/
Похожие
Текст
СПРАВОЧНИК
ПРОЕКТИРОВЩИКА
СПРАВОЧНИК
ПРОЕКТИРОВЩИКА
ПРОМЫШЛЕННЫХ, ЖИЛЫХ
И ОБЩЕСТВЕННЫХ
ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ
РАСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИИ
Под редакцией
д-ра техн, наук, проф. А. А. УМАНСКОГО
Рассмотрен и одобрен
Центральным научно-исследовательским институтом строительных конструкций
им. В. А. Кучеренко
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
В ДВУХ КНИГАХ
книга 2
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ
Москва— 1 973
УДК 621 .СИ (031)
Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и со-
оружений. Расчетно-теоретический. В двух книгах. Кн. 2. Под ред. А. А. Уманского.
Изд. 2-е, перераб. и доп. М., Стройнздат, 1973, 416 с.
Вторая книга расчетно-теоретического тома «Справочника проектировщика про-
мышленных, жнлых и общественных зданий и сооружений* дополняет расчет стержней
и стержневых систем, приведенный в первой книге, вопросами устойчивости, динамики
и предельных состояний.
Во второй книге даны примеры расчета пластин и оболочек, рассмотрены вопроси
взаимодействия сооружений с грунтом, основные принципы моделирования, применения
метода конечных разностей.
Справочник преднязначен для проектировщиков, научных работников и студентов
вузов.
Табл. 230, ил. 507, синеок лит. 487 наэв.
ОПЕЧАТКИ
Стр. Строке Напечатано Должно быть
130 209 Табл. 14.29, 5-я графа. 1-я строка снизу 2-я графа, 5-я строка снизу 0.866 //« —£.»(«) /. -0,866 И - — L, (О) р
241 Правый столбец. 22—20-я снизу усилиям N и М. Приняты следующие обозначения: при односторонней (рис. 17.76. о) н двусторонней (рис. 17.76.6) текучести. усилиям N н М при одно- сторонней (рис. 17-76.0) н двусторонней (рис. 17.76. б) текучести. Приняты следую- щие обозначения:
2-М Ф-ля (17.290) (з фг V
V 1-J-
268 Правый столбец, 9-я снизу 1969. 1968.
324 Ф-ла (19.77) M.-2M.+AU Af А Б В
В.пр 4 В.пр
339 Правый столбец. 13-я снизу Т —ш/2л Г — 2л/<|>
340 Левый столбец. 8-я и 7-я снизу *ст ^СТ
347 Левый столбец 6-я снизу —
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ко второму нэданню......... в
РАЗДЕЛ 12
УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ
И. И. Гольдекблат, В. А. Копмов
12.1. Основные уравнений теории упругости . . 9
12.1.1. Уравнения равновесия......................... 9
12.1.2. Уравнения совместности деформаций............. W
12.1.3. Определение перемещений по составляющим
тензора деформаций................................... 11
12.1.4. Физические уравнения теории упругость и тер-
моулругостм..........................- .... 12
12.1.5. Уравнения теории упругости в напряжениях . . 13
12.1.6. Уравнения теории упругости и термоуоругости
в перемещениях (уравнения Ляме) ...... |3
12.1.7. Потенциальная энергия деформации ..... н
12.1.8. Общие принципы теории упругости ..... 14
122. Плоская задача теории упругости . . 14
12.2.1 . Плоское напряженное состояние ..... ]4
122-2. Плоская деформация ................. 15
12.2.3 . Функция напряжений Эри ..................... «о
12.2.4 . Функция Эрм для плоской задачи анизотропного
(ортотропного) тела ................................ 15
12.2.S Плоская задача в полярных координатах ... 1Ь
12.2.6. Сведение плоской задачи к задаче об изгибе
пластинки.................................... 16
12.3. Вариационные методы решения задач теории
упругости............................................ 17
12.3.1. Метод Ритца............................... IJ
12.3.2. Метод Бубнова — Галеркина ................... 19
12.3.3. Метод Треффца (метод смягчения граничных
условий) ....................................... 20
12.4. Сводка некоторых решений теории упругости 21
12.4.1. Чистый изгиб................................. 21
12.4.2. Поперечный изгиб консоли................. 21
124.3. Поперечный изгиб балки................... 21
12.4.4. Изгиб кривого бруса (задача X. С. Головина) 22
12.4.5 Клин, сжатый сосредоточенной силой .... 22
12.4.6. Толстостенный цилиндр н сферический сосуд . . 23
12.4.7. Упругая полуплоскость и упругое полупростран-
ство ........................• • ............- - 23
12.5. Концентрация напряжений........................ 24
12.5.1. Концентрация напряжений при растяжении . . 24
12.5.2. Концентрация напряжений при изгибе ... 2S
12.6. Элементы теории упругости, учитывающей
моментные напряжения ..............................
12.6.1. Основные положения моментной теории упругости «6
12.6.2. Уравнения равновесия и несимметричный тензор
напряжений в двухмерном случае...................... 26
12.6.3. Деформации, вызванные действием силовых и
моментных напряжений . у?
12.6.4. Закон Гука 27
126.5. Условия совместности деформаций............. ^8
12.6.6. Функции напряжений .......................... ™
12.6.7. Некоторые результаты расчетов по моментной
теории упругости ............................ 28
12.7. Основные уравнения теории пластичности и
терыопластмчностм ........... 28
Стр.
12.7.1. Общие свойства пластической деформации . . 29
12.7.2. Основные положения теории пластического
течения.............................................. 29
12.7.3. Основные уравнения теории пластического
течения.............................................. 29
12.7.4. Деформационная теория пластичности — частный
случай теории пластического течения...............
12.7.5. Идеально упруго-пластическая среда ....
12.7.6. Метод характеристик решения задач теории
пластичности............................, ... .
12.7 7. Напряжения под жестким штампом
12.7 8. Плоское напряженное состояние .......
12.7.9. Пластические деформации вблизи круглого от-
верстия в пластине ...............................
12.7 10. Упруго-пластическое кручение............
12.7.11. Пластическое кручение стержня с растяжением
12.8. Ползучесть м релаксация .......
12.8.1. Основные понятия . . .....................
12.8.2. Релаксация ...............................
12.8.3. Ползучесть ......................
12.8.4. Особенности процесса ползучестг некоторых
строительных материалов......................
12.8.5. Реологические модели . •
12.8.6 Теории ползучести .........................
12.8.7. Наследственная теория ползучести бетона
Н. X. Арутюняна ................................
12.8.8. О ползучести металлов.....................
12.8.9. Ползучесть при изгибе балок и кривых стержней
12.8.10. Ползучесть при кручении .................
Литература
РАЗДЕЛ 13
УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ
(ПЛИТЫ Н БАЛКИ-СТЕНКИ)
К. А. Китоеер
13.1. Общи термины, обозначение...............
13.1.1. Основные обозначения..................
13.1.2. Определение упругих характеристик конструк-
тивно ортотропных пластин..................
13.1.3. Связь между усилиями и напряжениями
13.2, Првмоугольные пластины
13.2.1. Прямоугольные изотропные плиты .......
Нагрузка равномерно распределением по всей пло-
щади плиты (48). Нагрузка, расл |»е делен на н по
гидростатическому закону (49). Нагрузки, рас-
пределенная равномерно по части площади плиты
(50). Нагрузка в виде трехграниой призмы (50). На-
грузка. распределенная вдоль прямой лнмин
(51). Нагрузка в виде силы, приложенной в цен-
тре плиты (51). Квадратная плита на упругих
опорах под равномерно распределенной нагрузкой
(51). Определение сосредоточенны реактивных
сил в углах плиты, свободно опертой по перимет-
ру (52) ...............
13 2.2. Ребристые плиты . ............
13.2 3. Многопролетные плиты ........... . .
Бесконечная плита, опертая в узла.з прямоугольной
сетки (53). Квадратная плита, орсрия по кон-
туру н поддерживаемая колоннами (54). Приближен-
ный способ расчета исразрезиых плит......
13.2.4. Плиты на упругом основании •••••»•
13.2.5. Балки-стенки.........................
13.3. Круглые н кольцеаые пластины si
8В ЙЙЗ ЗЙЙ 8 8SS 8ЯЗ 5593 9 * » W ? 3 ЙЗЙ Х38
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
13.3.1 . Осесимметричная задача расчета изотропных
Плоское напряженное состояние (61). Плиты на
жестких опорах (62). Круглые плиты с кольце-
выми ребрами (65). Плиты на упругом основании
(66). Бесконечные плиты (66). Круглые и кольце-
вые слиты (69)................................-
13.3.2 . Изотропные круглые панты под произвольной
Круглея плита с защемленной кромкой (69). Круг-
лая плите со свободно опертой кромкой (69). Сво-
бодная круглая плнтв под действием статически
уравновешенной на грузин (70).................. 70
13.3.3 . Круглые к кольцевые ортотропные пластины . . 70
Плоское напряженное состояние (70). Изгиб круг-
лой и кольцевой плиты (70).................... 70
13.4. Изотропные плиты разной формы .... 71
13.4.1 Треугольные плиты *1
13.4.2. Трапецеидальные плиты .......... 73
13.4.3. Эллиптические плиты....................... 7э
13 4.4. Плиты в виде кругового сектора............. 76
13.5. Температурные напряжения в пластинах . 76
13.6. Обзор таблиц по расчету плит................. 77
13.7. Краткие сведения об аналитических методах
определения уснлнй я перемещений при изгибе
тонких упругих ПЛИТ.................. 78
Литература.
РАЗДЕЛ 14
ОБОЛОЧКИ
П. А. Лукаш, И. Е. Милейковский,
А. Г. Иммерман, Я. Б. Львин
14.1. Классификация оболочек н качественная ха-
рактеристика их работы (Л. А. Лукаш) ... 80
14.1.1. Общие положения
14.1.2. Тонкостенные оболочки ..................... в!
14.1.3 Общая характеристика работы оболочек . . 81
14.1.4. Характеристика теорий расчета оболочек ... 81
14.1.5. Условия применимости без моментных теорий 87
14.1.6. Основные постановки задач теории оболочек 83
14.2. Замкнутые круговые цилиндрические оболоч-
ки (Л. Г. Иммерман) .......... эд
14.2.1. Основные условные обозначения.............. 83
142.2. Общие дифференциальные' зависимости теории
цилиндрических оболочек............................ 85
14.2.3. Оболочка под действием осесимметричной на-
грузки. Безмомснтная теория......................... 85
14.2.4. Оболочка под действием осесимметричной на-
гоуэми. Момектмая теория ........................
14.2.5. Сопряжение оболочек. Осесимметричная нагрузка 86
14.2.6. Оболочка под действием нагрузки, не обладаю-
щей осевой симметрией........................... ®
14.2.7. Особые случаи нагрузок и расчета оболочки . 93
14.3. Оболочки вращения (П. А. Лукаш) 93
14.3.1. Определение и основные обозначения 93
14.3.2. Усилия и перемещения в оболочках по беэмо-
меткой теории при осесимметричной нагрузке . . 95
14.3.3. Беэмомеитные сферические оболочки при верти-
кальной осесимметричной нагрузке ................... 86
14.34. Оболочки вращения под действием равномерно
распределенного нормального давления .... 97
14.3.5. Расчет оболочек вращения по безмоментной тео-
рии нв несимметричную нагрузку 98
14.3.6. Учет изгибающих моментов 99
14.4. Циклическое (моментное) напряженное
состояние оболочек вращения, сопрягаемых
между собой (Я. Б. Львин) . .......... ioo
14.4.1. Выделение циклического воздействия и его рас-
пределение. Общий порядок расчета.................. 100
14.4.2. Единичные (краевые) реакция оболочек .... 102
14.4.3. Изменение усилий вдоль меридиана каждой
оболочки............................................ 1W
14.4.4. Кольцо. Единичные реакции н внутренние усилия 105
14Л. Пологие оболочки (П. Л. Лукаш) .... 106
Стц.
14.5.1. Определение, формы срединной поверхности я
граничные условия................................ Ю1
14.5.2. Усилия и перемещения пологой оболочки. Осо-
бенности расчета ................................ Ю;
14.5.3. Формулы и таблицы для расчета пологих оболо-
чек. прямоугольных в плане...................... 109
14.5.4. Круговые цилиндрические оболочки открытого
профиля......................................... 111
14.5.5. Дифференциальные уравнения пологих сфериче-
ских оболочек в полярных координатах .... 114
14.5.6. Некоторые решения нелинейной теории пологих
оболочек........................................ 11*
14.6. Своды-оболочкн н призматические складки
(И. Е. Милейковский)............................ 118
14.6.1. Основные обозначения и классификация сводов-
оболочек ...................................... П8
14.6.2. Расчет оболочек и складок средней длины. До-
пущения и гипотезы............................... 1Я
14.6.3. Расчет диафрагм-оболочек н складок средней
длины.......................................... 135
Литература ................. . . . . . .. . . . 186
РАЗДЕЛ 15
МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ
К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
П. М. Варвак, Д. В. Вайнберг
15.1. Основы метода сеток 138
15.2. Плоская задача ... 139
15.2.1. Плоская задача в напряжениях 139
15.2.2. Двойной итерационный процесс решения плоской
задачи................................ 139
15.2.3. Решение в перемещениях. Вариационный метод
построения разностных уравнений (/О. М Стру-
гацкий) .................. Ml
15.3. Изгиб пластин , из
15.3.1. Основные уравнения в граничные условия 143
16.4. Устойчивость и колебания пластин 167
15.4.1. Уравнения устойчивости пластин ....... 167
15.4.2. Собственные колебании пластин......... 1S9
15.5. Оболочки........................... 1ы
15.5.1. Основные уравнения н граничные условия для
пологих оболочек..................... 164
Литература ............................. 163
РАЗДЕЛ IB
МОДЕЛИРОВАНИЕ
А. Я. Александров, М. X. Ахметзянов,
В. Б. Геронимус
16.1. Основные положения теорий подобия и раз-
мерности ...........
16.2. Простое подобие статических упругих со-
стояний. Метод аиалнза размерностей . . .
16.3. Расширенное подобие в статических задачах
теории упругости. Анализ уравнений . . . .
16.4. О влиянии коэффициента Пуассона на рас-
пределение напряжеиий........................
16.5. О моделировании объемных сил...........
16.6. Подобие в дниамнческнх задачах теории
упругости ...................................
16.7. Подобие в задачах термоупругости . . .
16.8. Моделирование больших деформаций . . .
16.0. Подобие а задачах пластичности ....
16.10. Подобие в задачах ползучести..........
16.11. Моделирование некоторых видов конструкцвй
16.12. Вопросы подобия прн исследовании состав-
ных систем ..................................
16.13. Таблица критериев подобия и уравнений свя-
зи между масштабами в задачах статики и ди-
намики ......................................
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Стр
16.14. Таблица критериев подобия температурных
полей .......................... I8S
Литература.... 185
РАЗДЕЛ 17
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
С. Д. Лейтес
17.1. Основы теории устойчивости стержневых си-
стем со сжатыми элементами 186
17.1.1. Понятия устойчивости и неустойчивости. Устой-
чивость равновесия деформируемых систем ... 186
17.1.2. Консервативные, и неконсерввтнвные системы.
Методы исследования устойчивости равновесия . . 186
17,1-3 . Потеря устойчивости при разветвлении форм
равновесия
17.1.4. Потеря устойчивости при достижении предельной
нагрузки............................................. 188
17.1.5. Устойчивость линейно упругой системы с конеч-
ным числом степеней свободы ......................
17.1.6. Собственные значения и собственные функции .
17.1.7. Энергетический критерий качества равновесия . 190
17.1.8. Потенциальная энергия центрально сжатого ли-
нейно упругого стержня............................... J9®
17.1.9. Задача Эйлера .............................
17.1.10. Равновесные состояния сжато-изогнутого ли-
нейно упругого стержня ............................. 191
17.1. Л. Об анализе больших перемещений сжатым н
сжато-изогнутых стержней............................. *92
17.1.12. Устойчивость «в большом- и явление перескока 192
17.1.13. Идеальные и нендеальные системы. Начальные
несовершенства реальных стержней ..................... 92
17.1.14. Свободная длина и гибкость стержня ... 193
17.2. Линейно упругие сжатые н сжато-изогнутые
стершин постоянного сечения . 194
172.1. Линейно упругий материал. Обозначения ... 194
17.2.2. Уравнение упругой линии стержня в форме ме-
тодв начальных параметров.........................
17.2.3. Критические силы центрально сжатых стержней
с различными условиями закрепления концов . . 195
17.2.4. Вкецентренно сжатые стержни.............. 199
17.2.5. Сжато-изогнутые стержни.................. 20°
17.2.6. Принцип независимости действия сил. Принцип
взаимности перемещений......................... 2®
17.2.7. Растянуто-изогнутые стержни ........ 20°
17.2.8. Большие перемещения виецентренио сжатых
стержней...................................... 204
17.3. Линейно упругие стержневые системы. Мето-
ды расчета.....................................soe
17.3.1 Основные положения расчета по деформирован*
кой схеме .................................... 206
17.3.2. Метод сил....................... .......... 2®
17.3.3. Метод перемещений ... ........ 2®
17.3.4. Расчет нераэрезных балок..................... 211
17.4. Линейно упругие стержневые системы. Опре-
деление критических нагрузок ... 213
17.4.1. Постановка задачи об устойчивости линейно уп*
ругой стержневой системы.................... 213
17.4.2. Анализ критических состояний методом сил и ме-
тодом перемещений ................................... 214
17.4.3. Примеры исследования устойчивости методом сил
и методом перемещений .......... 216
17.4.4. Качественный анализ устойчивости линейно упру-
гих стержневых систем................................ 218
17.4.5. Устойчивость однопролстных стержней с упруго
закрепленными концами............................... 219
17.4.6. Устойчивость нераэрезных балок на упруго пере-
мещающихся опорах.................................... 219
17.4.7. Устойчивость нераэрезных балок на упруго вра-
щающихся опорах...................................... 220
17.4.8. Устойчивость рамиых систем ........... « • 221
17.4.9. Устойчивость стержня в упругой среде .... 222
17.4.10. Справочные данные для определения свободных
длин ....... ........................................ 222
17.5. Линейно упругие сжатые стержни составного
сечения. Стержни с переменными по длине жест-
костью и сжимающей силой ........ 222
Стр.
17.5.1. Сжатые стержни составного сечения . . . 229
17.5.2. Сжатые ступенчатые стержни ........ 223
17.5.3. Сжатые и сжато-изогнутые стержни с непрерыв-
но изменяющейся по длине жесткостью.................. 224
17.5.4. Сжатые стержни, жесткость которых изменяется
по степенному закону................................. 226
17.5.5. Сжатые стержни с переменными по длине жест-
костью и сжимающей силой............................. 227
17.6, Линейно упругие стержни, сжатые следящи-
ми силами .........................................
17.6.1. Стержень, сжатый следящей силой общего типа
17.6.2. Динамический критерий устойчивости равновесия.
Три вида собственных движений стержня ....
17.6.3. Гармоническое колебание стержня, сжатого сле-
дящей силой................................... .
17.6.4. Критические состояния стержня, сжатого следя-
щей силой ........................................
17.6.5. Области устойчивости н неустойчивости невесомо-
го стержня, несущего сосредоточенную массу и сжа-
того следящей силой...............................
17.6.6. Области устойчивости и неустойчивости весомого
стержня, сжатого следящей силой...................
17.7. Нелинейно упругие сжатые н сжато-изогну-
тые стержни : . . . . .................
17.7.1. Нелинейно упругий материал.............. « .
17.7.2. Устойчивость централько сжатых стержней . .
17.7.3. Изгиб я устойчивость сжато-изогнутых стержней
17.7.4. Аналитическое исследование равновесных и при*
тических состояний виецентренио сжатого стержня
с двухточечным профилем...........................
17.7.5. Численное исследование равновесных и критиче-
ских состояний сжато-изогнутых стержней . . .
17.7.6. Приблнжеииое определение критический силы вие-
центренно сжатого стержня.........................
17.7.7. Качественный критерий устойчивости сжато-изо-
гнутых нелинейно упругих стержней.................
17.8. Упруго-пластнческне сжатые и сжато-нзогну-
тые стержни :.....................................
I7.B.I. Упруго-пластический материал. Обозначения . .
17.8.2. Устойчивость центрально сжатых стержней . .
17.8.3. Изгиб и устойчивость сжато-нзогиутых стержней
17.8.4. Сжато-изогнутые стержни из идеального упруго-
пластического материала ..........................
17.8.5. Приближенное исследование устойчивости вне-
центренио сжатого стержня прямоугольного сечения
из идеального упруго-пластического материала . .
17.8.6. Влияние формы поперечного сечен ня на устойчи-
вость виецентренио сжатых стержней из идеально-
го упруго-пластического материала...............,
17.0. Подбор сечений сжатых и сжато-изогнутых
стержней..........................................
17.9.1. Основные положения подбора сечений сжатых и
сжато-изогнутых стержней .........................
17.9.2. Расчет центрально сжатых стальных стержней
по нормативной методике...........................
179.3. Расчет сжато-изогнутых стельных стержней по
деформированной схеме , •.........................
17.9.4. Расчет с жато-изогнутых стальных стержней по
нормативной методике .............................
17.9.5. Расчет сжато-изогнутых стальных стержней по
критическому напряжению...........................
17.9.6. Сопоставление результатов расчета виецентренио
сжатого стержня по трем различным методикам
17.10. Линейно упругие тонкостенные сжатые и
сжато-изогнутые стержни...........................
17.10.1. Дифференциальные уравнения равновесия тон-
костенных стержней ....
17.10.2. Изгиб н кручение тонкостенных сжато-изогну-
тых стержней......................................
17.10.3. Расчет тонкостенных сжато-нзогиутых стержней
по деформированной схеме
17.10.4. Изгиб, кручение и устойчивость тонкостенных
ННН ± * §§8 8. П 88 8 8S
внецсктреиио сжатых стержней...................
17.10.5. Устойчивость тонкостенных центрально сжатых
стержней..........................................
17.11. Нелинейно упругие стержневые системы.
(А. В. Геммерлинг).................................... гя
17.11.1. Постановка задачи об. устойчивости нелинейно
упруги* стержневых систем • 261
ОГЛАВЛЕНИЕ
6
Cep
17.11.2. Основные аналитически* завися мости - . .
17.1 IJ. Алгоритм «Сечение* St
17.11. 4. Алгоритм «Стержень» • «....•-«• S?
17.11. 5. Алгоритм «Раме* ....................... г??
17.11. 6. Предельное состояние системы..........
17.12. Устойчивость линейно упругих колец н арок.
(А Б. Моргиевскмй)............................. 254
17.12.1. Постановка задачи. Поведение нагрузки • • • 254
17.12.2. Устойчивость круговых колец .......
17.12.3. УсгоПчнвость круговых арок в нх плоскости "°
17.12.4. Устойчивость параболических арок в их пло-
скости........................................... 350
17.12.5. Устойчивость пологих двухшарнирных арок в
нх плоскости....................................
17.12.6. Устойчивость одиночных арок из их плоскости
17.13. Местная устойчивость профилей сжатых
стержней (А. Г. Иммерман) ....... 256
17.14. Устойчивость плоской формы нзгаба балок.
(Г. М. Чувикин)................................. 262
17.14.1. Устойчивость двутавровых балок ...... 262
Учет прогиба балки в плоскости изгиба (264). Кри-
тические напряжения (265). Балки с продольными
связным (265). Влияние перехода критических на-
пряжений за предел пропорциональности (265).
17.14.2. Устойчивость стальных двутавровых балок . . 265
Балки с сечением, имеющим две осн симметрии
(266). Переходные коэффициенты для сталей разных
классов (267). Двутавровые балки с сечением, имею-
щим только одну ось симметрии (267),
Литература 263
РАЗДЕЛ 16
устойчивость пластинок и оболочек.
РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
В. Л. Агамиров, А. С. Вольмир
18.1. Определение и основные обозначения ... 270
18.2. Устойчивость пластинок в пределах упругости 270
I&2.I. Прямоугольные пластинка .......« . . 270
18J.2. Прямоугольные и квадратные пластинки, под-
крепленные ребрами........................ 274
18J.3. Несущая способность подкрепленных ребрами
прямоугольных пластинок после потери устойчиво-
сти при сжатии, сдвиге и чистом изгибе. Редукци-
онные коэффициенты ......................... 277
182.4. Непрямоугольные пластинки ........ 277
18Х Устойчивость незамкнутых оболочек (пане-
лей) в пределах упругости................... 279
16.3.1 . Цилиндрические панели • ...«•«. 279
16,3.2 . Конические панели ...................... 281
18.3.3 . Сферические панели ............ 281
18.4. Устойчивость замкнутых оболочек в преде-
лах упругости ............ 281
18.4.1. Цилиндрические круговые оболочки ..... 281
16.4.2. Цилиндрические эллиптические оболочки ... 285
16.4.3. Усеченные комические круговые оболочки . . 285
16.4.4. Усеченные конические круговые подкрепленные
оболочки.................................... ?86
18.4.6. Усеченные комические эллиптические оболочки 266
18.4.6. Сферические оболочки...... . . . . 287
18.4.7. Эллипсоидальные оболочки ......... 287
18.5. Устойчивость пластинок и оболочек за пре-
делами упругости...................... 288
18.5.1. Общие положения ............ 288
16.5.2. Прямоугольные пласт инк н ..... 288
18.5.3. Цилиндрические оболочки ......... 290
18.6. Гибкие пластиимн и мембраны .... 29в
18,6.1, Гибкие ыасгивка ... ........
Сто.
18.6.2. Мембраны ....... 2®3
Литература.................
РАЗДЕЛ 19
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ,
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
М. С. Бернштейн, Г, К. Клейн, А. П. Синицын
19.1. Статика сыпучей среды (М. С. Бернштейн) 296
19.1.1. Давление на ограждающие конструкции храни-
лищ сыпучих тел..........................• .
19.1.2. Предельное равновесие сыпучей среды. Строгие
н приближенные решения плоской задачи ....
19.1.3. Давление сыпучего тела на массивную стейку.
Теория Кулона. Строгое решение для частного
случая ....................................
19.1.4. Графическое определение активного давления.
Построение Рсбхана. Построение Понселе ....
19.1.5. Графическое определение пассивного давления.
Построение Ребхана. Построение Понселе ....
19.1.6. Давление сыпучего тела в бункерах н силосах
И § 8 §3
19.2. Расчет подземных сооружений (Г. К. Клейн) зоб
19.2.1. Физико-механические свойства н характер и стихи
грунтов............................................. 306
Виды и составные части грунтов (306). Напряжения
и осадки грунта (306). Расчетные механические мо-
дели грунтов (307). Прочность (рунтов (307).
19.2.2. Давление грунтов на подземные сооружения . . 308
Напряженное состояние грунтов до и после прове-
дения выработки (308). Давление грунта иа соору-
жение в насыпи (309). Давление грунта на сооруже-
ние в выемке (траншее) (311). Давление грунта на
крепь выработки и обделку туннеля (311). Давление
грунта в пространственной задаче (312). Давление
на сооружение ст наземных нагрузок (313).
19.2.3 Расчет жестких подземных сооружений кругового
поперечного сечении................................. 314
Распределение опорных реакций (314). Внутренние
усилия в сооружении от различных нагрузок (315).
Приведение расчетных нагрузок к двум эквивалент-
ным сосредоточенным силам (315). Деформация по-
перечного сечения сооружения (317).
19.2.4. Расчет подземных сооружений с учетом отпора
грунта............................................ 320
Общие соображения (320). Способ Мстролроекта
(320). Способ О. Е. Бугаевой (322). Совместное дей-
ствие на подземное сооружение нагрузок и внутрен-
него давления при учете упругого отпора грунта
(322). Несущая способность сооружения по условию
прочности (323). Расчет сооружения на упругую
устойчивость и жесткость (324).
19.2.5. Расчет сооружений с учетом пластичности мате-
Еналов.............................................. 324
ыравннванне изгибающих моментов в стенках соо-
ружений (324). Пластическая стадия работы под-
земного сооружения при совместном действии внеш-
ней нагрузки и внутреннего давления (324). Пре-
дельное состояние сборной туннельной обделки
(325).
19.26. Расчет сооружений некругового поперечного
сечения............................................. 326
Расчет туннельной обделки в виде пологого свода
(326). Расчет обделки подземного сооружения в ви-
де свода, опирающегося на массивные стеикн (326).
19.3. Балки и плиты на упругом полупространстве
(А. П. Синицын) ................................... 327
19.3.1. Выбор расчетной схемы .......... 327
19.3.2, Бесконечно жесткая балка............. 328
19.3.3. Гибкая короткая балка.................
Двухслойное основание (329). Два здании, располо-
женные рядом (330).
19.3.4. Балка зв пределом упругости........... 331
Определение наибольшей нагрузки а упругой стадии
Распределение реакций за пределом упругости (332).
Величина предельной нагрузки (333).
19.3.5. Расчет плит за пределом упругости ..... 333
Бесконечно-протяженная плита (333). Влияние мест-
ных и общих деформаций (334). Нагрузка на краю
плиты (335). Расчет слоистой плиты (335). Опти-
мальная толщина плиты (337).
Литература • 333
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Стр.
РАЗДЕЛ 20
ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ
Б. Г. Коренев, В. И. Сысоев
20.1. Элементы теории колебаний
зээ
20.1.1. Кинематика колебательного движения .... 339
20.1.2. Колебания системы с одной степенью свободы ЭТО
Свободные колебания при отсутствии сил сопротив-
ления (340). Свободные колебания при наличии скл
сопротивления (340). Вынужденные колебания при
отсутствии сил сопротивления. Резонанс (341). Вы-
нужденные колебания при наличии сил сопротивле-
ния. пропорциональны ж скорости колебаниП (342).
Вынужденные колебания при затухании по теории
Е. С. Сорокина (342).
20.1.3. Колебания системы с несколькими степеням и
свободы.............................................. 343
Свободные колебания при отсутствии сил сопротив-
ления (343). Свободные колебания при наличии сил
сопротивления (344). Приближенные способы опре-
деления основной частоты свободных колебаний
(343). Вынужденные колебания при отсутствии сил
сопротивления (345).
20.1.4. Колебания систем с непрерывно распределенной
массой............................................... 345
Продольные свободные колебания стержней (345).
Свободные колебания балок (346). Нагибные коле-
бания пластинки постоянной толщины (347). Вынуж-
денные колебания балок (348).
20Л Частоты собственных колебаний ...» 349
20.2 .1. Балки на жестких опорах...................... 349
202.2. Балки на упругих опорах......................... 351
202.3. Балки с распределенными и сосредоточенными
массами
202.4. Балки. нагруженные продольными силами «I
20.2.5. Рамы............................................ 357
Рамы без сосредоточенных масс (357). Рамы с со-
средоточенными массами (3S8).
20.2.6. Фермы..................................... -
Метод Польгаузена (360). Метод наложения (360).
Метод эквивалентной балки (360).
20.2.7. Арки, длинные своды, кольца..................... 360
Круговые арки и своды постоянного сечения (360).
Параболические симметричные арки переменного
сечения (361). Круговые кольца (362).
20.2.8. Плиты.......................................... 363
СО.2.9. Стержни переменного сечения..................... 366
202.10. Крутильные и продольные колебания стержня.
Колебания струны........................................ 368
20.2.1 ). Колебания жидкости в резервуарах.............. ЗЭД
20.2.12 . Колебания трубопровода, по которому движет-
ся жидкость........................................ 370
20.3. Динамические характеристики строительных
материалов и конструкций ........ 370
20.3.1. Динамическая жесткость ......... 37°
20.3.2. Внутреннее поглощение энергии колебаний (зату-
хание) в конструкциях н материалах сооружений ЭТО
20.3.3. Выносливость строительных материалов ... ЗЯ
20.4. Динамические нагрузки от машин .... 371
20.4.1. Машины с конструктивно неуравновешенны мн
движущимися частями........................... 372
20.4.2. Машины с номинально уравновешенными, а фак-
тически неуравновешенными движущимися частями 372
20.5. О динамическом расчете перекрытий и карка-
сов зданий ............. 373
20.5.1. Расчетные схемы. 373
20.5.2. Частоты и формы свободных колебаний ... 374
20.5.3. Результаты динамического расчета и норматив-
ные требования ............................. 376
20.6. Внброизоляция и другие способы борьбы с
вибрациями...................................... 376
20.6.1. Внброизоляция .......................... 376
20 6.2. Принципиальная схема работы внбронзолнрован-
ной установки. Конструктивные схемы внброиэоля-
Стр.
инн н вибро из оля торов. Содержание н задачи
расчета....................................
20 6 3. Расчет внбронзоляцни................ .
Активная вибрация при периодических нагрузках
206.4. Другие способы борьбы с вибрациями строитель-
ных конструкций.................................
20.6.5. Мероприятия по уменьшению вынужденных коле-
баний. передаваемых машинами....................
20.6.6. Мероприятия по уменьшению колебаний нри про-
хождении через резонанс ..... ..................
Литература >»•...• .................... ........
РАЗДЕЛ 21
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ (СТЕРЖНЕВЫХ.
ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК)
ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ
И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
А. М. Проценко
21 Л. Основные положения по расчету конструкций
в состоянии пластичности ........
21.1.1 . Поседение конструкций в пластической стадии
21.1.2 . Основные положения теории предельного равно-
весия ........................................
21.1.3 . Основные ограничения теории .
21.1.4 . Типы нагрузок и классификация задач ....
21.2. Несущая способность сечений..............
21.2.1. Чистый изгиб сечений в плоскости симметрии
21.2.2. Косой изгиб стержня ....................
212.3. Вкецентренное растяжение (сжатие) в плоскости
симметрии...............................
21.2.4. Учет поперечной силы при изгибе.........
21.2.5. Предельные состояния сечения при кручении . .
21.2.6. Условия пластичности для изгибаемых плит . .
21.2.7. Несущая способность плиты при соя местном дей-
ствии изгиба и плоского напряженного состояния
21.2.8. Ассоциированный закон пластического течения
для конструкций.............................
21.3. Расчет плоских стержневых систем . . .
21.3.1. Пластические шарниры в стержневых системах
21.3.2. Расчет статически определимых стержневых
систем........................................г
21.3.3. Расчет иераэрезиых балок................
21.3.4. Расчет статически неопределимых рам . • • .
21.4. Предельное равновесие пластинок
21.4.1. Общие положения расчета...................
21.4.2. Кинематический способ определения несущей спо-
собности пл нт ..................................
21.4.3. Статический способ определения несущей способ-
ности плнг.......................................
21.4.4. Некоторые частные решения для пластинок, за-
груженных сосредоточенной силой, при шарнирном
опирании ........................................
21.4.5. Пластинки, загруженные равномерно распреде-
ленной нагрузкой ................................
21.4.6. Предельное равновесие пласт идо к, защемленных
по контуру ......................................
21-4.7. Пластинка с отверстием при равномерно распре-
деленной нагрузке ......................• . . .
21.5. Предельное равновесие оболочек . . .
21.5.1. Общие положения расчета оболочек.........
21.5.2. Расчет осесимметричных оболочек..........
21.5.3. Некоторые типы оболочек вращения.........
21.5.4. Пологие оболочки с отверстием............
21.6. Методы решения задач ползучести . .
21.6.1. Уравнения состояния для задач ползучести . . .
21.6.2. Методы решения задач линейной ползучести
21.6.3. Методы решения задач нелинейной установив-
шейся ползучести ...................................
21.6.4. Расчет стержневых систем при нелинейной пол-
зучести ............... ...........................
§ § s°sa m м § g g g ggg g g § « gg g ggg в § ш s
Литература . . .
411
412
419
414
ПРЕДИСЛОВИЕ КО
При составлении второго нздаиня Справочника ми
воспользовались советом многих читателей — разделить
содержащийся в Справочнике обширный материал на
две книги, облегчив тем самым пользование нм..
В первую книгу вошли разделы:
I. Математика
2. Теоретическая механика
3. Напряжения, деформации, прочность материалов
4. Материалы для строительных конструкций. Мето-
ды расчета
5.. Строительная механика упругого стержня н стерж-
невых систем
6. Матрицы. Численные методы строительной меха-
ники
7. Таблицы геометрических характеристик сеченнй
стержней
8. Таблицы и формулы для расчета балок, рам н
арок
9. Стержни, очерченные по дуге круга, и круговые
кольца
10. Фермы
11. Вантовые н пневматические конструкции
Во вторую книгу вошли разделы:
12. Уравнения и формулы теории упругости, пластич-
ности н ползучести
13. Упругие тонкие пластины (плиты н балки-стен-
ки)
ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
14. Оболочки
15. Метод сеток в приложении к расчету пластин и
оболочек
16. Моделирование
17. Устойчивость стержневых систем
18. Устойчивость пластинок н оболочек. Расчет гиб-
ких пластинок
19. Расчет сооружений, взаимодействующих с грун-
том
20. Динамика сооружений
21. Расчет конструкций (стержневых, пластинок и
оболочек) по предельному равновесию и учет ползучести.
Первая книга, наряду со Строительными норманн и
правилами (СНиП), а также со специализированными
томами «Справочника проектировщика», должна удов-
летворять практическую потребность инженеров, заня-
тых расчетом прежде всего стержневых конструкций.
Вторая книга предназначена для инженеров, решающих
более сложные задачи, в частности, по расчету оболочек.
Разделы 6, И, 15. 16 — новые, написанные специаль-
но для второго издания. Разделы 17 и 21 коренным об-
разом переработаны по сравнению с соответствующими
разделами первого издания. Остальные разделы пере-
работаны частично и дополнены краткими сведениями
о расчетных методах, развитых в последнее десятилетие.
Раздел «Нормы нагрузок и габаритов» исключен как
дублирующий официальные нормативные издания.
РАЗДЕЛ 12
УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
В разделе справочника «Напряжения, деформации и
прочность материалов» даны определения тензора на-
пряжений и тензора деформаций (см. 3.1.5 и 3.2), а так-
же различные формы записи закона Гука для изотроп-
ных н анизотропных тел (см. 3.3.1 н 3.3.2). Здесь даются
основные уравнения н формулы теория упругости, плас-
тичности н ползучести.
12.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
12.1.1. Уравнения равновесия
Составляющие тензора напряжений (рнс. 12.1)
(12-1)
являются в общем случае функциями координат.
Здесь: о>, ог, о, — нормальные напряжения на площад-
ках, перпендикулярных соответственно осям х, у н г.
В обозначениях касательных напряжений первый ин-
декс соответствует направлению напряжения, второй —
направлению осн, перпендикулярно которой расположена
рассматриваемая площадка.
Для тела, находящегося в равновесии, этн функции
должны удовлетворять уравнениям равновесия:
да, 0 Сгь дг,» ,, „
дх ду дг
-^+^+^+Y=*
дх ду дг
(12.2)
Соотношения (12.3) носят название граничных усло-
вий. Тензор напряжений в цилиндрической системе коор-
динат г, 0, z (рнс. 12.4)
(°, Ье Т,Д
те» °в твг I • (12.4)
Здесь:
о, — нормальное напряжение на площадках, перпендику-
лярных радиусу-вектору г; — нормальное напряжение
в меридиональных сечениях, проходящих через ось г
и радиус-вектор г; т(1г — касательное напряжение на
площадке, перпендикулярной осн г, направленное по ка-
сательной к окружности г=const в сторону увеличения
угла 0; т„ — касательное напряжение на тон же пло-
Здесь X, У, Z — составляющие вектора объемной силы,
т. е. внешней силы, отнесенной к единице объема. Такой
объемной силой является, например, собственный вес
единицы объема твердого тела.
Внешние напряжения (рнс. 12.2) p,v р„ , дейст-
вующие в какой-либо точке поверхности тела с внешней
нормалью V, связаны с внутренним» напряжеинямн
у границы тела ож, TIV. о, (рнс. 12.3) формулами:
P«v = <’J + \v'"+ *„'•:
Рям = \х/+%т + Тигп:
Pzv = T„/+ т2р/п + 02п.
(12.3)
Здесь
I = cos (х, v); т = cos (у, v); л = cos (z, v).
10
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
шадке. направленное вдоль радиуса-вектора г; т:, — ка-
сательное напряжение на площадке, перпендикулярной
радиусу-вектору г и направленное по осн z; Tg, — каса-
тельное напряжение на той же площадке, направленное
по касательной к окружности г=const в сторону уве-
личения угла 6; — касательное напряжение в мери-
диональное сечении с внешней нормалью в сторону уве-
личения угла 6, направленное вдоль оси г; — каса-
тельное напряжение в том же сеченнн, но направленное
вдоль радиуса-вектора г.
Рнс. 12.3
Рис. 12.4
Уравнения равновесия в цилиндрических координатах:
до. 1 ^гв , дт„ а, — о„
дг г дО 1 да + г
dTg, 1 ЙГ«г ve.
дг + Т’^ + 1Г+2—+<? = 0; (12 5)
1 д°г тхг
дг + V~^" + tJ + ~+2 = 0- Г ОЪ 02 Г
Здесь R, Q, Z — составляющие объемной силы в направ-
лениях г, 6, г соответственно.
12.1.2. Уравнения совместности деформаций
Составляющие тензора деформаций в декартовых коор-
динатах (рнс. 125}
2 Vxp 2 Yx»^
Рнс. 12.5
1
еи y Уиг
(12.6)
должны удовлетворять уравнениям совместности Сен-
Венана:
*«х <*4 _ ^Ух„
ду3 дх1 дхду
_^Уи
да* дуг дудг '
д^г ^х _ d3Yax
дх3 дг1 дхдг '
~ (for . foxy'i = 2 &ег
дг \ дх ду дг / дхду
д 1дугг dytv дУи^дд^х
дх \ ду дг дх ) дудг
д fdy„ ду„ _ ду
= 2^.
ду \ да дх ду / дхдг
(12.7)
121. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
11
В случае плоской деформации (ш=0) система урав-
нений совместности деформаций (12.7) заменяется одним
уравнением
<12-8>
ду* dit* дхду
Тензор деформаций в цилиндрических координатах:
e. У Vr9 yv,r
1 у ve, re 1 у Yfc (12-9)
1 у ’’ >
Если через 5 обозначить радиальное, через ч — тан-
генциальное и через а — аксиальное перемещения
(рис. 12.6). то компоненты тензора деформаций в цилин-
дрических координатах могут быть вычислены по фор-
мулам:
К.
dr '
I th] Е да
е» = Т'дё+ г : “г= ь’’
йт) п 1
V,e “ dr г + г ’ ае ‘
(12.10)
I да di) 3J; да
Tfe = Т ’ дв + ~дг : Т" = ~дг + dr '
д
dr
Уравнение совместности деформаций в случае плоской
деформации (о>=0)
/_1_
\г» ’ Й02
_1_ ^гВ
г ’ дгМ
"*Чдг2 г* ВО2 г2/ 8
(12-11)
12.1.3. Определение перемещений
по составляющим тензора деформаций
Составляющие тензора деформаций связаны с состав-
ляющими вектора перемещения и. о и а дифференциаль-
ными зависимостями — уравнениями Коши (рнс. 12.7):
du ди да
е' = дГ; е,,= 7у ' е,= в7:
ди ди да ди
Vn = dy+d7: ду + ~dz ''
ди> ди
v«=^+*-
(12.12)
Составляющие вектора перемещения и. и н w н со-
ставляющие вихря вектора перемещения Шх, ш, н <и>
связаны соотношениями
да ди ди да
“х = лГ— “*'=дг-дх:
ди ди <12|3>
°2 В* ду ’
Составляющие вихря перемещения характеризуют
вращение бесконечно малого элемента в рассматривае-
ди ди
мой точке. Так, уХ), = — +— (рнс. 127) характери-
зует сдвиг, т. е. уменьшение прямого угла в рассматри-
ваемой точке между направлениями, первоначально па-
раллельными осям Ох и Оу; разность этих углов
ди ди
<иг = — — — дает удвоенный угол поворота вокруг
осн Ог биссектрисы угла между этими двумя направле-
ниями.
Зависимости между составляющими тензора деформа-
ции и составляющими вихря вектора перемещения:
du>t дУгх SVxu,
dx Sy dz
dci>x _SVin о6*»
- 2 —-:
Sy Sy dz
dat SXia
_ 2
dz йу dx
(12-14)
Пусть составляющие вектора перемещения и вихря
вектора перемещения точки Мо(хо. Уи, го) тела (рнс. 128)
имеют значения: ио, о0, ®о и <в°. шх соответственно.
Составляющие вектора перемещения любой другой
точки M|(xi, j/i, zi) могут быть вычислены по формулам
“1 = “о+у “у(г1~7о)-
-у “°(»1-»о) +
+ J (L/r dx 4- Uy d у + U?dz)
®i = «o + у
-у “х(г1~го) +
+ J (Vxdx + l'ydy + V^x)
n'l = ®o+y “x(»l-%)~
-у“к(х1-хо) +
+ | dx + W^dy + dz).
(12.15)
Здесь
^,+>.-4^-^)+
2 \ ду dx J
+ т(г‘-г,(2*" *'=
12
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
этого тела как функции координат. Таким путем может
быть, например, решена задача о смещении точек верх-
ней поверхности полупространства н другие аналогичные
задачи.
12.1.4. Физические уравнения теории
упругости и термоупругости
Физические уравнения теории упругости, свяэывающяе
компоненты тензора напряжений с компонентами тензора
деформаций, для избранного тела в пространственном
случае (для нормальной температуры) имеют вид. пред-
ставленный в 3.31 и 3.32.
В случае наличия неравномерного поля высоких тем-
ператур эти связи между напряжениями и деформациями
принимают вид
Ех = Нт)|Ojr ~ ц (Т) + °г)| + “(Т) {Т ~ Го):
у = -^~-
G(T)‘
или при записи напряжения через деформации
Зр(П
1—2р(7)
(Г)(Т-Т.)|;
ох — 2G (Г) -|-
I +Р(7)
1-2р(Т) '
I I
+ y (vi-
'жи — (7") Тхд
Формулы (12.15) носят название формул Чеэаро
В этих формулах выражения для Vx, V„ V, и П7», Wy,
W, получаются нэ приведенных выражений для I/., U,.
V, круговой перестановкой букв х, у, г. Криволинейные
интегралы в формулах (12.15) могут быть вычислены
по любому пути между точками Мо н М,.
Обычно в теории упругости интересуются только отно-
сительными смешениями точек тела относительно друг
друга, а не движением тела как целого, поэтому для
точкя Мо и0=о0"=Шо=0 н coJJ= <о°= coj =0. Формулы
Чезаро дают возможность найти перемещения точек те-
ла, если известны составляющие тензора деформаций для
В случае анизотропного тела физические уравнения
теории упругости имеют вид, приведенный в 3.3.2. В плос-
ком случае для ортотропного тела в технических обозна-
чениях физические уравнения имеют вид, приведенный
в 3.3.4.
При наличии неравномерного поля высоких температур
для анизотропного тела физические уравнения обобща-
ются. в них так же, как для изотропного тела, добав-
ляются температурные слагаемые. Причем поскольку ко-
эффициенты линейного расширения для анизотропного
тела будут, как н другие физико-механические характе-
12.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
13
ристнки, зависеть от направления, необходимо ввести
в рассмотрение тензор коэффициентов линейного расши-
рения Qin (Г).
12.1.5. Уравнения теории упругости
в напряжениях
„ . /аг ах \
= -о + н) Ь-+-7- .
С/2 f
где a = at + Oy + aI,
а» а» а»
дх* ду* дг*
В теории упругости в основном приходится иметь дело
с двумя типами задач. В задачах первого типа на по-
верхности исследуемого тела задаются внешние силы.
Требуется найти напряжения и смещения любой точки
тела под действием этих сил. Иногда в задачах этого
типа помимо поверхностных сил задается еще объемная
сила (например, собственный вес тела). В задачах дан-
ного типа для 15 неизвестных функций, а именно:
шести составляющих тензора напряжений ож, а,. а„
шести составляющих тензора деформаций е>, е,. е,.
I I I
f V«. 2 2
Таким образом, получается система из девяти уравне-
ний (12.2) н (12.16) для шести неизвестных функций
а«, о,, а„ тж1, т«,, Тх„ т. е. сверхопределеииая система.
Доказательство того что эта система не противоречива
и допускает единственное решение при заданных иа по-
верхностя тела усилиях, см., например [11].
12.1.6. Уравнения теории упругости
н термоупругостн в перемещениях
(уравнения Ляме)
трех составляющих вектора смещений и. и>, о, имеется
15 уравнений: три уравнения равновесия (12.2); шесть
уравнений, связывающих составляющие тензора дефор-
мации с составляющими вектора перемещений (12.12);
шесть уравнений закона Гука (см. 3.3.6).
Эти уравнения должны быть решены таким образом,
чтобы иа поверхности тела удовлетворялись грьпнчныс
условия (12.3). Для решения задач теории упругости
в напряжениях нужно использовать уравнения равно-
весия (12.2) н уравнения совместности деформаций
(12.7), выраженные через напряжения с помощью урав-
нений закона Гука (см. 12.1.4). Эти уравнения совмест-
ности деформаций, выраженные через напряжения, носят
название уравнений Бсльтрами — Митчелла:
дХ
В задачах второго типа, решаемых в теории упруго-
сти, иа поверхности тела задаются смещения. Требуется
найти напряжения и смещения в любой точке тела.
В задачах этого типа за основные неизвестные прини-
мают три составляющие вектора смещения и, v н w.
Чтобы получить три уравнения для нахождения и, о
и о>, удобно в уравнения закона Гука (см. 12.1.4) под-
ставить формулы, связывающие составляющие тензора
деформаций с составляющими вектора смешения (12.12),
н затем полученные выражения для напряжений подста-
вить в уравнения равновесия (12.2). В результате полу-
чаются три уравнения для трех составляющих вектора
смещения — уравнения Ляме [16]:
ае
(X + G) —+ Gvsu + X
ох
Р (1 + ю
1-н
/ах ar _ az\
I дх ду дг/
d=o „ dY
(1 +п)^ + —= -2() +
_ р(1 +р) [ЭХ ar az\
1 — р I дх ду дг Г
д:а dZ
(l+l*)v’ei+-^- = -2(l + p)^—
nd + р) /ах ar az\
1 — р \ дх ду дг)’
д*а
(' + м)^Т-+^ =
= 2<^±м) а
1—2)1 дх
дв
(1 + G) —+ От»о + У =
ду
1—2)1 ду
(X + G) — + Gy’ir + Z =
02
1-2)1 дг
(12.17)
(12.16)
Здесь й= ел 4- + ег;
коэффициент Ляме G =
X =-------------—; второй
(1+)1)(1-2)1)
Е
—-------= const совпадает с
2(1 +р)
а«с
модулем сдвига (p=const — коэффициент Пуассона).
Должно быть найдено такое решение этих уравнений,
которое удовлетворяет граничным условиям, т. е. необ-
ходимо найти три такие функции координат
и = и(х,у, г), о = о(х,у, г). п> = п>(х. у, г).
дгдх
которые, удовлетворяя уравнениям Ляме (12.17). в то
же время на поверхности тела принимали бы заданные
значения составляющих вектора смещения.
14
РАЗДЕЛ В. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Точное решение уравнений теории упругости для боль-
шинства задач, выдвигаемых практикой, неизвестно, по-
этому большое значение приобретают приближенные ме-
тоды решения этих задач.
12.1.7. Потенциальная энергия деформации
Потенциальная энергия деформации может быть вы-
числена либо через компоненты тензора напряжений, ли-
бо через компоненты тензора деформаций:
117 = f °’ + +0^-2Н (°i %+ % S + ах) +
V*
+ 2(1 + ц) (+ т;, + т^)] dxdydz; (12.18)
V
+ -у ( vi, + vL + й)] (12.19)
Интегралы (12.18), (12.19) распространяются на весь
объем тела. В случае плоского напряженного состояния
при о,= т11=т,,=0 выражение (12.18) принимает вид
s
+ 2(1+u)t’J dxdy, (12 20)
в случае плоской деформации выражение (12.19) прини-
мает вид
П7=ПсН+^+Г=¥02+
S
(122,)
12.1.8. Общие принципы теории упругости
Принцип возможных перемещений Лагранжа форму-
лируется в таком виде: работа всех внешних н внутрен-
них сил на любом возможном (т. е. совместном с геомет-
рическими связями) перемещении для любой системы,
находящейся в равновесии, должна быть равна нулю
(Х6« + /бо + Zbai) dxdydz +
v
+(Xv би + Vv би + Zv 6и>) dS - ilF = 0.
Вариационное уравнение Лагранжа представляет собой
равенство нулю первой вариации полной потенциальной
энергии системы. Составляя вторую вариацию полной
потенциальной энергии всей системы, можно показать
[10], что эта энергия принимает минимальное значение.
Это составляет содержание принципа минимума полной
потенциальной энергии деформации: в состоянии устой-
чивого равновесия полная энергия деформации должна
принимать минимальное значение.
Из этого вариационного уравнения могут быть получе-
ны дифференциальные уравнения равновесия в напряже-
ниях и статические граничные условия [10]. Это урав-
нение лежит в основе ряда широко используемых вариа-
ционных методов приближенного решения задач теория
упругости, в частности в основе методов Ритца и Буб-
нова — Галеркнна (см. 12.3).
Принцип Кастнлнано предполагает такое изменение
напряженного состояния тела, при котором удовлетво-
ряются дифференциальные уравнения равновесия н ста-
тические граничные условия, т. е. исходное напряженное
состояние тела и вариации этого состояния являются
статически возможными. При этом вариационное урав-
нение Кастилиано имеет вид [10]:
63, = 0.
где
Э, = W— jj (uXv + oKv + WZV ) dS,
s
t. e. средн всех статически возможных напряженных
состояний в действительности имеет место то, для кото-
рого величина 3, имеет стационарное значение.
Составляя вторую вариацию 6"IV. увидим, что полная
энергия деформации в этом случае принимает минималь-
ное значение.
Из вариационного уравнения Кастилиано можно по-
лучить уравнения неразрывности деформаций. Оно ис-
пользуется прн приближенном решении в напряжениях
ряда конкретных задач теории упругости.
122. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
12.2.1. Плоское напряженное состояние
Рассмотрим случай, когда тонкая плоская пластинка
находится под действием сил, приложенных по контуру
параллельно ее плоскости н равномерно распределенных
по толщине (рнс. 12.9). Допустим также, что объемная
сила Z равна нулю, а силы X н У являются функциями
_ h
только х и у. Поверхности пластинки г=± — свободны
от внешних сил, и компоненты напряжений о,, i„,i„
здесь равны нулю. Если пластина тонкая, то без сущест-
венной ошибки можно принять, что этн компоненты рав-
ны нулю по всей толщине пластинки и что три другие
компоненты — о», с,. тх, — практически остаются посто-
янными по толщине пластинки. В таком случае имеет
место плоское напряженное состояние, для которого
о,=т1Ж=г,ж=0. а Ох. а, н тж, являются функциями
только х н у.
Средние по толщине пластины напряжения аг, о,
н тж, связаны с действительными напряжениями ож, с,
и Тх, соотношениями
12.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
15
A h
2 2
Ох = —|atdz; = -L f о dr,
п J it
_ h_ h_
2 2
h
тх(|= — j i„vd2.
_'h_
2
12.2.2. Плоская деформация
Пусть длинный цилиндр находится под действием по-
перечной нагрузки, равномерно распределенной вдоль
осн (рнс. 12.10). Пусть составляющая объемной силы Z
равна нулю, а X и У являются функциями только х и у.
Рнс. 12.10
Р„= ах cos (V. х) + т cos (v. у);
Р^= Txt,cos(v' х> + %cos (v. S)-
Положив
(12.23)
= + <12 24>
легко убедиться, что первые два уравнения системы
(12.22) удовлетворяются тождественно, а третье приво-
дится к бигармоническому уравнению
д*ф дЧр д*<р
ди* + дх2ду2 ду*
(12.25)
функция <р(х, у) носит название функции напряжений,
нли функции Эрн. Контурные условия (12.23), выражен-
ные через функцию Эрн:
/ д2? \
°”= (Х’ ~ “S V):
^=4^_’*)cos(x-v)+
d*q>
+ 75-“s (J'-'’)-
(12.26)
Итак, при заданных на контуре напряжениях плоская
задача теории упругости приводится к интегрированию
уравнения (12.25) при условиях (12.26).
В этом случае деформация значительной части тела, на-
ходящейся на некотором удалении от торцов, не зависит
от координаты г, а перемещения и и о являются функ-
циями только хну. Если торцы цилиндра не могут
смешаться в направлении осн г, то перемещение о>=0.
Из симметрии следует, что в среднем сечении также
о>=0. Можно приближенно допустить, что н в любом
поперечном сеченнн тела ш=0. Тогда компоненты тен-
зора деформаций е„ е» и у., будут функциями хну.
а компоненты е„ у„, у,равны нулю; компоненты
тензора напряжений о., о¥. о,, т«, будут функциями
только хи у, а компоненты т„ н т,« — во всех точках —
равны нулю. Такое напряженное состояние носит назва-
ние плоской деформации.
Допустим, что торцы цилиндра могут свободно сме-
щаться. Тогда можно предположить, что продольная де-
формация е, представляет собой постоянную величину.
Такое напряженное состояние называют обобщенной
плоской деформацией.
12.2.3. Функция напряжений Эрн
Если объемные силы постоянны (к постоянным объем-
ным силам относится, например, собственный вес), то
как для плоского напряженного состояния, так и дли
плоской деформации основные уравнения теории упру-
гости (12.2) н (12.16) приводятся к виду
д<>х дггу _ Q дгуж дау
дх ду ’ дх ду
Т*(ох + а„) = 0.
(12.22)
где у — объемный вес.
На контуре тела, согласно (12.3):
12.2.4. Функция Эри для плоской задачи
анизотропного (ортотропного) тела
Для данного случая введем функцию напряжений <р
следующим соотношением:
=- *<« * = I -2). (12.27)
Здесь хр, — компоненты обратно симметричного тензора
второй валентности
(Л 1).
т. е.
х„ = 0; х„= 1; х„! =—I: >и, = 0. (12.28)
Легко установить, что при подстановке выражений
(12.27) в (12.2) при отсутствии массовых сил уравнения
равновесия удовлетворяются тождественно.
Из закона Гука (см. 3.3.4) следует
= «’x__J4!x =_1_ Ррх &<?_
Еж Еу у Еж’ ду2 Еу ’ дх2 ;
Мх» , оЧ
Еж * Еу Еж ду2
Еу дх2 '
1 1 ачр
е.
(12.29)
Тх|' G,v дхду ’
Если подставить формулы (12.29) в бнгармоннческое
урввненне (12.25), то получим
16
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
। 5«ф / 1 _ рВх\
Е,' ду* + \GX„ Еи) дх*ду*
1 ЭЧв
+ — •V7=0. (12.Э0)
Е„ дх*
Таким образом, функция напряжений в плоской задаче
теории упругости аинзотропного тела должна удовлетво-
рять уравнению (12.30).
Из сопоставления уравнений (12.25) и (1230) можно
записать условия эквивалентности напряженных состоя-
ний изотропной и анизотропной пластин:
= 1; (12-31)
2<— _•!!««) = ]. (12.32)
Еи /
Упругие характеристики многих анизотропных мате-
риалов не подчиняются условиям (12.31) и (12.32), и ре-
шение плоской задачи для таких материалов более слож-
но. В частном случае изотропного тела условие! 12.31)
выполняется автоматически, а условие (12.32) приводит-
ся к известному соотношению между упругими констан-
тами:
2(1 4 м) ‘
Исключением является ряд простейших напряженных
состояний, характеризуемых функцией Эри, напрнмер
вида
Ф = Сх* + Du» 4- Ех*у + Fxy* + Gx* 4- Ну* + Кху.
Эти напряженные состояния будут одинаковы как в изо-
тропных. так и в анизотропных пластинках, так как все
производные четвертого порядка от <р равны нулю
и уравнения (1225) н (12.30) обращаются в тождества.
12.2.5. Плоская задача в полярных
координатах
Уравнения равновесия (рнс. 12.11):
да, I дт,в
дг + г ' дд
°, — °в
+ Я = 0.
Ч ЭТгв 2тгВ
дв + дг + г
+ <? = 0.
(12.33)
I
Если ввести Функцию напряжений <р(г. 6) и
(при отсутствии объемной СИЛЫ) Я=0“=0
I Э<р I rfap
' г дг г* де* 9 дг*
ПОЛОЖИТЬ
(12.34)
=
то уравнения равновесия (12.33) удовлетворяются тож-
дественно.
Функция напряжений ф должна удовлетворять диффе-
ренциальному уравнению
а» 1 а 1 а» у ачр
дг* + г дг + г* ае» Д дг* +
1 *₽ 1 д*<у \ _
г ‘ дг + г* ’ ае»)
(12.35)
В частном случае, если напряженное состояние сим-
метрично относительно осн. проходящей через начало
координат перпендикулярно плоскости чертежа (плоско-
сти деформации),
М=°:
.4
с,= — 4-5(1 +21пг) + 2С;
=- + 5 (3 + 2 In г) + 2С.
Постоянные А, В, С определяются из условий на кон-
туре.
12.2.6. Сведение плоской задачи к задаче
об изгибе пластинки
Для решения плоской задачи можно прибегнуть к сле-
дующему приему [5). Разыскивается функция ф(х, у)
такнм образом, чтобы на контуре выполнялись условия
= vl —-T-r-cos(j, v):
ду* дх ду
а»ф аад
^=-a7^cos(x-v)+-^-cos^v)-
(12.36)
Функция ф(х, у) при этом вовсе не должна удовле-
творять уравнению (12.25) и может быть задана без
затруднений, например, в виде полинома с достаточным
числом неопределенных коэффициентов. Эти коэффи-
циенты следует подобрать таким образом, чтобы- хотя
бы приближенно удовлетворять условиям (1236). Воз-
можны н другие формы задания функции ф(х. у).
Функцию Эри ищут в виде
ф = ф(л. ») = ♦(*. (/)+ “’(*.(/) (12.37)
Поскольку на контуре, согласно (1226):
3*Ф Э*ф
^=-^“s(x’v) + 77cos(!'’v)’
3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
то функция а> должна удовлетворять условиям
<Рш
— cos (х. v) ——— cos (у, v) = 0:
оу1 дх ду
d*w &w
— - --cos (л. V) + — cos (у. V) = 0.
дх ду дх*
Подставив (12.37) в (12.25), получим
/ д* д* д* \
{^+2^+-^r+wi=0-
Следовательно:
d*w[ d*w
дх* +2 дх*ду* + ду* ~ Р(*’
(12.38)
(12.39)
где
Р(х,У) =-(7Т + 2-7ТТТ+ £?)• (12.40)
\ дх* дх* ду* ду* j
т. е. известная нам функция.
Итак, плоская задача сводится
к задаче об изгибе пластинки
при контурных условиях (12.38)
(см. раздел 13).
Так как решение последней
задачи во многих случаях из-
вестно. указанный прием может
оказаться весьма полезным для
решения ряда задач.
Отметим, что для полной
аналогии с задачей об изгибе
пластинки необходимо поло-
жить
Рнс. 12.12 р(х.у)
P(t.y)=——
где р(х. у) — действующая иа пластинку нагрузка; D —
цилиндрическая жесткость.
В случае прямоугольного диска контурные условия
(12.38) принимают вид
д*ш
-----= 0 при х — 0 и г = Г.
ду*
d*w
—- = О прн у = 0 н у = Z,;
(1241)
д*и>
---------- 0 — вдоль всего контура.
дхду
Для прямоугольного лиска, нагруженного согласно
рнс. 12.12. возьмем функцию ф в виде
(х4 2 \
(12 42)
Продифференцировав (12.42) дважды по х, получим
/ 12ха 12г \
(— -т-3)р-
Подставив в (12.25) <р=ф+о>, получим
d*w д*ш д*ш 24р
----+ 2--------+------=— —— .
дх* дх* ду* ду* h*
Задача сведена к задаче об изгибе полностью защем-
ленной пластникн (см. раздел 13). В самом деле, если
на контуре пластинки удовлетворяются условия
а> = 0 прн х = 0; х = I; у = 0 н у = h;
д® . _ дш
— = 0 прн х = 0, х = 1 н —— = 0 прн у = 0, у - Л,
дх ду
то должны удовлетворяться также вытекающие из
(12.25) условия. В результате приходим к формулам
д*и> / 12х* |2х \ д*ш
°z ~ ду* ’ Су ~ t h* ~ h ~3)Р + ~дХ* '
д*и>
*хц =~ х х ' •
дхду
. Рнс. 12.13
где о> —функция прогибов полностью защемленной пла-
стинки, находящейся под нагрузкой Uplh*.
Для балки, нагруженной согласно схеме, показанной иа
рнс. 12.13, примем
2
(12.43)
Это дает
6р „ . х’ д*и>
Cz=-i7(2y-ll}T + -^--
бр I у’ у* Д , d*w
0,1 h* \ 3 2 /+ дх* '
6р
^„=— тг(у*-yh) — ——-.
* Л3 дхду
Все условия на контуре удовлетворяются, если в каче-
стве ш взять функцию прогибов прямоугольной, пол-
ностью защемленной на контуре пластникн, находящейся
6р 12л
под нагрузкой "ТТУ- Положив <0=un+<02. где
п* /Р
12р
а>2 — прогиб пластинки от нагрузки -г- у, aw, — прогиб
Л3
6р
пластникн от нагрузки — , можем воспользоваться го-
л-
товымн решениями.
Изложенный прием дает возможность при надлежа-
щем выборе функции ф использовать решения задач
о защемленной пластинке для плоских задач теорнн уп-
ругости.
12.3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Вариационные методы решения задач теории упруго-
сти имеют большое практическое значение, так нак они
в большинстве случаев лают возможность получить
сравнительно просто приближенное решение тех задач
18
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
теория упругости, для которых точное решение неизвест-
но или слишком громоздко. Ниже излагаются основные
вариационные методы решения задач теории упругости.
12.3.1. Метод Ритца
Метод Рнтца основан на использовании начала Ка-
стнлнано. При решении задачи этим методом для дан-
ной конкретной задачи выбирается система функций:
<4 ci". О<2>.
< о’1’ -
J> т(1) т(2) . -О (1) (2)
кд ’ *V ' ХУ ’ — * « ’ ** * « ’—’
т0 (1) (2)
’ Vх ’ VZ • ’ ’ ’
чтобы выражения
°х = °?+ Ъ %= <£+2**<#’:
°, = °°+ Е °*4*’; тп = 4+ 2°*4’:
fr-1 *«|
= 4+2 °*т«: V = 4 +2 °*4’
(12.44)
(12.45)
удовлетворяли как уравнениям равновесия
тан н условиям на поверхности тела:
’2/+4да+ 4я=р™ п1*’ 1 + т1»m+т« п=°;
4/+0»'n+4n=₽w: 4*1+°J*’m+4’я = °
41+4 m + °’n=т«1+т”’m+°”’я = °
Что касается других уравнений теории упругости, то
они. вообще говоря, не будут удовлетворены выбранной
системой функций (12.44). В самом деле, подставив вы-
ражения (12.44) в уравнения закона Гука (см. 3.31). най-
дем составляющие тензора деформаций е>, е,. е,. уХ(|....
Подставив затем этн составляющие тензора деформаций
в уравнения (3.23) (см. 3.2.1), получим шесть уравнений
для составляющих вектора перемещения (и, о, со):
ди dv dw
дх ду " dz
ди до до dw dw ди
Ц * + з7= V1k: 77+ d7=v«-
Однако если выражения (12.44) не являются точными
решениями уравнений теории упругости, полученная си-
стема уравнений будет неразрешима, так как определен-
ные вышеуказанным способом составляющие тензора де-
формаций не будут удовлетворять уравнениям совмест-
ности деформаций Сен-Веиана (12.7).
Тем не менее, согласно Рнтцу. можно, исходя из вы-
ражений (12.44), получить приближенное решение урав-
нений теории упругости, определив неизвестные коэффи-
циенты Ок из уравнений
д№
— = 0 при ft =1,2,3............ (12.46)
до*
где W — выражение для потенциальной энергии дефор-
мации (12.18) нлн (12.19).
В случае плоского напряженного состояния выра-
жение для потенциальной энергии принимает внд (12.20).
Воспользовавшись функцией Эри (12.24) и принимая
9=0, преобразуем уравнение (12.20) к виду
Выберем теперь систему функций
Фо<х.4/>. Фс(АУ). ф,(х.у)....
таким образом, чтобы удовлетворялись следующие кон-
турные условия:
Э2 ф0 д* «в-
с“ (х‘v) —to*cos v)=
д1 ф0 д* ф„
“ ~д^с os (х •v)+с“(?-v)=
д2 а* д*
——cos (х, v) — —-—cos (у, V) = 0;
ду* дхду
<Э9 фь (ft фь
- аТаГ003 (х-v) +cos v)=0 (*=’ •2.3-J-
Положив далее
m
Ф = Фо + £ с* ф* (х, у),
*=1
можно иайтн коэффициенты о* из системы уравнений
(12.46). используя для W выражение (12.47).
Пример 12.1. Найтн распределение напряжений в пря-
моугольном диске, ограниченном прямыми х=±о, у=
= ±6 и нагруженном на кромках х=±а напряжениями
<’х = р(,-7г)-
Граничные условия:
прих=*о aJt = p^l—, т1р = 0;
ПРН У=±Ь <’* = 0. тхр = 0.
Это дает для функции Эрн:
при х — ± а
при у = ± b
д‘ф У*\ д*ф .
ду* ₽V 6s Г дхду
£?=0. *Ф- = 0.
дх* ' дхду
12.3. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Положим
Ф - фо (*, У)+ £ о* Ф* (*. У) = у У2 (•- +
*
+ ^а*ф»(л.у). (12.48)
k
Все граничные условия будут удовлетворены, если
в качестве функций <р»(л, у) принять выражения:
Ф1 (*. У) = (Xs — «21 (У2 — Ь2):
Ф, (х У) = (хг — о2) (У2 — Ьг) л2;
Фз (л, у) = (л2 — о2) (у2 — Ь2) у2;
Ф< (л, У) = (л2 — а2) (уг — б2) х‘;
12.3.2 . Метод Бубнова — Галеркина
Выбирается такая система функции
«о (л, у, г): /*(л.у.г);
Оо(л.у.г); Ф»(л,у, г);
»о(л, У. г); Ф»(л,у,г) (*=1,2,3...),
(12.49)
чтобы выраженные с ее помощью составляющие вектора
перемещения
u = uo + So*/*: P=Oo + Sfc*<p*:
о> = ша + Е с* ф4.
(12.50)
Подставив (12.48) в интеграл (12.47). произведя инте-
грирование н потребовав выполнения соотношений
(12.46). получим систему уравнений для коэффициентов.
В первом приближении можно все о*, кроме о,, поло-
жить равными нулю. и задача сведется к решению одно-
го уравнения = 0, нэ которого
_ Р ____________________!_____________
01 ~ а* Ьг ' 64 256 Ь- 64 Ь* ’
+----— _1_ — . —
7-----------49-а2 7 а*
В частном случае квадратной пластинки а,=
0.0-'2 53, и составляющие тензора напряжений
а*
будут:
а,=_О.17О2Р(1--^)(1-£),:
^=-0-6805₽-^(1-у)(>-£)-
где а*. б», с» — пока произвольные постоянные, удов-
летворяли некоторым наложенным ниже условиям.
С помощью составляющих вектора перемещения мож-
но вычислить составляющие тензора деформации:
ех = е® + е’|>; е(,=еЛ+е<”; ех=е®+е'1’;
v,„ =*»« =< : v„ =/„ +т‘У:
где
.и ди° -О= *!« ,0=*?L. .(П-У- ^_.
* дх ’ у ду ’ 1 дг ’ 1 “ 6 дх ’
о _ аьо । дор о _ fat ।
Vw- ду + дх ’ Уа~ дг + дх ’
Для получения более высокого приближения можно
принять Л=3. Это приведет к системе трех уравнений
С тремя неизвестными
В частном случае квадратной пластннкн
а, = 0,04040 у-; а, = о, = 0,01174 ,
а для пластннкн с отношением сторон а}Ь = 2
Oi = 0,07983 ; о, = 0,1250—f— ;
о* о1 а* и*
а> = 0’,е26~£г
(ГО*
Имея значения о,. <Ъ. аэ, с помощью формулы (12.48)
получаем приближенные зивчеиня функции Эрн, что,
в свою очередь, дает возможность подсчитать по форму-
лам (12.24) возникающие в диске напряжения.
Имея составляющие тензора деформация, можем по
формулам закона Гука (см. 3.3.1) вычислить состав*
ляюшне тензора напряжений:
а =о°
и уv ’
т = 4-т(,):
*₽ ху ' хи ’
*4Г2 I •
(12.51)
20
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
где
С° = 26
(12.52)
Составляющие тензора напряжений (12.52) должны
удовлетворять на поверхности тела условиям:
<’’/+г°1,'п + т^п = Р„:
oj"/ +т<'’т + т^п = 0:
т‘1Ч + <,'т + г"’п = 0: (12 53)
<1/ + <„т + а;и = р„;
I + т<’> т + < и = 0.
Для этого исходная система функций (12.49) должна
быть выбрана таким образом, чтобы на поверхности тела
удовлетворялись условия:
2(1-у) dfk dfk 1—2р ’ Эх '+ Эу т-°:
2р Эф* Эф* Эф* 1 —2р ’ Эу '+ Эх “+ Эа П~°- _?!!_. *L,+^„ = 0. 1 — 2р йу йу дг 1 — 2р дх ЭфА , 2р Эф* , и + • п — 0;
дг 1 — 2ц ду d'h , . Эф* 2(1 - и) Эф» Эх ду 1 — 2|i дг dtt 2>‘ П 1-1- . • ш — 0. ду 1 — 2р Эх 2р Эф* , ^Фа . « ‘л т + л л — 0; 1 — 2р. дг ду Эф» ,, 2 (1 — р) Эф* Эф* , /+ . „ • , т+ , п-0 Эх 1 — 2р. ду дг (4= 1,2,3...). (12.54)
Заметим, что эти условия на поверхности тела могут
быть легко удовлетворены, если систему функций (12.49)
выбрать в виде полиномов достаточно высокой степени
с надлежаще подобранными коэффициентами.
Для того чтобы выражения (12.51) действительно
представляли собой приближенное решение соответст-
вующей задачи теории упругости, И. Г. Бубнов пред-
ложил определять входящие в них коэффициенты а». й*
и с* (4=1, 2. 3 ...) из системы алгебраических уравне-
ний, которая получается после подстановки выражений
(12.51) в уравнения
(12.К)
(4=1,2, 3...)
с последующим вычислением приведенных интегралов.
Эффективность метода Бубнова — Галеркина зависит
от того, насколько удачно выбрана исходная система
функций (12.49). Опыт показывает, что прн удачном
выборе этих функций можно добиться необходимой точ-
ности решения, ограннчнвшнсь в рядах (12.50) двумя
или тремя членами, т. е. приняв
и = ц, + afii
о = о0 + бфь
ш=ш0 + сф1;
или
ы = Но -1- <*1 А -1-
v = о„ + ь, <р, + ь, ф,:
® = ш^+с, ф, + с, ф,.
(12 56)
12.3.3 . Метод Треффца
(метод смягчения граничных условий)
Выбирается система функций
«а(*. У. г); о*(*,у. г); ш*(х,у, а) (12.57)
(4= 1.2,3...)
таким образом, чтобы ряды
u= £а*и*(х. у, г);
»
о=£й*о*(х.у,а): (12 58)
а>= £с»ш*(х, у, г)
А
I
удовлетворяли уравнениям Ляме (12.17). Функции
(12.57) рассматриваются как составляющие вектора пе-
ремещения точек упругого тела и по формулам п. 12.1
вычисляются составляющие тензора деформаций е>, е*,
е„ у.„ у.„ у„.
После этого по формулам закона Гука вычисляются
составляющие тензора напряжений а,. о„ а,, т,*,
Tai, Tyg.
Полученные составляющие тензора напряжений будут
автоматически удовлетворять уравнениям равновесия
(12.2), поскольку функции (12.57) удовлетворяют урав-
12.4. СВОДКА НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
иенням Ляне, но граничные условия при этом не будут,
вообще говоря, удовлетворены. Однако при надлежащем
выборе неопределенных коэффициентов о*, 6», с» гранич-
ные условия удовлетворяются приближенно. Для этой
цели следует подставить выражения (12.58) в уравнения
Л ("х '+ Ъ, т + Тхх " - М о» dF = 0:
F
Jj (v + ° и т + п - Руч) °* dF = °:
Jj ( т«' + “ ₽«) wk dF = 0
(12.59)
н решить полученную систему линейных алгебраических
уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
12.4. СВОДКА НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
12.4.1. Чистый изгиб
Пластинка, имеющая поперечное сечение в виде узкого
прямоугольника, нагружена по торцам нормальными на-
пряжениями (рнс. 12.14), сводящимися к двум парам
Рис. 12.14
с моментами М. Решение теории упругости совпадает
с элементарным решением сопротивления материалов:
М
о,= — у. о„ = ТХ(, = 0.
12.4.2. Поперечный изгиб консоли
а) Консоль, имеющая поперечное сечеине в виде узкого
прямоугольника, нагружена на конце поперечной силой
(рнс. 12.15). Если распределение касательных напря-
жений по торцовому сечению следует закону
_ (?(Л«-4»г)
Тч,_ 8/
то точное решение теории упругости совпадает с элемен-
тарным решением сопротивления материалов:
треугольной нагрузкой. Напряжения вычисляются по
формулам
х* у р I 6
ог = р— + —(-2x^4-уст ху
X [у3 Зу \
Ои=-РТ+Гх(---):
^=-^(с’-9’)-уг(с«-»‘) +
Р з
4с* о
Решение справедливо, если по торцовому сечению бу-
дут действовать нормальные и касательные напряжения,
получающиеся из приведенных формул при х=/.
12.4.3. Поперечный изгиб балки
а) Действие собственного веса (рнс. 12.17). Распреде-
ление напряжений:
QS <?(й»—4у»)
lb ~ 81
Если касательные напряжения по торцовому сечению
распределены по какому-либо иному закону, то в соот-
ветствии с принципом Сен-Веиана, на расстояниях от
торца балки, равных примерно высоте ее сечения, мож-
но с достаточной точностью пользоваться приведенными
формулами.
б) Консольная балка, имеющая поперечное сечение
в виде узкого прямоугольника (рис. 12.16), нагружена
Здесь у — объемный вес материала. Решение справед-
ливо, если по торцовым сечениям действуют касательные
н самоуравновешенные нормальные напряжения, полу-
чающиеся из приведенных выражений (при х = ±1).
б) Действие поперечной нагрузки (рнс. 12.18). Распре-
деление напряжений:
22
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
°'=—+
Тхр=- (С1-!/’)*•
Здесь
a, =— p — (ftj ch ay — a, у sh ay) — —- (bt sh ay —
I "i “i
— at у ch ay) I sin ax;
,р
’’iu=~P\~T (a,eshay — a, у ch ay)+ — (ajtchay —
I at «•
— с, у shay) cosax.
Рнс. 12.18
Здесь
a sh ac = Op
ac ch ac — sh ac = ft,;
ac ch ac-f-sh ac = Ы
sh 2ac + 2ac = rft;
a ch ac = a,;
ac sh ac — ch ac = ft,;
ac sh ac + ch ac = ft,;
shac —2ac = J,.
Рнс. 12.19
Рис. 12.20
Решение справедливо при условии, что на торцах бал-
ки действуют касательные напряжения, получающиеся
из приведенной формулы при х=0 и х=/.
12.4.4. Изгиб кривого бруса
(задача X. С. Головина)
Брус имеет круговую осевую линию радиуса г и по-
стоянное поперечное сечение в виде узкого прямоуголь-
ника. Брус изгибается в плоскости своей кривизны па-
рами сил М, приложенными по концам. Распределение
напряжений в полярных координатах дается формулами:
4М (а2Ь*
6
In — ft1 In
4М
ао =—-----
9 .V
a2 ft2 ft г
—— In — + ft2 In — +
r2 a b
Решение справедливо, если по торцам балки действу-
ют касательные и самоуравновешенные нормальные на-
пряжения, получающиеся из приведенных формул при
х=±/.
в) При переменном поперечном сеченнн (рнс. 12.19).
Распределение напряжений:
Здесь у* —давление воды на глубине х: в —собствен-
ный вес единицы объема.
Решение справедливо при условии, что по торцовому
сечению действуют нормальные и касательные напря-
жения, получающиеся из приведенных формул при
х=й.
г) Изгиб балки синусоидальной нагрузкой (рнс. 12.20):
р Г-7- (*1 ch ay —а, у sh ay) + — (Ь, sh ay —
L <>i at
— о, у ch ay) I sin ax;
+ «2 Iny- +fc2 — a2);
T,9=ft A’= (ft2 — o2)"-— 4o2 ft2 ^ln
Здесь a. ft — соответственно внутренний и наружный ра-
диусы бруса.
Эти выражения являются точным решением задачи,
если по торцам бруса распределение нормальных напря-
жений следует выражению для а .
12.4.5. Клин, сжатый сосредоточенной силой1
(рис. 12.21)
Радиальное напряжение в полярных координатах [21]
вычисляется по формуле
Pcos0
a+ — sin 2a
1 Пр ii ведении с в 12 4.1—12.4.5 решения справедливы, мак это
выше отмечалось, только при определенных законах распределе-
ния нормальных н касательных напряжений по торцовым сече-
ниям балок. При других, статически эквивалентных распределе-
ниях нормальных и касательных напряжений по торцовым сече-
ниям балок эти решения остаются достаточно точными иа рас-
стояниях от торцов, равных примерно половине высоты балки.
12.4. СВОДКА НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
23
Распределение нормальных н касательных напряжений
в пряноугольных координатах дается формулами
Рис. 12.21
Ра o’ —Pt, Ь’
°' “ 6’ - а»
рааг — рьЬг
Or — “
ft’ — o’
ох = a, cos’ 6;
Tru = — ar sin 20.
p 2
Решение является
точным, если распреде-
ление нормальных и
касательных напряже-
ний по торцовому се-
чению следует приве-
денным формулам.
12.4.6. Толстостен-
ный цилиндр
и сферический сосуд
Прн осесимметрич-
ной деформации толсто-
стенного цнлнндра нлн
диска (рис. 12.22) рас-
пределение напряжений
в полярной системе ко-
ординат с началом в
центре дается форму-
лами
(р0 —Рь)а*й*
г’(й’ —о») ’
(Ра — Рь)Д*Р
г’(й’ —о’)
Здесь Of — нормальное напряжение на площадке, плос-
кость которой проходит через ось трубы; о, — нормаль-
ное напряжение на площадке, перпендикулярной ра-
диусу г.
Рнс. 12.22
Прн полярно-епмметрнчиой деформации толстостенно-
го сферического сосуда (рнс. 12.23) распределение на-
пряжений в сферической системе координат [21] дастся
формулами
а» (2«3 4- ft3) б» (2г’ 4- ft3)
“ р« 2rs (6а _ оэ) — И’2г’(6’ —.т>) ’
а3 (г’ — ft3) ft3 (д’ —г3)
+р» ,»(&> —‘
Рис. 12.23
В приведенных формулах р« — внутреннее и рь — внеш-
нее давления.
12.4.7. Упругая полуплоскость и упругое
полупространство [21]
Дана сосредоточенная сила, приложенная к точке пря-
молинейного края полубесконечнон пластникн
(рнс. 12.24). Распределение напряжений в плоскости /пл
Рнс. 12.24
на расстоянии х от прямолинейного края
мулами
2Р cos’6 2₽ х3
°' л г я (x’-f-y*)’
2Р
oL =—------sin’ 6 cos’ G:
лх
дается фор-
(12.60)
2₽ . „ 2Р
г,„ =------sin В cos’ 0 -----
лх я
’ (х=+у*)’
Здесь Р — сосредоточенная сила. Угол 0 —см. рнс. 12.21.
Прн сосредоточенной силе Р действующей на плос-
кость, ограничивающую полубескоиечное тело
(рнс. 12.25), распределение напряжений в цилиндриче-
ской системе координат дается формулами
24
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
ЗР Z3
а. =—---• — ;
2л й
_ Р [ |~2>| Ззг»1
2я [ч/ + г) “ й Г
Р Г г II
°®- 2л (1— ~ /(/ + *)]’
ЗР г3 г
ч,~~ 2л ' й ’
12.5. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЯ 1
12.5.1. Концентрация напряжений
при растяжении
а) У отверстий. На рнс. 12.26 даны эпюры распреде-
ления напряжении по поперечным сечениям растянутой
6
IHK
itttttttI^ 1Ьттттттп б^К ГТлП 2Ь _^2t Р р.Я -Jal- i 6,К iluilll^ ill Illi АдК lOiiiiiui п) Iminiiiirtl
11111 6
Рис. 12.26
Рис. 12.27
полосы, ослабленной отверстиями различной формы.
При приближении к краю отверстия напряжения резко
возрастают (эффект концентрации напряжений). Коэф-
фициент концентрации напряжений
. °м*кс
А=------- ,
Со
1 Уточнение решений может выть получено на основе ио-
меитноя теории упругости (си. 12.6.7).
N N
где а0 =—= “777------номинальное напряжение, отнесен-
г 2оо
ное к площади брутто.
Для овальных отверстий коэффициент концентрации
напряжений может быть вычислен по формуле
к= = I +2 1/ — , (12.62)
«о ГР
где р — радиус кривизны дна отверстия; t — половина
ширины отверстия.
(12.61)
При круговом отверстии k=3.
б) У выточек. На рнс. 12.27 и 12.28 даны эпюры
распределения напряжений по поперечным сечениям
растянутых стержней, ослабленных выточками, а иа
рис. 12.29 —у выкружек. Максимальное напряжение
Сивке = кал.
где
Р Р
О<>~ F ~ 2аЬ ‘
Таблица ill
Отношение a/о Поперечное сечение стержня
по рис. 12.27 по рис. 12.28
-ЕЛЯ О, ДЛЯ 0,
0 1 1 1
10 4.1 з.з 1.05
20 5.6 4.6 1.5
30 7 5.6 1.8
Таблица 122
t/P п/р
10 5 4 2
1 1.79 1,66 1.59 1.42
2 1.95 1.81 1.70 1.43
3 2.09 1.91 1.79
4 2.15 1.99 1.81 —
5 2.17 2.02 1.61 —
Коэффициент концентрации напряжений определя-
ется: у выточек по табл. 12.1, у выкружек (рис. 12.29)
по табл. 12.2.
12.5 КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ
25
12.5.2. Концентрация напряжений
при изгибе [15]
Балка с круглым отверстием (рнс. 12.30)
а) Чистый изгиб (рис. 12.31.а). Для балки с круг-
лым отверстием, центр которого расположен произволь-
но по высоте балкн, напряжение
Mr „ .
ав --------(sin 0 — sin Зв) —
1 я
М
—----Л (1—2 cos 20). (12.63)
Рнс. 12.31
Здесь М — изгибающий момент; /ж — момент ннерцин
сплошного сечения балки относительно нейтральной оси;
г —радиус отверстия; 0 —полярная координата точки
контура; h — расстояние от центра отверстия до ней-
тральной оси балкн; расстояние h считается положи-
тельным. когда центр отверстия расположен в сжатой
зоне.
б) Поперечный изгиб при действии сосредоточенной
силы (рис. 12.31,6). Центр отверстия расположен про-
извольно по высоте балки. Напряжения по контуру:
ое = —--------[г (sin 0 — sin 30) + Л(1 —2 cos 20)) —
р
—-----)г» (sin 20 — sin 40) + гЛ (cos В — 3 cos 30) —
1 ж
— 2 (с’ —Л») sin 20].
в) Поперечный изгиб под действием равномерно
распределенной нагрузки (рис. 12.31.в). Центр отвер-
стия лежит на нейтральной осн балки. Напряжения по
контуру
М — нагибающий момент в сечении по центру отвер-
стия.
При построении эпюры контурных напряжении значе-
ния откладываются на радиусах.
Эпюра, построенная по формуле (12.65), показана на
рнс. 12.30.
Балка с отверстием квадратной формы
(рис. 12.32)
Таблица 12.3
е в град 0 15 30 45 60 75 во 90
О в град 0 1 9*40' 24°10' 45° 65*50' 80*20' 83*40' 90*
(12.64)
0 в град 100 105 ГЛ 135 160 165 100
О в град 96*20' 99'40' 114*10' 135е 155*50* 170*20* 180°
Центр отверстия лежит на нейтральной оси балкн.
Решение дано для квадрата с прямолинейными сторо-
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
нами н закругленными углами. Две стороны квадрата
параллельны нейтральной осн балки.
а) Чистый изгиб (см. рнс. 12.31,0). Напряжение
М г Vi Г
св . —-----------------------11,18а (sin в +
1 2(0.9--2-cos 46 ) L
+ cos 6) + (sin 30 — cos 36) +
-i- (sin 56 + cos 58)}.
(12.66)
Здесь r= — (адДОв), где До — половина стороны квад-
рата; 60 — половина диагонали квадрата; 6 — полярный
угол в преобразованной области; 6 — полярный угол
в плоскости балки.
Задаваясь углом О, получаем og — напряжения по
площадкам, перпендикулярным контуру отверстия.
Для построения эпюры контурных напряжений нужно
в плоскости балки откладывать соответствующие углам
6 углы -6. Пересчет углов производится по табл. 12.3.
б) Поперечный изгиб под действием сосредоточен-
ной силы (см. рнс. 12.31,6). Контурные напряжения
°в ----------------т--------- 1.185 (sin 6 + cos 6) +
2/х(о,9 — -у cos 46j L
Эпюра og, построенная по этим формулам, показана
на рнс. 12.32.
При построении эпюры значения (^откладываются по
нормали к контуру. Отсчет углов 6 ведется от лнннн
0=0, составляющей с горизонтальней осью балки угол
0=45°.
Формулы п. 12.5.2 выведены для бесконечной полосы
прямоугольного сечення. но онн могут быть применены
с достаточной для практических расчетов точностью для
балок ограниченных размеров и любого сечення. Точ-
ность результатов зависит от величины отверстий. Фор-
мула для чистого изгиба дает хорошее совпадение
с опытными данными, если наиболее близкая к краю
балки точка отверстия отстоит от этого края на расстоя-
ние, не менее наибольшего полудиаметра отверстия;
в случае изгиба сосредоточенной силой — не менее 3—
4 диаметров отверстия.
Наличие нескольких отверстий изменяет картину рас-
пределения напряжений а балке; но для практических
расчетов и в этом случае могут бить использованы те
же формулы при условии, что расстояние между цент-
рами отверстий больше двух диаметров отверстий.
Пластические деформации вблизи круглого отверстия
см. [19].
12.6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
УЧИТЫВАЮЩЕЙ МОМЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
12.6.1. Основные положения моментной
теории упругости
Действительная прочность некоторых материалов за-
висит от градиента деформаций нлн напряжений. Кро-
ме того, распределение напряжений при резких градиен-
тах (например, в условиях концентрации напряжений)
в большинстве случаев не соответствует решениям, по-
лученным в классической теории упругости. Дело в том.
что в классической теории упругости, начиная с Коши,
считают, что воздействие одной части тела на другую
по некоторому произвольному сечению может быть све-
дено к распределенной нагрузке — нормальной и каса-
тельной. При этом возможная распределенная момент-
ная нагрузка не учитывается. Не учитывается н дефор-
мация малых элементов, вызываемая моментной на-
грузкой.
Моментные напряжения (рис. 12.33) учитывает тео-
рия упругости, разработанная Коссерй [13].
12.6.2. Уравнения равновесия
и несимметричный тензор
напряжений в двухмерном случае
Уравнения равновесия, выражающие, что суммы про-
екций всех сил, действующих на выделенный элемент,
на осн * н у равны нулю, имеют обычный вид (при от-
сутствии объемных сил и моментов)
да,
дх
+ -т^=0;
др
^Ух даУ п
дх Т ду
Уравнение, выражающее равенство нулю суммы мо-
ментов всех сил. действующих на выделенный элемент,
имеет вид (рнс. 12.34)
дтх дт,.
а 4 7 + Ххи хиж ~ О-
дх ду
Следовательно, вообще говоря, тензор напряжений (см.
3.1.5) не симметричен, т. е.
12.6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. УЧИТЫВАЮЩЕЙ МОМЕНТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
27
Несимметричный тензор напряжений
Наряду с приведенными деформациями существуют
еще деформации изменения кривизны элемента
до>, дгв,
Хх=—. Ху =— (рис. 12.36).
можно представить в виде суммы симметричного и ко-
сосимметричного тензоров
Рис. 12.34
Рис. 12.35
Обозначим:
У(тч, + т<«)=т$ '
12.6.3. Деформации, вызванные действием
силовых и моментных напряжений
Деформации ех. еу, у?, н жесткий поворот ш, нахо-
дятся по обычным формулам:
ди до до ди
кя ' ~ . Ту - ~ ; Угу= Ь .
дх ду о* ду
1 I до ди \
й>г=~2\д7~~д^1
Деформации кг, е„ ух, и жесткий поворот нахо-
вает обычный сдвиг, антисимметричная (тл) — неурав-
новешенное вращение (рнс. 12.35).
12.6.4. Закон Гука
В теории упругости, учитывающей моментные напря-
жении. закон Гука имеет вид (в двухмерном случае изо-
тропного тела)
1 +р
ех = —— ]ох — И (ох + Су)];
28
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
е„ = (Ок — р (о, + Стр)];
Ts 1 + р
Ухр = = £ {*41
хх = —СТх; Хк = —Ш».
Здесь В —новая константа упругости материала, нося-
щая название модуля кривизны; множитель '/< введен
для удобства.
12.6.S. Условия совместности деформаций
В двухмерном случае условие совместности линей-
ных и угловой деформаций имеет обычный вид
дЧг _ д*уХ|,
ду- дхг дх ду
Кроме того, должно иметь место условие совместности
кривизн:
Вхх дКц
ду дх
Условия совместности деформаций и кривизн имеют вид
I дугк дег дги 1 дуХу
2 дх ду ’ и дх 2 ду
12.6.6. Функции напряжений
Если ввести две функции напряжений <р(х, у)
и ф(х.у}, то можно удовлетворить всем уравнениям
равновесия, положив
' д*<р д2ф 3*<p Э*ф
1 ду"- дх ду ’ дх* + дхду
й*ф 3*ф й’ф й*ф
Х|/ дх ду ду* ' Xvl дх ду + дха ’
дф дф
Причем обе функции ф и ф должны удовлетворять си-
стеме уравнений
д д
— (ф - /2v=«p) =- 2 (1 - и) Р — V4;
дх ду
д д
— (ф - Ру=ф) = 2 (1 - р) Р — г’ф,
ду дх
а каждая в отдельности — уравнениям
у*ф = о и
Ф»Ф-Рф«Ф = о (^ = уЧ“)-
ла к I велико, эффект влияния моментных напряжений
невелик. Однако прн наличии градиента деформаций в
том случае, когда размер тела приближается к I, мо-
ментные напряжения могут существенно влиять на ре-
зультат расчета.
12.6.7. Некоторые результаты расчетов
по моментной теории упругости
В 12.5.1 отмечалось, что прн одноосном растяжеинн
пластины с круглым отверстием радиуса I коэффициент
концентрации А=3. Это действительно имеет место во
1/1 уменьшается и коэффициент концентрации. Зависи-
мость коэффициента концентрации от отношения tjl при
разных значениях коэффициента Пуассона р показана
на рнс. 12.37.
Зависимость коэффициента коицентрацнн напряжений
около круглого отверстия от отношения t/l в случае чи-
стого сдвига показана на рнс. 12.36 (см. также [19]).
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
В настоящем разделе используются обозначения (по-
мимо введенных ранее)
1
о = — (Ог + Ор + Ох);
I
о< = — X
V2
Х /(°х - %)‘ + (°х “ °x)S + (“и - %)4+
+ 6 (тхр + тхх + тиг)
(интенсивность напряжений);
гср^-^-Сех + ен + е»);
В последних формулах 1=1/ —
V G
где В — модуль кривизны, С — модуль сдвига.
От величины I зависит степень влияния моментных
напряжений. Если отношение наименьшего размера те-
X |/ (Ех ~ гуГ + (ех - ехУ + (% - V +
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМО ПЛАСТИЧНОСТИ
29
+ у (й + й + V«)
(интенсивность деформаций).
Уравнения равновесия (12.2), геометрические урав-
нения связи между вектором перемещения и тензором
деформ вини (12.12), а также уравнения неразрывности
деформаций (12.7) полностью сохраняются при реше-
нии задач пластичности и термопластнчности.
Граничные условия (12.3) в деформационной теории
пластичности полностью сохраняются; в теории пласти-
ческого течения они изменяются.
12.7.1. Общие свойства
пластической деформации
Перечислим свойства упруго-пластического упрочня-
ющегося материала.
1. Пластическая деформация носит необратимый ха-
рактер. Эта необратимость проявляется как в остаточ-
ных деформациях, так н в ходе изменения температуры
образца прн деформировании.
2. В пластической области между напряжениями и де-
формациями не существует какой-либо однозначной
связи. Пластическая деформация зависит от программы
или истории нагружения.
3. Полные приращения составляющих деформации de
аддитивно складываются нэ приращения составляющих
упругой деформации de* и пластической деформации
de", т. е. de=delf-t-den
4. Составляющие упругой части полной деформации
описываются законом Гука (3.3.1), если среда изотроп-
на. или (3.3.2). если среда анизотропна.
5. Разгрузка из любого состояния происходит упруго,
подчиняясь тому же закону упругости (3.3.1) или (3.3.2).
6. Повторное нагружение по пути разгрузки может
быть проведено почти без петли гистерезиса. Поэтому
в теории пластичности принимается, что петля гистере-
зиса отсутствует.
7. Для многих металлов н сплавов пределы текучести
н пропорциональности практически совпадают, как это
следует из опытов. Поэтому н теории пластического те-
чения принимается, что они в точности равны друг
Другу.
8. Опыт показывает, что прн деформировании метал-
лов'н сплавов в широком диапазоне скоростей вязкость
проявляется весьма слабо. Поэтому в теориях пластич-
ности материал предполагается невязким. В теориях
пластичности пренебрегают также деформациями пол-
зучести. что вполне допустимо, если рассматривать де-
формацию на относительно небольших отрезках време-
ни. Таким образом, при указанных условиях кривая
о—е не зависит от скорости нагружения и эффектов
ползучести.
9. Пластическая деформация упрочняющегося упруго-
пластического материала — есть равновесный процесс,
следовательно, как н в случае упругого материала, ско-
рости деформаций должны быть однородными функция-
ми первого порядка скоростей напряжений.
10. Напротив, в случае деформации идеально пласти-
ческого материала скорости пластических деформаций
являются функциями напряжений. Тем ие менее идеаль-
но пластическая среда имеет глубокие отличия от вяз-
кой среды. Так. для вязкой среды ие существует поня-
тия разгрузки, в то время как для идеально пластиче-
ской среды при разгрузке деформации становятся чисто
упругими. Есть и другие различия.
12.7.2. Основные положения теории
пластического течения
Теория пластического течения является более общей,
чем теория малых упруго-пластических деформаций, так
как в случае простого нагружения теория течения при-
водит к тем же результатам, что н теория малых упру-
го-пластических деформаций. Вместе с тем теория тече-
ния относительно лучше описывает процесс сложного
нагружения, чем теория малых упруго-пластических де-
формаций.
Теория пластического течения упрочняющегося мате-
риала основывается на предположении, что существует
замкнутая поверхность в пространстве напряжений —
начальная поверхность текучести, отделяющая чисто
упругую область от пластической области.
В процессе нагружения начальная поверхность текуче-
сти деформируется так, что изображающая напряжен-
ное состояние точка в пространстве напряжений никогда
не покидает эту поверхность.
В теории пластического течения задается закон де-
формации этой поверхности прн нагружении (закон
упрочнения).
В теории пластического течения формулируется закон
пластического течения, ассоциированный с функцией те-
кучести (или функцией нагружения).
Основные уравнения теории пластического течения
получаются из постулата Д. Друккера [20], утвержда-
ющего, что в процессе приложения к первоначально
напряженному элементу тела дополнительных напряже-
ний внешнее воздействие совершает неотрицательную
работу; работа внешнего воздействия за полный цикл
приложения и снятия дополнительных напряжений так-
же неотрицательна.
Из постулата Друккера вытекают следствия:
I) поверхность текучести /=0 выпукла;
2) вектор скорости пластической деформации ортого-
нален к поверхности текучести (=0;
3) между скоростями пластической деформации и ско-
ростями изменения напряжений должны быть линейные
связи.
Наконец, важным положением теории пластического
течения является условие непрерывности, в соответст-
вии с которым напряжения и деформации в пластиче-
ской области согласуются с напряжениями и деформа-
циями в упругой области, когда изображающая напря-
женное состояние точка движется по поверхности те-
кучести.
12.7.3. Основные уравнения теории
пластического течения
Для упрочняющегося материала физические уравне-
ния теории пластического течения записываются следу-
ющим образом:
ё" = 0 при / < 0 или
а/ .
при / = 0; f = —— а,/ < 0:
За,/
ёП. = й f прн / = 0; / = -У- сц > 0.
' ао17 доц
(12.68)
где й — скалярная функция, зависящая от пластических
деформаций, напряжений и программы нагружения.
30
РАЗДЕЛ IS. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
В случае идеально пластической среды скорости пла-
стического течения отличны от нуля при постоянных на-
пряжениях. В этой случае физические уравнения тео-
рии пластического течения принимают вид
" л™'
где Х = 0 при f = O, а также
д1 .
при / = 0; / = — оц < 0;
df -
X > 0 при I = 0; / = ~— Oil = О,
до(/
где X — скалярная величина.
(12.69)
Можно отметить, что приведенные в 12.7.1 свойства
пластической деформации получают полное отражение
в теории пластического течения.
Следует подчеркнуть, что теория пластического тече-
ния отражает фундаментальное свойство пластической
деформации — зависимость ее от программы нагруже-
ния. В этом заключается большое преимущество теории
пластического течения перед деформационной теорией.
12.7.4. Деформационная теория
пластичности — частный случай теории
пластического течения
Деформационная теория пластичности является тем
частным случаем теории пластического течения, в кото-
рый последняя переходит при простом (пропорциональ-
ном) нагружении.
Деформационная теория (или теория малых упруго-
пластических деформаций) основана на предположении,
что между напряжениями и деформациями существует
однозначная связь как для процессов нагружения, так
и для процессов разгрузки.
Тепловое расширение в деформационной теории пла-
стичности учитывается точно так же, как в теории упру-
гости. Таким образом, основные уравнения деформаци-
онной теории термопластичиостн для случая нагружения
записываются в виде
Если вместо составляющих тензора деформаций ех, ег
и е< ввести составляющие:
ех = ех — а (7 — 70);
ё11 = е11 — а(Т — Т,).
®х = — о (Т То),
(12.72)
то уравнения термопластичиостн и уравнения деформа-
ционной теории пластичности формально ничем ие бу-
дут отличаться.
Уравнения (12.70) справедливы для многих материа-
лов только в тех случаях, когда все напряжения растут
пропорционально времени (простое нагружение) или
при нагружении, близком к пропорциональному. Следо-
вательно. для обоснованного использования уравнений
(12.70) должна быть решена задача об общих условиях
внешнего силового и теплового нагружения, при кото-
рых для материала с заданным законом упрочнения
(12.71) процесс нагружения каждого элемента объема
был бы простым.
В общем случае для любого закона (12.71) эта задача
не имеет решения. Частный случай этой задачи, когда
отсутствует тепловое нагружение и закон упрочнения
имеет вид о(=Ае“. исследовался А. А. Ильюшиным [8].
Процесс разгрузки элемента описывается обычными
уравнениями термоупругостн. При этом пластические
деформации могут быть подсчитаны как:
ex = ex-eJ; e? = eP-eJ: е? = ех-4:
ех^ = Vjrp ерх=7рх ?Jx- еах=Тхх Vw
(12.73)
Здесь е", ej и т. д. — пластические и соответственно гх,
е“ .... и т. д. упругие деформации.
В случае плоского двухосного напряженного состоя-
ния уравнения деформационной теории пластичности
для несжимаемого материала могут быть записаны в
виде
(12-74)
где
ex = V + Ф (о,) (Ох — °) + а (Т — То);
А
Тхр = 2Ф(о()тХ(,;
(12.70)
— о., 4- Зт
Решая уравнения (12.74) относительно о» и о,, получим
Здесь К — модуль всестороннего сжатия и Ф(о<) —мо-
дуль пластичности, связанный с е< зависимостью
е/ = -|-Ф(Ог)ог- (12.71)
В общем случае модуль пластичности ф зависит ие
только от Oi, но и от 7. т. е. Ф=Ф(о,. Г).
Для нормальных температур (7 — То) уравнения тер-
мопластнчности (12.70) превращаются с уравнения де-
формационной теории пластичности.
(12.75)
Для перехода к уравнениям термопластичиостн нуж-
но воспользоваться соотношениями (12.72).
Функциональная связь а<=)(е.-. 7) может быть по-
лучена иа основе экспериментов на растяжение при раз-
личных температурах.
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
31
Пример 12.2. Рассмотрим прямоугольную пластинку,
жестко закрепленную по контуру. Начальная температу-
ра пластникн Ге. Прн равномерном нагреве до темпе-
ратуры Т в пластинке возникнут сжимающие напряже-
ния, которые и нужно определить.
Запишем уравнения (12.72) с учетом (12.74) в виде
ёх — ех — а (Г — Т„) = — (ах — ~ ;
ё„ = е„ — а (Г — То) = "г”0*) '
Так как пластинка защемлена по контуру и нагрев рав-
номерен, то всюду в пределах пластникн должно быть
е<=е,=0 Учитывая это, получим
I
ох—— о„ =—а (Т —То) —;
уравнениях модуль пластичности Ф принимает постоян-
ное значение. В качестве условия пластичности для изот-
ропных пластических материалов используют условие
Г убера — Мизеса — Генки либо условие Сен-Венана
[2,22]. Для анизотропных материалов или изотропных
материалов, получающих заметную анизотропию в про-
цессе деформирования, может быть использовано усло-
вие пластичности Мизеса — Хилла [22].
Применительно к строительной стали лучшее соответ-
ствие с опытом дает условие пластичности Сен-Венаиа.
12.7.6. Метод характеристик решения задач
теории пластичности
Рассмотрим плоскую деформацию идеально упруго-
пластического тела в пластической стадии. Это напря-
женное состояние определяется уравнениями равнове-
сия
дОу 0 дОу
~ ~ =°; -^ + -^ = 0 (12.76)
дх ду дх ду
откуда
ох = ои =— 2а (Т — То) .
В рассматриваемом примере
е( = -7=К? + ёхв„+^ =
Уз
= -А: У За» (Т-Г,)’ = 2а (Т - То) -
Уз
Величина o<=f(e<, T)=f[2a(T—То),Т] может быть
найдена для данной температуры Т по эксперименталь-
ной кривой.
Окончательно напряжения
ox = a4,= -/(2a(T-T,),T].
Все рассмотренные выше закономерности относятся к
упрочняющимся упруго-пластическим материалам.
12.7.5. Идеально упруго-пластическая среда
Как показывают эксперименты, некоторые сплавы,
полимеры и другие материалы характеризуются упру-
гими деформациями в начальной стадии нагружения
н после достижения предельного напряженного состоя-
ния — безграничным возрастанием пластических дефор-
маций. Переход от одной стадии деформации к другой
определяется условием пластичности. В пластической
стадии деформирования инварианты девиатора деформа-
ции могут принимать любые значения. Наоборот, инва-
риаторы девиатора напряжений в этой стадии сохраня-
ют постоянные (предельные) значения. Соотношения
компонентов девиатора деформации сохраняются неиз-
менными. Изменением объема тела по сравнению с пла-
стическими деформациями пренебрегают.
Такие материалы, для которых упругие и пластические
деформации проявляются раздельно на разных стадиях
нагружения, называют идеально упруго-пластическими
материалами.
В упругой области связь между напряжениями и де-
формациями выражается законом Гука (3.3.1) или (3.3.2);
в пластической области эта связь выражается уравнени-
ями (12.70) и условием пластичности. Причем в этих
и соответствующим условием пластичности, например:
по Сеи-Веиану
(ax-aJ2 + 4Tlp = 4TJ
(12.77)
илн
по Г уберу — Генки — Мизесу
°х-°х<1р + ,’р + 34|, = <’?- (12-78)
Подстановка в уравнения (12.76) выражений
Оу = о + тт sin 2ф;
Оу = о — тт sin 2<р;
Туу=— TTcos2<p
приводит к системе уравнений
—- +2гт [cos 2q>—- + sin2<p—— I = 0;
дх \ дх ду I
до ( dip дф \
-— + 2тт sin 2<р —— cos2<p—— =0,
ду \ дх ду j
(12.79)
(12.80)
обеспечивающей тождественное выполнение условия пла-
стичности (12.77) илн (12.78). В формулах (12.79)
и (12.80) о — среднее напряжение, ф — угол наклона
ПЛОщаДКИ Тиаис к 'осн х.
Характеристические линии (характеристики этой си-
стемы) совпадают с линиями скольжения, т. е. линиями,
которые в каждой своей точке касаются площадок мак-
симальных касательных напряжений.
Линин скольжения образуют два ортогональных се-
мейства кривых а и р. В локальной системе координат,
образованной касательными к линиям скольжения в не-
которой точке .пластического тела, вместо (12.80) полу-
чается система уравнений
д д
(о + 2тт <р) = 0: «г - 2тх ф) = 0.
д д
где gj- и -gj- — производные вдоль линий скольже-
ния аир. Эти дифференциальные уравнения выражают
равновесие бесконечно малого элемента скольжения
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
пластической среды, образованного сеткой линий сколь*
ження. Вдоль семейств линий скольжения и и р
~~ = tg9; - + ф = const = fc (12.81)
=— etc®; —— — q> = const =i). (12.82)
dx 2rT
Здесь £ и г) — параметры, меняющиеся при переходе
от одной линии семейства к другой того же семейства
(а или (J).
Рис. 12.39 Рис. 12.40
Если известно поле линий скольжения н их парамет-
ры | и т), то из уравнений (12.81) и (12.82) находят
о=о(х, у) н <р=<р(х, у) и затем с помощью соотношений
(12.79) компоненты тензора напряжений <ь(х, у), о,(х. у)
ит«,(х. у).
Пусть имеет место равномерное напряженное состоя-
ние, когда o=const и <p=const и уравнения линий
скольжения имеют вид
y = xctg<p + C, и у=— xctg<₽ + <?,.
Им соответствуют два
। - ортогональных семейства
/ прямых (рис. 12.39).
Случай »]=const харак-
JaL лтеризует простое иапряжен-
* иое состояние, прн котором
/ et <₽==const. и одно семейство
линий скольжения определя-
/а емое уравнением у—xtgq>=
0*——т * J •= const.
Это семейство линий яв-
р 1241 ляется пучком прямых, за-
висящих от двух парамет-
ров ф и С. Вдоль каждой
прямой этого семейства среднее напряжение о=2гт (г)—
—Ф) сохраняет свое постоянное значение.
Второе семейство линий скольжения представляет
семейство кривых, ортогональных прямым первого се-
мейства (рнс. 12.40).
Граничные условия, определяемые нормальной o«(s)
н касательной т» (s) составляющими напряжения, задан-
ными на контуре, ограничивающем пластическую зону,
учитываются с помощью соотношений:
<7я(а) = отт sin 2 (ф — а);
т„ (s) =— т, cos 2 (Ф — а).
(12.83)
где а—угол между нормалью к элементу контура А
н осью абсцисс (рнс. 12.41).
Зная уравнения кривой контура x=x(s), y=y(s),
а также заданные на контуре напряжения c»(s)
и Tn(s). можно определить нэ (12.83) o=o(s) и ф=
=Ф(5):
<’(э) = оп(5)ТЪ5>п2(ф-а); |
,,, 1 тя (s) I (12.84;
ф (s) = a (s) ± — arccos —-—-|-mn. |
Здесь т — произвольное целое число, а под арккосину-
сом понимается его главное значение. Знак выбирается
исходя из конкретных механических условий задачи.
В частном случае, когда на контуре т»=0, вместо
(12.84) получаем формулы
ф (s) = о (s) ± V + тп'
4
o(s) = g„(s)Ttt;
О/ (s) = °п (s) J 2тт.
(12.85)
Для свободной прямолинейной границы (х=0) имеем
а=0 и on(s) =t»(s) =0; следовательно:
л
ф (s) =± — + mn; a (s) = Т тт;
4
ох = 0; Оу = а, 2тт.
По полученным величинам граничных значений ф(з)
и o(s) переходим к параметрам E(s) и tj(s) с помощью
вторых равенств (12.81) и (12.82).
Параметры Енг). сохраняющие постоянное значение
вдоль линий скольжения, вообще говоря, изменяются
вдоль граничного контура.
12.7.7. Напряжения под жестким штампом
На рнс. 12.42 показаны штамп н пластическая зона
вблизи его. Линия контакта штампа со средой предпо-
лагается симметричной относительно осн х и неизмен-
ной вследствие жесткости штампа. Она характеризуется
уравнениями
X = X (а) — х0; у = у (а). (12.86)
Кривая контакта в месте пересечения с осью х может
иметь перелом. Свободная граница пластической среды
федставляет собой горизонтальную прямую (а=0).
Пластические перемещения предполагаются малыми.
Трение между штампом н средой отсутствует, т. е.
Tn(S)=0.
На свободном участке границы
°я («) = хп (s) = 0-
С учетом (12.85) можно записать:
л
Ф (s) = ± — + "in;
4
с (S) = Т Ч-
(12.87)
Вдоль контакта t„(s)=0. a o„(s) неизвестно; следо-
вательно. вдоль линии контакта
Ф (s) = a (s) ± -у- + тя;
o(s) = On(s)T4-
Из последних формул видно, что линнн скольжения
примыкают к граничной линии под углом л/4 как вдоль
контура, так и вдоль свободной границы. Предполагая,
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
33
что вблизи свободной границы среднее давление имеет
отрицательные значения, принимают для этой части гра-
ницы
Ф ($)=—; о($) = -тт (m = 0). (12.68)
4
Вдоль участков BE и АС (рнс. 12.42), согласно вторым
равенствам (12 81) и (12.82).
1 л
SU) = -T + T^b>:
I л
т. е. в областях /1GC и BEF напряженное состояние
равномерное. В областях ADH н oFJ, в которых £=
=const=Ь- возникает центрированное поле, характери-
зуемое наличием пучков прямых, сходящихся в точках А
и В. Вдоль прямых AD и BF |=£о и т)=Чо, а адоль
прямых АН н В1 |=5о, ио Ч=т)|.
В областях АСН и BCJ также и имеются се-
мейства прямолинейных характеристик, а также семей-
ства характеристик, являющиеся продолжением характе-
ристик соседних областей. При подходе к линии контакта
кривые этих семейств образуют о осью х угол а-)-—л.
Поэтому для липни контакта
<p(s) = a(s) + —л;
4
c(s) = o„(s) + Tr. (m = l):
(12.90)
5(1)=-^+| + «(!) + |«. (12-91)
В то же время в областях АСН и BCJ
6 = 6» = — -|-+ Гем. формулу (12.89)].
Из сопоставления формул (12.89) и (12.91) следует
a„(s)= — TT(2 + « + 2et).
Равнодействующая давлений под штампом
“к
Р - 2 J о„ (s) R (s) cos cufa,
где R— радиус кривизны профиля штампа; <ц> и с.—
начальное н конечное значение а на концах профиля
штампа.
В случае плоского штампа а=0. Нормальное давление
на поверхности штампа составляет
ол = - т, (2 + я)
(решение Прандтля).
На рнс. 12.43 показано поле линий скольжения под
плоским штампом.
(18.89)
12.7.8. Плоское напряженное состояние
Напряженное состояние идеального упруго-пластиче-
ского тела в пластической стадии при плоском напряжен-
ном состоянии определяется, как и при плоской дефор-
мации. двумя дифференциальными уравнениями равно-
весия и соответствующим условием пластичности,
например Сен-Венаиа (12.77) или Губера —Геикн —
— Мизеса (12.78).
Последнее выполняется, если положить
(12.92)
где О| и 01 — главные напряжения, а со(х. у) —неизве-
стная функция (0^ы^2л).
При этом
аг = т, (VTcos со + sin со cos 26);
°v = тт (VTcos со—sin и cos 26). (12-93
тх|,=тт sinusin 26,
Здесь 6 — угол между первой главной осью и осью абс-
цисс. Компоненты тензора напряжений ограничены
пределами
|о*1<2Тт; Ю^кгтт; |тад|< тт.
Дифференциальные уравнения равновесия, выражен-
ные через введенные функции со и 6, имеют вид
(Кз sin cocos 26 — cos со) +
дх
+ Р/Гз"з1псоз1п26 — — 2 sin со — =0;
др ду
(12.94)
дх
34
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
— (V3 sin <i> cos 26 + cos <i>
Условие пластичности возьмем по Мизесу:
df)
+ 2sm<o— = 0.
дх
(12.94)
°в = 3<;. (12.97)
Я 5п 7л ,,П псл.г
Прн — <0)<— или -—<ш< —— система (12.94)
б 6 6 о
гиперболическая; прн о = —
При небольших давлениях р в упругой стадии работы
в пластине возникает напряженное состояние чистого
сдвига. Пластическая деформация появляется иа краю
отверстия при р=Тт При ₽>т, пластическая дефор-
мация возникает в зоне а<г<с, где с —подлежит оп-
ределению.
— параболическая; при 3—4cos3to<0 эллиптическая.
Если система (12.94) является гиперболической, то
уравнения семейств характеристик сир принимают
соответственно вид
Л/ _
-=— = tg(O —if),
ох
ди л
^- = *8 (6 + 4),
ft (со) — 0=const =
ft (со) + 6 = const = 1).
(12.95)
Здесь
1 f S(o)
С (ш) --------I-------da,
2 J since
, г cte со
Z (о) = у 3 — 4 cos2 со; 24 = л — arccos —s— .
/Г
Линин характеристик пересекаются под углом 24
и образуют неортогональную сетку кривых, не совпада-
ющих с линиями скольжения.
Если система уравнении (12.94) параболическая, то
£(<о)=О и Q(<i>)>=0. Вдоль каждой характеристики
угол 6 постоянен. Уравнение одного из семейств харак-
теристик записывается в виде
p = xtg(0-4) + ®(6),
где Ф(6) — произвольная функция, определяемая из
граничных условий:
„ 5 11
4 = 0 при <0 = — л и — л;
6 6
t я > 7
4 = при СО = — я и — П.
Для напряженного состояния в пластической эоне
справедливы уравнение равновесия (12.96) и условие
пластичности (12.97).
На границе пластической и упругой зон, т. е. при
г=с, должно быть Ог=о„=От.
О
Положим
н подставим в уравнение равновесия (12.96).
В результате получим уравнение
(рТ+ etg со) da + 2 — = 0.
Вдоль каждой характеристики напряжения постоянны.
Решение этого уравнения прн со = — и г = с дает
12.7.9. Пластические деформации вблизи
круглого отверстия в пластине
Пусть в пластине имеется круглое отверстие, по краю
которого приложено равномерно распределенное дав-
ление р (рнс. 12.44). Эта задача осесимметричная и ре-
шается в полярных координатах.
Уравнение равновесия имеет вид
daг ° г — °е
— +--------------= 0,
dr г
(12.96)
где а, и о— радиальное н тангенциальные напряжения,
о
Полагая здесь г=а, получим соа > — прн данной вели-
чине г. Давление по краю отверстия р=а, находится из
формулы аг = 2тт cos
Прн увеличении давления со, растет и достигает зна-
чения со = — п при максимальном значении рНако-
6
=2т,.
при <|> = <1>о.
12.7. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И ТЕРМОПЛАСТИЧНОСТИ
12.7.10. Упруго-пластическое кручение
В случае чистого кручения стержня из идеального
у пру го-пластического материала напряженное состояние
в пластической стадии (так же. как и в упругой стадии)
Гдобно представить с помощью мембранной аналогии
[раидтля. Вводится функция напряжений соотноше-
ниями
Крутящий момент, воспринимаемый стержнем с круг-
лым сечением в упруго-пластической стадии,
М = -2- (4Z?3 — а’) тт,
где а — радиус упругого ядра сечення.
Т^ = “дх-
прн этом дифференциальные уравнения равновесия удов-
летворяются тождественно. Крутящий момент, возника-
ющий в стержне, М=2 J <fdF, т. е. равен удвоенному
объему, ограниченному поверхностью функции <р (по-
верхность мембраны) и плоскостью поперечного сечения.
В пластической стадии кру-
чения поверхность <р представ-
ляет собой поверхность равно-
го ската (рис. 12.45), так как
касательные напряжения, рав-
ные тангенсу угла наклона
плоскости, касательной к по-
верхности функции напряже-
ний, в пластической стадии ра-
боты всегда равны тт.
В табл. 12.4 приведены предельные крутящие момен-
ты, воспринимаемые различными сечениями в пластиче-
ской части работы М.л- Для сравнения в этой же таб-
лице помещены крутящие моменты Мгп, соответствую-
щие упругой сталии работы стержня к началу появления
пластических деформаций в наиболее напряженных точ-
ках сечення. В табл. 12.4 введены обозначения: Q — пло-
щадь, ограниченная срединной линией замкнутого профи-
ля (рис. 12.46); а — коэффициент, приводимый в спра-
вочниках для различных отношений Ь/а.
В случае тонкостенного поперечного сечения стержня
с переменной толщиной стенки 6 пользуются той же
формулой, что и при 6=const, вводя минимальное зна-
чение бин.
Прн упруго-пластической работе стержня, когда ие все
его сечение перешло в пластическую стадию работы, для
упругой части сечения следует применять дифферен-
циальное уравнение мембраны
Рнс. 12.46
Рнс. 12.45
дх* + ду‘
= 20'G,
где 6'—относительный угол закручивания.
Для пластической зоны следует применять поверхность
равного ската.
Относительный угол закручивания определяется по уп-
ругому ядру сечення
6'
aG ’
12.7.11. Пластическое кручение стержня
с растяжением
+ 3(т;г + ту =т;; (12.98)
Сеи-Венану
а) Круглый цилиндрический стержень. В поперечном
сечении действуют только напряжения с,. т», и т„.
Условие пластичности по Губеру — Генки — Мизесу име-
ет вид
о5
2
ПО
^ + 4(< + ^) = <
Плоские поперечные сечення в
процессе деформирования остают-
ся плоскими, поворачиваясь по-
добно жестким дискам вокруг осн
стержня. Продольная деформация
ea=const.
Используя зависимости между
т*ж и тг« и соответствующими де-
формациями упруго-пластического
тела, а также между сдвигами и
относительным углом закручива-
ния 9', с учетом условия пластич-
ности, например (12.98). получим
значения напряжений в сечении:
Рнс. 12.47
м Типы сечений
круг радиуса А квадрат аХО прямоугольник aXb lb > а) тонкая полоса Cxh кольцо (наружный радиус—А. внутрен- ний радиус— г> тонкое кольцо и тонкое замкнутое сечение
Мм — лЯЧ а т — а*х 3 1 — в* (ЗЬ — а) т_ 6 т — Лв*т 2 т — п (Я- - <-> Т_ 3 т 20бтт
**уп 0.208 л"1т — йвч, 3 т — <Я« — л-> т 2/7 т 2О»тт
36
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУ ЧЕСТИ
От
Здесь г — расстояние рассматриваемой точки сечения до
центра сечения;
Эпюры о, и Т приведены иа рнс. 12.47. Соответствую-
щие этим напряжениям предельные значения пролиль-
ной силы и крутящего момента равны:
6л
Определив из выражения для Woo
(12.99)
_ Гпот VnR'-or — Л'цр
т 3 Л/пр
я подставив в выражение для Мгр, получаем уравнение,
связывающее предельные значения Nuv и Л1ир:
1 № o’ IF2
Mnp+ 9 « "пр + 27п„ - 3 тт — пл
где л=
—-лЯ’ — пластический момент сопротивления
при чистом кручении.
Предельные значения М н N по упругой стадии работы
стержня в момент достижения касательного напряжения
тт в наиболее напряженных точках находятся из урав-
нения
N* 12/И=
л2 Я4 о2 + л2 Я6 о2
б) Тонкая полоса. Для тонкой полосы деплаиацпей по-
перечного сечения можно пренебрегать только для сдви-
гов у»,. С учетом этой особенности получены формулы
напряжений н уравнения, связывающие предельные зна-
чения Wnp н Мир:
(12.100)
(12.100)
В этих формулах: й — толщина; b — ширина пластинки;
у — измеряется в направлении толщины пластннкн.
Уравнения (12.100) приводятся к виду
6 66от
А'пр Ыют , / 1
"•>+v=V у
Величина ф определяется по нз первого уравнения,
а величина Atop по ф и Wnp — из второго уравнения.
12.3. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
12.6.1. Основные понятия
Равновесные и неравновесные процессы деформации.
Равновесным состоянием тела называют такое состояние,
в котором тело может находиться неограниченно долго;
при этом размеры тела, его температура и величины
внешних нагрузок, приложенных к нему, остаются посто-
ЯШ1ЫМИ. Равновесный процесс деформации — это беско-
нечно медленный процесс, когда тело проходит через ряд
равновесных состояний, непрерывно вытекающих одно из
другого.
Если процесс состоит из ряда неравновесных состоя-
ний, следующих одно за другим, то это будет неравно-
весный процесс. Пример равновесного процесса — упру-
гая деформация; пример неравновесного процесса — де-
формация ползучести.
Равновесный процесс деформации может протекать
и в обратном направлении, т. е. равновесные процессы
обратимы. Неравновесные процессы необратимы. Следо-
вательно. процесс ползучести необратим.
Квазн равновесные процессы. Упругая деформация
н вязкое течение. Равновесный процесс деформации твер-
дых упругих тел является примером обратимого процес-
са. Такого рода процессы в случае малых деформаций
и линейной связи между напряжениями и деформациями
изучаются в классической теории упругости. Близкими
к ним являются почти равновесные или квазиравновес-
ные процессы деформации.
Если же рассматривать тело в состоянии текучести, то
его сопротивление воздействию сдвигающих сил опреде-
ляется не деформациями, а характером изменения ско-
ростей деформаций. Такне сопротивления называют вяз-
кими сопротивлениями.
12.8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
37
Большая часть строительных материалов, обладающих
аморфной структурой (млн имеющих аморфную фазу
в своем составе), проявляет одновременно свойства уп-
ругости и свойства текучести. К таким материалам от-
носятся, например, бетоны, смолы и др. В зависимости от
длительности наблюдения процесса деформации упруго-
вязких тел на первый план выступает свойство либо уп-
ругости, либо текучести.
Материал Я в пл "f a сек
Асфальт прн 20* С . ....... 1CF
Лед . . .'....... . ... . Ю1’ 5U0
Исландский шпат прн 18* С . . . 10” 10*
Зеленогофенскнй известняк. . . 10” 10“
12.8.2. Релаксация
Предстапнм себе стержень из упруго-вязкого материа-
ла. сжатий двумя продольными силами Р до некоторой
определенной величины относительной деформации
Д'
е = — , где I — первоначальная длина стержня; ш —
укорочение, вызванное силами Р. Подобное состояние
деформации стержня будет состоянием неравновесным,
и для поддержания деформации е, неизменной во вре-
мени, необходимо постепенно снижать силы Р. Этот
процесс уменьшения величин внешних сил (илн напряже-
ний) при неизменности во временн вызванной ими де-
формации называется релаксацией.
Время, в течение которого внешние силы (илн напря-
жения) ослабевают в е=2,72 раза, называется време-
12.8.3. Ползучесть
нем релаксации.
Простейшая релаксационная теория упруго-вязких тел
(теория Максвелла) дает закон деформирования в виде
уравнения
dy = dVp = J_
dt dt ' dt C
do о
—+ —. (12.101)
dt 1]
Здесь G —модуль сдвига; т] — коэффициент вязкости
по Ньютону; у, и уи — соответственно обратимая (упру-
гая) н необратимая части деформации сдвига. В основе
закона (12.101) положена линейная зависимость (Гука)
упругой деформации от напряжения и линейная зависи-
мость (Ньютона) скорости деформации ползучести от
напряжения.
Прн остановке деформации — =0, и, следовательно,
1 da а
—-------|------ 0, откуда о=<То е п , т. е. напряже-
G dt т)
иис о снижается с течением временн (релаксация) по
экспоненциальному закону (рнс. 12.48). Время релаксации
~ Ч
в данном случае равно/= — -В табл. 125 приведены
данные о коэффициентах вязкости в пуазах (1 пз=
= 1 дн-сек/см1) и времени релаксации для некоторых ма-
териалов.
Максвелловская теория является наипростейшей нэ
возможных. В более общем случае уравнение, описыва-
ющее поведение упруго-вязкой среды под нагрузкой,
представляется в виде
d" о
А„ ~ + Ап—1 -(----h =
dtn df-1
d*e
= Вц - Ч-------Н В»е
d(*
Под термином <ползучесть> обычно понимают нерав-
новесный процесс развития деформаций материала во
временн без увеличения нагрузки. В зависимости от ве-
личины приложенных сил деформация ползучести либо
стремится к некоторой постоянной величине, либо не-
ограниченно увеличивается вплоть до разрушения. Пола-
dy о.
гая в (12.101) a=a,=const, получим ~ =— , от-
Ш Т)
°C
куда у = у, + —t. Таким образом, деформация полэу-
Ч
чести материала, подчиняющегося уравнению (12.101),
а,
происходит с постоянной скоростью — . На рнс. 12.49
Рнс. 12.50
дана типичная диаграмма
ползучести. Как видно из
рисунка, процесс ползучести
можно разделить иа три ста-
дии. Первая стадия харак-
теризуется переменной ско-
ростью деформации ползу-
чести (иеустановнвшаяся
ползучесть), вторая — по-
стоянной скоростью (уста-
новившаяся ползучесть).
третья — резким нараста-
нием скорости деформации ползучести (стадия разру-
шения).
илн даже в виде нелинейных соотношений между раз-
личными производными напряжений и деформаций по
времени.
38
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
Явление отставания деформации от напряжения назы-
вается последействием. Если напряжение растет быстро
(неравновесный процесс), то полная деформация, соот-
ветствующая конечному напряжению, наступит спустя
некоторое время. То же явление наблюдается при раз-
грузке. На рис. 12.50 отражены одни процесс нагруже-
ния и одни процесс разгрузки. На рнс. 12.51 участки /.
II и III соответствуют деформациям под действием сил
РЛ<РЕ<Рв, приложенных в моменты времени А, Б
и В. Участки IV, V и VI соответствуют мгновенной раз-
грузке.
12.8.4. Особенности процесса ползучести
некоторых строительных материалов
а) Ползучесть гипса. Гипсовые конструкции, хорошо
работающие в воздушно-сухом состоянии, обнаруживают
ползучесть прн увлажнении. На рнс. 12.52 показаны ти-
пичные кривые ползучести
гипса. Они получены на ос-
новании изучения изгиба
гипсовых призматических
брусков постоянного сече-
ння. Кривая I относится к
работе образцов в воздухе. В этом случае деформация
остается постоянной, т. е. ползучесть отсутствует. Кри-
вая II относится к случаю ползучести прн обильном
смачивании образцов водой н кривая ///— прн смачи-
вании их 10—30% водным раствором СаС1:.
б) Пластичность и ползучесть каменных материалов.
Хрупкие каменные материалы обнаруживают способность
к значительным пластическим деформациям и деформа-
циям ползучести в условиях высокого всестороннего сжа-
тия. На рис. 12.53 показаны кривые деформации песча-
ника прн всестороннем сжатии. Исследования показыва-
ют, что механизм н характер пластической деформации
каменных материалов отличаются от механизма и харак-
тера пластической деформации металлов.
в) Ползучесть дерева. Величина деформации дерева
в высокой степени зависит от продолжительности дейст-
вия нагрузки. Если приложенные напряжения ие превос-
ходят известных пределов, деформация ползучести носит
затухающий характер; в противном случае она нараста-
ет со временем вплоть до разрыва (рнс. 12.54). На
рис. 12.55 показано изменение со временем деформаций
упругого последствия в опыте с изгибом деревянного
бруска.
Отмеченные особенности процесса ползучести некото-
рых строительных материалов имеют весьма важное зна-
чение. так как они показывают, что процесс ползучести
зависит не только от свойств самого материала, по и от
условий среды, особенностей нагружения и т. д.
время в сцшкти
Рнс. 12.54
12.8.5. Реологические модели
Законы деформации различных сред можно иллюстри-
ровать посредством простых механических или, как их
в настоящее время называют, реологических моделей.
Рис. 12.56 Рис. 12.57 Рнс. 12.58 Рис. 12.59
Деформация чисто упругой среды, подчиняющейся за-
кону Гука о—Ее, иллюстрируется деформацией пружи-
ны (рнс. 12.56). Деформация вязкой среды, подчнияю-
де
щейся закону Ньютона о = т] —. может быть проиллю-
ш
стрнрована прн помощи модели, состоящей нз поршня,
двигающегося в цилиндре с вязкой жидкостью
(рнс. 12.57).
12.8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
39
Деформация жестко-пластического тела, которое при
напряжениях ниже предела текучести Ст совсем ие де-
формируется, а при напряжениях, большил Ст, переходит
в состояние течения, может быть проиллюстрирована при
И'
Рис. 12.63
Рис. 12.60 Рис. 12.61 Рис. 12.62
помощи модели, состоящей из двух пластинок, по пло-
щади контакта которых развивается кулоиово трение
(рнс. 12.58).
На комбинациях этих исходных моделей можно иллю-
стрировать процессы деформации сред, обладающих бо-
лее сложными свойствами, чем упругая, вязкая или же-
стко-пластическая среда. Так, модель на рнс. 12.59 изоб-
ражает упруго-пластическую среду; на рнс. 12.60 пока-
зана модель упруго-вязкой среды, деформация которой
описывается уравнением
описываются некоторыми интегральными соотношениями.
К такого рода средам принадлежит, например, среда
Больцмана, деформация которой описывается уравнением
t
о (1) = Ее (1) + f ф (t - т) е (т) dr.
12.8.6. Теории ползучести
Если тело, расположенное в среде с постоянной темпе-
ратурой, находится в равновесии под действием прило-
женных к нему сил, то между возникающими в теле на-
пряжениями о. деформациями е и температурой Т долж-
ны существовать соотношения ф(о, е. Г) =0. называемые
уравнениями состояния. Примером уравнений состояния
являются уравнения, выражающие закон Гука в теории
упругости.
Связь между всеми переменными, входящими в урав-
нение состояния: напряжением, деформацией, скоростя-
ми нх изменения и временем, устанавливается на основе
той или иной принятой гипотезы, в зависимости от кото-
рой и различаются существующие теории ползучести.
Теория упруго-вязкого тела. Эта теория рассматривает
среды, обладающие упруго-вязко-пластическими свойст-
вами. В общем виде уравнение состояния таких сред име-
ет вид
to + kfi + kf -I- к,с + к, о = 0,
где kf — реологические параметры. В работах [9 н 18]
рассмотрено это уравнение в виде закона линейного де-
формирования упруго-вязкого тела:
Ее + Тр Егё = о + Трй, (12.102)
Т]
где Тр = - —время релаксации; п — коэффициент
вязкости; £ — начальный модуль упругости, характери-
зующий мгновенную деформацию; Ег—модуль эласти-
ческой (упруго-вязкой), развивающейся во времени де-
E^Et
формации; Е = ———— — конечный модуль упругости,
Ct + с,
характеризующий конечную, предельно длительную де-
формацию.
Из (12.102) при о=cons! получается закон деформи-
рования (последействия) в виде
_ de
o=Ce-f-n—•
at
е(0 = ек — (ек — %)е Т” ,
Модель на рнс. 12.61 изображает среду, деформация
которой подчиняется уравнению Максвелла:
de 1 do о
dt = Е " dt + 1)
На рнс. 12.62 показана модель, изображающая вязко-
пластическую среду; на рнс. 12.63 —модель среды, де-
формация которой описывается уравнением
Деформация среды с более сложной структурой изо-
бражается моделью, показанной на рнс. 12.64, и т. д.
Можно рассматривать также модели сред с непрерыв-
ным распределением параметров, характеризуемых одно-
типными элементами. Законы деформаций таких сред
о
где ек= — конечная, стабилизировавшаяся деформа-
о
ция (при !-*<»); е,= — — начальная мгновенная де-
fl Т)
формация (при 1=0); То = Тр—= —— время после-
действия, т. е. время, за которое разность еи—е, умень-
шается в е=2,72 раза.
Из (12.102) при e=const получается закон релаксации
<
т
От = Ок + (О, — Ок) е р.
где Oo=Eie — начальное напряжение (при 1=0); а„ =
=Ее — конечное напряжение (при t-ьоо); Г,— время
релаксации.
Частными случаями уравнения (12.102) являются бо-
40
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
лее простые законы — закон Гука, закон Ньютона, урав-
нение релаксации Максвелла (12.101) н др.
Теория упрочнения. Эта теория предполагает наличие
функциональной зависимости между деформацией, ее
скоростью и напряжением:
ф(в. в, о» = 0.
Указанная зависимость исходит из подобия кривых
ползучести (упругая деформация обычно не учитывает-
ся) и принимается в виде
/(о)
вп-Г(вп) ’
где еа — деформация ползучести, а вид функций f(a)
и F(eB) принимается различным.
Так Ф. С. Чуриковым и Ю. Н. Работновым предложено
о
F (еп) = . / (о) = аеь . откуда
о = 0 прн |ёес| < а.
При а = const
e^laja+l^exp^-^]^.
где о. а. с. Ь — параметры.
Уравнение релаксации в данном случае имеет вид
। р аъ—о
о (Г) =---- I (а0 —о)е ь do.
Теория течения. По этой теории уравнение состояния
имеет вид ф(о, в, ()=0. Принимая, что полная скорость
деформации складывается из скорости упругой деформа-
ции в, и скорости деформации ползучести е0, получим
г.(0 = ёу + ёп.
Скорость упругой деформации
1 da
Скорость деформации ползучести прн подобии кривых
ползучести можно определить как произведение функции
напряжения F(o) и функции времени х(/):
e„ = F(a)x(0.
В теории ползучести часто применяется зависимость
F(o)=o"; тогда
• „ 1 4°
В = о"х(/) + -. —.
Прн большом значении t или при пренебрежении зату-
хающей деформацией = const. Уравнение ре-
лаксации по теории течения записывается в виде
___1
о = а0 [1 + (Л - О FX-'0 (0] Я-1 .
где о<> — начальное напряжение, а
t
C(() = |x(0d(.
Теория старения. По этой теории время явно входит
в уравнение состоянии:
ф(о, в,Г)=О.
Рассматривая деформацию как сумму упругой де-
формации и деформации ползучести, имеем
в(/) = ву + вп,
с
где е,=—. а в0— некоторая функция напряженнн и
времени, например, если кривые ползучести подобны, то
можно принять
en(/) = F(o)Q(/).
При степенной зависимости между напряжением и де-
формацией полная деформации
в(п-у+ очг«).
Функция Q(() отражает изменение свойств материала
во времени, его старение. Отсюда к название теории.
Уравнение релаксации по теории старения
Oo = o + a"£Q(/).
Линейная теория наследственной ползучести. Теория
наследственной ползучести исходит из того, что дефор-
мация в данный момент времени зависит ие только от
величины напряжения в этот же момент, по и от истории
предшествующего деформирования. Прн этом учет пред-
шествующих деформаций производится на основе прин-
ципа суперпозиции (наложения).
Уравнение состояния в теории наследственной ползу-
чести имеет вид
t
е(0=-^-+ f/((r-T)o(T)dT, (12.103)
где первый член правой части отображает мгновенную
деформацию во в момент t, вызванную напряжением a(t),
а второй член — развивающуюся во времени деформа-
цию. вызванную переменным во времени напряжением
а(т).
Разрешив уравнение состоянии относительно напряже-
ния о, получим
t
о (0 = Foe (Г)— J R (Г — т) в (т) dr, (12.104)
где первый член отображает начальное иапряжеине в мо-
мент Г, а второй — изменение напряжения во времени
прн изменяющейся во времени деформации в.
При a—const уравнение ползучести по дайной теории
имеет вид
при e=const получаем уравнение релаксации
t
o(<)=e|F0-f«(Od().
12.8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
41
Функция Kit—т) в (12.103)—ядро ползучести — ха-
рактеризует влияние иа деформацию в момент t нагруз-
ки. приложенной ранее, в момент т; функция /?((—т)—
ядро релаксации — характеризует влияние на напряже-
ние в момент t деформации, возникшей в момент т.
Рнс. 12.65
Дифференцируя уравнения (12.103) н (12.104), полу-
чим
de
~dt~'
da
~dt~ ’
а
Следовательно, функция K(t) — есть скорость деформа-
ции прн <г=1; функция (?(/) —напряжение, необходи-
мое для поддержания деформации е=1. Функция К(1)
может быть определена по кривой скорости деформиро-
вания при o=const, a R(t) — по кривой скорости релак-
сации при e=const.
Уравнения наследственной ползучести отличаются боль-
шой общностью и прн соответствующем выборе ядра
Х(0 приводятся к рассмотренным выше законам ползу-
чести.
Нелинейная теория наследственной ползучести. Учет
нелинейной зависимости между а и е достигается введе-
нием в уравнения (12.103) и (12.104) не самих напряже-
ний и деформаций, а их функций F(o) или <р(е). харак-
теризующих связь между а и е В зависимости от вида
семейства кривых о—е могут иметь место три случая.
I) Кривые о—в для разных / не подобны, каждая из
них описывается своим законом <р<(е) (рис. 12.65,0).
Уравнение для напряжений имеет вид
t
о (0 = Фо (е (0] — j(с; t — r)o(r)dr;
уравнение для деформаций
г
е ОТ = /о (° ОТ] +1Q «Л (- т) f [о (т)) dr.
Здесь Фо(е) = оо н /о(а) = ео— мгновенные напряжения
и деформации. В частности, при степенной связи между
напряжением и деформацией функции ф(е) и /(о) могут
принять вид
1
Ф(е) = Ае /(с) = ^—I '.
2) Кривые о—в подобны для всех моментов времени,
за исключением начального (рис. 12.65,6). Функции
<р(е) и f(o) имеют два значения: фо(е) и /с(сг) при 1=0;
Ф(е) и /(о) при 0<1<оо. Уравнение для напряжений
принимает вид
ч ОТ = Фо (е ОТ] — J R (I— т) <р [е (т)J dr.
уравнение для деформаций
г
г ОТ = /о |о OTI + (<2 (< - т) f ]о (т)) dr.
о
Здесь
do \ de I
/?(/—Т)^ —----------- ; =-----• —— .
dt ф(е) 41 f dt f(o)
3) Все кривые ст—е для любого являются
взаимополобиыын. т. ?. описываются единой функцией
Ф(е) (рис. 12.65, в). Уравнение для напряжений имеет
вид
t
о ОТ = ф (е OTI- [ R - т) Ф (в (т)J dr. (12 105)
О
Это уравнение можно разрешить относительно <р(е):
f
Ф (е (/)] = о ОТ + [К (I — т) а (т) dt. (12.106)
О
При о—const и e=const уравнения (12.105) и (12.106)
принимают соответственно вид
о(/) = Ф(е)(1-|я(/)Л]:
/
ф[е((); = о|1 + fK(Od/|.
‘о
12.8.7. Наследственная теория ползучести
бетона Н. X. Арутюняна
В основу этой теории положены три предпосылки:
1) рассматриваемый материал однороден н изотропен;
2) деформация н напряжение связаны между собой ли-
нейной зависимостью; 3) для деформации ползучести
принимается закон наложения. Вторая предпосылка для
ряда материалов справедлива при напряжениях, не пре-
вышающих примерно половины предела прочности мате-
риала. Построенная на этих предпосылках теория ут-
верждает. что если на сооружение действуют только
внешние силы, то напряженное состояние в элементах
сооружения при некоторых условиях (если коэффициент
поперечной деформации ползучести ц„ равен коэффици-
енту упругой поперечной деформации ц, и ц0=Ру=
=const) остается неизменным н прн наличии в них явле-
ния ползучести. В этом случае ползучесть не меняет на-
пряженного состояния, а влияет только иа деформации
сооружения В задачах подобного типа обычные методы
строительной мехаинни позволяют учесть влияние пол-
зучести. Необходимым условием этого является следую-
щее: относительная деформация ползучести C(t, т) от
единичной нагрузки при одноосном напряженном состоя-
нии (мера ползучести) должна быть пропорциональна
деформации ползучести <а(Г, т) прн чистом сдвиге, т. е.
СОТ Т) = ^Г “ОТ Ч,
где I — момент времени, в который определяется дефор-
мация; т —возраст бетона в момент загружеиня; Е и
42
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
G — соответственно модули упругости мгновенной дефор-
мации н сдвига.
Если же напряжения изменяются вследствие дефор-
маций ползучести, то последняя сказывается и на напря-
женном состоянии н ка деформациях. Н. X. Арутю-
нян [I] составил уравнение упруго-ползучей среды, счи-
тая, что закон изменения меры ползучести бетона мо-
жет быть представлен следующим выражением:
С(1. т) = (с. + y) [l -«V• (12.107)
где Со—предельная мера ползучести при <-»-оо; Ai н
у — постоянные.
С учетом этого закона изменения C(t. т) (подтверж-
дающегося экспериментами) получаются следующие
уравнения для напряжений:
° и (0 = (О + J о, (т) -£ Е (I) +
+ С(Ст)]л (i = l,2,3);
I
«) = (0 + [ ГО G W X
х[т4г+“го1л (i+k),
16 ГО J
(12-108)
I
где Ось (0 — напряжения для упруго-мгновенной задачи.
Для случая изменения C(t, т) по закону (12.107) н при
условии, что модуль мгновенной деформации Е(т) изме-
няется во времени незначительно, так что его можно
принять постоянным, уравнения (12.108) приводят к
решению
°и (О — °и (Ti) р “ УЕо (Tl "* х
г _
XtJZ1'С-^Л|. (12.109)
Задачи термоупругого состояния с учетом ползучести
разбивают на три этапа: 1) определение температурного
поля; 2) решение термоупругой задачи; 3) определение
напряженного состояния с учетом ползучести бетона.
Для определения напряжения в любой момент време-
ни представим уравнение (12.109) в виде
М-ь)='-т^(^ + со)^,х
X (Ф«р) —©(rtj.p)) —
коэффициент затухания.
Здесь приняты обозначения: ац(т) —термоупругое на-
пряжение в теле для данного температурного режима;
Ео—модуль мгновенной деформации; г=у(14-£оСо) —
параметр, характеризующий с физической точки зрения
ползучесть бетона в старом возрасте; р—уА|Е0— пара-
метр, характеризующий меру ползучести бетона в моло-
Т а б л м ц а 12.6
Время в днях Возраст бетона т, в днях
7 14 28 45 60 90 360
7 14 28 45 60 90 130 1 0.S84 0.25 0.134 0.105 0.092 0.092 0.092 1 0.47 (1,297 0,252 0,232 0,232 0.232 1 0.487 0.259 O.3QI 0,301 0,301 1 0.535 0,323 0,323 0,323 1 0.334 0.334 0.334 £> 1 1 1 1 1 1 0.355
дом возрасте; Сс= lim С(1, Т|) — предельное значение
/-♦СЮ
меры ползучести для данного материала; Ас и V —опыт-
ные коэффициенты, характеризующие интенсивность из-
менения меры ползучести бетона, необходимые для опре-
деления C(t, тс) по формуле
C(t, г.) = (Со + [1 - е~1 “ т->].
Функция Ф(Е. р) определяется по формуле
Ф(6.Р)
Значении этой функции протабулированы и приводят-
ся, например, в [6].
В приводимых ниже примерах приняты следующие ха-
рактеристики бетона (по данным экспериментальных ра-
бот):
Aj = 4,82-1(Г*; Со = 0,9-Ю-’; у = 0,026;
Ео = 2-10» кГ/см\ р = 0,2&-, r = Ofili.
Для этих постоянных коэффициент затухания Ht(t, Т|)
приведен в табл. 12.6.
Пример 12.3. Определить напряжения в толстой бетон-
ной плите при возрасте бетона Т|=7 дней (рнс. 12.66),
торцы которой ие могут перемещаться, т. е. ui н uj рав-
ны нулю. Плита равномерно нагревается от нуля до
Г=25” С.
В данном случае термоупругне напряжения равны:
, Ед
ГО) = ГО) = - Г-
Остальные напряжении, как и перемещении ui и uj по
осям 1 и 2 равны нулю. Перемещение по оси 3 (из)
равно:
где а — коэффициент линейного расширения для бетона
(а=0,000012); р — коэффициент Пуассона для бетона
(р=’/,). Тогда Оц(т1)=оа(т|) = — 43,2 кГ)смг, а напря-
жения с учетом ползучести бетона будут Оц(0=Ои(/) =
=—43,2Wi(f, Т|). В табл. 12.7 приведены значения на-
пряжений для различных моментов времени.
Пример 12.4. Бетонный брус, один конец которого за-
щемлен, а другой свободно оперт (рис. 12.67), подвергает-
ся неравномерному нагреву, его верхние волокна имеют
температуру Ti=15’C, а нижние — Тг=5°С.
12.6. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
43
Термоупругая задача для такого бруса известна прн
следующем законе распределения температуры по высоте
сечения:
т = у [(7, + 7.) + (7t - Г,) у] .
Максимальные напряжения по этому решению будут
в сечеинн х=/, т. е. в защемленном сечении.
Напряжения по сечению будут определяться форму-
лой (для Г1>Га)
3 „ „ 2х
Оц(т1) — — , (71 — 7,)<хЕс .
4 л
Величины упругих и упруго-ползучих напряжений для
бетона в возрасте Т| = 14 дней соответственно будут
равны:
°п макс (т1) = ± 36 кГ/м‘; °11и.кс (0 =
МНИ ынн
= ±36tfx (Г, 14).
В табл. 12.8 приведены значения Опмкс(0 для различ-
иям
пых моментов времени.
Т в б л и ц а 12.6
Время в днях И 28 45 60 90 360 3 года
О,‘мвкс мин кГ /см* ±36 +17,25 ±10,7 +9,1 ±М +5.4 ±8,4 ±8,4
Из таблицы видно, что уже к 90-му дню напряжения
за счет ползучести бетона уменьшаются более чем
в 4 раза.
12.8.8. О ползучести металлов
Явление ползучести металлов и сплавов становится за-
метным при повышенных температурах. Так, для угле-
родистых сталей н чугуна ползучесть начинает сказы-
ваться при 300—350° С, для легированных сталей — при
350—400° С, для цветных металлов —при 50—150° С
и т. п.
Некоторые металлы, например свинец, испытывают де-
формации ползучести и при обычной комнатной темпе-
ратуре.
Расчет на ползучесть конструкций основан на резуль-
татах экспериментального исследования металла глав-
ным образом на постоянную нагрузку. На основании экс-
периментальных данных предложены многочисленные
формулы эмпирического и полуэмпнрического характера.
Для установившейся стадии ползучести применяется
следующая зависимость между скоростью ползучести и
напряжением
en = *a".
где k и л — коэффициенты, зависящие от температуры
испытания и свойств материалов [6].
Максимальное напряжение, ие вызывающее деформа-
ций ползучести больше допускаемых для данных усло-
вий работы, называется условным пределом ползучести
материала по допускаемой суммарной деформации ползу-
чести.
Расчетное условие ползучести при одноосном напря-
женном состоянии имеет вид
е=еу + еп1+еп, = ео+*°%<
где еу — относительная упругая деформация^ =
Ег — модуль упругости при данной температуре; е„ и
еп — относительные деформации иеустаиовнвшейся и ус-
тановившейся ползучести; [е] — допускаемая деформа-
ция за время службы конструкции; (с —срок службы
конструкции.
Деформацией иеустаиовнвшейся ползучести (еп,)
иногда, можно пренебречь. Тогда дли а получается урав-
нение
у- 4-4о"Гг=[е|.
Если пренебречь и упругой деформацией, то расчетное
условие принимает вид
Пренебрегать упругой деформацией и деформацией ке-
у становившейся ползучести можно только тогда, когда
эти деформации малы по сравнению с деформацией уста-
новившейся ползучести.
12.8.9. Ползучесть при изгибе балок
и кривых стержней
Рассмотрим некоторые задачи по расчету балки, сече-
ние которой имеет две осн симметрии, иа изгиб для слу-
чая установившейся ползучести. Изгибающий момент
44
РАЗДЕЛ 12. УРАВНЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. ПЛАСТИЧНОСТИ И ПОЛЗУЧЕСТИ
действует в вертикальной плоскости рОг (рнс. 12.68).
При решении задач установившейся ползучести считают,
что спустя известный промежутои времени после загру-
женин напряжения в сеченни не изменяются н спорость
деформации постоянна.
Определим закон изменеиня нормального напряжении
по сечению и прогиба балки во времени. Прн решении
пренебрегают касательными иапря-
^4 жеииями и предполагают справед-
Ркс. 12.68
Рнс. 12.69
I. Чистый изгиб (рис. 12.69). Примем закон ползучести
в форме
Jet
где — —скорость деформации.
dt
Из условия равенства момента внутренних и внешних
сил
4 Г огуЬ (у) dy = М,
(12.110)
а на основании гипотезы плоских сечений
—— =my. (12.111)
_ 1 1_
о, = * "(ту)". (12.112)
где т —скорость изменения кривизны изогнутой оси
в рассматриваемом сечении.
Подставляя (12.112) в (12.110), получим
1__I
M=m"k "/„, (12.113)
Из (12.111) и (12.113) следует
м"
dt ~k !Пп
У
(12114)
Подставляя выражение для т из (12.113) в (12.112).
получаем закон распределения нормальных напряжений
при чистом изгибе в случае установившейся ползучести:
Для прямоугольного сечения
Следовательно, напряжения для бруса с прямоугольным
сечением будут
• _ 2n + 1 / 2p\j- 6М_
°г~ Зп { h ] bh1 ’
„ 6Af
Величина — равна максимальным упругим иормаль-
bhr
иым напряжениям
5Л« "“с
Следовательно, максимальное напряжение установившей-
ся ползучести при чистом изгибе в брусе с прямоуголь-
ным сечением будет ^полагаем у— j
?п +1 „
°ликс ' З/i °naiic-
Так как п всегда больше едкиицы. то а, « всегда
меньше оан11(с . Для малых прогибов
d*y dm d'y
т dz1 ’ dt dz* '
Подставив выражение для — в (12.111), предваритель-
dt
ио продифференцировав (12.111) по t и используя
(12.114). получим выражение для определения скорости
изменения прогиба балки при ползучести:
Интегрируя и учитывая граничные условия:
при z = 0 у =0;
(12-115)
(с учетом
получим величину полного прогиба в момент t
упругого прогиба):
2. Поперечный изгиб балки, загруженной сосредото-
ченной силой Р в середине пролета. Условия (12.115) бу-
дут такими же. как и при чистом изгибе. Максимальный
прогиб во времени определится по формуле (с учетом
упругого прогиба)
РР Ь Р"1Л+2
Ум.ке(0- 48£/+ 22<л+1)(п + 2) • '
12.8. ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯ
3. Поперечный изгиб консольной балки, нагруженной
сосредоточенной силой Р на свободном конце. Гранич-
ные условия имеют вид:
1 -
при z =--------= 0:
F 2 dz
при z = l у = 0.
Максимальный прогиб во времени (с учетом упругого
прогиба) будет
РР k Р" 1”+2
»и«е(П-3£/ +п 2 • t.
*п
4. Поперечный изгиб балки на двух опорах с равно-
мерно распределенной нагрузкой интенсивности у. Бал-
ка выполнена нз инкельхроммолибденовой стали и нагре-
та до 7=450* С. При этой температуре л=2.
5 $/< 299
Ушке (0 - - El + 23Q7Q ы-
5. Поперечный изгиб консольной балки, нагруженной
равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q:
ql* *//2(я+П
I/mikc(0= RFI "Ь
8с/
12.8.10. Ползучесть при кручении
При решении конкретных задач кручения с учетом
ползучести применяется теория старения, основанная на
теории малых упруго-пластических деформации, или
обобщенная теория вязкого течения.
Решения многих задач, в том числе и задач кручения
см. [9J.
ЛИТЕРАТУРА
I. А р у т ю к я н К. X. Некоторые вопросы теории ползу-
чести. Гостехиздвт. М. — Л.. 1952.
2. Безухов Н. И. Ос норы теории упругости, пластично-
сти и ползучести. Изд-во «Высшая школа». 1961.
3. Безухов Н. И. и др. Расчеты на прочность, устойчи-
вость н колебания в условиях высоких температур. Машгнз, 1965.
4. Вялов С. С. Прочность и яолзучесть мерзлых грунтов
н расчеты ледогрунтовых ограждений. Изд-но АН СССР. 1962.
5. Гольденблат И. И. Расчет и конструированке желе-
зобетонных балок. Госстрой изд ат. М. — Л.. 1940.
6. Гольденблат И. И.. Николаенко Н. А. Тео-
рия ползучести строительных материалов и ее приложения.
Стройиздат. I960.
7. Гольденблат И. И. н Коп нов В А. Обобщен-
ная теория пластического течения анизотропных сред. В сб.:
«Строительная механика»- Стройиздат. 1966.
7а. Гольденблат И. И. и Коп нов В. А. Критерии
прочности н пластичности конструкционных материалов. «Маши-
ностроение». 1968.
8. Ильюшин А. А. Пластичность. Изд-во АН СССР. 1963.
9. К а ч а н о в Л. М. Теория ползучести. Физматгнэ. 196П.
10. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. О ГИЗ.
ГИТТЛ. 191?.
II. Ляв А. Математическая теория упругости. СИТИ
НКТП. М.- Л.. 1935.
12. М а л и и и и Н. Н. Основы расчетов на ползучесть.
Машги? 1948.
13. Мин длин Р. Д. Сборник переводов «Механика».
«Мни». А? 1 «Г»), 1964.
М. Мусхелншвнлн Н. И. Некоторые задачи теории
упругости. Изд-во АН СССР. 1956.
15. Н с й м в и М. И. Напряжения в балке с криволинейным
отверстием. Труды ЦАГИ. № 313, Л.. 1937.
16. П я п к о в и ч П. Ф. Теория упругости. Оборонгнэ. 1939.
17. Р а б от н о в Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.
«Наука». 1966.
18. Р ж а к и ц ы н А. Р. Некоторые вопросы механики си-
стем. деформирующихся во времени. Гостехнэдат. М. — Л.. 1949.
19. С а в и и Г. Н. Распределение напряжений около отвер-
стий. Изд-во «Паукова думка». Киев. 1968.
20. Сборник статей «Реология». И ИЛ. М.. 1962.
21. Ф и л о и е и к о-Б средня М. М. Основы теории упру-
гости. Гостсхнздат. 1950.
22. Хилл Р. Математическая теория пластичности. ГИТТЛ,
1956.
РАЗДЕЛ 13
УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
13.1. ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ, ОБОЗНАЧЕНИЯ
Пластиной (рнс. 13.1) называют цилиндрическое тело,
толщина которого А=const мала по сравнению с дру-
гими размерами (сторонами прямоугольника, диаметром
и т. д.). Плоскость, параллельную основанию и делящую
пополам толщину пластины, называют срединной плос-
костью. К тонким относятся пластины, у которых А не
превышает 0,2 наименьшего размера основания.
Рис. 13.1
Пластины, подвергающиеся изгибу, называют плита-
ми. Прямоугольные пластины, находящиеся в плоском
напряженном состоянии, называют балками-стенками.
От тонких упругих пластин следует отличать гибкие
плиты (плиты, у которых максимальный прогиб больше
*/<А; методы их расчета изложены в разделе 18) и пла-
стины, в которых возможны пластические деформации
(см. раздел 21).
Приведенные критерии деления пластин на толстые,
тонкие и гибкие условны и могут быть использованы
в качестве первого приближения.
13.1.1. Основные обозначения
х, У, а—прямоугольные координаты (рис. 13.1, о);
плоскость ху совмещена со срединной плос-
костью пластины;
г, 0, г— цилиндрические координаты (рис. 13.1,6);
плоскость г9 совмещена со срединной плос-
костью пластины.
Размеры (рис. 13.1), нагрузки (рнс. 13.2)
А—толщина пластины;
И— высота ребра;
а, Ь— размеры прямоугольной пластины, радиу-
сы круглой и кольцевой пластины;
Р— сосредоточенная сила;
А^, МРГ — сосредоточенные парык вращающие во-
круг осей х, у, г.
р—интенсивность нагрузки, распределенной
по площади;
р —то же, по линии;
mJ( тг— интенсивность моментной нагрузки, рас-
пределенной вдоль линии и вращающей
вокруг осей х, г.
Рис. 13.2
Индекс у Р. р, р показывает направление силы. Так,
Pi, рг означает, что Рх направлено вдоль оси х, а р, —
вдоль радиуса.
Компоненты напряжений и усилий (см. рнс. 13.2)
ох, ог н т. д,— нормальные напряжения по площадке
с нормалями х, г и т. д.;
TXJ, тгг—касательные напряжения. Первый индекс
указывает направление напряжения,
а второй — нормаль к площадке, по ко-
торой действует напряжение;
К — нормальная (продольная) сила;
Q—поперечная сила (направлена перпенди-
кулярно срединной плоскости);
V—прнведениая поперечная сила или реак-
тивное усилие;
S— сдвигающая сила (расположена в сре-
динной плоскости);
М— изгибающий момент;
А1К—крутящий момент;
Я—сосредоточенная реактивная сила в уг-
ловой точке прямоугольной пластины.
Индекс у усилия означает направление нормали к еди-
ничной площадке, по которой действует усилие. Так,
например, Mt — изгибающий момент по площадке с нор-
малью х; Мкг — крутящий момент по площадке с нор-
малью г.
Перемещения
ш — перемещения точек срединной плоскости
при изгибе по направлению осн z;
13.1. ОБЩИЕ ТЕРМИНЫ. ОБОЗНАЧЕНИЯ
47
иХ1 и. ит. л — перемещения точек срединной плоскости
при плоском напряженном состоянии по на-
правлению оси х, радиуса гит. д.;
0х, О,, $г— угол поворота при изгибе волокна, направ-
ленного вдоль оси х. у, г.
а) для ребер, расположенных симметрично относи-
тельно срединной плоскости пластины (см. рис. 13.3):
(о8 + Ь8) sin 2а
2abh, £с
(13.4)
Упругие константы и характеристики жесткости
Elt Et, G—модули упругости;
Pi. Pi — коэффициенты Пуассона;
б) для ребер, расположенных по одну сторону от
пластины:
?i = I — р; A, = 1 + р: Хз = 3 + р;
A, = 1 + Зр; ?.s=5 + p; А, = 5 — Зр.
А, = 7 + Зр;
(13-1)
_ (л* + Ь8) sin 2а
₽“ 2оЫМе<: + 6н)
Значения бс и 6В в (13.4а) равны:
(13.4а)
Е,-Л-
Dj= —------------ — жесткость плиты (i=l. 2).
12(1—pip,)
fib / b а \
24 (1+н) \77+77л
(13.46)
13.1.2. Определение упругих характеристик
конструктивно ортотропных пластин
Пластины, усиленные часто поставленными ребрами.
Здесь /ц и /ц — моменты инерции сечений ребер, парал-
лельных осям х, у относительно центральных осей, пер-
пендикулярных плоскости х, у.
Если конструкция состоит только из перекрестных ба-
лок. то в (13.2) следует положить /1=0, а (13.3) заме-
нить на
а также решетки, состоящие из перекрестных балок,
жестко сопряженных между собой, часто заменяют при
определении усилий и пере-
мещений эквивалентной ор-
тотропной пластиной. Ниже
приводятся формулы, по ко-
торым можно определить
упругие характеристики эк-
вивалентной пластины.
Предполагается, что рас-
сматриваемая конструкция
выполнена иэ изотропного
материала, характеризуемо-
го константами Е. р. G.
Обозначим толщину эквива-
лентной ортотропной пла-
стины Лд. Она может быть
задана произвольно сооб-
G0 = *pG. (13.4в)
Если пластина усилена ребрами в одном направлении,
то в (13.2) следует положить либо Fi, либо F3 равными
нулю, а в (13.3) принять АР=0.
Жесткости 'плиты при изгибе н D, можно опреде-
лять по формулам
о,.—F-H—
12(1-р8)
Ей3
D» =
I2(l-P8)
F7,
+^-
(13.5)
разно с удобством расчета.
Следует иметь в виду, что замена действительной
конструкции эквивалентной пластиной неизбежно свя-
зана с неточностями при определении усилий и дефор-
маций в основной конструкции. Эти неточности резко
Здесь /ц и /л —осевые моменты инерции сечений ребер,
параллельных осям хну относительно центральных осей,
параллельных осям х. у.
Коэффициенты Пуассона можно либо принять равны-
ми нулю, либо определять по (13.2).
Жесткость при кручении для эквивалентной плиты D®
вычисляем по формуле [6].
возрастают по мере увеличения расстояний между реб-
по . /.к
к“ 6 т об ’
(13.5а)
рами.
Для пластины, снабженной рядом перекрестных ребер
(рис. 13.3). модули упругости и коэффициенты Пуассона
эквивалентной пластины можно определять по фор-
где
мулам
g __ | /Ijf («^?К Ы 1к)
Wан (а2 /1у + Ь8 /ах)
(13.56)
Ft + ha F, + H>
ah, " * bh,
£;
Pi =
l*£ .
1*£
14= —
(13.2)
Здесь н /аи — моменты инерций сечений ребер, па-
раллельных осям хну прн кручении, a I\v и /2, —осе-
вые моменты ниерцнн тех же ребер относительно цент-
ральных осей, параллельных осям х, у.
где Fi и Ft — площади сечений ребер, параллельных осям
х. у.
Модуль упругости прн сдвиге эквивалентной пласти-
ны 60 вычисляется по формуле [6]
G„=(l+*P)G. (13.3)
Коэффициент Ар в (13.3) равен:
13.1.3. Связь между усилиями
и напряжениями
а) Задача изгиба (z—расстояние точки от срединной
плоскости)
\2гМх 12г^ 1 и
о- </„= <4 = 0; ] (13-6)
48
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
(13.6)
(13.6а)
Для полярной системы координат индексы х. у, заме-
няются на г и 6.
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
13.2.1. Прямоугольные изотропные плиты
Для расчета прямоугольных изотропных плнт. опертых
одним нз указанных на рис. 13.4 способов, можно ис-
пользовать следующие формулы:
“ А>п< 9 ..1
м1=-^р'Ъ У« = ФРЬ« (|37)
11г
Vy = ФЛо п-
Здесь pt, — максимальная интенсивность распределенной
нагрузки;
,..Кройка, сбобойно опертое «о
жесткую опору
жестко зошеияетов кройка
— Кройка, свободная от усилий
у
Рис. 13.4
а=а,: ₽=Рь у=ус <р=<р<; ф=ф. — коэффициенты,
используемые прн определении значения прогибов или
усилий в указанной на схеме А (рис. 13.4) точке i;
а-жа,!. р=ри. y=Vo — коэффициенты, используемые
прн определении максимального из значений, которые
принимает прогиб или усилие ка отрезке прямой с кон-
цами в указанных на рнс. 13.4 точках t и /.
Все перечисленные коэффициенты определяются по
приведенным ниже таблицам или графикам. Таблицы
коэффициентов а, Р, у составлены прн фиксированных
значениях При значительном отличии заданных
ц от |1т для уточнения значений изгибающих моментов
можно применять приближенную формулу:
м1 =
— [(1-pmt)MI + (p-pt)M]|. (13.8)
где Ms=Af|,, если М,—Мж и М^=МЖ, если М, = МЖ,
Мт — значение момента, определенное с помощью таб-
лицы.
При необходимости рассчитать плиту на нагрузку, ли-
нейно зависящую от указанных в таблицах, следует ис-
пользовать принцип суперпозиции.
Нагрузка, равномерно распределенная
по всей площади плиты
Коэффициенты а. Р. у
эффнцненты ф,а н ф(*
находятся по табл. 13.1, а ко-
(здесь ft — номер схемы на
рнс. 13.4) — по графикам
рнс. 13.5.
Пример 13.1. Определить
стрелу прогиба и усилия в
плите, представленной на
схеме 7 рис. 13.4 прн следу-
ющих данных: а =1.8 м;
Ь=3 м; р=1 Г/м2; ц=0.15.
а 1,8
Для — - —— =0.6 по
D «3
табл. 13.1 находим о5=38;
Ps=15; Ts—45; р,=—77;
у<=—102.
По формулам (13.7) на-
ходим прогиб и изгибающие
моменты в центре плиты:
а, р<т« 38 l-l.y-lO1 4-1QB
10* ’ D ~ 10»’ D ~ D
Ps 15
Мж = ~ 1 ‘1 -82 = 0.049 Т-м/м;
, V' 45
“ 17 рп'= 171 ‘1“01146 Тм1м-
Рис. 13.6
(а)
Здесь 10' — переходный множитель, связанный с пере-
ходом 1 'М: в кГ'См?.
132. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
49
Таблица 13.1 [10]
Аналогично вычисляем изгибающие моменты в точке I:
Значения а, Р. V Для определенна а», Мх.
при равномерно распределенноЛ нагрузке (м-0.16)
Схема 3
Схема 2
Схема /
- Р,
122
117
ПО
102
Схема б
82
Схема 9
Схема 8
Схема 7
-Р.
Схема /-?
Схема 10
6?
Схема 12
Схема //
ко
131
121
116
109
101
82
56
46
100
115
128
136
101
86
73
Pi 77
М' = ро> —— 1 • 1,8*=—0,250 Т.м/м;
Му = =—0.037 Т м/м.
(в)
На рнс. 13.6 приведены эпюры для задачи об изгибе
свободно опертой квадратной плиты равномерно рас-
пределенной нагрузкой [23].
Нагрузка, распределенная
по гидростатическому закону
Схема 4
-е
70
65
60
102
яэ
67
86
97
110
108
116
125
13?
137
104
111
120
126
132
118
109
Прогибы и усилия находим по формулам (13.7). Зна-
чения коэффициентов приведены в табл. 13.2 н 13.3 для
схем нагрузок, представленных на рис. 13.7. Коэффициен-
ты ф и ф для некоторых схем можи£ определить по
графикам на рис. 13.8 (коэффициенты «риф для нагру-
зок по схеме рнс. 13.7, о; ф и ф для нагрузок по схеме
рис. 13.7,6, где р=ра
101
ню
115
118
121
123
125
Изгибающие моменты и точке 4 (схема А рис. 13.4):
м,=р* =- 1 •* •«=»- о-325 т-
Мх = \>Ми =— 0,049 Т-м/м.
Таблиц. 13.2110J
Значенаа а. р. у а (13.7) кая нагрузив, изображенной
на рнс. 13.7,а (и-0,15)
43 Саема 7 Схема 9
Ь а* 8. У» ря Уя а» в, V. V.. -V. -Vi -в, -в..
0.5 61 У 48 12 50 12 2 20 5 20 49 32 28 29
0.6 43 12 41 14 44 12 4 16 5 18 47 31 28 30
0.8 30 17 28 17 31 9 7 14 7 14 41 24 28 29
1.0 2U 18 18 18 Й 6 9 9 У 10 S3 18 26 27
а Схема 2 Схемя 7
b а» 8. Ь в,. Tib -Уе а» 8. 7» в„ -L Tw -в. -Ви
0.5 22 3 27 Б 27 65 20 4 25 6 61 25 36 36
0.6 20 5 26 7 2b 63 17 7 22 7 56 22 36 36
0.8 17 8 21 У 21 55 12 Ю 14 10 44 14 33 33
L0 13 11 16 11 16 50 1 11 У 11 34 10 32 31
43 Схема 4 а ема 5
ъ Ъ в. V. в,. Ум —ъ -V. а. 8. Тв Ви Ум -0( -в.
0.5 13 1 21 4 21 51 34 42 12 40 12 42 61 61
06 13 2 20 5 20 50 33 32 14 30 14 33 55 56
0.8 11 5 18 7 18 47 31 18 16 16 16 20 45 48
1.0 10 8 14 8 15 43 26 10 14 8 14 13 35 38
50
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Таблица 13.3(10]
Т а б л н ц а 13.4 (5]
Значения а*. Р*. V, а (13.7) для нагрузки. изображенной
на рнс. 13.7, 6 (Ц-0.15)
Значения flt. V» в (13.7) для плиты, опертой по всему контуру
(схема /. рис. 13,4) и нагруженной по рис. 13,В при Ц = 0
ь А» при а,/а V» при aja
0 0.2 0.4 0.6 0,8 1,0 0 0,2 о.<| 0.6 0,8 1
0 256 196 160 133 ПО 176 121 93 72 59
0.2 175 165 144 123 км 88 256 165 117190 72 58
1.0 0,4 121 117 109 96 83 6У 196 144 109 84 67 65
0.6 93 90 81 76 67 66 160 123 96 76 61 50
0.8 72 72 67 61 54 44 133 КМ 83 67 54 43
1.0 59 58 55 50 43 37 ПО 88 69 56 44 37
0 238 184 147 122 101 204 153 119 98 80
0,2 160 150 131 111 96 79 234 194 147 IIS 96 79
0,4 79 78 72 65 57 48 195 158 IX 107 88 72
1.4 0.6 49 48 45 42 36 31 147 125 104 88 74 61
0.8 40 39 37 34 30 26 129 ПО 7? 66 54
1.0 34 33 32 30 20 22 113 96 82 68 57 47
0 •_ 228 175 139 115 95 221 . 168 133 ПО 90
0.2 98 94 87 76 65 55 246 193 1551127 105 87
2.0 0.4 51 49 47 42 3/ 30 188 159 1341114 95 79
0,6 28 28 27 25 21 1S 153 133 114 98 «3 69
0,8 19 18 17 15 14 11 125 ПО 96 82 70 59
1.0 14 14 13 12 11 9 103 90 79 69 58 48
Схема 12
Схема 13
Нагрузка, распределенная равномерно
по части плошали плиты
В табл. 13.4 и 13.5 приведены значения р и у для оп-
ределения нагибающих моментов от нагрузки, распре-
деленной равномерно с интенсивностью р по заштрихо-
ванной площади (рис. 13.9). Моменты прн этом опреде-
ляются по формулам (13.7) с заменой в них ра2 на рав-
нодействующую приложенной к плите нагрузки. Это дает
возможность использовать табл. 13.4 н 13.5 в частных
случаях —прн ai=0 или 61=0. т. е. прн нагрузке, рас-
пределенной вдоль линии у=а/2 млн х—Ы2, -
Таблице 13.6(5)
Значения fl». V» в (13.7) для плиты по схеме 4 (рис. 13.4)
с нагрузкой по рис. 13.0 при |х ” 0
Ъ О1 b fl* при bjb V* при bjb —V. iipH bjb
0 0.2 0.6 1.0 0 0.2 0.6 1.0 0 0.2 0.6 1.0
0 210 123 яэ 231 143 97 85 83 7? 54
0,5 0.4 233 18? 117 79 101 98 80 58 86 85 74 55
1.2 13» 119 87 60 33 32 28 21 101 99 85 63
2.0 90 78 57 40 18 18 16 12 120 108 84 60
0 172 91 60 240 149 102 140 138 119 88
0.7 0.4 196 143 84 57 ПО 107 87 61 142 139 US 88
0.8 136 ЮЗ 69 46 63 62 53 38 146 142 126 87
и 85 68 46 30 36 36 30 22 160 133 101 71
Ь 1, пр и a,fa V. прн а,/а -V» рн h/o
а о 0 0.2 0.G 1.0 0 0.2 0.6 1,0 0 0.2 o.«| 1.0
0 129 55 32 239 144 98 166 162 136 96
1.0 0.4 211 121 52 :<о 177 148 108 77 166 162 135 97
1.2 117 81 39 24 77 75 62 45 165 159 126 90
2.0 75 53 25 16 47 46 39 28 163 140 101 70
0 197 109 70 161 80 49 169 169 167 164
1.4 0.4 68 67 49 32 186 13? 74 47 156 155 1?!
1.2 28 27 20 13 129 100 62 38 127 126 116 IM
2.0 10 10 7 5 83 66 42 27 86 85 76 58
0 196 109 61 161 79 51 168 168 167 164
2.0 0.4 68 64 48 32 185 134 73 46 155 154 147 121
1.2 10 8 6 4 97 79 51 32 99 SB 88 67
2.0 1 1 1 1 63 51 32 20 63 621 « 42
Нагрузка в аиде трехгранной призмы
В табл. 13.6 даны значения а$. р5. у5 для определения
по формулам (13.7) прогибов н изгибающих моментов
в центре опертой по контуру плиты под нагрузкой, по-
казанной на рнс. 13.10. Коэффициенты ф н ф в (13.7)
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
51
Рис. 13.9 Рнс. 13.10
Т «блица 13.6 (51
Значения а». 0». V. . (13.71 для плиты, свободно опертой
по контуру, с нагрузкой в виде трехграиной призмы (Ц-0)
Нагрузка b а По схеме а на рис. 13.10 По схеме б на рнс. 13.10
а» h V» а* 8. V*
1.0 26 24 27 26 27 24
1.2 36 22 37 37 27 34
1.4 46 19 46 46 25 43
1.6 53 16 54 55 23 52
1.6 60 14 60 62 22 59
2.0 65 11 6S 65 20 65
3,0 78 4 78 78 12 89
для определения приведенный поперечных сил можно
находить по графикам на рнс. 13.П (коэффициенты <р<
н фг для нагрузки по схеме а. а <р< н ф< для нагрузки
по схеме б иа рнс. 13.10; t — номер точкн на рнс. 13.10).
Нагрузка, распределенная
вдоль прямой лнннн
Если нагрузка распределена равномерно вдоль прямой
линии у=а[2 илн х=Ь/2 (рис. 13.4), то прн опорных
закреплениях по схемам 1 н 4 на рис. 13.4 можно опре-
делять изгибающие моменты по табл. 13.4 н 13.5. Про-
гибы в центре плиты от подобной нагрузки, действую-
щей на плнту, свободно опертую по периметру, можно
определять по первой формуле (13.7), заменив в ней про-
изведение Роа1 равнодействующей нагрузки, приложенной
к плите.
Таблица 13.7 (231
Значення а. в (13.7) для плиты, свободно опертой по контуру
и равномерно загруженной по лнннн x—bft нлн у—aft
b а По линии х и ЪЧ По лнннн у о» о/2
1.0 1.2 1.5 2.0 1.0 1.2 1.5 2,0
а* 67.4 95.3 125,1 162.9 67.4 79.9 91.1 96.7
Нагрузка в виде силы,
приложенной в центре плнты
Если положить, что сила Р распределена по площади
малого круга радиуса с с центром в точке 5 (рис. 13.4)
схема Л), то прогибы н усилия можно определять по
формулам (13.7) с заменой в них Роа2 на Р.
Коэффициенты ps н уч для плнты, опертой по контуру,
определяем по формулам [23]:
„ 10> / 2с , \
₽» = -ТГ А,!" —+1-6, ;
4л \ лс /
103 / 2п \
Ye = —— A, In — + р + 6, .
(13.9)
Т а б л н ц а 13.8 (23)
Значения а» и у2 а (13.7). а также 6, н 6t в (13.9)
для нагрузки а виде силы Р центре плнты
Ъ Плите, опертая по контуру (схема 1 на рис. 13.4) Плита с жестко за- щемленным контуром (схема 9 на рнс. 13.4)
а. в. Ь а* —Vi
1,0 116 0.565 0.135 56 126
1.2 135 0,350 0.115 65 149
1.4 148 0.2IJ 0.085 69 160
1.6 157 0,125 0,057 71 165
1.6 162 0,073 0.037 72 167
2.0 165 0.042 0.023 72 167
ео 169 0 0 — —
«——4—\epeie
7 у 7
Рнс. 13.12
Значения 6|6, и а, для рассматриваемой плнты при-
ведены в табл. 13.8. В ней же приведены значения as
н у, для плиты с жестко защемленным контуром, загру-
женной силой Р в центре.
На рнс. 13.12 приведены эпюры некоторых усилий для
квадратной плнты со свободно опертым контуром, за-
груженной силой в центре [23]. Из эпюр следует, что
если углы плнты не могут перемешаться, то там возни-
кают не только сосредоточенные силовые реакции Н, но
н реактивные моменты.
Квадратная плнтаиа упругих опорах
под равномерно распределенной
нагрузкой
Прогибы и изгибающие моменты находим по форму-
лам (13.7). Значення а, р и у приведены в табл. 13.9
для следующих плит (схема / рнс. 13.4):
1) плита, у которой кромки х=0 н х=Ь оперты иа
упругие балки, а остальные кромки — иа жесткие опоры
(плита а);
52
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ СТЕНКИ)
Таблица 13.9 [5]
Значения a. fl. у в (13.7) для плит. опертым полностью
или частично на упругие балки (Ц-0,25)
Е! aD Плита а Плита б
а* | | р. 1 V* “• 1 «1 P.^v« ft “У,
41 0 46 46 41 0 46 п
100 41 0 46 46 41 0.3 46 0
50 41 0.4 46 46 42 0,7 46 0
25 42 1.4 47 46 43 1.7 47 0.2
10 43 4.2 48 46 47 4.4 48 2.4
S 46 6.6 50 45 52 9,9 49 6.S
4 48 10 52 44 55 11 50 8.6
3 50 14 S3 44 59 16 52 12
2 53 20 57 41 67 21 54 18
1 63 36 65 39 87 38 60 33
0.5 76 58 77 37 117 62 69 56
0 IX 144 123 23 257 175 111 1S3
2) плита, у которой все кромки оперты на упругие
балкн (плита б).
Принято, что все опорные балкн имеют одинаковую
жесткость Е/.
Прн /=0 по табл. 13.9 можно рассчитать плиту, опер-
тую только в вершинах (плита б), и плиту, свободно
опертую по двум кромкам, прн условии, что две другие
кромки свободны от усилий (плита а).
Определение сосредоточенных
реактивных сил в углах плнты,
свободно опертой по периметру
Если углы плиты, свободно опертой по периметру, не
могут перемещаться в направлении оси г (см. рнс. 13.1),
то у вершин возникают реактивные сосредоточенные
силы
« = —(13.10)
где 6< следует брать в зависимости от нагрузки из
табл. 13.10 (< — номер точки на схеме А рнс. 13.4)
Реактивные силы в вершинах плиты вызывают появ-
ление у вершин распределенных изгибающих моментов.
Максима, ьное значение этих моментов по единичной
площадке, наклоненной к сторонам плиты под углом
45°, равно:
мо^—. (13.11)
13.2.2. Ребристые плиты
На рис. 13.13 представлены следующие ребристые
плнты:
а) прямоугольная плнта. свободно опертая по трем
кромкам и снабженная ребром по четвертой кромке; на-
грузка равномерно распределенная;
Рис. 13.13
Т в бл ни а 1311 116]
Значения В. уя (13.7) для плнты а по рис. 13.13 (ц-0.18)
H/h 4 S 6
Ь/а р, -р> V1 V. р. -р> VI V. ft -ft v< v>
0.6 28 8 16 11 26 16 14 4.4 24 24 12 0.5
0.7 32 13 23 12 X 24 19 4.2 29 32 17 —0,3
0.6 35 16 X 13 34 X 26 3.4 33 40 23 —1.1
Т а б л и ц а 13.10 ( |
Значения б( a (13.10) для разных нагрузок
Нагрузка Ь/а
1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
Раяяомсрно распределен- ная 6г 65 74 83 86 90 92
Г идростатнчсская (рнс. 13.7.0) л, 6» 26 39 31 43 35 18 37 49 38 52 40 52
Г идростггнческая (рис. 13.7.а) 6» 6. 26 39 27 47 X S3 27 59 27 63 26 66
Сосредоточенная сила Р в центре плиты б. 122 116 ШЭ 88 74 60
Для сосредоточенной силы в центре плнты следует
(13.10) заменить р^а1 на Р.
б) прямоугольная полоса, свободно опертая по краям,
параллельным осн х, снабженная рядом ребер, распо-
ложенных на равных расстояниях друг от друга; нагруз-
ка показана на рнс. 13.13,6.
Изгибающие моменты для точек, показанных на
рнс. 13.13. определяются по формулам (13.7). Значення
Р и у приведены в табл. 13.11 и 13.12.
