Текст
КХ М. Лаевский
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.М. Лаевский
Метод конечных элементов
(основы теории, задачи)
Новосибирск
1999
УДК 519.6
ББК В 192.2
Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы
теории, задачи). Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1999. 166 с.
В книге содержатся теоретические основы метода конечных эле-
ментов. Приводятся необходимые для изложения факты теории об-
общенных решений эллиптических краевых задач и в абстрактной
форме описываются проекционные методы их решения. Отдельная
глава посвящена описанию метода конечных элементов в примене-
нии к одномерным задачам. Изложение метода для задач многомер-
ных строится на основе аффинной эквивалентности симплексов и те-
оремы об интерполяции в пространствах Соболева. Каждая из глав
книги сопровождается небольшим количеством задач, отражающих
основные ее идеи.
Книга рассчитана на студентов математических факультетов
университетов и аспирантов, специализирующихся в области вычи-
слительной математики.
Рецензент д-р физ.-мат. наук А.М. Мацокин
Книга издана на средства ФЦП “Интеграция”, проект № 274.
© Ю.М. Лаевский, 1999
© Новосибирский государственный университет, 1999
Оформлено в системе lATgX, макрос NCC
Оглавление
Введение в
Глава I. Задачи в энергетических пространствах 12
1.1. Некоторые сведения из функционального анализа 12
1.2. Энергетическое пространство.................. 18
1.3. Задача о представлении линейного функционала 21
1.4. Задача о минимуме функционала энергии .... 25
1.5. Пространства Соболева........................ 26
1.6. Операторы эллиптических краевых задач .... 35
Задачи к главе 1.................................. 45
Глава 2. Задачи на последовательности подпро-
странств 47
2.1. Задачи в подпространстве и основная лемма ... 47
2.2. Аппроксимация........................... 50
2.3. Методы Галеркина и Ритца................ 52
2.4. Устойчивость............................ 57
Задачи к главе 2................................. 62
Глава 3. МКЭ в одномерном случае 64
3.1. Двухточечная краевая задача............. 64
3.2. Пространство кусочно-линейных функций .... 70
3.3. Аппроксимация гладких решений........... 77
3.4. Аппроксимация гладких решений (обсуждение) . 85
3.5. Аппроксимация только обобщенного решения . . 91
3.6. Кусочно-квадратичная аппроксимация...... 93
3.7. Замечание о неоднородных краевых условиях . . 100
Задачи к главе 3.............................. 102
Глава 4. Основные понятия МКЭ 104
4.1. Симплициальное разбиение................. 104
4
Оглавление
4.2. Канонический симплекс и аффинная эквивалент-
ность ...................................... 112
4.3. Конечные элементы...................... 117
4.4. Эквивалентные нормы сеточных функций .... 127
Задачи к главе 4............................ 134
Глава 5. Построение сеточных уравнении 136
5.1. Локальные матрица жесткости и вектор нагрузок 136
5.2. Ассамблирование........................ 140
Задачи к главе 5............................ 145
Глава 6. Основы общей теории сходимости 146
6.1. Интерполяция в пространствах Соболева...146
6.2. Сходимость в Ях-норме...................152
6.3. Сходимость в Ьз-норме.................. 156
6.4. Равномерная сходимость................. 159
Задачи к главе 6 . . ....................... 165
Дополнительная литература 166
От автора
Предлагаемые лекции по теории метода конечных элементов
предназначены, главным образом, для студентов механико-
математического факультета Новосибирского госуниверсите-
та. Но в данном предисловии я обращаюсь к преподавателям,
имеющим дело с данным предметом, и которых может заин-
тересовать очередное учебное пособие. В книге не приводится
все разнообразие типов конечных элементов, их классифика-
ции, различных способов построения сеточных систем, много-
численных приложений - всего того, что обычно содержится в
книгах на эту тему. Здесь преследуется совсем другая цель - в
рамках полугодового курса лекций (16) изложить основы тео-
рии студентам-математикам. И все изложение, включая зада-
чи, направлено на достижение только этой цели. Я верю, что
усвоение данного материала позволит молодым специалистам
достаточно легко прочитать любую из монографий с деталь-
ными описаниями конечно-элементных конструкций и их те-
оретическими обоснованиями. Я с благодарностью восприму
любую критику, но только не за то, чего в данном курсе нет.
