строгой параллельности
оси стволе (косослой) вызывает снижение прочности
крупных элементов по сравнению с малыми образцами
чистой (без пороков) древесины. Особенно сильно влия-
ние местного отклонения волокон около сучков, кото-
рым и обусловливается снижение прочности конструк-
тивных элементов. Для обеспечения прочности необхо-
дима дополнительная отбраковка материала в соответ-
ствии с качественными категориями рабочих элементов
конструкций пи СНиП.
Прн работе в конструкциях древесина подвергается
растяжению, сжатию н скалыванию вдоль и поперек
волокон, смятию вдоль (в торен) и поперек волокон,
смятию иа части поверхности элемента. В тонких обо-
лочках и пластинках учитывается двухосное напряжен-
ное состояние.
Система анизотропии древесины (для условно мгно-
венных деформации прн быстро прилагаемых небольших
напряжениях) соответствует ортотропному телу с тремя
осями анизотропии по главным структурным направле-
ниям — вдоль н поперек волокон в тангенциальном и
радиальном направлениях. Ввиду малого различия меж-
4.7. ДРЕВЕСИНА
181
лу упругими характеристиками по двум последним на-
правлениям, может быть принята трасверсальиая ани-
зотропия древесины с главной осью вдоль волокон.
Поведение древесины при механических воздействи-
ях характеризуется довольно высоким модулем условно
мгновенной деформации порядка 1-Ю5 кГ/смг (вдоль
волокон), равновесным модулем эластической деформа-
ции. соответствующим деформация упругого последей-
ствии при выдерживании образца иод постоянной на-
грузкой до затухании деформации, порядка 5-10s кГ/см*
и ' небольшой задержанной остаточной деформацией
(в I области деформироваиня, си. 4.7.2), восстанавли-
ваемой набуханием. По сравнению с древесиной дли-
тельный модуль упругости древесностружечной плиты
весьма мал — всего 4-10’—5-10’ кПсм* (при изгибе).
Коэффициент поглощения энергии колебаний древе-
сины Ф=О.О74-О.12: он не зависит от скорости деформа-
ции и числа цпклов (до предела выносливости); при рас-
четах конструкций принимают ф=0,30-5-0.35.
Механические показатели древесины изменяются с
плотностью (прямая линейная связь) и снижаются с
повышением влажности (до гигроскопической точки
=30%) и температуры: стандартные показатели приво-
дятся к влажности 15% и температуре +20° С. Влаж-
ностные деформации хвойной древесины составляют 7—
8% в тангенциальном. 3,5—4% в радиальном н менее
1% в продольном направлениях (прн изменении влаж-
ности от 0 до 30%). Древесные материалы, изготовляе-
мые с подпрсссовкой, дают прн увлажнении увеличен-
ное разбухание, например древесностружечные пли-
ты до 16—22% (по толщине). Температурные дефор-
мации древесины имеют порядок (3,5-5-5)10”’ поперек
волокон и 4-Ю”* вдоль волокон на ГС. Коэффициент
теплопроводности воздушно-сухой древесины принима-
ют Х=0,15 ккал/м-ч-град.
Древесина — диэлектрик, обладает электроизолиру-
ющими свойствами и немагнитна. Химический состав
древесины обусловливает ее долговечность в атмосфере
ряда цехов с химически агрессивной средой. В необхо-
димых случаях древесину защищают в конструкциях от
гниения и возгорания [109].
Основными преимуществами деревянных конструкций
является малый вес и удобство транспортирования,
экономии металла, увеличенные сроки службы в усло-
виях химически агрессивной среды [112] и высокая сей-
смостойкость. Склеивание современными водостойкими
синтетическими клеями позволяет получать необходи-
мые размеры и формы поперечных сечений элементов
требуемой длины, использовать короткомерный пилома-
териал со стыкованием по длине на вубчатоы соедине-
нии. выгодно располагая его в поперченоы сечении эле-
ментов. С применением современных деревянных кле-
еных конструкций в последнее время осуществлены
арочные покрытии пролетом 100 м, купольные покрытии
диаметром 62 ж. Основными областями эффективного
применения деревянных клееных конструкций являются
покрытия производственных, сельскохозяйственных, об-
щественных. учебных, спортивных зданий, промышлен-
ных зданий и сооружений с химически агрессивной сре-
дой, строительство автодорожных мостов, морских со-
оружений. градирен, шахтных сооружений, строительст-
во на Крайнем Севере, в необжитых и лесоиэбыточных
районах, строительство в сейсмических районах.
4.7.2.	Механические свойства
Древесина обнаруживает эластические деформации,
называемые ползучестью, К эластическим деформациям
относятся в I области деформирования упругое после-
действие и приращение деформаций (остаточных) при
колебаниях влажности и температуры, а во 11 области —
вынужденные эластические деформации воздушно-сухой
древесины (преимущественно остаточные) и высокоэла-
стическне деформации набухшей древесины (примерно
на Чз остаточные).
Развитие эластической деформации (в отличие от
мгновенно устанавливающейся упругой, обусловленной
изменением ысждучастичиых расстояний), связано с ре-
лаксационными процессами, происходящими в целлюло-
зе под действием теплового движении; скорость этих
процессов характеризуется временем релаксации. Про-
явление эластических свойств зависит от скорости вы-
нужденной деформации. Если продолжительность сило-
вого воздействия сравнима с временем релаксации и
скорость вынужденной деформации мала, эластические
свойства проявляются полностью; если скорость вынуж-
денной деформации велнка, эластические свойства про-
являются частично. Поэтому прн быстро прилагаемом
кратковременном силовом воздействии (сейсмические,
ударные, ветровые нагрузки) деформации древесины
уменьшаются, а сопротивление растет. Предел прочно-
сти зависит от скорости нагружения и определяется из
испытаний, проводимых со стандартной скоростью ма-
лых образцов чистой (без пороков) древесины. Наимень-
шее сопротивление длительной нагрузке древесины в
конструкциях принимается равным около 0.5 предела
прочности прн кратковременном испытании; наимень-
шее сопротивление фанеры определяется длитель-
ной прочностью древесины продольных шпонов. Дре
весиостружечныс плиты длительным сопротивлени-
ем не обладают (незатухающая ползучесть при мини-
мальных напряжениях).
Время релаксации зависит от температуры, которая
оказывает влияние на показатели механических свойств
древесины; однако благодаря высоиой ориентации мак-
ромолекул целлюлозы древесина ке имеет температуры
хрупкости. Прн увлажнении до —30% и набухании де-
формации древесины увеличиваются, и сопротивление ее
снижается.
Для древесины характерны две области деформиро-
вании, границей которых лвляетсл напряжение О|_ц —
предел пластического течении, представляющий собой
предел вынужденной эластичности воздушно-сухой дре-
весины и начало появлении высокоэластических дефор-
маций набухшей древесины. На величину а(_цокаэыва-
ет влияние скорость нагружения. В воздушно-сухой дре-
весине под действием напряжений о>О|_ц происходит
нарастание остаточных деформаций, которые называют-
ся задержанными (т. е. иевозвратившимисл вследствие
большого времени релаксации) эластическими деформа-
циями; накопление этих деформаций не является пока-
зателем приближающегося разрушения. Одновременно
с развитием остаточных деформаций происходит неко-
торое снижение модуля упругости, проявляющееся так-
же при последующих нагружениях ниже <n-ir. В на-
сыщенной водой набухшей древесине под действием на-
пряжений о>О|_и появляются большие оысокоэласти-
ческне деформации, достигающие, например, при равно-
мерном сжатии вдоль волокон величины 10% и более.
Две области деформирования отчетливо проявляются
под повторной статической и пульсирующей нагрузкой:
в I области древесина характеризуется постоянным мо-
дулем упругости и прочным сопротивлением при числе
циклов 30000 и более, т. е. ведет себя упруго; это поз-
воляет принимать упругую работу древесины при расче-
182
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
те конструкций на эксплуатационную статическую, а
также импульсную нагрузку. Во II области прн дейст-
вии усилия вдоль волокон происходит ускоренное раз-
рушение древесины.
Основными характеристиками полимерных материа-
лов и древесины, как природного полимера, являются
длительная прочность и деформации ползучести. Прн
расчете деревянных конструкций по методу предельных
состояний исходными для определения расчетных сопро-
тивлений древесины являются минимальные вероятные
пределы прочности, принимаемые за нормативные со-
противления. Деля последние на коэффициент безопас-
ности по материалу, учитывающий влияние пороков дре-
весины, масштабного фактора н длительности действил
нагрузки, получают расчетные сопротивлении. Расчетный
модуль упругости древесины вдоль волокон принимает-
ся одинаковым при сжатии, растяжении и изгибе н рав-
ным 1-10® кГ/сл* для нормальных температурно влаж-
ностных условий службы конструкций.
В несущих нолструкинлх применяется древесина хвой-
ных пород, преимущественно сосна н ель. Показатели
физико-механических свойств древесины пород СССР
Т а б л я н в 4ДВ
Прочность л деформативностъ древесины основных пород
в СССР (средние показатели дли стандартных образцов
при влажности 15%)
		Временное сопротивление				
	-		в кг /см*			
					Скалыва-	
				□	НН С взоль	
Породе (район произрастания)			п		волокон	
	о а 2	5	X	 о V =	©	= 8 s е
	Объем и	Сжатие еолоко	©. Е	Мо О- к	в с	
Вариационный			15			
коэффициент в %						
Береза обыкновенная (За- падная Сибирь)	380	460	917	-	66	99
Бук кавказский	380	461	938	1291	99	131
Дуб (Украинская ССР)	720	535	916	—	—	118
Ель обыкновенная (Север европейской частя СССР)	490	428	747	1295	62	65
Лиственнице	сибирская (Восточная Сибирь)	650	553	964	1166	93	85
Сенна (Украинская ССР)	520	401	817	1330	63	67
Пихта кавказская	470	391	722	1118	77	82
Сосна обыкновенная (Цея-	520	438	790	1150	69	73
тральные районы европей- ской части СССР)						
Тополь белый (европей- ская часть СССР)	460	306	533	860	54	71
приведены в табл. 4.26. Сопротивление местному смя-
тию древесины поперек волокон характеризуется услов-
ным пределом прочности, составляющим в среднем для
сосны 29—43, пихты 23—32; лиственницы 56—86. дуба
84—49 и березы 60—47 кГ/c*9. Более подробные данные
об этих показателях см. [89], а о стандартных испыта-
ниях [84].
Древесина обнаруживает значительную анизотропию
сопротивления — соотношение крайних величин преде-
лов прочности по главным осям анизотроллл (вдоль
и поперек волокон) составляет (для малых образцов)
при растяжении I:'/»:'/» и прн сжатии (по всей пло-
щади образца) I : Чю: '/м- Вместе с тем прн различны'
видах напряженного состояния характер и работа раз
рушения древесины сильно различаются. Прн концент-
рации напряжений появляется хрупкое разрушение, про-
исходящее с отрывом поперек волокон и скалыванием
прн малой работе разрушения: например, растянутый
стержень с местным ослаблением разрушается с обра-
зованием продольных трещин, касательных к контуру
ослабление; сопротивление клеевого соединения сдвигу
полностью используется лишь при отсутствии или вос-
приятии отрывающих усилий.
Задачей конструирования в дереве (выбор схемы
конструкции и вида соединения элементов) является
обеспечение достаточного запаса работы деформации
пластического характера при потере несущей способно-
сти, исключая возможность хрупкого разрушения, а так-
же устранение влннния иа работу конструкции дефор-
маций древесины поперек волокон, прн минимальной
трудоемностя изготовления и быстром монтаже конст-
рукции; известными преимуществами в этом отношении
обладают статически неопределимые системы.
Повышения несущей способности достигают в кле-
еных конструкциях, в которых материал используется
лучше: возможно удаление крупных местных пороков
(сучков) со склеиванием на зубчатом соединения. поме-
щение более прочной древесины в растянутую эону
клееных изгибаемых элементов. Современные синтетиче-
ские клеи и технология склеивания обеспечивают долго-
вечность конструкций. С нх помощью получают эффек-
тивные сочетания древесины с другими конструктивны-
ми материалами — алюминием, асбестоцементом, пласт-
массами (например, панели асбестоцементные с дере-
вянным клееным карнасом, фанерные со средним слоем
нз пенопласта).
Ярко выраженная анизотропии сопротивления древе-
сины несколько сглаживается в фанере с взаимно пер-
пендикулярным расположением шпонов, имеющей соот-
ношение максимального (вдоль волокон в рубашках) н
минимального (под углом 45* к волокнам в рубашках)
пределов прочности прн растяжении около I : 0.44-6.5:
в специальной фанере, склеенной с поворотом соседних
шпонов на углы меньшие 90*, это соотношение может
быть еще улучшено.
Улучшение механических показателей натуральной
древесины может быть достигнуто путем ее модифика-
ции полимерами (повышение плотности, прочности, хи-
мической стойкости, исключение большой деформатив-
HOCTii в набухшем состоянии, снижение формоизменяе-
мости прн увлажнении).
4.8.	ПЛАСТМАССЫ
Общие сведения. Пластмассы — материалы на осно-
ве высокомолекулярных веществ (полимеров). Помимо
полимеров пластмассы, как правило, содержат н другие
компоненты: пластификаторы, наполнители и т. п. На-
личие полимеров в составе пластмасс обусловливает ряд
специфических свойств этих материалов.
Пластмассы подразделяются на термопластичные, из-
готовляемые на основе линейных полимеров, н термо-
4.B. ПЛАСТМАССЫ
I«3
реактивные — иа основе полимеров с пространственной
структурой. Первые при нагревании приобретают пла-
стичность, а при охлаждении вновь возвращаются в ис-
ходное состоиние; вторые, будучи отверждены, прн на-
гревании не переходит в пластическое состояние.
К пластмассам, применяемым в строительных конст-
рукциях. относятся стеклопластики, оргстекло, вини-
пласты, пенопласты, сотолласты, древесные пластики,
синтетические клен н др.
К строительным конструкциям с применением пласт-
масс относятся: трехслойиые конструкции (плоские па-
нели, складки, оболочки, своды и т. н.) с обшивками нз
высокопрочных листовых материалов (металла, асбесто-
цемента. фанеры, стеклопластика) н средним слоем нз
пенопласта или согопласта; трехслойиые конструкции
с ребристым средним слоем; однослойные н многослой-
ные свегопрозрачные элементы ограждений (панели,
купола, волнистые листы) нэ полиэфирного стеклопла-
стика. оргстекла и винипласта, пневматические (надув-
ные) и тентовые конструкции из воздухонепроницаемых
тканей н пленок.
Применение пластмасс в конструкциях наиболее це-
лесообразно в случаях, когда необходимо уменьшить
вес конструкций: прн строительстве в районах вечно-
мерзлых грунтов, просадочных грунтов, на подрабаты-
ваемых территориях, когда надо сократить объем транс-
портных и строительно-монтажных работ, особенно прн
строительстве в отдаленных н труднодоступных райо-
нах, когда требуется облегчить монтаж и демонтаж
сборно-разборных конструкций и уменьшить мощность
подъемно-транспортного оборудования. Целесообразно
применение конструкций с использованием пластмасс
для повышения надежности сооружений при их эксплуа-
тации в агрессивных средах, районах высокой сейсмич-
ности. а также длп исключения влияния магнитных
свойств строительных конструкций н возможности нск-
рообразования. Подробнее о применении конструкций
нз пластмасс см. (114, 116].
Стеклопластиковые материалы применяются в основ-
ном четырех видов: 1) стеклопластик на полиэфирном
евнэуюшем и рубленом стекловолокне (со светопропу-
сканнем до 80%). выпускаемый в виде волнистых (с
продольной и поперечной волной) н плоских листов тол-
щиной 1,5—2.5 мм н используемый в светопрозрачных
конструкциях; 2) стеклопластик конструкционный
КАСТ-В на модифицированном феноло-формальдегидном
связующем н стеклоткани, выпускаемый в виде листов
н плит толщиной 0,5—33 мм и применяемый для обши-
вок трехслойных панелей, в том числе дли работы в
химически агрессивных средах; 3) стеклопластик листо-
вой СВАМ на эпоксидно-фенольном связующем н не-
прерывном ориентированном стекловолокне, выпускае-
мый в виде листов толщиной 1—30 мм н применяемый
для изготовления особо прочных вспомогательных изде-
лий н деталей; 4) стеклопластиковый прессовочный ма-
териал АГ-4 (марок В и С) на модифицированном фе-
иоло-формальдегндном связующем н рубленом или не-
прерывном ориентированном стекловолокне, выпуска-
емый в виде брикетов н лент н используемый дли изго-
товления вспомогательных конструкционных деталей
дли химически агрессивных сред (гайки, болты, подклад-
ки и т. н.).
Органическое стекло (оргстекло, полнметилметакрн-
лат), представляющее собой пластифицированный поли-
мер метилового эфира метакриловой кислоты, использу-
ется в строительных конструкциях в виде листов н бло-
ков толщиной 0.8—35 мм для создания светопрозрачных
ограждающих конструкций (нунольныс элементы и вол-
нистые листы). Достоинствами оргстекла явлнютсл вы-
сокая светопроэрачность (до 90%) и способность про-
пускать до 73% ультрафиолетовых лучей. В строитель-
ных конструкциях применяется стекло органическое
авиационное (сорта специальное. А, В) н поделочное
(сорта ПА н ПБ).
Винипласт листовой, представлнющнй собой, как
правило, иепластнфнцированную поливинилхлоридную
композицию, применнется в виде листов толщиной 2—
20 мм марки ВП (прозрачный) дли светопрозрачных
ограждающих конструкций (купольные элементы и вол-
нистые листы) и марки ВН (непрозрачный) для обшив-
ки панелей, перегородок н подвесных потолков.
Группа древесных пластиков включает пластмассы,
исходной составляющей которых является переработан-
ная тем или иным способом древесина — природный по-
лимер. Эти материалы для своего изготовления требуют
сравнительно небольшого количества добавок — синте-
тических смол.
Пластики древеснослонстые (сорта ДСП-Б. ДСП-В)
изготовляются из листов лущеного березового, липово-
го нлн букового шпона, пропитанных и склеенных меж-
ду собой под давлением смолами резолыюго типа.
В пластике ДСП-Б каждые 5—20 слоев с параллельным
направлением волокон чередуются с одним слоем, в ко-
тором направление волокон перпендикулирно направле-
нию нх в смежных слопх. В пластике ДСП-В волокне во
всех смежных слоях взаимно перленднкулнрны. Пласти-
ки в виде листов н плит толщиной 1—60 мм примепн-
ютсл в качестве обрамляющих ребер трсхслойных пане-
лей, обшнвок подвесных потолков н внутренних обши-
вок панелей покрытий н стен.
Фанера бакелнзнрованная (марок ФБС, ФБСВ) из-
готовляется нэ листов березового шпона, пропитанных
и склеенных феноло-формальдегндиымн спирта- и водо-
растворимыми смолами марок СБС-1, СКС-1, С-1, СЛФ,
СКФ. СКВ. Фанера клееная березовая (марки ФСФ.
сорта В/ВВ) изготовляется из березового шпона, скле-
енного феноло-формальдегнднымн клеями (смолами)
марок С-35, С-45, СЛФ. Оба вида фанеры используются
для изготовления обрамления трехслойных панелей н длл
нх обшивок.
Плиты древесностружечные марок ПС-1. ПТ-1, ПС-3.
ПТ-3 изготовляются на феноло-формальдегидных. моче-
внно-меламиновых л мочевнно-формальдсгндных смо-
лах. Плиты толщиной 10—25 мм используются длл внут-
ренних обшивок панелей покрытий, обшнвок перегоро-
док н подвесных потолков.
Плиты древесноволокнистые (сверхтвердые н твер-
дые) изготовляются нз древесных волокон, пропитанных
водостойкими смолами н маслами. Эти плиты толщиной
3—8 мм применяются в качестве среднего слоя трех-
слойных панелей (в виде сот) н обшнвок панелей, пе-
регородок, подвесных потолков, внутренних обшнвок
панелей понрытнй н стен.
Все древесностружечные и древесноволокнистые пли-
ты, применяемые как конструкционный материал, долж-
ны быть антисептировакы.
Пенопласты, используемые в качестве среднего слоя
трехслойных конструкций, изготовляются на основе ло-
лнстнролы1ых. полнанпилхлорндных, фенольных н дру-
гих полимерных композиций.
Полимерные композиции могут вспениваться как в
отдельных формах, так и непосредственно в полости
строительных конструкций.
По технологическому признаку пенопласты подраз-
деляются на беспрессовые и прессовые. К беспрессовым
относятся полнетирольные пенопласты марок ПСБ.
ПСБ-С (самозатухаюшнй). ПСБт. ПСБ-Ст (самозатуха-
ющий) н феиоло-формальдегидные марок ФРП-1 и
184
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ФЛ-1. Прессовыми пенопластами являются полистяроль-
ные —марок ПС-1, ПС-4 н др., поливинилхлоридные
ПХВ-1 и др.
Полистнрольиые пенопласты беслрессовые изготовля-
ются из суспензионного полистирола, а прессовые —из
эмульсионного полистирола. Беслрессовые полнетироль-
ные пенопласты ПСБт и ПСБ-Ст изготовляются на ме-
сте по методу теплового удара или в поле ТВЧ.
Вииильиый пенопласт ПХВ-1 изготовляется из поли-
винилхлоридной смолы. Феноло-формальдегидные пено-
пласты ФРП-1 н ФЛ-1 изготовляются на основе резоль-
ных смол марок ФРВ-1 н ВИАМ-Б.
Объемный вес пенопластов, используемых в строи-
тельных конструкциях, составляет: ПСБ, ПСБ-С — 20—
40 кг/ж«; ПСБт, ПСБ-Ст —20—60 кг/ж’: ПС-1 —
100 кг/ж»; ПС-4 — 40 кг/ж’: ПХВ-1—70-100 кг,ж«;
ФРП-1, ФЛ-1 — 60-100 кг/м1.
В качестве среднего слол применяются также
сотопласты на основе хлопчатобумажной ткани крафт-
бумаги н изоляционно-пропиточной бумаги. Пропитка
сотолластов осуществляется феноло-формалъдегидной
нлн карбамидной смолами н антипиренами. Сотопласты
могут заполняться теплоизолирующими материалами я
вспученным перлитом, вермикулитом нлн мнпорой.
Основным видом соединения конструкций с приме-
нением пластмасс является склеивание. Клеевые сопря-
жения дают возможность соединять разнородные мате-
риалы. уменьшать вес изделий, обеспечивают коррози-
онную стойкость и герметичность швов и т. д.
При выборе клея надо прежде всего иметь в виду,
что для разных конструкций требуются клеи различной
прочности. Так, для плит покрытий, испытывающих воз-
действие относительно больших нагрузок, необходимо
использовать более прочные клеи, чем для навесных сте-
новых панелей. Выбор клеев зависит также и от ком-
бинации склеиваемых материалов.
При изготовления (склеивании) конструкций приме-
яяются клеи: эпоксидные, дифеиольные. каучуковые, по-
лиэфирные и феноло-формальдегидные.
Клеи на основе эпоксидных смол имеют хорошую ад-
гезию почти ко всем материалам, отверждаются прак-
тически без усадки я не содержат летучих растворите-
лей. обладают хорошими эазорозаполияющими качест-
вами и допускают относительно большую толщину шва.
весьма прочны, водостойки, удовлетворительно ведут се-
бя при старении. К недостаткам этих клеев следует от-
нести их относительно низкую теплостойкость и жест-
кость большинства марок этих клеев.
Каучуковые клея обладают эластичностью, что по-
вышает прочность прн неравномерном отрыве и позво-
ляет склеивать материалы с разными коэффициентами
усадки и расширения при действии температуры и вла-
ги. В связи с этим основной областью применения кау-
чуковых клеев являются конструкции, испытывающие
прн эксплуатации усилия неравномерного отрыва, в ча-
стности. алюминиевые панели со средним слоем из пе-
нопластов.
Полиэфирные клен наиболее широко применяют для
склеивания конструкционных элементов нз свегопроз-
рачных полиэфирных стеклопластиков. Отвержденные
клеи обладают высокой прочностью при сдвиге, устой-
чивы к действию агрессивных сред и атмосферных фак-
торов. Недостатком ряда полнэфнриых клеев является
их неблагоприятное воздействие па некоторые склеива-
емые материалы, а также усадка, приводящая к возник-
новению значительных внутренних напряжений.
Механические свойства. Каждый из упомянутых вы-
ше видов полимерных материалов включает большое
количество разновидностей, обладающих значительным
разнообразием физико-механических и других свопств.
В этом проявляется одно из основных достоинств син-
тетических полимерных материалов, состоящее в том.
что. комбинируя исходные компоненты и технологию,
можно получать пластмассы, прниадлежашие к одному
виду, ио обладающие большой, заранее заданной вари-
ацией механических свойств.
Всем пластмассам в значительной степени свойствен-
на зависимость механических характеристик от времени.
В связи с этим нх механические свойства должны ха-
рактеризоваться не только кратковременными, но и дли-
тельными показателями.
Величины, характеризующие основные механические
и физические показатели пластмасс, перспективных для
применения в строительных конструкциях, приведены
в табл. 4.27. Кратковременные прочностные показатели
прн основных видах напряженного состояния представ-
лены нормативными сопротивлениями R*. определенны-
ми пак пределы прочности в соответствии с требования-
ми технических условий. Расчетные сопротивления
пластмасс для конструкций, защищенных от увлажне-
ния, нагревания н агрессивных воздействий, представ-
лены расчетными кратковременными сопротивлениями
ft" и расчетными длительными сопротивлениями R, по-
лученными при нормальных температурно-влажностных
условиях.
Показатели деформационных характеристик пластмасс
также подразделяются на кратковременные и длитель-
ные. Кратковременные модули упругости и сдвига (£"
и б") определены из кратковременных статических ис-
пытаний малых образцов прн нормальных температур-
но-влажностных условиях. Такны образом, эти величины
представляют собой модули упругости и сдвига в обыч-
ной трактовке этих терминов. Длительные модули упру-
гости и сдвига (Е и С) определены из длительных ста-
тических испытаний малых образцов при нормальных
температурно-влажностных условиях и при напряжени-
ях, примерно равных расчетным сопротивлениям.
Расчет конструкций на сочетания, включающие толь-
ко кратковременные (с расчетным периодом действия до
1 суток) нагрузки и воздействия, ведется по кратковре-
менным расчетным сопротивлениям R* и кратковремен-
ным модулям упругости £’. По длительным расчетным
сопротивлениям к и длительным модулям упругости Е
рассчитываются конструкции на сочетания, включающие
только постоянные и временные длительные нагрузки и
воздействия. Подробное подразделение нагрузок и рас-
четных сопротивлений является специфическим для рас-
чета конструкций с применением пластмасс и имеет
своей целью учет особенностей изменения механических
свойств полимерных материалов в зависимости от вре-
мени.
Механические свойства стеклопластиков определяют-
ся прежде всего свойствами стекловолокна, обладающе-
го по сравнению со связующим во много раз большими
прочностью и модулем упругости. Применяя стеклово-
локно. различное по химическому составу (с разным со-
держанием щелочных окпелов). и варьируя количество
и расположение стекловолокна в материале, можно по-
лучить стеклопластики, обладающие различными меха-
ническими и друшми свойствами. Вид я процентное со-
держание второго компонента смолы также оказывают
большое влияние на свойства стеклоплвстииов. Связую-
щее в стеклопластиках кроме защитных функций выпол-
няет роль достаточно прочной и жесткой среды, спо-
собной перераспределять н уравновешивать неравно-
мерные усилия, возникающие в массе элементарных
стекловолокон. Последнее обстоятельство особенно важ-
но для тех видов стеклопластиков, в которых стеклово-
(Л ПЛАСТМАССЫ
185
Таблвц. 4.2?
Нормативные и расчетные характериснпн, нраткоаременные и длительные модули упругости, коэффициенты
Пуассоне и линейного расширенна
	Прочяоствые характеристики								Деформационные характеристики					о,
Пластмассы	нормативные сопротивле- ния в кПсм'				расчетные сопротивления в кПсм*				модуль упругости		модуль сдвига в кГ!см*		8 с	линейного
	5		X V		растя- жение	изгиб	сжа- тие *е	срез «?>	ковре- нй £*Р	а	<овре. ый (?*Р	Я	3	О
	растя в и *Р	t x	Я V	<A	%		«е	*ср	х Я	L	Б х	5<э	!	it
Стеклопласты, оргстекло, винипласт														
Стеклопластик поли- чфнрный	листовой	6U0	1300	900		360	780	540	270	№000				0.4	25
(МРТУ а-11-134-09» . .					150	150	150	90						
Сгеклотекстолят КАСТ-В (ГОСТ 10292—62»			960	700	1720	900	710	52$	240000				0.15	10
	2300	1200			1100	59)	450	300						
Стеклопластик СВАМ			fm		3370	52S0	3000	1125	ж, пт	240 000			0.13	10
tCTV 12249—61) ....	I5uli	7D0U			1600	250U	1400	500						
Стеклопластик прессо- вочный АГ-4:			 нарк* В (ГОСТ			10VO		600	900	750						0.13	10
№087—€2) .....	BOO	120U			360	540	600							
	.wo		2000		3756	1875	1500		180 000	150 000			0.18	10
марка С ..... -		2500			2200	нои	900							
Стекло органическое			800	600	410	750	600	450	28000	14 000				
(ГОСТ 10657—631 ....	5»	WOO			150	250	200	140						
Винипласт листовой:			760	400	380	700	625	280	?Я лрр	16 000				
ВН — непрозрачный 	650	1000			140	200	140	85						
ВП — прозрачный (ГОСТ §639—61) . - -			7-Ы	400	350	6Г»	625	280	58000	16 000				
	sou	900			130	160	140	85						
Пластики дреасскослоистые														
ДСП-Б толщиной 15—	ООО		IMo	140	165Л	1950	1161»	105	зло от	150000				
fiO ми			3600			№90	1300	800	70						
ДСП В толщиной 15—	1100	15ft)	1200	130	825	1125	900	97						
60 мм						450	600	470	70	180 000	70 000	—	—	—	—
ДСП-^Б толщиной 3—		1900	1500	165	1050	1425	1125	124						
12 мм (ГОСТ Я69Г—ЬЫ	1400				560	760	600	80						
Плиты														
			300	170	150	ЗСШ(225)	150	120(24)	50 000	12 500	9ПСГО	5 000		
Сверхтвердые . . . -	300	600			60	1О1Ч75)	40	50(10)						
Твердые (ГОСТ 4688—			200		120	240(142)	120	90(13»	чп пт	7600	14 000			
60) 			200	400			5»	№0(60)	X	М(5)				3500		
Плиты древесностружечные														
Марки ПС-1. ПС-3 прн объемном весе 600— oju кс!м*:	120	170	170		72	102	102		75 000	10 000				
группа А . • • • .					29	30	25	—						
группа Б	90	131)	1Я0		54	78	78		90 пгт	8000				
					21	23	19							
186
РАЗДЕЛ I. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
	Прочностные характеристики								Деформационные характеристики			
	нормативные сопротивления				расчетные сопротивления				модуль упру- гости в		модуль сдвига	
		в я/ /сж*				а кг/см*			кГ/мм*		в яГ/сж’	
Пластмассы												
					растя-		ежа-				л	
	х		X и			изгиб	тие	срез		3	*1	3
	о Ж		Of					«ср	a. 8 »		краткивр мениый С	
	и = Q, с. о:	*	S и	среа	%		«с	«ср	t- X я X х а	£ 5ю		40
Марки ПТ-1. ПТ-3 при г Съемном весе 650— 6Ю «/ж»:		215	215		90	129	129		25 000			
группа А . . • . -					36	39	32					
												
группа Б (ГОСТ 10632- 63 и					72	102	102					
ГОСТ 10637-63)	. .	120	I7G	170						20 000	8000		
					29	30	25					
Пенопласты												
Полистнрольный марки ПСБ объемным весом в «4м» (ТУ 50-64):	0.7		0.7	0.7	0.3		0,3	0.3				
				—							70	20	25	10
					0,15		0,15	0.15				
			1.5			1.5	1.2	0,9		0,9	0.72	120	40	40	15
					0.3		0.3	0.2				
То же. марки ПСБт объемным весом в хг/ж*:	0.7			0.7	0,42		0,3	0.42				
20 . . .			—	0.7			—			70	20	25	10
					0,16		0.1Б	0.15				
40 .•••»•••	2			2	1.5	1,2		1.2	0.9	160	50	60	20
					0.4		0.4	0,3				
	з		з	2,8	1.8		1.8	1.7			100	50
												
					0,6		0.6	0.5				
То же. марки ПС-1 объемным весом (СТУ	18.5			9.5	13		6.6	66				
9-91-61) 100 ке/ж» . . 			я								900	ПО
					3.4		1.6	1.8				
То же. нарки ПС-4 объем ним весом (СТУ					2.8		1.4					
9-92-61) 40 «/ж» ....			2						120		80	40
					0,8		0,5	0,5				
Полнхлорвиннловы Й марки ПХВ-1 объемным												
весом (СТУ 8-90-61) 100 «/ж*		16		7.5	7,3	11		5.2	5.1	600	200	200	110
					3.0		1,5	1.4				
Фенольные пенопласты марок ФРП-1, ФЛ-1 объ-	1.2		1.6		0.72		0.96	0.6				
емным весом 60 кв}м* .										40	70	30
					0.2		0,3	0.2				
												
Сотопласгы												
На основе хлопчатобу- мажной ткани объемным			40	16			28	12.6	1000			
весом 140 гсе/ж* • • , .										800	450	360
								3.1				
На основе ярафт-бума-												
гн объемным весом ЭО же/M3 . 					IU	6			7	4.2			140	по
							1.6	1				
На основе изоляцион- но-пропиточной	бумаги												
прн объемном весе 30 «/ж» .......							2.1	0,49				
		—	3		—	—	0.5	0.12	160	130	110	90
Продолжение табл, 1.17
?
Коэффициент линейного рас*
шнрення а-10—б
4.8. ПЛАСТМАССЫ
167
Продолжение табл. 4.27
	Прочностные характеристики									Деформационные характеристика					а.		вект линейного рас* ai0-^>	
	нормативные сопротивления					расчетные сопротивления				модуль упругости в кг/мм*			модуль сдвига в кГ/см'					
																j U i £		
		с £ Е	нагиб	сжатие	V V	растя- жение	нагиб	сжа- тие Я?	срез "ср	i	менный Е*₽	длительный Е	кратковре- менный	я 5 5е				
																	Ковффнц	3
						«₽	".	«с	"ср									
Клеи Эпоксидные клеи (прн скл2:1мнин елк-мнния с алюминием) марок: ЭПЦ-1 ......		400			270	220			148			10 500	12 500	атпп	о		34	
						65			45									
К-163 						260	275			137			10 500	12 500	3700	0.4		40	
						80			40									
к-1» .		350			240	192			132			2 900	О(ГГ>	900	0.4			
						71			19									
К-Н7			.WfD			180	165			99			160	3?О	50				
						28			15									
Каучуковые клеи (при склеивании алюминии с пенопластами	ПС-1. ПС-4. ПХВ-1) марок 88 Н. 80 НП. КС-1 . .					10	3.S			3,5		90	9	30	з				
						0,4			0,4									
То же (при склеива- нии алюминия с ДВП)					50	10,5			17,5		90	9	30	3	0.5			
марок 88Н. 88-НП. КС-1						2			3,5									
Эпоксидный клей (при склеивании алюминия с		120			100	66			55	35 000		10500	12500	3700	0	,4	34	
ДВП) марки ЭПЦ-1 . 						20			16									
Эпоксидные клеи (при склеивании асбестоце- мента с асбестоцемен- том) марок: ЭПЦ-1							11				як пт		10500	12 500	3700	о		34	
						4.8												
К-153			20				11						10 500	12500	3700			40	
						4,8												
Дифеиольный	клей (прн склеивании асбе- стоцемента с асбестоцс центом) марки ДТ-) . .						8						6600	я про	2 400			52	
						4.8												
Дифеиольные	клеи (при склеивании асбесто- цемента с асбестоцемен- том) марок: 								4			3.2			к ДТП	япрп	94ЛЛ	0.4		52	
						1			0.75									
дт-з	 Полиэфирный	клей (при склеивании стекло- пластика со стеклопла- стиком) марки ПН-1 . .		10 220				4			3.2		000 0 000		жп	68	0.6 А а		65	
						1 121			0.75 66	4		12П(Х1	14 000	аяпп			34	
						36			20									
• Расчетные характеристики определяются срочностью склеиваемых материалов.
188
РАЗДЕЛ 4 МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
л ок но лишено механической связи (например, перепле-
тения) и совместная работа отдельных, зачастую хао-
тически расположенных волокон полностью зависит от
адгезионных н механических свойств связующего. Для
всех стеклопластиков временной фактор оказывает боль-
шее влияние на прочностные, чем на деформационные
показатели.
Для полиэфирных стеклопластиков в табл. 4.27 нор-
мативные и расчетные сопротивления при сдвиге даны
в направлении, перпендикулярном плоскости листа; для
стеклотекстолита КАСТ-В этн показатели при всех ви-
дах напряженного состояния приведены для усилий,
действующих в направлении основы стеклоткани при
толщине материала до 7 мм; для стеклопластиков
СВАМ и АГ-4 все этн показатели даны дли соотношения
продольных и поперечных стекловолокон, равного 1:1,
для усилий действующих в направлении стекловолокон.
Для древеснослоистых пластиков помимо влияния на-
правления расположения шпонов достаточно четко выя-
вилось влияние толщины материала: более тонкие пли-
ты ДСП-В имеют при всех видах напряженного состо-
яния более высокие нормативные сопротивления.
Для древесноволокнистых плит характерны более
высокие показатели прочностных свойств при изгибе по
сравнению с растяжением и сжатием, а таиже весьма
значительное влияние времени на деформационные ха-
рактеристики.
Прочностные свойства древесностружечных плит всех
используемых в строительных конструкциях видов до-
вольно близки при основных видах напряженного сос-
тояния. Влияние временибго фактора больше сказыва-
ется на прочности, чем на деформативносги.
Механические показатели пенопластов зависят от хи-
мической природы полимеров, составляющих их основу,
от ячеистой структуры и способа изготовления. Чем вы-
ше прочность исходного полимера, тем более высокие
показатели следует ожидать у пенопласта. С повышени-
ем объемного веса прочность и жесткость пенопластов,
как правило, возрастает. Однородность, регулярность
ячеистой структуры, свободной от случайных пустот и
лор, является необходимым условием для получения
конструкционных пенопластов. Степень замкнутости яче-
истой структуры обусловливает показатели деформатив-
ностн, влаге- н водопоглощения и теплоизоляционные
характеристики пенопластов. Пенопласты на основе по-
листирола и поливинилхлорида имеют закрыто-ячеистую
структуру. Длл фенольных пенопластов характерна от-
крыто-ячеистая структура. Дли всех видов пенопластов
влияние временибго фактора на прочностные и деформа-
ционные свойства весьма значительно.
В сотопластах, имеющих вид пчелиных сот, матери-
ал располагается наиболее экономично. Объемный вес и
прочностные характеристики сотопластов, а также дру-
гие их свойства зависят от материала сот, размеров
ячейки, вида и количества пропитывающей смолы. При-
веденные в табл. 4.27 нормативные и расчетные сопро-
тивления и модули упругости и сдвига сотопластов раз-
ных видов даны для материалов с расстоянием между
параллельными сторонами шестигранника ячейки сот,
равным 12 мм площади брутто материала, без исключе-
ния пустот. Фактор времени оказывает большое влияние
на прочностные характеристики и сравнительно мало
отражается на деформационных показателях.
Нормативные и расчетные сопротивленш клеевых
соединений в табл. 4.27 даны (исходя из специфики их
работы) только для случаи равномерного отрыва (столб-
цы 3 и 7) и сдвига. В таблице отсутствуют расчетные
характеристики тех клеевых соединений, для которых
долговечность определяется не прочностью клееного
шоа. а прочностью слабейшего из склеиваемых материа-
лов. Подобное положение наблюдается при склеивании
алюминия с пенопластами ПСБ, ПСБт, ПХВ-1. ПС-1.
ПС-4 эпоксидными клеями К-153. К-147, К-134 и с пе-
нопластами ПСБ и ПСБт каучуковыми клеями 88-Н.
88-НП. КС-I, а также алюминия с крафт-бумажным со-
топластом эпоксидными клеями ЭПЦ-1, К-153, К-147,
К-139 и дифеиольиым клеем ДТ-1, когда прочность сое-
динения определяется расчетными характеристиками пе-
нопластов и сотопласта. При склеивании асбестоцемента
с пенопластами ПС-4, ПСБ, ПСБт дифенольиыми клея-
ми ДТ-1. ДТ-З и с пенопластом ФРП-1 каучуковыми
клеями 88-Н. 88-НП. КС-1, а также с сотами из ДВП и
с сотопластом па основе крафт-бумаги эпоксидными
клеями ЭПЦ-1, К-153 и дифснольным клеем ДТ-1 проч-
ность клеевых соединений определяется расчетными со-
противлениями слабейших из склеиваемых материалов.
Аналогичное положение при склеивании полиэфирного
стеклопластика с пенопластами ПСБ, ПСБт, ПлВ-1.
ПС-1, ПС-4 и сотопластом на основе крафт-бумаги фе-
иоло-формальдегидиым клеем КБ-3.
Эпоксидные клен К-147 и К-134, пластифицированные
добавками каучука в больших количествах, обладают
пониженной жесткостью. В зависимости от содержания
эластомера — тиокола — значительно снижается жест-
кость и дифеиольиых клеев. Весьма низкой жесткостью
обладают все каучуковые клеи. Введение в клен эла-
стомеров относительно мало отражается на прочност-
ных свойствах клеев.
Более подробные данные о прочности и деформатив-
ностн пластмасс [115. 117], о расчете н проектировании
конструкций —[119, 120].
Факторы, влияющие на механические свойства. На
прочностные н деформационные свойства пластмасс су-
щественное влияние оказывают температурно-влажност-
ные, атмосферные, химически агрессивные н другие фак-
торы. Поскольку отдельные виды пластмасс значительно
отличаются составом компонентов, микро- и макростро-
ением. технологией изготовления и т. д., то влияние от-
дельных факторов проявляется для разных видов мате-
риалов в различной степени.
Так, механические свойства термопластов — оргстек-
ла. винипласта, некоторых видов пенопластов весьма
чувствительны к изменениям температуры и в то же
время мало зависят от влажностных факторов. На ме-
ханические свойства древесноволокнистых н древесно-
стружечных плит решающее влияние оказывает влаж-
ностное состояние, а изменение температуры в пределах
обычных эксплуатационных режимов не имеет сущест-
венного влияния. Сотопласты на основе пропитанной
смолами хлопчатобумажной ткани достаточно хорошо
противостоят влажностным воздействиям, в то время
как сотопласты на бумажной основе чувствительны н к
повышению влажности воздуха. Подобная избиратель-
ная чувствительность разных видов пластмасс к от-
дельным факторам учитывается при назначении пласт-
масс для применения в тех или иных конструкциях.
Коэффициенты условий работы, на которые следует
умножать расчетные сопротивления н модули упругости
пластмасс, длительное время эксплуатируемых в усло-
виях повышенных температур и влажностей. приведены
в табл. 4.28.
Коэффициенты условий работы прн повышенных тем-
пературах и влвжиостях для модулей упругости, не сов-
падающие по величине с соответствующими коэффици-
ентами для расчетных сопротивлений, даны в скобках.
При одновременном воздействии влажностных и темпе-
ратурных факторов коэффициенты условий работы еле-
«.в. ПЛАСТМАССЫ
189
Коэффициенты условий работы пластмасс а конструкциях, эксллуатируемых прн повышенных температурах и
елажиостях
Материал	Темпера 40	тура в °C 60	При дли- тельном увлажне- нмк в оде	При длительном вре^ованим в усло- вия повышенной влажности воздуха (порядка 90 % отно- сительной влажности)
Стеклопластик полиэфирный листовой: при сжатии и растяжении	 при изгибе		 Стеклопластики КАСТ-В. СВАМ. АГ-4	 Стекло органическое .......... 	 Винипласт листовой		 Пластики древеснослоистые марки: ДСП-Б	 ДСП-В	 Древесноволокнистые плиты: сверхтвердые	   .. твердые 			 Древесностружечные плиты  	  . Пенопласт марок: ПСБ. ПГ.Б С. ПСБт. ПСБ-Ст. ПС-4. ПС-1	 ПХВ-1	 ФРП-1. ФЛ-1 . 		 Сотонласты ко основе крафт-бумаги и мэоляционно-лрэднточ- ной бумаги				0.6 0.4 0.85 0.7(0.75) 0,5(0,65) 0,8(0,7) и.«(0.П 0.8 0.8 0.85	0.6S 0.4(0.6) 0.3(0.45) 0,76(0.6) 0.96(0,55) 0,6(0.6) 0^0.4)	0*00 = 0 II III III I	я £ 1 । ।	. > РРРРР gill	1 1	8SRS.a
дует перемножать. Эксплуатации винипласта при тем-
пературе ниже —10’ С ие рекомендуется вследствие по-
вышения хрупкости материала.
Коэффициенты условий работы клеевых соединений
при сдвиге приведены в табл. 4.29 как для повышенных,
так и для пониженных температур, поскольку дли ряда
клеев расчетные сопротивления прн отрицательных тем-
пературах понижаются вследствие увеличения концент-
рации напряжений. Для соединений алюминия с пено-
пластами иа эпоксидных клеях ЭПЦ-1 и К-153 и
асбестоцемента с асбестоцементом на клее ДТ-1 темпе-
ратурные коэффициенты условий работы прн сдвиге и
равномерном отрыве принимаются по склеиваемым ма-
Таблвца *Д9
Коэффициенты условий работы клеевых соединений при
различных температурах прн сдвиге
		Эпоксидные клеи				Двфенольные клев		Каучу- ковые клеи
	Эа 0 dauwat 1	ЭПЦ-1	К-1БЭ	К-147	К-134	дт-1	ДТ-3	КС-1. 88-Н. 88-НП
	-Л 4-20 но +8U	О.5 0.7 1.0 0.6 0.3	0.8 0.8 1.0 0.9 0.4	1.0 1.0 1.0 0.8 0,5	1.2 1*0 0,7 О.5	1,3 1.1 1.0 1.0 1.0	1.2 1.0 1.0 0.7 0.5	0,5 0.8 1.0 0.2 0,1
териалам н поэтому в табл. 4.30 ие вошли; коэффициент
условии работы для каучуковых клеев принят ие црн
80. а при 60° С.
Из эпоксидных клеев наиболее низкие коэффициен-
ты условий работы прн крайних значениях температу-
ры имеет жесткий клей ЭПЦ-1. ие содержащий пласти-
фикатора. Остальные марки эпоксидных клеев и днфе-
нольные клеи, содержащие в разных количествах
пластификаторы, имеют прн крайних температурах бо-
лее высокие коэффициенты. Каучуковые клен плохо ра-
ботают при повышенных температурах.
Таблица 4.30.
Коэффициенты условий работы стеклопластиков,
эксплуатируемых в атмосферных условиях
Материал	Расчетные сопротивления		Модули упру- гости и сдвига		
	в районах средней полосы	в южных районах	в районах средней полосы	X S •	с о.
Фенольный стекло- текстолит КАСТ-В . Стеклопластик по- лиэфирный листовой	0.7 0,75	0,7 0,65	0.8 0.85	0.8 0,8	
Стойкость пластмасс в отношении атмосферного ста-
рения различна. Полиэфирные стеклопластики, изготов-
ленные. иак правило, с недостаточно отвержденным свя-
зующим, претерпевают при воздействии атмосферных
факторов изменения, связанные как со старением стек-
лопластиков. так н с дополнительным отверждением
полиэфирной смолы. Процесс старения ведет к сниже-
нию механических свойств, дополнительное отверждение
связующего приводит к значительному повышению мо-
дуля упругости и в меньшей степени к повышению пре-
дела прочности.
Развитие процессов старения в фенольном стекло-
текстолите КАСТ-В протекает более монотонно и прояв-
ляется в систематическом снижении начальных значе-
ний предела прочности и модуля упругости. Кроме того,
исследования позволили выявить зависимость нитен-
190
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
снвиостн развития процессов старения и, следовательно,
снижении механических свойств от толщины материала
и величины действующих напряжений.
В табл. 4.30 даны коэффициенты условий работы
стеклопластиков, эксплуатируемых в атмосферных усло-
виях.
Коэффициенты включают влияние периодического
увлажнения и нагрева в процессе эксплуатации стекло-
пластиков и даны для материалов толщиной 2—7 мм.
В случае применения материалов толщиной 1—2 мм
приведенные коэффициенты умножаются на 0,8, а при
толщинах, меньших 1 мм, — на 0,6.
4.9.	МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЯ
В 1955 г. в СССР был введен единый для всех стро-
ительных конструкций метод расчета по предельным со-
стояниям, в котором получили дальнейшее развитие
прогрессивные идеи расчета по разрушающим нагруз-
кам (учет пластических свойств материалов), а единый
коэффициент запаса заменен системой частных коэффи-
циентов (перегрузки, однородности н условий работы),
учитывающих конкретные условия возведения и эксплу-
атации конструкций и характер внешних воздействий.
Это позволило более правильно оценивать надежность
конструкций и способствовало проектированию более
равнопрочных и в целом более экономичных сооружений.
При разработке в 1959—1962 гг. новой редакции
Строительных норм и правил принципиальные основы
метода расчета по предельным состояниям были сохра-
нены, однако отдельные его положения получили неко-
торые изменения. Были уточнены определение предель-
ного состояния, нормативных сопротивлений материалов,
классификация и определение нагрузок, порядок учета
нагрузок в разных сочетаниях, упрощено написание
формул расчета и др.
В последние годы все шире признается, что стати-
стическая природа параметров, определяющих поведе-
ние конструкций, должна в возможно более полной
форме находить отражение в нормах проектировании
различных сооружений. Об этом свидетельствуют реко-
мендации по принципам расчета конструкций, разрабо-
танные прн участии советских специалистов междуна-
родными организациями (Европейский комитет по бе-
тону. Международный Совет по строительству,
Международная организация по стандартизации), а так-
же новые нормы проектирования стран — членов СЭВ.
В связи с очередным пересмотром строительных норм
н правил в 1970—1972 гг. получил дальнейшее развитие
н метод расчета но предельным состояниям, регламен-
тируемый отечественными нормативными документами
[130].
Предельным является такое состояние, при которой
несущие конструкции нлн основания перестают удовлет-
ворять заданным эксплуатационным требованиям или
требованиям, предъявляемым к ннм прн возведении.
Нарушение эксплуатационной надежности не обязатель-
но связано с разрушением конструкции, оно может быть
обусловлено и затруднениями в использовании сооруже-
ния, вызывающими необходимость ремонта, усиления нлн
замены конструкций; поэтому при анализе надежности
важна комплексная оценка таких факторов, как условия
эксплуатации, ее продолжительность, ответственность со-
оружения. тяжесть последствий возникновения предель-
ного состояния, экономические требования и т. д. Таким
образом, используя в расисте представление о предель-
ном состоянии как о пределе эксплуатационной способ-
ности сооружения, можно более обоснованно определить
условия, обеспечивающие при проектировании требуе-
мую надежность несущих конструкций и оснований.
Строительные кормы н правила различают две груп-
пы предельных состояний:
первая — по потере несущей способности или непри-
годности к эксплуатации;
вторая —по непригодности к нормальной эксплуата-
ции.
К предельным состояниям первой группы относятся:
потеря устойчивости формы; потеря устойчивости по-
ложении; хрупкое, вязкое, усталостное нлн много харак-
тера разрушение; разрушение под совместным воздейст-
О)
частота события (X *х)8 %
6)
Частота события (У »у) 8 7ft
Рис. 4.28. Статистические функции распределения
о — годовых максимумов веса снегового покрова земли
(на защищенном от воздействия ветра участке); б—ско-
рости ветра на открытой равнинной местности (по ме-
теорологическим данным за 20 лет прн четырех наблю.
дениях в сутки)
1.9. МЕТОДЫ РлСЧГ Гл КОНСТРУКЦИИ
191
вием силовых факторов и неблагоприятных влияний
внешней среды; качественное изменение конфигурации,
резонансные колебания, а также другие состояния, прн
которых возникает необходимость прекращения эксплу-
атации (в результате текучести материала, сдвигов в
соединениях, ползучести пли чрезмерного раскрытия
трещин).
К предельным состояниям второй группы относятся
состояния, затрудняющие нормальную эксплуатацию
конструкций и оснований или снижающие долговечность
их вследствие появления недопустимых перемещений
(прогибов, осадок, углов поворота), колебаний, трещин
н т. п. Прн этом нормальной считается эксплуатация,
осуществляемая (без ограничений) в соответствии с
предусмотренными в нормах нлн заданиях на проекти-
рование технологическими нлн бытовыми условиями.
Расчет по предельным состояниям имеет целью пре-
дотвратить наступление предельных состояний прн экс-
плуатации в течение всего срока службы конструкции,
здания нлн сооружения, а также прн их возведении.
Поэтому основное требование норм расчета состоит в
том, чтобы величины усилий, напряжений, деформаций,
перемещений, раскрытия трещин нлн величины от дру-
гих факторов н воздействий ие превышали соответству-
ющих предельных значений, устанавливаемых нормами
проектирования конструкций и оснований зданий и со-
оружений различного назначения.
Важнейшими факторами, от правильности учета ко-
торых при проектировании зависит эксплуатационная
надежность сооружений, являются нагрузки и воздейст-
вия. механические н другие свойства материалов и
грунтов, а также условии эксплуатации н особенности
работы конструкций и оснований.
При расчете по предельным состояниям устанавли-
ваются два значения нагрузок: нормативные в расчет-
ные.
Основной характеристикой нагрузок н воздействий
являются их нормативные величины, принимаемые:
для постоянных нагрузок — по проектным значениям
геометрических и конструктивных параметров и по нор-
мативным значениям объемного веса материалов;
для технологических (от оборудования, складируе-
мых материалов, обстановки, людей к т.п.) н монтаж-
ных нагрузок — по наибольшим значениям для преду-
смотренных условий нормальной эксплуатации или стро-
ительства;
для атмосферных нагрузок н воздействий — по сред-
ним из ежегодных неблагоприятных значений или по
неблагоприятным значенннм, соответствующим опреде-
ленному периоду нх повторения или превышения;
дли динамических нагрузок от машин — по средне-
статистическим значениям параметров, определяющих
динамические нагрузки.
Возможное отклонение нагрузок в неблагоприятную
(большую или меньшую) сторону от их нормативных
значений вследствие изменчивости нагрузок или случай-
ных отступлений от условий нормальной эксплуатации
учитывается коэффициентами перегрузки п. устанавли-
ваемыми с учетом назначения зданий и сооружений и
условий их эксплуатации.
Коэффициенты п для расчетов по каждому виду пре-
дельных состояний устанавливаются нормами нагрузок
пли нормами проектирования конструкций; нагрузка,
равная произведению нормативной нагрузки на коэф-
фициент перегрузки.называется расчетной нагрузкой.
Коэффициенты перегрузки к весу конструкций и тех-
нологическим нагрузкам определяются с учетом имею-
щихся данных о возможных отклонениях фактического
веса конструкций и оборудования от нормативного
вследствие неточности подсчета проектного веса, измен-
чивости размеров конструкции н объемного веса мате-
риалов и нарушения условий нормальной эксплуатации
оборудования (напрнмер, подъем груза, превышающего
номинальную грузоподъемность крана). При определе-
нии коэффициентов перегрузки для снеговых н ветро-
el
Рнс. 4.29. Гистограммы распределения
а — предела текучести стали марки СтЗ (по результа-
там испытаний 6000 образцов): б —пределы прочности
ври сжатии бетонных кубов марки 200 (по результатам
испытаний 3700 образцов)
вых нагрузок используются результаты многолетних
метеорологических наблюдений за весом снегового по-
крова н скоростью ветра (рнс. 4.28,о,б); при этом вна-
чале определяется уровень расчетной нагрузки, соответ-
ствующий некоторому заранее выбранному числу лет,
в течение которого наблюдается в среднем одно превы-
шение нагрузки (или соответствующий некоторой задан-
ной вероятности, оцениваемой по относительной частоте
случаев превышения), а коэффициент перегрузки вы-
числяется как отношение этого уровня к нормативной
нагрузке.
Однако прн нормировании коэффициентов перегруз-
ки имеющейся статистическая информация часто оказы-
вается недостаточной. В таких случаях используется
опыт строительства и эксплуатации сооружений и ана-
192
РАЗДЕЛ < МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
лиэ действительных условий загружеиия. Например, при
нормировании коэффициента перегрузки для снеговой
нагрузки учитывалось, что вес снегового покрова иа по-
крытиях зданий (в среднем иа всей площади покрытия)
меньше, чем иа земле, вследствие сдувания снега вет-
ром. подтаивания снега на отапливаемых зданиях и
влияния других факторов; ярииималось также во вни-
мание, что при появлении в отдельные годы нагрузок,
близких к расчетным, возможна очистка покрытия от
снега.
Нормированные коэффициенты перегрузки больше
единицы, но для постоянной нагрузки, когда она может
быть разгружающей, предусматривается п<1. Значения
нормативных нагрузои и коэффициентов перегрузки
см. |131|.
В отличие от постоянных временные нагрузки вво-
дятся в расчет только в тех случаях, когда нх воздей-
ствие неблагоприятно: при этом расчетные сочетания
временных нагрузок составляются с учетом продолжи-
тельности действия их наибольших значений (по этому
признаку временные нагрузки различаются: длительно
действующие, кратковременные и особые).
В зависимости от состава учитываемых нагрузок и
воздействий различают: а) основные сочетания, состав-
ляемые нэ постоянных, длительных н кратковременных
нагрузок и воздействий и б) особые сочетания, состав-
ляемые из постоянных, длительных, некоторых кратко-
временных и одной нз особых нагрузок (воздействий).
При расчете конструкций на основные сочетания по-
стоянные и длительные временные нагрузки учитывают-
ся без снижения; величины кратковременных нагрузок
умножаются иа коэффициенты сочетаний пс (меньше
единицы), учитывающие, что вероятность одновременно-
го достижения расчетных величин двух и более кратко-
временных нагрузок меньше вероятности достижения
расчетного значения одной кратковременной нагрузкой.
Для особого сочетания указанное обстоятельство учиты-
вается на основе оценки вероятности возникновения и
учитываемой величины особого воздействия.
Сопротивление строительных материалов силовым
воздействиям характеризуется при расчете по предель-
ным состояниям двумя показателями: нормативными н
расчетными сопротивлениями.
Основными параметрами сопротивления материалов
силовым воздействиям являются нормативные сопротив-
ления R", устанавливаемые с учетом условий контроля и
статистической изменчивости сопротивлений. Величина
нормативного сопротивления материала в ряде случаев
(например, для металла, бетона) принимается равной ве-
личине контрольной пли браковочной характеристики,
устанавливаемой ГОСТами. Нормативные сопротивле-
ния материалов, контроль которых не регламентируется
государственными стандартами (например, сопротивле-
ние срезу, смятию и др.), устанавливаются в функции
от контролируемых сопротивлений путем применения
переходных коэффициентов. Обеспеченность значений
нормативных сопротивлений материалов принимается
ие менее 0,95.
Кроме нормативных сопротивлений, устанавливают-
ся и другие нормативные характеристики материалов
(объемная масса, модули упругости, коэффициенты
сцепления, трения, ползучести, усадки н др.).
Несущая способность оснований фундаментов зави-
сит от ряда свойств грунтов. В соответствии с этим в
качестве их основных параметров, определяющих несу-
щую способность и деформацнн оснований фундаментов,
принимаются нормативные значения прочностных и де-
формационных характеристик грунтов (угла внутренне-
го трении, удельного сцепления, модуля деформаций.
сопротивлений одноосному сжатию и сдвигу скальных
и мерзлых грунтов и т.п.). При этом за нормативные
значения указанных характеристик принимаются их
среднестатистические значения, устанавливаемые на ос-
нове данных инженерных изысканий (для проектируе-
мого объекта) или по результатам массовых испытаний.
Вследствие изменчивости механических свойств ма-
териалов (см. рис. 4.29) и проведении при нх приемке
только выборочных испытаний ие исключена возмож-
ность изготовления конструкций из материалов с пони-
женными сопротивлениями (по отношению к норматив-
ным). Сопротивление материала в конструкции может
отличаться от нормативного, получаемого путем испы-
тания стандартных образцов, также вследствие мас-
штабного фактора, неполного соответствия условий ра-
боты материала в конструкции условиям его работы в
образцах и вследствие ряда других обстоятельств не-
статнстического характера. Аналогичным образом реаль-
ная несущая способность (или деформации) оснований
фундаментов может отличаться от нх несущей способ-
ности, определяемой по нормативным значениям проч-
ностных характеристик грунтов.
Принимая во внимание указанное, с целью обеспе-
чения требуемой надежности конструкций и оснований
к нормативным значениям сопротивлений (и другим
характеристикам) материалов и грунтов вводятся в ви-
де делителя коэффициенты безопасности по материалу
и грунту k (более единицы). Получаемые таким путем
расчетные сопротивления материала R (расчетные ха-
рактеристики грунта) называются расчетными сопротив-
лениями (характеристиками) н устанавливаются норма-
ми проектирования. Для удобства и упрощения расчета
в расчетные сопротивления материалов (расчетные ха-
рактеристики грунта) в необходимых случанх вводятся
коэффициенты условий работы m н коэффициенты на-
дежности k„ (см. ниже).
Установленные в нормах расчетные сопротивления
материалов определены с учетом указанных обстоя-
тельств. Так, расчетные сопротивления для стали учи-
тывают не только статистическую изменчивость ее ме-
ханических свойств, ио и изменчивость размеров сечений
(в соответствии с установленными допусками), для
кладки — качество кладки, зависящее от навыков ка-
менщика, и т. п. (см. также 4.1—4.8).
Для расчета деревянных конструкций устанавлива-
ются нормативное временное сопротивление и длитель-
ное сопротивление, соответствующее воздействию нагру-
зок в течение несколькис месяцев. Нормативное времен-
ное сопротивление принято как вероятное минимальное
значение, полученное по результатам исаытаний малых
образцов чистой (без пороков) древесины; нормативное
длительное сопротивление, установленное на основе ис-
пытания образцов при длительном нагружении, состав-
ляет % нормативного временного сопротивления. Коэф-
фициент безопасности по материалу (древесины) учиты-
вает главным образом ее неоднородность в элементах
крупных размеров (масштабный фактор) и влияние по-
роков.
Коэффициенты условий работы m установлены иа
основе анализа условий эксплуатации сооружений и изу-
чения действительного поведения материалов, соеди-
нений. элементов и конструкций под нагрузкой. Ими
учитываются ие отражаемые в расчетах прямым путем
влияния: температуры, влажности и агрессивности сре-
ды. длительности воздействия, его многократной повто-
ряемости и т. д.; приближенности расчетных схем и при-
нятых а расчетах предпосылок; перераспределения си-
ловых факторов и деформаций.
Степень ответственности и капитальности зданий в
ЛИТЕРАТУРА
I УЗ
сооружений, а также значимость последствий наступле-
ния тех или иных предельных состояний учитываются в
необходимых случаях коэффициентами надежности kt.
Эти коэффициенты вводятся в расчет также прн недо-
статочной изученности действительной работы н пре-
дельных состояний отдельных видов конструкций и ос-
нований. На коэффициенты еа делятся предельные зна-
чения несущей способности, расчетные сопротивления,
допустимые (нормированные) деформации, величины
раскрытии трещин, а в некоторых случаях на них умно-
жаются величины расчетных нагрузок, усилий или иных
воздействий.
Наиболее полное использование прочностных свойств
материалов достигается при расчете по предельным со-
стояниям первой группы в случае, когда усилия от
внешних воздействий и несущая способность сечений оп-
ределяются с учетом неупругих деформаций материа-
лов. Однако методы определения усилий с учетом пла-
стических деформаций материалов разработаны в на-
стоящее время применительно лишь к отдельным кон-
струкциям. и поэтому при расчете статически неопреде-
лимых систем в большинстве случаев усилия от нагру-
зок и воздействий определяются в иредположеиии уп-
ругой работы конструкций. Прн определенных условиях
перераспределение усилий вследствие неупругях дефор-
маций учитывается в железобетонных конструкциях
(плиты, неразрезиые балки, рамы и т.п.), в стальных
неразрезиых балках постоянного сечения и каркасах
одноэтажных промышленных зданий.
Учет пластических деформаций при определении рас-
четной несущей способности сечення наиболее полно
представлен в нормах проектирования железобетонных
и каменных конструкций. В стальных конструкциях пла-
стическая стадия работы материала учитывается при
расчете на устойчивость, и с определенными ограниче-
ниями, при -подборе сечений балок и проверке прочности
стержней в некоторых случаях сложного сопротивления
(изгиб с растяжением или сжатием).
ЛИТЕРАТУРА
4.1.	Стали для строительных конструкций
4.3. Бетон
I.	Времен кие указании по проектированию стальник конст-
рукций из стали высокой прочности (СН 317-66). Стройнздат.
1967.
2.	ГОСТ 380-71. Сталь углеродистая обыкновенная каче-
ства. Марки н общие технические требования.
3.	ГОСТ S0S8—65*. Сталь низколегированная конструкционная.
Марки и общие технические требования.
4.	ГОСТ 6713-53. Сталь углеродистая горячекатаная для
мостостроения.
5.	ГОСТ 7348—63. Проволока стальная круглая для армиро-
вания предварительно наяряженных железобетонных конструк-
ций. ГОСТ 8180—63. Проволока стальная периодического профиля
для армирования предварительно напряженных железобетонных
конструкций.
6.	К у р а е в В. В.. Ч е р и а ш к и н В. Г. Строительные ста-
ли. Стройнздат. 1941.	_ _
7.	Л е й к к н И. М.. Ч е р н а ш к и н В. Г. Низколегиро-
ванные строительные стали. Металлургнздат. 1952.
В.	Л и а ш н ц Б. Г. Физические свойства металлов в спла-
вов. Машгнз. 1959.
9.	Металловедение и термическая обработка (справочник)
Т. П. Металлургнздат. 1962.
10.	Р а т ц Э. Г. Железобетон с электротермическим натя-
жением арматуры. Стройнздат. >967,
II.	СНиП I-В. 12-62. Металлы м металлические надел ин.
Госстройиздат, 1962.
12.	Стрелецкий Н. С.» Гениев А. Н.. Беле-
на Е. Н. н др. Металлические конструкции. Госстройнз-
Д 13. Стрелецкий Н. С.. Б е л е н я Е. Н. н др. Метал-
лические конструкции. Специальный курс. Стройиэдат. 1965.
Н. Труды Научно-технического общества черной металлур-
гии. т. VI. Металлургнздат. 1956.
15.	Указания по проектированию, изготовлению я монтажу
строительных конструкций, предназначенных для эксплуатации
в условиях низких температур (СН 363-66). Стройнздат. 1967.
16.	Ч е р н а ш к и II В. Г. н др. Исследования по стальным
конструкциям. Госстрой нздат. 1957.
См. также (130. 135).
4.2.	Алюминневые сплавы для строительства
17.	ГОСТ 4784—65. Сплавы алюминиевые деформируемые.
Марки.
18.	ГОСТ 12592—67. Листы конструкционные из алюминия
и алюминиевых сплавов.
19.	ГОСТ 8617—68. Профили прессованные нз алюннния и
алюминиевых сплавов. Технические требования.
20.	Строительные конструкции нз алюминиевых сплавов.
Сборники ЦНИИСК. Под ред. С. В. Тарановского. Стройнздат.
1962. 1963 н 1967. Под ред. С. В. Тарановского и В. И. Трофимо-
ва. Стройнздат. 1970.
21.	П о л о в С. А. Алюминиевые строительные конструкции.
«Высшая школа». 1969.
См. также (13. 130. 137).
22.	Александровский С. В. Расчет бетонных н же-
лезобетонных конструкций на температурные и пижнектные
Бездействия (с учетом ползучести). Стройнздат. 1966.
23.	Александровский С. В., Таль К. 3. Основные
физико-механические свойства бетона. Справочник проектиров-
щика. «Сборные железобетонные конструкции», глава 2. Гос-
строй нздат. 1959.
24.	Берг О. Я. Физические основы теории прочности бе-
тона и железобетона. Госстройнздат. 1961.
25.	ГОСТ 8462—62. Материалы стеновые и облицовочные. Ме-
тоды определения пределов прочности при сжатии и изгибе.
26.	ГОСТ 10180—67. Бетон тяжелый. Методы определения
прочности.
27.	ГОСТ 11050—64. Бетон легкий ва пористых заполнителях.
Методы определения прочности н объемного веса.
28.	ГОСТ 12852—67. Бетой ячеистый. Методы испытаний.
29.	Лерм нт Р. Проблемы технологии бетона. Госстрой-
нздат. 1959.
30.	Скромтаев Б. Г.. Лещинский М. Н. Испыта-
ние прочности бетона. Стройнздат. 1964.
31.	СНиП I В-3-62. Бетоны на неорганических вяжущих и за-
полнителях. ГосстроЯнэдат, 1962.
32.	Указания но проектированию конструкций из тяжелого
силикатного бетона (СН 165-68). Госстройиздат. 1968.
33.	Указания по проектированию конструкций нз ячеистых
бетонов СН 287 65. Стройнздат. 1965.
34.	Временные указания по проектированию конструкций из
силикальцита (СН 259-63). Госстройнздат. 1963.
35.	Цмснрелн Г. Д. Сопротивление растяжению неарми-
рованных и армированных бетонов. Госстройнздат. 1954.
36.	Ш с А к и и А. Е. К вопросу прочности, упругости и пла-
стичности бетона. Труды МИИТ. вып. 69. Траисжелдориз-
дат. 1946.
37.	СотНё Europeen du B4ton. Recommendations pratiques
unitizes pour le calcul el execution des ouvrages en btton arm*.
38.	D a v 1 s R., D a v I в H.. В г о w n E. Plastic flow and
volume change of concrete. ASTM Proceedings, vol. 37. p. 11.
1837.
39.	D a v 1 a R., Davis H,. Hamilton J. Plastic flow
and volume change of concrete under sustained stress. ASTM Pro-
ceedings. vol. 34, p. II. 1934
40.	G 1 a n v 111 e W.. Thomas F. O. Studies In reinforced
concrete. Department of Scientific and Industrial Research. Tech-
nical paper. M 21. London 1939.
41.	MaterlalprOfungsaml Юг das Bauwesen der Technlschen
Hochschuhle. M One hen. Aus unseren Forschungsarbeilen, Ee-
rie ht 50. Dezembcr 1963.
См. также |60, 78. 130. 133).
4.4.	Каменные материалы r растворы
42.	ГОСТ 530—71. Кирпич глиняный обыкновенный.
43.	ГОСТ 379—69. Кирпич силикатный.
44.	ГОСТ 4001—66. Камни стеновые нз известняков и туфов.
45.	ГОСТ 5802—66. Растворы строительные. Методы' ис-
пытания.
194
РАЗДЕЛ 4. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
46.	ГОСТ 6328—55. Камки керамические пустотелые, стено-
вые. пластического прессования.
47.	ГОСТ 6928—64. Камин шлакобетонные н бетонные обык-
новенные.
48.	ГОСТ *484-69. Кирпич и камин керамические лицевые,
49.	ГОСТ 8462—62. Материалы стековые и облицовочные. Ме-
тоды определения пределов прочности при сжатии и изгибе.
60.	Мельникова Н. В. Основные строительные свой-
ства подмосковных известняков. Изд. отдела техн, ннфоры.
НИИ по строительству Минстроя РСФСР. 1958.
51. Мохов 3. С. Упругие свойства некоторых видов гор-
них каменных пород. В сб.: «Исследовании строительных ма-
териалов н вопросы строительной механики». Гостранснэдат,
1955.
52. П о л я к о в С. В. Длительное сжатие кирпичной клад-
ки. Госстройнэдат, 1959.
33.	Рохлин И. А. Расчет керамическнх конструкций.
Киев. Госстройиздат. 1956.
54.	Семенцов С. А. Некоторые особенности деформаций
кирпичной кладки при сжатии и изгибе. В сб.; «Исследования
по каменным конструкциям». Под ред. Л. И. Онмщмка. Строй-
нздат. 1949.
55.	Семенцов С. А. Строительные свойства подмосков-
ных облицовочных известняков. В сб.; «Исследования. Камен-
ные конструкции». Госстрой из дат. 1955.
56.	С к р а м т а е в Ь. Г. н др. Строительные материалы.
Госстройиздат. 1953.
57.	Строительство из естественных каменных материалов.
Сбопинк ВНИТО строителей. Госстройиздат. 1961.
58.	Субботний М. И. Строительные свойства крымско-
ю известняка-ракушечника. В сб.: «Исследования. Каменные
конструкции». Госстройнэдат» 1955.
См. также [60. 65. 130. 134J.
4.5.	Каменная кладка
69.	Дмитриев А. С., Семенцов С. А. Каменные и
армокаменные конструкции. Госстройиздат. 1965.
60.	О н и щ н к Л. И. Прочность и устойчивость каменных
конструкций. ОНТИ. 1937.
61	О н и щ н к Л. И,	Каменные	конструкции. Строй-
нздат, 1939.
G2.	П о л я к о в С. Б. Сцепление в кнрпнчиой кладке.
Стройнздат. 1949.
63.	Поляков С. В- н Фалевнч Б. Н. Проектирова-
ние каменных н крупнопанельных конструкций. Стройнздат. 1966.
64.	С е м е н ц о в С. А. Каменные конструкции. Госстрой-
нэдат. 1955.
65.	Справочник проехтировшнма. Том «Каменные конструк-
ции». Стройнздат, 1068.
См. также [62. Б4. 130, 134).
4.6.	Армированные материалы  конструкции
66.	Асташкевнчар А. П. Асбестоцементная крупно-
панельная плита, армированная стеклопластиком, для утеплен-
ных покрытий. В сб.: «Производство м применение асбесто-
цемента». Магнитогорск. 1666.
67.	Боровский Т. В.. Покрас Л. Н. Армоцамеятяыа
обструкции. Киев. Буд1вельник. 1966
68.	Б у ш к о  В. А. Железобетонные конструкции. Строй-
нздат, 1041.
(F. Исследование каменных конструкций. Сборник ЦНИИПС.
Госстройнэдат. 1950.
70.	Лсоигардт Ф. Напряженно-армированный железо-
бетон. Госстройиздат, 1067.
71.	Мике Плох К. В. Проволочная арматура для нредвв-
рнтельио напряженного железобетона. Стройнздат. 1964.
72.	М у р a iu о а В. И. Греши неустойчивость, жесткость я
прочность железобетонных конструкций. Машстройиэдвт. 1950.
73.	НИИпути и строительства НКПС. Олытво-теоретнчсскне
исследовании железобетонных конструкций. Траисжелдорнэдат,
19W.
74.	П а с т е р н а к П. Л. н др. Железобетоввые конструк-
ции. Госстройнэдат, 1961.
75.	П никель Л, Н. Армированный асбестоцемент. В сб.:
«Исследования. Каменные конструкции». НИИ по строительст-
ву. Госстройиздат. 1955.
76.	П и ц к е л ь Л. Н. Асбестоцементные лотковые плиты.
Госстрой и эл ат. 1952.
77.	Справочник проектировщика. Сборник «Железобетонные
конструкции». Госстройнэдат, I960.
78.	Расчет бетонных н железобетонных арочных н комби-
нированных конструкций с учетом длительных процессов. Гос-
тсхнздат УССР. 1950.
79.	Экспериментальное исследование каменных конструкций.
Сбопинк UI IIПП1С Стройнздат. 1939.
См. также (22, 35. 130. 133, 134, 138].
4.7.	Древесина
80.	Белянкин Ф. П.. Яценко В. Ф. Дефорыатнв-
ность н сопротивляемость древесины как упруго вязко-пластич-
ного тела. Изд. АН УССР. 1957.
81.	Богданович А. Ф. Деревянные конструкций. Раз-
дел 111. стр. 152-309 в книге: Митропольский. Овечкин. Алешнн-
скнй, Богданович. Строительные конструкции. Гостравсжелдор-
иэдат. 1958.
82.	Богданович А. Ф. Исследование соединений дере-
вянных конструкций на нагелях под действием статической н
пульсирующей нагрузок. Труды МИ ИТ. вып. 77. Трансжелдор-
нздат. 1952.
83.	Быковский В. Н. Сопротивление материалов во вре-
мени с учетом статистических факторов. Госстройнэдат. 1968.
64.	ГОСТ 11484-65, ГОСТ 114W-65, ГОСТ II602-65. Древе-
сина. Методы физико-механических испытаний.
85.	ГОСТ 8697—63. ГОСТ 8698—63. Пластики древесные.
86.	ГОСТ 11539—65. Фанера бакелнзированная.
87.	ГОСТ 102—49. Фанера березовая.
88.	ГОСТ 3916—65. Фанера клееная.
89.	Древесина. Показатели физ и ко механических свойств. Ру-
ководящие техннч. материалы. Комитет стандартов. М.. 1962.
90.	И в а м о в Ю. М. О предельных состояниях деревянных
элементов, соединений н конструкций. Стройнздат, 1947.
91.	И в а н о в Ю. М. Предел пластического течения древе-
сины. Стройнздат. 1948.
92.	И в а н о в Ю. М. Эластическая деформация древесины.
Коллоидный журнал, т. 19. вып. 3, 293. 1957.
93.	И в а н о в Ю. М.. Линьков И. М. Прогрессивные
решения клееных деревянных конструкций. «Сельское строитель-
ство». 1971. М 7.
94.	Индустриальные деревянные конструкция. Примеры про-
ектирования. Под ред. Г. Г. Карлсена. Стройнздат. 1967.
95.	Инструкция по изготовлению клееных деревянных конст-
рукций. ЦНИИСК. 1971.
96.	Инструкция по испытанию деревянных конструкций.
ЦНИИСК. 1971.
97.	К в р л се в Г. Г., большаков В. В.. К а г а и М. Е.,
Свенцнцкнй Г. В. Курс деревянных конструнций. Гос-
строй нэдат, 1962.
98.	Конструкции нэ дерева в пластмасс. Под ред. В. А. Ива-
нова. Киев. 1970.
99.	Леонтьев И. Л. Упругие деформации древесины.
Гослесбуынэдат. 1952.
100.	Методы фнзнко-механических испытаний модифициро-
ванной древесины. ЦНИИСК. 1971.
101.	Митинский А. Н. Упругие постоянные древесины
как ортотропного материала. Труды Лесотехнической академии
нм. С М. Кирова. М 63. 1946.
102.	Отрешко А. И. Инженерные овструкцнн. «Колос»,
1968.
1СЗ.	Рекомендации по контролю качества клеевых соадодевий
деревянных строительных конструкций к деталей. Стройнздат»
М.. 1071.
104.	Рекомендации по повышению долговаякостя деревянных
конструкций в птицеводческих и жнвотиоводчееявя зданиях.
ЦНИИСК. ЦНИИЭПсельстрой. 1971.
105.	Самуйлло В. И.» Соболев Ю. С. К вопросу
о постоянных упругости древесины. Труды МЛТИ. 8, 1968.
106.	Свенцнцкнй Г. В. Деревянные конструкцин (со-
стояние и перспективы развития). Госстройиздат. 1962.
107.	СНнп 1-В. 13-62. Лесные материалы, изделия н конструк-
ции нэ древесины.
108.	СНиП П-В 4-71 Деревянные конструкцин. Нормы проек-
тирования.
109.	СНиП 1П-В7-69. Деревянные конструкции. Правила
производства н приемки работ.
110.	Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих кон-
струкций зданий. Госстройиздат. М.. 1956.
111.	Справочник проектировщика. Деревянные конструкции.
Под ред. А. И. Отрешко. Госстройиздат, 1957.
112.	Указания по применению деревянных конструкций в ус-
ловиях химически агрессивной среды. Стройнздат, 1966
113.	Хрулев В. М. Оценка долговечности клеевых соеди-
нений прн контрольных испытаниях клееных изделий нэ древе-
сины. Труды 1 Всесоюзной конференция по клеям н технологии
склеивания. Таллин. 1966.
См. также [130. 136).
4.8.	Пластмассы, применяемые
в строительных конструкциях
114.	Губенко А. Б. Строительные конструкции с приме-
нением пластмасс. Стройнздат. 1970.
115.	Исследования конструктивных пластмасс н строитель-
ных конструкций на нх основе. Под ред. А. Б. Губенко. Гос-
стройнэдат, 1962.
ЛИТЕРАТУРА
195
116.	Kj я т  с Г. Я. Несущие конструкции из пластмасс
(зарубежный опыт). Строй изд ат. 1965,
Hi. Прочность н деформатнввостъ конструкций с примене-
нием пластмасс. Стройнздат. 1966.
НН. Технология изготовления клееных панелей нэ пластмасс,
алюминия, асбестоцемента и бетона. Под ред. А. Б. Губенко.
Госстройиэдат, 1963.
119.	Указания по проектированию и расчету строительных
конструкций с применением пластмасс. Госстройиэдат, 1963
120.	Рекомендации по проектированию и расчету конструк-
ций с применением пластмасс. Стройнздат. М., 1969.
См. также (94).
4.9.	Методы расчета конструкций
121.	Балдин В. А.. Гольдеи блат И. И.. Коча-
нов В. М. и др. Расчет строительных конструкций по ар*
дельным состояниям. Под ред. В. М. Келдыша. Госстройиэдат.
1951.
122.	Болотнп В. В. Статистические методы в строитель-
ной механике. Изд. 2-е. Стройнздат. 1965.
123.	Келдыш В. М- и Гольденблат И. И. Некото-
рые вопросы ыетода предельного состояния, вып. II. Строй-
нэдат. 1919.
124.	Норыы и технические условия проектирования дереаян*
вых конструкций (НнТУ 2-47).
125.	Нормы н технические условна проектнровавпя железо-
бетонных конструкций (НнТУ 3-49).
126.	Нормы и технические условия проектирования бетов-
ных конструкций (НнТУ 4-49).
127.	Нормы проектирования каменных и армокаменных кон-
струкций (Н 7-49).
:2ь.	Нормы и техвяческие условия проектирования стальных
конструкций (НнТУ 1*46).
129.	Ржаввцын А. Р. Расчет сооружений с учетом пла-
стических свойств материалов. 1оссгройиздат. 1954.
130.	СНнП II-А. 10-71. Строительные конструкции и основа*
ння. Основные положения проектирования.
131.	СНиП П-А. 11-72. Нагрузки и воздействия. Норыы про-
ектирования.
132.	СНнП П-Б. 1-62. Основания зданий а сооружений. Нор-
мы проектирования.
133.	СНиП I1-B.1-82. Бетонные  жалавобетояные конструк-
ции. Нормы проектирования.
134.	СНиП П-В.2-82. Камеаные в армохаменные конструк-
ции. Нормы проектировав ня.
135.	СНнП II-B.3-62*. Стальные конструкции. Нормы проек-
тирования.
136.	СНнП II-B.4-62. Деревянные конструкции. Нормы проек-
тирования.
137.	СНнП II-B.5-64. Алюминиевые конструкции. Нормы про-
ектирования.
138.	Стрелецкий Н. С. Основы статистического учета
коэффициента запаса прочности сооружений. Стройнздат. 1947.
РАЗДЕЛ 5
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ
И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
СТЕРЖНЯ
6.1.1. Определения
Стержнем называется тело удлиненной формы, два
размера которого (высота и ширина поперечного сече-
ния) малы по сравнению с третьим размером (длиной).
Стержень условно представляется в виде совокупности
параллельных или почти параллельных продольных во-
локон. Сечения стержня, нормальные волокнам, называ-
ются поперечными сечениями. По форме волокон разли-
чают прямые, ломаные и кривые стержни. Последние
Рис. 5.1
подразделяют ир стержни малой и большой кривизны.
В стержнях малой кривизны поперечные сечении, от-
стоящие друг от друга на расстоянии, примерно равном
высоте сечения, рассматриваются как параллельные, де-
формации и напряжения вычисляются по формулам для
прямых стержней. Сюда относится большинство строи-
тельных кривых стержней (брусьев) — арки, арочные
перемычки и ригели рамных конструкций, эркерные бал-
ки. кольцевые фундаменты, кольца жесткости н шпанго-
уты оболочек. Переходные участки (углы) ломаных
стержней иногда рассматриваются как стержни большой
кривизны. Стержни, у которых смежные поперечные се-
чения повернуты в своих плоскостях одно относительно
другого, называются завитыми (стержни с естественно
закрученной осью). Практическое значение их в строи-
тельных конструкциях невелико. Стержни большой кри-
визны и завитые часто встречаются в машиностроении
и авиастроении.
По относительным размерам в поперечном сечении
различают стержни массивные и тонкостенные. Послед-
ние подразделяются на .стержни с открытым и с зам-
кнутым поперечным сечением. По абсолютным размерам
и форме поперечных сечений различают стержни посто-
янного и переменного поперечного сечения. Ломаный
стержень обычно рассматривают как систему связанных
прямых нлн кривых стержней.
Осью стержня называется линия, соединяющая нача-
ла координат, связанные с отдельными сечениями (гео-
метрическое место начал координат). Обход стержня
наблюдателем обычно противоположен координатной оси
Z в данном сечении, которое идет навстречу наблюдате-
лю. обходящему стержень (рис. 5.1).
5.1.2.	Основные факторы работы стержня
Статико-кинематическая аналогия [83, 87]
Основными факторами работы стержня являются:
1) нагрузки; 2) усилия в сечениях; 3) деформации;
4) перемещения сечений. Весьма существенна аналогия
между нагрузками н деформациями, усилиями и пере-
мещениями. Нагрузки и деформацнн рассматриваются
по отношению к усилиям и перемещениям как актив-
ные факторы (причины). Задача определения усилий по
нагрузкам аналогична задаче определения перемещений
по деформациям. Прн этом заданные перемещения (на-
пример, осадку опоры балки) целесообразно рассматри-
вать так же. как деформации (сосредоточенное укоро-
чение опорного стерженька).
Нагрузки и усилия
Рассматриваются сосредоточенные и распределенные
(погонные) нагрузки и соответственно сосредоточенные
и распределенные (погонные) деформации. Нагрузки мо-
гут быть силовые и моментные, а деформации — вра-
щательные (угловые) и поступательные (линейные).
Пусть из всех нагрузок стержня по одну сторону от
исследуемого сечения действуют сила, изображаемая
скользящим вектором Pt, и пара, изображаемая свобод-
ным вектором-моментом Ki (рис. 5.2, о). Усилия в сече-
нии (две поперечные силы и продольная сила, два изги-
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖНЯ
197
бающих момента н крутящий момент), определяются из
условий равновесия отсеченной части стержня или усло-
вий эквивалентности системы нагрузок отсеченной части
и усилий в поперечном сечении оставшейся части по
формулам приведения системы сил к полюсу н коорди-
натным осям (см. 2.1.5). Предполагается, что сил А н
моментов К/ имеется несколько. Формулы приведения:
Х = £Х,; L = 2i/+E(Zjy/-ri.e1.);
У = 2 У.; М = ХМ/ + 2 (X. г, - Z. х.);
Z = 2Z(; W = 2Af/ + 2(Fix/-X.!Z().
(5.1)
Рнс. 5.2
Здесь Xi. Yt, Zt — проекции сил Pt на координатные
оси; Lj. Mj. Ni — проекции векторов-моментов К, на те
же осн; х,. yi. 2, — координаты какой-либо точки, взя-
той на линии действия силы Р< (на рнс. 5.2 показаны
кружком).
Формулы пригодны и для правой, и для левой си-
стемы координат. Векторы усилий (X, Y, Z) и векторы-
моменты (L. М, N) в соответствии с правой системой
показаны на рнс. 5.2,6. На рнс. 5.2, а векторы-моменты
заменены соответствующими им в правой системе ду-
говыми стрелками. На рнс. 5.2, г показаны принятые в
строительной механике обозначения усилий и их поло-
жительные направления, отличающиеся от вышеуказан-
ных правил механики. Под Р< н Х> можно подразуме-
вать не только сосредоточенные силы н моменты, но и
равнодействующие некоторых сосредоточенных нлн
распределенных нагрузок. Кроме того, заменяя Р< через
pds, а суммирование интегрированием, находят усилия
от распределенной нагрузки с погонной интенсивностью
р. То же относится к распределенной моментной на-
грузке.
Общими формулами (5.1) для вычисления моментов
пользуются при расчете пространственных систем.
В строительной механике плоских систем моменты вы-
числяются обычно так: все силы проектируются на
плоскость, перпендикулярную оси моментов, и в этой
плоскости определяют моменты проекций снл относи-
тельно точки, именно — следа оси моментов. Алгебраи-
ческая сумма полученных моментов и равна искомому
моменту.
Деформации и перемещения
Пусть между некоторыми сечениями стержня возни-
кают малые сосредоточенные деформации (сокращен-
но — с. д.) двух типов (иначе дислокации) — относи-
тельные вращения, изображаемые скользящими вектора-
ми Р, и относительные поступательные смещения, изо-
бражаемые свободными векторами К. Подразумеваются
с. д., действующие по одну сторону от исследуемого се-
чения. Тогда перемещения сечения выразятся теми же
формулами (5.1), причем X, К. Z дадут малые углы по-
ворота сечення <р», <р», ф, вокруг осей х, у, г, a L, М.
N — поступательные перемещения сечення в направле-
нии осей х, у, г, или, что то же. полные перемещения
начала координат 0, обозначаемые Д>, Дд, Д. или не,
Од, Wg.
Статнкоткинематическая аналогия
Совпадение формул, определяющих усилия по на-
грузкам. н формул, определяющих перемещения ио де-
формациям. коротко называют статнко-кннематнческой
аналогией (см. 2.5.6) При использовании этой аналогии
относительные вращения часто называют фиктивными
нагрузками, а относительные перемещения — фиктивны-
ми моментами н отмечают верхним индексом «ф>.
Прн использовании формул (5.1) для определения
усилий или перемещений, следует учитывать граничные
условия в сечении, принятом за начальное, которое не
обязательно должно совпадать с концом стержня, как
на рнс. 5.2. В первом случае к нагрузкам надо присое-
динить усилия в начальном сечении, а во втором случае
к с. д. надо присоединить перемещения начального сече-
ния. Поэтому свободный конец при определении усилий
эквивалентен полностью защемленному концу прн опре-
делении перемещений.
Под с. д. Pf н К? можно подразумевать не только
Сосредоточенные относительные вращения н смещения
между сечениями, но и равнодействующие некоторых
групп с.д. или распределенных деформаций. Общеиз-
вестный графо-аналнтнческнй метод определения пере-
мещений (прогибов и углов поворота) балок является
простейшей иллюстрацией аналогии. Здесь фиктивной
нагрузкой является площадь эпюры изгибающих момен-
тов с ординатами, уменьшенными в F.I раз, или. что то
же. площадь эпюры упругой распределенной угловой
деформации.
В приложениях статико-кинематической аналогии к
различным задачам по расчету стержневых систем ис-
пользуется теорема замкнутости, выражающая условие
неразрывности деформации.
Если иеразветвлеииый стержневой контур (в част-
ности, плоская или пространственная арка, рама, балка
вместе с опорным телом —«землей»), испытывающий
малые деформации, остается замкнутым, то совокуп-
ность векторов деформации (иначе — фиктивная на-
грузка) подчинена условинм равновесия твердого тела:
2Х* =0, 2Г’’ = 0. 2гф = 0: 1
2(.ф = 0, 2м* = 0. 2 Af* = O. J (61)
Условия равновесия фиктивной нагрузки постоянно
применяются при проверке окончательных эпюр момен-
тов рамных конструкции.
198	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
5.1.3.	Интегральные соотношения
между напряжениями и усилиями
в поперечных сечениях
Продольное усилие Z (рис. 5.1) представляет собоА
равнодействующую элементарных нормальных усилий в
сечении (коротко — равнодействующую нормальных на-
пряжений) :
Z = $odF.	(5.2)
Поперечные усилия X и К дают равнодействующие
касательных напряжений в сечении:
Х=ГтжйЛ; У = [т1/<УГ.	(5.3)
Полная равнодействующая касательных вапряжеинй
<} = У Х* + У«.	(5.4)
Положение силы Z определяется моментами L и М
нормальных напряжений относительно осей х, у.
L — £ oydF; М = — j axdF.	(5-5)
Координаты следа силы Z:
-----у. Bz- г- <5-6)
Положение силы Q определяется моментом N каса-
тельных напряжений т относительно оси z:
N^f^z-^yfdF.	(5.7)
Плечо силы Q
Усилия Z, L, М (иначе N, М„ М,) дают по величи-
не и по положению равнодействующую напряжений о,
усилия X. К N (иначе Q>, Q,. М«)— равнодействую-
щую напряжений т. В технической теории стержней ос-
новными усилиями определяются ие только равнодейст-
вующие, но и детальное распределение основных напря-
жений по сечению, причем от каждого усилия в отдель-
ности.
6.1.4. Соответствующие силы и перемещения,
усилия и сосредоточенные деформации (с. д.)
Работа силы равна произведению силы, перемещения
точки приложения силы я косинуса угла между направ-
лением силы и направлением перемещения (скалярное
произведение силы и перемещения):
4-PAcos(P, Д).
Сила и перемещение называются соответствующими,
если их произведение дает непосредственно работу (без
умножения иа косинус угла):
А = РДр.
Прн этом знак зависит от направления стрелок век-
торов силы н перемещения. При одинаковом направле-
нии работа имеет знак плюс (+). прн различном на-
правлении — знак минус (—). Соответствующие силы н
перемещения следует понимать в обобщенном смысле
как два множителя, из которых один характеризует
группу снл, а другой — совокупность перемещений, на
которых работают силы, причем произведение выражает
работу снл на перемещениях.
Усилия в стержне также представляют собой группы
равных н противоположно направленных сил и момен-
тов, приложенных к смежным торцам, отделенным раз-
резом. Эти группы совершают возможную работу прн
условии, что торцы, отделенные разрезом, сдвигаются
одни относительно другого, т. г. возникает сосредото-
ченная деформация.
Таблица 5.1
Усилия (+)
Нявмевоввнке, обозначение, размерность	Схема	
Продольная^ сила N	Л  ,	
Поперечная сила Q в кГ	ч>оса8	г 1 а	
		
Поперечная сила Qx в кГ	Оме 	г	
	i	
Изгибающий момент Мх в кГ-сл	9аеад rj/	
	А	
Изгибающий момент М в кГ-c*	7	План 	5	
		1
Крутящий момент <МК в кГ >см	-на-	
В табл. 5.1 показаны усилия, которым приписывается
знак (+). а в табл. 5.2 — соответствующие возможные
с.д., которым приписывается знак (+). Для принятого
правила знаков работа положительного усилия на по-
ложительный с.д. получается отрицательной. Вместе с
тем, если с. д. является действительной и вызвана из-
менением размера малой деформируемой вставки меж-
ду сечениями под действием соответствующего усилия,
то она получается того же знака, что я усилие. Напри-
мер, растягивающее усилие вызывает увеличение рас-
стояния между сечениями, т. е. положительную с.д.
В первом столбце рисунков табл. 5.2 с.д. показаны иа-
6.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖЧЯ
199
Таблица 3.3
Сосредоточенные деформации (4-)
Наименование, обозначение, размерность	Схема	Условное изображение	Векторное представление
Удлинение Л в см	-<4-		л
Сдвиг в см	fterf 	/г	Ла/ Ч5-	ч
Сдвиг Гх в см	Ппк	Пли	Г.
Излом 6 (безразмерная величина)	9осад	9etti	ЛсМ	g Проб ла =®=
Излом (безразмерная величина)	/моя	Имя	Имя	g tya Ле!
Скручивание 8К (безразмерная вели- чина)			пив, в" ла	
глядио, а во втором столбце даны их условные изобра-
жения иа недеформнроваиной схеме стержня. Отрица-
тельные с. д. обозначаются аналогично, ио с изменением
направления черточек иа обратное. Показаны также век-
торные представления с. д., необходимые яри пользова-
нии формулами (5.1) для определения перемещений.
Эти представления соответствуют положительным с. д,
обходу стержня слева направо. Направление векторов
6 зависит от принимаемой при расчете правой или ле-
вой системы винта. Направление векторов Л и Г одно-
значно определяется направлением обхода и характе-
ром С. Д.
S.I.S.	Начальная, температурная и
упругая распределенные деформации
Распределенную деформацию можно представить как
бесконечно большое число бесконечно малых (элемен-
тарных) с. в, подобно тому, как распределенная нагруз-
ка представляется бесконечным числом бесконечно ма-
лых сил. Погонная интенсивность распределенной
деформации удлинения равна производной X = — н гео-
метрически представляет собой относительное удлине-
ние; погонная интенсивность распределенной деформа-
<(Г
ции сдвига у” представляет собой средний относи-
de
тельный сдвиг; в случае излома — кривизна v = —
as
и т. д. В табл. 5.3 представлено шесть видов распреде-
ленных деформаций, которые могут быть: I) начальны-
ми (наперед заданными), 2) температурными и 3) сило-
выми (упругими, а также пластическими).
Из температурных деформаций рассматриваетси
только случай линейного изменения температуры по вы-
соте и ио ширине сечения, что вызывает удлинение X* и
кривизны и О*. Коэффициент линейного расширения
обозначен а. изменение температуры осн центров тяже-
сти сечений — 1^р, изменении температур соответственно
нижней, верхней, передней и задней поверхности бру-
са— /®, 1J, <°п. размер по оси у равен Л, размер по
оси х равен Ь.
Упругие деформации пропорциональны соответству-
ющим усилиям. Все они равны усилиям, деленным иа
соответствующую жесткость стержня в данном сечении.
Жесткость стержня из однородного материала равна
произведению модуля упругости иа геометрическую ха-
рактеристику сечення, которая имеет размерность см?
200	РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
для линейных деформаций в сл* для угловых деформа-
ций. Характеристики обозначены для линейных дефор-
маций буквой F (для сдвига с пидексом), для угловых
деформаций буквой / (с индексом). В последнем столб-
це таблицы приведены геометрические характеристики
для случая прямоугольного сечении (h — размер по оси
р: t — размер по осн х).
Величины, обратные жесткостям, называются гибко-
стями. Чаше всего речь идет о жесткости или о гибкости
прн изгибе (соответственно Ef нлн !/£/). Если гибкость
прн изгибе встречается с гибкостью прн продольном из-
гибе А—Иг, то рекомендуются термины обратная жест-
костьв. <и?гибная податливость*.
Жесткостью или гибкостью можно охарактеризовать
также особенности стержня в отдельных сечениях. На-
пример, шарниру соответствует малый участок с нулевой
жесткостью или бесконечной гибкостью на изгиб. Упру-
гий шарнир характеризуется заданной величиной ц —
произведения жесткости и длины малого участка или за-
данной величиной е—произведения гибкости н длины
малого участка.
5.1.6.	Две системы координатных осей
упругого стержня с несимметричным сечением
Формулы для упругих деформаций, приведенные в
табл. 5.3. справедливы прн условии, что координатные
оси в сечении, к которым приводятся усилия н переме-
щения. совпадают с двумя осями симметрии сечення
(рнс. 5.3.а).
При отсутствии снмметрнИ—Прнходится пользоваться
двумя системами осей Охуг и Охуг. К первой приводят-
ся усилия N, Мг, М, и соответствующие деформации
A, 6i, 6„ ко второй — усилия QIt Q„ М, н соответст-
Таблица 63
Наименование, обознсчемне. размерность	Схема			Температурные деформации	Упругие деформации				Прямоугольное сечение	|
Относ йгтльное удли- нение X » — (без- Л размерная велпчняа)			<•—		X—" EF	N	—	И	F-М ем’
Относительный сдвиг 4Г V.. = —Д (безрвэ- V о* мерная величина!					°и J	а.	<а	'а	Fv — 0.83 F см9
Относительней сдвиг тГ т»х —	'безрвэ* меоная величина)					О v —	 Cfr				F*—0.B3F сж»
Кривизна аб- . 6 -° —— см-1 х ds	а 1 i			.г а( 'и-*») 6«——	в -=_• ' F\	М С	—		г м* . 1 - 		СМ* X	|2
Кривизна		/ 1	"Т	V	b	0 ' «и				1„ —	Of Ч 12
									
KDV4CHHC de, 1 в «- -2- с*-’ *	tfs				С'к	*<-	F|—г- J		Г'	1 см- табл. 7.1.4.
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖНЯ
201
вующне деформации у». у», (рис. 6.3,б—а). Начало
первых осей О совпадает (при однородном материале)
с центром тижести поперечного сечении (ц. т.), а наклон
осей Ох н Оу в сеченнн соответствует главным направ-
лениям в центре тяжести (/,х“0). Оси Ох, Оу, а также
Ог называют «нормальными» главными центральными
осями сечеиня. Начало О вторых осей совпадает с так
Рнс. 5.3
называемым центром изгиба сечения (ц. и.), а сами оси
Ох и бу параллельны осям Ох, Оу за исключением осо-
бого случая очень короткого защемленного стержня.
Вторые оси называются касательными главными цент-
ральными осями.
Соответственно двум системам координатных осей
получаются и две продольные оси бруса —ось центров
тяжести и ось центров изгиба. Общее название «ось
стержни» обычно сохраняется за осью центров тяжести
сечений. На рнс. 5.3 представлено несколько характер-
ных случаев: а— две осн симметрии, координатные си-
стемы совпадают; б — оди£ ось симметрии, оси х и х
совпадают, оси у н у, г н г—не совпадают; е—отсут-
ствие симметрии, осн ие совпадают; г — антисимметрич-
ный профиль, осн совпадают. Наибольшее практическое
значение имеют сечения с одной и с двумя осями сим-
метрии.
5.1.7.	Упругое основание
Упругим основанием стержня называется такое ос-
нование, которое реализует распределенную вдоль оси
стержня реакцию с погонной интенсивностью, пропор-
циональной перемещению (прогибу или углу повороте
сечения). Коэффициент пропорциональности называется
отпорностью основания. В общем случае упругое осно-
вание развивает шесть реактивных нагрузок иа стер-
жень и характеризуется шестью отпорностямн. Интен-
сивности реактивных нагрузок равны:
Pz = —
₽« = — *« “г.
»лх =— cxq>x;
ГПу = — Су <fy,
тх = — сг <рх.
(5.9)
Знак минус показывает, что реактивная нагрузка на-
правлена противоположно перемещению. Отпориостн k
имеют размерность кГ/см -см=кГ1см\ отнорностн с —
размерность кГ -см1см=кГ (см. 5.5.6).
Величины, обратные отпориостям основания, называ-
ются податливостями основания.
Упругое опоры можно рассматривать как бесконечно
малые участки упругого основания, обладающие, одна-
ко, конечными отпориостямн и податливостями. Отнор-
иость силовой упругой опоры обозначается %< н имеет
размерность кГ/см, отпорность моментной упругой опо-
ры обозначается и имеет размерность кГ-см. Упру-
гое основание очень часто целесообразно рассматривать
как совокупность большого числа сосредоточенных уп-
ругих опор.
5.1.8. Плоский неразветвленный упругий
стержень.
Обобщенная статико-кинематическая
аналогия [87]
Наибольшее практическое значение имеют стержни,
обладающие плоскостью симметрии, совпадающей с
плоскостью кривизны оси. Такие стержни называются
плоскими. Оси у, г, связанные с сечением, располагают-
ся в плоскости стержня, ось х — перпендикулярно этой
плоскости. Факторы, характеризующие работу плоского
стержня, разбиваются иа две группы —симметричную
(в плоскости стержня) и антисимметричную (перпенди-
кулярную его плоскости). Эти факторы мщут быть нзу-
чены отдельно и независимо, причем расчет разбивает-
ся иа два независимых расчета. Между кинематикой и
статикой стержня в своей плоскости и статикой и кине-
матикой стержня из своей плоскости существует опре-
деленная аналогия, которая используется для упрощения
расчетов стержня.
В табл. 5.4 дан полный перечень факторов, характе-
ризующих работу стержня с упругим основаинем обще-
го вида, охватывающим также различные нлн жесткие
опоры. В левой половине таблицы перечислены факто-
ры, относящиеся к работе стержня в своей плоскости,
в правой (в другом порядке) к работе стержня нз сво-
ей плоскости. Считается, что оси центров тяжести и
центров изгиба практически совпадают.
Для статически неопределимого стержня усилия, де-
формации и перемещения складываются нз двух час-
тей— из факторов, относящихся к основной системе
(отмечены нуликом), и факторов, зависящих от лишних
неизвестных (отмечены звездочкой). Благодаря упру-
гому основанию нагрузки также складываются из двух
частей — заданных нагрузок (отмечены нуликом) и ре-
активных нагрузок, зависящих от неизвестны) переме-
щений*.
Обобщенная (в смысле учета упругих свойств и ста-
тической неопределимости) статико-кинематическая ана-
логия состоит в следующем. Два плоских иеразветвлен-
ных стержня называются взаимными, если они имеют
одинаковые оси и гибкости одного стержня построчно
численно совпадают с отпориостямн основания другого.
Если прн этом активные факторы (нагрузки н деформа-
ции, отмеченные нуликом) одного стержня бупут пост-
рочно совпадать с активными факторами (деформация-
ми и нагрузками) другого стержня, то а пассивные фак-
торы (усилия и перемещения) такж» будут построчно
совпадать.
В случае однопролетиых и нераэрезных прямых ба-
лок взаимные стержни н их нагрузки условно можно
считать лежащими в одной плоскости (см. рис. 5.30).
При криволинейной и ломаной оси важно учитывать
соотношение пространственного расположения взаимных
стержней. (В отдельных случаях путем вращения фик-
тивных нагрузок иа 90° удается оперировать с взаим-
1 Основная система обычно является статически определи-
мой, а взаимная с ней — кинематически определимой. Пример:
простая балка и взаимная с ней абсолютно жесткая балка ва
упругой основании н концевых опорах в плоскости свободный
торцов.
202
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица М
Плоский упругий стержень
Работа стержне в его плоскости (Юр)		Размер- ность
V s Гибкость на нз- S 5 гнб * i	~^7	1
		KT-aF
и £ Гибкость иа g X СМИГ		1
		пГ
£ ► Гибкость на е растяженке-сжа- тне	1 ЕР	1
й	Отпорность = в при поперечном с х перемещении £ « (прогибе)		кГ смсм
о.о Л- * х Отпор несть при х К повороте сечения	с*	кГсм см
X X Отпорность при ► продольном пера- £ мешении	",	кГ см'
3 Поперечная р-	0 .	см |
Х	Моментная V 2	mx вт*”схф*	лГ-сж см
2 Продольная С	вг-"J” *гв	кГ см
Изгибающий момент	мж - м® + м*	кГ-см
* Поперечная си-	Чу-Оу + %	кГ
Продольная си- ла	N^N‘ + N’	кГ
я Крнаиана 5	0 Wx - 0° + — ЕРХ	1 см t
« Относительный сдвиг	0 . % v„ “»</+—— * CFe	1
*4 Относительное удлиненно	N* ^-м+ —	1 см
Поперечное ос- _ рсмещение (про = гиб)	0  о* + о*	п
3 л Угол поворота	фт — ф° + фд	1
Е Продольное пе- ремещение	в™ и?	см
й	Отпорность при * поперечном перс Л* мещенин (проги- xj бе)	1	**	кГ см-см
• 8 Отпорность при g повороте сечения	су	кГ-см
>= Отпорность прн § вращении сачвиня	С	кГсм см
Продолжение табл. 5.4
Работа стержня в его плоскости (г Оу)			Размер- ность
I Упругие характеристики | стержня	Гибкость на из- гиб	1	1
			кГ-см1
	Гибкость на сдвиг	^7	1 кГ
	Гибкость на кручение		1
			кГ-cjP
Дефориациа	Кривизна	0А < О М ® +	— v и	1 еж
	Относительный сдвиг	Тх-’2 + ^	1
	Кручение	о.~е® + — 1 ’ с/*	1 ем
Лсремсщсмня	1	Поперечное пе- ремещение (про гиб)	и “	см
	Угол поворота	’f-’s + ’b	1
	Угол врашення	0 . • <Р2 “ Фг + Ф2	1
Погонные нагрузки	1	Поперечная	»ж — в® — и	см
	Моментная (из- гибающая)		см
	Моментная (крутящая)	п «,,-тх-с1ф2	кГ-см ем
1	Изгибающий момент		кГсм
	Поперечная си- ла	Ox-oJ + q'	кГ
	Крутящий мо- мент	м2— mJ+m*	кГ-см
C.I. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ СТЕРЖНЯ
203
ними стержнями в одной плоскости.) Не осяованпп
аналогии и теоремы замкнутости (см. 5.1.2) расчет из-
гибающих моментов одноконтурной плоской рамы без
упругого основания приводится к расчету осадок или
напряжений по подошве абсолютного жесткого стержня
не упругом основании, нагруженного перпендикулярно
своей плоскости фиктивной нагрузкой, равной деформа-
ции заданной рамы.
Статико-кинематическая аналогия справедлива и для
пространственного стержня. Все положения табл. 5.4
остаются в силе применительно к элементу длиной ds
и к стержню в целон.
6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯ
Нормальные напряжения в поперечных сечениях од-
нородного упругого стержня (ds) определяются на ос-
нове закона Гуна, гипотезы плоских сечений и гипотезы
о иенадавливакни волокон в поперечном направлении
(о,-"<>,,=0). При этих условиях нормальные напряже-
ния пропорциональны относительным удлинениям и
подчинены закону плоскости.
Расчет начинается с определения «нормальных» гео-
метрических характеристик и усилий N, Мл М, в сече-
ниях. (Прн тонкостенном профиле иногда определяют
дополнительные нормальные напряжения — см. ниже
5.10.)
6.2.1. Геометрические характеристики
поперечных сечений стержней
[25, 91, 93 и др.]
Геометрическими характеристиками фигуры попереч-
ного сечення стержня называются следующие интегралы
(рис. 5.4,а):
площадь
F=(dF=SFlaFi
статические моменты относительно осей х. у,
St = \ydF=ZSt,cM*, Sv’=\xdF=T,SlvcnF-,
F	F
Рнс. 5.4
моменты ннерцнн относительно осей х, у:
h = Г Уг dF = Z h, см*. /„= Г X* dF = £ /,„ см*
центробежный момент внерцни относительно осей
х. У
hi/ = jxydF = S	см‘.
Буквами с индексом I обозначены характеристики от-
дельных частей фигуры, на которые разбивается в слу-
чае необходимости сложная фигура сечения, относитель-
но тех же осей х, у.
Через каждую точку можно провести пару осей х, у
так, чтобы /»,=0. Такие оси называются главными ося-
ми для данной точки. Оси, имеющие начало в центре
тяжести фигуры сечения, называются центральными
осями. Для центральных осей $-=$,-0. Практическое
значение имеют главные центральные оси, для которых
0. Если фигура имеет ось симметрии, то
эта ось является одной из главных центральных осей.
Достаточно определить лишь положение центра тяже-
сти на этой осн. Другая главная центральная ось прохо-
дит через ц. т. перпендикулярно первой.
Для овределення центра тяжести и главных цент-
ральных осей выбирают произвольные исходные
у. Координаты центра тяжести в исходных осях
ляют по формулам (см. 2.1.8 н 222).
S„ _	2 Л у,
0= F F '• Но р ~ F ‘
ОСН X,
вычис-
лю)
Здесь Xi, pi — координаты центров тяжести отдель-
ных фигур.
Центр тяжести принимают за начало произвольных
центральных осей и ищут угол поворота осей, превра-
щающий произвольные центральные осн в главные
центральные оси. Обычно определяют сперва /ж, /,.
для исходных осей, а затем находят hn, /,ц. hu„u
центральных осей, параллельных исходным, пользуясь
формулами:
(5-11)
Далее вычисляют полусумму в пол у разность цент-
ральных моментов инерции:
'м “у (/*“+	^“У
Наибольший я наименьший центральные моменты
инерции, одновременно являющиеся главными централь-
ными моментами инерции, вычисляются по формуле
Ъ'='о. ± /		(5-,2)
Остается узнать угол а» поворота осей Xя, уя, изо-
бразить оси хг«, yr-v и установить, какой из осей отве-
чает 1мыв в какой /.
Если	, то
(5.13)
204	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Если же	, то
tga0 =-----.	(5.13')
'«•«с —
В первом случае отвечает осн хгя, во вто-
ром— осн угв. Угол о© отсчитывается от оси х или у
против часовой стрелки. Расположение осей х, у должно
соответствовать правой системе.
Вместо угла at иногда определяют угол 2а», пользу-
ясь формулой
2//V
tg 2а,, =  -------(5.13')
Крут Мора1. Формулы (S.I2)—(5.13') реализуются
графически (рис. 5.4,6). На оси абсцисс I откладывают-
ся в выбранном масштабе I см1—«>и» см отрезви ОА—
=/хо, OB—I,!! в по ординатам AM——/^Uyii и BN—
=+/,0 ^ определяются точки М и N. Прямая MN пере-
секает ось / в точке С, являющейся центром круга, аб-
сцисса которого равна /□». Радиус круга равен
К /op + t^V • Отрезки:
ОД = 1ши = /х®;
°В' = /мин = /"-
Угол МВ'А'—а», угол MCA-2at.
Случай, когда главные осн несимметричного сечения
определяются сразу. 1) Если сечение состоит из двух
одинаковых фигур, повернутых относительно друг дру-
га на 90* (рнс. 5.4, в). то одна из главных осей соеди-
няет центры тяжести О( и От фигур, а другая перпенди-
кулярна ей в центре тяжести О, очевидно, делящем от-
резок 010г пополам:
^мин = 7* 4" 7^ = 7₽;
Лыке 2fa* + /р,
где F, 1г и 1„ — площадь и главные центральные момен-
ты инерции одной фигуры; /р — полярный момент инер-
ции одной фигуры . 2) Если сечение состоит из двух
(неравных) фигур, каждая из которых имеет одинако-
вые по величине моменты инерции /»—I, (например, из
квадрата и круга, причем меньшая площадь может
быть отрицательной), то одна из главных осей соеди-
няет центры тяжести фигур.
5.2.2. Определение моментов инерции
относительно исходных осей
Обычно сечение удается разбить иа отдельные фигу-
ры. для которых положение главных центральных осей
и величины геометрических характеристик заранее из-
вестны из таблиц или легко определяются. Используют-
ся формулы перехода от главных центральных осей х,
у к произвольным х7, у7:
lx-=FHo+,t cos2a+/v sin? « — lxll sin 2a;
lt-=F’%+lIarila+ll/coJa + 7^ sin 2a: (5 M)
/„... = f, .. 4- ——— sin 2a +/ cos 2a
x v **н» 1	2	хи
1 Сравни 3.1.7.
Здесь xo, yt — координаты нового начала в старых
осях или старого начала в новых осях; a — угол между
осями х и х7. Слагаемые правее вертикальной черты от-
носятся к случаю, когда осн х, у центральные, но не
главные и, следовательно, 1хх^0. Включение этих сла-
гаемых дает общие формулы перехода от центральных
осей к произвольным. Прн а—0 получаются формулы
перехода к параллельным осям.
В общем случае сечения с криволинейным контуром
пользуются приемами точного нлн приближенного вы-
числения двойных интегралов. Разбив сечение иа узкие
полоски, параллельные осн х (ряс. 5 4, а), имеем:
/,= Jftsw. /lz=y{(4-4)*-
V	У

b*c УсаУ-
Здесь Ь, хл. хв. Хс должны быть выражены в функ-
ции от у либо должны задаваться численно (прн при-
ближенном вычислении интегралов). Применяется танже
графический метод веревочного многоугольника [170].
Крут Мора (рис. 5.4, б) дает возможность определить
моменты инерции относительно произвольно наклонен-
ных осей по главным моментам инерции. Откладывают
ОА'—1Х, ОВ’-1, и проводят окружность с центром в
В'А'
середине отрезка в А в с радиусом ——. Проведя
В'М под заданным углом а. определяют точку М и диа-
метрально противоположную ей точку N. Абсциссы ОА
и ОВ точек М и N дают /,• и 7^-. ординаты AM и BN
соответственно +lx'v- и — lx-v: Напоминается, что в
5.2.1 отрезок AM был равен ие +fxul/ut а — 'хауи-
5.2.3. Редуцирование площадей
при вычислении моментов инерции [85,4]
Редуцированием (приведением) называется замена
нлощади F фигуры несколькими сосредоточенными пло-
щадками. При вычислении статических моментов заме-
няют площадь одной площадкой, равной F, сосредото-
ченной в центре тяжести фигуры При вычислении осе-
вых и центробежных моментов инерции заменяют пло-
щадь F четырьмя площадками, равными каждая F/4 и
расположенными в вершинах прямоугольника инерции.
Оси симметрии прямоугольника инерции совпадают с
главными центральными осями х. у фигуры; координаты
вершин его равны радиусам инерции-.
(5.15)
причем ординаты вершин равны ±г„ а абсциссы вершин
равны ±г„ (рис. 5.5,а).
Приблизительные значения радиусов инерции для
некоторых сечений см. табл. 7.2.
Эллипсом инерции называется эллипс с полуосями
г, н г,, вписанный о прямоугольник инерции.
Моменты инерции относительно любых осей х7, j/7 вы-
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
чнсляются по координатам вершин прямоугольника х(»
y't (i-1, 2, 3, 4) по формулам:
Рис S.5
Радиусы инерции прямоугольника с основанием 6 н
высотой А соответственно равны:
/ УР Л
"-у 1^=717 “°'ИА: ,^°-29А-
Прямоугольник инерции показан па рис. 5.5.6.
В случае очень узкого прямоугольника sXl (t<S. s)
(сечение пластинки, тонкой стенки и т. п.) веошнны пря-
моугольника ииерпнн можно считать попарно объеди-
ненными, что эквивалентно пренебрежению собственным
моментом инерция относительно продольной главной
оси. В этом случае сосредоточенные площадки равны:
F st
— = — (рнс. 5.5, в). Заменяя отдельные узкие прямо-
угольники парами площадок, упрощают расчет моментов
инерции тонкостенных профилей. При этом бульбы це-
лесообразно заменять одной площадкой.
В качестве прямоугольника инерции можно исполь-
зовать любой подобный ему и подобно расположенный
прямоугольник прн условии соответствующего подбора
четырех площадок в вершинах и пятой площадки в
центре. Прямоугольное сечение, как подобное своему
прямоугольнику инерции, редуцируется к четырем пло-
щадкам F/12 по углам и к центральной площадке *I»F
(рис. 5.5, а).
Площадь узкого прямоугольника редуцируется к
двчм площадкам F/6 но концам и одной площадке Ч&Р
посередине ’ (рнс. 5.5, д). Этот способ удобен при мно-
гоугольном тонкостенном сечении, состоящем из про-
филей н листов.
Моменты ииерпнн узкой искривленной полосы (по-
перечного сечення тонкой цилиндрической оболочки)
вычисляются как интегралы вдоль линии по формулам
(рнс. 5.6, а):
Рнс 5.6
(5.17)
Здесь а —угол наклона элемента ds к оси х*. При
постоянной толщине полосы множители ( н Р выносят-
ся за знаки интеграла.
Вместо вычисления вторых слагаемых в формулах
(5.17) рекомендуется редуцировать сечение к двум лини-
ям. отстоящим от оси иа 0,29т, в ввести в первые сла-
гаемые формул величину И, вместо Г. Другой вариант
состоит в редуцировании площади н трем линиям —
верхнему краю ((/е вместо /), оси (’/•< вместо Г) и ниж-
нему краю (Т/е вместо Т).
При наличии густо расположенных ребер (рис. 56, б. в)
вводятся иа единицу длины средней линии величины
погонной площади t—F/a и погонных собственных мо-
ментов инерции	и	(рис. 5.6, г):
(5.18)
1Х1/- = J *' У' № + -у J((, — Т„) sin 2аds.
Обычно ребра имеют вид, показанный иа рнс. 56,6,
и достаточно ввести / и ia, полагая 1.—0. В этом случае
206
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
можно редуцировать f по //2 на двух линиях, отстоящих
пользоваться только первыми слагаемыми формул (5.18),
производя вычисление дважды с координатами д', у'
точек первой н второй линий.
Если /.>/„ то Р>ф. При косом нзгнбе грузовая
и нейтральная линии непернендикуляриы. Они становят-
ся перпендикулярными при ф=0 или 90° н когда
Графическое построение нейтральной линии по гру-
зовой при помощи прямоугольника инерции ноказаио на
рис. 5.7,6. Через точку С', симметричную точке С от-
5.2.4. Общая формула нормального
напряжения прн растяжеиии-сжатин н
изгибе. Нейтральная линия [91, 93, 100, 85]
Общая формула нормального иапряжеиня а в точке
х, у в главных центральных осях:
Ун У
N
,г
(5.19)
Здесь Хи, у к — координаты следа равнодействующей
продольной силы N (иначе Z) или координаты следа
продольной внешней силы, если речь идет о внецеитрен-
иом растяжеиии-сжатин;
Мж	_М„
9n-~ N- N-
Правило знаков для N (Z), М,, М, соответствует
рис. 5.2. г.
Уравнение нейтральной линии (геометрического мес-
та точек с нулевыми напряжениями) в отрезках на осях
имеет вид:
Рнс. 5.7
(5-20)
b
а
Отрезки на осях:
я
6 Ум
Уклон нейтральной линии к оси х:
(5.21)
Ч
М,
tg₽=-4
XN Гх
Ун г*
Графическое построение нейтральной линии АВ, соот-
ветствующей силовой точке N (следу продольной силы
N на поперечном сечении), при помощи прямоугольника
инерции показано на рис. 5.7, о. Порядок построения
ноказаи цифрами I, 2,3, А н Г, 21, S', В. Это построение
реализует соотношения (5.21).
Косой изгиб (случай 1V=O)
Мх , М.
(5.22)
(5.23)
Нейтральная линия проходит через начало коорди-
нат (ц. т.). Уклон к оси х определяется формулой
(5.22). Если плоскость действия нагрузки задана сле-
дом CD (грузовой линией), то уклон нейтральной линии
АВ к оси х (рис. 5.7,6)
lg₽ = -r«g*.	(5-24)
'в
где ф — угол наклона грузовой линии к оси у.
иоснтельно оси у, проводится прямая, параллельная диа-
гонали прямоугольника, до пересечения со стороной
его в точке А. Прямая АО дает нейтральную линию.
Если продолжить прямую АО до пересечения с другой
стороной прямоугольника в точке В, то прямая СВ
окажется параллельной другой диагонали. Построение
основано: 1) на том, что если грузовая линия совпа-
дает с одной диагональю, то нейтральная линия совпа-
дает с другой и 2) на разложении нагрузки по диаго-
налям.
Практическое значение нейтральной линии обуслов-
лено тем, что она представляет собой ось поворота
плоскости сечення прн деформации. Плоскость изгиба
и направление перемещения сечения от действия нор-
мальных напряжений перпендикулярны нейтральной ли-
нии. Кроме того, если известна нейтральная линия, то
упрощается определение опасных точек сечения и вы-
числение наибольших напряжений.
Прямой изгиб (случай lV=Mk—0 или W-M,=0).
Нормальные иапряжеиня определяются по формуле
М,	мя
о = — — у или о = —- х.	(5.25)
/Ж
Нейтральная линия совпадает соответственно либо
с главной осью х, либо с главной осью у. Напряжения
следуют линейному закону.
Центральное растяжение-сжатие (Мж=М,=0)
N
о= — = const.	(5.26)
Г
Множитель в скобках в формуле (5.19) отражает
неравномерность распределения нормальных напряже-
ний в общем случае по сравнению со случаем централь-
ного сжатия.
Определение погонных нормальных усилий. При тон-
костенном сечении часто приходится иметь дело с уси-
лиями на единицу длины средней линии стенки в попе-
S.2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ
207
речном сечення — погонной нормальной силой л кГ/см,
погонным моментом, изгибающим стенку относительно
средней линии, т, кГ-см1см, реже — погонным момен-
том. изгибающим стенку относительно нормали к средней
линии, т„ кГ-см!см. бекторы моментов т, направлены
вдоль ds. векторы моментов т» — вдоль нормали к ds.
(Mxcosa Mvsina\
I, ~ ly I*
(Mxsina Mecosa\
(5-27)
Здесь x,. у. — координаты средней линии в главных
центральных осях Ох, Оу. Обозначения f. *. — см.
5.2.3; а — угол элемента ds средней линии с осью Ох.
5.2.Б. Максимальные нормальные
напряжения
Напряжение Cuki получается в одной нз точек на-
ружного контура (чаще всего в угловой точке), наибо-
лее удаленных одновременно от оси х н от осн у. Среди
этих точек надо выбрать такую, для которой напряже-
ния от Мт и М, имеют одинаковый знак с напряжением
от N. Если известна нейтральная линия, то опасная точ-
ка определяется сразу, нак точка, наиболее удаленная
от нейтральной линии, т. е. имеющая наибольшее плечо
(длину перпендикуляра) относительно нейтральной ли-
нии. В общем случае о»» вычисляют по общей трех-
членной формуле (5.19), подставляя координаты опас-
ной точки.
Общая одночленная формула имеет вид:
°шхс ” ± "^5	(5.28)
М — изгибающий момент; IF —момент сопротивления.
Формула (5.28) применяется во всех случаях однотип-
но, для чего достаточно под изгибающим моментом
подразумевать момент, подсчитанный относительно ней-
тральной лниин, а иод моментом сопротивления — вели-
чину
17 = ——,	(5.29)
где /—момент инерции относительно нейтральной
линии;
'макс—плечо опасной точки относительно нейтраль-
ной линии.
При прямом изгибе в плоскости yOz:
М=Мт. 17»17х — ,f си».
Умакс
При прямом изгибе в плоскости хОг
М = Му. V = Wy=‘-^—CMi.
хмакс
Величины 17х и I7V приводятся в таблицах сортамев-
та и справочной таблице 7.1.
Для прямоугольника
Ы>‘ „ Ы»
для круга
При косом изгибе (М«0) и в общем случае прихо-
дится определять нейтральную линию н момент сопро-
тивления относительно нейтральной линии, что, как
правило, сложнее, чем пользование общей формулой
(5.19).
Однако если приходится исследовать влияние боль-
шого числа нагрузок на напряжение в определенной
опасной точке, то целесообразно пользоваться одночлен-
ной формулой (5.28). Прн этом строится одна специаль-
ная нейтральная линия; считается, что в опасной точке
действует сила, нормальная к сечению [см. форму лы
(5.21)]. Момент сопротивления вычисляется по формуле
К.
W = Fra = —.	(5.29')
У
Здесь гя — плечо специальной нейтральной линяя от-
носительно центра тяжести сечения; 1г- —момент инер-
ции относительно центральной осн д', параллельной спе-
циальной нейтральной линии; /—ордината исследуе-
мой точки в осях д', у'. При пользовании этим спосо-
бом нет необходимости вычислять усилия N, Мг, Мг.
Достаточно найти момент односторонних сил относи-
тельно специальной нейтральной линии. По существу
дела мы пользуемся здесь поверхностью влияния (ин-
флюентой) для нормального иапряження.
5.2.6. Ядро сечения [100 и др.]
Ядром сечения называется замкнутый контур, нэ ко-
торого ие должен выходить след продольной силы (си-
ловая точка), чтобы в сечении не возникали напряже-
ния разного знака. Ядро сечення используется для
оценки рациональности проектирования каменных стол-
бов. стен и сводов.
Построение ядра упрощается применением теоремы:
если силовая точка перемещается вдоль прямой (сило-
вой прямой), то соответствующие нейтральные линии
вращаются вокруг точки; эта точка совпадает с силовой
точкой, для которой нейтральной линией является преж-
няя силовая прямвя.
Поэтому ядро можно строить как систему силовых
точек, для которых стороны сечення являются нейтраль-
ными линиями, либо как систему нейтральных линий
для силовых точек, совпадающих с вершинами сечения.
В обоих случаях используются формулы (5.21).
Фигура сечения должна быть выпуклой. В противном
случае выбираются вершины, принадлежащие выпукло-
му наружному многоугольнику, и ядро строится для
него.
Пользуясь сторонами ядра, упрощают определение
напряжений в вершинах сечения (см. 5.2.5). Моменты
М, вычисляемые относительно нейтральных линий, назы-
вают ядровыми моментами.
На рнс. 5.8, д показано прямоугольное сечение 6ХЛ
и его ядро, имеющее форму ромба с диагоналями 6/3
(шириной) и А/3 (высотой). Вершины сечения и сторо-
ны ядра отмечены большими н малыми буквами. Сторо-
на а совпадает с нейтральной линией для вершины А.
Момент сопротивления для точки А
W = Лги = bh — •	—	=------——1 си3;
6 Уй« + Л« б]/ь‘ + й»
208
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
М
у' =	• так как ярямоугольннк инерции в дан-
ном случае нодобен контуру сечении (его стороны рав-
Ь h \
““ и —— . то
/3	/3 )
Здесь модуль E=E (x, s) соответствует площадке
(волокну) в тонне с координатами х, у. Выражение в
скобках равно относительному удлинению исследуемого
волокна.
Обычно вместо Е вводят редукционные козффициен-
ты площадок, равные относительному модулю:
bh bW__________________b№
4.3 Г + h1 ~ 6(fc> + ft«)
Рис. 5.8
где Ee=const.
Если модуль остается постоянным в пределах конеч-
ных частей сечения, то
/ N Мж	Му \ „„„„
° = <р( у - -  У+ - . * • (5 30 )
ЕфНт» /
Здесь ф( (I— I, 2, 3, ...) — редукционные коэффициен-
ты отдельных частей с постои иным модулем; — редук-
ционный коэффициент части, которой принадлежит ис-
следуемое волокно к, у.
Прн определении центра тяжести н главных осей се-
чения переменность модуля также должна быть учтена,
аналогично знаменателям в формулах (5.30'). Редуциро-
ванные статические моменты н центробежный момент
инерции определяются по формулам:
«Г1 =Ьр,3,(; 5;“ = S<p(Sprt =
В случае стержня большой кривизны отдельные во-
локна имеют различную длину. Изменение длины воло-
кон эквивалентно изменению нх модуля Е. На этом ос-
нованы расчетные формулы для стержней большой кри-
визны (см. раздел 9).
5.2.8. Пользование центральными
неглавными осями
Подставив значения / • я у* в формулу (5.29). по-
лучаем прежнее значение W. На рис. 5.8,6 даны приме-
ры ядер сечения.
5.2.7.	Случай переменного модуля Е
Общая формула нормального напряжения вместо
(5.19) имеет вид:
N
Мж Му
:----у+ ~г—
[s’ EdF Jx’ Ес
о=Е
Общая формула нормальных напряжений (5.19)
остается в силе в центральных неглавных осях х, у прн
условии замены Мж на М, и М, иа М, по формулам:
- Мж + Myky_ - My + Mtk,
м’~ 1-аС °
Здесь
Пользование неглавными осями удобно, когда сече-
ние разбивается на фигуры с взаимно параллельными
главными центральными осями (пример такого сечения
см. рнс. 5.10).
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЯ
И ДЕФОРМАЦИЯ В СТЕРЖНЯХ. ОСОБЕННОСТИ
ТОНКОСТЕННЫХ СЕЧЕНИЯ
Определение касательных напряжений начинается с
нахождения усилий Q,. М„.
Касательные напряжения в очень коротких стержнях
определяются по формулам расчета иа срез (см. 5.3.1).
При этом если сечение тонкостенное, то пользуются
формулами направленного среза (см. 5.3.2). Касатель-
ные напряжения, сопровождающие поперечный изгиб
более длинных стержней и балок, определяются в зави-
симости от поперечных снл по формулам касательных
напряжений при изгибе (см. 5.3.3). Для определения
крутящего момента приходится найти центр изгиба, ко-
торый в случае массивного профиля часто считают сов-
падающим с центром тяжести. Если стержень нагружен
крутящими парами (Q,—Q>—0). то центр изгиба опре-
делять нс нужно. Касательные напряжения от кручения
чаще всего определяют по формулам свободного круче-
ния (см. 5.3.7 и табл. 7.4). Учет стеснения прн кручении
и дополнительных нормальных напряжений желателен
S3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ ВСТЕРЖНЯХ
209
в первую очередь при открытом тонкостенном профиле
(двутавр, швеллер). Геометрические характеристики по-
перечных сечений при стесненном кручении см. S.3.9
и табл. 7.5, определение усилий (бимомеитов) см. 5.10.
5.3.1.	Расчет на срез (сдвиг)
Касательные напряжения в поиеречиом сечении очень
коротких стержней и соединительных элементов (болты,
заклепки), а также в сварных швах рассчитываются по
Рис. 5.9
условным формулам, основанным: 1) на гипотезе пло-
ских сечений и 2) на гипотезе неизменяемости сечения
в своей плоскости
Геометрическими характеристиками являются пло-
щадь сечения F и полярный момент инерции сечения от-
носительно его центра тяжести (рис. 5.9):
x’dF = /I + /l,. (5.32)
Осн х. у — любые ортогональные центральные оси
(величина 1Г есть инвариант относительно поворота
осей вокруг фиксированного полюса).
Относительный угол закручивания
«к=-^-	(5 33)
Относительный сдвиг в направлении силы Q, прило-
женной в и. т. сечения.
VQ = >-	<5.34)
Касательное напряжение в точке х, у складывается
из двух векторов: параллельного силе Q и перпендику-
лярного радиусу-вектору р:
(5.35)
Удобнее пользоваться составляющими вектора т по
координатным осям:
(5-36)
Г/р	rip
т-У^-Н*.	(5.37)
При небольшом числе вариантов нагрузки, а также
для выяснения наиболее напряженных точек сложного
сечения следует определить нейтральную точку и. т.
(центр вращения) сечения, соответствующую исследуе-
мой нагрузке. Координаты нейтральной точни:
Радиус-вектор нейтральной точки относительно цен-
тра тяжести О перпендикулярен силе Q и равен:
Q /р
(539>
Вектор т полного касательного напряжения в точке
х, у перпендикулярен ее радиусу-вектору р' относитель-
но н. т. Модуль вектора т равен:
Мк ,
(5 40)
'₽
тыакс получается рмкс, т. е. в точках, наиболее удален-
ных от и. т.
При расчете групп заклепок на срез яо формулам
(5.37) и (5.40) площади отдельных заклепок считаются
сосредоточенными в их центрах. При расчете сварных
швов на срез их площади считаются сосредоточенными
иа осевых линиях швов. Неравномерностью распределе-
ния т по сечению заклепки нлн по ширине шва прене-
брегают.
5.3.2.	Расчет на направленный срез (сдвиг)
[91]
Касательные напряжения и деформации тонкостен-
ных стержней в плоскости жесткого защемления и на
небольшом расстоянии от нее, в том числе и коробок
зданий, часто определяют иа основе гипотезы плоских
сечений. Прн очень тонких стенках векторы касательных
напряжений считают направленными вдоль средней ли-
пин стенки, а сами напряжения — распределенными рав-
номерно по толщине стенки. При стенках значительной
толщины и ребристых учитывают также иапряжеиня,
нормальные к средней линии стенки, а иногда н крутя-
щие моменты в стенке, причем считаютси с различной
деформатнвностью стенки в срединной поверхности и
нормально к ней.
Обозначения:
4s. Чп> <Пк—погонные касательные усилия и погонный
крутящий момент в стенке;
Is, In, ip —погонные площади и погонный полярный
момент инерции сечення стенки;
Gj, G„, Ср— модули сдвига, соответствующие усилиям
Я*»
При относительной стенке без ребер толщиной / по-
гонные площади н момент ннерцнн равны:
ls = ln = t; Ъ =
Чтобы не иметь деле с различными модулями сдви-
га, целесообразно вводить редуцированные
геометрические характеристики:
/Г = /з-^- = /Л; /’“=^-^- = /лФп;
= »р = ip 4>р-
погонные
(5-41)
210
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Здесь G—постоянный модуль;
<ps. фл> <Рр — редукционные коэффициенты.
В дальнейшем верхний индекс <ред> опускается. От-
носительные сдвиги стержня н относительный угол за-
кручивания в главных центральных осях Охуг (см.
5.1.6):
Редуцированные геометрические характеристики Fi
н F, называются направленными площадями; 1С — на-
Рис. 5.10
правлеииым полярным моментом ннерцнн сечении. При
G.-Gn-Gp-const имеем F,—Ft—F-, /с-/р.
Если стержень образован взаимно перпендикулярны-
ми стенками или плитами, то сечение состоит из прямо-
угольников с взаимно параллельными или перпендику-
лярными средними линиями. Главные осн сдвига х, у
имеют тот же наклон —иа рис. 5.10 одна из них гори-
зонтальна, другая вертикальна. Изображая направлен-
ные площади F,—/rS и F» — f«s горизонтальными и вер-
тикальными векторами, получаем F* как равнодейству-
ющую горизонтальных векторов, a F, как равнодей-
ствующую вертикальных:
Fx = Гц + Fm + Fas + FM;
F„ = Fm + F», + Fan + F*,-
Точка пересечения равнодействующих дает центр сдви-
га О и положение главных центральных осей сдвига
х, у. Направленный полярный момент инерции вычис-
ляется как сумма моментов инерции направленных пло-
щадей относительно осей х и у.
В общем случае берут произвольные ортогональные
оси д', </ и вычисляют величину
J(/s — /„)sln2a'ds
tg 2°о = 7---------------.	(5-43)
J(/a —Wc«2a'ds
откуда определяют угол Oq (проще всего графически).
На этот угол поворачивают исходные оси. В получен-
ных главных осях сдвига х, у вычисляют направленные
площади:
Fx = Jcos*a/$d3 -J-jsinsafn ds;
s	s
Fy = J sin* a/, ds + J cos’a/„ds
(5-44)
и направленные статические моменты:
•Sx = f Ss/sds+ J Ул/л ds
J	J
= f x,/,ds +Jx„f„ds-
Здесь через x,. у, и х„, уп обозначены координаты
точек, возле которых иа рис. 5.11, а надписаны величи-
ны элементарных площадок /<ds и f»ds.
Координаты центра сдвига (ц.с. или О):
Su S.
(М6)
Перенеся параллельно главные оси так, чтобы нача-
ло нх совпадало с центром сдвига, ^олучают систему
главных центральных осей сдвига Оху. Ось г нор-
мальна к площади сечения.
Рис. 5.11
После этого определяют плечи г, и г» и вычисляют
направленный полярный момент инерции:
‘.=‘0	+ И ds +f ‘о(5.47)
S	«	4
Если сечение состоит из ряда прямоугольников (пло-
ские стенки), интегрирование заменяется суммировани-
ем (рИС. 5.11,6). ОбОЗИаЧНВ f,S>=F,-,
находим:
S3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИЙ В СТЕРЖНЯХ
211
= S(Fs-Fn) sin 2а
«g2o»- 2(Fs_fn)cOs2a ’
Ft = EFt cos* a + EFn sin* 4
Fy = ZFS sin* a + TF„ cos* a;
Sx = XFsys+SF„yn;
Sy = EFs xs -p EF„ xn;
'с = гЛ'* +2 (v«+ -¥) +z/₽-
(5-48)
Формулами (5.48) пользуются и при криволинейной
средней линии стенки, заменяя ее ломаной с достаточно
короткими участками.
Расчет упрощается при наличии оси симметрии, яв-
ляющейся одной из главных центральных осей сдвига;
другая ось ей перпендикулярна.
Пример 5.1 (рис. 5.12). Дано: /s=l см—const; /» —
•>0,8 см—const; ip—0;
Fx = 2(1-20-1* + 1-28,2-0,707*+ 0,8-28,2-0,707* +
+ 0,8-10-1*) = 106,8 см\
F„ = 2 (1 -28,2-0,707* + 1 • 10-1* + 0,8-20-1» +
+ 0,8-28,2-0,707*) = 102,7 см"-.
Sx = 2 (I -20-30 + 1.28,2-25 — 0,8-28,2-5 +
+ 0,8-10-5) =2462 см3;
Рис. 5.13
2462,6
So = 106 6 = 23>* c*- h~Ho = 6-9 cm-,
lc = 2 (1-20-6,9*+ 1-28,2-19,01*+ 1.10-40* +
0,8-20*	0,8-28.2’
+ -	+0.8-28.2-23,35» +	+
0,8-10* \
+ 0,8-10-18,1* + —--------1 = 91300 cm3.
Ниже даны касательные геометрические характери-
стики сечения, очерченного по дуге круга с центральным
углом 2a при постоянных погонных характеристиках
(рис. S.13):
sin a
v° -------------7^7
ft+ye+di-y—
[sin 2a ]
((i + (t)a + ((i-/.)-^—I;
[sin 2a 1
((, + /,) a-(<,-<,)-£— j;
/, = ai ' [('* + »б) “ “ sin °] •
Формулы для погонных касательных усилий
и напряжений
f	Qt Qy - Мк \
9i = (±7-cosa±-^s.na±-r$)Z,
{	Qt . Qy	Мк \
?я = I ± — sin a ±	cos a ± — rn 1 /„;
/Ик
(5-49)
Для каждой стенки выбирается положительное на-
правление q, и Углы а считаются острыми, cosa>0,
sina>0. Знаки определяются по смыслу, учитывая на-
правление общего сдвига от сил Q* и Qt, направление
вращения М*. а также направление плеч. Направление
mr считается совпадающим с положительным направ-
лением Мк (<+> против часовой стрелки). f., н ip
берутся редуцированные, как и при вычислении Ft,
Средние напряжения:
/ Qt , Qp , Мя \
т, = ^± — cosa±-^-s!na ± —rJ<ps;
/ Qt . Qy , M, \
( ±	sin a ± cos a ± — rn j <p„.
Краевые напряжения от кручения стенки
(5.50)
5.3.3.	Касательные напряжения прн изгибе.
Центр изгиба [91, 93]
Прн прямоугольном сечекнн стержня н поперечном
нзгнбе в главной плоскости у касательные иапряжеиня
в продольном и в поперечном сечениях на уровне у*
(рнс. 5.14, а) определяются по формуле Журавского
212
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
т = ^-(-Г-у.)-	(6-52’
Максимальное касательное напряжение на уровне
нейтральной лнннн
81,	‘
Поперечная сила, отнесенная к I см ширины сечения.
Поперечная сила делнтсп между отдельными пла-
стинками пропорционально их моментам пиерцин отно-
сительно осн х.
Равнодействующая касательных усилий в сечениях
отдельных пластинок определяет положение центра из-
гиба О —точки, через которую должна проходить попе-
речная спла, чтобы изгиб не сопровождался закручива-
нием. Абсцисса центра изгиба
[ft’xdx
^> = ~------- •	(5-53)
IWx
Положения центра изгиба некоторых сечений см.
табл. 7.5.
Центр изгиба получается как центр тяжести приве-
денного сечения с высотами, равными кубам высот за-
данного сечення.
Более точная формула теории упругости:
сечения, относительно нейтральной линии — главной цен-
тральной оси х. Эпюра т по высоте сечения нчеег вид
параболы с максимальной ординатой иа уровне ней-
тральной линии (рис. 5.14,0 справа):
= ±._L = 1,b^.
2 bh F
Формула Журавского применяется н в случае непря-
моугольного. удлиненного вдоль оси у сечения
(рис. 5.14,6). Постоянная ширина Ь в этом случае за-
меняется через 6* — ширину на уровне продольного се-
чения:
Стержень с поперечным сечением, удлиненным вдоль
оси х» мысленно разрезается на вертикальные пластинки
толщиной I см и высотой й(х) (рнс. 5.14»®). Касатель-
ное напряжение на уровне у, изменяется по ширине
стержня:
где ft*—-тангенс угла наклона контурной линия к
осн х;
р— коэффициент Пуассона.
Приближенная формула теории упругости для удли-
ненного сечення:
л I + 3>i
г0<10<)+м хб-
Общая формула теории упругости для координат
центра изгиба в главных центральных осях х, у:
*0=у-j/(x,y)F<*F: S6=—
Здесь f(x, у) —функиня депланацнн прн изгибе. На*
а2 — ft2
пример, для эллипса / (х.у) = — ху.
а* 4- о* •
В табл. 7.5 даны ординаты центра изгиба некоторых
сеченнй с одной осью симметрии.
Составное сечеине с общей осью симметрии
х_ отдельных сеченнй (рис. 5.15). Общий центр изгиба
О лежит на осн симметрии н определяется как центр
тяжести моментов инерции /|Х, /к. приложенных в
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
213
собственных центрах изгиба. На рис. 5.15, а собственные
центры изгиба совпадают с центрами тяжести:
Так как	точка О лежит близко от Оъ
Нз рнс. 5.15,6 предварительно определен центр из-
гиба б, тавра I. Уравнение моментов для нахождения
плеча точки О составляется относительно любой из то-
чек Oi, 01 или 01.
Здесь
'х = 'сх + 'п« +
<с(Л + Ма .
12	1 /“
. W* *
^=2 -jf-
й«
2 5
Правило: центр изгиба швеллера совпадает с зеркаль-
ным отражением от оси стенки центра тяжести момен-
тов инерции.
Рис. 5.15
5.3.4.	Деформация сдвига при изгибе
стержней с массивным сечением и
двутавровых балок
Касательные геометрические характеристики сдвига
при изгибе F9 и Fx определяются путем осреднения
сдвнга по всему сечению, исходя из приравнивания по-
гонных потенциальных энергий:
(5.54)
Аналогично определяется F,. Для прямоугольника
F„—FT—0.83F (см. табл. 5.3). для круга F„—F.—
—"0.84F. Иногда F, определяется исходя из относитель-
ного сдвига на уровне нейтральной линии:
F„=^-.	(5.55)
«х
Для сеченнй типа швеллера способ центра тяжести
моментов инерции может быть использован только пос-
ле предварительной трансформации сечения (рис. 5.16).
Рис. 5.16
Полки смешаются в положение, указанное пунктиром, —
зеркальное по отношению к средней лнннн стенки:
В этом случае для прямоугольника F,=F.=0,67 F.
Для двутавровых балок обычно принимается F,=F0
(площадь сечення стенки), F. =0,674-0,83 Fg, где
Fg — площадь полок.
5.3.5.	Касательные напряжения прн изгибе
н центр изгиба открытых тонкостенных
сечений [1. 7, 12, 91, 93]
Принимается, что касательные напряжения в попе-
речном сеченнй тонкой стенки направлены параллельно
средней линпи стенки и распределены равномерно по
толщине стенки. Удобно оперировать с погонным (по
дуге средней линии стеикн) касательным усилием q=
=tt кГ/см. Траектория касательного усилия совпадает
со средней линией стенки *. При одновременном дей-
dM.	_ dM„
стяни поперечных сил Qv = —-— и Qx= ———, парал-
ds	ds
дельных главным осям у, х, усилие q равно алгебраиче-
ской сумме*:
0,. . О- .
4 = 4v + <lx=±T-S'±^-Sir	(5.56)
'х	'и
Два знака указывают на необходимость определить
течение усилий 4. и 4..
1 Если стержень представляет собой полосу, положенную
плашмя, то эти допущения заменяются другими, учитывающими
наличие напряжений т, перпендикулярных средней линии.
* В обозначениях qx н qy индексы указывают на происхож-
дение касательного усилия от Qx или Q^.
214
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Течение в поперечном сечення (см. рис. 5.18) опре-
деляется по направлению усилия в продольном сечении
из условия равновесия отрезка стержня длиной dz, ле-
жащего по одну сторону от продольного сечення. Это
усилие уравновешивает приращение нормальных сил,
зависящее от направления силы Q. На рис. 5.17 усилие q
в продольном сечении направлено слева направо, поэто-
му в поперечном сечении (по закону парности) оно на-
правлено вверх. Течение q в стенке таких профилей, как
Равнодействующая единичных усилий Sx равна /х,
а равнодействующая единичных усилий S* равна lv. Онн
получаются как геометрические суммы частных равно-
действующих, равных площадям эпюр S* и 5*, или по
правилам вычисления моментов инерции при условии
пренебрежения собственными моментами инерции стенок
относительно средней лпнин. Кроме того, I? и I, опре-
деляются как статические моменты эпюр yt и xt, повер-
Рнс. 5.17
Рнс. 5.18
двутавр пли швеллер, сразу выясняется по направле-
нию силы Q. а в полках — исходя нз непрерывности «по-
тока» усилий q. Например, иа рис. 5.17 стрелки усилий
q направлены вверх, а в нижней полке от ее свободных
краев, где q =0, — к стенке.
Эпюры q, я строят единичные, прпиимая Qv//«=
=4-1 н Qi/lt=+l, а затем умножают ординаты иа
значения QJ1. и Qtjl,. Ординаты единичных эпюр рав-
ны величинам Sx и Sy —статическим моментам части
поперечного сечения, лежащей по одну сторону от следа
продольного сечения относительно главных центральных
осей х, у:
Построение эпюр состоит в последовательном вы-
числении их ординат, начиная от свободного края, исхо-
дя из определения этих ординат как статических момен-
тов. По другому способу строятся вспомогательные
эпюры у и затем yt, соответственно х н xt. Ординаты
эпюр S* н S* равны площадям односторонних частей
эпюр yt и xt (считая от свободного края). Знаки на
эпюрах S* и S' не ставятся, ио стрелками указывается
течение единичных усилий.
нутых нормально к плоскости сечения, относительно осей
х, у.
/х= jy/1/ds;/„ = jx/xds. (5.58)
г	•
Центр изгиба. Так называется точка в сечении, че-
рез которую проходит поперечная сила Q. вызывающая
изгиб без закручивания. При двоякосимметричном сече-
нии ц. и. совпадает сит. При одной оси симметрии
и. н. лежит на ней, но не совпадает с и. т. Центр изгиба
является началом координат О второй системы коорди-
натных осей бруса OxyllOxy. Центр изгиба определяет-
ся как точка пересечения равнодействующих касатель-
ных усилий изгиба, соответствующих поперечным силам
Q, и Q. либо двум_другим случаям изгиба. Положение
равнодействующих Q,=/« в	определяется их
плечами относительно произвольного полюса О'. Плечи
равнодействующих одновременно являются координата-
ми центра изгиба в системе координат О’х’у’ПОху. Иско-
мые плечи-координаты равны моментам касательных
усилий Sx и Sp относительно полюса О', деленным иа
модули равнодействующих и /,:
= ±	Уд = ±-Ц Js/ds- (5.59)
6.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИЙ В СТЕРЖНЯХ
215
Отдельные произведения S’ds в S* ds умножаются на
их плечи г и суммируются.
Другой способ вычисления моментов основан
на использовании эпюры секториальных площадей. Каж-
дый элементарный статический момент ydF, где dF —
площадка в точке А, порождает постоянное погонное
усилие dq^ydF, момент которого, собираемый с дуги
п'А, равен ydFu>', где и>' — удвоенная площадь сектора
с полюсом О' н дугой Н'А (рис. 5.18). Полный стати-
ческий момент получается интегрированием элементар-
ных моментов, что дает координаты центра изгиба:
° Л
tfytdsi
(5.60)
«О
w'xdF =
Интегралы выражают статические моменты эпюр со'
с ординатами, увеличенными в t раз н повернутыми нор-
мально к плоскости сечения, относительно главных цен-
тральных осей х. у. Их можно истолковать так же, как
интегралы Мора — произведения эпюр d>‘t иа у и со'Г иа
х или соответственно эпюр о>' иа yt, <л' иа xt.
Построение эпюры <>'. Берутся произвольные по-
люс О' и начальная точка Н'. Ординаты эпюры <>' равны
удвоенным площадям секторов, ометаемых подвижным
радиусом-вектором, конец которого движется вдоль
средней линии тонкостенного сечения. Приращения орди-
нат считаются положительными, если радиус-вектор
вращается против часовой стрелки, отрицательными —
при вращении по часовой стрелке. Если точка Н' взята
ие иа краю стенки, то средняя линия должна быть прой-
дена, начиная от точки Н', путем двух движений конца
радиуса-вектора — один раз от точки Н' влево, другой
раз вправо, что даст не менее чем два участка разного
знака. При наличии разветвлений каждая ветвь должна
быть пройдена особо. В точках разветвления значение
о' для всех ветвей одно и то же.
Использование центральных неглавных осей. Зада-
ваясь осями Ох н Оу и считая их нейтральными линия-
ми изгиба, строят эпюры и Sy н определяют величину
и положение равнодействующих касательных усилий.
у
Рис. 5.19

которые в этом случае не равны /, и не параллель-
ны осям х, у. Точка пересечения равнодействующих даст
центр изгиба. Оси х, у могут быть иеортогональиымн,
но обязательно должны быть центральными осями.
Двутавр. На рис. 5.19 построены эпюры yt и
Sx, xt и Ординаты эпюры 5Х в точках тип равны
заштрихованным площадям эпюры yt. Ордината эпюры
Sy в точке m равна заштрихованной площади эпюры xt.
Знаки ординат эпюр S не используются; направление
касательных усилий показывается стрелками. Для полу-
чения фактических погонных усилий q, и q, ординаты
эпюр Зх и Sy умножаются соответственно на н
QJIf. Для получения касательных напряжений вели-
чины q делятся иа толщину стенки t в исследуемом ме-
сте.
Моменты инерции:
2 +1Г,/*' = Т’
= _^/М4 ,
Ц U 8 J
““ V» 8 ’
№.
(561)
Ввиду наличия двух осей симметрии центр изгиба
совпадает с центром тяжести.
Швеллер. На рнс 5.20 построены эпюры S* и S’
для швеллера. Для определения центра изгиба О, лежа-
щего на осн симметрии х, определена его абсцисса
Рис. 5.20


(плечо равнодействующей Z.) в_коордннатпых осях
О'х*, ОУ. Для подсчета момента найдены частич-
ные равнодействующие касательных усилий в полках и
в стенке, равные площадям соответствующих участков
эпюры 5Г. Они выписаны около фигурных скобок.
хТ 1 "*• Здесь стенка берет на себя всю вертикальную попереч-
ную силу I*:
Ий»
п
3b
м
M*i2+i2	6+й;
Другая форма (см. 5.3.3 в конце):
b b
lm-
XS ~ ~~zTt = /х ‘
(5.62)
(5.62')
216	РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
На рис. 5.20 выписаны таиже максимальные значе-
ния Sj и S* для определения т*£*кс в т*,*^.
Пример определения центра изгиба с использованием
эпюры ш' (рис 5.21). Эпюра о>' построена прн полюсе
О' и совпадающей с ним начальной точке Н. Угловые
ординаты эпюры ш' слева от осн симметрии у равны:
0; 50-20=1000; 1000+50-55 =3750 смг.
Рнс. 5.21
Вычисляем статический момент эпюры ш' с ордина-
тами, умноженными на 1=2 см, повернутыми нормаль-
но к плоскости сечения относительно оси у:
f	Г 50 -1000 / 2 „„ „ \
| o'xtds = - 2-2 I —— Н- 30 + 25J +
3750 + 1000
+ 50	2
Вычисляем момент инерции сечения:
50
+ -у (55*+ 55-25 + 25*) +
3 065000 см*.
Г 25s
/,= 2-2[Т
+ 50-55*j = 96100 сл«.
Ордината центра изгиба
.	—3065000
--------= 31,9 см.
96100

Учет неравномерного распределения напряжений по
толщине стенки. Массивные стенки заменяются густыми
тонкостенными «гребенками*, зубья которых имеют на-
правление вероятных траекторий касательных напря-
жений, обычно параллельных и перпендикулярных
средним линиям (рнс. 5.22.0,6). Прн конечном числе
зубьев применяются общие формулы (5.62). Для учета
бесконечного числа бесконечно тонких зубьев в случае,
показанном на рис. 5.22.0. достаточно редуцировать
площадь полки к двум линиям с погонной площадью
1/2 или к трем линиям с погонной площадью соответст-
венно 1/6, 2/31, 1/6 (рнс. 5.22, в) и оперировать соответ-
ственно с двумя или тремя продольными зубьями. Об-
щие формулы для координат центра изгиба в осях
О'х’, О'у', параллельных главным центральным осям,
имеют вид:
(5.63)
Здесь i,=fi/l2— погонный момент ннерцнн стенки.
Эпюра, о,' строится для средней линии стенки. Коор-
динаты х„, у„ относятся к точкам, около которых иа
рис. 5.22, г надписан элементарный собственный момент
Рис. 5.22
инерции стенки iids. Моменты инерции /ж, I, подсчиты-
ваются с учетом собственных моментов инерции 1«.
Верхний знак в формулах (5.63) относится к непрерыв-
ным зубьям по типу рис. 5 22. а. инжннй —к типу по
рис. 5.22.6. Таким образом, выбор расчетной модели от-
ражается на положении центра изгиба.
Точные решения для распределения касательных на-
пряжений при изгибе известны для небольшого числа
случаев1. Исследование показывает, что практически
важные касательные напряжения в тонких стенках при
изгибе хорошо оцениваются приближенными методами.
Наряду с этим во входящих углах получается концент-
рация напряжений, не учитываемая приближенными ре-
шениями.
5.3.6.	Касательные напряжения при изгибе
и центр изгиба замкнутых тонкостенных
сечений [1, 90, 91, ч. II]
Для построения эпюры q необходимо знать q—qK в
какой-либо точке средней линии нлн знать положение
* А. С. Боженко. Изгиб (по Сен-Вснану) стержней с по-
перечным сечением нз прямоугольных областей при действии
поперечной силы в плоскости симметрии. «Инженерный сборник
АН СССР», т. V. вып. 1. 1W8
S3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИЙ В СТЕРЖНЯХ
217
точки, в которой ?“0. Если сечение имеет ось симмет-
рии (у) и сила Q, лежит на этой оси, то в точках сред-
ней линии, лежащих на осн у, касательное усилие равно
нулю. Построение эпюры q, в случае прямоугольного
симметричного замкнутого сечения выполняется для
двух полусеченнй от действия как для швеллеров
(рнс. 5.23,0). Центр изгиба лежит иа оси симметрии.
В общем случае 4=4и+4>+4>, где <?« — погонное
усилие в воображаемом разрезе, q, н q, определяются
по формуле (5.56). Для нахождения о« используется
уравнение моментов относительно центра изгиба D се-
чення с разрезом. Так как усилия q, и 4» относительно
Рис. 5.23
D момента не дают, то крутящий момент поперечных
сил относительно D приравнивается моменту постоян-
ных усилий, равных усилию в разрезе q,:
$ 4Krds = Л1к; 4кшк = Л4И;
М.
Чк = — •	(5-64)
“к
Здесь <0к — удвоенная площадь фигуры, ограничен-
ной замкнутой средней линией сечения. Величина ша не
зависит от положения точки моментов. Прн QiB=Qa=O
формула (5.64) дает величину усилия прн крученнн <?
(рис. 5.23,6).
Касательное напряжение при кручении определяется
по формуле Бредта, вытекающей нз (5.64):
Чк	мк
т = — =--------.
Z	<0,4
Максимальное касательное напряжение
________________ Чк	Ми	
Х«КС — .	—_.	_ Ц7 '
•мим шк1мнн *к
где	= <0|АшН
— момент сопротивления замкнутого тонкостенного се-
чення прн крученнн.
Относительный угол закручивания прн замкнутом
сечении выражается общей формулой
=	=	=	(5.68)
При крученнн, когда 9—const.
(5.65)
(5.66)
(5.67)
Здесь tc — произвольно взятая постоянная толщина;
s,= ^)y- ds — приведенный периметр средней линии
сечення; прн 4=const te=t; sK = sK — периметр средней
линии.
Центр изгиба. По первому способу замкнутое сечение
разрезается в произвольной точке и определяется центр
изгиба D разрезанного сечення. В случае замкнутого
сечения силы Q, и Q>, приложенные в точке D, вызыва-
ют закручивание. Их переносят параллельно, так чтобы
дополнительные крутящие моменты аннулировали закру-
чнвааие. Это дает следующие плечи переноса (рнс.
5.23, в):
Точна пересечения еял Q, я Q, в ях новом положении
дает центр изгиба К, который, как правило, расположен
внутри контура (если он выпуклый), что избавляет от
выбора знаков. Интегралы» в формулах (5.70) вычисля-
ются как площади эпюр S* в S( с ординатами, умень-
шенными в t раз.
Второй способ основан иа использовании эпюры <>',
связанной с эпюрой ш', относящейся к разрезанному
контуру. Переход от эпюры ш' к эпюре ш' выражается
формулой
ш'=ш' —ps'.	(5.71)
Ординаты эпюры о' получаются путем вычитания
из ординат эпюры а' произведения постоянной длины
p=oK/s(I, называемой средним радиусом, на приведен-
ную длину дуги средней линии s'. Эпюра о' строится
прн произвольном полюсе О' н произвольной началь-
ной точке Н', которая совмещается с разрезом. Произ-
вол в выборе О и Н отмечается штрихом прн шиш.
Этот штрих не следует смешивать с обозначением при-
Коордииаты центра изгиба в осях О'х'у', параллель-
ных главным центральным осям Оху, выражаются ана-
логично (5.60):
^ = y-^)<D’ytds-. Уё = — у-фш'хМэ. (5.72)
Наглядное построение эпюры ш' (рис. 5.24). Строит-
ся эпюра ш' при совмещенных полюсе О', начальной
точке п' и разрезе (рис. 5.24, а). Вдоль оси абсцисс от-
кладывается развертка приведенного периметра, в со-
ответствующих точках которой откладываются ордина-
ты ш' (рнс. 5.24. в). Конец последней ординаты и" сое-
218
РАЗДЕЛ G. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
диняется прямой с исходной начальной точкой И'. Ук-
лон прямой Н’Н" к оси абсцисс равен p=<aB/s|I. Ордина-
ты эпюры ш', отсчитанные от наклонной прямой Н’Н",
равны искомым ординатам <>'. Эпюра <>' показана на
рнс. 5.24,6. В этом примере принято см.
Рнс. 5.24
Рис. 5.25