13 2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
53
Таблица 13.12 [18]
Зиачеима Р я у в (13.7) ди пакты а по рис. 13.13 б (Ц-О.1В)
Таблица 13.13(31
Значения k (13.12)—(13.15)
* 1 А,
ь ь
° 0.10 0.25 0,50 0,75 1.0 °| 0.10 0.25 0.50 0,75 1.0
0 130 130 130 130 130 130 0 37 93 185 278 375
С.25 130 130 130 >30 129 128 0 37 102 194 281 384
0,50 130 130 130 121 111 101 0 3/ 120 252 35/ 464
0,75 130 130 117 94 78 66 0 72 197 341 434 504
1,0 330 126 96 66 50 41 0 128 262 3/8 438 479
*.
в
0 0.10 0.25 0.50 0.75 1.0 0 10.10 0,25 0.» 0.7Б 1.0
0 0 1» 313 625 940 1250 125 125 125 125 125
0.25 0 125 318 «23 930 1235 125 125 125 124 123
0.50 0 125 322 600 620 1017 12S 125 125 115 105 —
0,75 о 13Я 313 508 626 713 125 125 111 8Я 73 —
1.0 0 145 заз 389 440 479 125 117 92 61 45 —
изгибающие моменты в центре у ребер
* V 10* 12 I
Л,«=&6*+иЪ‘)₽»:
наибольший изгибающий момент в ребре
A1’='fe’p« 62-
(13.14)
(13.15)
Здесь с — расстояние между ребрами; / — момент инер-
ции сечения ребра; k, — коэффициенты, зависящие от па-
раметра
cD
6=—, (13.16)
определяются нз табл. 13.13.
13.2.3. Многопролетные плиты
Бесконечная пинта, опертая в узлах
прямоугольной сетки [3] (рнс. 13.15)
Для плиты, свободно опертой по контуру н усиленной
рядом часто поставленных ребер (рнс. 13.14) при равно-
мерно распределенной нагрузке, можно определять про-
гиб в центре н изгибающие моменты по формулам [3]:
прогиб в центре
/ Л. сЬ* с* \
“=(1БГ-7Г+О-ОЯИ^)^ (,ЭЛ2)
изгибающие моменты в центре между ребрами
(13.13)
Под действием нагрузки, равномерно распределенной
по всей поверхности такой плнты. в ней возникают про-
гибы н уенлня, определяемые формулами (13.7) при
54
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ СТЕНКИ)
Таблица 13.14 [3|
Значение а. 0. у в (0.7) дла плиты по рис. 13.15
(Ц -0.30)
ь «1 а. 6. р, № р. <п 1 «5 1 Vi 1 1 1 Г
1 50 44 36 60 40 11 52 123 36 13 21 48 lit 181
1.1 49 40 37 41 35 5.7 51 114 29 19 26 48 107 I/J
1,2 43 38 38 35 28 4.8 49 106 24 24 31 54 106 167
1.3 39 36 39 30 24 2.4 47 100 21 28 35 56 104 159
1.4 36 35 39 26 21 р 45 95 19 32 38 58 ЮЗ 153
1.5 34 33 39 23 17 -1.5 44 90 17 36 41 60 102 149
2 30 29 41 11 5 5 fi 7 39 74 13 48 50 66 97 132
26 26 42 -2S -25 -25 2S 25 13 83 КЗ 83 83 83
значеинях а=а,. ₽ = ₽<. у=у< (« — номер точек на
рнс. 13.15,а) по табл. 13.14.
Прн размещении равномерной нагрузки не по всей
плите, а лишь на некоторых панелях, нанневыгоднейшей
является загрузка в шахматном порядке (например, за-
грузка панелей, заштрихованных на рнс. 13.15,6). При
такой загрузке напряженно деформированное состояние
любой панели может быть определено суммой двух со-
стояний: первого, возникающего прн загруженнн всей
плнты равномерной нагрузкой интенсивности 1/2 pt.
н второго, возникающего прн нагрузке, показанной на
рис. 13.15,6 (заштрихованные н незаштрихованные па-
нели загружены нагрузкой одинаковой интенсивности
1/2 pt. но разного знака). Прн втором загруженнн каж-
дую панель можно рассматривать как свободно опертую
по контуру, н, следовательно, определять в ней усилия
н прогибы с помощью табл 13.1 (схема /). Иначе гово-
ри, максимальные прогибы н усилии в панели прн шах-
матном расположении нагрузки можно определять по
(13.7). полагая а. ₽, у равными среднему арифметиче-
скому значений, определенных по табл. 13.1 (схема /)
и табл. 13.14.
Пример 13.2. Определить максимальный прогиб в цент-
ре квадратной панели безбалочного перекрытия при а =
=3 м, Ро=О,8 Т/м2. По табл. 13.1 (схема /) и 13.14
и формулам (13.7) находим
а = —(41+58) «50; и = —-^^- =
2 10* D
50-0,8-3*-10’ 3,24-10*
=---------------»----------см.
D-10* D
Здесь 10'— переходный коэффициент от Тм2 к кГ-см2.
Квадратная плнта, опертая по контуру
и поддерживаемая колоннами (рнс. 13.16)
Для плнты, опирающейся на четыре колонны и по пе-
риметру на жесткие опоры, можно определять нзгнбаю-
Рнс. 13.16
Таблица 13.15(23]
Значения 5, у • <«3.7) яла плнты по рнс. 13.16
(с-0,25 с; в -0.2)
Нагрузка V i
1 1 2 3 4 5 6 7 1 8 9
По схеме Р/ 21 -40 69 38 -140 74 25 —4 53
рнс. 13. 16. а Ч 21 38 25 -140 -4 69 74 53
По схеме fi —48 -20 93 —36 -70 92 -28 —2 66
рис- 13. 16. б vt —4 19 27 -36 -70 14 17 37 44
По схеме 69 -20 -24 74 —70 -18 52 -2 -13
рис. 13. 16. в Vi 25 19 -2 -4 -70 -18 52 37 9
щне моменты по формулам (13.7). В табл. 13.15 приве-
дены значения р, у для равномерно распределенной на-
грузки по заштрихованным областям плиты на рнс
13,16,0, 6, о (« — номера точек по рнс. 13.16, о).
Приближенный способ расчета
неразрезиых плнт [23]
Если неразрезнаи плита состоит из панелей примерно
одинаковых размеров н одинаковой жесткости, то при-
ближенно максимальные значения опорных моментов
можно определить следую-
щим образом. Каждая па-
нель рассчитывается как
изолированная плита, за-
щемленная по линиям со-
пряжения с соседними па-
нелями (остальные кромки
закреплены заданным спо-
собом). За действительные
у[—е о- Д- о —
Рнс. 13.17
значення моменте» в опор-
ных сечениях неразрезной плнты принимаются средне-
арифметические значении, найденные нз расчета смеж-
ных панелей.
Пример 13.3. Определить расчетные моменты иа опорах
плнты (рнс. 13.17), загруженной по заштрихованной об-
ласти равномерно распределенной нагрузкой. По внеш-
нему периметру плита свободно оперта.
Так как пролеты панелей одинаковы, то достаточно
вычислить осредненныс значения коэффициентов Р нз
(13.7) в опорных сечениях /—1 н 2—2. показанных на
рнс. 13.17. В сечении /—/ от нагрузки левой панели на-
ходим по схеме 3 табл. 13.1 значение р'=— 85. В сече-
ниях /—/ и 2—2 от нагрузки средней панели получим по
схеме 5 табл. 13.1 значение 70.
Для расчета принимаем для кромкн 1—I
Pi=— (85 + 70) « — 78. ( а)
По аналогии для кромкн 2—2
Рз=----^-(70 + 0) =-35. (б)
Точные значении этих величин [5] равны:
₽i=-80,4; ₽,=—33,9. (в)
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
55
13.2.4. Плиты на упругом основании [26]
Ниже приводятся таблицы для расчета плит бесконеч-
ных размеров в одном н двух направлениях, лежащих
на упругом основании н загруженных сосредоточенными
силами Р.
Предполагается, что интенсивность реакции основания
р* определяется по формуле (гипотеза Винклера)
p‘ = kw, (13.17)
где k — модуль основания или коэффициент постели (см.
[16, 26] и разделы 5, 19).
Рис. 13.20
на рнс. 13.20 — /21 =0,2 Ь; (н=0.2а; /и=0,6а.
Пример 17.4. Определить прогибы и усилия в точках
II н 1 для плнты на упругом основании, загруженной
колоннами, расположенными в вершинах квадратной сет-
ки (см. рнс. 13.19).
Дано. Расстояние между колоннами 2а=500 см. Вы-
лет консольной части плиты [=125 см. Толщина плиты
й=60 см. Нагрузка на средине колонны Р=240 Г; на-
грузка на крайние колонны Р| = 160 Г. Модуль упруго-
сти плнты £=2.1 -105 кГ/см1. Коэффициент постели грун-
та k=2 iaJcM3.
Жесткость плнты (ц=0):
£й* 2.1-10».60*
О = — =-----------£------= 37,8-10* кГ-см.
Определяем параметр т] по (13.18)
(а)
1) = С
А
- = 25°
37,8-10* " ,’2’
(б)
Таблица 1X16 (26)
Значения а, 0. у • (13.7) дли вентрального поля
бесконечной панты при одинаковой нагрузке
от всех опирающихся на нее колонн (рис. 13.18) (М -0)
'О’ а. |<я 0< | 10Ч
п 1
1 2 3 6 1 2 3 6 2 3
0.8 62S 623 609 603 -189 -116 -29 29 57
1,2 135 133 119 из -188 -115 -29 27 —43 66
1.6 62 W 36 31 -18$ —113 —27 25 S3
2.0 29 26 14 9 -182 —108 -23 21 —39 49
2,4 20 17 6 2,2 -174 -101 -19 17 —33 43
Расчетные величины определяются по формулам (13.7)
с заменой роя2 на Р.
Значения а, р н у даны в зависимости от параметра
= (13.18)
где а — величина, определяющая расстояние между си-
лами Р.
Рассматриваются следующие расчетные схемы:
а) бесконечная плита, загруженная равными снламн Р.
расположенными в вершинах прямоугольной сетки
(рнс. 13,18);
б) полубесконечная плита, загруженная равными сн-
ламн Р. расположенными в вершннах прямоугольной сет-
ки (рнс. 13.19);
в) полубесконечная плнта, загруженная равными си-
лами Р, расположенными с шагом 2а вдоль осн х
(рнс. 13.19);
г) плита в виде бесконечной полосы, загруженная ря-
дом равных сил Р, расположенных по оси симметрии
полосы (рнс. 13.20).
Для определения моментов и прогибов в точках, ука-
занных на рнс. 13.18—13.20, по формулам (в) на стр. 57
следует пользоваться значениями коэффициентов а, ₽, у,
приведенными в табл. 13.16—13.19 (эти значения вычис-
лены прн |i=0). Прн этом следует иметь в виду, что
расстояния между точками i и / (/<;), приведенными на
рнс. 13.18—13.20, приняты равными:
на рнс. 13.18 — /|а=/ц=0.2а;
на рнс. 13.19 — /м=1«=1к=1та=0,2а; /<з=0,2 /;
Таблица 13.17 [ 1
Значения а,0. ув (13.7) для крайних полей н консольной частя полубесконечной л литы при одинаковой нагрузке от всех опирающихся на нее колонн (рис. 13.19) (ц*0)
f ИР а,
О 1
1 3 7 10 Ч 12 13
ч. 0,8 1.2 1.6 2.0 2.4 1169 309 128 68 41 1106 271 107 65 34 80Б 142 37 12 4.3 659 124 47 27 19 643 108 31 12 5,6 757 136 31 6.9 0,3 1018 247 83 за 14 1162 283 102 44 20
У, 0.8 1,2 1.6 2.0 2.4 945 221 81 38 20 867 194 72 37 23 706 128 36 13 6.4 641 130 60 28 20 625 114 3$ 14 Б,8 700 122 31 8.6 1.8 848 175 Б4 а 7.5 S30 206 67 25 6,7
•/. 0.8 1.2 1,6 2.0 2.4 730 160 46 17 7.1 711 154 59 32 21 649 124 37 14 5.8 637 13S Б2 29 20 620 119 36 14 5.9 643 119 32 10 2.3 693 137 42 16 6.8 721 139 38 10 1.4
1 .8 .2 .6 ,0 ,4 543 90 21 4,6 0,3 614 136 55 31 21 618 124 38 14 5.9 638 138 63 29 20 622 122 37 14 5.9 619 119 33 10 2.4 397 120 39 16 6.9 538 85 17 1.1 —2.4
56
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Продолжение табл. 13.17
1 HF ₽f
1
1 2 3 6 6 1 в 9 10 > 112 13
о.в 182 201 198 135 32 106 149 46 60 -57 -35 -92 — 105
1.2 180 200 197 133 31 106 148 45 79 -56 -29 -90 -103
1.6 176 196 193 130 29 103 146 43 76 -5-1 -27 -89 -99
2.0 167 188 185 123 25 98 141 40 70 -49 -23 -79 —91
2.4 155 176 174 113 20 91 134 34 61 —43 -18 -69 —79
0.6 89 151 164 115 30 106 149 46 57 -57 -28 -69 -69
1.2 88 150 162 113 29 105 148 45 56 -57 -28 - -68 —66
•1, 1.6 W 147 159 110 27 102 146 43 53 -53 -25 -65 —63
2.0 78 Ml 158 105 24 98 141 40 49 -49 -22 —60
2.4 68 131 144 97 20 91 134 34 42 —43 -17 -52 —48
0.8 46 125 153 1'08 29 106 IO 46 49 -59 -27 -60 —40
1.2 44 12? 162 107 28 105 148 45 48 -56 -26 -59 —39
7< 1.6 42 120 149 105 26 102 146 43 46 -S3 -24 -57 -36
2.0 38 116 144 100 23 98 141 40 42 —19 -21 -52 —32
2,4 31 107 137 93 18 91 134 34 36 —43 -16 -45 -25
0.8 24 106 150 106 29 106 149 46 46 -56 -27 -57 -22
1.2 23 105 149 105 28 105 148 45 46 -66 -26 -56 -21
1 1.6 21 103 146 103 26 102 146 43 44 -S3 -25 —54 -20
2.: 18 96 141 98 23 98 141 39 40 -49 -21 -49 -IB
2.4 14 92 135 91 18 91 134 34 34 -43 -16 —43 —13
Продолжение табл. 13.П
!_ 10\
t
nl—
ъ 3 4 5 в 2 в 19 110 •• 12
0,8 75 144 61 -185 -63 130 28 46 -68 -151 -27
1,2 78 147 60 -13/ 1.4 195 «2 50 —1.7 -104 -23
1,6 во 151 40 —101 30 218 122 S3 21 — 19
2.0 81 154 31 -74 37 222 119 66 25 -43 -15
2.4 82 156 23 —54 34 215 113 69 21 -20 -12
0.8168 187 —8 —122 —10 179 76 86 -20 -91 -2
1.21 72 t«3 3 -09 25 214 111 92 15 -61 4
i.q 75 198 12 -71 37 223 130 96 25 -41 9
2.01 76 !9У 17 -57 38 221 119 98 24 -28 11
2.4| 75 200 19 —45 33 214 112 98 20 —19 13
0,в|72 227 37 -74 27 213 ПО 125 14 -44 31
1,2|72 WU 40 38 223 12U 126 24 —35 33
1.6 71 227 40 -5/ 40 224 123 125 26 -29 32
2.q 67 223 37 -51 37 220 115 121 24 -24 29
2.4 60 216 32 —44 32 214 111 114 19 -18 23
0.81 80 261 74 -39 S3 236 133 169 35 —10 S3
1.2 Л 252 64 -49 43 227 125 1SC 28 -21 54
1 1.61 64 2,0| S3 242 230 53 43 =50 40 37 224 121 118 139 128 26 23 -25 -23 44 34
2.4 41 218 34 -44 32 213 111 116 20 -18 24
Таблица 13.16(26]
Значения а, ₽. у а (13.7) для крайних полей и консольной
части полубесконечной плиты при загрузке только крайнего
ряда опирающихся на нее колонн (рис. 13.16)
1 а 10Ja/
i
9 6 2 10 12 IS
0,8 1201 1056 609 ISO 160 505 1032 1075
1.2 338 283 82 -3,6 -3.8 79 259 311
7. 1.6 139 112 18 —5 в -6.0 15 71 113
2.0 71 67 4.7 -2.3 -2.5 2.0 35 47
2.4 42 34 1.4 —0.7 —1.1 -6.4 14 21
0.8 1008 809 407 131 131 404 789 992
1.2 252 196 67 3.2 3.0 64 218 237
7. 1.6 90 74 17 -2.2 —2.4 15 S6 76
2,0 40 38 6.1 — 1.2 -1.4 3,7 21 27
2.4 20 24 2.5 -0.5 -0.6 -0,7 8,1 9
0.8 828 637 344 126 126 341 620 819
1.2 178 ISO 63 8,9 8.7 51 120 170
•/. 1.6 53 69 19 —0.3 -0.5 16 42 45
2.0 19 32 7.1 —0.9 -1.0 7.6 17 II
2.4 7.1 21 2.9 0,5 0,6 1.3 7.3 1.4
0.8 665 524 308 128 128 306 470 660
1.2 118 128 63 13 13 60 112 114
1 1.6 26 55 20 l.o 0.8 18 39 22
2,0 5.1 32 7,5 -0,8 —0,9 6.3 17 16
2.4 0.2 21 э.о -0.5 -0.6 0,3 7.5 -2.5
Продолжение табл. 13.18
1 io>sf
I
• 2I 3 5 2 9 10 12 13
0.Я 181 197 132 18 1.2 79 — 1.2 — 17 -91 -101
1.2 179 199 195 132 17 l.l 78 -1.2 -16 -89 -103
1.6 175 197 191 128 16 l.o1 76 -1.0 — 15 -85 —93
2.C 16® 187 184 121 14 0,7 69 -0.7 -13 -79 -93
2.4 155 176 173 112 11 0.4 61 —0.4 -10 -68 -79
0.8 89 149 162 113 16 1,1 56 — l.l -15 -68 -67
1.2 87 149 161 112 1b l.l 56 — l.l -14
7. 1.6 84 148 IM 109 14 0,9 52 —O.9 -13 -«I -63
2,0 78 140 152 104 12 0,6 48 -0.6 -II -59 -57
2.4 68 131 144 96 10 0.3 41 —0,3 —9 -51 -48
0.8 45 124 152 106 16 l.l 48 -l.l -14 -59 —40
1.2 44 123 151 106 14 1.6 47 —1,0 — 13 - 58 -39
’Л 1.6 42 120 148 103 13 0.9 45 -0,9 —12 -56 -36
2.0 37 115 144 99 12 0.6 41 -0.6 — 11 -38
2.4 31 107 136 92 9 0.3 36 -0.3 -8 —45 —26
0.8 24 106 149 63 14 1.0 45 -1,0 —13 -56 -22
1.2 23 106 148 103 14 1Л 45 —1.0 -13 —55 -21
1 1.6 21 102 145 101 13 0.8 43 -0.8 -12 —53 -20
2.0 18 98 П41 9/ II 0.6 39 —0.6 — II -49 -17
2.4 14 92 134 91 9 0.3 34 -0,3 —8 -43 -12
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
57
Продолжения табл. 13.18
—124
-106
-27
—141
-49
103
102
100
270
266
237
220
170
168
152
134
118
—13
-13
-12
-10
—78
-16
143
-51
-16
130
138
135
126
116
-27
-26
-22
76
81
78
70
163
156
157
189
200
204
204
201
241
237
229
218
-105
-38
— 16
-31
-18
-13
Продолжение табл. 13.19
0.8 1.2 1.6 2,0 2.4 286 283 274 259 236 284 :ei 27? 256 234 247 243 235 220 197 146 143 136 124 106 -85 -84 -61 —76 1 1 1 1 1 ааЙ8В 1 1 1 1 1 sasssa 1 1 1 1 1
0.6 181 167 97 69 де -«6 -75
1.5 160 16S 95 69 -40 -85 -fi? -74
*/, 1,6 175 161 90 65 -46 -79 —77 -70
2,0 168 153 83 60 -44 -73 =70 -62
2,4 155 141 72 50 —W -60 =69 -51
0,8 157 128 47 52 -41 41
1.2 156 126 46 51 ЛГ) -63 -57 -40
1.6 153 123 43 49 -39 -60 —4>4 -37
2.U 147 118 ;<а 44 -38 _55 —/ЭД —33
2.4 138 108 31 37 —35 —46 —41 -26
0,6 150 107 23 47 -38 -58 jg -22
1.2 149 106 23 46 —38 -59 _ 45 -22
1 1,6 147 103 21 44 -37 "“51 —4? -20
2.0 142 99 16 40 —36 -50 -17
2,4 135 92 14 35 —34 -43 —3? —13
Таблица 13.19 ( |
Значении а. 3, у в f 13.7> для плнты в виде бесконечной
полосы, загруженной равными силами по оси симметрии
(рис. 1S.M)
l(Faf 0\
i
1 3 6 6 7 * • S S I 6
0.8 2463 2462 2435 2422 2423 2423 142 69 51 6 1 1.9 1 7
1.2 504 502 476 464 464 464 142 69 51 6.1 15 1.7
7. 1,6 in 172 146 135 135 135 142 69 51 6,1 I.S !.«
2.0 82 во 56 46 46 46 142 69 51 6,1 1.9 1.6
2.4 47 46 25 16 16 16 142 69 51 6.1 1.8 1.6
0,8 1235 1227 1219 1212 1212 1210 199 75 96 29 20 15
1.2 265 248 239 233 233 231 1У7 73 У7 29 20 15
7, 1.6 89 82 /4 68 68 66 197 72 96 29 19 15
2.0 44 37 29 24 24 22 197 71 94 28 19 15
2.4 Ж 1Я 13 8.3 7,9 6,8 19$ 70 94 26 16 13
о.е 829 810 816 811 009 002 236 77 134 57 43 32
1.2 |76 157 163 158 156 149 235 76 133 56 42 32
7. 1.6 65 43 53 48 46 40 232 П 130 56 40 30
2.0 35 18 22 18 17 10 227 68 125 49 35 27
2.4 22 7.1 11 7.8 6.6 1.4 218 61 116 42 м 22
0.8 632 594 620 615 610 590 269 85 167 87 71 48
1.2 142 105 129 125 ГЛ 101 2W» 81 162 83 67 45
1 1.6 58 Ж» 46 42 37 21 255 72 153 73 57 39
2.0 33 5.2 21 18 14 1.7 240 58 138 59 44 29
2.4 21 0.2 11 7.5 S.6 —2.5 220 42 118 41 2 19
Формулы дли прогибов и усилив (13.7) принимают вид
г- - ) flS
ш = [а( Р — at (Р — Р,)] — = (240 at —
. lO^SO»
-80“')37^ЙО^= 1,224 (3а'-а/) £*
Мх = р/Р-?|(Р-Р1) = <в)
= 80 (3₽,— В,) Т-см/см-.
My = yt Р —~yt(P - Pi} =
= 80(Зу, — v<) T-cmIcm.
Здесь а, р, у определяют из табл. 13.17, а а, р,
из табл. 13.18.
Прн f/o=7,:
для точки //
и> = 1,224 (3-0,122 — 0.064) = 0.4 ем-.
М, =—80(3-0.028 — 0,014) ~ —5,6 Т-см/см- (г)
Му =— 80 (3-0,061 — 0,062) =— 9,7 Т-см/см-.
для точкн I
ш= 1,224(3 0.221 —0,252) = 0.56 сх |
Мх = 80(3-0,088 — 0,087)= 14 Т-см/см. Му=0 - ) (Д)
Давление плиты на основание:
р*, = frtti,, = 2-0,4 = 0,8 кГ/см', |
. ( (е)
Pl = fat>! = 2-0,56 = 1,1 кГ/сж’. j
58
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Таблица 13.20 [3]
Значения а, 0. V (13.19) для ежей нагрузок по рис. 13.21
(( — номера точек на схеме А, / — номера точек на схеме В)
Схема 1: а-b-. с-0.07Ъа
1 1 2 3 4 1 5
“/ в/ —43 1.2 —14 34 -21 83 0 100 142
Схема 2: а-b- с—Ъ‘.а
1 1 2 3 4 5 1 6 7 11 12 13 14
а1 -49 -100 1 1 кэ -15 —79 -18 -50 —12 -30 26 127 0 -16 —13 1 1 <z 122 0
IB 19 20 21 25 26 27 28 - - -
-8 -88 —II 0,9 -90 79 0 0 -117 0 -175 0 -257 0 —400 - - -
Схема 3: а-Ь
2 3 4 | 5 6 1 2 1 ' * 10 18 85
-23 -24 -31 -37 | -26 39 | 184 || «4 -63 -116 -181
Схема 3: о-2Ь Схема 4: а—1.56
2 3 4 Б / 1 2 3 * S
-258 —123 —116 -117 302 -123 -66 -28 60 211
Схема 5: а—Ъ
I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-319 -345 —11 -191 3 । 7 । 7 1 । 1 1 — И во 207 —64 -95 75 —21 -109 63 -18 62 -13 44 38 —II 23 205
/ 15 16 17 18 19 20 1 21 23 24 2$ 26 27
1.2 8 й 8 1 1 -17 —71 49 -17 —96 59 1 1 1 3 о й —7 -78 -61 181 1.2 -4» —134 -253 —^419
Схема 6: а-Ь
1 1 2 3 4 6 1 6 7 1 1 < 1 " IB 25
а1 1 -70 -67 | “ | 475 1 99 1 м -36 —12В
Схема 7: а—Ь
1 8 1 9 1 10 11 1 12 1 13 1 " 1 - -
** 52 0.4 -8.4 -32 | -68 -Ю - -
13.2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПЛАСТИНЫ
59
Продолжение табл. 13.20
i 9 .6 а- 1 “ 1 ,в 25 13 я 27
В/ 3.2 | —15 -182 | -п | —185 302 88 -344 -483
Схема 8
а=0.5 b а=Ь аз12 Ь
' »/ ’/ 1 V/ “/ В/ V/ »/ В/ V/
1 —31 —100 0 -60 -100 0 -138 -100 0
2 — 16 -80 0 —20 -61 0 —S3 -95 0
3 -ю —50 0 -8.3 -60 0 -8.3 -50 0
4 -0,8 -20 0 3.1 -19 0 37 —1> 0
5 И 0 0 44 0 0 121 0 0
6 -30 -100 0 -100 0 -120 -100 0
7 -16 -81 6.8 -19 -80 -15 -42 -85 -29
в —8.3 -50 -8.0 -8.3 -50 -16 -6.3 -50 -39
9 -1.0 -19 -6,8 2.0 -19 -15 26 - Н эо
10 13 0 0 37 0 0 101 0 0
11 —22 -100 0 -32 -100 0 -60 -100 0
12 -15 -S3 -14 -16 -80 -29 -11 -86 -58
13 -8.3 —50 -17 -8.3 —50 -32 -8.3 —50 -78
и -1.8 -17 —14 -0.8 -20 —29 -5,8 -II -58
is ! 5.0 0 0 15 0 0 43 О 0
16 -4,5 -100 0 12 -100 0 56 -100 0
17 —13 -20 -11 —85 42 40 82 -88 !
18 -8.3 -50 26 -8.3 -50 —50 -8.3 -50 —112
19 -3.7 -13 -20 -5.5 -15 -42 -57 -18 -88
20 —12 0 0 -28 0 0 -72 0 и
21 10 -100 0 88 -100 0 305 -100 0
22 I -9.2 -94 -28 -1.3 -109 -56 101 —90 —113
23 —8.3 -50 -38 —8.3 -50 -75 -8.3 —50 -150
24 —74 -5.6 -28 -18 -9.3 —~56 -118 —9 —113
25 -2.7 0 0 -105 0 0 -322 0 0
Схема 9- а-b; с-а/Ь
а- прн Г. равном
1 2 3 4 5 6 7 .5 16 17 18 |Ч
344 70 70 -95 -84 -С 103 347 -я -60 -63 <
В, V/
при i. равном
я 21 11 1 18 1 25 | я Я 31 1 32 [ 33 34
38 —184 -116 -256 -392 -174 | -145 -85 -50 —54 -92
Схема 9: а-26: с-0.25а
/ 1 2 3 6 " 1 •2 13 “ 1 15 1 -
“/ 632 245 -SS | -298 | -543 -636 167 -16 -.4, —57 -
1 3 8 1 13 18 23 1 16 17 .8 19 20
В/ —13 -210 —249 —548 У! ° -201 | -238 -199 0
Схем* Ю; а—Ь-. значения Оу
с м 1-2 1=3 1=5 <«6 1=7
1 3 -35 -12 4.6 8.8 7.6 6,6 6.2
60
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Продолжение табл. 13.20
с /“1 /_2 | 7-3 i—4 IS 1=6 /—7
1 а 6 —3S —II 5 7,8 6.8 5.7 7.4
Схема II; a-bz значения а(
(“1 2 3 4 5 6 • 8 9 10 11
0 —ь 6 J-ь 3 —0 2 - 591 -302 —99 —5.6 —304 -262 —145 -60 —98 -148 —204 -136 —3,6 -135 -203 27 -13 -62 -136 40 13 —13 -60 67 41 26 -5.6 -660 -280 -77 0.2 —281 -6S2 —141 -51 -76 — 141 —238 —133 2.6 -51 -132 —234
с 12 13 14 15 16 17 19 20 21 -
0 -Lo 6 -La 3 -L6 2 26 -20 -133 33 13 —6,6 -51 53 33 -22 0.2 -382 -I9U -22 13 — 188 -387 —107 -27 -24 —105 —360 -100 II -26 -101 -359 16 -1.8 —27 -10C 16 -7.3 —1.2 -27 20 15 15 13 -
Схема lit значения ay
с 1 e-b/2 при 2 j. равном 3 4 s с 6 -2b при /. I равном 8 s 10
и -Lb 4 2 —5за —14 16 — 14 -202 -23 16 -200 Э.4 2.7 -23 1 3.5 16 0 -Lb 4 -Lb 2 —1592 -898 -324 -900 -696 -395 -321 —397 —488 126 -122 -395 582 128 -324
Схема II; a—2b; значения ay при /. равном
с 11 .3 м IS 16 17 Ш 19 20
0 -Lb 4 -Lb 2 —1836 -802 —220 -802 —780 -379 -220 -379 -6Г* 108 -400 -379 444 106 -220 238H -526 -62 —824 -1CM3 =287 —282 -964 83 -49 —287 205 80 -62
13.2.5. Балки-стеики [3]
На рнс. 13.21 приведены 11 схем различного эагру-
жеиия прямоугольных балок-стенок. Предполагается, что
все нагрузки отнесены к пластине с толщиной й = 1.
При этом усилия, действующие на единичную площадку,
численно равны напряжениям.
Усилия и напряжения определяются по формулам
а* = Nx
----Л*! —Р9>
10» ' * * 10*
р'.
(13.19)
где в зависимости от нагрузки р* равно.
- Р Ма
Р* = РА Р*= —; Р* = -7- (13.20)
а аг
Таблица 13.21 |Э)
Значения О в (13.21) для схем нагрузок по рнс. 13.31
Схема 0 при i. равном
1 2 3 4 S 6 7
J 2 5 6 0.144 1.014 2,135 0.516 0,153 0.866 2.U52 0,545 0.183 0.729 1.3Ы 0.568 0.244 0.624 1,123 0.762 0.346 0.560 1.006 0,989 0.486 0.532 0,965 1,545 — coo ’Й18
133. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
Значения коэффициентов а. В, у из (13.19) в точках,
занумерованных на схемах А, В рис. 13.21, для всех рас-
четных схем сведены в табл. 13.20. В этой таблице индекс
< обозначает номер точки на схеме А. а индекс / — но-
мер точки на схеме В, для которой определяются усилия
или напряжения.
Рис. 13.21
На рнс. 13.22 показаны эпюры о». ау и т», для харак-
терных сечений некоторых схем нагрузки, представлен-
ных иа рис. 13.21 (пунктирные линии показывают закон
распределения напряжений по формулам курса сопро-
тивления материалов).
В табл. 13.21 приведены значения коэффициента б<
(»— номер точки на схеме Л), позволяющего определять
зиачеиия вертикального перемещения и, для некоторых
схем нагрузки, показанных иа рис. 13.21, по формуле
броП. 6Р
ия~ Е иУ= £ •
(13.21)
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
13.3.1. Осесимметричная задача расчета
изотропных плнт
Если нагрузка и граничные условия не зависят от угла
0 (см. рис. 13.1). то имеет место осевая симметрия (лю-
бая плоскость, проходящая через ось г, является плос-
Рис. 13.22
костью симметрии). В силу этого QB = Л1я = 4,е=0;
Q,= V, при изгибе плиты и S,=uv =0 при плоском на-
пряженном состоянии пластины.
Вес остальные компоненты усилий и перемещений за-
висят только от переменной г (рис. 13.1) или безразмер-
ной координаты
Р = г/Д, (13.22)
где a — радиус одной нз кромок пластины.
Постоянные с< в (13.23) для первых двух схем, показан-
ных па рис. 13.23, находим по формулам:
схема а
7₽(\ + \v?). <4 = 0;
'>г0^1 = '7
схема б
1 - 1 - .
r< ra:c, = — pv; c,=——pvb\
' > ro:ci= 7₽(v — X,); с,=—
(13.24)
62
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Здесь принято
(13 24а)
Используя (13.23). нетрудно получить решение для дру-
гих схем, аналогичных показанной на рнс. 13.23 о.
Пример 13.5. Определить реактивные усилия р* для
схемы иа рис. 13.23, в при о=6 м; Ь=3 м; р=1 Т1м н
|1=0,15.
По (13.1) заходим Л|=0,85; Xj=l,15. Постоянные ct
от нагрузки р находим по (13.24) для схемы б при г>
>го=5 (Wa=0.5):
1,15 + 0.85-0,5* , )
v=-------------------= 1,81;
1—0,5»
с,= у (1,81 — 1,15) = 0,33 Т/м;
с,=- у 3» (1,81+0,85)=—1277-И.
задачах, как и в любой осе-
симметричной. поперечные
силы в сечении г=г„ можно
определить по формуле
Qr = , (13.25)
2лг,
где Р — проекция па ось г
равнодействующей всех снл.
расположенных в области
0< г < гс.
Для определения w, Мг,
Мв в задачах, показанных
на схемах 1—5. следует
пользоваться формулами
табл. 13.22. В этой таблице
помимо обозначений (13.1)
принято:
(а)
+ ХзР» ’
(13.25а)
Затем по (13.23) определяем и, для г=а=6 м;
а I 12 X а
«г =—(0.85 0,33 +1,15 —1=0,67— .
При решении задач, показанных на схемах 6—18, следует
пользоваться следующими формулами:
(6)
® = (Ci + с«Р* +Сэ 1пр +
Постоянные Ct от реактивных сил р* находим по (13.24)
для схемы б при r<r0=a I— =0,51:
^135 + 05.
1-0,5»
с, =— у 2,67 =— 1,33р* Т/м;
с, = у 2,67-3»= 12р* Т/м
н по (13.23) определяем иг для г=о=6 м-
н, = (-1,33-0.85 - 1,15-^) = -1,51^. (г)
СП ОО / СП
Суммируя (б) и (г), найдем полное перемещение и,
точки г=а и приравняем его нулю:
и, = (0,67 — 1,51р‘) = 0, (д)
откуда
0,67
Р = j gj — 0,44 Т/м. (е)
+ с4р«1пр) + —р»;
dai . 1 Г е,
, — И? — 2СгР + +
аг а [ р
P<p
KD Л
М
7fa+
^=--7(2^.-
+ с4 (2^» in р + d —р*;
J lb
Ме =~ [2Х»С« + ~£~ег +
+ f4 (2?-» in р + Х4)1-—р»;
J 1b
Q, = V, Р±р,
а’р 2
(13.26)
где с< — коэффициенты, отражающие граничные условия:
они определяются по табл. 13.23. 13.24 (для схем 6—11)
н 13.25 (для схем 12—18), в которых, как и в табл. 13.22.
используются обозначения (13.25а).
Наибольшие напряжения н прогибы в плитах, изобра-
женных иа схемах 12, 12а, 13, 16а, 17а. 19—21. опреде-
ляются по формулам
b Р
—; у = —~:
a r 1 —₽»
+ с«Р (2 1и Р +
Плиты иа жестких опорах
Решение осесимметричной задачи об изгибе изотропной
плиты иа жестких опорах методом начальных парамет-
ров см. [12]. Здесь приводятся готовые решения задач
об изгибе плит, показанных иа рис. 13.24. Во всех этих
°шке — V1
Р
й» ’
В’н.кс = У,—
(13.27)
13 3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
63
где у( и Vi берутся по графикам рнс. 13.25, о н 13.25,6,
а Р н го определяются так:
ра*—схема 12;
_ рЬг— схема 12а, 16а, 19,20;
~ ара—схемы 13, 21;
apb—схема 17а;
__ I а—схемы 12, 13;
г0- { ь— 12а, 16а, 17а, 19,20, 21.
Рис. 13.24
Пример 13.6. Для плиты по рис. 13.24 (схема 6) даио:
а=4 м; Ь*=2 м, р=1 Т/м1; ц=0,15. Требуется опреде-
лить прогибы и усилия в точках г=0. г—2 м, г=3 м.
Вычисляем вспомогательные величины по (13.1): Х| —
=0,85; Ха=1,15; Х3=3,15; Х(=1,45; Х2=7,45; 6/а=0,5.
По табл. 13.23 определяем постоянные для загружен-
ного участка плнты:
ра*
Q = ТТТ; <4’3-15 ~ 7,45-0,5* +
+ 4-1,15-0,5* 1п0,5)-0,5* = 2,161 -г£-;
64D
па*
ТТГТЛ8'1 >15 |п0-5 +
+ 2-0,85-0,5* — 8)0,5* =- 3,033 —
* * * С.ЛГ\
(а)
Т а б л н и а 13.22
Значения w, Mr. Mg для схем /— 5 рис. 13.24
б W мг ме
/ 64Х, D - 2Xrf’ 4- X, р*> к—а -1Я № (Ц-14 р>) 16
2 — (|-р’)‘ 64D — (Х1-Х1р’) 16 — (Х,-х.рч 16
J Ра* - , Iх» <‘—***>+ I6.1X.D 4- 2Х, г’ In г) — — X, in р 4Л р 1 (М - Х# In р) 4л
4 Ра* (l-px-f-Sp’lnp) 16лЛ — — (14Л 1П р) 2л - UH-X, In Р) 4л
5 2Х, D —m
Таблица 13.23
Значення с, для схем б—// (рис. 13 24) при г<Ъ (с»-с4-0)
Схема Общий множитель 64X,Dct Схема Общий множитель 64Х^, 64^Dc, |
С м"!1 (<Х,-М’ + 4- ОД* In Р> В (X, In в — 1) 4- ад* 9 flXjpa’fc <1 - вч 4- *В* In В 1 - р + 2 In 0
7 4 _ 36’ + 40’ |п 0 4 (2 In в - В’» .. 32/па1 (Х« In В - 1) В* — (X, + Х,0«) 2
8 Ьра*Ъ (1 -0’) Ьа + + in 6 X, (2 In В — 1 4- В") и 16таа 2Х,0» 1п 0 х, (1 - в>’
64
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Т а б л и u а 13.21
Значения с. для едем 4—11 (рнс. 13.24) при г>Ь
Схема Общий множитель 60,0с, 64%,Dc, 64x,0с, 64X^)c.
6 2ро’В‘ - X.01 + + ?%. A,В' - 2X, 2A,B" 4X,
7 2^0ра* 2 + ₽' - (2 + B’> 20* 4
8 fipc’h A, - >.,p A.B* - A. 2>,0* 2X,
р 8Х,ра*Ь 1+6' - U4-P) 20' 2
10 I6me30’ ->•1 \ 2 0
и lfrna'0%, +1 -1 + 2 0
С ^(12а.16а.Па)
Рис. 13.25
DO4 ПО4
По формулам (13.26) находим:
а) для г = 0; р = 0
2.161ря‘ „ 2Х,Пс. 6,98ро’
w = с. —-----— ; Л1, = Мл — —---------=---------:
1 64D 6 о, 64
(б)
6) для г — 2 м; р ~ 0.5
2?ч°с» _ ^зра3р3 _ , те Ра" .
а3 16 ~ ° Ы ’
1,рагр3 ра3
а3 16 ~ ,83 64
(в)
рар _ ра
2 4
Т а б л и u а 13.25
Значение е для схем 71—18 (рнс. 13.24)
С<еын ОбщиП множитель 64X, De, 64X, De, M^Dc. 64%, De.
12 I2o pa* >-» “ 2Х» 0* + ex, 0- v In 0 —2 [А. (1-ВЧ+4A,vB'm Bl 4B* — (A. + <A,vlnB) -8X. 0-'
73 6X. pa" b -^2- — ?yln 0 4 2y In В — -— A, <^-VlnB 2
/•/ HO 3-yma* -l 1 2 A A. 0
14 lio 32v^SL P- I -1 « o. 0
16 16a A, 6pa« Ai—A, B’-24 B'-BA, B‘ In В ex, B‘ In в— + 2)., в* + + ЧР-А, -40. (Л +13, p- In p j pftf 0
77 17a ЙХ, ipa* b fl7 + 2Х» P’ In 0 -X> - M01 - 2X, 0J In 0 40* (1 +A, In p) 2 6
18 78a 32lmb* 1 -I 2 U
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
65
Для иеиагружениого участка плнты с< находим по
тайл. 13.24:
2po4Ps ра*
A=_C, = (2XS-7.1₽S)^ = 2.63^;
_ 2ро«Р I ра*
Сэ 64X.D ' **₽ 4 64D ’
2ро4Р» , Р”*
С* 64X»D ’ 264D ’
Затем по (13.26) для г=3 м и р=0,75 находим;
и = —[2,63(1 —0,75*) + 4-1о0.75 +
64D L 4
+ 2-0,75!-1п0,75^ = 0,77^—;
pcfi Г 0»85 )
А1'=^12-,-,5-2-63+тз^—
- 2 (2.1,15In 0,75 + 3,15)] = 1.39-^-;
пд2 Г 0,85
Л1е = 1г[2-,-,5-2-63-Т^-
]раг
= 4.23—:
4c,D Spa*D __ pa
<?,=- а’р =~ 64Dtf>-0,75 =“ 6
(г)
(Д)
(е)
Круглые плнты с кольцевыми ребрами
Если кольцевое ребро (рис. 13.26) отделить от плнты,
то при осесимметричной нагрузке усилия, передающиеся
на него от плиты, сведутся к равномерно распределен-
Ось плиты
Рис. 13.26
ным силам и парам, по-
мазанным на рнс. 13.26,6.
Чтобы получить расчет-
ные усилия, следует си-
лы р перенести в средин-
ную плоскость плиты и
плоскость, проходящую
через нейтральную ось
сечення ребра. Это вы-
полнено на рнс. 13.26, в.
Обозначим угол поворота
н радиальные перемеще-
ния сечення плиты г=г0
(рнс. 13.26) соответствен-
но 0В н иа, а угол пово-
рота сечения ребра и ра-
диальные перемещения
его точки, отмеченной па
рис. 13.26, в крестиком,
назовем 0Р и ыр. Тогда
уравнения совместности
деформаций, из которых
определяются р и т, за-
пишутся так;
Рп = ₽р,- и„ = и„. (13.28)
Величины В. и и. находятся до формулам (13 23)
н (13.26).
Для ребра имеем (поворот по часовой стрелке счи-
таем положительным)
m, rg р rg
₽р=—^-;«p = -^T+₽pWi. (13.29)
где F, я 7, — площадь н момент инерции сечення ребра
относительно нейтральной оси х (рис. 13.26), а Д1 — рас-
стояние от оси х до верхней кромки ребра.
Упрошенный расчет основан на пренебрежении дефор-
мациями плиты от сил р. При этом второе уравнение
совместности деформаций (13.28) заменяется условием
равенства нулю_ц, (13.29). Отсюда можно найти зави-
симость между р и т,.
Для ребра прямоугольного сечения получим
₽ = —mi;/п0 = (4-|-3—Im,. (13.30)
Величина т, определится из первого уравнения (13.28).
Пример 13.7. Рассмотрим плиту, представленную на
рнс. 13.26, при следующих данных: а=4 м; rQ-=2 м;
Л = 10 см; *=10 см; Д—=20 см; р.—0.15. Равномерно
распределенная нагрузка р—1 Г/м*.
Находим отношение жесткостей ребра н плиты:
£/„ 1Н\з b
ТгГ = (т) —(1—Р*)=»о,364. (а)
г«О \ Л ) г„
По формуле (13.29) находим угол поворота сечения
ребра: _
m, rg m, r0 5,5m,
₽P=- £/p —2.75 D =--------------— . (6)
Прогибы плиты запишем в виде
а> = ш04-ш,, (в)
где to, — прогибы от нагрузки, а ш, — прогибы от дей-
ствия реактивных пар тс.
Угол поворота сечения гс=2 м от нагрузки найдем по
схеме 2 табл. 13.22 (р=г0/а=0,5):
°’й=-7ГГ2<|-^2р =
1-4’-0.75-0.5 1,5 „
----------:<г---------
(Г)
Для определения угла поворота того же сечения от
действия т„ находим для схемы II табл. 13.23 значения
с, и с, (р=й/п=0,5) и используем (13.30):
16тоо’Х,(1-Р»)
С' + 64ОЛ,
4» (1 - 0,5s) | [<«£) 'т> ' 16,5m,
40 D ‘
l6mfps2X,Ps In Р
4«-0.5s In 0,51 l”*1 3,8m,
4D D j
66
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Затем по (13.26) при г=го=2 м найдем
2crf> 4,12m,
W. = ------~“--------------- <е)
‘ a D
Следовательно, полный угол поворота сечения плнты
Рп равен:
Приравнивая правые части (б) и (ж), найдем
т, = 0,155 Т-м/м. (э)
Зная и,, можно вычислить прогибы н усилия в любой
точке плнты.
К примеру прогиб и изгибающий момент в центре плн-
ты от нагрузки находим по табл. 13.22 (р=0;
= I+(i=l,15):
па* 1 ро»А, . _
—л; АЪо = ——= 1,15 Т-м/м.
Те же величины от т, находим по (13.26) и (д):
3.8m, 0.589 2Х,-16.5m,
w, --------— =— —-— ; :----=
D D a»
= 0.363 Т-м/м.
Следовательно, ребро снижает прогиб в центре плиты
в 2,43 раза, а изгибающий момент в 1,46 раза.
Плвтына упрутом основании
Рассматриваются пластины, расположенные на осно-
вании типа Винклера, характеризуемом коэффициентом
постели k. Реакции основания сведутся к вертикальной
распределенной нагрузке (см. разделы 23. 6)
р,=—Аш. (13.31)
Общее решение для осесимметричной нагрузки имеет
вид [15]:
ш = В,1/, (р) + В,У, (р) + ВзУэ (р) + В4У4 (₽) + -р.
(13.32)
где р—интенсивность распределенной нагрузки;
В, — произвольные постоянные;
Ui — цилиндрические функции аргумента р, опреде-
ляемого формулой
р= v; п = 1/^-5-- (13-33)
Значения функций Ut и их первых производных Ut =
d
=-----U, приведенные в табл. 13.26, позволяют вычис-
dp
лить не только прогибы, ио также углы поворота vf
и усилия по формулам
— UJ — Т] (В|У| + ^2^2 + •
V=w = (BlUi - BJJ, 4- Д/4 - В4иэ)
(Д’щ)' = И3 (в,у; - B.JU\ + Вэу; - B<U3);
М, = Dr;2[в, U[ - У2) + В2(± U2 +
+и1) + Й3 (7Ч - +«*(у^+^)];
A4B = Dr? [В,( — I/, + pl/j^ +
+ Вг(у 4 - py;) + в3 (у и'з+^*) +
<?, = v, =- on3 (в,у2 - в#, +
+ W\-B4J3).
(13.34)
При пользовании формулами (13.34) следует иметь
в виду, что прн р=0
7УДр) = 0; -уУ'г(р) = — 0,5. (13.35)
Постоянные в< из (13.32) н (13.34) в общем случае еле-
дует определять по заданным краевым условиям; в не-
которых частных случаях можно воспользоваться при-
веденными ниже готовыми формулами [15].
Бесконечные плиты
а) Сила Р, сосредоточенная в начале координат:
В, = В, = В4 = 0; В, = —. (13.36)
б) Силовая нагрузка, распределенная по окружности
радиуса а с интенсивностью р:
при г < в; р < ро: ро = j]G
п пРРо .. . .
Вэ = В4 = 0;
(13.37)
прн Г > а; р > ро; р0 = т)а
В, = В, = 0; В, = (/,(₽,);
(13.38)
в) Моментная радиальная нагрузка, распределенная по
окружности радиуса а с интенсивностью т:
При г < а; р < р0; р0 = i]a
В-=^Уз(Ро);
* = **=<>;
(13.39)
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
67
Таблица 13.26
Зяачевм V/ и (7 ' в (13.32)
р </1 ~V1 -u'l -«4 -и4 -"з U4
0.00 1.0000 0.0000 0,0000 0,0000 0.5000 « 0,0000 ео
0.02 1.0000 0.0001 0.0000 0,0100 0.4997 2,5643 0,0283 31,828
0.04 1.0000 0.0004 0,0000 0,0200 0,4989 2.1282 0,0468 16,905
0.06 1.0000 0.0009 0,0000 0,0300 0,4978 1.8653 0,0655 10.595
0.06 1.0000 0.0016 0.0000 0,0400 0.4963 1,6825 0,0800 7.9378
0.10 1.0000 0.0025 0.0001 0,0300 0.4946 1.5409 0.0929 6.3413
0.12 1.0000 0,0(06 0.0001 0.0600 0,4926 1.4254 0,1046 5,2764
0.14 1.0000 0,0049 0,0002 0,0700 0.4904 1.3279 0,1162 4,5126
0.16 1.0000 0.0064 0,0003 0,0800 0,4880 1.2436 0,1248 3.9394
0.18 1,0000 0.0081 0,0004 0,0900 0,4854 1.1695 0.1337 3,4925
0.20 1,0000 0.0100 0,0006 0,1000 0,4826 1.1033 0.1419 3.1340
0.22 1.0000 0.0121 0,0007 0.1100 0.4797 1.0437 0.1495 2.8400
0.24 0,9999 0.0144 0,0009 0,1200 0.4767 0,9894 0.1565 2.6941
0.26 0,9999 0.0169 0.0011 0,1300 0,4735 0,9397 0,1630 2,3854
0.28 0'9999 0.0196 0,0014 0,1400 0,4701 0,8938 0,1690 2,2059
0.30 0^9999 0.0225 0,0017 0.1600 0,4667 0.8513 0.1746 2,0498
0.32 0.9998 0.0256 0,0020 0,1600 0,4637 0.0117 0,1798 1,9127
0.34 (к9998 0.0289 0,0025 0,1700 0,4595 0.7747 0,1846 1.7912
0.36 0*9997 0.0324 0,0029 0.1800 0,4558 0.7400 0.1891 1,6828
0.38 0.9997 0.0361 0,0034 0,1900 0.4520 0,7073 0,1932 1,5854
0.40 0,9996 0.0400 0,0040 0,2000 0.4480 0.676S 0,1970 1,4974
0.42 0*9996 0.0441 0.0046 0.2100 0,4441 0,6473 0,2006 1,4174
0.44 0,9994 0.0484 0,0053 0,2200 0,4400 0.6198 0,2038 1,3443
0.46 0^9993 0.0529 0,0061 0.2299 0,4359 0,6935 0.2068 1,2773
0.48 0,9992 0,0576 0,0069 0.2399 0,4318 0,6686 0,2096 1,2156
0.60 0.'9990 0.0625 0,007В 0,2499 0,4275 0,6449 0,2121 1.1585
0.62 6.9989 0.0676 0.0088 0.2599 0,4233 0,6223 0.2144 1,1055
0.54 0.9987 0,0729 0.0098 0.2699 0.4190 0,6006 0,2165 1.0564
0.66 0.9966 0,0784 0,0110 0,2799 0.4146 0,4800 0,2184 1,0105
0.58 0,9982 0.0841 0,0122 0,2898 0.4102 0.4602 0.2201 0,9675
0.60 0.9980 0.0900 0.0135 0.2998 0.4058 0,4413 0.2217 0,9273
0.62 С.99П 0,0961 0.0149 0.3098 0,4014 0.4231 0,2230 0.8894
0.Й 0,9974 0.1024 0.0164 0,3197 0,39® 0.4057 0,2242 0.8538
0.66 0 9980 0,1089 0,0180 0,3297 0.3924 0,3889 0,2252 0.8201
0,68 0*9967 0,1156 0,0198 0,3396 0,3879 0.3729 0,2261 0,7883
0,70 0.9962 0.1224 0.0214 0.3496 0,3834 0,3574 0,2268 0,7582
0.72 0.9958 0,1296 0,0233 0,3595 0,3788 0,3425 0,2274 0,7296
0.74 0.9953 0.1368 O.O2S3 0,3694 0.3743 0.3282 0,2279 0,7024
0.76 0,9948 0.1443 0.0274 0,3793 0.3697 0,3144 0,2282 0,6766
0.78 0.9942 0.1620 0.0296 0.3892 0.3651 0,3011 0,2285 0,6520
0.80 0.9936 0.1599 0,0320 0,3991 0.3606 0.2883 0,2286 0,6286
0.82 0,9929 0.1680 0,0344 0,4090 0,3560 0,2760 0.2286 0,6061
0.84 0.9922 0.1762 0.0370 0,4189 0,3514 0,2641 0,2285 0,5847
0.86 0.9916 0.1847 0,0397 0,4288 0,3469 0.2526 0.22© 0.5642
0.88 0.9906 0.1934 0,0426 0,4386 0,3423 0,2416 0,2279 0,5446
0.90 0.9898 0.2023 0,0455 0,4485 0,3377 0,2308 0.2276 0,5258
0.92 0.9883 0,2113 0,0486 0.4583 0.3332 0,2205 0.2271 0.6077
0,91 0.9878 0.2206 0,0619 0,4681 0,3286 0,2106 0,2265 0.4904
0.96 0,9867 0.2301 0,0553 0,4779 0.3241 0.2008 0,2259 0.4737
0,98 0.9856 0.2397 0.0588 0,4876 0,3196 0,1915 0,2251 0.4576
1.00 0,9844 0.2496 0,0624 0,4974 0.3151 0,1825 0,2243 0,4422
1.10 0.9771 0.3017 0,0831 0,5458 0.2929 0,1419 0,2193 0,3730
1.20 0.9676 0.3587 0,1078 0,5935 0,2713 0,1076 0,2129 0.3149
1.30 0.9554 0.4204 0.1370 0.6403 0.2504 0,0786 0,2054 0,2656
1.40 0.9401 0.4867 0.1709 0,6800 0,2302 0,0642 0,1971 0,2235
1.60 0.9211 0.5676 0,2100 0,7302 0,2110 0.0337 0,1882 0,1873
1.60 0.8979 0.6327 0,2545 0.7727 0,1926 0,0166 0.1788 0,1560
1.70 0.6700 0,7120 0,3048 0,8131 0,1752 0.0023 0.1692 0.1290
1,80 0,8367 0.7963 0.3612 0,8509 0,1588 0,0094 0,1694 0,1056
1.90 0.7975 0.8821 0,4238 0,8857 0,1433 0.0189 0,1496 0,0854
2.0 0.7517 0.9723 0.4931 0,9170 0,1289 0,0265 0,1399 0.0679
2.2 0.6377 1.1610 0,6520 0,9661 0,1026 0,0371 0,1210 0,0397
2.4 0.4890 1.3575 0.8392 0,9944 0.0004 0,0429 0,1032 0,0189
2.6 0.300) 1.5569 1,0552 0.9943 0,0614 0,0446 0,0868 0,0039
2.8 0.0651 1.7529 1.2993 0.9589 0.0455 0.0447 0.0718 0.0066
з.о 0.2214 1.9376 1.5698 0,8304 0.0326 0,0427 0,0686 О.0137
3.2 0.5644 2.1016 1.8636 0,7499 0.0220 0,0394 0,0470 0,0180
3.4 0.9680 2,2334 2.1755 0.6577 0,0137 0,0366 0,0369 0,0204
(Продолжение таблицы на след, стр.)
68
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Продолжение табл. 13.26
р -ut -"I -uj V» -w3 4
3.6 I.4JH 2.3199 2,4983 0.2936 0.031ч 0.0284
3.8 1.9674 2.3459 2.822! U,0526 0.0022 0.0260 0.0212 0,0210
4.0 2.5634 2.2927 3.1346 0,4912 O.OOI4 0.0230 0.0152 0.0200
4.2 3.2)95 2.1422 3,4199 1,0818 0,0089 0,0192 0,0104 0.0185
4 4 3.9283 1.8726 3,6587 1,6833 0,0056 0,0156 0.0065 0,0168
4.6 4.6784 1.4610 3,8280 2,4520 0,0066 0,012$ 0,0035 0,0148
4.6 5.4531 0.8837 3,9006 3.3422 0,0071 0.0097 0.0012 0.0129
5,0 6,230) o.i teo 3,6454 4,3542 0,0071 0,0073 0.0005 0,0109
5.2 6.9803 0,8658 3,6270 5,4835 0,0069 0.0063 0,0017 0.0091
5.4 7,6674 2.0845 3,2063 6,7198 0,0065 0,0037 0,0025 0.0075
5.6 8.2466 3,5597 2.5409 0.0453 0.0059 0.0023 0.0030 0,0060
5.8 8.6644 5.3068 1.5856 9.4332 0.0053 0,0012 0.0033 0.0047
6,0 8,8583 7.3347 0,2931 10,346 0,0046 0,0001 0.0033 0.0036
Примечание: Табличные значения, расположенные ннже жирных горизонтальных линия. отрицательны.
прн г > а; р > р0; р0 = Т]Я
в<=->уИ₽о)-
(13.40)
г) Нагрузка интенсивностью р, распределенная по пло-
щади круга радиуса а
при г < о; р < рй ро = г)а
в>—
В1=_^е2.^(рй). 0a=Bt=o-'
при г > о; р > рй ро = Г)Я
В1 = ва = О- Ва = -^У2(Ро);
(13.41)
(13.42)
Определив
р„ = туз = 1,08;
4 = Рр° 200-1109 9|06 м
“ 2*а* ~2+10М - 10* "
н найдя по табл. 13.26 для ро= 1,08
14 = 0,979; U, = —0,291; I/, = 0,297;
1/« = —0,150;
I/! =-0,079; Uj=-0,536;
t/j = —0,220; U\ =0.387.
вычислим по (13.41) и (13.42) постоянные Вс.
а) для участка г<2 м (Bt=Bt=0)
35 1 19 9
в, = -ЛУ4 = -^-ж: в2 = _Л1/;=-^-ж. (Г)
б) для участка г>2 м (Bt = B}=0)
= — AUq — м' В — — AU. = —— м. (д)
3 2 |0< 4 1 10*
Затем по формулам (13.32). (13.34), (13.35) и табл. 13.26
определим для центра плиты (г=р=0)
Пример 13.8. Плита весьма значительных размеров
в плане и толщиной h=60 см загружена нагрузкой Р=-
"20 Т, распределенной по площади круга радиуса
а=2 м. Коэффициент постели основания я=3-109 Г/м9.
Упругие константы плиты р=0,15; Х|=0.85: Е=
=2-10* кГ/см*.
Приняв центр нагрузки за начало цилиндрической си-
стемы координат, определить прогиб н усилия в плите
для г=0и г=3ж.
Вычисляем Онг, (13.33):
D =
2-10»-0,6»
12(1 — 0.15е)
3,И-10Та;
Л =
1 ) 3,64-Ю9
I
= 0,538 — .
м
(а)
18 3
= = 0.183 см. (е)
/W, = -0,538s-3.64 (-35,l-0-
— 19.9(1-0.85-0.5)) = 12 Г-ж/м; (ж)
Me = -0,5389-3.64|—35,1-0-
— 19.9 (0,15 + 0,85-0.5)) = 12 Т-м/м. (а)
Определив затем по табл. 13.26 для ро=1.62 (г=3 м)
U3 = 0,186; U4 = — 0,011; U3= — 0,175;
U4= 0,145, (и)
13.3. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ
69
вычислим по тем же формулам для г=3 м:
® = — (48.5-0,186-7.14-0.011) s
4.9
s-----м = 0,049 см; (к)
10*
Mr = — 0,538s -3.641^48.5 (- 0,011 + 0.17б) —
— 7,14 (0.186 + ^ 0.145^ «— 2.35Т-М/М-. (л)
/Ие= — 0,538s-3,64 р8,5 (-0,15-0,011 -
-^0.145)1 = 4,59 7-лМ; (м)
I. о2 } J
Q, = — 0,538’-3,64 148.5-0,145 + 7,14-0.1751 s
xi.lTlM. (и)
Круглые и кольцевые плиты
Решение ищется в виде суммы
b> = u* + w*, (13.43)
слагаемые которой определяются из расчета бесконеч-
ной плиты: первое — и>° — из расчета иа заданную на-
грузку по формулам (13.32) — (13.42); второе —ш*—
из расчета на компенсирующую нагрузку, выбираемую
так, чтобы условия в сечениях бесконечной плиты, сов-
падающих с краями рассматриваемой кольцевой или
круглой плиты, были тождественны заданным. Расчет
иа компенсирующую нагрузку ведется по формулам
(13.32) — (13.31) при р=0 и сводится к определению
произвольных постоянных В( (i=l.2,3.4,). В частно-
сти. для сплошной плиты следует принять В3=В4 =
=0, a fij н в'г определять из граничных условий.
Пример 13.9. Плита из примера 13.8 имеет по окруж-
ности г=3 м кромку, свободную от усилий. Определить
прогиб в центре плиты.
Слагаемое в (13.43) было найдено в примере 13.8.
Соответствующие усилия в сечении г=3 м равны [см.
формулы (л), (н) из примера 13.8]:
/И® = -2,357'-ж/ж. <2® = 4,7Т/м. (а)
При расчете бесконечной плнты на компенсирующую
нагрузку B3 = Bj=O. Используя значения (и) из при-
мера 13.8, а также (13.34), найдем Мг и Qr в сечении
г—Зм;
М' = т)2 D (0,51В* — 0,48.9j) ;
С,* = t]3D (0,78В; —0.27В') .
(6)
Из заданных в сечении г=3 м граничных условий
М, = М® + М’ = 0; <?, = <2® + <?' = 0 (в)
получим
50,3 . 36.1
---; В, =------.
D 2 D
(г)
Прогиб в центре плнты (см. пример 13.7)
18,3 50,3 32,2
----4-------------- —— м = 0,322 см.
10* 3,6410* 10*
Если бы плита была абсолютно жесткой, то прогиб в
центре был бы равен:
92
3,14-3s-3
24
10*
= 0,24 см.
(е)
13.3.2. Изотропные круглые плиты
под произвольной нагрузкой
Круглая плита с защемленной кромкой
На плиту действует следующая нагрузка:
I) сила Р, приложена в точке В (рис. 13.27):
(13.44)
Рис. 13.27
2) пара Mg. действующая в радиальной плоскости,
приложена в точке В (рис. 13.27) ц стремится выгнуть
центральную часть плиты вверх:
+ (о—rcos6)(l +2 ln-^-1 —
\ nRx]
(13.45)
В (13.44) и (13.45) принято (рис. 13.27)
№ = г2 -|- — 2 cos 0;
/ 2г2 г
Я?=г2+~^- —- ° cos 0; (13.46)
а* а
Круглая плита со свободно
опертой кромкой
Прогиб от действия силы Р, приложенной в точке В
(см. рис. 13.27),
70
РАЗДЕЛ В. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
пендикулярные плоскости упругой симметрии, из кото-
рых одна проходит через ось < (см. рис. 13.1), вторая
параллельна срединной плоскости, а третья перпендику-
лярна первым двум (плнта отнесена к цилиндрической
системе координат г, в, а). Пластину, обладающую та-
кими свойствами, будем называть цилиндрически орто-
тропной. Упругие свойства такой пластины характери-
зуют величины £|, pi (для волокна, совпадающего с ра-
диусом) и Е3, р2 (для волокон, перпендикулярных г).
Модуль упругости сдвига С при осесимметричной де-
формации не используется.
В последующем приняты обозначения
Свободная круглая плнта
под действием статически
уравновешенной нагрузки
(13.50)
а) Вдоль кромки плиты действуют п равных сил Р,
расположенных на равных расстояниях друг от друга
и уравновешенных равномерно распределенной вдоль
той же кромки нагрузкой р (рис. 13.28).
Плоское напряженное состояние [17]
Усилия и перемещения определяются по формулам
Nr = Bjp*-1 — Bgp-
N9 = k (В, р*-' + В2р-*-');
иг = 7Т [(*-Щ) Р*-1 +(й + И,)
u0 =0.
Прогиб в центре плиты
Постоянные В, в (13.51) определяются из граничных ус-
ловий из кромках пластины и нэ условий сопряжения
смежных участков. Приводим значения постоянных В<
для кольцевой пластины, загруженной по внешней или
внутренней кромке равномерно распределенными ради-
альными усилиями (а н 6 — радиусы внешней и внут-
ренней кромки, ро=о/6).
а) По внешней кромке действуют растягивающие уси-
лия с интенсивностью рс.
(13.48)
(13.52)
где а = 0.159; 6 = 0,195 при п = 4
п = 0.296; 6 = 0,378 > п = 3
о = 0,773; 6=1,128 » и = 2
б) Вдоль кромки плиты действуют о равных сосредо-
точенных пар Mg (рис. 13.29).
Прогиб в центре плиты
ш = + ± + (13.49)
где о и 6 равны:
а — — 2; 6 = 5,545 для о = 2;
о = — 1,179; 6 = 2,950 дляп = 3;
о =—0,853; 6 = 2,035 для л = 4.
б) По внутренней кромке действуют растягивающие
(направленные к центру) усилия с интенсивностью р2:
i^+1
В1 = В,=-----------— . (13.53)
Изгиб круглой и кольцевой плиты [17]
Уравнения срединной поверхности и формулы для
усилий при осесимметричной нагрузке имеют вид
13.3.3. Круглые и кольцевые ортотропные
пластины
Рассматривается осесимметричная деформация круг-
лых и кольцевых пластин из ортотропного материала.
В каждой точке пластины существуют три взаимно пер-
W = В,+ В/ + В,г’+* -I- В. г1'* + рг>.
О
8г= —— = 2BjT + (1 +A) Bar* +
аг
+ (1-й)В4г-* + у рг’;
/И, = —DjL" +
(13.54)
13.4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ
71
л«в = -о2
<?, = -D,(ar +
(13.54)
(9 — A2) D,
Постоянные В, в (13.54) определяются нз граничных
условий на кромках плиты н из условий сопряжения от-
дельных участков плиты.
Сплошная плнта должна содержать изотропный сер-
дечник, для которого
w = Bi + Bf*.
(13.55)
Приводим формулы для прогибов н усилий в круглой
плите, загруженной сосредоточенной силой в центре н
сплошной равномерно распределенной нагрузкой.
а) Плнта радиуса а загружена силон Р в центре.
Внешняя кромка жестко защемлена (А=#1):
Ра* г w = [1 — k + 4л (1 - А*) (1 + A) D, 1 + (1 +А)р’- 2р,+*]: Mr = [(А + Ра) р*-1 — 2л (1—А») 1 - (I + Ра)]; р (13.56)
2л (1—А*) 1(1 1 *P1)P -(1+Р1)]; <?=-£;.
б) Плнта радиуса а загружена силой Р в центре.
Внешняя кромка шарннрно оперта (Ач*1):
Рд»
4л (1 — A*)D,
(2 + А + р,)(1-А)
. (1 + Л) (* + р,)
2(1+р«) 1
(1+*)(*+Р») J
и № [(Ц-р,) (Ар,+!)»_,
2л(1-А*) I А + р. ₽
- (1 +Р1)] •
в) Плита радиуса а загружена равномерно распреде-
ленной нагрузкой интенсивностью р. Внешняя крепка
жестко защемлена (А^=3; ЛчЧ):
8(9 — A‘)(l + A)D, 1
- 4р,+* + (1 + А)р4];
- (3 + ps) Р1);
^=2(9Р-^)[(ЛР1 + 1)Р>~'~
- (Зр>+ 1)р’];
(13.58)
г) Плита радиуса а загружена равномерно распреде-
ленной нагрузкой интенсивностью р. Внешняя кромка
шарннрно оперта на жесткую опору (Ау^З; А#=1):
ра» Г(3 — А) (4 + А + ра)
8(9-A*) Da 1 (1+А)(А+ра)
££+*> Р^ + Р<1; (1 + А) (А + р,) Р J' р (3 4~ р«) а* . £_|
2(9 —А*) (13-59)
paW Г(3+Ра)(1+АЦ|) = 1 р 1 — « 2(9-А')[ А + н.
- О + Эр,) р‘1-
13.4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ
13.4.1. Треугольные плиты [3]
Прогибы н усилия в треугольных плитах (типа пока-
занной на рнс. 13.30) можно определить по следующим
формулам:
Т а б л и ц а 13.27
(13.57)
Значения а, р. у в <13.603 для плит, опертых по схеме А
рис. 13.31. при В, -30* (равносторонний треугольник) (и«0)
~| 1KII . 3.32) а‘ 1 ъ 1
I
(5=s 13 I 10 1 в 13 10 6 13 10 б • 12
1 60 197 232 98 112 71 —42 38 99 207 207
2 2Ъ 122 159 Ы 47 —30 13 73 166 120
Т а б л н ц а 13.23
Значения а. В. т в (13.60) для влит, опертых по схеме В
рнс. 13.31 при В.-30* (равносторонний треугольник) (ц— 0)
а‘ 1 к
ге-з 1
ггА 13 10 в 13 10 6 13 10 6 12 > 2
1 12 79 123 23 60 48 —19 63 -137 155 219
2 4 48 88 8 33 -13 43 -89 130 132
72
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСГИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Т а б л u ц а 13.29
Значения а, р. ? в (13.60) для пл и г, опертых по схеме С рис. 13.31
ъ Параметры Нагрузка по схеме 1 на рис 13. 32 ( в“|лри 1. равном
1 2 3 4 6 7 8 9 1 10 11 1 12 13 14
а 0 0 0 0 322 262 116 0 102 63 и 12 О
Рх -22 —19 —12 -3.5 126 90 -24 -229 75 23 —135 23 -29
0,5 ₽У —134 —1)6 -70 -21 57 45 9 —47 1.5 —7 -31 0.2 —7
V 266 239 159 46 - - - 288 - - 208 - 10"
а 0 0 О 0 199 162 74 и 98 61 0 II и
Рх -23 —20 -12 3 4 82 60 —11 -132 73 23 -135 21 34
0,75 Ру —140 -120 -71 -21 67 57 24 —36 4.9 -6.8 ЗУ -5,5 —12
V 244 218 143 44 - — - 218 — - 224 - 102
а 0 и О 0 НВ » 42 и 82 51 и 12 и
рх -21 -16 -10 __з 53 38 6 —67 S2 20 —ПО 21 -42
1.0 0, -125 -107 -62 -16 59 51 25 -26 16 1.3 —43 -II -18
V 222 197 129 48 — - — 152 - - 220 - 111*
и 0 и 0 и 45 36 15 0 45 28 0 11 и
рх -15 -13 -7.2 -2 26 17 —2.4 -19 38 12 -53 19 —40
1.2» Ру —92 -77 —43 —12 38 34 20 —II 27 12 —38 -II -30
V 182 160 106 48 - — 78 - - - - 139
а и и и 0 20 15 6 и 23 14 0 7.2 0
—11 -9.1 -4.9 —1.3 13 8,2 -0.7 —6,3 22 6.5 -24 13 -26
2.U ру —66 —55 —30 —8 24 22 14 -з 25 13 -26 1.7 —34
V 151 132 89 45 — — - 47 - - 122 - 144
Ь Параметры Нагрузка по схеме 2 на рис 13.32 ( -м при i. равном
1 2 3 4 6 7 1 » у 1 10 1 II 1 12 3 14
а 0 0 и 0 245 200 90 и 54 34 0 2.9 0
эх —19 -16 -9.8 -2.9 95 68 -17 -177 39 II —76 5.5 —8 4
0.5 "у —111 —97 -59 -17.7 43 34 5.8 -36 II 7,9 -18 -1.1 -2.5
V 230 .16 152 56 — - - 222 - - 108 - 25
а и и 0 0 147 120 55 и 56 35 V 2.9 и
₽х —19 -16 -9.7 -2.9 60 45 -6.3 —100 41 12 81 4.8 -12
0.75 Ру —III —96 —58,4 -17.6 51 43 18 -27 —3.2 -9.3 -24 —4.7 -4.7
V 211 191 133 51 — — - 168 — — 125 - 25
а 0 и 0 V 84 68 31 и 48 30 0 3.7 0
рх -16 -14 —8.3 —2.5 37 28 45 -51 35 11 =68 5.6 -18
1 Ру —96 —83 —49 15 45 39 39 -195 4.4 -3.7 -27 -8.8 -7.8
V 185 167 117 51 — — — 119 — — 128 — 32
а 0 0 о о Ж) 24 11 и 26 16 0 4.5 0
1.5 »х “у —11 —57 -5,5 -33 -1.6 —9.6 16 28 12 26 -0.3 15 —14 -8,5 21 13 7 4.6 -24 7 9.9 —20 -15
V 145 131 94 47 — — — 63 — — 103 — 53
0 0 0 13 10 4,3 и 13 8 0 з.з <»
2 е. »У -7.7 <л —3.7 —22 —1.1 -6.5 8.2 18 5.8 17 о.з 11 L 1 *4 12 13 3.8 61 —15 —17 5.4 -6.3 7 7
V 117 105 77 43 — — — 39 — — 75 — 61
13.4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ
73
Продолжение табл. 13.29
О b Параметры Нагрузке по схеме 3 рис- 13-32 (-Т | при <. равном
1 | 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14
/Г f>X ₽у —4.8 -29 —3.9 —24 —2 -12 —0.5 2.8 13 12 8.2 11 6.3 —11 23 13 7.5 6,2 -16 —24 —11 14 -2.5
2 V 35 28 13 0.7 - - 27 — — 82 82
ва —24 -19 -8.4 -1.7 11 15 7.1 -2.9 23 12 -30 7.8 -49
2 р„ —24 -19 —8.4 —1.7 II 1.6 —1.9 -0.5 23 7.7 —5 7.8 -8.2
V 35 2Я 14 0.4 - — - 14 — - 64 — 106
Ми
ъо'ри .
41000/3 '
41,=
Рх Р~Рп
M'="SOT
6400 ‘
Р„ °гРп. _ fl. -^Ро
6400 ' ° 6400
V = J^
800
(13.60)
Значения коэффициентов а. fl, v в (13.60) для точек,
пронумерованных >.а рнс. 13.30 при краевых условиях,
13.4.2. Трапецеидальные плиты [3]
Изгибающие моменты в равнобочных трапецеидаль-
ных плнтах (рнс. 13.33), как и в треугольных, опреде-
ляются формулами (1360). В табл. 13.30—13.34 праве-
аш. кроыщ свободно оперто* но жесткую опору
иш Жестко опием нежная кромко
Рис. 13.31
Рнс. 13.33
покатанных на рнс. 13.31 и нагрузках по рнс. 1332 при-
ведены в табл. 13.27 -13.29. Болес подробные таблицы
для треугольных пластин см. [3, 23].
пип Жесткозащемленнаякромка
rrrrre Сбородно опертая кромка
Рис. 13.34
74
РАЗДЕЛ 13 УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ СТЕНКИ)
Значения рх. 0у в (13.60) для плиты а (рис. 13.34) (ц _ -~-
Схема плнты по рнс. 13.33 Нагрузка е i
1 2 3 < 6 8 9 10 11
/ >х "у -6.9 —5.7 -34 —3.0 -18 11 4.9 —1.1 1.6 0.2 -3.2 1.7 -3.6 -1.7 п 22 12 19
II вх ВУ —II -65 1 1 g £ -6.0 35 -1.9 -11 8.3 14 6.3 14 0.2 11 -8,9 -4.2 19 32 15 28
1 вх Ру -5.9 -5.1 -31 3.0 -18 -0.8 4.1 4.0 3.0 -1.6 -3.2 -4.0 -1.9 11 25 11 21
II "х Ру —8.1 —7.3 -1.9 -29.3 -1.6 -9.8 6.2 16 6.1 15 2.0 12 -7.8 —3.7 1 25 10 22
Схема плнты по рнс- 13.33 1
Нагрузка р 12 13 И 15 16 17 18 19 20 21
/ "х Ру —6,0 12 -16 -7.5 20 25 4.1 13 -15 14 9.3 9.4 3,8 -36 -17 -8.3 -18 -18
II f*X Ру 1.4 IS -26 -13 17 17 5.1 12 -17 8,5 -5.4 3.9 -7.7 —30 -14 -5.6 -35 -12 -12
б 1 Вх Ру 2.2 12 —15 -7.3 8.2 1S 7.0 8.5 —24 -И -7.8 -17 -6.5 -14 -14 — -
11 Вх Ру 4 12 -21 -10 5.1 2.7 3.4 1.1 3 й -5.9 -35 —4.8 -29 —14 -14 — —
Зяачения Рг. Ру. в (I3.C0) для плиты б (рнс. 13.34) (д —
Схема плнты по рнс. 13. 33 Нагрузка о 1
1 2 3 4 6 7 8 9 10
/ вх Ру -7.7 -6.3 -38 -3.2 -19 -0.8 -1.6 6.5 -2.9 1.6 -0.3 —3.9 1.3 -3.6 -1.7 20 22
II ₽х Ру —12 —10 -60 -6.1 -1.9 —11 8.7 13 6.1 13 -0.3 11 -8.9 -4.2 21 32
б / В. Ру —7.7 -6.5 -39 -3.6 -22 -0.9 —5.8 5.5 1.9 2.9 2.8 2,6 5.5 —1.1 -2.1 16 30
II Рх Ру —9.4 -8.3 -50 -5.3 —32 -1.7 -10 7,2 15 6.1 15 0.9 11 11 ОС — 15 29
Схема плиты <
по рис- 13. 33 Нагрузка р II 12 13 14 15 16 17 18 19
/ Рх В, 13 19 -4.1 11 -17 -8.1 26 29 2.7 15 ft S 1 1 25 27 15 15 9 й 1 1
II В. Ру 16 28 0.2 15 -27 -13 21 20 3.2 7.5 -19 -16 6.2 7,3 0.4 —38 — 18
б 1 вх Ру 14 26 0 11 -19 -8.9 16 33 10 19 -16 и 0 0 0 0 0
И вх Ру 13 25 2.5 13 -II и 16 6,4 —29 —11 и 0 0 0 0 0
13.4. ИЗОТРОПНЫЕ ПЛИТЫ РАЗНОЙ ФОРМЫ
75
Таблица 13.32
Значения рг. ₽у а (13.60) дав шиты в (рис. 13.34)
Значения 0Х> Р в (13.60) дав плиты а (рас. 13.34)
Схема ПЛИТЫ по рис- 13.33 Нагрузка в i
О / В 9 10 11 12
а 1 в, "у Lt 17 14 —5,6 7,7 -7.3 —3.5 27 29 18 25 6.5 13
// вх "у П •45 13 33 -15 -7.3 32 44 24 38 —1.6 18
Схема ПЛИТЫ по рис. 13.33 В i
13 14 15 16 17 18 19
а / Вх РУ —4b —22 31 -Ю 13 —22 27 -Б 15 13 -26
и вх "у -43 -20 а 21 2.8 5.0 —27 20 з.о 8,5 —3,6 —23
дены значення коэффициентов рх н для точек плн-
ты, пронумерованных на рнс. 13.33 при краевых усло-
виях и нагрузках р(х, у) =р(у), показанных на
рнс. 13.34.
13.4.3. Эллиптические плиты (рис. 13.35)
Нагрузка (интенсивностью р), равномерно распреде-
ленная по всей площади плиты. Для плнты с жестко за-
щемленной кромкой (р=0).
Таблица 1134
Значил. flo a (I3.W) м. вап рас. 1134 [ ц
Схема г Плита о при , равлим Плита 6 прн < равиом
плиты по рве. 13.33 1 X 9 13 16 19 21 9 13 16 19 21
7 —4.4 -20 —40 —42 -18 —4.6 —22 —47 -60 0
// —11 —34 -46 —38 —12 -11 —35 -61 —48 0
1 -5.0 —19 —30 —14 — -5,6 -24 —42 0 —
б и —10 -26 -27 —14 - —4.2 -13 -19 -10 -
Схема X Плита при /. равном Плита е при i равном
плнты по рнс- 13.33 I Наг ру? 9 13 16 19 21 9 13 16 19 21
/ —8,7 —30 —51 -52 —20 -9,2 зэ 59 -70 0
II -19 -52 —65 —49 —15 -19 -64 —71 -62 0
Мх = —
м,= -
(13.61)
Изгибающие моменты в центре плнты н на концах
главных осей эллипса равны:
4пЛ
(Al,)x_ftp>o= Ла1 ;
8рР
(^х)х—а: = ~ да1 '
ApD
(A,p)x-o:pw>= Abi ;
(13.62)
(^р)х»0; др
Для плиты с кромкой, шариирио опертой на жесткую
опору, прогиб и изгибающие моменты в центре плнты
при |х=0 определяются по формулам
pb*
w = c^-; 1Их = РрЬ«; = (13.63)
Значення коэффйциентов
а. В, у даны в табл. 13.35.
Нагрузка Р, распределен-
ная в центре плиты по кру-
гу малого радиуса rQ. Мак-
симальные значення проги-
ба н нормального напряже-
ния в центре плнты с кром-
кой, шарнирно опертой на
жесткую опору, определи
ются по формулам (ц«0,3:
Рнс. 13.35 ₽=Ыа).
76
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
Т а б л п ц а 13.35
Значения a. ft. т в (13.63) (Ц -0)
а b 1 1.1 1.2 1,3 1.4 1.5 2 3 4 5
а 0.064 0.076 0.088 0.098 0.107 0.115 0.145 0.172 0.185 0.192 0,209
₽ 0.159 0.159 0.1SS 0.1S2 0.145 0.138 0.105 0,064 0,049 0.029 0
V 0.159 0.188 0.21S 0.237 0.260 0.280 0.348 0,414 0,451 0.472 0.500
Т а б л к ц а 13.36 J5J
Значения a. ft. V (13.67) для плиты с защемленной дуговой кроимой
10* а, ин Р( | 10* V,
0. 1
1 2 3 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3
л 5 26 28 0 —37 31 82 250 —196 V 97 186 83
4
л 17 57 47 0 —56 92 97 —340 -274 0 167 169 87
3
л
2 63 132 82 -265 —3 220 87 -488 -403 -265 238 172 87
Я 293 337 152 0 440 396 -25 -756 -654 0 111 168 136
®м.»<с — £.^а (0,745 0,0750);
(13.64)
Аналогичные величины для плиты с жестко защеплен-
ной кромкой прн р=0,3:
п
ш = а. — ; М, = Р,рг5;
А1в=У(Л^; С, = 4tPrv
<?а = %Рго-
где ( — номера точек, показанных на рнс. 13.36.
°накс
®и«кс = 7^-(0.30 — 0,04₽);
= (1п — — 0,317р — 0,37б) .
2пА* \ г, /
(13.65)
Нагрузка, распределенная по линейному закону
- х
р(х, у) =р, —. Для плиты с жестко защемленным коиту-
а
ром уравнение срединной поверхности имеет вид
(13.66)
13.4.4. Плиты в виде кругового сектора
Плита представлена на рнс. 13.36; радиальные кромки
свободно оперты на жесткие опоры.
Прогибы и усилия прн равномерно распределенной на-
грузке вычисляются по формулам
(13.67)
Т а б л я ц а 13.37 [5]
Значения a, ft, v в (13.67) для плиты со свободно опертой
дуговой кромкой
Значения коэффициентов с. ₽. у. <р. ф прн ц=0. при-
ведены в табл. 1336 13.38. На рнс. 13.37 приведены
эпюры прогибов и усилии для плиты с дуговым краем,
свободным от закреплений, прн 60—л/4.
13 5. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛАСТИНАХ
77
Таблица 13.3315)
Значения ф н ф а (13.67) для секторных плит
Л 4 280 245 — 162 149 181 117 182 IS6 9 198 198 118
л 3 317 282 -178 150 212 162 218 187 12 220 244 169
л 2 362 330 -197 189 2+4 234 287 235 17 246 306 264
л 424 400 -212 107 256 321 348 316 24 275 375 426
Для вл»я и ТлаО ♦—0.340
л
Для &= ~ и г-О
тДО.442
13.5. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
В ПЛАСТИНАХ
Прн неравномерном распределении температуры
в пластинах могут появляться усилия.
Ниже рассмотрен случай, когда изменение температу-
ры заанснт только от координаты г (см. рнс. 13.1 н
13.2).
Пусть температура нижней поверхности пластины
(z=hl2) изменилась на IjC, а верхней поверхности
(г=— Л/2) — на (® С. Тогда, определив
найдем, что средняя температура t0 вызывает плоское
напряженное состояние, a t — изгиб пластины.
Если пластина любого очертания в плане жестко за-
креплена по контуру, то при воздействии температурно-
го поля (13.68) она останется плоской и на ее контуре
возникнут продольные силы N н изгибающие моменты
Ми», определяемые по формулам
a£toh atDK
Л = —;-------1 AtH,r = — —-—
J —|i h
(13.69)
0
где а — коэффициент линейного расширения.
Таким образом, задача сводится к построению реше-
ния для пластины с заданными опорными закрепления-
ми от нагрузки, приложенной по кромкам и определя-
емой (13.69). Это может быть выполнено при помощи
формул, приведенных в 13.31.
Пример 13.10. Определить деформацию круглой плнты
радиуса а, свободно опертой по ионтуру, от действия.
1 =
Рнс 13.36
Используя (13.26) и положив са=с4=0. получим для
кромки пластины IP = — ; Ро — — = 1 )
\ а о /
М, = — — 2V. — ~— = 0
п
(а)
Откуда
Следовательно.
ш = —(1-р»),
(б)
(в)
13.6. ОБЗОР ТАБЛИЦ ПО РАСЧЕТУ ПЛИТ
Приводим некоторые сведения о наиболее распростра-
ненных монографиях, содержащих таблицы для опреде-
ления прогибов и усилий в плитах.
1. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластины,
диски, балки-стенки. Стройиздат УССР, 1959. В рабо-
те содержится весьма обширный справочный материал
(формулы, таблицы, графики, примеры) по определению
усилий и деформаций в круглых, прямоугольных в дру-
78
РАЗДЕЛ 13. УПРУГИЕ ТОНКИЕ ПЛАСТИНЫ (ПЛИТЫ И БАЛКИ-СТЕНКИ)
гой формы плитах под сосредоточенными я распределен-
ными нагрузками.
2. Б а р в а к П. М. и др. Таблицы для расчета пря-
моугольных плит. Изд АН УССР, 1959. Даны таблицы
коэффициентов для определения прогибов и усилий
в прямоугольных плитах с разнообразными опорными
условиями от равномерно распределенной и сосредото-
ченной нагрузок. Таблицы составлены прн помощи чис-
ленного интегрирования, в связи с чем возможна по-
грешность при определении расчетных величии, которая
(по мнению авторов) в большинстве случаев не превы-
шает 10%.
3. Галерки н Б. Г. Упругие тонкие плиты. Гос-
стройпэдат, 1933. Содержит таблицы по расчету прямо-
угольных, секторных, треугольных плнт с разнообраз-
ными опорными условиями под распределенной и сосре-
доточенной нагрузкам и.
4. Папковнч П. Ф. Строительная механика кораб-
ля. ч. II. Судпромгиз, 1941. Приведены таблицы для
определения усилий н прогибов прямоугольных плит, а
также таблицы для расчета круглых плит под осесим-
метричной нагрузкой на опорах и упругом вииклеров-
ском основании.
5. К а л м а и о к А. С. Изгиб тонких прямоугольных
плит. Машстройнздат, 1950. Таблицы по определению
прогибов и усилий в прямоугольных плитах под трапе-
цеидальной нагрузкой.
6. Коренев Б. Г. н Черниговская Е. И. Рас-
чет плит на упругом основании. Госстройнздат, 1962.
Приведено большое количество табулированных функ-
ций, которые существенно облегчают расчет прямоуголь-
ных и круглых плнт на упругом основании.
7. Смотров А. Решение плит, нагруженных сплош-
ной нагрузкой, по закону трапеции. ОНТИ, 1936. При-
ведены таблицы для прямоугольных н треугольных плит.
8. Тимошенко С. П., Войновск и й - Кри-
гер С. Пластинки и оболочки. «Наука». 1963. Даны
таблицы для определения усилий в прямоугольных пли-
тах под разнообразной нагрузкой. Имеются также таб-
лицы, формулы н графики для расчета эллиптических,
круглых н треугольных плнт.
9. Шехтер О. Я- и Винокурова А. В. Расчет
плит иа упругом основании. Госстройнздат, 1936. Содер-
жит таблицы по определению усилий и прогибов в бес-
конечно большой плите и плите в виде бесконечной по-
лосы, опирающейся иа упругое винклеровское основание
н загруженной сосредоточенными силами, расположен-
ными в углах прямоугольной сетки, либо по оси сим-
метрии бесконечной полосы.
10. U1 и м а и с к и й Ю. А. Изгиб пластин. ОНТИ.
1934. Содержит таблицы по расчету прямоугольных
плит под разной нагрузкой.
13.7. Краткие сведения об аналитических
методах определения усилий и перемещений
при изгибе тонких упругих плит
Задача об изгибе упругой тонкой плиты сводится
к определению функции прогибов ш. зная которую, мож-
но вычислить усилия и углы наклона касательной
к срединной поверхности плнты по формулам
д2®
Мк = -(1-М) —;
ас5у
д
Qx = — D — v*ur,
дх
д*а>
~дх*+~ду* :
д
Qy= — D — vs®,
др
(13.70)
Vx = Qx + ^;
ду
A
х дх ’
Функция прогибов должна удовлетворять дифференци-
альному уравнению в частных производных четвертого
порядка (разрешающее уравнение) и граничным усло-
виям на кромках плнты. В частности, для плнты по-
стоянной толшины нз изотропного материала разреша-
ющее уравнеине в декартовых координатах имеет вид
[5,19, 23]
/ » » » \ р
\ дх* дх*ду* ду* / D '
(13.71)
Соответствующие уравнения для плиты из анизотропно-
го (в частности, ортотропного) материала приведены
в [17], для плиты переменной толщины —в [3. 23], для
плиты иа упругом основании —в [4, 16, 23]. Соотноше-
ния (13.70) и (13.71) в декартовых координатах целе-
сообразно применять для бесконечных пластин, загру-
женных нагрузкой, распределенной по площади прямо-
угольника; для полубесконечиой плнты, ограниченной
прямолинейной кромкой; для бесконечной (или полубес-
конечной) полосы с параллельными кромками и, нако-
нец, для плнт, имеющих форму прямоугольника, парал-
лелограмма. треугольника илн трапеции. Для круглых
и кольцевых плит, а также для плит, имеющих форму
сектора нли кругового прямоугольника, целесообразно
использовать полярные координаты (соответствующие
зависимости см. [5, 12, 17, 20. 23]). Для плнт. имеющих
форму эксцентричного кольца, кругового сегмента нли
круговой луиочкн, целесообразно применять биполяр-
ные координаты [24]. Другие возможные системы ко-
ординат см. [5. 23].
Как правило, решение задачи об изгибе плиты ищут
в виде суммы
w = ufi -]- ш*,
(13.72)
где 10° удовлетворяет только (13.71) при заданной на-
грузке, a w* удовлетворяет (13.71) при р«=0 н подби-
рается таким образом, чтобы погасить искажения гра-
ничных условий на кромках плиты, вызываемые ш°.
Слагаемое ®* называют однородным решением.
Оба слагаемых (13.72) компонуют нз элементов (Л™
=const)
Fu = 7i(n. kx)f,(n.ky) (13.73)
в следующих формах:
М,
ш = S
(13.74)
My= — D
д*я й*о> \
тт +нтт1;
дуг дх* )
(13.70)
(13.75)
13Л. ОБЗОР ТАБЛИЦ ПО РАСЧЕТУ ПЛИТ
79
Ответим возможные варианты.
а) Задавая /, или в (13.73) в виде
/, = Ct cos nky + с, sin nky (13-76)
и используя (13.74), можно получать решения большо-
го количества задач в виде ряда Фурье [3, 5, 20, 23].
б) Используя (13.76) и (13.75). можно получать ре-
шения в виде интеграла Фурье. Такне решения исполь-
зуются обычно для плит бесконечных размеров [3, 14,
20, 23, 24, 25].
в) Придав fa или /, в (13.73) в виде
/.= ^‘“4-с^-л*м (13.77)
и подобрав соответствующим образом параметр п, мож-
но определить ряд однородных решении, удовлетворя-
ющих заданным граничным условиям на кромках пла-
стины у=0 и у=о. Такне решения принято называть
функциями Папковнча—Фадля. Онн могут быть исполь-
зованы для расчета прямоугольных секторных плит н
плит в виде кругового прямоугольника [11, 20].
г) Задав Л и [а в (13.73) в виде степенных функ-
ций, можно, суммируя конечное число элементов £, по-
лучить решения в виде степенных полиномов, удовлет-
воряющих (13.71). Такне полиномы могут быть исполь-
зованы при решении задач об изгибе прямоугольных
пластин (131.
д) Ряд эффективных решений задач об изгибе плиты
в виде полосы, круговой луночки и кругового прямо-
угольника может быть получен в форме (13.75) путем
применения интегральных преобразований Фурье, Мед-
лина [25].
Если удается получить решение задачи, используя ко-
нечное число элементов (13.73), нлн найтн аналитиче-
ское выражение для суммы ряда (13.74) или значения
интеграла (13.75), то говорят, что задача допускает
замкнутое решение. Так. например, замкнутое решение
для уснлнй может быть получено в задачах об изгибе
бесконечной плиты, ограниченной прямолинейной кром-
кой (защемленной, свободно опертой или свободной от
закреплений) под действием сосредоточенных сил нлн
пар.
В тех случаях, когда задача не имеет замкнутого ре-
шения, имеется большое число приемов, позволяющих
облегчить вычисления путем усиления сходимости ряда
(13.74) (см. первое нздаике справочника). Приемы, об-
легчающие вычисление несобственных интегралов
(13.75), см. [25].
В ряде задач слагаемые в (13.74) могут быть най-
дены независимо друг от друга. В этом случае можно
говорить о точном решении задачи. Однако в большин-
стве задач слагаемые Fn в (13.74) определяются с точ-
ностью до множителей св. Эти множители могут быть
найдены из бесконечной системы линейных уравнений.
Хотя н в этом случае решение может быть получено
с любой степенью точности, будем такие решения на-
зывать приближенными.
К группе приближенных решений следует отнести ре-
шения, основанные на принципе минимума потенциаль-
ной энергии деформации. В этих методах компонуют
решение в виде ряда (13.74) прн условии, что каждое
из слагаемых F* задано с точностью до постоянного
множителя с» и удовлетворяет заданным граничным ус-
ловиям. Множители сп определяются нэ бесконечной
системы алгебраических уравнений [30, 21, 23].
В заключение приведем ссылки на литературу по не-
которым аналитическим решениям задач об изгибе плит,
которые могут представлять интерес для проектиров-
щиков:
а) метод начальных параметров для осесимметричной
деформации круглых н кольцевых плит (12);
б) осесимметричная деформация круглых н кольце-
вых плит переменной жесткости [1, 3, 23];
в) некоторые решения по неосеснмметрнчной дефор-
мации круглых плит [3];
г) некоторые решения по изгибу прямоугольных плит
переменной жесткости [3, 23];
д) изгиб прямоугольных к круглых плит из анизот-
ропного материала [17];
е) метод начальных параметров для осесимметричной
деформации круглых н кольцевых плит на упругом ос-
новании типа Винклера [15];
ж) задачи об изгибе пл нт на упругом основании
с двумя упругими характеристиками [4. 16];
э) решения некоторых задач об изгибе ллнт в виде
треугольника, сектора, кругового прямоугольника, эл-
липса, кругового сегмеиза [3, 20, 2$, 25].
ЛИТЕРАТУРА
1. Биргер И, А. Круглые пластинки и оболочки враще-
ния. Оборонена, 1961.
2. В а р в а к П. М. и др. Таблицы для расчета прямоуголь-
ных плит. Изд. АН УССР. 1959.
3. Вайнберг Д. В. н Вайнберг Е. Д. Пластины,
диски, балкн-стенкн. Госстройнздат УССР. 1959.
4. Власов В. 3. и Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и
оболочки на упругой основании. Физматгиз. I960.
S. Г а л е р к к к Б. Г. Упругие тонкие плиты. Госстройнздат.
1933.
6. Гастев В. А. нКмтовер К- А- К определению уп-
ругих характеристик ребристых пластин. «Строительная меха-
ника н расчет сооружений». 1961, № 6.
7, Горбунов-Посадов М. И. Таблицы для расчета
тонких упругих плит на упругом основании. Госстрой изд ат. 1959.
В. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на
упругом основании. Госстроймэдат. 1953.
9. Жемочкпн Б. Н. и Синицын А. П. Практиче-
ские методы расчета фундаментных балок н плит на упругом
основании без гипотезы Винклера. Госстройиздат, 1962.
10- К а л м а н о к А. С. Строительная мехам ина пластин.
Машстройнздат. 1950.
II. К к т о в е р К. А. Изгиб тонких прямоугольных пластин.
В сб.: «Расчет пространственных конструкций», вып. 2. Гос-
строАнздат. 1950.
12. К н т о в е р К. А. Круглые тонкие плиты. Госегройнз-
дат. 1953.
13. К и т о в е р К- А. Применение степенных полиномов к
решению задач об изгибе ортотропных плит. В сб.: «Расчет про-
странственных конструкций», вып. V, Госстройвздат, 1959.
М. Кнтовер К. А. Об упругом равновесия тонких беско-
нечных пластин из ортотропного материала. «Инженерный сбор-
ник» АН СССР, т. XXX, I960.
16. К о р е н е в Б. Г. Некоторые задачи теории упругости
и теплопроводности, решаемые з бесселевых функциях. Физмат-
гиз. 1960.
16. Коренев Б. Г. и Черниговская Е. И. Расчет
плит на упругом основании. Госстройнздат. 1962.
17. Лехннцкнй С. Г. Анизотропные пластинки. Гос. изд.
техннко-теор. лит,. 1957.
18. М а л н с в А. С. Исследование изгиба ребристых плит.
ВЫП. 1. ВВМИСУ. 1939.
19. П а п к о в н ч П. Ф. Строительная механика корабля,
ч. II. Судпромгнз. 1941.
29. П а л к о в и ч П. Ф. Теория упругости. Обороягиз. 1939.
21. П р а т у се в и ч Я. А. Вариационные методы в строи-
тельной механике. Гостехиздат. 1948.
22. Смотров А. Решение плит, загруженных сплошной
нагрузкой по закону трапеции. ОНТИ. 1936.
23. Сладкопевцев А. А. К вопросу о расчете пластин
средней толщины. В сб.: «Нелинейные задачи строительных
конструкций». Под ред. И. С. Цуркова. МИСИ, 1970.
24. У ф л я н д Я. С. Биполярные координаты в теории уп-
ругости. ГТТИ, 1950.
25. У ф л я н д Я- С. Интегральные преобразования в зада-
чах теории упругости. «Наука», 1967.
26. Шехтер О. Я- нВинокурова А. В. Расчет плит
на упругом основании. Госстройнздат. 1936.
Z7. ШпмаисжнЙ Ю. А. Изгиб пластин. ОНТИ. 1936.
РАЗДЕЛ 14
ОБОЛОЧКИ
14.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОЛОЧЕК
И КАЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ИХ РАБОТЫ
14.1.1. Общие положения
Оболочка представляет собой тело, ограниченное дву-
мя криволинейными поверхностями, расстояние между
которыми, называемое толшниой оболочки (<), мало по
сравнению с другими размерами. Толшииа оболочки
может быть перемеииой величиной. Поверхность равно-
отстоящая от ограничивающих криволинейных поверх-
ностей. называется срединной поверхностью. В зависи-
мости от характера этой поверхности различают глад-
кие оболочки и складки. У гладкой оболочки (рис. 14.1)
срединная поверхность плавная, без выступов и перело-
мов. Складка составлена из отдельных пластинок, так
что ее срединная поверхность представляет собой по-
верность многогранника (рнс. 14.2). Кривизна срединной
поверхности гладких оболочек нли повсюду постоянна,
или плавно изменяется от точки к точке; у срединной
поверхности складок она сосредоточена в местах сопря-
жения граней; во всех остальных точках она равна
нулю.
Встречаются оболочки смешанного типа, состоящие из
частей гладких оболочек, соединенных между собой под
некоторыми углами (рис. 14.3), а также комбинации из
гладких оболочек и складок.
В зависимости от знака гауссовой кривизны различа-
ют три класса оболочек:
1) оболочки положительной гауссовой кривизны
(сферическая, эллиптическая и т. п.) (рис. 14.1,а);
2) оболочки нулевой кривизны (цилиндрические и ко-
нические) (рис. 14.1, б и л);
3) оболочки отрицательной гауссовой кривизны (на-
пример, в форме гиперболического параболоида и т. п.)
(рис. 14.1, г).
Часто встречаются оболочки смешанной кривизны,
у которой гауссова кривизна имеет различные знаки на
различных участках, например горообразная оболочка
и др. (рнс. 14.4).
Оболочки, срединная поверхность которых представ-
ляет собой поверхность вращения, т. е. поверхность, об-
разованную вращением плоской кривой около непо-
движной прямой (оси вращения), называются оболоч-
ками вращения.
Оболочки, срединная поверхность которых образова-
на поступательным перемещением плоской кривой по
некоторой другой плоской кривой (плоскости обеих кри-
вых перпендикулярны), называются оболочкой перено-
са или трансверсальной оболочкой.
В зависимости от соотношения между толщиной обо-
лочки t и ее генеральными размерами в плане L раз-
личают:
толстые оболочки
О (у у) 1-мин;
тонкие (тонкостенные) 1/200 1/8Z.H„ и очень
тонкие ><1/200 Un.
Рис. 14.1
Рис. 14.2
Конструктивно оболочки могут быть оформлены как
сплошные, сетчатые или ребристые.
Рис. 14,3
В зависимости от при-
меняемых материалов
различают анизотропные
и изотропные оболочки.
К анизотропным оболоч-
кам относятся многослой-
ные (например, двух- и
трохслойиые оболочки),
слои которых могут со-
стоять как из изотроп-
ных, так и из анизотроп-
ных материалов (напри-
мер. стеклопластиков).
Если оболочка сделана
из изотропного материала, но по разным направлениям
конструктивно оформлена различно, то говорят о ее
конструктивной анизотропии.
14.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОБОЛОЧЕК И КАЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИХ РАБОТЫ
81
Края оболочки могут быть свободными, шарнирно
опертыми (подвижными или неподвижными) либо за-
щемленными как по всему контуру, так и по части кон-
тура или же в отдельных точках, а также могут иметь
упругие опоры в виде гибких диафрагм нли балок.
'Участок ну кг Вой крибщяы
: восток отрицательной криВизю
-Участи положительной краВизы
Рнс. 14.4
14.1.2. Тонкостенные оболочки
Тонкостенные оболочки, применяемые в покрытиях
и перекрытиях, разделяются иа: 1) купола; 2) своды,
своды-оболочкн. волнистые своды; 3) пологие оболочки;
4) призматические складки и шатры; 5) висячие обо-
лочки.
Куполами перекрывают помещения, круглые в плане
илн имеющие форму правильного многоугольника. Оми
бывают: гладкие, ребристые н
многоугольные.
Д Гладкие купола имеют фор-
— му оболочки вращения.
j Ребристые купола в своей
J основе имеют решетку, состав-
т- b ~леииую из ребер, направленных
по параллелям и меридианам.
Рис. 14.5 Многоугольные купола состав-
лены из пересекающихся частей
оболочек вращения (рис. 14.3,6).
Сводами называются оболочки, очерченные по цилинд-
рической поверхности. Они применяются в качестве по-
крытий помещений, прямоугольных в плане. Края сво-
дов (параллельные образующей) могут опираться иа
сплошные непрерывные опоры. В этом случае размера-
ми, характеризующими свод, будут: пролет I (расстоя-
ние между опорами) и подъем свода /о- Отношение fc/l
для сводов не меньше 1/6. Своды, опирающиеся на
жесткие поперечные диафрагмы и иа продольные бор-
товые элементы, называются сводами-оболочками (рнс.
14.5). Они характеризуются тремя размерами: расстоя-
нием It между поперечными диафрагмами (пролет обо-
лочки), расстоянием между бортовыми элементами 1>
(длина волны) и подъемом fo.
Если /|//з>1, то свод-оболочка называется длинной
(практически это отношение достигает 3—4). Подъем fo
принимается не меньше '/юА и не меньше ’/«А. Длин-
ные своды-оболочкн бывают однопролетные (опираю-
щиеся на две диафрагмы), многопролетиые (опирающие-
ся иа ряд диафрагм), одноволиовые и многоволио-
вые (состоящие нз нескольких параллельных оболочек,
связанных общими бортовыми элементами).
При свод-оболочка называется коротиой;
подъем короткой оболочки /о > ~ I»-
Волнистыми сводвмн называются своды, имеющие в
продольном разрезе волнистое очертание (рнс. 14.6).
Форма поперечного сечения волнистого свода может
быть криволинейной нли складчатой — треугольной или
трапециевидной.
Пологие оболочки (см. рис. 14.25) имеют небольшой
подъем (/o^'/Umrb). Близкими к пологим оболочкам
по характеру работы и применению являются слегка
ненарушенные плнты и ступеичато-вспарушснные пане-
ли. у которых верхняя поверхность делается плоской,
а нижняя представляет собой криволинейную нли сту-
пенчатую поверхность.
Призматические складки (см. рис. 14.2.6) и шатры
(см. рис. 14.2.0) применяются для тех же целей, что
и своды-оболочкн нли пологие оболочки. Шатры имеют
форму усеченной пирамиды; более подробно они описа-
ны в [37]. Описание складок см. [37, 42, 59].
Рис. 14.6
Висячие оболочки применяются в покрытиях больших
пролетов, они создаются иа основе пространственных
сеток нз вант (см. раздел II).
14.1.3. Общая характеристика работы
оболочек
В оболочке в отличне от плиты, кроме изгибающих
и крутящих моментов и поперечных сил, возникают про-
дольные (осевые) и сдвигающие силы. При определен-
ных условиях величина первой группы сил, связанных
с работой оболочки иа изгиб, относительно мала, по-
этому оболочка работает в основном на продольные си-
лы (сжатие илн растяжение), а не на изгиб и кручение.
Это определяет эффективность конструкции типа обо-
лочек, поскольку материал используется более выгодно,
чем в плитах или балках.
Вследствие кривизны оболочки проекции продольных
н сдвигающих сил иа нормаль к поверхности оболочки
создают подобие «упругого» (фиктивного) основания
под оболочкой. Можно сказать, что оболочка работает
как плита, под которую подведено упругое основание.
Этим объясняется увеличение прочности и жесткости
оболочки по сравнению с плитой. Большое влияние иа
работу оболочки оказывают условия ее опирания.
14.1.4. Характеристика теорий расчета
оболочек
В основу различных технических теорий оболочек по-
ложена гипотеза Кирхгофа—Лява: прямолинейные во-
локна оболочки, перпендикулярные к ее срединной по-
верхности до деформации, остаются после деформации
прямолинейными и перпендикулярными к срединной по-
верхности и не изменяют своей длины.
Исходя из этого, построены две группы теорий рас-
чета оболочек: линейные и нелинейные.
Линейные теории описывают напряженно-деформиро-
ванное состояние оболочек, выполненных из материала,
подчиняющегося закону Гука. Кроме того, предполага-
ется. что перемещения оболочки, возникающие прн ее
деформации, малы и не могут вызвать существенного
82
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
перераспределения усилий. Линейные теории относи-
тельно просты, ио имеют сравнительно узкую область
прнмеиеиня, ограниченную предпосылками, на которых
они основаны.
Исчерпывающие представления о работе оболочки на
всех этапах нагружения можно получить с помощью
нелинейных теорий. Различают три вида нелинейности:
физическую — обусловленную нелинейной связью между
тензорами напряжений и деформаций (материал не под-
чиняется закону Гука), геометрическую — определяемую
нелинейной связью между деформациями и пеоемс не-
ниями и конструктивную, связанную с возможными из-
менениями расчетной схемы оболочки в процессе нагру-
жения.
Прн определенной величине напряжений почти все
строительные материалы перестают следовать закону
Гука, так что диаграмма, определяющая зависимость
между напряжениями н деформациями, становится не-
линейной. Кроме того, возникают пластические дефор-
мации. В тех случаях, когда требуется изучить напря-
женно-деформированные состояния оболочки при на-
пряжениях, превосходящих предел пропорциональности
(например, в тех случаях, когда изучается работа обо-
лочки при нагрузках, близких к разрушающим), необ-
ходимо учитывать физическую нелинейность. Наиболее
просто учитывает физическую нелинейность теория пре-
дельного равновесия, основанная иа понятии жестко-
пластического материала.
Если перемещения, возникающие в оболочке (напри-
мер, прогибы), настолько велики, что могут вызвать
существенное перераспределение усилий, то необходимо
учитывать геометрическую нелинейность. Такне случаи
встречаются, например, при работе тонких, очень поло-
гих оболочек.
Нелинейные теории значительно сложнее линейных, и
расчеты по ним весьма трудоемки. Поэтому важно
в каждом конкретном случае решать вопрос о выборе
теории. Можно руководствоваться следующим крите-
рием.
I. Подсчитывается вся нагрузка q, действующая иа
оболочку вместе с коэффициентами перегрузки, и опре-
деляется характерное перемещение (например, про-
гиб) по линейной теории.
2. Это значение прогиба подставляется в формулу,
устанавливающую связь между нагрузкой и прогибом
по нелинейной теории, и определяется величина q,, со-
ответствующая прогибу (л.
3. Если разница между q„ и q будет больше необхо-
димой точности расчета, например 5%, то расчет обо-
лочки необходимо производить по нелинейной теории.
Иногда в процессе нагружения могут изменяться гра-
ничные условия, исчезать некоторые связи или появ-
ляться новые. В этих случаях оболочка ведет себя как
конструктивно-нелинейная система.
В силу некоторых, упомянутых ниже, особенностей
оболочки изгибающие и крутящие моменты могут быть
настолько малы, что их можно отбросить без особого
ущерба для точности расчета. В соответствии с этим
все теории оболочек (как линейные, так и нелинейные)
можно разделить иа моментные и безмоментиые. Безмо-
ментные теории значительно проще моментных, поэтому
практически важно знать условия их применимости.
14.1.5. Условия применимости безмоментиых
теорий [29]
Эти условия зависят от ряда факторов, влияющих
иа работу оболочки:
I) гауссовой кривизны;
2) наличия иа поверхности оболочки линий искаже-
ния напряженного состояния, т. е. линий, вдоль которых
могут произойти возмущения напряженного состояния.
Это те места, где геометрические или физические свой-
ства оболочки (или характер нагрузки) изменяются
скачком: а) края оболочки; б) линии, вдоль которых
нагрузка (или ее производные) или геометрические па-
раметры оболочки (кривизна или толщина) изменяются
скачком. Вблизи этих мест возникают дополнительные
напряжения, вызываемые краевым эффектом (см. 14.3.6).
Для характеристики работы оболочки большое зна-
чение имеет показатель изменяемости нагрузки, опреде-
ляемый следующим образом. Назовем коэффициентом
изменения нагрузки (или вообще какой-либо функции)
число у, равное отношению среднего значения производ-
ной функции к среднему значению самой функции (на
некотором интервале). Например, для равномерно рас-
пределенной нагрузки у=0; для треугольной нагрузки
р р
(рнс. 14.7) у = —: — = 2; для сосредоточенной силы
у=«>. Показателем изменяемости нагрузки назовем
число S, связанное с у соотношением
где t — толщина оболочки; R—некоторый характерный
радиус кривизны поверхности оболочки.
Из этой формулы получим
с |пУ
. 2R
1п---
Для равномерно распределенной нагрузки показатель
изменяемости равен — со, для сосредоточенной силы
По безмоментиой теории могут быть рассчитаны обо-
лочки. удовлетворяющие следующим условиям.
1. Линии искажения напря-
женного состояния должны
быть расположены на поверх-
ности оболочки достаточно ред-
ко — так, чтобы зоны затухания
возмущений напряженного со-
стояния, возникающие около
этих линий, не покрывали цели-
ком срединную поверхность
оболочки. Например, оболочки,
расположенными ребрами, не мо-
1’1
Рис. 14.7
подкрепленные часто [
гут быть рассчитаны по безмоментиой теории.
2. Нормальная кривизна срединной поверхности обо-
лочки на любой линии искажения ие должна обращать-
ся в нуль ни в одной точке. Например, цилиндрическая
оболочка с краями, расположенными вдоль образующей,
или та же оболочка, имеющая отверстие, или замкнутая
цилиндрическая оболочка с ребрами, расположенными
вдоль образующих, не могут быть рассчитаны по безмо-
ментиой теории.
3. Показатель изменяемости внешних поверхностных
н краевых нагрузок не должен быть слишком большим.
Для поверхностной нагрузки по всем направлениям
должно быть SC1/:. Для краевой нагрузки Sc'/s (для
оболочек положительной и отрицательной кривизны) и
S^'/t (для оболочек нулевой кривизны). На сосредото-
ченную нагрузку, показатель изменяемости которой ра-
вен +°с. оболочки не могут рассчитываться по безмо-
ментиой теории.
4. Срединная поверхность ие должна обладать неко-
торыми особыми свойствами. Например: а) коническая
Н.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
83
оболочка ие должна содержать вершину конуса;
б) срединная поверхность оболочки не должна касаться
плоскости по замкнутой кривой, как в торообразной
оболочке (см. рис. 14.20).
5. Срединная поверхность оболочки ие должна дефор-
мироваться без растяжений (сжатий) и сдвигов. Иными
словами, по безмоментной теории можно рассчитывать
только такие оболочки, в которых изгиб н кручение воз-
можны лишь при растяжении (сжатии) нлн сдвиге эле-
ментов срединной поверхности.
Указанные пять условий применимости безмомеитной
теории являются достаточными, ио ие необходимыми.
Иногда можно рассчитывать оболочки по безмомеитной
теории и при нарушении одного или нескольких из этих
условий.
Например, призматическая складка (см. рнс. 14.2),
пластинки которой соединены шариирами. нагруженная
в местах шарниров сосредоточенной нагрузкой, может
быть рассчитана по безмомеитной теории, хотя при этом
нарушаются второе и третье условия. Оболочку поло-
жительной гауссовой кривизны, нагруженную сосредо-
точенной силой, можно рассчитывать по безмомеитиой
теории, так как возмущения, вызванные сосредоточен-
ной силой, быстро затухают.
Концентрации напряжений, вызванные возмущениями
напряженного состояния около линий искажения, могут
не приниматься в расчет, если пластические деформации
и изменение формы оболочки ие приводят к снижению
ее несущей способности; в оболочках, выполненных из
хрупкого материала, учет концентрации напряжений не-
обходим.
Поэтому вопрос о применимости той или иной теории
должен решаться в каждом отдельном случае. Для обо-
лочек положительной кривизны второе и четвертое ус-
ловия всегда выполняются.
14.1.6. Основные постановки задач
теории оболочек [48]
Имеется несколько постановок задач расчета оболо-
чек. Для полного описании напряженно-деформирован-
ного состояния оболочки необходимы четыре фуикции:
1) функция Ft, описывающая срединную поверхность
при начальном нагружении q9 (эта функция описывает
заданную поверхность оболочки);
2) функция F, описывающая срединную поверхность
при расчетном загружении q. Эта функция выражается
через перемещения оболочки и, следовательно, зная ее,
легко вычислить деформации и иапряжеиня;
3) функция q, описывающая нагрузки (нлн другие
факторы, например, температуру), переводящие оболоч-
ку из состояния, выраженного функцией Ft, в напря-
женно-деформированное состояние, выраженное функ-
цией Г;
4) функция |, устанавливающая связь между напря-
жениями н деформациями, т. е. функция, описывающая
свойства материала.
В зависимости от того, какими функциями задаются
н какие разыскиваются, различают следующие постанов-
ки задач расчета оболочек.
1. Заданы начальная поверхность оболочки (функция
Fo). нагрузка q н материал (функция f). Требуется оп-
ределить иапряженио-дефорынроваииое состояние обо-
лочки (функцию F).
Это так называемая прямая постановка задачи. Ее ре-
шение получается путем интегрирования сложной си-
стемы дифференциальных уравнений, выполняемого при-
ближенными методами. Большинство решенных задач
относится к прямой постановке.
2. Заданы начальная поверхность (Fo). напряженно-
деформированное состояние, выраженное функцией F,
и материал (фуннцня f). Требуется определить нагруз-
ку Я-
Это обратная постановка задачи. Ее решение не тре-
бует интегрирования уравнений н сводится к дифферен-
цированию известных функций. Эта постановка позволя-
ет получить точные решения. К обратной постановке
прибегают в тех случаях, когда решение задачи в пря-
мой постановке становится очеиь громоздким. В лите-
ратуре описано сравнительно мало задач, решенных
в такой постановке.
3. Заданы нагрузка q, иапряжеиио-деформироваиное
состояние оболочки (F) и материал (f). Требуется оп-
ределить начальную форму оболочки. Решение этой за-
дачи позволяет получить наиболее экономичные формы
оболочек. Задачи в такой постановке почти ие решались.
4. Возможна четвертая, малоисследованная постанов-
ка: заданы начальная (Fo) и деформированная форма
оболочки F, а также нагрузка q. Требуется подобрать
материал, т. е. определить функцию /. Эта постановка
может иайти примеиеине при расчете многослойных обо-
лочек.
142. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ
ОБОЛОЧКИ
14.2.1. Основные условные обозначения
Геометряческне параметры (рис. 14.8)
R — радиус срединной поверхности стенки
или обшивки оболочки;
I — длина оболочки;
ai=l/R — относительная длина оболочки;
х—расстояние вдоль образующей от неко-
торого начального поперечного сечения
до какой-либо произвольной точки на
срединной поверхности;
a=xlR — относительная величина х;
з — расстояние по дуге окружности средин-
ной поверхности от некоторой начальной
до какой-либо произвольной точки на
той же поверхности;
₽=з,7? — относительная величина s (центральный
угол);
аг — расстояние между кольцами жесткости;
os — расстояние между продольными ребрами
жесткости;
1 — момент ииерции всего поперечного сече-
ния оболочки (пустотелой балки) отно-
сительно нейтральной осн;
S — статический момент части поперечного
сечения относительно той же оси;
Ft — площадь поперечного сечения продоль-
ного ребра с примыкающей к нему
частью обшивки;
/, — момент ниерпин сечения s=const коль-
ца жесткости с примыкающей к нему
частью обшивки;
/, — погониый момент ииерции продольного
сечения s=const;
1г — момент ииерции поперечного сечения
х=const продольного ребра жесткости
с примыкающей частью обшивки;
/д —момент инерции сечения s=const конце-
84
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
вого кольца жесткост относительно оси,
параллельной образующей оболочки;
!г — погонный момент инерции сечення х=
=const;
— приведенная толщина оболочки в по-
перечном сеченнн х=const;
|1д=7х//?—относительная величина G;
//|2/"’
= у —— — приведенная толщина оболочки в
продольном сечеини s=const;
R — относительная величина <;
t — толщина гладкой стенкн безреберной
оболочки;
p=t.R— то же, относительная величина Г;
Нагрузка
р — величина вектора внешней удельной на-
грузки (на единицу поверхности или на
погонную единицу);
р Pv. Pt— проекции вектора внешней нагрузки на
ось х, иа нормаль и на касательную к
контуру поперечного сечения срединной
поверхности оболочки.
Напряжения и усилия (рнс. 14.9)
ол, >VX, Qx, Мх— нормальные напряжения, нормальные
(продольные) силы, поперечные силы
и изгибающие моменты, действующие
в поперечном сечении (*=const) обо-
лочки:
Oj, .Vs, Qs, Ms — нормальные напряжения, нормальные
(продольные) силы; поперечные силы
и изгибающие моменты, действующие
в продольном сечении (s=const) обо-
лочки;
^„=.4/^ — сдвигающие силы:
т — касательные напряжения;
М, Q, Мк — изгибающий момент, поперечная сила
н крутящий момент в пустотелой
балке.
Перемещения и деформации
w, и, V— перемещения точек срединной поверхности
оболочки в радиальном, продольном и тан-
генциальном направлениях;
фх—угол поворота образующей оболочки;
Xr. Xs — деформация изгиба в продольном и попереч-
ном направлениях;
Xxs — относительная деформация кручения;
Е — модуль упругости;
G — модуль сдвига;
v — коэффициент Пуассона *;
ел. е5— относительное удлинение в продольном и
кольцевом направлениях;
е„ — относительный сдвиг.
14.2.2. Общие дифференциальные
зависимости теории
цилиндрических оболочек
Основные зависимости теории тонких цилиндрических
оболочек, выведенные исходя из допущений двухосного
напряженного состояния н сохранения прямых норма-
лей, в общем случае имеют следующий вид.
Дифференциальные уравнения равновесия:
dN, dNa
д4\ d(Vx,
^ + ^ + ^ + ^4=°;
* dot dp
дМ„ дМ, „
да д₽ Vs
op оа
Уравнения неразрывности деформаций:
-^£.-^2=0-
да др
dfc-dXx,-де, дет, __
др да Лдр+ «да ’
Ъ д / 1 двх, де, \
R Л*да\ 2 ’ др да/ +
д / де, _ I де„ t _
+ Я’др др 2 ‘ да )
(14-1)
(14.2)
1
Связь между усилиями и деформациями:
Et
Et
N = —г -
” 2(1+ v) №
1 Коэффициент Пуассона обозначается обычно через И; здесь
он обозначен через v . так как через Ц обозначена относитель-
ная толщина оболочки.
Н.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
85
М- = ~ 12(l-v=) (Хх + ^,:
ЕР
М‘=~ 12(1 -v=) ,Xs + VZ'):
ЕР
12(1+v) z*v
<14.3)
Связь между деформациями и перемещениями:
dfhe
I [ ди dv \ 1
е“ = "я”\ар + да Г *Х = Я»
I д I ди> \
я= ‘ар ( зр +и):
I д / дш \
*п~ R2 ’ да (. йр + 7’
14.2.3. Оболочка под действием
осесимметричной нагрузки.
Безмоментиая теория
Т а б л и ц о 14.1
Усилия в оболочке я ее перемещения прн осесимметричной
нагрузке (по безмоментной теории)
Вид нагрузки
Расчетные формулы
(14.4)
Безмомеитиая (мембраииая) теория приложима
к расчету цилиндрических оболочек при выполнении об-
щих условий, указанных в 14.1.5. Следует лишь отме-
тить, что при осесимметричной нагрузке в безмомент-
иой цилиндрической оболочке отсутствуют не только
изгибающие и крутящие моменты и поперечные силы,
ио и сдвигающие силы.
Дифференциальные зависимости:
а) уравнение равновесия
dN,
~~T + RP,= 0; N + Rpv = 0. (14.5)
act °
б) перемещения
p
tu = AR = (E-s — Ntv\.
dw 1 dw
= ~d7 = ~R ' ~da
(14.6)
Усилия в оболочке н ее перемещения при различных
нагрузках даны в табл. 14.1.
14.2.4. Оболочка под действием
осесимметричной нагрузки.
Моментная теория
Исходят из гипотез общей теории оболочек. Прн осе-
симметричной нагрузке отсутствуют крутящие моменты,
сдвигающие силы и поперечные силы в продольных се-
чениях.
Моментная теория применяется для определения уси-
лий краевого эффекта к для расчета коротких оболо-
чек, когда длина оболочки не превышает длины участка
действия краевого эффекта.
1. Собственный вес я в кГ1см* н
равномерно распределенная по
периметру нагрузка gt в кГ{см
NI = - g* - «(,: A’s = °;
и — -j-j- (gRx + gJU;
4,
л Et
2. Равномерное внутреннее дав-
ление pv в кПсм*
A’
X 2 s
3. Гидростатическое давление
жидкости с удельным весом V в
кг/см1
Nx - 0; Ns «= yxR;
VxR* yfV
------ 5 Ф Г ------
Et x Et
4. Давление грунта с объемным
весом у в де/см* н пригрузка.'
Рв в кГ/сяР
Коэффициент трения грунта
по стенке принят равным
нулю
5. Равномерное нагревание обо-
лочки на 1°
nx -0:
Nx = Ns= О;
о» = a.f t° R: <рж «= о
86
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Дифференциальные уравнения равновесия:
где
dN, dQ,
-^ + RpI=O-,^ + N +Rpv = 0;
aa aa
dMx
— -R<?x=0.
da
Связь между усилиями и деформациями:
Et Et
Л* = Т~й<е< + ^): ^=пгйх
X (е, + ve,);
ЕР
Мх --------------Ух’>
12(1—V») Ах’
ЕР
Л,’ = -Л^^
Связь между деформациями и перемещениями:
dm 1 du
=----. е» = — • —;
Rda R da
co
e‘=-T:
1 <Fw l d*co
R*" da* ’ ** = FP ’ d₽*” ‘
Выражения усилий через перемещение w:
л'ж=с - J Ns =-- (V- w 7) 7T7
„ EP d*a>
—---------------- ---;
12(1 —v*) dx*
Ms = vMx;
EP <pw
Oi = —-------------•-----.
12(1—v*) dx*
Основное дифференциальное уравнение:
1 d* Г EP
R* ‘ da* |_ 12(1—v*)
(14.7)
(U.8)
(14.10)
£r ,VX
+F“'==/’v+v У’ (l4,l)
При Г=const уравнение (14.11) принимает пнд
d*u> » R* ( K,\
^+^ = 7^+7)
(14-12)
d‘w 1 /
— +4^=-(pw+v-J.
(14.13)
U =----------;
12(1—V3)
//3(1—v3) R*~ « /3(1-v»)
1,1 у P ‘ П - у Rtp
Уравнения (14.12) или (14.13) того же вида, что н
уравнение балки на упругом основании. Общее решение
уравнения (14.13):
to = епх (Сх cos тух + С, sin туе) + е~ v (Cg cos тух •)-
+ G sin th) + /(х). (14.14)
Здесь
Дх) — частное решение уравнения, зависящее
от поверхностной нагрузки;
Ст, Cg, С), Ct— произвольные постоянные, определяемые
по граничным условиям (табл. 14.2).
(149)
Т а Олни а 14.2
Хараатеристяаа граничных условий
Край оболочки защемлен Фк 0; в> 0
Край оболочки свободен Qx—0; М*—0
Край оболочки шарннрно заи- ре плен
Если выражение для перемещений а решением урав-
нения (14.13) получено, то все усилия и деформации
могут быть определены по формулам (14.10), (14.9) и
(14.8).
В табл. 14.3 приведены усилия и перемещения при
различных нагрузках.
14.2.5. Сопряжение оболочек.
Осесимметричная нагрузка
В местах сопряжения двух оболочек вращения раз-
личной формы (цилиндрической, конической, сфериче-
ской и т. п.), в местах перелома меридиана нлн скачко-
образного изменения его радиуса кривизны или ступен-
чатого изменения толщины оболочки, а также в местах
подкрепления кольцами к усилиям, определяемым по
безмомеитной теории, добавляются усилия и моменты,
вызванные изгибом (см. также 14.3.8).
Расчет сопряжения ведется обычными методами строи-
тельной механики: а) методом сил с использованием ус-
ловия совместности деформаций сопрягаемых элементов;
б) методом перемещений с использованием условия рав-
новесия усилий, действующих на сопряжение: в) смешан-
ным методом. Рациональная основная снс-еча. допуска-
ющая расчет па действие нагрузки по безмомеитной
теории, может быть образована в простейшем случае
(рнс. 14.10, о) методом сил. в более сложных — смешан-
ным методом (рис. 14.10.6, в).
В общем случае (рнс. 14.10. в) на липни сопряжения
оболочек или на осевой линии кольца в каждой точке
накладываются две связи — радиальная и протнаовра-
щательная, реакции которых обозначены R, (сила) и Rj
(пара); соответствующие перемещения Z\ (радиальное)
М.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
87
Усилия в обо л оч к* и ее перемещения при осесимметричной нагрузке (по моментной теории) П « |/
(входящие в rw«v 1- •'•vhkuhh IF. V. U, T приводятся в 6.5.6)
Вид нагрузки
Таблица 14.3
О_____
12 (1 — V1)
Расчетные формулы
1 . Равномерно распределенная по
кругу нагрузка pv в кГ/см
и» —----------О7 (пх); при г ° С ш —
etfo "iKC
«, “ vMx: Qx ------Y T (v>-
6n*r>
₽v
« “----------и (ТИ):
41)
Формулы справедливы при I i> —
П
2. Равномерно распределенные по
контуру радиальная нагрузка Q, в
кГ/см н момент М, в кГ • см/см
я = —!— 1чМД/ (V) + Q.T (ipr)J:
2lfD
мжlnM.tr (nx) + Q.V(nx)I: Qx - - ЩМ, V (nx) + Qo V (ПИ
Формулы справедливы прн I > —
П
3. Цилиндр с защемленными кра-
ями под равномерным внутренним
давлением pv в кг/см1
р р
1>3/Й: М^— ; Q.»-—.
Si)1 п
Прогибы и усилия в любом промежуточном сечении оболочки на расстоянии х определяют-
ся как сумма случая 2 в гой таблицы и случая 2 табл. 14.1.
Если давление иа торцы не передается стенкам, то в табл. 14.1 надо принять v « О
4. Цилиндр со свободно опер-
тыми краями под равномерным
внутренним давлением pv в кг/см*
М.-О; Q.--------—.
Й)
Прогиб и усилие в любом промежуточном сечении оболочки на расстоянии х определяются
как сумма случая 2 этой таблицы и случая 2 табл. 14.1.
Если давление на торцы не передается стенкам, то в табл. 14.1 надо принять v — О
6. Цилиндр, подкрепленный
кольцами шириной с и поперечным
сечением F*. под равномерным внут-
ренним давлением ру в кГ/см1
При х = 0 (сечение у края кольца)
М. -О.ЭМру RI-----£--С , ; Q. -o,78pv----------!!--— - ;
0 V Fk+I.S6«VJF ’ Vrm FK+l.S6(l^i
_ —
iHhIIIIHIIIhH
а,
ШИННИИШц!
t- a,
Усилие в кольце
. 2
п 4
N — ру R ------------ Формулы справедливы При а > —
I I 11 4
''к1'
88
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Продолжение табл. 14.3
Вид нагрузим
Расчетные формулы
6. Цялнидр с плоский днищем
под равномерным внутренним дав-
лением pv в кГ/см1
<Од (1 + Vl Е,ц (• - f) [Е|д +г*°а ^ < - Ч
1 гЧ°о ^Е(д
“ Вд<1 + »> ИЯ + 20И,£К(1-*)
_ ы Г. , гЧрп1
О “ " [ ’’о + сд (I + V) J 4ОЯ (I + V)
После вычисления М« н <?« перемещения и усилия в цнлинаре определяются суммированием
величии для случая 2 этой таблицы и случая 2 табл. 14.1. В днище напряжения определяются,
как в пластинке с нагрузкой ov . Мф я Qq. Формулы справедливы прн длине цилиндра / >
> зУй7
7. Цилиндр со сферическим днищем
под внутренним давлением pv в
яГ/саР
м PV |* (2-*)-(1-*))(!-**)
4i)’ (I-*’)--2 (I +V**’)(| +V*T)
В цилиндре перемещения я усилия определяются по вычисленным М» и <?» суммированием
величин для случая 2 этой таблицы я случая 2 табл. 14.1. В сферическом днище перемещения я
усилия определяются, как в сферической оболочке, с нагрузкой Ру/, и Qq. Формулы спра-
ведливы прн I > 3 VRt
в. Резервуар с защемленными
стенками под гидростатическим дав-
лением жидкости, удельным весом
у в кг/см*
мх~, vR,H |-У(пх)+ (| —Mrtijx) 1;
г 12(1- V) I \ пн f J
(л 1 \ vRtH
I-----1 . =-
nW J V12 (I -V’)
Формулы справедливы при Н > 3 /^7
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
89
и Z, (угловое) образуют первую
группу основных неизвестных.
Между примыкающими к кольцу
оболочками и кольцом (с нало-
женными на него связями) в ос-
новной системе сохраняются толь-
ко свяэн-стержин меридионально-
го направления. Дополнительные
к безмомеитиому состоянию сило-
вые взаимодействия оболочек с
кольцом и иаложеиными связями
(радиальные усилия Х|. X,, пары
Xs. Х<) образуют вторую группу
основных неизвестных.
Матрица уравнений смешанного
метода для случая, когда сопря-
жение оболочек усилено кольцом
массивного профиля высотой 2с,
имеет вид
Урав- нения 2, Z. А, х. х. х, Свободные члены
1 груши- - 0 ги 0 —1 0 1 0 %
«9 -0 0 гп —с 1 -с 1 ".л
11 группа-. д,-« 1 с «1. 0 0 Л.р
V 1 ‘.1 «« и 0 Л.л
—1 с 0 и «33 «3. «Зр
-0 и —1 0 0 «43 «44 «4Р
Свободные члены Rlr, Rar— радиальная и моментная
реакции в наложенных связях —и ........ Д«р — ради-
альные и угловые перемещеиня контура оболочек — оп-
ределяются расчетом беэмоментиого состояния. Коэффи-
циенты Гц, га — радиальная и моментная реакции от
единичного растяжения и единичного закручивания коль-
ца— зависят от жесткости последнего; ......б«— ра-
диальные н угловые перемещения контура оболочки от
единичных радиальных усилий и единичных моментов —
зависят от очертания и толщины оболочки. В побочных
квадратах матрицы — элементарные выражения коэффи-
циентов смешанного метода, удовлетворяющие условию
Г|»=—б»|.
Прн решении системы уравнений целесообразно вы-
разить X....X,. используя уравнения II группы, и под-
ставить в уравнения I группы; это приводит и двум
уравнениям метода перемещений относительно Zt, Z3.
Если кольца нет, ио меридиан имеет излом (см. рис.
14.10, б), то гц=гя=0; С“0; /?з,=0; Х,“Х,-]-К|р:
Xj=-X4. Исключая Z,. Z,, Хь X,, получим систему двух
уравнений метода сил относительно Xs, Х4.
Если к тому же и меридиан не имеет излома (см.
рис. 14.10. о), то Я1Р=0; X,=XS (соответствующую си-
стему уравнений метода сил можно составить непосред-
ственно).
Формулы н графики для расчета сопряжений цилинд-
рических оболочек с оболочками других видов и с коль-
цами жесткости см. [45].
Рис. 14.10
14.2.6. Оболочка под действием нагрузки,
ие обладающей осевой симметрией
При действии нагрузки, не обладающей осевой симмет-
рией, оболочка рассчитывается на основе гипотез техни-
ческой (лолубезмоментпой) теории В. 3. Власова: в урав-
нениях упругости не учитываются крутящие и продоль-
ные изгибающие монеты, сдвиг, растяжение (сжатие)
Рис. 14.11
в кольцевом направлении. Ниже дается способ расчета
[36]. основанный на указанных гипотезах. Он распрост-
раняется на тонкостенные гладкие н ребристые оболочки;
последние приближенно заменяются ортотропными. Раз-
личная жесткость ортотропной оболочки в продольном
н кольцевом направлениях оценивается введением в рас-
чет различных приведенных толщин стенки. Расчетные
формулы, даваемые ниже, справедливы при следующих
соотношениях между длиной оболочки и ее толщиной:
«. = 5; а(=Ю:
а, = 2°;
При промежуточных значениях а* предельную относи-
тельную толщину ц можно определить интерполяцией.
В ребристых оболочках отношение должно быть
не более соответствующих значении ц2.
В дальнейшем рассматриваются нагрузки, симметрич-
ные относительно некоторого диаметра оболочки
(рнс. 14.11,0), что отвечает большинству практических
случаев *. За начальную точку для отсчета дуговой коор-
динаты ₽ принимается точка Oh лежащая на указанном
1 Расчет в случае несимметричной нагрузки см. (361. Где
в формуле (1-3) Л1к-Рел.
90
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Таблица 14.4
Кольцевые изгибающие номеиты. поперечные а нормальные силы, грузовые коэффициенты для некоторых нагрузок
Схема нагрузки Кольцевые усилия в первом состояния Грузовой коэффициент
Неравномерное радиальное давление, заданное тригонометрическим рядом Py-Pt+Pi cos₽ +Ра соз20 +•..
РюС; с—0 О. mJ-О; qJ-O;
q= pt sin б ₽v co50 sr Pi mJ — 0; qJ —0; wj-p, « cos P
p-0: $ —0 Pv — Prtcosnp прн n > 2 А РПЯ* M?— " cos ng: J n* — I П n”n K «?— -о^Т’|ПЯ₽- wj— j"./, cosnft ф" *-*
ж te 11Н ||
к м
14.2. ЗАМКНУТЫЕ КРУГОВЫЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ОБОЛОЧКИ
91
диаметре. За начало отсчета продольной координаты а
принимается поперечное сечение, совпадающее с одним
из краев оболочки нлн с плоскостью симметрии, общей
для оболочки н нагрузки.
Напряженное н деформированное состояние слагается
из: I) элементарного напряженного и деформированного
состояния пустотелой балкн, которая является в данном
случае основной системой, и 2) дополнительного напря-
женного и деформированного состояния, отражающего
статическую неопределимость оболочки н характеризую-
щего в сочетании с первым действительную работу обо-
лочки.
Усилия в пустотелой балке и ее перемещения (нх обоз-
начениям присвоен верхний нулевой индекс) определя-
ются элементарными методами сопротивления мате-
риалов.
1. Продольное нормальное и касательное напряже-
ния — как в обычной балке кольцевого сечення:
о? =-----— cos В кГ/см*-,
* nR»tx
О
т° = —— sin р кГ/см',
где М и Q — изгибающий момент и поперечная сила
в балке кольцевого сечения от данной на-
грузки.
2. Изгибающие моменты, нормальные и поперечные си-
лы в продольном сечении s=const н соответствующие
перемещения — как в кольце от заданной нагрузки,
уравновешиваемой (рис. 14.11,6) поверхностными каса-
тельными силами:
Р
9= — sin р кГ1сяР,
где Р — равнодействующая внешней нагрузки на обо*
лочку в дайной сечении в кПсм.
Выражения кольцевых моментов, нормальных и по*
перечных сил для нагрузок, задаваемых простыми анали-
тическими формулами, можно сразу найти в замкнутой
форме, подобной приведенной в табл. 14.4 для трубо-
провода, наполовину заполненного жндиостью. Аналогии*
ные выражения для некоторых других нагрузок имеются
и в (45]. Однако в ряде случаев нагрузку целесообраз-
но раскладывать в кольцевом направлении в тригоно-
метрический ряд, приведенный в табл. 14.4. При этом
все силовые факторы в продольных сечениях пустотелой
балкн (М,, Q°, //?) определяются тоже рядами, обра-
зующимися из разложения
Sj= Е (14.15)
П"О
после замены буквы 5 соответствующим искомому фак-
тору обозначением (М, Q, N). В частности, этот прием
удобно применять прк расчете вертикальных цилиндри-
ческих сооружений на ветровую нагрузку, распределение
которой в кольцевом направлении согласно СНиП,
задается численно,— аэродинамическими коэффициен-
тами с, определяющими давление на единицу поверхно-
сти оболочки.
Усилии и перемещения дополнительного состояния
(они обозначены буквами с чертой наверху) определя-
ются по следующим формулам:
°х = £ *’= Xi„:Als = EMM;
2 2 2
2 2
п п п
ш= ~v= Еёп; фх = Ефхя.
2 2 2
(14.16)
В этих формулах все величины под знаками суммы
выражаются через продольное напряжение и его про-
изводные *;
R „
-
M"=—^^o^cosn^
- „
Q“=- л («•-!) C"Sinn₽;
ЯЧХ
F/1„44‘-l)*a"C0SnP;
лчх .. . „
Р»=-£/,л>(П‘-1)‘а"5,,,П₽:
ЛЧХ
Я, «•(»«-!)* а“С“"₽-
(14.17)
Полные усилия и перемещения вычисляются по форму-
лам ::
ох = ох + ох; т = т° + т;
М, = .«; + «,; <?S = Q’ + QS;
/У,= Л“+Л\;
n> = /-cosp + n^ + ai;
и = /• sin 0 -|- + v;
Фх = <p’ cos 5 + ф® + фх .
(14.18)
Здесь f и фх — прогиб и угол поворота простой бал-
кн кольцевого сечения от заданной нагрузки.
Значения о,. и его производных определяются из диф-
ференциального уравнения, совпадающего по своей ма-
1 При кососимметричной нагрузке тригонометрические функ-
ции циклически заменяются; соз л 0 на aln п 0 . a sin л р на
cos л 0.
1 Прн нагрузке, постоянной вдоль образующей, ф°-0.
92
РАЗДЕЛ М. ОБОЛОЧКИ
тематической форме с уравнением балки на упругом
основании;
°1л +4^5ХП = еПфП- (,4Л9)
Здесь
» Г _ п;(лг— 1)
4«/А(ж ’ Ея “ лЛ’/х
Ф„ = [ M®cosn6dp.
Последнее выражение — грузовой член — связывает
напряжение с1п н его производные с внешней нагруз-
кой. Для некоторых видов нагрузки его значения даны
в табл. 14.4.
Уравнение (14.19) решается в начальных параметрах
точно так же. как уравнение для балкн иа упругом
основании. Искомая функция и ее производные выража-
ются через начальные параметры в общем случае сле-
дующим образом:
— — —*
ахл = ахл В "Ь ахл О +
Сх ~ Dx _ Сж
H-^notn _Т_ + фхпо£л—Г +«n<I,ne_r +
Фл Фл
+ Елфп О -З1 + -у [ фл (u) Dx-a
Vn J
0
<% = °™ОЛх + “’по£п-^- +
~ С. - Bx
+ 9хл о Lj о G*n о Dx + ел ° "Ь
Фл ♦"
+ Елфлоу- + -у Сфп(“)Сх-нЛ':
о
— - V Вх -
°хл ~ wn 0 ^л Ах + 1м 0 Si ^,я °хл о Х
X 4фя Сх ~ Охя Dx + ФП 0 Лх +
X
, Б. ея с .
+ е„ Ф„ о-- + — I Ф„ (и) В du;
" Фл Ф«^ п * “
°*'л=?хлоСлДх-°хлО-4*лВ<-
- 0-< Сх - о C„-4Ф„ D - е„V
Х4*л Dx + Еп ФЛ о Л + ел i фл (“) Ах-^и-
(14.20)
Здесь
/7< (л2 - 0s
Сл = —-------Г~,-; е,
пР7?
лг(п5 —1)
пЯ’Гх
Гиперболо-круговые функции, входящие в (14.20),
А, = ch ф„ х cos фп х;
В,= у (ch ф, х sin ф„ х + sh ф„ х cos фп х);
Сж = -|- shlMsiniM;
D, = 4" (ch фя xsin ф„ х—sh ф„ xcos ф„ х),
4
табулированы в 5.5.6.
В качестве начальных параметров в (14.20) входят,
кроме начальных значений искомой функции и ее произ-
водных, обобщенные деформации, которые связаны
с производными искомой функции и грузовым членом:
E/Sn‘ (л« — 1) Ф" +
"Л7
+ Е1хП*(п*- 1)» °1п'
R*tx ,
ф" Г/5л«(л! —1) °n +
яР7 'х -
+ £/sn‘(ns- I)1 °,п ’
(14.21)
Через начальные параметры выражаются и обобщен-
иые деформации:
Сл Шл — »л о Сл Ах + фхл о Сл . —
Фл
-°жп 0-4*л Сх - ®хл О-ЧФл Лх+ Елфл О»х+
, Вх
+ елфло^--елфлх +
+ -^J®n(u)«x-u',“;
t, ^хл ' ?хл 0 Сл Аж - ^хлО*4Фл Сх -
- "хл О-*# С, - Шп „ Сл -4ФЯ Dx-e, Ф„ 0 X
X 4фл В* + Еп о — еи Флж +
(14.22)
Входящие в (14.20) и (14.22) члены с интегралом
представляют собой частные решения дифференциаль-
ного уравнеиня и зависят от характера нагрузки. Не-
известные начальные параметры определяются из гра-
ничных условий согласно табл. 14.5.
Прн нагрузке, постоянной вдоль образующей оболочки.
Фп =0, и решение упрощается. В табл. 14.6 приведены
для этого случая готовые формулы для усилий и пере-
мещений дополнительного состояния в зависимости от
граничных условий.
3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
93
Таблица 14.5
Граннчные условия
Условия яа краях оболочка Нагрузка постоянна вдоль образующей Нагрузка постоянна или меняет- ся вдоль образующей (общий слу- чай)
1. Жесткая за- делка края V _ пМл’-1) . хп п О* —0 КП В р „«1
2. Свободный край о о —О хп хп QI 5 ' а 1 I с
3- Край связан с абсолютно же- стким кольцом 0 -0; с — ф хп хл пк* « I»' Io"
4. Край связан с упругим неза- груженным КОЛЬ- ЦОМ «и* с" ЯГ t; " +А-б' 'к "
5. Условия га краях симметрич- ны: распределен- ная нагрузка по- стоянна вдоль об- разующей: за на- чальное принима- ется среднее се- чение оболочки QI 1 <? Sel 1
Имея решения для оболочки с одним защемленным
краем, а другим свободным н для оболочки с одним за-
щемленным краем, а другим, связанным с абсолютно
жестким кольцом, можно получить все усилия в обо-
лочке, у которой один край защемлен, а другой под-
креплен упругим кольцом:
Syn-K = SCB + ($ж ^св) Луп-
Здесь 5уП.и — усилие в оболочке, имеющей упругое коль-
цо; Ski —усилие в оболочке с жестким кольцом; 5С,—
усилие в оболочке со свободным краем;
в- а’си
Луп — .
Щуп + ша
где Ц’св— перемещение свободного края оболочки;
Щуп — перемещение упругого кольца от сил взаимо-
действия оболочки и абсолютно жесткого
кольца (в обоих случаях — амплитудные зна-
чения перемещений).
Приближенное определение продольного изгибающего
момента. Продольные изгибающие моменты Mi в сече-
ниях, удаленных от краев, прн иеосесимметричной по-
перечной нагрузке невелики и практически могут ие учи-
тываться. Вблизи защемленных краев продольные из-
гибающие моменты могут определяться по формуле
Fv — TVT
М,=— —е (cosqx —sinijr), (14-23)
V 12(1— V»)
где
Pv — наибольшая интенсивность поперечной нагрузка
в месте защемления в кГ/см1.
При х=0
Mi
(см. случай 3 табл. 14.3).
Ру
21)»
14.2.7. Особые случаи нагрузок
и расчета оболочки
Расчет замкнутой тонкостенной цилиндрической обо-
лочки иа действие произвольной сосредоточенной нагруз-
ки, приложенной к шпангоуту, можно найти в [94]. Дей-
ствие сосредоточенных н локальных нагрузок непосред-
ственно на оболочку рассмотрено в [3.5, 6].
Оценку дополнительных напряжений в цилиндрической
оболочке вследствие начальных отклонений от правиль-
ной формы см. [96].
Расчет круговых цилиндрических оболочек с косым
срезом см. [56, 106].
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
14.3.1. Определенна и основные обозначения
Рассматриваются оболочки, срединная поверхность ко-
торых в цилиндрических координатах г, р, г (рис. 14.12)
задастся уравнением r=r(z). Линии пересечения этой
поверхности с вертикальными плоскостями P=const на-
зываются в дальнейшем меридианами или образующими
Рнс. 14.12
(поверхность рассматриваемых оболочек может быть об-
разована вращением такой линии вокруг оси а). Линии
пересечения поверхности оболочки с горизонтальными
плоскостями а=const называются параллелями или на-
правляющими.
Основное внимание уделено расчету оболочек враще-
ния по безмоментиой теории при наиболее распростра-
Таблица Мб
Дополнительные усилил и перемещения при симметричной поперечной нагрузке
охя = 2,205 —--1/"—ФЛК1 COS л Р; т„ = 0,638 \ f —Ф,Л, sin л₽;
V 14 pJ(lx V 14
Й1Л = — 0,318 Ф„К3 cos л₽; ---Э’Я‘9----7 Ф„ Кз cos п₽; 0,„ = — 0,318 ФлКа sin л₽; й„ =— — 3,919-.ФяКз sin л₽;
£И’Я(л*-|) R Ep2Rn[n2-l)
г, а 31Я л К- с^пЛ- л 5,804 п I/м» ®nK4cosn₽.
A'sn =— 0,318— ФЛКЭ cos n₽; <рхл = — • ---- I/ —
Формулы усилий и перемещений даны для симметричной поперечной нагрузки
\ Схема обо \ ломки Коэффици- \ снты К \ 1 lT
_JT _ — 1 — I— i ! Ж г -4* i -1
Одни край свободный, другой защемлен Одни край связан e жестким кольцом, другой защемлен Оба края защемлены Оба край связаны e жесткими кольцами
к. / Л£х -Ь 4DiDx Г 2GlCI-(El-2Al)B,-(Fi-eCl)DI 1 n / BiC,-DiAt k / Af^-CtA^ \ A2+4(tf )
4? 4-4/3, О, 2О( J , «4/В/ + 4CfDi
к, / AiBt + 4DtCr \ I A 2С,Ях-(£/-2Л()Лх- (Ft-BC^C, ] Л BtBx 4- 4D/DX \ л 7 AiB, + 4CtDlt \
L 2С, J 4/Я, 4- <0,D, , I Al + iCj )„
Кз /_AlA,+ iDtBx\ 2GtA, 4- 4 (Е, - 24/) Dx - (Ft - 8C() 3X 1. BtAt 4- 4O/Ox \ AfBt 4- ACiD/ , / AiAI + 4CtC, \
I Aj+iB'D, )„ 20/ \ Al + 40? )„
Кз / Л,РХ-Р,ЛС \ I <4?4-4В,О, )„ 2G/DX - (Et - 2At) Cx +4-(/г/ - 8C,) A, n f C/Dx —Р,Д< ). 4,DX —C/gx^ Al 4-40?
20, I Atei + 4CtDt
Прнмеча ни с. 2 ( + 4fi 6Х " 4 ~ *х ®л)' ^х “ ® + 4Dj); ^ж^х 11 ?х ~ твбулированы №!• <*ДС обозначены соответственно
(Oil Wj И Wp
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
95
ценной нагрузке — осесимметричной (симметричной в лю-
бом сечеинн Р=const). Из иеосеснмметричных нагрузок
рассмотрены односторонняя снеговая н ветровая. Более
подробные сведения о расчете оболочек вращения по без-
моментной теории на несимметричные нагрузки можно
найти в книге В. 3. Власова [16]; в частности, в ней
приводятся формулы и табли-
цы, позволяющие рассчитывать
сферические и эллиптические
оболочки под действием силы.
£!1L
приложенной в произвольной
точке, а также сферическую
оболочку, ограниченную двумя
перпендикулярными сторонами,
под действием собственного
веса.
Рассматриваются также
практические методы опреде-
ления дополнительных момент-
ных напряженных состояний.
Рис. 14.13 возникающих вблизи опорных
сечений оболочек (краевой эф-
фект) и. в частности, цикличе-
ских моментных состояний, возникающих, например, при
опирании одной или нескольких сопрягаемых оболочек
через кольцо иа ряд равноотстоящих по окружности
колонн.
Некоторые вопросы расчета оболочек вращения за пре-
делом упругости материала освещены в разделе 21.
В дальнейшем наряду с используемыми ранее обо-
значениями, применяются следующие (см. рнс. 14.12):
а — угол между нормалью к поверхности обо-
лочки и осью а;
ш — угол широты;
I— толщина оболочки;
Rt— радиус кривизны меридиана (образую-
щей);
— кривизна меридиана;
Rt— радиус кривизны нормального сечення
поверхности оболочки, перпендикулярно-
го меридиану в рассматриваемой точке;
й(=1/Яа—соответствующая Rt кривизна;
/•=RjSin а—радиус параллели;
р— величина вектора внешней удельной на-
грузки (иа единицу площади);
Р2> Pv> Р$— соответственно величина вертикальной,
нормальной и тангенциальной составляю-
щей вектора внешней нагрузки;
Qi — величина вертикальной составляющей
равнодействующей внешней нагрузии,
действующей иа часть оболочки, распо-
ложенную выше сечения z=const;
О) — меридиональное напряжение — напряже-
ние в нормальном сечении поверхности
<o=const;
Ni=Oit — меридиональное усилие;
о, — кольцевое напряжение — напряжение в
сечении f=const;
Nt=ctt — кольцевое усилие;
Nt,— сдвигающее усилие;
п — распор;
Q — поперечная сила;
М, — меридиональный момент, приходящийся
на единицу длины параллели;
Л4, — кольцевой момент — момент в сечении
р=const на единицу длины меридиана;
Mit — крутящий момент;
и, ш, wr — соответственно проекции вектора переме-
щения на касательную к меридиану (по-
ложительное направление вниз), нормаль
и поверхности оболочки (положительное
направление наружу) и радиус паралле-
ли г (рис. 14.13);
6 — угол поворота касательной и меридиану;
он положителен, если увеличивает угол а;
ei> ез — соответственно относительные удлинения
меридиана и параллели, определяемые
формулами
ДГ, — vN, N, - vA’,
Et ’ ~ Et
14.3.2. Усилия и перемещения в оболочках
по безмоментиой теории
при осесимметричной нагрузке [70]
Моменты Mi н М3 принимаются равными нулю; кро-
ме того, в силу осевой симметрии нагрузки Мц=0. Уси-
лия и Л'з определяются из системы уравнений:
Qi A'i N*
У, = “77“ + -7П = Pv. (14.24)
2пг sin a R, R,
Здесь первое уравнение выражает условие равнове-
сия (£z=0) части оболочин. лежащей выше рассмат-
риваемого сечения z—const. Второе уравнение (уравне-
ние Лапласа) есть условие равновесия элемента оболоч-
ки (сумма проекций всех сил, приложенных к элементу,
иа нормаль к срединной поверхности оболочки равна
нулю).
Величина <?, в общем случае определяется по фор-
муле
г / Idr'J
QI=f/»I2nrT' 1+<—]*. (14 24b)
Для сферической оболочки с радиусом R
а
Q, = 2nR* f рг sin a d а.
Для прямой конической оболочки (рнс. 14.14)
Q, = 2л cos а / р2 Idt.
о
Для сферической оболочки Ri=Rt=R. второе урав-
нение (14.24) принимает вид N\+Nt=p,R.
Для конической и цилиндрической оболочек R,=oo
н Nt=p*Ra.
Перемещения (рнс. 14.13) рассматриваемых оболочек
определяются следующими формулами:
w =— I——-----------R, — uetg al;
и 4- и>' da>
е =---------; a>r = e,R, sin а; of —------
Rt da.
(14.25)
Здесь величина и определяется:
для сферических оболочек из уравнения
р
и’ — uctga = — (Nt—«,)(!+v); (14.26)
96
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
для конических оболочек (см. рнс. 14.14)
(14.27)
где С — постоянная интегрирования, определяемая гра-
ничными условиями.
Так как в конических оболочках перемещения вдоль
Рис. 14.16 Рис. 14.17
Qt = 2nR’ [gi(l—cos a)+ — °^ -1 (1 -f- sin a — cos a)
где go—вес на единицу площади в пяте;
gi —то же, в ключе;
14.3.3. Безмоментные сферические оболочки
при вертикальной осесимметричной
нагрузке [70]
2nzsina
Na = R ^gi + ** ay cos a — Wj;
II- g*ctEa
2nRsfna *
(14.31)
а) Радмомерная нагрузка иа горизонтальную проек-
цию оболочки (рнс. 14.15) интенсивностью р, кГ/см2:
Л', = -^-рг₽; Л', = — R cos 2а; (14.28)
распор W= ~ PjRcosa.
Если толщина оболочки постоянная (g,=go=g). то
Нулевая точка (Л^^О) прн а=45°.
Для незамкнутой оболочки (рис. 14.16):
Q2 — 2n/?’g (1 — cos a);
Hi = "— ------; W, = Rg cos a — Nt;
1 + cos a
„ QrCtga
n = ----;— .
2nR sin a
(14.32)
7 1 sin=aA
Л„ = р, R cos’ а — — + —— I;
* rI \ 2 sin’ a)
1 / sin’ аД
Н= — PjRcos all — ——];
2 \ sin’ а)
Rsina
w, = ——— [Nt — vNt).
(14-29)
(14.30)
б) Нагрузка от собственного веса (рис. 14.17). Толщи-
на оболочки меняется по закону
°0
Нулевая точка (Л/з=0) при о=5Г49'.
Для оболочки в виде сферического пояса
толщины (обозначение at см. иа рис. 14.16):
Qj = 2nR*g (cos at — cos a); ]
Nt = (cos a.—cos a);
sin’ a I
Na = Rg — Ni;
Rgcosa
n =----------(cos a. — cos a).
sin’ a
)
постоянной
(14.33)
Перемещения для рассмотренных оболочек
ной толщины:
12(1 - R’g(2+ v)
и = - sin a:
£'[v+,2(v-,)H
Rsina
“V = —(Nt — vN,).
постоян-
ен.34)
14.3. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
97
в) Нагрузка жидкостью (рис. 14.18). Объемный вес
жидкости у. высота, жидкости над вершиной купола а
(рис. 14.18); интенсивность нагрузки
Pv = т(а+ г) = у (а + Я (1 — cosa)]! 1
Pz = V 1° + я (1 — cos a)) cos а; | (14-35)
Pt = О- J
Для
оболочки типа сферического сегмента:
Qj = pnR* sin’ a; 1
,, u pR J
A'i = А/, = — ; W = —cosa. |
(14.39)
Усилия:
Qi = лу^(п + Я) sin4 а +(cos3 a — 1)|
„ ТЯ Г , п 2/? (I — cos’a) ]
А. = — [0 + AJ-
A'i
3sin’a J’
— cos’ а )
---------— cosa
3 sin4 a j
Н = A'i cos a.
(14.36)
Для
Oi по
оболочки типа сферического пояса (обозначение
рис. 14.16):
Q, = nR* 2p (sin’ a — sin’ a,);
Я,=
„ PR
H — —- cosa-
2
Перемещения:
(14.40)
При a=0 Afj (a=0) = Af,(a=0) = — a.
Рис. 14.18
Для оболочки в виде сферического пояса (обозначе-
ние ai и Zi по рнс. 14.16; высота а иа рис. 14.18 может
быть отрицательна, но всегда а> —Z|):
Q2 = 2nyR- (a + 7?)(sin= a — sin4 a,) +
+ -y R (cos’ a — cos’ a,)j;
A'i = R- (o + R)(sin4 a —
sin4 a I 2
— sin4 a,) + -y R (cos’ a — cos’ a,)J;
Nt = yR |o + R (1 — cosa)] - N„
H = Nt cos a.
Перемещения определяются по формулам, одинаковым
для оболочек типа сферического сегмента и оболочек ти-
па шарового пояса:
б и -у- sin a; w, = (.V, — vNt) . (14.38)
Для оболочки, находящейся под внутренним давлением
столба жидкости высотой а. выведенные формулы со-
храняют силу прн перемене знака на обратный (у опре-
деляемых величин).
г) Нагрузка в ваде постоянного внешнего давления:
Рг ~ Рч cos а = р cos a.
(14.41)
„ Rsina
0 = 0: ш, = —(A', — vNt).
д) Оболочка в виде сферического пояса под вертикаль-
ной нагрузкой (обозначение щ по рис. 14.1G). распреде-
ленной вдоль контура меньшего основания с интенсив-
ностью р (единица силы/едниица длины);
Q, = 2nR sin ay? — 2пгр,
sin a. sin a!
A'i = PTTJ; Ni=~PTT2-
sin4 a sin’a
„ sin a, cos a
H = p—•
(14.42)
14.3.4. Оболочки вращения под действием
равномерно распределенного
нормального давления [16]
Рассматриваются в основном оболочки, образующая
поверхности которых является кривой второго порядка
(эллипс, парабола, гипербола).
При направлении оси z, показан-
ном иа ркс. 14.19, нормальные си-
лы в таких оболочках, загружен-
ных нормальным давлением /?„=
=Р“const, определяются приво-
димыми далее формулами.
а) В эллиптической оболочке
(уравнение образующей
о’
г4- —(2ta-z4),
о*
(14.37)
Рнс. 14.19
где а, Ь — полуоси эллипса)
(14.43)
А'1 Р гр (Г— р4? V+ ° ~
=-₽ 26(1+Р*) Х
2 |4t4p4 + о’ (1 — р’)1 — о4 (1 + р4)4
V 46’р4 + о’(1 -р’)4
98
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
гдер= 2ТТ-г-
При z = 0 (р = 0) и г = 2Ь (р =«)
(14.44)
При г = Ь(р = 1)
a aCM — cfl)
Nl^p-.,Nt=-p—1—
Р
б) В сферической оболочке (а=8=Л)
W, = ATt = -py •
в) В оболочке вида нижней полости двухполостного
гиперболоида вращения с образующей
п’
r*=—(2te + 3«);
о*
a + o’ (I +₽•)«
Л‘ = -ра-----------
а
Nt = — p— X
* 2b
х 2 [4б«р« + п» (1 + Р*)а| — о’( 1 — р*)*
(1 - Р2) /46«р» +о» (!+₽*)’
При г = 0 (р = 0)
* ’-•(’-ут)
Nt = р •— УзЬг + 4а--
а 66’ + 7о’
N'~P *>
При г= оо (р — 1)
Nt = N,= оо.
(14.46)
г) В параболической оболочке вращения (уравнение
образующей г’=2сг)
Л\ = р-^-/ 1+2.0’:
_ с 1 +4р’
2 V 1 + 2р’
Прн г= 0(р = 0)
(14.47)
При г = с(р = 1)
2 2 /з
д) В торообразной оболочке (рис. 14.20)
р(о’-С’)
1С “ 2Г
р(б’-о’)
^л = рЛ.
(14.48)
Большое количество формул для расчета оболочек вра-
щения см. [68].
Рис. 14.20
14.3.5. Расчет оболочек вращения
по безмоментной теории
на несимметричную нагрузку [37]
Снеговая нагрузка (рнс. 14.21). Расчет сферической
оболочки иа вертикальную нагрузку типа снеговой при
одностороннем загруженнн снегом производится по фор-
мулам:
нормальная составляющая снеговой нагрузки
Ре = 0,4рг(1 + sin a-sin ф). (14.49)
где р, — нагрузка на единицу площади горизонтальной
проекции поверхности оболочки;
соответствующие усилия
л\ = олр,я[-|-
X (1 — cas-a)’sin$ j;
cos a
———(2 + cosa)X
3sin’a
N,
sin a —
coso 1 )
. —(2+cos a) (I — cos a)’ I simp};
3 sin3 a J J
3 x
(2 + cos a) (1 — cos a)’
--------------------cos*.
V,
sin’a
(14.50)
И З. ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ
99
Ветровая нагрузка на оболочку вращения прини-
мается нормальной и ее поверхности н определяется сог-
ласно [37]. т. е. как произведение скоростного напора д
на эпюру аэродинамических коэффициентов Са =0.5 sin’a
(0.85 sin ф—0,15 sin Зф) — cos2a (рис. 14.22). Норма-
тивные н расчетные значения скоростного напора ветра
определяются в соответствии с указаниями СНиП.
Можно также пользоваться упрощенной формулой:
р = роэтаэтф,
(14.51)
где ро —давление ветра иа вертикальную площадку,
перпендикулярную его направлению (при а=
= <р=90°).
Рнс. 14.21
Рис. 14.22
Меридиональные и сдвигающие усилия N, и Nl3 нахо-
дятся из условий равновесия сегмента оболочки, отсе-
каемого 'параллелью. проходящей через точку, в которой
определяются усилия; они имеют значения:
М япф
яг* sin а ’
/ Н М \
N„ = l-------—------- СО5ф.
1 \ яг яг2 tg а /
(14.52)
Здесь Н — равнодействующая ветровой нагрузки, при-
ложенной к сегменту оболочки; М — момент этой нагруз-
ки относительно диаметра отсекающей параллели, пер-
пендикулярного направлению ветра. При очертании ме-
ридиана, заданного уравнением r=r(z):
задается согласно (14.51), то усилия определяются по
формулам:
cos a [ 2
Pt>R ~~Г~ ——cos а +
sin’a [ 3
sin ip;
[cos a / 2
sin a — -——[ — — cos a 4-
sm’a \ 3
+ — cos’a)J этф;
R /2
A'i‘=/,«^U“cosa+
+ - cos’ a j cos ф
(14.54)
или же no таблице Дишингера [33, стр. 49].'
a +W. —
0 0,0000 0,0000 0.0000
10° 0413 1334 0419
20* 0840 2580 0894
30* 1187 3913 1371
40* 1455 4973 1900
50° 1615 6045 2510
60 1605 7055 3210
70* 1409 795И 4125
60° 0909 B43 5200
90* 0000 1.0000 6667
R sin
N1=Af»pJ R «In 4- N|t — NttP R cos
14.3.6. Учет изгибающих моментов [41]
Около мест прикрепления оболочки к опорному кольцу
возникают изгибающие моменты (краевой эффект), ко-
торые быстро затухают по мере удаления сечения от
края.
Этн моменты н нх влияние иа нормальные и попереч-
ные силы (которые надо предварительно определить по
безмомеитной теории) при осесимметричной нагрузке
приближенно учитываются следующим образом.
Вычисляется коэффициент затухания:
л
Н - лр0 Jrslnadz;
h
М = Hh-— пр0 J’ (rz sin a + z* cos a) dz,
v
(14.53)
*=₽!
-У 3(1—у2)
(14.55)
которым прн переменной кривизне является переменным.
Для сферической оболочки
где h — высота сегмента; координата z отсчитывается
сверху вниз (см. рис. 14.19).
После определения Ni кольцевое усилие Ni опреде-
ляется из уравнения Лапласа (14.24).
Для полусферы величины усилий определяются по
[25. табл. 16, стр. 115]. Если закон изменения нагрузки
/ р 4 —-
*=]/ y/3(1-v>).
(14.56)
Усилия, моменты и угол поворота касательной к ме-
рнднаиу определяются по формулам
100
РАЗДЕЛ Н ОБОЛОЧКИ
N, = —— ctg aCe *“cos (to + 6);
-^*Cf--sin(*“ + 6+7
4R, '
fS
Q = — Ce-H>cos (ftw + б);
PRi V" 2
Mi = - —TT— Ce-*“ cos X
(14.57)
X
EP ctg a „
At, =---------------£—e + vAl,;
* 12(1—v2) R,
e = T
3
—-(1 — vS) Ce~*"sinX
X (to + 6).
Эти формулы выведены для постоянного k, но с извест-
ной точностью ими можно пользоваться к прн перемен-
ном k. Угол широты ш отсчитывается от нижнего края
до того сечення, где определяются усилия (см. рис. 14.12).
Постоянные интегрирования С и о определяются из ус-
ловий прикрепления оболочки к кольцу.
При абсолютно жестком кольце формулы (14.57) при-
обретают вид
Vi Rtksin 16
N, = AK —
sin
< г *“c®(to + 6);
-*® /
---— sin (to 4-
Я1
<2=-Л',
Vi R,k sin
’ cos (to -)- 6);
(14.58)
х
= -N,
2RtA*sin
г *“cos
EP ctg a .
е= у,,-----------
EtRt sin
X
X (to + 6)1
Здесь NK — кольцевое усилие в оболочке в зоне, непо-
средственно примыкающей к кольцу, определяемое по
безмоментиой теории.
Величина 6 зависит от условий связи оболочки с коль-
цом: прн полной заделке 6=0, а прн шарнирном соеди-
нении б=л/4. Прн указанных значениях 6 формулы
(14.58) значительно упрощаются. По ннм легко могут
быть определены усилия, моменты и углы поворота прн
любых значениях параметров а и и>, в частности в месте
сопряжения оболочки с абсолютно жестким кольцом
(ш=0 и a=a<, — см. рнс. 14.12).
Задача определения краевого эффекта в оболочке, со-
прягаемой с кольцом конечной жесткости или с другой
оболочкой вращения прн осесимметричной нагрузке яв-
ляется частным случаем задач, рассмотренных ниже и
может быть решена по формулам, приведенным в 14.4.
14.4. ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ)
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ.
СОПРЯГАЕМЫХ МЕЖДУ СОБОЙ
14.4.1. Выделение циклического воздействия
и его распределение. Общий порядок расчета
Когда одна или несколько монолитно связанных обо-
лочек вращения опираются через бортовое или объеди-
няющее их кольцо на ряд
Рис. 14.23
равноотстоящих по окружно-
сти колонн (рнс. 14.23) или
поддерживают стойки фона-
ря, радиальные ребра, стяж-
ки и т. п., их напряженное
состояние можно разложить
иа осесимметричное состоя-
ние и циклическое состояние.
Для выделения осесиммет-
ричного состояния следует
рассмотреть действие осе-
симметричной нагрузки сов-
местно с уравновешивающей
ее реакцией, принимаемой
также за осесимметричную,
т. е. равномерно распреде-
ленную по осевой линии
кольца. Для выделения цик-
лического состояния надо
рассмотреть действие проти-
воположно направленного давления, равномерно распре-
деленного по осевой л и и ин кольца, совместно с урав-
новешивающими его реакциями колонн (рнс. 14.23).
Основная трудность при расчете оболочек иа цикли-
ческое воздействие — в его распределении, т. е. в опре-
делении контактных усилий между сопрягаемыми элемен-
тами (кольцом и оболочками). Эта задача решается раз-
ложением циклического воздействия в тригонометриче-
ский ряд. число воли в гармониках которого п кратно
числу колонн п0 (п = л0. 2л0, Зл0. Каждый член та-
кого ряда вызывает в рассматриваемых оболочках
н в кольце независимые от других членов ряда гармо-
нические циклические состояния, прн которых усилия
и перемещения в кольцевом направлении изменяются
пропорционально cosnp или sinnp, где р — угол широты.
Число членов ряда, которые необходимо учитывать прн
практических расчетах, зависит от числа колонн и отно-
шения жесткостей кольца и оболочек. С ростом п отво-
14 4. ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ) НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
101
снтельиая жесткость кольца увеличивается, поэтому мож-
но принять, что гармоники циклической нагрузки с чис-
лом волн больше некоторого л воспринимаются только
кольцом. Прн достаточно жестком кольце можно при
расчете оболочек ограничиться первым членом ряда
(л=п»).
Ниже под циклическим состоянием подразумевается
гармоническое состояние с произвольным числом волн л.
Поскольку для такого состояния закон нзменення уси-
Для унификации размерностей символами У^ и Z3
(-VJ, R£, Rs, Рг) обозначены углы поворота (моменты),
умноженные (разделенные) на соответствующие радиусы
Г) илн гр.
Связь между перемещениями и усилиями Zf и R[. с од-
ной стороны, и У{ и с другой, вытекает из их опре-
деления н геометрии сопряжения оболочки с кольцом:
|И) = [*С И 1гг| = 04-59)
Ml = Ml (14-60)
где матрицы [К{] н [/ф определяются параметрами,
указанными иа рис. 14.24:
0 —с/ 0 _
1 0 0
0 Ы 0 ’
0 0 1
П/ 0 0"
ц/ 0 0
—6/ 1 0
о и)/ щ
лий и перемещений в кольцевом направлении известен,
задача сводится к отысканию лишь их амплитудных зна-
чений.
Для сокращения записи дальнейшее изложение ведет-
ся в матричной форме *, что потребовало использования
следующих обозначений:
/— порядковые номера сопрягаемых элементов
(/=0 относится к кольцу; /= 1,2... — к обо-
лочкам);
i, 1г= I, 2. 3, 4 —индексы направлений переме-
щений и усилий; 1 — нормальное к средин-
ной поверхности (для оболочки) или ради-
альное (для кольца); 2—вращательное
в меридиональной плоскости (для углов по-
ворота н моментов); 3—меридиональное
(для оболочки) млн осевое (для кольца):
4 — касательное к параллели (тангенциаль-
ное);
Го—радиус осевой лнннн кольца;
г.— радиус линии контакта срединной поверх-
ности j-й оболочки с кольцом (рис. 14.24);
Z, и И— амплитудные значения перемещений точек
осевой линии кольца и линий контакта сре-
динной поверхности /й оболочки с кольцом;
R{ н Х[— амплитудные значення контактных усилий,
действующих между кольцом н /-Й оболоч-
кой. заданные соответственно в координат-
ных направлениях кольца н оболочки;
и Ri— амплитудные значення внешней цикличе-
ской нагрузки, приведенной к осевой линии
кольца и нагрузки, действующей на изоли-
рованное кольцо.
1 Матричные символы: I I — прямоугольная матрица: I ] —
квадратная матрнца; { }—матрица-столбец (аактор); ' — знак
транспонирования матрицы.
Кроме того, для каждого изолированного элемента
(оболочки или кольца) между усилиями н перемещения-
мн может быть установлена связь вида
М) = [4ЛЧ) (/>•>.
М) - ['г*] lz<l-
(14.61)
(14.62)
глс [г/*] (/=0. 1,...) — матрицы единичных реакций, оп-
ределяемые формулами нз 14.4.2 н 14.4.4.
Из приведенных соотношений ясно, что если перемеще-
ния кольца Z< известны, остальные факторы находятся
весьма просто: из (14.59). Х{ из (14.61). Для опреде-
ления Zt используется уравнение (14.62) вместе с очевид-
ным соотношением:
MI = MJ- Ml-
(14.63)
Замена {#{) в (14.63) выражением (14.60) приводит
на основании (14.62) к системе канонических уравнений
метода перемещений относительно неизвестных Z,-
1г/*Г (Z,) = {₽,). (14.64)
где
(14.65)
После вычисления контактных усилий изменение на-
пряженного состояния каждой из сопрягаемых оболочек
в меридиональном направлении может быть определено
по формулам (14.4.3).
102
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
14.4.2. Единичные (краевые) реакции
оболочек
Дополнительные обозначения:
------- Et* Et*
X=V12(I—V’); Й, = Е/; B, =-; В,= —-
XX*
'п = ЛзЛ1 (4ГИ + dn), 'ээ ~ л2 Г«,
'п ~ п (drи 4- dlf); /34 = п- Г34;
'« = Лэ(drM + dtt); r44 = Ai пг Гад; (14.66)
'и — Л. я8 diS' rM = 4t пг di<;
Газ = Ag ftdgSr 'и = Л^ nd*4«
Здесь:
жесткости:
ЬЕ,
— отношение главных кривизн (х**0 для ко-
нической н Х"1 для сферической обо-
лочки);
Ъг
р= —------приведенный радиус;
^1Э = ГмГм—Г44Г11; = Г14du—rijdu;
du = Гм Гм— Гц Г„; dta = rl4dM — Гц du—
= Гм<*14 — rndu;
d,3 = Гц Гц — Гм Г»
d«i=rMrM— Гы Гц; <1а = Ги^м — Г^ц.
(14.67)
т = Р^ф + /16ф’ + 1 : m, = V Ф + /ф! + 1;
mt = )^2ф = —;
S
т4 — 1
г=|+фЗ; * =
ПГ + 1
для переменных величии вводится значение на линии
сопряжения с кольцом.
Для каждой нэ сопрягаемых оболочек элементы мат-
рицы [r|t] определяются по следующим формулам (ин-
декс / далее опускается):
Для г<» справедливы условия взаимности '(и=гц и.
кроме того, дополнительные тождества; а) для кониче-
ской оболочке гю=г«; б) для сферической оболочки
Гц=Г11; —гн; Га=—г!4.
Выражения входящих в (14.66)—(14.67) коэффициен-
тов Г<к приводятся ниже для оболочек, замкнутых в по-
люсе нлн образующих пояс, достаточно широкий, чтобы
пренебречь взаимным влиянием условий на отдаленных
краях. Формулы приближенные, порядок нх погрешности
1 : л9. Для оболочек, отличных от конической н сфериче-
ской, для упрощения опущены также члены порядка
а: п*
• Более полные данные см. [64J.
Таблица 14.7
I* ал 1" “(Я
11.22 33.44 т т Кояачес 1 —V 1Ц-У 2s ” 9 1 — *» . 1 — * иа оба 13 24 почка 1 гл 1 2 + *1
1 +v Ъ • tn । 1 —Л т 2s «4 1+*
34 11.22 а 1—> л а ni; + mt п 4л т , 1 — fr л 4л Сферичес 1 + V Ti—2— 23 кая обо 12 п 0 яочаа пц 4- Vm, 4ли 1 + * 4ли /п, 1 Уз
33,44 т,+ <п. а I-f-v , 2л>, 34 Ш, — Vffl, л s Я1, 1 V.+ —-+
13.14 —+ — пц т. а л V. + — * М,34 1 ГПз п а
3 + 2ф*-т,(фт,+ —) т т* *
31есь: V. -J .L : 2 т( V. м — — . • 1 - V 2 /
14.4. ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ) НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
103
Те блица 14.8
Тип обо* Л 04 к в 1* “1* *№
11 2 - <• + V) 1
Сферичес- кая и ко- мическая 12 22 33 34 44 1 +v 2 2 1 — V 2 — 2 - (1 + V) 1 — V 2 1 — V 1 — 1 V Л Л’ | (3—V) (1-t-v)
13 4—8v 94-v 1 B.b
Коничес- кая 14 23 24 14+2V 2—2v 4 3 —Sv 3 —v 3 —v Ls ®-| —. | (3-V)(l+V)
Сфери- ческая 13 14 23 24 — 3 3 — 1 1 -2 2 -2 2 i B.b 1 im i B.b I 2лл' 1 3-v
а) Коническая и сферическая оболочки:
Значения коэффициентов
Г« = “<* + о₽«
(И 68)
приведены в табл. 14.7.
Прн достаточно больших значениях параметра ф мож-
но, минуя определение Г<». определить непосредственно
значения
r(*= D^(“«* + o₽'*)1
приведенные в табл. 14.8.
Таблица М.9
Значения ф Уровень погрешности
для конической оболочки для сферической оболочки
>5 >3 >9 >? >5 <0,01 <0,02 I <0.03
Относительная погрешность при этом оценивается с по-
мощью табл. 14.9.
б) Круглая в кольцевая пластинки. Формула (14.69)
н табл. 14.8 в предельном случае 6=0. а=—1 дают точ-
ные значения rt, для круглой пластннкн, а также при-
ближенные значения г<* для достаточно широкой кольце-
вой пластннкн, нагруженной по наружному краю. Пре-
дельный случай 6=0, о= + 1 также соответствует коль-
цевой пластинке, ио нагруженной по внутреннему краю.
В обоих случаях г —радиус нагруженного края.
в) Оболочки вращения других очертаний. Исходя из
г
отношения главных кривизн х=-------на контуре оболоч-
6Я1
ки (табл. 14.10), определяются вспомогательные вели-
чины:
G, = 2ф(|»1 + I); Л = 1+2фц„
(14.70)
после чего находятся входящие в (14.66), (14.67) выра-
жения (14.71):
Таблица Н.10
Тип оболочки вращения Уравнение меридиана Вспомогательные параметры
Эллипсоид г-+.<_1 Р* с1 <1-— + — Р* в» I
ДвуполостныА гиперболоид _ ₽ «* 77
Однопол ост ны В гиперболоид 1_ q'd
Параболоид гр+' -с(р+ 1)г ’-4- 1 +»’
Тороидальная 1 ,_лт)/ е- Л я.
Катеноид (антмсфера) г — с eh — с
4 — расстояние от осн оболочки до центра кривизны меридиана.
104
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
r« = rM = l/f С1 + / С? + ТЬ
rt4= /-gi + /g’ + 7J2x;
|Т1|
Гц = Гм — Pi Гц — Pi Гц;
Гц = Hi Гм + Нз Ги;
л „2s
Гц = (f*i+v); Гц= +Гп;
s л
л л
Гз< = — (Hi - v); Г„= — Нз-
S S
(14.71)
а) Определение постоянных с.. Постоянные н связаны
с краевыми перемещениями И. Yi и усилиями Л|, Х3 че-
рез параметры Oi, L< следующим образом:
631 632 633 6т41
б«6«6М6м|Х
(И-77)
14.4.3. Изменение усилий вдоль меридиана
каждой оболочки
4~ °3 . О» ~Ь
Нормальные н касательные усилия определяются через
функцию
Ф («) =q ft (а) - с, /, (а) + с3 f, (а) + с4 /4 (а) (14.72)
и ее производные по а по формулам:
= —(оФ'~ л«Ф);
Г
N3=— (ФЧ-еФ’— хЬ’Ф); (14.73)
Л'12 = — пФ'.
т
Изгибающие и крутящие моменты н поперечные силы
определяются через аналогичную функцию
«Г (а) = с, ft (а) 4- с, /, (а) + с, f3 (а) - с, /4 (а) (14.74)
и ее производные по а по формулам:
Л1! = — IW" + (1 + v) aW — чпг FI;
V
М,= — IvOZ” + (1 + V) aW - л« (TJ;
V
Л114= — (1—v)nlT;
(14.75)
01 —Оз о« —о4
Сэ“ 2 ’ С*~ 2
Значения зависят от типа оболочки. Для кониче-
ской и сферической оболочки значения
б.* = “;* + Т ₽'* (14’79)
приведены в табл. 14.11.
Для оболочек других типов дополнительно к форму-
лам (14.70)—(14.71) определяются вспомогательные ве-
личины:
(14.80)
после чего находятся
(?!=—— (№”" + eV" — л* W' — ол« IF);
X'’
Q, = — (W’ + 2aW — n2W).
V*
Определение постоянных н, аргумента а и функций
/.(а) излагается далее.
С удалением от граничной параллели усилия цикличе-
ского состояния имеют тенденцию к затуханию. Затуха-
ние может начаться непосредственно от границы или для
части усилий ему может предшествовать некоторое воз-
растание по сравнению со значением на границе. Для
практических целей достаточно установить начало зату-
хания н оценить его интенсивность. В связи с этим вы-
ражения )< н правила их дифференцирования определя-
ются здесь лишь приближенно.
(14.81)
б) Определение аргумента а. Аргумент а (безразмер-
ный) определяет положение точки па меридиане. В об-
щем случае
za
« = j у Vd's + & (14.82)
М.4. ЦИКЛИЧЕСКОЕ (МОМЕНТНОЕ) НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
105
Таблица М.1!
м Обозначения
Коническая оболочка
31 Ол —।+е. — в,
32 1
я* — 1 . „ "’ + 1 . а 1 — ** . а *•
34 1 -3. + 9.+ S. 2m 2m 4 |6$
41 1 -fl,-fl.
В.- ,+* В т- в.-"’+ ' • В—'”’-'
4m 4 4фт 4$т
43 —с. - ₽. + в>
44 1 -К. - з. + л
Сферическая оболочка
31 т,а, —3| f. <п,
32 а, -в. В.
33 -а, а. — -л₽.т,
34 а. ₽.Ь л _ т _ 1 • Я _ а _ 2w« — , ui и т, 4- ггц. ец ™ . р,« . р. ™ j 17Ц пц
41 -а. а. 1 |
0» “ + — I fl< • т, + ;
42 “«9 «Ч <т,
43 —лца» -?,ь
44 а. Р.Ь —
т,
Таблица 14 12
Тип оболочки а Ten оболочки а
Цилиндрическая Коническая Катеноид вращения (антнсферическая) Сферическая Параболоид краше вня степени р+1 га~гл Г 1 . 'а О *» ~гп с L л \ "а -о f , Эллипсоид вращения вытянутый То же. сплюснутый Гиперболоид вращения однополости ый То же. двухполоствый Тороидальная £—|V«ro<eWo)“ | l + lVArUiTa|» L + (V Ar cth V a)“ _jd_rArIh_^/iZZle /тт? 1. •-* ]0
Обозначения (см. также табл. 14.10): V в
Q
— : / — полюсное расстояние: L —In- - •
(индекс а относится к исследуемой точке, индекс 0 —
к граничной параллели).