Конечно, хотелось бы, чтобы предлагаемый материал активно
использовался и другими лекторами, читающими курсы лек-
ций по методам вычислений.
Сентябрь, 1999 г.
Ю.М. Лаевский
Введение
С середины 60-х годов чрезвычайно интенсивное развитие по-
лучил метод конечных элементов (МКЭ) численного решения
краевых задач математической физики, превратившийся в от-
дельное направление вычислительной математики. По своей
математической сути МКЭ - это проекционный или вариаци-
онный метод (Галеркина или Ритца), использующий кусочно-
полиномиальное представление решения. В действительности,
методы типа Галеркина-Ритца использовались намного рань-
ше при решении, главным образом, задач строительной меха-
ники. В 1943 году Р. Курант предложил использовать проек-
ционный метод с кусочно-линейными базисными функциями,
построенными на прямоугольной сетке, что привело к стан-
дартной разностной схеме. Собственно это предложение и мож-
но считать рождением МКЭ. Но только развитие электронно-
вычислительной техники, с одной стороны, и быстро накопив-
шийся опыт применения разностных схем для решения доста-
точно сложных задач математической физики, с другой, дали
толчок к интенсивному сближению проекционных и разност-
ных подходов. И основой этого сближения явилось использова-
ние кусочно-полиномиальных финитных базисных функций с
локальными носителями.
Реализация МКЭ на ЭВМ - это не только или, вернее, не
столько решение возникающих систем линейных алгебраиче-
ских уравнений, сколько само построение этих систем. Именно
здесь, в отличие от применения разностных схем, достаточно
просто достигается практически полная автоматизация. При
этом процесс решения задачи по МКЭ сводится к разбиению
расчетной области на непересекающиеся фрагменты, которые
часто-{не совсем правильно) и называют конечными элемента-
ми, после чего на каждом таком фрагменте строятся локальные
матрицы жесткости и векторы нагрузок (названия, пришед-
Введение
7
шие из строительной механики и закрепившиеся за МКЭ), и,
наконец, производится ассемблирование (сборка) глобальной
матрицы системы и вектора правой части. Эта общая схема
дала направление огромному количеству исследований в плат
не разнообразия способов фрагментации области, использова-
ния различных типов полиномов, организации информацион-
ных потоков при построении системы уравнений. Все это на-
правление получило название инженерного подхода в МКЭ.
Однако указанное достоинство МКЭ вряд ли привлекло
бы такое внимание вычислителей-математиков, если бы не
чрезвычайно стройная математическая теория, появившаяся
параллельно развитию инженерного подхода. Оказалось, что
МКЭ - это поиск обобщенных решений краевых задач на
последовательности специально организованных конечномер-
ных подпространств пространств Соболева. Или иначе говоря,
поиск последовательности ортогональных относительно ска-
лярного произведения в так называемом энергетическом про-
странстве проекций функций из этого пространства на по-
следовательность конечномерных подпространств. Последняя
формулировка особенно привлекательна, поскольку в ней связь
с конкретной задачей математической физики минимальна и
состоит только в описании энергетического пространства, ко-
торое обычно либо является пространством Соболева, либо
его некоторым замкнутым подпространством. В связи с этим
главный вопрос всякой математической теории численных ме-
тодов о сходимости последовательности приближенных реше-
ний к точному в МКЭ сводится к вопросу об аппроксима-
ции пространств Соболева последовательностью конечномер-
ных подпространств. В этом вопросе уже всякая прямая связь
с конкретной краевой задачей отсутствует, что и дает воз-
можность создания достаточно общей теории сходимости. В
отличие от инженерного подхода эту сторону метода-будем
называть математической теорией МКЭ. Отметим, что в ее
становлении и развитии большую роль сыграли российские
математические школы.