площади ячеек; sI2. s^, S34 — приведенные ширины про-
межуточных стенок.
Свободные члены первых четырех уравнений равны
площадям эпюр 4® н 4$ в пределах отдельных ячеек,
причем ординаты эпюр разделены на соответствующее
значение t и умножены на const:
Q,y + Qi* <£) ft у Л + (£) 4$ у Л « = 1.2, 3. 4).
Эпюры 4J и 4® строят для 'разрезанного профиля
(основной системы) от поперечных снл Q* н Q*. При
вычислении площадей эпюр нх ординатам приписыва-
ется знак плюс (+), если погонное усилие имеет то
же направление, что +41, т. е. вращает данную ячейку
против часовой стрелки. Поэтому в пределах промежу-
точных стенок одна и та же величина 4’ входит в смеж-
ные свободные члены с различными знаками. Q* н
Q* — поперечные силы, параллельные главным цент-
ральным осям Охр; хо. ув — координаты центра изги-
ба D разрезанного сечення (основной системы); хв,
Ре — плечи сил Q, и Q* (см. рис. 5.25); Мк — крутящий
момент, не связанный с поперечными силами Q, и Q*.
Первые четыре уравнения выражают условия нераз-
рывности деформаций — отсутствие взаимных смеше-
ний вдоль продольных краев ячеек в разрезах; послед-
нее уравнение — условие равновесия или условие экви-
валентности крутящих моментов усилий н нагрузок.
а) Общий случай. Заданы Q(, Q*, Мя. Составляя и
решая уравнения, определяют неизвестные усилия р<
(/-!. 2. 3, 4) и величину X=GfcO,. Стооят окончатель-
ную эпюру 4, суммируя эпюры 4® и fy с. постоянными
в пределах своих ячеек эпюрами 41, qt, qt. Ct-
15) Расчет иа кручение. Задан момент М„. В уравне-
ниях полагают Q*—0;	(i-l, 2, 3, 4).
Единственный не равный нулю свободный член —в пя-
том уравнении (M«). Принимая сначала Х—1, решают
первые четыре трехчленных уравнения (они отделены
чертами) и получают значения 41. qt, qt, qt, обозначен-
ные для этого случая pi, pj, ps, р< (размерность нх —
см). Действительные значения неизвестных усилий
ч, = Xpi (i = 1, 2, 3,4).	(5.74)
Многосвязное сечение (рнс. 5.25). Расчет ведется прн
помощи стандартной системы п+1 уравнений, где п —
число ячеек. В случае четырех ячеек система имеет внд:
I)	fliч, si —?г®12
2)	— ?1S|J + 4jSj ~ Ч&23
3)	— 4г®23 + ?3S3	44®34
4)-«3^ч + ?454
—	Xa>t + Qiy + Qi* = 0;
—	Хш, + Qty + Qu = 0;
— X<i)a + Qty + Qtx — ft
— X(i>< + Qty + Qu — ft
5) fliOi +	+ fto* —
-Qpf'Q-'ol + QxpQ-»») + "«• <5-73>
Здесь 4i. 4i, 4i. 4» — неизвестные погонные касатель-
ные усилия в разрезах ячеек: X—Gtc б« — увеличенный
в Gtc раз (1с — произвольная, вводимая для удобства
расчета толщина) относительный угол закручивания;
s’|, sj, sj, — приведенные периметры ячеек: s( =
=(j) -у- ds (i = 1,2,3,4> з>1, о,, а>г, а, — удвоенные
Подставляя 41 в пятое уравнение, определяют:
£ рдо
/-1
0,=	Мк-=£.	(5.75)
Gtc2p(<i>{ с'к
Значения неизвестных усилий
4l = -^-Pl(i = 1.2,3. 4).	(5.75')
r-i
При одной ячейке формула (5.75) совпадает с фор-
мулой (5.64), р"(|)кМи.
Промежуточными стенками прн расчете на кручение
часто пренебрегают.
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИЙ В СТЕРЖНЯХ
219
в) Определение центра изгиба. Уравнения решают
дважды — одни раз, полагая X=M«—Qx“0; Qn“0
(i=l. 2, 3, 4);	1. и другой раз, полагая Х—М„-
= Qr—0; Qi,—0 (i—I, 2, 3, 4); Qx—1. Значения неизве-
стных усилий нз системы трехчленных уравнений в пер-
вом случае обозначаютси (i— 1, 2, 3. 4), во втором
случае <7<» (1— I. 2. 3, 4).
Подставляя эти значения в пятое уравнение, полу-
чают плечи сил Q, н Q.. соответствующие аннулирова-
нию угла закручивания б». или, что то же, координаты
центра изгиба К миогосвяэного сечения:
4	«
\ = *о+ Уя = Уо~ Е ®-76>
Ы	<»!
Попутно получается распределение усилий, соответ-
ствующее силам Q, н Qt, проходящим через центр из-
гиба.
г) Другой способ определения центра изгиба основан
на использовании эпюры о> миогосвяэного сечения в
формулах (5.72). Особенность построения эпюры для
наружных стенок состоит в том, что вместо постоянной
величины р в формуле (5.71) берутся значения pi, pa, pi.
р«, определенные выше, в п. «б». На протяжении проме-
жуточных прямых стенок эпюра со получается в виде
трапеций, которые строятся по концевым ординатам,
равным ордннвтам в соответствующих узловых точках
ранее построенной эпюры для наружного контура.
5.3.7.	Касательные напряжения
и относительный угол закручивания
прн свободном кручении.
Геометрические характеристики
Для кручения характерна система замкнутых траек-
торий касательных напряжений в поперечном сечении,
прячем крайняя траектория совпадает с контуром сече-
ния. Форма траекторий отвечает горизонталям мыльной
пленки (мембраны), натянутой иа контур сечення и про-
висающей под действием собственного веса (мембранная
аналогия Прандтля). В выступающих углах касательные
напряжения равны нулю, во входящих углах теоретиче-
ски равны бесконечности. Поэтому входящие углы обя-
зательно закругляются. Аппликаты поверхности мембра-
ны дают значения функции напряжений прн кручении.
Модуль вектора касательного напряжения в данной
точке равен уклону мембраны к горизонтальной плос-
кости. Там, где уклон мембраны круче, иапряженпя
больше. Максимального значения напряжения достига-
ют на наружном контуре. Если контур удлиненный, то
опасные точки лежат на длинных сторонах наружного
контура. Узкое кольцо между двумя смежными тра-
екториями аналогично замкнутому тонкостенному сече-
нию. Погонное касательное усилие в кольце является
постоянным, а крутящий момент, создаваемый этим уси-
лием, пропорционален удвоенной площади, охватывае-
мой средней линией кольца. Момент, создаваемый каса-
тельными напряжениями, распределенными по всему се-
чению. пропорционален удвоенному общему, ограничен-
ному провисающей мембраной, иначе — удвоенному объ-
ему «холма напряжений».
Основные формулы:
Ьшс “		(5.77)
здесь смг — момент сопротивления при кручении;
®к=-^-с«-1.	(5-78)
G/K
нлн в градусах
~ • 77- град/cMi (5.78')
Я о/к
здесь /к сж*— момент инерцпн при кручении.
В отличие от геометрических характеристик при изги-
бе, значения И7И и /и лишь в отдельных случаях опреде-
ляются элементарно и, как правило, получаются в резуль-
тате применения точных нлн приближенных, а также
экспериментальных методов теории упругости.
Справочные данные о величинах ж, н /« н положе-
нии опасных точек (тн(кс) см. в табл. 7.4.
Составное сечение. Момент инерции при кручеинн
приблизительно равен сумме моментов инерции отдель-
ных сечений (например, полок и стенки двутавра):
/« =+/зк-(-•• =	(5.79)
Крутящий момент распределяется пропорционально
моментам ннерцнн:
=	Мм = М^.....Ми = М^.
'*	'к	'к
Максимальное касательное напряжение
т М. ( 11к \ М„
/к I WtaLuc” IF, *
где момент сопротивления прн кручении
Целесообразно заранее, путем сравнения, определить
максимальное значение
5.3.8.	Деплаиация при свободном кручении
Основные положения. Прн свободном кручении плос-
кие поперечные сечення коробятся, деплаиируют. От-
дельные точки получают перемещения вдоль оси г, до-
полнительные к перемещениям от изгиба. Депланация
(искажение плоскости) пропорциональна относительному
углу закручивания О. п зависит от формы сечения. Для
данной точки сечення деплаиация выражается произве-
дением
о> = —О,/(х,9).	(5.81)
Здесь f(x, у) — функция положения точки в сечении,
называемая функцией деплаиаиии. Размерность — сж9.
Функции деплаиаиии одного и того же сечення при раз-
личных центрах эакручнвання отличаются линейной
функцией координат Ах+Ву+С: прн изменении оси за-
кручивания изменяется плоскость отсчета деплаиаиии и>.
Если центр закручивания лежит иа оси симметрии сече-
ния. то па этой оси деплаиаиии равны нулю. Каждая
точка круглого сплошного нлн кольцевого сечення лежит
на осн симметрии, поэтому функции деплаиаиии для
круга, если начало координат совпадает с центром, тож-
дественно равны нулю. Квадрат имеет четыре оси сим-
метрии и соответственно четыре оси нулевой деплаиа-
иии. В треугольных областях между осями симметрии
деплаиаиии попеременно представляют собой выиукло-
220
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
сти и вогнутости. В продолговатой прямоугольнике или
эллипсе лпе накрест лежащие области — выпуклые,
две — вогнутые. Функция деплаиации носит ярковыра-
женный антисимметричный характер.
Сечення с двумя осями симметрии (рис. 5.26). Прн
закручивании относительно центра симметрии функции
деплаиации выражаются однотипными формулами:
1(х, у) = $ху.	(5.82)
Эллипс с полуосями о (вдоль х) и Ь (вдоль у)
(рис. 5.26, а, б):
о« — Ьг
В=-------(5.83)
Н а» + 6‘
a) f	6)
Рнс. 5.26
Прямоугольник (рнс. 5.26,в). Принимается то же
значение 0 в качестве приближенного. Результат тем
точнее, чем более вытянут прямоугольник.
Вытянутые вдоль оси х эллипс, прямоугольник и дру-
гие фигуры, симметричные относительно х. Приближен-
но 0—1. Если фигура вытянута вдоль оси у, то точно
так же 0-1.
Прямоугольное тонкостенное (коробчатое) сечение
(рнс. 5.26, а). Коэффициент, относящийся к функции
деплаиации средней линии стенки,
о* •— V
₽ = -7ТГ-	(5М)
а -|-0
ie	tc
Здесь а' = а — , Ь —Ь — — приведенные длины
tb	tf,
полусторон; tc — постоянная толщина, вводимая для
удобства расчета.
При а'=Ь' средняя линия сечення не дсплапнруст.
При а'<Ь‘ имеем ₽<0. функция деплаиации меняет
знак, сохраняя прежний характер эпюры.
На рис. 5.26, а следует поменять местами знаки «+»
и «—>, относящиеся к нижней стенке.
Тонкостенный двутавр (рис. 5.26,0). Коэффициент
0=1 (для средней линии). Деформация двутавра состо-
ит во взаимном вращении плоскостей торцов и во вза-
имном вращении плоскостей полок, что и вызывает де-
планацию торцовых и всех остальных сеченнй.
Толстостенный двутавр (рнс. 5.26, е). Расчет депла-
пацни производится либо путем непосредственного при-
менения формулы (5.82), полагая 0—1 (на рисунке
справа), либо сначала рассматривается тонкостенный
двутавр, образованный средними линиями стенки и по-
лок, после чего к ординатам эпюры деплаиации средних
линий, распространенных на всю толщину, добавляются
ординаты эпюр стенки и полок, построенные как для
удлиненных прямоугольников (иа рисунке слева). На
рнс. 5.26, е вместо + — ^следует читать (а
Эпюры единичной депланации при свободном кручении
для тонкостенных сечений
Функция деплаиации для средней линии тонкостен-
ного сечення изображается в виде эпюры, называемой
эпюрой единичной деплаиации. Для перехода к факти-
ческой деплаиации ординаты эпюры умножаются иа
(-Ок).
В случае открытого (односвязного) сечения эпюра
единичной деплаиации совпадает с эпюрой секториаль-
ных площадей со, построенной прн полюсе в центре за-
кручивания н начальной точке, в которой продольное
перемещение равно нулю.
В случае замкнутого (двухсвязного или многосвяз-
ного) сечення эпюра единичной деплаиации совпадает
с эпюрой <г>. также построенной прн полюсе в центре
закручивания и начальной точке, в которой продольное
перемещение равно нулю.
Эпюры ш и оз. использованные прн определении
центра изгиба тонкостенного сечення, имеют четкий ме-
ханический смысл — в качестве эпюр единичной депла-
иацив прн свободном крученнн.
Среди открытых сеченнй недепланирующнмн явля-
ются сечения типа пучка, состоящие из прямых стенок,
пересекающихся в одной точке, которая совпадает с
центром изгиба (уголок, тавр, крест).
Средн замкнутых сечений не деплаинруют сеченпя
в форме многоугольника, описанного около окружности
при постоянной толщине стенок, треугольные сечения
при произвольной толщине стенок, прямоугольное сече-
ние при одинаковой приведенной длине стеиок (см. вы-
ше) н др.
По толщине стенок незначительная деплаиация име-
ет место во всех случаях.
5.3.9.	Стесненное кручение [1, 27, 90]
Основные положения. Понятие стесненного кручения
относится к стержням с депланирующнм сечением (см.
5.3.8). Различают несколько видов стеснения. Деплана-
ция при свободном кручении пропорциональна относи-
тельному углу закручивания Фи. Изменение этого угла
вследствие изменения крутящего момента по длине
стержня вызывает приращение длины одних н сокра-
щение длины других продольных волокон н одновре-
менно появление нормальных напряжений в поперечных
сечениях (внутреннее стеснение). Заделка торца или
приварка планки, препятствующей взаимному продоль-
ному смещению продольных краев разрезанной трубы
S3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
221
или взаимному вращению полок швеллера или двутавра
прн крученнн. создает местное стеснение, влияние кото-
рого затухает с удалением от места стесненна. Устрой-
ство решетки пли часто расположенных планок, соеди-
няющих ветви или полки, создает непрерывное стеснение,
в известной степени, изменяющее характер поперечного
сечения стержня, превращающее стержень с открытым
сечением как бы в стержень с трубчатым сечением.
Всякое стеснение повышает крутильную жесткость
стержня: со сплошным нлн с замкнутым сечением — в
малой степени, с открытым сечением — в большой сте-
пени. Несущая способность открытых сеченнй прн уче-
те стеснения возрастает.
Практически стеснеине учитывается лишь прн круче-
нии стержней с открытым сечением н сильно развитыми
нолкамн (двутавр, швеллер, зетовый профиль), реже —
при расчете стержней с замкнутым, сильно вытянутым
в одном направлении сечением.
Основная гипотеза: нормальные напряжения стеснен-
ного нручення в различных точках сечення пропорцио-
нальны значениям функции депланацин /(х. у), в случае
тонкостенного сечення — ординатам эпюры единичной
депланацин ш или ш. В дальнейшем формулы записыва-
ются для <|>.
Совокупность нормальных усилий стесненного кру-
чения в каждом сечення эквивалентна нулю, т. е. мо-
менты усилий Мг, М, и продольная сила N равны ну-
лю, откуда:
£ aydF = 0; J axdF = 0; adF = 0.	(5.85)
Закручивание происходит вокруг центра изгиба, так
как первые дае зависимости совпадают с условиями ан-
нулирования крутящих моментов касательных усилий
°) у
Рнс. 5.27
изгиба относительно центра изгиба [ см. формулы (5.60)
н (5.72)]. Третья зависимость дает начальную точку
элюры ш.
Эпюра ш, удовлетворяющая требованиям (5.85), на-
зывается главной эпюрой единичной депланации н обоз-
начается ш или ш без штрихов. Она дает закон распре-
деления нормальных иапояжеинй по сечению. На рис.
5.26 функции депланацин и эпюры шиш — главные.
Касательные напряжения или погонные усилия опре-
деляются из условий равновесия аналогично поперечно-
му изгибу. Совокупность касательных усилий эквива-
лентна крутящему моменту стесненного кручения М,
(другое обозначение Л1ш). Последний составляет часть
полного крутящего момента Мк. другая часть которого
равна крутящему моменту свободного кручения М«
(другое обозначение Ма). Если жесткость свободного
кручения очень мала (открытый профиль из тонкого
листового материала), то Ми— 0 н МИ=МЯ. Этот случай
для расчета является наиболее простым, так как эпюры
усилий строятся элементарно (см. 5.10.1).
Напряжения ош н усилия qa определяются по форму-
лам, аналогичным формулам напряжений изгиба от
М. и Qt:
В	М .
<’« = -—®;9„ = ± — So. (5.86)
‘а	‘я
где В кГ-см1 — бимомент, специальное самоуравнозе-
шейное усилие, от которого зависят нормальные напря-
жения*. Производная от бнмомента прн наличии только
крутящих пар равна крутящему моменту стесненного
кручения. Аналогично зависимости Мг “ Qv здесь
В' = Мк.	(5 87)
Эпюра В представляет собой интегральную кривую
от эпюры М*. Ординаты эпюры В равны площадям по-
зади лежащих частей эпюры Мк плюс начальное зна-
чение В. В случае двутавра (рнс. 5.27) бимомент —
не что иное, как момент уравновешенной пары момен-
тов, изгибающих полки в разные стороны в нх плос-
костях:
В = Mnh.	(5-88)
Бнмомепт считается положительным, если в точке
с положительной ординатой ш он вызывает отрица-
тельное (сжимающее) напряжение. Если смотреть на
верхнюю полку двутавра сверху (рис. 5.27, а) нлн на
переднюю полку двутавра спереди (рис. 5.30,6), то
правило знаков для бнмомента совпадает с правилом
знаков момента, изгибающего полку.
Вычисление усилий В, М„, М* в различных случаях
см. 5.10.
Геометрическая характеристика сечення прн стеснен-
ном кручении
= f = J (D«Ms erf (5.59)
F $
называется бимоментом инерции сечения, иначе —секто-
рнальным моментом инерции сечения. Для двутавра /ш
равен моменту инерции моментов полок:
Для массивных сечений
/в = П (/(<, rtJ’dxdy- (5.91)
Для тонкостенных сечений /ш вычисляется путем
«перемножениях эпюры at иа эпюру ш. В случае лома-
ной средней лнннн эпюра ш (или ш) состоит из тра-
пеций:
/Ш=У $]5/("а + ша“в + “в)-	<5.92)
1 Распространен также термин «яэгкбно-крутящий бнмо-
мент».
222
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЯХ
Здесь Од в о в—концевые ординаты трапеции; s — дли-
на; t— толщина участка стенки.
Максимальное нормальное напряжение
°м«ке='7^— •	с**'	(5.93)
“ивке
называется бимоментом сопротивления, иначе — сек-
торнальным моментом сопротивления.
В формулу (5.86) величина единичного усилия qa
Мк ,
прн — = 1.
S* = f adF= f al ds см*	(5.94)
Рис. 6.28
Знаков иа этой эпюре не ставят. Стрелки единич-
ных погонных усилий направляют к краю, если
эпюра ш имеет иа крае знак «+», к от края, если эпю-
ра <е имеет знак <—». В атом случае в формуле (5.86)
для qa берется знак «+».
Указания к построению главной эпюры со или со.
О нахождении центра изгиба О' прн помощи эпюр а'
или а' для произвольного полюса О' и произвольной
начальной точки Н‘ см. 5.3.6 и 6.3.6. Взяв полюс О, сно-
ва строят эпюру ш" пои прежней или новой произволь-
ной начальной точке п". Ординаты эпюры умножают иа
I и подсчитывают площадь Su- всей эпюры со"/. Чтобы
аннулировать и тем превратить эпюру ш" в глав-
ную. из всех ординат со" вычитают постоянную величи-
ну ал. Окончательно:
. .	. so.
« = ш — 0,3 о1 = —,	(5.95)
Ординаты полученной главной эпюры ы снова умно-
жаются иа t. Эпюра at используется для нахождения
/„ и для построения эпюры S’.
При наличии осн симметрии начальную точку берут
на этой оси, что обеспечивает соблюдение условия Su =
»0. Две оси симметрии сразу дают и центр изгиба, и
несколько начальных точек (см. рнс. 5.26).
На рис. 5.28, а, б даны эпюры a, So для двутаврово-
го и швеллерного сечений, иа рис. 5.28, в — ш для сим-
метричного прямоугольного коробчатого сечения н при-
ведены формулы дли геометрических характеристик, ис-
пользуемых в 5.10.
В табл. 7.5 приведены данные для распространенных
типов составных сечений.
В табл. 7.6 приведены геометрические характеристи-
ки стесненного п свободного кручения для двутавров
в швеллеров.
35 Л*<РГ	2(6—</)» Т
d=—£7= '-=nrh+^+-T-'Jc*,;
6+^
bh
4

Г = 2(6/|,-|-Л//1)сл«: p =
Mi + W» J ’
Ub*h*ttth^ ClKp C 192
“ = bth + ub ’ Ela “ E ’ Fs-K
называется статическим бимоментом, иначе — вектори-
альным статическим моментом. Он равен площади части
эпюры шГ, лежащей по одну сторону от исследуемой
точки средней линии; в случае замкнутого сечення — от
точки, где ?=0. до исследуемой точки средней линии.
Рекомендуется построить эпюру at и, вычисляя по-
следовательные площади этой эпюры, построить эпюру
s'am-^(b-+3bh J+2h’);
+
6.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
223
5.3.10. Сложное сопротивление тонкостенных
стержней. Приведение нагрузок к типам
усилий [12]
Нормальное напряжение в сечении вычисляется по
четырехчленной формуле
N
F
(5.96)
Погонное касательное усилие, сопутствующее нормаль-
ным напряжениям, определяется по формуле
9 =	(5.97)
'ж	И	“
Здесь — погонное усилие в точке средней линии
сечения, принятой за начальную при аычнсленнн каса-
тельных усилий. При открытом сечении начальная точ-
ка берется иа свободном крае и qo—О. Остальные
обозначения см. 5.3.9.
Кроме касательных усилий, сопутствующих нор-
мальным, в сечении действуют касательные напряже-
ния свободного кручения, зависящие от крутящего мо-
мента свободного кручения М„.
Построение эпюр N, Мх, М,. Q, и эпюры сум-
марных крутящих моментов МИ=М,+Я«_ делается по
общим правилам. Построение эпюр Мк, и В
см. 5.10.
Построению эпюр предшествует приведение нагру-
зок к семи типам усилий (N, Мж, М„ Qv, Qx, в). Со-
средоточенная сила, приложенная к сечению, расклады-
вается на два компонента: Р — в плоскости сечения н
Р»— перпендикулярно плоскости сечения (рнс. 5.29).
Сила Р переносится параллельно в центр изгиба О с
добавлением сосредоточенного крутящего момента
L„—Pd. Затем Р раскладывается на компоненты
Pt п Рж параллельно главным центральным осям у, х.
Положительное направление компонентов LK, Pv, Рж
соответствует отрицательным скачкам в эпюрах
м-. Q«. Qi- Сила Р, переносится в центр тяжести
сечення О с добавлением сосредоточенных моментов
Li——Р.у n Ly—Ptx. Кроме того, сило Р, вызывает
сосредоточенный бимомент С——Ржи>, где со— ордината
главной эпюры <о в точке средней лнинн, где приложена
сила Рг. Следует иметь в виду, что при нескольких си-
лах Р, их нельзя заменить одной равнодействующей.
Сила Рж может быть приложена п к отростку стенки, н
тогда эпюра со должна быть продолжена иа отросток.
Сосредоточенные компоненты Р>,	£,.	С считаются
положительными, когда их направление соответствует
положительным скачкам (приращениям) величин N,
Mi, М„ В при движении вдоль оси бруса.
Сосредоточенная растягивающая сила Pt иа торце
тонкостенного стержня вызывает иа этом торце усилия
А' = Рх; Мх = — Рг у,
Му = Ргх-, В Рг ш.
Пользуясь правилами для сосредоточенной силы, при-
водят и распределенные нагрузки к типам усилий. Так,
погонная растягивающая нагрузка p,(s), распределен-
ная вдоль средней линии свободного торца, дает усилия
на торце:
N =- [ ptdr, Mx = — j pytdr,
i	a
My = j pxtds; В =— j patds.
В случае замкнутого профиля <о заменяется через ш.
Закручивание вызывают только нагрузки, сводящие-
ся к £„ и С нлн к аналогичным распределенным на-
грузкам.
6.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ
МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
5.4.1. Основные определения
Стержневой системой называется неизменяемая
(неподвижная) система стержней, предназначенная для
восприятия нагрузки н передачи ее на опоры, располо-
женные на большем или меньшем расстоянии друг от
друга. Стержневые системы являются расчетными схе-
мами многочисленных и разнообразных типов инженер-
ных сооружений. В большинстве сооружений можно
выделить главные н вспомогательные, преимущественно
плоение несущие конструкции, соединяемые в одно про-
странственное целое нрн помощи специальных связей,
а также вспомогательных балок, прогонов и плит. Рас-
стояние между опорами плоской несущей конструкции
называется ее пролетом. Длина консоли называется ее
вылетом.
Система называется статически определимой (с.о.),
если усилия в сечениях стержней могут быть однозначно
определены путем решения уравнений равновесия ча-
стей системы, отделенных мысленно разрезами. К уси-
лиям здесь причисляются также реакции опор, которые
в зависимости от числа и характера осуществляемых
ими связей всегда могут быть представлены в виде
одного или нескольких стерженьков, одной или несколь-
ких моментных связей. С. о. система является непод-
вижной системой с минимальным (необходимым и до-
статочным) числом связей: уменьшение числа связей
превращает систему в механизм нлн кинематическую
цепь, увеличение числа связей, введение так называе-
мых лишних связей, делает систему статически неопре-
делимой (с. н.).
Усилия в с. н. системе ие могут быть определены
224	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
из одних только уравнений равновесия, так как число
независимых усилий превышает число независимых
уравнений равновесия иа число лишних связей. Напри-
мер, если неизменяемый плоский диск прикреплен к
другому дискз четырьмя стержнями, то усилия в стерж-
нях не могут Сыть определены из трех уравнений
равновесия диска — одного уравнения не хватает.
Если хотя бы одним из усилий системы можно задать-
ся произвольно и получить конечные значении осталь-
ных усилий нз уравнений равновесия, то система яв-
ляется статически неопределимой. Возможность напря-
женного состояния прн отсутствии нагрузки служит
признаком статической неопределимости системы.
Если в система с минимальным числом связей, кото-
рая должна быть статически определимой, также обна-
руживается возможность самонапряжениого состоянии,
то система является мгновенно изменяемой и практи-
чески непригодной. Примеры: вырожденная трехшар-
ннрная арка с шарнирами на одном уровне, соединение
трех дисков тремя парами параллельных стержней нлн
стержней, взаимно пересекающихся в трех точках, ле-
жащих на одной прямой, н т. п. В мгновенно изменяе-
мой системе возможны перемещения прн практически
нулевых деформациях, при некоторых нагрузках возни-
кают огромные усилия.
Основное отличие с. о. системы от с. и. системы со-
стоит в том, что в первой любые малые деформацнн
стержней являются возможными, нестесненными и неза-
висимы мн. С. о. ферму можно собрать прн любых ма-
лых ошибках в длинах стержней, но дать стержням
предварительное натяжение невозможно. Усилия в с. о.
системе прн заданной схеме и нагрузке не зависят ин
от размеров сеченнй, ин от деформативиых свойств ма-
териала. В с. и. системе, наоборот, малые деформации
(наяример, температурные) вызывают усилия, на чем.
в частности, основана возможность использования пред-
варительного натяжения для регулироааиня напряже-
ний. Малые заданные деформации с. и. системы воз-
можны только совместно с некоторыми дополнительны-
ми (в частности, упругими) деформациями: если считать
стержни иа деформирующимися от усилий, то дать с. и.
системе местные деформации невозможно. При ошиб-
ках в длинах стержней собрать с. и. ферму можно толь-
ко при условии обжатия или вытяжкн всех или неко-
торых стержней. Усилия в с. и. системе в общем случае
зависят от размеров сеченнй н свойств материала.
Здесь имеются в виду температурные деформацнн.
при которых сечения остаются плоскими, что соответст-
вует плоскому закону распределения температуры по
сечению. При другом законе возникают температурные
напряжения, не учитываемые технической теорией
стержней.
Основной системой называется система, положенная
в основу расчета заданной системы. Это понятие при-
меняется как при с. о., так и прн с. и. системе. В пер-
вом случае основная система отличается от заданной
расположением связей: преобразованная с. о. система
рассматривается как простейшая основная система с
переставленными евнэями. Пример: трехшаринрную
арку заменяют балкой путем выключения ключевого
шарнира п перерезания одного из горизонтальных
опорных стерженьков. Усилие а этом стерженьке под-
бирается из условия аниулнроваиня изгибающего мо-
мента в ключе (метод замены связей). В случае с. и.
конструкции основная система может быть: а) стати-
чески определимой, получаемой путем устранения (пе-
ререзания) всех лишних связей; неизвестные усилия в
лишних связях определяются нз условий аннулирова-
ния перемещений по направлениям лишних связей
(метод снл); б) статически неопределимой с меньшим
числом лишних связей, чем заданная система; метод
тот же, но с меньшим числом неизвестных усилий;
в) статически неопределимой с большим числом свя-
зей; неизвестными являются перемещения по направле-
нию дополнительных связей (метод перемещений);
г) смешанной — полученной нз заданной системы путем
устранения одних и введения других связей; пример:
свободная рамная эстакада превращается в «ферму»
путем включения шарниров во всех узлах и введении
горизонтального опорного стерженька иа уровне ригеля,
препятствующего смещению ригеля (смешанный метод).
Основная гипотеза расчета достаточно жестких
стержневых систем — принцип сложения действия сил
и малых деформаций. Так как система предполагается
жесткой, геометрическая конфигурация меняется незна-
чительно, то усилия и перемещения определяются как
суммы усилий и перемещений, иайдеиных в результате
рассмотрения раздельного действия факторов иа основ-
ную систему. В случае более гибкой системы иногда
приходится вести расчет по деформированной схеме
(см. раздел 16), когда принцип сложения действия сил
частично или полностью нарушается (последнее при
очень гибких конструкциях типа пружин, см. [105]).
При расчете с. и. упругих систем иа основе принци-
па сложения действий нахождение лишних неизвест-
ных (усилий, перемещений) приводит к составлению н
решению системы линейных алгебраических уравнений,
число которых равно числу неизвестных, иначе —сте-
пени неопределимости системы. Если неизвестными
являются усилия или реакции (метод снл) н выбира-
ется с. о. основная система, то говорят о степени
статической неопределимости. Если неизвестными яв-
ляются перемещения или деформации связей, то го-
ворят о степени кинематической неопределимости.
S.4.2. Виды систем
[26, 40, 61. 64, 65, 84, 89].
Балкн
Балкой называется стержень, работающий преимуще-
ственно на изгиб.
На рнс. 5.30,п показаны однопролетные с. о. бал-
ки — простая балка, консоль и балка с одним шар-
нирно опертым п другим защемленным в отношении
поворота и свободным в отношении поступательного
перемещения концом. Последний тип опирания харак-
теризует работу половины простой балкн двойного
пролета при симметричной нагрузке. Первая и третья
балкн иа рнс. 5.30, о могут иметь коисоли.
На рнс. 5.30, б показаны с. и. балки: однократно
с. н. балка с одним защемленным и другим шарнирно-
опертым концом, однократно с. и. балка с одним полно-
стью защемленным и другим защемленным в отношении
поворота и свободным в отношении поступательного пе-
ремещения концом и дважды с. и. балка с обоими за-
щемленными концами (одни из концов сохраняет про-
дольную подвижность).
На рнс. 5.30, в. г, д показаны многопролетные бал-
ки. Все опоры, за исключением одной, — продольно
подвижные. Это делает балку статически определимой
для продольных сил н освобождает ее от температур-
ных напряжений прн равномерном нагреве независи-
мо от того, является ли балка в целом статически
определимой или статически неопределимой.
На рнс. 5.30. в — с. о. система простых балок; иа
рнс. 5.30.2 — с. о. многопролетная шарнирно-консоль-
ная балка, на рис. 5.30.6 — с. н. неразреэная балка.
Обычно в качестве основной системы принимается со.
6.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
225
балка по рис. 5.30.О. Лишние неизвестные — опорные
моменты. Число их равно числу включаемых шарни-
ров. Цель применении шарнирно-консольных и нераэрез-
пых балок взамен простых — уменьшение расчетных мо-
ментов главным образом от постоянной нагрузки, упро-
щение конструкцин опор.
На рнс. 5.30, а', б', в', г” д' показаны взаимные
(иначе — фиктивные, моделирующие) абсолютно же-
----------X. -В-	4- ~'ЗГ
г) X г ° д
J^iHiiii пн iiniiuiiiiiiui^iiiiiiiiiiiiCiiiJiiiiii 11П“1ТТТГ
al i-----------Z------------Z---------X Z ь
?') InnIIIlliUlTlIIIIIII..............l.ll"llll|Ulllllll“nir?
Рис. 5.30
сткие балки иа упругом основании, делающие более
наглядным определение перемещений с. о. балок и
усилий с. и. балок на основе статнко-кннематичесной
аналогии. Опоре соответствует шарнир взаимной бал-
ки, шарниру — опора, защемлению при повороте —
опора, допускающая свободное вертикальное смеще-
ние, и, наоборот, полному защемлению конца соответст-
вует свободный коней, свободному концу — полностью
защемленный. Гибкости балки прн изгибе соответству-
ет отпорность упругого основания l/EI—k. Степени ста-
тической неопределимости балки соответствует сте-
пень кинематической неопределимости балки взаимной,
и наоборот. Прн пользовании взаимной балкой для оп-
ределения прогибов с. о. балки по так называемому
графо-аналитическому методу упругое основание можно
не изображать, так как реакция его ие возникает. Прн
определении опорных моментов с. и. балок необходимо
учесть упругое основание взаимной балки.
Кроме жестких опор и защемлений и идеальных
шарниров, встречаются упруго оседающие и упруго по-
ворачивающиеся опоры. Во взаимных балках нм со-
ответствуют взаимные опоры соответствующей отпорно-
сти (см. 5.1.8, табл. 5.4). Для перекрестных балок и ба-
лочных клеток (ростверков) статико-кинематическая
аналогия имеет меньшее практическое значение. Здесь
важнее аналогия с работой ортотропных пластинок.
Арки
Аркой называется кривой брус, обращенный выпук-
лостью кверху, имеющий по концам неподвижные опо-
ры. обычно расположенные на одном уровне. Для арок
характерны наклонные, обращенные внутрь реакции прн
вертикальной нагрузке. Горизонтальная составляющая
опорной реакции называется распором. Иногда одну из
опор устраивают продольно подвижной, а распор вос-
принимают затяжкой. Основными усилиями в арке яв-
ляются сжимающие продольные силы, приложенные с
ббльшнм нлн меньшим эксцентрицитетом. Прн рацио-
нально выбранном очертании осн арки эксцентрицитеты
имеют минимальное значение, и арка работает в более
выгодных условиях.
Рациональная ось арки в первом приближении, ког-
да изменение формы осн от действия нагрузки не учи-
тывается, совпадает с эпюрой моментов балки того же
пролета — с ординатами, умноженными на произвольное
число. Прн нагрузке, равномерно распределенной вдоль
горизонтальной проекции арки, рациональная ось пред-
ставляет собой параболу второй степени. Распор арки
обратно пропорционален ее высоте (стреле подъема).
Арки конструируются статически определимые н ста-
тически неопределимые. С. о. трехшариириые арки тре-
буют устройства специальных шарниров. Бесшариирная
арка (трижды статически неопределимая прн нагрузке
в плоскости кривизны) весьма чувствительна к измене-
нию температуры. Промежуточное место занимает одни
раз статически неопределимая двухшарнирная арка.
Одиошарннрная арка (дважды статически неопредели-
мая) применяется редко. В процессе производства ра-
бот возможны различные типы напряженного состояния
арки, отличные от ее работы в законченном виде. Иног-
да одиночная арка работает иа нагрузку, перпендику-
лярную плоскости кривизны. Подобная нагрузка для
эркерных балок является основной нагрузкой. Степень
статической неопределимости арки под такой нагрузкой
зависит от числа шарниров, осн которых лежат в пло-
скости иривнэны. Прн трех шарнирах арка статически
определима.
На рис. 5.31 в левом столбце показаны схемы арок
н расположение шарниров прн работе арки в плоско-
сти кривизны. Степень статической неопределимости
помечена числами в кружках. Нижние шарниры А и В
обычно совпадают с торцами тела арки и называются
пятовыми шарнирами, верхний шарнир С — ключевым
шарниром. Шарниры А. В, С ие должны лежать иа од-
Рнс. 5.31
226
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ной прямой. При построении схем взаимных абсолютно
жестких стержней иа упругом основании (см. 5.1.8) за-
щемления пят отбрасываются, а шарниры заменяются
опорными стержнями вдоль осей шарниров. Трехшар-
ннриой арке соответствует стержень на трех опорах А,
В, С; бесшариирной арке — стержень, опертый только
на упругое основание.
В правом столбце рнс. 531 показаны варианты рас-
положения шарниров прн работе арки перпендикулярно
ее плоскости. Осн шарниров о, Ь, с ие должны пересе-
каться в одной точке, оси шарниров с, 6 не должны сли-
ваться. Здесь взаимные стержни оперты иа упругое ос-
нование и опорные стержни а, Ь, с — в своей плоскости.
Рамы
Рамой называется система стержней, жестко соеди-
ненных а узлах. Обычно рамы состоят из горизонталь-
ных ригелей (балок или пологих арок, иногда ломаного
очертания) и вертикальных стоек (колонн) н могут пе-
рекрывать один нлн несколько пролетов, иметь одни или
несколько этажей.
a) f)
®л ®гт
®Л®Ш1
®п ®гт
г)
0
Рнс. 5.32
Многопролетные и многоэтажные рамы, нак правило,
многократно статически неопределимы. С. о. схемы ис-
пользуются для предварительных расчетов, а также в
качестве основных систем прн расчете с. н. рам по мето-
ду сил. Для превращения плоской и нагруженной в сво-
ей плоскости рамы в статически определимую в каждый
замкнутый контур включают три шарнира. Сквозные
узловые шарниры эквивалентны стольким простым шар-
нирам, сколько стержней сходится в узле, минус едини-
ца. Кроме того, основные системы образуют путем про-
ведения сквозных разрезов, что рассматривается как
ликвидация трех связей в плоскости нлн шести связей
в пространстве путем замены шарнирно неподвижных
опор шарнирно подвижными и т.п.
На рнс. 5.32, а, б, в показаны простые рамы, эстака-
ды и многоэтажные (<этажерочные>) рамы как стати-
чески определимые, так и статически неопределимые.
Степень статической неопределимости отмечена цифра-
ми в кружках. Она равна утроенному чнелу контуров
минус число простых шарниров.
На рис. 5.32, г — миогопролетиая многоэтажная ра-
ма. Как правило, расчет таких рам ведется методом пе-
ремещений. эффективность которого обусловлена прене-
брежением упругими деформациями удлинения и сдви-
га. Число неизвестных углов поворота жестких узлов
равно числу узлов (20), число неизвестных линейных
перемещений равно числу ригелей (5), общая степень
кинематической неопределимости, равная 25 (отмечена
цифрой в квадратике), меньше степени статической не-
определимости (45). Для анализа многоклеточных рам
полезной оказывается аналогия с работой ортотропных
балок-стенок.
При расчете рам большую роль играет учет симмет-
рии, позволяющий разделить систему уравнений дефор-
мации или равновесия на независимые группы и тем
облегчить трудоемкий процесс решении большого числа
совместных уравнений.
Фермы
Фермой называется стержневая система, остающая-
ся неизменяемой, если все стержни считать шарнирно
соединенными в узлах. Прн узловой нагрузке в стерж-
нях фермы воэинкают только продольные (осевые) уси-
лия. Для фермы характерны треугольные поля. Неиз-
меняемость фермы носит геометрический характер, свя-
занный с неизменяемостью плоской сети треугольников
прн сохранеини длин их сторон и с неизменяемостью
выпуклых многогранников с плоскими гранями прн со-
хранении фигур граней в своих плоскостях (теорема
Коши).
Простейшие с. о фермы образуются последователь-
ным присоединением узлов двумя стержнями (плоские
фермы) и последовательным присоединением узлов
тремя стержнями (пространственные фермы).
Преобразованные с. о. фермы (в том числе п пред-
ставляющие жесткое целое, прикрепленные стержнями к
земле) получаются путем замены (перестановки) стерж-
ней простейших ферм. Таким способом, напрнмер, легко
преобразовать ферму-консоль в балочную ферму (одна
перестановка) и в трехшарнириую арочную ферму (две
перестановки).
Работа плоской фермы имеет много общих черт с ра-
ботой тонкостенной балки двутаврового профиля. Для
удлиненных пространственных трех- н четырехгранных
ферм пролетных строений, башен и стрел кранов и мачт
электропередач существенна аналогия с тонкостенными
стержнями открытого нлн замкнутого профиля. Бо-
лее сложные пространственные фермы типа купольных
н цилиндрических покрытий имеют своим аналогом без-
моментиые оболочки. Анализ ферм часто упрощается
при замене раскосов решетки топкой стенкой в предпо-
ложении, что между стенкой н окаймляющими стерж-
нями (пояса н стойки) возникают только сдвигающие
усилия. В отдельных случаях тонкостенные фермы име-
ют самостоятельное зиачеине, помимо использования их
как расчетной модели (см. [10, 158, 167]).
С. и. фермы с лншннмн опорными связями подраз-
деляются иа те же типы, что и балки, арки и рамы.
Внутренние с. и. фермы (например, с перекрестными
раскосами) в настоящее время встречаются редко. Под-
робно о расчете ферм см. раздел 10.
Комбинированные системы
Эти системы (рнс. 5.33) содержат стержни, рабо-
тающие на все виды усилий, и стержни, работающие
только на продольную силу. Сюда же относятся ванто-
вые системы со стержнями из тросов, работающих толь-
ко иа растяжение. К простым комбинированным систе-
мам относятся балки со шпреигелями и подкосами
(рнс. 5.33. о), рамы с подносами, заменяющими жесткие
узлы, рамы с решетчатым ригелем (рнс. 5.33, в) н сплош-
ными стойкамн н, наоборот, со сплошным ригелем и ре-
шетчатыми стойками и т. п. Для более сложных комби-
нированных систем характерно наличие жесткой балки
и шарнирно-стержневого полигона (цепи или гибкой
арки), соединенного с балкой стержнями (рис. 5.33. а)
(см. 5.11.2). Цепь или арка имеет самостоятельные опо-
ры, воспринимающие распор, либо передает свой распор
балке (рнс. 5.33,6). В обоих случаях стержневой поли-
5.1. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ	227
гон вызывает в балке отрицательные моменты, пропор-
циональные ординатам полигона, уменьшающие момен-
ты от нагрузки В случае цепи распор, передающийся
балке, сжимает ее. в случае арки — растягивает. Если
балка ие имеет шарниров (с. и. комбинированная систе-
ма), то цепи можно дать предварительное натяжение и
подобрать наиболее выгодное распределение моментов.
В последнее время для покрытий стадионов пред-
ложены вантовые системы с передачей распора на кон-
струкции трибун (рис. 5.33,8). Для покрытий выставоч-
иых павильонов проектируются комбинированные арки.
состоящие из дугн-ригеля и четырех стоек (рис. 5.33, ж).
Точки пересечения стоек играют роль пятовых шарни-
ров даухшариирной арки.
Спаренные плоские системы (бикоиструкции)
Спаривание при помощи решетки продольных и по-
перечных связей преследует задачи: 1) превращение
двух плоских, жестких только в своих плоскостях си-
стем в одно пространственно неизменяемое целое;
2) приспособление двух опертых плоских несущих кон-
струкций при помощи связей и дополнительных опор-
ных стержней к восприятию нагрузки, не лежащей в нх
плоскостях.
На рнс. 5.34 показаны передипе плоские системы
н раскосы связей в виде линий, параллельных поясам.
Черточками отмечен узел примыкания раскоса связей
к передней системе. Предполагается, что распорки свя-
зей имеются во всех узлах. В боковых проекциях по-
казан левый торцовый раскос связей. При другом на-
правлении раскосов связей положение черточек соот-
ветствующим образом изменяется.
На рнс. 5.34. а показана трехграниая пространствен-
ная ферма с тремя поясами н тремя решетками из рас-
косов и распорок (стоек) в трех гранях. Ферму можно
также считать составленной из двух боковых плоских
ферм со слитыми верхними поясами и решетки нижних
связей. На рис. 5.34.6 —две плоские фермы соединены
верхними, инжннмн и поперечными торцовыми связями.
Неизменяемость торцов может быть вместо раскосов
обеспечена также жесткими рамами. На рнс. 5.34, в —
две плоские фермы соединены верхними продольными
н поперечными связями во всех узлах. Система анало-
гична тонкостенному швеллеру с нулевой жесткостью
свободного кручения, обладающему одной степенью сво-
боды деформации в виде скручивания. Для неизменяе-
мости добавлен раскос связей, отмеченный буквой т,
эквивалентный планке, препятствующей депланацин.
а значит, н скручиванию. Эти жесткие системы требуют
для с. о. прикрепления шести стержней, причем ие бо-
лее трех стержней могут быть вертикальными (и вооб-
ще параллельными). Наличие четырех вертикальных
стержией при трех горизонтальных делает систему од-
нократно статически неопределимой.
Практически пролетные строения имеют восемь опор-
ных стержней — по три на каждую плоскую ферму в ее
плоскости я два упорных стержня, перпендикулярных
плоскости ферм. Прн наличии верхних и нижних про-
дольных и торцовых поперечных связей для статической
определимости следует прервать связи а двух местах
Рнс. 5.34
(удалить два раскоса), обеспечив передачу поперечной
силы в связях иа упорные стержни G и Н (рнс. 5.34, а).
Прн наличии только верхних (или нижинх) продольных
связей и поперечных связей во всех узлах достаточно
сделать один разрыв в связях (рис 5.34. 8).
На рис. 5.34, е, ж показаны статически определимая
н 7 раз статически неопределимая биаркн. Неизвестны-
ми во втором случае являются шесть изгибающих мо-
ментов в местах шарниров основной системы н горизон-
тальная поперечная сила в месте разрыва связей. Под-
робно о расчете бикоиструкций см. [158].
Б.4.3. Статический метод
определения перемещений и кинематический
метод определения усилий на примере балки.
Линии и поверхности влияния
[64, 65, 86, 87]
Методы основаны иа использовании принципа воз-
можных перемещений (см. 2.3.3). Рассматриваются два
не связанных между собой состояния стержневой си-
стемы: одно, удовлетворяющее условиям равновесия
(статически возможное состояние), и другое, удовлетво-
ряющее условиям совместности деформаций (геометри-
чески возможное состояние)1. Так, например, для бал-
кн, нагруженной в своей плоскости (продольные силы
отсутствуют), первое состояние характеризуется нагруз-
ками Р, L, р, m н усилиями Q, М, а второе — деформа-
циями Г. 0, у, О и перемещениями ц, <р (см. 5.1.4).
В применении к находящейся в равновесии деформи-
руемой системе принцип возможных перемещений (урав-
нение работ) формулируется так: работа нагрузок пер-
вого состояния на перемещениях второго состояния,
сложенная с работой усилий первого состояния на де-
формациях второго состояния, равна нулю.
1 Речь идет о любых весьма малых деформациях, а не толь-
ко упругих,
228
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Уравнение работ для балки или балочной системы
после переноса работы усилий в правую часть и изме-
нения порядка множителей имеет вид:
ЕР1 о" + Е L1 ф" + f р' о” ds + J m' ф" ds =
I	s
= S e" M1 + E Г11 Q1 + f M1 ds + f v" Q* ds. (5.98)
i
Порядок сомножителей в правой части взят соответ-
ствующим статико-кинематической аналогии с левой
частью.
В случае системы общего вида добавляются слагае-
мые. выражающие работу продольных и крутящих уси-
лий на соответствующих деформациях.
Статический метод определения перемещений
в статически определимой системе
Деформации предполагаются известными или заранее
определенными по усилиям, если речь идет о силовых
деформациях. Напрнмер, для произвольно пагружеиной
М
упругой балки должны быть построены эпюры О—
Q
п у=-----. Деформированное состояние балки принп-
GFу
мается за второе состояние. Первое состояние, вспомо-
гательное. подбирается так, чтобы левая часть уравне-
ния (5.98) была равна искомому перемещению. Если
требуется найти прогиб о в определенном сечении, то
система нагружается приложенной в этом сечении един-
ственной силой Р, равной безразмерной единице. Уси-
лия от этой воображаемой вспомогательной нагрузки
(так называемые единичные усилия) обозначим М и Q.
Тогда
п = ЕеМ + Егё + fCMds + jyQds. (5.99)
> i
Если сосредоточенные деформации (с. д.) отсутствуют
(0-Г-О) н определяется упругий прогиб, то
°= ( 77®*+ f(5.ICQ)
J El J GFV
s	>
Это частный случай формулы Максвелла — Мора для
балки.
Этими же формулами определяется угол поворота
сечення ф, ио во вспомогательном состоянии вместо
Р-1 берется 1—1 (сосредоточенный момент, численно
равный безразмерной единице). Размерность усилий
определяется размерностью вспомогательной нагрузки.
Для фермы формула Максвелла — Мора принимает вид
(см. 10.1.4):
ЛР = Е-^--	(5.100')
Кинематический метод определения уснлнй
в статически определимой системе
Известные нагрузки н неизвестное усилие относят
к первому состоянию. Во втором, вспомогательном со-
стоянии задаются единственной с д., равной безраз-
мерной единице, соответствующей искомому усилию.
Если требуется найти изгибающий момент М. то берут
в— 1 в исследуемом сечении; если ищут Q, то берут Г — 1
(единичный безразмерный сдвиг). Из геометрических
(кинематических) соображений определяют перемеще-
ния во вспомогательном состоянии по направлениям
нагрузок лействнтельного_состояння. Эти «единнчиые>
перемещения обозначают о, ф  Искомое усилие
М = Е Ро + Е L<p + f pods + J mipds.	(5.101)
« »
Усилие равно работе нагрузок на перемещениях, вы-
званных единичной дислокацией, соответствующей иско-
мому усилию.
На кинематическом методе осноааио построение так
называемых линий влияния (л. в.) в широком смысле
слова— обобщенных перемещений, позволяющих най-
ти некоторое усилие (или другой фактор) для опре-
деленного класса нагрузок. Например, л. в. усилия в
каком-нибудь стержне фермы для узловых нагрузок
произвольного направления является совокупность век-
торов— полных перемещений узлов от единичного без-
размерного удлинения Л-1 того стержня, усилие в
котором разыскивается. Прн вертикальных нагрузках
л. в. усилия является совокупность векторов вертикаль-
ных перемещений. В обоих случаях задача решается
построением диаграммы перемещений или плана ско-
ростей.
Статический метод определения перемещений и кине-
матический метод определения усилий применимы и
для упругих с. и. систем, поскольку перемещения явля-
ются достаточно малыми, а значит, системы подчинены
принципу сложения действия снл и малых деформаций.
Здесь единичные усилия М, Q, ... пе могут быть
определены из одних только условий равновесия, так
же как и единичные перемещения о, ф,... не могут быть
найдены только из геометрических соображений, по-
скольку с. д. вызывают упругие деформации всей си-
стемы. Для с. и. систем целесообразно пользоваться
обобщенной теоремой о взаимности работ, охватываю-
щей все особенности напряженного н деформированного
состояния произвольной упругой системы.
Обобщенная теорема о взаимности
работ активных факторов, действующих
на упругую систему
Активными факторами называются нагрузки (сосре-
доточенные н распределенные) н наперед заданные де-
формации (сосредоточенные — с. д. н распределенные,
напрнмер. температурные). Силовые упругие распреде-
ленные деформации также могут быть отнесены к актив-
ным факторам, если они подсчитаны для системы с
меньшим числом связей, например для с. о. основной
системы. Прн введении упругих деформаций в качестве
активных факторов породившие нх нагрузки в уравне-
ние не включаются.
Рассматриваются два состояния упругой системы.
Активные факторы, усилия и перемещения (пассивные
факторы) первого состояния отмечаются индексом I,
второго состояния — индексом 11. Для балочной системы
ЕР1 «"Ч-ЕL1 ф” + J р,о,,Л + |т,ф,,Л +
Ч-Ев’м" + Ег|ф" +j в'м'Чз+уу’о'Чз»
= Е Ри o’ + Е L1* ф1 + J р" о* ds + J m11 ф* ds +
S	9
+ Ее" М'+Е г" <?'+ У о" M'ds + У у" Q'ds. (5.102)
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
229
При на личин продольных и крутящих усилий и де-
формаций соответствующие слагаемые добавляются по
аналогии. Для фермы теорема записывается так:
SP,A,, + EA,Ar11 = ЕД,,Д, + ЕЛ1,№.	(5.103)
Здесь Д — перемещение узла, к которому приложена
сила Р.
Формулы для перемещения в упругой с. н. системе
Второе состояние—действительное, первое состоя-
ние — вспомогательное, А““1 (безразмерная). Опуская
индекс 11 для активных факторов действительного со-
стояния н вводя черту для единичных пассивных фак-
торов вспомогательного состояния, записываем:
о= £ Pv + £ L<f + J pvds+ J mifds +
s s
+ £ е 5Й + S TQ + fOA? ds + J yQds. (5.104)
Перемещение равно сумме «произведений» активных
факторов действительного состояния на соответствую-
щие пассивные факторы (ординаты эпюр) единичного
вспомогательного состояния. Вычисление по этой фор-
муле оправдано при массовых расчетах или при усло-
вии. что значения о. ф (эпюры единичных прогибов и
углов поворота) известны из таблиц или определяются
другим способом например путем интегрирования урав-
нения изгиба балкн. методом аналогий.
В общем случае упругая деформация от нагрузок Р,
L. р, т, подсчитанная для основной системы, рассмат-
ривается как активный фактор, первая строка в (5.104)
отпадает:
о = Е0Л1 4-S ГQ 4-
Jo/Hds-t- JyQds-t-
4- f 77	f	С5’,05)
J El	J GF
Здесь M> n —усилия в с. о. основной системе от
заданных нагрузок либо с. и. системе с меньшим чис-
лом связей, чем исследуемая; О н у — температурная н
начальная деформации. Если в—Г=О=у—0, то
₽= f 77 Mds+ [ -7- Qds. (5.105')
J Е* J иГу
Подчеркивается, что эпюры М, Q берутся для дей-
ствительной системы со всеми лишними неизвестными.
Прн опрелелеинн упругого перемещения в с. и. си-
стеме нз (5.98) с учетом того, что первое (вспомога-
тельное) состояние должно удовлетворять только усло-
виям равновесия, получается другая весьма важная
формула:
(5 106)
J	J Grу
Здесь М, Q — усилия в действительной системе со всеми
лишними снязямн, М°, Q° — усилия в основной системе
от единичной силы по направлению искомого переме-
щения.
Вообще перемещение может быть получено путем
«перемножения» действительной и вспомогательной
эпюр, построенных для двух систем, прн условии, что
в совокупности в обеих системах содержатся все связи
заданной с. и системы. Отдельные связи могут и повто-
ряться. Обе эпюры могут быть построены для заданной
системы.
Формулы для усилия в с. в. системе
Первое состояние — действительное, второе состоя-
ние — вспомогательное, О11-!. Опуская индекс I для
активных факторов действительного состояния и вводя
двойную черту для пассивных факторов вспомогатель-
ного, записываем:
М = Е	+ £ £ф + J puds-f-j m9ds+
i а
+ Ee^ + £r5 + feJ?ds + fy5Jis. (5.107)
•	I
Первая строка может быть опущена, но тогда в ка-
честве активного фактора должна быть учтена упругая
деформация основной системы:
Л1 = ЕвЛ14-£гС + { OJBds + J $ds +
с МО	—	С 0°	-
+ I	(5.107')
J t,*	J Grу
9	9
Если с. д., а также температурные н начальные рас-
пределенные деформации отсутствуют, то
С мо _ С (У »
М= Mis+ « 5*-	(5.107')
J £ •	J \Jr у
9	в
Практическое использование формул (5.105)—
(5.107"), дающих перемещения и усилия от произволь-
ных нагрузок, требует^ предварительного определения
единичных усилий М, Q или М. ф в с. н. системе, что
представляет собой более простую задачу, чем опреде-
ление усилий от сложной нагрузки.
Теоремы о взаимности единичных перемещений и
усилий
Оставляя по одному единичному активному фактору
в I и II состоянии упругой системы, нз (5.102) получа-
ют ряд равенств, связывающих пассивные факторы и яв-
ляющихся основой построения я. в. как эпюр. Для ба-
лок (два перемещения и два усилия в сечении) число
таких равенств равно 16. В общем случае стержневой
системы с массивными стержнями (шесть перемещений
н шесть усилий в сечении) — 144.
Абсцисса неподвижного сечения балкн обозначает-
ся а. абсцисса произвольного сечення к; означает
величину Q в сечении а от действия активного фактора
Р—1 в сечении х; означает Q в сеченнй к от дей-
ствия активного фактора Р— I в сеченнй а. Линия
влияния имеет иижиие индексы ах. эпюра имеет инжиие
индексы ха.
На рис. 535, а, б показан вид л. в. — эпюр для про-
стой балкн и балки с защемленными концами и выписа-
ны теоремы взаимности, дающие связь между л. в. и
эпюрами. Все скачки и все приращения тангенсов углов
наклона численно равны единице. Для простой балкн
характерно прямолинейное очертание ветвей л. в. уси-
лий от действия снл н моментов и нулевые ординаты
тех же л. в. от действия движущихся с. д.
230
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
а)
S)
1*0^	1 -	1		
	Ьах’фш		Qa’Qxa
			
			
			Г" - '	|
			
	Г+"Ч				
1*0*1			
			1	-	1
Oa-vSg		вс-АЙ	Ча'Вха
	Мех*Фха	Г - ~п	м£-а*,
			1	-	1
		а* '	
			
ч£-ч£			I - 1
	Чп-р»		ГТ.П
&
Рис. 5.35
На рнс. 5.35. в, г. д паны л. в. краевых факторов
простой балки, балки с одним защемленным и другим
шарнирно опертым концом и балки с обоими защем-
ленными концами от действия движущегося груза Р= I.
Надписанные на л. в. ординаты через 0.1 / испольэуют-
ся для построения л. в. нераэреэиых балок и рам.
S.4.4. Метод потенциальной энергии1
Работа, (.свершаемая нагрузкой упругой системы на
ею же вызванных перемещениях (так называемая дей-
ствительная работа), накапливается в системе в виде
потенциальной энергии деформации и может быть реа-
лизована в процессе разгрузки.
Если система является достаточно жесткой и упругие
перемещения малы по сравнению с геометрическими
размерами системы, то прн условии подчинения элемеи-
' См. также 2.3.2.
тарных деформаций закону Гука система оказывается
линейно деформируемой; для системы в целом как бы
действителен заной Гука о пропорциональности нагру-
зок и вызванных ими перемещений. Для таких систем
действителен принцип сложения. Потенциальная энер-
гия деформации линейно деформируемой системы мо-
жет быть выражена однородной функцией второй сте-
пени от сосредоточенных нагрузок, погонная энергия
стержней выражается функцией второй степени от уси-
лий нлн деформаций. Для гибких систем принцип
сложения частично или полностью недействителен: по-
тенциальная деформация перестает быть функцией вто-
рой степени. Ниже имеются в виду жесткие системы,
если ие сделано оговорки.
Обобщенными силами и перемещениями называются
такие функции нагрузок и перемещений, произведение
которых численно равно работе. Простейшие примеры —
сосредоточенная сила и прогиб по направлению силы,
сосредоточенный момент н угол поворота сечения, нн-
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
231
тенсивность равномерно распределенной нагрузки н пло-
щадь эпюры прогибов балки на протяжении нагрузки
и т. п.
Выражение энергии деформации
через обобщенные силы и обобщенные перемещения
Условие рассматривается балка, нагруженная тремя
силами (рнс. 5.36,0). При большем числе снл, а также
прн распределенной нагрузке формулы развертываются
по аналогии:
4/=уР1Д1 + у Р.Дт+уР.Д,- (5.108)
Рис. 5.36
Выражение ввергни деформапин
через силы н единичные перемещения
(податливости системы см. рис. 5.36,6, в, г)
+ Р1Р.й» + Р1Р>«И + Р5Р1«и-	(5.109)
При этом
Д1» = вм, ви — вя, 6ц = ®3f-
Практически значения б заранее не известны, поэто-
му U выражают через усилия.
Выражение энергии деформапин стержневой системы
через усилия
1 f№<ls	। f Q> । CM2ds
U~ 2 J EF + 2 J Gf, + 2 J El +
Интегрирование распространяется на все стержни
системы.
Если отдельные стержни имеют упругое основание с
силовой отпорностью k и моментной отпорностью с, то
к энергия добавляются члены вида:
1 л fppeiKni j f (/nP*1KT)«
L(ls+_J(_rL(ls+... (6.II(f)
В случае расчета статически неопределимой системы
(нлн прн определении перемещений) усилия выражают-
ся суммами усилий в основной системе от заданных на-
грузок и от неизвестных (или воображаемых) сил, на-
пример
М =	+ А'1 М, + X, М, + -.
Здесь М( есть усилие М от Х(—1, Ма—усилие М от
Хз—1 и т. д.
Теорема Каствльяво
Частная производная от энергии деформации, вы-
раженной через независимые силы, взятая по силе, рав-
на перемещению по направлению этой силы:
ди	. ди	ди
^ = Дь =	^=д,-	(5.111)
Силы являются независимыми, если каждую из них
можно варьировать, сохраняя величины остальных не-
изменными.
Пример:
ди
т—- = Pj ви + Pi ви + Р» &1з = Да-
ОРз
Формула для упругого перемещения,
вытекающая из теоремы Кастильяио
Практическое использование теоремы Кастильяио
для определения перемещений приводит к операциям,
тождественным с операциями при использовании фор-
мулы Максвелла—Мора [см. (5.100) в 5.7.4, формула
(5312)). Здесь также приходится рассмотреть действи-
тельное а воображаемое (вспомогательное) состояние
системы от нагрузки обобщенной силой Х<—1 ио на-
правлению нскоыого перемещения в т. д.
Теорема о минимуме энергии деформации
Дана статически неопределимая система. Выбирается
неизменяемая с. о. или с. в. основная система. Послед-
няя нагружается заданными нагрузками и лишними не-
известными Xi, Xi. Xt _
Теорема утверждает, что, если лишние связи ве по-
лучают наперед заданных деформаций, то неизвестные
Х|, Хь Х8, „ имеют величину, обращающую потенциаль-
ную энергию деформации в минимум.
Реализуя условия экстремума, получают канониче-
ские уравнения метода сил*
+ X, dft + Хз Cjj -f- Д)р = 0;
dU(P.X„Xt,X,) ~	,
------—-------= 0, нлн X16„-|-
+ Xa dn + Хвбзз + Д|р = 01
dU(P,Xt,Xt,X,) n y ,
= 0, нли Xt 6ai -f-
+	+ X» + Дм> ” 0.
(5.113)
232
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Обычно сразу пишут уравнения в развернутом виде,
а затем вычисляют коэффициенты н свободные члены.
Случай заданных (температурных нлн начальных)
деформаций
Теорема Каствльяне и теорема о минимуме потен-
циальной энергии деформации формально остаются в
силе, если заменить и через (/•— и—Т, где Г — работа
усилий иа веданных деформациях X, у>.
Т=— fWUs — jQptyds------------------
s	s	s
Наперед заданные деформации могут быть также со-
средоточенными (т. е. являться дислокациями).
В случае осадок опор веразрезной балки
Т=—	Д{.
Здесь Уз — реакция опоры; Д|—осадка опоры.
Выражение энергив деформации
через иеремещения или дислокации
Энергия выражается через силы и вызванные инн
перемещения по формуле (5.108). Здесь же перемещения
Д рассматриваются как заданные осадки опор нлн дис-
локации в опорных стерженьках, а силы — как реакция
опор или усилия опорных стерженьиов (рис. 5.37, а).
Непосредственно через вереыещевня энергия выра-
жается в виде:
^=ул1ри + т^Ра+Тл^а- (5Ш)
Здесь Рц представляет собой реакцию опоры 1 от
ее осадки Д<—1. когда осадки опор 2 и 3 равиы нулю
(рис 5.37,6). Соответственно Ра н Рю равны
реакциям опор 2 а 3 прн
Дз—0, Дз—1. Дз—0 я
Дз—Дз-0, Да-1 (ряс.
5.37,ан е). Расчет экви-
валентен нахождению
обратной матрицы кано-
нических уравнений трех-
иратио с. и. неразрезной
балки с неизвестными
реакциями Р|—Xh Рг—
-Хг. Р,-Хг.
Величины Ph, Ра.
Рю — главные коэффи-
циенты обратной матри-
цы. С механической точ-
ки зрения оин представ-
ляют собой отяорности
Рнс. 5.37
трижды с и системы по отношению к осадкам опор.
Следует заметить, что осадка опоры 1 вызывает не
только реакцию споры / (Ри). ио и реакции опор 2 н 3
(соответственно Ра и Рм).
При этом Рц-Ри; Рю-Рп'. Ри-Рю (теорема вза-
имности реакций).
Групповые обобщенные силы. Каи указано, силы Pi.
Ръ Рз рассматриваются как обобщенные силы, частным
случаем которых являются сосредоточенные силы. Груп-
повой силой называется совокупность обобщенных сил,
связанных определенным соотношением компонентов;
опа характеризуется одним параметром, напрнмер вели-
чиной одной нз сил группы.
Групповые силы (Рп, Рг>. Рм), (Ра. Ри. ₽зз). (Рм.
Рзз, Р») обладают важным свойством ортогональности.
Это значит, что работа одной нз групповых сил иа упру-
гит перемещсинях, вызванных другой групповой силой,
равна нулю. При нагрузке системы подобными группо-
выми силами энергия деформации выражается в виде
суммы квадратов [так паи ои“бЬз”вм“0. члены, со-
держащие произведения сил в выражения (5.109). про-
падают]. Если принять неизвестные с. н. системы в ви-
де ортогональных групповых сял. канонические уравне-
ния получаются с разделенными неизвестными, и сов-
местного решения уравнений не требуется. В общем
случае, однако, определение ортогональных групповых
сил по сложности не отличается от решения системы
канонических уравнений. В частных случаях (наличие
симметрии; система, содержащая один замкнутый кон-
тур) ортогонализация упрощается.
Общий прием определения ортогональных групповых
сил состоит в обращении матрицы коэффициентов б.
Теорема о частных производных анергии деформации
по с. д. Частная производная от энергии деформации ио
осадке опоры (с. д.) равна опорной реакции (усилию):
ащд, Д«, ...)
ЭД,
(5.114')
Случай, иогда помимо с. д. действуют нагрузки. Тео-
рема о частных производных остается в силе, если заме-
нить энергию деформации так называемой полной энер-
гией
э=и-т,
где Т — работа нагрузок па перемещениях, вызванных
дислокациями.
Теорема об экстремуме полкой энергия
Лана упругая система, наиример простая балка, не-
сущая нагрузку р (рнс. 5.38. а). Система дополнена во-
ображаемыми лишними связями, в данном случае —
промежуточными опорами I, 2. 3, которым даны -прину-
дительные перемещения Дь Дз, Дз, не зависящие от на-
грузки р. Действительные значения перемещений Дь
Дь Дз. которые реализуются в отсутствие лишних опор,
отвечают экстремуму полной энергии
Разумеется, величины Д|, Д?. Дз могут быть найдены
непосредственно из рассмотрения системы без дополни-
тельно введенных связей. Однако теорема играет важ-
нейшую роль в приближенных (вариационных) методах
рагчета. являясь основой вариационного принцнка
Лагранжа, метода Ритца—Тимошенко и др.
Пример балки при сложном изгибе. Рассматривается
балка на упругом основании с отпорностью А, нагружен-
ная поперечной нагрузкой р и растягивающей силой N.
Потенциальная энергия деформации
dx + y
о
киЧх.
Рис 5.38
5.4.	КЛАССИФИКАЦИЯ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ	233
И- _* -»		 1 I	I	гг и 1 	^ваа»
Работа нагрузок
pvdx — N
Полная потенциальная энергия системы
Здесь v»v(x) — прогиб, удовлетворяющий гранич-
ным условиям, но не зависящий от р.
Этот прогиб становится действительным прогибом,
если Э приобретает экстремальное значение, т. е. вариа-
ция 63 прн любых вариациях прогиба о обращается в
нуль.
Рассматривая Э как функционал
I
3 = Jf(x, о, o', v')dx,
составляем уравнение Эйлера:
dF
do
d dF da
dx ' do" + dx*
£ = 0
Это дает дифференциальное уравнение сложного из-
гиба балки в виде:
d*o	d*o
П—-W —+ to=p-
dx*	dx*
Интегрирование уравнения с удовлетворением гра-
ничным условиям балкн дает уравнение изогнутой оси
(эпюры прогибов) балки.
Приближенный метод Рнтца— Тимошенко состоит в
том, что прогиб аппроксимируется в виде ряда, каждый
член которого удовлетворяет граничным условиям и
пропорционален неизвестному параметру Ас
°л’»^1Ч’1 +^Фт + ^эФэН------МпФп. (5.116)
ф«=ф<(х)—так называемые координаты функции.
Подставляя этот ряд в выражение полной энергии
(5.115), варьируя энергию отдельно по каждому пара-
метру и приравнивая вариации нулю, получаем систему
уравнений:
dU dU	dU
5а=0:^=0: -5аТ“°- (5Л,Г)
Решая эти уравнения, находим Ль Аг.Ла.
Случай нелинейно деформируемой системы,
когда энергия деформации ие есть функция
второй степени от нагрузок
Прн криволинейном законе деформирования, напри-
мер показанном иа рис. 5.38,6, соответствующем связи
между нагрузкой Р н перемещением узла, прикреплен-
ного почти вытянутыми в одну прямую стержнями
(рнс. 5.38, а), следует уточнить понятие энергии дефор-
мации.
Обычно под U понимают вертикально заштрихован-
ную площадь ДОЛ (рис. 5.38,6):
а
l/=j>dA.	(5.117)
о
Однако, если выразить эту площадь через Р и взять
производную dUIdP, то она не окажется равной Д. Как
показал Энгессер, в этом случае следует взять площадь
РОА. заштрихованную горизонтально. «Дополнитель-
ная» энергия, выражаемая этой площадью,
Р
Р = j&dP = P&-U.	(5.117')
при дифференцировании дает соответствующее переме-
щение
dR
-М=Ь.	(5.117')
Прн прямолинейной диаграмме деформирования
U—К и применение теоремы Кастильяно осложнения не
вызывает.
5.5.	БАЛКИ
5.5.1. Определение усилий и перемещений
и построение эпюр в балках по методу
начальных параметров [86, 18]
Общие положения
Усилия Q и М определяют с целью расчета балки на
прочность, в эпюры Q и М строят с целью выяснения
опасных сечений. Перемещения о (обычно только о»..»)
определяют с целью расчета балнн на жесткость, а эпю-
ры о н ч> строят главным образом от действия единич-
ных факторов — в качестве л. в. усилий.
В практической работе целесообразно пользоваться
в первую очередь готовыми табличными данными (см.
8.1.1) или универсальными формулами усилий н переме-
щений (уравнеинямн эпюр), полученными путем инте-
грирования системы дифференциальных уравнений рав-
новесия н совместности деформаций по методу началь-
ных параметров.
Уравнения равновесия
dQ . ь
dM
dx
= m+Q — сф.
Уравнения совместности
d<P	M
dx = El ’
do	Q
=y 4. ф-|- —- .
dx	Or и
(5.118)
Уравнения (5.118) (дифференциальные зависимости
изгиба) наинсаны с учетом силовой и моментной реак-
ций упругого основания, моментной нагрузки н дефор-
мацнн сдвнга. Обозначения и правила знаков см. 5.1.4,
5.1.5, 5.1.7. Балка называется обыкновенной, если упру-
гое основание отсутствует, А—с-0.
Следует подчеркнуть, что ф — угол (малый) поворо-
та сечення. Угол наклона касательной к изогнутой осн
к горизонту равен do/dx. Эти два угла равны, когда
деформация сдвига не учитывается, что практически
всегда имеет место.
234
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Начальными параметрами Qo, Мы фо, в» называются
ординаты эпюр Q, М. ф, о в сечении балки О, приня-
том за начальное. Уравнения эпюр, иапвсанные в функ-
ции абсциссы исследуемого сечення, характеризуют
влияние начальных параметров и активных факторов
(нагрузок н наперед заданных деформаций), действую-
щих на участке О—х, т. е. от начального до исследуе-
мого сечення с абсциссой х. Никакие факторы, дейст-
вующие левее начала О н правее сечения х, в уравне-
ния не входят. Множители при начальных параметрах
и активных факторах называются функциями влияния:
они выражают влияние активного фактора в сеченнн и
(0<и<х) на пассивный фактор (ординату эпюры) в се-
чении х. Важнейшая особенность метода состоит в том,
что влияние начальных параметров и однотипных с ними
сосредоточенных факторов выражается одними и теми
же функциями влияния, но с изменением аргумента:
вместо сплеча» х вводится плечо х—и, где и — абсцисса
фактора.
В случае однопролетной балки начало О следует
выбирать в сеченнн, где два из четырех параметров за-
ранее известны. Два Других определяются из условий
в другом сеченнн, где снова два параметра известны.
Обычно начало совмещают с левым концом балки.
Тогда:
прн свободном ноице: I) Qo—0; 2) Мо-0;
прн шарнирно опертом конце: 1) Мо—0: 2) Оо—0;
прн защемленном конце: 1) фо—0; 2) оо—0:
прн свободно смещающемся, ио неповорачивающемся
конце: I) Qo—0; 2) фо—0.
Аналогично в зависимости от конструкции выража-
ются условия на другом конце балки.
Совмещение начала с левым концом и использование
граничных условий на правом конце не являются обя-
зательными. В случае симметрии балки и нагрузки на-
чало выбирают посередине пролета. Для многопролет-
пых с. о. балок используются условия в сечениях опор
н шарниров; для с. и. балок — условия над промежу-
точными оиорамн н т. д.
Уравнение каждой нз эпюр выписывается в виде че-
тырех столбцов соответственно числу начальных пара-
метров. Первая строка содержит влияние начальных
параметров, вторая — сосредоточенных факторов, третья
н последующие — распределенных факторов. Учитывая
свойства функций влияния н принцип суммирования дей-
ствия сил и малых деформаций по первой строке, всегда
можно получить вторую и третью. В некоторых случаях
число столбцов сокращается.
Обыкновенная балка постоянного сечения
Уравнения эпюр Q. М, ф содержат сокращенное чис-
ло столбцов. Влияние факторов, распределенных равно-
мерно и по линейному закону (эпюра нагрузки — тре-
угольник), дается в развернутом виде, причем предпо-
лагается, что сечение х лежит в пределах нагрузки нлн
иного распределенного фактора (иа рис. 5.39 под р в
Рис. 5.39
д' следует подразумевать также и факторы m и т', у
и у', О и д'). Уравнения эпюр Q и М выражают общеиз-
вестный порядок определения поперечной силы и изги-
бающего мсмента от нагрузок, действующих левее сече-
ния х.
Если исследуемое сечение х лежит правее конца d
нагрузки р (рис. 5.40), то сначала определяют величины
Qe. Me, фз, оз, а затем, приняв сечение d за начальное,
выражают Qx. Мх, фх, ох (принцип переноса начала).
Другой сиособ состоит в продолжении нагрузки до
сечення х и в вычитании той нагрузки, которая прн этоы
оказалась добавленной на участке (х—d). Прн нсполь-
Уравнение эпюры Q
Q, = Q.- -ZP- 0 —р(х—с) — ,, (л—Cl)1 ₽	2	-	(5.119)
г	
— fp(u)du. 0	
Уравнение эпюры М
Мх — Al© Q© х -)•
+ SL -£Р(х-Цр)+
о о
(X — с)»
Ч-т(х — с) — р—----+
(* — с,)*	, (х— с,)’
~Г~ ~р ~~~+
(5.120)
+ fm(u)du— Jp(u)(x — u)du.
0 о
S.S. БАЛКИ
235
Уравнение эпюры <р
ф, = Фо -s« V -«(x-о A,		-T;X£(x-“^ 0 (х-cP т 2Е! . (* ~ Г1Р т 6Е1	Qo 2EI +-drSF(x-“^- 0 (х-сУ + ₽ 6EI 21Е1	(5.121)	
	2				
	X	X	X		
	—O(u)du	—Jm(u)(x —u)du	+ 2Ё7 j*₽(“)(X~u),d“		
Уравнение	эпюры О				
рХ = VO	+ Фо*		-й(з-я-)+ \ Ь£/ GFy /		
+S- 0	- jeu-Ho) 0	0	+ V4	1 ,	
			га£/|. 6£/	CFV	J +	
+ v(* —С)	2	-6Й-(Х-С>’	Г (X —с)’ _ (X—с)« ' +	24£/	2G^	+	(5.122)
		-Sf(x-C1,‘	(« —«1)’		
	6		L 120£/	EGFV	+	
X + J V(u)du	X — 0 (u)(x — u) du	X -	J т (u)(x — u)» du	1 f l J <х~ ц>* (« —и) + jJ₽(U)L 6£/	GFy	j du.	
зованин последней строки уравнений эпюр величина J
разбивается на ряд интегралов по числу участков с од-
ним н тем же законом изменения нагрузки.
Как правило, влиянием деформации сдвнга иа про-
гиб можно пренебречь по сравнению с влиянием кри-
визны [это сделано в формуле (5.123)]. Исключение со-
ставляют сравнительно короткие балки с тонкой стенкой
(1/Л<5-5-6). В этом случае принимается F,—F„ (пло-
щадь стенки).
Для случая, показанного па рис. 5.40:
Qi = Оо — Р (4 — с) — Р' Wl ;
М. = Мв + С«х - -у ((* - е)« - (х -d)»)-
- V ((x-cI)’-(x-di)’-3(d1-c1)(x-di)»];
Фх = Ф»-Л10у/-<?о-§; + -^((х-
- С? - (X - dpH- [(X - СО’ -(X-
-dO‘-4(d,-cO(*-dO’]:
Pi = p. + ^-Me~Qe-^ +
(5.123)
236
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
+	|(х - £)4 - <х - <*)•] + 77777" [(*-
24Е/	120с/	(5.123)
- с,)* - (* - d,)» - 5(d, - с,Хх - d,)‘]-
Пример использования уравнений эпюр. Найтн на-
чальные параметры Qo и Ма и опорные реакции X, и Х3
(+ вверх) трехпролетной неразрезной балки постоянно-
го сечения с защемленными концами, находящейся под
действием сплошной нагрузки, распределенной по за-
кону треугольника с уклоном р' (рнс. 5.41,о).
Для нахождения неизвестных составляем четыре
уравнения, определяемые условиями закрепления:
прогиб в сечении / по формуле (5.122) равен нулю:
f f Is
~Мл2Ё1 Qa6Ei' + ff 120Е/ =<>'	(а)
прогиб в сечении 2 равен нулю:
~Ма 2Е1 Со 6Е/
4	, Ui+w
6Е/ +Р 120Е/
О,
(6)
прогиб в концевом сечении 3 равен нулю:
Ма2Е1 ®°6Е1	* 6Е/
4	Р
-Х,~6ЁГ + Р'~^Ё1 = О:
(в)
угол поворота в концевом сечении 3 по формуле (5.121)
равен нулю;
м 2______п JL_ у (1*+№
" El Qb2EI 1 2EI
4 I*
~Х*2Ы+Р 24Е! = °‘	(Г)
Все уравнения можно сократить на EI. Решив по-
лученную систему уравнений, найдем Qo и Мо, Х| н Х3,
а следовательно, будем иметь все необходимые данные
для построения эпюр Q. М. q>, v по формулам (5.119)—
(5.122).
Линия влияния изгибающего момента Mt строится
как эпюра прогибов от единичной с. д. в<=I в сечеинн i
(рнс. 5.41,6). Для использования формулы (5.122) надо
определить Qo. Mo, Xi. Х3, ат чего решить систему
уравнений (а)—(г), заменив в них грузовые члены со-
ответственно величинами: 0; —(li+Л—u,);—(1—u<); — 1.
Это следует нэ вторых строк уравнений (5.122) и (5.121),
в которых содержится слагаемое, выражающее влияние
в на о, и q>>. При построении эпюры учитываются на-
чальные параметры Qo, Me, нагрузки Х| и Х3 и сд.
е,=1.
Лнння влияния реакции Xi (рис. 5.41, в) строится на
основании следующих соображений. Положительная
реакция эквивалентна сжимающему усилию в опорном
стержне. Следовательно, л. в. совпадает с эпюрой про-
гибов от действия единичной с. д. укорочения в опор-
ном стержне (Ав——1). При этом прогиб балки в се-
чении 1 будет положительным (направлен вниз), 1.
Для построения эпюры прогибов следует найти Qo, Мо,
Х„ Х3, для чего в уравнениях (а)—(г) отбрасывают все
грузовые члены, одновременно заменив нуль в правой
части уравнения (б) на единицу. Затем эпюра строится
по общем правилам от найденных начальных парамет-
ров и нагрузок Л| в Ха.
Обыкновенная балка переменного сечения
Уравнения эпюр Q и М остаются, естественно, без из-
менения такими же. как для балки постоянного сечення.
Уравнение эпюры <р:
<Рх = Фо	-M0F*	-QoSj-
-Ее 0	0	0
-0(х-с)		+ f/J-е-
2		+4kj_c - 6	1 *i
—JO(u)du	— Jm(u)f*_„da	+ jpS?_udu. u*
(5.124)
5.5. БАЛКИ
237
Для вычисления функций влияния строят зпюру гиб-
кости балки (рис. 5.42). Функции влияния пред-
ставляют собой моменты л-го порядка участка эпюры с
основанием *—и относительно оси, совпадающей с на-
чальной ординатой участка. Для первой строки (5.124)
и=0. и моменты вычисляются относительно оси у, про-
ходящей через начало.
Для моментов первых пяти порядков приняты обоз-
начения отдельными буквами, подчеркивающими (для
первых трех) геометрический смысл этих интегралов,
известный из теории моментов инерции площадей:
=J тт=f -
и	и
площадь эпюры гибкостей на участке г—и;
м''1и = J(s- u)dF* = S*_u [«/—'] -
и
статический момент этой площади относительна вер-
тикальной оси, совпадающей с сечением и;
М™и = J (з - u)S dF* =	~
и
момент ннерцнн той же площади относительно преж-
ней оси;
М™ „ = j (э - и)3 dF* =	[кГ-1- си2] -
и
момент третьего порядка прн тех же условиях;
«UU = J (— -)«*♦“	[кТ-’.ои2-^] -
и	J
момент четвертого порядка.
Здесь 5 — вспомогательная переменная абсцисса;
<££Ф=-^-
£/ '
Значок <ф> отмечает, что геометрические элементы
являются фиктивными, нх размерность отличается от
размерности площади, статического момента и т.д.
В уравнении (5.121) опущены индексы абсцисс со-
средоточенных факторов, как очевидные. Напрнмер,
вместо написано LF^^.
При £/—const участок эпюры	— прямоугольник:
гФ -	_(*~ц)*
х-“	£/ '	2£/ ’
Л (х — ир	(х — и)*
3EI	4£/ ’’
подстановка этих зиачеинй в выражение (5.124) дает
формулу (S.121).
Для сечення к правее распределенной нагрузки (см.
рнс. 5.40)
<P, = q>O-A«O^-<?oS$+ у (4-г-^-а) +
+ у “ «Ц ~ 3 (dq) J •	(5.125)
Уравнение эпюры о:
+ £г
о
+ v(« — с)
+ у (и) du
+ ф«х	-A1OS$	
— £д(х — ие) о	-ZLSLu 0	+ £₽(/«!„-F*_„) + 0
2	— ml*_c	+ Pe(y ^-<-S«)+
		+P'(y iU,-y |$-J +
- J 0 (и)(л — и) du V	-lm(u)Si_udu u	+ ip(«)(7i_e-Fi-B)<i“- ь
(5.126)
238
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Обозначенные жирными буквами моменты F, S, 1 от-
носятся и эпюре гибкостей при сдвиге •
иГц
Отмеченные «шапкой» величины представляют так
называемые комоменты п-го порядка участка эпюры
с основанием х—и, легко выражаемые через моменты:
= (*-“) К-и -
м['1и = (х - о) F*_u - $♦_« = 3?-и;
A<22u = (х — u) S$_„ - /♦_„ = /♦_„;
Л«х2а =<х—«о / J-ч -
= (X- И) К$_« -	= ^-л-
(5.127)
Прн El-const
*-и Е/л(л + 1)’ м 2EI ’
?♦ _ (*-">* ЙФ (*—*0*
6EI ’ х-“ =	12Е/ 1
дФ =
1-“	20£/ '
Для нагрузки по рис. 5.40 (x>d,)
% = °о + ’о х - Мо	+
+₽ у	+ -у [й-л. --
-зЦ-с,)^.]	(5.128)
Пример 5.2 (рис 5.43). Найти прогиб посередине
пролета стальной балки, нагруженной равномерной на-
грузкой р—1 т/м на левом полупролете. Моменты
инерции сечений /« —1,5-10“’ м*, 7—1,2-10“* ж».
Неизвестный начальный параметр «Ро определяется
из условия Pi—0:
*’| = Ф0'-<?оЛФ+-у(л?-^-о.Я)=0- О
Для вычисления комомеитов построена эпюра гнбко-
сти^с ординатами, увеличенными в £/о раз, — эпюра
/♦= sj> t — l? = -у (1,25-10* — 0,25-8» + 0,25.2») —
— у (1,25-10» — 0,25-8* 4-0,25.2’) =
= 550 — 374,7 = 175,3 ж»;
Л? = /?/-£* = 374,7-10—у (1,25-10»-
— 0,25-8» 4- 0,25-2») = 877 ж»;
Л?-о.Ы = у (1.25'5’~°.25-3’) - у (1,25.5»-
— 0,25-3») = 66 ж».
Подстановка в уравнение (•) дает:
1	25,2
10 —3,75*175,3 + 1 — (677 — 66) = 0; <р0= — •
Искомый прогиб
Е1с о0 5/ = 25,2-5 - 3,75 |у (1 -5* 4- 0.25-2») -
- у (I -5> + 0,25-2’)] 4-1 у [у (1 -5» 4- 0,25- 2») -
- у (1 -5» 4- 0,25-2»)] = 68:
Рнс. 5.43
Ро,5( —
68
2,110’-1.5-10-2
=21,5 Ю-5м = 2,15 мм.
«Графо-аналитический» метод определении
перемещений в обыкновенных балках
Этим методом, являющимся следствием статико-
кинематической аналогии, следует пользоваться, ког-
да под рукой кет справочных таблиц или развернутых
формул метода начальных параметров.
Уравнения эпюр Q и М для случая распределенных
нагрузок переменной интенсивности р—р(и) и m—m(u):
Начало поместим на левом конце. Тогда Л1о=0; «о=
‘0; Qo-V.it определится нэ условия Mi—0; отсюда Qo1
3 pl
QX=QO—
О
Afx=Afo4-Qox4- Jmdu—Jp(x —u)du.
.	о о
(5.129)
ЕЛ. БАЛКГ
239
Уравнения эпюр «р в о:
С м
<Рх = <й>-J
(* —u)du.
(5.130)
Эти эпюры тождественны эпюрам фиктивных по-
перечных сил Q’ и фиктивных изгибающих моментов
М*, если под интенсивностями фиктивных нагрузок по-
нимать приведенные ординаты действительных эпюр М
и Q:
а начальные перемещения заменять начальными фиктив-
ными усилиями:
ф0=<Я; °b=Atf-
Уравнения эпюр <р и о записываются в виде:
(5.130')
Фиктивная нагрузка считается приложенной к фик-
тивной балке. В случае простой балки действительная
н фиктивная балки совпадают. Вообще же свободному
концу одной балки соответствует жесткое защемление
другой, шарниру одной балки — опора другой. Фиктив-
ная балка является частным случаем взаимной балки,
имеющей упругое основание (см. 5.4.3). После определе-
ния фиктивной нагрузки н установления опор и шарни-
ров фиктивной балки задача построения эпюр <р и о
сводится к построению эпюр Q* и М*.
Отметим, что эпюра прогибов простой балки от сдви-
га имеет форму действительной эпюры моментов балки
в измененном масштабе.
Обычно влиянием деформации сдвига пренебрегают
(у—/п*—0). Если при этом £/—const, то принимают
р«—М (фиктивная нагрузка совпадает с эпюрой М).
Перемещения <р и о получаются увеличенными в EI раз.
Если задана не нагрузка действительной балки, а погон-
ная интенсивность угловой деформации от неравномер-
ного нагрева 0|, то ₽•—
Концевые углы поворота сечений простой балки
хак фиктивные реакции
Для этих углов (рнс, 5.44) принимается специальное
правило знаков и специальные обозначения. Углы пово-
рота сечений <р считаются положительными при поворо-
те по часовой стрелке. Левый концевой угол поворота
обозначается (или т«) и также считается положи-
тельным при повороте по часовой стрелке, а правый
обозначается тв (нлв Ть) н считается положительным
прн повороте против часовой стрелки. Углы тА в тв
равны фиктивным реакциям (рис. 5.44,а):
.	. М% R*b
’д = Фа = <?2 = ^ = -;-------т-
(5.131)
Ъ=-фд=-^ = 1$ = -^
Здесь R* — равнодействующая фиктивной нагрузки;
а. Ь—плечи равнодействующей относительно опор.
При £/—const R*— — , где Q—площадь эпюры М.
5 Концевые углы поворота от опорных моментов (рнс.
С4Д— р 1 ХВВ~ р
МвЪв	МЛПв
*ЛВ“ Р >	р
(5.132)
Здесь 1%. /£ —моменты ннерцнн площади эпюры
гибкости относительно опорных вертикалей. Величина
1*в — комомент. аналог центробежного момента инер-
ции; для параллельных осей, совпадающих с концевыми
вертикалями,
= (^1 - /$) =	' - /2) • (5.133)
Здесь S$,	— статические моменты площади эпю-
ры гибкости относительно опорных вертикалей.
Прн El—const
МЛ1	МВ1
*лл = ЗЕ1 1 Хвв= 3EI 1
МВ1	МЛ1
*лв~ 6Е/ 1 Хвл~ 6EI ’
(5.132')
240
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Очень часто под тлд, Тая я тдв—твл понимают
концевые углы поворота от единичных моментов Мл«=1
нлн Мв — I. Первый индекс отмечает место перемещения,
второй—вызвавшую его причину.
Концевые углы поворота вызываются также переко-
сом осн балки вследствие неодинаковых осадок опор иа
«л и Ов.
Угол перекоса обозначается * и считается положи-
тельным прн повороте оси балки по часовой стрелке.
Этот угол равен постоянному по длине балки углу по-
ворота сечений <р:

=	= <рв = const;
Уравнение зпюрыо (осадок)
ох = о0 + ф0 х +
+ ХГ-Хв(х-ие)+
0 о
+ У(*-с)-О^у^ +
г 2	6
+ Г у (u) du — [О(и)(х — и) du.
(5.135)
тл = Ф: тв=—ф.
Уравнение эпюры Q (5.136)
Формулы коипевых углов используются при расче-
те неразрезных балок и рам. Если рассматривать осад-
ки опор как фиктивные опорные моменты ол =61^,
то угол перекоса совпадает с фиктивной по-
М$ — М%
перечной силой Q* =-----------.
Qi = Qo	+ По Рх
- ip	+ £ГЕГ_И
о	о
—₽(*—q)	+т\-с
5.S.2.	Абсолютно жесткая балка
на упругом основании и обыкновенная балка
с защемленными концами [153]
Уравнения эпюр
Если прогибы упруго опертой балки от ее упругого
искривления весьма малы по сравнению с осадками, то
тело балки можно рассматривать как абсолютно жест-
кое. К расчету таких балок сводится расчет общей
прочности понтонов, паромов и дебаркадеров и других
прямостенных плавучих сооружений, а также коротких
н жестких ленточных фундаментов, опертых на грунт,
рассматриваемый как вииклеровское упругое основание.
Использование статико-кинематической аналогии с аб-
солютно жесткой балкой упрощает расчет обыкновенных
балок с защемленными концами.
Уравнение эпюры <р
Фх = Фо —
-Ее-
о
-0(х-с)-
_у(<~
2
(5.134)
— J О (u) du.
— J Г(и)(х—и) du+f у (u)Sx_adu— f О (и)	du.
ООО
Уравнение эпюры М (5.137)
мж-мо -Wf	+ ’<Л	+ M'x"Fx) +
+ Еt - Е ₽(х-“р)+ Егsi ti-Е+
0	0	0	0
+"<~)	+v?_f -»(|кх_е-\_с)+
В последних двух формулах величины F, S, /, К —
моменты площади погонной отпорностн оснований при
осадке k=k, кГ/см* (см. 5.1.7, формулы (5.9)]; S, I, К,
I — соответственно комоменты этой площади; F, S, I —
моменты площади отпорностн прн повороте с.
Сопоставление формул (5.134)—(5.137) с (5.119),
(5.120), (5.124), (5.126) показывает, что вторая группа
формул непосредственно следует нз первой на основе
обобщенной статико-кинематической аналогии (см.
5.1.8). Обыкновенная упругая балка и абсолютно жест-
кая балка на упругом основании представляют собой
взаимные брусья. Примеры см. на рис. 5.30,0, а', б, б';
в, е? в т. д.
S.S. БАЛКИ
241
Абсолютно жесткие балки со свободными концами
на упругом основании
Отпорность основания (погонная) пропорциональна
некоторому коэффициенту, характеризующему упругие
свойства основания, и ширине подошвы балки в дан-
ном сечении. Отпорностн выражаются пронэведеннямн
k = k<)b. c = cob.	(5.138)
Здесь Ао кГ/см1— коэффициент отпорностн при осадке;
с<, кГ/см — коэффициент отпорностн при повороте.
Обычно, принимают со=О. Значения А» см. ниже —
5.5.6, табл. 5.5. В случае плавающей балки (понтон) по
закону Архимеда ko равно удельному весу воды: Ао=у=
= 1 т/л1=0,001 кГ/см?. Для песчаного основания Ао=
=0,5 + 5 кГ/см*.
Если рассматривается практически наиболее важ-
ный случай силовой нагрузки, наперед заданные дефор-
мации отсутствуют, то напряжения по нодошве балки а
и одновременно осадки о определяются по формуле вне-
центренного сжатия:
Здесь F. /— геометрические характеристики подош-
вы балки, рассматриваемой как симметричное сечение
некоторого бруса. При постоянной ширине b=const
Прн желании учесть отпорность прн повороте к ве-
личине I добавляется величина + F.
«о
Угол поворота балки вычисляется по формуле
М
Ф = — = const.	(5.140)
*»/
Этими же формулами можно воспользоваться прн
произвольно заданных законах изменения погонных
отпорностей 1нс, положив Ао=1, со—I. В этом слу-
чае под F и / следует понимать геометрические характе-
ристики площади эпюры k. Добавка к / для учета от-
порности с равна 4-F (площади эпюры).
Обыкновенные балки с защемленными концами
На основе статико-иинематической аналогии построе-
ние эпюры М балки с защемленными концами сводится
к построению эпюры о вдоль подошвы взаимной
абсолютно жесткой балки со свободными концами.
Уравнение эпюры М записывается в виде:
=	+	(5.141)
Первое слагаемое — изгибающий момент от задан-
ных нагрузок в основной системе, в данном случае про-
стой балке. Второе слагаемое — изгибающий момент от
лишних неизвестных (опорных моментов нлн иных
двух лишних неизвестных, например Q и М в любом
сечении). Второе слагаемое определяется как напряже-
ние от внецентренного сжатия подошвы взаимной бал-
ки фиктивной нагрузкой. Подошва имеет в каждом се-
.ф 1	1
чении ширину о = ПК	—гибкость действи-
тельной балки. На рнс 5.45, о эпюра гибкости -у- для
наглядности изображена симметричной относительно
оси х.
Для векторов фиктивных нагрузок используется ле-
вая система координат.
Опорные моменты для случая, когда основная си-
стема взята в виде простой балки:
Рис. 5.45
При построении л. в. изгибающего момента нагруз-
кой взаимной балки явится с. д. 6=1 или, что то же,
фиктивный груз Р* = 1 в исследуемом сечении.
На рис. 5.45,6 показано определение опорных мо-
ментов от принужденных поворотов защемлений иа уг-
лы фл и фв и осадок опор иа ол н о®. Соответствующая
взаимная балка дана внизу. Угол фл соответствует отри-
цательной дислокации 0*. угол фв—положительной,
поэтому вектор фл должен быть направлен вверх, вектор
фв — вниз (на рнс. 5.45 направление этих векторов сле-
дует изменить на противоположное). Осадки вниз соот-
_ мн~ мл	Фл Фв
1	/Ф	~ ,Ф ‘в+
242
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Для защемленной балкн постоянного сечення
еия
Предыдущие формулы имеют вид:
Q0 [	|2	\
М, = м°ж- — ^1 4- — XD xj. (5.141')
Здесь Q0 — площадь эпюры М°; *а — абсцисса ее
центра тяжести относительно середины пролета. Прн
симметричной нагрузке х0 =0.
Опорные моменты от действия нагрузки:
Формулы (5.143) и (5.144) переходят в
2EI
мл= — ^д + Чв-Зфу.
2£/
Мв=- ~ (2фв4-Ч>л-Зф);
6 Я
Q = —р-(Фд + Фв-2»).
(5.142')
(5.143')
(5.144')
Эти формулы используются прн расчете рам по ме-
тоду перемещений.
5.5.3.	Приемы, упрощающие построение эпюр
и линий влияния статически определимых
балок
Введение подбалок (рис. 5.46). Если нагрузку, прило-
женную непосредственно н балке (рис. 5.46.0), передать
через подбалку (рис. 5.46,6), то опорные реакции и эпю-
ры за пределами подбалин остаются без изменении, а в
пределах подбалки эпюры для балкн могут быть получе-
ны суммированием эпюр балкн и подбалки.
На рнс. 5.46, б введена подбалка иа участке равномерно
распределенной нагрузки. Эпюры М н Q иа участках
Rb
АС и DB строят от силы R=^pd по реакциям V—
Ra
I ’
" VB
Учитывая наличие подбалкн, эпюру М
спрямляют на участке CD (см. прямую C'D1). Далее
строят параболическую эпюру для подбалки с макси-
мальной ординатой М£ = —. Параболу пристраивают
к прямой C'D\ перенося ее ординаты по вертикали. При
рй*
этом Е"п=пЕ'= —— . На протяжении CD эпюра Q пря-
8
нелинейная. Нулевая точка т определяет абсциссу сече-
ння Л1м«мс-
db da

2
При построении эпюры М следует учесть, что каса-
тельные к параболе в точках С’ и D' сливаются с пря-
мыми С’А и D'B (в этих точках нет переломов эпю-
ры М).
Звмеиа еввзей (рнс. 5.47, а, в). Статически определи-
мая консольно-балочная система (рис. 5.47, а) путем пе-
рестановки шарниров нз сечений в пролетах в сечення
над опорами превращается в систему простых балок
(рнс. 5.47,6). Крайняя левая балка имеет консоль, ко-
торая сначала в расчет ие принимается. Для простых
балок строят эпюры М. На рнс. 5.47, б эти эпюры имеют
вкд параболы, треугольника, трапеции и несимметричной
криволинейной фигуры. Действительная эпюра отличает-
ся наличием опорных моментов, дающих в каждом про-
лете дополнительную прямолинейную (трапецеидальную)
эпюру. Окончательные моменты в сечениях действитель-
ного расположения шарниров равны нулю. Опорный мо-
мент А40=—Рс известен. Прочерчивая начиная от A40
ломаную через проекции шарниров (переломы над опо-
рами), получаем дополнительную, в данном случае отри-
цательную эпюру. Алгебраическое суммирование ординат
происходит автоматически.
Эпюру Q строят сначала для всех простых балок
(сплошные эпюры иа рис. 5.47, в).
Дополнительные эпюры представляют собой прямо-
угольники с высотами, равными уклонам дополнительных
энюр М к горизонту:
МВ-МА
Qxon= j •
Для автоматического суммирования дополнительные
прямоугольники (показанные пунктиром на рис. 5.47, в)
пристраиваются в направлении, противоположном нх
знаку. Окончательные ординаты отсчитываются от пунк-
тирных горизонталей. Опорные реакции равны скачкам
над онорамн в эпюре Q.
S.S. БАЛКИ
243
Рнс. 5.47
Построение линий влияния кинематическим методом
осуществляется без применения нлн с применением
взаимной (фиктивной) балки.
На рис. 5.47, г показана л. в. опорной реакции V,. сов-
падающая с эпюрой вертикальных перемещений и от
действия укорочения опорного стержня № 1 на Л—1.
Отложена ордината Ui = l, далее через ее конец про-
черчена прямая I—II, затем 1—0 и 11—111. Нулевые
точки ломаной 0 н 2 соответствуют опорам, точки пере-
лома 1 и II — шарнирам. Во взаимной балке опорам
заданной балки соответствуют шарниры, шарнирам —
опоры, свободному концу — заделка, заделке — свобод-
ный конец. Взаимная балка — абсолютно жесткая, опер-
тая на упругое основание (рис. 5.47, 0). Нагрузкой взаим-
ной балки р* является погонная угловая деформация О
заданной балки. Для статически определимых балок уп-
ругое основание взаимной балки никакой роли не играет
и может быть отброшено. При этом взаимная балка
называется обычно фиктивной балкой. Эпюра вертикаль-
ных перемещений заданной балки строится как эпюра
изгибающих моментов фиктивной балки от фиктивной
нагрузки. Для построения л. в. М в исследуемом сече-
нии прикладывается груз 9=р*=| (рис. 5.47, а). Для
построения л. в. О поиклалыняется ылыяит Г-Н—I
244	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
(рис. 5.47, ж). Для построения л. в. Vi в шарнире при-
кладываются два равных н противоположно направлен-
ных момента нлн изгибающий момент o=iW*=l (рис.
5.47,3). При этом учтено, что опорная реакция равна
разности поперечных снл справа и слева от опоры.
5.5.4.	Равиопролетные неразрезные балки
на жестких опорах.
Метод бесконечной основной системы
Полубесконечная балка
Балка, нагруженная на левом конце моментом, не
несущая другой нагрузки и простирающаяся вправо
до бесконечности, находится в напряженном состоянии,
изменяющемся от пролета к пролету по закону гео-
метрической прогрессии с отрицательным показателем
(рнс. 5.48, а).
Рнс. 5.48
Показатель прогрессии с«=—1/ft является общим для
всех одноименных факторов (напрнмер, изгибающих
моментов или углов поворота) сходственных сечений в
последовательных пролетах:
Я-
Отложив опорные факторы в виде ординат и сое-
динив концы их ломаной, получают эпюру опорных
факторов (рнс. 5.48,6). Эпюра опорных изгибающих
моментов, в отличие от других эпюр, например углов <р,
непосредственно дает эпюру изгибающих моментов иа
всем протяжении балки. Точки нулевого момента Ф'
называются правыми моментными фокусами при на-
грузке слева. Для правой полубескоиечной балки при
нагрузке слева они совпадают, как указано, с фокуса-
ми эпюр других факторов. Для конечных равнопролет-
ных балои в иеравнопролетиых балок это равенство не
соблюдается (за некоторыми исключениями).
Аналогичными свойствами обладает левая лолубеско-
исчиая балка при нагрузке моментом иа правом конце.
Бесконечная балка
Балка, нагруженная в пределах конечного числа
пролетов, рассматривается слева от нагрузки как ле-
вая полубесконечная балка, а справа — как правая по-
лубесконечная балка, причем концевые моменты этих
балок заранее не известны. В каждом пролете беско-
нечной балки отмечаются два фокуса — левый и пра-
вый. соответствующие левой и правой полубесконечным
балкам.
Положение фокусов Ф и Ф' (рис. 5.48, б) совпадает
с положением точек редукции площади эпюры гибко-
сти пролета. Расстояние фокусов от середины пролета
равно радиусу инерции эпюры гибкости:
(5.146)
при £/=const
гф= —^-=0,289 («0.291.
2/ 3
Меньший н больший фокусные отрезки (расстояния
от концов пролета):
(5.147)
при Ef = const е = 0,2111,
/ = 0,789/.
Фокусное отношение (отноше-
ние концевых ординат эпюры дан-
ного пролета, взятое по абсолют-
ной величине)
/	1 + 2тф
е = 1-2,ф'
(5.148)
при Е! = const ft = 2 + VT = 3,732.
Положение фокусов через фокусные отрезки:
(5.149)
Вместо фокусного отношения ft иногда вводят чис-
ла влияния одного опорного фактора на следующий
меньший:
1 ~	/~2гф
* "	/+2гф ’
(5-150)
прн £/=const	_ (г — Уз ) = - 0,268.
Построение линий влияния
На ряс. 5.49,0 и 5.49,6 даны эпюры М от единичных
активных опорных факторов £»—1 н 6»=1. Кроме то-
го. показаны эпюры о от тех же факторов. Прн этом
^“«.5(^-7];	(5.151)
, I Уз I
если Ef = const, <^=-^-=0,144 —,
8$----у;	(5.152)
5.5. БАЛКИ
245
если E/=const,
Эпюры моментов одновременно являются л. в. ф»
н Мо от подвижной фиктивной нагрузки: для получе-
ния фо и Мо достаточно «загрузить» эти эпюры фнктив-
Рис. 5.49
ными реакциями Та и Тв отдельных пролетов, рассмат-
риваемых как простые балкн под действием заданной
нагрузки. Располагать временную нагрузку следует на
участках одного знака.
Эпюры прогибов дают л. в. Ф« и М» для подвижной
действительной нагрузки. Для двух пролетов, смежных с
ояорой 0, эта л. в. приведены иа рис. 5.49, в.
Уравиення л. в.:
r.-l(r-f)-(2-VT)(s-B)J-i^r.
Кг-t’)-(2-VT) («>)]!?• 1.
о
На других пролетах ординаты получают последова-
тельным делением иа к с переменой знака. Для дру-
. гих опорных моментов л. в. получают сдвижкой на
• I, 2, 3, _ пролета влево н вправо. Определив прн помо-
щи л. в. от фиктивной нлн действительной нагрузки все
опорные моменты, строят эпюру опорных моментов в ви-
де ломаной, которую затем продолжают за пределы
нагрузки через левые и правые фокусы (рис. 5.50, а).
Конечная равнопролетвая балка
Пусть балка имеет л пролетов и шарнирно
опертые концы А, В (рнс. 5.50. вверху). Рассматривая
балку как бесконечную, определяют опорные моменты
МА н Над опорами прикладывают неизвестные
сосредоточенные моменты Хл и Хв и строят в произ-
вольном масштабе эпюры М*° от этих моментов
п пропето!
(рис. 5.50,6, в), причем находят дополнительные опор-
ные моменты в сечениях А и В. Неизвестные Хл и Хв
определяют из условия обращения изгибающих момен-
тов Мл и М в в нуль. Получают два уравнения:

Л1“=0;
246
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

(5.153)
где п=(~тЛ
Другие граничные условия удовлетворяются ана-
логично. Окончательную эпюру получают путем сум-
мирования эпюры от нагрузок с эпюрами от найден-
ных значений Хл и Хв-
5.5.5. Равнопролетные неразрезные балки
постоянного сечення
на упруго оседающих опорах [87, 92]
Метод начальных параметров
Концевые опоры могут быть любыми, в том числе
упруго оседающими, упруго поворачивающимися, жест-
ко защемляющими. Промежуточные опоры —упруго
оселающие одинаковой отпорностн.
Отпорностью опоры х кГ/см называется реакция в
кГ, возникающая прн осадке опоры на 1 см. Пролет
между смежными опорами /; жесткость балки £/-
кР
‘Const; с= (отвлеченное число). Опорные сече-
6 £7
иия нумеруются, начиная от левого конца: 0, 1, 2, ....
i— 1, i, i+l, ..., n—1, л, n+1, ..., s—1, s.
Реакция опоры (положительная направлена вверх)
V„ = —Pn = »w„,	(5.154)
где vn — прогиб опорного сечення, численно равный
осадке опоры.
Эпюра Q имеет над опорами скачки, определяемые
величиной н направлением V». Решение по методу на-
чальных параметров дается в виде формул для опор-
ных ординат четырех эпюр.
Опорные ординаты эпюры прогибов (осадок
опор)
°л = »о Ап 4- фо В» —	Сд Qo О„+ {пл}.
Опорные ординаты эпюры углов поворота
%=%4-mob;-qoc;-Pcd;+[<p„i. ts.iss)
Опорные ординаты эпюры изгибающих
моментов
= Л1о Л„ 4- QoBa 4- 1’осл4-Фо0п4-|Л1п].
Левые н правые опорные ординаты эпюры
поперечных сил
=Qo л; 4- оо в;+% с; - м0 d; 4- |ол|:
QF-QZ+Wn-
(5.155)
Штрихи введены, чтобы отличать функции влияния.
Развертывание грузовых членов, взятых в фигурные
скобки. В случае сосредоточенных воздействий Г<, в,,
£<> Pi (i<n), приложенных в опорных сечениях
(сила Р< считается приложенной непосредственно спра-
ва от опоры i), развертывание делается по известным
правилам при помощи фуницнй влияния, стоящих прн
соответствующих начальных параметрах. Напрнмер:
{%} = Г< 4-с -в, Яд-г - ч С„-г 4- р, D„^.
Знаки определяются тем, что Гн/, эквивалентны по-
ложительным скачкам соответственно в эпюрах о и М. а
0 и Р эквивалентны отрицательным скачкам в эпюрах
ф и О.
В случае нагрузок н других воздействий между опо-
рами развертывание требует предварительного подсче-
та грузовых членов для балки без упругих опор. Эти гру-
зовые члены обозначаются [о<], (0j, [АЪ], [Q<], н вы-
числяются при помощи вторых и последующих строк
формул (5.119)—(5.122):
|®п| = Ы~хДЫ Dn-6 {фд| = [фд]-*2 НС ("1	
л—1	(5.156)
К1 = К]+*Е ЫВС	
1	
л—1	
|<2д) =	+ xZ Ы А'п-1-	
Функции влияния даются в зависимости от аргумента
п—i=l. 2.....6. Справа подсчитаны функции влияния
при с=0,1.
Функции влияния для прогибов:
At = 1 (отвлеченные числа);
Л,= 1-г.
Л,= 1 — 9с 4-Л
Л«=1 — 36с 4- 17с1 —ch
Л» = 1 - 100с 4- 135с1 - 25с’ 4- rt
А, = 1 — 225с 4- 965с1 — 298с3 — 33с< - ch
Л, = I.
<4, = 0,90,
Л, = 0,11;
Л = — 2,431;
At = - 7,6749;
Л, = — 12,14471;
6.5. БАЛКИ
247
В, = 1 (размерность см);	Bt = l;
В, = 1(2-с);	В2 = 1.91;
В, = 1(3 — Юс 4-с»);	Bs = 2,011;
Bt = 1 (4 — 46с + 18с» — с3);	В, = —0,4211;
В, = 1 (5 - 146с + 153с» - 26с» + -г«);	fi5 = - 8,09591;
В, = 1(6 — 371с + 848с» — 324с3 + 34с’ - с»);	fi6=-22,940611;
1»	,	1»
Ci =	(размерность к1 );	'“ 2£/ :
Р	Р
С.= —(4-с);	С. = 3,9—;
Р Cs=^r(9-12c+eS):	с-’м-£г'
С< = -^-(16-68с + 20с«-с3);	'.-•"яг-
С4 = -± (25 — 260с 4- 191с» - 28с» 4- с*);	р С6 = 0,8821
С, = -^-(36 — 777с 4-1192с»-378с3 4-36с*-с»);	С. = -30,15441 -^;
р Dj =	(размерность см • кГ-1);	« р 1 6EI ’
Р	1» D’ = 7’9-6£F =
р D. = -TZ7 (27 - 16с 4- С»); ос/	Оз = 25,41 О£/
р D* = TFT (64 — 118с 4- 24с» — с3); ос/	р4 = 52>439_£_.
Р D, = —— (125 — 560с 4- 273с» — 32с3 4- с*); 6с/	Dt = 71.fSU-£-; vtl
1» D, = —— (216 — 2003с 4- 2000с» - 492с3 4- 40с< — с?); dEi	D, =35,21199 ос/ 1» с
При вычислениях можно произвести замену	
	Функции влияния для углов поворота:
	= 1 (отвлеченные числа);	= 1;
4з =	-1 —Зс,	4j = 0,7; = 1 — 18с 4-Зс2;	Л‘= —0,77;
/< = 1 — 60с + 42? — 3?;	Л^ = —4,583;
4=	= 1 — 150с 4- 285? — 66? 4- Зс4;	4 = —112157;
4=	= 1—315с4-1308с2 — 702? 4-90с4-3?;	Aj = —18,11303;
в;=	= (размерность см~'-к/ 1 .	В, =
в;=	
248	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ	
Вз=-^Г Р-йе + иЛ	в’=1,815 вР
В\ =-^- (4—Б1с + 24? -1.5с3);	в; = 0,3615 уу;
в; = -уу(5— 156с +187,5? — 36?+ 1,5с4);	Bs = -8,76O85yy;
fl'=yy (6 — 388,5с+ 984? —420?+ 48?-1,5?);	Bj = -23,425215 уу.
Функции С'п_{ совпадают с функциями Cn_j	
Dj = 0 (размерность см *);	D'i=0;
. Зс	л 1
	D2 = 0,3y;
. Зс	„ 1
о3	~(5-сУ,	Оэ=1.47у,
Dj = -y-(l4 —13с+?);	Dg = 3,813-y;
Dj = -у- (30 - 81с + 21 ?- ?);	Dg = 6,6327-у;
Dj = -у- (55 - 341с + 212с5 — 29? + ?);	Dj = 6,89757-у .
Функции влияния .	для изгибающих ыоментов
An—i ~ Ап—1’ ®л—1 = ^Л—<•	
cj = 0 (размерность кГу,	Cj=O;
С? = xl;	Cj = xl;
cj=xi(3-c);	С3 = 2,9x1;
C4 = xl(6-llc+?);	С\ =4,91x1;
Cj = xl (10 — 57с + 19? — ?);	Cj- 4,489x1;
Cj = xl(15 —203с+ 172?-27?+?);	Cj = —3,6069x1.
D, = 0 (размерность кГ-ему.	Dj=O;
О2 = xl5;	D3 = xft
D‘ = h/2(4-c};	D3 = 3,9xl5;
dJ = xI5(10 — 12с + с2);	D\ = 8,81 xl5;
Dj = х? (20 — 69с + 20? — ?);	Dj = 13,299x1»
Dj = xl5 (35 — 272с + 192? - 28с’ + ?):	Dj = 9,6921 xl5.
Функции влиянии для поперечных сил	
	
В," = 0;	B‘ = 0;
В.” =х;	B? = x;
В* = х(2 —с);	B3‘ = 1.9x;
S.S. БАЛКИ
249
В4 = х (3 — 10с + с2);
Bj = х(4 — 46с + 18с2—с3);
В'= х (5-146с+ 153?-26? + ?);
Сп_, — Сп_( кя Dn_, = О„_/ см 1 .
В" = 2,01 к
Bj =-0,421 х;
В6* = -8,0959 х;
Пример Б.З. Четырехпролетная балка с пролетами
1=4 м оперта иа промежуточные равноупругие опоры
х—30 Т/м, отпорность концевых опор х«=х4-50 Т/м.
Построить эпюру моментов от нагрузки р (рнс 5.51),
Е-210’ Т/м*-. Г—16 -10-» ж*.
Вычисляем:
хР	30-4’
С = 6Е/ = 6-2-10’.16.10“® =0,1‘
Начальные параметры: М»=0; Qo=xoo<>; о»: фо.
Уравнения для определения неизвестных начальных
параметров: 1) М«—0; 2) Q»-—х*о4.
1) хо °о ®4 +°0 ^4 + Ч’о ®4 + |M<) = 0»
нлн
о„ [50 (—1.684) + 589,2] + ф, 4228,3 + {««} = 0;
2) хо%^4 +°о^4 + Фе^а + (<?е| =
=— «4 (»о А, + ф, Bt - ко о, D4) — х, [о4],
или
о0 [50(—2.431) + 60,3 + 50 (—2,431) — 50.50-0.1748) +
+ Фо [589,2 + 50 (—1,684)1 + {Q*} + 50 (о4) = 0.
откуда
о„ - -0.0001753 (Af<> + 0,00147 {Q,} +0,00147-50 (о4);
Фо - — 0,0002154 (М4) —0,0001753 [Q4] +
+ 0,0001753-50 {о4}.
В данном случае:
к)=м +* SI ’j в^< =-₽	+
3
{<?al = [<?а] + * J =-Р‘2»+
pl*
+ЗО^Г,=-7-9"
(4/-21)*
24Е/
*	4«-0.1 \ „ „„
	] —0,053р.
32-10’	24-32-10*/
24Е/ к 3
Подставляя, находим:
о. = 0,002178р.. ф, = 0,005886р-
(?о=—0.2089р. Мо = 0;
отсюда:
Mi =— 0,1089р-4 =- 0,4356р;
Мг =-0,1089р. 1,9-4 — 0,002178р-30-4 +
+ 0,О05886р.30-4* = 2,616р,
Ma =—0.1089p-2,0b4 —0.002178Р-2.9.30-4 +
+0,005886р-3,9-30-4 — ру = 4,83р; М4 = 0.
Этими ординатами определяется ломаная эпюра, яв-
ляющаяся окончательной в пролетах 0—1 н /—2. В про-
летах 2—3 и 3—4 к сторонам ломаной прибавляются
параболические эпюры от местной равномерно распреде-
ленной нагрузки. Имея эпюру моментов, можно получить
эпюру Q и реакции, а по ним и прогибы (осадки) опор-
ных сечений. На рис. 5.51 показана также л. в. Мах —
—®*а. построенная как эпюра прогибов от ©в =1.
Подробные таблицы для расчета по методу началь-
ных параметров см. [93]. Случай упруго оседающих в
упруго вращающихся опор см. [157]. Балки перемен-
ного сечения иа упругих опорах различных типов см.
Бесконечная и полубеоювечвая балки
Расчет конечных равнопролетных балок по таблицам
для бесконечных балок см. первое издание, стр. 245—
246 н табл. 8.1.19,8.1.20.
5.5.6. Балка на упругом
(вннклеровском) основании
[86, 43, 44, 75]
Общие данные
Предполагается, что сплошное основание развивает
погонную реакцию, пропорциональную прогибу (осадке)
и направленную противоположно прогибу:
250
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рре«кт=—to-	(5.161)
Здесь k kTIcm1 — отпориость основания при осадке.
Величина k зависит от характера основания.
Отпориость грунтового основания в первом прибли-
жении принимается равной произведению коэффициента
отпориостя (коэффициента постели) А, (табл. 5.5) иа
ширину подошвы балки Ь:
k^k'b.	(5.162)
Т а в л я я а 5.3
Гнперболо-ирутовые функции
Таблица SJ6
Ориентировочные значения А.
Материал освоваивя	й„ кГ/см’
Плывун, лесок свеженасы паяный. глава мокрая, размягченная Песок слежавшийся, балластный, гравий насып- Песок, гравий, плотно слежавшийся, щебень, глина малой влажности «...	 Песчаио-глякястмЯ грунт, искусстаевяо уплог- Мягкая скала (известняк. песчаник) ....	0,1—0,5 0,5-5 5—10 10-20 20-100
В настоящее время интенсивно развивается также
представление о грунте как основании с двумя коэф-
фициентами отпориости, лучше представляющем физи-
ческие свойства грунта, и соответствующая теория балкн
[99 н 100). Расчет балок, опертых на грунт, представ-
ляемый в виде упругой полуплоскости или полупрост-
ранства, см. раздел 19.
В случае плавающей балки иоэффицнент отпориостя
равен удельному весу воды: А,“у=1 Т/м‘ или
0,001 кГ/см\
Если основанием служит большое число сближенных
поперечных балок нлн поперечин, опертых иа грунт, то
k =----.где в— податливость (перемещение от едннич-
ta
ной нагрузки) поперечины, о —расстояние между осями
поперечин.
Вырезанная вдоль образующей из цилиндрической
оболочки при осесимметричной нагрузке элементарная
балка-полоска по характеру работы является балкой
иа упругом основании.
Если E/=const, A—const отпориость при повороте
с = 0, —— = 0, система уравнений равновесия и сов-
GFy
местности деформаций (5.118) принимает вид:
-?--₽ +Ат.	(5163)
dx	dx	El
dM	do	,	„ ....
—— = Q + m; —- =<p + y.	(5.164)
dx	dx
и приводится к одному дифференциальному уравнению
четвертого порядка для прогиба или к аналогичному
уравнению для изгибающего момента:
E/o,v+*v = p: yA,IV+-^_“—(51б5>
Характеристикой балки называется длина
(5.166)
с" X	Ах	вл	сх	ох
0	1	0	0	0
0.1	1,0000	0,1000	0.0050	0,00016
0,2	0,9997	0,2000	0.0200	0.00135
0.3	0,9987	0.2999	0.0450	0.0045
0.4	0.9957	0.39965	0.0800	0,0107
0,5	0,9895	0,49896	0,1248	0,0008
0,6	0.9784	0.59745	0,17975	0,0360
0.7	0,9600	0.6944	0.24435	0.0671
0.8	0.9318	0,7891	0.318&5	0.08516
0,9	0,8931	0,88035	0,40205	0.1211
1.0	0,8337	0,96675	0.49445	0.1657
1.1	0,7568	1.04645	0,59515	0,2203
1.2	0,6561	1,1173	0,70345	0,28516
1.3	0,5272	1.1767	0,81825	0.3612
1.4	0.3556	1.22165	0.9383	0.4490
1,5	0,1664	1,24855	1.06195	0.6490
1,6	— 0,0753	1.2535	1.18725	0.66145
1,7	— 0.3644	1,2319	1.3118	0.7864
1.8	— 0.7060	1,17885	1.4326	0.9237
1.9	— 1,1049	1.0888	1.54635	1.0727
2,0	— L56S6	0.96575	1.64895	1.2326
2,1	— 2.0923	0,7735	1,73585	1.4019
2.2	— 2^6882	0,5351	1.8018	1.57906
2,3	- 3.3562	0,23345	1,64075	1.7614
2,4	— 4.0976	— 0.1386	1.8461	1,94605
2.6	— 4.9128	— 0,5885	1,81045	2.12925
2.6	- 5.8003	— 1,1236	1,72555	2.3065
2.7	— 6,75®	- 1,7599	1,68265	2.47245
2.8	— 7.7759	— 2.4770	1.3721	2.6206
2.9	— 8,8471	— 3.3079	1,08375	2,7443
3,0	— 9.9669	— 4,24845	0,70685	2.8346
эд	—11Д119	— 6,30225	0.2303	2.8823
3.2	—12^2656	- 6,47106	— 0.3574	2.8769
3.3	—13,4048	- 7,7549	- 1,0678	2.80675
3,4	—14,5008	-9,16065	- 1,9121	2.6S89
3.5	—15,5198	-10.65245	— 2,9014	2.4195
3.6	—16,4218	-12.25075	— 4,04585	2.0735
3,7	—17,1622	-13.9315	— 6.35435	1,60485
З.В	-17.6875	—15.67605	— 6,8343	0.99»
3,9	—17.9387	-17.45985	— 8.4909	0,2321
4.0	—17,8498	-19.25235	—10.3265	— 0.7073
4,1	-17.3472	-21.0160	—12.3401	- 1,6392
4,2	—16,3505	-22,70645	—14,62735	- 3,1812
4,3	—14,7722	-24.26685	—16,8773	— 4.7501
4,4	—12.5180	—25,63725	-19,37425	— 6.5615
4,5	— 9,4890	-26,74465	—21,9969	— 8,6290
4.6	— 5.5791	-27.50565	-24,71165	-10,9638
4.7	— 0.6812	—27.8274	—27.4823	—13,57315
4.8	5.3164	-27.60615	-30.2689	-16.4604
4.9	12.6239	-26,7238$	-32,9814	—19.6232
5.0	21.0604	—25,06645	-35,67745	—23,0625
6.1		22.46605	—37,96185	—26.7317
б'.2	42*4661	-18^8057	—40,0350	-30.6346
I 6.3	55.6317	—13,9201	—41.68225	-34.72455
5.4	70,2637	— 7.6440	-42,77265	—38,9624
5,5	86,7044	0.1900$	43.16925	—43.2557
5.6	104,8687	9.75435	—42.67745	—47.5SS6
5.7	124,7352	21.2199	-41.14535	—51,75625
5.8	146.2448	34.7564	—38,32395	—55.74285
5,9	169.2837	50.5203	—34.1198	—59.38045
6,0	193,6813	68.65776	-28.2116	—62,6106
6.1	219,2004	89.29465	—20.3042	—64,9518
6.2	245.5231	112.5249	-10.2356	—66.3961
6,3	272.2487	133.4120	2.28885	—66.91745
6.4	298,8909	166.9722	17.5862	—65,9486
6.6	324,7861	198.1637	35.77125	—63,31045
5.5. БАЛКИ
251
Продолжение табл. 5.6
Е"Т	Ал	вх	сж	Dx
6.6	349.2554	231.88005	57,2528	
6.7	371.4244	267,9374	82.2255	-51,74295
6.8	390.2974	306.0558	110.9037	—<2.11895
6.9	404,7145	347.34985	143.4927	-30.1819
7.0	413,3762	386.80715	160.1191	—18,2842
7.1	414.8263	428.2849	220.87175	6.7296
7.2	407.4216	469.4772	265,76635	31,02805
7.3	389,3783	509.41565	314,72645	60.0189
7.4	358.7306	546,93425	367.56875	94,1019
7,6	313,3700	580.67095	423.9858	133,6506
7.6	251.0334	609.0402	483.5233	179 00345
7,7	169,3472	630.22945	545,5557	230,44115
7.8	65.8475	642.1835	600.26965	,16
7.9	— 62.0375	642.68715	673.6057	352,3123
6.0	— 216.8647	628.8779	737.31005	422.8718
8.1	— 401,1574	598,23435	798,81785	499.7008
6.2	— 617.4142	547. 5808	856,28775	682.49745
8.3	— 867.9091	478.6993	907.5542	670.7544
6.4	—1154.6587	372,78665	950,11575	763,7226
6,5	—1479.3701	241,41355	981,0984	860.3917
8.6	—1843.2880	75.6088	997,2	969,44835
6.7	—2247.0402	— 128.58235	994.93765	1069.2289
6.6	-2690.4345	— 375,1167	970.1255	1156.18385
8,9	-3172,6917	— 667.9794	918,36635	1252.35606
9.0	—3691,4815	-1010,87995	834.8607	1340.3007
9.1	—4243,5551	-1407.3690	714.40845	1416.0930
9.2	—4824.OS87	-1860,5365	Б51.49275	1481.76105
9,3	-5426.5154	-2372,94855	340.3091	1526,7834
9,4	—6042.3167	-2946,2708	74,8875	1548,0229
9.5	-6660,9694	—3581,47555	—250,9985	1639.7669
Отношение ЦХ называется приведенной длиной бал-
ки, называется приведенной абсциссой.
Уравнения эпюр
Общее решение по методу начальных параметров в
виде уравнений четырех эпюр дается в гиперболо-круго-
вых функциях А, В, С, D (функции Крылова):
At = X(E) = ch£cosb |
Bl=B(E) = -|-(':hEsinE+sh*cos5)' I (5Л67)
Затухающие функции
Таблица Б.7
‘--Г	Тх	их	vx	17ж
0	1	1	0	1
0.1	0.9003	0,8100	0.0903	0.9906
0,2	0,8024	0.6398	0,1627	0.9651
0.3	0,7078	0.4888	0,2189	0,9267
0.4	0.6174	0.3564	0,2610	0.8784
0,5	0.5323	0.2414	0.2968	0.8231
0,6	0,4529	0,1430	0,3099	0,7628
9,7	0.3798	0.0599	0.3699	0,6997
0.6	0,3131	—0,0993	0.3223	0,6353
0,9	0,2527	-0,0658	0.3185	0.6712
1.0	0.1987	—0,1169	0,3096	0.5083
1,1	0.1509	—0.1458	0,2967	0,4476
Продолжение табл. 5.7
е-т	тж	их	Vt	
1.2	0.1091	-0.1716	0.2807	0.3898
1,3	0.0729	-0.1&7	0.2626	0,3355
1.4	0,0419	-0.2011	0,2430	0,2849
1.5	0,0158	-0.2063	0.2226	0,2384
1,6	—0.0059	—0.2077	0.2018	0,1960
1»7	—0,0236	—0.2046	0.1812	0,1576
1.8	-0,0376	-0.1965	0.1610	0,1234
1.9	—0.0484	-0,1899	0.1415	0.0932
2.0	—0.0563	—0.1793	0.1230	0,0667
2.1	-0.0619	-0.1676	0.1057	0,0438
2,2	—0,0652	-0.1547	0.0895	0,0244
2,3	-0,0668	-0.1416	0.0748	0.0080
2.4	-0.0669	-0.1268	0.0613	-0.0066
2,6	-0,0653	-0.1149	0.0492	-0,0166
2.6	-0.0637	—0.1020	0.0383	-0.0254
2.7	-0,0668	-0.0695	0.0287	-0,0320
2.8	-0.0573	—0,0777	0.0204	-0.0369
2.9	-0.0534	-0,0666	0.0132	-0.0403
3,0	—0,0493	-0.0563	0.0021	-0,0422
3,1	—0.0450	-0.0469	0.0019	-0,0431
3,2	—0.0407	—0,0362	-0,0024	-0,0431
3.3	-0.0065	-0.0306	—O.OffiS	-0,0422
3,4	-0.0323	-0.0238	-0,0085	-0.0408
3,5	-0,0283	-0.0177	-0,0166	-0,0888
3.6	-0,0245	-0.0124	—0.0121	-0.0366
3,7	—0.0210	-0.0079	-0.0131	-0.0341
3.8	-0.0177	—0,0040	-0.0137	—0.0814
3.9	-0,0147	-0.0008	—0.0140	-0,0286
4.0	-0,0120	0,0019	-0.0139	-0,0258
4,1	—0,0096	0,0040	-0.0136	-0,0231
4.2	-0,0074	0.0057	-0.0131	-0,0204
4.3	-0,0055	0.0070	-0,0125	-0.0179
4.4	-0,0038	0,0079	-0,0117	-0,0155
4.6	-0.0023	0,0085	-0.0108	—0.0132
4.6	-0,0012	0.0069	-0.0100	-0,0111
4,7	-0,0001	0.0090	-0.0091	-0,0092
4.8	0.0007	0.0089	-0.0082	-0,0075
4,9	0,0014	0.0087	-0,0073	-0,0059
5.0	0,0019	0,0084	—0.0065	-0,0046
5,1	0,0023	00080	-0,0057	-0.0033
5,2	0.0026	0.0075	-0,0049	—0.0023
5,3	0.0028	0,0069	—0.0042	-0,0014
5,4	0.0029	0.0064	—0.0035	-0.0006
5,5	0,0029	0,0058	-0.0029	0,0000
5,6	0,0029	0.0052	-0.0029	0.0005
5,7	0.0023	0.0046	-0.0018	0,0009
5.8	0,0027	0.0041	—0.0014	0.0013
5.9	0,0026	0.0036	-0.0010	0.0015
6,0	0,0024	0,0031	-0.0007	0,0017
6.1	0,0022	0,0026	—0.0004	0,0018
6,2	0.0020	0,0022	-0.0002	0,0019
6.3	0.0019	0.0018	0.0001	0,0019
6,4	0.0017	0.0015	0.0002	0,0018
6.5	0.0018	0.0012	0.0003	0,0018
6,6	0.0016	0.0009	0.0004	0.0017
6,7	0,0013	0.0006	0.0005	0,0016
6,8	0.0011	0,0004	0.0006	0,0015
6.9	0.0010	0.0002	0.0006	0.0014
7.0	0.0007	0.0001	0.0006	0.0013
7.1	0.0006	-0.0000	0.0006	0,0012
7,2	0.0005	—0.0001	0.0006	0.0011
7.3	0.0004	=-0.000’2	0,0006	0,0009
7.4	0,0008	-0.0003	0.0006	0.0008
7,5	0,0002	=-0.0003	0.0005	0.0007
7,6	0.0002	—0,0003	0.0005	0,0007
7,7	0.0002	—0.0004	0.0005	0,0006
т.а	0,0001	-0.0004	0.0005	0,0005
7.9	0,0001	-0.0004	0.0004	о.оосм
8,0	0,0001	—0.0004	0.0004	0,0003
252
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
с* = С (6) = -у sh t sin 5;
DX=D(&-----~(ch&sin»- shgcos?)-
4
(5.168)
Формулы дифференцирования функций:
dAx 4 dBx 1
dx “ A D’ dr “ X Al'
dCx 1 dD* 1
dx “ A B<:	lC*-
(5.169)
Функция даны в табл. 5.7. Более подробную таблицу (аргумент через 0,01) см. первое изд. п. 8.4.1. Уравнение эпюры арогибов (эпюры напряжений по подошве, уменьшенной в й0 раз). Обозначения нагрузок и дислокаций в формулах (5.170)—(5.173) соответствуют рнс. 5.39:		
	А4	А’ ох = оо Ах	+ А<рс Вх	— & М0 Сх — Qy Dx + + S ™х-« -X £ вв^ —g- £ LCX_ + -g- £ PD'_U + 0	0	0	0 d	a	d	d + Jt^x-h^-^J вВх-«<,и~ £гУтС*-“<,и + '^’У PD,_^U. c	c	e	c	(5.170)
Уравнение эпюры углов поворота (эпюры тангенсов углов наклона эпюры напряжений, уменьшенной в й»
раз):
	A „ ~	A2 A	4
Фж — Фо	—	Alofix — & QoCx	-TveDx-
	X	X	r
Vl	AV	A* V _	4 V
	-ErLLB^+-^Lpc-	-u	^Dx_u
0	0	0	0
d	d	d	d
—J0з4ж_о du-	--^-рВг-?»«+-g-Jpcx_	
c	c	e	c
(5.171)
Уравнение эпюры изгибающих моментов:
Mx = MyAx	+ WyBX	+ *X'ooCM	+ЙХ’<p„ D, +
		
+ ^LA,_U	-ЬЯРВу-у	+ /гХ’£ГСх_и -»ХаЕвОж_в+
0	0	о	о
d	d	d	d
+ Jm/r_,/fu	—X \pB,_ydu	+4X! J тСж_и du —4X’ f 0Dx_u du
c	c	c	c
(5.172)
Уравнение эпюры понеречных сил:
QX = Q„AX	4- AAvo Bx	+ йХ’<р„Сж -	
			X
-X₽»x-u	+*xVrBt_	-,,-»SXeCx-u-	la 1 O’ -j 4-|<<
0	’	0	и	0
d	d	d	d
j PA,_ydu+ k\ J yB,_„du- *AS j 0C,_„du---------- J mD,_I1du.
(5.173)
6S. БАЛКИ
253
Интегралы третьих строк раскрываются следующим образом. Функции внешних воздействий р, т, О, у обоз-
начим в общем виде через /(и) и ее производную — через /'(и).
Интегралы берутся по частям:
J f (в) Хх_и du--X f / (u) -£- В„_и d«=-x[[f (и) В,_и]? - j/' («) Вх_>|.
с	е	С
Точно так же получим:
d	d
J/ («) Вг_и= - X [ [/ («) Cx_„]de - J г (и) Cx_udu);
d	d
j / («) CX_B du = - X | [f («) Dx_Jf - J/' («) Dx_„ du);
d	d
§f(u)Dx_udu = -j- |[f(u)/x_Jd— J f' (u) Л,_/и|.
(5.174)
Для случая прямоугольной эпюры воздействий Ни) =g=const,/'(“) =0 (например, равномерно распре-
деленная нагрузка) интеграл в скобках отпадает (см. рнс. 5.40):
d
f gAx_udu -= - gX [Bx_a]d =gX (flx_c - Bx_„);
c
f gBx_„du =—gX [Cx_a]d = gx (Cx_c - Cx_d);
c
d	(5.1
f gCx_„ du--gx [Dx_Jd = gA (D„ - Dx_„);
d
JgDx_„du = -f X [лх_а]^ =- -f- X (Лх_-4x_a) -
Если воздействие распределено no закону треугольника с основанием (d—с) и уклоном gi, то Г(и) =
—В1 (и—с), Г (и) —Bi—const в формулы будут:
d
J g, (и - с) Ах_и du = g, X [X (Сх_е - Сх_„) - (d - с) Вх_ J ;
d
f gj (и—с) Вх_в du = gj X [X (Dx^ - Dx_d ) - (d - c) Cx_d];
c
d
J Bj (« - ') Cx_a du--g, X [y (A" - /x_d) + (d - c) Dx^];
d
J Bj (U - C) Dx_a du =- gj у [X (Bx_t - Bx_d) - (d - c) A,_ J .
(5.176)
Однопролетная балка
Начало при произвольной нагрузке помещают, как
правило, на левом конце. Прн симметричной нагрузке и
симметричных опорных условиях — посередине пролета.
Два из четырех начальных параметров заранее известны.
Два других определяются нз условий на другом
конце:
1)	прн свободном конце Q=0; /И=0;
2)	прн шарнирно опертом М=0; о=0:
3)	прн жестко заделанном q>—0; о=0;
254
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
4)	при неповорачиаающемся, ио допускающем смеше-
ние qp=O; Q=0.
Начальные параметры однопролетной балки всегда
получаются путем решения двух уравнений с двумя
неизвестными. Для балин с обоими свободными концами
этн уравнения имеют вид:
ftX«C,oe + *X»Dl(p>+ [М(]=0;
ftX^+ftXB^-f [<?,]=(),
= _1_ ХР< (<?,]-С, (М|)
"* »•* <*t+BtDt ’
1 flHAfd-XQIQri
Ф’	(% — BlDl
Формулы для других граничных условий см. первое
издание табл. 8.4.2.
Пример 5.4 (рнс. 5.52). Пролет балкн 1=20 м. Ши-
рина постели 5=1,25 м. Модуль упругости балки (бе-
тон) Е=10* Т/м*. Момент инерции сечення балки /=
=0.256 л*. Коэффициент отпорностн основания кч=
-3,2 кГ/см1—3200 Т/м*. Нагрузки: ₽t = 10 Т. ₽2=15 Т.
р=2 Т/пог. м. Абсциссы щ—5 м, uj=12 м, с=6 м,
d— 16 м
Вычисляем:
Е/=0,256-10в Тм*; ft = ft,б = 3 200-1.25 = 4 С00 Т/м*.
Характеристика
* /4Ё7 _ V 4-0,256-10»
Х= V ~ = У ““40бГ =4"-
Составляем выражеиня свободных членов в форму-
лах (5.177):
[М,]------ V, - Хр J В,_и du=
= ~ *Р1 в1-и.~	В/-И. - »Р (С,_с - Ct_d),
р/] = ~	^(/-«,1 ~ Р1 А1-и, ~ ^Р(В1-С ~ В1-с)-
Выписываем нужные значения функций, входящих в
формулы (5.177), н свободные члены
(5-177)
Отре- зом	Дли- на	Приве- денная абсцис- са t	л (5)	в It)	с <Ю	о (1)
1	20	5		—25,05645	—35.57745	—23.0525
l—Ul	15	3.75	—17.4552	-14.79715		
l-u,	8	2	— 1.5656	0,95575		-_
l—€	14	3,5		-10.65245	— 2.9014	
	4	1		0.96675	0.49445	
Вычисляем:
(Мм)= — 4-10(— 14,79715) — 4 -15 (0.95575) —
— 4*-2 (— 2.9014 — 0.49445) = 643,2 Тх
Ки1 = — Ю (- 17.4552) - 15 (— 1.5656)—
— 4-2 (— 10,65245 — 0.96675) = 291 Г,
^-820 020 = 688.15.
По формулам (5.177):
1	4 (—23,0525) 291,0-(—35,57745)643,2
00 — 4000-4* ’	688,15
= — 0,00008973 ч
1	(—25,05645)643,2—4(—35,57745)291,0
ф’“ 4000-4* ’	688,15
= 0,0001436.
По формуле (5.172) выражаем момент в сеченнн с
абсциссой х—1/2:
^o.s/ =	% Q.sj + Фо °o.sz — Bo,si-u, —
o,si
— ₽Х J А),и-|А
с
причем по формуле (5.174)
0.И
f BO.SZ—и du = X (C0,si_c— CJ = XC0 S|_e.
с
Напряжение грунта, равное прогибу, умноженному
на коэффициент отпорностн основания,
°о.и — *0 ио.« ~ (%	80,и +
о.и
Хэ	Xs f	\
+ ^7 pi D0.St—u, + £/ Р j
с
0.5/
j Dl>.SI-u du = ~~f (Л0,51-с — *)•
БД. БАЛКИ
255
Отыскиваем эначеиня функций:


—1.9128
0,6337
1,81045
0.49445
2,12925
0,32175
Подставляем найденные выше величины о® н фо и
значения функций:
/Ио,5/ = 4000-4® (—0,00008973) 1,81045 +
+ 4000-4’0.0001436-2,12925 — 4-10-1,1486 —
-2-4*.0,49445-6,11 7Х
ооа = 32оо[— 0,00008973(— 4,9128) +
4’
+ 4-0.0001436 (—0,5885) + ——— 10-0,32175-
0,256 10е
4‘	2	1
—----------• — (0,8337 — 1) =
0,256-10*	4 1 ’	']
= 3,16 Т/ж’ = 0,316 кПсм'.
Для определения опасных сечений следует построить
эпюру напряжений грунта и эпюру поперечных снл.
Нулевые точки эпюры Q указывают сеченне с относи-
тельно наибольшими н наименьшими моментами. На
рнс. 5.53 даны эпюры й,о, йо<р, М и Q.
Свойства балки со свободными концами. Балка, на-
груженная сплошной нагрузкой, распределенной по за-
кону прямой линии Рж—ро+р'х, ведет себя как абсо-
лютно жестная: эпюра осадок представляет собой пря-
мую 0,=— (Ро+р'х). а напряжение по подошве равно
К
Усилия во всех сечениях равны нулю
о
Балка, нагруженная на конце силой или парой, де-
формируется в зависимости от ее приведенной длины.
На рнс. 5.53 и 5.54 показаны эпюры осадок от Z.=l н
Р=1, одновременно являющиеся л. в. начального угла
поворота ф, и начальной осадки (нрогиба) о,. Прн
— > 3 +• 4 балка практически не отличается от полу-
бесконечной.
Если расстояние от конца нагрузки до конца балкн
превосходит (3+ 4) А. то балку в направлении этого
конца можно рассматривать как бесконечную. Если рас-
стояния от концов нагрузки до ближайших концов
балкн превосходят с каждой стороны (3 + 4) А. то бал-
ка рассматривается как бесконечная в обе стороны.
Рис. 5.53
Рис. 5.54
Бесконечная двусторонняя балка
Балка имеет свою систему функций, выражающих
влияние сосредоточенных факторов Р, L, в, Г на усилия
и неремешення сечений, расположенных вправо и влево
от фактора.
На рис. 5.55 показаны эпюры о, ф, М. Q от факто-
ра Р, действующего в нулевом сеченнк.
Функции влияния (затухающие) даны в табл. 5.7.
7,K = 7,(l) = e_'fC0S5;
Ut = U (Е) = е~»(cos j — sin J);
Ух = У (£) = «-'• si nJ;	(5‘
IPж «=№(£)= е“» (sin S+cos у.
256	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Формулы дифференцирования:
dTx	1 о,	2	1
dx	“к *' dx 1
dx к и“' dx X И)Е’
Пусть балка загружена сосредоточенными факторами
Р, L, 0, Г. равномерной р н треугольной р' нагрузка-
ми на участках от х=с до x=d. Для сеченнй правее
всех нагрузок получаем следующие уравнения эпюр.
(5.179)
Уравнение эпюры прогибов;
	, V	Xs + L 4 El V’~u + P8EI Wl-a +
+ PBEi(r*-‘~Tx-f) + P	Y^x-e-yx-J-^-O^-d]-
(5.180)
Уравнение эпюры углов поворота:
Чх “ ® Т T‘~u + Li£l Ux~" ~Р4Ё1	= Г ЙГ W*-u ~
Уравнение эпюры нзгибвющнх моментов;
1 X Ё/ Й
мх=L тт-+р Т - г V	- е п v- -
- Р -7 (V,c -	+₽' у [ у («\е - *'-<) - (<* - 0 V,d]
Уравнение эпюры поперечных снл:
°ж = ~ Р Т Т*~“ ~ Г 5? U‘~u + 0 V “ L ЙГ ~
~ Р у ("х-е - Ух-d) + / { Р (•'х-г - •'х-Л 4 (“ - £) Ух-н| •
(5.181)
(5.182)
(5183)
Если нагрузка расположена правее сечення, то ее
действие также необходимо учесть. Действие сосредо-
точенных факторов выражается теми же формулами, но
с переменой знака, когда симметричный фактор (₽, в)
влияет на антисимметричный (Q(x), <р(х)] или антисим-
метричный фактор (L, Г) влияет иа симметричный
[М(х), о(х)].
Полубесконечиая балка
Формулы для правой нолубескоиечиой балкн при раз-
личных граничных условиях на левом копие см. 1 изд.
табл. 8.4.4 н 8.4.5.
Использование бесконечной балкн для расчета
конечных балок
(Метод компенсирующих нагрузок) [67, 69. 153]
Рассчитывают балку, предполагая, что слева н справа
от фактических концов А и В опа простирается до бес-
конечности. Прн этом получают Мл, Qx н Мв. 0в.
пользуясь I изд. табл. 8.4.3 и формулами (5.182) н (5.133).
Вводят неизвестные силы Ул и Кв. моменты ZA и
(рнс. 5.56), подбираемые так, чтобы удовлетворить дей-

Рис. 5.56
¥в
±ДПШШ1
стэптельным граничным условиям в А и В. Прн свобод-
ных концах усилия М н Q непосредственно справа от А
н слева от В должны быть равны нулю. Это дает четы-
ре уравнения для определения четырех неизвестных. Це-
лесообразно преобразовать нагрузку в симметричную н
антисимметричную. Уравнения образуют две независи-
мые группы по два уравнения с двумя иензвестнымн, со-
ответственно Ул = г в. Za =—Zb и Ул =—У в. Za=Zb.
Метол целесообразно применять в том случае, когда ре-
шение в начальных параметрах приводит к операциям
с большими значениями функций А, В, С, D и результаты
получаются как малые разности больших величии.
6.S. БАЛКИ
257
Практические указания
Все приведенные выше формулы даны в предполо-
жении, что связь подошвы балки с основанием двусто-
ронняя. Если сопротивление отрыву не обеспечено, то
лА
при расстоянии ближайшего груза от конца более
происходнт поднятие конца. Если балка нагружена дву-
мя равными грузами по концам, то длина балкн должна
быть менее яА. Если балка нагружена равными грузами
на расстояниях I, то необходимо выполнить условие
1<4,73А, в противном случае произойдет отрыв подош-
вы от основания н изменение работы балки.
Балка на упругом основании принадлежит к конст-
рукциям. для которых увеличение сечення не всегда при-
водит к уменьшению напряжений. Поэтому рациональ-
ный подбор сечения балки связан с рядом проб.
Другие виды балок иа упругом основании
Сжатая или растянутая балка на упругом основании
см. [90].
Балка переменного сечення иа упругом основании
см. [44, 49].
5.5.7.	Общий метод расчета неразрезных
балок на жестких опорах.
Уравнение трех опорных моментов
[65, 75. 40]
Равнопролетные иеразрезные балкн иа жестких опо-
рах, как правило, рассчитывают при номощн таблиц
раздела 8.1 При весьма большом числе пролетов и пере-
менном сеченнн в пределах пролета рекомендуется метод
бесконечной основной системы 5.5.4.
В общем случае опорные моменты получаются путем
решения системы уравнений трех опорных моментов.
Рнс. 5.57
Уравнение выражает условие неразрывности дефор-
мации иераэрезной балкн над л-й опорой нлн равенст-
во нулю угла взаимного поворота смежных торцов л-го
н (n-f-l)-ro пролетов (рис. 5.57, о). Оно дает n-е канони-
ческое уравнение прн расчете иераэрезной балкн по ме-
тоду снл (в качестве основной системы взят ряд про-
стых балок, шарнирно соединенных над опорами, неиз-
вестными являются опорные моменты).
Угол поворота правого торца n-го пролета
'в = Мп-1 '•дл + мп ТВВ~^п + [’в] •
Угол поворота левого торца л-Н-го пролета
“А1лтЙ’ + Мя+>41,+ Фп+т + К']-
Здесь ТдА, ТдВ. т^+', т^1— углы поворота от еди-
ничных моментов. Первый ннжннй индекс отмечает, как
всегда, «место» новорота, второй — его «причину» (место
приложения единичных воздействий). Верхние индексы —
V — Ри—1	v„ 1 1 — v
номера пролетов; = —2----------—— t	=——---------2 _
углы перекоса, обусловленные осадкой опор; [ Тд ],
— углы поворота торца В п-й простой балки и
торца А (п+1)-й простой балкн от заданной местной
нагрузки этнх балок, а также от температуркою нлн
начального искривления.
Уравнение трех опорных моментов выражает равен-
ство
нлн
«п-l ^ВА + м„ (тпвв+<+’) + мл+1 <;+’ 4-
+ tn+1 - фя + [^] + Ь5+‘] = 0- (5.184)
Таких уравнений составляется столько, сколько имеет-
ся неизвестных опорных моментов. Опоры и включае-
мые над инмн шарниры рекомендуется нумеровать так,
чтобы № 1 имела опора, над которой действует первый
статически неопределимый опорный момент (рнс 5.57,
б, в, г). Поэтому над левой шарнирной опорой нлн опо-
рой консолн ставится № 0, момент /И01 входящий в урав-
нение № 1, равен нулю нлн заранее известной величине
(опорному моменту консолн).
При защемленном левом конце балки (рис. 5.57. а)
первое уравнение получается из (5.184), если положить
4=-^=[^]=°:
М1т‘Й + М2т<12| + ф(2, + [т^] =0. (5.184')
Если первый конец защемлен, то н последнее урав-
нение записывается аналогично.
Уравнения, связывающие опорные моменты нераэрез-
ной балкн, являются трехчленными, за исключением пер-
вого и последнего, которые содержат по два неизвестных
момента. При этом предполагается, что углы перекоса ф
равны нулю или нанеред заданным величинам, т. е. бал-
ка покоится на онорах, осадки которых, если н имеют
место, то от неизвестных моментов не зависят. См. при-
мер 5.5.
Если изгибная жесткость в пределах отдельных про-
летов постоянная, то уравнение трех моментов имеет вид:
6»Г+2Мл (йг++
+ Mn+1 бЁ/Т.' +	+
Л+1
+ ЬЬ] + №+‘]=0	(5.184а)
Обычно пользуются уравнением, умноженным на 6Е/е
где /е — произвольно взятый, постоянный для всех
уравнений момент инерции.
Длины 4 = („Л., l'„+i = ln+x-^-BT. д. назыпа-
• я	л+1
ют приведенными длинами нлн приведенными проле-
тами. Тогда
258
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Ч.-1 4 + 2Л4 ( >п + 4+1) + 4+1 4+1 +
+6£4(W1 -V+6£41 [^]+[^+,])=°-‘5- ,8«)
Отсюда автоматически получаются первое и послед-
нее уравнения в случае концевых защемлений. Достаточ-
но положить соответствующее 1'=0.
Если £/-const иа всем протяжении неразрезной бал-
кн. штрихи опускаются. Если моменты ннерцнн сечений в
отдельных пролетах пропорциональны пролетам,
—const, то уравнение будет
+ 4М„ + 4+1 + -у- (♦«+! -4) +
+^1и>]+т)=°-
Другие обозначения свободных членов:
[^+,]=<n+i;
2) бие№]=*-„; 6*4[4i+1]=4:
3) 6£/е [ Tg ]=т^ 6£/е [ 4+'] =Tjg.
(5.184b)
(5.185)
Величины т, L и R берутся из табл. 8.1.3.
Для балок с вутамн уравнение трех моментов запи-
сывается в виде
4 4 4»+24 (4 4ь+4+14в) +
+4+i 4+i 4ь +6f / с ('t’c.+i *«) + Е ₽я 4 4 Чи +
Система уравнений
Xi flii 4" flu 4" aip — О»
2) Х> Ои 4-	4- -X э	4- aip — О»
(6.187) 3) X® Озз -j- Xj с» 4” Х< O34 4" аяр = ft
4) Xj 043 4" Х< о« 4" Хв 045-Ь oip — ft
5) X* а« 4“ -X» flw 4- Otp — О*
Цепные ваввсныости для величин с. A, с?, А':
Сверху вниз	
(5.189)	(5.190)
°11 I	
о 11	
°м	Л® = а^р 4- Лз с»;
013 4- о®1 Сц	
д»< =—-	~ .	Л® = 0®р 4" ^2 С93»
о» 4- О« С»	
	А < — а^р 4" сз«
, ,	°М 4- 043	Г
4- 4	4- S Рл+1 /я+>1^4-
+ -^-^+14+14 = 0.	(5-186)
Здесь Р„, ₽„+1—сосредоточенные нагрузки в n-м и
(п+1)-м пролетах; р„, р«+<— интенсивности сплошных
равномерно распределенных нагрузок в тех же пролетах.
Таблицы коэффициентов t см. первое издание табл. 8.1.18.
Коэффициенты t для балок, высота прямоугольного
сечення которых изменяется по линейному закону, а
также для стоек ступенчатого сечення см. табл. 8.3.5,
8.3.7—8.3.10 и 8.3.12—8.3.16.
В общем случае балок переменного сечення для вы-
числения коэффициентов т в уравнении (5.184) исполь-
зуются формулы (5.131)—(5.133) или метод начальных
параметров.
5.S.8.	Решение системы уравнений трех
моментов и общих трехчленных уравнений
[86, НО]
Аналитический способ
Трехчленные уравнения являются важной катего-
рией канонических (т. е. обладающих взаимностью коэф-
фициентов а<>=а»<) уравнений строительной механики.
Здесь даются расчетные формулы, основанные на встреч-
ном исключения неизвестных, в развернутом виде для
случая пяти уравнений с пятью неизвестными. Прн дру-
гом числе уравнений и неизвестных решение записы-
вается по аналогии.
Решение
01р + ^Т^1
fln + fliBca’
Л1с1г + °гг+Лзс32
А® =—	, 
°31 С11 + “и + аЙ сз?
А, сгз + °3о +	с43
х,=-——--------*-------(5.188)
°3t ся3 + °33 + а34 С®
х Л3С34 + Д«р + Л5СМ .
а4Э с34 + а44 + °44 СМ
.. А» сп + а№
Аб----	:	•
flM са 4- аъъ
Снизу вверх		
	ам	
с2| «=—	_ в	л2 °2р * rt3 *^32 •
	аЯз+аЗЗС32	
в	0э«	.и
С32 =~	4	•	^3 =°Эр 4" ^4 ^43»
	®33 +а34 с43	
	а«	A4=fl4(, + AsCs4 5
сез —	°44 +°45 СЯ	
ск =—		Л6 =°5р •
	Ом	
	(5.189')	(5.190')
ВЬ БАЛКИ
259
Рис. 5.58
Штрихи при коэффициентах с введены с целью поц-
черкнуть неравенство с„_|. „ ¥ сп. п_
Коэффициенты с связаны с так называемыми фокус-
ными отношениями
(5.191)
Ьи
Графический способ
На рис. 5.58, а дано графическое определение знаме-
нателей общего решения (5.188) (утолщенные отрезки
В'пС'п) в на рис. 5.58,б — числителей (утолщенные отрез-
ки М'//') по так называемому методу делителей или
методу перекрестных фокусов [153].
Для построения эпюры знаменателей на вертикалях
/, II. V в порядке непрерывного зигзага откладыва-
ют коэффициенты уравнений;
1) А1С1кпц; CtDf— цц; 2) 4iBi=O№aii; 8iCi"aa;
CiDi**Uu; 3) 4«8з—BiCs^au и т. д. Проведя
прямую 8141, находят точку Си, проведя прямые
DiCu н BiAs, находят точку Сц и аналогично — точки
См н Gij. Идя обратно от точки С», определяют точки
б», Си, Си, См, Точки С называют делителями или пе-
рекрестными фокусами. Последний термин обусловлен
следующим: если расстояния зижду вертикалями взять
равными пролетам нераэрезвой балкн, то перекрестные
фокусы С будут совпадать с зеркальными отображения-
ми действительных фокусов F.
Построение эпюры числителей.
Откладываются свободные члены
MiNt—flip, aip и т. д„ за-
тем проводятся диагонали NiMt,
NtMt и т. д. На эти диагонали
проектируются делители G. Через
делители проводятся ломаные
и N6N\N’3N2N'i.
Утолщенные отрезки между ло-
маными равны искомым числите-
лям в дробях (5.188).
Прн достаточно большом раз-
мере чертежа (например, равного
по размеру писчему листу) гра-
фический способ дает хорошую
точность.
Определение чисел влияния
Для построения л. в. и обсле-
дования влияния различных на-
грузок используются числа влия-
ния.
Числом (коэффициентом) вли-
яния btk называется значение не-
известной Х<, получаемое в пред-
положении, что свободный член
п*р равен единице, а все осталь-
ные свободные члены равны ну-
лю. Мвтрнцв чисел влияния систе-
мы п уравнений содержит л* чле-
нов н называется обратной мат-
рицей по отношению к матрице п*
коэффициентов ам. Числа алия-
ния вида бц (при i=k), располо-
женные на главной диагонали, подобно главным коэф-
фициентам а», называются главными числами влияния,
все остальные числа вида 5<*(<чМ) — побочными. Прн
канонических уравнениях (au—ani) побочные числа
влияния также обладают свойством взаимности: 6(*—
-6а«.
Для получения главных чисел влияния системы трех-
членных уравнений (5.187) достаточно в общем решении
(5.188) заменить все числители единицей:
(5.192)
Одновременно с общим решением для заданных зна-
чений свободных членов получаются н все главные числа
влияния.
Подсчитав главные числа влияния, определяют все
побочные числа, пользуясь табл. 5.8.
Контрольные равенства:
Ьи, = Ьщ -^- = -^5-;	(5.193)
Ь” «я
6ц Сц с13 Сц Сц
^т^гс4зсы
Механический смысл воздействия, соответствующего
единичному свободному члену п(> «1 при остальных ну-
' См. 1.1,9.
260
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 5.6
Определение чисел влияния системы трехчленных
уравнений
№	1	2	3	4	5
1	»и		Ь,»—ЬдС,,	ЬИ=Й.А«	
2		ьа	bn-Vn	Ь14"=Ь»^О	ЬО~Ь.|СЯ
3		Ьв—ЬаСп	ь.	Ь«См	
4		Ьи—ЬиГи		ьы	
6					
левых свободных членах, состоит в приложении над 1-й
опорой нераэрезпой балкн с. д. в<=1. Числа влияния
равны опорным моментам от этой с, д. Эпюра моментов
от ©<=1 совпадает с л. в. опорного момента для фик-
тивной нагрузки. Эпюра прогибов от 0<—1 совпадает с
л. в. Mt для действительной нагруэнн. Имеются в виду
натуральные числа влияния, полученные для исходной
системы уравнений. Если же операции производятся с
системой уравнений, нолученной из исходной путем умно-
жения на некоторый множитель, нанрнмер 6Е/е, то числа
влияния должны быть подсчитаны не от а1г = 1, а от
о<р 1=6Е/с.
Построение л. в. усилий Q„ и М. в промежуточных
сечениях неразрезной балкн и л. в. реакций V»
Л. в. строят либо на основании принципа сложения —
путем суммирования л. в., построенных для простых ба-
лок (основной системы), с л. в. опорных моментов, пред-
варительно умноженных иа коэффициенты, выражаю-
щие влияние этих моментов на исследуемое усилие нлн
реакцию, либо непосредственно как эпюры прогибов от
с д.
Усилия Q* и М« в пролете л— 1, п зависят от
опорных моментов Mn-i и М,. Реакция (давление иа
опору) завнснт от моментов Мо_ь н Мп-ц:
<?.-<«+(5Л95>
л1в = л12+^л'»-1 + -^л,я; <5-196)
v„=^+T-(Ain+1-*'n)-
'"Н
(5.197)
Здесь первые слагаемые, отмеченные нуликом,
выражают л. в. для основной системы.
По способу непосредственного построения эпюры
прогибов сначала вычисляются опорные моменты от
соответствующих сосредоточенных деформаций Г., 0«
(см. 5.4.3). Затем строится эпюра моментов, а по ней —
эпюра прогибов.
Первый способ удобен прн серийном построении
л. в., второй — прн построении небольшого числа л. в.
Пример 5.5. Схема пятипролетиой иераэрезной бал-
ки и се нагрузки показана на рис 5.59. Построить эпю-
ру М от действия постоянной нагрузки и определить
опорные моменты для двух случаев расположения вре-
менной нагрузки, дающих наибольшие положительные
моменты соответственно в нечетных и четных пролетах
балкн. Соотношение моментов ниерцнн /4: Zj: /а: /<:
:Zs=3:4:2:l .4.
Таблица нагрузок
| Пролег 1	Постоянная		Временная	
	распреде- ленная Я. Г/лое. м	сосредото- ченная а Т	распреде- ленная р. Т/пог. м	сосредото- ченная Р. т
1	»—2	G|"8	А-2.8	Р.-Г2
2	fc-1.2	Gt“6»5	Л-2.1	Pt—10
3	fli“3	С т-9	р1В«4	Р.-13
4	fl«=o,3 «4е8	-	Р4—12	-
5	Я.-3-2	-	Р*«4.5	-
Приведенные длины пролетов (принимается /с=4)
г	4	.4
i; = Z,-^-=6,5— = 8,67м; 12=8 — = 8м;
1	1 /а	3	4
1’=10м;	=16 м; 4 =10 я.
Система уравнений трех опорных моментов (5.184. б)
с учетом обозначений (5.185) (вторая строка) имеет
внд;
ЗЗ.ЗЗ/И, + 8Л4, + Lt + R, = 0;
8Л1, + 36Л1, + 10Л4, + Lt + R, = 0;
10Л1, + 52*1, + 16М4 4- Ls + R> = 0:
16M, + 52M4	+£з + К4=0-
Попролетное вычисление компонентов свободных
(грузовых) членов для постоянной и двух вариантов
временной нагрузки дано в таблице к примеру 5.5.
Полученная в численном виде система трехчленных
уравнений сопоставляется с (5.187). Решение для каж-
дой группы свободных членов разыскивается в виде
(5.188). С этой целью прн помощи цепных зависимос-
тей (5.189) и (5.189') определяются величины с н с':
8
Ч* 33,33
0.24;
Си
10
36 — 8-0,24
0,294;
16
52-10-0.294
0,326;
5.5. БАЛКИ
261
Рис. 5.59
262
Раздел s. строительная механика упругого стержня и стержневых систем
4=-4г=-°-308;
62-16-0,308 = “ °’213:
.	8
с., =_______________= — 0.236.
**	36-10-0,213
По величинам с при помощи формулы (5.190), опре-
деляются величины А; по величинам с' — величины А'
для каждой группы грузовых членов.
Дли постоянной нагрузки:
Л1= 1 027;
А,= 901,3— 1 027-0,24 = 654,3;
4, = 696,7 — 654,3-0.294 = 504,7;
А\ =1139,2;
Лз = 696,7 —1139,2-0,308 = 345,7;
А2 = 901,3 — 345,7-0,213 = 827.8.
Зиачеиня неизвестных для постоянной нагрузки:
1027 + 827,8(—0,236)
Mi = —--------------------------~~
33,33 - 8-0,236
831
ЗПГ=-26’46Т*
—1027-0,24 + 901,3 — 345,7.0,213
мг=—-----------—-------------------
М,=-
—8-0,24 + 36— 10-0,213
580.8	.. „ ,
=—------4- =— 18,2 Тле
31,96
-654,3-0,294 + 696,7—1139.2-0.308_
-10-0,294 + 52 —16-0,308
44,13
_	—504,7-0,326+ 1139,2
-16-0,326 + 52	“
_ 975,7
=“ 46,78
20,85 Тм.
На рнс. 5.59 эпюра Mt получена путем алгебраиче-
ского суммнроваиия зпюр Л1° для основной системы
простых балок с эпюрой Mg от лишних неизвестных —
опорных моментов.
Аналогично определяются опорные моменты для
вариантов временной нагрузки. Прн этом пересчета
значений с и с", а также знаменателей выражений для
неизвестных не требуется. Пересчитываются только ве-
личины А и А', а также числители выражений для не-
известных. Этим путем определено:
I вариант: М^—19,0 7м; Мя=—9,18 Тм-, 4=
—1,18 Тм; 4—21.3 Тм;
11 вариант: 4 =—21,65 Тм; 4=—18,5 Тм; Л1,=
—3,14 Тм; М,=—8,29 Тм.
Пример 6.6. Для той же балки определить числа
влияния и построить л. в. опорных моментов Mi и Мг,
усилий Mt,,il} и Qo.«G и опорной реакции К.
Числа влияния определяют по формуле (5.192) и
табл. 58. Главные числа влияния равны величинам, об-
ратным эиаменателям общих выражений для неизвест-
ных. Напрнмер:
6„ =- —=- 0,0318 =- 318- Ю"Л
31,45
(’.:=-Т717Т=-313 10-',и т. Д.
Таблица (матрица) чисел влияния, увеличенных в 10‘ раз
№	1	2	3	4
1	-318	76,1	-16,0	4.92
2	75,1	-313	66.6	—20,55
3	—16,0	66,6	-227	69,8
4	4,92	—20,55	69,8	—214
Числа влияния дают значение неизвестной непо-
средственно по грузовым членам, минуя определение
величины А н А'. Например:
4 = вгр 1>п + вар 5и + агр	f>u =
= (-1027-75,1 + 901,3-313 - 696,7-66,6 +
+ 1139,2-20,55) 1(Г* =— 18,2 Тм.
Эпюра М с опорными ординатами, равными числам
влияния, дает л. в. для подвижной фиктивной нагруз-
ки (см. пуиитнриую эпюру на рис. 5.59, совмещенную
с л. в. 4)- Если фиктивная нагрузка приведена к опор-
ным сечениям, то вычисление ее действия (установка
на л. в.) совпадает с вычислением 4 по грузовым
членам и числам влияния (см. выше).
Л. в. 4 для подвижной действительной нагрузки
строят как зпюру прогибов от пунктирной эпюры мо-
ментов. Общее выражение прогиба от опорных момен-
тов простой балки в сечеини с относительной абсциссой
имеет вид
М.Р . МВР
*--йг<5’-п+-ггг|Е-й
Для отдельных пролетов прн построении л. в. 4
это дает:
пролет 1
°"’ =b‘li ' (*6 -=6'2 '• ' =
=75,1- 1(Г4-6,5-8,67 (е- Ь®);
пролет 2
=75,1 -10-’-8-8 ( - V’) -313- Ю-^-в-в (б—S3);
St. БАЛКИ
263
Таблица грузовых членов (и примеру 5j6)
•» с	Постоянная нагрузка			Временная нагрузка				
	формула	числовое значение в Тм*	грузовые члены	формула	I вариант		II вариант	
					числовое значение	грузовые члены	числовое значение	грузовые члены
	*1'1.2 Г	1 1 t 1 * fl 1 1	483.2 543.8 543.8 357,5 357.5 339.2 339.2 800,0		*	Г	»	Г «•	Ю	Юм	м Illi	1 •Р *"	*1»? . 1-^	®|“ъ 1	... f м 1	1 <л» 1 Mb 1 л 1	1 - ь I	8 Io.	и~ '•Г- л *».++	+	+	+ аТ,	® 1“	®|w	о, lot 3>IS сп *	*.•*-	*.	*Ь	*Ь	'Ъ * *	* *	w	кэ	к>	t ьГ*	gT"	ыГ*	К!>“" сГ“»	’•	кэ*"*	707.0 0 0 494.0 494.0 0 0 1125.0			
2 3 4 5	F	Г»	»	Г- я,	J 11	м|	1	II	1 -:	-li-li	-ii-li	-li-li	-1 J»"	у	---	«-	- 8|«	8|»	®|в	w|«	gjs	sis	“ ” '	о	зР	кР кР •»•»***	, * м	СяГ"	кГ	ю	" “	—	•>. -		№ ж Z.H-R.- -= 1139,2			Z..+R,- -= 707,0 5,+Л,- — 494,0 Уйг Ж	860.Б 868.5 480.0 480.0	£-+а§.*- Ь+я.- — 480, U
Примечание. Попарное равенство грузовых членов от временной нагрузив связано с симметрией нагрузки в пролетах-
пролет 3
р<з>=_313-10_<5-10 (£' _ £'3) +
+66,6- KH-S. 10 (s — £’);
пролет 4
<^’=66.6-10~4-4.16 (Е' - Е'3) —
— 20,55-Ю-4-16 (5 — Е’);
пролет 5
р<«> =_ 20.55-10-4-10-10 (|'
На рис. 5.59 показаны построенные таким образом
л. в. М| и Мг.
Л. в. усилий в промежуточном сеченин £=0,41», £'=
=0,6 Zj построены по формулам:
ZHqi4j, =	+ 0,6Л1| + 0,4М2;
„ „о Л1, — Л<1
Qo,«, = ^0,4/, +	8 0
Л. в. М‘ п 0° для простой балки пролетом k пока-
заны иа рис. 5.59 пунктиром; главные ординаты их да-
ны в скобках.
Л. в. V, построена по формуле
Л. в. V, для пары простых балок 0—1 в 1—2 пока-
зана пунктиром.
Пример 6.7. Найти грузовые члены для деформаци-
онных воздействий иа балку: 1) при построении л. в.
JH04f и Qg 4l как эпюр прогибов от с. д. 0=Р* = 1 и
Г=/.*=1; 2) прн осадках опор № 0. 1, 2, 3, 4, Б соот-
ветственно на Од, О|, »з, Оз, о<, os; 3) при неравномерном
нагреве балкн па Z3 (нижние волокна) и 1, (верхние
волокна).
Свободные члены во всех случаях определяются как
опорные давления смежных пролетов от фиктивных на-
грузок:
°и₽ “ 6Ис ( ’ 4ЧЛ+,)) = + «„•
1)С.д. 6—1 рассматривается как фиктивный груз
₽♦— 1, с.д. Г—1 — как фиктивный момент L*—1. Уве-
264
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица грузовых членов (к примеру 5.7)
6.S. БАЛКИ
265
личеииие в 6Е/е раз опорные давления соответственно
равны:
L,=Oi К^ЪЕ/сС.б; Ц = 6Е1с0,4; Я2=0;
Li=0;
6Е/
8,0 :
6Е/С
8,0
/?> = 0.
Это дает грузовые члены
Оц, — Lj -(-	— 6Е/е-0,6;
о^р = Lj + Rt = 6Е/с0,4.
Аналогично:
6Е1С	6Е1е
а,р~ 8,0 1 а,р~ 8,0
Остальные грузовые члены равны нулю. Определив
неизвестные моменты	, Mt, строим эпюру про-
гибов по указаниям в примере 5.6. При построении
эпюры v в пролете /—2 необходимо учесть сосредото-
ченные деформации в сечении 0,4 12. Практически это
эквивалентно наложению л. в. М° и Q0 для простой
балки.
2)	Осадка n-й опоры иа ол рассматривается как
фиктивный изгибающий момент Л1~=оя. Этот момент
вызывает в основной системе опорные давления:
Это дает свободные члены уравнений:
6Е/Г
°п+1,р— I
‘л-Ц
Влияние осадок каждой из шести опор приведено в
таблице к примеру 5.7.
3)	Кривизна от неравномерного нагрева рассматри-
вается как погонная фиктивная нагрузка:
h
см-1.