В табл. 14.12 приведены выражения а для оболочек
различных типов.
У сферической оболочки а можно определять по
табл. 14.13. содержащей разности Да = а (у)—а (у—1°)
при изменении у от Г до 90е (в табл 14.13 у=<р+0).
У параболоида вращения второй степени (Ри1) а
можно определять по табл. 14.14. в которой приведены
значения переменных геометрических параметров поверх-
ности. в том числе разностей Да при различных значенн-
г
ях отношения <р ш — <3.
106
РАЗДЕЛ И. ОБОЛОЧКИ
Таблица М.13
ф 0
0» 15» 30- 60» 75е
е« 176 181 203 249 354 697
г 175 182 205 253 366 748
2“ 175 183 207 258 378 607
3е 175 184 209 263 391 876
4е 175 185 212 269 405 959
5° 175 186 214 274 421 1058
6е 176 187 217 280 438 1182
176 189 220 287 456 1339
8е 176 190 223 233 476 1545
9е 177 192 226 301 499 1826
10° 11® 178 193 230 308 523 2234
12° 178 ‘ 195 233 316 5341 2878
13е 179 197 237 325 580 4056
14е 180 198 241 334 615 6932
160 201 245 344 653 оо
Прнмеча ю-4. н и е. Габлнчи УС ЗИЛ 1СИИЯ множат ь на
Таблица 14.14
Ф“ с b О к Да
з.о + 0.94S7 0.3162 + 0,1000 0 211
2.3 9417 3363 1131 213
2.6 9333 3590 1289 215
2.4 9231 3846 1479
2.2 9104 4138 1712 218 222
2.0 8944 4472 2000 226
1.8 8742 4856 2358 23?
1.6 8480 5300 2809
1.4 8138 5812 3378 241 25°
1.2 7682 6402 4098 271
1.0 7071 7071 5000 300
0.8 6247 7809 6098
0.6 5145 8575 7353 350
0.4 3714 9285 8621 453
0.2 1961 9806 9616 723
0.0 оооо 1.0000 1.0000
Значения а определяются путем сложения значений
Да нарастающим итогом от граничной параллели до рас-
сматриваемой.
Значение а и b см. рнс. 14.24.
в) Определение функций /,(а) и их производных.
Функции ft (а) — затухающие:
/1 - cos Pt («); h = е~р‘(а) cosf4 (а); j
ft = е_А(а) sin pt (а); ft = е~л<“> sin pt (а). |
В первом приближении можно положить р,(а) =
=sbta, приняв bi по табл. 14.15.
Производные от функций /< линейно связаны с теми же
самыми функциями. В первом приближении
/; = -ф1/1+Ме):
f3--s(»3f3 + btfty,
f>-s(btft-bj3)-.
(14.83a)
Таблица I4.1S
Ь. Конически оболочка Сферическая оболочка Другие типы оболочек
ъ. т 4- 1 г22+гг<
2 2
т + 1 1 Г22+Г24
2m га. 2
Ьа т — 1 л т, » — Г22- Г24
2 S 2
т — 1 Г22 — Г24
ft, 0
1т 2
14.4.4. Кольцо. Единичные реакции
н внутренние усилия
Формулы относятся к случаю кольца нетонкостенного
профиля; одна из главных центральных осей инерции се-
чения предполагается лежащей в плоскости осевой ли-
нии кольца.
Обозначения:
. EJ,
г0 г0
А<
GJk
'0
жесткости, отнесенные к радиусу осевой линии (при
продольной деформации, прн изгибе в плоскости осевой
линии, прн изгибе около этой плоскости и прн кручении).
Единичные реакции определяются по формулам:
ги = 40 + (П»-1)>Л1: г„ = Л + п»Лк.
г14 = п <41! ra = п* At + п’ Ак,
г44 = п» 4,; гм = п* А, + л> Лн;
Па = 'а = г14 = гм = 0.
(14-84)
Продольные силы, изгибающие н крутящие моменты
и поперечные силы в сечениях кольца определяются че-
рез Z<:
N — М» — (и*—1) А] г, Z4 + пД/о24;
«! = (,?-1)41^1;
42rg(Z2 + n2Z3);
Qi = — Mi; (?,= —Л1в + —/f.
ГО rQ ГО
(14.85)
14.S. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
14.5.1. Определение, формы срединной
поверхности и граничные условия
Оболочка, имеющая небольшой подъем, называется
пологой. По В. 3. Власову, к пологим относятся обо-
лочки со стрелой подъема, не превышающей ’/. иан-
14.5. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
107
меньшего размера опорного плана. Это простое опреде-
ление требует уточнения. Обозначим уравнение средин-
ной поверхности пологой оболочки до нагружения
(рнс. 14.25) через x=Ff(x, у). Для пологой оболочки
должно соблюдаться условие: в любой точке срединной
dFt dF0
поверхности частные производные долж-
ны быть величинами первого порядка малости, так что
нх квадратами прн вычислении кривизн поверхности
Рис. 14.25
Рнс. 14.26 Рис. 14.27
можно пренебречь. Иными словами, для пологой обо-
лочки характерно, что в любой точке кривизны и круче-
ние поверхности можно отождествлять со значениями
вторых производных, т. е. определять по формулам:
= —ГТ' (М86)
дх3 ду* ’ дх ду
Если это условие не соблюдается хотя бы в одной
точке, то оболочка перестает быть пологой.
Например оболочка, изображенная иа рнс. 14.26, не яв-
ляется пологой, несмотря иа то, что у нее ~ >
так как в средней части прн вычислении кривизн нельзя
пользоваться формулами (14.86). Из этого определения
пологой оболочки следует, что линейный элемент ее
срединной поверхности ds можно считать равным
ds= dx2+dy2\ это означает, что метрика срединной
поверхности пологой оболочки приблизительно совпа-
дает с метрикой плоскости. Такое допущение положено
в основу технической теории пологих оболочек. Поло-
гие оболочки могут быть любой гауссовой кривизны:
положительной, нулевой и отрицательной. Вследствие
пологости срединной поверхности разница между теми
нли иными поверхностями одного типа кривизны несуще-
ственна. С конструктивной точнн зрения наиболее при-
емлемы поверхности переноса (например, для оболочек
положительной кривизны эллиптический параболоид,
круговая поверхность переноса). Кроме того, могут
быть использованы сфера, эллипсоид вращения и дру-
гие поверхности второго порядка (илн более высоких
порядков). К категории пологих оболочек относятся так-
же слегка искривленные пластины (<вспарушенные> плн-
ты). Опорный контур может быть плоским или выпук-
лым (рнс. 14.25, а, 6). Оболочки с прямоугольным планом,
опирающиеся на плоский контур, имеют в централь-
ной части положительную, а вблизи углов — отрицатель-
ную гауссову кривизну. Если плоский контур не обяза-
телен по архитектурным или иным соображениям, то ре-
комендуется применять оболочки с выпуклым опорным
контуром, что обеспечивает повсюду внутри контура по-
ложительную кривизну.
Пологие оболочки могут располагаться отдельно
(рнс. 14.25) илн входить в состав многоволнового покры-
тия (рнс. 14.27). Отдельно стоящие оболочки могут опи-
раться на бортовые диафрагмы, выполняемые в виде ба-
лок, арок нли ферм, илн же непосредственно на стены.
Опоры считаются шарнирными, если оболочка опирает-
ся на стены илн диафрагмы, достаточно жесткие в своей
плоскости и гибкие из плоскости диафрагмы. Средние
волны многоволнового перекрытия считаются защемлен-
ными (в отношении углов поворота) по контуру.
14.5.2. Усилия и перемещения пологой
оболочки. Особенности расчета
В пологой оболочке возникает система усилий (V,. /V,.
(рнс. 14.28,а) и нагибающих н крутящих моментов
Мж, и (рнс. 14.28,6). Перемещения характеризу-
ются тремя компонентами: цЦх; о|у; w|x.
Рнс. 14.28
Связь между перемещениями и деформациями уста-
навливается формулами:
ди 1 I ди> V
ех = —— — k. Щ +-----I----I ;
дх 2 \ дх J
до 1 / dw V
е„ = —-----k„ti- +— ------1
ду 2 \ ду }
ди dv
ди>
ду
д2^)
^'дх ду-
" ду
dw
+ 17
Хж= дх2 '
(14.87)
Здесь е> и е„ — относительные удлинения; ezv — дефор-
мация сдвига; у,, ц» — приращения кривизны; у»,—
приращение кручения срединной поверхности.
Для оболочки из линейно-упругого материала усилия
и моменты (положительные направления ноторых ука-
заны на рнс. 14.28) согласно закону Гука равны:
108
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
(14.88)
Wx = Y^i(e« + ve»);
A/«=rz^(e‘' + vei):
Et
N"~ 2(1+v)Em,:
Mz = — О(Хх + »ХуУ
My = — D{Xy+ »ХхУ.
Afx^ = + D (I v) Xxy
Здесь J —толщина оболочки; v — коэффициент Пуассо-
на; E — модуль упругости; D = । ~ иилиид'
IX = О;
рвческая жесткость.
Для оболочки из нелинейно-упругого материала уси-
лия определяются согласно [48J.
Условия равновесия:
dN„ dN„
-г^+-^+Рж = 0;
дх ду
р _0.
з>м1 грмх1)
—- — 2——
дх' дх ду
1Г = 0;
12 = 0;
(14 89)
d'M.
ду'
4- Ny (ky + Ху) 4" 2N ху (^ху 4- Хху) 4-
4-й = 0.
Здесь Рх. Ру, р, — проекции внешней нагрузки на осн
х, у. а. В наиболее часто встречающемся случае верти-
кальной нагрузки рг=ру—0, т. е. когда тангенциальные
составляющие поверхностной нагрузки равны нулю, нор-
мальные н сдвигающие силы выражаются через функцию
напряжений по формулам:
й*Ф дЧр
wH = -rr: N'i> = --rr- О*-90»
ду' дх* дхду
В этом случае дифференциальные уравнения пологой
оболочки можно записать в следующем виде [16 и 21]:
1 д*ш д*ш
d2® d2® d2® ।
дхду йх1 ду'
0;
(14-91)
дЧр дЧр &w
4- 2кху , , • дх ду ду' дх*
д*<р d*ui д*<р дх* ду* дхду д/*а> дх ду
д'... — Pi(x.y) = 0; V1 = 7T дх' д'... + ду'
Первое уравнение (14.91)—уравнение неразрывности
деформаций — получено из первых трех выражений
(14.87) путем исключения нз них перемещений и и о
и замены деформаций усилиями по формулам (14.88)
и (14.90). Второе уравнение (14.91) получено нз третьего
уравнения (14.89) после подстановки в него значении
усилий через перемещения и функцию напряжений по
формулам (14.87), (14.88) и (14.90). Система уравнений
(14.91) описывает поведение пологой оболочки в самом
общем случае с учетом моментов н конечных перемеще-
ний; иными словами, это есть уравнения моментной не-
линейной теории пологих оболочек. Отбросив в этих
уравнениях нелинейные члены, получим дифференциаль-
ные уравнения линейной моментной теории пологих обо-
лочек:
1 д*а> д*а>
-^^ + ^Х1-Г+ку—-
д*ш
-^хуТ-Г- = °<
' дх ду
д*а й2Ф
- к у —- — ку —+
ду* дх*
дЪ>
+ ’а‘>'дГду-р1 = 0-
(14.92)
Если в уравнениях (14.91) положить D=0, т. е. пре-
небречь работой моментов, то получим дифференциаль-
ные уравнения безмоментиой нелинейной теории пологих
оболочек; если исключить работу моментов в уравнениях
(14.92), получим уравнения безмоментиой линейной тео-
рии пологих оболочек:
1 д*и> д*и>
~№ХУГ^~ = °'-
"дх ду
а»ф
**ду' + » дх* "‘"дхду
(14.93)
Й»ф
Уравнения (14.93), (14.92) и (14.91) отличаются раз-
личной точностью и сложностью. Поэтому практически
необходимо решить, какие уравнения целесообразно по-
ложить в основу расчета заданной оболочки.
Особенно важен вопрос о пределах применимости ли-
нейных теорий. Следует иметь в виду, что пологая обо-
лочка, например положительной гауссовой кривизны, ра-
ботает аналогично плите, находящейся на некотором
фиктивном упругом основании, создаваемом кривизной
оболочки с коэффициентом упругости, равным (для сфе-
рической оболочки):
где R — радиус кривизны. По мерс нагружения оболоч-
ки раднус кривизны увеличивается (оболочка выпрям-
ляется), а это приводит к уменьшению коэффициента
упругости фиктивного основания. Это означает, что с уве-
личением прогибов конструктивная схема пологой обо-
14 5. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
109
лочкн ухудшается. Поэтому расчет по нелинейной тео-
рии для пологих оболочек необходим для выяснения
действительного коэффициента запаса, который при
расчете по линейной теории получается завышенным.
Влияние нелинейных членов в уравнениях (14.91) на
величину усилий зависит от подъема оболочки: чем
меньше подъем, тем это влияние значительнее. Для обо-
лочек положительной или нулевой кривизны прн подъе-
ме f<Jt<6 линейная теория может дать погрешность
в отношении прогибов в пределах 5%.
Для заданной конкретной оболочки положительной
или нулевой кривизны вопрос о целесообразности расче-
та по нелинейной теории можно решать следующим об-
разом: подсчитывается вся нагрузка q, действующая на
оболочку (вместе с коэффициентами перегрузки), и по
формулам линейной теории определяется максимальный
прогиб /п. Это значение прогиба подставляется в фор-
мулы нелинейной теории, по которым определяется вели-
чина нагрузки fa, соответствующая прогибу /». Если
окажется, что 9» существенно меньше q (например, на
5%). то данную оболочку необходимо рассчитывать по
нелинейной теории.
Для оболочек отрицательной гауссовой кривизны во-
прос о применимости линейной теории подробно не об-
следован. Но вследствие того что эти оболочки могут
обладать мгновенной изменяемостью, расчет их должен
быть проверен с помощью нелинейной теории.
Область применения моментной теории для пологих
оболочек может быть определена следующим образом:
пологие оболочки отрицательной и нулевой гауссовой
кривизны должны рассчитываться по моментной теории
прн всех видах нагрузок. Оболочки положительной кри-
визны, нагруженные распределенными нагрузками, мож-
но рассчитывать по безмоментной теории прн достаточ-
но большом подъеме оболочки (например, прн
Прн этом необходимо учитывать изгибающие моменты
у опорных участков. Указанные границы применимости
отдельных теорий намечены ориентировочно, в порядке
первого приближения, и подлежат уточнению.
14.5.3. Формулы н таблицы для расчета
пологих оболочек,
прямоугольных в плайе
прнх = 0; х = а; Wx=------= 0;
09*
А'жо dx = 0,
прн 9 = 0; y = b. Ny=——=i0;
Ох*
усилия и прогибы в точке с координатами х, у определя-
ются по формулам [16]:
Nv=- У] (-у-) о™ F (*. »);
ГПм! Лм1
N4 = — 2 Xj ~7ь~a""'Fl (x’s): °4-94)
m‘=d S S[(v),+O6mnf(z’ff):
S S[(v)+
m—1
(mn VI
—)]
bmn (x, y);
VT VI тля*
Мжу = D (1 — v) } ) , —— ban Fjfx, y);
nu=l Л-1
Для шарнирно опертой оболочки (см. рнс. 14.25) в си-
стеме главных координат (йХк=0) с граничными усло-
виями, определяемыми формулами:
прн х — 0: х = а; у — 0; у = Ь, и> = 0;
п>= S S bmnF(x,y).
ГЛ"1 п—1
_z k тлх плу тлх плу
г (*. У) = sm-----sin------; Fi (г, у) = cos----cos------
a b a b
(14.95)
по
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Ai я tj —главные кривизны; т=1, 3, 5..п=1, 3. 5. ...
Эти формулы получены путем ннтегрнровання системы
уравнений моментной линейной теории пологих оболочек
(14.92) методом Бубнова—Галеркнна в форме, предло-
женной В. 3. Власовым [16]. Чем больше кривизна обо-
лочки, тем больше членов ряда необходимо брать в вы-
ражениях (14.94). Одни член ряда дает удовлетвори-
тельную точность для очень пологих оболочек {jolt <
<0.8), для которых по существу линейная теория не-
приемлема. Для оболочек с подъемом lrft>6 необходи-
мо брать 4—5 членов ряда (по каждому направлению).
Еслн в формулах (14.94) н (14.95) положить D*=0, по-
лучим выражения для уснляй пологой безмомеитной
оболочки. На основе этих формул В. 3. Власовым со-
ставлены таблицы для определения усилий, моментов
н прогибов пологой сферяческой оболочки на квадрат-
ном плане с подъемом 0 < /о/f < 10, нагруженной равно-
мерно распределенной нагрузкой [16]. Прн больших
подъемах рекомендуется пользоваться таблицами, со-
ставленными В. В. Днковнч [33], а также Инструкци-
ей J37],
Усилия по безмомеитной теории для оболочки с пря-
моугольным планом, очерченной по поверхности эллип-
соида под действием сплошной и односторонней равно-
мерно распределенной нагрузки, можно определять по
таблицам, вычисленным методом конечных разностей
А. Р. Ржаинцыным [82].
В работе В. М. Ннкнреева н В. Л. Шадурского [68]
приводятся многочисленные формулы для определения
усилий, моментов и перемещений для оболочки положи-
тельной кривизны прн шести случаях закрепления обо-
лочки тангенциальными связями. Там же имеется боль-
шое количество формул для расчета многоволиовых
оболочек и оболочек отрицательной кривизны.
Л. С. Гараниным составлены таблицы для расчета
прямоугольных в плане пологих оболочек, нагруженных
равномерно распределенной нагрузкой рг=р=
=const [22].
Таблицы дают значения безразмерных величин N„ !i,.
Л,, Mf. и, v и w. через которые действитель-
ные значения усилий, моментов н перемещений опреде-
ляются по формулам:
п тт ., - тт pR»S —
Ar = pR, Nx; Мж = ps» Мх; и =
tip = pRt Np, Мр =ps‘ Mv; о= Р£*Д о;
ху = XV» = ps*
PR22 -
ш_ ш.
Рнс. 14.30
(14.98)
(14.96)
Таблицы составлены для различных значений пара-
метров
- b - R, - з
о=—; r= ~. s= — , (14.97)
a Rt j
которые в свою очередь могут быть выражены через гео-
метрические характеристики оболочки, a. b, Ri, к, (при-
ведены на рнс. 14.29) я
х = 0,7б'И^7. (14 97')
Параметры г н s также выражаются через стрелки
подъема контурных диафрагм по формулам:
Безразмерные коэффициенты подсчитаны для узлов
ссткн прямоугольного плана оболочки (рнс. 14.30) прн
двух вариантах граничных условий. В обоих вариантах
кромки х=0; х=а шарнирно-подвижны; граничные ус-
ловия на кромках:
(w = Mz = Nt = u)J=0= 0.
х—а
В первом варианте граничных условий края у=°= ±6/2
тоже шарнирно-подвижны
(w = Мр = Ир = и) ь = 0.
,-±_
14.5. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
111
Во второй варианте крав ±Ь/2 полностью защем-
лены
ш= и = 0, = о= О,
где 6,— угол поворота касательной к срединной поверх-
ности оболочки.
При отсутствии табличных данных для расчета поло-
гих оболочек, прямоугольных в плане, можно пользо-
ваться методом сеток (см. раздел 15).
14.5.4. Круговые цилиндрические оболочки
открытого профиля
Уравнения моментной линейной теории пологих оболо-
чек можно применить к расчету круговых цилиндричес-
ких оболочек открытого профиля (не пологих). Поло-
жим в уравнениях (14.92)
*i = 0; х = аР; у=РЛ.
где а и ₽ — безразмерные координаты (рнс. 14.31).
Уравнения примут вид:
I . . Э«а>
_v .v*<Р + /? —= 0;
—Р——- + Dy»v«o> = Pl.
(14.99)
где р, в отличие от предыдущих параграфов обозначает
нагрузку, нормальную к поверхности оболочки.
Усилия и моменты выражаются через функции <р н ш
следующим образом:
I Э»<р
R» ‘ Э₽* :
R* да»
D /Э*® д»и>\
*= др* +V да» ):
=__|_ _д^_
*’ R» дадр •
м___________ЕР д»и>
'»~~ 12(1 + v)J?s ‘ дадр
(14.100)
д»Ф
Подстановкой ш = у* у* Ф; <р = REI - получаем
от.2
нз уравнений (14.99) одно дифференциальное уравнение
восьмого порядка
n I _ 04 ф #4
vVv’v* ф + ~~~d Рг' <14 W|)
где
С*= —— .
12R*
Рис. 14.31
Перемещения, усилия я моменты выражаются через
разрешающую функцию Ф следующими формулами:
д»Ф д»Ф
Ио> --------V------ ;
ЛкЗр* да»
Г д»Ф д*Ф1
o“-hr+(2+vwJ;
w = у* у* Ф;
,, Et д*Ф „ Et д*Ф
R да» др» R да*
___Et д*Ф
R да’ЭР :
„ D Г д» й*
4 “ +v <14- ,02>
к* I от1 ар*
.д D Г * * 1
1 Д’ I d₽’ da’J
d а®
м,,»-—(1-V)— ч»ч»ф..
л. D Г Э* д» •
°'-—I^+2',-v>*5pJ^
. D Г Э* д» 1
o’=-vfe+2(,-v)^pH!*-
Здесь Q| и 0; — обобщенные поперечные силы (в смыс-
ле Кирхгофа), необходимые прн формулировке гранич-
ных статических условий.
Однородное уравнение (14.101) (р.—0) может быть
разложено иа четыре независимых уравнения:
ЭФ,
у*ф1 + т(1 + |)—— = 0:
стх
ЭФ,
У*Ф, — т(1 +1)-т— = 0;
оа
дФ.
7*Ф3 + Т(1-П-Г7' = О;
оа
дФ.
V‘*« —T(l —i)-7— =0,
(14.103)
112
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
где
4 / 3(1—у2)/?2
Г
Полное решение однородного уравнения
Ф = Ф1 + Фа + Фз + Ф<
(14. КМ)
Оболочка, свободно опертая по контуру. Нагрузка
считается положительной, если она направлена по внеш-
ней нормали (на рнс. 14.31 нагрузка р, отрицательна).
Граничные условия:
при в=0иа = а! = у u=w = .Vl = A41 = 0
прн р = 0 н р = р1 и = и> — Nt = (И, = 0.
Нагрузка pt и разрешающая функция представляют-
ся в виде двойных тригонометрических рядов.
Окончательное выражение для разрешающей функции
имеет вид:
Ф(а,р)=— X
(14105)
а, Б.
4 Г С ~ . шла . ллр
ятп = —7" 1 I Ра(®. ₽)*<"— sin—-dpda,
“iPi J J “i Pi
Перемещения и усилия в любой точке срединной по-
верхности в соответствии с формулами (14.102):
4XuP VI VI m (w|S — X-n2)
ajiiEt (m2 -J- Х2л2)4 -f- pm4 X
шла ллР
X cos-----sin —4- F ft, n);
“i Pi
4X[1P y| Vln|X-n- + 2(l 4-v)m4
а,л£/ (m- + X2n2)4 + pm4
m—1 л«=1
тла ллр
X sin --sin—— f ($, i]);
ai Pj
4ХэрР m2n®
a^R 2j (<ns + Х4л»)4 + pn4 X
ff1=>l n—1
тла ллВ
X sin ----sin—- F(5, Tj);
°i Pi
<>4«P VI V m<______________________x
ajR ^j('n4 + *=n2)4+l“’i‘
m^l /i“l
. гола . ллр ,
X sin------sin -г— F (£, 1]);
ai Pi
(m* + Хгл3)4 + pm4
„ P a „ b
: a, = — : Pi '
12R2 1 R ” R
a) Случай радиальной сосредоточенной нагрузки Р.
приложенной в произвольной точке с безразмерными ко-
ординатами а = | н ₽=т] н направленной по внешней
нормали вниз
4Р
fl™=
m«l n—1
4a?XpP
* = —
mna . ллр _ .
sm —sin —Fft.i))
gi Pi__________
(m’ +A«n’)« + |im‘
(14-106)
где
cn . . CT«E . ЛЯ1)
F (E. »1) = sin----sin ——;
®i Pi
« _ ®1 __o_.
Pi b '
I — v\ ai 12 (1 — v?) a*
С1 n*~ л* ’ R*P ‘
шла ллр
X cos-----cos —— F (J, t)):
°i Pi
o2P
a> = — (ш«—ш*);
(14.107)
A)i = P(Ml0-A(u);
М,= Р{МК-МЛ);
Ма = Р(М^-М\»).
Здесь a’». Mic. Мж н Alj®1— прогиб н моменты от силы
Р= I в плоской пластинке со сторонами о н 6:
ОС ®
_ 4Х VI VI 1
“° - л4 2j 2j(m2 + Х2л»)3
И1 = 1 Л”1
тла . ллр
X sin------sin -т— F (Е. л):
<Х1 Pi
47. V VT ш» + тТХи2
Мк = л2 2j 2j(m2 + X2n=)2
л««1
шла . ллр
X sin ---sin —— F U, ч);
°i Pi
MS. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
113
_ 4Х VI VI Х»л» + vm2
Мю~ л» 2j 2j(m’ + X«>1>)5
тла ллВ
X sin---sin— F (E, <]);
®1 Pl
nivl Л»!
шла яп3 - . .
x cos-----cos — F (6, ti).
“i pi
Величины ш», Mi*. М», Mf*1 связаны с кривизной
оболочки:
a>t
тяа ллр
“ °ц т« sin--------------sin -jj—
S Xi (m« + X’n1)* [(m* + X«n*)« + pm*] F
/71=1 Л*=1
Mu= —X
4/11 1111 • тЛа 1 ЛЛ₽
m* (/Л1 +wn*) sin-sin —-
®1 Pl r,
(m* + X»n’> ](m« + X*n»)« + pm‘| Л):
mna лл0
X sin---cos--------:
“1 Pl
16Х2ц VI mn шла ллВ
"i =----7 ;—si"-------------------sin-—;
я2 £.Cma a, pI
П1 = 1 Л = 1
16p VI VI m3 m.ia плВ
•va =---ГЙ1 / 7,—7—sin------------sin-g—;
л» nCm„ a, Pi
"=• "=l (14.108)
l6Xll
А и----- Rp X
л*
SV1 m2 шла ллВ
2jF“ cos^~cos я ;
l-mrt al Pl
m=l я=1
pa*
w = -fi- (“о — W»): му = рп'-(Мю — Л1,*);
M, = A>2 = (M„ - Mtiy.
Л/12 = раг (M<$’ -
Сли = (mS + ^2n2)4 + pm*.
Здесь
a-o =
s
771al П = 1
. mna ллВ
sin------sin——
«1 fa
mn (m~ X2n2)2
**-£ X
......... ... mna . ПЛР
«> “ m* (Х’л* + vm>) sin-sin-
SV g| pi
Zj (m« + Х»л») ](т» + X«n=)‘ + цт*
Af{? = ^(l-v)X
“ , тла ллр
' тЬп COS ~a— COS
J“ (m* + X’n*) ]{.m« + X«n«)* + цт‘| F Л)
б) Случай равномерно распределенной поверхностной
нагрузки р,-= const.
Усилия н перемещения:
16u Ran VI VI vm2 — Vn1
“ = _ я’ £rlj х
Л-1 л-1
тла ялЙ
X cos----sin ;
®i Pi
16цХ Rap у, у XW + 2 (1 4- v) m*
п» ’ Et Zj Zj mC^, X
rn-l n~l
16 VI VI m2 4- vX2n2 , тла , ллр
10 л< Ijmn (m2 + ХЗизН" at pt
ffizol л=1
16 VI VI X*ns4-vm- тла ля₽
“jo = “7 z . 7 ।-------7---~~ sin--------sin------;
л* mn (m- X2n2)- at pt
m™| n«=l
mna илВ
« « cos---------cos ——
mn] «г-1
16|l VI VI m3 . тжа илВ
Wk = ~~ > 7 -------------------sin-----sin — :
Л* 4J L n (Я1Ч Vrt2) a, h •
m=| л=1
м _ !&. V V (ns'+ vXS/>S) v
14 л* 2j 2ил(т2 + Х2л*)2Стл
m=l л—1
тла илВ
X sin------sin-----;
O1 Pl
18ц VI VI m’ (A’ns +
= X^).Cro,X
m=l n^I
тла ллр
X sin-----sin ——:
O1 Pl
114
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
<-=^-(1-у)£^(я.>+Х)^7х
Г71—1 Л«>1
шла ллв
Xcos----cos-— *
«! Р1
В этих формулах индексы т н л — нечетные числа на-
турального ряда («1 = I. 3. 6.л-1, 3. 6, ...).
Для круговых цилиндрических оболочек со свободны-
ми криволинейными краями прн отношенни толщины
к радиусу //Я=0.01 и коэффициенте Пуассона v=0
А. Л. Гольденвейзер [291 составил графики, позволяю-
щие определять усилия Wi. Nt, Nlt и Мз, и таблицы для
определения вертикальных перемещений прн равномер-
но распределенной нагрузке.
Если круговые цилиндрические оболочки оперты по
всему контуру (с различными вариантами граничных
условий), то для определения усилий, моментов н пе-
ремещений следует пользоваться таблицами, составлен-
ными В. Д. Жемочкиной и М. М. Мнкшнсом [35].
Это уравнение аналогично уравнению плиты на упру-
гом основании; таким образом, сферическая пологая
оболочка работает так же, квк плита, лежащая на упру-
гом основании с коэффициентом упругого основания
14.5.5. Дифференциальные уравнения пологих
сферических оболочек
в полярных координатах [16]
Изгибающие и крутящие моменты определяются по
формулам:
^DfXa + vZp):
мг=—°(.Хц + 'аа); «„ = 0(1 -'ОХар-
Здесь
__I д’® 1 / 1 д*а 1 даЛ
*•“({ <*”' Z₽= rj \а»‘ др> + а ' да/
1 / 1 dPa 1 да \
ZaB=’^'У’а'дадр ~а3'~др/'
(14.113)
Дифференциальные уравнения моментной линейной
теории в полярных координатах г и ₽ (рнс. 14.32) имеют
вил [2, гл. IX. § 9]:
----~ = 0;
Ftr%
э OR *> 1 . э „ -
Гф-— V V »+ 'оЧр, = О-
г0
(14.109)
В этих уравнениях: <р — функция напряжений; ш —
прогиб срединной поверхности; R— радиус кривизны
оболочки; D — цилиндрическая жесткость:
Это уравнение следует применять только для свобод-
но опертых оболочек. Для оболочек с другими граничны-
ми условиями подстановка (14.110) может привести
к ошибкам, потому в этих случаях следует исходить нз
системы (14.109).
Нормальные и сдвигающие силы определяются по фор-
мулам:
D--------;
12(1 —v«)
А| =
12(1 — v’)R’
Дифференциальный оператор V9 имеет вид
1 / 1 д*ф I дф \
U’ ’ ЭР* + а ' да
. I г д / д \ I ер 1 Г
а | да \ да ) а dp* ] г0
Нагрузка р, и прогиб ® считаются положительными,
если онн направлены по внутренней нормали (на
рнс. 14.32 — сверху вниз).
Подстановкой
w - р2р*Ф и
Ф =- ?>ф
(14.110)
второе уравнение системы (14.108) приводится к виду
(v’v* + l)v*v*® — ’77^ = ° (14.111)
нли с учетом первого равенства (14.110)
V’V’w + и— — рг = 0. (14.112)
N,=
N =__LLL _ 1 А
“ ,2 \а дадВ а» ‘ др)
илн через функцию Ф по формулам
,, Eh I 1 д’ 1 д \ ,.
1 R (а’ ' др’ + а ’ да )V 1
„ Eh ( I д’ 1 д \ _
“ R \а дад[) а’ ' dp)V
(14.114)
(14.115)
Осесимметричные задачи [2, гл. IX. § 10]. В осесим-
метричных задачах нагрузка зависит только от одной
радиальной координаты а, поэтому напряженное состоя-
ние будет также зависеть только от одной переменной а.
Оно будет полностью симметрично относительно осн
вращения.
14.9 ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
115
Уравнения (14.109) превращаются в обыкновенные
дифференциальные уравнения четвертого порядка:
/ d* 1 d Vd1® 1 dw \
\da* а da Д da* a •da) +
R*
4-® = ~^P'
[ <Р , 1 d 'l /d1® 1 d®\
— ]=w.
1 da* а da j \ da* a da)
(14.116)
Крутящий момент и сдвигающая сила равны нулю, все
прочие моменты и усилия определяются по формулам:
D 1 dw \
Mi=- +v
>0 \da* a da J
M,=- D / 1 die d2w \
>0 \ a da da*) '
Qi=- D d /d*w 1 dm \
da \da* a da)'
u L 1 1 d*<p
1 3» a da’ 1 Л da9' rG
(14-117)
Общий интеграл первого из уравнений (14.116) имеет
вид
w (a) = Л,/, + 4" ^3/3 4" ^4/4 4” ®р (я) • (14-1181
Здесь »F(o) — частный интеграл неоднородного урав-
нения; /1. It, /,. /, — некоторые функции а, представляю-
щие частные интегралы однородного уравнения.
Значения функций /. и их первых производных приве-
дены в габл. 14.16 Значения вторых производных вы-
числяются по формулам:
/3 = /4- а /3: а Ц-
Значения постоянных Аъ Аг, Аг и А, определяются из
граничных условий.
Частные случаи. 1. Сферическая оболочка находится
под действием сосредоточенной вертикальной силы Р,
приложенной в верхней точке (полюсе). На опорной па-
раллели, имеющей радиус Ь, оболочка закреплена шар-
Таблнеа 14.16
Звачеаиа функций /,. I* I, и их первых пронводных
a | /, 1, 1 /' t
0 +1,0000 0 0 0
0.1 -1,0000 - -0,0025 -0.0001 4-0.0500
0.2 1.0000 - -0,0100 -0.0005 +0 1000
0.3 • -0.9999 --0.022S -0,0017 +0.1600
0,4 - -0,9996 --O.CMOO -0,0040 4-0.20»
0.5 4-0,9990 +0.0625 —0,0078 4-0.2499
0,6 4*0,9980 +00900 -0,0135 +0.2998
0.7 4-0,9962 +0,1224 -0.0214 4-0.3496
0.8 4-0,9936 +0,1699 -чЭ.0320 +0.3992
O.9 4-0.9898 4-0,2023 -0,0455 +0,4485
1.0 4-0,9844 4-0,2496 —0.0624 +0.4974
1.1 +0,9771 +0,3017 —0,0831 +0.5458
1.2 +0,9676 4-0,3587 —0,1078 +0.5935
1.3 +0.9654 +0,4204 -0.1380 +0.6403
1.4 +0.9401 +0.4857 -0.1709 +0.6800
1.5 4-0,9211 +0,5576 -0,2100 +0.7302
Продолжение габл. I4.lt
a /1 I, /' •
1.6 +0,8979 +0,6327 -0,2545 +0,7727
1.7 4*0.8700 +0,7120 —0,3048 +0.6131
1.8 +0.6367 +0,7953 -0,3612 +0,6509
1,9 +0.7976 +0.8821 -0.4238 +0,8857
2.0 +0.7517 +0.9723 —0,4931 +0,9170
2.1 +0.6987 +1.0654 -0 5690 +0.9442
2.2 +0.6377 4-1,1610 -0,6520 - -0 9666
2.3 +0.5680 + 1.2585 -0,7420 - 0.9836
2.4 +0.4890 +1.3576 OB392 +0 9944
2.5 +0.4000 +1.4572 —0,9436 4- k 9983
2.6 4-0.3001 +1.5669 -1,0552 +0.9942
2J +0.1887 +1,6557 -1.1738 +0.9814
2.8 +0.0651 +1,7529 -1,2992 +0,9590
2.9 -0,0714 + 1.8472 -1 4314 +0,9256
3.0 —0.2214 +1.9376 -1,5698 +Э.8Э04
3.1 -0.3855 +2,0223 -1,7141 40,8223
3.2 -0 5644 +2,1016 -1.8636 40,7499
3.3 -0.7684 +2.1723 -2.0177 +0.6621
3,4 -0,9680 +2,2331 -2.1755 +0,6577
3.5 -1,1936 +2,2832 -2,3361 +0,4353
3.6 -1,4353 +2,3199 -2,4982 4Or2936
3,7 -1,6933 +2,3413 -2,6608 +0,1062
3.8 -1,9674 +2,3454 —2,8222 -0,0626
3,9 -2,2576 +2,3300 -2,9808 -0,2596
4,0 -2,6634 +2,2927 -3,1346 —0,4912
4.1 -2,8843 +2,2309 -3.2818 -0,7482
4.2 —3,2195 +2.1422 -3,4200 -1.0318
4.3 -3,6679 +2,0286 -3 5466 —1,3432
4.4 -3.9»3 +1.8726 -3,6588 —1,6832
4,5 —4,2991 +1,6860 -3.7536 -2,0626
4,6 —4,6764 +1,4610 -3,8280 -2.4520
4.7 -6,0639 +1.1946 -3,8782 -2,8818
—5.4531 —3,9006 —3,3422
4.9 -5’.8429 +0 5251 -з.вэю -3.8330
5.0 -6.2301 +0.1160 -3,8454 —4.3542
5.1 -6.6107 -0.3467 -3.7589 —4.9046
5.2 -6o9803 ,-0.8658 -3.6270 -5.4835
5,3 -7,3344 —1 4443 -3,4446 -6,0892
5,4 -7,6674 -2,0845 -3,2064 -6,7198
5.5 -7.9736 -2,7890 —2,9070 -7.3729
5.6 -8.2466 -3.5597 —2,5410 - 8.0454
5.7 -8,4794 —4.3966 -2,1024 - 8.7336
5.8 —8.6644 -5,3068 -1.5856 - 9,4332
5.9 -41.7937 -6,2854 -0,9844 -10,1394
6.0 -8.8583 —7.3347 -0,2931 —10,8462
Продолжение табл. I4.lt
a •г •е /' • Г
0.0 +0.5000 0
0.1 +O.49SS —1,5409 -ОгООЗ +6.3413
02 +0,4826 -1,1034 -0,1419 +3.1340
0.3 +0.4667 -0,8513 -0,1746 +2,0498
0,4 +0.4480 —0,6765 -0,1970 +1.4974
0.5 +0.427$ -0,5449 -0,2121 +1.1585
0.6 +0.4058 -0.4413 -0,2216 +0,9273
0.7 +0.38.44 -O.3S74 -0,2268 - =0,7382
0,8 +0.3606 -0,2883 -0,2286 - -0.6286
0.9 +0,3477 -0.2308 -0,2276 - -0,6268
1.0 +0.3151 —0,1825 -0,2213 --0,4422
l.l +0.2929 -0.1419 —0,2190 +0,3730
1.2 +0.2713 -0,1076 -0.2129 --0,3149
1,3 4-0,2504 -6.07459 —0,2064 --0,2686
1.4 4-0,2302 -0,05419 -0.1971 - -0,2235
1.5 +0.2110 -0.G3370 -0.1882 --0.1873
1.6 +0.1926 -0,01657 -0,1788 +0,1560
1,7 +0.1752 -0.00235 —0,1692 - -0,1290
1.8 +0.1588 +0,00936 -0,1594 - -0,1066
1.9 +0.1433 +0.01888 -0,1496 - -0,06539
2.0 +0.1289 +0.02651 -0.1399 +ОРО6786
(Предо жжение таблицы на с лед. етр.>
116
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Продолжение табл. 14.16
a 'з >3
2.2 4-0.1026 4-0.03712 -0.1210 4-0,03968
2.4 4-0.06039 4-0.04290 -0,1032 4-0.01892
2.6 4-0.06136 443-34463 -0.08675 4-0,0039)
2.8 4-0.0+583 4-0.04474 -0.07186 -0.00662
3.0 4-0.03256 4-0.СЧ267 —0.05660 —0,01367
3.2 4-0.02202 4-0.03944 -0.04607 —0,(11805
3.4 4-0.01366 4-0.03557 -0.03692 -0.02041
3.6 4-0.007152 4-0.03139 -0.02836 —0,02127
—0,02117
4Й0 1о’о6|398 4-0*02304 -0,01522 -О^ОЮМ
4.2 —0,,003943 4-0.01917 —0,01039 —0,01855
4.4 =0.005620 4-0'01564 —0.006522 -0,01675
4.6 -0.006606 4-0.01248 -0.003497 -0.01482
4.8 -0.007066 4-0.00971 -0.001190 -0.01286
6.0 —0.007122 4-0.007309 4-0.0005218 —0,01095
б 2 —0 006893 4-0 006325 4-0.001735 —0 009147
6.4 -0,006456 4-0.003661 4-0,002546 —0^007496
5.6 -0.005892 4-0.002312 4-0.003036 -0,006014
£.8 —0.005257 4-0.001243 4-0.000276 —O.OO4711
6.0 —О.ОО45Я 4-0.0004166 4-0.003326 -0,003585
нирно. Граничные условия: прн а=а3=Ь/г0; ш=0;
М,=0.
Из условий, относящихся к полюсу оболочки, следует,
что
Р>о
Аз=ю И л< = 0-
Вследствие отсутствия распределенной поверхностной
нагрузим частный интеграл шр(а)=0.
Отсюда согласно (14.119) прогибы и моменты опре-
деляются по формулам:
Р<о
«= AJi + A,!, + —/»;
Если коэффициент Пуассона v=0, то
(14-121)
2. Та же оболочка, защемленная по опорной парал-
лели.
_ Ь
Граничные условия: прн a~aj=—; <в=0; w =0.
го
Прогибы и моменты и в этом случае определяются по
формулам (14.120); постоянные А н Аг при v=0 равны:
(14-122)
3. Сферическая оболочка под действием нормальной
нагрузки р. равномерно распределенной по всей поверх-
ности. Коэффициент Пуассона v=0. В данном случае
нз условий у полюса оболочки Дз=Д<=0. Частный ин-
теграл
(14.123)
Прн защемленном крас:
R2 - 4 («г) Л (°) +/; (Дг) /г («) + ( /, /г - /2 /;) аг
Е1,р
(14.124)
S. ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ
117
4. Кольцевая пологая сферическая оболочка под дей-
ствием вертикальной равномерно распределенной на-
грузки р, приложенной по верхнему основанию.
Если по нижнему основанию оболочка имеет шарнир-
ное закрепление, то граничные условия будут:
прна = а1 =— Mt = 0; Qt = — psin у;
г* b
при a = Ot - — o^=0; A4t = 0.
ro
Здесь у — угол наклона к осн вращения касательной
к меридиану в точке а. Величина ш определяется по
формуле (14.118), в которой надо положить а>Р(а)=0.
Для определения коэффициентов At, Аз, Аз, At необхо-
димо решить систему уравнений:
[1—v ,, ,1 I
+ ^['a(“i) + 4r/«(a*)] = 0;
^1^2 (al) — ^2 —^4 (a|) +
+ А'з (».) = —p-r. (14I2S)
А Мв2) + ^/2(»г)+ Лз'з(«'г) +
+ АЛ(а.) = 0;
+ ['a(°a) + -4r'<'(“*)] = °-
Моменты определяются по формулам (14.117); для нх
определения необходимо вычислить с помощью выраже-
ний (14.119) и (14.120) вторые производные от ш.
5. Та же оболочка под действием собственного веса
g кГ/м*.
Прогиб w определяется по формуле (14.118), в кото-
рой надо положить
/?’
Для определения коэффициентов Д|, Аа, 4S, 4, необ-
ходимо решить систему уравнений:
АЛ (ai) +--1|Л (ai) + A3I3 (а,) -|-
Я»
+АЛ(«1) + 7Тв = 0;
) (И.126)
сГ £
-* к
+ А 1-».
а[
-А (14.126)
~Аз L
т.<. /,(вв)+ = 0;
А Л (°г) А Л (“2) — АЛ(а2) +
+ А/з(°г) = о-
Во всех приведенных случаях нормальные силы N,
н Nt определяются по формулам (14.117).
Функция <р связана с функцией w уравнением
rf*<p I dtp
Общий интеграл этого уравнения имеет вид
Ф = "Jp (4 1" а + фю). (14.128)
Здесь Лs — новая постоянная интегрирования, опреде-
ляемая из граничных условий; <р« — частный интеграл
неоднородного уравнения
, 1 dq>„
лГ+ш=0- (,4Л29>
которое прн известной функции w легко интегрируется.
14.5.6. Некоторые решения нелинейной теория
пологих оболочек [21]
Ниже приводятся некоторые формулы, полученные
в результате решения общих нелинейных уравнений
(14.91) приближенными методами.
Шаринрио опертая по четырем сторонам пологая па-
нель, прямоугольная в плайе и нагруженная равномер-
но распределенной нагрузкой (см. рис. 14.25).
Обозначим безразмерные величины:
. ^Ь* о \ Л = я * t ' ь
рг ОгР . рхб* Р ~ Е ’ ; Г* ~ ЕР ’ . РуО> А ЕР ’ (14.130)
118
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Здесь Pi — нормальные напряжения на кромках х=0.
х=о; р, — нормальные напряжения на кромках у=0,
у=Ъ. При этих обозначениях зависимость между безраз-
мерными нагрузкой н прогибом выражается формулой:
— ( Рх + fy) £ + k\p'i + *»Ри +
+—-— (4-+х V Е- <и 13|>
т 192(1—V’) \ Ь ]
Частные случаи: 1. Края оболочки свободно смешают-
ся в плане. В уравнении (14.131) надо положить рх —
=р'у =0. Для квадратной в плане оболочки (Х=1) со
стороной Ь прн с=0,3 получим
р* = 7,56’ - 2.066* + (0,154* + 22) 6. (14-132)
где 4=4х-]-4(Г
Для цилиндрической панели шириной Ь и радиусом R
k=b/Rt. для сферической Ь=2Ьг1К1.
2. Края панели не смещаются. В этом случае:
Р; =--y +v) ?+(*?’+О х
Для квадратной цилиндрической панели прн v=0,3 из
формулы (14.131) получим
р* = 28,96’ —6,146* + (0,54* + 22) 6- (14.133)
Края оболочки а плане свободно смещаются и либо
шарнирно оперты, либо защемлены. Зависимость между
нагрузкой н прогибом в центре опорного плана оболоч-
ки выражается формулой [48]
p-=al63 + a26fl62 + «36? + a4t (14-134)
Здесь 6о~1о/1 — отношение начального подъема оболоч-
. Р°*
ки к ее толщине; р — , где а — ширина опорного
плана.
Коэффициенты а,, а21 а3 н а, приведены в табл. 14.17
для квадратной в плане оболочки со стороной о для те-
сти случаев граничных условий, обозначенных в табли-
це римскими цифрами I—VI. Штриховка на рисунках,
помещенных в таблице, означает, что соответствующий
край защемлен относительно углов повороте; отсутствие
штриховки означает, что край шарнирно оперт.
В таблице приведены коэффициенты для сферической
оболочки и цилиндрической панели. Коэффициенты аз
н оз, стоящие в числителе (для граничных условий II,
III н V), относятся к цилиндрической оболочке, у ко-
торой края ab н cd криволинейны; значения aj и а3,
стоящие в знаменателе, относятся к цилиндрической обо-
лочке, у которой края ос и bd криволинейны. Коэффи-
циенты подсчитаны прн v—0,3; прн других значениях
коэффициента Пуассона необходимо величину умио-
0,91
жнть на отношение ------; значения а,, а2 и аз ие нз-
1 —V’
меняются.
Следует иметь в виду, что в случаях II, III и V в таб-
лице указаны величины, относящиеся к прогибу в цент-
ре плана оболочки, а не к максимальному прогибу.
Формула (13.134) может быть использована для пред-
варительной оценки влняння геометрической нелинейно-
сти иа величину нагрузки для заданной конкретной обо-
лочки, иными словами, ее можно использовать прн ре-
шении вопроса о выборе теории для расчета заданной
оболочки (см. 14.14). Для этого подсчитывается наи-
большее значение всех нагрузок (₽•), действующих иа
оболочку (вместе с коэффициентами перегрузки). Далее
по формуле ii=p*lat подсчитывается значение прогиба
6я, определяемое линейной теорией. Это значение про-
гиба подставляется в формулу (14.134), по которой вы-
числяется соответствующее значение нагрузки р’ и под-
считывается относительная разница между р* и р :
Ри — Р'
р’
а. а. „
-Г(Р,)’ + -7б«Р, + -^-6?.
eq “з
Если эта разница не велнка (например, меньше 5%), то
расчет заданной оболочки можно производить по линей-
ной теории.
14.8. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ
И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
14.6.1. Основные обозначения
и классификация сводов-оболочек
Своды-оболочки и складкн (см. 14 I) вдоль криволи-
нейных краев опираются на диафрагмы, а вдоль прямо-
линейных краев окаймляются бортовыми элементами.
Расстояние между опорными диафрагмами называется
пролетом оболочки илн складкн н обозначается 1>. Рас-
стояние между бортовыми элементами называется дли-
ной волны н обозначается fe. Стрела подъема оболочки
(без бортовых элементов) обозначается /0 (рнс. 14.33).
Для расчета сводов-оболочек и складок приняты сле-
дующие обозначения координатных осей: ось. параллель-
ная образующим поверхности оболочкн, называется про-
дольной н обозначается х; горизонтальная н вертикальная
оси в плоскости поперечного сечення оболочкн — у н г;
криволинейная ось. направленная вдоль контура попе-
речного сечения оболочкн, — s; нормаль к поверхности
оболочки — V.
Опорные диафрагмы прн расчете оболочек и складок
условно рассматриваются абсолютно жесткими в своей
плоскости и абсолютно гибкими из плоскости.
В общем случае напряженное состояние оболочек
н складок определяется десятью силовыми факторами
(рис. 14.34,а): нормальными и сдвигающими силами
14.6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
119
Таблица 14.17
Коаффицкенты а для сферической и цилиндрической оболочек
Граничные условии Сферическая оболочка Цилиндрическая оболочка
а. <4 <14 «Ч <> <11 а.
4-8.63 —19.62 4-9.92 4-22.12 4-6.63 —19,62 4-9,92 +22.12
1
о __
с +9.9 —19.05 4-9.15 4-32.51 4-9.9 -20.4 -17.7 4-9.34 +7.05 +32.61
11
ь а
о с 4-7.57 -13,65 4-5,48 4-45.07 4-7.57 —11.55 4-5,07 +4.45 4-46.07
ш
Ъ 0
1 X IV X X 4-12.45 -20.18 4-7.27 4-43.59 4-12.45 -20.18 +7,27 +43.59
\
с 4-10.31 -15.64 4-5.27 4-56.99 4-10,31 -15,2 -16.03 +4,99 +5.55 +56,99
V
/ /2Л а
/ 4-9.21 —13,10 4-4J3 4-68.8Э 4-9.24 -13.1 4-4,13 4-68,89
VI / >
/
Рис. 14.33
А\; /V; 5| = 5; изгибающими и крутящими моментами
Mr, М; Н|=Я н поперечными силами Qj и Q*.
Цилиндрические оболочки н складки для расчета ус-
ловно принято подразделять на следующие три группы**:
а) длинные при Л//а>3; б) средней длины прн 3 >
>6 й. 1; в) коротиие при /|Д2<1.
В оболочках большой и средней длины продольные из-
гибающие н крутящие моменты и Я) являются вто-
- В предыдущих главах для цилиндрических оболочек уси-
лия и моменты по сечениям вдоль осн х обозначены с индек-
сом 2: в этой главе индекс 2 для произвольной точки поперечно-
го контура опущен, а для конкретной точки индекс соответствует
номеру этой точки. Сдвигающая сила обозначена через S вместо
Nt:. я крутящий момент — через Н вместо Mv.
•• Своды-оболочки и складки средней длины по классифика-
ции Инструкции 1961 г. (37] отнесены к длинным оболочкам,
рассчитываемым с учетом деформаций поперечного контура.
120
РАЗДЕЛ И. ОБОЛОЧКИ
ростепеннымн н могут быть отброшены. В коротких обо-
лочках влияние поперечных моментов (Л4) резко падает,
а продольных (Mi) возрастает.
В длинных свободно висяшнх оболочках н складках
деформация контура н поперечные моменты мало влия-
ют на величину н характер распределения продольных
напряжений в поперечном сеченнн.
Рис. 14.34
В соответствии с классификацией н характером рабо-
ты цнлнндрнческнх оболочек н складок вводится ряд
гипотез и допущений, позволяющих упростить нх расчет.
Длинные своды-оболочки н складки со свободно ви-
сящими продольными краями прн симметричном сечении
н нагрузке рассчитываются как балкн. а прн несиммет-
ричном сеченнн нлн нагрузке — как тонкостенные стерж-
ни, но без учета жесткости прн чистом кручении [37,
стр. 51—76]. По длине оболочки нагрузка либо постоян-
на, лнбо медленно изменяется. Поперечные моменты М,
соответствующие нм поперечные силы Q н нормальные
силы поперечного направления N определяются из рав-
новесия полоски единичной ширины, выделенной в про-
лете, в месте наибольшего значения продольного балоч-
ного момента. По длине пролета нзмененне М и Q при-
ближенно можно принять таким же, как изменение про-
гибов в балке, с той же схемой опор, а нзмененне N —
как нагрузки.
Напряжения в коротких оболочках невелики, поэтому
прн обычных пролетах н нагрузках такие оболочки рас-
считываются упрощенно [37, стр. S1—102].
нако, как показали экспериментальные и теоретические
исследования, в ряде частных случаев это взаимное
влияние незначительно н для упрощения расчета им мо-
жно пренебречь [37, стр. 47—51].
Средние волны многоволновых складок с поперечными
сеченнямн, приведенными на рнс. 14,35. прн Ii/(j^2, на-
груженные равномерно распределенной нагрузкой
Рнс. 14.36
(рнс. 14.36,0). могут рассчитываться в продольном на-
правлении, как балкн корытообразного сечения
(рнс. 14.36.0).
Для определения поперечных моментов в средних
волнах по длине складки выделяется полоса шириной
1 м, которая рассчитывается как неразрезная балка
с опорами по ребрам складкн (рнс. 14.36, а).
Рис. 14.37
14.6.2. Расчет оболочек н складок средней
длины. Допущения и гипотезы
В общем случае оболочки средней длины рекомендует-
ся рассчитывать с учетом взаимного влияния продоль-
ных усилий и поперечных изгибающих моментов. Од-
Плато
Ыртобой менент
Рис 14.35
Средние волны многоволновых бесфонарных и фонар-
ных с распорками цнлнндрнческнх оболочек с симмет-
ричным поперечным сечеинем, со свободно внеящнмн
продольными краями, прн (|/Z9>2, нагруженные равно-
мерно распределенной нагрузкой (рнс. 14.37.0), могут
быть приближенно рассчитаны как балкн корытообраз-
ного сечения подобно длинным оболочкам (рнс. 14.37,в).
Одноволновые н многоволновые оболочки с попереч-
ными ребрами высотой не менее */а^а и числом более
трех, нагруженные равномерно распределенной нагруз-
кой, могут в продольном направленнн также рассчиты-
ваться как балкн корытообразного сечення. За расчет-
ное поперечное сечение, воспринимающее продольные
усилия, принимается сечение между ребрами.
После определения продольных нормальных напряже-
ний и сдвигающих усилий S поперечные момен-
ты М. поперечные силы Q н нормальные силы попереч-
ного направления N в ребристой оболочке определяют-
ся как в длинных оболочках. Прн этом в пролете обо-
лочки выделяется поперечная полоса шириной, равной
шагу поперечных ребер [37, стр. 70—76].
Одноволновые складкн н оболочки и крайние полу-
волны многоволновых складок н оболочек средней дли-
ны. промежуточные волны многоволновых оболочек прн
'1/6^2 н оболочки, опертые по контуру независимо от
их. своды-оболочки и призматические складки
длины, рассчитываются с учетом деформации поперечно-
го контура н взаимного влияния продольных нормальных
сил н поперечных изгибающих моментов. Прн этом край-
ние полуволны многоволновых оболочек н складок со
свободно внсящнмн продольными краями можно при-
ближенно рассчитывать как полуволны одноволновэй
оболочкн нлн складкн с симметричным сечением
(рис. 14.36.6 н 14.37,6).
Одним из распространенных практических методов
расчета цилиндрических оболочек средней длины произ-
вольного сечення является метод заменяющей складкн,
прн котором цилиндрическая поверхность заменяется
вписанной складчатой системой. Для оболочек кругового
сечення такая замена не обязательна (см. ниже).
В общем случае для расчета цилиндрических оболочек
и складок средней длины обычно вводятся следующие
гипотезы:
а) геометрнческне — деформации сдвига и удлинения
поперечного контура срединной поверхности оболочкн
принимаются равными нулю, деформации изгиба конту-
ра поперечного сечення учитываются;
б) статические — учитываются продольные нормаль-
ные усилия Л'ь сдвигающие S, поперечные моменты М.
поперечные усилия Q н нормальные усилия по продоль-
ным сечениям N; прн этом усилия Nt и моменты М на-
ходятся нз рассмотрения деформаций оболочкн. а ос-
тальные нз уравнений равновесия. Не учитываются рас-
четом продольные моменты М, н крутящие Н. Система
учитываемых расчетом усилий иа единицу длины сече-
ний оболочкн приведена на рнс. 14.34,6. Указанное на-
правление усилий принято за положительное.
Складка представляет собой многократно статически
неопределимую систему. Определение усилий по ее реб-
рам может быть выполнено методом сил1 * (за лишние
неизвестные принимаются усилия), смешанным методом3
(за неизвестные принимаются частично усилия и частич-
но перемещения) и методом перемещений (за неизвест-
ные принимаются перемещения). Метод сил в форме
[73, 74] приводит к системе 12-членных уравнений, он
удобен для расчета складок с небольшим числом гра-
ней. Смешанный метод в общем случае приводит к бо-
лее компактной структуре восьмнчленных, обыкновенных
дифференциальных уравнений. Этот метод подробно из-
ложен в первом издании справочника [87] н в работах
[14, 15, 16, 19, 37]. Вариант этого метода с весьма прос-
той структурой выражений коэффициентов уравнений,
позволяющий рассчитывать также складкн, имеющие
кривизну в продольном направлении, см. в [62а].
В методе перемещений3 почти вдвое сокращается чис-
ло расчетных уравнений, даже если учесть продольные
и крутящие моменты; он применим для расчета оболочек
средней длины и коротких [37, 42, 59]. Этот метод удо-
бен, если заранее составить выражения коэффициентов
уравнений, особенно для цилиндрических оболочек кру-
гового очертания.
В последнее время с учетом использования ЭВМ были
разработаны: а) в МИИТе — метод расчета в перемеще-
ниях многопролетных в одном направлении плитно-ба-
лочных н призматических складчатых систем с шарнир-
ным опиранием на поперечных краях [85]. Решение
строилось на основе интегрирования бнгармоническнх
1 Метод сил расчета призматических складок разработан
П. Л. Пастернаком (73. 74. 76).
* Смешанный метод расчета призматических складок разра-
ботан В. 3. Власовым [14. IS. 16. 19).
3 Метод перемещений для цилиндрических оболочек призма-
тических складок и складок, имеющих кривизну в продольном
направлении разработан И. Е. Мнлейковскнм [42. S7. S9. 60].
В основу был положен вариационный метод В. 3. Власова (16.19).
уравнений плоского напряженного состояния и изгиба
пластннкн (как элемента основной системы) в одинар-
ных тригонометрических рядах; б) в ЦНИИСКе — метод
расчета складчатых систем [63а], а также пологих пря-
моугольных в плане многопролетных в одном н шарнир-
но опертых в другом направлении оболочек складчато-
го типа, поверхность которых вписывается в поверхность
переноса положительной, нулевой н отрицательной гаус-
совой кривизны [636]. Решение строилось путем приве-
дения исходных уравнений пологих оболочек на основе
некоторой модификации метода Власова — Канторовича
сразу к нормальным системам обыкновенных дифферен-
циальных уравнений первого порядка, составленных от-
носительно четырех групп обобщенных перемещений и
четырех групп обобщенных усилий. Интегрирование
этих уравнений выполнялось методом Рунге — Кутта
в сочетании с методом Годунова [281. По этому мето-
ду в ЦНИПИАСС на языке АЛГОЛ составлена про-
грамма «РОСТ» (расчет оболочек складчатого типа)
для ЭВМ. Учтена совместная деформация обо-
лочек с промежуточными диафрагмами н диск-
ретное расположение ребер жесткости н переломов
поверхности в одном нз направлений. Прн разработке
метода и программы «РОСТ» не вводилось никаких
дополнительных гипотез, помимо основных гипотез тон-
ких оболочек Кирхгофа — Лява. В результате оказыва-
ется возможным избежать разделения складчатых систем
иа длинные, средине н короткие.
Расчет круговых цилиндрических оболочек средней
длины методом перемещений (вариационный метод)
[59, 60]. Прн расчете цилиндрических оболочек кругового
сечення с радиусом дуги R=const проще не использо-
вать метод заменяющей складкн. а сохранить исходную
поверхность. Продольные перемещения и (х, s). танген-
циальные перемещения (по касательной к контуру)
v (х, s) и перемещения по нормали ш (х, s) любой точки
срединной поверхности оболочкн (см. рис. 14.33) пред-
ставляются в виде конечных рядов:
u(*.s) = St'r(x)b(s)‘.
I
р(х.х) = ЕУ,(х)Л/(«); (М1ЗД
W(x,s) = £ Vj (x)f£ <s).
<
Каждый член ряда образован нз произведения двух
функций, одна из которых зависит от продольной коор-
динаты х, а вторая — от поперечной (тангенциальной)
координаты s.
Функции Ui(x) и ^(х). зависящие только от коорди-
наты х. это неизвестные функции обобщенных продоль-
ных и поперечных перемещений, подлежащие опреде-
лению.
На основании принятых геометрических гипотез этн
функции связаны между собой зависимостью (которой
подчиняются угол поворота н прогиб оси обычной балки)
(//(x) = -V<'(x). (14.136)
Поэтому для расчета достаточно определить нлн функ-
ции 1/<(х) нлн Vi(x). Функции E<(s); t)i(s) и Ms) назы-
ваются элементарными нлн единичными (а также коор-
динатными). Онн определяют соответственно нэмененве
продольных и поперечных (по касательной и по нормали)
перемещений точек контура сечення оболочкн при V( = 1
и характеризуют единичные деформированные состояния
расчетной модели. Вид этих функций устанавливается
122
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
предварительно (см. ниже). Благодаря принятым геомет-
рическим гипотезам функции £<(«): 4i(s) и /<(s) взаимо-
связаны равенствами (59, стр. 17, 18]:
tj (а) = П, (а); (а) = Ц (а);
*,= !/£; (14.137)
поэтому достаточно установить вид функций J<(s).
Единичные функции перемещений должны быть непре-
рывными и удовлетворять условиям сопряжения оболоч-
ки с бортовыми балками.
Рнс. 14.38
Рассматривая оболочки с симметричным поперечным
сечением, следует разделять единичные функции на сим-
метричные н обратно симметричные.
Симметричные функции £<(s) определяются выраже-
ниями (рнс 14.38,0):
5о=₽: Ei(s) = b; Ь(а) = Лз1п₽я8.
где (0 < 8 < 29,), n — 2i — 3; ₽л = '77“‘: (14-138)
i = 2,3,4,...;
20, — центральный угол дуги поперечного сечения;
6 — переменный угол, отсчитываемый вправо от радиу-
са-вектора в точке 1 (рнс. 14.38.0).
Обратно симметричные функцнн J<(s) определяются
выражениями (рнс. 14.38,6):
Ео(а) = у; Ь (а) = b(s)= Rsinp„6,
Л\
где п = 21 — 2; i = 2,3,4,...
Функцнн н характеризуют распределение продоль-
ных перемещений в сечении оболочки по закону плоских
сечений и секторнальных площадей (нли пропорциональ-
но им) как для балкн н тонкостенного стержня; осталь-
ные функцнн определяют деплаиацню поперечных се-
чений, связанную с деформацией их контура [60].
В силу геометрических гипотез вид функций £<($) для
контура поперечного сечения плнты оболочки определяет
их вид также в сечениях бортовых балок (см. рнс. 14.38)
[GO, стр. 43].
Напряжения а= —н поперечные моменты М на ос-
новании закона Гука и принятых гипотез выражаются
через перемещения по формулам:
а = (х) J. (s) = - Е (х) J. (з);
М = — £ Vt (х) Mt (s); (i = O,l,„.). (14.140)
<>1
Единичные функцнн Mi(s) характеризуют изменение
поперечных моментов вдоль контура поперечного сече-
ния и определяются по формуле [59. стр. 19]
Mt = El [/;(s) + *|Ms)], (14.141)
где / — момент ннерцнн единицы длины продольного
сечения оболочки. Если оболочка имеет более трех равно-
мерно расставленных поперечных ребер, то момент инер-
ции I вычисляется по формуле /=/р/1р. где /р— момент
ннерцнн продольного таврового сечения, образованного
нз сечения ребра и продольного сечения плнты шириной,
равной шагу поперечных ребер If.
Для определения неизвестных функций 1/<(х) или
V<(x) по длине оболочки выделяется элементарная попе-
речная полоска шириной dx (см. рнс. 14.33) н составля-
ются уравнения работы всех сил, действующих на эту
полоску на возможных ее перемещениях, за которые при-
нимаются функцнн £i(s) н f<(s). После ряда преобразо-
ваний получается система дифференциальных уравнений
равновесия элементарной полоски, имеющая вид [59,
стр. 21 и 47]:
£ Ео(( V™ (х) + £ Es/t V, (х) - 4j (x) = 0;
(/, i = 0,1,2,-..). (14.142)
Коэффициенты уравнений и свободные члены вы-
числяются соответствующим взаимным интегрированием
-эпюр единичных функций и функцнн нагрузки по дли-
не b контура поперечного сечения оболочки:
°U = p/(s)b(s)<ds; аЦ = °1Г.
1 f Mj (s) М( (s) ,
s/i = s/' = зд
(14.143а)
ds.
(14.1436)
р* н рг — интенсивности вертикальных
горизон-
те
тальных нагрузок; f* н /Г (s) — проекции ординат еди-
ничных функций поперечных перемещений на верти-
кальное н горизонтальнее направления.
14.6 СВОДЫ ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
123
Т а б л нц а 14.18
Коаффнцяенты рам о жен ня на груз ми в рад по фундаментальные! функциям
Вид нагрузки Род закрепления А А А л
край х=0 | крах х=/,
Оперт Оперт 1,2732 0 0,4244 0
Защемлен | Защемлен 0.8164 0 0.3639 0
Постоянная » Свободен 0.5748 0.4419 0.2542 0.1819
» Оперт 1.2168 -0.1169 0.4729 -0.06198
• • 0.6J66 —0,3183 0.2122 —0,1591
По закону треуголь- * II Защемлен 0.4082 -0.1902 0.1818 -0.1216
ынкв г— — /, » 1 Свободен 0.4176 0,09245 0.03239 0.01664
• ' Оперт 0,6377 -0.3438 0.2499 -0,1958
В силу ортогональности тригонометрических функций
£<(•> 1). тл=0 при j^i.
Решение уравнений равновесия (14.142) для оболочек
средней длины выполняется с помощью разложения пе-
ремещений Vj(x) н свободных членов q/(x) в ряд по
фундаментальным функциям свободных колебаний
балки:
М*) = Е<гт(«): (т=1.2....«);
т
т
(14.144)
Функция удовлетворяет дифференциальному урав-
нению:
(х) = A4m Zm(х); Xm = . (14.145)
Общие выражения функций Zn(x) н параметров |х»»
для различных схем опирания однопролетных оболочек
на криволинейных краях и значения этих функций н их
производны* для первых четырех членов ряда приведены
в работах [19, стр. 81—86 и 37. стр. 280]. а для последу-
ющих четырех членов в [61].
Если эпюре поперечной нагрузки по длине оболочки
постоянна (р (х) = const] или имеет вид треугольника
[р(х) =рх/1,] с максимальной ординатой р, то коэффи-
циенты определяются выражением
<’Лп=<’/Лп (14.146)
Коэффициенты Ат для первых четырех членов разложе-
ния нагрузки приведены в табл. 14.18. Если нагрузка ме-
няется по трапецнн. то коэффициенты А1т получаются
линейной комбинацией для первых двух схем; qi опреде-
ляется по формуле (14.143 6).
Прн расчете на сосредоточенную вертикальную нагруз-
ку Р* (о), приближенную к бортовой балке или к попе-
речным ребрам в точке k сечения х=а:
о! (a) Zm (а)
ч1т — я ;
ql(a)=P*(0)f'i. (14.147)
где коэффициенты В„ определяются нз табл. 14.19.
Т а б л и ц 14.19
Схема граничных условий на торцах в. fi. в. ®т>4
U х 0,500/. 0,500/, 0.500 /. 0,600 Г, 0,500/,
1 1 1.0369/, 0,9984 lt >
1 X 0,4996 !, 0,4999/. 0,4999 1, 0.50021, о.в/,
1 1,8656 It 0,9640/, 1,0061 /, 0,9999/, 1,
124
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Таблица 14.20
Матраца алгебраических уравнений пра симметричной вертикальной нагрузке
№ уравнения Свободные члены
0 “ОО^т «оХ в02 0
1 • 0,х °12^т в13^т -"Г’*
2 • • °22 + s22 °23*т ।
3 • • • °33 + s33 -4т
Дифференциальные уравнения (14.142) после подста-
новки (14.144) преобразуются в алгебраические; прн этом
для каждого из первых членов ряда (прн т=1, 2, 3, 4)
эти уравнения можно разделить на совместную систему,
состоящую нз четырех уравнений, определяющих пара-
метры и V^m прн i=0, 1, 2, 3 и независимые урав-
нения:
(\п aii + s,y) im = Ч)т\
(i = i>3). (14.148)
Такая возможность обусловливается резким увеличе-
нием главных членов уравнений, содержащих коэффи-
циенты slf. Независимые уравнения (14.148) уточняют
эиачення поперечных моментов; при этом для практиче-
ского расчета цнлнидрическнх сводов-оболочек, загру-
женных распределенной нагрузкой, достаточно ограни-
читься учетом одного из уравнений (14.148) при /—4.
Для оболочки с симметричным сечением совместные
уравнения в форме матрицы (по Власову) для расчета
на симметричную нагрузку приведены в табл. 14.20 н в
табл. 14.21 для расчета на обратно симметричную на-
грузку (индекс т прн неизвестных параметрах опущен).
Не указанные в этих таблицах побочные коэффициен-
ты, относящиеся к нижней левой половине матрицы,
отмечены точками и определяются нз условия симметрии
на основании равенств, приведенных в формулах
(14.143). Для получения какого-либо уравнения нужно
коэффициенты одной строки умножить на неизвестные,
выписанные над ними в верхней строке матрицы, приба-
вить свободный члев этой строки н результат прирав-
нять нулю.
Для оболочек с соотношением I|/1S>1,5 последнее
уравнение табл. 14.21 уместно решать независимо or
остальных, подобно уравнениям (14.148).
Таблиц» 14.21
Матрица алгебраических уравнений при обратно симметричной вертикальной нагрузке
м уравнения *3 VO Свободные члены
0 °СхХ ябХ °оХ я03Лт 0
1 • ОцЛХ °12*т °13Хт 1 Нз*
2 • • °22 Кп + ^22 аП^т п ~ Е Чг
3 • • • °33 + s33
14.6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
125
Таблица 14.22
Выражения коэффициентов а.. = ( «9. FQ + j Л2
прн симметричной нагрузке
а a'n
00 1 1
01 <ii 1 — voq + vjCc
02 1 РД Pi sin 9i „ „ —vtfi —v0c0PiSinOi
03' "Г0®2 3°02
11 «• yvecl + v?co
12 cos 0t , 6, sin 9i -v6< 3 ~ -vocJP|Sin 0J
(Pi -1) ₽I 0.
13 cos Bi 3°12
’ (Pl- 1) Рз0|
22 7, pfsin’O, 3 + + voCoP|Sin 9,
23 0 3°22
33 7. 9flJ2
//>33 Прн в таб/ 0 < Л, Г„ 4 = а,=1- Vi | (2/-3)гаа м е ч а н и е. Выражения величин. входящих 1. 14.22-14.28: 0<е,; 0 = 01-0; ₽, = ; Р„ = л0и = 1/₽: L, = 2R0i: с, = </,/₽; c0=<J0/₽; = <«©,; Л='1<»1; Гв = Fi + АЛ + АЛ» F, v# = —; [37, стр, 69J Fe &Fo AFi . sin 9, - , 1 Vj- . Oi-cosOi— ; ns re °1 „ „ sin 29i ... sin 20, H>,5 cos 291—0,75 —— ; a,=l—0,5 ——- . □1 Uj
Таблица И.23
Выражения коэффициентов а .( = ( а® j Я2
при обратно симметричной нагрузке
/< 4 fli<
00 1 Ta’ sins et
01 — 01 v# sin 9i(29t +q sin 0i)+ +(*o0i+vI91+vec(, sin 0!) sin 0j
02 pi sin B| (Pj-l)O. P, sin2 9t Wi 2 + vocopi sin* Bi
03 Pi sin 9] ~ (Рц—1)0| 2o02
11 — 0? 3 1 VC (®i + cie I siD ®l + +Tc‘sil,2ei) + + vo (0| + co sin 0|)2 + vi ei
12 i - P. vj — pi sin 01(391+2r1 sin 0iH- 6 + Vo₽i sin SjCSi + Cg sin Gj)
13 — “?2 2 12 2^12
22 1 2 Pi sin2 0] ve ci з + vo P2 s*n ei<
23 0 20^2
33 1 2
//>33 1 2 (/-I)2 4
126
РАЗДЕЛ И. ОБОЛОЧКИ
Таблица 14.24
Коэффициенты «,. = s®.—L ai!
II I' 2 *
Симметричная нагрузка Обратно симметричная нагрузка
и «?/ 4/
22 ₽:(p?-i)2 ад-i)2
33 Й(Й-1)2 ад-02
/7 >33 Й(₽2-1)2; л = 2/ — 3 ад-02; п = 2(/-1)
В табл. 14.22— 14.24 приведены выражения коэффи-
циентов Оц и sn и входящих в них множителей: а^;
йц и Sft для одной половины поперечного сечения.
Выражения некоторых общих величии в табл. 14.22—
14.28 приведены в примечании к табл 14.22.
Бортовые балки рассматриваются состоящими из пря-
моугольной стенки площадью fl = /Id1 н утолщений
(стрингеров) по концам с площадью сечений ДЛ0 и
(рнс. 14.39).
В табл. 14.25 приведены выражения свободных членов
для двух случаев вертикальной нагрузки (равномерно
распределенной по сечению оболочки р и полосовой
вдоль бортовых балок также для половины попереч-
ного сечения.
Таблица Н .25
Свободные члены q. = q® Rp fcoi ©, — cos — | н q. —
f 1 X 2 ) I
*= p®. Pj sin ©j соответственно при вертикальной равномерно
рас пределе мной нагрузке р н полковой вдоль бортовых балок о.
Симметричная нагрузка Обратно симметричная нагрузка
/ 4 о?
1 0, cos О, 1 sin 0] 1—Ь cos в. — 1
2 „ ₽;+' Р‘ Й-i -Pi в й+| “₽‘й-1
3 . Рз+1 ₽3 Й-1 — ₽а fcp?-l - ₽4
1 *7 1 fi2+l в р"+‘ -₽П
• Второе слагаемое в скобке отлично от нуля для обратно симметричной нагрузки (прн л—2 4. 6... и />1).
В табл 14.26—14.28 приведены единичные функции
перемещений, моментов н углов поворота бортовой балкн
прн симметричной н обратно симметричной по сечению
нагрузках. Двойными индексами помечены значения этих
функций в нижней н верхней точках (б н /) сечения
бортовой балкн; первый индекс здесь н в последующих
формулах обозначает номер точки поперечного сечения,
второй — номер единичного состояния.
После решения уравнений табл. 14.20 и 14.21, уравне-
ний (14.148) и определения параметров I/® и 1^ переме-
щения н усилия для каждого члена ряда вычисляются по
следующим формулам (индекс т прн неизвестных пара-
метрах, прн функции Z и ее производных опущен):
а) нормальные, вертикальные и горизонтальные про-
гибы точки А
-|W=^feZ(r):
i
I
<(*)=jx/hzu); (14-149)
<
б) изгнбаюшнс моменты в точке k
М4(х)= - JJV? (14.150)
о) продольные нормальные напряжения и точке k от
симметричной нагрузки
14.6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
127
Таблица 14.26
Ординаты ап юр единичных функций перемещений при симметричной нагрузке
i 51 (s) Tk (s) f.(s) /f’(s) /f(s)
0 Г 1! II * Хз 0 0 0 0
1 it =— R (cos а — — COS в]) 5oi = di »h =— sin a; Лот Ли =— ' h = cos a; foi = /n = 0 /Г=1: /о. =/?! = /01 = /11 = /1 = 0
2 l, = R sin P,0; 5oi =— Pi^i sin ei »),= ₽! cos P,0; 4oi= 41» = Pi sin0. h =— Pi sin P,6; In = Pl “s Oil /oi = Pi [cos 6i + + <f| *2 (Pf — •)] /* =— р] (р| sin р|6Х X cos a-j-cos рЕ0 sin a); fo2 ~ /12 ~ Pl s*n /2 =Pi (cos P|0cosa— — Pi sin pt0 sin a); In = /12* /02= I02
3 b = R sin psfl; 5oi =— p,d, sin Bj tfa = Pi cos P,0; 4оэ = 4i»= P»sin0, f3 =— Рз sin Рзе; /1Э = рэ COS 0,: /оЭ = Рэ [cos ®1 + +d,*2(^-I)] /" =— Рз (Pj sin P36X Xcos a 4-cos pjO sin a); /(И = /13 =— Рз s^n ®1 1з = Pafcos PaOcosa— — рэ sin pj0 sin a); /|3 = /|3: fn = f«3
i>3 5l = R Sin p„ 0; 5oi =— Pe sin 01 41 = Pn cosp„ 0; 4ol=4il=Pn sin 0, /( =- Ро sin Рп6: /11 = ря COS 0,; fol = Рп [cos 61 + + ‘'1*2(Рл-1)] /l’=-P„(P„sinp„ex X cos a + + cos pn 0 sin a); /Ь f’i~~Pn si" ®1 /fr=Pn(c°spn6cosa— — P„ sin 6n0 sin a); /Т1 ~ fu : /« = /ft
Таблица 14.27
Ординаты единичных функций перемещений при обратно симметричной нагрузке
i 51 (S) 41 (s) fl(s) /?(s) f,(s)
0 L =— R sin a; 5ot> = 5io = =— R sin 0, t)o = cos a: Чоо = Л10 = 0 I ‘i 11 II /&) = /о,| = /о = ° /« = /01 = /0 = 1
1 5i =- Ra; 5n =- R6,; 5oi =- (R6, + + dt sin 0t) 4i = i; 4oi= 411 = sin 01 /1 = 0 /1, = cos 01! /01 = cos 0t — Ml аГ .. с О и 1 i II tr tc II fl = cos a; /11 — /ii: /01 = /01
2 RslnP.0; 5oi=—Mi sin 0! Th = P,cosP,6; 4oi = 4u = = p, sin 0i (17p fl =— P2 sin P26; /11 = Pl cos 0,; /01 = Pi [cos 0] + + dl *2 ( P2 — 1 )] одолхоние тоблиим ив cool fl —— Pj (PjSin P2® x Xcosa4-cos p,0 sin a); /02 = /'г =~ Pjsin 6| . crp.) /5=P2(cos P20 cos a — — Pt sin p(0 sin a); fulfil' l«i — foi
128
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Продолжение таб*. М.37
i Ь(Х) //(s) Z?(S) /[(s)
3 Ь = R sin P40; bs =-— Pl^l s‘n lb = Pi cos p40; Чоз = 413 = = p4 sin 0] /з=—₽4sin₽4e; fn = Pl cos 0,; In = Pi [cos e, + + Мг(Р1-«)] /3=—Pi(Pi sin Pi0x Xcos a+cos p46 sin a); /оз = /"3 =~ P4sin 0, /5=Pi(cosPi0c°sa- — P(sinp46 sin a); /Ь = /|э; /<в = /оэ
i>3 b = R sin pn6; =— Pn sin °i П1 = Pn COS p„0; 4o/=4n=₽nSin°i fi=~Pn sin РЛ /u = Pn cos 0,; /и = Pn [cos 6, + + M2( ₽«-')] /i’=-Pn(PnSi“Pn0X Xcos a-|-cos рл0 sin a); la ~ lu ~ Pn s*n ®i /}=P„(cosPn0cosa- —рл sin Pn0 sin a); /« ~ la = fa
Таблица 14.28
О 2 *
Ординаты эпюр единичных моментов ЛГ/ “ MjE/A? в плвте оболочи я угла поворота <г-ц бортовой балки
м‘. «Гц Симметричная нагрузка Обовтво енмметричилн нагрузка
p; (p= -1) sm p, 0 P|(P1-1) sin р2э
«3 p|(p*-l)sinp30 P1(P1 — ^sinPi0
му PnfPn-O^Pn0 Pn(Pn-')^Pn6
?ii — *1
V12 -Mi(Pf-i) — *2 P2 (P2 ~ 1)
Ф13 -*2Рз(Рз*-') -Ml (Pl-1)
Фи -Mn(Pn-*): -*2Pn(P«- ')
n = й — 3 n = 2(i—1)
а* (х) = - Е (1/J Ью + £ V® ?и) Z' (х); (14.151а)
|>о
от обратно симметричной нагрузки
cJk(x) = -±El<7iwZ'(x); (14.1516)
г) для вычисления сдвигающих усилий дугу окружно-
сти произвольного поперечного сечения можно заменить
вписанным (не обязательно равносторонним) ломаным
контуром из восьми — двенадцати участков (рнс. 14.40).
Сдвигающие усилия в вершине k ломаного контура
<7. , + о. Zw(x)
St(x) = S^1 + /A<f>-!^tj_.(14.152)
где ti, н du — толщина и длина к-n участка впнеанного
ломаного контура, предшествующего к-й вершине
(рнс. 14.40); значение z"(xi) принимается для сечения,
в котором вычислялись напряжения Ол(х();
д) суммарные сдвигающие усилия Г»(х) по Л-му
участку вписанного контура
4 di Z”lx\
W = S*_1 W + (2О*_, + О») (14.153)
о» — напряжения в t-й вершине;
14.6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
129
е) нормальные силы по продольным сечениям (вне
точки I поперечного сечения)
таблиц [37, стр. 279—283]. Для шаринрно опертой обо-
лочки (табл. 14.19, схема I) коэффициент равен:
Д'„ =- [Е Мы ZiW 1 (М 154)
(>1
я*
g = —= 1,23.
(14.1566)
где pv — интенсивность нормальной нагрузки; в точке 1
Д', = IPi - Л (0) (14.155)
Рнс. 14.40
где pi и 7*! — соответственно полосовая распределенная
нагрузка и суммарное сдвигающее усилие в опорном се-
чении. действующее в плоскости бортовой балкн. Форму-
лы (14.154) и (14.155) относятся к случаю расчета обо-
лочки на равномерно распределенную нагрузку.
Прн расчете оболочки на нагрузку, равномерно рас-
пределенную по длине, достаточно в разложениях
(14.144) ограничиться одним первым членом ряда, решая
уравнения табл. 14.20 н 14.21 и уравнения (14.148) при
т=1. Значения о, М и ш с достаточной степенью точ-
ности определяются этим расчетом. Влияние последую-
щих членов ряда на значения S н Т может быть учтено
умножением их на коэффициент
/| Х{
g=—г -т~;— <,4156а>
[г. (о)1
равнин отношению площади эпюры равномерно распре-
деленной нагрузки к площади эпюры нагрузки в виде
первого члена ряда.
Значения р, н при х=0 и х=/ принимаются из
В формуле (14.155) значення Т> и X, относятся к пер-
вому члену разложений (14.144).
Прн расчете сводов-оболочек, нагруженных сосредо-
точенными по ребрам нлн не-
равномерно распределенными по
длнне нагрузками, напряжения о
(н сдвигающие усилия S) следует
определять с точностью пяти —
семи первых членов ряда в раз-
ложениях (14.144). Если оболочка
и нагрузка по длнне имеют ось
симметрии, то расчет следует про-
изводить с точностью трех-четырех
членов ряда (т=1, 3, 5, 7). При
отсутствии поперечных ребер для
определения поперечных моментов
М можно ограничиться одним, а
прн наличии ребер первыми дву-
мя-тремя (ш=1, 2. 3.) членами
ряда [37, стр. 251], производя
расчет по табл. 14.20 и 14.21 и
уравнениям (14.148). Для опреде-
ления напряжений о (и усилий
S), соответствующих последую-
щим членам ряда, расчет можно
производить как для безмомент-
ной оболочки по табл. 14.20 н
14.21, отбрасывая в них коэффи-
циенты Sj).
Упрошенный расчет сводов-обо-
лочек на сосредоточенные попереч-
ные и продольные силы, включая
предварительное напряжение, н
указания о расчете нераэреэных
сводов-оболочек наложены в рабо-
тах [87], [37] и [42]. Методика
учета кручения бортовых балок
изложена в работе [60]; обобще-
ние метода на оболочки поло-
жительной кривизны см. [626].
Пример 14.1. Рассчитать сборную оболочку конструк-
ции Ленинградского Промстройпроекта (рнс. 14.39. а).
Бортовые балкн двутаврового сечения (рнс. 14.39. б)
имеют небольшую кривизну по верхнему поясу (для сто-
ка воды). Стенка балок имеет отверстия. Прн расчете
предполагается, что балкн имеют постоянное сечение
с приведенной высотой dj и что стенка воспринимает
только сдвигающие усилия. Площади сечения ннжнего
и верхнего поясов бортовой балкн обозначены соответст-
венно через ДЕо и дА,. Оболочка имеет поперечные реб-
ра. расположенные через 3 м (рнс. 14.39, а). Схема по-
перечного сечения оболочки приведена иа рнс. 14.39,6.
• Приведенная высота может быть определена по жесткости
приравниванием максимальных прогибов заданной балкн пере-
менного сечения и эквивалентной балкн постоянного приведен-
ного сечения при нагружении их одинаковой равномерно распре-
деленной нагрузкой. Прогиб балкн переменного сечения может
быть определен, например, графо-аналитически (87. стр. 234]
нлн согласно работе Г И. Бердичевского: -Расчет деформация
предварительно напряженных железобетонных двускатных балок
переменной высоты» («Бетон и железобетон», 1961. М в).
130
РАЗДЕЛ И. ОБОЛОЧКИ
Основные геометрические данные (расчет производит-
ся в кГ и см):
8® = 28° 29'; е’,д = 0,497128;
R = 1258,42 см; *,= — = 0,79465- КГ3;
R
Ц = 2400 см; I, = 1200 см; б, = 96 см;
Г = 4 см; dFc = 900 см»; &Ft = 390;
Ft = 0; Ft = &Ft + Ы\ -J- F, = 1290 см2;
F„ = tR6t = 2502,38 см2;
— — = 0; v. = —- = 0,69764;
Fo Ft
c0 = =7,62861 -10-2;
A
v, = = 0,302325.
Ft
Погонный момент ннерцнн продольного сечения
Модуль упругости бетона E=3,I-IOS кГ1смг.
Расчет на симметричную нагрузку
Схема нагрузки показана на рис. 14.39,6 н состоит нз
равномерно распределенной по поверхности нагрузки
р=393 кГ/м’ и полосовой А=323 кГ/м, действующей
вдоль бортовых балок.
Система расчетных уравнений приведена в табл. 14.20.
Решение выполняется с точностью до первого члена ряда
(m = 1). Коэффициенты н свободные члены этих уравне-
ний вычисляются по табл. 14.22—14.25.
Вспомогательные величины, входящие в эти коэффи-
циенты, вычисляя на основании выражений, приведен-
ных в примечании к табл. 14.23:
sin 8, = 0,47690; cos в, = 0,87896;
sin 26) = 0,83835; cos 28, = 0.54513;
О) = cos 6,— в* = — 0,080350;
о, = 1 + 0,5 cos 28, — 3/4 S'"2e‘ = 0,007775;
О]
₽)=-£-= 3,15974; ₽, = 3₽, = 9,47922;
2Ui
Р5 = 5₽, = 15,7987; р2 = 9,98396;
Р3 = 89,8556; р2 = 249,598.
Значения угла 6, sin ₽„8. a, sin а н cos а в точках се-
чения I, 2. 3, 4, 5 (рис. 14.40. б) приведены в табл. 14 29
Оболочка однопролетная, на поперечных краях свободно
оперта (табл. 14.19. схема I): прн этом фундаменталь-
ные функции совпадают с тригонометрическими, т. е.
х
Zm = sin ,
где р»=тл прн m = l, p,=n,
X, = — = 0,130899-10-2;
4
Т I 6.1 иц 1 П.0
T рмгономет- рнческие величины Nt точки
1 2 3 4 6
0 0 7. 7. e, 7.6. 0.
а® Эд—0 0> •/, e. 0. 7. 0. 0
sin a 0,47690 0,40594 0.33271 Q.165O5 0
cos a 0,87896 0,91390 0.94303 0.96629 1
sin 0 ° 0,2388 7, 0.066 I
sin M ° 0.707 1 ° -
sin 0*0 ° 0.9659 7. 0.866 1
X2 = 0,171348-Ю-3-
Х< =0,29360-КГ11.
По табл. 14.22 вычисляем:
% = (₽о + Гв) М = (2502 -38 +
+ 1290) 1258,421-0.29360-10“" =17,6327-КГ3;
ацЛ| = ( °1 f0 +vofo ^в) R1 ^1 ~
=(-0.08035-2502,38 + 0.697674-7.62861 • I0-2 • 1290) X
X 1258.42«-О,2936-10-“ =- 0,615598-10-3;
°О2 Х1 = 6,925968-10~3; Х{ = I,025965-10“’;
on X) = 0,107449- ГО-3; <>,, Х« =- 0,761366-10~3;
0|3Х< =-0,134506-10-3; оиХ< = 5.872714-Ю-3;
оа X; = 0.165882-10~3; ogJ Х« = 6.315066-10-3;
а4, Х| = 7,199768-10-3.
По табл. 14.24 вычисляем:
с _ /9> ЙЯ4( а2 ,у 144.67-0,497128
sst~ 2 *2М₽1—|) - 2 х
X(0,79465-10-3)3-9,983957’ (9,983957 - I)1 =
= 0,145504 • 10“3; s„ = 1,152906; s14 = 69,632321.
По табл. 14.25 вычисляем:
с, = рЯ8, +р, = 0.0393-1258.42-0.497128 +
+ 3,23 = 27,8354 кГ/см'-,
Р?+1
q. =— Р, —------pR cos 8i — Pi Pi sin 8, =
P2-l
=—3,15974 l0’98^-0,0393-1258.42-0,87896—
8,98396
14.6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
131
Таблица 14-30
№ уран- нении । «о V? *3 Свобод- ные члены: иможн - 1 тель — Е Контроль- ные сум- мы
0 1,76327 -0,06156 0.69260 0,102596 0 2,496906
1 —0,06166 0,010745 -0.076137 -0,013451 -35,44100 -35.58146
2 0,69260 -О.О761Э7 0.601822 0.016588 220,01254 221.24738
3 0.102696 -0.013451 0.016S88 116.922107 655.04963 671,07737
£ 2,496306 -0,140403 1,234873 116,02784 739.62101 858.97779
858.97779
-3,15974-3,23-0,47690= - 172,7987;
ft=— 435,933; ft = 716,627.
Вычисляя суммы ацХ, +sjj и умножая свободные чле-
ны на Л|=4/п, окончательно получаем числовую матри-
цу уравнений, приведенную в табл. 14.30. Прн этом коэф-
фициенты прн неизвестных увелнчнны в 100 раз. Пятое
уравнение выделено согласно (14.148) в качестве неза-
висимого:
69.64VJ— (— у -912,41) = 0.
Окончательные значення корней уравнений;
Uj =215,549-102 4-, V?= 1739,306-102 4-;
Е 1 Е
V® =-393,468-Ю2 4; V?--------4,721-102 —;
Е 3 Е
Vj=—0,13-Ю’-^-.
Усилия и прогибы вычисляются по формулам (14.149)—
(14.153). Предварительно по табл. 14.26—14.28 (где d,
заменяется на do) вычисляем ординаты единичных функ-
ций для точек 0—5 поперечного сечения (рнс. 14.40.6).
Например:
=— fa d, sin 0, =— 3,15974-96-0,47690 =— 144,7;
л 0, 1
= Л sin — - -у = 1258,42 — = 629.2 и т. д.;
= Е-144,67-0,79465г-10—*-9,98396-8,98396— =
2
= 0,410-10_’Е;
= ₽! cos 0, = 3.15974-0,87896 = 2,78;
/» = -₽? sin • у=- 9.98396-4 =-4.99.
Значення ординат единичных функций приведены
в табл. 14.31.
а) Нормальные напряжения в среднем сечении
[x=0.5Z,; Z [(0,5/,)=—X,]:
°0 Ф-5 '1) (У? ?0о+^?01+^2?02 + ^3 Еоз) =
= (0,21555-1258.42+1.73931 -96+0.39347- 144.5+0.00472Х
Х433,5)0,17134 =85,19 кПсм* (параметр VJ по малости
не влияет на напряжения о);
а,=46.48 кГ/сл5; 02=0,42; G3=-20,99; о<=-67.03;
GS=-84,78.
Таблица 14.31
Значения функции L. M.fE
Функция № точки
0 1 2 3 < 6
1258.42 1258,42 1258,42 1258,42 1233,42 1268.42
^*1 96 0 -44,0 -ао.б —134,3 —152.3
-144.5 0 325.67 629.2 1089.8 1238.42
6»а -434.0 0 889.8 1258.42 ° —1238.42
^4 -723.3 1215.5 еэт.г —1089.5 1238,42
0 ° 0.94 О.9В 1.0
Ъч 4.94 2.78 -1.99 -8,64 -9.98
hs 72.69 8.33 -89.88 0 89,86
314.71 13.89 - -124.8 216.1 —249.6
- - D.212I0-3 9.41-Ю-1 0.71 • 10“1 Х82-10—=
Е М - - 0.615 0.726 0 -0.726
тА,*< - - 5.56 2.83 -4.99 5.76
Эпюра нормальных напряжений, построенная по вы-
численным значениям, приведена на рнс. 14.40, о.
Для контроля эпюры напряжений о проверяется усло-
вие равновесия продольных сил, действующих в попереч-
ном сеченнн прн х=0£ /:
Id
&Fо о© + AF> Oj + —— (о, + 2o, + о,) +
4
Id
4—(°a + 2®4 + °») = 0,
где d—R^ /3= 208,53 ем.
Подставляя числовые значения и суммируя отдельно
все положительные н отрицательные члены, получаем:
100 292s 100026. Расхождение около 0,3%.
б) Сдвигающие усилия S в опорном сеченнн (х=0;
Zt (0) : Zf (0,5 Л)=Х|). Дуга окружности сечения за-
132
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Таблица 14.32
Т рнтонометрические величины М точки
1 2 3 3' 4 5
0 0 7,0, ’/>01 7.0, 7.0, 7.0, 0.
а=6,—0 «I 4,6, 7. о, 7, 6, '/.е, 7.0. 0
sin а 0.47690 0.40594 0.33271 0.24587 0.16505 0.082808 0
cos а 0.87896 0.91390 0.94303 0,96930 0.98629 0.996566 1
sin до 0 0.2588 /. - 0.866 - 1
sin ДО 0 0,6 0.866 1 0,866 0.5 е
cos ДО 1 0,866 0.S 0 -О.5 -0.366 —1
$1пДО О 0.707 1 - 0 - —1
sin ДО 0 0,866 0.866 0 —0.866 -0,866 0
са ДО 1 0,5 —0.5 -1 —0,5 0,5 ।
sin ДО 0 0.9659 7, - -0.866 - 1
СОЗ 0,0 - - - - - -
меняется вписанным ломаным контуром (рнс. 14.40,6
пунктирная лнння); прн этом длина участка контура
приближенно принимается равной Л
S0(0) = S];(0) = AF0o0Xl =
= 900-85,193-0,1309-10—2 = 100,4 кГ/см;
Sj = SY + AF0 Oj = 124,09 кГ/см;
S. = S, + -у (241£L) Х* = 136>9;
S, = 131,28; S. = 83,23 кГ 1см; S5 » 0.
в) Суммарные сдвигающие силы в опорном сеченнн
(х=0). Так как бортовая грань сквозная, то
Tt = <f0 So = 96-100.37 = 9635,1 кГ;
d. S. t (0,5А)®
7a = L + - 1 (2<T, + о,) X, = 13824.6 кГ;
2 6
T, = 14 082,4 кГ; T, = 23 239.7 кГ; 7, = 9051.6 кГ.
Проверка равновесия оболочки, отделенной от диа-
фрагм (внешняя нагрузка должна равняться сумме про-
екций суммарных сдвигающих сил на вертикальную ось);
проверка выполняется для '/< части оболочки:
ST*sin ф* = (ГКО, + pi) —-----.
Л Л«2
k
Сумма части внешней нагрузки, определяемой первым
членом ряда:
(рЯ6, + рц = (0,0393-1258.42 0,49713 +
4-3,23) —2— = 27055,8 кГ.
3,14’
Коэффициент 8/я! учитывает нагрузку только от перво-
го члена ряда [формула (14.1566)].
Сумма проекций суммарных сдвигающих сил на вер-
тикальную ось
7, + T,sin,|>2 7.sinфэ -J- Г, йпф. 4- Т,зтф, =
=96354-13824-0,44024-14082-0,36433 4-23240-0,245874-
4-9051,6-0.0828 = 27321 кГ.
Здесь: ф5=01/6; ф<=ф!4-61/3: фэ=ф.4-0|/4; ф1=ф,4-
4-6|/6 Расхождение меньше 1%.
г) Значения S* с учетом коэффициента (14.156):
$0=S; = 123,8 кГ/см; Sf = 153.1; S2 = 168.9; S3= 162;
$. = 102.7.
Эпюра сдвигающих усилий приведена на рнс. 14.40.6.
д) Поперечные моменты в среднем сеченнн (х=0,5<|):
Ws(°'5Zl)------О'? М22 + МП 4- **24) =
=— (-393,5-0.212-Ю-2 — 4.72-0.515 —
— 0,13-5,56)-10* = 398,8 кГ;
«. = 540,8; «. = 214,5; «ь = Ы.ВкГ-сл/см.
Эпюра моментов приведена на рнс. 14.40. а.
Пунктирной линией показана эпюра моментов только
от равномерно распределенной нагрузки р=393 кГ/м*.
е) Нормальные прогибы в среднем сеченнн
“'о = “4 = 1с2 + ,z3 йп + 1*4 Йи =
Н.6. СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
133
= ур КГ®(—393,5-4,94 — 4,72-72.59—
— 0,13-314,71)10* =—0,75 см;
и>1 = и>| =— 0,37 см; и>3 = 0,78; u>4 = 1,09;
w4= 1,14 см
Эпюру прогибов си. рнс. 14.40, в.
Расчет на обратно симметричную
нагрузку
Нагрузка, равномерно распределенная по каждой сим-
метричной половине оболочкн интенсивностью р=
= 100 *Г]м\ обратно симметрична относительно оси
По табл. 14.23 вычисляем:
аоо fo +4f6) # = (0,0784035-2502.38 +
+ 0,227434)1258,421-0,29359-Ю-11 = 2,276304-IO-3;
fl01 (0,08035-2502.38 + 0.249184) |258.42гХ
Х0,29359- КГ11 = 2,429354 • Ю-3;
nw А, = —1.352706-10-3;
ои А, = 2,59757-Ю-3;
o13A« = 0,105972-10-3t
Да Af = 0.442356-10-3;
Доз А, = 0,0289598-Ю-3;
°uxl = —1.3278-10-3;
Да = 6,038403-10-3;
°зз М = 6,701948-10-3.
По табл. 14.24 вычисляем:
2л»
Рис. 14.41
симметрии сечення. Система расчетных уравнений при-
ведена в табл. 14.21. Решение выполняется с точностью
до первого члена ряда (ш=1). Коэффициенты н свобод-
ные члены этих уравнений вычисляются по табл. 14.22—
14.25. Вспомогательные величины, входящие в коэффи-
циенты, вычислены на основании выражений, приведен-
ных в примечании к табл. 14.22:
₽,= 2₽! = 6,31948; ₽, = 4₽, = 12,63896;
= 39,9358; ₽, = 159.7433;
Й = 1594.868; pj = 0,255178- 10s;
sin 20,
дэ = 1—0,5——=1—0,5
0i
0,83835 „ ,
---------= 0,156807.
0,497128
Прн расчете на обратно симметричную нагрузку по
сравнению с расчетом на симметричную введены допол-
нительные точки 3' н 4'. показанные на рнс. 14.41.
Зиачення используемых тригонометрических величин
приведены в табл. 14.32.
*22— 2 ')2 =
18,0442-КГ* X
X1594,87 (39,9358 — 1)* =
= 18,0442-Ю-9 -2.4I782X
X 10* = 43.6276-10-3;
зя= 11,60325.
По табл. 14.25 вычисляем сво-
бодные члены:
(1 — pyyjflpcos0,=
1 — ) 1258.42-0.01 -0.87896 = — 1,52319;
к 0,87896 /
„ й + 1 „ / „ 2л \
’«=- ₽• ^cos 0i -cos yj=
= - 6.31948 1258,42-0,01 (0,87896 + 1) =
= -157,10089;
Ча = — 12.6531 -12.5842 (0,87896 - I) = 19.4941.
Вычисляя сумму aj/t.J+s/j н умножая свободные чле-
ны на Л,—4/л, окончательно получаем числовую натри-
134
РАЗДЕЛ И. ОБОЛОЧКИ
Таблица 14.33
№ урав- нения ио 4 *5 Свободные члены (ааможн - тель I/O
0 2.27004 2,429354 -1.352706 0.0289548 0
1 2,429064 2.59757 -1.32780 0.106972 1,939386
2 -1.352706 -1.32780 49.6660 0.442356 200,02710
3 0,0289598 0,105972 0.442355 11609,95 -24.82067
цу уравнений, приведенную в табл. 14.33. Коэффициенты
прн неизвестных увеличены в 1000 раз
Окончательные значення корней уравнений следующие:
vg= 337,910-ГО3 у;
У^ = — 318,481 ИО3"—;
Vj = -3,338599 10sy;
1/5 = 0.0М3292.10а4-.
Усилия и прогибы вычисляются по формулам (14.149)—
(14.153). Предварительно по табл. 14.27—14.28 (где dt
заменяется на do) вычисляем ординаты единичных функ-
ций для точек 0—5 поперечного сечения (рнс. 14.41,6),
например:
foe = — Mo sin 6, =
= — 6,31948-96-0,47690 = — 289,321;
.. 50!
= — sin -у = — 0,40594;
/'г = — ₽2 ( ₽2 sin ₽3 0 cos Oj + cos Р, 0sin aj =
= -6,31948(6,31948-0-0,87896 + 1 -0,47690) =
= — 6,31948-0,47690 = —3,01376;
M?£/*|=₽|(^-l)sinp262 £/^ =
= 39,9538-38.9538-0,5-144,67-0,631464-10-6 £=
= 0,0710244£ н т. д
Значення ординат единичных функций приведены
в табл. 14.34.
а) Нормальные напряжения в среднем сеченнн:
°*=* (>Х+ »Х + vX+ vX)
a« = 1337,910 (— 600,14) + (— 318,481) (- 671,378) +
+ (— 3,338599) (— 289,321) +
+ 0,0043292 (—578,642)] 1O,-O,171345-I0_5 =
= 20,5 кГ/см*
о, = — 6,1 кГ/си’; о, = — 12,38 кГ/сл‘;
оэ = — 15,71 кГ/см--, а3, = — 15,75 кГ/см’;
о4 = — 12,64 кГ/см-; о,, = - 7,01 кГ/см*;
о4 = 0.
Таблица М.34
Звачснка функций^: / :
функции М точки
0 2 3 3* 4 Г г 5
6*» —600,14 -600,14 —606,539 -409,466 —309,684 -207.689 | -104,147 0
5*1 -671,378 -625,696 -621,329 -417,063 -312,796 —208,533 —104.266 0
-289,321 0 629,21 1089,79 1268.42 1089,79 629.21 0
-578,542 ° 1089,79 1089.79 ° —1099.79 -1089,79 0
'м ° 0 0 О ° ° 0 0
»Й1 -0,47690 -0,47690 —0,4069ч —0,32538 -0,24601 -0.16496 —0,082760 0
/й -3,01376 -3,01376 -20,48169 -33.7306 -38,6657 -33.5894 -19,4465 0
/« -6.02749 -6,02749 -129.179 -128.753 3.10931 137.484 137.339 0
- О 0,0710244 0,1230144 0.142049 0,1230144 0,0710244 •
-7"*. - 0 2,006142 2.006142 0 —2,006142 —2,006142 и
Н6 СВОДЫ-ОБОЛОЧКИ И ПРИЗМАТИЧЕСКИЕ СКЛАДКИ
135
Эпюра напряжений приведена на рнс. 14.41. а.
б) Сдвигающие усилия 3 (в опорном сеченнн); контур
сечения принимается в виде ломаной лнннн:
Зв = Д£4а(1Л1=900-20,&-0,130в99.10_’ = 24,1;
5" = 24,1;
S* = So+ДГ, 5^ = 24,14-
+ 390 (— 6,1)-0,130899-Ю-2 = 20,82 кГ/см,
5. = 5I + -y(-?L^L)x1=15.78;
S3 = 8, J1 кГ/см: Sy = — 0,48 кГ /см:
St = — 8,23 кГ/см, St. = — 13.59 кГ/см,
3, = — 15,01 кГ/см.
в) Суммарные сдвигающие силы:
Т, = </030 = 96-24.1 = 2313.36 кГ/см-.
= 1937,610 кГ/см;
Tt = 1261,271 кГ/см-. Т3. = 398,095 кГ/см-.
Tt = — 468,796 кГ/см; Ту = — 1164.431 кГ/см;
Ti = — 1549.965 кГ/см.
Проверка равенства нулю суммы проекции суммарных
сдвигающих сил на горизонтальную ось:
Т» cos % + Та cos *а + Гз* с“ ♦з- + Т4 cos %+
+ Ту cos ф4. + Tt cos ф6 = 0;
1937.61-0,8980 + 1261,271-0,93137 + 398.095-0,9583-
-468.796-0.9786- 1164,431-0,9923 —
- 1549,965-0,99910 = 3299,0 - 3160,0 = 0.
138,0-100
Погрешность =4.4%.
Проверка равновесия оболочки, отделенной от диа-
фрагм: полный внешний крутящий момент Мнр равен кру-
тящему моменту суммарных сдвигающих сил Т„р отно-
сительно центра дуги поперечного сечения оболочки
(проверка выполняется для 7< части оболочки):
А*кр + ГЛ + Z Ть (R cos фА) = 0;
*
61
cos фь = cos — = 0,9992;
12
., '"кр /12 4 AQiRli
MKt>=~T'W = ^~=
4 (-1.52319) 1258.42-2400
9,86959
= — 4864454,3 кГ /см.
где ткр = 9i₽;
Ttlt + ZT„IR cos <р*) = 2313.36-600 +
k
+ (1937,61 +1261.271+398.095—468,796—
— 1164,43— 1549,965) 1257,41 = 1935976.0.
„ 71521,7-100
Ошибка составляет ——-—-— = 3,80%.
1 864 454
Значения сдвигающих усилий с учетом коэффициента
(14.1566): 30=3? =29.64 кГ/см; SJ =25,61; 4=19.40;
Ss=9,97; З3.=—0.59; 3,=—10,12; =-16,71; 35=
=-18,46.
На рис. 14.41,6 приведена эпюра сдвигающих усилий 3
и показано направление действия суммарных сдвига-
ющих усилий Т со стороны торцового сечеиня оболочки.
г) Поперечные изгибающие моменты в среднем сеченнн
(рнс J4.41,в):
Л1| = 0; Мг (0.5/1) = -(V®M22+V®M2)) =
= — (— 3,338599-Ю’-0.0710244 +
+ 0,0043292-103-2,006142) = 228,437;
Мэ = 402,009; М3. = 474,245;
М4 = 419,379; Мг = 245,807.
д) Вертикальные прогибы в среднем сечении
(рнс. 14.41, в):
“^ = ^1 /п + /12 + /в =
= 0,323-Ю-5 К— 318,481 10’) (— 0,4769) +
+ (— 3,338599-1О’) (— 3,01376) +
+ 0,0043292-10> (— 6.02749)) = 0,523 см;
nJ = 0,637; mJ = 0.700,
®3. = 0,670; в>4 = 0,530;
®4- = 0,293; о>4 = 0.
М и со* для правой половины сечения имеют обратные
знаки (рнс. 14.41, в, а).
14.6.3. Расчет диафрагм-оболочек
и складок средней длины
Диафрагмы рассчитываются как плоскне стержневые
конструкции на нагрузку от собственного веса и опор-
ного давления оболочки, передаваемого в виде сдвигаю-
щих сил. Для расчета диафрагм арочного типа удобно
заменить геометрическую ось арки ломаной линией, по-
добной ломаному контуру, которым заменяется опорное
сечение оболочки прн вычислении сдвигающих усилий.
После этого полученные из расчета оболочки значения
усилий 7» в опорных сечениях каждой грани следует
сосредоточить в узлах ломаного контура осн арки и раз-
ложить нх на вертикальные Р* н горизонтальные состав-
ляющие Рр Так как срединная поверхность оболочки
ие совпадает с осью арки, то, помимо сил Pj н PJ, сле-
дует приложить узловые моменты т». Значения этих сил
н моментов определяются формулами:
= У (Л, sin + Л+1 sln ♦*+1):
Ъ "7 Сk с“ ♦* + Г*+1 с“ **+i):
(14.157)
1
<"* -----(7* + Т*+х) е,.
136
РАЗДЕЛ 14. ОБОЛОЧКИ
Эксцентрицитет определяется по формуле
h- — t
± 2 '
где йв н / — соответственно высота сеченнн арки и тол-
щина оболочки. Знак плюс берется, когда оболочка при-
мыкает к арке по ннжнему краю, знак минус — когда
оболочка примыкает к арке по верхнему краю.
Расчет диафрагм коротких оболочек см. [37] н [25].
Расчет диафрагм длинных оболочек см. [30] и [37].
Расчет цилиндрических оболочек н складок с учетом
влияния на их напряженно-деформированное состояние
конечных жесткостей реальных диафрагм [71а, 716, 88,
89. 104].
ЛИТЕРАТУРА
1. Абовскнй Н. Г!.. Аз ар хин А. М., Шесто-
пал Б. М. Кириллова Л. И. Программе расчета поло-
гих ребристых оболочек для ЭЦВМ. Красноярский политехи,
ин-т (учебное пособие). Красноярск. 1969.
2. Амбарцумян А. С. а) К вопросу построения при-
ближенных теорий расчета пологих цилиндрических оболочек.
ПММ. 1954. М3: б) О пределах примени мости некоторых гипотез
тонких цилиндрических оболочек. Известия АН СССР. Отд. техн,
наук. 1954. Nt 5.
3. Анохина С. И. Применение тригонометрических рядов
к расчету цилиндрических оболочек на сосредоточенную нагруз-
ку. Сб. трудов ЛИИЖТа «Исследования по строительной меха-
нике». вып. 190. Л.. 1962.
4. Б а р т е н е в В- С. Практический метод расчета покры-
тий в виде железобетонных круговых цилиндрических оболочек.
Сборник трудов МИ СИ нм. Куйбышева, 11. М., Строй нздат.
1957.
э. Бийлард П П Напряжения от локальных нагрузок
в цилиндрических сосудах давления. Сб. переводов «Вопросы
прочности цилиндрических оболочек». ИЛ.. I960.
6. Б и й л а р д П. П. Напряжения от радиальных нагрузок
и внешних моментов в цилиндрических сосудах давления. Там
же.
7. Б о б р о в и н к А. Е. К расчету оболочек методом сил.
«Строительная механика и расчет сооружений». 1962. № 4.
8. Вайнберг Д. В.. СннявскнЙ А. Л. Дискретный
анализ в теории пластин и оболочек. М.. «Наука», 1966.
9. Вайнберг Д. В.. Синявский А. Л. Расчет обо-
лочек. Госстройнздат УССР. Киев. 1961.
10. В а й и б е р г Д. В.. Р о й т ф а р б Н. 3. Расчет пла-
стин н оболочек с разрывными параметрами. Сб. «Расчет про-
странственных конструкций», вып. X. С трой изд а г. /965.
II. В а с н л ь к о в Б. С. Расчет коротких цилиндрических
оболочек с учетом трешннообразовання. «Строительная механи-
ка и расчет сооружений».
12. В а с и л ь к о в Б. С. Расчет оболочек с несимметрич-
ным сечением. М.. Госстрой изд ат. 1962.
13. Васильков Б. С.. Милейковский И. Е. Экс-
периментально-теоретическое исследование сборной железобе-
тонной оболочки. Сборник ЦНИИСК АСиА СССР «Эксперимен-
тальные и теоретические исследования по железобетонным обо-
лочкам». М.. Госстройнздат. 1959.
14. В л а с о в В. 3. Новый метод расчета тонкостенных приз-
матических складчатых покрытий и оболочек. М.. Госстройнздат.
1933.
15. В л а с о в В. 3. Строительная механика оболочек.
ОНТИ. 1936.
16. Власов В. 3. Общая теория оболочек. ГИТТЛ. 1949.
17. Власов В. 3. Избранные труды, т. I. Изд. АН СССР.
I9G2.
18. В л а с о в В. 3. Избранные труды, т. II- Изд. АН СССР.
1963.
19. Власов В. 3. Избранные труды, т. III. «Наука», 1964.
20. Власов В. 3.. Мрощннскнй А. К. Контактные
задачи по теории цилиндрических оболочек, подкрепленных про-
дольными ребрами. Сборник ЦНИПС «Исследования по вопро-
сам теории и проектирования тонкостенных конструкций». М..
Госстройнздат. 1950.
21. Вол ьы ир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. ГИТТЛ,
1956.
22. Г а р а н н к Л. С. Расчет пологих оболочек. Стройнздат.
I9G4.
23. Гвоздев А. А. К расчесу тонкостенных цилиндриче-
ских оболочек. «Строительная промышленность», 1932. Nt I.
24. Гвоздев А. А. Еще о без момент ной теории оболочек.
«Строительная промышленность». 1933. № 2.
25. Г в о э д е в А. А.. М у р а ш е в В. И.. Г о р н о в В. И..
Власов В. 3. Инструкция по проектированию u pacneiy
монолитных тонкостенных покрытий н перекрытий. ЦНИПС.
ОНТИ М.. Стройиздат. 1937»
26. Г и л ь м а и Л. С. К расчету железобетонных цилиндри-
ческих оболочек. Труды Ленинградского института инженерно-
промышленного строительства, вып. 5. 1938.
27. Гнльмаи А. С. К расчету изотропных цилиндрических
оболочек под произвольной нагрузкой. Труды Высш, военно-
мер ск. ннж.-стр. училища РКМФ. 1939.
28. Годунов С. К. О численном решении краевых задач
для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. «Успехи метем, наук», т. XVI, вып. 3, 1961.
29. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких обо-
лочек. М.. Гостехтеорнэдат. 1953.
30. Горенштейн Б. В. Формулы я графики для усилий
в цилиндрических оболочках и диафрагмах. «Строительная ме-
ханика н расчет сооружений». 1964, М I.
3). Григоренко Я. М., Беспалова Е. И.. Васи-
ленко А. П. н др. Численное решение краевых задач в ста-
тике ортотропных слоистых оболочек вращения на ЭВМ типа
ЭМ-220. Методическое пособие. Киев, «Наунова думка». 1971.
32. Двревский В. М. Решение некоторых вопросов тео-
рии цилиндрических оболочек. ПММ. т. XVI, вып. 5, 1952.
33. Д и к о в и ч В. В. Пологие прямоугольные в плайе обо-
лочки вращения. М.. Госстройнздат. 1960.
34. Дншкнгер Ф. Оболочки, тонкостенные железобетон-
ные купола н своды. М., Госстройнздат, 1932.
35. Ж е м о ч к и н а В. Д., М и к ш и с М. М. Таблицы для
расчета средней длины цилиндрических круговых и призматиче-
ских оболочек, опертых по всему контуру. М., Стройиздат. 1967.
36. Иммерман А. Г. Расчет ортотропной цилиндрической
оболочки на поперечную нагрузку. Сб. «Расчет пространственных
конструкций», вып. 111. М.» Госстройнздат. 1955.
37. Инструкция по проектированию железобетонных тонко-
стенных пространственных покрытий к перекрытий. АСнА СССР.
НИИЖБ н ЦНИИСК. М.. Госстройнздат. 1961.
38. Итцхаки Д. Расчет призматических и цилиндриче-
ских оболочек покрытий. М., Госстройнздат. 1963.
39. Кальмейер А. Ф. Алгоритм и программа расчета
пологих ребристых оболочек с переломами срединной поверхно-
сти. В сб.: «Организация н методика строительного проектиро-
вания с применением вычислительной и организационной техни-
ки». ГИПРОТИС. Реферативная информация. Серия X. вып. 7,
М.. 1971.
40. К а н С. И. Строительная механика оболочек. «Маши-
ностроение», 1966, Nf I.
41. Кол кунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек.
«Высшая школа». 1972.
42. Кузьмин Н. Л., Лукаш П. А.. Милейков-
с к н й И. Е. Расчет конструкций из тонкостенных стержней
н оболочек. М.. Госстройнздат, 1960.
43. К У л а г н н А. А., К о р м е р Б. Г. Расчет пологих обо-
лочек покрытий с учетом действительной жесткости контурных
элементов. Сб. «Строительное проектирование промышленных
предприятий». 1968, Nt 2.
44. Ла ул ь X. X. Расчет цилиндрических оболочек с кри-
волинейными частями, очерченными по окружности. Труды
Таллинского политехнического института. № 50 Таллин, 1953.
45. Лесс н г Е. И.. Л мл ее в А. Ф.. Соколов А. Г.
Металлические листовые конструкции. М., Стройиздат, 1970.
46. Лесснг Е. К. Расчет консольных цилиндрических обо-
лочек на неосеснмметрнчпые поперечные нагрузки. Сб. трудов
МИСИ им. Куйбышева, № 43, Гос. научно-техн. нэд. лит. по гор-
ному делу. 1962.
47. Л и п н н ц к и Й М. Е.. Г о р е н ш т е й к Б. В.. В и не-
гра д о в Г. Г. Железобетонные пространственные покрытия
зданий.
48. Л у к а ш П. А. Расчет пологих оболочек н плит с уче-
том физической и геометрической нелинейности. Сборник «Рас-
чет конструкций. работающих в упру го-пластической стадии». М..
Госстройнздат. 1961.
49. Л у н н н В. С. Балкн постоянного поперечного сечения,
лежащие на упругом основании. «КУБУЧ». 1933.
50. Л у р Ь е А. И. Концентрация напряжений в области от-
верстия на поверхности кругового цилиндра. ПММ. т. X. вып. 3.
1946.
51. Л у р ь е А. И. Статика тонкостенных упругих оболочек.
М.. Госстройнздат. 1947.
52. Львни Я. Б. Сопротивление сферической оболочки
краевым циклическим воздействиям. Сб. «Расчет пространствен-
ных конструкций», вып. V. М._ Госстройнздат. 1959.
53. Львни Я. Б. Сопротивление комической оболочки крае-
вым циклическим воздействиям. Сб. «Расчет пространственных
конструкций», вып. VI. М.. Госстройнздат, 1961.
54. Л ь в н н Я. Б. Сол рот и вл ел нс оболочек вращения крае-
вым циклическим воздействиям. Сб. «Расчет пространственных
конструкций», вып. VII. М.. Госстройнздат. 1962.
55. Л я в А. Математическая теория vnpyrocTH, ГТТИ. 1935
(перев. с англ.).
56. М а л ь к о в В. М. Расчет цилиндрической оболочки
с косым срезом. Ленинградск. гос. университет нм. Жданова,
Исследования по упругости н пластичности», вып. 3. Изд. ЛГУ.
Л.. 1964.
57. М и л е й к о в с к и П И. Е. Некоторые практические эя-
дачи по расчету покрытий типа цилиндрических оболочек. В сб.
ЛИТЕРАТУРА
137
ЦНИПС «Исследования по вопросам теория проектирования
тонкостенных конструкций». М.. Госстройнздат. 1950.
58. Мнлейковскнй И. Е.. Васильков Б. С. Рас-
чет покрытий н перекрытий ms пологих выпуклых оболочек двоя-
кой кривизны. Сб. ЦНИПС «Экспериментальные н теоретические
исследования тонкостенных пространственных конструкций». М..
Госетройнэдат. 1952.
59. Мнлейковскнй И. Е. Расчет оболочек и складок
методом перемещений. М-. Госетройнэдат. 1960.
60. Мнлейковскнй И. Е. Расчет железобетонных ци-
линдрических сводов оболочек. М., Госетройнэдат. 1963,
61. Мнлейковскнй И. Е., Доренбаум И. В. Ме-
тод расчета покрытий нэ оболочек, очерченных по поверхности
гиперболического параболоида. Сб. «Строительное проектирова-
ние промышленных предприятий». 1965. /6 5.
62. Милейновскнй И. Е. а) Новый вариант уравнений
смешанного метода расчета складок и оболочек. «Строительная
механика». М.. Стройнздат. 1966; б) Практические методы рас-
чета Оболочек н складок покрытий. Сб. ЦП И ИСК мы. Кучерен-
ко. М.. Стройнздат. 1970.
63. Мнлейковскнй И. Е.. Золотов О. Н. а) К рас-
чету складчатых систем на ЭЦВМ. Сб. ЦНИИСК им. Кучеренко
«Строительные конструкции», вып. 6. Расчет оболочек. 1970. Ро-
тапринтное издание; б) Вариационный метод исходных уравне-
ний прн расчете складок и особенности напряженного состояния
оболочек складчатого типа Сб. «Пространственные конструк-
ции зданий н сооружений», М.. Стройнздат, 1972.
64. Мншонов М. К теории пологих оболочек. ПММ, XXII.
вып. 5. 1958.
65. Мрошннскнй А. К. Расчет цилиндрической оболоч-
ки на сосредоточенные силы. Сб. «Пластннкн н обол очин». М..
Госетройнэдат. 1939.
66. Назаров 1 А. Основы теории и методы расчета по-
логих оболочек. М. Стройнздат. 1966.
67. Н н к н р е е в В. М. Раздельное применение без момент-
ной и моментной теорий к расчету пологих оболочек Труды
IV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластнп. Ере-
ван. 24—31 октября 1962 г. Изд-во АН Армянской <ХР.
68. Ннкиреев В. М.. Шадурский В. Л. Практиче-
ские методы расчета оболочек. Стройнздат. 1966.
69. Н о в о ж и л о в В. В. Теория тонких оболочек. 2-е изда-
ние. Гос. союзное издательство судостронтельпой промышленно-
сти. Л., 1962.
70. О в е ч к н н А. М. Расчет железобетон пых круглых ре-
зервуаров. М-. Стройнздат. 1950.
71. Одинцов М. Н. а) Расчет цилиндрической оболочкн
с учетом упругой податливости опорных диафрагм. «Строитель-
ная механика н расчет сооружений». 1962, Л 5; б) К расчету
диафрагм цилиндрических оболочек. «Строительная механика
п расчет сооружений». 1964. 76 5.
72. Павнлайнен В. Я. Расчет многоволиовых покры-
тий. Сб. «Расчет пространственных конструкций», вып. XIII.
М.. Стройнздат. 1970.
73. Паттернам П. Л. Практический расчет складок
и цилиндрических оболочек с учетом изгибающих моментов.
Информационный бюллетень НКТП, 1932.
74. П а стер н а к П. Л. Практический расчет складок м ци-
линдрических оболочек с учетом изгибающих моментов «Проект
и стандарт». 1933. 76 2.
75. Пастернак П. Л. Оболочки двоякой кривизны
в гражданском и промышленном строительстве. Известия АС и А.
I960. 76 3.
76. Пастернак П. Л. н др.. Железобетонные конструк-
ции. Специальный курс. М.. Госетройнэдат, 1961.
77. Пирогов И М. Распределение напряжений около от-
верстия в цилиндрической оболочке при действии сосредоточен-
ных сил. Иэв. АН СССР. ОТН. Сер. мех. н маш. 76 2. 1959.
78. Попов И. Г. Приближенный расчет длинных цилинд-
рических оболочек. «Расчет пространственных конструкций»,
вып. VI. М.. Госетройнэдат. 1961.
79. Пшеничное Г. И. Расчет сетчатых цилиндрических
оболочек. Изд. АН СССР. 1961.
ВО. Р ж а и и ц ы и А. Р. Об определении сектор нал иных гео-
метрических характеристик сечення тонкостенного стержня (ме-
тод произвольных эпюр). Труды лаборатории строительны) меха-
ники ЦНИПС. М.. Стройнздат. 1941.
81. Ржаннцын А. Р. Расчет тонких безмоментных обо-
лочек вращения малой кривизны на произвольную нагрузку. Тру-
ды лаборатории строительной механики ЦНИПС. М.. Стройнз-
дат. 1949.
82. Р ж в я и ц ы в А. Р. Без моментные пологие оболочкн. Сб.
«Расчет пространственных конструкций», вып. 111. М.. Гос.
изд-во литературы по строительству и архитектуре. 1955.
83. Ржвпмцын А. Р. Пологие оболочкн и волнистые на-
стилы (некоторые вопросы теории и расчета). Научное сообщение
ЦНИИСК АСиА СССР. вып. 14. М.. Госетройнэдат. I960.
84. Слеэннгер И. Н. Решение основных уравнений по-
л у без моментной теории цилиндрических оболочек. «Строительная
механика н расчет сооружений». 1966. 76 I.
85. Смирнов А. Ф.. Александров А. В.. Шапош-
ников Н. г!.. Л щ е и и к о в Б. Я. Расчет сооружений с при-
менением вычислительных машин. М.. Стройнздат. 1966.
86. Строительная механика в СССР 1917—1967 гг. Раздел
«Расчет оболочек и других тонкостенных конструкций». Строй-
нздат. 1969.
87. Справочник проектировщика промышленных, жилых и об-
щественных зданий н сооружений Расчетно-теоретнческнй. Под
ред. проф. А. А. Уманского. М.. Госетройнэдат. 1961.
88. Стругацкий Ю. М. Некоторые вопросы расчета
призматических складок по пол у без моментной теории. Сб. «Рас-
чет пространственных конструкций», вып. IX. М.. Госстройнз-
даг. 1964.
89. Стругацкий Ю. М. Расчет ортотропных цилиндриче-
ских оболочек в главных координатах. Сб. «Расчет пространст-
венных конструкций», вып. ХП. М.. Госстрой из дат. 1969.
90. Сумбак А. А. Расчет предварительно напряженных
цилиндрических железобетонных оболочек с учетом жесткостей
кручения и горизонтального изгиба бортовых элементов. «Тру-
ды Таллинского политехнического института». 76 |61. 1959.
91. Сумбак А. А. Экспериментальные исследования пред-
варительно напряженных цилиндрических оболочек. «Труды Тал-
линского политехнического института». 76 163. 1959.
92. Тимошенко С. П. Пластннкн и оболочки. ОГИЗ Гос-
технздат. 1948.
93. Тимошенко С. П., Войновскнй-Кригер С.
Пластинки в оболочки. Фнзматгнз. 1963.
94. Тюленев А. И. Расчет цилиндрической оболочки
it шпангоута на сосредоточенную нагрузку. Сб. «Расчет про-
странственных конструкций». вып. V. М.. Стройнздат. 1959.
95. Труды VII Всесоюзной конференции по теории оболочек
и пластинок. Обзорные доклады. М.. «Наука». 1970.
96. Финкельштейн Р. М. О напряженном состоянии
круговой цилиндрической оболочкн. имеющей начальные откло-
нения от правильной формы; Ленииградск. гос. университет
нм. Жданова. «Исследования по упругости и пластичности»,
сб. 1. Изд. ЛГУ. Л.. 1961.
97. Флюгге В. Статика и динамика оболочек (пер. с не-
мец.) М.. Госетройнэдат. 1961.
98. Ф и л и н А. П. Элементы теории оболочек. М.. Строй-
нздат. Л., 1970.
99. Ч е р е н н п а В. С. Статика тонкостенных оболочек вра-
щения. «Наука». 1968.
100. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек. Изд. ЛГУ.
Часть I. 1962. част. II. 1964.
101. Шахраманов Г. С. Расчет тонкостенных цилиндри-
ческих оболочек по обобщениим формулам. АН ГрузССР. Труды
научных корреспондентов ин-та строительного дела, т. I. Тбили-
си. 1955.
102. Штаерман М. Я- Основные идеи современной теории
куполов и сводов. Труды Всесоюзной конференции по бетону
и железобетону. 1932.
103. Штаерман И. Я. Расчет купола иак арки на упру-
гом основании. «Проект и стандарт». 1933. 76 9.
104. Штейнберг М. В. К расчету нераэрезных цилиндри-
ческих оболочек. «Строительная механика и расчет сооруже-
ний». 1963, 76 6.
105. Щепоть ев А. С. Экспериментальные исследования
железобетонной цилиндрической оболочки. «Проект и стандарт»,
1936. 76 II.
106. Э стр ни М. И. Расчет цилиндрической оболочки, за-
крепленной по косому контуру. Иэв. АН СССР. ОТН мех. и ма-
ши к остр.. т. 2. 1952.
107. Э стр ин М. И. Расчет цилиндрической оболочкн. за-
крепленной по косому контуру. Иэв. АН СССР. ОТН. Стр. мех.
и маш. 76 2. 1959.
108. Второй международный конгресс по тонкостенным обо-
лочкам-покрытиям (лер. с англ., фраки, и нем.) под редакцией
А. А. Гвоздева. М . Госетройнэдат. 1960.
109. Симпозиум по проблемам взаимосвязи проектирования
и возведения оболочек для производственных и общественных
зданий с большими пролетами. М.. Госетройнэдат. 1966.
Г.ЧТДСЛ 10
МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН
И ОБОЛОЧЕК
15.1. ОСНОВЫ МЕТОДА СЕТОК
Аналогично (рис. 15.1.6):
Метод сеток, нлн метод конечных разностей, нашел
широкое применение прн решении различных задач ме-
ханики. Этому за последние годы способствовало внедре-
ние в практику электронных вычислительных машин.
Основная идея метода состоит в замене точных значе-
ний производных нх приближенными значениями через
конечные разности нлн дискретные значения функций.
Пусть, например, дана функция двух переменных
F=F(x, у) н надо вычислить частную производную
dF/dx в узле i (рнс. 15.1, а).
Рнс. 15.1. К замене производных разностями
Если АВ есть касательная к поверхности F=F(x, у)
в узле I. параллельная плоскости *у, го точное значение
производной равно тангенсу угла (tg а) наклона прямой
к осн х. Приближенное значение для производной можно
получить, если вместо прямой АВ рассмотреть прямую
A|Bi; тангенс угла наклона прямой AjBj приближенно
представит первую производную в точке i:
dF
дх
2Х,
(15.1)
Аналогично
&F F„ - ZFt + Fm
---_ _2------ . (15.3)
Запишем еще третью н четвертую производные:
&F _ Ft-UFt-Frf-F,
-Ч « - »
дх> 2Х’
*F _ F<-4F< + 6Fi-4Ft + F,
• <15 5>
Аналогично
d>F F0-4F„ + 6F,-4Fn + Fa
*---------------- ,вя
Для смешанных производных:
*F _ (Fe + Fp)-<Fq+Fr)
дхду 4ХГХВ ’ ’ ’
дЧ> 1
° W И ' “ 2 {Fn + F‘+ Fm + +
+ (fe + Fp + Fr + E0)b (lfi-8)
В некоторых случаях необходимо применять уточнен-
ные н односторонние производные. Уточненные значения
первой н второй производных в точке I:
dF 1
---(-fs + 8Ft-8Fz + F,). (15.9)
Или
OF 1
l(Fp + Fr) - (Fo + F,)J; (15.9a)
d>F I
-^=-^r(-^+,6f‘-30F' +
dF __F„ — Fm
dy ~ 2\, 1
где X», 1, — шаги сеткя.
Вторые производные можно получить, записав в числи-
теле разность первых разностей, т. е. вторую разность,
а в знаменателе — квадрат шага сетки:
&F _ (Ft — Ffi — tFi — FiA _ F,-2F; + Ft
xj " х> ( 2)
+ 16F,- FJ.
(15.10)
Односторонние производные в узле < могут быть пред-
ставлены следующим образом:
dF
дх
(15.11)
dF _ F,-Fi,
дх Хх
(15.12)
15.1. ОСНОВЫ МЕТОДА СЕТОК
139
Уточненные значения односторонних производных в уз-
ле А:
dF I 1
+ (15.13)
дх к *г
Также
-I
дх к
-J—(_3Fs-!0F*+18F,-
-6F/-F!); (15.14)
d’F I 1
— =----------- (11F,-2OF* + 6F| +
I* 12X=
+ 4F,-F().
Замена точных значений производных конечными раз-
ностями сводит задачи, описываемые системами диффе-
ренциальных уравнений, к задачам решения систем алге-
браических уравнений. Общие методы нх решения здесь
не рассматриваются. Некоторые нз них можно найти
в разделе 2.2. а также в специальной литературе [8, 10.
29]. Здесь основное внимание уделено построению раз-
ностных уравнений и формулировке граничных условий
в задачах расчета пластин н оболочек. Рассмотрены так-
же некоторые частные способы решения систем раз-
ностных уравнений, существенно связанные с особенно-
стями исходных дифференциальных уравнений нлн со
спецификой самого метода сеток.
15.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
15.2.1. Плоская задача в напряжениях
Для решения плоской задачи теории упругости исходят
из бнгармоннческого уравнения
d*F d*F d*F
-ТГ+2——=°. (15-16)
дх* дх*ду’ ду*
Покажем, как методом сеток найти интеграл уравне-
ния (15.16) прн заданных на контуре значениях F
и dFjdn.
Используя (15.5). (15.6) и (15.8). можно уравнение
(15.16) для узла 1 (см. рнс. 15.1,6) записать так:
F, (6aJ-|- 8a«+ 6) - 4 (F„ -f-a^F, + Fm +a0F*) (a» + 1) +
+ 2®o (Fq + Fp + Fr + F(>) + Fa -f- F/Oj-]-
+ fo + M = 0. (15.17)
Через a обозначена величина
au^(4r)*- <,5j8>
В случае квадратной сетки (a=l) уравнение (15.17)
упрощается:
20F,-8(F* + F,-|-Fm + F„) + 2(F(, + Fp4-
+ Fq -f- F,) + Fs + Ft + F„ + F„ = 0. (15.19)
В качестве примера рассмотрим ход решения задачи
о плоском напряженном состоянии квадратной балки-
стенки (рнс. 15.2.0). находящейся под действием силы
посередине. Найдем иа контуре области значения F
н дг/дп, используя рамную аналогию: будем контур бал-
ки-стенки рассматривать как замкнутую раму. Разрежем
раму внизу посередине (рнс. 15.2, б) н для этой основной
системы построим эпюру изгибающих моментов (пока-
зана сплошной линией) и эпюру продольных сил (пока-
зана пунктиром). Значение функции напряжений F на
контуре балки-стенки равно нагибающему моменту.
(1515)
Рис. 15.2. К расчету балки-стенки
а нормальная производная dF/dn равна продольной си-
ле в соответствующем сечении рамы.
Правило знаков сформулируем следующим образом.
Будем откладывать изгибающий момент со стороны рас-
тянутого волокна; тогда изгибающий момент, построен-
ный внутри области, соответствует положительному зна-
чению F, а построенный вне — отрицательному значению
F. Продольную силу считаем положительной прн растя-
жении: положительная продольная сила соответствует
положительному значению dFIdn.
Из (15.1) следует, что
F, = F» + 2ХЛ-. (15.20)
Выберем сетку, изображенную на рнс. 15.2,0 с шагом
к=1/б. Неизвестными являются значения F в отдель-
ных узлах. В силу симметрии количество неизвестных
значений функции F прн выбранной сетке равно пятнад-
цати.
Значения F на контуре легко находим нз эпюры М
(см. рнс. 15.2,6):
Pl Р1
Ч о
140
РАЗДЕЛ IS. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
flII ~ М1П “ |2 ;
Flv = F v = Fv] = ... = FXIII = 0;
= 2LI =0;
ду h ду In ду 1ш
^£1 =_^| =...= -^1 р.
дх lv дх Ivi дх lix 2
На основании (15.20) запишем выражения функции
напряжений F во внеконтурных узлах ai. ап и др Они
нужны прн составлении уравнений в предконтурных уз-
лах. Имеем:
F = F — 2----------—;
° VI • 6 2
f“XI = flS " т л
Составим уравнения для характерных узлов сеточной
области (см. рнс. 15.2, е):
для узла 1
20F, - 8 (2F, + Ft + Flo) + 2 (2FS + 2FU) +
+ 2F, + F„ + Fi = 0;
для узла 5
20F, - 8 (F< + F, + F, + F,) + 2 (F, + F, + F,+
Pl
+ Ft) Fj + Fu + —- — 0;
О
для узла 2
F, = 0.
Pl
+ 12
Таким образом можно составить систему 15 уравнений,
решить нх и найтн значения функцнн F во всех узлах
сетки. После этого составляющие напряжений находят по
формулам:
д'-F &F
1 ду1 “ дх1
&F
дхду
илн на основании (15.2). (15.3) и (15.4). Напряжения
в узле । равны:
(15.21)
a.
• X»
Fp — 2F{ 4- Fт
торые особенности. Они заключаются в том. что по за-
данной нагрузке функция напряжений на контуре обла-
сти определяется с точностью до слагаемого вида
G + Qc+CaP (15.23)
В случае односвязнон области константы С< могут
быть заданы произвольно и, в частности, приняты рав-
ными нулю, так как уравнения Сен-Венаиа. устанавлива-
ющие связь между компоиентамн относительных дефор-
маций е>, е, н у«в, выражают необходимые и достаточ-
ные условия сплошности плоского односвязного тела.
Если тело ограничено многосвязной областью, то эти
уравнения недостаточны для удовлетворения неразрыв-
ности деформаций. Должны быть выполнены дополни-
тельные условия. Этот вопрос рассматривается в рабо-
тах [28, 31]. Трудности решения плоской задачи теории
упругости для неодиосвязных областей можно обойти,
если пользоваться уравнениями в перемещениях. Боль-
шие возможности решения плоской задачи, а также дру-
гих задач теории упругости открывает метод сеток в со-
четании с конформным отображением. Используя
различные системы ортогональных криволинейных коор-
динат, можно достаточно точно исследовать поле напря-
жений плоских областей сложного очертания, включая
неодносвязиые области. Указанный метод изложен в ра-
ботах [14, 28].
15.2.2. Двойной итерационный процесс
решения плоской задачи
Для решения систем алгебраических уравнений наря-
ду с методом Гаусса представляется целесообразным
в случае матриц высоких порядков прибегать к итераци-
онным методам, особенно учитывая специфику современ-
ных цифровых машин. С этой точки зреиня оказалось
удобным прн решении плоской задачи разностным мето-
дом заменить бнгармоническое уравнение относительно
функции напряжений
= 0 (15.24)
системой двух уравнений второго порядка:
8»F 8»F
— + — =f^.yY (15.25)
ox* oy-
d8/
тг+тг = °- <IS-26)
dx3 ay1
где
f (х.У) = <’» + <’(,-
Представим уравнения (15.25) н (15.26) в разностной
форме, приняв квадратную сетку с шагом X,=Xf=X
(см. рнс. 15.1.6).
Уравнение Пуассона
Ft + F<+F: + Fn-4F, = (I5 27)
уравнение Лапласа
ft + fl-t-fm + fn — 4ft „
(fo + F„)-(F4 + Fr)
4Х»
(15.22)
При решении плоской задачи для неодносвязных обла-
стей, например пластин с отверстиями, возникают неко-
Двойной итерационный процесс решения этих систем
уравнений сводится к следующему. Во всех внутренних
узлах сеточной области задают произвольные начальные
значення F и находят первые приближенные значення /.
Эта операция состоит нз двух частей. Вначале опреде-
IS.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА
141
ляют контурные значения /ноет, подставляя в форму-
лы (15.27) соответствующие начальные значения пред-
контурных ординат и известные па контуре и в его окре-
стности контурные н законтурные значения функции
напряжений F. Законтурные значения функции напряже-
ний находят по экстраполяционной формуле
Fs.k = F-ОНТ+ 2Х(-^) . (15.29)
\ on /коят
Прн известных на контуре значениях /ио» находят
значения во внутренних узлах сетки, решая задачу Ди-
рихле для уравнения Лапласа (15.26) по формуле
r,_ (В30)
Индекс л относится к первоначальным значениям /,
а п+1—к исправленным.
Численное решение этого уравнения может быть вы-
полнено с помощью итерационного метода верхней ре-
лаксации [10, 33, 39].
После решения уравнения Лапласа переходят к ис-
правлению первоначально принятых значений F при по-
мощи формулы
f (<Н-1> _
р(л+Ч | р(л) | р(л) | ^<л+1>_____ ^3 ^<п)
(15.31)
Операция (15.31) совершается однократно. Далее, ис-
пользуя исправленные значения f}'1'*'11 в предкоитур-
иых узлах сетки, находят новые значения Ги»» на кон-
туре, затем итерацнонным путем решают уравнения Лап-
ласа и т. д.
Процесс повторяется до тех пор, пока сумма квадра-
тов разностей (п)-го н (n-f-l)-ro приближений по всей
области не оказывается меньше заданного числа. Эти
значения функции считаются окончательными, н по ним
находят напряжения в узловых точках пластины.
Для ускорения процесса итераций прн решении урав-
нения Пуассона используется метод ннжней релаксации
[33. 39].
Описанный двойной итерационный процесс решения
плоской задачи легко реализуется с помощью ЭВМ.
В настоящее время имеются типовые программы, позво-
ляющие решать таким способом задачи о плоском на-
пряженном состоянии для областей, вписанных в сетку
с числом узлов более 1000.
15.2.3. Решение в перемещениях.
Вариационный метод построения
разностных уравнений
Решение плоской задачи для неодносвязных областей
во многих случаях упрощается прн использовании урав-
нений в перемещениях:
d*a 1 —у д*и 1 4- у d*o I
д*Г + 2 ‘ ду' + 2 ' дхду +'FA=0:
1 4- у д*и dfy I — v 3»о
2 дхду ду' 2 дх' т
+ 4-Г = 0, (15.32)
В
где
В--*-
1—У>
u, v — компоненты вектора перемещений, направленные
соответственно вдоль осей х н у, X и У — компоненты
массовых сил; В — жесткость.
Хотя в (15.32) число неизвестных удваивается, полу-
чение нх конечно-разностного аналога благодаря пони-
жению порядка уравнений упрощается. Кроме того, ре-
шение в перемещениях особенно удобно для вывода раз-
ностных уравнений вариационным методом. Этот метод
вывода сеточных уравнений отличается от обычно ис-
пользуемого тем, что конечными разностями заменяются
производные не в уравнениях (15.32), а в выражении
потенциальной энергии П, представленной функционалом
<з>
В 1 —V Г/ ди V _ ди ди / do VI
+ 2' 2 +
— (Хи+Го)|<ЬЛ/, (15.33)
где S — рассматриваемая плоская область.
После замены в (15.33) производных конечными раз-
ностями сеточные уравнения находятся как необходимые
условия минимума потенциальной эиергнн. Матрица ко-
эффициентов этих уравнений всегда (независимо от гра-
ничных условий н формы контура рассматриваемой об-
ласти) симметрична и позволяет применять для решения
системы наиболее эффективные численные методы, легко
реализуемые на ЭВУ
Рассмотрим описанный способ составления сеточных
уравнений подробней [И, 12, 13, 25, 26].
Наложим яа рассматриваемую плоскую область S пря-
моугольную сетку с шагами X, и (рнс. 15.3, о) н бу-
дем искать перемещения ее узловых точек.
Введем вспомогательную сетку с шагами ?.»/2 и Х„/2
(рис. 15.3,6). Присвоим каждой ячейке этой сеткн но-
мер ее инжней левой угловой точки / (например, на
рис. 15.3,6 прямоугольнику idha присваивается номер i)
н назовем Sj его пересеченно с S. Если обозначить через
П) значение функционала (15.33) прн S=Sj, можно за-
писать.
S=SS/; /7 = £/7/. (15.34)
I I
Заменим дифференциальные выражения в функционале
П) конечными разностями. Считая основную сетку доста-
точно мелкой, можем принять для областей S,. St, St,
(на рис. 15.3.6 заштрихованы наклонными линиями):
и(х,у) = и,; о(х.|/) = о,;
для областей St, Sa, S«, St (на рнс. 15.3,6 заштрихова-
ны вертикальными линиями):
ди ц/ — и/ до Of — О{
дх Хх ' дх Хх '
для областей Sc, S(, Sa, S< (на рнс. 15.3,6 заштрихова-
ны горизонтальными линиями):
ди _ ut — un до _ vi — v„
ду ’ ду Х₽
Кроме того, истинную нагрузку с компонентами X и У
(включая и кок гурные силы, которые можно рассмотри-
142
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
вать как частный случай массовых) заменяем статически
эквивалентной с компонентами X и У, так что в области
S*=Si+Se+S/+St (на рис. 15.3,6 она заштрихована
наклонными линиями):
Х(х,у) = А-|; У(х,у) = П.
(•Г du до и, —и, vi — о„
JJ дх ду X,
(sl)
IJ X udx dy = $ X udx dy = Ft X/щ
ft) ft)
Рис. 15.3. К выводу разностных уравнений вариа-
ционным методом
tl T. Д.
После замены дифференциальных выражений конечны-
ми разностями необходимые условия мнннмума полной
энергии сводятся к системе алгебраических уравнений:
дП \УдП] „ дП ^дП/
Г=1т‘ = 0; Т = ЪтГ = °- ('5-35)
дщ дщ dot dot
где / пробегает все узлы, а I — только основные.
В каждое уравнение системы (15.35) входят значения
неизвестных перемещений лишь в девяти узлах. В этом
нетрудно убедиться, приняв во внимание, что значения
неизвестных в узле < входят в выражение потенциаль-
ной энергии только четырех окружающих ее ячеек основ-
ной сетки илн 12 ячеек вспомогательной сетки. Таким об-
разом, систему (15.35) можно записать и так:
ф ф
Ех“и<р + 2л/”о(р=^'’.
ф ф
(15.36)
Коэффициенты Л1<р из (15,36) в общем случае могут
быть определены по формуле
Аф=4-2л/°‘ф/’ (,s-37)
I
где /—индекс, пробегающий 12 значений (/™d, I, a, g,
4F/
с, *. s, /. 1, т. о, е); —отношение площади
области S) к площади ячейки вспомогательной сетки
(очевидно, что 0< */ < 1, причем крайние значения соот-
ветствуют расположению /-й ячейки вспомогательной
сетки целиком вне илн внутри области S. а промежуточ-
ные— пересечению /-Й ячейки контуром области S):
с(ф|- — коэффициенты с такими же верхними индексами,
как н у определяемых А1<р [здесь и в (15.37) онн опуще-
ны], значения которых находятся по табл. 15.1. В этой
таблице приняты обозначения:
К
К
Ър О 1 —V о 1 —
—; В =-------а: В = —
JL, ’ ₽ 2 ’ ₽ 2
. в , 1 —Зу >«,
г 8 8 В
Таким образом, нагрузка, перемещения н нх производ-
ные в любой точке области S определяются лишь нх зна-
чениями в узлах основной сетин. Соответственно только
этн значения войдут и в выражение энергии, отдельные
слагаемые которого примут вид:
Рассмотрим несколько примеров определения коэффи-
циентов уравнений (15.36) по формуле (15.37). Соста-
вим, например, сеточные уравнения (15.36) для точки //
области S, показанной иа рис. 15.4. Наложим сетку
рис 15.3, б на область S таи, чтобы узел I совпал с рас-
сматриваемой точкой //. Тогда коэффициенты kt опре-
делятся следующим образом:
(1 при / = d, I, и, g, с, к, т, Ь, е
О при / = s, /.С
15.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН
143
Умножая каждую строку табл. 15.1 иа соответствую-
щий коэффициент kj и складывая в соответствии
с (15.37), найдем искомые уравнения:
— 20u„ —a u»4-3(a 4-0) щ —2 а u(—0um —
— 2уо, + 2уо, — 26о* + 2yoz 4- 2бо„ —
3
— 2ртр = “А<:
— 2yu, + 2уи, + 2би* 4- 2уи/ — 26um —
— 2yup — 2ао„ — 0 о* + 3 (а 4- 0) щ — 2 0 vt —
3
-av„, = — и?/
Аналогично можно записать уравнения (15.36) и для
любой другой точки, приведенной на рис. 15.4. Посколь-
ку этими схемами охватываются все возможные вариан-
ты. возникающие при совпадении контура области 5
с отдельными межузловыми отрезками сеточных прямых,
в табл. 15.2 приведены уравнения (15.36) для любого из
пронумерованных на рнс. 15.4 узлов.
В качестве примера составления разностных уравне-
ний при несовпадении контура области S с сеточными
прямыми рассмотрим узел £ на рис. 15.3, а. Наложив
сетку рнс. 15.3,6 так, чтобы ее узел i совпадал с L по-
лучим:
{О прн j = ft, е, а
0,5 прн j = «
1 при / = d, g, с, k. t, f, s, m
Умножая значения о/ф/, указанные в / х строках
табл. 15.1, на коэффициенты Aj и складывая в соответ-
ствии с (15.37), найдем:
Рис. 15.4. Обозначения типовых узлов сеточной области
— 70и„ — Заи* — а и/ — 60ит 4- (9 a 4-13 0) ut —
— (1 +v)n»-wn + (l —v)nr-4yor+-^-^’o/-f-
+ (1 + v) + 2vom — (1 — v) ор = 5A'( co;
1 — V
— (1 + V) в» — —— Un + 2vu, — 4yu/ 4- vu, 4-
+ (l +v)Uo+(l—v)nm — 2vUp — 7ao„ —
— 8 ₽ «* + (13 a 4- 9 0) of — ₽o, — 6at>m = 5F/<i>.
На рнс. I5.5,a показана квадратная пластина с цент-
ральным квадратным отверстием, сжатая сосредоточен-
ными силами вдоль осн симметрии. На рнс. 15.5,6 пока-
заны эпюры напряжении в некоторых характерных сече-
ниях пластины. У узлов помещены величины коэффици-
ентов кж и k„ входящие в формулы для найденных на-
пряжений:
Р Р
°х~*габ: ^-^аб’
где Р — величина действующей нагрузки; а, б — сторона
н толщина пластины.
16.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН
15.3.1. Основные уравнения
и граничные условия
Функция прогибов и> пластины определяется нз реше-
ния краевой задачи для бигармонического уравнения
д*и> <Pw а
+ = Т (1538)
при удовлетворении граничных условий.
Выше обозначено:
Ph»
D = цилиндрическая жесткость
пластины; q — интенсивность нормальной на-
грузки.
Используя центральные разности, предста-
вим уравнение (15.38) в конечных разностях
для узла г сеточной области (рнс. 15.1,6):
20 ш( - 8 (ш* 4-4-4-шл) 4-2 (то 4-4-
4- + ш,) 4- в>5 4- шг4-ши 4- а>в = . (15.39)
где — интенсивность нагрузки в узле I.
II
Рис. 15.5. Сжатие квадратной пластннкн с отверстием
сосредоточенными силами
1
144
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Таблица 15.1
Коэффициенты при перемещениях узлов и свободные члены
1 d uu aw •s, 1 aH
" 1 * 1 ' • 1 m 4 n r * 1 1 0 m p 1
-s₽ 20 V—1 1—V
/ -20 2(a+0) —2a 2v -«V 1—V 2<i>
« -2B 2a -ta 2v —?V
20 v-l 1—V
-20 —2a 2(a+0> —2v v-l By 2<i>
ft —2a 2a —2v 2v
f 20 -20 1—V v—|
1 —Sa 2<a+0> -20 1—v -8V 2v 2<J
t -& 2a —2v 2v
m 20 -20 !-v
b 2<a+0) —2a -20 v-l -2. 2<j
r 2a —2a 2v -2V aii
I OU itpl °/ф/
• * i > ° m p n k / m
ч -?v ?4> -2a 2a
t 1— V -в» 2v [ —2a 2<a+0) —20 2o
a в 1—V v-l 20 -20
—2v 2v -2a 2a
c v-l -2v в? -2a -2Й 2<a+0l 2Ш
* s v-l I^V —9v -20 20
2v 2a -2a
f 2v —0V 1—V -2» 2(a+0) -2a | 2o
t v— | 1—V -20 2P -2a L
m 2v -2V 2a
1 8V —2v v-l 1 2(a+0) -2j 2a 2tt
t 1 1—V V-l 1 1 -20
15.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН
145
Таблица 15.2
Раааостные уравнения плоской задачи теорам упругости а узлах сатая, уждзаниыж иа рис. 15.4
Ур ав- меняя и 0 X
п к I I m e a r k < / m 0
Первое / 2 3 4 5 6 7 8 9 10 и 12 13 -40 -40 -<е -ев -ад -ер -ее -и» -ад —85 4(5+0) 4(5+0) 4(5+0) 4(5+0) e(5+0) 6(5+0) 6(5+0) 6(5+0) 16(5+0) 12(5+0) 12(5+?) 12(5+0) 12(5+0) jh jp fri {k i’l {ft Hill 1 1 | 11 -<v+1) -(v+D -(v+D -(v+D -(v+1) -(v+D -(v+D 3v—1 1—3v 3v—I 1—3v 1—3v 3v—1 !+• l+v l+v l+v l+v l+v l+v I—3v 3v—J 1—3v 3v— 1 3v—1 1—3v By -«V -Sy 8y -«V By 8y —Sy 3v-l 1—3v 3v— 1 1—3v 1—3v I—3v 3v—1 l+v 1+’ 1+’ 1+» l+v l+v l+v 1—3v 3v-1 1—3v 3v—i 3v-l 1—3v -(*+1) -(v+D -(v+l) -(V+D -(v+D -(v+B -(v+D 2® 20) 2co 2® 4® 4® 4® 4® 8® 6® 6® 6®
1 ««X | и 0 Y
4 n r A i I 0 m n k I 1 m
Второе 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю // 12 13 -(v+D -(v+D - (v+D - (v+D -(v+D -(v+D -(v+D 1—3v 3v—I 1—3v 3v—1 3v—1 1—3v l+v 1+v l+v 1+V l+v l+v l+v 3v—1 1—3V 3v—1 1—3v 1—3v 3v— 1 By -«V —8y By -6y By By -By 1—3v 3v—1 1—3v 3v-i 3v— 1 1—3v l+V l+v l+v l+v 1+v 1+v 1+v 3v—1 1—3v 3v—1 1—3v 1—3v 3v-l -(1+v) -(!+*) -(I+V) -(l+v) -(l+v) -d+v) -d+v) -8a -40 -40 -4g -S0 -<0 -60 -ад -40 -80 -ад 4(a+0> 4(a+^) 4(a+B) 4(a+0> 8(a+0) 8(a+0) 8(a+0> 8(a+0) IB(a+0) 12(a+0) 12(a+0) I2(a+S) l2(a+0> -40 -40 -40 -80 -40 -3g -40 -80 -<0 -eg —4a -4a -4a —Sa 4(1) 2<a 4® 4® 4® 4® 8® 6® 6® 6® 6®
Приводим выражения для интенсивности усилий:
изгибающие моменты
D
М, = — — ((ш*—2a»+ro()+v (®m — 2го(+шл)]; (15.40)
D
Мй = —-^ [(а>„ — 2®(+®„)+v (®* - 2®/+®,)]; (15.41)
крутящий момент
Мжу= ~ D<4X~V) [(ВЬ + “ (“» + (,5Л2)
поперечные силы
Qx = — ^(®z — ®, + ®, — Bb + ®p —
— го, —4 (го/ —го*)); (15.43)
D
<?» = — ^(®o — ®<I + ®« — ®kl + ®p —
— го, — 4(го„ —гот)). (15.44)
Если на рнс. 15.1.6 ось у принять за правый край пла-
стины. то полная интенсивность реакции нлн обобщенной
поперечной силы в узле I может быть представлена
в виде:
Аг = — — (го/ — го, — 2(и>1 — ш*)4-
+ (2 — v) (го, — <ц> + Гор — го, — 2 (го/ — го»)]). (15.45)
146
РАЗДЕЛ 16. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Разностные уравнения
У злы (рнс. 15.6, 1S.7) W
о p s it I
/ 0,5 а»
2 0,5 v 0,5а» — (a»+v) 0,5 а»
3 0,5 а» 0,5 v - (а‘+*) 0,5 v 0,5a*
4 0.5 v 0,5a*
5 а»
6 V a*
7 V a8 - 2(a»+v) a*
8 а® V -2(a»+v) V a’
9 - (a»+v) V - (a»+v) 3 (a»+a»)+4
10 V — (а» + v) a* — 3(a«+v)-4(l— v) 3(a»+a«)+4
11 а* V —3(a»4-v)~4(l-v) 4-2 v - (a»+v) 3(a»+a»)+4
12 а* 4—2 г —3(a»+v}—4(1—v) V a» — 3 (a«4-v)—4(1— v) 3(a»+a*)+4
13 0,5 v — 2(a»4-v) V 0,5 а» — 3 (a»+v)—4(1—v; 5,5 a*+6a»+8
14 V —2 (a»+v) 0.5 v a2 —4(a»+l) 5,5a«+6a»+8
15 2а» 4—l,5v —6(a»+v)-8(l—v) 4—v 0,5 a* — 3(a*4-v)—4(1—v) 5,5a«+6a»+8
16 2а» 4—v —6(a»+v)-8(l-v) 4-1,5v a® -4(a»+l) 5.5 a»+6a»4-8
17 0,5 а» 0,5 v —3(a»+v) — 4 (1—v) 4—1,5 v -2(a»+v) 6a»+5,5a»+8
18 0,5 а» 4—1,5 v — 3 (a«+v)-4 (1—v) 0,5 v 2 a* — 6 (a»+v)-8(l—v) 6a»+5,5a»+8
19 а» V -4(a»+l) 4—v — 2(a* + v) 6 a»+5.5 a»+8
20 а» 4—v —4(a»+D V 2 а» — 6(a»+v)—8(1—v) 6a«+5,5 a»+8
21 1 v -2(a»4-v) V a® - 4(a«+l) 6 (a»+a»)+8
15.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН
147
Т а в л н ц । 15.3
изгиба тестям
О Правее часть
1 t о m r u
0,5 v -(a’+v) 0.5 v 0.5 a’
0,5 v
-(a’ + v) 0.5 a* 0,5 v
V - 2 (a’+v) V a’
— 2(а’ + v) a* V
V
-3(a’+v) - 4(1 - v) a* V — 3(a’ + v) —4(1—v) 4—2v a’ 1 2 6
- (a’+v) 4-2 v — 3 (a’+v) —4(1—v) V a* 1 — e 2
— 3(a’+v) — 4(l-v) a* -(a’ + v) V 1 — e 2
— (a* + v) V — (a’+v) 1 2 ®
- 4 (a* +1) a’ 4-1.5 v - 6 (a’+v) + 8(1 - v) 4—v 2a’ e
— 3 (a’+v) — 4 (1 — v) 0.5 a’ 4—v — 6 (a’+v) — 8 (1—v) 4—1.5 v 2a’ e
- 4(a»+l) a® 0,5 v -2 (a’+v) V e
— 3 (a’+v)—4(1 — v) 0,5 a’ V -2 (a’+v) 0,5 v e
— 6 (a’+v) — 8(1— v) 2 a’ V — 4(a’+ 1) 4—v a’ e
— 2 (a’+v) 4—v -4(a’ + l) V a* e
— 6 (a’+v)—8(1—v) 2 a’ 0.5 v — 3 (a’+v) — 4 (1—v) 4-1,5 v 0.5 a* e
- 2 (a’+v) 4—1.5 v — 3 (a’+v) — 4(1 — v) 0,5 v 0,5 a’ e
- 4(a*+l) 5» 4—v | — 6(a’+v) —8(1 — v) (Продолжение -таблицы на след, стр.) 4—v 2a’ e
N8
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Уш w
(рве. 15.6, 16.7) Л p s k I
22 а’ V -4(а’+В 4—v — 2 (a’+v) 6 (a’+a’)+8
23 а* 4—v -4(а»+1) V 2tt® — 6(a’+v)—8(1—v) 6(a’+a’)+8
24 2а’ 4—v -6 (а’+v)—8(1—v) 4—v a2 -4(a’+l) 6 (a’+a’)+8
25 а* 4—2v -6(a’4-v)-8(l—v) 4—v a8 — 6 (a’+v)—8(1—v) 11 (a’+a’)+16
26 а’ 4—v —6(a’+v) — 8(1—v) 4—2v 2 a’ -8(a’ + l) ll(a’+a’)+ 16
27 2а’ 4—v - 8(a*+l) 4 a’ — 6(a2+v)-8(i-v) 11 (a’+a«) + 16
28 2а’ 4 - 8(a’+l) 4—v 2a* - 8(a’+l) 11 (a’+a>) + 16
29 а* 4—v —6(a*+v) — 8(1—v) 4—v 2a’ — 8(a’+l) 12a’+lla’+16
30 2а’ 4—v -8(a»+l) 4 a2 — 6 (a’+v)—8(1— v) 11 a’+I2a’+16
31 2а* 4 -8(a’+t) 4—v 2 a’ -8(a’+l) 11 a’+12a’+ 16
32 2а* 4 -8(a»+l) 4 2 5* - 8(a’+l) 12 a’+ll a’+16
33 2а» 4 - 8(a’+l) 4 2 a’ — 8(a’+l) 12 (a* + a’) + 16
34 2а* 4 -8(a’+l) 4 2 a’ -8(S’+I) 12 a*+ll,5a’+16
35 2а* 4—0,5v — 8(a’+I) 4 1.5 a’ — 7 (a’+v)—8(1-v) ll,5a’+12a’+16
36 2а’ 4 - 8(a’+l) 4-0,5v 2 a* -8(5*+l) 11.5 a‘+12a’+16
37 1.5 а’ 4—0,5v - 7 (a’+v)-8(1— v) 4—0,5v 2a’ -8(a’+l) 12a’+ll,5a’+16
38 2а’ 4 - 7 (a’+v)-8(1— v) 4—v 2a’ — 7 (a’+v)—8(1—v) 9 (a’ + a’) + 12
39 2а’ 4—v — 7 (a’+v)—8(1—v) 4 a’ — 5 (a’+v)—4(1—v) 9 (a’+a’) + 12
40 а’ 2v — 5 (a’+v)—4(1—v) 4—v aa — 5 (a’+v)—4(1 —v) 9 (a’+a’) + 12
41 а’ 4—v — 5 (a’+v)—4(1—v) 2v 2a’ — 7 (a’+v)—8(1—v) 9 (a’+a’)+12
42 2а’ 4—0,5v — 6 (a’+v)—8(1—v) 4—v 1,5 a’ — 5 (a’+v)—4(1—v) 6.5 a’+6a’+8
43 2а’ 4—v — 6 (a’+v)—8(1—v) 4—0,5v a’ - 4 («’+!) 6,5a’+6a’+8
15.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН
149
Продолжение табл. IS.3
ш Права* часть Z
1 f 0 m u
— 6(5’4-'’)—8(1—v) 25» V -4 (a* 4-1) 4—v a3 e
- 2(a»+v) 4v -4(a»4- 1) V a» в
-4 (5*4-1) 5’ V -2(a»4-v) V e
— 8 (5’4-1) 2 a’ 4—v -8(a»4-l) 4 2a* 2e
— 6(a»4-v)-8(l—v) a3 4 — 8(a»4-l) 4—v 2a» 2e
— 8(5*4-!) 2 a» 4—2v — 6(a»4-v)—8(1—v) 4—v a» 2e
— 6(a»4-v)—8(1—v) a* 4—v — 6 (a’-f-v)—8(1—v) 4—2v a* 2e
— 8 (5’4-1) 2 a’ 4 -8(a»4-l) 4 2a» 2e
- 8(5’4-!) 25» 4—v — 8(a’4-l) 4 2a» 2e
— 6(a»4-v)-8(l—v) 5» 4 —8(a»4-l) 4—v 2a» 2e
-8 (5’4-1) 2 a’ 4—v — 6(a*4-v)—8(1—v) 4—v a* 2e
- 8 (5’4-1) 25» 4 -8(a’4-l) 4 2a» 2e
- 8(5’4-!) 25» 4—0,5v -7(a»4-v) —8(1—v) 4—0,5 v 1,5 a» 2e
- 8(a*+l) 25» 4—0,5v -8(a»-|-l) 4 2a* 2.
— 7 (5’-f-v)—8(1—v) 1,5 a* 4 -8(a*-f-l) 4—0,5 v 2a» 2e
- 8(5’4-!) 25» 4 -8(a’4-D 4 2a’ 2e
— 5(5’4-'’)—4(1—v) 5» 4—V — 5 (a»4-v)—4(1—v) 2v a» 3 — e 2
— 7 (5’4-v)—8(1—v) 25’ 2v — 5 (a’-f-v)—4 (1—v) 4—v a* 3 2 e
— 7(5’4-'’)—8(1-v) 25» 4—v — 7(a»4-v)-8(l—v) 4 2a» 3 ~2~e
— 5(5’4-v)—4(1—v) 5’ 4 — 7 (a»4-v)—8(1— v) 4—v 2a» 2e
-4 (5*4-1) a’ l,5v — 2(a»4-v) V e
— 5 (5’4-v)—4(1— v) 1,5 a* (Продолжи - 2(a«-f-v) ние таблицы на след, стр.) 1,5v e
150
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
У алы CT
(рис. 16.6. 15.7) • » Л p $ A (
44 l,5v -2(a*+v) V 1,5 a2 - 5 (a*4-v)-4(1- v) 6,5 a* 4-6a’+ 8
45 V - 2(a*+v) l,5v a* — 4(a*+l) 6,5 cc2-|-6ci*-^-8
46 1,5а* 4—0,5v — 5(a*4-v)—4(1—v) l,5v 2a* - 6(a»4-v)-8(1—v) 6а*+6,5а*+6
47 1,5а* l,5v — 5 (a*4-v)—4(1—v) 4—0.5v -2(a«+v) 6a*+6.5a*+8
48 а’ 4—v -4(a*+l) V 2 a* — 6(a*4-v)—8(1—v) 6a*+6,5a*+8
49 а* V - 4(a*-H) (4-v) - 2(a*+v) 6 ot2-f-6,5
50 а1 2v - 2 (a*+v) V a* -2(a*+v) a* + a*
51 а1 •v -2(a»+v) 2v a* + a*
52 V a* - 2(a*+v) a*+a*
53 v a* + a*
54 0,5 a*
55 0,5 a*
56 V 0,5 a*
57 V 0.5 a*
58 0,5 a*
59 0,5 a’
60 V 0,5 a*
61 V 0.5 a’
62 V - 2(a»+v) V 7 a’ + 6a* + 8
63 V — 2(a*-(-v) V a2 -4(a*+l) 7a’+6a’+8
64 2а* — 6 (a’-f-v)—8(1—v) 4—v 7 а’+ба’+в
65 2а’ 4—v — 6(a*+v)—8(1—v) a2 - 4(a*+l) 7a’+6a’+8
66 v 1 - 2 (a*4-v) 6 a*+7a*-|-8
15.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН
loi
Продолжение табл. 16.3
а> Правая часть
1 1 - 1 о m 1 г и
— 4(а*+1) a* 4-0,5 v — 6 (a’+v)—8(1—v) 4—v 2a’ e
— 6(a’+v)-4(l-v) 1,5 a’ 4—v — 6 (a’+v)—8(1—v) 4—0,5 v 2a’ e
- 2 (a’+v) 4—v - 4 (a’+l) V a- e
— 6(a’+v)—8(1— v) 2 a* V -4(a’+l) 4—v a* e 1
- 2 (a’+v) 4—0,5 v — 5 (a’+v)—4(1—v) l,5v 1,5a’ e
— 6 (a’+v)—8(1—v) 2 a’ I,5v — 5 (a’+v)—4(1—v) 4—0,5 v 1,5a’ e
V
-2 (a’+v) a* V
2v -2 (a’+v) V a’
-2 (a’+v) a’ V -2 (a’+v) 2v a4
V
V
V
V
— 4 (a’+l) a* — 6 (a’+v)—8(1—v) 4—v 2a’ e
4—v — 6 (a’+v)—8(1—v) 2a’ e
4 (a’+l) a’ V - 2 (a’+v) v e
— 2(a’ + v) V e
- 6 (a’+v)-8(1-v) 2a’ | V (Продолже -4 (a’+l) | ние таблицы на след, стр.) 4—v a’ | e
>52
РАЗДЕЛ 1Б. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Узлы (ряс. 15.6. 15.7) а
о Я л ₽ • k
67 V 2 а» — 6(a»4-v)-8(l—v) 6a»-|-7a»+8
68 аг V - 4(а»+1) 4—V - 2(a»+v) 6a»+7a»+8
69 а» 4—v -4(а»+1) V 2 а» — 6(a»+v)-8(l—v) 6 a»4-7a»+8
70 а* — 6 (a»+v)-B(I—v) 4—V 14a»+lla» + 16
71 а« 4—v — 6(a»4-v)—в(1— v) 2а» -8(a»+l) 14a»+lla»+ 16
72 2а1 - 8(а»+1) 4 14a»+ll a»+16
73 2а» 4 -8(а» + 1) 2а» -8(a»+l) 14a»+ll a<+16
74 а» — 6(a»+v)-8(l-v) lla»+ 14a»4-16
75 2 а» - 8(a»+l) lla»4-14a»+ 16
76 2а» 4—v - 8(а»+1) 4 а» — 6(a»+v)—8(1—v) 11 a»4-14a»+ 16
77 2а» 4 -8(а>+1) 4—v 2 а» - 8(a»+l) 11 a»+!4a; + 16
78 2а» -8(i»+l) 12a«+14a»4-16
79 2а» - 8(а« + 1) 4 14a»4-12a«+16
80 2а» 4 -Я(а>+ 1) За» - 8(a»+l) 14a»+12 a»+16
8i 2а» 4 -8(а» + 1) 4 2а» -8(a»+l) 12 a=+14 a»4-16
82 14 (а» + a») + 16
83 2 а» -8(5=+l) 14 (a« 4- a*) + 16
84 2а» -8(а» + 1) 4 14 (a» + a’) 4-16
85 ] 2а» 4 - 8 (а* + 1) 2 а» - 8(a»+l) 14 (а» + a») + 16
15.3. ИЗГИБ ПЛАСТИН
133
Продолжение табл. 75J
a Права а часть
1 t О m Z ।
- 2 (a’+v) 4—v -4 (a’+l) V a* e
— 6 (a’+v)—8(1— v) 2 a’ V
- 2 (a’+v) V e
-8(i*+l) 2 a* - 8(a’ + l) 4 2a’ 2e
4 -8(a’+l) 2a’ 2e
— 8 (a’+l) 2 a’ -6 (a’+v) — 8(1—v) 4—v a* 2e
4—v — 6 (a’+v) — 8 (1 — v) a’ 2e
— 8 (a’+l) 2 a’ 4—v -8(a»+l) 4 2a’ 2e
— 6(a’+v)—8(1—v) a2 4 — 8(a’+l) 4—v 2a’ 2e
— 8 (a’+l) 2 a* 2e
— 6 (a’+v)—8(1—v) a2 2e
-8 (a’+l) 2 a’ 4 -8 (a’+l) 4 2a’ 2e
-8 (a’+l) 2a’ - 8(a’+l) 4 2a’ 2e
4 - 8 (a’ + l) 2a’ 2e
- 8(a’+l) 2 a’ 2e
-8 (a’+l) 2a’ -8 (a’+l) 4 2a’ 2e
4 -8 (a’+l) 2a’ 2e
-8(a’+D 2a’ 2e
2e
154
РАЗДЕЛ IS. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
а)
Рис. 15.6. Типовые узлы изгибаемой пластины
15 3 ИЗГИБ ПЛАСТИН
155
ф
V
9
“2
Свободной край
пластины
Шарнирно опертый
край плае тины
Жестко защепленный
край пластины
Рис. 15.7. Типовые узлы изгибаемой пластины
РАЗДЕЛ IS. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Аналогично, принимав на рнс. 15.1,6 ось х за нижний
край пластины, найдем:
D
Ау = — (“>0 - и>и - 2 (ш„ — i»m) +
+ (2 — v) (ш, — w0 + wp — ter — 2(®n — wm)]}. (15.46)
Разностные уравнения изгиба пластин удобнее всего
формировать вариационным методом.
В табл. 15.3 приведены эти уравнения для сеточных
узлов одно- н многосвязных нагибаемых пластин, фраг-
менты которых изображены на рнс. 15.6 н 15.7, где пока-
заны условные обоэиачеиня граничных условий.
Табл. 15.3 содержит коэффициенты при искомых узло-
вых перемещениях в разностных уравнениях, относящих-
ся к типовым узлам, пронумерованным на рис. 15.6
и 15.7. В таблице приняты следующие обозначения:
решения составленной системы разностных уравнений
найдены прогибы в узловых точках области. По ним вы-
числены внутренние усилия в узлах. Результаты пред-
ставлены в виде формул:
2оХ«
ш = ш* 10»; Мж = Л1’дк*-10.
12(1 -V»/
9^tf
D '
где Л — толщина пластины; £, v — модуль упругости,
коэффициент Пуассона; q — интенсивность поперечной
нагрузки; Z — правая часть разностного уравнения.
Составим разрешающее разностное уравнение для уз-
ла 17, лежащего на свободном контуре пластины вблизи
утла, к которому подходит шарнирно опертая сторона
(см. рнс. 15.6). Совместив узел > сеточного шаблона
рнс. 15.1,6 с соответствующим узлом пластины в поль-
зуясь табл. 15.3, можем записать из строки 17:
0,5 а» щ + 0,5 — [3 (а» + *) + 4 (1 — v)J шп +
+ (4 - 1,5 v) а>г — 2 (а» -f- v) + (й»+5,5 а» + 8)щ, —
— [6 (а*v)-|-8 (1 — v)] ау-f-2 а» Ш/+ vai0—
9%%
— 4 (ач-l) wm 4- (4 - V) ®р4-а« а>и =
В качестве примера рассмотрим задачу изгиба пласти-
ны с тремя отверстиями, опертой продольными краями
и иеопертой вдоль коротких сторон, находящейся под
действием нагрузки интенсивностью q (рнс. 15.8).
На область пластины нанесена квадратная сетка с ша-
гом о/12. При решении задачи использована симметрия
относительно осей лир.
С помощью табл. 15Д сеточного шаблона из
рнс. 15.1,6 и обозначений типовых узлов иа рис. 15.6
и 15,7 сформирована матрица уравнений. В результате
Рнс. 15.8. Изгиб пластины с квадратными отверстия
2рА*
ми: прогибы а=ш* ——10» и изгибающие моменты
М, — Л1‘ qV-10 в характерных сечениях.
На рас. 15.8,6, в построены сплошной линией кривые
прогибов w н изгибающих моментов М? в пластине.
Пунктирной кривой показаны результаты экспериментов,
проведенных на железобетонной плите. Обнаруживает-
ся исключительная близость результатов.
15.4. устойчивость и колебания пластин
157
15.4. УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
15.4.1. Уравнения устойчивости пластин
Исходное дифференциальное уравнение для решения
задач устойчивости пластин имеет вид:
I дх*
д*и> д*ш д*а 1
+2 4--—
дх*--------------------дх*ду* ду*-D
d*w d^w \
+ 2Кгу д^ду + АГу ду^)^0’ (15’47)
Nx = ozh; X'ff^Qyh; Hly=xIuh.
(15.48)
Введем обозначения:
ог = 0С; о„ = уС; тг„ = 6С. (15.49)
Прн распределенной нагрузке величина С равна ин-
тенсивности этой нагрузки: С=р. При сосредоточенной
силе Р величина C=Pfa, где а — характерный размер
пластины.
Уравнение (15.47) в конечных разностях для узла
прямоугольной сеткн (рнс. 15.1,6) имеет внд [6, 17, 38,
Рис. 15.9. Расчетная схема к задаче о потере устойчи-
вости квадратной пластины, сжатой в одвом направ-
лении
Ф1»( + ф. (ШК + Ш,) + фэ (Wm + ССП) +
+ф« (“<₽ + «"«) + <Рэ (“>» + + ф« (»j + ш1) +
+ ши + ш„ = 0, (15.50)
где
Ф1 = 6 + 8/п + 6m2 + 2 (mp у) к;
фэ = —4/п — 4тп2 — mp4;
Фэ = — 4 — 4m — у4;
qit — 2m — 0,5 V^m 64;
Фэ = 2m + 0,5 Vт 64;
ф« = m1;
ChX2
i = (1551)
D
к—параметр критического состояния.
Полагая /1 = 1, для квадратной сетки (т=1) получим:
ф. = 20 + 2 (р + у) к; ф, = -3-р4;
Фз = — 8 — ук; ф4 = 2 — 0,564;
фэ = 24-0,5б4; ф.= 1. (15.52)
Обозначим
n’D
(Ch)Kp = NKf=KKf—, (15.53)
О
ns
где Ь —ширина пластины. b=nlt £кр.
Ход решения задачи. При действии на пластину в ее
плоскости системы сил необходимо в общем случае ре-
Рнс. 15.10. Величины кри-
тических сосредоточен-
ных сил для квадратных
оластвв с отверстием
158
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ П..АС7ИН И ОБОЛОЧЕК
шить плоскую задачу н найти составляющие напряжении
нлн усилий. Эти значения надо подставить в (15.47),
после чего можно перейти к разысканию параметра кри-
тической нагрузки.
В некоторых случаях первый этап может отпасть.
Так, например, для пластины, равномерно сжатой с двух
сторон, имеем однородное напряженное состояние, и зна-
чения составляющих напряжений в любой точке могут
быть записаны сразу:
— —Р> =
При сжатии пластины сосредоточенными силами необ-
ходимо решить плоскую задачу и найти составляющие
напряжений в выбранных узлах сеткн. После этого вы-
числяются коэффициенты (15.51) н для каждого узла
составляются уравнения (15.50) с учетом граничных ус-
ловий изгиба. Определитель полученной системы урав-
нений дает возможность нантн критическую нагрузку.
Пример 15.1. Рассмотрим свободно опертую квадрат-
ную пластину (рис. 15.9), равномерно сжатую в одном
направлении. В этом случае (см. 15.3.3): а=Ь\ у——1;
Р=б=О. Принимаем шаг сетки Х«=6/4.
Запишем граничные условия. Для узла /: wi=0;
tea= — wt; для узла //: wu==0; oig = — и т. д.
Коэффициенты уравнений нз (15.52) равны:
Ф1 = 20 — 2й; <р, = — 3: ф, = 8 + *;
= фг = 2; ф« = 1-
Составим уравнение для узла /:
(20 - 2k) w1 - 3 (us + u>n) + (- 8 + k) (trt + wt) +
+ 2 (w4 + tn, ) -J- 2 (<t>4 -J- u>, ) Oj — wt = 0.
Аналогично составляются другие уравнения.
Таблице 15.4
D
Коэффициент k в формуле ~ критических нагрутоа прямоугольных пластин при различных условиях иа контуре
Схема контурных закреплен к л Схема нагружения
0/4 Г о/ч
Р Р а/<>
к
Густота сетки
4X4 | 6X6 | 8x8 • 4X4 вхв • 4X4 8хв • 4X4 8x8 •
£ 51,2 59,1В 53.6 70.5 54.3 73,5 79.8 32.9 35,2 36.03 66.6 86,4 92.97
35.4 43.2 45.05 46.6 51.7 69,6 75.6 8.7 п.з 12,2 66.8 8€,4 92.96
32.0 46.2 46.3 46.7 47.1 56,4 69.5 22.9 24.6 25.2 62.2 77.6 82.8
- 21.0 26.0 26.25 26,6 26.7 36,0 39.1 12.2 15.2 16.2 54.9 75 81.7
• По эк стрэп 12.2 О.1ЯЦИИ п 15,12 эрядка V 16.2 16.7 26.4 30,0 31,2 6.66 9.1 9,9 S4.9 75 81.7
IM. устойчивость и колебания пластин
159
Решение задач устойчивости пластин при действии со-
средоточенных сил, наличии отверстий и других сосре-
доточенных источников возмущения силового поля прин-
ципиально не отличается от рассмотренного примера, ио
требует более густой сетки. Поскольку заранее опреде-
лить необходимую густоту сетки очень сложно, а иногда
и невозможно, оказывается полезным следующий способ
уточнения приближенного значения параметра критичес-
кой нагрузки k: если известны его два значения н к),
вычисленные при сетках разной густоты соответственно
при X = Х^, \ = ХЖ( и при = сн Х^. Хт =
= ХЖ — (с^ <1), то уточненное значение
можно определить по формуле
ki ~ */< ч
'-4
(15.54)
Приложение метода сеток к задачам устойчивости
пластин позволяет составлять программы счета на
ЭВМ. применимые при расчете пластин самой различ-
ной конфигурации под любой нагрузкой и при смешан-
ных граничных условиях. Примеры результатов таких
расчетов приведены па рис. 15.10 (критические силы для
пластин с отверстиями) и в табл. 15.4 (значения пара-
D
метра к из формулы Р„р=й—, позволяющие опреде-
а
лить критические силы для квадратной пластины при
различных условиях опирания и комбинациях нагрузок).
15.4.2. Собственные колебания пластин
Эта задача связана с нахождением собственных зна-
чений следующего дифференциального уравнения [8, 13,
27,37,38,41]:
д*и> д*ш д*а> „ „ „
T7 + 2rm + TT-PSw = 0- (1б55>
дх* дхгдуг ду*
Круговая частота определяется по формуле
Для узла i прямоугольной сетки (см. рис. 15.1,6)
уравнение (15.55) примет вид:
[б (а + 4- 8 j V/ — 4 [(а 4-1) (V* 4- оу) 4-
+ (1 +^)(ш"+ю")] +2 +
1
+ а (®5 + ау) + — (а>„ + ш„) - xm wt = 0,
где частотный параметр
₽и=-ЬС‘ (15 57)
Для квадратной сетки а=1 и (15.57) упрощается:
20»/ — 8 (ац 4- »/ + 4- ®л) +
+ 2 (ш, + а>„ + со, -J- оу) + ws + », + cou4-
+ »„ —Xm®< = 0. (15.58)
Для узла । сетки (рис. 15.11. а), состоящей из раэио-
стороншх треугольников, уравнение (15.55) примет вид:
2(2 (и-f- 1)» + Л’ + Д‘ + и’]ш/-2(2и(и+ !) —
— ИВ] (w0 + шг) — 2 (2Л (u + 1) —Ви] (»р + »,) —
— 2 [2В (и + 1) — .4и) (ш, + ш/) + и* (шт + »/) +
+ 2Аи (ш„ + »/) + 2Ви (ал + ш*) 4- .4» (в>о + «о,) 4-
4- В* (»с + ву) 4- 2ДВ(и>* 4- »*) — Ха »/ = 0. (J5.59)
Параметр р. опредаляется-по формуле
V~
₽.,= JL71- (15.60)
Хр
В ряде случаев удобно для решения задач применить
параллелограммиую сетку (рис. 15.11,6).
Для узла i (рнс. 15.11,6) такой сетки уравнение
(15.55) примет вид:
(4(1 4-r,)*4-2 4-2r‘4-r=cos<p]»/ —
hy,
где — — плотность иа единицу поверхности; т —
Ч
номер частоты.