8
Введение
То огромное влияние, которое оказал и продолжает ока-
зывать МКЭ как на вычислительную практику решения при-
кладных задач, так и на вычислительную математику в целом,
неизбежно привело к необходимости изложения основ метода
в российских вузах соответствующего профиля (что за рубе-
жом происходит уже несколько десятилетий). При этом, если в
технических вузах упор делается на инженерный подход, то на
математических факультетах университетов внимание, на мой
взгляд, должно быть сосредоточено на математической теории
МКЭ. Здесь следует отметить, что на русском языке в насто-
ящее время имеется порядка 10 монографий по математиче-
ской теории МКЭ (хотя в их названиях этот термин не всегда
присутствует). Однако эти книги, часто являясь прекрасны-
ми пособиями для профессиональных исследователей, гораздо
в меньшей степени пригодны для обучения основам теории, да
они для этого, как правило, и не предназначены. И происходит
это, главным образом, из-за того, что либо в них пренебрегаг
ется строгостью в пользу широты охвата проблем, либо изло-
жение требует математической подготовки, далеко превышаю-
щей содержание стандартных университетских курсов. И при
этом не следует забывать, что речь идет только о 16 лекциях!
(полугодовой курс). В связи со всем этим и на основании опре-
деленного опыта обучения студентов теоретическим основам
МКЭ возникла потребность в написании данного учебника.
В основу книги лег полугодовой курс лекций, читавшийся
мною на механико-математическом факультете Новосибирско-
го государственного университета в течение последних 5 лет.
Причем эти лекции читались и как самостоятельный курс, и в
рамках общего годового курса методов вычислений. Цель дан-
ных лекций - ознакомить студентов с общей математической
конструкцией МКЭ и с двумя основными идеями, лежащими в
обосновании этой конструкции. Во-первых, это то, что реше-
ние задачи в подпространстве дает наилучшее в энергетиче-
Введение
9
с кой норме приближение к решению исходной задачи по срав-
нению с любым другим элементом из подпространства, и во-
вторых, вопрос об оценке погрешности метода сводится к по-
лучению априорных оценок аппроксимации пространств Собо-
лева подпространствами кусочно-полиномиальных функций. И
сделать это нужно за 16 лекций. Указанная цель и определила
содержание и структуру книги.
Первая глава, хотя и носит вспомогательный характер,
чрезвычайно важна. В ней дается объяснение, что понимается
под энергетическим пространством оператора краевой задачи.
Без этого фундаментального понятия вся теория МКЭ зави-
сает в воздухе. Во второй главе обсуждается первая из основ-
ных идей в обосновании метода, о которых говорилось выше.
Здесь пока изложены общие принципы конструирования проек-
ционных схем, а не собственно МКЭ. А вот начиная с третьей
главы, речь идет уже только о МКЭ. И в третьей главе да-
на достаточно подробная иллюстрация метода на одномерных
краевых задачах. Именно в одномерном случае весьма просто
удается осветить все основные вопросы теории - от постро-
ения численных схем до получения оценок погрешности для
различных ситуаций. В главе 4 излагается “геометрическая”
часть МКЭ в многомерном случае. Именно здесь появляется
термин “триангуляция” и разъясняется,.что же такое конеч-
ный элемент. Самая короткая в книге пятая глава посвящена
инженерному подходу в МКЭ. Совсем обойтись без нее, по-
видимому, нецелесообразно, поскольку общие принципы авто-
матизации построения сеточных систем следует знать. И на-
конец, последняя, шестая глава содержит набор теорем о по-
грешности метода в различных нормах.
При изложении материала, связанного с многомерным слу-
чаем, я придерживался двух основных упрощений. Первое -
это рассматриваются только двумерные и трехмерные задачи.