Опорные давления
г*_. = у*=-ф"
Свободные члены
Опр — $Е1С
(Рп1п Р?+1*л-М
\ 2 +	2
Влияние нагрева всех пролетов см. в таблице к при-
меру 5.7 Для расчета иа случаи 2 и 3 необходимо иметь
фактическую величину модуля упругости и моментов
ниерцнн. а не только соотношение жесткостей отдель-
ных пролетов.
5.5.9. Неразрезная балка на упруго
оседающих опорах. Уравнение пяти
опорных моментов [65, 87, 88]
Если иеразрезиая балка (рис. 5.60) покоится иа уп-
руго оседающих опорах, например упругих поперечи-
нах, понтонах (наплавной мост) и т. п., то углы перс-
Рис. 5.60
коса пролетов ф непосредственно зависят от нагрузки
балки.
Податливость л-й опоры (осадка от единичного гру-
за, приложенного и опоре) обозначается е„ см/кГ. По-
датливость есть величина, обратная отпорностн:
Осадка n-й опоры (прогиб над л-й опорой)
’»=[^+Д(а,»+1-а,я)-
(5-,98)
Здесь — давление на n-ю опору в предположе-
нии шарниров над опорами.
Углы перекоса:
Разность углов перекоса нлн дополнительный угол
перелома с. д. над л-й опорой
=♦«+!-♦« = ~г~ ("м-i - %) ~
*п+1
(5199)
Пользуясь уравнениями (5.184а), (5.198) я (5.199),
можно определить опорные моменты последовательны-
ми приближениями. Прн весьма податливых опорах в
первом приближении приравнивают нулю опорные мо-
менты и из (5.199) находят фп+i—ф„. которые подстав-
ляют в (5.184а). При более жестких опорах сначала по-
лагают равными нулю осадки и нз (5.184а) находят опор-
ные моменты, которые и подставляются в (5.198) я
(5.199). В последующих приближениях пользуются дан-
266
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
иымн предыдущего приближения, каждый раз определяя
прогибы из (5.198) я моменты из системы (5.184а), при-
чем выражения для моментов представляются в развер-
нутом виде по формулам (5.188). Можно вводить в
уравнения только поправки (см. раздел 6). Процесс
продолжается до тех пор, пока последовательные вели-
чины М или v не будут отличаться незначительно.
Уравнение пяти опорных моментов получается путем
подстановки (5.199) в (5.184) и имеет вид:
Mn-2en,-o—г +	+ м„ ®л,л +
+ Mn+i6n.n+i +4,+2en.n+2 +% = °-	(5-200)
Значения коэффициентов О:

в - -+1 - -
П,,,+г	'n+l'n+2*
[ 4)+из+- -...(f ♦-£)+Пн	.
(5.201)
В случае равиопролетной балки постоянной жестко-
сти уравнение (5200) имеет вид:
"п-г ° + Л1»-10 - 4а) + Мп (4 4- ба) +
+ Мл+1 (1 - «а) + Л4я+. а------
"д' Ь"+‘----“(^-1 ~2^ + ^+i) l- (5.201a)
6E/e 6Е/
Здесь а— —^-=—; Q«, Q»+t — площади эпюр мо-
Р /’х
ментов от нагрузок, подсчитанные для простых балок с
пролетами п—I, л п п, п+1. Уравнение (5.201а^ отли-
чается вт «естественного» (5.200) множителем -j—. Это
следует учитывать пря определения чясел влияния.
В системе пятичлепиых уравнений первое и послед-
нее уравнения содержат по три неизвестных, второе и
предпоследнее — по четыре, все промежуточные — по
пять. Для решения обычно применяется метод Гаусса.
Другие приемы см. (142].
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ [58, 95, 64, 61, 39, 87]
5.6.1.	Общие положения
Основное назначение арок и простых (одноконтур-
ных) рам —служить несущей конструкцией покрытий в
мостов. Для арок характерно криволинейное, а для рам
ломаное очертание осп. Полигональные арки могут быть
отнесены как к аркам, так н к рамам. Для арок и рам
существенно возникновение наклонных реакций опор при
вертикальной нагрузке (распора). Это выдвигает до-
полнительные требования к грунту и устройству осно-
ваний. Дли мостовых сооружений, несущих большую
постоянную и временную нагрузки, важное значение
имеет выбор рациональной осн арки, позволяющий
свести к минимуму нагибающие моменты в сечениях
арки [50, 53, 64]. Первостепенное значение выбор рацио-
нальной оси имеет для каменных и бетонных мостов.
В гражданских и промышленных сооружениях очертание
металлических и железобетонных арок обычно выбирает-
ся по архитектурным или производственным соображе-
ниям с соблюдением общих принципов рациональности
формы осн, сводящихся к тому, чтобы изгибающие мо-
менты были как можно меньше, ииаче говоря, чтобы ось
арки была по возможности близка к кривой давления.
Последняя является огибающей равнодействующих
усилий в сечениях арки в имеет форму веревочного
многоугольника для нагрузок арки.
Бесшариирная арка или рама 3 раза статически не-
определима. Добавление каждого шарнира снижает сте-
пень статической неопределимости иа единицу. Чем выше
степень статической неопределимости, тем меньше гиб-
кость арки, тем больше температурные напряжения.
Трехшарнириая статически определимая арка свободна
от температурных и усадочных напряжений, если пред-
положить, что по толщине арки температура или усадка
распределена по линейному закону. В ней не возникают
также напряжения в случае осадки опор.
Расчет аркн начинается с вычерчивания оси, опре-
деления нагрузок, реакций и усилий. Далее следует под-
бор сечений и проверка прочности. В конце уточняют
собственный вес и производят окончательный расчет.
6.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
267
5.6.2.	Трехшарнирная арка
Реакции и усилия при постоянной нагрузке
На рис. 5.61,а показана симметричная, а иа рис.
5.61,6 —ползучая арка. Под Рг, Рг, L со зиачиамн *л»
и *пр» подразумеваются сосредоточенные нагрузки пли
равнодействующие нагрузок левой и правой полуарок.
Реакции пятовых шарниров А и В представлены верти-
кальными компонентами и компонентами, направленны-
ми по прямой АВ. При этих условиях каждый из ком-
понентов определяется самостоятельно из одного урав-
нения равновесия всей арки нлн полуарки: VA или VA —
из уравнения SMB=O; VB или —из уравнения
SAfj, =0. Эти уравнения составляются для всей арки;
определение реакций V и V" ничем ие отличается от
определения реакций простой балки. Нв или Нв опре-
деляются из уравнения SM^P=O для правой полуарки;
НА или Н А — нэ уравнения EAfJ =0 для левой полуар-
ки. Проверкой служат уравнения ЕХ=О и ЕК=О, со-
ставленные для арки в целом.
Для ползучей арки по компонентам реакций V и Н'
(рнс. 5.61, б) находят полные вертикальные н горизон-
тальные составляющие реакций:
^=^ + H^sinr, VB= V'B — WgSiny;
HA = HAC0SK HB = H'Bcosy.
Усилия в любом сечении т с координатами центра
тяжести хт, Ут.
изгибающий момент
Здесь [Л1т]. [QmJ. [Wm] — значения усилий для ирн-
волииейиой консоли А„ со свободным левым я защем-
ленным правым концами; аа — угол наклона оси арки к
оси х в сечении т.
При вертикальной нагрузке:
VA = V®; VB-Ъна-Цв-Н—2-.
Мт = К- Нут; Qm= Q®, cosam— flsin am.
Nm sin am-H cos am.
(5.203)
Здесь V°B, Af° и Q°—реакции и усилия, подсчи-
танные для простой балки; — изгибающий момент в
простой балке в сечении ключевого шарнира С; f —
стрелка арки — плечо ключевого шарнира С по отноше-
нию к прямой АВ.
Имея уравнение осн арки У“у(х), получают значе-
ния tga=y', а затем
1	У’
cos a =---, sin a =-------------------.
/1+у'»	У 1 + у'’
Эпюра М получается как линейная комбинация эпюр
№ и Ну, эпюра Q — как комбинация эпюр Q°cosa и
Н sin а, эпюра N— как комбинация эпюр <2° sin а и
Hcosa. Эпюру М целесообразно строить в масштабе
Тогда эпюра Ну превращается в эпюру у с ор-
динатами, отложенными от прямой АВ, совпадающую
с осью арки. Ординаты эпюры М получаются как раз-
ность между ординатами эпюры М° в ординатами оси
арки (рис. 5.62, а).
Mm=-VAx~m-HAym + [«„,];
поперечная сила
= VA COS ~ «Л sin “m + [<?„! J
продольная сила
ЛГ =— Уд sin а — //. cos а +	]
т л т л т 1 [ т} •
(5.202)
В случае параболической арки с уравкенпем оси
4/
Р = ^-х(1-х)=Ш';
/ = tga = -£-(l-2x);	(5.204)
268
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
при равномерно распределенной нагрузке получается
параболическая эпюра и прямолинейная эпюра Q°:
р	рР	Р
=	= Q» = y(l-2x). (5.205)
Здесь £=—:£'=—j—; ординаты эпюр М н Q обра-
щаются в нуль. Арка работает во всех сечениях иа цент-
ральное сжатие. При этом:
Кинематический метод (рнс. 5.64). Л. в. М„. Q„.
N„ усилий в сечеинн т строят как эпюры вертикальных
перемещений соответственно от единичных с. л. 0„ = 1,
Гт—I, Ат —1. На основе статнко-кннематической ана-
логии арка моделируется кривым стержнем (брусом) со
свободными торцами и тремя опорными стержнями в
местах шарниров, перпендикулярными плоскости крн-
va~vb =
Р‘ ,, РР
2 ’ 6f
N = — Н cos а = —
рР
SfVl + ^a
(5.206)
Для пологой аркп приближенно можно принять
Nrs—H. Фактически в параболической арке прн равно-
мерной нагрузке возникают небольшие моменты вслед-
ствие изменения формы арки в связи с обжатием осн.
При равномерном и нормальном к осн арки давлении
р кГ/пог.см длины осн изгибающий момент М„ и рав-
нодействующее усилие Rm= 0%, + вычисляются
по формулам:
Мт = f ( ₽0 + Pm):	<5.207)
Здесь р«—радиус так называемого узлового круга
[95]. В случае трехшаринрной арки узловой круг про-
ходит через три шарнира аркн; pm — радиус-вектор ис-
следуемого сечения т (рис. 5.62,6). Усилие Rm перпен-
дикулярно рп. Путем разложения Pm по направлениям
сечения и нормали к нему определяют Qm и Nm. В слу-
чае круговой арки моменты и поперечные силы равны
нулю.
Графическое определение реакций арки см. 2.1.5 и
2.2.2. Построение кривой давления (многоугольника рав-
нодействующих усилий) см. [119, 120).
Данные для построения эпюр в различных случаях
нагружения см. табл. 8.2.2—8.2.6. Данные для вычисле-
ния ординат оси см. табл. 8.2.1.
Рнс. 5.63
Липин влияния
Л. в. Уд и Ув ие отличаются от л. в. для простой
балки (рис. 5.63). Л. в. Н совпадает с л. в. Ме, но с
ординатами, уменьшенными в f раз (средняя ордината
надписана на рис. 5.63). Л. в. усилий строят на основе
формул (5.203). преобразованных к виду:
<2m=sinam(Qmd8“;-H):
Wm = -cosam(Q’tgam+«).
(5.208)
Сначала строят л. в. И, которая без изменений вхо-
дит в другие л. в. С ией алгебраически суммируют ба-
лочные л. в. AlJ, и Qm. умноженные иа соответствующие
коэффициенты. Затем все ординаты умножают на мно-
житель, стоящий перед скобками. Этот же способ при-
меняется в случае двухшаринриой арки.
внзны. Так как моделирующий брус и опорные стержни
абсолютно жесткие и обеспечивают неподвижность (ки-
нематическую определимость системы), упругого осно-
вания можно ие вводить. На рис. 5.64 о, б, в в точках А,
В, С вместо шарниров теперь подразумеваются опоры.
Используется система левого винта. От с. д. 0т = 1
(фиктивного груза, перпендикулярного плоскости черте-
жа) возникают фиктивные реакции опорных стержней
Тд, Тв, Тс, уравновешивающие 0т = 1 (рнс. 5.64,о). Из
уравнений моментов относительно прямой АВ
&т Ут 1 ‘Ут
С~ f f ’
Реакции Тд и Тв теперь определяются из уравнений
и ЕМ$=0 относительно вертикальных осей
(в плоскости осн арки), проходящих через Тв и тЛ.
Найдя Тд и имея тс, строят эпюру односторонних (типа
изгибающих ) моментов относительно вертикальных
’ Их нельзя просто назвать изгибающими, так как верти,
кальные осн нс лежат в плоскости сечений бруса.
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ 1..МЫ
269
Рис. 5.64
осей (т. е. осей, параллельных подвижной силе Р)
Практически задача сводится к построению зпюры изги-
бающих моментов дяя горизонтальной балки — проек-
ции по рис. 5.64, а' от фиктивных сил Рф=0«-1 (вниз)
и = -у5- (вверх). Л. в. Л^, совпадающая с эпюрой
v*m, имеет внд двух треугольников. Аналогично
строят л. в. Qm н А/„, прикладывая к моделирующему
брусу с. д. Гт=1 и А=1 (рис. 5.64.6,в). В этом слу-
чае из 2Мдв=0
в С получаются реакции тс =—~
и соответственно тс=—j— . Балка-проекция нагру-
жается в первом случае сосредоточенным фиктивным
. ф	. ,л sin Д>п
моментом £„-cosam и силой г£ = ~—.во втором
£ф	,14	105 gm
„ — sinan и силой VJ = —-—
(рис. 5.64,6', в'). Эпюры моментов балки-проекции
дают искомые л. в. 0™ и А™.
Указания об использовании л. в. Л. в. используются
наиболее широко при расчете мостовых арок. Помимо
усилий, отнесенных к центрам тяжести сечений здесь
применяются таиже ядровые моменты и л. в. ядровых
моментов. Момент относительно нижней ядровой точки
дает величину нормального напряжения в крайнем верх-
нем волокне, момент относительно верхней ядровой точ-
ки—в крайнем нижнем волокне (см. 5.2.6). Л. в. ядро-
вых моментов строят по тем же правилам, что и л. в.
изгибающих моментов, вводя вместо х„, у„ соответ-
ствующие координаты ядровых точек.
Указания о невыгодном загруженин трехшарннриых
арок временной нагрузкой см. табл. 8.2.3.
Эпюры углов поворота и прогибов арки
Эти эпюры для любой арки строят как эпюры фик-
тивных поперечных сил и изгибающих моментов бал-
ки-проекции, нагруженной соответствующими сосредото-
ченными и распределенными фиктивными нагрузками.
По сравнению с построением л. в. трехшарннриой арки
здесь в общем случае добавляются фиктивные распреде-
ленные нагрузки: силовая (р*) и моментная (т*).
Уравнение эпюры углов поворота
ч’л=о?=<г|-£рф-^₽* 6«-
(5.209)
Уравнение эпюры прогибов
о„ = М ♦ = Л$ + <?J х -J- S £Ф -1 рФ (х _ Оя) +
о о
4-|/лФЛ|—|рФ(х—и) du. (5.210)
Сосредоточенные фиктивные кагруэкн выражаются
через с. д. аркн:
₽* = в; /Л = Г cos a —Asina; (5.211)
распределенные фиктивные нагрузки — через деформа-
ции и усилия арки:
ф О М
р ------=	;
cos a El cos a
m* = Y-Xtga = -^-------^-tga. (5.212)
Ur у	СГ
Построение эпюр, перемещений для арки сводится к
тем же операциям, что и для балкн. Если /cos а—/0—
—const и положить tga—lgacp—const, то речь идет
о балке постоянного сечения.
В случае трехшарннриой арки угол взаимного пово-
рота сечений в ключевом шарнире (фиктивная реакция
тс=|^ - ес) вводится в уравнение прогибов (5.210)
как сила ₽♦ —тс. Как и выше, при построении ии-
флюеит, тс определяется из уравнения моментов фик-
тивных нагрузок арки относительно оси АВ.
Общее выражение угла относительно г0 поворота в
ключе трехшариирной аркн
тс = —вс=-у-^еу+У^гз!па+Vacoso-I-
+	+ J у sin a ds + J X cos a ds 4-
s	s	s
+ f-77	+ f-7^-sin ads +
J	,) ury
i	s
+J	cos adsj.	(5.213)
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
270
Из этой суммы выбираются нужные слагаемые.
Напрнмер, в случае воздействия температуры
вводятся только члены, содержащие О и Л, причем Or =
“«н —<в)
=------------; Л/ = а/ср. Остальные члены полагают
"«я
равными нулю.
Эпюры прогибов арок строят для назначения строи-
тельного подъема, для уточнеиня расчета путем введе-
ния деформированной осн, прн построении л. в. прогиба
ключевого шарнира трехшарнирной аркн и главным об-
разом прн построении л. в. усилий в статически неопре-
делимых арках. Каждая из этих л. в. получается как
эпюра прогибов некоторой балкн или, что то же, как
эпюра моментов некоторой фиктивной балки.
5.6.3.	Статически неопределимые арки
Универсальные формулы для усилий [87]
Расчет арок часто ведется методом сил с использо-
ванием упругого центра (вынесения неизвестных прн
помощи абсолютно жестких консолей). Пользуясь этим
решением, получают приводимые ниже формулы, позво-
ляющие представить результат в компактной и нагляд-
ной форме. Эти формулы получаются также непосред-
ственно на основе статико-кинематической аналогии.
Формулы охватывают определение изгибающих мо-
ментов. поперечных и продольных сил в любом сечении
бесшаринриой (трижды статически неопределимой), од-
ношарпириой (дважды статически неопределимой) и
двухшарнирной (однажды статически неопределимой)
упругих арок от действия силовых и деформационных
факторов (температуры, дислокаций) с учетом дефор-
маций от изгиба, поперечных и продольных сил.
Обычно расчет ведется ив действие сил (нагрузок).
Предварительно выбирается основная статически опре-
делимая система, например в виде криволинейной балки,
трехшарнириой аркн пли в случае бесшаринриой аркн —
в виде двух консолей, отделенных сквозным разрезом
в каком-либо сечении арки (чаще всего в ключе). Уси-
лия в основной системе обозначаются М°, Q°, №. Усилия
от действия лишних связей (статически неопределимые
усилия) обозначаются М*, Q*, N*. Если расчет ведется
только иа действие сосредоточенных нлн распределен-
ных деформаций (например, для построения л. в. или
яв воздействие температуры), то устанавливать основ-
ную систему нет необходимости, так как усилия получа-
ются независимо от основной системы.
Усилия в сечении бесшарнярпой арки произвольного
очертания (х, у — координаты центра тяжести сечения
в главных центральных осях эпюры гибкости аркв):
= <, + Л£.,-=
/ ₽♦	L* X
\ F* + /* У /* /
Ом, = <?’.» + <?х., = 05.р-
( I*	L*	\
— | ——cos а — —7- sin а 1;
\ /ф	/*	I
(5.214)
(5.215)
(/Ф	£Ф	\
—^-sina + —у-cos а I. (5.216)
/$	/♦	)
Здесь а — угол наклона касательной осн арки в сече-
нии к оси х (угол отсчитывается против часовой стрел-
ки от положительного направления оси х к касатель-
ной).
Статически неопределимая часть усилия М (взятая
в'скобки) выражается как фиктивное нормальное напря-
жение при сжатии с изгибом (внецентренном сжатии),
а статически неопределимые части усилий Q и N — как
уклоны плоскости фиктивных нормальных напряжений
вдоль осей у и х (или как повороты этой плоскости из
горизонтального положения относительно осей х н у).
Характеристики фиктивного ирофнля
Фиктивный профиль может быть представлач как по-
перечное сечение тонкостенного стержня или как план
подошвы ленточного фундамента. Средняя линия про-
филя совпадает с осью арки. Профиль характеризуется
погонной (вдоль средней линии) площадью (шириной)
1* =	, погонным собственным моментом инерции
относительно средней линии ij* = и погонным соб-
ственным моментом инерции относительно нормали к
средней линии «Ф =—7- -
Фиктивная площадь (гибкость)
/л=(^- = [/ФЛ.	(5.217)
Фиктивные осевые моменты инерции:
/Ф = Jy2 <*ds -f- j ij cos2 a ds +J 1$ sin2 a ds;
л	га, 2 ГА 2	(5218)
/Ф = jx2 fl ds 4- j i* sin2 a ds 4- J |*cos2ads.
•	$	I
Центр тяжести площади фиктивного профиля (центр
гибкости) определяется по общим правилам нахождения
центра тяжести площади:
5ф	и*
o=±i = 2________________ = i_____________	(5.219)
»» £ф	* ° £ф £Ф	’
Наклон главных центральных осей (в случае отсут-
ствия симметрии, что является редким исключением)
также определяется по общим правилам:
2/Ф
1820,=	.	(5.220)
/* — /*
Здесь фиктивный центробежный момент ннерцнн
/*, = J*»/* ds + у j( 1$ -sin 2a ds. (5,221)
1	«
Если пренебречь деформациями сдвига и удлинения,
то »$=rs*“0  определение характеристик '?• /?. /♦
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
271
ничем не отличается от случая тонкостенного профиля
с толщиной стенки <Ф=-^-(см. рамы) нлн случая лен-
точного фундамента на чисто вннклеровском упругом
основании (без учета отпорностн при повороте н круче-
нии).
Определение факторов Р&, L%,
На рнс. 5.65, а показана (в левой системе) с. д. +0
(излом осн) в виде скользящего вектора, направленного
за чертеж, а также с.д. +Г (сдвиг) и +Л (удлине-
ние) — в виде свободных векторов-моментов. На
рнс. 5.65,6 даны соответствующие фиктивная сила
рФ=0 н фиктивные моменты и L*. Моменты в фор-
мулах (5.214)—(5.216) считаются положительными прн
вращении вокруг осн по часовой стрелке. Прн переносе
вектора 6 в центр О* добавляются моменты L* -6»в
н £* =—0хв . Проектируя векторы-моменты Л и Г на
осн х, у, получаем в соответствии е правилом левого
винта моменты, вращающие как показано на рис. 5.65,6:
Z.J = Л cos а + Г sin а, £* = Л sin а—Г cos а.
Прн наличии нескольких с. д., а также распределен-
ной деформации, в том числе и упругой:
= Е 0 + J » ds + j М» i* ds;
*	*	'I
1*=ЕвРв + Ел cos а Ч-Ersina-I-
+ j Оу ds + j" A cos a ds 4- j у sin a ds +
«	s	а
СМ» С №	Г О’
t* =— £ 6xe + E Л sin a —Ercosa—
— j (htds + J Asin a ds	—Jycosads —
a	s
СМ» C № .
— I -~ xds + l —— sina
cos ads.
Выбирая отсюда нужные слагаемые; получают зна-
чения РФ, £♦, L® для любого случая. Например, для
построения л. в. М, Q, N, как эпюр прогибов, берут
соответственно 6—1, Г—I или Л—1, все остальные чле-
ны полагают равными нулю. В случае равномерного
нагрева беруг слагаемое, содержащее А, полагают A—at
(a — коэффициент линейного расширения), все осталь-
ные члены отбрасывают. При расчете на действие на-
грузки предварительно определяют усилия ЛР, Q9, №
в основной системе и вычисляют соответствующие ин-
тегралы, содержащие этн усилия. Остальные слагаемые
отбрасывают:
Определение опорных моментов и опорных реакций
Координаты центров тяжести левого и правого опор-
ных сечений в главных центральных осях эпюры гибко-
сти по абсолютной величине обозначаются через Сл, Ал
нсв, Ав.
Рис. 5.65
Опорные моменты равны:
М, = Л1“+ЛГЛ = М°-
J* \
у ГФ /Ф л /Ф А Г
,ИВ=Л1° 4-ЛГв = Л<°-
/рф 2?. 21 \
\ /Ф в /Ф с“)'
(5.223)
Опорные реакции, параллельные осям х, у в направ-
ленные одинаково с ними:
I?	£Ф
л А	/* в в	/♦
Л	£?	„	£ф
«л = «°л + ^
(5.224)
Если за основную систему принята шарнирно опер-
тая по концам криволинейная балка с пролетом, парал-
лельным оси х, то Alj—Л/g — Н°в —0. При наличии снм-
метрнв сл—Св—1/2.
Прн вертикальной нагрузке Яд——Нв—я.
Равномерно распределеннап вертикальная нагрузка.
При очертиннн оси по параболе второй степени в пред-
положении недеформнруемости арки от действия про-
дольной силы изгибающие моменты н поперечные силы
равны нулю тан же, как в в случае трехшарнирной ар-
ки. Учет обжатия арки дает дополнительные моменты,
которые иногда приходится учитывать.
Равномерное нормальное давление. Так же как
и в случае трехшариирной арки, изгибающие моменты
получаются при помощи узлового круга по формуле
(5.207).
272
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Радиус узлового круга и координаты его центра в
главных центральных осях гибкости аркн вычисляются
по формулам:
(5.225)
jxp’H'ds
j ypT<*dS
Здесь p« / x*+y’ — радиус-вектор точки осн: р«
равен полярному радиусу инерции площади гибкости ра-
мы. Центр узлового круга лежит на оси симметрии аркн.
Прн выводе этих формул деформации сдвига и удлине-
ния не учтены, см. [95J.
В случае круговой аркн центр узлового круга совпа-
дает с центром осевого нруга.
Данные для расчета двухшарнириых и бесшарннр-
ных параболических арок см. табл. 8.2.7—8.2.11.
Линии влияния усилий в бесшаринриой арке
Л. в. усилий М, Q, N в любом сеченнн арон строят
как эпюры прогибов от с.д. В-1, Г=1. Л=1 в том же
сеченнн. Этим способом можно построить все л. в., не-
обходимые для расчета иа прочность. Достаточно по-
строить л. в. для лишних неизвестных, число которых
равно степени статической неопределимости системы,
оста чьные л. в. можно получить как линейные комбина-
ции л. в., построенных для статически определимой (ос-
новной) системы н л. в. лишних неизвестных.
Бесшарннриая арка трижды статически неопредели-
ма. Достаточно построить три л. в. На рнс. 5.66. а. б, в
даны л. в.: 1) изгибающих моментов Мл, Мв. Мс (ос-
новная система — трехшарннрная арка); 2) усилий
Qtk No в сеченнн О абсолютно жесткой петлн, мысленно
присоединенной к двум торцам, отделенным разрезом
по осн симметрии (основная система — две консолн);
3) усилий Mt, Qt, Ne в сеченнн О мысленно введенной
абсолютно жесткой балкн, заменяющей пятовые защем-
ления (устои) аркн (основная система — криволинейная
балка на двух опорах).
Л. в. строят по уравнению (5.210) исходя из гранич-
ных условий -0, <г* —'И* "0 (свободные кон-
цы фиктивной балки). С.д. задаются, а распределенные
фиктивные нагрузки определяют по усилиям М, Q, N от
с. д., пользуясь формулами (5.214)—(5.216). Этн усилия
наиболее просто определяются для вариантов 1 и 2, так
как координаты хе. н угол а обращаются в нуль.
Преимущество варианта I состоит в том, что все л. в.
Мл. Мв. Мс непосредственно используются для расче-
тов прочности.
Под номером 4 показан также внд л. в. М„, Q«,. Nm.
Л. в. см. табл. 8.2.11 в конце.
Данные для построения л. в. параболических бесшар-
ннрных арок см. табл. 8.2.11.
Использование общих формул для расчета одно-
н двухшарннрной арок
Одношарннрная арка двукратно, а двухшарннрпая
арка однократно статически неопределимы. На рнс. 5.67
показаны три аркн н надписана степень нх статической
неопределимости. Шарнир рассматривается как элемент
аркн с бесконечной большой гибкостью иа изгиб. Шар-
Рис. 5.67
5.6. АРКИ И ПРОСТЫВ РАМЫ	____________ 273
ннру аркя отвечает жесткая опора взаимного бруса.
Центр гибкости совпадает с шарниром, гибкость аркн
рФпэ со.
Прн наличии двух шарниров не только F* = oo, но
также /J= оо, поскольку ось х соединяет шарниры.
Формулы (5.214)—(5.216) для бесшаринриой аркн
(рнс. 5.67, о) справедливы и для одношарннрной арки,
если принять F*- «о, н для двухшаринрной, если при-
нять F*~/^=«>. В первом случае главные центральные
оси имеют началом шарнир (рнс. 5.67.6). во втором
случае практически существенна только ось х. пересека-
ющие оба шарнира (рнс. 5.67, в). Формулы для опреде-
лсиия усилий и реакций соответственно упрощаются. Ха-
рактеристика гибкости бесшарнярной аркн F*, /?, /J
используются при расчете одно- и двухшарнирной арка
путем перехода к новым осям.
Упруго защемленная ариа
Упруго-податливые опоры рассматриваются как ко-
роткие вертикальные продолжении тела аркн с сосредо-
точенными характеристиками гибкости.
Податливостью опоры называется ее перемещение,
соответствующее единичной силе. Податливость опоры
А прн действии момента обозначается F$ 1/кГсм. прн
действии опорного давления 7$, см/кГ, при действии
распора /&, см1кГ. Аналогично — для ояоры В с пере-
меной индекса А на В. Предполагается, что податливо-
сти опор заранее определены. Величины Fg, /Js, 7^$-
/$п, 7^, учитываются в качестве сосредоточенных ха-
рактеристик гибкости прн вычислении F*, /J, /J.
В остальном метод определения усилий М, Q. N остает-
ся без изменений.
5.6.4.	Двухшарннрная арка
Отличают двухшарннрные аркн без затяжки
(рнс. 5.68, п) и с затяжкой, которая может лежать иа
уровне пятовых шарниров нлн быть повышенной
(рис. 5.68,6). Согласно 5.6.3, общее решение для трех-
кратно статически неопределимой аркн с защемленными
пятами пригодно и для однократно статически неопре-
делимой двухшаринрной аркн. Достаточно считать осью
х прямую АВ н принять F*=/J=oo.
На основании (5.214)
=	(5-226)
7* определяется по формуле (5.218), причем интегриро-
вание ведется по дуге АВ: L} определяется по форму-
ле (5.222). Прн наличии затяжки к величине 7? следует
л	7,
прибавить податливость затяжки „ _ , а к величине
L% — относящиеся к затяжке слагаемые:
<3
Рис. 5.69
Обычно в качестве основной системы выбирают кри-
волинейную балку, получаемую путем перерезания опор-
ного стерженька В (рнс. 5.68. п) нлн самой затяжки
(рнс. 5.68,6). При этом ffa-ff-O. Усилие Нв или Н
называется распором н считается положительным прн
направлении, указанном на рнс. 5.68 (сжатие для опор-
ного стерженька, растяжение для затяжки). Общая
формула для распора
7*
tfe=H = ~-	(5.227)
В обозначениях метода снл эта формула имеет внд:
Xt =—Д1р/бц. Очевидно,
Д.₽=-^; /?=бц-
Расчет начинается с определения распора 77. Даль-
нейший расчет нс отличается от расчета трехшарннриой
арки. О расчете на равномерную вертикальную и гидро-
статическую нагрузки см. 5.6.2. Данные для расчета
усилий в параболических двухшарннрных арках см.
табл. 8.2.7—8.2.10.
Л. в. распора Н получается как эпюра вертикальных
прогибов арки от действия единичной дислокации Л,—1.
Прн этом
Н = -~.	(5.228)
/J
Эпюра М от Н совпадает по форме с осью арин,
энюры Q н N совпадают с эпюрами sin а н cos а. Соот-
ветствующая эпюра упругих прогибов, получаемая по
274	РАЗДЕЛ s- СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
уравнению (5.210), в отлнчне от треугольной л. в. рас-
пора трехшарннрной аркн, имеет вид плавной кривой.
Л. в. усилий Мт, Q„, получаются путем комби-
нирования л. в. Н с л. в. М%,, Q°, №т при помощи фор-
мул (5.208). На рнс. 5.69 показаны две л. в. (ср.
с рнс. 5.63).
Непосредственное построение л. в. усилий М„, Q„,
Nn кинематическим методом сводится к построению
эпюр прогиба от действия единичных с. д.
вп"1. Г„ = 1, Ат = 1 в сечении т. Для этого также ис-
пользуется уравнение (5.210).
Данные для построения л. в. параболических двух-
шаринрных арок см. табл. 8.2.8.
5.6.5.	Упрощенный расчет двухшарнирных
н бесшарнириых параболических арок
Расчет параболической аркн упрощается н сводится
к использованию готовых формул, если момент ннерцнн
сечення следует закону
cos а ’
(5.229)
где 1с — момент ннерцнн в ключе.
Рис. 5.70
Уравнение осн арки в осях х'/ (рнс. 5.70)
(5-230)
Тангенс наклона касательной н осн х	
4/ /,	2х'\	(5.231)
Тангенс и косинус угла наклона в пятовом	сеченин:
1вал=4р,	(5.232)
	1	(5.233)
}/1-|-16|1»	
f Г1№11 = —.	(5.234)
Толщина аркн в пяте при прямоугольном сечении К	
»л=лу I + 16M*.	(5.235)
где й0—толщина в ключе.
Для указанных законов гибкость получается равной:
F* =
(5.236)
что соответствует гибкости балки пролетом I с постоян-
ным моментом инерции сечений равным /«
Статический момент гибкости относительно осн х* и
расстояние центра гибкости относительно этой осн:
С yds Г yds_______2_	/1
J El “J Е1е ~ 3 £//
S	5
(5.237)
.	2
м>“7Г—з'-	(в.азз)
Дальнейшие упрощения получаются, если наряду с
допущением / cos а=/е пренебречь деформациями удли-
нения и сдвига, положив EF~GFt— со.
Моменты инерции гибкости:
4 - 4 • ТГ- (5.239)	= 4 • ТГ. (5-240)
15 Е1с	45 t,lс
®и'> Ч-^а; |5-М!|
= (5-243)
Фиктивные грузы и фиктивные моменты Z.J1. а
следовательно, и фиктивные реакции тА и т» и абсцис-
сы фиктивных грузов вычисляются как для простой бал-
ки пролетом I н жесткостью Е1С. Табл. 8.1.3 пригодны
и для параболической арки. Фиктивные моменты отно-
сительно горизонтальных осей вычисляются по фор-
мулам:
f	/
I
= E/^$M°X'(l~X’)dl!':	(5 24i)
0
A CM0 yds I C
L$=	=— M»ydx =
J El	E!e J
«	l
0.5/
J	K!BI
—5,5/
Входящие сюда интегралы вычисляются как неслож-
ные комбинации статических моментов н моментов ннер-
цнн эпюр М° относительно вертикальных осей у7 нлн у.
Эпюры М° строят как для простой балкн, откладывая
ординаты по вертикали.
Вместо величин фиктивных моментов L® и L* удоб-
но пользоваться координатами фиктивного груза Р*. ор-
динатой уе н абсциссой хе. Имея нх, определяют
L« = P* у*, 1* = -Р* хе.
Частные случаи нагрузок. 11 Вертикальная
сила Р на расстоянии и=У и 1—и=у от опор.
«.ко-РЦГ (рнс. 5.70).
6.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
275
Фиктивный груз
2Е1е '
(5 246)
Абсцисса фиктивного груза хд =	. где х, — абс-
цисса силы Р. Ордината фиктивного груза
уе = у IE* (1 + ЗЕ') + Е'" О + ЗЕ)]: (6.247)
2 ’	4	*	4 ‘
ГФ_ Рр .
24Е/ ’
.	7	I ,4
хе=1Г': Гв=-1Г: Se = T,:
(5.252)
, 2 г
Уе~Уе~ f-
(S.248)
Если сила Р приложена вдоль оси у, то
Л4ЫВ1О =
Р1
4
. рФ =
РР	.5
6Е1„ 1	6 Л
f
Уе=Т-
2) Равномерно распределенная сплош-
ная вертикальная нагрузка р кГ на I пог. м
р$д	рР
проекции арки. МЕ= у;	.
4) Равномерный нагрев нлн охлажде-
ние на ±t°.
Результирующий фиктивный груз равен нулю. По-
этому фиктивные моменты при помощи координат фик-
тивного груза выразить нельзя. В данном случае
L$=a«°; L* = 0.	(6.253)
Равномерный нагрев эквивалентен перемещению опо-
ры внутрь по горизонтали на величину ил— a IP
нлн ив—a IP.
^=12ЕГ'' ?ё=Т/= »е=-уЛ (6-249)
JZC/f	и	ю
3) Нагрузка, равномерно распределен-
ная иа части пролета а — от д'-c до x'—d.
'’-йН’в'-тг)' &2Ж>
= pat ЕЕ'(1 +Е) _ раэ<Е . »’=	6Е7е	24Е/е ’ -ь(£-^М	(5.251)
с®	f , —	' J- хе~ р9  хб=х©“ 2 J	
.	&	.	2 , »е= р№ ! Уе"°Уо~ 3 7-	
Частный случай — нагрузиа занимает левый полу-
пролет:
Учет обжатия
Влиянием деформаций сдвнга пренебрегают во всех
случаях, за исключением каменных и бетонных мостов
большого пролета. Учет деформаций удлинения (корот-
ко—обжатия) приводит к уменьшению распора и уве-
личению изгибающих моментов. Для пологих арок обжа-
тие учитывается прн вычислении величины 7* и ие учи-
тывается прн вычислении 7* и грузовых членов L*. L*.
На величины F* н Р* ни сдвиг, ни обжатие вообще не
влияют.
С учетом обжатия
$
Здесь через 7J обозначено значение /J без учета
обжатия [см. формулу (5.240)].
р
Для упрощения выкладок принимается Е= —5— ,
cos а
где Fc — площадь сечення арки в ключе
f cos’ads 1 (•
J ~F-------=
P  , 4f nl
“^SrC,g —=
Значения л следующие:
IP	1/«	1/S	1/6	1/7	1/8	1/9	1/10	1/15	1/20
п	0.785	0.843	0,881	0.911	0.931	0.942	0.9S2	0.971	0.999
Для бестарифной арки
Для пологи apo* принимают л-1. Формуле (5.254)
придают вид:
/♦=7*(l+vn); v = ——.	(5.256)
'	45 Е/в '	6	4?
(5.257)
276	РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Для двухшаринрной арки
7ф
15 Е1е ’
(5.258)
Для двухшарнирной арки с затяжкой
15 (Л. , £/с \
V’ 8/«	"+£,£,)
(5.259)
Здесь Еа, F, — модуль упругости материала н пло-
щадь сечення затяжки.
Готовые формулы для различных случаев нагруже-
ния и построения л. в. параболических арок см. табли-
цы раздела 8.2.
5.6.6.	Одноконтурные (простые) рамы
[65, 87, 40]
П-обраэные и замкнутые рамы рассчитываются на
основе общих приемов расчета арок с теми упроще-
ниями, которые вытекают нз ломаного очертания осн.
В первую очередь этн упрощения связаны с возмож-
ностью во всех случаях пренебречь упругими перемеще-
ниями от удлинения и сдвига по сравнению с переме-
щениями от изгиба.
Статически определимые рамы
Статически определимые рамы чаще всего встреча-
ются в качестве основных систем при расчете статически
неопределимых рам. Статически определимые рамы мо-
Рнс. 5.71
гут быть тнпа ломаной консолн, ломаной балкн иа двух
опорах нлн трехшарннрной рамы. Определение усилий
(построение эпюр) консолн начинается от свободного
конца; определение перемещений — от защемленного
конца, который в фиктивной конструкции выступает
как свободный конец. В случае ломаной балки сперва
необходимо определить реакцию хотя бы одной нз опор
Прн определении перемещений — соответственно фик-
тивную реакцию (угол поворота). На рнс. 5.71 даны
эпюры М для ломаной балкн от действия горизонталь-
ной силы.
Трехшариирная рама рассчитывается по правилам,
указанным в 5.6.2. Расчет по методу замены связей по-
казан на рис. 5.72. Сначала рама заменяется другой
статически определимой (основной) системой, более
удобной в смысле простоты построения эпюры М, в дан-
ном случае — двумя стойками, защемленными инжнвм
концом, я шарнирно опертым на нх верхние концы ри-
гелем. Строят эпюру моментов М° для основной систе-
мы (рис. 5.72,0). Затем вводят неизвестные дополни-
тельные реакции (иля другие усилия) Мл, Ул и Нл,
которые подбирают так. чтобы окончательные нагибаю-
щие моменты в трех шарнирах А, В, С были равны ну-
лю. Момент Мл определяется сразу: 1) Мл—
реакции Ул и Нл найдутся нэ условий: 2) УлХс—
—НлУс+М^—0; 3) УлХе—Нлув+М'^ —0.
Дополнительные моменты от Мл, Ул. И л подчине-
ны закону плоскости. Это дает возможность построить
окончательную эпюру М графически (рнс. 5.72,6). Про-
должают ось ригеля до пересечения с прямой А'В' в
точке D. Проводят прямую DC’, что дает трапецеидаль-
ную эпюру от спорных моментов ригеля. Точки Е и F
соединяют с точками А' н В'. Окончательная эпюра за-
штрихована. Общее правило: строят статически возмож-
ную эпюру М°, откладывая ее аппликаты перпендику-
лярно плоскости рамы, затем срезают аппликаты новой
начальной плоскостью так. чтобы окончательные момен-
ты в шарнирах были равны нулю (известны трн точки,
через которые проходит эта плоскость). Аппликаты, от-
считанные от новой начальной плоскости, откладывают
в плоскости рамы в виде ординат от осей стержней
н получают окончательную эпюру моментов.
Пример 5.8 (рнс. 5.73.0). Плоская ломаная консоль
нагружена в своей плоскости равномерно распределен-
ной нагрузкой. Построена эпюра М, ординаты которой
отложены от растянутого волокна. Интенсивность фнк-
М
тнвиой нагрузки в каждом сеченнн равна —.
Не прибегая к изображению фиктивной конструкции
(консолн, защемленной правым концом н нагруженной
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
.  ' 	277
посередине
фиктивной нагрузкой перпендикулярно своей плоско-
сти). определяем результирующие фиктивные грузы. Они
равны площадям эпюр моментов, разделенным на EI.
н расположены в точках осн, соответствующих центрам
рРЛ
тяжести эпюр. Груз ©i =	_. действует
pPs
стойнн Л, груз ©2= g действует иа
s/4 от жесткого узла. Векторы фиктивных
правляют в соответствии с правилом левого винта: если
расстоянии
грузов на-
Активные фиктивные грузы равны:
1_____2_ рР рР s
l~ EI ’ 3 S 32 “ iSEI 1
„	1 s р‘г	pPs П П pPs
*	EI	' 2 ’ 16	32Е1	’	32£/	’
Для определения горизонтального перемещения пра-
вой опоры можно фиктивных реакций в шарнирах А
Рнс. 5.74
М — положительный прн обходе контура по часовой
стрелке, то груз направляется от наблюдателя, если от-
рицательный — то к наблюдателю. В данном случае мо-
менты отрицательные на всем протяжении консоли,
поэтому грузы в, и в2 направлены к наблюдателю.
Прогиб в направлении осн у равен моменту фиктивной
нагрузки относительно этой осн. Вектор момента (а
значит, и прогиб) откладывается в такую сторону, глядя
с которой, увидим вращение по часовой стрелке:
3 , pPh , pPh 3
о = ©, / + ©, — I = —-1 +	• — I (вниз).
Угол поворота правого конца
pPh pPs
Ф = ©i + ©э = —— + . (по часовой стрелке).
Пример 5.9 (рнс. 5.73,6). Ломаная балка несет на
левой половине равномерно распределенную нагрузку.
Ординаты эпюры М здесь отложены от сжатого волок-
на. Так как изгибающие моменты всюду положительные,
фиктивные грузы направлены от наблюдателя (за чер-
теж) н изображены кружками с крестиками.
и В не определять. Перемещение ив равно моменту
фиктивных грузов относительно оси АВ:
h „ 2	„ 2
“в — ®з j +вз з А + взуй=
5 pPsh
= ^’"^“(ВП₽аВ0)-
Прогиб в коньке определяется после нахождения тл.
Так как вертикальное перемещение шарнира В равно
нулю, то момент фиктивных грузов относительно вер-
тикальной оси, проведенной через В, равен нулю:
3	2 I
^-е1Т'-вгТ'-взТ' = о.
3 рР s
Т/- 64 EI '
Вертикальный прогиб конька равен моменту одно-
сторонних фиктивных грузов относительно вертикальной
осн, проведенной через конек:
/ л I л /	5 p/»s ,
’-’АТ -®1 т-в. мГ • ТГ(ВНИЗ)-
278 РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Прогиб конька равен фиктивному изгибающему мо-
менту посередине пролета горизонтальной балкн проек-
ции от действия фиктивной нагрузки, определенной для
ломакой балкн.
Пример 5.10. На рнс. 5.74, о показана Г-образная
консоль, нагруженная в своей плоскости силой Р, по-
строены эпюры М, N, Q н найдены фиктивные нагрузки,
равные площадям соответствующих эяюр, деленным на
жесткости: на рнс. 5.74. б —та же консоль, нагружен-
ная перпендикулярно своей плоскости (см. ниже 5.6.7).
В обоих случаях даны величины прогиба конца консолн
по направлению силы Р с учетом всех деформаций.
Статически неопределимые рамы
Как и в случае аркн, изгибающие моменты от дей-
ствия лишних неизвестных получаются по формуле сжа-
тия с изгибом или, что то же, по формуле внецентрен-
ного сжатия фиктивного профиля фиктивной нагрузкой.
Формула для полного изгибающего момента в точке х,
у по варианту внецентреиного сжатия имеет вид:
м*.в=м^.у+^.у =
=к»-
'le
7* + t s+ /♦ х
.(5.260)
Здесь	МО.?—изгибающий момент в основной
системе;
М- „— изгибающий момент от лишних
неизвестных;
f*. /*. /ф — геометрические характеристики
гибкости рамы;
в —фиктивные грузы, получаемые
как плошали эпюр М° с орди-
натами, уменьшенными в £/ раз;
Уе— координаты фиктивных грузов.
Для перехода к формуле (5.214) достаточно подста-
вить
Ее = Рф; £©ув = Еф; Евхв=—Еф.
Определив изгибающие моменты в трех сечениях
(обычно пятовые моменты и момент в коньке), находят
усилия N н Q в этих сечениях, пользуясь уравнениями
равновесия рамы в целом и одной из полурам анало-
гично определению реакций в трехшарннрной арке.
Прн расчетах следует пользоваться табл. 8.3.11.
Последовательность расчета выясняется на примере.
Пример рамы с параболическим ригелем (рнс. 5.75).
За единичную жесткость принимается величина £/« в
ключевом сеченин.
Гибкость рамы складывается нз гибкости ригеля,
гибкости двух стоек и податливостей оснований стоек
прн повороте. Находим эти величины, увеличенные в £/,
раз:
£4 = / + 2Л'4-2е.
Здесь
где А» — коэффициент отпорностн основания; /л — мо-
мент ннерцнн подошвы фундамента.
Обычно поворотом фундамента пренебрегают, стой-
ка считается жестко защемленной, е=0.
Положение центра гибкости:
4 = 111-	~ = у V - * к ~ 2«Л;
,	3$.
»о="^--
Рис. 5.75
Моменты инерции гибкости:
/ф = — +2(Л'4-е)(—У= —
к 12	^.2^	12
(Л'4-е)Р
2
= //ЧуЛ'Л’ + геЛ2;
1Э	о

Основная система получается путем включения шар-
нира в левом опорном узле ригеля и горизонтально под-
вижной шарнирной опоры в нравом опорном узле ри-
геля.
Эпюру М| ригеля при вертикальной нагрузке ригеля
строят как для простой балки. Эпюра показана на
рис. 5.75, внизу. Фиктивный груз и его координаты опре-
деляются по формулам (5.252):
рР	1	4 ,
24 ’	16 ’ У*~ S S°
(здесь yt берется с учетом его знака).
Эпюра стойкн получается в виде кубической па-
p,h’
раболы с максимальной ординатой —;—. Фиктивный
О
груз н его координаты:
1	2	I	3
e,= -^hh> 'э=-т; yt—уЛ+»о-
Третий фиктивный груз приложен к левой пяте:
„ Р»Л*	*
еэ = —е; *3=у; »з=-Л + »о-
Подстановка этих данных в формулу (5.260) дает
величины М,., во всех сечениях. Расчет ничем не отли-
5.6. АРКИ И ПРОСТЫЕ РАМЫ
279
чается от определения напряжений в колонне, нагру-
женной несколькими эксцентрично приложенными про-
дольными силами.
Упрощения в расчете геометрических характеристик
гибкости /=♦, /♦, /* и фиктивных нагрузок
Вычисление указанных характеристик тождественно
с вычислением действительных характеристик F, h, I,
профиля с толщинами стенок = —.
тонкостенного
Целесообразно использовать метод редуцирования пло-
щадей (см. 5.2.3). который переходит в метод редуци-
рования гибкостей отдельных брусьев и рамы в целом.
Гибкость каждого бруса — редуцируется к трем точен-
Е//
2 lt
ным гибкостям — посередине длины стержня — • — ,
3
по концам —— и ——. Этя гибкости берутся увелв-
оЕ/{ оЕ/<
чеииыми в 6Е4 раз н получаются равными 4lt, le п lt.
На рис. 5.76, а показана асимметричная рама с на-
грузками, иа рнс. 5.76.6 — ось рамы с нанесенными на
ней черными точками н надписанными около них вели-
чинами редуцированных гибкостей *. Пользуясь точеч-
ными гибкостями, определяют положение фиктивного
центра тяжести О* и главных осей гибкости О*. 0$
н характеристики:
l*=Zy76F* и /^Ех’дР».
Увеличенные в 6Е!С раз фиктивные грузы равны про-
изведениям изгибающих моментов М° в сечениях, совпа-
дающих с точечными гибкостями, на величины точечных
гибкостей. Прн этом моменты, растягивающие внутрен-
нее волокно (положительные), дают фиктивные грузы,
направленные от наблюдателя, а моменты, сжимающие
внутреннее волокно, — к наблюдателю. Способ является
совершенно точным при соблюдении следующих усло-
вия: 1) стержни должны иметь постоянное сечение;
2) эпюры ЛР в пределах отдельного стержня должны
быть прнмолинейные или параболические второй степени
без скачков и переломов. Поэтому границы стержней
следует брать совпадающими с точками приложения
сосредоточенных снл и моментов иля с границами рав-
номерно распределенных нагрузок, как это сделано в от-
ношения ригеля на рис. 5.76,6. Точность способа при
несоблюдении этих условий, например при погрузках по
треугольнику, эквивалентна точности приближенного вы-
числения определенных интегралов го формуле Симпсо-
на с тремя ординатами. Для повышения точности доста-
точно заменить стержень двумя стержнями. Стержни
переменной жесткости заменяются несколькими стерж-
нями постоянной жесткости.
Числовые примеры расчета симметричных и несим-
метричных одноконтурных рам при неподвижной на-
грузке и построение л. в. см. (87, гл. III].
Справочные данные см. I изд. табл. 8.3.11.
6.6.7.	Бесшарнирные аркн и рамы под
нагрузкой, перпендикулярной нх плоскости
Усилиями являются крутящие моменты Мь, изгибаю-
щие моменты М и поперечные силы Q. Бесшарннриая
арка (рама) трижды статически неопределима. Осво-
бождая один конец, превращают систему в статически
определимую консоль, строят эпюры М° и Q°h на-
ходят фиктивную нагрузку, которая в данном случае
лежит в плоскости системы. Пример для Г-образной
консоли показан иа рнс. 5.74,6. Фиктивными моментами,
зависящими от Q (третья эпюра), как правило, прене-
брегают. Прн нагрузке в плоскости изгибающие момен-
ты от лишних неизвестных определяются как фиктивные
нормальные напряжения но формуле внецентреиного
растяжении — сжатия. Подобно этому здесь крутящие
н изгибающие моменты от лишних неизвестных опре-
деляются как фиктивные касательные напряжения т*
н т„ по формулам направленного сдвнга (см. 5.3.2).
Общие формулы для Мд, М, Q в любом сеченнв ар-
ки имеют вид:
' Ригель представлен а виде двух стержней длиной а по при-
чине. указанной ниже.
280
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ma=ai;+ai;=
(рф	рф	£Ф \
* “d.cos а± “drsin	А f
г* г* /* J
М = Л4° + Л1* =
/ рФ рФ	/Ф X
=М°— I ±~;sina±-T cosa±—£-rs I.
\	Fy	/?	/
(5.261)
£*
Q = Q’ + Q,=Q±—-	(5.26Г)
Нуликом отмечены усилия в основной системе от за-
данных нагрузок, звездочкой — от лишних неизвестных.
Геометрические характеристики — фиктивные направлен-
ные площади fj, и направленный полярный момент
инерции if вычисляются по формулам раздела 5.3.2,
причем погонные величины соответственно равны:
я-тг <5-262>
Проекции равнодействующей фиктивной нагрузки яа
главные оси сдвига обозначены Pf, pf; момент относи-
тельно центра сдвига С* обозначен if. Знаки ± в фор-
мулах (5.261) показывают, что направления векторов rf
и т„ прн вычислении скобок должны быть взяты по
смыслу. Переход к усилиям (моментам М* и JM*) де-
лается затем в соответствии с правилом левого винта,
поскольку и для нахождения фиктивных грузов исполь-
зуется это правило.
5.7.	СЛОЖНЫЕ РАМЫ [17, 29, 40а, 45,65, 72, 76, 87]
5.7.1.	Классификация методов
Расчет простой или сложной статически неопредели-
мой стержневой системы, для которой нет готовых фор-
мул, начинается с расчета другой системы, отличающей-
ся от заданной числом связей и называемой основной
системой. Связей в основной системе может быть мень-
ше нлн больше, чем в заданной, одни связи могут
быть отброшены, а другие дополнительно введены. Важ-
но, чтобы основную систему можно было рассчитать,
пользуясь известными методами нлн справочными дан-
ными. Рассчитав основную систему от заданных силовых
или деформационных воздействий (температуры), учиты-
вают дополнительные воздействия, связанные с различи-
ем между заданной и основной системами.
Всякая отброшенная связь должна быть возмещена
усилием в ней. некоторой силой нлн группой сил (такие
силы называются групповыми, иногда — обобщенными),
приложенной к основной системе, пропорциональной од-
ному параметру, подобранной так. чтобы действительное
(полное) перемещение по направлению отброшенной
связи было равно нулю. Всякая дополнительно введен-
ная связь должна быть возмещена принудительным пе-
ремещением по направлению этой связи (иначе с. д. свя-
зи), подобранным так, чтобы действительная реакция
дополнительной связи была равна нулю. Этот подбор
осуществляется в обоих случаях путем решения линей-
ных алгебраических уравнений, составленных на основе
принципа сложения действия снл н малых деформаций,
верного для достаточно жестких упругих систем, пере-
мещения в которых существенно малы по сравнению
с геометрическими элементами.
В соответствии с тремя методами выбора основной
системы и факторов, согласующих основную систему
с действительной, иля основных неизвестных различают
три метода расчета:
а)	метод сил, когда основные неизвестные являются
усилиями:
б)	метод перемещений, когда основные неизвестные
являются перемещениями;
в)	смешанный метод, когда одни неизвестные — уси-
лия, другие — перемещения. Все шире внедряемый в рас-
чет рам метод начальных параметров также относится
к смешанному методу.
Таблица 5.9
Рекомендуемые методы для некоторых статически
неопределимых систем
Система	Основной метод	Конкурирую- щий метод
Неразрезная балка на жестких нлн уп- ругих опорах Рамная эстакада (закрепленная) Рамная эстакада (свободная) Однопролетная мно- гоэтажная симмет- ричная рама: симметричная на- грузка антисимметричная нагрузка Многопролетная многоэтажная рама Арочно-рамная си- стема без затяжки или с затяжкой Комбинированная система с большим числом стержней Ферма	Метод снл (ме- тод уравнений трех млн пяти мо- ментов) Метод переме- щений То же » Метод сил Метод переме- щений с примене- нием последова- тельных прибли- жений Метод снл То же	Метод сил (ме- тод уравнений че- тырех моментов) Смешанный ба- лочный метод Метод снл Точное решение прн помощи вы- числительных ма- шин Метод переме- щений. смешан- ный метод
Система уравнений метода сил выражает условия
совместности деформаций частей действительной систе-
мы в местах устраненных связей. Система уравнений ме-
тода перемещений выражает условия равновесия частей
действительной системы в местах введенных связей. Си-
стема уравнений смешанного метода состоит из двух
групп уравнений, нз которых одни выражают условия
совместности деформаций, другие — условия равно-
весия.
Наиболее общим и распространенным методом явля-
ется метод снл в его классическом аналитическом ва-
рианте, когда выбирается статически определимая основ-
ная система.
57. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
281
Рис. 5.77
Метол перемещений и смешанный метод применяют-
ся чаще всего дли расчета многоконтурных рам прн
условии пренебрежения упругой деформацией от дей-
ствия продольных и поперечных сил. Основными систе-
мами соответственно является совокупность жестко за-
щемленных по концам балок нлн совокупность шарнир-
но соединенных простых балок (балочный метод).
Выбор метода диктуется стремлением по возможно-
сти уменьшить число совместно решаемых уравнений
и этим снизить неизбежное накопление ошибок. Из двух
балочных методов метод перемещений всегда требует
решения меньшего числа уравнений. Однако уравнения
смешанного балочного метода составляются проще, н,
решая их, непосредственно получают усилия, необходи-
мые для расчета на прочность. В табл. 5.9 даны реко-
мендуемые методы для некоторых типов сложных стати-
чески неопределимых систем.
Построение л. в. Независимо от метода расчета л. в.
любого статического фактора, как всегда, может быть
получена двумя способами: 1) как сумма л. в., построен-
ной для основной системы, и л. в. основных неизвестных,
умноженных на некоторые коэффициенты влияния;
2) нак эпюра прогибов заданной системы от действия
соответствующих с. д.
Первый способ применяется для серийного построе-
ния л. в., второй — для построения небольшого числа
отдельных л. в.
6.7.2. Расчет рам по методу
трех н четырех моментов [29]
Этот способ представляет собой применение метода
снл н смешанного метода прн основной системе в виде
совокупности простых балок. Он близок к расчету мио-
гопролетиой нераэреэной балки. Порядок расчета в ос-
новные зависимости, используемые прн составлении
уравнений, выясняются на примере чстырехпролетион
эстакады с консолью (рнс. 5.77,а). Все узлы предпола-
гаются жесткими. О — шарнирно неподвижная либо
шарнирно подвижная опора. В первом случае эстакада
называется закрепленной, во втором случае — свобод-
ной. В закрепленной эстакаде сила торможения переда-
ется на опору, что облегчает стойки, зато нагибные тем-
пературные напряжения в стойках (от удлинения риге-
ля) возрастают.
Заиреплеявая эстакада
Основная система образуется путем постановки шар-
ниров ио концам отдельных стержней (исключая кон-
соль). Если в узле жестко соединено л стержней, то
шарниров берется л—1. В данном случае целесообразно
включить шарниры в ригель, непосредственно слева
и справа от узлов. Шарниры включены также в нижнем
защемлении стоек. Во всех шарнирах приложены неиз-
вестные усилия в виде групп равных и противоположно
направленных моментов (так называемые угловые мо-
менты). отмеченные двумя индексами. Момент в шарни-
ре 4 и внизу всех стоек отмечен одним индексом. Изги-
бающие моменты считаются положительными, если вы-
зывают растяжение нижнего волокна ригеля и правого
волокна стойки. Моменты вверху стоек получаются нэ
условий равновесия моментов, действующих на жесткий
узел:
^л.л' ^л.л-f-l	^л.л—1»
^1.Г=^12— ^10» ^2,2'= ^23—^2Г
М3 3. = М34 — М32; м4(4, = — м4 + М4.
(5.263)
282
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Здесь А1$ — опорный момент консоли. В данном -слу-
чае AlJ---Р..
Поскольку имеется опорный стержень 0—0", основная
система является неизменяемой и статически определи-
мой. Эпюры моментов от заданных нагрузок строит как
для системы простых балок.
Типовое уравнение, связывающее угловые моменты,
выражает условие неразрывности деформаций для жест-
кого «угла>, состоящего из двух стержней, например
стержней ik и Ат (рис. 5.77,6). Оно содержит в общем
случае четыре момента, а в частных случаях — три и
два момента: А-е уравнение имеет вид
*) Mj* 'г* + 2Afw + 2Al*m l/m + Mmk ^Itm ~
----(Чг + ЯдЛ-бИсОи-Фи)- (5.264)
Все обозначения соответствуют 5.5.7. Вторым Ян-
дексом отмечается противоположный конец стержня.
При закрепленной раме углы перекоса ф равны нулю
или наперед заданным величинам, вычисленным по
осадкам опор или температурному удлинению ригеля
или стоек. Поэтому число уравнений равно числу неиз-
вестных усилий н весь расчет отвечает методу сил.
Обозначая длины стоек через At...А» и углы пере-
коса стоек через ф1..............ф«, получаем следующие урав-
нения.
Нижние защемления стоек (наблюдатель правее
стойкн):
угол I':	2Л11.а; + (Л412-Л110)й; =
угол 2': 2Му h2 + (ТЙ23 —	=
= —	— 6Е/,
.	.	ч ,	(5.265)
угол З'г 2ЛТЭ» Лэ + (М34 — J Л3 —
= -/?3,-6£/cfe
угол V:	2М<, h\ + (Л14 + Ре) А4 =
= -Л4,-6Е/еф4.
Если стойкн не нагружены и не перенашиваются, то
моменты внизу стоек равны половине моментов вверху
стоек с обратным знаком.
Ригель слева и справа от стоек (наблюдатель внутри
угла):
угол 0—1—Г:
2Л1ю '01 “ 2 (^12 — «ю) А1 —	А1 =
“-Ью-Км'-бИДф.-Фю);
угол 7'—1—2:
At -)- 2 (Л112 — 7Ию) А| + 2УИ|2 1|2 4*
+ ^21 '12 = — Ц,!'- «|2— б«'с(^12~ *1);
угол /—2-Z:
Л1|2 '12— 2Л<2| 7)2—(^23 — ^21)^2
— Л42. = — Aji— Rj,2<— б£/с (Фг— Ф2*):
(5.266)
угол Z—2—3:
ТИ2' А2 + 2 (^23 — ^21) А2 4" ^23 'Й 4"
+ М32 /23= — '-2.2-—«23— 6«'с(Фа—’Рз)-
угол 2—3—Д'— аналогично 1—2—2 с уве-
личением всех индексов иа единицу;
угол 2—3—4 — аналогично Z—2—5;
угол 3—4—4’:
A*3< <34 + 2Л14 '34+2 (^4+ Рс) h4 — MV Л4=
= - 143 - «4.4' - 6Е'г (ф4-tn)-
Решеиие проводится в следующем порядке. При по-
мощи (5.265) выражают моменты внизу стоек через
моменты вверху стоек, например:
Му
Яг+6Иеф,
(Ми-ЛЫ--------7-^—;
2
1	7?2'+6«c*2
M2i =—	(Л4ез — ТИу)—	,
*2
(5.267)
и подставляют эти значения в (5.266). Уравнения для
углов между элементами ригеля и стойками превраща-
ются в трехчленные, содержащие только моменты ри-
геля. Эти уравнения решаются по правилам, указанным
в 5.5.8. Обратной подстановкой в (5.267) находят мо-
менты внизу стоек.
При незагруженных и неперекашнвающнхся стойках
трехчленные уравнения получаются сразу из (5.266):
достаточно зачеркнуть слагаемые, содержащие моменты
внизу стоек, а при моментах вверху стоек (вида
(Л1ц—Л1|0)] заменить множители Л через ’/«А.
Имея моменты в ригеле, определяют поперечные си-
лы в нем, а также продольные силы в стойках, на-
пример
Л13=^+^»^,мм.	{Б 268)
>34	‘в
Величина Н3 равна сумме давлений простых балок
2—3 н 3—4 от местной нагрузки на опору 3.
Вертикальные реакции в нижних защемлениях стоек
равкы продольным усилиям в стойках с добавлением
собственного веса стоек.
Горизонтальные реакции
Н3 = Н*+ "зт-М^-Мз. ит (5 269)
fig
Имея эти реакции, определяют поперечные силы вни-
зу и вверху стоек, например
0з',з = "з; (?э,з'=0з'.з — «а-	(5.270)
Усилие а опорном стержне 0—0" получается из урав-
нения проекции на ось стержня сил, действующих иа
отрезанный ригель (рнс 5.77, в):
И = <21.1- + С2.2' + <?3.3' + С4.4' + «34 <Я» в- (5-271)
Определив Н, находят продольные силы иа всех
участках ригеля. Например
A23 = W-Q1.1.-Q2,2<	(5-272)
Б.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
283
Свободная эстакада
Стержень 0—0" отсутствует, ио мысленно вводится
для образования геометрически неизменяемой основной
системы. Дополнительной неизвестной является горизон-
тальное перемещение узла 0, обозначаемое и, или, что
то же. воображаемое удлинение стержня 0—0". Допол-
нительное уравнение выражает условие равновесия го-
ризонтальных сил, действующих иа ригель без участия
силы Н, нлн, что то же, условие аннулирования усилия
в стержне 0—0".
Система упапиеинй (5.265)—(5.266) остается без из-
менений. но в углы перекоса стоек вносятся добавки,
зависящие от перемещения и:
♦i = ♦’ + —; ♦а = ♦’ + —;
«1	"»
пи	пи	‘б-273»
♦з = $з+ . ; ♦4=^4 4" . •
«а	"4
Здесь ф°— наперед заданные значения углов пере-
коса стоек, подсчитанные для основной системы.
Окончательные уравнения получаются трехчленными
относительно моментов М, ио каждое из них содержит
также неизвестную и. Чтобы использовать простоту ре-
шения чисто трехчленных уравнений, рекомендуется сна-
чала найти усилия от заданных нагрузок и температуры
в предположении и—0, т.е. для закрепленной эстакады,
н получить из уравнения (5.271) величину Н. Затем те
же уравнения решаются в предположеиин, что все на-
грузки и нагрев (охлаждение) отсутствуют, ио u—I. Это
значит, что отличными от нуля свободными членами яв-
ляются только углы перекоса стоек и они равны:
♦1 = 4-; ♦,= 4-; ♦» = -?—. --------------7-.(5.274)
Л]	Ла	Л4
Имея усилия от u "1, определяют величину Н. Значение
и равно:
и
и-----(5.275)
П
Остается просуммировать усилия первого расчета
с усилиями второго, предварительно умноженными иа
найденную величину и.
Аналогично ведется расчет при наличии двух (и
большего числа) дополнительных неизвестных. При этом
значения щ, u> получаются из совместного решения
уравнений, выражающих аннулирование усилий в допол-
нительных связях:
Н1 + Ни«1 + «1эи. = 0;|	(5 276)
Нх + ни "I + Йа. "а = °-1
Простая балка переменного сечения как элемент
основной системы
Концевые углы поворота выражаются формулами:
<4 = Т»+^Л+Л1вА;
«в=4+л1л-^. + Л1яА.
(5.277)
Здесь Тд=Ул, — фиктивные реакции—кон-
цевые углы поворота от заданной местной нагрузки или
неравномерного нагрева. — моменты инерции эпю-
ры гибкости относительно концевых осей ул и ув, пер-
пендикулярных осн балкн.	1—/$ =$2
I—/J— так называемый комомент инерции гибкости,
выражаемый через статические моменты и моменты
инерции эпюры гибкости относительно осн ул либо от-
иосительно оси у в- При El=const /5 = /^ =	,
/лв = ср/ 11 получаем обычные формулы:
Ч -т*	Л.М4.
л Л	3£/	6£/ ’
’в — '*а +
МА1 I МВ1
6EI ЗЕ/
Уравнение четырех моментов в случае стержней пе-
ременного сечения. Вместо (5.264) имеем
М№ — + МЫ — +	+ МпЛ-^- =
'№	*fc7i
---(& + < + ♦*„-♦»)•	(5.278)
В случае балок с вутамн используются формулы
(5.264) с коэффициентами из табл. 8.1.18.
Ступенчатая стойка
(рнс. 5.78)
Мысленно вводятся подбалкн пролетом А. н А.. Кон-
цевые углы поворота подбалок от местных нагрузок
Рис. 5.78
в пределах нх пролетов определяются как для балок
постоянного сечення н обозначаются тл, т" и т£, Тд,
Определяется опорное давление подбалок в точке С,
равное U%+U*c.
Изгибающий момент в стойке в сечении С
«0=^6 4-^)-^ •	(5-279)
284
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Прогиб стойки в сечении С
Концевые углы поворота стойки:
Здесь т’= V* = e°-p-;
(5.282)
Ломаная или криволинейная балка
(5.281)
4 = 11 = 6-^.; и°в = еРУв;
/*. 1% — моменты ннерцнн эпюры гибкости стержня
относительно осей ул н ув,
/*в—комомеит ниерцнн эпюры гибкости стерж-
ня вычисляется по формуле
‘Ъа И 1%в — центробежные моменты гибкости относи-
тельно осей Хв и у л либо ув (по абсолют-
ной величине);
7^—момент инерции гибкости относительно оси
Хи.
Рис. 5.80
Отдельные балкн, составляющие основную систему,
необязательно должны быть прямыми, они могут быть
ломаными (рнс 5.79) и крнволнисйными. Их рассматрн-
Рнс. 5.79
вают как прямые балки, но с учетом влияния «продоль-
ной силы» (по существу — распора) на концевые углы
поворота. Кроме того, учитывается влияние «удлинений»
(упругого измеиення пролета ломаной балки) на углы
перекоса. Прн этом дополнительные уравнения будут
зависеть не только от усилий, ио и от линейных пере-
мещений.
Формулы для концевых углов поворота н изменения
пролета имеют внд:
*А = 4	Мв~~~ +H-f- :
Ч = 'в + МА— +MB-jr+H
(5.283)
— “в — “в + Л|АХ
/ф	/ф
x-^+mb-^- + hi*.
Прн несимметричной форме осн ломаной балки для
вычисления моментов н номомеитов ннерцнн гибкости
следует применять метод редуцирования гибкости
(см. 5.2.3). При симметричной форме можно получить
все величины пересчетом исходя из значений F^, /*, /*
для главных осей (см. табл. 8.3.11). Формулы для вы-
числения величины н положения в* см. также
табл. 8.3.11. Для параболической балки см. также 5.6.5.
Использование формул ломаной балки для расчета
рамы с защемленными пятами. Приравнивая тл. тв
н ив нулю, получают три уравнения, содержащих неиз-
вестные опорные моменты Мл и Мв н распор Н рамы
с защемленными концами. Этот способ, отвечающий ме-
тоду сил, избавляет от нахождения центра и главных
осей гибкости, но требует решения трех уравнений
с тремя неизвестными.
Уравнение четырех моментов с учетом распоров
Мц, 4" + Ми, ~~ + м„т -т- +	+
»-
*ik	lik	*km	**m
, „	, ,, Фп,т
+ ПЦ,—-----+	—-----=
----(*W+ < + ’!’*"-*«)•	(5.284)
Здесь обозначения 1^л.т соответствуют цент-
робежным моментам инерции 1%А, 1%в для пролетов
ik, km.
Уравнение трех моментов для иераэрезной балки
с пролетами в виде параболических арок с затяжками
Уравнение имеет внд (рис. 5.80):
1'„ (1 - у *л) + 2МЯ [ < (1- ~	+
Б.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
285
+ ,n+l(1- e *"+•)] +
+ «п+1 Ci+1 "4” *<Ч-1 j = —	— ^п-	(5-285)
Здесь коэффициенты к зависят от жесткостных ха-
рактеристик арок и затяжек (см. 5.6.5 и табл. 82.7).
Грузовые члены определяются по формулам:
L=L„ — 2H„f„l- I
,	(5.286)
-2Я„+1 /в4-1 (n-H J
Таблицы для расчета трехпролетных рам см. [81а].
Зависимости между перемещениями
в уравнения равновесия в сложных случаях
При параллельных стойках установление соотноше-
ний между зависимыми и иезавнсимымн линейными пе-
ремещениями узлов или, что то же, между углами пере-
коса стержней достигается весьма просто. Точно так же
просто составляются уравнения равновесия ригелей го-
ризонтальных и наклонных: достаточно взять ось проек-
ций нормальной к стойкам. Прн непараллельных стой-
ках решение этих задач осложняется. Рекомендуется
определять соотношения между углами ф исходя из
условий замкнутости отдельных контуров скелета рамы,
а уравнения равновесия составлять иа основании начала
возможных перемещений (кинематическим методом).
а)	Для каждого замкнутого шарнирного контура,
прикрепленного к земле углы перекоса нерастяжнмых
стержней подчинены двум уравнениям:
Еф/соз((,х) = 0, £ф! cos ((,</) = 0.	(5.287)
Осн х, у могут быть взяты произвольно.
Если стержни получают заданные удлинения Л, то
в уравнения входят дополнительные члены:
2ф/ cos (Z.x) 4- 2Л sin (1,у) = 0; |
£ф/cos (1 ,у)-]-SA sin ((,у) = 0. J
Углы (I, х) н (I, у) отсчитываются от осн к стерж-
ню против часовой стрелки.
Углы ф считаются положительными при вращении
по часовой стрелке.
Для четырехугольного скелета (рис. 5.81, а) имеем
два уравнения для трех углов. Это позволяет выразить
два угла, например фп, фи, через третий фи- Целесооб-
разно взять ось х перпендикулярной стержню 23, ось
у — перпендикулярной стержню 34. Тогда в уравнениях
пропадают соответственно фи и фи и сразу получаются
выражения фи и фа через фи.
Другой способ в вершинах /, 2, 3, 4 прикладывают
четыре фиктивных груза (нормально к плоскости кон-
тура):
01 = Фи! 01 = фа — фи; вэ = фм — Фи;	= — фу;
Эти фиктивные грузы должны быть в равновесии.
Условие £0=0 удовлетворено. Остаются два уравнения
моментов. Беря ось 23, находим зависимость фм-
ft!
—Фи-?-и т. д. Прн наличии удлинений равновесие
Л4
соблюдается с учетом векторов-моментов Л в плоскости
контура.
Скелет иа рнс. 5.81,6 (без пунктирных опорных
стержней) имеет три степени свободы прн девяти стерж-
нях и трех независимых замкнутых контурах. Выбирая
произвольно три контура (другие варианты новых за-
висимостей ие дадут), например 12345, 5439867,
5467, составляют, как указано, 3-2—6 уравнений, свя-
зывающих 9 углов перекоса. За независимые параметры
принимают фи, фи, фз>- При этом оказывается, что
Фи и ф» зависят только от фи; фа н фи зависят от
Фи и ф«; фи н фя зависят от фи, фм. ф»
б)	Для получения дополнительного уравнения равно-
весия, связывающего моменты с нагрузкой, выбирают
в случае рис. 5.81, а состояние возможных перемещений,
задаваясь углом фи (или перемещением узла 2) и счи-
тая стержни недеформнруемымн. Уравнение работ на-
грузок и моментов, также рассматриваемых как нагруз-
ки, имеет вид:
ЕРДр + Е(МЛ — Мв)ф = 0,	(5.289)
конкретно:
Р (Фи/1 + Фи »») + (Л1ц — Ми) Фи +
+ (Ма - М„) фм + (М„ - М„) Фи = 0. (5.290)
Выражая ф» н фи через фи. как указано выше, н
сокращая на фи (иначе говоря, принимая фи—1), полу-
чают искомое уравнение равновесия.
В случае, показанном на рис. 5.81,6, таких уравне-
ний составляют три, принимая в качестве возможных
состояния:
1) Фп ¥ о. Фб< = Фм = О. 2) Фм * 0.
Ф12 = Фэ® = 0» 3) фэ» /" 0, фц = Фм = О’
286
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Этот способ применяется также прн расчете рам по
методу перемещений.
5.7.3. Метод перемещений [26, 29, 40, 65, 87]
Общие положения
Основная система метода перемещений образуется
путем неподвижного закрепления всех или некоторых
жестких узлов рамы. Для закрепления узла (бескоиеч-
о)
Рас. 5.82
ио малого плоского узлового диска) достаточно трех
связей: одной (моментной) связи, препятствующей пово-
роту, и двух (силовых) связей, препятствующих линей-
ным перемещениям. Когда пренебрегают упругими де-
формациями удлинения и сдвига прямых стержней, боль-
шое число линейных связей осуществлено заранее. Это
уменьшает число вводимых связей и вместе с тем число
неизвестных перемещений. Для обычных рам харак-
терно большое число неизвестных углов поворота узлов
н небольшое число линейных перемещений. Чем меньше
число линейных перемещений, тем аффективнее метод
перемещений.
Основная система представляется совокупностью пря-
мых, ломаных или криволинейных стержней (в отдель-
ных случаях), защемленных двумя концами либо за-
щемленных одним концом и шарнирно опертых на дру-
гом. Предпосылкой применения метода является наличие
или предварительная подготовка формул для усилий в
защемлениях указанных стержней, причем как от мест-
ных нагрузок или других деформирующих факторов, так
и от перемещений самих защемлений: эти усилия рааиы,
очевидно, силам, передаваемым от стержней иа узловые
диски. Имея указанные формулы, составляют систему
уравнений для основных неизвестных (перемещений),
выражающую условия равновесия узловых дисков, или,
что то же, условия аннулирования усилий во введенных
связях. Решив систему уравнений, возвращаются к фор-
мулам усилий в защемлениях в получают окончательные
зиачеиня этих усилий, после чего производится проверка
прочности стержней.
Обозначения и правила знаков. Конны стержня про-
извольно отмечаются буквами А и В. Наблюдатель зани-
мает положение, при котором конец A левее конца В.
Если не сделано специальных оговорок, принимаются
обычные правила знаков как для балок. На рис. 5.82, <1,6,
показаны положительные перемещения торцов фд, Од.
ид и фв, ив. Ив. положительные моменты защемления
Мл я Мв, положительные поперечные силы Qa и Qb
и положительные реакции Уд, На и Ув, Нв. Вспомога-
.	<j о
тельные величины — фиктивные опорные реакции т и тв
в простой балке иа двух опорах и фиктивный груз 6е,
направленный иа чертеж (прн левой системе коорди-
нат), отвечают положительным изгибающим моментам
М° соответственно нагрузке, направленной сверху вниз.
Формулы для усилий (реакций) защемлений
от местной нагрузки или заданной деформации
и перемещеанй торцов
I. Прямой стержень постоянного сечения с обоими
защемленными концами:
_,	4Е/	2Е/
Чз = «А + ф.4 — + Фв —-
VB~°A 6EI
4EI 2EI
МВ = МВ 3-<Гц— -Фа— +
. °в-°л 6EI
л лн. 6£/	6Е1 ,
Q* = С - ФА “]Г - Фв“]Г +
рв~ °а 12 Е/
+ Р Р 5
и, ЕЕ
«а=на’—г(“в-“а);
EF
ИВ = Н^+ — (ив-иА).
(Б.291)
Здесь Мд’ и Мв’ — опорные моменты балки с обои-
ми неподвижно защемленными концами; берутся из
табл. 8.14 в зависимости от местной нагрузки балки или
вычисляются по формулам (см. 5.5.2 формулы (Б. 142J]:
6.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
287.
(5.292)
в0 —фиктивный груз (приведенная площадь эпюры
М°). концевые углы поворота Тд и Тд— фиктивные
реакции:
в е°» о ®в°
^=—;^=—;
(?1‘э — поперечная сила в сечеинн х балкн с обоими
неподвижно защемленными концами:

(5.293)
Нд’, //д*—реакция защемлений, равные продоль-
ный силах в защемлениях (по абсолютной величине);
«Г=~т STx'1 =" Т SГж- (5 294)
Здесь х —абсцисса сечения, в котором приложена
продольная нагрузка Т. если она имеется.
Обычно упругой деформацией удлинения пренебрега-
ют, силы Т переносятся в узлы, и формулы для пл и
Нв ие используют, за исключением случая, когда речь
идет о затяжке.
2. Прямой стержень постоянного сечения с левым
(Л) шарнирно опертым я правым (В) защемленным
концом:

То же, прн правом (В) шарнирно опертом в левом
(Л) защемленном конце:
аг/
Мд = А1"д’ + фд —-
й-«г-Флт +
Здесь
Art’
3EI
3EI
(5.295')
Ъ~Фв +
ЗЕ/т”	п М'
-г-; «•’=<?;—:
VB~ °А
----j---= Ф — перекоса бруса (+ по часовой
стрелке);
3. Прямые стержня с аутами. Формулы и коэффици-
енты к ним см. первое нэдаине табл. 8.1.18.
4. Общий случай прямого стержня переменного се-
чения. Ось х совладает с осью стержни. Индекс р при
опущен.
Моменты защемления:
(5.296)
- С₽л ед + Фв св - °в + °л)-	(5.296')
Здесь F*. /♦— гибкость и центральный момент
ннерцнн гибкости балки; с л, св — расстояния центра
гибкости О* от концов А и В; в°—результирующий
фиктивный груз; xq—его абсцисса относительно О*
(эксцентрицитет).
Формулы (5.296) охватывают и случай одного шар-
нирно опертого конца, иапрнмер А. Тогда О* совпада-
ет с А; Е* — со; члены, содержащие <рд. отпадают. Если
шарнирно оперт конец В. то О* совпадает с В; Е* — оо;
отпадают члены, содержащие <рв. Если один конец бал-
кн жестко защемлен, а другой вертикально подвижной.
288	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
но не поворачивающийся, то в (5.296) следует положить
/♦=«. Такой случай встречается прн расчете симмет-
ричных рам с симметричной нагрузкой.
Пример 6.11. Определить фиктивную нагрузку от
заданных воздействий и найти характеристики гибкости
для ступенчатой стойки, показанной иа рис. 5.78.
Фиктивная нагрузка представляется в виде двух
грузов, по абсолютной величине равных фиктивным ре-
акциям и приложенных в тех же сечениях А и В:
е»=т»:е«=т».
Величины т° и т^ даны формулами (5.281).
Приводить фиктивные грузы 6д и 6^ к результиру-
ющему в*1 нет необходимости, следует учесть действие
каждого в отдельности.
Гибкость стойки
£/„ £/„
Координата центра гибкости, считая от точки С
вверх:
_*L______'£
_ 2Е/,	2£/„
С°“ й,	йв_ ’
Е1И + £/.
Расстояние О* от концов А и В:
сл=Лн + со: св=А.-со-
Центральный момент инерции гибкости
/Ф = /*-£* <5.
Величина /* дана формулой (5.282).
5. Общий случай ломаного стержня переменного се-
чения (рнс. 5.82,6). Моменты в защемлениях:
d"
( 1	hBhA	СА Св
Фв1 f +	/Ф	уф
\	х	V 
/Ф йд-	Сд;
*	*и
(5.297)
мв = -е°\ —
в If*
уе flB хвс,
/Ф + /Ф
л	и
~ Фв
Ал Ав
/♦
/гФ /Ф
/Ф
v
It
“в-“л. . °B~VA
/ф в /ф в’
X
(Ь.ЧЯГ)
Координаты хе, ув фиктивного груза О’, подсчитан-
ного для шарнирно опертой балки, берутся в соответст-
вии с нх знаком.
Координаты защемлений Сд, св. Ьл, йэ берутся по
абсолютной величине.
В случае симметрии используется табл. 8.3.11, содер-
жащая геометрические характеристики гибкости для
ряда простых рам и параболического ригеля.
Реакции защемлений:
va - ''л— /ф (в°хе + Фл сл + Фв св —
-’в + ’л);
VB = 1'в+т^' (в°хв + Фл СА +Фв св~
-ов+»л);
^л = «л +	(б® Se + 9л Ал ~ Фв Ав ~
(5.298)
-“в + “л):
^в = ^в~ ^ф (®°Ке + ФлАл ФвАв
-°в + “л)-
Частные случаи. Если одна нз опор, напрнмер А,
является не защемляющей, а шарнирно неподвижной, то
£♦=<», центр гибкости О* переходит в Л, слагаемые,
содержащие <рл, отпадают, AG-О. В остальном форму-
лы (5.297)—(5.298) остаются в силе. Об использовании
аналогичных формул см. 5.6.3. Особенность состоит
здесь в учете перемещений опор, эквивалентных сосре-
доточенным деформациям в концевых сечениях.
Формулы (5.297)—(5.297') получены путем разверты-
вания их первых строк. Прн этом учитывалось, что влия-
ние концевых углов поворота и прогибов эквивалентно
действию угловых и линейных с.д. в опорных сечениях,
в свою очередь приводящихся к фиктивным грузам и
фиктивным моментам.
Составление уравнений нз условий
равновесия
Число неизвестных углов ф равно числу жестких уз-
лов рамы (не считая опорных, для которых углы ф рав-
ны нулю нлн рассматриваются как заданные, иногда
буквенные, величины). Число неизвестных линейных
перемещений узлов (обозначаемых и, о или Д) при ус-
ловии пренебрежения упругой деформацией удлинения
равно числу степеней свободы шарнирного скелета ра-
мы. Наличие непрямого стержня (ломаного нлн криво-
линейного ригеля), для которого удлинением хорды
пренебречь нельзя, увеличивает число неизвестных ли-
нейных перемещений па единицу.
Каждое уравнение выражает условие равновесия в
перемещениях и «соответствует» определенному неиз-
вестному. Неизвестным углам ф соответствуют уравне-
ния равновесия моментов, действующих иа узлы. Ненз-
6.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
289
вестным линейным перемещениям соответствуют урав-
нения равновесия проекций снл, действующих иа узлы
по направлению перемещений. Вместо уравнений равно-
весия узлов часто целесообразно пользоваться уравне-
нием равновесия стержней нлн групи стержней. В осо-
бенности это относится к уравнениям проекций при не-
растяжнмых стержнях.
Чтобы использовать формулы для усилий в защем-
лениях А н В, каждый стержень рамы отмечается с од-
ной стороны пунктиром, который рассматривается как
нижняя сторона стержня (балки), если его привести
в горизонтальное положение. Левому концу мысленно
приписывается обозначение А, правому — В.
Угол поворота узла <р и внешний (заданный) момент
Д, действующий на узел, считают положительными при
вращении ло часовой стрелке. При составлении уравне-
ния равновесия как внешних, так и внутренних (со сто-
роны брусьев) моментов, действующих на узел, целе-
сообразно (но ие обязательно) писать со знаком плюс
моменты, вращающие против часовой стрелки.
Уравнение равновесия моментов имеет вид:
ZMB— 1 = 0.	(5.299)
В раме в виде сростка п стержней (рис. 5.83, л) един-
ственной неизвестной является угол поворота узла <р*.
Прн нанесенных пунктирах моменты Мы, Маа являются
моментами типа Мв. Моменты М»,. Мы — типа
Мл. Соответственно эти группы моментов (при положи-
тельных знаках) вращают узел в разные стороны (рис.
5.83, а, внизу).
Рис. 5.83
Подстановка в (5.299) значений Мы (1—1, 2, 4) а
MtJ (1—2, 5) в зависимости от характера опирания
конца дает уравнение:
£Ч4(?г
+ М + з/^ + ^1 +
V*.
+ Х М"м.1 ~ 2 М"’( - £» = 0.	(5.300)
Скобка с множителем 4 относится н стержням с за-
щемленным концом 1, с множителем 3 — к стержням с
шарнирно опертым концом /. При подсчете моментов
неподвижного защемления М*-‘ необходимо учитывать
характер опирания другого Конца.
Общая формула для ф*:
L-Em^3 + Em^
£ф» =
(5.301)
или
Е1сЧь =
t-Ему+Ему
(5.301')
Здесь Г = 1-*- (индексы 1, /—прежние).
В раме иа рис. 5.83,6 три неизвестных: углы поворо-
та узлов фэ и фа и горизонтальное перемещение узла
из (равное поступательному перемещению ригеля). Со-
Рис. 5.84
ставляются уравнения моментов для узлов 3 в 4 в
уравнение проекций для ригеля 3—4:
ЕМ,-О; ЕМ, = 0;
Соответствующие схемы действия положительных
усилий на узлы и ригель показаны на рис 5.83,6, внизу,
1) -М, + Мм-0.
2) -М4,-М«+М„=0.
Перемещение и, и силы, действующие на ригель, счи-
таются положительными, если направлены слева на-
право.
Прн составлении уравнения равновесия ригеля (так
называемого дополнительного уравнения) целесообраз-
но вводить со знаком «+» силы, действующие иа ригель
справа налево:
3) Qai + Qa — Qu — T = 0.
В уравнения 1), 2), 3) подставляются значения М в
Q по формулам (5.291)—(5.295).
Прн этом неизвестная щ входвт в усилия стержней
13, 24 н 45 соответственно в виде еи—ов; ом—t>B; ou—
-Ол-
Приведение подобных членов дает вскоыые уравне-
ния для фз, фь и».
Осадка опоры I иа заданную величину щ получает
отражение в величине Мм, куда вводится оИ“«>1. Рав-
номерный нагрев стоек дает ом—с*з в потому на усилия
ие влияет. Равномерный нагрев ригеля дает щ—ц8+
+а!Чм, что отражается на усилиях в стержнях 24 и 45.
Рама иа рнс. 5.84 при симметричной нагрузке содер-
жит пять неизвестных и требует решения пяти уравне-
ний. В общем виде эти уравнения н относящиеся к ним
схемы нагружения узлов и ригеля показаны на рисунке.
Усилия защемлений, выраженные через перемещения.
290
РАЗДЕЛ Б. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
получаются по формулам (5.291) и (5.297) с привлече-
нием геометрических характеристик гибкости параболи-
ческого ригеля. Подробный числовой пример см. [87].
При шарнирных сопряжениях ригелей со стойками по-
добную раму проще рассчитывать методом сил.
При непараллельных стойках осложняется установле-
ние соотношений между зависимыми и независимыми
перемещениями. Этот вопрос решается точно так же. как
и при расчете рам по методу сил или смешанному, когда
основной системой является совокупность шарнирно
соединенных балок (см. 5.7.2).
Развернутые формулы для составления уравнений
метода перемещений
Общий вид уравнения моментов в перемещениях для
узла к при прямых стержнях постоянного сечення (см.
рнс. 5.83,а):
eH‘2i+3St)+ i	i +2£/t 2f-6£/c 2^ ~ • u	I u -3£/cy^-£* + lM;_Af +	(5.302)
Здесь к — индекс уравновешиваемого жесткого узла;
( — индекс смежного жесткого узла (i—1, 2,
3. ...);
> —индекс смежного шарнирного узла О'—1. 2,
3....);
где 1с — произвольный, общий дли всего расчета
рамы момент инерции;
<Иь ф/—углы поворота исследуемого и смежных
жестких узлов рамы (+ по часовой
стрелке);
пв — ол
фь =—---------—угол перекоса стержни (+ по часо-
Чй
вой стрелке);
£»—внешний момент, нагружающий узел к
(+ по часовой стрелке);
—момент защемлении стержня в узел k;
— момент защемления в узел к конца
стержня Д соответственно прн защемле-
нии и при шарнирном опирании конца В;
!• ^*=А I — момент защемления конца стержня
В соответственно при защемлении и при
шарнирном опираннн конца А.
Рекомендуется оперировать с величинами перемеще-
ний, увеличенными в Е/« раз, т. е. £/со, Е1сь.
Общий вид уравнения проекций для части рамы,
лежащей выше разреза, проведенного на произвольном
уровне в пределах этажа, прн вертикальных стойках
(рис. 5.85):
— Е </„.„ + £ т=о.
(5.303)
Здесь «н>, «в» — индексы жестких узлов, лежащих
непосредственно ниже и выше разреза. Суммирование
Рнс. 5.85
распространнется на узлы всех стоек разрезанного
этажа;
к' — приведенные длины стоек разрезанного этажа;
ф— углы перекоса стоек; при отсутствии темпера-
турного нагрева все ф одного этажа равны в
выносятся за знак суммы;
QBB— значение поперечной силы в стойке, неподвиж-
но защемленной двумн концами, в месте разре-
за; знак определнетсн правилом, установлен-
ным дли балок, причем считается: низ балки —
концом А, верх — концом В; обычно нагрузки
стоек (напрнмер, давление ветра на крайнюю
стойку) разносят на нижний н верхний рнгелн,
что дает QHB —0, и с местной нагрузкой стой-
кн в общем расчете рамы не считаются;
ZT—сумма проекций нагрузок, приложенных выше
разреза на горизонталь (нормаль к стойкам).
Пря стойках, шарнирно прикрепленных иа одном кон-
це н защемленных на другом, уравнение проекций имеет
вид:
ЗИ-Х«-ЭВ-Х^-
-£Сн,в + 2Г = 0-	<5.304)
Индекс <р опушен, так как безразлично, какой из
двух узлов стойки прикреплен шарнирно, какой жестко.
Q", вычисляется для одношарнириой стойки.
Если одня стойкн защемленные, а другие одношар-
нириые, то уравнение записывается в виде суммы урав-
нений (5.303) и (5.304).
6.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
291
Канонические уравнения метода перемещений
для свободной рамной эстакады (рнс. 5.86)
Неизвестными являются углы поворота узлов ф„
(л= 1, 2,...) и горизонтальное перемещение первого узла
ригеля и. В качестве примера выписана система шести
уравнений для случая четырехпролетной (пятистоечной)
эстакады. Уравнения имеют вид трехчленных для углов
Ф с дополнительной неизвестной и во всех уравнениях:
1)	ф>‘11	+ ФЛ»	+ uriu	+ 'ip =	ft
2)	<JVn	+ 4Vta	+	ФЛэ	+ “‘эй	+ 'tp =	ft
3)	+ Ф/з!	+	ФУээ + Ф»гэ1	+ “‘эи	+ 'зр = ft
4)	+ ФУ43 + Ф4Г44 + ФзГ4Ь + Uffu + 'fp = ft
5)	ф<гм + Фб'М + “‘Эи + 'tp = ft
6)	Ф1‘и1 + Фзгл1 + 4Vлэ + Ф4‘и« + фзг из + шиь + 'up = О
<ГР = ‘w)
(5.305)
Типовое л-е уравнение имеет внд:
“) Фл—1 'пл— 1 "Ь Фл 'пл "Ь Фл+1 'п л+1"1"
+ игт + 'пр = °-	(5.306)
Коэффициенты типового уравнения для случая стержней
постоянного сечення:
главные коэффициенты
гл„ = 12Е/С V —г?----------1	(5.307)
*-> h„./in,
побочные коэффициенты
2E/f
— 4
2Е1С
'n.rt+l в ‘л+1,л '	*
‘.1+1
6Е/,
‘ли в 'ип х ,
Свободные члены
(5.308)
'пр =-L„-	+ М' п+1 - М’_а.;	(5.309)
'пр=~^.л'+2Г-	(5.310)
Решение уравнений с дополнительной неизвестной см.
(86). Подробные числовые примеры см. [87].
5.7.4. Распределение моментов
методом последовательных приближений
[15, 24, 35, 40а, 70, 77, 79,80, а также первое
издание 5, 8]
Метод позволяет получить опорные изгибающие мо-
менты стержней без предварительного нахождения уг-
лов поворота и линейных перемещений узлов. Защемим
и принудительно повернем жесткий узел на угол ф.
Отношенне части момента, приходящейся на стер-
жень, ко всему неуравновешенному моменту узла прн
его повороте называется коэффициентом распределения
-г тп
узловых моментов к = ——
, где т» — опорный момент
в защемленном стержне л, a Sm — реактивный момент
в защемленном узле прн его повороте. Прн постоянных
сечениях стержней с защемленными концами этот коэф-
фициент равен относительной погонной жесткости рас-
сматриваемого стержня Е1Ц, деленной на сумму относи-
тельных жесткостей всех стержней, сходящихся в узле
S—.
I
Отношенне поперечной силы в стойке рамы к сумме
поперечных сил стоек рассматриваемого этажа прн его
горизонтальном смешении на величину А называется ко-
эффициентом распределения поперечных снл. Для стоек
Ь'Х
постоянного сечения уп—-------— и прн одинаковой
In
длине стоек ув— . Момент в узле, вызванный ли-
нейным смещением узлов рамы, равен поперечной силе
рассматриваемой стойки, умноженной на соответствую-
щее ей плечо, которое для брусьев постоянного сечения
равняется половине длины стойки. Прн расчете несво-
бодных рам у=0-
Отношенне ыомента на противоположном конце
стержня к моменту в рассматрвваемом узле прн его по-
вороте иа угол ф называется коэффициентом переноса
Р. Для стержней постоянного сечення 0—0,5.
Правило знаков. Положительными считаются момен-
ты, вращающие узел по часовой стрелке. Отсюда следу-
ет, что прн повороте вследствие смещения оси стержня
по часовой стрелке в узле создается положительный
момент.
Пример 6.12. В раме (рнс. 5.87, а) буквами обозначе-
ны узлы рамы, цифрами — номера стержней. Относи-
тельные жесткости стержней указаны в кружках на схе-
ме рамы. Размеры даны в метрах, снлы — в тоннах. Все
расчеты (табл. 5.10) состоят из следующих операций.
292
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Рис. 5Л7
Таблица распределения моментов
Узлы	Л	L	м	G			Н			
Стержни	13	14	15	8	11	13	11	9	12	14
Г	-	-	-	0,17	0,55	0,28	0.28	0,11	0,44	0,17
?	0.332	0,400	0,268	0.335	-	0,332	-	0.445	-	0,400
Строки					11,25		—11,25		+5.00	
2	4-9,00	+10.00	+7,20	+5.00	—	+9,00		4-6,67	—	+88
3	—	—	—	—4,30	—13,88	-7.07	-3,14	—1,23	-4,94	
4	-3.53	-0.95	—0,49	—1,83 +2.46 -0.26	—1.67			—6,94	-0,12	—2.02		
б 6	+2.49	+2,98	+2.00		-О?85	+2.49 -0.44	+0?79	4-3.28 +0.31	+1?24	+2,96 4-0,48
7	-0.22	+0.24	—0,11 +0.03	4-0.О1	4-0.39			-0,42	4-0.11	—0,44	
6	4-0.04	+0,05		—		+0.05				4-0.06 -Н>,12
У	—	—	—	-0,08	-0,25	-0,12	+0.19	4-0.08	+0,30	
10	-0,06	4-0.06 -Н>,01	—0,02	-0,01	+0.09			-0,12	+0.02	-0,21		
11 12	+0,01		+0,01	+0.02 -0,02	-0,06	+0,01 -0,03	+0.07	4-о»оз -1-0.03	+0.12	4-0.02 4-0.04
1Э	+7.73	+13,19	+8.62	+0,99	-4,88	4-3.89	-20.82	+9,18	-0.92	+12.69
6.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
293
Продолжение табл. 5.19
Узлы	/			D			£			
Стержни	12	10	15	3	6	8	6	4	7	9
ft	0,73	0,09	0,18	0,10	0.69	0,21	0,31	0,06	0,50	0.13
?	-	0,22	0.268	0.366	-	0,335	-	0.385	-	0.445
Строки	-5,00				+11.25		-11,25		+5.00	
2		+3.33	+7.20	+1.17	—	+5,00	—	+1.39		+6.67
8	—<04	-0,60	-0,99	-1.74	—12.02	-3.66	-0.56	-0,11	-0.90	-0.24
4	—2,47	+0,06		-1.06	-0,28	-2,15	-6.01	+0.22	+0.37	-0.61
5		+1,63	+2.00	+0,88		+2.46	—	+1.04		+0.28
б	—0,6®	-0,11	-0,22	+0,01	+0,10	+0.03	+0.53	+0,10	+0,86	+0.22
7	+0.62	-0.09			-0.07	+0,26	-0.13	+0.05	+0.10	-0,70	+0,15
8	—	—	+0.04	+0,(Й	—	—		+0.03		—
9	-0,42	-0,10	-0.05	-0.01	-0,06	-0,02	+0,11	+0.03	+0.18	+0.05
10	+0.15	-0.01			-0,00	+0.06	-0.04	-0,00	+0.05	-0.13	+0.04
11	—	+0.02	+0.01			+0.03	—-	+0.01	——	+0.03
12	-0.12	-0,02	-0.03	—	-0.01		+0,01	—	+0.02	
13	—12,16	+4.20	+7.96	—0.80	-0.72	+1.52	-17.15	+2,86	+4,70	+9.59
Продолжение табл. 5.10
Узлы	F			А		В			С	
Стержни	7	5	10	1	3	1	2	4	2	5
Г	0.84	0,05	0,11	0,83	0.17	0.35	0.66	0,09	0,92	0,08
Y	-	0,248	0,22	-	0.366	-	-	0,385	-	0,248
Строки 2 3	-5,00 +0.74	+0.79 +0,04	+3.33 +0.10	+11.25 —10.31	+Ы7 —2,11	-11,26 +<70	+5.00 +2,72	+1.39 4-0,44	-5,00 +3?87	
4 5 6	?1= 7 ।	SE8	-0.26 +1.63 -0.19	+0,85 -ojl	-0.87 +0.88 -0,15	-5.16 +0J8	+1.94 +U25	t+A вва	Ai? s a	S8S
7 8 9	+0.43 -0?27	ssa	LA а а	+0.39 —0.35	+О?О0 -0.07	-0.35 +0,41	-0,90 +0.65	tit ssa	+0.62 -0.65	-0,04 +0 02 -0,06
10 11 12	+М9 -0?03	-0,02	—0.05 +0.02 0,01	+0.20 —0?17	-ОДВ	-0.17 +-0.15	—0,27 +0.24	+0.01 +0.04	40.32 -0.29	—0.01 —0?02
13	-5.89	+1.39	+4.50	+1.Н	—1.14	-13,89	+10,63	+3.26	-1,46	+l.«
294
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
1.	Определение коэффициентов распределения узло-
вых моментов:
5	3
*°-в “ 5 + 3+10 = °,28;	= 1в = °’,7:
-	10	-10
*	0,11 = jg ~ 0-55;	*н.п = у = 0.28;
4
*	И,9=у=0.н " т. д.
2.	Определение коэффициентов распределения попе-
речных сил:
5
?*.В = Тс.13 — 5 6 + 4 - 0,332; у t.M -
= Ъ/.н = у =0.4;
3
17,15 — Vm.is — 0,268: yOi8 — yD>e —	= 0,335:
V«,s = 1e,9 = "g” = °>445; Y/,io = Yf.io = °>22;
1,5
Yd.3 “ Ya,3 = is—]_ ~_T “ °t366:
16 + 20,3 + 16
2
Yc,6 — Vp.s — 0,248.
Полученные коэффициенты распределения вписаны в
соответствующие строки табл. 5.10.
3.	Начальные моменты защемления от вертикальных
нагрузок определяются по известным формулам (см.
5.5.2). как для стержней с защемленными концами, н
вписываются со своими знаками в строку I табл. 5.10:
^о,п =— ^н,п = ^D.t =— MEi6 =
5
=А«Л1 =-Л4В1 = — 4,5-8=11,25 Т-лг,
МН.П =— ^/.12 = МЕЛ =~ MF.l = МВ,2 =
2
•=—Мса = у 5-4,5 = 5 Т -я.
4. Начальные моменты в узлах, вызванные горизон-
тальным смешением рамы, определяются умножением
суммы поперечных снл в стойках рассматриваемого эта-
жа на множитель у» у* :
6
Л<К.13 = Af0.13 = 0,332(1,6 + 3,4 + 4) у =9 Т. я,
МЦц = Миы=0,4-9-3 = 10,8 Т-лг,
Мм.№ = Af/J6 = 0,268-27 = 7,2 Т-лг,
MD.e= MG,2 = 0.335-5у = 5 Т ле
М£.9 = Л1Н,9 = 6.67 Тм,
^F,io — ^/,10 ~ ЗвЗЗ Т-М\
4
Мл.э = Л1о,з = 0,366.1,6“ =1,17 Т ле,
Мв< = МЕ.4 = О-3®4 * 6’ 1 .бу = 1.39 Т-лг,
Mc,s = A<f,6 = 0.79 Т-я.
Значения этих моментов вписаны в строку 2.
5.	Начальные моменты, записанные в строках 1 и 2
табл. 5.10, образуют в узлах неуравновешенные узловые
моменты, равные суммам опорных моментов стержней,
сходящихся в рассматриваемых узлах. Эти неуравнове-
шенные узловые моменты распределяются между брусь-
ями, сходящимися в узле, путем умножения нх значе-
ний на соответствующие коэффициенты распределения и
записываются в строку 3 табл. 5.10 с изменением знака.
В узле С: Мо.«—0.17(11,25+5+9)—4.37-лг, Мои-
------0,55-25,25=—13.88 7-ж;	М0.и—0,28-25.25-
—7,07 Г-ж н так далее для всех узлов рамы.
На этом заканчивается первый цикл расчета.
6.	Распределенные моменты перекосим со своим зна-
ком на противоположные концы стержней, умножив нх
на коэффициент переноса, который в рассматриваемом
примере равен 0,5. Перенесенные моменты записываются
в строку 4.
7.	Перенесенные моыенты (строка 4) и распределен-
ные (строка 3) вызывают неуравновешенные поперечные
силы в стойках каждого этажа, которые равняются:
для первого этажа
3,53 + 0,95 + 0.49 + 7.07 + 1,91+0.99
=—2,49 7;
для второго этажа
4,30+1,83+1,23+0,12+0.50-0.05+3,66+
=	6
+2,15+0,24+0,61-0,10+0,25	„ „„
"*	-	—“2,467;
о
для третьего этажа
=
1,74+1,05+2,11+0,87—0,04-0,17-0,34-0,02
4	~
0,11-0,22 — 0,44 + 0,05
"----------О--------------,1,9Г’
Умножая этажные неуравновешенные поперечные
*л
силы на множитель Vn у и меняя знак, получаем мо-
менты в стержнях рамы, корректирующие линейное сме-
шение узлов. Эти моыенты записываются в строку 5.
Для узла 6:
6
М0.8 = 2.46-0,335у = 2,46 Таг.
6
Л4О13 = 2,49-0,332у = 2,49Т-лг, для узла В;
4 5
MB.i = 1.19-°,385у = 1,04 Т-я и г. д.
6.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
295
8.	Перенесенные моменты (строка 4) и моменты, кор-
ректирующие линейное смешение рамы (строка 5), об-
разуют неуравновешенные узловые моменты, которые
(аналогично о. S) распределяются между брусьями, схо-
дящимися в узле, и записываются в строку 6.
На этом заканчивается второй цикл расчета.
9.	Распределенные моменты (строка 6), умноженные
на коэффициент переноса, равный 0,5, переносятся на
противоположные концы стержней (строка 7).
10.	Распределенные к перенесенные моменты (строки
6 н 7) вызывают неуравновешенные влажные попереч-
ные силы. Этн поперечные силы корректируются момен-
тами, определяемыми аналогично п. 7, которые запнсы-
ются в строку 8.
11.	Моменты строк 7 н 8 вновь создают неуравно-
вешенные узловые моменты, которые распределяются
по стержням н заносятся в строку 9.
На этом заканчивается третий цикл расчета.
12.	Процесс приближений заканчивается иа цикле, в
котором как неуравновешенные этажные поперечные си-
лы, так и моменты распределения являются малыми
величинами, которые практически не отражаются на
требуемой точности расчета. В рассматриваемом приме-
ре расчет обрывается иа четвертом цикле.
13.	Алгебраические суммы начальных моментов за-
щемления со всеми распределенными, перенесенными и
корректирующими поперечные этажные силы моментами,
дают истинные опорные моменты стержней рамы.
Построенная по этим значениям эпюра моментов при-
ведена на рнс. 5.87, б.
В случае действия иа раму горизонтальных распре-
деленных нагрузок нлн сосредоточенных внеуэловых снл
последние заменяются узловыми сосредоточенными си-
лами. равными соответствующим опорным реакциям
стержней, взятым с обратными знаками. Кроме того,
учитываются начальные моменты защемления в верти-
кальных брусьях, к которым приложена горизонтальная
распределенная нагрузка.
Прн приложении к узлам рамы сосредоточенных мо-
ментов нх следует распределять по стержням, сходя-
щимся в рассматриваемом узле, с тем же знаком. Внеш-
ний узловой момент в состав расчетной таблицы не
включается.
Расчет рам на действие неравномерной осадки опор,
поворота опор, равномерного н неравномерного нагре-
вов стержней выполняется в такой же табличной форме.
Прн этом начальные моменты защемления в элементах
основной системы рамы вычисляются для соответствен-
но приложенных воздействий. В тех случаях, когда ве-
личины моментов защемлений зависят также от жест-
кости стержней (нагрев, осадка н поворот опор н др.),
последние следует принимать в нх истинных, а не отно-
сительных значениях.
5.7.5. Метод сил [65. 40]
Общие положения
Метод применяется для расчета плоских и простран-
ственных полигональных рам, шарнирный скелет кото-
рых обладает большим числом степеней свободы. Прак-
тически при двух степенях свободы метод снл уже за-
служивает предпочтения перед другими методами. Кро-
ме того, метод снл применяется во всех тех случаях, ког-
да желательно учесть упругую деформацию от действия
продольных н поперечных сял. Для комбинированных
систем н ферм метоп сил незаменим. Классическая фор-
ма метода сил сводит расчет к ряду закономерных опе-
раций, которые описываются независимо от характера
системы.
Из заданной конструкции устраняется столько связей,
сколько необходимо для превращения ее в неизменяе-
мую статически определимую основную систему. Дейст-
вие устраненных связей заменяется соответствующими
связям усилиями, иначе—лишними неизвестными.
Число лишних неизвестных, равное числу устраненных
связей, называется степенью статической неопределимо-
сти системы.
В случае плоской бесшаринрной рамы степень ста-
тической неопределимости равна утроенному числу
замкнутых контуров. Каждый шарнир в замкнутом кон-
туре вносит одну степень свободы н, следовательно,
уменьшает степень статической неопределимости на
единицу. Иногда шарнир с общей цапфой относится од-
новременно к двум, трем нлн четырем контурам. В этом
случае он играет роль соответственно двух, трех, четы-
рех отдельных шарниров. Прн большом числе шарниров,
когда имеются отдельные контуры, содержащие больше
трех шарниров, необходим структурный анализ для
установления геометрической неизменяемости системы.
Каждый сквозной разрез, нарушающий связность
одного контура, уменьшает степень статической неопре-
делимости на три.
Каждый стержень с шарнирами по концам увеличи-
вает степень статической неопределимости иа единицу,
так как добавляет один контур (три связи) и два шар-
нира (две степени свободы).
Выбор основной системы. Составление и решение
канонических уравнений
На рнс. 5.88,0 показана двухконтурная 6 раз стати-
чески неопределимая рама покрытия промышленного
здания. Основная система (рнс. 5.88, б) выбрана так,
чтобы сохранить ннжнее защемление стоек (колонн).
Это облегчает построение эпюр от нагрузки стоек. Вме-
сте с тем ломаные рнгелн в основной системе выступают
в виде балок, нагруженных заданной нагрузкой, опор-
ными моментами н распором.
Составляется система канонических уравнений мето-
да сил, каждое из которых выражает мысль, что пере-
296
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
мешение по направлению одной из устраненных связей
от совместного действия на основную систему заданных
нагрузок н лишних неизвестных равно нулю. Перемеще-
ние от заданной нагрузки (грузовой, нлн свободный
член) ставится в конец.
Для частного случая четырех неизвестных система
уравнений имеет вид
1)	+ *1р = 0;
2)	+ Хдбдд + Хвбм Х«бн + Ддр = О;
3)	ХД1 + Хд^эа + Xjfiaa + ^*^34 + Адр = О’
4)	Х16<1 + Х10ш + Хдбдз + ХлЬи + АВр = 0.
(5.311)
Для вычисления свободных членов и коэффициентов
строят эпюры усилий ат заданной нагрузки Мр, Nr, Qr
н от единичных неизвестных, например от Xi=l—эпю-
ры Mi, Ni, Qi, от Xi— 1 — эпюры M}^_N2, Qi и т. д.
На рнс. 5.88,6 показаны эпюры Mi и Mt. Практиче-
ски каждая эпюра строится на отдельной схеме рамы.
Помимо заданной нагрузки могут быть даны также
распределенные деформации — начальный изгиб, темпе-
ратурные удлинения и кривизна, а также сосредоточен-
ные дефорыацни (дислокации).
Для плоских систем свободные члены вычисляются
по формуле Максвелла — Мора:
CMpMjds
J El
f NpNjds Г QpQtds
J EF +J EFp
s	s
M(ds + I а/£р^* +
+ ZeMl4-ZAWl + lrQ/. (5.312)
Коэффициенты вычисляются no форыуле
. Г M,Mkds ,CNtNkds .
6(t = 6w=J—— +J—— +
 •
Как правило, при расчете сложных рам упругой де-
формации сдвига прн определении усилий пренебрегают
всегда, упругой деформацией удлинения —во всех слу-
чаях, когда рама не имеет характера вытянутой в одном
направлении балки (типа безраскосной фермы нлн
башни).
_ При прямолинейных стержнях рамы эпюры М, N,
Q — иа протяжении одного стержня всегда прямолиней-
ные, без переломов. Для этого случая интегралы выра-
жаются произведением результирующей деформации на
ординату единичной эпюры, напрнмер
(53М)
CMpds —	-
Здесь вр= 1 ——:	Mie — ордината эпюры М,
в сеченин в* (рис 5.89, а).
Формула (5.314) выражает так называемое правило
Верещагина.
Если результирующая деформация приводится^ па-
ре, то вместо вр берется момент пары, а вместо М*е —
тангенс угла наклона прямолинейной эпюры М, к оси
абсцисс.
Прн прямолинейной единичной эпюре деформация
может быть приведена к концевым сечениям. Вместо
(5.314) получаем формулу Мюллер — Бреслау:
CMpM,ds —	_
-----^₽"M + *b₽"ib-	(5-315)
Интеграл равен сумме произведений концевых углов
поворота, подсчитанных как для простой балки (ина-
че—фиктивных реакций) на концевые ординаты эпюры
Mt (рнс. 5.89,6).
SS9

Прн E/=const, что является практически наиболее
важным случаем, используется таблица формул для ин-
тегралов 8320.
Кроме того, при вычислении по формуле (5.315) мож-
но воспользоваться табл. 8.1.3, даюшей концевые углы
поворота тл и та простой балкн в зависимости от на-
грузки. Преимущество этого способа состоит в том, что
нет необходимости строить эпюру Мр, а достаточно
знать нагрузку стержня и опорные моменты Млг н
Map.
Найденные коэффициенты н свободные члены выпи-
сываются в матрицу:
N	X.	х.	х.	х.	Варианты нвгруяки -		
					*1р	*«	*<е.
1		«и	J1B	«и	*1Р	*н	*ie
2		«и	«»		*|р	*«	*26
3	Ва	*•»	**•		*»р	*з/	*46
4	««,	а			*v		*46
Коэффициенты, симметричные относительно главной
диагонали, в силу закона взаимности друг другу, рав-
ны: б<*—б*«. Главные коэффициенты всегда положитель-
ные.
Решенне уравнений чаще всего выполняется по схеме
Гаусса (см. 6.1), что приводит к преобразованию матри-
цы (5.316) к треугольному виду:
5.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
______ 297
N	х.	Л,	л.	X,	Варианты нагрузки		
					А/0		л.е
1			»|.			йИ	Л10
2	0	•й’		4(|)		4”	АЙ’
3	0	0	•S’	:(?] ‘34			Азв’
1 4	О	0	0	44		Д(3) Л4/	АЙ’
(5.319)
При помошн треугольной матрицы неизвестные оп-
ределяются в порядке, обратном их нумерации:
(5.318)
Имея числа влияния, можно определить любое неиз-
вестное прн помощи зависимостей вида
= Aw ₽и + Aip ₽и + Аар Pia + рц;
Хв •= Ajp ₽ц + Дар Раа + Аар Раз + А<р Рм
и т. д.
Вычисление матрицы р<* значительно упрощается
благодаря тому, что прн условии 6,»—бы имеет место
также взаимность чисел влияния:
Prt = Pw-	(5.320)
Обычно при вычислениях этим свойством не пользу-
ются. но оно служит для контроля.
Имея числа влияния, строят л. в. неизвестных, руко-
водствуясь следующим простым правилом: л. в. неиз-
вестной Х< совпадает с второй основной системы, на-
груженной неизвестными, равными числам влияния со-
ответствующей i-й строки.
Прн этом л. в. от действия фиктивной нагрузки сов-
падает с эпюрой изгибающих моментов, а л. в. от дейст-
вительной нагрузки совпадает с эпюрой прогибов.
Определив неизвестные, строит окончательные эпюры
усилий, что дает возможность произвести проверку проч-
ности.
Коэффициенты треугольной матрицы, отмеченные
верхним индексом, имеют четкий статический смысл: это
перемещения однажды, дважды, трижды статически не-
определимых основных систем, которые могут быть по-
лучены, если устранить не все лишние связи системы,
а- последовательно одну связь, затем две, затем три.
Решение производится столько раз, сколько задано
вариантов нагрузки. При этом часть вычислений, приво-
дящая к нахождению коэффициентов б, б(|>, б'Ч б|5), не
повторяется, наново вычисляются лишь значения Х\, Хз,
Хз, Хз по формулам (5.318).
Для построения небольшого числа л. в. усилий или
перемещений также проводится решение уравнений.
Напрнмер, для построения л. в. изгибающего момента
в сечеянн m рамы следует «нагрузить» систему ад.
в." 1, определить неизвестные X,. Хз, Хз, Хз и затем:
а) построить эпюру изгибающих моментов того пояса
системы, по которому перемешается нагрузка (это будет
л. в. от действия фиктивной нагрузки), и б) по этой эпю-
ре моментов построить эпюру прогибов пояса (это бу-
дет л. в. от действия груза Р— 1).
Пример см. 5.5.8.
Если число вариантов нагрузки превосходит число
неизвестных, а также прн серийном построении л. в.,
когда целесообразно сначала построить л. в. всех неиз-
вестных, следует определить так называемые числа, или
коэффициенты влияния. Числа влияния (Р<») равны зна-
чениям неизвестных (Х<), найденных прн условии, что
одни нз грузовых членов (Д*) равен единице, а осталь-
ные равны нулю. Матрица чисел влияния совпадает с
так называемой обратной матрицей уравнений (см.
Специальные приемы упрощения и контроля расчета
но методу снл
Принцип изменения основной системы (85]. Одну нз
трудоемких операций составляет построение грузовых
эпюр и определение грузовых членов. Принцип измене-
ния основной системы позволяет строить эпюры грузо-
вого состояния для основной системы, отличной от той,
для которой строят эпюры единичных неизвестных (так
называемые единичные эпюры). Напрнмер, для однокон-
турной рамы в качестве основной системы можно взять
трехшарннрную раму, неизвестными будут изгибающие
моменты в шарнирах. Грузовую эпюру можно построить
для основной системы в виде ломаной консолн. Мало
того: для различных нагрузок можно пользоваться раз-
личными основными системами, важно лишь, чтобы гру-
зовое состояние в целом было статически возможным
(уравновешенным) прн наличных связях.
Хотя величины лишних неизвестных прн этом изме-
няются, но окончательные эпюры от совместного дей-
ствия нагрузки а неизвестных остаются инвариантными
и отвечают действительному состоянию системы.
Принцип равновесия фиктивной нагрузки замкнутого
контура. После определения лншннх неизвестных сле-
дует проконтролировать точность решения, воспользо-
вавшись каким-либо условием совместности деформа-
ций, отличным от выраженных в канонических уравне-
ниях. Обычно этот контроль осуществляется после по-
строения окончательной эпюры изгибающих моментов М.
Фиктивная нагрузка с погонной интенсивностью
. М
ре =~^~вдоль каждого бесшарнирного контура должна
298
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
быть в состоянии равновесия. Это дает три уравнения —
одно уравнение проекций на ось, перпендикулярную
плоскости рамы, и два уравнения моментов относитель-
но осей, лежащих в плоскости рамы:
фр* ds = 0J фр*yds = 0; фр*xds = 0.	(5.321)
Значительные отступления от условий равновесия
фиктивной нагрузки можно обнаружить иа глаз. Напрн-
Рнс. 5.90
мер, из первого уравнения следует, что суммарная пло-
щадь приведенной эпюры М иа протяжении каждого
бесшарннрного контура должна быть равна нулю — по-
ложительные и отрицательные площади должны быть
одинаковы.
Если контур имеет шарнир, первое равенство отпа-
дает. Остаются уравнения моментов относительно двух
произвольных осей, пересекающих шарнир. Прн двух
шарнирах остается одно уравнение, которое с точностью
до постоянного множителя совпадает с уравнением ме-
тода сил.
Графо-аиалнтнческая модификация метода сил. Усло-
вия равновесия фиктивной нагрузки замкнутого контура
используются не только для контроля, но и как основа
специального расчетного приема.
Сущность этого приема состоит в следующем. От за-
данной нагрузки и от единичных лишних неизвестных
строят эпюры моментов и определяют результирующие
фиктивные грузы. От нагрузки фиктивные грузы полу-
чаются как по величине, так и по положению, от неиз-
вестных — только по положению, величина же опреде-
ляется с точностью до множителя Xi, Ха,... Для каждого
замкнутого контура составляют три уравнения замкну-
тости — уравнения равновесия фиктивной нагрузки, ис-
пользуя для этого наиболее подходящие моментные оси.
Из получаемых этим путем уравнений (в общем случае
неканонических.	находят все неизвестные.
Проведение моментных осей через результирующие фи-
ктивные грузы дает широкие возможности для частич-
ной, а иногда и полной ортогонализации (см. ниже).
Подробное изложение графо аналитического метода
сил см. 87.
Принципы ортогонализация неизвестных в уравне-
ниях метода сил. Ортогонализация заключается в том.
что все или некоторые побочные коэффициенты
б.кО'У'А) в системе канонических уравнений обращают-
ся в нуль. Это достигается специальным выбором устра-
няемых связей и неизвестных, нлн особым способом со-
ставления уравнений деформацнн.
Важнейший способ частичной ортогонализации связан
с использованием симметрии и рассмотрен ниже.
Способ полной ортогонализации для одноконтурных
арок и рам (так называемый метод вынесения неизвест-
ных при помоши абсолютно жестких отростков — метод
упругого центра) идентичен с вытекающим нз статико-
кинематической аналогии способом расчета прн помощи
формул внецентренного растяжения-сжатия для фиктив-
ной нагрузки (см. 5.6.3).
Решение уравнений по методу Гаусса (см. 6.1) мож-
но рассматривать как последовательную ортогонализа-
цию с введением групповых неизвестных и соответствую-
щих нм перемещений, тождественных с перемещениями
статически неопределимых основных систем с возраста-
ющим числом лишних связей.
Если устранением некоторых связей заданная система
превращается в другую статически неопределимую си-
стему, изученную ранее, то использование статически
неопределимой основной системы представляет одни нз
эффективных методов ортогонализации.
Рнс. 5.91
На рнс. 590,0 показана пятикратно ствтнчески неоп-
ределимая рама. Предполагается, что усилия в П-образ-
ной трижды статически неопределимой раме от местной
нагрузки, момента н горизонтальной силы, приложенных
к узлу, могут быть взяты нз таблиц, задача сводится к
определению только двух неизвестных Х> в Ха (рнс.
5.90, б) нз уравнений
1) Х,6»> + X26g> + Ag> =OJ
2) X^^’ + Xjdg’ + Ag^O.
Здесь символом (3) отмечено, что основная система
трижды статически неопределимая.
Задача еще более упрощается, если заранее известны
формулы для перемещений узла П-обраэной рамы от
местной нагрузки и единичных сил X, н Ха. В ряде слу-
чаев таблицы для простых рам могут быть использованы
не только по своему прямому назначению, но н как
вспомогательное средство при расчете сложных рам. Эта
идея положена в основу таблиц [3].
Для систем с каноническими уравнениями трехчлен-
ной 'структуры существует наглядный метод ортогонали-
зации, носящей название метода фокусов (см. первое
издание 5.8.4). Для одноконтурных и многоконтурных
рам отдельные приемы полной и неполной ортогонализа-
ции вытекают нэ графо-аналитического метода н носят
ярко выраженный геометрический характер (87].
S.7. СЛОЖНЫЕ РАМЫ
299
Практический недостаток большинства методов орто-
гонализации (по сравнению с последовательным выпол-
нением операций метода снл в его классической форме)
состоит в повышенных требованиях, предъявляемых к
расчетчику в связи с более сложной и индивидуализи-
рованной программой расчетных операций.
стема получена путем включения шести шарниров: четы-
рех — внизу н вверху крайних стоек н двух — между
левым н правым ригелями и средней стойкой
(рнс. 5.91,6).
На рнс. 5.91, в, а показана замена неизвестных Хц...
Х« симметричными н антисимметричными группами,
обозначенными соответственно Ki. К:, Kj н Z\, Z}, Z3.
Все коэффициенты вида ^vlzk ('=•• % 3, А—1. 2, 3) рав-
ны нулю. Поэтому система шести канонических уравне-
ний незаонснмо от характера нагрузки распадается иа
две независимые группы по три уравнения: одна содер-
жит неизвестные г, другая — неизвестные Z. Целесооб-
разно сгруппировать не только неизвестные, но н на-
грузку. как показано па рнс. 5.91, в, а. Тогда расчет на
симметричную и антисимметричную нагрузки сводится
к расчету двух простых рам, показанных на рис. 5.91. д,
е. Эти рамы отличаются своими правыми стойками, соот-
ветствующими средней стойке заданной рамы. На рнс.
5.91. д эта стойка является бесконечно жесткой прн из-
гибе и прн сдвиге, жесткость же на продольную дефор-
мацию уменьшена вдвое. На рис. 5.91, е жесткость на
нзгнб н сдвиг составляет половину жесткости фактиче-
ской средней стойки, жесткость иа растяженне-сжатие
равна бесконечности.
Многоэтажная рама прн антисимметричной нагрузке
(рнс. 5.92,а). Симметричные многоэтажные рамы прн
симметричной нагрузке рекомендуется рассчитывать ме-
тодом перемещений, учитывая, что линейные перемеще-
ния узлов равны нулю, а углы пово-
рота узлов по концам ригелей равны
по величине н обратны по знаку. По-
лучается система трехчленных урав-
нений для углов поворта (см. 5.5.8).
Прн антисимметричной нагрузке
рама приводится к системе половин-
ной ширины (рнс. 5.92, б). Вдоль ося
снмметрнн исходной рамы располага-
ется нерастяжнмая стержневая цепь,
так что система приобретает харак-
тер комбинированной многошпрен-
гельной вертикальной консолн.
Количество лншннх неизвестных
равно числу этажей. За лишние неиз-
вестные могут быть приняты либо
усилия в шпренгелях X (рнс. 5.92. в),
либо нагибающие моменты Z посере-
дине панелей стоек (поясов) (рнс.
5.92,в). Эпюры моментов от Ха-|
н от —1 показаны внизу рнс.
5.92, е, г. В обоих случаях уравнения
трехчленные вида
*п_.вяя-| + Хябля +
+ *„+1«ял-м + ляр = о.
причем побочные коэффициенты по-
лучаются отрицательными. При вы-
числении коэффициентов рекоменду-
ется учитывать упругую деформацию
удлинения стоек.
Прн вычислении грузовых членов
Д„р независимо от того, какой вари-
ант основной системы выбран, мож-
но пользоваться более простой основ-
ной системой по рнс. 5.92, в. пред-
консоль с горизонтальными отростка-
иэ принципа изменения основной си-
Для предварительных расчетов берут систему по
рис. 5.92,3 и полагают моменты Z равными нулю, что
дает возможность определить усилия во всех шпреиге-
лях нз уравнений равновесия моментов относительно
шарниров. Практически указанным приближенным рас-
четом часто пользуются в качестве окончательного.
Для статически определимой этажерочкой рамы с па-
раллельными стойками прн горизонтальных нагрузках
эпюра моментов имеет характерный <пнлообраэный> внд
(рнс. 5.92,6). Для построения эпюры достаточно найти
поперечные силы в шарнирах, что пояснено иа рис.
5.92. е.
Поперечные силы в шарнирах стоек определяются нз
условий равновесия части рамы, расположенной выше
разреза проведенного через два шарнира. Напрнмер:
Сэ =	+ Ра)-
Имея Qa н <?з, строят треугольные эпюры на стойках
(рнс. 592. е, внизу). Алгебраическая разность моментог
в узле стойки дает момент в узле ригеля.
30Q	РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
6.8. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ [8,9,21,41,42,87]
5.8.1. Рамы со взаимно перпендикулярными
стержнями
Основным является метод перемещений. Выбирается
левая координатная система V, W, Т с неизменным на-
правлением осей. Начало координат последовательно
стержня, входящего в состав рамы, вводятся осн инер-
ции х, у, г. Положение осей ннерцнн меняется в зави-
симости от положения стержня. Ось х направляется
всегда вдоль стержня, а осн у и г совмещаются с глав-
ными осями инерции поперечного сечення. Погонные же-
сткости изгиба, кручения н растяжения-сжатия стержня
обозначаются:
у = ^£_. С/т -г_ С'кР - l = £L
•	, • •	;	• 1 i  I i •
Силы и моменты, действующие на конец стержня со
стороны узла, обозначаются N, <?’, Q*. М*, М*, М‘, а
угловые н линейные перемещения концов стержня <р*.
Ф», ф*. б1, б», б* (рнс. 5.93). Сила и моменты, действу-
ющие на узел со стороны стержня, обозначаются так
же и вводятся в уравнения равновесия узла с обратным
направлением. Кроме сил н моментов, передающихся на
узел со стороны стержней, сходящихся в узле, он может
быть нагружен также активными силами н моментами,
проекции которых на оси V, W н Т обозначим V°, IF0. Р,
Mvt. Mw°. М™.
Для каждого узла k рамы может быть составлено
шесть уравнений равновесия:
i
2) 47®-!^.=о-.
3)7"-ZT4 = ft
4)Mw-ZMX/ = 0;
5) М™--£М% = ft
6)MT0— ZMj( = 0.
(5.321)
Если нагрузка в узле отсутствует, то kJ, wjj, 7jJ,
Mw>, Mn в уравнения (5.321) не входят.
Неизвестными по методу перемещений являются три
угла поворота ф¥, ф’р, фт каждого нэ узлов вокруг
осей V, W, Т и три поступательных перемещения б’’.
6W, бг узла вдоль тех же осей. Неизвестные определя-
ются из уравнений равновесия узлов, причем снлы н
моменты, передаваемые со стороны отдельных стерж-
ней на узел, предварительно выражаются через узловые
и линейные перемещения ф1, ф“. ф1, б*, 6> 6* концов
стержня относительно осей ннерцнн х, у, г, которые за-
тем заменяются прн помощи соответствующих зависи-
мостей через принятые кинематические неизвестные <pF.
фкг. Фт, 6V, 6W. бт узлов в осях V, V, Т (табл. 5.12).
Помимо сял н моментов, зависящих от перемещений,
на узлы передаются силы н моменты от нагрузок на
стержни в предположении полного защемления нх кон-
цов. Эти величины отмечаются в (5.322) верхней звез-
дочкой и определяются по правилам для прямых балок
с защемленными концами с учетом принятых знаков.
Выражения для снл н моментов относительно осей
ннерцнн через угловые ф н линейные перемещения б
концов стержня в тех же осях ннерцнн будут (см. рнс.
5.93):
«*/ = '*/(ф£-фГ) + л1ы:
4 = 2'*, (гфЕ+фГ-з^-гЧ +
= 21ч ^2<pJ + ф, —3	j + Mkj;
Nkl = P	+ или W»,;
<?£, = -64(фХ + фГ-2^)+С
(5.322)
6iL ( т 6?-.
<?«=- -Цф*4’4''-2’^-
S3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
301
j = i,s.t,p,r,q
Зависимость между угловыми и линейными переме-
щениями ч>*. ф’. Ф*, 6*. б", 6' концов стержня, отнесен-
ными к его осям инерции, и кинематическими неизвест-
ными ф*". ф”'. фт, 6V, 6W, 6Т узлов рамы легко полу-
чить, если спроектировать последние иа осн инерции,
воспользовавшись для этого значениями направляющих
косинусов (табл. 5.11) для шести возможных положе-
ний стержней, образующих раму (рнс. 5.94). Зависимо-
сти между этими перемещеииямп даны в табл. 5.12.
Таблица 5.11
Косинусы углов
Стержни	ki и кр			Jty И А/			h и Й		
Осн	X	У	2	X	V	2	X	у	2
V	0	О	1	1	0	0	0	0	1
IF	1	0	0	0	0	—1	0	1	0
Т	О	1	0	0	1	0	1	0	0
Таблица 6.12
Завпсимость между перемещения мп концов стержня
в осях ннерцкн н перемещениями узлов рамы в осях
'	Перемещении Стержни	*		фх	о»	ф'	6х	&	
W ж кр	л	т ф	фи	а"	г	л
в *г		т ф			»Г	
As  kl	г	W ф		6Т		
Пример 5.13. Определим моменты и поперечные си-
лы, возникающие в элементах рамы, изображенной иа
рпс. 5.95. На ригель 1—2 действует горизонтальная рав-
номерно распределенная нагрузка интенсивностью
р кцсм. Длпна всех стержней I и погонные жесткости I
на изгиб и кручение каждого элемента одинаковы. Бла-
годаря защемлению стоек, в узлах 5, 6, 7, 8 отсутствуют
угловые н линейные перемещения:
Фп = Ф* =	= 6п =	= Ьп = О (п = 5,6,7.8).
Пренебрегая упругим удлинением стержней п учиты-
вая симметрию рамы в нагрузки, получим следующие
зависимости для остальных перемещений узлов;
ev=ey = ey = ey = Q[
6"’ = e2T = df = 64Г = 6Г;
ф1' =—Фз: фГ = фГ: ф[ = - фГ;
ф31' = -ф5'; ф3'г = фГ: Фз = -фТ-
Таким образом, благодаря симметрии имеем всего
семь неизвестных, нз которых шесть — углы поворота
узлов и одно — линейное перемещение (табл. 5.13).
Рис. 5.95
Таблица 5.13
Таблица неизвестных
Уаел	J	W V	Фг		W ь	
/		„w Ф1	•Г	0	0	бт
2	-фГ	V Ф1	-ф^	0	О	tT
3	’3	„V ф3	’3Г	0	0	ьт
4	-Фа	ф3	-Фз	О	О	
При расчетах обычно приходится пользоваться столь-
кими уравнениями равновесия моментов в узлах, сколь-
ко неизвестных углов поворота и столькими уравнения-
ми проекций, сколько имеется неизвестных линейных
перемещений.
Для определения этих семи неизвестных перемеще-
ний составляем семь уравнений равновесия; из них по
три уравнения равновесия моментов относительно осей
V, w, Т узлов / и 3 (рис. 5,96, о и б) и одно уравнение
проекций иа ось Т сил, приложенных к отсеченной от
стоек верхней части рамы (рис. 596, в).
Рассмотрим узел 1 (рис. 5.96,а). В иен сходятся
стержни 1—2, 1—3 и /—5. Этим стержням соответст-
вуют стержни hq (или 3), Лр (или 2) и М (или 6) иа
рис. 5.94. Векторы-моменты, действующие на узел 1 со
стороны удаленных стержней, показаны иа рис. 5.96, а.
Спроектировав эти векторы-моменты иа оси V, W, Т, по-
лучим три пскомые уравнения равновесия моментов для
узла /. Таи, например, уравнение равновесия моментов
относительно оса V будет (рнс. 5.96,а):
-Z Ми = 0, Mj2 + M{3 + Mfs = O. (5.323)
/—2.3.6
Подставив в (5.323) взамен изгибающих и крутяще-
го моментов нх выражения через угловые и линейные
перемещения согласно 5.322 и заменив затем угловые и
линейные перемещения в осях инерции х, у, г через уг-
302
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ловые п линейные перемещения в осях V, С7. Т
на основании табл. 5.12 и 5.13, получим
7ф1*' + 2ф31' + -^- = 0.	(5.324)
Составив аналогично остальные два уравнения мо-
ментов относительно осей V к Т для узла 1 (рис.
5.96.а) н соответственно три уравнения моментов для
узла 3 (ряс. 5.96,6), запишем их, включая и (5.323), в
табличной форме (табл. 5.14).
Тзвлваа 5.14
Уравнения равновесия
Нсвавест* яме № урав- ненва	\	•i		”1Z	»3	„V ф3	»3	IT 1	Свободный член в ле* вой части уравнения
1	7			2				рр 121
2		4			1		3	0
3			7			—1		0
4	2			7				0
б		1			4		3	0
6			—1			7		0
7		3			3		12	рр 41
Седьмое уравнение является уравнением проекций на
ось Т снл, приложенных к верхней части рамы, отсе-
ченной от стоек (рнс. 5.96):
-27 = 0; -2Q;6-2Q57-p1 = 0. (5.325)
Подставив в (5.325) вместо Qf5 п Qj7 их выражения
из (5.322) и заменив перемещения <р* и 6* относительно
осей ннерцнн перемещениями относительно осей V, JF,
Г, получим последнее уравнение, записанное в табл.
5.14.
Полученная система уравнений распадается на три
неизвестные системы.
Первая система состоит из двух однородных уравне-
ний (строкп 3 и 6) относительно неизвестных углов по-
ворота и <pf. Этн неизвестные равны нулю:
фГ = Фз=О-	(5.326)
Вторая система (строки 1 н 4). состоящая также из
двух уравнений, содержит неизвестные углы поворота
фГ нФз- Решив эту систему, получим:
м 7 pl* v 1 pl*
’>=-Ы-Г- фз=^о-- —• (5-327>
Третья система (строки 2, 5, 7) состоят яз трех урав-
нений с неизвестными ф^. Лт. Из решения этой
системы получаем:
w —17	3 pl*	5 pl9
^“1бГ7: 6 =—ю' — -
Пользуясь найденными перемещениями, определим
некоторые действующие в стержнях изгибающие момен-
ты и поперечные силы. Моменты, изгибающие стержень
/—2 в вертикальной плоскости, равны нулю, так как в
этой плоскости нет угловых и линейных перемещений
концов стержня и внешних снл. Момент, изгибающий
стержень 1—2 в горизонтальной плоскости и действую-
ВЛ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАМЫ
303
щий на его левый конец I. вычисляется по строке 3.
формул (5.322), если заменить, согласно табл. 5.12, <pv
иа <р‘:
,	/ _ 7	р/»	7
МИ-2»(-2 «о * f + ио
Р<*	31	„
12	640 Р
Этот момент вращает конец стержня 1 по часовой
стрелке вокруг оси V.
Подобным же образом поперечная сила, параллель-
ная осн Т и действующая иа левый конец бруса 1—2,
равна согласно строке 6 формул (5.322):
6,~	/	7	Р<* 	7 Р‘
Qil~ I	\	540	’ i +	540	' i /	2 =
. _ ₽£
2 ‘
Момент по середине стержня /—2 равен моменту
всех сил, лежащих между воображаемым разрезом в уз-
ле 1 и серединой стержня 1—2-.
pl I 31	„ . pl
МЧ>=~ 2 ‘ 2 + 640 ₽ + 2
-----рР-
1080 р
Аналогично определяются все остальные моменты я
поперечные силы. Продольные силы определяются из
уравнений проекций сил, приложенных к узлам.
6.8.2.	Рамы с наклонными стойками
Рамы с наклонными стойками рассчитывают анало-
гично изложенному с той лишь разницей, что для на-
клонной стойки (рис. 5.97) должны быть дополнительно
определены зависимости между угловыми <р*, <р’. ф* и
линейными 6*, 6», 6‘ перемещениями концов наклонной
Рис. 5.97
стойки относительно осей инерции и перемещениями уз-
лов Q>v, <pw. <рт, 8V, б’т. 6Т относительно осей V, W. Т.
Предполагается, что ось наклонной стойки располо-
жена в вертикальной плоскости в образует с горизон-
том угол ф (рнс. 5.97), а главная ось инерции у образу-
ет с осью Т угол а. Косинусы углов, образованные ося-
ми ннерцип х, у, г наклонного стержня с осями V, W, Т,
сведены в табл. 5.15.
Таблица 6.1S
Косинусы углов
Осн	X	V	я
V	sin ф	0	COS ф
W	cos a cos ф	sir a	—cos a sin ф
г	—sin a cos ф	cos a	sin a sin ♦
Искомые зависимости между ф>, <р», <р', 6*. 6*. 6* и
кинематическими неизвестными <pv, <pw, <рт_ gw.
6Т для наклонных стержней получим, если спроектируем
последние на оси внерцни х, у, г:
sin ф + 6 cos a cos ф— 6j sin а cos ф;
б£ = б*согф—6^ cos а sin ф 4- 6j sin а sin ф;
sin a + cos a;
ж u-viW	т -	> л (5-328)
Ф* = Ф* s,n Ф + Ф» cos° ~ 4>a sineslnф;
<pj = <p^ sin a -j- <pj cos a;
<pj = <pjj cos ф — <p^ cos a + <PjSina sin ф.
Уравнения равновесия узлов и отдельных частей ра-
мы с наклонными стойками составляются так же, как и
для пространственных рам с взаимно перпендикуляр-
ными стержнями. Разница состоит лишь в том, что век-
304
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
торы-моменты и силы, действующие на конец наклон-
ной стойки, не параллельны (нлн не перпендикулярны)
осям К V, Т; при проектировании иа эти оси нужно
множить их иа соответствующие величины направляю-
щих косинусов.
Пример 5.14. Рассчитаем раму с наклонными стой-
ками, изображенную на рис. 5.98 при действии иа риге-
ли рамы вертикальной равномерно распределенной на-
грузки интенсивностью 1 Т/м. Рама сварена из труб
одинакового поперечного сечення. Отношения погонных
жесткостей для каждого нз стержней рамы будут:
Г:Р-Лг = 1:1,33:1.33.
Угол, образованный осью наклонной стойки с гори-
зонтом, равен ф-74’12'. а угол между осью у и осью Г
принят а—45°.
Вследствие жесткой заделки концов стоек в узлах
5, 6, 7, 8 угловые и линейные перемещения отсутствуют:
^ = фж = 9)г = вк=в1Г = 6г = 0 (n = S.6.7.8).
Пренебрегая упругим удлинением стержней, па осно-
вании симметрии рамы н нагрузки получаем следующие
зависимости между перемещениями узлов:
(<" ='.2.3.4);
ф{' = -<ру = -<й=ф‘'; ф"’ = ф7 = -ф®’=_ф®’;
Ч>Г = -,И=Фз=-Ч>1-
Следовательно, деформация рамы определяется все-
го тремя неизвестными углами поворота узлов
(табл. 5.16). Для нахождения неизвестных ф^, ф| , ф^
составляем три уравнения моментов узла 1 относитель-
но осей V. W, Т (рис. 5.99).
В этом узле сходятся стержни 1—2, 1—3 н 1—5. Век-
торы-моменты, действующие на узел I со стороны уда-
ленных стержней показаны на рис. 5.99.
Эти уравиенпя равновесия будут:
1)	IMf = ft M‘l2 —	- Mx,s sin ф -
— M’s cos 1)^0;
2)	SM w = ft М*2 — МУз — М*5 cos a cos ф—
— Mys sin а 4-	cos а sin ф = ft
3)SMf = ft Муг4-Л1*з -(-Mfjsinacosф —
— Aiyscosa— Mfssinasfr^ = 0.
(5.329)
Таблица 5.16
Подставив в (5.329) вместо изгибающих п крутящих
моментов их выражения через угловые и линейные пе-
ремещения согласно (5.322) и заменив после этого угло-
вые перемещения относительно осей ииерцнн х, у. г че-
рез угловые перемещения относительно осей V, V, Г иа
основании табл. 5.12 н 5.16 (для горизонтальных стерж-
ней), а также формулы (5.328) и табл. 5.16 (для наклон-
ной стойки), получим уравнения равновесия (табл. 5.17).
Уравнения равновесия
Nt уравнения	Неизвестные			Свободные члены
	«т	Ф1		
1	7.250	—0,770	0.770	0 0,0533
2	-0,770	3,29	0,154	7х 0.0333
3	0.770	0.154	7.620	
Из решения системы уравнений найдем:
v 0,000498	№	0,00618
Ч>1 =- —р~—
,	0,01087
ФГ=—7Г-
Вычисление изгибающих моментов и поперечных снл
производится так же. как и при расчете рамы с взаим-
но перпендикулярными стержнями на основании зави-
симости (5.328), табл. 5.16 н формул (5.322) для на-
клонных стоек н иа основании табл. 5.16 н 5.12 н фор-
мул (5.322) для ригелей.
5.9. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
305
5.9. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
Пространственными рамами с циклической симметри-
ей называют системы, которые, будучи повернуты вокруг
своей оси на определенный угол, совмещаются со своим
первоначальным положением (рнс. 5.100).
Плоскости, проходящие через ось пространственной
Рнс. 5100
рамы, называют меридиональными, а перпендикулярные
к ней — параллельными. Стержни, лежащие в параллель-
ных плоскостях каркаса, образуют правильный много-
угольник. К сооружениям такого типа относятся рам-
Рис. 5.101
иые каркасные купола, сквозные водонапорные башни,
градирни и подобные нм сооружения.
Прн расчете циклически симметричных простран-
ственных рам целесообразно пользоваться подвижной
прямоугольной системой координат: ось V во всех узлах
вертикальна и направлена вверх, ось W горизонтальна
и в каждом узле направлена к центру симметрии, ось
Т касательна к окружности, проходящей через все узлы
данного яруса рамы (рис. 5.101). Принятая система
координат, которую назовем естественной, позволяет
с наибольшим эффектом использовать расчетные пре-
имущества, вытекающие нз особенностей енмметрин
циклических рам. Составленное в общем виде уравне-
ние равновесия узла оказывается типовым и может
быть отнесено к любому узлу рамы.
Рассмотрим пространственную раму с циклической
симметрией. Высоты ярусов и углы наклона меридио-
нальных стержней к горизонту могут быть различными.
Номера колец отсчитываем снизу вверх; номер проме-
жуточного кольца обозначим s, номер вышележащего —
через t. а нижележащего — через р. Номер меридиональ-
ного ребра отсчитываем против хода часовой стрелки от
нулевого ребра, обращенного к наблюдателю; номер
промежуточного ребра обозначим л. Узел раыы обозна-
чается двумя знаками: первый указывает номер кольца,
а второй — номер меридионального ребра, например s, л.
Деформированное состояние рамы определяется уг-
ловыми ф’г, ф’г, фт и линейными 6Г, 6*, 6Т переме-
щениями ее узлов в естественной системе координат.
Положительными считаем перемещения, если их векторы
совпадают с направлениями осей.
Предположив, что в узле з, л сходятся два стержня
меридиана з, л—р, п и s, n—I, п и два стержня кольца
s,n —s(n—I) и s, n — s (л-Н), введем следующие
обозначения:
Is — длпиа стороны правильного m-угольника з;
/г — длина стержня меридиана вышележащего
яруса рамы;
1р—длина стержня меридиана нижележащего
яруса;
-погонные жесткости относительно осей инер-
ция х, у и z стержней рамы, сходящихся
в узле s, л;
Из—угол наклона к горизонту главных плоско-
стей инерции стержней многоугольника з;
Ф/, фр—углы наклона к горизонту осей стержней ме-
ридиана, находящихся соответственно выше
и ниже многоугольника з;
2л
8 =-----— центральный угол правильного т-уголышка.
/71
В дальнейшем при составлении типовых уравнений
равновесия узлов раыы понадобятся зависимости меж-
ду усилиями, действующими на концы стержней,
s,n —/,л; э,л —рл; s,n — з.(л—1); s, л— s(n+l), от-
несенных к осям ниерцнн стержня х, у, г. в углами по-
ворота фг, ф", фт и линейными смещениями 6Г, t>w,
бт узлов пространственной циклически симметричной
рамы в принятой естественной системе осей V, W, Г.
Для этого выразим углы поворота и линейные смещения
концов стержня в его осях инерции через составляющие
перемещений узлов рамы в естественной системе коор-
динат. Рассмотрим стержни, сходящиеся в узле з,л.
Стерженьз, л—р, л (рис. 5.102). Связь между угла-
ми поворота и линейными смещениями концов стержня.
Таблица 6.1В
Косинусы углов
Осн	я	У	Z
V	«In»,	0	
W		0	
т	0	1	О
отнесенными к его осям инерции и угловыми и линей-
ными перемещеннями в естественной системе осей коор-
динат, можно получить, если спроектировать последние
на оси инерции стержня.
306 	РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Косинусы углов, образованных осями инерции стерж-
ня s.n— р, п и натуральными осями координат
(рнс. 5.102), даны в табл. 5.18.
Проектируя иа осн инерции х, у, г стержня s, л — р,п
векторы перемещений узлов s, л н р, л, получим:
=бд.п sin ♦„ + 6₽.л 'о® V
®р.п = ~' 6р.л •
, v  ь , w к (S-330)
=Кл Я" % +ч£л cos %;
Ч’р.л =Фр,л •
Ч$.л =<Рр,л cos -Ф*„ sin $„
Эти зависимости остаются в силе и для узла р, п.
Стержень s, n—t, п. Переходя к стержню s, n—t, л,
заметим, что достаточно в равенствах (5.330) заменить
индекс р иа з и индекс s на t.
Стержни кольца a, n—s(n—1) я s, n—s(n-)-l). Для
стержней многоугольника (рнс. 5.103) косинусы углов
между нх осями ниерцпи н осями координат приведены
в табл. 5.19. У величии, имеющих разные зиакп, верх-
ний относится к стержню s,n — s(n—1), а нижний — к
з, л —з(л+1).
S.I9
Косинусы углов
Осн	к	У	z
V W т	0 ±sln — 2 е cos	 2	— slnx е — COS х cos 	 2 . ft ± cos xsln	 2	cosx — sin X COS -5- 2 n .6 ± sin x sin	
Спроектируем векторы перемещений узлов з,л и
s, (л—1) иа оси инерции х, у, г стержня з, л—s(n—1):
6*s, (л-1)= ± Сл-1) sin у +б1(л-1)с“ у;
^.(n-l)=±Cn-l)cosx:F 6Мл-1)8|пх х
xcos у 4-6[>(n_1) sin х sin у;
(л-1) =±6Мл-1) sinx± cosx х
X COS у -65г>(я_,) cos х sin у;
Ч’1.(л-1)=±Ф.дл-1> S'” у+ФзЛл-1> «sy:
<(л-1)=-ф>Лл-1) sinx-ф^!) COSX X
X COS у ±фГ.(п_,) cos X sin у ;
ч£(«-1)=ф1лл-1) cos х - q>^(„_n sin х х
0 , т	.0
X cos у ±ф;.(Я_1) sm х sin у .
(5.331)
Эти зависимости остаются в силе и для узла s(n—1).
Расчет пространственных циклически симметричных
рам от действия произвольной нагрузки встречает труд-
ности нэ-за необходимости решения большого количест-
ва совместных уравнений. Задача в значительной степе-
ни упрощается, если представить нагрузку в виде три-
гонометрических рядов и полиномов.
Введем обозначения:
Ря. Р„. Ря — вертикальная, радиальная и тангенциаль-
ная составляющие внешней сосредото-
ченной силы, приложенной к узлу л.л
рамы.
М. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
307
Каждая яз этих величии, меняясь по произвольному
закону, может быть для любого многоугольника s пред-
ставлена конечным рядом вида
Р% = Е Р» cos 6п8 + £ sin *л8;
Р% = Е	cos knB -|- Е 7* sin АлО;
pj = Е PTk sin Лл8 + Е 7* cos 4л8;
М% = £ Мд slnfcnO E Лд cosftnO; (5.332)
= E sin ftn8 + £ cos Алб;
Мта =ЕМдСОзЛл8-|-£)йд$ш Алб.
где P[, F%, F?. Ff,... — амплитудные значении состав-
ляющих сил, действующих на узлы рассматриваемого
многоугольника рамы
Нагрузки, выражаемые первыми суммами в (5.332),
симметричны относительно нулевого диаметра и вызы-
вают симметричную деформацию рамы; нагрузки, вы-
ражаемые вторыми суммами, являясь антисимметричны-
ми относительно нулевого диаметра, вызывают антисим-
метричную деформацию спстемы.
При действии на циклически симметричную простран-
ственную раму нагрузкп, меняющейся в окружном на-
правлении по гармоническому закону н симметричной
относительно нулевого диаметра (радиальная и верти-
кальная нагрузка, изменяющаяся по закону косинуса,
и тангенциальная — по закону синуса), кинематические
и статические величины, относящиеся к узлам и мери-
диональным ребрам одного яруса, изменяются вдоль
кольца по закону косинуса или синуса. К величинам, из-
меняющимся по закону коспиуса, которые будем назы-
вать четными, относятся:
I)	линейные радиальные и вертикальные перемеще-
ния узлов рамы;
2)	углы поворота узлов относительно тангенциальной
осн Г;
3)	изгибающие моменты относительно осн Т в соот-
ветствующие нм поперечные силы в меридиональных
стержнях;
4)	продольные усилия в меридиональных стержнях.
К величинам, изменяющимся по закону синуса, ко-
торые будем называть нечетными, относятся:
1)	линейные перемещения узлов в тангенциальном
направлении (вдоль оси 7):
2)	углы поворота узлов рамы относительно верти-
кальной и радиальной осей;
3)	крутящие моменты в меридиональных стержнях
и изгибающие моменты в них, вектор которых лежит
в меридиональной плоскости;
4)	поперечные силы в мерндноиальных стержнях,
направленные вдоль оси Г.
Четные величины отличаются от нечетных по просто-
му признаку: прибавляется или отнимается для этих
величин действие сил или перемещении, симметричных
относительно нулевого диаметра кольца.
Если в выражениях, представляющих указанные вы-
ше составляющие внешней гармонической нагрузки, за-
менить косинус иа синус, то во всех перечисленных вы-
ше зависимостях для перемещений косинусы заменяют-
ся синусами, а синусы — косинусами.
Для каждого многоугольника раыы прн симметричной
нагрузке можно записать:
Ф„ = £ф*51пАп8;
Ф^ = £ Ф^ slnforO;
Ф„ = Е <pf cosAn0;
6д = Е 6* cos Ал8;
6% = Е 6^ cos Алб;
Й = S blsinftnO.
(5.333)
При действии антисимметричной нагрузки
Ф„ = S ф* cos Ал8;
Ф^ = £ ф^ cos Ал8;
Ф^ = Е фдЗшАпЭ;
6^ = Е^з1пАл0.
6% = Е^ sin Алб;
6j = S7fco3fai8.
(5.334)
Выражения (5.333) и (5.334) дают возможность опи-
сать деформацию каждого многоугольника поперечника
пространственной циклически симметричной рамы неза-
висимо от количества его узлов шестью перемещениями,
которые назовем главными. Из них три фЛ 0р, в
случае симметричной нагрузки и фр, ф7, бт в случае
аятисимыетричной—Нагрузки относятся к нулевому узлу,
а остальные трп фр, ф". 6Т при симметричной н фр,
8Р, Е”’ при антисиыыетричяой нагрузках не связаны ин
с каким узлом, если число сторон многоугольника не
кратно четырем. Таким образом, при расчете простран-
ственной циклически симметричной раыы на действие
гармонической нагрузки число уравнений оказывается
равным ушестеренному числу многоугольников рамы.
Число независимых перемещений узлов рамы может быть
уменьшено, если пренебречь, как это обычно принято,
продольной деформацией стержней кольца и меридиа-
на. Продольные усилия в стержнях меридиана могут
быть также представлены в виде тригонометрических
рядов
N* — S (ы ) nos А(л+0,56)
"л.(п-Ц) - MA'oiJk cos0Sfl +
,	. cosй(л+ 0.5)6
+ E(V..)t—ios-05e		(5.335)
Здесь (Woi)» н (Л^)» —продольные усилия в стерж-
не кольца между узлами О н / при симметричной и ан-
тисимметричной нагрузках, соответствующие ft-ыу члену
разложения.
Представив в выражениях (5.330) н (5.331) пере-
мещения в виде (5.333) н подставив полученные зависи-
мости. а также выражения (5.331) для внешней нагруз-
ки н (5.335) для продольных усилий в уравнения (5321),
получим типовые уравнения равновесия узла рамы в
случае симметричной нагрузки. Для того чтобы соста-
вить типовые уравнения равновесия узла раыы при ан-
тисимметричной нагрузке, следует представить первые-
308
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
щения рядами (5.324). а затем полученные выражения
для усилий иа концах стержней подставлять в те же
уравнения (5.321). в которых продольные усилия и уз-
ловые нагрузки будут представлены в антисимметрич-
ной форме. Ниже приводим типовые уравнения равно-
весия узлов пространственной циклически симметричной
рамы при симметричной и антисимметричной нагрузках,
полученные после проектирования усилий (5.322) для
четырех стержней, сходящихся в узле л, п на осн У, W, Т
(рнс. 5.104).
Рис. 5.104
Перед некоторыми неизвестными перемещениями
стоят два знака: плюс и минус; верхние знаки относят-
ся к случаю симметричной (четной) гармонической на-
грузки, нижние —к антисимметричной (нечеткой) на-
грузке. Для сокращения записи индекс k при главных
неизвестных <р и 6, а также одинарные и двойные чер-
точки над ними и другими величинами опущены.
I.	Уравнение равновесия моментов относительно
оси V:
Е Mv = 0; T,v [ 6* 4-6* 4-46* (2 + cos И)] -
—Фр с*—фу cj +ф7[о^ 4-а(* 4-2о*(2 + cos46)cos-yj —
-фр	—Ф? »* ±ф1sin » sin у- ±
6а*	126*	е
±6? —- sin 49 ± 6* —-— sin 46 cos —----
/j	•$	2
_ Г а	4	12»*	в
|------—— — (2 +cos») sin —+
L •₽	Ч *s	2
6dJ
+б£ -Т~ ~ti — — 2 Mv' = О.	(5.336)
/р	It
2.	Уравнение равновесия моментов относительно
осн W:
Е Mw = 0; фУ J о* 4-af* 4-2в? (2 4- cos 46) cos -у J -
-фр2?-фУ о, +фГ[*$ +5?-Н®(1 + cos») +
4-46 *(2 + cos 46) cos» y-j — ф*'♦ -ф7 с? ±
±фГ ( £ —26* si" » sin в) ±бУ —- sin 46 cos-^- Т
•з	2
Тб? у- Sin 46 cos» -у +6ST [	+
ч	2	|_ Ip If
-y- — TMw =0.
ч
(5.337)
+3a*(l + cos 40) sin 61 —в?	4-б[
J *р
3.	Уравнеипе равновесии моментов относительно
оси Г:
Е(ИГ=О; Тф^ 2a* sin 46 sin у-±
±ФУ ( $ - 26?) sin 48 sin 6 + фУ 2 [ 6» +6» +
4-i* (1 — cos 46) cos»	4- 26* (2 — cos 46) sin» —1 4-
2	2 J
+<J»P +фГ Ь? +бУ T—Г - — (2 - JW) x
L *p ч ’s
, el 3» а
xslnT]-6₽ V4'T_
Г d" d?	Id»
— y- — 3as*(l—cos») sinO j
d? 6flX	A
—б7у-ТбУу-51п46вш> —— zXir’ = O. (5.338)
4.	Уравнение равновесия проекций сил на ось V:
6a*	12b F	A
SV = 0; ±фУу—5ш46±ф^у—sin46cos —+
т Г d? d? 6*
+Ф, I ——12—(1—cos
Г И