— 4г* (1 4- г*) (ю„, 4- ш„) — 4 (1 4- г«) (со* 4- ®г) —
— 2г (г* cos <р 4" cos <р — г) (tot 4-и,) 4-
4-2г (г* cos <р 4-cos ф 4-г) (сц 4-»₽) +
4- (1 — 0,5г* cos tp) (®5 4- wt) — г* cos ф («ол 4- »*) 4-
4- г* (г* — 0,5 cos* ф) (to„ 4- top) 4- г’ cos ф (шс 4- сод) —
Рнс. 15.11. Различные системы сеток
160
РАЗДЕЛ 15 МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Безразмерные параметры а’(^частот саобелныж аожебанмА праноуголыыя пластин
Схема пластины о’В. *>’Р. а’Р, О’В. о’В.
г L '///£• •*о -* ( 1 t-|Q 21,49 22.13 49,36 49,66 53,17 64,55 81.09 81.72 96.18 96.66
t_r н -»о * Д СО fTC,- 24.38 27.06 52.70 58.60 59.44 60.10 85.79 92,03 101,9 104.8
28,92 53,13 86.07 106.6 138,7
jQT с>а/Э Рр с» «/2 32.60 34.25 62.78 65,53 83,85 94,25 102,3 109.9 132.9 140.3
ZJD Г/3 3,608 7.145 24,94 27.26
г*- 6.561 26,96 32.47 61,64
ь'| 16.80 19.20 38,63 43.67
д 10,45 20.44 23,71 47,72 50,16
1 < —ъ 'ySSSSSSSSSS. Ыа-3 Ъ/а-1,3 17.45 19.17 24.45 31.30 36,19 61.66 60.73 62.24 63.58 64,04
1 1 /
J J. J МО* 1 - Ц 4а Ч >-? Ь/а-/,5 18.95 19.73 24.35 31.64 36.79 52.47 51.95 52.60 55.74 65,42
15.4. УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН
161
Продолжение табл. IS.S
Схема пластины о'Ь, и'р, О'р, О’Ь
ц ywA 7777/^-^ М>«2 Уо=!,5 15.42 18.36 25.83 34.48 ft 8 ft 8 43.76 55,26 55,05 66.82
1ц 6 < ъ/а->г 1 1>/а -- и 17.38 20,10 24.51 34.21 36.35 51.60 5О.У7 66.70 52.29 64.83
Таблица 15.6
Безразмерные параметры a* частот свобод них колебаний треугольны! пластик
Схема пластины а, ераа О’Р. 0’61 aV, О’». О’».
Y/V \S Ъ 8 49,34 52.63 98,36 192.7 128.0 209,8 159.9 226.9 189.6 329,0
8 ft 8 8 8* 3 112,3 141,6 142,5 142.6 172,4 232.9 205,1 250.2
45 60 8 8 8 ft 118,7 141,6 152,1 142.6 178.3 232.9 216,с 250,2
8 ft 72,05 81.15 125,9 162,0 157,6 162.7 184,3 256.3 2I9.S 273.2
А zz/zzzzzzzzz/zZ' 45 60 77,53 81.15 132.9 162.0 166,7 152.7 190.1 256,3 231.1 273.2
9 8 90,68 98.17 146.7 185,4 184.4 285.0 20U.O 302.7 244,8 412,2
45 9.787 - - -
45 (Продол И.« жени» таблицы - на след, стр.} - - -
162
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Продолжение табл. IS.6
Схема пластины а, ерад а’В, О’В; л’В. о’8. о’Р,
9 8 6.308 е.599
/а о *5 60 6.164 6.618 Я 8 S 8
Таблица 15.7
Безразмерные параметры а* Рт частот свободных аолебанмй трапецеидальных пластин
Схема пластины а. ерад fl’s, о’В, я’8. tfB.
нЖ\ 45 60 57,21 72,06 97,93 129,1 151.4 209,6 191,5 238,1 199,3 277,2
45 60 71.27 87.10 123.5 163.6 174,6 239.4 202,5 270.9 225,8 302.1
о 45 60 79,53 93.49 118,2 151,2 173,6 231,3 225,3 279.4 227.2 303,1
45 60 84,61 105.1 126,3 169.9 179.1 255.6 232.5 289.6 325.0
о 4S 60 100.0 127.5 127.5 167.6 175.8 245.0 232.1 319.7 264.1 335.0
45 60 110,8 139,4 149.0 200.1 200,4 294.0 257,11 342.0 266.9 377.0
£s 45 60 2 к- л₽н 4. БОЭ 5.703 а —КГ Л-—. 2
। шт?/////////, 4 Прниечание. Прн а-45*
15.4. устойчивость и колебания пластин
163
Таблица 15.8
Безразмерные параметры а* частот свободных колебание
ромбических пластин
Схема пластины «’P, «’P. o’P. «•p. »’P.
24.70 52.Б8 71.02 83.40 121.4
и 29.71 58.67 79.19 90.61 127,8
и " // 33.81 65.43 84.79 97.81 136.6
ll II 34.19 65.26 85.49 97.71 135.8
36.51 63.40 89,57 97.82 132.8
ll"'" I 40,05 71.38 9-1.73 105.0 142.9
45.67 60.12 102.5 115,4 156.8
— г cos ф (W, + и>1) + Г COS ф (Шв 4- ШЛ) +
+ 0,25r2 cos1 ф(ша + шв + шу4-и<6) —
— Kmu'4 = °. (15.61)
Частотный параметр:
1Лх„,
,2 2 *
AjSin ф
(15.62)
Таблица 15.9
Приближенное собственное значение 0„ может быть
уточнено, если известны его два значения: 0т/, опр.-де-
лениое при сетке с шагами Х^, Х^, и рт^, определен-
ное при сетке с шагами Х^ = k/lkt и X = к^ Х^
(*/.<!). Уточненное значение определяется формулой
-----х * <15-б3)
1 “;7
Пример 15.2, Квадратная пластина (см. рис. 15.11, в)
свободно оперта по контуру. Принято Х.=Х,=в/л.
При л=3, записав для каждого узла уравнения
(15.49) с учетом граничных условий (они выписаны иа
рисунке), получим систему уравнений, определитель ко-
торой равен-.
18 —и; —8; —8: 2
— 8; 18 —х; 2; —8
— 8; 2; 18 —X; —8 =0
2; —8: —8; 18 —х
Найденные собственные значения: x(—4; хг=х3=16;
х«=36.
Используя формулу (15.57). вычисляем: а’₽| = 18;
а,р2=а,р3=Зб; <х’0.=54.
Прн л = 4 частотные параметры, соответствующие гем
же формам колебаний, имеют эначення: а’р,™ 18,744;
a’P^a’Ps—41,372; a3₽,=64.
164
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН II ОБОЛОЧЕК
Уточняя по (15.63), получим
Аналогично уравнение (15.65) примет вид:
агр| = 19,66.
Аналогично: а’Р3=а1р3=47,39; а’Р»=74,92.
В табл. 15.5—15.9 приведены безразмерные значения
а»р„ для пластин: прямоугольных, треугольных, трапе-
цеидальных. ромбических к параллелограмыиых при
смешанных граничных условиях.
15.5. ОБОЛОЧКИ
15.5.1.Основные уравнения и граничные
условия для пологих оболочек
Дифференциальные уравнения для пологих оболочек
с учетом геометрической нелинейности записываются
следующим образом:
„ й-ф й!ш (Рф д*а>
Dv.?la, - ф - — . — + 2 — • —
й*ф й!ш
—------•------= 0:
Вх’ ду* Рг
1 , , , д*ш <Ри> /В’аЛ*
- V ф’ф+А, ш+—
, д* д* д*
дх* ~™‘,'dxdy + k,‘ ду* :
(15 65)
дх* * дхду ду*
(15.64)
= 0;
Прн небольших прогибах оболочек можно исходить из
линейных дифференциальных уравнений:
Сф2ф2ш — ф* ф — Р3 = 0; (15.66)
у\’ф + л*1а = 0- (15.67)
Рассмотрим пологую оболочку положительной гауссо-
вой кривизны с прямоугольным планом. В конечных
разностях для узла i (см. рис. 15.1,6) прямоугольной
сетки уравнение (15.64) может быть записано [4. 5, 13,
15,22.36,42-44]:
2 (*х +-£• kv ) Й - £ (Й»+Й) -
а — — — Va _ _ — — —
- (ф* + ф/) 4- —- kxlf (ф0 + фр - ф« - Фл) +
р2 2р
+ К6®* + 8а + 6) ttfr — 4 (! -I-а) (wm + awfc +
4-и1л + а®/) + 2а(й+Й> + “'» + Й) +
- _ _ 10*
+ и>„ + ш„ + O*W3 + “’“’ll — — =
Ф
•= № 1(Фт — 2ф( + Фл) (Й — 2ш( + Й) —
— 0.125 (ф0 + Ф„ — ф, — й) (Й> + +
т(ф* —2ф, + Й) (<•>„ — 2ш, +“)„)]. (15.68)
(6а« + 8а + 6) ф, — 4 (1 + а) (фт + а<р4 + ф„ + ай) +
+ 2“ (% + Фл + Ф« + й) + Фи + Й + фр + а* Й —
—2 kjj й + й3 (ш„1 + Й) +
а — — — V в - z—
+ -pj *p(“* + “l/) — -^-ft1p(®o +
+ wp — а>р — wr) = Rn* [0.0625(a>4-|-tt»p — uip — w,)s—
— (ui* — 2Й + Й)(Йп — 2Й+Й)]- (15.69)
Линейные уравнения (15.66) и (15.67) в конечных раз-
ностях имеют такую же форму, как (15.68) и (15.69),
только правую часть нужно положить равной нулю.
В этих уравнениях введены безразмерные функции на-
пряжений ф и функция прогибов ш, которые определя-
ются соотношениями:
Здесь:
с —меньшая сторона плана оболочки, параллельная оси
х; Р=й/о — соотношение сторон оболочки; ф=12П—
—V1) А*— коэффициент вспарушеииостн оболочки; л=
=//й — вспарушеииость оболочки; / — стрела подъема
оболочки в центре; Е=12(1—v’) 10_‘S — коэффициент
гибкости;
£Х 1 Л )
— гибкость оболочки;
-а* - аЪ _ 6«
^Х — f ^Х* ^ХЦ — ^ху* — I ky—
безразмерные параметры кривизны оболочки.
Приводим выражения относительных деформаций че-
реэ функцию напряжений: 1 / 8* ф 'х = Ей \ ду* -v-^1; Вх» Г (15.72)
1 1 д*<у ду*) (15.73)
Eh \ дх*
2 (1 + у) 8*ф
Ей дхду
(15.74)
Нормальные и сдвигающие силы равны:
Ч ф ,, Д*ф ,, Д*ф
Л<_ ду* ; Nxv~ дхду • Л"“ дх* •
(15.75)
Они могут быть представлены в виде безразмерных
величин:
<15-76>
Л- _ а=Рх т,
Ь",— Ю«Л N'V
(15.77)
(15.78)
16.5. ОБОЛОЧКИ
165
Запишем выражения Nx. Nxv н Nv в конечных разно-
стях для узла i (сеточная схема на рис. 15.1,6):
N. = - 0.12А (1 - '«)(<рт - 2<р( + <рп); (15.79)
Ny=~ 0.12А(1 - v’)(?t - 2<р( + <₽,); (15-801
К „у - 0.03Х V а (1 — v2) (фо + фр — <рв — <рг). (15.81)
Мембранные напряжения по
пределяются равномерно:
толщине оболочкн рас-
прнх=±у Мх = 0; .Vx = 0; (Vxp^O).
Из статических и кинематических краевых
b
следует, что при у =± —:
д’» _ д®ф
® = 0; ——- = 0; ф = 0; = 0;
ду’ ду‘
условий
^Ф
(15.93)
= (,5-82)
при
Моментные усилия равны:
(15.94)
Мг = —D
Mv=-D
I <Pw d'-иг
+V ду* .
I (Pw d"-w
\ dy2 +V dx‘-
d2!»
(15.83)
(15.84)
(15 85)
2
д*ш В1 ф
w = 0; — = 0; ф = 0; --------= 0.
дх1 дх3
б) Шарнирно неподвижное закрепление оболочки иа
жестком контуре характеризуется наличием распора, а
перемещение
при у = ±
точек контура отсутствует. Имеем:
Ь
--- U=V = W = V',
2
Они могут быть также представлены в виде безраз-
мерных нарамефов:
Мг=-^Т-Мх; (15.86)
— u = v*=w = 0.
2
Запишем статические условия:
у Мр = 0;(Мрт0);
при X = ±
при
/л,. -
О2/>,
1С2
агр,__
М*у^ М,у.
(15.87)
(15.88)
при
х = ± Мж = 0; (Мх тЬ 0).
этого для кромки, параллельной оси х, вытекают
Запишем нх в конечно разностной форме для узла (:
— п2 ( .
мг=— —— (О (ш* — 2ш, + №() +
1U* а
+*(»т — 2»/+®п)]; (15.89)
Му=— [0”g [fe — йц + йГ,)]; (15 90)
Мжу = ~77 (й0 + Шр —Ъв — и>г). (15.91)
4-10® Га
Из
следующие условия:
д’ w д’ Ф д* Ф
w = 0; —— = 0; —— —V —-у- = 0;
ду»
дх*
да>
' Зу
Аналогично для кромки, параллельной оси у:
_ д2!»
а> = 0; -----= 0;
дх-
Изгибные напряжения определяются по формулам:
И —И и лл.
о£ = —г; т^, = ——г; о"=—г. (15-92)
Рассмотрим некоторые характерные случаи граничных
условий.
а) Шарнирно подвижное олиранне соответствует за-
креплению краев оболочки в тонкие диафрагмы, жест-
кие в своей плоскости и гибкие нз плоскости. Кинемати-
ческие краевые условия в этом случае запишутся:
b
для кромок у =± — :и> = 0; и = 0; (ч + 0);
для кромок * =± — :и>
0; о = 0; (и^О).
Статические краевые условия:
b
при у = ± — Мр = 0; Ну = 0; (Niy + 0);
ду*
1 Г8»ф 8>ф 1
^d^-+(2+vW]
=0.
Э«ф др ф
---------------= 0;
дх’ ду*
гь-! Л 3 + (2 + V) - — +ftv ——
Eh I дх3 дхду’ J дх
в) Жесткое защемление характеризуется
распора иа контуре оболочки и отсутствием
опорных сечений.
Прн j, = ± —
(15.95)
(15.96)
наличием
поворотов
(Э®
и = v = ор = 0; -г— = 0;
ду
° « 3® «
прн х = ± — и = о = ш = 0; —— = 0.
2 дх
Из этих четырех кинематических условий
что для кромки, параллельной оси х:
ди> д*ф д*ф
и> = 0; -= 0; —1—v —— = 0;
ду ду* дх*
-Tr + (2 + v)547‘-0
dir оха ду
дх*
вытекает.
(15.97)
166
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
и для кромки, параллельной осн у:
„ Ли
w = 0; ----=0;
дх
*Ф__У.£Ф =0-
дх* ду*
2£ + (2 + v)-^ = 0.
дх’ дхду*
(15.98)
Для каждого внутреннего узла составляется по два
основных уравнения (15.68) н (15.69); таким образом,
общее количество неизвестных равно удвоенному коли-
честву узлов, если ие учитывать симметрию системы нлн
нагрузки.
При написании основных уравнений (15.68) и (15.69)
для лредкоитуриых или контурных узлов в эти уравне-
ния в качестве неизвестных войдут значения ш и <р
в первых нлн вторых законтурных узлах.
Приведенные выше граничные условия и представля-
ют собой те дополнительные уравнения, которые могут
быть включены в основную систему для нахождения
всех неизвестных, включая и законтурные. С другой сто-
роны, можно иа основании граничных условий записать
выражения для впекоитурных неизвестных в и ф, вы-
разив их через виекоитуриые или контурные неизвест-
ные. Напишем выражение для внекоитурных значений
функции на основании приведенных граничных условий.
Прн шарнирно подвижном опирании кромки на осно-
вании (15.93) найдем: если иа рис. 15.1.6 ось х совпа-
дает с верхней кромкой плана оболочки, то
фл “ —Фш: (15.99)
®я=—Одл, (15.100)
если иа рис. 15.1.6 ось у совладает с правой кромкой
плана оболочки, то:
ОД = —Фт! (15.101)
од = — сод. (15.102)
При шарнирно неподвижном закреплении кромки: ес-
ли на рис. 15.1.6 ось х совпадает с верхней кромкой
плана оболочки, то:
Е'я = —(15.103)
Фл = 2(1 — 'а)ф/+^(ф* + ф;) —(15.104)
од, = 2 (2 (1 + 2а) — За* v(2 + v)| од —
-4аII— av(2 + V)) (ф4 + ф,) — 4 |1 + а(’ + v)| х
X фт + 2а (2 + v) (ф0 + од) — a«v (2 + v) х
х (ОД + Фг) + Фн - h, (й>„ — wm); (15.105)
если на рис. 15.1,6 ось у совпадает с правой кромкой
плана оболочки, то:
од = — (15.106)
ОД - 2 (1 — j од + (фт 4- ОД,) - Ф»; (15.107)
Г/ 2 \ 3v _4
ф, = 2 2(1+—— (2 + v)V/- — X
[ \ a / а* а
X Jl --^-(2+ v)]<i>» + -^-(2 + е)(ф„ +ф,)-
V — _ - 1
--г (2 + *) ,фя t фь) + Ф, -
tL* <Lp*
X{wi-wn). (15.108)
Прн жестком закреплении оболочки:
если иа рис. 15.1,6 ось х совпадает с кромкой, то
й'л=й'т; (15.109)
если на рнс. 15.1,6 ось у совпадает с кромкой, то
wi=wy. (15.110)
Функции напряжений в первых внекоитурных точках
[сравним (15.95) и (15.97)] определяются, как и прн
шарннрно неподвижном закреплении, по формулам
(15.104) и (15.107). а во вторых внекоитурных точках —
по формулам (15.105) и (15.108).
Выпишем для иллюстрации уравнения совместности
деформаций (15.65) для предконтурных и контурных
точек без включения внекоитурных, которые исключают-
ся на основании (15.104), (15.107). (15.105), (15.108).
Если ось х на рис. 15.1,6 совпадает с верхней кром-
кой плана оболочки, уравнение (15.65) для узла < мо-
жет быть представлено в виде:
2 [1 + а (За + 4) + av( I — 3av)| од —
— 4а 1(1 +а) + V (1 — av)j (ф* + ф/) —
— 4(1 +а (2+v)| фт-р 2а (2 + т)(од,-род.) +
+ а’ (1 — v*) (од + од) + 2фя + 2кжш„ -
Ка _ _ _ _
— (“<<> + ОД, —®е — air) =
= Rn* [0,0625 (од + а>в — а>а —се,)*|. (15.111)
Для узла (. смежного с угловым на рис. 15.1.6. гра-
ница плана оболочки проходит по узлам s, k. I, I, г,
уравнение может быть записано так:
;2 + a (5a + 8) + av (8 — 5a)| од —
— 2a (1 + v) (2 + a (1 — v)| од — 411 + a (2 + v)| фга -
— 4a (1 + v) (I + a) (1 — v)] од, +
+ 2a (2 + v) (од, + од) + 2ОД, + a* (1 — v*) од +
V a _
+ 24x uim — —- кЖ1/ (од - од,) =
2P
= Ял* |0,0625 (од,-од,)*|. (15.112)
Аналогично (15.111) н (15.112) могут быть записаны
уравнения для ’зла (, если кромка оболочки иа рис.
15.1,6 изображается отрезком осн у.
Пример 15.3. Рассмотрим оболочку типа эллиптиче-
ского параболоида с квадратным планом (а=Ь)
и с шарнирно неподвижным опиранием. Нагрузка —
равномерно распределенная. Уравнение срединной по-
верхности оболочки
г = — ф-^ (** + !>*)]• (15-ИЗ)
_ Безразмерные^ параметры кривизны приняты равными:
А, =4; 4,—4; Ьж„=0.
Вспарушенность Х.= 10. Коэффициент Пуассона V—
=0,17,
IS.S. ОБОЛОЧКИ
167
Выбираем квадратную сетку (а=1) с шагом
(рис. 15.12)
Решим задачу в линейной постановке, приняв Л^О.
Ввиду симметрии оболочки и нагрузки уравнения мож-
Рнс. 15.12. Сеточная область на оболоч-
ке типа эллиптического параболоида
ио составить для ’/, части. Запишем для узла I уравне-
ние (15.69):
20 ф, — 8 (2 q>j + фц + Ф1) + 2 (2 ф6 + 2 ф,|) -|-
+2фз+%-|-фl<—2(4+4)^
+ 4 (ш, + mJ = 0.
Используя (15.103) и (15.104) для исключения <pi и
и», получим окончательно такое уравнение:
19 ф! — 16 ф, + 2 ф, — 8 ф4 + 4 ф, + ф,—
— 6,34 ф, + 4.34ФЦ— 16 Ш) + 8ш2 + 4и>з = 0.
Аналогично записывают остальные уравнения. В ре-
зультате решения системы уравнений найдены величины
прогибов и функции напряжений в узлах сетки.
По этим значениям вычисляют мембранные и нагиб-
ные усилия, пользуясь формулами (15.79) — (15.81) и
(15.89) - (15.91).
Например, для узла 6 (см. рис. 15.12)
NZ'=— 0,12-10(1—0,17») (2 Фа — 2ф6) = !,277н т. д.
0 табл. 15.10 приведены значения безразмерных ко-
эффициентов прогибов, усилий и моментов в центре рав-
номерно нагруженной оболочки прн шарнирно подвиж-
ном и шарнирно неподвижном закреплениях по конту-
ру для различных соотношений сторон в диапазоне
вспарушеииостн оболочки от 1 до 25.
Таблица 1510
Безразмерные коэффициенты прогибов к усилив • центре
оболочки типа алл магического парабол сила
ь 3 h Шарнирно подвижное опирание Шарнирно неподвиж- ное «крепление
1 X" соотношение сторон оболочки
Си В С с С X 1 1.5 2 1 1.5 2
to 26.623 55.600 84.329 20,461 37,190 45,695
"ж 6,210 4,663 2,522 7.706 12,111 14.176
N> 6,210 11.194 12,774 7,706 7.282 6,779
Мх 2,668 6,241 7.644 2,045 3.609 4,253
М V 2.668 2.756 2.754 2,045 1.735 1.285
to 12.867 29,576 54.562 7.982 13.970 16.477
Nx 5,998 4,788 3.133 6.116 9,105 10,138
*У 5.998 12,007 16.470 6.118 5,525 5,057
1,144 2.640 4.934 0.704 I.2S7 1,492
", 1,144 1.331 1,716 0.704 0,502 0,327
W 6,690 16,344 33.861 3.792 6.501 7.766
4,678 3.831 2.870 4,470 6.434 6.171
3 V, 4.678 10.034 15,447 4,470 4,351 3,673
Мх 0,488 1.337 2,968 0,272 0,519 0.685
\ 0.488 0.6S5 1.044 0.272 0.144 0.119
to 3.881 9,887 22.063 2.103 3,709 4,420
3.618 3,026 2,480 3.398 4,912 5.467
4 3,618 8,142 13,447 3,398 3,285 2,632
**х 0,214 0,718 1,838 0.112 0.286 0.379
"у 0.214 0.356 0,664 0,112 0.069 0,061
2.462 6.474 15,149 1.306 2.340 2,830
"ж 2,869 2,459 2.138 2,696 3.926 4.407
S N, 2,669 6,890 11.567 2,696 2.560 2.286
0,094 0,404 1.181 0.047 0.164 0.234
«У 0.094 0,212 0.445 0.047 0,0» 0.038
W 1.674 4.606 10,888 0.868 1.596 1.959
2.342 2,058 1.663 2.217 3.565 3.689
6 5 2.342 5.602 10,001 2.217 2,162 1.915
"ж 0.040 0.234 0.782 0.019 0.100 0.155
0.040 0.136 0.310 0,019 0.018 0.026
8 W Nx 0,904 1.685 2.493 1.546 6.248 1.466 0,459 1,629 0,869 2.444 1.085 2.783
(.Продолжение таблицы на след, стр.)
168
РАЗДЕЛ 15. МЕТОД СЕТОК В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Продолжение табл. IS. 10
Продолжение табл. I5.1D
ушея- обо- х **_ Ж?’ Шарнирно подвижное опирание Шарнирно неподвиж- ное закрепление
Вс пар ностъ лочки соотношение сторон оболочки
Сех 1 1 '.S » 1 1.5 2
1,685 4.142 7,696 1.629 1.605 1.477
6 0.082 0.078 0,359 0.001 0.043 0.078
НУ 0,032 0,066 0.165 0,001 0.007 0.014
10 0.562 1,558 4.067 0,280 0,542 0.682
1.310 1,237 1,290 1,277 1,964 2,331
10 *у 1,310 3.240 6.349 1,277 1.246 1.130
Мх -0.004 0,020 0,165 -0,003 0.020 0,013
а, -0.004 0.036 0.096 -0.003 0.003 0.008
С0 0.242 0.660 1,676 0,120 U,231 0.289
0.846 0.824 0,817 0,839 1.304 1.495
15 S 0,846 2.060 3.958 0.839 0.808 0.731
-0.003 -0.013 0.004 -0.001 О.ОМ 0,012
"у -0.003 0.012 0.030 -0,001 0.001 0.003
W U. 135 0,361 0,927 0.067 0.127 0,157
"ж 0,628 0.618 0,615 0,627 0,978 1.123
20 0,628 1.602 2,860 0,627 0,666 0,535
мя -0.001 -0.004 -0.028 -0,001 0.001 0,004
ЙУ -0.001 0,006 0,011 -3.001 0.000 0,001
Шарнирно подвижное Шарнирно неподвнж-
оп кран не ное закрепление
соотношение сторон оболочкн
1 j 1.5 | 2 I L5 2
О.Обб
0,501
0,501
-0,001
—0.0,1
0,227
0.494
1.162
-0,011
0.003
0,552
0,492
2,224
-0.031
0,005
0,012
0,501
0.501
0.000
0.000
О.060
0,783
0.456
0,000
0,000
0.098
0.899
0.420
0.001
0,001
Примечание. При расчете прямоугольной оболочки
прн 0 -1,5 меньшая сторона делилась на четыре части, а
большая — на шесть частсЛ.
В оболочке с соотношением сторон 6—2 меньшая сторо-
на делилась на четыре части, а большая — на восемь ча-
стей.
В заключение изложим ход решения геометрически
нелинейных задач деформации оболочек. В этом случае
правые части уравнений 15.68). (15.69), (15.111) и
(15.112) нелинейны.
Записаь уравнений для всех внутренних узлов сетки,
а также для контурных узлов, получим систему нелиней-
ных алгебраических уравнений, которую можно решить
методом последовательных приближений, учитывая гиб-
кость оболочки. В качестве первого приближения прини-
мается решение линейной задачи. По значениям функ-
ций ф и w первого приближения вычисляются нелиней-
ные правые части уравнений. Решив полученную линей-
ную систему, найдем значения функций ф н го второго
приближения. По значениям ф и w второго приближе-
ния вычисляются новые правые части, а после решения
системы уравнений получаем третье приближение.
Процесс повторяется до тех пор, пои а значения л-го
н (n-f-l)-ro приближений не будут практически совпа-
дать.
Процесс последовательных приближений может быть
реализован иа электронно-вычислительной машине.
ЛИТЕРАТУРА
1. АбовскмП Н. П.. Самольянов И. И.. Пась-
к о Д. А. Расчет пологих оболочек в матричной форме методом
сеток. Красноярск. 1965.
2. Абовский Н.П.. Енджневскяй Л. В. Дискрет-
ные методы расчета пластинчатых систем. Красноярск. 1965.
3. Б е з у х о в Н. И. Основы теории упругости, пластичности
и ползучести. «Высшая школа». 1968.
4 Березовский Л. Ф. О граничных условиях прн рас-
чете пологих оболочек методом конечных разностей. В сб. науч-
ных работ н нет нт у та строительства и архитектуры АН БССР,
вып. 3. Минск. I960.
6. Березовский Л. Ф. К вопросу о расчете тонкостен-
ных пологих оболочек. Инж.-физ. жури., т. III. № 5. I960.
6. Б о ж е н о в А. Ш. Устойчивость квадратной пластннкн
переменной толщины, сжатой в двух направлениях. «Приклад-
ная механика», т. X. вып. 6. Изд. АН УССР. 1964.
7. Боженов А Ш. Устойчивость прямоугольных пласти-
нок за пределами упругости. В сб.: «Сопротивление материалов
и теория сооружений», вып. I. «Б уд (вельвик», 1965.
8. В а зов В.. Форсайт Дж. Разностные методы реше-
ния дифференциальных уравнений в частных производных. ИЛ.
1963.
9. Вайнберг Д. В.. Вайнберг Е. Д. Пластины, ди-
ски. балки-стенки. Госетройнэдат УССР. 1959.
10. Вайнберг Д. В.. Синявский А. Л.. Дехтя-
рюк Е. С. Итерационные алгоритмы и численные задачи тео-
рии пластин и оболочех. Труды IV Всесоюзной конференции по
теории оболочек и пластин. Ереван. Изд. АН АрмССР. 1964.
II. В а А н бе р г Д. В., Геращенко В. №.. р о Ат-
фа р б И.З.. Синявский А. Л. Вывод сеточных уравнений
изгиба пластин вариационным методом В сб.: «Сопротивление
материалов и теория сооружений», нын. I. «Буд1вельник». 1965.
12. В а й и б с р г Д. В.. В о р о in к о П. П.. Р о А т-
фарб И. 3-. Синявский А. .'I. Разностные уравнения кон-
тактной задачи изгиба пластин. В сб.: «Сопротивление материа-
лов и теория сооружений», tun. 11. «Буд1вельник», 1965.
13. Вайнберг Д. В.. Синявский А. Л. Дискретный
анализ в теории пластин и оболочек. Материалы VI Всесоюз-
ЛИТЕРАТУРА
169
ной конференции по теории оболочек н пластм.|. «Наука».
1966
14 В а й н б е р г Д. В.. Гуляев D-И Конформное ото-
бражение и разностный метод в задачах о концентрации напря-
жений. В сб.: «Концентрация напряжений», вып. II. «Наукова
думка». 1967. _ л
15. В а й н б е р г Д. В.. Г у л я с в В. И.. ДсхтярюкЕ. С.
Краевые задачи пологих двояковыпуклых оболочек, взаимодей-
ствующих с опорными конструкциями. В сб.: «Расчет просграк
ственных конструкций», выл. XII. Стройиздат. 1966.
16. В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток
к расчету пластинок, ч. I. Изд. АН УССР. 1949.
17. В а р в а к П. М. Устойчивость пластинок пол действием
сосредоточенных сил. Доклады ЛИ УССР. № 6. 1950.
18. В а р в а к П. М. Разлитие и приложение метода сеток
к расчету пластинок, я. 11. Изд. АН УССР. 1952.
19. В а рва к П. М.. Губерман И. О. Изгиб квадрат-
ной пластинки с различными условиями на краях. В сб.: «Ин-
форм. материалы института строит, мех. АН УССР». 1957, М 1(1.
20. В а р в а к П. М.. Губерман И. О.. Мирошни-
ченко М. М.. Предтече и ск ий Н. Д. Таблицы для рас-
чета прямоугольных плит. Изд. АН УССР. 1959.
21. В а р в а к Л. П. Прямоугольные плиты на упругом
основании переменной жесткости. ДАН УССР. Нг 10. 1963.
22. В а р в в к П. М.. Рассказов А. О. Покрытие из
оболочек в форме гиперболического параболоида. В сб.: «Про-
странственные конструкции в Красноярском крае», вып. 111.
Изд. Красноярского политехи, ин-та, 1968.
23. Васильев В. В. Осесимметричное упруго-пластиче-
схое состояние оболочек вращения. «Прнкл. мех.», т. VII, вып. 3»
1961.
24. Васильев В. В. К решению задачи о концентрации
напряжений возле кругового отверстия в сферической оболочке
в упруго-пластической стадии. Труды IV Всесоюзной конферен-
ции по теории оболочек и пластин. Изд. АН Арм.ССР, Ере-
ван. 1964.
25. В о р о ш к о П- П.. Сахаров А. С. Побудова р1знн-
цевнх р!внянь теорИ пружност! та U одержания на ЕОМ. В сб.:
«Оп1р матср1ал1в 1 теор!я с пор уд», вып. IV. «Буд1вельник». 1966.
26. Геращенко В. М.. Любченко С. Н. Складання
р1эницевнх р1внянь плоско! теорН пружност! за допомогою вв-
р!ац1йиого методу. В сб.: «Оп1р матер! в л 1в I теор!н слоруд»,
вып. V. «Б уд I вс льни к». 1966.
27. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок
я оболочек. «Наукова думка». 1964.
28. Г у л я е в В. И. О смешанной задаче плоской теории
упругости. В сб.: «Сопротивление материалов и теория соору-
жений». вып. II. «Буд!вельннн». 1965.
29. Гуляев В. И.. Дехтярюк Е. С. Программа ма-
тричной прогонки для систем уравнений. Труды lv Всесоюз-
ной конференции по применению ЭЦВМ к строительной механи-
ке. машиностроении н строительном производстве. Киев. 1965.
30. Гуляев В. 1.. Романсик о Ф. О.. Сяняв-
е ь к н й О. Л. Плоский напружений стан I ст1йк1сть пластин
прн зм!шаннх грвничних умовах. В сб.. «Оп1р матср1ал!в 1 тео-
pi я споруд». вил. V. «Буд1вельннк». 1963
31. Д л у г в ч М. И. Метод сеток г, смешанной плоской за-
даче теории упругости. «Наукова думка*. 1964.
32. Ильюшин А. А. Пластичность. Гостехиздат. 1948.
33. КислоокнЙ В. Н. Решение *адач динамики пластин
численными методами. В Сб.: «Сопротивление материалов и тео-
рия сооружений», вып. VIII. «Бул1вел11Ник». 1969.
34. Коломиец И. А. Расчет тонких прямоугольных плит,
защемленных в упругий контур. Сб. научных трудов, вып. 20.
КИСИ. 1962.
35. КорунскнЙ В. С. О расчете прямоугольных плит
на упругом основании. «Прикладная механика», г. 111. вып. I.
1957.
36. Пастернак П. Л. Основы нового метода расчета
фундаментов иа упругом основании при помощи двух коэффи-
циентов постели, госстройнздат. 1954.
37. П I с к у и о в В. Г. До виэнечсння частот иласинх ко-
лнвань прямокутянх пластинок прн мцианих граничннх умовах.
«Прикл. механ1ка», т. X. вып. I. 1964.
38. Пискунов В. Г. К задаче « колебаниях и устойчиво-
сти параллслограммных пластинок н мембран. «Прикладная ме-
ханика». т. I. вып. 3. 1965.
39. Романенко Ф. О.. Сннявськнй О. Л. Чиссль-
не розвъязання уэагальнено! задач! про власн! значения. В сб.:
«Onip матср1пл1в I теор!я споруд». вып. IV. «Буд1вельник». 1966.
40. Са л ь в а д о р я М. Дж. Численные методы в технике.
ИЛ. 1955.
41. Филиппов А. П. Колебания механических систем.
«Наукова думка». 1965.
42. Ш е в ч е н к о В. Д. Об уравнениях для расчета поло-
гих оболочек. «Прикладная механика», т. VIII, вып. 4, 1962.
43- Шевченко В. Д. О влиянии некоторых геометриче-
ских параметров на напряженно-деформированное состояние по-
логих оболочек. «Прикладная механика», т. IX. вып. 4. 1963.
44. Шевченко В. Д. Нелинейная задача изгиба пологой
оболочки. «Прикладная механика», т. I, выл. 2. 1965.
45. Розин Л. А. Расчет гидротехнических сооружений иа
ЭВМ. Метод конечных элементов. «Энергия». 1971.
46. Филин А. П. Приближенные методы математического
анализа, используемые в механике твердых деформируемых тел.
Л.. Стройиздат. 1971.
47. Справочник по теории упругости (для инженеров-строите*
лей). Под ред. П. М. Варвика н Л. Ф. Рябова. «Буд|всльник»,
РАЗДЕЛ 16
МОДЕЛИРОВАНИЕ
16.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИЯ
ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ
Различают следующие виды моделирования:
1) физическое моделирование, когда исследование ве-
дется на моделях (конструкциях, установках или уст-
ройствах), сохраняющих физическую природу изучаемо-
го явления. Прн этом соответствующие величины, харак-
теризующие явление, в прототипе (натуре) н модели
отличаются лишь количественно. Частным видом физи-
ческого моделирования является масштабное моделиро-
вание, когда модель изготовлена из того же материала,
что и прототип, но отличается от последнего размерами:
2) математическое моделирование — это исследование
явлений на моделях иной физической природы, однако
имеющих такое же математическое описание, что и про-
тотип (электро-, гядроаналогин и т. п.).
В настоящем разделе рассматривается только физи-
ческое моделирование *.
Условия подобия, лежащие в основе моделирования,
устанавливаются путем анализа размерностей величин,
характеризующих исследуемое явление (п. 16.2), нлн
анализа уравнений задачи (п. 16.3). В п. 16.13 приведе-
ны для различных задач критерии подобия и формулы
пересчета, полученные прн помощи этих методов.
Напряженнс-деформнрованные состояния двух тел
называются подобными, если напряжения, деформации,
перемещения н другие величины, характеризующие изу-
чаемое явление, в сходственных точках этих двух тел
в сходственные моменты временн связаны соотношениями
вида
®„ = иа%. (16.1)
Здесь а» на» — значения рассматриваемой величины
соответственно для натурного объекта н модели; та —
масштаб этой величины.
Вопросы теории подобия связаны с теорией размер-
ностей. Размерность данной величины записывается сим-
волически с помощью букв, присвоенных основным еди-
ницам измерения. Так, например, если Р означает еди-
ницу силы, a L — единицу длины, то размерность напря-
жения выражается формулой [PL-*].
Размерности нескольких рассматриваемых величии
могут быть взаимно зависимыми и независимыми. Неза-
висимость размерностей означает, что формула, выра-
жающая размерность одной нз величин, не может быть
представлена как комбинация в виде степенного одно-
члена из размерностей других рассматриваемых вели-
чии. Например, размерности длины [Z-], скорости
[LT-'] и напряжения (И.-1) независимы, так как £¥
я6 (Z-T-*)*1 (PL-rf прн любых значения а и В. Раз-
мерности длины [L], изгибающего момента [PZ.] и иа-
пряжения [PL-•] зависимы, так как можно подобрать
такие значення показателей степени а н ₽. прн которых
справедливо соотношение L=(PZ.)a (PL->)^ (в данном
случае a=‘/s, р=—*/s)-
Кроме размерных величин могут быть безразмерные.
Прн переходе от одной системы единиц к другой числен-
ные значення размерных величин изменяются, безраз-
мерных — не меняются.
Будем различать простое и расширенное подобия. При
простом подобии масштабы всех безразмерных величин
равны 1, а все величины, имеющие одинаковую размер-
ность (например, напряжения, модуль упругости и на-
грузка, распределенная по поверхности), моделируются
в одном и том же масштабе. При расширенном подобии
безразмерные величины могут моделироваться в мас-
штабе, не равном единице, а разные величины одинако-
вой размерности могут иметь н отличные друг от дру-
га масштабы.
Расширенное подобие, в свою очередь, можег быть
двух видов: аффинное н нелинейное [I]. Аффинное —
это такое расширенное подобие, прн котором масштабы
всех величин постоянны в пространстве и во времени.
Нелинейное — это такое расширенное подобие, при ко-
тором масштаб хотя бы одной величины изменяется в
пространстве нлн во временн.
Прн простом подобии безразмерные степенные комп-
лексы, составленные нз величии, характеризующих со-
стояние в сходственных точках и в сходственные момен-
ты времени, соответственно друг другу равны. Это по-
ложение составляет содержание так называемой первой
теоремы подобия.
Так, например,
где а — напряжение; Е — модуль упругости; р — коэф-
фициент Пуассона; и — перемещение; х — координата;
е — относительная деформация.
Для удобства (особенно, когда рассматривается не
два, а группа подобных состояний тел) зависнмостн
(16.2) принято записывать в виде
—г = idem*; ц = idem**; — = idem; ex=idem. (16.3)
Если величины, входящие в критерии подобия, заме-
нить соответствующими масштабами т, то получим
По вопросам электрического моделирования см. |2. 5. 9. 12].
• Idem (лат.) означает «одинаковый», «один к тот же>.
• • Критерий подобия Пуассона.
16.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РАВНОМЕРНОСТИ
171
степенные комплексы, которые в теории подобия назы-
ваются индикаторами подобия:
Из первой теоремы подобия вытекает, что для подоб-
ных состояний тел все индикаторы подобия равны еди-
нице:
-^-= 1; m., = 1;—= 1; т, =1. (16.4)
тЕ И Шж ж
Из уравнений связи между масштабами (16.4) следу-
ет, что в случае простого подобия все безразмерные ве-
личины натуры и модели должны быть соответственно
равны (например, коэффициенты Пуассона р. компо-
ненты деформаций е н у). Масштабы остальных (т. е.
размерных) величин должны удовлетворять уравнениям
(16.4). Поскольку этих уравнений в общем случае мень-
ше. чем входящих в них масштабов, часть масштабов
выбирается произвольно, а остальные определяются в
соответствии с (16.4). Вопрос о том. какими именно
масштабами задаться, решается в иаждом конкретном
случае в зависимости от содержания задачи.
Существует несколько путей получения критериев по-
добия. Один из них основан иа знании размерностей
всех величин, характеризующих исследуемое явление.
В общем случае из величин, характеризующих состоя-
ние тела, можно образовать множество безразмерных
комплексов (критериев подобия). Однано известно впол-
не определенное количество независимых критериев по-
добия. с помощью которых можно получить все осталь-
ные безразмерные комплексы.
Согласно так называемой л-теореме количество неза-
висимых критериев подобия п определяется выражением
и = п1-|-п1 — лэ, (16.5)
где л, — количество размерных величин; лг — количест-
во безразмерных величин; л3 — количество величин, об-
ладающих независимыми размерностями (л3^И|).
Изложенный подход к определению критериев подо-
бия называется методом анализа размерностей. До-
стоинство этого подхода в том, что он позволяет найти
критерии подобия без привлечения уравнений рас-
сматриваемой задачи. Важно лишь знать все величины,
характеризующие изучаемое явление.
Метод анализа размерностей применим только для
простого подобия.
Второй способ получения критериев подобия основы-
вается иа использовании уравнений, описывающих ис-
следуемое явление. Для этого обе части каждого из
уравнений делятся на один из членов-слагаемых. По-
лучаемые прн этом в виде слагаемых степенные комп-
лексы н есть критерии подобия. Кроме того, критерия-
ми подобия являются аргументы всех трансцендентных
функций, входящих в уравнения.
Сопоставляя полученные критерии подобия, в каждом
конкретном случае можно определить, какие из них
независимые.
Например, одно из уравнений обобщенного закона
Гука
«ж=-у 1°х— И (Су + oJl
может быть преобразовано к виду
ож цо» рп,
1 = — — — — —
еж Е еж £ еж £
откуда находим критерии подобия:
—= idem; = idem; —= Idem.
еж £ еж £ еж £
Если уравнение содержит дифференциальные или ин-
тегральные операторы, то перед тем как производить
деление иа одни нз членоз-слагаемых, знаки дифферен-
циалов и интегралов надо опустить. Например, ез урав-
нения
+ Х = 0
получаются следующие иритерии подобия:
°* У
= idem;
- idem,
а из уравнения
дуг дх- дх ду
получается
?Ц.= 1(1ет; Vs± = idem.
еж х* еж х
До сих пор рассматривались соотношения между ве-
личинами в заведомо подобных состояниях тел. Рас-
смотрим теперь обратную задачу — какие условия необ-
ходимо и достаточно выполнить, чтобы состояния тол
были подобны. Согласно третьей теореме подобия (тео-
реме М. В. Кирпнчева —А. А. Гухмана [6]) этн усло-
вии таковы:
I) состояния обоих тел описываются уравнениями
одинакового типа;
2) для обоих тел соответственно равны друг другу
независимые критерии подобия, которые составляются
нз величин, входящих в условия однозначности (т. е-
единственности) рассматриваемых состояний. Крите-
рии подобия, составленные нз величин, входящих в ус-
ловия однозначности, называются определяющими.
Рассмотрим оба этн требования.
Основными уравнениями, определяющими тот нлн иной
класс задач механики сплошной среды, являются диф-
ференциальные уравнения равновесия (движения), урав-
нения связи деформаций и перемещений (нлн уравне-
ния совместности деформаций), условия однозначности
перемещений для миогосвяэиых тел, а также уравне-
ния связи напряжений с деформациями н с их скоро-
стями. Все уравнения, за исключением последних, явля-
ются общими для всех задач механики сплошной сре-
ды. Уравнения связи напряжений с деформациями фор-
мулируются по-разному для упругих задач при малых
н больших деформациях, для задач пластичности, пол-
зучести и т. п. Поэтому для выполнения первого усло-
вия третьей теоремы подобия необходимо, чтобы урав-
нения связи напряжений с деформациями для материа-
лов модели и натуры имели одни и тот же вид.
Единственность (однозначность) решения задачи оп-
ределяется граничными и начальными условиями, а так-
же нагрузками, распределенными по объему. Граничные
условия определяют нагрузки нлн перемещения на гра-
ницах тела, а начальные условия — состояние а началь-
ный момент времени.
172
РАЗДЕЛ 16. МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таким образом, в условия однозначности должны вхо-
дить следующие параметры и зависимости:
1) геометрические характеристики тела нлн системы
тел — безразмерные геометрические параметры (угли
и др.) и линейные параметры 1<=<р< I. где
2. ...) — безразмерные коэффициенты, с помощью кото-
рых любой размер тела выражается через одни харак-
терный размер I-
2) физические характеристики материалов, образую-
щих рассматриваемую систему (поскольку первым тре-
бованием третьей теоремы подобия установлена иден-
тичность вида уравнений, но не численное совпадение
входящих в них параметров): коэффициент Пуассона щ
модуль упругости с. плотность р. предел текучести <т,.
предел пропорциональности Олп. нодуль упрочнения Е*.
коэффициент линейного расширения а, удельная тепло-
емкость с, коэффициент теплопроводности А и т. п.;
3) величины, входящие в граничные условия: сосредо-
точенные силы Pi=q>(,p,P: моменты М<=ф}м' <М; на-
грузки. распределенные по линии, (здесь q>>—
безразмерные коэффициенты, с помощью которых каж-
дая нагрузка может быть выражена через один харак-
терный параметр —соответственно силу Р, момент М
или интенсивность <?); нагрузки, распределенные по по-
верхности, X, Y, Z; заданные перемещения на контуре
их,
4) нагрузки, распределенные по объему. X. К. Z;
5) начальные условия, в которых искомые функинн
задаются в исследуемой области в начальный момент
времени.
Во всех приведенных выше рассуждениях имелось
в виду так называемое полное линейное подобие, когда
условчя подобия (16.1) соблюдаются для всех величин,
характеризующих исследуемое явление.
Однако условия полного подобия оказываются весь-
ма жесткими. Соблюдение нх прн моделировании >ю
многих случаях сопряжено с большими трудностями и
не всегда необходимо. Поэтому на практике часто при-
бегают к моделированию, основанному па неполном по-
добии. В этих случаях условия подобия соблюдаются не
для всех величин, характеризующих исследуемое явле-
ние, а только для некоторых, и в сходственных точках
натуры н модели численно равными принимаются кри-
терии подобия, составленные из величин, относительно
которых стремятся соблюсти подобие. Прн этом созна-
тельно идут на то, что относительно других величин
подобие будет нарушено. Однако такой подход требует
осторожности н ясного понимания существа задач.
Кроме неполного часто используется приближенное
подобие. Сущность его состоит в отказе от учета неко-
торых факторов, незначительно влияющих на напряжен-
но-деформированное состояние тела (например, во мно-
гих случаях не учитывается собственный вес тела и т. п.).
1Я2 ПРОСТОЕ ПОДОБИЕ СТАТИЧЕСКИХ
УПРУГИХ СОСТОЯНИИ.
МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
Определим условия подобия напряженно-деформиро-
ванных состояний однородных изотропных упругих гел
в случае малых деформаций при заданных на контуре
тел статических нагрузках нлн перемещениях.
Запишем ясг бсэра’М'тиыс п'-лпчниы. входящие в ус-
ловия однозначности и являющиеся критериями подо-
бия:
Р( = idem; j1' = idem; ц = idem; <р{₽) = Idem;
4'1 ’ = idem; «р/** = idem. (16.6)
Запишем все входящие в условия однозначности раз-
мерные величины с нх размерностями: )[/.). Е(РЕ-2],
Р(Р). МГРЕ1. 9[Р£-']. X1PL-*]. Г|РЕ-*1, ZjPL-’J.
uH(E], Т1н[Е]. ШиЩ. Х[РЕ-’]. У(РЕ-’1. Z[PL-1].
Всего размерных величин 14, из них две величины,
например I и Е. имеют независимые размерности. Таким
образом, дополнительно к (16.6) можно получить 14—
—2=12 независимых критериев подобия:
Р ... . М . и X
— = idem . — = mem: — = idem: — = idem1
CP EP El E
Y . Z uK oK
— = idem: — = idem; — = idem; —
L E I I
“•« -a A/ -3 Yl . 7J
— = idem; — = idem; — - 'dem; —
idem:
(16.7)
idem.!
Критериям подобия (16.6) — (16.7) соответствуют сле-
дующие уравнения связи между масштабами соответ-
ствующих величин:
тв( = |; = •; m|i= 1: «ф<Р1=>: \<м>
т-и>
(16.8)
(16-9)
(16.10)
Из (16.8) сл-.-лует. что
шесть уравнений связи:
содержат восемь масштабов. Значит любые два масшта-
ба могут быть выбраны произвольно, а остальные
шесть масштабов определяются из уравнений (16.10).
Таким образом, необходимыми и достаточными усло-
виями простого подобия пространственной задачи тео-
рии упругости являются следующие:
I) модель и прототип должны быть геометрически по-
добными;
2) коэффициенты Пуассона для материала модели
и материала прототипа должны быть равны. При этом
• Критерий пелнбня Гука.
16 3. РАСШИРЕННОЕ ПОДОБИЕ В СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
173
выбор материалов обусловливает и масштаб модулей
продольной упругости
3) все нагрузки, действующие на модель, должны на-
ходиться в таком же отношении одна к другой, как и
соответствующие нагрузки, действующие и а прото гнп;
4) поскольку выбор материала для модели определя-
ет масштаб mg, то л ля произвольного выбора остается
только один масштаб: либо масштаб т?. либо масштаб
одного нз видов нагрузки, например сосредоточенных
сил тр.
В случае произвольного выбора масштаба т{ нагруз-
ки должны моделироваться в масштабах тр = ткпг1;
э _ _
= rriq = тв/пг, — ^Z —
mx = 'nr=mz — ml.lnii, а заданные перемещения на
контуре —в масштабах mU[t = moK = n,wll =">< Прн
этом напряжения будут моделироваться в масштабе,
равном та. перемещения — в масштабе т;, а деформа-
ции в модели будут равны соответствующим деформа-
циям прототипа.
Прн произвольном выборе масштаба nip линейный
/тР
— .
Tig
нагрузки должны моделироваться в масштабах Шм
= тЕ- ир ; m,=/m£mp: т-=т~=п.- =т£; т* —
з _ *
=тг=тг=Ир тр2, а заданные перемещения на кои-
/™р
~— -
В этом случае напряжения будут моделироваться в мас-
штабе. росном тк. перемещения—в масштабе
. а деформации в модели будут
г тг
равны соответствующим деформациям прототипа.
16.3. РАСШИРЕННОЕ ПОДОБИЕ
В СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. АНАЛИЗ УРАВНЕНИП
При моделировании может быть поставлена задача
определения не всех величин, характеризующих явление,
а только некоторых. Например, часто требуется опреде-
лить только компоненты напряжений. В связи с этим
возникает вопрос, можно ли упростить моделирование,
обеспечивая подобие по напряжениям н не заботясь
о соблюдении подобия по деформациям н перемещени-
ям. Разумеется, такая постановка задачи возможна
лишь прн малых упругих деформациях, когда изменени-
ем конфигурации тела и перераспределением напряже-
ний в процессе деформирования можно пренебречь.
Выявление условий расширенного подобия проиллю-
стрируем на примере первой основной задачи теории
упругости для плоского напряженного состояния.
Напряжения в этом случае определяются уравне-
ниями:
Vs (”х + °«) = 0; |
, I
дх + ду ₽Ж ' } (16.11)
Здесь р.о const; р,=const.
В случае иеодносвязного тела к уравнениям (16.11)
должны быть добавлены условия однозначности пере-
мещений:
= = <1612>
Здесь интегрирование распространяется иа любой
замкнутый контур, не пересекающий контур тела; s —
длина дуги этого контура. Пользуясь формулами Коши.
можно подынтегральные выражения записать через де-
формации. а последние заменить напряжениями, вос-
пользовавшись законом Гука. В результате можно
прийти к следующим выражениям однозначности пере-
мещений:
ф [(Ох+<М cos (s<)+p (о. + ov)l ds
= —(1 + Р> /?v:
(Ox+Oj cos (sy)—x ;ox + Op) j ds =
= (1 + p) Rr.
(16.13)
Здесь n —нормаль к линии интегрирования; Л», R, —
составляющие равнодействующей усилий по замкнутому
контуру.
Рассмотрим сначала односвязное тело пли многосвяз-
иое тело, у которого главный вектор внешних нагрузок
по каждому замкнутому контуру равен нулю. В этом
случае в условия однозначности рассматриваемой зада-
чи входят только геометрические параметры тела и на-
грузки. Значит, материал модели может иметь юот-
вольные упругие постоянные, а сама модель должна
быть геометрически подобна прототипу, причем линей-
ный масштаб mi может быть выбран произвольно. Тлк
же произвольно можно выбрать масштаб одного из ва-
лов нагрузки, например сосредоточенных сил тР. Дру-
гие виды нагрузки должны моделироваться в соотвст-
тр
ствующнх масштабах ти=тРтг, тв= — ;
mi
mp
Прн соблюдении этих условий компоненты напряже-
ний будут моделироваться в масштабе m0 = mQ =•
Выясним, как прн обеспечении подобия только по на-
пряжениям будут моделироваться деформации и пере-
мещения.
Записав закон Гука для материалов модели и прото-
типа, после ряда преобразований получаем выражения
для масштабов компонентов деформаций mt , т,
* ч
и т„ :
тР °х.И —Мно».м
т- — 2 ;
х тЕт, ох „ — рмо> >(
тр оу,м-Нвах.н
'» mEmi ав ы —риох м’
(16.14)
тР 1 + На
2 । ।
ТХ» тЕ т.‘ 1 +
174
РАЗДЕЛ 16. МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таким образом, при соблюдения указанных выше ус-
ловий подобия полей напряжений в первой основной
плоской задаче теории упругости поля углов сдвига
у,, будут аффинно подобными, а масштабы те и тс
будут функциями координат, т. е. поля относительных
продольных деформаций е, и е, будут нелинейно по-
добными.
Если же к рассматриваемым условиям расширенного
подобия добавить требование о равенстве коэффициен-
тов Пуассона материалов прототипа н модели, то поля
относительных продольных деформаций ет и е„ ока-
жутся аффинно подобными и все компоненты деформа-
ций будут моделироваться в одном масштабе
^71—_ 771» flip
*jcy х у
flip
~ _2‘
g 7Л|
Прн моделировании, когда тв= 1,
Для масштабов перемещений можно получить зависи-
мость
ти = /яе mr ]
* 1 (16-15)
= J
т. е. поля перемещений будут нелинейно подобными
при |Зя=#|1а.
Прн равенстве коэффициентов Пуассона материалов
прототипа и модели компоненты перемещений будут
моделироваться в масштабе
flip flip
ти — тв— , а при тЕ =1 m = т = —— .
Отметим, что при ЦлэЬри от напряжений в модели
может быть совершен непосредственный переход к на-
пряжениям в прототипе. Прн этом масштаб напряжений
равен масштабу нагрузки, распределенной по поверх-
ности. Переходить в этом случае от деформаций и пе-
ремещений модели непосредственно к деформациям и
перемещениям прототипа нельзя, так как масштабы де-
формаций н перемещений переменны в исследуемой об-
ласти.
Если моделируется многосвязиое тело, у которого
имеется хотя бы одни замкнутый контур, где главный
вектор внешних нагрузок не равен нулю, то кроме уже
рассмотренных величия в условия однозначности дол-
жен войти коэффициент Пуассона р [нз условий одно-
значности перемещений (16.13)]. В этом случае условия
подобия полей напряжений должны быть дополнены
требованием равенства коэффициентов Пуассона мате-
риалов прототипа и модели. Аналогичное требование
должно выполниться и при исследовании второй основ-
ной н смешанной задач теории упругости.
Толщина плоской модели может быть выбрана неза-
висимо от линейного масштаба л,. Однако чрезмерно
большой толщину принимать ие следует во избежание
появления отклонений от плоского напряженного состо
яння, т. е. возникновения неравномерности распределе
ння напряжений a., ov и тху по толщине модели и воз-
никновения во внутренних слоях модели напряжений
os, т«» и т,,.
16.4. О ВЛИЯНИИ КОЭФФИЦИЕНТА ПУАССОНА
НА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ
Во многих случаях распределение напряжений в упру-
гих телах зависит от величины коэффициента Пуассона.
Поэтому прн моделировании, строго говоря, необходи-
мо подбирать материал модели так, чтобы соблюдать
равенство этих коэффициентов у материалов прототипа
и модели. Практически это условие часто трудно выпол-
нить. поэтому возникает вопрос о величине возможных
погрешностей, вносимых несоблюдением критерия Пуас-
сона. и о путях соответствующей корректировки резуль-
татов исследования.
При исследовании плоских задач принципиально воз-
можна корректировка результатов исследования при по-
мощи испытания второй модели с другим коэффициен-
том Пуассона Тогда для определения напряжений а на-
туре можно воспользоваться выражением
, тр-1 (|~*1м.|)(Ря~^..г)
’х,"“ <1 (1-Р„)(К.|-Ны.з) °'"-'
тр.з(' - Мм,?) (Мн — Рм.1)
т(.2 (1-М„)(1*ы.2-1*м.1) <’Х“ 2'
(1616)
Здесь индексом «1» отмечены величины, относящиеся
к первой модели, а индексом <2» — относящиеся ко
второй модели.
По аналогичной формуле можно определить и другие
компоненты напряжений О,.я и тя,.п
Формула (16.16) записана для случая плоской дефор-
мации. Если имеет место обобщенное плоское напряжен-
ное состояние, то соответствующий коэффициент Пуас-
сона должен быть заменен в (16 16) на величину
и
°-----— (16.17)
М°=ГТТ
Практичесхая реализация этого подхода связана
с трудностью точного определения значений коэффици-
ента Пуассона. Поскольку значения коэффициентов Пу-
ассона модельных материалов находятся в довольно
узких пределах, то точность определения напряжений
прн помощи выражения (16.16) обычно невелика
Часто прн исследовании плоских задач влияние раз-
личия коэффициентов Пуассона на величины напряже-
ний незначительно. Однако в некоторых случаях оно
может быть большим (например, для плоской задачи
о нагружении бесконечной плоскости сосредоточенной
силой).
Менее научено влияние коэффициента Пуассона на
распределение напряжений в пространственно-напря-
женных телах. Известно, что оно зависит от характера
изменения суммы нормальных напряжений по точкам
объема тела. Чем более плавно изменяется величина
этой суммы, тем меньше погрешность, вызванная раз-
личием коэффициентов Пуассона. Б частности, в ци-
линдрическом теле, подверженном чистому кручению,
когда сумма нормальных напряжений постоянна (рав-
на нулю), распределение напряжений ие зависит от ко-
эффициента Пуассона Как правило, наибольшая по-
грешность, вызванная различием коэффициентов Пуас-
сона. получается при определении меньших по абсолют-
ной величине главных напряжений.
16.5. О МОДЕЛИРОВАНИИ ОБЪЕМНЫХ СИЛ
Выбор иля модели материала, у которого коэффици-
ент Пуассона такой же. как и у материала прототипа,
предопределяет масштабы модулей продольной упру-
16.6. ПОДОБИЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
175
гости шв и объемного веса ту А это. в свою очередь,
означает, что для всех остальных величин масштабы
уже ие могут быть выбраны произвольно, и каждый из
этих масштабов определяется величинами шв н т^. Прн
этом линейный масштаб модели
л|( =-----. (16.18)
Может оказаться, что линейный масштаб модели, опре-
деленный по формуле (16.18), будет неудобным пли
технически трудно осуществимым. В этом случае мож-
но произвольно выбрать линейный масштаб модели ли,
но тогда в соответствии с выбранным т| надо будет
обеспечить н соответствующий масштаб объемных сил
_ , что может быть достигнуто с помощью
г ТП[
центрифуги.
16.6. ПОДОБИЕ В ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Из основных уравнений динамики упругого тела вы-
пишем величины, входящие в условия однозначности,
и нх размерности: X[₽L-31. плотность р[Р£*‘Р1,
EfPL-*], ц[1].
К этим величинам надо добавить величины, входящие
в граничные и начальные условия, которые рассмотрим
применительно к трем основным задачам.
а) Первая основная задача. На поверхности S тела
во все моменты времени начиная с to заданы нагрузки
Х = А: y=f,; Z = f3. (16.19)
которым соответствуют
между масштабами
тц= 1;
следующие уравнения связи
‘"о
з
«I
(16.21а)
В зависимостях (16.21) первые четыре критерия по-
добия— это уже полученные ранее критерии подобия
для статической задачи, остальные два — специфические
критерии подобия динамической задачи.
6) Вторая основная задача отличается от первой
только тем, что граничные условия (16.19) заменяются
следующими условиями на поверхности S:
“H = fi; ц< = £«; (16.22)
где £|, F3, F3—заданные функции на S. зависящие так-
же от времени.
Для второй основной задачи в условия однозначно-
сти войдут следующие величины: XIPL-»]; р[₽£-‘П]-
£[££-’); р[1 J; ци[£]; /[£]; t[T); </»[(.]; й0[£7->].
Отсюда можно получить определяющие критерии по-
добия
I* = Idem; —р = idem; = idem;
“о .. РР .. i<ot
— = idem; -^-=idem; — = idem.
(16.23)
которым соответствуют
между масштабами
следующие уравнения связи
а в области V. занятой телом прн <=/», начальные ус-
ловия
'‘“к
И/
т/
и> — te0;
и= Ко;
(16.20)
'р "7
, „2
<п/
(16.24)
Здесь fi, ft, fs — функции, заданные иа поверхности те-
ла н зависящие также от времени; и0, о0. ч>л, “о, «о, ®с—
заданные функции от х. у, г.
Выпишем все величины, входящие в условия одно-
значности первой основной задачи: Х[И.-’1, р[Р£-‘Р],
£[££-’]. pfl], ₽[₽]♦, /[£]. время /[7]. ио[Ц,
Отсюда можно получить определяющие критерии по-
добия:
в) Смешанная задача,
ются условия (16.19), а иа другой части — условия
(16.22).
Для этой задачи в условия однозначности войдут все
те величины, которые входили в первые две задачи. Из
них можно получить следующие определяющие крите-
рии подобия:
где на части поверхности да-
р = idem;
Р -л ХР .л
— = idem; — = idem;
— = idem: "7“ = idem;
(16.25)
р = idem; —— = idem;
— ~ idem; — = idem;
р/1 Ubt
— = idem; — = ldem.
— = idem; — — idem, (16.21)
которым соответствуют уравнения связи между масшта-
бами
з
• В целях единообрвзмя запнсн_критериев подобия вводятся
сосредоточенная сила Р вместо X (Г, Z). поскольку масштабы
этих величин связаны между собой зависимостью rny-m—=
'И
,2
.2
'“к
т/
“I
.2
т.
(16.26)
176
РАЗДЕЛ 16. МОДЕЛИРОВАНИЕ
Зависимости (16.20). (16.23) и (16.25) свидетельству-
ют о том, что при моделировании динамической задачи
необходимо соблюдение уже встречавшихся ранее кри-
териев статического подобия [это первые четыре кри-
терия в (16.20). первые четыре —о (16.23), первые
пять —в (16.25)]. Сверх того в динамических задачах
надо обеспечить соблюдение еще двух критериев. Эти
дополнительные динамические критерии одинаковы для
всех трех краевых задач:
.. ..
•^7 = idem ; — = idem
При малых упругих деформациях можно отказаться
от соблюдения требования me= I.
10.7. ПОДОБИЕ В ЗАДАЧАХ ТЕРМОУПРУГОСТИ
Прн экспериментальном решении задач термоупруго-
стн необходимо для моделей н прототипа обеспечить
подобие температурных полей и полсп напряжений,
деформаций н перемещений.
Условия подобия нестационарных температурных по-
лей в геометрически подобных телах получаются нз
рассмотрения уравнения теплоппоаолнссш Фурье. Для
твердого однородного тела при наличии в системе внут-
ренних источников тепла это уравнение имеет вид
= (ут + 5т + ?г) + ~ • <|627>
dt \ дх* •• ду* дг*) су
где Г[Г0]—температура; ([Г]—время; ог =
= — [L*T-1 ] — коэффициент температуропроводности;
су
*] — коэффициент теплопроводности;
с[ЕГо’) —удельная теплоемкость; у[РЕ-’] — удельный
вес; х(Е], у[Е], z[L]—координаты; —
плотность внутреннего источника тепла (количество теп-
ла, выделяемого источником в единицу объема за еди-
ницу времени).
Здесь н в дальнейшем в формулах размерности сим-
вол Т соответствует единице времени, Го—еднинцс
температуры.
Если состояние тела стационарное, то уравнение
(16.27) принимает вид
/ д*Т д*Т д*7 \
ат ТТ+Т7 + ЗТ+~ = °- <16 28>
\ дх* ду* дг*) су
Полагаем, что физические характеристики материала
се зависят от температуры.
Путем анализа уравнения (16.27) получаем нрнтернн
подобия
от1 .... о„Р
= idem ’; -уу- = idem. (16.29)
В (16.29) записаны не все критерии подобия, а толь-
ко те. которые понадобятся в дальнейшем. Прн этом
ввиду соблюдения геометрического подобия координагы
заме юны характерным линейным размером I.
Для того чтобы полностью решить вопрос об условиях
подобия температурных полей, необходимо в дополнение
к уравнению (16.27) рассмотреть граничные условия,
которые могут быть трех видов.
* Критерий подобия Коши.
•• Критерий го мокрой пости.
“*• Критерий подобия Фурье
мости).
(критерий тепловой гомохрон-
Граничные условия первого рода характеризуются
тем, что на поверхности тела задается температура Г
как функция пространственных координат и времени.
Граничные условия второго рода определяются зада-
нием на поверхности тела удельного теплового потока
&Г \
IА — , где п — нормальj . как функции пространст-
венных координат и времени.
Граничные условия третьего рода задаются в виде
температур сред, окружающих твердое тело, и коэффи-
циентов теплоотдачи ат от этих сред к поверхности
тела.
Заметим, что все величины, входящие в граничные ус-
ловия первого и второго рода, фигурируют в критериях
подобия (16.29) и только граничные условия третьего
рода добавляют к величинам, входящим я условия од-
нозначности, новую величину aT[Pf.~'7~’T'J"1].
Следовательно, при моделировании задачи на основе
граничных условий третьего рода к (16.29) добавляется
еще одни критерий подобия
ar I
—j- = idem ’. (16-30)
Обратимся теперь к вопросу о подобии полей напря-
жений, деформаций н перемещений прн уже обеспечен-
ном подобии температурных полей прототипа и модели.
Прн простом подобии в условия однозначности зада-
чи войдут величины: /[(.], р[1], E[PL~*], Г[Г0] н ко-
эффициент линейного расширения а[7^*]. Отсюда мож-
но получить два критерия простого подобия
|i=idem; аТ — Idem. (16.31)
Рассмотрим теперь условия расширенного подобия.
Для пространственной задачи остаются в силе обычные
уравнения равновесия н зависимости между перемеще-
ниями и деформациями. Закон Гука имеет вид:
1
ех = — [ох — р (о, + ох)] + аТ;
2 (1 +р)
Тх» — £ Ххц-
(16.32)
Из анализа уравнений (16.32) получаем критерии по-
добия по напряжениям:
^^ = idem; р = idem ( 7. (16.33)
Условия (16.33) в сочетании с требованием геометри-
ческого подобия определяют подобие по напряжениям
для пространственной задачи термоупругости.
Аналогичным образом, проведя анализ общих уравне-
ний термоупругостн, можно доказать, что для плоской
задачи достаточно обеспечить только геометрическое по-
добие.
Если кроме изменения температуры иа тело действуют
н нагрузки, то, наряду с критериями и условиями тер-
моупругого подобия, должны быть учтены критерии и ус-
ловия подобия, соответствующие нагрузкам.
16.8. МОДЕЛИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИИ
Для определения связи деформаций с напряжениями
в качестве одного из возможных соотношений восполь-
* Критерий Био (критерий краевого подобия).
16.9. ПОДОБИЕ В ЗАДАЧАХ ПЛАСТИЧНОСТИ
177
зуемся рядом Муни [3]. Если удержать два члена это-
го ряда, то получим:
2Я 1
°/ = 2А, + 4At К* - 4В4 — + р
*1 \
(j = 1.2,3), (16.34
где а, — главное напряжение; Xj —степень удлинения:
Л1 т °, + °э
р —-------------; Аг, В3, я,. В, — физические харак-
теристики среды.
В условия однозначности рассматриваемой задачи
входят тс же величины, что и в случае малых деформа-
ций. за исключением Е и р. вместо которых здесь пхо-
дят другие физические характеристики среды: А3[РЕ~г],
B3[PL-3], А,[РЕ-г], B4[PL~S]. Соответствующие этой
задаче условия (критерии) подобии указаны в табл.
16.13. Прн.соблюдении этих условий будет сохраняться
геометрическое подобие прототипа и модели н в дефор-
мированном состоянии, что прн больших деформациях
является обязательным (в отличие от малых).
В некоторых случаях условие равенства деформаций
модели и прототипа необходимо соблюдать н прн малых
деформациях. Сюда относится, например, тот класс кон-
тактных задач, где поверхность контакта существенно
изменяется в процессе нагружения.
16.0. ПОДОБИЕ В ЗАДАЧАХ ПЛАСТИЧНОСТИ
В задачах пластичности в условия однозначности вхо-
дят следующие величины и зависимости:
I) геометрические параметры тела;
2) фнзнческне характеристики материала: Е[Р7.’],
р[1]. кривая зависимости o<=f(e<). где л.—интенсив-
ность напряжений; е< — интенсивность деформации; фи-
зические характеристики материала фигурируют в рам-
ках классических теорий пластичности: деформационной
и теории течения Рейсса;
3) история нагружения. В классической деформацион-
ной теории история нагружения не находит прямого от-
ражения. а предопределяет лишь области ее примени-
мости.
Следовательно, для обеспечения подобия при модели-
ровании задач пластичности требуется соблюдение гео-
метрического н силового подобия, равенство коэффи-
циентов Пуассона для прототипа и модели, а материал
модели должен характеризоваться кривой о<=[(е<),
которая подобна аналогичной кривой, описывающей ма-
териал прототипа, т. е. в сходственных точках этих кри-
вых е<.и = е<.н; c<.»=<neoi.>,. Для обеспечения подобия
истории нагружения необходимо, чтобы все критерии
силового подобия были соответственно равны в сход-
ственные моменты времени.
Аналогично могут быть получены условия подобия и
для ряда других теорий пластичности.
16.10. ПОДОБИЕ В ЗАДАЧАХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Определение критериев подобия прн моделировании
ползучести производится на основе теории ползучести
и общих уравнений механики сплошной среды.
В основе теории старения лежит предположение
о связи между напряжениями, полной деформацией и
временем, которую можно представить в виде [10]:
= 2^" (°' “ Г+р" ° ) + ф (0/ — (,635)
здесь о — среднее напряжение; <р — функция инвариан-
тов тензоров напряжений и деформаций, характеризую-
щая состояние материала.
В тех случаях, когда кривые ползучести подобны,
функция <р может быть представлена в виде
<р=/(о/)ф(1). (16.36)
Здесь [ — функция интенсивности напряжений; ф —
функция временн.
Функция f может иметь вид:
экспоненты / (oj) = exp bap (16.37)
степенной [ (о() — Аа™ (16.38)
нлн какой-либо другой (например, гиперболический си-
нус).
Если вид функцнн [(о<) одинаков для материалов
прототипа и модели, то для обеспечения подобии в рас-
пределении напряжений необходимо подбирать матери-
ал так. чтобы t>a=6H (16.37). либо (16.38)
и т. п. Можно поиазать, что величина А не влияет на
обеспечение подобия.
Существенно, что функция времени ф(1) может иметь
разную форму для материалов модели н прототипа.
Сходственные моменты временн находятся нз условия
СиФн Он) = Ок Фи (<м)- (16.39)
Это позволяет значительно сократить время испытания
специальным подбором материала.
Прн отыскании критериев подобия влиянием коэффи-
циента Пуассона на распределение напряжений обычно
пренебрегают, так как оно несущественно.
Более удовлетворительные результаты получаются на
основе теории упрочнения, которая может быть поло-
жена в основу рассмотрения вопросов моделирования
ползучести.
Уравнение кривой ползучести по одному нз вариан-
тов теории упрочнения имеет вид [10]:
па
е = (о) + В(" ехр (16.40)
Прн моделировании статических задач н в тех слу-
чаях, когда начальная деформация является линейной
функцией от напряжения, необходимо обеспечить вы-
бором материала и температуры испытания выполнение
условия
п„ = кы. (16.41)
16.11. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ
ВИДОВ КОНСТРУКЦИИ
Моделирование комбинированных конструкций, со-
стоящих из оболочек, пластин, стержней н т. п., осно-
вывается на изложенных выше общих условиях подо-
бия. Прн этом, если элементы конструкции выполнены
не из одного материала, коэффициенты Пуассона в про-
тотипе н модели при простом подобии должны быть
соответственно равны, а отношение модулей упругости
материалов прототипа должно быть равно отношению
соответствующих модулей упругости материалов мо-
дели.
В тех случаях, когда нас интересует не картина на-
пряженного состояния каждого элемента, а перемеще-
ния характерных точек илн распределение усилий меж-
ду элементами, можно отказаться от строгого геометри-
ческого подобия и моделировать для всех нлн для
отдельных элементов какие-либо интегральные характе-
Г8
РАЗДЕЛ 16. МОДЕЛИРОВАНИЕ
ристикн (например, соответствующие жесткости). Ука-
жем на некоторые особенности моделирования отдель-
ных видов конструкций, имея в виду их работу в пре-
делах упругости.
Тонкие пластинки постоянной н переменной толщины
должны моделироваться с соблюдением геометрическо-
го подобия в плоскости пластинки в произвольном ли-
нейном масштабе иц. Толщина пластинки может моде-
лироваться в масштабе тк, в общем случае отличном
от mi. Масштаб нагрузки тР также произволен.
В этом случае прн равенстве коэффициентов Пуассо-
на материалов прототипа и модели (р«=ри) напря-
жения будут моделироваться в масштабе
деформации — в масштабе
прогибы — в масштабе /Пр т^ 3 /п£ mh
ПР" Нн * Рм flip 1 1
тох mh i
тр
Ч - 4 1 1 Рд.м + Рж.М тР '-Ин .
,,LT — 2 « mh ’ - ры тр ги_ = т. — , XX ух mtmh
тр 1 -Ин
тЕть 1
mpm? ‘-Рк
"EmA ’-Им
(16.42)
(16.43)
(16.44)
(16.45)
(16 46)
(16.47)
Здесь — , — — кривизны срединной поверхности де-
Рж Рд
формированной пластинки в рассматриваемой точке в на-
правлении осей хну соответственно.
Для формул (16.45) — (16.47) координатная пло-
скость совпадает со срединной плоскостью пластинки.
При моделировании напряженных состояний безмо-
ментных оболочек постоянной толщины срединная по-
верхность модели должна быть геометрически подобна
срединной поверхности натуры. Линейный масштаб сре-
динной поверхности пи может быть произвольным.
Масштаб толщины оболочки тл может быть отличным
от mt. Коэффициенты Пуассона материалов натуры н
модели должны быть равны (Л1ц= I).
Для соблюдения простого подобия напряженных и де-
формированных состояний масштаб сосредоточенных сил
должен быть равен тр=тдт,т||. Прн расширенном
подобии (подобии по напряжениям) масштаб тР может
быть произвольным.
Другие виды нагрузок должны моделироваться в сле-
дующих масштабах: нагрузки, распределенные по лнини,
тр
т0 = — ; нагрузки, распределенные по поверхности,
х
2 я.2
г,г
нагрузки, распределенные по
объему. тх = ту = mz =
; сосредоточенные мо-
менты — Л1м ^=mPmi.
Прн соблюдении всех указанных условий подобия все
компоненты напряжений будут моделироваться в масш-
табе тв =------, деформации — в масштабе т,
mzmh
~т т т ’ пеРемешеиня — в масштабе mu=mp=mi.
В некоторых случаях моделирование безмоментных
оболочек можно осуществить при произвольном выборе
многих масштабов. Так, прн моделировании напряжен-
ного состояния безмоментных оболочек вращения масш-
табы тЕ, , mi, mt,. тР могут быть выбраны произ-
вольно.
Рассмотренные условия могут быть использованы н
прн моделировании оболочек с небольшими моментными
зонами, однако в последнем случае подобие будет при-
ближенным.
Для моментных оболочек постоянной и переменной
толщины следует соблюдать условия полного геометри-
ческого н силового подобия пространственной задачи
теории упругости.
Пространственные стержневые системы могут иссле-
доваться на модели с соблюдением полного геометриче-
ского подобия или же иа модели с сохранением подобия
лишь в соотношениях жесткостиых характеристик отдель-
ных элементов н поперечных сечений. Прн этом должно
сохраняться одно н то {ке соотношение для основных
жесткостиых характеристик: на изгиб в обеих главных
плоскостях инерции н на кручение.
Если влияние продольных снл на деформацию мало,
то масштабы жесткостей всех подобно расположенных
элементов пространственной рамы должны удовлетво-
рять условию
(16.48)
тЕГ, ~ тЕ1, — । I „ mct
1 т Нн л
В тех случаях, когда деформациями от продольных сил
в элементах пренебрегать нельзя, соответствующие же-
сткости должны быть дополнительно [кроме (16.48))
связаны зависимостью
тЕГ
mEF — 2
(16.49)
Здесь /| и /, — моменты инерции поперечных сечений
относительно главных центральных осей инерции; /к—
момент инерции поперечного сечения на кручение; F —
площадь поперечного сечения.
Для изучения сложных рамных конструкций, где
трудно оценить влияние отдельных жесткостиых харак-
16.12. ВОПРОСЫ ПОДОБИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
179
теристнк. модель целесообразно выполнять полностью
подобной по всем жесткостным характеристикам нлн по
всем размерам и форме натурной конструкции.
Итак, для обеспечения подобия в распределении уси-
лий и перемещений:
1) модель в осях должна быть геометрически подобна
прототипу в произвольном линейном масштабе тг,
2) одну нз жесткостей поперечных сечений (например.
Eli) можно выбрать произвольно в масштабе , а
масштабы остальных жесткостей —в соответствии с
(16.48) и (16.49);
3) сосредоточенная нагрузка моделируется в произ-
вольном масштабе т₽ (другие виды нагрузки — в соот-
/Лр
ветствующнх масштабах, например та =-----. и т. д.).
т/
Прн соблюдении указанных условий перемещения бу-
трп$
дут моделироваться в масштабе mu= т„ = т„= т ,
а изгибающие моменты —в масштабе m*r=mPmi.
Плоские стержневые системы в последнее время мо-
делируются все реже, особенно в связи с использованием
для расчетов ЭВМ. Однако когда к моделированию та-
ких систем все же прибегают, то учитывают, в отличие от
пространственных систем, жесткость поперечных сечений
на изгиб в одной плоскости. Остальные зависимости по-
добия — те же, что и у пространственных рам.
При моделировании плоских стержневых систем,
имеющих в своем составе криволинейные элементы,
должно соблюдаться также условие (16.49).
В общем случае комбинированных систем должны
учитываться все указанные выше условия подобия от-
дельных элементов в соответствии с характером работы
этих элементов.
16.12. ВОПРОСЫ ПОДОБИЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ
СОСТАВНЫХ СИСТЕМ
Пусть на упругое тело А, находящееся в контакте
с телом В, действует нагрузка. Требуется посредством
моделирования определить напряжения, деформации п
перемещения в теле А.
Рассмотрим отдельные возможные здесь случаи.
1. Материалы тел А и В упруги.
В этом случае должны соблюдаться рассмотрен-
ные выше условия подобия упругой задачи. Важно лишь
подчеркнуть, что соответствующие критерии подобия
должны быть численно равны в сходственных точках
натуры н модели.
Если у натуры Ел.пЗ>Евл. то необходимо, чтобы и в
модели было £>.и>Ев.«, н тогда приближенно можно
учитывать только трн определяющих критерия подобия:
рл = idem; рв = idem: —“— = Idem, (16.50)
которым соответствуют следующие уравнения связи
между масштабами:
тЕАт1
тив=,: — =Ь
2. Материал тела А — упругий, тела В — сплошная
пластичная среда.
В условия однозначности рассматриваемой задачи
входят: 1[Ё]. Ea[PL~2], |1л[1], Ев[₽Е-г], цв[1]. кри-
вая зависимости о<.в=)в(е<.в), история нагружения.
Здесь должны быть соблюдены условия подобия, полу-
ченные для случая, когда оба материала упруги, и, кро-
ме того:
а) материал в модели должен характеризоваться
кривой ol B = fB (е, в ), которая подобна ана-
логичной кривой, описывающей материал натуры а[В —
= 1ви
б) история н характер нагружения должны быть в
натуре и модели одинаковыми.
3. Материал тела А — упругий, тела В — сыпучее тело
без сцепления.
Здесь в условия однозначности войдут величины:
![/,), Ед[₽£-’], |1л[1], /’[Р]. объемный вес ув[Й-"э].
а также угол внутреннего трения фв[1) н угол трения
по поверхности контакта материала В по материалу А
Фвл[1].
Из этих величин получим следующие независимые
определяющие критерии подобия:
рл = idem; <fB = idem; фвл = idem;
еар Увр
—-— = idem; —-— = idem, (16.52)
которым соответствуют следующие уравнения связи
между масштабами
тЕт3
= тФВ = ,; ,пфВа=,;-^=1;
т т?
——=1. (16.53)
пр
Если для модели взят такой же материал (тело В),
что н в натуре, то m^fi = 1 и nivfi = 1 и необходимо
соблюдение зависимостей:
mBm? т.
= 1; =1; - -=1; —— =1.
ЛЦ1А тфВЛ ,пР тР
(16.54)
Отсюда вытекают необходимые и достаточные условия
подобия в случае, когда тело В является сыпучим телом
без внутреннего трения:
а) коэффициенты Пуассона материалов упругого те-
ла А для натуры и модели должны быть равны (цл.ч—
=Цл.ч):
б) углы трення грунта по поверхности контакта натуры
и модели должны быть равны (фвл.ч^фвл.н);
в) масштаб модулей упругости матернала упругого
тела А должен быть равен линейному геометрическому
масштабу, т. е. mg=mt.
Следовательно, можно либо произвольно выбрать
масштаб (н тогда тр=т3Е ), либо произвольно
3/----
выбрать масштаб нагрузки тр (н тогда mt=y тр).
При соблюдении указанных условий напряжения бу-
дут моделироваться в масштабе ms. перемещения —
в масштабе mi, а деформации модели будут равны со-
ответствующим деформациям натуры.
4. Материал тела А — упругий, тело В — сыпучее тело
со сцеплением.
В этом случае к условиям подобия (16.52) — (16.54)
добавляется критерий подобня
евР
—р—= idem. (16.55)
где св — удельное сцепление, н соответствующий ему
индикатор подобня
(16.56)
16.13. ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ И УРАВНЕНИИ СВЯЗИ
МЕЖДУ МАСШТАБАМИ Б ЗАДАЧАХ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ
Общие условия для всех задач;
I. Модель к прототип должны быть геометрически подобии (линейный масштаб модели mj >.
2 Все нагрузки, действующие на модель (сосредоточенные силы Р( сосредоточенные моменты ф|М) М: нагрузки, распределенные по липни, с/ "
нагрузки, распределенные по поверхности У. К F; нагрузки, распределенные по объему, X. У Z), должны находиться в таком же отношении одна к другой,
как и соответствующие нагрузки, действующие на прототип. _ = <р|' * м idem; " idem; ф|^ " idem: 1“ “ Т“ “ ldcmi ~~т~ “ ^сп»; Y Z Y Z (n (Р) - 1; тф(.И) - 1; тф(?) = 1; —i - 1; — I; —1 — «ц. { тУ r»z ту mz 3. Масштабы разных видов нагрузок должны удовлетворять зависимостям: тр т р тр mM~mpmi‘ m?"~; "S “ —“ • тх~—- 1 ГП{ fTlf 4. Заданные перемещения иа контуре должны удовлетворять зависимостям: цк |Ллт “к / >Л|<к . \ — idem. —~~ " idem — ™ 1: — м 1 1 ’к ®к \ "Ч т«к /
№ Г1/11 Наименование задачи Вид граничных условий или тип задачи Необходимые и достаточные условия подобия (в допол- нение к общим условиям под об и.1 для всея задач) Возмож- ные варианты выбора масштабов Масштабы перехода от модели к на гуре Примечания
определяю- щие критерии подобия уравнения связи между масш гзбами для напряжений для деформаций для переме- щений
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 Пространствен- ная упругая ста- тическая изотер- мическая задача для изотропных тел (малые де- формации) а) Первая ос- новная задача ц " Idem "I,-1 V* с. ш Е Е тр тр m'jmg "р т1тв Аналогичные ус- ловия елраведли- вы для момент- ных оболочек
б) Вторая ос- новная задача ц — Idem тл m 1 тВ ’ т/’ "Ч т£ тик т1 т,. tfH
в) Смешанная задача ц ж Idem, ЩГ -ldem т "1, и п1р т£. тр, т1 тр тр memi 2’h3 При абсолют- но жестких свя- зях и отсутствии других заданных перемещений ем. п. 1-а
те- тик- т1 т£ тик т, П1., "к — "’“x
2 Плоская упру- гая статическая изотермическая задач» для изо тропных тел (ма- лые деформации) а) Первая ос- новная задача при выполнении условий Леви — Митчелла - i Сц Е Е ц. . • Е Г Е* тР См. формулы 16.14 m8 mf h — толщина те- ла. Аналогичные условия справед- ливы для безмо- ментмых оболочек
I/П НанМеКОВЛИИг задачи Вид граничных условий или тип Необходимые и достаточные условия подобия (в допол- нение к общим условиям подобия для всех задач) Возмож- ные варианты
задачи определяю- щие крите- рии подобия уравнения свяан между масштабами масшта- бов
1 2 3 4 5 6
I б) Вторая ос- новная задача ц * Idem m 1 a Ju E* E~ /
Плоская упру- гая статическая изотермическая задача для изо- тропных тел (ма- лые деформации) а) Смешанная задача ц — idem mu-l V mp nE- mf
J Упругая дина мическая изотер мичесхая чадача для нзозропныя гел (малые де- формации) д) Нерва? ОС- НОВНАЯ задача u — Idem. Л/‘ — — Idem, И lit El , idem. P — -Idem. ±1 -Idem r<> '"и"''. mxm’ —1, m m _ m "• g 1 mp — 1. "o1”/ —| m £ m m m -±-£--i П1 tl. "‘fV
б) Вторая ос- новная задача И > Idem, xr —Idem, "x £ S- —Idem, “x 21— —Idem, Et* kt-Idem tl tn m 1 mxmj - ' “1, —— -1. т“н n,pmi 7" m£m. mL.m< —1 m mE' mp' "«к- "(
М«сштабы перехода от модели к натуре Примечания
для напряжений дли деформаций для перемеще- ний
7 4 У 10
тЕП,и* т1 '"«к — "«« Аналогичные условия справед- ливы прн изгибе пластинок
тр ml "'ll тр ар тР mh При абсолютно жестких связях и отсутствии дру- гих заданных пе- ремещений на контуре при вы- полнении условий Леви — Митчелла см. п. 2<а и примечание к п. 2-6
mlmlt
тЕтик т! "“и
,ПР тр ‘If - - ut — перемеще- ние в начальный “°“м"- 1 — время; р — плотность матери- ала
та,"'п т1 т. ,nl »« toK
16.13. ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ И УРАВНЕНИЙ СВЯЗИ МЕЖДУ МАСШТАБАМИ
№ Г 'II Наименование задачи Вид граничных Условии нли тип задачи Необходимме и достаточные условия подобия (в допол- нение и общим условиям подобия для всех задач) Возмож- ные варианты выбора масштабов Масштабы перехода от модели к натуре Примечания « ё г 3 с S а 3 п
определяю- щие критерии подобия уравнения связи между масштабами для напряжения для деформаций для переме- щений
1 2 Э 4 5 6 7 8 9 10
в) Смешанная задача ц — Idem, хг —— “ Idem, Р —— —Idem. Р -2- —Idem, “к -Si- —Idem. ЕР й, t .. — — idem Л1ц — 1. тХт1 , — —1. тр muKmEmi ч? п? тр Т тр 2 тЕт1 тр тЕт1
тЕ • тр‘ т1> тик т“к тЕ т1 '"-к "«К
1 1 • - г • 1
4 Пространствен- ная температур- ная упругая за- дача ДЛЯ ОДНО- РОДНЫХ изотроп- ных тел (малые деформации) а) Пространст- венная задача ц — Idem т — 1 И те. см. также примеча- ние mEmamT "а тТ /я /п _ /я а т 1 а— коэффициент линейного расши- рения; Г —тем- пература. Масштаб п? (илн /Ла ) прн на- личии внутренних источников тепла должен быть со- гласован с усло- виями подобня температурных полей (см. 18.7 и 18.14). Линейный мас- штаб геометриче- ского подобия mj должен быть со- гласован е усло- виями подобня температурных полей во всех слу- чаях (за исключе- нием подобия ста- ционарных темпе- ратурных полей прн отсутствии внутренних ниточ- ников тепла и граничных усло- виях первого н второго рода, когда т/ может быть произволь- ным)
б) Плоское на- пряженное состо- яние - - тЕ ' ем. также примеча- ние тЕта. тг 1 + цн ——2 т т_ I + им а Т 1+ин “ т-г> 1 + |1н 1 а т
в) Плоское де- формированное состояние "С см. также примеча- ние Ж "а э (' + %)('-•*„) х mtml
х татт
16.13. ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ И УРАВНЕНИИ СВЯЗИ МЕЖДУ МАСШТАБАМИ
183
I в
184
РАЗДЕЛ 16. МОДЕЛИРОВАНИЕ
!»>«. ТАБЛИЦА КРИТЕРИЕВ ПОДОБИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
(ОБЩИМ УСЛОВИЕМ ПОДОБИЯ ЯВЛЯЕТСЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ НАТУРЫ И МОДЕЛИ)
№ п/п Tirrr задачи Внутренние ИСТОЧНИКИ тепла Вид граничных условий Необходимые и достаточные условия подобия (в дополнение к геометрическому подобию) Возможные варианты произвольного вы- бора масштабов
Определяющие кри- терии подобия Уравнения связи между масштабами
1 2 X- Неггвпноиар- кое поле Есть Первого я вто- рого рода °Т f —-j— —Idem. *рГ - Idem 7 < %- X е" с Е ** х Е ее m _ ; m«: я/ m _ аТ X’ 1 Фо т«г' "г тГ mqv
m_ : п; m.; тт X < * maT- mr "V mT
Есть Третьего рода лт‘ ™ Idem. Г " Idem. “г1 Idem X — 1. — м|а m2 т. т_ ml х т maT mi mA “т А ат чв
т_ : т.: т ; т—. <>7 X ay Т
Нет Первого и вто- рого рода ат‘ — Idem Р 2l2_, fft— : т*; т °Г х ( *"«/ "V mt
Нет Третьего рода “т' «= Idem. Р ат‘ = Idem. X 1 1 maT- "Ъг: тХ
Стационарное Пеле Примечание- т-оэффнамент тепло Есть Первого и второго рода 0ор -у?- - Idem mA mT т«; т_ : т» X <7о •
т*; т : т_ х 1 т
Ъг m<iv- тт
Есть Третьего рода е0Р -Idem. «Г 1 - Idem X m ’"*"7 ”aT mi mx тг таг-
т\- тат‘ тт
Нет Первого и второго рода - - тГ mf тХ
Нет — коэффиц проводности: Т Треи его рода (ент темпера ту ропр — температура: а« ат' — Idem X овод not тн: / - Время; q — коэффициент теплоотда maT mt — плотность внутреннего чи. ’’«/'"к источника тепла:
ЛИТЕРАТУРА
185
ЛИТЕРАТУРА
1. Алабужев П. М.. Героннмус В. Б.. Минке-
внч Л. М.. Шеховцов Б. А. Теория подобня и размер
ностей. Модели ров ан не. «Высшая школа». 1968.
2. В е и и м о в В. А. Теория подобия и моделирование при-
менительно х задачам электроэнергетики. «Высшая школа». 1966.
3. Г р и н А.. А л к к и с Дж. Большие упругие деформа-
ции и нелинейная механика сплошной среды. «Мир». 1965,
4. Г у х м а и А. А. Введение в теорию подобня. «Высшая
школа». 1963.
5. К е р о п я н К. К-. Ч е г о л и н П. М. Электрнчесхое мо-
делирование в строительной механике. Госстройнздат. 1963.
6. К и р п и ч е в М. В. Теория подобня. Изд-во АН СССР.
1953.
7. Н а з а р о в А. Г. О механическом подобии твердых де-
формируемых тел (и теории моделирования). Изд-во АН
Арм.ССР. Ереван. 1965.
8. Пит л юк Д. А. Испытание строительных конструкций
на моделях. Стройиздат. 1971.
9. Пухов Г. Е„ Васильев В. В.. С т с п а и о в А. £..
Токарева О. Н. Электрическое моделирование задач строи-
тельной механики. Изд-во АН УССР. Киев. 1963.
10. Р а б о т и о в Ю. Н. Ползучесть элементом конструкций.
«Наука». 1966.
II. Седов Л. И. Методы подобия н размерности в меха-
нике. «Наука». 1972.
12- Т ет е л ь б а у м И. М. Электрическое моделирование
Фнэмаггиз. 1959.
13. Ф и н к К.. Робах X. Измерение напряжений к де-
формаций. Машгиэ. 1961.
РАЗДЕЛ 17
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
17.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ устойчивости
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
17.1.1. Понятия устойчивости
и неустойчивости. Устойчивость равновесия
деформируемых систем
Понятия устойчивости и неустойчивости играют боль-
шую роль во многих разделах естествознания н техни-
ки. Предположим, что в некоторой системе изучается
зависимость между «причиной» и «следствием». Если
малому изменению причины соответствует столь же ма-
лое изменение следствия, то говорят, что система
устойчива. Еслн же малое изменение причины вы-
зывает большое изменение следствия, то система неус-
тойчива.
Строгая математическая формулировка этих понятий
была дана впервые А. М. Ляпуновым (1892 г.).
Одной из задач строительной механики является изу-
чение устойчивости равновесия деформи-
руемых систем, т. е. стержней, рам. пластинок,
оболочек и т. д. Теория устойчивости равновесия ведет
свое начало от Л. Эйлера, который впервые определил
критическую силу центрально сжатого прямолинейного
упругого стержня (1744 г.).
Параметр нагрузки и, принимающий различные значе-
ния, характеризует состояние системы. В процессе не-
прерывного изменения этого параметра система может
перейти от состояния устойчивого к состоянию неустой-
чивого равновесия. На границе между устойчивым и не-
устойчивым состояниями система попадает в крити-
ческое состояние; соответствующее значение парамет-
ра нагрузки и, также называются критическим.
Явление потерн устойчивости прн и=и, характеризу-
ется мгновенным переходом от устойчивых состояний
системы к неустойчивым в процессе изменения параметра
нагрузки и н представляет собой качественный скачок,
переход от одного качества равновесия к другому.
Понятия «критическое состояние» и «критический пара-
метр нагрузки» относят не только к явлению потери ус-
тойчивости. но также и ко всем другим состояниям, из-
меняющим степень неустойчивости системы (см. 17.1.6;
17.4.2; 17.4.4).
6 настоящем разделе рассматриваются изгиб и устой-
чивость сжатых и сжато-нзогиутых стержней, а также
систем, содержащих такие стержни. Вопросы теории из-
лагаются применительно к стержневым системам [3, 8,
19, 21а, 32. 35. 36. 39. 44, 46].
17.1.2. Консервативные н неконсервативные
системы. Методы исследования
устойчивости равновесия
Консервативная система обладает следующим свойст-
вом: работа внешних и внутренних сил системы, совер-
шаемая при переходе нз одного состояния в любое дру-
гое, определяется только этими состояниями и не зависит
от траектории движения.
Понятие «система» объединяет деформируемую конст-
рукцию (стержень нлн совокупность стержней) и нагруз-
ку. поведение которой должно быть задано.
Отсюда следуют два необходимых и достаточных усло-
вия консервативности системы: 1) упругость деформиру-
емой конструкции, т. е. обратимость деформаций, и
2) консервативность нагрузки, т. е. независимость со-
вершаемой ею работы (при перемещении из одной точки
пространства в другую) от траектории движения.
Консервативная система характеризуется замкнутым
энергетическим балансом — рассеивание энергии (дисси-
пация) в ней не происходит. Из условия равенства ра-
боты внешних сил (нагрузки) и работы деформации
следует существование для консервативной системы
потенциальной энергии. Потенциальная энер-
гия определяется рассматриваемым напряженным и де-
формированным состоянием системы и не зависит от ее
предшествующих состояний, т. е от программы нагру-
жения.
Потенциальная энергия системы обладает экстре-
мальными свойствами, которые позволяют сна-
чала выделить равновесные состояния системы нз мно-
жества неравновесных, а затем оценить качество равно-
весия (устойчивость нлн неустойчивость) каждого
равновесного состояния.
Для исследования устойчивости равновесия консерва-
тивной системы достаточен статический ме-
тод, основанный на рассмотрении равновесного состоя-
ния системы н на оценке его устойчивости с помощью
энергетического критерия.
Системы, не обладающие свойствами консервативно-
сти, относятся к классу пеконсерватнвных си-
стем.
Неконсерватноность системы может определяться по-
ведением нагрузкн, в то время как стержень нлн сово-
купность стержней обладают упругими свойствами. В
этом случае исследование устойчивости выполняется
динамическим методом, основанным на изуче-
нии характера возмущенного движения системы. Здесь
возможны явления, не наблюдаемые в системах консер-
вативных (см. 17.6).
Более сложными являются случаи, когда неконсерва-
тивность системы определяется необратимостью
деформаций материала. Анализ устойчивости
стержневых систем, выполненных нз упруго-пластиче-
ского материала, требует учета разгрузки и остаточных
17.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ устойчивости стержневых систем со сжатыми элементами
187
деформаций в тех случаях, когда они возникают. Труд-
ности решения подобных задач обычно обходят, рассмат-
ривая однократное нагружение системы в условиях
активной деформации. При таких предпосылках упруго-
пластический материал можно рассматривать как нели-
нейно упругий (см. 17.8).
Устойчивость равновесия деформируемой системы
удобно изучать с помощью графика поведении,
изображающего совокупность всех возможных равновес-
ных состояний системы. По оси абсцнсс откладывают
характерное перемещение, которое должно,
по возможности, отобразить деформированное состояние
системы в целом. По осн ординат откладывают пара-
метр нагрузки и нлн величину, одновременно с ннм воз-
растающую, — сжимающую снлу, осевое напряжение
и т. п.
Особые точки графика (например, точки экстремума
н точки разветвления) соответствуют критическим со-
стояниям системы.
17.1.3. Потеря устойчивости
при разветвлении форм равновесия
Модель с одной степенью свободы (рис. 17.1) иллюст-
рирует рассматриваемые
Рнс. 17.1
в настоящей главе явления.
Бесконечно жесткий стер-
жень длиной I сжат силой
N. приложенной с эксцен-
трицитетом а. Малому от-
клонению у верхнего конца
стержня от вертикали про-
тиводействует упругая опо-
ра, создающая горизонталь-
ную реакцию Н.
Отклоняющий момент от-
носительно опорного шар-
нира, создаваемый силой N,
равен Mi=Af(o-|-y). Ему
противодействует удержи-
вающий момент М}=Н1.
Упругие свойства опоры
характеризуются зависи-
мостью
W =/(у)= v(y — щ/’). (17.1)
где v>0 и р^О. Условие равновесия М1—Л13=0 приво-
дит к соотношению
A'(o + y)-vi(y-M’) = 0- (17.2)
Линейно упругая опора (ц=0). В частном случае
прн |i=0 нелинейно упругая опора вырождается в ли-
нейно упругую. Графин поведения модели представлен на
рнс. 17.2. По осн абсцнсс отложено характерное переме-
щение у, по осн ординат отложена сжимающая сила N.
а) Центральное сжатие. Уравнение равновесия (17.2)
прн р=0 и о=0 приводится к виду y(vl—N)=0. Не-
отклоненная форма равновесия у=0 возможна при лю-
бом значеннн N. Отклоненные формы равновесия с про-
извольной величиной у возможны только при N=vl.
В случае N <vl (отрезок ОК на графике) неотхлонеи-
ная форма равновесия устойчива, ибо прн отклонении
у удерживающий момент больше отклоняющего: Мг>
>М,. Малое возмущение (например, малая горизон-
тальная сила) вызовет малое отклонение модели от вер-
тикали. Наоборот, в случае N>vl (отрезок KN ив гра-
фике) вертикальное равновесное состояние неустойчиво,
так как при отклонении у удерживающий момент меньше
отклоняющего: М,<М.. Здесь малое возмущенне пов-
лечет за собой дальнейший рост отклонений.
Значение сжнмающней силы
N. = vl (17.3)
является критическим, ему соответствует состояние
безразличного равновесия (прямая RKS на
рис. 17.2) с произвольным по величине и по знаку от-
клонением у.
Потеря устойчивости здесь характернзуется раз-
ветвлением (бифуркацией) форм равновесия: поми-
мо иеотклоненной формы у=0 при N=N, становятся
возможными смежные отклоненные формы равновесия
у^О.
Точка К на графине (рнс. 17.2), соответствующая кри-
тическому состоянию системы, называется точкой
разветвления (бифуркации).
Потерю устойчивости прн разветвлении форм равно-
весия называют часто потерей устойчивости эйлерова
типа (нли в смысле Эйлера). В строительной мехатнке
стержневых систем принят также термин: потеря
усгойчнвостн первого рода.
Характерный признак этого явления — существование
смежных форм равновесия прн критическом значении
нагрузки.
б) Внецеитрениое сжатие. Анализ зависимости (17.2)
при |i=0 и а>0 прежде всего показывает существова-
ние первичных равновесных состояний (кривая ОА
иа графике поведения, рнс. 17.2) прн у>0, N<vl. Эти
равновесные состояния возникают в процессе естествен-
ною возрастания нагрузки.
Существуют также вторичные равновесные сос> оя-
ния (кривая PQ} прн у<0, N>vl. Система может быть
«заброшена» в эти состояния только искусственным об-
разом. Обе кривые равновесных состояний при а>0,
ОА и PQ имеют своей асимптотой прямую RKS. парал-
лельную осн абсцисс н проходящую через критическую
точку К.
Анализ качества равновесия с помощью энергетиче-
ского критерия (см. 17.1.6) показывает, что первичные
равновесные состояния устойчивы, вторичные неустой-
чивы.
188
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Асимптотическое поведение, связанное с неограничен-
ным ростом отклонения у по мере приближения сжи-
мающей силы Л' к критическому значению, характерно
для линейно упругих сжато-нзогиутых стержней. Пред-
ставление о неограиичеином росте отклонений является
следствием геометрически линейной постановки задачи —
учет больших перемещений (см. 17.2.8) показывает, что
по мере приближения сжимающей силы к критическому
значению отклонения быстро растут, но остаются огра-
ниченными по величине.
В реальных конструкциях быстрый рост перемещений
приводит к достижению предела пропорциональности,
после чего начинается стадии упруго-пластической рабо-
ты материала.
17.1.4. Потеря устойчивости
при достижении предельной нагрузки
Для иллюстрации явления используется рассмотренная
выше модель с одной степенью свободы (см. рнс. 17.1),
но прн значении параметра жесткости упругой опоры
Нелинейно упругая опора (р>0). График поведения
модели представлен на рнс. 17.3.
а) Центральное сжатие. Уравнение равновесия (17.2)
прн а=0 приводится к виду
у [V— v/(l — ps*)) = 0, (17.4)
откуда следуют два решения:
1) у=0 прн любом значении N (неотклоненная форма
равновесия, отрезок OKN осн ординат на рис. 17.3);
2) N=vl(l—цу5) при A’<v( (отклоненная форма рав-
новесия, кривая RKS на рис. 17.2).
Потеря устойчивости прн разветвлении форм равно-
весия вызывается критической силой (17.3).
Анализ качества равновесия с помощью энергетиче-
ского критерия (17.1.8) показывает, что неотклоненные
равновесные состояния прн Л'<А/, устойчивы, прн
N>N, неустойчивы. Также неустойчивы отклоненные
состояния уч^О.
Здесь в критической точке К наблюдается мгновенное
состояние безразличного равновесия. При H=N, стано-
вятся возможными бесконечно близкие смежные формы
равновесня. Касательная к кривой RKS в критической
точке параллельна оси абсцисс. Зло обстоятельство
позволяет классифицировать рассматриваемое явление
как потерю устойчивости эйлерова типа.
б) Внецеитренное сжатие. Уравнение равновесия (17.2)
прн а >0 приводят к виду
N = V/ У~11- . (17.5)
а + у
Кривая ОА ,ВА3 иа графике поведения (рис. 17.3) изоб-
ражает первичные равновесные состояния системы при
у>0. кривая PQ — вторичные при у<0. Предполагает-
ся. что о fp < 1.
Характерной особенностью поведения модели в про-
цессе естественного возрастания сжимающей силы явля-
ется наличие экстремальной точки В, соответствующей
максимуму сжимающей силы N. При сжимающей силе,
превышающей это предельное значение Мм.ве. первич-
ные равновесные состояния невозможны.
Анализ качества равновесия с помощью энергетиче-
ского критерия (17.1.8) показывает, что устойчивыми
являются только первичные равновесные состояния,
изображаемые восходящей кривой графика пове-
дения. Первичные равновесные состояния, соответству-
ющие нисходящей ветви ВА3 графика, а также все вто-
ричные равновесные состояния (ветвь PQ) неустойчи-
вы. Отсюда следует, что наибольшее (предельное)
значение сжимающей енлы
N„K = N, (17.6)
является крнтнческнм.
Критической силе N, соответствует критическое от-
клонение у.. Каждому значению сжимающей силы
N<N, соответствуют два равновесных состояния, нз
которых первое, с меньшим отклонением yi<y(, устой-
чиво, а второе, с ббльшны отклонением уз>у„ неустой-
чиво (рнс. (7.3).
Необходимым условием максимума силы N, рассмат-
риваемой как функция характерного перемещения у. яв-
ляется равенство нулю первой производной или, как го-
ворят, условие стационарности:
— = 0- (17.7)
Здесь наблюдается г о т е р я устойчивости прн
достижении предельной п а гр у эки или. как
принято говорить в строительной механике стержневых
систем, п о т е р я устойчивости второго рода.
Это явление отличается от потерн устойчивости эйлеро-
ва типа, обусловленной разветвлением форм равновесия
в критическом состоянии.
Экстремальная точка В на графике поведения
(рнс. 17.3) называется предельной точкой.
Потеря устойчивости прн достижении предельной на-
грузки характерна для сжато-нзогнутых стержней нз
нелинейно упругого или упруго-пластического материала.
17.1.5. Устойчивость линейно упругой
системы с конечным числом степеней свободы
Положение системы характеризуется обобщенны-
мн координатами ух, у3, . . уп, число которых
равно числу степеней свободы л. Пусть прн любом зна-
чении параметра нагрузки и возможно неотклонекное
равновесное состояние системы, когда все ух«=0. Прн
значении и<ил неотклоненное состояние является един-
ственно возможным. Требуется найти критическое значе-
ние параметра нагрузки и», прн котором становятся воз*
17.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
189
ножными смежные отклоненные формы равновесия
(потеря устойчивости в эйлеровом смысле).
Условия равновесия системы имеют вид линейных
однородных алгебраических уравнений относительно
обобщенных координат:
Тп!/1 + V:«!/a + • • + Vin Уп = о;
Т.1У1 + ГмУ» + • • • + У«л Уп = 0;
VmSi + УпгУг d------F Vnn Sn=0-
Коэффициенты этих уравнений у(* зависят, вообще
говоря, от геометрических размеров исследуемой систе-
мы, жесткости ее упругих связей н параметра нагруз-
ки п.
Условие существования нетривиальных (ненулевых)
решений системы (17.10) заключается в равенстве нулю
определителя (детерминанта):
О(п) = I I = 0. (17.9)
В простейшем случае коэффициенты являются
линейными функциями параметра нагрузки и, т. е.
Vrt = °rt+ */»“- (17.10)
При этом алгебраическое уравнение п-й степени (17.9)
имеет ровно и корней
U.i. .......н.п. (17.11)
определяющих критические состояния системы.
Если исследуемая система консервативна, то матрица
коэффициентов обладает свойством симметрии (или
взаимности) у<»=у*<. В этом случае все критические
значения параметров и,/ будут вещественными.
Потеря устойчивости происходит прн достижении па-
раметром нагрузки и наименьшего из критических зпа-
Иидекс 1 у наименьшего из критических значений
опускается в тех случаях, когда это ие может вызвать
недоразумений.
17.1.6. Собственные значения
и собственные функции
Теория собственных значений является аналитической
основой исследования явлений потерн устойчивости при
разветвлении форм равновесня. Ниже в самом сжатом
виде формулируются основные положения этой теории
применительно к рассматриваемой линейкой задаче.
Дано линейное однородное уравнение
£и(у) = 0, (17.13)
где Lu — оператор, содержащий параметр и. Для систе-
мы с бесконечно большим числом степеней свободы
у=у(х)—искомая функция непрерывного аргумента,
оператор £. имеет интегральную или дифференциальную
форму. В этом последнем случае уравнение (17.13) до-
полнено однородными граничными условиями. Для систе-
мы с конечным числом степеней свободы л неизвестным
является вектор
У= (Fi.Se, - • Уп)'. (17.14)
оператор L. имеет матричную структуру н уравнение
(17.13) приводится к виду (17.8).
Однородное уравнение (17.13) прн произвольном зна-
чении параметра и имеет тривиальное решение рмвО.
Собственным значением и.^ называется такое
значение параметра «. при котором уравнение (17.13)
имеет отличное от нуля (нетривиальное) решение.
Для задач устойчивости равновесня каждому собст-
венному значению и.) соответствует критическое состоя-
ние системы, связанное с разветвлением форм равнове-
сия. Возникающая при этом смежная форма равновесня
характеризуется собственной формой (нлн соб-
ственной функцией) у./, определенной с точностью до
постоянного множителя. В рассматриваемой задаче
(17.8) это будет собствен и ы й вектор
S./= (Si.S......Уп).
(17.15)
одна нз координат которого выбрана произвольно, а все
прочие определены нэ уравнений (17.8) при и=и,/-
Все собственные формы у,/ являются формами
отклоненного равновесии. В случае ' систем
с бесконечно большим числом степеней свободы их назы-
вают также формами криволинейного рав-
новесия или кривыми выпучивания.
Первая собственная форма y,—y,i является фор-
мой потери устойчивости.
Совокупность всех чисел и,/ образует спектр соб-
ственных значений (17.11).
Потеря устойчивости системы происходит прн первом
критическом состоянии системы, т. е. прн наименьшем
критическом значении параметра нагрузки и, =u,t.
Собственные формы системы с бесконечно большим
числом степеней свободы (сжатый стержень постоянного
сечения длиной I) обладают свойством обобщенной
ортогональности
I _ I
J y.ty.i<^ = f У.1У.1^1С = о (i * /)- (17.16)
о Ъ
Для системы с конечным числом степеней свободы
свойство ортогональности выражается в равенстве нулю
скалярного произведения двух любых (не тождествен-
ных) собственных векторов
(Ш./) = 0 («*/)• (17.17)
Бесконечное множество собственных функций y*j(x)
или совокупность собственных векторов обладают
свойством полноты. Для рассматриваемых в настоящем
разделе задач любое отклоненное состояние системы у»
вызванное произвольной нагрузкой, может быть пред*
ставлено в виде разложения по собственным формам
(векторам)
у=1А/у,/, (17.18)
/“1
где Л; — коэффициенты разложения.
Рассмотрение высших критических значений параметра
нагрузки uat, и.з, . . . дает возможность ответить иа
вопрос о степени неустойчивости системы.
Говорят, что прн параметре нагрузки и система имеет
степень неустойчивости у, если
u.v < u < и. v+1.
(П-19)
Система с конечным числом степеней свободы п нахо-
дится в состоянии полной неустойчивости,
еслнм>н,я.
190
РАЗДЕЛ 17 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
17.1.7. Энергетический критерий
качества равновесия
Потенциальной анергией упругой системы называют
работу, совершаемую внутренними н внешними силами
системы при переводе ее из деформированного состоянии
в начальное, недеформнрованное.
Общие методы исследования равновесия и устойчиво-
сти консервативных систем основаны иа экстремальных
свойствах потенциальной энергии.
Здесь в качестве начала отсчета принято недеформн-
рованное (неотклонеиное) состояние системы. Предпо-
лагается. что перемещения (отклонения) системы убыва-
ют от рассматриваемого значения до нуля; величина
нагрузки при этом остается без изменения.
Для системы с бесконечно большим числом степеней
свободы потенциальная энергия представляет собой
функционал
х,
n = f F(х, у, у', у"dx, (17.20)
который в частном случае линейно упругой системы бу-
дет квадратичным.
Для системы с конечным числом степеней свободы
потенциальная энершя представляет собой функцию
обобщенных координат
П = П(й. у„... у„), (17 21)
а в частном случае линейно упругой системы — квадра-
тичную форму.
Выражения для потенциальной энергии системы
(17.20). (17.21) содержат параметр нагрузки и.
Теорема равновесия. В состоянии равновесия потенци-
альная энергия системы имеет стационарное значение.
В частности, это условие может определять экстремум,
когда в состоянии равновесия потенциальная энергия
достигает наименьшей нлн наибольшей величины по
сравнению с неравновесными состояниями, близкими к
рассматриваемому равновесному.
Теорема равновесия требует обращения в нуль первой
варнацнн потенциальной энергии
6П = 0. (17.22)
Это условие стационарности эквивалентно принципу
возможных перемещений Лагранжа, так как первая ва-
риация потенциальной энергии системы £П представляет
собой элементарную работу всех сил системы на возмож-
ных (виртуальных) перемещениях.
Для системы с конечным числом степеней свободы
в нуль должен обращаться полный дифференциал, отку-
да следует равенство нулю всех частных производных
<?П
—— = 0 (1 = 1.2.........л). (17.23)
dyt
Как известно, условия стационарности (17.22) илн
(17.23) являются необходимыми, но не достаточными
условиями экстремума.
Для системы с бесконечно большим числом степеней
свободы условие (17.22) приводит к уравнению Эйлера —
Пуассона
dF d dF <Р dF
ду ~ dx ду' + dx' ду- =0, (17 М)
т. с. к дифференциальному уравнению равновесных со-
стояний системы.
Теорема качества равновесия. В состоянии устойчиво-
го равновесия потенциальная энергия системы имеет ми-
нимальное значение по сравнению с неравновесными
состояниями, близкими к рассматриваемому равновес-
ному. Прн несоблюдении этого условия система неустой-
чива. если отсутствие минимума определяется членами
второго порядка в разложении потенциальной энергии.
Первую часть теоремы (критерий устойчивости) сфор-
мулировал Лагранж (1788 г), строгое доказательство
дали Ф.Миндииг (1838г.) и Г. Лежеи-Днрнхле (1846г.).
Вторая часть теоремы (критерий неустойчивости) при-
надлежит А. М. Ляпунову (1892 г.).
Условие устойчивости требует положительности вто-
рой варнацнн потенциальной энергии
6!П > 0. (17.25)
Для устойчивости системы с конечным числом степе-
ней свободы положительным должен быть второй пол-
ный дифференциал
Потенциальная энергия модели с одной степенью сво-
боды. рассмотренной выше (см. рнс 17.1). равна:
я
П = ^У(у_ру»)<й-Л^-£+-^. (17.26)
Анализ этого выражения подтверждает выводы о ка-
честве равновесия модели, сделанные выше
17.1.8. Потенциальная энергия центрально
сжатого линейно упругого стержня
Рассматриваются малые нагибные перемещения пря-
молинейного центрально сжатого стержня, материал
которого следует закону Гука. Потенциальная энергия
такого стержня равна:
I
П = — j (Sly"' — Л'р'«) dx. (17.27)
о
где х, у-— координаты точки иа упругой кривой; I —
длина стержня; Е/ — жесткость стержня при изгибе;
N— продольная сжимающая сила.
Выражение для потенциальной энергии (17.27) осно-
вано иа технической теории изгиба стержней; такую
постановку задачи устойчивости называют геометри-
чески линейной.
Уравнение Эйлера — Пуассона (17.24) о данном слу-
чае приводит к линейному однородному дифференциаль-
ному уравнению четвертого порядка
£/y,v + Ny" = 0. (17.28)
определяющему равновесные состояния стержня.
При обозначении
a' = N/EI (17.29)
общий интеграл уравнения (17.28) имеет вид
у = (?i sin ах + С, cos ах 4-С»х + С4, (17.30)
где С» — постоянные интегрирования
17.1.9. Задача Эйлера
Л. Эйлер впервые рассмотрел задачу об устойчивости
центрально сжатого линейного упругого стержня с шар-
нирным опиранием концов (17 44 г.).
Граничные условия
у = 0, у’ = 0 прн х = 0 в х = I
17.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
191
приводят к системе уравнений относительно постоянных
интегрирования С»:
С. + Ct = 0;
— С/ха = 0;
Ci sin al 4- CJ = 0;
— Ciaf sinal — Cja’cosaZ = 0.
(17.31)
Параметром нагрузки для сжатого стержня служит чи-
сло нулевой размерности
и = al
(17.32)
Условие существования ненулевых решений системы
линейных однородных уравнений (17.31) имеет вид
D(u) ее
0
0
sin и
—a1 sin u
1 0 1
— a; 0 0
0 l О
—a* cos и О О
=a‘slnu=0. (17.33)
Отсюда находят спектр собственных значений
«./ = /« (/=1.2....). (17.34)
Этим критическим значениям параметра нагрузки со-
ответствуют критические силы
и собственные формы
/лх
Utl = 4j*in— • (17.36)
где t)j — ордината упругой лнинн в точке с абсциссой
х=//2/, произвольная по величине.
Прн j=0 возможна только прямолинейная форма
равновесия у(х) «0; следовательно, значение и=0 не
является собственным, хотя оно и удовлетворяет урав-
нению (17.33).
Наименьшее значение крг гн.ескойснлы из ряда (17 .15)
при /=1 соответствует потере устойчивости. Эта крити-
ческая сила
*. = ¥, = —— (П-37)
называется эйлеровой силой. Первой собствен-
ной формой, нлн формой потерн устойчивости, будет
лх
у, (х) = i) sin — , (17.38)
где 1) — прогиб в середине пролета, произвольный по
величине.
Выражение для критической силы (17.37) носит назва-
ние формулы Эйлера.
Анализ устойчивости с помощью энергетического кри-
терия показывает, что прямолинейная форма равновесия
устойчива только прн N<N,.
Упругая линия у(х), вызванная произвольной нагруз-
кой, может быть представлена в виде разложения по
собственным формам типа (17.18):
V /ях
p(x) = 2j4/sin —. (17.39)
1-1
Рассмотренное явление потерн устойчивости характе-
ризуется разветвлением форм равновесия прн критичес-
ком значении сжимающей силы N=N,: этой силе соот-
ветствует начальная, прямолинейная форма и смежная,
криволинейная форма равновесия.
В этом случае говорят также о потере устойчивости
в эйлеровом смысле нлн о потере устойчивости первого
рода.
17.1.10. Равновесные состояния
сжато-изогнутого линейно упругого стержня
Сжато-изогнутым называют стержень, сжатый про-
дольной силой N и нагруженный некоторой поперечной
(вызывающей изгиб) нагрузкой р(х), в составе которой
могут быть сосредоточенные силы Р, внешние изгибаю-
щие моменты (пары сил) .М, н равномерно распределен-
ные нагрузки р (рнс. 17.4.0). Частным случаем сжато-
изогнутого стержня является виецентренио сжатый стер-
жень (рнс. 17.4,6) с концевыми эксцентрицитетами на
левой опоре а н на правой опоре ka.
Пусть будет М — изгибающий момент в точке с абс-
циссой х. вызванный одной только поперечной нагрузкой
р(х), без учета влияния продольной силы N. Полный
изгибающий момент равен
M = M + Ny. (17.40)
В случае линейной упругости материала н постоянной
жесткости стержня дифференциальное уравнение изгиба
имеет вид
Elylv + Ny=p(x). (17.41)
Это уравнение четвертого порядка эквивалентно систе-
ме двух уравнений второго порядка
£/у’+М + № = 0; | (п42)
м =— р(х). J
Другая эквивалентная система имеет вид
E1M' + NM =—Е1р(х); )
, } (17-43)
Ely =—М. J
Весьма удобным является решение дифференциально-
го уравнения (17.41) в форме метода начальных
параметров (см. 17.2.2).
Сжато-изогнутый стержень испытывает деформации
сжатия н изгиба с самого начала нагружения. Под воз-
192
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
действием продольной сжимающей силы рост перемеще-
ний (и напряжений в сечениях стержня) опережает рост
нагрузки.
В процессе естественного увеличения нагрузки проги-
бы сжато-изогнутого стержня неограниченно возраста-
ют по мере приближения сжимающей силы к критиче-
скому значению N, в эйлеровом смысле, т. е. первичные
равновесные состояния определяют асимптотиче-
ское поведение стержня. Прн N>N, возможно
существование вторичных равновесных состояний стерж-
ня. График поведения стержня подобен ранее рассмот-
ренному графику для модели с линейно упругой опорой
прн о>0 (см. рис. 17.2).
17.1.11. Об анализе больших перемещений
сжатых и сжато-изогнутых стержней
Геометрически нелинейная постановка задачи устойчи-
вости основана на учете больших перемещений системы.
Прн анализе стержневых систем используют точное вы-
ражение для кривизны прн изгибе
-Н2Н£)’Г*-
и учитывают сближение концов стержня. Во втором из
выражений для кривизны, предложенном Ф. С. Ясинским,
независимым переменным является длина дуги упругой
линии з [47].
Анализ больших перемещений преследует цели изу-
чить поведение системы прн нагрузке, близкой к крити-
ческому значению, исследовать механизм потерн устой-
чивости, описать закрнтнческое поведение системы.
Определенная в результате такого исследования вели-
чина критической силы совпадет с результатом решения
задачи в геометрической линейной постановке, если
предкритическое (невозмущенное) состояние стержня
является недеформнрованным (пример — центрально
сжатый линейно упругий стержень, задача Эйлера).
В противоположном случае, когда стержень испытывает
деформацию (изгибается) до потери устойчивости, учет
больших перемещений вносит поправку в величину кри-
тической силы. Решение ряда частных задач (см. 17.2.8)
показало, что величина этой поправнн незначительна
(порядка десятых н даже сотых долей процента).
Отсюда следует, что практические расчеты стержней
и стержневых систем могут быть основаны на геометри-
чески линейной постановке задачи.
17.1.12. Устойчивость «в большом»
н явление перескока
В некоторых более сложных задачах (например, при
исследовании закрнтического поведения стержня в гео-
метрически нелинейной постановке) прн одном н том же
значении сжимающей силы возможно не одно, а два паи
более равновесных состояний, не смежных между собой.
Динамический процесс перехода от одного равновесного
состояния к другому, устойчивому через ряд неравно-
весных состояний, называется перескоком.
Исследование явления перескока требует, нак правило,
геометрически нелинейной постановки задачи.
Простейшим примером системы, в которой реализу-
ется это явление, служит так называемая «ферма Мизе-
са» (рнс. 17.5). Система образована двумя шарннрно
соединенными стержнями из линейно упругого материа-
ла. Стержни могут испытывать значительные предель-
ные деформации, не разрушаясь н не изгибаясь. Под
воздействием силы Р узел В фермы перемещается в гач-
Рнс. 17.5
ку В' (рнс. 17.5,0). Прн достижении силой Р критиче-
ского значения этот узел мгновенно, перескоком, перей-
дет в новое положение В" (рис. 17.5,6). В этом новом
положении стержни фермы растянуты, система устойчи-
ва [53а]. Более подробный анализ задачи см. [31].
В других задачах возможность потерн устойчивости
с перескоком зависит от меры возмущения, которая
должна иметь определенную конечную величину.
17.1.13. Идеальные и неидеальные системы.
Начальные несовершенства
реальных стержней
Идеальным называют линейно упругий стержень, на-
груженный так, что упругая лнння изгиба у(х) ортого-
нальна первой собственной форме у,(х), т. е. кривой
выпучивания прн потере устойчивости в смысле Эйлера.
Для стержня постоянного сечения это условие ортого-
нальности записывается в виде
I
j У М у, (х) dx = О- (17.45)
О
Отсюда следует, что в разложении упругой липин по
собственным формам (17.39) коэффициент А| равен
нулю.
Стержень называется неидеальным, если он на-
гружен так, что условие (17.45) не выполняется.
Простейшим примером идеального стержня служит
центрально сжатый шарннрно опертый стержень
(рнс. 17.6.а), для которого у(х)«О. В момент потери
устойчивости становятся возможными смежные формы
равновесня {/,(*), стержень выпучивается по полуволне
>7.1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ СО СЖАТЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
193
синусоиды (17.38). Кривая выпучивания показана на
рнс. 17.6,0 пунктиром.
Очевидно, что идеальными являются также централь-
но сжатые стержни с любыми другими закреплениями
концов.
Внецентренно сжатый стержень постоянного сеченнн
с равными по абсолютной величине, но протнвопо-
Рнс. 17.7
Рнс. 17.8
ложно направленными концевыми эксцентрицитетами
(рис. 17.6.6) изгибается по S-образной (антисимметрич-
ной относительно середины пролета) упругой лнннн </(*).
которая ортогональна первой собственной форме у.(х).
Критическое состояние при эйлеровом значении сжима-
ющей силы N, характеризуется разветвлением форы
равновесия: на антисимметричную упругую линию у(х)
накладывается симметричная кривая выпучивания
уа(х)—полуволна синусоиды (17.38) с произвольной
по величине н знаку наибольшей ординатой т). График
поведения этого идеального стержня представлен на
рнс. 17.7, в качестве характерного перемещения выбран
угол поворота на опоре 6. Отрезок кривой 0.К пр»
N<N3 соответствует устойчивым состояниям стержня,
отрезок KS при —неустойчивым. Точка К гра-
фика определяет критическое состояние стержня, свя-
занное с разветвлением форм равновесия.
Идеальным будет также любой сжато-нзогнутый стер-
жень постоянного сечения, упругая линия которого
антисимметрична относительно середины пролета (см.
рнс. 17.6. в).
Обобщение условия ортогональности по отношению
к первой собственной форме (17.45) на систему стерж-
ней приводит к понятию идеальной системы.
Примером такой системы служит П-образная рама,
обладающая вертикальной осью симметрии и нагружен-
ная равномерно распределенной по ригелю нагрузкой
(рис. 17 8). Сплошной линией показано очертание рамы
в состоянии изгиба, вызванного нагрузкой; пунктирной
линией показана кривая выпучивания прн потере устой-
чивости в эйлеровом смысле.
К нендеальным системам относятся все системы, форма
изгиба которых не ортогональна первой собственной
форме.
Идеальные системы испытывают потерю устойчивости
прн разветвлении форм равновесия, когда сжимающая
сила достигнет критического значення.
Для нендеальиых линейно упругих систем характерно
асимптотическое поведение, т. е. неограниченное возрас-
тание перемещения по мере приближения сжимающей
силы к критическому значению (пунктирная кривая
ОД/? на рнс. 17.7).
Все реальные стержни имеют начальные искривления
н, кроме предусмотренных проектом эксцентрицитетов.
также начальные (случайные) эксцентрицитеты прило-
жения сжимающих сил. Начальные искривления и слу-
чайные эксцентрицитеты объединяют понятием н а
чальных несовершенств.
Вопрос о необходимости учета начальных несовер-
шенств прн расчете сжатых и сжато-изогнутых стержней
следует рассматривать отдельно для стержней с идеаль-
ной и нендеальнон расчетной схемой.
Прн расчете неидеальных стержней учет начальных
несовершенств вносит количественные коррективы, про-
порциональные мере этих несовершенств. В большинстве
случаев изгибающие моменты, вызванные начальными
несовершенствами, ма.тьПю сравнению с изгибающими
моментами, вызванными поперечной нагрузкой р(х) нлн
проектным эксцентрицитетом а приложения сжимающей
силы N. В этих случаях влиянием начальных несовер-
шенств можно пренебречь.
Прн практическом расчете идеальных стержней не-
обходим учет начальных несовершенств, нарушающих
идеальную схему и создающих качественно другие усло-
вия работы стержня. Рост напряжений и перемещений
по мере приближения сжимающей силы к критическому
значению вызывает развитие неупругих деформаций
материала.
Для учета начальных несовершенств идеального стерж-
ня иа него накладывают начальное малое искривление
Уо(х) илн дополнительную малую нагрузку, вызываю-
щую упругую линию у0(х). причем в обоих случаях фор-
ма №(х) не должна быть ортогональной первой собст-
венной форме р,(х). Мера начального несовершенства
и его направление особой роли не играют, так как самое
малое нарушение идеальности в ту нлн иную сторону
переводит кривую 0KS на графике поведения в положе-
ние ОС (см. рнс. 17.7).
17.1.14. Свободная длина
и гибкость стержня
Понятие свободной дайны было введено Ф. С. Ясин-
ским [47] с целью обобщения формулы Эйлера (17.37)
на случай центрально сжатого линейно упругого стерж-
ня с произвольным закреплением концов:
л»Г/
= -у . (17.46)
Здесь свободная длина стержня
I. = ₽( (17.47)
представляет собой произведение коэффициента
свободной длины ₽ на геометрическую длину I.
Величину 0 выбирают в соответствии со схемой закреп-
ления концов стержня.
Запись критической силы
-Y
₽ > I*
(17.48)
удобна для задач о потере устойчивости при разветвле-
нии форм равновесия, так как позволяет результат ре-
шения записать в виде одного числа — коэффициента
свободной длины р. не зависящего от геометрических
размеров стержня.
В случае стержня переменного сечения £/™[(х) за-
пись в форме (17.48) становится условной, поскольку
величине р зависит от выбранного частного значения
£/ в (17.48).
194
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Гибкостью стержня называют отношение его свобод-
ной длины к радиусу инерции поперечного сечения:
(17.49)
Здесь / — момент инерции; F — площадь поперечного
сечения стержня.
Нормативная методика расчета сжатых и сжато-изо-
гнутых стержней основана на понятиях свободной (рас-
четной) длины и гибкости стержня (см. 17.9.2; 17.9.4).
17.2.2. Уравнение упругой линии стержня
в форме метода начальных параметров
Дифференциальное уравнение малых нзгнбиых пере-
мещений сжато-изогнутого стержня с произвольными ус-
ловиями закрепления концов имеет вид
—- + а»—: (17.50)
dx* dx* El ' ’
где ai=N/EI; р(х) — поперечная нагрузка.
17.2. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ
И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
17.2.1. Линейно упругий материал.
Обозначения
Рнс. 17.9
Рис. 17.10
Рассматриваются прямолинейные массивные (не тон-
костенные) стержни постоянного сечения. Материал
стержней линейно упругий, т. е. существует прямая
пропорциональность между напряжением о н деформа-
цией е, выражаемая законом Гука о=£е.
Силовая плоскость совпадает с плоскостью одной из
главных осей поперечного сечения. Сохранение плоской
формы изгиба считается обеспеченным. Не учитываются
деформации осевого обжатия н деформации, вызванные
касательными напряжениями. Прн анализе нзгнбиых де-
формаций принимается гипотеза плоских сечений.
Общие положения см. 17.1.3; 17.1.9; 17.1.10; 17.1.13;
17.1.14.
Основные обозначения:
1 — длина стержня;
х, у — координаты точки на упругой линии;
Ут — прогиб в середине пролета;
z — абсцисса точки приложения нагрузки;
6=dy/dx — угол поворота;
М — нагибающий момент;
Q — поперечная сила;
Н — проекция поперечной силы Q и продоль-
ной силы N на направление, перпенди-
кулярное первоначально прямолинейной
осн стержня;
EI — жесткость стержня при изгибе в силовой
плоскости;
N — продольная сжимающая сила;
N, — наименьшее критическое значение сжи-
мающей силы;
А, —эйлерова критическая сила для шарнир-
но опертого стержня:
р — распределенная поперечная нагрузка иа
стержень;
Р — сосредоточенная внешняя сила;
М, — внешний момент, пара сил;
и=У NIEII — параметр нагрузки для стержня)
и,/ — j-e критическое значение параметра на-
грузки;
u,=u,i — наименьшее критическое значение пара-
метра нагрузки.
Общий интеграл этого уравнения равен сумме общего
нитеграла (17.30) однородного дифференциального
уравнения (17.28) н любого частного интеграла у“(х)
полного уравнения (17.50):
у = С, sin ах + С» cos ах + С& + С, + у» (х) . (17.51)
Наиболее удобным является решение уравнения
(17.50) в форме метода начальных парамет-
ров. Под начальными параметрами понимают величи-
ны Ко. во. Л4о, Но в начале координат при х=0
(рнс. 17.9). Здесь Я —проекция поперечной силы Q н
продольной силы N на направление, перпендикулярное
первоначально прямолинейной осн стержня. Из условия
равновесия (рис. 17.10) 0=Ясо5б-)-Яипе»Я+Яв сле-
дует
Н„ = <& — №,. (17.53)
в форме метода началь-
I — cos ах
а! ~
------ . --------4. он-
£/ а’ у
а аУ а Мв sin ах
dx Ы а
Нв 1 — cos ах
----— . -------- 4- 0н;
£/ а» Т
tPy
М =— £/ —— = 0о£/а sin ах +
ах1
.. sinar
+ cos ал + -----+ М"; I
а
Я = Я0 —Я".
Здесь зависящее от нагрузки слагаемое равно
х
у" « = J? f 1® (*-£)-sln ® ('-5)1 Р (17.55)
Я = <г-Я0; (17.52)
Решение уравнения (17.50)
ных параметров имеет вид
sin ах Мо
« = «. + % —
Я„ ах — sin ах
П.2. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕННЯ
195
Таблица 17.1
Меток начальный параметров. Слагаемые, лавнсаапне от нагрузки
Вид нагрузки Цшшш! р г , м,
» J 1^—1
и У Р |(л —гр F/as 1 2 1 — cos а (х — г) ] a= J _L_ L _ ,> _ sin Д « — г) 1 Ela* 1* ’’ a i М, ~^-,|-соза(х-г,1
0" W [(Х“г _ sin а (х — г) j Р , -—(I — cosa(x — г)| c/tt“ — — sina(x—г) Ela
м“ cosafx — г)| р — — sin а (х — г) a Mi cos a (х — г)
Q" р — — S а in а (х — г) — Р cos а (* — г) M, a sin a (x —г)
н” — 5(х —г) — Р 0
Примечание. При вс е слагаемые от нагрузки, приложенной в точке с абсинссой г. принимаются равными нулю.
прячем £ — вспомогательная переменная, которая после
интегрирования и подстановки пределов исключается;
г— абсцисса начальной точки приложения нагрузки
р(х). Прн х<г функцию ув(х) н все ее производные
принимают равными нулю.
Аналитические выражения для зависящих от нагруз-
ки слагаемых
do" d’o"
u" (х); 6“ = ; М" =— El ——;
’ dx dx*
d’u”
Q"=—£/ —H« = Q« —
dx3
(17.56)
приведены в табл. 17.1. Для равномерно распределен-
ной нагрузки р=const, воздействующей на всем про-
тяжении стержня правее точки г, нз (17.55) следует
N
(17.57)
где функция влияния
(х - г)« 1 - cos а (х — г)
V (х, г) =------------------------
2 а?
(17.58)
Выражения для у" от сосредоточенной силы Р н от
пары сил (внешнего момента) Ми приложенных в точ-
ке г. получают дифференцированием функции влияния
по переменной г:
Р д М, аг
^ =- Т• * (х> г): *" =- V ч'(х-г)-(17 69)
Выражения для 0", М", Q* получают нз (17.57) и
(17.59) дифференцированием функции влияния Y(x,z)
по переменной х в соответствии с (17.56).
Преимущество решения (17.54) по сравнению с дру-
гими возможными формами: а) из четырех подлежащих
определению величин Во, Мй Н„ две известны по ус-
ловиям закрепления левого конца стержня; б) влияние
поперечной нагрузки р(х) учитывается добавлением сла-
гаемых у", 0". ... прн х>г без изменения предшествую-
щих членов.
17.2.3. Критические силы центрально
сжатых стержней с различными условиями
закрепления концов
Решение задачи устойчивости (в эйлеровом смысле)
для однопролетного стержня прн произвольных закреп-
лениях концов удобно основывать иа соотношениях ме-
тода начальных параметров (17.54), в которых следует
положить у"=0" = М"=Я"=О. Из четырех начальных
параметров у», 60, Мо, Яо два известны по условиям за-
крепления левого конца стержня прн х=0. Составляют
два уравнения, отражающие условия закрепления пра-
вого конца стержня. Этн уравнения будут линейными и
однородными относительно двух начальных параметров,
оставшихся неизвестными, которые здесь обозначены
символами Z,, Z3:
УпЛ+Т’Л^О; | (i7 6oj
УзА + TiiZt — о. J
196
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17.2
Собственные формы критические параметры нагрузи дав сжатых линейно упругих стержней
Схема стержня я форма потерн устойчивости Уравнение упругой ли* инн (собственной формы) Уравнение критического со* СТОЯНИЙ D(u)—0, u»VNIEl / Первые три критические значения параметра нагрузки « у Критическая сила и свободная длина
вторая собственная форма Общее решение уравнения и (и) »0
третья собственная форма
— N -J —* 9С" L'" S' U 1 > /V 1-*— ue, — Л —3.1416 . ! г
i.—ч».~з •ж 2л - 6.283?
1 — XI » 9.42**
t -jj<=mTL— u i —. , N V “ С pin mu^j— —main u*y) - 1.43и3л — Ч.««4 I*
c.—_X/C~~~=*~ «-() +“}п 1 » и . — ф — — — — — *“ <0 3<J* _ 13 _ 15ш* U»t — 2,4590л — 7.7253
з U#, — 3.4709л — 10.9011
17.2. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
197
198
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Поодолжгние табл. 17.2
Схема стержня и форма потери устойчивости Уравнение упругой линии (собственной формы) Уравнение крнтмческогоТсо- стояния D(u)*»0. NIEI I Первые три критические значення параметра нагрузки и j Критическая сила и свободная длина 19
вторая собственная форма третья собственная форма Общее решение уравнения D (u) -0
1 /V . х у, x=ml£— k— 1 —>-l N 1 — нечетное V С (1 — cos sin ——(sin — - — cos -Vo 2 \ 2 2 2) -2л — 6.2832 WEI , 1‘ * 2
3 1 — нечетное “./ “2,n и •1 — 2.4606л -6.9868
i — четное V " С [sin (1— 1ml ~~ - - (1 — 3<nl sin -JZ. j
/ — четное; x « 2 4 u . — 2(0 ' w 3<i)' 26 ISw» и., - 4д - 12.5664
Коэффициенты этих уравнений у<»=уш(и) являются
функциями параметра нагрузки
и = аЛ = У7ЦЁ11. (17.61)
Условие существования ненулевых решений системы
(17.60) заключается в равенстве нулю определителя
D(u) = |V" Т"| = 0, (17.62)
I Vsi Ym I
который следует рассматривать как функцию параметра
нагрузки и.
Условие критического состояния (17.62) приводит
к трансцендентному уравнению относительно и, корни
которого образуют бесконечный спектр собственных зна-
чений параметра нагрузки
Ц.1. и.». • . и./-- (17.63)
Для /-й критической силы имеем
i7,EI
= (/=1,2,...). (17.64)
Наименьшее критическое значение параметра нагруз-
ки u. =u.i соответствует потере устойчивости стержня
прн разветвлении форм равновесия. Критическая сила,
вызывающая потерю устойчивости, равна
и2 Г/
Л.= -у-- (17.65)
Для построения собственной формы у./ используют
первое нз уравнений метода начальных параметров
(17.54) прн u=u./; соотношение между двумя неиз-
вестными начальными параметрами Zt н Zj определяют
нз уравнений (17.60). которые прн u=u.) становятся
эквивалентными друг другу.
Любые две собственные формы у,/ н у./ обладают
свойством обобщенной ортогональности (17.16).
Из сравнения двух значений критической силы (17.49)
и (17.65) определяют свободную длину стержня
1. = ₽! = — /. (17.66)
и.
где р=л/и, — коэффициент свободной длины.
Рис. 17.11
17.2. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
199
Табл. 17.2 содержит результаты исследования устой-
чивости однопролетных стержней для пяти схем с раз-
личными условиями закрепления иоицов. Показаны
схема стержня, начальная недсформнрованпая его ось,
форма потерн устойчивости, вторая н третья собствен-
ные формы, уравнение упругой линии с произвольным
множителем С, уравнение критического состояния
D(u) =0 и общее выражение для /го корпя этого урав-
нения, первые три критических значения параметра на-
грузки u>t, uaI, и,з, формула для наименьшей критиче-
ской силы N,, свободная длина 1,.
Если подобрать длины стержней I для каждой нз
схем так, чтобы критическая сила была во всех случаях
одинаковой, то формы потерн устойчивости можно рас-
сматривать как дуги одной и той же синусоиды (рис.
17.11)
лх
p=sin—. (17.67)
•»
Прн этом свободная длина I. равна расстоянию меж-
ду двумя смежными точками перегиба, т. е. полуволне
синусоиды.
17.2.4. Внецеитренно сжатые стержни
Общий случай — неравные концевые эксцентрицитеты.
Концевой эксцентрицитет равен а на левой н ha на пра-
вой опоре (см. рис. 17.4,6). Предполагается, что |А|С1.
Условия иа левом конце стержня дают уе=0, M^Na.
Из условия равновесия определяют величину
Яо=—2-(l-fc)-V.
Воспользовавшись первым нз уравнений (17.54) и под-
чиняя решение граничному условию па правом конце
стержня (у=0 прн х=/), определяют единственный не-
известный начальный параметр
ee = ^-k(u) + *s(«)l. (17.68)
где приняты обозначения для функций Н. Е. Жу-
ковского [15]:
= 4(“) = -7(—г— — 1). (17-69)
и* \ tgu / «* \ smu /
Уравнение изогнутой осн стержня после преобразова-
ний приводят к форме
а ( и
и = — I-------[sin (и — ах) -|- fesinax) —
и Isinu
— |(и — ах)-)-Лах]|. (17.70)
Таблица 173
200
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Ниже рассматриваются частные случаи виецеитрен-
ио сжатого стержня.
а) Равные по абсолютной величине и по знаку конце-
вые эксцентрицитеты. В случае А=1 уравнение (17.70)
принимает вид
(17.71)
прогиб в середине пролета равен:
(17.72)
Г рафии поведения стержня представлен в табл. 17.3. а.
Сплошная линия соответствует устойчивым первичным
состояниям равновесня прн N<N,. u„>0. пунктир-
ная — неустойчивым вторичным прн n>N,. —2а.
Формы равновесня иа схеме стержня и на графике по-
ведения отмечены цифрами I я 2.
Для первичных равновесных состояний характерно
асимптотическое поведение — неограниченное возраста-
ние прогиба по мере приближения сжимающей си-
лы .V к эйлерову значению.
б) Равные нулю концевые эксцентрицитеты — цен-
трально сжатый стержень. Прн а=0 возникает задача
Эйлера, рассмотренная в п. 17.1.9. График поведения
стержня представлен в табл. 17.3.6. Прямолинейная
форма равновесия у=0 устойчива прн N<N, в не-
устойчива прн N>N,. Точка К на графике соответству-
ет потере устойчивости прн разветвлении форм равно-
весия.
в) Равные по абсолютной величине, но противополож-
но направленные концевые эксцентрицитеты. В случае
А=—I уравнение упругой линии (17.70) принимает вид
2
Угол поворота на левой опоре при х=0 равен:
(17.74)
График поведения представлен в табл. 17.3. в; по оси
абсцисс отложено характерное перемещение во, по оен
ординат отложена сжимающая сила N. Форма изгиба
по S-образной упругой линии ортогональна первой соб-
ственной форме (17.38), стержень является идеальным.
Соответствующие этой упругой линии равновесные со-
стояния устойчивы прн N<N, и неустойчивы прн об-
ратном знаке неравенства. Разветвление форм равнове-
сня (точка К на графике) характеризуется наложением
полуволны синусоиды (17.38) на S-образную упругую
линию (17.73). В критическом состоянии N=N,, и, =
=л, 6,=2а/1.
17.2.5. Сжато-изогнутые стержни
Сжато-нзогнутые стержни разделяются на идеальные
н иендеальные; примеры тех и других даны в крайнем
правом столбце табл. 17.3. Качественные особенности
поведения соответствуют рассмотренным выше случа-
ям «а» н «в» вненентренно сжатого стержня.
Если стержень не является шарннрно опертым, то эй-
лерова сила 1V3 должна быть заменена критической си-
лон поданным табл. 17.2.
Табл. 17.4 содержит справочные данные для шарннр-
но опертого стержня, нагруженного в точке z=kl внеш-
ними силами р. Р н Л1|. В таблице даны: выражение
для прогиба у в точке x = ml при /л<Л (первая строке)
и Л1>£ (вторая строка); аналогичное выражение для
угла поворота 8; значения 8С н 8| на левой и соответ-
ственно на правой опорах; выражение для изгибающего
момента М; абсцисса точки в которой изгибающий
момент достигает наибольшей величины МНакс*. выра-
жение ДЛЯ Мм.кс.
Табл. 17.5 содержит аналитические выражения для
усилий и перемещений сжато-изогнутых стержней с раз-
личными условиями закрепления концов.
Зависимость усилия (или перемещения) сжато-изог-
нутого стержня от величины сжимающей силы выража-
ется приближенным соотношением
где S — соответствующее усилие (перемещение), опре-
деленное без учета влияния продольной сжи-
мающей силы.
17.2.6. Принцип независимости действия сил.
Принцип взаимности перемещений
Принцип независимости действие сил (принцип супер-
позиции) для сжато-изогнутых линейно упругих стерж-
ней применим в специфической трактовке: сжимающую
силу N следует исключить нз понятия «иагрузка> и от-
мести к свойствам стержня [19. 21а].
Линейность дифференциального уравнения (17.50)
дает возможность наложить два решения yt и уг. вы-
званных нагрузками р,(х) п соответственно Pi(x). если
величина а остается постоянной. Это значит, что при
фиксированной величине сжимающей силы N решение
y=yi+ya будез отражать воздействие нагрузки р=
=Pi+Pt
Использование принципа суперпозиции позволяет с по-
мощью табл. 17.4 и 17.5 получить решение ряда более
сложных задач, когда иа сжато-изогнутый стержень од-
новременно воздействуют несколько поперечных на-
грузок.
Для сжато-изогнутого стержня, как и для любой ли-
нейно упругой системы, справедлив принцип взаим-
ности работ (принцип Максвелла)
Pl fy* = Р» (17.76)
Здесь Pi.Pt — сила первого и соответственно второго
состояния; б<ь — перемещение по направлению силы
Pt. вызванное силой Pt.
Под силами Pi, Pt следует понимать поперечные на-
грузки; продольная сила N одинакова нак в первом, так
н во втором состоянии.
Если силы Pi и Pt равны между собой по численной
величине, например в частном случае единичных сил
1Т.2. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЬГЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ 20i
Усилия и перемещения линейно упругого сжато-изогнутого шарнирно опертого стержня
Pl M’ 1
—Kl — -—ml h wt-d — Л T ST-H r—mt-pj |
У т<Ь J*- [ E/u’L 1 — cos и* т ~~2 (1 — *) и s sin и (1-*)’] in mu — pp Elu* [sin(l —ft) и sin mu . и sin и — m(l — ft)j 4- MtP Elu* X cos (I — ft) и sin mu ] 4- m; sin и
m>k pl1 nil sinzn Г ;я «’Г u-f-sin( - ft!)(l - 2 - m)ucos/ /Л) — + ш—sin u] PP Elu* [sin ku sin [ “S (1 — Л n и mil M,P Elu* [cos ku sin (1 — m) и L sin и
4- iz sin и J
е m<k 1 + рР Г £/и«[' — cos( и si (1 - ftp 2 1 — klu co n U +• muj PP Elu* [sin (1 — ft) и cos mu [ sin и -(1 - ft)] 4-! Elu* X icosll — ft)ucosmu 1 + 11 sin и J
m>k _£ Е I cos — Г /«Ч ти — сс 1 +*‘-2 2 s (1 — m) и sin и m " + cos ku j PP ~ Elu** fsinftucosfl—m)u 1 X [ sin U I 4- Mil Elu* X i cos ftu cos (1 — д) и 1 sinu J
е» г Е iLlkz -cos (1 — ft u sin и )«_ ГР Elu- sin (1 —k)u 1 : — -(!-*) sin и J A1,i Elu Г и cos (1 — ftl I ’ t sin и j
в. — pF I E/u’l cos ktl — co и sin и ^1 s и PP pin ku 1 Clu* I sin и J - Л1|< Г и cos ku 11 Elu2 I sinu ]
м m<rk рР и’ 1 —с os(l — ft) us sin и и - sin mu sin (1 — k) и sin mu и sin и cosfl—k) и sin mu Mi sin U
m>k X s*n П u-f-sin I T-x I—m) и co sin и ku—sin и sin Am sin (1 —/г) и и sin и cos ku sin (1 — m) tt Mi sin и
/Я. J и - arctg — cos и cc sin и cos >s ku ku k —
^ыакс —2 cos PF s X u’ и cos Ли+с sin и os’ftu । j „ sin ku sin (1 — k} и Pl и sin и —
202
РАЗДЕЛ 17 УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17.5
Усилия и перемещения линейно упругих ежа то-я вогнутых
стержней
Схема Усилия и перемещения
N ,0 ппшшшшшп] Момент в середине пролета —-Л и’ 1 и 1 cos — 1 Прогиб в середине пролета ! \ Е1и* | и 8 1 1 cos I \ 2 / Угол поворота на олоре Л«— А о ££_(—-_J- . Eiu> \ “ г /
•— 4 —«
Г N Момент под грузом „ W . в М tg 2u 2 Прогиб пол грузом
1 £>- 2 _l J 2 V" 2E/i? С‘ 2 2 ) Угол поворота н> опоре в_ Л 2E/u’ I « 1 1 cos 1
А N< 0 1 W Момент в середине пролета м и 2 cos 2 Прогиб в середине пролета А ?£/«’ и 1 1 COS —— J Угол поворота на левой опоре II — Mtl— (1 — и сг» и) Е1и* Угол поворота на правой опоре Н _ 1\ El и* \ sin и /
— 1 —J
7 1в н0 7х *fTSN Момент в середине пролога м--^
N I— i —J 1 /V и cos — 2 Прогиб в середине пролета м.г / 1 V — I 1 1
jl с I-— 1 — (4 = Na) Elu1 I и 1 1 со’ I \ 2 / Угол поворота на олоре А м М*? 1 ~ cos и ГЛ и sin и
Продолжение табл. П.5
Схема У сил на н перемещения
Р N >||||||||1пТ|||||пг| N Момент в заделке м—ЛС-Х * 2 — u sin и — 2 cos и sin и — и cos и Угол поворота на левой опоре в-л£.х Е/и* (2 — u sin и — 2 cos up 2 (sin и — и cos u)(l — cos и)
U L 1
«X- N Реакция правой опоры ff р s*n *° ~ cos и sin и — и cos и Момент под грузом М-Р1 X sin и — и COS U X [cos (1 — *) и— __ sin (1 — *> u __ Момент в заделке М — Р1 5,п *ц ~ * з|п и sin и — и cos и Пр-»гнб под грузом у — [ А'|(з1п hu—k sin u)+ Е/и» I +к,(*сюи_^]; к . 1 —С05 о — ц sin и — и COS и _ (1 — *)U— Sin (1 — *)U sin и —• и cos u У гол поворота на левой опоре л РР 0 X Е!ил X |К, (и—sin u) — Kt (1—cos u)|.
L— 1
W 1р X t j, 1, 2 2 N Реакция правой опоры . и и sin — cos и 2 2 р : i sin и — и cos и Момент под грузом и sin Л1 =» W х sin и — и cos и / sin — \ 1 и 2 11 xl cos 1 \ 2 и 2 /
17.2. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ
203
Продолжение табл. П-5
Усилия и перемешенмя
Реакция провой опоры
Кая м* м (1 —» COS U)
I sin и — и cos и
Момент в заделке
М^-М. .
sin и — и COS и
Угол поворота на левой
опоре
MJ 2~~и sin о—2 cos и
Elu sin и — и cos и
Момент в середине пролета
Момент в заделке
Прогиб в середине пролета
Момент в середине пролета
М .
2и 4
Момент в заделке
м Р7 и
2м 4 ‘
Прогиб в середине пролета
Р1* / и м \
Е/и*
Схема Усилия и перемещения
Illlllfllllllll N Момент в заделке М в_ рР . cos u-f-u sin и— tP cos и Прогиб левого конца г—£!Lx £/«* ж /соя Ы + м sin м — 1 и1 \ COSU 2 Угол поворота левого кони 0 —— Р? U — sin ti Elu* cos и 1
N - 1 — ) а
N Р 1 —— Н : *— Момент в заделке м — pi ДИ.. и Прогиб левого конца Elu1 { и ) Угол поворота левого конце е— — (—— -1). Е/и’ \ cos и }
Л N Г ь Момент в заделке СОЗ и Поогнб левого конца
W Е1и‘ г-! . cos и
* L — Угол поворота левого конца В > Мл1 ’У ц £/ и
Примечание. Положи- тельные реакции направлены М вверх. Положительные момек- ft » о g . ты растягивают нижнее волок- _ но. Положительные прогибы ‘ VI направлены вниз. Положнтель- | ное направление углов поворота " на опорах соответствует поло- жительному направлению опор- 1* t * ных моментов М Ч N R
Р< = />* = 1, то из соотношения (17.76) следует прин-
цип взаимности перемещений (принцип
Бетти)
Ьи = 6м (17-77)
17.2.7. Растянуто-изогнутые стержни
Дифференциальное уравнение малых нзгнбиых пере-
мещений растянуто-изогнутого стержня (рис. 17.12) име-
ет вид
4*У _ а2 <Ру = р(х)
dx* dx* FZ
где a*=A7£Z; Л/— растягивающая сила.
(17.78)
204
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Общий интеграл этого уравнения
у = С, shax 4- С, ch ах С»х + С* + #*(х)
содержит гиперболические функции; он может быть пре-
образован к форме метода начальных параметров.
Однако нет необходимости в развертывании дальней-
ших аналитических зависимостей, так как формулы для
усилий и перемещений растянуто-изогнутого стержня
где з —длина дуги упругой липни, отсчитываемая от
левой опоры; И — реакции опор, направленные перпен-
дикулярно недеформированной оси стержня.
При обозначениях
а* = Л7Е/. y = H/V (17.81)
решение этого уравнения записывают в параметрической
форме:
Рис. 17.12
У — — (1т У*)1'4 cos ф -г ух — п;
а
-----!----f- :
а(1 + у*)|/4 J Yi -x»sin»<p
ф» т
х =------!—— [2xy(cos Фо—cos<p)t
o(l+vl)3/4 L
(17.82)
могут быть получены из соответствующих формул для
сжато-изогнутого стержня (табл. 17.4; 17.5) на основе
простого преобразования. Параметр нагрузки растяну-
то-изогнутого стержня
v=VniEIl (17.79)
(где >V — растягивающая сила) связан с параметром на*
грузки и соотношением и2=— и2. Отсюда получают
следующие условия перехода:
сжато-изогнутый стержень и sin и cos и tg и
растянуто-изогнутый стержень iv i sh и ch о i th v.
В результате преобразования любой из формул сим-
вол мнимой единицы i= F —1 исключается.
Перемещения растянуто-изогнутого стержня растут
медленнее нагрузок. Потеря устойчивости растянутого
стержня невозможна.
17.2.6. Большие перемещения внецентренио
сжатых стержней
Здесь рассматриваются большие изгибиые перемеще-
ния внеиеитреиио сжатого линейно упругого стержня.
О смысле и цели такого исследования см. 17.1.11.
Рис. 17.13
Общий случай — неравные концевые эксцентрицитеты
(рис. 17.13). Дифференциальное уравнение изгиба име-
ет вид
Г. I<ly\-t~^2
Е 7? [ (ds ) J +N(a + y)-Hx = 0, (17.80)
1 — 2х* sin® ф "I
, ~4<Р .
V 1 — х2 sin* <р J
Здесь <р — вспомогательная переменная (параметр);
фо — (значение этой переменной прн х=0, s=0) и чис-
ло х(|х|<1) — постоянные интегрирования.
Полученные интегралы могут быть преобразованы к
нормальной форме эллиптических интегралов Лежанд-
ра первого и второго рода с модулем х и амплитудой ф:
_ = Лф.Х);
о у I — х* sin* ф
fl — 2х* sin* ф
— = 2Е (ф, х)—F (ф.х).
о V 1 — х* sin* ф
Из граничных условий
у — 0 прн х = 0, s = 0, ф = ф^;
у = 0 при х = х,, s = l, ф = ф,
и условия равенства нулю изгибающего мовгента
вой опоре х,у=а(|— А) находят
гр5ф| _________аз
cos<p"= k = 2х(1+у=)|/4 ’
Второе и третье соотношения (17.82) прн ф=ф,
дают
(17.83)
иа пра-
(17.84)
2х V1 + y*cos ф0 = -у- f — ;
' V 1 — х* sin* ф
ф.
Г 1 — 2х*5Ш*ф
2х (1 — А) со$ф0 = у I ----- dq>.
И 1 — x»sin* ф
(17.85)
Соответствующий рассматриваемому равновесному
состоянию параметр нагрузки равен
1 f d<p
(1 + Vs)1 у i _ х* sin* Ф
(17.86)
172. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ 205
Для тангенсов углов поворота получают
tg0 =
dy
dz
у (1 — 2х» sin1 ф) — 2х sin <p — х1 sin1 Ф
1 — 2х*51П1ф + 2ху5!пфРГ 1 —x’sin* q>
(17.87)
прн ф=ф» отсюда определяют тангенс угла поворота
на левой опоре tg6o-
Основанный на выведенных зависимостях вычисли-
тельный алгоритм позволяет построить равновесное со-
стояние стержня по заданным значениям a/l. k, фо.
Ниже рассматриваются частные случаи внеиентреиио
сжатого стержня.
а) Равные по абсолютной величине и по знаку конце-
вые эксцентрицитеты. В случае 4=1, у=0 основное рас-
четное соотношение (17.85) принимает вид
xcos<po = -y-f(<Po, к). (17.88)
Решения этого уравнения при положительных значе-
ниях модуля х и при фо<я/2 соответствуют первичным
равновесным состояниям стержня. Вторичные равновес-
ные состояния определяются решениями уравнения
(17.88) прн х<0 и Фс>л/2 [22].
Наибольший прогиб в середине длины стержня равен:
Выражение (17.86) для параметра нагрузки приводят
к виду
и=2£(ф0,х). (17.90)
График поведения стержня при больших перемеще-
ниях представлен в табл. 17.3, л. Первичные равновес-
ные состояния (сплошная линия OLS на графике)
можны как при N<Ai», так н при N>N,; прогибы по-
ложительны и ограничены по величине. Анализ качест-
ва равновесия с помощью энергетического критерия по-
казывает, что первичные равновесные состояния устой-
чивы.
Вторичные равновесные состояния при N>N*. у-<
<—2о разделяются на устойчивые (сплошная линия)
и неустойчивые (пунктир на графике). Точка Т на
графике служит границей между устойчивой и неустой-
чивой ветвями; этой точке соответствует т р а и с к р и-
тическое значение сжимающей силы Nt>N,. При
возможны только первичные равновесные со-
стояния. Каждому значению соответствуют три
равновесных состояния: одно устойчивое первичное и
два вторичных, из которых устойчиво только одно с
большим по абсолютной величине прогибом у™.
Переход виецентренио сжатого стержня от первичной
формы равновесия ко вторичной может произойти толь-
ко путем перескока.
По мере убывания эксцентрицитета а точки L я Т иа
графике стремятся к одной и той же точке с координа-
тами (0. W.).
б) Равные нулю концевые эксцентрицитеты — цен-
трально сжатый стержень. При о=0 из уравнения
(17.88) следует фо=х/2. Расчетные зависимости (1789)
и (17.90) преобразуются к виду
ym = ^-:«=2F(x). (17.91)
где Г(х) — полный эллиптический интеграл первого ро-
да (амплитуда <р=л/2).
График поведения стержня при больших перемещени-
ях дан в табл. 17.3. Б. Прямолинейная форма равнове-
сия v«0 устойчива при н неустойчива прн
Представление о безразличном состоянии рав-
новесия при N^=N9c неопределенными по величине и по
знаку прогибами у = С sin (лх//) является следствием
геометрически линейной постановки задачи. Безразлич-
ное состояние равновесия на самом дело является мгно-
венным. так как при N=NS существуют лишь беско-
нечно близкие формы равновесия, смежные с прямоли-
нейной формой у"0.
Для каждого значения N>N» помимо неустойчивой
прямолинейной формы существуют две устойчивые кри-
волинейные формы равновесия со строго определенны-
ми. равными по абсолютной величине, но противопо-
ложно направленными прогибами. Неопределенность
устойчивых равновесных состояний при N>N9 заклю-
чается в выборе направления изгиба.
Критическую силу N9 следует рассматривать как ниж-
ний предел тр а некритической силы Л\:
|imiVT = fl9. (17.92)
<j—о
Разветвление форм равновесия представляет собой
предельный случай явления перескока — перескок нуле-
вой длины.
В рассмотренной геометрически нелинейной задаче
спектр собственных значений при №>№. является не-
прерывным.
Упругую линию центрально сжатого стержня часто
называют эластнкой.
в) Равные по абсолютной величине, ио противополож-
но направленные концевые эксцентрицитеты [20]. График
поведения стержня при k=—1 представлен
в табл. 17.3,8; характерным перемещением служит тан-
генс угла поворота на левой опоре во. Стержень являет-
ся идеальным. Первоначальная S-образная форма рав-
новесия с равным нулю прогибом в середине длины
стержня (ут=0) устойчива прн H^N, н неустойчива
прн Помимо этой неустойчивой формы каждо-
му значению N>N, соответствуют две устойчивые фор-
мы равновесия, в которых обратная симметрия перво-
начальной S-образной упругой линии нарушена, проги-
бы уп отличны от нуля.
Потере устойчивости при разветвлении форм равно-
весия соответствует тангенс угла поворота на опоре
tg9.=2a/xi. В критическом состоянии фо=п/2. и урав-
нения (17.85) приводят к виду
xKl + Y’ = -y-F(x); 2х = у [2Е (х) - F (х)|, (17.93)
где F(x). Е(х) — полные эллиптические интегралы.
Критическое значение параметра нагрузки
2F(x)
“•-(l+V»)'/-
(17.94)
зависит от величины эксцентрицитета а и оказывается
несколько мепгашч я, однако различие весьма мало и
составляет лишьешые доли процента, поэтому
В рассмотренной задаче предкритнческое (невоэму-
шеиное) состояние является деформированным в отли-
чие от случая центрально сжатого стержня. Это обстоя-
тельство служит причиной несовпадения критических па-
раметров. определенных нз анализа малых н больших
изтцбных перемещений стержня.
206
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
17.3. ЛИНЕЯНО УПРУГИЕ
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
17.3.1. Основные положения расчета
по деформированной схеме
Рассматривается линейно упругая плоская стержневая
система, элементы которой испытывают продольные уси-
лия и нагружены поперечной нагрузкой, лежащей в пло-
скости системы. Каждый из элементов системы удовлет-
воряет условиям, сформулированным в 17.2.1. Кроме то-
го, приняты следующие допущения:
а) обеспечено сохранение плоской формы изгиба как
для каждого элемента, так и для всей системы в целом;
б) система находится в состоянии устойчивого равно-
весия;
в) величина продольных усилии в элементах системы
задана; приращение этих усилий, вызванное узловыми
моментами, или приближенно учитывается заранее, нли
совсем не учитывается;
г) наибольшее фибровое напряжение в самом напря-
женном сеченнн системы не превышает предела пропор-
циональности, который в большинстве случаев условно
принимают равным пределу текучести
Омаке < ®г- (17.95)
Более точное определение продольных усилий с учетом
влияния узловых моментов возможно на основе метода
последовательных приближений, т.е. требует выполнения
расчета несколько раз [19].
Расчет по деформированной схеме основан на пред-
положении о линейно упругой работе материала и учи-
тывает влияние продольных сжимающих сил. В качестве
предельного состояния здесь условно принимается опас-
ное состояние, соответствующее достижению фиб-
ровой текучести: аы.ис=от.
Аналитической основой этой методики является обоб-
щение канонических методов расчета статически неопре-
делимых систем иа случай действия продольных сжима-
ющих сил. Возможность такого обобщения опирается
на принцип независимости действия сил (в его специ-
фической трактовке) и иа принцип взаимности переме-
щений (см. 17.2.6) [19. 21а. 36. 44].
Ниже излагаются два основных канонических метода:
метод сил н метод перемещений. Отдельно рассматрива-
ются наиболее эффективные приемы расчета иеразрез-
иых балок.
17.3.2. Метод сил
Основная система. Заданная система п раз статически
неопределима. Основную систему метода сил (геометри-
чески неизменяемую) получают исключением п связей.
Неизвестные метода сил Х„ должны заменить воздейст-
вие исключенных связей.
Рассматривают п единичных состояний Л*=1 и для
каждого состояния строят две эпюры изгибающих мо-
ментов: а) эпюру М), — моменты определяют с учетом
влияния продольных сил; б) эпюру М» — моменты опре-
деляют без учета влияния продольных сил.
Строят также эпюру моментов в основной системе Мо.
вызванную поперечной нагрузкой; при этом учитывают
влияние продольных сил.
Перемещения в основной системе. Символом 6ц,
(., Л=1, 2...п) обозначено перемещение в основной
системе по направлению неизвестного Xt. вызванное еди-
ничным неизвестным Х* = 1; символом б< о—перемеще-
ние в основной системе по направлению неизвестного Xi,
вызванное поперечной нагрузкой.
Единичные перемещения удовлетворяют принципу
взаимности (17.77). Вследствие устойчивости системы
главные перемещения положительны: бх«>0.
Формула Мора для перемещений. Перемещения в ос-
новной системе определяются обобщенной формулой
Мора [21а]
Здесь Е1 — жесткость стержня при изгибе; dx —эле-
мент длины стержня. Интегрирование распространяется
на всю длину стержня, суммирование — на все стержни
системы.
Формула (17.96) справедлива также и для перемеще-
ний от нагрузки; в этом случае
<|7-97>
Несмотря на внешнюю простоту обобщенной формулы
Мора (17.96). практичесиое использование ее затрудни-
тельно, поскольку закон изменения изгибающих момен-
тов М(х) неизвестен, пока неизвестно уравнение изогну-
той оси у (х).
В практических расчетах для вычисления перемещений
могут быть использованы данные табл. 17.6, а также
табл. 17.4 м 17.5.
Канонические уравнения. Для определения неизвест-
ных метода сил X* служит система линейных алгебраи-
ческих уравнении
-Ki + 61а Ха +••• + 6jn Хя + б10 — 0;
6ц X, + 6а2 Xt +• • • 4- 6ал Хп + = 0;
(17.98)
4“ ^ЛЯ ^Я "Н • •+ ^ЛЛ 4“ ®Л0 —0-
Так как исследуемая стержневая система устойчива,
то детерминант матрицы уравнений (17.98) существенно
положителен, т. е. отличен от нуля, н все неизвестные
могут быть однозначно определены.
Усилия в заданной системе. Эпюру моментов в задан-
ной системе строят на основе зависимости
М = М1Х1 + М1Х1 + ---+МЯХЯ + Л4О. (17.99)
Подобным же образом определяют поперечные силы
в элементах системы.
Дальнейший ход расчета зависит от результата про-
верки условия (17.95).
Практические рекомендации. В практических расчетах
выбор основной системы подчинен тем же соображениям,
которые определяют выбор основной системы прн обыч-
ном расчете рам.
Удачный выбор основной системы характеризуется
следующими признаками:
а) возможно большее число взаимно нулевых (ортого-
нальных) состояний Хд = 1;
б) удобство анализа основной системы; возможно
большее число ненагруженных стержней в состояниях
Х» = 1;
в) возможность использования готовых материалов,
таблиц или результатов другого расчета.
Использование симметрии системы. Для симметрии си-
стемы необходимы: а) симметрия геометрического кон-
тура; б) симметрия опорных закреплений и шарниров;
в) симметрия жесткостей; г) симметрия сжимающих
(растягивающих) сил.
17.3. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
207
Интегралы Мора J Mt Мк dx
Таблица 17.6
Расчет симметричных систем может быть упрошен иа
основе разложении поперечной нагрузки иа симметрич-
ную и антисимметричную составляющие.
Прн расчете по методу сил возможно использование
сложной (статически неопределимой) основной системы.
Пример 17.1. Заданная рама (рис. 17.14) дважды ста-
тически неопределима. Основная система ^метода сил
и зпюры единичных состояний Mit Alt; М>. Мх\ Мо пока-
заны иа рис. 17.15.
Сначала должны быть приближенно определены сжи-
мающие силы в стержнях системы
с учетом их приращения от узловых моментов. Пусть по-
сле вычислений параметры нагрузки оказались равными
u1 = VA/i/£/l (i = I; U4= VI, = 0,4.
20Я
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Воспользовавшись табл. 17.6 н обозначая k=EIJJEIilx,
находят:
6_____<1 tgU, , /, I —UjCtgU,
"“£/, щ Т£/, ' ul
= -^-(1,5574 + 0,3369*);
Рис. 17.16
Канонические уравнения метода сил имеют вид
(1,5574 + 0,3369*) Хх + 0.8508Х,/, = W,-0.06354*;
0,8508X1 + 0.5574Х, 1Х = 0,
откуда
х =__________________х =_1 5278 Л
Л| 4,073 + 5,302* ' *’ *’ ™ Л ’
Дальнейший ход расчета пояснений не требует.
Этот же результат получается при меньшем объеме
вычислений, если выбрать статически неопределимую
основную систему (рис. 17.16) и воспользоваться дан-
ными табл. 17-5.
17.3.3. Метод перемещений
Основная система. Заданная система п раз кинемати-
чески неопределима. Основную систему метода переме-
щений образуют из заданной введением закреплений,
препятствующих поворотам н линейным перемещениям
узлов (рнс. 17.17). Неизвестными являются углы пово-
рота и линейные перемещения узлов .V» (*= 1, 2.л).
Строят п эпюр Л4» единичных состояний -V* = 1 и эпю-
ру Мо от нагрузки в основной системе, учитывая во всех
случаях влияние продольных сжимающих сил.
Рнс. 17.17
Реакции основной системы. Символом г<» (< *= I. 2,...
. . .. к) обозначена реакция в основной системе, разви-
вающаяся во введенной i-й связи от единичного переме-
щения Х* = |; символом г.с —реакция. развивающаяся
в i-й связи от нагрузки.
Реакции связей основной системы удовлетворяет прин-
ципу взаимности
'» = '*/• (17-100)
Вследствие устойчивости системы главные реакции
положительны: г»»>0.
Единичные состояния и реакции основной системы
метода перемещений для стержней постоянного сечення
представлены в табл. 17.7. Для шести различных схем
указаны усилии в опорных закреплениях и уравнения
упругой линии. Реакции основной системы выражаются
прн посредстве девяти функций Z./(u) параметра нагруз-
ки u= V N/EII. В таблице приведены также разложе-
ния этих функций в ряд Маклорена; первые члены раз-
ложений дают значения Z-j(O), равные известным коэф-
фициентам метода перемещений при отсутствии продоль-
ных сил [19а. 21а].
График первых шести функций Zj(u) представлен на
ркс. 17.18.
Численные значения функций £|(и) имеются в источ-
никах, перечисленных в табл. 17.8. В этой же таблице
сопоставлены различные обозначения, применяемые для
реакций основной системы.
Для определения реакций основной системы от нагруз-
ки можно пользоваться данными табл. 17.5.
Реакции основной системы метода перемещений для
стоек, упруго защемленных в основании, приведены в
табл. 17.9. Здесь вместо функций L|(u) используют
функции Д«(и,т), где параметр упругого защемления
т=ц1/Е1- р — коэффициент жесткости опоры.
Канонические уравнения. Неизвестные метода переме-
щений Хд определяют нэ системы линейных алгебраиче-
ских уравнений
(17.101)
Так как рассчитываемая стержневая система устой-
чива. то определитель этой матрицы существенно поло-
жителен, т. е. отличен от нуля, и все неизвестные Хд
могут быть однозначно определены.
Единичные состояния реакция основной системы метода перемежена* для линейно упругого стержня
Таблица 17.7
Схем егержка Усилия в опорных закреплениях Схема стержня Усилия а опорных закреплениях Реакции основной системы
Уравнение упругой линии Уравнение упругой линии t/ <u> аналитическое выражение разложение в рил Мяк- ло река
W 1% ж. - M|“ ~ Mt— у <.»(«)♦ (ul *LfJ M M М- —Z..(u). /?-—£,(«) Р 1* Lt (Ц) и sin и — и1 cos и — U sill и — 2 СОЗ и 4— ifC — llf|1 _ IS 6300 27000
г V Lj (u) и' — и sin и "L+ l3“‘ + llt? . ’ w 12600 378000
j у и . 1 — cos mu 1 \ 2 — и s‘n Н — 2 СОЗ и
“ «1 -7 - La (U) / u1 mu — sin mu — L, (a) u’ f sin ти \ пш Cl>!> U ) L, (u) и' si;i И tfsinu — И СОЯ U — и c_ u; »* _ 10 1400 126000
f н н л< Щи), H- ~ t»(H) J 1 М,-у £,(«>. М,-yUlu) l.t (<O и' U* COS и / sill и — и cos и — и 12— — u* — 5 70J 63000
1 ^7 Li (n) и* S»ll и 3— — — И _ ’u‘ 6 175 7875
. . . 1 — cos mu V - t, <u> , . . mu — Sin mu 1 *1 1 *11 3in и — и COS и
»l X в *JU>. (I _ CQS niU) 1 и* U (u) и* соз и 3 — _ ti* _ 2u* _ 5 175 7875
u* sin И — U соь и
N Я .1 M W- —L*(u) 1 !• Mlf.1 М - у L, (и) L (u) и COS и sin и 1 — _ _ 3 4j 945
Ж«Ж| вн H I . (H) II ч п и i+“L + ’±L+2!£_ + ... 6 з:о loi.o
1/ _^(°> i *1" mo _m\ I u* \ slnu ) и з!п ти 1 и COS и
L tu> и sin и СОЗ и o + <P+!± + ?± + ... 3 15
сь н
17.3 ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
2)0
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблиц! 17.8
Обозначения реакций основной системы н ссылки на таблицы численных значений
Автор Функция
L. L. L, L« L, u 1*
H. В. Корноухое |Ka|. . . 2a 2» 2(a+₽> 2? a V u >e“ и 3in и u tg u
В. Г. Чуаиоккяй|441 .... a В У u a’ u° — — —
А. Ф- Смирнов (36) • ..... 2Ф. 6y. 121), Эф, 3n. — — —
Примечания: 1. Сокращенные таблицы см. в «Справочнике проектировщика. Расчетно-теоретический том». 1-е изд.,
стр. 801-903.
2. Таблицы для растянутых стержней см. в 119а]. |44).
Таблица 17.9
Реакции осаоаной системы метода перемещений для линейно упругого сжатого стержия с упругим защемлением одного конца
(u- V N/El l: т -ikl/El)
Схеме При наличии сжимающей силы (м>0) Прн отсутствии сжимающей силы (и-0)
обозначение общий случай S-Г gS n c шарнир (ffimO) обоз- наче- ние общий случай сдел- ка шарнир (m—0)
n I к, м К,(и> L, £- L,+m Li4-m Cl Lt 0 г. 34m Ч4т 2m 44m 4 2 Э 0
f 1 1 \J r
4’ трЧму-Чги, Я.(и> L,4m L.-hb. L,+m £,+m L, L. t» 0 L, г3 6 44т 6т 44m I2±t±. 44"» 6 6 12 3 0 3
1
Эпюру моментов в заданной системе строят на основе
зависимости (17.99).
Практические рекомендации. Метод перемещений весь-
ма эффективен для расчета рамных систем, не имеющих
наклонных элементов.
Прн расчете симметричных систем может быть исполь-
зован прием разложения нагрузки иа симметричную н
антисимметричную составляющие.
Возможно использование сложной основной системы,
элементами которой являются не отдельные стержни,
а группы стержней. В этом случае необходимо предвари-
тельное определение реакций основной снстемы для каж-
дой из этих групп.
Предварительное определение реакций основной сн-
стемы позволяет распространить метод перемещений на
системы, содержащие стержни переменной по длине
жесткости, в частности ступенчатые стержни (17.5).
Пример 17.2. Заданная рама (рнс. 17.19) трижды ки-
нематически неопределима. Основная система метода
перемещений и эпюры единичных состояний показаны
на рис. 17 19. Сжимающие силы в стойках Ni н зада-
ны; продольным усилием в ригеле можно пренебречь,
положив и3=0.
Реакции основной снстемы определены по табл. 17.7
(единичные реакции) и табл. 17.5 (реакции от нагрузки):
£/, /?/3
'п = ~ («О + 4 - —;
ч ••
л ^3 Г/|
'ia = '*i —2 ; 'is —'м — .. Ls(UiY,
к ‘i
Ph 2 — и, sin ц, — 2 cos ц, P*i
10 2 и, (sin u,—cos u,) 2L, (u,)
£7, El,
'„ = -Г-1аЫ> + 4—
<• »S
17.3. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА
211
Рис. 17.18
Г“ = />2 [,+ I.L) ]•
Дальнейший ход расчета: определение неизвестных Л*
из решения системы трех уравнений, построение эпю-
ры М в заданной системе и т. д.
17.3.4. Расчет неразрезных балок
Постановка задачи. Миогопролетная иеразрезиая бал-
ка иа жестких (не перемещающихся) опорах является
простейшей из статически неопределимых систем. Для
расчета иеразрезной балки по деформированной схеме
могут быть использованы методы сил н перемещений,
а также и метод частных решений, удобный для реали-
зации иа ЭВМ.
Принятые обозначения (рис. 17.20):
п — общее число пролетов балкн;
k—номер опоры (А—0, 1, 2, .... п) и иомер пролета
(*=1.2........л);
Ik — длина пролета;
EI), — жесткость балки при изгибе в силовой плоскости,
постоянная в пределах длины пролета;
Kk — сжимающая сила в пролете;
t‘k—параметр нагрузки для пролета.
Уравнение трех моментов. Основная система метода
енл — совокупность одиопролетиых шарнирно опертых
балок. Неизвестными являются изгибающие моменты
Рис. 17.19
212
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
в опорных сечениях М*. Уравнение трех моментов име-
ет внд
М
Рнс. 17.26
s(u*+i)"c е»о = °- <17102)
Р
Здесь бис — взаимный угол поворота в шарнире ос-
новной системы на опоре к, вызванный нагрузкой (см.
табл. 17.4, 175).
Функции Н. Е. Жуковского с(и) и s(u) были опреде-
лены выше Г см. формулы (17.69)]. График этих функ-
ций представлен иа рис. 17.21; таблицы см. [19, 44],
а также в «Справочнике проектировщиках, 1-е над.,
стр. 800-601.
Число расчетных уравнений равно числу неизвестных
опорных моментов М». Уравнения имеют стандартную
трехчленную структуру (17.102), за исключением двух
уравнений (первого и последнего), отражающих условия
закрепления концов балкн.
Уравнение трех углов поворота. Основная система ме-
тода перемещений — совокупность однопролетных за-
щемленных двумя концами балок. Неизвестными явля-
ются углы поворота опорных сечений 6». Уравнение
трех углов поворота имеет внд
ЕЛ ГЕЛ
е*_,— 4(s) + e*[-^ M“*)+
E/t+I
+9*+1 — Lt (U*+,)+rto = 0. (17.103)
Здесь r»o— суммарный момент в основной системе
в опорном защемлении k, вызванный нагрузкой
(см. табл. 175).
Число расчетных уравнений равно числу неизвестных
углов поворота 8». Уравнения имеют стандартную трех-
членную структуру (17.103), за исключением двух урав-
нений (первого и последнего), отражающих условия за-
крепления концов балкн.
Метод частных решений. Из уравнений метода началь-
ных параметров (1754) прн У»-|=Уь=0, х=1», а!*=
=и* следует:
еь=-е,
slnujt —Uft COS ПД
Цд — sin ид
Ik 2 — идзтид— 2 cos и*
+M*-i 777 •-------------------
u* («* —
ujl-cosuj
yk
+4—r
ид — sin Uk
ui sin u.
(17.104)
Uh — sin щ
-M,
si n u/t — Uft cos ид
Uk — sin uk
+ sinu*
* ид— sin ид
Значения yn\ 0", M" см. табл. 17.1.
Рекуррентные соотношения (17.104) позволяют вы-
числить последовательно все значения 0л. М*. если за-
даны начальные параметры 60. А4С на опоре 0. Из этих
двух величин одна известна, например 6о=0 при за-
щемлении иа опоре 0 (или МР=0 при шарнирном опи-
рании): другая величина Z = M0 (нлн Z=0O) неизвест-
на и подлежит определению.
Первое частное решение строят прн начальных пара-
метрах 0о=0. Z = MO=1 (нлн Z=GO=I. Мо=0). В ре-
зультате последовательного применения формул (17.104)
прн у® = 0Н =» М"=0 определяют значения 0п и А(я на
опоре п.
Второе частное решение строят прн нулевых началь-
ных значениях 0о=О. А(о=0. учитывая зависящие от
нагрузки слагаемые у". 6". Мя в формулах (17.104).
В результате определяют значения 0Я и А(я на опоре п.
Наложение двух частных решений дает
®„ = + е; мп = гм'„ + м'„. (17.iоз)
17.4. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 213
Используя условие 0в=О (защемление на опоре п)
или Мп=0 (шарнирное опирание правого конца бал-
ки), определяют величину Z.
Рекуррентные зависимости (17.104) используют в тре-
тий раз при начальных параметрах 0о, MQ, учитывая
слагаемые от нагрузки. В процессе вычислений опреде-
ляют истинные значения углов поворота 0* и моментов
М* иа опорах.
17.4. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
17.4.1. Постановка задачи об устойчивости
лииейио упругой стержневой снстемы
Обобщение эйлеровой задачи. Рассматривается ли-
нейно упругая плоская стержневая система, элементы
которой центрально сжаты (нлн растянуты). Каждый из
элементов системы удовлетворяет условиям, сформули-
рованным в 17.2.1. а система в целом — условиям, сфор-
мулированным в 17.3.1. за исключением предположения
об устойчивости рассматриваемого равновесного со-
стояния-
Вызывающая изгиб поперечная нагрузка отсутствует,
система является идеальной.
Исследование устойчивости снстемы в
полном объеме предполагает решение следующих трех
частных задач.
а) Построение спектра критических значений пара-
метра нагрузки для исследуемой снстемы. Обычно огра-
ничиваются вычислением нескольких первых элементов
спектра. Наименьшее нз этих критических значений со-
ответствует потере устойчивости системы
при разветвлении форм равновесия: на-
ряду с первоначальной прямолинейной формой равнове-
сия становится возможной смежная криволинейная фор-
ма. Говорят также о потере устойчивости в эйлеровом
смысле нлн о потере устойчивости первого рода.