Увеличение размерности привело бы либо к выходу за рамки
гильбертовой теории, либо к замене основного инструмента ис-
10
Введение
следования - кусочно-полиномиальных интерполянтов прибли-
жаемой функции на более сложные конструкции. И то, и другое
существенно усложнило бы изложение и увело бы в сторону от
главной цели курса. Второе упрощение касается степени рас-
сматриваемых полиномов. Я ограничиваю изложение только
кусочно-линейным случаем. На мой взгляд, в плане методики
исследования он содержит в себе всю специфику теории МКЭ.
Иллюстрация использования полиномов более высокой степени
дана в одномерном случае. Конечно, все это следствие крайне
ограниченных во времени возможностей данного курса лекций.
Особо следует сказать о задачах, приведенных в конце
каждой главы. Как мне представляется, эти задачи могли бы
явиться основой для проработки курса лекций на семинарах.
Почти все они довольно простые, хотя есть и сравнительно
трудоемкие в чисто техническом плане. Ряд задач следует от-
нести скорее не к МКЭ, а к теории обобщенных решений диф-
ференциальных уравнений. Но, как показывает опыт, без их
решения теоретические вопросы собственно МКЭ понимаются
с большими трудностями.
Теперь я хочу предложить ряд книг для более широкого
и глубокого изучения теории МКЭ. Общее знакомство с раз-
личными вариантами метода можно осуществить с использо-
ванием монографии [6] и учебника [3]. Для по настоящему глу-
бокого изучения теории следует привлечь прекрасные моно-
графии [5] и [7]. Обе эти книги самым существенным образом
повлияли на выбор и способ изложения материала в данном
курсе лекций, в особенности [5]. Для успешного освоения этих
книг рекомендую воспользоваться монографией [2] и учебни-
ком [1] по теории краевых задач для уравнений в частных
производных. И наконец, весьма полезной является моногра-
фия [4], где изложены многие аспекты вариационных методов
в математической физике. В частности, изложение концепции
энергетического пространства сделано мною с использованием
именно этой книги. Все указанные ссылки составляют список
дополнительной литературы.
Введение
11
Теперь несколько слов о том, как пользоваться данным по-
собием. Каждая глава разделена на пункты с двухиндексной
нумерацией. Все формулы и утверждения (леммы и теоремы)
имеют двухиндексный номер, где первая цифра соответствует
порядковому номеру пункта внутри главы. Все ссылки внутри
главы, содержащей соответствующую формулу или утвержде-
ние, осуществляются непосредственно по их двухиндексному
номеру. Ссылка, осуществляемая из другой главы, имеет три
индекса, где первый означает номер главы. Задачи в конце гла-
вы имеют двухиндексный номер с указанием главы. И наконец,
в ряде теорем имеются константы с номерами, совпадающими
с номерами теорем. Использование этих констант’производит-
ся так же, как и ссылки на теоремы - с трехиндексным номером
при употреблении константы в другой главе.
В заключение, хочу отметить, что полезные дискуссии с
А.М. Мацокийым существенно отразились на отборе и способе
изложения материала. После внимательного прочтения руко-
писи на ряд неточностей указали М.В. Урев и А.И. Роженко.
И наконец, весьма полезными были для меня беседы с
Э.П. Шуриной, имеющей большой опыт преподавания данно-
го предмета. Всем им автор искренне благодарен.
Глава 1
Задачи в энергетических пространствах
В данной главе вводится минимально необходимый для изложения основ-
ного материала аппарат. При этом рассматриваются задачи только с сим-
метрическим, положительно определенным оператором. Основной упор
делается на понятие энергетического пространства и постановку в нем
краевых задач.
1.1. Некоторые сведения из функционального
анализа
Множество Р будем называть вещественным линейным мно-
жеством, если оно замкнуто относительно операций сложения
и умножения на вещественное число a G R. При этом V все-
гда имеет нулевой элемент 0. В дальнейшем будут рассма-
триваться только вещественные множества и функции. Далее,
на множестве Р зададим скалярное произведение - скалярную
вещественную функцию двух аргументов (и, v), и, v € Т>, удо-
влетворяющую условиям:
(«,«) = (v,u);
(<*!«! + O2U2, v) = Ol(ui,v) + a2(tt2»v)> «1,02 € R'l
(u,u) > О, и если (u, и) = 0, то и = 0.