8?
+ 24-f (1
8р 8?
~ f b9	tf9 \
3|-7siniS|>p + -7sin2*') +
5.9. ЦИКЛИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЕ РАМЫ
309
12а“
4- —— (I — cos АО) cos
$
|-]+erysin?’f’p +
„	т 12<£	о
+e7 у sin 2$,±6j —— sin АО sin у +
+ {{[(%-*p)sin % + (b* -Ьр) cos%] sin %^£+
Я(^П«п*,+К-вГ)х
X cosit>(] sin ф/ ^~|| — E<iv’ = 0.	(5.339)
Если пренебречь продольной деформацией стержней
рамы, то в уравнении (5.339) выражение, заключенное
в двойные фигурные скобки, заменяется двучленом
—.Vp sin фр + Л"/ sin ф(.
где Nf, Ni — продольные усилия в меридиональных
стержнях sp н st.
5.	Уравнение равновесия проекций сил на ось W:
£Щ = 0; ^ф? 12 7" sin АО cos — Т
*	/,	2
„ 6а"	е „ Г d» d'!
а"	1 т ач, „ $
-з ~Г (1 - cos АО) sin е I -фГ у +<р<г у -
•г	J 'р Ч
Мб»	bVt \
— sin 2ф + — sin 2ф>, I+
ti * ii 7
ба*	е
+ —(1 — cosA0)cosy
+6₽-fsin2fp +
*о
ьЧ	Г «К	«У
+бГ>п2ф, + 6Г ^ + -^- +
ч	L '₽	ч
246"	el	„ Ч
+ -^-(1 - COS*9) cos» у -6^ ——
*Х	I	*П
«У 126?	И
у Т6,г — sin АО sin 6+ [[[( бУ-б£) зтфр +
¥ ~6р) cos Фр] cos Фр	+ [( бу -еу) sin ф, +
+ ( 6.В’ ~бГ) cos 4>J cos ф( -у- +
+4 ( «7 cos у- sin Т6Г sin -у- cos у) х
X cos -у sin у • -у5-|| - Z $“" = 0.	(5.340)
Если пренебречь продольной деформацией стержней,
то в уравнении (5.340) выражение, заключенное в двой-
ные фигурные скобки, заменяется трехчленом
—Np cos фр + Nt cos ф( ± 2Nn sin у.
Здесь Np\ — продольное усилие в стержне много-
угольника. соединяющего узел 0 с узлом /.
6. Уравнение равновесия проекций сил иа ось Т:
%	%	б1
у-12 у (1-J-cos АО) sin— I-
Ч	2 J
ST = 0; —фУ
-<£+фГ
*р
£ 6ах	е
+<₽* у—ф^у ТфГ y-sin AOsin»—- Т
•р Ч	Ч	*
12а*	9
±«У -у- sin АО sin у т
„126Г	тГб£ 66?	246"
sinAOsinO + бЛ —+ —+ — X
А 1	66г	66?
X (1 + cos АО) sin* у	Cf y-T
J	^p
TII4 (o7 cos у sin у T «[stay COS у) X
X sin У cos у - -y|| - 2	= 0. (5.341)
Если пренебречь продольной деформацией стержней
рамы, то в уравнении (5.340) выражение, заключен-
ное в двойные фигурные скобки, заменяется выраже-
нием
6	№
TA'0l2cosy tgy.
В уравнениях (5.335) — (5.340) приняты следующие
обозначения:
°? =	*s)sin 2>Ч о? = (*р~ 4,р) sin 2фр; а* =
= (•’?“ 4/?)sin 2lh; °р = (‘р + Ч) sin =
= (if + 2i?) sin 2ф/. 6» = 2ф 6’ = 21J; 6? = 2if; 6j =
= 2i,; 6"= i*sin2x-|-ifeos’x; “б" = cos2 x 4.
+ i2s sin’x; 6* = I* sin2 фр + 4i*cos^p; bf =
= i* sin2 Ф, + 4i2 cos* фр 6* = cos*фр + 4i2 sin* фр;
6,* = i? cos2 ф( + 4i, sin2 фр c* = t* sin2 фр—
— 2i2cos2<Jip; c*= ifsin2^ —21?соз2фр ~cb=i‘co^%—
— 2i* sin2 фр-, "q =«? cos2 ф< — 2iJ sitffy; d» = 6iJ X
310
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Xsin dp = 6iJ sin фр; d<f = 6i|fsin ф,; dj = 61J sin ф(;
^р = 64"созфр; Т^, = 6|рсо5фр; d" = 6i" cos ф(;
6
dj = 6iJ cos ф(; d®= 2i* sin2 —;
g% = I2i"sin^p; gj = ia* Sin2ipp; g" = 12i"sin2 фр
gj=iajsin2i|>/; g"= 12г"с052фр; (? = !2i* cos2^
"jy = lajf cos2фр "jJ = 12 i{cos2ф(
Здесь:
2A1V*. SAI1"*, EA4T>—суммы относительно осей V, V,
T амплитуд реактивных моментов па концах стержней
раыы в рассматриваемом узле от симметричной или со-
ответственно антисимметричной внешней нагрузки, оп-
ределяемой k-м членом разложения в (5.331). Эти мо-
менты вычисляются в предположении, что стержни, схо-
дящиеся в узле s, жестко защемлены по концам; в сум-
мы также входят внешние моменты, приложенные непо-
средственно к рассматриваемому узлу;
SQK», SQ"*, ZQT’ — суммы составляющих вдоль
осей V, W и Т амплитуд реакций иа концах стержней,
сходящихся в узле s, при действии симметричной нлн
соответственно антисимметричной внешней нагрузки, оп-
ределяемой й-м членом разложения ряда (5.331). Реак-
ции вычисляют в предположении полного защемления
концов стержней, сходящихся в узле. В суммы входят
и внешние силы, приложенные непосредственно к узлу.
После совместного решения уравнений типа (5.336) —
(5.341). составленных для всех ярусов раыы. и опреде-
ления величин главных перемещений можно по фор-
мулам (5.332) и (5.333) вычислить перемещения всех уз-
лов рамы н по формулам (5.322) найти усилия иа кон-
цах стержней.
Количество неизвестных в уравнениях типа (5.335)—
(5.346) при действии нагрузки, определяемой одним из
членов тригонометрических полиномов (5.332), можно,
как было указано выше, сократить с шести до четырех в
каждом ярусе, если пренебречь продольными дефор-
мациями стержней. Приравинв1я нулю продольную де-
формацию стержня л, (л+1), получим:
при симметричной нагрузке
6г=6гс1ву tgy;	(5.342)
при антисимметричной нагрузке
Ьт = — fi^ctg *-tg-y .	(5.343)
Аналогично для стержня меридиана
—I
вУ = 2 6jW'(=*e'l>,_2-ctg’l/_i)-67ctgi)>J (5.344)
1=1,2...
При помощи дополиитель гых условий (5.341) —
(5.343) можно из шести главные перемещений в каждом
ярусе исключить два. Тогда для каждого многоуголь-
ника рамы необходимо составить три уравнения равно-
весия моментов относительно осей V, ж, Т. Четвертое
уравнение равновесия проекций сил составляется для
части рамы, отсеченной так, чтобы в это уравнение не
входили продольные усилия в разрезанных стержнях.
В некоторых случаях вместо уравнения проекций при-
ходится составлять дополнительное уравнение равно-
весия моментов снл, действующих на отрезанную часть
рамы.
5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ 1
5.10.1. Прямые тонкостенные стержни
с жестким поперечным сечением
и пренебрежимо малой жесткостью
свободного кручения [12]
К этой категории относятся открытые профили, со-
гнутые из тонкого листа, при отношении ширины стен-
ки (полки) к толщине, превышающем 20—30; они обла-
дают незначительным сопротивлением свободному (не-
стесненному) скручиванию н в то же время достаточно
большой поперечной жесткостью. Сюда же относятся
открытые цилиндрические оболочки, усиленные часто по-
ставленными поперечными диафрагмами нлн ребрами.
Неподкреплеиные открытые цилиндрические оболочки в
первом приближении также рассматриваются часто как
топкостенные стержни с жестким поперечным сечением
с последующим учетом в случае необходимости дефор-
мации контура поперечного сечення (см. первое изда-
ние. 5.10.5, 5.10.6).
При недепла||ируюшсм сеченнн (угольник, тавр,
крест) стержень близок к кинематической цепи с бес-
конечным числом степенен свободы, н крутящих момен-
тов воспринять не может. При депланируюшем попереч-
ном сечении стержень является системой с одной сте-
пенью свободы деформации, так как может свободно
1 Рассматриваются стержни с открытым профилем. Стержни
с замкнутым профилем см. (90].
скручиваться вокруг осн центров изгиба с малым отно-
сительным углом закручивания #к-<р« и одинаковой
депланацней всех сечений te(s)=— 0Ku(s). Здесь
<i>(s) — ординаты главной эпюры секториальиых пло-
щадей, подсчитанной при полкке в центре изгиба и ну-
левой начальной точке (см. 5.3.3—5.3.10).
Для неподвижного прикрепления такого стержня не-
обходимо и достаточно семи связей. Пример прикрепле-
ния на рнс. 5.105,с эквивалентен полному защемлению
одного торца, создающему препятствие трем линейным
н трем угловым перемещения я, а также депланации
торца. Одни из опорных стерженьков может быть заме-
нен прикрепленной к стержню планкой, препятствующей
деплаиацни.
Пример на рис. 5.105,6 типичен для статически оп-
ределимого прикрепления открытых цилиндрических
оболочек и открытых пролетных строений. Обычно в
плоскостях вертикальных опор ставят усиленные диаф-
рагмы.
Напряженное состояние в п< перечном сеченнн харак-
теризуется семью усилиями, нз инх три (<?„ Q>, /Ик)
связаны с касательными напряжениями и четыре (JV,
Мж, Мв, В)—с нормальными напряжениями.
Реакции в статически определимой системе определя-
ются из шести условий равновесия твердого тела и
седьмого условия, выражающего равенство нулю или
наперед заданной величине бнмомеита на одном из
торцов или в одном из поперечных сечений.
Эпюры для усилий Q,, Qy, Ик, N, Мх, Му строят по
5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
311
обычным правилам для стержней с массивным профи-
лем. пользуясь для первых трех усилий осями с нача-
лом в центре изгиба 0, а для трех остальных — осями с
началом в центре тяжести 0 (см. 5.1.6).
Эпюра В строится как интегральная эпюра от эпю-
ры XfK-MK, причем рекомендуется пользоваться анало-
гией между стесненным кручением и изгибом, которая
отражена в формулах для напряжений (5.86) и рас-
пространяется иа эпюры.
Рнс. 5.105
Сущность аналогии. В результате приведения нагру-
зок к типам усилии (см. 5.3.10) получают крутящую и
бимоментную нагрузки. На рис. 5.106, а, б показаны два
варианта условного изображения сосредоточенных кру-
тящих моментов L, и бимоментов С. Аналогично изоб-
ражаются распределенные нагрузки. Выясняются напе-
ред заданные перемещения н деформации, включая
действие опор, препятствующих закручиванию (фк“0),
и опор, препятствующих депланацин (6ж«»фк—0).
В табл. 5.20 слева перечислены активные факторы к
эпюры, относящиеся н стесненному кручению, справа —
соответствующие активные факторы и эпюры, относя-
щиеся к изгибу.
На рис. 5.106, в показана балка, моделирующая тон-
костенный стержень по рис. 5.106,6; левой опоре, пре-
Рис. 5.106
Таблица 5.20
Аналогии нагрузок и эпюр при стесненном крученнн
и изгибе прямых стержней
Стесненное кручение (жесткость £7^)		Изгиб (жесткость Е/ж)
Факторы	Крутящая момент- ная нагрузка Бнмоментная на- грузка	Поперечная сило- вая нагрузка Моментная нагруз- ка
Эпюры уси- лий и пере- мещений	Эпюра крутящих моментов стесненного кручения Эпюра бимомеитов Эпюра углов за- кручивания Эпюра относитель- ных углов закручива- ния (меры деолана- цнн)	Эпюра поперечных снл Эпюра изгибающих моментов Эпюра прогибов Эпюра углов пово- рота сечений
пятствуюшей закручиванию и деплаиации, отвечает за-
щемляющая и вертикально неподвижная опора; второй
опоре, препятствующей только закручиванию, но ие
препятствующей деплаиации, отвечает вертикально не-
подвижная опора. Крутящему моменту отвечает сила,
сосредоточенному бимомеиту, — сосредоточенный изги-
бающий момент.
Четыре эпюры, перечисленные в табл. 5.20 слева,
строят, как четыре эпюры, указанные справа, причем
для эпюр перемещений вместо £/» берут £/ш. Обычно
достаточно построить только эпюры М. и В, которые
строятся как эпюры Q н М моделирующей балки.
Аналогия распространяется и иа расчет статически
неопределимых балок На рис. 5.106, в система одни раз
статически неопределима.
При расчете на стесненное кручение стержней с пре-
небрежимо малой жесткостью свободного кручения ис-
пользуется весь аппарат расчета балок.
Данные для суждения о возможности пренебречь
жесткостью свободного кручения 6/ж см. 5.10.2.
5.10.2. Тонкостенные стержни
с жестким поперечным сечением
и конечной жесткостью свободного
кручения [20, 18, 156, 2]
К этой категории относятся строительные прокат-
ные профили. При G/я—*0 полный крутящий момент
воспринимается касательными напряжениями стеснен-
ного крученнн, равномерно распределенными по толщи-
не стенок (Л/и—Ли). При G/ячЬО полный крутящий
момент воспринимается как иапряжеинями свободного
кручения (Мж). так и напряжениями стесненного кру-
чения (Ди). Момент является производной от бнмо-
меита В. Поэтому бимоменты при 6/ач*-0 получаются
меньшими, чем при б/ж-М). Это уменьшение зависит от
величины Ы, где
t =
(5.345)
Для суждения о влияния величин Л и А/ иа эпюру
биомоыентов н значение макс В служит табл. 5.21,
5.21а.
312
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕЕ ЫХ СИСТЕМ
Эпюры бимоментов [7]
Схема бруса н моде- лирующей балки	Эпюра бимоментов	Уравнение эпюры бимоментов				max В	Примечание
ъ	^2—	в(ч-в(п chH flU) — " AchH ’ В (г) — — '"к |Н oh * (1 - г) _ *<*« — ch М + ch fai				maxfl — С; В (0) Ca^ b(d-2*£.<4	Пувктвром DO- казава эпюра В прн G/K —0. Ор- динаты эпюры изгибающих мо- ментов. модели- рующей эпюру бимоментов. от- ложены от сжа- того волокна
8М	W г	jS		B(z)-Bro)?l’.*(|--i,4- sh А/ sh Ы n	shfcz				В (0) Ш1Н В (/j; L* * Vе»	
а* лр~1 и*							
%		В (z) -JU*.		*	Cb-* 2 Г. d,*l	_ * Ml		
				ch «- 2			
		*					
		В (x) - * 2 b(z)=2jl k*	chAz—ch A		(i"«)	£k_Lo. npaz- —; B(0)-2H ; В (-!)- —	О	
			Г i-	sb-! Mch*|	2 Hl		
	Г 1			2sh — 2 J			
В последовательном порядке даны схемы брусьев
и моделирующих балок; эпюры В=М“0Ж, причем пунк-
тиром показана эпюра В=М“ОК при G/к-М); уравнение
эпюры В. выраженное через гиперболические функции
sh Az в ch Az; значение макс. В, равное значению макс. В
при G/«-*0, умиожеииому иа коэффициент а.
Значении коэффициентов О|,...,аа приведены в
табл. 5.21 а. Пользуясь данными для макс.в, можно про-
извести предварительную оценку влияния G/. на работу
стержня.
Расчет при произвольной крутящей нагрузке выпол-
няется вутем интегрирования дифференциального урав-
нения стесненного кручения:
—	— тк	(5.346)
или в форме ,v_Aj- = 2!!к..
И»
С/к
Здесь А’= ~	; т„ — интенсивность распределения
крутящей монентиой нагрузки; <р— угол закручивания.
Общее решение диффе[енциального уравнения
(5.345) или (5.346) по методу начальных параметров
имеет вид (значок «к» опущен)
MJ = X?ochte+eoAshlz+ РЦ;
В, = В„ ch Az + Я> + 1ДЛ;
К
М2 = м2 — Т11 = GIKq’ =
= Мо - ВоА sh Az + Яо (1 — ch Az) + |mJ;
Ф* = <Po + ту®"2 + тг' 0 - ЛСД +
G/K G/K
Az—shAz ,
+ VK-------—+»J-
(5.347)
При развертывании грузовых членов учитывается,
что сосредоточенный момент Lt в сечении х—и< дает
5.10. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ
313
К табл. 5.21 а
Коэффициенты с....с« для вычисления макс. В
ы	Ot	Qi	a,	Oa			<h	0s
0.0	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1,0000	1.0000	1.0000
0,1	0,9960	0,9972	0,9976	0,9992	0.9984	0.9996	0.9999	0,9995
0,2	0,9800	0,9869	0,9902	0,9966	0,9952	0.9984	0.9994	0.9988
0,3	0,9566	0.9710	0.9782	0.9926	0.9912	0,9980	0.9986	0,9974
0.4	0,9250	0.9499	0,9624	0,9868	0,9832	0.9968	0.9975	0.9952
0,5	0.8868	0,9242	0,9430	0.9796	0.9744	0,9948	0.9960	0.9926
0.6	0,8435	0,8961	0.9210	0,9710	0,9640	0,9928	0.9941	0.9894
0,/	0,7967	0,8634	0,8970	0,9610	0.9512	0.9900	0,9920	0.9858
0.8	0,7477	0,8301	0.8716	0.9496	0.9376	0.9868	0,9896	0.9815
0.9	0,6977	0.7959	0.8456	0.9076	0.9224	0.9836	0.9868	0.9767
1.0	0.6480	0.7616	0.8194	0.9242	0,9056	0,9796	0,9638	0.9714
1.2	0,6522	0.6947	0,7676	0.89»	0,8696	0,9712	0,9768	0.9594
1.4	0,4649	0.6324	0,7188	0.8534	0,8296	0,9612	0.9688	0.945S
1.6	0,3880	0,5760	0.6740	0,8300	0,7880	0.9500	0,9599	0,9299
1.8	0,3218	0,5260	0,6334	0.7958	0.7464	0.9376	0,9498	0.9129
2,0	0,2658	0,4820	0,5970	0,7616	0,7040	0.9244	0,9390	0,8944
2,5	0,1631	0,3946	0,5214	0.6786	0,6024	0.8872	I 0.9093	0,8435
3,0	0.0993	0,3317	0,4632	0.6034	0.5112	0.8468	0.8764	0.7881
3.6	0.0600	0,2862	0.4170	0.5380	0.4328	0.8044	0.8415	О.7ЭО5
4.0	0.0366	0.2496	0.3792	0.4820	0.3672	0.7616	0.8061	0.6727
5.0	0,0135	0,2000	0.3210	0.3946	0.2680	0.6788	0,7363	0.5632
6.0	0,496-10—1	0,1667	0,2780	0.3316	0,2000	0,6036	0,6717	0.4670
7.0	0.182-10“*	0,1429	0.2450	0.2852	0.1536	0.5380	0.6)38	0.3861
6.0	0,671-10“*	0,1251	0.2188	0.2498	0,1208	0,4820	0,5631	0.3199
9.0	0,247-10“*	0,1111	0.1976	0,2222	0,0968	0,4348	0,6187	0,2666
10,0	0.900-10“*	0,1000	0.1800	0,2000	0,0790	0.3948	0,4801	0,2239
11.0	0.334-10“*	0.0909	0.1652	0.1818	0.0656	0,3608	0.4463	0,1893
12.0	0.123.10“*	0.0833	0.1528	0.1666	0.0553	0,3316	0,4170	0,1617
13.0	0,452-10“2	0,0769	0,1420	0,1538	0.0472	0,3068	0.3905	0,1392
14.0	0,166-10-J	0,0714	0.1326	0,1428	0.0407	0,2852	0,3673	0,1209
16.0	0.612-10“*	0,0667	0.1244	0.1334	0.0355	0.2664	0,3467	O.1058
скачок, равный Lt, только в эпюре ЛГ в эпюре же та
скачка нет (возникает только налом эпюры);
при z > щ
[7JJ = Li ch к (z — uf);
[ej = 4-Z./Shfc(z —сД
[M,]=Ll[l-chk(t-uln.
[фт! =	ДН* (z — ч) — sh к(г — ut)].
(5.348)
Ю-------у (ft(d—с) +
+ sh к (а — d) — sh к (z—с));
+ chA(z—d) — ch к (г—c)l.
(5.349)
Равномерно распределенная крутящая моментная
нагрузка m на участке от z—с до z—d. Общие формулы
выписаны для случая z>d; при c<z<d полагают d—z,
прн 0<z<c полагают добавочные члены в квадратных
скобках равными нулю:
|77ж] =-? [sh*(a —d)-sh*(z—с)];
R
(BJ =	[ch k (г — d) — ch к (z — с) J;
Г
(5.349)
Граничные условия
Таблица SZ2
№	Граничные условна (дла торца)	Математиче- ское выра- жение
1	Отсутствие стеснения для депланацин .	fi-0
2	Отсутствие стеснения для закручивания	м^+ХГ,,—о
3		ф' -Si-o К	К
4		’и-0
314
РАЗДЕЛ S. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Уш !-ГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕ »ЫХ СИСТЕМ
Начальные параметры определяются яэ граничных
условий (табл. 5.22)
Пример 6.1в. Стальная швеллерная балка № 16а
длиной 1—150 см полностью защемлена левым концом,
правый конец свободен. По всей длине балка нагру-
жена крутящей моментной нагрузкой постоянной ин-
тенсивности т—2000 kFcmJcm. Определить усилия в за-
щемлении.
Выбрав начало отсчета па левом койне из граянч-
ного_условвя (3), имеет Af0—0. Из условия равиозесня
Af—М+М имеем
Я = Мв = mJ = 2000-150 = 300000 кгем.
Полагая с—0 в d—1. получаем уравнение эпюры бн-
момеитов:
Вг = Вл chfe + ^-sh*z + 77- [ch* (г—I) — ch kJ.
* ft’
Из граничного условия (1) иа свободном конце
Bi—0 находим бимомент в заделке:
В = - —• (*l sh «-ch *1 +1).
**ch*Z
Принимаем £—2,1 • 10е кГ/си’ G—0.8-10* кГ)см\ По
первому нздвиню табл. 7.6 геометрических характери-
стик прокатных профилей для швеллера № 16а имеем
*—0,0295 Мем. Находим
*1 = 4,425; ch *1 = 41,802; sh*1 = 41,790;
— 41,802+1) = 78600 кГсм*.
Напряжения определяются по правилам, изложенным
в 5.3.9 и 5.3.10.
Многочисленные примеры см. [18, 20]. Неразрезиые
тонкостенные брусья см. [17].
Замкнутые (трубчатые плт коробчатые) депланирую-
шие профили с жестким поперечным сечеинем обладают
значительной жесткостью свободного кручения, вследст-
вие чего нормальными напряжениями стесненного круче-
ния обычно можно пренебречь. Однако для вытянутых
сечений учет эффекта стеснения иногда бывает необхо-
дим. Для полной реализации этого эффекта необходимо
принимать меры к обеспечению поперечной жесткости
профиля.
Дифференциальные уравнения стесненного кручения
для замкнутых профилей аналогичны (5.346) и (5.346'),
с той разницей, что
G/w
*» = р ——; /ли = ртк.	(5.350)
Здесь
ц=|--^-,	(5.351)
— так называемый коэффициент деплаиаиии,
где /> — момент инерции замкнутого профиля при сво-
бодном кручении: Z« — направленный полярный момент
ннерцнн (см. 5.3.2).
С указанными нзмененнямп в отношении *’ нагру-
зок решения (5.347) — (5.349) остаются в силе. Для не-
деплаиирующнх замкнутых профилей /а-/с, ц=0 к эф-
фекта стеснения ие возникает.
Многочисленные числовые примеры см. [2,165].
Аналогия с растянуто-изогнутой балкой. В случае
6/н-*0 для расчета стержня на стесненное кручение
вводятся моделирующая балк1, прн GZ.^O моделиру-
ющая балка является растянуто-изогнутой, причем рас-
тягивающая сила N—GIB. Для стержня на двух опорах,
препятствующих закручиванию в не стесняющих депла-
иацпн торцов, моделирующей является простая балка
иа двух ояорах. Используя приближенную формулу для
прогиба посередине пролета, основанную на замене
эпюры прогибов синусоидой ос[ =
получаем для случая стесненного кручения
ш	Ф°р _ Ф°р
фср С1КР И*Р
(5.352)
п*£/ш
Бимомент посередине пролета
VVC/Ap- (S.353)
Здесь нуликом отмечены величины, получаемые в
предположении 6/к-Н).
Приемы расчета тонкостенных стержней, основан-
ные иа использовании rpi тонометрических рядов,
см. [26].
6.10.3. Кривые тонкостенные стержни
и арки с жестки»! поперечным
сечением [69]
На рис. 5.107 показан плоский кривой разветвленный
тонкостенный стержень с пре!ебрежнмо малой жестко-
стью свободного кручения, полностью защемленный па
одном конце (7 связей) и свободный иа другом конце
(с) и па копие тонкостенного отростка. Работа этой
статически определимой крнве линейной консоли от на-
грузки в плоскости кривизны никаких особенностей не
представляет. На рнс. 5.107, < показаны сосредоточен-
ные нагрузки, вызывающие из*иб перпендикулярно пло-
скости кривизны н кручение: изгибающий момент Z.»,
Рис. 5. 07
S.II. КОНСТРУКЦИИ ТИПА СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
315
крутящий момент LK, бимомеит С и сила, перпендику-
лярная плоскости кривизны Т. Определение усилий (по-
строение эпюр) Qx, AfB, делается по общим пра-
вилам.
Бимомент в произвольном сеченнн m от нагрузок,
действующих между свободным концом к сечением, оп-
ределяется по следующим правилам. Изображается
ось центров изгиба стержня (рис. 5.107.6). Моменты £
и L. изображаются по правилу левого винта в виде
векторов — моментов волнистыми стрелками, бимомеит
С изображается дуговой стрелкой, сила Т — кружком с
крестиком (при обратном направлении силы Т кружок с
крестиком заменяется кружком с точкой). Векторы —
моменты L, и поворачиваются на 90° против часо-
вой стрелки. В повернутом положении они изображены
пунктирными волнистыми стрелками. Сила Т, направ-
ленная от наблюдателя (как в данном случае), рассмат-
ривается как сток равномерно распределенной Крутя-
щей моментной нагрузки интенсивностью Т кГ-см/см.
действующей от точки приложения Т до защемления е.
На усилия в сечении m действует «цепочка» Tdm. Би-
момент в сечении m вычисляется как изгибающий мо-
мент:
1) от сосредоточенного момента, численно равного
внешнему бимоменту С: 2) от снл, равных повернутым
векторам — моментам LB и LB; 3) от силовой цепочки
Tdm. Последний момент равен произведению 7"Qr, где
вг — удвоенная площадь сегмента с хордой тТ и ду-
гой mdT;
Bm = C-Le'e-L^-Tar- (5-354)
При наличии нескольких сосредоточенных факторов
вводятся суммы факторов, а распределенная моментная
или силовая нагрузка дает соответствующие интегралы
Расчет тонкостенного стержня с обоими свободными
концами, прикрепленного четырьмя параллельными стер-
жнями и тремя стержнями, лежащими в одной плоско-
сти. а также кольцевых стержней см. [158].
Бесшариирная арка. Расчет тонкостенной аркн на
нагрузку в плоскости кривизны (3 лишние неизвестные)
делается по общим правилам расчета арок (см. 5.6.3).
Расчет иа нагрузку, вызывающую изгиб из плоскости
кривизны и кручение (4 лишние неизвестные), может
быть выполнен иа основании статико-кинематической
аналогии, развитой применительно к тонкостенным стерж-
ням [158]. Подобно тому как статически неопределимые
изгибающие моменты арки, нагруженной в своей плос-
кости, получаются по трехчленной формуле внецеитреи-
иого растяжения — сжатия [5.6.3, формула (5.214)]. так
и здесь статически неопределимые бимоменты получают-
ся по четырехчлеиной формуле виецентреииого растяже-
ния— сжатия стержня с открытым тонкостенным профи-
лем и толщиной стенки
<♦ = 77-.	(5.355)
На рис. 5.108,а показана арка с сосредоточенными
нагрузками С, Lb, L*. Т (аналогично рнс. 5.107). на
рнс. 5.108,6— соответствующий фиктивный тонкостен-
ный профиль, который предполагается нагруженным
фиктивной нагрузкой интенсивностью
р*= —,	(5.356)
где В" — бимомеиты в основной системе.
Бимомеит в любом сечении арки (ш) определяется
по формуле
(рф /Ф £Ф дФ \
*“1'+<5“’
Если пренебречь деформацией от изгибающих и кру-
тящих моментов по сравнению с деформацией от бимо-
ментов. то характеристики фиктивного профиля вычис-
ляются по формулам
рФ=С_^. /Ф=С»!*.
J Е1а ж J
iflds
—; 'о

(5.358)
Этот метод применительно к спаренной арке подроб-
но рассмотрен в [69] (там же см. некоторые примеры яо
расчету рам).
Стержни к кольца с круговой осью и конечной жест-
костью свободного кручения подробно рассмотрены в
разделе 9.
5.11.	КОНСТРУКЦИИ ТИПА СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
Составным стержнем называется система параллель-
ных стержней, соединенных связями того нлн иного ви-
да. Под это понятие подходят как пакеты деревянных
брусьев, соединенных продольными и поперечными свя-
зями, так и многоэтажные рамы, а также двух- к много-
поясные фермы с параллельными поясами. Представле-
ние о работе составного стержня облегчает приближен-
ный расчет многих сложных сооружений.
Многоэтажные рамы под горизонтальной нагрузкой
На рнс 5.I09.O показана рама, нагруженная силами
вдоль ригелей. Когда жесткость ригелей весьма велика
по сравнению с жесткостью стоек, то ригели обычно
считают абсолютно жесткими, рассматривая раму как
вертикальный трехпоясной стержень с абсолютно жест-
кими планками (рис. 5.109,6). Если пренебречь удлиие-
316
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
явный стоек, то точки перегиба стоек (нулевые точки
моментов) лежат посередине высоты каждого этажа.
Поперечная сила каждого этажа, равная сумме выше-
лежащих нагрузок, распределяется между стойками
этажа пропорционально их жесткостям EI, что дает воз-
можность построить эпюру моментов каждой стойки.
Рассматривая далее каждый ригель как упругую иераз-
резную балку, нагруженную над опорами заданными
Рис. 5.109
внешними сосредоточенными моментами от стоек, по-
лучают эпюры моментов ригелей.
Если, наоборот, ригели слабы по сравнению со стой-
ками, то в запас прочности для стоек пренебрегают из-
гибиой жесткостью ригелей, рассматривая их как шар-
нирно прикрепленные распорки составного стержня,
обычно нерастяжимые (рис. 5.109,в). В предположении,
что жесткости стоек всех этажей для каждого этажа
пропорциональны одним и тем же числам, например
Е1ц'.Е1ц:Е1^ — и1:п1:ла(с = 1, 2, 3,.. .6),
устанавливают, что нагрузки рамы распределяются
между стойками пропорционально их жесткостям. Так
же и эпюры моментов в стойках имеют ординаты, про-
пораиональные жесткостям стоек. В действительности
ригели не являются ии абсолютно жесткими, ии шар-
нирно присоединенными к стойкам. Можно получить
уточнение первого приближения, сочетая оба решения и
исходя из принципа минимума потенциальной энергии.
Обозначим изгибающие моменты от сил Р по первому
варианту расчета через Л4,р. по второму варианту —
через Mtf. Уточненные моменты берем в виде суммы:
Мр—	(1—т]) Afgp, (3.359)
где Л—неизвестное число, которое определяется из
условия минимума энергии.
Энергия равна:
Подставляя Мр из 5.359, дифференцируя по т) и при-
равнивая производную нулю, исходим (5.360):
f Mlpdx yi "* MlpM2pdx
2jJ ~ёг ~ 2j,I	ei
W 2£j	|
Входящие сюда интегралы относятся в данном случае
только к стойкам и вычисляютсс по правилам «перемно-
жении эпюр» (см. 5.7.4).
Дальнейшее уточнение можег быть выполнено одним
из известных методов (см., иа тример, 5.7.3.).	-
Многоэтажная миогопролетиая рама с равными прб-
летами. При соблюдении следующих условий: 1) вс4
промежуточные стойки в пределах этажа имеют одина-
ковую жесткость, а крайние стейки — половинную жест-
кость; 2) каждый ригель имеет постоянную жесткость;
3) ригеля считаются иерастяжпмымн, — расчет на дей-
ствие горизонтальной узловое нагрузки выполняется
точно и сводится к расчету одной симметричной много-
этажной рамы, у которой же:ткость левой и правой
стоек составляет половину жесткости промежуточных
стоек заданной рамы. Схема замены трехпролетной ра-
мы тремя однопролетными, нагруженными одной третью
обшей нагрузки, показана иа рте. 5.110.о. Если постав-
ленные условия полностью ие удовлетворены. напрнмер.
крайние стойкн имеют такую же жесткость, как проке-,
жуточные (рис. 5.110,6). то сначала заданная рама
представляется в виде рамы, удовлетворяющей требо-
ваниям, и двух отдельных стэен. Заданные нагрузки
приближенно распределяются между этой рамой и стой-
ками, исходя из принципа минимума энергии, как ука-
зано выше: нэ каждой силы Р часть т]^ передается на
раму, часть (I—т))₽ —на две стойкн. Если обозначить
через Л1|Р моменты от сил Р в раме (они определяются
в соответствии с рас. 5.110.с), через /И5Р —моменты от
сил Р в стойках (определяются элементарно, как для
консоли), то величина т) найдутся по формуле (5.360).
Каркасно-папельиые < истемы [89, 90]
В первом приближении элементы каркаса считаются
работающими только иа продольные усилия, а силы вза-
5.11. КОНСТРУКЦИИ ТИПА СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
317
имодействия между каркасом и отдельными панелями
считаются сдвигающими (касательными). Каждая пря-
моугольная панель в сечениях, параллельных краям,
работает только иа одинаковые по величине касатель-
ные усилия, которые распределены вдоль сечения рав-
номерно. т. е. как бесконечно малый элемент в условиях
чистого сдвига. Это представление о работе панельной
стены отвечает схеме тонкостенной фермы (см. 10.1.5)
Рнс. 5.111
при условии, что сосредоточенные нагрузки передаются
только в узлах.
Степень статической неопределимости системы рав-
на степени статической неопределимости фермы, у кото-
рой каждая панель заменена раскосом. Стена иа
рис. 5.111,0 статически определима. Ее можно рассмат-
ривать как вертикальную консоль, защемленную ниж-
ним концом. Касательные усилия в панелях равны:
<?1-а Сг-з Зз-ч
«1-2=-у-;вг-э= ь ;«з-1=-^—;
Продольные усилия в стойках пропорциональны изги-
бающему моменту в консоли:
Продольные усилия в ригелях следуют закону тре-
угольника с максимальным усилием, равным нагрузке Р.
Вообще интенсивность роста продольного усилия
вдоль стержня каркаса равна разности погонных каса-
тельных усилий в панелях, примыкающих к стержню.
Зная усилие Na иа одном конце стержня А—В и каса-
тельные усилия в примыкающих панелях и q„, мож-
но сразу определить усилие иа другом конце стержня
(рис. 5.111.6):
(5.361)
На рис. 5.111, в показана четырежды статически неоп-
ределимая система. Е качестве лишних связей выбраны
четыре панели и соответственно в качестве лишних не-
известных приняты четыре погонных касательных уси-
лия Хь Ха, Х< (рис. 5.111, а). Неизвестные опреде-
ляются нз четырех канонических уравнений метода сил.
Свободные члены и коэффициенты уравнений вычисля-
ются по формулам:
о
6'* = У 77 f NiNkdx+У П.
£1 J	Ы Gt
(5.362)
Первая сумма распространяется иа все
стержни, вторая — иа все панели (/7 —
площадь панели, t — толщина панели),
I
j NpNidx = — [ЛрД (2 ,VM + /Vtfi)+
+ Л’гв(2Л'(в + Л'м)] •
Составная балка с поясами,
работающими на изгиб, и стенкой,
работающей на сдвиг (рис. Б.112)
Расчет основан на следующих допу-
щениях: 1) закон плоскости ие имеет
места для всего сечения, ио остается в
силе для поясов, 2) средняя стенка
передает равномерные касательные уси-
лия и создает связь между поясами по
вертикали, обеспечивающую нх одинаковый прогиб. Нор-
мальных иапрнженнй в поперечном сечении стейка ие
передает.
Расчет иа поперечную нагрузку. Полные изгибающие
моменты № необходимо распределить между одинако-
выми моментами М, обоих поясов и моментом Mi-Nth
продольных снл поясов:
Л4° = 2М, + Mt.
Эпюра моментов Мг получается в результате инте-
грирования дифференциального уравнения:
A1J—Лй2 = —-y-XW. (5.362)
Имея моменты Л12. можно получить моменты Aflt
продольные усилия в поясах, а также поперечные силы
в стенке Qi—M^, погонные касательные усилия в стен-
ке q—Qi/h, а также прогибы балки о. Кроме того, про-
гибы могут быть получены путем интегрирования диф-
ференциального уравнения
o'V_xV = --^-A1o + ^-.	(S.363)
В этих уравнениях
£ — модуль упругости поясов;
/1 — собственный момент инерции одного
пояса;
. FiT
It = — — • — момент инерции составного стержня без
318
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
учета собственных моментов инерции
поясов;
h — расстояние между центрами тяжести се-
чения поясов;
1 =/>4-2/1 —полный момент виерции сечения состав-
ного стержня;
6 — модуль сдвига материала стенки;
Гу — эффективная площадь стенки при вычис-
лении ее деформации сдвига. В данном
случае Fy~hctt.
Балка является частным случаем миогопоясного состав-
ного стержня с упруго деформируемыми связями сдви-
га и недсформируемыми поперечными связями. Решение
для таких стержней охватывает и случаи составной
балки.
Рнс. 5.112
5.12.	О РАСЧЕТЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ЭВМ
В настоящее время в СССР для ЭВМ различных ти-
пов создано несколько сотен программ для расчета
стержневых систем. Наиболее интересными среди них
для проектировщика являются так называемые универ-
сальные программы, которые могут быть использованы
для расчета любых стержневых систем (в пределах
ограничений, установленных программой) или же до-
статочно широких классов таких систем. Универсаль-
ные программы превратились в обычный «инструмент*
для расчета и используются в десятках проектных орга-
низаций страны.
В качестве примера ниже даются краткие сведения о
ряде универсальных программ для расчета стержневых
систем ив ЭВМ «Мииск-22> и ЭВМ «Мииск-32> в режи-
ме совместимости с <Мниск-22».
Система СМ-5 для автоматизации расчетов
стержневых конструкций [104—107]
Система предназначена для статического и динами-
ческого расчета (в упругой линейной постановке) иа
ЭВМ «Мниск-22> любых плоских стержневых систем со
степенью статической неопределимости до 122. Как пра-
вило, расчет выполняется методом сил, но возможен
также расчет смешанным методом. С помощью систе-
мы СМ-5 можно рассчитывать также некоторые типы
пространственных конструкций, конструкции иа упругом
основании, конструкции с односторонними связями н не-
которые другие типы нелинейно деформируемых систем.
В систему СМ-5 входят блоки динамического расче-
та, которые позволяют определять собственные часто-
ты н формы колебаний, сейсмическую нагрузку, ветро-
вую нагрузку с учетом пульсаций скоростного напора
ветра, загружать линии влияния сейсмическими и вет-
ровыми силами, рассчитывать сооружение яа вибрацион-
ную нагрузку.
В системе автоматизированы все этапы расчета, кро-
ме выбора ссновной системы, который осуществляет ин-
женер, готовящий исходные данные для расчета. Под-
готовка исходных данных требует хорошего понимания
работы рассчитываемой конструкции и знания строи-
тельной механики; в то же время от инженера не тре-
буется знания программирования. Затраты времени иа
подготовку исходных данных в зависимости от слож-
ности конструкции составляют от 2 до 25 ч (для особо
сложных конструкций — до 50—60 ч). Время расчета
иа ЭВМ <Мннск-22> составляет для стержневых систем
различной сложности от 2 до 100 мин. Исходная рас-
четная схема конструкции готовится инженером-проек-
тировщиком и имеет вид обычного задания на расчет
вручную. На основе такой схемы ннженер-расчетчнк со-
ставляет исходные данные по форме, предусмотренной
инструкцией к программе.
Основные результаты работы системы — прогибы и
усилия в стержнях — печатаются иа бумаге и записы-
ваются иа заданные места магнитной ленты; в таком ви-
де они могут быть использованы как исходные данные
для работы других программ. Кроме того, в процессе
счета для проверки правильности аадаиня исходной ин-
формации с помощью программы ВИЗИР-1 н одной нз
программ серии КОНТУР [108] может быть получена
перфолента с записью геометрической схемы сооруже-
ния; после ввода в устройство вывода графической ин-
формации получают эту схему в графическом виде. Та
же схема может быть выдана по окончании счета по
программе с указанием рассчитанных усилий.
Программа имеет ряд количественных ограничений.
Основные нз них: число неизвестных при произвольной
основной системе не более 122, при специальной основ-
ной системе, приводящей к коднагональной матрице пе-
ремещений, — не более 127; общее число снл, действую-
щих в основной системе (не считая так называемых
вторичных сил), — до 320, число узлов—до 255, число
различных величии сил — до 100.
Программа МАРСС-105 для расчета плоских
и пространственных стержневых систем [109]
Программа реализует иа ЭВМ «Мннск-22> расчет
плоских или пространственных стержневых конструкций
по смешанному методу при специальном виде основной
системы. За неизвестные усилия принимаются неизвест-
ные метода сил в предположении, что все соединения
системы жесткие (для этого предварительно накладыва-
ются связи иа подвижные сочленения в любом месте
S IS. О РАСЧЕТЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ЭВМ
319
системы). За неизвестные перемещения принимаются
перемещения по направлению наложенных иа систему
жестких связей. Кроме стержневых систем по програм-
ме можно рассчитывать некоторые плоские и простран-
ственные континуальные системы типа балок иа упру-
гом основании, плит, оболочек, для чего необходимо
произвести стержневую аппроксимацию сплошной кон-
струкции.
Подготовка исходных данных для расчета по про-
грамме предельно упрощена, не требует специальных
знаний по программированию и в большинстве случаев
может быть выполнена средним техническим персона-
лом, знакомым с основами строительной механики. Ис-
ходные данные содержат информацию о структуре
стержневой системы, геометрических размерах, жестко-
стях стержней и внешних воздействиях иа конструкцию.
Формирование основной системы осуществляется авто-
матически.
Результатами расчета являются внутренние усилия
(продольные и поперечные силы, крутящий и изгиба-
ющий моменты), в концевых поперечных сечениях каж-
дого стержня. В программу включены те же блоки для
расчета иа динамические воздействия, что и в систему
СМ-5, поэтому по МАРСС-105 можно получить все ре-
зультаты для такого расчета, перечисленные в предыду-
щем пункте. Результаты выводятся либо иа узкую бу-
мажную ленту, либо в виде таблицы со словесными по-
яснениями — иа широкую печать. Время решения
задачи на ЭВМ зависит от параметров конструкции:
числа стержней, стеяени статической неопределимости,
количества внешних параметров, а также от характери-
стик основной системы, формируемой па ЭВМ. Обычно
оно колеблется от нескольких минут до 1,5—3 ч.
Основные ограинчеиия программы: 1) n=n)-|-n1<
<500, где Л| —степень статической неопределимости
системы в предположении, что все соединения стержней
между собой и закрепления в опорных точках непод-
вижны; П] — сумма степеней свободы всех подвижных
сочленений; 2) число стержней не более 510; 3) число
сил нс более 180.
Программа СИДР-12 для статического и динамического
расчета многоэтажных рам [110]
Программа предназначена для расчета на ЭВМ
«Мниск-22> плоских многоэтажных ортогональных рам
с элементами постоянного и переменного сечения прн
наличии бесконечно жестких участков в узлах рамы.
С помощью программы можно рассчитывать рамы как
регулярные, так и нерегулярные (с пропущенными
стержнями). Стержни могут быть закреплены в узлах
рамы жестко, шарнирно, а также иметь любую податли-
вость иа поворот. Рама может иметь упруго-податливые
опоры по любому заданному перемещению.
Статический расчет рам выполняется программой по
методу распределения узловых моментов защемления.
Прв расчете учитывается только иэгибная жесткость,
т. е. перемещение зависит только от первого члена фор-
мулы Масквелла—Мора (®<г— j* ^<1- Можно
учесть интеграл ст поперечных сил. вычисляя соответст-
вующим образом жесткости элементов. Интеграл от про-
дольных сил учесть прн расчете нельзя. Программа осу-
ществляет также динамический расчет рам на свобод-
ные колебания; учитывается динамическое воздействие
пульсаций скоростного напора для ветровой нагрузки и
вычисляются усилия от сейсмической нагрузки; произво-
дится учет совместного действия нагрузок и подбор ар-
матуры в элементах рамы. Основные количественные ог-
раничения программы: число элементов до 256, число
линейных смещений ие более 50.
Исходные данные содержат информацию о жестко-
стях и длинах элементов рамы, о нагрузках иа эле-
менты. о структуре рамы, коэффициенты передачи и т. д.
Предусмотрена возможность сокращенной записи ин-
формации прн наличии регулярности в раме.
При расчете рамы в полном объеме программа выда-
ет следующие результаты: матрицу единичных реакций,
матрицу единичных перемещений, динамические харак-
теристики рамы, результаты расчета рамы иа отдельные
загруженни (перемещения, эпюры узловых моментов,
продольных и поперечных сил), комбииацин усилий в
элементах, требуемую площадь арматуры и др.
Программа КАРРА-5 для расчета ортогональных
плоских стержневых систем [111]
Программа КАРРА-5 использует метод перемещений
и решает практически те же задачи, что и программа
СИДР-12, но несколько отличается от нее по количест-
венным характеристикам: число стержней ие должно
превышать 112. число неизвестных метода перемеще-
ний—60. число стержней, для которых требуются зна-
чения эпюры М в промежуточных точках — 57. Инфор-
мация для расчета должна содержать сведения о гео-
метрической схеме рамы, длинах и жесткостях стержней,
данные о нагрузках, а также некоторые дополнительные
параметры. Результатом расчета по каждому эагруже-
яню являются перемещения связей, эпюры моментов,
поперечных и продольных сил (узловые значения), эпю-
ры моментов в пяти промежуточных точках назначен-
ных стержней. При расчете на сейсмические нагрузки
печатаются периоды собственных колебаний рамы и
сейсмические силы по первым трем тонам собственных
колебаний. Кроме того, выдаются расчетные комбина-
ции усилий, а для железобетонных элементов — площа-
ди продольного п поперечного армирования.
Приведенные выше примеры наглядно демонстриру-
ют широкие возможности универсальных программ для
расчета стержневых систем. Следует иметь в виду, что
с развитием вычислительной техники, с увеличением объ-
ема памяти и быстродействия ЭВМ будут появляться
все новые программы с возрастающими количественны-
ми характеристиками, использующие все более точные
методы расчета. Использование ЭВМ позволяет сокра-
тить продолжительность расчетов, проводить миогова-
рнаитный счет, осуществлять выбор наиболее рациональ-
ного варианта конструкции. (См. также 1.23).
' Для некоторых периодических изданий приняты сокращен-
ные обозначения:
«Известии высших учебных заведений» — ИВУЗ:
«Строительная механика и расчет сооружений» — СМРС
«Исследования по теории сооружений» — ИТС
«Расчет пространственных конструкций» — РПК
Первое издание настоящего тома Справочника проектиров-
щика — I мзд.
320
РАЗДЕЛ 5. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УПРУГОГО СТЕРЖНЯ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ЛИТЕРАТУРА’
I.	Афанасьев А. М.. Байков В. Т.. Гем мер*
л и и г А. В. и др. Сборник задач го расчету тонкостенных кон-
струкций (под ред. А. А. Уманского). Оборонгиэ, 1941.
2.	Афавасьев А. М., Калинин Н. Т.. Мерь-
ив В. А. Основы строительной механики. Оборонгиэ. 1951.
Э.	Безухов Н. И. Рамные конструкции. Расчет и конст-
руирование. Гостех нздат, 1931.
4.	Безухов Н. И.. Гольденблат И. И. н др. Тео-
рия сопротивления материалов. Ч. 1 к II. Академия
нм, Ф. Э. Дзержинского. 1959.
Б. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Фнзмат-
гиз. 1962.
6. Б и р г е р И. А., 111 о р р В. Ф., Шнейдерович Р. М.
Расчет ва прочность деталей машин. Машгнэ. 1959.
7. Бычков Д. В. Строительная механика стержневых
тонкостенных конструкций. Стройнздат. 1962.
6.	Вайнберг Д. В., Чудиовскнй В. Г. Простран-
ственные рамные каркасы инженерных сооружений. Гостсхнэ-
двт Украины, 1948.
9.	Вайнберг Д. В.. Чудяовскнй В. Г. Расчет про-
странственных рам. Стройнздат Украины. Киев. 1964.
10.	Винокуров Л. П. Строительная механика стержне-
вых систем. Ч. 1—111. Изд. ХГУ. Харьков. 1960.
11.	Винокуров Л. П. Деформирование бруса н меха-
ническое сопротивление материалов. ХИСИ. 1962.
12.	В л а с о в В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Фнзмат-
гиз, 1958.
13.	Власов В. 3. Тонкостенные пространственные систе-
мы. Стройнздат, 1958.
14.	Гарелкнк Б. Г. К расчету без раскосных ферм л
жестких рам. Собр. соч.» т. I. АН СССР. 1952.
15.	Г а з а р я н А. Н., К а н а я о в Н. К. Распределение
моментов. 1-е изд. 5.8.1.
16.	Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материа
лов. Фнзматгнз. 1950.
17.	Гвоздев А. А. Общий метод расчета сложных ста*
ти чески неопределимых систем. МИ ИТ, 1927.
18.	Глушков Г. С. Инженерные методы расчетов на
прочность и жесткость. Маш.. 1949.
19.	Г л у ш к о в Г. С.. К о о ы л е и к о. Сопротивление
материалов. «Высшая школа».
20.	Г о л ь в и к Э. Р. Расчет косоопертых тонкостенных
стержней. РПК. вып. 10. 1965. вып. II. 1967.
21.	Горбунов Б. Н.. Кротов Ю. В. Основы расчета
Пространственных рам. Стройнздат. 1936.
22.	Горбунов Б. И., Стрелецкая А. И. Теория
рам из тонкостенных стержней. Гостехтеоретиздат. 1948.
23.	Горбунов Б. Н.. Стрельбнцкая А. И. Расчет
прочности тонкостенных стержневых систем. РПК. вып. I. 1930.
24.	Г о ф н а я Ш. М. Расчет плоских и пространственных
рам способом группового последовательного уравновешивай ня.
Труды Института сооружений АН УзбССР. вып. 1. 1950.
25.	Г р а ч С. А. геометрические характеристики плоских
сечений. «Мехтеп». Фрунзе. 1967.
26.	Д а р к о в А. В.. Кузнецов В. И. Статика соору-
жений. Трансжелдорнздат. 1951.
27.	Джанелидзе Г. Ю.. Пановко Я. Г. Статика
упругих тонкостенных стержней. Гостехтеоретиздат, 1948.
28.	Д л у г а ч М. И. О расчете тонкостенных стержней, уси-
ленных решеткой или планкаын. РПК. вын. 1. 1950.
29.	Жемочкнн Б. Н. Расчет рам. Стройиздат. 1965.
30.	3 а в р н е в К. С. Расчет арочных мостов. Трансжелдор-
вздат. 1956.
31.	Изюмов С. М.» Кудрявцев И. Н.. Оли-
сов Б. А. Сборник задач по сопротивлению материалов.
Стройнздат. 1940.
32.	Камевцев П. А. я Дучннский Б. Н. Бе с шар-
нирные арочные мосты. Транспечать. 1928.
33.	Ка н С. Н. Прочность замкнутых н открытых пнлынд-
рнческнх оболочек. РПК. вып. 6. I960.
34.	К а в С. И.. Школьный П. А. Приближенный рас-
чет тонкостенных брусьев я цилиндрических оболочек с откры-
тым деформируемым сечением. I изд. 8.10.6.
35.	К а н н Г. Расчет многоэтажных рам. Стройнздат. 1965.
36.	Качурян В. К. Расчет бссшерннрных симметричных
сводов. «Советская наука». 1942.
37.	К н Р п я ч е в В. Л. Яншине неизвестные в строитель-
ной механике. Гостехнздат. 1933.
38.	К в с е л е в В. А. Балкн н рамы ва упругом основа-
нии. Стройнздат. 1936.
39.	Киселев В. А. Рациональные формы арок и подвес-
ных систем. Стройиздат. 1953.
40.	Киселев В. А. Строительная механика. Стройиздат.
1067.
40а. Киселев В. А. и др. Строительная механика в при-
мерах я задачах. Стройнздат. 1968.
41.	Клейм Г. К- Применение способа распределения мо-
ментов к расчету пространственных рам. Институт Моссовета.
Сб. трудов, вып. I. 1949.
42.	К о г а н Л. А. Расчет пространственных рам по мето-
ду распределения моментов защемления. ИТС. вып. VI. 1954.
43.	К о р н е в и ц Э. Ф.. Эндер Г. В. Формулы для рас-
чета балок и плит на упругом основании. Стройнздат. 1932.
44.	К р ы л о в А. Н. О расчете балок на упругом основа-
нии. АН СССР. 1930.
44а. Кузьмин Н. Л.. Рекач В. Г.. Роэенблат Г. И.
Сборник задач по теории сооружений, под ред. И. М. Рабино-
вича. Стройиздат. 1950.
45.	К у т у к о в Б. Н. Расчет регулярных плоских систем
и бнконструкцнй методом бесконечной основной системы. РПК,
вып. II. 1951.
46.	Кулешов Ю. И. О расчете составных балок учетом
упругой и пластической деформации связей. Труды ЛПИ, б,
1949.
47.	Львнн Я. Б. Рациональные методы расчета много-
этажных рам на горизонтальную нагрузку. ИТС. вып. VIII. 1959.
48.	Меламент Л. И. Расчет балочно-рамных систем без
решения совместных уравнений. Труды Высшего военно-морско-
го училища, 1955,	8.
49.	М а л н е в А. С. Балки па упругом основанни с пере-
менным по нх длине коэффициентом постели. Труды ЛИСИ,
вып. 6. 1938.
50.	Миекладзе 111. Е. Некоторые задачи строительной
механике. Гостехтеоретиздат. 1948.
51.	Н н к н ф о р о в С. Н. Сопротивление материалов. Строй-
нздат. 1944.
52.	Новпцкнй В. В. Приближенные методы расчета на
прочность замкнутых цилиндрических оболочек с неизменяемым
контуром поперечного сечеяия. РПК. вып. IV, 1958.
53,	Осипов В. П. Расчет балок на упругих опорах.
Стройнздат. 1957.
54.	П а п к о в и ч П. Ф. Строительная механика корабля,
ч. 1. Суд пром гнз. 1947.
55.	Пастеряак П. Л. Исследование пространственной
работы монолитных железобетонных конструкций. МИСИ. Сб.
трудов № 4. 1940.
56.	Пастернак П. Л. Основы нового метода расчета
фундаментов на упругом основании прн помощи двух коэффи-
циентов постели. Стройнздат. 1954.
57.	ПерельштеЙн Н. Л. Приближенные методы рас-
чета рам. Справочник инженера-проектировщика промсооруже-
кнй. вып. II. Стройнздат. 1934.
58.	Пиковскнй А. А. Основы теории арок. Трансжел-
дор НЗДАТ, 1954.
59.	Пономарев С. Д„ Бндерыав В. Л., Лиха-
рев К. К. н др. Расчеты на прочность в машиностроении,
т. I—III. Машгнэ. 1956-1959.
60.	Пратусевнч Я. Л. Вариационные методы в строи-
тельной механике. Гостехтеоретиздат. 1948.
61.	Прокофьев И. П. Теория сооружений, ч. I я II.
Трансжелдорнэдат. 1947.
62.	Рабинович И. М. Строительная механика а СССР.
1917—1957. Стройнздат. 1957.
63.	Рабинович И. М. Строительная механика в СССР,
1917-1967. Стройиздат. 1969.
64.	Рабинович И. М. Курс строительной механики стер-
жневых систем, ч. I. Статически определимые системы. Строй-
издат. 1950.
65.	Рабинович И. М. Курс строительной механики
стержневых систем, ч. II. Статически неопределимые системы.
Стройиздат. 1954.
66.	Рабинович И. М. Основы строительной механики
стержневых систем. Стройиздат. 1956.
67.	Раппопорт Р. М. Статика тонкостенных стержней,
составленных нз ветвей, соединенных плавками. РПК. вып. IV.
1958.
68.	Ржвннцын А. Р. Теория составных стержней строи-
тельных конструкций. Стройнздат. 1918.
69.	Р ж а и и ц ы и А. Р. Расчет тонкостенных стержней
ступенчато-переменного сечення. ИТС. вып. V. 1951.
70.	Р о г и ц к н Й С. А. Расчет рам. Машгнэ. 1948.
71.	Рубин ня М. В. Руководство к практическим заня-
тиям но сопротивлению материалов. Росвуэнэдат. 1963.
72.	С е г а л ь А. И. Высотные сооружения. Расчет на проч-
ность. жесткость и устойчивость. Стройнздат. 1949.
73.	С с г в л ь А. И. Прочность и устойчивость судовых пе-
рекрытий. «Речной транспорт». 1955.
74.	С м и р н о в А. Ф. н др. Сопротивление материалов.
МПС. 1961. 1969.
_____75	. Снмннскнй К. К* Нераэрезные балки, нзд. КПИ.
1930.
76.	С и и т к о Н. К. Строительная механика. «Бысшая шко-
ла». 1966.
77.	Снитко Н. К- Расчет рамных сооружений итерацион-
ными методами. Стройиздат, 1962.
ЛИТЕРАТУРА
321
78.	Снитко И. К. Практические методы расчета стати-
чески неопределимых систем. Стройнздат. I960.
79.	Сой бе ль м а н С. М.. Т р о г у и М. Н. Примеры рас-
чета сложных рам по методу распределения моментов. Строй-
издат. 1965,
80.	Сосне П. М. Статически неопределимые системы.
«Буд 1 вельвик». Киев. 1968.
61.	С о с и с П. М.. Хаиадо Б. П. Расчет веразрезных
в вере крестных балок. Стройнздат УССР. 1958.
82.	Тимошенко С.П. Сопротивление материалов, ч. 1
и II. «Наука». 1960-1965.
83.	Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении
материалов с краткими сведениями из теории упругости и тео-
рии сооружений. Техтеоретиздат. 1957.
84.	У и а и с к и й А. А. Схемы инженерных сооружений.
Изд. КП И. 1930.
85.	Уманский А. А. О редуцировании площадей прн
вычислен и и моментов инерции. СМРС. Лй 1. 1959.
86.	Уманский А. А. Специальный курс строительной
механики, ч. 1 — «Балкн переменного сечення. Балки на упру-
гом основании. Решение уравнений. Справочные таблицы».
Стройнздат. 1935.
87.	У м а н с к н й А. А. Специальный курс строительной
механики, ч. 11 — «Многопролетные балки на упругих опорах.
Плоские и пространственные рамы». Стройнздат. 1940.
68.	Уманский А. А. Наплавные мосты. Трансжелдориз-
дат. 1939.
89.	Уманский А. А. Пространственные системы. СтроЙ-
издат. 1948.
90.	Уманский А. А. Строительная механика самолета.
Оборокгнз. 1961.
91.	Уманский А. А.. Вольмнр А. С.. Кода-
нев А. И. Курс сопротивления материалов, ч. 1 и II. Ака-
демия нм. Н. Е. Жуковского. 1953—1954.
92.	Уманский А. А.. Кутуков Б. Н. Расчет нераз-
решим! наплавных мостов. РПК. вып. 111. 1955.
93,	Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. «Нау-
ка». 1967.
94.	Феодосьев В. И. Избранные задачи н вопросы по
сопротивлению материалов. «Наука», 1967.
95.	Филин А. П. Элементы теории арок. ЛИИ ПС, 1963.
96.	Фм л нн А. П., Соколова А. С. Строительная ме-
ханика кор а бла. ч. I. «Речной транспорт». 1967,
97.	Современные методы расчета сложных статически не-
определимых систем. Под редакцией А. П. Филина. Судпром-
гнз, 1961.
98.	Фнлонемно-Бородич М. М. Основы теории ра-
боты упругих сил в плоских системах. Технздат, изд. 2-е, 1932,
99.	Ф и л о н е в к о - Б о р о д и ч М. М. Некоторые Прибли-
женные теории упругого основания. «Ученме аапиекк МГУ»,
вып. 46. 1940.
100.	Фнлоиеико-Бороднч М. М.. И а ю м о в С. М„
Олисов Б. А. н др. Курс сопротивления материалов под
общей редакцией Фнлоненко-Бородич а М. М. Техтеоретш-
даг. ч. I и 11, 1956.
101.	Хаиси Кейнтн. Теория расчета балки на упругом
основании в применении к фундамемтостроедню. Гостехвадат.
1930.
102.	Шагни П. П. Расчет многоярусных рам способом
последовательного сопряжения. Стройнздат. 1954.
103.	Шагин П. П. Расчет сборных каркасно-панельных
зданий. Стройнздат. 1959.
104.	Система автоматнзанни расчетов стержневых конструк-
ций (СМ-5). Отраслевой Фонд алгоритмов и программ оо строи-
тельству (ОФАП). вып. 1-99. М.. Гипротис, 1969.
105.	Инструкция к системе автоматизации расчетов стержне-
вых конструкций (СМ-5). (ОФАП), вып. 1-98. М.. Гипротис, 1969.
106.	Программа автоматизации расчетов стержневых конст-
рукций для ЭВМ «Минси-22» (СМ-5). Дополнение М 1 (ОФАП),
вып. 1-122. М.. Гипротис. 1у7|.
107.	Система автоматизации расчетов стержневых юаструк-
ций для ЭВМ «Мннск-22» (СМ-5). Дополнение М 2. (Расчет
стержневых систем ка динамические воздействия). (ОФАП), вып,
1-131. М.. Гипротис, 1971.
168.	Вывод графической информации (программа КОНТУР-2),
(ОФАП), вып. V-24. М.. Гипротис 1970.
109.	Инструкция по подготовке исходных дапимх для расче-
та плоских и пространственных стержневых систем по орограмые
МАРСС-105. (ОФАП). вып. 1-129. М_, Гипротис. 1971.
НО. Инструкция по подготовке исходных данных для комп-
лексной работы многоэтажных рам по програмые СИДР-12.
(ОФАП). вып. 1-138. М., Гипротис, 1971.
III. Инструкция  программе комплексного расчета плоских
ортогональных стержневых систем методом перемещений для
ЭВМ «Минск-22» (КАРРА-5), (ОФАП), вып. 1-136. Лк. Гипротис,
РАЗДЕЛ 6
МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
6.1.	НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
6.	1.1. Матрицы и нк виды, определители
и миноры
Матрицей А— Цо(,[|тхлиазывается система элементов
at) (в частности, чисел), расположенных в виде прямо-
угольной таблицы из m строк н п столбцов:
°п°1«
°«1П3»
°1Л
«л
2)	скалярная матрица (частный случай диагональной)
3)	единичная матрица (частный случай скалярной)
6 = 116,/II; 6,/=^ ‘. = 1'
бц —символ Кронекера-,
тип —размеры матрицы.
Разновидностями прямоугольной матрицы (тХл)
являются матрица-столбец (mXl), матрица-строка
(1Хп). квадратная матрица (лХл). В последнем случае
п называется порядном матрицы:
Элементы матрицы-столбца (матрицы-строки) можно
рассматривать в качестве координат конца вектора а=
= (Ц|,... о«) в линейном л-мерном пространстве. Ниже
будут использованы оба термина: матрица-столбец и
вектор (обозначение а).
Лнння. на которой располагаются элементы о,,,
о»..... ояп квадратной матрицы А. называется главной
диагональю (элементы aft (I— I,..., л) — главными], па-
раллельные ей линии называются кодиагоналями (эле-
менты I...........л; l^j) —побочными].
Частные случаи квадратной матрицы:
1) диагональная матрица
при изображении матриц, имеющих упорядоченное рас-
положение нулевых элементов, последние не показыва-
ются; для диагональной матрицы в дальнейшем будет
также использоваться обозначение
4)	кодиагоналъная (ленточная) матрица (о,,—0.
|<—7|>Р. р=1. 2,..., л—I); она содержит 2р ненулевых
кодиагоналей (по р с каждой стороны от главной) и
главную ненулевую диагональ; напрнмер. трехднаго-
пальная (трехчленная) матрица (р- 1) имеет анд:
о«1<>цОм
ЛзтОэзЯм
если все элементы в пределах каждой дяагонали (глав-
ной днагоналн н коднагоналей) равны, кодиагоиальная
матрица называется модулированной:
О|/
*0 l = k
= 0 i+i
6.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
323
5) треугольные матрицы: верхняя (правая) треугольная
(ац—0, i>j), нижняя (левая) треугольная (a<j=O.
«Л: А =	ОцСц...О1л Оп- • -Озя	; А =	“И ОцОи	 (6.2)
	°лл		Оп1Олт- • -Одл	
Матрица |)а<;||ЛХ1Пназывается транспонированной (по
отношению н исходной А—Па<11|тхл) н обозначается А',
если ее столбцами служат строки А, а строками —
столбцы А:
	I	•	•		;аиап..	
А = |	a81alfl..	- at„	; А' =	-	
	1				-О|71л1
Матрица-строка прн транспонировании переходят в
матрицу-столбец, а матрица-столбец — в матрицу-строку:
Дважды (четное число раз) протранспоннрованнаи
матрица совпадаете исходной (А')'—А
Матрица, совпадающая со своей транспонирован-
ной (безразличная к перестановке индексов i, j), называ-
ется симметричной: atI—an и А-А'.
Прямоугольная матрица с нулевыми элементами на-
зывается нулевой:
•KIL
Если в прямоугольной матрице А (6.1). размерами
тХл. под каждым элементом понимать также некото-
рую матрицу (называемую подматрицей) AfJ размерами
и»<ХП| (E<n<—m.Snj^n), то такая матрица называется
|«=1
клеточной, или квазиматрицей:
а элементы ее — квазизлементами (подматрицами). По-
следние образуют квазистроки размером т<Хп и каз-
зистолбцы гпХП). Диагональные, коднагональиые и тре-
угольные матрицы называются в этом случае квазидиа-
гональными, квазикодиагональными и квазитреуголь-
ными.
Прн выполнении операции транспонирования над
кваэиматрицемн транспонированию подлежит также
каждый квазнэлемент:
У симметричных квазиматриц А^=А(/в частном
случае могут быть симметричны и сами квазнэлементы:
A<j«Ajf.
Квадратной натрине А отвечает определитель (де-
терминант) |А| — число, найденное по определенному
закону нз элементов матрицы А:
|°п • • • • °1л
.................................
ол1 .... апп
(6.4)
Если |А| =0, матрица А называется особой (вырож-
денной), в противном случае—неособой (невырожден-
ной).
При транспонировании матрицы определитель ее не
меняется:
|А'| = |А|.	(6.5)
Если в прямоугольной матрице А(тХл) вычеркнуть
некоторое число строк и столбцов так, чтобы получить
в остатке квадратную матрицу А-го порядка, то опреде-
литель последней называется минором k-го порядка
матрицы А Общее число миноров А-го порядка равно
Cj, С* т. е. произведению числа сочетаний нэ m и п по А
Рангом г«г(А) матрицы А называется максималь-
ный порядок ее минора, отличного от нуля, r^tnin
(m. л). Число d>=inin(m, п)—г называется дефектом
матрицы. Ранг кулевой матрицы равен нулю, а де-
фект— наименьшему нз ее размеров; ранг неособой
квадратной матрицы равен ее порядку, а дефект — нулю.
Мниоры квадратной матрицы, диагональные элемен-
ты которых являются главными элементами матрицы,
называются главными:
Алгебраическим дополнением Alt элемента а„ квад-
ратной матрицы A—Uo(j|| называется взятый со знаком
(—|)'+э минер элемента atl. Порядок алгебраического
дополнения иа единицу меньше порядка матрицы:
A/ = (-l)'+f
Матрица, составленная нз алгебраических дополне-
ний, называется союзной (взаимной):
6.	1.2. Алгебраические операции над
матрицами
Две матрицы одинаковых размеров A—l|alfflmXn и
В—ВЬ11[тхя называются равными, если
а/1 = Ьц, ( = !...,т; /=1.......л. (6.8)
Алгебраической суммой двух матриц одинаковых
размеров A—Ho<jllmx„ и В-=||6|(|]гахя называется матри-
ца тех же размеров С«|]Од|1тхл,если элементы ее вы-
числяются по формуле
ci/ = ai/ + bi/, (1 = 1....т; /=1.....п).	(6.9)
Сложение матриц обладает следующими свойствами:
А + В = В-|-А; (А + В)-(-С = А-f-(В + С);
А 4-0= А.	(6.10)
324
РАЗДЕЛ в. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНО!! МЕХАНИКИ
Умножение матрицы на скаляр: В=аА определяется
условней
bii = aaif, (I = 1, ... , гк / = I, .... л). (6.11)
т. е. прн умножении матрицы на скаляр каждый элемент
ее умножается на этот скаляр.
Справедливы следующие свойства умножения матри-
цы иа скаляр:
(а-ЬР)А = аА + (1А;
а(А4-В) = аА-|-аВ;	(6.12)
(а₽) А = а (РА) = ₽(аА).
Умножение прямоугольных матриц: Стп =
ш^тр 6рП1 если
р
щ = Е cntbti, (i=l......т; 1=1, ...,п), (6.13)
*-|
т. е. элемент сц матрицы С получается в результате пе-
ремножения с последующим сложением элементов 1-й
строки матрицы А и элементов /-го столбца матрицы В.
Если обозначить через а(строки матрицы А. а че-
рез bj—столбцы матрицы В, то формула (6.13) при-
нимает вид:
61/ II
‘л = а1 Ч = II “п •  • % II \ I (6 14)
1=1......лт. /'=!,...,п bp! II
Из (6.13) и (6.14) следует, что умножать можно
лишь соответственные матрицы, т. е. такие, у которых
число столбцов первого сомножителя равно числу строк
второго.
Умножение матриц подчиняется следующим законам:
а (АВ) = (аА) В = А (аВ);
(А + В) С = АС + ВС;	(6.15)
С (А + В) = СА + СВ.
Если имеют смысл произведения АВ и (AB)D. то
имеют смысл н произведений BD и A(BD). В этом слу-
чае справедливо (AB)D—A(BD).
Квадратную матрицу можно возводить в степень:
А»=АА„.А. при этом принимается, что А°=Е.
_ А’юаз
Произведение двух матриц может равняться нуле-
вой матрице, даже если ин один из сомножителей не ра-
вен нулю. Например,
В этом проявляется своеобразие алгебры матриц (по
сравнению с алгеброй чисел, где ab—0 тогда н только
тогда, когда либо о=0. либо 6=0).
Другая особенность алгебры матриц связана с не-
коммутатнвиостыо умножения. Пусть матрица А имеет
размер mXn, а матрица В — РУ.Ч- Согласно (6.13)
произведение АВ имеет смысл ирн условии р-п. а про-
изведение ВА — прн условии q—m. Оба равенства не-
зависимы. и из справедливости одного нз них не сле-
дует справедливость другого. Даже если р=л и о=ш.
т. е. имеют смысл оба произведения АВ и ВА, инкам
не следует их равенство. Например,
т. е. а1> есть матрица первого порядка — скаляр (произ-
введенне a'b= X п>6* называется скалярным произволе-
ннем векторов а Ь), в то аремя как Ьа* — квадратная
матрица порядка л. Выражение АВ—ВА называется
коммутатором.
Существует большой класс коммутирующих (пере-
становочных} матриц, для которых АВ-ВА. Необходи-
мым. хотя и не достаточным условием коммутации яв-
ляется равенство ы —и—р—q. Степени матрицы всегда
коммутируют: А*А‘=А,А*=А*+|. Полагай 6=1, 1=0,
получим ДЕ-ЕА-А Таким образом, едниичная матри-
ца Е в алгебре матриц аналогична единице в алгебре
чисел.
Транспонирование произведения матриц обладает
следующим свойством:
(е	*
11^1 = 11*^4.1.	<6«6)
в частности (АВ)'—В'А'.
Определитель произведения квадратных матриц ра-
вен произведению определителей сомножителей:
I»	I	л
П*, -П1М.	(6-17)
1-1	I 1-1
Ниже широко используются некоторые частные слу-
чаи перемножения матриц:
Диагональные матрицы являются коммутирующими)
4) а'В = ||о,.
llixn
=S o»6»t ... haitbim
6.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ MATT IU
325
5)
Л
Е "1* хА
л
Е Xjfc
ЛХ1
6.1.3, Обратная матрица. Ортогональная
матрица
Матрица А-1 называется обратной (по отношению
к А), если
АА—1 = А-1 А = Е.	(6.21)
Отсюда следует, что систему линейных алгебраиче-
ских уравиеинйЁо<».	можно записать
в матричной символике:
Ах-=ар	(6.18)
Прн m-п
л л	л
а'Вс= Е Т,щЬцс1= Е Oibjcp, (6.19)
1—1 /-1	<,/—1
Если рассматривать элементы матрицы-столбца как
компоненты вектора в п-мервом пространстве, то лю-
бая матрица А осуществляет линейное преобразование
вектора х в вектор у: у—Ах Поэтому обратная матри-
ца А-* осуществляет обратное преобразование: А_,у—
—А-*Ах—Ех—х, что и объясняет происхождение назва-
ния для матрицы А-1.
Обратная матрица для данной матрицы А единствен-
на. Элементы обратной матрицы могут быть представле-
ны в виде:
|А|	)А| ’
где Aj— алгебраические дополнение элементов a(j,
т. е. элементы союзной матрицы К (6.7).
Однако на практике обращение матрицы А (вычис-
ление А-*) не выполняется по приведенной формуле
(см. а 6.2.3).
Из (6.22) следует, что вырожденные (особые) мат-
рицы (|А|—0) не имеют обратных.
Обратные матрицы широко используются в практи-
ческих вычислениях, например, при решении систем
уравнений:
Ах Эр х -- А Яр-
Обращение матриц обладает следующими свойст-
вами:
Па,^-' = Па^/+11	(6.23)
(А”1)'= (А')-1; |А“Ч = 1/|А|.
Матрица А называется ортогональной, если
А'А = АА' = Е.	(6.24)
Таким образом, для ортогональных матриц справед-
ливо равенство А-1 —А'.
Заметны, что матрица поворота осей координат, ши-
роко используемая в строительной механике, является
ортогональной матрицей.
Особый интерес представляют симметричные ортого-
нальные матрицы. Они совпадают со своей обратной
матрицей. Напрнмер,
1, (=1,..., л.
326
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Определитель ортогональной матрицы называется
ортогональным. Так как операция транспонирования ие
наменяет значения определителя, то |А'||А| = |А|*~
— |Е|— 1. Следовательно, |А| — ±|, т. е. определитель
ортогональной матрицы равен по модулю единице.
можно представить в виде произведения двух треуголь-
ных матриц нижней н верхней формы:
А = СВ
или
«!!••• «1л
• 61л
(6-28)
6 1.4. Норма матрицы
Неотрицательное вещественное число ВАЛ называется
нормой матрицы А, если оно удовлетворяет следующим
четырем условиям:
1)	ВАВ^О, ||А|—0 тогда н только тогда, когда А=0;
2)	ИаАЧ = |а| ЦАЦ, где а —любое комплексное число;
прямыми черточками обозначен модуль числа а;
3)	В А+BIK || А||+И ВЦ — неравенство треугольника:
4)	ЦАВ||<||А||ЦВ||.
Из условья 2 следует, что	А||—ЦАЦ, из условии 2
I 3
(6.29)
СП|
||A|-|B||<BA-B|<|A| + JB|.
Обычно используются следующие три нормы
цы А:
матрн-
«л!	...
По правилу перемножения матриц o1(“c:,Bj. Это ла-
.	.	п (п +1)
ет и* уравнений для вычисления----------неизвестных
элементов Сц (i^j) и такого же числа элементов
6ц (i</). Таким образом, разложение (6.29) выполня-
ется с точностью до неопределенных множителей.
С целью получения однозначного разложения обычно
принимается либо Сц-...—сяя — 1, либо 6ц"..,°6яя — 1.
Первый вариант разложения:
А = CtBi
|А|( »шах2|о{/|;
[АВП = шах2|о..|;
I I
°u аи •
«я
(6.25)
4?. • •«£’
(6.30)
IА1111 —
Последняя называется евклидовой нормой
Для вектора-столбца х'=>|Х|...хяВ эти нормы
соответственно следующие значения:
°Я1
*•1 fljj>
‘пл
имеют
где
(I > /);	= о"'1». (i < j). (6.31)
|х|ц *=£|х,|;
Второй вариант разложения
А = С,В,
(6.26)
«11
! £1!
• «11
Нетрудно проверить, что все приведенные
удовлетворяют условиям 1—4.
Число |x|—J^E|x(|* называется длиной или моду-
лем вектора х. Такны образом, IxQtn = |х|, т. е. норма
вектора согласована с его длиной.
нормы
где
*лл
О1л
°11
“22
(6.32)
Е|о17Р •
|х|1ц=-|/Е|*/|’:



6.1.6. Представление квадратной
матрицы в виде произведения
двух треугольных
А.
Д„ = |А| =
Всякую квадратную матрицу А, если все ее главные
миноры и определитель отличны от нуля:
= |«11 “11L
kai «мГ
°и • • • «1Л
*0,
(6.27)
аи
Если матрица А симметричная, применяется третий
вариант разложения:
А — Bg В3 —
6.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
327
ЬП =	"	,(«,/ = 1..л; I < /). (6.35)
/ой-»
Хотя последний способ и требует вычисления всего
лишь одной матрицы В3. применение его неэффективно
в силу необходимости извлечения п квадратных кор-
ней ,11].
Меньший объем вычислений дает первый вариант
разложения (6.30), принимающий для симметричной
матрицы А вид:
°11
“12 а22*
 • . Х
„ л!1’	а(л-”
п1л°2л • • • °лл
А = в; D-1 В, =
Элементы матриц всех четырех разложений (6.30) —
(6.36) находят по формулам:
, VfLJbl).
“kk
Д=1
2.
(6.37)
Разложение (6.28) позволяет эффективно вычислять
значения определителей:
|А| = |С||В| = П о»-'».
1-1
(6.38)
Замечание. Полагая а (6.38) n=i и n—i— I, най-
дем выражения для главных мнноров Д< —
—л л*1» л<‘~2>	—a fill» л('-2’
—°|1 °’.2 ~°1-1, 1—1 аИ " “1-1 —°11	-°|-1.1-1
Следовательно, диагональные элементы a[f 11 равю--
отношеиию двух последовательных главных мнноров Д3
и Д<-1 матрицы А, если положить До—1:
°«_,’=-д^-• = *......п- <6 39»
Из (6.39) и (6.37) следует необходимость условий
(6.27) для возможности разложения квадратной матри-
цы в произведение двух треугольных.
6.1-6. Собственные значения и собственные
векторы квадратной матрицы
Пусть матрица А осуществляет линейное преобра-
зование вектора х в вектор у: у—Ах. Выберем из все-
возможных линейных преобразований такое, при кото-
ром вектор х переходит в колинеарный (параллельный)
вектор, т. е. растягивается (сжимается) в А раз: у—Ах.
Уравнение, определяющее это преобразование, имеет
вид:
Ах = Ах.
Это однородное уравнение:
(А — АЕ) х = 0.
(6.40)
(6.41)
Условие нетривиального решения его (см. п. 6.2.1) при-
водит и так называемому характеристическому урав-
нению
|А — АЕ| = О	(6.42)
нлн в развернутом виде
Раскрывая в уравнении (6.43) определитель, получим
алгебраическое уравнение n-й степени относительно А:
ф(*) = (-1)'ЧХя-Ь1А',-,+ ...+
+ (—1)яМ = 0.	(6.44)
Коэффициент bk (А—1, ...,п) есть сумма всех диаго-
нальных миноров А-го порядка матрицы А:
п
в частности 6,—	6» — | А|.
1-1
Сумма диагональных элементов матрицы называется
п
следом-. SpA=£ajj. Поэтому bi—SpA.
/—1
Уравнение (6.44) имеет п корней А> (/— 1,.... л). По-
этому его можно записать в виде
Ф(А) = (—1)ЯП (А—А/) = 0«
1—1
328
РАЗДЕЛ в. ЧИСЛЕННЫЕ М 0.1 ЛИНЕИНОИ АЛГЕБРЫ
Раскрывая скобки, найдем, что
61 = Е 1/; 6„ = П X/.
/- i-i
Таким образом,
SpA = 2 Кд
/-1
|А| = ПК/.	(6.45)
/-1
Корни X, называются собственными значениями (ха-
рактеристическими числами) матрицы А. а векторы
Xj^o, удовлетворяющие (640) прн Х-Х,. —собствен-
ными векторами матрицы А. Собственные векторы А в
дальнейшем обозначаются через vj. Совокупность собст-
венных значений X, называется спектром матрицы.
Для определения вектора V; (/— I..п) подставам
собственное значение X, в систему (6.41). Согласно
(6.42) одно из уравнений является линейной комбина-
цией остальных, н его нужно исключить. Пусть из систе-
мы (6.41) исключено А-е уравнение. Поделив оставшие-
ся уравнения на оц и перенеся А-й столбец в правую
часть, получим систему неоднородных уравнений
(л—1)-го порядка:
(А — X/E)V/=а»,	(6.46)
где
Решив систему (6.46), найдем вектор v,. Тогда иско-
мый собственный вектор vj представляется в виде:
V'“ ои |BV............Bfc—1.7*1 ,в*+1.7* ’ * ‘ >вл/ |-
Такны образом, собственные векторы вычисляются с
точностью до постоянного множителя (здесь o*j). Для
устранения неопределенности в качестве этого множи-
теля обычно принимается множитель, нормирующий
длину вектора (см. 6.1.3) к единице, т. е.
0*7 = (2 I «И I’)71 = I V/1.
Тогда
= 7^1 .........в*-1./-’-в*+1.(....B,;j-	(6-48>
Будем считать далее, что собственные векторы v,
всегда нормированы в смысле (6.48).
Собственные векторы, отвечающие различным собст-
венным эначеиням, взаимно ортогональны, т. е.
’<vi=V <./ = l...,n; ць/, (6.49)
где 6<, — символ Кронекера.
Предположим сначала, что все корни X, уравнения
(6.44) простые (некратные). Тогда каждому собствен-
ному значению Х> (j— I,.... п) отвечает один собственный
вектор V,. Составим нз векторов V) матрицу V-
= |V|....у- Она называется фундаментальной (по от-
ношению к А). Вследствие (6.49) это ортогональная
матрица V_,—V'.
Объединяя п векторных равенств Av,-X,v,. (/— I,
..., п), получим одно матричное: AV-VA, где А—
=	—диагональная матрица собственных значе-
ний, называемая матрицей спектра. Полученное матрич-
ное равенство можно переписать в виде:
V-,AV = A	(6.50)
или с учетом ортогональности матрицы V:
V1 AV = А.	(6.51)
Таким образом, матрица А с помощью фундамен-
тальной матрицы V преобразуется к диагональному ви-
ду. Это преобразование называется ортогональным. Пе-
репишем (6.50) к (651) так:
А = VAV- А = VAV'. (6.52)
Полученные выражения называются спектральным
разложением матрицы А.
Обобщением ортогонального преобразования (6.51)
является преобразование подобия
В = S_|AS,	(6.53)
где S—любая неособая матрица. Матрицы В н А, свя-
занные соотношением (6.53), называются подобными:
В~А.
Отметим следующие свойства преобразования по-
добия:
S-’ (А + В) S = S-1 AS + S-’BS;
S-1 (АВ) S = (S“* AS) (S“ *BS);	(6.54)
S-,A-1S = (S-,AS)-’.
Обобщая последние два свойства, запишем для лю-
бого целого положительного нлн отрицательного числа k
S“lA* S = (S“’AS)*.	(6.55)
Подобные матрицы имеют одинаковые характеристи-
ческие уравнения:
IB —XE| = |S_,AS—XS-IES| = |S-,(A —XE)S| =
= |S-1|A —XE|S| = | А —ХЕ|.
Поэтому у подобных матриц одинаковы одноимен-
ные собственные значения
Х/(В) = Х/(А), 7 = 1.....и, (6.56)
6.1. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
329
а также слеш и определители
SpB = SpA; |В| = |А|.	(6.57)
Последние два равенства следуют нэ подстановки
(6.56) в (6.45). Сопоставляя (6.53), (6.55) и (6.56), на-
ходим, что
Х,(А*)=Х*(А). /=1..........п. (6.58)
Установим связь между собственными векторами по-
добных матриц Пусть Xj н V;—собственное значение
и соответствующий ему собственный вектор матрицы А:
Avj—XjVj. Сделаем в этом равенстве линейное преобра-
зование V|o»Suj. Тогда ASuj—XjSuj,откуда S-'ASuj—
—IjUj. Таким образом, собственный вектор подобной
матрицы В—S-’AS равен Uj—S-1Vj, (/-1.....л).
В теории матриц доказывается теорема Гамильто-
на— Кели. согласно которой всякая матрица удовлет-
воряет своему характеристическому уравнению (6.44):
<р (А) = А" — 6, A"-1 + ... + (— I)" 6ЛЕ = О. (6.59)
Из этой теоремы, в частности, следует, что матрица
А" является линейной комбинацией более низких сте-
пеней А. Соотношение (6.59) можно использовать для
вычисления обратной матрицы А~>:
А”1 =	[А"*1 _ Ь, А""2 + ... +
+ (-|)»-,»л_|Е].	(6.60)
Замечаипе. Прн приведении матрицы А к диаго-
нальному виду Л посредством ортогонального преобра-
зования (6.51) предполагалось, что все собственные
значения Х> матрицы А простые.
Пусть теперь собственное значение X», (А= 1,2, ...,п)
имеет кратность а* и ему соответствует ел (^а») соб-
ственных векторов. В теории матриц доказывается, что
в этом случае матрица А посредством преобразования
подобия приводится к квазнднагональиому виду (нор-
мальной форме Жордана}-.
S-’AS = J = {J>(XJ|^1, m<„.	(6.61)
где
IХцО ... О
I1X* ... О
J*(X*)=I°1 - °
о
о
о
(6-62)
О О 1
Ха I.
-е*
При этом характеристическое уравнение (6.44) пред-
ставляется в виде:
<р(Х) = и-АЕ1 = (-1)яП(Х-ХА/* = 0;
м
2 ей = п.	(6.63)
Множители (X—X») *л, (й»1 т) называются
элементарными делителями матрицы А.
Если все элементарные делители простые, матрица
Жордана J совпадает с матрицей спектра Л={Х»}^_1,
причем X* не обязательно простые. Кратные собствен-
ные значения выписываются в матрице спектра столько
раз, какова нх кратность.
Таким образом, спектральное разложение (6.52)
справедливо как в случае простых собственных значе-
ний, так и в случае кратных, но при условии, что им
отвечают простые элементарные делителя
Матрицы, для которых справедливо спектральное
разложение (6.52), называются матрицами простой
структуры. К ним относятся, в частности, вещественные
симметричные матрицы.
В строительной механпке лниейно-деформнруемых
систем матрицы перемещений и реакций являются сим-
метричными вследствие теорем взаимности. Отметим
следующие спектральные свойства вещественных сим-
метричных матриц:
I)	все собственные значения веществеипые;
2)	собственные векторы, отвечающие различным соб-
ственным значениям, взаимно ортогональны;
3)	каждому собственному значению соответствует
столько линейно независимых собственных векторов, ка-
кова его кратность.
В задачах строительной механики встречаются мат-
рицы. для которых известны (или могут быть найдены)
явные выражения для собственных значений и собствен-
ных векторов [12, 21]. Например, матрица реакций для
замкнутой неразрезной балкн иа п равноотстоящих опо-
рах имеет вид:
|О0	01 |
01 о, 01 I
°' ? ? I *	(6.64)
°1	31 °о
El „ Е1
где Оо = 4 — ; 01 = 2 с/ — жесткость панели; I—
ее пролет.
Спектральное разложение матрицы А (6.64) извест-
А = Ц>Лив,	(6.65)
где
л =	\ = По + 20| cos /---;
Ц>=Цг'=5 ц„
, 2л 2л
о,, = cos |/-+ sin ii-.
'an
(6.66)
6.1.7. Квадратичная форма. Пучок
квадратичных форм
Квадратичной формой от о переменных х(.х« на-
зывается однородный полином второй степени:
f W = °ц *1 + • • • +01я X] *п +
+......................+
+ “л1ХЯх1+-"+°яяХ» = Е С//Х/Х/	(6.67)
<./=1
нлн в матричной форме [(см. 6.12)]:
|°11 ••• 01л ||Х1 |
".	: = х'Ах, (6.63)
®-11 спп ОДХл[]
причем	т. е. матрица А — симметричная.
330
РАЗДЕЛ 6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕАНОА АЛГЕБРЫ
Таким образом, каждая квадратичная форма опреде-
ляет симметричную матрицу н обратно.
Определитель |А| называется дискриминантом ква-
дратичной формы.
Пусть матрица В осуществляет линейное преобразо-
вание
х = By.	(6.69)
Тогда
I (х) = х'Ах = у'В'АВу = у' Су = £(у),	(6.70)
где
С = В'АВ.	(6.71)
Матрица С — симметричная: С'=В'А'(В')'=В'АВ=
= С. Матрицы А и С, связанные соотношением (6.71),
называются конгруэнтными, оин имеют одинаковые ранги.
В дальнейшем, если это не оговорено, будем считать
г—п.
Из всевозможных конгруэнтных преобразований
квадратичной формы наибольший интерес представляет
преобразование к каноническому виду (к сумме квад-
ратов) :
е(у)= у'Су = Е
(6.72)
т. е. такое, при котором матрица С является диагональ-
ной С= |с(|"_|. Частным случаем канонического вида
квадратичной формы (6.72) является чистая сумма квад-
ратов:
п
h (z) = z'Ez = Е zj.
<-1
(6.73)
Существует бесконечное множество способов приве-
дения квадратичной формы к каноническому виду. Рас-
смотрим некоторые нз них.
1.	Метод Якобн. Воспользуемся разложением сим-
метричной матрицы (6.36):
А = В[ D-1 В1
Тогда
/(х) = к Bj D~’ В, х.
Сделаем линейное преобразование:
x = Bf‘Dy.	(6.74)
Квадратичная форма /(к) преобразуется в этом слу*
чае к каноническому виду:
f (X) = у' D' (ВТ1)' в; D-1 В, В-' Dy = у’ Dy. (6.75)
В силу (6.39)
Следовательно,
(6.76)
<-i	<—1
Таким образом, суть метода Якоби состоит в приве-
дении матрицы А квадратичной формы х'Ах к треуголь-
ному виду В1 (6.36). При этом величины диагональных
элементов В, являются коэффициентами при квадратах
переменных у....у„ (см. замечание I в п. 6.2.2).
2.	Метод И. И. Гольденблата (8]. Пусть линейное
преобразование координат квадратичной формы имеет
вид:
а = Bj"1 у,	(6.77)
где Вэ — треугольная матрица разложения А=В3В3
(6.34).
Тогда
Дх) = х'Ах = у'(В^1)'ABJ-’y = у’у. (6.78)
Поскольку объем вычислений прн выполнении разло-
жения (6.34) больший, чем при разложении (6.36), этот
метод в практическом отношении уступает методу
Якоби [11].
3.	Метод ортогонального преобразования. Пусть
спектральное разложение матрицы А имеет вид (6.52).
Воспользуемся линейным преобразованнем
х = Vy.	(6.79)
где V — фундаментальная матрица. Тогда
Дх) = х' Ах — у' V'AVy = у' Л у =
п
= Е Ь'У*.	(6.80)
<-1
Таким образом, в этом случае коэффициентами прн
квадратах координат являются собственные эначеиня
матрицы А.
По объему вычислений этот метод также уступает
методу Якобн.
Выше было сделано предположение, что матрицы
квадратичной формы невырожденные (г—п). Пусть те-
перь ранг квадратичной формы (ранг матрицы квадра-
тичной формы) г<п. Тогда каноническое представление
квадратичной формы (6.72) следует записать либо в ви-
де £(У)“У'Су-£с;Л либо в виде (6.72), учитывая прн
!=!
этом, что часть коэффициентов с< (число их равно де-
фекту матрицы d-n—г) равна нулю.
В теории квадратичных ферм доказывается теорема,
известная под названием езакон инерции квадратичной
формы»: прн привеаеинн квадратичной формы к кано-
ническому виду число положительных с и число отрица-
тельных с квадратов не зависит от сяособа приведении.
Таким образом, закон инерции определяет два инва-
рианта квадратичной формы: ранг г=с+с^п и сигна-
+ —
туру о—с-с. Числа с н с называются положительным и
+ — + —
отрицательным индексами инерции.
В задачах устойчивости н свободных колебаний ли-
лейных систем с конечным числом степеней свободы
величина с, называемая степенью неустойчивости систе-
мы. играет важную роль [18, 26]. Поэтому определение
отрицательного индекса инерции с является важной за-
дачей в теориях устойчивости и динамики сооружений.
Из (680) следует, что с и с равны соответственно
числу положительных и отрицательных собственных зна-
чений матрицы квадратичной формы. Однаио вычисле-
ние собственных значений (использование ортогонально-
го преобразования квадратичной формы) связано с боль-
шим объемом вычислений (см. п. 6.2.6).
С.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МТ'ОДАК ЛИНЕПНОП АЛГЕБРЫ
331
Из рассмотренных неортогональных преобразований
квадратичной формы к каноническому виду наиболее
эффективен метод Якобч. Из (6.76) следует теорема
Якоби-, с равно числу знакопостоянен), а с — числу
зиакоперемеи в ряду Якоби, составленном из последова-
тельности главных миноров матрицы квадратичной фор-
мы До-1. Д|, Д2,.... Д» (6.27). Вычисление определителей
требует большого числа операций, поэтому сформулиру-
ем теорему Якоби иначе: положительный с и отрица-
тельный с индексы инерции квадратичной формы х'Ах
равны соответственно числу положительных и отрица-
тельных коэффициентов 11 (i=l, п) разложения
матрицы А (6.36):
-........-•»>
°**
А-1
Определение коэффициентов о}{—требует наимень-
шего объема вычислений, поэтому определение степени
неустойчивости как числя отрицательных коэффициентов
aft лежит в основе качественных методов теории
устойчивости и свободных колебаний линейных систем.
Квадратичная форма называется положительно оп-
ределенной, если при любых значениях вектора х^=о ее
значения положительные, а при х=о/(о)=о. При этом
матрица квадратичной формы А также называется по-
ложительно определенной. Аналогично определяются от-
рицательно определенная и знакопеременная квадратич-
ные формы и матрицы.
На основании закона инерции следует, что необходи-
мым и достаточным условием положительной определен-
ности квадратичной формы является положительность
всех коэффициентов любого ее канонического представ-
ления (6.72). В частности, если все Х<(А)>о или все
главные миноры и определитель матрицы А положитель-
ны, то квадратичная форма положительно определена.
Последнее условие известно как критерий Сильвестра.
Пучком квадратичных форм называется выражение
вида:
А(х) —Х/,(х) = х'Ах—Хх'Вх, (6.82)
где X — параметр.
В дальнейшем рассматриваются только регулярные
пучки, т. е. такие, в которых матрица В положительно
определена. Уравнение
|А— ХВ| = о	(6.83)
называется характеристическим уравнением пучка (обоб-
щенным характеристическим уравнением), в корни его
Xj — собственными значениями пучка. Каждому собст-
венному значению X; отвечает главный вектор пучка и(.
такой, что
Аи/ = X/ Ви/ или (А — X/ В) и/ = о, (6.84)
при этом матрица U-|u......и„Ц называется главной
матрицей пучка. Поскольку главные векторы uj опреде-
ляются с точностью до постоянного множителя, удобно
их выбирать так, чтобы u Buj=6(), т.е. делать нх В-ор-
тонормированными. Тогда U'BU=E. Из уравнения
(6.84) в этом случае следует:
uf Au, — Х| u, Bu, = X,- бу, ((,/ = 1,...,л),
т.е U'AU = Л = (Xj"_,.
Поэтому линейное преобразование
к = Uz	(6.85)
осуществляет приведение регулярного пучка к канониче-
скому виду. т. е. одновременное приведение к канони-
ческому виду обеих квадратичных форм:
х'Ах - Хх' Вх = z'U'AUz — Xz' U'BUz =
n	n
= z'Az — Xz'z = £ X, z, — X. £ zj. (6.86)
<—l '	(-1
При этом положнтельчо определенная форма х'Вх
приводится к чистой сумме квадратов.
Чтобы построить матрицу IJ, представим положи-
тельно определенную матрицу В в виде В—VMV', где
М =	)—матрица спектра; V — фундаментальная
матрица. Воспользуемся линейным преобразованием
x=VM_,/2 у, тогда х'Ах—Хх'Вх=у'Су—Ху'у, где С=
=M—1/2V'AVM—I/2—симметричная матрица. Предста-
вим матрицу С в виде C-WAW'. Здесь A={Xj)"_, —
матрица спектра; W — фундаментальная матрица. По-
ложим теперь y=Wz. тогда х'Ах—Xx'Bx=z'Az—Xz'z.
Таким образом. x=VM~i/Zy—VM—Ч2 Viz. Используя
(6.85), получим:
U = VM-V-W.	(6.87)
Замечание I. Если матрица В не положитель-
но определена, то, очевидно, ие существует матрица
М,/2 = ( (р '!• 1. Поэтому к каноническому виду
могут быть приведены только регулярные пучки.
Пусть собственные значения пучка занумерованы в
порядке строгого неубывания Xt<X2<...<Х„. Тогда
_ г1 + Хг zj + •+ Хя г%
г? + 4 + --+гп
(6.88)
Для получении неравенств (6.88) достаточно пред-
х'Ах
ставить как координату центра л масс, располо-
X Вх
жеиных на расстояниях Х< от начала координат и име-
ющих веса г, (7— 1,..., л).
,	х'Ах	х'Ах
А1 = пип ——— и л„ = max ——— достигаются толь-
X DX	X DX
ко иа главных векторах пучка, соответствующих Х| и X».
х'Ах
Далее. Х( —mln——- при условии х Bui—...—x'Bui_(—О
х Вх
и Х<—max ——— при x Bu1+i—...—x Bu„=0.
х Вх
Можно показать [5], что яэ неравенств:
х'Ах х'Ах х'Ах
х'Вх	х'Вх	х'Вх
следует
А
X/ < X/ < X/, I = 1.......л.
(6.89)
(6.90)
332
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
6.2.	НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
6.2.1.	Общие вопросы решения систем
линейных алгебраических уравнений
Дана система линейных алгебраических уравнений:
си Х1 + • • • + °ш хп — eip!
xi + • - - + апп хп — апр
(6.91)
вли сокращенно
Ах = ар.	(6.92)
Если все свободные члены равны нулю (а,=0), си-
стема называется однородной, в противном случае — не-
однородной.
Если существуют такие эначеиня для неизвестных
хг=х(, (*—1....п), которые удовлетворяют всем урав-
нениям системы (6.91), то она совместна (в противном
случае — несовместна), прн этом матрица-столбец х*
называется решением, а компоненты ее xt — корнями
системы (6.91).
Две системы линейных алгебраических уравнений на-
зываются зквивалентными (равносильными), если каж-
дое решение первой системы является решением второй,
и обратно.
Если решение х«х* совместной системы (6.92) един-
ственно. опа называется определенной, если же число ре-
шений бесконечно, ее называют неопределенной.
Матрица
Иц • • • avt aip
Ао = | ai,..., ал, ар В —
ап1- • -апп ачр
(6.93)
называется расширенной.
Согласно теореме Кронскера-Капелли, необходимым
и достаточным условием совместности неоднородной
системы m уравнений с п неизвестными (системы mxn)
является равенство рангов матрицы коэффициентов А
и расширенной матрицы А.: 'д—гд<»г. При этом, если
г=л, система имеет единственное решенне; если г<л.
система имеет бесконечное множество решении, причем
л—г неизвестным можно давать произвольные значения,
тогда оставшиеся г неизвестных найдутся по ним одно-
значно.
Если т=п и | А| ¥=0, единственное решение системы
может быть определено по формуле Крамера:
“11—0М-1 °1р°М+1
а ... .а„ > » а _ ап .. .. .а
л1 ‘*,1—1 пр n.l-j-i пп
1 = 1.........Л.
Что касается однородных систем линейных алгебраи-
ческих уравнений Ах—0. то они всегда совместны, по-
скольку всегда существует тривиальное (нулевое) реше-
ние х—0.
Необходимым и достаточным условием существова-
ния нетривиального решения однородной системы mxn
является неравенство г<п, откуда следует обычно ис-
пользуемое для систем лХп условие нетривиального ре-
шения
|А| = 0.	(6.94)
Достаточным условием существования нетривиаль-
ного решения системы тХп является неравенство т<п.
Практические (численные) методы решения систем
линейных алгебраических уравнений являются одним из
центральных объектов линейной алгебры.
Все численные методы решения систем линейных ал-
гебраических уравнений можно разделить иа два клас-
са: прямые («точные») и приближенные (итерационные,
релаксационные, вероятностные).
В прямых методах посредством конечного числа опе-
раций, зависящего от порядка системы уравнений, по
строго определенной схеме в принципе могут быть най-
дены точные эначеиня корней. Однако практически ре-
шение оказывается приближенным вследствие погреш-
ностей счета.
В итерационных методах находятся приближенные
значения корней системы, но с любой заданной степенью
точности. Специфической особенностью итерационных
методов являются вопросы сходимости и скорости схо-
димости решения.
Имеется большое число методов (например, метол
минимальных итераций, метод сопряженных градиентов
и т. Д.). сочетающих свойства методов обоих классов.
Как и в итерационных методах, здесь решение получа-
ется квк минимум некоторого функционала, однако ите-
рации обрываются ие позднее n-го шага (4. 33].
Ниже рассматриваются некоторые простейшие чис-
ленные методы решения систем линейных алгебраиче-
ских уравнений и обращения матриц. Весьма полное
освещение этих вопросов и богатую библиографию мож-
но найти (3, 4, 30, 33].
6.2.2.	Метод исключении
Идея метода состоит в последовательном исключе-
нии неизвестных из уравнений системы с целью получе-
ния эквивалентной системы треугольного (схема Гаус-
са) нлн диагонального (схема Жордана, схема опти-
мального исключения [4, 33)) вида, решение которой ие
вызывает затруднений.
Процесс преобразования исходной системы в эквива-
лентную называется прямым ходом, а решение новой
системы — обратным ходом метода исключений.
Пусть дана система линейных алгебраических урав-
нений (6.91). Решение ее методом исключений может
быть выполнено по разным вычислительным схемам.
Схемв Гаусса. Прямой ход схемы Гаусса обеспечи-
вает построение эквивалентной системы верхней тре-
угольной формы. С этой целью каждое неизвестное
Xi(i = 1, ..., и) исключается из всех уравнений системы
(6.91), начиная с (1-|-1)-го.
Так, иа первом шаге неизвестное и, найденное из
первого уравнения, исключается из всех последующих.
Это приводит к системе:
а11х1 + °1гха+ • • + а1п хп =
йч+.-.+^л.^
X Хд(|>х =л(’>
в °д2 * я Т • • •+ ° пл д апр •
6.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ЛИНЕЯНОП АЛГЕГ-РЫ
333
Таблиц* 6.1
а||		°12		°13		°”		!		%		71
°21		°22		“и		“>4		%				
в31		03>		%		%		1				''а
		°42		%		°44		1				
С11-‘	‘и	*12		‘в		*14						
*21		Г22-‘	*22	*33		>24						*2
£31		*32		езз“' |	*33	*34		<*-<£’ 1				'3
*41 3		*42		£«		£«”’	1	1	„ -о'3'	1 *4 "% . ,-п.ь.« гг^иа. ». .				
		1		2						3		-2
2		8		3						•		3
3		1		6		•				21 I		
2		3		1				19 1				6
1	3	1		2				- 1		• 1		
2 3		1	22 3	6 3		4-		т		30		
1		0		1	4	3				18		-
2 3		7 22		_ 19 63		1	313 I 88	5 |		939	Г «	1		S
где e'/,, = “v —< = 2	п: / = 2, После последнего (п—1)-го шага исклкн ма уравнений принимает вид: °их1 + °1Л + • • - + auAi = аий 4J4+-+41’*„=<%?: 4Г,Ч=»5-1’- Коэффициенты о}| **, (<—2	п;/-2,..., деляются по первой нз формул (6.37). Ко называются ведущими гауссовыми томи. Обратный ход Гаусса [решение системы полпяется по формуле: .Г> (<''"Ё Ь-Ж					п р	Замечание 1. . (й«—1) может ення свете- <6.95)	°«’=4; п, р) опре- эффицнеиты Где д. _ главный мни козффициен-	Хотя иа практике числяются по форму: (6.95)] аы- деленный тесретическ частности, следует, ч метричной матрицы А х	печивает приведение г |, (6.96) иическому виду по м< 1	разом, схема Гаусса метода Якобв.				 = 1.....П. Выражение а- быть запне А* °п  • -<WW op fe-ro поряд> гауссовы коэ ie (6.97), она нй интерес (< то гауссово к треугольно квадратичной тоду Якоби I является чис		11 или более общее ано как отношение “1/ *ад‘ •	<6-97) <а. ффнциеиты и ие вы- представляст опре- :м. 6.3.2). Из нее, в преобразование сим* й форме (6.95) обес- формы х'Ах к Хано- ем. 6.1.7). Таким об- менным алгоритмом	
334	 РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Матричная форма метода исключений. Если матрицу
А системы уравнений Ах—а, представить в виде про-
изведения треугольных матриц А—СВ (6.28). то систе-
ма примет внд: СВх=ар. Обозначив у=Вх, получим
два матричных уравнения
Поскольку каждое уравнение имеет треугольную
форму, последовательное решение их не встречает за-
труднений, прн этом первое уравнение (нижняя тре-
угольная форма) решается сверху вниз: Уь Jj..... у». а
второе (верхняя треугольная форма) — снизу вверх:
Разложение А-СВ и решение первой системы Су—
—ар составляет прямой ход. а решение системы Вх—
-у — обратный ход.
В 6.1.5 рассмотрены три варианта разложения А=
—СВ. им соответствуют три вычислительные схемы ме-
тода исключений. Первые две носят название схемы
Гаусса, третья — метод квадратных корней. По объему
вычислений метод квадратных корней устуиает схеме
Гаусса ,11). использующей разложение (6.36).
В табл. 6.1 представлена первая вычислительная
схема.
Для проверки правильности вычислений составляет-
ся контрольный столбец свободных членов
alp = £ at) + о<₽, 1=1......п (6.99)
1—1	_
и определяются соответствующие ему значения у< я
х< (1=1...л). В качестве контроля прямого и обратно-
го хода используются равенства:
й,= £ + УЛ */=х,-|-1, 1=1..............л. (6.100)
/-г
В 6.1.5 приведены необходимые и достаточные усло-
вия (6.27) возможности разложения А=СВ. Очевидно,
они же являются условиями применимости метода исклю-
чений. Если условия (6.27) выполняются, ио один из
главных миноров мал, точность вычислений резко падает.
Поэтому наиболее надежной является схема Гаусса с
выбором главного элемента, отличающаяся от рассмот-
ренной выше тем, что в качестве ведущего элемента иа
каждом шаге исключений (разложения А—СВ) прини-
мается максимальный по модулю (главный) элемент
строки.
Замечание 2. Метод исключений позволяет од-
новременно решать систему уравнений с несколькими
(1) столбцами свободных членов: АХ—Ар, где
апр1---алр/

6.2.3.	Схемы обращения матрицы,
использующие разложение ее
на треугольные множители
Первая схема обращения (см. 6.1.5)
А = СВ; А-1 = В~1 С“*.	(6.101)
Если А — симметричная матрица, то
А = В' О~’В; А-1 = B-*D (ВТ1)'.	(6.102)
Таким образом, обращение квадратной матрицы А
сводится к обращению двух треугольных матриц С и В
((6.30). (6.32)] или одной треугольной матрицы В (6.36).
Пусть Ро — элементы матрицы В-1, а уц—элемен-
ты матрицы С-1. (!,;-!,....п). Они определяются по
следующим формулам:
1—1
• > / ₽1/ = 0: уи = —--------V
си
,	- о 1	1
1 = 1 ₽// = —; Уи =—;
Ьп Си
(6.103)
1-1
КI ₽// = — ~т~ V Р« ft*/; W = о
0/1 "
k=l
Выражения (6.103) получены из условий В~*В=Е и
СС-'-Е Из (6.103) следует, что матрицы В-1 и С"’ яв-
ляются соответственно верхней и нижней треугольной
матрицами.
Вторая схема обращения не требует вычисления
матриц В-‘ н С-1. Она основана иа том. что матрицы
В и В-1 имеют верхнюю треугольную форму, а матри-
цы С и С-1 —инжиюю.
Элементы a<j матрицы А-1 определяются из систе-
мы уравнений:
ВА-1 =С—1 )
А-1 С —В-1 J
(6.104)
Если разлежение А—СВ было выполнено в виде
(6.30): А—С]В|, то из первого уравнения (6.104) опре-
деляются a<j для 1^/. так как в этом случае у» извест-
ны: уи—0 при К/, а ул-1. Из второго уравнения
(6,104) находятся а<> для i>j, поскольку при О / ₽<j— 0.
Таблица 6.2
«.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ЛИНЕЯНОИ АЛГЕБРЫ
335
Если разложение А-СВ выполнено в виде (6.32).
то нз первого уравнения (6.104) определяются a<j для
«</, а из второго — a<j для i^/.
В табл. 6.2 представлена схема обращения матрицы
А, соответствующая разложению А по формуле (6.30).
Вычисления ац необходимо начинать с о«» = 1/6я«.
Если матрица А — симметричная,	что упро-
щает схемы обращения.
Замечание I. Обратные треугольные матрицы
можно использовать для модификации матричной фор-
мы метода исключений (20]. Решение системы уравнений
(6.98) можно искать в виде уиС-1»,; т-В-'у.
Наконец, решение системы уравнений можно полу-
чить путем полного обращения матрицы коэффициентов:
х = А-1 ар.
Эффективность той или иной схемы зависит от фор-
мы исходной системы, вида используемых вычислитель-
ных средств, а также от отношения Г/п, где t—число
столбцов свободных членов, а л — порядок системы.
Замечание 2. Рассмотренные вычислительные
схемы решения систем уравнений и обращения матриц
полностью применимы дли клеточных матриц, если вес
диагональные квазиэлементы последних являются квад-
ратными клетками. При этом, разумеется, операция де-
ления должна быть заменена операцией умножения на
обратную матрицу. Например, первая формула (6.37)
примет в этом случае вид:
А«-’> = Аи-£’А<*-')(А<*-»)-’АГ>.
Эти схемы получили название клеточных.
Сущность метода простой итерации состоит в постро-
ении последовательности приближенных значений век-
тора х по формуле
х'*» = Вх«-,’ + Ьр. 4=1,2,...	(6.108)
Если последовательность приближений х<’>. х’Ч,
х<*>,... имеет предел x=limx<*>, то этот предел является
решением системы уравнений (6.106).
Итерационный процесс (6.108) можно ускорить. Оп-
ределение последовательных приближений х“) в схеме
ускоренной итерации (методе Зейделя) производится по
формуле
х«» = В1Х<« -f- В»х№-" + Ьр, (6.109)
где
14=
о
«н 0_
ini дм • • • о
0 6„- • -61л
- • -bjn
0
(6.110)
В,=
6.2.4.	Итерационные методы решения
систем уравнений
Итерационные методы позволяют получить решение
ие путем однократного выполнения вычислений в соот-
ветствии с определенным алгоритмом, что харак-
терно для прямых методов, а посредством многократ-
ного последовательного выполнения вычислений по од-
ной и той же схеме.
В теория итерационных методов сложными являются
вопросы сходимости и скорости сходимости итерацион-
ного процесса построения решения. Однако для систем
канонических уравнений методов сил или перемещений
в силу симметрии и положительной определенности мат-
рицы коэффициентов сходимость итерационного процес-
са может быть всегда обеспечена.
Схемы простой и ускоренной итерации. Система
уравнений (6.91) записывается в виде:
0 Ьц . . . bin	1
би 0 ... Ьь,	х
6л1 6щ • • • О
(6.105)
или
х = Вх Ър,
где
(6.106)
М = - — . (• * /); 61р = — -	(6.107'
«и	а»
В развернутом виде система (6.IC9) записывается
так:
«Г-	+би4*-,,+ -
х‘*> = 621<	+...
4ч=б31х!4’	+•-
+*зХ*~"+ь2р;
+ *з,<*“,’+63р.
(6.1U)
Таким образом, сущность ускоренной итерации за-
ключается в использовании k—х приближений х;*4,—,
1 при вычислении х}**.
В качестве нулевого приближения х|0> в обеих схемах
можно принимать произвольный вектор, включая нуле-
вой. Однако чем точнее будет задай х<°>, тем меньше по-
требуется воследовательиых приближений.
Процесс повторяется до тех пор, пока модуль раз-
ности одноименных компонент двух последовательных
приближений ие окажется меньше наперед заданного
малого числа е>0.
Обе итерационные схемы являются самоислравляю-
щимися: любая ошибка, допущенная в ходе вычислений,
ие влияет на конечный результат, а лишь отражается
иа числе итераций. Это следует из того, что вектор х<0,
при вычислении которого допущена ошибка, всегда мо-
жно рассматривать как начальное приближение х<®1.
336
РАЗДЕЛ в. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Связь между простой в ускоренной итерациями.
Уравнение (6.109) можно записать в виде: (Е— Bi)*1*1—
- В,х<»->>4-1>,. Тогда 1<‘>-(Е-В,)-'В2х1‘-‘>+(Е-
—В,)-’ЬР, и обозначения (Е—В^-'В^С, (Е— Bj-'b,*»
“С| приводят и уравнению
»“>= Ст'4-1’4-С„.	(6.112)
Следовательно, итерация по Зейделю для системы
(6.106) равносильна простой итерации дли системы
(6.112).
Каи правило, сходимость процесса Зейделя выше,
чем процесса простой итерации. Однако возможны слу-
чаи, когда процесс простой итерации сходится, а про-
цесс ускоренной итерации расходится.
Необходимым и достаточным условием сходимости
процесса простой итерации (6.108) является условие
|А,(В)! <1. (1-1.-, л). Поскольку определение собст-
венных значений матрицы связано с известными вычис-
лительными трудностями (см. 6.2.6). можно показать,
что достаточнее условие сходимости процесса простой
итерации имеет вид 1ВЦ<1, где (ВЦ—любая норма
(см. 61.4, формула (6.25)) матрицы В (6.108). Более то-
го, процесс простой итерации сходится, если модули
диагональных коэффициентов каждой строки (столбца)
системы (6.91) превышают сумму модулей иеднагоиаль-
вых элементов этой строки (столбца), т. е.
Л
|с«|>£|О(/|, < = 1,...,п
ИЛИ	р
л
1М> Е|о</|, / = I..........
(-1
(1*1)
Процесс Зейделя сходится тогда и только тогда, ког-
да |М(С)]<1, 0—1, _ Я), где С—(Е—В,)"!Ва (см.
(6.112). Достаточным условием сходимости процесса
Зейделя является условие |С|<1. Если матрицв А си-
стемы уравнений (6.91) симметричная н положительно
определенная, процесс ускоренной итерации сходится
всегда.
Для улучшения сходимости процесса Зейлеля урав-
нения в системе (6.111) следует располагать в порядке
Л
возрастания величин Ь(% = £	приняв за первое
1—1
уравнение то, в котором эта сумма минимальная. Чтобы
сохранить прн этом цикличность процесса, необходимо
одновременно с перестановкой строк в системе уравне-
ний переставлять н соответствующие столбцы в матри-
це коэффициентов.
Известны теоретические оценки необходимого числа
итераций для получения заранее назначенной точности
решения. Эта оценки, как правило, дают завышенные
значения (10).
Приводящая матрица Н. Переход от системы (6.91)
к (6.105), необходимый для построения итерационного
процесса, в общем случае осуществляется с помощью
приводящей матрицы Н;
Ах — Ир) НАх = Нар; х = Их + Ьв,
где
В=Е —НА; Ь£, = Нар. (6.113)
Приводящая матрица Н назначается так. чтобы обес-
печить сходимость итерационного процесса. Очевидно,
идеальной матрицей Н была бы матрица А"1, посколь-
ку в этом случае уравнение (6.106) принимало бы вид
х=А-‘ар. Поэтому в качестве матрицы Н обычно при-
нимают грубые приближения к А-1, например,
Н = (—, —............—	|,	(6.114)
(Он	“м J
Этот вид матрицы Н как раз н приводит к форму-
лам (6.107). Существенно, что если А —симметричная и
положительно определенная матрица, то процесс итера-
ции для системы, приведенной с помощью матрицы Н
(6.114) всегда сходится. Именно этот случай наблюда-
ется в статике сооружений.
Для каждого нового столбца свободных членов все
решение необходимо повторить заново. В этом основ-
ной недостаток итерационных методов.
Уточнение корней системы линейных уравнений. Ите-
рационные методы позволяют уточнить решения систем
уравнений, полученные прямыми методами и являющие-
ся приближенными из-за неизбежных погрешностей
счета.
Пусть х'°1 — решение системы уравнений (6.91) ка-
ким-либо прямым методом, например, методом исключе-
ний. Оно принимается за нулевое приближение к точно-
му решению к, и вычисляются соответствующие ему
невязки нулевого приближения гп>—а₽—Ах>°>. Точное
решение определяется как сумма:
х = х"”+£ х11’.	(6.1151
где х’*> — решение тем же методом системы уравнений
Ах:*>—
Процесс итераций обрывается иа некотором шаге ш.
когда выполняется условие г<“)<ео, где о —матрица-
столбец. все элементы которой равны единице, а в>0—
величина допустимой погрешности.
Так как во всех итерациях матрица коэффициентов
А остается неизменной, процесс уточнения решения х<°>
сводится к дополнительным вычислениям, связанным
лишь с новыми столбцами свободных членов.
Описанный процесс обычно сходится достаточно
быстро, практически после двух-трех итераций корив си-
стемы удовлетворяют исходным уравнениям с точно-
стью до трех — пяти знаков после запятой. Тем ве ме-
нее может сказаться, что иа некотором шаге яевязкн пе-
рестали уменьшаться. В этом случае вычисления необ-
ходимо повторить с удвоенной точностью.
Уточнение элементов обратной матрицы. Пусть од-
ним из прямых методов вайдеио приближенное значение
А^*1 обратной матрицы А-1. Тогда невязки нулевого
приближения будут Ro—Е—AAJ"1. Уточнение элемен-
тов обратной матрицы выполняется по формуле
А~’ = AjJ, + А^!| R(_! = А]^ (Е + Ri_1 ),	(6.116)
где
R,_i =E-AAI“'l.	(6.117)
Процесс уточнения (6.116) быстро сходится, так как
R, = Е — ЛАГ1 = Е“ (Е + R;-i) “
= Е — (Е — R,-t) (Е + R/-,) =
,	А	2*
«=	Rj_2=.--= Ro .
6.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ ЛИИЕИНОИ АЛГЕБРЫ
337
6.2.S.	Об устойчивости решения систем
линейных алгебраических уравнений
Одной нэ самых серьезных опасностей, встречающих*
ся при решении систем линейных алгебраических урав-
нений и обращении матриц, является неустойчивость ре-
шения, состоящая в том, что прн очень малых измене-
ниях коэффициентов нлн свободных членов, вычисляемых
во многих случаях достаточно приближенно, происходят
существенные изменения в величинах неизвестных.
Действительно, пусть А и а» истинные значения ко-
эффициентов системы уравнений и свободных членов, а
А+6А и ар+бар—близкие к ним и фактически исполь-
зуемые в расчете Эго означает, что вместо системы
уравнений Ах—а, будет решена система (А+6А)(х+
-4-бх) —ap-f-6ap.
Оценим погрешность решения бх. Раскрывая в по-
следней системе скобки, найдем: (6А)х+Аох=бар. От-
куда
fх = - А"1 (6А) х 4- А"1 6а„.	-.6.118)
Если незначительные ошибки в элементах матрицы А
порождают значительные изменения в элементах об-
ратной матрицы А-1, погрешности решения могут ока-
заться большими. В связи с этим возникает проблема
устойчивости решения системы линейных алгебраиче-
ских уравнений.
Матрицы А-*. элементы которых существенно изме-
няются прн малых изменениях элементов матриц А,
называются неустойчивыми, а исходные матрицы А —
плохо обусловленными
Перейдем к нормам (см. 6.1.4). Равенство (6.118)
примет прн этом следующий вид:
|бх| < | А"*|| 6А||х| +1 А"’ |0 6а„|.	(6.119)
Тогда < | А-Ч| 6А | + i А"' 1В-^-.
Виз	м
В силу исходного уравнения |А| ОхО^|ар|. Следо-
тельно,
= |баР| 1ар| Iбар!
ИДО = |а0| ’ |х|	1 [ар1 ’
Таким образом,
ИМ	\ 1АВ	/
Величина
р(А) -1 А|| А-11	(6 1211
называется числом обусловленности, 1 ^р(А) <о». Чем
ближе р(А) к единице, тем лучше обусловленность мат-
рицы.
Отметим некоторые свойства р(А):
1) р(аА) = р(А); р(Е) = 1; 3)р(АВ) < р(А)р(В).
Можно показать, что если матрица А симметричная,
а |А| — евклидова норма, то число обусловленности
(6.121) принимает вид:
... шах|Х|
₽(А) = -^Тм ’
Систему уравиепий Ах=-ар или
(6.122)
можно трактовать как разложение вектора ар в евкли-
довом пространстве Е. в базисе векто|Х>в at..а., в
качестве которых принимаются столбцы матрицы А.
Тогда числа хь.., х, будут координатами вектора ар
в этом базисе: х1а|Т-...+х»ав—ар.
Очевидно, чем «косоугольнео система уравнений
(чем больше число обусловленности (6.122)1, т. е. чем
резче отличаются векторы аь_ав от взаимно ортого-
нальных. тем большие погрешности могут возникнуть при
разложении вектсра ар в базисе аь _,ав.
Если система векторов а,...ав очень косоугольна,
целесообразно отказаться от тех предпосылок, которые
ее породили. В строительной механике это эквивалент-
но переходу к новой основной системе. В связи с этим
особенно желательны сложные статически (кинематиче-
ски) неопределимые основное системы.
6.2.6.	О методах решения проблемы
собственных значений
Определение собственных значений и собственных
пекторов матрицы составляет содержание так называе-
мой проблемы собственных значений. Причем, если соб-
ственные значения матрицы уже найдены, определение
соответствующих им собственных векторов может быть
сведено, например, к решению специальных систем
уравнений (6.46), т. е. представляет более простую за-
дачу.
Численные методы определения собственных значе-
ний и собственных векторов матрицы, так же как в
методы решения систем линейных уравнений, подразде-
ляются иа два класса: прямые и итерационные.
Прямые методы включают развертывание характера-
стическнх определителей |А—ХЕ| в полином n-й степе-
ни <р(А) с последующим решением характеристического
уравнения ф(А)—() (644) каким-либо из известных ме-
тодов, например, методом Лобачевского—Греффе с по-
следующим уточнением но схеме Горнера, методами сяо-
рейшего спуска и парабол и т. д. [3, 4, 10, 33].
Е итерационных методах собственные значения опре-
деляют, минуя процедуру развертывания характеристи-
ческого определителя в полипом.
Прямые методы наиболее быстродействующие, одвэ-
ко они облапают существенным недостатком—почти
все чувствительны к ошибкам округления. Итерацион-
ные методы менее чувствительны к ошибкам округле-
ния, зато гораздо более трудоемка.
В настоящее время в связи с использован- » ЭЦВМ
при решении полной проблемы собственных значений
(отыскании всего дискретного спектра %, и всех собст-
венных векторов Vj) широкое распространение получили
две группы игер.щяо|::1ыя методов: методы вращений
(якобиевы методы) и степенные.
Метод вращений предназиачеи для решения полной
проблемы собстпенных значений 1>еи1естнсниой симмет-
ричной матрицы и состоит в построении последователь-
ности матриц, ортогонально-подобных исходной и имею-
щих монотонно убывающие суммы квадратов всех по-
бочных элементов [4, 331.
Известно большое число степенных методов [4.331
Идея одного из них состоит в следующем. Матрицу А
раскладывают в произведение треугольных матриц А —
338	РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
- С|В| (6.30) н составляют последовательность АС,-
-С,В,...АС«_|=С»В*. Можно показать, что матрицы
Ак=С^’ АС, сходятся к кваэитреугольной матрице
Ац Аи . . . Aim
Л Ац . . . Atol
А =
Ащт
подобной исходной матрице А, вследствие чего собст-
венные значения обеих матриц совпадают (см. 6.1.6). Та-
ким образом, решение полной проблемы собственных
значений для произвольной матрицы А свелось к реше-
нию той же проблемы для квазиэлементов A, (j=l.
л
..., m) сравнительно невысокого порядка матрицы А.
Ниже рассматриваются некоторые специальные мето-
ды развертывания характеристических уравнений в по-
лином л-й степени [10].
Метод Леверрье. Пусть, характеристическое уравне-
ние (6.44) записано в виде:
|ХЕ-А| = V + p1V-l+-•-+₽,. = 0.	(6.123)
Обозначим через з» сумму А-х степеней корней урав-
п
нении (6.123): s*= Е X* , (А-1,...,л). Воспользуемся
формулой Ныатона (15], позволяющей выразить коэф-
фициенты алгебраического уравнения (6.123) через сум-
мы степеней его корней:
Р^-^-^РЧЬ-1. *=«................«;ро=1-	(6-124)
Воспользуемся равенством (6.58): Х,(А*) иХ*(А),
п. Суммируя обе части равенства по /, найдем,
п
что SpA*=E X*(A)= sfc* Следовательно, коэффициенты
характеристического уравнения можно искать по форму-
ле Ньютона, записав ее в виде:
k
p* = -y^PfSpA*-', А = 1..........л (6.125)
Таким образом, задача сводится к последовательно-
му вычислению л степеней матрицы А по формуле А*=>
-= А‘_|А, А—1.л, а также следов найденных степеней.
Если А’*’ = || о<*> )|7/ш;1, то SpA* = Е aff> .
1—1
Метод А. Н. Крылова основан иа теореме Гамильто-
на— Келн (см. 6.1.6). Пусть характеристическое урав-
нение записано ь виде (6.123). Тогда по теореме Га-
мильтона — Кели А"+р1А’-1+...+р„Е=О. Умножим
обе части этого равенства иа произвольный нетриви-
альный л-мерный вектор х<°>. Обозначая А*х<°>=х1Ч
получим систему алгебраических уравнений
р,х,п-,’+Лх(п-2>+---+д,х<<)> = х(я) .	(6.126)
Решение ее и дает искомые коэффициенты р», (А=1,
.... л). В качестве х>°) удобно принять одни из столбцов
единичной матрицы Е. Если система (6.126) имеет ие
единственное решение, следует изменить начальный век-
тор х<’1.
Идея метода А. М. Данилевского состоит в приведе-
нии посредством преобразований подобия матрицы А к
нормальному виду Фробениуса:
Р1Р»‘
I 0 .
0 1 .
Р =
•Рп-И’л
. о о
. о о
(6.127)
. 1 о
о о .
Разлагая характеристический определитель
	Р1~	ь Pl-	• -Рп-	Рп	
	1	—X.	. . 0	0	
|Р—ХЕ| =	0	1 .	. . 0	0	(6.128)
	0	0 .	. . 1	-X	
по элементам первой строки, получим характеристиче-
ское уравнение в виде:
Xя — рА"-1 — рэХ"-2-----— рп = 0.
Замечание. В ряде случаев требуется отыскать
одно или несколько собственных значений матрицы.
Для определения Хшаа удобно использовать неравен-
ства П. Ф. Попковича:
*/" SoA2*	* _____
1/	< Хп,вх < / SpA* .	(6.129)
v SpA*
Эти же неравенства можно использовать для опреде-
ления Xmin- Построим вспомогательную матрицу Bo-
с. (SpA) Е—А [27]. Тогда Х,(В) — SpA—АДА). Следова-
тельно, Xmi,(A)=SpA—Xmax(B), и задача сводится к
отысканию Хшах(В).
6.3.	МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
6.3.1.	Матрицы податливостей и жесткостей.
Потенциальная анергия
Пусть 5—упругая механическая система (рис. 6.1),
загруженная в точках 1, 2..... л силами Р,, Р>,...
Прогибы системы в точках 1, 2, .... л определяются вы-
ражениями
ш(=Е/(/Р/, 1 = 1.....л (6.130)
нлн в матричной форме
w = Fp,	(6.131)
где fa — перемещения по направлению 1 от Р,-1, назы-
ваемые коэффициентами влияния системы S или коэф-
фициентами податливостей (упругих податливостей) си-
стемы S,	/=| — матрица податливостей.
По теореме Максвелла fa—fa, т. е. F — симметрич-
ная матрица.
6.3 МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
339
Потенциальная энергия системы S
п	л
п—Ь £₽т = -|-У]А/РгР/ = -£-Р'рр (6132)
i=i	/,/в|
является квадратичной формой сил Р< и. как известно,
положительна при любых рч^О. Поэтому матрица F по-
ложительно опседслена н все ее главные миноры, вклю-
Рис. 6.1
чая и определитель, положительны (критерий Силь-
вестра).
В силу невырожденности матрицы F существует об-
ратное по отношению к (6.131) преобразование
p = Cw.	(6.133)
Матрица G = || gt/	= F-* называется матрицей
жесткостей системы Зя. полученной из системы 5 вве-
дением связей по направлению u>i,.... п>„. Элемент ее
вч — реакция в связи i от единичного перемещения
связи /.
В силу теоремы Рэлея G — симметричная матрица;
это же следует из симметрии матрицы F или из теоре-
мы взаимности работ Бетти.
Соотношение (6.133) позволяет представить потенци-
альную энергию как квадратичную форму перемещений
п
П =	W'GW- (6-134)
6.3.2.	Механическая интерпретация гауссовой
схемы метода исключений
Выражение (6.130) можно рассматривать как систе-
му линейных алгебраических уравнений Fp=w для оп-
ределения вектора сил р по известным перемещениям.
Пусть иа систему S наложено к связей, препятст-
вующих перемещениям точек I, 2.й^п— 1. (рис. 6.2).
Коэффициенты податливостей для оставшихся подвиж-
ных точек новой системы S» пусть будут/*** , ((,/-
-*4-1..п).
В то же время //** является перемещением точки I
системы S. загруженной силой Pj“ 1 и реакциями Ri,...
Rt в точках 1.к:
=/ПР1+-"+ InRk+hi- (6.135)
Перемещения точек прн действии этой же со-
вокупности сил равны нулю:
/цл1 +"’+Л*л*+^ = 0:

Из условия нетривиального решения системы (6.136)
/„.	•	hi	
^*1 • /л. .	‘ ‘hk hi	= 0
следует:
(6.137)
Это выражение с точностью до обозначений совпа-
дает с (6.97) для гауссовых коэффициентов й-го шага
исключений.
Таким образом, каждый коэффициент ft-го шага ис*
ключеиня по Гауссу есть перемещение точки i от силы
Pj« 1 в системе S-n+ь, полученной из исходной систе-
мы S_„ наложением k связей (метод снл).
Аналогично
/17
ВЫ
_<») _ —
811 “А.
А*
(6.138)
е11 • ‘ glf
Поэтому каждый коэффициент ft-го шага исключе-
ний по Гауссу есть реакция в i-й связи, вызванная пе-
ремещением /й связи иа Wj—1 в системе Sn~x, полу-
ченной из исходной системы S« снятием й связей (метод
перемещений).
Пусть система S — иеразреэиая балка с п промежу-
точными жесткими опорами (рис 6.3, о). Если при реше-
нии задачи методом сил за основную систему принять
балку с шарнирами над промежуточными опорами, то
преобразование канонических уравнений по схеме Гаус-
са (6.95)
240	РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
можно интерпретировать (рнс. 6.3.6, в, а) как последова-
тельное ожестчеиие основной системы S_«. т. е. по-
строение ыииораитной последовательности систем:
S-«. S-n+i...S-i-
можно трактовать (рис. 6.3. д, е.ж) как последователь-
ное ослабление основной системы т. е. построение
мажорантной последовательности систем: S«-i.i'i.
а/
6.3.3.	Матричная форма метода сил
Система канонических уравнений метода снл для
упругой механической п раз статически неопределимой
системы, загруженной t совокупностями снл, имеет вид:
DX + DP = O,
(6.141)
(6142)
где
в=АЛпхп: Dp — Ipp, •••• 8pi5nx,: x~8xi.хА>х<’
Каждое расчетное сечение пространственной рамы,
составленной из призматических стержней, характе-
ризуется шестью усилиями: <WX, М„ Q„ п, Л1».
Рнс. 6.3
Если при решении задачи методом перемещений за
основную систему SB принять балку с наложенными в
промежуточных опорах моментными связями, то преоб-
разование канонических уравнений по Гауссу
(6.140)
Пусть выделен незагруженный элемент h (рис. 64).
условия равновесия его:
^хл. ’ ^хл«+ Q ул-1ь;	
	
	
Orb, e ^хЛ/	(6-143)
Л’л. = Ч:	
A4 = A,xV	
6.3. МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
341
Выражения для коэффициентов системы канониче-
ских уравнений (6.141) имеют вид:
U J ' ^Л Ай
Л—I О
. Qx/Qx, .М*МА.
С,.Аа £„F° + GbJa.
(6.144)
= ут г7мч M»>s PylQw, МщМцВг
о X	Gh^i/h
QI{Qxp,	M1(.Mxps\
+ —-------- + ——- + —----------- I <fe.
СЛ F*h Eh Fj Ch Jdh J
t,i = l,...,K 3=1.........4	(6.145)
m — число элементов (стержней) основной системы.
В качестве элементов основной системы принимают-
ся все незагруженные стержни, а также участки между
сосредоточенными нагрузками каждого загруженного
стержня. Причем каждая распределенная нагрузка за-
меняется конечным числом сосредоточенных'.
При таком способе построения основной системы
только изгибающие моменты изменяются (по линейно-
му закону) по длине элемента, все же остальные усилия
остаются постоянными. Тогда после интегрирования по
каждому стержню коэффициент бц будет:
6/7 = S [•*«« йхы+ Mxhi 2EbJa Q,m +
h«4
+ ^'" 2£„ J„ % (з£ЛАл +CbF^ )^7 +
+ M“hl	MvhJ + М“ы ZEhJyh + ^*h' X
X %*./*,	+	( ЗЕЛАл + G^h )	+
или в матричной форме
бу— Е Ьы Fh bh/.
h»l
Аналогично
®<л = Е ьлгрл|’лр-
*	Л=1	’
Здесь:
Ьь,-^хЛ/. Qf/hi-	<Алг 'А-	Л,ХЛ;,: 1
= |^хЛр5'ОхЛ^' ^гЛр^- |
(6.147)
(6.14S)
(6.149)
‘h
Fh Ал
2ЕлАл
2£ь Ал
lh
Eh Ал
Gh Fyji
GhJdh
2f.h J A
3i::,J,h+GhFx>l
(6.159)
Векторы и Ььр* —суть усилия в сеченнн А, (А-1,
.... т) от xj = l и внешней нагрузки Р, соответственно;
F* — матрица податливостей А-го элемента.
Элементы F* являются обобщенными перемещения-
ми, соответствующими обобщенным силам ЛГ», Qvb.
Qrt, Их, M,x. В первом (третьем) столбце распо-
лагаются перемещения, вызванные Л1Ж»=1 (М(ь=1):
1 Вопросы членения системы рассмотрены в (37],
в прогиб се
---5| —-—| ; ао втором (четвертом) — перемешс-
2Е„Ал\2£лАл./
ння,( вызванные Q»a-1 (Qxh—1): угол поворота консолн
---5—|----2— |н прогиб ее с учетом сдвига —— +
2£д Ал\2Ел7рв /	3EbJxh
342
РАЗДЕЛ е. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
+ Jl_
GAFpA \3Eh
в пятом — абсолют-
ное удлинение стержня • вызванное Nk—1, и,
h
наконец, в шестом — угол закручивания стержня-——,
G* Jdh
вызванный М.л—1.
В формулах (6.144)—(6.146) н (6.150) Fxh=xx ;
Fь = хр F®; хх и хр—коэффициенты формы сечення;
— площадь поперечного сечення элемента.
Если рама плосквя, то прн учете влияния на пере-
мещения изгиба, сдвига и продольной деформации
(6.151)
(6.152)
Для плоской рамы без учета влияния сдвига и про-
дольной деформации на перемещения
bh| -ftzhf	I (6 j И)
ih______£_
_ _ £АЛл’ ^h'lxh
(6.154)
Jxh ^xh
Наконец, для фермы (плоской нлн пространствен-
ной — безразлично)
4=%:F*=TT»- (6J55)
В общем случае порядок матрицы F* равен о. (о-
— 1, 2, 3. 6). Выражения (6.147) и (6.148) можно за-
писать в виде:
(6.158)
Тогда матрицы D и Dp принимают вид:
F[bi---bJ = B'FB; (6.159)
b;Fb₽i--b;Fbp/
Ibil
: |XFl\  ••bp/|= Ii'FBp,
bj|
(6.160)
где
В — матрица усилий во всех расчетных сечениях от всех
единичных неизвестных; Вр — матрица усилий во всех
расчетных сечениях от всех t комбинаций внешней на-
грузки: п — степень статической неопределимости (чис-
ло отброшенных связей); гл—общее число элементов
(стержней) в системе; а — число усилий в расчетном се-
чении, принимаемое во винманне при раскрытии стати-
ческой неопределимости (порядок матрицы Fa).
Решение системы (6.142) имеет вид:
X = — D-1 Dp = — (B'FB)-1 (B'FBp), (6.162)
и матрица усилий в расчетных сечениях рассматрива-
емой статически неопределимой системы определяется
по формуле
S=Bp-f-BX=Bp— B(B'FB)-1 (B'FBP). (6.163)
Прн большом числе звгружений в практических рас-
четах для последующего определения невыгодной ком-
бинации расчетных усилий целесообразно первоначаль-
но рассчитать систему на единичные внешние воздейст-
вия, т. е. построить матрицы влияния.
В этом случае
Dp = DpP = (B'FBp)P, (6.164)
где Dp = ||6j|>s||PXr —матрица свободных членов систе-
мы канонических уравнений метода сил, соответствую-
щая единичным нагрузкам; Вр =	матрица
усилий в расчетных сечениях от единичных значений
анешннх нагрузок; Р = ИТХ,—матрица внешних на-
грузок; т — максимальное число силовых факторов по
всем t загружеиням.
Тогда
S = (BP — B(B'FB)-1 (B'FBP)| Р=Ы>,	(6.165)
где
В=Вр— B(B'FB)-1 (B'F Вр).	(6.166)
Перемещения статически неопределимой системы по
любому направлению, заданному матрицей единичных
6.3. МАТРИЦЫ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
343
снл К, приложенных в направлении искомых перемеще-
ний (матрицей ортов), определяются выражением K'FS.
При определении перемещений, вызванных внешней
нагрузкой. К="Вр, н матрица искомых перемещений
W —Пш, Л*./—1 равна:
W= BpFS = BpFBP=fP,	(6.167)
f=b;fb=b;fb„-
- (В; FB) (B’FB)-'(В’РВ^).	(6-168)
Квадратная матрица F порядка t — матрица подат-
ливостей статически неопределимой системы (в то вре-
мя нан F — матрица податливостей всех элементов ос-
новной системы, взятых «россыпью»). Обратная матрица
G-F-1. очевидно, является матрицей жесткостей стати-
чески неопределимой системы.
Если в качестве К принять матрицу В, то выраже-
ние B'FS определяет перемещения, вызванные анешией
нагрузкой по направлению отброшенных связей. Они,
очевидно, равны нулю:
B'FS = B'FBP = [B'FBP — (B'FB) (B’FB)-1 (B'FB„)] x
X P = OP = O.
Однако нз-за погрешностей счета в действительности
B'FS-e(o), где е(о) — прямоугольная матрица (отХЛ
малых величин.
В практических расчетах число усилий в расчетных
сечениях, разыскнааемых а результате статического рас-
чета (at), может не совпадать с числом а Например,
прн раскрытии статической неопределимости системы мо-
жно пренебречь влиянием продольных усилий N (в ин-
теграле Мора), а прн определении расчетных усилий
найти и продольные усилия. В этом случае матрица S
(6.163) вычисляется по формуле
S* = В; + ВХ = [в; — В" (B'FB)-1 (B'FBj]Р. (6.169)
где матрицы В и Вр аналогичны Ви В,, но имеют
размеры О|Л1Хп н О|»лХ< соответственно; Я|^о.
Замечание I. Расчет на начальные деформации
(изменение температурного режима, смешение опор, на-
чальные несовершенства) отличается от рассмотренно-
го только матрицей свободных членов. При действии
внешних сил Dp = B'FBP = B'(FBP). Выражение в скоб-
ках определяет деформации отдельных элементов основ-
ной системы от внешней нагрузки. Поэтому прн расчете
на начальные деформации
Da = В'Н,	(6.170)
гдеН = 1^/д,10я1Х< — матрица начальных деформаций
системы.
Замечание 2. Полученное решение без каких-ли-
бо затруднений распространяется на случай использова-
ния сложной статически неопределимой основной систе-
мы [37J Обращение к статически неопределимым основ-
ным системам становится неизбежным, когда степень
статической неопределимости столь высока, что исход-
ные матрицы не удается разместить в оперативной па-
мяти ЭЦВМ.
6.3.4.	Матричные формы метода перемещение
Метод перемещений предназначен для расчета кине-
матически неопределимых систем, которые могут быть
как статически неопределимыми, так и статически опре-
делимыми. Как правило, ои применяется в первом
случае.
В отличие от понятия статической неопределимости
понятие кинематической неопределимости условно и сте-
пень кинематической неопределимости зависит от таких,
иапрнмер, факторов, как степень точности а определении
перемещений, число узлов линейной аппроксимации кри-
волинейных элементов, если таковая производится,
и т. д.
Первый вариант матричных формул метода переме-
щений (37J. Система канонических уравнений для л раз
кинематически неопределимой системы, загруженной t
линейно независимыми внешними нагрузками, имеет
вид:
RZ + RpP = O,	(6.171)
где R = l'vl"./_| —матрица коэффициентов системы
канонических уравнений (матрица реакций); R₽ =
= |г/р,|пх/—матрица свободных членов, соответствую-
щих единичным нагрузкам; Р — матрица нагрузок.
Элементы rti и г(Р( определяются по формулам, ана-
логичным (6.144) и (6.145):
m lh ____
щ = V f (	^*1 -I- Qf1 _i_ My, Mv/ ,
“ J \	GhFuh Eh J
j_ QxlQxJ . NjNj	.11 л Л1ц J
’ J \ Ehbh СцЕун
(6.172)
__ M	_ CJ	_ CQ
Myi	Qxi QxPs / A'p,
+ - .	+	-	+ 7Г +
Ghrjfh
n n
___ \
Мг! Мгр, |
+ -7-7------И-	(6.173)
i,	n;_s=L.
Здесь Mii, Q,(, Mvi, Qxi, N<, Mu — усилия в элемен-
тах кинематически определимой основной системы, вы-
званные единичным неизвестным перемещением г<=1;
CJ	CJ CJ CJ	СУ СУ
Quo? MyPs. Q,Pj. NBt, Mtyt—усилия в элемен-
тах любой статически определимой системы, полученной
нз заданной, вызванные единичной внешней нагруз-
кой ра.
Аналогия в структурах элементов матриц перемеще-
ний и реакций позволяет написать для метода перемеще-
ний следующие аыраження:
R = C'FC; Rp = C'FCp, (6174)
где С= | Су Лотхл— матрица усилий во всех расчетных
сечениях кинематически определимой основной системы
от каждой из единичных неизвестных метода перемеще-
ний: Ср = |Cjpslolnx„ — матрица усилий во всех расчет-
ных сечениях статически определимой основной системы
344
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
(полученной нэ заданной), вызванных каждой нз еди- ничных внешних нагрузок; F= |/(у Вматрица по- датливостей отдельных элементов, уже использовавшая- ся в методе сил. Тогда Z = — (C'FC)-1 (C'FCO) Р:	(6.175) S = (Ср — С (C'FC)-1 (С' F C,)J Р = а». (6.176) Матрниа обобщенных перемещений W, соответствую* и:ая внешним нагрузкам, рассматриваемым как обоб- щенные силы, равна: W = CpFS = CpFa>=FP,	(6.177) где F = ci FC = cL FCr — (CpFC) (CFC)-’ (C* FCe) (6.178) — матрица податливостей всей системы [сравнить с (6168)]. Как п в_методе сил, в метод перемещений помимо матриц С в Ср следует вводить матрицы С н Ср. Тогда S* = [с; - С* (CFC)"’ (С' FC,)]P.	(6-179)			Второй вариант матричных формул — формулы Арги- >иса. Особенность матричных формул метода перемеще- ний, предложенных Аргнрнсом [29], заключается в ис- пользовании матрицы жесткостей злементов стержневой системы G=F-‘ н всей системы G—F-*. Формулы Аргя- Таблица 63					
			М п.п.	Метод сил			Метод перемещений	
			1 2 3 4 S 6	Матрица внеш* них СИЛ Матрица подат- ливостей	всей конструкции Матрица пере- мещений Матрица усилий в элементах кди- стргкцни Матрица подат- ливостей всех не- объеднненкых эле- ментов конструк- ции Матрица дефор- маций элементов конструкции	Р F-O—1 W S F-G—1 V		Матрниа пере- мещений Матрица жест- костей всей кон- струкции Матрица внеш- них сил Матрица дефор- маций элементов конструкции Матрица жест- костей всех не- объединенных элементов конст- рукции Матрице усилий в элементах кон- струкции	S t L o. > L Io	о
			Таблица 6.4					
№ п.п.	Метод сил		Метод перемещений					
1 2 3 1 5 6 7 В 9 10	Система	канонических уравнений (совместности пе- ремещений) Матрниа перемещений в статически определимой ос- новной системе, вызванных единичными лишними неиз- вестными усилиями Матрица перемещений в статически	определимой основной системе, вызван- ных заданными единичными внешними силами Матрниа внутренних уси- лий в элементах конструк- ции в статически определи- мой основной системе, выз ванных единичными лишни мн неизвестными усилиями Матрица внутренних уси- лий а элементах конструк- ции в статически определи- мой основной системе, вы званных заданными единич- ными внешними силами Матрица неизвестных уси- лий Матрица усилий я элемен- тах заданной статически не- определимой системы Матрица	податливостей всей конструкции Матрица обобщенных пе- ремещений Матрица деформаций эле- ментов статически неопреде- лимой системы	DX + DpP - О D - B'FB Ов-В'!*Вп Р	Р X - - fB'FBl-’<B'FB^>P S_BpP-f-BX- -(Б„ - B(B-FB>-,(B FB0) |Р - -ВР W-FP V - PS - FBP	Система	канонических уравнений (равновесия) Матрица реакций в кине- матически определимой ос- новной системе, вызванных единичными лишними неиз- вестными перемещениями Матрица реакций в кине- матически	определимой основной системе, вызван- ных заданными единичными перемещения ин Матрица деформаций эле- ментов коиструкнмн в кине- матически определимой ос новной системе, вызванных единичными лишними неиз- вестными перемещениями Матрица деформаций эле ментов конструкции а кине матнчески определимой ос- новной системе, вызванных заданными единичными пе ре мешения ми Матрица неизвестных пе ремещений Матрица деформаций эле- ментов заданной кинемати- чески неопределимой систе- мы Матрица жесткостей всей конструкции Матрица	обобщенных RHCUIHHX СИЛ Матрица усилий в элемен- тах кинематически нсопрс делимой системы				RZ + RtfW - О R- А СА Z - — (A,GA)-,(A’GAB)W V - A^W + А2- Аф-А( A’OAJ-^A'GA^)] W- -AW G - A^GA-F-1 P-GW S - GV - GAW	
6.4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
345
рнса построены па основе аналогии, наблюдающейся
между методами снл в перемещений, которая является
следствием симметрии вариационных принципов (прин-
ципа Кастильяио и принцип Лагранжа), служащих фун-
даментом рассматриваемых методов.
Определенному понятию и выражению в одном мето-
де соответствует некоторое, также определенное поня-
тие и выражение в другом. Это соответствие представле-
но в табл. 6.3. В табл. 6.4 приведены расчетные формулы
обоих методов [37].
6.3.5.	Матричная форма
смешанного метода
Пусть при расчете стержневой системы в качестве не-
известных приняты как силы, так и перемещения. Урав-
нения совместности перемещений и равновесия, кото-
рыми в этом случае описывается система, являются ка-
ноническими уравнениями смешанного метода.
Как правило, применяется такая разновидность сме-
шанного метода, когда силы, принятые в качестве неиз-
вестных, относятся к одному множеству концевых сече-
ний стержней, составляющих систему, а перемещения —
к другому множеству. Пусть число неизвестных сил рав-
но П|, а неизвестных перемещений — п». Система канони-
ческих уравнений смешанного метода имеет в этом слу-
чае вид:
или с учетом (6.159), (6.160) п (6.174)
Матрицы В, Вр, F, и С. Ср, F, могут быть найдены
аналогично тому, как это делается в методе снл и пере-
мещений соответственно, так как в основной системе
смешанного метода можно провести границу между
подобластью, в которой усилия связаны с неизвестными
метода снл X (подобласть X), н подобластью усилий,
связанных с неизвестными метода перемещений Z
(подобласть Z).
Матрицы Dl2 и Rn связаны зависимостью
Rm=-D;2,	(6.182)
причем
Di,=
61.л,+1 ••• 61,л,+п,
Л - Л -
Н1,Л,+1	л,.л,4-л,
(6.183)
Любой из ее элементов 6<д (4=1,..., ш; /=П|-Н,
т+п») можно найти по формуле где э« — уси-
лие в состоянии Xi=l, соответствующее (с учетом зна-
ка) как обобщенная сила обобщенному перемещению
«1=1.
Введем матрицы:
(6.184)
а также матрицу
Т = I(K'FK) - L (K'FK)-‘ L]-1 [(K'FKp) -
-L(K'FK)-'(K'FK,)1.	(6.185)
Тогда решение системы уравнений (6.180) н усилия
в стержнях конструкции определяются соответственно по
формулам:
jz|=—ТР;	(6.186)
s=IJ:HBciizh(^-KT,p='sp	<б,87)
Матрица податливостей системы и матрица перемеще-
ний имеют соответственно вид: F=S'FSh W=FP.
Замечание. Помимо описанной выше традицион-
ной формы смешанного метода возможно н множество
других, в которых к одному н тому же концевому сече-
нию стержня могут относиться некоторые из снл н неко-
торые из перемещений, принятые в качестве неизвестных.
Как известно (см., напрнмер. [37]), уравнения метода
сил могут быть выведены нз потенциала Кастильяно, а
уравнения метода перемещений — из потенциала Лагран-
жа. И. И. Гольденблат (9) показал, что для системы, опи-
сываемой п обобщенными силами, можно записать 2"
различных потенциалов, среди которых, разумеется, бу-
дут потенциалы Кастильяно н Лагранжа. Поэтому
2" — 2 потенциалов порождают 2* — 2 различных форы
смешанного метода.
6.4.	МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ И УСТОЙЧИВОСТИ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
6.4.1.	Свободные колебания систем с
конечным числом степеней свободы
Пусть упругая консервативная система Sen степе-
нями свободы колеблется вблизи положения устойчиво-
го равновесия и пусть отклонения системы от положения
равновесия заданы линейно независимыми обобщенными
координатами д,, .... д, (рнс. 6.5), а само положение
равновесия соответствует нулевым значениям коорди-
нат <?i = ... =д„=о.
Потенциальная энергия системы 5 (с точностью до
малых более высоких порядков) будет квадратичной
формой обобщенных координат qt,.... q,-.
Рис. 6.5
п
п = у У au4i »ryч'Ач- (б‘,88)
Г./-1
а кинетическая энергия — квадратичной формой обоб-
щенных скоростей:
346
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
я
Г=_г X ’/=?’'	(6Л89)
где В и А — симметричные матрицы инерции (масс) н
жесткостей системы S соответственно, a q н q — векто-
ры обобщенных координат н скоростей. Подстановка
выражений (6.188) н (6.189) в уравнения движения
Лагранжа второго рода
d дТ	дТ	<?П	„
	л~ •	< = ••..-.л	(6.190)
dt dqt--------------------------------dty	дд/
приводит к дифференциальным уравнениям свободных
колебаний системы 3:
2 (»w qt + alt Ч,) = о, 1 = 1....л (6.191)
или в матричной форме
Bq + Aq = 0.	(6.192)
Так как система S совершает гармонические колеба-
ния около положения равновесия, то подстановка
q = vsin(q:t + a),	(6.193)
где V—вектор амплитуд колебаний п сосредоточенных
масс; <р—частота свободных колебаний; а — начальная
фаза, приводит к системе однородных уравнений
(A — XB)v = O,	(6.194)
где
X = <)>».	(6.195)
Условие нетривиального решения системы (6.194) яв-
ляется уравнением частот свободных колебаний дис-
кретной системы
|А —ХВ| = О.	(6.196)
Так как кинетическая энергия движущейся системы
всегда положительна, матрица В положительно опреде-
лена. Поэтому обобщенное характеристическое уравне-
ние (6.196) можно свести к простому характеристическо-
му уравнению
|Н,- ХЕ| = О.	(6.197)
где Н| = В_,А.
Так как рассматриваются колебанкя системы S около
статически устойчивого положения равновесия, то потен-
циальная энергия системы также величина положитель-
ная, и матрица А положительно определена. Поэтому
уравнение (6.196) может быть записано в виде
|н,-уЕ| = 0,	(6.198)
где Н^А-'В.
Выражение (6.197) называется прямой формой харак-
теристического уравнения, а (6.198) — обратной.
Замечание. 1. Обе формы характеристического
уравнения могут быть построены на базе принципа Да-
ламбера.
1. Метод сна. Dx4-dp=0. Здесь D =	—
матрица единичных перемещений; d,=q=vsln(<pf +
+a) — вектор обобщенных перемещений, соответствую-
щий силам ииерцнн х. как обобщенным силам; x=Mq=
=—ф* Mv sin(q>/-f-a) — вектор сил виерцнв сосредото-
ченных масс; M={mj)"=1 —матрица сосредоточенных
масс. Сокращая на sin (q>f+a), получим:
^М—^-e)v=0,	(6.199)
откуда | DM— -у- E|»0. Таким образом,
Н2 = DM =	•	(6.200)
2. Метод перемещений. Ri4-r>>=0. Здесь R=
=	—матрица единичных реакций; z=q=
= vsin(q>f-|-a)—вектор обобщенных перемещений;
r„=Mq=—<p2Mvsin(<p/-|-a) —вектор снл ииерцнн. Со-
кращая, как и ранее, на sin(<f/4-a), получим:
(M_,R—ХЕ) v=0.	(6.201)
Откуда |M-*R—ХЕ|«О. Поэтому
(б’202)
Уравнения (6.199) и (6.201) несимметричные, однако
легко снмметрнзуются путем линейного преобразования
и=М 2 v:
(м2 DM~— у Е j и = 0; (йГ ~ RM~ ~~ ХЕ) “=«•
Поэтому спектральные свойства свободных колеба-
ний дискретной системы S совпадают со спектральны-
ми свойствами симметричных матриц (см. 6.1.6). Причем
условие ортогональности векторов принимает вид:
л
£ т/ оу о/я =	, где 6<ь—символ Кронекера. Это вы-
;-1
раженне может быть истолковано как равенство нулю
работы сил инерции i-й формы колебаний на перемеще-
ниях А-й формы.
Так как в положении устойчивого равновесия систе-
мы потенциальная энергия положительная, все собствен-
ные значения X;, а следовательно, и собственные частоты
Ф1= Кх,, (/=1....и) положительны.
Функция, описывающая /-ю форму свободных колеба-
ний (/-ю гармонику), имеет вид:
q, = sin (fy t + ay).	(6.203)
Общее решение уравнения (6.192) получается нало-
жением всех гармоник:
п
q = Е Vasili(<fy t + аД.	(6.204)
j=i
Замечание 2. Выражение (6.203) может быть по-
лучено иным путем. Две квадратичные формы П н Г, по-
скольку Т положительно определена, образуют регуляр-
ный пучок форм (см. 6.1.7), поэтому одним линейным
преобразованием могут быть приведены к каноническому
виду:
п
П = уЧ'АЧ = у VAS.-I-JX,^ (6.205)
/-1
6.4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
347
л
r =	(6 206»
Система дифференциальных уравнений свободных ко-
лебаний (6.192) принимает канонический внд (+Л£=0,
т. е. уравнения разделяются: Ej+ML=0. /=1, ._, л.
Решение этого уравнения н лает (6.203).
Замечание 3. Если интерпретировать уравнение
(6.194) как уравнение регулярного пучка квадратичных
v'Av
форм (6.84), то выражение ^>Ну становится функцией
Рэлея, а формула (6.88) — формулой Рэлея для опреде-
ления собственных частот.
Если далее под изменением массы (ниерцнн) систе-
мы понимать Такое изменение ее физических параметров,
прн котором изменяется только кинетическая энергия, а
под изменением жесткостей системы — такое изменение
ее параметров, при котором изменяется только потенци-
альная энергия, нз выражений (6.88) н (6.89) сле-
дует [6J:
I) прн увеличении инерции (массы) системы, если не
возрастает ее жесткость, частоты системы не увеличива-
ются, а по крайней мере, одна уменьшается;
2) прн увеличении жесткости системы (например, на-
ложение невесомой связи), если инерция не изменяется,
частоты системы не уменьшаются, а по крайней мере,
одна увеличивается.
6.4.2.	Вынужденные колебания
консервативной дискретной системы
Пусть на систему S действуют гармонические возму-
щающие силы Pt sin(»!<+₽) Р„ sin(pr+0). причем
р2чИфр /«•!.....л. Дифференциальные уравнения вы-
нужденных колебаний в матричной форме имеют вид:
Bq + Aq = р sin (р/ + 0),	(6.207)
где р — вектор аыплнтуд гармонической возмущающей
нагрузки; р — частота возмущения: 0 — начальная фаза.
Подстановка q-ysin(pf-)-p) приводит к системе неод-
нородных алгебраических уравнений.
(А- р*В)у = р.	(6.208)
Так как р2¥=ф2 определитель системы |А—р2В|^0,
поэтому решение ее может быть получено по формуле
Крамера. Тогда
4 = (А — 11’В)-1 р sin (pt + 0).
Решение системы (6.207) может быть также получено
методом разложения по формам свободных колебаний
(методом А. Н. Крылова).
Так нак В невырожденная матрица, уравнение
(6.208) можно записать в виде:
(Н-ц«Е)у = р,	(6.209)
где
Н = В-1А; р = В~’р.
Воспользуемся спектральным разложением матри-
цы Н:Н = VAV-*, где А =	— матрица спектра,
V — фундаментальная матрица. Тогда линейное преобра-
зование f=V-*y; g = V-'p (разложение векторов у я р
по формам свободных колебаний) преобразует систему
(6.209) к диагональному анду:
(A—p»E)t = g.	(6.210)
В силу (6.195) А-|?Е = (<р2- р2|9_,. Поэтому 1=
= J—-----:1л. Следовательно,
н-и
q = VI sin (р/ 4- 0) = Up sin (р/ + 0),	(6.2 11)
где
Таким образом i-я компонента (1=1, п) вектора q
имеет внд:
®	“г/Д/ sin (Н1 + ₽)
V °'*0*'Г Йsin(р< + 0).	(6.213)
XJ Чу — М
/.fc-1
6.4.3.	Свободные колебания и статическая
устойчивость статически (кинематически)
неопределимых стержневых систем с
бесконечным числом степеней свободы
Пусть 5 —линейная упругая статически (кинемати-
чески) неопределимая стержневая система с бесконечным
числом степеней свободы. Пусть массы стержней равно-
мерно распределены по их длине и стержни системы 5
(все нлн часть) находятся под действием стационарных
осевых сжимающих сил.
Решение задачи о свободных колебаниях несжатой
системы Si может быть выполнено методами снл в пере-
мещений. При использовании первого метода из системы
Si удаляется л( лишних связей, и условия совместности
перемещений приводят к системе п< однородных кано-
нических уравнений метода сил
Dx=0.	(6.214)
При использовании второго методв на систему Si
накладывается л> лишних связей, и условия равновесия
дают систему однородных кановвческнх уравнений мето-
да перемещений
йа =0.	(6.215)
При этом коэффициенты канонических уравнений 0<|
и rtl (амплитудные вибрационные перемещении и реак-
ции) являются трансцендентными мероморфными функ-
циями частотного параметра ц в определяются нз соот-
ветствующих дифференциальных уравнений нзгнбных
нлн крутильных колебаний стержня кай системы с беско-
нечным числом степеней свободы.
ПУСТЬ ДЛЯ ПРОСТОТЫ П| — и»—и.
348
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
Решете систем (6.214) и (6.215) позволяет опреде-
лить величины частотных параметров ц° системы Si н
с их помощью вычислить собственные частоты. Числа
называются собственными значениями системы Slt они
образуют бесконечный дискретный спектр.
Устойчивость равновесия упругой системы Si, нахо-
дящейся под действием осевых сжимающих снл, рассмат-
ривается в традиционной эйлеровой постановке, сводя-
щей задачу устойчивости в математическом отношении
к задаче о собственных значениях.
Допустим, что нагрузка на систему St пропорциональ-
на квадрату некоторого параметра v, где v — параметр
продольного изгиба, и пусть система S2 находится в
состоянии устойчивого равновесия, имеющего неискрнв-
ленную прямолинейную форму. Прн монотонном возра-
стании параметра v (осевой нагрузки) нри некотором его
зкачег пн v° наряду с ненскрнвленпой (иевоэмущенпой)
формой равновесия будут смежные искривленные (воз-
мущенные) формы равновесия, т. с. происходит бифур-
кация [разветвление) форм равновесия. Такое состояние
системы Si называется критическим состоянием, соответ-
ствующее ему значение параметра v’ — критическим, а
величина нагрузки (силы) — критической нагрузкой
[силой). Анализ бифуркационных точек (точек ветвления
кривых равновесных состояний) н составляет суть зада-
чи устойчивости в эйлеровой или статической постановке.
Упругая система Si имеет бесконечно большое число
бифуркационных точек и, следовательно, критических па-
раметров v*. Последние образуют бесконечный дискрет-
ный спектр собственных значений системы Si*. Отыска-
ние значений V* системы Si выполняется методами сил
пли неречешеиий путем использования уравнений (6.214)
п (C.2I5), в которых коэффициенты 6О и rtt (статические
г.ерем<-ш мня н реакции) являются функциями парамет-
ра продольного изгиба у.
1>ифу ркацнониая постановка задачи устойчивости уп-
ругой системы Si ставит ее в тесную связь с проблемой
свободных колебаний системы St, допуская общне мето-
ды решс.шя. Поэтому ниже рассматривается обобщаю-
щая задача собственных колебаний системы S, элементы
ко юрой подвержены действию консервативной системы
сжимающих снл. Полагая при этом v=0, получим зада-
чу о свободных колебаниях несжатой системы Si. допу-
ская [1-=0, получим задачу статической устойчивости
системы Si.
Прн оешенян обобщающей задачи канонические урав-
нения (6214) я (6.215) сохраняют свой вид, а коэффи-
циент ы их становятся функциями обобщенного парамет-
ра <i>. Параметр <в равен либо р. либо v нлн выражает-
ся через них в зависимости от решаемой задачи:
/пФ1	/ Р
v='V^’ ,6-2*6’
где I —длина стержня (элемента основной системы);
m — интенсивность равномерно распределенной массы
стержня; ф — частота собственных колебаний; Р — внеш-
няя осевая сила; EI — нагибная жесткость.
Хотя система S континуальна, прн использовании
уравнений (6214) или (6.215) собственные формы ее опи-
сываются лишь конечным числом обобщенных сил (ме-
тод снл) влв обобщенных перемещений (метод переме-
щений), поскольку векторы х и z конечномерны. Прн
этом традиционно определяются лишь те значения ы°,
которые доставляют однородным уравнениям (6.214) или
• tin практике разыскивается лишь первый член спектра, так
как он определяет ненменылую критическую нагрузку (силу/
для «.лаежы
(G.215) только нетривиальные решения, т. е. являются
корнями детермннаитных уравнений
|D(u) | = 0 нлл | R«о)| = 0.	(6.217)
Однако возможны собственные формы (формы сво-
бодных колебаний нлн потерн устойчивости), для кото-
рых все места снятия (метод снл) нлн наложения (ме-
тод перемещений) связей оказываются узловыми точка-
ми и, следовательно, не могут быть найдены нэ уравне-
ний (6.217), так как нм отвечают тривиальные векторы
х=0 или z=0. В этом случае собственные формы си-
стемы S совпадают с собственными формами ее основ-
кои системы (случай сложной» основной системы [26)).
Назовем «скрытыми» собственные значения <а°
(|1С нлн н соответствующие им собственные формы
системы S, которые не улавливаются уравнениями
(0.217) в отличие от чявных», определимых из этих урав-
нений.
Таким образом, чтобы не пропустить некоторых соб-
ственных частот нлн критических снл (некоторых значе-
ний св0 бесконечного дискретного спектра) системы S,
помимо «явных» собственных значений необходимо разы-
скивать н «скрытые», если последние существуют.
Уравнения (6.217) являются трансцендентными меро-
морфнымн уравнениями. Они имеют бесконечное множе-
ство нулей (корней) н полюсов (точек разрыва второго
рода). Решение этих уравнений обычно выполняется ме-
тодом попыток [испытаний)-, отыскиваются значения <i>i
и nit, соответствующие разным знакам детерминанта
10(<о) | или |R(u) |, после чего интервал (<i>i, <i>i) посте-
пенно сужается. Такой путь трудоемок и чреват ошибка-
ми: в интервале (<щ. <вг) может оказаться не меньший
корень уравнения (6.217) нлн за корень может быть
принят полюс, так как при переходе через полюс детер-
мниантная функция также меняет знак.
Наиболее эффективен качественный метод испытаний,
смысл которого состоит в том, что иа каждом испытании
устанавливается место параметра испытания <> в спект-
ре собственных значений ар, т. е. устанавливается число
членов этого спектра, расположенных слева (точнее, не
справа) от <в.
При расчете систем с конечным числом степеней сво-
боды этот метод опирается иа теорему Лагранжа—Ди-
рихле о минимуме общей потенциальной энергии системы
в положении устойчивого равновесия. Поскольку потен-
циальная энергия системы может быть представлена в
виде квадратичной формы, указанная теорема требует
положительной определенности квадратичной формы П
в положении устойчивого равновесия.
Если форму Л привести к каноническому вицу
Л
П = — а, (<в) £и назвать коэффициенты aj(w) козф-
фициентами устойчивости (а составленную нз них после-
довательность
01 (<в), at ((о),... о„(<1>)	(6.218)
— рядом устойчивости), то теорема Лагранжа — Дирцх»
ле может быть сформулирована следующим образом: ес-
ли в положении равновесия все коэффициенты устойчи-
вости аДш) положительны, равновесие системы S устой-
чиво; если имеется хотя бы один отрицательный коэффи-
циент устойчивости, равновесие неустойчнво._
Для определения места точки испытаний ш в спектре
собственных значений <а° континуальной системы S с уче-
том возможной «ложности» основной системы восполь-
Таблица С.5
Метод перемещений						
		Реакции	Собственные колебание сжатого стержня	Собственные колебания несжитогэ стержня	11ридально-лоперечный изгиб	Попереч- ный пзгкб
		, EI 1 “ — 1 Ef				
X?	Схемы перемещений	Р " 1 ь-Е±- е	,./.^/±77- uB “ и’; а' + В« lt>. «’ — В'" v		*• о !Ы~ * с  1  а Е а. 		VmpaO: a-6*0
I	II	in	IV	V	VI	VII
	Г eV	А — ia В- D — ab Е — а	а - 2L V ®vu.	* ц» w	В »1п а ch В — а cos а зЬ В	ц slu н ch ц — cos ц sh н	и		'gv-V- v '«V 2w-L _v 0	v	v — sin v	«•-4 B*-2 6.. -G e.-6
			2(1— сов а ch В) — slti а sh В й* X •1*	й1 х	а »h В — В slug	 2 (1 — еде а ch В; — — aln а sh 0 и’ Ч-и1х — (1 — cos а ch В) + 2з1п а sh р ' х ц’	”И г	1 — cos м ch ц п -и		
				".1 “ ** . . й	1 — cos ц ch д 1 — 1Р __9|п 11 sh и	V"’‘nv 2t _L_v 2 V* <й — г 		2 v“ V 21g 		v	
			2(1 — сов а ch В) —	sin а sh В ц’ Ч"2вх 	eh В — сп» а	 2 (1 — cos а ch В) — —- sin а sh В И*	И	1 — еде ц ch д S w ц1 ch 11 ~ cos й й	1 — cos й ch д		
350
РАЗДЕЛ 6. МАТРИЦЫ. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
6.4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
351