б) Построение собственных форм (форм криволиней-
ного равновесия), соответствующих всем или несколь-
ким найденным критическим значениям параметра на-
грузки. Этн формы могут быть определены с точно-
стью до произвольного постоянного множителя. Первая
нз собственных форм является формой потерн
устойчивости (кривой выпучивания).
в) Определение степени неустойчивости снстемы прн
заданном значении параметра нагрузки (см. 17.1.6). Оп-
ределяют место испытываемого числа в спектре крити-
ческих значений.
Задача-минимум. В практике проектирования часто
ограничиваются определением первого (наименьшего)
критического значения параметра нагрузки, соответству-
ющего потере устойчивости при разветвлении форм рав-
новесия.
Обозначении. Сохраняются основные обозначе-
ния, принятые в 17.4. Под символами у, 0, М понимают-
ся изгнбные факторы, возникающие в критическом со-
стоянии снстемы.
Для сжатого стержня снстемы с номером k приняты
следующие обозначения:
Ik — длина стержня;
£7 * — жесткость стержня;
Л> — сжимающая сила;
Nkb — первое критическое значение сжимающей силы;
ид — параметр нагрузки дли стержня;
— наименьший критический параметр нагрузки
для стержня.
Система в целом характеризуется следующими пара-
метрами:
и — ведущий параметр нагрузки;
UqI — j-e собственное значение параметра нагруз-
ки для основной системы;
их 1 — j-e явное критическое значение параметра
нагрузки для заданной системы;
— /-с критическое значение параметра нагруз-
ки для заданной снстемы;
— наименьшее критическое значение параметра
нагрузки для заданной снстемы.
Условия возрастания сжимающих сил. Обычно пред-
полагают, что в процессе перехода системы от устойчи-
вого состояния к неустойчивому сжимающие силы
в стержнях Л/>, N2,.- сохраняют заданное соотношение.
Отсюда следует пропорциональность между сжимающи-
ми силами в исходном (устойчивом) состоянии н в кри-
тическом состоянии потерн устойчивости:
Возможно другое предположение о характере возра-
стания нагрузок; одна сжимающая сила возрастает,
в то время как другие силы сохраняют постоянную ве-
личину. Такое предположение менее правдоподобно и
приводит к преувеличенной оценке запаса устойчивости
снстемы.
Ведущий параметр нагрузки. Параметром нагрузки
для стержня k служит число
U*= (17.107)
Один нз сжатых стержней системы можно рассматри-
вать как ведущий. Пусть значения N, El, I (без индек-
сов) относятся к ведущему стержню; параметр нагруз-
ки для этого стержня и будет ведущим параметром для
снстемы в целом.
Вследствие предположения о пропорциональном воз-
растании сжимающих сил параметр нагрузки для любо-
го из стержней системы равен:
u* = e>*u: е>*= 1/’ Т" • <17 ,м>
F NElk I
где со* — постоянные числа, известные с самого начала
расчета.
Определение «ведущий» к словам «параметр нагруз-
ки» в дальнейшем опускается, если это не может приве-
сти к недоразумениям.
Сопоставление двух расчетных задач: I) расчет по
деформированной схеме; 2) определение критической
нагрузки дано в табл. 17.10.
Несмотря на черты сходства в исходных предпосыл-
ках. обозначениях и расчетных методах, задачи этн раз-
личны по существу. В первой задаче исследуется напря-
женное состояние снстемы в стадии упругой работы
материала— состояние это реализуемо в натуре. Иссле-
дуемые во второй задаче критические состояния ие мо-
гут быть реализованы по двум причинам: а) идеальные
снстемы в натуре не существуют; б) критические на-
грузки, определенные в предположении упругой работы
материала, создают в сечениях обычно применимых
стержней малой и средней гибкости напряжения сжатия,
значительно превышающие предел пропорциональности.
Учет начальных несовершенств к упруго-пластических
свойств материала резко изменяет характер работы си-
стемы со сжатыми элементами.
214
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17.10
Сопоставление двух задач расчета линейно упругой стержневой системы
Элементы сопоставления Расчет по деформированной схеме Определение критической негр узки (задача- минимум)
Смякающие силы Л6. И* ... Заданы фиксированные значения Задано соотношение между силами Ni : Критические значения ЛГр. Л2». --неизвестны
N Осевое напряжение р Не превосходят предела пропорциональ- ности (текучести) Может достигать любой величины
Фибровое напряжение о—— ц.—— F Т UZ Не может быть определено
Ордината упругой лнннм Ордината изогнутой осн, вызванной сов- местным действием поперечных нагрузок н продольных сил. определяется однознач- но Ордината кривой выпучивания (первой соб- ственной формы), возникающей в момент по- тери устойчивости, определяется с точностью до произвольного множителя
Неизвестные расчетного метода X. а также другие нзгибные факторы — утлы поворота 0 . изгибающие момен- ты Л1 Нзгибные факторы, вызванные совмест- ным действием поперечных нагрузок н про- дольных сил Нзгибные факторы, возникающие в момент потерн устойчивости н характеризующие пер- вую собственную форму
Расчетные уравнения Неоднородные Однородные
Искомые величины Неизвестные X. определяемые решением расчетных уравнений Наименьший параметр нагрузки, прн кото- ром расчетные уравнения имеют ненулевые решения
Цель расчета Анализ устойчивого напряженного состоя- ния Определение критической нагрузки в эйлеро- вом смысле
Форма представления результата для
задачи-мнннмум. Если известно критическое значение
ведущего параметра нагрузки и«, то критический пара-
метр нагрузки для сжатого стержня с номером k на ос-
новании (17.108) равен uju=(i>au*.
Критическая сила для этого стержня
Nk.=
(17.109)
б) величина ДГд, характеризует влияние продольной
силы на усилия и перемещения в упругой стадии рабо-
ты стержня. Приближенная зависимость (17.75) показы-
вает, что величина характеризует влияние продоль-
ной сжимающей силы иа напряженное состояние стерж-
ня в упругой стадии работы независимо от возможности
реализации этой критической нагрузки;
в) величина позволяет определить свободную
длину стержня, которая необходима для выполнения
расчета по нормативной методике СНиП (см. 17.9).
где коэффициент свободной длины
₽* = — = —
(17.110)
Здесь понятие коэффициента свободной длины 0* ис-
пользуется для компактной записи результатов исследо-
вания устойчивости системы.
Свободная длина стержня = представляет со-
бой длину центрально сжатого шарннрно опертого
стержня тон же жесткости ЕК. который по устойчиво-
сти эквивалентен рассматриваемому.
Истолкование результата для задачи-мнннмум. Кри-
тическую силу Ыь*. полученную в результате решения
обобщенной эйлеровой задачи, нельзя понимать как ре-
альную критическую нагрузку; ее следует рассматри-
вать как упругую характеристику, оценивающую длину
стержня, его жесткость н связь стержня с системой.
Определение критической нагрузки в эйлеровом
смысле кожет иметь следующее практическое значение:
а) величина Л*ф представляет собой верхнюю грани-
цу реальной критической силы. Выше уже указывалось,
что эта оценка слишком груба;
17.4.2. Анализ критических состояний
методом сил и методом перемещений
Три этапа исследования. Построение спектра крити-
ческих значений стержневой системы методом сил или
методом перемещений разбивается на три этапа:
1) построение спектра собственных значений парамет-
ра нагрузки для основной системы:
2) построение спектра явных критических значений
параметра нагрузки для заданной системы:
3) построение полного спектра критических значений
параметра нагрузки для заданной системы, который фор-
мируется »<э спектра этапа 2 с добавлением в некото-
рых случаях отдельных элементов спектра этапа 1.
Собственные значения параметра нагрузки для ос-
новной системы. Основная система метода сил (пере-
мещений) образуется из заданной устранением (введе-
нием) связей. В обычном случае, когда основная систе-
ма не является сложной, она статически (кинематиче-
ски) определима.
17.4. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
215
Основная система обладает бесконечным числом сте-
пеней свободы н имеет бесконечный спектр собственных
значений параметра нагрузки:
....U°h— 1 (17.111)
Уо1. Уч,' • • > УеЬ I
Каждому собственному значению ut» соответствует
собственная форма уе1 основной системы. Спектр
(17.111) можно построить, приравняв нулю определи-
тель некоторой системы уравнений, характеризующих
равновесные состояния основной снстемы:
Do(u) = O. (17.112.)
Корни этого уравнения образуют спектр (17.111). оп-
ределяющий критические состояния основной снстемы
(в эйлеровом смысле).
Для основной снстемы метода перемещений имеем
D0(u) = П sin-у (sin у —
— y-cos y^ П (sinu> — o*cos uj) = 0, (17.113)
где первое произведение распространяется иа все сжа-
тые стержни» защемленные двумя концами, а второе —
на все сжатые стержни с одним защемленным н другим
шарнирно опертым концом (см. табл. 17.2).
Анализ устойчивости основной снстемы метода сил
часто связан со значительными трудностями.
Средн элементов спектра (17.111). расположенных
в порядке возрастания, необходимо различать крат-
ные собственные значения. Собственное значение и0/
имеет кратность г, если
“0. /-< < “ог = °0. /+1= ' = “о. /+<•-! <°0. !+'
В этом случае основная система распадается на г не-
зависимых частей, одновременно достигающих критиче-
ского СОСТОЯНИЯ При U = Uq).
Все собственные формы ув> основной снстемы взаим-
но ортогональны независимо от наличия кратных собст-
венных значений в спектре (17.111).
Явные критические значения параметра нагрузки для
заданной системы. Неизвестными метода сил (пере
мешений) являются силовые факторы (перемешення)
X,. X,... Х„. Рассматривая п единичных состояний
Ха —1, вычисляют перемещения (реакции) основной сн-
стемы у,а((. к~\, 2.... п). причем у(, = б,,(=г„)
в случае применения метода сил (перемещений). Кано-
нические уравнения линейны и однородны относительно
неизвестных Ха:
л
S Л*т« = о ((=1.2...........п). (17.114)
Д-1
Коэффициенты этих уравнений рассматривают как
функции ведущего параметра нагрузки =¥<*(“)-
Условие существования ненулевых решений однород-
ной системы (17.114) заключается в равенстве нулю
определителя [19, 21а. 36. 44]:
Dx «О
Тн Vit
Vn Yn
Yni Vn®
Vln
Vin
Tnn
= 0. (17.115)
Корин этого трансцендентного относительно и урав-
нения образуют бесконечный спектр явных критических
значений параметра нагрузки для заданной снстемы:
U^U».........U^-\ (17.116)
Ух1. Уж,.....Уж/. )
Каждому явному критическому значению и.; соответ-
ствует явная собственная форма (кривая выпучивания)
Уж,. Термин <явная> н обозначение ук> подчеркивают
тот факт, что рассматриваемая собственная форма за-
данной снстемы определяется отличными от нуля зна-
чениями неизвестных X».
Для метода сил ЦцСиц-. для метода перемещений
знак неравенства следует изменить на обратный.
Построение явных собственных форм. Среди неизвест-
ных X» есть по крайней мере одно, которое можно при-
нять равным единице, например Х, = 1. Тогда все осталь-
ные неизвестные однозначно определяются нз уравне-
ний (17.114) прн и=и,,. Ордината собственной формы
в произвольной точке системы равна:
п
Уч = Е у*Х», (17.117)
»-1
где у» — соответствующая ордината единичного состоя-
ния Х» = 1 при u=u.j. В случае применения
метода перемещений значения у» можно опре-
делить по табл. 17.7.
Полный спектр критических значений параметра на-
грузки для заданной снстемы. Спектр явных критиче-
ских значений параметра нагрузки иг1 (17.116) отра-
жает только те формы криволинейного равновесия, для
которых по крайней мере одно из неизвестных X» от-
лично от нуля. В некоторых случаях возможны такие
формы криволинейного равновесии заданной снстемы,
когда все неизвестные равны нулю: Х»-=0(£=1, 2....
.... п). Очевидно, что этн так называемые скрытые
формы следует искать средн собственных форм основ-
ной снстемы. соответствующих спектру (17.111). Если
скрытые формы криволинейного равновесия существу-
ют, то основную систему называют несовершен-
ной. Основную систему называют ложной, если
скрытая форма криволинейного равновесия соответству-
ет первому критическому значению параметра нагрузки
для заданной снстемы. т. е. эта скрытая форма являет-
ся формой потерн устойчивости [36]. Скрытые формы
криволинейного равновесия ортогональны по всем еди-
ничным состояниям Х» = 1.
Полный спектр критических значений параметра на-
грузки для заданной системы
.....] (17.118)
Ум. Ум. У./.--- )
включает следующие элементы:
I. Все элементы иж1 спектра явных критических зна-
чений для заданной снстемы (17.116).
2. Собственные значения для основной снстемы и01.
ортогональные всем единичным состояниям X» —1 (&=”
= 1, 2.... п); в Этом случае определитель име-
ет ограниченную (не равную бесконечности) величину.
3. Кратные собственные значения для основной снсте-
мы Uoj = Uoj»|=> ... =U0J»r-l. если можно подобрать
не все одновременно равные нулю числа X,, Ха..X, та-
ким образом, чтобы линейная комбинация соответствую-
щих собственных форм
У = \ УВ) + Ч%./+1 4------Ь \Уо./+г—1 (17-119)
была ортогональна всем единичным состояниям Х,™1:
кратность критического значения = равна числу
216
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
линейно независимых комбинаций типа (17.119), удов-
летворяющих условию ортогональности.
Определенные таким образом элементы и*/ спектра
(17.116) располагают в порядке их возрастания.
Если скрытые формы криволинейного равновесия от-
сутствуют, то спектр явных критических значений
(17.116) совпадает с полным спектром критических зна-
чений (17.118).
При решении задачн-миннмум. когда методом переме-
щений определяют первое (низшее) критическое значе-
ние параметра нагрузки, критерием потерн устойчивости
может служить условие (17.115).
Спектральная функция. Произведен нс определителей
S(u) = D0(u)Dx(u) (17.120)
обладает свойствами спектральной функции,
а именно:
а) функция S(u) непрерывна и имеет непрерывную
производную;
б) корни уравнения S(u)=0 при и>0 образуют пол-
ный спектр критических значений заданной системы
(17.118).
Выбор метода расчета н основной системы. При вы-
боре расчетного метода и основной системы следует ру-
ководствоваться общими указаниями п. 17.3.
Простота основной системы и удобство ее анализа яв-
ляются существенными признаками удачного решения
расчетной задачи. При этом на второй план отступает
стремление получить решение с наименьшим числом не-
известных.
По указанной причине для анализа критических со-
стояний стержневой системы чаще используют метод
перемещений, но не метод сил.
В случае использования метода сил может быть при-
менена статически неопределимая основная система, по-
лученная нз заданной исключением части лншннх свя-
зей. Прн использовании метода перемещений основная
система может быть образована введением закреплений
не между отдельными стержнями, а между группами
стержней.
Применение таких сложных основных систем сни-
жает число неизвестных Ли соответственно уменьшает
порядок л определителя но усложняет анализ
основной системы и затрудняет построение определите-
ля Do(u) к разыскание собственных значений основной
системы.
Во всех случаях сопоставления и оценки различных
вариантов выбора основной системы необходимо учиты-
вать суммарную сложность и трудоемкость расчета на
всех его этапах.
Использование симметрии системы. Определение сим-
метрии системы см. 17.3.2.
Для симметричной системы все собственные формы
нлн симметричны, или антисимметричны. Возможно pat
дельное построение спектров критических значений для
симметричных и антисимметричных форм криволинейно-
го равновесия с последующим объединением критиче-
ских значений параметра нагрузки в один общий спектр
(17.1)8).
17.4.3. Примеры исследования устойчивости
методом сил и методом перемещений
Пример 17.3. Требуется исследовать критические со-
стояния двухпролетной регулярной балкн: обозначения
ясны из рнс. 17.22. Задача решается тремя разными
способами.
Вариант а —метод сил. Основная система и единич-
ное состояние показаны на рис. 17.22, а.
Для основной системы — однопролетной балкн дли-
ной 2/ — имеем
Do (u) = sin 2и = 0,
откуда w0/=sin/n/2 и спектр собственных значений для
основной системы начинается элементами
л Зя 5л
— . л,— . 2л, — . Зл. ... (17.121)
Мягкая ж/пямл
a) Hanoi соя ОсяоЬоя сиамлл
ЛЬ. |ж Л
8) Потакая 9сяо^яаяыапвм.
Состояния Xft
в) Мюо8 ОекоА^ясятл
г~
Состояния Xt*1
Рис. 17.22
Единичное перемещение основной системы определено
по табл. 17.5
, р
6,, = 2£77('gu_“)-
Условие критического состояния
Dz(u) = tgu — u = 0 (17.122)
приводит к значениям
Й.4. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
217
следовательно, первые три элемента спектра явных кри-
тических значении для заданной системы будут
4,4934; 7.7253; 10.9041;... (17.124)
Этот спектр должен быть дополнен элементами спект-
ра (17.121). определяющими скрытые формы криволи-
нейного равновесия. Графики функций Do(u) (тонкая
линия) и Dx(u) (жирная линия) показаны на
рис. 17.23,0.
Для собственных значений основной системы иш=л.
им=2л. и«=3л и т. д. определитель D>(u) имеет ко-
нечную величину. Поэтому указанные элементы входят
в полный спектр критических значений для заданной си-
стемы
я; 4,4934; 2л; 7.7253; Зл; 10.9041 ... (17.125)
Здесь основная система является ложной по отноше-
нию ко всем антисимметричным формам выпучивания.
Эти формы находят средн собственных форм основ-
ной системы.
Вариант б — метод сил. Основная система и единич-
ное состояние показаны на рис. 17.22.6.
Основная система распадается на две независимые
части, критические состояния которых определяются од-
ними н теми же собственными значениями. Из уравне-
Do (u) = sin и sin и = 0 (17.126)
находят спектр, у которого все элементы имеют крат-
ность 2:
л, л, 2л. 2л, Зл. Зл... (17.127)
Комбинируя собственные формы, соответствующие
каждой паре равных собственных значений, получают
антисимметричную кривую, ортогональную единично-
му состоянию Х, = 1. Следовательно, спектр (17.127)
входит в полный спектр критических значений для за-
данной системы.
Единичное перемещение основной системы
„ 21
6" = “ “Ctg U,‘
откуда
Dx(u) = 1— uetgu =0. (17.128)
Это уравнение имеет решения (17.123), образующие
спектр собственных значений (17.124). Графики функ-
ций D0(u) и D,(u) показаны иа рнс. 17.23.6.
Полный спектр критических значений (17.125) пред-
ставляет собой сумму спектра собственных значений для
основной системы (17.127) и спектра явных критиче-
ских значений для заданной системы (17.124).
Здесь основная система также является ложной по от-
ношению к антисимметричным формам выпучивания.
Эти формы соответствуют собственным формам основ-
ной системы.
Вариант е — метод перемещений. Основная система
и единичное состояние показаны иа рнс. Ц22. в.
Основная система распадается на две независимые
части, критические состояния которых определяются од-
ними и теми же собственными значениями. Из урав-
нения
Do (u) = (sin и — и cos u)(sinu — и cos и) = 0 (17.129)
находят спентр собственных значений основной систе-
мы, все элементы которого имеют кратность 2:
4.4934; 4,4934; 7,7253; 7.7253; 10.9041: 10.9041... (17.130)
Комбинируя собственные формы, соответствующие
каждой паре равных собственных значений, получают
симметричную кривую, ортогональную единичному со-
стоянию Х| = 1. Следовательно, спектр (17.130) входит
в полный спектр критических значений для заданной си-
стемы.
Реакция основной системы метода перемещений по
данным табл. 17.7 равна:
2EI 2EI u* sin и
Гц — . Et (и) — - ;
I I sin и — и cos и
откуда
„ , sin и
Dx(u) = —-------------- =0. (17.131)
sin и — и COS и
Корни этого уравнения образуют спектр
л. 2л, Зл,... (17.132)
Графики функций Dt(u) и Dx(u) показаны на
рис. 17.23. в.
Полный спектр критических значений (17.125) пред-
ставляет собой сумму спектра собственных значений для
основной системы (17.130) и спектра явных критиче-
ских значений для заданной системы (17.132).
Здесь основная система является ложной по отноше-
нию к симметричным формам выпучивания. Эти формы
соответствуют собственным формам основной системы.
Спектральная функция для всех трех вариантов ис-
следования а, б, в имеет один и тот же вид
S (u) = Do (и) Dj, (и) = sin и (sin и —и cos и), (17.133)
218
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
если исключить ие влияющие на результат множители.
График спектральной функции представлен на рнс.
17,23, г. Кории уравнения S(u)=0 (исключая корень
ц=0) образуют полный спектр критических значений
(17.125).
Пример 17.4. Рама со сжаты-
ми стойками (рис. 17.24) пред-
ставляет собой упрощение и иде-
ализацию (в смысле исключения
вызывающих изгиб нагрузок) сн-
стемы, рассмотренной в п. 17.3.3.
Исследование устойчивости выпол-
няется методом перемещений. Ос-
новная система и единичные со-
стояния показаны иа рис. 17.19.
На основании (17.113)
и I и и U \
D„ (u) = sin —1 sin — — cos — 1 (sin и—и cos и)=о ,
откуда получают спектр собственных значений основ-
ной снстемы
1.4303л; 2л; 2,4590л; 2,8606я;..
Условие критического состояния заданной системы
Задаются рядом последовательных значений пара-
метра нагрузки и и вычисляют определитель Di(u)
с помощью прямого хода алгоритма Гаусса. График
спектральной функции S(u)=D0(u). D>(u) представ-
лен на рнс. 17.25. Критические значения параметра на-
грузки равны:
0,6697л; 1,2332л; 1,6806л;... (17.134)
Скрытые формы криволинейного равновесия в дан-
ном примере отсутствуют. Потеря устойчивости проис-
ходит прн критическом значении сжимающей силы
£/
.V. = (0.6697л)« — .
17.4.4. Качественный анализ устойчивости
линейно упругих стержневых систем
Анализ устойчивости стержневой системы предпола-
гает в числе других частных задач также определение
степени неустойчивости снстемы [27, 29, 36].
Задано произвольное положительное число и, требу-
ется определить:
1) степень неустойчивости системы v при параметре
нагрузки и—е (в — малое число), т. е. число элемен-
тов полного спектра критических значений (17.118).
расположенных в открытом интервале 0<u.,<u;
2) кратность д критического значения u.j=u, равно-
го испытываемому числу и, в полном спектре (17.118);
при д=0 число и в этот спектр ие входит;
3) степень неустойчивости снстемы v'=v-f-g прн па-
раметре нагрузки u-f-e. т. е. число элементов полного
спектра критических значений (17.118), расположенных
в закрытом интервале 0<u.;^u.
Качественный анализ устойчивости позволяет отве-
тить па эти вопросы, не прибегая к построению полного
спектра критических значений (17.118). Если известен
спектр собственных значений для основной системы
(17.111), то решение задачи требует однократного вы-
числения определителя С>(и).
Пусть для испытываемого числа и известны:
v — число пройденных собственных значений для ос-
новной системы (включая каждое из кратных значе-
ний), т. е. число элементов спектра (17.111), заключен-
ных в интервале 0<uo;<u;
г—кратность собственного значения и в спектре для
основной системы (17.111); при г=0 число и в этот
спектр ие входит.
Прямой ход алгоритма Гаусса приводит симметрич-
ный определитель Ь,(и) к треугольной форме:
Dx(u) = Tn Ti» • Ти Тм • Т1л • Tin 1*1 Р1Я • 0 и» • • * Рм
Тт Тл« • * Упп 0 0.. • Рл
= 1*1 К... Цл-
(17.135)
Коэффициентами устойчивости называют числа ph
Рз... р„, расположенные по главной диагонали тре-
угольного определителя. Эти коэффициенты выража-
ются через главные миноры Д< определителя D«(o) сле-
дующим образом:
л Ая
1>1 = Уп = А1. Р« =
Д,
••.Н=7—
А<_
Д| ’
А„ Рх(Ц)
•*" = л— = 7—
। л__
(17.136)
Средн коэффициентов устойчивости различают нуле-
вые. конечные, положительные, отрицательные и беско-
нечные значения. Пусть будет: v0 — число нулевых зна-
чений; v_ — число конечных отрицательных значений;
v« — число бесконечных значений.
Степень неустойчивости определяют с помощью соот-
ношений [30]:
число метод сил метод перемещений
v= ' "о ~ v— ’ + v_ +v.
?= г vo (17.137)
v'=v+? = v-f- г—v_— v„ v 4- v._
17.4. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК
219
Отсюда следует, что если при некотором значении
параметра нагрузки и основная система устойчива (и<
<uoi. v=0) и все коэффициенты устойчивости конечны
и положительны (vo=v_=v„=O), то и заданная си-
стема устойчива.
В случае применения метода перемещений потеря
устойчивости системы (критическое состояние прн наи-
меньшем значении и.) характеризуется следующими
тремя признаками: а) основная система устойчива
(и.<и0|); б) все коэффициенты устойчивости конечны
и положительны, кроме последнего: р<>0 (1=1, 2....
л—I); в) последний коэффициент устойчивости р„=0.
Качественный анализ эффективно используют также
для отделения корней уравнения D<(u) =0 прн пост-
роении спектра критических значений, а также и прн
решении задачи-мииимум.
Пример I7.S. Качественный анализ. Рама со сжатыми
стойками (см. рнс. 17.24) была исследована в примере
17.4 методом перемещений. При и=1.5п определитель
равен:
26.207 2 22,207
DI (1,5я) =
2 3,298
22,207 3,308
3,308
-15,59
26,207 2 22,207
0 3,145 1.614
Рнс. 17.27
0 0
—35,23
Рнс. 17.26
= 26,207-3.145 (—35,23) =— 2904.
Здесь vc=v„=0; v_=l. Число пройденных собст-
венных значений основной системы v=l, так как
1,5п > 1,4303л = u,t; г = 0.
Степень неустойчивости системы равна:
V* =v = <"4-r +v0—v_=l + 0 + 04-1=2,
т. е. испытываемое значение параметра нагрузки и ле-
жит между вторым и третьим критическими значения-
ми: и.9<1,5л<и.з, Эта оценка подтверждается сопо-
ставлением со спектром (17.134).
17.4.5. Устойчивость однопролетных стержней
с упруго закрепленными концами
Стержень а—Ь. входящий в состав упругой системы,
можно рассматривать как одиопролетный стержень с уп-
ругими закреплениями концов
(рис. 17.26). Связь стержня с
системой в узле а характери-
зуется тремя коэффициентами
жесткости р«. va, ро. При по-
вороте узла а па угол 0О = 1 в
упругой опоре возникает мо-
мент и перпендикулярное
первоначальной оси стержня
усилие ра. Линейное переме-
щение узла а 6а = 1 вызывает
в упругой опоре усилие v0 и
момент ро. Подобным же об-
разом коэффициенты жестко-
сти рь, чь и рь характеризуют
связь стержня с системой в уз-
ле Ь.
Задачу решают методом перемещений. Вводя безраз-
мерные параметры жесткости
Hl viP Р/Р ,. .,
Ч =-77“ 1 л/= “7^-1 П = —— (i =о, 6), (17.138)
Обычно побочными реакциями пренебрегают, полагая
их равными нулю: р„=рь=0. При этом (рис. 17.27,а)
число параметров жесткости можно уменьшить до трех,
принимая
уд уь _ уР
'•а+*ь' П~ £/
(17.140)
и рассматривая эквивалентные по устойчивости схемы
(рнс. 17.27.6, е).
Критерий потери устойчивости преобразуют к виду
/пв m, (Z-a + п) + (тв + ть) (£, + л) +
+ t4(n — u*) = 0 (17.141)
нлн к виду
та т,|2 (1 — cosu) — A sin u] + (me + Ш(,)и (sinu —
— Zeas и) + Ли1 sin и = 0: Л = и(1—«*/") (17.142)
Если стержневая система, включающая исследуемый
стержень а—Ь. содержит также и другие сжатые эле-
менты, то коэффициенты жесткости р, у, р должны быть
предварительно определены иа основе расчета по дефор-
мированной схеме. При отсутствии в системе других сжа-
тых элементов коэффициенты жесткости определяют
обычными методами.
17.4.6. Устойчивость неразреэиых балок
на упруго перемещающихся опорах
Методы исследования устойчивости. Свойство упруго
перемещающейся опоры характеризуется соотношением
= («.ИЗ)
где Rk — реакция опоры;
Уъ— ее линейное перемещение;
V* — коэффициент жесткости.
220
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Решение задачи методом сил приводит к уравнению
пяти моментов. Возможно применение метода перемеще-
ний нли же смешанного метода.
Ниже излагается метод решения, особенно удобный
для реализации иа ЭВМ.
Метод частных решений. Обозначения ясны нз
рис. 17.28. Расчет основан иа многократном использова-
нии рекуррентных зависимостей
Mk = cos u* -f- Th sin и*.
(17.144)
= V„-x +
В* I Ъ C‘
W*+I “ W* + v* "*•
крепления концов балки и безразмерного параметра
жесткости
v/9
и = —. (17.146)
В случае бесконечно большого числа пролетов (л = оь)
условия закрепления концов балкн роли не играют. Кри-
тическое значение параметра нагрузки и. определяют из
уравнения
2ц* (1 — cos ц)
(1 + Vsin u/u)2
(17.147)
Задача И. Г. Бубнова. Для регулярных балок суще-
ствует предельное значение параметра жесткости упру-
гих опор то. прн котором критическое значение пара-
метра нагрузки становится равным и.=л. Каждый про-
лет выпучивается по полуволне синусоиды, упругие опо-
Рнс. 17.28
где обозначено
£* = ^7^: С* = н„ \ г= с* + 0t_, Я (17 145)
<* U* ’ ’
Из уравнений (17.144) первые два представляют собой
соотношения метода начальных параметров, третье урав-
нение выражает условие равновесия пролета I», четвер-
тое уравнение — условие упругости опоры к.
Пусть левый конец стержня шарнирно закреплен, тог-
да уо=Мв=О. величины 60 н ff, неизвестны. Первое
частное решение строят прн начальных значениях
р0 = Л.'о = вс = 0; й, = 1.
Последовательное применение рекуррентных формул
(17.144) прн Л=|, 2..л приводит к значениям у„. 8„.
Мл и Н„+1. Второе частное решение основано на зна-
чениях
Уо = Мй = Н, = 0; в0 = 1.
Вычисления подформулам (17.144) позволяют опреде-
лить величины у„, 6„. Мп. Не-
полное решение строят как сумму двух частных ре-
шений:
»я = «'ли|+»лво:
вл =6ЛНj 4-0л в0 н т.д.
Критерий потерн устойчивости составляют в соответ-
ствии с условиями закрепления правого конца балки.
Регулярные балки. Прн 1е=1. Eh = EI-. —
v»=v балка будет регулярной. Критический параметр
нагрузки и. зависит от числа пролетов л, условий за-
ры ведут себя как абсолютно жесткие Дальнейшее уве-
личение жесткости упругих опор (m>m0) уже не повы-
шает устойчивости системы [6].
Предельное значение параметра жесткости упругих
опор равно [21а].
т0 — 2л2
+ cos —р—Y
л + т/
(17.148)
где т=Ч1, если жесткой является только одна крайняя
опора, нли т=0. если обе крайние опоры жесткие.
17.4.7. Устойчивость иеразрезных балок
на упруго вращающихся опорах
Методы исследования устойчивости. Свойство упруго
вращающейся опоры характеризуется соотношением
Му = р* в*.
(17.149)
где М„ — момент в сеченнн над опорой к;
в* — угол поворота этого сечения;
р»— коэффициент жесткости.
Решение задачи методом перемещений приводит
к уравнению трех углов поворота (рнс. 17.29)
+ L1 (u*+l)+h, I ®»+
+ ------£2(u*+i)6*+i=0. (17.150)
‘*4-1
17.4. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК 221
———* । - » ’Д**аам » ». •. »•«-«-»= _ » — а -.- 11 l . , .«*= в 11 м — —•.
Ниже излагается метод решения, особенно удобный
для реализации иа ЭВМ.
Метод фокальных отношений. Левое фокальное от-
ношение определяют по рекуррентной формуле [23а]
л*+, = ^= (L*(u‘+,)+
+ а [(., (и») +m*+ ]). (17.151)
„ 0,7+ 0,5 Л
₽,= "Г+Л ’
Здесь обозначено (л — число пролетов)
(17.157)
к=?277*: Лср=4зУ*л (17.168)
ЕНВ п + 4 ' л+1
,=0
Рамы с упруго защемленными в основании стойками.
Реакции основной снстемы метода перемещений для
Рнс. 17.29
где обозначено
М»1» F'k f*+i
Начальное значение левого фокального
1ВНО.
Л = , Гi-i (“г) + ^г1] •
1-э (U1) L £71 J
(17.152)
отношения
(17.153)
Прн жесткой заделке иа крайней левой опоре jk=“>
в F|——оо; в случае шарнирного опирания ро”0.
Последовательное вычисление Fh Fs, ... F. позволяет
составить критерий потерн устойчивости
DM = F„F„-l = 0, (17.154)
где правое фокальное отношение равно:
В случае жесткой заделки на правой опоре т«»оо,
Fn^—<ю, и условие (17.154) принимает более простой
вад
D(u) = —F„ = 0. (17.156)
Полагая все р *=0, получают решение задаче об
устойчивости балки на жестких опорах.
17.4.8 Устойчивость рамных систем
Методы исследования устойчивости. Для определения
критических параметров нагрузки рамной снстемы ре-
комендуется метод перемещений, качественный анализ
в построение спектральной функции.
Одноэтажные многопролетные регулярные рамы.
Стойки в основании защемлены, сжимающие силы рас-
пределены произвольно (рнс. 17.30).
Коэффициент свободной длины для i-й стойки при-
ближенно равен:
я г + БК,/^
ft “ ГТ7Г V Т-1 "° не “е,1ее
1 + ОА г N
стержней с одним упруго защемленным концом см.
в табл 17.9.
Рамы со ступенчатыми стойками. Стойку, образован-
ную несколькими участками постоянной жесткости, мож-
но рассматривать как несколько однопролетных стерж-
ней, если прн образовании основной снстемы метода пе-
ремещений ввести иа границах участков дополнительные
Рис. 17.31
закрепления, препятствующие повороту сечения и гори-
зонтальному перемещению (рнс. 17.31). При этом уве-
личивается число неизвестных X» и порядок определи-
теля D>(u).
Другая возможность заключается в предварительном
исследовании ступенчатой стойки. После определения
реакций от линейного перемещения и поворота верхнего
222
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
конца стойку можно рассматривать как однопролетный
элемент основной системы метода перемещений
(рнс. 17.32).
Рамы со стойками, жесткость которых непрерывно
изменяется по длине (рнс. 17.33). Прн некоторых зако-
нах изменения жесткости ЕЦх) реакции основной си-
стемы метода перемещений выражаются в замкнутой
форме (см. 17.5.3).
Рнс. 17.33
Рнс. 17.34
Высокие узкие рамы (рнс. 17.34). Расчет устойчиво-
сти, основанный на пренебрежении осевым обжатием,
дает удовлетворительную точность только в том случае,
когда высота рамы Н превышает ее основание В не бо-
лее чем в шесть раз.
Методы исследования устойчивости высоких узких рам
с учетом осевого обжатия см. в [19].
17.4.9. Устойчивость стержня в упругой среде
Дифференциальное уравнение задачи и его общий ин-
теграл. Линейно упругая среда противодействует из-
гибу стержня, создавая на стержень (рнс. 17.35) на-
грузку
— р — су. (17.159)
где с — коэффициент жесткости среды.
Рнс. 17.35
Рис. I7.3G
Дифференциальное уравнение изгиба сжатого стержня
имеет внд
Elyw + Uy + су ~ 0. (17.160)
В рассматриваемом случае говорят также о балке
на упругом (вннклеровом) основании
с коэффициентом постели с.
Если жесткость £/, сжимающая сила N и коэффици-
ент жесткости г постоянны по длине I стержня, то
общим решением однородного уравнения (17.160) при
u’>21z т будет
у = Ci sin — + Ct cos — -j- Сз sin — -j-
o-x
4-CjCos-y-. (17.161)
Здесь обозначено:
Шарнирно опертый стержень (рнс. 17.36). Подчиняя
решение (17.161) граничным условиям у=М— 0 прн
х=0, х=/ н приравнивая определитель уравнений ну-
лю, получают условие критического состояния
D (u) = sin Di sin о, = 0. (17.163 )
Отсюда находят
о„ = пл. о„ = пл (п = 1.2, ...); (17.164)
следовательно, квадрат критического параметра нагруз-
ки равен:
и’ = (пл)2+-2- (17.165)
• (пл)’
Целое число п должно быть выбрано так, чтобы ве-
личина it была наименьшей, следовательно:
О < т < 4л’ п — 1
4л‘ < т < 36 л’ п = 2
36л4 < т < 144 л4 п = 3
Если рассматривать и2 как функцию непрерывного
аргумента п, то из условия минимума и2 можно найти
и2 = 2]/лГ. (17.166)
Это приближенное решение задачи дает, вообще го-
воря, заниженные значения и., но в отдельных точках
при т=л4. 16л4, 81л4... совпадает с точным решением
(17.165).
Другие схемы опорных закреплений могут привести
к случаям, когда иг<2^т и решение уравнения
(17.160) имеет внд. отличный от (17.161). Анализ ряда
схем см. в [35]. Там же исследована устойчивость бал-
кн на упругом основании более общего вида.
17.4.10. Справочные данные для определения
свободных длин
Формулы, таблицы и графики для определения свобод-
ной длины сжатого стержня, входящего в состав упру-
гой стержневой системы, имеются во многих изданиях,
например в [2. 3. 12. 19. 21, 27, 36. 44]. а также в «Спра-
вочнике проектировщика». 1-е нзд.. стр. 784 н далее.
Большое число графиков для определения свободной
длины содержится в [216].
17.5. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ
СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ.
СТЕРЖНИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПО ДЛИНЕ
ЖЕСТКОСТЬЮ И СЖИМАЮЩЕЙ СИЛОЙ
17.5.1. Сжатые стержни составного сечения
Влияние поперечной силы на критическую нагрузку
центрально сжатого линейно упругого шарннрно опер-
17.5. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ
223
того стержня оценивают приближенной формулой
(Ф. Энгессер, 1891 г.)
Здесь N, — эйлерова критическая сила; G — модуль
сдвига; F — площадь поперечного сечения; а — коэффи-
циент, зависящий от формы поперечного сечения стержня.
Пусть У^=1.1г — гибкость стержня с произволь-
ными условиями закрепления концов; /. — свободная
длина; г — радиус ннерцнн поперечного сечения. Тогда
критическое напряжение стержня
л»Е
<». = — (17.168)
*пр
Здесь Е—модуль упругости, а приведенная
гибкость определяется соотношением
Хп₽= К*о + я2 aE/G. (17.169)
Для сплошных (монолитных) стержней поправка, вно-
симая вторым слагаемым под знаком радикала, прене-
брежимо мала.
Составные стержни. К стержням составного сечения
относят (рнс. 17.37): а) стержни на шпонках; б) решет-
Рис. 17.37
чатые стержни; в) рамные стержни (стержни иа план-
ках). Здесь воздействие поперечной силы, воспринимае-
мой н<* по всей длине стержня, как в случае сплошного
стержня, а в отдельных точках, требует обязательного
учета.
Самое простое решение основано на формуле (17.168),
где приведенная гибкость составного стержня
Кп₽=/^ + ^- (17 170)
Выражения для А2 в отдельных частных случаях см.
в «Справочнике проектировщика». 1-е изд, стр. 765 и да-
лее, а также в СНиП.
Стержень, состоящий из двух ветвей (онс. 17.38).
Более точное решение задачи (35] приводит к выраже-
нию для критической силы
п*Е/ ф+1
,2 ’Ф+Е//1Е/*’
(17.171)
где EI — жесткость на изгиб всего сечения, рассматри-
ваемого как сплошное; 2E/»=E/1-f-£/J — сумма жест-
костей на изгиб каждой ветви относительно ее центра
тяжести.
Коэффициент ф вычисляют по формуле
'! / с’ 1 1 \ Т _
(,7172>
где Fi. Fi — площади поперечных сечений ветеей; с —
расстояние между центрами тяжести ветвей; Т — сдви-
гающее усилие на единицу длины; б —деформация
взаимного сдвига смежных волокон, принадлежащих
различным ветвям, в месте соединения связями.
Рнс. 17.38
Если пренебречь жесткостями отдельных ветвей ЕЕ/»
по сравнению с жесткостью всего сечения Е/, то выра-
жение для критической силы (17.171) становится струк-
турно подобным формуле (17.167).
17.5.2. Сжатые ступенчатые стержни
Ступенчатым стержнем называется однопролетный
стержень с прямолинейной осью, состоящий нз конечного
числа участков с постоянной жесткостью и с по-
стоянной по длнне участка сжимающей силой. Предпо-
лагается линейно упругая работа материала. Для каж-
дого из участков в отдельности справедливы допущения,
принятые в 17.2.
Сжимающие силы приложены по осн стержня, система
является идеальной. Ставится задача определения крити-
ческой нагрузки в эйлеровом смысле.
Приняты следующие обозначения (рнс. 17.39):
п — общее число участков;
А—номер узла (А=0, I, 2....п) и номер участка
(*=1, 2.. п);
lit — длина участка;
Е/* — жесткость участка;
Л'* — продольная сжимающая сила на участке:
Ио Мп — коэффициенты жесткости упругих защемлений
на концах стержня.
Параметр нагрузки для участка k равен:
Метод фокальных отношений. Одни нз концов стержня
предполагают линейно подвижным в направлении, пер-
пендикулярном оси стержня (см. рис. 17.39). Основная
рекуррентная зависимость для левого фокального отно-
шения имеет вид [23а):
**-Ы ubs(n“*J-t
f*+i = cos “*+1 + тМт • . х
(17.174)
224
РАЗДЕЛ 17. УСГОПЧНВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Начальное значение левого фокального отношения
_ „ , Slnui Ml
fl - COS U, 4--------- —
“1 £'l
(17.175)
При fio=0 (шарнирная опора) fi=cosui. Если щ>=<х>
(жесткая заделка), то F, = a>.
Критерием потерн устойчивости служит уравнение
D(u) = fnF'„-1 = 0. (17.176)
где начальное эначеине правого фокального отношения
^ = ^% + VSn-7F <17177>
ил
Для случая свободного верхнего конца р„=0. Если
ра = оо (жесткая подвижная заделка), то критерий по-
терн устойчивости (17.176) приводят к более простому
виду
D(u) = F„ = 0. (17.178)
Здесь и — ведущий параметр нагрузки. Наименьший
корень и, уравнения (17.176) нлн (17.178) является кри-
тическим значением этого параметра (см. 17.4.1; 17.4.2).
Метод частных решений, изложенный в 17.4.6,
позволяет исследовать устойчивость ступенчатого стерж-
ня прн любых опорных закреплениях концов. В рекур-
рентных соотношениях (17.144) следует положить v*=0,
Ль =//.
Справочные данные по определению критических на-
грузок н свободных длнн ступенчатых стержней см.
в «Справочнике проектировщиках, 1-е изд., стр. 752.
17.6.3. Сжатые и сжато-изогнутые стержни
с непрерывно изменяющейся
по длине жесткостью
Сжато-изогнутый линейно упругий стержень
с переменной по длине жесткостью EI (х) испытывает и-
гнб с самого начала нагружения. Дифференциальное
уравнение изгиба имеет вид
</*« —
£/(х)—+ .\'у+М = 0. (17.179)
ДХ*
где х, у—координаты точки на изогнутой осн_стержня;
N — постоянная по длине сжимающая сила; М — изги-
бающий момент от поперечной нагрузки р(х) без учета
влияния продольной силы.
Это линейное уравнение второго порядка с перемен-
ным коэффициентом прн старшем члене может быть про-
интегрировано численно; методы решения задачи устой-
чивости указаны в 17.5.5.
Ниже рассматривается решение задачи в том частном
случае, когда уравнение (17.179) интегрируется в замк-
нутой форме.
Общее решение уравнения. Пусть Ф1 (х) — решение
однородного уравнения, получающегося нз (17.179) прн
МмО. Второе линейно независимое решение однородно-
го уравнения определяется по формуле Лнувнлля
<F« (*) = twpjx) f (<h(5)]-2dE, (17.180)
о
где w — постоянное число, равное вронскиану системы
фундаментальных функций ф1(х) и фа(х)
Ш= I* ’*1
К Ч>«|
Общее решение уравнения (17.179) имеет внд
У = С, <р, (х) + С,<р, (х) + у"(х), (17.181)
где Ci. Cj—постоянные, у" — частное решение уравне-
ния. зависящее от нагрузки.
Пусть на участке стержня х>г действует равномерно
распределенная нагрузка р, тогда
= ^(х.г), (17.182)
К
где функция влияния равна:
(X—Z)’ 1 Г
Voo(*.z) = 1-yL+— |фи(хЛ)<£. (17.183)
2
Здесь обозначено
ф« (х. 6) = Ч>1 (X) <р, (£) - <р4 (х) <р, ©. (17.184)
Частные производные функций ¥оо(х. г) и Фи(х. £)
в дальнейшем обозначаются символами
—7—2 (х, г) = ¥(» (х. г);
(17.185)
dI+*
—;®u>(«.6) = ®«(x.a-
Ox'dj*
Воздействие равномерно распределенной нагрузки р,
сосредоточенной силы г, н пары сил (внешнего момен-
та) Mi. приложенных в точке с абсциссой г. дает
у" (X) = -£-¥<* (X. х) — -7- ¥»1 (X, г) —
п Ь
Mi
--7 ¥ot(x,z). (17.186)
A
Решение в форме метода начальных параметров полу-
чают, выражая постоянные интегрирования С( н Са че-
рез начальные параметры yG, G0=(dy/dx)0 (см. 17.22),
У = У»-— Фоо (X. 0)¥о,(х, 0) +
W А
+ Т-*о1(х,0) + у". (17.187)
Л
Для днфференцнровання по х достаточно прибавить
единицу к первому индексу функций Т и Ф. С помощью
этого правила из (17.187) получают выражения для
0=у' и М=—Е/(х) у".
Метод перемещений. Реакции основной системы мето-
да перемещений для стержня переменного сечения при-
ведены в табл. 17.11. Приняты обозначения (I — длина
стержня)
Ф.» - (/. 0). D = 2и> + Ф1(1 - Ф01 + /Фп. (17.188)
Задача устойчивости. Центрально сжатый стержень
с переменной по длине жесткостью является идеальной
системой, для которой возможна потеря устойчивости
прн разветвлении форм равновесия. Критическую силу
находят, приравняв нулю определитель системы одно-
родных уравнений, выражающих условия равновесия
стержня.
Устойчивость однопролетных стержней с упруго за-
крепленными концами (рнс. 17.40). Обобщается на слу-
17.5. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ
225
Таблице 17.Ц
Реакции ©сновкой системы методч перемещений лая линейно упругого стержне переменного сечения
Схс»(а стержня M, N Л1. N н N
1 «я 1 X Л® Ч N ч & L Q § to+Фи D ®+Ф1о D
1 1 А н * /С/тФдд D (Фм+Фц, D (D—Фф1 D
1 "1
N S * i "X Iff 1 K+®io Ш—Ф»1 _ ®it
м D D D
N ( i. N Ю>л 0 Ф«
т4— ,
1 1 Ф»-НФм Фм+'Ф»!
I/LL (V 0 Ф»1
N н 1' Ф«-НФ»| “ Фя+/Ф«
N 1 h N 0 /Фт Ф
»> и 1Фю-Ф«о И»1о-Ф«
N б 1 0 Ф« Ф10
* и T /Ф10— Ф«
чай стержня переменной жесткости задача, рассмотрен-
мая а 17.4.5. Критерий потери устойчивости имеет вид
“Г • ~ (2® + Фи - Ф<>1 + оФп) + V (~ Ф«-"Ф«1)+
/V /V N
+ ^.(_фов + оФ1в)-1Фсо-0, (17Л89)
где обозначено
o = /-A'/v. (17.190)
Табл. 17.12 содержит критерии потери устойчивости
для стержней переменного сечения с различными усло-
виями закрепления концов. Эти уравнения получают из
(17.189), придавая коэффициентам жесткости упругих
закреплений ро, р» и v значения 0 и оо.
226
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17.12
Критерии потери устойчивости жав линейно упругих сжатых
стержней переменного сечении с различными условиями
зааренЛенин концов
Схема стержня Ml Мз V Критерий
j се со
W 0 Ф..-0
1 0 1Ф., + Ф»-0
0 0 Ф.,-0
Ж к h 0 Фм - /Ф.В - 0
1 0 0 Ф„ «0
A 'j- 0 0 Ф„ -0
Рнс. 17.40
17.5.4. Сжатые стержни, жесткость которых
изменяется по степенному закону
Закон изменения жесткости. Пусть жесткость стержня
изменяется по степенному закону (рнс. 17.41)
(*) — ^ыик
(17.191)
0
где х—абсцисса точки на осн
стержня, отсчитываемая от по-
люса о; а,Ь — абсциссы концов
стержня (6>а); £/м(ас —наи-
большая жесткость стержня
(прн х—Ь).
Общий случай <х-#2. Решение
дифференциального уравнения
(17.179) выражают с помощью
цилиндрических функций перво-
го н второго рода
Рнс. 17.41
Ф> (х) = Ух J,(x); ф,(х) = Ух У,(х) (17.192)
с индексом г*= 1/| а—2| н аргументом
Вронскиан снстемы функций ф,. фз равен &•= (2—а)/л.
Функция
Л/ (а, 6) = Л (а) Yi (6) — Yt (17.194)
зависит от двух аргументов:
о = ЬД 2 ; b
1—А‘
(17.195)
индексы I, j принимают значения г, 3=r+sign(a—2).
Критерий потерн устойчивости (17.189) для сжатого
стержня с упругими закреплениями (см. рнс. 17.40) при-
нимает вид
тать |^2* 2 (1 - *) + Fir-k * Fri—AFU J +
+ mflu (* 2 F„ + /lFsr) т гарн к * (F„ — AFrs) +
g
+ Au*k 2 F„ = 0.
(17.196)
17.5. ЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ СТЕРЖНИ СОСТАВНОГО СЕЧЕНИЯ
227
где обозначено:
Дифференцируя дважды по х обе части соотношения
Особый случай а = 2. Полагая, что 2u>l—k, т. е. что
величина критической силы ие слишком мала, находят
<р( (х) ~=У* cosx, <Fi(*) = sinx, (17.198)
где обозначено:
x-plnx, р = — 4” <17-199>
Критерии потери устойчивости (17.189) для сжатого
стержня с упругими закреплениями имеет вид:
mamapp Vk — 2p(l-f-A) cos >.+(1—k—Л—-)$1па]+
+ /п0 u sin A + A (sin A — 2p cos 7.)j +
+ tnb ku J j"^“J sin A — A (sin A + 2p cos A)j +
+ Л-----sinX = 0; X = —pln£. (17.200)
1—k
Случай 2u<l— k рассмотрен в (35).
Справочные данные. Большое число задач устойчи-
вости упругих сжатых стержней, жесткость которых из-
меняется по степенному закону, рассмотрено в трудах
А. Н. Линника [14] и А. Р. Ржаннцына [35]. Графики
для определения свободной длины таких стержней даны
в [236].
17.6.5. Сжатые стержни с переменными
по длине жесткостью и сжимающей силой
Дифференциальное уравнение изгиба. Прямолинейный
стержень переменного сечения Е/(х) сжат сосредото-
ченной силой 5 н равномерно распределенной продоль-
ной нагрузкой s(x) (рнс. 17.42). Сжимающее усилие
в точке с координатой х будет равно
А' (х) = S +js(5)<lj. (17.201)
а изгибающий момент
М = Ко + ff't + Sy + (s (Е) [у - п «)] d’6. (17.202)
,М(х)= — Е/(х)у"
и принимая во внимание, что
(17.203)
d С
ЛГ(х) = Яс + $у' + — s(y-i))dE=H0-t-.V(x)y',
dx J
получают дифференциальное уравнение изгиба
[Е/(х)у' )’ -]-[Л'(х)у']' =0 (17.204)
нлн о развернутом виде
Е1у,У + 2El'y' 4-(Е/‘ +Л')у +«' у = 0. (17.205)
Задача устойчивости возникает прн отсутствии по-
перечной нагрузки на стержень и при однородных гра-
ничных условиях. Заменяя продольные нагрозки S через
kS н s(x) через As(x)„ разыскивают критическое зна-
чение параметра нагрузки k., соответствующее потере
устойчивости в эйлеровом смысле. Ниже описываются
два метода решения этой задачи.
Численное интегрирование уравнения с использовани-
ем метода частных решений. Из четырех начальных па-
раметров у^ у„ ув и ув два известны по условиям за-
крепления левого конца стержня; остальные два началь-
ных параметра обозначают символами Z\ и Za. Уравне-
ние (17.205) прн некотором фиксированном значении k
численно интегрируют по методу Рунге-Кутта дважды:
прн Е|«|, 2д=0 н Z|=0, Za=l. Наложенне этих двух
частных решений позволяет сформулировать граничные
условия на правом конце стержня в виде снстемы двух
уравнений относительно и Z2. Условие потерн устой-
чивости заключается в равенстве нулю определителя этих
уравнений: О(А) =0. Критическое значение параметра
нагрузки k.. удовлетворяющее этому условию, находят
методом попыток (направленного поиска).
Другой способ решения задачи. Длину стержня I
разбивают на л участков таким образом, чтобы в пре-
делах длины каждого участка жесткость EI и сжимаю-
щую силу N можно было считать постоянными с по-
грешностью, не превышающей допустимой величины.
Устойчивость полученного таким образом ступенчатого
стержня (рнс. 17.43) исследуют одним нз методов, изло-
женных в 17.5.2. Способ позволяет учитывать также скач-
кообразное изменение жесткости и сжимающей силы.
228
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
17.6. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СТЕРЖНИ,
СЖАТЫЕ СЛЕДЯЩИМИ СИЛАМИ
17.6.1. Стержень, сжатый следящей
силой общего типа
Следящая сила общего типа. Рассматривают линей-
но упругий стержень длиной 1 с защемленным нижним
и свободным верхним концом. Пусть будет 6 — угол по-
ворота, 6 — линейное перемещение верхнего конца стерж-
Рнс. 17.44
ня (рнс. 17.44). Стержень сжат продольной силой N,
точка приложения и угол наклона которой изменяются
в зависимости от перемещений верхнего конца стержня.
Сдвиг 6" и вращение 6* такой следящей силы
общего типа определяются соотношениями:
«н= *„« + *„ 6;
еи = м+*иу.
(17.206)
где кц (i, j— 1, 2) — коэффициенты ориентации [52а].
Схемы стержней, сжатых следящей силой. Частные
случаи, возникающие прн различных значениях коэффи-
циентов ориентации, представлены на рис. 17.45.
Схема а, Ацч^О, Лц=kit =Ааг=О> сдвиг 6" пропорцио-
нален углу поворота 6.
Схема б, ка^6, Au=Asi=fta=0, сдвиг б" пропорцио-
нален линейному перемещению б. В частном случае
Ац=1 стержень сжат продольной силой с фиксирован-
ной линией действия; критическую нагрузку такого стер-
жня иа основе динамического критерия устойчивости
впервые определил Б. Л. Николаи (1939 г.).
Схема е, kai^0. Au-=Ais=Aa=0, вращение 0" про-
порционально углу поворота 0, коэффициент назы-
вают коэффициентом преследования. Устой-
чивость стержня для случая —I (строго следящая
нли тангенциальная сжимающая сила) иа основе дина-
мического критерия впервые исследовал М. Бек [48].
Схема г, АаачЬО. йц=й|а=Ая=0. вращение 0" про-
порционально линейному перемещению 6. Прн Ац<0
сжимающая сила N направлена на фиксированную точку
первоначально прямолинейной осн стержня. Расстояние
от полюса до верхней точки этой оси равно Ь——l[ka.
При ta“ 1 полюсом служит основание стержня.
Условие консервативности нагрузки. Следящая сила
общего типа создает на верхнем конце стержня момент
М н горизонтальную силу л:
М = Л'б" = А (Ап 6/+ *„ 6); |
„„ I „ 6\ 1 (17-207)
H = Nff' = N\kae+kt,-p)- j
Работа силы N иа виртуальных перемещениях dA =
=W(6"d0-f-0“<i6) будет полным дифференциалом, если
б^_б0?
дб ~дв '
Отсюда следует, что необходимое и достаточное усло-
вие консервативности нагрузки заключается в симметрии
матрицы коэффициентов ориентации [2S]
*и=*и- (17.208)
17.6.2. Динамический критерий устойчивости
равновесия. Три вида собственных
движений стержня
Недостаточность статического крите-
рия устойчивости следует нз того факта, что кон-
сервативность нагрузки в общем случае следящей силы
не обеспечена.
Динамический критерий устойчивости
оценивает качество равновесия в соответствии с видом
собственного движения, которое совершает стержень
Для неконсерватнвных систем прн определенных усло-
виях становятся возможными такие явления потерн
устойчивости, которые не могут быть обнаружены на
основе статического критерия.
Дифференциальное уравнение собст-
венных движений стержня, основанное иа до-
пущениях, сформулированных в 17.2 для задач статиче-
ского изгиба, имеет вид
где х — абсцисса точки на оси стержня; и(х, {) — орди-
ната этой точки в момент временн /; £/ — жесткость
стержня; р— масса единицы длины стержня.
Решение уравнения ищут в форме (метод Фурье)
р(х.0 = !М). (17.210)
где у зависит только от х, f — только от t.
После подстановки (17.210) в (17.209) переменные х
и t разделяются
Ely'v+Ny ~f
—У — =------- = а». (17.211)
№ /
Здесь о»1 — параметр разделения, постоянная величи-
на. равная квадрату частоты в случае гармонического
колебания.
Три внда собственных движений стер-
жня определяются величиной й)2:
1. Гармоническое колебание — параметр
разделения со3 положителен, частота <а имеет веществен-
ное значение. Равновесное состояние стержня устойчиво.
2. Апериодическое движение с возрастаю-
щими по времени отклонениями (дивергентное движе-
ние) — параметр разделения о)3 отрицателем, частота о»
17.6. ЛИНЕПНО УПРУГИЕ СТЕРЖНИ. СЖАТЫЕ СЛЕДЯЩИМИ СИЛАМИ
229
имеет чисто мнимое значение. Равновесное состояние
стержня неустойчиво — наблюдается апериодичес-
кая неустойчивость (дивергенция).
3. Сложное колебательное движение
с возрастающими по времени отклонениями (флаттериое
движение) — параметр разделения ш’ н, следовательно,
частота ш — величины комплексные. Равновесное состоя-
ние стержня неустойчиво — наблюдается колеба-
тельная неустойчивость (флаттер).
17.6.3. Гармоническое колебание стержня,
сжатого следящей силой
Уравнение движения
( + ш*/ = 0 (17.212)
прн <за>0 имеет решение
/ = С^'"' + С, е-,а1 = Л cos (at + g>). (17.213)
где <i> — частота собственных колебаний; <р — сдвиг фа-
зы; С|, Cs, А от времени не зависят.
Стержень совершает гармоническое колебание
у (х, /) = у (х) cos (at -|- у). (17.214)
Уравнение изгиба стержня определяет амплитудные
значения у (г)
V м* •• о
У +уУ ~уУ = 0. (17.215)
Здесь I—длина стержня; параметр нагрузки
и и параметр движения v равны:
V= Е1
(17 216)
Общий интеграл уравнения (17.215) имеет внд
У = Ci sh+ С, ch + Сэ sin-у— +
(17.217)
где обозначено
(17.218)
Таблице 17.13
Реакции основной системы метода перемешеннй для сжатого аннейио упругого стержня. совершающего гармоническое
колебание
Единичное состояние Реакции основной системы
L, V — (ut ch ut sin ut — и, sh U] cos u2)
k
Угол поворота 8-1 Т\ L, — (utshuj—ujslnu,)
ц 1 ~ 1.— utu2 (1 — ch «j cos ut) + v sh sin
1-3 u,utl' —— (ch u, — cos u,)
Линейное перемещение 6=1 L, Ul«tv —— (ut ch uj sin ua + t/j sh uj cos
-V г L\ U|UtIZ —— (u,sm u: + u, sh u,)
1 р \ Я/ Обозначе- ния f~ fifa2 и = 1/ 1, v = V El El
-« / u* _ [ v= V t+°- °w=V v;ft
u3 U — utu, (1 — ch u, cos u9) — sh u, sin u,
230
РАЗДЕЛ 17. УСТОИЧ IBOCTb СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Метод перемещений основан на выборе обобщенных
координат
0 (/) — в cos (о/ + <Р), 6(7) = 6cos(<irf-f-<p). (17.219)
Единичные состояния амплитудных величин 6 = 1
и 6= I вызывают реакции основной снстемы, показанные
в табл. 17.13. Этн реакции определяются с помощью ше-
сти функций 1ДЦ|, uj), которые прн ш=0, а=0 вырож-
даются в функции 1/(н) для статической задачи (см.
табл. 17.7).
Канонические уравнения метода перемеще-
ний для амплитудного состояния стержня, сжатого сле-
дящей силой, имеют внд:
а. Переход к апериодической неустойчивости, тип а.
Сплошными линиями на графике показаны два первых
корня О| н иг уравнения (17.222). По мере возрастания
параметра нагрузки и параметр движения (меньший ко-
рень) vi убывает и становится отрицательным, переходя
через нуль. Значение Ui=0 характеризует потерю устой-
чивости стержня при критическом значении параметра
нагрузин и( =иа.
Такой тнп потери устойчивости характерен для консер-
вативных систем, по может встретиться также и в том
+ 07 7-а ~ NkH j 6 = 0;
й . (17-220)
|^7^’ — ЬЬц J0 +
+ ^L*~N —m<i>!j6 = 0.
Здесь т — сосредоточенная масса на верхнем конце
стержня; 1„ — полярный момент инерции массы (см.
рис. 17.44).
Частотное уравнение получают, приравняв
нулю определитель системы уравнений (17.220)
D(u. о) г
1Z-! — fcuUS — 5W
I
I, — *1эи»
7-4 — - х
=0,(17.221)
где приняты обоэиачеиня
х = -^. т=-^-. (17.222)
рР pl
Если параметр нагрузки и фиксирован, то из уравне-
ния (17.221) определяют спектр собственных значений
параметра движения и. Каждому собственному значе-
нию параметра движения ч соответствует собственная
форма — упругая линия стержня, совершающего свобод-
ное колебание.
17.6.4. Критические состояния стержня,
сжатого следящей силой
Состояния потери устойчивости стержня определя-
ются переходом от гармонического колебания к аперио-
дическому движению (дивергенция) нлн к сложному ко-
лебательному движению (флаттер). Соответствующие
таким состояниям критические параметры иагрузкн и.
исследуются ннже на основе выведенных в 17.6.3 анали-
тических зависимостей, описывающих свободное гармо-
ническое колебание стержня.
Исследования всех возможных критических состояний
стержня, а также построения упругих линий для всех
трех видов собственных движений должны быть основа-
ны на решениях дифференциальных уравнений (17.211)
не только для гармонического колебания (ш!>0). но
также и для случаев дивергентного (ы’СО) и флаттер-
него движений (ш2=а+Р<) [25].
Классификация явлений потерн устойчивости. Схема-
тический график зависимости параметра движения и
(пропорционального квадрату частоты ш) от параметра
нагрузки и (рис. 17.46) показывает возможность трех
различных явлений потери устойчивости стержня.
случае, когда нагрузка проявляет слабые иекоисерватив-
ные свойства.
Обращение в нуль определителя (17.218) при одновре-
менном равенстве нулю частоты собственных колебаний
(ш=0) эквивалентно статическому критерию потери
устойчивости. Рассматриваемый случай потери устойчи-
вости относится к эйлерову типу (разветвление форы
равновесия). Критический параметр нагрузин и. =иа
может быть определен с помощью статического критерия.
р. Переход к апериодической неустойчивости, тнп р.
Штрихпунктирная линия иа графике (рис. 17.46) пока-
зывает Другой случай перехода параметра движения о,
от положительных значений к отрицательным. Функция
о(и) испытывает разрыв непрерывности от v=-f-co до
v=—се при критическом значении параметра нагрузки
U.= Up.
Этот тнп потерн устойчивости характерен для иекоп-
сервативных систем с одной степенью свободы. Стати-
ческий критерий ие дает возможности обнаружить рас-
сматриваемое явление.
у. Переход к колебательной неустойчивости. Два пер-
вых значения параметра движения Pi и vs по мере роста и
сближаются по величине (пунктирная линия на графике).
В ирнтической точке у прн критическом значении пара-
метра нагрузки ua =и, корни уравнения (17.218) стано-
вятся кратными (двойными): щ=с>2. Прн дальнейшем
увеличении параметра нагрузки эти корни принимают
комплексные значения.
17.6. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ СТЕРЖНИ. СЖАТЫЕ СЛЕДЯЩИМИ СИЛАМИ 231
Такой тип потерн устойчивости характерен для некой-
серватнвиых систем с числом степенен свободы ке менее
двух.
Классификация рассмотренных явлений потерн устой-
чивости дана ив рис. 17.47.
7ТГ77ТГ7Т^Г77ГГ77Т7ТГ7ГГТГГГ77ТГГГТ77ГГ77Т.
'г НекенсерЬатиЛная нагрузка при
'г числе степеней сС<Мы
ZZZZZZZZZ/ZZZZZZzZZZZ(-/////ZZ,z-z/zZZZZ/zZZZ
Рис. 17.47
17.6.5 . Области устойчивости
и неустойчивости невесомого стержня,
несущего сосредоточенную массу
и сжатого следящей силой
Частотное уравнение для невесомого стержня полу-
чается из (17.221) прн ц=0. Параметром движения
служит величина
тРш*
Е1 1
(17.223)
коэффициенты хит принимают значение х=1т1тР,
т=1. Прн этих обозначеинях
D(и, ш)
|ti — *п“* — »» — *1»“* |
1 £э — йпиа Lt — й„иа — ai |
Переход к апериодическому движению (дивергенции),
тип р, определяется иритернем
Du (и) = —= 0. (17.228)
р w (и)
Критерий перехода к флаттерному движению заклю-
чается в равенстве нулю дискриминанта квадратного
уравнения (17.224)
Dv(u) = б5 —4«с=0. (17.229»
Исследование схемы а. Нагрузка является консер-
вативной. Статический критерий потери устойчивости
(17.227) приводят к виду
Исследование сопряженных схем б н в. Схемы яв-
ляются сопряженными, так как при перестановке коэф-
фициентов орнеитацин й,2 и кц величина определителя
D(u, о>) ие изменяется. Статический критерий потери
устойчивости (17.227)
cos и
»i. = -------- (17-231)
1 — cos и
определяет переход к дивергентному движению, тип а.
Критерий перехода к дивергентному движению, тнп р.
(17.228) при х=0 (инерция поворота массы т ие учи-
тывается) приводит к уравнению
sin и — и cos и = 0, (17.232)
которое не содержит коэффициентов орнеитацин. Наи-
меньший корень этого уравнения и.=4,4934 дает для
критической силы постоянное значение
_ 20.19Е/
•“ Р
(17.233)
На графике (рис. 17.48) показана зависимость и, от
коэффициента ориентации йи (или й2|). области устой-
чивости заштрихованы. Кривая ACDF построена по
уравнению (17.231). прямая KLM соответствует крити-
ческой силе (17.233). Прн й|5<0.5 стержень теряет устой-
чивость в эйлеровом смысле: критическая сила зависит
от величины й1г. В случае й,3>0,5 потеря устойчивости
не может быть установлена с помощью статического
14
e co* + bv> -f- c = 0,
(17.224)
(17.22S)
(17.226)
a = x, b (u) = — x (Lt — ftssu«) —
-(£,-*„««);
c (u) = (L, — й„иа) (£, — k,yu*) —
— (£s —Й„иа) (£,-Й„иа).
Отсюда определяют параметр двнження
— b ± Vba — 4ос
а> ------------------------------.
2а
Критерии потерн устойчивости. Статический критерий
потерн устойчивости (ш=0)
Da(u) = c(u) = 0 (17.227)
характеризует -переход к апериодическому движению
(дивергенции), тип а.
Рис. 17.48
232
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
критерия; критическая сила (17.233) постоянна по ве-
личине.
Эта критическая сила (17.233) по величине совпадает
с критической силой постоянной ориентации, вызывав-
шей потерю устойчивости (в смысле Эйлера) центрально
сжатого стержня с нижним защемленным и верхним
шарннрно закрепленным концом (см. схему 2
в табл. 17.2).
Представленные на рис. 17.49 для схем б, в формы
изогнутой осн стержня, совершающего собственное коле-
бание в критическом состоянии, совпадают с формой
потери устойчивости упомянутого выше стержня, верх-
ний конец которого закреплен. Верхний конец стержня
не перемещается в горизонтальном направлении, 6=0,
но инерционная сила имеет конечное, отличное
от нуля значеине, так как одновременно с убыванием 6
до нуля возрастает до бесконечности частота собствен-
ных колебаний ш. Неопределенность типа 0-<ю может
быть раскрыта.
Рнс. 17.49 показывает, что при совпадающих формах
изгиба условия равновесия (в смысле Даламбера) гори-
зонтальных сил для схем бив различны.
Исследование схемы г. Нагрузка является консерва-
тивной. Статический критерий потери устойчивости
(17.227) приводят к виду
u cos о
"и —
sin w — и COS и
(17.234)
17.6.6 . Области устойчивости
и неустойчивости весомого стержня,
сжатого следящей силой
Частотное уравнение прн отсутствии сосредоточенной
массы получают из (17.221). полагая т=0.
Области устойчивости для каждой из четырех схем
лежат ниже соответствующих кривых на графике
(рис-. 17.50). изображающих зависимость критического
параметра нагрузки и. от коэффициентов ориентации Ьц.
Сплошные лиинн иа графике соответствуют потере устой-
чивости, связанной с переходом к апериодическому дви-
жению (дивергенции), тип а. Эти кривые построены на
основе статических критериев потери устойчивости
(17.230), (17.231) и (17.232).
Исследование сопряженных схем бив
показывает, что прн А|2^0.354 (или й2|>0,354) воз-
можна также потеря устойчивости, связанная с перехо-
дом к сложному колебательному движению (флаттеру);
соответствующая этому случаю кривая покаэаив на
рнс. 17.50 пунктиром.
Рис. 17.50
17.7. НЕЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
233
Частотное уравнение для рассматриваемой задачи при-
водят к виду:
D (и, и) = [2и, о2 — и, (*4 — ui) s*1 “1 sin “s+
+ (“i+‘4)chuicosu»] +*i2 [(4-«?)2+
+ 2Uj u2 ( <4 — uj) sh u( sin ut —
— ( u? — uj)2ch Uj cosи2] = 0. (17.235)
Рис. 17.51
или. для частного случая *i3=l (*si = l).
D (и, о) н и, + Uj + U| Uj (<4 — “J) sh Uj sin u2+
+ 2U| <4 ch Uj cos ut = 0. (17.236)
Условие колебательной неустойчивости заключается
в равенстве между собой двух наименьших корней »i
и О: уравнения (17.235) нлн (17.236). Для частного слу-
чая «21=1 (строго следящая илн тангенциальная сила)
ирнтичсскую силу определил М. Бек (1952 г.)
20,05£/
Р
(17.237)
Формы изогнутой осн стержня, совершающего коле-
бание в момент потерн устойчивости прн критической
силе (17.237), показаны на рнс. 17.51. Несмотря иа сов-
падение критических енл, формы зтн для схем бив раз-
личны.
Влияние распределения масс. Анализ устойчивости
весомого стержня, несущего сосредоточенную массу, для
схемы в при коэффициенте преследования *21=1 (стро-
го следящая нли тангенциальная сила) показывает, что
крнтичесине силы для крайних значений т=0 (17.237)
и ц=0 (17.233) отличаются мало (А. Пфлюгер, 1955 г.).
График зависимости и. от коэффициента распределения
масс представлен на рнс. 17.52; для промежуточных зна-
чений т>0, |1>0 критическая сила снижается и может
составить приблизительно 80% от наибольшей величины.
На этом же графике даио решение задачи прн *21=0,8
и *21=0.6.
17.7. НЕЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ
И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
17.7.1. Нелинейно упругий материал
Закон нелинейной упругости. Деформации материала
полностью обратимы, напряжение и относительное уд-
лнненне связаны нелинейной зависимостью o=g(e)
нлн е=/(о). В общем случае эта зависимость для
сжимающих (а>0) и рас-
тягивающих (о<0) напря-
жений может быть различ-
ной (см. схематический
график работы ма-
териала на рис. 17.53).
Функция a=g(e) одно-
значна, т. е. каждому значе-
нию в соответствует только
одно строго определенное
значение а. Закон нелиней-
ной упругости может быть
задан нлн аналитически.
Рис. 17.53
нлн в фооме таблицы, содержащей достаточно большое
число пар точек е, а.
Начальный модуль упругости
£-(э.-*‘го
(17.238)
определяет наклон касательной к кривой графика в на-
чале координат, прн е=0, о=0.
Касательный модуль
г-
£1 = -^- = е (е)
de
(17.239)
определяет наклон касательной к кривой графика ра-
боты материала в произвольной точке с текущими ко-
ординатами е и a=g(e}.
График работы нелинейно упругого материала может
включать прямолинейные участки. Часто рассматрива-
ют материал, который в начальной стадии работы, до до-
стижения предела пропорциональности а.,
обладает свойством линейной упругости а=£е; прн даль-
нейшем развитии деформаций эта зависимость заменя-
ется другой.
Энергетические теоремы сохраняют свое зиачеине для
нелинейно упругих стержней, поскольку деформации об-
ратимы и силы упругости имеют потенциал.
Исследование изгиба и устойчивости нелинейно упру-
гих стержней основано на анализе малых нзгнбиых пе-
ремещений. Используется гипотеза плосиих сечений.
Предполагается сохранение плоской формы изгиба как
в устойчивых, так и в неустойчивых состояниях стерж-
ня. Влияние касательных напряжений не учитывается.
234
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
17.7.2. Устойчивость центрально
сжатых стержней
Центрально сжатый стержень представ-
ляет собой идеальную систему и до потерн устойчиво-
сти сохраняет первоначальную прямолинейную форму.
Потеря устойчивости связана с разветвлением форм рав-
новесия. Критическая сила шарнирно опертого
стержня равна (Ф. Энгессер, 1889 г.):
л?ЕЛ /da \
N, = , £< = 1—1 = в' (е.). (17.240)
где / — длина стержня; / — момент инерции поперечного
сечення.
Другие условия закрепления концов
стержня учитываются с помощью понятия свобод-
ной длины /. (см. 17.1.14; 17.2.3). Критическое на-
пряжение равно
ными длинами / в критическом состоянии будет нахо-
диться самый длинный стержень, т. е. тот, для которого
dl
где Х=/. v F/I — гибкость стержня; F — площадь по-
перечного сечения.
График критических напряжений, изо-
бражающий зависимость а, от А, удобно строить по фор-
муле
я» /do \
А» = —(—1 , (17.242)
о, \de/.
задаваясь значением а. и вычисляя соответствующую
гибкость }..
17.7.3. Изгиб и устойчивость
сжато-изогнутых стержней
Процесс нагружения сжато-изогнутого нели-
нейно упругого стержня иллюстрируется графиком
поведения (рис. 17.54); по оси абсцисс откладывают
-и характерное перемещение —
прогиб в середине пролета
_______Асимптота ут_ по осн ординат — ежн-
- мающую силу N. В точке В
сжимающая сила N, рас-
х<,|£ ._сматриваемая как функция
ZX* \[ прогиба уп. достигает эк-
4г стремального (макенмаль-
f ного) значения. Это максн-
-Iz__________ 1 У мальное значение Л,и,Ве =
v = N, является критиче-
ским; оно определяет со-
Рис. 17.54 стояние потери устой-
чивости прн дости-
жении предельной
нагрузки. В строительной механике стержневых си-
стем говорят также о потере устойчивости второго
рода.
Критерий потери устойчивости сводится
к условию стационарности функции
dN „
Um ~
(17.243)
если фиксирована длина стержня /. Другая возможная
постановка задачи предполагает фиксированной сжи-
мающую силу N-, тогда из множества стержней с раз-
стержень, нагруженный так, что форма изгиба ортого-
нальна форме потерн устойчивости. Примером служит
антисимметрично нагруженный шарнирно опертый стер-
жень с S-образной упругой линией (см. рис. 17.6).
В этом особом случае потеря устойчивости прн развет-
влении форм равновесия может произойти до достиже-
ния предельной нагрузки.
Прн слабой нелинейности в некоторых случаях воз-
можно также асимптотическое поведение стержня (пун-
ктирная кривая на рнс. 17.54), характерное для линейно
упругих стержней (см. 17.2.4; 17.2.5). Предельное (асим-
птотическое) значение сжимающей силы зависит от
графика работы материала, от длины стержня, формы
и размеров его поперечного сечення.
Дифференциальное уравнение изгиба
имеет вид (рис. 17.55)
d*u я. — я. / (ст.) — / ( а.)
77= = - ‘ М * - (17.245)
dx’ Л ft
Здесь х. у—координаты точки на осн стержня;
я,, я,— удлинения крайних волокон сечения;
СТ1, ст3 — соответствующие фибровые напряжения;
Л — высота сечения.
В общем случае, прн произвольной форме профиля
стержня н при произвольном законе нелинейной упруго-
сти, возможно только численное решение уравнения
(17.245) (см. 17.7.5).
17.7.4. Аналитическое исследование
равновесных и критических состояний
виецентренио сжатого стержня
с двухточечным профилем
Виецентренио сжатый стержень с двухточечным про-
филем (рнс. 17.56). В этом простейшем случае уравнение
(17.245) интегрируется в квадратурах. Иэ условий рав-
новесия
М = N (с + у)=(О1 — О»)—;
4
F
h' = at,F = (ai + o,)— ,
17.7. НЕЛИНЕЙНО УПРУГИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
235
определяют фибровые напряжения
= (1 + и)<70; а, = (1—и)а0, aQ^H/F.
Здесь М — изгибающий момент; а — эксцентрицитет
приложения продольной сжимающей силы N; и=
=2(a+y)lh. В безразмерных координатах $—2x/h и и
уравнение (17.245) принимает вид [24в]
<Ри 1
(17-246)
где функция двух переменных равна:
ф (По, и) = f ((1 + и) о.) - f ((1 - и) о„]. (17.247)
Прн шарнирном опирании концов стержня граничные
условия на опоре £=0, u=2alh=m н в середине про-
лета i=l/h, u—m+2ymlh=un приводят к выражению
для гибкости стержня
21 Г
*=т)|ф (0°- “,п) _ ф (о”и,г 1/2 (17-248)
где обозначено
и
Ф (Оо. и) = J ф (с0, u) du.
и
(17.249)
Условие потери устойчивости (17.244) преобразуют
к форме <й./ди„=0. Построение равновесного состояния
стержня сводится к двум квадратурам, а определение
крнтичесиой нагрузки требует, кроме того, разыскания
экстремума несобственного интеграла (17.248).
Замкнутое решение получают прн законе не-
линейной упругости
0 / с V
е=Т + “(т) ’ (17-250)
где а — показатель нелинейности. Гибкость стержня на
основании (17.248) выражают с помощью эллиптическо-
го интеграла первого рода
2
Л=—Р(Ф1,*). (17.251)
где приняты обозначения
I = Оо/Е; <р = агссоэ и/ит-.
<Pi = arccos mjum\
i_ n<2|£
“ 2 + 2а? (3 + 4,) ’
Т = I + а? (3 + «£).
(17.252)
Критерий потери устойчивости (17.244) преобразуют
к форме
p'l — fc» sln«<p, [f (ч>1 . «) - Е (Фх.*)J =
/ 1—2й» \
= |1 — * ( —А» ^Фт^^еФ». (17.253)
где Е(<р, А)—эллиптический интеграл второго рода.
График критических напряжений прн а=5-10’ для
ряда разных значений относительного эксцентрицнтета
m=2a/h приведен иа рнс. 17.57.
Решеннедлякубнческого закон а в= (о/с)3
получают как частный случай выведенных соотношений,
полагая а= (Е/с)г и затем устремляя Е к бесконечности.
Гибкость стержня в равновесном состоянии равна:
2Е(Ф,.й) 1с\зр .. ит
A = --- “ I 1 • ff * = --------------.
|/з + г4 6 + 2“т
(17.254)
17.7.5. Численное исследование
равновесных и критических состояний
сжато*изогнутых стержней
Постановка задачи. Закон нелинейной упругости
и форма профиля предполагаются произвольными. Шар-
нирно опертый стержень сжат силой N н испытывает
изгиб от поперечных нагрузок Al,, Р, р и т. д. (рнс. 17.58).
Анализируются равновесные н критические состояния
стержня [10, 11а, 49, 55].
236
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Ниже описывается один из оптимальных алгоритмов
численного решении задачи с помощью ЭВМ.
Процедура наложения. Пусть действующие в сеченнн
усилия М и N известны; требуется построить эпюру нор-
мальных напряжений а. Задача решается наложением
сечения на график работы материала (рнс. 17.59). Удли-
нение крайнего волокна с вогнутой (выпуклой) стороны
равно С| (ej); удлинение в центре тяжести сеченнн — е«.
Рис. 17.58
Высоту сечения h необходимо преобразовать так. чтобы
она стала равной длине (е,—ej) в масштабе графика.
Условия равновесия имеют вид:
Jo<fF=A'; JoodF = M. (17.255)
Текущая координата v отсчитывается от центра тяже-
сти сечения; соответствующее напряжение равно:
a = g(e), е = е0 + -£-(е1 —в,). (17.256)
п
Неизвестные величины е, и ез находят методом двой-
ного направленного понсиа илн иа основе итерационного
процесса (см. 17.11.3).
Процедура интегрирования. Дифференциальное урав-
нение изгиба
— = — 6> ~ Е*- = - V (М, А') (17.257)
dx1 h
численно интегрируют методом Рунге —Кутта при на-
чальных условиях Уо=0 и у„=6о В общем случае гра-
ничное условие на правом
Рнс. 17.59
конце у«=0 не выполнено.
Одну из двух величин
N илн 60 следует изме-
нить так, чтобы это ус-
ловие было удовлетво-
рено.
Равновесное состояние
стержня. Целесообразно
зафиксировать 8о и ис-
кать значение N, удов-
летворяющее гранично-
му условию на правом
конце стержня. В этом
случае прн рассмотрении
первичных равновесных
состояний стержня ис-
ключается двузначность
решения, свойственная
обратной постановке за-
дачи.
Величину сжнмаюшей
силы N определяют методом
направленного поиска, пос-
ле чего становятся известными напряжения н перемеще-
ния каждой точки стержня.
Критическое состояние стержня. Построив несколько
равновесных состояний, наносят соответствующие точки
на график поведения стержня. Критическое состояние
стержня соответствует точке максимума; ордината этой
точки определяет критическую силу N,.
17.7.6. Приближенное определение
критической силы
внецеитреино сжатого стержня
Постановка задачи. Разыскивается приближенное
значение критической силы внецентренно сжатого стерж-
ня. Не преследуется цель анализа напряженного состоя-
ння стержня как в крити-
ческом состоянии, так и в
равновесных состояниях,
предшествующих потере ус-
тойчивости прн достижении
предельной нагрузки.
Метод коллокации осно-
ван на задаинн формы изги-
ба стержня и требовании,
чтобы условия равновесия
выполнялись в л фиксиро-
Рнс. 17.60
ванных сечениях по длнне
стержня. Задача сводится к исследованию изгиба н ус-
тойчивости системы с п степенями свободы.
В простейшем случае шарнирно опертого стержня при-
нимают форму нзгнба в виде полуволны синусоиды
(рнс. 17.60)
лх
F = 4'mSin —.
(17.258)
Напряженное состояние стержня полностью определя-
ется условиями работы одного сечения в пролете: систе-
ма обладает одной степенью свободы (п = |).
Дифференцируя дважды по х соотношение (17.258),
полагая затем х=1Ц и используя зависимость (17.257),
находят
Ут = £-Ч(М.И). (17.259)
Здесь M=N(a+y„) — изгибающий момент в сред-
нем сеченнн стержня.
Для построения равновесного состояния стержня целе-
сообразно фиксировать величину у„ и после ряда нало-
жений подобрать значение
N, удовлетворяющее одно-
Рис. 17.61
временно уравиенням
(17.258) н (17.259). Крити-
ческое состояние выделяет-
ся с помощью условия
(17.244) [21а, 33, 51].
Оценка погрешности. Ме-
тод коллокации приводит к
несколько преувеличенным
значениям критической си-
лы N,.
Графики критиче-
ских напряжений для
стержней с различными фор-
мами профиля с помощью
метода коллокации построены в работе [55]. Материал
обладает свойством линейной упругости прн е<егП.
о<ооц; при е>еОп закон нелинейной упругости выра-
жается суммой четырех экспонент. Условный предел
17.8. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ И СЖлГО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
237
текучести принят От=2аго, асимптотическое напряжение
а1с = 1.2от (рнс. 17.61).
Одни нз графиков критических напряжений (для дву-
таврового профиля) представлен на рис. 17.62. Он со-
держит семейство кривых, соответствующих ряду значе-
ний относительного эксцентрицитета m=aF/W, где IF —
момент сопротивления сечення. По осн абсцисс отложе-
на относительная гибкость л=Х/Хт, Хт=я Е/От.
17.7.7. Качественный критерий устойчивости
сжато-изогнутых нелинейно упругих
стержней
Качественный критерий устойчивости
сжато-нэогнутых нелинейно упругих стержней в отли-
чие от экстремальных критериев (17.243) нлн (17.244)
не требует вычисления производных dNldy„ или dl/dym.
Он позволяет оцепить устойчивость одного рассмотрен-
ного равновесного состояния стержня; такая оценка с по-
мощью экстремальных критериев (17.243) нлн (17.244)
невозможна [5а, Па].
Качественный критерий устойчивости основан на свой-
ствах заменяющего стержня.
Анализ равновесного состояния сжато-
изогнутого нелинейно упругого стержня определяет на-
пряжение в каждой его точке о=о(х, о), где х — абс-
цисса, указывающая место сечення. о — координата,
определяющая положение волокна в сечении (см.
рис. 17.55). После этого, пользуясь графиком работы
материала (или аналитическим законом нелинейной уп-
ругости). находят касательный модуль Е<, соответствую-
щий напряжению а(х, о), и вычисляют коэффициент
Ш<1
Е. 1 da
»1».»)=Т=7Т- (17.260)
Е Е de
Сеченне заменяющего стержня получают заме-
ной ширины каждого волокна Ь(о) шириной 6(о)
ш(х, о). Площадь сечення заменяющего стержня равна:
Fa = |б(о)ш(х, о) do. (17.261)
Символом /„ обозначают момент ннерцнн площади
заменяющего стержня Fo относительно центра тяжести
этой площади.
Заменяющий стержень получают, нанизывая
центры тяжести всех сечений Fa на прямолинейную ось,
длина которой равна длине исследуемого стержня I.
Разыскивают критическую силу при разветвлении форм
равновесия Na заменяющего стержня, рассматривая его
как центрально сжатый линейно упругий стержень с пе-
ременной жесткостью Е1а (см. 17.5).
Рнс. 17.64
Для шарнирно опертого стержня приближенно можно
принять
Л'о=’“7-’ (17262)
где Е1„ — жесткость заменяющего стержня в середине
пролета; £ — коэффициент, учитывающий переменность
сечения по длине. В случае решения по методу колло-
кации обычно полагают &=1.
Критерий устойчивости. Если >N, то исследуемый
стержень находится в устойчивом состоянии, т. е. N<N..
При обратном знаке неравенства равновесное состояние
стержня неустойчиво, следовательно. N>N,. Если
N„=N, то исследуемый стержень находится в крити-
ческом состоянии; условие
N = Na=N, (17.263)
является признаком потерн устойчивости прн достиже-
нии предельной нагрузки.
Кривую зависимости крнтнчесиой силы заменяющего
стержня (V„ от характерной деформации ут исследуе-
мого стержня помазывают иа графике поведения
(рис. 17.63). Точки А н А' соответствуют границе ли-
нейно упругой стадии работы материала (фибровое
напряжение достигает предела пропорциональности а0П),
точка В является критической для исследуемого стержня.
Удобно также строить зависимость На от N
(рнс. 17.64). Ветвь кривой, лежащая выше биссектрисы
координатного угла, соответствует устойчивым, ветвь,
расположенная ниже биссектрисы, — неустойчивым со-
стояниям исследуемого стержня.
17.8. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ
И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
17.8.1. Упруго-пластический материал.
Обозначения
Упруго-пластический материал характе-
ризуют следующие три основные свойства:
а) нелинейность зависимости между напряжением а
н деформацией в в целом; на отдельных стадиях эта
зависимость может быть линейной;
i38
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
б) текучесть материала, определяющая рост деформа-
ции при постоянном (илн почти постоянном) напряже-
нии;
в) необратимость деформаций, связанная с возникно-
вением остаточных деформаций прн разгрузке.
Прн упруго-пластической деформации часть энергии
расходуется на изменеине кристаллической решетки ма-
териала; диссипация (рассеивание) энергии делает си-
стему иеконсерватнвной. Энергетические теоремы, осио-
Рнс. 17.65
ванные на свойствах потенциальной энергии системы,
в этом случае неприменимы.
Схематический график работы упруго-
пластического материала (рис. 17.65) показывает: стадию
упругой работы прн e<eou, о<апц (прямая ОЯ), когда
связь между деформацией в и напряжением о линейна
о=Ее (Е — модуль упругости); переходную кривую АВ,
соединяющую предел пропорциональности (воя. Оцц)
с пределом текучести (ст, от); площадку текучести (пря-
мая ВС), характеризующую быстрый рост деформации
при постоянном (илн почти постоянном) напряжении о»;
стадию самоупрочиения (кривая CD) с напряжениями
о>о».
Разгрузка происходит по линейному закону (пунктир-
ная линия PQ иа рис. 17.65) с модулем разгрузки Е'я>Е.
Исследование изгиба и устойчивости сжатых и сжато-
язогиутых упруго-пластичесинх стержней основано иа
анализе малых нзгнбиых перемещений, используется ги-
потеза плоских сечений. Предполагается сохранение плос-
кой формы изгиба как в устойчивых, так и в неустой-
чивых состояниях стержня. Влияние касательных напря-
жений не учитывается.
В практических задачах обычно принимают во внима-
ние не все свойства упруго-пластического материала,
а только некоторые нз них. Если используют предполо-
жение об активности деформации, то разгруз-
ка не происходит, и упруго-пластический материал мож-
но рассматривать иак нелинейно упругий
(см. 17.7).
Идеализация свойств материала позволяет существен-
но облегчить решение задач изгиба н устойчивости.
Материал с линейным упрочнением
(рис. 17.66, а) обладает упругими свойствами а=Ее прн
е<ег, о<от. В случае е>ет, о>от линейная зависи-
мость между напряжением н удлинением определяется
модулем деформации фЕ<Е прн догрузке
о —от = фЕ(в —Вт), а = ф£в + (1-ф)ат (17.264)
или модулем упругости Е при разгрузке.
Идеальный упруго-пластнчсскнй ма-
териал обладает свойством неограниченной текучести
прн е>ет, а=Ог (график Праидтля, рис. 17.66,6). Раз-
грузка определяется модулем упругости Е.
Основные обозначения:
N — сжимающая сила;
Л'. — критическая сила;
F—площадь поперечного сечення;
I — момент инерции поперечного сечення;
Оц = К IF—осевое напряжение;
ot = NtIF— критическое напряжение;
I — длина стержня;
/. — свободная длина стержня;
Л— гибкость стержня.
Рис. 17.66
17.8.2. Устойчивость центрально
сжатых стержней
Центрально сжатый стержень представляет собой иде-
альную систему и до потерн устойчивости сохраняет пер-
воначальную прямолинейную форму. В основу исследо-
вания устойчивости положен график работы материала,
представленный на рнс. 17.65.
Потеря устойчивости в упругой обла-
сти возможна для стержней высокой гибкости Х^Х,пд,
где граничная гибкость равна >.D0=n V^E/Ooo. Крити-
ческая сила н критическое напряжение на основании
обобщенной формулы Эйлера (17.47) равны:
п*£7 п’Е
N, = —Т • •
:2 К*
(17.265)
Прн этом критическое напряжение а, ие превосходит
предела пропорциональности апц.
Рнс. 17.67
Потеря устойчивости в упруг о-n ласти-
ческой области была исследована Ф. Энгессе-
ром (501 и Т. Кврмаиом [52] на основе концепции
Эйлера. В формировании теории большую роль сыграли
критические замечания Ф. С. Ясинского [47]. На-
ложение поперечного сечення произвольной фор-
мы на график работы упруго-пластического мате-
риала показано на рис. 17.67. Нзгибные деформации
стержня в начальный момент выпучивания определяют-
ся: в зоне догрузки — касательным модулем Ei=dolde,
а в эоне разгрузки — модулем разгрузки Е' = Е. Пусть
17.6. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
239
будут Si(Sj) и Л (6)— статический момент и соответ-
ственно момент инерции зоны догрузки (разгрузки) от-
пснтельно оси, проходящей через нулевую точку эпюры
дополнительных напряжений изгиба. Положение этой
оси определяется из условия равновесия EtSi=ESi.
Приведенный модуль равен
Дальнейший анализ полностью аналогичен выводу
формулы Эйлера. Критическая сила и критическое на-
пряжение
rfEhl
(17.267)
вызывают потерю устойчивости прн разветвлении форм
равновесия. Критическое напряжение зависит от гибко-
сти стержня X, от очертания графика работы матери-
ала на участке переходной кривой АВ (см. рнс. 17.65)
и от формы поперечного сечения стержня. Схематиче-
ское очертание графика критических напряжений цент-
рально сжатого стержня показано на рнс. 17.68 сплош-
ной линией.
Концепция Ф. Шенли [45] устанавливает воз-
можность криволинейных равновесных состояний цент-
рально сжатого стержня в условиях непрерывно возра-
стающей сжимающей силы п. В начальный момент вы-
пучивания разгрузка не происходит, так как бесконечно
малые растягивающие напряжения изгиба компенсиру-
ются бесконечно малым приращением осевого сжатия.
Закрнтическне состояния криволинейного равновесия
характеризуются разгрузкой со стороны растянутого от
изгиба волокна [31]. Наименьшая сжимающая сила и
соответствующее напряжение, прн которых становятся
возможными криволинейные формы равиовесня в усло-
виях непрерывного возрастания сжимающей силы, про-
порциональны касательному модулю:
N = ~r- £' = Ь). <17-268)
График поведения центрально сжатого упруго-пласти-
ческого стержня показан на рнс. 17.69; в качестве ха-
рактерного перемещения принят прогиб в середине про-
лета у„. Точка К соответствует критическому состоя-
нию по теории Энгессера — Кармана, точка К' соответ-
ствует концепции Шснлн.
Стержень может начать отклоняться от прямолиней-
ной формы равновесия при осевом напряжении о0 в ин-
тервале о. <ас<а>, если сжимающая сила возрастает
и прямолинейная форма до этого ие была нарушена.
Поэтому участок осн ординат на графике (рис. 17.69)
между точками К’ н К рассматривают как зону не-
устойчивости.
Критические напряжения а по Шенли показаны иа
графике (рнс. 17.68) пунктирной линией.
Несмотря на внешнее сходство формул Энгессера
(17.241) и Шенли (17.268). они относятся к разным яв-
лениям. Первая из них определяет для нелинейно упру-
гого стержня величину критической силы, вызывающей
потерю устойчивости прн разветвлении форм равнове-
сия. Формула (17.268) определяет наименьшую величи-
ну сжимающей силы, при которой становятся возмож-
ными криволинейные формы равновесия центрально
сжатого упруго-пластического стержня в условиях не-
прерывного возрастания сжнмаюшей силы. Это явле-
ние качественно отличается от потерн устойчивости
в эйлеровом смысле, так как здесь прн напряжении о.
стержень остается прямолинейным н не существует
смежных форм равновесия. Ответ иа вопрос, следует ли
относить такого рода бифуркацию к явлениям потери
устойчивости илн же нет, зависит от строгой формули-
ровки приэнаиов потерн устойчивости. С практической
точки зрения разветвление форы равновесия в условиях
возрастающей нагрузки следует рассматривать как осо-
бое, критическое состояние стержня.
Концепция Ф. Шенли не означает возврата к «теории
касательного модуля», первоначально выдвинутой
Ф. Энгессером, так как возможность реализации рас-
сматриваемых явлений существенно зависит от поведе-
ния сжнмаюшей силы в процессе выпучивания.
Модель с одной
степенью свободы
(рис. 17.70) иллюстриру-
ет концепцию Шенли.
Прн сжимающей силе N
модель сохраняет состо-
яние прямолинейного ра-
вновесия (t/=«0), при
N+&N возможно откло-
ненное равновесное сос-
тояние (у>0). Опорные
стержни 1 и 2, обладаю-
щие упруго-пластически-
ми свойствами, в резуль-
тате перехода модели к
отклоненному равновес-
ному состоянию приоб-
ретают деформации ei Рис. 17.70
(укорочение) и ез^О
(удлинение). Стержень
/ испытывает догрузку и работает с касательным моду-
лем Ei, стержень 2 — разгрузку и работает с модулем
Е. Если Г —площадь поперечного сечения каждого нз
стержней, то условия равиовесня имеют вид:
&N = F{etEl-etF.y, 1
№ = W(elE/ + e1E).J
Используя геометрическое условие
Л у
^(е. + е.)=т,
находят
1 !2byEt ДМ\
4 - Е + Е, I lh F )
(17.269)
(17.270)
(17.271)
240
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Второе из условий равновесия (17.269) преобразуют
к виду
^n = ^/_L_±\
/Л F \Et Е/
где обозначено
(17.272)
Потеря устойчивости в эйлеровой смысле, при ДЙ/=0.
возможна только в случае Ь=0, откуда определяют
приведенно-модульную критическую силу
WF Et Е
lh ‘ Et + E ’
(17.274)
соответствующую критической силе Энгессера — Карма-
на (17.267).
Далее определяют сжимающую силу N, прн которой
становятся возможными отклоненные формы равнове-
сия. если ДА/>0. Найдя у нз условия (17.272), приво-
дят второе из уравнений (17.271) к виду
AN FAf-L
F {Et + E) holf.
(17.275)
Наименьшее значение сжимающей силы А/, при кото-
ром е2 имеет неотрицательную величину, находят, при-
равнивая пулю выражение в прямых скобках. Отсюда
находят касательно-модульную критическую
силу
N-=2-^.
• lh
(17.276)
соответствующую критической силе Шенлн (17.268).
Исчерпание несущей способности при
с0=от теоретически возможно для стержня нз идеаль-
но упруго-пластического материала (рнс. 17.66,6) при
малой гибкости Х<ХТ, где граничная гибкость Х,=
=л V Ela-t. График критических напряжений для тако-
го стержня показан на рис. 17.68 штрнхпунктнрной ли-
нией.
Устойчивость центрально сжатого
стержня нз л и не й н о-у п рочн яюще гося
материала (см. рнс. 17.66,0) требует специального
рассмотрения, так как площадка текучести, строго гово-
ря, отсутствует и критическое напряжение может прев-
зойти предел текучести о». Три характерные точки на
осн абсцисс графика критических напряжений
(рнс. 17.71) определяются граничными гибкостями:
(17.277)
В случае непрерывно возрастающей нагрузки крити-
ческие напряжения стержня соответствуют линии
QPTS-. разветвление форм равновесия по Шенлн про-
исходит прн критическом напряжении
, л*ф£
».= -£-• (*<М- <|7-278>
В интервале гибкостей Х^<Х<ХТ критическое на-
пряжение постоянно и равно a,=ot.
Линия LKTS на графике определяет критические на-
пряжения стержня, теряющего устойчивость по теории
Энгессера — Кармана прн Х<Х*.
На рис. 17.71 показаны также графики поведения
стержня, основанные иа решении задачи в геометриче-
ски линейной постановке. Символом уо обозначена нан-
Рнс. 17.71
большая ордината кривой выпучивания прн критическом
напряжении о.; дальнейший рост прогиба у сопровож-
дается возрастанием (прн Х<Хк) или убыванием (Х>
>Х») осевого напряжения а»
17.8.3. Изгиб и устойчивость
сжато-изогнутых стержней
Сжато-изогнутый стержень в общем слу-
чае представляет собой нендеальную систему. Исклю-
чением является, например, особый случай стержня, ис-
пытывающего изгиб по S-образной кривой (см. 17.7.3).
Процесс нагружения обусловлен возрастани-
ем сжимающей силы N. Предполагается, что упруго-
пластическая деформацня является активной в каж-
дой точке стержня, т. е. что нормальное напряжение о
нигде не убывает. Прн этих условиях разгрузка ие про-
исходит н упруго-пластический материал ведет себя
как нелинейно упругий [11а, 33, 49, 51].
Потеря устойчивости прн достижении пре-
дельной нагрузки определяется теми же условиями, что
и для стержней из нелинейно упругого материала. Со-
храняют силу критерии устойчивости, изложенные
в 17.7.3 и 17.7.6.
Методы исследования изгиба и устой-
чивости рассмотрены в 17.7.3 и 17.7.4. Для прибли-
женного определения критической силы может быть ис-
пользован метод коллокации (см. 17.7.5).
17.8.4. Сжато-нзогиутые стержни
из идеального упруго-пластического
материала
Идеальный ynpyro-пластнческнр мате-
риал (см. рнс. 17.66,6) обладает свойством неограни-
ченной текучести, при е>ет. о=ат. Это свойство, с од-
ной стороны, определяет возможность исчерпания несу-
щей способности сечення вследствие образования
17.8. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
241
пластического шарнира, с другой стороны,
упрощает аналитическое решение задачи. Эти два об-
стоятельства обусловливают целесообразность специаль-
ного рассмотрения изгиба н устойчивости сжато-изогну-
тых стержней нз идеального упруго-пластического ма-
териала [21а, 51].
Сохраняет свою силу допущение об активности де-
формации, принятое в 17.8.3.
Три стадии работы сечення произвольной
формы определяются эпюрой напряжений: упругая ста-
дия (рнс. 17.75,0), стадии односторонней (рнс. 17.75, б, я)
и двусторонней текучести (рис. 17.75, г).
Сечение по высоте разбивается на зоны текуче-
сти (о=а,) и упругое ядро (с<ат).
Исчерпание несущей способности сечення. Развиваю-
щиеся в сечении усилия — сжимающая сила № и изги-
бающий момент М достигают предельной величины,
когда в сечении образуется пластический шарнир
(рнс. 17.72). Напряжение в каждой точке сечення рав-
но (по абсолютной величине) пределу текучести от; при
дальнейшем росте усилия N и М уже ие могут быть
восприняты сечением.
Конечное соотношение между усилиями А/
и М определяется условием: если о0 — осевое напряже-
ние, то сжимающее напряжение от изгиба равно
(От—Оо). растягивающее — (От+ао). Положение нуле-
вой точки иа эпюре напряжений от изгиба определяют из
условия равенства нулю главного вектора этой эпюры.
Отсюда получают конечное соотношение между усилия-
ми N и М в предельном состоянии
Ф(М, ,V)=1. (17.27)
Для прямоугольного сечення (Л — высота, Ь — шири-
на) это уравнение имеет внд [35]
’ N \»
^)=,= (,7 28°>
соответствующая кривая взаимодействия по-
казана на рнс. 17.73.
Исчерпание несущей способности стержня возможно
в том случае, когда стержень статически определим и
пластический шарнир образуется раньше, чем стержень
потеряет устойчивость прн достижении предельной на-
грузки, например, шарннрно опертый стержень, сжатый
продольной силой N н нагруженный опорным моментом
м0 значительной величины (рнс. 17.74). Предельную на-
грузку находят из условия (17.279); она не зависит от
длины стержня.
4М
М*а,
н з г н ба
материала
(17.281)
Дифференциальное уравнение
стержня из идеального упруго-пластического
имеет вил
<Ру от
dx- Сс
где х, у — координаты точки на изогнутой осн; с — рас-
стояние от нулевой точки эпюры напряжений до бли-
жайшего волокна, в котором напряжение равно пределу
текучести а».
Процедура наложен ня сечения на график
работы материала сводится к построению эпюры напря-
жений по заданным усилиям N н Л1. Привиты следую-
щие обозначения: прн односторонней (рис. 17.76, с) и
двусторонней (рнс. 17.76,6) текучести.
Ч. (»«) — расстояние от центра тяжести сечення до
крайнего вогнутого (пыпуклого) волокна;
и— текущая координата по высоте сечення,
отсчитываемая от центра тяжести (направ-
ление к зоне пластического сжатия счита-
ется положительным);
Ь (о) — ширина сечения в точке с координатой и;
и—координата ближайшего к центру тяжести
_ волокна в эоне пластического сжатия;
и = и — 2с — координата ближайшего к центру тяжести
волокна в зоне пластического растяжения.
Расстояиня_и| и считаются положительными; коор-
динаты и и и подчинены правилу знаков, установленно-
му для о.
Задача определения параметров сии. соответствую-
щих известным усилиям М и Д'. решается метолом на-
правленного поиска. В процессе решения приходится
многократно вычислять усилия М н N по заданным зна-
чениям сии.
242
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ стержневых систем
Алгоритм определения М н N основан на
вычислении функций
2 2
I(Z) = f Ь (о) dv; s (г) = — j b (о) odv;
—V. —о*
г
Цг)= Jb(o)o4o, (17.282)
представляющих собой статические характеристики ча-
сти сечення. лежащей ниже волокна с координатой л:
/ — площадь; s — статический момент (по абсолютной
величине); i—момент инерции.
Рис. 17.76
Главный момент н главный вектор эпюры нормальных
напряжении равны:
М= — St [2s (2) + . (г)];
с
N = For- — 2tW(z) + s (г)].
с
(17.283)
Статические характеристики упругого ядра вычисля-
ют по формулам:
1„ = St. (г) - [Sts (2)]»/F„. F„ = St/ (г). (17.284)
Каждая нз сумм в соотношениях (17.283) и (17.284)
содержит по два слагаемых; в первом слагаемом при-
нимают т=4-1, г=и, а во втором т=—1, г=и.
Критерий потерн устойчивости при до-
стижении предельной нагрузки имеет внд условия экст-
ремума (17.243) или (17.244).
Упругое евро, и=1
изменение кестости упругого еВра
Качественный критерий устойчивости,
рассмотренный в 17.7.7 применительно к нелинейно уп-
ругим стержням, сохраняет свою силу также н для уп-
руго-пластических стержней прн условии отсутствия раз-
грузки. Для идеального упруго-пластического материала
0=0 в зонах текучести и <ч— 1 в упругом ядре сече-
ння. Поэтому момент инерции заменяющего стержня
/„ равен моменту инерции упругого ядра /а относи-
тельно центра тяжести этого ядра (рнс. 17.77) [Па].
Прямоугольное сечение. Если h — высота, Ь — ширина
сечения, то относительная высота сжатой зоны упруго-
го ядра в случае односторонней текучести равна [21а]
с 9от Г 21МI ]’
— —--------------- I ст — °о —-----I (17.285)
Л 8 (ст — с0)’ [ 6Л1 J
В случае двусторонней текучести
Замкнутое аналитическое решение за-
дачи об нзгнбе и устойчивости сжато-иэогиутого стерж-
ня прямоугольного сечення для некоторых простейших
нагрузок получил К. Ежек [51]. Эта же задача для ма-
териала с линейным упрочнением рассмотрена в [33].
17.8.5. Приближенное исследование
устойчивости внецеитренно сжатого стержня
прямоугольного сечення из идеального
упруго-пластнческого материала
Внецентренно сжатый стержень прямо-
угольного сечения сжат силой N с эксцентрицитетами
на концах а и ka(|к| С !) Изогнутую ось стержня в кри-
тическом состоянии аппроксимируют дугой синусоиды
(рис. 17.78)
y=!/msiny-, (17.287)
17 8. УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
243
Рнс. 17.82
244
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
где уп — наибольшая ордината, L — длина полуволны
синусомлы. Абсциссу х отсчитывают от начала коорди-
нат, расположенного на расстоянии х0 левее левом
опоры.
Принимая длину стержня равной 1—uLln., где и —
число, подлежащее определению, нз сопоставления за-
висимостей (17.281) н (17.287) находят [40]
Р = — иЧут. (17.288)
от
Относительная гибкость стержня X равна отношению
его гибкости X к граничной гибкости материала Хт =
=л Ve/^; для стержня с прямоугольным сечением:
лЛ
(17.289)
Равновесные состояния стержня. Обозначая <р=
= N/bhcr, z=bymlh и используя зависимости
(17.276), (17.277) для стадии одностороннем н соответ-
ственно двусторонней текучести, находят
г«=—
4л« (1 — ф) \ 1 — Ф /
Величины и и z связаны геометрическим условием.
Так как
лхп sin и ,/----------------
sin—-2 = ------; f(u) = Vl + A1 — 2й cos u , (17.29!)
L /(«)
то. принимая обозначение для относительного эксцентри-
цитета m=6alh, находят
г = mf (u)/sin и. (17.292)
Критические состояния стержня в об-
щем случае k^—l определяют нз условия экстремума
[24г]
d№
— = 0, (17.293)
dz
а в особом случае й =—1—из условий и=л. z=m.
Прн Л=—1 стержень теряет устойчивость в упругой
области, если Х= I/ V<р> V l+m.
График критических напряжений для
стержней нз стали марки Ст. 3 представлен иа рнс. 17.79.
Три кривые на графике для одного н того же значення
относительного эксцентрицитета т соответствуют слу-
чаям k=—1, fc=0 н А=1.
Сравнение результатов с данными более точного ре-
шения на ЭВМ показывает, что погрешность прибли-
женных значений ф положительна прн й=1 и отрица-
тельна прн k=—1.
17.8.6- Влияние формы поперечного сечення
на устойчивость внецентреиио сжатых
стержней из идеального
упруго-пластического материала
Метод коллокации. Для оценки влияния формы про-
филя на критические напряжения внецентренно сжатого
шарнирно опертого стержня с равными концевыми экс-
центрицитетами удобно использовать приближенное ана-
литическое решение, основанное на методе коллокации
(см. 17.7.5).
Используя соотношение (17.281) для сечення в сере-
дине пролета, находят [51]
Р = -— суп. (17.294)
°т
Исследуя напряженное состояние этого сечення. по-
лучают аналитическую зависимость, связывающую пере-
менные с и ут нли непосредственно илн же с помощью
вспомогательного параметра. Критерием потери устой-
чивости служит уравнение
d
— {сут} = 0. (17.295)
<fym
В результате определяют аналитическую зависимость
Х=¥(т. а,), (17.296)
связывающую гибкость стержня X с относительным экс-
центрицитетом m=aF!W и критическим напряжением
о. (f — площадь сечення, W — момент сопротивления
сжатого от изгиба волокна).
Выражение для функцнн Чг содержит также парамет-
ры материала Е, от и параметры формы профиля.
Графики критических напряжений по-
строены для стержней нз стали марки Ст. 3 с пределом
текучести ст=2400 кПсм1 и модулем упругости £=
= 2.1-10' кГ/см1 [246]. Кривые зависимости критиче-
ского напряжения о, от гибкости X соответствуют отно-
сительным эксцентрицитетам
aF
т = — = 0,2; 0,6; 1.2; 2,4 н 4,8-
н-
Симметричный двутавровый профиль (рис. 17.80).
Площадь каждой из полок Fa, площадь стенки £ет =
=aFn, где а — параметр формы.
Симметричный двутавровый профиль, изгиб в плоско-
сти, параллельной полкам (рнс. 17.81). Параметр а име-
ет тот же смысл, что и в предыдущем случае. Результа-
ты применимы также и для крестового профиля.
Тавровый профиль, нзгнб в сторону стенки (рис. 17.82)
и в сторону полки (рис. 17.83). В последнем случае па-
раметр формы a=Fcr!Fc весьма существенно влияет
на величину критических напряжений.
Сплошное круглое и тонкостенное кольцевое сечения
(рис. 17.84).
17.9. ПОДБОР СЕЧЕНИЯ СЖАТЫХ
И СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
17.9.1. Основные положения подбора
сечений сжатых н сжато-изогнутых стержней
Здесь рассматривается только расчет по первому пре-
дельному состоянию — по несущей способно-
сти. Основное расчетное неравенство имеет вид
N < -*пр«д. (17-297)
где N — сжимающая сила в стержне от расчетного со-
четания нагрузок; — предельное значение сжи-
мающей силы, пропорциональное расчетному сопротив-
лению R материала.
Подбор сечений основан иа сравнении нескольких ва-
риантов. Задаются подходящим сечением, удовлетворя-
ющим конструктивным требованиям (материал, габарн-
17.8. ПОДБОР СЕЧЕНИИ СЖАТЫХ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
245
ты сечения, сортамент н пр.), и вычисляют его несу-
щую способность, т. е. предельную нагрузку Мпгил прн
заданных условиях работы. Из нескольких сечений,
удовлетворяющих расчетному неравенству (17.297),
выбирают наиболее экономичное (по затрате материа-
ла, трудоемкости изготовления н т. п.) (56, 32, 38].
Величина предельной нагрузки Л/Орел зависит от вы-
бора критерия, характеризующего предельное состоя-
ние конструкции, т. е. от принятой методики расчета.
Прн проектировании строительных конструкций, за
редкими исключениями, применяют нормативную мето-
дику расчета сжатых н сжато-изогнутых стержней,
предписываемую соответствующими главами СНнП.
В технической литературе рассматриваются также
н другие возможные методы расчета сжато-нзогнутых
стержней, в том числе расчет по деформированной схе-
ме (см. 17.9.3) и расчет, основанный на анализе крити-
ческого состояния стержня в упруго-пластической ста-
дии работы материала (см. 17.9.5).
Ниже рассмотрены принципиальные основы подбора
сечений сжатых н сжато-изогнутых стержней в предпо-
ложении. что плоская форма изгиба сохраняется как
в равновесных, так н в критических состояниях. При-
меры расчета даны для стальных стержней
(СНнП 11-ВЛ62*. Стальные конструкции. Нормы про-
ектирования).
Более полные практические указания по подбору се-
чений и необходимые для этого таблицы следует искать
в главах СНиП, нормирующих проектирование сталь-
ных. алюминиевых, деревянных, железобетонных, бетон-
ных и каменных конструкций, а также в других томах
Справочника, посвященных этим конструкциям.
Расчет тонкостенных стержней см. 17.10.
17.9.2. Расчет центрально сжатых стальных
стержней по нормативной методике
Центрально сжатый стержень относится к идеальным
системам, прн расчете которых учет начальных несо-
вершенств обязателен (см. 17.1.13).
Основное расчетное неравенство имеет вид
N < <fFR. (17.298)
где F— площадь поперечного сечекня стержня; <р=
= с./ст— коэффициент снижения расчетного сопротив-
ления при центральном сжатии, равный отношению кри-
тического напряжения а. к пределу текучести материа-
ла от; R — расчетное сопротивление материала.
Коэффициент ф является функцией гибкости
стержня
(17.299)
где — свободная (расчетная прн проверке устой-
чивости) длина стержня; I—геометрическая длина
стержня; (1 — коэффициент свободной длины (см. 17.1.14,
17.4.1); г — радиус инерции поперечного сечення; I —
момент инерции поперечного сечення стержня.
Для стальных стержней критическое напряжение о.
соответствует потере устойчивости прн достижении
предельной нагрузки виецентреино сжатого стержня
той же гибкости X с относительным начальным (слу-
чайным) эксцентрицитетом
"4 = -^- (17.300)
где до — плечо силы N, И7 — момент сопротивления по-
перечного сечения стержня.
Вычисление а. основано на представлении об идеаль-
ном упруго-пластическом материале (см. рис. 17.66,6)
и прямоугольной форме поперечного сечения стержня.
График зависимости т» и ф от гибкости X для стали
марки Ст.З представлен на рнс. 17.85.
Табл. 17.14 содержит нормативные значения коэффи-
циента ф для сталей разных марок.
Пример 17.6. Сжатый по-
яс фермы образован из двух
равнобоких уголков 125X14
по ГОСТ 8509-57 (рис.
17.86). Материал — Ст. 3,
расчетное сопротивление
«=2100 кГ1смг. Свободные
длины стержня /,х=3 м,
1^=6 м. По сортаменту
площадь поперечного сече-
ння Г=2-33,4=66,8 он3; ра-
диусы инерции г«=3,80 см,
г,=5,60 см. Гибкости стер-
жня равны:
Рнс. 17.86
х~ 3,80 ~ 791 у~ 5,60
= 107.
По табл. 17.14 для Ст.З и гибкости Х=107 находят
Ф=0,544, следовательно, предельная нагрузка сгерж 1я
равна:
Л1пред = ф£/7 = 0,544-66,8-2,1 = 76 т.
17.9.3. Расчет сжато-нзогнутых стальных
стержней по деформированной схеме
Рассматривается стержневая система со сжатоиэог-
нутымн элементами. Предполагается линейно упру-
гая работа материала вплоть до достижения наиболь-
шим фибровым напряжением предела текучести [16,19]
®мвкс=<7т- (17.301)
Определение напряжений производится на основе
246
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17.14
Коэффициенты ф продольного изгиба центрально сжатым
элементов
Гибкость X Значения ф для элементов нз стал» марок
Ст. 3 Ст. 4 Ст. 5 14Г2. 10Г.С1 15ХСНД 10ХСНД
0 1.00 1.00 1.00 1.00
10 0.99 0,98 0,96 0,96
20 0.97 0.96 0.95 0.95
30 0.95 0.93 0.92 0.92
40 0.92 0.89 0,89 0.88
50 0.89 0.85 0.64 0.82
60 0.86 0.60 0,78 0.77
70 0.81 0.74 0.71 0.68
во 0,75 0.67 0,63 0.59
90 0.69 0.59 0.54 0.50
100 0.60 0.50 0.46 0.43
но 0.52 0.43 0,39 0.36
120 0.45 0.37 0.33 0,31
130 0.40 0.32 0.29 0.27
140 0.36 0,28 0.2$ 0.23
150 0.32 0,25 0.23 0,20
160 0,29 0,23 0,21 0.18
170 0.26 0.21 0.19 0,16
180 0,23 0.19 0,17 0,14
190 O.2I 0,17 0.16 0.12
200 0,19 0,15 0,13 о.н
210 0.17 0.14 0,12 0,10
220 0.16 0.13 0.11 0.09
расчета по деформированной схеме с учетом влияния
продольных сжимающих сил (см. 17.2, 17.3).
Основное расчетное неравенство для одного нз сжа-
то-нзогнутых стержней снстемы можно представить
в виде
.V < (17.302)
где <рвм=<гоп/От — коэффициент снижения расчетного
сопротивления прн внецентренном сжатии; сОп — осе-
вое напряжение в стержне, соответствующее наступле-
нию фибровой текучести в наиболее напряженной точ-
ке системы.
Прн расчете идеальных систем по деформированной
схеме неустойчивость равновесного состояния не может
быть обнаружена. Например, сжато-изогнутый стер-
жень. нагруженный антисимметричной относительно се-
редины пролета нагрузкой, изгибается по S-обраэной
кривой (см. рнс. 17.6,6). Равновесное состояние стерж-
ня, соответствующее точке At на графике поведения
(см. рнс. 17.7), неустойчиво, так как N>N., но можно
допустить, что напряжения нн в одной точке не пре-
вышают предела пропорциональности. Учет даже само-
го малого по величине несовершенства нарушает иде-
альную антисимметричную форму изгиба и приводит
к точке Аг (см. рнс. 17.7), для которой N<N..
Поэтому прн расчете по деформированной схеме
идеальных систем учет начальных несовершенств обя-
зателен.
Пример 17.7. Шарнирно опертый стержень длиной
1—14,2 м сжат продольной силой Н, приложенной
с равными концевымн эксцентрицитетами <1=19,3 см.
Сечение стержня показано на рнс. 17.87, а. Материал —
сталь марки Ст.З.
Основные геометрические характеристики сечения:
площадь F=150 см1, момент инерции /=78000 см*,
момент сопротивления 17=2890 см1, радиус инерции
г=22,8 см.
Гибкость стержня в силовой плоскости Х=
= 1420/22,8 = 62.
Относительный эксцентрицитет
aF 19.3-150
m =-----=-----------= I.
V/ 2890
а)
О 0
По данным табл. 17.5 находят изгибающий момент
в середине пролета
Приравняв напряжение в среднем сеченин пределу
текучести
прн модуле упругости £=2,1-10’ кГ/см1, о.=
=2400 кПсм1 находят после нескольких попыток и=
= 1,383, следовательно,
и*£ 1043
°оп = -Z7- = «ИЗ кГ/см1; <р«" = —— = 0,435.
Л* 24W
Эпюра напряжений в среднем сеченин стержня в мо-
мент достижения фибровой текучести представлена на
рис. 17.87.6.
Предельная нагрузка стержня при Л=2100 кГ/см1
равна:
Л'пред = 0.435-150-2.1 = 137 m.
17.9.4. Расчет сжато-нзогиутых стальных
стержней по нормативной методике
Нормативная методика расчета сжато-изогнутого
стержня, входящего в состав стержневой системы, ос-
нована иа приведении его к эталонному шарнир-
но опертому виецентренио сжатому стержню прямо-
угольного сечення.
Расчет распадается иа следующие этапы:
а) Расчет стержневой системы классическими мето-
дами (без учета продольных сил) н определение рас-
четных усилий для стержня N н М.
Расчетный изгибающий момент М определяют в со-
ответствии с указаниями СНиП в зависимости от очер-
17.0. ПОДБОР СЕЧЕНИИ СЖАТЫХ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ СТЕРЖНЕЙ
247
Таблица 17.15
Коэффициенты п ымаваа формы сечення для вычисления приведенного эксцентрицитета Щ|«Т)/п
Тип сечении Схеме сечення Значения т) при
20 < А < 150 v > ISO 1
1 "Illi -ч-~ч O.775+O.OOI5A 1.0
Б 1 1 пг а а а ПГ, 1.3+0.5}/т 1.3—0.002А 1Л+0.5]/т 1.0 1.0 1.0
• Для сече нмй типа 2 формула действительна при Fr/Fi < *-
тання эпюры изгибающих моментов на длине стержня.
В частном случае внецентренно сжатого стержня с рав-
ными концевыми эксцентрицитетами а расчетный мо-
мент равен M—Na.
б) Определение свободной длины для каждого из
сжато-нзогнутых стержней системы с помощью мето-
дов, описанных в 17.4. Гибкость стержня X находят по
формуле (17.299).
в) Определение приведенного эксцентрицитета
MF
= (17303)
где г) — коэффициент влияния формы сечення (значе-
ния г) для стальных стержней даны в табл. 17.15).
г) Определение коэффициента снижения расчетного
сопротивления при внецентрениом сжатии <рви—о./от,
зависящего от гибкости стержня X н приведенного экс-
центрицитета Ш|.
Для стержней сплошного сечення из стали марки
Ст.З эта зависимость дана в табл. 17.16. Положенное
в основу таблицы критическое напряжение с. соответ-
ствует потере устойчивости прн достижении предель-
ной нагрузки эталонного стержня, т. е. внецентренно
сжатого стержня той же гибкости X с относительным
эксцентрицитетом т,. Сечение стержня принято прямо-
угольным, материал — идеальным упруго-пластическим.
Для сквозных (решетчатых) стальных стержней ко-
эффициент ф*" определяют по другой таблице, осно-
ванной иа критерии фибровой текучести (17.301).
В этом случае коэффициент Ф*“ зависит от приведен-
ной гибкости стержня (см. 17.5.1).
д) Оценка несущей способности сечения по форму-
ле (17.302).
Оценка погрешности нормативной методики
для сжато-нзогнутых стержней, входящих в состав
сложной системы (рамы), затруднительна.
Для шарнирно опертых внецентренно сжатых сталь-
ных стержней с симметричным относительно нейтраль-
ной оси профилем погрешность нормативной методики
невелика. Эта погрешность становится более значитель-
ной для стержней с несимметричным сечением.
Пример 17.8. Стержень, рассмотренный в примере 17.7
(рис. 17.87,а). Гибкость стержня Х=62. По твбл. 17.15
находят для двутаврового профиля коэффициент влия-
ния формы поперечного сечення
т)= 1,45 — 0,003Х = 1,264.
Приведенный эксцентрицитет
m, = T]m= 1,264-1 = 1.264-
По Х=62 и ГП| = 1,264 с помощью табл. 17.16 полу-
чают ф’" =0,487.
Предельная нагрузка стержня
^« = 0,487-150-2,1 = 153 m.
17.9.5. Расчет сжато-изогнутых стальных
стержней по критическому напряжению
Несущая способность сжато-изогнутого
стержня в подавляющем большинстве случаев ограни-
чена потерей устойчивости при достижении предельной
нагрузки в стадии нелинейно упругой нли упруго-плас-
тической работы материала.
Методы определения критической нагрузки для изо-
лированных стержней рассмотрены в 17.7 и 17.8, для
стержневых систем — в 17.11.
Решение задачи требует значительного объема вы-
числений, поэтому практическая реализация расчета
предполагает применение ЭВМ.
Пример 17.9. Стержень, рассмотренный в примерах
17.7 и 17.8 (рнс. 17.87, в). Расчет выполнен с помощью
248
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17.16
Коаффяциеиты Фот ляя сплотиостеичатых стержней нз стали нарки Ст.З
Гиб- кость X Значения 1000 ф вн при приведенном эксцентрицитете т(
0.1 0.25' 0.50 0.75 1.0 1.25 1.50 1,75 2.0 2.S 3.0 3.5 [4.0 4.5 S.0 5.5 6.0 6.S 7.0 8.0 |9.<3 ю.о | 12.0 14.0 | 17.0 1 20.0
10 1 967 920 847 781 721 667 618 574 535 468 414 370 333 303 285 256 235 220 205 182 162 147 123 | 106 089 075
939 687 800 729 673 623 677 536 501 439 390 349 315 288 263 243 225 210 196 174 157 141 120 102 085 072
30 942 868 773 699 641 592 550 511 478 420 373 335 303 277 254 234 218 203 191 169 152 138 117 100 084 071
40 920 846 743 668 608 560 520 484 453 399 355 320 290 265 243 226 210 196 184 164 148 135 114 098 083 070
«90 820 711 634 574 528 490 456 427 377 338 304 277 253 234 216 201 189 177 159 143 130 ’ 111 096 081 069
60 860 788 674 598 540 495 459 428 402 355 319 289 263 24! 224 207 193 182 171 153 138 126 107 094 079 068
70 810 749 634 560 505 463 429 401 377 334 301 273 249 230 2.3 198 185 174 164 147 134 122 104 091 077 066
во 750 701 591 521 471 432 400 374 353 314 283 258 236 218 203 189 177 167 157 142 129 118 101 089 075 065
90 690 648 546 483 436 401 372 348 329 294 266 243 224 207 192 180 169 160 151 136 124 114 098 087 073 063
100 600 590 600 444 403 371 345 324 305 275 250 229 211 197 183 172 161 IS3 144 131 120 НО 095 084 071 062
110 520 520 456 407 371 342 320 301 234 267 234 216 200 186 173 163 IS4 146 138 126 115 106 092 081 069 060
120 450 460 413 372 341 316 296 279 264 239 221 203 189 176 165 155 147 138 132 120 НО 102 089 079 067 059
130 400 400 374 339 312 291 273 258 246 224 206 191 178 166 156 147 139 132 126 115 106 096 066 076 065 057
140 360 360 338 309 287 268 253 240 228 209 193 180 168 158 149 140 133 126 121 НО 102 095 084 074 063 055
150 320 320 306 282 263 248 234 222 212 195 182 169 1S8 149 141 133 126 120 I1S 106 099 091 080 071 062 054
160 290 290 277 257 241 228 216 206 197 182 170 159 149 141 134 127 120 1,5 ПО 101 094 067 077 069 050 053
170 260 260 252 237 222 211 200 192 184 170 159 150 |.41 134 127 120 114 110 105 097 090 | 084 074 067 059 052
180 230 230 229 216 204 194 185 178 .7. 169 149 4. аз 126 120 114 109 104 .00 093 |оВ6 080 072 065 057 051
190 210 210 210 199 188 180 172 .66 160 149 141 133 ||26 120 ||14 109 104 099 096 090 |о83 078 | 070 063 055 049
200 190 190 190 182 174 167 160 1S4 149 НО 132 125 |119 ИЗ 107 103 099 093 092 086 079 075 067 061 0S3 048
метода коллокации (см. 17.7.5 и 17.8.6) в предположе-
нии. что материал стержня идеальный упруго-пласти-
ческий с пределом текучести ст=2400 кГ/см1. Толщи-
на полок двутавра принята пренебрежимо малой по
сравнению с высотой профиля.
Эпюра напряжений в среднем сеченин стержня в мо-
мент потерн устойчивости при достижении предельной
нагрузки представлена на рнс. 17.87, в. Сечение испы-
тывает одностороннюю текучесть. Критическое напря-
жение с =1080 кГ/см1, следовательно, <р,я=о /От =
=0.450.
Предельная нагрузка стержня
*„₽« = 0,45.15-2,1 = 142 m.
17.9.6. Сопоставление результатов расчета
виецентренио сжатого стержня
по трем различным методикам
Сравнение результатов расчета виецентренио сжато-
го стального стержня в примерах 17.7, 17.8 и 17.9 дано
на схематическом графике поведения (рис. 17.88).
Масштаб выдержан только в направлении осн ор-
динат.
Расчет по критическим напряжениям дает наиболее
точный результат. Расчет по деформированной схеме
приводит к некоторой недооценке несущей способности
стержня. Для двутаврового профиля разница в вели-
чине предельных нагрузок, найденных по этим двум
17.10. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ ТОНКОСТЕННЫЕ СЖАТЫЕ И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
249
методикам, невелика; в рассмотренном случае она со-
ставила всего 3,5%. Для прямоугольного сечення эта
разница будет более значительна.
Нормативная методика в данном случае привела
к преувеличению несущей способности стержня на 7,8%
Рис. 17.88
по сравнению с предельной нагрузкой, вычисленной иа
основе анализа устойчивости стержня. Этот частный
результат не может быть распространен на другие слу-
чаи, для которых погрешность, связанная с примене-
нием нормативной методики, может отличаться от най-
денной выше не только по абсолютной величине, ио
н по знаку.
17.10. ЛИНЕИНО УПРУГИЕ
ТОНКОСТЕННЫЕ СЖАТЫЕ
И СЖАТО-ИЗОГНУТЫЕ СТЕРЖНИ
17.10.1. Дифференциальные уравнения
равновесия тонкостенных стержней
Основные положения теории линейно упругих тон-
костенных стержней см. раздел 5.
Рассматриваются сжатые и сжато-изогну-
тые стержни с открытым тонкостенным
поперечным сечением, постоянным по длине
пролета.
Стержень длиной I сжат продольной силой N и не-
которой вызывающей изгиб и кручение нагрузкой, ко-
торая возрастает рилорцноиальк. увеличению силы N
(рис. 17.89). Дифференциальные уравиеиня равиовесня
тонкостенных линейно упругих стержней были впервые
получены В. 3. Власовым [7):
Е1у1 +К + (Мх + ау N) ч> = Му.
Elxi] + Wi) + (Му — их Л') <р =— Мх;
(Мд + Л) g + (М* - ах Л') п+£/и ф' +
+ (г» N + 2₽х Mv - 2₽„ Мх - GId) <г = 0.
(17.304)
Здесь £, С — модуль упругости и модуль сдвига;
h, 1у — моменты ннерцнн сечення относительно глав-
ных осей; /в — момент ннерцнн сечення при кручении;
1О — бнмомент ннерцнн сечення (секторнальиый мо-
мент); F — площадь поперечного сечения; £, з)—ли-
нейные перемещения точки иа осн стержня с абсцис-
сой г; х, у —координаты точки сечення; <р — угол за-
кручивания сечення с абсциссой z; Мх, М, — нагибаю-
щие моменты от поперечной нагрузки, вычисленные без
учета влияния продольной сжимающей силы; ах,ау —
координаты центра изгиба.
Геометрические характеристики г, Рж н 0V вычисляют
₽z = -^- p(*s + y’)df-flx;
0|,= J У (*’+»’)<!£ —Од-
(17.305)
Уравнения (17.304) должны быть дополнены шестью
граничными условиями, отражающими опорные закреп*
лення концов стержня.
Система трех линейных дифференциальных уравнений
второго порядка (17.304) интегрируется в замкнутой
250
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
форме для некоторых простейших случаев нагрузки н
простейших поперечных сечений. В общем случае эти
уравнения решают численно.
Приближенное решение уравнений (17.304) основано
на аппроксимации кривых изгиба н кручения известны-
ми функциями, удовлетворяющими условиям закрепле-
ния концов стержня. Затем требуют, чтобы дифферен-
циальные соотношения (17.304) удовлетворялись в от-
дельных сечениях на длине стержня (метод колло-
кации). Другая возможность заключается в использо-
вании процедуры Бубнова — Галеркнна.
Уравнения (17.304) являются приближенными; обзор
более точных постановок задачи см. [1].
17.10.2. Изгиб и кручение тонкостенных
сжато-изогнутых стержней
Если сжато-изогнутый стержень находится в состоя-
нии устойчивого равновесня, то система уравнений
(17.304) имеет строго определенное н конечное по ве-
личине решение. Здесь исключается случай однородных
уравнений с однородными граничными условиями, рас-
смотренный в 17.10.5.
Схематический график поведения стержня представ-
лен на рнс. 17.90. По оси абсцисс отложено характерное
перемещение (например, прогиб т)п в середине пролета
стержня), по осн ординат — сжимающая сила N.
Кривая ОАС на графике показывает асимптотическое
поведение стержня — характерное перемещение неогра-
ниченно возрастает по мере приближения N к значе-
нию Л/,с.
Это асимптотическое значение Wac. зависящее от ви-
да поперечной нагрузки на стержень, приближенно оп-
ределяют следующим образом. Уравнения (17.304) варь-
ируют, заменяя £ через J+6J, г, — через 1)+6т). <р — че-
рез <р+бф. Из полученных уравнений вычитают исход-
ные уравнения (17.304) и для шарннрно опертого
стержня полагают:
at .
б§ = A sin —— ,
6i) = В sin -у-,
. „ . яг
бф = С sin -у— .
(17.306)
Варьированные уравнения прн z=//2 дают систему
линейных однородных уравнении относительно постоян-
ных А, В, С:
(W “ Л+ + «и С = 0;
/ я* Г/Л
В+ (М^ - a, N) С = 0;
(^jrm + Од Л;) А — ал N)B +
+ И + 2.8х Мит - 2ft, Мхт -
(17.307)
-С/з-4Ме=о.
_ Здесь Мжт, Му,„ —^значения изгибающих моментов
Мж н соответственно М¥ в середине пролета при г=Ц2.
Условие существования нетривиальных (ненулевых)
решений системы уравнений (17.307) заключается в ра-
венстве нулю определителя D(N) этой системы. Асимп-
тотическая нагрузка Л/.с представляет собой наимень-
ший корень уравнения
D(N) = 0. (17.308)
17.10.3. Расчет тонкостенных сжато-изогнутых
стержней по деформированной схеме
В качестве характеристики предельного состо-
яния принимают достижение фибровой текучес-
ти в наиболее напряженном сеченнн стержня — точка
В на графике поведения (см. рнс. 17.90)
N Мх М¥ В
°=у + -7~У- <о = »т- (17-309)
Здесь Мж, М¥ — изгибающие моменты, вычисленные
с учетом влияния продольной силы Л/; В — бнмомеит;
х. у —координаты рассматриваемого крайнего волокна;
ш — секториальиая площадь; от — предел текучести
(или предел пропорциональности прн более точной по-
становке задачи).
Соответствующая состоянию фибровой текучести
продольная сжимающая сила условно считается
предельной нагрузкой, ограничивающей несущую
способность стержня.
Другое возможное предельное состояние стержня свя-
зано с достижением предельного по величине перемеще-
ния Ппред (нлн fcnpei. форах) — точка А иа графике по-
ведения (см. рис. 17.90).
Поведение стержня прн развитии упруго-плас -
тнческих деформаций иллюстрируется участком
кривой BDE на рис. 17.90. Экстремальная точка D ха-
рактеризует потерю устойчивости при до-
стижении предельной пагруэкн. Соответ-
ствующая критическая сила N, лишь немного превы-
шает величину JVon.
17.10.4. Изгиб, кручение н устойчивость
тонкостенных внецентренно сжатых стержней
Внецентренно сжатый стержень в общем
случае двухосного эксцентрицитета еж. е, при
Мх=— Nev-, (17.310)
17.11. НЕЛИНЕЙНО упругие стержневые системы
251
с самого начала нагружения испытывает кручение н из-
гиб в плоскости каждой из двух главных осей инерции
поперечного сечения. Поведение стержня качественно
не отличается от рассмотренного выше поведения сжа-
то-изогнутого стержня.
В двух частных случаях виецентреино сжатого стер-
жня возможна потеря устойчивости в эйле-
ровом смысле.
А. Сжимающая сила приложена в центрах изгиба
торцевых сечений et=at, е,=аг. Уравнения (17.295)
приводятся к виду:
Elui +Л' = олА/;
E/jr т)" + А/q = ау N;
ф' + [( '2+Ч ae+Wv ”у)Н-°1 J Ф=0-
(17.311)
В устойчивом состоянии стержень испытывает изгиб
в двух главных плоскостях, кручение отсутствует. По-
теря устойчивости прн разветвлении
форм равновесия характеризуется возможностью
возникновения крутильных перемещений при критичес-
кой силе IV., которую определяют из третьего уравне-
ния системы (17.311).
Б. Сечение имеет ось симметрии, сжимающая сила
расположена в плоскости симметрии^ Если ось х — ось
симметрии, то а„=р,=О, М«=0, Мв=А/е. и уравне-
ния (17.295) принимают вид:
Е1у1’+П = Пея;
Е/ж П' + Nn + N (еж - о,) Ф = 0:
Л' (е-аJ п+Е/ю <р' + [(г’+2₽, '
— G/J ф = 0.
В устойчивом состоянии стержень испытывает изгиб
в плоскости симметрии. Потеря устойчивости
прн разветвлении форм равновесия харак-
теризуется нарушением плоской формы изгиба н воз-
можностью возникновения изгибно-крутильных переме-
щений. Соответствующую критическую силу N, опреде-
ляют из второго н третьего уравнений системы (17.312).
17.10.5. Устойчивость тонкостенных
центрально сжатых стержней
Сжимающая сила приложена в центрах тяжести тор-
иевых сечений; Л1Т—0. Л1,=0. Однородные уравнения
(17.304) прн однородных граничных условиях имеют
тривиальное решение Е=ч=<Р=О. следовательно, в со-
стоянии устойчивого равиовесня иэгнбные и крутильные
перемещения отсутствуют, стержень является иде-
альным. Потеря устойчивости прн разветвлении форм
равновесия характеризуется возможностью возникнове-
ния изгибиых, крутильных нли изгибно-крутильных пе-
ремещений в зависимости ст условий задачи.
Ниже приводятся формулы для критической силы
центрально сжатого шарнирно опертого стерж-
ня. Опорные сечення закреплены от линейных перемеще-
ний в направлении осей ж, у и от вращения относитель-
но продольной осн стержня (|=т) = Ф=О), но имеют
возможность свободной депланации.
Поперечное сечение с двумя осями симметрии. Потеря
устойчивости произойдет при достижении сжимающей
силой N наименьшего из следующих трех критических
значений:
л»Е/ж , л> Е1и
= ау=~-
л’ CId
N =-----— + —— .
rip ' ,г
(17.313)
Первые две критические силы соответствуют нагибной
форме, третья — крутильной форме потерн устойчивости.
Поперечное сечение с одной осью симметрии. Если
ось симметрии — ось у, то нз трех критических сил
Л/, = Л/х:
0________________ (17.314)
Т 16* 4Ла)1'4-<\А'2'о]
первая соответствует изгнбиой, две последующие — нз-
гнбно-крутильиой форме потери устойчивости.
Поперечное сечение ие имеет оси симметрии. Значения
трех критических сил определяют из кубического (от-
носительно N) уравнения
(Л\ - /V) (Nv - N) (На -N)r- N2 [(/Vx - Л) c2 +
+ (\-)V)^] = 0. (17.315)
Потеря устойчивости характеризуется изгнбио-кру-
тильными перемещениями стержня и произойдет при
наименьшей из трех критических сил N,.
17.11. НЕЛИНЕЙНО УПРУГИЕ
СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ
17.11.1. Постановка задачи об устойчивости
нелинейно упругих стержневых систем
Рассмотренная в 17.7.5 задача численного исследова-
ния равновесных и критических состояний сжато-нзо-
гиутого стержня нз нелинейно упругого материала в
настоящей главе распространяется на плоскую стержне-
вую систему (раму), составленную нз таких стержней.
Свойства материала характеризуются нелинейной за-
висимостью o=g(е) между напряжением о и деформа-
цией в (см. 17.7.1).
Для упруго-пластического материала принимается
предположение об активности деформации в
каждой точке конструкции (см. 17.8.3). Прн этом раз-
грузка не происходит и упруго-пластический материал
можно рассматривать как нелинейно упругий.
Исследование малых изгибных перемещений системы
основано на гипотезе плоских сечений и использовании
приближенного выражения для кривизны. Предполага-
ется сохранение плоской формы изгиба как в равновес-
ных. так и в критических состояниях системы. Влияние
касательных напряжений ие учитывается.
В дополнение к обычному расчету принимается во
внимание вертикальные перемещения узлов рамы, вы-
званные сближением концов стоек вследствие изгиба н
осевого обжатия. Благодаря этому исключается необ-
ходимость специального рассмотрения особых предель-
ных состояний системы, связанных с потерей устойчи-
вости одного отдельного сжатого стержня нли же с ис-
черпанием его несущей способности вследствие образо-
вания пластического шарнира.
252
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Предполагается, что все нагрузки (как продольные,
так н поперечные) возрастают пропорционально одному
параметру А. Результаты исследования равновесных
состояний представлены на графике поведения
системы (рис. 17.91); по осн абсцисс отложено харак-
терное перемещение f (прогиб у
или угол поворота 6 в одной из то-
« чек системы), по осн ординат —
параметр нагрузки к.
, / >1 с В подавляющем большинстве
\/ Iслучаев несущая способность снс-
*7 „ темы определяется потерей у с-
/> .* тойчнвостн прн достижении
/ I предельной нагрузки — точка В на
------—1—— графике поведения (см. рнс. 17.91).
с / Аналитическим критерием поте-
р 7Q. рн устойчивости является усло-
вие. I/.91 вне стационарности пара-
метра нагрузки к.
dk
= (17.316)
рассматриваемого как функция характерного переме-
щения f
17.11.2. Основные аналитические зависимости
Исследование малых изгнбных перемещений одного
из сжато-нзогиутых стержней системы основано на по-
нятии приведенной жесткости £/« сечения, зависящей
от развития деформаций в этом сеченин (см. 17.11.3).
Дифференциальное уравнение изгиба имеет вид
(см. рис. 17.9)
d3 у м
£/х -ту- + Л- (у - %) + Мо + Wo X + М"= 0. (17.317)
Процедура наложения в общем виде описа-
на в 17.7.5; алгоритм <Сечение> решает эту задачу на
основе эффективного итерационного процесса [18].
Относительное удлинение (укорочение) волокна с ко-
ординатой о (рис. 17.92) выражается формулой
e = ee-(-xvI (17.320)
где х— кривизна. Напряжение этого волокна
Здесь х. у— координаты точки иа изогнутой оси стерж-
ня; И — продольная сжимающая сила; На — опорная
реакция на левом конце стержня прн х=0; Мо=
опорный изгибающий момент; Ми— изгибающий мо-
мент, вызванный поперечной нагрузкой.
В процессе интегрирования уравнения (17.317) ие
учитывают различие между абсциссой х и длиной ду-
ги изогнутой оси х. После интегрирования определяют
сближение концов стержня по приближенной формуле
A/=fk+-y)dx, (17.318)
где- ( — длина стержня; е<> — относительное удлинение
(укорочение) оси стержня в точке с абсциссой х; 6 —
угол поворота этого же сечения.
Численное исследование равновесных состояний нели-
нейно упругой стержневой снстемы предполагает приме-
нение ЭВМ. Итерационный процесс решения задачи
основан на трех алгоритмах, описанных ниже [116].
17.11.3. Алгоритм «Сечение»
Келью алгоритма является наложение сечення иа
график работы материала, т. е. построение эпюры на-
пряжений и эпюры удлинений по заданным усилиям в
сеченин — продольной сжимающей силе N и изгибающе-
му моменту
Л1 = А/(у — у0)-[-+ //(Х + А1И. (17.319)
о=Ег)е. (17.321)
где Е —модуль упругости; ц — относительный секущий
модуль; отсюда
О eW
4 Ее Ее '
Условия равновесия для рассматриваемого
площадью г записывают в виде:
A/=^odF = E(B1(fn-t-xS1));
M = J<nHiF = E(e0Sn + x/n).
Здесь характеристики первого расчетного се-
чення равны [Па]:
(17.322)
сечення с
(17.323)
Из уравнений (17.323) следует:
, %
И__ a<f4-a/s4
£(S4-Vn)
(17.325)
i7.it. нелинейно упругие стержневые системы
253
Каждый шаг итерационного процесса оснопаи на ис-
ходных значениях ее. х. Разбивая сечение по высоте на
достаточное число тонких полос, находят для каждой
полосы удлинение и относительный секущий модуль п
по формулам (17.320), (17.322). Далее численно опреде-
ляют характеристики сечения Fq , Sq , /q и находят е»,
х по формулам (17.325). Эти зиачеиня е», х являются ис-
ходными для следующего шага итерации. Процесс про-
должается до тех пор, пока не будет достигнута требуе-
мая степень точности.
17.11.4. Алгоритм «Стержень»
Алгоритм <Стержеиь> предназначен для исследования
отдельного элемента системы (стержня рамы). В про-
цессе реализации алгоритма многократно используется
описанный выше алгоритм «Сечение».
Требуется найти интеграл дифференциального уравне-
ния (17.317), удовлетворяющий перемещениям концов
стержня, определенным из предыдущей итерации рас-
чета рамы.
Для численного решения этой краевой задачи по
длине стержня выбирают достаточное количество рас-
четных сечений. Алгоритм «Сечение» позволяет для
каждого расчетного сечения определить кривизну х и
продольную деформацию оси стержня е». После этого
находят приведенные жесткости сечення на изгиб и на
сжатие. В качестве первого приближения можно при-
нять
£/. =- — , EFX= — . (17.326)
X «о
Более полные рекомендации даны в [Па].
Прн итерационном решении задачи целесообразно
дифференциальное уравнение (17.317) привести к виду
|А'(У — !/о) + А<о +
ДХ2
+ W,* + M“]/£/x, (17.327)
предполагая правую часть известной из предшествую-
щего шага итерации. В результате двукратного интегри-
рования находят:
du
6= “ = в0 — Мв иох — На и1х —
— N(tBX — yltuBX) — wBX-,
У = Уо + * + Мв (и1х — хц>х) +
+ Но (“ах — xuijr) + N UlX — T^Our)
— Ny„ (ulx — XBor) + 0>ix — xwox-
(17.328)
Здесь приняты обозначения для интегралов:
=
J £/« ’
о 6
£/е
£/t
(i = 0,1,2). (17.329)
Эти же интегралы, взятые по всей длине стержня,
обозначают соответственно ui, (< и wt.
Изгибающий момент Мв и реакцию Нв иа левой опо-
ре выражают через перемещения концов стержня
во. 6i. !/о=6о, 61 (рнс. 17.93) следующим образом:
Мо — [во ыз 4“ в| (Uj 1 — и,) (бо — б|) М>+
+ N (uj tt — и, t„) — и>0 us -f- a>! Ut]/D-,
H0 = |в0 Ut -f- 6/ (Uq I Uj) (60— i/) Uq -f-
+ A' (Ui ta — Uo <i) + Wit u, — Wt Uftl/D.
(17.330)
Рис. 17.93
где обозначено
d = “o“!-“?- (17.331)
Из выражений (17.330) определяют реакции основ-
ной системы метода перемещений Нл Mh Я, как
для единичных состояний, так и от нагрузки.
Выполнив ряд итераций, получают с необходимой
точностью искомые прогибы и углы поворота во всех
сечениях стержня, а также реакции г<>, г10 основной си-
стемы метода перемещений. Если две смежные итерации
отличаются одна от другой не более чем на 5%, то та-
кую точность можно считать достаточной для практи-
ческих целей.
17.11.5. Алгоритм «Рама»
Алгоритм предназначен для построения равновесного
состояния исследуемой стержневой системы (рамы).
В процессе реализации алгоритма многократно использу-
ется описанный выше алгоритм «Стержень».
Канонические уравнения метода перемеще-
ний имеют внд:
л
Sr»X* + rft(=0, (1 = 1,2......л), (17.332)
Ь=1
где л— число неизвестных (степень кинематической не-
определимости системы); X* — неизвестные перемеще-
ния (линейные горизонтальные и вертикальные, углы
поворота); г<» — реакции основной системы, вызванные
единичными перемещениями; гп — реакции основной си-
стемы от нагрузки.
Нелинейность системы уравнений (17.332) определяет-
ся тем обстоятельством, что коэффициенты этих урав-
нений г<», г10 зависят от величины неизвестных Ха.
Пример выбора основной системы. Для одноэтажной
двухпролетиой рамы, изображенной на рнс. 17.94, о, ос-
новная система (рнс. 17.94,6) образована введением се-
ми дополнительных связей. Число неизвестных метода
перемещений равно семи: одно горизонтальное переме-
щение, три вертикальных и три угла поворота. При
этом сближение концов ригелей ие учитывают, так как
продольные усилия в ригелях незначительны.
Построение равновесного состояния стержневой си-
стемы. Задаются некоторым фиксированным значением
254
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
параметра нагрузки k, определяют сжимающие силы во
гесх элементах рамы и решают систему уравнений
(17.332) методом итерации до определения всех неиз-
вестных Xh с требуемой точностью. Сходимость итера-
ционного процесса обеспечена, пока рама находится в
состоянии устойчивого рав-
О)
новсспя — параметр нагруз-
ки k, меньше критического
значения k,.
В результате однократной
реализации алгоритма «Ра-
мах строится напряженное и
деформированное состояние
снстемы прн заданном зна-
чении параметра нагрузки
k, находится характерное
перемещение /. Пара значе-
ний k, f определяет точку
иа графике поведения сн-
X, стены (см. рнс. 17.91).
Рнс. 17.94
Поведение нагрузки в процессе деформиро-
вания снстемы влияет на величину критической нагруз-
ки. Прн анализе устойчивости арки в ее плоскости раз-
личают четыре основных типа нагрузок (рис. 17.%):
а) следящая нагрузка, направленная всегда
под углом у к деформированному элементу дуги;
Рис. 17.95
17.11.6. Предельное состояние системы
По мере приближения параметра нагрузки А к кри-
тическому значению k , сходимость итерационного про-
цесса ухудшается. Состояние потерн устойчивости при
достижении предельной нагрузки — точка В на графике
поведения (см. рис. 17.91) ие может быть построено
с помощью описанного алгоритма. Поэтому за крити-
ческую (предельную) нагрузку принимают наибольшее
значение А, для которого итерационный процесс сходит-
сй. Такое предположение создает небольшой дополни-
тельный запас прочности.
17.12. УСТОЙЧИВОСТЬ линейно УПРУГИХ
КОЛЕЦ И АРОК
17.12.1. Постановка задачи.
Поведение нагрузки
Общие положения расчета криволинейных стержней,
колец и арок см. разделы 5 и 9.
Здесь предполагается линейно упругая работа мате-
риала. Ось арки нлн кольца во всех случаях считается
несжимаемой [14, 28, 36, 39, 44, 46).
Для криволинейных стержней и арок характерны три
случая потерн устойчивости.
1. До потери устойчивости нагибные перемещения от-
сутствуют. Потеря устойчивости прн разветвлении
форм равновесия определяется появлением нагибных пе-
ремещений.
2. До потери устойчивости имеются нзгибные пере-
мещения. Потеря устойчивости прн разветвлении форм
равновесия определяется появлением нагибных переме-
щений нового типа, ортогональных к начальным.
3. Потеря устойчивости определяется перескоком
(прощелкнваиием), т. е. мгновенным переходом к равно-
весному состоянию нового типа.
б) гидростатическая нагрузка, направлен-
ная всегда по нормали к деформированному элементу
дуги (частный случай следящей нагрузки прн у=я/2);
в) полярная нагрузка, направленная всегда
к фиксированному полюсу;
г) гравитационная нагрузка, сохраняющая
постоянное направление, ие зависящее от перемещений
системы (например, собственный вес арки).
В случаях <а>, <б> и «г» пред-
полагают, что точка приложения
нагрузки перемещается вместе с
элементом дуги.
Прн анализе устойчивости ко-
лец и арок нз плоскости кривизны
поперечные сечения предполагают-
ся массивными (ие тонкостенны-
ми). Различают два случая пове-
Рис. 17.96 Дення нагрузки:
а) нагрузка остается параллель-
ной плоскости иедеформироваииой
арки (рис. 17,96,0);
Р) нагрузка поворачивается вместе с сечением, со-
храняя направление вдоль главной оси сечення
(рис. 17.96,6).
В обоих случаях точка приложения нагрузки пере-
мещается вместе с элементом дуги.
17.12.2. Устойчивость круговых колец
Круговое кольцо, подверженное равномерному
внешнему давлению q, в начальной стадии нагружения
испытывает только кольцевые сжимающие усилия.
Потеря устойчивости вплоскостнколь-
ца характеризуется появлением изгибных перемещений
в этой плоскости. Критическая нагрузка равна:
= (17.333)
•X
где Е1Ж— жесткость кольца прн изгибе в его плоскости;
R — радиус кольца.
17.12. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕИНО УПРУГИХ КОЛЕЦ И АРОК
255
Коэффициент К равен: для гидростатической нагруз-
ки К=3; для полярной — К=4,5.
Потеря устойчивости нз плоскости
кольца характеризуется появлением нагибных пере-
мещений, перпендикулярных этой плоскости. Если на-
грузка сохраняет направление, параллельное плоскости
недеформнрованного кольца, то критическая нагрузка
FI 9
= (,7Э34)
где EI, — жесткость кольца при изгибе в направлении,
перпендикулярном его плоскости; 6/а — жесткость
кольца прн кручении.
17.12.3. Устойчивость круговых арок
в их плоскости
Круговая арка, нагруженная радиальной на-
грузкой (рнс. 17.97), в нач; ьной стадии работы испы-
тывает только кольцевые (окружные) сжимающие уси-
лия. постоянные по длине арки.
Критическая нагрузка, вызывающая потерю
устойчивости арки в ее плоскости, определяется по фор-
муле (17.334). Значення коэффициента К для гидроста-
тической и полярной нагрузки приведены в табл 17.17
в зависимости от угла раствора арки 2а. Схемы арок,
формы потерн устойчивости (кривые выпучивания),
Рнс. 17.97
Рис. 17.99
Таблица 17.17
Коэффициенты К для круговым арок при тидростатичаскоВ
и покорной нагрузке
2а. врад Нагрузка гидростатическая Нагрузка полярная
бес шар- нирная двухшар- пирная трсх- шарннрная б<х шар- нирная двуашар- нкрная
30 294 143 108 296 148
60 73,3 35 27.6 75.2 36
90 32.4 15 12 34.3 16
120' 18.1 6 6,76 20.1 9.1
150 11,5 4.76 4.32 13.9 6.02
180 8 3 3 10.6 4,5
Таблица 17.18
Кривые выпучивания и условия потери устойчивости для вругояыв
арок при гидростатической нагрузке
Схема арки Условие потерн устойчивости
Двухшарнмрная 1 *
Бесшарнирная 1Д 2ц _ fgg 2u а
Трехшарнирная tg u — a tgg—а «* а’
Концы упруго защем- лены + а Ц 1g а -JS__b tg 2м
а также аналитические условия потерн устойчивости от
гидростатической нагрузки приведены в табл. 17.16.
Для случая упругого защемления концов арки опорный
момент М и угол поворота опорного сечения (J связаны
соотношением Af=pp, где р — коэффициент жесткости.
Критическую нагрузку определяют из уравнения
табл. 17.18 или по графику рнс. 17.98.
Если вертикальная гравитационная нагрузка изменя-
ется по длине пролета арки в соответствии с законом
(рис 17.99)
q = qjccs 6. (17.335)
где — интенсивность нагрузки в замке, 6 — централь-
ный угол, то критическая нагрузка в эйлеровом смысле
определяется по формуле (17.333). Значения коэффи-
циента К для бесшаринрноп арки даны в табл 17.19.
Круговая арка, нагруженная вертикальной равномер-
но распределенной вдоль пролета гравитационной на-
грузкой (рнс. 17.100), испытывает изгиб по симметрич-
ной (относительно середины пролета) упругой линии.
Потеря устойчивости в эйлеровом смысле харантернзу-
Тяблиця 17.19
Козффицневты К лля яругояык ароя при граянталиовной
нагрузив
Вид арки, характер нагрузки 2а. ррад »
30 60 90 120 180
Бесшаркирная. нагруз- ка переменная Двухшарнирная. иа грузка равномерная 294 73 36 31.2 16.2 16,4 3,72
256
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ется изложением антисимметричной кривой выпучива-
ния иа симметричную линию изгиба. Значения коэф-
фициента К в формуле (17.333) для двухшарнирной
аркн даны в табл. 17.19.
Рнс. 17.100 Рнс. 17.101
17.12.4. Устойчивость параболических арок
в их плоскости
Параболическая арка, несущая вертикальную
равномерно распределенную по длине пролета нагрузку
(рнс. 17.101), испытывает только сжимающие усилия,
возрастающие от замка к пяте.
Критическая нагрузка, вызывающая потерю
устойчивости арки в ее плоскости, равна
£/°
Ч. = К—, (17.336)
Р
Таблица 1720
Ко«ффнциенты К лая параболическиа арок
Характер нагруз- ки. Закон изме- нен ня жесткости 1/1 Арки
бсс- шар- ннрпан двух- шер- ннрная трехшарниривя
Форма потери устойчивости
обратно- симмет- ричная симмет- ричная
Слеляшая /х(в)-Л-сопз( 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 «,6 0.8 1 60.7 101 115 111 97.4 83.8 59.1 41.7 28,5 45,4 46.5 43.9 38,4 30,5 20 14.1 22,5 39,5 47.3 49.2 ЗВ 28.8 22.1
Гравитационная ^(ei-jU-konst 0,1 0.2 0.3 0.4 0,0 1 2 28.8 46.1 45 31.7 15,4 22.7 40,2 49,8 54,5
Следящая '°х 5“ соз30 0.1 0,2 В.З (1,4 (1,6 0.8 1 65.5 134 204 277 444 587 700 30,7 59.8 81.1 101 142 170 193 24 51 83 118
Следящая 0.1 0,2 0,3 0.4 0,6 0,8 1 62.3 112 154 152 133 118 29,5 49 57 52 44 37 1188S-*-®
где / — длина пролета арки; £/^ — жесткость сечения
аркн в замке при изгибе в ее плоскости.
Значения коэффициента К для арок постоянного
и переменного сечения приведены в табл. 17.20 в зави-
симости от отношения /// (/ — стрела подъема) прн
различных типах нагрузок.
Формы потери устойчивости двухшарнирных и бес-
шаринриых параболических арок, соответствующие наи-
меньшей критической нагрузке, аналогичны указанным
в табл. 17.18 для круговых арок. Для пологих трех-
шарнирных параболических арок с f<0,3 / наименьшая
критическая нагрузка соответствует симметричной фор-
ме потери устойчивости. У более крутых трехшариир-
иых арок наименьшей критической нагрузке соответст-
вует антисимметричная форма потери устойчивости по
двум полуволнам, как у двухшарннриых арок. В уоч
случае коэффициенты К для двухшарннриых и трех-
шарннрных арок, соответствующие антисимметричной
кривой выпучивания, совпадают.
В запас устойчивости параболические аркн при любых
нагрузках можно рассчитывать по таблицам, составлен-
ным для следящей нагрузки.
17.12.5. Устойчивость пологих
двухшарнирных арок
в их плоскости
Пологая двухшаринрная арка может по-
терять устойчивость в эйлеровом смысле, выпучиваясь
Рис. 17.102
по антисимметричной относительно середины пролета
кривой ADB (рис.17.102). Критическая нагрузка
q, = 32л2-у- • . (17.337)
Арка может испытать также прощелкнванне
с мгновенным переходом в новое равновесное состояние
АСВ (рнс. 17.102). Соответствующая критическая на-
грузка ___________
. я* / Д/Д.,./ 4 (1 — тр
’• 4 ’ I ' Р [ + Г 27 т’
4/,
Fp
(17.338)
где Г — площадь поперечного сечення аркн; /« — мо-
мент инерции сечення относительно осн, перпендикуляр-
ной плоскости аркн.
Расчетным является меньшее нз двух значений кри-
тической нагрузки.
Если арка нагружена сосредоточенной силой Р
в замке, то прощелкнванне становится возможным прн
нагрузке
Р =— д'. (17.339)
• л •
Вследствие пологости аркн очертание ее осн. а также
н поведение нагрузки не оказывают существенного
влияния на величину критической нагрузки.
17.13. МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОФИЛЕН СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
257
17.12.6. Устойчивость одиночных арок
из их плоскости
Пространственная устойчивость одиноч-
ной арки обеспечивается заделкой ее пят, препятствую-
щем поворотам из плоскости арки, и не зависит от
способности опор к поворотам о ее плоскости. Арки,
закрепленные в пятах цилиндрическими шарнирами,
можно считать защемленными относительно поворота
из плоскости арки.
а) Круговая арка сжата равномерно распреде-
ленной по длине дуги внешней нагрузкой, сохраняющей
направление, параллельное плоскости иедефор ми ревен-
ной арки (см. рнс. 17.96,а). Критическая нагрузка
9. = (17.340)
Коэффициент К| находят из трансцендентного урав
неиня:
где а — половина центрального угла; Е1У — жесткость
арки прн изгибе в направлении, перпендикулярном его
плоскости; G/d — жесткость арки при кручении.
В табл. 17.21 приведены значения коэффициента К,
для некоторых частных случаев.
Таблица 17.21
Коэффициенты К, лая нругоэых арок при нагрузке, соаранаппеР
направление А
2а. ерад Л
0.7 2 5 10 20 30
90 13.8 13.3 12.1 10,86 9.25 7.9
120 7.05 6.7 5.8В 5.06 3,94 3.3
б) Параболическая арка нагружена верти-
кальной равномерно распределенной по длине пролета
гравитационной нагрузкой, приложенной в центре тя-
жести сечения. Критическая
нагрузка, вызывающая нару-
шение плоской формы аркн
(рнс. 17.103. план).
= (17.342)
Значения коэффициента К, в
зависимости от А н /// даны в
табл. 17.22.
Таблица 17 22
Рис. 17.103
Коэффициенты К. ждя параболических арок
Нагрузка
сохраняет направление поворачива- ется с сече- нием
А
0.7 1 7 1
о.1 U.2 0.3 28.5 41.5 40 28.5 41 38.5 28 40 36.5 31.7 65 137
17.13. МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОФИЛЕН
СЖАТЫХ стержней
Под местной потерей устойчивости тонкостенных про-
филей понимают выпучивание пластинчатых элементов,
составляющих профиль. Длина полуволны выпучнны
зависит в основном от условий на неиагруженных
краях профиля, т. е. от его формы, и ие зависит от ус-
ловий иа нагруженных краях, т.е. от концевых условий,
если отношение длины профиля к наибольшей ширине
достаточно велико. Местная потеря устойчивости про-
филя может предшествовать обшей потере устойчивос-
ти стержня илн происходить с ней одновременно. Пол
критическим напряжением местной устойчивости пони-
мается напряжение, до которого исходное равновесное
состояние пластинчатых элементов, составляющих про-
филь, является устойчивым. Для профилей, образован-
ных из очень тонких пластинок, местная потеря устой-
чивости ие обязательно означает полное разрушение:
в закритической области стержень может еще иногда
нести некоторую возрастающую нагрузку до полного
разрушения нлн до общей потерн устойчивости.
В пластинках, теряющих устойчивость за пределом
упругости и прн распределении напряжений, близком
к равномерному, предельная нагрузка приближается
к критической. Поскольку местное выпучивание элемен-
тов профиля обычно ведет к быстрой общей потере ус-
тойчивости, в большинстве практических расчетов вы-
пучивание ие допускается. Некоторое исключение мо-
жет быть сделано лишь для пластнпок-стенок с оперты-
ми продольными кромками (для которых згкрнтичес-
кая стадия значительна) и только при действии
статической нагрузки [5].
Критические напряжения местной потери устойчивос-
ти профилей зависят от соотношения геометрических
размеров, взаиморасположения пластин, образующих
профиль, физико-механических свойств материала и ха-
рактера распределения напряжения по загруженным
кромкам. Простейший прием теоретической оценки кри-
тических напряжений состоит в расчленении профиля
на отдельные пластинки с последующим определением
для каждой из них своих критических напряжений прн
подходящих основных граничных условиях. За крити-
ческое напряжение при этом принимается наименьшее
критическое напряжение, полученное из расчета всех
пластинок.
Однако этот прием дает достаточно точный резуль-
тат только для тех профилен, граничные условия эле-
ментов которого четко выражены: для тонкостенной
квадратной трубы, крестообразного сечения с равными
полками, равнобокого уголка без утолщений в сопря-
жении полок. В этих случаях сопряжение пластин про-
филя может рассматриваться как шарнирное. Для про-
филей, состоящих нз нескольких связанных между со-
бой пластинок разной ширины и толщины, граничные
условия закрепления сложнее (упругое защемление по
линиям сопряжения) и значения критических напряже-
ний определяются с учетом взаимодействия элементов
профиля.
С целью повышения критического напряжения
местной устойчивости тонкостенных профилей может
применяться подкрепление его полок отбортовками или
бульбами (утолщение краев). При достаточно широкой
отбортовке линия сопряжения ее с подкрепляемой пол-
кой при потере устойчивости мало отклоняется от пря-
мой и отбортовка сама играет роль палки, а подкреп-
ляемый ею элемент может рассматриваться как стенка
с упруго защемленными краями.Приближенно, на осио-
258
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ваиин данных экспериментов, стороны профилей, уси-
ленные отбортовками, можно рассматривать как стенки,
если при одинаковой с ними толщине отбортовки имеют
ширину не менее 0.3—0,4 ширины усиляемой стороны.
При меньших размерах отбортовок их следует рассмат-
ривать как бульбы, а стороны, которые они подкрепля-
i io io io so too tie м iso iso гео >
Рис. 17.104
ют. как полки. При распространении в отбортовках пла-
стических деформаций их эффективность падает [2].
Учет влияния бульб рассмотрен в [3, 7], отбортовок в
(2,3. 10].
Целесообразно, чтобы пластинки, составляющие про-
филь стержня, и стержень в целом были равиоустойчи-
вы. При выполнении условия равиоустойчнвости необ-
ходимо принимать во внимание возможность неравно-
мерного распределения напряжений в отдельных
пластинках. Неравномерность возникает не только при
внецентреииом, ио и прн центральном сжатии. В послед-
нем случае она обусловливается неизбежным началь-
ным искривлением стержня, которое учитывается
в СНиПе, при назначении коэффициента ц> введением
начального относительного эксцентрицитета тв в зави-
симости от гибкости стержня: для стальных элемен-
тов — по графику рис. 17.104, для алюминиевых сплавов
АМц-М, АМг-М mo=0,0075 A [4J, для остальных
— 0,003А.
Начальное искривление и вызванное нм неравномер-
ное распределение напряжений неблагоприятно сказы-
вается иа местной устойчивости палок профилей, прн
расчете которых следует учитывать существенное уве-
личение напряжений иа свободном крае по сравнению
со средним напряжением сжатия [5].
Ниже приняты следующие основные обозначения:
*, у — осн, направленные соответственно
вдоль н поперек длинной пластин-
ки. Начало координат со стороны
наибольшего сжатия;
I — толщина пластинкн-степкн, палки
(свеса) илн отбортовки профиля;
й0, 6—расчетная ширина пластинки-стенки
или полки (свеса);
Ер dB — ширина отбортовки;
J2 ц___pj ~ Цилиндрическая жесткость пласти-
нок;
°i и о, — наибольшее и наименьшее напряже-
ния на краях пластникн в ее сре-
динной плоскости (О|>0 и аа>0—
сжатие);
е—относительное удлинение вдоль
оси х;
<х—параметр, характеризующий распре-
деление напряжений: а—1—
— е(Ь)/е(0) илн (талька в упругой
стадии) 0=1—0^01. е(б)—значе-
ние е при у=Ь, е(0) — при у=0;
при равномерном сжатии а=0, при
чистом изгибе а=2. при треуголь-
ном распределении напряжений а=
Рнс. 17.105
17.13. МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОФИЛЕЙ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
259
Таблица 17.23
Предельные ошошсимв hjt длн стенож. ие имеющих свободных хромой, центрально и внецснтренно сжатых стальных элементов
Центральное сжатие и внецентренное сжатие
при а(<0>5
Внецентренное сжатие при а,<1
I. Стенка, не подкрепленная ребром. Двутавр (рис.
17.105, а, з)
3. Стенка, не подкрепленная ребром. Двутавр
о [2-0,4- V(2-a,)2 +4 (a,-l +ff)] ' (B>
Швеллер, прямоугольная трубя (Л — бдльшая сторона) н
коробчатое сечение (рис. 17.105,6. ж. н. о. п)
А = 40 1/?*“ + 0,2Х. (б)
t Г Л
Квадратная труба (рис. 17.105, е). По формуле (б), но с
уменьшением ня 20%.
Во всех случаях hdt не должно превышать 75. При иедона-
пряжении элемента отношение hrft может быть увеличено в
,/яЁф
1/ ------- раз. но ие более чем до 99
Г N
О—наибольшее сжимающее напряжение у расчетной границы
стенки вез учет. о'". ф“ • » 4ю₽муле (в) с - в т/см':
о' — на пряжей не у противоположной границы стенки;
Т — среднее касательное напряжение в рассматриваемом отсеке
а, 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
2.22 2.67 З.?6 4.2 5,25 6.3
В интервале 0<5<а1<| отношение определяется линейной ин-
терполяцией между значениями npMa,-0.5 ы а
Прочие сечений — по формуле (в), но с уменьшением на 25%
2. Стенка, подкрепленная посередине продольным ребром*,
ho// увеличивается я раз___________________________
0 1 2 4
а, 1 1.4 1.6 1.8
4. Стенка, подкрепленная посередине продольным ребром. При
условии зв h* принимается наиболее напряженная часть
стенки между поясом и осью ребра. Если цебро расположено е од-
ной стороны стенни. /р вычисляется относительно осн, совмещенной
с ближайшей гранью стенки
fp — момент инерции сечення ребра
5. При необеспеченной устойчивости в расчет вводится часть стенки шириной do nt. считая от границ расчетной высоты ftu.
Класс стали С3в/23 С 44/29. С46/33 С52/40 С60/45 С70/60 CS5/75
л 15 14 13 12.8 12 11
От п о0>1 — физический и условный предел те-
кучести материала;
R — расчетное сопротивление;
ц — коэффициент Пуассона;
Е, Е/. £$—модуль упругости, касательный н се-
кущий модули;
X — расчетная гибкость стержня;
Для наиболее распространенных профилей из стали
разных классов н различных алюминиевых сплавов с
учетом сказанного выше в СНиП установлены пре-
дельные соотношения между толщиной н шириной (вы-
сотой) стенок н полок. Соответствующие данные для
стальных профилей приведены в табл. 17.23, 17.24. Ана-
логичные таблицы для алюминиевых сплавов приводят-
ся в [15). Расчетные размеры профилен даны на рнс.
17.105. (при отсутствии планок — а0С0.2 Ь).
В других случаях проверка местной устойчивости мо-
жет быть выполнена с использованием решения для бес-
конечно длинной полосы, находящейся в одноосном на-
пряженном состоянии [И, 12].
В упругой стадии критическое краевое напряжение:
n"-D , л2 Е / t \»
«’.К₽ = *е-^=*<^Т7)(Т)- <>7-343)
где Ье— коэффициент, зависящий от граничных усло-
вий н параметра а.
Для полосы с обоими защемленными или шарнирно
опертыми краями k, принимается во графикам
рис. 17.106 н 17.107, для полосы с одним свободным
краем и вторым защемленным — по рис. 17.108. а для по-
лосы с одним свободным, а другим шарнирно опертым
краем — по рис. 17.109.
Для промежуточных случаев упругого закрепления
полок коэффициенты k, даются в табл. 17.25 [13].
Таблица составлена прн р=0,32, наибольшее сжима-
ющее напряжение иа свободном крае полки; параметр,
характеризующий жесткость закрепления,
6 = у. (17.344)
260
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17.24
Предельные отношения ЬЦ центрально жнеце нтрешю сжатых и азгмбасмых стальных элементах
Вид свеса полки Класс стали А
25 50 75 100 125
Неокаймленный свес полки двутавра (р>к 17.103.0.3) С 38/23 С 44/29. С 45/33 С 52 40 С 60/45 С70ЛЮ С 85/75 14 12 10 9.5 9 8,5 16 15 14 13.5 12.5 11.5 18,5 18 17 16.5 15,5 14 20.5 20 16.5 17.5 16,5 15 Z3 22 19.5 18,5 17,5 16
2. Неоклймлсиная полка равнобокого уголка, неокаймленный свес полок гнутых и рифм лей (рнс. 17.105. с, и. р) С 38,-23 С 44Z29-С 46/33 С 52/40 С 60/45 С 70/60 С 85/75 И 12 10 У.5 9 8.6 15 13 12 11.5 11 10 ’ 16.5 14.5 И 13,5 13 11,5 18 16.5 15 14.5 13,5 12 20 18.5 15.5 15 14 12,5
3. Неокаймленняя большая полка нерав- нобокого уголка, неоквймлениая полкв швеллера (рнс. 17.105. б. а) По п. 2 с увеличением на 10%
4. Свесы полок гнутых профилей, окай- мленные ребром (отбортовкой) (рнс. 17.105. о. л. с) C3B/23 С 44,29. С 46/33 С 52/40 С 60/45 20 30 22,6 19.0 17,5 32.S 26,5 23.5 23 35 28,5 25 24 37.5 30,5 26,5 25.5
5. Стенки полок гнутых профилей, окай- мленные ребром н усиленные планками - По л. 1 табл. 17.23 путем подстановки в формулу (б) вместо величины b
6. Неокаймленный свес полки тавра (рнс. 17.105. 0) - По полусумме значений пп. 1 и 2
7. Стенка тавра (рис. 17.105, <9) - Предельное hit определяется по о. 2 с умножением на коэффициент z—Г" * ф~ 1-Ю.25У 2—— : |< “<2 r h п
В. Неоквймлецвый свес полки в балках (изгибаемых элементах) Примечание. При недонапряженин В сжатых м внецензрении сжатых элементах при проверке устойчивости элемента: в изгиб М I Мк Ми 1 0_ или О- * ± L , «'•б 1 ^7 'к 1 С 38,23 С 44/29. С 46/33 С 52/40 С 60/45 С 70/60 С 85/75 элемента отношение bit может о -A//Fv \ где ф* — найме» аемых элементах о — ббльша 15 13 11 10.S 10 9 быть увеличено вУ^Я/о раз. но ие более чем на 25%, ьшая из величин ф»фВы. ф^*»сф. нссмьзоваиных нз величин
где %—коэффициент заделки. принимаемый с доста-
точной степенью приближения [I] для полки
швеллера по формуле
Ph 1
“ <3 ь ‘ р й* ’
'с6 1—0,106——
t'b
для свеса
тавра
двутавра — удвоенной величине.
(17.345)
для стенки
(17.346)
Здесь I и Ь — толщина н ширина упруго закрепленного
элемента; !«, tB1 h н i, — толщина н ширина закрепля-
ющего элемента — стенки швеллера илн двутавра, све-
са полки тавра.
Формулы (17.345), (17.346) действительны прн поло-
жительном знаменателе.
Значения k, для упруго закрепленной стенки при рав-
номерном сжатии см. в [1], критические напряжения
прн неравномерном сжатии (в упругой стадии) —
в [14]. Данные для проверки местной устойчивости про-
филей в целом в упругой стадии при равномерном сжа-
тии имеются в [9, 10].
В упруго-пластической стадии, согласно приближен-
ному решению [11, 12), основанному на ряде упроще-
ний и допущений, критическое (предельное) напряже-
нке определяется той же формулой (17.343), ио вместо
k, вводите.!
*пл = Ч4г. (17.347)
17 13 МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОФИЛЕЙ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
261
где т] — редукционный коэффициент. Прн этом прини-
мается, что докрнтнческие деформации в срединной
плоскости. так же как и в упругой стадии, выражают-
ся линейным законом
Таблица 17.25
1.21
1,14
0,99
0.84
0.7U
0,57
где е|*=>е(0)—удлинение крайнего наиболее сжатого
волокна, в и по-прежнему изменяется в пределах от 0
до 2.
Из уравнений (17.343) и (17.347) прн заданном крае-
вом напряжении ашр требуемая толщина пластинки
= 1.05*
°1пр
nitE’
(17.349)
Редукционный коэффициент и зависит от граничных
условий, параметра а и отношений £,/£ и £</£ для
наиболее сжатого края (для материала, следующего
диаграмме Прандтлд £,/£=0).
Рис. 17.110
Для полосы с обоими защемленными краями
>1= 0.46а £,/£ 4-(1 — 0,46а)1), (17.350)
а коэффициент т)л соответствующий а=0, принимает-
ся по графину рнс. 17.110 (сплошные линии на графике).
Для полосы с обоими шарнирными краями в (17.350)
коэффициент 0.46 заменяется на 0.5, а г)о принимавick
по рис. 17.111.
Для защемленной полосы-полкн
П = По 4- (0,37а + 0.575а* — 0,255а’) X
Х(£,/£ —и,) (17.351)
коэффициент г)о принимается по рис. 17.110 (пунктир
иа графике).
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Для шарнирно опертой полосы-полки
П = (Чо^1 + 2.6^Л2)/(41 + Л,). (17.352)
Здесь Л, — площадь между действительной кривой OPQ
диаграммы материала (рнс. 17.112) и пря-
мой OQ-,
Л.—площадь между кривой OPQ и ломаной
ORQ-.
Чц дается графиком рнс. 17.113;
_______1_
F‘~ 2 + 2р + Зе'
e=E/£s —1.
Для материала, следующего диаграмме Прандтля,
П = >1в
Рнс. 17.112
Практически расчет по приведенным данным сводит-
ся к следующему: по действительному эксцентриците-
ту нлн относительному начальному эксцентрицитету,
соответствующему гибкости рассчитываемого стержня
(по приведенным выше выражениям гл» Для алюминие-
вых сплавов нлн рнс. 17.104 для стали), определяют
параметр а и соответствующий ему коэффициент й,;
затем для данной гибкости и сечення стержня опреде-
ляют ширину (глубину) пластической эоны в проверяе-
мом элементе сечення н нулевую точку эпюры напря-
жения и соответственно нм устанавливают значения
EJE и £/£ для наиболее сжатого края элемента; по
этим значениям и параметру а с помощью приведен-
ных выше уравнений н графинов находят редукцион-
ный коэффициент г). Далее, прн известных размерах /
н Ь определяют критическое напряжение по формуле
(17.343). где й, заменено на йпл. нлн отыскивают по
формуле (17.349) толщину t. В первом случае критиче-
ское напряжение не должно быть ниже R, а во втором
в (17.349) вместо Ощр подставляется R.
Прн упругом закреплении края редукционный коэф-
фициент приближенно может определяться как сред-
няя величина для шарнирного и защемленного краев
нлн более осторожно приниматься наименьшим.
Ширину зоны распространения пластической дефор-
мации и нулевую точку в полках Н-образных стальных
профилей при эксцентрицитете в плоскости, параллель-
ной полкам, можно определять по данным, имеющимся
в [8], в стенке тавра и полках швеллера — по данным
других работ того же автора.
Об устойчивости стенок в сжато-нзогнутых и изги-
баемых элементах см. [6].
1214. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ
ИЗГИБА БАЛОК
17.14.1. Устойчивость двутавровых балок
Балка, нагружаемая силами, действующими в плос-
кости ее наибольшей жесткости, являющейся плос-
костью симметрии, вначале деформируется только
в этой плоскости. При достижении нагрузками крити-
ческих величин плоская деформация перестает быть
устойчивой и дальнейшее увеличение нагрузки сопро-
вождается изгибом в плоскости наименьшей жесткости
и кручением.
Ниже рассматривается такая балка постоянного се-
чения. Прямолинейная ось балкн принята горизонталь-
ной. плоскость действия нагрузок остается все время
вертикальной. Приведены формулы для определения
критических нагрузок. Расчет стальных балок двутав-
рового сечення, имеющего две нлн одну ось симметрии,
см. 17.14.2.
Критическая нагрузка двутавровых балок, сечение
которых имеет две осн симметрии, определяется по
формулам табл. 17.26.
В табл. 17.26 I—пролет балкн; У— расстояние точ-
ки приложения нагрузки от ближайшей опоры; В=
= Elt — жесткость прн нэ1нбе в плоскости наиболь-
шей гибкости (в горизонтальной плоскости); £ —модуль
упругости; I, — момент инерции сечення относи-
тельно осн у; C~GI„ — жесткость прн чистом круче-
нии; G — модуль сдвига; /н=0,433 -6Г3; b u t—соот-
ветственно ширина и толщина элементарных прямо-
угольников, образующих сечение. Значения коэффици-
ентов й приведены в табл. 17.27—17.34 в зависимости
от вида нагрузки, места ее приложения, условий за-
крепления концов балнн н от величины коэффициента
««M-LV (|7
I h } /^(1+v) \ h}’
где v — коэффициент Пуассона.
Рассматриваются следующие условия опирания.
1. Шарнирное опирание. Опорные сечення могут сво-
бодно поворачиваться относительно своих главных осей
(х и у), перемешаться вдоль осн балкн и депланнро-
вать, но они закреплены от смещений в своей плоско-
сти и от поворота вокруг продольной осн балки.
2. Концы закреплены от вращения относительно гер-
тнн^льной осн у (от поворота в горизонтальной плос-
кости). Депланацня исключена.
3. Дополнительные связи посредине пролета шарнир-
но опертой балкн препятствуют повороту сечення бал-
кн относительно продольной оси.
17.14. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА БАЛОК
263
Таблица 17.26
Критическая и а груза» двутавровых балов, сечение которых
имеет две оси симметрии
| Л'т п.п. Расчетные схемы и формулы Условия опирания Номера таблиц, по кото- рым определяется коэф- фициент А
1 М- м. 2Н*—-fe 1.— 1—J м „* / вс~ кр t 1 1 2 а) М g. табл. 17.27 б)АМ>Ыв. вместо А вводится Ч А. где П определяется по рнс. 17.114 в) Примечание табл. 17.27
г еь р _ * /вс к₽ л 1 1 3 а) С -0.5. табл. 17.28 б) С <0.5. вместо * вводится гА. где г нз табл. 17.29 в) Табл. 17.30 г) Табл. 17.31
3 «₽»,<₽- 1 2 3 Табл. 17.32 Табл. 17.33 Табл. 17.34
4 М(? 1 |р Ьг1— В заделке *п/вс К” t Ал определяется по рис. 17.115 А, — момент на конце А, — сосредоточенная си- ла в центре тяжести ( сосредоточенная си- ft 1 ла соответственно к ft‘\ верхнему и нижнему ‘1 краям концевого се- к чення Aj — равномерно распре- деленная нагрузка по оси балки А< — то же, поверху
Таблица 17.27
Значения к при одинаковый моментах на концах балки
а 0.1 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10 12
А 31.4 10.36 7.66 5.85 5.11 4.70 4.43 4.24
а 16 20 24 28 32 36 40 100
А 4,00 3.83 3.73 3.66 3.59 3,55 3,55 3.29
Примечание. При а> 100 можно принять А— л. Прн закреплении концевых сечений от поворота относительно вертикальных осей и одинаковых моментах на концах можно пользоваться табл. 17.27. но прн вычислении tt принимать //2 вместо 1. а коэффициенты А. вычисленные по табл. 17.27. перед подстановкой в формулу для Мкр умножать на 2.
Если к нагрузкам, приложенным к осн балки, добав-
ляются пары сил на концах, вызывающие чистый из-
гиб [1], то критический момент посредине
А1кр = цМ. (17.354)
где М — критический момент прн чистом изгибе, а зна-
чения р берутся из табл. 17.35
Рис. 17.115
Таблица 17.28
Значения A. ka , A(f при сосредоточенно!) силе посредине пролета
(«-0.Б)
а О.4 4.0 8.0 16 24 32 48
ь *» 3 31.9 20.2 50.0 25.6 17.0 ЗЯ.2 21.8 15.5 30.4 20.3 15,1 27,2 I9.fi 14.9 25,6 18.8 14.8 23.5
а 64 80 96 160 240 320 400
*к п, к верх к и и ж лрилоя 18.3 15.0 22.4 н м е ч ней полк ней полк кенню на 18,1 15.0 21.6 н и е. е бвлкн; с; коэф4 грузки к 17.9 15.1 21.1 1в - в с Ан-в ициент осн бал 17.5 15.3 20.0 яучае случае А без КН. 17.4 15,5 19,3 прнложе прнложе 1НДСКСВ 17,2 15.7 18.9 ния наг ния наг соответс 17.2 15.8 18.7 рузкн рузкн твует
264
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Таблица 17 29
Отношения критических сил и напряжений прн С < ’
м приложении сосредоточенной силы я осн бал ял (G — отношение
расстояния точки приложения силы от опоры к расчетному
пролету /)
С 0.50 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0,10
1.00 Ы>12 1.051 1.123 1.240 1.422 1.717 2.235 3.305
Р.=Ч5”' >
О- 1.00 и е ч 1 при строк чипря 1.003 € <0Л е прн женил 1.010 Коэ< прив ышены в сеча 1.021 >фнии едены соотв НИЯХ 1.041 енты ВО ВТ •егству под гр 1.067 увели* орой юшне узок. 1,100 ення троке отнош 1.142 ирит табл ения 1.192 иче- цы. кри-
и, =0.5 П р ч смой силь В тр*тьей тнческих
Т я б л и ц в 17.31
Значения Ъ при сосредоточенной силе в центре сечення
посредине пролета бал ни с шарнирно опертыми концами при
дополиителямы я связях посредине пролета
а 0.4 4 Я 16 32 96 128 200 400
а 466 154 144 86.4 69.2 54.5 52.4 49.8 47.4
Таблица 17.32
Значения Ь. *в . *н о случае равномерно распределенной
нагрузки н шарнирных опор балки (см. примечание к табл. 17.28)
а 0.4 4 8 16 24 32 48
k 143. U 53.0 42.6 36.6 33.8 32.6 31.5
93.0 36.4 зол 27.6 26,7 26,1 25.4
222,0 77.3 58.9 47,9 43.4 40,4 37,6
а 64 а» 128 200 280 360 400
й 30.5 30.1 29.2 29.0 2d.fi 28.7 28.G
• 26.0 25.9 20.1» 26,5 26.6 26.7 26,7
*« 36.2 35.2 33.3 32.2 31,5 31.1 30,8
Таблица 1733
Значения Ъ в случае равномерно распределенной нагрузки
по оси бал ни прн за креплении концов от поворота
в горизонтальнов плоскости
а 0.4 4.0 8,0 16.0 32,0 96.0 128 200 400
4 488 161 119 91.3 73.0 58.0 55.8 53.5 5L2
Таблица 17.34
Значения k. *в . *м в случае равномерно распределенной
патрулям и шарнирных опор при дополнительных связях
посредине пролета
а 0.4 4.0 8.и 16 64 96 128 200
И 673 221 164 126 87 79.S 76.4 72.8
689 195 143 111 80 74.2 71.5 89.2
*н 777 254 184 142 96 85.0 81.5 77.1
Таблица 17.35
Значениям
17.14. устойчивость плоской формы изгиба балок
265
Учет прогиба балки в плоскости
изгиба [I]
В случае чистого изгиба двутавровой балки крити-
ческий момент с учетом прогиба определяется из урав-
нения
PnDn-.M’^l-^-)(l-^ = 0. (17.355)
п*л*£/, _ п5л:
Pn-~ p—-. Dn = GIK + Ela —
В случае шарнирного опирания концов (и = 1) учет
прогиба приводит к увеличению критического момента
в т раз:
При заделке обоих концов л=2.
Критические напряжения
Наибольшие критические напряжения в сечении, со-
ответствующем наибольшему моменту, вычисляются по
следующим формулам:
в случае действия моментов иа концах
где
Ф = ^-у: (17.358)
Прн сосредоточенной силе посредине пролета
= = (17 359)
Если точка приложения груза находится на расстоя-
нии £1 от опоры, то наибольшее напряжение в сече-
ннн под грузом
окр = —£Ф£ (I — С). (17.360)
Прн равномерно распределенной нагрузке.
k 1Л1
<’к₽=_зГ ф' (|7 36,)
В заделке консоли
пКр=——ЕФ- (17.362)
Балкн с продольными связями [1, 2]
Под продольными связями понимается горизонталь-
ная ферма, подкрепляющая балку в отдельных точках
(узлах). Прн связях в плоскости растянутого пояса их
влияние увеличивается с увеличением параметра а.
Значения коэффициента увеличения критической на-
грузки у см. в табл. 17.36 н 17.37.
В случае равномерно распределенной нагрузки мож-
но пользоваться формулой [3 и 4]
Здесь о — уровень приложения нагрузки, a f — уро-
вень плоскости связей над осью балкн.
Если связи расположены выше осн балкн более чем
на 0,47 о, то потеря устойчивости возможна только на
участках между узлами связей. Уровни ниже осн бал-
кн вводятся со знаком минус.
Таблица 17.36
Значения коэффициента V в случае чистого изгиба
а 0 10 20 30 40
V 1,0 1.06 1.16 1.25 1.35
Таблица 17.37
Значения коэффициента V в случае сосредоточенной силы
посредине пролета
а 1 8 16 24 32 48
V при наг- рузке поверху - 1.04 1.05 1.07 1.И 1.19
понизу 1.49 1.72 1,90 2.20 2.40 2.7Э
Влияние перехода критических
напряжений за предел
пропорциональности
Если напряжение переходит за предел пропорцио-
нальности. то критическую нагрузку можно рассчитать,
применяя вместо постоянного модуля упругости £ пе-
ременный модуль £'=т)£. например касательный мо-
дуль нлн модуль Энгессера — Кармана; здесь т) — коэф-
фициент. зависящий от напряжения. Если принять, что
модуль сдвига изменяется пропорционально модулю
продольной упругости, то величина критической нагруз-
ки. определяемая по формулам табл. 17.26, в случае пе-
рехода напряжений за предел пропорциональности дол-
жна быть умножена на ноэффнциент Г).
Если же на основании результатов эксперименталь-
ных работ (5 и 6] для тальных н алюминиевых ба-
лок принять модуль сдвига постоянным, то поправоч-
ный коэффициент, учитывающий переход критических
напряжений за предел пропорциональности:
*=Уч- (17.364)
17.14.2. Устойчивость стальных
двутавровых балок
Согласно СНиП II-B.3-62* (7] проверка общей устой-
чивости балок не требуется в следующих случаях:
а) прн наличии настила по балкам нлн мэиолнтний
железобетонной плиты, опирающихся на сжатые пояса
и препятствующих повороту сечений балок;
б) прн отношениях свободной длины сжатого пояса
двутавровой балки к его ширине, ие превышающих зна-
чений, приведенных в [7]. Более точно предельные
значения 11b определяются по формулам табл. 17.38:
в) проверка устойчивости прогонов прн наклонной
кровте нс требуется, если составляющая нагрузки
в плоскости настила воспринимается настилом нлн спе-
циальными устройствами.
266
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Т а б л к ц 17.38
Нам большие отношения ЦЬ, при которых не требуется проверка
обшей устойчивости двутавровых балок из стали класса Ст.З
Тип Значения ко- эффициентов а при наг- рузке, при- ложенной
балки Расчетные формулы к верхней полке к нижней полке при чис- том изгибе]
Сварная т<о(,+0-6т)(,+7т) 13 20 15.2
Клепаная | у «> (' + у) (’ + » у) Обозначения; 1 расстояние между рспления сжатого пояса от полеречных смещ< ширина и толщина пояса: А — высота сечення. Для балок из стали других классов значен* 1/2100 ленные по таблице, умножаются иа 1/ г Я 9.3 точка нмй: я ЦЬ, 13.81 10.1 ми .так- b п t — олредс-
Проверка устойчивости балок согласно [7] произво-
дится по формуле
-<я, (17.365)
р
где М — расчетный изгибающий момент; (Тар — момент
сопротивления сечення брутто; R — расчетное сопротив-
ление изгибу прокатной стали; фо — коэффициент
уменьшения несущей способности изгибаемых элементов
при проверке общей устойчивости.
Балкн с сечением, имеющим
две осн симметрии
Таблице 17.40
Значення ф прн сосредоточенном грузе, приложенном в центре
тяжести сечення на свободном конце консоли
а 0.1 1 2 3 4 6 8
♦ 3.06 -1,44 3.76 4.10 4.26 4.64 4.96
а 10 12 14 16 24 32 40
♦ 5.25 5.46 5.69 5.90 6,63 7.27 7.79
Значения коэффициентов ф берутся нз табл. 17.39
н 17.40 в зависимости от параметра а. Прн v=0,3
= с /f У_ 2/к (f Y _
“ /„ ’ Е \ й / /и(1 +0,3) U I
Здесь t—толщина стенки балки, включая полки угол-
ков; <| — толщина полки балки, включая полки уголков;
d — высота вертикальной полки уголков плюс толщина
пакета горизонтальных листов. Для сварных и прокатных
балок
d = 0.5ft.
При наличии связей в пролете независимо от места
приложения нагрузки коэффициент ф определяется нз
второго столбца табл. 17.39. В этом случае I— расстоя-
ние между точками закрепления сечений от поворота.
Прн одном закреплении в пролете н нагрузке по нижней
полке следует пользоваться пятым столбцом.
Коэффициент <рв определяется по формуле
Фв=Ф у- (у)’ «О’. (17.366)
Таблица 17.3»
Значение ♦ для балов со свободно опертыми концами
а Чиетыл изгиб Сосредоточенный груэ посредине про- лета Равномерно распре- деленная нагрузка
по- верху по оси по- низу по- верху по оси по- низу
о.| г.п 1.73 2,94 5,00 1.57 2.45 3.81
0,4 1 2,20 1,77 2.98 5,03 1,60 2,49 3.85
2,27 1,85 3,07 5,11 1.67 2,54 3.90
4 2,56 2.21 3.50 5.47 1.98 2,92 4,23
8 2,90 2,65 3,97 5.91 2.35 3,31 4.59
16 3.50 3,37 4.79 6.65 2,99 3.98 5.24
24 4,00 4.03 6.46 7.31 3.55 4.53 5.79
32 4.4а 4.69 6,08 7.92 4.04 5.07 6.25
4Я 5,23 5,60 7,13 8,88 4,90 5.97 7.J3
64 6,91 6,52 6.00 9,80 5.65 6,68 7.92
80 6,51 7.31 8.84 10.59 6,30 7,38 Я. 58
УС 7.07 8,05 9.56 11,29 6,93 7,97 9.21
128 8,07 9.40 10,50 12,67 8,05 9,13 10,29
160 И,95 10,59 12,10 13,83 9,04 10.05 II.:»
240 10,86 13,21 14,75 16.36 11.21 12,20 13,48
320 12,48 15,31 16.83 18.55 13.04 14.00 15.29
400 13.91 17.24 18.83 20.48 14,57 15.71 16.80
Таблица 17.41
Значения Ф яла нераэреэных балок
а Значения ф при наг- рузке ф нераэреэных балок
ф разрезных балок
сосредо- точенной посреди- не край- него про- лета равномер- но рас- пределен- ной в крайнем пролете прн нагрузке, сосредоточен- ной посреди- не крайнего пролета при нагрузке, равномерно рас- пределенной в крайнем про- лете
о.« 7,83 5,81 1.55 1,50
4 8,35 6,25 1.52 1.48
8 8,83 6.69 1.49 1.44
16 9.69 7.38 1.45 1.41
24 10,44 8.00 1.42 1.38
32 11.15 8.56 1.41 1,37
48 12.35 9.58 1.39 1.34
64 13.44 10.48 1,37 1.32
96 15.31 12.02 1.36 1.30
128 16,94 13,33 1.34 1.29
160 18,40 14.52 1.33 1.28
200 20.04 15,88 1.32 1,27
240 21.60 17.08 1.32 1.27
280 22,94 18,23 1.31 1.27
320 24.23 19.27 1.30 1,26
400 26,60 21.21 1.30 1,26
1Z.H. устойчивость плоской формы изгиба балок
267
Для нсраэрезных балок, имеющих три или более рав-
ных пролета, невыгоднейшей является нагрузка только в
крайнем пролете. Этому случаю соответствуют значения
ф. приведенные в табл. 17.41.
Если по формуле (17.366) фе>0,85, то, учитывая пере-
ход напряжений за предел пропорциональности, в расчет-
ную формулу (17.366) следует вместо фа подставить <рб>
определяемое по табл. 17.42.
Таблица 17.42
Значения коеффяцнентоа ф б
Фб 0.85 0.90 0.95 1,00 1.05 1,10 1,16 1,20
’б 0.850 0.871 0.690 0,904 0.916 0.927 0,938 0.943
»б 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1,55 н более
”б 0.957 0.961 0.973 0,980 0.967 0,994 1.00
Переходные коэффициенты
для сталей разных классов
Таблицы значений ф составлены для балок из сталей
классов Ст.З. имеющих предел текучести 2.4 т/см2. Для
сталей других марой и классов значения ф, определен-
ные нз табл. 17.39—17.41, должны быть умножены на
2100
Л ’
₽„= 0,43 — 0,065
(2л — 1) Л;
I — расчетная длина балки;
—— М — секториальный момент инерции сече-
‘а
ння;
Т з
— —момент ннерцнн при кручении;
bi и 6; — ширина и толщина элементарных пря-
моугольников, образующих сечение;
Т=1, 3—для двутаврого сечения; у *=1.2— для
таврового сечення (для двутаврового
сечения с одной осью симметрии при-
нимается промежуточное значение у);
6/к »
“«-£/. Р'
4С1к( I V
Ely (hj-
Е, G — модуль упругости, модуль сдвига.
Для однопролетиой свободно опертой балки в упругой
стадии работы коэффициент <рв. соответствующий боль-
шему поясу, определяется по формуле
2/„hh,
‘О’;
hi — расстояние центра тяжести сечення большого пояса
от центра тяжести всего сечення.
Прн сжатии меньшего пояса <рвн = Фб
Коэффициент ф вычисляется по формуле.
ф= А [в + Ув>+с].
Двутавровые балки с сечением,
имеющим только одну ось симметрии
(рис. 17.116)
71. 7, — моменты ннерцнн соответственно боль-
шего и меньшего поясов относительно
7,
/1+7,
осн симметрии сечення:
— коэффициент асимметрии сечення;
Формулы для вычисления параметров А, В н С приве-
дены в табл. 17.43 и 17.44.
Прн чистом изгибе, вызывающем сжатие большего
пояса, В = прн чистом изгибе, вызывающем растя-
Л
- д Рр
женне большего пояса, о ---—.
п
Коэффициенты ф для балок таврового сечення прн
действии сосредоточенной нлн равномерно распределен'
Рнс. 17.116
Таблица 17.43
Формула для аыч яслей ни А и С
Тил нагруэмя А С
двутавровое сечение тав- ровое сечение
Сила, сосредоточен- ная в середине про- лета 3.265 0,33 л (1—л| (9.87-а,) 0.0826а
Равномерно распре- деленная нагрузка 2.247 0.481 п (1—л) (9.87—а.) 0.1202а
Чистый изгиб 4.316 0,101л (1—л) (9,87—а,) 0.0253а
26Я
РАЗДЕЛ 17. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
Табл hoi 17.44
Формула ала ванислеям В
Схема сечения и место прило- жения нагрузки В прн
силе, сосредоточен- ной в середине пролета равномерно распре- деленной нагрузке
1 1 т 1 п 4-0,7337 »+ 1.145 Рр/Л
- 1 т n — 1 4-0.7337 p^/h п - 1 + 1.145 Bv/h
L 1 I i 1 — л — 0,7337 р^/А 1-л-1.145 »v/h
J 1 । L 1 — п — 0.7337 р^/А 1,145 fijh
ЛИТЕРАТУРА
1. Бейлин Е. А. Общие уравнения деформационного рас-
чета н устойчивости тонкостенных стержней. «Строительная ме-
ханика н расчет сооружений». 1966. Aft 5.
2. Ь и р г е р И. А.. П а н о в к о Я. Г. (рсд.) Прочность,
устойчивость, колебания. Справочник, т. 3. «Машиностроение».
1968
3. БлеЙх Ф. Устойчивость металлических конструкций
(пер с англ.). Фнзматгнз. 1959.
4. Болот нн В. В Неком герватнвные задачи теории уп-
ругой устойчивости. Фнзматгнз. 1961.
5. Б роуд е Б. At а) О линеаризации уравнений устойчиво-
сти равновесия внецентренно сжатого стержня. В сб.: «Иссле-
довании по теории сооружений», вып. 8. Госстройнздат. 1959.
б) Теория устойчивости и принципы расчета конструкций. В сб.:
«Проблемы устойчивости в строительной механике». Стройнз-
дат. 1965.
6. Б у б н о в И. Г. Строительная механика корабля, т. I.
Петербург. 1912.
7. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни (Проч-
ность. устойчивость, колебания). 2-е изд. Фнзматгнз. 1959.
8. Воль мир А. С- Устойчивость деформируемых систем.
2-е изд. «Наука». 1967.
9. Г я л с р к к н Б. Г. Собрание сочинений, т. 1. Изд-во АН
СССР. 1932.
10. Гартман Ф. Устойчивость инженерных сооружений
(пер. с нем.). Госстройнздат. 1939.
II, Гем мер! ннг А. В. а) Несущая способность стерж-
невых стальных конструкций. ЦНИИСК. Госстройнздат. 1958
61 Общий метод расчета рам из упруго-пластического материа-
ла. «Строительная механика к расчет сооружений». 1968. Nr 3.
12. Го л ь д е и б л а т И. И.. Сизов A. At. Справочник
по расчету строительных конструкций на устойчивость к коле-
бания. Госстройнздат. 1952.
13. Горбунов Б. Н. Расчет устойчивости стержней н арок
при помощи послсдовотсльиых приближений. В сб.: «Исследо-
вание по теории сооружений». Госстройнздат. 1936.
14. Д и н и и к А. Н. Избранные труды. Изд*во АН УССР.
Киев. т. I. 2. 1952; т. 3. 1956.
15 Жуковский Н. Е. Исследование устойчивости кон-
струкции аэропланов. Труды ввит, расчетио-испытат. бюро,
выл. 5. 1918.
16. 3 а в р н е в К- С. Расчетные формулы прочности в осо-
бых случаях ОНТИ НКТП. 1935.
17. К и с с л е ъ В. А. Строительная механика. Специальный
KVpc (Динамика н устойчивость сооружений). 2-е изд. Строй-
мздат. 1969.
ной нагрузки в случае а<40 должны быть умножены на
0.8+0,004а. При п>0,9 значения Ф определяются линей-
ной интерполяцией между значениями ф, вычисленными
при л=0,9 н л=1.
Таблица 17.43 для вычисления коэффициентов ф со-
ставлена для стали марки Ст.З с пределом текучести
От=2,4 т/см3 и расчетным сопротивлением Я=2,1 т/см2.
Для сталей других марок коэффициенты Ф, определен-
ные из таблиц, должны быть умножены на отношение
2,4 От или 2.1//?.
В случае перехода за предел пропорциональности
критических напряжений в меньшем поясе нлн, кроме то-
го, и в большем, т. с. прн <ре.а>0,85 илн, кроме того, при
М
1.0ХРб>0,85. в формулу ——
Ф6Ж
вместо <Рб подстав-
ляется нлн фб н , определяемые по следующим фор-
мулам:
при сжатии большего пояса
Г < , „ , <и]
фв = ф6 " —+<>—") — :
L «ре <рв-и J
при сжатии меныиего пояса
Фб.н —ф 6.11
Значения <рб и <рб „ определяются по табл. 54 СНнП
П-В.3-62*
18. К о л о м и е ц В. П. Метод определения напряжений
и деформаций в сечении балки при сложном нагружении с уче-
том действительной диаграммы (О. В). «Изв. вузов, авнац. тех-
ника». Aft I. 1966.
19. Корноухое Н. В. а) Прочность и устойчивость стерж-
невых систем. Госстройнздат. 1949. б) Избранные труды по
строительной механике. Изд-во АН УССР. Киев. 1963.
20. Косых Э. Г. О статической устойчивости сжато-язо-
гнутого упругого стержня. «Известия вузов, стр-во и арх.».
М4. 1968.
21. Лсйтес С. Д. а) Устойчивость сжатых стальных
стержней. Госстройнздат. 1954. б) Справочник по определению
свободных длин элементов стальных конструкций. «Проект -
сталь конструкция»„ 1967.
22. Л е й т е с С. Д. Формы равновесня упругих сжатых стерж-
ней н природа точек разветвления. В сб.: «Исследования по тео-
рии сооружений», вып 8. Госстройнздат. 1959.
23. Л е й т с с С. Д. я) Применение метода угловых фокаль-
ных отношений к задачам устойчивости стержневых систем.
В сб.: «Исследованин по теории сооружений», вып. 9. Госстрой-
кэлат. 1960. б) Устойчивость сжатых стержней, жесткость кото-
рых изменяется по степенному закону. В сб.: «Материалы по
металлическим конструкциям», вып. 6. Госстройнздат. 1962.
24. Л е Й т е с С. Д. а) Устойчивость н упруго-пластические
деформации внецентренно сжатого тонкостенного двутавра.
В сб. «Исследования по теории сооружений», вып. 12. Госстроfl-
it зла г. 1963. б) Поведение и устойчивость центрально н вне-
цент реи ко сжатых стальных стержней. В сб.: «Материалы по
металлическим конструкциям», выл. 1Ц. Стройиздат. 1965.
я) Исследование работы онеиентремно сжатых стержней из не-
линейно упругих материалов. В сб.: «Проблемы устойчивости
в строительной механике». Стройиздат. 1965. г) Приближенное
решение задачи об устойчивости внецентренно сжатого стерж-
ня. «Строительная механика н расчет сооружений». 1970. Ай 3.
25. Л е й т е с С. Д. а) Собственные движения и критические
параметры упругих стержней прн неконсерватпвной нагрузке.
«Прнкл. мех.», т. 4, вып. II. 1969. б) Собственные движения
и устойчивость упругого сжатого стержня. В сб.: «Материалы
по металлическим конструкциям», вып. 14. Стройиздат. 1969.
в) Об устойчивости упругого стержня под воздействием негру »
mi. ориентация которой зависит от деформаций стержня. В сб.:
«Исс.тсловання по теории сооружений», вып. 18. Стройяз-
дат, 197П.
26. Л е й т е с С. Д.. Раздольскчй А. Г. Исследова-
ние устойчивости внецентренно сжатых упруго-пластических
ЛИТЕРАТУРА
269
стержней. «Строительная механика н расчет сооружений». 1967,
.V, |.
37. М атевося И Р. Р. Устойчивость сложных стержневых
систем (качественная теория). ЦНИИСК. вып. 3. Госетройнэдат,
1961.
28. МоргаевскиЙ А. Б. а) Об устойчивости двух- и
трехшарнирных ярок с учетом поведения нагрузки. «Вестник
пиж. и техн.». № I. 1938. С) Устойчивость арок прн нсплоской
деформации. «Прнкл. мат. н мех », т. 2, вып. 3. 1909.
29. Нудельман Я- Л. Методы определения собственных
частот н критических сил для стержневых систем. Гостехтеориз-
дат. 1949.
30. Нудельман Я- Л.. Л я ж о в н ч Л. С. Уточнение
критерия, определяющего место заданного числа в спектре соб-
ственных частот н критических сил упругих систем. В сборнике
трудов Томского инж.-строит, ин-та «Исследования по строи-
тельным конструкциям». Изд-во Томского ун-та. 1968.
31. Па ковко Я- Г.. Губанова И. И. Устойчивость
н колебания упругих систем. Современные концепции, парадок-
сы и ошибки. 2-е изд. «Наука», 1967.
32. Пнковскнй А. А. Статика стержневых систем со
сжатыми элементами. Фнэматгиз. 196).
33. П н и а д ж я н В. В. Некоторые вопросы предельного
состояния сжатых элементов стальных конструкций. Изд-во АН
АрмССР. Ереван. 1956.
34. П о п о в Е. П. Нелинейные задачи статики тонких
стержней. Гостсхиздат, 1948.
35. Ржаннцыи А. Р. Устойчивость равновесия упругих
систем. Гостехтеорнздат. 1955.
36. С м и р и о в А. Ф. а) Статическая и динамическая ус*
тойчнвость сооружений. Трансжелдориэдат. 1947. б) Устойчи-
вость и колебания сооружений. Трансжелдориэдат. 1958.
37. С и и т к о Н. К. а) Устойчивость стержневых систем.
Госетройнэдат. 1952. б) Устойчивость стержневых систем а уп-
руго-пластической области. Стройнздат. 1968.
38. Стрелецкий Н. С. Материалы к курсу стальных
конструкций. Вып. 2. ч. I. Работа сжатых стоек, госетройнэдат.
1959.
3. Тимошенко С. П. а) Вопросы устойчивости упру-
гих систем. КУ БУЧ. 1935. б) Устойчивость упругих систем (пер.
с англ.). 2-е изд. Гостсхиздат. 1955.
40 Фридман А. М. Иссушая способность стержневых
систем. В сб.: «Материалы по металлическим конструкциям»,
вып. 12. Стройнздат. 1967.
41. Хофф Н. И. Продольный иэгяб и устойчивость (пер. с
англ.). Изд-во ИЛ. 1955.
42. Ц и г л е р Г. Основы теории устойчивости конструкций
(пер. с англ.) «Мир». 1971.
43. Ч у в и к и и Г. М. Устойчивость рам и стержней. Гос-
стройнздат. 1951.
44 Ч уд и о в с к и й В. Г. Методы расчета колебаний н
*стойчивостн стержневых систем. Изд-во АН УССР. Киев. 1952.
45. Ш е и л и Ф. Теория колонны за пределом упругости
(пер. с англ.). В сборнике переводов «Механика (ИЛ)». 6ft 2.
1P5I-
46. Штаерман П Я. Пнковскнй А. А. Основы
теории устойчивости строительных конструкций. Госетройнэдат.
1939.
47. Я с и и с к и й Ф. С. а) Устойчивость деформаций и ста-
тика сооружений. 2-е изд.. Спб.. 1902. б) Избранные работы по
устойчивости сжатых стержней. Гостехтеорнздат. 1952.
4ft . Б е с k М. Die Knlcklast без elnseitig tinges Dannie. tan-
gential Red r Odd en Stabes. «Zell sc hr. angew. Math, und Phys.»,
№ 3. I»?
49. C h w a I I a E. Theorle des auBermlttlg gedrflekten Stabes
bus Baustahl. «Slahlbau». Hr 21. 22. 23. 1934.
SO. Engesser F. Ober Knickfest I Rkclt gerader Siibe.
«Zeltschr. Arch.- und Ingen. in Hannover», Bd. 35, 1889.
V
61. Jezek K- Die Fesllgkelt von Druckslflben aus Slahl.
Springer. Wien. 1937.
52. Ki r m i n Th. Untersuchungen Ober Knlckfestlgkelt. Mlt-
teilungen Ober Forschungsarbelten auf dem Geblete des Ingc-
nlcuru'csens. «Zeltschr VDt»_ N» 81. 1910.
52a. Kordas Z. Slatecznosc sprczyscle utwierdzonego pre-
ta sciskanego w ogdlnym przypadku zachouanla sllc obciazenia.
«Rbzprawy Inzymcrskic», №3. 1963.
53. Mises R.. R atzersdor ler J. a) Die Knlckslcher-
helt von Fachwerken. «Zeltschr. angew. Multi. und Meeh.». № 3.
1925. b) Die Knlckslcherheit von Rahmentragwerkcn. «Zeltschr.
angew. Math, und Meeh.», 6ft 3. 1926.
54. P f I 0 g e г A. SlabilitBtsproblemc der Elaslostallk. Zwei-
te Au sea be. Springer. Wien. 1964.
55. wcirhoFd J. a) Zur nAherungswelsen Bercchnung von
Druckbicgest^beii in Lelchtmelallbau. «Aluminium (DOsseldorf)».
Hr 10, 1956: Hr 4. 1958. b) TraRspannungen von DruckbiegestAben
aus Aluminium. «Aluminium (DQsseldorO». № 3. 1958.
Дополнительную литературу см. в l-м нэпа ним «Справочнн
ка проектировщика», стр. 808 к след.
К. It. 17.13
1. Бле Ах Ф. Устойчивость металлических конструкций
(пер. с нем.). Фпзматгнэ. 1959.
2. Борисов Е. В. Устойчивость окаймленных ребрами
полос тонкостенных профилей. СМРС. 1965. Кг 2.
3. Б р о у д е Б. М. Об устойчивости сжатых полок профи-
лей. усиленных бульбами. Сборник ЦНИИСК «Исследование по
металлическим конструкциям». Госетройнэдат. 1961.
4. Б р о у Д е Б. М. иЧувнкин Г. М. Обоснование не-
которых способов расчета на устойчивость в СИ 113-60. Сборник
статей «Строительные конструкции нэ алюминиевых сплавов».
Гос строй над ат. 1962.
5. Б р о у д с Б. М. Теория устойчивости и принципы рас-
чета коисгрукцнй. Сборник докладов «Проблемы устойчивости
в строительной механике». Госетройнэдат. 1965.
6. Б р о у д е Б. М. Предельные состояния стальных балок.
Госетройнэдат. 1953.
7. Иммерман А. Г. и Москвнтин В. С. Экспери-
ментальные исследования местной устойчивости уголковых про-
филей нз сплава Д16-Т. Сборник статей «Строительные конст-
рукции из алюминиевых сплавов». Госетройнэдат, 1962.
8. Л е й т е с С. Д. Устойчивость вяецентрекно-сжатого уп-
руго-пластического стержня Н-обраэного сечения. «Материалы
по металлическим конструкциям», вып. 11. Госетройнэдат. 1966.
9. Москвитян В. С. Практический способ расчета сжа-
тых стержней нэ алюминиевых сплавов на местную устойчивость,
РПК. аып. 9. Стройнздат. 1964.
10. Хертель Г. Тонкостенные конструкции (пер. с нем.).
«Машиностроение». 1965.
II. В lj I a a rd Р. Theory of plastic buckling of plates end
application to simply supported plates subjected to bending or
eccentric compression In their plane, «Journal ol applied mecha-
nics». USA. Hr 1, 1966.
12 В IJ I a a r d P. Buckling ol plates under non-homoge-
nuous stress. «Proc. amer. soc. civil eng.». «Journal of the eng.
mcch. div.» EM-3, 1957.
13. D a v I d « о n J. Flange bucklingin 8 bent I-section
beam. «Journal of the mechanics and ohvslcs ol solids». London,
v. I. Ni 3. 1953.
14. S u 11 e r K. The local buckling of aluminium plate ele-
ments. «Sheet metal Industries». 6ft I. I960.
15. СНиП П-ВЗ-70 Стальные конструкции. Нормы проекти-
рования. Стройнздат. 1971.
16. СНиП II-В. 5-61. Алюминиевые коне гр унции. Нормы про-
ектирования. Стройнздат. 1965.
К п. 17.14
1. Б роуле Б. М. Предельные состояния стальных балом
Стройнздат. 1953.
2. В л а с о в В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Госстрой-
издат, 1940.
3. DIN 4114. Rlchtllnlen.
4. NylBnder Н., Abhadl. Schwed. Ingcnicurwiss Akad.,
Bd 174. Stokholm. 1943.
5. Жуков A. M-. Работяов Ю. H. Исследование
пластических деформаций стали прн сложном нагружении.
«Инж. сборник». Nt 18, 1954.
6. S t 0 s < 1 F. Die Grundlagen der mathemallschen Plasllzi-
txtsthcorle und Versuch. Zeltschr. Iflr angew. Math, und Physlk.
vol. I. Fasc. 4. 1950.
7. СНиП. I1-B.3-62*. Стальные конструкции. Нормы проекти-
рования. Стройнздат. 1969.
РАЗДЕЛ 18
устойчивость пластинок и оболочек.
РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
18.1 . ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Критическим напряжением для пластинок называют
напряжение, до которого исходное равновесное состояние
является устойчивым. Если выпучивание пластникн как
элемента конструкции считается недопустимым, то напря-
жения от расчетной нагрузки должны составлять извест-
ную часть от критических. Для пластинок, закрепленных
по краям и подвергающихся действию сжатия нлн сдви-
га, потеря устойчивости не связана с разрушением; в за-
крнтнческой области пластинка может нести возраста-
ющую нагрузку.
Прн расчетах оболочек на устойчивость следует раз-
личать верхнее и ннжнее значення критического напря-
жения. Под верхним критическим напряжением подразу-
мевается напряжение, до которого исходное равновесное
состояние является устойчивым <в малом», т. е. по от-
ношению к весьма малым возмущениям.
Нижним критическим напряжением называют напря-
жение. до которого исходное равновесное состояние яв-
ляется устойчивым «в большом», так что исключен пере-
скок от начального состояния к другому состоянию,
характеризуемому большими прогибами.
В реальных конструкциях оболочки обычно имеют на-
чальные прогибы, сравнимые с нх толщиной; выпучива-
ние оболочек происходит прн напряжениях, лежащих
между верхним н ннжннм критическими значеннямн.
В практических расчетах оболочек на устойчивость
следует определять как верхнее, так н нижнее значення
критических напряжений. Напряжения от расчетной на-
грузки должны составлять известную долю от верхнего
критического напряжения (6, 1967 г., стр. 544). Выпучи-
вание оболочек обычно сопровождается резким хлопком,
в процессе которого возникают пластические деформа-
ции; потерю устойчивости оболочек надо считать равно-
сильной разрушению. Более подробно см. [6*
Прн расчете гибких пластинок (см. 18.6) ласематрн-
вается действие нагрузок, перпендикулярных срединной
плоскости. Подобные нагрузки вызывают изгиб пластин-
ки и деформируют срединную плоскость в срединную
поверхность. Если прн этом в срединной поверхности не
появляется значительных растягивающих нли сжимаю-
щих напряжений, то пластинка называется жесткой пла-
стинкой нлн плитой, а в случае если эти напряжения
значительны — гибкой пластинкой. Если растягивающие
напряжения в срединной поверхности столь велики, что
по сравнению с ними можно пренебречь напряжениями
от нзгнба, то пластинку называют мембраной. Переме-
щения точек срединной плоскости по перпендикуляру к
пен прн деформации называют прогибами пластинки и
обозначают через о>. Принято считать, что теория гибких
пластинок применима при /=Шц«нс>— 1 Пластинка,
4
в которой прн ее нагружении напряжения не превосхо-
дят предела упругости, называется упругой. Здесь будут
рассмотрены упругие тонкие гибкие пластникн.
Основные обозначения:
I — толщина пластникн нлн оболочки;
а —сторона прямоугольной пластникн; радиус
круглой пластинки;
Ь — сторона прямоугольной пластинки; внутрен-
ний радиус кольцевой пластинки;
R — радиус срединной поверхности круговой ци-
линдрической илн сферической оболочки;
I — длина цилиндрической оболочки;
х, (/ — координаты точек срединной плоскости пря-
моугольной пластникн вдоль сторон а н 6;
р — интенсивность поперечной нагрузки (прило-
женной по нормали к поверхности);
f— стрела прогиба (наибольший прогиб);
!; = — —безразмерная стрела прогиба;
ох. ац— нормальные напряжения в срединной плос-
кости пластникн (в расчете гибких пластинок
различают нормальные напряжения изгиба
и растяжения срединной поверхности, обоз-
начая их дополнительными нндексамн <н>,
«с», например: о>а. Сцг) ;
т — касательные напряжения в срединной по-
верхности;
Е, G —модули упругости материала прн растяжении
(сжатии) и сдвиге;
ц — коэффициент Пуассона;
D = 1о,1----«Г” — цилиндрическая жесткость.
18.2 . УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК
В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
1S.2.1. Прямоугольные пластинки
а) Сжатие усилиями, равномерно распределенными по
краям х=0 н х=а (рис. 18.1).
Критическое напряжение
яЧ> п-Е / t \*
oKD=K-----= К-------------I—1 - (18.1)
р b-t 12 (1 — цг) \ b )
Коэффициент К зависит от граничных условий и от-
ношения сторон пластникн. Значения коэффициента К
для различных граничных условий приведены в табл.
18.1—18.5.
На рнс. 18.2 приведены графики, по которым можно
определить значення Л прн отношениях alb, не поме-
шенных в табл. 18.1 — 18.5.
18.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
271
б) Нагружение усилиями, распределенными вдоль
красе х=0 н х=а (рнс. 18.3) по линейному закону
ох=ох0(1-а-^)(прн-5->2).
Критическое напряжение (с.о).. определяется по
формуле (18.1). Значения коэффициента К для случая,
когда все края пластинки шарнирно оперты, приведены
Рнс. 18.1
п табл. 18.6—18.8. Для случая упругого защемления по
краям у—0, у = 1> н шарнирного опирания остальных
краев коэффициенты Д даны в табл. 18.9.
о) Сжатие двумя сосредоточенными силами, прило-
женными в серединах больших сторон (рнс. 18.4).
Критическая сила
Ркр=К — • (1 _ ц1) 6 •
Для случая, когда все края пластникн
оперты, значения К даны в табл. 18.10.
В случае защемления всех краев пластинки
я ЕР / <
₽"р"3(1 — u*)b\npH I
Прн защемлении по краям х*=0.
опирании по краям у=0, у=Ь
2л ЕР /
р«₽ = Тй^г(П₽н
(18.2)
шарнирно
(18-3)
х—а н шарнирном
(18.4)
Таблице 18.2
Значения коаффнцмемта К в формуле (18.1)
Граничные условия afb
0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.0 оо
Все края пластинки защемлены ...... — — 9.4 9.3 8.8 6.5 8.5 8,2 7.8 7.0
Защемление по краям у—0 н у—Ъ при шарнир- ном опирании остальных краев 7.05 7.29 7.69 7.15 7.04 7.2 7.05 7.0 7.15 7.0
Защемление по краям x-fl и х—а прн шарнир- ном опирании остальных краев ....... 13,38 8,73 6.74 5.84 5.45 5.34 5,18 4.85 4.11 4.0
Шарнирное опирание по краям х-0 и х-с. за- щемление по краю у-0 и при свободном крас у-Ь — 2.7 1.7 1.47 1.36 1.33 1,34 1.38 1.36 1.33
Шарнирное опирание по краям х-0. х-а н у-0 при свободном крае у—6 3.65 2. IS 1.44 1.14 0.95 0,84 0.76 0.7 0.56 0.46
272
РАЗДЕЛ 18. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
г) Касательные усилия, равномерно распределенные
по всем краям (рнс. 18.5).
Критическое напряжение сдвига (при а>Ь)
т -К Я*Е
*₽ * 12(1-р’)
При шарнирном опирании всех краев К»5,34+
Значення коэффициента К для других граничных ус-
ловий приведены в табл. 18.11.
Рнс. 18.3
Рис. 18.4 Рис. 185
Т 8 б Л И Q « 18.3
Значения коэффициента К в формуле (181) для случая упругого
защемления края у-0 и шарнирного опирания остальных краев
ь С/к/Од
0.25 0.5 1.0 2.0 <0 6.0 10.0
О.» 6.52 6.63 6.71 6,77 6.81 6,82 6 яз
0,6 5.44 5.58 5,70 5.79 5.65 5,67 5.69
0.7 4.85 5,03 5.19 5.32 6.40 5.44 5,46
ИЯ 4.56 4.75 4.96 5.13 5,25 5,30 5.34
<»,9 4.42 4.64 4,89 5,11 6.28 5,40 5.Щ
1.0 4.39 4.64 4.93 5.21 5.43 5,52 5.60
с/и — жестки кгь на «ручейнс ребра. прнмыкаюшеп к за-
щемленному краю (характеризует степень защемления).
Таблица 18 4
Таблица 18.5
Значения коэффициента К в формуле (18.1) для случая
одинакового упругого защемления по краям у-0, у-Ь
н шарнирного опирания остальных краев
а ь с/и/да
0.2S 0.S 1.0 2,0 1.0 10,0
‘’.5 6,81 7,09 7.31 7.47 7,57 7.64
0,6 5,® о. 12 6,43 6.6Я 6.85 6.96
0.7 5,24 5.64 6,05 6.42 6.67 6.86
0.Й 4.95 6.42 5,97 6.44 6.80 7.08
0.9 4.84 5.36 5,99 6.62 7.12 7.52
1.0 4.79 5,.29 6,14 6,92 7,57 7.64
Таблица 18.6
Значения коэффициента К в формуле (18.1) для случая
шарнирного опирания всех краев
о а/Ь
0.40 0.50 0.60 0.667 0,75 0.80 0.90 1.0 1.5
2 29,1 25.6 24.1 23.9 24.1 24.4 25.6 25.6 24.3
3 18,7 - 12.9 - 11.5 11.2 - 11.0 U.S
1.0 15.1 - 9.7 - 8.4 8.1 - 7.8 8.4
4 5 13,3 - 8.3 - 7.1 6.9 - 6.6 7.1
2 3 10,8 - 7,1 - 6.1 6.0 - 5,Я 6.1
Г р и м е ч а н и е. Значение а —0 отнем нтся к сл учаю
равномерно распределенной сжимающей силы; а -2- чн-
стому изгибу: при а <2 имеет место сочетание изгяба и тия: при а>2—сочетание изгиба н растяжения. ежа-
Таблица 18.7
Значения коэффициента К а формуле (18.1) для случая
шарнирного опирания всех краев при а -3
а b |'.:е 0,34 0.40 0.44 0.46 0.S2 0.S8 0.64
К 63,44 36.89 54.32 53.281 53.67 54.83 57,02 60.05
Значения коэффициента К в формуле (18.1) для случая упругого
защемления края ж-0 и шарнирного опирания остальных краев
b а 6/к/Оа
0.25 0.5 1.0 2.0 4.0 10
0.31 4.08 4.09 4.Ю 4.П 4.11 4.11
0.5 4,16 4.19 4.21 4.23 4.23 4.24
1.0 4.-32 1.46 4.60 4.70 4.77 4,82
1.5 5.10 5.39 5.76 6.14 6.46 6,73
2.0 6.70 7.П6 7.60 8.28 Н.98 9.68
2.5 8,87 о.28 9.94 10,89 12,00 14.76
3,0 11.59 12.02 12,77 13,91 15.43 17.50
Таблица 18.8
Значения коэффициента К в формуле (18.1) для случая
шарнирного опирания всех краев прн а -4
а ь 0,20 0,25 0,30 0,33 0.35 0.45 0.48
К 116.0 103.6 97.3 96,2 96,3 103,5 107.4
18 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
273
Таблица 18.9
Значение жоаффацнента К • формуле (18.1) для случая упругого
защемления по краям у-0. у-b н шарнирного опирания
остальных краев
о д Ь «к/О»
0.25 0.50 1.0 2.0 <0 10.0
0.5 12.83 13.37 13,86 14.23 14.46 14.62
0,6 11.03 11.69 12,34 12,87 13.23 13.48
0.7 10.22 10.86 11,72 12.44 12,96 13.35
1.0 ОЛ 9.СО 10,50 11.55 12.53 13.26 13,83
0.9 9.41 10.42 11.68 12.94 13.93 14.74
1.0 9.40 10.52 11.99 13.54 14.46 14,62
0.4 34.05 36.04 37,79 39.03 39.80 40.32
0.5 30.45 32.83 35,17 37,01 38.24 39,10
2.0 0.6 29,11 31.90 34.92 37.62 39.35 40.72
0.7 29.00 32.17 35.91 39.41 42.06 44.14
Таблица 18.10
Значення коэффициента К в формуле (18.2)
Граничные условия а/Ь
1.0 2.0 з.о со
Все края пластинки шарнирно оперты 1.49 1.03 1.00 1.00
Таблица 1811
Значения коэффициента К я формуле (18.5)
Граничные условия а/Ь
1.0 I.S г.о 2.5 3.0 ее
Все края пластинки защемлены . . . 14.58 11.40 10.96 10.85 8.99
Шарнирное опира- ние по краям к-0 и х-а. защемление по краям м-0 и у-Ь 12.28 11.12 10,21 9.81 9.61 8.99
Защемление по краям к-0 и х-о. шарнирное опирание по краям у-0 и у-Ь 12.28 7.78 6,70 6,40 6.17 6.35
Таблица 18.12
Значення коэффициента К для случая шарнирного опирания
веек краев
Ь V
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2.0
1.0 3.36 2.85 2.50 2.22 2.00 1.33
2.0 3.36 2.40 1.84 1.49 1.25 о.«
3.0 3,24 2.42 1.36 1.11 1.00 0.58
3.20 2.40 1.67 1.25 0.50
На рис. 18.6 приведены графики, с помощью которых
можно определять значения Д при отношениях alb, не
помешенных в таблицах.
(?) Одновременное сжатие усилиями, равномерно рас-
пределенными в двух направлениях (рис. 18.7).
Отношение сжимающих усилии задано:
Критическое напряжение определяется по формуле
(18.1). Значения коэффициента Д для случая шарнир-
ного опирания всех краев даны в табл. 18.12.
Для случая, когда все края пластинки шарнирно опер-
ты. рекомендуется также пользоваться формулой
m* , n3 Е/3
— -4- ои — — 0,823---------
х а3 у Р (1 -р*)
(18-6)
где т и п - числа полуволн в направлении х и у соот-
ветственно.
Если ог удовлетворяет неравенству
£(1-47г)<°^(5+27')- (J8J)
где
_ 0,823 Е/3
С= (1-|1=)д=-
то для нахождения ow н₽ при заданной величине о* под-
ставляют в формулу (18.6) т=1 и п = 1.
Если ох велико н нс удовлетворяет неравенству
(18.7), в формуле (18.6) берут п=1, а величина т-опре-
деляется из условия
с (йШ- 2т+1+2^ <ax<c(2ms4-2m-rl 4-2^-j.
Если о, мало н не удовлетворяет неравенству (18.7).
в формуле (18.6) берут ш = 1. а величина л определяет-
ся нз условия
с [1-„«(Я—1)»-^-]>ож> („4-1)= £].
274
РАЗДЕЛ ie. устойчивость пластинок и оболочек, расчет гибких пластинок
Для случая, когда все края пластннкн защемлены,
формула для определения критического напряжения
имеет вид
(18.8)
Прн растяжении о. и а, отрицательны.
э) Совместное действие изгибающих усилий по кра-
ям х=0, х=а и касательных усилий по всем краям
(рис. 18.10).
По заданному одному нз двух напряжении находится
значение второго напряжения, прн котором пластинка
Рнс. 18.8
Рнс. 18.9
Рнс. 18.10
Если все края пластннкн шарнирно оперты, то кри-
тические напряжения определяются нз зависимости:
теряет устойчивость. Уравнение это приближенное н да-
ет хорошие результаты для квадратной пластннкн и прн
ох » а9.
е) Совместное действие усилий сжатия (растяжения),
равномерно распределенных по краям х=0, х=а, и ка-
сательных усилий, равномерно распределенных по всем
краям (рис. 18.8).
Все края пластннкн шарнирно оперты. Формула для
определения критического напряжения имеет вид:
+ [ЬвГ = |, (18.9)
о» \ Ч1
где оь н то — критические напряжения сжатия и сдвига
для пластинки заданных размеров н граничных условий
прн раздельном действии усилий сжатия и сдвига.
По данному уравнению могут быть найдены критиче-
ские напряжения, если задано отношение Окр/ткр нлн
задана одна из этих величин.
В случае растягивающих усилий первому члену в ле-
вой части уравнения должен быть придан знак минус.
ж) Совместное действие равномерно распределенных
по всем краям усилий сжатия (растяжения) и касатель-
ных усилий (рнс. 18.9).
Если все-края пластннкн шарнирно оперты [19]:
где Оо н то — критические напряжения изгиба н сдвига
для пластннкн заданных размеров н граничных условий
прн раздельном действии изгиба и сдвига.
По данному уравнению могут быть найдены критиче-
ские напряжения, если задано отношение о«р/тВр пли
одна нз этих величин. Можно пользоваться также фор-
мулой (18.1). где К зависит от т/то (отношение действи-
тельного напряжения сдвига к критическому напряже-
нию сдвига при отсутствии изгибающих усилий) и отно-
шения а/6. Коэффициент К отклоняется менее, чем на
16% от значений, данных в табл. 18.1 н 18.2 для величин
alb, равных 0.5т-1. Для alb = l значения коэффициен-
та К приведены в табл. 18.13.
Т в б л и ц а 16.13
Значения коэффициента К прн afb-1
т т. 0 0.2 о.з 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
к 25.6 24.6 23.8 22.5 21,5 19.5 17.0 14.5 9.95 0
18.2.2. Прямоугольные и квадратные
пластннкн, подкрепленные ребрами
(18.10)
Для случая, когда все края пластннкнзашемлены [19):
В обоих случаях
Сжатие усилиями, равномерно распределенными по
краям х=0 и х=а.
а) Одно продольное ребро, делящее пластинку попо-
лам (рнс. 18.11).
Все края пластннкн шарнирно оперты. Критические
напряжение определяется по формуле (18.1). Коэффици-
ент
(1+Р8)* + 2у
₽‘(1+2«) ’
0,823Е / I \»
18.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
275
Таблица 18.14
Значения коэффициента К для случая одного продольного ребра
y = S V = 10 7 ™ 15 V -20 V “ 25
0 з о 8 8 о 8 8 о 8 8 о 8 8 о 8
о О о о о © О О
в В В в В 0 В в 1 8 i 1 0 В 1
© о •° о ° •° •° о О е> О О •о о
0.6 16.5 18.6 18.5 16.5 16,5 16.5 16.5 16,5 16.5 16.5 16.5 16,5 16.5 16.5 16.5
0.8 15.4 14.6 13 16,8 16,8 16.8 16.8 16.8 16.8 16,8 16,8 16.8 16.8 16.8 16.8
1.0 12 II.1 9,72 16 16 15.8 16 16 16 16 16 16 16 16 16
1.2 9.83 9.06 7.88 15,3 14.2 12.4 16.5 16.5 16,5 I6.S 16,5 16,5 16.5 16.5 16,5
1.4 8.62 7.91 6.82 12,9 12 10,3 18.1 15.7 13.6 16.1 16.1 16.1 16.1 16.1 16.1
1.6 8.01 7.38 6.32 11.4 10.5 9.05 14.7 13.6 11.8 18.1 18.1 14.4 16,1 16.1 16.1
1.8 7.84 7.19 6.16 10.6 9.7 8.35 13,2 12,2 10.5 15.9 14.7 12.6 16.2 16.2 14.7
2,0 7.96 7,29 6.24 10.2 9,35 8.03 12.4 11.4 9.8 14,6 13,4 11,6 16 15.4 13.3
2.2 8.28 7.58 6,5 10,2 9.3 7,99 12 II 9.45 13.9 12,7 10.9 15,8 14.5 12.4
2.4 8.79 8.05 6,91 10.4 9.49 8,15 11.9 10.9 9.37 13,6 12,4 10.6 IS. 1 13.8 11,8
2.6 9.27 8.5 7.28 10.8 9.83 8,48 12.1 11.1 9.53 13,5 12,4 10,6 14.8 13,6 11.6
2.8 8.62 7.91 6.3| 11.4 10.4 8.94 12.5 11.5 9.85 13,7 12,6 10.8 14,8 13.6 11,6
3,0 8.31 7.62 6.53 12 11.1 9.52 13.1 12 10.3 14,1 13 II.1 15.2 13.9 11.9
3.2 8.01 7.38 6.32 Н.4 10.5 9.05 13,9 12.7 10.9 14,8 13,5 11,6 15.6 14.3 12,3
3.6 7.84 7.19 6.16 10.6 9.7 8,35 13.2 12,2 10.5 15,9 14,7 12.6 16.2 15.7 13.5
4,0 7.96 7.29 6.24 10.2 9.35 8,03 12.4 11.4 9.8 14,6 13,4 11.8 16 15,4 13.3
Таблица 18.15
Значения коэффициента К для случая дяух продольник ребер
в 10 3 y-S V™ 20 3 V - 10
0=0,05 0-0,1 (=0,05 6=0.1 6=0.05 6=0,1 6=0.05 6—0.1
0.6 28,6 24,1 36.4 33,2 36.4 36,4 36.4 36.4
0,8 16,9 15 23.3 20.7 29.4 26.3 37.2 37.1
1 л 12.1 10.7 16,3 14.5 20.5 18.2 ?8.7 25.6
1.2 9.61 8,51 12.6 11.2 15.5 13,8 21.4 19
1.4 8,32 7.36 10.5 9.32 12.7 11.3 17.2 15.2
1.6 7,7 6,8) 9.4 8,31 П.1 9,82 14.5 12.8
1.8 7,51 6.64 8,85 7,83 10,2 9.02 12.9 11.4
2.0 7,61 6.73 8.7 7.69 9.78 8.65 11.9 10.6
Таблица 18.16
Предельные значения у для случал одного поперечного ребра
в 0.5 0.6 0,7 0.8 0,9 1 1.2 1.4
V 12.6 7.18 4.39 2.8 1.82 1.26 0.433 0
где
„ » В ' F
Р = —> у= —. £ = —;
ь ЬО ы
В — жесткость прн изгибе ребра; F — площадь сечення
ребра; D — цилиндрическая жесткость пластникн.
Вычисленные значения коэффициента К даны в табл.
18.14.
Значения К. стоящие в таблице над величинами, по-
казанными жирным шрифтом, те же. что и для свобод-
но опертой пластинки с шириной, равной Ь/2.
б) Два продольных ребра, делящих пластинку на три
равные части (рис. 18.12).
Все края пластинки шарннрно оперты. Критическое
напряжение определяется по формуле (18.1), коэффи-
циент
(1+УУ + Эу
РЧ1+36) ’
Значения коэффициента К для некоторых величин
Р, у и £ приведены в табл. 18.15.
в) Число продольных ребер более двух (рнс. 18.13).
Все края пластникн шарннрно оперты Критическое
напряжение
0,<'> = 3-38ТТ^(тУ- (1813>
Н—О---ч
Рис. 18.13 Рнс. 18.14
где с —расстояние между продольными ребрами; пред-
полагается малым по сравнению с а.
г) Одно поперечное ребро, делящее пластинку пополам
(рнс. 18.14).
Рнс. 18.16
Все края пластинки шарнирно оперты. Критическое
напряжение определяется по формуле (18.1), причем
(1 + У)э+2уР»
276
РАЗДЕЛ 18. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И- ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
В табл. 18.16 даны предельные значения у, при кото-
рых выпучивание пластннкн не сопровождается потерей
устойчивости ребер.
д) Три одинаковых поперечных ребра, расположен-
ных на одинаковых расстояниях (рнс. 18.15).
Все края пластннкн шарнирно оперты. Критическое
напряжение определяется формулой (18.1):
(1^-р3р + 2ур»
Р*
Предельные значения у приведены в табл. 18.17.
Таблица 1817
Предельные значения V для случая трея поперечный ребер
0.6 0,8 1 1.2 1.4
V 101 42.6 21.7 12.4 7.71
Все края пластннкн шарнирно оперты. Критическое
напряжение определяется по формуле (18.5). В табл.
18.20 даны предельные значения л.
г) квадратная (прямоугольная) пластинка, подкреп-
ленная диагональным ребром (рнс. 18.20).
Все стороны шарнирно оперты. Критическое напряже-
ние для каждой нз треугольных панелей
е) Число поперечных ребер больше трех (рнс. 1816).
Все края пластннкн шарнирно оперты. Критическое
напряжение
1'кр = 0-8451-4^(-7),> <18Н)
где с предполагается малым по сравнению с Ь.
Действие касательных усилий,
равномерно распределенных по всем
кромкам
а) Одно поперечное ребро, делящее пластинку попо-
лам (рнс. 18.17).
Все края пластннкн шарнирно оперты.
Прн некоторых предельных значениях жесткости В
ребра каждая половина пластннкн будет выпучиваться
как прямоугольная пластинка размерами а/2 и Ь со сво-
бодно опертыми краями, а ребро остается прямым. Со-
ответствующие значения у даны в табл. 18.18.
Таблица IC18
Предельные значения у для случая одного поперечного ребра
Ь 2 1.5 1.25 1
В V = Da 0,83 2.9 6.3 is !
Таблица 18.18
Предельные значения у для случая двух поперечных ребер
д b 3 2.6 2 1.5 1.2
В V" Da о.ы 1,37 з,м 10.7 22,Ь
Рис; 18.17
Рнс.18.19
Иэгибная жесткость диагонального ребра должна
удовлетворять неравенству [17]
0,5806
аГ»Е
12(1 —И*)’
Я>
прн этом ребро сохраняет свою прямолинейную форму
вплоть до выпучивания треугольных панелей.
б) Два поперечных ребра, делящих пластинку на три
равные части (рнс. 18.18).
Все края пластннкн шарнирно оперты. Предельные
значения у даны в табл. 18.19.
а) Длинная прямоугольная пластинка с несколькими
продольными ребрами (рнс. 18.19).
Чистый изгиб
а) Одно продольное ребро на расстоянии б, от сжато-
го края (рнс. 18.21).
Все края прямоугольной пластинки шарнирно оперты.
Приближенная формула для наибольшей возможной ве-
I?.’. устойчивость пластинок в пределах упругости
277
личины ур при заданных bjb и К может быть представ-
лена в виде [1]
Yp = Tp + 6c. (1816)
Ы
Значення ур даны в табл. 18.21.
T а б л я □ • 18.21
Значення у»
П
bjb 1/3 0.2S
к so 50 60 70
G VP 3 2,6 3,9 7.3
С 26 56 92 107
Для указанных в таблице значений bt/b н К величи-
на Flbl ие превосходит С.06.
Кроме того, можно пользоваться следующими при-
ближенными формулами:
если К—80
Т₽ = (13.5 -5,3 у + (18.16')
и
если Д = 100
Vp = (17,5-6-т- +68б)~ (18.16')
1 и /и*
1<-2-<2,5
о
Граничные кривые для комбинации чистого изгибе
с чистым сдвигом для пластинок, укрепленных продоль-
ными ребрами, а также о влиянии упругого защемле-
ния продольных сторон пластникн на критические уси-
лия см. [1].
18.2.3. Несущая способность подкрепленных
ребрами прямоугольных пластинок
после потери устойчивости при сжатии,
сдвиге и чистом изгибе.
Редукционные коэффициенты
Прямоугольная пластинка шарнирно оперта на ребра,
жесткие по отношению к изгибу.
а) Сжатие в направлении стороны а (а^Ь)
В этом случае после потери устойчивости пластинка
может нести возрастающую нагрузку, превышающую
значение критической нагрузки.
С увеличением нагрузки закон распределения напря-
жений в срединной поверхности меняется. В то время
как в центральной части пластинки напряжения мало
отличаются от критических, и краевых полосах, приле-
гающих к продольным ребрам, напряжения ог пропор-
циональны (в пределах упругости) относительному сбли-
жению нагруженных кромок е:
ор = Ее. (18-17)
Эпюра сжимающих напряжений по ширине пластин-
ки приведена на рис. 18.22.
Нагрузка, воспринимаемая пластинкой после потерн
устойчивости, определяется по формуле
Р = <рарЫ. (18.18)
где q> — так называемый редукционный коэффициент.
Рнс. 18.22
Рнс. 18.23
Этот коэффициент определяется по следующим форму-
лам:
Ф =
(18.19)
— прн проверке прочности перекрытий, состоящих нз
значительного числа смежных панелей обшивки, под-
крепленных жесткими на изгиб ребрами;
Ф =
(18.20)
— прн проверке прочности изолированных панелей н
конструкций, состоящих из обшивки, подкрепленной от-
носительно небольшим числом ребер.
В формулах (18.19) и (18.20): онр— критическое на-
пряжение для пластинок заданных размеров; ор — на-
пряжение в подкрепляющих ребрах.
Несущую способность пластинок определяют обычно
нз условий прочности и устойчивости подкрепляющих
ребер.
6) Действие касательных усилий т (рнс. 18.23).
Пластинка может нести после потерн устойчивости
возрастающую нагрузку, во много раз превосходящую
критическую В случае тонкой длинной пластинки (а >6)
при значительной деформации образуется диагональное
поле растяжения с ярко выраженными наклонными
складками.
Напряжение растяжения
2т
sin 2а ’
’(18.21)
где а—угол между направлением складок и длинной
стороной (близкий к 40е).
Главными напряжениями сжатия а2 можно прене-
бречь.
18.2.4., Непрямоугольные пластинки
а) Круглые пластинки под действием сжимающих ра-
диальных усилий, равномерно распределенных по кон-
туру
1) Сплошная пластинка (рнс. 18.24). Прн
шарнирном опирании по контуру
я»Е / I \»
‘’-₽=0'425ЩГТ7)(т) • "в-221
Прн защемлении по всему контуру коэффициент К в
формуле (18.22) вместо 0.425 равен 1.49.
2) Круглая пластинка с отверстием
(рис 18.25). Критическое напряжение определяется по
278
РАЗДЕЛ 18. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
формуле (18.1). Для случвя о пи рання по внешнему кон-
туру при свободно смещающемся внутреннем контуре
значения коэффициента К приведены в табл. 18.22 и
18.23.
6) Эллиптическая пластинка под действием сжимаю-
щих усилий, равномерно распределенных по контуру
(ряс. 18.26).
Рис. 18.26
Таблица 18.22
Значения коэффициента К прн шарнирном опирании
по внешнему контуру
а Ь 0 1 2 3
К 0.425 0.4 0.266 0.328
Продолжение табл. 18.72
b 4 S 6 7 8 9
К 0.28 0.256 0.231 0.219 0.207 0.195
Таблица 18.23
Значения коэффициента К при защемлении по внешнему
контуру
Ь а 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
К 1.49 1.43 1.35 1.47 1.79 2.52
Прн защемлении по всему контуру критическое напря-
жение определяется формулой (18.1). Значения Д при-
ведены в табл. 18.24.
в) Равносторонняя треугольная пластинка под дей-
ствием равномерного сжатия со всех сторон (рнс. 18.27).
Таблица 18 24
Значения коэффициента К для эллиптических пластинок,
защемленных по всему контуру
г) Косоугольные пластинки; шарнирное опирание по
всем кромкам
Рнс. 18,27
Рис. 18.28
1) Равномерное сжатие в направлении,
параллельном двум сторонам (рнс. 18.28).
Критические напряжения относятся к меньшей из сто-
рон а н Ь. которая обозначается через с:
л'Е I t V
) (18М>
В табл. 18.25 приведены значения коэффициента К.
Т (блица 18.25
Значения коэффициента К в формуле (16.24)
ф в град а/Ь
0 1/2 2/3 1 2 3 се
| 90 1 1.56 2.08 4 4 4 4
«0 1.31 1.95 2.6 4.99 4.54 4.13 4
45 1.86 2.48 3.2 5.96 5 4.25 4
30 2,71 3.28 3.9 6.68 5.3 4.35 4
2) Действие касательных сил. равно-
мерно распределенных по всем кромкам
(рнс. 18.29). Критическое напряжение определяется по
формуле (18.24). Прн сдвиге существенную роль играет
направление касательных усилий. Значения Д даны в
табл. 18.26—18.27.
Рнс. 18.29
I6J. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК (ПАНЕЛЕЙ) В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
279
Таблица 16.26
Значении К для «положительного» сдвига (рис. 16.29, о)
Ь/а в град
90 75 60 45 30
1 9.34 13,78 20,58 31.9 53.5
0.7 7.26 10.6 15.52 23.8 39.7
0.4 6.2 9.9 12.7 18.91 30.65
0 5.35 7.61 10.9 16.1 25.9
Таблица 16.27
Значения К для «отрицательного» сдвига (рис. 18.29.6)
Ь/а Ф п град
90 75 60 4S 30
1 9.34 6.64 4.74 3.58 2.46
0.7 7.26 5.25 3.79 2.69 1.78
0.4 6.2 4.3 3.21 2.17 !.<7
0 5.35 3.78 2.63 1.79 1.П
3) Равномерное сжатие в направлении,
параллельном двум сторонам, и сдвиг
усилиями адоль двух других сторон
(рнс. 18.30). Если т^р н о°р — критические напряжения
при изолированном действии сдвига и сжатия, то кри-
18.3. УСТОЙЧИВОСТЬ незамкнутых
ОБОЛОЧЕК (ПАНЕЛЕЙ)
В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
18.3.1. Цилиндрические панели
а) Под действием сжимающих усилий, равномерно
распределенных вдоль кромок х=0 и х=а (рнс. 18.31).
Прн шарнирном опнраннн панели по всем кромкам
верхнее критическое напряжение [6]
Рис. 18.30
Формула применима прн условии
2л
1^12 (1—И2)
ткческне напряжения Тир и оКр прн совместном нх дей-
ствии определяются по следующей приближенной фор-
муле [12]:
^ (+£)-£
+ ^£-(1-Сг) = 1
°«р
(18.25)
cosq>
1 + cos5 <р ’
Прн «положительном» сдвиге (<р<90°) С положитель-
но. а при «отрицательном» сдвиге (нлн при ф>90°) —
отрицательно.
При заданных напряжениях т н о запас устойчивости
п определяется как положительный корень квадратного
уравнения
An1 -J- tin — 1 = 0, (18.26)
Прн меньших значениях угла а. если отношение
а
—----целое число, критическое напряжение
(18-27')
Верхние критические напряжения для квадратной па-
нели прн шарнирном опирании по всем кромкам приве-
дены в табл. 18.28.
Таблиц, 16.26
1 Ъ' Rt 0 6 12 15 24
9.6 10.3 12.3 15.8 20.6
где
Для панели с а/Ь=1 нижнее критическое напряжение
определяется формулой [6]
22.2 / 6 \*
°“ = 0,_7Г£(у) • (18-28)
28 J РЛЗДЗЛ IB. устойчивость пластинок и оболочек, расчет гибких пластинок
Нижние критические напряжении для удлиненных па-
нелей [6]
ан=3,6£ (-j-)’ (при ~ <2о); (18.29)
/ / 8® \
—(при— > 20). (18.30)
Я \ Rt I
Все нрая панели защемлены. Верхнее критическое на-
пряжение
8 Я*£ / / V 3 / b V
’•=Т ГТ7-(т)+^(т)- (18-3,)
В табл. 18.29 приведены верхние критические напряже-
ния для квадратной цилиндрической паиели при всех
защемленных краях.
Таблица >8.29
У Rt 0 6 12 18 24
3.6 4.5 7,2 11.8 18.0
б) Под действием равномерно распределенных по
всем кромкам касательных усилий (рнс. 18.32).
Рнс. 18.32
Все кромкн панели шарнирно оперты Верхнее крити-
ческое напряжение
т. = 0,10f + 5Е ₽, (18.32)
(о » b).
Вег кромкн паиели защемлены. Верхнее критическое
напряжение
в) Под действием равномерного внешнего давления р
(рис. 18.35).
Края х=±//2, а=0 и a — b/R шарнирно закреплены
в направлении нормали к паиели.
Рис. 18.33
’-“'£Т+7-5г(т)’
(18.33)
Можно пользоваться также графическими зависимо-
стями. представленными на рнс. 18.33 и 18.34
Интенсивность ннжних критических касательных уси-
тс2 / а \
лий т* = — для шарнирно опертой панели I — - I I
ct~ \ b /
будет определяться следующими приближенными фор-
мулами
Рнс. 18.35
Рис. 18.36
8.5 (прн 0 < — < Kbl:
\ Rt J
Тв = 7,5 4-0,1—(при 10 <— -.-25
К* \ Л/ i
Приближенные формулы
критического давления [8]:
2л Е
для определения верхнего
Ркр.в - ---• -----------
з / 6 (1—Р“)
(18.34)
IB.4. УСТОЙЧИВОСТЬ замкнутых оболочек в пределах упругости
281
если т, 2> Г.
= Е Т (?) + (,8'35)
если где
в,----- / Я ,V R b
л,. = 2,77/1-^!/ Т
b — длина дуги панели.
Формулы и графики для определения нижнего крнти
ческого давления см. [6].
18.3.2. Конические панели
Коническая панель под действием равномерного внеш-
него давления р (рис. 18.36). Края панели закреплены
в направлении нормали.
Приближенные формулы для определения верхнего
критического давления [8]:
₽кр.» =
если m*2> 1;
Ркр» = £ д
л« Р
12 (1 — М») "
(18-37)
если яГС1. где
_ ^гр
cosa'
2a —угол конусности.
18.3.3. Сферические панели
Сферическая панель под действием равномерного
внешнего давления р (рнс. 18.37)
Рнс. 18.37
Верхнее критическое давление
Коэффициенты Ki, Kt. К* Kt зависят от граничных
условий и приведены в табл. 18.30 (принято р=0,3).
Для сферических панелей с отношением R/t, лежа-
щим в пределах от 400 до 2000. и углом охвата 6 от 40
до 120° можно рекомендовать следующую эксперимен-
тальную формулу [6]:
Ррасч = 0,3 KE » (18-38')
где коэффициент
л = ('-°-175^1)(1 -0'074-^} <18зв')
(18.36)
Значения коэффициентов К,. Kt. К* К, в формуле (1в.ЭЗ)
Граничные условна К, Кв к»
При шарнирном опирании по контуру, свободно смещающе- муся в своей плоскости (распор отсутствует) 1.41 0.00202 1.08 0.25
При шарнирном опирании по контуру, не смещающемуся в своей пл ос к ост я 1.52 0.00576 0.407 2.07
Контур защемлен, но распор отсутствует 4.56 0.00505 5.92 0.0835
Контур защемлен и не смеща- ется _ . . . , 5.45 0.05 3.29 0.394
18.4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК
В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
18.4.1. Цилиндрические круговые оболочки
и) Равномерное осевое сжатие (рис. 18.38).
Шарнирное опирание по обеим кромкам. Верхнее ирн-
тнческое напряжение [6. 1967 г.] в случае местной по-
тери устойчивости
сткр.в = К (18-39)
И 3(1- ц>) к
Рнс. 18.38
При ц=0.25-7-0,32
<W-b~°’6£4"- (18 40)
R
Нижнее <блнжнее> критическое напряжение [6]
окр.в « 0,186'--. (18.41)
2Q2 РАЗДЕЛ 18. устойчивость пластинок и оболочек расчет гибких пластинок
Формула (18.40) применима к оболочкам, изготовлен-
ным достаточно тщательно (амплитуда начальной поги-
бы не должна превышать толщины оболочкн).
б) Сжатие внецентренно приложенной осевой нагруз-
кой (рис. 18.39).
Шарнирное опирание по обеим кромкам. Если напря-
женке может быть выражено в виде c=ao+oicosq>, то
критическое напряжение приближенно определяется по
формуле
(Оо+01)кр.н = 0,18Е—. (18-42)
в) Действие внешнего равномерно распределенного
давления р кГ1см? (рис. 18.40).
Шарнирное опирание по обеим кромкам. Верхнее кри-
тическое давление (формула Мизеса)
Et3 / 2 2ng — 1 — и
+ 12(1 -g"-)R’ l"2-1+ пгр
где / — длина оболочки; л —число выпучнн вдоль
окружности оболочки.
Число л в каждом конкретном случае прн заданных
///? н RH должно быть выбрано из условия получения
наименьшего значения рир.в. Значения л для некоторых
отношении 1/R и R/t даны в табл. 18.31.
. (18.43)
Таблица 18 Л
3 качен к а п в формуле (18.43)
1 к я/<
250 200 50 25
2 2 2
10 4 3 2 2
5 5 4 3 3
2 8 6 5 4
В случае весьма длинной оболочки
₽КР" “ 4 (1 - И1) А3
Рис. 18.41
18 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ОБОЛОЧЕК В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
283
Эта формула верна в той мере, в какой допустимо
считать радиус R пренебрежимо малым по сравнению
с длиной оболочки I. Для оболочек средней длины при
1^//R^4 можно пользоваться приближенной формулой
Е R { t V-s
₽кр-В — 0.86 (1_^S)0_;5 • .
(18.45)
Значения верхних критических давлений, рассчитан-
ных по формуле (18.43) прн ji—0,3 для некоторых раз-
меров оболочек, приведены на рнс. 18.41. где р\ =
= • На рнс. 18.42 даны значения нижних кри-
тических давлений; здесь
Ш-
г) Действие скручивающих пар по торцам (рис. 18.43)
Л!кр = 2л/?2 ft.
где т —средняя величина касательного напряжения.
Края оболочки шарнирно закреплены. Верхнее крити-
ческое значение момента
Рнс. 18.43
(18.46)
Согласно экспериментальным данным реальные значе-
ния критических напряжений составляют в среднем 70—
75% от значений, вычисленных по формулам линейной
теории. Теоретическое решение в нелинейной постановке
284
РАЗДЕЛ 18. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
дает следующие результаты. В случае относительно ко-
IRt 1
ротких оболочек = ннжнес критическое на-
пряжение Тир а составляет около 94% от т»р... Если
pt I
— = —, то т«р и составляет 80% от т«р : при
Я' 1
— -- 2 оои отношение »<Т"в » равно 0,87, т. е. сно-
ва возрастает. Для весьма длинных оболочек решение
ие дает удовлетворительных результатов.
Края оболочкн защемлены. Верхнее критическое зна-
чение момента
^-=2j4Z7«- — |4-6+
+ у Ав + 1,67^ (13.47)
Рис. 18.45
Рнс. 18.46
Для длинной оболочки условия закрепления на конту-
рах не играю: роли н верхнее критическое значение кру-
тящего момента
(,848)
Для расчета оболочек произвольной длины даны
графики на рис. 18.44, построенные на основании уточ-
ненного решения [17]. На графиках п —число выпучнн,
возникающих прн потере устойчивости.
д) Совместное действие равномерного осевого сжатия
и скручивающих пар по торцам (рнс. 18.45)
Шарнирное опнраиие по торцам. Расчетная формула:
— +(—)’ = 1- (18.49)
°о \ то /
Здесь оь и то — критические напряжения для случая
простого сжатия н простого кручения. Величина каса-
тельного напряжения в формуле (18.49) считается за-
данной. Соотношение (18.49) распространяется также
иа нижние критические напряжения.
е) Совместное действие равномерного осевого сжатия
и внешней равномерно распределенной поперечной на-
грузки (рнс. 18.46).
Шарнирное опнраиие по торцам. Для оболочек сред-
ней длины (1«/Я<4) верхнее критическое напряжение
1 1
’’•‘•’•’“т/---------- Я Х
И3(1-р>) к
Нижнее критическое напряжение прн шарнирном опи-
рании кромок определяется приближенной формулой
<’кр.н=0.18Е4-(1--е-\ (18.50')
Я К Ркр.и/
где Рир определяется нз графиков иа рнс. 18.42.
ж) Совместное действие равномерного осевого сжатия
и внутренней равномерно распределенной поперечной
нагрузки.
Шарнирное опирание по торцам. Нижнее критическое
напряжение определяется по приближенной формуле
окр.„=0,18£ 4- (1+14,0р’), (18-50*)
А
где р*
Формула (18.50*) справедлива прн />*<0,17. При
I
р*>0.17 следует принимать Оир,«=0.605Е —
л) Действие изгибающих пар, лежащих в диаметраль-
ной плоскости (рнс. 18.47).
Закон распределения нормальных напряжений в по-
перечных сечениях до потерн устойчивости оболочкн
имеет вид
У И у
= с. cos — = —— cos —
° R aR4 R
IM. УСТОЙЧИВОСТЬ замкнутых оболочек в пределах упругости
Координата у отсчитывается от точки срединной по-
верхности. расположенной в плоскости действия пары.
Шарнирное опирание по торцам. Верхнее критическое
напряжение определяется по формуле (18.39).
Судя по опытам над точеными образцами, находящи-
мися в условиях изгиба парой сил. реальные критиче-
ские напряжения составляют 68-2-75% от о.р.. и имеют
сравнительно слабый разброс. Прн изгибе образцов, из-
готовленных менее тщательно, критические напряжения
составляют 40—70% от Сар... Исходя из эксперимен-
тальных данных, для определения нижнего критического
напряжения рекомендуется формула
°кр.н = 0.22Е 4-. (18.51)
А
и) Изгиб поперечной силой (рис. 18.48).
Защемление на одном торце, второй торец свободен.
Для длинных оболочек реальные значения критических
напряжений иа 8—10% выше, чем прн чистом изгибе.
Верхнее критическое напряжение
Нижнее критическое напряжение
вкр-н = 0.242Е . (18.53)
А
Для относительно коротких оболочек критическое на-
пряжение приближенно принимается равным критиче-
скому напряжению кручения для оболочек тех же раз-
меров. Критические напряжения для оболочек длиной
1—2 диаметра определяются по приближенной формуле
18.4.2. Цилиндрические
эллиптические оболочки
Оболочка с небольшим эксцентрицитетом под действи-
ем равномерно распределенного осевого сжатия
(рнс. 18.49).
Шарнирное опирание по обеим кромкам. Верхнее кри-
тическое напряжение определяется по формуле
_ 1 Etb
°к₽‘= ГзаТ7)‘ °’:
(18.55)
иижнее — по приближенной формуле
Окр-в=0.18Е —. (16.56)
Длина контура оболочки с малым эксцентрицитетом
приближенно равна
а = 2ла
(18.57)
Vs1-»1
я —----------------эксцентрицитет.
Минимальная критическая нагрузка Рмр равна произ-
ведению минимального напряжения (верхнего илн ниж-
него) на плошадь поперечного сечения оболочки:.
2л ЕМ>
/3(1 - р») °
(18.58)
(18.59)
Формулами (18.58) и (18.59) определяется та кри-
тическая нагрузка, при достижении которой в зонах
обопочки наименьшей кривизны начинается образова-
ние первых выпучнн по длине.
Вследствие наличии на поверхности зон. поддержива-
ющих ослабленные участки, критическая нагрузка, при
которой начинается волнообразование по всей поверх-
ности. будет несколько превышать ту, которая опреде-
ляется формулой (18.59).
18.4.3. Усеченные конические
круговые оболочки
а) Равномерное продольное сжатие (рис. 18.50).
Шарнирное опирание по кромкам. Верхняя критиче-
ская сила
Ркр.в = ——=—— Et- cos1 а.
к 3(1-р1)
(I8 60)
Рнс. 18.50
Рис. 18.51
Нижняя критическая сила определяется по прибли-
женной формуле
Ркр.н = 1,13£72 cos’ а. (18.61)
б) Внешнее равномерное давление (рис. 18.51).
286
РАЗДЕЛ 18 УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
Шарнирное опирание по кромкам. Верхнее критиче-
ское давление [3]
а Гб»
л₽«=ТГ^[т(’,4+‘"'!+е)+
(n»g + *)(л* + m) — n*s
Здесь л — число выпучин.
устойчивости;
возникающих при
£6 cos а
а = 2(1-ц’):
. 1 — у’ „ 1 — т‘
6= 1,41₽’:—4; С = 0,4;—
1 —у» 1—v’
-0.203
I +V
d= 9,85(1 + т=) Р= + 3sin*а;
«=|-°-305ТТ7;
е= (1 + У=)(32,4₽» + 138₽» sin* а) + 32.4₽«y<;
fc = 2.3₽* ' Y'tT<;
H 1+Y*
/ 3 I — y»\
/ = 0.575P* cos* а (1 — у»)* (1 - - -
m= 14,18» (1 + y»); s = 5.95P*(l + y»);
ft = 5.,2y(1+T,)(1tr-±r>.
потере
(18.63)
При а-<-0 ,w .ro/ri-»-l выражение (18.82) переходи-;
в формулу (18.43) Мизеса для кругового цилиндр.',
в случае всестороннего сжатия. Полагая в (18.62) и
(18.63) у=0, т. е. го=о и Г|чБ0, получаем формулу для
определения критического давления замкнутой кониче-
ской оболочки:
Et cos a ______________I_________
₽к’'’ = 2 (1 — p*) r> ’ 1.41 sin* a + 0,2л=
X | —г(п‘+ 12,85л» sin»a + 170 sin* а) +
L6^
л* + 63,5 sin* а
+ 0,575 sin* a cos* а ..
п* + 8,85.1* sin* а + 46.5sin4 a J
(18.64)
варьнру-
формула
Число выпучин n в записанных выражениях
ется до получения (Дкр.в)»!. Приближенная
для указанного случая имеет вид [8].
£7 cos* a £afr» + n*)+*
^Ср _L -2^ -2\3
(18 65)
Ркр.в
где
Ee =---------------;v=^.
12(1-p2)R2„cos2a I
Эта формула выведена в предположении, что ионус
закрыт с обеих сторон дисками, которые, так же как и
боковая поверхность, подвергаются действию давления.
Эта же формула используется и для открытых конусов
при выполнении условия
[ (* р. I nR\г [• Р
[12Л*(1 - p«J \ / I « 112Л*(1 - р*) J
В этом случае возникающее меридиональное усилие
значительно дальше отстоит от своего критического зна-
чения. чем окружное усилие.
Также несущественно, на каком из краев открытой
оболочки уравновешивается осевая сила (создаваемая
давлением из-за наклона образующей), так как связан-
ное с этим сжатие илн растяжение оболочки в меридио-
нальном направлении сравнительно мало влияет на ее
устойчивость.
Если в формуле (18.65) пренебречь величиной v* по
сравнению с п» (считая v*^n2p), получается простая
формула для Ркр.>:
2л Е tit \’/г
Ркр.в = ,—'• u 7S ' I ( п I ’ (18-65)
з/б (1 - g=)c-7S 1
где
cos a
Из формулы (18.66) следует, что прн углах конусно-
сти 2a«40° дкр., для конуса отличается от рк1)., для
цилиндра длиной I и радиусом, равным Rt„ конуса,
ие больше чем иа 10%. Поэтому н в других случаях
загружеиия (осевыми силами, крутящим моментом
и т. д.) можно без большой погрешности рассчитывать
конус прн сравнительно небольшом а. как цилиндриче-
скую оболочку длиной / и радиусом, равным ЯСр конуса.
18.4.4. Усеченные конические круговые
подкрепленные оболочки
Равномерное всестороннее давление (рнс. 18.52).
Шарнирное опирание по кромкам. Для ребер жестко-
сти, установленных на оболочке достаточно часто, при-
Рис. 18.53
Рис. 18.52
инмается. что жесткость иа
померно распределяется по
кость обшивки иа изгиб по
изгиб каждого из них рав-
пролету. При этом жест-
направляющей оболочки во
IM устойчивость замкнутых оболочек в пределах упругости
287
много раз меньше аналогичной жесткости ребер и по-
этому ие учитывается. При этих допущениях верхнее
критическое давление
£ cos а Г / cos а
^-=г^[7^(п‘+<,л!+е)+
+ /------------------. (18-67)
2(1- р!)т, (л*й + 4)(n« + т) - nzs J
где / — момент ннерцнн подкрепляющего ребра с при-
соединенным поясом обшивки; Ц — расстояние между
ребрами.
Значения постоянных параметров определяются нэ
формул (18.63).
Этому напряжению соответствует давление
₽кр-.= —
/3(1-М*)
(18.72)
Нижнее критическое напряжение определяется по
формуле
18.4.5. Усеченные конические эллиптические
оболочки
Более подробные расчеты на
устойчивость сферических обо-
лочек см. [7].
°кр.„ 0.1Б5Е — . (18.73)
Рнс. 18.54
Оболочка с небольшим эксцентрицитетом под действи-
ем равномерного продольного сжатия (рнс. 18.53).
Шарнирное опирание по кромкам. Верхнее критиче-
ское напряжение
1 F.tb
°кр-в = ------—cosa. (18.68)
/з(1-ц*) й’
18.4.7. Эллипсоидальные оболочки
Нижнее критическое напряжение приближенно опре-
деляется по формуле
«Wk = 0.18 —cosa. (1869)
az
Здесь a — угол между высотой конуса и образующей,
проходящей через вершину большой полуоси эллипса;
окр относится к сечению оболочкн. где определяются
параметры а н Ь. Эксцентрицитет считается малым. Ми-
нимальная выпучивающая сила, действующая перпенди-
кулярно плоскости основания, определяется аналогич-
но тому, как для цилиндрической оболочки эллиптиче-
ского сечення:
а) Вытянутая эллипсоидальная оболочка (рис. 18.55)
лот) действием внешнего равномерно распределенного
давления р. Верхнее ирнтнческое давление
2/: Р Р
- = —. (18.74)
где о, b — полуоси эллипса. Появление вмятин следует
ожидать в зоне экватора.
— 2” . fl------— й») cos* a; (18-70)
УЗ(1— р*) ° ' 4 '
= ! ЛЗ—(1 —-^~4*)c°s*a. (18.71)
Рнс. 18.55
Рис. 1866
Формулами (18.70) н (18.71) определяется та критиче-
ская нагрузка, при достижении котором в зонах оболоч-
кн наименьшей кривизны начинается образование пер-
вых выпучим по длине.
Вследствие наличия на поверхности зон, поддержива-
ющих ослабленные участки, критическая нагрузка, при
которой начинается волнообразование по всей поверх-
ности, несколько превышает ту» которая определяется
формулой (18.71).
б) Сплющенная эллипсоидальная оболочка (рис. 18.56)
под действием внешнего равномерно распределенного
давления р. Верхнее критическое давление
Рв =
2Е
Уз(1-р*)
РЬ*
РЬ*
1.21Е —.
(18.75)
18.4.6. Сферические оболочки
Равномерное внешнее давление р (рис. 18.54).
Величина равномерного сжимающего напряжения в
этом случае равна
pR
2/
Верхнее критическое напряжение определяется по
формуле (18.39). '
Появление вмятнн следует ожидать в эоне полюсов
А и В.
в) Сплющенная эллипсоидальная оболочка при а>
2 под действием внутреннего давления р. Верхнее
критическое давление
2Е Р Р
Рь ’---------------------- 1.21Е---------. (18.76)
°’-2Аг °’-2»2
Появление вмятин следует ожидать в эоне экватора.
Нижнее критическое давление р, для эллипсоидаль-
ных оболочек составляет примерно такую же долю от
р>. как и для сферических оболочек; практические рас-
четы надо вести по величине р«.
288
РАЗДЕЛ IS. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
18.5. УСТОЙЧИВОСТЬ пластинок и оболочек
ЗА ПРЕДЕЛАМИ УПРУГОСТИ
18.5.1. Общие положения
Приведенные выше формулы применимы при условии,
что критические напряжения лежат в пределах действия
закона Гука; это означает, что интенсивность иапряже-
ннй в любой точке пластникн илн оболочки, определя-
емая, как для плоского напряженного состояния, ие дол-
жна превышать предела пропорциональности материала
Опп (считаем его равным пределу упругости оув):
°т = V °Ж — °Х “к + + 3x2 < °пц (18.77)
Для расчета пластинок и оболочек иа устойчивость за
пределами упругости имеется несколько методов [6].
1. Расчет по теории упруго-пластических деформаций,
предложенный А. А. Ильюшиным [9]. Этот метод ана-
логичен расчету иа устойчивость сжатых стержней с
применением результирующего модуля Кармана. Здесь
учитывается эффект разгрузки для волокон, располо-
женных при выпучивании стержня на стороне выпукло-
сти; принимается, что для этих волокон связь между
напряжением и деформацией отвечает начальному мо-
дулю упругости материала.
2. Расчет по теории упруго-пластических деформаций
без учета эффекта разгрузки. Этот метод отвечает рас-
чету иа устойчивость сжатых стержней с применением
касательного модуля (метод Шеили — Работиова).
3. Расчет по теории пластического течения.
Ниже приводятся данные для расчета по теории де-
формаций как более близкие к результатам экспери-
ментов. При этом расчет без учета эффекта разгрузки
приводит к значениям критических напряжений, лежа-
щим ниже экспериментальных; учитывая же эффект
разгрузки, получаем критические напряжения, лежащие
несколько выше экспериментальных.
В расчетные формулы входят некоторые величины, оп-
ределяемые по диаграмме с<—е< для данного материа-
ла; эта диаграмма связывает интенсивность напряжений
с, с интенсивностью деформаций е,, причем
Если считать коэффициент Пуассона ц равным 0.5. то
диаграмма о,—е,- совпадает с кривой с(е). полученной
при одноосном растяжении (сжатии) образцов из рас-
сматриваемого материала. Введем обозначения: Ес для
секущего модуля. Е. —для касательного модуля. Т —
для результирующего модуля; при указанном допущении
о do 4£ЕК
Ес ~~ J . 71 = ~ ~ --
Е de (Уе+УелУ
Кроме того, обозначим
Ес Ек Т
фс=-;фк = Т; , = т:
(18.79)
(18.80)
Таблица 18.32
Расчетные параметры для стали маран Ст.З
е а % о в кПсм* ’к
0.095 2000 1 1 1 0
0.10 2100 0.68 V.S2 U.005
о.п 2200 0,95 0.47 0,66 0.023
0.12 2280 O.9U 0.32 0.5и 11.052
и, 13 2340 О, 86 0.22 0.41 0.075
и. 14 2380 о,й| O.I2 0.26 о.н
0.15 2390 U.76 0.062 0.16 O.I5
0.16 2400 U.7I 1.029 0.U94 и. 19
0.18-0.40 2400 0.63—0.29 и О U.33-C.71
0.45 2410 U.26 0.010 0.033 0.61
0.50 2420 0.23 О.019 0.062 0.60
0.60 2570 0.20 0.024 О.071 U.63
0.70 2520 0.17 0.024 0.071 0.65
0,80 2675 0.15 0.024 0.071 0.68
и, 90 2630 0,14 0.021 0.071 U.7U
1.00 2685 U. 13 0.024 O.07I 0.71
1.10 2740 0,12 0.024 0.071 0.73
1.20 як 0.11 0.024 0.071 0.7-1
Таблица 1833
Расчетные параметры для дуралюмнна Д16Т
• в % а яГ/см' ”с ”к t г
0.27 2000 1 1 1 0
0.30 2200 0,98 0.79 0.88 О.О|
0,35 2460 0.94 0.S8 0.73 0.03
0,40 2640 0.87 0.50 0.66 0.067
0,45 2780 U.82 U,34 U, 51 0,10
0,50 2900 0.77 0.27 0.43 о.|3
0.60 3060 0.68 0.20 U.33 0.19
0.70 3200 0,61 0.16 0.27 и. 24
0.80 3320 0.55 0.13 0.23 0.29
0,90 3400 0,49 O.II 0.20 0.33
1.00 3450 0.46 0.11 0,20 0.35
1,10 3560 0,43 Л 0.20 и.:«
1.20 3640 U.40 0.11 0.20 и.-Ю
В табл. 18.32 н 18.33 приводятся значения безразмер-
ных параметров фс, <р„. t и г в зависимости от интенсив-
ности деформации е, и напряжений о, для стали марки
Ст.З (табл. 18.32) при Cnu=20U0 кГ/сл’, с, =»
= 2400 кГ/см1, Е=2,1-10* кГ/см1, р=0.3 и для луралю-
мнна Д16Т (табл. 18.33) прн о.ц = 2000 кГ1см\ а0.3=
=3050 кПсм\ £=7.5-10* кГ[см\ p=0J2. Участок
0.18%<е<0.4% для стали относится к площадке теку-
чести.
18.Б.2. Прямоугольные пластинки
о) Удлиненная пластинка (а>2Ь). шарнирно опертая
по краям, схата усилиями, равномерно распределенны-
ми по краям х=0 И х=а (см. рнс. 18.1).
Критическое напряжение
пЮ,,
а^ = К~^- (18 82)
о-r
Здесь при р=0,5
ЕР
О,л = —. (18 83)
1«S устойчивость пластинок и оболочек за пределами упругости
289
Но теории деформаций с учетом эффекта разгрузки
коэффициент
Так как коэффициент К в формуле (18.82) зависит от
е< или Ст. то эту формулу следует представить в виде
к=2(1-г)(|/7 + 7-ГЬ+1)- <|8<И)
Окр_ п*РУ. _
К ЬЧ 9 \Ь )
(18.86)
Без учета эффекта разгрузки
К = 2’с(у/Т+ 4 •? + ')•
(18.85)
и найти зависимость для данного материала между
а,„!К и отношением bit. Тогда прн заданных размерах
пластинки определяются одновременно коэффициент К
и критическое напряжение а«р.
На графиках рис. 18.57 и 18.58 приведены значения
Она в зависимости от bit. найден-
ные по формулам (18.84) — (18 85)
и данным, приведенным в табл.
18.32 н 18.33 для стали марки Ст.З
и дуралюмииа Д16Т. Пунктир-
ная линия иа рис. 18.57 соединяет
прямую, отвечающую площадке
текучести, с ирнвой, соответствую-
щей диаграмме упрочнения мате-
риала, минуя «петлю» теоретиче-
ских значений. В практических рас-
четах можно в запас прочности по-
лагать, что при 6/К40 Скр-=От-
6) Квадратная пластинка (а<=
=6). шарнирно опертая по краям,
сжата усилиями, равномерно рас-
пределенными по краям х=0 и
х=>а (см. рис. 18.1).
Коэффициент К в формуле
(18.82) равен:
1) по теории деформаций с уче-
том эффекта разгрузки
13 3
к=— (1-г) + — t; (18.87)
4 4
2) по теории деформаций без
учета эффекта разгрузки
Рнс. 18.58
К= 3,25фс + 0,75фк. (18.88)
Ниже приводятся расчетные формулы
для других случаев закрепления пластин-
ки, полученные по теории деформаций без
учета эффекта разгрузки. Этн формулы
используются таким же образом, как н
для удлиненной шарнирно опертой плв-
стннкн. Коэффициент К выражен через
такой же коэффициент Хто. найденный для
упругой области (см. выше 18.2.1, табл.
18.1 н 18.2).
в) Удлиненная пластинка (а^Ь) сжата
усилиями, равномерно распределенными по
краям х=0, х*=а (см. рис. 18.1).
Значення коэффициента К в формуле
(18.82) при шарнирном опирании по краям
х=0 н х=а зависят от условий закрепле-
ния двух других краев.
Край у=0 оперт шарнирно, ирай у=Ь
свободен:
К = фс*ув. (18.89)
где Куа—0.46.
29b
РАЗДЕЛ IS УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
Край у=0 защемлен, а край у=Ь свободен:
К = ч’с(‘з' УГ_Г + ^ “? + 'з')Ку- (,8-90)
\ 3 Г 4 4 фс 3 /
где Л,о = 1.33.
Края р=0 н у — Ь защемлены:
Куп. (18.91)
где К,о=7,0.
Ориентировочные расчеты для любых граничных усло-
вий можно провести по «формуле секущего модуля»:
К = <тсКуп. (18.92)
18.5.3. Цилиндрические оболочки
/. Круговая замкнутая оболочка, шарнирно опертая
по торцам, ската осевой нагрузкой (см. рис. 18.38).
Приближенно верхнее критическое напряжение равно
Сир.» = 0.6Гфс 4-. (18.93)
f\
Для практических расчетов эту формулу следует
представить в виде
^^- = 0.6Е 4" (18 94)
Фс Л
н определить зависимость о,, от отношения RH, поль-
зуясь диаграммой о(е) для данного материала (см. вы-
ше 18.5.1).
Деформация, отвечающая «блнжнему» нижнему кри-
тическому напряжению, определяется по формуле
®кр-я — g екр-в-
(18.95)
Соответствующее напряжение
Скр-н = £с екр-я* (18.96)
Во всех других случаях нагружения оболочек крити-
ческое напряжение можно приближенно иайти по анало-
гичной «формуле секущего модуля»:
Охр = Окр.уп Фс- (18.97)
Здесь под Окруп понимается критическое напряжение,
найдркпсс по данным 18.4.1 для упругой области.
2. Круговая замкнутая оболочка, шарнирно опертая
по торцом, подвергается действию равномерно распре-
деленного внешнего давления р (см. рнс. 18.40).
Приближенно безразмерный параметр верхнего крити-
ческого давления равен:
• 4
(18 98)
а 0,34
3. Круговая замкнутая оболочка подвергается дейст-
вию скручивающих пар по торцам (см. рнс. 18.43).
Верхнее критическое напряжение равно:
t.= 0.74(0.75)--/.£s(^-),,’(AJ/'js
к 0,888£s (-7-) Z*. (18.99)
Зависимость (18.99) получена для оболочкн средней
длины. Для оболочек большой длины
т„ = 0,272 (0,75)-*л Es =
иО.ЗгбЕз^р. (18.100)
18.6. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
Полные нормальные н касательные напряжения о
каждой точке гибкой пластннкн складываются нз напря-
жений в срединной поверхности (или цепных, мембран-
ных напряжений) и напряжений собственно изгиба.
18.6.1. Гибкие пластннкн
а) Прямоугольная пластинка шарнирно оперта по
контуру; контур не смещается; поперечная нагрузка рав-
номерно распределена по всей площади (рнс. 18.59) [4].
Рнс. 18.59
Стрела прогиба (в центре) определяется нз уравнения
^’ + ЙС = -^Р’. (18.Ю1)
Для центра пластинки
°хп — °хи + охс! °уп — °рн 4" °ус
(о» и о,п — полные напряжения).
Коэффициенты А, В, а, ₽. у н 6 даны в табл. 1834.
Для квадратной пластинки имеется уточненное реше-
ние [6], которое дает зависимости для определения стре-
лы прогиба, напряжений в срединной поверхности и на-
пряжений изгиба, представленные на рис. 18.60 и 18.61.
б) Прямоугольная пластинка шарнирно оперта по
контуру; края пластинки свободно смещаются, попереч-
ная нагрузка равномерно распределена по всей площади
(см. рис. 18.59).
18.6. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
291
Таблица 18.31
Значения коэффициентов А. В,Л. ₽. у 11 6
а/Ь л В о и V 6
1.0 1.82 1.3* 1.645 1.645 0.615 0,615
1.1 1.53 1.11 1.416 1,587 0,518 0.60*3
1.2 1.34 0.96 1.242 1.544 0.448 0.592
1.3 1.21 0.84 1.107 1.510 0,392 0.584
1.4 1.11 0,76 1,000 1.484 0.351 0.581
1.5 1.05 0.7- 0.913 1.462 0.315 0,574
1.6 1.00 0.65 0.843 1,444 0,288 0.571
1.7 0,95 •>.60 0.781 1.429 0.263 0,568
1.6 0,!О 0.57 0.735 1.417 0.246 0,567
1.9 0.WJ 0.54 0,693 1.407 0.230 0.566
2.0 0.88 O..-1Z 0.658 1.393 0.21/ 0.566
Приближенная формула для определения стрелы про-
гиба имеет вид
Напряжения з срединной поверхности otr будут наи-
большими по абсолютной величине у кромок (х=0.
х=п) Н по средней линии пластинки (х=о/2):
л1 / / V
= F— (у)- (18. КМ)
Максимальные напряжения изгиба будут в центре пла-
стинки
Наибольшие полные напряжения равны:
°ул = °ус + °уо-
(18.105)
(18.106)
Для квадратной плиты стрелы прогиба напряжения
в срединной поверхности и напряжения изгиба по за-
данной величине поперечной нагрузки определяются со-
ответственно из рнс. 18.62 н 18.63. полученных с по-
мощью уточненного решения. Буквой С обозначен центр
пластинки. А — угол.
в) Прямоугольная пластинка находится под действи-
ем поперечной нагрузки, равномерно распределенной по
поверхности пластинки, и защемлена по контуру; края
пластинки неподвижны (рис. 18.64).
Кубическое уравнение для определения стрелы проги-
ба имеет вид
[6,48(v+0+|2,187Г+лр+7,53(1+
21 .
+ У]т = р- (18-107)
Для определения напряжений в срединной поверхно-
сти следует величины о’с и определенные по зави-
симостям (18.110). сложить соответственно с р* и р’.
которые находятся по формулам:
Напряжения изгиба определяются по формулам порнп
жестких пластинок.
Уточненное решение для случая а — Ь приводит к за-
висимостям, данным па рнс. 18.65—18.67. Буквой В обоз-
начена середина стороны пластникн
г) Прямоугольная пластинка защемлена па краям и
находится под действием поперечной нагрузки, равно-
мерно распределенной по поверхности пластинки; кром-
ки пластинки свободно смещаются (см. рнс. 18.64).
292
РАЗДЕЛ 18. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
Стрела прогиба определяется из кубического уравне-
ния (при р=0,3):
[6-48 (тг+’)++8-98[3(i+*)+
р
(18.109)
Максимальные напряжения в срединной поасрхиосгн
(в центре пластинки) равны:
Максимальные напряжения изгиба для нижних воло-
кон посередине пролета
3 , .
°и„ = ~ (1 — М ) р <Р| (шарнирно опертые края);
(18.114)
• 1 9 • -
= —(I — М )р Ф? (защемленные края). (1-8.115)
Максимальные напряжения изгиба для верхних воло-
кон у опор
<я=4~(1 (18Л16)
Здесь
Напряжения изгиба определяются по формулам тео-
рии жестких пластинок.
д) Удлиненная гибкая пластинка пролетом Ь находит-
ся под действием равномерно распределенной попереч-
ной нагрузки р.
Рнс. 18.66
Ц Щ V V VI
Рис. 18.67
Прогибы определяются по формулам:
5
£ = -— ₽• (1 — р*)ф] (шарнирно опертые края):
(18.111)
{ =----р* (1 — ps)! ф, (защемленные края). (18-112)
Максимальные напряжения (в плоскости, параллель-
ной длинным опертым краям) в срединной поверхности
равны:
и»
3 '
(18-113)
186. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
293
Вспомогательные функции для расчета удлиненных пластиной
Таблица 18.35
и Нагрузка Стрела прогиба Напряжения
шарнирные края WO-м*)1 Д защемленные края lg(p*< I-P’)) Д шарнирные края ч>> защемленные края ♦> посередине у защемлен- ных краев X
шарнирные края ф, защемленные края ф.
0 Об —W 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
0.5 0.111 0.783 0.908 0.976 0,905 0.972 0.984
1.0 0.517 406 1.114 331 0.711 0,909 0,704 0.894 0.939
1.5 0.627 310 1.337 223 0.532 0.817 0,511 0,788 0.876
2.0 1.089 262 1.5)9 182 0.380 0,715 0.367 0.673 0.806 !
2.5 1.316 927 1.680 161 0.281 0.617 0.268 0.563 0.736
3.0 1.514 198 1,826 146 0,213 0,629 0.200 0.467 0.672
3.5 1,689 175 1.960 134 0.166 0,463 O.IS3 0,386 0.614
4.0 1.845 156 2,084 124 0.132 0,388 0,120 0.320 0.563
4.5 1.986 141 2.199 115 0,107 0,335 0.097 0.267 0.519
5.0 2.114 12Я 2.306 107 0.088 0.291 0.079 0.224 0.480
5.5 2.232 118 2.403 100 0.074 0.254 0,066 0.189 0.446
6.0 2.340 ЮТ 2.499 93 0.063 0.223 0.055 0.162 0,417
G.5 2.440 100 2.587 88 0.054 0.197 0.047 0.139 0.391
7.0 2.533 У1 2.669 82 0.047 0,175 0,041 0,121 0,367
7.5 2.620 87 2.747 78 0,041 0,156 0,036 0,106 0,347
о.о 2,702 82 2.821 74 0.036 0.141 0.031 0.093 0,328
8.5 2,779 77 2.891 70 0.032 0.127 0.028 0,083 0.311
9.0 2.8S2 73 2.958 67 0.029 0,116 0.025 0,074 0.296
9.5 2.921 69 3.021 63 0.026 0,106 0.022 0,066 0.283
10 2.9R6 65 3.082 61 0.0235 0.0960 0.0200 0.0599 0.270
II 3.108 122 3.195 113 0.0195 0,08)1 0.0166 0,0496 0.248
12 3,220 112 3,300 105 0.0164 0,0694 0,0139 0,0417 0,229
13 3.323 103 3,397 97 0.0140 0,0601 0.0118 0,0355 0.213
14 3,419 96 3.487 90 0.0121 0,0525 0,0102 0,0306 0,199
15 3.509 90 3.572 85 0.0106 0.0462 0.00889 0.0267 0,187
16 3.592 83 3.652 80 О.ООЭЭО 0,0410 0.00781 0.0235 0.176
17 3.670 78 3.727 75 0,00825 0.0368 0,00692 0,0208 0,166
18 3.744 74 3.798 71 С.00736 0 03® 0,00617 0,0185 0.158
19 3.814 70 3.865 67 0,00661 0,0297 0,00554 0.0166 0,150
20 3,881 67 3.928 63 0,00597 0.0270 0,00500 0,0150 0,142
Таблица 18.36
Значения ноаффлцнентов А, В. а. В. у и В
Граничные условия А В В центре У контура
а-В ужхб а б V б
Шарнирное опнраннс пи контуру контур свободно смещается 0.376 1,436 1.778 0.295 0 0.755 0 0,427
контур не смещается 2.660 1,436 1.778 0.905 О 0.755 0.610 0,183
Защемление по контуру контур свободно смещается 0.857 6.862 2.660 0.500 4.400 1.320 0 -0.333
контур ие смещается 2.762 5.862 2.860 0.976 4.400 1.320 0.476 0.145
Значения ф,. ф2, ф|. фг и х находятся нэ табл. 18.35.
Зависимости между оу н С даны на рис. 18.68—18.69.
е) Круглая пластинка подвергается действию попереч-
ной нагрузки, равномерно распределенной по всей чло-
щиди.
Стрела прогиба (в центре) определнется из кубическо-
го уравнения
+ = (18.117)
. р ( ° /
гдс =
Коэффициенты А и В даны в табл. 18.36. После опре-
деления стрелы прогиба нормальные напряжения изги-
ба о... и напряжения в срединной поверхности
Ore. Он находятся по формулам:
° nt — аЕ - I °1н — ;
а* а*
°г1 = У-
(18 118)
294
РАЗДЕЛ 18. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК. РАСЧЕТ ГИБКИХ ПЛАСТИНОК
Полные напряжения равны:
Or = Ощ + ot = olH + olc. (18.119)
Значения коэффициентов а, р. у и 6 даны в табл. 18.36.
Знак минус относится к сжимающим напряжениям.
18.6.2. Мембраны
а) Квадратная мембрана нагружена равномерно рас-
пределенной поперечной нагрузкой: края шарнирно опер-
ты: кромки неподвижны.
Прогиб определяется по формуле
C = 0,285V/’p*. (18.120)
X
Рис. 18.70
Напряжения в срединной поверхности (в центре пла-
стинки)
о;е=о^ = 3,40:2. (18.121)
6) Удлиненная абсолютно гибкая пластинка с проле-
том Ь нагружена равномерно распределенной нагрузкой:
хоая пчастинки шарнирно оперты; кромки неподвижны.
Стрела прогиба
С = 0.3б/’р:. (18.122)
Напряжения в срединной поверхности (в центре плас-
тинки) определяются по формуле
• • > Л(а*)^
’« = «’уе = |/ — • (18123)
в) Круглая мембрана с несмещающимся контуром
подвергается действию равномерно распределенной по-
перечной нагрузки.
Стрела прогиба в центре
з.—
С = 0,662 V р* . (18.124)
Максимальное напряжение в центре
(18.125)
Предел упругого сопротивления гибкой
пластникн
Под пределом упругого сопротивления будем пони-
мать ту нагрузку рт, при которой наибольшие приве-
денные (по той нли иной теории прочности) напряжения
достигают величины предела текучести материала о».
Рис. 18.71
Для определения предела упругого сопротивления пла-
стинки устанавливается связь между наибольшими на-
пряжениями и интенсивностью нагрузки. При этом де-
Рис. 18.73
Рис. 18.74
18.6. ГИБКИЕ ПЛАСТИНКИ И МЕМБРАНЫ
295
формации считаются упругими на всем участке до пре-
дела текучести.
Пример 18.1. Квадратная гибкая пластинка находится
под действием равномерно распределенного по поверх-
ности пластникн поперечного давления; кромки пластин-
Рис. 18.75
кн шарннрно оперты; края не смещаются. На рнс. 18.71
н 18.72 изображена зависимость между от и рт для
малых и значительных прогибов Ст. Дана «предельная»
нагрузка, полученная при том же условии для абсолют-
но гибкой пластинки, которая оказалась равной
р‘ = 9,63 (о')1 2 3 4-5 6 7 * 9 10. (18.128)
В практических расчетах надо вычислить от по фор-
муле
• От I Ь \«
(18129)
н найти рт нэ графиков рнс. 18.71 и 18.72.
Пример 18.2. Удлиненная гибкая прямоугольная пла-
стинка пролетом Ъ находится под действием равномер-
но распределенной поперечной нагрузки. Кромки пла-
стинки шарннрно закреплены; края не смешаются. Гра-
фик предельной нагрузки из условия достижения наи-
большим напряжением предела текучести
—От представлен иа рис. 18.73 сплошной кривой [11].
Верхняя пунктирная кривая показывает возрастание от-
носительного прогиба /м»нс/б с увеличением b/t. Ниж-
няя пунктирная крнрая характеризует рост роли цепных
напряжений. Аналогичный график предельной нагрузки
для пластинки с защемленными кромками приведен иа
рис. 18.74. Коэффициент Пуассона р=0.3.
Нагрузка на пластинку ограничивается также усло-
вием достижения предельного прогиба. Кривые постоян-
ного значения futuclb представлены иа рис. 16.75 (пла-
стинка с шарнирно закрепленными кромкамн) н на рнс.
18.76 (пластинка с защемленными кромками). Принято
|1=0,3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б р о у а е Б. М. Устойчивость пластинок в элементах
стальных конструкций. МашстроЙнэдат. 1949: Предельные со-
стояния стальных балок. Гос. изд-во лит. по строительству н ар-
хитектуре, 1953.
2. Б у б и о в И. Г. Труды по теории пластин. Техтеоретиз-
дат. 1953.
3. Б у н н ч Л. М., Палий О. М. и Писковити-
на И. А. Устойчивость усеченной конической оболочки, нахо-
дящейся под действием равномерного внешнего давления. «Ин-
женерный сборник». 1956. № 23.
4. В а р в а к П. М. Приближенный расчет пластинок сред-
ней толщины. Труды Киевского инженерно-строительного инсти-
тута. вып. 3. 1936.
5. В л в с о в В. 3. Общая теория оболочек. Гостехнздат.
1949.
6. Воль мир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. Тех-
теоретиздат, 1956: Расчет пластинок. Справочник машиностроите-
ля. т. 3. Машгиз. 1956. Устойчивость пластинок прн пластиче-
ских деформациях. Изд. ВВИА имени Жуковского. 1959: Устой-
чивость деформируемых систем. Фнзматгнз. 1967; Устойчивость
пластинок. Устойчивость оболочек. Справочник «Прочность,
устойчивость, колебания», т. 3. «Машиностроение». 1968.
7. Г е н и е в Г. А., Ч а у сев Н. С. Некоторые вопросы
нелинейной теории устойчивости пологих металлических оболо-
чек. Стройиздат. 1954.
9. Даревскнй В. М.. Карташкин Б. Д. Методи-
ка расчета на прочность и устойчивость корпусов турбореактив-
ных двигателей. Обор он г из. вып. 5. 1956.
9. Ильюшин А. А. Устойчивость пластин и оболочек за
пределами упругости. «Прикладная математика и механика»,
вып. 5. 1944 н вып. 5—6. ISM6: Пластичность. Техтеоретиздат. 1948.
10. Корнишин М. С.. Исанбаева Ф. С. Гибкие
пластинки и панели. «Наука». 1968.
II. Лейте с С. Д. Упругий и упруго-пластический изгиб
длинных прямоугольных пластинок. Сб. «Расчет пространствен-
ных конструкций, выл. VIII. Гос. изд-во лит. по строительству
и архитектуре. 1962.
12. С а ч е н к о в А. В. Приближенное определение нижней
границы критической нагрузки при продольном сжатии тонкой
конической оболочки. Известия Казанского филиала АН СССР,
серия физико-математических и технических наук, 1955, М 7.
13. Субботин К- Н. Прочность и устойчивость косо-
угольных свободно опертых пластинок, автореферат диссертации,
издание МАИ. 1953.
14. Т и м о ш е и к о С. П. Пластинки и оболочки. Техтеорет-
издат. 1948; Устойчивость упругих систем. Техтеоретиздат. 1946.
15. Феодосьев В. И. Упругие элементы точного прибо-
ростроения. О борон гнз. 1949.
16. В u г g е С. С.. Structural principles and data Hand-
book of Aeronautics. Лй I. 1952.
17. S t u г m R. G.. Stability of thin cylindrical shells In tor-
sion. ASCE. vol. 73. № 4. 1947
18. Jojlc Kos a г a. Diagonal stiffening of a simply sup-
ported square plate submitted lo shearing stresses. Pubis Inst.
Acad, serbe Sci.. 1953. 5.
19. Roark J.. Formulas lor stress and strain, 1943.
29. Kempner J.. Postbuckling behaviour of axially comp-
ressed circular cylindrical shells. Journal of the Aeronautical
Sciences. № 5. 1964.
21. N в s h W. A.. Effect of large deflections and Initial Im-
perled Ions on the buckling of cylindrical shells. J. Aeron. Scl.,
№ 4. 1955.
22. H s u Lo. G r a t e H. and Schwartz E. B.. Buckling of
thinwalled cylinder under axial compression and internal pressu-
re .NACA TN 2021. I960.
РАЗДЕЛ 19
РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
19.1. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
19.1.1. Давление иа ограждающие
конструкции хранилищ сыпучих тел
Имеется в виду несвязное сыпучее тело, например
дробленая руда, цементный клинкер, сухой песок, гра-
вий. зерно н другие материалы, состоящие из отдельных
твердых частиц н не обладающие сцеплением. Для рас-
чета несвязное сыпучее тело заменяется сплошной сыпу-
чей средой, которая характеризуется следующими свой-
ствами:
среда не сопротивляется растяжению, нормальные на-
пряжения в ней могут быть только сжимающими;
касательные напряжения в среде не превосходят уси-
лий внутреннего трения, зависящих от коэффициента
внутреннего трения среды;
Таблице 19.1
Нормативные характеристики сыпучих тел
* Коэффнцн-
Материал £5* 8££ енттр ення /
§ = в т*
8* ЕЁ
Апатитовый концентрат . . . 1.9 35 0.6 0.35
Гипс кусковой крупный (более
10 см) 1.45 30 0,45 0,3
То же. мелкий (до 10 см) 1.35 40 0,55 0,35
Глинозем ...... 1.2 30 0.5 0.3
Зерно (пшеница) . . 0.8 25 0.4 0.37
Известь обожженная крупная
(более 10 см) 1.1 30 0.45 о.з
То же. мелкая (до Ю см) . , 0.8 35 0,55 0.35
Известь гашеная в порошке 0.7 35 0.55 0.35
Карналит .... ..... 0.8 35 0.5 0.3
Кокс ..... 0.6 45 0.84 0.47
Магнезитовый порошок с разно-
рами зерен до 10 мм ... 1.8 33 0.53 0.35
Нефелиновый концентрат . . 1.5 35 0.5 0.3
Песок сухой 1.6 35 0.7 0.5
» влажный 1.8 40 0,65 0.4
» нвсыщенно-алажный . . 2 25 0.6 0.35
Сода кальцинированная . . . 0.6 40 0.5 0.3
Уголь антрацит 0.!' 30 0.5 о.з
» битуминозный несортнро-
ванный 0.9 40 0.6 0.3
Уголь мелкий орешковыЙ н у г-
лн. применяемые в коксохнмн-
ческом производстве . . . 0.8 40 0.65 0.35
Уголь бурый ... 0.7 45 0.7 0,35
Фосфоритная мука ..... 1.3 40 0.5 0.3
1.6 30 0,58 0.3
—
Таблица 19 2
Характеристики сыпучих тел
Сыпучее тело Объемный tec V т/м1 Угол внутреннего трек ня ф в град Угол трения ф, в град
X 3 о с по дере- Н по бетону
Агломерат железной
□уды 1,7—2 45 — —
Бобы . . . > . » 0.6—0,8 32 22-25 15-27 24
Гречихе 0,6—0,7 35 17-27 20—30 —
Земля формовочная 1,85—1,3 30-36 25-35 —
Зола 0.4—0.7 40-50 35—40 — —
Известняк дробленый Кукуруза неочншеи- I.4-I.7 35-55 29—45 35 —
ная ... 0.7-0.75 35—40 20 17-19 23
Льняное семя . . 0.65-0.75 25 19 17-22 22
Мел дробленый 1.4 39 — — —
Мука ржаная . . 0.6-0.55 35-50 26-38 — —
» пшеничная 0.45-0.GS 30-45 — — —
Овес 0.4-0.5 27-35 22—30 20-38 25
Опилки древесные 0.15-0.3 30-55 21—40 — —
Просо 0.65-0.85 22—25 17 18 —
Рожь 0.65-0,8 25-35 18-30 20—35 30
Руда железная . . 2.1—2.4 35-37 30-40 — —
Сахар 0.7—0.9 50 40-45 — —
Соль поваренная 0.7—1.3 30-50 26 — —
Торф 0.3—0.7 45-50 27-37 19-39 —
Шлак 0.6—1 30—50 22—50 17 —
Ячмень ...... 0.43—0.75 25—45 23—25 18-23 24
деформации среды возможны только за счет сдви-
га по площадкам, где касательные напряжения достига-
ют величины усилий внутреннего трения.
Сыпучая среда является расчетной моделью несвязно-
го сыпучего тела. С помощью теории предельного рав-
новесия сыпучей среды определяется давление на кон-
струкции хранилищ несвязных сыпучих тел. За неиме-
нием лучших возможностей эту теорию часто распрост-
раняют также и на порошкообразные сыпучие тела, та-
кие как цемент, мука и т. п. О применении теории пре-
дельного равновесия сыпучей среды к грунтам, в том
числе к обладающим сцеплением, см. [35].
По своим статическим свойствам несвязные сыпучие
тела значительно отличаются от сыпучей среды, так как
в них могут происходить большие объемные деформа-
ции — разрыхление и уплотнение, сопровождающиеся
сильным изменением коэффициента внутреннего трения
[38]. Поэтому в практических целях целесообразно при-
менять приближенные методы расчета, компенсируй от-
16.1. СТАТИКА сыпучей среды
297
клонение расчетных величин от действительных запа-
сами устойчивости и прочности.
Сыпучее тело характеризуется двумя величинами: объ-
емным весом у и углом внутреннего трения или прини-
маемым равным ему углом естественного откоса <р. Прн
решении расчетных задач необходимо также зиать ко-
эффициент / или угол <ро треиия сыпучего тела по по-
верхностям ограждающих его конструкций. В табл. 19.1
приведены нормативные характеристики различных сы-
пучих тел согласно [39]. Этн характеристики можно при-
нимать также при расчете бункеров и ограждающих
стен складов для сыпучих тел.
В табл. 19.2 приведены характеристики некоторых сы-
пучих тел по данным литературы [18], которые могут
быть использованы при расчете хранилищ для этих ма-
териалов.
19.1.2. Предельное равновесие сыпучей среды.
Строгие н приближенные решения
плоской задачи
Статика сыпучей среды есть статика ее предельного
равновесия. Принимается, что в этом состоянии дефор-
мации сдвига происходят только при условии, что по
некоторым площадкам касательные напряжения т и нор-
мальные напряжения о связаны зависимостью
T = otg<p, (19.1)
где ф — угол внутреннего трения.
Непосредственно из предельного круга Мора
(рнс. 19.1) видно, что в каждой точке сыпучси среды
имеются две такие площадки, где соблюдается условие
(19.1). Огибающие этих площадок дают линии скольже-
ния. Нормали к указанным площадкам наклонены к
большему главному нормальному напряжению о, под
90 + Ч> 90+Ф „
--------------- ----- г,-..главных нор-
|у главному нормаль
90 + Ф 90+Ф „
углами ----— и — —— . Отношение
мальных напряжений равно:
(19.2)
(19.3)
Взаимное расположение направлений главных нор-
мальных напряжений и площадок скольжения в точке
среды изображено иа рнс. 19.2. Переходя от элемента к
массиву, напряжения следует рассматривать как функ-
цию координат точки. В той зоне сыпучей среды, где
имеет место состояние предельного равновесия, в усло-
виях плоской задачи позннкают два семейства линий
скольжения: наклоненные к траекториям большего
Рис. 19.2
главного нормального напряжения о, под углами
+ "уj н — и пересекающиеся друг с
другом под углом (90—ф).
Для решения задач о плоском предельном равновесии
сыпучей среды разработаны строгие н приближенные
методы.
г
1 Ое
Рис. 19.2
Строгие методы основываются на условии предельно-
го равновесия элемента сыпучей среды (рис. 19.3). Для
этого элемента могут быть написаны три совместных
уравнения, связывающих между собой три неизвестные
функции координат — напряжения ст,, о, и т. Первые
два уравнения — известные дифференциальные уравне-
ния равновесия:
до, Л
-гл-+-^- = °; -г-+-г-=ь (19-4)
дх дг дг дх
где у — объемный вес среды.
298
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Третье уравнение связывает между собой компоненты
напряжений о,, о, и т и записывается следующим об-
разом:
(ох — о2)2 + 4т- = (ог + sin1 ф. (19.5)
Строгий метод решения системы уравнений (19.4) и
(19.5) разработан В. В. Соколовским [34]. Для некото-
рых частных случаев получены замкнутые решения.
В других случаях решения отыскиваются численными
методами. С. С. Голушкевич предложил для этих целей
графический метод [7].
Строгая теория предельного равновесия в пространстве
разработана только для случая осевой симметрии.
Приближенные методы исходят из упрощающих допу-
щений об очертании линий скольжения. Большей частью
предполагается, что линии скольжения являются пря-
мыми.
Приближенный метод, предложенный Ренкнным, ис-
ходит нз предположения» что в состояние предельного
равновесия переходит вся сыпучая среда и что полное
напряжение по вертикальным площадкам параллельно
верхней прямолинейной границе среды, а полное напря-
жение по площадкам, параллельным этой границе, вер-
тикально и равно yz cos 0, где у — объемный вес сыпу-
чей среды (рнс. 19.4).
Это предположение эквивалентно допущению, что ли-
нии скольжения и траектории главных напряжений явля-
ются прямыми. Величины напряжений по любым площад-
кам находятся с помощью круга Мора (рнс. 19.5). Преж-
де всего определяются напряжения по площадке, парал-
лельной верхней границе среды, которые в соответствии
с рнс. 19.4 равны:
о = yz cos Р; т = yz sin 0 cos 0.
Эти величины определят на диаграмме Мора точку F.
В угол, образованный двумя прямыми, проведенными
под углами +ф и —ф к оси о, вписывают окружность,
проходящую через точку F. Задача имеет два решения.
Малая окружность с центром С отвечает случаю сполза-
ния сыпучей среды — активному давлению. Большее
главное напряжение равно ою, меньшее главное напря-
жение равно О2о. Одно семейство прямых линий сколь-
жения параллельно прямой E*D, другое — прямой £оО'.
Большая окружность с центром Ci отвечает случаю над-
вигания сыпучей среды — пассивному давлению. Большее
и меньшее главные напряжения соответственно равны
о1Р н с2р. Семейства прямых линий скольжения парал-
лельны прямым £р£>| н
Метод Ренкииа в настоящее время применяется только
для решения таких задач, как определение давления сы-
пучего тела на стеикн и воронки бункеров (см. далее
п. 19.1.6), на криволинейные ограждающие поверхности,
когда иных методов решения не имеется, а значительные
отклонения от действительности в величине н распреде-
лении давления не имеют существенного значения.
Наибольшее применение в практических целях пока
имеют приближенные методы решения задач статики
сыпучей среды, в которых линии скольжения предполага-
ются прямыми, а нх положение задается с точностью до
одного параметра, который определяется нз условия
экстремального значения давления сыпучей среды на
ограждающие конструкции.
Эта идея Кулона лежит в основе его теории давления
сыпучего тела на массивную стенку (см. далее 191.3).
Деформации сыпучей среды определяются сдвигами,
возникшими в результате преодоления внутренних уси-
лий трення. Поэтому можно считать, что диаграмма ма-
лого перемещения А обобщенной силы Р. приложенной
к сыпучей среде, такая же, как идеализированная
диаграмма сдвига при сухом трении твердых тел
(рис. 19.6.0). Пока РеРманс, перемещение равно нулю,
а прн Р = РМЖМС оно может неограниченно расти. Воз-
можность проявления так называемой псевдопластично-
сти [2], когда переход в предельное состояние сопро-
вождается внезапным падением силы, вызывающей сдви-
ги. и РПред<^м»ис (рис. 19.6,6) не принимается во вни-
мание.
Считается, что сыпучая среда ведет себя как жестко-
пластичное тело н, следовательно, подчиняется положе-
19.1. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
299
ниям. определяемым следующими экстремальными тео-
ремами о предельном равновесии таких систем [1.6].
I. Величина нагрузки заданной конфигурации, вызы-
вающая переход в состояние предельного равновесия сы-
пучей среды в целом или только ограниченной ее части —
так называемая разрушающая нагрузка — является наи-
большей из величин статически возможных, т. е. уравно-
вешивающихся нагрузок тон же конфигурации. Это по-
ложение непосредственно вытекает нз диаграммы, изо-
браженной иа рнс. 19.6,0.
2. Разрушающая нагрузка есть наименьшая нз нагру-
зок, способных вызвать пластическую деформацию сыпу-
чей среды, т. е. наименьшая из кинематически возможных
нагрузок заданной конфигурации. Это положение лежит
в основе кинематического метода определения разруша-
ющей нагрузки. В сущности именно такая задача при-
ближенно решается прн определении пассивного давле-
ния сыпучей среды иа стенку. Сила, надвигающая стенку
на сыпучее тело, получается наименьшей прн наимень-
шем пел и чине пассивного давления.
3. Величина реакции подающейся связи, ограничиваю-
щей сыпучую среду и вызывающей в ней своим переме-
щением состояние предельного равновесия, есть наи-
меньшая из всех статически возможных и наибольшая из
всех кинематически возможных. Типичный пример пода-
ющейся связи — стенка, ограждающая сыпучее тело.
Определение активного давления на стенку по теории
Кулона есть отыскание кинематическим методом при-
ближенного значения реакции подающейся связи.
19.1.3. Давление сыпучего тела
на массивную стенку.
Теория Кулона. Строгое решение
для частного случая
Теория Кулона лежит в основе приближенных методов
определения давления сыпучею тела на массивные пен-
ки. Имеется в виду бесконечно длинная стенка» так что
Рис. 19.7
задача решается как плоская. В расчет вводится стенка
длиной, равной единице. Задняя грань стенки плоская.
Верхняя граница сыпучего тела имеет произвольное очер-
тание. Давление иа стенку определяется для момента
перехода ее в состояние предельного равновесия. Если
этот переход вызван перемещением в сторону от сыпу-
чего тела, стенка воспринимает активное давление или
распор сыпучего тела. Прн перемещении стенки в проти-
воположном направлении на нее действует пассивное
давление или отпор сыпучего тела. Перемещение стеикн
создает состояние предельного равновесия в ограничен-
ной зоне сыпучей среды, непосредственно примыкающей
к стенке и имеющей форму призмы. Граница между этой
зоной н остальной частью сыпучей среды является пло-
скостью. Наклон плоскости определяется из условия
экстремума давления сыпучей среды на стенку.
Случай активного давления изображен на рнс 19.7.
Зона сыпучей среды, находящаяся в состоянии предель-
ного равновесия, называется призмой обрушения, ее гра-
ница — плоскостью обрушения. Фигура АВН — основа-
ние призмы обрушения. Прямая fin —след плоскости
обрушения. Призма обрушения сдвигается по плоской
грани стенки АВ и плоскости обрушения ВН. Реакции
этих двух плоскостей наклонены к нормалям плоскостей
под углами трення соответственно Фо н <р.
При заданных размерах н угле е наклона,за дней грани
стенки к вертикали, очертании поверхности сыпучего те-
ла. объемном весе у н углах трения ф и фо реакция стен-
ки является функцией одной переменной — угла 0. опре-
деляющего положение плоскости обрушения. Из тре-
угольника сил получаем:
„ „ sin (0 — <р)
t = и = -:-------------,
sin (ф + 0 — ф)
(19.6)
где С — вес призмы обрушения, равный уХ(пл. АВН)Х
XI. н угол 1р=90—е—фо.
Активное давление равно максимальной величине Е.
Прн непрерывных Е и dEldf) угол наклона 0 плоскости
обрушения может быть найден нэ условия dEldfi^Q.
Величина активного давления находится из выражения
(19.6).
Очевидно, что активное давление по теории Кулона
есть реакция в подающейся связи, определяемая прибли-
женно кинематическим способом. Погрешность делается
в сторону преуменьшения, т. е. не в запас прочности.
Поэтому в некоторых случаях приходится отыскивать
более точное решение.
Случай пассивного давления изображен на рнс. 19.8.
Зона сыпучей среды, находящаяся в состоянии предель-
ного равновесия, называется призмой выпирания, ес гра-
ница — плоскостью выпирания. Фигура АВН — основание
призмы выпирания. Прямая ВН — след плоскости выпи-
рания. В этом случае:
sin (0 + ф)
sin (ф + 0 + ф) ’
(19.7)
где С —вес призмы выпирания, равный уХ (пл. АВН) X1,
и угол ф=90—е+ф»
зоо
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Пассивное давление равно минимальной величине £.
При непрерывном £ и dE/dO угол наклона 0 плоскости
выпирания может быть найден нз условия dE/d0=O.
Величина пассивного давления находится из выражения
(19.7).
Определение пассивного давления по теории Кулона
эквивалентно приближенному определению кинематиче-
ским методам разрушающей величины силы, надвигаю-
щей стенку на сыпучее тело (рнс. 19.9) и, следовательно.
Рис. 19.9
дает погрешность в сторону преувеличения, т. е. не в
запас прочности. Поэтому в некоторых случаях прихо-
дится искать более точное решение [34].
Распределение давления по высоте стенки — закон из-
менения его интенсивности и положение центра давления
в теории Кулона остаются неопределенными. Для устра-
нения этой неопределенности полагают, что давление на
верхнюю часть стенки, расположенную выше некоторого
уровня, не зависит от того, перемещается илн не переме-
шается нижняя часть стенки, расположенная ниже того
же уровня. С помощью теории Кулона можно построить
кривую полных давлений на стенку, каждая ордината
которой равна величине давления на ту часть стенки,
которая расположена выше ординаты. Интенсивность
давления находится как производная кривой полных дав-
лений по длине. Применяют также и другой прием —
центр давления находят проектированием на заднюю
грань стенки центра тяжести призмы обрушения нлн
призмы выпирания лучом, параллельным следу соответ-
ственно плоскости обрушения илн плоскости выпирания.
Опыт строительства н специально поставленные экс-
перименты показали, что теория Кулона в большинстве
случаев удовлетворительно согласуется с действитель-
ностью (29). Особенно это относится к случаю активно-
го давления. Определять величины давления по фор-
мулам (19.6) и (19.7) целесообразно только в простей-
ших случаях. Для абсолютно гладкой вертикальной
стенки и горизонтальной поверхности сыпучей среды
(рнс. 19.10). Кулон получил следующие выражения:
активное давление
£=-!_тЛЧ8з(45_Т-). (19.8)
пассивное да вл емче
£=2_TA3tg.^5+±.j, (19.9)
Эпюра давления — треугольник; центр давления нахо-
дится на расстоянии ft/З от низа стенки.
Для более сложных случаев имеются аналнтнческни
вы ражен и я величин д деления [35]. Удобны графические
Таблица 19.3
Коэффициенты 1 для определения по формуле (19-6) нормальной
составляющей Еи активного давления (о чиглнтсле)
и пассивного давления (в знаменателе)
ф. гм-) Ф». град в град
-30 -М -10 0 10 20 30 40
г 0 5 10 0,65 2.04 0.60 2.17 0.-57 2.51 0.66 1,75 0.61 1.94 0.5'1 2.06 0.67 1.54 0.63 1.69 0.60 1.79 0,70 1.42 0.66 1.55 0.6-1 1.63 0,74 1,35 0.72 1.47 0.69 1.64 0.84 1.35 0.80 1.47 0.79 1.52 0.93 1.39 0.91 1.47 э.м 1.53 1.14 1.52 I.0-J 1.58 1.07 1.63
20 0 10 я 0,35 3.67 п. Ч 4,81 о.*) 5.65 0,40 2.Ю 0.35 3.73 0.Т2 4,32 w I о fc I о I о Ык а и 0,49 2,04 0.44 2.51 0.41 2,86 0.56 1.83 0.51 2,22 0.48 2.49 0.65 1,73 0,61 2,05 0.58 2.29 0,80 1.68 0.7‘. 1.95 0.71 2.17 1.01 1.72 0.91 1.97 0,02 2.12
30 0 15 -ТО 0,18 7.04 0.15 11.7 о. в 15.7 0.23 5.05 0.19 В. 14 0.17 10.5 0.27 176 0.24 5.80 0.21 7.51 0,33 3.00 0,29 4,46 0.27 5.67 0,41 2.46 0.37 3,60 0.34 4.48 0,53 2.17 0.48 3,03 0.44 3.77 0,67 1.99 0,61 2.68 0.57 3.23 0.Ю 1,96 0.82 2.47 0.78 2.95
40 0 я 40 0,05 15.0 0.06 35.6 0.05 57.9 0,1? 9.55 О.Ю 21.0 О.ОЯ 34.2 0,16 6.35 0.14 13.4 0.12 21.0 0.22 4.60 0.19 9,00 0.17 14.0 0.30 3.48 0.25 6,56 0.23 9.7J 0.40 2.85 0.37 5,05 0.33 7,20 0.55 2.48 0.51 3,98 0.48 5.55 0.72 2.-Ю 0.72 3.39 0.70 4.55
методы определения активного и пассивного давления,
основанные нь теории Кулона (см. пп. 19.1.4 и 19.1.5).
Для частного случая подпорных стенок с плоской зад-
ней гранью при горизонтальной поверхности засыпки
удобно пользоваться результатами расчетов В. В. Соко-
ловского и 3. Н. Буцко по строгой теории, приведенны-
ми в табл. 19.3. В этой таблице даны коэффициенты К
для определения нормальной составляющей Ея актив-
ного и пассивного давления на стенку по следующей
формуле:
, уЛ»
£н = ^-—- (19.10)
Касательная составляющая £„ вычисляется умноже-
нием £. на коэффициент трения:
= ^н<вФо-
(19.1!)
19.1. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
301
19.1.4. Графическое определение активного
давления. Построение Ребхана.
Построение Понселе
Построение Ребхана имеет в виду плоскую заднюю
грань и любую непрерывную форму поверхности сыпуче-
го тела. Оно основано на следующих положениях, выте-
кающих из теории Кулона:
1) яа рнс. 19.11 линия ВН — слсл плоскости обруше-
ния, отвечающий активному давлению; линия НС парал-
лельна основной линии BD'. площадь фигуры АВН равна
площади треугольника ВИС;
2) активное давление равно площади треугольника
Ребхана GHJ, умноженной ко объемный вес сыпучего
тела (рнс. 19.11).
Построение, определяющее след плоскости обрушения
ВН, и треугольник Ребхана изображены на рнс. 19.12.
На горизонтальной ист наносятся точки /ii/ijiijftj, пред-
ставляющие проекции точек H,H2H2Ht. соответствую-
щих возможным положениям плоскостей обрушения.
Кривая / дает изменение площади основания призм об-
рушения ABHt, АВНз. АВНу. АВНл. Ординаты кривой//
равны площадям треугольников BlliGi, ВНгС2, BII2G2,
BHtGt. Точка пересечения обеих кривых, спроектирован-
ная на след поверхности сыпучего тела, определит точку
Н. а прямая ВН есть след искомой плоскости обрушения.
Проведя HGHBD и отложив GJ=GH, получаем тре-
угольник Ребхана. Актнэное давление
Е = y(nn.GHJ),
где у —объемный вес сыпучего тела.
Рнс. 19.13
Центр давления может быть найден проектированием
на заднюю грань стенкн центра тяжести призмы обруше-
ния лучом, параллельным следу ВН плоскости обру-
шения.
В некоторых случаях по Ребхаиу можно иайтн актив-
ное давление и без помощи кривых / и //.
На рнс. 19.13, а показан случай, когда поверхность
сыпучего тела — плоскость, параллельная основной ли-
нии BD. Из условия равновеликости ЬАВН и ЕВНС сле-
дует. что АН=НС. Треугольник CHJ, заштрихованный
на ряс. 19.13,а, есть треугольник Ребхана.
На рнс. 19. 13, б поверхность сыпучего тела — плос-
кость, параллельная плоскости естественного откоса.
Точка С уходит в бесконечность. Треугольник Ребхана
GHJ определяется проведением GntBD. Эпюра давле-
ния треугольная, н. следовательно, давление £ приложе-
но на расстоянии й/3 от низа стенкн под углом фо к нор-
мали задней грани.
Построение Понселе имеет в виду случай, когда по-
верхность сыпучего тела ярляется плоскостью. Задняя
грань стенки—также плоскость. Простота построения
Понселе позволяет применять его для приближенного оп-
ределения давления в ряде более сложных случаев: прн
ломаном очертании задней грани стенки н поверхности'
сыпучего тела, при наличии иа поверхности сыпучего те-
ла несплошной нагрузки н в других случаях.
Построение Понселе для определения активного дав-
ления изображено на рнс. 19 14. Последовательность
появления точек на чертеже отвечает порядку букв ла-
тинского алфавита. Из точки А проводится АЕЦВО.
С помощью полуокружности, построенной на диаметре
ВС, определяется BF=VВС BE, для чего просолится
302
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
FE.LBC. Затем из точки В откладывается BG = BF н нз
точки С проводится GH\\BD. Прямая ВН есть след плос-
кости обрушения. Откладывая от точки G отрезок GJ =
= GH, получаем треугольник Ребхана GHJ. Активное
давление на стенку
£ = у (пл. GHJ),
где у — объемный вес сыпучего тела.
Активное давление приложено в точке, расположен-
ной на расстоянии h/З от низа стенки, н наклонено под
углом <ро к нормали задней грани стеикн.
Рнс. 19.14
На рис. 19.15 дано измененное построение Понселе
для случая, когда точка С расположеиа далеко справа,
и построение, согласно рис. 19.14, оказывается неудоб-
ным. Компактность построения достигается параллель-
ным переносом характерных точек.
На рнс. 19. 16 изображено построение Понселе для
случая, когда AE||BD проходит выше следа плоскости,
ограничивающей поверхность сыпучего тела. В этом
случае из точки С проводится CFA-BC и определяется
ВЕ~У ВС-BE. Дальше построение продолжается так
же, как иа рнс. 19. 14.
При наличии на поверхности сыпучего тела равномер-
но распределенной нагрузки (рнс 19.17) интенсивностью
р она заменяется эквивалентным слоем сыпучего тела
высотой
/>, = — . (19.12)
V
Поверхность сыпучего тела «приподнимается» на ве-
личину Ло. Задняя грань стенки продолжается вверх до
пересечения с новой поверхностью сыпучего тела в точке
А'. Таким образом, высота стеикн увеличивается на
Величина может быть вычислена по формуле
I
Л' = Ло----------------7.
1 + tgq> tg р
(19.13)
Построение выполняется для стеикн высотой h+h0.
Эпюра давления имеет форму трапеции, заштрихован-
ной на рнс. 19.17. Центр давления лежит на уровне цент-
Рнс. 19.18
ра тяжести этой трапеции. Верхняя ордината эпюры
q. дает интенсивность активного равномерно распреде-
ленного по высоте стенки давления, вызываемого рав-
номерно распределенной нагрузкой р.
Ниже описываются некоторые частные случаи, когда
построение Понселе удается использовать только для
приближенного, но практически приемлемого решения за-
дачи.
На рнс. 19. 18 изображен прием приближенного опре-
деления давления для случая, когда равномерно рас-
19.1. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
303
пределенная нагрузка расположена не на всей поверх-
ности сыпучего тела. Принимается, что участок стенки
Аа. расположенный выше пересечения задней грани с
плоскостью, проведенной под углом <р к горизонту через
крайнюю ординату нагрузки, не воспринимает дополни-
тельного давления от этой нагрузки. Далее полагают,
что участок стенки ЬВ, расположенный ниже пересечения
задней грани с плоскостью, проведенной через край на-
грузки параллельно плоскости обрушения, найденной
Рнс. 19.20
нз построения Понселе для участка Аа, испытывает та-
кое же давление, как если бы нагрузка была располо-
жена без отступа от стенкн. На участке ab давление из-
меняется по переходной прямой.
На рнс. 19.19 показан прием приближенного опреде-
ления давления для случая, когда след поверхности сы-
пучего тела — ломаная линия AHN. Линия На — след
плоскости обрушения для участка Аа, найденный в пред-
положении, что поверхность сыпучего тела — плоская
со следом АНМ, треугольник Oed — эпюра давления для
этого же участка, построенная прн том же предположе-
нии. Далее определяется давление на стенку и строится
эпюра давления в предположении, что поверхность сыпу-
чего тела — плоскость со следом AiN, а след задней гра-
ни стенки — AiB. Прямая O|d, иа эпюре давления явля-
ется асимптотой к действительной эпюре давления, так
как с увеличением глубины влияние пригрузки AAtH
уменьшается. Прямая dg, дающая изменение интенсив-
ности давления иа участке аВ, спрямляет кривую, про-
ходящую через точку d н имеющую асимптоту Oid|.
На рнс. 19. 20 показано определение давления иа стен-
ку с ломаной задней гранью. Сначала определяется
давление ЕЛвг на грань АВ>. Затем грань В^В продол-
жается вверх до А и определяется давление Елгв на
стенку с плоской задней гранью А,В. Давление на В,В
равно площади нижней части трапецеидальной эпюры
интенсивности давления на стенку АВ. Центры давления
на каждую из граней находятся на уровне центра тя-
жести соответствующей части эпюры интенсивности дав-
ления.
Как указывалось, теория Кулона и основанные на ней
способы приближенных расчетов несколько преуменьша-
ют активное давление по сравнению с результатами
строгой теории предельного равновесия сыпучего тела.
По В. В. Соколовскому, прн вертикальной задней грани
стенки это преуменьшение находится в пределах 5%.
если фо ^40°, т. с вс всех практических случаях. Раз-
ница становится существенной для стенок, наклоненных
в сторону сыпучего тела, когда е<0. Так, при е——30°
и <р=фо=35° теория Кулона преуменьшает активное
давление на 42%.
19.1.5. Графическое определение пассивного
давления. Построение Ребхана. Построение
Понселе
Построение Ребхана имеет в виду любую непрерывную
форму поверхности сыпучего тела. Оно основано на двух
следующих положениях.
На рис. 19.21 линия В//—след плоскости выпира-
ния. Линия HG параллельна основной лнннн BD. Пло-
Рнс. 19.21
щадь фигуры АВН равна площади треугольника BHG.
На рис. 19.22 DJ = GH. Пассивное давление равно
площади треугольника Ребхана GHJ (заштрихован на
рисунке), умноженной на объемный вес сыпучего тела
Таккм образом, пассивное давление легко определяется,
если известно положение следа плоскости выпирания
ВН. Этот след находится построением двух кривых: кри-
вой изменения площади АВН н кривой нэменення пло-
щади треугольника BGH; обеих в зависимости от поло-
жения точки Н на поверхности сыпучего тела. Равенст-
во ординат обеих кривых укажет искомое положение
следа плоскости выпирания. Детали построения такие
же. как и в случае определения активного давления.
Центр давления находится проектированием на плос-
кость задней грани центра тяжести призмы выпирания
лучом, параллельным плоскости выпирания. Пассив-
ное давление отклонено ст нормали к задней грани на
УГОЛ фо.
Построение Понселе имеет в виду, что поверхность
сыпучего тела — плоскость. Построение приведено на
рнс. 19.22. Последовательность появления точек на чер-
теже отвечает порядку букв латинского алфавита. Линия
естественного откоса проводится под углом ф, откла-
дываемым от горизонтали вниз по часовой стрелке,
и продолжается до точки С пересечения продолжения
следа плоскости, ограничивающей сыпучее тело сверху.
Основная линия ВЕ> образует с гранью стенкн угол (ф+
+фе), откладываемый от ВА также по часовой стрелке.
С помощью полуокружности, построенной иа диаметре
ВС, строится отрезок BF У ВС-BE. Затем откладыва-
ется BG=BF, .проводится GH„2Lj н откладывается
304
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
GJ = GH. Треугольник GH1, заштрихованный на
рнс. 19.22, — треугольник Ребхаиа. Пассивное давление
Е = у (пл.бНУ).
где у — объемный вес сыпучего тела.
Эпюра интенсивности давления имеет треугольное
очертание, как показано на рисунке. Следовательно,
пассивное давление приложено в точке, удаленной от
низа стенки на Л/3; оно отклонено от нормали к задней
грани на угол <р0.
Построение Понселе может быть использовано для
определения пассивного давления и в некоторых других
Рис. 19.22
случаях, например прн наличии на поверхности сыпучего
тела равномерной нагрузки. Для этих целей применяют-
ся те же приемы, которые применяются для определения
активного давления.
Как указывалось, теория Кулона и основанные на ней
приближенные способы расчета приводят к некоторому
преувеличению пассивного давления по сравнению с ре-
зультатами строгой теории предельного равновесия сы-
пучей среды.
Разница между величинами пассивного давления, по
Кулону н по В. В. Соколовскому, для вертикальной зад-
ней грани дана в табл. 19. 4.
Т а б л я а а 19.4
Разница а процентах между величинам и пассивного давление,
определенными по теории Кулой а и по строгой теории
Ф. tpad 10 20 30
Ф*. epafl 5 и. 0 50 15 30
Разница > % 8 м
Териагн считает, что пассиииое давление можно опре-
делить по теории Кулона только, если фо<"7_4>-
и
[38].
19.1.6. Давление сыпучего тела
в бункерах и силосах
Бункером называется хранилище цилиндрической или
призматической формы для сыпучего тела с отношением
высоты вертикальной стенки к наименьшему размеру
поперечного сечення меньшим 1.5. Если это отношение
равно нлн превышает 1.5. хранилище называется сило-
сом. Этой условной границе отвечает значительная раз-
ница в расчетной величине и распределении давления сы-
пучего тела на ограждающие поверхности хранилища.
Прн определении давления в бункере исходят из упро-
щающих предположений, что хранящееся в нем сыпучее
тело, ограниченное сверху горизонтальной плоскостью,
целиком находится н состоянии предельного равновесия:
прн этом вертикальное и горизонтальное ог напряже-
ния иа глубине у равны;
Рнс. 19.23
Вертикальная стенка бункера испытывает только нор-
мальное давление, распределение по линейному закону
(рнс. 19. 23), так что нормальное давление
9iH = Atg*(45—(19.14)
Давление на наклонные элементы воронки имеют нор-
мальную и касательную составляющие, определяемые по
известным формулам напряжений по наклонным пло-
щадкам:
о = ов cos* а + ог sin* а;
<тв — ог
т =--------sin 2а.
2
Эпюра нормального давления на наклонный элемент
воронки трапецеидальная (рис. 19. 23), нормальные дав-
ления равны:
«ан = V^ijcos’ a -f- tg* ^45—sin* <z|; (19.15)
«ан = Т(л1 + л.) pros* а + 1g* ^45—sin’ aj . (19.16)
Эпюра касательной составляющей давления и а наклон-
ный элемент воронки также трапецеидальная.
Давление на стенку силоса определяется по теории
Янсена — Кенена, согласно которой предполагается, что:
а) все сыпучее тело в силосе находится в осесиммет-
ричном напряженном состоянии предельного равно-
весия;
б) главные плсшадкн вс всех точках сыпучего тела
вертикальны н горизонтальны;
в) отношение между главными нормальными напряже-
ниями — горизонтальным и вертикальным — во всех точ-
ках сыпучего тела
г) давление на стенку имеет две составляющие — нор-
мальную Qr = O2 н вертикальную касательную. ранную
<7 = /м7г, где /о—коэффициент трепня сыпучего тела по
стенке.
19.1. СТАТИКА СЫПУЧЕЙ СРЕДЫ
305
Очевидно, что предположения <б> н «г» противоречат
друг другу.
Величина и распределение давления на стенку силоса
определяются нз решения дифференциального уравнения
равновесия слоя сыпучего тела, имеющего форму круг-
лого диска толщиной dy (рнс. 19.24):
= Vfdy — /о ’г Udy,
где F — площадь поперечного сечення силоса; V — пери-
метр диска.
Н 1 Н 1 1 ГЕ Лг
•н ЕЕ
Fo9i И И И 1 ГГ hit
Рнс. 19.24
Интегрирование дает следующее выражение для нор-
мального давления:
«г = у-£- (1 - е-*>), (19.17)
/с
Р = -^-: /o = *g<Fo:
Нормальное вертикальное давление иа любом уровне
Общий характер эпюры давления изображен на
рнс. 19.25. Наибольшие значення давления получаются
прн у-'оо;
_ тр
фг-макс —
Рнс. 19.25
Таблица 19.6
К вычислению нормального давления сг по формуле (19.17)
Л * * h
0,02 0.020 0.50 н/ПЭ 0.98 0,625
0.0» 0,030 0.52 0.405 1.00 0,632
0.05 0.058 0.54 0.417 1.10 0.667
0.03 0.077 0.55 0.4*1 1.20 0.699
0.10 0.095 0.58 0.440 I.3O 0.727
0.12 0.113 0.60 0,451 1.49 0,753
0.14 0.131 0.62 0.462 1.50 0,777
0.16 0.148 0.64 0.473 1,60 0.796
0.18 0.165 0.66 0,483 1.70 0.817
0,20 0.181 0.68 0.493 1.80 0.835
0.22 0.197 0.70 0.503 1.90 0.850
0.24 0.213 0.72 0.513 2.00 0,865
0.26 0.229 0.74 0.523 2.20 0.889
0.28 0.244 0.76 0.532 2.40 0.909
0,30 0,259 0.78 0.542 2.60 0,926
0.32 0.274 0.80 0.551 2.60 0.939
0,34 0.288 0.82 0.S59 3.00 0.950
0.36 0.302 0.84 0.568 3.20 0.959
0.38 0.316 0.66 0.577 3.40 0.967
0,40 0.330 0.88 0,585 3.60 0,973
0.42 0.343 0.90 0.593 3,80 0.978
0,44 0.355 0.92 0.601 4.00 0,982
0.46 0.369 0.94 0.609 5.00 0.993
0.48 0.381 0.96 0.617 6.00 8.00 0.998 1,000
ТО . ./,Е . Ч>\
«..макс- k 1С-^5+ 2 )-
Для облегчения расчетов с помощью формулы (19. 17)
в табл. 19.5 приведены величины
k-= 1— е~п.
Измерения в натуре, р особенности проведенные в
1938—1939 гг. С. Г. Тахтамышевым на зерновых сило-
сах элеватора в Баку, а также лабораторные экспери-
менты показали, что формула (19. 17) дает удовлетвори-
тельные результаты лишь для случая, когда сыпучее тело
в силосе находится в покое. Как только открывается вы-
пускное отверстие в днище силоса, величина н распре-
деление давления по вертикали н периметру силоса
в большинстве случаев значительно отличаются от полу-
чаемых по теории Янсена — Кенена. Максимальные ве-
личины горизонтального давления могут превосходить
теоретические в 2—3 раза.
Учитывая опытные данные, к формуле Янсена — Кене-
на вводят поправочные коэффициенты, бблыине единицы.
По (39] при расчете нижней зоны стенок силосов на про-
тяжении а/3 высоты стенки горизонтальное давление, вы-
численное по формуле (19. 17). умножается на поправоч-
ный коэффициент, равный двум; на такой же коэффици-
ент умножается вертикальное давление прн расчете
днищ.
Б силосах для всех видов продовольственного зерна
прн расчете дниш и нижней зоны стенок высотой, равной
0,15 высоты силоса, а также прн расчете стенок сило-
сов для угля по всей высоте поправочный коэффициент
не вводится.
Для получения расчетных нагрузок нормативные дав-
ления умножаются на коэффициент перегрузки л =1,3.
306
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
19.2.1. Физико-механические свойства
и характеристики грунтов
Виды и составные части грунтов
Грунтами называются горные породы верхних слоев
земной коры. Грунты разделяются на скальные н не-
скальные ( дисперсные).
Скальные грунты обладают жесткой связью между
частицами, спаянными нлн сцементированными между
собой, и залегают в виде сплошного массива илн трещи-
новатого слоя.
Нескальные грунты состоят нз твердых минеральных
частиц (скелет грунта), между которыми имеются про-
межутки (поры), заполненные водой нлн газами. Фнэн-
ко-механнческне свойства нескальных грунтов зависят
от свойств этих компонентов, нх количественного соот-
ношения и взаимодействия.
Нескальные грунты разделяются на следующие ос-
новные виды:
крупнообломочные— несцементированные грунты, со-
держащие более 50% по весу обломков кристаллических
нлн осадочных пород крупнее 2 мм;
песчаные — сыпучие в сухом состоянии грунты, не
обладающие свойством пластичности и содержащие ме-
нее 50% по весу частиц крупнее 2 мм;
глинистые — связные грунты, обладающие свойством
пластичности.
Скальные грунты подразделяются по происхождению
(изверженные, метаморфические и осадочные), по сте-
пени трещиноватости, по временному сопротивлению
сжатию и по степени растворимости и размягчаемое™
в воде.
Крупнообломочные грунты подразделяются в зависи-
мости от нх зернового состава на щебенистые (галечни-
ковые) и дресвяные (гравийные), а пески — на гравели-
стые, крупные, средней крупности, мелкие а пылеватые.
По степени влажности песчаные грунты могут быть
маловлажнымн, влажными и насыщенными водой.
В зависимости от величины коэффициента пористости
песчаные грунты разделяются на плотные, средней плот-
ности и рыхлые.
Глинистые грунты в зависимости от числа пластич-
ности W'n относятся к супесям (1<в7г^7). суглинкам
(7<IFd<17) или глинам (W'a>17). По консистенции
глинистые грунты могут быть твердыми, пластичными
и текучими. Суглинки и глины могут быть еще полутвер-
дыми. туго-пластнчиымн. мягко-пластнчиыми н текуче-
пластичными. Численные критерии, характеризующие ви-
ды н состояния грунтов, приведены в СНнП П-Б.1-62*.
Напряжения и осадки грунта
Зависимость между осадками s поверхности нескаль-
ного грунта н действующей здесь местной нагрузкой р
имеет внд кривой, показанной на рнс. 19.26. Кроме оса-
док неаосредственно под нагрузкой наблюдаются еще
осадки за пределами загруженной площади, которые
с удалением от нагрузки затухают более интенсивно,
особенно прн песчаных грунтах, чем расчетные верти-
кальные перемещения поверхности упругого однородного
и изотропного полупространства.
Криволинейный график зависимости между давлением
р иа грунт н его осадкой s под нагрузкой можно условно
разделить на три участка, соответствующие трем ста-
диям сопротивления грунта (рис. 19.27). На первом
участке 0—1 в стадии уплотнения грунта зависимость
-между s и р близка к линейной. На участке 1—2 —в
стадии преобладающего сдвига грунта — зависимость
между sup носит отчетливо выраженный криволиней-
ный характер. Третья стадия, начинающаяся от точки 2.
называемая стадией разрушения, в которой сдвиги грун-
та получают еще большее развитие, обычно оканчивает-
ся выпиранием грунта из-под загруженной площади.
ййф XiMWinMUW'jr
Рнс. 19.26
Прн разгрузке осадки частично сохраняются, особенно
в пределах загруженной площади. За ее пределами осад-
ки почти полностью исчезают.
Повторные нагружения поверхности грунта возрастаю-
# щей с каждым циклом нагрузкой
—।--------1— изображаются графиком с петлями
! гистерезиса (рис. 19.28,0). Полные
। осадки складываются нз восста-
навливающихся и остаточных, а
----------V график полных осадой s может
\ быть преобразован н представлен
j I в виде суммы ординат двух кривых
(рис. 19.28,6). одна из которых со-
Рнс. 19.27 ответствует восстанавливающимся
осадкам за, вторая — остаточ-
ным sa.
Кривые последующих нагружений в диапазоне ранее
приложенных нагрузок почти прямолинейны н более по-
логи, чем кривая первого нагружения, благодаря упроч-
нению, связанному с разрушением острых контактов
Рис. 19.28
и увеличением общего нх количества при переходе струк-
турных элементов грунта в более устойчивое положе-
ние. Упрочненные грунты прн нагрузках, не превышаю-
щих предыдущие, характеризуются относительно мень-
шими остаточными деформациями н по своим механи-
ческим свойствам приближаются к упругим телам.
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
307
Расчетные механические модели
грунтов
Для определения напряжений н деформаций грунта
путем расчета вместо самого грунта рассматривается его
расчетная механическая модель, которая должна отра-
жать основные механические свойства грунта, но сво-
бодна от второстепенных деталей, не играющих сущест-
венной роли для поставленной цели.
Разнообразие грунтов н нх свойств, связанное с ус-
ловиями нх формирования н существования, породили
несколько расчетных моделей — модель сплошной среды
(упругой нлн иеупругой). модель зернистой среды, мо-
дель местнодеформируемой поверхности (модель Фус-
са — Винклера) и различные комбинированные модели.
Прн расчете оснований и подземных сооружений
в большинстве случаен используется модель Фусса —
Винклера нлн модель упругого однородного изотроп-
ного полупространства, приводящие в большинстве слу-
чаев к наиболее сильно отличающимся друг от друга
результатам. В первом случае в качестве расчетной ха-
рактеристики грунта используется коэффициент упру-
гого отпора k (коэффициент постели), во втором слу-
чае — модуль деформации Ео и коэффициент Пуассо-
на Цо.
Расчетную величину коэффициента упругого отпора
k скального грунта в первом приближении можно прини-
мать в зависимости от величины коэффициента крепос-
ти / по формуле
А = 50af. (19.18)
где а — коэффициент, учитывающий степень трещинова-
тости скального грунта, принимаемый равным 0.8. I
и 1.2 для грунтов соответственно значительной, средней
и малой трещиноватости.
Ориентировочные значения t н Ед для различных
грунтов приведены в табл. 19.6.
Т 8 в Л Н 11 Я 19.6
Ориентировочные значения характеристик деформируемости
грунтов
Грунт Модуль деформации £, в кГ/см» Коэффици- ент ЛГСТОЛН k в ПГ1С*
Базальт 75-КН-95 10* 600-1200
Граннт, порфир, диорит so-io*-so-io* 500—900
Гвейс .... 40-10*—80-10* 350—500
Песчаник 70-1(Р—30-10* 30—250
Известняк (плотный), доломит, песчаный сланец 15-1 О’—70- КЛ 40-80
Глинистый сланец 30-1СР—4010’ 20-60
Туф 1000-10-10» 10-30
Крупноблочный грунт .... 500-1000 5-10
Лесок крупный и средней круп- ности . .......... 330—460 3 5
Песок мелкий .... 240-370 2—4
• пылеватый 100-140 1-1.5
Глина твердая 1000-2000 10-20
Глинистые грунты пластичные 80-350 1-4
Коэффициент Пуассона Ц, принимается равнин:
для скальных грунтов............................... . . 0.20
» крупнообломочных грунтов ... . . 0.27
» песков и супесей............................... , . 0.30
» суглинков ..................................... . . 0.35
» глин ............................................ .. 0.42
Для насыпных грунтов расчетные значения модулей
деформации и коэффициента постели должны быть
снижены в 2—3 раза н более. Для грунтов, лежащих
па значительных глубинах н испытывающих большие
давления от веса вышележащей толщн, значения £.
и р. могут быть более высокими, чем приведенные
в табл. 19.6.
Прочность грунтов
Прочность нескальиых грунтов зависит от нх сопро-
тивления сдвигу, которое определяется величиной коэф-
фициента среза, или коэффициента крепости грунта.
Последний представляет собой величину отношения
между предельным касательным т., н нормальным а
напряжениями, действующими по данной площадке:
f=—= tgq> + —, (19.19)
О G
где ф —угол внутреннего трения грунта; с —удельное
сцепление.
Для несвязных грунтов с=0 н /=1вф.
Для скальных грунтов величины коэффициентов кре-
пости зависят от их пределов прочности при сжатии
и принимаются равными /=0.01 /?сж. Расчетные
значения уо. ф н f для различных грунтов приведены
в табл. 19.7.
Таблица 19.7
Ориентировочные значения характеристик горных пород
Грунт Объемны3 все у, в г/м' Угол внут- реннего тре- ния ф в град < крепости [
Наиболее крепкие базальт, квар- цит. порфирит и габбродпорнт . . 2.8—3 67 И)
Очень крепкие граннт. кварцевый порфир, кварцит, кремнистый сланец, наиболее крепкие песча- ники. известийкн . 2.6—2.7 85 5
Крепкий граннт. очень крепкие пес- чаник. известняк и конгломерат 2.5-2.6 82*30’ 10
Некрепкий гранит, крепкие песча- ннк. известняк и мрамор, доло- мит. колчеданы ....... 2.5 60 6
Обычный песчаник 2.4 75 6
Песчанистый сланец, сланцевый песчаник 2.5 72*30’ 5
Крепкий глинистый сланец, некреп- кие песчаник и известняк, мягкий конгломерат 2.8 70 4
Некрепкий сланец, плотный мер- гель. разрушенный песчаник . . 2.5 70 3
Мягкие сланец н известняк, мел. гипс, каменная соль, мерзлый грунт, антрацит, мергель, сцемен- тированные галька и хрящ, каме- нистый грунт 2.4 65 2
Разрушенный сланец, крепкий ка- менный уголь, слежавшиеся галь- ка и шебень. щебенистый грунт, твердая глина 1.8-2 60 1.5
Средней крепости каменный уголь, плотный глинистый грунт . . . 1.8 €0 1
Мягкий каменный уголь, гравий, глинистый грунт, лёсс . . 1.6 40 0,6
Слабый глинистый грунт, сырой пе- сок. растительный грунт, торф 1.5 30 0.6
Песок, мелкий гравий, насыпной грунт, добытый уголь 1.7 27 0.5
Разжиженные грунты . . 1.5—1.8 9 0,3
308
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Для связных грунтов величина f является перемен-
ной, так как зависит от действующего напряжения а.
Однако в практических расчетах величину / принимают
постоянной.
19.2.2. Давление грунтов
на подземные сооружения
Напряженное состояние грунтов до
и после проведения выработки
До проведения выработки и до возведения подземно-
го сооружения грунт в неограниченном массиве нахо-
дится в состоянии естественного нлн геостатнческого
равновесия прн действии собственного веса. Прн этом
Рнс. 19.29
на глубине г в массиве грунта (ряс. 19.29) действуют
следующие сжимающие напряжения (давления):
вертикальные
ог = у,г; (19.20)
горизонтальные
ох = = Ь у« z, (19.21)
гве уо —средний объемный вес вышележащих грунтов;
—коэффициент бокового давления грунта в условиях
естественного залегания.
Проведение открытой нлн подземной выработки из-
меняет условия равновесня массива грунта и приводит
к возникновению в нем деформаций и к перераспреде-
лению напряжений.
Давление грунта на подземные сооружения оказы-
вается иным, чем давление в нетронутом массиве на
той же глубине, так как, во-первых, сооружение обла-
дает другой жесткостью, чем грунт, во-вторых, переме-
щения грунта успевают произойти в период времени
между разработкой грунта н возведением сооружения,
наконец, в третьих, между сооружением и массивом
остаются зазоры, допускающие некоторые перемещения
грунта.
Давление, оказываемое грунтом на сооружение, за-
висит от глубины заложения н жесткости последнего;
влажности и степени уплотнения грунта над сооружени-
ем н особенно рядом с ним и от способа возведения
сооружения. Следует различать три основных случая
возведения сооружения:
сооружение в насыпи (рнс. 19.30, а), возведенное нлн
уложенное непосредственно на поверхности земли или
в очень небольшом по сравнению с шириной выемки
углублении с последующей засыпкой; так обычно соору-
жаются водопропускные трубы под дорожными на-
сыпями:
сооружение в выемке или траншее (рис. 19.30,6).
когда оно возводится нлн укладывается в открытой вы-
работке, имеющей небольшую по сравнению с глубиной
ширину н ограниченной более нлн менее твердыми стен-
ками; пространство рядом с сооружением н над пнм
заполняется грунтом; так обычно укладываются трубо-
проводы водоснабжения, канализационные коллекторы,
водостоки н др.;
сооружение, возведенное закрытым способом
(рнс. 19.30, л), при котором массив грунта не наруша-
ется с поверхности; этот способ применяется прн строи-
тельстве туннелей н прн бестраншейной прокладке тру-
бопроводов.
Давление грунта иа подземное сооружение не оста-
ется постоянным, а меняется вследствие изменения
температурно-влажностных условий н ползучести грун-
та. В большинстве случаев давление на сооружение по-
степенно нарастает с течением времени, достигая наи-
большей величины через некоторый промежуток време-
ни, с последующим иногда уменьшением.
Для определения давления на подземные сооруже-
ния от грунта последний рассматривают либо в качестве
упругой, либо в качестве сыпучей среды.
Первая расчетная модель применима в тех случаях,
когда напряжения в массиве грунта после проведения
выработки значительно меньше разрушающих. Если же
в наиболее напряженных областях грунта наступает
разрушите, то применима расчетная модель сыпучей
среды, находящейся в состоянии предельного равнове-
сня.
Значения коэффициентов перегрузам
Нагрузка
Собственный вес конструкций:
а) сборных..............................
б) монолитных .........
Давление воды ..................... .
Вертикальное давление грунта:
а) на туннели железнодорожные и авто-
дорожные прн сводообразовании
б) то же. от веса всей налегающей
толщи...................................
в) на городские транспортные н пеше*
ходи не туннели и трубопроводы в
насыпях нлн траншеях...............
Горизонтальное активное давление грунта:
а) на туннели ..........................
б) на трубопроводы в насыпях млн
траншеях ........................- .
Подвижная нагрузке на поверхности:
а) от колонн автомобилей ...............
б) от колесных и гусеничных нагрузок
в) от подвижного состава железных
дорог .............................
г) от пешеходов....................
1.5
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
309
Давление на подземное сооружение, расположенное
ниже уровня свободной подземной воды, определяют
как совместное давление грунта во взвешенном состо-
янии и воды. Прн этом для расчета берется нанневы-
годнейшнй уровень подземной воды.
Давление на подземное сооружение неустойчивых но
донасы [ценных грунтов (плывунов) принимается по
гидростатическому закону.
При расчете подземных сооружений по горному пре-
дельному состоянию нормативные нагрузки умножают-
ся на коэффициенты перегрузки п, принимаемые но
табл. 19.8.
Прн этом значення коэффициентов перегрузки, мень-
шие единицы, относятся к случаям, когда данная на-
грузка уменьшает расчетное суммарное воздействие.
При расчете подземных сооружений с учетом допол-
нительных нли особых сочетаний величины расчетных
временных нагрузок принимаются с коэффициентами
0,9 н 0.8 соответственно.
Давление грунта на сооружение
в насыпи
Если жесткость сооружения ие превышает жесткости
окружающего его грунта насыпи, то нормальная и ка-
сательная составляющие нормативного давления в лю-
бой точке верхнего свода по теории предельного рав-
Рнс. 19.31
полесия сыпучих тел выражаются формулами
(рис. 19.31):
с = уог (cos’a + £.sin2a); j (jg
T = YoZ(l — ^а) sin a cos a, J
где Yo— объемный вес грунта; г —глубина рассматри-
ваемой точки от поверхности насыпи; a — угол, кото-
рый составляет нормаль к поверхности сооружения в
рассматриваемой точке с вертикалью;
коэффициент активного бокового давления грунта;
k-tg* (45е — ф/2)
(19.23)
ф — угол внутреннего трепня грунта.
Составляющие давления на нижний свод сооружения
выражаются также формулами (19.22), но в них вво-
дится множитель
(19 24)
Равнодействующая давлений на верхнюю половину
сооружения равна весу вышележащего грунта н прн
круговом поперечном сеченнн составляет;
(?,= 7^,(1+0,108(19.25)
Равнодействующая активных давлений на обе поло-
вины круглого трубопровода, т. е. сила, передающаяся
на основание, определяется нз формулы
Л = (19.26)
Здесь Н — высота насыпи над верхом сооружения;
D| —наружный диаметр его.
Значення параметров н Д2. в зависимости от вели-
чины £«, приведены на графике рнс. 19.32.
При жесткости сооружения, превышающей жесткость
грунта насыпн, давление на сооружение оказывается
большим, чем вес вышерасположенного грунта. Равно-
действующая дополнительного равномерного вертикаль-
ного давления на верхнюю половину сооружения от
концентрации давления составляет:
<2доп = Уо»01(Кн-1), (19.27)
где Кк — коэффициент нонцентрацнн давления грунта
в насыпи, определяемый по верхней части графика
рнс. 19.33 в зависимости от отношения HID, н от вели-
чины произведения Sx; х — коэффициент выступания,
т. е. отношение выступающей из основания части Л тру-
бопровода к его ширине; S — коэффициент, принимае-
мый в зависимости от жесткости основания под трубо-
проводом:
очень жесткое (скальное, свайный фундамент) —5=
= 1.0;
жесткое (крупнообломочные грунты; пески гравели-
стые, крупные н средней крупности, плотные; супеси
твердые; суглинки и глины твердые н полутвердые) —
5=0.7;
плотное (пески гравелистые, крупные и средней круп-
ности. средней плотности; пески мелкие, плотные; супе-
си пластичные, суглинки и глины туго-пластичные) —5=--
=0.5;
310
РАЗДЕЛ 19 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
податливое (пески гравелистые, крупные и средней
крупности, рыхлые; пески мелкие, средней плотности;
пески пылеватые, плотные; супеси текучие; суглинки
и глины мягко-пластичные) — 5=0,3;
очень податливое (пески мелкие, рыхлые; пески пыле-
ватые. средней плотности н рыхлые, суглинки н глины
текуче-пластичные н текучие) — 5=0.
Для гибких трубопроводов дополнительное верти-
кальное давление нс учитывается
Боковое давление определяется по формулам (19.22)
без учета концентрации давлений и может быть пред-
ставлено эпюрами, показанными на рнс. 19.34 с орди-
натами:
?в= ЫЛ;
46 = YoS.[W
(19.28)
(19.29)
Для упрощения можно принять среднее боковое дав-
ление равномерным:
У.ЕЛ /. _о,\
«ер- 4 (3+ н j
илн еще проще
Cfi.cp = Vo Еа Д
В упругой стадии работы грунта остаются справед-
ливыми формулы (19.22) — (19.24). но при определении
бокового давления уже следует исходить из величи-
ны коэффициента бокового давления которому со-
ответствует условный угол внутреннего трення
ФУ = arc sin
1 ~ Со
Ч-Е.’
(19.32)
Кроме того, коэффициент концентрации давления
грунта в насыпи берегся уже по графику рис. 19.35
в зависимости от коэффициента Пуассона р и пара-
метра
(19.33)
где 6. — ширина опорной поверхности трубопровода;
Ео — модуль деформации грунта основания; Егр — мо-
дуль деформации засыпки; х — отношение выступаю-
щей из основания части трубопровода к его наружно-
му диаметру.
Для очень жесткого сооружения можно принять
Е=а> к тогда
"=---- Р‘ — (19.34)
Ml +2х^)
\ *гр/
Исходя нз графика рис. 19.35 н формулы (19.34),
можно рекомендовать расчетные значения коэффициен-
та К„ для жесткого трубопровода, приведенные
в табл. 19.9.
Таблица 19.9
Значения Кн (округленные)
(19.30)
(19.31)
Основание Опирание
обычное улучшен- ное на фунда- мент
Скальное . .... 1,5 1,5 1.6
Жесткое 1.4 1.45 1.5
Плотное 1.25 1.3 1.4
Податливое 1.1 1.2 1.25
Очень податлнаос . - 1.0 1.0 1.1
Прн заглублении трубопровода в основание, т. е.
при малых значениях коэффициента х, снижаются к со-
ответствующие значения К„. Однако нх не следует
брать меньше единицы, так же как и для гибких тру-
бопроводов.
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
311
Давление грунта на сооружение
в выемке (траншее)
Равнодействующая нормативного вертикального дав-
ления грунта на сооружение в траншее определяется
по формуле
Qt = ytH3Kxv^. (19.35)
где Н — высота засыпки над верхом сооружения;
КТр — коэффициент вертикального давления грунта
в траншее, зависящий от отношения Н1ВСГ и опреде-
ляемый по нижней части графика рис. 19.33; прн этом
чае расчетное давление на сооружение в траншее опре-
деляется по формулам для насыпи.
Давление грунта на крепь выработки
и обделку туннеля
Возникновение областей пластических деформаций
н разрушения в некоторых породах, преимущественно
плвстичиых, приводит к оседанию всей толщи пород,
находящихся над сооружением, особенно прн большом
его пролете. В этом случае, как показывают измерения
кривая / соответствует песчаным грунтам, а кривая
2 —глинистым; В —ширина траншеи иа уровне верха
сооружения; Вер — средняя ширина траншеи; ф — ко-
эффициент, учитывающий совместность деформаций
трубопровода и грунте, находящегося между его стен-
ками и стенками траншеи;
________!_______ г.
, , £гр(В-Р,)(гу * Ь
61
(19.36)
Здесь 6 —толщина стенки трубопровода; г —радиус
срединной поверхности трубопровода; х—коэффи-
циент выступания трубопровода из основания: Е —мо-
дуль упругости материала трубопровода; ЕГР — мо-
дуль деформации засыпки, принимаемый по
табл. 19.10.
Табаки* 19.10
Значения модулей деформации грунтов плотной засыпан
Грунт засылки ЕГр. КГ/ИГ
Пески крупные н средней крупности . . 170
• мелкие 1?0
» пылеватые 50
Супеси и суглинки 60
Глины 40
Боковое давление грунта в узких траншеях нли сов-
сем не учитывается илн прн хорошем уплотнении <пв-
зух> учитывается в размере до 20% вертикального.
Вертикальное давление грунта на сооружение в ши-
рокой траншее ие может превышать соответствующего
давления на сооружение в насыпи. В противном слу-
горного давления па сооружения, заложенные иа глу-
бине 25—50 я от поверхности, вертикальное давление
в глинистых грунтах может доходить до полного веса
всей налегающей толщи, а в прочных породах состав-
ляет 70—80% этого веса.
В других грунтах, например в песчаных, область
нарушения может не доходить до поверхности, так как
над сооружением образуется естественный разгружаю-
щий свод, очертание которого принимается параболи-
ческим (рнс. 19.36).
Давление на сооружение в этом случае считается пе-
редающимся от грунта, занимающего область внутри
разгружающего свода, ограниченную с боков плоско-
стями скольжения.
Пролет L свода давления к его высота /ц над верх-
ней точкой выработки определяются по формулам
М. М. Протодьяконова:
L = Dt + 2Л tg ^45° - -5-'
(19.37)
*-т
где D|—ширина нлн диаметр выработки в м; h — вы-
сота нлн диаметр выработки в ж; ф— угол внутренне-
го трення грунта в град\ f — коэффициент крепости
грунта (горной породы), учитывающий его внутреннее
сопротивление разрушению, а также характер напла-
стовании, степень трещиноватости н способ сооружения
туннеля.
Нормативное горное давление на крепь нлн на тун-
нельную обделку принимают равномерно распределен-
ным. н его равнодействующие определяют по фор-
мулам:
для вертикального давления
Qd=To'*»T>i; (19.38)
312
РАЗДЕЛ 19 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЯ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
для горизонтального давления
<?« = Vo »i (*i + 0,5ft) 1g- ^45”— у) , (19.39)
где Vo — объемный вес грунта.
Значения характеристик Vo. ф и f различных грунтов
приведены в табл. 19.7.
Расстояние от вершины свода давления до дневной
поверхности или до контакта со слабыми породами
должно быть не меньше высоты свода давлении.
В противном случае, а также прн невозможности сво-
Рис. 19.37
дообраэовання, нормативное вертикальное давление
принимают равным весу всей толщи грунта над тунне-
лем, а равнодействующую горизонтального давления
определяют по формуле
Со = Vo «о* »g’ («°—у) . (19.40)
где Но — высота толщи грунта, расположенной ныыс
осн туннеля, приведенная к объемному весу слоя Vo
грунта у оси туннеля, в м.
Горное давление иа обделку параллельных туннелей
прн возможности образования над каждой выработкой
самостоятельного свода давления определяется для
каждой выработки в отдельности. Если же при задан-
ных размерах каждой выработки, целика между ними
и фнзнко-механическнх свойств породы образование
самостоятельного свода над каждой выработкой не-
возможно. то давление на обделки определяется исходя
нз предположения существования над инмн общего
свода давления.
Активное давление грунта со стороны подошвы вы-
работки (<дутье>), направленное снизу вверх, возника-
ет в результате выпирания грунта из-под степ обделки
под воздействием вертикальной нагрузки и собственно-
го веса обделки (рнс. 19.37).
Равнодействующая сил давления грунта со стороны
подошвы выработки
где q — давление стены иа основание.
Для определения активного давления на крепь оди-
ночной выработки кругового поперечного сечення на
основе теории предельного равновесия К. В. Руппе-
нейтом предложена формула
<7 = 6.(^у«Я0 + —) схр (—л tg ф) — —, (19.42)
\ <вФ/
где Но —глубина заложения центра выработки от по-
верхности грунта; Vo — объемный вес грунта; <р —угол
внутреннего трения грунта; с —удельное сцепление;
К —коэффициент концентрации давлений, принимае-
мый равным: для песков 1,0—1,3; для глин 1,8—2,0;
для сланцев 1,5—1,8.
Давление принято равномерным и действующим нор-
мально к поверхности сооружения.
Давление грунта на подземное сооружение может
быть определено из решения контактной задачи теории
упругости для полуплоскости с подкрепленным отвер-
стием.
Прн горизонтальной круглой выработке, центр кото-
рой находится на глубине Но от поверхности, нормаль-
ное давление на обделку равно:
„ VoWoP+k ... ..(1
(19.43)
где Л = 1 +
1 + и Ра-1-2р
1+Цо ’ 1—₽’
Й=1+А-------L±h----
£ (1 + Мо)(5 — бро)
D
(! — ₽’)« 1
5 —брр £„ 1 +р О
4-бро + Е ‘ (1+рв)(4-бр,) ‘ (!-₽’)• :
О = 3-р + 4(3 — 4р)р> — 6(1—2р)р« —
-4р<-(5-6р)р»,
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от вертикаль-
ного диаметра; — коэффициент бокового давления;
Е н р — модуль упругости и коэффициент Пуассона ма-
териала сооружения; Е„ и р« — модуль упругости н ко-
эффициент Пуассона грунта; p=r«/ri-
При достаточно тонкой обделке давление на нее вы-
равнивается и может быть принято равномерным по
длине окружности:
„ yWp(i +Ь)
’ 2А
(19.44)
Давление грунта
в пространственной задаче
Принимается, что прн осадке кровли песчаного грун-
та над подземным сооружением круговой формы
в плане над ним образуется естественный купол и что
на сооружение оказывает давление вес грунта, находя-
щегося внутри этого купола, имеющего форму пара-
болоида вращения (рнс. 19 38, о). Наибольшая интен-
сивность вертикального давления на сооружение по осн
купола
¥в =
Yofl
/ ’
(19.45)
где а — радиус купала, который может быть больше
радиуса сооружения; f — коэффициент крепости, берет-
ся по табл. 19.7.
Полная нагрузка на сооружение, равная весу грунта
в объеме, ограниченном поверхностью купола
09.46)
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
ага
Боковое давление грунта до на стенкн вертикальных
выработок (шахт) определяется как давление в масси-
ве до выработки илн активное давление по теории
предельного равновесня с учетом объемного веса н уг-
ла внутреннего трения грунта каждого слоя. При этом
Рис. 19.38
учитывается неравномерность распределения бокового
давления по схеме, изображенной на рнс. 19.38,6.
Давление грунтовой воды принимается равномерным
и нормальным к поверхности сооружения.
Давление на сооружение от наэенныт
нагрузок
Прн расчете туннелей н трубопроводов, укладывае-
мых под автомобильные дороги, временную вертикаль-
ную нагрузку от транспорта следует принимать от ко-
лонны автомобилей по схеме Н-30 нлн от одной транс-
портной единицы на колесном ходу по схеме НК-80.
Для трубопроводов, укладываемых в местах, где воз-
можно движение автомобильного транспорта, следует
принимать нагрузку от колонны автомобилей по схеме
Н-18 илн гусеничную нагрузку НГ-60.
При заглублении верха сооружений на 1,2 м н бо-
лее нормативную вертикальную нагрузку от колонн ав-
томобилей разрешается принимать равной 2 Т/м1.
Для трубопроводов, укладываемых в местах, где
движение автомобильного транспорта невозможно, при-
нимается равномерная нагрузка от пешеходов 500 кГ/*2-
Для сооружений, укладываемых под железнодорож-
ными путями, в качестве нормативной следует прини-
мать нагрузку, соответствующую классу данной же-
лезнодорожной линии, но не ниже С14.
Динамический коэффициент подвижной наземной
нагрузки прн высоте засыпки 0,7 м и более (при нали-
чии покрытия ОД м и более) принимается равныы еди-
нице, а прн высоте 0.25 м — 1,3. Для промежуточных
Наибольшая интенсибяост» Ооблеяия яа срору/яепио р S Тр*
О 07 Op OS QB I !7 tp (6 1,8 2 22 2р 7.S 2,8 3 J2 4» 36 3,8 i 62 Op 48 t,8 5
Рис. 19.39
314
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЯ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
высот засыпки значения динамического коэффициента
берутся по интерполяции.
Для определения давления, передающегося через
грунт от нагрузок, приложенных на поверхности зем-
ли, применяется способ распределения давления под
углом 30’ к вертикали нли, что предпочтительнее, фор-
мулы теории упругости для вертикальных напряжений
в полупространстве.
На рнс. 19.39 приведен график, позволяющий найти
наибольшую интенсивность вертикального давления
для разных глубин заложения верха сооружения от
различных нормативных подвижных нагрузок. Влияние
дорожного покрытия учитывается приведением его
к эквивалентному слою грунта.
19.2.3. Расчет жестких подземных сооружений
кругового поперечного сечення
Распределение опорных реакций
Внутренние усилия, возникающие в стенках сооруже-
ния прн действии тех нлн других нагрузок, зависят
таиже от распределеиня опорных реакций, которое оп-
ределяется способом опнрання сооружения на осно-
вание.
Прн укладке сооружения на плоское грунтовое осно-
вание (рнс. 19.40,0) опорную реакцию принимают со-
средоточенной вдоль нижней образующей.
Если сооружение уложено на жесткое спрофилиро-
ванное по его нижней части грунтовое основание
с центральным углом опнрання 2а (рнс. 19.40.6). то
опорную реакцию принимают равномерно распределен-
ной по всей ширине опорной поверхности интенсив-
ностью
п
-------, (13.47)
Dt sin а
где R—равнодействующая нагрузки; D, — наружный
диаметр трубопровода.
Прн ширине ложа ba=0,6D\ угол 2а я 75°.
При опирании круглого трубопровода на основание
из слабого грунта распределение опорной реакции мож-
но принять по треугольнику (рнс. 19.40. е) с наиболь-
шей ординатой
2R
Яа=~^—.------• (19.46)
л Z^sina
Если жесткое сооружение имеет плоскую подошву
шириной Ь„. то эпюра реакций имеет седловидную
форму. Прн этом разница между крайними и средними
ординатами тем больше, чем большей связностью
и плотностью обладает грунт (рнс. 19.40, г).
Для песчаного и пластичного глинистого основания
можно принять распределение опорной реакции равно-
мерным.