в.4. МАТРИЦЫ В ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ И УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
353
354	РАЗДЕЛ в. МАТРИЦЫ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ
зуемся критерием Я. Л. Нудельмана—Л. С. Ляховича
[42. 43].
Пусть mt — число нулевых; т> —число конечных от-
рицательных н Л1з — число бесконечных членов в ряду
устойчивости (6.218). Пусть далее «о и — число соб-
ственных значений основной системы меньших а> и рав-
ных о соответственно. Тогда число собственных значе-
ний ш° системы 5, меньших о н равных <о, определяется
соответственно выражениями:
i = i0 — m, — ma k =	— rr.t (6.219)
при использовании метода сцл и выражениями
i ~ io 4- ш. 4- mf, k = ko 4" nTi — ms (6.220)
при использовании _метода перемещений.
В_иитервале (о,. <о2) размещается ft(<ih)4-i(b>2)4-
4-й(Ш|)—1(Ш|) собственных значений <о° системы S. Это
позволяет определить критическое значение для лю-
бого заданного номера j с одновременным установлени-
ем кратности его в спектре системы S.
Замечание I. Чтобы воспользоваться критерия-
ми (6.219)—(6.220), необходимо знать собственные зна-
чения основной системы. С этой целью для каждого эле-
мента основной системы вычисляются А/ собственных
значений и* (р* или v-), где N — наибольший порядко-
вый помер разыскиваемых <оо системы 3. Из полученной
совокупности tN значений и' (I— число основных эле-
ментов) выбираются с учетом кратности те значения <о*.
которым соответствуют собственные формы, не вызы-
вающие в основной системе метода сил перемещений по
направлениям отброшенных связей, а в основной систе-
ме метода перемещений — реакций в наложенных связях.
Замечание 2. Из всех рассмотренных в 6.1.7
способов приведения квадратичной формы к канониче-
скому виду метод Якоби требует наименьшего объема
вычислений. Согласно (6.77) коэффициентами устойчиво-
сти в этом случае будут ведущие гауссовы коэффициент
ты а}|—*’ (6.37). Чтобы для данной точки испытаний ш
построить ряд устойчивости (6.218), достаточно матрицу
коэффициентов D(o>) или R(co) привести к треугольному
виду по схеме Гаусса.
Замечание 3 Практически вычисление нелиней-
ных реакций Г(Д(|>) во многих случаях значительно про-
ще, чем вычисление перемещений 6<j(<i>). поэтому ниже
рассматривается только ыетод перемещений.
При расчете сложных стержневых систем, например
пространственных рам, матрица R имеет высокий поря-
док, что чрезвычайно затрудняет расчет даже при ис-
пользовании ЭЦВМ.
Р. Р. Матевосяном [18] предложено частичное приве-
дение квадратичной формы к каноническому виду:
п----4- Т £
Г-1	С./-Р+1
которому соответствует преобразование R в R* (6.221).
Им же показано, что это преобразование достигается
автоматически при переходе от простой основной систе-
мы к сложной, элементы которой однажды кинематиче-
ски неопределимы.
В этом случае ряд устойчивости (6.218) заменяется
Л л
двумя рядами устойчивости: дополнительным г1Ь...,грр
в неполным ~rl>+i.P+i' <&.₽+»• • ’ ‘	Д™ п°-
строения последнего ряда необходимо матрицу R, по-
строенную на базе сложной основной системы, привести
к треугольному виду по схеме Гаусса.
Если элементы основной системы k раз кинематически
л
неопределимы, матрица R. характеризующая равновес-
ные состояния элементов основной системы, становится
Л
квазндиагональной с квазнэлементамн R(( й-го порядка.
Для построения дополнительного ряда устойчивости в
л
этом случае необходимо каждый квазиэлемент R« при-
вести к треугольному виду по схеме Гаусса.
Замечание 4. Отличие качественного метода ис-
пытаний от метода испытаний по знаку определителя
состоит в сущности в том. что в первом случае носителем
искомой информации являются знаки п чисел (коэффи-
циентов устойчивости), а во втором—знак одного чис-
ла — детерминанта (произведения коэффициентов устой-
чивости). Поэтому понятно, почему качественный ыетод
дает полное решение задачи, в то время как испытания
по знаку определителя могут привести к неправильным
выводам.
6.4.4.	Вычисление реактивных усилив
Реактивные усилия r<j(<i>) для стержней с различны-
ми условиями опирания (13) представлены в табл. 6.5.
В работе [13] приведены соотношения между различны-
ми функциями, позволяющие во всех случаях ограничить-
ся вычислением только шести функций а, 0, О, е, у, г),
относящихся к защемленному стержню.
ЛИТЕРАТУРА
1.	А р г и р я с Дж. Современные достижения в методах рас-
чета конструкций с применением матриц. Пер. с англ. Подред.
А. Ф. Смирнова. С.ройизлат, 1968.
2.	Веллман Р. Введение в теорию матриц. «Наука».
I9G9.
3.	Б с pc з и н И. С.. Жидков Н. П. Методы вычисле-
ний. т. I и 2. Фнзматгиэ. 1440.
4.	Воеводин В. Б. Численные методы алгебры. Теория
и ЦЛ109КТМЫ. «Наука». i960.
5.	Гонтмахер Ф. Р. Теория матриц. Изд. 9-е. «Нау-
ка». 1966.
6.	Г а и т м я х о р Ф. Р.. К р в А и М. Г. Осинлляционные
матрицы и ядра и малые кол с бин и я механических систем.
М. — Л.. ГТТИ. 1950.
7.	Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгабре.
Изд. З е. «Неука». 1965.
I. Голь лейбл от И. И. Некоторые вопросы качествен-
ной теории у с той чип ост)1 упругих систем, в сб.: «Проблемы
устойчивости в строительный механике». Стройнздат, 1965,
ЛИТЕРАТУРА
355
9.	Гольденблат И. И, Экстремальные и вариаци-
онные принципы в теории сооружений. В сб.: «Строительная ме-
ханика в СССР. 1917—1957». Стройнздат. 1957.
10.	Д с м и д о в » ч Б. П.. Марон И. А. Основы вычис-
лительной математики. Фнзматгнз. I960.
II.	Д и и к с в и ч С. 3. Об эффективности метода квадрат-
ных корней. В сб.: «Вычислительная и организационная тех-
ника в строительстве и проектировании». Гипротис. 1967. М I.
12.	Дникевнч С. 3. Спектральная теория циклических
матриц и расчет циклических конструкций. В сб.: «Расчет про-
странственных конструкций», вып. XIV. Стройнздат. 1971.
13.	Дникевнч С. 3.. Краснопольская Н. Б. По-
строение матрицы статических и динамических реакций для
стержня на упругих опорах я се использование при расчете
циклических и регулярных стержневых систем. В сб.: «Исследо-
вания по теории сооружений». вып. XVIII. Стройнздат. 1970.
14.	Ефимов Н. В., Розе л д оря Э. Р. Линейная
алгебра н многомерная геометрия. «Наука». 1970.
15.	К уро ш А. Г. Курс высшей алгебры. М. — Л.» ГТТИ.
1946.
16.	Л а я ц о ш К. Практические методы прикладного ана-
лиза. Фнзматгнз. 1960.
17.	М а л ь ц е в А. И. Основы линейной алгебры. Изд. 3-а.
«Наука». 1970.
18.	М а т е в о с я я Р. Р. Устойчивость сложных стержневых
систем (качественная теория). Госстройиэдат. 1961.
19.	М и ш н и а А. П.. Проскуряков Н. В. Высшая
алгебра (справочная математическая библиотека). «Наука».
1966.
30.	Н а р с ц Л. К. Расчет статически неопределимых си-
стем на малых вычислительных машинах. Госстройиэдат. 1958.
21.	Похожий Г. Н. Численное решение двумерных к
трехмерных краевых задач математической физики и функции
дискретного аргумента. Изд-во Киевского университета, 1М2.
22.	Применение электронных вычислительных машин в стро-
ительной механике. «Наукова думка». 1968.
23.	Рабинович И. М. Курс строительной мвхвямкн.
Госстройиэдат, ч. 1. 1950; ч. 2, 1954.
24.	Расчет строительных конструкций е применением элек-
тронных машин. Сборник статей. Под ред. А. Ф. Смирнова.
Стройнздат. 1961.
И. Р ев н н но । Р. А. Решение аадач строительной механи-
ке на ЭЦМ. Изд. 2-е. Стройнздат. 1971.
26.	С м в р н ов А. Ф. Статическая и динамическая устой-
чивость сооружений. Траксжслдориэдат, 1947.
27.	Смирнов А. Ф. Устойчивость н колебания сооруже-
ний. Трамсжелдорнздат. 1958,
28.	Смирнов А. Ф.. Александров А. В., Шапош-
ников Н. Н., Лащеников Б. Я- Расчет сооружений с при-
менением вычислительных машин. Трансжелдорнэдат. 1965.
29.	Современные проблемы расчета сложных статических не-
определимых систем. Составление, общая редакция н допол-
нение А. П. Филина. Л.. Судпромгнэ. 1961.
30.	Уылкннсои Дж. Алгебраическая проблема собст-
венных значений. «Наука», 1970.
31.	Уманский А. А. Пространственные системы. Госстрой-
нздат, 1948.
32.	Уманский А. А. Специальный курс строительной
механики, я. I, II. М. — Л.. Госстройнздат. 1935. 1940.
33.	Ф а д д е е в Д. К.. Фаддеева В. Н. Вычислитель-
ные методы линейной алгебры. Изд. 2. «Наука». 1963.
34.	Ф и л и и А. П. Расчет пространственных стержневых
конструкций типа перекрестных связей я его применение к обо-
лочкам ори использовании электронных вычислительных ма-
шин. В сб..* «Исследования со строительной механике». Л.,
Труды ЛИИЖТ. вып. 190. 1962.
35.	Ф и л н н А. П. Статика стержневых систем иа основе
элементарных аоложеиий функционального анализа. Известия
АН СССР, «Механика н машиностроение». 1964. М 1.
38.	Ф и л я л А. П. Алгоритм построения матрицы прн рас-
чете произвольных пространственных рамных (с жесткими кон-
турами) систем методом сил. в сб.: «Строительная механика».
Стройнздат. 1966.
37.	Ф и л н н А. П. Матрицы в статике стержневых систем.
М. — Л.. Стройнздат. 1906.
38.	Фрезер Р.. Дункан В.. Коллар А. Теории
матриц и се приложения. ИЛ. 1950.
39.	Шайкевпч В. Д. Матричный метод расчета регуляр-
ных стержневых систем. В сб.: «Расчет пространственных кон-
струкций», вып. IV. Госстройиэдат. 1958.
40.	Ш и л о в Г. Е. Математический анализ. Конечномерные
линейные пространства. «Наука». I960.
41.	ЭЦВМ в строительной механике. Труды 1 Всесоюзного
совещания но применению ЭЦВМ в строительной механике
(Ленинград, 1963). М. — Л.. Стройнздат. 1066.
42.	Л я х о в н я Л. С. Метод отделения критических снл
н собственных частот упругих систем. Изд-во Томского универ-
ситета. 1970.
43.	Нудельмая Я. Л.. Ллхович Л. С. Уточнение
критерия, определяющего место заданного числа в спектре соб-
ственных частот и критических сил упругих систем. В сб.:
«Исследования со строительной механике». Труды Томского
ннж.-стр. ин-та. т. XIV. Изд-во Томского университета. 1968.
44.	Роэ мн Л. А. Метод конечмык влсыектов. «Энергия».
РАЗДЕЛ 7
ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ
7.1.	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ
РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
Таблица 7.1
1. Квадрат
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
357
358
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение табл. 7.1
10. Неравнобокнй уголок
"<’	'*”Т ['	* 1 *'о’3+ ‘4 -Ь1 ‘«о- 'И:
/о_±[((б-1,)3 + лг3_. ,	0,1. ,________WEM--------WifhL
• 3 I rf « l,d “J *H 4<t + M 4(fc + 6.)
11. Симметричный тавр, составленный из прямоугольников
F —	—6)<f+ М; S. «(В— !>) — + » —;
'	2	2
1. =(В - 6) — + Ь — : у-----— ;
X-	3 з • г
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
359
Продомынил табл. 7.1
13. Тонкостенный швеллер (4, fa < b, h)
b,- ——;	F-b/,4-2bi,-bi,(24-9):
hb 2 + f>	2+₽
i w« ьт‘ . w,‘ в «) ww+e>. t _ н, <i + зд>
x~ 12 + 2 ” 12 * 1 * * *	“ 12(2 4-9) V~ 3(24-9) ”
W<l + W ; /,.!«,W -“‘He-H))-”-*.6*!» ;
3(2 4-9)’ r 3	3(24-9)	1	6	6(24-9)
W , 'L-^' (l | 29) -»F<4-2P>. v _ 'v „64,(14-29) _
to bl 3	3(24-9) '	16	9,	3(14-9)
bF (1 + 29) . f . h т/Т+Ё" r b 1/14- 29
**3(14-9) (24-9) X 2 T <>4-39 ’ *'”24-9 Г 3	“
И. Симметричный тонкостенный двутавр (>•	< b. A)
9-—: F —31,4-231, —bl, (2 4-9); I —	(6 4. 9) - f*'l64- 9l
1	12	12 (2 + 9)
1-^1_______££_; V —^(б-ЬЙ-^*6-1-^ ; IF -S1L.
»	6	9(24-9)	1	6	6(2 4-9)	"	3
Fb . r h 1/'б+9~г r ___b____________
”3(24-9)	»“ 2 r 64.39 • '*'"/7^7^-
1Б. Симметричный тонкостенный тавр (6» G < b. h).
360
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
18. Трапеция
F-— (». + »„)*:	i»B-—2 — *
»	"	" 3 (ЬН + ЬП) 3 (!>„ + »,)
z *ч»;+«»л+»а дг(*н+у.+*й.
Х"	“(»н + М	”	»(»« + У*
г _ Н^+Ч) _№(|’н+3»-) . , *(Ч + ».)_г*’(3||н + «’»)
х'“	«	“ в(»в+*,) ’	12	в(‘и+»в)
Щ ——— (для нижних волокон): W* — —i (для верхних волокон);
*и tt	хв
6(<>И+|’в)

362
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение табл. 7.1
26. Полукруг
F— — . 0,3927 <Р- ,„-0,2122 4; о. -0.2373 d;
В	НВ
л<1*
/-0.00686 d«;	-—-0.025d*;
х	У	Х 128
—	0,0323 d*	(для	ннжннх	волокон);
—	0,0238 <Р	(для	верхних	волокон)
гх — 0.1323 d;	— 0.252 d
27. Четверть круга
Л. Сечение бревна, отделимого сверху и енкзу
Л —0,666 d; /х= 0,039d‘; 1РХ—0,038<Р, г* —0,223 d
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАС 1ЯЖЕНИИ-СЖЖТИИ И ИЗГИВЕ
363
у' У в
X. Круговой сектор
а—-—-; а —2га (длина дуги ДВ); 6-2г bin а (длина хорды ДВ);
160°
sr _ «Ах0 2гй 2г tin в 88,20 rain а
Fm — а /»а —------- ; к . —-—--------— —--------;
2	160°	° 3s За	а*
, Н „	.	•* (л 32з1п*<Ц рт (	31 »1п» а\
Tl*—-------------------------
,	________<е_;
В 6а* х г tin а.
г	- r e_L 1/ Ч» 16 sin* а .
*" 2 г 2а’	2 Г Ча 9а’
Ф- 2а — sin 2а: ф —2а 4-sin 2а
31. Круговой сегмент
$ м 2га (длина дуги ДВ); Ь-2г sin а (длина хорды ДВ);
(4а —sin 4а) —
Вт4 sin* а
9 2а—sin За
(1 + ЗА cos а — 4А’) —---(1 + ЗА cos а—4А1);
। —— (1 + ЗА со» а);
!х. —	(4а — з1п 4а) —
(12 а — 8 tin 2а 4- sin 4а)
—	(1 — A cos а)—	(1— A cos а): <р — 2а— sin 2а: А — sln g
8	4	Зф
32. Сектор кольце
/Ж,—!-(/}.-н>:
/„ — — (R* — г*); ф « 2а — sin 2а; ф — 2а + sin 2а
v 6
33. Половина кольца
F- 2L (D»-<p);
£У + Orf + <Р .
D+ d
364
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
7.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ СЖАТИИ И ИЗГИБЕ
365
Продолжение табл. 7.1
41. Параболический треугольник
Г .---------------------------- М’; / . -------------&h
х (л + 1) (2л + I) (Зл + 1) V 3 (л+ 3)
42. Полукруглый волнистый профиль
b — Vr. г—0.5 (А —/)—0,25 b —0.6 f; Я — 0.6 (h + П — 0.25 b + 0.51;
Я. —0.5 (Я 4-г) — 0,6 й — 0.25 6; F — л (Я* 1 — 7е) —Л/h — 0,5 пЫ — 1.671 Ы;
1ж - 0,25 я (Я< — г*) - 0.125 nth (К* 4- /’) — 0,393 Л/ (№ + I’J -
-o.isswto.jSM+n:	—(-я*~,<>-—ы —-
1 h+t г (А+0	4	(* + !)
„дот w+£L-: , _1/*E±F
(» + <)	(0,S» + <)	* Г 8	т
366
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение табл. 7.1
—;---х
45. Сечения стандартных прокатных балок (А в сж):
швеллер SP •	сж». двутавр 1ГЖ«
81	61
46. Сечение произвольной формы
Для ориентировочной оценки величия Iх и &х относительно центральных осей:
для сплошного сечения (с ошибкой до 15%)
для сплошного симметричного сечения (с ошибкой до 15%)
для полого сечения (с ошибкой до 25%)
, _™.Г!а + ^*!Ь;
' » [ * ы J
для полого симметричного сечения (с ошибкой до 25%)
w -ГП.+Ll^L.
' э» |l 4 w ]
Здесь: F — площадь внутри наружного контура сечения; А и 6 — высота и ширина сечения:	н / — длина периметра и
толщина стенки (для полого сечения)
1Л. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РАДИУСОВ ИНЕРЦИИ
367
7.2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РАДИУСОВ ИНЕРЦИИ
Таблица 7.2
й * 1	|у	Г.-43СТ1 1	Гу-ЦЗОЪ	10	rt*tfWi ₽""	M F’“	4M t r,s®» fp] f г^цпя IT ’ i	Ан <17] rrv"			
< 1 ft ж 1]	У	г,-цзы г,.цги , ..А vVt? ~	t±&— '«в’5* 1ГТГ Is	J	гЁ1'да k	•	s J_.. "7	ft-< -4	ГЖ-<«* —f ft
S]	Гж - ~Ь ~1'	Г	9|		 r,-«4Jft “ГТ Г г,=4Ф»		4^4 t ; Th rt-^b		1	•1 ч	r,-4«a Г|>4Ш
			T	k& 's	ft	X_J	-3	
й У		iyi			s i s		Г7	Гж^ФД T rs^M* я
			t	rrtf&	t±.	,s	t r,-4Mft		s	л 4	
Jf—* -		1 Г< Г rt-vn				tfl		rf^su
1—	Р	rrt-4»ft - 1у	Гд*ЦМЬ	JI	1 У	K_					i	
.	У	—ь Н	t	t^L-f	г,-44я	t±2	|У j	rf-^MA		s		r,4pth
J	 У		<	д_ гя-43Л „ Гу^ЦПЬ "	1 rj-^ZEb У Д 1 S' ft	«hi	a i"* Jti	h>-	s	-L	r^-gM
		U !s irT?-w	H -	P	.	rt-qsth		9		r^Bh r,-Vn
Iti		4 i I» ж |г» ***				IS	>2S	
	Г X	nil *	X H	Hr*	№	\7////Х'//////. \'////////////л		r
Х у	tv^th — rt.qi№			iy-Ll		si		
г*-	L_j r,-giSh p_ г,’вл»	| 9	•	«-j-Е—f	гж-4Л* r—f —11Г“r r«S*5‘	4*	'L-t r,-tm lT"T r,"4»»		У	-4,-	< «-ж-Ч»*»
ft		ujR	+	hR	£		—	: *
		L-j-jL	«J	,	S			
<-М	У. r,-vn	S|	r,-«Wft |—F”	r««4»*	t±‘	> ,	r,-4«* —» rt^SSi				г-4Вй
! “1 -*—	V	r	ж 1 1	b i			i- a	
л л V3	«1 fl a a kC£* "2Eli\>	Гж‘4Я» 1Г л	f-b-	* ।	r^g^h в Г г,-4» &i			<	ГЧ35ва
368	РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
7.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СДВИГА ПРИ
ИЗГИБЕ (НАПРАВЛЕННЫЕ ПЛОЩАДИ Fv)
7.4. ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИЯ
369
7.4. ПОЛОЖЕНИЕ ЦЕНТРА ИЗГИБА НЕКОТОРЫХ СЕЧЕНИИ
(ц — коэффициент Пуассона)
Т а б л и и а 7.4
Продолжение табл. 7.4
370
раздел 7. таблицы геометрических характеристик сечении стержней
Форма сечення
Положение центра изгиба (точка О) •
Удлиненный
Укороченный
6. Сектор тонкого кругового трубчатого
сечення
r	(я — а) соя а 4- sin а
О	(я — а) 4- sin а cos а
Для трубы с разрезом ( а -0)
л_-2г
О
~~главные центральные моменты инерции прямоугольника с размера-
ми 4|X<i;
— то же. для прямоугольника с размерами Af X <а
/жс— центробежный момент инерции половины сечення по отношению к осям
X М и.
!я — момент ииерцнн полной плошали по отношению к оси х.
7.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ КРУЧЕНИИ
371
Продолжение табл. 7.4
1		орма сечения		Положение центра изгиба (точка О) *
9. Двутав Г • Полом	Р й’ 9m (сине	ие	игра тяжести некоторых фиг	ж.-*-*-. о Л + /. Л к /} — моменты инерции полок / и 2 по отношению к осн хЛ ур (топка О) см. табл. 2.3.
7.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ КРУЧЕНИИ
Таблица 7.5
Форма сечения			Момент сопротивления в см*	Положение точек тмвкс	Момент инерции в ем*
1—rf—			в’ —- <р к 16	Во всех точках пери- метра	
*—а-				1 а|а 5|авО. О. | *	1	1	- Л. я„ 1	Во всех точках наруж- ной окружности	
			h — •«>!; Ь U7 — 2L nb' *	16	По концам малой осн г - М* К По концам большой оси т в Тманс л	к 16 л14- 1 F1 р
	—»—1				
		11	- г а Л V 1 « а о 1 1 ' 1	По концам малой осн t макс По концам большой оси t _ Тманс л	.	я	л’ >.4 /м —	 • 	 Ь* X к IS л»+ 1 11 Х(1- а4)
	-ь,-1 —ья—'				
372
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение тобл. 7.5
Формн сечення				Момент сопротивления в см*		Положение точек тыакс		Момент нмершт в см*	
				Wk — 0.208а’				/к -0,1404 а*	
	“ 7777777. О_1					Посереди тмакс "	те сторон «к		
							0.208 о»		
	— a-J								
				1J ч v		1			
						Посередине длинных сторо»	- MK/WK. Посередине коротких сторон т-Стм1КС В углях т-0			
		ч	 Ц|||								
	—ь —								
л	1	1.5		2	3	4	6	8	10
с	0.208	0.346		0.493	0.801	1.160	1.789	2.456	3.123
ч	0.1404	0.2936		0.4S72	0,7899	1.1232	1.789	2,456	3.123
с	1.0	0.8588		0.7952	0.7533	0,7447	0.7426	0.7426	0.7425
-U-				А — ™ л > 4: Ь |Г - — (л - О.Я) (р- к 3 “ ь		В точках длинных сто* рои. эд исключен нем концов тмякс Посередине коротких сторон т м 0.742S т *	•	макс В углях Т- 0		/ — -L (л — 0.63) А» “	3	
				UZ.-O.OStP-— 7.S УЗ 12.99 Ь		Посередине сторон tmikc В углах t -0		.	л*	А* к" 1S/3-’	" W 3 Ь* « М 80	46,188	
	/Ж ЖУ								
	1	ь	1								
			' 43	|Г„ - — А»’-0,105 IP- к 12 -А ь		В точках длинных сто- рон вблизи основания тмякс В углах t -0		1и — — МГ -0.105 М к 12	
'ь 		/г										
7.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ СВОБОДНОМ КРУЧЕНИИ
373
Продолжение табл. 7.5
Форма сечения				Момент сопротивления в см*	Положение точек тмакс	Момент инерции в см*
				ж.;Г -i« !- । । ь*	В точках боковых сторон вблизи большего основа* имя трапеции tMJ|KC В углах т 0	1 * ( ь1~ *2) к ” 12	», — Ь, -0.105 ( (,{ + »«)
Л’		h——1					
				. 1 к 12 Ь, (». - Ы *2	С — 0.21— = — »>	о.	Посередине длинной стороны тмате	1 К 12 — 0.21t<
		—2Ъ —		U7K~ 0.436 Fb	Посередине сторон Smkc	/к » 0,533 Fb*
		—2Ь—		U7k — 0.447 Fb	Посередине сторон тмакс	
Таблица 7.6
Форма			сеченнв	Координаты центра изгиба и бнмомсит инерции сечения*	Форш сечения		Координаты центра изгиба и бнмомсит инерции сечения*
		9 0,0	_ь»	jt_-O; у_-0: О	О “	2	Я ГЗ	9,	V_: 0 tt	/ У
			л (1_		и		
374
РАЗДЕЛ 7. ТАБЛИЦЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЕЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ
Продолжение габл. 7.6
Форма сечения		Координаты центра язпгОа н бкмомент ннерцан сечения*	Форма сечения			Координате центра яэгяба н бнмомент инерции сечения*
						
				4	КУ	
	У,»				я 1	
Ж if	0 f г|М b	° '«			J?.. л	е" + 1 с ’V-- +
			919			1° ^1’ =	1 • -а
й * 1 -	Lt	у_- °  'о —	+	+ + _'1> V*	1 -4		1X1	
				__ У 1 1	9 г *	°	1 V
и л! 1 н И					3 I	L v	
|О	II з а и’	^С|) " ^1 Ci) + ^Зсо + +	Z34?* /jjf. ГХу — осевые моменты ни сльно собственных кеипюв из	_е	9 2> ।	0	<	V"* / - V* '^о1'2 3 4 to	4	/ X ей ж. и: /1Юв /2ю—бнмомен-
• Принятые обозначения: /ц» ты янерцнн частей 1, 2. ... относит			ерцвн час гяба.	гей 1.	м 1 . ... относительно о<	
ЛИТЕРАТУРА
1. Бычков Д. В. и Мрощняскнй А. К- Кручение
металлических балок. Стройиздат. 1944.
2. Вехой П. В. Расчетные формулы для волнистых и
складчатых ПрофилеА. Стройнэдат. 1964.
3. Г е б е л ь В. Г. Трубообразные балки большой полез-
ной ширины и высокой экономики. Изд. Гос. науч но-мелиоратив-
ного ин-та. Л.. 1930.
4. ГОСТы: Сортамент балок двухтавровых — 8239—56, то же.
облегченных — 6184—S2. то же. широкополочных — 6185—52: Сор-
тамент швеллеров — 8240—56. то же. облегченных — 6185—52:
Сортамент угловой равнобокой стали — 8509—57. то же. неравно-
боной - 8510-57.
5.	Д и и и и к А. Н. (ред). Справочник по технической ме-
ханике. Гостехтеорстиздат, 1949.
6.	М а р ч е и к о в А. Н. Определение коэффициента И.
характеризующего форму поперечного сечения элемента. В сб.:
«Материалы по металлическим конструкциям». вып. 10, Строй-
нэдат. 19G5.
7.	Справочник машиностроителя, т. 3. Машгиз. 1949.
8.	Энциклопедический справочник «Машиностроение», т. I.
кн. 2. Машгяз, 1947.
РАЗДЕЛ 8
ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК,
РАМИ АРОК
8.1. БАЛКИ
8.1.1.	Консоль. Опорные реакции, моменты, прогибы и углы поворота сечений1
Таблица 8.1.1
Схема нагрузки. Эпюры Q и М				Опорная реакция. Опорный момент	Прогибы. Максимальный прогиб на конце консоли ₽М1кС	Углы поворота сеченнй. Угол поворота концевого сечения *ы1кс
						
Z			Р 9			
						
		X—1 1~ШГ1ТПТТгтттт»--		а и	1 1 1 s	о .в 	(3/ — х); * SEI РР °шс~гС1	Т- - —— (2Z - JT); х 2И ₽Г ы,кс “ , Е/
	g—Л	1- 9	a н	А-Р: Ма^-Ра	PjP d~—— (За-ху. х 6 Е/ О _*С.(3х	О); ' ев 1 1 ' р<р ... %,ке=6-^<3'-«	тх- —(2в-л); * 2EI Р<Р макс *|	2Е!
		х«а				
	ШТПТгт^-					
						
			а и	А-р1: Ма — -^ а	2	о	Г [6-<1 + Г): ‘ 24EI Р \	1 Р } макс “ 8 и	(3-3i + -£U; ‘ ЕЕ! \	IP} ““с 6EI
	1					(6I-30-U): ж 12 EI „	_ »• А .а*	\ такс 24 И \	Р * р) приняты положшельныык. если выэы ота сеченнй пригодны только для бал	
	— а „ t ь -		а м таблицах деления пр	А - pb: м0__'±« + в) для балок моменты огнбов и углов повор		V“nr(’^"*7! + Д-4 р р / •«« 6EI \	Р ) вают растяжение нижних волокон ок постоянного сечення.
• 3 балок. Фо		кА 22 утих опрс				
	lllllllHllla.					
	ППШПпш песь н в др рмулы для					
376
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 9.1.1
Схема нагрузки. Эпюры Q я М							Опорная реакция. Опорный момент	Прогибы. Максимальный прогиб на конце консоли t>MIKC			Углы поворота сечений. Угол поворота концевого сеченна *мвкс
				I—, p	fl		А — ра- Ма — -& а	2				 -£!2. (з-з —+ Л\; х 6 El \	а o’) ра* макс" Ji" 6£/
Z	*1										
	—д —J tlTTTnnl*										
								lv-a'			
					г						
					в м		5 * 1	' 1 -а «•h	* НО El Р + S— -- р		ю—10-J- + г) =	«я-т^-тНт* + «7-^) = г --EL- ЫМС мв
н	,—X —ь ТТТТт 11111. _—										
								1	pH рмакс" до '			
											
	—1 шшш	ТГ| iTYw»-			1 fl л	। Г	2 м-- а	3	‘ oaEi р + £)		20- юi +	tх -——  —fe-6—+ лу ж 2AEI ' 1	1 PJ рр ЧЕ1
								,	-Л. “*«	120 El			
											
л-		1				-ft fl M		,	+ 4- о. £«.)• +-	1	? £	1	+ •	г"	%.«-(» о.			<3р, + р,1Р Sm«c“ аЕ/
	llllllllllllllllllin 1|1ТТГТгп|||,‘  										
											
								мерной нагрузки р—pt по всей длине белки и треугольной нагрузки с максимумом не опоре r-Pj— р»			
					1 £	1	2 —(2»+о> ° «				шке м Е/
	(—а —		5»?					ф 1 и			
	lllllllllllllliim										
											
											
					0 M		л рЬ 2 А4_ - - — (Г + 2в) а	6				'иже “	<Ы* “ 8Ы + ЗЬ>! UEI
	1	£	-									
	г—а—			b-				рРЬ •’мкс ~Х[1			
	11111111111)1			£							
	ГГГПТгптт^										
											
8.1. БАЛКИ
377
Продолжение B.I.I
Схема нагрузки. Эпюры Q в М					Опорная реакция. Опорный момент	Прогибы- Максимальный прогиб на конце консоли оыакс	Углы поворота сечений. Угол поворота концевого сечения тывнс
к	L							
/	г—1/2-	4-1/2-		Q H	л-eL-. ч ма—£- а	4	11 pl* °MtKC “ 192 и	7	рР макс" gg £/
	llllllii						
							
		1				>l a M	А-0; — L	°х " 2Е/ ’ LP рмаке " 2£/	х 77 ’ и М8КС " £/
							
							
	Hiiiiiiiiiiiiiiiiii						
							
к	1 								
J					a M	Л-0; Ма —L	*g~ 2EI о —	(2х, — а) ; 2£/ 1 *	' °»1кс	(2'-<И »кс 2£/	La тмакс “ тх» “ £у
]			|x<a				
			—				
							
							
'1 Q —	шшпшпщиЗ p ТЛТПТТгпттгт^ площадь эпюры Л			a M «= <0 —	4 А =( pdx; 0 1 Ма — —pxdx бсцнсса центра тижест	/ и площади эпюры М.	
8.1.2.	Простая балка. Опорные реакции, изгибающие моменты, прогибы,
углы поворота опорных сечений 1
Схема нагрузки. Эпюры Q и М				Опорные реакции. Изгибающие моменты	Прогибы в пролете	Углы поворота опорных сечений
А.	Р — а — Illi II111	-6- —	в Q	А-Р — : В-Р— ; 1	1 •	оЬ ***„», — ₽ J	0 .£££.. 1 6 El 1 \ Р Р / при х < а;	_ Pab (1 + Ь) . а	GEII Pab (1 + а) ь е eh алок постоянного сечения. Знаки юй опорой по часовой стрелке, над обозначено через	.
VM< пра	ниш Формулы для опрсд )в поворота сечениЯ вой — против часовой Изгибающие момент		м ЕЛСННЯ (1) П стрел к в ра	при а — а прогибов и углов говоре жкяты положительными н. злнчных сечениях балки □	PtP» о —	при х — о ЗЕП гга сечений пригодны только для при повороте ссчсння балки над лс1 рн разных значениях а/l см. 8.3.8 {	
378
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.2
Схема нагрузки. Эпюры Q м М				Опорные реакции. Изгибающие моыенты	Прогибы в пролете					Углы поворота опорных сечевкА
А	_А |Р t . 2 ~т~г~		в Q M	i s* t И й	tn i 1  “l~ *|2 “J’	Px t> ~ —— l3P — *	48 El 1 прн x < — ; 2 - PP рмакс " 4£E/ i при X — — 2					. - рр a“Xb~ MEI
	^=U—• ЛИПП									
		MIIIIIIIII								
										
										
А,	Гз1 зЗ 3		.e a M	s H r5 • Й i “1- 1 Л t “ Is - <*> | Ю	[•*	PP °млкс “ .й |7 £1 I При X " — 2					т «т РР fl" b~9El
		х j -^=-1	 тгтп									
	Hill									
	^llllll^									
п-l одинаковы* грузов \Р Р "р~р~Р .-»а la I а 1 п In 1 а				2	n	4	5	6	7	в	РР я"-1 lfl " '* * 24 £/ ’ о
л.			В a		Лмакс	Pl 2	Pl 1,67	Pl 1,33	Pi 1.17	
										
	“Ч11Ц11									
			M		PNIKC	РР	РР	PP	PP	
		IT								
						20.И El	1S.73£/	13.05£/		
										
		p -	-|Д	t	»• £ i 1 1 + ч 5 H c	p_ —	I3a (1 — a) — x®J; '	6£/ 1 прн x, — — 2					«ь 1 1
	m *									
	x<a. a<x,«G-ajLLL									
	'ЧШ1И1ШГ									
.±t		’ 1 p. t LUPI	8	A - В - P. Mmwc " ~	t>. -	(9P - 161’): ‘ Vi El					3 РР
										
бтр,			u n	при x, —+ -y- /	0 —	[48 X. (1 — x.) — Pl; '•	384 El 1	11 l/ J 11 РР	1 		 п₽и xi" — ЫПКС 384 £/	*	2					tfl“Tj,“a2 и
										
Чинш 1^										
8.1. БАЛКИ
379
Продолжение 8.1.2
лк.кс “ Т"<2 ~ И’ 'Ч*	’д - — О - 0.S Е)«;
»	° 6И
f	0,10	0.20	0,30	0.40	0.50	0.60	0,70	0.60	0.90	Множитель
<„с	0,0046	0.0162	0.0325	0.0612	0,0703	0,0882	0,1036	0.1162	0.1225	рр
X	0,045	0,06	0,255	0.32	0.375	0.42	0.455	0.48	0.495	1
V х —а	0,00014	0,0009	0.0024	0,0046	0,0065	0,0079	0.0082	0.0068	0.0040	р/* £/
То	0,0016	0,0064	0,0106	0.0171	0,0234	0.0294	0.0345	0.0384	0,0408	£/
V	0,0008	0,0033	0,0072	0.0123	0.0182	0,0246	0.0308	0,0363	0.0402	рр Е!
Изгибающие моменты в различных сечениях бални при разных значениях ( см. BJ.9 ^обозначено через .
380
РАЗДЕЛ В. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.3
Схема на грузин. Эпюры Q		к М	Опорные реакции. Изгибающие момента	Прогибы в пролете	Углы поворота опорных сечевнй
л		t	А - В - ра; Лмакс 2 при к — а + (i—o)	d	— —£fl— Е» (3 — 21’) Ъакс <8£/ 6 1 при X —	 2	— -5^- (3/ — За) 12 £1
А	— и —♦	О   ТПТгк . . Ч111ННГ	fl а м	В-^: 1	1 чакс ( | а }		£ г 1	1 s а 5 £ ^Т- ар “jl а|! 1 п нщ и
			с(Ь —а) "₽«'=“+ я	J+ ы j при х-а	
А		в 1:	а-в-*: 2 • «	& (t е\	’-«С при <	
			4 V 2 ) / при X —	 2		
А		1	' ТПТгт^ Чщш1шЛ	-р а м	A-SL : в-ei-: 6	3 м - р,‘ - микс	г— 9 / 3 — O.OG4 рР при х — 0.577 /	V - pl'-h --W — + х 11ЛЕ1 \ 1	Р + 37-); 5 рЭ ®ыакс“ 7(В- я при 0,5191	-2-. рр • а 3G0	£7 ц 8	рР Ь“ 360 EI
А	ь^з_1	 ПЛТь.Ч| 1ТПТГ	в а м	А- — (3J-2e); Ы В— —  3/ «чаке-у^ 1/1 2 - при К m а у 1 — — S	v =	(5-9* + при х-в. 45 £/ „ / При а ‘’"»“*йой(х_7)	_ _раЧ_ (Кр_ 45 j + «J. ° 3W EI ’.-rfg-»-»
8.1. БАЛКИ
381
Продолтсение 8.1.2
Схема нагрузки. Эпюры Q н М				Опорные реакция. Изгибающие моменты	Прогиба в пролете			Углы поворота опорных сеченнй
А,	-а=Ы~h Tm-rr^l— *—		6 в м	S j	Ч.	7^1 *1’	J	1	?	! *	S	= 5	&	D _-£251(20{-13р) прях-о.			t. -	Р (ЗЕ’ - ISE + 20); °	360EI т.-_£iZ_j»(io-3E«) 4 3№Е1
	-«-Г,	 W«KC				Прн а ™ - Эр1* ’	* 1280 EI		1 2 (‘-у)	
А		i х	г	• в ]в ИМ	Л-В-О-. 4 М	— °Р макс |2 1 при X "*— 2	р -—Go — —16— + Х 384£/ \	1	Р + 6.4 X) прн х < —: Р /	2 pl*	1 вылнс "	 ИРИ х " — макс I2OEA	2			_ брр	1 а " b “ 192 £1
	t- ТПттту^	Ш 						
	hSLUIIIIlim							
								
А,	Jri 11 111 Г	o-gu	в а	2 м —рР макс в	6 при*-А				г‘-г‘-27Б,,-ч’+е>
					°И.кс - зв,  +4Н	£! \	1	в М '“Г1 + 1	
	'<ЩД					прн х — — 2		
								
А			>в а м	л-в-^: 4 м ~ — 16 i прн X —	 2			L. л± ИМ1С 1024 EI при ж « — 2			г -т - —. °	4	768 EI
	L-X—J { 	kP ТПГь^							
	"ЧЦЛ							
								
лЕ		-4-t л	8 а м	Л-В-^-: 4 м макс 1б . 1 прн X « — 2	| 81= э|*			_	__ 6 , рр 4”"Йе’ Et
	Тттгтъ^ 1							
								
								
382
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 6.1.2
Схем* нагрузке. Эпюры Q и М					Опорные реакции. Изгибающие моменты			Прогибы в пролете							Углы поворота опорных сечецаВ
•жншж				k Iм	Л —S ——: 4 м и мм*хс“ 24 J при X —• 2			3 pf« °мякс “ WQ ’ Е/ 1 при X 		 2							т -т	tP Ь~ЫЕ1
					paipb	0,2	0.3	0,4	0,6	0.6	0,7	0.8	0.9	1.0	“ —— № 4 7d.) ;
₽«А	Р	IIIIIIIIIIII1III		№ Le а м	мшкс	РЬ1' 13,09	рьр 12,14	”tp	₽»'	»ьр	рЬР	Рь‘-	рь1'	₽6Г	
								11.30	10.67	9,90	9,36	8,87	6.41	8	
	4 1 1 1 1 111 ГГ 					x:f	0.655	0.545	0.636	0,628	0,520	0,614	0.508	0.604	0.600	° 3&JEI 1 °	w “ 3«U£/ ^' а + вР^
	Мцша														
	ГЧЩ1Ш1Ж				Л-(?Ра+Рь)‘& В-(Ра+Ъ>ь)Н&. °Ы1кс ” •’°*5 (₽а + рЬ> *:И "р" * ” <0,6 * °-и9>'										
Квадратная парабол Р.К	'Р				а В	3 б л<м_и_ —	рГ макс	цд 1 при X -у			€1	pl* ’m«c“ 576О • и 1 при X 		 2							та “ ТЬ “ S^T
А.	сП	iiiillilliiini													
	~ж~4 |														
	7ТТтт>&~			4											
			► Щ1												
															
Л i				г е и	А-В-^-. л м -£L ммакс п- i при х »—			мяче п.с, 1 при л — — 2							т -т - р|* ° Ь п‘Е1
	ТТТГГтъ^-^г														
															
															
8.1. БАЛКИ
383
Продолжение 8.1.1
Схема нагрузки- Эпюры Q м М				Опорные реакции. Изгибающие моменты	Прогибы в пролете	Углы поворота опорных сечений
А(	La		=о_ <а Е Т-t и—г	А -	Я : В - - А: 1 ма " La "Рн х “ °* М - — (J.6/	2	L_/x L.t* i	- х “ ~ЗВ зЁГ (' ~ 3?)  Lar	1 D * —	 ПРИ Л •* 	i 16Е7	2 £ЛЛ °ы«ие "	2	п₽и * “°-*231 макс 15.6© Е/	%--^= ° зеГ ч-У- * в EI
	1 —					
	TI111 П1111111111					
						
	11111ННЩ	л-*'*-—				
	I					
А	“V,‘		В а м	А —А; В_±; 1	1 М,-_ L А ; 1	р, - -	(Р - 3V - *’); х	6 £« р _	ЗаД-жДУ '	6EII V 1	V Lab а — b о_			прн х “ а. ‘ 3EI	1 При а — Ь — 0,51 ’.«е-Т0-00*^- Знак минус при ж *0.289/; плюс прн г,*0,711 1	1	a	°i	1 ! 5|е =|* tf* £ 		s --Z' '	Г	7	1 5; Irw	о	gj	w ar	a	-s|4	-= |<t - V—
	=jr=*.7rL x<a;xr>a					
						
						
						
А‘	в	р	с а м	А--Р—: / 1 мд —	Ра* vc- — (l+a). с 3EI В пролете АВ РаР 0MaKc--0.0M2^j- при * —О.Б77 /	Г. - —(2/a + 3o’); c 6 El •	pal a	IEI x »	Pai 3£i
		^а- ТТТГГ				
	PRffiiiilllffl'l					
						
	41 ПИ 1		с	._ рД1 . 21		\	<« + Л: c 6 £/ _ раЧ a °" ПЕ1 ‘ * гй" a) - PJ.
	-					
1			и И всей	длине балки прогиб нв	В пролете АВ -Ы.ХС —U-O32,e^- црн л * U,577 1 ПД конце коксолл og»& |л,(4<+3	
	--лттгГГГГГПГУь^					
	Прн наличии р на					
384
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.1.3.	Однопролетная балка с одним защемленным и другим
шарнирно опертым концом. Опорные реакции и опорные моменты
Схема нагрузки. Эпюры Q и М			Опорные реакции	Опорный момент Ма
Ki		в a м		
		t	’			Г*)- — ^« + м 2Z'
			в-^-ур-н	
				
	i f i			
	2T2		ж	И	
	— i	 ТГТТТТГП	ь® Q	А “ — Л 16 В-—Р	- — Я 16
			16	
		м		
	3 | 3 j 3	в		
		 1	— ПТТП		 ,,	Q	Л- — Р\ 3	_Я_
			В - — Р 3	3
	книнш			
				
.7	ppp	Я		
л 5		Q	из я 0 (	
	‘нши bfc				в в — / 32	
	4M1F	’’		
n-IMumaha tpgxtP				
	hfl + fl+a+a+-ai ♦p Ip tp Fp	в	л 5п*-4п-\	
	——t-na			t fl	А^	Р: 8л « Эл1—4Л+1 „	-^±Р1 8л
	К	м	В-	3_ р 8л	
				
Схеме нагрузки. Эпюры Q н М	Опорные реакции	Опорный момент ма
A-rf X ЕЛ	A-Z’fH-^X	
I 1	,111^ *	XV JJ- В-2Р— А	2 \ i /
^СЩ]ТТГ 4		
. 1 jLl pi1	. «и	
	<В	5 1	1 ЦЗ И1	-Ln 32
	32	
п МшапЛагрдхвР 		
	.	10л«Ч-1	
— 1>па	!1		
Оппт^а	16л s_^ZLlp	-?51±1₽/ 16л
	16л	
		
'	1	!'	А - — pli	
	В	pl	в
	в	
	 6 			
а^ кт^пр£—. а	££?+ раЬс у “ i	2Р	_£»»£ (1 + ь_
ППЬч„„„п &	xV+b-£y-	-£)
KjUWjjppJ”	В—рс — А	4и /
б I. БАЛКИ
385
Продолжение 8.1.3
Продолжение 8.1.3
Схема нагрузки. Эпюры Q и М					Опорные реакции	Опорный момент A,a
					A-pa-В В —— I — d№,: 2 Md — — V <- -£>=-- Pt*. u	b	
				,c		
				Q		
					‘ 1 »• 6 ‘ 1 *'	
	к .					
					0.1 | 0.0045	0,6 |	0.0882
					0.2 | 0.0102	0.7 | 0.1035
					0,3 | 0,0325	| 0.8 | 0,1152
					0.4 | 0,0512	| 0.9 | 0,1225
					0.5 | 0,0703 | 1.0 | 0.1250	
					i-yi + Л B — pb — Ai M.— — v (2 - И - - pPIt, “	8	
						
						
					’ 1 *•	p|*.
	TmTTbL			a M		
					0,1 | 0,0025	0.6 | 0.0733
						
					0,2 | 0,005b	| 0.7 | 0.0925
		Jllllll				
					0,3 | 0.0215	0.8 | O.1088
						
					0,4 | 0.0363	0,9 | 0.1205
					0.5 | O.OS47	1.0 | 0.1250
	f-а +-о-Н-Ьа- IrmrnvP			fl	A-^ + 2	
						
	ШШЬк			fl M	+ — (3-l’r 16 e-pc - A	-£L(3-«) 16
	‘	Ч11ПП					
		HIIIHl				
						
	1	Hi —				
		itffiwL				
я 1				в	A--ph	
A J	ППТЛть^					
				a M	3 =13 1	1 £|CT
	l>Ss					
		Ulilljj	Hl			
Схема нагрузки. Эпюры Q и М					Опорные реакции	Опорный момент Ма
				s ° l« i i	1 1 !ч IJ3 ю|и Г +	" = «в	। Г f	-^(1-254?)
	ШИп					
				в 0 я	А - — pit 5 S- —prf 10	--Lpp IS
						
						
At	-«57	I I—	p^.	В a M	А — — pl; 40 й _ " 40	——рР гл
	М.Ц- 	dht, 	1					Lfl a M	A-^t.<5-t,: В — 0,51.5 — А	-£*(5-3.., Ы)
	H-e-iiH Trrfi^fiL				А - — J (20 - 40 -ч’+еи В — V,5pa — А	-£Г(ЗР- 120 -1SS+20)
	t— I—			P a к		
386
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.3
Продолжение 8.1.3
Схема нагрузки. Эпюры Q и М							Опорные реакции	Опорный момент
л	~-ггГПТПгР ,н						Л-^Е(20-	
								
	ДЦЦь,					Jfl 1»	40 -lSF + 4t’): В “ O,5pa — A	_e£.(i2’ - 120 -«J+40)
				L'llllll				
								
		К!	'ШИН					
								
						'P №		
								
						e M	Л-^Г(1О-Е«); 40 В “ 0,5pfe — A	- ~ F (10-3H 120
	lllllliii							
	ъ.								
								
Квадратная парабола							A - 0.433pl. B—0.233pI	_pP Ю
«аз		hililliii				Я °		
1						a M		
	min							
	\Л‘							
	^ЧЦ] 1 |ЦР1							
		Синусоида					pl 3pl A “ — + —— :	3pP
А?		ailDifllli			А			
								
	ТГтч^1?					a M	= si* 1 : Hl s 1 a>	
								
	’ЦЦЩДР’							
							U	D 1	K> |w HJ* ••	2
	L-=—Л						p® 1		
	iiimiiiiiiiuii							
								
								
Схема нагрузки. Эпюры Q и Al						Опорные реакции	Опорный ыоыеат Afe
	— ° — L/1						
				'l	В		
							
					а м м м		3L (Г-У) . 2/« В = - А	7(-3Гт) = «О“0 при Ь " 0,5771
	IIIIIIIIIIIIIIIIII						
	тг^^1 пТП b>0J77l						
		ПЦ!					
							
	Поворот опоры А					. 3EI A^-Vl	3£/
							
			1II1111 п		fl	t*	
	Illiiiii		ТГГТТт^				
							
Осадка опоры В* а 1							
1					1		
	niiiiiiiiiiiiin				fl м	«	ЗЕ* * В 		Д Р	д р
	llliiii						
							
Нагрев на Д/с — “ 'в ” Ги > 0 </	й						Д- —В- I.SffaAf* Id	. ЛГ  i,5Ela —• d а — коэффици- ент линейно- го расшмре- ивн
		 1 	1				в 0		
	IIIIIIIIIIIIIIIIII						
	111II11 hllld^				м		
							
	Любая нагрузка тт1 linll ।  				L8	мл А- А»-	_>£J
	ТГПтттгг^ к					а м	В - в>+	: А*. В* —опорные реакции простой балки реакции и ыомеи 1ке опоры В, но с	Tfl —угол поворо- та простой балки ив опо- ре А (табл. 81.2) гы иыекгг те же обратными эна-
		2<1|||||1>к					
• При осадке опоры зндаенкя, что и при оса; ками.							
8.1. БАЛКИ
387
8.1.4.	Однопролетная балка с обоими защемленными концами
Опорные реакции и опорные моменты
Схема нагрузки. Эпюры Q и М				Опорные реакции	Опорные моменты
	i-04t -г»ч'г- 1₽		IB a A,	p Ga+Ы V . p • e., р[а+ЗЬ}с' I1	м-™- a	p - - Pat'* = P№?
		1 — Гш л 111111	 пип			
	А				
					
а]	— 1 —t— L — г Ip 2		IB a	A~B — 2	
		1					
	^11411111 M . Л				
	чцШи				
V	з Трз |P3		£B a я	A-B-P	Л1 - Л4. -> a	p —Я 9
	=	1	 ШШ					
	7~ p	lllll л			
					
	' 1 A *pL*		-6 Q ГС	Я P 2	1 •* 4й л " 0
		1					
	,,'гппиш||Щ				
					
Схема нагрузки. Эпюры Q и М			Опорные реакции	Опорные моменты
fl	^оАмлоЛа груза	9Р	а-в-^!!=!2	
А	Hi । а । а |-о |С 	1-пв	 ПЗш—	•i.B		Л г । 1 Л > 
	^*411	[ t„	2	и— —  п 12л
	>шщн/			
	а1Р ₽м пл~‘ ~~~~ Ра* Ш1 Мпйш/	Q M	Л-В-Р	X" Ч 1 я|~ 5? 1 1-Т 1
аЗ|	дпГ*~~ а 11111 |Ц|||||Г|Н1/ ч	(В а м	/4. В «> Р	। : a|w 5 5	1
Г	аОипаковыя груза h°ri0»°i! 	1-па	 Дш1тпЬнШ1Ц ЧщцдпИ	9Р '(.В а м	А-В-Ш- 2	1 1 ак № 5 1 Mt л Т) >
ggg	РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.4
Схема нягрузкя. Эпюры Q и М			Опорные реакции		Опорные моменты	
	'Р	ie Q - М	А-В-^- 2		I о2 1 1 8|Ч«?	
						
						
	И?					
						
			pa(l—O.So) .4 м	 + pl (ft, — f В - —— pl lk,~ »,): 21 м„ — ££- E« (з- 41+ i.s?> - °	6 	рГ*,;			
	Г°,-^фс					
			M, -- — £’ с - 0.75'1) — рП.			
				3		
	'ЧДД1Д]	Q		*		
		М				
			0.1 0.3 о.з 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0,9 1.0	О.ОТ44 0,0161 0,0290 0,0437 0,0573 0.0684 0,0764 0.0611 0.0830 0.0833		0,0003 0,0023 0,0070 0,0149 0.0260 0.0396 0.0543	! 0.0683 0,0790 0.0833
*1		а	л-^-- 1 -?(—		ма - — Е рь-- - — (2Ь-а) 1: 12	J _i(2.-5) 1 12	J	
	ТШк					
	\|!!||||					
			В-рс — А			
	-a f-c-u-ra-i	(в				
						
	WK	а н	А-В-£- 2		Ма “ МЬ “ __2±(3_», 24	
	*411111 \щщл/					
Продолжение 8.1.4
Схема нагрузки. Эпюры Q и М	Опорные реакции	Опорные моменты
		
		
л J	> ь' J	1			ма - мь —
	A	—	
	4	К
		
,.?xfaiiTik>g		
'—i—z“		
ТТТТъ. °-tt д *ЦЦН «	л.в.£!£^ 2	—X °	°	12 XU - Й- + И)
kNJIIIILLF/w		
		
л^ГПТПТгтттп-Гд	A - — pt;	м.	
чщдш g Гоц	Э0 e. Lpi 20	а	20 -4T-S-
wSST*"		«.-ft-
'	1		4_^(10- 20	-t+irV
	-5ЕЧ-2Р:	ю )
	В — о.бра — A	мь	 60 Х(5-35)
8.1. БАЛКИ
389
Продолжение 8.1.4
	Схема нагрузки Эпюры Q и М			Опорные реакции	Опорные моменты
Л	»—a-{t -f- 4 - _<~ГПУ-₽ 	1 	 "*РТГъч<1.н.1Г Mdl>'		• В в	Л-^(Ю- 20 -15f +«£’): В « 0,5ро — А	л‘— т,,(^ - ISJ + ЧЧ> ° им -Ч)
а;	Кв.	парабола ZP __1	р		мв-м»- 15
	ТТГгтА’4^			л = в = е!.	
	.		Ь,		
		ЦЩДР*'			
А	О р, Ши £	НУСОМДС нА* нПТГПЕу рзтф SSpl‘ ЩЩР^	4г 1° 4-	. e pl йшВш	 Л	1 в5 1	 ч. |< <Л i
Г в с I	—° ~"		в 0 п м м	6Lab е ~ CLob в—	 Г	= S » >	“	*0	“1 °i J »!£• ^15 1	•	в	g «|г-	5	1	J Ь ? ?
390
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.1.5.	Однопролетная балка с одним защемленным
и другим шарнирно опертым концом и с обоими защемленными концами. Прогибы
Схема балке к нагрузки		Прогибы	Схема балки в нагрузки		Прогибы
-а - В	и 1	1	. Ра» М <За-МЫ	 О а 	-	— при х«а 12Е/Г	д -х -1	— ъ — 1 —	АР б» О "	 при х-с Э£/Р
2	Й	— —— при к=Л.МЗ Г. шкс 107 £1	2		РР	1 ~~ ПР“ х“ -г
«-х 4		76QEI	2	-х '		
'±ШШ	ттЙп	— Р'*~ "Р" ж~0,579 1: ыакс 185 £/	/fn 111111	•р тгЛинг	pi*	1
и	д	pl*	1 О —	 при JTe — 192 £/	2	1.4		Мвкс 384 £/	2
'Л^\		рр _ 	 1		3^	7рМ m	1
ст		° S90 £7 ₽	2			"мкс эмо £1 ₽	t
/UfrtTTl	Ж	’шис"	ПрЯ х^’698 '• мкс 328 Е!		|5М	"шкс “ ~— ПР“ I—0,Ri 1 ““ 1Ы EI pf	1
		о ж —— при X" — 349 £/	2	‘1,-		“ 763 El "’н * 2
ж		о - “	п₽и ж«Н),55Э “акс 419 £/	м	ТТТТТгт^	р	« ——— при хтхО,475 7; ₽макс 7М Е1 ₽
- А -		pl*	1 О		 при х- — 427 £/	2	к		о « —-— при ж — — 768 £/	2
tt	L —S	сч| сч 1 м 1 U S о5			
8.1. БАЛКИ
391
Продолжение 8.1.5
Схема балкн я нагрузки	Прогибы	|	Схема балки и нагрузки	Прогибы
Любая нагрузка	’-0,+ -№ЁГп₽нх-Т- где о*— прогиб а середине про- лета простой балки по 8.1.2; A4fl—опорные мо- ыенты по 8.1.3	Любая нагрузка		 16 Е/ 1 при ж —	,
			
z.	А		кг	2 где — прогиб в середине про- лета простой балкн по 8.1.2: Ма, М& — опор- ные моменты по 8.1.4.
8.1.6.	Коэффициенты приведения нагрузки к эквивалентной
равномерно распределенной интенсивностью ран
для определения опорных моментов в неразрезиых балках
При подсчете опорных моментов в неразрезиых бал-
ках любая симметричная нагрузка может быть замене-
на эквивалентной равномерно распределенной нагрузкой
Pw Приведение нагрузки к рп позволяет пользоваться
готовыми таблицами и формулами, составленными для
балок с равномерно распределенной нагрузкой.
При определении пролетных моментов, поперечных
снл и опорных реакций расчет следует вести на дей-
ствительную нагрузку с учетом найденных для рв,
опорных моментов. Порядок пользования таблицей сы
пример J в 8.2.17.
Скеыа нагрузки	»эк	Схема нагрузки	«>»к
	Р 2	1		9 Р 4	1
	8_ Р 3 * 1		19 р 6	1
	15 Р 77	1₽ |Р 1Р |₽ 4111Ц -ШЦ- В 4	4	4	8	зз L В 1
	24 Р В ’ 1	Г w - t •па —			2л»-Ц	Р 2л	1
р р р р р р		н	
	t-nn		л«-1 Р п	1	О-	V'
392 	РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.6
Схема нагрузки	"эк	Схема нагрузки	«’.к
 ПТ1ТП11111И-'Р	11 16 р		17 33 ₽
ПТПТ—Р Р-ПТТТП			t и t* \
	Ч’ <3 - Ч> р		
....	р ___		Tt.„, х*	ft~	
	— р 27	t =4	(1 -Ч’+Ир
		Квааратнаа парабола	
Гь	6 — Р 8		4 a ₽
Для симметричных нагрузок эквивалентная равно-
мерная нагрузка рп может быть найдена, если момент
заделки от действия рп приравнивать по 8.1.4 моменту
заделки от заданной нагрузки. Например, при нагрузке.
меняющейся по синусоиде, из условия
24
(см. 8.1.4) получим рп= ~~7Р-
л 
рмР _ 2р1*
12 = я»
8.1.7.	Неразреэные равнопролетные балки. Изгибающие моменты,
поперечные силы и опорные реакции от различных нагрузок
Таблицы позволяют определять максимальные и ми-
нимальные значения пролетных н опорных моментов в
одно-, двух-, трех-, четырех- н пятипролетных неразрез-
ных балках, в также в балках бесконечной длины, по-
стоянного сечения от воздействия наиболее распростра-
ненных видов нагрузок. При действии сосредоточенных
грузов даются зиачеини моментов под каждым грузом.
В таблице лапы танже М и Q в полубесконечной
балке, у которой крайний пролет равен 0,8 и ОД средне-
го пролета.
Индекс емакс» обозначает наибольший по абсолют-
ной величине положительный момент (поперечную си-
лу) или наименьший по абсолютной величине отрица-
тельный момент (поперечную силу). Соответственно
<мнн> — наибольший по абсолютной величине отрица-
тельный момент (воперечную силу) или наименьший по
абсолютной величине положительный момент (попереч-
ную силу).
При нагрузках, симметричных относительно середи-
ны всей балки, значения моментов, поперечных сил н
опорных реакций в правой половине балки равны соот-
ветственно эначенням этих усилий в левой половине,
прн этом поперечные силы меняют свои знаки.
На схемах расположения нагрузок в крайнем левом
столбце показано только, в каких пролетах расположе-
на нагрузка; в верхней, горизонтальной графе показа-
но пять вариантов нагрузок. Точка 1 в верхней горизон-
тальной графе для случая равномерно распределенной
нагрузки соответствует наибольшему пролетному момен-
ту. Для крайних пролетов точка расположена примерно
на расстоянии 0.41 от крайней опоры, а для средних
пролетов х«=0,51.
Если на балку действует нагрузка, отличная от при-
веденной в таблице, ее следует заменить эквивалентной
равномерно распределенной р,„. пользуясь данными
8.1.6. Опорные моменты для р„ определяются по коэф-
фициентам таблицы для равномерно распределенной на-
грузки. Пролетные моменты, поперечные силы и опор-
ные реакции определяются в этом случае как в простой
балне от действительной нагрузки с учетом найденных
опорных моментов.
При одновременном действии на балку равномерно
распределенной нагрузки и сосредоточенных грузов наи-
большие значения пролетных моментов суммируются
(хотя месторасположение наибольших моментов от этих
нагрузок не всегда совпадает). Точное расположение
сечений с наибольшими пролетными моментами дано в
пункте <а>.
Значения М к Q в различных сечеянях балок от рав-
номерно распределенной нагрузки и сосредоточенных
грузов, в также моменты в иеразрезиых равиопролет-
ных балках с одним защемленным или обоими защем-
ленными концами см. 1-е издание Расчетно-теоретиче-
ского справочника (табл. 8.1.9—8.1.12).
8.1. БАЛКИ
393
На рис. 8.1 в подстрочных индексах моментов пер-
вая цифра означает пролет, вторая —место приложения
груза, например Мй — момент в пролете 2 под гру-
зом 1. Прн равномерно распределенной н треугольной
Мп МЯ Mh М„ Ма Mt
в
Промт 1
а* а»
-----1 —
Пролетг С1
' ПрметЗ
Чзс
----1
Рис. 8.1. Условное обозначение моментов дано
для нагрузки от двух сосредоточенных грузов
Продолжение 11.7
нагрузке вторая цифра (1) означает максимальный
пролетный момент.
В обозначениях поперечных сил цифровой индекс
означает пролет, а буквенный — опору, например Qn:
поперечная сила в пролете 2 вблизи опоры В.
Прогибы в середине загруженного пролета можно
М4+Мп₽
определить по формуле о«.м=о*-----———, гдео0—
16 с/
прогиб в середине пролета простой балки (см. 8.1.2);
>МЛ, йС—абсолютные значения моментов на левой н
правой опорах данного пролета, определяемые по на-
стоящей таблице. Численные значения прогибов равно-
пролетных балок от различных нагрузок ем. [23,
табл. 8.1.13].
А
о) Двух-, трех-, четырех- и пятипролетные балки
Схема загруженных пролетов	Моменты, поперечные силы н опорные реакции	Бил нагрузки в загруженных пролетах												
		1	> л H+h		I	p p . 11 < i t			J	J				
						L.J ♦ j 1 j								
		(11 1 Hip nil HQ												
		о ,л				f Ц г |								
			s	1			T 1	I J		T				
			f		f			L				J		l —		
				I										
Ф । 4 г ф А	0	С	м„ й” м и 6(мии) -’-«.о Вмаке 'ЧЬ(ыии)	Да 0,070 рР —0,125 рР 0.375 pl 1,250 р/ —0,625 pl	/Xпролетная балка 0,156 Pl —0,\8ЯР1 0,313 P 1,375 P -0,688 P			0.222 Р/ 0,111 Pl —0,333 Pl 0,667 P 2,667 P —1.333 t>		0.258 Pi 0,265 Pl 0,023 Pi -0.469 Pi 1.031 P 3,938 P -1.969 P			0.048 pV —0.078 pP 0.172 pl 0,656 pl -0.328 pl			
1" 'Ч-ч	М11 (м,кс) **12 (макс) М13 (маис) ^”®1е(м,кс)	0,096 pV -0,063 рР 0.438 pl	0,203 Pl -0.094 Pl 0.406 P			0,273 Pl 0,222 Pl -0.167 Pl 0.833P	0,316 Pl 0,383 Pi 0,200 Pl —0.234 A 1.266 P				0,065 pP —0.039 Dp 0.211 pi			
а г а ? а А Л С 4 j Ф»J А в С J —+ 1 t 1 > 1 i-	М11 (мин) М1г(мвн) **13 (мая) У'_<’1«(мни) **11 М), «1. М„ *в, ме в «16	-0,063 pl Трс 0,080 pl* 0.025 рР -0,100 рР 0,400 pl 1.100 pi -0.600 pl 0.500 pl	-0.047 Pl —0,094 P xпролетная балка 0.175 Pi 0.100 PI -0,150 Pi 0,350 P 1,150 P -0,650 P 0,500 P			-0,056 PI -0.Ш Pl -0,167 F 0.244 Pl 0.156 Pi 0,067 Pl 0.067 P -0.267 Pl 0.733 P 2.267 P -1,267 P 1,000 P		0,059 Pl 0,117 Pl 4),lKPl 0,234 P 0.281 Pi 0,313 Pi 0.094 Pl 0,000 0,125 Pi 0,375 pl 1.125 P 3,375 P 1.875 P 1.500 P			-0,018 pi* -0.039 pl 0.054 pP 0.021 pP -0.063 pP 0.168 pl 0,563 pl —0.313 pl 0.250 pl			
394
РАЗДЕЛ В. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.7
			Вид нагрузки в загруженных пролетах					
Схема загруженных пролетов	Моменты, поперечные силы и опорные	<•«*5» г Ini iiili ii 1п4п		р р f J 1 J 1 J 1	Р Р г difilih		r t I лЖ	
	реакнин	ЁпГЗ	Т—1—J	СлН	4 i г j 4 J—I ——1			1		>
/йг aj° А в с в	**11 (маке) *	*12 (макс) *	*13 (макс) *	*21 (мня) *	*22 (мня) МЬ ‘"‘’la (макс)	O.lOlpP -O.OSOpP —О.ОМрР 0.450р/	Я 1	1 ||1 1 1 1 =	S3 । 2 2 2 § © © °*	0.328PI O.4O6P1 0.234PI -О.168Р/ —0.I88P1 —0.188Р/ I.313P		0,060/jP -О.ОЭТоР -О.ОЭТрР 0,219/Я	
*1*2ЛТ* А в с в	*	*11 (мня) *	*12 (мня) *	*13 (МИИ) **21 (макс) *Г . 22 (макс) **(, Л”°1я(мии)	। । 111 н °' 7‘ 7	1 1 о	1 1 §	-О.О44Р/ -0.089Р/ 0.200Р1 0.200Р/ -О.133Р/ -0,13ЭР	t	1	’	8	i	3	s ?	7*	7‘	°*	°*	f	7‘		s i I i i § i 7	°	7 7	
£f А 2 а j 21 А В С В	АГ , к b (мни) Мс Вмаяс ®1Ь (мин) 0 (макс)	-0.117рР -О.СЗЗрР 1,200р1 -О»617р/ 0.583р/	-О.176Я -0.050Р/ 1.300Р —0.675Р 0.625Р	-0,311Р/ -0.069Р/ 2.63ЭР -1.311Р 1.222Р	-O.438PI -0.125PI 3.750P -1.937P 1.813P		—O,O73pP -O.O22pP 0.626pf ~0.323p( О.ЗОЭр/	
af ог л А В С В	м,. Ъ (макс) Мс ^16 (макс) ^22> (мяк)	0,017рР —О.067рР 0.017р/ -0,063р/	ills <=> ® о	0.044Р/ —0.178Р/ О.О44Р —0,222Р	0.063Р/ —0.250P1 0.063P —О.31ЭР		0,01 IpP -O.(M2pP 0.011Р/ -О.О53Р/	
7.		Четырех пролетная балка				
	**11	0.077pP	0.170Р1	0.238Р/	0.27БР/	О,О52рР
	**1.	—	—	0.14ЭР/	0.299Р/	—
	Mu	—	—	—	0.074Р/	—
	M„	О.(й7рР	0.116Р/	О.О79Р/	0.007Р/	0,028рР
		—	—	0.ШР/	0.165Р/	—
	s a ’ 8	-0,107рГ	-О.1С1Р/	-О.286Р/	1.0 11	-0.067рР
'-J I j ll IJ ll_	**c	—О»071рР	-0.107Р/	—О.190Р/	-О.268Р/	—О.О45рГ
	*=“01,	0,393г/	0.339Р	0.714Р	1.098Р	0.163р/
	В	1.143р/	1.214Р	2.381Р	3.536Р	О.бЭОр/
	c	0.929р/	0.892Р	I.810P	2.732Р	0,4S5pI
	4lb	-0,607р1	-0.661 Р	—1.286Р	—I.9O2P	-0.317о/
		0,53бр/	0.5WP	I.O95P	1.6Э4Р	0,273р/
		-О.464Р1	-0.446Р	—О.9О5Р	—1.366Р	—0.228р/
8.1. БАЛКИ
395
Продолжение 8.7.7
	Моменты, лопереч-	Вид нагрузки в загружен вых пролетах				
			р	р р	р р f	
пролетов	ныс СИЛЫ и спорные	□ц	Н~Н~]	р 1 j| и		ж
	реакшш	t—-1—г	t 't 1	f >, г 1	1 > ) J т	
				*	1	*	h-'-t	4	I—t —I
2	«11 пике)	0.10ДО	0,210»	0,286Я	0.325»	0.067f>P
	М,„			0.238Я	0,400»			
	12 (макс)					
	М.ч					0,224»	
	13 (макс)					
	М				-0.184Р/	
	2) (мхи)					
“Т 2 3а <ta	мп				-0.ШР1	-0,167»		
А 8 С D Е	23 (мин)					
	(|2Э (мни)	и Я| еЛ*	—	—	-0.151Р/	—
	«»	-0,О54рР	—0,080»	—0,143»	-0,201»	-O.O34pP
	Мс	-О.ОЭбрЛ	-0.054 Р/	-0.095»	-0,134»	-о.огзрр
	Л”®1а (маке)	О,446р/	0.420Р	0.BS7P	I.299P	0.217P1
3.	**11 (мня)	—	—0.040Р/	—О.О48Р*	-0.050Р1	-O.OlSpP
	АГ„ .				-4МЮ5Л	-0,100»			
	12 (MRH)					
	А4,„ а					-0,161»	
	13 (ынн)					
	М	О.ОвОрР	0.183PZ	0.206Я	0,191»	O,O56pP
						0,222»	0.333»	
а а с з е	22 (маке) Ак,, 23 (маис)	-	-	-	0,224»	-
	«*	-О,О54рР	—0.060PZ	—0»143Р(	-0.201»	-O.O34pP
	Л4е	—О.ОЗбрГ	-о.оя»	-0.095»	-0,134»	-о.огзрг
	^"^la(Mim)	-О.ОМр/	—О.ОЭОР	-0.14ЭР	-0.20IP	-О.О34Р/
у	м..	—0.121РР	-0.181»	—0.321 PI	-0.452»	—0.076pP
	Ь(MRS) «е	—О.ОМрГ	-0.027Я	-0,048»	-0,067»	—O,012pZ*
а«	«4	—ОаСбЗрР	—0,087Р/	-0.165»	-0.218Р/	1	-О.СЗбрР
ABC J Е	емаке	1,22Эр1	1.335Р	2.695Р	3.837Р	0.639pJ
	0 lb (mhh)	—0.621 pl	-О.681Р	-1.321 Р	-1.952Р	—O.326p/
	^2b (макс)	О.бОЗр!	0.654Р	l'27V	1.В85Р	0,314p(
£	«0	-О.ОЭбрР	—О.О54Я	-0.095»	—(J.134PZ	-O.O23PP
<\t a. a ,aL а	M .	. с (MHH)	—0,107рР	—0,161 И	-0.286Р1	—0,402»	-0.067pP	1
АВСВС	Смакс	1,143р/	1,21V	2.М1Р	3.636Р	0,589pZ
	^tC(MHH)	—О.671р;	-О.607Р	—1.191Р	—1.768Р	-O.29SpI
Пята пролетная балка						
	«11	0.078рР	0.171Р/	0.240»	0,276»	O.OSSpP
	«11	—	—	0,14€Р/	0.303»	—
	«11	—	—	—	O.Q79PI	—
	«11	О.ОЗЗрГ	0.112Р1	0.076Р/	0,005»	О»О26рГ-
а ’ в гс,у е е	AfM	—	—	0.099PI	0.165»	—
							0.054»	
t f I f tl	S 0	О.СИбрГ	0.132Р/	0,123»	0.079»	0.034pP
	«и	—	—	0.123»	0,204»	—
	«»	—0,Ю5рР	-0.158Р.’	-0,281»	-0.395»	-0.066/jP
396
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 9.1.1
Схема загруженных пролетов	Моменты, поперев-	Вид нагрузки в загруженных пролетах															
			1-ИЮ1	„		р гЯ-Н ' 1. т		1	-н	1/ 1			р 1	р f	t ?	t	t	
	ные силы н опорные реакции						d		J1 т	$		d			1		
														г-	1		
	Л-Чи В С 01* Ой 0»	-О.О79рР 0,395р/ 1,1320/ 0.974р/ —О,6О5р/ 0.526р/ -0,4740/ 0.5000/		-0.П6Р/ 0.342Р 1.I98P 0.960Р —0,658Р О.540Р -0.460Р 0.500Р		—0.211 Р/ О.719Р 2.351 Р 1.930Р —I.281P I.070P —0.930Р 1.000Р					-0.296R I.106P 3.494F 2.901Р -1.895Р 1.Б99Р -1.401Р 1.500Р			-0.050рР 0,185р/ 0.582р/ 0.484р/ —0,316р/ 0,26601 -0.23401 0.250р/			
А 6 С И £ F	**11 (макс) **12 (макс) "13 (макс) **21 (мня) Л4 . 22 (мяк) **23 (мин) **31 (макс) М^, 32 (макс) МЬ Мс Л“*И (макс)	O.lOOpP О.ОббрР —0,063рР -О.ОЗЭрР О,447р1		0.211Р/ -0.069Р/ 0.191Р/ —0.079Р/ —О.О58Р/ О.421Р		а I । В = 1 В 8 11 | о* о	е о*	о*				-	k	<L	е	о	!)	<L	L	о	о	о g	I	|	S	S	|	=	|	8	|	|				О,068рР -0.0290/’ О.ОЮрР -О.ОЗЗрР —О.О25рР 0,21701			
А 8 С D Б F	«	И Н И И я	w**o«a,**'**'	%	% % ж 1 1 1 В 1 1 1 18 8 8 о-	?«, Y		§ 1 1 1 1 1 8 1 о § § f °	? 7 1 Y		11 1 1 i 1 3 § Ц 2 Y	« о -f ч f ч <?					-0.050Р/ -О.О99Р/ -0.148Р/ 0.190Р/ О.327Р/ О.215Р/ —0.148Р/ —0,)48Р( —0.196Р/ -O.148PZ -0.198Р			%	%	’а	ж	ж	ж S	1 1	§	1 1	§	1	§	§	§ •Г	°	1	f	Т			
&« ^2^3 Л£* ^5 А 8 С В t f-	м., % Ь (мия) Мс Md Ме вывкс Q 16 (MHH) 0 2ft (маис)	,	!>	.	Ш	i I	|	|	f f |	| -	"	-	-3 Ч ъ	*3		. 1 . Ш 1 S | § | | § 3		. 1 .Ш 1 'g g a s = § а					-О.449Р/ -0.081 Р1 -O,M6Pt -0.1WP/ 3.816Р -1.949Р 1.867Р			-О,075рР —0.014рР —О.О27рР -О.ОЗЗрР О.бЭбр/ -О,325р/ 0.31 !р/			
8.1. БАЛКИ
397
Продолжение 8.1.7
		Вид нагрузки в загруженных пролетах					
	Моменты,		р	р р	Р Р г	.1.1	
Схема загруженных пролетов	попереч-			гНйЬ		Lek.	
	вые омы r опорные	|шП|11ИГ^					
	реакции				1 П J |		
						*	1		
	“ь	-О.ОЗЗрР	-О,О52/»1	-OfitoPt	-O.130W	-0.022рР	
		-О.ШрР	—0.167Р!	-0.2ПР1	-0,4177»!	^),070рР	
	Мх	—0,020рР	—0.031 W	-O'OMPl	-0.076Р/	—О.ШЭрР	
	а						
ai»asa Л В С В Е Г	Ме	—О,О57р/	—0,686 Р/	-0.1S3M	—О.215Р1	-О.ОЗбрР	
	^ыакс	1.167 pl	1.251Р	2.447Р	3.628Р	0.605р!	
	о 2г: (мня)	—Ot576р1	—O.61SP	—1,204?»	-1.787Р	—0»298р(	
	?3е (инк)	О.б91р/	0,636/>	1,2427»	1,841/»	0,307р1	
б) Бесконечная балка с равными пролетами
	Опорные моменты	-О.ОЮрР	-0.I2SJ4	-О,?22/>4	-0.Э12Р/	—0,052рР
5 № £• Н N	Пролетные моменты	0,042рР	0.125Я	0.111PI	0,188/»/	0,031рГ
' А & ’А' д *д	Поперечные сшы Q	0,5р1	0.SP	I.0P	1.SP	0,25р/
	Опорные реакции	UOpl	I.QP	2Р	ЗР	0,5р/
	Опорные моменты	-0.<МцР	-0.063Р/	-0.111W	-О,156Р/	-О.О26рР
3	К L М И	Пролетные моменты	О.ОвЗрР	0,188/»/	0,222Р1	0,344Р/	О.О57рР
а л а а К 1 /л п	мй-мт					
	Опорные реакции	О.Бр/	0,5Р	1,0Р	I.SP	0.25р/
	Опорный момент М	-0,1 Ирг	—0.171W	-0.3WP/	-O.427PI	-0.071 р/>
3 К L И Н к 1 m п	Опорные моыенты	-О.О22рР	-O.O34W	-0.060Р1	-0.063Я	-О.ОМрР
	Опорная реакция^	Ы84д/	1.27JP	2.488Р	3.688Р	0,61Spi
	Опорные моменты	-О,О53р1»	—0.079W	-0.Н1М	—0.198PI	-О.ОЗЗрР
у К L м И	Пролетный момент	О.О72рЛ			0.302Р.	O.OSOpP
ex At о _ л л 1 ш п						
	Опорные моменты м/ “мм				О.О53Р/	О.ООЭрР
398
РАЗДЕЛ 0. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 9.1.7
в) Полубесконечная балка, у которой крайний пролет (lt) равен Ofi и ОД среднего пролета (I)
Схема нагрувкя *	Моменты, попереч- ные силы н опорные реакцнк	/,-О.В I	1,^3 I	Схема нагрузки	Моменте, попереч- ные сила и опорные реакции	1,-Ю.В 1	
/Р	jk je	0.044 dP —0.082 pP	0.060 Dp —0.093 PP		М1(макс) МЬ	0,0® рР -0.023 рР	0.084 рР -0,037 pt *
	-«-Сю в.»	-0.084 pP 0.296 pl -0.502 pl	-0.081 pP 0,347 pl -0.553 pl	t-^4-1 4-'»"4-t-	Мс	-0.047 рР 0,372 pl	—0.043 рР 0.409 pl
	MMmbh)	-0,098 pP	-0.108 Pr		мь	-0.059 рР	—О,056рР
U-ul.-C.	мс 01»	—0.027 pP —0,522 pl	-0.024 pP —0.569 pl	t-».4-i 4-i 4-i-	мс	-0.037 рР	-О.ОЗЗрР
• Таблица госта влей в пл я равномерно распределенной нагрузки. Прн других нагрузках заменить их на рэк по В. 1.6.
Продолжение 8.1.7
е) Определение абсциссы (хл) максимальных пролетных моментов в неразрезных балках
Схема нагрузки				Схема нагрузки	<а
t —?	A <•—	 P На рисунках показаны левый крайний и промежуточный пролеты неразреэной балки			ДИНИН-) (А 1 'Л?	7 прн Р > (а—Ру) >0; 2) х.“ — Р при (р+р-у) > (а — р у) > Р; при 2Р > (А—р у.) > Р
р t 1 1 &	.p	л Z	1	1)	х» — — при^А 2)	х. «у При Р> 3)	Ха —	ПРИ	-₽|) Нт]	<0; )>о >₽		
( 		llllllIlllllllllllH^ ’					1 ори X. <	 2
p Гдш-i	1	£)	1> х< — — при (А—ра) < 0: р 2J X, — д при Р > (А — pa) > ft р прн (Р 4- pa) > (А — pa) > Р				
B.I. БАЛКИ
399
8.1.8.	Неразрезиые равнопролетные балки. Опорные моменты при осадке опор
е/
Опорные моменты вычисляются по формуле М—Ъ р Д, где k — коэффициенты из таблицы; А— осадка опоры.
Двух-, трех-j четырех- и пятипролетные балки
Схема балка	Опорные моменты	При осадке опоры					
		А	В	С	D	Е	Г
лес		-1,5000	3.0000	—1.5000	-	-	-
i i i Ь-к-Ь-к лесе	«4	-1.5000	3,6000	-2.400	0.4000	-	-
	Мс	0.4000	-2,4000	3.6000	—1.6000		
1 1 1 L 1 1ТТ4 А В С 2 f	мь	-1.6072	3.6429	-2.5714	0,6429	-0,1072	-
	М€	С.4286	—2.6714	4.2857	-2,6714	0,4286	-
	МА	-0,1072	0,6429	-2,5714	3,6429	—1.6072	-
А В С В £ F	МЬ	—1,6075	3.6453	-2.5826	0,6882	-0.1721	0.0287
	мс	0.4306	-2.5836	4.3346	-2.7558	0.6890	-0.1148
	мл	-0.1148	0,6890	—2,7558	4.3346	—2,5836	0.4306
	М'	0.0287	—0,1721	0,6882	—2,5826	3,6453	—1,6075
Полу бес конечная балка	Бесконечная балка
« цтд.
ипд.-V -С -В Л В С В еш.д.
Опорные моменты	При осадке опоры				
	А	в	с	D	Е
«4	—1,6078	3,6462	—2.5848	0,6926	-0.1856
м.	0.4308	—2.6848	4.3388	—2,7704	0.7423
	-0.1154	0.6926	-2,7704	4,3885	-2.7837
	0.0309	-0,1856	0,7423	-2,7837	4,3921
**/	-0,0083	0,0497	—0,1989	2.7459	—2,7846
Mg	0.0022	-0,0133	0.0533	-0.1998	0.7462
	-0.0006	0.00Э6	—0,0143	0.0536	-0.1999
«1	0,0001	—0.0010	0.0038	—0,0143	0.0536
При осадке опоры А
Опорные моменты
— 4.3924
W4(-4> —2.™
"й-О-
А|М-Ч- °-ава
400
РАЗДЕЛ В. ТАБЛИЦЫ Н ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Пример. Определять моменты от осадки опор
в стальной четырехпролетной балке двутаврового сече-
ния (рнс. 8.2).
Пролеты 1=6 м, модуль упругости стали Е=
=2 100000 кГ/см*. Момент ннерцнн сечення /=
= 117 300 см'.
Возможная осадка любой опоры Д=0,004 ж;
Рнс. 8.2. Эпюры М
При. осаИт
оперы А
ПриоаЛа
опоры в
^шосовко
опоры С
bi	с/
М = k— Д; — Д = 2,737 тм.
Р	Р
Опорные моменты, возникающие в балке под влия-
нием осадки опор (в тж):
Значения опорных моментов при осадке опоры
м	А	В	С	D	Е
мь	—4.40	9.97	-7.04	1.76	-0.29
мс	1.17	—7.04	11.73	-7.04	1.17
ми	-0.29	1.76	—7.04	9.97	—4.40
8.1.9.	Неразрезные балки с неравными пролетами.
Данные для определения опорных моментов от нагрузок и осадок опор
методом фокусов (см. S.8.4) *
Хол расчета
1.	Вычисляют последовательно для каждого пролета
фокусные отношения: левые А» (слева направо) и пра-
вые А, (справа налево). Вычисление начинают с край-
них пролетов, в которых фокусные отношения известны
(см. рис. 8.3).
нагрузок с моментами от невыгодных сочетаний времен-
ных нагрузок. Порядок расчета виден нз числового при-
мера.
Вычисление фокусных отношений:
2.	В каждом загруженном пролете в отдельности оп-
ределяют левый Ма и правый Л1В» опорные моменты.
3.	Вычисляют опорные моменты в незагруженных
пролетах: слева от загруженного пролета делением М*
на левые фокусные отношения, справа — делением М"»
на правые фокусные отношения (см. ниже).
4.	Суммируют опорные моменты от всех постоянных
• Определение опорных моментов путем решения системы
уравнений трех моментов н пример расчета см. 5.5.8.
где /’ =	— приведенная длина пролета; 1п — мо-
мент ннериии ба лип. Для балок постоянного сечен ня во
всех пролетах /'=/; т — число пролетов.
Я. I. БАЛКН
40!
Проверка: для фокусных отношений у каждой опоры
всегда сохраняется условие
• 1
0,572 > — + —--------> 0,5.
*»	*л-1
Продолжение 8.1.9
Опорные моменты от осадки опор
Прн осадке опоры т на величину rf„ моменты на
опорах определяются по формулам (рис. 8.4):
Опорные моменты в загруженном н незагруженных
пролетах
DC,	ш.1
Грузовые коэффициенты: £°= —j— та;	= —— т^,
где тв и Тв — углы поворота сечений над левой и правой
опораын простой балки по табл. 8.1.2. Значения грузовых
коэффициентов определяются по табл. 8.1.10: £’=
R
Г
. Например, для равномерно распределенной на-
Рнс. 8.4. Опорные моменты от осадки опоры
грузки £°=Л°=	•
Наименование загруженного пролетав Характер нагрузки	I	Опорные моменты: М* на левой опоре;	на правой	
Средний	пролет несимметричная нагрузка	L® *' — Я® АР1-		1; "	к к' - 1 л л Я® к -L° МПР-		И "	к к' -1 |	л л	
Средний пролет: симметричная	на- грузка	*' — 1 Мл-	2	L0: "	к к' -1	" л л ь— t . Л4ГР—-	«	 /р "	к к' -1	" л л	
Средний пролет: симметричная	на- грузка; фокусные от- ношения k —л л л	Мя —МПГ - - V-L- с° л л	°	
Крайний левый про- лет (Л): лрн шарнир- ном оонрапнв kj—eo	гр М* - О; М{Ф 		J- *1	
Крайний правый пролет	при шар- нирном	опнрапин	L® 		Л1"Р - 0 т	к	т т	
Незагруженные про- леты (загружен л-й пролет)	Слева от загру- женного пролета «л ,  	—: п-‘	Л-1 "J-1 м!-г— — п—г	Справа от загру- женного пролета Мв₽ м "₽ ,  	— л+1	' *л+1 А<ЛР Я<пр ,,+2-_ п J-2
м”=-—(м
" *л m fi
*c.=-
6ЕМ,
В остальных пролетах моменты определяются как в
незагруженных пролетах.
Пример. Определить опорные моменты в четырех-
пролетной балке, изображенной на рис 8.5. Нагрузка:
постоянная g=0,8 r/м; временная Р=5 т.
Рнс. 8.5
Приведенные длины пролетов: /1=<4=3; /2 —6/1,8 =
=3,33; /з=4,5/1,8=2,5.
402
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 9.1.9
Фокусные отношения							Грузовые члены					
левые			правые				пролет	от нагрузки g			от нагрузки Р	
*1~“			ft. — со				1,	я«2			а 1	8	
Hj-2	К4)	-З.В	*э-2(,+Й)“М					t«-R®—®£*-7.2			14^1)6-6 mai 4л	4-4	
3.33 /	1 ’	2.5 1	3.8		)-4.3!	2+^(2__L) 2	3.331	4,4 J		— 3.33		'а	дО_Л®_*±^_4.05			3 я	3	
*-з+2-5Гг 1		-3.47			-3.89		14	t0_®£*			2 «’.±2-6.63 8*8	
«	3 \	4,31				3 1 3,33									
3«гру- жен пролет	Г-					Мг. тж				Md. тм		
	постоянная нагруз- "• К			временная нагруз* на Р		постоянная на- грузка g			временная на- грузка Р	постоянная на- грузка g		временная нагруз- ка Р	1
'1	—-0.257Я» —1,8-8.257—-0,463 । -5,63.0,287—1,45					—м6:з,зз—0.3 мь 0,463-0.3=0.139 । 1,45-0.3-0,435				-Mf:4.4 -0,1390,2275- -Ч..03		—0.2275 Мс -0,435-0.227№>-0,099
	3.33-1 3,6-3,33-1 -7,2-0,20—1,44			1®—0.20 1® —28,1-0,26^—5,62		3.B-I 3,8-3,33—1 —7.20.24—1.73			Я®—0.24Я® —23.1-0.24—6.75	-Mc:4,4—0,2275 Мс 1,73.0.2276-0.394 | 6.76-0,2276-1,635		
>3	—*4^:3,8—0,263 Ме 0,765-0,263—0.201 । 2,84-0,26Э*Ы>,747					4.31-4.4—1 4.05-0,189—0.765			t® -- 0.189 t® -16-0,189—2.64	4,31—1 4.31-4.4- -4,06-0,184— ^>.745		-	®-,М«з —160,184—2,76
	—АГ ’З.Й——0.263 М					—М .:4.31—0.232 А4,				—L® 13.47—0.288 /0		
	С ’ -0.12-0,263—0.03			С -0.276-0.263—0.073		в 0,518-0.232-4), 12			а 1.62-0,232^.276	4 -1,8-0.288—0.518		—5,63-0.288— 1.62
Все про- леты Монс	—0,463—1.44+0,201— -0,03—1.73 «ты tn временной иагр			узки определяют как		0,139—1,73— —0.765+0.12- «т—2.24 обычно, принимая			различные сочетая	-0,03+5.394- -0,745-0.518— —0.899 ня загруженных nj		излетев
8.1.10.	Грузовые члены
В таблице приведены данные для определения L н
R— свободных членов уравнений трех моментов (см.
5.57) —соответственно для левой и правой опоры от
нагрузки в рассматриваемом пролете неразрезиой балки:
L = 6£/fTe; Я = 6£/,т,.
где т. н т. — углы поворота сечений на левой и правой
опорах простой балки (см. 8.1.2).
Приведенная длина пролета /„ = /„ -у- .
где /. — произвольный момент ннерцнн, принимаемый
одинаковым во всех уравнениях; /. — момент ннерцнн
балки в пролете 1Л. Для балок, имеющих постоянное
сечение во всех пролетах, 1'=1.
При определении опорных моментов неразрезиой
L R
балки методом фокусов L0 = —; 7?» = — .
Формулы для нахождения методом фокусов опорных
моментов от осадки опор даны в 8.1.9.
8.1. БАЛКИ
403
Продолжение S.f.ld
Схеыа нагрузки		Грузовые члены	Схема нагрузки	Грузовые члены
В“ к-	---ИГ 	1	J	LeP±lM+M; 1* _ РаЫ' R-	(/+□) Р	f	lp P; b-|	
L 1-1L1-J ГМ П		L=R - — PU- 	MS	t-R.ipH' 16
к	г	1				
	р	р Hf-H	L-R- — Р1Г 3	n oluHOKOtblD P Ji	l-na	J	8л
		i_i			
	о-/ одинаковы! Р Р Р Р р D i2±2±iij 	1-па	J	L-R -	Р1Г 4Л				!!lll!lllllllfuilll]|	l=r-^ 4
f-Qtft -j*-	Ъ	|	L^pifl' (1-0,5 £)’; R-0.5 tx? I' (1-0.5 £•)										Множитель
	*	0.Ю	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0,70	0.®	0.90	
 11|1НН1ЧШ|ИЖГаиШ1|И«											
	1	L	0,0090	0,0324	0.0650	0,1024	0,1406	0,1764	0,2070	0.2304	0,2450	DlV
	*	0.0050	0.0196	0,0430	0,0735	0.1094	0,1476	0.1050	0,2176	0.2410	
Схема нагрузки		Грузовые члены	Схема нагрузки	Грузовые члены
1	L	j		L-R ->	Gl-bi} 21	£ГП ^-L= •'*ч 14” ~»l«<	L-R -S^(3t-l«) 8
			£ _	[4ail+b) - c»|: 4/» R_P™L(4b {i+a)-c^ 4P		L- — pP P; 60 я.Лрпг 16
ппшпппя				
w,				I	1	>	
				
404
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжены 8.1.10
Схема нагрузки		Грузов ле члены	Схема нагрузки		Грузовые члены
		L=P££ (12 ^-45^+40); 60	L I	 9	3		t=j? = i. pet’
					
				~Т	
	ц 	1	1	К=^- (5—3?) 15	•	I	,		
	ИВЙШШайха,	t-^i’W-ist+ад; 60		"Т	^^^а+7»ьУ
!		1	1	Я-^Р(10-ЗИ 60	4—		K=‘^(7Pa+8',b)
	t	1	L= R =— дРГ	Квадратная парабола jlBik		L=R^^
		1	«		J		J	
1 I	'XufUr;a«i. 	1	1	L=R= — (1-2E4-V) 4	Синусоида ^Ж ^=Р»'”'Тг 	1		J	л3
I		1	1	L=R = — p/91' 128	T" Г 1	<z— 		—I		21	L=^Lrr (1-3?9); R=Lrl' (1-3?)
г*1»1 *тЪ JiK'WbKldp I	-г	1		рР Г 128	Осадка опоры на Д <	 In	Г- 1пт	J	6£/. L 		£д; Л 'н «n-t»+l—*Е/л^ + , 1 \	6И, +1— я+1 /	л+1 Проставлять действитель- ные длины пролетов, а не приведенные
в.|. БАЛКИ
405
8.1.11.	Двух- и трехпролетные балки с неравными пролетами.
Изгибающие моменты
M-kpll. где Ь — коэффициенты таблицы.
По таблице могут быть определены опорные момен-
ты н от других нагрузок, если заменить их эквивалент-
но!) равномерно распределенной нагрузкой р». которая
принимается:
прн нагрузке, симметричной относительно середины
пролета, по 8.1.6:
прн несимметричной нагрузке: в пролете !,:
ем;»
йм - /2 :
8А1Ь“Я
в пролете 1а: рим = —j.
*2
где М— момент заделки от заданной нагрузки (в
пролете h или 1а) по 8.1.3.
Продолжение 9.1.tf
Загружен оба пролета
Загружен I.
Загружен I.
"'г
0.298
0,330
.195
,219
,245
,274
0.473
0.653
0.639
0.730
0,070
0,065
0,069
0,063
Мио
житель
0,095
0.114
0.134
0.155
0.178
0,203
0.228
0.285
0,315
0.347
0.415
0.488
0.670
0,655
0.743
0.095
0.096
0,097
0.096
0.099
0.100
0.101
0.102
0.103
0.103
0,104
0.106
0.107
0.108
0.109
0.110
0,070
0.090
0.111
0.133
0,157
0.163
0.209
0.237
.755
,875
0.047
0,040
0,033
0,026
0,019
0.013
0,008
0.001
По всему
пролету
отрица-
тельные
моменты
Трехпролетные балки
Загружен пролет (,: Мь=— ftiPuJp Мг =й1рэк<[, где р,к — эквивалентная равномерно распределенная
нагрузка, которая определяется:
прн симметричной нагрузке по 8.1.6;
8М^Я
прн несимметричной нагрузке р,к = —•—. где Л1“л — момент заделки от заданной нагрузки по табл. 8.1.3.
'1
у-	Коэффи- циент	1.U,									
		0,3	0,4	0.6	0.8	ио	1,2	1.4	1.6	1.6	2.0
	к,	0.031	0,033	0.033	0,032	0,032	0.032	0,031	0,031	О.031	0.031
0.3	*>	0.013	0.012	0.010	0,009	0.008	0.007	0.007	0,005	0.006	0.00$
		0,041	0,041	0.0 ю	0.040	0,039	0.039	0.038	0.038	0.038	0.038
0,4		0.016	0,015	0,012	0.011	0.010	0.009	0.008	0.007	0.007	0.00$
	*1	0,053	0.053	0.052	0,051	0.051	0.050	O.OW	0.050	0.050	0.049
0,6	4.	0,021	0.019	0,016	0,014	0.013	0.011	0.010	0.010	0.009	0.008
406
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1. II
у-	Коэффя- циеи»										
		0,3	0,4	0.6	0,8	1,0	1,2	1,4	1.6	1.8	2.0
0.8	£	0.062 0.024	0.062 0.022	0.061 0.019	0.060 0.017	0.060 0.015	0,059 0,013	0,059 0.012	0.059 0.011	0.058 0.010	0,058 0.О10
1.0	*	0.069 0.027	0.069 0.024	0.068 0,021	0.067 0.019	0.067 0.017	0.066 0.015	0.066 0.014	0.066 0.013	0.065 0.012	0,065 0.011
1.2	£	0.07S 0.029	0.074 0.027	0.074 0,023	0,073 0,020	0.072 0.018	0.072 0,016	0.072 0,016	0.071 0,014	0,071 0.013	0.071 0,012
1J	*1	0.079 0.031	0.079 0.028	0,078 0,024	0,078 0,021	0,077 0,019	0.077 0.017	0,076 0.016	0,076 0,016	0,076 0,013	0,076 0,013
1.0	%	0,083 0.032	0.083 0.029	0.082 0.026	0,081 0.023	0,081 0,020	0.080 0,018	0,080* 0,017	0.080 0,015	0,080 0,014	0,079 0,013
1.8		0.086 0,033	0.066 0.031	0,085 0,027	0.085 0,023	0,084 0.021	0.084 0.019	0.084 0.017	0,083 О.016	0,083 0,015	0,083 0.014
2.0	*,	0.089 0.034	0,089 0.032	0,068 0.028	0,087 0.024	0.067 0.022	0.087 0,020	0,066 0.018	0.086 0.017	0.066 0.015	0.066 0,014
Продолжение 8.1.11
л.
Загружен пролет к Мь=—^1Рз^2. Mc=—htPni^ где р9К — эквивалентная равномерно распределенная
нагрузка по 8.1.6.
1. 1,	Коэффи- и. пент										
		аз	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4	1.6	1Л	2,0
0.3		0.070	0,072	0.075	0,078	0,060	0.061	0,063	0.063	0,085	0,066
		0,070	О.064	0,055	0,048	0,043	0.038	0.035	0.031	0,030	0,027
0,4	*1	0,064	0.066	0.069	0,072	0,073	0.075	0,076	0.077	0.079	0.079
		0.072	0.066	0.056	0.050	0,044	0.040	0,036	0.033	0,031	0,028
0,6	*1	0.055	0,057	0,060	0,062	0,063	0.084	0.066	0,067	0,068	0.069
		0,077	0,069	0.060	0,052	0,047	0,042	0.038	0.035	0.033	0,030
0.8	*1	0,048	0,050	0.052	0,054	0.066	0.057	0.058	0.0S9	0.060	0.061
		0,078	0.071	0,062	0,054	0,049	0.044	0.040	0,037	0.034	0.032
1.0	*1	0,043	0,044	0.047	0,048	0.050	0.051	0.052	0.053	0,054	0,054
		0,080	0,074	0,064	0,056	0,050	0,045	0.041	0,038	0,035	0.033
1.2	А.	0.038	0,040	0,042	0.044	0,045	0,046	0,047	0.048	0.049	0,049
		0.082	0.075	0,065	0,057	0.051	0.046	0.042	0.039	0.036	0.033
1.4	*1	0,035	0.036	0,038	0,040	о.ои	0,042	0.043	0.044	0.044	0.045
		0,082	0,077	0.066	0.058	0.052	0.D47	0.043	0.040	0.037	0.034
8.1. БАЛКИ
407
Продолжение 8j.fl
у-	Коэффи- циент										
		0.3	0.4	0.6	0.8	1,0	1.2	1.4	1,6	1.8	2,0
	h,	0.032	0.033	0.035	0.037	0,038	0.038	0.039	0.040	0.041	0.04)
1,6		0.084	0.078	0.068	0.059	0,053	0,048	0,044	0.040	0.037	0.035
	*1	0.030	0.031	0,033	0.034	0.035	0,036	0.036	0.037	0.038	0,038
1.8		0,085	0.078	0,067	0.060	0,054	0.049	0,044	0,041	0.038	0,035
	А.	0.027	0,029	0,030	0,032	0,033	0,034	0.034	0.035	0.035	0,036
2.0		0.086	0.079	0,069	0,061	0,055	0,049	0,045	0,041	0,038	0,036
Продолжение 8j.lt
г>>.
А	8	
	&	^9
1—1.		“ 1g	1	 	1
Загружен пролет 1,'-Мь =	мс= —*1Рэн<з> гда Рэи —эквивалентная равномерно распределенная
нагрузка, которая определяется:
прн симметричной нагрузке по 8.1.6;
8М?Л
при несимметричной нагрузке рт = —j— где Л1“в —момент заделки от заданной нагрузки по 6.1.3.
1з
1,	Коэффи- циент										
		0,3	0.4	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
о.з	А.	0,013	0,016	0.021	0.024	0,027	0.029	0.031	0.032	0.033	0.034
		0.034	0,041	0,053	0,062	0,069	0,075	0.079	0,083	0.086	0,089
0,4	ь	0,012	0.015	0,019	0,022	0,024	0.027	0.028	0,029	0,031	0.032
	*.	0.033	0.041	0,053	0.062	0.069	0,074	0.079	0,063	0,086	0,069
0.6	к.	0.010	0.012	0.016	0,019	0,021	0.023	0,024	0,026	0,027	0.028
	*.	0.033	0,040	0.052	0.061	0.068	0,074	0.078	0.082	0.085	0,088
0.6	k,	0.009	0,011	0,014	0,017	0,019	0.020	0.021	0.023	0,023	0,024
	*>	0.032	0.040	0.051	0.060	0.067	0.073	0.078	О.081	0.085	0.067
l.o	А*	0.006	0,010	0.013	0.015	0.017	0.016	0.019	0.020	0.021	0.022
	й.	0,032	0.039	0.051	0.060	0.067	0.072	0,077	0.081	0,064	0.087
1.2	*1	0,006	0.008	0,011	0.013	0.016	0.016	0.017	0.018	0,019	0.020
	*,	0,032	0,039	0.050	0,059	0,066	0.072	0.077	0,080	0,064	0.087
1.4	*1	0.007	0,006	0,010	0.012	0.014	0,016	0.016	0.017	0,017	0,018
		0.031	0,038	0.050	0.059	0,066	0.072	0.076	0,060	0.084	0.08S
1.6	Аа	0.006	0,007	0,010	0,011	0.013	0,014	0.015	0.016	0.016	0,017
		0.031	0.038	0,050	0.059	0.066	0,071	0.076	0,060	0.083	0,086
1.8	Ai	0,006	0,007	О.009	0,010	0.012	0,013	0.013	0.014	0.015	0.015
		0.031	0.038	0,050	0.058	0.065	0.071	0.076	0.080	0.083	0.086
2.0		0.005	0,006	0.008	0.010	о.оп	0,012	0.013	0.013	0.014	0,014
	й.	0.031	0,038	0,049	0.058	0,065	0.071	0,076	0.079	0.083	0,066
408
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.1.12.	Неразрезные равнопролетные балки. Ординаты линий влияния
изгибающих моментов и поперечных сил
Двухпролетная балка
Х5	Ординаты л. в. М в сечениях (множитель /)						Ординаты Л* в- Q,
	/	2	3	4	5	6	
0	0	0	0	О	0	0	1.0000
1	0.1323	0.0976	0,0632	0.0285	-0,0060	-0,0405	0.7928
2	0.0988	0,1976	0,1298	0.0619	-0.0061	-0,0740	0,5927
3	0.0677	0.1354	0,2031	0,1041	0,0051	-0,0938	0.4062
4	0.0402	0.0603	0,1205	0.1606	0.0340	-0.0926	0.2407
	0,0172	0.0343	0.0616	0.0687	0.0860	-0,0636	0,1031
	0	0	0	0	0	0	0
7	-0.0106	—0.0212	—0.0318	-0.0424	-0,0630	-0,0636	-0.0636
8	-0.0154	-0.0309	-0,0463	-0.0617	-0.0772	-0.0926	-0.0926
9	—0.0156	-0.0313	—0,0469	-0.0626	-0.0782	-0.0938	-0.0938
10	—0.0123	-0.0247	-0.0370	-0.0494	-0,0617	-0,0740	—0.0740
и	-0.0068	-0.0135	-0.0203	-0.0270	-0.0338	-0,0405	-0.040S
/2	0	0	0	0	0	0	0
Трехпролетная балка
0 1 3 3 Ь 5 6 ЗВ 3 10 П 13 13 П 15 16 17 18
Ай орди- наты	Ординаты л. в. М в сечениях (множитель /)									Ординаты л- в. Q	
	!	2	3	4	5	6	7	8	У	0.	^справа
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1.0000	0
1	0.1318	0.0967	0,0618	0.0267	-0.0083	-0.0432	—0,0342	-0,0252	-0.0162	0,7901	0.0540
2	0,0980	0.1960	0,1273	0.0585	-0.0102	-0,0790	-0,0625	-0,0461	-0,0296	0.5877	0.0987
3	0,0667	0,1333	0,2000	0,1000	0	-0,1000	-0,0792	-0,0583	-0,0375	0.4000	0,1250
4	0,0391	0,0782	0,1174	0.1565	0.0289	-0,0987	-0,0782	—0.0576	-0,0370	0.2346	0,1234
$ б	0,0165 0	0.0329 0	0,0495 0	0,0659 0	0,0826 0	-0,0677 0	-0,0536 0	-0.0395 0	—0.0254 0	0,0990 0	0,0846 0,0000* 1.0000
7	-0,0095	-0,0190	-0,0285	-0,0379	-0,0474	-0,05®	0.0872	0,0644	0,0418	-0.0569	0.8639
8	-0,0132	—0,0263	—0,0395	-0,0626	-0,0658	-0,0789	0.0364	0,1516	0.1002	-0.0789	0,6913
9	-0.0125	-0.0250	-0,0375	-0,0500	-0.0625	-0.0750	0.	0.0917	0.1750	-0,0750	0.5000
10	-0,0090	-0.0181	-0 0271	-0,0362	—0,0452	-0,0543	-0.0028	0.0487	0.1002	-0.0543	0,3067
П	-0,0044	-0,0088	—0,0131	-0,0175	-0,0219	-0,0263	-0,0036	0.0191	0,0418	-0.0263	0.1361
!2	0	0	0	0	О	0	0	О	0	0	0
13	0,0028	0,0057	0,0065	0,0113	0,0141	0.0169	0,0028	-0,0113	-0,0254	0,0169	-0,0846
14	0,0041	0,0082	0,0123	0,0165	0,0206	0,0247	0.0041	-0.0165	-0,0370	0.0247	-0.1234
15	0,0042	0,0083	0,0125	0.0167	0.0206	0,0250	0.0042	—0,0167	-0.0375	0.0250	—0,1250
16	0,0033	0,0066	0,0099	0.0132	0.0165	0.0197	0,0033	-0.0132	-0.0296	0,0197	-0.0987
17	0,0018	0.0036	0,0054	0,0072	0,0090	0.0108	0.0018	-0.0072	-0.0162	0,0108	—0.0540
18	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
• В этом сечении Q имеет два значения
(показано в виде дроби).
8.1. БАЛКИ
409
Продолжение д.1.12
Четырехпролетная балка
0 1 2 3 4 5 6 7 В 9 10 11 12 13 14 15 15 17 18 19 2021221124
t—,	г	-2г
1 № ордн. I нвты	Ординаты л. в. М в сечениях (множитель /)												Ординаты л. в. Q	
	1	2	3	4	5	6	7	8	9			12	0.	«г₽а“
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1.0000	0
1	0.1318	0.0966	0.0617	0.0266	-0,0084	-0,0434	—0,0343	-0,0251	-0,01®	-0,0068	0,0024	0.0116	0.7899	0,0550
2	0.0979	0,1968	0.1271	0,0582	—0.0106	-0.0793	-0.0626	-0,04®	-0.0291	-0,0124	0.0044	0,0212	0,5874	0.1005
3	0.0666	0.1332	0.1998	0,0997	=О.ООСМ	-0,1004	—0.0792	-0.0680	-0.0368	-0,0156	0.0066	0.0268	0.3996	0.1272
4	0,0391	0,0781	0.1172	0.1562	0,0285	—0,0992	—0.0782	—0,0573	-0.0664	-0.0154	0.0055	0,0265	0,2341	0.1257
5	0.0164	0.0328	0.0494	0.06S7	0.0823	-0,0681	-0.0537	-0,0393	-0,0249	-0,0106	0.0038	0.0162	0.0986	0.0663
6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0.0000* 1.0000
7	—0.0094	—0,0188	-0.0283	-0,0377	-0.0471	-0,0665	0.0872	0,0540	0,0411	0,0179	-0,0051	-0,0281	-0.0565	0,8617
8	-0.0130	-0.0260	-0.0390	-0.0520	-0.0650	-0.0780	0.0365	0.1609	0.0987	0,0464	-0,0059	-0,0582	-0.0780	0,6365
9	-0.0123	-0,0246	-0.03®	-0.0491	-0,0614	-0.0737	0,0085	0,0907	0.1730	0,0885	0.0041	-0,0804	-0,0737	0.4933
Ю	-0.0088	-0,0176	-O.O26S	—0,0353	—0.0441	-0,0629	-0.0026	0.0477	0.0981	0,1483	0.0318	-0.0846	—0,0629	0,3016
И	-0.0042	-0.0084	-0,0127	-0,01®	-0.0211	—O.O2S3	—0.0035	0,0183	0.0403	0.0620	0,0340	-0,0610	—0,0263	0.1310
12	0	0	0	О	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
13	0.0026	0.0051	0.0077	0,0102	0.0128	0.0163	0.0026	-0,0101	-0.0229	-0,0356	-0,0483	-0.0610	0.0153	-0.0763
14	0.0035	0.0071	0.0106	0.0141	0.0177	0.0212	0.0036	-0.0141	-0.0317	=0.0493	=0.0670	-0,0846	0,0212	-0.1058
1S	0,0034	0.0067	0.0101	0,0134	0.0168	0,0201	0,0034	-0,0134	-0.0302	—0,0469	-О.06Э0	-0.0804	0,0201	-0.1006
16	0.0024	0.0049	0.0073	0.0097	0.0121	0,0145	0,0024	-0,0097	—0.0218	=0,0339	-0.0461	-0.0682	0.0145	-0.0777
17	0,0012	0.0024	0.0035	0,0047	0.0059	0.0070	0.0012	-0,0047	—0.0106	—0.0164	-0,0223	-0,0281	0,0070	-0.0351
13	0	0	0	0	0	О	0	О	0	0	0	0	0	0
19	0,0008	—0.0016	=0,0023	—0.0030	—0,0038	-0,0046	о.ооое	0.0030	0,0068	0,0106	0.0144	0.0182	—0.0045	0.0227
23	-0.0011	-0.0022	0.0033	=0.0044	-0.0065	-0,0066	-0.0011	0.0044	0,0099	0,0164	0,0209	0.0265	-0.0066	0.0331
21	—0.0011	-0.0022	-O.OU34	-0,0046	-0,0066	-0.0067	—0.0011	0.0045	0.0101	0.0166	0.0212	0,0268	—0,0067	0.0335
22	-0.0009	—0.0018	-0.0026	-0.0035	-0.0044	-0,0053	-0.0009	0,0035	0,0079	0,0123	0,0168	0.0212	-0,0068	0.0265
23	-0.0005	-0.0010	-0.0016	-0.0019	-0.0024	-0.0029	—0.0005	0,0019	0.0043	0.0068	0.0092	0,0116	-0,0029	0,0145
24	0	0	0	0	0	0	•	0	0	0	0	0	0	0
* В «той сечения Q имеет два значения (показано в виде дробя).
410
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Бесконечная балка (средний пролет)
Для крайнего пролета н второй опоры можно применить линии влияния в сечениях 1—6 четырехпролетной
балкн. Дли второго пролета и третьей опоры —линнн влияния в сечениях 7—12 той же балки (ошибка около 1.5%).
Вид. л. в. М в сеченнй 8
	Ординаты л- в- М в сечениях (множитель Z)				Ординаты		Ординаты л- в. М d сечениях (множитель /)				Ординаты
м орди- нат	6	7	8	9	л. в. qCправа	орди- нат	6	7	8	9	л- в. qC права
0 / 2 3 4 S б 7 8 9 Ю // • В	0 -0.0271 -0,0568 —0,0793 -0.0840 —0,0609 0 -0.0609 -0.0840 -0.0793 -0.0568 -0.0271 этом сеченн	0 -0.0214 —0,0448 -0.0626 -0.0683 -0,0480 0 0.0837 0.0317 0,0040 —0.0057 -0.0050 н Q имеет	 х Оеоое <L<L<L<L<L i §Ш1 ° Д Г	0.1707 0.0964 0,0394 (показано	0 0,0343 0,0720 0,1005 0,1065 0,0772 0,0000* 1,0000 0,8671 0,6939 0.6000 0,3061 0,1329 в виде дроби	12 13 14 IS 16 17 18 19 20 21 22 23 24 )	0 0,0163 0.0225 0,0212 0,0152 0,0072 0 -0,0044 -0.0060 -0.0057 -0,0041 -0,0019 0	0 0,0034 0.0047 0,0044 0,0032 0,0015 О -0,0010 -0,0013 -0,0012 -0,0009 —0,0004 О	0 -0,0094 -0,0130 —0.0123 -0.0068 -0,0042 0 0,0025 0,0035 0,0033 0,0023 0,0011 0	0 -0,0223 -0.0308 —0,0291 -0,0208 —0,0(00 0 0.0060 0.0083 0.0078 0,0056 0,0027 0	0 —0,0772 —0.1055 -0,1005 -0,0720 —0,0343 0 0.0207 0.0285 0.0269 0,0193 0,0091 О
8.1.13. Одиолролетные подкрановые балки. Данные для расчета
При действии одного крана (два одинаковых груза)
Схема балкн
Огибающая эпюра поперечной силы Q от кра-
новой нагрузки (множитель Р)
Я=0.5 gl+ftof
На средних опорах учесть собственный вес бал-
кн g с обоих примыкающих пролетов

X г	а:1											Собствен* им® вес балкн
	0,0-	0,1	0.2	0,3	0,4	0.5	0.6	0.7	0,8	0,9	>1.0	
а	Моменты от краковоЛ нагрузки (множитель PI)											М(х«л>
1	0.18	0.17	0.16	0,15	0,14	0,13	0.12	0.11	0,10	0.0Э	0,09	0,045
2	0.32	0.30	0.28	0.26	0.24	0,22	0.20	0.16	0,16	0.16	0,16	0,080
3	0.42	0.39	0.36	0,33	0.30	0,27	0.2Т	0,21	0.21	0.21	0.21	0,10$
4	0,48	0.44	0.40	0.80	0.82	0.28	0.24	0.24	0.24	0.24	0.24	0,120
S	0.60	0.45	0.40	0,35	0.30	0,25	0.25	0.26	0.26	0.26	0.23	0.125
Коэффициенты А, и А, (кранопая нагрузка)												Q<x,l)
*•	2,00	1,90	1.80	1.70	1.60	I.S0	МО	1.30	1.20	1.10	1.00	0,600
	0,80	0,70	0.80	О.«	°-*	0.Ю	0.Ю	О'*	0.Ю	0.Ю	0,40	0,100
Действует один груз 2Р.
8.1. БАЛКИ
411
При действии двух кранов
Продолжение 8.1.13
(четыре одинаковых, попарно связанных груза) [29]
Р Р Р Р
Находят по графику А (или В) иочер невыгоднейшей схемы эагруження н по формулам определяют
Мимс (или Qaaac); х, — расстояние до критического груза, под которым момент максимален.

<4
График В (определение невыгоднейшей схемы
Для Саже)
Графин А (определение невыгоднейшей схемы
для Мдекс)
№ схе- мы	Схема		эагруження			"макс		№ схемы	Схема загружен ня					^MIKC
IV	Р *1 Ь		а —	р I6	р	'[“->]		IV		’ р	р			0	Р HI — (То + <ЬЦ 1
		*«	_ 1 -т	л ч_										
								Ша		р р Иг	-а —•		р L-4	Р |Э/ ~ (2а + &)1
///	р	4	р t-a к	р										
							1			г=	1	—	5	
	/»							Шб	А	р р				P|3(-(a + 2Z»l 1
На	р		р		4	Р (2/ — а)1 а/								
													1		4	
													п	
				.в. ч										
		л						На	J					Р (21 — а) 1
116	р а '		-ь -	р	-а	Р (21 - ЬУ 61								
														
										L				.1	
					А			116		р		-—		Р(21 — Ь) 1
			э	t		PI 4				1—	-1	—	-4	
								1	1	р				Р
										—	1	—	4	
412
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Пример. (=12 л; 6=5 м; а=4 м; Р=20 т. При — = — = 0,8 и— = — = 2,4 по графику А невыгод-
О О	О О
иейшим будет загружение по схеме 111.
.	^.1(3-124-4— 5)«	1	12	5 — 4
Л1Иькс = 20г-----4= 90 тле хк = —— —— = 5,83 л.
20(3-12—(2-4 4-5)1
По графику В наиболее невыгодна схема Ша\ QmKC =-------------~--------- =38,33 г.
8.1.14.	Перекрытия с перекрестными балками (кессонные перекрытия)
Данные для расчета [8, 19]
для треугольной нагрузки рэк=0.5р;
Схемы распределения нагрузки в перекрестных балках
Принятые обозначения:
Pi, pt — равномерно распределенные нагрузки, состоящие из собственного веса балкн, плиты и временной на-
грузки; постоянная нагрузка от плиты и временная нагрузка приняты в виде эквивалентной равномерно рас-
пределенной нагрузки, полученной из условия равенства прогибов:
для трапецеидальной нагрузки
Рж = 0,5р^1 4- у-);
Р1 ~ Рзк1 + Гбалкн*
Pi = Рек1 + Рбалки*.
Рэк.1—эквивалентная нагрузка для балок пролетом Л;
Рэк. для балок пролетом /о.
6ал*а 61
гл » 0,7273 ц + 0,7238:
пХ, + 0,5 цХ, — 0,4545 0*7. — 0.3239 р./.Ц;
цХ, + тХ, -0,4545 (рА “ ММ1
8.1 БАЛКИ
413
Продолжение 8.1. Н
/п-0,7273 и + 1.0774;
тХ, 4-0,5 J1X, - 0.3951 pjt -О,3239рЛм;
ИХ, + глХ, - 0,3951 pJi - 0,4545 р,/,и
Нагрузки и изгибающие моменты в перекрестных балках при квадратных в плане перекрытиях
р— нагрузка на 1 л8 перекрытия
Схема перекрытая			Обозначе- ние белки	Беличика по- гонной нагруз- ки на 'балку (множитель pi)	Максимальный изгибающий момент (мно- житель p/Z?)		Схема перекрытия			Обозначе- ние балкн	Величина по- гонной нагруз- ки на балку (множитель pi)	Максимальный нагибающий момент (мно- житель pit*)
		j-4						ъ	V,			
Г>-	-£ —	1 а ь	а — я b — Ь	0,662 0,416	0.0703 0.0520		,ь	—L			Ъ-Ь	0,305 0.596	0.0382 U.0746
								С ъ			0,340	0,0425
а-- а-- »--	—	а а »	Ь —6	0,650 0.316	0,0686 0.0395		с В	С XX AA/1		Ь—Ь	0,302 0.583	О.0378 0.0729
												
				0,635	0,0794			debt		а-а	0,311	О.0389
S - - С - -		а б с	ь — ь с— с	о ° Й §	0.0654 0.0366		d с Ъ а			Ь—Ь с— с d — d	0.341 0,306 0,570	0,0427 0.0385 О.О71Э
414
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.1.15.	Усилия в элементах шпреигельной балки
Статически определимый шпрекгель
Продолжение 8.1.16
Статически неопределимый шпренгель
Ь £/ ь £/ ь 1
1 CiFth ‘ * EiF^a ’ ’ cos’g,
Прн выполнении стоек и ригеля из одного ма-
териала
Система один раз статически неопределима.
Данными таблицы можно пользоваться н для расче-
та системы с двускатным верхним поясом, ирн уклоне
нс более 1/15—1/10. Высоту h в этом случае следует
принять равной высоте стоек шпренгеля заданной дву-
скатной системы
8.1. БАЛКИ
415
Продолжение 8.1.15
						X	\
					Т-УГГ-Т ||||1Н11111||||111111Н-р	
			н		|XJJ *	
в						
	н —	АаР	Н — APpt		Н-ЛНЛ	
	X	1	“	К		*	V
		При а-//3 Л =—	/			
		1.33 А,А, + 1.33 k, 1g* ф + 1,11 л +0.67 А.				
	0.051	0.0334	0,051	0,00084	0,10/	0.0224
	0.10/	0.0560	0.10/	ОВЭЗ		0.04198
	0.151	0,0971	0.16/	0,00741	0,30/	0.06172
	0,201	0,1260	0,20/	0.01299	0.351	0.06812
	0.25 i	0,1519	0,25/	0,01994	0,40/	0,07998
1/3	0.301	0.1740	0.30/	0.02809	0,50/	0.09628
	0,331	0,1852	0.331	0,03402	0,60/	0,11018
	0,35/	0,1912	0,35/	0,03722	0,70/	0.12134
	0,401	0,2037	0,40/	0,04709	0,80/	0,12950
	0,451	0,2112	0,45/	0.06746	0,90/	0,13448
	0,501	0,2137	0,50/	0,06888	1,00/	0,13616
		При а-//4	Л-		/		
			0.75 А.А. + 0.75 A, tg1 ф + h + 0.75 А,			
	0.051	0,0230	0,05/	0.00070	0.10/	0,01710
	0,101	0.0553	0,10/	0,00278	0,20/	0,03382
	0,151	0.0610	0.15/	O.006I9	0,301	0,04978
	0,201	0,1045	0,20/	0,01083	0,40/	0.06462
1/4	0.251	0,1260	0,36/	O.O16S7	0.501	0,07796
	0,30/	0,1419	0.30/	0.02324	0.60/	0.08944
	0,351	0,1550	0.35/	0,03066	0.70/	0.09872
	0,401	0.1644	0.40/	0.03864	0.00/	0,10354
	0,45/	0.1700	0,45/	0.04700	0.90/	0,10970
	0,501	0,1719	0,50/	0,05555	1,00/	0.11110
		При а-1/5	Л-		/		
			0.48 А.А. + 0,48 А.	1g’ ф + 0.88 А + 0.72 А»		
	O.05I	0,0239	0.05/	0,00060	0.10/	0.01412
	0,101	0.0470	0.101	0.00237	0.30/	0.02794
	0,151	0.0686	0,15/	0,00626	О.30/	0.04116
	0.201	о.овао	0.20/	0,00918	0,40/	0.05348
1/5	0,251	0,1045	0.25/	0.01399	0.50/	0.06460
	0,301	0,1180	0,30/	0,01955	0.801	0,07422
	0,351	0,1285	0.35/	0,02571	0.70/	0,08206
	0,40/	0,1360	0,40/	0.03232	O,00i	0,08784
	0,45/	0,1405	0,45/	0.03923	0.90/	0.09138
	0,60/	0,1420	0,50/	0,04629	1.001	0.092S8
			При а-//В Л в		3/		
			АЛ,	+ А, 1Я«ф +2.33/1 + 2А,		
	0,051	0.0207	0,06/	0,00052	О.10/	0.01238
	0,101	0,0407	0,10/	0,00206	0,20/	0.02450
	0.151	0.0622	0.15/	0.00463	0,30/	0,03616
	0,167/	0.0690	0.1677	O.OO57S	0,40/	0,04706
	0,201	0.0796	0.20/	0,00820	О.50/	0.05696
1/6	0,25/	0,0935	0,25/	0,01253	О.60/	0,06562
	0,30/	0,1045	0.30/	0.01748	0,667/	0.07052
	0,351	0,1135	0.35/	0.022913	О.70/	0,07276
	0.401	0.1195	0.40/	0.02876	0,80/	0.07790
	0.45/	0.1230	0.45/	0.03482	0.90/	0.08098
	0,50/	0,1245	0,50/	О.04101	1.00/	0,08512
416
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.1.16.	Балки с ломаной или криволинейной1 (круговой) в плане осью.
Данные для расчета [8, 17]
В балках с ломаной или криволинейной в плане
осью, находящихся под действием вертикальных нагру-
зок. помимо изгибающих моментов, действующих в вер-
тикальной плоскости, возникают крутящие моменты.
Балка с ломаной в плане осью
Равномерно распределенная нагрузка р
Обозначения:

EI — жесткость прн изгибе;
/	—момент инерции поперечного сечения балкн
относительно оси, перпендикулярной плоско-
сти изгиба;
6/к — жесткость при кручении; G — модуль сдвига
материала балки;
/к=1)б‘—момент инерции прямоугольного сечения при
кручении, где «)— коэффициент, зависящий
от соотношения h/b (см. табл 75) (о — ко-
роткая сторона сечения; h — высота сече-
ния);
и	г 2	।
a* sin а
о* sin а cos а
мя = р---------:------
М*—изгибающий момент посередине пролета;
Л1° — крутящий момент посередине пролета;
Q*—поперечная сила посередине иролета;
Мя—изгибающий момент в произвольном сечении;
Мх—крутящий момент в произвольном сечении.
Значении Ми и AfK (множитель ла’)
M	a в граи				
	20	30	40	60	60
	0.020	0,042	0.069	0,097	0.125
	-0.480	-0,458	—0,431	-0.403	-0.375
«к	0.054	0,072	0,082	0,082	0.072
Величина X любая
Для загруженной половины балки:
рх*
Л1И = 0,5 X sin а 4- Y cos a -f- Zx — —— i
Л4К= 0,5Xcosa — Y sin a.
Для незагруженной половины балки:
Л1И = 0,5 X sin a — Y cos a — Zx;
Л1К = 0,5 X cos a -f- Y sin a;
--------------:--------pa* = kypa-;
24 (cos* a 4- 4Л sin* a)
z = (jg “ Tcos “ *»)pa = *lDn
61. БАЛКИ
417
Продолаыиш 8.1.16
Коэффициенты kIt ky и Ьг дли некоторых значений а и X
	а « 30°			а-45°			а-60°		
	*	ъ	‘е	*х	k У	кж	ч		*х
0,5	U, 133	—0,02»	0,225	0,157	-0,020	0,208	0,165	-0,012	0.197
>.о	и.оьз	—0,021	0,214	0,118	—0,012	0.200	0,144	-0,007	0,193
l.s	0,061	—0,016	0,208	0,094	-0,009	0.197	0,128	-8,005	0,191
2.0	0,048	-0.013	0.205	0.078	-0,007	0.194	0.116	—0.004	0.190
2,5	0.039	—0.011	0.202	0,067	-0,005	0.193	0,105	—0,003	0.190
3.5	0.029	—0.009	0.199	0.052	-0,004	0.192	0,088	-0.002	0.189
4.5	0,023	-0,007	0,197	0,043	—0,003	щя	0,077	-0.002	0.189
S.S	0.019	-0.006	0.195	0,036	=@,003	0,190	0,068	-0,001	0.189
6,5	0.015	—0.005	0,194	0,031	—0,002	0,190	0,061	-0,001	0.188
7,5	0.014	—0,005	0.193	0,028	—0,002	0,190	0.05S	-rO.OOl	0,188
Н.5	0.012	-0.004	0.193	0.025	-0,002	0.189	0.050	-0.001	0.188
Нагрузка от сосредоточенных си
Х=1
(о sin*а	х \
—~т)
а sin а cos а
МК = Р-----
Значения м „ н М. (множитель ра)
Л4	а в грао				
	20	30	40	50	60
м	0.029	0,063	0,103	0,147	0.188
М3” м	—0.471	-0,438	-0,397	-0.354	-0,312
«к	0.080	0,108	0.123	0.123	0.108
В любом сечення
Величина * любая
Участок АВ
Ми — 0,5 X iln а + У соз а + Zk — Р (х — та).
Участии ВС я CD
MR — 0,5 Л sin а ± У cos а ± Z*
(знак плюс на участке ВС. знак минус аа участке CD).
418
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.16
Величия! Л любая	В любом сечении
x < та Мн — X sin a	Мк - 0,6 X cos a Т У sin а (знак минус на участке АС. плюс яа
х > та М* — X sin а — Р (г — та).	участке CD);
В любом сечении Мк — X cos a	У	л.(1-т)’со.а ра _ 2 (cos’ а + 4Asln’ а)	*
_	(1 — гл)1 sin a _	_ X —			-	Ра — Ъ ‘Ра 2 (elri* а + A cos1 а)	Z- р*1" О — m)’ — cosa*v| Р-»гР
Коэффициенты ft., ft,, ft, дли некоторых значений а и Хпри т=0,5
А	а-30е			а -45е			а-60е		
		*</		kx		S	*		“г
0,6 1,0 1.5 2,0 2,5 3,6 4.5 Б.л 6.Э 7.5 B.S	0.100 0,062 0,045 0,036 0,029 0,022 O.O17 O.OI4 0,012 0,011 0,009	-0.043 -0,031 -0,024 -0.020 —о -17 —0.U13 -0,010 -0.009 -0.008 -0,007 -0.006	0.213 0,196 0.188 0,182 0.178 0,173 0,170 0,168 0.166 0.165 0.164	0.118 0,088 0,071 0.059 0.050 0.039 0,032 0.027 0.024 0.021 0,019	-0.030 -0.018 -0.013 -0.010 -0.008 -0,006 -0,005 -0.004 -0.004 -0.003 -0.003	0,188 0,175 0.170 0,167 0,165 0.163 O.I61 0,160 0.160 0.159 0,159	0.124 0.108 0,096 0,087 0,079 0,067 0,058 0.051 0.046 0.041 0,038	—0.018 -0.010 —0,007 -0,005 —0.004 -0.003 —0.002 -0.002 —0.002 -0.001 -0.001	0.170 0.164 0.161 0,160 0.159 0.158 0,158 0.158 0.157 0.157 0,157
Пример. Определить М и Q в балке, изображен-
ной на рис. 8.6, при значениях Х=1 и Х=3.
По таблице находим при а =45°
	А —1	К-3	Множитель
X	0,08В	0.046	Ра
У	-0,018	-0.007	Ра
Z	0,175	0.164	Р
Рис. 8.6
Приводим подсчеты прн Х=3.
На опоре Л(х-е):
Мя = 0.5.Х sin а + У cos a+ Zo — Р(а— 0,5а) =
— (0,5.0.045.0,708 — 0,007.0,708 4-0,164)Ра —
—0.5Ра =—0.325Р<г,
(Иц = 0,5Х cosa— Y slna = (0,5.0,045 +
+ 0,007) 0,708Ра — 0.021Ра,
Под грузом (х—0,5а):
Мы 0,6Х slna + Ycosa 4-0,5Za = О.ОЭЗРа;
М„ = 0,021₽а;
Q*ee = P —Z = 0.836P; Q"t> =—0.164Р.
Посередине пролета (х—0):
дле» = о.5Х sin a Y cos a = 0,011 Pa-.
Л;’ = 0.5X sin a — Y cos a = 0,021 Pa:
«. 0.5X cos a — Y sin a = 0.021 Pa:
M"p"0.5X cosa + Y sin a = 0,01 IPo.
На опоре D(x-a):
“ 0,5X slna — Y cos a — Za =— 0. I43Pj
8.1. БАЛКИ
419
Продолжение 8.1. К
Результаты подсчетов:
Моменты и поперечные силы	Опора А		Поа грузом		Сечение С		Опора D		Множн* тель
	А-3	А-1	А-3	А —1	X — 3	А- 1	А —3	А - 1	
м„	—0.325	-0.282	0.093	0.106	0.011 0.021	0,018 0.044	—0.143	-0.131	Ра
"к	0.021	0.044	0.021	0.044	0.021 0.011	0.044 0.018	0.011	0.018	Ра
Q	0.836	0.825	0.836 —0.164	0.825 -0.175	—0,164	-0.175	-0.164	-0.175	Р
Балка с изогнутой в плане по дуге круга осью
Равномерно распределенная нагрузка

А4„ = A1J cos ф — ргг (1 — cos ф);
Л1, = Л1° sin ф — pt* (ф — sin <р)
Значения и н и Мк (множитель рг*)
М	а в град							
	20	30	40	60	60	70	60	90
м° и	0,020	0.045	0.076	0.116	6,155	0.198	0.237	0.273
Л4МЛ и	-0.041	-0,096	-0,176	-0.284	-0.423	-0.691	-0.785	—1.000
ЛР*Д к	-0.000	-0.001	-0.006	—0.019	-0.047	-0.096	-0.173	-0.297
420
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.1.16
Величина Л любая
Af(| » О.773р^ соз ф — рх* (1 — cos ф);
Мк — U.273p^ sin ф — pH (ф — sin ф).
D середние пролета (ф в 0):
Л|’ - О.ЭТЗрг2: м’ -о
Для загруженной половины балки:
Ми — 0.131pr” cos ф + sin ф (У + Zr) — or* (I — cos Ф);
Л1К — О. ISlpf* з1п ф — cos ф (У + Zr) + Zr — рИ (ф — sin ф).
Для незагруженной половины белки:
Мн — 0.137Р/1 cos ф — sin ф (У + Zr);
Мк — 0.I37pr* sin <р + соз <р (У + Zr) — Zr,
Значения У  Z при разных А
А	0.6	1.0	2.0	3.5	6.5	7,5	Множи- тель
У	с.ою	0,038	0.036	0.033	0,031	0.030	рг’
Z	0.274	0.2/2	0.267	0.264	0.259	0.256	О'
Нагрузи от сосредоточенныж сил
Упкра
Af — ЛГ cos ч — 0.5 Pr sin ф:
О.бРг (1 — соз ф);
8.1. БАЛКИ
421
Продолжение 8.1.16
м	а в град								Множи- тель
	W	30	40	so	«1	70	80	90	
м® н	0,086	0,138	0,168	0,205	0,239	0.270	0,296	0,319	Рг
Мэаж и	-0,090	-0,130	-0,193	-0,251	—0,313	-0,378	-0,442	-0.500	
М31> к	—0.001	-0.007	-0,009	-0,022	—0,043	-0.075	-0,121	—0,181	
X — 1
MQ cos р — cos о, — (д - Р) sin р
и	а
При ф < Р Ми- созф
А<К —A!® sin ф
Прнф>Р Ми — М^со»ф—Prslnfc—Р)
Мк -А1° sin ф - Рг |1 — cos (ф — Р)|
Значения М® при а •- 90° и разных р
Р в град
Для пол у окружности (а — 90°) формулы M|f и М* можно
применять при любых значениях L
	0	30	45	60	75	Множитель
М® н	0,637«	0.218	0.097	0.030	0,004	рг
• Груз 2 Р в ссреяине пролета						
В середине пролета
Участок АВ
М(1 — М® cos ф + rQ° sin ф — Рг зIn (ф — р):
Л<1(-Л<2*|п'» + ,|2О<1 —	— РгЦ -COSH — ₽)|
Участки ВС я CD
Л<н — М® соз ф ± rQ° sin ф;
Мк — «J sin ф ± гф (1 — соз ф)
Знак плюс нэ участке ВС. минус — на участке CD
cos р — соз а — (д — р) sin р .
~	2а	°
(а — Р) (сов р + 1) — sin (а. — Р) — sin а Ч- sin Р

4 (а — sin а)
422
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.2. РАМЫ1
8.2.1. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным ригелем
I.
— — при горизонтальном ригеле;
I,
I, = — — при наклонном ригеле.
Рш т 1	ела и стойка и ? i f . T -I —1 1 1? I h — —	гас 1 +	нирно оперты — i -4 й	Ригель 1		шарнирно one в	С 1 — 1J ,3t i.	рт. стойка защемлена ^-1—4 /J, 7. А 1 + О,ж,	
Схема нагрузки я эпю- ра М				Схема нагрузки н эпю- pa М				«а
0 »	mihiiinW	8		«Л	ппЬпптп	8		16
р		f hPab U+b} и*			р "а	, h Pab (1 + ft) 2Р		г^РаК1+М
Любая на гель л	грузка на ри- ппшШПШ	ЛРЯД — момент ищем л с- о ння ригеля по табл. 8.1.3		Любая и гель «»	агрузка на рн- птгптПТПП ма	М’аЛ — момент за щемлен н»		стойки по табл. 8.1.4
1 В 1а6ляцах двны формулы для определения нэгн&яюишх моментов Поперечные и продольные силы определяются, как
обычно, из условий равновесия.
8JL РАМЫ
423
Порпдолжение 8.2.1
Схема нагрузки н эпю- ра М			иъ	Схема нагрузки к эпю- ра м			мъ	Ма
				М.			16	12
"ъ WSSSs^k					,р			
\р 4								
								
								
еЧ р j—			,. Раь (8 + м 1 -' 2ft’	? » .			4 h’	(О.Я.Ы + о) — Л’
				f ? J		F		
								
а 1 '			,.£(>[-36») 2ft*	с			, k3Lb (2о-М 4Ь«	|с (2b — а) — — O.Si.AP (20 — М] £. ft’
								
Любая ну	а гр Z,	ужа на стой* Г	Al? — номент зешемле- о ния стойки по 8.1-3	Любая стойку 1	1^ На	агрузка	на	0.7S <2 AlJ. А<^ — моненты зашс>	mJ + o,5ij *mJ стеиия стойки do 8.1.4
Горизонтальное смете ние опоры С			звил . 	а Ь	Горизонтальное смеще- ние опоры С			9	«»*  — - 	а 2	ft	<, (1— О,ы,*). д
424
РАЗДЕЛ а ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.!
Схема нагрузки и эпю- ра М	мь	Схема нагрузки м эпю- ра М	мъ	«□
Осадка опоры С* 1ГЗ£Т	9ЕШ д 1 при горизонтальном ри- геле; 3EW(h+f) А Ш прн наклонном ригеле	Осадка опоры С*	д 1 яря горизонтальном ри- геле; (6А 4- 9р д 2W прн наклонном ригеле	±	д 2	1 прн горизонтальном ри- геле; 3 — X 2 х ЕМА^й+2/(2-/,й)| д Ы при наклонном ригеле
		к«		
Равномерный нагрев яа Г а— коэффициент линей- ного расширенна	3£f|<t* (Р + A’) af hl при горизонтальном рм- За№ (з>+Л») all hs1 при наклонном ригеле	Поворот опоры А ЯС* ма		ЗЯ, «,+ «,>*»
		Равномерный нагрев на Г* «да55^ <х— коэффициент линей- ного расширения	£.	f3P+W)ar 2	h! орн горизонтальном ри- геле; — .	(Зз* + 2№) ш 2	hf прн наклонном ригеле	£. SL (/1Л» + 2 Ы + 3if + 2ltl*)ai прн горизонтальном ри- геле; 2-.f^<yp+ 2 Ы + 31^ + 2/.$’) at при наклонном ригеле
• При осадке опоры А значения М те же. что прн осадке опоры С. ио с обратными знаками.				
8.2. РАМЫ
425
8.2.2. Моменты в Г-образной раме с горизонтальным или наклонным
защемленным ригелем н защемленной стойкой
— при горизонтальном ригеле;
Л =---------
п	f ' В -Z-H
	
и	
—при наклонном ригеле;
CXCV.: .i ИГРУ «К»: и 9ПЮРв Л<		Опорные моменты	Схема нагрузки и эпюра М		Опорные моменты
ин । ннЪитп		рР Ж-<. * L : b	1	12 M	; °	1 24			"«-(.+<’•«. “)£^- C ’	24
			i-p		
	ъ.ма				
		м£-(1+ол,*)£’			
					
					
	р				
% 1		тЬ *1	JJ  а	1	2Г м£-(о.я,» + «)у-1	«я		M. - i It b ’	h‘ c ’	2Л'
Любая нагрузка ил ригель		м. -1,		ТП.-41^^	„tuai-w. b 9	h» Ma -(o (2d - fl) - -0.5/ЛЬ(2л-	. h‘ ‘ * w
/		М — 0.51, км*'*: а	1 h м —	+ о.м2 амзад. глсМЗвп. Мэад— моменты затем- о	( ления ригели по табл. 8.1.4.	t‘l uj		
426
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Поодо^жение 8.2.2
Схема нагрузки и эпюра Л1					Опорные моменты	Схема, нагрузки и эпюра Л1		Опорные моменты
Люб	вя н	агруз		ка на стойку ®SSMf	М - Л° + 0.51, ИМ? а	а	1 b Мг - О.«2 * *«0. где Af?. А<® — моменты зашем- 0	0 лення стойки по табл. 8.1.4.	Осадка опоры С		Прн горизонтальном ригеле: м 6И, (1-0,8,м 4 •	1 При наклонном ригеле: Л1 *	ы  м _ЗЕ/, 18^+1 (•?-(,М| а	hl м _ЗЕГ1|р,А + М?-Ц»|д с	ы
	«а						й Мд	
Поворот о ** Г8а			«юры С 1		1 .*»* а । । X. *5 -х э а -iV: * * * е			
Поворот опоры А '^о					%  а । е я	Равноме % } о — коэ4 раса	рный нагрев на Г фицнент линейного прения	При горизонтальном ригеле: М. — Gfii'lL (/ + *.) а/; "	Ы М„ —	(2Z*—а/. а ы м, -	(2Л*+<,Ы'-(,Ы1*> а/. е ы Прн наклонном ригеле: ls. + Wn(: ы 3Fi М =	(2s* -	а'. hi ЗЕ1. М — 	 — IfM!*) а/
Горизонт ры L* ,4 "о		альяое смешение опо- Ml /			о 1 ♦ h Мд - <f (1 - O.wf Л) д- М “ i. G А — Д с 1 Я ь			
* При юризонтальном смешеянн опоры А значения Af те же. но с обратными знаками.
• При осадке опоры А значения А) те же. но с обрат ныын знака ни.
8.2. РАМЫ
427
8.2.3.	Моменты в Т-образной раме с шарнирно опертым ригелем
и защемленной стойкой
		G = —: <1 = — : ’s = —
т. 7г 1	з, 4s 3,	Л	1,	1, ।
	к	<1 + 0,75 (<« + й)
Схема нагрузки н эпюра М		*Г	Mfc"₽		
г iunni i iiiiiiiiii я™ и?		«4	3dI?		
	А					
	^г“*	(1 — 0.757,*) 	- 8	ijl		 32	1|Л	- 8	M—— 16
rf У		(1 - 0.751,4 Рд* (<| Д) 2.J	3 Pab (f| + n) 8 '?	f k Pab (f, 4- fl) af	ff[ Pub (1,4-a)
	',7.				
Любая негр птттГГПТП1Н1 яс! "4 1	узка на ригель И	(1 — 0.75(2») М^а			
	Ь«а	М^Л— момент защемления ригеля по 8.1.3			
	М»Р	4	Л»	4	Л»		(о.я.ль + □) h*
Т р -<* > «о	Л				
		3 Lb(fc-2ei W 4 '	3 Lb(b— 2fll ijt — - —	  4	h«	Л»	[О.Ы.ЛЬ (b — 2fl) — -a(a-2»))A
3 1 * I в	к				
					
428
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продол жени е А 2.1
Сжема нагрузки и *пюоа .4						Ч.
Любая нагрузка ** н		на стойку	O.TS^fcAljJ М®. Л<2 — моменты эаи	0.7И^Л® лемлекня стой к н по в.1.4	(1	м“	м’+О-ЯрЛ®
		хот >А *				
Осадка опоры С н;е‘			ЭН, (1 — 0,T4,fe)	2.25СМ,* д	3EW> &	l.5F/,f,fe д
		йш^				
		у	ЯР				h
Осадка опор* ^к8 „«л	О .и?		2,25F/J^ А <.	3£f, (1 — 0.75W д 1.	за.м &	G
Горвзонзальное смещение ригеля*			4.5Е/Д» д п	4.SEW & Л	6£f, (1 - f,») Л	Е/Лб-З/.Д) д Л
Поворот опоры А			1.5^/^ф	1.5ЕМ»*ф	2Я,(1-М1Ф	В, (4 - t.t) ф
• При горизонтальном смешения опоры А значения М те же. что яря смещен я я ригеля, но с обратными знаками.
8.2. РАМЫ
429
8.2.4.	Моменты в Т-образной раме с защемленными ригелем и стойкой
Схема нагрузка в эпюра М				л“	м<		«о
Р Мд	К.м,'"” №^«дГн‘' F Мь	р>? а-(Л-	pl? м—- 12	12	г/| (1 ч-ол^)—L 12	у — »	PI?
	„rtf 'Ун? ПртТгт^ „дЕ	(1 - ч		, Ра*Ь <|А	—	(O.S^fAa + ы />ot	•V	21?
	'"“'Х S		'?		<{		
Любая на груз» ппиИНШШЙ 'О	а на ригель СВ р^сга	(1 - <•/) Л|£,д м““. м’«	<3**«re * — моменты за	шемленвя риге	М^‘а+О.и /м”а лв по 8.1.4.		O.S/jAM^'
 -в Мд	1 Hif ^К*' мл	Ра& if	 Л*	л«	РаЬ“ (1-М) V	2Л*	 РаЪ» 	 2Л’	(0А,Л1Н-а>— Я1
«» Ml м‘ Ps о	1	Ихя ^ка	, u Lb (b-2a) * ь-	л-	(1 — I.S1X Lt 1Ь--2а> Л'	t fc Lh (6-2д) м Л’	, к Lb (t>-2e) 2Л‘	|ОгЫ.»б (Ь- -2в>—а(о- _ад|-£.
430
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.4
Схема в а гр уз мн и эпюра М		ддЛСВ	м?|>	»ь	**е	"d	Ма
Любая нагрузка на стойку m'V /г л , ^Ггты		-гЫИ®		(1 — (|М м®	П,51^М°Ь	O.SIjKM?	Ma +a>Nl*Mt
JA *?*		А<0, л<0 _ моменты защемления стойки по 8.1.4.					
Осадка опоры	С	6Е<,(1-1,4 .	6EMj»_a 1,	6Er,Gfc	6EG(l-n.5Gfr) д	3£МЛ д Z.	ЭЕ^д
i	1.			1.			
Осадка опоры D u»el/ •		cew д 1.	eEi.ti-tj» д «.	6Н,(^ д 1.	3ZIJJ, . 1	а	6Е/»(1—0.5М)	ЗЕ^Л д
M{							
Горизонтальное смстеине ригеля* ып! 4	“ь, ,>Г J «4	• *1( Мв		6Д|М д h	«ew д h	6£<t(l—4,А) д-	ЭЯ.М д А	ЗЕС^Л 4	6EG(I-O.5/(A) д
				h		А	h
Поворот опоре w"	О	2Eit{ Wjfc) <p 1R опоры A 9Rt	2Е1^ чення 44 те ж	2Е1№ е. что при сме	ф шеиии ригеля, но	Е1^ обратными зн	IK8MII.
к “ Прн гор	ЗУ ™.	 г **ь 1 %- изоиталъном смешеш						
8.2. РАМЫ
431
Продолжение 8.2.<
Схема нагрузки и эпюра М	«Г’	«s₽	«Г	«с	«я	ма
Поворот опоры D «я	2EiJ»top	2El,(l-W Ф	2£t,uh₽	£М1кф	<Р	
Поворот опоры А м ич1	2ЕЩ*	2£(,^ф	2£<, (1—I,*) <р	£Ы,Н	ЕЦМ	L(t (4—ф
8.2.5.	Моменты в Г-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
н горизонтальным или наклонным шарнирно опертым ригелем
iff = —---при горизонтальном ригеле:
/.
/у»-------при наклонном ригеле;
s
fi с-	_Qi .
*1 Rb *1 •	Л2»
Гее ••-iWiiiiiipiitm ' с индексами (Л’. It*h, ft", k*.	и др.) принимать по8.2.21
‘.\л-\1л нагт «кн н ъпюра М	Опорные моменты	Схема нагрузки и эпюра Л1		Опорные моменты
	 Р сзппшщз	Ь 1 g			м (?*^н£±ь; & I	2/*
1 а	м	*1* *’ рР в‘*? '8			Л, _ '**" Ро‘<1+‘ °" ЛВ	и*
432
РАЗДЕЛ 8 АБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ' РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.5
Схеме нагрузки н эпюра М		Опорные моменты	Схема нагрузил и эпюра М			Опорные моменты
Любая н п	агрузка яа ригель ттгтТПТПТ1 к	Мь -	: <“ *»' М - ——— м?«. а	.	о где М”А — момент ущемле- ния ригеля по 8.1 Л	«и 1J			М> - (® мч £:
			Любви нагрузка на стойку			ГЛ® Al^f — моментызицем- лення стойки по табл. 8.2.21
imTniiiliiiiiiiiiui *	р	О	2 Л1ь m f" р?г: *0-(»0+‘."S»»)<>*2	П1ГПГПТттгп1			
			Поворот опоры А			*•»- И, <?»*> *•»-«! (^-'i *:«:)<₽
р		V'X'* ма “ ( “аг + ‘1 *~я *82 ) ₽* где AJ?. А4° — моменты затем- о а лен ня стойки по табл. 8.2.21	я»			
			Горнзо опоры С	нтальное смешение		
1	Мв						
8.2. РАМЫ
433
Пример. Для рамы, изображенной на рисунке, оп-
ределить изгибающие моыенты
По 8.2.21 находим 4“ = 1.407; ftj =2.215;
»"=*•,! =2,215-0,2=0,443; iJ=3is=3-0,4 = l,2;
1 Продолжение 8.2.5
к i?+i2 = 0Л«+1,2 = °’61 •
От нагрузки иа ригель
<*="=^ = 25 7*;
Мь = i?- 0,443-0,61 -25 = 6,75 тле
*J	1,407
Ма = —Мь=---------6,75 = 4,28 тл.
4»	2.215
О
От нагрузки на стойку по табл. 8.2.21:
ka = 0.093; ЬЬ = 0,072;
A1o=(»a+ii*4»»)/>*2 =
= (0,093 + 0,2-0,6Ы,407-0,072)0,6-10’ =6.30 тм.
Мь= «2**,рЛ2 = 1,2-0,61 -0,072-0,6-102 = 3.16 тм.
Эпюры М имеют вид изображенный на схемах з таб-
лице.
8.2.6. Моменты в Г-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
н горизонтальным или наклонным защемленным ригелем
434
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Пгюдплжение S.2.5
Схема нагрузки н эпюра М	Опорные моменты
Любая нагрузка на рнгель	
пптгТТТТПТП	
Дмс	М,-М“Д+«.«$*Л^,Д;
	М ——мь. ° ч ь где М”д, <М'ЯД — моменты о с защемления ригеля по 6.1.4
	
Схема нагрузки н эпюра М				Опорные моменты
|1ТГ1ГПТПТТТТП 8	ая на	грузка )	на стойку	Мг - O.Sij .Mj . M - Al ’ +1. »*“ .м?. П	<2	1	О	ч где Л1? . М® — ыпменты sa- fe a щемлении стойки по 8.2.21
Поворот опиры С
8.2. РАМЫ
435
8.2.7. Моменты в Т-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
н шарнирно опертым ригелем
Все коэффициенты к с индексами (	%, kb-, и др.) принимать no 8.2.21.
Схема нагрузки н эпюра М		«г	«пр	"7	л'«
шппйлп	ыий ^ьист		р|? й* — 3 g	— 1 а	4*-; •.в	8 *Ъ
	«г 75				
„яс!	.. Р,		(1-4 А) Ра»»-+°> '	'	2|(	. PMh + О) <?* 2 а?	|0 РоЬ «« + о) 1 и?	^**S Pab (1, + о) *»	а?
4“'j					
Любая нагрузка на ригель СВ гттгтттЛТГТШ		(i-4 *)*•“«			_!—“ «зад *Ь
		М ’ад — момент защемления ригеля по 8.1.3 о			
ич! мь^				(1-4*)*мрл	<*<й+'1**2*и>
р 7?	3				
436
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
S.2.S. Моменты в Т-образной раме со ступенчатой защемленной стойкой
и защемленным ригелем
= <з = 4(э1
Все коэффициенты k с индексами ( *J, *J, *£, кю и др ) принимать по 8.2.21.
Схема нагрузки и эпюра М		*»г		»ь	М		Ма
IIIIIIIIIIIIIIIII i На	И		л	р1~1 /?* — 3	|2	1	12	Л ₽,1 (1 +0.5(0*)	L 1	12	в ₽4 (S* —- а 24	— — *ь
"•1	д,ле8 ntfnCT к Щ |ПТ^» *щцК М<1	п-<5*122. 4	<5‘ — 3 4		(о,5<о »o + е) £21 2 it	(«*22. 3 «?	•Ь"* Рач к" 4
Люба к нагрузка им ригель ашШШШли л “а у Q	" **о		(|-$*> *<“я	<!»№	ЛРЭД , Л4МД . ыоыс о	с	М““ + 0,5(j *М"Д нты защемления рнгел	0,5(0 »М“* по 8.1,4	*?
438
РАЗДЕЛ S. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение П.2.3
моменты защемления стойки по 8.2.21
Продолжение 6.2.8
Схема нагрузки и эпюра /М			"?Р		м с		«о
Поворот опоры Р ^jji w‘w 1/ Ma^L		2£<2 1°*®	2Els (1 - (J *) <р	2£(3 »ф		«3 «-'3*><Р	2Я3 1° »*2 *в *ь
Поворот опоры Me M?1	А лг mnss^ag I r	МА 1^м0	И( f°‘*Sf	»| <3»*S »	£Ц *J(1 -<?*) Ф	0.5Й! 15**2 ф	0,5£1] 1°**2ф	Ei, (*2-<, *2**2)»
Поворот опоры С It л.вЖ		2EI2 (1 -1J*) ф	2Et2 <з*ф	2Etj *ф	Я2 (4- <2*)ф	И2 1§»ф	2Я2 1° »*2 *!
Горизонтальное смещение ригеля И ^МГ' *Г/Г *е 4 Р/*Г		(0 ы,Л -£Ll д 2 4*.	'?<-7ГЛ	|Л(1-(0*) £ii 4 * 1 *•	0,51° *»J £11 Л 2 Р	Л'	и.5*^ ЛА J • ££* Л з ь ь»	(Н-t, **;*°) а 1 а Ь *.
440	РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.2.9.	Моменты и распоры в П-образной раме со стойками
постоянного сечення
СтоЯки шарнирно оперты
Стойки защемлены
Схема нагрузки и		пюра М	Опорные моменты. Распоры	Схема вагрузвя в эпюра Л<			Опорные моменты. Распоры
fir,	ПШПШПШ	1*4			UTtnilllllll	1*4	1	рР ма-мс	 а	с 2 + к	12 Л -т 3 2 + й	12Л
ti 4*1	SlLUJI'"' и J	' Н	М. -М.-	Ш; °	“	4 (3 + 2А> я	 4Л (3 + 2Л]		'чщр"1 м„ ме	г н	
8-2. РАМЫ
441
Продолжение 8.2.9
Схема нагрузки и эпюра М
Любая нагрузка на ригель
Любая нагрузка ва стойку
Опорные моменты. Распоры	I Схема нагрузки и эпюра М					Опорные моменты. Распоры
мь-м- —-— мЯ®: °	а 2(3 4-2А) М Я —	3	51мд	Любая нагл узка на о и гель					
			шйПШШ			1 2(1 4-6*) Л1Ы1  <+для М&. —для Mrf): м. . - —— м“« т
2* (3-)-2*) "’И ’			к лм<1			
где	момент защемления прн симметричном эагруже- ими*. При симметричной нагрузке на ригель мь-м,- ——м?йд b	d 3+2Л Ь — момент защемления рж- геля по 8.1.4	1		а *а	«е			а’с 2 (2 + к) Ы + х	!	 «аал + 2(1+«) Ы1 (—лля Ма: +для A1J: где	— моменты за- щемления прн симметричном и антисимметричном загру- жении по 8.1.4" При симметричной нагрузке на ригель ***-"- -^мьл- Ма-Мс- O,SMh
м _ яь*	з + <* о	СШППптпп 1	ая на J На		грузка на с	тойку ]М</	* ( 3«2*-«Л(9 М. л — _2_ 1 ь	ь т ь-а 2 \	14-6*	Т мь \ (-лл« Мьг 4-дл. Мд: 0.6Я®л_мв М м	°	О . ®	2(14-6*)	-	+ *1°	ifit 	**>	, Kbh . „0.
® г з (3 + ад*|г Я?*	J	, м — ь —	3	м°				"с	ГТТП-тт-^.	с-	
а	2	2О+2А) о где М® . Я® *- момент защемле- ния в реакция опоры загру- женной стойки DO 8.1.3						т 4(24-*) * 4	°' о.«я?л—м® —°	” е	2 (1 4- 6*) 4(24-*) + —4—• *лс mJ. mJ, я®_ хомеггы »- щемления и реакции опоры яагруженной стойки по & 1.4
* См. пример I в конца таблицы.
•• См. пример 2 в конце таблицы.
442
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ II АРОК
Продолжение 9.2.9
Схема Ri		грузкя я эпюра Л1		Опорные моменты. Распоры	Схема нагрузки и эпюра М			Опорные моменты. Распоры
	л F	-< *		<	X w	w +	+ e	л	s	i +	•&	+“ ।	’i C Ji e “IZ lx lx" ’ 5	.itjK *ta1			« —»<kz6L(^_T 2	U+6* Т2-Т?)М (—для Mt; +ДЛЯ Mj); ««-[а-р-^х х /2±*±t±L»+ V 2+t	l+e*/J
	7"	г I		L X T и „1	<4	® а 2Г 1 + i +» g ” ; %” to C	X				M - (|-t>* (2±Н±Щ_ _ e	2	(	2+» 	 1+6»J И^-х c	2 K 2+*+t + 26* » 2 + »
Р		Jfq У		AG-AC--^-; o	a	j  h-A 2	р 4 %	I ♦* \ ^зЙПЬь		M<t 'У	M. - AU 		—	Ph: °	°	2(1+6*) M -M -	1 +3*  Ph: ° c 2 (1 + 6») и—p- 2
		i-1		u _ 2 (!+»)-1.5»: (2-t)	Т-*			л, *_<l=a [_£_ T »•«	2	[1+5* т-^-h 2 + A J (—для Mb; +umMdy. u 	!-£/_!_ .4-1 .
	г- * Lt л	Mb Bn	>_MC- I H	*	3 + 2A ®	3 + 2* l.S|l+4(2~£)J r <3 + 2») h	4U	С4 Jr-’ b —|«а.	г н	°	2 U+6* 2 + fc +3tji+:<2-3az.: a<-Lz±(_!	 c 2 V + 6» H-— X 2 (1 -t) (1 + 1 +Й») I 2+*	h
3.2. РАМЫ
443
Схема нагрузки н эпюре Л1
Опорные моменты. Распопы
М. —М. —	—	Л; * а (1.5+ЗЛ)Л л	£!!—д (1,54-ЗА) К*
М. - ЛЬ- —8Ef|*	4:
b a (3 + 2A) h’
„ - «А* д
(3 4- 2А) К*
	Продолжение	8.2.9
Опорные моменты. Распоры		
-It	- + .1 “b । и- f <,: *1"	«In -1" s 1 J	«1»	1 I »-	'	> ?		И L;
т-Мф 1 + bhj (—Для	. -f-Для , ЗА x	1 ® 1 + 6A J (+ДЛЯ Ma; —для Alj; M_3£G	|+* n "		 'ii	m Л 2+ *		
Mb ~Md “ 			 A h (2 + ЗА» ft (2 + ЗА) Н,в££1+6А>Д Л* <2 4-ЗА)		
444
РАЗДЕЛ «. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение в.2.9
Пример 1. Определить опорные моменты в раме от
частичной равномерно распределенной нагрузки на ри-
геле (рнс. 8.7).
Находим значения моментов защемления ригеля от
симметричной и антисимметричной нагрузки
(формулы для схемы «любая нагрузка на ригель»)
по 8.1.4:
=-у-(3-45-|-1.5£г) +
+ -^(£-0.75^) =-^-(3-25);
J	о
ед=-уЧ3“4Е+1-5^-
- -V- (S - о.755«) =	(3 - 65+35»).
J	о
Рнс. 8.8
flWHWni
Рнс. 8.7
Пример 2. Определить узловые моменты в раме от
треугольной нагрузки на стойку (рис. 8.8).
Для загруженной стойки в предположении защемле-
ния опор н их несмещаемости находим по 8.1.4:
Для рамы с шарнирно опертыми стойками (опорные
моменты от нагрузки II равны нулю) получим по 8.2.9:
м<>_	,.о Р№
м М 3	Р^3-2*’
Мь = М‘ =2(3+2*)
6
3-25 ре.»
3 + 2* ' 4
По формулам для схемы «любая нагрузка на стой-
ку» получим:
* /ЗК«Л-6М’Т л®
Мь-1~ 2	1+6* ¥2 + *J =
Для рамы с заделанными стойками:
= Гэ~2» . 3-65 + 35»! ра- .
ь-“ L 2 + ft ± 2(1+6*) ] 6 '
.4(1 +6*)Т
1	1 М»
30(2 + *)] 2 '
Г 3 - 25	3 - 65 + 35»I ро»
1.2(2 + *)	2(1+6*) J 6
1	1	7 1 р*»
_24(1 +6*) + 30(2 + *)+ 40 ] 2 ’
1	1	.31 р*»
24(1+6*)“30(2 + *)+ 4о] 2
8.2. РАМЫ
445
8.2.10.	Моменты в П-образной раме со ступенчатыми стойками1
	1 /г	я	''“-Г1
“Г- F	'Ji J«'	Л J	В.-—!	; *b'l+2'l *J <( + 6/f “ 'ь to ft
	-—i—-		Численные значения коэффициентов А н г с индексами (А®. Ав, г..	н др.) принимать о а п ь а по 8.2.21, S.—по 8.2.13
Схема нагрузки и эпюра М
Опорные моменты
Любая нагрузка на ригель
ппшШПЦШПП
В,
г. в.
° с 1 1 12
"(..«/-Ч* *?*! ±"^(1-26)]-^-
(+для Мь- —для Mj);
мя,я - '1 [ В, т Si Bg (I - Ч)]
(—для ма: +ЛЛЯ ме):
sl ~ "а «о ~ ‘а
*** -А*а _*6 *1 В) в :
«о-^-*2'1 01-7"
мь.0 ” "Г [ *Ь ₽| "м“ * ( "ь -'ь *о) Вг «ы “]	: -м« «а).
Ма., “ Т [ *’ В| «ы“ ’ ( ‘я Е0 “ *2) »2 *<ы’1	(-"« "я : +"" "J:
М’]Д,	моменты защемления прн симметричном к антисимметричном за гружен ни (см.
пример 1 а 8.2.9). При любой симметричной нагрузке
А®
-Ма -*J G В! М?д; ма -мс - — Мь:
* Порядок оользования таблицей для расчета раы с двухступенчатыми стойками см. пример и 6.2.16.
446
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.10
Схема нагрузки м эпюра А!
Опорные моменты
(—для «4: +ДЛЯ М^у.
«а - Y [ st С - W + ‘S '1 (кь ₽1 -"г Рг)] «** +*«
мс - У [s. (• - £«) - *2 ‘1 (*» ₽1 + Nt».)];
",-'bh~>V
s2—N2 ₽2 *•“ <! + rb
Mb.d " 'я (зл/д Р. Т *М—М Pj) ₽/1
(—ДЛЯ Mgf +для Mdy.
Ма~ ~ [ sa (’ — ео) + *о '1 ( *Ы—М Р| ~N3 Pj)] ph + *al-a4ph;
Mc~ V [S3 (’ ~ M — *a't ( *H-M Pl +N3 Pj)] Phi
N3 ~'ы—Ы Eo —*61—W
s3 ~N3 Рг r» 'i + гм-м
«д-^-адЕоРдИ:
«о -MC - у- (S'| 5» ₽. + (‘ -	р*:
"b.d-'af^PiT^Pi)1
(—для Mb. +для May.
"я — Т [ s« (> - So) + *: '1 (*ы Pl -"я Рг)] I +
"е"ТI s« (’ “«о) -*! '1 ( *ы Р| +л,< Рг)]1;
*bS,
Л«ГР-*2 (3»2 + Pl)
*<"-1.-4,(3113+ ₽,)£.;
«а-‘д(8Р.-Р1Н-
А‘а-у[*5(Р1+Рг)-Рг'-ь(,-Е«)]1=
м‘~ Т" [ *J (Pi ~ Рг) +Рг 'ь (‘ ~ to)] L
8.2. РАМЫ
447
Продолжение 8.3.1')
Опорные моменты
мь.Л -И1 <2 [ *S »1 Т^г ( "□ «о -*:)] »:
(—ДМ М^. +дл« М^у.
м«~ V И! “ *s ‘1 *S ’1 - ‘1 *2 (^ <»	- *« (‘ - to)] *
мс - у- [-*; q ₽i+ч ₽2 (to - *:)2 +*«(>- ч>)J <₽
Нагрев аа Г
где а~ коэффициент линейного расширенна
448
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.10
Схема нагрузки в эпюра М
Опорные моменты
Любая нагрузка на стойку
(—для Мь; +для Afrf):
Ма " “ [("о ГЪ *1 А) (’ “ Ч>) +*в *1 Р| ~N0 рг)] +Ма:
М‘-Т Ь Гь 'I +«? *)(* - *<1) -*S '| ("° ₽1 +"o ₽г)1 :
«о -КЬ «о »-"?•
где «J. М®. Я® — моменты защемления и реакция опоры стойки: для одноступенчатых
стоек do 8.2.21. для двухступенчатых по 8.2.22
• При действии на стойку внешнего момента L (по часовой стрелке): член в квадратных скобках принимать со знаком
минус:	н М® принимать со своими знаками (см. пример) по 8.2.21 или 8.2.22.
Пример. В П-образной раме с двухступенчатыми
стойками определить изгибающие моменты от действия
равномерно распределенной нагрузки на ригель н внеш-
него момента на стойку (рнс. 8.9,а).
Рнс. 8.9
От нагрузки на стойку. Величины опорных реакций
и моментов эвделкн загруженной стойки прн неподвиж-
ных опорах принимаем по данным примера в 82.22
(рис 8.9. в): ₽;=0,082L; «’-0.196; М°=0,126.
По формулам схемы «любая нагрузка на стойкум
По 8.2.22 находим (см. также пример в 8.2.22):
,	*«	4.81	„ „„ .	*1	9,375
*;=T“TF=o-82: ^“t=TF = ,’6:
А’о = Л? So h — Л1° = (0,082-0,284-16 — 0.19)6= 0,1826)
Мц = 0,3 (3-0,182-0,493 — 0,19-90) L = 0,0296;
M„ = 0.3 (3-0,182-0,493 + 0,19-90) L = 0,1326;
Ma =— 0,5 [(0.182-0,493-1,6.0,625 + 0,082-16)(l —
— 0,284) + 0,78-0,625 (0,19-0.90 —
— 0,182-0,493)] 6 + 0,126;
=—0.5 (1.4-0,716 + 0,486(0,171 — 0,09)| L +
— 0,126=—0,406;
Mc = 0,5(1,4-0,716 — 0,486(0.171 + 0.09)] L = 0.4376.
*‘ = rj — 4= 1.6 — 0,82 = 0.78;
*i 9.375
Ео=- = —„0.284-
Моменты в узлах рамы определяем по 8.2.10
b-i.g.b»
-----------------=0.90;
0,82.0.625 + 2.0,3
В. =---------------------------------= 0,493.
н 0,82.0,625 + 6.0,3—1,6.0,284.0,625
От нагрузки на ригель. По формулам схемы «лю-
бая нагрузка на ригель, (при симметричной нагрузке):
24*
М* = I, ₽J Mf* = 0,625.0,82-0,90— = 22.1 гл;
ка 0,78 „
= М, = -№ = -^22.1=21™.
При построении эпюры M (рис. 8.9.6) учитывалось,
что за положительные приняты моменты, показанные
на эпюре М в 8.2.10 для случая действия на стойку
внешнего момента.
Проверка эпюры М (см. пример 2 в 82.15). Провер-
ку деформаций (равенство нулю приведенной плошали
эпюры) производим по 8.2.23 (значения ц и 7. см при-
мер в 8.2.22).
Для упрощения вычислений ломаную упюру стойки
АВ заменяем эквивалентной прямолинейной (см. .-по-
соб III в примере 2 в 8.2.23):
AfJ* = (—0.029—0.19)6=—0.2196:	ЛС = (0.4—
—(—0.12)]6-0.526 (рис. 89 г):
— 1+0.5+5-0.25=2.75. о>г= 1+0.5’65 0.25’= 1.563
Приведенная плошадь эпюры равна (множитель 6
опущен):
16(0,52 + 0,219) 1.563	16.0,219-2.75
2-10	Ш
24(0,132 — 0,029)	16(0,437 + ".1321 1,563
2-7,2	2-I-’
16-0.132-2.75	,
-------т------= 1,676 — 1,677 as 0.
10
№
8.2. РАМЫ
449
8.2.11.	Моменты и реакции П-образной рамы с абсолютно жестким
ригелем и стойками постоянного сечения или ступенчатого очертания
С шарнирно прикрепленным ригелем
Стойки постоянного сечения
S-—ph; М-—ph’: М.-—ph’; я -—ph. я -—ph
№	°	16	1	16	°	16 е 16
S-— ЕЧЗ-i): Л1 --»Ро—Sh; Mc — sh: H. — S
450
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.11
Стойки постоянного сечення
Ступенчатые стойки’
виды nd ерузом
От сосредоточенной силы в увле Рц
р,	I	Р,
S- — ; АС-АС Р,/т;	.
1	° е г	2
От другая грузок:
5 - — A«i Н, -S: М,- ,~h: М ~ М" - Sh;
2 о с е	а а
Я®*-реакция верхней споры аагружеяной стойка в орадоолменнн несмешае-
мостя се опор по 8.2.19;
Afj— момент заделки консольной стойки от внешних иагруэоа
На стойки действует любая нз пр и веден-
ных в 8-2.19 нагрузок
1 Пря двухступенчатых стойках S- ~ где Я® — реаяаня верхней опоры стойкн принимается по 8X20.
0.9. РАМЫ
451
452
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжай» Л.3.11
Ступенчатые стойки*
Коэффициенты г е индексами принимать по 8221; коэффициенты (о —по 8.2.13;	—момент заделав стой-
ки no 8221 (привимвть со Зваками, указанными в таблице)
8.2. РАМЫ
453
Пример. Определить изгибающие моменты в стойках
рамы, изображенной на рис. 8.10 (/р^00).
в o.nssph j .aw»'
Рис. 8.10
Дано:
А= — = 0,3; n = v- = 0.4; ~Г = 0,2.
Л	/и Л
Продолжена» S.2.U
По 8.2.21 при О-0.2Л: г»,-0.870; Л1^-йцЯ»-
=С.П5РЛ.
Не 8.2.13 Ь=0.391.
s = y'nf =	М3 = (0,8 - 0,435 —
0,870 = -1—₽ = О,435Р; 2	- 0,555)/>Л = 0,310/4
Md = Stah =	Ме= 0,435 X
= 0,435.0,391 Ph =	Х(1 —0,391) РЛ =
= 0,170Рй;	= 0.265₽Л;
	ff_. = S = 0.435Р.
= (0,170 —0,1 IS) РЛ =	Wo = P_S=.0,565P.
= 0,055РЛ;	
8.2.12. Расчет одноэтажных многопролетных рам с шарнирно опертыми
абсолютно жесткими ригелями и ступенчатыми защемленными стойками1 [3, 5]
Расчет рамы сводится к определению по формулам
таблицы горизонтальных реакций верхних опор стоек,
после чего стойки рассчитываются как консоли, загру-
женные приложенными к ним нагрузками н реакциями
верхних опор.
гттгт
Рнс. 8.11. Схема рамы я нагрузок
Рис. 8.14. От нагрузки на промежуточную стойку
Предварительно следует найти отдельно от каждой
нагрузки реаквии верхних опор загруженных стоек Rj.
в предположении иесмешаемостн опор.
Рнс. 8.12. От нагрузки в узлах рамы
Рис. 8.13. От нагрузки на крайнюю стойку 1
Стойки	Реакции верхних опор стоек	Обозначение
а) Высоты и моменты инерций всех стоек одинаковы		
Незагру- женная	о — 	 Rbi ~	m — число стоек рамы, реакция верхней опо- ры загруженной стойки: для одноступенчатой стойки —по 8.2.19. для двухступенча- той — по 8.2.20
Загружен- ная (5)		
1 Способ расчета миогопролетмых оаы с ригелем в pasoui
уровнях см. пример 3 в 82.15.
Расчет с учетом пространственной жест места каркаса см. (161
и «Руководство по проектировок ню сборных железобетонных
конструкций одноэтажных зданий». ЦНИИПромздаинй. I9FI.
454
РАЗДЕЛ е. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Стойки	Реакции верхнкк опор стоек
б) Высоты всех стоек одвнако- вы, а моменты инерции различны	
Нез> гру- женные	И .Я» М	» Д
Загружен- ная (а)	/L-rf к и от
в) Высоты я моменты инерции всех стоек различны	
Незагру- женные	%8 1 3
Загружен- ная (а)	
Продолжлнил 8.2.12
Обоахачепвя
в-1л*л^1^м+" +
+ 1вт*<т:
— для одноступенчатой
стойки по 8.2.16. ык двух*
ступенчатой — по 8220.
Второй подстрочный индекс
означает помер стойки
*5
'ят*От
Приыечяпне. Прн действии в узлах рамы сосре-
доточенной силы (ITj нлн 1Г/П—сы. схеыу на рве. 8.12) опор-
ные реакпня верхних опор всех стоек направлены в сторо-
ну аействнк силы V и определяются но формулам таблицы
для незагруженных стойн при Ifi ~ V.
Рис. 8.17. Эпюра М от внешних моментов
Рис. 8.18. Эвюра М от ветровой нагрузки
Рамы рассчитываем по формулам 8.2.12,6.
1. Определяем по 8.2.18 для каждой стойки коэффи-
циенты Ял подсчитываем другие вспомогательные коэф-
фициенты. Результаты Недочетов приводятся в таблице.
Для удобства вводим обозначение
~в— = Sof
№ стойки	Х-^5- h	'я	*0/	•ш		/н1*0(	<- —	*01
/	0.2	0.2	2.907	5	14.536	0,171
2	0,2	0.1	2.799	10	27,99	0.329
3	0.2	0.1	2.799	10	27,99	0.329
4	0.2	0.2	2,007	5	14.535	0.171
				Я-	85,05	Е — 1,000
Пример 1. Определить изгибающие моменты в трех-
пролетной раме с бесконечно жестким шарнирно опер-
тым ригелем И ступенчатыми стойками, изображенной
на рис &1S, от заданных нагрузок.
2. По 8.2.19 определяем для загруженных стоек реаи-
цин Rvbs от каждой из заданных нагрузок в предполо-
жении иесмещаемости опор.
f В
	4.-J f Рнс. 8.15	Ф т>	п Схема рам	ф ф w	т ы и нагрузок	: £ : с» 7*^
Рис. 8.16. Эпюра М от силы Г|
Нагрузка	таблицы	Коэффициент	Реакция	(в m) OS
Г, - 3,21 т	е.2.19. е	Ь, - 0.682 (при а - hb)	ffi, - 0,682-3.21 — Ol -2,169
L, - 18.7 тм	8.2.19. д	А4- 1,395 (при а - hb)	ffi _ t.395	- w	18.7 — 1.395
LB~7l.G2 тм	8-3,19. v	k. — 1.343 (при а — hb)	ifi, - 1.343	_ b2	18.7 — 5.144
Wt — 14.4 т	-	—	«'«-14.4
pt — 0.34 т/м	8.2.19. б	kt — 0,3657	R-0 — 0.3657-0.34X ol X 18.7 — 2.325
Р. - 0.21 т/м	8.2.19, б	«, » 0.3657	Я®4 -0.3657-0.21 x X 18.7-1,433
вЛ. РАМЫ
455
3. Подсчитываем величины реакций верхних опор
(с учетом смещений опор) н нагибающие моменты,
пользуясь данными 6.2.12. Рекомендуется для каждой
нагрузки показать ка схемах рамы направления реак-
ции верхних опор (см. рнс. 8.11—8.14). За положитель-
ные приняты реакции верхних опор, действующие слева
направо.
Реакции верхних опор	Моменты зажелкн стоек
От тормозной нагрузка - — 2.189*0,829 — - 1.815 г; Яи-'ЗАп-2-189-0-329- — 0,720 г; R& - 2.189-0,329 - 0.720 г; Я	2.189*0,171- — 0.375 г	Г.-ЭЛ т (рис. 6.16) AftfI —— 1.815* 18.7 + + 3,21*16— 14,2! тм; — 0,720*18,7 - 13.47 гш; МвЭ —0,720*18,7 - 13,47 тм: —0.375*18,7 —7 тм
От креповое агрузкв: ti-18,7 —R?,/l—.' 1 — И	И1 а) -ЯК*01 	 1,395 0,829 — — 6,144-0,171 — ~ 2,04 г; '’K-«°WSO2+«W(,-SO!)- -1,395*0.329+ 6,144*0.671 — — 3,01 г; *63 " (*ы “ *и) 503 " - (1,395-5,144) 0.329 - - 1,233 г — (1,395-5.144) 0.171 - — — 0.64 Т	£ Д	i	г ®	«	В	1	а 1	+	’’	7*	»’	<	I г	<	:•	:•	»	I	з	3 е.	В	7	s	7	7	a	i 1II	« ' 5	,S	5°	5	_3 й	-		
От ветровой пагрузкн: W т/м '’ы-яы501-лы(,-Л1)+ + *М S0! “ ,4*4-0-171 — 2.325м X 0.829 + 1.436-0.171 — 0.782 г: Hbt — (14,4+2.325+1.436) 0.329 — ш 6,975 т; - 5,975 т: лМ-(^ + яы)501- + 2,325) 0,171 — 1,436-0.829 - — 1,67 т	.-14,4 Г pl-034 r/«: рве* 8.18) Mfll - 0,782*18.7 + + о,ж.1м;_7<(|8тд; 2 Мот *" б-97618’7 " П1’7 гм; Мо9 -111,7 тм: 0.21-18.7’ - 1,67-18,7 + °’ 1	- - 67.95 тм
Продолжены в.3.13
Проверка апюры М (см. пример 2 в 8.2.16). Уело*
вия равновесия соблюдены. Условия деформации будут
удовлетворены при равенстве прогиба верха всех стоек.
Прогиб стоек можно определить из следующих выра*
жеиий:
незагруженная стойка ——— {
h3
загруженная стойка Т	.
Знак плюс принимается в том случае, если реакция
Ль. направлена в сторону действия вагрузкн (НаПрИмер,
реакция стоек 1 я 4 прв ветровой нагрузив см. эпю-
ру Af). Ниже приводятся подсчеты прогибов сТОек (ум-
ножены на £/л*) от действия тормозной силы и ветро-
вой нагрузки.
Н стоймя	tlpH действии тормозной силы	Прн действии ветровой нагрузки
1	2.189-1.815 лт1., 	—0,0257 2. W7*5	глга-Ю.782 _ц2м 2,907-6
2. 3	0,72 - - U.0287 2,799-10	-5^- м 0.214 2,799*10
4	0.375 *	-0.0258 2,007-В	-.0.214 2.907-о
Пример 2. Показать ход расчета изображенной на
рис 8.19 ромы, у которой высота и моменты инерции
стоек различны.
Рис. 8.20
1. Раму рассчитываем до формулам 8.2.12. в. Вели-
чины До принимаем по 8.2.18. Подсчеты значений вспо-
могательных величии приводятся в таблице.
456
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.12
н стойки	h	«-А 'н	*ы	Zltf			1"	'и?* *зв' ~S0l
/	0,20	0,25	2.92$	10	29.26	3375	0.0087	0.269
2	0,15	0.20	2.960	20	59.20	80W	0.0074	0.228
3	0.167	0.25	2,954	15	44.31	5^2	0,0076	0,234
4	0,20	0.25	2.926	10	29.26	3375	0,0087	0.269
						В’ — 0.0324		Z— 1.000
2. Реакция верхней опоры загруженной стойки 1
в предположении несмещаемости опоры по 8.2.19.6:
=0,374Pi*i=0,374-I5a=5,61Pi.
3. Реакции верхних опор (с учетом смещения опор)
и изгибающие моменты:
Реакции верхних опор	Моменты за мелки стоек
От равномерно распределени -3 1- Ы	М \	01/ — — 5.61 -0.731 р, — — 4.10 р,:	ой нагрузки р, (рнс. 8. 20) Ма1 - - 4.10 п1*1 + -(-«.10» + ^)*- « 61 Рр
Реакции верхних опор	Моменты заделкн стоек
«и-'<ы5и-в-6,0-2Я'>1- " I.® Vi.	МЛ9 " Ь28-80*! “
. 6.61 -0.234 pj — 1,31 pf;	М& — 1.31-18 р( — 23.6 pt:
/?fc4 — 5.61-0,269 Pj - 1.51 pj	1.51-15 ₽1 -22.6pj
Порядок подсчета реакций и моментов от других
видов нагрузок см. пример 1.
8.2.13. Расчет одноэтажных многопролетных рам с абсолютно жесткими
ригелями и ступенчатыми защемленными стойками [3]
Порядок расчета
1. Определяют отдельво от каждой нагрузки для
верхних опор загруженных стоек реакции R^ и момен-
ты защемления в предположении неподвижных
опор: при одноступенчатых стойках — по 8.2.21, при
двухступенчатых — по 8.2.22.
2. Подсчитывают по формулам настоящей таблицы
(с учетом смешения опор) для верхних опор всех стоек
реакции в моменты в зависимости от типа рамы.
Рис. 8.23 От нагрузки на крайнюю стойку 1
Рис. 8.21. Схема рамы н нагрузки
Рис. 8.22. От нагрузки в узлах рамы
Рнс. 8.24. От нагрузки на промежуточную стойку
3. Стойки рамы рассчитывают как консоли, загру-
женные наверху реакциями, моментами (см. п. 2)
н непосредственно приложенными к стойке нагруз-
ками.
ех РАМЫ
457
Продолжение ч.2.П
Наименование стойки	Реакции и моменты в верхних опорах стоек	Обозначения
а) Высоты м моменты инерций всех стоек одинаковы		m — число стоек: Я® . /И® — реакции и OS OS моменты защемления верхних опор сгру- женных стоек (в предположении нес ме- шаем ости опор)  коэффициенты опре- деляются: для одвоступевчатых стоек — no 6X21. для двухступенчатых — no 6.2.J2 Коэффициенты для двухступенчатых сто- ек приведены в 8.2222. Второй подстрочный нидеке обозначает номер стойки
Незагруженные стойки	ы т МЫ “ ЯЫ*о1*	
Загруженная стойка (з)	я -ffi (1--V мь~*Ъ~мы	
б) Высоты всех стоек одинаковы, а моменты инерции различны		В — 1 гд 4-/	,Д м) tl иЗ 12	' щи tin
Незагруженные стойки	Я W «	£ мы ~ 'ЧЫ'	
Загруженная стойка (а)	«.—.(--Чп)-. м. - м? - я? л |И к b$ bs Ьз CH	
в) Высоты и моменты няеринн всех стоек различны		1 , rA	1 . г4 в. -_!!1_±+_^J£ । -4 нт Ьт
Незагруженное стойки	мы-кы*<Л	
Загруженная стойка (з) Примечания: 1. Пр всех стоек (Лы) направлена Значения этих реакций и м 2. В формулах принято, рнс. 8.22—8 241. Если момен как и в незагруженных стой	/	1 Г4 \ я_-л« 11	=L±-|: *	Л/ J М. - Лр - Я° L *  "* *” W Ь к Ч» s н действии в узлах рамы сосредоточенной силы (^( или в сторону действия силы U7. а опорные моменты имен оментов определяются по формулам незагруженных стоек, что моменты верхней опоры загруженных и незагружен верхней опоры загруженной стойки получится со знаком ках.	т ^т— см. ряс. 6.22) реакции верхних опор от пвправлення. показанные на рисунке* принимая Я“ W'- ных стоек обратны по направлению (см минус, направление его будет такое же.
458
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.13
Рис. 8.25.
Крэффцдирцты Ео
Моменты защемления от взаимного смещения опорных сечений при действии ва
опору В единичной силы Р=1:	Л1а = (1—to)Л; R=P (рнс. 8.25);
х=т - п=тх
А	Значения £ при я. равном										
	0.06	0.1	0,2	0.3	0.4	0,5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
0,1	0,226	0,287	0.371	0,414	0,441	0.459	0,471	0.480	0.490	0,495	0,500
0.2	0,196	0,243	0,322	0.373	0,407	0.433	0.453	0.468	0.480	0,491	0,500
о.з	0,212	0,244	0,309	0.356	0.391	0,420	0,441	0,460	0.475	0,489	0,500
0.4	0,240	0,265	0,316	0,355	0,868	0,413	0.437	0,456	0.473	0,487	0.500
0.5	0,278	0.295	0.333	0.366	0.392	0,416	0.437	0.456	0,472	0.486	0,500
Пример. Определить изгибающие моменты и опор-
ные реакции в раме с абсолютно жестким ригелем от
заданных нагрузок (рис. 8.26).
Расчет ведем по формулам 8.2.13 в.
I.	Параметры стоек, значения коэффициентов г&
(см. 8.2.21), Ео (см. 8.2.13) и другие вспомогательные
величины, которые могут понадобиться при проверке
эпюр Af(p = ——1; й>1=1+рХ;	приведе-
Рис. 8.27
ны в следующей таблице! для удобства введено обозиа-
Рис. 8.28
Рнс. 8.26. Схема рамы и нагрузок
Стонка	А	г.	'ы		'и! 'll	*?	Si 'bi	lv.i 'ы		ц	<01	<0Т
								3 * "'5°' hpi				
/	0.30	0.4	8.018	1.0	8.018	172»	о.имб	0.339	0,391	1.5	1.45	1.135
2	0.24	0,2	6.386	1.3	8,270	3375	0,0024	0.178	U.318	4,0	1.96	1.230
3	0.24	0,2	6.365	1.3	8.270	3375	0,0024	0.176	0.318	4.0	1.96	1.230
4	1.00	1.00	13,000	0,6	7.200	172b	0,0042 в' -10.0136	0.309	0,500	0	1,0	1,000
8.2. РАМЫ
459
2.	Определяем по 8.2.21 реакции и моменты ааделкд
верхних опор загруженных стоек (в предположении Ир*
подвижных опор):
.	1,452-14
Lt = 14 тм; Rbi =---g— = 1,7 г;
=0,085-14 = 1,19 тм;
МйЬ2 = 0,065-60 = 3,9 тм;
р, =0,3 т/м; Я®, =0.47-0,3-12 = 1,69 т;
Продолжение 8.2.13
М®! = 0,064-0,3-12® = 2,76 тм;
/>. = 0,18 гл; = 0,5-0,18-12 = 1,08 т;
- Q.0833-0,18-12® = 2,16 тм.
3.	Подсчитываем величины реакций и опорных мо-
ментов е учетом смешения. За положительные приня-
ты: реакции Я», действующие слева направо, и мо-
менты. вызывающие растяжение в правых волокнах
стоек. Рекомендуется для каждой нагрузки на схемах
рамы показать направления реакций к моментов верх-
них опор (см. рнс. 8.22—8.24).
Реакции верхних спор в г	Моменту оадедиц стоек в гм
От крановой нагрузки Li-I	( тм; £,-60 тм (рис. 8.27)
- - *Ы С - So,)- "B2S0l “ - '*®•“.«> -	м.,--Л®, + я®,5 { а — Я®., s„,{ * -(я® — W	Ы Ы 0101 1 Ы 01 01 1 Ги
X0,339 ™ — 3,085;	- *») %1ЕоЛ “	" (" 1,7 ” 5’в) °-339*0»39112 — 1.>9 - “ — 7,7;
*82 ~ *Ь2 (' - Sob) + *S1 S02 “ 8-8®*8М + ,*7®’’78 "	*И - (*Ы - *«) S0»50B*. +	-И*7-8*” °.™-0.318.16+ + 3.6 — 0.40;
*й - (*ы“*и) 5оз- “•7-’Л °.,7«—	м1л		®.»ИАЯ0 » - - 3.4(;
\ “ (*ы " "и) 5<и“ "-7-«•”®-эю—,-2®	Мы - - Яр,{ыЛ4 - - 1.268-0.6.12 — 7.0
От ветровой нагрузки Pi—0.3 т/м; р4—0.18 г/м (рис. 8J8J	
Я. --Я®,/1-S 1+Я®. S-,	 1,69-0,681 +1.06-0.339- Ы	Ы(	01/ М 01	*ы - (*ы + *°м) «01W1	" “*® + '•“>*
— — 0.75;	Х0.335О.аЭЫ2— 2,76 -1,«;
Я - Я, - (Я®, + Я®.) S„ - (1.69 + 1,08) 0,176 - 0,(87;	- *^о/. - в.4ЮЛЛ1«.И - 3.32;
«м “ *ы 5(м “ «м " SM)" ,*®®-да- 1-м®*®' -	ММ-(*Ы + *м) ^*4’’МЫ-,'-®+,*®,®-Э09><
--0,224	0,5-12 — 2.18 -2.97
Порядок подсчета распоров в г и моментов заделки в тм стоек внизу (от ветровой оагрувкк)	
Яв1 в °®75 “ 0,312 “ ” 2,65;	А<Р1 " °*76’12 + 1»в4“0»3-12*‘0»б“— |0»9б1
*«-*01 — ®*«:	*01 “ *03 “ ~ °'®7-18 + 2.32 — (.90;
— 0.224 — 0.18-12 — 1.936	—о,2?4-12+ 2.97 ^0,18-12’ 0,6 —-к 7.29
Проверка апюры М (см. пример 2 в 8.2.15). Услови-
ям деформаций эпюры будут удовлетворять, если при-
веденная площадь гор эпюры М каждой стойки будет
равна нулю.
Проверим эпюры стойки 3. По формулам ступенча-
тых стоек в 8.2,23 получим при крановой нагрузке на
раму:
_	+	о, _ (7,38 + 3,44)1,23 _
"₽_	2/я	/и “	2-1.3	“
3,44-1.96
— 1 ;	 = 5,125 — 5,175 =- 0,05 (— 1 %).
Эпюры етоек от других нагрузок можно проверить
по отношениям Ма: Ait, которые должны быть для не-
загруженной стойки равны между собой при всех за-
груженнях рамы. Эпюры стойки 3 этому условию отве-
чают (7,38 : 3,44 -4,98 : 2,32).
Криволинейные или ломаные эпюры рекомендуется
заменить прямолинейными эквивалентными (см. пример
в 8.2.10) п проверку делать по вриведевиой выше фор-
муле. Например, для стойки Я прн крановой нагрузке
Л1°2=3,9 tjk; =0,384-60=23 тм (см. 8.2.21. е);
Л1$ =0.46—3,9—3,44; М% =—15,62—(—23)=7.38
(прямолинейная эквивалентная эпюра получилась такой
же. как у стойки 3).
460
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
8.2.14. Расчет одноэтажных многопролетных рам со ступенчатыми
защемленными стойками [3]
Такне рамы целесообразнее решать методом дефор-
маций (перемещений) (см. 5.7.3). Необходимое количест-
во уравнений равно числу узлов рамы, нс считая за.
щемленных, плюс одно дополнительное. Подсчеты со-
кращаются прн использовании данных 8.2.21—8.2.22.
Приводим уравнение для узла 2 рамы (рис. 8.29):
Ч *2 % + 4 «12 4" <а) <₽2 + Й12 Ф1 +	Фз
---«ДЮ
Дополнительное уравнение (горизонтальной проек-
ции)
2-^-<р,-£-^-6---------S.^-W.	(б)
В уравнении (а) даны реактивные моменты заделки
элементов рамы в узле 2. в левой части—от поворота
узла 2 на Z.<pi. узла 1 на Z.<ji. узла 3 на Z-фэ и от сме-
щения ригеля на 6; в правой части — от внешней на-
грузки. За положительные приняты моменты от внеш-
ней нагрузки, вращающие узел по часовой стрелке.
В уравнении (б) даны поперечные силы (реакции)
верхних опор стоек: в левой части — от поворота узлов
стоек на Z_g>i и от смещения ригеля на б; в правой —
от внешней нагрузки. Знаки (Г и даны для направ-
ления нагрузок, показанного на рисунке
Принятые обозначения
линейные жесткости ригелей и стоек; /и< —момент
инерции нижнего уступа стойки; й. г (с индексами) —
коэффициенты по 8.2.21; ф. б — углы поворота узлов
рамы, горизонтальное смещение ригеля; Я. —реакции
верхней (фиктивной) опоры от нагрузки на стойки по
8.2.21; Л^).	— моменты заделки элементов
рамы: для ригелей по 8.1 4, для стоек по 8.2.21.
При стойках постоянного сечения коэффициенты k, г,
опорные реакции и моменты заделки принимаются по
8.2.21 при п—1 или по формулам 8.1.4.
После нахождения значений <р и б опорные момен-
ты определяются по следующим формулам:
Mji =— 21 и (2фз + <р|) —	;	(в)
Л?2з 21а (2ф2 + Ф3)+	:	(г)
Л,26=— <з —
---<2(492—+	(е)
Порядок расчета виден из примера.
Пример. Определить изгибающие моменты в двух-
пролетной раме, изображенной на рис. 8.30 (параметры
рамы приняты по серии 1-36, выпушенной Гнпротисом
и Проектсталькоиструкцией, 1954 г.).
Рис. 8.30
Определяем линейные жесткости элементов:
19	44
‘ = ^ = °-735;
13	2.9
<3 = 25 85 = °,503: '**=^=0J32:
3,9
'о = ^ё = 0-142'
27,5
А, <»
Значения л. = — ; и = — в коэффициентов k\
Л
, гв, гл (с индексами) по 8.2.21 приводим в таблич-
ной форме (все подсчеты выполняются ва счетной ли-
нейке).
№ стоПкн	К	л	’ft	•S	1 чр V* 1	а	„Д гь
/ 2 3	OOS Sag	U.068 0.065 0.077	J.417 0.406 0.462	0.620 0.618 o.too	1.037 1-024 1.112	3.48 2.95 3.58	8S3
Чтобы избежать двойного интерполирования при
пользовании таблицей, значения rj и rf можно опреде-
лить следующим образом: rj— 4+4:,а
62. РАМЫ
461
Основные уравнения угловых деформаций по формуле (а):
нагрузки
1 037*0.735	222
1)	0.417.0.735ф< + 4.0.132ф1 + 2.0.132ф}--------------б-	— о
25,85	12
1 024»! 53	от
2)	0,406.1,53фа + 4 (0,132 + 0,142)ф> 4- 2.0,132ф, + 2.0,142ф,--------:---6 =	_ — О
28,65	12
3)	0,462-0,503ф, + 4.0,142ф, 4- 2-0,142ф, — 1 ’'— б °	0 О
2в,85
Дополнительное уравнение во формуле (б)э
1,037.0,735	1,024-1,53	1,112-0,503	4,52-0,735 . 3,97-1,53, 4,69-0,503. I I
*	25,85	<₽,+	28,65	<Р,+	25,85	25,85’	28,65’	25,t& в= | с | -
После преобразований (члены 4-го уравнения умножаем на 25,85) получим:
	От с	От Г
1) 0,834 ф| + 0,264фа — 0,02956 =	40,3	0
2) 0,264 ф, 4- 1,718ф. 4- 0,284ф, — 0,05486=	—40,3	0
3) 0,284 ф, 4- 0,800ф, — 0,02166 =	0	0
4) 0,763 ф, 4- 1,415ф,4-0,56Сф, — 0,4116 =	0	-25,85
Приводим уравнения к виду, более удобному прн ре-
шении ид методом последовательных приближений.
	Ф,		ф.	h	От р	01 U
Ф1-	-	—0,317	—	0.0353	48.4	0
<Г«—	-0.1835	-	-0.1653	0.0319	-23.5	0
Фв“	-	-o.aw		0,0270	О	0
4™	1.860	3.445	1.363	-	Л	62.9
Решая уравнения (в данном случае достаточно огра-
ничиться четырьмя приближениями), получим прн рав-
номерно распределенной нагрузке на ригеле: ф|=59.6;
ф,—34,4; Ф,—12,46; 6=9.5.
Опорные моменты определяются по формулам (в)—
(е). Вычисляем моыенты для узлов I. 2 и 5;
Мп = — 2-0.132 (2-59,6 - 34,4) 4- 40,3 = 17,9 тле
Ми - — 2-0.132(— 2-34,4 + 59,6) — 40,3 = — 37,9 тм ;
Мп — ~ 2-0. М2 (— 2-34,4 4-12,46) = 16 таг,
/	1,024-9,5\
Мп = - 1,531 — 0,406-34,4 - ’	' ) = 21,9 тле
\	38.00 /
(	2 95*9 5 \
-0,618-34,4—= 34,1 тм.
Значения ф и б прн действии сосредоточенной силы
W: Ф,— 2.06; Ф1—1.85; ф,—1.36; 6=75.
Эпюры М приведены на рис. 8.31, 8.32.
Рис. 8.32
8.2.15. Примеры расчета сложных одноэтажных рам методом расчленения
с применением таблиц готовых формул
Расчет сложной одноэтажной рамы в ряде случаев членение рамы на Г-, Т- или П-образпые рамы, реше-
упрошается. если расчленить ее так. что основная си- нне которых дано в 8.2.1—8.2.11. и стойки с разными
стема будет состоять из простых рам. которые могут условиями заделки опор (см. 8.2.18—8.2.22).
быть решены по готовым формулам. Имеется в виду
462
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Ход расчета подобных рам иллюстрируется на сле-
дующих примерах.
Пример I. В заданной двухпролетной раме
(рис. 8.33,8.34) определить нагибающие моменты от на-
грузим на левом ригеле р=1 т/м. Параметры рамы
взяты по примеру 7 [16].
Основную систему получаем путем закрепления опо-
ры 2 от горизонтального смешения. Раму членим на две
Г-образные рамы и вертикальную стойку.
Рис. 8.33
Рнс. 8.34. Основная система. Эпюра М„
Основное уравнение имеет вил
гцб 4-Г1л = 0,
где Гц — реакция фиктивной опоры 5 ат горизонтально-
го смещения на 6 = 1; г|р —реакция той же опоры от
заданной нагрузки.
I.	По 8.2.S определяем от нагрузки р нагибающие
моменты в Г-образной раме н подсчитываем значение
г1Р:
(< = - = 0.215; i12 = —-=0,277;
9,3	18,06
.	3.72 л ,	/,	0.5	л
7. = —— = 0,4; п = — = — = 0,25.
9,3	/в	2
По 8.2.21
4? = 1,214; 4J = 1.046; 4^ = 2,261;
4* = 4,454;	I? = 4g it - 1,214-0,215 = 0,261;
(?2 = 3112 = 3.0.277 = 0,831;
ь = _____!___ s_______!_____= О OIC.
i®+i®2	0.261 4-0,831	•	’
= •? * Т’ = 0.261 -0,915 -!£• = 9,67 ты;
V	V
1.046
9,67 = 8,33 гас
9,67 4-8,33
,,р“	9,3	~1,933,
2.	Даем опоре 5 горизонтальное смещение 6=1
(рнс. 8.35). В выражениях моментов опущен модуль
упругости £, который в окончательных формулах сокра-
щается.
По 8.2.5
Л112 = <У244*-^- = 0.831.0,915.2,261 уу = 0,0397;
= (4,454 — 0,215-0,915.1,046*2,261 )-—-—«= 0,0923;
9.3
0,0397-1-0,0923
'п	Ы------------’
В стойке 2 (рнс. 8.33) (см. 8.2.18):
5,6	1
прн Л= — = 0,4 и п =— =0,2
14	5
5
40= 2,389; (, = — = 0.357;
14
м<= 4^ _ 438^357 _0>0609;
14
0,0609	_
гп---------------0,00435.
Полное значение	Гц=—(0,0142-24-0.00435) =
= -0.0328.
3.	Моменты, полученные по п. 2, умножаем не
6"-^“S"s59(₽hc-8-36)-
8.9. РАМЫ
463
4.	Складываем моменты, полученные по nn. 1 н 3, н
получаем окончательную эпюру М (рис. 8.37).
Пример 2. В четырехпролетной раме, показанной на
рнс. 8.38, определить изгибающие моменты от действия
на стойку тормозной силы от крановой нагрузни.
Для решения этой рамы методом деформаций тре-
буется составление и решение шести уравнений.
J.SS
Рис. 8.37
По 8.2.21 находим численные значения вспомогатель-
ных коэффициентов, необходимых для расчета.
Nt стойки	к__\ п	/ П “	 'и	ч		ЬД b	А*
1,3,4 и S 2	ее । К»	88 0*0*	1,055 1.140	0,887 U.861	1.942 2.0U	4,341 4,328
„	«.5
Линейные жесткости: ригелей —1,- — =025;
18
=4 023=1; стоек /, 3, 4 и 5— i„= —; £ =ic
-0,1 -1.055-0.1055; стойки 2 — h- =0,1.
От поворота узла 2 на <z ф;= 1 (рнс. 8.40,0)
Г-образная рама (см. 8.2.6):
*1
Рис. 8.38
А = ——--------Г = 0,905;
0,1055 +1
Мп “ 21? <р * “ 2-0.1055.0,25.0,905 = 0,0477;
«и - <р	0,26 (4 - 1.0,905) = 0,77ft
А1,-= —0,0477-=0,0402.
Рис. 8.39. Основная система
Членением рамы на пять элементов1 (две Г-образ-
ные 6—1—2 и 4—5—10, Т-образную 2—3—4—8 и две
стойки 2 и 4) получаем основную систему (рнс. 8.39),
имеющую три неизвестных: углы поворота <pi (узел 2)
и Фа (узел 4) и горизонтальное перемещение ригеля б.
Канонические уравнения имеют внд (см. 5.305)
Г11Ф1 + Г1«Ф» + 4116 + г„ = 0;
Ч1Ф1 + 4Иф1 + га6 + rv = ft
411Ф1 + г3»ф» + ги6 + Гц> = 0.
В этих уравнениях: Гц (или г») —сумма реактив-
ных опорных моментов в стержнях, сходящихся в уз-
ле 2 (нлн узле 4), от поворота узла на ф|=1 (нлн фз=
= 1); 'и— сумма опорных реакций, возникающих в тех
же узлах от горизонтального смещения ригеля на 6=
= 1. Значения г с другими индексами понятны нз обоз-
начений.
Для подсчета значений коэффициентов г следует в
каждом нз элементов основной системы, пользуясь гото-
выми формулами таблиц, найти моменты и опорные ре-
акции: от единичных поворотов узлов 2 и 4, от единич-
ного горизонтального смещения ригеля и от действия
внешней нагрузки.
1 Расчет рамы дпн для случая, когда уравнения решают без
применения ЭВМ.
Горизонтальные опорные реакции:
„	„	0,0477 + 0.0402
я. = - н, =-----------------= 0.0088.
10
Т-образная рама (см. 82.8):
1 + 1 +0.1055 ~°-47&-
Л)„ = 2-0,25 (1 — 0,475) •= 0,263;
Ми = 0,25 (4 — 0,475) = 0,881;
Ми = 2-0,25-0,475 = 0,238;
Мм = 0,5-0,238 = 0,119;
Мм = 2-0,25.0,1055-0.475 = 0,0251;
0,887
Л4М =	0.0251 - 0,0211;
0,025 + 0,0211
Н, + Н, - - W, = —----------------= 0,0046.
10
Стойка 2 (см. 8.2.21):
Л127 = ^ 12 = 1.14-0,1 =0,114;
Л4„ = 0.861.0,1=0,086;
И, = -Н7=°'114 + 0,086 =0,0.66,
12
От поворота узла 4 на Z.<pj= 1 (рнс. 8.40, б)
Стойка 4:
*<«=4'4 = 1.055-0.1 =0.1055;
Мм = 0,887-0,1 =0,0887;
й< = _„,= 0^+°.<И” = 0.194.
10
464
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
00402
0,238
;--г
' 0.263
0.0477
S
0,773
0.0887
0,042
0.0434
8
8-11
1 0,0063
s А
0,0088
0,00i6 \$0О6з][ао194
0.0061
0,0426
0,0044
d- ।
7 I
а) От поворота
узла 2 на i Г, *1
В) От поворота
узла 4 на
SJ 0.0176
г) От внешней
нагрузки
0.238
0,0211
L 0,0046
0.00S2
0.0046
от
0,0185
1-1
0,0178
0.0088
0.006
W
Рис. 8.40
$ От сношений
ригеля на 6-1

Пользуясь симметрией, для остальных элементов
подсчетов можно нс производить (рнс. 8.40.6).
От смещения ригеля на 6=1 (рис. 8.40.О)
Г-образная рама (см. 8.2.6):
Л1И = С**ьТ"= 0.905.1.942-0,01 =0,0176;
₽ "1
Л1„ = 0,5-0,0176 = 0,0088:
= (4.341 —0,1 •0,905-0.887.1,942) 0,01 =0.042
0,0176 + 0,042
П. = — Н,	Т = U.UUO.
10
Т-образная рама (см. 8.2.8):
М„ = Ми = 0.475.1,942-0,01 = 0,0092:
Л1в = Ма = 0.5-0,0092 = 0.0046;
Л4„= 1,942(1 -0,1055-0.475)0,01 =0.0185:
Л1М = (4,341 —0 1-0,475-0,887.1,942)0,01 = о, ;2S.
10
W, + W4 = _W.= °-^±010«6 = 0.061.
Стойка 2 (см. 8.2.21):
а<« = *»7’ = 21? = <)'()166:
М„ = 4,328-7-= 0,0361;
12
^^-т.^0-0166-*-0-0361 =0,0044.
12
Стойка 4 (см. 8.2.21):
М„ = 1,942-0.01 =0,0194;
Л1„ = 4,341-0,01 =0.0434;
0,0194 + 0,0434 _
и -	“-----1------------= 0,0063.
10
От внешней нагрузки (рнс. 8.40. с)
Т-лбра-нэя рама (см 8.2.8). Находим А'ы = 0,10б и
Лез—0,102 (см. 8.221).
«г. рамы
465
Mt3 = (0,102 + 0,1 -0,475-0,887-0,106) ЮГ = 1,06 7;
,Мм = (1 — О,1055-0,475) 0.105- ЮТ = 1,01 Г;
М„ = Мм = 0,475-0,106-ЮТ = 0,505 Т;
Л1„ = М„ = 0,5-0,505Т = 0,253 Т;
Я, + Н, = (о,7 + 1,01 ц1’06) ЮГ = 0,6957;
Яв = 7 —0,6957 = 0,3057.
Коэффициенты канонических уравнений:
гп= —0,773 — 0,114 — 0,881 = —1,768(рис. 8.40,9);
г„ = — 0,881 — 0,1055 — 0,773 = — 1,76 (рис 8,40,6);
гв = — (0.006-2+ 0,0044 4-0,0061 +0,0063) =
= — 0,0288 (рнс. 8.40,»);
гп = />! = 0,119 (рис. 8.40,6);
0,0088+0,0166—0,0046=0,0032 (рис 8.40,в)
га = — 0,0046 + 0,0194 — 0,0089 = 0,006 (рнс. 8. 40,в)
'ip = 'ip = 0,2537 (рис 8.40.г);
r»p = 0.695Т (рис В-40,г).
Окончательный вид канонических уравнений (3-с
уравнение умножено на 10*):
1)	— l,768q>t+0,119ф1+ 0,00326 + 0,253Т = О,
2)	0,11?<р, — 1,76ф1 + 0,0066 + 0,2537' =0;
3)	0.032<f, + O.O69, — 0,2886 + 6,957 = 0.
Приводны уравнения к виду
<р> =	0.06739,4-0,001816 4-0.1437;
9, = 0,06769)	+0,003416 + 0,14357;
6 =0,11191+0.2089,	+24,167.
Решая последовательными приближениями, получим
91=0.2027; 9,= 0.247; 6 = 24,27.
Умножаем моменты: эпюры рис. 8.40, а на полученное
значение 91, эпюры рнс. 8.40,6 на 9s, эпюры рнс. 8.40, в
на 6, соответственно складываем н добавляем М,.
Ход подсчета показан для узлов 4 н 9:
М„ = (0,119-0,202 - 0,881-0,24 — 0,0046-24,2 +
+ 0,253)7 = —0,0467;
Л1„ = (— 0,773-0,24 — 0,0088-24,2) 7 = - 0,3987;
М„ = (-0,1055-0,24+0,0194-24,2) 7 = 0,4457;
Л4М = (— 0,0857-0,24 +0,0434-24,2) 7 = 1.0297.
Окончательная эпюра М н опорные реакции показа-
ны на рнс. 8.41.
Рнс. 8.41
• Ппи пилении уравнений пп методу
уравнение <к-1.тли11. Сю изменений (чтоии
НОСТЬ корфф||Ц11С1 пив млрнцы).
Гаусса cjic.iver 3-е
не нарушить илнч-
Проверка окончательно! эпюры М
Проверка равновесия. Из эпюры М легко устано-
вить, что моменты во всех узлах рамы уравновешены.
Проекция внешних енл на осн X н У:
ZX = 0; (0.146+0,104+0.455+0.147+0,146) 7 — 7 =
= (1 — 0,998)7 = 0;
ЕУ = 0; (0,060 + 0,046)7 —(0,045 + 0,002 +
+ 0,059)7 = 0.
Проверка деформаций. Требуется сделать группу
проверок на деформации, что обычно сводится н опреде-
лению заранее известных перемещений. Проверим, на-
пример, равенство нулю угловых поворотов опор 6 н 9.
В качестве статически определимых систем прини-
маем П-образные консольные рамы. Эпюры моментов
от Л4| = I на нонце консоли даны на рнс. 8.41а. По-
скольку М)=1, то после сокращения на Е получим
Интеграл выражает известное положение строитель-
ной механики: в бесшарннрном замкнутом контуре при-
веденная площадь эпюры М от любой нагрузки равна
нулю.
Проверни контуры 6—1—2—7 к 9—4—5—Ю (часть
эпюры, расположенную вне рассматриваемого контура,
принимаем положительной).
Контур 6—1—2—7. По 8.2.23 (эпюры стоек — по
формулам одноступенчатых элементов) получим:
стойка /
А = 0,3; л =0,20; и=-^---1=4; о. = 1+4-0,3=
0,2
= 2,2; <>,= 1+4-0,3’ = 1,36;
стойка 2
А. = 0.25: л = 0,25: р = 4; ш, = 1 + 4-0,25 = 2;
ш,= Ц-4-0,25» = 1,25;
10(1,025 + 0,436)1,36
----—-----y-j---------— 10-0.436-2,2 —
18(0,436 — 0,37)	12(0,871+0,38) 1,25
2-4,5	2-1,2	+
12-0,38-2
1.2
17,52 — 17,522 = 0
(множитель 7 опущен).
466
РАЗДЕЛ В. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Контур 9—4—5—10. Произведя аналогичные вычис-
ления, получим (—19,73+19,69)7=—0,047". Получен-
ные отклонения (~0,2%) допустимы.
Пример 3. Построить эпюру М для раны, изобра-
женной на рнс. 8.42, от заданной нагрузки (параметры
рамы н способ членения приняты по примеру 2 [16]).
Членением рамы (рнс. 8.43) можно вместо шести
Рнс. 8.42. Схема рамы
деформаций, ограничиться одним уравнением [см. фор-
мулу (5.311)]:
А1611 + Д|/, = 0.
Для определения 6ц н Д|Р надо построить в основ-
ной системе эпюры М от Х| = 1 н от внешних нагрузок.
П-образная рама / (см. 8.2.10):
5	15
i, = i*=-i3j="0,37S: ',= 25 =0,6:
х*="ёз’=0,313;
л = у- = 0,20.
Находим численные значения коэффициентов Ане
по 8.2.21 и to по 8.2.13.
	4	$	ь	От действия рм|,5 т/м		
				*41	*О1	rbl
1.05	0,606	1.М8	0,81	0.108	0,061	0,847
В, =-------------------= 0,628;
1,05-0,376 + 2.0,6
1,05.0,376 + 6.0,6—1,945.0,31.0,376	°"267’
От действия Xi = l (рнс. 8.43)
W,= 0,847-0,31 —0,108 = 0,1545; S3 = 0,877;
Л4<1 = 0,6(3-0,1545-0,267 — 0,108-0,628) 13,3=0,44 тм;
Мь= 1,52 тм;
Мо= у (0,877.0,69 — 0,895-0.376(0.108-0.628+
4-0.1545-0,267)1-13,3 = 3,78 тм; Мс = 4,89 тм.
Рнс. 8.44. Эпюра Мр в
основной системе от р=
= 1,5 т/ж
Л.З ЩИ 16,5
От нагрузки ₽= 1,5 т/м (рве. 8.44)
Мь = Md = 1.05.0.376-0.628 —5"25* = 19 3
12
"а	0.895
Ма — Мс = ----Мь= 19,3 = 16,5 тм.
А’	1.05
По 8.2.23* (формулы для одноступенчатых элемен-
1.5	1
тов) при к_]У^“0141; п-°.2;	1=4; ш,= 1+
+4-0,141*= 1,08; ш,— 1+4-0,141’-1,01
...	10,64* (16,5+ 12,14)1.01
3-5
10,64*-12,14-1,08
2-5
= 70,3.
Рнс. 8.45. Эпюра Л4Р
новной системе от
=0,23 т/м
От иагрузнн я=0,23 т/м (рис. 8.45)
Ад = 0,056; Аа = 0,105; г» = 0,451 (см. 8.2.21);
Nt = 0,451 -0,31 — 0,056 = 0,084; 5. = 0,084-0,267Х
X 1,945-0,376 + 0,451 =0,467;
Мь = 0,6(3-0,084.0,267 — 0.056-0,628) 0,23-13,3* =
= 0,78 тм;
• Для упрощения подсчета перемещений б]| к Л1р исполь-
зованы треугольные эпюры, построенные от X,—I в отдельно
стоящих стоАках рамы. Вместо взаимного перемножения полных
эпюр Mt н М эти эпюры умножены иа треугольные (см. |16)).
Я.2. РАМЫ
467
Ма = 2,49 тм;
Ке= у (0,467-0,69 — 0,895-0,376(0,056-0 628+
+ 0,084-0,267))0,23-13,3» = 6,19 тм; Ма = 10,9 тм.
По 8.2.23
10.64» (6,19+ 0,76) 1,01
Определение Ебц и Х| (рнс. 8.43)
По 8.2.23
.	10,64» (4,89+1.5) 1,01	10.64»-1,5-1,08
6“ =-----------3-5--------------------------+
1064»
+ -1— (2-2.74 - 2.58) = 98,8
6-0,8
10,64«-0,76-1,08
-----------------= 43,8.
От нагрузки на ригель
2-5
П-обраэная рама II (си. 8.2.9)
От действия Л| = 1 (рис. 8.43)
0,8	10	к
= —L-=0,°75, h = 7T = 0 417; fe = -^ =
10,64	24	(|
ла лл 10,64 3-5,53+1
Ма = Мс = — -^ = 2.7^
Mi = Atd=2.58mM.

70.3
би 98,8
От нагрузки на стойку
5,53;

43,8
98,8
— 0,712
=• — 0,44.
К ординатам эпюр Мр следует добавить эпюры Mh
помноженные на %: М—МР+Л1|Х|. Окончательные
эпюры даны на рис. 8.46 н 8.47.
Рнс. 8.46
Рис. 8.47
8.2.16. Рамы со стойками, имеющими два уступа (двухступенчатые).
Указания по расчету с использованием таблиц
При расчете рам с двухступенчатыми стойками мож-
но пользоваться таблицами для расчета рам с односту-
пенчатыми стойками, руководствуясь следующим.
В рамах с ригелями конечной жесткости (см. 8.2.5—
8.2.8. 8.2.10. 8.2.14) опорные моменты от внешней нагруз-
ки на ригель и стойки определяются по формулам таб-
лиц для «любых нагрузок», а от заданных деформа-
ций (повороты узлов, смещения, осадки) н влияния тем-
пературы— по соответствующим формулам таблиц. При
этом моменты защемления (Afjj, М®) и опорные реак-
ции (₽J) от внешних нагрузок в защемленной стойке
с двумя уступами, а также значения коэффициентов
ft. г с индексами (ftj. ft*, ftj. г’н др.) и Ео определяются
по 8.2.22 (см. пример в 8.2.10).
Моменты защемления ригеля (М“») принимаются
по 8.1.3 или 8.1.4.
Для расчета ыиогопролетных рам с ригелями конеч-
ной жесткости н двухступенчатыми стойками методом
деформаций уравнения равновесия остаются теми же,
что прн одноступенчатых стойках [8.2.14, формулы (а)
н (б)]; коэффициенты ft, г и Eq, моменты М^, реак-
ции принимаются по 8.2.22.
Данные по расчету одновролетиых (см. 8.2.11) и
многопролетных рам (см. 8.2.12 и 8.2.13) с абсолютно
жестким ригелем и двухступенчатыми стойками приве-
дены в самих таблицах.
При расчете сложных рам, у которых стойки (ча-
стично или полностью) имеют два уступа, можно вос-
пользоваться методом членения на простые рамы, для
которых в таблицах даны готовые формулы (см. 8.2.15).
8.2.17. Многопролетные одноэтажные и многоэтажные рамы.
Изгибающие моменты от вертикальной, горизонтальной нагрузок
и осадок опор
Одноэтажные рамы. По таблицам определяют опор-
ные моменты в двух-, трех- н четырехпролетных одно-
этажных рамах с шарнирным опиранием стоек от вер-
тикальной и горизонтальной нагрузок и от осадок опор.
Рамы имеют равные пролеты с ригелями одинакового
сечения и одинаковыми погонными жесткостями стоек.
(продолжение на егр. Г7б)
468
РАЗВЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
. Ма Мц Ми Ме
ест
а) Лвухпролетные рамы
(пунктиром обозначены растя-
нутые нолокна прн положитель-
ном моменте)
Схема нагрузки 1
Схема нагрузки 2
Схема нагрузив	*р	0,05	0.1	0.2	0.3	0.33	0.4	0.5	0,6	0,75
/	«О “«С	0,0781	0,0735	0.0658	0.0595	0,0579	0,0544	0,0500	0,0463	0,0417
	«М-Мь.	0.0860	0,0882	0,0921	0.0953	0,0961	0,0978	0,1000	0.1019	0,1042
	ма	0.0788	0.0747	0,0676	0.0618	0,0603	0.0570	0,0628	ам»	0.0447
	«и	0,0827	0,0820	0,0808	0,0798	0,0794	0,0787	0.0778	0.0770	0.0759
2	«и	0,0033	0,0062	0,0113	0,0156	0,0167	0,0191	0.0222	0.0249	0.0283
		0.0006	0,0015	0,0016	0.СО23	0,0024	0.0026	0,0028	0,0029	0.0030
	Ма	0.1221	0.1196	0,1153	0.1120	0.1111	0,1093	0.1069	0.1050	0,1027
	«Я	0,1221	0.1194	0,1149	0,1113	а поз	0.1081	0.1066	0.1033	0.1004
3	«и	0,1260	0,1268	0.1281	0.1291	0,1294	0.1299	0,1306	0,1311	0,1317
	Мс	0.1299	0.1343	0,1417	0,1477	0,1488	0,1627	0.1669	0.1606	0.1652
	ма — мс	0.2540	0,2576	0,2639	0,2692	0,7707	0,2738	0,2778	0.2813	0,2857
4	мы — мт	0,2460	0,2424	0,2361	0.2306	0.2293	0.2262	0,2222	0.2188	0,2143
	Ма	5,4792	5,0292	4,3668	3,8628	3,7164	3.4762	3,1620	2,9076	2.5878
	*н	6,4930	5,0772	4,4538	4.0438	3.9294	3,7284	3,4666	3.2976	3,0684
	«и	0.8396	0,5856	0,8988	1,0920	1.1460	1,2222	1,3128	1,3699	1.4346
	"с	0.1626	0,2766	0.3756	0.4200	0,4284	0.4380	0.4362	0.4278	0.4104
	иа	5.6418	5,3068	4.7424	4.2828	4,1448	3,9144	3.5982	3,3354	2.9982
6	МЫ	5.8326	5.6628	5.3526	5,1348	5,0754	4,9505	4.7952	4,6671	4.5030
См. своему на стр. 476.
8.2. РАМЫ
469
Продолжение 8.2. П
Схема нагрузка 3
Схема нагрузки 4
JT1
г"
Схема 5
Осадка опоры А на Д
пи
дг-
Схема 6
Осадка опоры В на Д
1	1.25	1.5	2	2,5	3	3,5	4	5	6		Множитель
0.0357	0,0013	0.0278	0,0227	0,0192	0,0166	0,0147	0.0132	0.0109	0,0093		
0,1071	0.1094	0,1111	0.1136	0.1151	0,1167	0,1176	0,1184	0,1196	0,1204		
0,0387	0.0341	0.0306	0.0252	0,0215	0,0188	0.0167	0,0149	0,0124	0.0105		-»,кр
0.0744	0,0732	0.0722	0.0707	0,0696	0,0688	0,0691	0,0675	0.0667	0.0662		
0,0327	0,0363	0,0389	0,0429	0.0458	0,0479	0,0495	0,0509	0.0528	0.0542		
0.0030	0.0029	0,0028	0,0026	0,0023	0.0021	0,0019	0.0017	0,0016	0,0014		+ ‘|»мр
0,0997	0,0975	0,0958	0,0934	0,0918	0,0905	0,0897	0.0891	0,0680	0.0872		<й*
0,0967	0,0939	0.0917	0.0884	0,0661	0,0344	0.0831	0,0820	0.0805	0.0793		— ph*
0,1324	0,1329	0.1333	0.1338	0,1341	0,1344	0,1345	0.1346	0.1348	0.1349		гЛ’
0.1711	0,1757	0,1792	0,1844	0.1680	0,1906	0,1927	0,1943	0,1967	0,1981		-в»
0,2917	0,2963	0,3000	0,3056	0,3095	0.3I2S	0.3148	0,3167	0.3194	0,3214		Ph
0,2083	0,2037	0.2000	0,1944	0,1905	0,1875	0.1852	0,1831	0,1806	0.1786		— Ph
2.1990	1,9116	1,6908	1.3776	1.1622	1,0056	0,8862	0,7920	0.6534	0,5568		
2,7948 1,4892	i I Ci ~	(g с* "	2,2668 1,6534	2,1306 1,6546	2,0424 1.5570	1,9710 1,5540	1,9194 1.5486	1.8468 1.5456	1.7880 1,5408		}
0.3708	0.3384	0.3072	0.2592	0.2226	0,1944	0.1728	0,1554	0,1290	0,1098		
2.5698	2,2500	1,9980	1,6368	1,3848	1,2000	1,0590	0.9474	0.7824	0.6666		-Е1рЬ.Г
4,2840	4.1238	3,9990	3,8202	3,6852	3,5994	3.62S0	3.4680	3.3924	3.3288		
470
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
									б) Трехпролетные рамы		
Мд	fyNtf	Мд						К	Л-^	-К	’1		)	
’ 0	р Ч J	Г2 ь			. Л	« VT	<£> к		) IF		-и
L- 'р=	LU		Схема натру		XI/ эки /		Зхема нагрузки 2		Схема нагрузки 3		
(пунктиром волокня	обозначены растянутые прн положительном моменте)										
С хеыа нагрузки	п- А. 'ст	0,05	0,1	0.J		0.3	0,33	о.«	0.5	0.6	0,75
	«c-«d	О.О7В2	0.0738	0.0665		0.0607	0,0591	0.0557	0.0517	0.0482	0,0438
	**61 -«с	0,0858	0.0878	0,0906		0,0925	0.0929	0,0938	0.0949	0.0956	0,0965
	«И“«с1	0.0834	0.0838	0.0842		0,0848	0,0651	0,0856	0,0662	0.0868	0.0877
	«с “«4	0,0605	0,0779	0,0728		0.0682	0.0669	0.0640	0,0603	0,0670	0.0526
s	«И “ «с«	0.0608	0.0787	0.0753		0.0727	0.0721	0.0707	0,0690	0,0675	0,0658
	«И“«с.	0.0026	0.0049	0,0060		0,0121	0.0130	0,0149	0.0179	0.0193	0.0219
		0.0024	0,0041	0,0068		0.0076	0,0078	0,0083	0.0086	0,0068	0.0088
3	мы-м'.	0.0060	0.0090	0,0163		0,0197	0,0308	0,0231	0,0359	0,(081	0,0807
	м^-м^	3.0608	о.те	0,0754		0,0727	0,0721	0,0707	0,0680	0,0675	0.0668
	МЫ	0,0871	0,0900	0,0945		0,0977	0,0986	0.1002	0.1021	0,1036	0,1053
	«.и	0,0647	0,0660	0,0679		0,0907	0,0913	0,0927	0,0943	0,0957	0,0976
	ма	0,0601	0,0774	0,0729		0,0693	0.0683	0.0663	0.0638	0,0617	0.0669
	МЫ	o.aeis	0,0601	0.0780		0,0765	0,0761	0.07Б4	0,0747	0,0741	0.0734
	Мщ	0.0827	0,0823	0,0818		0.0816	0,0815	0,0814	0,0811	0,0813	0.0814
	М„	0,0626	0,0819	0,0806		0,0792	0.0789	0,0780	0.0773	0,0761	0.0748
	ме,	0.0852	0,0966	0,0887		0,0901	0,0905	0,0912	0,0919	0.0925	0,0932
	М„	0.0678	0,0917	0,0982		0,1034	0.1047	0,1077	0.1112	0.1143	0,1181
		0.1719	0.1765	0.1642		0.1905	0.1921	0,1957	0.2000	0,2038	0.2083
б	Mt,	«е,	0,1667	0,1667	0,1667		0,1667	0,1667	0,1667	0,1667	0,1667	0,1667
	«И	«с,	0,1615	0,1569	0.1491		0,1429	0.1412	0.1377	0,1333	0.1296	0.1250
	«□	5,4774	5,0328	4,3722		3.80	3,7178	3,4788	3,1668	2.9082	2,6926
	МЫ	6,4882	6,0724	4,4772		4.0380	3,9306	3,7452	3,4992	3,3108	3.0664
	мы	0,3396	0.5858	0,8988		1,0920	1.1460	1,2222	1,3066	1.3898	1,4846
	«с,	0,1682	0,2782	0,39)2		0,4530	О.46&2	0.4908	0.6100	0,6196	0.ЕИ)
	«с,	0,0102	0.0306	0t0792		0,1224	0.1368	0,1608	0,1906	0.2142	0,2460
	Md	0.0048	0,0144	0,0330		0,0474	0,0516	0,0576	0,0636	0,0678	0.0702
	Ма	5.6400	6.2986	4.7568		4,2978	4.1622	3,9342	3,6276	3.3678	3.0366
	«41	5,8284	5.6580	5.3982		5.1666	5.1180	5,0226	4,8822	4,7844	4,6416
8*	i je 9 У i	5,8422 5,6858	5.6838 5.3682	5.4616 4,9348		U9 W	5.2344 4,5408	5.1522 4,8862	6,0262 4.3012	4.9362 4.0606	W А Н
	A<rt	0,3504	0,6162	1,0002		1.2510	1.3242	1.4382	1.5734	1.6878	1.8012
	«d	0.1674	0.2802	0.4176		0.4824	0,4962	0,5130	0.5244	0,5274	0,5142
* См. сноску на сто. 476.
аг. рамы ,	  471
Продолжение 8.2.17
								Р							
	i гНп Схема нагрузки 4 С					К Схема		11 \ нагрузки 5		/	г г Схема нагруэ>			и 6	
						.ГГП Схема 7 садка опоры А на А					Ш 1 Схема в Осадка опоры В на <р				
1		1.25	1.6	2	3,6		э		3,5	4	5	6		Множитель	
0,0381 0.0975 0,0690		0,0338 0,0081 0,0900	0,0303 0,098$ 0,0909	0,0252 0,09» 0,0923	0,0216 0,0993 0,0933		0.0168 0.0995 0,0941		0.0167 0.0996 0.0947	0.0150 0.0996 0,0952	0,0125 0,0997 0.0959	0.0107 0,0998 0,0965		-’экЛ	
0,0466 0,0636 0,0264		0.0418 0,0619 0,0281	0,0379 0,0606 0.0303	0,0319 0,0587 0.0336	0,0275 0,0674 0.03S9		0,0242 0.0665 О.ОВ76		0,0216 0.0557 0,03»	0,019$ 0,0551 0,0401	0,0163 0,0642 0.0417	0,0140 0,0636 0,0429		-о..'1	
0,0065 0,0339 0,0636		0,0080 0,0362 0,0619	0,0076 0,0079 0,0606	0,0067 0,0403 0,0587	0,0060 0.0419 0,0574		0.0054 0.0430 0,0665		0,0049 0,0439 0,0657	0.0045 0,0445 0,0551	0.0038 0,0455 0.0542	0,0033 0,0462 0.0536		+ ₽эк'’ -Ъкр	
0,1074 0,1001		0,1069 0,1020	0,1099 0.1036	0,1114 0,1058	0,1123 0,1075		0,1130 0.1066		0,1135 0.1096	0.1138 0.1103	0.1143 0.1113	0.1147 0,1121			
0,0654 0.0727 0,0816 0,0732 о.ов» 0.1232		0,0526 О.О78Э 0,0818 0,0718 0,0943 0,1270	0,0605 0,0719 0,0831 0,0707 0,0947 0,1301	0,0473 6,0716 0,0825 0,0691 0,0950 0,1345	0,0449 0,0713 0.0828 0,0678 0,0963 0,1377		0,0433 0,0712 0,0831 0,0669 0,0954 0,1401		0,0419 0.0711 0.0833 0.0663 0.0955 0.1419	0,0409 0,0711 0.0835 0.0657 0.0955 0.1433	0.0393 0,0710 0.0838 0,0648 0,0956 0,1455	0,0381 0,0709 0.0840 0.0642 0,0957 0,1471		pH* -pV — вЛ’ рЛ* — ph’	
0,2143 0.1667 0,1190		0,2188 0.1667 0.1146	0,2322 0,1667 0,|111	0,2278 0,1667 0,1061	0,2308 0,1687 0,1026		0,2833 0,1667 О,»»		0.2353 0.1667 0,0В»	0,2368 0.1667 0.Q965	0,2391 0.1667 0,0042	0,2407 0.1667 0,0926		Ph — Ph Ph	
9.2014 2.8158 1,4892 0.5232 0.27» 0.0696		1,9206 2,6406 1,6204 0,5208 0,3048 0.0678	1.6990 2,6002 1,6366 0.5130 0.3204 0.0642	1,38» 2,8178 1,5634 Q.5010 0,3432 0,0670	1,1700 2.1954 1,5546 0.4866 0,3546 0.0604		1.0116 2,1064 1,6670 0,4788 0.3654 0,0456		0.8916 2.0364 1,5540 0.469 0,3708 0.0414	0.7986 1.9878 I.W 0,4626 0,3732 0,0372	0.6594 1,9188 1.64М 0,4542 0,3810 0,0318	0,5622 1.87» 1.6408 0.4458 0,3846 0.0276		£7p 1 -£• 1 > -Е1пЬгГ	
mfi'i		2,3028 4,3638 4,6268 3.4644 2,0280 0.4500	2,0502 4.2612 4,420? 3,3294 2,0814 0.4184	1,6926 4.1400 4,да 3,1678 2.1654 0.3606	1.4352 4.0524 4.1814 3.0336 2.2116 0.3156		1.2468 3.9882 4,1076 2,9472 2,2482 0.2ЖВ		1.1022 3.9318 4.0440 2.8764 2.2662 0.2520	0,9894 3.8970 4,0026 2.82М 2,2824 0.22»	0,8202 3.8508 3,98» 2,7570 2,3130 0.1926	0,7002 3.8124 3.88» 2.6994 2.3262 0.1656		-Blph-P ) )	
472
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
в) Четырехпролетные рамы
дцпцду

Схема нагрузки 1
Схема нагрузки 2
(пунктиром обозначены растянутые
волокна при положительном
моменте)
Схема нагрузки	*р	0,05	0,1	0.2	0.3	0,33	0,4	0,5	0,6	0.75
	мв-м.	0,0782	0,0738	0.0664	0,0605	0,0589	0,0556	0,0515	0,0479	0.0435
	«И-«А	0.0858	0,0877	0,0907	0,0923	0.0933	0,0943	О.С956	0,0966	0,0978
	«и - «а	0,0835	0,0839	0.0849	0,0860	0.0864	0.0872	0.0883	0,0892	0,0906
	«га ” «га	0.0833	0,0831	0.0826	0.0820	0,0818	0,0814	0.0809	0,0804	0.0797
	«о	0.0797	0.0763	0.0703	0,0651	0,0637	0.0606	0.0567	0,0532	0,0488
	«Ы	0.0817	0,0802	0.0776	0.0754	0.0749	О.О7Э6	0,0721	0,0708	0.0692
	«а,	0,0018	0,0036	0,0070	0,0101	0,0109	0.0129	0,0154	0,0176	0,0205
	«га	0,0035	0,0063	0,0106	0,0139	0,0147	0.0163	0,0183	0.0199	0,0218
S	«га	0.0798	0.0768	0,0719	0,0681	0.0671	0,0651	0.0626	0,0605	0,0579
		0.0817	0.0803	0,0779	0.0760	0,0764	0.0743	0,0729	0.0716	0,0701
	*<44	0.0041	0,0076	0,0131	0,0173	0,0184	0.0207	0,0235	0,0258	0.0286
	Ме	0,0015	0,0026	0.0039	0.0046	0,0048	0,0060	0,0052	0,0053	0.0053
	мы	0.0859	0.0881	0,0918	0.0947	0.0954	0.0970	0,0989	0.1006	0.1026
3	мь,	0.0859	0,0981	0,0917	0,0945	0.0952	0.0967	0,0386	0,1003	0.1023
4	«г.-«ГЭ	O.08S8	0.0877	О.О90! |	0,0928	0.0933	0.0043 |	0.0956	O.O9G6	0.0978
8.2. РАМЫ
473
Продолжение 8.2.П
gi.i.iiH .HHitui.n л. л и.»	лгаямимт
Схема нагрузки 3
Схема нагрузки 4
Схема нагрузки 6
/Т1 7 I
Схема 7
Осадка опоры А на А
Схема нагрузки 5
(yTri
Схема 8
Осадка опоры В на Л
rfyh
Схема 9
Осадка опоры С на Д
1	1.25	1.5	2	2.5	3	3.5	4	5	6	Множитель
0,0377	О.ОЭ32	0.0298	0.0246	0,0210	0,0183	0,0103	0.0146	0,0121	0,0103	
0,0993	0.1004	0.1012	0.1023	0.1031	0,1037	0,1041	0,1044	0,1049	0,1062	
0.0ЕП5	0.0940	0,0952	0,0972	0.0985	0.0996	0,1004	0,1011	0,1021	0,1028	-'’.к'*
0,0788	0,0780	0,0774	0,0764	0,0757	0,0752	0,0748	0,0745	0.0740	0,0736	
0.0427	0,0380	0.0343	0.0286	0,0245	0,0214	0.0191	0.0171	0.0143	0,0123	
0,0670	O.O6S4	0,0642	0,0623	0.0610	0.0600	О.О59Э	0,0587	0.0573	0,0672	
0.0245	0.0276	0,0302	0,0340	0.0368	О.О38Э	0,0406	0,0418	0,0437	0,0451	
0.0242	0.0258	0,0271	0.0288	0.0299	0.0308	0.0314	0.0319	0,0326	0,0331	
0.0546	0.0622	0.0503	0,0476	0.0458	0.0445	0.0434	0.0426	0,0414	0,0406	
0.0630	0.0664	0.0650	0.03J2	0,0616	0,0607	U.O599	0.0593	0.0583	0,0676	
0.0323	0.0350	0.0370	О.СКОО	0,0421	0,0437	0,0448	0,0457	0.0471	0,0480	
0.0051	0.0048	0.0045	О.ОЩО	0.0035	0.0031	0.0028	0.0Q2S	0.0022	0,0019	
0.1052	0.1071	0.1086	0.1103	0.1123	0.1134	0,1142	0,1149	0.1168	0.1165	
0.1 (МВ	0,1067	0.1083	0.1104	0.1120	0,1131	0.1140	0.1146	0.1156	0.1164	
0.0993	0.1004	0.1012	0.10И	0.1031	0.1037	0.1041	0,1044	0.1049	0.1052	
474
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Схема нагрузки	„_2е_ ‘ст	0,05	0.1	0.2	о.э	0.33	0.4	0,5	0.6	0.75
		0.0586	0.0553	0.0498	0.0454	0,0442	0.0417	0,0386	0.0360	0,0326
	ММ	0,0607	0.0592	0.0670	0.0SS4	0,0551	0.0543	о.оа	0.0526	0.0616
	«М	0,0626	0,0629	0.0637	0,0645	0.0648	0,0654	0,0662	0,0669	0.0679
		0,0626	0.0627	0.0631	0,0635	0,0636	0,0639	0.0643	0.0647	0,0652
5		0.0624	0.0623	0.0619	0,0616	0,0614	0,0611	0.0607	0.0603	0,0698
		0,0624	0,0621	0.0613	0,0605	0.0602	0.0596	0,0688	0.0581	0.0571
	«Л	0.0643	0.0658	0,0680	0,0696	0.0699	0.0707	0.0717	0.0725	0.0734
	Al,	0.0664	0,0667	0.0752	0,0796	0.0808	0,0833	0.0864	0,0890	0.0924
	— Ме	0,1298	0,1340	0,1410	0,1465	0,1480	0,1611	0.1549	0,1681	0.1622
	мы ~ — ма.	0.125В	0.1266	0.1274	0,1279	0,1280	0,1282	0.1283	0.1284	0.1284
6	**м ” ~	0,1221	0,1195	0.1152	0.1116	0,1107	0,1087	0,1062	0.1041	0.1014
		0,1222	0,1199	0,1165	0.1140	0.1133	0,1121	0.1106	0.1095	0,1081
	ма	5,4780	6,0328	4,3662	3,8610	3.7188	3,4806	3,4344	2.9112	2,5950
	мы	4.4906	4.0670	4,4730	4,0410	3,9276	3,7470	3,4932	5.3186	3,0852
	**м	0.3390	0,5826	0.9084	1.1046	1.1692	1.2474	1.3344	1.4070	1,4764
	м«	0,1626	0.2682	0.3924	0,4536	0,4698	0.4920	0.6106	0,5226	0.6298
7*	"и	0,0102	0,0306	0,0798	0,1242	0.1392	0,1632	0.1956	0.2226	0,2532
	ма>	0.0048	0,0144	0,0342	0.0510	0.0564	0.0642	0,0744	0,0828	0,0906
	м<и	0.0002	0,0018	0.0072	0.0138	0.0162	0,0210	0.0276	0,0342	0.0420
	Ме	0,0001	0.0006	0,0030	0,0054	0,0060	0.0076	0.0090	0.0108	0,0120
	Ма	6.6406	5,2992	4.7496	4.2954	4,1634	3.9378	3.6240	3.3684	3,0402
	мы	5,8290	5,6626	5,8968	5,1690	6,1162	6,0262	4,8780	4.7814	4,6380
	«и	5.8362	5,6826	5.4682	6.2746	6,2320	5.1640	8.0266	4,9366	4.8084
	мс	6,6622	5.3748	4,9428	4.6212	4,6474	4,4068	4.2090	4,0638	3,8820
	мсз	0,8498	0,6186	1,0074	1,2672	1,3428	1.4640	1,6098	1,7244	1.8664
	м<п	0,1668	0,2844	0,4344	0,6202	0,6424	0,6766	0.6120	0,6402	0,6648
	м«	0,0102	0,0330	0,0876	0,1410	0,1684	0.1890	0.2298	0,2664	0,3084
	м.	0.0048	0.0150	0.0366	0.0540	O.OS94	0.0672	0.0768	0.0834	0.0882
	ма	0,1674	U.28U8	0,4170	0,4830	0,4980	0,6166	0.6274	0,6298	0,6214
	“tn.	0,8486	0,6168	1,0032	1,2552	1,3298	1,4472	1,6870	1,6980	1,8192
9	мы	5.6592	5,3700	4.9500	4.6392	4,6588	4,4190	4,2288	4.0860	3,9072
	мп	5.8393	6.6946	5.4780	5.3106	5.2812	6.2146	5.1072	5,0430	4,9554
• См. июск} на стр. 476.
8.2. РАМЫ
475
Продолжение 8.2.77
1	1.25	1.5	2	2.5	3	3,5	4	б	0	Множитель
0.0283	0.0249	0,029	0.0185	0,0167	0.0137	0,0122	U.0109	0.0091	0.0078	pli*
O.O5Q5	0,0497	0.0491	0.0482	0.0477	0.0473	0.0469	0,0467	0,04®	0,0461	
0,0693	0.0705	0.0714	0.0729	0,0739	0,0747	0,0153	ом.	0.О786	0.0771	рЛ’
0.06S9	0,0665	0,0670	0,0677	0.0682	0,0686	0,0689	0,0692	0,0096	0,0698	-рЛ«
0.0591	0,0565	0,0580	0,0573	0.0568	0.0664	3.0661	о.ока	0.08Й	O.05S2	рЛ’
0,0557	0.0545	0.0536	0,0621	0.0511	0.0503	0.0497	0,049!	0.0481	0,0479	—ph’
0.0745	0 0753	0,0769	0.0767	0.0773	0,0777	0,0781	0,0783	0,0787	0,0789	₽Л*
0.0967	0.1001	0.1027	0,1065	0,1093	0.1113	0,1128	0,1141	0,1109	0,1172	-рЛ’
0.1674	0,1713	0.1744	0.1789	0.1821	0.1644	0.1862	0.1676	0.1698	0,1918	Ph
0.1283	0.1281	0.1279	0.1276	0.1273	0.1270	0.1269	о.1й1	0.1264	0,1263	-РЛ
0,0978	0,0951	0,0930	0,0899	0,0871	0,0661	0,0648	0,0838	0,0623	0,0813	Ph
0.1065	0.1054	0.1047	0.1036	0,1029	0,1025	0,1021	0,1019	0.1010	0,1013	‘-Ph
2.2014	1.Ф2О6	1.7010	1,8872	1.1688	1.0110	0,8964	0,7980	0.6600	0,5628	Е1р&:Р
2.81)0	2,6400	2.5602	2.3908	2.1948	2.1042	2.0403	1.9932	1.9230	1,8890	
1,5372	1.0840	1,6044	1,6808	1,8892	1,6404	1,6410	1.6410	1.6410	1,6386	1 ~
0,5280	0,5274	0.6214	0.5118	0.6010	0,4938	0,4850	0,4801	0,4734	0,46*	
0,2886	0,3168	0.3342	0,3594	0.3732	0,3840	0,3906	0,3901	0.4038	0,4110	1 ~
0.0964	0.1038	0.1068	0.1104	0.1110	0,1122	0.1122	0.112!	0.1122	€.1110	) -ffu
0,0522	0.0606	0.0666	o.ofte	0.0BW	0,0658	0.0682	0,0905	0.0936	0,0954	J р
0.0132	0.0138	0.0132	0,0126	0,0114	0.0108	0.0096	0,0090	0,0078	0,0072	£/рд:Г
2.6164	2.8046	2.0644	1,6932	1.4358	1,2486	1.10м	0,Wo5	0,8228	0,7032	-ИрЛИ'
4.4748	1.3871	4.2690	4.1680	4,0882	4,0032	3.9492	3.9264	3.0712	8,8244	1
4,6482	4.6414	4.4888	4,3060	4.9091	4,1346	4.0710	4,6956	3,9660	3,9102	
З.*йо	3,81»	3,3900	е.мю	8.1216	9,0468	2,9784	2,9310	2,8704	8,И«	1 -—Ра
1.9986	2,1096	2,1708	2,2704	2.3250	2,3688	2.3952	2.4100	2.1SM	2,1738	/ '•
0,6810	0.6942	0.6954	0.6942	0.6930	0.6888	0.68Я	0,0828	0,6786	0,6732	)
0.3624	0,4056	0,4*8	0.4746	0,6058	0,5250	0,5394	0.5S14	0,5706	0.5706	1 р
0,0906	0.0900	0,0670	0,0792	0.0720	0,0654	0,0600	0,0062	0,0474	0,0414	-‘Elfb,P
0,4914	0.4602	0.4272	о.айв	0,3276	0,2922	0,2634	0.2388	0.2023	0,1746	EI^P
1,9680	2.0724	2.1360	2.2332	2,2932	2.3382	2,3601	2,3910	2,4252	2.4396	1	е'ь 1	8л
3.6936	3,5478	3,4230	6.2880	8,1006	3,0706	3.0039	2.9544	2,8914	2.8338	J Р
4,8450	4.7790	4,7052	4,6308	4,5726	4.6378	4.4970	4,4700	4,4436	4,4202	ИрА:Р
476
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Для расчета подсчитывают отношения погонных
жесткостей:
ригеля ^ip = -р)
в зависимости от схемы нагрузки определяют таблич-
ные коэффициенты к.
Опорные моменты от вертикальной нагрузки для лю-
бой симметричной относительно загружаемого пролета
нагрузки определяют, пользуясь значением эквивац нт-
иой нагрузки р.« по 8.1.6: М—±kpMP. Пролетные мо-
менты, поперечные силы н опорные реакции определяет,
как в балках, с учетом действительной нагрузки и най-
денных по данной таблице опорных моментов.
От горизонтальной нагрузки
М=±кр1Р или M—±kPh
Моменты в стойках в местах их заделки в ригель оп-
ределяются как разность опорных моментов в смежных
сечениях ригеля (с обеих сторон стоек). Поперечные
силы в стойках постоянны и равны распору.
С помощью таблиц может быть произведен расчет
одноэтажных рам с защемленными или упруго защем-
ленными стойками прн вертикальной нагрузке. В этом
случае погонные жесткости стоек и моменты защемле-
ния принимаются в зависимости от характера опирания
стоек внизу (см. примеры расчета):
прн полном защемлении
•Мс
2

при упругоы защемлении
М„
4 '
где Мст— моменты в стойках в местах их заделки в ри-
гель.
Точное решение получается прн отсутствии смещения
ригеля рам, например прн вертикальных нагрузках,
симметричных относительно середины всего ригеля: прн
других условиях решение получается приближенным *.
Многоэтажные рамы. Формулы для расчета много-
этажных рам приведены в 5.8 первого издания Спра-
вочника.
Таблицей 8.2.17 можно пользоваться и для расчета
на вертикальную нагрузку многоэтажных рам с одина-
ковыми пролетами в сечениями ригелей и со стойками
одинаковой жесткости в пределах каждого этажа.
Для расчета по таблицам многоэтажная рама рас-
членяется на одно- и двухэтажные двух-, трех- н четы-
рехпролетные рамы, как показано на рас. 8.48.
Для расчета двухэтажных рам типа, показанного
на рисунке, подсчитывают параметр п по формуле
Рнс. 8.48
при этом погонные жесткости нижних и верхних
i“T стоек прниныаются в зависимости от характера за-
щемления их на опорах (см. пример 3).
Изгибающие моменты в крайних стойках двухэтаж-
ных рам определяются по формулам
JM" = М°"------------; М* = М»п-------------------—
₽	I11 +i’	i" + i*
*ст ' *ст	'ст ' *ст
где М°л — опорный момент в ригеле по осн крайней ко-
лонны: верхний индекс «н> относится к стойкам нижне-
го этажа, <в» — верхнего этажа.
Изгибающие моменты в средних стойках двухэтаж-
ных рам в сечениях, примыкающих н ригелю, определя-
ются по формулам
Г
Л1" = ДЛ1°"-----—;; .М’ = АЛ4°П-----------—.
" р	₽ j"
‘ст т «ст	‘ст т ‘ст
где Д.М°П — разность опорных изгибающих моментов
ригеля в сечении по осн средней стойки. Окончатель-
ные моменты в стойках определяются суммирование;!
моментов, полученных прн расчете отдельных рам.
Указанный тип двухэтажной рамы можно рассчитать
по методу угловых деформаций (перемещений) по фор-
мулам (5.302). В этих формулах погонные жесткости
стоек н моменты заделки следует принимать в зависи-
мости от характера защемления их на опоре:
при полном защемлении
прн упругом защемлении (приближенно)
1 Учет смешения узлов рамы при определении моментов от
осадки опор производится следующим образок:
а)	имея эпюру AJ от осадки опоры прн несчсшаютился уз-
лах (по таблице), находят реакцию верхней фиктивной опоры
в 2 AI ; /к bMCT— алгебраическая сумма моментов в стой-
ках:
б)	строят по данным таблицы эпюру М от горизонт п ль ной
силы Р-1 (прн осадке лгшж стоек направлена влево). Получен-
ные ординаты М умножают на величину Яд и складывают с эпю-
рой от осадки (п. а).
при шарнирной опоре
3 /
<_ =--------= °-
•ст 4	эи
8.2. РАМЫ
477
Продолжение 8.2.П
г) Примеры
Пример I. Определить изгибающие моменты в раме,
схема которой приведена на рис. 8.49.
Рис. 8.49
Нагрузка: постоянная g^=0fi т/м; временная 0я
"15 т/м; Р—9,65 т.
М1л = ^ + Ма^- + МЬ1-~;
ма = — 11.25тм; Мр, = —6,44 — 20,6 = — 27,04 тм;
Л=0Л.9.0г+45.4Д.О,5+	- -’°4~11’25 =16,8 /н;
I
прн«-----
Qfl2 = 16,8 — 0,8-4,5- 4,5.4.5.0,5 = 3,07 т;
Q”rJ = ~ 9.65 + 3,07 = - 6.59 я.
М.акс в середине пролета (Q меняет знак)
0,8-9* 4,5.9s 9,65-9 11,25+27,04
М,ы“с= 8	+~ + “_	2-------
= 33,5 mA.
Подсчет опорных моментов от постоянной и временной нагрузок
Опорные моменты	От постоянной нагрузки	От временной нагрузки			Расчетные опорные моменты (MIM) В ТМ
	схема 1	схема 2	схема 3	схема 4	
"a	—0,0215-64,8—1.4	-0.0275-358—9,85	-	-	-1,4-9,85—11,26
«И	-0,0993-64,8—6,44	-0.0574 -358—20,6	-0,0419-358—15	-0,1123-358- 10,3	-6,44-40.3—46,74
"a.	—0,0933 64,8—6,05	-0.0359-358» 12,85	-0,0574-358—20,6	-0.1076-358л—38,5	-e.OS-38.5—М.И
По 8.1.6 находим значения эквивалентной равномер-
но распределенной нагрузки:
8»к=е =о,8 т/м,
5	,3 Р 5-4,5 3-9,65
,„-Tp + T-T=—+ —= 4.42т/м.
Значения моментов в простой балке см. 8.1.2.
Таким же путем определяются М а пролете 2 (прв
схеме нагрузки 3).
а}
Определяем погонные жесткости рнгсля н стоек:
5,6	I
«р= у = 0,622; i„=—= 0,25;
По 8.2.17,6 находим опорные моменты (см. таблицу).
Подсчитываем величины:
= 0.8-9» = 64,8: <?,к Р =4.42-9» = 358.
Определение пролетных моментов производим для за-
данных (а не эквивалентных) нагрузок (рнс. 830).
В пролете 1 (при схеме нагрузки 2):
Рнс. 8.51. Моменты в стойке В
Моменты в верхушке крайних стоек будут те же, что
па опоре примыкающих ригелей: М"=Ма=—11,25 тм.
Моменты в средних стойках равны разности опорных
моментов в смежных сечениях ригелей:
прн схеме нагрузки 2 (рнс. 8.51,0)
А1Г =	— МЫ = (6,44+20,6) — (6,05+12,85) =
= 8,14 тле.
прн схеме нагрузки 3 (рнс. 8.51,6)
— ,41ы = - (6.05 + 20.6) — (— 6,44 - 15) =
« — 5,21 тм.
Пример 2. Рама та же, что в примере 1, но с защем-
ленным н внизу стойками:
1Р = 0.622; ler = -L._L_0,333.
J ч
Ip 0,622
n = — = —— = |.86.
i„ 0,333
Рнс. 8.50
478
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Значения опорных моментов
Продолжение 9.3.П
Опорное моменты	От постоянной нагрузки	От временной нагрузки			Расчетные Л1МН||
	схема /	схема 2	схема 3	схема 4	
«а	-0,0266-64,8-1.72	-0.0336-358—12,03	-	-	-13.75
«И	-0.0989-64.8—6. 40	—0,0592 -358—21.20	-0,0396-358» 14,18	-0.111-358—39.74	—46.14
МЬ,	-0.0919-64,8—5.W	—0.0327-358f» 11.71	—0,0592-358—21,19	-4). 1052-358—37,66	-43,60
Пример 3. Рама двухэтажная (рнс. 8.52). Стойки
нижнего этажа имеют упругое защемление, стойки верх*
Моменты в стойках. В крайних стойках моменты
определяются по формулам (см. пояснения) (рнс. 8.53):
Рнс. 8.52
-171 ° ~8'31
0,29-)-0 25
Опорные моменты в ригеле
Опорные моменты	От постоянней нагрузки	От временной нагрузки			Расчетные Л1МН|| D ТМ
	схема /	схема 2	схема 3	схема 4	
Мо	-0,0365-64,8—2.30	-0.0437-858—18.64	-	-	—17,94
М0,	—O,O979-U.B—4.34	-0,0626-358—22,41	-0.0353Л СТ- 12,64	-0.1063-358—38.77	—45,1!
М0,	-0,089664,8—5,81	-0,027-358—9.67	-0,0626-358—22,4!	-0,1016-358—36,37	—42,18

него этажа закреплены шарнирно. Нагрузки и сечения
элементов те же, что в раме примера 1:
(„ - 0,622;	= у • -J- = 0,29; & = у =°'25;
0,622
п — ——	в 1,15.
0,29 4-0,25
Рис. 8.53
В месте упругого защемления стойки (внизу)
л*ма = “Т" = 2.41 тм,
4
Для определения моментов в средних стойках нахо-
дим разность моментов в ригеле на опоре В прн схеме
нагрузки 2:
AftI = — 6,34 — 22,41 = — 28,75 тлг.
Мог — — 6,81 — 8,67 = — 16,48 тле
ДМр = — 28,75 — (— 15,48) = — 13.27 галг.
0.25
М* = — 13,27——1---------- = — 6,14 тлг,
"	0,29 4-0,25
1) 40
М" = «3.S7-	------ 7.13 тм.
"	0,29 4-0,25
В месте упругого аашемлеиня (внизу)
мз .
----= — 1,78 тлг.

а.2. рамы
479
8.2.18.	Коэффициенты k0 для определения в ступенчатых стойках перемещений
от единичной силы н реакций Rb от взаимного смещения опор и поворота нижнего сечения
а)	Перемещение верха защемленной внизу стойки от
силы Л=1
№ Л’
б11 = (1+1а»)-т~=—.
б)	Реакция fa в стойке, защемлеипой внизу и шар-
нирно опертой наверху, от взаимного горизонтального
смещения опор на Д=1
Rb= — —НРИ смещении верхней опоры;
hr
kf! El ||
fa — ——— прн смещении нижней опоры.
в)	Реакция fa от поворота нижнего сечения на угол
Ф=1
Ri~ h«
t________________________________Значения коэффициента прн л, равном
—'	0,05	0.10	0,20	0,30	0,40	0.60	0,60	0.70	0,80	0.90	1.00
0,10	2,9411	2,9732	2,9881	2,9930	2,9955	2.9970	2,9980	2.9987	2,9993	2,9997	3.0000
0,1Б	2,6192	2,9116	2,9600	2,9766	2,9849	2,9899	2,9933	2,9957	2,9975	2,9989	3 0000
0,20 0,25 0,30	2,6042 2,3133 1,9828	2Л985 2jf3^	2,9070 2,8235 2,7075")	2,9446 2,8945 2,8222	2.9644 2,9313 2.1	2,9762 2,9538 2,9211	2,9641 2,9691 2,9470	2,9898 2,9800 2,9657	2.W40 2,9883 2,979»	2^9078 2,9948 2,9910	3.0000 3,0000 3,0000
0.40	1.3538	X1.9036		2.6102	2,7372	2,6196	2,8772	2,9200	2,9528	2,9783	3.0000
0,60	0.8889	1,4118	2ДИГО	2.3235	2.6288	2,6667	2.7692	2,8475	2,9091	2,9589	3,0000
8.2.19.	Ступенчатая стойка с защемленным нижним и шарнирно опертым
верхним концом. Реакции верхних опор при различных п и X
а)	Формулы для определения реакций /?» от различных нагрузок
Численные значения коэффициентов Ао даны в 8.2.18; а„, а— в 8.2.22.
Схемы нагрувок и эпюры Л»	Лй схемы	Опорные реакции	№ таблицы с численными значениями
•? 1 ц		ph —<1+иЛ«)	8.2.19, б
480
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 3.2.19
Схемы нагрузок н эпюры М					Nt схемы	Опорные реакции	№ таблииы с численными значениями
® k ’ t		Iя* и с	»			рА*»ав	
					26	рЫ. (ан4-ацх<)	
	₽1	L<			За	pM1(a||4-0,I2S|iX«)	
					Зй		вД.19, а
							
	[]	1 р и *1	1 д)		4а	Р*.аи	
					46	«^аи 4-ацХ1)	8.2.19, е
л 1 ц	Л Г Г -	<3 Ся 1 и* ни» части с	й If Pt ней (5 тсйхц v-	к 5>		Sa	А	и	
						Рс	Ре — — ‘•С’||+“|*х’)—- ан—коэффи шент а прн он"Ан	8.2.19. 9
Ц			S	3 V			
					66	рАЦан4-ацХ<)	
В.2. РАМЫ
481
ПроОолжти 8.2.19
Рис. 854
Пример. Определить
опорные реакции Яъ в
ступенчатой стойке от
действия нагрузок, по-
казанных на рнс. 8.54;
X—Л,/Л=0.3: п=0.2;
)*-1/0.2—1 =4;	*о=
=2,708 (см. 8.2.18).
От нагрузки р>. По
формуле схемы За и
8.2.22:
К» = т- (1,841 -0,35 - 1,232-0,15) = 0,46 —.
Л	й
По формулам 8 2.19, а (схема 56) получим тот же
результат:
— = — = 0,4;
Л 10
аи = 0.1154;
Rb = 2.708 (0,1154 + 0,125-4-0.3*) р, А = 0,324 рл Л.
От Pi (схема 4а). По 8.2.22:
— = — = 0,4; а„ = 0,0693;
й 10
Rb^ 2.708-0.0693 Р, = 0,188 Pt.
От внешнего моменте Pj-0,35 (схема 56). По 8.2.19. <?:
при — = 0 *<=1,841; прв= I *, = 1,232;
Йв	Йв
ан а
при—- =	= 1 аи=а = 0.5;
й
при ци=А, =-^;а„ = 0,455;
п IU
Р2 0 35
Rb = -^-г— 2,708 (0.5+0,5-4.0,3«)-
й
Р,-0,15	Р,
-	’ 2,708-0,455 = 0,46 -J-.
А	А
Эпюра М от внешнего момента покамна не
рнс. 8.54.
6)	Реакция Rb от действия горизонтальной равномерно
распределенной нагрузки по всей высоте стойки
Формулы для определения Яь от действия частичной равномерно распределенной
нагрузки см. 8.2.19,0 и 8.2.19, в.
По таблице
Л=-—;
А
Rb-rkiPh
	Значения коэффициента									
	0.10	0,20	0,30	0,40	0.53	0.60	0,70	0.83	0.90	1.00
0.10	0.3720	0.3736	0.3742	0.3744	0.3746	0.3747	0,3749	0,3749	0,3749	0.3750
о?ю	0,3548	0,3657	0.3694	0.3714	0,3726	0.3734	0,3740	0.3744	0,3748	0,3750
о	0.3237	0,3493	0.3596	0,3649	0,3681	0,3704	0,3718	0.3733	0.3742	0,3760
0,40	0.2928	0.3291	0.3459	0.3553	0.3614	0.3657	0.3693	0.3714	0.3733	0,3760
0,60	0,2767	0.3125	0.3326	0.3454	0.3542	0.3604	0,3656	0.3693	0.3722	0.3750
482
РАЗДЕЛ е. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. »АМ И АРОК
в)	Реакция Re от действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки
на верхний участок стойки
Формулы для определения Rt прн действии равномерно распределенной нагрузка
на любой участок стойки см. 8.2.19, а:
По таблице Я»=йаР.й_
	Значсннн киэффианента ft.											
а	л	0,06	о.ю	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	О.70	0.80	0.90	1.00
°.2ЛВ	0.10 0,15 0.20 0.25 0.30 0.0 0.60	0,0197 0,0291 0,0381 0,0468 0.0552 0.0713 0.0872	0,0197 0,0292 0,0382 0,0474 O.Q56I 0.0726 0.0886	0,0197 С.О293 0,0386 0,0478 0,0567 0.0738 0.0900	0.0197 0.0293 0.0387 0.0479 0,0569 0.0742 0.0909	0.0197 0,0293 0.0387 0.0480 0.0570 0.0745 0,0913	0.0197 О.О29Э 0,0389 0,0480 0.0571 0,0747 0,0917	0.0197 0.0293 0,0383 0,0481 0,0571 0.0749 0.0920	0.0197 0,0293 0.0388 0,0481 0,0572 0.0750 0.0922	0.0197 0.0293 0,0388 0.0481 0,0572 0.0751 0.0923	0.0197 0.0293 0.0339 0,0481 0.0573 0,075! 0.0924	0.0197 0,0293 0.0388 0,0481 0,0573 0.0762 0.0925
°»4ЛВ	0.10 0.15 0,20 0.25 0,30 0.40 0,60	0.03® 0.0564 0,0728 0.0869 0,1310 0.1258 0.1601	0.0387 0.0568 0.0740 0,0895 0,1045 0,1308 0.1551	0,0388 0.0571 0.0746 0.0911 0,1069 0.1353 0.1607	0,0388 0.0572 0.0748 0.0917 0,1078 0.1373 0.1638	0.0388 0.0572 0,0749 0,0920 0,1083 0.1382 0.1657	0.0388 0,0672 0,0750 0,0921 0,1086 0,1392 0,1670	0,0388 0.0572 0,0750 0.0922 0.1088 0.1398 0,1680	0.0388 0.0572 0.0751 0.0923 0,1090 0.1402 0,1688	0.0388 0.0572 0.0751 0.0924 0.1091 0.1405 0,1693	0.0388 0.0572 0.0751 0.0925 0.1091 0.1407 0.1698	0.0388 0.0572 0.0752 0.0925 0.1092 0,1409 0.1702
О.6йв	0.10 0,16 0.20 0.26 азо 0.40 0.50	0,0669 0,0820 0,1039 0.1226 0,1382 0,1650 0.1991	0.0571 0.0630 0.1066 0,1274 0,1457 0,1758 0,2038	0.0572 0.0835 0.1081 0,1305 0.1508 0.1653 0,2134	0,0572 0.0837 0.1085 0.1316 0.1627 0.1896 0,2202	0.0673 0.0838 0,1088 0.1322 0.1538 0,1916 0,2239	0.0673 0.0838 0,1089 0.1326 0,1545 0,1937 0,2268	0.0573 0.0839 0,1090 0,1328 0,1550 0,1949 0,2288	0.0673 0.0839 0,1091 0.1329 0.1653 0,1957 0.2304	0.0573 0.0839 0.1091 0,1330 0.1555 0.1964 0,2317	0.0573 0.0838 0.1092 0.1331 0.1556 0.1968 0.2327	0.0673 0.0839 0.1092 0.1332 0.IS58 0.1972 0.2331
°»«1в	0,10 0,15 0.20 0.25 0.30 0,40 0,60	0,0745 0.1060 0.1321 0.1617 0.1680 0,1916 0.2145	0,0743 0.1076 0,1364 0.1602 0,1605 0,2095 0,2316	0.0750 0,1085 0.1388 0.1654 0.1888 0.2250 0.2507	0,0751 0,1088 0.1397 0,1673 0,1904 0.2320 0.2612	0,0751 0.1089 0.1401 0,1683 0.1939 0,2356 0,2678	0.0752 0.1090 0,1404 0.1689 0.1949 0.2378 0,2724	0,0752 0,1091 0.1405 0.1693 0.1957 0.2406 0.2757	0,0752 0,1091 0,1407 0.1695 0,1961 0.2420 0,2780	0,0752 0.1092 0.1408 0,1698 0.1966 0.2430 0,2802	0.0752 0.1092 0.1408 0,1701 0,1970 0.2438 0.2819	0,0752 0.1092 0.1409 0.1702 0,1972 0,2445 0,2832
1.0Л#	0.10 0,15 0,20 0.25 0.30 0.40 0.60	0.0915 0.1285 0,1576 0,1784 0,1925 0,2101 0,2269	0.0920 0.1309 0.1638 0,1901 0,2098 0,2365 0,2500	0.0923 0,1322 0,1672 0,1972 0,2217 0,2560 0.2761	0,0924 0.1326 0.1684 0.1997 0,2263 0,2658 0.2903	0.0924 0,1328 0.1691 0,2011 0,2288 0,2715 0.2993	0.0925 0.1329 0,1695 0,2019 0,2303 0.2752 0.3065	0,0925 0,1330 0.1698 0,2025 0,2314 0,2777 0.3101	0.0925 0.133! 0.1700 0,2029 0,2319 0.2800 0,3136	0.0926 0.133! 0,1701 0,2032 0,2327 0,2811 0.3183	0.0925 0.1332 0.1702 0.2004 0,2331 0,2822 0,3164	0,0926 0,1332 0.1702 0.2036 0.2335 0.2832 0,3203
Я.2. РАМЫ
483
Продолжеше &1W
г)	Реакция Rt, от действия горизонтальной силы на верхний участок стойки
Формулы для определения Rb нрн любом положении горизонтальной силы
сы. 8.2.19, а.
По таблице Rb=kiPt.
	Значения коэффициента А.											
а	х. п X \	0.05	0.10	0.20	0,30	0,40	0.50	0.60	0.70	0.80	0,90	1.00
°.2ЛВ	0.10 0,16 0.20 0,25 0.30 0,40 0.50	0.965 C.94J 0.906 0,874 0,639 0.781 0.745	0.968 0.948 0.924 0.897 0.869 0.814 0.771	0,969 0.962 0,933 0,912 0.890 0,844 0.800	0,969 0.953 0.936 0.917 0.897 0.857 0.817	0.970 0,954 0,У07 0,920 0.902 0.865 0,827	0,970 0,954 0,938 0,922 0,905 0,869 0.834	0,970 0,954 0,939 0.923 0,906 0.873 0.839	0,970 0,955 0,939 0,924 0.907 0.875 0,843	0,970 0,955 0.940 0,924 0,909 0.877 0.846	0,970 0,955 0,940 0,925 0.910 0.879 0.848	0,970 0,966 0.940 0,925 0.910 0,680 0,651
0.48*	0,10 0.15 0.20 0.25 0.30 0,40 0,60	0,931 0,881 0.821 0.754 0.688 0,675 0.511	0,936 0.896 0.848 0,799 0.744 0,641 0,559	0,938 0,904 0.866 0,835 0,783 0.694 0,613	0,939 0.906 0,872 0,836 0,798 0.719 0.634	0,939 0,908 0,875 0,841 0,806 0,733 0,661	0,940 0,909 0,877 0,844 0,611 0.742 0,674	0,940 0,909 0,878 0,646 0,814 0.748 0.683	0,940 0,909 0,879 0,848 0.816 0,763 0.6В0	0,940 0,910 0,879 0,649 0,616 0,757 0.608	0,940 0,910 0,880 0,850 0,820 0,760 0.700	0,940 0,910 0,680 0,851 0,821 0,762 0.704
о.а,	0,10 0,15 0.20 0.25 0,30 0,40 0,60	0,897 0.813 0,740 0.647 0,556 0,407 0,315	0.904 0.846 0,780 0,707 0.631 0,483 0,376	0,907 0.867 0,802 0,743 0.682 0.558 0.446	0,909 0,860 0,810 0,757 0,702 0,690 0,484	0.909 0.862 0,814 0,764 0,713 0,609 0,508	0,909 0.863 0,618 0,768 0,719 0,621 0,525	0.910 0,664 0,818 0,771 0,724 0,629 0,536	0,910 0.864 0,819 0,773 0,726 0,635 0.545	0,910 0,865 0,820 0,775 0,729 0,640 0,653	0.910 0,865 0,820 0,776 0,731 0,644 0.559	0.910 0,665 0,821 0,777 0,733 0,647 0,664
	0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0.40 0.50	0,865 0,775 0.669 0,557 0,448 0,275 0,170	0,873 0,801 0.715 0,625 0,533 0,362 0,235	0,877 0.811 0.740 0,666 0,590 0,439 0.308	0,878 0,815 0,749 0,682 0,613 0.476 0.351	0,879 0,817 0.754 0,689 0,624 0.495 0.373	0,879 0,618 0,757 0.694 0.632 0,608 0.391	0,880 0,816 0,758 0,697 0,637 0,617 0.403	0,880 0,820 0.760 0,700 0,640 0,524 0,413	0,880 0,820 0,761 0,702 0.643 0.529 0,421	0,880 U.621 0,761 0,703 0,645 0,533 0.427	0.680 0,821 0.762 0.704 0,647 0.536 0.432
i.Oh,	0,10 0.15 0,20 0,25 0,30 0,40 0.60	0.835 0.730 0,611 0.489 0,372 0,196 0,093	0,843 0.755 0,657 0.556 0,453 0.274 0,147	0,847 0,767 A6S2 0,609 0.344 0.208	0,849 0,771 0,691 0,612 0,530 0,378 0,242	0.849 0,773 0,696 0,819 0,542 0,394 0,263	0,850 0,774 о,- 0,624 0.549 0.406 0.278	0,850 0,775 0,700 0,627 0,554 0,414 0.287	0.880 0.778 0.702 0.630 0,657 0.421 0.297	0.880 0,776 0,703 0,632 0.580 0,428 0.803	0.650 0,777 0,7® 0,633 0.562 0,429 0.3®	0,851 0.777 0,704 0.634 0.564 0.432 0.313
484
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 3.2.19
д)	Реакция Рь от действия момента на верхний участок стойки
Формулы для определения Rt> »Р» любом положении внешнего момента см. 8.2.19, а:
г	__	_
По таблице Л*= — (А<с—A,e), где At—значения коэффициента h, при а, = 1,0Л,.
	Значения коэффициента Л4											
%	п к X.	0.05	0.10	U.2O	0.®	0.40	0,50	0,60	0,70	0.®	0,90	1.60
0	0,10 0,15 0,20 0.25 0.30 0.40 0.50	1.752 2.012 2.292 2.530 2.687 2.735 2.556	1.620 1.741 1.903 2.055 2.184 2.322 2.294	1.554 1.613 1.686 1.76S 2.000	1.531 1.566 1,610 1.658 1.707 1.775 1.839	1,520 1.643 1.571 1.603 1,636 1.697 1.737	1,613 1,529 1,548 1,669 1,592 1.635 1,667	1,609 1.519 1.532 1,546 1.662 1.692 1.615	1.506 1.612 1.521 1.6® 1,539 1.670 1.576	1.503 1.607 1.512 1.6® 1.623 1.635 1.645	1.502 1.503 1,506 1.608 1.510 1.616 1.621	1.600 1.600 1.500 1.600 1.600 1.500 1.600
0.2Лв	0.10 0.15 0.20 0,25 О.® 0.40 0.50	1,740 1,985 2.250 2.472 2,615 2.643 2.467	1.614 1.737 1.831 2,038 2.141 2.261 2.224	1.551 1.607 1,674 1.747 1,817 1.920 1.950	1.529 1.562 1.602 1.645 1.691 1,765 1.800	1.619 1,539 1,665 1,594 1.623 1.675 1,705	1.612 1,624 1,643 1,662 1,582 1,617 1,640	1.608 1,517 1,628 1,540 1.553 1.677 1.592	1.605 1.610 1,617 1.525 1.531 1.648 1.556	1,603 1.606 1.609 1.513 1.617 1.524 1.627	1.500 1.602 1,603 1.504 1,606 1,606 1.604	1.499 1.499 1,498 1,496 1,495 1.490 1.48S
°-4*.	0.Ю 0.15 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50	1.695 1,911 2.125 2.299 2.401 2,433 2,200	— — — — —ФАСА	1,542 1.587 1.640 1.694 1.744 1.806 1,800	1,523 1.549 1.579 1.610 1.640 1.681 1.684	1.614 1.629 1.647 1.566 1,634 1,610 1.611	1.608 1,618 1,629 1.540 1.550 1,563 1,666	1,605 1.510 1.516 1,522 1.527 1,531 1,623	1.602 1.607 1.607 1.509 1.608 1,508 1,435	1.600 1,600 1.600 1.499 1,497 1.488 1.473	1,499 1.497 1.49S 1.491 1.487 1.474 1.455	1,498 1.495 1.490 1.485 1.479 1.462 1.440
0.6йв	0.10 0.15 0.20 0,25 0.® 0.40 0.50	1,646 1.784 1.917 2.010 2.044 1.955 1.756	1.567 1.633 1.702 1.767 1.793 1.774 1.659	1.627 1.553 1,581 1.606 1.622 1.615 1.550	1.513 1,626 1.539 1,550 1,693 1.542 1.490	1.607 1.612 1.518 1,521 1.519 1.600 1.453	1,503 1.5OI 1,505 1,503 1,497 1,473 1,427	1,500 1.499 1,496 1.491 1.482 1.454 1.408	1.498 1,495 1.4® 1.482 1.470 1.440 1.393	1.497 1.492 1.486 1,476 1,463 1,429 1,382	1.495 1.490 1.481 1,470 1,457 1.421 1.373	1,495 1,488 1,478 1,466 1.451 1,414 1.365
°.8ЛВ	0,10 0.15 0.20 0.25 0.30 0,40 0.50	1 563 1.607 1.625 1.6Л 1.545 1.348 1.133	1.625 1.541 1.545 1.529 1.481 1,348 1.165	1.506 1.507 1.500 1,481 1.451 1.347 1.200	1.500 1.495 1.484 1.465 1,437 1.347 1.219	1.496 1.489 1.476 1,457 1.429 1.347 1,232	1.494 1.485 1.471 1.451 1,424 1,346 1,240	1.493 1.483 1,468 1.447 1.420 1,347 1.246	1.492 1.482 1.466 1.445 1.417 1,350 1.251	1.491 1.480 1.464 1.443 1,’416 1.346 1.255	1.-O1 1.479 1.463 1.441 1,415 1.346 1.258	1.490 1,478 1,462 1,440 1,414 1.311 1,260
1.06,	0.10 0.15 О.2О 0.25 0.30 0.40 0.50	1,467 1.378 1.250 1.064 0.902 0,569 0.333	1.472 1.423 1,343 1.233 1.098 0.799 0.529	1,479 1.447 1,395 1,324 1.232 1.003 0.750	1,482 1.455 1.414 1.357 1.284 1.096 0.871	1,483 1,459 1.423 1.374 1.312 1,160 0.947	1,484 1,461 1,429 1.385 1,329 1,184 1,0®	1,484 1.463 1.432 1.392 1.341 1.203 1.038	1.484 L464 1.435 1.397 1.348 1,226 1,068	1.485 1,465 1.437 1,401 1.3S6 1.241 1.091	1.485 1.466 1.439 1.404 1,361 1,251 4,110	1,485 1,466 1.440 1.408 1.365 1,260 1,125
R.2. РАМЫ
485
8.2.20. Моменты и реакции стойки с двумя уступами с защемленным
нижним и шарнирно опертым верхним концом
За	Bhh (а,,-*-" 125 и,Х,+0,125 щАл)
36	phh. (аи+а,цД? +0.125 ц,Х?)
Зв	₽'*. (оц+а.цЛ] + c+l+’-i)
485	РАЗДЕЛ 8, ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.20
Пример. Определить реакции ₽ь в стойке, имеющей
два уступа, от ветровых в крановых нагрузок (см.
рнс. 8.55) з
10	4
к’=^ = °’5:
Рис. 8.55
7	5
nt = - = 0.7-. л.= — = 0.5;
Р1 = ±_,=0.«;И1 = А__!_ = 0>57;
*°~ 1+0,43-0,о’+о.бт-о.г3 = 2,84'
От нагрузки р=0,8 т/м (схема 36):
-^=-^ = 0,6: «„ = 0,0944;
Ci 2
— = — = 0.2; «j =0.1237;
Л, 10	1
Лр = 0,8-20-2,84 (0,0944 + 0,1237-0,43-0,5* +
+ 0,125-0,57-0,2*) = 4,46 т.
as. рамы
487
От момента 60-0,5 (схема 56):
^- = -^ = 0,8; ан = 0,48;
л
ан 10	—
При пн = Лн ~ = 77 = 0.5; ан = 0.375;
п
60-0.5
Rb = —-7- 2,84 (0,48 + 0,42-0,43-0,5») —
20
60-0.15
------5^2,84-0,375 = 1,75 т.
20
Эпюра М дана на рнс. 8.55.
От Г=2т (схема 4):
= -Цг = 0,85; ав =0,2589;
а 20
Т- = -^-=0.7; «1=0,1878;
Пд	1U
— = — = 0,25; <ч = 0,0287;
8.	4
Rb = 2-2,84 (0,2589 + 0,1878-0.43-0,5’ +
+ 0.0287-0.57-0,2») = 1,53 т.
8.2.21. Ступенчатая стойка с защемленными концами.
Моменты защемления и реакции верхних опор при различных п и К
Схема нагрузки. Эпюра М				Коэффи- циент	1	Л										
						0.06	1 в.»	0.2	0.3	О.<	0.5	0.6	0.7	о.«	0.S	1.0
				а) От поворота верхнего сечения не угол Ф -1												
																
				*2	0.1 0.2 о.э 0.4 0.6	0.634 0.422 0.378 0.376 0.370	0.983 0.664 0.580 0.566 0.564	1.689 1,216 1.055 1.006 1.000	2,224 1.706 1.499 1.423 1.406	2.642 2.140 1.918 1.825 1,799	2,979 2.530 2.313 2.21S 2.182	3,256 2.882 2.687 2.693 2.557	3,488 3,201 3,041 2.959 2.927	3,684 3,491 3.377 3.316 3.290	3,853 3.766 3,696 3.663 3.648	4,000 4.000 4.000 4.000 4.000
																
					0.1	0.449	0.610	0.935	1,182	1,375	1,530	1.657	1,764	1.855	1.932	2,000
j J } * с				*2	0.2 0.3 0,4 0.5	0.493 0,683 0.609 0.651	0,600 0.687 0,749 0.730	0.835 0.887 0.965 1,000	1.040 1.061 1.128 1,180	1.222 1.220 1.273 1.325	1,386 1.369 1.407 1.455	1.533 1,610 1.535 1.574	1,666 1,652 1.658 1,686	1,787 1.768 1.776 1.794	1,898 1.887 1,890 1,899	2.000 2.000 2,000 2,000
				гь	О.1 0.2 0.3 0.4 0,5	1.083 0.915 0.961 0.985 0,921	1.694 1.264 1.268 1.315 1.295	2.625 2.051 1.948 1.971 2,000	3.406 2.748 2.660 2.551 2.586	4.017 3.362 3.138 3.098 3.124	4,609 3,916 3.682 3.622 3,636	4.913 4.414 4.196 4,128 4,131	8.251 4,867 4.683 4,617 4,613	5.639 6.278 S.145 5.091 6,064	5,786 5.655 5.583 5,552 5.546	6.000 6.000 6.000 6.000 6,000
цши £ ч		т		в) От поворота нижнего сечения на угол ф -1												
				ч	См- Ч											
	7 R			ч	0.1 0.2 о.з 0.4 0.6	3.271 3.247 2.997 2.491 1,689	3.362 3.340 3.228 2.893 2,367	3.507 3.480 3.454 3,312 3,000	3.621 3.579 3,572 3,504 3.312	3.710 3.663 3.660 3,624 3,603	3.782 3.735 3.732 3,714 3.636	3.841 3.799 3.795 3.786 3.737	3.691 3,857 3,843 3,854 3,848	3,932 3.879 3,906 3,903 3,888	3.969 3.957 3.954 3.953 3,947	4.000 4.000 4.000 4,000 4.000
	Ма EfM .н н															
*ЧГ*ъ h El* El				'а	0.1 0.2 0.3 0.4 0.6	3.720 3.740 3.580 3.100 2.390	Э.962 3.940 3.915 3.642 3,087	4,442 4.314 4.341 4.277 4,000	4.803 4.619 4.633 4.632 4,492	5.085 4.885 4.880 4.897 4.828	5.312 5.121 6.101 5.121 6.091	5.498 5.332 6.305 5.321 6.311	5.655 5,623 6,495 6,506 5,606	5,787 6,696 6,673 5,679 6.682	6.901 6.855 6.841 5.843 5.846	6.000 6.000 6.000 6.000 6.000
488
РАЗДЕЛ 8- ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение в.2.21
Схема нагрузки.
Знюра М
Козффн-		п										
циеит		о.св	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5 |	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0

h*
в) От взаимного смещения опорных сечений на Д-1*
АД ль	0.1 0.2 о.з 0.4 0.5	1,063 0,915 0.961 0,985 0.921	1.594 1.264 1.268 1.315 1,295	2.624 2,051 1,942 1,971 2,000	3,405 2,745 2,560 2.551 2.586	4.017 3.362 3.135 3.098 3.124	4,509 3,916 3,682 3,622 3.636	4.913 4.415 4.196 4.128 4.131	5.251 4.867 4.683 4,617 4.613	5,539 5.278 5,145 5.091 5.084	5.786 5,655 5.583 5.552 5.546	6,000 6,000 6.000 6,000 6.000
	0.1	3.720	3,962	4.442	4,803	5.085	5,312	5.498	5,655	5,787	5.901	6.000
л	0,2	3.740	3,949	4.314	4,619	4,885	5,121	5.332	5,623	5,696	5,655	6.000
/г	0.3	3.580	3.915	4,341	4,633	4. )	5,101	5,305	5,495	5.673	5.841	6,000
	0.4	3.100	3,642	4,277	4,632	4.897	5,121	5.321	5,506	5.679	5.843	6,000
	0.5	2.390	3,087	4.000	4.492	4,828	5,091	5.311	5,506	5,682	5.846	6,000
	0.1	4,за	6,555	7.066	8,208	9.102	9.821	10.412	10,906	11,326	11,687	12.000
д	0.2	4,655	5.2®	6,365	7.364	8.247	9.036	9.747	10.390	10,975	11.509	12.000
	О.з	4.541	5,182	6,283	7.193	8.018	8.783	9.501	10,178	10.818	11,424	12,000
	0.4	4,065	4.956	6,248	7.183	7.995	8.743	9.449	10,123	10.770	11.395	12.000
	0,5	3,311	4,382	6,000	7.078	7.963	8.727	9.443	10.119	10.766	11.393	12.000

а = 0,2h
AI&=>frftlPA
Ala»frflIPA
Л»“Г41Р
г) От равномерно распределенной нагрузки
0.1	0.028	0.034	0,046	0,054	0.061
0.2	0.038	0.042	0,049	0,055	0.060
0.3	0,046	0,050	0,0М>	0,060	0,064
0.4	0,047	0,054	0,061	0,065	0,
0,5	0,045	0,053	0,063	0.068	0.071
0.1	0.110	0,107	0,101	0,097	0.094
0.2	0,114	0.108	3,101	0.097	0.094
0.3	0,134	0.117	0,104	0,098	0,094
0.4	0.159	0,137	0 113	0.100	0.097
0.6	0.180	0,156	0,125	0,111	0.102
о,1	0,418	0,427	0,444	0.457	0.467
0,2	0,424	0,434	0,448	0.458	0,466
0,3	0.413	0,432	0,452	0.462	0.470
0,4	0t 3	0,417	0,449	0,463	0.472
0.5	0.367	0,397	0,438	0.457	0,469
0.067	0.071	0.07S	0.078	0,081	0,083
0,065	0,070	0.074	0.077	0,080	0.083
0,068	0,072	0.075	0,078	0.081	0,063
0,072	0,074	0.077	0,079	0,081	0,083
0.074	0.076	0,078	0.080	0,082	0,083
0,091	0.089	0,087	0,086	0,084	0.083
0,092	0.090	0,088	0,086	0,085	0,083
0,092	0.090	0,088	0,086	0.065	0,083
0,093	0.090	0.088	0.086	0,065	0,063
0,097	0.093	0.090	0.087	0,085	0.063
0.476	0,482	0	,488	0,492	0.497	0,500
0,474	0.480	0	.486	0.491	0.496	0,500
0,477	0,482	0	.487	0,492	0.496	0,500
0,479	0.484	0	.489	0.493	0.497	0,600
0,477	0.484	0	.489	0,493	0,497	0,600
д) От сосредоточенной силы
0.1 0.2 0,3 0,4 0.5	0.052 0,061 0.095 0,097 0,098	0.069 0.084 0,101 0,104 0,104	0.075 0.092 0,108 0,113 0,113	0.088 0.099 0,111 0,116 0,118	0.097 0.104 0,115 0.119 0,121	0.105 0,109 0,117 0,121 0.122	0.111 0,114 0.129 0.123 0.124	0,116 0.118 0.122 0,124 0.125	0*0 0 0*0*	0,125 0.125 0,126 0,127 0.127	0,128 0.128 0.128 0.128 0,128
о,1	0,074	0,056	0,057	0.05)	0.047	0.043	0.040	0.038	0.035	0,034	0,032
0,2	0.079	0,067	0,055	0.049	0.045	0,042	0.039	0.037	0.035	0,034	0,032
0,3	0.119	0,085	0,080	0.050	0.045	0.041	0.039	0.036	0,035	0,034	0,032
0.4	0,132	0,101	0,068	0.05S	0.047	0.043	0,039	0,037	0,035	0,034	0.032
0.5	0,133	0.106	0.073	0.068	0,060	0.045	0.041	0.038	0.035	0,034	0,032
0.1	0.778	0.794	0.818	0.836	0.651	0,662	0.871	0.879	0.886	0.891	0.896
0.2	0.602	0.817	0.837	0.850	0.859	0.868	0.875	0.881	0.886	0,891	0.895
0,3	0,776	0.816	0.848	0.861	0,870	0,876	0.881	0,886	0,889	0.893	0,896
0,4	0.755	0.803	0.842	0,862	0,872	0,878	0,883	0,887	0.891	0.894	9,896
0,5	0.765	0.800	0.840	0.859	0.870	0,878	0,883	0.888	0,891	0.894	0,896
•	Значения моментов в реакций от взаимного смещения опорных сечевнй ори действии на опору В горизонтальной ед и
ИичноП силы см. £.2.13.
•	• При действии на стойку частичной равномерно распределенной или треугольной нагрузок моменты и реакции можно
определить по формулам 8.2.22 (см. сноску на стр. 490.)
В.2. РАМЫ
489
Продолжение 9.2.21
		ЭКИ.	КоЭффЕо ивент	А	п										
	Эпюра А				0.06	0,1	0.2	0.3	0.4	0,5	0,6	0,7	<1.8 1	0.9 |	1.0
	в“71«			0.1	0.061	0,064	0,060	0,065	0,069	0,072	0,074	0,076	0,078	0,080	0.081
				0.2	0,061	0,084	0.092	0.009	0.104	0,109	0.114	0.118	0.122	0.126	0.128
	ч W|		*м	0,3	0.088	0.096	0.106	0,114	0.120	0,126	0,1®	0,135	0,139	0.143	0,147
				0.4	0.074	0.087	0,103	о.ш	0.118	0,123	0,128	0,132	0.136	0.140	0.144
	Т	к		0.6	0.050	0.064	0.083	0,094	0.101	0.106	0.111	0.115	0.118	0.122	0.125
	4-	ь		0.1	0,028	0,024	0,020	0.017	0,016	0.011	0,012	0.011	0.010	0.010	0,000
				0.2	0,079	0,067	0,055	0.049	0,045	0,042	0.039	0.037	0,035	0,034	0.032
	£			о.э	0,170	0.133	0,102	0,090	0,082	0,077	0.073	0,070	0,068	0.065	0.063
				0.4	0.262	0.210	0,158	0,136	0,124	0,116	0.110	0,106	0,102	0,099	0.096
	Г "л			0.5	0,321	0,270	0,208	0,160	0,163	0.162	0.144	0.137	0,132	0.12S	0.125
															
	М^м	Ph		0.1	0,923	0.9®	0,940	0.948	0.954	0.958	0,962	0.965	0,968	0.970	0,972
				0.2	0,302	0,817	0,837	0,850	0,859	0.868	0,875	0,681	0,886	0,891	0.696
Мо«*а1РЛ			rbt	0,3	0.618	0.663	0.704	0,724	0,739	0,749	0.757	0,764	0,772	0,778	0.784
	Ъ-'ы	Р		0,4	0,412	0,477	0,645	0.675	0,594	0,607	0,618	0,627	0,635	0,642	0.643
				0.6	0,229	0.294	0.375	0,414	0.439	0,464	0.467	0.477	0.486	0,493	0.500
	a^Q,9h			0.1	0,042	0.053	0,074	0.090	0,103	0.113	0,121	0,129	0,134	0,140	0.144
				0.2	0,066	0,062	0,076	0,088	0,099	0,108	0,117	0,125	0,132	0.138	0,144
в	**		*и	о.э	0,070	0,078	0,090	0,099	0,107	0.114	0.121	0.127	0,133	0,139	0.144
				0.4	0.074	0.087	0,103	0.111	0,118	0.123	0.128	0,132	0.136	0.140	0.144
сг	•TI	к		0.6	0.071	0.087	0.107	0.117	0,124	0,129	0.133	0.136	0,139	0.142	0.144
	Л	ь		".1	0.144	0.139	0.129	0.121	0.115	0,110	0.107	0.103	0,101	0.093	0,096
р		7		0.2	0.147	0,141	0.129	0,122	0.117	0,112	0.108	0.106	0,100	0.099	0,096
	7 2		*<!•	0.3	0.188	0.160	0.135	0,124	0,117	0,112	0.108	0.105	0,101	0.099	0.096
7	\£			0.4	0.262	0.210	0,158	0,136	0,124	0,116	0.110	0,106	0,102	0,099	0.096
Л Л>	Л			0.5	0,314	O.2&5	0,187	0.165	0,136	0.124	0.115	0.109	0.104	0.100	0.096
															
				0,1	0.498	0.613	0,545	0,669	0,588	0,603	0,615	0.625	0,634	0,642	0,648
				0,2	0.609	0,622	0,547	0,666	0,582	0,596	0.609	0.620	0,631	0,643	0,648
М„-*л.РЛ			'ЬЗ	0,3	0,482	0.518	0,655	0,575	0,660	0,602	0.613	0,623	0.632	0.640	0,648
				0,4	0.412	0,477	0,645	0,575	0,694	0.607	0,618	0,627	0,635	0,642	0.648
				0,6	0.357	0.432	0,620	0,662	0,687	0,604	0,617	0.627	0,635	0,642	0,648
				0.1	0.025	0.СЙ2	0,047	0.058	0,067	0,074	0.080	0.085	0.089	0.093	0.096
	а«0,6Л			0.2	О.ОЭО	0,035	0,045	0.054	0.062	0,069	0,076	0,081	0,087	0.092	0,096
	ГЛ.*1		*м	о.з	0.037	0.042	0,050	0.058	0.064	0.070	0.076	0.001	0.087	0.091	0.096
		*<		0.4	0,038	0,046	0,066	0,063	0,069	0.074	0.079	0,083	0.083	0,092	0.096
		Л		0.6	0.034	0.045	0.069	0.067	0.073	0.078	0.082	0.086	0.089	0.093	0.096
															
р	д.			0.1	0.179	0,174	0.167	0,162	0,157	0,154	0.151	0,149	0.147	0,145	0.144
															
				0,3	0.199	0.184	0,170	0.164	0,159	0,156	0,153	0.150	0,148	0,146	0.144
				0.4	0.232	0,207	0.181	0.169	0.162	0,158	0.154	0.151	0.148	0,146	0.144
				0,6	0,278	0,244	0,203	0.163	0,171	0,163	9.158	0.153	0.160	0,147	0.144
	М*,-кЖ1.₽Л			0.1	0,246	0,258	0.280	0,297	0,310	0,321	0,329	0.335	0.342	0.347	0,352
				0.2	0.250	0.260	0.277	0.291	0.303	0.313	0.323	0.331	0.339	0.346	0.352
	МО“*«'	’Л	>	0.3	0.238	0,258	0.280	0,294	0,305	0,314	0,323	0,331	0,339	0.345	0,352
	^6"zft4	р		0.4	0.206	О.2Э9	0.276	0.294	0,309	0,316	0.323	0.333	0,339	0,346	0.352
				0.5	0.156	0.200	0.256	0,284	0.301	0,314	0,324	0.333	0.340	0.346	0,352
490
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.2.21
Схема нагрузки.	Коэффм-		п										
Эпюра М	ннект	А	0.06	0.1	I 0.2	0.3	0.4	0.6 |	0.6	0.7	0.6	0.9	
е) От внешнего момента (при энаке минус моменты в эпюре располагать
с другой стороны стойки)
		0,1	—0,034	-0,096	—0,221	-0,316	-0,390	-0.449	-0,498	-0.539	-0,574	—0,604	-0.630
		0.2	0,102	0,076	0,011	-0,046	-0,098	-0.145	—0,168	-0.225	—0.259	-0,291	-0,320
		0.3	0,173	0,171	0,145	0,116	0,085	0.056	0.029	0.002	-0,023	—0.047	-0,070
		0.4	0,188	0.213	0.224	0,218	0,206	0,192	0.178	0.163	0.149	0.134	0,120
		0.5	0.162	.0,203	0,250	0.267	0.272	0.273	0.271	0.267	0.262	0.-56	0.250
		0.1	0,442	0.412	0.357	0,314	0,280	0,253	0.230	0.212	0,196	0.182	0,170
		0 2	0.405	0.411	0,403	0,385	0,667	0.349	0,333	0,318	0,304	0.292	0,280
		03	0,225	о.зос	0.354	0,366	0,366	0,363	0,357	0,351	0,344	0,337	0,330
		0,4	-0,063	0.08С	0,218	0,269	0,293	0.306	0,314	0.318	0,320	0,320	0,320
		0,5	-0.379	-0.208	0,000	0,095	0,148	0.182	0.205	0,221	0,234	0.243	0,250
		0,1	1.408	1.316	1,196	0,998	0,890	0,804	0.732	0,672	0.622	0,578	0,540
		0,2	1,607	1.487	1.415	1,339	1.269	0,205	1,146	1,094	1,045	1,001	0,960
	г	о.з	1.398	1.471	1,500	1.481	1,452	0,419	1.386	1,353	1,321	1.290	1,260
	&в	оз	1.125	1.293	1,442	1.486	1.499	0.499	1.492	1.481	1,469	1,455	1.440
		0.6	0,782	0.996	1,260	1,961	1.420	0.455	1.475	1,488	1,495	1,499	1.500
ж) Формулы для определения Мд н ст действия сосредоточенной силы
 внешнего момента н любом сечении (численные влечения а* л у { см. 8.2.22)

Ав _ /в Л ь	к К.^=а^ ь м »^12(1-ЦД) М.-*, 12	№ схемы	Д.	а,
	4а	РЛав	₽*vB
	4b	Ph (аи+аиХа>	(Vb+VIA*1
	5а	РсИ%	₽‘н7»
	5Л	Рс (ли-Ю|Д*|—Piiiu “и- Ун—К0ЭФФМ11И4ЯТЫ (см. пример в	Р‘ < Vh-7-VmA> — Рг,в 1. V при ви"Ли 8.2.20)
8.2.22. Моменты н реакции стойки с двумя уступами
и обоими защемленными концами1 [13,26]
1 Формулы таблицы можно применить для расчета стоек с одним уступом, при этом следует члены, содержащие А и при*
равнять нулю.
ед. рамы
491
Продолжены 0.2.21
*,“_**_*“ (табл. 8.2.5—8.2.8 и 8.2.10)
мь-
м
Схема ввгрузкн н эпюр л М				Nt схемы	д.	As
VW МЬ Яь				/	(1 +w,xi + и«^)	f(i+P.x?+l^)
	।1 । L1111I1MIUIII | nmij	-I				
				2	рЛ" (ои+а,иА{+а,ц^)	*л' (vh+viuAi+w*»*!)
Ф ®						
/ IP		Р-Я	V	За	ph’ (aH+O.I2S цД}+0.1М	Р»* (v.,+0.167 U,X?+0.187 мА?)
		f	Яг —L	Зб	ph’ (aI1+a,p,x{+0.12S цд5)	О*Т?н-НЫ*>К1+°"1в71А2)
EJB	411	(5	!)	За	Р*’ (a„+aiWiXj+c4Ui^)	Р*’ (vh+ViHi^i+VU*»*?)
492
РАЗДЕЛ В. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 9.2.32
Схема нагрузки и эпюре М					схемы	д,	а.
° о						PA (a„+aiUiAl+a,u,A|)	₽* (vm+t.bA?+v.uJ^)
р 1							
	1	jfrj- 1 1 '						
LJ							
							
////	47 ф	^4 «	* р	м	t»*»	5а «н<\	FcHaH	'V.
			1ТС ез | ©		56 н-^>аы>нм	Pc (aM4-alplK?)—Р«и aR. "vH—коэффяцяе! (см. приме	р« (vB+TiuA)_₽f*B <ты а, у при аи—\ •р в 8.2.20)
					6	р** (ag+a.uAj+aiPtAj)	°*" (v,+ViMi*-1+Т<1Ч»1)
Коэффициенты а< и v<
“1 т	№ схемы нагрузки					К» схемы нагрузки				
	г	>	4		♦	7	7	*	3	•
		Значения С|					Значения у{			
0.05			0.1250	0.0012	О.СЦЯЙ			0.1667	0,0013	0.0500	—
0.10	0,0002	' 0,1248	(|,‘ХМ8	0.0950		0.0002	0,1665	0,0050	0.1000	—
0.15	0,0005	0.1245	0.0106	0,1388	0.0001	0.0006	0,1661	0,0112	0.1500	0.0001
0.20	0,0013	0.1237	0.0187	ОД800	O.U003	0.0013	0.1654	0.0200	0.2000	0.0003
0.25	0.0025	0.1225	0,0287	0,2168	0,0006	0,00»	0.1641	0,0313	0,2500	0.0007
0,30	0,0042	0.1206	О,(М0б	0,2550	о.ооп	0.0045	0.1622	0,0450	0,3000	о.ооп
0,35	0,0065	0.1165	0,0541	0.2880	0.0017	0.0071	0.1696	0.0613	0,3500	0.0018
0,40	0.0096	0.1154	0.0693	0.3200	0.0025	0.0107	0.1660	0.0800	0,4000	0.0027
0,45	0.0135	0.1115	0.0661	0,3483	0.0035	0.0152	0.1516	0.1013	0.4500	0,0038
0.50	0,0162	0.1068	0,1042	0.3750	0,0047	0.0208	0.1459	0,1260	0.6000	0.0052
0.55	0,0239	0.1011	0,1235	0.3968 ЙЖ	0,0062	0,0277	0,1390	0,1513	0,6500	0.0069
0.60	0.0306	0,0944	0.1440		0.0079	0,0360	0.1307	0.1800	0,6000	0.0090
0,65	.0,0383	0.0667	0.1655	0.4388	0,01 по	0,0458	0.1209	0.2113	0,6500	0.0114
0.70	0,0472	0.0778	0.1678	0,4550	0.0|?3	0.0572	0.1095	0.2450	0,7000	0,0143
0.75	0.0571	0.0679	0,2109	0.4688	0.0150	0.0703	0.0964	0.2813	0.7500	0.0175
0.60	0,0683	0.0567	0,2347	0,4800	0.0179	0.0853	0,0814	0.3200	0.8000	0,0213
0.85	0.0606	0,0444	0,2589	0,4888	0,0212	0.1024	0.0643	0.3613	0.8500	0.0256
0.90	0.0942	0.0306	0.2835	0.4УЯ)	0,0249	0.1216	0.0452	0.4050	0.9000	0,0304
0,95	0.1090	0.0160	0.3084	0.4988	О.О2Я9	0.1429	0.0238	0.4513	0.9500	O.03S7
l.uo	0.1250	0	0,3333	0,5000	0.0333	0.1667	0	0.5000	1.0000	0.0417
Рис. 8.56
Пример. В двухступен-
чатой стойке с защем-
ленными концами опре-
делить опорные реакции
н моменты заделки от
крановой нагрузки (см.
рнс. 8.56):
Х1 = -7 = 0.5;
16
X» = — = 0.25;
1Ь
5	1.43
"1=й=°.5; «,= — = 0.143;
’1, = 0Л-1 = 1: М* =0,143 —0^5 = 5;
ft, = 6 (1 + 0.5* + 5-0,25») = 9.375;
ft, = 4 (1 + 0,5» + 5-0,25») = 4,81;
ft, = 12(1 + 0,5 -f- 5-0,25) = 33;
4.81-33 — 9,375» , м
k =		— = 5.68.
8.2. РАМЫ
493
От момента L (схема-ба):
a,Jh=eil6*=0.5; а«=0,375; ув=0,5; Д1“»LaB=0,375L;
62=LyB-=0,57.;
,	9,375-0,375 —4,810,5 ,	„	,
Mt = ----------'	„ !------— L = 0.19 L;
t),uo
33-0,375 —9,375-0,5
L = 0,082 L;
Ma = (0,082-16 — 0,19 — 1) L = 0,12 L.
Эпюра M дана на рнс. 8.56.
Or тормозной силы Т (схема 4):
a,/fc=8.8/16=0,55; a.—0,1235; ув=0,1513;
Oi 0,8
V- = 4--0,l; a, = 0,0048; у, = 0,005;
Л] 8
Aj = 7'8(0,1235 + 0,0048-0,5’) = 0,1241 Th;
Д, = Th (0,1513 + 0,005-0,5’) = 0,1526 Th;
(9,375-0,1241 - 4,81-0,1526)16
Mb =	5^8	7 = 1,17 T;
p _ (33-0,1241 -9,375-0.1526) 16 y _ а r
Alo = (— 0,453-16+ 1,17-f-8,8) Г = 2,72 T.
8.2.23. Формулы для подсчета интегралов Мора fAf, Mtds
По таблице могут быть подсчитаны интегралы Мора,
входящие в формулы для определения перемещений он
(при £/=consi) (см. канонические уравнения метода
сил (5.311)]. По формулам таблицы можно также опре-
делить углы поворота сеченнй и прогибы (см. пример 1).
Для элементов, имеющих по длине участки с раз-
ными Жесткостями, интеграл определяется суммирова-
нием по участкам. Подсчет интегралов прн элементах
ступенчатого очертания приводится ниже.
Если жесткость элемента меняется по линейному за-
кону. элемент делится на равные интервалы, н интегри-
рование эпюр ведется по участкам на этих интегралах
с использованием формул численного интегрирования
(иапрнмер. способом трапеций или по формуле Симп-
сона).
Значения интегралов таблицы применимы для криво-
линейных элементов переменного сечения, если соблю-
дено условие / cos<p=const, где <р —наклон осн элемен-
та к оси х. Интегрирование эпюр ириволннейных элемен-
тов, не отвечающих указанному условию, см. [20].
Прн прямолинейных эпюрах, пересекающих ось эле-
мента. т. е имеющих разные знаки, следует прн пользо-
вании формулами таблицы учитывать знаки I и k.
Прн сложных криволинейных эпюрах от заданной
нагрузки и прямолинейных единичных подсчеты можно
упростить, применяя способы, рассмотренные в приме-
ре 2.
Приведенные в таблице криволинейные эпюры пред-
ставляют собой квадратные параболы. Ниже даны фор-
мулы, которые могут быть использованы и для интег-
рирования эпюр, очерченных по кубической параболе,
прн прямолинейных единичных эпюрах.
Схема на грузки	Эпюра	Эпюра М*			
		illllllllllllfl			
		5		5	£
	Куб. парабола	1 —art	~ям	1 Tv*	t a «№
^^тгптПГП	Куб. парабола " ПГГГТТгтг—			11 — srt	i — si (HVMfc)
Любая нагрузка	та« тд-угол ооворо	~(Ъ+Ъ)* та сеченнй на опорах п	о Б 1.2.		“(V'+’aM
494
РАЗДЕЛ е. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Пример 1. В консольной балке с равномерно распре-
деленной нагрузкой иа консоли определить угол поворо-
та опоры А и прогиб конца консоли о«.
Строим эпюры Л1; а — от Л1,—1; б— от Е=1; а—
от внешней нагрузки. Угол поворота т« равен интегра-
лу эпюр рис. 8.S7, а а к прогиб о0 — эпюр 8.54, бив.
По таблице имеем
роЧ	раЧ
*а’~~6-2Е1	12EI'
3.2EI т 4-2 Е/ 24Е/ 1 *	'
Пример 2. Показать способы подсчета интеграла
криволинейной эпюры ригеля рамы, полученной по рас.
чету от заданной нагрузки (рис. 8.58. а) и единичной
эпюры (рнс. 8.58.6) прн деформационной проверке
правильности эпюры (проверку эпюр М см. 8.2.15, при-
мер 2). Рама рассчитана по формулам 8.2.9.
Способ I. Криволинейную эпюру ригеля разложим иа
кубическую параболу с треугольником (рис 8.58. в),
треугольник (рнс 8.58, а) в трапецию (рис 8.58, д).
Формулы для треугольника в трапеции даны в настоя-
щей таблице, для кубической параболы используем ре-
зультаты способа II.
Интеграл равен (прн /—3,6 в сокращении на Е)>
_1_Г_ 2.12» (53 + 37) _3-3,6-8,4-12
3,б[	16-360	12-2	+
+ (5.12+ 4.34)121 — ц,8.
кьМь + хлМл = — (7,85 + 3.95) =* — 11,8.
Способ III [10]. Криволинейная или ломаная эвюра
заменяется эквивалентной ей прямолинейной, у которой
величины крайних ординат равны разности соответству-
Рис 8.58
Способ //. Прн прямолинейной единичной эпюре ин-
теграл по формуле (5.315) равен:
*ьМь + чМл,
где та, та — углы поворота опорных сеченнй от всех на-
грузок на данный элемент (включая опорные моменты),
рассматривая его как простую балку (см. 8.1.2); .Мь,
Mt—опорные ординаты единичной эпюры (в нашем
случае равны единице). По 8.1.2 получки:
1 Г2-12» /3	15 .	\ . 3-12»(0.7-0,7»)
3.61.360.2» ( 4	2 +J+	6
_5.12-12_4,34-12] = j
I [2-12»/	3 \ . 3-12»(0,3 —0,3»)
’'-refer—гг—ё------------------------
5.12Н2 4,34.12]
-----6------Г”] = 3’95=
ющнх ординат двух эпюр: 1) полученной в результате
расчета всей системы; 2) полученной нз расчета рас-
сматриваемого элемента (или участка) от действия за-
данной нагрузки как балкн с обоими заделанными кон-
цами.
Моменты эаделин ригеля на опорах (прн защемлен-
ных обоих концах) по табл. 8.1.4 равны (рнс. 8.58, е):
2-6»/	1	3 \ 3-3.6-8.4»
«ь » = —(* - у+	= 12,19 тм;
—г) + 3‘8,|«3'61=4-37 ,пм-
“	60-2 \	2 /	12*
Крайние ординаты эквивалентной эпюры равны раз-
ности эпюр а и е; на опоре В 5,12—12,19=—7,07; на
опоре D 4,34—4,37=—0,03 (рис. 8.58, ас). Интеграл ра-
вен:
- — (7.07 + 0.03) = -11.8.
6J. РАМЫ
495
Способ III дает заметное сокращение подсчетов прн
сложных эпюрах, в особенности если система рассчита-
на методом, в котором требуется определять концевые
моменты защемления элементов (например, методом де-
формации), и прн стержнях переменного сечения (см.
ниже). Кроме того, приведение всех эпюр только к пря-
молинейным дает возможность пользоваться лишь од-
ной расчетной формулой, что особенно важно прн при-
менении вычислительных машин.
Подсчет интегралов при стержнях переменного сечения (ступенчатых стойках)
_	Двухступенчатые
Одноступенчатые
„	,	. \	. о>
И,—1-f-UV
Эпюры М*
Прн перемножении криволинейных (нлн ломаных) иейнымн—см. способ Ill в примере 2 настоящей таблк-
эпюр по единичным прямолинейным рекомендуется крн- цы и пример в 8.2.10.
волннейные эпюры заменять эквивалентными прямоли-
496
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК, РАМ И АРОК
Эпюра Мл Эпюра Af			1		5
			S	5	
		TTli	аь	— art 2	W. + M 2
$		|1	— rift 1	— rift 3	-L .»(*+2*J
1	5		— rift 2	6	2-«I (», + *.>
МИШИН г			— $ (i. 2	Y > «> + a,> a	— <(2(i*i + M, + Mi4>2Ca*iJ 6
Квадратная парабола лпшб S			3 m		4-5,ra(‘i+‘.)
KuipiTHai парабола г			— lift 3	±л 12	— tf (3ft, + wy 12
Квадратная парабола * 1ТПТПТъх t			— rift 3	— rift 4	— ri (5ft, 4- 3ftJ 12
Квадратная парабола t S			— sift 3	T5'-'	-2-4(4,+34,) 12
Квадратная парабола S			— lift 3	12	— a <3», + *,) 12
Квадратная парабола **(шТПЦ 1111 *•» V			— <» «, + r + 41.) 6	-L st«, + и.)	— s (kJ, + Щ, + 6
Я.2. РАМЫ
497.
Праволаиям Un
Квадратна а парабола	Квадратная парабола ^ЯШИ*	Квадратная парабола £	ЛКУ-* CriT>4 L	s 	f
— Й*т 3 m	LM з	3	2
— si* 3	т	— Sih 12	-Lsrt 4	— HI +a)l* 6
— aU з т	— slk 4	1й 12	-l-s(l + 0)№
	— S (ЗЛ + 51,) k 12	— s(f.4-31,)fc 12	sk |(I + В) 1. + d +«»G1
— tffc IS m m	тг1'"1*	6 m	— i(l + aB)<_» 3	m
Is" */*m	2-М 16	±a№ 10	_Lj(5-p-p*) <k 12
№ m	11 IK — slh 30	2-si* is	12	1
— 4i*ra 6 m	— sib 10	— slk 6	— j(14-a+a‘) <* 12
— »»- 6 m	— slk 16	— slk X	— > (1 4- 0 4- 0’1 <* 12
4-«*». («.+«♦+'<)	— (151, 4-251- 4-281,) to	J-3k (151,4-51, 4- 121.) 60	у U. (I + В) +1, <1 + a) + 21, (1 + aB)l
498
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Эпюра Мд Эпюра		IMIllilllllll- 5	$	«.ШПИШЙ1" $
1—s —*		— tlit 2	— 1 (1 + a) rt 6	J- sf ((1 + p) k, + (1 + a) t
‘Iffllfc		«4»	->	-L' <». + ».)&
L-js-J; J *— M-				
			-Lu- 3	-H*?+*2+‘,S)
8.3. АРКИ
8.3.1.	Геометрические данные осей параболической и круговой арок
а) Параболическая арка
Уравнение осн арки
4/x(Z-x)
----------р-----;
dx	I2
f — стрела подъема.
Nt сечения	X	V	iga	। Сечение ж	X	If	iga.
0	0.00	0.00	4.00	1	0	0.00	0,00	4,00
/	0.05	0.19	3.60	|	1/8	0.125	0.438	3.00
2	0,10	0,36	3.20	|	1/6	0.167	0,556	2.667
3	0,15	0,51	2.80	I	1/4	0.250	0.750	2,00
4	0.20	0.64	2.40	|	3/8	0.375	0,938	1,00
5	0.25	0.75	2.00	|	1/2	0.500	1.000	0.00
6	0.30	0,64	1.60	|	8/8	0,625	0.938	-1.00
7	0,35	0.91	1,20	|	3/4	0,750	0.750	-2.00
8	0,40	0.96	0.80	II	«А	0.833	0.556	—2,667
9	0.4S	0.99	0.40	|	1/8	0.875	0.433	—3.0
10	0.50	1.00	0,00	0	>	1,000	0.00	—4.0
Множитель	J	1	III	В	I	I	1	III
8.2. РАМЫ
499
Продолжение 8.2.23
Квадратная парабола лпшк	Квадратная парабола т	Квадратная парабола	_ и -tf J J- /5 - — J —
-i-j (1+аВ) »_ 3	т	— KS-B-OTK 12	—— s (I 4- а + а*) lb 12	-LM 3
2-V» <> + «*>	— bi |4 + Г СГ’“2£'-3)В 6	Y’P-r 0-26'+ + S'*)1 lb.	£)
	—s*- 15	5	—»* 3
83. АРКИ
Продолжение 8.3.1
Тригонометрические функции углов а
III	x/I	0	0.05	I 0,10	0,15	| 0.2V	| 0,25	I 0.30	I 0,33	| 0.40	0.45	0.50
	sin а	0.894	0.874	0,833	0,814	0,768	0,707	0.625	0.615	0.371	0.196	0
1/2	cos а	0.447	0.485	0.645	0.581	0.640	0,707	0,781	0.857	0,928	0,981	1.000
	sin а	0.800	0.768	0.730	0,682	0,625	0,555	0.470	0,371	0,258	0,132	0
1/3	cos a	0.600	0.640	0.684	0.731	0.781	0,832	0.882	0.928	0.966	0.991	1.000
	sin а	0,707	0.669	0.625	0.574	0.516	0,447	0.371	0.287	0.196	0.100	0
1/4	cos а	0.707	0.743	0.781	0,819	0,857	0,894	0,928	0,968	0,981	0.995	1.000
	sin а	0.62S	0.584	0,639	0,489	0,433	0,371	0.305	0.233	0.168	0,080	0
l/S	cos а	0.781	0.812	0,833	0,872	0,901	0.928	0.952	0,972	0,987	0.997	1,000
	sin а	0,555	0.515	0,470	0.423	0,371	0.316	0,258	0.196	0.132	0,067	0
1/6	cos а	0,832	0.857	0,882	0,906	0,928	0,949	0.966	0,981	0,991	0,998	1,000
	Ina	0,496	0.457	0.416	0.371	0,324	0.275	0,223	0.168	0.113	0.067	0
in	cos a	0.868	0,889	0,909	0.928	0,946	0.961	0.975	0.986	0,994	0,998	1.000
	sin a	0.447	0,410	0,371	0,330	0,287	0,242	0.196	0,148	0.100	0.050	0
1/8	cos a	0.894	0.912	0.928	0.944	0.968	0.970	0.981	0.969	0,995	0,999	1.000
	sin a	0.371	0,339	0.305	0,270	0.233	0.196	0,158	0,119	0,080	0,040	0
1/10	cos a	0.928	0.941	0.952	0.963	0.972	0.981	0,987	0,993	0,997	0,999	1.000
	sin a	0.316	0.287	0,258	0.227	0.196	0,165	0,132	0,100	0,067	0.015	0
1/12	cos a	0.949	0,958	0,966	0.974	0,981	0,986	0,991	0.995	0.998	0,999	1.000
500
РАЗДЕЛ В. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА рЛОК. РАМ И АРОК
6) Круговая арка
Продолжение 3.3.1
Урависяне осн арки
х    --Rsina; y=R cosa—e,
2
P + if
e=R-l. s = 2R^, R = —^-L
l-L		Ординаты осн архи я тригонометрические функции углов a												R:l	
	>U	0	o.os	0.10	0.15	0,20	0.25	0,30	0.35	0.40	0.45	0.50	til		
in 90*	К/ slna сова	0 1,000 0	0.436 0.900 0.436	□ ОС	0,714 0,700 0.714	0.800 0,600 0.800	0.868 0.800 0,866	0,916 0,400 0,916	0,964 0,300 0.954	0.980 0.200 0,980	0.996 0.100 0.995	1.000 0 1,000	1.5708	0,5000	0
Vn,38Z	slna cos a	0 0.965 0,174	0.350 0.886 0,463	0.635	0.666 0.689 0.724	0,765 0.691 0.807	0,843 0.492 0,870	0,902	0.946 0,295 0,955	0.976 0.197 0,980	0.994 0.098 0.995	1.000	1,4179	0.5077	0,0381
.80*				0J616				0,919				1,000			
1/2.856 70®	sin a cos a	0 0.940 0.342	0,291 0,846 0.534	0,482 0,752 0.659	0,625 0.658 0.753	0.735 0.664 0.826	0,822 0.470 0.883	0.889 0,376 0.927	0.938 0.282 0.969	0.973 0.188 0.982	0,993 0.094 0.996	1.000 0 1,000	1,3001	0.S321	0.1820
«га	₽:f sin a cos a	0 0.923 0,385	0.280 0,831 0.556	0.471 0.738	0.615 0.646 0,763	0.728 0,554 0.632	0.816 0.462 0.687	0,885 0,367 0,929	0,936 0.277 0,961	0.972	0,993 0.092 0,996	1,000	1.2740	0.5417	Б
72**22*48*				0,674						0.983		1,000			24
1/3,464	P’t slna соз a	0 0,666 0600	0,253 0,779 0,626	0,442 0,693 0.721	0,691 0,606 0,795	0.709 0.520 0,854	0.803	0,676 0,346 0,938	0.931 0,260 0,966	0.970 0.173 0.985	0.992 0.087 0,996	1.000 0 1.000	1.2092	0,5774	0.2887
60*							0^901								
17«		0 0.600 0.600	0,235	0.421 0,640 0.768	0.671 0,660 0.628	0.693	0.791 0.400 0.916	0,863 0,320 0,947	0,927 0.240 0.971	0.968 0,160 0.987	0,992 0,080 0,997	1.000 0 1.000	1.1591	0,6250	3
отчв-	cos a		0,694			0,877									8
1/6	s-l slna cos a	0 0.690 0.724	0.217	g§.s. ООО	0.650 0.483 0.876	0.675 0,414 0.910	0.778 0.346 0,939	0,859	0.922 0,207 0,978	0,565 0,138 0.990	0,992 0,069 0.998	1,000	1.1033	0.7250	21
43^6'10'			0’784					О; 961				1,000			40
i/e	₽:f slna cos a	0 0.600 0.600	О.209 0.640 0.842	0.386 0,480 0.877	0.638	0.665 0.360 0.933	0,770 0.300 0.954	0,854 0,240 0,971	0.918 0.180 0.984	0.964 0.120 0.993	0.991	1.000	1.0731	0.8333	2
ЭбТОЧО'					0^907						0^998	1.000			3
177	»:/	0 0.628 0.649	0.202 0,475 0,880	0.379 0.423 0,906	0.5Э0 0.370 0,929	0.658 0,317 0.948	0.765 0.264 0,964	0,850 0,211 0,977	0.917 0,168 0,987	0.963 0.106 0.994	0.991 0.053 0.999	1.000 0 1.000	1,0536	0,9464	45
32*53'27*	см a														56
- 1/8	₽:/ sin a cosa	0 0,471 0.882	0.200 0,424 0,906	0.376	0,626 0.329 0,944	0.654	0,761 0.235 0.972	0,848 0.188 0,982	0,914 0,141 0,990	0,962 0,094 0.996	0.990 0.047 0.999	1.000 0 1.000	1.0411	1,0626	15
28*04'20*				0^926		0*959									16
1710	У-1 slna cos a	0 0.38S 0.923	0,196	0,369 0.308 0.961	0,519	0.649 0.231 0.973	0.757 0.192 0.981	0.645 0.154 0.988	О.91Э 0.11S 0.993	0,961	0.990 0.038 0,999	1.000	1.0265	1.3	6
22*37*5*			0^938		0*963					0*997		1.000			6
1/12	tr-l slna cosa	0 0.324 0.946	0.194 0,292 (	о©©	0.618 0,227 0.974	0.647 1 0,195 0,981	0,756 0.162 0.937	0,845 0,130 0,992	0,911 0,097 0,995	0.959 0.065 0,998	0.989 0.032 0.999	1.000	1.0187	1.5417	1,4583
18*B5‘3O*												1.000			
М. АРКИ
501
Продолжение в. 3.1
в) Длина и центр тяжести половины дуги; площадь, ограниченная осою арки; площадь и центр тяжести пазух
Для параболической арки: 4i =0,3731;
3	/
Ъ«= —• — = 0,188/.
8	2
Параболическая
Круговая
t) — расстояние центра тяжести половины дуги аркн от
вертикальной осн;
Fi — площадь одной паэухн;
1)1 — расстояние центра тяжести площади паэухн от вер-
тикальной оси аркн;
F, — площадь, ограниченная осью арки;
т)а — расстояние центра тяжести половины площади,
ограниченной осью аркн, от вертикальной осн.
1 1	Параболические арки				Круговые арки					
	длина половины дуги арки		Fi	-Lf.	длина половины дуги аркн	п	F,	ч.	— F. 2	Пв
0.1									0.514 /	0.253 7	0.0164 Р	0,374 /	0.0335 Р	0.189/
0,2	O.S49 I	0,261 1	0.0333 р	0.067 Р	0.552/	0.263/	0,0314 Р	0.377 /	0.0686 Г	0,192/
0,3	0,602/	0.270 1	0.050 Р	0.1 Р	0.614 /	0,277 /	0,0433 Р	0,381 /	0.1066 Р	0.197/
0,4	0,667 1	0.279 /	0,067 Р	0.133 Р	0.692/	0.296/	0.0512 Р	0.385/	0.1488 Р	0.203/
0.6	0.740/	0.287 /	0.083 Р	0.167 Р	0.785/	0,3171	0,0538 Г	0,383/	0.1962Р	0.212 /
0.6	0.818 /	0,293 /	0.1 Р	О.2 Р						
0,7	0.900/	0.299 1	0,117 Р	0.233 Р	—	—				
0.6	0,985/	0,3025 /	0,133 Р	0.267 Р		—	—			—
0.9	1.072 /	0.306 /	0.150 Р	0,3 Р				__		
1,0	1.161 /	0.309S /	0.167 Р	0.333 Р	—	—	—	—	—	—
8.3.2.	Симметричные трехшариирные арки любого очертания.
Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок
502
РАЗДЕЛ 8. ТАКЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение А 3.2
вл. АРКИ
503
Продолжены е.3.3
Схема нагрузки			Опорные реакции и распоры	ИзгвСающде моменты
лИЖ—£ 1 1		к —Ьд ♦	А-- — ; В-— ; 1	1 Н„ - И* - — °	4	2/	мт — у (^+4,); Формулы также годны для а «0 С нлн а — — 2
L (_\L			и|- о' 1  1 • ? ч I л" 1	
[| пш| Лц! Hi Д		Л	А	— ; в-^; 21	21 на-—^-<7: Нь—^-в}	
д|		*t		|в		
ПО			А—^- & fl——; 61 Н-- — оГ. Нь- — о1 °	12	°	12	
р Л		*2—!			
8.3.3.	Трехшарнириые круговые и параболические арки.
Опорные реакции, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы
от равномерно распределенной нагрузки
> р земуНеии 'карвймчкние г-йстпт
........................1-----------111114111111,11111111111111
Круп ные фК<						Мно- житель	Параболические арки (при L и < 2- поттж совпадают с круговымл^
1 <	1 2	1 3	1 4	1 6	1 н		
*•	U.1465	0,19»	С.2Л&	O.236S	0,2423	1	2-—0,25001 4
Vi	0.7071	0,7272	0,7360	0,7434	0,7466	1	— 1—о.ка>1
	0.2929	О.ЗМЗ	0.3750	0,3890	0.3939	1	— 1— 0.0001
504
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 9Л1
Круговые арки						К л ° ч it	Параболические арки (прн -2. ш ф < <— почти совпадают с круговыми! 10	)
2 t	1 2	1 3	1 4	1 6	1 8		
4	0,5000	0.5000	0.5000	0,5000	0.5000	pi	—->0.50Юр1 2
л,	0,3750	0.3750	0.3750	0.3750	0.3750	nl	— pl - 0,3750 pl 8
	0.2500	0.2915	0,3047	0,3133	0,3163	Pl	— pl -0.3200 pt 25
в,	0.5000	0,5000	0,6000	0,5000	0,6000	Dl	— - 0,5000 pl 2
В,	0.1250	0.1250	0,1250	0,1250	0,1250	pi	— pl -0,1250 pl 8
в.	С.0429	0.0628	0,0703	0,0757	0.0776	pl	2		 	pl — 0,0800 pl 25
н,	0,2500	0.3760	0.5000	0,7500	1.000	pl	0,1250 — f
Я,	0.1250	0,1875	0,2500	0,3750	0,500	pl	O.O62S — /
W.	0,0429	0.0942	0.1406	0.2271	0,3104	pl	0.0400 — 1
М|	-0.0259	-0.0110	-0.0051	-0,0027	—0,0015	pP	0
м.	0	0.0094	0,0124	0,0142	0,0149	pP	— pP — 0,0156 pP 64
м.	0.0107	0,0154	0,0170	0,0182	0,0185	pP	— r.p — 0.01875 pP 160
Qi	0.0732	0,0420	0,0264	0,0128	0,0075	Bl	0
О>	0.0732	0.0420	0,0264	0.0128	0,0075	DI	°
Q.	0.0429	8.0243	0,0124	0,0011	-0,0035		
						Pl	
							lZ 1-М2Я’
							