Трубопровод, уложенный на фундамент (рнс. 19.41, а),
может рассматриваться ь качестве свода с заделанны-
ми пятамн (рнс. 19.41,6) лишь в том случае, если
в действительности обеспечена связь между трубопро-
водом н фундаментом н если сам фундамент достаточ-
но жесткий. В противном случае при деформации тру-
бопровода он оказывается как бы шарнирно опертым
по двум образующим у краев опорной поверхности
(рнс. 19.41,6).
Если контакт между трубопроводом и фундаментом
сохраняется на всем протяжении опорной поверхности,
но фундамент недостаточно жесток для обеспечения
полной заделки, то обычно принимают опорные реакции
направленными радиально (рис. 19.41.а) н распреде-
ленными по закону
ARcos в
Чв~ Dt (sin 2a 4- 2a)
Рис. 19.41
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
315
Распределение опорной реакции по подошве жестко-
го фундамента такое же. как и по плоской подошве
самого трубопровода.
Прн приближенном расчете туннельных обделок ре-
акцию принимают равномерно распределенной по дли-
не диаметра сооружения.
Внутренние усилия в сооружении
от различных нагрузок
Сооружение достаточно большого протяжения в оди-
наковых условиях работы испытывает плоскую дефор-
мацию, и для расчета можно выделить участок соору-
ную кривизну осн поперечного сечення, а окружные
силы положительны, если они создают растяжение.
Учитывая, что радиус осевой линии поперечного се-
чення трубопровода г меньше радиуса rt внешнего кон-
тура, к которому приложены внешние силы, можно
еще ввести в формулу (19.50) прн определении изги-
бающих моментов от давления грунта н временных на-
грузок коэффициент, равный г/г,. Прн опирании на об-
разующую этот коэффициент не вводится.
Основное давление грунта па сооружение, уложен-
ное в насыпи, вызывает следующие изгибающие момен-
ты н окружные силы:
Рис. 19.42
N = Q.(N+n-^-^NQ„ (19.53)
где Q,=yHDt.
Значения коэффициентов М. т. N н п. зависящих от
величины £ — коэффициента бокового давления грунта
засыпки, приведены в табл. 19.12.
Кроме того, должны быть еще учтены изгибающие
моменты и окружные силы от дополнительного равно-
мерного давления, вызванного концентрацией давлений
у жесткого сооружения.
От неравномерного нагревания стенки сооружения
с круглым поперечным сечением возникают изгибающие
моменты
жеиия длиной, равной единице. Прн этом расчет соо-
ружения сводится к расчету кольца, находящегося
в равновесии прн действии нагрузок н реактивных сил.
Расчет кольца производится методом снл (см. раз-
дел 5) с переносом неизвестных для нх разделения
в уравнениях в упругий центр, совпадающий с геомет-
рическим центром кругового кольца. Прн нагрузке,
енмметрнчиой относительно вертикальной осн, нз трех
неизвестных остаются только X, н Х3 (рис. 19.42).
Кольцо считается опертым в нижней точке Л, что
равносильно жесткой заделке полукольца в этом сече-
ннн. Расчет кольца можно производить отдельно на
каждый внд нагрузки н иа действие опорных реакций,
а затем алгебраически складывать внутренние силы от
тех нлн других внешних воздействий.
Прн этом равнодействующие нагрузки н соответству-
ющей ей опорной реакции должны быть равны между
собой и направлены в противоположные стороны.
Окончательные формулы для изгибающих моментов
и окружных нормальных снл в любом сеченнн стенки
круглого жесткого сооружения приводятся к виду:
M=MRr, (19.50)
N = NR, (19.51)
где R — равнодействующая той нлн_другой нагрузки;
г — средний радиус трубопровода; М и N — коэффици-
енты, зависящие от распределения нагрузки и опорной
реакции н от положения взятого сечення.
В табл. 19.11—19.16 приводятся значения коэффици-
ентов М н N для различных нагрузок прн разных усло-
виях опнрання. Коэффициенты относятся к трем харак-
терны»! сечениям кольца: к подошве (Л), к бокам (6)
н шелыге (в). Прн этом изгибающие моменты считают-
ся положительными, если они уменьшают первоначаль-
Мд= МБ= Мв=‘л) , (19.54)
где £ — толщина стенки сооружения; Е — модуль упру-
гости материала сооружения; at — коэффициент линей-
ного расширения; и Л — температура у внутренней
и наружной поверхности соответственно.
Для сооружения с плоской подошвой, имеющего по-
вышенную толщину стенки бл у подошвы, распределе-
ние внутренних усилий оказывается другим, чем в со-
оружении с постоянной толщиной стенки 6. Например,
при подошве с углом 2a—60° и -^-=1,7 для
б
равномерной вертикальной нагрузки МА =0.359; МБ=
=-0,0875; Мв=0,091.
Приведение расчетных нагрузок
к двум эквивалентным
сосредоточенным силам
Для облегчения сопоставления различных нагрузок,
действующих иа трубопровод, и их сочетаний с несу-
щей способностью труб, а также для облегчения рас-
четов принято прн расчете трубопроводов приводить
все нагрузки к двум эквивалентным линейным нагруз-
кам, действующим по вертикальному диаметру
(рнс. 19.43).
Принимается, что в упругой стадии работы трубопро-
вода эквивалентными являются такие нагрузки, кото-
рые вызывают одинаковые по величине наибольшие
ядровые моменты. Наибольший ядровый момент воз-
никает в том же сеченнн трубопровода, в котором
действует наибольший изгибающий момент, а этим се-
чением в большинстве случаев оказывается сечеине А
(лоток).
316
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Значения коэффициентов М и N для различных нагрузок,
действующих на сооружение кругового сечения, опертое на нижнюю образующую
Таблица 19.11
Нагрузке Схема нагружения Коэффициент
»А «в АД «6 "в
Собственный вес 0.239 -0.091 0,080 -0.080 -0.250 0.080
г® <5
С я- — Б
Вес жидкости при наполне- нии В Д-6 f fyrO W/j,» 0.239 -0.0Э1 0.080 0.398 0.059 0.239
Вертикальная равномерная 0.294 -0.154 0.180 -0.053 -0.500 0.053
6- Hill *4 5
ф
Горизонтальная равномер- ная в -0.125 0.125 -0.125 -0.500 0.000 -0.500
С 5 Об
95 а и
Сосредоточенная 5-| в] А р z\ -6 р 0.318 -0.182 0.316 0.000 -0,500 0.000
Приведенная к двум сосредоточенным силам эквива-
лентная нагрузка
р = PR = я(мы.„ + N R.
(19.55)
где R— равнодействующая той нлн иной активной
нагрузки: р — коэффициент приведения нагрузки;
Мх.нс — максимальный табличный коэффициент, соот-
ветствующий данной нагрузке с учетом действительно-
го распределения опорной реакции; А' — табличный ко-
эффициент для окружной силы в сечении с наиболь-
шим изгибающим моментом.
Если толщина стенки 6 трубопровода мала по срав-
нению с радиусом г_его срединной поверхности, то
можно принять ₽ = лМы«ис.
Для практических расчетов н средних грунтовых ус-
ловий можно рекомендовать следующие значения ко-
эффициентов Р для давления грунта с учетом бокового
давления н для наземных нагрузок:
прн укладке на плоское основание — 0,75;
прн укладке на спрофилированное основание, а так-
же для труб с плоской подошвой — 0.45;
прн укладке на фундамент — 0.3.
Для собственного веса н веса жидкости, наполняю-
щей трубопровод, соответственно 0,75; 0,4; 0,2.
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
317
Рнс. 19.43
Деформация поперечного сечения
сооружения
Перемещения стенкн сооружения могут быть найдены
путем нитегрнрования дифференциального уравнения
упругой линии кольца нли (при наличии эпюры изги-
бающих моментов от нагрузок и опорных реакций) по
способу Мора.
Прогиб круглого поперечного сечення сооружения,
без учета отпора грунта, равный удвоенному радиаль-
ному перемещению по вертикали, может быть выражен
следующей общей формулой
/=2®д = 7
(19-56)
Е
Таблица 19.12
Значения воэффвцненто* At. m, N н п Ада давления грунта
в васыам, действующего на сооружение кругового сечення.
опертое на образующую
Коэфф камент бокового дарлеямп J Коэффициент
“А тБ ai XI m оп *А "а “г, "б *в лв
0 0,294 0.077 -0.154 -0.014 0.166 0.002 -0.053 -0.003 0.053 0,003
0.2 0,262 0.019 -0.130 -0.001 0.121 -0.010 IX Го 1 “ ' -0.050 0,034
0.4 о.ч; -0.011 -0.10i 0.012 0.100 —0.01л -0.177 -0.072 -0.500 -0.054 -0.161 0,072
0.6 0.166 —0.044 -!).t 1 0.VU 0.0 о -0.015 -0.261 -0.128 —0.500 -0.054 —0.263 0,128
0.8 0.101 —0.098 -3JJI8 0.051 0.0 К —0.UW -0.368 -0.204 -0.500 D.O54 —0,376 0.204
1.0 0.000 -0.187 0,000 0.071 0.000 —0.051 -0.500 -0/tU -0.500 -0.054 -0,500 0.313
где R — равнодействующая той нлн иной нагрузки;
F н р - модуль упругости н коэффициент Пуассона
материала трубопровода; / — коэффициент, зависящий
от распределения нагрузки и опорной реакции
(табл. 19.17).
Таблица 19.13
Значения коэффициентов М я N для опорных реакций сооружения на грунтосом основании
Схема нагружен ня Центральный угол 2а в град Коэффициент
МА МБ “в na "б NB
в 0 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0,000
30 -0.059 0,00? -0.002 0.034 0.000 -0.001
£ -L— J 0.007 0.014 -0.007 -0.013 0.013 0.027 0,000 0.003
о т — 90 -0.136 -0.027
120 -0.155 0.021 -0,019 0.040 0.000 -0.040
150 -0.163 0.026 -0.023 0.050 0.000 -0.060
180 -0.169 0.029 -0.025 0.053 0.000 -0.053
плотный грунт
Iе 0 0.000 0,000 0.000 0.000 0.000 0.000
30 —0.040 0.001 -0.001 0.401 0.000 -0.001
1* ) 6 60 -0.073 0.003 -0.003 0.007 0.000 0.000 § о 7’ 1
90 -0.098 0,007 —0.005 0.013
Мё- 120 -0,114 0.010 -0.010 0.020 0.000 —0.020
150 —0.123 0.012 —0.012 0.025 0.000 -0.025
180 —0,127 0.014 -0.013 0.027 0.000 -0.027
слабый грунт
318
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Таблице 19.14
Значения коэффициентов М и N для опорный реакций сооружения на фундаменте
Центральный угол 2а в град Коэффициент
Схема нагружения м< мв МД "а "б "в
6 0 0.000 0,000 0,000 0.000 0,000 0.000 0,000
30 -0.113 0,003 -0,005 0.016 0,010 о.ооэ -0.010
бт -4-6 €0 -0.190 0,020 —0.019 0.055 0.040 0,000 -0.040
д' Уд 90 —0.232 0.042 —О.(Г« 0.098 0,080 0.000 -Э.080
R 2 А 1 я 1 2 120 160 —0.249 -0.250 0.055 0.033 —:'.П55 —а.ол 0.124 0.127 0,119 0,149 © © § § -0.119 —0,149
с отрывом Я от Фунда- 160 —0.250 0,091 -0.068 0.091 0.159 о.ооэ —0.159
мента
в 0 0.000 0.000 0.00 — о.ооэ I1.00J И. ООП
30 —0.052 0.002 0.012 - —0.075 0.000 0.009
fi1 — -7 -4-6 60 9U -0.119 -0.160 0.003 0.016 0.010 -0.003 - -0,137 -0,176 0,000 0.000 -0.001 —0.016
СГ 120 —0.179 0.С27 -0.019 - -0.205 0.000 -0.046
150 -0.190 0.036 -0.0 ю - -0.226 0.000 -0,056
бет отрыва мента от фунда- 1Я0 -0.195 0.043 -0,036 - -ода f.000 -0.079 ।
= = Таблица I9.IS
Значения коэффициентов М и Д’ яла ратных натру ток при различным условиям опирания_____
Нагрузка Коэффи- циент Способ опирания сооружения
на плоскость Са"0 но плотное основание иа слабое основание иа плоскую подошву 2а-Ю* на фундамент 2а-120° туннель Га» 180’
2а- 75*
Собственный вес сооружения "а 0.239 0.119 0.152 0.134 0.060 0,070
мб -0.091 -0.081 -0.086 -0.084 —0.064 -0.063
мв 0.080 0,070 0.075 0,073 0,061 0,055
*А -0.080 -0,060 -0.070 -0.067 -0.285 -0.277
-0,250 -0.250 -0.250 -0.2S0 -0.250 —0.250
NB 0.080 0.060 0.070 0.067 0.034 0.027
Вес жидкости при иаполне- ода 0.119 0.152 0,134 0.060 0,070
нии сооружения
мв -0.091 -0,061 -0.016 -0.084 -0.054 -0.062
МВ 0.030 0,070 0.075 0.073 0.031 0.055
na 0.396 0.418 0.408 0.411 0.193 0.451
"б 0.069 0.069 0.0® 0.069 0.0® 0.0®
"в 0,239 0,219 0,229 0.226 0.193 0,186
192 РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
319
Продолжение
Нагрузка Коэффи- циент Способ опирания сооружения
на плоскость 2а-9 на плотное основание на слабое основание иа плоскую подошву 2а=50» на фундамент 2а—120“ туннель 2cu>iar
2а= 75’
Основное давление грунта 0.294 0,174 0.208 0.189 0,1 IS 0.125
прн Ь-0 н Н ' Di млн вер-
тикальная равномерная на- А1 -0.154 —0.144 —0.149 -0.1« -0.127 -0.125
грузка
мв 0.150 о. но 0,145 0.143 0,131 0,125
-0.053 -0.0 м —0,013 -9.0W -0.258 0.000
“б -0.503 -0.500 -0.500 —0,500 -0.500 -0.500
NB 0.053 0.03J 0.043 0,040 0,007 0.000
Основное давление грунта йл 0.238 0,142 0.170 0,154 0,0)6 —
в насыпи прн Ь= — 3 и Н> МБ —0,113 -0,104 -0.109 -0,107 —о,оэ1
> Я.
мв 0.110 0.102 0,105 0,104 0.095 —
"А -0,150 -0.134 -0,142 -0.140 -0.314 -
“б -0.500 -0.500 -0.600 -0.500 -0.600 -
nb -0,110 -0.126 -0,118 -0.120 -0,147 -
М я 0.191 0.104 0,129 0,114 О.ОЮ
Основное давление . 1 грунта к Н> А й6
-0.039 -0,084 -о.ов
в насыпи ори ь- 2 —
>£), мв 0,083 0.076 0.079 0.076 0.03 -
na -0,219 —0,212 —0,212 -0,209 —0,370 -
"б -0.500 -0.500 -0,500 -0.600 -0.500 -
"в —0.212 —0.227 -0.219 -0,222 -0.245 -
Таблица 19.16
Значения ковффнциентов М и N для бес шарм ирного кругового свода оря равномерной нагрузке
Скема нагружения Коэффи- циент Угол оэвзта трубопровода фундаментом 2 а в град
0 20 40 60 80 100 120 140 150 190
"а 0,294 0,285 0,240 0.200 0,172 0.160 0,120 0.09S 0.070 0.0*4
Ш!ШШ я МД
V- ж -0.150 -0,135 -0.120 -0,100 -0,097 -0.072 -0.055 —0.050 -0.0И —0,0’4
б- -б ЙВ 0.160 0.135 0,120 0,100 0.097 0.072 0,055 0.050 0,0)4 0,024
X А "б -0.500 -0.500 -0.500 -0.500 -0.500 -0.500 -0,500 -0.500 -0.54) -0.600
"в 0.053 0.025 0.020 -0.015 -о.ою -0.125 -0.160 —0.200 -0,240 -0.280
320
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Та Олп на 19.17
Значения коэффициентов /
Схема нагружения Угол 2а n град Схема нагружения Угол 2а в град /"
0 30 60 1.392 1.300 0 30 8 Й 2
1НШНН! 'Я
-«
Г8
0
5х!
/г 90 120 150 180 1.1SS 1.082 1.033 1.000 6- -е 90 120 160 180 0.974 0,817 0.<МЗ 0.500
Величина
3EJ Е ( 6 \3
<19-57>
является критическим внешним равномерным нормаль-
ным давлением для сооружения круглого поперечного
сечення по М. Леви, т. е. без учета отпора грунта.
Для сооружения, стыки которого допускают про-
дольные деформации, принимается
Прн действии на сооружение двух сосредоточенных
сил по направлению вертикального диаметра
(рнс. 13.43) /=1,8. Соответствующий коэффициент для
определения укорочения горизонтального диаметра
равен: U = 1.632.
Если учитывать ползучесть грунта, то прогиб, под-
считанный по формуле (19.56), следует увеличивать
в 1.25—1.5 раза.
19.2.4. Расчет подземных сооружений
с учетом отпора грунта
Общие соображения
Грунт, в котором находится сооружение, не только
создает нагрузку, но и, оказывая сопротивление пере-
мещениям стенок, снижает изгибающие моменты и по-
вышает несущую способность сооружения.
Для расчета сооружений с учетом отпора грунта су-
ществует несколько различных методов, отличающихся
положенной в нх основу расчетной моделью грунтовой
среды и по форме.
Способ Метропроекта
Сооружение рассматривается как круговое кольцо
в сплошной упругой среде, механические свойства ко-
торой характеризуются коэффициентом постели: среда
способна оказывать только однозначный отпор, направ-
ленный в сторону сооружения.
Для расчета кольцо заменяется вписанным в него
16-уюльником, а сплошная упругая среда — отдельны-
ми упругими опорами, расположенными во всех вер-
шинах 16-уголышка, кроме трех верхних, попадающих
Рнс. 19.44
в безотпорную зону. Направления опорных реакций
стержней принимаю гея по соответствующим радиусам
кольца, а при учете сил трения — с отклонением на
угол трения между грунтом и обделкой.
Прн переходе к основной системе метода сил во все
вершины многоугольника, кроме двух, вводятся шар-
ниры, в в качестве неизвестных принимаются прикла-
дываемые в этих сечениях изгибающие моменты Л1(,
Л1з,.... Л1®. При этом моменты Л1Э, М4.Л1в. приложен-
ные в симметричных сечениях, будут групповыми неиз-
вестными (рис. 19.44).
Типовое каноническое уравнение метола сил. состав-
ленное для опоры и. имеет следующий вид:
6п.л-2 Мп--> + fin.n-l Л,п-1 + 6„„ М„ +
+ 6„,п+1 Ч+1 + ®п.л+? Ч+2+-"+ \ „ = 0. (19.58)
Коэффициентами при неизвестных и свободными
членами уравнений являются перемещения основной
системы по направлению этих неизвестных от еднннч-
IM. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
321
иых моментов и от заданной нагрузки соответственно.
Для нх определения нужно предварительно найти со-
ответствующие усилия.
Рис. 19.45
реакция упругих опор
S____2 ct3~ь = 1
г • «л-1rslne# -
В остальных элементах основной системы этот еди-
ничный момент усилий ие вызывает. Епииичный момент
Мг. приложенный ва опоре трехшарнирной арки, вы-
зывает следующие усилия:
нормальные силы в звеньях
W“= е, ’ Nn+t ft
Верхняя часть основной системы (рис. 19.45), нахо-
дящаяся в безотпорной зоне и не подверженная дей-
ствию упругого отпора грунта, рассматривается каи
трехшаринрная арка, опорные реакции которой от на-
грузки и единичных моментов передаются с обратными
знаками на нижележащую шарнирную цепь. Усилии
в звеньях шарнирной цепи определяются из условий
равновесия последовательно вырезанных узлов
(рнс. 19.46). Из условия равновесия л-го узла прн
действии заданной нагрузки определяются:
Окружная нормальная силе в звене между узлами л
и л+1
N" = W®_, -J- Y„ -в--- X C°S°" ; (19.59)
cos--- cos----------
2 2
реакция упругой опоры в узле л
Л’=(Л^, + №)51п-^-
- cos еп- Хп sin6n, (19.60)
где У* — сосредоточенная вертикальная сила в узле л
от заданной нагрузки; Хп—сосредоточенная горизон-
тальная сила в узле п от заданной нагрузки; 0П—Цен-
тральный угол, заключенный между вертикалью и ра-
диусом, проведенным через точку л; 6о — Центральный
угол, заключенный между радиусами, проведенными
через соседние вершины многоугольника; для 16-уголь-
ника 6о^22°ЗО'.
От единичного момента Мя, приложенного в узле nt
возникают следующие усилия:
нормальные силы в звеньях
реакции упругих опор
^л= : 7 I
г sin 6,
Определение перемещений основной системы произво-
дится с учетом влияния нормальных снл и перемеще-
ний упругих опор.
Таи, например, перемещение по направлению Мя от
единичного неизвестного М,
. Nnc RmR„
+ tJ EP + tab '
(19.61)
Здесь M„ и M, — изгибающие моменты в произволь-
ном сечении звеньев от соответствующих единичных
моментов; в N,— нормальные силы в звеньях от
соответствующих единичных моментов; Я* в R*— ре-
акции в опорных стержнях от соответствующих еди-
ничных моментов; EI н EF — жесткости продольных
сечений обделки на изгиб и сжатие; а—длина сторо-
ны многоугольника; b — выделенная для расчета шири-
на кольца обделки; k — коэффициент упругого отпора
породы.
После определения восьми неизвестных нз системы
восьми уравнений окончательные усилия определяются
по формулам:
чп=№п + ^п1м-
(19.62)
Здесь (V®, Л1° н /?” — усилия в основной системе от
заданной нагрузки; й/п<, Л4П< и — усилия в основ-
ной системе от единичных узловых моментов; Mi—
найденные значения неизвестных.
Правильность вычислений контролируется выполне-
нием условий равновесия отдельных частей обделки
322
РАЗДЕЛ ». РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
и равенством нулю приведенной (т. е. деленной на EI)
плошали окончательной эпюры нагибающих моментов.
Аналогичный метод расчета с использованием в ка-
честве упругих характеристик грунта его модуля уп-
ругости £о и коэффициента Пуассона щ, разработан
С. А. Орловым.
Для приближенных расчетов трубопроводов обычно
используется следующая зависимость между коэффи-
циентом упругого сжатия k и модулем деформации
грунта £Гр:
ГР
(19.63)
* г(Ц-Ргр) ’
где Цгр — коэффициент Пуассона грунта.
Способ О. Е. Бугаевой
Грунтовая среда, окружающая сооружение, характе-
ризуется коэффициентом упругого отпора А. Отпор
принимается радиальным и действующим на нижнюю
часть сооружения с центральным углом 270е. На про-
тяжении верхней дуги с центральным углом 90е прини-
мается безотпориая зона (рис. 19.47).
ЦПШЩШЩ-’'
Рис. 19.47
Упругая линия кольца аппроксимируется уравне-
ниями:
для 45® < 0 < 90° W = u>6 cos 26;
для 90“ < 0 < 180® w = wA cos2 6 + tefi sin16,
где 0 — угол наклона сечения к вертикали; а>А и а Б —
ординаты упругой линии в сечениях А и Б.
Изгибающие моменты и окружные нормальные силы
в характерных сечениях кольца определяются по сле-
дующим формулам:
от собственного веса сооружения
МА = 0,070/?г (1— 0,059л); ’
КА =—0.027/? (1 —0.040л);
МБ= — 0,063/?г(1 —0,066л);
НБ = — 0,250/? (1 + 0,011л);
Мв= 0,055/?г(1 -0,064л);
NB -0,0277? (1 —0,040л):
ст веса жидкости, наполняющей сооружение.
Мд = 0,070Rr (1 — 0,059л);
Na = 0.451/? (1 —0.056л);
МБ = — 0,063/?г (I — 0,066я);
Nb = 0.068/? (1 — 0.042л);
Мв = 0.055/?г (1 — 0,064л);
NB =0.186/?(1 —0,056л);
от вертикальной равномерной нагрузки
МА = 0,125/?г (1 —0.067/1);
Na = 0,09/?л;
МБ = — 0,125/?z (1 — 0,066л);
7VC = -0,500/? (1 + 0,012л);
Mg =0,125/?г(1 —0,56л);
Ne = — 0,021/?л.
где /? — равнодействующая соответствующей нагрузки;
" EI
0,06416+ —-
Аг*
(19.67)
0,06416+
Е— модуль упругости материала сооружения; /—мо-
мент инерции продольного сечения стенки на единицу
длины сооружения.
При £/=<» нлн прн А=0 л=0. и формулы (19.64)—
(19.66) переходят в соответствующие формулы, не
учитывающие отпор грунта.
Прн наличии безотпориой эоны опасным сечением
сооружения оказывается шелыга (сечение в), так как
здесь отсутствует отпор грунта.
Для этого сечения можно принять коэффициент сни-
жения изгибающих моментов жесткого трубопровода
при учете упругого отпора 1руита. равный
Ci = 1 — 0,056л =----------------, (19.68)
1+--------------
0,143ргр + рл
где р.1 — критическое внешнее давление для иезасы-
паниого трубопровода по формуле (1957); р,р=
=0.167hr— параметр, учитывающий однозначный уп-
ругий отпор грунта; k — коэффициент отпора грунта,
который для сооружений, уложенных открытым спосо-
бом, берется для нарушенного грунта засыпки.
Если упругие свойства засыпки выразить модулем
упругости Егр и коэффициентом Пуассона ц,р. то па-
раметр. учитывающий в формуле (19.68) упругий от-
пор грунта,
Рг₽ = Т7ГТУТ “ °- 125Сг₽- (19 б9>
6(1+ Игр)
Совместное действие на подземное
сооружение нагрузок
и внутреннего давления
при учете упругого отпора грунта
Внутреннее равномерное давление р транспортируе-
мой жидкости или газа вызывает в стенках сооруже-
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
323
ния кругового поперечного сечення только
нормальные силы:
И = ргл
I
»рг<„
окружные
(19.70)
где г0 и г, — внутренний и наружный радиусы попереч-
ного сечення трубопровода; г — радиус срединной по-
верхности трубопровода.
Рнс. 19.48
Эти нормальные силы должны быть дополнительно
учтены прн подборе толщины стенки сооружения нлн
при проверке ее несущей способности.
При начальной овальности поперечного сечення со-
оружении илн прн деформировании его нагрузками,
действующими извне, внутреннее давление оказывает
расправляющее действие и кроме нормальных сил
(19.70) вызывает еще изгибающие моменты. Если ап-
проксимировать начальную овальность илн упругую
линию кольца одним членом ряда ш=а>л cos 20, со-
ответствующим действию равномерной нагрузки
(рнс. 19.48), то совместное действие отпора грунта
и внутреннего давления может быть учтено умножени-
ем расчетных прогибов и изгибающих моментов нлн
приведенных расчетных нагрузок на коэффициент
С=----------Ц--------• (19-71)
j । Ргр + Р
O.l/Vp + Pn
Прн этом внутреннее давление р считается положи-
тельным. а внешнее — отрицательным.
Рнс. 19.49
График значений коэффициента С для стальных труб
н разных значений ЕГр прн р=0 приведен на рис. 13.49.
Более строгое решение дано в работе (5).
Несущая способность сооружения
по условию прочности
Из условия прочности по продольному сечению на-
порного подземного сооружения кругового поперечного
сечення, работающего в упругой стадии, прн совмест-
ном действии внешней приведенной нагрузки Р и внут-
реннего давления р можно получить допустимую внеш-
нюю приведенную нагрузку Р прн данном расчетном
внутреннем давлении р н прн учете отпора грунта:
Р = Р°------—-
л д
£~12₽ ’ ~
8
р®= тЯр —;
Ч
п 8
Р* - — mRrt> — я 0,524рЧ>
6 г
(19.72)
(19.73)
Rp — расчетное сопротивление материала сооружения
прн растяжении; т — коэффициент условий работы
трубопровода; С — коэффициент, определяемый форму-
лой (19.71).
Величина Р° в (19.73) дает допустимое значение
внешней приведенной нагрузки при отсутствии внутрен-
него давления и устанавливает связь с величиной р°.
являющейся допустимым внутренним давлением при
отсутствии внешней нагрузки.
Кривые отношений Р/Р11 в зависимости от отношений
р/р° для стальных труб с б/г-=0.02 при разных величи-
нах mRp н Егр показаны на рнс. 19.50. Чем жестче
Рнс. 19.50
сооружение, тем ближе его график к прямой, отсекаю-
щей па осях координат отрезки Р/Р°=1 н plp0^«1.
Расчетное сопротивление материала трубопровода
при растяжении Rf н коэффициент условий работы т
принимаются по СНиПу.
324
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Если для растяжения при изгибе установлено другое
расчетное сопротивление Км, чем при окружном растя-
жении. то в формулы (19.73) вместо Лр вводится Ям.
При совместном действии внешней приведенной на-
грузки Р и внешнего нормального давления pi, напри-
мер гидростатического или атмосферного при образо-
вании в трубопроводе вакуума, коэффициент С полу-
чается из формулы (19.71) прн отрицательной величи-
не р, а знак минус в знаменателе формулы (19.72) ме-
няется иа плюс.
В этом случае вместо Rr в формулы (19.73) входит
расчетное сопротивление материала трубопровода при
сжатии АсМ.
Расчет сооружения на упругую
устойчивость н жесткость
При некоторой критической величине внешнего нор-
мального давления р поперечное сечение подземного
трубопровода круговой формы теряет устойчивость
и он уже не в состоянии нести никакой виешяей на-
грузки Р.
Критическая величина внешнего давления, соответ-
ствующая любому числу полуволн упругой линии, и прн
Рл
₽'»> 4
Ркр = 2 Рп Ргр (19.74)
При ₽гр<-у г>кр = Л1- (19.75)
Кроме того, следует считаться с тем обстоятельством,
что прн деформации кольца нагрузка от грунта может
оказаться нормальной к стенке и общее расчетное
внешнее давление окажется равным:
P’=₽+i- (1976>
При расчете сооружения на упругую устойчивость
должен быть введен коэффициент условий работы
т7< 0,6.
Расчет сооружения на жесткость илн по деформаци-
ям сводится к определению прогиба поперечного сече-
ния по формуле (19.56) с учетом отпора грунта коэф-
фициентом С, определяемым по формуле (19.71). При
этом расчет ведется по нормативным нагрузкам, без
приведения их к двум сосредоточенным силам.
Предельно допустимая величина относительного уко-
рочения вертикального диаметра f/2r установлена рав-
ной для стальных трубопроводов 0,03. а для трубопро-
водов из полиэтилена и твердого поливинилхлорида
0,05
19.2.5. Расчет сооружений с учетом
пластичности материалов
Выравнивание изгибающих моментов
в стенках сооружений
Благодаря многочисленным опытам со стальными
и железобетонными трубами установлено, что действи-
тельная разрушающая нагрузка всегда оказывается
значительно выше расчетной, найденной из рассмотре-
ния трубы как упругой системы. Это позволяет исполь-
зовать скрытые резервы прочности стальных и безна-
порных железобетонных труб при расчете нх по методу
предельного равновесия с учетом пластичности мате-
риала.
Применение этого метода для расчета напорных же-
лезобетонных и других трубопроводов ограничено не-
обходимостью их расчета на трещииостойкость в упру-
гой стадии сопротивления материала прн эксплуатации,
ио может быть полезным для объяснения их поведения
при разрушении от совместного действия внешней на-
грузки и внутреннего давления.
Предельные нагрузки для трубопровода нз идеально
упруго-пластического материала могут быть определе-
ны из условий предельного равновесия механизма,
в который обращается кольцо прн образовании в нем
четырех пластических шарниров, два из которых воз-
никают на концах вертикального диаметра, а два дру-
гих — в сечениях, близких к концам горизонтального
диаметра (рис. 19. 51).
Если принять, что прн образовании пластических
шарниров нормальные окружные усилия остаются та-
кими же, как и в упругой стадии работы кольца, то
при одинаковых несущих способностях всех четырех
сечений изгибающие моменты оказываются равными:
Л1. — 2Мб +Л1.,
Л«А.Пр= - Л«6.п₽= Л1В.ГР------J-------• (19-77)
где Мл,Ms, Мв,—изгибающие моменты в упругой
стадии работы кольца при нагрузке
данного вида.
Пластическая стадия работы
подземного сооружения прн совместном
действии внешней нагрузки
и внутреннего давления
Прн совместном действии на трубопровод круглого
поперечного сечення двух сосредоточенных нагрузок
«м
Рис. 19.52
19.2. РАСЧЕТ ПОДЗЕМНЫХ СООРУЖЕНИИ
325
Pop и внутреннего давления Pop из условий предельно-
го равновесия расчетной схемы деформированного коль-
ца получается следующая зависимость между проги-
бом f и действующими нагрузками (рнс. 13.52):
f = Рпр'-^А.пр-Мдл,,) (1д 78)
2рлр г — 0.5Рпр
Нормальные растягивающие силы в сечениях А и Б
равны:
^.пр = ₽пр<'-0-5^ <19’79>
= % <г + 0.ВД - °-5Рп₽- d9-80)
Формула (19.78) может быть использована для об-
работки результатов экспериментов с трубами при
совместном действии раздавливающей нагрузки на
прессе и внутреннего давления.
Для начале пластической стадии работы жесткой
трубы можно принять /=0 и тогда формула (19.78)
переходит в формулу (19.77) прн Мл=Мв. В этом
случае зависимость между внешней сосредоточенной
нагрузкой Рчр и внутренним да мн*ии»м рар выража-
ется формулой, полученной, исходя из эпюры нормаль-
ных напряжений, показанной на рнс. 1953:
W’ + '^-V 09.81)
пр пр I « ло°
\ Рпр / \ Рлр /
где Рпр —предельная сосредоточенная нагрузка прн
отсутствии внутреннего давления;
Р°п₽ = ^- 09.82)
Уравнение (19.81) выражает нелинейную зависимость
между P«i>77wBp и рвР1(РвГ (рис. 19.54), связанную
с физической нелинейностью деформирования. Прн на-
личии еще геометрической нелинейности, обусловленной
расправляющим действием внутреннего давления на
гибкий трубопровод, кривизна графика возрастет.
В зарубежной практике такие графики для чугун-
ных и асбестоцементных труб на основании экспери-
ментальных данных принимаются параболическими.
Предельное состояние
сборной туннельной обделки
Предельное состояние туннельной обделки из арми-
рованных бетонных блоков может наступить при об-
разовании в ее верхней части трех пластических шар-
ниров (рис. 19.55).
Предельная интенсивность равномерной вертикальной
нагрузки
7в.пп
NDh________
”|г’“о(/-у1 + ев)
(19.83)
где г — радиус срединной поверхности обделки; Jt — рас-
стояние по вертикали между центрами пластических
шарниров; f — геометрическая стрела подъема свода
между сечениями D н В; ев — эксцентрицитет нормаль-
ной силы (распора Н) в сечении В; Nd — нормальная
сила в пластическом шарнире D;
ND=O,67m2>6RCK;
Угол ао. определяющий положение пластических
шарниров, находится из условия минимума величины
предельной нагрузки.
Нижняя часть обделки, являющейся опорой свода
с тремя пластическими шарнирами, рассчитывается как
упругая криволинейная балка на упругом основании.
При этом может быть нспользоваи способ, изложенный
в п. 12.3.
326
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
19.2.6. Расчет сооружений некругового
поперечного сечения
Расчет туннельной обделки
в виде пологого свода
Обделка в виде несущего свода, опирающегося на
прочный спальный грунт, может быть применена в без-
Рнс. 1956
напорных туннелях при отсутствии бокового давления.
Расчет такого свода производится методом сил с уче-
том упругой заделки пят в грунт (рис. 19.56) (см. так-
жераздел 5)
При переходе к основной системе неизвестные Х|.
Ха, Ха переносятся в упругий центр 0 при помощи бес-
ионечио жестких консолей, длина которых с определя-
ется нз условия, что побочное перемещение бц обраща-
ется в нуль. Прн атом:
•Л
С ds
I »1 д+W
_ А|р + Рр
*“ «и+Р1’
А,р + бр(/~с) + бр
би + Р1(/-Р)’- + б. ’
(19.84)
(19.85)
(19.86)
Здесь
1 М*
₽‘ = "Й7:
1 . .
6,^-^cos’a; 6p = -^coaa;
j/2 s/2 f/2
P ds x C f cos* Vd5
11 = JfT’ и = ^ Е/ EF ’
s/2 s/2 »/2
C Mpds C Mp yds (• Np cos <pds
Aw = J“; A* = J~/-+J
и и 0
где f — стрела подъема свода; s— длина дуги свода;
f/i — ордината осн обделки по отношению к горизон-
тальной осн, проходящей через замок свода; у — орди-
ната осн обделки по отношению к горизонтальной осн,
проходящей через упругий центр; <р — угол наклона ка-
сательной к осн свода в произвольном сечении по от-
ношению к горизонту; a — угол наклона касательной
к осн свода в пяте по отношению к горизонту; ЛА —
толщина свода в пяте; /А— момент инерции про-
дольного сечення обделки в пяте; / — момент инерции
сечення обделки в произвольном сеченин; Мр и jVp—
изгибающий момент н нормальная сила в произволь-
ном сеченин основной системы; М* в — изгибаю-
щий момент и нормальная сила в пяте основной сн-
стемы.
Для свода постоянной толщины йь очерченного по
дуге окружности, прн a=60° и прн действии равно-
мерной нагрузки у неизвестные выражаются форму-
лами:
jr* |/п(0,2310+0,3867л+0,0440m+
1 “ т(1,6302 4-1,0019л + 0,3001m + ’
4-0,ПЗбтп) 4-0,2165л|
4- 0,7750тл) 4- 0,25п
х дг* |т(|, 1632 — 0,6092л 4- 0,2354m —
m (1,6302 4-1,0019л 4-0,3001m 4-
— 0,2267тл) — 0,375л |
4- 0,7750тл) 4- 0,25п ’
kr / h \*
гдет= —;л-(—I J
г — радиус срединной поверхности обделки.
Изгибающие моменты и нормальные силы в замке,
четверти пролета н пятах определяются соответствен-
но по формулам:
Л4С=Х,— 0,173гХ2 ;
М,ц = Xj- 0,074гХ2-0,094?г»;
WJ/4 = 0,90lX24-0,1875«r;
МА = Xj 4- 0.327гХг — 0,375уг»;
Na = 0,5Ха 4- 0,7здг.
Расчет обделки подземного сооружения
в виде свода, опирающегося
на массивные стенки
По предложению С. С. Давыдова расчет такой кон-
струкции (рнс. 19.57) производится с учетом совмест-
ной работы отдельных ее элементов н с учетом упру-
гого отпора грунта по наружным граним и подошвам
19.3. БАЛКИ И ПЛИТЫ ИА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
327
стенок. При этой грунт сбоку и снизу от стенок рас-
сматривается в качестве упругих сжимаемых слоев
толщиной Нг и Н,, а непрерывный контакт ыежду
стенками и грунтом заменяется 10 стержневыми свя-
зями. усилия в которых принимаются в качестве не-
известных.
Кроме того, прн переходе к основной системе сме-
шанного метода и прн введении связей против пере-
мещений стенок прикладываются еще два неизвестных
Рнс. 19.57
перемещения и сдвигающая сила по подошве. Наконец,
неизвестными являются еще три усилия в упругом цент-
ре свода.
Для определения неизвестных составляются две не-
зависимые системы уравнений. Коэффициентами при
неизвестных силах являются осадки сжимаемых толщ
грунта. Эти толщи определяются из условия, что допол-
нительные давления на нх границах от перемещений
сооружения составляют 20% природных давлений в
грунтовом массиве.
Этот расчет ыожет быть упрощен, если рассматри-
вать грунт в качестве местнодеформируемой среды
с коэффициентом постели
5п£л 8
(19.89)
*= , 2\
ЛУо(>— Ко)
где h — размер стены в плоскости, для которой оты-
скивается А; Ь — длина стены, выделенная для расчета;
Еч и ре — модуль деформации и коэффициент Пуас-
сона грунта; у0— максимальная осадка упругого слоя,
зависящая от его толщины Н.
Прн Н=0,2Л; 0,4Л; 0.6А; 0,8Л н бдльшем Л соответ-
ственно имеем 2,4; 3,8; 4,6; 5,2 и 5,6.
18.3. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
19.3.1. Выбор расчетной схемы
Фундаменты сооружений очень часто располагаются
на грунтах естественного сложения; в этом случае их
рассчитывают как балкн нлн плиты, лежащие на сплош-
ном упругом основании.
Если фундамент располагается на плотных грунтах,
то основание рассматривается как упругое полупрост-
ранство. Взаимодействие между балкой и упругим по-
лупространством осуществляется через нормальные
н касательные усилия, возникающие по площади кон-
такта балкн н упругого основания. Для определения
контактных напряжений между балкой и упругим по-
лупространством вводятся связи, усилия а которых
представляют собой равнодействующие напряжений.
В такой постановке задача о расчете балкн нлн плиты
Упругое wynodcmpoHcmto
Рнс. 19.58
иа упругом полупространстве сводится к определению
усилий в связях, т. е. к расчету обычной статически
неопределимой системы (способ Ь. Н. Жемочкниа).
Касательные напряжения, возникающие по подошве
балкн, в большинстве случаев оказывают незначитель-
ное влияние на результат и поэтому в расчете ими мож-
но пренебрегать. Тогда основная расчетная схема для
балкн принимается согласно рис. 19.58. Между балкой
и полупространством поставлены упругие связи, позво-
ляющие учесть наличие разрыхленного слоя грунта,
расположенного непосредственно под подошвой фунда-
мента. В предельном случае упругие связи переходят
в жесткие нерастяжнмые стержни.
В основной системе (рнс. 1959) балка отделяется от
упругого полупространства и к ней добавляется задел-
ка. За неизвестные принимаются усилия Х( в связях-
пружинах, осадка уч н угол поворота заделки фо. Для
определения снл X,. Ху, ... составляется система кано-
нических уравнений:
6ц Xi + 6It X, 4- 61Э Хэ 614 X, 4-
+•••+ Oi ф» + А1Р = 0;
6ц Ху + 6м Х4 4- 6S3 X3 4- 6M X4 4-
4----F v0 + 4>0 + Л2₽ =
63iX3 4" 64j X3 -F 6» X3 4- 6s< X4 4-
+•• •+ so+пз % + Лз₽=o;
6Я1 X, 4- 6Я4 X, 4- 6n3X3 4- 6л4 X4 4-
4—•+ s0 + o„ Фо + &np = 0;
Х,4-Х,4-Хэ4-------Z £>< = 0;
Xj 4” Xg 4~ X3 4~ * * * — ~ О*
328
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Через с< обозначено расстояние от заделки до силы
Л,; 2Р, и SM, — равнодействующая и момент внеш-
них сил.
Физический смысл первой группы уравнений (19.90)
состоит в том, что перемещения в основной системе по
направлению каждого неизвестного Ль Л'2 и т. д. от
всех сил равны нулю. Таких уравнении надо составить
столько, сколько имеется неизвестных сил Л'<. Послед-
ние два уравнения являются уравнениями равновесия.
Рнс. 19.60
При вычислении коэффициентов в<* канонических
уравнений приходится учитывать как прогиб балки
щ», так и осадку упругого полупространства у,* от
единичных сил (рис. 19.60):
6(*=р« + р«: (19 91)
Рнс. 19.61
Прогиб tn вычисляется по обычным формулам как
прогиб в сеченнн i балкн, заделанный одним концом,
от силы Л, = 1, прнложеииой в сечении k (рис. 19.61):
где EI — жесткость балкн;
с—расстояние между связями (см. рис. 19.59).
Осадка упругого полупространства вычисляется по
формуле Б. Н. Жемочкниа [14]:
(,993)
пЕос
где — коэффициент Пуассона полупространства;
Ео —модуль деформации полупространства; fi* —зна-
чение функции.
Подставив значения о,» и у и, в формулу (19.91),
получим:
. с3 — Ро —Но
®'*= а>11‘ + "г--= ; (19.94)
vci ^-о о
а ——. (19.95)
б(1-Ра2)Е/
Общий множитель (I— р2)/Еосл одинаков для всех
коэффициентов 6<«, и поэтому при выполнении расче-
тов его можно учитывать в конце.
Ординаты pt эпюры реакций упругого полупростран-
ства вычисляются путем деления сил Xt на соответст-
вующие им площади подошвы балки:
Р1=^. (19-96)
со
где с — расстояние между связями; b — ширина балки.
19.3.2. Бесконечно жесткая балка
При расчете бесконечно жесткой балкн пользуются
уравнениями (19.90), но при вычислении коэффициен-
тов канонических уравнений учитывают, что деформа-
Таблица 19.19
Значения реакций для бесконечно жесткой балка
Ы1 Л.1с Реакции р^
Р, Pt Р: Pi Р«
1 0.00 0,688 0.683 0.732 0.852 1.892
1 0.50 0,704 0.720 U. 790 0.950 1,680
Плоская 1 1.00 0.730 0.760 0.820 0.980 1.550
ЗДД8ЧЛ 1 I.2S 0,750 0.770 0.840 1.002 1,509
0.33 0 0.799 0.832 0.858 9.907 1.494
0.22 0 0.846 0.855 0.881 0.927 1.408
0,11 0 0,889 0.890 0,919 0.961 1.29Н
0.07 0 0.900 0,905 0,928 0.973 1.247
Примечание. — пролет Сали и. Ь — ширина балки:
п0 — толщина слоя, c-tfb.
19.3, БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
329
Таблица 19.19
19.3.3 Гибкая короткая балка
Ординаты апюр М и Q для бесконечно жесткой балам
Усилия ъп
плоская задача 0.33 0.22 0,11 0.07 общ и В множи- тель
Моменты м. 4-0,148 +о, 136 +0,134 +0.131 4-0.129 Р!
м, +0.098 +0.087 +0,085 +0.082 4-0.081
м, +0.057 +0.048 +0.046 +0.044 +0.043
Мд +0,024 +0,019 +0.018 4-0.017 4-0.016
м. +4>пОО4 +0.003 +0,003 4-0.002 4-0.002
| 35 Поперечные силы | Q. -0.500 -0.500 -0.600 -0.500 —0,500 Р азаны
<?. -0.424 -0.408 -0.404 -0.402 -0.400
-0.345 -0.314 -0.308 —0.302 -0.298
—O.2S7 —0.216 -0,208 -0.197 -0,192
При 1 лог. -0.106 м с ч а и м ширин! -0.083 е. Мем балки. —0.078 &нты и п< -0.072 зперечные -0,069 силы ук
цня балкн должна быть равной нулю, н поэтому фор-
мула для 6in будет состоять нз одного члена, равного
перемещению упругого полупространства:
1-1*?
6«=------—Гн- (19.97)
Изгибающие моменты н поперечные силы зависят от
закона распределения внешней нагрузки, так как момент
внешних снл зависит от положения нагрузки по длине
балкн. Прн обратно симметричной нагрузке ординаты
эпюр реакции будут пропорциональны моменту равно-
действующей внешних сил, вычисленному относительно
заделки. В табл. 19.18 указаны ординаты эпюры реак-
ций. а в табл. 19.19 — ординаты эпюры моментов М
и Q.
Балка должна рассчитываться как короткая и гиб-
кая, если справедливо неравенство
/>0.8 й» 1/ . (19.98)
г со
где I — пролет балки; й — высота балкя; Е — модуль
упругости балки; Ед — модуль деформации основания.
Ординаты линий влияния моментов даны в табл. 19.20.
Двухслойное основание
Найдем распределение реакций основания для беско-
нечно жесткой балки, расположенной на двухслойном
основании.
Расчетная схема и основная система показаны иа
рис. 19.62.
Упругий слой, подчиняющийся гипотезе пропорцио-
нальности. расположен между балкой н упругим полу-
пространством, и его толщина бс= 12,5 м-.
12,5-3,14 (1 —0.35=)
б» = 2-1,867 + 2 - = 6,030;
3-10
6„= 1.867 + 0,469+ 1,148 = 3,484;
б„= 1.867 + 0,246+1.148 = 3,261;
6„ = 1.867 + 0,165 + 1,148 = 3.180;
644 = 1,867 + 0,124 + 1,148 = 3,139.
Побочные коэффициенты нычисляют по формуле
(19.94), значение — по таблицам Жемочкина [14]
+ 6,030 X, + 1.658 X, + 0,938 X, + 0,646 Ха +
+ 0,492 Х4 + у„ -= 0;
+ 1.658 X. + 3.484 X, + 1.152 X, + 0.715 Х3 +
+ 0,520 Х4 + уд = 0;
330
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Таблица 19.20
Ординаты диииА влияния моментов (общий множитель р/)
Груз в точке Коэффициент Момент
Ж. Ж, Ж, ж. ж. м2 «3
0.0023 0.0198 0.0494 0.0895 0.1399 0,0695 0,0494 0.0198 0,0023
с а—0.1 -0.0005 ^О.ООЭО 0.0005 0.0182 0.0592 0.0182 0.0005 —0.0030 —0,0005
а«1 -0.0002 -0.0020 —0,0040 -0.0002 -0.0303 -0.0002 -0.0040 -0.0020 -0.0002
а—О 0.0035 0.029? O.O72S 0.1285 0.0849 0,0510 0.0264 6.0100 0.9011
а«жС. 1 -0,0002 0.0000 0.0133 0.0503 0.1163 —0.0018 -0.0067 -0.0046 -0.0006
а—1 -0Ю05 -0.0034 -0.0001 0.0303 -0.1107 —0.0040 -0.0022 -0.0007 -0.0001
а™0 0.0047 0.0396 0,0965 0.0560 0.0291 0.0057 —0.0010 -0.0021 —0.0003
2 а-0.1 0.0020 0.0187 0.0589 0,0169 -0.0024 -0.0090 —0,0078 —0.0040 -0.0005
а«1 -0.0003 0.0012 0.0305 —0.0003 —0,0046 -0.0019 -0.0004 -0.0001 +0.0000
0.0058 0.0495 0.0076 -0.0164 -0.0265 —0.026-1 —0.0196 —0.0098 -0.0012
3 а«ж0.1 0.0052 0.0458 0,0082 —0.0071 —0.0103 -0.0090 -0.0051 -0.0015 —0.0001
а-1 0.0072 0.0265 -0.0021 -0.0047 -0.0032 0.0004 0,0016 0.0010 0.0002
0.0070 -0,0507 —0.0805 -0.0688 -0.0820 —0.0850 -0.0427 —0.0196 -0.0024
4 а—0.1 0,0106 —0,0233 —0.0272 -0.0211 —0.0133 -0.0088 —0.0042 -0,0014 —0.0001
а—1 0.0128 -0.0074 -0.0052 -O.OG24 —0.0319 —0.0001 0.0006 0.0009 0,0001
+ 0,938Х„+ 1.152 X, +3,261 X,+ 1,026 Х,+
+ 0,634 X, + и = 0;
+ 0.646 Хо + 0,715 X! + 1,026 X, + 3.18 Хэ +
+ 0.971X4 +У11 = 0;
+ 0,492 Хо + 0,520 Xt + 0,634 X, + 0,971 Х3 +
+ 3,139Х4 + я, = 0;
Х« + X, + X, + X, + Х4 = + 4.5.
Решая эту систему, найдем значения неизвестных:
у, = —6,586; Х,= +0,922;
2Х0=+0,886; Х,= + 0,992;
Xt = + 0.896; Х4= + 1,248.
Эпюра реакций показана иа рнс. 19.62.
Два здания, расположенные рядом
Два здания, расположенные рядом, оказывают взаим-
ное влияние на величину осадок и реакций упругого
основания. В результате деформаций упругого полу-
пространства происходит взаимный наклон зданий.
Рассмотрим два силосных корпуса размером каждый
45X32 м в плане, поставленные рядом. Оба корпуса
загружены полностью, а среднее давление иа грунт со-
ставляет 3,3 кПснг. Для определения осадок и реакций
будем рассматривать эти здания как бесконечно жест-
кие балкн. Модуль деформации основания £,=
= 400 кПсм*.
Расчетная схема и основная система принимаются
согласно рнс. 19.63. В основной системе должны быть
две заделки — отдельно для каждой балки. Располо-
жим их в месте примыкания силосных корпусов. Каж-
дую балку прикрепляем к упругому основанию пятью
стержнями. Расстояние между стержнями с= 10 м.
В силу симметрии потребуется составить систему нэ
Ххххккхк
^775
Рнс. 19.63
семи уравнений для определения сил Х(. Коэффшшеи-
ты уравнений подсчитываются по табл. Жсмочкнна для
отношения
Ь 30 л
— = — = 3;
с 10
6^ = 2-1.867 = + 3,734;
601 = 2-0.829 = 4- 1,653 кт. д.
19.3. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
331
Решая систему уравнений, находим значения неиз-
вестных лрн Q=l:
Фо =+0,0663;
0о = -1,284;
Хо = 4-0,1318;
= +0,2133;
Х,= +0,1973;
Х3 = +0,1892;
Х4 = + 0,2684.
S Л4 = 0,2133-1+0,1973-2+0,1892-3+0,2684-4 = 2,249.
На практике очень важно знать разность осадок раз-
личных точек одного н того же корпуса. Эту разность
можно найти двумя путями: умножить полученный
угол наклона Фо на расстояние между точками, раз-
ность осадок которых требуется определить, или вы-
числить независимо осадки той и другой точки, прини-
мая во внимание, что силы, приложенные к упругому
полупространству, теперь известны.
Наилем разность осадок точек 0 и 4, умножая угол
поворота фо на 4:
Лу= 4%=—4-0,0663 = — 0,265.
Определим осадки ув и по табл. Жемочкниа:
р„ = (1,867-0,1318 + 0,829-0,2133 + 0,469-0,1973 +
+ 0,323-0,1892 + 0,246-0,2684) 2 = + 1,285;
04 = 1,867-0,2684 + 0.829-0,1892 + 0,469-0,1973 +
+ 0,323-0,2133 + 0.246-0,1318-2 + 0,197-0,2133+
+ 0,165-0,1973+0,142-0,1892+0,124-0,2684 = + 1.017;
Д0 = 1,017 — 1,285 = — 0,268.
Сравнивая результаты, вычисленные разными спосо-
бами. замечаем, что расхождение оказалось в пределах
точности подсчетов. Полученные величины ув и Дуо
определены для Q = l; в действительности Q=32-45X
ХЗЗ=47500 т.
Для получения действительных осадок надо умно-
жить полученные величины, согласно формуле (19.93),
иа величину
1-МоЛ (1 -0,352) 47 5оо
-----О = 2-----------------= 0,332.
л£ос 3,14-4000-10
Тогда получаем действительную осадку в точке 0:
у. . = 1,285-0,332 = 0,43 м = 43 см.
-'°дсйсто
Разность осадок точек 0 и 4:
^дгйст. = 0,268-0.332 = 0,09 м = 9 см.
Различная осадка вызывает взаимный наклон зданий.
19.3.4. Балка за пределом упругости
Определение наибольшей нагрузки
в упругой стадии
Рассмотрим балку прямоугольного сечення, нагру-
женную сосредоточенной силой Р в середине длины
(рнс. 19.64). Определим значение Р«, при котором
н крайнем волокне опасного сечення балки напряжения
будут достигать предельной величины Опр- Это значе-
ние силы будет наибольшим для упругой стадии рабо-
ты балки при условии, что упругое основание сохраня-
ется лниейно-деформируемым.
В сеченнн под грузом нагибающий момент будет
равен;
Р
Мв=—са. (19.99)
Расстояние Со от середины пролета до центра тяже-
сти эпюры реакций зависит от закона распределения
реакций по длине пролета балки и вычисляется в ре-
зультате решении задачи в упругой стадии.
В зависимости от соотношения жесткости белки
и упругого полупространства величина со изменяется.
Чем больше жесткость балкн, тем больше сд. При рав-
номерном распределении реакций упругого основания
cg=0,25I, т. е. равнодействующая реакций проходит
0 четверти пролета балкн. Для гибких балок величина
с0 становится меньше 0,25 1 (табл. 19.21). Для беско-
нечно жестких балок св становится больше 0,25 I.
Для определения Ро приравняем Мо моменту внутрен-
них снл; тогда лолучнм:
₽o=2anpW/Co. (19.100)
Таблица 19.21
Значение г.
а Ь/с<=3 Ь/с-2
0.0 0.2798
0.1 0.1130 0.1280 0.1421
1.0 O.OoOj 0.0557 0.0731
332
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Если а=0,1 и Ь1с=2, в табл. 19.21 найдем значение
(0=0,128 I; тогда для прямоугольной балки получим:
ЫР 1
₽О-2СТ"'> 6 ’ 0,128/’
(19.101)
Распределение реакций
за пределом упругости
Выясним распределение реакций упругого основания,
если внешняя сила Р будет больше ₽о- Теперь балка
будет работать за пределом упругости в упруго-пласти-
ческой стадии, а ее жесткость изменится.
Рис. 19.65
Для упрощения задачи исключим из рассмотрения
процесс перехода балкн в упруго-пластическую стадию
и будем считать, что в результате образования пласти-
ческого шарнира балка разбивается на два участка,
которые находятся в упругой стадии.
Выразим силу Р через Ра по формуле
Р=пР0. (19.102)
Множитель л в этой формуле будет больше единицы.
Для всех значений Р>Ра расчетная схема балкн име-
ет внд, указанный иа рис. 19.65. Особенность этой рас-
четной схемы состоит в том, что с увеличением Р мо-
мент Мар остается постоянным, сохраняя свою вели-
чину. Для дайной расчетной схемы разрешим две вспо-
могательные задачи, для /И=1с н Р=2, как это пока-
зано иа рис. 19.65.
Для определения реакций упругого основания соста-
вим такие две системы уравнений, которые различают-
ся в уравнениях равновесия правой частью:
Xt + X, + X, + ®оз Хз + 6o«X4-f-
+ 1ft + 0 «Фо = 0
6ю Хо + 6ц Xj + 6|9 X, + 6ц X, + 614 Х4 +
+ 1?о + 1сФо = 0
6« Хо + 6И Xi + 6n X, + 6И Хз + 6М X. +
+ 1!/о +2£фо = 0
6» Хо + 6Э1 X, + X. + 634 Хз + бЭ4 Х4 +
+ 1И> + Зсфо=0
640 Хо + 64> X, + 64, X, + 643 Х3 + 644 X. +
+ 1</о + <сф0 = 0
!Х0 + IX, + IX, + IX, + IX, + 0 + 0 = О
ОХ. + IX, + 2Х, + ЗХ, + 4Х« + 0 + 0=1
= 0;
= 0;
= 0:
= 0;
= 0;
= I:
= о-
Если к балке будет приложена сила Р=пРа (при
л>1) и момент
So 2S.
Л1пр= ^ГРосо = '^7Л,0-
где 2So — пластический момент сопротивления, равно-
действующие реакций упругого основания будут най-
дены с помощью чисел влияния по формулам:
- Хо 2 ро + *о у со с ру
(19.103)
Значения Xt и Х( даны в табл. 19.22 н 19.23. Для
вычисления интенсивности реакций необходимо поле-
та б л н ц а 19.22
Числа влияния от Р—2
Числа ПЛ11Я- ння fr/Cral 0/с=2
а—0,1 ас"0.1 а=1 а-0,1 а-1
*0 4-0,5256 4-0.7342 4-0.5738 4-0.6026 4-0.615S 4-0.8453
4-0.4849 4-0.3568 4-0.4880 4-0,2770 4-0.3999 4-0,2232
х'г 4-0.2139 4-0.0216 4-0.1844 —0,0014 4-0.1597 -0,0118
*3 4-0.0177 -0.0490 4-0.0219 -0,0376 4-0.0210 -0,0282
—0,2417 -0.0634 —0,2181 -0.0403 -0.1957 -0,0288
—4,8191 -5.8739 -3.6613 —4.3304 -3.0222 —3.4746
Сф.1 4-1.6438 4-3.2I9S 4-1.2366 4-2.2852 4-1.0090 4-1.7557
Таблица 1923
Числа влияния от Af—1 с
Числа влия- ния Ь/с=1 Ь/с-2 6/с~3
а^).1 а»1 а«=0.1 а=»1 а =0.1 а=з1
*0 —0.2389 —0.5693 —0.2907 -0.6880 -0,3383 —0.7718
—0.0746 4-0.2392 =0.0226 4-0,4184 4-0.0249 4-0.5565
*2 4-0,0409 4-0.2259 4-0.0684 4-0,2126 4-0,0913 4-0,1854
*3 4-0.0951 4-0,1064 4-0,0939 4-0,0720 4-0.0944 4-0,0458
4-0.1770 —0,0026 4-0.1510 —0.0149 4-0.1274 —0.0162
ю 4-1.6439 4-3.2190 4-1.2366 4-2.2852 4-1.0001 4-1.7560
СФО -1,3468 -5,8207 -1.1375 —4.8426 —1.0117 —4,2427
лить силы Xt на соответствующие нм площади F*. На-
пример, для Ь/с=3 и а=0,1 получим:
М„= у с(1=0,118у/ = 0.059Р()/.
2So
Для прямоугольной балкн = 1,5, поэтому Мор==
= 1,5 Мо= 1,5-0,059 =0,0885 PJ.
19.3. БАЛКИ И ПЛИТЫ ИА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
333
Теперь подсчитаем значение реакций; если Р=2₽о,
получим:
Хо = 0,6155 у®-0,3383 ^=0,3461 Ро.
Интенсивность реакций в точке 0 рг> равна:
2Х0 2-0,3461 Ро
Pt- F, ~ 1/9F -6129fe
<?о —среднее давление иа основание от Ро.
Для Р=ЗРоимесм:
Хл = (о,6155 ~ - 0,2694j Р^ = 0,654 Ро;
р0 = 0,654-18 Со = 11.772 ft.
Рис. 19.67
Аналогично вычисляем значения реакции в других
точках балкн. На рнс. 19.66 показаны эпюры реакций
при работе балки за пределом упругости. График по-
строен прн относительных ординатах. Из графика вид-
но, что после образования пластического шарнира под
грузом изменяется эпюра распределения реакций меж-
ду упругим основанием и балкой. С ростом нагрузки
наблюдается более интенсивное увеличение ординат
реакций под грузом. Так, например, увеличение нагруз-
ки в три раза (п=3) вызывает увеличение наиболь-
шей ординаты эпюры реакций в =4,75 раза,
а это значит, что при переходе балкн за предел упру-
гости зависимость между внешней силой н наиболь-
шей реакцией основания становится нелинейной.
На рис. 19.67 показан график изменения Сн*ие в зави-
симости от Р. Если Р/Ре^1, то балка работает в упру-
гой стадии к между 9н»е н Р имеется линейная зави-
симость. С увеличением Р в балке образуется пласти-
ческий шарнир н поэтому необходимо сделать
специальный расчет для определения — линейная
экстраполяция в данном случае приводит к преумень-
шенному значению. Это видно нз графика, на котором
такая экстраполяция изображена пунктиром. Здесь
важно отметить, что упругое основание в данной за-
даче остается лннейно-деформнруемым и полученная
нелинейность возникает в результате того, что балка
переходит за предел упругости.
Величина предельной нагрузки
В данной задаче лтиятиг о предельной несущей спо-
собности балки приобретает несколько иной смысл по
сравнению с балкой на двух опорах без упругого ос-
нования. Как известно, исчерпание несущей способности
балки на двух опорах наступает тогда, когда в одном
из сечений балки образуется пластический шарнир
и балка превращается в механизм. Балка на упругом
основании может воспринимать нагрузку и после того,
как возник пластический шарнир. Для такой балки пре-
дельное состояние лнмнтнруется наибольшим прогибом,
который является предельным для данной балкн по ус-
ловиям ее эксплуатации. При увеличении нагрузки
посте образования пластического шарнира величина
прогиба под грузом определяется с помощью чисел
влияния. Для определения Рпр необходимо задать пре-
дельный прогиб у„р в долях от наибольшего прогиба
Уо, соответствующего концу упругой стадии уор=Ау0:
где Уо— прогиб под грузом от Ро=2;
у0— то же, от М= I с.
После преобразования найдем:
РПр=Роп= *'2^т — 2 — Рд.
Уо Уо V с
Учитывая, что Уо=у®Ро, получим:
„ = = г* _ 2 .
Ро Уо Уо V с
Для таких числовых данных й=3; =0,75;
У? = 1.01; с = -Ь = 0,11; у; = -3,02; yj = 1,009;
Cq— 0,118; а = 0»1 и b/с - 3
получим:
!п₽=э!^2 L00^ 0Л18
Ро 3,02 3,02 0,11
Этот результат показывает, что посте перехода бал-
ки за предел упругости прогибы под грузом растут.
Оценим влияние жесткости балки на величину Рор.
Для этого сделаем расчет еще для а=0 н о=1.
Прн а=0
0,555 , 1,009 „ 0,2798
1,56 + 1.56 °’ ° 0,11
1,398.
Прн а=1
=3_L£_ . ±3“ 0 75^_з
Р. 3,474/2 + 3,474/2°’750,1| ~ 3
Сопоставление полученных величин показывает, что
величина предельной нагрузки зависит от соотношения
жесткостей балки и упругого основания.
19.3.5. Расчет плит за пределом упругости
Бескоиечно-протяжеипая пинта
Прн переходе плиты за предел упругости образуется
упруго-пластическая область, жесткость плиты изменя-
ется. а это вызывает перераспределение реакций осно-
вания и моментов в плите.
334
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
Для расчета за пределом упругости процесс дефор-
мирования плиты разбивается иа интервалы. Сначала
делается расчет по упругой стадии и определяется воз-
можное расположение линейных пластических шарни-
ров в плите. Затем выполняется новый расчет для ос-
новной снстемы, в которой изменяется расчетная схема
плнты и учитываются образовавшиеся пластические
шарниры. Перемещения, входящие в уравнения, вычис-
ляются для новой расчетной схемы плнты. поэтому
после решения уравнений будут иайдеиы новые значе-
ния реакций основания и по иим построена эпюра мо-
ментов в упруго-пластической плите.
В данной задаче понятие «предельная нагрузка» при-
нимает несколько иной смысл, так как образование
в плите одного нлн даже нескольких линейных пласти-
ческих шарниров еще не приводит к исчерпанию несу-
щей способности в силу того, что плиту поддерживает
упругое основание, которое работает в упругой стадии.
Чаще всего предельная несущая способность определя-
ется путем нормирования величины наибольшего про-
гиба плнты. После образования пластических шарни-
ров для жестких плит наблюдается интенсивное увели-
чение прогибов, которое зависит от соотношения гео-
метрических размеров плнты н упругих характеристик
плнты и основания.
Для гибких плит образование первого пластического
шарнира ие влечет за собой значительного увеличения
прогибов.
Упругий стой, расположенный между плитой и полу-
пространством. оказывает влияние иа распределение
реакций упругого основания, в результате чего проис-
ходит снижение концентраций реакций к краю плнты.
Прн переходе плиты за предел упругости происходит
увеличение прогибов плиты за счет деформирования
слоя.
Для плнты бесконечных размеров, нагруженной со-
средоточенной силой, величина предельной нагрузки
может быть определена приближенно с учетом образо-
вания линейных пластических шарниров по образую-
щим конуса и кольцевого шарнира на контуре его ос-
нования. Для этого приравняем работу внешней силы
P„p сумме работ моментов в шарнирах и реакций ос-
нования. Получим:
Наименьшее значение Рпр получим:
(Длр)мяя = 2nAfM + — яг* (9нйкс — ?г) +
+ уяг*9,, (19.105)
где Мод — момент па единицу длины пластического
шарнира (имеет размерность енлы); г — расстояние от
груза до кольцевого шарнира; фмане — интенсивность
реакций упругого основания под грузом; qr — интенсив-
ность реакций упругого основания иа расстоянии г.
Для балочной плнты. нагруженной сосредоточенной
силой в середине пролета, величину Рор найдем для
разных значений наибольшего предельного прогиба улр,
выраженного в безразмерной форме уа?1уо через наи-
больший прогиб уо. который соответствует концу упру-
гой стадии работы плнты.
Зависимость между Р„р и упр получается нелинейной
н зависит от соотношения физических постоянных плит
и упругого основания, которое характеризуется пара-
метром
“=-г-т(т)’1оЛ (,9-,06)
где Ео — модуль деформации основания; Е — модуль
упругости плиты, I и Ъ—пролет и ширина плиты; h —
толщина плнты;
Рпо = Т5- = (°-14 + О.вОа'-2)^)2-». (19.107)
*0
Формула (19.107) получена прн соблюдении условия
2<у’р<5. (19.108)
После образования первого пластического шарнира
наблюдается изменение эпюры реакций основания.
Распределение реакций зависит от соотношения жест-
костей плнты к упругого основания, а также от вели-
чины внешней силы — в этом случае задача становится
нелинейной.
Влияние местных
и общих деформаций
В прямоугольных плитах возникает комбинированная
схема разрушения, состоящая нз местных и общих де-
формаций. Если плита достаточно узка, то ее схема
разрушения прн грузе, расположенном в середине про-
лета, будет похожа на балочную схему. Под грузом
образуется пластический шарнир, распространяющийся
па всю ширину плиты, как это показано иа рнс. 19.68, а.
Для широкой плиты механизм разрушения будет при-
ближаться к случаю бесконечно-протяженной плнты
(рис. 19.68,6). Эти две формы разрушения возникают
в каждой плите (рнс. 19.68,в).
В результате наложения обоих эффектов конфигура-
ция местного конуса деформаций изменяется. Наличие
балочного линейного шарнира сокращает размер плас-
тического конуса в направлении линейного шарнира.
В результате этого основание пластического конуса из
круга превращается в сплюснутую кривую, изображен-
ную на рнс. 19.68. в. Длина кругового пластического
шарнира, соответствующего основанию конуса, а также
н длина образующих конуса уменьшается; поэтому пре-
дельная нагрузка Р теперь будет меньше Р„ для бес-
конечной плиты и больше, чем для балочной плнты Рв:
Ре<Р<Рп. (19.109)
Для бесконечной плнты величина предельной на-
грузки определяется по формуле
Рп' 4лЛ1пл -)- лг3 (<?MiKC — qr) +
-|-улг39г. (19.110)
В этой формуле первые два слагаемых представляют
собой работу пластических моментов в круговом шар-
нире н в шарнирах, возникающих по образующим ко-
19.3. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
335
нуса. Последний член равен работе реакций основания
в пределах пластического конуса.
Для балки величина предельной нагрузки определяет-
ся по формуле
Ро = 2Л1„4--—•
• со
где сп — расстояние до равнодействующей реакции ос-
нования. Применяя общие теоремы предельного состоя-
Рис. 19.68
ння, получим величину предельной нагрузки для комби-
нированной схемы образования пластических шарниров.
Рассмотрим плиту с отношением сторон P/Z=O,5.
Определим для нее величину балочной предельной си-
лы Pt, предполагая, что шарнир образуется в середине
пролета по всей ширине плиты:
(19.112)
Эта сила соответствует образованию пластического
шарнира в середине пролета плнты при условии, что
по всему поперечному сечению плнты в середине проле-
та изгибающий момент распределяется равномерно.
В действительности этого не получается — изгибающие
моменты под силой растут быстрее, чем по краям пли-
ты, поэтому пластическая область будет образовывать-
ся сначала в непосредственной близости от внешней си-
лы, а затем уже распространяться в стороны. Предель-
ные размеры пластического конуса, образующегося под
силой, можно определить из формулы (19.110) для Рп,
если в ней сделать изменения, учитывая, что основа-
ние пластической области будет теперь представлять
собой кривую, похожую на эллипс.
Пластическая область под грузом теперь будет
уменьшена на коэффициент, который равен отношению
площадей 6=0,7. Таким образом, предельная сила, со-
ответствующая комбинированной схеме разрушения.
Рк = 0,7/’п+(1—у-)Рв- (19-113)
Величина Р* не может быть больше Рп, следователь-
но. эта формула справедлива, если
Р6(Ь-2гг) < 0.3Р„, (19.114)
где Ь — ширина плнты; га— малый радиус конуса плас-
тичности.
Нагрузка иа краю плиты
Когда сосредоточенный груз располагается вблизи
края достаточно протяженной нлн полубескоиечиой
плнты, то образуется характерный механизм разруше-
ния плиты. В отличие от бесконечной плиты взамен
кольцевого шарнира и полного пластического конуса
возникает половина конуса, основанием которого слу-
жит лолуэллипс. Очертание кривой, по которой распо-
лагается пластический шарнир, соответствующий сече-
ниям с отрицательными моментами, приближается
в плане к полуэллилсу, у которого размер вдоль края
плиты вдвое больше поперечного.
Линейные пластические шарниры, соответствующие
образующим конуса, заполняют всю область, и работа
пластических моментов в пределах всего конуса будет
подсчитана аналогично тому, как это было сделано для
бесконечной плиты. Теперь боковая поверхность плас-
тической области будет почти в два раза меньше. Так-
же уменьшится и работа пластических моментов в коль-
цевом шарнире, длина которого будет меньше, чем по-
ловина полуокружности, построенной на большем диа-
метре пластического конуса.
Реакции упругого основания, которые совершают ра-
боту прн деформировании плнты, могут быть подсчи-
таны достаточно точно. Вдоль края эпюру реакций
можно получить, выделяя нз плнты полосу и рассмат-
ривая ее как бесконечную балку. В направлении, пер-
пендикулярном краю, выделенная полоса будет пред-
ставлять собой полубескоиечную балку, нагруженную
силой иа конце. Из условий равенства прогибов для
бесконечной н полубескоиечиой балок в точке приложе-
ния груза получим формулу для распределения внеш-
ней нагрузки между продольной и поперечной балками.
Для определения границ, через которые проходит коль-
цевой шарнир, используются эпюры моментов, возни-
кающие в балках. Кольцевой шарнир образуется в том
сечении, где возникает наибольший отрицательный мо-
мент.
Работа, совершаемая в линейных шарнирах, равна
1.25 лМ». Такое же выражение получим для работы
моментов в кольцевом шарнире. Работу реакций упру-
гого основания можно подсчитать, предполагая, что
основанием конуса пластичности является окружность.
Тогда получим:
Р (?мэнс — Яг) + "j" PQrt
F будет представлять собой площадь основания кону-
са пластичности, причем Р=0,5лГ[:
?м*чо
Теперь можно подсчитать величину предельной силы:
2 5 л Л1
'1-0 142 = 2'92лА<пл- (19-115)
Полученное решение показывает, что нагрузка, при-
ложенная к краю плнты, значительно раньше вызыва-
ет разрушение плнты. чем нагрузка, приложенная
в центре ее. Соотношение этих нагрузок зависит от
жесткости плиты и основания. Для жестких плит раз-
ница будет больше, чем для гибких. Если плита имеет
небольшие размеры в плайе, то необходимо также рас-
смотреть возможность разрушения ее по комбинирован-
ной схеме, когда кроме пластического конуса еще об-
разуется линейный пластический шарнир, соединяю-
щий пластический конус с незагруженной стороной
плнты.
Расчет слоистой плнты
Рассмотрим трехслойную плиту, состоящую из двух
плит разной жесткости, разделенных упругой проклад-
336
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИИ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
кой. Плита расположена на упругом основании н на-
гружена сосредоточенной силой Р\ размеры плнты
в плане примем достаточно большие для того, чтобы
ее можно было считать бесконечно-протяженной. Рас-
пределение сил в такой плите зависит от соотношения
жесткостей всех элементов, нз которых образована
плита. Изменение жесткости одного элемента, например
упругого основания нлн упругой прокладки, вызывает
перераспределение сил во всей системе. Это обстоя-
тельство значительно усложняет задачу о расчете сло-
истой плнты, хотя для выполнения такого расчета мож-
но применить прежние методы.
Для расчета в упругой стадии составим два диффе-
ренциальных уравнении равновесия для каждой плиты
в отдельности;
\ дх4 дх*ду* ду* j
+ Dt (», — »,) = ?,(*, у);
(d*wt d*wt д* и>, \
дх* дх*ду* ду* )
—D, (Wj — ш,) = — q, (х. у),
где и, н ш,— прогибы верхней н нижней плнт соответ-
ственно;
C1U- у)—внешняя нагрузка на верхнюю плиту;
q. (х, у)— реакция упругого основания;
и D,—жесткости верхней и нижней плнты;
D,— жесткость упругой прокладки, которая
подчиняется гипотезе пропорционально-
сти.
Если связи, размещенные между плитами, будут аб-
солютно жесткими, то Ш|=ш, и, складывая оба урав-
нения, получим:
(d*w д*а> д*а>\
1У+2 дй") =
= Ci (*. S') — ft (*. S')-
Это значит, что систему в целом можно рассматри-
вать как одну плиту, имеющую суммарную жесткость.
В этом случае усилия распределяются между плитами
пропорционально нх жесткостям. Изгибающие моменты
будут равны:
D. D,
М, = -£-М; D^Di + D,,
где Mj и М,— изгибающие моменты в верхней и ниж-
ней плитах соответственно;
М—общий момент, воспринимаемый обеими
плитами, т. е. момент в монолитной
плите с жесткостью, равной суммарной
жесткости двух плит; в упругой стадии
величину М определим, как для одно-
родной плиты, имеющей суммарную
жесткость.
Прн увеличении нагрузки за предел упругости будет
переходить первой та плита, в которой напряжения бу-
дут больше: сначала верхняя плита, если ее толщина
будет больше. При дальнейшем увеличении нагрузки,
после того как в верхней плите образуется пластиче-
ский шарнир н момент стабилизируется и будет равен
Moi. в ннжией плите изгибающий момент будет быстро
нарастать, так как
Mgg = Af, M^i«
После того как в обеих плитах образуются пласти-
ческие шарниры, суммарный момент, воспринимаемый
обеими плитами, будет равен:
М0=М01 + М01.
Таким образом, схема разрушения слоистой плиты
может быть принята такой же, как и в однородной
плите с образованием пластического конуса, по обра-
зующим которого располагаются линейные пластиче-
ские шарниры, а в основании конуса в сечении с наи-
большим отрицательным моментом возникает круговой
пластический шарнир. Величину предельной силы в этом
случае получим по формуле
Р„ = 4яМы -|- -i- № (?blKC — qr} + -у лг»
Входящие в последнюю формулу величины вычисля-
ются, как было указано выше. Для Р«:
Рп = I.ЗЭЗ ^лМпл = 1,395-4л (Мо1 + Мт)
Более сложный случай получим, если будем учиты-
вать упругость прокладки, расположенной между пли-
тами. В этом случае процесс деформирования слоистой
плиты в упругой стадии можно рассматривать состоя-
щим из двух этапов: сначала возникают прогибы и уси-
лия в плите, имеющей несжимаемую прокладку, т. е.
прогибы обеих плнт будут одинаковыми и внешний мо-
мент распределится между плитами пропорционально
их жесткостям; затем определяется величина деформа-
ции упругой прокладки — эта деформация зависит ис
только от соотношения жесткостей всех трех слоев, ио
также и от модуля деформации основания.
Прогиб слоистой плнты при жестких связях следует
рассматривать как среднюю величину между прогиба-
ми верхней и нижней плнт прн упругих связях, поэто-
му для получения истинного прогиба верхней плнты
к среднему прогибу необходимо прибавить половину
разности прогибов; если же от среднего прогиба отнять
эту величину, то получим прогиб нижней плиты.
Изгибающие моменты, возникающие в каждой от-
дельной плите, из которых составлено слоистое покры-
тие. можно рассматривать, как результат сложения
двух моментов:
D. D,
= и м, = м-^--лм.
Из этих формул видно, что при упругих связях мо-
мент в верхней плите будет больше, чем в нижней,
если даже нх жесткости будут одинаковыми. В прак-
тических случаях жесткость верхней плиты обычно бы-
вает больше, чем ннжией, поэтому в верхней плите бу-
дет раньше возникать первый пластический шарнир,
чем в нижней. Можно было бы найти формулу для ве-
личины ДМ путем интегрирования соответствующего
уравнения, но в этом иет особой надобности, таи как
для дальнейшего этот момент ие потребуется. После
того как образовался пластический шарнир под грузом
в верхней плите за счет податливости прокладки, нач-
нется образование пластического конуса с кольцевым
пластическим шарниром, расположенным на расстоя-
нии Г1 от груза. Величина г, зависит от соотношения
жесткостей верхней плнты и упругой прокладки н со-
ответствует сечению, в котором отрицательный момент
будет наибольшим по абсолютной величине. Для вы-
числения Г| можно использовать формулу
19.3. БАЛКИ И ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
337
то тогда величина внешней силы, при которой в верх-
ней плите образуется пластический конус,
₽;= 1,34-4лЛ1и.
При этой величине внешней силы пластический конус
образуется только в верхней плите, нижняя плнта бу-
дет находиться в упругой стадии и поэтому несущая
способность слоистой плиты еще не будет использова-
на. Верхняя плнта будет передавать избыток нагрузки
на нижнюю плиту, а в результате этого эпюра нагрузки
на ннжнюю плиту будет состоять из двух частей: от
силы Р„ эпюра будет приближаться к равномерно рас-
пределенной на площадке радиуса г,, а от приращения
нагрузки эпюра будет представляться сосредоточенной
силой. Благодаря этому кольцевой шарнир в нижней
плите образуется на расстоянии г2 от точки приложе-
ния нагрузки, причем га>г,. Вторая часть нагрузки
Р„, воспринимаемая нижней плитой, подсчитывается
аналогично, но величина га определится из формулы
г г°
Поэтому Рп равно:
р;=2,77-4лЛ1га.
Таким образом, полная несущая способность трех-
слойной плиты определяется величиной нагрузки
Р„ = Р'п + Р'л = (1.34Л401 + 2.77Л1и) .
При наличии упругой прокладки несущая способность
слоистой плиты будет выше, чем при жестком соеди-
нении плит. Например, если слоистая плита состоит из
двух одинаковых плит, то
Мм = М„=0.5Мс.
При жесткой прокладке
Р„ = 1,395-4л (Мм + М„) = 1,395-4лЛ10;
при упругой прокладке
Рл1 = 4л (1,34Л4М + 2,77Л4И) = 4пЛ4о-2,О55;
2,055
Рп,/Рпо=7^ = 1.48-
При наличии упругой прокладки несущая способность
плиты увеличилась в 1,48 раза. Оценивая благоприят-
ное влияние упругой прокладки, размещенной между
плитами, следует иметь в виду, что толщина ее долж-
на быть достаточно большой для того, чтобы произош-
ла полная приспосабливаемого» конструкции; в против-
ном случае величину внешней силы следует уменьшить.
Полученные формулы позволяют определить ту умень-
шенную толщину слоистой плиты с упругой проклад-
кой, прн которой эта плнта будет способна выдержать
ту же самую внешнюю силу, как и плнта с жесткой
прокладкой; для этого надо принять Рпо=Р>ч и из
полученного уравнения найти искомую величину. На-
пример, при Мо1=Л4м=0,5 Л40 была определена внеш-
няя предельная сила Р„о= 1,395-4 лМ0. Теперь опреде-
лим, насколько можно уменьшить момент в нижней
плите для того, чтобы воспринять ту же силу, ио при
наличии упругой прокладки и сохранить толщину верх-
ней плиты. Имеем уравнение
1,395»4лМ0 = 4л (1.34 -у- + 2,77Л4О,)
или Мп = 0.262А1,.
можно снизить толщину нижней плиты в
Это значит, что путем включения упругой прокладки
0,5 _
, 0.262 ~
= 1.38 раза нлн, если сохранить толщину нижней пли-
ты, то можно соответственно снизить требования
к прочности материала нижней плиты.
Оптимальная толщина плиты
Для определения оптимального соотношении в тол-
щинах слоистой плиты с упругой прокладкой служит
график, показанный иа рис. 19.69. В общем случае ве-
личина предельной силы будет определяться как
Р„= ЛЛ101 + ВЛ10:.
Рнс. 19.69
Для дайной величины Р„, изменяя А и В, которые
зависят от соотношения жесткостей элементов, полу-
чим семейство прямых, которые образуют многоуголь-
ник иа координатной плоскости Мт—мт, как это по-
казано жирной линией иа рнс. 19.69. Полная толщина
плиты равна сумме толщин плит, а каждая нз этих
толщин пропорциональна корню квадратному из момен-
та. Поэтому
h = cVMTt + DVM^.
Параметры С и D зависят от прочности материала,
из которого сделана плита, т. е. это будут постоянные
величины, поэтому для данного значения Л получим
кривую, которая связывает Мд, и Мт. При изменении
величины /1~~/||</1а</|э получим семейство кривых,
которые показаны иа рнс. 19.69 пунктиром. Наимень-
шее значение толщины плиты определяется кривой ft,
которая касается многоугольника. В данном случае
это будет кривая Лэ. Хотя кривые ft| и fta соответст-
вуют меньшему значению толщин плиты, ио они рас-
положены левее многоугольника, ограничивающего ве-
личину Р„, поэтому величина Р„ для плиты толщиной
Ai и /|: будет меньше требуемой по условиям задачи.
Толщины Л« и Ад соответствуют значению предельной
несущей способности, которое больше требуемого. Тол-
щина Аз, полученная нз графика, представляет собой
суммарную толщину слоистой плиты и отвечает вполне
определенным значениям предельных изгибающих мо-
ментов, которые должны быть восприняты верхней н
нижней плитами; нх значение возьмем из графика
рнс. 19.69 для точки, в которой линия ftj касается много-
угольника. По этим моментам можно подобрать толщину
верхней и нижней плит. Толщины плит будут разные.
338
РАЗДЕЛ 19. РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ. ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ С ГРУНТОМ
так как в данном случае М«> МС1.
Изложенный способ, основанный на общих принци-
пах проектирования сложных систем наименьшего ве-
са, позволяет определить оптимальную толщину слоис-
той плнты. состоящей нз двух плит, соединенных упру-
гой прокладкой, которая передает нормальные напря-
жения и позволяет свободно скользить верхней плите
по нижней прн деформировании плнты. Влияние каса-
тельных напряжений, возникающих в упругой проклад-
ке, можно также учесть, но при этом задача значи-
тельно усложняется и объем вычислений возрастает.
Касательные напряжения, возникающие в упругой про-
кладке, оказывают второстепенное влияние на распре-
деление сил и определение несущей способности, поэто-
му они существенных изменений в полученные резуль-
таты не вносят.
ЛИТЕРАТУРА
I. Бернштейн М. С. Расчет конструкций с односторон-
ними связями. Госетройнэдат. 1947.
2. Бурдзгла Н. Л Статический расчет гидротехничес-
ких туннелей. Госетройнэдат. 1961.
3. Бялер И. Я. К вопросу с расчете несущих конструк-
ций многопролетных станций метрополитена. Изд. АН СССР.
ОТН. № 7. IS54-
4. Волков В. П. Тоннели на автомобильных дорогах.
Автотранснэдаг. 1957.
5, Г а б ба со в Р. Ф.. Клейн Г. К. О расчете подзем
ных напорных труб с учетом геометрической нелинейности.
«Строительная механика и расчет сооружений». 1966. № 5.
6. Гвоздев А. А. Расчет несущей способности конструк-
ций по методу предельного равновесия. Госетройнэдат. 1949.
7. Г о л у in к с в н ч С. С. Плоская задача теории предель-
ного равновесия сыпучей среды. Гостехиэдат. 19441.
в. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на
упругом основании. Госетройнэдат. 1953.
«.Давыдов С. С. Расчет н проектирование подземных
конструкций. Госетройнэдат. I960.
10. Дан дуров М. И. Тоннели. Трансжелдориэдат, 1952.
II. Егор dd К- Е. К вопросу деформации основания ко-
нечной толщины. Сборник трудов № 34 НИИ оснований н под-
земных сооружений. Госетройнэдат. 1958.
12. Емельянов Л. М. О расчете подземных трубопрово-
дов по теории упругости. «Строительная механика и расчет со-
оружений». 1961. № I.
13. Ж е м о ч к и и Б. Н. Расчет круглых плит кв упругом
основан ни. Изд. ВИА. 1939.
М. Ж с м с ч к и и Б. Н.. С и н н и ы и А. П. Практические
методы расчета фундаментных балок и плит на упругом осно-
вании без гипотезы Винклера. Госстрой и эд ат, 1947, 1962.
15. Камерштейн А. Г., рождественский В. В.
РучнмскийМ. Н. Расчет трубопроводов на прочность.
Гостоптехиздат. 1963,
16. К л е й н Г. К. Расчет подземных трубопроводов.
Стройнздат. 1969.
17 Клейн Г. К. Проблемы строительной механики под-
земных трубопроводов. «Строительная механика и расчет соору-
жений» . 1967. № 4.
18. К л е Й и Г. К. Строительная механика сыпучих тел.
Госетройнэдат. 1956.
19. К л е Й и Г. К. Расчет балок иа сплошном основании.
Сб. трудов МИИГС, вып. 3. 1954.
20. Коренев Б. Г. Штамп, лежащий на упругом полу-
пространстве. Доклады АН СССР. т. 112. № 5. 1957.
21. Крашенинникова Г. В. Расчет балок на упру
ГОМ основании конечной глубины. «Энергия», 1964.
22. Кузнецов В. И. Упругое основание. Госетройнэдат.
1952.
23. Л и м а н о в Ю. А. Осадки земной поверхности прн со-
оружении тоннелей в кембрийских глинах. ЛИИжТ. 1957.
24. Л ь в н и Я. Б. Расчет балок на упругом полупростран-
стве н полуплоскости методом сил. В сб.: «Исследования по
теории сооружений», вып. 5- Госетройнэдат, 1951
25. Орлов В. В.. Гудзь А. Г. Сборник примерок и
задач по механике горных пород и крепи. Госгортехнздат, 1961.
26. Орлов С. А. Методы статического расчета сборных
железобетонных обделок тоннелей. НИИ оснований и подземных
сооружен и А. Госетройнэдат. 1961.
27. П а те вс к и й Д. П. Приближенное определение соб-
ственных частот колебаний балки, лежащей на упругом полу-
пространстве. Вестник ВИА. № 106. 1957.
28. П р е в о Р. Расчет на прочность трубопроводов, зало-
женных в грунт. Стройнздат, 1964.
29 Прокофьев И. П. Давление сыпучих тел и рас-
чет подпорных стенок. Госетройнэдат. 1947: Фнзматгмз. I960.
Эн. 1* у п п е к е Я т К- В. Некоторые вопросы механики гор-
ных пород. Углетехнздат. 1954.
31. Синицын А. П. О распределении напряжений у осно-
вания плотин треугольного профиля. Вестник ВИА, Nt 20, 1937.
32. Сини цы н А. П. Расчет балок н плит иа упругом ос-
новании за пределом упругости. Стройнздат. 1964.
33. Си инны и А. П. О распределении напряжений в под-
порных стенках ломаного профиля. В сб.: «Исследовавия по
теории сооружений». Вып. 4. Госетройнэдат, 1949.
34. Соколовский В. В. Статика сыпучей среды. Изд.
3-е. Гостехиздат. 1955.
К. Справочник проектировщика. Основания и фундаменту.
Стройнздат. 1964.
36. Строительные кормы и правила: гл. 11-БЛ-62. «Основания
зданий и сооружений»: гл. 11-Г.З-62, «Водоснабжение»: гл.
11-Г.10-62. «Тепловые сети»; гл. П-Д.7-62, «Мосты и трубы»;
гл. 11-Д.6-62. «Тоннели железнодорожные и автодорожные:
гл. П-Д.Ю62. «Магистральные трубопроводы»: гл. II-M.4-62.
«Подземные горные выработки предприятий по добыче полезных
ископаемых». Госетройнэдат, 1962.
37. Теплнцхий Е. Й. Давление породы на подземные
сооружения. «Вопросы расчета и методы возведения подземных
сооружений». Сб. №41. НИИ оснований и подземных сооруже-
ний. Госетройнэдат, 1959.
38. Терцагн К. Теория механики грунтов. Госетройнэдат.
1961.
39. Технические условия проектирования силосов для сыпу-
чих тел (ТУ 124-56). Госетройнэдат. 1956.
40. Фнлснемко-Бсроднч М. М. Некоторые прибли-
женные теории упругого основания. Ученые записки МГУ. вып.
46. 1940.
41. Черкасов И. И. Механические свойства грунтовых
оснований прн деформации вдавливания. В сб.: «Определение де-
формаций грунтов». Автотранснздат. 1955.
42. Ш е х т е р О. Я. Расчет бесконечной плнты. лежащей
на упругом основании конечной и бесконечной мощности. Сб.
трудов научно-исследовательского сектора Фундаментстроя.
№ 10. ГосстроЯиздат. 1939.
43. Эр и сто в В. С. Расчет обделки напорных туннелей
в анизотропных породах. «Гидротехническое строительство».
1967. № 5.
РАЗДЕЛ 20
ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Динамические нагрузки, в зависимости от закона нх
изменения во времени и пространстве, обычно делятся
на: I) периодические, 2) импульсивные, 3) случайные
и 4) подвижные.
Расчет сооружения иа действие динамических нагру-
зок имеет целью:
1) проверку прочности, выносливости и. в отдель-
ных случаях, динамической устойчивости конструкций;
2) проверку допустимости вибраций с точки зрения
нх воздействия на людей;
3) проверку допустимости вибраций для нормального
хода технологического процесса, работы измерительных
приборов и т. л.;
4) проверку динамической жесткости конструкций,
например элементов покрытий, определяемой предельно
допускаемой амплитудой колебаний прн данной частоте.
При проектировании междуэтажных перекрытий
и каркасов зданий технологические требования и ука-
зания санитарно-гигиенических норм обычно более
жестко ограничивают колебания, чем требования проч-
ности. Наоборот, в процессе расчета высоких и гибких
сооружений иа действие ветра и прн расчете всех кон-
струкций на сейсмические воздействия и действие взры-
вов основную роль играют требования прочности.
Динамические расчеты при равных требованиях
к точности описания работы конструкций расчетной
схемой сложнее статических. Прн их проведении поль-
зуются общими методами динамики сооружений, из-
ложенными в литературе. Порядок динамического рас-
чета и его содержание в значительной мере регламен-
тируются нормативно-инструктивными документами,
содержащими также ряд вспомогательных и справоч-
ных материалов.
Основные вопросы динамического расчета и соответ-
ствующие нормативные документы следующие:
определение динамических нагрузок от машин [25];
определение динамических воздействий ветра и рас-
чет гибких сооружений на действие ветра [18, 19, 23,
52, 67];
расчет несущих конструкций зданий па действие ле-
рноднчесной нагрузки от машин, а также на периоди-
ческие нагрузки, передаваемые через грунт [18, 19, 52];
расчет конструкций на действие импульсивных на-
грузок [26];
расчет фундаментов под машины с динамическими
нагрузками [61];
расчет сооружений иа действие сейсмических нагру-
зок [22. 53. 65];
расчет покрытий промышленных зданий на действие
гармонических нагрузок [66];
внброизоляция и другие меры борьбы с вибрациями
[20. 27];
специальные мероприятия по снижению уровня виб-
раций на заводах сборного железобетона [21];
санитарно-гигиенические требования [79];
22’
нормирование усталостных напряжений [54].
Вопросы расчета сооружений на действие гармони-
ческих нагрузок являются основными для этого разде-
ла, прн составлении которого были учтены основные по-
ложения инструкции [19].
Целью динамического расчета конструкций, который
носит поверочный характер, является определение уров-
ня вибраций н установление допустимости этих вибра-
ций с точки зрения требований, сформулированных во
введении. Если технологические илн санитарно-гигие-
нические требования не удовлетворяются, необходимы
специальные мероприятия по снижению уровня вибра-
ций; если же ие выполнены требования прочности,
нужны меры либо по уменьшению динамических уси-
лий. возникающих в рассматриваемой конструкции, ли-
бо по ее усилению. Вопросы расчета конструкций зда-
ний и сооружений на сейсмические воздействия здесь
не рассматриваются (см. [10, 22, 24, 31. 35, 36, 41, 42,
46. 49. 53, 63. 65, 71]).
20.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ
20.1.1. Кинематика колебательного движения
Если механическая система имеет одну степень сво-
боды и закон изменения обобщенной координаты во
времени можно представить в виде
х(0=х (*? + /),
где k — произвольное целое число, то движение назы-
вается периоднчесним, а величина Т — периодом коле-
баний.
При гармонических колебаниях
x = osin(<o/-|-<p0). (20.1)
где о — амплитуда колебаний; — фаза колеба-
ний; <ро—начальная фаза; ш=2л/Т — круговая часто-
та колебаний; Т=и>/2п — период колебаний; Х=1/Т —
частота, число колебаний (циклов) в единицу времени
(обычно Т выражается в секундах, при этом X выра-
жается в герцах).
Удвоенная амплитуда называется размахом коле-
баний.
Скорость о и ускорение ш при гармонических колеба-
ниях равны:
rix
v= —— = Ош cos (a>t -|- фо);
ш= —— =— аи2 sin (col + <р0) =— о2 х.
dt
Колебания, представляющие сумму нескольких гар-
монических колебаний, называются полигармоннчс-
скимн.
зпо
РАЗДЕЛ.?!). ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Если x(t) — случайная функция времени, колебания
называются случайными.
Колебания, которые представляют сумму двух гар-
монических колебаний с близкими частотами бненьь,
называются колебаниями с периодически зсзрас.ающеи
и убывающей амплитудой.
20.1.2. Колебания системы с одной
степенью свободы
Свободные колебання
прн отсутствии сил сопротивления
Дифференциальное уравнение малых свободных ко-
лебаний системы с одной степенью свободы, например.
груза на пружине, прикрепленного так. что возможны
перемещения лишь в направлении
zK//z4y/////z осн х (Рнс- имеет вид
/Рх
S т—— + « = 0, (20.2)
im
I
Рис. 20.1
где гл — масса; с — кваэнупрутий коэффициент (для
системы, изображенной на рнс. 20.1. —жесткость пру-
жины).
Решение этого уравнения прн начальных условиях
dx I
х(0) =Хо и — = По имеет внд
at ц=о
Пл . , ,
х= — sin at + х0 cos <ot.
х = a sin (cot + фп).
Статическая осадка пружины, вызванная весом
груза.
поэтому X ~ __ где х« —в см: — в герцах.
У/ст
Очевидно, что прн вращательных колебаниях
где с (кГм/раА) — величина вращающего статического
момента, вызывающего единичное угловое перемеще-
ние: /> — момент ннерцнн массы относительно осн вра-
щения.
Зачастую система с одной степенью свободы имеет
параллельное (рнс. 20.2) илн последовательное (рнс. 20.3)
соединение упругих элементов. Общая жесткость с
определится формулами: прн параллельном соединении
с = Cl + С, -I---1- с„:
Рис. 20.2
Ряс. 20.3
при последовательном соединении
Свободные колебания при наличии
сил сопротивления
Если сила сопротивления F=px пропорциональна
скорости', то дифференциальное уравнение колебаний
имеет вид
+ 2п —- + ш’ х = 0; ы = 1 f ;
dt’ di Ут
2п= — (20.3)
я при о»п система совершает затухающие колебания
по закону
х = Ло ё~я1 sin (<i>i t + фо): aii = / o’ — л’;
Фо = агс(в----------
Если (D По ТО 0)1 а? о.
Быстрота затухания характеризуется логарифмиче-
ским декрементом колебаний 6 (логарифмом отношения
двух последовательных амплитуд, взятых через проме-
жуток времени, равный периоду)» равным 6=пГ.
График движения см. рнс. 20.4.
Еслн сопротивление вызывается только силами сухо-
го (кулонова) трения, которые сохраняют постоянную
величину н все время остаются направленными в сторо-
ну. противоположную движению, то сила трения
F —— fN sign к.
Здесь / — коэффициент трения; N — нормальная ре-
акция; символ sign* означает знак скорости.
Для решения задачи о свободных колебаниях нужно
пл отдельности рассматривать движение для участков
временя, на протяжении которых знак силы трения не
’ Напри мгр. силы сопротивления вязкой среды (воздуха,
жидкостиI прн ие очень больших скоростях.
20.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ
341
меняется, н воспользоваться условиями сопряже-
ния [14].
Прн свободных колебаниях с сухим трением ампли-
туда колебаний убывает по линейному закону. На час-
тоту свободных колебаний сопротивление сухого трення
не оказывает влияния.
Если сопротивление вызвано силами внутреннего
трения, описываемыми комплексной гипотезой, то зату-
хание колебаний происходит по закону
6
х = ае sin (a>t + <р), у = —,
Л
где а, <р — постоянные, определяемые из начальных ус-
ловнй.
Вынужденные колебания
прн отсутствии сил сопротивления.
Резонанс
Дифференциальное уравнение колебаний при дейст-
вии внешней силы PsinpZ имеет вид
Ji х
т—— + «= Psinp/, (20.4)
где р — круговая частота нагрузки (р=#о>).
Решение уравнении (20.4) имеет вид
Р
х = A sin erf + В cos uit 4- —-— sin pt.
‘(-Я
Первые два слагаемых — это общее решение одно-
родного дифференциального уравнения; третье слагае-
мое— частное решение неоднородного уравнения; если
имеются даже небольшие силы сопротивления, то сво-
бодные колебания быстро затухают, поэтому представ-
ляет интерес рассмотрение частного решения, которое
описывает чисто вынужденные колебания:
Лет . ,
р р
где v= — ; хст = — ; называется статическим
ы с
перемещением (оно представляет перемещение, вызван-
ное силой, равной по величине амплитуде динамической
силы); его нельзя смешивать с /ст, вызванным собствен-
ным весом снстемы.
Амплитуда вынужденных колебаний
а=------
|l-v>|
(20.5)
Отношение а/хст называетсн динамическим коэффи-
циентом.
График а/хСт представлен иа рнс. 20.5 кривой п/ш=
=0. Совпадение частот вынужденных и собственных
колебаний носит название резонанса (хотя слово резо-
нанс имеет н другое значение); в рассматриваемом слу-
чае прн резонансе v=l н формула (20.5) теряет смысл.
Если считать, что сопротивление отсутствует, то ампли-
туда колебаний при резонансе растет пропорционально
времени, а закон движения при нулевых начальных
условиях имеет вид
со / л \
х = хсту/sin^+yj.
Прн v<l фазы возмущающей силы и перемещения
системы совпадают, прн v>l они отличаются на 180°.
Если иа систему действует сила, изменяющаяся по
закону P(t), то решение задачи принимает вид
1
о„ ю С
х= — sin till + х0 cos — I Р (J) sin ш (t — a
6
при нулевых начальных условиях н Р(0) —0
/
го f Pill
*=— I P(£)sinci)(/ — I)di=---------—
с .1 с
о
t
-у
о
Первое слагаемое — это статическое перемещение;
второе слагаемое мало, если сила Р изменяется доста-
точно медленно.
Если возмущающая сила есть заданная периодиче-
ская функции времени, то решение задачи можно по-
лучить иначе, разложив эту функцию в ряд Фурье;
каждый нз членов ряда представляет силу, изменяю-
щуюся по гармоническому закону. Действие такой си-
лы было разобрано выше, н поэтому решение сразу
можно представить в виде ряда Фурье. Однако этот
ряд может сходиться медленно, и тогда желательно
представить периодическую часть решения а замкнутом
виде. Если P(t) = Р(/+*Г), где я —целое число. Т —
период возмущающей силы, то чисто вынужденные ко-
342
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
лебання представляют периодическое движение с пе-
риодом Т; поэтому
dx I dx I
х(0) = х(Т); — =— ,
dt |т=о dt |f=T
и периодическое решение имеет вид
1 / <оТ \
x=^rV,c'8v+s*r““'-
-i(s,-s’c,ev)sinm'+
+ —— f Р (f) sin ш {t — Е) dE.
m(i> J
где
т
s( = — IP (E) cos <i>E de;
m J
о
г
s, = — I P (E) sin 0)E dE-
m J
Вынужденные колебания прн наличии
сил сопротивления, пропорциональных
скорости колебаний
Дифференциальное уравнение колебаний
** Х 4- 2л —- + <о’х = — sinp/ (20.6)
dP dt m
имеет решение
х = Ае~л1 sin (Ш)/ -}- <р0) +
— - sin {pt — е),
V (I — V’)» + 46jv’
где tg е —
2пр , и
~ J и j —
ш* — р* со
6
2л ‘
На рнс 20.5 приведены графики отношений амплиту-
ды чисто вынужденных колебаний к статическому про-
гибу Хет в зависимости от отношения л/<о. а на
рнс. 20.6 графики величины е. характеризующей изме-
нение фазы вынужденных колебаний в зависимости от
частоты возмущающей силы.
Динамический коэффициент а/хст в этом случае
равен:
V (1 — v«)« + 4d*v>
Максимального значения коэффициент достигает прн
I— 2 б?; так как обычно 26?<< I, то и в этом
случае считают резонансом случай v=l. При резонан-
се, определенном таким образом, динамический коэф-
фициент не является максимальным, однако для ма-
лых л он практически не отличается от максимального.
Если па систему действует возмущающая сила Р=
= P(t), то прн 0)>Л
х (/) = Ae~al sin (<0!# + <р0)+
t
+ — f Р (Е) sin ш, (/ - Е) dE-
то)! J
В отлнчне от случая, когда сопротивление отсутству-
ет. приведенные решения справедливы прн любых от-
ношениях р/ш. Амплитуда колебаний при plu>=\. на-
зываемая резонансной амплитудой, определяется по
формуле
л I
таким образом, коэффициент резонансного увеличения
о/хет зависит от резонансной частоты Шре». Прн зату-
хании, вызванном внутренним трением в строительных
конструкциях, полученная выше формула для резонанс-
ной амплитуды не подтверждается опытом.
В практике расчета строительных конструкций и нор-
мативных документах принята другая феноменологиче-
ская теория, называемая часто теорией внутреннего
трения, или комплексной теорией, или теорией Е. С. Со-
рокина.
Вынужденные колебания прн затухании
по теории Е. С. Сорокина
Прн расчете строительных конструкций используется
теория затухания, в основу которой положено пред-
ставление о «поглощении энергии».
Рассмотрим движение системы с одной степенью сво-
боды по гармоническому закону x=xcsinpf. На диа-
граммах рнс. 20.7, 20.8 показана зависимость между
силой, действующей на систему, н перемещением. Если
сопротивление отсутствует, то прн нагрузке и разгруз-
ке на рис. 20.7 ветви диаграммы совпадают; прн нали-
чии сопротивления ветви нагрузки и разгрузки не сов-
падают и график (рнс. 20.8) представляет замкнутую
кривую (петлю гистерезиса).
Площадь петлн гистерезиса равна работе &и>, совер-
шаемой силами пеупругого сопротивления за цикл; пло-
щадь заштрихованного треугольника есть наибольшее
за цикл значение энергии упругих деформаций, равное
работе упругих сил за четверть цикла а>0.
Ди>
Отношение ф =------ называется коэффициентом по-
041
глощення.
При гармонических колебаниях
ф = 2я — = 2я — ,
х„ s0
где х„ — амплитуда неупругой деформации, равная по-
ловине ширины петлн гистерезиса; х0— амплитуда
20.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ
343
упругой деформации; Re — амплитуда силы иеупругого
сопротивления; So — амплитуда упругой силы.
Энергия системы с одной степенью свободы, совер-
шающей затухающие колебания, равна:
где x(t) — ордината огибающей эпюры затухающих ко-
лебаний; с —жесткость. По определению коэффициен-
та поглощения
<+Т
Используя приведенное выше выражение для св.
можно записать
' dx х (/)
ф =— I 2 — = 2 In-----------*-!— = 26. (20.7)
Прн динамических расчетах можно считать, что ко-
эффициент поглощения:
1) не зависит от статических напряжений Ост;
2) практически остается постоянным н равным ф
при амплитудах динамических напряжений Од>Оо,
I °ст I
где а0 = ~~; |<Гст| — соответствующее допускаемое
статическое напряжение; при Оя<Ое коэффициент пэ-
°Д >.
глошения можно принимать равным —ф;
°о
3) не зависит от коэффициента асимметрии цикла,
равного
4) в диапазоне частот, с которыми приходится встре-
чаться при расчете строительных конструкций, не зави-
сит от частоты колебаний.
При вынужденных гармонических колебаниях системы
с одной степенью свободы, коэффициент поглощения
которой равен ф. амплитуда колебаний
V(1-v'-F + y’’
Ф
где у = —— — коэффициент иеупругого сопротивления.
2л
20.1.3. Колебания системы с несколькими
степенями свободы
Свободные колебания при отсутствии
сил сопротивления
Рассматривается случай системы с тремя степенями
свободы (рнс. 20.9). Используя принцип Даламбсра,
Рнс. 20.9
приходим и дифференциальным уравнениям движения
трех точек:
л л rf*x« л
х,-----бцт, л| - б1гт,, л> - б13т3 ;
. <Pxt d*x, (Рх,
*’ — d(t - - 6ат3 — ;
d*x, d*xt (Рх,
x, — 63tmt d/t -6atm, d/t
(20.6)
Здесь 6(J обозначает перемещение точки t прн статиче-
ском действии единичной силы в точке j.
Решение этой системы имеет вид
Xi = nt sin (at 4- ф0); х, = a, sin (at + <р0)
х, = с, sin (at + <pe).
Амплитуды С|, а2, о3 подчинены однородной системе
линейных уравнений:
f/nfOn — ~ 1 fli Ч" ицвцОз Л13613Л3 = 0;
т1вцЯ1 + ^п,б„ — о, -г 0136^03 = 0;
Ш16з1Л1 + т9бэ1П| + ^3633 — а3 = 0.
Существование отличных от нуля амплитуд возможно
только в том случае, когда определитель, составленный
из коэффициентов прн амплитудах, равен нулю:
'П1611 — 1 ЛЦО]* ГП3643
С0-
Я11бп — 7 ™э623
mi6ai к 1
Раскрывая определитель и решая полученное уравне-
ние. находим три значения частоты свободных колебаний.
Каждому значению ш соответствует одна определенная
однородная система уравнений, нз решения которой на-
ходятся значения ai, Oj, о3 с точностью до постоянного
344
РАЗДЕЛ SO. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
множителя, т. е. каждому значению о соответствует
одно определенное соотношение между аь aj, а3, опре-
деляемое. например, числами oi/aj, ai/oj. При -этом пред-
полагается, что уравнение ие имеет кратных корней.
Если координаты хь х3. *s выбраны так, что бц=
=6ji=6a=6n=6ij=631=0, то система дифференци-
альных уравнении (20.8) распадается иа три независи-
мых отдельных уравнения. В этом случае координаты
хь х3, X) называются главными координатами.
Рнс. 20.10
Если при (=0
х, = х, = х (0); о, = о, = 0,
то колебания будут симметричными с амплитудами ai-™
=cj=x(0).
При начальных условиях *
Xi=— х, = х, (0); о, = о, = 0
возникают обратно симметричные колебания с амплиту-
дами ai=a2=X|(0).
В частном случае, когда отношение Wi/coj мало отли-
чается от единицы, возникают биения; например, если
при 1=0
Xj = 1, х, = 0, О[ = 0, о, = 0,
X! = — cos cojJ + — cos coji;
Рассмотрим пример: к невесомой балке (рис. 20.10)
в третях пролета прикреплены равные массы mi=zna=m.
тогда бц=ба.
Дифференциальные уравнения:
x. = — cos a>,t — — cos a.t,
*2 1 2 *
. „ , 4«xs .
-«u"i Ш1 ,
<f»x,
dP
<Pxs
dP
n колебания носят характер биений. При вынужденных
колебаниях биения обычно возникают в случае, когда
правая часть дифференциального уравнения представ-
ляет сумму двух гармоник с близкими частотами.
Поле эя xi=ai sin (oH-cpt); xa=aasin (a>f-Hpo). по-
лучим:
U| + m6|j «2 = 0;
Свободные колебания прн наличии
сил сопротивления
Рассмотрим систему с тремя степенями свободы н
учтем силы сопротивления, пропорциональные скорости;
в этом случае при движении массы т, возникают силы
сопротивления, равные с(х<, и дифференциальные урав-
нения движения при с3=0, са=0 примут вид:
Приравнивая нулю определитель, составленный из ко-
эффициентов при неизвестных, получим (при условии,
что 6|1=йп и учитывая, что 6ia=69l) уравнение частот
Х| =— бц/niXj — 63toitxt — 6iam>xa — б|1с1х1;
х, =— бцШ^— 6п7пвх1 — бол^Ха — бц^Х];
ха =— б31/п1х1 — 633mtxt — 6вз>Па*э — 6aicixi -
(20.9)
т2 6j2 = 0
Решение полученной системы дифференциальных урав-
нений будем искать в виде
нлн
гиб.
0,
х, = а^'-, х, = п,?'; х, = а^1,
откуда
1
V 'П(б11 + 611)‘
I
m (6ц — 61а)
где s — комплексное число, действительная часть кото-
рого определяет скорость затухания, а мнимая — круго-
вую частоту свободных колебаний.
Приравнивая нулю определитель системы
Так как бц>би. то второй корень, так же как н первый,
действителен, прн этом <>•< ы3; будем нумеровать часто-
ты в порядке нх возрастания. Внося в уравнения для
определения а, и а, вместо <о величину <i»i. получим
О| = о3. т. е. обе массы движутся так, что нх амплитуды
одинаковы н фазы совпадают. Этот первый тнп колеба-
ний назовем симметричным; прн а>=<я3 имеем Oi = — Oj,
т. е. прн втором типе колебаний, который назовем обрат-
но симметричным, амплитуды колебании обеих масс
одинаковы, но фазы противоположны (отличаются друг
от друга на 180').
(7 + 6,‘'n,+'V1)0*
+ бцЛТА-Е 6ij'H3o3—0;
о.=0.
найдем три комплексных корня Si. Si. s3. Частоты коле-
баний равны коэффициентам при мнимых частях указан-
ных корней, а действительные части нх характеризуют
скорость затухания колебаний соответствующей частоты.
20.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ
345
Приближенные способы определения
основной частоты свободных
колебаний
Уравнение частот в случае системы с л степенями сво-
боды имеет внд:
(Ли — X) Ли Л1п
Мм А) .... . Л1л
4Я1 ..... (Лги М
где Л4* "= fij* m,; А = — .
Приближенные значення А можно получить с помощью
следующих формул1:
1) формула Дункерлея
А> а: Лц + Лп + •• •+ Лпп.
которая дает грубое приближение снизу для первой
частоты;
2) формула П. Ф. Папковнча
miSuOp -f- 4- J аз =
= би
(20.10)
Эти уравнения имеют только одну систему решений О;.
аз, Оз. Исключение представляет случай р—оц, где <о<—
одна из трех частот свободных колебаний; в этом послед-
нем случае имеем явление резонанса. Если внешняя сила
приложена так, что она нс совершает работы прн какой-
либо форме колебаний, то амплитуды, соответствующие
этой форме, прн резонансе со временем не возрастают.
20.1.4. Колебания систем с непрерывно
распределенной массой
Продольные свободные колебания
стержней
Уравнение движения элемента стержня (рнс. 20.11)
при продольных колебаниях имеет внд
/ «Э/V \ д*и
-N + [N+—dx] = pF — dx.
\ дх / дР
i = У A<2r>- А — У Д<'>-
Л(!г) * ЛЦ ’ Л(т> ЛН •
/в1
Л}?'*—элементы главной диагонали матрицы |Л1*
(/=1.2....п; r= 1, 2,4,8);
3) формула С. А. Бернштейна
Рнс. 20.11
Вынужденные колебания прн
отсутствии сил сопротивления
Положим, что к первой массе системы с тремя степе-
нями свободы приложена сила Pi sin pt; будем искать
решение задачи о чисто вынужденных колебаниях в
виде
х( = щ sin pt; xt = a, sin pt; xa = ла sin pt;
сокращая левые и правые части дифференциальных
уравнений колебаний на sinp/, получим:
. ) Ci 4- + тЛ13а —
Р /
Здесь о — продольное перемещение; р — плотность: F —
ди
площадь поперечного сечення; N = EF —— продоль-
дх
иая сила; £ — модуль упругости.
Если площадь поперечного сечення постоянна, то
д*в д*в £
с*-----=------; аг = — .
дх» дР р
(20.11)
Полагая и (х, 1) = X (х) 7 (/)
иые, получим два уравнения
н разделяя перемев-
T-f-<u«T = O; X* + —Х = 0.
о1
которые имеют следующие решения:
Т = A* sin at + IS* cos at; X = C sin —- x +
a
«11*1^1 + (/"Al — j °1 + mS®H0s = *11 '•
1 См. А А. ЯОлонскиЯ н С. С. Н о р е В к о. Курс тео-
рии колсбаввй. «Высшая школка. 1066. $ 30.
Функция X(x) называется формой колебаний; a — кру-
говая частота свободных колебаний. Для определения
постоянных С, D и а нужно воспользоваться .граничны-
34b
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
мн. а для определения А* и В* начальными условиями1.
Если концы стержня защемлены, то нз граничных усло-
вий u(0)=0, и(0—0 получаем систему уравнений D=
о
=0, С sin —1=0. откуда
а
ш
— I = пл.
о
Следовательно. шп = —-— , и=1,2,3...
Формой колебаний является отрезок синусоиды, содер-
жащий целое число полуволн. Если начальные условия
u(0, х) =f,(x), u(0,x)—f,(x) представить в виде
и (0, х) = Л„ sin -у х; й (0, ж) = У sin
что можно сделать дли весьма широкого класса функ-
ций, то дли определения Ап, Вп, С„ получаем следующие
уравнения:
S Л" si" х = S С" Sin 'Г
лв! Л«1
J] В„ sin -^x = 2%<Cnsin-^x.
Л"1 Л"1
Отсюда
В'С„ = А„, А’С„ ш = 3„ .
Л П П П п П п
Такны образом,
в(х,/) = (-у- sin “п t + An cos <i>„ /j sin у x.
Рассмотрим другой случай граничных условий, считая,
что одни конец стержня защемлен, а второй свободен,
и, таким образом, и(0)=0» и'(1)=0.
Из граничных условий имеем
ы / и ш \
D — 0; — IС cos — I 4- D sin — /1 = 0.
а \ а а /
Для определения to получаем трансцендентное урав-
нение
G)
cos — I = 0,
а
ла 1
откуда о= я=1’ 3» —
1 Очевидно, что по существу вычисляется нс пять, а четыре
неизвестных, так как. не нарушая общности, можно, например.
(о , D w \
sin — я 4--соз — я j, а затем считать
а С а /
А»С - Л,: В'С - В,; X - sin — х + D, cos — х,
а а
„ D
где D, — — .
С
Уравнения поперечных колебаний стержня, работающе-
го на сдвиг, крутильных колебаний стержня и колебаний
струны имеют вид, аналогичный (20.11).
Свободные колебания балок
(20.12)
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний
балкн постоянного сечения имеет вид:
f/±L + m^ = 0.
дх* dt*
Полагая y=X(x)T(f), получим дли функций X и Т после
разделения переменных обыкновенные дифференциаль-
ные уравнения
Т ш«Т=0; XIV - X = 0.
Решение первого из этих уравнений приведено на
стр. 345, решение второго уравнения:
X = С, sin kx -f- С, cos kx -f- Сэ sh Ax Ct ch Ax,
/ mo*
где A = 1/ g]~i это решение удобнее записать в виде
X = DA (У + D,fi (У + ДэС (У + D.D (Е); Е = Ах.
где
А (У = у (ch Е + cos У; £ (Е) = у (sh Е + sin );
С(Е) = у (chE —cosE); О (Е) = у (sh j —sin у.
Эти функции обладают свойством единичной матрицы1:
ф X в с D
Ф(0) 1 0 О 0
ф' (0) 0 1 О 0
ф (0) О О 1 0
Ф (0) 0 0 0 1
и связаны друг с другом следующими дифференциаль-
ными зависимостями:
Л(Е) = —,£(Е) = —.
dD(E) - . dA (Е)
С(Е)=^;Д(У=^
Воспользовавшись граничными условиями на концах
балкн, получим частотное уравнение, нз которого можно
найти частоты свободных колебаний шп (п»1, 2, . . .).
Заметим, что Хп(х) представляет соответствующую
форму свободных колебаний.
Покажем на примерах, как составляется частотное
уравнение.
* Функция Л(£). C(t), £)(t) легко получить с помо-
щью таблиц раздела I (табл. 1.33).
20.1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИИ
347
Пусть балка длиной / шарнирно оперта по концам;
тогда
У (0) = 0; у’ (0) = 0; у (£,) = 0; у" (£,) = 0,
где Ei=M.
Первые два граничные условия дают D,=0; D,=0;
из двух других получаем
D.B (Е>) + D,D (',) = 0; D,D ($,) + DtB fa) = 0.
Так как одновременно D, и D, не могут быть равны ну-
лю. то должен равняться нулю определитель полученной
однородной системы, т. е.
|В(Е1) 0(£,)| = о
10(b) В(Ь) I
После очевидных упрощений имеем sh Ei sin £|=ч0 н,
следовательно. М=лл, где п=1, 2. 3, ... .
Частота свободных колебаний
п’лг , / Е1
Соответствующую форму колебаний Хя получим исходя
из гого, что прн заданном любое из двух граничных
условий на правом крае дает возможность найти отноше-
ние DJDi, после чего форму колебаний можно считать
известной. Результаты вычислений сведены в многочис-
ленные таблицы, с помощью которых можно найти ча-
стоты собственных колебаний [26]. Определение движе-
ния балкн по начальным условиям у(0, х), у(0.х), задан-
ным начальными смешениями и скоростями, производит-
ся как в предыдущем пункте, н приводит к тем же фор-
мулам для В„ н А‘; отличие заключается в том. что
А, и В, представляют в этом случае коэффициенты
Фурье разложения начальных условий в ряд по функ-
циям X. (см. раздел 1). Такны образом:
I «
Г у (0. x) Х„ (х) dx p(0,x)Xn(x)dx
4 = ^-7-
Если вдоль оси балкн действует постоянная сжимающая
продольная сила Р, то дифференциальное уравнение
колебаний принимает вид
дх* ‘ El ' dx« + EI ' =
В этом случае функция Х(х) удовлетворяет уравнению
решение которого имеет вид
X = Ci sin s,x С, cos stx -J-CjshSjX 4-C,chs^r.
Здесь
Если оба конца балки шарнирно оперты, то
п’п» . ГEl _ Г Pl*
<0„ —--- I / -- I/ 1 —-------- .
/• У т Г л’п!£7
Прн растяжении знак Р меняется иа обратный.
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний
балки переменного сечення имеет внд
г» Г д»у] д»у
7ТЛ7(Х>Т7+'',(Х>7Т “°- (20.13»
дж* [ дх* J dt*
С помощью подстановки у=Х(х)Г(1) получим для Х(х)
уравнение
д* д*х\
Это уравнение с переменными коэффициентами для
некоторых случаев и, в частности, когда брус имеет фор-
му клниа н конуса, допускает точное решение а бессе-
левых функциях [33]. Обычно задачу о колебаниях бал-
кн переменного сечення решают каким-либо нз прибли-
женных способов.
Нагибине колебания пластинки
постоянной толщины
Дифференциальное уравнение свободных колебаний
пластникн постоянной толщины в прямоугольных коор-
динатах имеет вид
d*W л d*W d*W ph d*W
дх* +2дж*ду*+ ду* D ' dt* ’ (20J4)
где h — толщина; D — цилиндрическая жесткость пла-
стинки. Используя замену МР—ш(х, у)Г(Г) по-прежнему
получим Т (О = A sin u>t -f- В cos tut, причем функция
ш(х, у) удовлетворяет уравнению
д*ш . _ d*a> d*a> phai*
----4- 2-----+-------=----ш.
дж* дж*ду* ду* D
Если пластинка шарнирно оперта по всем сторонам, то
прогиб можно разыскнвагь в виде
V’ VI . тяж . ппи
- = S.n —.
п»1
где а и б — длины сторон пластникн.
Это решение удовлетворяет всем граничным условиям;
внося его в дифференциальное уравнение, получим для
частоты Wn* формулу: __________
л’Л , Г Е
2 У 3(1-о>)р Х
Полагая m™|, п—I, получим частоту основного тона
_ пЦ -1 f г- /_!_ И
2 У 3(1— ti*)p \о« + б* Г
В случае, когда две стороны пластникн (например х—0,
jt«O шарнирно оперты, а по двум другим (у=0,
условия опнрання произвольны, полагаем
VI - ЛТЧ/
ш (*. у}= У , Fa (У) s>n — -
348
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Для получаем линейное дифференциальное урав-
нение
_п
dy* 2 Р * djp + U* О /F"
которое интегрируется так же, как и уравнение попереч-
ных колебаний балки.
Для круглой пластннкн задачу удобно рассматривать
в полярных координатах; дифференциальное уравнение
свободных симметричных колебаний круглой пластинки
имеет вид
/ tP 1 d V рЯа>- __
(— + —• —I “----------т-®=0- (2015>
\ dr’ г dr) D
Если пластинка без отверстия и не имеет опоры в центре,
то решением уравнения будет
где J«(Ar) — функция Бесселя нулевого порядка)
70(Ал) — модифицированная функция Бесселя нуле-
вого порядка;
J /”рЛш*
*= J/ ~D~'
Если пластинка шарнирно оперта по контуру радиуса
R, то граничные условия записываются в виде
й*и> 1 da> I
®(Л) = °; —+— •— =0.
dr3 г dr |г—я
откуда В=0, и для определения частот получаем транс-
цендентное уравнение:
/<,(*₽) = 0.
Вынужденные колебания балок
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
балки постоянного сечения при действии внешней нагруз-
ки ?(х) sin pt имеет вид
£/—т + m-f = ,(x)slnpl. (20.16)
ох* огя
Решение уравнения (22.16) ищется в виде у(х,
*=ш(х) sin pt, для функции ш(х) получается следующее
дифференциальное уравнение
Е/ —— тр*а>=«(х).
которое отличается от уравнения изгиба балки дополни-
тельным слагаемым — mphtr в левой части. Граничные
условия, как правило, такие же, как и в статической за-
даче для балки, за исключением случаев, когда иа сво-
бодном конце находится точечная масса, а на шарнирно
опертом нлн свободном конце имеется элемент, облада-
ющий моментом ннерцнн масс. В этих случаях взамен
условий равенства нулю поперечной силы и момента
получим
dw |
ф=т1ргш(1); М =/mp> —
dx |x—Z
где m । — масса на копие; — момент ннерцнн этой
массы.
Для интегрирования уравнения (20.16) воспользу-
емся методом начальных параметров. Обозначив
для случая, когда ?(x)=const, имеем
n>(x) = wo4(E) + 0(l — -f-
К
+"o^c(a + <?.^DG) +
+ (£)-!];
е (х) = ajtD (')+е„л й) + м0 в(|)+
кЫ
+ <^С(Е) + 9(^ Ойу
М (х) = чЕЧРС (Е) + 0оЕ/Ы> (£) +
+ Ч А (£)+% В(Е) + С(Е);
ft ft1
(20.17)
<? (X) = w^llPB (Е) + OoEZ*«C (s) +
+ M^D (E) + q°a (j) + 4- в (5).
к
где E=*x; w(x), 0(х), М(х) я Q(x) — амплитуды пере-
мещений. угла поворота.—нзгнбающего момента и попе-
речной силы; Фо. So, Ч. Qo — значения этих амплитуд на
левом'конце балки; ЛЕ, BE, СЕ н £>Е— функции, приве-
денные выше.
Рассмотрим примеры.
1. Концы балки, имеющей длину I. защемлены; нагруз-
ка q распределена по всей длине балки; граничные ус-
ловия: ч>(0)=ч>о=0; 0(0)=0о=0; »(1)-0; 0(1)= 0.
С учетом условий иа левом конце получим для о вы-
ражение
— Йгг®+ Йгб<й+^17(у-,,:
из условий иа правом конце получаем систему двух ал-
гебраических уравнений (lt=M)
решая которую, находим Мо к Qo.
2. Концы балки защемлены, в сечення х=а. приложена
сила Р sinpt Обозначим fto=a; если то
w = п>. = -^-с (Е) + D (Е);
1 й>Е/ *»Е( w’
при Е>о нужно к функции п>, добавить такое слагае-
мое. которое, удовлетворяя однородному дифференциаль-
ному уравнению в точке Е—о. не нарушит непрерывно-
сти ш, а>‘ н М, но даст в поперечной силе Q скачок на
величину амплитуды сос^доточенной_силы_Р.
Из свойств фуикций А(Е). В(Е). С(Е), О(Е) следует,
что_ этим слагаемым может быть только функция
4*О(Е—а); постоянную 4* подберем так, чтобы скачок
поперечной силы имел нужную величину; нетрудно по-
казать, что
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
349
и окончательно:
Р -
№|I = Wl“F£7D(S_a)'
С помощью этого приема можно рассмотреть задачу
о балке с присоединенными массами (для чего, восполь-
зовавшись принципом Даламбера, нужно учесть дейст-
вие инерционных сосредоточенных снл, равных mp*u>)
и задачу о неразрезной балке.
Указанная схема и результаты непригодны в случаях,
когда р совпадет с одной из частот свободных колеба-
ний стержня; при этом имеет место резонанс, н при ре-
шении задачи следует учесть затухание.
Решение задачи о вынужденных колебаниях балкн
можно получить иначе, разложив решение в ряд по фор-
мам собственных колебаний [37].
Рассмотрим балку, шарнирно опертую по концам. При-
мем начало координат иа левом конце н представим
решение в виде
Snnx
Ал sin —.
п™|
Подставляя общий член этого ряда в дифференциаль-
ное уравнение форм вынужденных колебаний
d«w
— — = $
dx*
ц разложив нагрузку ?(*) также а ряд по синусам
VI лги
2jB"slnv *
В задачах о колебаниях балки, лежащей на упругом
вниклеровом основании, сохраняются схемы расчета и
выкладки, приведенные выше. Отличие заключается
в том, что дифференциальное уравнение имеет внд
d*ui
Е7 —— (mp* —=
ах*
где До— коэффициент постели (см. раздел 5.5.6
табл. 5.5): Ь — ширина балки; поэтому, применяя метод
начальных параметров н метод разложения а ряд по
собственным функциям, нужно вычислять k по фор-
муле
, / тр>-М
* = ]/ ~Б~ •
Вопрос о вынужденных колебаниях в системе с зату-
ханием. пропорциональным скорости, разобран в рабо-
те [68]; для затухания, ие зависящего от величины
скорости, описываемого комплексной гипотезой Е. С. Со-
рокина, решение задачи дано в работе [58].
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯ
20.2.1. Балки на жестких опорах
Частоты собственных поперечных колебаний балок по-
стоянного сечения на жестких опорах определяются по
формуле
получим
Если на балку действует нагрузка
sin — sin pl.
то n^l н. следовательно:
Чо . я*
-----8----sin —
где а< — характеристические числа (корни частотного
уравнения); для одиопролетиых балок а< принимаются
по табл. 20.1; для двухпролетиых балок с равными про-
летами н одинаковыми в пролетах жесткостями н равно-
мерно распределенными массами а< принимаются по
табл. 20.2.
Частоты собственных колебаний миогопролетных ба-
лок с равными пролетами и одинаковыми в пролетах
жесткостями и равномерно распределенными массами
образуют бесконечное число так называемых зон сгуще-
ния. В каждой эоне имеется столько частот, сколько про-
летов имеет балка.
Прн динамическом расчете иеразреэных балок иа пе-
риодические нагрузки число определяемых собственных
Таблица 20.Ц37. 47. S3]
Значащи а/ а формуле (20.18) JUI охиопролетнмх балок на жестким опорах
Условия «крепления Корны чмтотного уравнения
девий конеа правый новей а. а» а. а* а» а{ (Об)
3 еще млев Свобод» 1.8751 4.6941 1,8548 10,996 14.137 27— 1 в ~ —— л 2
Оперт Оперт 3.1416 6.2832 3.4248 | 12.666 15,708 in
Оперт (оперт) Защемлен (свобо- ден) 3.9266 7.0685 10.210 13.352 16.494 ~*±L„ 4 |
Защемлен (свобо- ден) Защемлен (свобо- ден) 4.7300 7.8532 10.996 14,137 17.128 я 2
350
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Таблица 20 211.391
Значение а., а формуле (20.18) лав даужпрояетвых балов на жестаях опорах с равными пролетами
Условия закрепления Корим частотного уравнений
левый коиеи правый конец а. «1 а. а, в* a, <<>S)
Оперт Оперт 3.1416 3.9266 6.2832 7.0685 9.4248 •л—прн нечет- ном 4; 4/-г1 ~ л — 2 прн четном 4
Оперт Защемлен 3.39 4.46 6.64 7.59 9.69 -
Защемлен Примечая Защемлен е. Средняя опора 3.9266 прп всех услов» 4.7300 <ях шарнирно о 7.0685 перта. 7.8532 10.210 4(+1 я ~ — л — 4 1, при нечетном 4, 24-М ~ л — •> прн четном 4
Таблица 20.3150]
Значения а^/ 2л в формуле (20.16) для много пролетим ж балов с равными пролетами
Коли- Концы балки свободно оперты Ох ян конец балкн свободно оперт, другой защемлен Концы балкн защемлены
мест во проле- тов а? 1ц “2н а? 2В а? 'я “1. а2 >н °?. °’в °? *ъ
2л 2л 2л 2л 2л 2л 2л 2л 2л 2л 2л 2л
3 1.57 2.94 6.28 8.78 1.69 3.37 6.54 9.50 2.01 3.56 7.16 9.82
4 1.57 3.17 6.28 9.17 1.64 3.45 6.43 9.63 1.83 3.56 6.82 9.82
5 1.57 3.30 6.28 9.38 1.62 3.49 6.38 9.70 1.74 3,56 6.64 9,82
6 1.57 3.37 6.28 9.50 1.60 3,51 6.35 9.73 1.69 3.56 6.54 9.82
а> 1.57 3.56 6.28 9.82 1.S7 3.56 б.а 9.82 1.S7 3.56 6.28 9.82
При i-й эоны м е ч а н н е. а/и соответствует частоте pfH (нижней границе 4-й эоны сгущения) “.-В - частоте р/в (верхней границе
частот принимают равным удвоенному числу пролетов
балкн.
Для многопролетных балок с равными пролетами и
одинаковыми в пролетах жесткостями и равномерно
распределенными массами можно определять лишь че*
тире собственные частоты: Х1в и Х|. —низшую и выс-
шую нз частот первой группы; Аа, и —низшую
н высшую из частот второй группы. В этом случае
в формулу (20.18) взамен подставляются а<н нлн
а... принимаемые по табл. 20 3.
В табл. 20.4 для четырех -случаев многопролетных ба-
лок с неравными пролетами приведены значення перво-
го корня О| характеристического уравнения.
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
351
Таблице 20.4(1. 39]
Значения а, • формуле (20.16) для м могол рол етных балом
на жестких опорах с неравными пролетами
Схема балки и пер вы fl корень частотного уравнения
<1 2
а,» ||—j я (погрешность < 1%)
20.2.2. Балки на упругих опорах
Частоты собственных поперечных колебаний балок на
упругих опорах вычисляются но формуле (20.18); прн
этом а< принимается нз табл. 20.5 в зависимости от
условий закрепления концов балкн.
Обозначения, принятые в табл. 20.5:
Cw — жесткость а кГ[см опоры относительно по-
перечных перемещений;
— жесткость в кПсм опоры относительно угло-
вых перемещении;
— опора, упругая относительно поперечных н
жесткая относительно угловых пере метен и j;
- шарнирно подвижная опора, упругая от-
носительно поперечных перемещении;
— шарнирно подвижная опора, упругая отно-
сительно угловых перемещений.
20.2.3. Балки с распределенными
и сосредоточенными массами
Частоты собственных поперечных колебаний балок
С равномерно распределенными массами т н сосредото-
ченными массами М вычисляются по формуле (20.18).
Прн этом а< принимается по табл. 20.6.
Для однопролетных балок, имеющих различные гра-
ничные условия, и для мпогопролетиых балок с шарнир-
ным опиранием и с равными пролетами прн наличии со-
средоточенных масс М., расположенных на расстоянии
хя от ближайшей левой опоры, можно приводить сосре-
доточенные массы к эквивалентной равномерно распре-
деленной массе т„ по формуле
%
тл = то + 777 V(20.19)
Nl
1»!
где N — количество пролетов; т. — равномерно распре-
деленная масса; s0— количество грузов на балке; п —
номер частоты колебаний.
Коэффициенты k, определяются: а) для однопролет-
ных балок и прн определении частот Х,« и Х,а многопро-
летных балок — по табл. 20.7; б) для многопролетиых
балок прн определении частот Х)в — по табл. 20.8; в) для
многопролетных балок прн определении частот X,. — по
табл. 20.9.
20.2.4. Балки, нагруженные
продольными силами
Для балок, нагруженных продольными силами, ча-
стота поперечных собственных колебаний вычисляется
по формулам и графику табл. 20.10. Прн сжимающей
продольной силе знак силы Р в формулах табл. 20.10
меняется на обратный.
352
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИК.* СООРУЖЕНИИ
Таблица 205|1|
Значение а/ а формуле (20.18) дла балов на упругих опорах
Схема балки н корни частотного уравнения
Схема Салки к корни частотного уравнения
ww
^ййметрциные ктбанио
Сц/
Асимптота при
~Г1 t~r~i
Симметричные кш5зшл
t/мптата -r -t-
I ^тисишлетрйчные rMefamjt
•ncwnnwmanpua^f^ [_ j j
0 to ?0 30 и SO so 10 80 90 100
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
353
Продолжение табл. 20.5 [J]
Схема балки и корни частотного у равней ня
Схема балкн н корни час тот. tore уравнение
•>----------------а--------------------J’
354
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Значения <Z| в формуле (20-18) для весомых балов с сосредоточенными массами
Таблица 20.6JI)
Схема балки и корни частотного уравнения
Схема балки к корни частотного уравнения
Примечание. Другие случаи см. в работе |1].
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
355
Таблица 20.7(69]
Значения ks* формуле (20.1В) дли при веде нм я сосредоточенных масс и равномерно распределенной
массе в однопролетиых и много л роле» ныл баллах нрн определении Х1н н А>н
Условия «крепления Определяе- мой частота Коэффициенты k£ для эначсни 1 1
левый конец правый конец 0 0.05 0,1 0.15 0,2 0,25 0.3 0.35 0.4 0,45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0,75 0.8 0.85 0.9 0,95 1
.‘Члгцдм. \н 0 0 0 0.1 0.02 0.04 0.08 0.13 0.21 0.32 0.45 0.61 0.85 1.Ю 1,38 1.73 2.10 2.52 2.97 3.47 4
лен деи KSH 0 0 0.03 0,14 0.36 0,70 Ml 1.63 1.87 2.06 2,04 1.60 1,39 0,88 0,40 0.07 0.02 0,34 1,10 2.32 4
Х1н 0 0.05 0,19 0,41 0.69 1.00 1.31 1.59 1.81 1.95 2.00 1.95 1.81 1.59 1,31 1.00 0,69 0,41 0,19 0.05 0
*2н 0 0,19 0.69 1.31 1.81 2.00 1.81 1.31 0.69 0.19 0 0,19 0,69 1,31 1.61 2,00 1.81 1,31 0,69 0.19 0
0 о.ое 0.31 0.66 1.07 1.49 1.66 2.13 2.27 2.25 2,09 0,81 1.46 1.08 0.72 0.42 0,21 0.06 0.02 0 0
лен *2н 0 0,24 0.84 1.51 1.94 1.91 1.44 0.75 0.18 0,01 0.33 1,00 1.74 2.21 2,23 1.81 1.15 0.53 0,15 0.61 0
*|ц 0 0 0.04 0.15 0,37 0.74 1,20 1.69 2.12 2.42 2.52 2.42 2.12 1.69 1.20 0.74 0.37 0,16 О.04 0 0
лен лен *2и 0 0,02 0.21 0.72 1.46 2,09 2,27 1.86 1.07 0.31 0 0.31 1,07 1,86 2.27 2,09 1.46 0.72 0,21 0.02 0
Значения ks в формуле (20.1В) для определения А^многопролетиых балов
Таблица 20.8(591
Коли- Nr Коэффициенты для значений 1
чество пролетов про- лета 0 0,05 0,1 0.16 0.2 0,25 О.з 0,35 О.4 0.45 0.5 0.55 0,6 0.65 0.7 0,75 0,8 0,85 0.9 0.95 1
2 1 0 0,08 0.31 0.66 1.07 1.49 1.86 2.13 2,27 2.25 2,09 1.81 1,46 1.08 0.72 0.42 0,21 0.08 0.02 0 0
2 0 О 0,02 0.08 0.21 0.42 0.72 1.08 1.46 1,81 2.09 2.25 2,27 2.13 1,86 1,49 1,07 0.66 0.31 0,08 0
3 1 0 0,02 0.06 0.13 0,20 0,28 0.34 0,37 0,37 0.35 0.30 0.23 0,16 0.10 0.05 0.02 0 0 0 0 0
2 0 0.01 0.06 0.17 0.36 0,61 0,90 1.20 1.44 1.62 1.68 1.62 1.44 1.20 0.90 0.61 0.36 0.17 0.06 0,01 0
3 0 0 0 0 0 0.02 0,05 о.ю 0,16 0.23 0.30 0.35 0,37 0.37 0.34 0.28 0.20 0.13 0.06 О.02 0
4 1 и 0,01 0.04 0,08 0.13 0.18 0.21 0.23 0.22 0.20 0.16 0,12 0.08 0.04 0,02 0 0 0 0 0 0
2 0 0.01 0.05 0.13 0.25 0,40 0,58 0.75 0.87 0.94 0.93 0.86 0.73 0.56 0,39 0.24 0.12 0.05 0.01 0 0
3 и 0 0.01 0.05 0.12 0.24 0,39 0,56 0,73 0.86 0.90 0,94 0.87 0,75 0,58 0.40 0,25 0.13 0,05 0.01 0
4 0 0 0 0 0 0 0.02 0.04 0,08 0.12 0.16 0,20 0.22 0.23 0,21 0.18 0.13 0.08 0.04 О.01 0
5 1 и 0.01 0.02 0.05 0.08 0,10 0,12 0.13 0,12 0.11 0.09 0,06 0,04 0.02 0,01 0 0 0 0 0 0
2 0 0.01 0.03 0.09 0,18 0.28 0.40 0.50 0,57 0,60 0.59 0,53 0,43 0.32 0.23 0.12 0,05 0.02 0 0 0
3 0 0 0.02 0.08 0,18 0.33 0.51 0.69 0.86 0.97 1,09 0.97 0.86 0.69 0.51 0.38 0.18 0.08 0.02 0 0
4 0 0 0 0,02 0,05 0,12 0.21 0.32 0.43 0,53 0.59 0.60 0,67 0.50 0.40 0,28 0.18 0.09 о.оз 0.01 0
5 0 0 0 0 0 О 0.01 0.02 0.04 0,06 0.01 0,11 0,12 0.13 0.12 0,10 0,08 0.05 0,02 0,01 0
356
РАЗДЕЛ 20 ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Таблица 20 9(59]
Значение кs в формуле (20.19) дав определении!^ многопролетмых балов
Коли- чество пролетов № про- лета Коэффициенты Jts дли значения
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.26 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0,75 0.8 0,86 0.9 0,96 1.0
2 1 2 0 0 0.24 0.01 0.84 0.15 0.51 0,63 1.94 1.15 1.91 1.81 1.44 2.23 2.75 2.21 O.I8 1.74 0.01 1.00 0.33 0.33 1,00 0,01 1.74 0.18 2.21 0.75 2.23 1.44 1.81 1.91 1.51 1.94 0.55 0.51 0.15 0.84 0,01 0.24 0 0
3 1 2 3 0 0 и 0.06 0.04 0 0.19 0.21 0 0.34 0,66 0.03 0.41 0,98 0.12 0.38 1.27 0.26 0.26 1.30 0.40 0.11 1.02 0.47 0,01 0.57 0.43 0.02 0.16 0.30 0.13 0 0,13 0.30 0,16 0.02 0,43 0.57 0.01 0.47 1.02 0.11 0,40 1.30 0.26 0,26 1.27 0.38 0.12 0.98 0.41 0.03 0.S6 0.34 0 0,21 0.19 0 0.04 0.06 с 0 0
4 1 2 3 4 0 0 0 0 0.03 0.03 0.01 0 0.10 0.17 0,07 0 0.17 0.43 0,26 0,01 0.21 0.71 0.54 0.04 0.19 0.88 0,79 0,10 0.12 0.84 0.90 0.18 0.05 0.61 0.79 0,23 0 0,29 0.61 0,23 0.02 0.05 0.20 0.17 0.08 0.01 0.01 0,08 0,17 0.20 0,05 0,02 0.23 0.51 0,29 0 0.23 0.79 0,61 0,05 0.18 0.90 0,84 0.12 0.10 0.79 0,88 0.19 0.04 0.S4 0.73 0,21 0 0.26 0.43 0.17 0 0.07 0.17 0.10 0 0.04 0.03 0,03 0 0 0 0
£ 1 2 3 4 6 0 0 0 0 0 0.02 0.03 0.02 0 0 0.07 0,14 0,16 0.04 0 0.12 0,34 0.49 0,16 0 0.14 0.55 0.93 0.36 0.02 0.13 0.67 1.27 0.56 0.06 0.08 0.62 I.3S 0.68 0.11 0.03 0.43 0.09 0.63 0.15 0 0,19 0.62 0.43 0.15 0.02 0.02 0.18 0.19 0.12 88 88 0 0*0 00 0,12 0.19 0,18 0,02 0.02 0.IS 0.43 0.62 0.19 0 0.15 0.63 1.09 0.43 0.08 0.11 0,68 1.35 0,62 0.06 0.06 0.56 1,27 0.97 0.13 0.02 0.36 0.93 0.55 0.14 0 0,16 0,49 0.34 0.12 0 0.4 0.16 0.14 0.07 0 0 0,02 0.08 0.02 0 8 0 0
Таблица 20 10|1]
Частоты поперечных собственных волебаний балов, нагруженных
продольными силами
Продолжение табл. 20.10[1]
Схема балки и формула или график для определения частот
Р
где а( берется нз графика.
Примечание. Другие случаи см. л работе f ).
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
357
20.2.5. Рамы [1]
Рамы без сосредоточенных масс
Здесь приняты индексы: стойки — 1, ригеля —2.
Для П-образной симметричной рамы с жестко защем-
ленными стойками (рис. 20.12) частоты собственных из-
гибных колебаний вычисляются по формуле
Уравнение частот при симметричных колебаниях име-
ет внд
£/ 1 f mi л* (gH> = £/ -В / m> С* <°я>
1 У Eit D* (ай) ’ V El, L>' (a,/)
где
I. * f m,Elt
Д.1 = «п V I/ —:
ll V /711 E/f
B* (a) = ch a sin a — sh a cos a;
C* (a) — 2 ch a cos a — I
D*(a)=ch a cos a—1.
При /|=i.=Z; EIi=‘EI^=EI и mi=mj=m; an=aj<=
=a< уравнение частот симметричных колебаний имеет
внд
fi«(a/) = C'(a,).
Кории этого уравнения:
а, = 1,2326: а. = 4.3906; а, = 7,5322;
Si — 3
а, = 10,6738; а, = 13,8154; а/ = —-— л (i > 5).
Уравнение частот при антисимметричных колебаниях:
где
A* (a) = ch a sin a sh a cos a;
£• (a) = ch a cos a + 1;
S] (a) = 2shasin a.
Для трехпролетной симметричной рамы (рнс. 20.13)
частоты собственных изгибных колебаний вычисляются
по формуле (20.20).
Рис. 20.13
При симметричных колебаниях ан определяются из
уравнения частот:
* [2F (a,/) — Н (о,/)1 + F (Дц) —
*^(Ды) =0
/(»!<)+ *£(Д«/)
П,
Е/1
„ sin a ch a — sh a cos a
F (a) =----;------------a;
1 —cosacha
sha —sina
H (a) = --------—a.
I — cos a cha
Уравнение частот при ft=l и аи = а21=а1
3F(al)-«(a/)-^^-=0.
2F (a()
Наименьший корень, соответствующий основному то-
ну симметричных колебаний, равен at=3,473.
При антисимметричных колебаниях an определяются
из уравнения частот:
а«,-
-|2Л(а 1 P(ai<)(2F(alt) +
И1 |2F(aM)+*F(aw)HF(aM) +
+ й|ЗР(ап)-Я(аы)])
+ * I2F (а,,) + Н (а.,))) - *’W« (aw)
где
1,5т, !,
Дц Я* (Д»> — g* <°н)
О* (“ill + A* (au)
3? (°я)
В’(Д,г) ’
<1
_ sin a ch а sh a cos а .
Л (Д) =-------;----—т------------а»;
1 — cos a ch а
. sh a sin а
£ (а) = ---------------— Д’-
1 — cos a ch а
358
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Уравнение частот при й=1 н ai=as имеет вид
.4 - - (а ) - t,(aa[5F(a<)-W(a<)l )
' р I 1 '' таМЗРШ+Н(аМ-НЧч) J
= 0.
Наименьший корень, соответствующий основному то-
ну антисимметричных колебаний, ai=l,70.
Сткетцичкыг Лтсшчшпртче
ко/гебони» лбмбанп
Рнс. 20.14
Г.и пиететные
лояеоа*ив
ЛнтиСиняетрцчкые
колебание
Рис. 20.15
Дав Т-образиой рамы (рис. 20.14, 20.15) частоты соб-
ственных нагибных колебаний
____1_ а? £/~
2я ‘ Р V т ’
Если стержни рамы шарннрно закреплены по концам
(рис. 20.14). то прн симметричных колебаниях
а, = 3,9266; а, = 7,0685; а, = 10,210;
4i 4- 1
а4 = 13,352; а, = 16,494; а, =г —у— я (i > 5);
4
при антисимметричных колебаниях: at=m (i= 1, 2. ...).
Если стержни рамы жестко защемлены по концам
(рис. 20.15), то прн симметричных колебаниях
а, = 4,7300; a4 = 7,8532; a3= 10,996; a4=14.137;
2i +1
a, = 17,279; a{ = -у- я(i > 5);
прн антисимметричных колебаниях:
a> = 3,9266; a4 = 7,0685; as = 10,210; a4 = 13,352;
4i + 1
a4 = 16,494; <x< =s----я (i > 5).
4
Рамы с сосредоточенными массами
Частоты собственных нзгнбиых колебаний
1
2л
^1|/ g£/«
п «•
где a<i определяется из уравнений частот, приводимых
ниже. В этих уравнениях приняты обозначения:
где /0 — соответственно половина или одна треть про-
лета ригеля (см. рнс. 20.16—20.18); < —длина стойки;
1а — длина ригеля; q 1 — погонный вес стойки; q3 — по-
Рис. 20.16
тонный вес ригеля; М — присоединенная масса; /« —
момент инерции присоединенной массы М; [ — амплиту-
да колебаний массы М; /'— угол поворота при колеба-
ниях массы М; и=/+[Т,
_ sin a ch a —sh a cos a
F (a) =---------------------------
1 — cos a ch a
H(a) =
sh a — sin a
1 — cos a ch a
. sh a sin a
L (a>= ;-----й— a:
1 —cos acha
ch a — cos a
n (a)=i--------г— a’:
1 — cos a ch a
sin a ch a 4- sh a cos a .
’ = —;—------------------a:
1 — cos a ch a
_ sha-f-sina
П (a) =-----1------a’;
1 — cos a ch a
cth a -}- ctg a
Ф (a) = —;---------a; G (a) = —---------a*;
cth (a) — ctga ctha —ctga
2
2
C(®)= . u,
tg a — th a
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
359
Для П-образной симметричной рамы с защемленны-
ми стойками и присоединенной в середине ригеля массой
(рис. 20.16.O) уравнения частот имеют вид:
при симметричных колебаниях (рис. 20.16,6)
4 2?.'оГо, 1 *^(°») 1 .
“° Mg F(a) + AF(a0)J °’
при антисимметричных колебаниях (рис. 20.16, в)
2й№ (а,,)
F (а) + kF (а.) ------------™
2F(a)-a«4.^-
— 2/.* (а) = 0.
X
х|\₽(а) —а‘
Mg + Яг I»
91 л
Рис. 20.18
Для П-обраэной симметричной рамы с шарнирно
опертыми стойками и с присоединенной посередине ри-
геля массой (рис. 20.17) уравнения частот:
при симметричных колебаниях
[Ф (a) + kF (а.)) [2/? (а0) - - 2й№ (а„)= 0;
прн антисимметричных колебаниях
Гф(о) + ^(а.)_------«НЯ
2f(a)-aj4.^
1 'о ’•'« J
] - 2G! (a) = 0.
X
X
[20(a)-a. MS + ^.
I 91 'з
Для П-образиой симметричной рамы с защемленными
стойками и двумя присоединенными массами (рис. 20.18)
уравнения частот:
прн симметричных колебаниях
а + k |б - 2Н (а)) - \ob - kN» (<ю)] = 0,
где
а = F (а) + AF (аД
» = 2Г(Ч-ЯМ-^.|:
с=2/?(а0)-/7(а0)-а< '0=-у',;
*71 *0 °
при антисимметричных колебаниях
а + k (ft + 2W (а,,)) - (nt - (Оо)) = 0,
№ (а»)
где
а = F (а) + kF (а») ----------------;
91'1
4 Mg О*
6=2f(ao) + //(ao)-aJ^-.-^;
. Mg
c=2«(ao) + n(ae)-aj-^-.
9«‘о
Частоты свободных горизонтальных колебаний много-
этажных рам можно вычислить по приближенным фор-
мулам (см. <Справочинк проектировщика. Сборные же-
лезобетонные нонструкцинь, Госстройнздат, 1959,
табл. XXV.2).
20.2.6. Фермы
Обычной расчетной схемой фермы является система
с конечным числом степеней свободы. При этом предпо-
лагается, что масса стержней фермы сосредоточена в ее
узлах и узлы соединены между собой упругими неве-
сомыми стержнями, шарнирно связанными на концах.
Масса каждого узла равна половине масс сходящихся
в данном узле стержней и массе узловой нагрузки.
Число степеней свободы фермы принимается равным
удвоенному числу узлов за вычетом числа опорных
стержней:
<РУь
mk ~гт~ =— £ А/*п sin «*л:
<Рх*
">А =— Я Nkn cos a*n.
где m* — масса, сосредоточенная в ft-м узле; А/*, —
усилие в стержне, соединяющем узел k с каким-либо
другим узлом п; а* „ — угол наклона стержня kn к оси
х'. х». У»— горизонтальная н вертикальная составляю-
щие перемещений узла k при колебаниях.
Усилия А/»„ выражаются через перемещения х», у*
по формуле
^Ал = —7— 1(*А — *л) cos a»„ 4- (у* — у„) sin а*л),
*Ьп
где £ —модуль упругости; Г» „ — площадь сечения
стержня, соединяющего узлы k и л; (,„ — длина этого
стержня.
Решения дифференциальных уравнений колебаний ра-
зыскиваются в виде
x* = u*sin(>J-J-q>); yt = vtsin(M + <p).
Для определения амплитуд колебаний и« и о* получа-
ются алгебраические уравнения:
ть t>> A* VT
----Р— = Зал sin a*n;
п
ДапаХ« у
Е = Zj Skn 033 “*"•
(20.21)
360
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
где Sfcn= [(и* — un) cos а*л + to — sin а*д].
**л
Приравнивая нулю определитель, составленный нз ко-
эффициентов прн амплитудах и* и о». и раскрывая его,
получим уравнение относительно Л1, которое даст воз-
можность определить частоты собственных колебаний
фермы, число которых равно числу степеней свободы.
Метод Польгаузеиа
где
R%=mlNl}+miN,k2+-- (20.26)
В формулах (20.25) н (20.26):
It — длина стержня k; Fk — площадь поперечного се-
чення стержня А; £ — модуль упругости; т< — масса
-го узла; — усилие в стержне к oi единичной си-
лы. приложенной в узле i.
Формула (20.25) дает несколько преуменьшенное зна-
чение частоты.
Этот метод позволяет найти частоты собственных ко-
лебаний ферм путем последовательных приближений не-
посредственно нз уравнений (20.21). Для этого S*» рас-
Метод вк в и в алеити ой балка
Частота определяется по формуле
сматриваются
Полагая
как некоторые усилия.
т* =
g ' Eg
= ♦*.
Х= л»
(20.27)
получим
₽»«***= ES*nsina*n;
п
P*u**s = 2S*„cosa*„.
Уравнения (20.22) выражают условия равновесня уз-
лов фермы, несущей в узлах вертикальные и горизон-
тальные силы Р*и»ф2 н Рлшф1.
В качестве нулевого приближения задаются значени-
ем ф’=1, а за систему перемещений и», о» принимают
перемещения узлов от единичного груза, приложенного
в середине пролета, находя нх из построения диаграммы
Внллио. По первым приближениям узловых нагрузок
Раи**1 и Р«и*ф9 определяют $»«. например, с помо-
щью диаграммы Кремоны. По этим усилиям находят
новые значения перемешеннй узлов uk, о* путем по-
строения новой диаграммы Внллио.
Первое приближение для ф3 определяется яэ формулы
= (20.23)
_ ф| * *
Принимая за новые узловые нагрузки величины
Р*н*фр и находя из новой диаграммы Кремо-
ны отвечающие нм усилия 5^,, из очередной диаграммы
Внллио определяем следующие приближения перемеще-
ний ut, о t. Второе приближение для ф3 будет
Ц = /s (₽*-i)2 + S (PkQ2 (20.24)
и т. д.
При достаточно хорошем совпадеинн приближений
частоту определяют через величину ф
Поскольку влияние горизонтальных смещений иа ча-
стоту незначительно, часто упрощают метод, для чего
в фс змулах (20.23) н (20.24) не учитывают члены, со-
держащие перемещения u*. ut, uk н т. д.
Метод наложения
Частст определяется нз формулы
= (20.25)
к
где
(20.22)
<20-28’
я
В формулах (20.27) и (20.26):
<Vj — усилие в стержне k от действительной нагрузки
Р\ — усилие в стержне k от единичной силы, прило-
женной в середине пролета фермы; I» — длина стерж-
ня й; £» — площадь поперечного сечення стержня й;
£ —модуль упругости; g — ускорение силы тяжести.
Формула (20 27) позволяет заменить эксперименталь-
ное определение частоты колебаний существующей фер-
мы более простым определением ее прогиба под какой-
либо нагрузкой. Так. если экспериментально измерен
прогиб фермы 6, от какой-либо распределенной нагруз-
ки д. а действительный погонный вес фермы с нагруз-
кой равен р, то
А=1,13
1/—• —
F 6« Р
Методы Польгаузеиа. наложения и эквивалентной
балкн применяются для определения частоты основно-
го тона колебаний фермы.
Частоты основного тона колебаний н одной-двух пер-
вых гармоник определяются приближенным способом,
изложенным в приложении 7 [19а].
Для определения всех частот многомассовой системы
применяется метод, изложенный, например, в приложе-
нии 3 [19а].
20.2.7. Арки, длинные своды, кольца
Круговые арки в своды постоянного
сечения [57. 62]
Обозначения:
R — радиус осн арки (нлн свода);
ф—центральный угол;
г — площадь поперечного сечения.
За поперечное сечение свода принимается поперечное
сеченкс влоль образующей на единицу длины.
Малые колебания арок н длинных сводов могут про-
исходить как за счет изменения длины осн арки или сво-
да (рнс. 20.19. о) (радиальные колсбання). так н вслед-
ствие изгиба (рнс. 20.19,6) (нагибные колебания).
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
361
Частоты радиальных колебаний арок
AjZ—(1+-^-) (<= 1.2.3....). (20.29)
2 л/? г т \ <р‘/?« FJ
Рнс. 20.19
Значения af в формуле <20.29)
Ус ювня за креп- ление Кории характеристического уравнения
левый конец правый колеи а» О. а. аа а/ (Об)
Оперт Оперт 3.1416 6.2832 9.4248 12.666 16.70S In
Защем- лен Защем- лен 4.7300 7.8S32 10.996 14.137 17.279 Я+1 — п г
Та ван на 20.12
Значении коаффипяента * в формуле (20.90)
Условия закреплении и формы колебаний Коэффициент *
4 + 1 Ш я
1 Г 3803,2-92.101 <Г + ф« F 1 + 0.06054ф»
9л1 — ф1 j/ 1 +0.1652^-
J Г14620— 197,84ф»+ 4У* У 1 + 0.01227ф»
|&к> - ф’ 1/|+л.-£ У 16 Л1
/—адз- ifiga+ф1 1 +0.02148Ф»
Частоты нэгнбных колебаний арок
(i=2.3,...). (20.30)
Коэффициенты а< и приведены в табл. 20.11—20.12.
При вычислении частот собственных колебаний длин-
ных сводов необходимо в формулах (20.29) н (20.30)
жесткость Е! заменить через j---где у. — коэффици-
ент Пуассона.
Параболические симметричные арки
переменного сечения (рнс. 20.20) [9]
Обозначения:
I, — момент ннерцнн сечення в замке;
/х — то же, на расстоянии х от замка;
фх — угол между касательной к оси арки я го-
ризонталью в сечсннн с абсциссой х;
/ — стрела подъема арки;
i, = 1 / -li- — радиус инерции сечення в замке; -
V F,
F, — площадь сечения в замке.
Момент инерции поперечного сечення изменяется по
закону
/х= Zxsec<px.
Частоты антисимметричных собственных колебаний
' Р у т '
Значения ас
а, = 3,9266; а, = 7,0685; аэ= 10.210; а, = 13,352:
,. л 4» -г I
а» = 16,494; = —-— л.
Частоты симметричных собственных колебаний
1 4а; / Е/
,2°-31)
Значения а<. найденные нз уравнения частот
(ch а — Pr) sin а + (cos а — yr) sh а = 0,
приведены в табл. 20.13.
362
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Таблица 20.13
Эначеямаа,а формуле (20.31) для определения частот
изгкбных симметричных колебаний арок
«1 I'"- «1
20 19.5 19 1Й.5 18 17.5 17 16.5 16 15.5 5.05 5,04 5.03 5.01 4.99 4.97 4.94 4.91 4.88 4.84 9.00 7.67 6.84 6.46 6.26 6.12 6.02 5.95 5.89 5.85 15 14 13 12 II 10 8 6 4.79 4.69 4,57 4.44 4.29 4.12 3.76 3.36 2,93 2.55 2.36 5.81 5.75 5.71 5.67 5.64 5.61 5,57 5.54 5.52 5.51 5.50
Величины ₽, у и г определяются формулами
„ 1.33Г / 3\ 3 1
Р= —^_^+—)sha + _chaj;
1,3317 3 \ 3
У = —— I 1 — — 1 sin а + — cos а
а’ [Да1/ а
Р
г=т
Круговые кольца
Здесь приводятся формулы [62, 14] для колец посто-
янного поперечного сечения, одна из главных централь-
ных осей ннерцнн которого расположена в плоскости осн
кольца.
Обозначения:
R— радиус осевой лнннн кольца;
т— масса кольца на единицу длины;
I— число волн по окружности кольца;
1г— момент инерции поперечного сечення относитель-
но осн х (рнс. 20.21);
In — полярный момент ннерцнн поперечного сечения;
г — площадь поперечного сечения кольца;
/ — момент ннерцнн поперечного сечення относитель-
но главной осн, расположенной под прямым уг-
лом к плоскости кольца;
|i — коэффициент Пуассона.
Частоты радиальных колебаний кольца
1 / EF
—.(О-П’+П О-.г.з....).
Первая частота собственных крутильных колебаний
для любого поперечного сечення кольца
±1/".^
2л У mft» 1Р
Частоты высших тонов колебаний в случае кругового
поперечного сечення кольца
Изгнбные колебания кругового кольца разделяются на
два вида: колебания в плоскости кольца н колебания
изгиба нз плоскости, при которых наряду с перемеще-
ниями, перпендикулярными плоскости кольца, происхо-
дит его закручивание.
Частота любого вида собственных изгибных колеба-
ний в плоскости кольца
i . / е/ *('*-п*
2л У mR* ' I» + 1
Рис. 20.21
Рнс. 20.22
Прн /=1 1=0. т. е. кольцо движется как твердое те-
ло. Прн t=2 кольцо колеблется по основной форме; прн
1=3 н i=4 — по высшим формам колебаний. Крайние
положения кольца прн этих формах колебаний показа-
ны на рнс. 20.22, а, б. в сплошными линиями.
В случае нагибных колебаний нз плоскости кольца
кругового поперечного сечення, прн которых наряду с пе-
ремещениями, перпендикулярными плоскости кольца,
происходит закручивание стержня, частоты главных
форм колебаний
1 . / £/ «»(»» — 1)а
2л У mR* ’ i« + (1 + 1
Неполное кольцо. Рассматривается случай, когда
часть кольца с углом а защемлена на обоих концах
(рнс. 20.23).
Рнс. 20.23
Рис. 20.24
Частота собственных колебаний
Значения коэффициента [(а) прн а от 180° (полу-
кольцо) до 360° (полное круговое кольцо, защемленное
в одной точке) для колебаний по основному тону при-
ведены на графике рнс. 20.24.
Если кольцо имеет малые размеры в направлении,
перпендикулярном его плоскости (направление осн ци-
линдра), то возможны колебания из этой плоскости.
Система, приведенная иа рнс. 20.25 (вверху, справа), мо-
жет рассматриваться как балка высотой h, защемлен-
ная на ннжнем конце.
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
363
Частота собственных колебаний
А= —/
2л
где Els — жесткость кольца на изгиб в плоскости, пер-
пендикулярной плоскости чертежа; с —жесткость на
кручение.
Коэффициент /
рнс. 20.25.
определяется из графика
20.2.8. Плиты
Обозначения:
я, b — соответственно длина и ширина плиты
’1= ~ (“ > *);
и
х. у—координаты точки срединной поверхно-
сти плиты;
х „ у
а = —; Р = ~ — относительные координаты точки
а о
срединной поверхности плиты;
Ms — сосредоточенная масса в кГ-секЧм;
т —интенсивность распределенной по площа-
ди плиты массы в кГ-секУм\
й — толщина плиты в м;
„ №
Р = ГТТ:----Г. — цилиндрическая жесткость плиты
12(1 — р-)
в кГ-м.
Частоты собственных колебаний прямоугольных плит
вычисляются по формуле
К,= —
2л
(20.32)
Таблица 20.14(57. 59|
(20.32) Ж я я прямоугольных плит
Значения а, и а, формуле
Условия закрепления краев плиты «1 а.
1 9.87(1 +т)’) 9.87 (4 + ц*)
9.87 V 1 + 2.332ц* + 2.440ц* 12.56 У 1 + 0.S83n' + 0.152ц*
( о 15.42 V 1 + 1,116ц’ч-ц* 49.95 У 1 + 0.395ц* + 0.035ц*
/ZZZ,/Z/ZZZZZZZ_Z
7.а?У 1 + 2.494ц* + 5.138ц* 12.56 У 1 + 0.623ц* + 0.321ц*
22,37 V 1 + 0,566ц’ + 0.473л* 61,70 У 1 + 0,298т)’ + 0.062т)*
zzzZZZ/ZZ'ZZ/ZZZZZ/
я ; 22,37 V 1 + 0,605ц* + ц* 61,70 У 1 + 0.293ц' + 0.132ц*
Обозначения:
— шарннрно опертый край:
— жестко заделанный край.
364
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Таблица 20.15(76]
Значения (Xj в формуле (20.32) мая о пре ж ел ел ня частот собственных колебаний квадратных и прямоугольных плит
Условия закрепления краев плнты Дополни- тельный пара- метр плиты а. а. а. а. а» а.
а 3.49 8.55 21.44 27.45 31.16
«а 1
о 6.96 24.08 26.79 48.05 63,14
СЗ 1
о 19.73 49.33 78.% 98.67 128.28 167,78
<а ^4
0 23.65 51.68 58.64 66.12 100.29 ИЗ. 19
Г
а и J8.94 54.74 69.31 94.57 102.19 129.а»
«а
'О- <5.98 73.40 108.28 131.58 132,28
д 165.18
о 1" 1 1 1 3.50 3.49 3.47 Э.С 5.38 8,55 14.92 34.73 21.95 21.44 21.60 51.52 10,26 27.45 94.47 563,82 24,85 31.16 48.71 105.89 -
о
• f :£
•с Н—15’ 6-30° 6-45» 3.60 3.96 4,82 8.87 10.19 13.75
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
365
Значения a<(i=l, 2) принимаются по табл. 20.14
я 20 .15.
Если прямоугольные плиты имеют сосредоточенные
массы М,, то приведенная равномерно распределенная
масса тОрц вычисляется по приближенной форму-
ле [59]
тпри»="’ + V *, (<Ч) ks (₽,) Af$,
где Sc — число масс на плите; а.. 0а — относительные
координаты массы М,.
Коэффициенты к,(а.) и Аа(ра). зависящие от номера
определяемой частоты, значений относительных координат
хз У<
массы аг = — и = — н способа закрепления краев
а Ь
плиты (рис. 20.26). определяются по табл. 20.7 так же.
кек и для однопролетных балок.
Для определения частот собственных колебаний пря-
моугольных плит по формуле (20.32) прн отношении
сторон а/Ь =0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0; 1.25; 1.6; 2.5; 5 и раз-
личном закреплении сторон плит (шарнирное опирание,
жесткая заделка н свободный край) в работе [70] при-
ведены таблицы значений коэффициентов д<. где оин
обозначены через /. Подробные саедення (формулы
и таблицы) о частотах н формах собственных колебаний
пластинок можно найтн также в справочном посо-
бии [82].
Для миогопролетиых шарнирно опертых плит с коли-
чеством полей в направлении осей хну соответственно
W,>4 н A/„>4 частоты собственных колебаний вычис-
ляются по формуле (2С32), в которую взамен а, под-
ставляются а1в илн а<> (см. 20.2.3), принимаемые по
формулам [59]:
в1в = 9.87 (1 +ч’): о„ = 22.37 К1 4- 0.605 п’ + Ч* :
а,и = 9.87 (4 + т)«); а„ = 22.37 V 7.57 + 2,27 п’+П4-
Частоты собственных колебаний круглых плнт опре-
деляются по формуле
где <хе(£= 1. 2, ...) принимаются по табл. 20.16 в зависи-
мости от условий закрепления краев плиты и от числа уз-
ловых диаметров п; число узловых окружностей равно
•-1.
Таблиц! 20.161761
Эначеим at формуле (20.33) а» круглых ранг
20.2.9. Стержни переменного сечения
Частоты собственных колебаний имеют внд
Д/
2лР V pf0 ’
(20.34)
где /о. Ед — момент инерции и площадь поперечного се-
чении стержня в начале координат.
Клинообразная консоль [16. 74] (рнс. 20.27). Высота
поперечного сечения 2Л(х) пропорциональна расстоянию
28
от вершины 2Л= —х, где 26 — высота в заделке; шири-
на консоли постоянна.
Значення коэффициентов д< при t^3 см. далее
в табл. 20.19; при |>3
(2i+D*n
°' 32
Эта формула применима к пустотелому конусу со стен-
кой ПОСТОЯННОЙ толщины.
Консоль в виде кругового конуса [16. 74] (рис,
20.27.6). Момент ннерцнн н площадь поперечного сече-
ння изменяются по законам
«4*
1л= 64;
JUP
4 ’
Or =1.39; а, = 3.52; a/ = -^-(i>2).
366
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Формула (20.34) применима к пустотелому конусу со
стенкой, толщина которой меняется с высотой по ли-
нейному закону. В этом случае
/.= -£ (D*-*); f«=-7 (D:-d2).
04 4
Рнс. 20.27
Первая частота собственных колебаний усеченного
конуса (рнс. 20.27, а) вычисляется [77] как
Х= —
СГ-
Ef0
pfo
где постоянная
С = 0,719 +1,069р), 14 —2,24 (-у
нли определяется по табл. 20.17.
Для консольного стержня, момент инерции н площадь
поперечного сечення которого изменяются по линейно-
му закону.
значения ai приведены в табл. 20.18. Начало координат
принято в защемленном конце.
По табл. 20.19 (см. [76]) определяются а< для раз-
личных случаев стержней переменного сечення.
Таблиц 20.17
Значения коэффициента С формуле (20.35)
L, L 0 (конус) 0.264 0.601 0.764 1.00 (цилиндр)
С 0.719 1.101 1.368 1.695 1.788
(20.35)
Значения а, в формуле (20.34) для консольного стержня
переменного сечения
П а. Ч
0 0.560 0.6 0,730
0.2 0.597 0.8 0.859
0.4 0.652 1.0 1.140
Таблица 20.19
Значения а( в формуле <20.34) для различных консольных стержней
Конструкция балки Ь/6* h/h. «1 Оа а.
Клинообразная консоль ж/1 0.85 2.42 4.78
*». ,ь. Й
Четырехгранная пирамида 1.29 3.37 6.12
* <
Четырехгранная пирамида с двумя выпуклыми гра- ням» К? Х,1 1.Ю 2.88 5.44
Усеченная клинообразная консоль л 0.76 3.85 10.20
44
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
367
Таблица 20.20(1]
Значения в формуле (20.37) для крутильныд колебаний стержней постоянного сечения
Схема стержня н нории члсютногэ уравнения
368
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Продолжение табл. 20.20
20.2.10. Крутильные и продольные колебания
стержня. Колебания струны
Крутильные и продольные колебання стержней и ко-
лебания струн приводятся к рассмотрению одного и
того же дифференциального уравнения вида
д’Ч 5*1]
~~ — .
дР дх*
(20.36)
где т](х, /) — продольное перемещение стержня илн
троса, или угол закручивания сечения стержня в точке х,
нлн поперечное отклонение точки струны с абсцис-
, 6/кр
сой х; а3 — коэффициент, равный: —------для крутиль-
ных колебаний стержней, Е/р— для продольных коле-
баний стержней, A//pF—для колебаний струн; Gl„r —
жесткость поперечного сечення стержня прн кручении;
/р — центральный полярный момент икерцнн поперечно-
го сечення стержня: р— плотность материала; F— пло-
щадь поперечного сечения; N — натяжение струны;
pF—m.
20.2. ЧАСТОТЫ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
369
г — жесткость опоры прн крученнн стержней в кг-см;
г — г ——— относительная жесткость опоры прн круче-
ннн (для симметричных брусьев принимается половина
г); /м — момент ннерцин сосредоточенной массы в
к Г • сек2 см.
Некоторые случаи определения частот свободных кру-
тильных колебаний стержней силовых установок мето-
дом трех крутящих моментов и методом деформаций
(методом углов закручивания) можно найтн в рабо-
те [69].
Частоты собственных продольных колебаний стерж-
ней определяются как
(20.38)
где EF — жесткость на растяжение.
Коэффициент а зависит от условий
имеет следующие значення:
I) элемент, закрепленный иа
(рнс. 20.28,а):
а=(п+т)я-
закрепления и
одном конце
где л=0. I. 2, 3 ... — число узлов в форме колебаний.
2) элемент с обоими закрепленными концами
(рнс. 20.28.6): «х=лл, где л —число полуволн в форме
колебаний:
3) момент со свободными концами (рис. 20.29): а»
—пп. где п — I. 2. 3... —число узлов.
Частота собственных поперечных колебаний струны
с закрепленными концами
п -.ПГ
V т-
где «»|, 2. 3... .
На рис. 20.30 показаны три первые формы поперечных
колебаний струны.
20.2.11. Колебания жидкости в резервуарах
[72, 73, 75]
Прямоугольный резервуар [72]
Частота основного тона собственных колебаний жид-
кости определяется формулой
где I — половина длины той стороны резервуара, вдоль
которой происходят колебания;
й — глубина жидкости.
Цилиндрический резервуар
По Лэмбу частоты собственных колебаний жидкости
определяются формулой
где а< имеет значення:
а, = 0,586 я; а, = 1,697 л; а, = 2,717 я;
Рис. 20.32
Первые три формы свободных колебаний жидкости
в цилиндрическом резервуаре представлены на
рис. 20.31; вверху даны контурные линии (горизонтали).
370
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Резервуар, имеющий в плане форму,
изображенную иа рис. 20.32
Частота собственных колебаний жидкости по псрпой
форме относительно малой осн определяется формулой
сборно-монолитных железобетонных конструкций мож-
но определять по формуле
Вк=Еб1,
где Ео — модуль упругости бетона; / — момент инер-
ции поперечного сечення без учета продольной арма-
туры.
20.3.2. Внутреннее поглощение энергии
колебании (затухание) в конструкциях
и материалах сооружении
А=Я/‘ [о. 233 (у У + 0,627 (-уj* + 1,377 (уУ+
+ 0.197 ^уУ + 0,131 у + 0,16б1.
Вследствие неупругнх свойств материала, излучения
энергии колеблющейся конструкцией н т. д. происходит
явление затухания свободных колебаний конструкций.
Для поддержания вынужденных колебаний постоянной
амплитуды необходимо непрерывно производить рабо-
20.2.12. Колебания трубопровода,
по которому движется жидкость
Частота собственных малых поперечных колебаний
гибкого трубопровода, по которому течет жидкость',
вычисляется по формуле
А‘ = й
то* — W
— ' " 0 =
V (т0 + т) Н — то гт2
1.2, ...),
т0+т
/71q т
те блина 20.21
Материал Коэффициент у
прн динами- ческой на* грузке I и II категории при динамиче- ской нагруз- ке III н IV категории
Железобетон обычный . . Железобетон предварительно 0.050 0.100
напряженный 0,025 0.050
Прокатная сталь . . 0.010 0.025
Кирпичная кладка . . 0.040 0,000
Дерево . . 0,030 0.050
где I— длина трубопровода; тс — погонная масса тру-
бопровода; т — погонная масса движущейся жидкости;
о —средняя по сечению скорость течения жидкости;
Я—продольное натяжение в трубопроводе, предпола-
гаемое ввиду малости колебаний постоянным.
20.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СТРОИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИИ
20.3.1. Динамическая жесткость
Жесткость элементов строительных конструкций,
вводимая в динамический расчет, определяется исходя
нз упругой стадии работы. Исключение представляют
расчеты на действие мощных ударных н импульсивных
нагрузок, прн которых допускается появление пласти-
ческих деформаций.
Прн динамическом расчете стальных н деревянных
конструкции модули упругости принимаются равными
статическим. Прн рассмотрении горизонтальных колеба-
ний кирпичных зданий модуль сдвига кирпичной клад-
ки принимается равным 0,3с, где Е — модуль упругости
при сжатии кирпичной кладки, принимаемый по
СНиП П-В.2-62*.
Жесткость изгибаемых элементов монолитного или
сборно-монолитного железобетонного каркаса зданий,
а также железобетонных конструкций перекрытий и по-
крытий. плит и балок, лежащих на упругом основании,
днищ н стенок резервуаров и других монолитных и
1 Предполагается, что течение ламинарное.
ту. компенсируя ту энергию, которая рассеивается прн
колебаниях. Роль внутреннего поглощения прн динами-
ческом расчете конструкций очень велнка, так как от
нее зависят амплитуды колебаний в резонансном ре-
жиме.
В практических расчетах значение коэффициента не-
ф 6
упругого сопротивления у = — = — рекомендуется
2л л
принимать в соответствии с табл. 20.21.
Очевидно, что коэффициент у не зависит от катего-
рии динамической нагрузки; смысл дифференциации за-
ключается в том, что она в соответствии с нормами
приближенно учитывает зависимость у от величины ди-
намических напряжений. Как показывают эксперименты
прн весьма малых напряжениях, у линейно зависит от
амплитуды динамических напряжении н начиная с оп-
ределенного значения напряжений у практически оста-
ется постоянным.
В случае составных, многослойных и комбинирован-
ных конструкции, выполненных из различных материа-
лов, рекомендуется коэффициент у определять по фор-
муле
771
S уп Dn т
— :D=SD-
где у. — коэффициент неупругого сопротивления л-го
элемента или составной части; D. — жесткость л-го
элемента нлн составной части; D — суммарная (полная)
жесткость конструкция; т — число элементов нлн со-
ставных частей.
2О.<. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ОТ МАШИН
371
Жесткости составных частей для монолитного сечення
определяются относительно нейтральной осн нсего се-
чения; для неыонолитного — относительно своей ней-
тральной осн.
20.3.3. Выносливость строительных
материалов
При оценке прочности конструкций, иа которые дей-
ствуют одновременно статические н динамические на-
грузки, различают два основных случая: первый соот-
ветствует учету периодической нагрузки, действующей
в течение длительного периода эксплуатации сооруже-
ния. во втором учитываются динамические нагрузки,
сравнительно непродолжительные (эпизодические) с ма-
лой повторяемостью. В первом случае иа прочность влия-
ют явления выносливости.
Предел выносливости представляет наибольшую по
величине сумму статического напряжения и амплитуды
динамического напряжения, прн которой материал спо-
собен выдержать без разрушения бесконечно большое
число циклов нагружения.
Расчетные сопротивления материала конструкций, под-
вергающихся одновременному действию статических и
систематических динамических нагрузок, вычисляются
путем умножения статических расчетных сопротивлений
на понижающий коэффициент Ар зависящий от отно-
шения р наименьшего по абсолютной величине напря-
жения в рассчитываемом элементе о». к наибольшему
напряжению Омане (каждое напряжение со своим зна-
ком) и определяемый согласно СНиП. Величину р мож-
но определять по формуле
°ынн ।д
р =----= —— •
°макс * 4"s
где $— отношение абсолютной величины наибольшего
динамического напряжения (усилия) к статическому на-
пряжению (усилию).
20.4. ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ ОТ МАШИН
Различаются машины с конструктивно неуравнове-
шенными движущимися частями и машины с номиналь-
но уравновешенными, а фактически неуравновешенными
движущимися частями. Для первых определение дина-
мических нагрузок производится по кинематическим
схемам на основе расчета, для вторых (в этом случае
неуравновешенность носит случайный характер) — по
величинам эксцентрицитетов, коэффициентов и т. д.» по-
лученных на основе экспериментальных данных.
Ниже приведены данные для определения динамиче-
ских нагрузок, взятые нз инструкции [25].
Нормативная динамическая нагрузка развивается ма-
шиной в ее нормальном состоянии, отвечающем техни-
ческим требованиям по эксплуатации машин. Расчетная
динамическая нагрузка вычисляется путем умножения
нормативной динамической нагрузки на коэффициент пе-
регрузки. который для машин первого типа принимает-
ся равным 1,3 и для машин второго типа—4; в каче-
стве исключения для впброннерцнонных грохотов и ков-
шовых элеваторов коэффициент перегрузки принимается
равным 2.
Деление машин на группы по частотности, на катего-
рии по динамичности н на классы по чувствительности
к колебаниям производится по действующим инструк-
тивным материалам.
Отнесение машин к той нлн мной категории по дина-
мичности производится на основании ориентировочных
данных табл. 20.22.
От динамических нагрузок, возникающих в машине
и заданных амплитудами главного вектора н главного
момента динамических сил, по формулам табл. 20.23 де-
ляется переход к динамическим нагрузкам, передающим-
ся на опоры.
Динамические нагрузки большинства машин непре-
рывного действия изменяются по гармоническому зако-
ну, а в отдельных случаях выражаются некоторыми пе-
риодическими негармоническими функциями временн.
Таблица 20.22
Ориентировочное деление машин на категории по динамичности
Категория машин 1 по динамичности Динамичность машины Наименование машин
I Малая Станин и автоматы фрезерные, зуборезные, эуборезьбошлифоввльные. сверлильные, ре- вольверные. расточные н доводочные: шлифо- вальные станки с весом шпинделя и камня менее 20 кг; токарные стоики по металлу с ве- сом шпинделя 20 кг; деревообрабатывающие станки; прядильные машины; упаковочные автоматы кондитерской. пище в oil и вкусовой промышленности: папнросонзбивные и другие автоматы табачных фабрик; автоматы для точки лезвий бритв; швейные машины; элек- тромашины весом менее 100 хг; ротационные насосы весом менее S0 хг н т. п.
II Средняя Шепинги и другие строгальные станки; то- карные станки с весом шпинделя более 20 кг: шлифовальные станки с весом шпинделя н кам- ня более 20 яг. но менее 100 дг; точильные камин; маломощные поршневые насосы; не- уравновешенные одноцилиндровые двигатели, произведение веса поршня которых иа радиус кривошипа меньше 250 хгем; горизонтальные и вертикальные центрифуги с весом заполненно- го барабана менее 100 кг; гребнечесальные ма- шины прядильных фабрик: гладильные бара- баны швейных фабрик; трансмиссионные пере- дачи; вентиляторы с весом ротора менее 30 кг; электромашины весом более 100 кг, но менее 1000 кг к т. п.
III Боль- шая Центрифуги с весом заполненного барабана более 100 кг, но менее 300 кг; вентиляторы с весом ротора более 30 кг. ко менее 100 кг; ткацкие станки: штампы и прессы с весом пол- зуна менее 200 кг: типографские машины; шлифовальные станки с весом шпинделя кам- ня более 100 кг; электромашины весом более 1000 кг: неуравновешенные одноцилиндровые двигатели, произведение веса поршня которых на радиус кривошипа более 250 кесм. ио мень- ше 750 кгем; поршневые насосы средней мощ- ности и т. п.
IV Очень боль- шая Штамп- и пресс-автоматы с весом ползуна более 200 кг (например, прессы шарикопод- шипниковых заводов, штампы бисквитные): сотрясательные сита крахмальных и сахарных заводов: рассевы: дробилки: внбростолы и грохоты обогатительных и других фабрик и за- водов: вентиляторы с весом рогора более 100 хг; црнтрнфуги с весом заполненного ба- рабана более ЗСЙЭ кг: неуравновешенные одно- цилиндровые двигатели, произведение веса поршня которых на радиус кривошипа больше 750 кгем; мощные поршневые насосы-« т. п.
372
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Схема действия на конструкцию инерционных снл матиц
Таблица 2023
Кинематическая схема машины 0 -м j г»
-Е ►— О —-м —о —
1 'г h 1 ( *» -44
г
*JfJh . ~J
' Ось злененто конструкции (А -ДИ и—
Направление и точка приложения инерционной силы R ♦ 1 Й Я * Йт т X ?
/ 14- 7\
-0 — Сд-J* 'L-B-Ji -г-* 4
Схема действующих ня конструк- цию усилий при опирании машины в двух точках 4- * 7> ’*г ч 4 I т
Схеме действующих ив конструк- цию усилий прн сплошном опира- нии машины или прн —<0.2 (/ — пролет) А б Д б д 6 4 q- г Д Д_ b ‘К’
При вращении ротора неуравновешенность приводит-
си к центробежной силе R=mea? н к моменту М=*
=теЬю3 (т — масса ротора; е — расчетный эксцентрн-
цнтет центра масс; Ь — расчетное плечо пары снл; се —
круговая частота вращения), постоянных по модулю, но
переменных по направлению.
При возвратно-поступательно движущейся массе ди-
намическая нагрузка в общем случае может быть пред-
ставлена трнгонометрической суммой
R = Е (од cos kat -f- bh sin W),
k
в которой а* н 4. — коэффициенты Фурье.
Кратковременно действующие (импульсивные) на-
грузки по характеру действия во времени делятся иа
кратковременный кмпульс и мгновенный импульс. Крат-
ковременный импульс определяется величиной, формой
н продолжительностью действия; мгновенный импульс
определяется только своей величиной.
20.4.1. Машины с конструктивно
неуравновешенными движущимися частями
К числу таких машин относятся машины с крнвошнп-
но-шатуннымн н кривошипно-кулнеиымн механизмами:
поршневые компрессоры, металлообрабатывающие стро-
гальные. плоскошлифовальные и тому подобные станки,
щековые дробилки, вибрационные центрифуги, ткацкие
станки, штампмашнны, поршневые насосы, плоскопечат-
ные типографские машины и т. п.
Динамические нагрузки от машин с кривошипно-ша-
тунными и кривошипно-кулисными механизмами, щеко-
вых дробилок, ткацких станков, штампмашнн. металлоре-
жущих станков с гидроприводом и типографских машин
можно найтн в (25].
20.4.2. Машины с номинально
уравновешенными, а фактически
неуравновешенными движущимися частями
К числу этих машин относятся центрифуги, метал-
лообрабатывающие токарные, точильные, шлифоваль-
ные и тому подобные станки с вращающимися шпин-
делями и камнями, вентиляторы, электромашины, тур-
бины и т. п.
В таких машинах возникают динамические нагруз-
ки, определяемые величиной центробежной силы
R = /песо*,
где R — нормативная амплитуда динамической на-
грузки: т — масса движущихся частей машины; е —
20.S. О ДИНАМИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ ПЕРЕКРЫТИИ И КАРКАСОВ ЗДАНИИ
373
Таблица 20 24
Значении с для некоторых машин
№ п- л. Виды машин г Примечание
1 2 3 4 6 6 7 Грохоты Центрифуг» Молотковые дробилки Металлорежущие станки с главным вращательным движением Вентиляторы с горизонтальной осью, располагаемые на междуэтажных пере- крытиях Электромашины Турбины а S D 1000 1 ММ J_ 10 0.5 мм ЯП 20-j-n1 60 2604-л» а — амплитуда колебаний коробов в соответствующем направлении D — диаметр ротора. Для вычисления амплитуды мо- мента берется плечо силы, равное половине длины ротора За расчетную амплитуду силы от молотковых дробилок принимается увеличенная в 4 раза центробежная сила, яизннкающая при отрыве одного молоткв. Для вычисле- ния нормативного моменте (при рабочем режиме дробил- ки) берется плечо силы, равное половине расстояния между осями подшипников; для вычисления расчетного динамического момента (в аварийном режиме) следует принимать плечо силы, равное половине расстояния меж- ду крайними рядами молотков d — диаметр обрабатываемой детали нлн инструмента: силе считается приложенной к центру тяжести вращаю- щихся частей, динамический момент не учитывается В вентиляторах, рабочие колеса которых подвергались лишь статической балансировке, учитывается динамиче- ский момент, вычисляемый прн эксцентрицитете, равном е,-0.34-0.001 £>, где О—диаметр ротора в мм, и прн ши- рине ротора b п — число оборотов главного вала машины в 1 сек
эксцентрицитет движущихся масс; ш — круговая ча-
стота.
Величина т представляет собой условную массу вра-
щающихся частей: в грохотах это масса норобов и 25%
массы обрабатываемого материала, находящегося одно-
временно на ситах грохота, в центрифугах — масса
барабана н вала вместе с заполнением, в металло-
режущих станках с главным вращательным движени-
ем (токарные, сверлильные н т. п.) — масса вращаю-
щейся заготовки нлн инструмента со шпинделем, в вен-
тиляторах. электромашинах н турбинах — масса ротора
и вала.
В табл. 20.24 приводятся значения величины е для
некоторых машин.
20.5. О ДИНАМИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ ПЕРЕКРЫТИИ
И КАРКАСОВ ЗДАНИЙ
20.5.1. Расчетные схемы
Прн расчете на действие периодической нагрузки
предварительно определяются частоты свободных ко-
лебаний конструкций сооружения. Прн этом обращает-
ся внимание на то, чтобы расчетная схема по возмож-
ности хорошо отражала действительную работу кон-
струкции. В частности, для оценки частот свободных
колебаний перекрытий следует правильно учесть усло-
вия опирания и заделки отдельных элементов. Для
монолитных перекрытий вследствие большой крутиль-
но-нзгнбпой жесткости балочных элементов, обрамляю-
щих плиты, последние следует считать защемленными
по тем сторонам, где плита примыкает к балкам. Ба-
лочные элементы обычно рассматриваются как разрез-
ные нлн неразрезныс балки без учета сопротивления
колонн изгибу или балок — кручению.
Для сборных элементов условия заделки плит и ба-
лок зависят от степени н надежности замонолнчнвання
и условий эксплуатации. Опыты показали, что в не-
которых случаях плнты. недостаточно надежно замоно-
лнченные, имели в начале эксплуатации частоты, близ-
кие к условиям за дел кн. а затем, с течением времени,
частоты снижались за счет того, что условия заделки
пол действием нагрузки изменялись.
Прн расчете покрытий н перекрытий рекомендуются
расчетные схемы, приведенные в табл. 20.25.
Более подробные сведения о расчетных схемах пере-
крытий можно найти в инструкции [19].
При определении частот свободных колебаний об-
ращается внимание на величину и расположение полез-
ной нагрузки, так как в отдельных случаях значитель-
ное изменение (в том числе и снижение) полезной на-
грузки может быть причиной появления резонансных
колебаний.
Прн определении частот горизонтальных свободных
колебаний зданий рамно-каркасного типа можно пре-
небрегать массой стоек, присоединять массу заполнения
к массе соответствующего перекрытия н считать каж-
дое междуэтажное перекрытие абсолютно жестким
в своей плоскости. Жесткость перегородок, стен, лест-
ничных клетон и т. д. может значительно (иногда во
много раз) увеличить жесткость каркаса, поэтому нуж-
но по возможности принимать во внимание жесткость
всех элементов здания.
В связи с этим рекомендуются следующие расчет-
ные схемы по табл. 20. 36.
374
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Таблица 20.25
Типовые расчетные схемы для динамического расчета перекрытий и покрытий
Тип конструкций Элементы, для которых определяются частоты Расчетные схемы Возможная погрешность определения частот
1. Плнты н настилы по бал- кам железобетонным, стальным и деревянным Главные и вспомогатель- ные балкн. Плнты с проле- том более 1.5 м Однопролетные нлн неразрезные многопролетные балкн. Однопролетные илн неразрезные балочные плиты (в зависимости от фактических условий) 0.2S
2. Железобетонные ребристые перекрытия Главные н вспомогатель- ные балки. Пли гы с проле- том более 2 м Неразрезные многопролетные балки млн рамы с иеемещающнмися узлами. Н ер аз резные балочные плиты 0.30
3. Железобетонные крупнопа- нельные плиты по стальным нлн железобетонным ригелям Прогоны, плнты Неразрезные многопролетные балкн илн рамы с нссмещающнмнся узлами. Неразрезные многопро- летные плиты по перекрестным балкам. Одкопро- лстные плнты 0.35
4. Безбалочные перекрытия Безбалочная плита Плита, подпертая в точках, с учетом жесткости колони н капителей 0.35
5. Покрытия по фермам Фермы Система с конечным числом степеней свободы 0.15
6. Железобетонные покрытия по балкам н фермам Плнты н балкн Многопролетные и однопролетные балкн. одко- пролетные плнты 0.16
Таблица 20.36
Типовые расчетные схемы для расчета эдакий иа горизонтальные колебания
Типы эдакий Расчетные схемы Возмож- ная по- грешность определе- ния частот
1. Каркасные здания с нежестким стено- вым заполнением (например, со сплошным остеклением стен), без внутренних несу- щих стен. Каркасные площадки под ма- шины 2. Каркасные здания с тяжелым стено- вым заполнением и внутренними стенами. Здания с несущими стенами и монолитны- ми перекрытиями Этажерка с неподвижным основанием н недеформируемымн перекры- тиями. с которыми жестко связаны вертикальные стойки. Перекрытия могут поступательно перемещаться и поворачиваться в своей (горизон- тальной) плоскости. При этом стойки считаются работающими на попе- речный изгиб и кручение Коробка с нсдсформмрусмымм яерекрытиямн. с которыми жестко свя- заны вертикальные стойки. Перекрытия могут поступательно переме- щаться в своей (горизонтальной) плоскости. При этом стойки считают- ся работающими на поперечный изгиб, а наружные н внутренние стены на сдвиг в своей плоскости 0.25 0.30
Прн определении нагибной жесткости моменты инер-
ции рекомендуется принимать следующим образом:
для балок прн немонолнтном настиле — момент инер-
ции поперечного сечення балкн;
для балок прн монолитной железобетонной плите —
сумму моментов ннерцнн сеченнн балкн н плнты; прн
этом расчетная ширина сечення плнты принимается
равной расстоянию между осями балок, но не более
половины пролета балкн;
для балок ребристого монолитного перекрытия (по-
крытия) — момент инерции монолитного таврового се-
чения с шириной плнты. указанной выше; если сталь-
ные балкн обетонированы железобетонной плнтон по-
верху нлн понизу, перекрытие рассматривается как
ребристое монолитное;
для балочных плнт —момент ннерцнн поперечного
сечення плнты.
Прн расчете крупнопанельных плнт, плнт безбалоч-
ных перекрытий н т. д. определяется цилиндрическая
жесткость плиты.
Если постамент под машину нлн установку монолит-
но связан с перекрытием, он учитывается прн определе-
нии жесткости соответствующего элемента перекрытия.
20.5.2. Частоты и формы
свободных колебаний
Определение частот свободных колебаний составляет
существенную часть динамического расчета.
Прн расчете сооружений на действие периодической
нагрузки часто раскладывают решение в ряд по соб-
ственным функциям; определение частот свобозных ко-
лебаний предшествует рассмотрению вынужденных ко-
лебаний. Если прн расчете сооружений на действие
нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону,
непосредственно определяется частное решение неодно-
родного уравнения, определение частот свободных ко-
лебаний формально не нужно, однако н в этом случае
рекомендуется определять частоты свободных колеба-
ний с целью выяснения вопроса о том. насколыко ве-
роятны явления резонанса, что в свою очередь зависит
от соотношения частот свободных н вынужденных ко-
лебаний.
Прн расчете сооружений на действие импульсивной
нагрузки необходимо определять несколько частот сво-
бодных колебаний по указаниям инструкции [26].
20.5. О ДИНАМИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ ПЕРЕКРЫТИИ И КАРКАСОВ ЗДАНИИ
375
Как правило, прн расчете на периодические нагруз-
ки всегда определяется частота основного тона н не-
которое число высших частот; прн этом следует учи-
тывать, насколько близки частоты свободных колеба-
ний к частоте вынужденных колебаний; как правило,
в практических расчетах определяется следующее число
частот и форм собственных вертикальных колебаний
несущих конструкций: для однопролетных балок —2;
для однопролетных плит—4; для неразрезных ба-
лок —2N, для ферм — согласно инструкции [66], по ко-
торой число определяемых частот н форм определяется
верхней границей той резонансной зоны, которая за-
ключает в себе частоту возмущающей силы. Здесь
N — число пролетов балкн.
Для регулярных иеразрезных балок, неразрезных
плит и безбалочных перекрытий можно определять
лишь четыре собственные частоты, соответствующие
верхней и инжней границам первой н второй зон сгу-
щения.
В практических расчетах можно не определять соб-
ственные частоты, большие, чем 1,5 л0 (где пп — часто-
та динамической нагрузки) н соответствующие формы
собственных колебаний. Прн этом минимальное число
определенных частот должно быть ие менее 2.
Определение частот свободных колебаний связано
с неминуемыми погрешностями, возникающими вслед-
ствие того, что расчетная схема всегда является доста-
точно грубым приближением к действительности: зна-
чения параметров, от которых зависят жесткости,
задаются неточно и т. д.: к тому же свойства конструк-
ции могут существенно меняться в процессе ее эксплуа-
тацнн нз-за раскрытия трещин в железобетоне, изме-
нения масс н закона нх распределения по конструк-
ции н т. д. В то же время это изменение может ока-
зывать большое влияние в тех случаях, когда одна
или несколько частот свободных колебаний близки к ча-
стоте вынужденных колебаний.
Указанная погрешность учитывается вводом частот-
ных зон, границы которых определяются по формулам
п' = (1—е)п»; i£ = (l-|-e)n° (20.41)
и т. д., где п°—r-я частота собственных колебаний
элемента, определенная в результате расчета; пг —ле-
вая граница частотной зоны; пг — правая граница ча-
стотной зоны; е — расчетная погрешность в определе-
нии частот, определяемая по табл. 20. 25 н 20. 26.
Для конструкций, имеющих эоны сгущения частот,
частотные зоны увеличиваются путем уменьшения низ-
шей н увеличения высшей частоты каждой зоны по
формулам:
nj = (l—е)п®; п; = (!+е)Я;:
о . . (20.42)
пг = (1—е)п£ п2 = (1+е)л2,
где п°, Пр Пр nJ— низшая и высшая частоты соответ-
ственио первой н второй зоны сгу-
щен ня, полученные в результате
расчета.
Для ферм этн рекомендации уточнены в инструкции
[661.
Определение частот свободных колебаний может
производиться с помощью методов н таблиц этой гла-
вы. материалов нормативного характера, нормативных
документов [19. 26. 65, 66, 24. 49] и многочисленных
материалов, опубликованных в литературе.
20.5.3. Результаты динамического расчета
и нормативные требования
После определения динамических усилий н переме-
щений необходимо выяснить, являются лн полученные
значения допустимыми. Допускаемые с физиологиче-
ской точки зрения амплитуды скоростей н перемещений
(табл. 20.27) определяются в соответствии с санитарны-
ми норманн (СИ 245-71).
Таблица И37|501
Предельно допустимые амплитуды перемещений и скоростей
при гар моим чес км к колебаниях рабочих мест в производственных
помещениях
(л — частота в ец; сц — амплитуда (пиковое значение)
перемещения в мм)
п а» а> в»
1.4 3.11 5.6 0,13 22.4 0.02
1.6 2,22 6,3 0.09 25 0.016
2 1.28 8 0.056 31.5 0 014
2.5 0.73 10 0.ГЦ5 40 0,0113
2.8 0.61 11.2 0.041 45 0,0102
3.2 0,44 I2.S 0.036 50 0.009
4 0,28 16 0.028 63 0.0072
5 0.16 20 0.0225 80 0.0056
90 0.005
Среднеквадратичное значение скорости: прн частоте от
1,4 до 2,8 ец — 11.2 мм1сек. от 2.8 до 5.6 ец — 5 мм/сек н ст
5,6 до 90 гц — 2 мм/сек.
Более детальная классификация кинематических па-
раметров гармонических колебаний по характеру нх
действия на людей содержится в табл. 20. 28.
Таблица 20.28
Характеристика воздействия колебаний на людей в завися мости
от скорости и ускоренна гармонических перемещений
с амплитудой не более 1 леи
Характеристика воздействия колебаний на людей Предельное ускорение колебаний щ, в мм/сек* Предельная скорость колебаний va в мм/сек
Не ощутимы Слабо ощутимы Хорошо » Сильно ощутимы (мешают) Вредны прн длительном воздействии Безусловно вредны . . . Для частот от 1 до 10 кол/с*к 10 40 125 400 1000 Более 1000 Для частот от 10 до 100 кол'се к O.I6 0.64 2,0 1 6.4 16 Более 16
Кинематические характеристики колебаний могут ог-
раничиваться с технологической точки зрения; этн ог-
раничения должны регламентироваться технологами;
для ориентировки в этом вопросе можно пользоваться
табл. 20. 29.
Таблица 20.29
Классы машин и приборов по чувствительности ж гармоническим
колебаниям основания
I Класе машин | н приборов | Характеристика ывшнн и приборов по чувствитель- ности к гармоническим колебаниям Допускаемая амплитуда
ускорения сц» в мм/с?** для частот 1-10 ец скорости о. в мм/сек для частот 10-100 гц
I Высокочувствительные . . 6.3 0.1
11 Сред нечувствительные . . 63 1
111 Малочувствительные . . . 250 4
IV Нечувствительные . . , Более 250 Более 4
376
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЯ
Проверка изгибаемых элементов на прочность произ-
водится по формуле
< Мр,
проверка на выносливость производится по формуле
где М — изгибающие моменты: М? — от расчетной ста-
тической нагрузки; М” — от нормативной статической
нагрузки; Mj — от расчетной дннамнческой нагрузки;
М₽— предельный момент, воспринимаемый сечением,
определяемый по СНиП Н-В. 1-62*; МаЫн — предель-
ный момент, определяемый согласно СНнП по рас-
четному пределу выносливости.
В отдельных случаях, когда динамические перемеще-
ния малы, проверку на прочность (с учетом динамиче-
ских воздействий) н на выносливость не производят.
В частности, для изгибаемых элементов перекрытий,
площадок н т. п. не учитываются динамические на-
грузки от машин н установок всех категорий дина-
мичности, если наибольшее динамическое перемещение
от расчетных нагрузок за вычетом перемещений опор
не превышает ’/зоооо пролета элемента; для колонн
н стен зданий, а также стоек площадок н этажерок от
машин и установок всех категорий по динамичности
проверку на прочность и выносливость не производят,
если разность горизонтальных динамических перемеще-
ний ннжнего н верхнего концов колонны (стены, стойки)
в пределах этажа от расчетных нагрузок не превыша-
ет ‘/зоооо высоты этажа.
Если полученные в результате расчета динамические
параметры колебаний илн усилия недопустимы, то в
тех случаях, когда превышение невелико, может ока-
заться возможным получить удовлетворительные ре-
зультаты, изменив размеры сечений; это относится глав-
ным образом к тем случаям, когда не выполнены тре-
бования прочности.
Однако в большинстве случаев такой подход нельзя
считать правильным, и нужно разрабатывать более ра-
дикальные и эффективные н в конечном итоге более
экономичные методы снижения уровня вибраций
(см. 20.6).
20.6. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ И ДРУГИЕ СПОСОБЫ
БОРЬБЫ С ВИБРАЦИЯМИ
20.6.1. Внброизоляция
Внбронзоляцня — одно нз наиболее простых н эф-
фективных конструктивных решений, уменьшающих
вредное влияние вибраций.
Задачей активной внбронзоляцнн является существен-
ное уменьшение дннамнческой составляющей сил, пе-
редаваемых неуравновешенной машиной на опорную
конструкцию, в результате чего уменьшатся вибрации,
передаваемые изолируемыми машинами на сооруже-
ние. Прн проектировании н расчете активной внбронзо-
ляцин важную роль играет характер динамического
воздействия машины.
Пассивная внбронзоляцня предназначена для изоля-
ции точных приборов, прецизионных станков, рабочих
помостов и т. д. от вредного влияния колебаний под
держивающнх конструкций. Прн расчете пассивной
внбронзоляцнн необходимо знать характер колебаний
пзкдер/лпяак' лей конструкции.
20.6.2. Принципиальная схема работы
виброизолнрованной установки.
Конструктивные схемы внброиэоляции
и виброизоляторов.
Содержание и задачи расчета
Если в состав машины входит направленный верти-
кальный вибраторе массой вращающихся частей ш,, чне-
nN
лом оборотов в I мин N (круговая частота р=~). экс-
30
Центрнцитетом вращающихся частей е. то амплитуда
силы, передаваемой вибратором, равна Рц^т^е.
В вес внбронэолнрованной установки P=mg включает-
ся полный вес машины, опорной рамы и постамента нли
блока. Постаментом нлн блоком называется часть фун-
дамента под машину, жестко с ней связанная и соеди-
ненная с опорной конструкцией системой гибких опорных
элементов — амортизаторов илн внбронзоляторов. Если
суммарную жесткость внбронзоляторов в вертикальном
направлении обозначить через С., то круговая частота
собственных колебаний внбронэолнрованной установки
будет ш= I/ -------. Прн проектированнн внбронэолнро-
F /71
ванной установки круговая частота со выбирается так.
_ г -
чтобы отношение v=------ было достаточно большим —
to
порядка 4—5 н более. В этом случае прн работе вибрато-
ра колебательная система «установка — опорные пру-
жины» будет находиться в зарезонансном режиме, н со-
гласно формуле (20.5) получаем, что пружины перелают
на основание силу, амплитуда которой, если пренебречь
влиянием затухания, равна:
Рд ______
(20.43)
Так как уменьшение амплитуды силы, передаваемой
на опорную конструкцию, в основном определяется от-
ношением частотных характеристик, то для достижения
должного эффекта внбронзоляторы должны быть до-
статочно податливыми.
Прн проектированнн внбронзоляцнн следует учиты-
вать прохождение через резонанс в процессе пуска нлн
остановки машины.
Для уменьшения амплитуд колебаний прн прохож-
дении через резонанс нужно применять внброизолято-
ры. имеющие достаточно большое затухание (например,
комбинированные — металлореэнновые нли резиновые
внбронзоляторы). Затухание обычно мало сказывается
на качестве внбронзоляцнн в эксплуатационном режиме.
Внбронзолнрованпая установка может быть выполне-
на в опорном (рнс. 20.33) и подвесном варианте
(рнс. 20.34 н 20.35). В первых двух случаях внбронзо-
ляторы работают на сжатие, в третьем — на растя-
жение (рнс. 20.35).
Если отметка основания блока ниже уровня пола, то
он опирается иа днище железобетонного короба, назы-
ваемого ванной (рнс. 20.36).
Конструкция внбронзоляторов с гибкими стальными
пружннамн показана на рнс. 20.37. Для демпфирования
колебаний в процессе пуска (остановки) используются:
вязкие демпферы — системы, состоящие нз поршня, ко-
торый прн колебаниях движется в сосуде, наполненном
вязкой жидкостью (ряс. 20.36); элементы, в которых
возникает сухое трение, например рессоры (рнс. 20.39).
резиновые элементы.
20.6. ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ И ДРУГИЕ СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ВИБРАЦИЯМИ
377
Все демпферы включаются в конструктивную схему
параллельно гибким опорным элементам.
В качестве гибких элементов могут быть приняты и
резиновые вибронэоляторы; в этом случае необходимое
сопротивление для уменьшения амплитуд колебаний
Рис. 20.33 Рнс. 20.34
Рнс. 20.35
Рис. 20.36
Рнс. 20.37
Рис. 20.38
Рнс. 20.39
в процессе пуска н остановки получается за счет внут-
реннего поглощения в материале внбронзолятора.
Для нормальной работы внбронзоляцин необходимо,
чтобы все примыкания трубопроводов н других соедини-
тельных элементов были достаточно гибкими, для чего
применяются гибкие вставки.
Под расчетом виброиэоляцнн подразумевается опре-
деление основных параметров внброизолнрованной уста-
новки — массы блока, моментов инерции массы блока,
жесткости внбронзоляторов, их количества и располо-
жения в плане, установление необходимых параметров
затухания. Расчет виброиэоляцнн обычно проводится по
проверочной схеме. До расчета задаются ориентировоч-
но численными значениями соответствующих конструк-
тивных параметров, а затем проверяют, насколько пра-
вильно были заданы эти значения.
Расчет внбронзоляцин состоит нз проверки работы
внбронзоляцин в двух режимах: а) эксплуатационном н
б) переходном.
Для проверки внбронзоляторов на прочность и подат-
ливость определяются напряжения и перемещения в гиб-
ких элементах; в необходимых случаях проводится про-
верка пружин на устойчивость.
20.6.3. Расчет виброиэоляцнн
Активная внбронзоляцин при
периодических нагрузках
Прн расчете активной внбронзоляцин необходимо on*
ределнть, в канон степени уменьшается величина ампли-
туды силы передающейся иа поддерживающую кон-
струкцию, по сравненню с амплитудой заданной дина-
мической нагрузки Рл. Эффективность активной вибро-
изол яцнн определяется коэффициентом передачи силы
= (20.44)
Ра v- -1 Ш
Обычно ц принимается равным Vis—’Ао- Если из тех
нлн иных соображений задается р, то v определяется
из формулы (20.44).
Изготовление внбронзоляторов. обеспечивающих ча-
стоту свободных колебаний установки ниже 2 гц, за-
труднительно. поэтому внброизоляиия наиболее эффек-
тивна и проста в изготовлении для машин, число обо-
ротов которых превышает 500 об/мин. В диапазоне
350—500 об/мин можно в качестве исключения допу-
скать увеличение коэффициента ц. однако так, чтобы
Частота собственных колебаний установки не опреде-
ляет однозначно размеров постамента н жесткости внб-
ронзоляторов.
После определения необходимой частоты свободных
колебаний внбронзолнрованного фундамента основные
параметры внбронзоляцин — масса установки т и об-
щая жесткость внбронзоляторов с — определяются ис-
ходя нз допускаемой амплитуды колебаний блока, ко-
торая назначается на основании технологических требо-
ваний.
Подсчет амплитуды вертикальных колебаний произ-
водится по приближенной формуле
(20.45)
тр*
В тех случаях, когда нужно учитывать горизонталь-
ные н вращательные колебания фундаментов, аыплнгу-
ды горизонтальных колебаний центра тяжести блока
пог определяются по формулам:
Рх Ру
аа1=—«04 = —^ • (20.46)
тр* * тр-
Амплнтуды углов поворота <рм, фо,. фо., возникаю-
щих прн вращательных колебаниях, находятся по при-
ближенным формулам:
(20.47)
Ант Р~
Принятые обозначения:
Рк, Ру н Рх— амплитуды составляющих возмущаю-
щей силы в направлении осей х0,
И г0 в кГ;
378
РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
Мю, Mf,v, Мсг— амплитуды возмущающих моментов
относительно осей х0, уо н Zt>
в кГ-см\
Jo,, Joy и Ju— моменты ннерцнн массы изолиру-
емой установки относительно осей
*о. Уо н 2о в кГ-см-сек1;
m=Qtg— масса всей установки, равная сум-
ме масс изолируемой машины н пос-
тамента, в кГ-сек^-см-'-,
р=2лл0—круговая частота возмущающей си-
лы;
no=A','60—частота возмущающей силы в гц;
N — число оборотов (циклов) машины в
I мин.
Осн х», уо, г<> являются главными центральными ося-
ми инерции вибронзолнруемой установки.
Ориентировочная величина амплитуды горизонталь-
ных колебаний наиболее удаленной от плоскости х0Оу0
тачки (точки с максимальной амплитудой горизонталь-
ных колебаний) изолируемого объекта в направлении
осей *о н Уо определяется по одной из формул:
Яг = °вх + Фр Яр = Яор + фхОг. (20.48)
где и, — расстояние (в направлении осн z0) между
плоскостью ХоОуо и наиболее удаленной от этой плос-
кости точкой изолируемой установки.
Амплитуду горизонтальных колебаний i-й точки уста-
новки, для которой задано допустимое зиаченне этой
амплитуды, подсчитывают по формуле (20.48) с подста-
новкой вместо V, велнчнны о,<. равной координате i-fi
точки на осн го.
Приближенные значения амплитуд колебаний /й точ-
ки установки, вызванных только вращательными коле-
баниями последней относительно осей х0, уо н г0 (без
учета поступательных колебаний центра тяжести уста-
новки), допускается определять по формулам:
о/х = Фох“/х; о/р = Фор“/р “/г=Фи“й.
где uj«, и/, н и/, — расстояния от соответствующей оси
вращения х0, у0 и го до наиболее удаленной от нее /-й
точки установки.
В случае, когда вычисленные по формулам (20.45),
(20.46), (20.47), (20.48) амплитуды колебаний установки
окажутся больше допустимых, необходимо увеличить
массу т и моменты инерции путем устройства специаль-
ного постамента или увеличения его размеров, если по-
стамент был ранее предусмотрен.
Величина коэффициента иеупругого сопротивления
6, фв
Тв =----= —— , характеризующего демпфирующие
я 2л
свойства (затухание) в внбронзоляторах, определяется
по графику (рнс. 20.40) в зависимости от углового уско-
рения е (в гц/сек) и отношения максимальной амп-
литуды колебаний установки прн пуске или остановке
машины «хаке (в см) к амплитуде вертикальных коле-
баний установки при рабочем режиме машины а»,
(в см), где п0 — частота свободных вертикальных коле-
баний в гц.
Зная величину е и задавшись отношением аванс/а<».
по графику определяют величину минимально необходи-
мого значения ув. Если найденная по графику величи-
на у>^0,03, то можно применять вибронзоляторы из
одних стальных пружин. Прн ув>0.03 необходимо при-
менение резиновых внброизоляторов или комбинирован-
ных внброизоляторов. состоящих нз стальных пружин
и резиновых элементов.
Внбронзоляция вентиляторов может выполняться с по-
мощью одних пружин, так как гибкие патрубки, соеди-
няющие вентиляторы с воздуховодами, обеспечивают
достаточное затухание.
Пассивная внбронзоляция
При проектировании пассивной внброизоляцин необ-
ходимо знать частоту колебаний основания Шо- Для оп-
ределения частоты свободных колебаний внбронзолнро-
ваииой установки задаются коэффициентом передачи
р, равным отношению амплитуд перемещений установки
и основания, после чего находят отношение
Обычно Шо/<1>1>4;
коэффициент
иеупругого сопротивления принимается равным у~
»0,044-0.05. Расчет внброизоляцин подробно рассмотрен
в руководстве [49а].
20.6.4. Другие способы борьбы с вибрациями
строительных конструкций
В тех случаях, когда при проектировании сооружений
полученные в результате динамического расчета харак-
теристики колебаний строительных конструкций ие удов-
летворяют требованиям норм с точки зрения прочности,
воздействия па люден или влияния на приборы нлн ма-
шины, следует уменьшать расчетный уровень колебаний
в запроектированном сооружении.
Имея в виду трудности, возникающие прн борьбе с
вибрациями в эксплуатируемом сооружении, необходи-
мо обратить внимание на учет динамического фактора
при проектировании. В случае, если вибрации возникли,
то всякие меры по борьбе с ними возможны только пос-
ле тщательного обследования, сопровождаемого инстру-
ментальным замером величин, характеризующих колеба-
20.6. ВНБРОИЗОЛЯЦИЯ И ДРУГИЕ СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ВИБРАЦИЯМИ 379
пня, н внимательного нзучення источников колебаний
н динамических характеристик строительных конструк-
ций. Нельзя дать общих правил для выбора нанлучшего
мероприятия по борьбе с вибрациями. В каждом отдель-
ном случае нанлучший способ будет найден в результа-
те инженерного анализа, учитывающего как теоретиче-
скую. так и практическую сторону дела, т. е. эффектив-
ность. простоту н экономичность рекомендуемых меро-
приятии.
Выбор мероприятии сопровождается динамическим
расчетом, позволяющим в ряде случаев надежно уста-
новить, насколько уменьшатся прн измененных условиях
величины, характеризующие колебания (амплитуды, ско-
рости. ускорения и т. д.). Во многих случаях речь идет
главным образом об уменьшении амплитуд перемеще-
ний, так как обычно нас интересуют колебания с задан-
ной частотой.
20.6.5. Мероприятия по уменьшению
вынужденных колебаний,
передаваемых машинами
Один из способов уменьшения колебаний — снижение
амплитуды динамических нагрузок. В тех случаях, ког-
да машины принадлежат к числу номинально уравно-
вешенных, для уменьшения колебаний рекомендуется
провести балансировку, в первую очередь статическую.
В машинах с конструктивно неуравновешениымн дви-
жущимися частями рекомендуется динамическое уравно-
вешивание, а также спаривание (нлн страивание) отдель-
ных кривошипно-шатунных механизмов. Если колебания
сооружений вызваны работой близко расположенных
мощных низкочастотных компрессоров, спаривание мо-
жет быть эффективным средством борьбы с вибрациями
только прн проведении жесткой синхронизации работы
мвшин для исключения возможности возникновения
биений; рекомендуется также устройство антнвнбраторов.
Прн ярко выраженном резонансном характере колеба-
ний можно попытаться изменить число оборотов маши-
ны (уменьшить или увеличить), если это допустимо по
технологическим соображениям, избегая совпадения но-
вой частоты возмущающей силы с другой частотой соб-
ственных колебаний конструкции.
Внбронзоляцня наиболее эффективна для машин
С числом оборотов в минуту 500 н более; степень эф-
фективности растет с числом оборотов. В отдельных
случаях применение правильно рассчитанной внбронзо-
ляцнн не дает положительных результатов. Причиной
этого могут быть дефекты конструирования и монтажа,
приводящие к тому, что жесткость внбронзоляторов бу-
дет значительно выше проектной. Например, прн резино-
вых внбронзоляторах любые боковые обоймы
(рнс. 20.41) нлн стенкн резне повышают жесткость анб-
роизоляторов, так как не дают резине возможности рас-
ширяться в поперечном направлении; прн пружинных
внбронзоляторах сильная предварительная затяжка мо-
жет полностью ликвидировать податливость, т. е. нару-
шить основное условие работы внбронзелятора. Нако-
нец, отсутствие илн малая податливость гибких вставок
в местах примыкания труб н других конструктивных эле-
ментов к изолируемой машине также может быть причи-
ной плохой работы внбронзоляцнн.
Вертикальные колебания перекрытия могут быть
уменьшены, если машины, передающие вертикальные
дннамнческне нагрузки, поместить вблизи опор. Гори-
зонтальные колебания здания можно уменьшить, рас-
положив машины так. чтобы горизонтальные динамиче-
ские силы были ориентированы в том направлении, ко-
торому соответствует большее значение произведения
с(1—V»), где с —жесткость, равная 1/6<*; б<< — стати-
ческое перемещение каркаса от единичной силы на от-
метке перекрытия; v — отношение частоты вынужден-
ных колебаний к частоте собственных.
Прн изменении расположения машин на перекрытии
изменяется спектр частот; прн приближении машин
к опорам частоты свободных колебаний перекрытия по-
вышаются.
Рнс. 20.41
Увеличение жесткости сооружения служит прн опре-
деленных условиях одним на эффективных способов
борьбы с внбрацнямн, поскольку прн этом возможно
также существенное уменьшение колебаний за счет из-
менения частоты свободных колебаний, при которой
конструкция выходит нз состояния резонанса.
Рнс. 20.43
Частоты основного тона междуэтажных перекрытий
обычно составляют 8—15 гц, что соответствует часто
встречающимся числам оборотов машин (480—
900 об/мин).
Для предупреждения резонансных колебаний можно
в отдельных случаях увеличивать жесткость балок, с тем
чтобы частота основного гона свободных колебаний ста-
ла значительно выше частоты вынужденных колебаний.
Для того чтобы изменен не жесткости было достаточно
большим, рекомендуется в случаях, когда это возможно,
уменьшить пролет, например путем устройства дополни-
тельных опор, применения легких порталов илн усиле-
ния шпренгслямн (рис. 20.42), При стальных балках
возможно увеличение жесткости путем прнваркн допол-
нительных элементов нлн обетоннровання. В железобе-
тонных балках для увеличения жесткости рекомендует-
ся обетонирован не, а если уменьшение высоты помеще-
ния нежелательно — устройство больших вутов по кон-
цам балкн на протяжении ее крайних третей (о недостат-
ках метода см. стр. 376).
В отдельных случаях, когда машины стоят на пере-
крытия н нх постамент имеет значительную протяжен*
кость по сравнению с пролетом балкн, связь этого поста-
мента с балкон может заметно повысить жесткость.
Прн горизонтальных колебаниях рамного стального
нлн железобетонного каркаса следует учесть, что в этих
сравнительно низкочастотных конструкциях (порядка
ТОи РАЗДЕЛ 20. ДИНАМИКА СООРУЖЕНИИ
3—5 гц) колебания могут возникать вследствие работы
сравнительно низкочастотных машин с горизонтальными
инерционными силами, установленных на перекрытиях
или близлежащих фундаментах. В ряде случаев очень
хорошие результаты дает применение крестовых связей
в плоскости рам (рис. 20.43), которые резко повышают
частоту, увеличивая общую жесткость здания.
Колебания, о которых идет речь, при проектировании
усиления обычно имеют весьма малую амплитуду. По-
этому прикрепление асех усиливающих элементов —
крестов, порталов и др. — должно быть жестким, без ка-
ких-либо малейших зазоров или люфтов; рекомендуется
эти элементы приваривать, хорошо обетонировать сты-
ки и т. д.
В отдельных случаях, когда колебания носят ярко
выраженный резонансный характер, с большим коэф-
фициентом резонансного увеличения, можно уменьшать
жесткость, с тем чтобы попытаться перевести конструк-
цию в зарезонансный режим. Однако этот вариант тре-
бует особо тщательной проверки, так как возможны..* ре-
зонансы с обертонами будут более опасными, чем в не-
измененной конструкции, и, кроме того, может ухуд-
шиться работа конструкции на лейстане статических на-
грузок; в этом случае необходим расчет на прохождение
через резонанс.
20.6.6. Мероприятия по уменьшению
колебаний при прохождении через резонанс
Для уменьшения колебаний прн прохождении через
резонанс рекомендуется:
повышать скорость прохождения через резонанс, ко-
торая характеризуется значением углового ускорения
в момент, когда углоаая скорость равна частоте соб-
ственных колебаний. Обычно скорость прохождения прн
остановке значительно ниже, чем при пуске; ее можно
повысить устройством тормоза — механического, осно-
ванного на трении, илн электрического, основанного и а
использовании контртока в момент остановки;
применять демпфирующие приспособления. Наряду с
демпферами сухого и вязкого трения желательно ис-
пользовать устройства, включающиеся в работу только
во время прохождения через резонанс н не влияющие и а
работу в эксплуатационном режиме. К числу этих уст-
ройств относятся:
I) ударные н динамические гасители колебаний, на-
строенные не частоту собственных колебаний;
2) демпферы сухого и вязкого трення. включающиеся
при больших амплитудах и не принимающие участия
в колебаниях прн небольших амплитудах в эксплуата-
ционном режиме; демпферы можно включать последо-
вательно через упругий элемент.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ананьев И. В. Справочник по расчету собственных
колебаний упругих систем. ОГИЗ. Гостсхиздат. 1SMG.
2- Аид рои ов А. А.. X айкни С. Э. и Витт В. И.
Теория колебаний. Гостехиздат. 1458.
3. Б в р к а н Д. Д. Динамика оснований и фундаментов.
Стройвоенморнздат. 1948.
4. Безухов Н. И. Динамика сооружений в задачах и
примерах. Госстройнздат. 1947.
S. Белоус А. А. Метод деформаций в динамике рамных
конструкций. Сб. «Исследования по теории сооружений», вып. 3.
Госстройиздат. 5939.
В. Белоус А. А. Колебания н статическая устойчивость
плоских и пространственных рам. Сб. «Расчет пространственных
конструкций», вып. 111. Гос. изд. лнт. пи стр. и арх.. 1955.
7. Бернштейн С. А. Основы динамики сооружений.
Госстройнздат. 1941.
8. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих
систем. Гостехтеоретнэдат. 1956.
9. Бондарь Н. Г. Устойчивость и колебания параболиче-
ских арок. «Инженерный сборник», т. XIII, АН СССР ОТН. 1952.
10. Быковский В. А., Карапетян Б. К. Библио-
графический справочник по инженерной сейсмологии н сейсмо-
стойкости сооружений. Ереван. Изд-во АН Арм.ССР. 1964.
II. Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Гос.
мзд. строительной литературы. 1940.
12. Гольденблат И. И. Динамический продольный из-
гиб тонкостенных стержней. «Инженерный сборник», т. V. АН
СССР. 1948.
13. Гольденблат И. И., Сизов А. М. Справочник
по расчету строительных конструкций на устойчивость н коле-
бания. Гос. изд. лит. по стр. н ар!.. 1952.
14. Ден-Гвртог Дж. П. Теория колебаний. Перевод со
второго американского издания А. Н. Обмершем. Гостехтеорег-
яздат, 1942.
15. Д и и я и к А. Н. Устойчивость упругих систем. Изд. АН
СССР. 1950.
16. Д ннн нк А. Н. Избранные труды, т. II. Киев. 1955.
17. Заврнев К. С. Динамика сооружений. Трансжелдор-
мздат. 1946.
16. Изменение М I к разделу СНиП 1I-A.II-62. («Бюллетень
строительной текинки» М 4. 1965).
19. ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. Инструкння по расчету
несущих конструкций промышленных зданий и сооружений на
Динамические нагрузки. Стройиздат. 1970.
19а. Инструкция по расчету покрытий промышленных зда-
ний, воспринимающих динамические нагрузки. ЦНИИСК
нм. В. А. Кучеренко Госстроя СССР. Стройиздат, 1967.
20. Инструкция по проектированию и расчету вибронзоляпнн
машин с динамическими нагрузками и оборудования, чувстви-
тельного к вибрациям (И-2О4-55/МСПМХП). Мннметаллургхим-
строй, ЦНИПС, Гос. изд. лнт. по стр. и арх.. 1956.
21. Инструкция по устранению вредных воздействий вибраций
рабочих мест на предприятиях железобетонных изделий
(CH 190-61). Госстройнздат. 1962.
22. Инструкция по определению расчетной сейсмической на-
грузки для зданий и сооружений. Госстройнздат, 1962.
23. Инструкция по проектированию железобетонных дымовых
труб. Стройнздат. 1962 (НИИЖБ АСнА СССР. Теплолроект Мня.
стр-ва РСФСР).
24. Инструкция по расчету жилых, гражданских, промышлен-
ных и сельскохозяйственных зданий и сооружений на сейсмиче-
ские воздействия. Стройиздат. 1963.
25. Инструкция по определению динамических нагрузок от
машин, устанавливаемых на перекрытиях промышленных зданий.
Стройиздат. 1966 (ЦНИИСК им. Кучеренко Госстроя СССР).
26. Инструкция по расчету Перекрытий на импульсивные на-
(ЙсР) Cт,>oflн^д*т• ,®66 «СК им. Кучеренко Госстроя
27. Инструкция по мерам борьбы с внбр виновны ми воздейст-
виями технологического оборудования при проектировании зда-
ний н сооружений промышленности нерудных строительных ма-
териалов. Стройиздат, 1968.
28. Иорнш Ю. И. Измерение вибраций. Машгнз. 1956.
29. Карман Т. и Б и о М. Математические методы в
инженерном деле. Перевод с английского. Гостехтеоретмздат.
1946.
30. Кац А. М. Вынужденные колебания прн прохождении
через резонанс. «Инженерный сборник», т. 3. вып. 2. Иэд. АН
СССР. 1947.
31. К н р н о с Д. П. Некоторые вопросы инструментальной
сейсмологии. Изд. АН СССР. 1965.
32. Коренев Б. Г.. Сысоев В. И. Метод гашения
колебаний сооружений башенного типа. «Бюллетень строитель-
ной техники». lfe3. М 5.
33. Коренев Б. Г. Некоторые задачи теории упругостд
и теории теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях.
Фнзматгнз. I960.
34. Коренев Б. Г.. Па нов ко Я. Г. Динамический
расчет сооружений. В кн.: «Строительная механика в СССР.
1917—1967». Под ред. И. М. Рабиновича. Стройиздат, 1969.
35. Коренев Б. Г. Расчет промсооруженнй на действие
эксплуатационной динамической нагрузки. «Строительная меха»
ника н расчет сооружений», 1962, М 4.
36. К сочинский И. Л. Расчет строительных конструк-
ций на вибрационную нагрузку. Стройиздат. 1948.
ЛИТЕРАТУРА
381
37. К р ы л о в А. Н. Вибрация судов, т. X. Изд. АН СССР.
1948.
38. ЛоАцянский Л. Г. «Лурье А. Н. Курс теоре-
тической механики, т. II. Гостехтеоретизлат. 1955.
39. Лурье А. И. Методы динамического расчета соору-
жений. Справочник инженера-проектировщика пром сооружений,
т. II. расчетно-теоретический. Госстройнздат, 1934.
40. М । к । р н ч t в В. В Фундаменты под турбогенерато-
ры. Госэнергонздат. 1951.
41. М е д в е д е в С. В. Инженерная сейсмология. Госстрой-
нздат. 1962.
<2. М е д в е д е в С. В. н др. Сейсмические воздействия на
здания н сооружения. Стройиздат. 1968.
43. П а и о в к о Я. Г. Основы прикладной теории упругих
колебаний. Машгиз. 1957.
44. П а и о в к о Я. Г. Состояние и перспективы проблемы
учета гистерезиса в прикладной теории колебаний. Труды науч-
но-техн. совещания по изучению рассеяния энергии при колеба-
ниях упругих тел. Киев. 1958.
45. Подольский В, Г. Вибрация конструкций при су-
хом треннн между элементами. Харьков, изд. «Прапор», 1970.
46. Поляков С. В. Сейсмостойкие конструкции зданий.
«Высшая школа». 1969.
47. Пфейффер П. Колебании упругих тел. Гостехтеорет-
нздат. 1934.
48. Рабинович И. М., Синицын А. П., Тере-
нин Б. М. Расчет сооружений на действие кратковременных
н мгновенных сил. Изд. ВИА. ч. 1. 1956. ч. II. 1958.
49. Расчет каркасных зданий кв сейсмические воздействия
с учетом высших форм колебаний (таблицы и графики). М..
1964. Напечатано на ротапринте.
49а. Руководство по проектированию виброизоляцнн машин
и оборудования. ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко Госстроя СССР.
Стройиздат. 1972.
50. Санитарные нормы проектированнн промышленных пред-
приятий (СН 245-71). Стройиздат, 1972.
51. С м и р н и в А. Ф. Устойчивость и колебания сооруже-
ний. Три неж ел дор нздат. 1958. См. также «Теоркя сооружений»,
т. 111. транежелдорнздаг, 1948.
52. СНнП I1-A.11-62. Нагрузки и воздействия.
S3. СНнП II-А. 12-62. Сейсмостойкое строительство.
54. СНнП II-B.I-62*. Бетонные и железобетонные конструкции.
55. Рекомендации по экспериментальному определению ди-
намических характеристик машин предприятиями машинострои-
тельной промышленности. ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко. Гос-
строя СССР. Стройиздат. 1972
56. Солодовников В. В. Введение в статистическую
динамику систем автоматического регулирования. Гостекнздат,
1952.
57. С о р о к и н Е. С. Динамика междуэтажных перекрытий.
Госстройнздат, 1941.
58. С о р о к и и Е. С. Метод учета неупругого сопротивле-
ния материала прн расчете конструкций на колебания. Сб. «Ис-
следования по динамике сооружений». Стройиздат. 1951.
59. С о р о н и и Е. С. Динамический расчет несущих кон-
струкций зданий. Госстройнздат. 1956.
60. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний Гос-
те хтеоретнэдат. I960.
61. СНнП П-Б.7-70. Фундаменты машин с динамическими
нагрузками. Стройиздат. 1971.
62. Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном
деле. Гос. научио-техннч. изд., 1932.
63. Указания но определению сейсмической нагрузки для
вертикальных аппаратов н примеры расчета. Стройиздат. 1961.
64. Указания по проектированию конструкций крупнопанель-
ных жилых домов (СН 321-65). Стройиздат, 1966.
65. Указания по проектированию конструкций крупнопанель-
ных жилых домов, строящихся в сейсмических районах
(СН 328-65). Стройиздат. 1966.
66. Инструкция по расчету покрытий промышленных зданий,
воспринимающих динамические нагрузки. Стройиздат. 1967.
67. Указания по расчету на ветровую нагрузку технологичес-
кого оборудования колонного типа н открытых этажерок. Строй-
издат. 1965.
68. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем.
«Машиностроение», 1970.
69. Ч уд но век и й В. Г. Методы расчета колебаний н
устойчивости стержневых систем. Киев. Изд. УССР, 1952.
70. Чудновскнй В. Г. Исследование колебаний я
устойчивости пластинок. Сб. «Расчет пространственных конст-
рукций» под ред. С. А. Алексеева, В. В. Новожилова.
А. А. Уманского. Вып. XI. Стройиздат. 1967.
71. В у е г 1 у Perry. Seismology. New York. Prentice—Hall.
Inc.. 1942.
72. House er C., Dynamic Pressures on Accelerated Fluid
Constolners, Bulletin of lhe Seismological Society of America,
47. № I. January. 1957.
73. Jacobsen L. S. Impulsive Hydrodynamics ol Fluid
Inside a Cylindrical Tank and of a Fluid surrounding a Cylind-
rical Pier. Bulletin ol the Seismological Society ol America,
vol. 39, 1949.
74. К I rc h ho II G. Uber die Transversalschwlngungen cinee
Stabes. Wied. Ann. 10. Ml-512. 1680.
75. Lamb H.. Hydrodynamics. Cambridge University Press.
1932. от Dover Publications. New York. 1945.
76. M a c d u f f Y. N. and F e I g а г R. P., Vibration Frequen-
cy Charts. Machine Design. February. 7. 1967.
77. Mononobe N_. Zeltschrlft fur angew. Math. Bd. 1,
S. 444. 1921.
78. Рекомендации по уменьшению вредных вибраций рабочих
мест на предприятиях железобетонных изделий. ЦНИИСК нм.
В. А. Кучеренко Госстроя СССР. Стройиздат, 1972.
79. Санитарные нормы проектирования промышленных пред-
приятий СН 245-71 (Госстрой СССР). Стройиздат. 1972.
80. Справочник по динамике сооружений. Поя ред. Б. Г. Ко-
ренева и И. М. Рабиновича. Стройиздат. 1972.
81. Коренев Б. Г., Зевни А. А.. РезниковЛ.М.
Сравнительный анализ эффективности динамического и ударно-
го гасителей колебаний. «Строительная механика и расчет соо-
ружений». 1972. № 3.
82. Гонткевнч В. С. Собственные колебания пластинок
н оболочек. Справочное пособие. Киев. «Наукова думка», 1964.
РАЗДЕЛ 21
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ (СТЕРЖНЕВЫХ, ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК)
ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
21.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
ПО РАСЧЕТУ КОНСТРУКЦИЙ
В СОСТОЯНИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
Учет иеупругих свойств материалов позволяет надеж-
нее оценивать поведение конструкции под нагрузкой
и в большинстве случаев получать более экономичное
решение по сравнению с расчетом конструкции как уп-
ругой снстемы.
Отклонения от идеально упругих свойств связаны
с образованием остаточных пластических деформаций н
развнтнем деформаций ползучести (см. раздел 12). Рас-
чет с учетом пластических деформаций в первую очередь
связан с оценкой несущей способности элементов кон-
струкций или всей конструкции в целом. Прн этом ос-
новное внимание уделяется определению максимально
возможной нагрузки, которую еще может нести кон-
струкция без разрушения, а развивающиеся к этому мо-
менту деформации имеют второстепенное значение.
По современным строительным нормам определение
несущей способности является расчетом по первому пре-
дельному состоянию.
Предельной нагрузкой иа конструкцию называется
такая иагрузиа, которую конструкция может выдержать
без разрушения ее основных элементов.
Напряженное состояние всех элементов конструкции
в такой стадии называется состоянием предельного
равновесия.
В конструкциях, в которых предельное равновесие
определяется свойствами пластичности, исчерпание не-
сущей способности означает возможность развития
чрезмерных деформаций при постоянной предельной на-
грузке.
Основным объектом приложения теории предельного
равновесия являются статически неопределимые кон-
струкции нз различных материалов — строительных ста-
лей, железобетона, синтетических материалов. Эта тео-
рия применяется для определения несущей способности
самых разнообразных конструкций: от простейших
стержневых систем до сложных оболочек.
21.1.1. Поведение конструкций
в пластической стадии
До тех пор. пока напряжения во всех элементах кон-
струкции не превосходят предела текучести от, зависи-
мость нагрузка—деформация практически линейная
и конструкция рассматривается как упругая. С появле-
нием напряжений, равных пределу текучести, рост на-
грузки отстает от роста деформаций. На рис. 21.1 пока-
зана балка, загруженная увеличивающейся равномерной
нагрузкой. До нагрузки 4i-=8gtK7P напряжения по
сечению распределены линейно и кривизна изогнутой
оси балки постоянна по длине (l/p=fl/£/). С увеличе-
нием нагрузки распределение напряжений все более от-
личается от линейного, и зоны пластичности (участки
сечення с напряжением о,) увеличиваются. При этом
на участке, охваченном пластическими деформациями,
кривизна увеличивается (линия 2 на рис. 21.1). Часть
Рис. 21.1
сечения между эонами пластичности называется упругим
ядром, которое с ростом нагрузки уменьшается; кривиз-
на изогнутой оси обратно пропорциональна высоте это-
го упругого ядра: — = . При малых значениях £
кривизна становится очень большой величиной, а изги-
бающий момент незначительно отличается от момента,
который может воспринимать все сечение, находящееся
в состоянии пластичности (состояние 3 на рнс. 21.1).
Несмотря на то что полного состояния пластичности
достичь не удается, однако прн нагрузках, очень близ-
ких к такой теоретической величине, развиваются
столь значительные деформации, что конструкция прак-
тически выходит нз строя. При этом размеры упругого
ядра так малы, что зоны пластичности заполняют тре-
угольники act и a'cb', а развившиеся в среднем сечении
пластические деформации приводят к прогибам, очень
близким к тем, какие были бы при переломе осн балки
в среднем сечении. В такой стадии работы балка не
в состоянии воспринимать дополнительную нагрузку,
и происходит движение балки с переломом оси в середи-
21.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ КОНСТРУКЦИИ В СОСТОЯНИИ ПЛАСТИЧНОСТИ
383
не и увеличением угла 0. Эта картина такая же, как
движение кинематического механизма, состоящего из
двух жестких дисков, соединенных шарниром в точке С,
только в балке иа месте шарнира в точке С действует
отЛ°
постоянный изгибающий момент AfnjI = —-—. Поэтому
4
в предельном состоянии балка, илн любая другая кон-
струкция, называется пластическим кинем атнческнм
механизмом Нагрузка, приводящая к образованию та-
кого пластического механизма, называется предельной.
Превращение жесткой конструкции в пластический
кинематический мехаинзм. состоящий из жестких дис-
ков, соединенных пластическими шарнирами, сопровож-
дается исчерпанием несущей способности конструкции из
упруго-пластического материала.
21.1.2. Основные положения теории
предельного равновесия
Теория предельного равновесия конструкций основана
иа следующих положениях, в определенной степени
идеализирующих свойства материала и условия работы
отдельных элементов конструкций.
а) Элементы конструкций обладают идеально упруго-
пластическими свойствами, что выражается в зависимо-
сти сила — перемещение, показанной на рнс. 21.2, а. Та-
кая зависимость называется диаграммой Прандтля.
Под термином сила следует понимать любое усилие:
от продольной силы до изгибающего нлн крутящего мо-
мента. Термин перемешеине соответствует деформации
по направлению действия силы от линейного удлинения
до изменения кривизны оси илн закручивания.
б) Деформации упругого характера достаточно ма-
лы, чтобы не учитывать их в изменениях геометрических
размеров конструкции (геометрическая схема не изме-
няется). но деформации пластичности могут быть любой
величины, необходимой для реализации перераспределе-
ния напряжений.
Это предположение о так называемых идеально жест-
ко-пластических свойствах фактически приводит к идеа-
лизированной диаграмме напряжений (рис. 21,2,6),
когда считается, что при усилиях М<.НВЯ никаких де-
формаций нет (6=0), а при усилии N=Naa могут
быть любые деформации. Усилий N>W«» быть не мо-
жет!
Строго говоря, подобная идеализация находится
в противоречии с действительными фнзико-механиче-
скими свойствами элементов конструкций. Тем не менее
она существенно упрощает исследование стадии исчер-
пания несущей способности, и дает результаты весьма
близкие к экспериментальным, получаемым для конст-
рукций нэ различных материалов.
В статически неопределимой конструкции возможны
различные равновесные (удовлетворяющие уравнениям
равновесия) распределения внутренних снл. Если степень
статической неопределимости з. то будет s линейно не-
зависимых распределений внутренних сил, уравновеши-
вающих внешнюю нагрузку.
Любое рааиовесное напряженное состояние, уравнове-
шивающее заданную внешнюю нагрузку, называется
статически возможным.
Для идеально упруго-пластической системы все внут-
ренние силы ограничены условиями пластичности
(прочности).
В общем виде эти условия, отражающие природу ма-
териала н его фнэико-мехаиические свойства, задаются
в виде одного неравенства илн снстемы неравенств, ко-
торые могут быть линейными илн нелинейными:
®a(S.......Wm)<0 (a=l,....O.
где N,..Nm — внутренние силы.
Если для некоторого набора внутренних снл Nt......
Nm все неравенства выполняются строго, т. е.
®a W<0 (о=1.........0. то это означает, что пластиче-
ские деформации ие образовались и конструкция может
рассматриваться как идеально упругая.
Если для некоторого набора внутренних сил Nt,
Nm часть неравенств обращается в строгие равенства
®a(/V")=0 (а=1...... /,), а остальные неравенства бу-
дут строгими Фр(/У")<0 (₽=Щ-1...... Г), то это озна-
чает, что в конструкции частично нлн полностью разви-
лись пластические деформации, а часть нлн даже все
внутренние силы достигли предельного значения.
Статически возможное распределение внутренних снл,
удовлетворяющее условиям пластичности 'рочиости)
называется статически допустимым.
Любое деформированное состояние снстемы. ие нару-
шающее условий закрепления, называется кинематиче-
чески возможным. Принимается, что при исчерпании не-
сущей способности жесткая система превращается в ки-
нематический механизм (перемещения всей снстемы оп-
ределяются перемещением одной характерной точки)
или кинематическую цепь (перемещения всей снстемы
определяются перемещениями нескольких характерных
точек). Кинематически возможные перемещения, образу-
ющие кинематический механизм или цепь, называются
кинематически допустимыми.
Кинематический механизм предполагает образование
достаточного числа пластических шарниров, в которых
выполняются уравнения пластичности и вследствие это-
го известны действующие в шарнирах усилия
(i— номер шарнира). Определение нагрузки, сообща-
ющей перемещення механизму с k шарнирами, произ-
водится приравниванием вариаций работы внутренних
(6t/=S /V'66<) и внешних сил (М=2 PfiUj). Здесь
г=| (=1
0< — перемещения в шарнирах по направлению действия
силы uj — перемещения по направлению силы Pj
Когда все силы пропорциональны одному параметру
Pj^-Pkj, тогда из уравнения 64=6(/ определяется зиа-
384
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
чеине параметра нагрузки Р, соответствующего выбран-
ному кинематическому механизму:
S "'„бе,
Р=~'-----------• (211)
X й/ би/
/=|
Три основные теоремы
предельного равновесия
I. Предельная нагрузка не ниже той, которую может
уравновесить статически допустимое распределение
внутреиннх снл.
II. Предельная нагрузка не больше той, которая мо-
жет быть определена нз рассмотрения кинематически
допустимого распределения перемещений (кинематиче-
ского механизма).
III. Предельная нагрузка является максимальной из
всех нагрузок, которые могут быть уравновешены ста-
тически допустимым полем напряжений, вместе с тем
предельная нагрузка является миннмальиой из нагру-
зок соответствующих всем пластическим механизмам.
Первые две теоремы определяют два основных мето-
да теории предельного равновесия — статический и ки-
нематический.
Статический метод заключается в установлении рас-
пределения внутренних снл N. уравновешивающих
внешнюю нагрузку Ptr и нигде не нарушающих усло-
вий пластичности ®(/Vj^O. Первая теорема утвержда-
ет. что Р„^Р*. где Р* — предельная нагрузка.
Кинематический метод. По этому методу назначается
кинематический механизм с к пластическими шарнира-
ми. в которых действуют внутренние силы /^(4=1, 2.
.... й). удовлетворяющие уравнениям пластичности
ф(Л'пл)=0- Из уравнения (21.1) определяется нагрузка
₽и«и, а из второй теоремы следует, что Р’^Рккк. Этот
метод получил широкое распространение благодаря
своей наглядности при выборе схем разрушения.
Третья теорема устанавливает, что еелн некоторое
равновесное распределенне N* в необходимом числе то-
чек образует пластические шарниры (выполняются усло-
вия Ф(й/*)=0, а в остальных точках Ф(А1*)^0, то на-
грузки Pct и Рнш равны предельной Р". Для произ-
вольных статически допустимых распределений внутрен-
них сил и кинематических механнзмоа
При применении кинематического метода всегда следует
иметь в виду, что получается верхняя оценка предель-
ной нагрузки, а при статическом методе — нижняя
оценка.
При ассоциированном законе пластического течения
(см. раздел 12), если принять статическую формулиров-
ку в качестве неходкой, кинематическая формулировка
получается как производная, и, наоборот, если принять
в качестве основной кинематическую формулировку, ста-
тическая получается как производная [21, 32].
21.1.3. Основные ограничения теории
Наиболее важные- результаты теории предельного -рав-
новесия следующие.
Любое самоуравиовешенное распределенне внутрен-
них сил ие влияет на величину предельной нагрузки. Са-
моуравиовешеинымн внутренние силы называются тог-
да. когда они удовлетворяют уравнениям равновесня
при отсутствии внешней нагрузки. Частные случаи са-
неуравновешенной нагрузки — температурные усилия
и усилия в основной системе от лишних неизвестных.
Отсюда следует, что предварительное напряжение не
сказывается на несущей способности, так как создает
самоуравиовешениую систему внутренних снл.
Недостаток теории предельного равновесия состоит
в полном игнорировании деформаций, которые играют
существенную роль прн оценке геометрических эффек-
тов деформирования и исчерпания предельной дефор-
мативиости. В [21] делается попытка устранить этог
недостаток.
Важной проблемой в теории предельного равновесия
является установление действительных условий пластич-
ности (прочности), некоторые примеры которых см.
в разделе 12. Создание этих условий требует большой
экспериментальной и теоретической работы, и ие дли
всех материалов и конструкций такие условия имеются.
21.1.4. Типы нагрузок и классификация задач
Теория предельного равновесия применяется с больши-
ми или меньшими усложнениями для определения несу-
щей способности конструкций, подверженных дейстеию
следующих внешних нагрузок.
Нагружение, пропорциональное одному параметру.
В этом случае все внешние силы ₽< (i= I, 2...1) из-
меняются пропорционально одному параметру Р н мо-
гут быть представлены в виде Pi = Pkt (i= 1, 2. .... /),
где й<— интенсивность силы Pi. В этом случае енлы
своей ориентации не изменяют, а изменяется нх вели-
чина.
Нагружение системой внешних сил. зависящих от не-
скольких параметров Р'. Р2, .... Р*. Каждая группа сил
в таком случае задается в виде PJA<. где / — номер
группы сил, зависящих от одного параметра PI (/=1.
2... s). a ki — интенсивность i-й силы в этой группе
(1=1,2,..., /,).
Внешние силы пропорциональны одному параметру Р,
но происходит многократное изменение этого параметра;
однако число таких изменений не столь велико, чтобы
приводить к усталостному разрушению.
Внешние силы зависят от нескольких параметров
Р> (/=1, 2, .... s), которые могут многократно изменять-
ся, ие вызывая усталостного разрушения.
Динамическое приложение внешней нагрузки, приво-
дящее к рассеиванию энергии вследствие образования
пластических деформаций.
Характер внешней нагрузки определяет задачи, кото-
рые могут быть поставлены в рамках теории предель-
ного равновесня:
определение максимальной несущей способности за-
проектированной конструкции (основная задача прове-
рочного расчета);
определение невыгодного распределения внешней на-
грузки, зависящей от ряда параметров Обычно эта за-
дача решается прн дополии-ельных условиях, что на-
грузка задана в виде ресурса или на нее наложены
какие-то особые ограничения;
определение нанвыгоднейшего распределения внешней
нагрузки, заданной в виде какого-то ресурса. Это зада-
ча оптимального распределения нагрузки;
определение границ приспособляемости конструкции
прн многократно изменяющейся нагрузке;
оптимальное проектнрованне конструкций под задан-
ную нагрузку. Такая задача ие всегда решает проблему
проектирования, так как в строительных конструкциях
очень часто размеры определяются вторым и третьим
предельным состоянием, а ие первым (несущей способ-
ностью).
г. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СЕЧЕНИИ
385
21.2. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СЕЧЕННН
21.2.1. Чистый изгиб сечений
в плоскости симметрии
Прямоугольное сечение. Прн чистом изгибе в плоско-
сти симметрии иа крайних гранях возникают напряже-
ния: о+ на нижней грани и о- на верхней. До тех пор,
пока о+-<от и о_>—о», иапряжеиня можно опреде-
Рис. 21.3
лять по обычной формуле сопротивления материалов
Му
о= —— . При M=oTIF на крайних гранях напряжения
будут рааны пределу текучести (рис. 21.3). Увеличение
изгибающего момента сверх этой величины сопровож-
дается образованием зон пластичности высотой СМ2.
Средняя часть сечення высотой (1—С)А называется уп-
ругим ядром. Момент, воспринимаемый таким сечением,
"c = 5lF[?‘2-0 + t<1-0*]-
При С=0 в состоянии пластичности находится только
верхняя и нижняя грани. При С= 1 в состоянии пластич-
Л26
кости все сечение. Величина Л1оа=0т ——называется
4
предельным пластическим моментом сечения, для ко-
торого широко используется запись
Mm = otIFm, (21.2)
где <FOI=fch!/4— пластический момент сопротивления.
Кривизна изогнутой оси стержня при чистом нэгибе
определяется высотой упругого ядра:
1 2от
р = ЕЛ(1 —С) '
С уменьшением высоты упругого ядра кривизны стре-
мятся к бесконечности. Когда С=1, сечение становится
пластическим шарниром с моментом Л1„, и вся изгибае-
мая балка может вращаться вокруг центра этого сече-
ння без изменения момента.
Прямоугольное сечение с различными
пределами текучести
при сжатии и растяжении
Пусть о+ и о7* — пределы текучести прн растяжении
и сжатии. Предельная несущая способность прямоуголь-
ного сечения определяется из условия равенства нулю
равнодействующей напряжений в сеченнн: h+of=h~a~
(Л*+Л-=й), где Л+ и Л- —высота растянутой и сжа-
той эон сечения. Предельный момент определяется сле-
дующим образом:
- 0^<С
М„, - о. IF о =2 . (21.3)
Идеальный двутавр. Идеальным двутавром называет-
ся условная модель двутавра с материалом, сконцент-
рированным только в его полках площадью F* в F~.
При чистом изгибе продольные усилия в полках равны:
W=min(c+ F+; о~ F~), т. е. N равняется меньшей из
величин о+ F+ илн о“ F-. Напряжения в полках равны:
. N N
; о = ~— с одно из этих напряжений равно
От с соответствующим энаком.т е. или о+= о+; |о-1
или о+<а+; |с-|=а7- Равенство а+—а+:
I о~ | = о~ возможио только при F*: F“=o~ :о+.
Для двутавра высотой h пластический момент Мва—
—Л/Л; W—min(oj F*. а~ F-).
Для симметричного двутавра ори 0^=07 Маа =otFh,
где F—площадь полки.
Железобетонное прямоугольное
сечение
Деформирование в характер разрушения прн изгибе
железобетонного стержня существенно отличаются от
поведения под нагрузкой стержней из других материа-
лов. Однако исчерпаиие несущей способности железобе-
тонных (ие переармированных) стержней можно опреде-
Рнс. 21.4
лять теми же методами, что в однородных пластических
стержней, так как это состояние для железобетонных
стержней определяется достижением текучести в армату-
ре. Схема сечения в предельном состоянии показана на
рнс. 21.4. Высота сжатой зоны определяется нз условия
х=^.
«и»
(21.4)
Если х^0,55Ло. то это ие переармнрованиое сечение,
в котором разрушение происходит прн напряжениях в бе-
тоне, равных пределу прочности при изгибе и на-
пряжениях текучести в арматуре м>. Предельный мо-
мент сечення
(21.5)
Для сечення с двойкой арматурой высота сжатой эоны
определяется нз тех же условий:
^F,-R.F.
R„b
(21.6)
Если оказывается, что х^2п', предельный момент
Л1Ш = Vх (йо ~ °'5х) + (ho-°')- (21.7)
386
РАЗДЕЛ 21 РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
Таблица 21.1
V™ = t(b - 0,5d)(ft — о + 0,25d (Л — /)’. если 2 (b — d) > hd;
Г™ = 0,5 |l (ft — 0,5d)5 + d \b — 0,5d)(ft — I) — 0,25d4~* (ft — 0’1. если 2 (b —
IF™ = tb (b - d) + 0.25ftd’+ /’ft-1 (b — d)’;
IF™ = 0,25 (ft — t)lt (b - 0,5d)’ + 0,5d (l> — 0,5d) X (ft — o — 0.0625d’/-1(ft — /)’];
IF™ = 0,5 [2? (b — 0,5d) + d* (ft — ()J.
Центр изгиба
2/(ft — 0,5d)«
«(ft — 0,5d)4-d(h — Г)
№ профили Размеры в мм Пластические моменты сопротивления
h b d t Г™. г™, мн 07™, of ох* **
6 60 37 4.5 7,0 12.54 8.92 12.34 2.138 1.449
6,5 65 40 4.5 7.4 19.82 9.03 21,41 2.660 1.532
8 80 46 4,8 7.4 29,21 12.09 35,98 3,169 1.669
10 100 60 7,5 43,29 15.78 55,93 3,743 1.816
12 128 64 5.0 7,7 60.30 19,55 90,74 4.457 1.90?
14 140 68 5.0 8.0 80,39 23,83 130.53 5.202 2.023
14a 140 62 6.0 8.5 88,12 28.25 152.78 5,943 2.24S
16 160 64 6'0 8.3 106,20 30,36 191.08 6.133 2,242
168 160 68 6.0 8.8 116,73 35,62 220.96 6,962 2.456
18 180 70 5'0 8.7 137,28 38.19 270,98 7.260 2,473
i8a 180 74 5.0 9,2 148,82 44.14 310,04 8.187 J
20 200 76 5'2 9.0 173.60 46,99 372,87 8.628 2.667
20a 200 80 5,2 9.6 188,60 64.31 425,76 9,707 2,903
22 220 82 5,3 9.6 218.93 68,27 508,08 10,27 2.906
22a 220 87 6,3 10,2 238,83 68.03 686.87 11.72 3J88
24 240 90 5.6 10,0 274,62 73,44 700.50 12,33 3.184
24a 240 95 5,6 10,7 299.82 85,41 806.55 14.15 3,478
27 270 95 6.0 10,5 351.69 87.20 947.59 14.81 3.279
30 300 100 6.5 11,0 443.29 102.26 I2S5.6 17,61 3,356
33 330 105 7,0 11.7 555.30 120,45 1647,9 21,69 3,455
36 360 110 7.6 12,6 691,37 142.49 2145,1 26.64 3,574
40 400 116 8,0 13,6 877,93 167,30 2837,2 32,60 3,661
21 2 НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СЕЧЕНИИ
Таблица 21.3
Пластические моменты сопротивления двутавров по ГОСТ 8339—5г
= tb (Л - /) + — (Л - О2;
4
г™ = y ; = y <Л -/): =Рь +0 •5<л (Л - о
th про- филя Размеры в мм Пластические моменты сопротивления
В ь а t гпл, фпл_ с>е wЦЛ «•
100 70 4.5 7.2 56.46 17.64 81.86 4,568
120 75 S.0 7.3 Г.68 20.63 115.69 5.406
140 82 5.0 7.5 103.43 25.22 167.05 6.2®
16 160 90 6.0 7.7 134.64 31.19 237,47 7,240
180 95 5.0 8.0 167.70 36.10 ЗЮ. 46 8.230
19с 180 102 5.0 8.2 180.59 42.66 366.42 9.006
200 100 5.2 8.2 205.10 41.00 393.19 9.317
20в 200 110 5.2 а.э 222.80 50.22 481.31 Ю. 17
220 ПО 5.3 8,6 259.20 52.03 549.96 11.10
220 120 6.3 8.8 282.13 63.36 669.08 12,26
240 115 5.6 9.5 326.20 62.82 723.99 13,99
24л 240 125 5.6 9.8 356.18 76.56 881.23 15,61
270 125 6.0 9.8 420.30 76.56 996.08 16.69
77я 270 135 6.0 10.2 458.99 92.96 1207,4 18,72
300 135 6.5 10.2 535.53 92.95 1346.8 20.17
ЗОв 300 145 6.5 10.7 584.85 112.48 1627.1 22,71
33 330 140 7.0 11.2 6Г.74 109.76 1749.6 25.37
36 360 145 7.5 12.3 846.80 129.30 2247.9 31.72
400 155 8.0 13.0 1079.3 156.16 3021.7 38.58
45 400 160 8,6 14.2 1398.5 181.76 3960.6 48.38
500 170 9.3 15.2 1799.2 219.64 5324.1 60,24
550 180 10,0 16.5 2296.1 267.30 7120.2 75.68
600 190 10.8 17,8 2884.2 321.29 9352.8 94.15
65 650 200 П.7 19.2 3586.2 384.00 12 111 116,90
700 210 12.7 20.8 4431.4 458.54 15 575 145.63
700 210 15.0 24,0 5120.7 629.20 17 887 197.01
706 700 210 17.5 28.2 5952.9 621.81 20 887 269.87
Если х<2о'. сечение рассматривается как идеальный
двутавр с площадями полок Ft н Fa н пределами теку-
чести /?« И /?, .
Обаяй случай нашба. Для сечения произвольной фор-
мы. но с плоскостью симметрии, в которой действует
изгибающий момент, предельное значение Мил опреде-
ляется из условия равенства нулю равнодействующем:
F+ (D ~ F~ (С) N = min (F* а+, F~ ат
где С — координата нейтральной линии, разделяющей
растянутую и сжатую эоны:
V
м=о+^К)4-с-$~ГО; о+=—;
= (21.8)
где S+ н S—— абсолютные значения статических момен-
тов растянутой и сжатой эон относитель-
но нейтральной оси, имеющей координа-
ту L
388
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
21-2.2. Косой изгиб стержня
— F— (6—0,5d)
В тех случаях, когда плоскость действия изгибающего
момента не совпадает с осью симметрии сечеиия, положе-
ние нейтральной осн определяется нз решения системы
уравнений, фактически являющихся уравнениями стати-
ческого равновесия:
|80 = 7Г’ 4» = -^-; f+ = f-.
Му
Здесь М, и Ми — изгибающие моменты, отнесенные
к некоторой системе координат *, у; F~ и F+ — площади
сжатой и растянутой частей сечеиия: S. и S, — стати-
ческие моменты сечення, определяемые с учетом знака
напряжений; 8 — угол между выбранными осями коор-
динат *, у и нейтральной осью. В новых осях координат
д' н у', направленных вдоль и перпендикулярно нейтраль-
ной оси, предельный изгибающий момент определяется по
формуле
М„л— 2 .
где F — площадь сечення; й — расстояние между цент-
рами тяжести сжатой и растянутой частей сечеиия.
Пластические моменты сопротивления двутавров, сог-
ласно [28], определяются следующим образом:
при угле между горизонтальной осью н плоскостью из-
гиба 6 от 5° до 20°
1Уол(е) =
4 cos 6
-y_4tge+
где h — высота двутавра; b — ширина полки; d — толщи-
на стенкн; t — средняя толщина полки;
прн 8 >20°
5 .
2u (й — О+yrfu (ft — Г)» (0,56 + и)-1
®'пл (6)= ё
где й, 6, d и t имеют те же значения, а величина и яв-
ляется положительным корнем кубического уравнения
2,0271? + и» 11.046* 4- 2 (Л — Г)) +
I . „ Г М (й — Г) 1
+и |(Л - Г) tg 8 6+ —Ч - °'486
— 0,24676s = 0.
Пластические моменты сопротивления швеллера опре-
деляются по формуле
^пл (6)= Y [с +
+ ]/"G*-W'Jrl-|»'Jr-2F-y (6 —0,5d)j j.
В этой формуле вспомогательные величины следующие:
с =- у ta-J- у (Л - /)1 sin 8 +
L= (у sin 8 — cos 8^;
F = 21 (6 — 0,5d) + d (h - ();
= t (6 — 0,5d) (ft — 0 + 0,25d (й — /)*.
21.2.3. Внецентренное растяжение (сжатие)
в плоскости симметрии
Прямоугольное сечение. Предельное состояние пря-
моугольного сечення при внецентреииом растяжении
(сжатии) и прн различных пределах текучести на растя-
жение и сжатие показано иа рис. 21.5. Положение ней-
Рис. 215 Рис. 21.6
тральной осн (величина ?) определяется из уравнения
равновесия относительно продольной оси
Л'
о+й; — о-й(1 — 0 = — .
О
Величина изгибающего момента определяется из урав-
нения равиоаесия моментов относительно центра сечеиия
о+ 4-0” М
—Л»С(1-С) = —.
Исключая нз этих двух уравнений величину С и счи-
тая, что изгибающий момент может быть как положи-
тельным, так н отрицательным, получим предельное усло-
вие для N и М:
I 2М I / N \* N о+-а~ _ а+д- _
166* о Н \ бйо / bho о о* ~
а = о+4-о_. (21.9)
Если о+ =о, , условие пластичности имеет вид
где Муа определяется по (21.4), a Ncx=oxbh.
Графическое представление зависимости (21.9) показа-
но иа рнс. 21.6, где по оси М введен масштаб 1/Л1оД;
Л40л определено по (21.4); иа положительном луче осн
N введен масштаб 1/N* и на отрицательном луче —
масштаб IIN~ (N*=c+bh; ЛН=а~6й). Это две пара-
болы, выделяющие выпуклую область. Если в сечении
действуют N и М и точка о, определяемая этими коор-
динатами находится внутри области, ограниченной пара-
21.2. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СЕЧЕНИИ
болами, сечение не достигло предельного состояния. Ес-
ли с — точка с координатами N и М — находится на
параболах, сечение находится в предельном состоянии.
Значения N и М, задающие точку Ъ вне области, ограни-
ченной параболами, ие имеют смысла.
Двутавровое сечение. Условие пластичности для
ндеальиого двутавра с пределами текучести о+ н
и площадями полок Л и F3 определяется четырьмя не-
равенствами:
2 ,2
— М 4- N < о+ F,; — — М—Ь <о F •
h т 1 Л 11
2 2
— М - N < oTF,; - — М+Л'<о+ f2.
Л л
(21.11)
Сеченне будет находиться в состоянии пластичности
тогда, когда хотя бы одно неравенство превращается
в строгое равенство.
Область, ограниченная этими условиями, является
прямоугольником, показанным пунктиром на рис. 21.6.
Для симметричного двутавра при а+ —°? условия
(21.11) упрощаются:
(21 12)
Здесь Mm—OrFh; Nai=2cTF.
Сечение железобетонного виецентренио
растянутого (сжатого) элемента
Предельные состояния железобетонного виецеитреино
растянутого (сжатого) сечення определяются поверх-
ностью фигуры, показанной на рнс. 21.7. Точки иа осях
координат м+ и М~ соответствуют предельному момен-
ту прн чистом изгибе; N+ и
соответствуют центральному рас-
тяжению н сжатию. Точки о и д'
разграничивают несущую способ-
ность сечення по первому и вто-
рому случаю. Точкн hub' соот-
ветствуют случаю, когда высота
сжатой эоны равна 2о'. За исклю-
чением двух параболических уча-
стков ab и а'Ь', соответствующих
первому случаю с высотой сжатой
зоны более 2а'. остальные участ- Рнс. 21.7
кн линейные. Если сечение арми-
ровано симметрично, точки сне'
лежат на оси N. Замена параболических участков аЬ и
а'Ь' прямыми вносит погрешность порядка 5%, которая
идет в запас прочности. Поэтому несущая способность
виецентренио растянутого (сжатого) железобетонного
сечения может быть описана шестью неравенствами вида
щМ + vtN + ki <0 (i=l, 2.................6). (21.13)
Значения коэффициентов |ii, v< н зависят от рас-
сматриваемого участка. Считается, что сечение нахо-
дится в предельном состоянии, если хотя бы одно из
шести неравенств (21.13) превратилось в строгое равен-
ство для некоторых N и М. а остальные неравенства
не нарушаются. Максимальное число равенств может
быть два, что соответствует угловой точке многоуголь-
ника на рис. 21.6. например точка а. Прн любых реаль-
ных значениях N в М ни одно неравенство (21.13) ие
может быть нарушено. Более подробно по этому во-
просу см. [9, 20].
21.2.4. Учет поперечной силы при изгибе
Если в сеченин действует изгибающий момент М н по-
перечная сила Q, то прн ол =от =с> удобно исполь-
зовать условие пластичности Мизеса: а2+3т’=а2 . При
отсутствии изгибающего момента (о=0) предс., теку-
чести иа сдвиг тт=От/ Из. В прямоугольном сеченин
касательные напряжения распределены по параболе
Рнс. 21.8
с максимальным напряжением в середине сечення.
В этом случае максимальная величина поперечной силы
<?Ш| = —ГГ бЛо,-
V 4
Распределение касательных напряжений возможно
только в пределах упругого ядра (рнс. 21.8). Уравнение
пластичности для изгиба с поперечной силой имеет вид
(no Н. И. Безухову) [22]
1м"1 + -з'((^“)*=,: |^_|<| (2, И)
|Л1пл1 3 КУпл / |QM I
Область прочности для этих выражений показана иа
рис. 21.9.
21.2.5. Предельные состояния сечения
при кручении
Чистое кручение. Напряженное состояние сечения при
чистом кручении характеризуется только касательны-
ми напряжениями, а нормальные напряжения равны
пулю.
Применительно к задачам предельного равновесия
предельной величиной касательных напряжений явля-
ется тт=От/Р<3 при условиях пластичности Мизеса
н Тт=От/2 при условиях Треска.
Предельный крутящий момент можно вычислить как
удвоенный объем, ограниченный поверхностью равного
ската, построенной на сеченин (табл. 21.4).
Для тонкостенного открытого профиля с постоян-
ной толщиной отношение МРЛ/Муор™1Д (М10р=
=т11?><р,',,р). а Для замкнутого профиля Mn>/MJop=l.
Совместное действие кручения и продольной силы.
Предельное равновесие круглого сечення прн кручении
и центральном растяжении (сжатии) приближенно оп-
ределяется уравнением
/ (У У / М '* _ .
Млл = 77s т; Лгпл = ат л/?2. (21.15)
390
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ «ТО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
Та-блица 21.4
Предааьиыа крутящие моменты дли некоторых ппоа сечений
Тип поперечного сечении Предельный крутящий момент
8* (За —8) 4 6
А <7 1—1 0,5TT(ds8 + 28’8)
О3 Тт — т 12
7 2 —TTn(R’—г’)
Тонкостенная труба 2ттлб(Я — 6)»
Тонкостенный замкнутый профиль 2тт8О, где Q — площадь, ограни- ченная средней линией про- филя
<ч-от тЩг £ 2 у т.п (o’- 4,508* + 48s)
Л” I cTJ 6’ (s) ds
*о — ттоб2 2
Более точное предельное условие имеет вид
W + + ,2116)
9 27пст 3 ’
Предельное равновесие полосы при кручении и нор-
мальной силе устанавливается уравнениями
Уз u (Уз
Ф Ф г 12
Из первого уравнения определяется ф(Л’). подстановка
этого значении во второе уравнение дает уравнение пла-
стичности.
Совместное действие пзшбв и кручения. Для тонкой
полосы предельное равновесие определяется уравне-
нием
12М1* + КМ* = о,1?1?.
Предельное рвв новее не двутавра прн нагибе с круче-
ннем определяется уравнением
(21.17)
где
Л^ = ®т^ Af«„=yTT(d2ft+2626).
Здесь h — высота стенкн; d — толщина стенки; b — ши-
рина полки; 6 —толщина полки.
Уравнение (21.17) может быть использовано для при-
ближенной оценки предельного равновесня произволь-
ного сечения при изгибе с кручением.
21.2.6. Условия пластичности
для изгибаемых плит
Изгиб плиты в двух направлениях. В изгибаемой
в двух плоскостях плите действуют в общем случае
три момента — два изгибающих Л1х« н М„ и крутя-
щий момент Мт,.
Условия пластичности формулируются для этих мо-
ментов, отнесенных к единице длины сечення плиты
плоскостью, нормальной к срединной поверхности. Та-
ким образом, размерность моментов равна размерности
силы, например кГ см1см=кГ.
Для плит, выполненных из однородного материала
с изотропными свойствами, условия пластичности ана-
логичны рассмотренным в разделе 16.
Условия пластичности Мизеса. Условия Мизеса для
пластникн имеют внд
М2Ж- М„ Мп + M2m + ЗМ^ = Л<;л, (21.18)
л М
где Мпл“0т—г-—пластический момент единицы дли-
4
ны поверхности пластникн.
Это уравнение задает поверхность эллипсоида враще-
ния с осью вращения, лежащей в плоскости
и рввнонаклоненной к обеим осям.
В осях главных моментов, в которых крутящий момент
равен нулю, уравнение (21.16) описывает эллипс, пока-
21.2. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СЕЧЕНИП
391
эанный на рис. 21.10. Главные осн эллипса равнонакло-
иеиы к обеим осям.
Условия пластичности Треска. Это условие формули-
руется в главных значениях моментов
max(|A11|, |Л1,|, |Afj - Af.|) = Mm. (21.19)
Здесь М। и Mi — главные изгибающие моменты. Усло-
вия Треска задает шестигранник, вписанный в эллипс
Мизеса (рис. 21.10). В общем случае условия Треска
в произвольной системе координат записываются зна-
чительно сложнее условий Мизеса.
Условия Иогвнсеиа. Эти условия следует рассматри-
вать как условия прочности, а не пластичности
(см. 21.2.7):
Ф,= |A4xxl-A4„<0; 1
Ф, = |Мт1 — Мпл < 0; I (21.20)
®з= Л^-ф1ф2<0. ]
При превращении хотя бы одного неравенства в стро-
гое равенство Ф<(М)=0, для остальных условий дол-
жно выполняться условие ФДМХО
Неравенстве (21.20) описывают фигуру типа конусов,
сложенных основаниями (рнс. 21.11). В главных осях
MtMi — это прямоугольник. Из условий (21.20) следует,
что если |M„| •=№„„ нлн |М,,| =МОЛ. то обязательно
Мг,=0. Если |Мх,| тогда М„=0 илн М»,=0.
21.2.7. Несущая способность плиты
при совместном действии изгиба
и плоского напряженного состояния
•
В оболочках плита находится не только в состоянии
изгиба по двум плоскостям, но на нее действуют нор-
мальные и касательные напряжения в срединной по-
верхности.
Задача существенно осложняется» если главные на-
правления плоского напряженного состояния (мембран-
ные) не совпадают с главными направлениями изги-
бающих моментов. Общее условие пластичности Мизеса
записывается для такого случая двумя уравнениями:
«жх — пжж пуу + п*уу + пжж + ^уу +
+ + ^тжу =
3 (Шжж ПЖЖ + хи Пжу 4" ^уу пуу} тхх пхх
— туу пуу ‘ тлж Пуу ™уу ^лл =z
где
Кжл 4МХХ
ПкГ ~~ . • - ^тг *=" “• - •»
от Л " отй2
Различные упрощения для этих условий состоят
в следующем [26. 27|.
Мембранные н изгибающие усилия разделены:
пхх пхх "Ь пи/ + ЗлХр = v-
тхх ~ тхх тю + •’’и, + З-71^ = И-
Наиболее простое представление при v=p=l. Более
сложное прн v-|-p=l и условиях, что v>0 и ц>0 нлн
v2+n2= I.
Модификация условий Треска для сложного напря-
женного состояния плнты в главных осях плоского и на-
гибного напряженного состояний заключается в удов-
летворении неравенств
max(|Wi|, IW,|, |Л’, — Л1,|) < oTAv (v > 0):
max (|Afi|, |Л1,|, JAf, — Л4,|) < -7-отЛ2 ц (ц > 0)
4
прн дополнительном требовании v2+p2=l.
Можно для vhp предложить условия, аналогичные
условиям Треска: max (v, р. |v—р|) —1, что несколько
нарушает предыдущее условие. По этому вопросу см.
[27J.
Для осесимметричных железобетонных оболочек, в ко-
торых действуют меридиональные усилия М, и N„ по
параллелям принимается, что действуют только растя-
гивающие усилия а нагибающие моменты равны
нулю (Л1ф=0). Усилия /%,. если они растягивающие
воспринимаются арматурой по параллелям и, следова-
тельно, не оказывают влияния иа предельные усилия по
меридиану. Поэтому для меридиональных усилий сохра-
няют силу условия (21.13), а усилия по параллелям
ограничены условием
- Rap А - R. F. < -\ < R.
где То — площадь арматуры на единицу длины сече-
ния в плоскости меридиана; А —толщина оболочки.
21.2.8. Ассоциированный закон пластического
течения для конструкций
Действующие в сеченнн и в самой конструкции си-
лы, изгибающие н крутящие моменты в общем слу-
чае объединяются термином «обобщенные внутренние
снлы>, которые обозначаются Nt, Nt, Условия
пластичности задают некоторые уравнения для этих
сил в виде Ф< (N....Л1»)=0 (<= I, 2....л). Если при
некоторых значениях справедливо равен-
ство для какого-то «-го уравнения пластичности Ф<—0.
то состояние пластичности характерно для обобщенных
сил, входящих в это условие. Если выполняются нера-
венства Ф<<0 для всех i=l, 2...... п, то конструкция
не достигла еще состояния пластичности. Неравенств
типа Ф<>0 быть не может.
Основные положения теории идеальной пластично-
сти, называемой также теорией жестко-пластического
тела, состоят в следующем.
I. Если в конструкции выполняются условия Ф,<0
для всех i=l, 2..л, то конструкция находится в жест-
ком состоянии, которое является идеализацией упругой
392
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЯ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
конструкции при малых упругих деформациях.
2. Условия Ф<С0 выделяют некоторую выпуклую об-
ласть в пространстве обобщенных внутренних снл N.
3. Перемещения конструкции могут быть только орто-
гональными к огибающей поверхности, заданной усло-
виями ф(=0 («=!, 2.......л), т. е. перемещение по на-
правлению действия силы /Vj определяется как
где ?.<>0. если Ф<(Л/)=0. н Х<=0. если ®«(W)<0.
В итоге перемещения конструкции могут быть опреде-
лены с точностью для некоторого, общего для всей кон-
струкции, множителя илн группы множителей. Поэтому
величину Bj называют обобщенной скоростью переме-
щения по направлению действия силы N).
Функции Ф<(№) по аналогии с теорией упругости (см.
раздел 12. теорема Кастнльяно) называют пластически-
ми потенциалами, а уравнение (21.21) называют урав-
нением ассоциированного закона пластического течения.
Например, для прямоугольного сечения с одинаковыми
пределами текучести при растяжении н сжатии условие
пластичности (21.10) переходит в следующее:
Скорости линейных деформаций 6к- н угловых Ом
определяются прн условии Ф(А/, М)=0:
в,, = X ——. если М > 0;
** Мп/
8:
Од, = — X ——. если М < 0;
N
= 0, если М = 0; Од, = 2Х ——.
" V*
• пл
Таким образом, если уравнение пластичности выпол-
няется, то Х>0. В ряде случаев может оказаться, что
выполняется уравиеине пластичности н при этом Х=0.
Поэтому общим случаем следует считать Х^О прн
®(W, М) =0. Расстояние мгновенного центра вращения
от центра тяжести сечення будет с=0к/0« =
=2Л,МПЯ/А/-Л. Как видно, эта величина не зависит от
неопределенного множителя X. Если в предельном со-
стоянии N=0 (чистый изгиб), то мгновенный центр
вращения совпадает с центром тяжести сечення. Если
М=0. тогда 0м=0 и вращения нет, а происходит толь-
ко поступательное перемещение всего сечення по на-
правлению действия силы.
В любом случае определяются только скорости пе-
ремещений. а не нх действительные значения.
Кроме того, теория идеальной пластичности рассмат-
ривает только такие скорости перемещений, которые вы-
зывают скорости деформаций в пластических областях,
а в жестких областях скорости деформаций равны нулю.
21.3. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
21.3.1. Пластические шарниры
в стержневых системах
Основные внутренние силы, рассматриваемые при рас-
чете плоских стержневых систем, это изгибающие мо-
менты (М), продольные силы (N) и перерезывающие
силы (Q). В расчетах статически неопределимых систем
учитываются только М и N, для которых составляются
основные уравнения.
В соответствии с этими внутренними силами рассмат-
риваются <шарннры> пластичности в стержневых систе-
мах в внде вращательного н линейного шарниров.
Вращательный шарнир. Если в каком-либо сечении
стержня действует только изгибающий момент /И=*/Иаа,
то это сечение рассматривается как шарнир, вокруг ко-
торого возможно вращение остальных частей стержня,
рассматриваемых как жесткне дискн. Центр вращення
располагается в центре тяжести сечення.
Линейный шарнир. Если в каком-либо прямом стерж-
не действует только продольная сила N„„, прило-
женная в центре тяжести сечення, весь стержень счи-
тается линейным шарниром, допускающим только сбли-
жение концов стержня.
Рассматривая стержень достаточно малой длины, при-
ходим к определению сосредоточенного линейного шар-
нира как предела линейных шарниров с уменьшающейся
длиной стержня.
Сосредоточенный линейный шарнир может возникать
в криволинейном стержне. Последовательность сосредо-
точенных шарниров может целиком охватывать криво-
линейный стержень.
Смешанный шарнир. Это комбинация вращательного
и сосредоточенного линейного шарниров, сообщающая
сечению вращение н поступательное перемещение. Сме-
шанный шарнир можно рассматривать как вращатель-
ный шарнир относительно мгновенного центра враще-
ния (см. 21.2.8).
21.3.2. Расчет статически определимых
стержневых систем
В статически определимой стержневой системе асе
внутренние силы являются линейной функцией нагрузки
N (х, Р) = Р№ (х). М (х, Р) = РМ« (х), (21.22)
где Р — параметр изменения нагрузки; №(х) и М°(х) —
продольная сила и изгибающий момент от единичной
внешней нагрузки в сеченин. определяемом координа-
тами х.
Предельная нагрузка определяется как решение урав-
нения пластичности ®(/V. М)=ф[Р№(х), РМ°(х)]=0
относительно параметра Р. Минимальное значение па-
раметра Р* как корня такого уравнения есть предель-
ная нагрузка.
Пример 21.1. Рама (рнс. 21.12) составлена нэ элемен-
тов прямоугольного сечення с площадью F.
, Усилия в ригеле MP(x. Р)=Рх; NP(y. Р)=0. Усилия
в стойке Мс(х, P)=PI, N'(y, Р)=—Р. Уравнение пла-
стичности имеет внд (21.10). Для ригеля это уравнение
Рх Л4ПЛ
—— =1, откуда Pi=-------- н минимальное эначеине
Л4пп к
р>^=.
Для стойки уравнение пластичности принимает ввд
3. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
393
Учитывая (21.12), получаем
. от8Л»
Р| ~ 41 :
Очевидно, Р| < Р;. Следовательно, предельная нагруз-
ка P* = min(Pp Р2) и предельное равновесие конструк-
ции определяется прочностью стойки.
Рис. 21.13
Рис 21.12
21.3.3. Расчет неразрезиых балок
Кинематический метод. Расчет кинематическим мето-
дом миогопролетной нераэрезной балки заключается
в исследовании возможных пластических механизмов,
в которых действуют изгибающие моменты А((=Л4|ПЛ,
где • — номер пластического шарнира. Некоторые воз-
можные схемы пластических механизмов для трехпро-
летной неразрезной балкн показаны иа рис. 21.13. Если
сообщить какому-нибудь шарниру перемещение и. то
углы перелома во всех шарнирах определяются как
в,=е°и. Работа внутренних снл
l/= u £ Afini 0®,
I
где знак М< соответствует знаку 0®. Работа внеш-
них сил является функцией и—A=uP2,pjUj. где Р—па-
раметр измерения внешней нагрузки; Ppi-j-я внешняя
сила; и® — перемещение под силой Рр) прн и=1.
Из уравнения U—4=0 определяется параметр
P=SMiMe®/EpjU“, (21.23)
i I
соответствующий выбранной схеме кинематического ме-
ханизма.
Рассматриваются все возможные схемы образования
пластических шарниров и для каждого определяется
сила Pi, (А=1, 2.. л1), т — число пластических ме-
ханизмов. Предельная нагрузка является минимальной
нз всех этих сил: P*=min (Pt. Pj. Рга).
В табл. 21.5 представлены предельные нагрузки для
защемленных балок.
Статический метод. Определение предельной нагруз-
ки производится в соответствии со статической теоре-
мой. по которой ищется статически допустимое распре-
деленне моментов. Пусть требуется рассчитать двух-
пролетную неразрезную балку (рис. 31.14. а). Для ее
расчета строятся эпюры пролетных моментов в пред-
положении раэреэностн по всем пролетам. Затем строит-
ся эпюра моментов Мг от опорного момента Л = 1.
Эпюру Мт увеличивают во столько раз, чтобы она кос-
нулась в точке Ь эпюры пластических моментов М~л
К полученной таким образом эпюре моментов <подве-
шивают> эпюру и увеличивают ее координаты в Р
Рис. 21.14
раз так, чтобы получающаяся в итоге эпюра коснулась
эпюры предельных моментов М+я, но не пересекла ее.
Получающееся значение параметра Р есть предельное
его значение Р*. Касание <подвешенной> эпюры РЛР
с эпюрой М+, произошло в точке а. Эта точка опре-
деляет положение пластического шарнира с положитель-
ным изгибающим моментом, а точка о — вторая точка
образования пластического шарнира — с отрицательным
моментом.
В самом общем случае для Л-пролетной балкн строят
эпюры Л1° н систему эпюр Мж( от единичных опорных
моментов. Необходимо, чтобы । выполнялось условие
- Л4- < РЛ(® + S X, М1( <. М+п (21.24)
Таблиц! 21-5
Предельные нагрузки для ущемленных балок
Схема балки Предельная нагрузка
Oj-CU, м„л (1 +0 5d -S)
р 1—*—1 I—1 1 2Л4щ, 5(1-0
р »——х 1— 1 ♦ Э.БйМпл Р
р 1 1 1 г — 16МПЛ Р
394
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
прн любых допустимых значениях лишних неизвестных
X, (1=1,2....*-1).
В ряде случаев такая задача решается графически
[22]. но лучшее решение может быть получено с по-
мощью аппарата линейного программирования.
Может оказаться такой случай, когда решение будет
не единственным для распределения моментов, но един-
ственным для предельной нагрузки Р*. На рнс. 21.14.6
показана трехпролетная балка, в которой предельное
Рнс. 21.15
состояние образовалось в левом крайнем пролете —
в точках а и Ь возникли пластические шарниры. Прн
недостаточно большой интенсивности равномерно рас-
пределенной нагрузки в среднем пролете может не ока-
заться предельного состояния (линия /) или может об-
разоваться пластический шарнир в точке с. Однако его
образование не отразится иа схеме пластического ме-
ханизма балки. В любом случае как для эпюр, соответ-
ствующих линиям I нлн 2, величина предельной на-
грузки Р* неизменна, гак как она определена нэ условия
разрушения левого крайнего пролета.
Использование линейного, программирования. Расчет
сложной миогопролетиой нераэрезной балки со сложной
формой внешней нагрузки н неравномерном распреде-
лением материала требует очень большого объема вы-
числений, которые вручную реализовать невозможно.
Привлечение ЭВМ требует специальных подходов, ко-
торые для нераэрезной балки выглядят следующим об-
разом.
Пусть неразреэная балка имеет k пролетов с опорами,
пронумерованными от нуля до к. Номер пролета счи-
таем по номеру правой опоры. На рнс. 21.15 показан
<-й пролет балки, в котором назначены л( опасных про-
летных сечений н два сечення над опорами i—I н Там
же показаны распределения положительных н отрица-
тельных предельных моментов М+п н М“. Вся нагрузка
собирается в выделенные сечення в виде сосредоточен-
ных сил Рг\. Рг{...Рг^. Число н расположение опас-
ных сечений назначается нз следующих соображений:
а) под точками приложения сосредоточенных снл;
б) вблизи места резкого изменения предельных момен-
тов нлн М~п; в) для пролета с равномерной нагруз-
кой по всей длине расстояние между всеми сечениями
одинаковое и нх число можно принять л<=8ч-10, прн
этом I* =(/л( (/, s=l, 2.Л|).
В итоге для i-го пролета можно составить векторы
r = Г2’ —• ^2ПЛ’ — и
=<^- Мй.л......... м+„я) Зате" Составляется
матрица размером Л|Хл<:
й{| й{2
Йо| й^, 4з
~ Л32 ^ЗЗ *34
й' „ ft. .
л/. "Г—I пгя|
Это симметричная трехднагоиальная матрица вторых
разностей, диагональные элементы которой
-Н///+Г а элементы слева и справа й{,j_i = *}—!./ =
----1/4
Полная кинематическая матрица Н составляется из
блоков Н1 н дополнительных к—1 строк:
Я1 [
Я2 I
Я*
11
............|й —1
В первой дополнительной строке на месте под стыком
матриц Я| и Н3 расположены элементы — UC,+i и —1//р
Во второй строке под стыком матриц Нз я Нз располо-
жены элементы —1/^+|, —1/1? (см. пример 21.2) н так
далее.
Уравнение равновесия имеет вид
Н'т — Рг = 0. (21.25)
Здесь Я'—матрица транспонированная к Я, а т —
вектор неизвестных моментов в* выбранных сечениях для
всей балки, причем первые л=£л< компонент — эго про-
летные моменты, упорядоченные по пролетам, и затем
к—1 опорных моментов:
Вектор г составляется из к векторов г* г=(г|, г* ...
г») н имеет всего л компонент.
Если есть постоянная нагрузка С, то она, так же как
временная нагрузка Р, собирается над сечениями в виде
сил £‘=(gp g2.......8Л() и из них составляется вектор
g=(gl. ё1....£*) Уравнение равновесия записывается
так:
Н'т — Pr — g = 0. (21.25а)
Условия пластичности для i-го пролета записываются
так: -«'„^т'сМ'+Этн же условия можно распрост-
ранить на вес моменты, составляющие вектор т:
-М7л<п><Л1+,. (21.26)
где векторы Mj*"n н составляются нэ Л1^ н Л(л~:
М*= (Ч±. Л(£......A(J7'±).
Задача предельного равновесия заключается в опреде*
21.3. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
395
лении максимального значення ₽*=тахР(т) прн усло-
виях (21.25) нлн (21.25а) и (21.26). Такая задача ре-
шается методами линейного программирования.
Пример 21.2. Трехпролетная нераэрезная балка
(рис. 21.16) имеет одинаковые по длнне предельные мо-
менты Л1+, и M~t.
Рис. 21.16
Для этой балкн:
вектор неизвестных ,
«п = (m|, т}, , т^, m|, п%, т\ , т? , m'n, m°„)'
m1 m* m* mon
вектор интенсивностей внешней нагрузки r'^ (4, 0, 0, 4i,
*i, *i, *ь 0)', *i=?£j/5;
векторы пластических моментов
.... М-„Г
10 10
Л»+ = Л»+(1. ...1)'. 44- = Af- (1........1)'.
Матрица Н имеет внд
Число строк матрицы Н равно десяти — по числу ком-
понент вектора т, а число столбцов (восемь) равно чис-
лу пролетных сечений н размерности вектора г. В итоге
уравнения равновесия (21.24) состоят нз восьми урав-
нений относительно десяти неизвестных. В любой нераз-
реэной балке с к пролетами будет таких <лншних> не-
известных k—1 по числу статической неопределимости
системы.
Если каждый пролет разбивается равномерно п< сече-
ниями, то можно ввести матрицы Ht по правилу:
Матрица Н будет составляться из однотипных матриц.
Решение сформулированной задачи возможно, как пра-
вило, с помощью ЭВМ по стандартным программам за-
дач линейного программирования. Рекомендуется ис-
пользовать программы, учитывающие слабую заполнен-
ность матрицы п ненулевыми элементами.
21.3.4. Расчет статически неопределимых рам
Расчет рам, как правило, должен проводиться с уче-
том возможности образования вращательных и линейных
пластических шарниров. Если рама составлена только
из вертикальных стоек и горизонтальных ригелей, то
можно не учитывать возможность образования линей-
ных пластических шарниров, а ограничиться только вра-
щательными шарнирами (рнс. 21.17,а). Прн более стро-
гом расчете необходимо учитывать образование линей-
ных пластических шарниров (рнс. 21,17,6). Это имеет
особое значение для рам с наклонными элементами.
Кинематический метод. Этот метод применяется для
расчета рам только с вращательными шарнирами. В ра-
ме назначается несколько схем пластических механиз-
мов. для которых по формуле (21.23) определяется на-
грузка, соответствующая этим механизмам. Меньшая нз
нагрузок принимается в качестве предельной.
Пример 21.3. Портальная рама нагружена силами
Рк, н Рка (рнс. 21.18). Очевидно, что если стойки и ри-
гель имеют постоянные сечення. то пластические шарни-
ры могут образоваться в отмеченных на рнс. 21.18.0 ше-
сти сечениях. На рнс. 21,18.6, в, г показаны три пласти-
ческих механизма, нз которых можно образовать любой
пластический механизм с шарнирами в точках 1—6. Эти
механизмы называются базисными. Пусть в стойках
условия пластичности имеют вид —MCT^M^MCT.
а в ригеле — Работа внутренних н внеш-
них сил определится для каждой нз схем следующим
образом:
₽*.«.= (м, -J- + М,(-J- + ) +
\ л \ л п — п
+ Из Т-Ц) п. = Л110, + М, е, + м, е,:
П -------- П!
Рк, о, = (м. -i- + м* (v + тУ У )“‘=
= м, е, + м, ъ +
Рк, ^^ = (М1 + ма + м1 + м,)^-иа =
п
= ма +
396
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
В этих уравнениях Mi (i=l, 2, .... 6) равны Мст илн
Мр и их знак совладает со знаком угла перелома осн
—б,. Сокращая в уравнениях и и решая их относительно
Р, получаем три различных значення ₽(, Ра и Рэ, соот-
ветствующих схемам б, в нлн г.
Предельная нагрузка будет минимальной нз трех Р* =
=min(Pi, Ра, Р3), н этой нагрузке будет отвечать одна
из приведенных выше схем. Если окажется, что Р* —
Рнс. 21.17
Рис. 21.18
— Pi = Pa, то схема пластического механизма будет со-
стоять нз комбинации схем б н в (рис. 21.18). Такой
подход учитывает только изгибающие моменты, дейст-
вующие в раме. В этом методе весьма сложно учесть
влияние продольных сил.
Метод основной системы. Этим методом можно рас-
считывать любую статически неопределимую раму, в ко-
торой назначено т опасных сечений, где действуют про-
дольные силы й/i, А/а... и изгибающие моменты
М,. М,.... Мт.
Можно учесть н влияние поперечных снл Qi, Qa. —.
Q„, однако это приведет к чрезвычайно сложным вы-
числениям н не даст существенных уточнений.
Статически неопределимая система превращается
в статически определимую отбрасыванием лишних свя-
зей. Число отброшенных связей равно s — степени ста-
тической неопределимости. Усилия в отброшенных свя-
зях обозначаются Х|. Ха,.... X..
Усилия н моменты в сечениях образованной статически
определимой основной системы записываются в виде
а
A^PA'f + EX'A?!;
(—1
Mt = рм?+ Е х,м1
/-1
(/ = I, 2..m).
(21.27)
Здесь Aff » Nf- усилие в i-м сечении от единичной
внешней нагрузки; и М} — усилия в i-м сеченнн от
единичного усилия Ху=1.
Фактически Nf, Mf, н М}—это ординаты единич-
ной грузовой и единичной эпюр от /-го неизвестного
в i-м сеченнн.
Уравнения (21.27) удобно записывать в матричной
форме:
N = ₽№+ NX'. М = PM" + MX, (21.28)
где Wp=(Wf. Щ......N^)'. МР=(М[ ,М?....... М>)'-
это векторы-столбцы: Х=(ХЬ Ха,..., X,)' — вектор-стол-
бец нензвестиых
Условия пластичности в общем внде записываются для
каждого сечения в отдельности:
Mf)<0 ((=1,2...........т). (21.29)
Можно в каждое такое условие подставить соответ-
ствующее выражение и Mi через Р н X н получить
условия пластичности относительно этих величии:
Ф£ [PNf+ Е XfNl; PMf+ Е X, M}) < 0.
/•I l—l
Когда условия пластичности линейные и, в частности,
имеют вид (21.12), тогда каждое условие (21.29) запи-
сывается так:
кгЧ + |лгН_| <0 (/=|-2.............т)- (2L30)
1'МПЛ I 1*И/ПЛ 1
Введя две диагональные матрицы
Кип
‘пл ~ В • ж »
л'-'
И ГЛПЛ
IAITT,1
I пл
М2пп
\ •
м~' i
и) пл |
можно все т условий пластичности (21,30) предста-
вить в компактном виде:
Кл + М|-[1|т < 0. (21.31)
епннние.
где [1]„ — вектор с компонентами, равными ___________
В итоге получаем следующую систему условий относи-
тельно s-f-1 неизвестных Р и X», .... Ха:
кпл (₽№ + .VX)| +
+IM рМр + А*х)| - (1]т < 0. (21.32)
21.3. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
397
Этн условия записываются иным образом прн помошн
четырех неравенств
Я' + ОХ-ИЬСО; -PZ«-C« Х-[1]п<0;|
рр + п х - (1]п < 0; -РР-О X—|1|п < 0.)
где Z1 = Л"* Ы» + .«₽; Z2 = ZV^ - ЛфР -
векторы размерности m; С1 = A’nj[ ZV + Л1пл‘ М,
М
t
di лъ
Рис 21.19
С2= NrJ А'— A1n„’iW — матрицы размером mXs Вы-
числение этих матриц особого труда не представляет.
В итоге для з+1 неизвестного Р.
Х|, X,...X, имеется 4m неравенства
(21.33) и требуется определить мак-
симальное значение Р’, удовлетворя-
ющее этим неравенствам. Это зада-
ча линейного программирования, ко-
торая с успехом может быть решена
с помощью ЭВМ
Пример 21.4. Рассмотренную выше
раму (рнс. 21.18) заменим основной
системой (рис. 21.19) с тремя неиз-
вестными силами Х|. X,. Х>. Запишем:
M, = P(k,a + *,h)-X,-Xtfi-X,a
M,= P(k,a)-X, — X,(/i-h)-X,a,:
М,= P^a — Xt — Xtn;
Mt= +Xi,
Mi = + Xt-X,(l — a);
ZW«= + X1+A'tH-X,(Z-a):
IV, = Pk, - X,; V, - Pk, - X,.
N, — Pk, — X, (no стойке);
N, = X,; К, = Х* X, = X,.
(21.34)
Матрицы и векторы, входящие в (21.33), имеют внд
0 0
о о
о о
О 1
о о
о о
—I
—1
—1
о
I
I
(Л,о + *,Л\ «—1-W —1 а
*.о \ -l-(ZZ-Zi) -а
*1“ I л7= —। 0 —а в
О ! —I О О Г
о I -10 +(Z —0)1
о / -1 —Н +(Z-a)|
Условия (21.33) показаны далее в таблице, которую
следует читать сначала с верхними знаками, что соот-
ветствует первому условию (21.33). затем со вторыми
знаками, что соответствует второму условию, н так
четыре уровня знаков. Такая система имеет четыре не-
известных Р, X|, X, и X», для которых имеется 4-6=24
ограничения в виде неравенств.
Решение этой задачи, например, снмплекс-ыетодом
приводит к так называемому оптимальному плану Р*.
Х|. Х:, Х3. Здесь Р* — оптимальное значение пара-
метра внешней нагрузки, а X, —значения лишних не-
известных. Определение моментов и продольных снл
в предельном состоянии производится подстановкой
Р* и X* в выражения (21.28).
Подобным образом могут быть решены задачи с бо-
лее сложными условиями пластичности, например для
железобетонной рамы [9].
Любые выпуклые условия пластичности вида
Ф(А/<. УИ|)^О можно с достаточно высокой степенью
точности и по крайней мере безопасно заменить системой
вписанных линейных условий. Так, условия (21.12) явля-
ются линейными и вписанными в условии (21.10). Всег-
да одно нелинейное условие пластичности может быть
заменено системой t линейных условий OjNt+bjMi—
р Х1 X, X,
+ *, + *, a 4-*, Л - 1 - н - 1 а — 1<0
• с 5 1 1 + 1 + 1 ±< ; С ” м'п.
+ k, + *! а - 1 - н — 1 + а -1 <0
\'J 11 + м 1 + 1 ± «пл - Мм i с t <
+ k\ + л т 1 — 1 та
± < ± 0 Т А'я + Л4Э + ппл — /г'пл 1 SO
- 1 + 1 -1 <0
0 + м4 + А’4 0
Y । + 1 + Z —a
0 ± «пл 0 ± л'™ ; «пл 1 < и
- 1 - Н - 1 Z — а
0 ± < + № — пл 4- 4*пл тлл
398
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕ ПОЛЗ! ЧГ.СТИ
—К0(/=1.2.....Г) и эти условия будут достаточно
полные и самое главное безопасные, если задан ыно*
гогранннк, вписанный в область, ограниченную по-
верхностью пластичности.
21.4. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНОК
21.4.1. Общие положения расчета
Предельное равновесие пластинок прн нх изгибе под-
чиняется общим теоремам предельного равновесия
н может рассматриваться со статических и кинематиче-
ских позиций.
Для успешного применения статического метода оп-
ределения предельной нагрузки существенную роль иг-
рают условия пластичности (п. 2.8).
Фактически для решения этой задачи необходимо
определить поле изгибающих и крутящих моментов
М„. Му, н МХу, удовлетворяющее уравнениям равно-
весия и условиям пластичности и сообщающее пара-
метру нагрузки Р максимальное значение:
д* М „ &Мп в*Мт
дх* дхду ду*
+
+ y) = 0;
(21-35)
Ф ^уу* < О
Прн этом поле моментов должно удовлетворять
граничным условиям, зависящим от способа опнрання
пластникн.
Эта задача в редких случаях имеет единственное ре-
шение для поля моментов, тогда как для экстремальной
нагрузки Р” задача всегда имеет единственное ре-
шение.
Использование кинематического метода основывается
на а.«1лнэе различных схем излома пластникн, пре-
вращающих эту систему в пространственный кинемати-
ческий механизм нз дисков, соеди-
ненных линейными пластическими
« шарнирами.
/________Линейные пластические шарнн-
/ z /V Ры в плитах — это аналог враща-
/ тельного шарнира в стержневых
f системах и характеризуются тем,
что на некоторой линии нзгнбаю-
щие моменты вдоль нее удовлетво-
ряют уравнениям пластичности,
т. е. по величине равны пластнче-
Рис. 21.20 скнн моментам.
На рнс. 21.20 показан прямоли-
нейный пластический шарнир, об-
разовавшийся вдоль лнннн ab. Линейные пластические
шарниры могут образовываться как на прямых, так н иа
кривых линиях. Широко используется название «криво-
линейный пластический шарнир».
21.4.2. Кинематический способ определения
несущей способности плит
По этому методу выбирается некоторый кинематиче-
ский механизм нли группа механизмов, для которых оп-
ределяется работа внутренних и внешних сил:
й=^ Мм SdL; А = Р $ uq(x, y)dx. dy. (21.36)
Здесь и—перемещение точек поверхности пластникн;
?(х, У) — интенсивность нагрузки; в — угол перелома.
определяемый по нормали к лнннн шарнира L; Мяя —
пластический момент в шарнире, вектор которого на-
правлен вдоль касательной к линии шарнира.
На рис. 21.21 показана многоугольная плита, нагру-
женная в точке а сосредоточенной силой. Плита шар-
нирно оперта по контуру. Линин о/-i-об — линейные
Рнс. 21.21
Рнс. 21.22
пластические шарниры, позволяющие этой плите пре-
вратиться в пирамиду с вершиной в точке а' и высо-
той и. Прн такой схеме жесткне дисни вращаются
вокруг опорных шарниров н линейных пластических
шарниров. Так. диск 1а2 повернулся на некоторый
угол вокруг опорного шарнира /—2, вокруг шарнира
а! относительно диска 6а1 и шарнира 2а относитель-
но диска 2аЗ. Лнннн шарниров стали вершинами дву-
гранных углов. Величина этих углов определяется по
следующей формуле (рнс. 21.22):
в=у (ctga + ctg₽)u, (21.37)
где и — вертикальное (нз плоскости чертежа) переме-
щение точки а. Приняв обозначения н нумерацию уг-
лов по рис. 21.21 и обозначив через Ц длину шарнира
(|==1, 2........ 6). получим выражение для работы
внутренних сил
в
и = мпл U s (etg СИ + etg ft).
|™|
Работа внешних сил А — Ри. Отсюда предельная на-
грузка по формуле (21.22)
6
Р* = М„л £ (etg at + etg ft). (21.38)
/—I
Для правильной многоугольной плнты, имеющей k
сторон, предельная нагрузка
Р* = 2Mnnfetg4’- (21.39)
к
Криволинейные пластические шарниры. Образование
криволинейного пластического шарнира с появлением
по контуру шарнира изгибающих моментов с век-
тором. направленным по касательной к шарниру, вы-
зывает в области, ограниченной криволинейным шарни-
ром, появление пластических моментов Л1+,, вектор
которых направлен к вершине конуса пластического ме-
21.4. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВГ.СИЕ ПЛАСТИНОК
399
ханкзма (рнс. 21.23). Работа внутренних снл на пло-
щади. ограниченной криволинейным шарниром:
61
y=Afilf[1 + 2(-7-)’-7-]d0+
Рнс. 21.23
Это выражение записано в
полярных координатах
(г, 6), центр которых поме-
щен в вершину конуса;
г(0) — уравнение криволи-
нейного шарнира. Для замк-
нутого шарнира интегриро-
вание проводится в преде-
лах от 0 до 2л. Подынтег-
ральные выражения в
(21.40) можно упростить и
записать как
У = «л +А^) (в, -е0) + (м+ - 0.5М-)х
х(7£-7мИлй + '*='>х
е.ж
х(т2’‘,в- (2м,)
J • Г?)
Если криволинейный шарнир определен по кругу,
тогда И6)-0 н (/=(«++«" )(61-6о).
Для произвольно расположенного шарнира оптималь-
ной формой, сообщающей U максимальное значение,
является логарифмическая спираль г(6) =Лсесв.
21.4.3. Статический способ определения
несущей способности плит
Применение статического способа расчета тесно свя-
зано с методами линейного программирования и нс-
новесия плиты (21.35) заменяется какой-либо конеч-
ной системой линейных уравнений. Например, это мо-
жет быть конечно-разностное уравнение, составленное
для какой-либо сетки на плите (рнс. 21.24).
Плита разбивается прямоугольной сеткой со сторо-
нами пж=а/п и nt=blm. Для каждого узла сетки
составляется конечно-разностное уравнение, которое
для внутреннего узла </ имеет вид (i— номер узла по
горизонтали; / — номер узла по вертикали):
-<71-Ч-2Л4^-Ч+11
—М1'1-1 4- 2М1! — Л4,,/+1
1 ‘w I ‘ии
+ +
У
-леи+1 +4tij+i
+ 2ДХД„ +
+ = 0.
где — интенсивность нагрузки в точке Ц. Таких
уравнений будет (n—l)-(m—I) — число, равное коли-
честву внутренних точек.
Прн необходимости к этим уравнениям добавляют
уравнении граничных условий (см. раздел 15). Для это-
того вводятся «законтурные» точки, обеспечивающие
надежный учет граничных условий.
Введя вектор неизвестных в виде M=(Af^ ,
.... , М^т, М"‘™) н обозначив коэффициенты ко-
нечно-разностных уравнений как элементы матрицы А,
получим матричное представление дифференциальных
уравнений равновесня
^Л4 + ₽в = 0. (21.42)
Присоединяя к этому уравнению условия пластич-
ности. составленные для каждой внутренней точки сет-
ки. получаем полную систему условий задачи
Ф«. м1',. О<°
(1=1,2......п — 1, j = l,2........0 — 1). (21.43)
Можно каким-либо способом линеаризовать эти усло-
вия, представив нелинейные условии пластичности в ви-
де системы линейных неравенств:
о*Л4';х + ЬаЛ4^+слМ^-1<0
(*=1,2......О- (21.44)
Здесь t — число линейных условий, приближенно пред-
ставляющих условия (21.43); оно зависит от выбранной
точности линеаризации.
В первом приближении можно считать, что |а*| =
= |Ь»|=-^плН |с*| = (М»л/1^3)_|. Это задает так на-
зываемый вписанный симплекс в условия пластичности
Мизеса. Здесь 1=8—по числу октантов трехмерного
пространства моментов. Знаки а». Ь» и с* назначаются
из следующей таблицы:
.400
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
Условия пластичности (21.44) в матричной форме
записываются так:
1 1 1/VT
1 -1 I//3
-1 —1 1//з
—1 1 1/]/з
I 1 1//з
1 —1 l/V'e
—1 —1 1//3
-1 -I 1/Кз
Из матриц Р, как нз блоков, составляется блочная
система условий пластичности всей задачи
1
44пл
М-[1] <0.
(2145)
21.4.4. Некоторые частные решения
для пластинок, загруженных
сосредоточенной силой,
прн шарнирном опнраннн
Прямоугольные пластникн. Основная схема пласти-
ческого механизма для пластникн, загруженной сосре-
доточенной силой, принимается в виде линейных шар-
ниров, идущих от точки приложения силы (точка с)
в углы пластникн (рнс. 21.25).
Из уравнения работ для такого
] механизма получается значение
* предельной нагрузки
р> M"4«>to-t)+
Рис. 21.25 Ь 1
+—«—; • <2,-46>
<"1 (1 — 4)J
Для квадратной пластинки с силой, приложенной
в центре, P*=8Moa.
С приближением точки с к одной из сторон пластин-
ки получается Р*~ “при С—0 нли 4*0. В таком слу-
чае возможно образование местных криволинейных
шарниров, показанных на рнс. 21.26.
щ О
<1----°----
Блочно-диагональная матрица имеет (п—l)(m—1)
блоков н весьма удобную форму записи; вектор [1]
имеет 8(n— 1)(т—I) компонент, н все они равны еди-
нице. Поэтому хранение всех таких условий в памяти
ЭВМ не обязательно, так как матрица условий имеет
регулярную структуру, всего заполнено нулевыми эле-
ментами около 10%, средн которых фигурируют только
два числа: Маа и МВЯ/ 1^3?
Если известно, что в результате решения всей задачи
моменты М1Х н Ма, только положительные, то число
условий можно сократить, исключая в матрице Р
строки 2, 3, 4, 6, 7, 8. Тогда
Рнс. 21.26
111 1 /з
1 1 —1 VT
Объем условий (21.45) прн этом сокращается в 4 ра-
за, по добавляются такие условия, как > 0
н > 0. которые только облегчают решение задачи
методами линейного программирования.
Матрица А в уравнениях равиовесня (21.42) имеет
удобную ленточную структуру. Поэтому ее хранение
полностью также не обязательно. В итоге оказывается,
что. несмотря на кажущийся очень большой числовой
материал для задачи в целом, можно обойтись перера-
боткой на ЭВМ сравнительно небольшого объема чис-
ловой информации, обрабатывая только ненулевые зна-
чения исходных матриц.
Решение задачи статического метода заключается
в определении Р* — шахР(М) прн ограничениях (21.42)
н (21.45). Таной подход практически не зависит от
формы пластинки н наличия в ней разного рода отвер-
стий. Так же просто учитываются неоднородные н ани-
зотропные свойства материала пластникн.
Механизм разрушения будет как иа схеме а тогда,
когда окружность радиусом и УТ ие пересекает смеж-
ной стороны пластникн. По схеме а криволинейный
шарнир образуется по окружности; по схеме 6 криво-
линейный шарнир — логарифмическая спираль. В до-
полнение к этому шарниру образуется линейный шар-
нир с/, выходящий в угловую точку пластникн. Пре-
дельная нагрузка для обеих схем вычисляется по фор-
мулам
Р',= 11,42^;
(0.5л + а + ₽)’ + (|п-^-у
0,5л + а + р
(21.47)
Окончательно предельная нагрузка определяется как
P* = min(P|, Р,), если имеют место схемы, показанные
иа рис. 21.25 и 21.26,0, или P*=min(P|, Pj), если
возможны схемы рнс. 21.25 н 21.26,6.
21.4. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНОК
401
Пластникн со свободным опиранием по контуру. Та-
кое опнранне допускает возможность приподнимания
краев пластинки над опорами, что существенно сказы-
вается на схемах пластических механизмов и предель-
ной нагрузке. На рнс. 21.27,0 показана прямоугольная
пластинка, иагружеииая сосредоточенной силой. Пунк-
тиром показаны участки контура, которые приподни-
маются над опорами.
Определение точек выхода пластических шарниров
на контур пластникн определяется по формуле [4]
I = Vw- (21.48)
Все обозначения показаны на рнс. 21.27.6, где с —
точка приложения сосредоточенной силы; сВ — биссек-
триса угла; kcl — перпендикуляр к биссектрисе сВ;
с] в cd — линии пластических шарниров.
Рнс. 21.27
Рис. 21.30
В горизонтальной плоскости остается только контур,
отмеченный цифрами 1—4. Внутренняя часть контура
опускается вниз, а внешняя приподнимается вверх. Для
центрально нагруженной квадратной пластникн Р* =
=6.63МОП.
Рис. 21.28
Рнс. 21.29
На рнс. 21.28 показана прямоугольная пластинка
с отношением сторон 2<а/Ь<1, нагруженная в цент-
ре, у которой разрушение происходит так же, как
у квадратной пластникн, тоже нагруженной в центре,
но в которой невозможно приподнимание контура;
и P*=8M„.
Здесь происходит вращение частей 1—2—3—4 и
/'—2'—3'—4' вокруг осей 7—2 и /'—4'.
Бесконечная пластинка, шарннрно опертая по двум
параллельным сторонам. Схема разрушения такой
пластинки показана на рнс. 21.29. Здесь образуются
кольцевые пластические шарниры; предельная нагрузка
Р‘ = 10.28 Мпл.
Кинематический механизм прямоугольной пластянкн
прн свободном от—шин. Для прямоугольной пластни-
кн с отношением длинной стороны к короткой меньше
3 (alb < 3) при свободном опирании контура возможно
приподнимание в углах по схеме, аналогичной
рнс. 21.27.
Для сосредоточенной силы, приложенной в произволь-
ном месте и прн условии, что механизм не образуется
по схемам рис. 21.26, пластический механизм показан
на рис. 21.27. Пластинка превращается в восемь жест-
ких дисков. Диски I—1V вращаются вокруг осей 1—/,
2—2, 3—3 и 4—4. а диски V—VII — вокруг осей 1—2,
2—3, 3—4 и 4—1, лежащих на контуре пластинки.
Внешние участки, отсекаемые осями вращения /—/4-
4—4, приподнимаются над опорным контуром.
После определения положения осей вращения 1—1+
4—4 пластинка может рассматриваться как многоуголь-
ник с шарнирным закреплением по всему контуру и без
возможности прнподннмання краев. Предельная нагруз-
ка для такого многоугольника определяется по форму-
ле (21.38).
Частные решения для квадратной пластникн с распо-
ложением сосредоточенной силы на четверти диагонали
(q = C=0,25, см. рис. 21.25) дают Р*=8.4А1ПЯ.
Треугольная пластинка. Схема пластического меха-
низма треугольной шарннрно опертой пластинки пока-
зана на рнс. 21.30,а, а со свободным шарнирным опи-
ранием — иа рис. 21.30, б.
В первом случае образуются криволинейные шарни-
ры. очерченные по логарифмической спирали, а во вто-
ром случае — только линейные шарниры с возмож-
ностью вращения жестких дисков и приподнимания уг-
лов. В этом случае положение линейных шарниров оп-
ределяется в соответствии с формулой (21.48). В част-
ном случае для равносторонней пластинки по схеме
2I.30.O Р*=9,14 М„п, а для свободно опертой по схе-
ме 21.30,6 Р*=6,92М„.
21.4.5. Пластинки, загруженные равномерно
распределенной нагрузкой
Схемы возможных пластических механизмов шарнир-
но опертых пластинок прн равномерно распределенной
нагрузке со свободным и несвободным опиранием прак-
тически одинаковы и погрешность составляет 5—7%.
На рис. 21.31 показан ряд возможных схем образова-
ния пластических механизмов.
Пример 21.5. Расчет прямоугольной пластинки прн
шарнирном опирании и равномерной нагрузке Р про-
изводится следующим образом. Приняв схему пласти-
ческого механизма (рнс. 21.32), определим прежде все-
го объем призмы со скошенными гранями, получаю-
щуюся прн опускании точек с и с' на единицу:
1' = 4-оЬ(2 + С). (21.49)
О
Работа внешней нагрузки будет равна A = PV. Затеи
определяем работу внутренних снл, считая, что в пласта-
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
ческнх шарнирах действуют нагибающие моменты Маа
(7= А1ПЛ (4 ctg а 4-4 ctg 04-ЙОД. (21.50)
Углы а н р определим из условий
ctg а = -(1~°Ь ctg Р = —. (21.51)
а ctg а
Угол 0=4/с — двухгранный угол в шарнире се'.
Рис. 21.32
Введем отношение k=b/a и запишем
1/ = 4Л1пя [(1-0*4- +*с] =
L U—J
= 4А,-(‘ + 77=^)- <21.52)
Нагрузка определяется нз уравнения (/=71:
Л+—L
„ ,,, ZtAln,, (I — □ k
f(D = ~' 24-С • Р,53>
Обозначим
(1-0(2 4-0*’
тогда
Р(О= •24^пл /(0- (21.54)
О£>
Теперь требуется определить минимальное значение
Р(С) прн 0<l< 1, т.е. определять положение точек
с и < прн которых Р(С) минимальное. Для этого до-
статочно решить уравнение
что приводит к квадратному уравнению
0-2
14-** I — **
*» С— *»
= 0
с решением
f = ~~[l 4-*’-Vl-H-
Л*
Подставляя это значение в f(C), получаем
р. = ?±ln? f (e.j = min р да. (21.55)
об [
Для квадратной пластинки (А= 1)^—0 и
=24М0«/а*. Условие С‘=0 приводит к схеме пласти-
ческого механизма, показанного иа рнс. 21.31,6.
Для правильной многоугольной плиты с * сторонами
схема пластического механизма показана на
рис. 21.31, е. Объем пирамиды с высотой, равной еди-
нице,
V=-]r R**sin-J- ,
ь я
где R — радиус описанной окружности.
Работа внутренних снл на системе радиальный пла-
стических шарниров
U = Мпя 2Е ctg a = гМпд * tg ~ .
к
Предельная нагрузка после простых преобразований
приобретает вид
р, _ б^пл
Я*соа -7-
К
Уз
Для равностороннего треугольника /?™а - - (а —
сторона треугольника) и
р.=
а’
Для квадрата получается приведенный выше резуль-
тат. В пределе для круга (*— оо)
р. _ 6Л1пл
Я* ‘
Определение схем, показанных на рнс. 21.31. а и д,
сложнее. Для треугольника можно ввести две коорди-
наты точки пересечения шарниров (точки с) и и о. Как
функции этих переменных можно определить объем пи-
рамиды V(u. о) и работу внутренних сил на линейных
шарнирах u=Ma,L(u, о). Тогда предельная нагрузка
будет функцией двух переменных
L (и. с)
₽(m.d)=A1m-^-4.
V (u, v)
21.4. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНОК
403
Положение точки с (координаты и* и о*) найдем
как решение системы двух нелинейных уравнений
dt 1и, у) L (и, в) дУ (и, р) _
ди V (и, о) ди
dL (и, р) Ни, о) дУ (и, р) _
ди V (и, р) до
Аналогично решается задача для трапеции. В этой
задаче уже три переменных. Две — координаты точки
с(и. р). В силу того что точка с' находится на прямой
са, достаточно ввести одну координату для этой точки
(ш) — расстояние точки с от с нлн а. В вертикальной
плоскости точки сие' лежат также на прямой ас, сле-
довательно. в качестве характерной точки можно взять
только точку е. Если ее перемещение приравнять еди-
нице, то перемещение точки с' будет ac'lac.
Объем усеченной пирамиды для такой фигуры будет
функцией трех переменных V(u, в. ш). точно так же,
как работа внутренних сил на углах переломов в пла-
стических шарнирах 1)—МЯ!,Ци, о, ш). Координаты
и*, о*, w* находятся нз решения нелинейной системы
трех уравнений
Ни, о.®) L(u, P.W) dV(u, о,®) ,, t
------------------------------------=0 (t = и, о, ®).
д» И(и, о.ш) <>£
Решение такой задачи без использования вычисли-
тельной техники требует больших затрат времени, в ос-
новном на простые алгебраические операцнн.
21А6. Предельное равновесие пластинок,
защемленных по контуру
Образование пластических механизмов в пластинках,
контур которых целиком нли частично защемлен, про-
исходит с образованием пластиче-
ских шарниров около защемлен-
ных частей контура. Должен обра-
зоваться замкнутый криволиней-
ный пластический шарнир (рнс.
21.33), для того чтобы образовал-
ся пластический кинематический
механизм. Этот шарнир может
быть расположен целиком внутри
пластникн, но может касаться кон-
тура пластинки.
В радиальных шарнирах текуче-
сти работа внутренних енл
Рис. 21.33
где г(0) — уравнение контура криволинейного шарнира
в полярной системе координат с центром в точке с.
Работа в крнволниейном шарнире
=vf(*+(v),)de-
6
где Л1'|л — предельный момент в криволинейном шар-
нире.
26*
Для плиты с защемленным контуром, нагруженной
сосредоточенной силой, предельная нагрузка
2л
р = «ПЛ + f (1 + ^)’ <19- (21.56)
б
Для защемленной пластинки при Мп, = М'^ работа
радиальных предельных моментов равна работе момен-
тов по криволинейному шарниру. Очертание криволи-
нейного пластического шарнира — это логарифмическая
спираль с уравнением r(0) =Rtec9.
Для любой пластинки, защемленной по всему конту-
ру и нагруженной сосредоточенной силой, предельная
нагрузка ₽,=4лЛ(11Я.
Пластинин, защемленные по контуру
и нагруженные равномерно
распределенной нагрузкой
Прямоугольная пластинка имеет схему пластического
механизма, показанную на рнс. 21.34. В дополнение
и линейным пластическим шарнирам в поле пластинки
образовались пластические шарниры вдоль защемлений.
Работа внешних енл определяется с учетом (21.49). Ра-
бота внутренних сил по формуле (21.52) должна быть
дополнена работой контурных пластических шарниров
Д1' = 4</й-
1
(1-0*
где k=b/a.
Рис. 21.34
Общее уравнение для предельной нагрузки:
24(«пл + «'пл)(*+]ГЗЙт)
Р= (2 + С)об
24 (+ Л1' )
1 пл.——на-
ab
Это уравнение практически не отличается от уравнения
(21.54) для шарнирно опертой плиты, за исключением
слагаемого Mm — предельного момента у защемления.
Из этого следует, что положение точек с н с' не зави-
сит от способа опирания пластникн. Если МГЛ=Л1ПЛ,
то работа изгибающих моментов па линейных пластиче-
ских шарнирах внутри пластникн равна работе изгибаю-
щих моментов на контуре. Последние имеют знак, об-
ратный моыеит,ам по линейным шарнирам внутри
пластинки.
Общий случай. Предельная равномерная нагрузка
на защемленную по всему контуру пластинку определя-
ется из формулы
2л
? = 6«™----------------------• (21Б7)
рае
о
404
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
Таблица 21.6
Предельные нагрузки для круглых я аллиптяхесанх пластинок
Схема пластинки Предельная нагрузка Схема механизма н примечания
и. 6Mn1 № + 2т3
nwJ Ш1Э0 *— 2* —i J 6Мпл 'На"
1— * бМпл р определяется мак решение уравнений г > С, 606/? «Л(._ г < 0.606Я 1 + In — — 0 л г* . Я , к 3 — In — +
"Нт) При г ™ Л ll.26MM Я'
I—M—J ?"мпя * V/Г — г' 1
l |Р 2Мпл (B-P-Sinp) Шарнирное опирание на часть контура
ь Силе в одном из фо* кусов. Формула дей- ствительна при ь
Продолжение табл. 21.6
Схема пластинки Предельная нагрузка Схема механизма и примечания
“ ab Прн равномерной наг- Формулы действи- тельны при — <1+ /Г D
2А4 X ху, + з«2-+1'
1Т ] А P-mln (Рд, J>t); «М (| ) IUII .(1-Т))1 R> (1 — ЗСЧ» р,_ ««naf-C <
R'<i - зс> + зе>
Уравнение линейного пластического шарнира
'(0) = *»ch|&(e + a))’
где b н а — постоянные;
Криволинейный шарнир проходит вдоль контура; при
этом
Р‘Г*
WAU* ’
Если знак неравенства обратный, то криволинейный
шарнир отходит от защемленного контура.
Равносторонний А-угольннк, описанный вокруг окруж-
ности радиуса R, имеет ту же предельную нагрузку,
что н круглая пластинка радиусом R, защемленная по
контуру:
Л* "
Эта нагрузка в два раза выше предельной для шар.
ннрно опертой пластникн.
В табл. 21.6 приведены предельные нагрузки для не-
которых типов пластинок.
21.4.7. Пластинка с отверстием
при равномерно распределенной нагрузке
Квадратные пластинки
с квадратными отверстиями
Пластникн с отверстиями рассчитываются так же. как
пластникн без отверстий. — выбираются схемы пласти-
ческих механизмов, для которых определяется нагрузка.
21.1. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПЛАСТИНОК
405
В квадратной пластинке с центральный отверстием
(рнс. 21.35, а) предельная нагрузка
пластннкн (рис. 21.35, г), определяется также сравне-
нием двух схем:
/,(t) l+t-2F’
(21.58)
Функция £з(С, т]) определяется при помощи функции
/«(С Ч) И /,(£, 1J). Fait, ч) =min [А(£. 4). fs(C, Ч)),'
где
Рис. 21.35
/ (t п) =_____________1 — ч — ____________
I -ЗР(1 -0-(2Ч + С- D’(2-4ч + С) ’
Если пластинка защемлена по контуру, то учитывается
работа изгибающих моментов в защемлении.
Предельная нагрузка для пластннкн с центральным
отверстием (см. рис. 21.35, а)
Z,(C) 1-3P4-2J’’
Предельная нагрузка для пластннкн с отверстием
между диагоналями (см. рис. 21.35,6)
Р- = ^ /1(0 + 2^/ва).
а* са
Предельная нагрузка для пластннкн с отверстием на
диагонали, но не перекрывающим центр пластннкн. оп-
ределяется как минимальная нэ двух:
од м 24Л1„_
Р1-—v4(t. Ч) + —^/т(С.ч);
fl1 в’
схемы для пластннкн без отверстия
24Л1пл 3
Р ~ о* *^®_| —1,5?’
В случае, когда отверстие расположено иа диагона-
ли н не пересекает центра плиты (рис. 21.35, в), воз-
можны две схемы пластических механизмов: с центром
в точках с и с'. Действительная предельная нагрузка
определяется по формуле
Р’ =
24Mm
Л(С. ч)>
Л(С. 4) = n’inI/,(C.’i). /<(С.ч)1;
, . I-0.5C
/.К.П)= !_б^ + ЕЗ •
Л (С. Ч) = ! _ЗЕ2_[_2(,3 [{1 — +
0,5(1 — С)[1 — 2т))(1 — т)) —С(1 —0,5р]
т)(1 — Ч)~ 0>5£(1 — 0,5{)
Функция fs(C, л) соответствует первой схеме с цент-
ром в точке с. функция [<(С, л) — второй схеме с цент-
ром в точке с'.
Предельная нагрузка для пластинки с отверстием,
расположенным на диагонали, но перекрывающим центр
1-бчР + С’:
Р. = 2Л~ К (С. ч) + f. (С. ч);
л(1 _ч)(1 -зр + Я’Г
Р* = min(Pi, Pt).
Предельная нагрузка для пластинки с отверстием, пе-
рекрывающим центр (см. рнс. 21.35,г):
Р> = ft (С. ч) + /. (С. ЧУ.
/»(С. Ч)=П + ЭР(1-0-(2т)-Ц-1)‘Х
х(2-4ч-С)Г*;
Р* = mln (Р„ Р,).
В тех случаях, когда не все стороны пластннкн за-
щемлены, учитывается с коэффициентами 0,25; 0,5
илн 0.75, если защемлены соответственно одна, две или
три стороны.
406
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
Круглая пластинка с круглым
отверстием (рис. 21.35,0)
Предельная нагрузка определяется как минимальная
из двух.
ho (С. Ч) = [1 - ч)-1;
,п ® = 1-ЗР + 2С’ ;
Р*= min (Plt Pt).
Первая нагрузка соответствует пластическому меха-
низму в виде конуса в центре пластникн. вторая нагруз-
ка соответствует конусу с вершиной в центре отверстия
Если края пластникн защемлены, то Pi и Р3 опреде-
ляются с добавочными членами
Р1 = 5й/к,(С. ч)+^г/1. (С. п);
•X *Х
А. (С. п) = 1_зг,л;
Р.-6-^гГ11(С) + ^Г-/1.(0;
'»«>= ,_^-+2t.; P- = min(P1.P,).
21.5. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОБОЛОЧЕК
21.5.1. Общие положения расчета оболочек
Определение несущей способности оболочек связано
е большими трудностями вычислительного порядка. Точ-
ные решения могут быть получены и представлены в ко-
нечном виде только для ограниченного числа простей-
ших оболочек. Например, определение предельной
нагрузки для пологой оболочки на прямоугольном пла-
не при равномерной нагрузке связано с очень большими
вычислениями.
В целом общая задача точного расчета может быть
сформулирована так: определить максимальное значе-
ние параметра внешней нагрузки Р при выполнении
дифференциальных уравнений равновесия оболочки для
внутренних усилий с одновременным соблюдением усло-
вий пластичности в виде неравенств.
Большинство решений проводится следующим обра-
зом: задаются системой дифференциальных уравнений
равновесия оболочки (см. раздел 14) н уравнениями
пластичности <D(N, М)=0. Часто эти уравнения назы-
вают конечными соотношениями. Затем задаются воз-
можными полями скоростей перемещений, согласуя их
с ассоциированным законом пластического течения. Со-
вместное определение внутренних уравновешенных сил
и скоростей перемещений, связанных с ассоциированным
законом пластического течении, дает предельное нх рас-
пределение (третья теорема предельного равновесия).
Безмоментные оболочки. Для безмоментиой статиче-
ски определимой оболочки задача решается просто.
В этой оболочке действуют только нормальные силы
А'в . Ар и перерезывающие силы Т (см. раздел 14). Эти
силы могут быть определены как функцнн параметра
внешней нагрузки Ав=РЛ^. N^^PN^, Т=РТ\
Подстановка этих выражений в какие-нибудь усло-
вия пластичности дает предельное условие
Ф(Р. № ^0- Фактически задач а заключается в
решении алгебраического уравнения Ф(Р) =0. корень
которого Р* дает величину предельной нагрузки.
Моментные оболочки. Расчет оболочек прежде всего
должен проводиться с учетом возможных разрывов
внутренних сил н скоростей деформаций. Если иа ка-
кой-то линии происходит разрыв сил, то деформации
должны быть непрерывными и. наоборот, разрыв дефор-
маций может происходить только по линии, где внут-
ренние силы непрерывны.
Возможен приближенный расчет оболочек кинематиче-
ским методом. Для этого по каким-либо соображениям
выбирается схема пластического механизма, для кото-
рого определяется соответствующая нагрузка. Основ-
ными соображениями по выбору пластического меха-
низма являются данные эксперимента. Однако следует
иметь в виду, что пластический механизм оболочки яв-
ляется пространственным в отличие от стержневых си-
стем и пластинок. Наиболее удачные результаты полу-
чены для цилиндрических, конических и пологих обо-
лочек.
21.5.2. Расчет осесимметричных оболочек
Общие уравнения. В осесимметричной оболочке (обо-
лочка вращения) при осесимметричной внешней иагруз-
Рис. 21.36
кс действуют внутренние силы, показанные иа рис. 21.36.
Уравнения равновесия следующие:
— (/Л')’- ^-S+^-Q + P^u = 0;
Г Г
— ('QY — s-A'-k-S+P?w=0;
— (Г MY- — T'-Q = 0.
г t
(21.59)
Здесь Р — параметр внешней нагрузки; 4. и —
интенсивность внешней нагрузки по касательной к обра-
зующей и по нормали к ней. Исключение из этой оюе-
21.5. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОБОЛОЧЕК
407
мы перерезы в г ющсй силы Q приводит к системе двух
уравнений
{rNy I(Mir _ r/Tj + PrQu = 0.
«s
(rM)’+(rTY-r N + +-S j + Prqw = 0.
(21.60)
Граничные условия ногут быть такие: шарнирное опи-
рание M(R) =0, скользящая заделка /V(R)=0, защем-
ленный край — граничные условия произвольные.
Обозначим и(з) и w(s) скорости перемещения по ка-
сательной к образующей (вдоль ?„) н по нормали
(вдоль fv). Скорости деформаций, соответствующие си-
лам N, М, S и Г, выражаются через скорости переме-
щений так:
(21.61)
Граничные условия для перемещений: шарнирное опи-
рание и защемление — и(Л)“Ш(Я)=0, скользящая за-
делка ш(Я) =0, шарнирно подвижное опирание
и(Я) соэа+ш(Я) sina=0.
Совместное решение систем (21.60) и (21.61) невоз-
можно, так как отсутствует связь между силами н ско-
ростями перемещений.
Большинство задач решается в предположении, что
по всей поверхности оболочки выполняются уравнения
пластичности н ассоциированного течения:
ЭФ дФ
Ф(Л‘, М. S. Т)=0; е// = Х—; 4=*^;
_ 1 _
” дм'
Х» = X —
' дТ
В ряде случаев такая задача может быть решена.
Произвольное распределение нагрузки вдоль образую-
щей обычно приводит к весьма сложным исследованиям
режимов течения, описываемых формулами (21.62).
Решить задачу можно, ограничившись статической
постановкой в виде уравнений равновесня (21.60), со-
ответствующих граничных условий н условий пластич-
ности в виде неравенства Ф(А1, М, S, Г) ^0. Определе-
ние предельной нагрузки Р* — это задача математиче-
ского программирования.
Приведение к задаче математического
программирования
На образующей оболочки назначается п+1 точка,
'лучше всего с одинаковым расстоянием между ними
б (рнс. 21.37). Уравнения равновесня записываются в
конечных разностях. Для этого вводятся векторы неиз-
вестных Л'=(Л,о. N„Y, S=(Sc...•S.)', М=(М0...
M,)'. Г=(Г0..7„)'. Вектор всех неизвестных состав-
ляется из этих векторов X'=(N‘, S', М', Г'). Всего век-
тор X имеет 4(п+1) компонент. Дополнительно вводит-
ся точка усилия в которой равны усилиям в танке 1.
Это нужно для составления 2п уравнений в конечных
разностях для точек 0, 1 л—1.
Уравнения равновесня (21.60) приводятся к эквива-
лентной матричной форме
Подматрицы А. В, V являют-
ся конечно-разностными аналогами
дифференциальных операторов, со-
ставляющих уравнения (21.60):
?и = (9°. ')'• ?« = (?»•
Рис. 21.37
(21.63)
По конкретным граничным условиям вводятся допол-
нительные уравнения. Например, при шарнирном опира-
нии М„=0.
Условия пластичности записываются для каждой точ-
ки отдельно. Например, условия Треска записываются
для каждой точки в матричной форме
(21.62)
Объединение таких условий для точек 0. 1, п— 1
В итоге вся необходимая информация сформулирова-
на в виде линейных равенств и неравенств (21.63) и
(21.65). Определение предельной несущей способности
сводится к нахождению Р,=максР(Л) прн условиях
(21.63) и (21.64). Это задача линейного программиро-
вания.
21.5.3. Некоторые типы оболочек вращения
Сферическая оболочка при равномерном внешнем
давлении [27]. Схема оболочки показана на рнс. 21.38.
Безмоментное решение в соответствии с уравнениями
(21.60) будет
M=T = 0; N = — S; Р- = —.
R
408
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
Решение с учетом изгибающих моментов имеет внд
= + (2к66)
Rft I T\4RS(a)/J
где Л — толщина оболочки;
К 0 1 2 3 4 5 6 6,7
♦ 1.877 1.694 1,958 3,048 2,178 2,355 2.565 2,743
р 0.73 0.73 0,728 0.726 0,723 0,715 0,702 0,681
Рис. 21.38
iiiniiifiniirm
Рис. 21.39
Пологая оболочка вращения с шарнирным опирани-
ем. Для пологой оболочки отклонения от сферической
формы несущественно сказываются на величине пре-
дельной нагрузки. Предельная нагрузка для оболочки,
показанной на рнс. 21.39.
Решение А. Р. Ржаннцыиа [24] для пологой оболоч-
ки, поверхность вращения которой задана уравненнсм
Предельная нагрузка (верхняя оценка) для сосредо-
точенной силы, приложенной к вершине.
/(-^-. + -7-): (^пл = <>,*).
‘Л'М / f
Для равномерно распределенной нагрузки
р» _ <а
Пологая коническая
оболочка (ряс. 21.41)
Прн обозначениях
Р
₽= -r«g<p; а = Яо/Я
п
предельная нагрузка
₽• = глМпл ф (a, 0),
где
(21.68)
.. 3+р« (1 - а) (1 +а - 5а»+3а=')
3(l-a)(l-Hg»9)
Если окажется, что ф(а. 0) < 1, то следует принимать
ф(а. Р) = 1.
Решение А. Р. Ржаннцыиа для такой оболочки [24]
(верхняя оценка прн И,^=0) дает
^• = пЛ'пл/(1 +yj.
Для равномерно распределенной нагрузки
Несущую способность пологой сферической оболочки
прн действии сосредоточенной силы, приложенной в вер-
шине, можно оценивать по следующим формулам (верх-
няя оценка):
а) шарнирно неподвижное опирание (рнс. 21.41)
Р* = атпЛ» (0,5 + 0,09 tj«);
б) шарнирно подвижное опирание:
прн пС/з
Р* - ат гЛг (1 + у
при nSs'/a
45/п /
Пологая оболочка с защемленным краем (рис. 21.40).
Пластически? шарннры образуются по радиусу pRi. Для
оболочки с размерами Х=4 ——С6.7 предельная на
грузка
6Atfui
-jyW)-
в) защемленный опорный контур
2 \ (1-2у)(4 + у)/
Параметр у определяется как решение уравнения
уЧу-Р*
Т 2(1—2у)
21.6. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ОБОЛОЧЕК
409
Пологая оболочка ив прямоугольной плане с шар-
нирно подвижным опиранием прн действии равномерно
распределенной нагрузки. Обозначив отношение боль-
шей стороны к меньшей и = Ыа, получим уравнение сре-
динной поверхности
Главные кривизны можно приближенно определить как
/ k Аг а5
ky «—; k — ——.
а* и* ft
Пусть приведенная нагрузка определяется в виде
от2
Р ------. где М%* — предельный момент вдоль оси х.
а М2Л — предельный момент вдоль оси у. Введем па-
раметр ортотропнн
При условии, что 12+24 —. предельное значение
₽
приведенной нагрузки:
6 (о» + р«) + 2нР (2* + 3)
Зи«
и
Если ft> 12+24 — , то (при ₽=1) предельное эначе-
Р
ине
80 (ft)2
k* + 12ft+324
с 0 0.1 0.2 0,3 0.4 0.5 0,6 0,7
ф, 1.72 1.73 1.77 1.82 1.92 2,10 2.34 2.87
ф, 2.0 1.98 1.92 1.82 1.6Э 1.50 1.28 1,02
X 0.4 0.5 0.6 0.6 0.6 0,6 0.7 0,7
Аналогично возможны две схемы пластических меха-
низмов для оболочки иа круглом плане (рис. 21.42, в,г),
для которых
Р« = 8лМп. — Ф,, Рг = влМп,4- Ф.. (21.70)
Л л
Здесь Р —суммарная нагрузка иа оболочку.
с 0 0,1 0.2 0,3 0.4 0.5 0.6 0,7
ф, 0,458 0,461 0.463 0,420 0,429 0,5 0.527 0,565
ф* 1.0 0.99 0.96 0.91 0.84 0.75 0.64 0.51
X 0.8 0.8 0.8 0.6 0.8 0.8 0.8 0.8
21.5.4. Пологие оболочки с отверстием [7]
21.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОЛЗУЧЕСТИ
На рис. 21.42 показаны пологие оболочкн на квадрат-
ном плане и сферические. Оболочку на квадратном пла-
не примем в виде эллиптического параболоида с урав-
а) Ав 6) ® г)
Рнс. 21.42
пением срединной поверхности z=f(x*+y’)/os, где 2f —
высота оболочки в вершине. Схемы пластических меха-
низмов могут быть такие, как иа рис. 21.42.0 и б. Пре-
дельные нагрузки, соответствующие схемам с в б,
определяются по формулам
Ро = 32 4- ©1. Рб = 32 Л1ПЛ Ф,. (21.69)
Л я
Здесь Р — суммарная нагрузка на оболочку, предель-
ное значение которой выбирается как меньшее нз Ра
И Ро-
21.0.1. Уравнения состояния для задач
ползучести
В тех случаях, когда деформации ползучести линейно
зависят от напряжений, уравнение состояния имеет вид
г
fc(T)
L Т) Ten dT’ (2L71)
где e’(f)=a(0/E(l) -упруго-мгновенные деформацин;
выражение L(t, т) называется функцией влияния н в за-
висимости от конкретного типа теории ползучести имеет
различный вид.
Для уравнения состояния упруго-вязкого тела
(£(Г) =consl)
-Н H(t — x)
_ехр-----
(21.72)
где £ — мгновенный модуль упругости; Н — длительный
модуль упругости; t) — коэффициент вязкости.
Ползучесть многих полимерных материалов удовлет-
ворительно может быть описана функцией влияния
(£(/) =const):
1 (Г* т) = (t-xf (0 < “ < °- (2Ь73)
410
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
Это так называемая функция со слабой особенностью:
при т=< Еу, т) = <».
Для железобетоне наиболее широко распространено
представление функции влияния прн помощи другой
функции:
^> = ^)£[тК)+с,'-т)]’ (2174’
Здесь Е(т) — переменный модуль мгновенных деформа-
ций, который часто принимается в виде
Е(т)=Едл(1 — ае-*”) (0 < а < 1).
В начальный момент, когда т=0. начальный модуль
деформаций равен: Е(0)=Едл (1—о). прн очень боль-
ших т (старый бетон) Е=ЕДД.
Функция C(t, т), наиболее удачно описывающая свой-
ства линейной ползучести бетона, предложенв А. В. Яши-
ным:
С У, т) = fl--------(1 — e“V‘
решение в общем виде записывается прн помощи резоль-
венты Яу,т), определенным образом связанной с функ-
цией Еу, т), которая в математике называется ядром
интегрального уравнения:
о У) Г
— = е” У) + Я у. т) г? (т) 4т. (21.78)
ь(<) J
I.
Ядро н резольвента связаны уравнением
t
Е(/, T)-Ry, т)^ jEy,s)R(s, г) ds.
Ж
Во многих случаях решение этого уравнения затруд-
нительно н возможно только для относительно простых
выражений.
В тех случаях, когда Еу. т) есть функция только раз-
ности 1—т—времени выдержки под нагрузкой, наибо-
лее удобно пользоваться преобразованием Лапласа для
нахождения резольвенты. Преобразование Лапласа для
ядра выглядит таким образом:
+ А,(1—
L*(s)= f E(9)e-“d6.
+ А, e~w (1 — е-*(,_х)).
Функция т), которая определяется видом теории
ползучести, отражает влияние на деформации ползуче-
сти приращений напряжений Д<т(т), приложенных в мо-
мент т(то<т^<), эффект от которых наблюдается в мо-
мент времени t.
Функция С(1, т), определяемая из функции L(t,т):
СУ.т) =
1
Е(т)
№).
J Е(т)
4т,
(21.75)
называется мерой ползучести материала и имеет рвз-
мерность (смг1/а), обратную размерности модуля де-
формаций. Физический смысл этой функции виден нз
уравнения (21.71), если считать напряжения постоян-
ными <т(т)—<тУо)“const н обозначить деформации
ползучести как
е"У) = оУе)СУ,10)-еу(1). (21.76)
Здесь в"(0—деформации ползучести; еу0)—мгновен-
но-упругие деформации, образовавшиеся в момент при-
ложения напряжений аУо)- Обычно принимают Су. Г) =
»0. Тогда функция C(t, й>) *=е0У)/аУо) равна дефор-
мации ползучести в момент t. приходящейся на единицу
напряжения, приложенного в момент to-
Испытаннямн материалов на ползучесть может быть
определена только мера ползучести Су. т). Часто ис-
пользуется эквивалентная мере ползучести величина,
называемая характеристикой ползучести:
фУ.1о) = ЕУ<,)Су./0). (21.77)
Характеристика ползучести — это отношение деформа-
ций ползучести, проявившихся ко времени t от напря-
жения, приложенного в момент времени to к упругим
деформациям, образовавшимся в момент от этих же
напряжений. Деформации ползучести прн помощи ха-
рактеристики ползучести записываются как
еПУ) = еУо)ч>У,/о)-
Как правило, решение задач линейной ползучести свя-
зано с решением уравнения состояния (21.71) относи-
тельно напряжений. Это уравнение называется интег-
ральным уравнением Вольтерра второго рода. Его
В этом выражении 6=0 прн одностороннем преобра-
зовании. Ь=— а> при двустороннем преобразовании.
Изображение резольвенты записывается так:
Более подробно о применении преобразования Лапласа
см. [6, 7].
Задача релаксации. Эта задача решается для посто-
янных деформаций е°. вызывающих мгновенные напря-
жения с’’=Ее°. С течением времени эти напряжения
уменьшаются (релаксируют) по закону
а У) = 00 [ 1 - р У)]; РУ)= Е у) у R у , т) dr. (21.79)
Функция Р(О называется функцией релаксации. Для
упруго-вязкого тела с ядром (21.72) функция релаксации
имеет вид
р(0=('--£)(»-
Если мере ползучести имеет внд C(t, т)=С0(1—
— е—¥«—’))_ то ЯДр0 ннтеГрал|,н0Г0 уравнения такое:
ЕУ, Т)= ECoye-v«-4.
Его резольвента Лу.т) также имеет внд экспоненты
R (I. т) =— ЕС0 ye-Vt'+EGHJ-T)
Величина £Св обычно обозначается как предельная
характеристика ползучести <р« =ЕСо. Функция релак-
сации при этом такая:
РУ)= , (1 — е~V<1+ф")')- (21.80)
1 + ф~
Подстановка ее в (21.79) дает выражение для релак-
сации напряжений
1 + ф<
Ф<
21.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОЛЗУЧЕСТИ
411
Для времени со
<’(<») =
а»
1 +Ф»
(21.81)
Такай зависимость достаточно хорошо описывает раз-
личные законы релакснровання и может быть нсполь-
эовона при приближенных оценках решений задач ли-
нейной ползучести.
Обобщенная задача релаксации. Если деформации
являются вынужденными и изменяются во времени по
закону е(0. то определение напряжений является зада-
чей обобщенной релаксация. Напряжения находятся по
формуле (21.78).
Для ядра (21.72) прн е°(/)=е°/ равномерное увеличе-
ние деформаций
<т (/) = «•[//< +!)(£-#)(•-« 1
Задача обобщенной релаксации чаще всего встречается
при определении температурных напряжений, когда рас-
пределение температуры Г(О вызывает температурные
деформации е(0“=ш(1).
Рнс. 21.43
Линейная теория старения. Этв теория постулирует
параллельность кривых, иллюстрирующих меру ползуче-
сти С (Г, т). Суть ее в следующем: если известна кривая
Г,), то кривая C(t. ta) прн G>G может быть получе-
на как разность С(1,/,)— С((,. Г,). т. е. кривая С(Г, G)
получается нз уравнения кривой С((, М прн помощи па-
раллельного переноса (рнс. 21.43). Заштрихованные на
этом рисунке площади одинаковы и кривые at и а'Ь' по-
добны. В этой теории часто оперируют характеристикой
ползучести как функцией одного аргумента ф(<) =
EC(t, Г»), Уравнение состояния по этой теории такое:
о('> 1 f . ' .
е(0 = —--ja(T)—Л.
Обычно это уравнение приводится к дифференциальному
вида
dip Е 'dip I
В это уравнение вместо переменной t вводится новая
переменная <р» играющая роль условного времени. Реше-
ние относительно напряжений будет:
t
о (0 = Ее (I) - Е j e(T)e-’(t’^ dr.
Г.
Уравнение релаксации [e(/)=const] имеет вид
а(/) = о<> (!-₽-*<'>)• (21.82)
Эта теория достаточно проста в части математических
решений, ио в ряде случаев она не в состоянии правиль-
но описать явление ползучести, в частности прн резко
изменяющихся напряжениях нлн деформациях.
Нелинейные теории ползучести. Прн расчете .строи-
тельных конструкций часто используются интегральные
уравнения состоиння типа (21.71), но учитывающие не-
линейные свойства ползучести.
Уравнение нелинейной ползучести в теории Маслова —
Арутюняна:
I
ею=‘Ш’+1'(/,т)’||о(т),л' (21м)
Здесь ф(а) — нелинейная функция напряжений. Напри-
мер, ф(а) = от прн т = 1 приводит к обычной линейной
ползучести.
Уточненная нелинейная зависимость для бетона исполь-
зует нелинейную меру ползучести C(t, т, о) =ф(а, t—т)Х
ХС’(Ст), где ф(о./—т) — функция, зависящая от уров-
ня напряжений; с увеличением длительности действия
напряжений (ростом t—т) эффект нелинейности сглажи-
вается.
Уравнение состояния
в(0 = «-КГ'. Ч. о(W1] +•
+ fc(Z,T,G)^y^dT.
J ат
t.
Нелинейное уравнение состояняя по Ю. Н. Работнову
[41]:
t
ф(е(П) = о(/) + | L((-T)o(T)dT.
G
Другие типы теории ползучести приведены в разделе 12.
21.6.2. Методы решения задач линейной
ползучести
Расчет статически определимых систем производится
прн условии, что напряжения от ползучести не изменя-
ются о(0=<Л где о* — начальные напряжения или
напряжения, изменяющиеся во времени. Учет ползучести
производится только для деформаций по формулам:
если a*=const, то
ц(0 = «£(1+ф(0).
где — начальные деформации, определяемые упругим
расчетом;
если По функция времени, то деформации определяются
вычислением интегралов
N(t) Г ЛГ(с>
u(0= -r^ + l L(t. т) ——(1т.
B(t) В (т)
Здесь N(t) — изменяющееся во времени усилие; В(0 —
жесткость; £(Лт)—функция влияния.
Расчет статически неопределимых систем. Перерас-
пределение усилий в статически неопределимой системе
от действия внешних снл возможно только тогда, когда
система составлена нз элементов с различными свойст-
вами ползучести (неоднородная система).
412
РАЗДЕЛ 21. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
В однородной системе прн действии внешней нагрузки
перераспределения внутренних сил не происходит.
В однородной статически определимой системе уси-
лия от вынужденных деформаций (температура, осадка
опор) релаксируют по закону
W (0 = *('«>) (!-₽(').
где N(t(,) — начальные усилия; р(О — функция релакса-
ции.
Применительно к железобетонным конструкциям это
означает, что перераспределение внутренних енл возмож-
но в основном вследствие неодинакового армирования
отдельных элементов.
Устойчивость стержни при ползучести [40, 42]. Для
однородного стержня устойчивость прн ползучести мо-
жет быть оценена по формуле
'дл<ГЛ£' (2L84)
Здесь Р,— критическая сила по Эйлеру.
Устойчивость армированного стержня прн линейной
ползучести материала н идеальной упругости арматуры
см. (40).
мящаяся к некоторому пределу Вц. В случае B(t)=H.H
m = l получается уравнение ползучести Максвелла.
Задача о релаксации прн постоянных вынужденных
деформациях е<> имеет решение
где Од—Ее« — начальные напряжения:
р(О = (1 -mJEBJOog-1;
t
Й1(О = УВ1ГОЛ- (21-91)
О
Эта формула обычно дает некоторое занижение релак-
сированных напряжений для металлов по сравнению с
экспериментальнымн данными.
В теории старения принимается такое уравнение состо-
яния, которое записывается относительно деформаций,
а не их скоростей:
а(0 = 01(1)0"-!- у:
21.6.3. Методы решения задач нелинейной
установившейся ползучести
01 (О = Dt (т) Зт.
(21.92)
Основные уравнения. Уравиеиня состояния для
сплошного тела записываются относительно скоростей
деформаций ползучести н имеют внд
е«= y/(ai)(a„-c);...; eIV= f(ot)oxll..... (21.85)
1
где °=“^_ («Ъх+о^+а..) — гидростатическое давление;
о* — интенсивность касательных напряжений; ехт, . . ..
е*к1 . . . — компоненты тензоров скоростей деформаций
ползучести.
Обратное представление уравнений состояния такое:
— o = 2g(et)e„.....axll = gMexll.... (21.86)
где ft — интенсивность скорости деформаций сдвига.
Функции /(о<) н g(ft). как правило, определяются экс-
периментально прн одноосном растяжении илн сжатии и
в ряде случаев прн кручении. Например, нз одноосного
растяжения (сжатия) получена зависимость для устано-
вившейся ползучести
'жх = А (')<£- (21-87)
В уравнениях состояния (21.85) фукцня /(о<) будет
иметь внд
/(«’,)=—= я (0оГ_|;
m-f-l
B(t) = 3 2 В, (I).
(21.88)
Одноосное напряженное состояние. Уравнение состоя-
ния установившейся ползучести для скоростей полных
деформаций (упругих и ползучести) имеет внд
о (О
е(Г)=в1(1)а"(/)+-^-!-. (21.89)
Здесь е — скорость деформаций ползучести н упругих:
Bi(t)—монотонно убывающая функция времени, стре-
Такое уравнение можно использовать только прн по-
стоянных илн очень плавно изменяющихся напряжениях.
Релаксация напряженки определяется нз решения не-
линейного уравнения
EQt (0 о" -|- о — о0.
(21.93)
Решение этого уравнения приводит к несколько боль-
шим значениям напряжений, чем решение по теории
течения (21.90).
Теория старения существенно проще теории течения
и наиболее широко используется в приложениях. Особен-
но это относится к методу изо-
. > хронных кривых [41]. Изохронная
® /Ла*0 кривая —это зависимость напря-
гут женне — деформация. построен-
мая для некоторого фнкенрован-
ного временн. Фактически это есть
г зависимость о—е по (21.90) при
Qi(l)=const На рнс. 21.44 пока-
Г f эана серия изохронных кривых,
где первая кривая (1=0) есть
Рис. 21.44 кривая упруго-мгновенных дефор-
маций, которая для идеально ли-
нейно упругого материала будет
прямой линией, показанной на рнс. 21.44 пунктиром.
Пользуясь изохронными кривыми, задачу ползучести
для каждого момента временн /< можно решить как не-
которую нелинейно-упругую нлн упруго-пластическую
задачу. Для каждого момента временн будет своя не-
линейная зависимость с — е. Существенно уменьшаются
сложность задачи н объем вычислений, если изохронные
кривые подобны, т. е. справедлива зависимость е(Г) =
=/(()Е(о). Тогда задача может быть решена как не-
линейно-упругая с зависимостью e=F(o). а деформации
будут функцией временн. Постоянные нагрузки не будут
выбывать изменения напряженного состояния установив-
шейся ползучести, тогда как деформацнн будут изменять-
ся пропорционально функции /(1).
Сложное напряженное состояние. Задача ползучести
при сложном напряженном состоянии может быть реше-
21.6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПОЛЗУЧЕСТИ
413
на вариационными методами, весьма близкими к вариа-
ционным методам нелинейной теории упругости в дефор-
мационной теории пластичности.
Пусть скорости перемещений точек объема обозначены
как компоненты трехмерного вектора uz, и,, и,. В этих
обозначениях мощность внешних сил, приложенных и
части поверхности.
А = f(Xax + Yug + Zuj) dS,
so
где So —площадь поверхности, на которой действуют
внешние силы X, У, Z.
Удельная мощность, т. е. мощность, приходящаяся на
единицу объема, рассеиваемая внутренними силами,
вследствие деформаций ползучести
1
ц= —.
т
ai det =------- е1"**;
Полная мощность системы внутренних и внешних сил
О (и) = WdV—'A. (21.94)
V
Скорости перемещений являются кинематически воз-
можными, если они удовлетворяют на некоторой части
поверхности кинематическим условиям. Наиболее часто
это условие несмешаемости.
Первый вариационный принцип: нз всех кинематически
возможных распределений * скоростей действительные
скорости перемещений их, иу, uz сообщают полной мощ-
ности минимальное значение
V (u*)==mln (и).
Удельное дополнительное рассеивание мощности внут-
ренними силами при степенной зависимости в уравнении
состояния имеет внд
j* В
cf+l.
т + 1
v
Мощность, дополнительно рассеиваемая телом объе-
мом. V,
t(a) = Jfi(a)dV. (21.95)
Второй вариационный принцип: действительное напря-
женное состояние с* является статически возможным н
сообщает мнннмальное значение мощности дополнитель-
ного рассеивания Г(а*) =min Г(о).
В задачах ползучести существует обобщение теоремы
Кастилнано на случай установившейся ползучести ста-
тически неопределимых систем:
а) если в s раз статически неопределимой системе вы-
делены неизвестные Xi, X». . . ., Л., то уравнения стати-
ческого метода запишутся так:
дТ
— = 0 (1=1,2..........s); (21.96)
ОЛ/
б) скорость перемещения по направлению действия
силы Р» равняется частной производной дополнительной
мощности рассеивания по этой силе, т. е.
дТ
(21.97)
Приближенное решение задачи. В некоторых случаях
можно достаточно просто получить решение задачи «фи
тех же граничных условиях, но в предположении упругой
работы — линейной нлн нелинейной. Обозначим это ре-
шение о*. Пусть а' решение задач» с позицнй идеальной
пластичности прн тех же граничных условиях. Например,
это может быть решение по методу предельного равно-
весня, хотя нагрузка нс предельная. Тогда о* это какое-
то статически допустимое поле напряжений. Решение за-
дачи ползучести разыскивается в виде линейной комби-
нации этих двух решений
с (А) = Ао« + (1 — А) о*. (21.98)
В этом выражении OCA^l, а оптимальное значение
А* определяется на основании второго вариационного
принципа о минимуме мощности дополнительного рассеи-
вания:
dt |о (А)]
м - °~ (21-99)
пл
Другой прием приближенного решения заключается в
использовании упругой аналогии, когда распределенне
напряжений при ползучести приближенно представляется
как сумма решений задач нелинейной упругости с зара-
нее заданной степенью нелинейности:
о = с, а (т,) + с, о (ms) + • • •+ сп о (тп), (21.100)
где mt (>=1,2......п) — различные показатели нелиней-
ности.
Коэффициенты с( определяются в соответствии со вто-
рым вариационным принципом
ЙТ (о)
—^— = 0 (1 = 1,2.........п). (21.101)
Лт
Возможно также применение вариационных методов,
аналогичных методам Ритца и Галеркина, применяемых
в теории упругости.
21.6.4. Расчет стержневых систем
при нелинейной ползучести
Статически определимые фермы. Напряжения в ста-
тически определимой форме находят обычным статиче-
ским расчетом. Скорости деформаций находят из урав-
нения состояния
е(1) = sign (с) Bt (t) |o|m. (21.102)
Деформации (перемещения) конструкции определяют
интегрированием
>
е (О = f sign (о (т)J Bt (т) | о (т)И dr.
Прн постоянной нагрузке
е (0 = sign (a) |o|m Q, (/);
‘ (21.103)
0.(0= jB>(T)dT.
О
Пусть в ферме имеется к стержней с усилиями
ЛЛ(| = 1, 2....к). Дополнительно рассеиваемая мощ-
ность
А
t = ~T7 (0 W’"1’1. (21-104)
m + 1
i-i
414
РАЗДЕЛ JI. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ И УЧЕТ ПОЛЗУЧЕСТИ
где F, и 1< — площадь поперечного сечення н длина 1-го
стержня.
Систему внешних снл, действующих на ферму обозна-
чим Р>, о.....Рп- Усилие в каждом стержне это ли-
л
нейная функция этих сил W<=Za<jPj, где ац — усилие
(•
в i-м стержне от /-й внешней силл, равной единице
(Pj = l). Выражение дополнительной мощности рассеи-
вания
Перемещение точки приложения силы Р, по направле-
нию действия этой силы определяется в соответствии с
обобщением теоремы Кастилиано:
k MAP} VI J—1 ь FT У ад Pi /"1 т an (21.106)
или
*
и, = В,(/) Е ац h |a(|m. (21.107)
/=|
где ot—HilFi — напряжение в i-м стержне.
Статически неопределимые фермы. Расчет статиче-
ски неопределимой фермы в условиях ползучести начина-
ется так же. как н расчет упругой фермы, с выбора ос-
новной статически определимой системы. Естественно,
что расчет производится методом сил. Усилия в стержнях
основной снстемы записываются как линейные функции
внешней нагрузки и лишних неизвестных
,V,= Wf+ S а Л,, (21.168)
где Nf — усилие от внешней нагрузки; Xj (/=1, 2........
s) — лишние неизвестные; s —степень статической не-
определимости.
В соответствии с выражением (21.96) составляется не-
линейная система уравнений для скоростей деформаций
ползучести. Это система, как и в методе снл, соответству-
ет отсутствию перемещений по направлениям лишних
неизвестных. После сокращения на Bt система уравнений
приобретает вид
(/=1.2..s).
(21. 169)
Решение снстемы А», . . Xs приводит к распреде-
лению внутренних снл при установившейся ползучести.
Полное решение задачи дает Л=Х°+Л*. где Х° —реше-
ние упруго-мгновенной задачи.
Система (21.109) может быть решена приближенным
способом (см. 21.6.3). Более подробно см. [37].
Рекомендуемая точность различных приближенных ме-
тодов может быть ограничена 5—10%. Решение сложных
задач возможно только с помощью ЭВМ. Поэтому бла-
годаря невысоким требованиям к точности с успехом
можно применить методы случайного поиска. Этн методы
рекомендуется применять не для непосредственного ре-
шения системы нелинейных уравнений метода снл. а для
отыскания минимального значения дополнительной мощ-
ности рассеивания.
ЛИТЕРАТУРА
К п. 21.1-21.5
I. Ахвледиани >1. В. К расчету железобетонных арок
do методу предельного равновесия. «Строительная механика и
расчет сооружений». 1962. № 2.
2. В а р в а к М. Ш.. Дубинский А. М.» Дехтярь А. С.
Предельное равновесие оболочек, подкрепленных ребрами.
«Прикладная механика», 1966. вып. 9. т. 2.
3. Гвоздев А- А. Определение величины разрушающих
нагрузок для статически неопределимых систем, претерпеваю-
щих пластические деформация. Труды конференции по пласти-
ческим деформациям. Изд. АН СССР. 1938.
4. Г в о •» д е в А. А. Расчет несущей способности конструк-
ций по методу предельного равновесия. Госетройнэдат, 1949.
5. Геннев Г. А. Вариант деформационной теории пла-
стичности. «Бетон н железобетон», 1969. М 2.
6. Дехтярь А. С.. Дубинский А. М. Несущая спо-
собность пологих железобетонных оболочек с нерастяжимым
контуром. «Строительная механика и расчет сооружений». 1966,
7. Дехтярь А. С-, В а р в а к М. Ш. Несущая способность
пологих оболочек с центральным отверстием. «Прикладная ме-
ханика». 1968. вып. 3. т. 3.
8. Дубинский А. М. Расчет несущей способности же-
лезобетонных плит. Госетройнэдат, УССР. 1961.
9. В л а с о в В. В. Расчет железобетонных конструкций,
работающих по второму случаю вменентренкого сжатия.
«Строительная механика н расчет сооружений». (969. М 2.
10. Купцам Д. Ланс Р. О линейном программирова-
нии и предельном равновесии. «Механика». 1965. М 2.
11. Л метров а Ю. П.. П о т а п о в В. Н.. РудисМ. А.
Предельное равновесие некоторых оболочек вращения, выпол-
ненных нз материала с различными пределами текучести при
растяжении н сжатии. МТТ, 1960, № 1.
12. Мирзабекян Б. Ю. К спред ел ей ню нижней гра-
ницы несущей способности оболочек. «Строительная механика н
расчет сооружений». 1968. № 3.
13. Мнрэабекян Б. Ю.. Р е Л т м а н М. И. Опреде-
ление несущей способности оболочек при помощи линейного
программирования. МТТ. 1968. М 1.
14. Немировский Ю. В., Ра бот нов Ю. Н. Пре-
дельное равновесие подкрепленных цилиндрических оболочек.
Изд. АН СССР. ОТН. Серия механика и машнностр.. 1963. № 3.
15. О в е ч к и к А. М. Расчет железобетонных осесиммет-
ричных конструкций. Госетройнэдат. 1961.
16. О л ь ш а к В.. Савчук А. Неупругое поведение обо-
лочек. «Мир». 1969.
17. И л ью ш н н А. А. Пластичность. OIИЗ. 19*8.
18. Прагер В.. Ходж Ф. Теория идеально пластиче-
ских тел. ИЛ.. 1956.
19. П р о ц е к к о А. М. Статический метод предельного
равновесия и связанные с ним задачи оптимального проектиро-
вания. Сб. НИИЖБ «Особенности деформаций бетона и железо-
бетона и использование ЭВМ». Стройнздат. 1969.
20. П р о ц е н к о А- М.. Власов В. В. Применение ли-
нейного программирования к расчетам железобетонных стати-
чески неопределимых конструкций. «Бетон и железобетон».
1969. № б.
21. Проценко А. М. Некоторые вопросы теории предель-
ного равновесия строительных конструкций. «Строительная ме-
ханика и расчет сооружений». 1970. № 2.
22. Р ж а и и ц ы и А. Р. Расчет конструкций с учетом пла-
стических свойств материалов. Госетройнэдат. 1964.
23. Р ж а и и ц ы н А. Р. Расчет оболочек методом предель-
ного равновесия. Сб. ЦНИИСК «Исследования по вопросам тео-
рии пластичности и прочности строительных конструкций».
Стройнздат. 1968.
24. Р ж а и и ц ы к А. Р. Пологие оболочки и волкдетые на-
ЛИТЕРАТУРА
415
стили. Научное сообщение ЦНИИСК. вып. 14. Госстройиздвт.
1960.
2S. Ржаимцык А. Р. Расчет цилиндрических сводов-обо-
лочек методами линейного программирования. «Строительная
механика н расчет сооружений». 1966, М4,
26. Розен блюм В. И. Об условиях пластичности для
тонкостенных оболочек. ПММ. I960. М 2.
27. Розенблюм В. И. О расчете несущей способности
идеально-пластических осесимметричных оболочек. Сб. «Иссле-
дования по упругости и пластичности». Изд. ЛГУ. 1965. М 4.
28. Стр ел ь б и ц к а я А. И. Информационное письмо
Ив-та строительной механики АН УССР. 1957, М 20; 1958, М 29.
29. X и л л Р. Математическая теория пластичности. ИЛ..
1066.
30. Ходж Ф. Расчет конструкций с учетом пластических
деформаций. Машнэдат. 1963.
31. С о к о л о в с к и й В. В. Теория пластичности. «Наука».
1969.
32. Ч и р а с А. А. Методы линейного программирования
прн расчете упруго-пластических систем. Стройиздат. 1969.
33. Greenberg Н., Prager W. On limit design of
beams and frames. Trans. ASCE. 1962. 117. 447.
34. Massonet Ch., Save M. Calcul plastlque des const*
ructions, v. 11. Bruxelles, 1963.
35. N e a I B. The plastic method of structural analysis. New
York, 1966.
К П. 21.6
36. Арутюнян H. X. Некоторые вопросы теории ползу-
чести. Гостехиздаг. 1953.
37. К в ч а н о в Л. М. Теория ползучести. Фиэмаггмз. I960.
38. м а л и и и н Н. Н. Основы расчетов на ползучесть.
Машгиз. 1918.
39. Прокопович И. Е. Влияние длительных процессов
на напряженное н деформированное состояния сооружений. Гос-
стройнздат, 1963.
40. Проценко А. М. К расчету железобетонных стерж-
ней с учетом линейной ползучести бетона. Сб. НИИЖБ «Проч-
ность и жесткость железобетонных конструкций». Стройиздат.
41. Р а б о т н о в Ю. Н. Ползучесть элементов нонструкцнй.
«Наука». 1966.
42. Ржаннцын А. Р. Теория ползучести. Стройиздат.
1968.
СПРАВОЧНИК ПРОЕКТИРОВЩИКА
ПРОМЫШЛЕННЫХ. ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ
ЗДАНИЯ И СООРУЖЕНИЯ
РАСЧЕТНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИ И
под редакцией А. А. Уманского
Издание второе переработанное
н дополненное
б двух книгах
Книга 2
• • •
Стройиздат
Москва. К-31, Кцзмцкий мост. д. о
Редакторы издательства И. С Бородина и Э. М. Осипова
Технический редактор Т. М. Каи
Корректоры Е. Н. Кудрявцева. М. Ф. Казакова
Сдано в набор 7/1—1972 г. Подписано к печати 23/XI— 1972 г’
Т-18190. Бумага № 1.1 Формат 84XlO8‘/le—13 бум. л. 43.68 уел. печ. л*
(уч.-изд. 52.47 л.). Тираж 60.000 экз. Изд. N» X—693. Зак. Nt 26
Цена 3 р. 18 к.
Владимирская типография Союзполнграфпрома
прн Государственном комитете Совета Министров СССР
□о делам издательств, полиграфия и книжной торговли
Гор. Владимир, ул. Победы, д. 18-6.