N.	-0,4263	—0.478?	-0.5722	-0,7948	-1,0826	pl	-0.2900 p< 1/ 1 +-!— Г	(2Ф)-
	-0.2500	-0.2534	—0.2927	-0.3996	—0,5173	dI	-0,1230,11/ 1 +-!— '	сад1
							0,8750 + —1—
А’,							0.1600 ipt	12221.
					—0,3191		
						Dl	/1 + <ад*
П	^нмечаиия:	1. Подстрочи!	ле цифровые m	дексы означай	т схему з в гр уж	СИНЯ.	
2.	Схема аагружения 3—равномерно распределенная нагрузка				на участке длиной с.		при которой изгибающий момент в се
ченнн	Д>—в параболической ил		в сечении а,*	— в круговой О	арке получается наибольшим. Для параболы с-и.4/. для кру		
говой аркн с изменяется в зависимости от стрелы подъема (см. таблицу).							
3	Все значения М, Q и N в таблице даны для сечения арин ла						
8.3. АРКИ
505
8.3.4.	Трехшарннрная параболическая арка. Изгибающие моменты, опорные реакции
и распоры от сосредоточенного груза
Геометрические данные параболических арок-
сы. 8.3.1, о.
Поперечные и продольные силы определяются
по формулам 8.3.2.
№ сече- ния	а — 0,05 1	а-0.101	О-0.15/	а —0.20/	<1-0,25/	0 - 0.30 /	0-0,351	0 — 0.40/	a - 0.45 I	0—0.50/
			Величины и	гнбающих мсмснтов (умножить на			Pl)			
/	0,043	0,036	0.029	0,021	0,014	0,006	0.000	-0.008	-0,015	-0.023
2	0.036	0.072	0.058	0.044	0.030	0.016	0,002	-0,012	-0.026	-0,040
3	О.ОЗО	0.060	0,090	0,069	0,049	0,028	0.009	—0.012	-0.032	-0,063
4	0.024	0,043	0.072	0.096	0,070	0,044	0,018	-0,008	-0.034	—0,060
5	0,019	0.043	0.057	0.075	0.094	0,062	0,032	0.000	-0.031	-0,063
6	0,014	0,028	0.042	0,056	0,070	0,084	0.048	0.012	-0.024	-0.060
7	0,010	0.020	0,030	0,009	0,047	0.058	0,069	0,028	-0,012	-0,063
8	0,006	0.012	0.018	0.024	0.030	0,086	0,042	0,048	8.004	-0,040
9	0.003	0.006	0.009	0.011	0,014	0.016	0.020	0.022	0.025	-0.023
10	0.000	0.000	0,000	0.000	0,000	0.000	0,000	0,000	0,000	0.000
//	-0.002	-0.005	-0.006	0.009	0,011	-0.014	-0,015	-0.018	-0.023	-0,023
12	—0,004	-0,008	-0.012	-0,016	-0.020	-0.021	-0,028	-0.032	-0,036	-0,040
13	-0,005	-0.011	—0,015	-0.021	—0,026	—0,032	-0,036	-0,042	-0.047	-0.063
14	-0.006	—0.012	—0,018	-0.024	-0,030	-0.036	-0,042	-0.048	-0.054	-0,060
15	-0.006	—0.013	-0.018	-0.025	-0,031	-0,038	-0.043	-0.060	-0.056	-0.063
16	-0.006	—0.012	-6.010	-0,024	-0,030	-0.036	-0.042	-0.048	-0,054	-0,060
17	-0,005	-0.011	-6.01S	-0.021	-0,026	-0,032	-0.036	-0.042	-0,017	-0.053
18	-0.094	-0.008	-0,012	-0.016	-0.020	-0.024	-0.028	-0,032	-0.036	-0,040
19	-0.002	-0,005	-0,007	-0,009	-0.011	-0,014	-0,015	-0,018	-0,020	-0.023
	О.95Р	0.90Р	0.85Р	Опорные ре! 0.80Р	1кцнн и рас 0.75Р	поры 0.70Р	0.65Р	O.WP	0.55P	0.50P
В	0.05Р	0.10Р	0.15Р	Д20Р	0.26Р	О.ЗОР	0.35Р	0.40Р	0.4БР	Д50Р
н	0.02SP — 1	0.060Р — 1	0.075? — /	0,ШМ> - /	0.125? - t	0.160Р — f	0АПР - f	0,200?- t	0.22S? - f	0.2SP — f
Таблица может быть использована для построения л. в. М. А, В. Н.	, Пример. Для сечения 3 ординаты л. в. М: 0,03; 0.060; 0,090; 0.069; 0,049; 0.028; 0.009; -0.012; -0.032; -0.053. Для а>0.Ы (груз на правой половине арки) берут значения симметричного сечения /7 (третье от правой опоры): —0.017; —0,042; —0,036; —0.032: —0.02G; -0.021; -0,015; -0.011; -0.005.										
8.3.5.	Трехшарннрная параболическая арка.
Изгибающие моменты, опорные реакции
и распоры от односторонней частичной
равномерно распределенной нагрузки
См. пояснения к 8.3.4
№ сече- ния	a — o.os l	0—0,101	0 — 0,16/	0 — 0,201	а - 0,251	□ -0.30/	а — 0.86 1	а - 0,401	а - 0,45 1	а - 0.601	о—1.00/
			Величины изгибающих моментов (умножить но рР)								
l	0,0010	0.0030	0,0046	0.0069	0,0170	0,0071	0.0073	0.0072	0.0065	0,0056	0
2	0.0009	0.0006	0.0069	0,0094	0.0112	0.0122	0.0127	0.0126	0,0115	0,0100	0
3	и.1ЧЮ7	0.0030	0,0065	0,0105	0,0136	0,0153	0.016Э	0,0164	0.0151	0.0131	0
	U.OOOG	0.0026	0.0052	0.0094	0,0138	0.0163	0,0180	0,0184	0.0172	0.0160	0
5	O.OXM	0.0019	0.0СИ1	0.0075	0,0115	0,0152	0,017?	0,0188	0,0177	0.0156	0
5С6
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение в.3.5
М сече- ния		а - o.w /	fl- 0,151	a-0.20 7	O-0.25 J	e-0,30 4	a—0,351			0*0.50/	tf-I.OO/
6	0.0003	0,0014	0,0030	0.0056	0.0085	0.0122	0,0157	0.0174	0.0169	0.0150	0
7	6 0003	0.0010	0.0021	0.0039	0.0059	0,0084	0,0115	0.0144	0.0145	0,0131	0
8	0.0001	0.0006	0.0012	0.0024	0.0035	0.0049	0,0074	0.0096	0.0106	0.0100	0
9	0,0001	0,0003	G.0006	0.0011	0.0016	0,0025	0,0033	0.0044	0.0051	0.0066	0
Ю	0,0000	0,0000	0.0000	0.0000	0.0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	o.oooo	0
ц	—0.0001	—0.0002	-0,000$	—0.0000	-0.0015	-0.0022	-0.0028	-41.0036	-0,0050	-0.0056	0
12	-0,0001	—0.0004	-0,0010	-0,0016	-0.0027	-0.0CM1	-0.0054	—0.0064	—0.0086	—41,0100	0
13	—0,0001	—0,0005	-0,0012	-0.0021	-0.0034	-0.0051	-0.0068	-0.0084	-0,0110	—0.0131	0
	-0.0001	-0.0006	—0.0014	—0.0024	-0.0039	-0.0058	-0.0077	—O.UO96	-41.0125	—0,0150	0
1$	-0.0002	-0.0006	—0,0018	-0,0025	-0.0040	-0.0060	-0.0080	-41.0100	-О.О1Э0	—0.0166	0
/6	-41,0002	-О.ОЭОб	—0,0014	-0,0024	-0.0038	-0,0057	—0,0076	-0.0096	-0.0124	—0,0160	0
17	—O.CtOT	-0,0005	-0.0012	—0.0021	-0.0033	-0,0049	-0,0066	-0.0084	-41.0106	-0.0131	0
18	—0.0001	-0.0004	-0.0009	—0.0016	-0,0026	—0,0038	-0.0051	—0,0064	-0.0063	—0.0100	0
19	-0,0001	-0,0002	-0.0005	-0,0009	-0,0014	-0,0021	-0,0028	-0.0036	—0.0046	-0.0056	0
				Опор	и ыe pea	к а и и н	а с п о p ы				
А	o.oepi	o.095pl	O.I39pJ	O.lWp/	0,219pt	0,255p/	0.289pl	0,320p/	О.349Р/	0,375pl	О.бООр/
В	O.OOIpl	О.ОО5р/	0.01 Ipi	0,020р/	ojmpi	O,O45pf	o.oeip/	O.OSOp/	O.lOlpl	O.I25pi	O.SOOpl
н	0.0006 ЕН	0.002S —	0.0066 —	0.0100 —	0.01И —	0.0230 EH	0.0310 —	0.0100 —	0,0510 —	0.0623 Ell	0.12S0 —
	t	/	1	t	1	f	1	1	1	I	I
8.3.6.	Трехшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты, опорные реакции
и распоры от симметричной частичной равномерно распределенной нагрузки
Л се- чения	0.45 1	Размер о при нагрузке по схеме /							|	0,05 1
		0,40 1	| 0.35 1	1 0.30J	| 0,25 1	1	0.201	|	0.15 1	I 0.101	
	0.05 1	0.10 1	| О.1Б 1	Размер 0.20 1	а при иаг| 0,25 1	узка по схеме 0.30 1	2 0.35!	0.40/	0,451
Величины изгибающих			м о м е в т о □с	в для нагрузки по схеме схеме 2 знакн менять на обратные			/ (умножить на рР). Dpi		нагрузке
।	-41,0009	-41,0028	-0.0Ы1	-0.0060	-0.0056	-0,0050	-41.0045	-0,0096	-41.0019
2	-0,0006	-0.0032	-0,0061	—0.0078	-0.0066	-0.0064	—0.0076	-0,0062	-O.OU32
3	-0,0006	-0.0025	-0.0053	-0.008-1	-0.0103	-0.0104	-41.0097	-41,0060	-0,0043
4	-41,0004	-0.0020	-0.0038	-0.0070	—0,0089	—0.0106	-41.0104	-0,0068	-0,0048
5	-41.0002	-0.0013	-0.0023	-0,0050	-41,0075	-0.0092	-41.0097	-41.0088	-0,0047
6	-41,0002	—0,0008	-0.0016	-0.0032	—0.0046	-0,0064	-0.0087	-0,0078	-0,0044
7	-0.0002	-0.0005	-0.0009	-0,0018	-0,0025	-0.0033	—0,0047	-41,0060	-0,0035
8	0,0000	-0,0002	—0.0002	-0,0008	-0,008	—0,0003	-0.0020	-41,0032	—0,0020
9	0.0000	-41,0001	-0.0001	-0.0002	-0.0001	-0.0003	-0.0005	-41.0006	—0,0001
Ю	0,0000	0.0000	0.0000	о.оооо	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
		Опор н ы	е реакикк м распоры			для схемы	н а гружн	f	
A В	0,4Бр( OASpl	0,40р/ О,40р7	0,35р/ 0,35р/	О.ЭОр/ О.ЭОр/	О,25р/ 0,25р/	О.СОр/ 0.20р/	0.15р/ O.lSpi	О.Юр/ О.Юр/	0,05р/ 0,05р'
H	0,1238 ЕН 1	0,1200^— 1	0.1138 — 1	0,1050 — 1	0.0938 — 1	0,0790— 1	0.0630 Ell 1	0,0460 EL /	0.0230 -— 1
		Опорные ре а к и		ни н распоры для схемы			нагрузки	2	
А В	0,05р/ O.OSpt	0,10р/ О.Юр/	0.15р/ 0,15р/	0,20р/ о.аор/	0,25р/ 0,25р/	О.ЭОр/ О.ЭОр/	О,35р/ О,35р/	0.40pl 0.40р/	0,45р/ 0,45р/
н	0.0012 — 1	0.0060 р— 1	0.0112 — 1	0.0200 — 1	О.С312— 1	0.0460 1	0.0S20£iI 1	O.WOO— 1	0,102оЕИ /
8.3. АРКИ
507
8.3.7.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты,
распоры и опорные реакции от различных нагрузок
Очертание осн арки по квадратной параболе (гео-
метрические данные осн см. 8.3.1, а)
Принятые обозначения:
че; Е — модуль упругости материала арки; Е,. F, — мо-
дуль упругости материала затяжки, площадь сечения
,	„ Е'с
затяжки; f — стрела подъема; ₽ = —— .
«Л
Сечение арки изменяется по закону /cosa=/<- (убы-
вание от опор к ключи)где а — угол между касатель-
ной к оси и горизонтом.
Коэффициент k определяется следующим образом.
1с. Fc— момент ннерцнн н площадь сечения арин в клю-
1 С достаточной для практических целей точностью форму-
лани таблицы можно поаьлоавться в при расчете арок постоян-
ного сечения, см. II. стр. 1511.
Тип арки	Формулы ала определения k	
Прн учете влияния продольной силы на арку (обжатие) н за-		При учете влияния продольной силы только на затяжку ft-l: v-0
Без затяжки	.	1	IS » —	: v—	— 1+’	В FCP	
С затяжкой п — коэф<	к	V,—К-.-М—+ — 1 + V,	В г \e,F. FJ жциеят, зависящий от отношения f/Z	1	15	*еЕ	15	6 ft —	 ; V, —	—	ИЛИ V, —		. l + Vj	e	fE.F,	в	Г "“Л А в /•
Значения п
/л	1/3	1/4	1/S	1/6	1/7	1/8	1/9	П/ю	1/15	1/20
л	0.6960	0.7852	0.8434	0.8812	0.9110	0,9306	0,9424	0.9521	0,9706	0,9888
Продольные и поперечные силы в сечениях арки on- распору Н-, для усилий в затяжке от горизонтальной пе-
ределяются по формулам 8.3.2.	грузки в таблице приведены соответствующие формулы.
Усилие в затяжке при вертикальной нагрузке равно
Схема нагрузки	Моменты я реакция	Схема в а грузмя	Моменты к реакции
508
РАЗДЕЛ е. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
л —8-0; н—Р;
, ИРГ ,
“ 8/- + 1SB '
Me--W + Z) I
*'pf .
W + 15₽» ’
И -Щ:
М-----L„p-zi
4
8.3. АРКИ
509
Продолжены* 8.3.7
	Схема нагрузки	Моменты н реакции	|	Схема нагрузки	Моменты и реакция
	J	С	^**4.	л — 2С-; В-5С-; 61	6/ О.792рр .	pf_.	^-^7	к И	R	Л»еС.:В — еЕ... ы	61 З.ЯВрР . 8/*+153 ’
р	ий»? с запяитви 1 гЬ я	el	ар + lop	2 м		ZI с 12	^•1 Сзапзтиой 1 *" Р д!	♦«	H--SE; 2 "«	^рГ‘~г1
Л	р f"a	«о —-0,714 pf: Нь — 0.286 pf; А-- —; В--А: 22 Л^-~ 0,0357 др	Относительное горизонтальное смещение опоры С 			 МлТ	л	5! -Ьк : • I в1з 1 ?  $е
		\ j/Нд	 IF	W	на - - 0.401 Df: Нь - 0.099 р{; Д - -	; В - - А 61	। Мс — — 0.0159 рр	Равномерный нагрев на <° С а— коэффициент линейного расширения	15	£!М Н — -- —?—». в Р А—В—О; мс — — И/
8.3.8.	Двухшарнирная параболическая арка. Изгибающие моменты,
распоры и опорные реакции от сосредоточенного груза
Сечение арки меняется по закону 1 cosa = 1С. где/,—момент инерции
сечения арки в ключе.
Изгибающий момент в любом сечении арки
Л4, =	- Нук.
Величины Л1° (моменты в простой балке) и Ну даны в настоящей
таблице. Коэффициенты к определяются по формулам 8.3.7.
№ сечения	all									
	о.ы	ели	О’"	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45	0.60
				Величины мР ( множитель Р1}						
	0.0475	0.0450	0,0425	0,0400	0.0375	0,0350	0,0325	0,0300	0,0775	0,0280
	0,0450	0.0900	0,0850	0,0800	0,0760	0,0700	0.0650	0,0600	0,0650	0.0600
	0,0425	0,0880	0,1275	0,1200	0,1125	0,1060	0,0975	0.0900	0,0825	0.0780
	0.(400	0,0800	0,1200	0,1600	0,1500	0,1400	0,1300	0,1200	0,1100	0.1000
	0.0375	0.0750	0,1125	0,1500	0.1875	0,1760	0.1625	0.1600	0,1375	0.1250
	0,0350	0.0700	0,1050	0,1400	0.1760	0.2100	0.1950	0.1800	0,1650	0.1600
	0.0325	0.0650	0,0975	0,1300	0.1625	0.1960	0.2275	0.2100	0,1925	0.1750
	0,0300	о.оеоо	0,0900	0,1200	0,1500	0,1800	0.2100	0,2400	0,2200	0,2000
	0.0275	0.0550	0,0825	0,1100	0,1375	0,1650	0,1935	0.2200	0,2475	0,2260
	0,0250	0.0500	0,0760	0,1000	0,1250	0.1600	0.1750	0.2000	0.22S0	0.2500
	0,0225	0.0450	O.O67S	0,0900	0,1125	0.1350	0,1675	0.1800	0.2025	0.2250
	0,0200	0.0400	0,0600	0,0800	0,1800	0.1200	0.1400	0.1600	0.1800	0.2000
	0.0176	0.0350	0,0625	0,0700	0,0875	0,1060	0,1225	0,1400	0,1675	0,1760
	0,0150	0.0300	0,0450	0,0600	0,0760	0,0900	0,1050	0.1200	0,1350	0,1500
510
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.3.6
Кг сечение	о:1									
	0,05	0,10	0,16	0,20	0,25	0.30	0,35	0,40	0.4S	|	0.60
/5 16 17 18 19 А	0,0125 0,0100 0.0076 0.0060 0,0025 0.00S9 0.0112 0.0169 0.0199 0.0233 0.0261 0.0283 0,0299 о.оэое 0.0311 о.оэое 0,0299 0,0283 0.0261 0.0233 0,0199 0.0169 0.0112 0.0059 0.95?»	0.0250 0,0200 0,0160 0.0100 0.0060 0,0117 0,0221 0.0313 0.0392 0.0460 0,0516 0,0658 0.0689 0.0607 0.0613 0.0607 0,0689 0.0658 0.0516 0.0460 0.0392 0.0313 0,0221 0.0117 О.90Р |	0.0375 0.0300 0.0225 0,0160 0.0075 В 0.0171 0,0324 0.0458 0.0675 0.0674 0,0755 0.0819 0,0863 0.0890 0,0899 0.0890 0,0863 0,0818 0.07S5 0.0674 0,0575 0,0458 0.0324 0,0171 0 О.65Р |	0,0600 0.0400 0.0300 0.0200 0.0100 еличины Hi 0,0220 0.0418 0.0592 0.0742 0.0870 0,0974 0,1056 0,1114 0.1148 0,1160 0.1148 0,1114 0.1056 0.0974 0.0670 0.0742 0,0592 0,0418 0,0220 первые реи о,ам> |	0,0625 0.0500 0,0376 0.0250 0.0125 (множится 0.0264 0.0501 0.0710 0.0891 0,1044 0.1169 0,1266 0.1336 0.1378 0.1392 0.1378 0.1336 0,1266 0.1169 0,1044 0.0891 0.0710 0,0501 0,0264 кцни н рис O.7SP |	0.0750 0.0600 0.0460 0.0300 0,0160 ь W) 0.0302 0.0672 0.0610 0,1016 0,1191 0,1334 0.1445 0.1625 0.1672 0.1588 0.1572 0.1625 0.1445 0.1334 0.1191 0,1016 0.0810 0.0672 0,0302 поры О.70Р |	0.0875 0.0700 0.0525 0.СВ50 0.0175 0.0332 0.0628 0,0890 0.1117 0,1309 0.1466 0.1589 0.1676 0.1728 0,1746 0.1728 0,1076 0.1589 0.1466 0,1309 0.1117 0,0890 0,0628 0.0332 О.65Р |	0,1000 0.0800 0.0600 0.0400 0,0200 0.0353 0.0670 0,0949 0,1190 0.1395 0,1662 0.1693 0.1786 0,1641 0,1860 0.1841 0,1786 0,1693 0,1562 0,1395 €.1190 0.0949 0.0670 0.0353 0.60Р	|	0,1125 0.0900 0.0675 0.0450 0.0225 0.0367 0.0695 0.0984 0,1235 0,1447 0,1621 0.1756 0.1853 0.1911 0,1930 0,1911 0,1853 0.1756 0,1621 0.1447 0,1235 0.0984 0,0696 O.O3G7 О.Б5Р |	0.1250 0.1000 0.0750 0.0500 0,0250 0.0371 0,0703 0.0996 0,1250 0.1466 0.1641 0,1777 0,1875 0.1934 0,1963 0.1934 0,1675 0.1777 0.1641 0.1465 0,1250 0,0996 0.0703 O.O37I 0.60Р
в	0.С6Р	0.10Р	0.16Р	0.20Р |	0.2SP |	О.ЗОР |	0.35Р	|	0.40Р	|	О.45Р |	0.60Р
« ( м множитель “у	0.0311 )	0,0613	0,0999 |	U, 1160 |	0,1392 |	0,1683 |	0,1743 |	0,1860 |		0,1930	0.19S3
8.3.9. Двухшариирная параболическая арка. Изгибающие моменты,
распоры и опорные реакции от частичной
равномерно распределенной нагрузки
Сечение арки меняется по закону / cos а. = /с,
где — момент ннерцнн арки в ключе.
Изгибающий момент в любом сечении арки:
Afx = M2 —ЯуЛ-
Величины Л1^ (моменты в простой балке) и Ну приведены в таблице.
При схеме эагруження I: Л1° = Л|Д/2; Ну = kjpl2.
Прн схеме эагруження П: Л1° = ftjp/2: Ну = ^f2.
Коэффициенты k определяются по формулам 8.3.7.
м	Коэффм-	azl									
сечения	циенты	0,06	0.10	O.1S	0.®	0,2S	0.30	и.35	0.4U	|	0.45	0.50
Величины М® X						/	рг\ 1 множитель	1 1	iooj					
1	А.	0.1188 0,1313	0.3500 0,2750	0,5688 0.4313	0.7750 0.6000	0.9688 0.7813	1.1500 0.9750	1.3188 1,1813	1.4750 1,4000	1.6188 1,6313	1,7500
2		0,1113 0.2625	0.4500 0.6500	0.8875 0,8625	1.3000 1.2000	1.6875 1,5625	2,0500 1,9500	2,3875 2,3625	2,7000 2,8000	2,9875 3.1388	3,2500
8.3. АРКИ
511
Продолжение 8.3.9
№	Коэффн-	аг!									
сечення	ЦИСНТЫ	0.05	0.10	0,15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45	0.50
3		0.1062 0.3938	0,4250 0,8250	0.9563 1.2938	1.5750 1.8000	2.1563 2.3438	2,7000 2,9250	3.2063 3,5438	3,6750 4.1750	4.0063 4.3938	4,5000
4		0,1000 0.5250	0,4000 1.1000	0.9000 1.7250	1,6000 2.4000	2,3750 3.1250	3.1000 3,9000	3.7750 4.6000	4,4000 5.1000	4.9750 5.4000	5.5000
5	£	0.0938 0.6568	0.3750 1,3750	0.8438 2.1568	1,5000 3.0000	2.3238 3,9263	3,2500 4.7600	4.0938 6,4063	4,8750 5,8750	5.5938 6,1564	6.2500
6		оо 38 СЛ СЛ	0.3500 1.6500	0.7875 2.5876	1,4000 3.6000	2,1875 4.6625	3.1500 6.3500	4,1626 6.9625	6.1000 6,4000	5.9625 6.6625	6.7500
Т	А«	0.0813 0.9188	0.3250 1.9250	0.7313 3.0188	1.3000 4,0750	2,0013 4,9688	2,9250 5,7000	3.9813 6.2688	5,0750 6.6760	6,0813 6.9188	7.0000
8	*1 *»	0.0760 1.0500	0.3000 2.2000	0,6750 3.3260	1.2000 4.3000	1.8750 5.1260	2.7000 5.8000	3.6750 6.3260	4.8000 6,7000	5.9500 6.9250	7.0000
9	А. *7	0,0688 1.1813	0.2750 2.3500	0,6188 3.4438	1,1000 4.2750	1.7188 6.0313	2,4750 6.6500	3.3688 6.1313	4,4000 6.4750	5.5688 6.6813	6,7500
10	*.	0.0626 1.1875	0.2500 2.2500	0,6625 3.1876	1.0000 4.0000	1.6625 4.6875	2.2500 5.2500	3.0626 6.6875	4.0000 6,0000	5.0626 6.1675	6,2500
и	*	0.050 1.0688	0.2260 2.0250	0.6063 2.8688	0.9000 3.6000	1.4063 4,2188	2.0280 4.7000	2.7563 6,1188	3.6000 5,4000	4.5563 5,5689	5.6250
12	«1 *я	; 0.0500 0,8500	0,2000 1.6000	0,4500 2.5600	0,8000 3.2000	1,2500 3.7500	1.8000 4,2000	2.4500 4,5500	3.2000 4.8000	4.0500 4.9500	5.0000
а		0.0437 0.8313	0.1760 1.5750	0.3938 2,2313	0,7000 2.8000	1.0938 3.2813	1.6750 3.6760	2,1438 3.9613	2,8000 4,2000	3,6438 4.3313	4.3760
14	А«	0,0375 0.7126	0.1500 1.3500	0.3375 1.9125	0.6000 2.4000	0.9375 2,0126	1.3500 3.1600	1,8375 3.4126	2,4000 3,6000	3,0375 3.7125	3,7500
15		0,0313 0.5938	0.1250 1.1250	0,2813 1.6938	0.6000 2.0000	0.7813 2,3438	1.1250 2,6260	1,5313 2.8438	2,0000 3.0000	2.6313 3,0938	3,1250
16		0,0250 0,4750	0.1000 0,9000	0.2250 1,2760	0,4000 1.6000	0.6250 1,8750	0.9000 2.1000	1.2250 2.2750	1.6000 2.4000	2.0250 2,4750	2.5000
17	>1 *1	0.0188 0.3663	0.0750 0.8750	0,1688 0.9583	0.3000 1.2000	0.4688 1,4063	0,6750 1.6750	0,9188 1,7063	1,2000 1.8000	1.5188 1,8563	1,8750
18	£	0,0125 0.2375	0.0600 0.4500	0.1126 0.6375	0,2000 0.8000	0.3125 0.9375	0.4500 1.0600	0,6125 1,1375	0.8000 1.2000	1.0125 1,2375	1.2500
19	Ai А»	0,0063 0.1188	0.0250 0.2250	0,0563 0,3188	0,1000 0.4000	0,1663 0,4688	0,2250 0,5250	0,3063 0.6688	0,4000 0,6000	0.5063 0,6188	0,6250
				Величины Ну		(	ргх |ЫНОЖ1ГТСЛЬ —1 \	looj					
1	*• А.	0,0148 0.1848	0.0588 0.3659	0,1309 0,8368	0.2288 0.6965	0.3510 0,6365	0,4921 0.9587	0,6507 1.0567	0,8216 1,1287	1,0027 1,1727	1.1875
2	Й, А,	0,0280 0,3502	0,1114 0,6834	0,2478 1,0175	0,4334 1,3177	0,6650 1,5850	0,9323 1,6166	1,2329 2,0022	1,5566 2,1386	1,8998 2,2220	2,2800
512
РАЗДЕЛ в. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.3.9
№ сечем»	Коэффи- циенты	azl									
		0,05	0,10	0.15	0.20	0.25	0,30	0,35	0.40	|	0,45	|	0.60	
	*	0.0398 0.4961	0,1579 0,9823	0.3510 1,4408	0,6140 1.8667	0.9421 2.2454	1.3208 2.6735	1,7467 2.8365	2,2052 3.0297	2.6914 3.1478	3.1875
4		0.0499 0.6225	0,1981 1,2326	0,4405 1.8081	0,7706 2,3426	1.1822 2.8178	1,6574 3.2294	2,1919 3.5595	2.7674 3.8019	3.3775 3.9501	4.0000
6	I:	0,0685 0.7295	0.2321 1.4445	0,5162 2,1189	0.9030 2,7452	1.3854 3,3021	1.9423 3,7845	2,5686 4,1713	3.2430 4,4554	3.9580 4,6291	4,6875
6	*:	0,0655 0.8170	0,2600 1,6178	0,6781 2,3731	1,0114 3,0746	1.5516 3,6984	2,1754 4.2386	2.67® 4,6719	3.6322 4.9900	4.4330 5.1845	5.2500
7		0.0709 0.8851	0,2817 1,7527	0,6263 2,6709	1,0956 3,3308	1,6809 4,0066	2.3567 4,5919	3,1166 5,0612	3.9348 5.4059	4.8024 5.6166	5.6875
8		0.0748 0,9338	0,2971 1.8490	0,6607 2.7121	1,1558 3.5138	1.7733 4,2267	2.4862 4.8442	3,2878 5,3393	4,1510 5,7029	5.0663 5,9252	6.0000
9	I:	0,0772 0.9629	0,3064 1,9067	0.6813 2.7969	1.1920 3.6237	1,8287 4,3588	2.5639 4.9955	3,3906 5,5062	4,2808 5,8811	5,2246 6,1104	6.1875
10		0,0779 0,9727	0.3095 1.9260	0,6882 2,8262	1,2040 3.6603	1.8472 4,4028	2.5898 5.0460	3,4248 5,5618	4,3240 5.9405	5.2773 6.1721	6,2500
п		0,0772 0.9629	0,3064 1,9067	0,6813 2,7969	1,1920 3,6237	1,8287 4,3588	2,5639 4.9956	3.3906 5.5062	4.2808 5,8811	6,2248 6,1104	6.1875
12	£	0,0748 0,9338	0,2971 1,8490	0.6607 2.7121	1.1568 3.5138	1.7733 4,2267	2.4862 4,8442	3,2878 5.3393	4,1510 5,7029	5,0663 5,9252	6,0000
13		0,0709 0.8851	0.2817 1,7527	0,6263 2,5709	1.0956 3.3308	1,6809 4.0066	2.3867 4,5919	3,1166 5.0612	3.9348 5.4059	4.8024 5.6166	5.6875
14		0.0655 0.8170	0.2600 1.6178	0,5781 2.3731	1.0114 3,0746	1.5516 3,6984	2,1754 4.2386	2,87® 4.6719	3,6322 4.9900	4.4330 6.1845	5,2500
15	*:	0,0585 0,7295	0.2321 1.4445	0,5162 2,1189	0,9030 2,7452	1,3854 3,3021	1,9423 3,7845	2.5686 4,1713	3,2430 4,4554	3.9580 4,6291	4,6875
16	*:	0.0499 0,6225	0.1981 1.2326	0.4405 1,8081	0.7706 2.3426	1.1822 2.8178	1,6574 3,2294	2.1919 3,5595	2,7674 3.8019	3,3775 3,9501	4.0000
/7	h.	0.0398 0.4961	0.1579 0.9823	0.3510 1.4408	0.6140 1.8667	0,9421 2,2454	1,3208 2,5735	1,7467 2,8365	2,2052 3.0297	2.6914 3.1478	3.1875
18		0,0281 0,3502	0,1114 0,6934	0,2478 1,0171	0,4334 1.3177	0,6650 1,5850	0.9323 1,8166	1,2329 2,0022	1,5566 2,1386	1.8998 2,2220	2.2500
19		0,0148 0,1848	0.0558 0,3659	0,1309 0,5368	0,2288 0,6355	0,3510 0,8365	0,4921 0.9587	0.6507 1.0567	0.8216 1.1287	1.0027 1,1727	1.1875
Опорные реакции (множитель pl) н распори					(множитель	(подстрочные индексы означают схему за гружения)						
41 В1		0.049 0,001	0,095 0,006	0,139 0,011	0,180 0,020	0.219 0.031	0,255 0.045	0,289 0,061	0.320 0.080	0,349 0.101	0,375 0.125
чГ «Г		©о	оо	0,086 0,064	0.12U 0,080	0.156 0,094	0.196 0.105	0,236 0.114	0.280 0,120	0.326 0.124	0.375 0.125
«1 «п		0.0779 0.9727	0,3095 1.9260	0,6882 2,8252	1.2040 3.6603	1.8472 4,4028	2.5898 5.0460	3.4248 5.5618	4,3240 5,9405	5.2773 6.1721	6.250 6.250
8.3. АРКИ
513
8.3.10.	Двухшариирная круговая арка. Изгибающие моменты и распоры
от сосредоточенного груза
Сечение арки постоянно. Геометрические данные оси арки см. в 8.3.1, б.
Изгибающий момент о любом сечении арки
Мж= М°— Ну.
Величины М® (моменты в простой балке) см. в 8.3.8.
Величины распоров* H=Pko, где —табличные значения.
Значения у (ординаты оси арки) см. в 8.3.1, б.
Поперечные и продольные силы в сечениях арки определяются по фор-
мулам 8.3.2.
ffl или а*										
	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0.40	0,45	0.60
1/2	0,0606	0,1146	0.1623	0.2037	0.2387	0,2673	0.2896	0,3055	0,3151	0,3182
«Г	0,0754	0,1428	0.2023	0,2539	0,2976	0,3333	0,3610	0,3809	0,3923	0.3967
70°	0.(1933	0,1768	0,2504	0,3142	0.3682	0,4124	0.4468	0,4714	0.4861	0.4910
1/3	О.ОУЩ	0,1861	0.2636	0,3308	0.3877	0,4341	0.4692	0,4962	0.5117	0.6169
иг	0.1159	0.2195	0,3110	U.3902	0,4573	0.6122	O.S549	0,5854	0.6037	0.6097
1/4	0,1341	0.2541	0.3600	0,4517	0,5294	0,5929	0,6407	0.6776	0.6988	0.7069
I/S	0,1718	0,3256	0,4612	0,5787	0,6783	0,7692	0.8209	0.8681	0.8952	0.9043
1/6	0.2064	0,3911	0,5541	0,6953	0,8149	0,9125	0,9862	1,0429	1.0755	1.0865
1/7	0,2425	0,4695	0.6510	0,0169	0,9574	1,0721	1.1587	1,2254	1.2636	1.2765
1/8	0,2782	0,6272	0,7468	0,9371	1,0983	1.2299	1.3292	1.4067	1,4497	1.4644
1/10	0,3526	0,6682	0,9466	1,1878	1.3921	1,6688	1.6847	1.7817	1,6374	1.8561
1/12	0.4195	0,7950	1,1261	1,4131	1.6562	1.8546	2.0044	2.1197	2,2871	2,2082
8.3.11.	Двухшариирная круговая арка. Изгибающие моменты
и распоры от частичной равномерно распределенной нагрузки
Сечение арки постоянно. Изгибающий момент в любом сечении арки
Мх=Л^-Ну.
Величины (моменты в простой балке) см. в 8.3.9.
Величины распоров Н*:
при схеме эвгружеиия / H=ktpl;
при схеме загружения //	где — табличные коэффициенты.
Значения у (ординаты осн арки) даны в 8.3.1, б.
Поперечные и продольные силы в сечениях арин определяются но фор-
мулам 8.3.2.
1Л нлн	Коэффи- циенты	о:/									
		0,05	0,10	0,16	0,20	0,25	О.Э0	0.35	0,40	0.45	0,50
|/г	£	0.0015 0.0162	0.0059 0.0317	0.0128 0.0465	0.0220 0.0604	0.0330 0.0731	0.0457 0,0841	0.0596 0.0933	0,0744 0.1002	0,0899 0.1046	0.1061
80*		0.0019 0.0202	0.0074 0.0402	0.0160 0.0588	0.0274 0,0751	0.0412 0.0910	0,0571 0.1048	0.0734 0.1162	0.0920 0,1248	0.1120 0.1303	0,1322
70°	*1	0.0023 0.0248	0.0091 0.0487	0.0198 0.0717	0.0339 0.0931	0.0510 0.1126	0,0705 0.1297	0,0919 0,1438	0,1149 0,1545	0.1388 0.1613	0.1636
1/3		0,0025 0.0258	0.0096 0.0510	0.0208 0.0761	0,0356 0.0977	11,0536 0,1182	0.0741 0,1362	0,0957 0,1610	0.1208 0,1622	0,1460 0,1693	0.1718
60*	*1	0.0029 0.030$	0,0113 0.0603	0.0246 0.0888	0,0422 0.1155	0.0634 0.1398	0.0877 0,1610	0.1144 0.1786	0,1429 0.1919	0,1727 0.2003	0,2032
" Влияние продольно!) силы на деформацию арки не учтено. Прн пологих арках ()<//6) влияние продольной силы можно учсст.
приближенно, умножив величину Н на коэффициент Л (см. 0.3.7).
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 6.3.11
1/1	Коэффи- пявпы	a:i									
		0.06	0,10	0,16	0,20	0.2S	0.30	0,35	0.40	0.45	0.50
1/4	*1	0,0033 0,0362	0,0131 0,0706	0,0284 0,1025	0,0487 0,1334	0,0732 0,1614	0,1012 0,1859	0,1321 0,2062	0,1640 0,2215	0.1984 0,2313	0,2346
1/5	fr,	0,0043 0,0451	0,0167 0.0892	0,0364 0,1314	0,0624 0,1709	0,0928 0,2078	0,1297 0,2382	0,1692 0,2642	0,2114 0,2839	0,2555 0.2963	0,3006
1/5		0,0052 0,0542	0,0201 0,1071	0,0437 0,1578	0.0749 0,2053	0.1127 0,2484	0,1568 0,2862	0,2033 0.3174	0,2540 0,3410	0,3069 0,3559	0.Э611
Ш	£	0,0061 0,0636	0,0236 0,1258	0,0514 0,1854	0,0880 0,2412	0,1324 0,2919	0,1831 0,3363	0,2389 0,3729	0,2985 0,4007	0,3607 0,4182	0,4243
1/6	fr.	0,0069 0,0730	0,0271 0,1444	0,0589 0,2127	Sts SR □ o'	0,1519 0,3348	0,2100 0,3857	0,2740 0,4278	0,3423 0,4596	0,4137 0,4798	0,4867
1/10	J:	0,0088 0,0925	0,0343 0.18»	0,0747 0.2696	0,1280 0,3507	0,1925 0,4244	0,2662 0,4889	0,3473 0.5422	0,4339 0,6826	0,6244 0.6061	0.6169
1/12	*> и.	0,0105 0.1100	0.0409 0,2176	0,0889 0,3207	0,1523 0,4171	0,2290 0,6049	0.3168 0,5816	0,4132 0,6450	0,6163 >0.6930	0.6239 0.7234	0.7339
8.3.12.	Бесшариирные параболические арки
Изгибающие моменты, распоры и опорные реакции от различных нагрузок
Очертание оси арки — пологая квадратная варабола.
Сечение арки изменяется по закону*
/соза = /с,
где а—угол между касательной к оси и горизонтом;
1С—момент ииерцнн арки в ключе.
На схеме показано положительное направление мо-
ментов и реакций.
В приводимых в таблице формулах коэффициент k
учитывает влияние продольной силы (обжатия):
.	1	45	/.
k ------, v = — • ——,
1+v’	4 FCP'
lc Fc — момент ииерцнн, площадь сечения арки в ключе.
Если пренебречь влиянием обжатия, то v=0. й»1.
Поперечные и продольные силы определяются по фор-
мулам 8.3.2.
Геометрические характеристики осн арки см. в 8.3.1, о.
Схема пагруекв		Опорные реакция в распоры	Изгибающие ыомевты
n f—rt—. г n	}-B	л-{•*(!+ 2?) Р; в-Г (1+тг>₽: И —Я — < /	Л ' ь '	1 “|5 5	5	л .. о 3	" Д. * 7 л “|е «1» “Is “1- 7 7
* Численные еначима меиемтои в распоре» аров с аащеиаеииыын концами востояввоЯ толщины от различных нагрузок
см. |12.23J.
8Л. АРКИ
615
Продолжение 8.3.12
Схема нагрузки				Опорные реакции и распоры			Иэгвбающве момевты		
	,_ 1	/ t		А = В — — -, 2			I «1» “Iе '—' 1 Е|« >Г- 1 S ® 5?	1 •	5“ Z		
	г~7	L 2							
				H-2L ”-k ы /			Прн * — 1 М„-М.-— ; Мг-—Р1 °	" И	с 64		
р						д_ 3 р1 .	Л.					
Q Арц	М»				i ч« 1 I 1 -о |~ , ।  3=0 3			м --Г—; Мь - — М -0 °	в	ь а	‘		
				/	0,1	0.2	0,3	0.4	По данным втоЛлвблмцы можно постро- ить л. в. опор- ных моментов, распоре н опорных реакций от гор н зон таль» ноя сиды
	р_					А	-0.097 ^- /	-0.307 fL 1	-0.509^- 1	—0.692 ^L (	
А		"ъ i			на	-о.кмр	~-е,тр	-0,БГ2Р	-0.6I0P	
и •= - А; нь « Р - На				ма	-О.224Р/	-QJXPf	—O.VS2PI	-0.18ЙР/	
				*•*	0,039Р/	0,097Pf	0,129Pf	0.131Р/	
1 с				=ls 1 : 03	 .. * %1’ г । "IS 4 1 3?			„	61 _ „	IS „ М- — — — pft Mb 		в /'. °	280	’aw М. — — вР е ма		
А\На	"ь									
			Р	л = л--£1-: а	Ч При ft = 1 н-’± W			1 i 1 Ф = 7f 1 ^Is S.i“ » 1	5	5		
	lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllli								
.s'®			*8						
	_ 1 —			А — — pt-, В “ — pt; 32	32 16/ При t “ 1 H-S^ W1			*•„- — — <11—8*7: °	191 м’" №(в*"”: ме-££-(1-»>.		
	,iiiiiiiiiiiiiiiiii:								
									
							При к -1 « _-££-; °	64 Мл-—: М,—0 *	64	’		
516
РАЗДЕЛ 8. ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛОК. РАМ И АРОК
Продолжение 8.3.12
Схема нагрузки			Опорные реакции л распоры	Изгибающие моменты
	—fl	 ПШШШШ-р		А - — 5 R+V <1+П‘)1; 2 в--^-р (!-{•*): и -— 5’|1 + Ч'<1 + г{')1» «/	М- - - — V [«•’* + °	12 + (ЭГ*+аГ + 0(1 - й)1: Мь " — V fe'4* - (3£' + 1) (1 - 4)| v 12
Квадратная парабола			A-B-.SL-. 6 „ ₽г . П в ' н ЭД	М„ - М. -(7 - 5»); °	°	470 М.	(10»-7); с	1630 При А “1 «мякс--^ '"’га|
^***4^-			a-b-±L; 4 Н "" -^— 	при 4 — 1 128	/	М -М. _-5£_; пр.,*-. с	384
Поворот левой пяты			6Ис А  	— Ф„: е “ «я, 8-+-^ф0; „_•! ис„	е? а“1 “ 8! 1“ Й 1“ «|« 8=	L	। Z	5	 5**
Поворот левой и правой пят			А - В - 0; 15 ЕК Н 		 Ф„ К а	12Е/_ A<M-A1fr- —фс ЗЕЛ Мс	
Поворот левой я правой пят С**		 w			12EI А — — —— ф Р ° 12 £7 в	-£-Фв __	н~о	GEL Ма	f Фа GEL Mb	 мс-о
Горизонтальное смешение пяты			1 з: й>	Си 1 й|~ 4 1 о	1 5	1 “о Ж
			Д-В-0; 4	Г а — коэффициент линейного расширения	15	El at Ма = мь =-у-  —£— *: 1S	ь М- = —	  -	— к 4	f
8.3. АРКИ
517
Линии влияния распора Н, опорной реакции А.
опорного момента Мв и момента в середине пролета Мс
ЛИТЕРАТУРА
I.	БериштеПн С. А. Основы расчета статически неопре-
делимых систем. ОНТИ. 1936.
2.	Бычков Д. В. Формулы н графики для расчета раы.
Госстройнздат. 1957.
3.	Волчегорскнй М. С. Усовершенствование расчета
рам одноэтажных промышленных зданий со ступенчатыын стой-
ками. Центральный институт научной информации по строи-
тельству и архитектуре Госстроя СССР. Строительное проекти-
рование промышленных предприятий. 1970. Ай 6.
За. Глушков Г. С-. Егоров И. Р_. Ермолов В-В.
Формулы для расчета сложных рам. «Машиностроение». 1966.
4.	Е р о х и н И. П.. М а л н е в А. С. Формулы для расче-
та сложных рам методом расчленения. Главная редакция строи-
тельной лит-ры. 1935.
5.	Железобетонные стойки одноэтажных промышленных зда-
ний. Серия Е-Э02. Промстройпроскт, 1946.
6.	И в а н о в В. Ф.. Никитин Г. В. Справочник по
строительной механике, т. 1 н II. Изд. «Кубуч», 1933—1935.
7.	Илларионов В. А.. Френкель П. М. Расчет
железобетонных подкрановых балок (таблицы). Строй изд ат,
1934.
в. Инструкция по расчету железобетонных балок, плит  ба-
лочных перекрытий. ЦНИПС, Строй нз дат. |938.
В.	Клейнлогель А.. Хазельбах А. Формулы для
расчета сложных рам. Стройнэдат, 1968.
10.	М а н и н В. Е. Упрощение прн определении перемеще-
ний в упругих стержневых системах. Строительное проекти-
рование промышленных предприятий. Информационный выпуск
Ай I. Госстрой СССР. Главпромстройпроент. 1967.
II.	Ней шил ьд В. Ч. Таблицы для расчета многопро-
летных многоэтажных рам н неразрезных балок. Госстройнз-
дат. 1933,
12.	Новиков А. М. Таблицы для расчета труб, сводов
н арок. Госстройнздат. 1942.
13.	О д н и ц о в Б. А. Определение усилий в поперечных
рамах одноэтажных производственных зданий. Строительное
проектирование промышленных предприятий. Информационный
выпуск Ай 2. Госстрой СССР. Главпромстройпроент, М.. 1966.
14.	О и у ф р н е в И. М. Расчетные формулы для проекти-
рования шпренгельных систем смешанной конструкция. Науч-
ные труды Ленинградского ннж.-стронт. нн-то. вып. 17. «Строи-
тельная механика н строительные конструкции». Госстройнз-
дат, 1954.
15.	Папковнч П. Ф. Строительная механика корабля,
ч. I. т. 1. «Морской транспорт». 1945»
16.	П р н м а к И. С. Расчет рамных конструкций одноэтаж-
ных промышленных зданий.. «Буд1вельник», Киев. 1966.
17.	Р е м е з М. Б К вопросу о расчете криволинейных в
ломаных в плане балок. Труды Ленинградского института ин-
женеров промышленного строительства, вып. 5, 1938.
18.	Справочная книга по расчету самолета на прочность.
Оборонно. 1954.
19.	Справочник инженер а-конструктора. Моспроект, 1958.
20.	Справочник инженера-проектировщика проысооружеинй.
т. II. — «Расчетно-теоретический». Пром строй проект. Госстрой-
нздат. 1934.
21.	Справочник «Инженерные сооружения», т. I. Машстрой-
нэдат. 1950.
22.	Справочник машиностроителя, т. I1U Машгяз. 1956.
23.	Справочник проектировщика «Расчетно-теоретический».
Госстройнздат. 1960.
24.	Справочник проектировщика промышленных зданий, гла-
ва IV. «Буд1вельнкк». Киев. 1966.
25.	Справочник проектировщика «Металлические конструк-
ции промышленных зданий н сооружений», глава IV. Проект-
сталькокструхцня. Госстройнздат. 1962.
26.	Стальные конструкции одноэтажных промышленных зда-
ний. Руководство по проектированию. КГИС, Гос. нзд-во л нт.
по строит, и арх.. 1952.
27.	Технический справочник железнодорожника. т. II. Транс-
желлориздат. 1950.
28.	Улицкий И. И. Р и в к я и С. А., Самоле-
тов М. В.. Д ы х о в и ч и ы й Ю. А. Железобетонные кон-
струкции. Расчет и конструирование. Гост ех из дат УССР. Киев,
1959.
29.	Штейякман В. С. Определение ыаксямалытых мо-
ыентов и поперечных сил в однопролетной балке от действия
подвижной системы сосредоточенных сил. Строительное проек-
тирование промышленных предприятий. Госстрой СССР. Глав-
пром стройпрсект. Ай 5—6. 1968.
30.	Энциклопедический справочник «Машиностроение», т. I.
кн. 2.. Машп1з. 1948.
31.	Bcton—Kalender. Taschenbuch Юг Beton und Stahlbeton-
ban. Berlin (издается ежегодно).
32	Beyer К- Die Statlk Im Stahlbetonbau. Berlin, 1966.
РАЗДЕЛ 9
СТЕРЖНИ, ОЧЕРЧЕННЫЕ ПО ДУГЕ КРУГА, И КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА1
9.1. Круговые стержни
Основные обозначения н общие указания
Приведенная податливость при кручен ни
Сечение стержней — постоянно. Главные цент-
ральные оси инерции хг и уг повернуты на постоянный
для всех сечений угол х «о отношению к оси х. лежа-
щей а плоскости кривизны стержня. Ось у перпендику-
лярна плоскости кривизны (рис. 9.1. а). Геометрические
характеристики сечения: Г—площадь; !жг, —глав-
ные центральные моменты инерции; /., l„ />,— осевые
в центробежный моменты инерции относительно ос-
новных осей и$, связанных с плоскостью кривизны
стержней; 1,— момент ннерцнн прн свободном круче-
нии стержня; /ш — секториальный момент инерции.
Характеристики жесткости сечения:
, /С/к
х = г / тт— — иэгибно-крутильнаи хараитерис-
V с,о
тика;
6 в Е— модуле упругости материала
стержня;
г—радиус кривизны оси стержня.
Осью бруса считается линия, проходящая через
центры тяжести О, сечений. Для тонкостенного бруса
при нагрузке, перпендикулярной Плоскости кривизны.
Рнс. 9.1
за ось стержня принимается линия, проходящая через
центры изгибе Oi сечений (рис. 9.1,6).
Приведенные податливости при изгибе относительно
основных осей х в у.
• Рассматриваются стержни  кольца налой кривизны.
Стержни большой кривизны см. в «Справочнике проектиров-
щика», изд. 1. Строй изд ат. 1961 и (9. 10. 11, 16. 21),
Г X»
G/„ ‘х* + 1:
(9.2)
а, р—угловые координаты текущих сечений стерж-
ня;
а/ — угловая координата сечения, в иотором при-
 ложен внешний силовой фактор (сосредото-
ченная сила пли момент).
Внешние сосредоточенные силовые факторы, прило-
женные в сечении с координатой а,:
Pzl—радиальная сила;
Pyl—вертикальная сила;
Рц—тангенциальная сила;
—момент в вертикальной плоскости, касательной
к оси стержня (вертикальный изгибающий мо-
мент);
Му/ — момент в плоскости кривизны бруса (горизон-
тальный изгибающий момент);
Mtt—момент в вертикальной радиальной плоскости
(крутящий момент);
В{— бимомеит.
На рис. 9.2, а показаны положительные направления
усилий; моменты изображены дуговой стрелкой, пока-
зывающей направление положительного момента, Поло-

Рис. 9.2
9.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
519
жительниц бнмомент увеличивает кривизну верхней
полки; иа рис. 9.2,0 ие показан.
Внешние распределенные нагрузки (рнс. 9.2,6):
Рж •₽) — погонная радиальная нагрузка;
Ру (Р) — погонная вертикальная нагрузка;
Рт(Р) — погонная тангенциальная нагрузка;
т,(Р), т,(р), т,(Р) — погонные моментные нагрузки;
Ь <Р)—распределенный бнмомент (на рис. 9.2 не
показан).
Внутренние усилия в произвольном сечении:
R (а) — радиальная поперечная сила;
Q(а) — вертикальная поперечная сила;
N (а) — продольная сила;
Ца)иН(а) — изгибающие моменты, действую-
щие соответственно в вертикаль-
ной и в горизонтальной плоско-
сти;
К (а) — крутящий момент;
К (а) — момент свободного кручения;
К (а) — момент стесненного кручения;
В (а) — бнмомент.
Перемещения, возникающие в результате упругой
деформации стержня:
А( а)—радиальное перемещение; прогиб и
центру кривизны считается положи-
тельным (рис. 9.3);
5 (а) — тангенциальное перемещение; счита-
ется положительным, если сечение
смещается в направлении уменьше-
ния угла а;
в (а) — вертикальное перемещение (прогиб
вниз считается положительным);
ф (а), ф(а)— углы поворота сечення; считаются
положительными, если их направле-
ния совпадают с направлением по-
ложительных моментов £(а), Н(а);
в (а) — угол закручивания.
Начальные параметры: Rg, Qg, Nt, Lt, Ht, Kt, Kt, Bt,
Ao, Eo, 6g, фо; фо, Во — значения внутренних усилий и пе-
ремещений в сеченнй, принятом за начальное.
Расчет стержня следует начинать с параллельного
переноса всех нагрузок в плоскости данного сечения на
ось стержня с добавлением соответствующих моментов
(приведение нагрузок к центру тяжести сечения Ot).
В случае тонкостенного стержня ирн переносе моментов
в центр нзгвба О» могут добавляться соответствующие
бнмоменты (см. [16, 25]).
Если нагрузка действует под углом к плоскости кри-
визны стержня, ее следует разложить на радиальную,
вертикальную и тангенциальную составляющие.
Положительное направление углов а и 0 соответст-
вует вращению радиуса оси стержня против часовой
стрелки (см. рнс. 9.2).
Общие формулы для усилий я перемещений
Продольная сила
АГ (a) = /V0cosa — Rtsina-|-[№(a)].	(9.3)
Радиальная поперечная сила
Л (a) = R0cosa + Nt slna + (R (а)].	(9.4)
Вертикальная поперечная сила
Q(a) = <?g + E P1H-rJplz(₽)d₽+ [<2 (a)]. (9.5)
Изгибающий момент (в вертикальной плоскости)
L (a) = Lt cos а + Kt sin а — rQ, sin a-f-(L (a)].	(9.6)
Изгибающий момент (в горизонтальной плоскости)
W(<x) = W, + A%r(l -cosa) + R0rsina+(H(a)). (9.7)
Полный крутящий Момент
К (a}=Kt cos a+Q0 г (1—cos a) — Lo sin a-f-[K(a)]. (9.8)
Момент свободного кручения
_ xs cos a-i-ch xa r
к {a)=K° —йгп—+Co^rn(x,+,_ xcosa~
x (x sin a — sh xa)
_chxa)-L.----------------—-----------
— Kgchxa — Bt — shxa-|- [X(a)J.	(9.9)
Момент стесненного кручения
г- „ .	х . cosa-=-chxa
К (a) = Kg ch xa -f- е0 — sh xa-f-Kg-——-----
f	X -f- 1
r (cos a— ch xa)	, xshxa-f-sina -
-«•-Чти—t-+F~ +'*<“»• (910)
Бнмомент
_ .	„ r .	. „ r(xsina—shxa)
В (a)=B0 ch xa-)-K sh xa 4- Kt .	— —
X	X {Xе -j“ 1J
л л xsina— shxa
~Q*'	«(** + 0 +
Угол закручивания
e (a) = 0„ cos a — фв sin a + аг p?0 гЛвя (a) +
+ Qo r^e<2 <a) + гАен (“H-I-o'Sl <a) +	(«) +
+ ^o ^0Q	+ *0 ^0д(а) +
+ В0-^-/1ев(а)] + [е(а)].	(9.12)
520
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Угол поворота сечения в вертикальной плоскости
ф («)=Ф0 cos а+е0 sin а+аг р?0 гЛфВ	(“) +
+ A'o 'A9N (a)4-L0 AvL (а)+Н„ А^ (а)+К0 ЛфА (а) +
+ Ко Л^ (а)+В0 у ЛфВ (а)] + [<р (а)].	(9.13)
Угол поворота сечения в горизонтальной плоскости
* (а)=Ф0+о1 [Яо гЛ^ (а)+<?э гА^д (a)+Nt rA*N (а) +
+ L„ Лф£.(а)+Н0 Лфн (а)+К0 ЛфА (а)]-Цф(а)). (9.14)
Радиальный прогиб
A(a)=X0cosa+?|)sina-$()rsina4-rcl [tf0*4XR(a) +
+ <?о	(°)+л'о 'АМ <°)+1о Ам. (“>+Но А™ +
+ Л0Л,.А(а)]+(Х(а)].	(9.15)
Вертикальный прогиб
6 (а)=60+90 г (I —cos а)+ф0г sinrAiR (а) +
+ Qf rAtQ •а)+^’о rAtN (а)+^0 АЫ-	А0Н <“> +
+ко ЛвА (а)+Я0 Л^(а)+в у- AtB (a)J+[«(a) J- (916)
Тангенциальное перемещение
J (0)=^ cos a—>.о sin a-f-ф/ (1—cos a)+raz[Я/Л^Га) +
+ Qo	(o)4-Al0 r A^n (a)-f-L0 Л^ (о)+В0Л^н (a) +
+ Wa)| + E(“)b	<9I7>
Функции влияния начальных параметров, входящие
в формулы (9.12)—(9.17), вычисляются следующим об-
разом:
для определения угла 6(a) по формуле (9.12)
-------2----,
Лад (а) = -у (у- 4-1 j a cos а —
1 /°г , к* + 3\ . shxa
2 \о, + х» + 1’s,na+ х(х» + 1)’
,	, » схь/,	asina\
V,'«) = —(l-cosa-----—j;
, , , I /о* Л	cosa—chxa
^(а)=т(^ + ')°sin°4— ;,+1 -
Аен (“) = — (1 — cos <x);
Аек
(a,	\	shxa
I— + 1 a cos a------------;
\a. J x(x» + l)
, sina shxa
Лвв (a) = ch xa — cos a:
для определения угла <f(a) no формуле (9.13)
Лгн<°)=—f'sina;
cosa —chxa 1 [a.	\
V<“) = X!(XS + 1) -T(- +
\x (a) =	<ch xa - cos a) = Лвв (a);
^B(a) = — (sh xa—x sin a);
для определения угла ф(а) но формуле (9.14)
^r(“) = —(cosa— 1);
Л49(а) = у!(| —cosa);
4*,v (а) = (sin а-а);
о,
Лч,1(а) = —^sina;
Лф„(а) = —5ta;
= ~ <cos 3— *) = —	(“>’•
YA аг
для определения радиального прогиба л(<р) по фор-
муле (9.15)
аи sina—acosz
'Wa) = — -	2
(iXI. acosa —sina
--------2--------Ло,г(“):
. s аУ A	asina\
^«^((-cosa-— }
aIU a sin a
ai.l	-7— = - -Чл (a);
a.i. круговые стержни
521
/1н (а)= — (I - cos а) = — А*к (а),
°2
ахи sin а —а cos а
4к(“)—f ’--------------------4ад (а*
а,	*
для определения вертикального прогиба б (а) по
формуле (9.16)
a-и a cos а — sin а Aw^-^’	2 1 (а,	Зх’4-5\ . ^(a) = Tt + ^7T)s,n<I- l/o, \	shxa	х!4-1 2 U, + 'JaTOS + x’(xi-f-l) X» а.и /	a sin а \ Zew (а) = ~ ^cos а + — 	1 j = - AeN (а); х« + 1 к’ 4- 2 Ад, (а) = —г- —	Г cos а — et	х» х2 4-1
I fa, \	chxa
-Tfc + ,)asina"^n7=~^(a,=
лвя (а) =	(cos а — 1) = — Авн (а);
аг
I fa. \	xsina—shxa
*,а, = Тfc+	X3(X,+7, 
shxa — xsina
Л = (а) =----------;
ол	х’
ch ха— I
Лвв(а) = — + cosa — 1;
для определения тангенциального перемещения Е(а)
по формуле (9.17)
а„ / a sin а \
Лу, (а) = ^cos а + —- 1 j = - Ам (а);
д„ /	asina\
Л»0 (°) = д 11 ~ cos““ ~2~) = Aw<“);
аи I 3 acosa \
^в, = ^(Т“пв-—
л_„ a cos a —sin а
Ли(а) = -^-----------------Лад (а*
аз	4
л£й (а) = (Sin а — а) = Aw (а);
о„/ a sin а \
Ад(а)= -!^cosa + —— _ |j = _ лхл,(а).
Для массивных стержней (см. стр. 526) функции
влияния, не зависящие от х, остаются неизменными. Ос-
тальные функции (при х — 0) имеют вид:
для определения угла 0(a) по формуле (9.12)
Лю(“)= Tfr + ,)acosa-Tft’+,)sine;
Ли2.(<х)= -у 4-1) a sin а;
Л(-(а) = Лвй(а) = 0;
для определения угла <р(а) по формуле (9.13)
Лад(а)= (у- + ljasina-f-casa— 1;
^'а)—т Ц-+ )“005 а- Т& -')sina:
Ask <а, = —1)“sina:
А₽й,а) =	=
для определения вертикального прогиба 6(a) по
формуле (9.16)
Лад	+ lj(“cosa—sin a);
’«,<«>-°*
С целью упрощения вычислений при ручном счете
значення некоторых комбинаций тригонометрических
функций, входящих в выражения коэффициентов влия-
ния Л (а), приведены в табл. 9.1.
Грузовые члены. Последние слагаемые формул
(9.3)—(9.17), заключенные в квадратные скобки:
(W(a)], [R(a)J, (g(a)], —величины усилий и пере-
мещений, которые зависят только от нагрузок, дейст-
вующих на стержень на рассматриваемом участке, и не
вависят от начальных параметров. Развертывание этих
членов в формулах (9.3)—(9.17) производится по пра-
вилам метода начальных параметров (см. [18, 25]). Ка-
ждая нагрузка, приложенная в сечении а(, умножается
на функцию влияния соответствующего начального па-
раметра, в которой угол а заменяется на а—а». Полу-
ченные выражения суммируются. В случае распределен-
ной нагрузки суммирование заменяется интегрировани-
ем по длине участка, к которому приложена распреде-
ленная нагрузка.
Для примера приведем развернутое выражение гру-
зового члена формулы (9.8), определяющей полный кру-
тящий момент:
|К (a)] = X Мг1 cos (а—а.) + г S Р^ [1—cos (a—aj]—
а
— X Mtl sin (а—а,) 4- г | mt (p)’cos (а—р) d₽4-
4- '* f Ру (₽) (1—cos (а—₽)) dfi—
а
f тж(₽) sin (a—P)dp.
(9.18)
522
РАЗДЕЛ 9. КРУГОПЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Таблица 9.1
Вспомогательные функции для расчета стержней с осью, очерченной по дуге круга
j в	а	2	а а	а В о а	a—sin а	(1—соза)*	сч	11-	(а—$1п а)1	сч	1 в	-	slna(l—cosa)	а* Е 1 В I	5 ХКОЭВ—OU|C	cosa (a— s Ina)	i—cosa— —as Ina
0	0,0000	0,0000	0,0000	0.0000	0,0000	0,0000		0.0000	0.0000		0.0000		0.0000	0,0000	0,0000	0,0000	0.0000
10	0,1745	0.0152	0,0303	0.1719	0.0009	0.0001		0.0151	0,0000		0.0018		0,0026	0,0002	0.0009	0,0009	-0.0151
20	0,3491	0,0609	0,1194	0.3280	0,0070	0.0018		0.0685	0.0000		0.0138		0,0206	0.0024	0.0070	0.0066	-0.0691
30	0,6236	0,1371	0.2618	0,4534	0,0236	0,0090		0,1250	о.ооаз		0.0453		0.0670	0,0118	0.0233	0.0204	-0.1278
40	0,6981	0,2437	0,4483	0.6348	0.0653	0,0234		0.2066	0.0015		0.1029		0.1504	0.0356	0.0540	0.0419	-0.2148
50	0,8727	0.380В	0.6685	0,6609	0.1066	0.0633		0,2934	0,0057		0.1901		0,2736	0.0817	0,1026	0,0685	-0.3113
60	1,0472	0,5483	0,9069	0,6236	0.1812	0.1250		0.3750	0.0164		0,3071		0,4330	0.1569	0,1712	0.0906	-0.4069
70	1,2217	0,7463	1,1480	0,4179	0.2826	0.2165		0,4415	0,0399		0,4502		0.6183	0.26S6	0.2609	0.0967	-0.4961
№	1,3963	0,9748	1,8750	0,2425	0.4114	0.3414		0,4849	О.0646		0.6126		0,8138	0.4052	0,3712	0,0714	-0.5387
90	1,6708	1,2337	1,5708	0,0000	0.5708	0,6000		0.5000	0.1629		0.7В54		1,0000	0,5708	0.5000	0,0000	-0.5708
100	1.7453	1,6231	1.7188	-0,3031	0.7606	0,6887		0.4849	0.2892		0,9582		1.1558	0,7490	0,6434	-0.1321	-0,5452
ПО	1,9199	1.8429	1.8429	-0,6566	0,9602	0,9005		0.4415	0,4804		1.1206		1.2611	0.9211	0.7962	-0.3352	—0.5009
120	2,0944	2.1983	1,8138	—1.0472	1.2284	1,1250		0.3750	0.7544		1,2637		1,2990	1.0638	0.9566	-0.6142	-0.3138
130	2.2689	2,6740	1,7381	—1.4684	1.5029	1.8494		0,2934	1.1293		1,3807		1,2584	1,1513	1,1122	-0,9660	-0.0953
140	2.4435	2,9852	1,6706	—1.8718	1.8007	1.6894		0.2066	1.6212		1.4679		1.1352	1,1574	1.2573	—1.3794	0.1964
150	2,6180	8.4178	1,3000	—2.2673	2.1180	1,7410		0,1250	2.2429		1.5255		0.9330	1,0590	1.3836	-1.8342	0.5570
160	2,7926	33991	0.9651	—2,8241	2,4506	1,8812		0.0685	3,0025		1.5570		0.6634	0.8381	1.4831	—2.3027	0.9846
170	2.9671	4,4017	0.6162	>2»922С	2,7934	1.9697		0.0151	3,9016		1.5690		0,3447	0.4851	1,5478	—2.7510	1.4696
180	3,1416	4.9343	0,0000	-3.1416	3,1416	2,0000		0,0000	4.9348		1.5708		0.0000	0.0000	1,5703	-3.1416	2.0000
190	8,3161	6,4983	—0,5768	-3,2658	3,4898	1.9697		0.0151	6.0693		1.5726		—0.3447	-0,6060	1.0461	-3,4368	2,5606
200	3,4907	8,0924	—1,1939	-3,2801	а.В327	1,6812		0.0685	7.3447		1.5846		-0,6634	—1,3108	1,4691	-3.6015	3,1336
210	3,6652	6.7168	-1,8326	—3,1742	4.1652	1.7410		0.1250	8.6744		1.6161		-0,9330	-2.0826	1,3371	-3.6072	3,6986
230	3,8397	7,3717	—2,4681	—2,9414	4,4825	1.5594		0,2066	10.046		1.6737		—1,1352	—2,8813	1.1493	—3.4338	4.2342
230	4,0143	8,0671	—3.0751	—2,5803	4.7803	1.3494		0.2934	11.426		1.7609		—1,2584	-3,6619	0,9072	-3,0727	4,7179
240	4.1890	8,7730	-3,6276	—2.0944	5,0548	1.1250		0.3750	12.776		1,8779		-1,2990	—4.3776	0,6142	—2.5274	5,1276
из	4,3683	9,6193	—4,1002	—1,4923	5,3030	0,9005		0.4415	14,061		2,0210		—1.2611	—4.9832	0.2763	—1.8137	5,4422
0.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
523
Продолжение гобл. 9.1
a, ерад	1	а. рад	1	2	6 Е а	а 8 а	a—sin а	| (1—cosa)*	сч	11"	(a—sin а)*	сч	a sin 2а 2 "" 4	slna(l—сова)	slnala—sina)	sina—асокх 1	сч	cosa (a—j Ina)	1—COS Or— —a sina
260	4.6379	10,296	—4,4689	-0,7880	6,5227	0,6887		0,4849	15,250		2.1834	-1.1658	-6,4388	-0,0984		-0,9590	5,6426
270	4.7124	11,103	—4.7124	0,0000	6,7124	0,6000		0,6000	16.316		2.3562	—1,0000	—5,7124	-1,6000		0,0000	5.7124
280	4.8869	11.941	—4,8127	0,8486	5,8717	0.3414		0.4849	17.239		2.5290	—0,6138	-5,7825	-0.9167		1,0196	6,6390
290	6.0616	12,809	—4.7562	1.7311	6,0012	0.2165		0.4416	18.007		2,6914	—0,6183	-5.6392	-1,3354		2.0626	6.4142
300	5,2360	13.706	—4,5345	2,6180	6,1020	0.1250		0.3750	18,617		2,8345	-0,4330	-5.2845	—1,7420		3.0610	6.0345
310	6.4105	14.637	—4.1447	3,4778	6,1766	0,0638		0,2934	19.075		2.9516	-0,2736	—4.7316	—2.1219		3,9702	4.5019
320	5.6851	15.696	3.690С	4,2784	6,2268	0,0274		0,2066	19.387		3,0087	-О.1ВО4	—4.0026	-2.4608		4,7700	3.8240
330	6.7696	16,586	—2.8798	4.9880	6.2596	0.0090		0,1250	19.691		3.0963	-0,0670	-3.1298	—2,7440		6.4210	3,1008
340	6,9341	17.607	—2,0296	6.6762	6.2761	0,0018		0.0585	19.695		3,1278	-0,0206	—2.1466	-2,9590		6,8976	2.0899
350	6.1067	16.658	—1.0608	6.0169	6,2823	0.0001		0.0151	19,734		3.1398	-0.0028	-1.0909	-3,0948		6.1869	1.0760
360	6.2832	19,739	0,0000	6,2832	6.2832	0,0000		0,0000	19.739		3,1416	0.0000	0,0000	-3,1416		6.2832	0.0000
Прн составлении выражений для грузовых членов
в формулах (9.9)—(9.17) функцию влияния сосредото-
ченного крутящего момента M,t. приложенного в сече-
нии а(, а также функцию влияния распределенной кру-
тящей нагрузки, необходимо брать равной_сумме функ-
ций влияния начальных параметров Ко и Ко. Например,
грузовой член в формуле (9.11) имеет внд:
(В(а)] = Sfi/chx(a —а;) +
+	[sin (а-aJ+x sh к (а-а{)) —
rs
-----------Е Ри/ [х sin (а—а/) — sh х (а — а,)] +
х(х« -|-1)
+ —7— £ М,г («в (а—а/) — ch х (а—а,)] +
х’+ 1
+ ,J*(P)chx(a-P)d₽ +
а
+	[ тг (Р) [sin (а—Р) + х sh х (a~P)J dp —
о
- ТТТТГ i Р»<₽> [к sin (а~₽) “ sh *(a-W1 rfp +
X (X + 1) J
о
a
+ -f—: I (P) [cos a-P) — ch x (a-P)J dp. (9.19)
* T < J
Грузовой член для вычисления вертикального проги-
ба в формуле (9.16) представляется как
[6 (а)] = гаг {г S Рх/ (а-а ) + г S Р^Ащ (а-а.)+
+ г S Р^АМ (а—а,) + S Мя. A6t (а — в/) +
+ 2 Л10Л4н(а-а4)+2 Аьк (а-а.)-Лбх(а-а£)] +
+ S В( — Лад(а-а.)+г» [ рх (Р) Лад (a-P) dP+
+ Г’ J pe (Р) Лад (а—Р) dp + r« f Рг (Р) Лвл, (а-p) dP +
m„ (₽) Лед (•“₽) dp + r I m, (₽) ^бн (°-₽' <Ф+
4- r [mx (P) [Лад (a - P) + Лв)? (a - ₽)] dp +
0
+ |мР)^ад(о-₽)^)-	(9-20)
Остальные грузовые члены образуются по аналогии.
Граничные условна. Начальные параметры опреде-
ляются нэ условий закрепления балки. На свободном
конце балки R=Q=N=L=H—K=B*=Q. Наличие
шарнирной опоры ведет к обращению в куль соответ-
ствующего линейного перемещения: при радиальной
опоре Х=0, при вертикальной опоре 6=0. На непод-
524
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
вижной (нескользящей) опоре, кроме того, тангенциаль-
ное перемещение (“0.
Для абсолютно жесткого защемления, препятствую-
щего депланацни торца стержня, обращаются в нуль
все перемещения (линейные н угловые), а момент стес-
ненного кручения равен полному крутящему моменту:
~к=К. Если защемление не препятствует депланацни
торца, бнмомент В=0.
Случай совпадения одной нэ главных осей инерция
с плоскостью кривизны стержня. Главные оси *г. if
совпадают с основными осями ж у. Угол х=0 (см.
рнс. 9.1); /Х=/Хг. 7r=/,r. /xS=0. Приведенные подат-
ливости на основании формул (9.1) равны:
--гг.'
гкг
а,_С/*(х> + 1) *
(921)
все члены, содержащие
Рис. 9.4
сильно упрощаются, так как
множитель а„, обращаются
в нуль.
Пример 9.1. Консоль
из прокатного двутавра
№ 20 изогнута в плос-
кости яолок по дуге
круга радиуса г=
= 100 см. Центральный
угол 01=60°. Правый
конец консоли жестко
защемлен, а левый на-
гружен вертикальной си-
лой Р,г= Р. Опреде-
лить допустимую вели-
чину енлы по допускаемому напряжению [о] = 1600
кГ/сы’ н вычислить прогиб свободного конца стержня.
Влияние собственного веса не учитывать (рнс. 9.4).
По сортаменту прокатных балок ГОСТ 8239—56 на-
ходим: /„, =10* слР; /х = 1810 см*: /ч=6,73 cjh*; Uzjr =
= 181 см»: W,„ =212,4 см*; £=2.1-10’ кГ/см* G=
=0.8-10* кГ/см*.
По формулам (9.21) вычисляем Ох=2,6-10-’;
а,=1.34 10-в. Иэгнбно-крутнльная характеристика бру-
са х—1.6; ai=l.6n/3=l.68.
Выбрав начало отсчета угла а, в заделке Оь имеем
следующие величины начальных_параметров: Qo= —Р;
Ц—Рг sin 60’=—86,6 Р; К0=К0=—Рг (l-cos60e)-
= —50 Р. Последний начальный параметр Вс находим
из условия, что бимомент на свободном конце (при
а=щ=60°) равен нулю. По формуле (9.11) имеем:
-, 100
В (60е) = Во ch 1,68+Ко ГТ sh । ,68 +
1,6
100(1,6 sin 60е— shl,68)
°	1.6-3,56
,	l,6sin60° — sh 1,68
-<?!<»» —-----,	4
1,6-3,00
,   cos 60°-ch 1.68
+ J-olOO------—----------= 0.
3,56
откуда Bo=I340P кГ/см\
Допустимую нагрузку P определяем нэ условия
прочности бруса в заделке (по нормальным напряже-
ниям):
К»1 , !АЬ|П1.
К+ т- 1 Ь
86.6Р	1340Р	____
181 + 212,4 *
Р ^236 ха. Выберем для дальнейших расчетов Р=
=200 кг.
Поскольку в начальном сечении все перемещения
равны нулю, уравнение (9.16), определяющее вертикаль-
ный прогиб, для левого конца бруса примет следующий
вид:
6(60°)= 100-1,34-10-»| —200-100Л4<г(60е) +
1340-200
+ —(60е) - 86,6-20044t (60°)-
Вычнслнв функции влияния:	=0; AtL =0;
= —0,25; A, % =0,29; AiB =0,2, находим прогиб
левого конца бруса 6=0,18 см.
Если прогиб вычислять по формулам для стержней
массивного сечения, то получится величина 6=1,34 сы,
Рис. 9.5
что больше примерно в 7 раз и не соответствует резуль-
татам эксперимента. Поэтому прокатные балки необ-
ходимо рассчитывать с учетом влияния стесненного кру-
чения. Пример расчета стержня с учетом собственного
веса см. [16, стр. 533].
Монорельс на трех и яа четырех равноотстоящих опорах
Реакции опор монорельса, подвешенного на трех тя-
гах (рнс. 9.5) и нагруженного силой Р посередине одно-
го из пролетов, вычисляются по формулам [16]:
. 3 .
sin — ф
Гл = ----------------— Р = - С,Р;
Ф
2 sin ф cos —
4
sin —ф
vB = ---------
в Ф Ф
2 sin — sin —
2	4
,ет
Vc=——P = C,P.
*• 2зтф
(9.22)
S.t. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
525
Наибольший изгибающий момент (в сечении под си-
лой Р) равен:
3
sin— ф
«Н.КС = 4^)----------------~'Р-С,Р. <9-23>
4 cos — cos —
4	2
Значения коэффициентов С|, С* Сг, Ct даны
в табл. 9.2.
Тавлвпч ед
Коэффициенты для определения усилий
в деухпролетиом монорельсе_____________
Ч», ерад	Cl	с,	с.	G.
10	0.3760	0.7500	0.1260	0.0328
2U	0.3799	0,7479	0,1278	0.0660
30	0,3860	0,7455	п.1316	0,0999
40	0.3949	0.7423	0.1372	0.1351
50	0,4070	0,7378	0,1448	0,1720
60	0.4227	0,7320	0,1647	0,2114
70	0.4426	0,7252	0,1678	0,2539
60	0.4680	0,7168	0,1848	0,3008
90	0.5000	0.7071	0,2971	0.3536
100	0.5411	0.6956	0.2367	0,4145
по	0.6947	0.6823	0,2770	0.4872
120	0.6667	0.6667	0,3334	0,5774
130	0,7673	0.6485	0.4168	0,6954
140	0.9172	0,6274	0.6446	0.8619
160	1.1645	0,6028	0.7673	1,1248
Момент стесненного кручения над опорой А
- Рг Г 3	.3
Ка =--------:---1 sh— мЬ — xsin — ф —
0 (х’ -f-1) sh 2ф L 2 т 2 *
— C! (sh 2хф — х sin 2ф) — С» (sh хф — х sin ф)] . (9.24)
Наибольший бнмомент (в сеченнй под силой Р)
eH3xc=B(^-)=-^R.sh^ +
+ ——--------С, (sh х	— х sin	. (9.25)
тх(х»+1) \	2	2/
Пример 9.2. Определить реакции опор и вычислить
наибольшие нормальные напряжения в монорельсе ра-
диуса г-200 см на трех подвесках, нагруженном со-
средоточенной силой Р—500 кГ, приложенной посере-
дине пролета и направленной сверху вниз. Центральный
угол между смежными опорами ф=90°. Сечение моно-
рельсе — двутавр] /„ — 11,4 сл»; I* — 1660 сл'; /в =
=8220 cx’;WJ—185 см>;; Ши=210 см». Модули уп-
ругости материала: £=2,1-10» кГ/см7-, G—0.8X
ХЮ’кГ/сж5.
По табл. 9.2 находим коэффициенты и вычисляем
реакции опор н изгибающий момент:
VA = — 0,5-500 =- 250 кГ;
1’в = — 0,707-500 = - 354 кГ;
Vc = 0,207-500 = 104 кГ;
Чине = 0,354 -200.500 = 35 400 кГ-dU
[ 0,8-10»-11,4
У 2,Ы0>-8220
= 4.6;
sh 2хф = sh 14.4 = 1.87-10*
3
sh — хф = sh 10,8 — 50 500;
Ф
shхф = sh7,22 = 684; shx-y =sh3.61 = 18,5.
По формулам (9.24) и (9.25)
_	500-200
R. =------------------- (50 500 — 4,6-0,707 -
• (4,6»4-1) 1,87-10»1
— 0,5(1,87-10» —4,6-0) —
— 0,707 (684 - 4,6-1)! = 2125 кГ-сл;
200
^иакс — , с 2125-18,5 —
4,0
500-200»
- —---------- 0,5 (18,5- 4,6-0,707) = 213 ОООкГ-сЛ».
4,6» 4- 4,6
Наибольший бнмомент действует в сеченнй под си-
лой Р, там же, где достигает максимума изгибающий
момент. Наибольшее напряжение
35400	213 000	___
®н.к=	+ Й! = ,2°0 кГ/c лг
действует во внутренних волокнах стержня: растяги-
вающее—в нижней полке, сжимающее — в верхней.
Для трехпролетного монорельса (рнс. 9.6) опасное
положение силы посередине среднего пролета. Макси-
мальные нормальные напряжения возникают в сечении
под силой, максимальные касательные в сечении вад
промежуточной онорой:
реакции опор [16]
D.P	D.P
vi = l,i- =---=	(9.26)
максимальный изгибающий момент
Ьм.«=Ь(Зф) = ^-;	(9-27)
максимальный бнмомент
526
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Рг*
= В (Эф) =	(S4 М-
— Daxch3xip —Dtsh2wp);	(9.28)
максимальный момент свободного кручения (в сече-
ниях 2 н 2* у средних опор)
^мкс = К (2’f) —	X
X D4 +
ch 2хф— D,ch хфсИ 2хф + Dach Зхф
(х> + 1)сЬЗкф
Значения коэффициентов D приведены в табл. 9.3.
Если монорельс на закруглении имеет только один
или два криволинейных пролета, то прямолинейный
пролет, примыкающей к закруглению, можно условно
. (9.29)
Рнс. 9.6
Таблица 9Д
Коэффициенты для определения усилий
в трехпролетном монорельсе
♦в град	Di	D,	D,	D.	D,
5	0.1254	1.1254	0.0660	0.0019	0,1235
10	0.1279	1.1279	0,1313	0,0077	0,1202
15	0.1317	1,1317	0,1998	0,0176	0.1140
20	0.1371	1,1371	0,2702	0.0321	0.105О
25	0.1447	1.1447	0,3439	0,0517	0.09Э0
30	0.1547	1,1547	0,4226	0,0774	0,0774
35	0,1677	1,1677	0,6073	0,1104	0.0574
40	0,1648	1,1848	0,6016	0.1627	0,0321
45	0,2071	1,2071	0,7071	0,2071	0,0000
50	0,2367	1,2367	0,6290	0,2778	—0,0411
65	0,2770	1,2770	0.9744	0,3717	—0,0947
60	0,3333	1,3333	1.1547	0.6000	-0,1667
считать недостающим криволинейным участком. При
числе пролетов больше трех рассчитываются три сред-
них пролета по формулам (9.26)—(9.28). Влияние ос-
тальных пролетов не учитывается (в запас прочности
и жесткости). Графики для подбора монорельсов на
четырех равноотстоящих опорах можно найти в
(8 и 16].
Стержень с исчезающе малой жесткостью свободно-
го кручения. Кривой стержень открытого профиля
с тонкими стенками имеет очень маленькую жесткость
свободного кручения. Внешний крутящий момент вос-
принимается только поперечными усилиями и создает
напряжения стесненного - кручения [18, 25].
Изгнбно-крутнлы1ая характеристика такого стержня
близка к нулю. При расчете следует пользоваться фор-
мулами (9-3)—(9.17), полагая при вычислении коэф-
фициентов влияния Kj=0, shxa=0; chxa=l, Момент
свободного кручения К=0; К=К. Легко убедиться, что
прн к— 0 формулы (9.8) и (9.10) совпадают.
Стержень массивного поперечного сечения
Стержень с очень толстыми стеикаын или со сплош-
ным поперечным сечением депланнрует при кручении
очень слабо, так что стеснение деплаиации, всегда име-
ющее место в кривом стержне, оказывается незначи-
тельным. Напряжения стесненного кручения близки
к нулю, а следовательно, ^0 и В=0. Внешний крутя-
щий момент целиком воспринимается напряжениями
свободного кручения: К—К.
При пользовании формулами (9.3)—(9.17) необходи-
мо, вычисляя коэффициенты влияния, опустить все чле-
ны, содержащие shxa и chxa, а в остальных членах
произвести предельный переход прн х— о». При этом
формулы (9.9) и (9.10) теряют смысл, а формула
(9.9) совпадает с формулой (9.8).
Написание формул (9.12)—(9.17) внешне не изме-
нится, однако, как это следует из формулы (9.2),
при х — о»
(9-30)
Функции влияния для массивных брусьев приведены
на стр. 521.
Грузовые члены развертываются аналогично случаю
тонкостенного стержня (см. стр. 521). Начальные пара-
метры находятся из условия закрепления стержня.
Частные случаи. В табл. 9.4 приведены значения уси-
лий и перемещений стержня, закрепленного одним кон-
цом и нагруженного единичными силами и моментами.
Главная ось инерции не лежит в плоскости кривизны
стержня. Величины усилий даны в функции текущего
угла а. Величины перемещений вычислены для свобод-
ного конца стержня. Онн могут быть использованы
в качестве коэффициентов канонических уравнений 6<*
при расчете статически неопределимых стержней. С этой
целью единичные нагрузки обозначены Хи Х> в соот-
ветствии с общепринятыми обозначениями неизвестных
при решении статически неопределимых задач методом
сил. Для упрощения вычислений значения некоторых
функций приведены в табл. 9.1.
В табл. 9.5 приведены значения усилий и перемеще-
ний консольного стержня, нагруженного равномерно
вл. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
527.
ТвОлваа 9.4
Усилия и перемещения стержня массивного сечения от действия сосредоточенных
нагрузок п=—; аж, ау, а1у вычисляются по формулам (9.1); а,—по формуле (ВЛО)
Определимые величины			Схема нагружения	।			
			0	у""Т8		'у1 х”—7в^“ г\л/
	: ! Г i	Радиальная сила Я(а)	cosa	0		slna
		Вертикальная	си- ла Q(<L)	0	1		0
		Продольная	сила N (а)	— slna	0		cosa
		Изгибающий момент L (а)	0	— г slna		0
		Изгибающий момент Н (а)	г slna	0		г (1 — cos а)
		Крутящий момент К (а)	0	г (1 — соз а)		°
Перемещения свободного конца стержня	|		Радиальный прогиб X (V)	•..--М-Н2?)	‘‘..-'‘хД	sin 2?	V \ 4	2 J	8. -Л’О И-"»*  	S	2
		Вертикальный прогиб ё CVJ	» -л. Р1"2» ’Ч	о„-^ж	-_±2Т+	Л _ A. ('-«ST)’
			О М 4 i)	+1 « " sin г?—2 sin vj		ю **	2
		Продольное переме- щение £ (V)		.	(1 — COS Vl* Ч-'Ч» г		6»-'%(rv+ , sin 2у _ . „ \ + ——~ — 2sln 2у|
		Угол доворота Ф (?)	Sin* у «1 “ га*У 2	048 — га2 (соз у + + 1 ~ Л Sin’ у — 1)		
		Угол поворота ♦ (V)	6« “"V-cos V)	в6г_г%„,с<”У-1>		eu —rat(T—slnv)
		Угол аакручивания «(V)	д	{ V 5|П 2? \ в«-'Мт"—)	в га, BJ	2 . П~ *	 А. 4		— sin 2}	Т "Г' It:	1 -ла О-<=»»*>• « *V	2
528
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл. 9.4
		С*«*мя илгруженин				
		4” Ci			_ fl	
Определяемые величины		в		V,J	/\ /v' ^0	
Усилия в текущем сечении стержня	|	Рмнальнвя сила Я«*>	0		0	n	
	Вертикальная	св- ял <?(*)	0		0	0	
	Продольна!	сила N «XI	0		0	0	
	Изгибающий момент L <а)	cos a		0	sin a	
	Изгибающий момент H(ai	0		1	•J	
	Крутящий	момент к (а »	— sin a		c	cosa	
	радиальный прогиб	a	sln’ V			в	(V sln2Vl	
К	К (VJ	14	IV				
	Вертикальный прогиб 0 (у»	вм-'°г П — 1	(cOSV- «Illi ..	11	ви = raty (cos у — 1)	ви - raz (sin v + । л — 1	5|n 2	л + 1	
С к		2				
	Продольное переме- щение & (у>	в«-'°г4 si	S|n у — — — 2 2y	*M — ray (у — sin v>	(I — cos yp 2	
Перемещения свободно						
	Угол поворота Ф (V)	‘«-“J + ^- 4	n 1 j sin 2yj		\e " ae ~ 2~ S’n*V	
	Угол поворота Ф (V)	‘w-o*«si,,V		“ss-M	'ss-Sy*1-COSV)	
	Угол ваиручмвания в (V)	_	П— 1 , _ бд. — o_	sin1 y		“a, <•-«<“»>	— я.т * sin 2y	
9.1. КР'ТОВЫЕ СТЕРЖНИ
529
Усилия и перемещения стержня массивного сечения от действия равномерно распределенных нагрузок
а,
и = —; ох, ау, а1у вычисляются по формулам (9.1); о,— по формуле (9.30)
		Схема нагружения		
		р •censt	уа2^аа	p.const	 —7е
	Определяемые величины			y/\	/
			rv *1	г
				
¥	Радиальная сила Ria)	Рх г sin a	0	p r(l—cosa)
и	Вертикальная	си- ла Q *<х)	0	₽p«s	0
о	Продольная	сила N (а)	— г (1 — cos a)	0	Рг r sin a
3 £	Изгибающий момент L (а)	0	— Dy^O —cosa)	0
	Изгибающий момент Н (а)	рг* (1 — cos a)	0	p, (a — sin a)
	Крутящий	момент К ta)	0	r> (a — sin a)	0
	Радиальный прогиб Му)	о сМ <>-«»»’•	,	(1 — cos V)’	₽e'’°k(s,nv + JVi_
		2	"з’п	2	-fCosv-^-j
	Вертикальный прогиб в (У)		уРуг»о2|л(1—cos yp + 4- (y — sin y)’|	n A ,	sin 2y 3	\ ®х,,‘"х1,(2!|п»	Г^Т»)
V				
я о о S	Продольное переме- щение & (у)	р<г'°я('7 V —2«lnv + + slri 2у j	_ sin 2y j	.	/у* . sln’y	\ »тА’я(у+-5—*s,n v)
1 я	Угол поворота ф (у)	-15 1	— sin v) +COS V (V —Slnv) |	»г r'aIV ^1 — cos v+ , sln’v	.	\ + —	TSlnvj
С	Угол поворотаФ (V)	рх f’Oy (V — sin V)	Pv^o^islnv-V)	„^(Jl+cosv-1)
	Угол закручивании 0(у)	sin1 V	Py ^az Jsln у (y — sin y) — —	1 (1 — cos y)s j	'’x,’ax1/(7-slnv+ ,	sin 2y \ + V cosy —-j
530
РАЗДЕЛ в. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл. 9.9
Определяемые величины		Схема нагружения		
		,,,	«•cwt «/ ^4	WCMSt
i ех t в	Радиальная сила Ма}	0	0	0
	Вертикальная	си- ла Q[a)	0	0	0
5 V	Продольная	сила Л (а)	0	0	0
				
|	Изгибающий момент На)	mxr sin а	0	m r (1 — cos a)
				
в «	Изгибающий момент Я (а)	0	m^ra	0
£	Крутящий	момент К (а)	—mx г (1 — cos а)	0	m2 r sin a
	Радиальный прогиб A(V)		mv r'av(s,n V — V cos v)	(1 - cos y>* 2
а |	^<J	лй прогиб	4-2 (sln у —у) j	mv '’a*v	— »,n v — v cos V)	(1 — n> (1 —cosy)1 11	2
о ж о Е	^Продольное переме- щение Ь (V)	Q-cosyP X 41	2	mv',au(l-y-cosv- — v sin yj	m, ''агу (A у - 2 sin у - sln2y j
£ и		m* ra2 ["	Sln’ V “		raz P (S,n V	“ ~~
X 3	Угол поворота Ф (V)	— cos V (1 — COS v) j	mv ,oxy <* — cos v — V Sin VI	L V	2 sln 2y \ sln ?y vl 4 J 4	2J
С	Угол поворота ♦ (?)	mxrexjf(l — cosy)	V*	1 myrav~	<n, 'aty (y — sln y)
	Угол закручивания е (v>	— sin у (1 — cos у )]	mll '“*11tv CO! v - sln v)	r n	. sin1 v 1 ra — (1 — COS V)’ +	 1 ‘[i	2 J
6.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
531
распределенными силами и моментами, как это показа-
но на схемах таблицы. Величины перемещений конца
стержня могут быть использованы в качестве свободных
членов канонических уравнений при расчете статически
неопределимых стержней.
Этой же табл. 9.5 можно пользоваться для расчета
стержней, частично нагруженных равномерно распреде-
ленными силами и моментами на участке с централь-
ным углом у ля (рнс 9.7,а). Искомые величины аахо-
Рис 9.7
дятся суммированием соответствующих усилий и пере-
мещений от действия сплошной нагрузки р на дуге с уг-
лом у и от нагрузки—р па дуге с углом уас- В пос-
леднем случае по табл. 9.0 вычисляют перемещения
точки В, а затем находят перемещения свободного кон-
ца (точки А):
*д = кв cos уАВ - lB sin Тлв 4- Фв' sin улв;
Ь = Ъв cos У АВ +	sin 7дв +
4“ Фе г (1 — cos Улв );
Фд=Фв:
(9-31)
бЛ = бв - <рв г sin удв + 6В г (1 - cos улв);
Фд - Фв cos Удв - вв s'" УЛВ:
6д = 6В cos VxB + <рв sin улв .
Табл. 9.4 н 9.6 можно также использовать для расче-
та тонкостенного стержня при нагрузке в плоскости его
кривизны, т е. прн отсутствии стесненного кручения.
Пример 9.3. Вычислить наибольшие напряжения
в заделке н перемещения конца А криволинейной кон-
соли АС радиусом г=300 см, имеющей горизонтальный
отросток BD длиной 200 см. Участок АВ консоли н от-
росток BD нагружены равномерно распределенной на-
Рнс. 9.8
грузкой р=6 кПсм (рис. 9.8,0). Консоль выполнена нэ
прокатного двутавра № 30; £=2,1- 10s кГ/смг.
По сортаменту двутавровых балок (ГОСТ 8239—56):
f=46.5 CJH2; 4=7080 см’; У,=472 см3; £/„=
= 1.49-1010.
Равнодействующая нагрузки на участке BD, прило-
женная в его середине, 5=200 р= 1000 кГ. Перенеся
силу S в точку В н разложив ее на радиальную Р,
и тангенциальную Р, составляющие, получим с учетом
принятого правила знаков (см. рнс. 9.2, а): Рх=
=5sin30°=500 кГ; Р,=—5 cos 30*=—866 кГ.
Прн переносе нагрузки добавится момент Мг=
= 1005=10» кГсм.
Для того чтобы иметь возможность воспользоваться
табл. 9.4 и 9.5, продолжим радиальную нагрузку р* на
участок ВС а приложим к этому участку компенсирую-
щую нагрузку —Рх. Окончательная схема нагружения
балки показана на рнс. 9.8, б.
Усилия в заделке:
Pc = prsln90° — рг з!п 30* 4-Рх cos 30* 4- P2sln30° =
= 5-300 — 6-300-0,5 + 500-0,866 — 866-0,5 = 750 кГ;
Nc = —pr(l — cos 90°)рг (1 —cos 30*) —
— Px sin 30° 4- Pxcos 30° = — 5.300-1 4-
4- 5-300-0,134 — 500-0,5 — 866-0,866 = — 2300 кГ;
Hc = pr* (1— cos 90°) — pr* (I —cos30°)4-
4- Px г sin 30° 4- Рг г (1 — cos 30°) 4- Л1„ =
= 5-9-10»-l -5-9-10»-0,134 4-500-300-0,5 —
— 866-300-0,134 4-10» = 5,3-10» кГ-см.
Наибольшие нормальные напряжении (сжимающие)
действуют в сеченан С во внутренних волокнах
стержня:
ffC 2300
’макс - F +	-	46>5
5,3-10»
472
= — 1170 кГ/см*.
Прежде всего вычислим перемещения сечении В от
нагрузок Рх> Р*. н —р (действующей на участке
ВС, для которого точка В является конечной). Сум-
мируя перемещения для соответствующих нагрузок,
приведенные в табл. 9.4 и 9.5 (для у=уас=30°), по-
лучим:
Хв = X (30») = Рх в„ (30°) 4- Рхвм (30») 4-
4- М Jbu (30») - рг’а,	= О1о835 аг.
=	в31 (30°) 4- Рх (30») 4-	6,s(30*)-
— рг*Оу • -^---2 sin 30*4-	= 0.0142 см;
Фв = ♦ (30°) = Рх (30*) 4- Рх (30*) 4-
1-Л1хМ30»)—рлЦ-у —sin 30°) = 0,00112 рад.
Зная перемещения сечения в, переходим к сечению
А с помощью формул (9.31), добавляя перемещения
532
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
от еще не учтенной нагрузки р, приложенной иа всем
протяжении стержня АС(у=улс=90°; Улв=60’):
\А = Xecos60"-6Bsin604-*Brsin60’ +
. (1—cos90")’
+p’3“i/-----;-----
1,68слг,
Дб -|- AOdf	Дф -|- AOdj
<?с-------; LC = Dl ;
де	до
КС =— DK +Qcai' ВС----------DB ~LCdi'
(9.32)
=£8соз60° + Х8 sin 60» + ,).в г (1-cos 60») +
(3 л	sin 180° \
— • — — 2 sin 90“ +---------1 = 1,22 см;
фи = фв + рггау 1-^---sin 90° J = 0,0063 рад.
где
2л, у
di «=-р— r(xsin-ycthxy —cosy) — г;
d,
x‘+ 1
(9.33)
Статически неопределимые кривые стержни. Кроме
уравнений равновесия стержня для определения реак-
ций следует воспользоваться условиями совместности
деформаций, приравнивая нулю перемешеиия в направ-
лении лишних связей. В общем случае выражения для
перемещений получаются на основании формул (9.12)—
(9.17).
Усилия в ключевом сечении тонкостенного стержня,
защемленного двумя концами и нагруженного
перпендикулярно плоскости кривизны (арочная балка,
аркер)
Задача нахождения усилий в ключевом сечении С
стержня, показанного на рис. 9.9, является статически
неопределимой и ее удобно решать методом сил. Раз-
резав стержень по осн симметрии ОС, вычисляем пере-
мещения концов каж-
.	дой половины стержня
от действия заданной
/ /	нагрузки, по формулам
\	Р*\УЛ	(9|2)> (915) " (916)>
г Р* \	полагая cIk=0. так как
|одна Н3 главных в06®
f	инерции сечения счнта-
У У	ется лежаше® в плоско-
[{УУ	стн кривизны стержня.
Разности соответст-
^»*|,	***"^	вующих перемещений по-
лопннок стержня дают
Рнс. 9.9	взаимные перемещения
торцов в разрезе: Дф,
Дв и Дб.
Для стержня массивного или тонкостенного, нагру-
женного в плоскости его кривизны, готовые коэффици-
енты канонических уравнений берутся нэ табл. 9.4,
а свободные члены этих уравнений прн нагружении
стержня сосредоточенными силами, моментами н равно-
мерно распределенной нагрузкой —из табл. 9.4 н 9.3.
В случае произвольной нагрузки удобно разложить
ее иа симметричную н антисимметричную, так как это
упрощает уравнения (см. [10, 25]).
Если стержень нагружен неравномерной нагрузкой,
то прн пользовании формулами (9.12)—(9.17) или прн
решении задачи по методу сил требуется вычисление
интегралов от различных комбинаций тригонометриче-
ских функций. Наиболее часто встречающиеся интегра-
лы приведены в табл. 9.12.
Усилия в ключевом сечении С вычисляются по фор-
мулам;

D Av —
* KCI.
DB-----
B rGl„
(9-34)
Относительный угол закручивания в месте разреза
dO
da '
Значения di, da и коэффициентов А приведены
в табл. 9.6—9.11 в зависимости от значения угла у
н нзгнбно-крутильной характеристики х.
В случае симметричной нагрузки Д6== Л0=0. следо-
вательно, Qc и Кс обращаются в нуль. Прн действии
антисимметричной нагрузки Дф=ДО=0, поэтому Lc—
=Вс~=0. Произвольную нагрузку, приложенную
к стержню, рекомендуется разлагать иа симметричную
и антисимметричную группы. Это позволяет свести весь
расчет к расчету одной половины стержня.
Пример 94. Вычислить максимальные нормальные
напряжения в ключевом сечении и опорных сечениях
защемленной круговой арки, несущей симметричную ра-
диальную равномерно распределенную нагрузку рг=
=Р=5 кГ)см. как показано на рнс. 9.10, а. Арка вы-
полнена из прокатного двутавра Nt 30; Е=2,1Х
Х10» хГ/сзА
Разрезав арку в ключевом сечеинн, получим основ-
ную систему, симметричную относительно вертикально-
го радиуса к симметрично нагруженную. Следователь-
но, в разрезе будут действовать только симметричные
неизвестные X» и Х5 (рнс 9.10,6).
Если рассмотреть левую половику арки, то горизон-
тальное перемещение Ел н угол поворота фд сечения А
этой половины являются свободными членами канони-
ческих уравнений. Воспользуемся величинами этих пе-
ремещений, вычисленными в примере 9.3 (см. рнс. 9.8)
Дзе=Ел = 1,22 см; Дэр=ф* =0,0063. Вычисляя коэф-
фициенты уравнений по табл. 9.4, получим систему
уравнений:
("у j + ^s63s ( 2 )----Л’
нлнО.65-10-3 X, + 0,34-КГ5 Xs = — 1.22;
( 2 ) +	( 2 )----Л1₽ ’
или 0,34-КГ5 Хэ +0.314-10-7 Х, = -0,0063.
9.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
533
Таблица 9.8
Значения dt (в долях радиуса 4"
у. град	X									
	1.0	2,0	3.0	4,0	5.0	6.0	7,0	8.0	9.0	10,0
40	0,0602	0,0512	0.0533	0,0550	0.0577	0.0696	0,0616	0,0632	0,0647	0.0663
50	0,0800	0,0830	0,0873	0,0913	0,0960	0.0998	0,1032	0.1060	0,1084	0,1109
60	0.1175	0.1239	0.1320	0.13М	0.1471	0.1531	0.1S8S	0,1627	0.1661	0.1699
70	0,1640	0.1756	0.1894	0,2019	0.2134	0,2224	0.2302	0.2364	0,2416	0,2465
80	0.2230	0.2400	0.2595	0.2810	0,2979	0,3108	0.3219	0,3305	0.3380	0,3502
90	0.2872	0,3)86	0.3520	0,3802	0,4042	0,4228	0,4382	0,4505	0,4607	0,4699
100	0.3664	0,4)42	0,4634	0,5041	0,6379	0.6642	0,6857	0,6042	0,6174	0.6302
по	0,4580	0,6288	0,5996	0,6576	0,7063	0,7426	0.7730	0 7977	0.8163	О.8Э64
120	0.5617	0,6636	0,7670	0.8367	0,9138	0.9673	1,0113	1.0474	1.0606	1,1040
130	0,6787	0.8185	0.9578	1,0740	1,1707	1.2542	1.3136	1.3899	1.4134	1,4535
140	0,8018	0,9870	1.1752	1.3374	1,4760	1,6910	1,6888	1.7720	1,6438	1.9072
150	0,9215	1.1603	1.3914	1,6092	1,8001	1.9711	2.1189	2 2485	2.3S99	2,4670
160	1,0187	1.2556	1.6383	1.8046	2,0487	2.2724	2.4806	2.6720	2,8486	3.0131
170	1.0602	1.2532	1,4760	1,7016	1,9270	2,1460	2.3594	2,6667	2.7682	2,9644
160	1.0000	1,0000	1,0000	1.0000	1,0000	1,0000	1,0000	1.0000	1.0000	1.0000
Таблица 9.7
Значения rfj (в долях радиуса г)
у . град	и									
	1.0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7.0	8.0	9.0	Ю.0
10	0,0051	0,0050	0.0049	0.0048	0,0047	0,0045	0,0043	0,0041	0,0039	0,0037
20	0,0017	0,0191	0,0179	0.0164	0.0148	0,0131	0.0117	0,0102	0,0089	0.0079
30	0,0437	0,0392	0.0043	0.0293	0.0244	0.0195	а 0164	0,0135	0,0112	0.0094
40	0,0750	0.0644	0,0516	0.0402	0,0310	0.0238	0,0166	0,0148	0.0119	0.0096
60	0,1122	0,0696	0,0663	0,0479	0,0348	0.0258	0,0195	0,0152	0,0121	0,0099
60	0,1539	0,1131	0,0775	0.0498	0 0367	0,0265	0,0196	0.015Э	0.0122	□,0099
70	0,1967	0,1352	0,0856	0 0526	00378	0.0268	0.0199	0.0164	0,0122	0.0099
80	0.2400	0.1516	0,0910	0,0550	0,0381	0.0269	0,0200	0.0164	0,0122	0.0099
90	O.282S	0.1654	0,0946	O.O58I	0,0383	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099
too	0,3227	0,1760	0.0969	0 0584	0.0385	0,0270	0,0200	0,0164	0.0122	0,0099
110	0,3592	0.1660	0.0982	0.0686	0,0385	0.0270	0,0200	0.0164	0.0122	0,0099
120	0.3915	0,1895	0.0990	О.О5Я7	0,0385	0,0270	0.0200	0,0154	0.0122	0.0099
130	0,4199	0.1935	0,0995	0.05RM	0.0385	0,0270	0.0200	0.0164	0.0122	0,0099
140	0,4446	0,1961	0.0998	0.0588	0.0385	0.0270	0.0200	0,0154	0,0122	0,0099
150	0,4644	0.1979	0,0999	0,0588	0,0385	0,0270	0,0200	0,0164	0,0122	0,0099
160	0,4790	0.1990	0,1000	0,0588	0,0385	0.0270	0.0200	0.0154	0,0122	□,0099
170	0,4909	0.1996	0.1000	0.0588	0.0385	0,0270	0.0200	0,0164	0,0122	0,0099
180	0,5000	0,2000	0.1000	0,0588	0,0385	0,0270	0,0200	0,0154	0,0122	0,0099
Таблица 9.8
Коэффициенты A q
у. град	X									
	1.0	2,0	3,0	4.0	5.0	6.0	7,0	8,0	9.0	10,0
40	0.0001	0,00095	0.00183	0,00268	о.пгам	0,0044	0,0053	0,0061	0,00705	0,0079
50	0.0009	0.0028	0.00452	0.0077	0.0084	0.0104	0,0123	0,0142	0,0160	0,0180
60	0.0019	0.0069	0.0160	0.0218	O.O2S2	0.0288	0,0329	0.0384	0.0430	0.0470
70	0.0056	0.0199	О.О38Э	0.0544	0,0640	0,0770	0.0840	0.0875	0,088$	0.0890
80	0.0078	0.0476	0.0607	0,1310	0,1541	0.1780	0,1965	0,2165	0,2330	0,2420
90	0,0350	0,1122	0,1950	0.2830	0,3260	0,3740	0,4240	0,4460		0,4870
100	0.0766	0.2366	0,4600	0.6650	0.66ЭС	0.749	0,820	0.825	0.943	0.968
110	0,1543	0,4770	о айо	1.0960	1.2850	1,460	1.595	1,718	1.822	1.888
120	0,3225	1,0140	18570	2.1640	2.4490	2.775	3,040	3,248	3.261	3,695
130	0.6510	1.7960	2 ОДО	3.0290	4.6790	5.308	5,773	6.261	6.5©	6.897
140	0.9903	3.2560	5 160	7,016	8.516	9.805	10,694	11,637	12,658	13.330
150	1,721	5,372	9'227	12,764	15,805	18.-1LM	20,846	22,940	24,984	26.410
160	2,633	9,171		22.795	29,041	37.790	40.062	44,964	49.478	53.637
170	4.678	15,034		39.169	51,158	62,902	74.343	85,461	96.274	106,77
180	7,245	23,143	41*627	60,843	80,329	99,932	119,67	139,26	158,96	178,67
534
РАЗДЕЛ 0. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Коэффициенты Ль
Таблица 93
«м3	X									
	1.0	1 г.о	3,0	1	6.0	6,0	7.0	8.0	9.0	10.0
40	0,0065	0,0233	0,0438	0,0639	0,0811	0,0956	0,1075	0,1172	0,1255	0.1324
50	0,0188	0,0626	0,1106	0.1623	0.1851	0.2107	0,2310	0.2472	0,2603	0.2713
60	0,0433	0,1352	0.2242	0,2940	0.3452	0,3837	0.4130	0.4360	0.4546	0.4696
70	0,0853	0,2494	0,3907	0,4920	0.5629	0.6142	0,6526	0.6822	0.7057	0,7245
80	0.1500	0,4095	0,6200	0.7428	0.8321	0.8951	0.9414	0.9775	1.0043	1.0265
90	0.2402	0,6142	0,8737	1,0355	1.1405	1,2128	1,2650	1,3042	1,3348	1,3592
100	0,3570	0.8564	1,1702	1,3551	1,4713	1,5495	1,6052	1,6465	1.6786	1.7038
по	0,4990	1,1246	1,4825	1,6827	1,8048	1.8852	1.9426	1,9830	2.0148	2.0396
120	0,6612	1,4033	1,7918	1.9984	2,1207	2,1996	2,2541	2,2976	2,3234	*MG9
130	0,8346	1,6768	2,0796	2,2843	2,4015	2.4756	2,5257	2,5617	2.5885	2.6092
140	1,0120	1,9267	2,3306	2,6265	2.6336	2.7003	2,7444	2.7756	2.7986	2.8161
150	1.1830	2,1422	2.6330	2,7128	2.8091	2.8669	2,9044	2.9304	2,9491	2.9633
160	1.3373	2.3134	2.6814	2.8433	2.9270	2.9760	3.0069	3,0278	3.0427	3,0538
170	1,4685	2.4365	2,7773	2,9212	2,9936	3.0349	3,0605	3.0773	3,0892	3.0977
180	1,6708	2,6133	2,8274	2,9569	3,0206	3.0568	3,0788	3,0932	3,1033	3.1105
Т а б л я ца 9.10
Коэффициенты Лк
V, ерад	к									
	1.0	2.0	3,0	4.0	5.0	6.0	7.0	8,0	9.0	ю.о
40	0.199	0.730	1.458	2.273	3,115	3.962	4.812	6,668	6.601	7,339
50	0,361	1.771	2,427	3.652	4.880	6,106	7.317	8,523	9.724	10.916
60	0.671	1.916	3.510	6,126	6,724	8,299	9.855	11,400	12,938	14,464
70	0.815	2,604	4,586	6.534	8.435	10.300	12,138	13.962	16.776	17,673
80	1.075	3,263	5.549	7.722	9.828	11.887	13,912	16,330	17.915	19,812
90	1,330	3.826	6.214	8.664	10,755	12.890	14,985	17,061	19.121	21,161
100	1,559	4.239	8.716	6.979	11.124	13.207	15.246	17.264	19.236	21.246
110	1.742	4.467	6,829	8.936	10.913	12.822	14.687	16,529	18.356	20.161
120	1.996	4.496	6,621	8.460	10,164	11,801	13,393	14,964	16,519	18,056
130	1,927	4.342	6.135	7,629	8.990	10.286	11.542	12.777	13.998	15,204
140	1.924	4.037	5,448	6.564	7.553	8.464	9.379	10.256	11,121	11.974
150	1,868	3.635	4,662	5.410	6,045	6,629	7,163	7.722	8,251	8,771
160	1.776	3,202	3.892	4,323	4,670	4.963	5,242	5.504	5,769	6,007
170	1.670	2,806	3,248	3.470	3,612	3.719	3.808	3,888	3.962	4.032
180	1,571	2.513	2,827	2.957	3.021	3.057	3.079	3,093	3.100	3,110
Таблица 9.II
Коэффициенты А в
. лрад	1.0	2.0	3,0	|	4.0	6.0	6.0	7,0	8,0	9.0	10,0
40	0.6032	1,7690	2,9103	3,9700	6.0	6.0	7.0	8,0	9.0	10,0
60	0.7027	1,8812	2.9682	3,9924	6.0	6.0	7.0	8,0	9,0	10,0
60	0,7807	1.9402	2.9889	4,0	6.0	6,0	7,0	8.0	9.0	10.0
70	0,8401	1.9698	2,9961	4,0	5.0	6.0	7,0	8.0	9,0	10.0
80	0.8845	1.9820	3,0	4,0	6.0	6.0	7.0	8.0	9.0	10.0
90	0,9172	1,9926	3.0	4.0	5,0	6,0	7.0	8,0	9,0	10.0
180	0,9457	1.9962	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9,0	10.0
ПО	0.9579	0,9982	3,0	4.0	6,0	6,0	7,0	8.0	9.0	10,0
120	0,9701	2,0	3,0	4.0	5.0	6.0	7,0	8.0	9.0	10.0
130	0.9787	2.0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	8.0	9.0	ю.о
140	0.9650	2,0	3.0	4.0	5.0	6.0	7.0	6.0	9.0	10.0
150	0.9894	2.0	3.0	4,0	5.0	6,0	7.0	6.0	9.0	10.0
160	0,9925	2,0	3.0	4.0	5,0	6.0	7.0	8.0	9.0	ю.о
170	0.9947	2,0	3,0	4,0	5.0	6,0	7.0	8.0	9.0	10.0
180	0.9963	2.0	а.о	4.0	5.0	6.0	7.0	8,0	9.0	10.0
9.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
535
Т а в л н а а 9.12
Значения определенных интегралов,
встречающихся при вычислении усилий я перемещений
в стержнях с круговой осью
НМ	а (/ (Р) лр 1	6
sln В	1 — cosa
соз В	sln а
sln1 В	1 . _ , 1 — — sln 2а -1	а 4	2
cos1 р	— sln 2а + — а 4	2
sln3 В	1,3	2 	соз За	cos а 4- — 12	4	3
cos’ р	sln За + — sln а 12	4
В sin В	tin а — a cos а
В соз В	cos а + a sln а — 1
Р*»1пР	2 a sln а — (а1 — 2) cos а — 2
P*COS0	2а соз а Ч- (а1 — 2) sln а
sin в COS В	— sln1 а 2
sln В cos1 В	— (1 — cos’ а) 3
sln1 В cos В	— slrfa Э
sln3 В cos1 В	1	’	. л — а	sln 4а 8	32
В sln1 В	1 _	1	. „	1 Л . 1 — а1	a sln 2а	соз 2а Ч	 4	4	8	8
В COS’В	— а’ Ч- — a sln 2а ч- — саз 2а —— 4	4	8	8
Sln2B	— (1 — cos 2а) 2
cos 2В	— »1п2а 2
В sln 20	I , ,	1 — sln 2а	а cos 2а 4	2
Bcos2B	1	- . 1	. Л I — cos 2а Ч	a sln 2а	 4	2	4
sln (а — В)	1 — cosa
Продолжение • табл. 9.11
HP)	j 1 (Р) dfi
cos (а — В)	sln а
sln В sln (а — В)	1	. 1 — sln а	а соз а 2	2
sln В соз (а — В)	1 —a sln а 2
соз 0 sln (а — В)	1 — a sln а 2
cos В соз (а — В)	1 . ,1 — sln а Ч— а соз а 2	2
Рнс. 9.10
Усилия в ключевом сеченнй: сила Xa= —1910 кГ,
момент Л8= 6250. Максимальное напряжение в сечении
°макс —
1910
46,5
6250
472
= —55кГ/см>,
Усилия в защемлении С найдем, рассматривая полу-
арку под действием заданной нагрузки и вычисленных
начальных параметров Л10=Л8 н n0=Xs. По формулам
(9.3), (9.4) и (9.7)
Ус=—2300 кГ; /?С«=—1160 кГ; Нс—3,7-104 кГ-см.
Максимальное напряжение в защемленном сеченнй рав-
но 130 кГ]см\
Пример 9.5. Стальная трубка с отношением диамет-
ров k=d/D=0,6 изогнута по дуге круга радиуса с=
= 100 см н нагружена в точке В вертикальной силой
Я,=1000 кГ, перпендикулярной плоскости кривизны.
536
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Табл пая 9.13
Усилия в ключевом сечеиин стержня, защемленного двумя концами
Схема нагружения		Усилия в ключевом сечен ни А
ЧР с	|_7 3/' ct "о	Продольная сила Г«1п tslna — <xv Bin (у — а) — 2 sin у (1 — co<oti _ *•"	v	? у» + — sin 2у — 2slri* V 'l	2 ИзгибающвП момент y»-j- Xsin2v — 2Bln*V I2 2 + sin V p — сое a—	COS у 4-cos (y — a)j|
	р	Продольная силе x slny (y Bln v + 2co3V —2) p 2У1 + у sin 2y — 4 sin1 V Изгибающий момент x	(1 — сов у) (3 sin у — у cos у — 2y) 2y’ + у sin 2y — 4 sin’ у
др		Поперечная сила „	(1 — cos V)1 n »Jn 2y — 2y
л- с	>/ S V	Поперечная сила X a 2	~ C0B v> M sin2y —2y r
0 \jy А		Изгибающий момент 1 — cos у + Л * sin’ у X, 				 Pr, (л + 1) v+ -~ 1 «In 2y 2 n-A
хну лг	Туй	Изгибающий момент X,	ain’\|	А»; Sln2v+ li-L 2y n — 1 n-A
9.1. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ
537
Продолжение табл. 9.13
Схема нагружения	Условия в ключевом сечении А
	Вертикальная ооперечиая сила Хя н крутящий момент X. находятся нэ системы уравнений: б,t *, + х, + &2М - °; в«« *»+•«*« + бем - °; AjjH гвя V — 1 “ п 2 1 sin" V ); л — 1 s,n’v; см. табл. 9.4.
Опоры концов стержня допускают свободный поворот
сечений относительно радиальных осей (рнс. 9.11, с).
Вычислить реакции н реактивные моменты опор
стержня.
При нагрузке перпендикулярной плоскости кривизны
возникают вертикальные реакции QA, Qc н реактивные
Рнс. 9.11
крутящие моменты Кл н Кс- Задача является один раз
статически неопределимой. Использование метода сил
в рассматриваемом случае потребует довольно гро-
моздких вычислений для нахождения коэффициентов
канонических уравнений. Задача значительно упростит-
ся, если использовать готовые формулы. Для этого ос-
вободим конец А, приложив к нему неизвестные усилия
Ол и Кл. повернем стержень относительно радиальной
осн на неизвестный (неопределенный) угол фс
(рис. 9.11,6) н жестко закрепим этот конец. Получим
консольно закрепленный стержень, усилия н перемеще-
ния которого приведены в табл. 9.4. Искомые усилия Q л
и Кл найдутся из условий равенства нулю вертикаль-
ного прогиба бл. угла поворота сечения бл вокруг каса-
тельной н изгибающего момента Lc в сечении С. Прн
составлении первых двух условий необходимо учесть
влияние угла фс и воспользоваться формулами (9.31).
В результате имеем:
- , Sin 30° Ру 6« (у) + г (I - cos 30») Ру 662 (у) +
+ <?л 6 (120») + КА (12(Г) = 0;
°л = фс “п >20» + Ру 6Й (yjcos 30» +
+ Pv Ц-f )sin 30» + Qa 6ю (120») + KA 6№ (120») = О,
Lc =Kj,cos30»-P г — Од г cos 30» = 0.
С/*
Учитывая, что п = у = 0.8, вычислив! значения
коэффициентов в<» согласно табл. 9.10 н получим си-
стему уравнений:
— 0,866фс + 2.23гаг QA — 0.97аг КА +1,4raz Ру - 0;
0.866фс — 0,97raz Qa + 1,84aj КА — 0,82raz Р = О,
KA~QAr=l.l6rPy.
Исключив из первых двух уравнений неизвестный
угол фс, найдем: (?л = —0,75 Р,= —750 кГ; /Сл“
=0.41 гР»=0,41-105 кГс.ч.
Остальные две реакции находятся нз уравнений рав-
новесия стержня: Qc= —0.25 Pw= —250 кГ; Кл =
=0,32 г />,=0.32-105 кГ-см.
Массивный стержень, защемленный двумя концами
Усилия в ключевом сечении А для некоторых видов
сосредоточенных нагрузок даны в табл. 9.13. Обозначе-
ния усилий соответствуют обозначениям нагрузок
в табл. 9.10. Из этой таблицы следует брать значения
коэффициентов £<* прн составлении системы канониче-
ских уравнений для стержней с более сложной нагруз-
кой, чем в табл. 9.7. Зная усилия в ключевом сечении,
находим усилия в произвольном сечении стержни, поль-
зуясь табл. 9.10 или общими формулами (9.3)—(9.8).
Приведенные податлнвостн о. н а, вычисляются по
формулам (9.1) н (9.30). Для схем 5, 6 и 7 n<v=0
=“ Фс ' sin 120° + Ру ба (90-=*) -
в п<
538
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖН’1 И ".ОЛЬЦА
9.2.	КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
Растет кольца, как статически неопределимой систе-
мы, возможен с помощью формул и приемов, изложен-
ных в 9.1. Однако решение оказывается крайне слож-
ным н трудоемким. Особенности работы кольца как
циклически симметричной системы [7, 13] позволяют
внести значительные упрощения и получить для усилий
и перемещений более простые формулы.
Правила знаков для внешних нагрузок н внутренних
усилий н для перемещений кольца остаются теми же.
что и для кривого стержня (равно как и обозначения
этих величии). Они указаны на рис. 9.2 и 9.3. Сечение
кольца ориентировано
относительно плоскости
кривизны произвольным
образом, т. е. в общем
случае главные осн
инерции сечення повер-
нуты на некоторый угол
X (см. рнс. 9.1, а). Ха-
рактеристики жесткости
сечення вычисляются по
формулам (9.1) в (9.2).
Перемещения кольца
как абсолютно жестко-
го тела сводятся к трем
поступательным переме-
Рнс. 9.12
щениям и, v, ш н к трем
углам поворота Qu, Q>, Q« относительно осей, пока-
занных на рнс 9.12 (на чертеже показаны положитель-
ные направления перемещений).
Дислокации представляют собой сосредоточенные
в каком-либо сечении кольца взаимные смещении правой
и левой половин кольца. Разрежем мысленно кольцо
в некотором сечении и сместим образовавшиеся в раз-
резе торцы в каком-либо направлении. Затем снова же-
стко соединим концы разрезанного стержня. В резуль-
тате в кольце возникнет сосредоточенная дислокация
в направлении произведенного смещения. Наличие дис-
локации ведет к появлению внутренних усилий и к уп-
ругой деформации кольца. Практически дислокации мо-
гут появляться в результате неточного соединения кон-
цов кольца при монтаже конструкции, либо вследствие
местного нагрева. В ряде случаев понятием дислокаций
удобно пользоваться при расчете колец с промежуточ-
ными шарнирами.
Обозначения дислокаций: Л —радиальная дислока-
ция; Д — вертикальная дислокация; В — продольная
дислокация; Ф, ¥, в — угловые дислокации относи-
тельно радиальной, вертикальной и продольной осей со-
ответственно.
На схемах табл. 9.20 показаны положительные на-
правления дислокаций. В случае положительной дисло-
кации впереди лежащее сечение (положительный угол
а отсчитывается против часовой стрелки) сдвигается
нлн поворачивается в направлении векторов, показан-
ных на рнс. 9.3.
Общие формулы для определения усилий и перемещений
колец, нагруженных сосредоточенными силовыми
факторами
Приведенные ниже формулы справедливы прн изме-
нении а по участкам между двумя соседними силовыми
факторами.
Продольная сила
К (а) = -Ц- (((8 — Yr) Dx + Ф DXJ cos а -f-
яг8
+ [6rDxp — ADX| sin а) + -^ 2Мг1 cos(a — a() +
+ г2Рл sln (a — a,) +	sin (a — a,) — -y IPx/| +
+ ZPxlF1(a-ai) + ZPxJF,(a-a,). (9.35)
Радиальная поперечная сила
Я (°) = ~ (1(2 — Yr) Dx + ®rDJ sin a +
+ |ADX — 6DX1Z r| cos a) + — [ax Dx„ SAfXI sin (a—a()—
IV
— cos (a — a()] + IP2/ + EPX/ F, (a — az) —
-SPrfFJa-ar)-	(9-36)
Вертикальная поперечная сила
G/к	1
Q <“) = 77 <д + вг> +	+
2№	2JV
+ —	sin (a — a,) + (a — af). (9.37)
л
Полный крутящий момент
К (a) =	ADXJ cosa +
Cl.
+ -^-(Д + 0r) + [(Yr - 8) Dx(z— ©rDJsina +
+ — (1 — oz Dp) IM,/ sln (a—a4) -f-
JI
+ Fa (a — a/) + 2A4Xf F4 (a — a/) —
-rZPtfF'la-aM.	(9.38)
Вертикальный изгибающий момент
L (a) = — {[©rDp — ADXJ sin a +
+ [©rDp + (8 - Yr) Dx„] cos a +
+ — a2 Dv ZMtl cos (a — af) -f- -у-	+
л	2л
+ гХРи Ft (a - a,) + EMXIF, (a - aj -
(“-«<)}-	(9-39)
Горизонтальный изгибающий момент
11	G/K„
W (a) = — < [ADX — erDx„] sin a +—^ Y +
nr I	*	2
+ [(Yr — 8) Dx -f- ®DX„ r] cos a —	ZMj/ —
2л
— у- аг Dx„ 2Мг1 cos (a — aj — rIPx/ F< (a — a;) —
— г£Рг1 Ft (a — a() + FY (a — a,). (9.40)
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
539
Бнмомеит
в(а) = /	—AD*»>sina +1®'1’»+
n(X* -f- IJ
4-(E — Yr) DXJ cosa) +
+ n(Ki+ ц <fl« Du ~ *>	«“(“ — «<) +
4-г IrEP^ FM(a— a() 4-EMxt FI3 (a— aj —
-EMH Fi. (a-«/))	(9.41)
Момент стесненного кручения
К = (a) nr(J+ 1) 11 erD*'- ADjwI cos “ +
+ ((Yr-E)DXp-®rDp| sina} 4-
+ n(xJ+|)- (1 - аг О„) SMti sin (a - at) —
— rEPyl Fa (a — af) 4- EMX; Fie (a — a/) 4-
4-2Л1г/F1B (a — a().	(9.42)
Момент свободного кручения
A (®> =----,„T. n HerD* -	cos a +
nr (x* 4-1)
G/K
4- |(Vr - S) DXp - ®rDJ sin a} 4-	(Д 4- O') 4-
x*
4- я(х, + |) (1 — a, Dy) EMxt sin (a - a,) -
- EPp, Fp (a - a,) 4- EMX| F» (a-a<)4-
4-EMxlFJ,(a-a/).	(9.43)
Угол закручнвания
6(a) =—Q„cosa 4-0oslna 4- -^-pDasina —
- Qacosa 4- — *] 4- °'в" • 7- ЕЛ4„ -
Op J ay 2n
— rax EP,i F. (a — aj) — ox EMxi Fj (a—a/) 4-
4- ox EAljj F. (a — ay) 4- roXp EPX< Fe (a — aj 4-
4- raXJ( ЕРЯ F. (a — a,) — axy E.M^ F, (a—a,) —
---— EPyiF,t(a — a/)	— EMX, Ft, (a — a() 4-
U/K--------------------Viк
4- -77 EMtf Flt (a — a().
G/K
(9.44)
Вертикальный угол поворота
<p(a) =—Qucoso —Qoslna 4-
4--^— (0r(cosa — 4axDycosa.— a sin a— 1)4-
4-Фг (2ax Dp sin a — sin a — a cos a) -}-Л2ох Dx(, 4-
4- (B — Yr) 2ax Dwsina — Д} 4-
4--j— (Ox Dp— 1) — EM^ sin (a —a,) —
rax EPpj Fi (a — a/) 4- ox E;WX/ F» (a — a/) —
— ax EM^ Fi (a — a,) 4- raxy EPxt F-, (a — a,-) —
— raxy ^FiiFt (a — a() 4- aXp EMpi Fx (a — a/) —
—	^Pyi Ftt (a — af) 4- —— EMX/ FS! (a — a() 4-
G'k	G/p
4- EMjj Fn (a — a().	(9.45)
Горизонтальный угол поворота
Y(a)=—Ц,4- cos a 4-Esina —
- Yr (sin a 4- -y-jj — roXp EPpi F, (a - a,) 4-
4" oXp 2MX( Fx (a — aj) — aXp EM F4 (aa—a/) 4-
4- rop EPX/ Fs (a — a,) — rcp Epxl F« (a — at) 4-
4- Op ЕЛ1р( F, (a — Of).	(9.46)
Продольное перемещение
£ (a) = и sin a — 0 cos a —	+
4- ~ (A® sin a — Ea cos a 4- Yr (a cos a — a)l 4-
2л
4- r |roXp EPpi F, (a — a,) — axy EMxl F, (a — a,) 4-
4- oxp ЕМи F, (a — a,) — ray EPxl F, (a — af) 4-
4- го» EPxJ F10 (a — af) — ay EMpj Ft (a — af)J. (9.47)
Радиальное перемещение
X (a) =— и cos a — v sin a 4-
4-“HE (cosa —a sina) — A (sin a 4-a cos a) 4-
4- Yr (1 — a sin a —cosa)) 4-
4- r (— raXp EPpj F. (a — a<) — an EMxi Fi (a — aj—
— oXp EM# Ft (a — Oj) 4- my EPxl F, (a — af) 4-
4- rap EPjj F, (a — a,) — ay EM^ Fs (a — a,)). (9.48)
Вертикальное перемещение
6(a) = — ш — Qd r sin a-|-Qe r cos a 4-
4- ~ [Or (a cos a — 2ox Dp sin a — a) —
— Фг (a sin a 4- 20, Dp cos a) 4- (Yr — E) 2ax Dxy cos a-|-
4-	sin a — Aa) 4-
4-	(1 — ax Dp) E Mxl cos (a — a/) 4.
4- r ^rox EPpf Fy (a — a<) 4" ox EAfx/ F. (a — a<) 4-
4- ox EM2l F. (a — aj) 4- raxy EPxl F. (a — <4) —
— raXp EPX< F. (a — a/) 4- »xy	Ft (a — a,) 4-
4-"77” ^P»i Pu (a — °i) + 7T- Ри (° — в<) —
GiK	G/K
-77-2M./FM(a-ai)l.	(9.49)
G/K	J
540
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
В формулах (9.35)—(9.49) кроме введенных рапсе
приняты следующие обозначения:
(9.50)
Функции влиянии F<(a), входящие в формулы
(9.35)—(9.49), вычисляются следующим образом:
F, (а) = (л — а — 2 sin а);
2л
1 /л*	а* „	\
£’(а)=^(т-па+т-2с“а):
Л,(а) = 2л ((" —°)cos° —ySina]:
Ft (а) — — I + — cos a — (я — a) sin al;
2n 2	J
Ft(a) = F,(a)-F,(a):
F, (a) = F, (a) — Ft (a);
sin a I л!	1	a* \
Л(а)=1г(т+т-"’+т):
1 Гл — a
= S,n“ +
I /л»	3	a!\	1
+TlT-T-’w+T)cosa-,]:
Ft (a) = Ft (a) — Ft (a);
Fio(a) = F,(a)-F,(a);
F11(a)=F,(a) + Fa(o):
F„(a)=F,(a) + F4(a);
F„ (a) = -jJ— [Fj (a) - F„ (a)];
FM <a> =	(a) “	<°№
xs 4- 1
F16 (a) = [Fj (a) + x!F„ (a)[;
F„(a) =	(f‘ <“> + *v« <a)i;
FiJ(a) = F5(a)-F1,(a);
Fn(a) = F„(a)-F„(a);
FM(a) = F,(a)-Fle(a):
FM(a) = F|(a) — F„(a);
Fn (a) = — [F, (a) - F„ (a)];
x* T 1
F« Ю = ZsT7 ,f* (a) — FM(aW:
X -j- 1
Fa (“) = Ft (a) — Fa (a);
F«(a)=F10(a)—^F„(aY,
sh x (л — a) sin a
25 a	2shxn	я(х* + 1)"
F ch x (л — a) 1 cos a
*' °	Sxshxn	2nxs л(хг+1)'
Суммирование в формулах (9.35)—(9.49) ведется по
всем силам и моментам, нагружающим кольцо, включая
реакции опор кольца, определяемые нэ условий равно-
весия н условий совместности деформаций (последние
используются в случае статически неопределимого за-
крепления кольца). Угол а—а< всегда отсчитывается от
сечения, в котором определяется искомая велнчнна, к се-
чению, в котором приложено внешнее усилие. Прн от-
счете против часовой стрелки этот угол считается отри-
цательным. Всегда принимается минимальное расстоя-
ние между силой н сечением, т. е. угол a—a< всегда
меньше 180*. Поэтому функции F вычисляются в интер-
вале изменения угла от 0 до 180° прн положительных
значениях аргумента. Все функции делятся на две груп-
пы— «нечетные», обозначенные нечетными индексами
1. 3..25 и «четные», обозначенные четными индекса-
ми 2, 4, .... 26. Все «нечетные» функции прн отрицатель-
ном знаке угла а—а, берут с противоположным зна-
ком, например, вместо F7(—а) берут —F7(a). На знак
«четных» функций изменение знака угла не влияет: вме-
сто Fu(—а) берут FM(a).
В табл. 9.14—9.16 приведены значения функций
Fi(a), Fj(a), F,(a), F4(a). FT(a), F,(a), FB(a)
и FB(a) для значений угла a, меняющегося через 10.
Остальные функции выражаются через функции, приве-
денные в таблицах.
В случае, когда одна нз главных осей инерции сече-
ния лежит в плоскости кривизны кольца, оЖ7=0, фор-
мулы (9.35)—(9.49) упрощаются н искомые усилия
и перемещения распадаются на две не связанные между
собой группы, одна из которых зависит только от на-
грузок, лежащих в плоскости кривизны, а другая —от
нагрузок, перпендикулярных плоскости кривизны.
Пример 9.6. Определить перемещения н нормальные
напряжения в сечении D кольца радиусом г=100 см,
нагруженного, как показано на рнс. 9.13, а. силами
S=500 кГ каждая. Площадь сечения кольца F=
= 10 см}; момент сопротивления изгибу 1Г=5 смг; мо-
мент инерции /=25 см*; £=2-10® кГ1см‘>.
Определяем реакции опор из условий равновесия
кольца: UA = 1,125-500=562 кГ,	кГ; Ус =
=500 кГ.
Перенесем все силы на ось кольца с добавлением со-
ответствующих моментов н разложим каждую силу на
радиальную II тангенциальную составляющие. Расчет-
ные нагрузки показаны на рнс. 9.13.6. Полагая сосре-
доточенные лнелокацнн отсутствующими и учитывая,
что axv=0 н, следовательно, DIy=0, по формулам
S3. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
541
Таблние 9.14
Функции влиянии
ч. ер ад	F.(a)		F.(a)	F.(a>	F>(a)	F.(a)
0	0.5000	0,2053	0,5000	0.2387	0,0000	0,0430
10	0,4169	0,1253	0.4512	0.1555	0.0416	0,0391
20	0.3356	0,0696	0,3904	0.0619	0,0682	0,0293
30	0.2575	0,0060	0,3210	0,0197	0.0808	0,0161
40	0.1843	—0.(005	0.2468	-0.0298	0,0813	0,0018
60	0,1173	-0,0567	0,1712	-0.0663	0.0719	-0,0117
60	0.0577	—0,0719	0,0978	-0.0897	0,0550	-0,0228
70	0.0064	—0.0774	0.0279	-0,1008	0.0335	-0.0306
80	-0,0357	—0.0742	-0,0301	-0,1006	0,0100	-0.0344
90	—0.0683	—0.0654	-0.0796	0,090*	—0.0124	-0.0342
100	-0,0912	-0.0514	-О.П70	-0,0735	-0,0329	-0,0301
по	—0,1047	-0,0342	-0,1413	-0.0508	-0.0485	—0,0229
120	-0,1090	—0,0154	-0,1522	-0.0250	-0.0683	-0.0135
130	—0,1060	0.0031	-0,1502	0.0016	-0.0618	-0.0029
140	-0,0935	0,0208	-0.1363	0.0268	-0.0589	0,0077
150	-0,0758	0,0357	-0.1120	0.0486	-0,0500	0.0173
160	-0.0533	0,0470	-0.0794	0.0654	-0.0363	0,0249
170	—0.0275	0.0541	—0.0412	0.0760	-0.0191	0.0298
160 |	0,0000 |	0.0S6S |	0.0000	0.0796	0.0000	0.0314
(9.35) и (9.39) вычисляем продольную силу н изгибаю-
щий момент в сечении D:
"о = рл f<(VW>,s pt О**) - P,'^P" +
+ P»F, (0°) + PnPa (- 60») + PaF, (- 150») +
+ P,tF, (120°) 4- ~ (Pn sin O’ + Pa sin (- 60°) +
+ P« sin (- 150») + P„ sin (120°)] +
+ — sin (-60°) + sin 120°];
»D = - ' I Px/4 (O’) + Р,г F, (120°) + P21 Ft (0°) +
+PKFt (-60°) + Pl3Fs (-150°) + P«F,(120°)] -f-
+	(-6°°) + MnFi (120°)-
Puc. 9.13
Подставив значения функций Ft. F3, F,. Ft
из табл. 9.14. получим: A/o= —440 kF; Wo=
=6490 кГ-см. Максимальное нормальное напряжение
в сечении D
440	6490
’D=—ю----------^-=~ 1340 КГ/оР.
Произвольные постоянные и, о, £2Ш в формулах
(9.46)—(9.48) для перемещений вычисляем из условий
равенства нулю продольных перемещений |А, £с и ра-
диального перемещения Хс:
=usin0° — ucos0° — Qur +rag [— rP^F, (60°) —
- rPa Ft (180°) + rPn Fit (SCP) + rP„ Fw (0°) +
+ rPnFu (-90°) + rPa F10 (180°) - Ft (0°) -
— MirtF,(180»))=0;
Ec = u sin 180° —u cos 180° — Qwr +
+ ге,(-гРх1 F,(120°)-rP„F,(0°) +
+ rPn Fit (-120°) + rP„ Fio (180°) + rPrt Flo (90°) +
+ 'Рг> Рю (O’) - M„i Ft (180°) - Мщ Ft (0°)) = ft
Xc = —«cos 180° — usin 180° +
+ re, (гРж1 F,(—120°) + rPxjFeCO») +
+ rP„ F, (—120°) + rP„ F,(l80°) +
+ rPlS Ft (90°) + гРы F, (0°) -Myi F,(180»)-
-MlrtF,(0°)]=0.
Подставив значения функций F нз табл. 9.14 с уче-
том знака угла и «четности» фуннцин. после решения
системы уравнений получим: и=—10“’ см; о=5Х
ХЮ-’ см; Я.=0.5-10“' род.
Определив постоянные, вычисляем перемещения се-
чения по формулам (9.46)—(9.48): £о= +0,23 см;
Хо= +0,12 см; фо= +3,5-10-’ рад.
542
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Функция влияния (а)
Таблица 9.15
град	X										
	0	1	2	3		6	6	7	8	9	10
0	0,6000	0.6000	0,6000	0*6000	0.6000	0,5000	0*6000	0,6000	0*6000	0,6000	0*6000
10	0*4169	0.3920	0.3416	0,2907	0,2555	0.2068	0,1740	0,1462	0,1229	0*1033	0.0870
20	0.33S6	0*2976	0.2370	0,1646	0,1174	0,0831	0.0686	0.0413	0.0290	0*0203	0,0142
30	0,2575	0,2156	0,1436	0.0880	0.0522	0,0304	0.0183	0.0096	0.0061	0,0026	0,0011
40	0.1843	0*1450	0,0828	0.0411	0,0248	0.0074	0,0021	-0.0003	-0,0018	-0.0016	-0,0017
50	0*1173	0.0852	0*0385	0.0121	0*0009	-0*0030	-0.0039	-0,0038	-0,0033	-0,0028	-0,0023
50	0,0577	0.0353	0,0060	-0,0060	-0*0086	-0,0079	-0.0065	-0,0062	-0,0041	-0,0033	-0,0027
70	0*0064	-0,0051	-0,0164	—0,0171	-0.0138	—0.0104	-0.0078	-0.0068	-0,0046	—0.0036	-0,0030
80	-0.0357	-0,0365	-0.0321	-0.0238	-0.0166	-0,0116	—0.0084	-0.0062	-0.0048	-0,0038	-0,0031
90	—0*0683	-0.0695	-0,0421	-0.0278	-0,0178	-0,0120	-0,0066	-0,0064	—0,0049	-0*0030	-0.0032
100	-0,0912	—0.0746	-0.0476	-0,0287	-0,0230	-0,0120	-0,0065	-0.0063	-0,0048	-0.0038	-0.0031
110	-0,1047	-0.0825	-0.0492	-0.0283	-0.0174	—0,0116	-0.0081	-0.0060	-0.0046	—0,0030	-о.оаэо
120	-0.1090	-0.0837	-0,0477	-0.0266	-0.0161	-0.0106	-0.0074	-0,0065	-0,0042	-0,0034	—0,0017
130	-0,1050	-0.0790	-0.0436	-0,0238	-0,0143	-0.0094	-0.0066	-0.0049	-0,0038	-о.оаэо	-0.0024
140	-0.0935	-0.0696	—0.0374	-0,0202	-0,0120	-0.0079	-0.0065	-0.0041	-0,0032	-0.0026	-0,0020
160	—0*0758	-0.0559	-0,0305	-0,0157	-0,0093	-0,0061	-0.0043	-0,0032	-0,0024	-0,0019	-0,0016
160	-0,0533	-0,0390	-0,0204	-0,0108	-0,0064	-0.0042	-0,0023	-0,0022	-0.0017	-0,0013	-0,0011
170	-0.0275	-0.0200	-0.0104	-0.0064	-0,0033	-0,0020	-0.0016	—0.0011	-0,0008	-0,0006	-0,0006
180	-0.0000	0.0000	0,0000	0,0000	0.0000	0.0000	0,0000	0,0000	о.ахю |	0,0000	0,0000
9.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
543
Функция влияяня Fa (а)
Таблица 9.16
град	м										
	0	1	2	Э	4	Б	6	7	8	9	10
0	0,2053	0.1815	0,1464	0,1170	0,0944	0,0814	0,0703	0,0619	0.0551	0,0496	0.0452
10	0,1253	0.1059	0,0739	0.0497	0.0337	0.0234	0.0164	0,0115	0,0082	0,0059	0,0040
20	0.0596	0,0460	0.0238	0,0108	0,0034	-0,0004	—0,0022	-0,0033	-0,0032	-0,0031	-0,0030
30	0,0080	0.0013	—0,0072	—0.0107	—0,0108	-0.0097	-0.0083	-0,0069	-0,0060	-0,0049	-0,0041
40	-0,0306	-0.0300	-0.0267	—0.0216	-0.0166	—0.0157	-0.0108	-0.0076	-0.0060	-0.0049	-0.0042
50	-0,0567	—0,0499	-0,0371	-0.0260	—0,0182	-0.0130	-0.0127	-0.0075	-0.0057	—0.0045	-0.0036
66	-0,0719	—0.0613	-0.0408	-0.0264	-0.0174	-0,0120	-0,0066	-0,0064	-0.0049	-0.0039	-0,0032
70	-0.0774	-0,0638	-0,0398	-0,0243	-0,0154	—0,0103	-0,0072	-0,0054	-0,0042	-0,0033	-0.0026
80	-0,0747	-0,0690	-0,0335	-«,0207	—0,0177	-0.0083	-0,0068	-0,0044	-0,0033	-0,0023	-0,0021
90	-0.0654	—0,0606	-0,0290	-0,0192	—0,0097	-0,0064	—0,0044	-0,0032	-0,0025	-0.0020	-0,0016
100	—0,0614	—0,0387	-0,0211	—0,0113	-0,0066	—0,0042	-0,0029	-0.0021	-0,0016	-0,0018	—0,0010
110	—0.0642	-0,0249	-0,0126	-0.0063	-0,0035	-0,0022	-0,0015	-0,0011	-0,0009	-0,0006	—0.0004
120	—0.0154	—0.0103	-0,0041	-0,0015	-0.0006	—0.0002	-0.0001	-0,0001	0.0000	0,0000	0,0000
130	0,0004	0.0040	0,0036	0.0030	0,0021	0.0016	0,0011	0,0008	0,0007	0,0005	0.0004
140	0.0208	0,0170	0,0110	0,0068	0,0044	0,0030	0,0022	0,0016	0,0013	0,0010	0,0006
150	0.0357	0,0280	0.0168	0,0100	0,0063	0,0042	0,0030	0,0023	0,0018	0,0014	0,0011
160	0.0470	0,0064	0,0212	0,0123	0,0076	0,0061	0,0037	0,0027	0,0021	0,0017	0,0014
170	0.0541	0,0415	0,0239	0,0137	0,0065	0,0067	0,0040	0.0030	0.0032	0.001В	0.001S
180	0,0665	0,0433	0,0258	0,0141	0,0088	0,0069	0.0042	0.0031	0,0025	0,0019	0.0016
544
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Кольцо с исчезающе малой жесткостью свободного
кручения.* Изгибпо-крутильная характеристика х—О,
первые двенадцать функций F(a) остаются неизменны-
ми, а остальные будут равны:
Fn (о) = F» (а) — f»s (<»); Fu (°) = F< (°)— F«<а):
FJB(a) = F3(a);	=
Fis(a) = fr, F„(a) = 0; F„(a)=0; FM(a) = ft
£ы(а) = 0; F,,(a) = 0; F„(a) = 0; F„(a) = 0;
л — a sin а
^(<х) = Л(а) = —---------—;
2Л	Л
1 /л*	а»	\
f„(a) = F,(a) = — — -яа+-----------2 cos а .
2Л \ О	£	J
Эти значения функций следует подставлять в форму-
лы (9.35)—(9.49) при вычислении усилий и перемеще-
ний тонкостенного кольца с ничтожной жесткостью сво-
бодного кручения.
Кольцо массивного сечения. Жесткость свободного
кручения намного больше жесткости стесненного круче-
ния. В пределе изгибно-крутнльная характеристика
х->-ео. Используя формулы (9.35)—(9.40). следует
учесть, что первые двенадцать функций F остаются не-
изменными. а остальные принимают следующие зна-
чения:
F1#(a) = 0; F14(a) = 0; F1B(a) = 0; F„(a)=0;
F„ (a) = F, (a); Fu (a) = Fu (a); F„ (a) = F3 (a):
Ft0(a) = F4(a); F„ (a) = F, (a); F„ (a) = Fe (a);
Fи (tt> = Ft («); Fu(a) = F„(a);
f»(a) = F„(a) = 0.
При этом бимомент и момент стесненного кручения
К тождественно равны нулю, а К=К.
Кольцо с тонкостенным или массивным сечением,
нагруженное силами и моментами перпендикулярно
плоскости кривизны
Если одна из главных центральных осей инерции се-
чения лежит в плоскости кольца, то аг11—0. и для оп-
ределения неизвестных силовых факторов Qo, Во
Таблица 9.17
Формулы для определения начальных параметров в кольце
	Общий случай негру женив*		Вид нагрузки					
			силы		нагибающие моменты			крутящие моменты
«0	Тонкостенное или массивное кольцо							
								<?0”°
к»	lIwx/el’,nel + +	sin a{ +	a{ cos at + + rZPvl (Sin a, — a( cos af) ]		~I₽0a'CO’a7		*0-сС0 +			Кп — — ЕМ . a, cos а . 0 2л	1	*
	L° ” |XA**'(5,n +c“ “f> “ —	a.f sin af 4- ct %мг[ cos a, + +a‘sl" “'1				in			ч- гмча1г",а
во	тонкостенное кольцо							
	X (я — af)— кЕМг/ ch x (я — ap — —71₽исЬ,,(я-“<)]}				D° в X’ + 1 п	1	[ч+		*	х
			2Х sh ХЛ ' X 1Рв,сЬх(я-а,)		2 ah хЛ X IAfx/ sh х (л — af)			2shxn X	chx(n —
К	5?o-{-^o + *. + 2-^	ch х х			J « J			X1
	Вели 1 — 1 (рнс. 9.12)—ось симметрии нагру:		2 eh хл X	sh х (я — arf)j кн. то (?4- А', П «О,	есл	1 0 ’ 2 sh хл X SMtl ch x (я — <x() j / — / — ось антненыметр			0	2 sh хл " X	sh x (л — a,)] нн, to A,  fi4 = 0.
0 2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
545
Формулы для расчета массивных и тонкостенных колеи
Табл как 9.1В
546
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл. 9.18
•J.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
547
Продолжение табл. 9.1/1
Схема нагружения	Внутренние усилия					Наибольшие значения внутренних усилий
		0 < а < а(				
	р 0W-—-.					
	.In fib- 	 Рг	\ 2			e).		
[ttMaS			ai cos — 2			
, O,fj	kw-^ 2		“ (*--			L» — — L (at) — 0.5 Ig Sb Pr; 2
			соз —			к (yj--0.5leb-lgb-₽n
			2	J		B.~	8<al-	₽'’	/xw®1 1ЬМЛ
1 m кратные	в	Рг*		sin (	®L_ 2	“)	2x(x--h»k	2	2 J
	2и (к’ + I) ’Hl		со — а)'	2		
	ch 2					
Сле^а 6	0 <а < — 2 Q <а> — — а; Л					L	— 0.318ЭРГ; ЛГ (50^8'1-— 0.10S2₽z;
	L (а» —	Рг (Д	cos а—			
^/^тЦгг-5 г				я)’		| 2(x’ + i) ях»
-кК-Х -4-	Х(а)-	И;	— — sin aV 2 J			
<рР]1(Г IP	В (а) -		cosa			2x (k1 + b sh	*
		Ъха	2(x’+D 1 1			.(fj-ki.J
	2х (к’	, ,, . хл + 1) sh	 2		ях- j		\ 2 )	L 2H (X* + 1)	ПХ* J
		0 < а	< i 2			ь(-7)-т«-зд-
Слепа 7 £ л о, I	0<а>- —< Ж L (а) -		< a < 2л); - 2 sin a; / sh xa	\			К	^),3183Л ; BMSKC “ ® (%)•
/'к~-4-и‘лл7*' л	2<m*4-1> *Г<а>-Л (-j		’ 7 	cos al 2 J			cos a_ • —*	ch xa.. M sbZSL 2
548
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение габл. 9./А
Примечание. В третьей колонке даны наибольшие значения L, К н В.
».2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
549
в(а)
г • 1,19
Рис. 9.14
и Ко в каком-либо сечении, принятом за начальное (на-
чальных параметров), или для раскрытия статической
неопределимости кольца можно использовать формулы
нз работы [23], приведенные в табл. 9.17. Суммирова-
ние в формулах табл. 9.17 ведется по всем нагрузкам
на кольцо, причем все углы о< отсчитываются от точки
Оз против часовой стрелки (см. рис. 9.2 и 9.12). Если
внешняя сосредоточенная нагрузка приложена в точке
Оз, то она делится пополам, прикладывается справа
и слева от точки О3 и учитывается как местная нагруз-
ка при <1|=0 и о<=2л. Прн наличии распределенной
нагрузки суммирование иа соответствующем участке
кольца заменяется интегрированием. Последующий рас-
чет кольца можно вести по формулам (9.5)—(9.16) для
круговых стержней.
В табл. 9.18 для некоторых наиболее часто встре-
чающихся схем нагружения кольца приведены значе-
ния внутренних силовых факторов прн любых углах а,
а также наибольшие значения моментов н бимоментов
[23]. В табл. 9.17 и 9.18
I
(для массивных колец 1/х2=0).
Пример 9.7. Стальное опорное кольцо, нагруженное
крутящими моментами К= 100 Т-м по схеме 1
(табл. 9.18), имеет корытное сечение (см. рнс. 9.1.6)
с размерами: высота и толщина стенки 170 н 5,5 см-.
ширина и толщина полок 30,5 и 15,5 см. Необходимо
определить нормальные напряжения о и наибольший
угол закручивания 6 кольца, геометрические характери-
стики сечення [1]: радиус центра изгиба г=219 см;
/«=7.03-10* см4: U7.-8.27-I04 см1; /„-7.43-10* сж’;
I =6,04-10* см*; секторнальиая координата наиболее
опасной точки 1 (см. рис. 9.1,6) Ш| = 1312 см*. Изгибно-
крутнльная характеристика
8-10»-7.43-10*
-----------------= 1,49.
2,1-10*-6,04-10*
Определим начальные параметры. В данном случае
имеется ось симметрии нагрузки /, поэтому начало от-
счета углов а примем в точке Оз иа этой оси. По
табл. 9.17 Qo—Ко=Хс=0. Остается определить £«
и Во- Имеем: 1=1; сц= —; Aial — К;
Зл
I =2; Оз = —— ; A1rt=K; прн этом
Далее по зависимостям (9.6)—(9.11)
-и	ix 1 х .
Мг л“+9па
VhT
Остальные формулы приведены в табл. 9.18. По
этим формулам иа рис. 9.14 построены эпюры /.(а),
K(a). К (а) и К (а) в долях К и В(а) в долях Кг при
к= 1.49.
Наиболее опасным оказывается сечение, где а—0
(в сеченнй, где а—я/2, расположена цапфа). Тогда
£«=0,5-100—50 Т-м; Во—0,11-100-2,19—24,1 Г-ж’.
Наибольшее нормальное напряжение возникает
в точке I сечения, где по принятому правилу знаков из-
гибающий момент создает сжатие, а бнмомент—растя-
жение:
Т а Я л и п л $.ТЭ
Формулы для определения начальных параметрон и мяссяяном кольче
Б		Нагрузке в плоскости Кельна				Нагрузка перпендикулярна плоскости кольца1			
Начальный раметр	Общий случай пространственной нагрузки'	общий случай	тангенциаль- ные енлм	рланаль- ные СИЛЫ	горизонталь- ные изгибаю- щие момент 	общий елучаЛ	 S 2SS	верти- кальные изгибаю- щие мо- менты	кру тяш1« момента*
N„	+ — ZPI4 (sin at — а4 cos а,) — — —	а, sin +	+ в* |	— с '	в ”5 в £ £ я	*Г “ -|fe « в' “ -1-,	в" 8 в" г -|л 1 г°	8~ С в -| Я	— £М. slna. ПЛ	"	X it. В -|й§	А	'о-«	
	+ -,-n	Z	-	-J		1 %в	1 И	г х			
	po— |r-> '“»< + 4- у	(eos a, + at »ln<x() - — — ZPf/ at cosa^ —	Яо	-J- [iM^eosa, + + J £₽»< ('•>’ “г + + а, sln aj — — —	а, си» а, |	—— ZP.,, a, sin а. 2л г1 1	1	’» SOO ’в	в' Л и й5 -|й	-4- -^-х nr fl f 1	1 X	Sln	/?	о-0	
	~ n + j ‘ i	s,n a/J		1 В аг°	a	1 в				
»0	+ ,£₽,Z »Z - '£₽«l + +J£EA4	Ьн Я м 1  ' «? м » + в +	+	в” г »•	м 1 г	+	м -Is 1 1 И 5?	сГ -Is +• %’ 1 1 г°	f -|5 1 аГ	И0-Э		W,-— •	ЕЛ1г( • 2л »х	21
§
1 Формулы аля определения Q,. Л", н /- берутся га тебя 9.17.
* Q, - к, - и - о.
Примечание. Если I — I (рис. 9.12) — ось симметрии нагрузки, то fl.-Q, ™ К,- 0; если / — / — ось антисимметрии, то V, — Н,« £> 0.
I
i
I
I
•
!
I
।
РАЗДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
S.2. КРУГОВЫЕ КОЛЬЦА
551
50-10*
8,27-10*
±1-0 ±Др<Д|
V, + /и
?4,1-10’-|3|2
6,08-10*
= 460 хГ/сж*.
Касательные напряжения свободного кручения по сече-
ниям согласно эпюре К(а) невелики.
Наибольший угол закручивания 8 имеет место в се-
чениях, где к кольцу приложены крутящие моменты
/([23]:
0 = —-Кг
8
О'в /
ГЛе Сг (Х»+ |)«
Для массивных сечений сэ= I. В нашем случае при
к=|,49 с»=0,276 и 0=0.004 рад =14'.
Кольцо массивного асимметричного сечения,
нагруженное произвольными силами и моментами
Для определения неизвестных силовых факторов No.
Ro. Но. Qo, Lo и Ко в каком-либо сечении, принятом за
начальное (начальных параметров), или для раскрытия
статической неопределимости кольца можно использо-
вать формулы из работы 124) В табл. 9 19 приведены
выражения для No, Ro и Но- Величины Qo. to и Ко и в
этом случае определяются по зависимости из табл. 9.17.
Последующий расчет кольца можно вести по формулам
(9.3)—(9.17) для круговых брусьев. Некоторые допол-
нительные данные можно иайтн в работе [2].
Напряжения в кольцах, вызванные наличием дислокаций
Внутренние усилия, возникающие в кольцах благо-
даря наличию дислокаций, определяются первыми сла-
гаемыми формул (9.35)—(9.43). Коэффициенты D, вхо-
дящие я эти выражения, определяются формулами
(9.50). Угол а отсчитывается от места расположения
дислоквции до текущего сечения. При наличии несколь-
ких дислокаций производится суммирование усилий от
каждой дислокации. В случае распределенных дислока-
ций суммирование заменяется интегрированием по уча-
стку. на котором распределены дислокации.
В табл. 9.20 приведены усилия, вызываемые в коль-
ни наличием сосредоточенных дислокаций различных
типов.
Пример 9.8. Стальной прокатный уголок ЮОХ100Х
ХЮ мм согнут -> виде кольца радиусом '—100 см. Об-
разовавшийся при этом зазор шириной S—1 см ликви-
дирован путем подтяжки свободных торцов вплотную
друг к другу с последующей сваркой в месте стыка.
Вычислить внутренние усилия, возникшие в кольце:
£=2- 10е кПсм” G—0.8-10* кПсм* (см. схему 3
табл. 9.20).
Характеристики сечения (ГОСТ 8509—57): £=
—19.2 см\ /.=/,= 179 см*; /1Г=284 см*; /,,=
=74,1 см*; /.,= —105 см’;
Усилив в кольце от сосредоточенных дислокаций
»-ид АМгломаинм  схема нагружены)	Ьвутрсмве усилия
	А(а) — V. вг 0 <а>—	А- С/и L (а) —V iai К(а)~J:
1	)	D N (a)	—- sin aA; D R (a)	cos a A Q(a)"t> Я iaj	~~~ co» aA; D L (a, —	sin aA: н (a) — -^-»in ал: 	Hrlx^-ll” aK D,„ В la» —	t* ,, nn aA я	+1)
	
/ °/ )	n A/<aj—	cos аЗ; D ft <a) —	sin aa; Q <a> — U: Л M Я (a) — —=£— sin a2: ЛГ D t «al— —— u» aS: nr Я (a) — —— cos a=: nr *,o,_ nFo^Hl,,neS: ew’-n.eme3:
	
С TJ	£) N (a> "	ст» аФ: D. R <a) — •	sin аФ; Q (a J D Я (a) —— —— sin аФ £) A <a> ™	cos аФ Я (a) —-	cos аФ: К <a> — —. ,Оу ,, sin аФ: я (И* -ь |) * |а>~и1К’4-1> аяаФ
	
552
МЭДЕЛ 9. КРУГОВЫЕ СТЕРЖНИ И КОЛЬЦА
Продолжение табл. 9.2D
Вад двслокааяи (схема нагружения!	Вжутреннае усилии
f т)	D N (а) —	cos аФ О_ *4 (a> -	sin aV: Q<a>—<* £)	I, А (а) — —sin aV:
	D L tai — —^-еоваФ; л H (a) — —— cos a V; л R <a> “ —.	sinaV; я («• 4-11 r£) В wt —	—- coiaV Mx'+l,
1 i 1 •	7^ /"Ч f	} । ।	A° (a> — —ein a©; ЯГ R (al —	-52- cm a©: TV Gi r D	a 1 К (a) — 1 -jj5- cos a + —в: D„ L<a> — —— ilnaB; « (a) — °** iln ae к,а,~ n(w> + l> к,в’- пги-4-n “пав
109*179 л л	ь
о1Ь =
100 (—105)
2-10**284-74,1
=— 0,25-Ю-6.
Пс формулам (950) D«=2.37-I(F, D.,—0,03- 1Э1.
Из табл. 9.20 для кольца с дислокацией В
cosa
Л’ (О)«= 1«2,37>10*—jjjj- = 75 cos а кГ;
U (a) = 1*2,37*10*	= 75 sin а кГ;
sina
K(a) = 1*0.03*10*-------= 100 sin а кГ -ач
я* 100
cosa
L (a) = 1-0,03-10»-------= 100 cos a кГ -еле
я* lO'J
//(a) = — 1*2,37* 10* cos a= —7500 cosa кГ -ем
fl (a) = R(a) = 0.
Наибольшие напряжения действуют в сечениях при
а=0° и а= 180°, где изгибающий момент Н достигает
максимума.
Кольцо на упругом основании
При произвольной внешней нагрузке на кольцо, опер-
тое на трехмерное упругое основание с шестью [27]
или с двумя [26] постоянными коэффициентами упруго-
го осиоваиия. решения для кольца могут быть получены
из обыкновенного дифференциального уравнения вось-
мого порядка (или двух уравнений 6-го и 2-го порядка)
для перемещений с помощью рядов Фурье, однако эти
решения еще почти не изучены. Упругим основанием
можег служить грунт, на котором лежит кольцо, лкбо
тонкая оболочка, к которой прикреплено кольцо, являю-
щееся для оболочки элементом жесткости. Если сосре-
доточенные силы и моменты, приложенные к кольцу,
уравновешиваются реакциями оболочки или грунта
только в виде сил. распределенных по окружности коль-
ца, то и в этом случае закон изменения реакции упру-
гого основания может быть весьма сложным, если жест-
кости кольца и основания соизмеримы (5. 14).
Если в первом приближении кольцо считать по срав-
нению с основанием абсолютно жестким, то реакция
оказывается распределенной по синусоидальному (или
косинусоидальному) закону. В случае сил. перпендику-
лярных плоскости кольца, можно считать, что реакция
основания сводится к отпору р(а). перпендикулярному
плоскости кольца. В случае нагрузок, деформирующих
кольцо в его плоскости, реакция упругого основания
илн оболочки, которую это кольцо подкрепляет, сводит-
ся к касательным усилиям 0(a), уравновешивающим
внешнюю нагрузку. Ёсли в силу конструктивных осо-
бенностей прикрепления кольца к упругому основанию
реакция основания оказывается приложенной на рас-
стоянии Г от осн кольца, то возникают дополнительные
распределенные моменты =lg(a). когда кольцо
нагружено в плоскости кривизны и = при
нагрузках, перпендикулярных плоскости кривизны.
В табл. 9.21 приведены значения внутренних усилий,
возникающих в кольце под действием сосредоточенных
сил и моментов. Эксцентрицитет t распределенной реак-
ции считается положительным, если реакции сме-
шены относительно оси кольца от центра кривизны 0.
Реакции, перпендикулярные плоскости кольца, изо-
бражены кружками с точкой в центре, если они направ-
лены вверх, и кружками с крестиком, если они направ-
лены вниз (последние три схемы табл. 9.21). Сосредо-
точенные моменты изображены волнистой стрелкой (на-
правление вращения показывается дуговой стрелкой).
Значения внутренних усилий, приведенные в табл. 9.21,
выражаются через функции влияния 7(a), величины ко-
торых можно вычислить по формулам (см. стр. 540) или
с помощью табл. 9.14—9.16.
Значения усилий н перемещений для других частных
случаев нагрузки можно найти в справочниках [15, 16
и 25].
S2 КРУГОИЫЕ КОЛЬЦА
553
Т I блице в.21
Усилия в абсолютно жестких круговых колымх на упругом осоовавш
554
ЛИТЕРАТУРА
555
ЛИТЕРАТУРА
 .Беляев И. М. Сопротивление материалов. ГИТТЛ.
I95S.
2.	Беркман Б. А. Деформация замкнутой оамы пере-
менного сечения под действием произвольной периодической на-
грузки. «Энергомашиностроение». 1965. № I.
3	Биргер И. А. Расчет колец. В сб.: «Расчеты на проч-
ность». вып. 10. Машиностроение. 1964.
4.	Бнценко К. Б.. Граммель Р. Техническая дина-
мика. т. I. Гостехиэдат. I960.
5.	Б о я р ш и и о в С. В. Изгиб кольца, опирающегося ма
упругое основание. И ВУЗ. «Машиностроение». 1967. №» 4.
6.	Григорьев Ю. П. К расчету кривых тонкостенных
брусьев. В сб.: «Расчет пространственных конструкций», вып. I.
Машстройнэдат. 1950.
7.	Григорьев Ю. П. Формулы и таблицы для расчета
тонкостенных круговых колеи. В сб.: «Расчет пространственных
конструкций*, вып. 2. Госстройиэдат. 1951.
8.	Г у ч к о в В. В. Формулы и графики на прочность и
жесткость монорельсовых балок на закруглении. Сборник
ВНИИПТМАШ «Новая подъемко-транспортная техника». Маш-
гнэ. 1948.
9.	Д е м я Д о в С. П. Расчет на прочность плоского кривого
бруса прямоугольного поперечного сечения, нагруженного сила-
ми. перпендикулярными плоскости кривизны. В сб.: «Расчеты
иа прочность элементов машиностроительных конструкций»,
вып. 33. МВТУ. Машгнэ. 1955.
10.	Пономарев С. Д.. Бидермап В. Л. и др. Рас-
четы на прочность в машиностроении, т. I. Машгнэ. 1956.
11.	Попов А. А. Сопротивление материалов. Машгнэ. 1958.
12.	Попов А. А.. Орлик А. С.. Пономарев С. Д.
Расчет кривого бруса. ГТТИ. 1933.
13.	Сегаль А. И. Расчет замкнутого кольца мак статиче-
ски определимой системы. В сб.: Исследования по теории со-
оружений». вып. № 3. Госстройиэдат. 1950.
14.	С е г а л ь А. И. К рссчету кольца и балкн на упругом
основаннн. Сб. научно-нсслеловетельских трудов МИИКС,
вып. 4. 1947.
15.	Справочник машиностроения, т. 3. Машгнэ. 1951.
16.	Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический том.
Госстройиэдат. 1960.
Тимошенко С. П. Сопротивление материалов, т. 2.
18.	У м а и с к и й А. А. Пространственные системы. Строй-
нэдат, 1948.
19.	Уманский А. А. Теория н примеры расчета на проч-
ность монорельсовых балок ка закруглении. Сборник
ВНИИПТМАШ «Новая лродъемно-тр а испорти ая техника». Маш-
гнэ. 1948.
20.	У м а н с к и й А. А. Специальные расчеты монорельсо-
вых балок. Сборник ВНИИПТМАШ «Новая подъемно-транс-
портная техника». 1948.
21.	У р б а н И. В. К вопросу о расчете кривых брусьев.
Труды МНИТ, вып. 1. 1956.
22.	Шиманский Ю. А. Строительная механика подвод-
ных лодок. Судпромгнэ. 1948.
23.	Шусторовнч В. М. Расчет на прочность опорных
круговых колец. «Вестник машиностроения». 5. 1966.
24.	Ш у ст о р о в и ч В. М. Расчет круговых колец с асим-
метричным поперечным сечением иа произвольную нагрузку.
Труды I Всесоюзной конференции по расчетам на прочность
металлургических машин. ВНИИМетмаш. сб. 23. т. 2. 1969.
25.	ЭСМт. I. КН. 2. Машгнэ. 1948.
26.	Rodriguez D. A. Three dimensional bendins of a ring
on an elastic foundation. J. Appl. Mcch.. 28. 461—463. 1961.
(Родригес Д. А. Трехмерный изгиб колец на упругом основании.
Прикладная механика, серия Е. № 3. 1961. стр. 167 (русский пе-
ревод)!
27.	w е 11 е г F. С. Ansllsls of a ring on a three dimensional
elastic foundation. Journal of Spacecraft and Rockets 1966. vol. X
•A 2. p- 285— 287.
РАЗДЕЛ 10
ФЕРМЫ
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
10.1.1. Основные положения расчета
Элементы. Совокупность стержней, ограничивающих
контур фермы сверху, образует верхний пояс, а снизу —
инжний пояс. Внутренние стержни фермы образуют ее
решетку.
Порядок расчета. Расчетом определяются опорные
реакции и максимально возможные значения усилий
в каждом из стержней от постоянной и временной на-
грузок. В статически неопределимых фермах реакции
и усилия определяются также и от температурных воз-
действий. При необходимости определяются перемеще-
ния узлов от нагрузки и температурного воздействия.
Порядок расчета статически определимых ферм:
1) составление (вычерчивание) расчетной схемы;
2) проверка геометрической и мгновенной неизменяемо-
сти; 3) определение нагрузок; 4) определение опорных
реакций; 5) определение усилий; о) подбор сечении
элементов; 7) определение перемещений (при необходи-
мости).
Порядок расчета статически неопределимых ферм:
пп. 1—3 — как для статически определимых; 4) пред-
варительное определение сечений элементов на основа-
нии практического опыта или путем приближенного рас-
чета (прн определении усилий от нагрузки достаточно
выяснить лишь соотношение между площадями сечений
элементов, а прн определенич усилий от температурно-
го воздействия надо знать фактические площади);
5) определение усилий; 6) проверка сечений; 7) уточне-
ние расчета в случае, если разница между предвари-
тельно принятыми и фактическими сечениями велика;
8) определение перемещений.
Усилия и реакции в статически определимой ферме
могут быть найдены с помощью уравнений статики:
трех — в плоских, шести — в пространственных фермах.
Для расчета статически неопределимых ферм условий
статики недостаточно.
Условия статической определимости: плоских ферм
С—2У=0: пространственных ферм С—ЗУ=0. Здесь
С — число стержней фермы, включая опорные: У — чи-
сло узлов фермы, включая опорные (узлы, принадлежа-
щие земле, в счет не входят).
Если левая часть равенства больше нуля, ферма ста-
тически неопределима и полученное число показывает
необходимое количество дополнительных уравнений; ес-
ли левая часть меньше нуля, ферма геометрически из-
меняема.
Нагрузки. Как правило, нагрузка прикладывается
в виде сосредоточенных сил к соответствующим узлам
фермы. Собственный вес фермы прикладывается к узлам
верхнего пояса, а при наличии подвесного потолка (или
подвесных грузов) он распределяется пополам между
узлами верхнего и нижнего поясов. Ветровая нагрузка
прикладывается в виде грузов, нормальных к кровле.
Для большинства стропильных ферм невыгодные
комбинации нагрузок исчерпываются загруженном всей
фермы постоянной и временной нагрузкой н затем всей
фермы постоянной, а полупролета — временной нагруз-
кой. Из этого правила бывают исключения; например.
для стойки полигональной фермы невыгодным будет эа-
гружение временной нагрузкой по рнс. 10.1.
Усилия целесообразно определять от единичных сос-
редоточенных нагрузок; при симметричных фермах
в большинстве случаев достаточно определить усилия
Рис. 10.1
от единичных грузов на полупролете, при несимметрич-
ных — на полупролете слева и справа и затем исполь-
зовать способ наложения.
10.1.2. Определение усилий в статически
определимых фермах при неподвижной
нагрузке
Установление неработающих стержней и стержней,
усилия в которых определяются местной нагрузкой
Возможны следующие случаи (рнс. 10.2):
1)	узел имеет два стержня, и внешняя сила к узлу
не приложена — усилия в обоих стержнях равны нулю
(узел /);
2)	узел имеет два стержня, и к узлу приложена
внешняя сила или реакция, направление которой совпа-
дает с направлением одного из стержней, — усилие в
нем равно внешней силе и направлено в противополож-
ную сторону (узел 2, У|=А); в другом стержне усилие
равно нулю (узел 2, 1Л=0);
3)	узел фермы имеет три стержня, из которых два
лежат на одной прямой, а третий направлен к этой пря-
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
557
мой под произвольным углом, и к узлу внешняя сила
не приложена, — усилия в первых двух стержнях рав-
ны, а третий не работает (узел 3. 1/2=У3. Vs=O);
4)	если в предыдущем случае к узлу приложена
внешняя сила, действующая в направлении третьего
стержня, то усилие в нем численно равно внешней си-
ле. а знак определяется нагрузкой; усилия же в стерж-
нях. лежащих на одной прямой, равны между собой
(узел 4, У2= —Р, О|=О2);
5)	узел фермы имеет три стержня, из которых два
расположены под одним углом к третьему, н к узлу
приложена внешняя сила, действующая по направлению
третьего стержня, или не приложена вовсе —усилия
в первых двух равны между собой (узел 5, О2=О«).
Аналитическое определение усилий
Производится с помощью уравнений статики, кото-
рые составляются так, чтобы в каждое входило по воз-
можности не более одного неизвестного. Аналитический
способ целесообразно применять главным образом в тех
случаях, когда интересуются усилием в одном стержне
нли небольшом числе стержней.
Способ вырезания узлов. Узлы вырезаются в таком
порядке, чтобы в каждом было ие более двух иеизвест-
усилий, которые полагают направленными от узла. Со-
ставляют уравнения моментов относительно точек, кото-
рые выбираются в пересечениях двух стержней, или
уравнения проекций на ось, перпендикулярную направ-
лению двух усилий (если имеются параллельные). Тогда
в каждое ураанеиие входит ие более одного неизвестно-
го (см. разд. 2).
Пример 10.2. Определить усилия в стержнях
Os, О2, 1/2 (рис. 10.3, а). Уравнения составляются отно-
сительно точек mi. т2, т3 (рис. 10.3. в). Уравнение мо-
ментов относительно точки дц:
— Ла + Р (о + d) + Р (л + 2d) — D^i = 0.
Зная, что А=2,5Р, находим
„ 3d — 0,5o „
D. =----------Р.
Составляя аналогично уравнения моментов относи-
тельно двух других точек, находим О3 и 1/2. Проводя
далее сечения по другим панелям, этим методом можно
рассчитать всю ферму.
Если в сечение попадают только два стержня, мо-
ментная точка выбирается в любом удобном месте на
Рис. 10.3
Рнс. 10.4
них усилий. Последние определяются либо из уравне-
ния проекций иа ось, перпендикулярную одному
из стержней, либо из уравнения моментов относительно
точки, лежащей на одном из стержней.
Пример 10.1. Определить усилия в стержнях, сходя-
щихся в опорном узле А (рис. 10.3,а). Уравнения про-
екций на осн П|—П1 н па—пз (рис. 10.3,6):
Acosa— 1>iCosB = 0; A cos у + О, cos 6 = 0.
Реакция А предполагается известной. Находим
знак минус указывает, что направление усилия было
выбрано неверно, стержень О, фактически сжат. Сле-
дующим должен быть вырезан узел, где сходятся стер-
жни Oi, О2, Оь усилие О, уже известно. Аналогично оп-
ределяются усилия в последующих узлах.
Метод сквозных сечений. Ферму разрезают на две
части так, чтобы обнажилось ие более трех неизвестных
стержне, усилие в котором определяют во вторую
очередь.
В фермах с параллельными поясами (рнс. 10.4, а)
усилия в поясах и раскосах определяются с помощью
сечеинй типа а—а, а усилия в стойках определяются
из уравнений проекций на вертикаль с помощью сече-
ний типа b—Ь. При нагрузке, перпендикулярной общему
направлению поясов, целесообразно использовать эпюры
М и Q (рис. 10.4,6, в), например, при нисходящих рас-
косах (в левой половине фермы), как показано иа
рнс. 10.4. а:
А^ш ..	।
й : Um~ h
~ — Qm-
D =—т 
т cos а ’
(10 I)
О,.
В ферме с восходящими раскосами индексы момен-
тов в формулах для Q и U меняются местами, а в фор-
мулах для D н V знак меняется на обратный (в послед-
ние формулы Q входит со своим знаком соответственно
эпюре).
558
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
Графическое определение усилий
Осуществляется построением диаграммы Максвел-
ла—Кремоны. Ею удобнее всего пользоваться, когда
надо определить усилия во всех стержнях.
Расчет ферм на внеузловую нагрузку
Внеузловая нагрузка, приложенная непосредственно
к стержню, распределяется между узлами по правилу
рычага (рис. 10.5.О. б). В самом стержне возникают.
Рнс. 10.5
кроме продольного усилия, изгибающий момент и попе-
речная сила.
Расчет ферм с криволинейным яоясом
При расчете ферм с криволинейным поясом усилия
определяются обычным методом в предположении шар-
нирных узлов и прямолинейных стержней между ними,
но при подборе сечений пояса учитываются моменты от
кривизны оси и от внеузловой нагрузки, которая обыч-
но имеется на криволинейном верхнем поясе. Подроб-
нее о расчете см. [12].
Расчет составных ферм
Прн больших размерах панелей стержни фермы мо-
гут заменяться дополнительными решетчатыми элемен-
тами и шпренгелями. В этом случае (рнс. 10.5. е) сна-
чала рассчитывается основная ферма на узловую на-
грузку (рнс. 10.5.г), которая определяется, как было
указано выше. Затем находят усилия в дополнительных
элементах; например, в фермочке ab (рис. 10.5.d) —
с учетом усилия N„-b в стержне а—Ь основной фермы,
в шпреигеле ced (рис. 10.5, е) — с учетом усилия А'<_и
в стержне c—d. В стержнях заданной фермы, которые
не являются общими со стержнями дополнительных
элементов, усилия целиком определяются нэ расчета
основной фермы. В стержнях, общих для основной фер-
мы и шпреигеля, например в стержне d—е, усилия оп-
ределяются суммированием величин, полученных из
расчетов основной фермы и дополнительного элемента.
Способ замены стержней
Для ферм, не являющихся простейшими, т. е. не пред-
ставляющих последовательный ряд треугольников, ана-
литический и графический способы определения усилий
оказываются непосредственно неприменимыми и исполь-
зуется способ замены стержней [32].
Тонкостенные фермы [31]
Тонкостенными называются фермы, образованные нэ
обычных путем замены раскосов тонкими пластинками.
Расчет ведется в предположении шарнирных узлов,
действия узловой нагрузки н наличия только сдвигаю-
щих сил взаимодействия между стенкой и стержня-
ми. Усилия определяются графически из диаграммы,
которая стронтся для условной модели, заменяющей дан-
ную тонкостенную ферму. Модель образуется вписы-
ванием в каждую панель фермы вместо стенки стерж-
невого параллелограмма, стороны которого параллель-
ны диагоналям панели; форма параллелограмма может
быть произвольна. В местах пересечения сторон парал-
лелограмма со стержнями фермы вводятся шарниры. Мо-
дель геометрически изменяема, ио при любой нагрузке,
приложенной к основным узлам, система статически оп-
ределима и имеет конечные усилия. Равнодействующая
сдвигающих усилий получается как равнодействующая
усилий полураскосов, примыкающих к поясу или стой-
ке. Устойчивость пластинки должна быть обеспечена.
Пример 10.3. Определить усилия в тонкостенной кон-
сольной ферме (рнс. 10.6,д. о). Усилия в поясах и стой-
ках вследствие наличия сдвигающих сил — переменные.
Усилие в стержне 3—4, например вблизи узла 2—3. оп-
ределяется отрезком диаграммы с—3 (рис. 10.6, а), а
вблизи узла 4—5 — отрезком с—4. Распределение
сдвигающего усилия вдоль стержня принимается рав-
номерное, а распределение продольного усилия в стер-
жне — по линейному закону. Сдвигающая сила между
стенкой н элементом 3—4 иояса определяется отрезком
диаграммы 3—4. На рис. 10.6,г показаны сдвигающие
силы, действующие на стенку панели В, иа рнс. 10.6, д—
воздействие стенки иа окаймляющие стержни, а иа
рис. 10.6, е — эпюры усилий в стержнях этой панели.
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
. . .	^59
Распорные н комбинированные фермы
К числу распорных относят трехшарннрные арочные
фермы, фермы с затяжками и висячие конструкции.
В арочных конструкциях распор направлен внутрь про-
лета. в висячих — наружу. Определение реакций —
см. разд. 2. Усилия определяются графическим или
аналитическим способом, так же как и в балочных фер-
мах. Усилие в затяжке, если она имеется, определяют
методом сечений.
О расчете комбинированных ферм, которые применя-
ются главным образом в мостовых сооружениях, см.
(221-
10.1.3.	Перемещения узлов статически
определимых ферм.
Предварительно вычисляются удлинения всех стерж-
ней:
упругие — по формуле
Л'о/
Хн = -^-.	(Ю-2)
где Л'° — усилие в стержне от заданной нагрузки;
/ — его длина;
£ — модуль упругости;
F — площадь поперечного сечения:
от температурного воздействия — по формуле
>-, = аЛ.	(10.3)
где a — коэффициент линейного расширения материа-
ла стержня;
t — изменение температуры.
Перемещения могут определяться аналитическим
и графическим способами. Первый удобен прн опреде-
лении какого-либо одного перемещения, например про-
гиба нижнего пояса в середине пролета, второй — для
получения лнннн прогиба и вообще всех перемещений
фермы.
Аналитический способ определения перемещений сво-
дится к пользованию формулой
Др = 2Хр V или А, = ЕЛ, F. (10.4)
где Ар или А, — перемещение от заданной нагрузки
или от температурного воздействия пи
интересующему направлению;
Кр или к, — удлинение стержня от заданной на-
грузки или от температурного воздей-
ствия;
/V — усилие в стержне от единичной на-
грузки. приложенной по направлению
искомого перемещения.
В уравнении (10.4) суммирование ведется по всем
стержням, усилия и удлинения входят со своими зна-
ками.
Для определения прогиба какого-либо узла фермы
в нем прикладывается единичная вертикальная сила
(рис. 10.7, а). Для определения сближения двух узлов
Рис. 10.7
(рнс. 10.7.6) в этих узлах прикладываются равные
и противоположные единичные силы, действующие по
направлению прямой, соединяющей узлы. Для опреде-
ления угла поворота стержня берется пара снл с мо-
ментом, равным единице, причем составляющие пары,
равные l/lm. прикладываются к узлам стержня перпен-
дикулярно последнему (рнс. 10.7, в); в этом случае уси-
лия W имеют размерность сл_|. Для вычисления при-
ращения угла am берутся две противоположные пары
(рис. 10.7, е).
При определении перемещений от осадки опор опор-
ные устройства заменяются стерженьками, которым да-
560
РАЗДЕЛ 10. ФЕ->МЫ
ются удлинения или укорочения, равные осадке, после
чего применяется формула (104).
Графическое определение перемещений см. (32].
Пример 10.4. Найти прогиб среднего узла нижнего
пояса стальной фермы (рис. 10.8). В табл. 10.1 даны
Рис. 10.8
геометрические характеристики элементов, усилия в т
от нагрузки в узлах верхнего пояса и от единичного
груза, приложенного в рассматриваемом узле для вы-
числения прогиба, значения NrNl/F для каждого стерж-
ня. Прн £'=2,1-103 т/см1 прогиб
12867
Л “ 2100
= 6,1 см.
(10.5)
что составляет 1/5001.
Таблица 10.1
Н анысно-	I	Усилие от	Усилие от единичного	
элемента	F	нагрузки Np	груза N	F
1	2	3	4	5
о,	8,75	-33,6	-0,63	+185
О,	8.75	-33,6	-0,63	+185
о.	5.95	-65,5	-1.56	+608
о.	5,95	-65.5	-1,66	+608
о*	6.0	—66,3	-2.23	+887
А	10.L	0	0	
Ut	14.1	+54.6	+1,12	+862
и»	14.1	+69.0	+1.92	+1870
А	15.<-	+41.2	4-0.77	+477
D.	13,i.	-27.7	-0,67	-Г-242
Д	42.2	+15.1	+0.57	+364
Dt	25.9	_j 1»	—0.52	+65
D.	25/»	—3.4	4-0.45	
V,	6.2	—30.2	-0,50	+94
v.	16.5	-5.9	0	4»
и.	25.< •	—6.7	•	0
£-6410				
v-	И.5		+0.3S	+«
	N.NI			
		-—641U-2+47—	2867	
10.1.4.	Линии влияния усилий и перемещений
в статически определимых фермах
Линией влияния (л. в) называется диаграмма, изо-
бражающая закон изменения усилия в элементе фермы
или перемещения ее узла, вызываемого движущимся
вдоль фермы единичным грузом постоянного направле-
ния. Л. в. используются для вычисления усилий или
перемещений при подвижной нагрузке и прн большом
числе грузов.
Если ордината л. в. усилия какого-либо элемента
под грузом Р равна у, то усилие в элементе
N = Ру.	(10.61
Усилие прн нескольких грузах Р>, Р3...Р.
Л' =	4-----1- Рп и„-	(10.7)
Усилие при наличии равномерной нагрузки интенсивно-
стью р
A' = ₽Q,	(10.8)
где & — площадь части л. в., расположенной под на-
грузкой интенсивностью р.
При нагрузке переменной интенсивности р(х)
A' = jp(x)dx.	(10.9)
II
По аналогичным формулам с помощью соответст-
вующих л. в. вычисляются и перемещения.
Статический способ построения линий влияния усилий
Используются л. в. опорных реакций, которые стро-
ятся так же, как в простой балке, и метод сквозных
сечений. Усилие в стержне выражается через одну ре-
акцию нэ условий равновесия отделенной разрезом ча-
сти фермы, иа которой отсутствует груз.
Пример 10.5 (рнс. 10.9). Л. в. опорных реакций по-
строены заранее. Для построения л. в. усилия Оа про-
Рис. 10.9
водим сечение через третью панель. Когда груз нахо-
дится в правой части фермы, нэ равновесия левой име-
с
ем Оа= —А —; стержень О. сжат; л. в. в пределах от
га
опоры В до узла 3 получается из л. в. реакции А пу-
10.: ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
561
тем умножения ее ординат в тех же пределах на вели-
л
чину —. Из равновесия правой части фермы, когда
b
груз на левой, Оз= —В—; в пределах от опоры А до
узла 3 л. в. Оэ получается из л. в. реакции В путем ум-
b
ноження ее ординат в тех же пределах на —. Техника
построения ясна из чертежа. Так же построена и л. в.
усилия U3.
Нис. 10.10
(в пределах рассеченной панели) получаем л. в. усилия
Оз. Л. в. усилия V3 получим, рассматривая равновесие
узла 3', с использованием л. в. 03 н аналогичной ей, но
не показанной на чертеже л. в. О2. Одиночный стержень
V] работает только тогда, когда груз находится в пре-
делах третьей и четвертой панелей; наибольшего значе-
ння усилие достигает при нахождении груза в узле 4.
В распорных конструкциях л. в. усилий строятся
аналогично, ио. кроме л. в. вертикальных реакций, ис-
пользуется н л. в. распора, которая определяется выра-
жеинём	ц = М"Ца,	(10.10)
где —л. в. момента от нагрузки в
простой балке в точке, соот-
ветствующей ключу арки;
1а — стрела подъема.
На рис. 10.10 даны л. в. усилий в ха-
рактерных стержнях некоторых ферм.
Построение л.в. усилий в других фер-
мах см. [22].
Кинематический способ построения
линии влияния усилий
Линия влияния какого-либо усилия
получается как эпюра малых вертикаль-
ных перемещений пояса фермы, по кото-
рому движется единичный груз, постро-
енная в предположении, что исследуе-
мому стержню дается единичное удли-
нение, а все остальные стержни оста-
ются переформированными. Эпюры
перемещений могут быть построены
Рис. 10.11
Для усилия Dj тоже получаем два значения соответ-
ственно нахождению груза в правой н левой частях
е	I
пролета: Dj = — А — и D3 = В — .
гз	га
Первое значение действительно от опоры В до уз-
ла 4, второе — от опоры А до узла 3. Умножая в этих
пределах ординаты л. в. А н В соответственно на —
го
в — и соединяя точки 3 и 4 иа диаграмме прямой
го
графо-аналитически нлн чисто графически [22, 32]. Це-
лесообразно кинематическим способом определять толь-
ко вид л. в., а ординаты вычислять статическим спо-
собом.
Пример 10.6. На рис. 10.11 построена л. в. усилия
Оз. Ординаты взяты из аналитического расчета.
Линия влияния перемещения
Строится, как эпюра прогибов пояса фермы от еди-
ничной силы (или сил, если речь идет о сближении уз-
лов), приложенной по направлению рассматриваемого
562
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
перемещения. Построение делается для пояса, по кото-
рому передвигается нагрузка. Для построения исполь-
зуется графический или аналитический способ определе-
ния прогиба.
Невыгодная установка грузов на лнинн влияния
Для получения максимальных значений усилия нлн
деформацнн от системы связанных между собой сосре-
доточенных грузов наибольший нз них ставится над
максимальной ординатой линии влияния.
/}!} Ъ Рп
И HI
Рис 10.12
Подсчитывается величина
5= 2/?, tga,.	<10.11)
где Ri — равнодействующие грузов, находящихся над
каждым прямолинейным участком л. в.
(рнс. 10.12);
а.(— углы наклона прямолинейных отрезков, поло-
жительные для левой части л. в. (когда ор-
динаты возрастают) н отрицательные — для
правой (когда ординаты уменьшаются).
Подсчет о ведется дважды: груз, стоящий над мак-
симальной ординатой, первый раз относится к левому
примыкающему участку, а второй раз — к правому.
Если а обоих подсчетах величина 5 разнозначна, при-
нятая установка — невыгоднейшая. Если S оба раза по-
ложительна. систему грузов надо передвинуть иа один
груз вправо, если отрицательна, то соответственно влево,
после чего вновь проверить 5 на раэиозначность.
Когда прн невыгоднейшей установке часть грузов схо-
дит с пролета, вычисление повторяется для оставшихся
грузов.
10.1.5.	Определение усилий
в статически неопределимых фермах
при неподвижной нагрузке
Метод снл
Основную систему следует выбирать наиболее про-
стой и симметричной. В фермах с перекрестной решет-
кой ее рациональнс. образовывать разрезом обратных
раскосов (рнс. 10.13, а), в шпренгельпых фермах — раз-
резом шпренгеля (рнс. 1013.6), в двухпролетных фер-
мах (рнс. 10.13, в) — отбрасыванием промежуточной
опоры (№ 1) нлн одного нз стержней пояса, примыкаю-
щего к средней опоре (№ 2). в многопролетных фер-
мах — отбрасыванием по одному нэ стержней пояса,
примыкающих к промежуточным опорам, в Двухшар-
нирных арках — отбрасыванием стержня (№ 3) с пре-
образованием двухшарннрной арки в трехшарннриую
(рнс. 10.13.2).
Перемещение в основной системе по направлению
i-й лишней неизвестной от нагрузки определяется по
формуле
=	1J0.12)
перемещение от температурного воздействия н осадки
опор — согласно 10.1.3 и 10.1.7. а перемещение в основ-
ной системе по направлению i-й лишней неизвестной
от А-й неизвестной — по формуле
6.7, = ^	(Ю13)
В (10.12) и (10.13) Л'°. N,. Ni — уаитя в стержне
соответственно от внешней нагрузки, i-й и Ай единич-
Рнс. 10.13
ных лишних неизвестных (т. е. Х, = 1. Х>=1). Сумми-
рование в этих формулах распространяется на все стер-
жни основной системы, а прн вычислении 6|( — также
и на стержень, усилие в котором принято за лишнее не-
известное, если только он не является бесконечно же-
стким.
Уравнения для определения лишних неизвестных со-
ставляются и решаются, как обычно в метоле снл.
Окончательные значения усилий в стержнях вычисляют-
ся по формуле
N = № + Х.Л I + X,.V, +. • • + Х„ Л'„. (10.14)
Фермы с иецеитрнроваииыми узлами
Неизменяемость таких ферм обеспечивается иераз-
реэностью элементов и способностью их работать на
изгиб. Точный расчет при значительных эксцентриците-
тах проводится по методу сил. Перемещения определя-
ются по формулам (10.12) и ()0.1о). но с добавлением
соответственно в правой части слагаемых
У [ М°^‘dx	(10.15)
V	(10 I6>
•0.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
563
учитывающих деформацию изгиба. Эти слагаемые вы-
числяются только для тех стержней, которые работают
на изгиб
Малые эксцентрицитеты могут быть учтены после
расчета фермы в предположении центрированных узлов
путем приложения найденных усилий в точке факти-
ческого присоединения стержней и расчета соответст-
вующих элементов на сжатие или растяжение с из-
гибом.
Учет защемления ферм, жестко связанных с колоннами
Прн расчете ферм, являющихся ригелями рамных
конструкций и жестко связанных с колоннами, кроме
обычных нагрузок учитываются продольные силы риге-
ля и опорные моменты. Продольные силы условно счн-
10.1.7. Определение перемещений в статически
неопределимых фермах
Аналитический способ. Перемещения от нагрузки оп-
ределяются так же, как н в статически определимых
фермах, по формуле (10.4). Усилия N можно опреде-
лять в основной системе.
Перемещение от воздействия температуры
Д, =	+2aS«.	(1018)
Здесь Ni — усилия в стержнях от температурного
воздействия, определяемые из расчета статически неоп-
ределимой системы [22].
Рис. 10.14
10.1.8. Линин влияния усилий в статически
неопределимых фермах
При построении л. в. усилий всех стержней следует
сначала построить л. а. лишних неизвестных. Л. в. каж-
дого усилия получается затем путем суммирования л.в.
усилия в основной системе с л. в. усилий лишних неиэ-
таются приложенными па уровне нижнего пояса фермы.
Опорные моменты заменяются парами горизонтальных
сил Н с плечом ht, равным высоте фермы на опоре
(рнс. 10.14):
Н=^~.	(10.17)
Йо
Работа «нулевых» стержней
При значительных деформациях ферм «нулевые»
стержни включаются в работу. Действительные усилия
в них находятся из расчета фермы по деформированной
схеме, т. е. без гипотезы малых перемещений. Конструк-
тивное назначение размеров сечения «нулевых» стерж-
ней иногда может привести к снижению несущей спо-
собности фермы. Для обоснованного подбора сечения
этих элементов можио пользоваться расчетом [15],
дающим предельное значение усилия.
10.1.6. Учет жесткости узлов. Расчет ферм
иа ЭВМ
Расчет ферм в предположении шарнирных узлов
иногда не дает правильного представления о прочности,
таи как не учитывает изгиба элементов, вызывающего
порой напряжения, соизмеримые с основными напряже-
ниями от продольных усилий. Изгиб следует учитывать
при относительно большой высоте сечения элемента
фермы н в случае малой пластичности материала.
Прн большой высоте сечения пояса и слабой решет-
ке можио пренебречь изгибом элементов решетки и ве-
сти расчет, включив в узлы пояса шарниры и приняв за
неизвестные изгибающие моменты в этих шарнирах.
Подробнее о расчете см. [29, 37).
Во всех случаях, однако, расчет целесообразно вести
на ЭВМ. С нх помощью усилия и перемещения в ста-
тически определимых и статически неопределимых фер-
мах легко могут быть получены прн использовании го-
товых универсальных типовых программ расчета стерж-
невых конструкций см. (5.12 и [7]).
Рнс. 10.15
564
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
вестных, умноженных на соответствующие коэффициен-
ты влияния. Эти коэффициенты представляют собой
усилия в элементах основной системы от лишнего неиз-
вестного, принятого равным единице. При построении
л. в. небольшого числа усилий целесообразно строить
их как эпюры прогибов от единичных удлинений (дис-
локаций Д=1) исследуемого стержня в действительной
статически неопределимой системе.
Пример 10.7. На рнс. 10.15 дана линия влияния
лишней неизвестной X, (реакции опоры В), полученной
как эпюра прогибов основной системы — балочной фер-
мы на двух опорах А и С от Х| = 1. Масштаб л. в. по-
лучен из условия, что ордината над опорой В равна
единице (рис. 10.15. в). Л. в. реакции А (рис. 10.15. л)
н усилий в стержнях О3 (рнс. 10.15, О) и D3
(рис. 10.15, е) получены суммированием л. в. основной
системы и л. в. Xi, умноженной на коэффициенты влия-
ния:
О3 = О’—
D3=OS-2^-^-
10.1.9.	Предварительно напряженные фермы.
Основные положения расчета
и конструирования
Предварительно напряженными называются фермы,
в элементах которых в процессе изготовления нлн мон-
тажа искусственно создаются напряжения, обычно про-
тивоположные по знаку напряжениям от расчетной на-
грузки. Предварительное напряжение имеет целью:
а)	снижение расхода основного материала фермы
путем использования материалов более высокой проч-
ности;
б)	повышение жесткости конструкции и улучшение
ее эксплуатационных качеств.
Основным способом создания предварительного на-
пряжения в статически определимых и статически неоп-
ределимых фермах является устройство напрягающих
элементов из стальных канатов, высокопрочных стерж-
ней или проволоки Ниже рассматриваются конструк-
ции, в которых напрягающие элементы не связаны
сцеплением с материалом основных элементов. К таким
конструкциям относятся в первую очередь предвари-
тельно напряженные металлические фермы. Возможные
схемы таких ферм показаны на рис. 10.16; на
рнс. 10.16, а представлена ферма, у которой предвари-
тельно напряжены сжатием отдельные растянутые
стержни, на рнс. 10.16, б—д — фермы, в которых пред-
варительное напряжение затяжек различной конфигура-
ции вызывает усилия одновременно во всех или не-
скольких стержнях.
Прн напряжении отдельных стержней тяжи распола-
гаются вблизи центра тяжести стержней; прн напряже-
нии фермы в целом затяжки располагаются симметрич-
но относительно ее вертикальной плоскости. Крепятся
затяжки нлн тяжи с помощью специальных анкерных
устройств. Для обеспечения устойчивости элементов
ферм, сжимаемых в процессе предварительного напря-
жения, прн расположении затяжек по осн элемента за-
тяжки крепятся к элементам с помощью диафрагм ',
Расстояние между которыми определяется расчетом.
1рн расположении затяжек вне ферм устойчивость по-
1 Крепление затяжки ие должно, одиако. препятствовать ее
продольному перемещению.
следиих обеспечивается спариванием их в пространст-
венные блоки.
Расчет ведется по действующим техническим услови-
ям для невыгодных сочетаний нагрузок, включая пред-
варительное напряжение, усилие от которого входит
в основное сочетание. Предварительное напряжение ме-
Ч)!
Рнс. 10.16
таллнческнх ферм целесообразно применять при боль-
ших пролетах и тяжелых нагрузках.
Фермы с предварительно напряженными отдельными
стержнями
Расчетные усилия в стержнях определяются без уче-
та предварительного напряжения.
Задаются распределением материала между сечения-
ми стержня го > затяжки Fa:
* = F./(fa + fo) = f./f-
Находят суммарную площадь сечения прн полном
расчетном усилии N:
Вычисляют
F, = kF и Fo = (1 — k) F. (10.20)
Определяют усилие предварительного натяжения
X = <pKF0	(10.21)
н усилие, воспринимаемое затяжкой прн действии полно-
го расчетного усилия:
NF, EJF.
F,E./E + F0‘
(10.22)
Проверяют напряжения в затяжке и в основном
стержне:
О = ^<Л>: о = ^п.±Х,)</; (1023)
га т	г0
10.1. ПЛОСКИЕ ФЕРМЫ
565
Коэффициент продольного изгиба Ф в процессе пред-
варительного напряжения принимается 0,9—0.95; неого-
воренные обозначения— см. ниже.
Предварительно напряженные фермы с затяжками
Эти фермы работают иа внешнюю нагрузку как
внутренне статически неопределимые системы; за лиш-
нюю неизвестную в основной системе (которая может
быть н статически неопределимой, как на рис. 10.16, д)
целесообразно принимать усилие в затяжке.
Дополнительное усилие в затяжке, возникающее
вследствие внутренней статической неопределимости си-
стемы, определяется нэ канонических уравнений метода
снл с учетом деформаций затяжки. При одной затяжке
это усилие
У NiNjl,
X, = “ E‘F‘----------.	(Ю.24)
yff'i /.
— EtF, + EtFt
где V, и Ni — усилия в стержне основной системы от
единичного усилия в затяжке и от на-
грузки;
Е/ и Fi — модуль упругости н площадь сечення
стержня;
1<"1а—длины стержня н затяжки;
£ав£а—модуль упругости и площадь сечення
затяжки.
Прн расположении затяжки по осн нижнего пояса
постоянного сечения (рис. 10.16,6) формула (10.24)
принимает вид:
(10.25)
Проверка несущей способности стержней произво-
дится по следующим формулам.
Для стержней фермы, у которых в основной системе
усилия от расчетной нагрузки к от усилия в затяжке
имеют разные знаки:
прн сжимающем усилии в стержне*
прн N, > N, No — (n,NX + NX,) < mtfRFr,^ (10.26)
прн NJ < N" NJ - ( n, NX + NXJ) < m<pRFm; (10.26')
прн растягивающем усилии в стержне:
при N„ >Nt Nt — (n,NX + NX,) < mRF„; (10.27)
при NJ < N“ NJ — ( n, NX + NXf) < mRFep. (10.27')
Для стержней, у которых в основной системе усилия
от расчетной нагрузки н от усилия в затяжке имеют
одинаковые знаки:
прн сжимающем усилии в стержне
N, -|- (л (NX + NX>) < шфРРдр;
прн растягивающем усилии в стержне
N, (п< NX + NX,) < mRFi^.
Для эатяжкн
п,Х + X, < mR, Ft.
(10.28)
(10.29)
(10.30)
В приведенных формулах:
N“ н ¥0 — усилие в стержне фермы от нормативной
и расчетной нагрузки прн расчете основ-
ной системы (без учета работы затяж-
ки);
Л — усилие в стержне от единичной силы
в затяжке;
Л'У — усилие в стержне от усилия в затяжке
от предварительного напряжения и нор-
мативной нагрузки;
Л\ —усилие в стержне от расчетного усилия
в затяжке;
X — расчетное усилие предварительного на-
пряжения в затяжке;
X" нХ| — усилие в затяжке от внешней норматив-
ной и расчетной нагрузки;
Ftr и Fm — площади сечения стержня брутто н нет-
то;
R н R, — расчетные сопротивления стержня н за-
тяжки;
ф—коэффициент снижения несущей способ-
ности материала стержня прн проверке
устойчивости, определяемый нормами,
с учетом, что в местах соединения фер-
мы с затяжкой ферма является закреп-
ленной нэ плоскости;
т — коэффнцеит условий работы, принимае-
мый по нормам; для анкерных устройств
т=0.8;
л, и л, — коэффициенты перегрузки усилия от
предварительного напряжения.
Значения nt н л, принимаются следующие:
а)	прн обеспечении прямого надежного контроля
усилия предварительного напряжения (по приборам)
Л|=л,= Г.
б)	при косвенном контроле: для элементов, у кото-
рых рабочие напряжения больше по величине и проти-
воположны по знаку предварительным, Лз=0Д; для эле-
ментов, у которых рабочие напряжения совпадают по
знаку с предварительными или предварительные напря-
жения больше по величине н противоположны по знаку,
л, = 1,10.
Величина контролируемого усилия предварительного
напряжения эатяжкн А. определяется с учетом потерь
напряжения вследствие релаксации материала затяж-
ки 1 н податливости анкеров:
Хк = 1,05Х + Д, —у—.	(10.31)
•а
Величина податливости анкера А» принимается прн
плотно завинчиваемых гайках млн клиновидных шайбах
равной 0,1 см, при анкерах с прокладками — 0.2 см.
Прн криволинейных затяжках следует также учиты-
вать потерю напряжения за счет трення в местах пе-
регибов. При устройстве затяжек нэ нескольких неод-
новременно натягиваемых элементов прн назначении
контролируемого усилия натяжения для каждого нз них
надо учитывать влияние натяжения одного на усилие
в другом.
Наибольшее контролируемое усилие предварительно-
го натяжения затяжки не должно превосходить иесу-
1 Затяжки из проволоки и канатов до постановки следует
подвергать вытяжке.
566
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
тую способность стержней, сжимаемых в процессе
предварительного напряжения:
Ак < m<pRFep-	00.32)
Общий порядок расчета следующий: 1) определяют
усилия от нагрузки и от единичного значения неизвест-
ного в основной системе; 2) вычисляют Xt —усилие
в затяжке от нагрузки, предварительно задавшись со-
отношениями между площадями стержней и затяжки;
3) из условий прочности или устойчивости основных,
наиболее нагруженных стержней по вышеприведенным
уравнениям определяют величину предварительного на-
тяжения затяжки X, площади этих стержней и затяж-
ки; 4) устанавливают контролируемую величину пред-
варительного напряжения; 5) уточняют Xi н проверяют
сечеиня всех элементов для различных стадий работы
конструкции: 6) проверяют прогиб фермы. О расчете
см. также [2].
10.1.10.	Отыскание оптимальных ферм
Проблема заключается в отыскании для заданных
условий такой фермы нз множества возможных, кото-
рая являлась бы отнмальной с точки зрения удовлет-
ворения определенному требованию. Таким требованием
может быть равиопрочиость стержней, наименьший
вес, наименьшая стоимость и т. и.
Для проектирования статически определимых или
неопределимых ферм с заданными параметрами, в числе
которых, кроме геометрической схемы и внешней нагруз-
ки, могут быть усилия, напряжения и продольные де-
формации стержней, перемещения узлов, применяется
метод заданных напряжений и перемещений [23]. Прн
этом число задаваемых параметров равно s— общему
числу стержней (не считая опорных), перемещений
и продольных деформаций (напряжений) в числе за-
данных параметров должно быть ие более s„ — числа
основных (необходимых) стержней; в статически опре-
делимых фермах s=s„. Задаваться можио только на-
пряжениями, только перемещениями всех или некото-
рых узлов и комбинацией некоторых количеств одних
и других параметров.
Задача отыскания статически неопределимых упруго
работающих ферм минимального объема при заданной
геометрической схеме, одной комбинации нагрузки и до-
пускаемом напряжении решена с применением ЭВМ
[13. 24].
К указанной проблеме относятся задачи синтеза
ферм. т. е. отыскания их оптимальной схемы. В [16]
разработан метод отыскания из множества возможных
статически определимой стержневой конструкции мини-
мального веса, которую можио образовать соединением
заданных на плоскости точек — узлов с приложенными
к ним внешними нагрузками; прн этом напряжения
в стержнях при заданных внешних силах не должны
превосходить заданной величины. Решение приводится
к общей задаче линейного программирования; разрабо-
тан аглорнтм для БЭСМ-2М. Та же задача, но в пред-
положении, что некоторые нз узлов могут быть распо-
ложены произвольно, решается в [17]; отыскание кон-
фигурации упругой статически неопределимой шарннр-
но-стержиевои конструкции в случае многих эагруже-
ннй проводится в [18]. распространение решения на
пространственные фермы см. [19].
10.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
10.2.1. Основные положения образования
и расчета
Пространственными называются фермы, стержни ко-
торых не лежат в одной плоскости.
По характеру образования различают простые и пре-
образованные фермы. Ферма, образованная по общим
правилам образования пространственных систем, т. е.
последовательным прикреплением шарнирных узлов
тремя стержнями, не лежащими в одной плоскости, на-
зывается простой. Неизменяемая ферма, которая не мо
жет быть образована по общим правилам, а получается
путем замены одного или нескольких стержней простой
фермы, называется преобразованной.
Ферма, которая, будучи отделена от опор, становит-
ся изменяемой, называется прикрепленной; ферма, ос-
тающаяся неизменяемой после отделения от опор, назы-
вается свободной. Частным случаем свободной фермы
является замкнутый выпуклый стержневой многогран-
ник с треугольными или подразделенными на треуголь-
ники плоскими гранями; для такого многогранника ме-
жду числами стержней С, узлов У и граней (полей) Г
по теореме Эйлера существует зависимость С=У+Г—2;
прн треугольных гранях С=’/а Г.
Необходимое, но недостаточное условие неизменяе-
мости пространственных ферм: С=ЗУ: в число стерж-
ней С входят опорные, минимальное число которых рав-
но 6: Безусловным доказательством неизменяемости яв-
ляется равенство нулю усилий во всех стержнях прн ну-
левой нагрузке.
Для прикрепления пространственных ферм к земле
'.тужат три категории опор: а) неподвижные, эквива-
лентные трем опорным стержням; б) подвижные ци-
линдрические, эквивалентные двум опорным стержням;
в) подвижные шаровые, эквивалентные одному опорно-
му стержню. Подробнее об образовании пространствен-
ных ферм и проверке неизменяемости см. [32].
Частным случаем пространственных ферм являются
биконструкцим — системы, состоящие из двух и более
плоских ферм, параллельных или непараллельных, же-
стких только в своей плоскости и соединенных связями.
К числу бнкоиструкций прн определенной нагрузке от-
носятся крановые конструкции, некоторые башенные
сооружения н др. О расчете бнкоиструкций см. [9.
10, 31].
Нагрузки обычно прикладываются в узлах в виде
сосредоточенных снл.
10.2.2 Общие методы определения усилий
Установление неработающих стержней я равных уси-
лий:
а)	если в узле все стержни, кроме одного, и внеш-
ние силы лежат в одной плоскости, то в этом стержне
усилие равно нулю;
б)	если в иенагружеином узле сходятся трн стерж-
ня. не лежащие в одной плоскости, то усилия в них
равны нулю;
в)	если из плоскости действия нескольких сил вы-
ходят только две силы (усилия двух стержней), то они
равны, но противоположно направлены;
г)	если все силы узла расположены в двух плоскос-
тях. то равнодействующие снл каждой из плоскостей
лежат на ребре пересечения этих плоскостей, равны
между собой и противоположно направлены;
10.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
567
д)	если на плоскую грань действуют только три
усилия, лежащие в той же плоскости и не пересекаю-
щиеся в одной точке, то они равны нулю.
Способ узловых сечений. Применяется в фермах, об-
разованных присоединением каждого последующего уз-
ла к предыдущим тремя стержнями, не лежащими в од-
ной плоскости. Последовательно рассматриваются уз-
лы, в которых сходятся внешние силы (опорные реак-
ции относятся к внешним силам), известные усилия
и не более трех стержней с неизвестными усилиями.
Возможны аналитическое и графическое решения. Ана-
литическое решение состоит в составлении и решении
трех уравнений проекций для каждого узла, отрезанно-
го от фермы. Графическое определение усилий сводится
к уравновешиванию известной силы тремя силамн. осн
которых пересекаются в точке иа линии действия изве-
стной силы (см. разд. 2).
Способ сквозных сечений. Применяется, когда в фер-
ме можно провести сечение, разрезающее не более шести
стержней с неизвестными усилиями. Последние опреде-
ляются из уравнений статики. Целесообразно для рас-
членения уравнений выбирать осн так, чтобы для части
из шести усилий проекции и моменты оказывались рав-
ными нулю.
Если шесть стержней могут быть пересечены одной
прямой, система геометрически изменяема.
Способ разложения на плоские фермы. Применяет-
ся, когда боковые грани пространственной фермы пред-
ставляют собой статически определимые плоские фер-
мы. Нагрузка в узлах разлагается на три направления,
два из которых лежат в плоскости двух соседних гра-
ней, а третье совпадает с ребром их пересечения. Если
каждая грань прикреплена к земле жестко в своей пло-
скости, то составляющие нагрузки полностью уравнове-
шиваются на плоской ферме.
Пример 10.8 (рис. 10.17). Сила Р, действующая
на конструкцию, разлагается на составляющие А, ₽j
н Рз. Плоская ферма LDEM рассчитывается на дейст-
вие Р|, ферма MEFN — на
действие Рц в стойке ЕМ
действует сила Рз. Полные
усилия в стержнях, общих
для соседних граней (в
данном случае в стойке
ЕМ), определяются алге-
браическим суммированием
усилий от всех составляю-
щих нагрузки
Если плоская грань не
прикреплена жестко к зем-
ле, ее реакции передаются
соседним граням, причем
эти реакции лежат на реб-
рах пересечения граней.
Примеры применения спосо-
ба в этом случае см. [14].
Способ замены стерж-
ней. Применяется для рас-
чета преобразованных ферм, в которых нет узлов, где
сходятся не более трех стержней с неизвестными уси-
лиями.
Метод статического моделирования [32, 21). Метод
статического моделирования позволяет заменить расчет
пространственной фермы расчетом статически эквива-
лентной плоской модели, в которой для определения
усилий в стержнях применим аппарат расчета плоских
ферм (см. 10.1.2) и, в частности, графический метод —
построение диаграммы Максвелла — Кремоны.
10.2.3. Башни и мачты
Трехгранные башин (рнс. 10.18). Прн раскосной
и полураскосной решетке — статически определимы.
Расчет ведется способом узловых сечений или разложе-
нием на плоские фермы. В последнем случае, если яме-
Рис. 10.18
ются стержни, пересекаю-
щие внутреннюю полость
башни, в них предваритель-
но должны быть определе-
ны усилия способом узло-
вых сечений.
Башни с четырьмя и бо-
лее гранями. Прн раскос-
ной и полураскосной решет-
ке — статически определи-
мы, если не имеют попе-
речных связей и верхнего
яруса с пересекающимися
стержнями (шпица). В
этом случае башня пред-
ставляет собой купол
Швеллера (см. ниже) н рас-
считывается способом узло-
вых сечений нлн разложе-
нием на плоские фермы.
Прн наличии шпица башня
статически неопределима.
Однако расчет в случае
симметрии башни относи-
тельно осей плана упро-
щается.
Пример 10.9 (рнс.
10.19). Сила Р| может быть
разложена на две составля-
ющие. лежащие в плоско-
стях ASB н CSD, точно
так же на составляющие,
лежащие в плоскостях гра-
ней ASB и CSD. можно
разложить силу Р}. а силу
Рэ — на составляющие, ле-
жащие в плоскостях граней
Рис. 10.19
Рис. >0.20
568
РАЗДЕЛ 10 ФЕРМЫ
ASD и BSC; все составляющие в свою очередь могут
быть разложены по направлениям ребер, так что усилия
в стержнях шпица станут известны. Дальнейший расчет
можно выполнить разложением иа плоские фермы. Так
как в данном случае в узлах А, В, С и D ребра имеют
перелом, за плоские фермы следует принять грани
ABJK, ADIL, ВСМК н CDLM. После того как станут
известны усилия в стержнях, примыкающих к узлам А,
В, С н D сверху, способом узловых сеченнй можно рас-
считать нижнюю часть мачты.
Поперечные связи (рис. 10.20) также делают систе-
му статически неопределимой. Однако при симметрич-
ной горизонтальной нагрузке, действующей в плоскостях
гранен нлн в плоскостях связей, башня приближенно
может быть рассчитана как статически определимая
разложением на плоские фермы, так как в этом случае
связи большой роли не играют.
Существенную роль играют связи прн крученнн ба-
шен. вызываемом либо непосредственно крутящим мо-
ментом, возникающим прн эксплуатации конструкции
(например, в башнях молотковых кранов), либо несим-
метричной горизонтальной нагрузкой (например, при
обрыве провода в мачтах электропередач).
Расчет башен на кручение проводится методом снл.
За лишние неизвестные принимаются усилия в диагона-
лях поперечных связей нлн усилия в одном из поясов
(когда они не имеют изломов). В последнем случае ос-
новная система получается расслоением поперечных
диафрагм и состоит нз отдельных отсеков, соединенных
стерженьками, расположенными по линиям поясов,
один нэ стерженьков в каждом просвете между отсека-
ми разрезается, н за лишнее неизвестное принимается
действующее в нем усилие [4]. Расчет на кручение мо-
нотонных башенных конструкций (т. е. конструкций,
в которых соблюдается постоянство по всей высоте уг-
лов сопряжения распорок с диагоналями) см. [36].
Следует отметить, что наличие чрезмерного числа
поперечных связей по высоте конструкции не улучшает
се работы. Поперечные связи должны устанавливаться
лишь в плоскостях действия крутящих моментов н в ме-
Рис. 10.21
стах перелома ребер, если в других местах они не тре-
буются по соображениям устойчивости.
Мачты на расчалках. Ствол мачты обычно трех-
нлн четырехгранный с раскосной нлн перекрестной ре-
шеткой. Число оттяжек в одном ярусе соответствует
числу граней. Мачта статически определима, если ввер-
ху н внизу ствола расположены шарниры и имеется
только одни ярус расчалок. Прн наличии нескольких
ярусов расчалок мачта обращается в статически неопре-
делимую многопролетную балку на упругих опорах.
Прн большой высоте мачт расчалки устраиваются пред-
варительно напряженными. Метод расчета н примеры
см. [26, 28].
Гиперболондальные башни Шухова. Конструкция
имеет форму однополостного гиперболоида н состоит
из двух систем взаимно пересекающихся наклонных сто-
ек, скрепленных по высоте горизонтальными кольцами
(рис. 10.21). Прн наличии в плоскости верхнего коль-
ца поперечных связей или жесткого резервуара система
статически неопределима. Однако благодаря симметрии
конструкции па центральную вертикальную нагрузку
она рассчитывается элементарно. Усилие в каждой
стойке
N = —— ,	(10 33)
П COS3
где Р — центральная нагрузка (собственный вес, снег
и г. л):
п— число стоек;
а—угол наклона стойки к вертикали.
Подробнее о расчете см. [8].
10.2.4.	Стержневые пластины — структурные
конструкции
Структурные конструкции (структуры) представляют
собой пространственные системы, состоящие нэ парал-
лельно расположенных сеток, соединенных решетчатыми
связями, лежащими в плоскостях, ортогональных или
наклонных к плоскостям сеток.
Различают три класса структур*
1)	регулярные — с одинаковым по всей площади по-
крытия строением каждой нз двух сеток, геометрически
изменяемых нлн неизменяемых. Сечення стержней
в верхней и нижней сетках могут быть различными, но
должны иметь одинаковые коэффициенты Пуассока
для одинаковых направлений обеих сеток:
2)	регулярные, но одна нз сеток геометрически из-
меняема, а вторая — неизменяема;
3)	нерегулярные — с различным строением в разных
зонах покрытия (напрнмер, в углах и центре). Если
ячейки одной илн двух сеток геометрически неизменяе-
мы, система способна работать на изгиб и кручение;
если ячейки обеих сеток изменяемы, она работает толь-
ко на изгиб к по существу не отличается от системы пе-
рекрестных балок.
Структуры применяются самостоятельно для плоских
покрытий промышленных и общественных зданий на тре-
угольном, квадратном, прямоугольном н многоугольном
плане нлн в комбннацнн с другими типами несущих
конструкций (фермами, арками, вантовыми конструк-
циями). Опирание возможно по всему контуру нлн его
части, на жесткие и упругие опоры н в отдельных
точках.
Структуры отличаются однородностью узлоа н эле-
ментов, что создает возможность типизации конструк-
ций, повышенной степенью надежности от внезапных
разрушений и архитектурной выразительностью; они
позволяют укрупнить сетку колонн и уменьшить строи-
10.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
569
тельную высоту покрытия; прн многопролетком реше-
нии они экономичны.
U зависимости от формы сооружения н характера
опирания высота покрытия Л принимается равной
1 •
——— пролета. Прн выполнении в металле н огра-
ничении высоты покрытия габаритами транспортных
средств наибольший экономичный пролет 70 м.
В расчетном отношении система многократно стати-
чески неопределима. Точный расчет ее, как стержневой
системы, возможен с использованием ЭВМ. Программа
такого расчета составлена в ЦНИИСК им. В. А. Куче-
ренко. Регулярные структуры, а также структуры с не-
большим отклонением от регулярной системы могут
при вариантном проектировании и в случаях покрытий
с простыми схемами опирания рассчитываться прибли-
женно [30, 33].
Приближенный расчет применим прн членении плана
не менее чем иа шесть ячеек и прн указанной выше от-
носительной высоте покрытия. Он состоит в замене
стержневой конструкции ее расчетной моделью —тон-
кой пластинкой, в общем случае ортотропной, имеющей
опорные условия и нагрузку такие же, как и у основ-
ной конструкции, и эквивалентные ей упругие характе-
ристики.
Прн условии пренебрежения влиянием сдвигов
в вертикальных плоскостях и принятия гипотезы пря-
мых нормалей напряженное состояние расчетной моде-
ли структуры описывается уравнением
д*и> , д*ш	р
дг.* dx2 ду1 ду* О *
(10.34)
D— цилиндрическая жесткость;
DKp— жесткость на кручение;
V—коэффициент Пуассона.
Упругие характеристики определяются из рассмот-
рения соответствующих деформаций повторяющегося
элемента структуры — «кристалла» и распространяются
на всю расчетную модель. «Кристаллу» структуры в мо-
дели отвечает элементарный параллелепипед, по объему
равный «кристаллу».
Полученные прн расчете пластинкн-моделн внутрен-
ние усилия прикладываются к граням параллелепипеда,
а прн переходе к «кристаллу» концентрируются в его
узлах; моменты прн этом заменяются соответствующи-
ми парами сил. Расчет «кристалла» как стержневой си-
стемы на приложенные к его узлам силы позволяет оп-
ределить усилия во всех его элементах. Обычно расчет
ведется па наиболее невыгодное сочетание усилий
а расчетной модели, и сечения одноименных стержней
структуры принимаются одинаковыми. В случае, когда
нз соображений экономичности сечения элементов
в центральной и опорной эонах принимаются неодина-
ковыми (прн нерегулярной системе), жесткость модели
на изгиб следует принимать по центральной зоне, а же-
сткость на кручение — по угловым участкам опорной
зоны.
Для определения усилий в расчетной модели могут
быть использованы готовые решения и таблицы для
расчета плит и безбалочных перекрытий.
Эквивалентные упругие характеристики расчетных
моделей различных структур приведены в табл. 10.2, а в
табл. 10.3 даны усилия в стержнях «кристалла» тех же
структур от усилий в расчетной модели [30].
В случае, когда в уравнении (10.34) параметр Е=1,
расчетная модель изотропна. Условием изотропности си-
стем с равносторонними треугольными ячейками явля-
ется равенство площадей сечения стержней в каждой
поясной сетке. Условием изотропности ортогональных
систем с перекрестным расположением диагоналей
в обеих сетках является соотношение между площадя-
ми сечений поясов и диагоналей
^/Гд= V*.
При 7д=0 (Е=0) структура ке воспринимает сдви-
гающих усилий и по существу переходит в систему пе-
рекрестных ферм, ориентированных по направлениям
осей X и У, а при А,=0 (5=3) — в систему перекре-
стных ферм, ориентированных под углом 45° к осям
X и У.
Прн действии значительной сосредоточенной нагруз-
ки эону ее влияния размером ке менее 0.2Х0.2 пролета
следует рассчитывать как стержневую систему на внеш-
нюю сосредоточенную нагрузку и внутренние усилия
по контуру зоны, определяемые нз расчета пластинки.
Аналогично рассчитываются зоны вблизи точечных опор
(опирание на колонны). В таких случаях целесообраз-
но устройство стержневых капителей размером ’/« про-
лета. Расчет капители см. [1. 30].
Для определения расчетной длины стержней в орто-
гональных системах без диагоналей могут применяться
следующие коэффициенты: для опорных раскосов — 0,9,
для прочих раскосов — 0,7, для поясов—1,0, для поя-
сов прн сосредоточенных нагрузках — ОД.
Приближенный расчет усилий в регулярных структу-
рах с одинаковым н неодинаковым строением верхней
и нижней сеток дает точность до 15% — приближенные
значения усилий большей частью ниже вычисленных
точным методом. Приближенный расчет прогибов дает
большую погрешность, действительные прогибы струк-
тур с изотропными свойствами более вычисленных в 1,4
раза, а прогибы ортогональных структур без диагона-
лей—в 1,2 раза.
10.2.6. Стержневые купола
Традиционные системы — купол Швеллера (рис.
10.22,а); купол Феппля, отличающийся от первого тем,
что в каждой грани вместо диагонали поставлена пара
полураскосов (рнс. 10.22,6); звездчатый купол
(рнс. 10.22, в), неизменяемый прн нечетном числе сторон
и смещениях цилиндрических опор, направленных по
биссектрисам углов; Шлника (рнс. 10.22. г) и др. Опор-
ные узлы этих куполов закрепляются либо неподвижно,
либо соединяются опорным кольцом и устанавливаются
на цилиндрические катки (двухстержневые опоры).
В последнем случае направление смещения выбирается
так, чтобы реакции по возможности лежали в плоско-
стях стен. Для расчета усилий во всех стержнях цикли-
чески симметричной системы прн любой нагрузке до-
статочно определить усилия от эагруження одного узла
в каждом ярусе и воспользоваться наложением. Расчет
облегчается тем, что в этом случае работает ограничен-
ное число стержней. Эффективно применение метода
статического моделирования, сводящего расчет прост-
ранственной системы к расчету эквивалентной плоской
модели.
Более подробные данные о расчете см. [31, 32].
Дальнейшим развитием этих систем являются раз-
личные сетчатые стержневые купола больших пролетов,
отличающиеся определенной однотипностью элементов:
геодезические, купола нз ромбовидных панелей, двух-
Параметр /?, цнлнпдрическоЛ жесткости: ° “ »lEF..o s **«	2(1 -vj(l + М
Параметр А, жесткости на кручение:	1	 2 j/Trnd+n)
Коэффициент Пуассона v	1 1+ m/Г
Параметр уравнения (10.1) 1	ЗУ
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
Продолжение табл. 10.7
Структуры с различным строением сеток
Упругие характсрнстимн
6 — ортогональная система о диагональ-
ным расположением одной сетки отно-
сительно другой
7 — гексагонально-треугольная
система
Параметр 4, цилиндрической
жесткости;
D"feiEFB.ns
2 (л + v0 "1, /Т)
2 (л' + /Г)
I
/з"«л + I)
Параметр жесткости на
кручение:
DKP-*.r>.ns,e'»
_____2___
3 (З /Зп + ф')
10-2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
Коэффициент Пуасеояа V
г (а. + /Г)
з (* +1)
Параметр уравнения (10.34) |
1 /Гт,*
3 (з /э"л+ *')
Условные обозначения
* — 1 +
Fpeos>a
Ев*п: Ев.в “ плодадн сечений поясоз в верхней и нижней сетках:
Ев*д* Еи>д ллошвдя сечений диагоналей в верхней и нижней сетках:
/р — площадь сечения раскосов; а — угол наклона раскоса к горизонтальной плоскости.
На рисунках: м— элементы верхней сетки; — элементы нижней сетки; —----------раскосы.
572
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
f?
и
£
Структуры с оз и каковы м строением сеток
аг 1			ar	<?ps
ос	2 sin а	Vi sin a	oc	sina
в?	(<?x + Oy)S 2 sin а	QXS ffslna	ar 1	(QJy'5-Q1))S 2 sin a
ос	Рх + Ор)5 2 sina	V /2 sin a	at 1	(Qx^ + Ob,)^ 2 sin a
Примечания: I. Для структур Зяб учтено, что А1 я - М у
2. В структуре 7 прн двойном знаке усилия нижний принимается для Лц. /?,« н /?ц-
Таблица 10.3
Структуры е различным строением сеток
	(*<J + A<y)v,+2(H.v||)Hw + v.) Ч “		я а	сё	зл^-гл^ 2 if a
к	/2 Мж	<£	^мж		Mz-6A,y-**^Wxy
	tga		И a		4 tga
	Ча	<£	Лгу, tga	к	MJ-|iA<(( + 6^Ww <4a
?	(Ох + Оу)^^ 2 sin а			1 её 1 ос	AQyS 4- (Mx- A».,) 2 sin a
	(?г-^)5+4»гу 2 sin а				
				«с 1 7 <е	±(ox V"5 - oe) S - (Л1х -	tu
се					4 slna
	2 slna			 <ё 1 <£ *снлмй	T(0xV5+ o„)s- (Mx-M„) /3 + 6«x„
сс 3. 4. 5.	(Qx-Oy)S-<ww 2 slna Графические условные обозначения — см. в табл. 10.2. Правило знаков указано иа схеме, показано положительное направление При выводе формул усилия приняты положительными.				
					4 slna ... /1^?"
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
574 t==s
сетчатые па основе правильной сферической сети Че-
бышева н др.
Геодезическая сеть образуется проектированием на
сферу по радиусу правильного вписанного в нее много-
гранника, напрныер икосаэдра. В последнем случае сеть
состоит из 20 правильных сферических треугольников
(стороны треугольника соединяют вершины по кратчай-
(при монтаже свода они устанавливаются после сборки
основных стержней). Для круглых куполов более ра-
циональна система с треугольными ячейками
(рнс. 10.25,6). Число типоразмеров стержней этого ку-
пола получается меньше, чем у геодезического тех же
размеров.
Сетчатые купола опираются в отдельных точках или
Рнс. 10.22
шим расстояниям — геодезическим линиям — дугам
большого круга); каждый нз них может быть расчленен
иа более мелкие треугольники (рнс. 10.23,0). Членение
ведется до получения элемента такой длины, которая
обеспечивает нрн данном материале легкость изготовле-
ния, транспортировки и сборки. Однако каждое после-
дующее членение увеличивает число типоразмеров эле-
ментов. После окончательной разбивки криволинейные
элементы заменяются плоскими. Для повышения обшей
устойчивости купола с увеличением его пролета верши-
ны треугольников располагают не иа одной сфере, а на
поверхности двух (нлк даже трех) концентрических
сфер (рис 10.23,6), радиусы которых отличаются
иа небольшую величину (0,5-— 1 ж). В число основных
элементов купола наряду со стержнями прн этом вклю-
чаются листовые панели в виде гнутых ромбов или пи-
рамидок.
Более простой системой, обеспечивающей в ряде
случаев получение небольшого числа типоразмеров эле-
ментов н обладающей рядом других преимуществ, яв-
ляется купол из ромбовидных панелей с радиально-
кольцевой разбивкой поверхности вращения, например
сферического сегмента (рнс. 10.24) [3].
Правильной сетью Чебышева называется такая че-
тырехугольная сеть на поверхности, у которой все про-
тивоположные отрезки каждой ячейки попарно равны.
Купол на основе этой сети [27] конструируется из тра-
пецеидальных элементов, центры которых располагают-
ся на поверхности сферы радиуса R (рнс. 10.25.о),
а сами элементы могут выполняться в виде стержней
нз двух ветвей, соединенных раскосной решеткой (верх-
ние н ннжнне ветви образуют две сети). По боковым
сторонам элементы соединяются линейными шарнира-
ми. образуя ромбические ячейки. Для обеспечения про-
странственной работы конструкции в каждой ячейке ус-
танавливаются дополнительные диагональные стержни
связываются упруго с опориыы кольцом. Прн крупном
членении (налом пролете н малом числе элементов)
расчет возможен методом статического моделирования.
0
Рнс. 10.23
При мелком членении возможен приближенный расчет
путем представления сетчатых куполов в виде одно-
слойной (прн наличии одной сети) илн трехслойной
(прн наличии двух сетей, соединенных связями, работаю-
щими на сдвиг) беэыоментной оболочки. Мернднаналь-
иые н кольцевые усилия, соответствующие определенно-
му участку такой оболочки, равному по площади участку
купола, приходящемуся на данный его узел, раскла-
дываются на направления стержней купола, сходящих-
ся в этом узле. Наличие опорного кольца должно учи-
тываться наложением усилий от краевого эффекта на
усилия беэмоментпого состояния.
О расчете цилиндрических сетчатых оболочек
сы. [20].
юа. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
575

4>acaff
Рис. 10.24
10.2.6. Тонкостенные ребристые циклически
симметричные купола
Безмомеитиая расчетная схема
Мембранное состояние ребристых куполов, выпол-
няемых из трапецеидальных плит, окаймленных ребра-
ми, обусловливается прежде всего конструктивным ре-
шением стыков, не воспринимающих изгибающих мо-
ментов. Сопряжения такого типа отличаются простотой
изготовления и монтажа. Сборка панелей ыожет осу-
ществляться иа штырях или болтах, и такие соединения
рассматриваются как шарнирные.
Предполагается, что осевые усилия воспринимаются
меридиональными и кольцевыми ребрами. Сдвигающие
усилия воспринимаются тонкостенными панелями, обра-
зующими собственно оболочку, которые здесь эквива-
лентны а статическом смысле раскосам стержневых ку-
полов [32]. Учитывается круговая симметрия [5].
Обозначим:
I— порядковый номер кольцевого ребра,
считая от верхнего нулевого кольца;
л— порядковый ноыер меридионального
ребра, считая против часовой стрелки
от нулевого;
in — номер узла ребристого купола;
at— длина стороны кольцевого ребра;
Ь,— длина стороны меридионального реб-
ра выше i-го кольца;
Ntn — продольное усилие в меридиональном
ребре, подходящем к узлу «, л свер-
„ ху:
к tn — то же, в элементе меридионального
ребра, подходящем к узлу I, п снизу;
Sin—продольное усилие в элементе коль-
цевого ребра, примыкающем к узлу
>, л слева;
S/n — то же. в элементе кольцевого |)ебра,
примыкающем к узлу i, п справа;
Т1в—сдвигающее усилие, действующее на
ребра ыеридиаиа со стороны пластин;
т °'
/ in ~ — сдвигающее усилие, действующее на
Ь/
элемент кольцевого ребра 1—1;
I in “7— — сдвигающее усилие, действующее на
е»
элемент кольцевого ребра <;
V. W, Т— система натуральней осей коорди-
нат;
17л- И7л. 77л — проекции внешней нагрузки, пере-
дающейся узлу in;
ф/ — угол между осью элемента I. i— 1 ме-
ридионального ребра и осью И;
2л
О = — — центральный угол, соответствующий
стороне правильного кольцевого мно-
гоугольника;
m— число сторон кольцевого ребра.
Запишем уравнения равновесия узла (рнс. 10.26,6)
Т1' = 0; V/„ + A7„cosi)>f —/V/„costy+l=0; (10.35)
2W' = 0; B7ln4-W(nsin^( + W/nsini)>/+,-|-
+ (S/л + S/л) sin —= °;	(10.36)
0
IT = 0; Tm + ISin - St„) cos — = 0.	(10.37)
К ним присоединяются уравнения равновесия эле-
мента меридионального ребра (/’—1), п—i—i, п—1
(рис. 10.26, в) и кольцевого i(n—1)— i, л:
’•<л-’,/.»+1 +«'«-i).n-R/n=°; (ю-зч,
т 0,-1 т а,+{ I
-Г/л bt +Т«+Ч.Л 6/+1 +
+ \л -S/.(n-l) =0-	(10.39)
576
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
Предполагается, что касательная составляющая на-
грузки Т(,=0.
Из системы уравнений (10.35) — (10.39) получены
выражения для продольных усилий в ребрах и для
сдвигающих усилий в стенках панелей прн действии
произвольной нагрузки:
cos	cos <j j+1
(10.44)
- cosib>
A^ = *Jn ——
COS фг-Ц
+ Ъп-------— ;	(10.40)
cosipl+1
S/n “ $in e *(„X
cosih tgi|>,+i —sin ф,
X	0
2siny
x-----Ц-;	(10.41)
V
2sin —
2
TU+».a =
(10.42)
«+<>.
bt
Рис. 10.26
—(А\.л — Vj.in—1)) X
<g Фц.| — миф,
0
2 sin —
2
ccF C0S’Mg’h+i-sin,f,(
5/ = 5( = Л/ -----------------
„ . 0
2 sin —
2
m ___w
,n №l.<n-l)
„ . 0
2 sin—
2
tgfri+l
o
2sin —•	2sin —
2	2
W,.! = N..
(10.45)
(10.46)

X

«8^+1 b±
„	0 ’ o(
2smy 1
(10.42a)
л «+1>.л—	~ (Лж ыл-н) — Лж >.л) • (Ю-43)
Соотношения (10.40)—(10.43) имеют рекуррентную
структуру н позволяют вести расчет всех усилий, сле-
дуя сверху вниз.
Симметричная нагрузка. Когда на ребристый купол
действует нагрузка, симметричная относительно его осн,
сдвигающие усилия оказываются равными нулю, а для
продольных усилий нз (10.40), (10.41) и (10.43) полу-
чаются следующие простые расчетные формулы:
Произвольная нагрузка. Расчет рассматриваемой си-
стемы прн действии произвольной нагрузки можно су-
щественно упростить, если использовать особенности
систем, обладающих циклической симметрией, н пред-
ставить нагрузку в виде тригонометрических рядов:
К|л =	£ VjslnfciOM- £ KfcosfaiO;	(10.47)
*—1.2.3...	*—0.1.2.3...
В7/л =	£ П7^ sin АпО 4-	£ U7(ccosfol0, (10.48)
*—1.2,3,-	*-0.1,2,3..
где k — номер члена ряда.
Предполагается, что в каждом из состояний, описы-
ваемых отдельными членами рядов (10.47) н (10.48),
нагрузка приложена непосредственно к узлам ребер ку-
пола и может изменяться по любому закону.
10.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФЕРМЫ
577
Когда внешняя узловая нагрузка изменяется вдоль
кольца по закону синуса
V/n = Vj sin Алб; Wln = U7* sin Алб, (10.49)
продольные усилия в меридиональных и кольцевых реб-
рах одного яруса н сдвигающие усилия в панелях из-
меняются по закону:
а-,п = ^з1пАл6;
Nln = WjsinAn6;
= S<n = sin AnB;	0O 5Qj
cos A (n —0,5)0
M
C“ 2
Амплитуды усилий Nj, N}, Sj и TJ
формулам:
находят но
Выражения для амплитуд усилий в куполе прн дей-
ствии узловых нагрузок, изменяющихся вдоль колец по
закону косинуса, будут:
Л7со5ф, -|- V?
А'? = —-----------L
со$ф<+1

л7 (cos *8 ♦/+! - sin ) — ’П + Ч *8 ty+1
в
2 sin—
2
(10.60)
(10.61)
77+1 =	Г? + SJ sin Ав]; (10.62)
Af? cos ф, -I- V?
N? =—! ----------
cos ф/+1
(10.51)
^+i=vT-2*7+i‘e—	(10.63)
Nj (cos ф, tg ф(+1 — sin ф,) — В?] + V? tg ф<+1
0	1 2 * * * * * В
2sin —
2
(10.52)
7J — SjsinAO
=	fl
*;+=*;+2*7+1 <g* у-
(10.53)
(10.54)
Пользуясь зависимостями (10.51)—(10.54). можно вы-
числить амплитуды мебранных усилий в ребристом ку-
поле. начиная расчет с верхнего кольца (i«0). Очевид-
но, AfJ “*с “0- Тогда из формул (10.51) и (10.52) на-
ходим Np и Sj. Затем из соотношений (10.53) и (10.54)
последовательно находим Г} и N*. Возвращаемся за-
тем к формулам (10.51) н (10.52) и, положив 1—1, на-
ходим Nj и Этот рекуррентный процесс продолжа-
ется, пока ие будут определены амплитуды усилий во
всех элементах ребристого купола.
В том случае, когда внешняя узловая нагрузка из-
меняется вдоль кольцевого ребра по закону косинуса
У1я — I'f cos АлВ; 1Г,Я — IF/ cos AnB, (10.55)
осевые усилия в элементах меридиональных и кольце-
вых ребер и сдвигающие усилия в панелях подчиняются
следующим зависимостям:
AfM = A'fcosfaiO;	(10.56)
AffrI = NfcosAflB;	(10.57)
S(n — Sin = Sf cos AnB;	(10.58)
cos-----
2
Какова бы hr была узловая нагрузка, действующая
на ребристый купол, ее можно разложить на симмет-
ричное н антисимметричное состояния относительно дна-
метра, проходящего через узел кольцевого ребра. Сим-
метричную нагрузку затем можно разложить в триго-
нометрический ряд по косинусам угла, а антисимметрич-
ную— в ряд но синусам угла. Подробный численный
расчет купола см. [34].
Моментная расчетная схема. Появление в сборных
ребристых тонкостенных циклически симметричных ку-
полах относительно жестких ребер может привести к
тому, что прн действии внешних сил ребра помимо осе-
вых усилий будут испытывать изгиб, в то время как
тонкостенная оболочка воспринимает в основном мем-
бранные усилия. Расчет см. [35].
ЛИТЕРАТУРА
I.	Б е Г у в Г. Б. К расчету пространственно-стержневых
покрытий безбалочного типа. «Строительная механика и расчет
сооружений». 1867. Мб.
2.	Б е л е я я Е. И. Предварительно напряженные металли-
ческие несушке конструкции. Госстройнздат. 1963.
3.	Брнль М. Г.. Павилайнек В. Я-. Шуль-
гин Ю. Б.. И м м е р м а в А. Г. Пространственные конструк-
ции больших пролетов на легких сплавов. В сб.: «Расчет про-
странственных конструкций», вып. 6. Госстройнздат. 1961.
4.	Бух .р ин Е. М.. Кол я ко в А. М. н др. Проекти-
рование строительных конструкций линий злектроасредачм по
предельным состояниям, под ред. М. Бухарина. «Энергия». 1965.
5.	Вайнберг Д, В., Ч ул новом и й В. Г. Расчет
пространственных рам. 1964.
6.	Вишняков А. И. Разработка методов, алгоритмов
н программ решений инженерно-строительных задач на ЭЦВМ.
Стройиздат. Л. — М.. 1969.
7.	Гнпротнс. Гострой СССР:
а)	Система автоматизации расчетов стержневых конст-
рукций (СМ—5). Отраслевой фонд алгоритмов н про-
грамм, вып. 1—99; 1969.
б)	Инструкция к системе автоматизации расчетов стер-
жневых конструкций CM—S. Отраслевой фонд алго-
ритмов н программ, вып. 1—98: 1969.
в)	Расчет плоских и пространственных стержневых си-
стем (МАРСС—1ПЗ). Отраслевой фонд алгоритмов и
программ, вып. 1—95; 1969.
г)	Инструкции по подютовке исходных данных для рас-
чета плоских и пространственных стержневых систем
по программе МАРСС — 105. 1971.
578
РАЗДЕЛ 10. ФЕРМЫ
8.	Горе к ште й я Б. В. Расчет сетчатых сметем В. Г. Шу-
лова на прочность, жесткость н устойчивость. В сб.: «Расчет
пространственных конструкций», вып. 5. Госстройнздат. 1959.
9.	Иммерман А. Г. Пространственная работа крановых
стрел. В сб.: «Расчет пространственных конструкций», вып. 2.
Госстройнздат. 1951
10.	И м м ер м а н А. Г. Расчет перегрузочных мостов на
кручение. В со.: «Исследования. Массивные и стержневые кон-
струкции». Госстройнздат. 1953.
II.	Инструкция по применению универсальной программы
расчета статически неопределимых стержневых систем методом
деформаций (ДО). Киев. 1964.
12.	Карлсен Г. Г., Большаков В. В. н др. Дере-
вянные конструкции. Стройиздат. 1961.
13.	К н м Т. С Расчет ферм наименьшего объема методом
целочисленного программирования. «Строительная механика н
расчет сооружений». 1969. № I.
14.	Кудрявцев П. А. Расчет стрел на кручение. Тру-
ды ВНИИПТМАШ. кн. 6. Машгнэ, 1952.
15.	Л ь в к н Я. Б. К определению усилий в «нулевых»
стержнях ферм. В сб.: «Исследования по теории сооружений»,
вып. 4. Стройиздат. 1949.
16—	18. Мацюлявнчус Д. А. Статьи в сб.: «Строитель-
ная механика н конструкции», доклады 14—16 науч.-техн, кон-
ференций Каунасского политехи, ни-те. изд. «Минтис». Виль-
нюс. 1964. 1965. 1966.
19.	Мацюлявнчус Д. А. Некоторые алгоритмы син-
теза оптимальных схем стержневых упругих конструкций ми-
нимального веса. В сб.: «Применение ЭВМ в строительной ме-
ханике». Киев. «Наумова думка». 1968.
20.	П о п о в И. Г. Цилиндрические стержневые системы.
Госстройнздат. 1952.
21.	Попова Т. А. Применение метода статического моде-
лирования к расчету некоторых современных пространственных
стержневых конструкций. В сб.: «Расчет пространственных
конструкций», выл. 10. Спойяэдат. I96S.
22.	Рабинович И. М. Курс строительной механике
стержневых систем, ч. 1. Стройиздат. 1950; ч. 2. Госстройнз-
дат. 1954.
23.	Рабинович И. М. Об одной задаче теории ферм.
В сб.: «Исследования по теории сооружений», вып. 7. Строй-
нздат. 1957.
24.	Р а д ц и г Ю. А.. Колупаев А. Н. Программирован-
ные расчеты статически неопределимых ферм наименьшего объ-
ема. В сб.: «Применение ЭВМ в строительной механике». Киев.
«Наукова думка». 1968.
25.	Резников Р. А. Методы решения задач строитель-
ной механики на электронных цифровых машинах. Стройиз-
дат. 1964.
26.	Роэеиблнт Г. Л. Стальные конструкции зданий я
сооружений угольной промышленности. Углетехнэдат. 1953.
27.	С я вел ье в В. А. Устойчивость сетчатых куполов.
В сб.: «Металлические конструкции. Работы школы проф.
Н. С. Стрелецкого». Стройиздат. 1966.
28.	С а в н ц к и й Г. А. Основы расчета радиомачт. Ста-
тика и динамика. Свяэънздат. 1953.
29.	С н н т к о И. К. Практические методы расчета статиче-
ски неопределимых систем. Стройиздат. 1964.
30.	Т р о ф и м о в В. И.. Бегум Г. Б. Структуоные конст-
рукции. Стройиздат. 1972.
31.	У м а я с к и й А. А. Пространственные системы. Строй-
нздат. 1948.
32.	Уманский А. А. Статика и кинематика ферм. Тех-
теорстиэдат. 1957.
33.	X н с а м о в Р. И. Приближенный расчет пространствен-
ных стержневых покрытий. «Строительная механика н расчет
сооружений». 1965. № I.
34.	Чудновскнй В. Г. Беднарскнй Б. А. Безмо-
ментиая теория тонкостенных ребристых оболочек вращения прн
действии произвольной нагрузки. В сб.: «Расчет пространствен-
ных конструкций». т. 6. Госстройнздат. 1962.
35.	Ч у д н о в с к н Й В. Г.. Р ы м а р И. М. Расчет ребри-
стых тонкостенных купольных покрытий. В сб.: «Расчет про-
странственных конструкций», т. 7. Госстройнздат. 1962.
36.	Шмульскнй М. Д. Работа металлических башен-
ных конструкций не кручение. Сб. трудов Института строи-
тельной механики АН УССР. Иг 14. Киев. 1950.
37.	Энциклопедический справочник. «Машиностроение», Т. I
кн. 2. Машиностроение. 1948.
РАЗДЕЛ 11
ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
11.1. ГИБКИЕ НИТИ
11.1.1. Общие положения
Гибкая пять представляет собой геометрически из-
меняемую систему с бесконечно большим числом степе-
ней свободы, работающую только на растяжение, ио
способную воспринимать нагрузку прн надлежащем за-
креплении ее концов. Форма равновесия ннтн зависит
от характера нагрузки. Наибольший практический инте-
рес представляет нагружение инти нагрузками, имею-
щими постоянное направление, например собственным
весом в комбинациях с различными распределенными
или сосредоточенными полезными нагрузками.
Дифференциальное уравнение линии равновесия ннтн
(рис. 11.1) имеет вид:
<7
dx* И '
(11.1)
Здесь у — ордината лнннн равновесия ннтн;
9 = 9 (*)—значение заданной в виде функции от
координаты х нагрузки в рассматрива-
емом сеченнн;
И — распор, т. е. горизонтальная составляю-
щая опорных реакций в точках под-
веса ннтн. равная по величине горизон-
тальной составляющей продольных уси-
лий 7 во всех сечениях ннтн.
Уравнение (11-1) аналогично дифференциальному
уравнению эпюры изгибающих моментов балкн прн вер-
тикальной нагрузке:
&М
dx* =
(11.2)
а также дифференциальному уравнению изогнутой оси
балкн;
dx* = EI '
(11-3)
На этих аналогиях основано построение эпюры из-
гибающих моментов н эпюры прогибов балки как вере-
вочных кривых. Для построения линии равновесия гиб-
кой нити используются правила построения эпюры из-
гибающих моментов для балки. Линия равновесия
гибкой нити под действием вертикальной нагрузки
?(х) совпадает с эпюрой изгибающих моментов шар-
нирно опертой балкн пролетом 1. находящейся под дей-
ствием той же нагрузки при этом ординаты эпюры
моментов уменьшены в Н раз и отложены от хорды
АВ, соединяющей точки подвеса нити.
В результате, применительно к схеме, изображенной
иа рнс. 11.1, ординаты у лнннн равновесия нити опреде-
ляются так
У=~П- + Х,8Ф.	(Н-4)
п
где М—изгибающий момент в шарнирно опертой од-
нопролетной балке пролетом 1, иагружеииой
нагрузкой ?(х).
В соответствии с этим значения тангенсов углов на-
клона нити к горизонту будут равны:
dy	О
«8e=-^- = -^-+fg<p,	(11.5)
ах	п
где О—поперечная сила в шарнирно опертой балке
пролетом I, нагруженной нагрузкой q(x).
Величина продольного усилия в гибкой ннтн
Т = /я» + «3 4- Я tg <р)».	(11.6)
Из формул (11.4) — (11.6) видно, что для решения
поставленной задачи необходимо знать величину распо-
ра Н. Наиболее просто величина распора определяется
в том случае, когда кроме концевых известка хотя бы
одна нз промежуточных ординат линии равновесия ин-
ти, в этом случае
где М — балочный изгибающий момент в сеченнн
x=const; у — ордината кривой равновесия нити в се-
чении х=const (ряс. 11.1). Так. например, если нагруз-
ка равномерно распределена по проекции инти (q—
=const) н известна стрелка f провеса ннтн в середине
пролета, то в этом простейшем случае
cP
»—V •	(11-8)
О/
Однако в большинстве практических случаев ин
одна из промежуточных ординат лнннн равновесия ннтн
заранее неизвестна.
Это объясняется тем, что гибкие нити, применяемые
в инженерных конструкциях, подвергаются, как правн-
580
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
ло. воздействиям различных временных нагрузок, вы-
зывающих изменения формы равновесия нити.
Здесь задачу практически целесообразно поставить
следующим образом: по заданным схеме нагружения
и первоначальной длине ннтн So (т. е. по длине заго-
товки ннтн до ее нагружения) — определить распор,
форму равновесия ннтн н действующие в иен усилия,
с учетом ее упругих деформаций. В такой постановке
для всей области пологих и неполон! х нитей прн п=
н произвольном угле ф наклона хорды излага-
ется дальнейшее решение рассматриваемой нелинейной
задачи. К такой постановке могут быть приведены все
практические случаи.
11.1.2. Определение величины распора
иерастяжимой нити
Если длина заготовки So известна, то для определе-
ния величины распора нерастяжнмой ннтн Но прн про-
извольной вертикальной нагрузке рекомендуется фор-
мула:
Da (I — ее) Z
Ус
(11.9)
Здесь D — характеристика нагрузки:
I	Г
Р =	=
(11.10)
где Мир — соответственно изгибающий момент и по-
перечная сила в однопролетной балке про-
летом I, нагруженной нагрузкой
(11-П)
Где а—расстояние по горизонтали (см. рнс. 11.1) от
левой опоры до линии действия равнодейству-
ющей R внешней нагрузки, приложенной к
нити;
------1—-----------[(1 —2а) slnq>+
Уе	2 (ma — sin* q>) cos q> L
_ /4а (1 — а) cos* Ф I
+т1/ *+—ЧгЛ—- • (1,12)
|г	Ш" — I	|
S„	S»			
т~ d	= -y-cosq>.	(11.13)
Прн нагрузке, симметричной относительно верти-
кальной осн. проходящей через середину пролета I, а
также в других случаях, когда а=0,5,
cosip . /~Dl(m2 — sin’q>)
"•—^V	‘ (1,Н)
прн а = 0,5
Если известна первоначальная стрела провеса fo, то
при равномерно распределенной нагрузке, вместо (11.14)
при а=0,5
УзЙГ
Но = ———.	(11.15)
Че
прн а = 0,5
Интегралы (11.10), выражающие характеристику
нагрузки D. легко вычисляются методом Верещагина
Таблице 11.1
Формулы для определения характеристики нагрузки D
Схема нагружения		Значение D	
л iiiiiiiiiiiiiminuiii 1	1	1		<гг 12	
		И + (3 - 2Р) PV + <3 - P’lPVl 12	
		tee 12	
		1	J	+ (4 — 3D) 0V + (6 - 40) Fv) 12	
		-££. [1 + (2“| — l2aJ — 2₽) Р2 Т2+ Ч.(|2а|-12а2-б2)бу]	
		-Г		-(Па,	l2a,-iai2-2P)»2V^- — (1Эа2—б2) PvJ
		рч 4	
		Па, (1 — 01)	
	-а,-|	[1 + 12a.Vi (1 - а»)(1 + V.I1 12	
		45	
		оЧ* ю	
11.1. ГИБКИЕ НИТИ
581
(если одна из эпюр М, q или Q — прямолинейная) или
непосредственным интегрированием. Например, при q=
=const
D
2 qP qV
3 ‘ 8 l4~ 12 ‘
Подстановка этого значения в (11.15) дает фор-
мулу (11.8). Готовые формулы для вычисления харак-
теристики нагрузки D для некоторых распространенных
случаев нагружения пометены в табл. 11.1.
11.1.3. Определение распора упругой нити
Определение распора упругой инти производится в
два этапа. Сначала определяется распор без учета
ее продольных деформаций, т. е. как для иерастяжи-
мой нити, а затем находится распор Н с учетом упру-
гих деформаций. При этом этап сводится к решению
кубического уравнения:
2lkHl	iU
где co-ff;
F — площадь поперечного сечеиип нити;
Е— модуль упругости; D — определяется по формулам
(11.10); Но— по формулам (11.9) или (11.14), (11.15);
а» + (1 —а)» ’
(11.17)
здесь а определяется из (11.11). а г1 н гг по формулам:
Г1 = /а* + (it + а tg <р)>;	(11.18)
r,= /(1 - а)» + ((1 - а) tg.q> - it)» , (11.19)
где
№
«Ь = у.	(11.20)
а ус определяется пэ (11.12).
При нагрузках, симметричных относительно ссредя-
иы пролета, а также в других случаях, когда а=0,5,
если при этом известна стрела провеса нити прн рав-
номерно распределенной нагрузке, коэффициент к мо-
жет быть вычислен по формуле
к = 4 ( df +4) .	(11.21)
sec’<p 2tgq> 4
1 +пКз'+зл’:
(11.22)
(11.23)
(1124)
11.1.4. Вычисление длины нити
Если известна стрела / провеса нити в середине про-
лета прн равномерно распределенной нагрузке, то соот-
ветствующая длина нити
S^d^djl,	(11-25)
где dt и d} вычисляются по формулам (11.22), (11.23).
Формула (11.25) дает приближенное решение зада-
чи, однано степень этого приближения весьма высока.
Так, например, погрешность вычисления при значениях
угла наклона <р>=30° в п=1Ц=10, составляет всего
0,002% величины S.
На практике задача часто ставится следующим об-
разом: задается форма равновесия инти, нагруженной
постоянной равномерно распределенной вдоль пролета
нагрузкой g, н требуется произвести расчет при различ-
ных комбинациях этой постоянной и временной на-
грузок.
В этом случае величины распора Н и стрелы прове-
са I прн постоянной нагрузке g известны.
Для дальнейших расчетов (с учетом дополнитель-
ных нагружений и других воздействий), а твкже для из-
готовления нити необходимо знать длину заготовки
So. Для ее вычисления рекомендуется следующий
метод:
а)	вычисляется величина fo— первоначальной стре-
лы провеса нити (т. е. величина стрелы провеса прн
равномерно распределенной нагрузке, близкой по вели-
чине к нулю, когда можно пренебречь деформациями
удлинения нити). Для этого рекомендуется формула:
to = f
3g*0 fa»
64o>cos*<p
(11.26)
где А» вычисляется по формуле (11.21);
di н d3 вычисляются по формулам (11.22) и (11.23);
ш=ЕЛ Е —модуль упругости; F— площадь попереч-
ного сечения нити, постоянная по всей ее длине.
Найдя величину fo, определяем:
I
>0
б)	подставляя п0 в формулы (11.22) н (11.23) вме-
сто п, вычислим соответствующие значения коэффи-
циентов di и прн п=п0; подстановка полученных ре-
зультатов в формулу (11.25) дает искомую длину за-
готовки инти So.
Если задана форма равновесия нити прн любой дру-
гой (неравномерной) нагрузке, то для определения дли-
ны заготовки поступают следующим образом: по задан-
ной форме равновесия вычисляют длину нити S в на-
груженном состоянии, затем по формуле (11.7)
вычисляют величину распора Н, соответствующую
нагруженному состоянию; после этого, используя по-
лученное значение Н, определяют первоначальную ве-
личину распора
1
2ЫН*
Da> cos» <p
(П-27)
где D определяется нэ (II 10), а А—из (11.17)*.
Зная Но, можно построить пользуясь (11.4). линию
равновесия нити в исходном состоянии, т. е. до прояв-
ления продольных деформаций нити. Для определения
длины заготовки So вычисляют длину построенной (по
Но} линии равновесия, разбив ее на достаточно боль-
шое число участков.
* Здесь иозффиииент 6 вычисляется исходя из заданной дли-
ны нити S в нагруженном состоянии.
582
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
11.1.5.	Расчет струны
Если первоначальная длина ннтн, т. е. длина заго-
товки, равна длине хорды АВ (рнс. 11.1), то в этом
случае решение уравнения (11.16) будет иметь вид:
Н = cos q>
(11.28)
Расчет предварительно напряженной струны
Если упругая нить находится под воздействием си-
лы предварительного натяжения N (рнс. 11.2), направ-
ленной по хорде АВ, н произвольной вертикальной на-
грузки q(x). то прн этом зависимость между величина-
ми распора н силы предварительного натяжения выра-
жается уравнением
Dili
Я’ — Л'Н‘со$ф= — соэ’ф (11.29)
ИЛЛ
Н	Da
У-------------(П.ЗО)
cos ф	ПН*
Пример 11.1. Стальной канат закреплен в точках
А н В, расположенных иа разных уровнях (рис. 11.3),
и нагружен постоянной равномерно распределенной по
всему пролету нагрузкой g=500 кГ/jk и временной на-
грузкой р=420 кГ/м, расположенной на половине про-
лета. Величина пролета /=100 м; угол наклона хорды
Ф=30°; стрела провеса каната в середине пролета прн
нагружении его только постопнной нагрузкой g принята
равной /=10 м: £=16-10’ т/м1; £=15,96 см*; раз-
рывное усилие каната 248 т (табл. 11.2, канат диамет-
ром 59 jhm).
Требуется определить распор, макенмальиое усилие
в канате, угол наклона каната у опоры В н ординату ли-
пли равновесия в середине пролета.
Определим жесткость каната на растяжение:
<>—£•£= 16-10»-15,96-10-’=25 536 т.
Пользуясь строкой 3 табл II. 1, вычислим характе-
ристику нагрузки D прн заданной схеме нагружения;
найдем предварительно
отсюда
„ 0,5*.100»
D=—iT"
1 + 0.84 + ^0,84^ =
42,9,10s
Для вычисления длины заготовки So, исходя нэ за-
данной величины стрелы провеса каната, при равномер-
но распределенной постоянной нагрузке (/=10 м; л=
Рис. ИД
=///=10), пользуясь формулами (11.22) и (11.23), оп-
ределим коэффициенты </( н </,:
по формуле (11.21)
*о = 4 (0,643’ + 0,529s) = 1.656;
Таблица ПЛ
Канаты стальные типа ТК 7x37—259 проволок
с металлическим сердечннном (ГОСТ 3068—55)
Диаметр каната. мм	Площадь сеченнн. мм'	Расчетный вес 100 псе. м	РасчетныЛ предел прочности проволоки пЪн растяжении, кг/мм9		
			170	160	190
		каната, кг	Разрыв	ioe усилие целом. iu	каната
21.0	204.46	179.3	28 450	30160	31800
23,6	247,31	216,8	34 400	36 450	38 450
25.5	294.04	257,8	40950	43 350	45 750
27.5	345.17	302.7	48 060	50900	53 750
29,5	400,40	351.1	65 800	59 050	62 350
31,Б	457.69	401.3	63 760	67600	71250
34,0	522.41	458.1	72800	77OS0	81350
36.0	г	Б17.2	82 000	МО	91800
33.0	659.81	578.6	91 800	97 150	102 500
42.0	815,61	715.2	113 500	120000	126 500
45,5	990.65	668,7	137 500	145 500	154 000
60,5	1173,34	1028,9	163 000	173 000	182 000
55.0	1378,16	1206,5	191 500	Ю0	214 000
59.0	1596.00	1399.6	222 000	235 000	248 000
63.0	1834,49	1608.7	255500	270500	285 600
67.5	2085.86	1829.1	290 500	307 500	325 000
П р н меч вяне		По стальным канатам имеются таижс			
ГОСТ 3063-55. ГОСТ 3064-55. ГОСТ 3067—55. ГОСТ 7675-55. ГОСТ 7676-55 и ЛР-					
11.2. ВАНТОВЫЕ -СИСТЕМЫ
583
по формуле (11.26)
3-0.5-1.656-100-10*	„
64-25536-0,866*	“ ’ *'
отсюда
B0=J!» 11120;
8,93
подставляя значение п» в формулы (11.22) п (11.23)
вместо п, получаем: del =0,635; 4^=0,533. Подставляя
эти коэффициенты в формулу (11.25), находим длину
заготовки
S, = (0,635 + 0,533) 100 = 116,854 ж.
Для определения распора при заданной схеме на-
гружения (рис. 11.3) определим предварительно не-
обходимые коэффициенты: расстояние о от левой опо-
ры до равнодействующей нагрузки:
0,5.100.50 + 0,42.50.75	„ ,
л=-------------------------= 57,4 Jr
0,5-100 + 0,42.50
отсюда, по (11.11)
в = ^± = 0,574;
100
далее, по (11.13)
/я =—77т-0,866 = 1,012;
m»= 1,024; m* —1=0,024;
т* — sin* <p = 1,024 — 0,25 = 0,774;
подставляя в формулу (11.12), найдем:
у, 10,07
'к = Т = 1ЬГ = 0,1007:
г, = V0,574* + (0.1007 + 0,574 -0.577)* = 0.718;
г, = / 0,426*+ (0,426-0.577 — 0.1007)* =0,450;
ж 0,718* , 0,450* ,
0,574»+ 0,426*
На основе полученных данных составим уравнение
(11.16):
42,9-10*-25536-0,866»
й* +-----------------------------Я’ =
2-100-1,628-101,7*
42,9-10*-25,5-10*-0,866*
2-100.1,628
нлн
Н* + 244Н» = 2,525-10*.
Отсюда распор Н=87.314 т.
Определим максимальное усилие в накате. Своего
максимума это усилие достигает в рассматриваемой за-
даче у опоры А.
Балочная поперечная сила на левой опоре
Qa= 0,5-100-0,5 + 0,42-50-0,25 = 30,25 т.
Пользуясь формулой (11.6), находнм максимальное
усилие в канате:
Л<.кс = /87,3* + (30,2 + 87,3-0,577)* = 119 г.
Определим угол наклона каната у опоры В.
Поперечная сила у опоры В
100-0,024
2-0,774.0,866
2-0,574) 0,5+
QB= 30,25—0,5-100 —0,42-50 =—40,75 т.
+1.012
4-0,574.0,426.0,75
10,07 ж.
0,024
Пользуясь формулой (11.9), определим величину
распора без учета упругих деформаций каната:
„ V 429-10*-0,574-0,426-100	,Л, _
Но = ---------------------------= 101,75 т.
10,07
Перейдем к вычислению распора с учетом упругих де-
формаций каната; для этого, пользуясь формулами
(11.18)—(11.20), определим коэффициент k:
Пользуясь формулой (11.5), получим:
40,75
----87 3~ + °'577 = °’*106’
Отсюда
8в = 6’18'50'.
Пользуясь формулой (114). определим ординату ли-
инн равновесия каната в середине пролета
Dip
30,2-50 —0,5-50».0,5
87,3
+ 50-0,577 = 39,032 ж.
11.2. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
11.2.1.	Общие сведения
Плоская илп пространственная стержневая система,
основные несущие элементы которой рассматриваются
прн расчете как гибкие нити, называется вантовой сис-
темой. Если элементы заполнения (например, ограждаю-
щие элементы висячего покрытия, выполненные нз же-
лезобетона нлн армоцемента) эамоиолнчеиы н работают
совместно с вантовой системой, то образуется висячая
оболочка, армированная вантамн. Такая оболочка рас-
считывается обычными методами (см. разд. 14), одна-
ко на стадии монтажа н в предельном состоянии пред-
ставляет собой вантовую систему.
Многие из применяемых в строительной практике
вантовых систем являются измеияемымн. Если такая
система находится в равновесии, то ее конфигурация
н соответствующие ей внешние нагрузки называются
равновесными. Изменение интенсивности равновесной
нагрузки вызывает только упругие деформации, и в этом
отношении изменяемые системы, нагруженные равно-
весной яагрузкой, не отличаются от систем неизменяе-
мых.
584
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
Среди изменяемых систем существуют вырожден-
ные системы, которые при условии иедеформнруемости
материала полностью лишены подвижности, ио в слу-
чае реального материала допускают бесконечно малые
перемещения за счет удлинений второго порядка ма-
лости. В соответствии с этим кинематическим призна-
ком такие особого рода системы получили в строитель-
ной механике нзэваине мгновенно-жестких [19]. Как по-
казано в [15], система, обла-	।
дающая положительным чис-
лом степеней свободы, ио до-
пускающая устойчивое равно-
весие с начальными усилиями,
есть мгновенно-жесткая систе-
ма. В частности, таковыми яв-
ляются предварительно напря-
женные вантовые системы.
Простейшей мгновенно-же-
сткой системой является пря-
молинейная шарнирно-стерж-
невая цепь с закрепленными
концами и ее предельный слу-
Н	Н
Рис. 11.4
Рнс. 11.6
Рис. 11.5
чай —струна (рнс. 11.4), т. е. нить, длина которой в
естественном состоянии равна нлн (в случае предвари-
тельного напряжения) меньше расстояния между опора-
ми. Отличительная особенность этой системы состоит в
отсутствии твкнх поперечных нагрузок, для которых ис-
ходная (прямолинейная) форма шарнирной цепи или
струны была бы равновесной; равновесие может насту-
пи! ь только после изменения очертания системы, кото-
Foe происходит благодаря податливости материала.
1оэтому расчет таких систем на поперечную нагрузку
возможен только по деформированной схеме.
Двухпоясиая вантовая система (рнс 11.5, о) в кине-
матическом отношеинн подобна струне, так как пред-
ставляет собой шарнирную цепь, у которой все мгно-
венные центры взаимного вращения звеньев располо-
жены на одной прямой: на этой прямой пересекаются
все пары касательных к верхнему н ннжнему поясам,
проходящие через точки с одинаковой абсциссой. Прин-
ципиальное отлнчне этой системы от струны заключа-
ется в том, что очертание дзухпоясной системы в ие-
нагруженном состоянии япляется равновесным для по-
перечной нагрузки, эпюра которой подобна эпюре уси-
лий в вертикальных связях в стадии предварительного
напряжения.
Двухпоясные ваптовые системы рассмотренного ти-
па, будучи расположены в плоскостях, проходящих
через одну вертикальную прямую, образуют простран-
ственную радиальную вантовую систему (рис II,о, 6).
Существуют и другие разновидности радиальных си-
стем.
Еще одни вид пространственных вантовых систем
составляют вантовые сети. Кинематический анализ се-
ти свидетельствует о ее многократной геометрической
изменяемости. Очевидно, что нз всех сетей мгновенно-
жесткими могут быть только те, у которых нормаль-
ные кривизны нитей всюду разнозначны нлн равны ну-
лю (рнс 11.6), ибо в противном случае состояние с на-
чальными иапряжениямн заведомо не может быть ус-
тойчивым.
В отличие от рассмотренных ранее систем, каждая
сеть имеет довольно широкий класс равновесных попе-
речных (т. е. нормальных к поверхности) нагрузок;
единственное исключение составляет асимптотическая
сеть поверхности (лнннн которой имеют нулевую нор-
мальную кривизну) н ее вырожденке — произвольная
плоская сеть. Асимптотическая сеть допускает началь-
ные напряжения н поэтому обладает мгновенной жест-
костью, но равновесных поперечных нагрузок для нее
не существует, и в этом отношении она представляет
собой двухмерный аналог струны.
11.2.2.	Особенности расчета
и общие расчетные предпосылки
Одна нз характерных особенностей, присущих ван-
товым системам (как изменяемым, так и мгновенно-
жестким), заключается в том, что нх очертание в зна-
чительной мере зависит от деформаций (кинематичес-
ких, упругих, пластических, температурных н т. л.).
Тот факт, что равновесная форма этих систем может
существенно отличаться от исходной, осложняет оп-
ределенна нх напряженного н деформированного сос-
тояния. поскольку делает задачу геометрически нели-
нейной. Исключение в этом отношении может пред-
ставить только расчет нз равновесные нагрузки,
которые, как уже отмечалось, вызывают один лишь
упругие перемещения. Но н в этом случае следует убе-
диться, что перемещения достаточно малы по срапненню
с генеральными размерами системы, нбо только прн
таком условии можно не делать различия между де-
формированной схемой конструкции н исходной. Если
принять во внимание относительно большую деформа-
тнвиость вантовых систем, то рассматриваемый случай,
казалось бы. не должен иметь большого практического
значения. Однако, в отлнчне от выпуклых, сжатых кон-
струкций (как, например, пологие арки н оболочки по-
ложительной гауссовой кривизны), для которых именно
учет нелинейных членов позволяет получить достовер-
ную оценку нх прочности, жесткости н устойчивости, ви-
сячие системы вовсе ие теряют устойчивости, а пре-
небрежение геометрической нелинейностью идет для
них в запас прочности н жесткости. Вот почему на
практике прн расчете на равновесные нагрузки ли-
нейная постановка задачи часто оказывается вполне
достаточной. Более того, линейная постановка может
оказаться приемлемой н прн расчете на неравновесные
нагрузки, если в системе имеются настолько большие
усилия от равновесной нагрузки нлн предварительного
напряжения, что нх изменениями можно пренебречь.
Наряду с геометрической н физической нелиней-
ностью в задаче о расчете вантовой системы может
возникнуть еще так называемая конструктивная нели-
нейность, связанная с качественным изменением расчет-
ной схемы конструкцнн в процессе ее деформирования.
Наиболее характерным проявлением конструктивной
нелинейности служит выключение связей (например.
tl.2. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
585
при потере натяжение в какой-либо инти), которое,
как правило, недопустимо и рассматривается в ка-
честве одного из предельных состоянии системы.
При решеннп нелинейных задач широкое применение
получили шаговые методы, сущность которых состоит
в следующем. В нелинейном уравнении выбирается
(нлн вводится в него искусственно) некоторый пара-
метр. Прн каком-либо одном его зиаченнн напряженно-
деформированное состояние рассматриваемой системы
должно быть известно (исходное состояние). Затем
этому параметру последовательно даются малые при-
ращения. Каждый из последовательных однотипных
этапов расчета состоит в определении изменений напря-
женного и деформированного состояния системы при
заданном изменении варьируемого параметра. Прира-
щения параметра назначаются настолько малыми, что-
бы на всех этапах расчета можио было в рамках тре-
буемой точности пренебречь нелинейными членами.
В результате решение нелинейной задачи сводится к
вычислительному процессу, на каждом этапе которого
решаются линейные уравнения, причем рекуррентный
характер процесса позволяет эффективно использовать
электронно-вычислительные машины. Понятно, что
варьируемый параметр целесообразно выбирать таким
образом, чтобы процесс решения линеаризованных
уравнений сопровождался получением максимального
количества полезной информации о рассчитываемой
системе.
Известно, например, что прямая задача инженерного
расчета, проводимого при проектировании конструкций,
состоит обычно в определении сечений конструктивных
элементов. Этой задаче в наибольшей мерс отвечает
метод расчета [14], основанный на совмещении шаго-
вой линеаризации с поэтапной корректировкой сечений
конструкции. В исходном для расчета состоянии кон-
струкция имеет избыточные сечения, прн которых де-
формации малы, ио прочность недоиспользуется. По-
этому уменьшение сечений, вызывающее рост напряже-
ний и деформаций, продолжается до тех пор, пока на
некотором этапе оно ие окажется невозможным. Ука-
занный процесс, который можно трактовать как про-
цесс оптимального проектирования, хорошо алгорнтмн-
эуется в виде рекуррентной последовательности задач
линейного программирования, решаемых снмплекс-ме-
толом Прн этом на каждом этапе минимизируется,
например, теоретический вес системы (целевая функ-
ция) при следующих ограничениях: I) линеаризован-
ные уравнения статики для всех расчетных сочетаний
нагрузок: 2) условия прочности и жесткости системы:
3) максимальные значения изменений сечений (гаран-
тирующие приемлемость линейного подхода на каж-
дом этапе).
Другая разновидность шагового метода — метод по-
следовательных нагружений [17]. который состоит в
том, что на каждом этапе расчета к конструкции при-
кладывается небольшая доля внешней нагрузки. Прн
этом можно изменять последовательными этапами не
только интенсивность нагрузки, но и закон ее распре-
деления, что сокращает объем вычислений прн расчете
на различные виды нагружения, а также позволяет
выявить эффект «перемещения» нагрузки по конструк-
ции.
Применение описанных методов дает возможность
прн минимальном объеме вычислений получить ту ин-
формацию, которая обычно интересует проектировщика.
Прн статическом расчете висячей системы целесооб-
разно выбирать в качестве исходного состояния для
начала расчета какое-либо из ее предельных состояний
(по прочности, по деформатнвностн, по выключению на-
прягающих вант). Соответствующим подбором геомет-
рических параметров и усилий в этом состоянии можно
добиться наиболее рационального использования ма-
териала конструкции. Кроме того, можно потребовать,
чтобы два (или даже больше) предельных состояния
совмещались, что также является одним из критериев
оптимального проектирования. При таком подходе
целью расчета становится определение недеформирован-
ного состояния системы, из которого она под влияни-
ем заданных расчетных воздействий переходит в зара-
нее назначенное предельное состояние. Все требующиеся
данные о предельном состоянии, необходимые для на-
чала расчета, удается получить на основе одного из
постулатов статики — принципа отвердения, согласно
которому в любом равновесном состоянии механическая
система может считаться недеформируемой.
Применяя принцип отвердения к вантовой системе
прн расчетной нагрузке, можно найти максимальные
усилия в несущих вантах и определить их сечения. Для
лвухпоясных вантовых систем и седловидных сетей
усилия в напрягающих вантах в предельном состоянии
принимаются равными нулю, а их сечения определяют-
ся шаговым методом. С этой целью вначале назначают-
ся заведомо избыточные их сечения и на первом этапе
расчета удаляется вся временная нагрузка; далее про-
изводится постепенное уменьшение сечений этих вант
вплоть до исчерпания их прочности нлн получения пре-
дельных прогибов системы. В итоге расчета определя-
ются сечения напрягающих вант и напряженно-дефор-
мированное состояние системы прн действии одной
лишь постоянной нагрузки. Чтобы определить состоя-
ние системы прн отсутствии постоянной нагрузки, мож-
но последовательными этапами удалить и эту иагрузиу.
Для мгновенно-жесткой системы таким путем одно-
значно определяется состояние с начальными напряже-
ниями. Подробный числовой пример, иллюстрирующий
применение шаговых методов к расчету радиальной
вантовой системы см. [14].
11.2.3.	Двухпоясные вантовые системы
1. Различные вилы плоских лвухпоясных вантовых
систем (см. рнс. 11.5) с точки зрения статического рас-
чета нс отличаются друг от друга. Прн расчете этих
систем принимаются следующие допущения:
1) начальные очертания поясов суть квадратные
параболы
*.=-/,у- (11-31)
Здесь н в дальнейшем индекс «1> относится к напря-
гающим вантам, индекс «2> —к несущим. Форма (11.31)
является равновесной для равномерно распределенной
нагрузки;
2) система настолько полога, что для обоих ее поя-
сов
cos р =» 1,	(11.32)
где Р — угол наклона ванты к горизонту в любой точке.
Принятие этого допущения уничтожает различие меж-
ду усилиями в вантах Г|(2) и их горизонтальными проек-
циями— распорами Н |рр а также между вертикальной
и нормальной к ванте составляющей внешней нагрузки:
3) связи между поясами (распорки нлн растяжки)
считаются недеформнрусмымн и распределенными не-
прерывно.
586
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
I
iiiiniiiHiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!
Рнс. 11.7
В случае нагрузки, показанной на рис. 11.7, расчет
вантовой системы сводится к решению следующей си-
стемы нелинейных уравнений:
(т, -7-у)У, + у V - у Z2- у У2 +
+ D1 + *(T — 7И) = 0;
(Т2- Г5)Т2 - у ifeZ - у 22 - у V2 +
+ D, + *(T — Т")=0;
ТУ —Р = 0;
(4i-2)Ti-(n, + Z)T, =0.
(11.33)
Здесь	t ,Z- f .
®1(2) = в'1(2)"	(11.34)
6к
т = т, + т2. тн = ту+^, *=-£.
p^-L(4n_g,h C=-L(,n+?»)>
4	4
T"(2J—начальные усилия в вантах; ££1(2,—жесткости
иа растяжение; П7о —прогиб в центре; а—коэффициент
линейного расширения; 6ц — взаимное горизонтальное
перемещение опор от действия Н=1.
Горизонтальные перемещения 1/,(2) середин верхнего
и ннжисго поясов определяются по формулам:
Х1=-уУ(П1-2); Ха = ±у(П1 + 2);
I/O
Х1(2>--Г1--	(11.3?)
где У и Z находятся из решения системы (11.33).
Для решений этой системы шаговыми методами да-
дим параметрам деформатнвности Ч'ц2) и нагрузки Р
и Q малые приращения; в связи с этим приращения по-
лучат также все усилия и перемещения. Обозначая
приращения всех величии соответствующими малыми
буквами, приходим и рекуррентной системе линейных
уравнений (табл. 11.3).
Здесь
41 = 11,-2';	+	(11.36)
Иидеис <i*+l> относится к приращениям (i+l)-ro эта-
па, нндекс <>> относится к полным значениям величин
после i-ro этапа расчета.
Рис. 1L8
2. Предварительно напряженная радиальная ванто-
вая система (рнс. 11.8) считается закрепленной иа не-
деформнруемом опорном контуре. Внутреннее кольцо
представляется в виде узла, в котором неподвижно
скреплены все нити. В качестве системы координат при-
нимаются полярные координаты плоскости с полюсом,
совпадающим с проекцией на эту плоскость узлов
верхнего и нижнего поясов. Начальные очертания поя-
сов принимаются такими:
=	(11.37)
Таблица 11.3
л+1 ч			?+l	Свободные члены	
				изменение жесткости	нэмененне нагрузки н температуры
v'+*	*	3	Т ч'|	(т'_^<м	п'+*
*	v2+*	3		(7'-Т5)*'+'	4+>
-Ly< 3	-L/ 3	-Lr' 3	0	0	'Т-"'
"Н	i-4	0	Аг' 3	0	-р+.
112 ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
587
где
®1= ’ll-₽!• ’li + Pj. 41(2)— R  (11.38)
Эта форма является равновесной для нагрузки, рас-
пределенной равномерно по площади покрытия. Осталь-
ные расчетные предпосылки аналогичны соответствую-
щим допущениям для плоских двухпоясных систем.
В случае нагрузки 4=4(4) расчет сводится к ре-
-.шенню следующей системы уравнений:
4	2
(Т1-гу) V| + — O.V_yV’ + ’lIZ-
— -у- Z- + cos ф + У131Пф + D, = 0;
(Г,-Т$)Т2 —5-V-7
---— Z* + X, cos ф + К, sin ф + D, = 0;
2	(11.39)
(»i - V) П - («, + V) 7, + Р = 0;
2п	2л
f 7i cosфйф = 0; f Ti sin ф<1ф = ft
oJ	о
2Л	2л
( 7,со$ф<1ф = 0; ( 7,51пфЛр = 0;
(Г	б
<2a + f Р + 71(щ-2)-7,(’1. + 2)МФ = 0,
где
в_ 5^1 v _*'<2’ v ®,(2>
Р~ 6  ХЦ2>- R  Г1Р)—jf’
Z=^. OI(2)=al?(2).	(11.40)
Здесь *ц2). Уц2) > * — направленные вдоль соответст-
вующих осей компоненты перемещения узлов системы;
Qo— приложенная в центре сосредоточенная верти-
кальная сила; величины 7|(2)н ¥|(2>относятся к полос-
ке <1ф—1) содержащей определенное постоянное число
нитей.
Давая параметрам деформатнвности и нагрузки ма-
лые приращения, приходим к рекуррентной системе ли-
нейных уравнений (табл. 11.4). Структура этой систе-
мы такова, что для ее решения вначале приходится вы-
разить нз первых трех уравнений величины if*!*1 н^"*"1
через приращения перемещений, а затем подставить
эти выражения в оставшиеся уравнения. При вычис-
лении интегралов перемещения следует представить в
виде
и т. д. с тем, чтобы величины *1(2). Уц2) н z можно
было вынести нз-под знака интеграла, а затем иайтн
их нз линейных уравнений, получающихся после вы-
числения интегралов.
Для различных частных случаев рекуррентная сис-
тема уравнений (табл. 11.4) получает те или иные оче-
видные упрощения, связанные с наличием плоскостей
симметрии н т. д. Наибольшие упрощения получаются
для вантовых систем кругового очертания в плане. Эти
системы обладают замечательной особенностью работы
Таблица 11.4
4+*		»‘+'	/+1	4+*	4+1	и+‘	4+*	Свободные члени	
								измен ел не жест- кости	изменение нагрузки
ф»	0			0	0	sin Ф	СОЗ Ф	(TJ-7J) ф{+1	0
0	*2		-ч	sin ф	СОЗ ф	О	0	(М)Ч+*	0
-т".	7*.	5	0	0	0	0	О	е	-±у+1 Б
-гп*	ц	О	IT*	0	0	0	0	0	
0	-/ »1л (р	0	0	0	0	0	0	0	0
0	— / СМ ф	0	0	0	0	О	О	0	0
— / sin ф	0	0	0	0	0	О	О	О	0
— /созф	0	0	0	0	0	0	О	О	0
2л
+ n’-Hj + Z1:	/()-[( )4ф.
588
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
на неравномерные нагрузки, изменяющиеся по закону
simp нлн cos<p (снег, ветер). Именно, если считать такую
систему лннейно-деформируемой (первое приближение),
то при осесимметричной постоянной нагрузке н синусои-
дальной временной усилия во всех вантах обоих поя-
сов будут одинаковы, н контурное кольцо не будет ис-
пытывать изгиба в своей плоскости.
3. Отличие двухпоясных радиальных вантовых сис-
тем. представленных на рнс. 11.9, от рассмотренных вы-
ше состоит в том. что верхний и нижний пояса связаны
П (О. + V,) - P, = 0; 7, (0, + V,) -P, = o-
2л	2л
J Tj cos <pdq> = 0; Jr, sin ifdq> = 0,
2л	2л
f Га cos <j/dq> = 0; J 7*e sin = 0;
0	0
2л
Qo+J Р+П - 7. (^ + Z)J d<p = 0.
причем здесь
₽1(2> —
91(2) К*
6
а остальные обозначения те же. что и выше.
(11.45)
о)	$
Рнс. 11.10
Рнс. 11.11
Рнс. 11.9
между собой не на всем протяжении, а лишь посред-
ством элемента, соединяющего внутреинне кольца обо-
их поясов; в расчетной схеме этот элемент считается
недеформнруемым стержнем, соединяющим узлы
воясов.
Начальные линии равновесия вант таковы
(рис. 11.10):
«I = '(₽!- ~ 01); г, = '(₽,- -£ О,) , (11.42)
причем
h (2)
о, = Р,-V вв=₽з + ’12- 41(3 = R 
При всех прочих допущениях, аналогичных преды-
дущим. система уравнении для расчета вантовой си-
стемы рассматриваемого типа запишется так:
(Л - Т?) Т, - у 01V1
— у Z1 + Л1 cos <р + И sin <р + Di = 0;
(Г2 - 75)9г - у	Vl-TfeZ -
— у Z" + X, cos <f + Yt sin q> + D, = 0;
(11.44)
Рекуррентная система линеаризованных уравнений
имеет вид табл. 11.5; по отношению к этой системе спра-
ведливо все сказанное ранее о системе, приведенной в
табл. 11.4.
В качестве частных случаев из полученных выше
уравнений вытекают уравнения для однопоясиых ра-
диальных вантовых систем — вогнутой н шатровой
(рнс. ll.ll.a и б). Для вогнутой системы следует в
уравнениях табл. 11.4 положить равными нулю все ве-
личины (перемещения, усилия, жесткости), относящие-
ся к напрягающим вантам. При совместном действии
осесимметричных и синусоидальных нагрузок усилия
во всех вантах вогнутой системы в первом приближении
оказываются одинаковыми.
Уравнения для расчета вантовой системы шатрового
типа можно получить из рекуррентной системы урав-
нений табл. 11.5. Для этою следует положить равными
нулю все величины, относящиеся к нижнему поясу, а
также, считая внутреннюю опору несжимаемой, при-
нять Z=0. Кроме того, о уравнения равновесия узла
в горизонтальной плоскости нужно ввести величины го-
ризонтальных реакций внутренней стойки, возникающих
прн смешении ее вершины:
Qx = rnx; Qy = rrly,	(11.46)
где Гц н ги — упругие реакции стойки от единичного
горизонтального смешения ее вершины в соответствую-
щем направлении. В результате рекуррентная система
уравнений приобретает вид табл. 11.6.
Присутствие внутренней опоры ведет к тому, что при
несимметричных нагрузках на покрытие и внутренняя
стойка, н опоры, расположенные по периметру, будут ра-
ботать на горизонтальные усилия, а контурное кольцо
будет воспринимать сосредоточенные горизонтальные
реакции поддерживающих его опор. Чтобы избежать
этого, достаточно сделать внутреннюю стойку качаю-
щейся или обеспечить подвижность контурного кольца
в его плоскости.
11.2. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
589
Таблица 11.5
.<+1 '1		J+I °2	•Г*	?+	4+1	ч+*	И+1	J+I Л1	Свободные члены	
									изменение жесткости	изменение мзгрузки
*1	О	0	5 *	Ч	0	0	sin ф	СОЗ ф	г' ^+.	0
0	ч		0	-Ч	sin ф	cos ф	О	о	7*2 ♦'+'	0
0	т*.	Н	О	0	0	0	0	0	О	_±р{+.
-О'		0	±Т{	О	0	0	0	О	0	_ ± .'+1
1 «	Ч	0	5 1 О	IT1	0	V	0	и	0	5 2
О	— / sin ф	0	О	О	0	0	О	0	0	0
0	— /соз ф	0	О	О	0	0	О	0	0	О
— / sin Ф	0	0	О	О	0	0	О	О	0	0
— / СОЗ ф	0	0	О	0	0	0	0	0	и	О
			в'=«1 + И1: ч'-П.-г'; 7»-7»+ 7»; 2л							
Таблица 11.6
/'+	о*4-1			Свободные члены	
				изменение жестко- сти	изменение нагрузки
V*	5	sin ф	СОЗ ф	t'v'-h	0
Л о' 5	5 7	0	0	О	4 .ж
—1 sin ф	0		О	0	0
—/ СОЗ ф	0	0		0	0
11.2.4.	Вантовые сети
1. Расчетной моделью вантовой сетн служит сеть из
нитей или просто сеть, т. е. система гибких нитей, распо-
ложенных вдоль двух однопараметрнческнх семейств
лнннй на поверхности. Считая толщину каждой ннтн
бесконечно малой, а сами ннтн расположенными вплот-
ную друг н другу, получим континуальную модель сетн
(такую сеть иногда называют тканью). С инженерной
точки зрения представляют интерес следующие типы
сетей:
1)	ортогональная сеть, состоящая нэ двух взаимно
ортогональных семейств нитей (напрнмср, сеть лнннй
кривизны поверхности);
2)	чебышевская сеть, которая характеризуется ра-
венством противоположных сторон каждой ячейки
(пример — произвольная сеть переноса). Чебышевская
сеть может быть ортогональной только на развертыва-
ющихся поверхностях;
3)	геодезическая сеть, образуемая двумя семейства-
ми геодезических линий. Это единственная сеть, в кото-
рой при отсутствии тангенциальных компонент нагруз-
ки усилия в каждой нити неизменны по длнне. Геоде-
зическая сеть может быть ортогональной только на раз-
вертывающихся поверхностях;
4)	полугеодеэнческая сеть, получаемая нэ однопа-
раметрнческого семейства геодезических линий н их ор-
тогональных траекторий. Таковой является сеть мери-
дианов н параллелей поверхности вращения (меридиа-
ны— геодезические), которая служит одновременно
сетью лнннй кривизны;
5)	асимптотическая сеть, которая состоит из двух
семейств асимптотических лнннй н существует только
на поверхностях отрицательной гауссовой кривизны.
Асимптотическая сеть ортогональна только на мини-
мальных поверхностях.
2. Отмеченные здесь признаки сетей (за исключени-
ем асимптотической сети) относятся к нх внутренней
геометрии. Знание внутренней геометрии сетн необходи-
мо прн конструировании самой сети и элементов запол-
нения. Что же касается статического расчета, то для
наиболее часто применяемых на практике пологих се-
тей принятие приближенного равенства (11.32) унич-
тожает всякое различие между внутренней геометрией
пологой сетн и геометрией плоскости. Так, например,
в случае пологой сети переноса, которая проектируется
на плоскость в виде ортогональной декартовой сетн, все
параметры ее внутренней геометрии (длины, углы, гео-
дезические кривизны н т. д.) принимаются равными
соответствующим параметрам декартовой сетн. В ре-
зультате пологая есть переноса в данном приближении
оказывается одновременно ортогональной, чебышев-
ской и геодезической.
Сеть переноса обладает тем свойством, что ее ста-
тически возможное состояние при действии равновесной
590
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
нагрузки не единственно. Так, например, в сети пере-
носа эллиптического или гиперболического параболои-
да к усилиям, возникающим от внешних нагрузок,
можно добавить самоуравиовешеиную систему, которая
состоит нз снл, постоянных вдоль интеП каждого на-
правления. Это позволяет из всех статически возмож-
ных состояний выбрать наиболее выгодное с точки зре-
ния рационального использования материала вант или
создания оптимального распределения усилий в контур-
ных элементах [15].
Напряженно-деформированное состояние пологой се-
ти переноса прн действии только нормальной нагрузки
описывается следующей системой уравнений;
(Г1-т;) 4-,-1/, + Го,—=
(Г2-Т?) Т2-^ + Го2-у^ = 0;
Л (®1 + «'ах) + Г. (°. + Vm) + Р = 0.
(11.47)
Здесь 7"|(у) я Г](х) — усилия в вантах, параллельных
соответственно осям х и у, О| и о> — нормальные кри-
визны, U н V—продольные перемещения вант, W —
прогиб; Р — нагрузка на единицу площади; нижние ин-
дексы х и у означают частные производные по коорди-
натам. Граничные условия прн неподвижном закрепле-
нии вант иа контуре будут
1/ = У = Г = 0.	(11.48)
На основе шаговых методов система (11.62) сво-
дится и рекуррентной последовательности линейных си-
стем вида:
fjT, + (Т, — ) ф| — и, 4- ою, —	= 0;
'Л + (Т2 ~	Vk = °;
'1 (01 + К'хх) +	+ <, (О, +	+
+	+ р = 0,
(11.49)
Кривизны о1 и вг приняты здесь постоянными, причем
для напрягающих вант они считаются положительны-
ми, а для несущих — отрицательными. Выражения для
усилий таковы:
Л* ^о . пу
-------sin* — —
4 о* b
2	. пу \
—	1 (л» »о . лх
—  — si”’ — —
2	V, \ 4 М о
(11.53)
2
------о,1Го sin
Рис. 11.12
где малыми буквами, как н ранее, обозначены прира-
щения всех величии на очередном этапе расчета. Систе-
ма (11.49) эффективно решается иа ЭВМ [11].
3. Для предварительных расчетов на равномерную
нагрузку можно использовать приводимые ниже реше-
ния, полученные с помощью метода Бубнова—Галерки-
иа в первом прнближеинн. Для сети, закрепленной на
контуре прямоугольной формы (рнс. 11.12)
Г = Г031П—sin—,	(11.50)
а о
где прогиб в центре находится нэ уравнения
С3Г’+ СХ+ €^0= Со, (11.51)
9
Рис. 11.13
Для сети эллиптического очертания в плане
(рис. 11.13)
= (,LS4)
\ о* Ьг)

11.2. ВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
591
причем уравнение для прогиба Ж в центре имеет внд
(11.66) со следующими значениями коэффициентов:
(11.55)
Усилия в вантах будут такими:
(11.56)
Полагая в приведенных формулах О|=О2=0, при-
ходим к случаю плоской в иеиагруженном состоянии
сети, несущей равномерно распределенную нагрузку.
где ур V/—углы между радиусом-вектором н каса-
тельными в точке перелома:
5)	в частном случае беэмомеитного контура полиго-
нальной формы на протяжении каждой его стороны
нагрузки должны отсутствовать, остаются лишь прнло-
Рис. 11.14
11.2.5. Контурное кольцо
Рнс. 11.15
Для пологих висячпх систем характерна большая рас-
порность. Так как при действии на конструкцию верти-
кальных нагрузок распоры образуют самоуравновешеи-
ную систему снл, то наиболее рациональным способом
нх восприятия будет создание в уровне покрытия зам-
кнутого коптуриого кольца с очертанием оси, близким
к кривой давления.
Для плоского кольца произвольной формы закон
нагружения, прн котором кольцо ие испытывает изги-
ба, имеет вид [14]:
=	(11.57)
s siny
Здесь Н» — погонная иагрузиа на кольцо; о—кривиз-
на его осн; у — Угол между касательной к осн п на-
правлением силы Нв в той же точке: s —длина дуги.
Для центрального поля снл эта формула получает
вид
R sin2 у
(11.58)
где R=R(y) — уравнение осн кольца в полярных коор-
динатах с полюсом, расположенным в центре системы
радиальных снл. Никаких ограничений на очертание оси
кольца и положение центра снл ие накладывается.
Законы нагружения, обеспечивающие беэмомент-
ность участков кольца некоторых характерных видов,
таковы:
1)	для прямолинейного участка кольца Ha—Q;
2)	для участка в форме дуги окружности, центр ко-
торой совпадает с полюсом сил, Я.=Со=const;
3)	случаю скачкообразного изменения кривизны в
какой-либо точке осн кольца прн сохранении плавности
поворота касательной отвечает разрыв функции
4)	при переломе оси контурного кольца в 1-й точке
перелома необходимо приложить сосредоточенную силу
ff<=-j-(c*ev<-c»ev;). «нет»
жениые в вершинах сосредоточенные усилия Htt опре-
деляемые по (11.59).
Прн расчете радиальных вантовых систем удобнее
иметь дело пе с погонными усилиями Ht, а с усилия-
ми Яф на единицу полярного угла:
Я8 + 2Я'’ — ЯР"
Ф~С	D3
(11.60)
Рассматриваемое как дифференциальное уравнение,
это соотношение позволяет для произвольной системы
радиальных сил Яф найти очертание Яфосн безмо-
меитного кольца. Установлено [14], что единственной
формой осн беэмомеитного нольца радиальной системы,
в которой при равномерной нагрузке образованная ван-
тами поверхность имеет горизонтальную касательную
плоскость в узле, служит эллипс произвольного вида,
центр которого совпадает с проекцией узла системы
(рис. 11.14). Единственной формой осн беэмомеитного
кольца радиальной системы с одинаковыми распора-
ми всех вант прн постоянном угловом расстоянии меж-
ду ннми служит эллипс произвольного вида, одни из
фокусов которого совпадает с проекцией узла системы
(рис. 11.15).
Отметим, что эллипс есть также очертание оси- беэ-
моментного кольца для пологой сети переноса, в кото-
рой усилия постоянны для всех вант каждого направ-
ления н относятся между собой как квадраты полуосей
эллипса.
Ряд задач об определении формы осн беэмомеитно-
го контурного кольца рассмотрен в [10].
Контурное кольцо висячей системы рассматривается
при расчете как криволинейный стержень малой кри-
визны. Учет его совместной работы с вантовой системой
представляет довольно сложную нелинейную контакт-
ную задачу. Возможно следующее упрощение этой за-
дачи. Вначале вантовая система по всем правилам рас-
592
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
считывается на заданную нагрузку в предположении
недефорынруемостн контурного кольна. Далее вводит-
ся в расчет фактическая жесткость кольца и предпола-
гается, что перемещения вантовой системы, вызванные
упругой податливостью кольца, достаточно малы для
того, чтобы можно было пренебречь их квадратами.
В результате такого подхода нелинейность учитывается
только при расчете вантовой системы, тогда как соб-
ственно контактная задача оказывается линейной п ее
численное решение с помощью ЭВМ не встречает прии-
пиппальпых затруднений. Для двухпоясной радиальной
вантовой системы учет совместной работы достигается
введением в плоскости и нэ плоскости кольца упругой
среды вниклеровского типа соответственно с коэффи-
циентами постели
sin у	_	~ sin у
*1=('1 +y-7L: **=('«₽W-'i₽IR)-jp (»•«)
В этих формулах для системы с непрерывно распреде-
ленными связями между поясами
₽1Я = Ч|‘ + 2®!: Ргв = ч' + 2®£	(11.62)
а величины < н G находятся нз системы, приведенной
в табл. 11.7.
Для однопоясных систем (вогнутой и шатровой)
*• =—7-------т—г.	= ’А (и м)
Я» (7'4'4- — 6»)
\	5 J
Для кругового контурного кольца радиальной ван-
товой системы получены следующие решения. Изгибаю-
щий момент в плоскости кольца:
со
А(| (Ч>) = У Mln cos Иф; (К|п=	(И-®)
“	А1(Я)
где Нл — коэффициенты разложения погонного распо-
ра Н9 в рпд Фурье:
со
Я j (ф) = s Нп cos лф;
о
(11.66)

2 HJV+ktR*
£h 1
2я
^Hs (ф) kt
О
2л
*1 (Ф) «*ф-
(11.68)
Для кольца, свободно опертого на k равноотстоящих
опор н нагруженного равномерной погонной вертикаль-
ной нагрузкой V*. изгибающий момент из плоскости
будет:
Для вантовой системы со связью поясов в центре
Рл-41-aefc ₽2Я=*1' + 2®2.	(11-63)
я величины <| и /а находятся нэ системы, приведенной
в табл. 11.8.
СО
Aft (Ф) = Е А1гя COS лф;
о
м„ = - 2VJ?»П, (11.69)
At (П)
крутящий момент
Таблица 11.8
<1	1 f*			Свободные члены	
				опреде- ление Ai	опреде- ление А,
ф. О О	= в? ? э ’ р	0 7'! 0	*• । *	! _ч	*	-1 ct — 1 се о >	1	1	1
со
А1ц (Ф) e S Af|M sin лф;
О
Mltn = - 2V, Я*	,	(11.70)
КЛп)
где
(л) = л® —
(	feg₽<\ А, А*
\ Cld £/, )" + Gli '
(11.71)
11.3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
593
11.3.	ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
11.3.1.	Основные сведения
Пневматическими конструкциями называются конст-
рукции, изготовленные из мягких (матерчатых или пле-
ночных) газонепроницаемых материалов, способные
противостоять действию внешних нагрузок за счет из-
быточного давления воздуха или газа, наполняющего
все сооружение или его отдельные конструкционные эле-
менты.
Достоинствами пневматических конструкций явля-
ются: дешевизна, малый аес, малые габариты в сло-
женном состоянии, быстрота монтажа н демонтажа,
простота ремонта. Основные недостатки: легкая по-
вреждаемость, относительно малая долговечность, не-
обходимость поддержания повышенного давления внут-
ри сооружения нли его конструктивных элементов.
Основные типы пневматических конструкций
Однослойные оболочки без силового каркаса. Эти
оболочки часто выполняются либо в виде полуцилинд-
ра с днищами в форме четвертей сферы (рис, 11.16, а),
либо в виде сферического сегмента (рнс. 11.16,6), хотя
возможны н другие весьма разнообразные формы. Обя-
Рис. 11.16
зательиыми элементами сооружений этого типа явля-
ются шлюзы (111) и воздуходувки (В), при ПООМ1НН
которых внутри оболочки создается н поддерживается
давление pt, превосходящее давление снаружи Обо-
лочка должна быть прикреплена к основанию. При рас-
чете прикрепления необходимо учитывать как силы
Рис. 11.17
давления, так и ветровую нагрузку. Разность давлений
pt—p*=p обычно назначается равной 2 —
100 мм. вод. ст.=кПм\ а производительность воздухо-
дувок — в размере от одного до десяти объемов соо-
ружения в час [32, 33, 34].
Однослойные оболочки с силовым каркасом
(рис. 11.17). Каркас может быть жестким, например
металлическим, нли пневматическим. Оболочка может
не быть несущей, ио в этом случае ветер вызывает ее
полоска ине, которое может допускаться лншь в соору-
Рнс. 11.18
женнях малых размеров. Для уменьшения колебаний
оболочки внутри сооружения создают повышенное дав-
ление, которое на некоторое время может стравливать-
ся. Сооружения этого типа могут употребляться, на-
пример, в качестве гаражей нлн складов для крупных
изделий.
Двухслойные оболочки (рнс. 11.18). Двухслойную
оболочку можно получить, скрепляя в отдельных точ-
ках однослойные оболочки (рнс. 11.18. а). Эти оболоч-
ки наготавливаются также в виде пористого волокнисто-
го слоя (рнс. 11.18,6). В полости между слоями
создается повышенное давление. Силы давления в двух-
слойных оболочках самоуравиовешены и на основание
не передаются. Прикрепление должно рассчитываться
только на ветровую нагрузку. Внутри сооружения дав-
ление рввио наружному.
Пневмостержни образуются длинной цилиндрической
оболочкой, скрепленной с двумя жесткими дисками
(рис. 11.24,0). При действии постоянного внутреннего
давления р такая оболочка способна воспринимать лю-
бые нагрузки, приложенные к дискам, и поэтому явля-
ется хорошим конструкционным элементом. Изогнутые
пиевмостержнп могут использоваться как элементы си-
лового каркаса пневматических оболочек (см.
рис. 11.17). Пиевмостержии. подвергающиеся нэгнбу,
обычно называют пневмобалкамн нлн аэробалкамн.
11.3.2.	Особенности расчета
пневматических конструкций
Основные особенности расчета пневматических кон-
струкций определяются свойствами применяемых для
нх изготовления матерчатых и пленочных материалов.
Наиболее существенными особенностями этих материа-
лов являются: практически полное отсутствие сопротив-
ления нэгнбу и сжатию; большая деформативность прн
растяжении; малый вес.
В связи с первым нз отмеченных свойств материа-
лов пневматических конструкций в качестве расчетной
модели их оболочек используются мягкие оболочки.
594
РАЗДЕЛ II. ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
Мягкие оболочки рассчитываются как безмомеитные
оболочки, однако нх расчет имеет следующие особен-
ности.
Мягкая оболочка находится либо в двухосном на-
пряженном состоянии, когда оба главных натяжения
являются растягивающими (положительными), либо
в одноосном напряженном состоянии» когда одно из
главных натяжений, определенных по деформациям, по-
лучается сжимающим (отрицательным). Если дефор-
мации сжатия достаточно велики, оболочка образует
складки вдоль траекторий растягивающего главного
натижеиня. Область, в каждой точке которой напря-
женное состояние двухосное, называется двухосной об-
ластью; аналогично, в каждой точке одноосной области
напряженное состояние одноосное.
Оболочка может быть либо целиком одноосной, ли-
бо целиком двухосной, либо содержать как двухосные,
так н одноосные области. Расчет каждой нз этих об-
ластей производится раздельно. На границе между
двухосной и одноосной областями должны выполнять-
ся условия сопряжения.
Эта особенность мягких оболочек ограничивает фор-
мы пневматических конструкций, действующие иа них
нагрузки н условия их закрепления.
Со второй из отмеченных особенностей материалов
пневматических конструкций (большая деформатив-
ность) связана необходимость рассматривать прн рас-
чете оболочек ПК нелинейные задачи, четко различать
начальное (раскройное) и конечное (деформированное)
их состояния н относить условия равновесия или урав-
нения движения к конечному состоянию.
С малым собственным весом материалов пневматиче-
ских конструкций связаны особенности их расчета иа
ветровые нагрузки, которые для них оказываются бо-
лее существенными, чем для сооружений обычного типа.
В частности, при расчете ПК весьма важным является
учет ие только их сопротивления ветровому давлению,
но н подъемной силы, отрывающей сооружение от ос-
нования.
В соответствии с перечисленными выше особенностя-
ми пневматических конструкций основной задачей лх
расчета является предотвращение предельных состоя-
ний, определяемых:
разрушением их материала, т. е. нарушением усло-
вия где Т — максимальное натяжение в оболоч-
ке; R— расчетное сопротивление материала оболочки
(см. П.3.6) прн том же напряженном состоянии;
складкообразованием, т. е. нарушением условия
Т>0 в тех случаях, когда образование одноосных об-
ластей недопустимо (например, в пиевмостержпях);
недопустимо большими деформациями или прогиба-
ми, связанными с нежелательными искажениями формы
оболочки.
а для оболочек вращения — при помощи одной квадра-
туры [22]:
В
рт sinO = V pZ ds 4- ~
j zn
о
Ге = -£(₽гРС0$е) + ₽«-
Здесь (рнс. 11.19)	— натяжения
венно в направлениях меридианов н широт;
6 — угол между касательной к меридиану
стью, перпендикулярной оси симметрии;
(11-72)
соответст-
н плоско-
Рнс. 11.19
р—расстояние текущей точки от осп симметрии;
s — длина дуги меридиана, отсчитываемая от неко-
торой фиксированной широты;
Z, R— проекции внешней распределенной нагрузки
соответственно на осевое н радиальное направления;
Q — сумма всех осевых нагрузок (кроме сил давле-
ния), приложенных к центральному диску.
Если форма меридиана задана уравнением £=£(р),
то
cosG =
ds = Vl+C'» dp.
(11.73)
11.3,3.	Расчет мягких оболочек
Определение усилий н смешений по известным на-
грузкам. условиям закрепления н при заданной на-
чальной форме представляет собой сложную задачу,
так как система физически н геометрически нелинейна.
Известен ряд решений этой задачи для осесимметрич-
ных оболочек [27, 28].	,
Если же известна форма оболочки в конечном состоя-
нищ то система является статически определимой. В об-
щем случае усилия определяются путем интегрирования
системы пэ трех линейных дифференциальных уравне-
ний первого порядка в частных производных [22, 23],
Когда нагрузка Р(р) направлена по нормали к обо-
лочке, как, например, при гидростатическом давлении,
то
р
рТ0 sin е = Jрр (р) dp +	7в = (рту.
о
(П-74)
Когда давление Р(р)=р постоянно, эти формулы по-
лучают виц:
рр* Q	d
PT()sinO = ^- + ^;re = — рТ0. (11.75)
11.3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
595
Если одно нз натяжений Тр, Ге в некоторой части обо-
лочки получается отрицательным, заданная форма прн
принятой нагрузке нереальна.
Оболочка в форме трехосного эллипсоида с полуося-
ми а, Ь, с прн действии равномерного давления может
быть выполнена, если справедливы следующие неравен-
ства:
_1_
С*
(Н-76)
Геометрическое истолкование этих неравенств состоит
в том, что в случае их справедливости на отрезках,
I 1	1
длины которых пропорциональны числам	,
можно построить треугольник (23, 24]. Если длины по-
луосей ие удовлетворяют неравенствам (11.76), оболоч-
ка будет нмегь одноосные области и форма ее будет
отличаться от эллипсоидальной.
Оболочиа в форме эллипсоида вращения с полуосп-
ми а в радиальном н b — в осевом направлениях имеет
неотрицательные натяжения, если
а«<2**.	(11.77)
Таким образом, возможны как угодно вытянутые
вдоль оси симметрии оболочки; сильно же сплющен-
ных двухосных оболочек вращения быть не может. На-
тяжения в оболочке в форме эллипсоида вращения при
равномерном давлении р:
Т0 = -^-Уч* + (Ь*-а*)р*;
т _ Р o* + 2(t2—с2)Р»
24 V в* + (82 —в*)р»
Для определения усилий в сферической оболочке
с радиусом а в формулах (11.78) следует принять
Ь=а.
Оболочка круглого сечения, полученная движением
центра круга с радиусом г вдоль плоской кривой 5
Угол р отсчитывается в плоскости поперечного сечения
ог точки, наиболее удаленной от центра кривизны кри-
вой S; Я — радиус кривизны кривой S.
Наибольшее натяжение имеет место в точках, бли-
жайших к центру кривизны кривой S:
7швкс“ „ 	•	(11.86)
2 с г
Оболочка этого типа может существовать, если ра-
диус кривизны кривой $ нигде не меньше г. В частном
случае Я«=« формулы (11.79). (11.80) определяют
усилия в цилиндрической оболочке (Т^ЪТ^рг).
Оболочка в форме эллиптического тороида
(рнс. 11.21) — поверхности, образованной вращением
эллипса вокруг осн, параллельной одной из его главных
Рис. 11.21
осей,—прн равномерном внутреннем давлении имеет
натяжения:
т0 =	+(**-«’)(₽-«)*;
Рнс. 11.20
р а« + 2(б4 —о*)(р« —рс)
0и—	•
26 У в* + (*’—в2)(р—е)2
(11.8!)
Натяжения неотрицательны, если параметры а, Ь, с
удовлетворяют неравенствам
(плоскость круга нормальна к кривой S), прн действии
равномерного внутреннего давления р имеет натяже-
ния соответственно в продольных н поперечных сече-
ниях (рнс. 11.20):
(П.79)
На рис. 11.21 область существования заштрихова-
на. Оболочка имеет внд кольца, если с>а.
В частности, в горообразной оболочке с радиусом
а=Ь поперечного сечення натяжения:
„ р(Р + с)« ра
Г₽= 2р ’	2 ’ (Il W)
Ряд оболочек рассмотрен в кннге [29].
Коль скоро известен закон, связывающий натяженяя
596
РАЗДЕЛ 11- ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
с деформациями, то по известным натяжениям дефор*
нации определяются без особых трудностей. Чтобы по
известным деформациям определить смещения, в об*
тем случае нужно интегрировать систему нэ трех диф-
ференциальных уравнений первого порядка в частных
производных [25]. Если деформации малы (порядка
1%). эти дифференциальные уравнения линейны. При
наличии осевой симметрии смещения определяются по-
сле выполнения одной квадратуры [22. 25]. Следова-
тельно, задавшись формой оболочки в конечном состоя-
нии. можно сравнительно просто иайтп форму в началь-
ном состоянии н определить раскройную форму оболоч-
ки, которая после приложения нагрузок переходит в за-
данную.
Простота этого пути установления связи между на-
чальной н конечной формами позволяет вести опреде-
ление конечной формы по заданной начальной методом
последовательных попыток: задаваясь конечной формой,
получать начальную н при необходимости на последу-
ющих шагах изменять задание конечной формы с тем,
чтобы полученная начальная форма удовлетворительно
согласовывалась с известной начальной формой.
Мягкая оболочка в одноосной области рассчитыва-
ется как гладкая оболочка, образованная одним се-
мейством абсолютно гибких нитей. Эти инти направле-
ны по линиям действия растягивающего главного натя-
жения 7г, второе главное иатяжеине Тя следует считать
равным нулю. Расчет мягкой оболочки в одноосной
области таким образом сводится к расчету интей.
Форма оболочки в одноосной области не может
быть задана произвольно—она определяется нагруз-
кой я условиями закрепления нитей.
Одноосная область граничит либо с контуром, либо
с двухосной областью. На линии, разделяющей обе об-
ласти. должны быть выполнены условия сопряже-
ния [25]:
Т<*> = гр; > = Тр = 0.	(11.84)
Здесь верхние индексы указывают на то. что эти равен-
ства связывают предельные значения натяжений в од-
ноосной я двухосной областях. Кроме того, иа лнннй
сопряжения должны соблюдаться условии непрерывно-
сти координат и нх первых производных (условия глад-
кости).
В осесимметричной одноосной оболочке прн нагруз-
ке, направленной по нормали, произведение по-
стоянно.
Одна н та же форма одноосной области соответству-
ет различным начальным формам.
Прн расчете одноосных оболочек во многих случаях
можно пренебречь растяжимостью материала н рас-
сматривать нх как системы абсолютно гибких нерастя-
жимых интей.
Замкнутую одноосную оболочку вращения можно
получить, иапример, нз цилиндрической оболочки с ра-
диусом г, если стянуть в точки граничные сечения и
создать внутри оболочки повышенное давление
(рис. 11.22). Меридианы получают форму овалов с от-
ношением полуосей, приблизительно равным 5/3. Рас-
стояние L между граничными сечеинямп цилиндриче-
ской оболочки должно удовлетворять приближенному
неравенству t^2,5r. Если взять L больше 2.5г, то око-
ло экватора оболочки появится двухосная область
[22.23].
Двухслойные цилиндрические оболочки (рис. 11.18)
пмеют в обоих слоях одинаковые натяжения
(11.85)
Рис. 11.22
где й — расстояние между слоями;;
р— равномерное давление между иимн.
Внешние распределенные нагрузки иа пневматические
конструкции ПК в том случае, когда они вызывают
незначительное измене-
ние формы (большое зна-
чение нмеет изменен не
углов наклона касатель-
ных), учитываются путем
интегрирования системы
нз трех лпиейиых диффе-
ренциальных уравненй
относительно смещений
[25]. Если изменение фор-
мы при приложении до-
полнительной внешней
нагрузки существенно,
необходимо рассматри-
вать нелинейные диффе-
ренциальные уравнения.
Исключение составляют
цилиндрические оболоч-
ки. расчет которых эиа-
чнтельно проще [30].
Еслп к цилиндрической оболочке, находящейся под
равномерным внутренним давлением, приложена нагруз-
ка, распределенная вдоль образующей (рис. 11,23. а, б),
то новая форма сечения составлена из двух дуг окруж-
Рнс 11.23
ностей. Натяжения л Другие величины, относящиеся п
новому состоянию, легко определяются исходя из того,
что длина сечения остается постоянной (при нерастяжи-
мом материале) нлн получает упругие удлинения
11.3.4.	Расчет пиевмостержней
В иеиагруженном состоянии пневмостержни рассчи-
тываются на внутреннее давление (рис. 11.24, д) как
оболочки круглого сечения по формулам (11.79),
и. в частном случае, как цилиндрические оболочки.
Особенности нх расчета иа внешние силы определяют-
ся видом нагрузки. Ниже рассматриваются некоторые
частные случаи нагружения пневмостержней с прямо-
линейной осью в исходном состоянии.
При ^чистом изгибе» поведение пиевмобалки, ле-
жащей па двух шарнирных опорах (рнс. 11.24,6), зави-
сит от величины параметра
где
(IЧ-2pt)(6-~ р)/*
8ц(1+!»)«»
3 рг
Р = 2 ' Eh ’
(11.86)
(11.87)


11.3 ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
597
Здесь р— давление внутри оболочки;
г—радиус сечения;
h — толщина оболочки;
L — расстояние между опорами;
Е—модуль упругости материала.
В случае нелинейной зависимости о(е) величина
Е есть касательный модуль прн напряжении
Рис. 11-24
Если X мало, то расчет пневмобалкн производится по
правилам сопротивления материалов для балок, подвер-
гающихся одновременному действию нэгнба и растяже-
ния. Например, натяжение в крайних точках попереч-
ных сечений
nr М
<ПМ)
Предельное значение нагибающего момента получается,
если положить Тман—0:
Л^преж = ~~Г‘ pt**	(П .89)
Дальнейшее увеличение момента возможно лишь при
значительном искажении формы за счет повышения
давления внутри пневмобалкн.
Если X велнко, пневмобалка работает принципиаль-
но ниаче. Деформации сосредоточиваются в узких эо-
нах, примыкающих к дискам, в средней же части сече-
ния практически не получают искажений, а натяжение
Г3 постоянно во всем сечении. Ось пневмобалкн сущест-
венно отличается от упругой осн балки постоянного се-
чення, находящейся в состоянии чистого изгиба. Де-
формированное состояние пневмобалкн в этом случае
является суммой деформированного состояния, соответ-
ствующего чистому изгибу балкн постоянного сечения
и деформированного состояния, изображенного на
ряс. П.25. В случае, если Х«1, работа пневмобалкн су-
щественно отличается от работы пневмобалкн как до
классической схеме, так и по схеме рис. 11.25. То же
oi носится к случаю, когда X отрицательна.
Прн растяжении лневмостержеиь рассчитывается по
формуле
рг г
2 +2л7
(11.90)
Прн сжатии пневмостержень рассчитывается на
устойчивость по эмпирической формуле [32]
Ркр С рпг1 ф.
Рис. 11.25
где коэффициент ф принимается по таблице, в зависи-
мости от отношения расчетной длины к радиусу сечения
— н от величины внутреннего давления р.
Таблица IIS
1/Г	р								
	 1	1.6 |	2 1	2,5 1	3 1	1	1.5	2	2-°
20	ш. 0.70	врннр| опор 0.55	чме ы 0.45	0.38	0.32	Ко 0,90	мбнни оп 0.74	ровен! оры 0,65	ше 0.65
30	0.37	0.28	0,23	0.20	0.19	0,55	0.50	0.40	0.35
40	0.24	0.18	0,15	0,14	0.13	0,33	0.30	0,24	0,20
ьо	0.16	0,12	0,10	0.09	0.08	0,30	0.26	0,20	0,18
60	0.12	0.10	0.08	0,064	0.054	0.18	0,14	0.12	0,11
Прн кручении предельное состояние ппевмостержией
определяется складкообразованием. При этом, как сле-
дует нз условия существования двухосной напряжен-
ной оболочки, крутящий момент, соответствующий по-
явлению складок [23. 32].
Мкр = 2лг’$,
где погонное касательное усилие
S = / Л-7",.
11.3.5.	Ветровые нагрузки
Ветровые нагрузки пропорциональны скоростному
напору
(И-91)
л»
где о — скорость ветра; р — плотность воздуха:
Р ГкГ•сек11	м
₽=^6т1—]•	(П-92’
Здесь Р—атмосферное давление в кПм^^ммвод. ст.;
Т — абсолютная температура воздуха.
598
РАЗДЕЛ IL ВАНТОВЫЕ И ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
При «нормальных условиях» (Р—10 330 кГ/л2; 7=з
= 15° С+273=288° К) р=0,125 кГ-секЧм*.
Прн этоы
Суммарные силы У и X от ветровых нагрузок
Y = CvqSt X = CxgS, (1L93)
где Су, Cx — аэродинамические коэффициенты, завися-
щие в основном от формы сооружения; S — площадь,
Рнс. 11.27
Рнс. 11.26
к которой отнесены этн коэффициенты. Сила X дейст-
вует параллельно основанию; Y — перпендикулярно ему;
направление ветра считается параллельным основанию.
Для цилиндрической оболочки (рис. 11.26,а):
С„=1.67, Сж = 0,15, 3 = 2бг.
Сечение оболочки прн ветре искажается (рис. 11.26,6).
Прп небольших скоростях ветра стрела
S-
з ' Др г‘
(11.94)
где	р© (р«—давление внутри оболочки; ро—
давление вдали от сооружения).
Для оболочки в форме полусферы (рис. 11.27, а)
С₽<=0,75; Сж = 0,15; 3 = №.
При действии ветра на оболочку в форме сфериче-
ского сегмента с тупым углом а (рис. 11.27,6) макси*
мальиое натяжение Тмакс связано с прочими парамет-
рами зависимостью [26]
^!!i!S=Ap+2«.	(11.95)
Г
Скоростной напор, при котором в оболочке образу-
ются одноосные области,
« = ^-Д/>.	(11.96)
V
В общем случае аэродинамические коэффициенты
должны определяться при помощи продувок в аэроди-
намических трубах. Приведенные выше значения аэро-
динамических коэффициентов являются ориеитнровоч*
нымн.
11.3.6.	Материалы для пневматических
конструкций
Ткани воздухонепроницаемые *. Воздухонепроница-
емые ткани № 24, 42. 806, 60. 19, 109Ф и 110Ф, предназ-
наченные для пневматических строительных конструк-
ций, представляют собой одно-, двух- и трехслойную
ткань, покрытую слоем реэниы. В качестве основы для
тканей № 24 и 806 служит капроновый текстиль (ар-
тикул 1528), для тканей № 60, 42 и 19 — капроновый
текстиль (артикул 1539) н для тканей № 109Ф и 110Ф—
капроновый текстиль (артикул 1549).
1 Составлено канд. техн, наук Г. Н. Зубаревым.
Таблица 11.10
Прочностные и деформационные характеристики воздухонепроницаемых тканей н армированных пленок
Вилы тканей и пленок	Нормативное сопро- тивление растяжению В кГ]см		Коэффи- циент длитель- ной проч- ности *лл	Коэффициенты олпородности ОДН		Расчетное сопротивление растяжению в кГ/см				Модуль упругости прн растяжении в яГ/см	
	по ослом «5	по утку RJ		ПО основе	ПО утку	кратковременное		длительное		кратко- времен- ный Е*	длитель- ные Е
						по основе	по утку	по основе	по утку		
				Воздухонепроницаемые ткани							
М 24	36	26	0.3	0.8	0.7	28.8	18,2	8.6	5,5	90.5	44.0
№ 808	36	21	0.3	0.6	0.7	28.8	14.7	8.6	4.4	1J4	44
№ 60	40	38	0.3	0.8	0.7	32.0	26,6	9.6	7.9		
№ 42	40	38	0.3	0.8	0.7	32.0	26.6	9.6	7,9	—Bl	
№ 12	ВО	£0	0.3	0,8	0,7	64.0	35,0	19.2	10.5	в»	
				Армированные пленки							
ПС-40-П	9.4	7.6	0.35	О.8	0.7	7.5	5,3	2.6	1.9	50	41,5
ПС-40-С	9.4	7.6	0.35	0,8	0.7	7.5	5,3	2.6	1.9	50	41,5
Тип А	28	25	0.35	О.8	0.7	22,2	17,5	7,В	6.1	84	81,5
» АС	28	27.3	0.35	0.8	0.7	23.0	Н*,1	8.0	6,7		—1	—ш.
» 200	39	28,4	0.35	0,8	О.7	31.2	19.0	11.0	7.0		
11.3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ
Воздухонепроницаемые ткани выпускаются в руло-
нах шириной 90 см. Толщина тканей от 0,6 до 1,8мм;
вес от 0,45 до 1.8 кПм*. Ткани № 24. 806, 60. 42 н 19
предназначены для изготовления воздухоопориых пнев-
матических конструкций.
Пленки армированные. Армированные плеикн
ПС-40-П, ПС-40-С, типы А, АС н 206 предназначены
для пневматических строительных конструкций воэду-
хоопориого типа небольших пролетов. Они представля-
ют собой синтетические плеикн иэ совмещенного поли-
амида, в которые впрессованы капроновые сетки.
В пленках ПС-40-П и ПС-40-С применена сетка арти-
кула 21585. в пленке типа А —артикула 22023/1.
в пленке типа АС — артикула 22323/П и в пленке типа
200 — артикула 22184.
Армированные пленки выпускаются в рулонах шири-
ной 85—90 см. Толщина пленок от 0,45 до 0,71 де; вес
от 0.45 до 0,76 кПм\
Нормативные сопротивления, коэффициенты дли-
тельной прочности н однородности, расчетные сопротив-
ления и модули упругости воздухонепроницаемых тка-
ней и армированных пленок приведены в табл. 11.10.
Ослабление сечений оболочек в местах шитых швов
учитывается коэффициентом 0.85.
ЛИТЕРАТУРА
к 11.1
I.	Киселев В. А. Рациональные Формы арок к подвес-
вых систем. Стройиэдат, 1953.
2.	Мацелиискнй Р. Н. Статический расчет гибких ви-
сячих конструкций. Под ред. чл.-корр. АН СССР проф.
Н. С. Стрелецкого. Госстройнздат, 1950.
3.	Мацелииский Р. Н. Статический расчет упругих
нитей. «Строительная механика и расчет сооружений». 1950. М 4.
4.	М в ц е л и м с к и й Р. Н. Расчет гибких пологих нитей.
«Справочник проектировщика промышленных, жилых и общест-
венных зданий и сооружений, том расчетно-теоретический», под
ред. проф. А. А. Уманского. Госстройнздат. >960.
5.	Мацал и иск й Р. Н. Расчет гибких интей ва про*
навальную вертикальную нагрузку. В сб.: «Висячие покрытия»,
под ред. чл.-корр. АН СССР проф. Н. М. Рабиновича. Гос-
стройиэдат. 1962.
6.	Мацелиискнй Р. Н. Уточнение методики расчета
вант. «Строительная механика н расчет сооружений». 1969.М2.
7.	Мацелиискнй Р. Н.. Фельдман Е. Ш. Расчет
пояигоиальяо-вантовой системы покрытия. В сб.: «Строительные
конструкции», вып. XV. «Буд(вельвик». Киев. 1971.
8.	Р ж а и н ц ы и А. Р. Статика и динамика пологой упру-
гой иити. В сб.: «Висячие покрытия». Госстройнздат. 1962.
к 11.2
9.	Гордеев В. И. Исследование плоских нитяных сетей
к тканевых оболочек. Диссертация. Киев. 1964.
10.	Г о х б а у м Ф. А. Беэмомеитиые опорные контуры ван-
товых систем покрытий. В сб.: «Висячие покрытия». Госстрой-
иэдат, 1962,
II.	Дмитриев Л. Г., К а с и л о в А. В. Вантовые по-
крытия. Госстройнздат УССР. Киев. 1968.
12.	К а ч у р и и В. К. Статический расчет вантовых систем,
Стройиэдат. 1969'.
13.	К и р с а н о в Н. М. Альбом конструкций висячих по-
крытий. Изд-во «Высшая школа». 1965.
14.	Кузнецов Э. И. Радиальные вантовые системы (тео-
рия н расчет). Госстройнздат. 1963.
15.	Кузнецов Э. Н. Введение в теорию вантовых си-
стем. Стройиэдат. 1969.
16.	Л и л е е в А. Ф„ С е л еэ я е в а В. Н. Методы расче-
та пространственных вантовых систем. Стройиэдат, 1964.
17.	Петров В. В. К расчету пологих обшючех при ко-
нечных прогибах. Научи, докл. выел, школы. «Строительство».
М 1. 1959.
18.	П е р е л ь м у т е р А. В. Основы расчета вантово-стерж-
невых систем. Стройиэдат, 1969.
19.	Рабинович И. М. Мгновенно-жесткие системы, их
свойства и основы расчета. В сб.: «Висячие покрытия». Гос-
стройиэдат. 1962.
20.	Райну с Г. Э. Принципы расчета висячих покрытий
с несущей конструкцией нэ гибких нитей. В сб.: «Висячие по-
крытия». Госстройнздат, 1962.
21.	Отто Ф.. Шлейер К. Тентовые н вантовые строи-
тельные конструкции. Стройиэдат. 1970.
к ИЗ
22.	Алексеев С. А. Основы теория мягких осесиммет-
ричных оболочек. «РПК». вып. 10. Стройиэдат, 1965.
23.	А л е к с е е в С. А. Основы общей теории мягких обо-
лочек. «РПК». вып. 11. Стройиэдат, 1967.
24.	Алексеев С. А. Условия существования двухосного
напряженного состояния мягких оболочек. Иэв. АН СССР. «Ме-
ханика». М 5, 1965.
25.	Алексеев С. А. Задачи статики и динамики мягких
оболочек. Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболо-
чек и пластин. «Наука», 1966.
26.	Алексеев С. А. Расчет мягкой сферической оболоч-
ки в потоке жидкости. Инженерный журнал «Механика твердо-
го тела» АН СССР, 13, 1967.
27.	Григорьев А. С. Равновесие беэмоментной оболоч-
ки вращения прн больших деформациях. ПММ. т. 25, 6, 1961.
28.	Григорьев А. С. Устойчивость безмомеитных обо-
лочек вращения в условиях растяжения. Труды VI Всесоюзной
конференции по теории оболочек и пластин. «Наука». 1966.
29.	Отто Ф.. Тростель Р. Пневматические строитель-
ные конструкции. Стройиэдат. 1970,
30.	Магу л а В. Э.. Друзь Б. И. и др. Судовые мяг-
кие емкости. Судостроение. 1966.
31.	Петраков Б. И. Поперечные погонные натяжения
в цилиндрической пневматической оболочке при действии нз
нее погонной равномерно распределенной нагрузки. «СМРС»,
1967.
32.	Губенко А. Б. Прочность и дефорыатнвностъ кон-
струкций с применением пластмасс. Стройиэдат, 1966.
33.	Маг ул а В. Э. Расчет мягких оболочек. В сб.: «Стро-
ительная механика в СССР. 1917—1967 гг». Стройиэдат. 1969.
34.	Рекомендации по проектированию и расчету конструкций
с применением пластмасс, ЦНИИСК нм. Кучеренко. Стройнз-
дат, 19®.
35.	Архалгельский В. Н.. Глухарев А. Н. Пнев-
матические конструкции. 1-е изд. настоящего справочника.
36.	Гениев Г. А. Вопросы теории пневматических оболо-
чек. Труды IV Всесоюзной конференции по теории оболочек
и пластин. Ереван, «Наука». 1964.
УДК 624.04(031)
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий п сооружений. Расчет-
но-теоретический. В 2-х ки. Кн. I. Под ред. А. А. Уманского. Изд. 2-е, лерераб. и доп. М.» Строй-
нэдат. 1972. 600 с.
В книге содержатся справочные данные по математике, строительной механике стержней и стерж-
невых систем. Освещены вопросы применения ЭВМ. матричных методов расчета. Даны таблицы для
расчета балок, рам. арок и колен. Уделено внимание материалам для строительных конструкций
и нормативам расчета.
Предназначена для проектировщиков, научных работников и студентов вузов.
Табл. 183, нл. 452, список лит. 482 иазв.
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ СПРАВОЧНИКА
Б. М. Броуде, д-р техн, наук; А. В. Геммерлинг, д-р техн, наук, проф.; Б. Г. Коренев, д-р техн, наук,
проф.; Н. В. Никитин, д-р техн, наук; С. В. Поляков, д-р техн. наук, проф.; А. Р. Ржаницын, д-р техи.
наук, проф.: А. Ф. Смирнов, д-р техн, наук, проф.; Р. И. Трепененков, канд. техн, наук, доц.; А. А. Уманский,
д-р техн, наук, проф.
АВТОРЫ
В. Л. Агамиров, д-р техн, наук; А. Я. Александров, д-р техи. наук, проф.; С. А. Алексеев, д-р техн,
наук, проф.; М. X. Ахметзянов, д-р техн, наук; М. С. Бернштейн, канд. техн, наук, доц.; Д. В. Вайнберг,
д-р техи. наук, проф.; П. М. Варвак, д-р техи. наук, проф.; М, С. Волчегорский, инж.; А. С. Воль-
мир, д-р техи. наук» проф.; А. В.Геммерлинг, Д-р техн, наук, проф.; В. Б. Геронимус, каид. техн, наук,
дои.; И. И. Гольденблат, д-р техн, наук» проф.; Ю. П. Григорьев, канд. техи. наук, доц.; В, М. Даревский,
д-р физ.-мат. наук, проф.; С. 3. Динкееич, канд. техн, наук; IO. М. Иванов, д-р техн. наук, проф.?
А. Г. Иммерман, канд. техн, науи; К. А. Китовер, канд. техн, наук, доц.; Г. К. Клейн, д-р техн, наук,
проф.; Л. В. Клепиков, канд. техн, наук; А. И. Коданев, канд. техн, наук, доц.; В. А. Копнов, канд. техн,
науи, доц.; Б. Г. Коренев, д-р техн, наук, проф.; 3. И. Кузнецов, д-р техи. наун; С. Д. Лейтес, каид.
техн, наук; /7. А. Лукаш, д-р техн, наук, проф.; Я. Б. Левин, д-р теки, наук» проф.; Р. И. А1ацелинский,
каид. техн, наук; И. Е. Милейковский, д-р техи. наук, проф.; А. Б. Моргаевский, д-р техн. наук, проф.;
В. В. Новицкий, д-р техн, наук, проф.; В. А. Отставное, канд.. техн, наук; К. Д. Панферов, канд. техн,
наук; Л. И. Пицкель, канд. техи. наук; I Г, А. Попова], иаид. техн, наук, доц.; А. М. Проценко, канд.
техн, наук, доц.; О.	И, Родимо, инж;	С. А. Семенцов,	д-р техи. наук» проф.; А. Л. Синицын, д-р	техи.
наук, проф.; С. М.	Сойбельман, канд.	техн, наук;	В. И.	Сысоев, каид. техи. наук; С. В. Тарановский, д-р
техн, наук, проф;	И. И. Трапеэин,	д-р техи.	наук, проф.; М. Н. Трогун, ниж.; А. И. Тюленев,	каид.
техи. наук, доц.;	А. А. Уманский,	д-р техи.	наук,	проф.: А. П. Филин, д-р техи.	наук,
проф.; В. Г. Чернашкин, канд. техн, наук: Г. М. Чувикин, д-р техи. наук; В. Г. Чудновский, д-р техн,
наук» проф.; Д. Л, Шапиро, канд. техн. наук.
Рецензенты
М С. Бернштейн, яапд. техн, наук; А. Г. Иммермая, канд. техн, наук; Р. Р. Матевосян, д-р техн, наук;
В. Н. Пастушихин, д-р техи. наук, проф.; А. А. Петропавловский, д-р теки, наук, проф.;
Р. А. Резников, канд. техн, науи; А. г. Раздольский, инж.; М. И. Сканави, канд. фнэ.-мат. наук, доц.;
Р, Г, Шишкин, инж.
Научные редакторы
Я. И. Вайсфельд, доц.; Б. Ф. Васильев, ииж.; Б. П. Вольфсон, канд. техи. наук; Р. Ф. Габбасов, канд.
техн, наук, доц.; Г. И. Зубарев, канд. техи. наук; А. Г. Иммерман, канд техн, наук; И. В. Киселева,
канд. техн, наук, доц.; М. В. Малышев, д-р техн, наук; В. Н. Пастушихин, д-р техн, наук» проф.;
М. И. Рейтман, каид. техн, наук; О. И. Родимо. ииж.; Ю. М. Стругацкий, каид. техн, наук; А. И. Цейтлин,
д-р техи. наук; В. М. Шусторович, канд. техн, наук; редактор по унификации канд. техи. наук» доц.
Р. И, Трепененков.
СПРАВОЧНИК ПРОЕКТИРОВЩИКА
ПРОМЫШЛЕННЫХ, ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ
ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
РЛСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИИ
под редакцией А. А. Уманского
Издание второе переработанное
в двух книгах
Книга 1
• • •
С/рпйиздат
Москва, К-31. Кузнецкий мост, О. 9
Редакторы издательства Осипова Э. М.. Бородина И. С.
Круглова П. Н.
Технический редактор Мочалина 3. С.
Корректоры Кудрявцева Е. Н„ Бирюкова Л. П.
Сдано в набор 16/XII 1971 г. Подписано к печати 22/VI 1972 г.
3-11431. Бумага 84х10В|/„ — 18,75 бум. л. 63 усл. печ, л.
(уч.-нзд. 86,1 л.) Тираж 50000 вкз. Над. N» X—593.
Зак. № 1303 Пена 4 р. 96 к.
Владимирская типография Глаополигрпфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР
Гор. Владимир, ул. Победы, д. 18-6,