Скалярное произведение задает нзг-множестве Р норму ||и|| =
\/(и, и} - вещественную скалярную функцию, обладающую
свойствами:
||и|| = 0 тогда и только тогда, когда и = 0;
Н««Н = 1®1 Н«11, а € R;
IIм + «II < НМН + IMI “ неравенство треугольника;
|(u, v)| < ||u|| ||и|| - неравенство Шварца.
1.1. Некоторые сведения из функционального анализа
13
Когда речь идет о нормах в виде сумм или интегралов,
последнее свойство обычно называют неравенством Коши-
Буняковского. Скалярное произведение и соответствующую
норму назовем гильбертовой структурой. Линейное множе-
ство, в котором введена гильбертова структура, будем назы-
вать предгильбертовым пространством (пространством с
гильбертовой структурой).
Введение нормы позволяет описать предельный переход в
предгильбертовых пространствах - один из основных вопро-
сов всякой математической теории. Пусть в D задана бес-
конечная последовательность элементов U\,U2,... Будем го-
ворить, что данная последовательность сходится к элемен-
ту и € Т) (является сходящейся), если ||мп — и|| —> 0 при
п —> оо. Далее, последовательность будем называть фунда-
ментальной, если ||wn — «*|| -> 0 при п,к —> оо, причем
способ стремления п и к к бесконечности относительно друг
друга ничем не лимитирован. Хорошо известно, что не вся-
кая фундаментальная последовательность является сходящей-
ся. Тем не менее, как правило, существует элемент некото-
рого более широкого множества, к которому данная после-
довательность сходится (в уже введенной норме). Присоеди-
нив пределы всех фундаментальных последовательностей к ис-
ходному пространству, получим некоторое новое, более ши-
рокое пространство. Такая процедура называется пополнени-
ем (замыканием по норме), а полученное при этом простран-
ство - полным. В основе процедуры пополнения лежит пол-
йота множества вещественных чисел, благодаря которой ска-
лярное произведение и норма сохраняют свой смысл в бо-
лее широком пространстве. Полное предгильбертово простран-
ство называется гильбертовым пространством (простран-
ством Гильберта). Пусть Я-гильбертово пространство. Бу-
лем говорить, что множество V С Н плотно в Я, если лю-
бой элемент и € Я является пределом некоторой бесконеч-
вой последовательности элементов ип € Я. Далее, рассмотрим
гильбертово пространство V с гильбертовой структурой про-
14
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
странства Я, и пусть V С Я. Если при этом V не совпадает
с Я, то будем говорить, что V есть замкнутое подпростран-
ство пространства Я. Отметим, что замкнутое подпростран-
ство не может быть плотно в Я. В противном случае оно было
бы неполным, поскольку в силу плотности его замыкание со-
впадало бы с Я. Также следует заметить, что полное, но в
другой, более сильной норме подмножество из Я может быть
плотно в Я, но оно не полно в норме Я, и его нельзя считать
замкнутым подпространством. Ниже мы неоднократно будем
сталкиваться с данной ситуацией. Собственно вся теория МКЭ
основана на изучении свойств замкнутых подпространств не-
которых гильбертовых пространств.
Пример 1. В кубе Q m-мерного евклидова пространства Дт
рассмотрим множество функций Л4(Г2), непрерывных в Q, и
введем в нем гильбертову структуру пространства функций,
квадратично суммируемых в $2. Тем самым мы превращаем
множество Л4(П) в предгильбертово пространство. Нетруд-
но построить пример, показывающий, что такое пространство
полным не является (см. задачу 1.1). С другой стороны, по
теореме Рисса-Фишера для любой фундаментальной после-
довательности существует предел, к которому она сходится
в среднем, т.е. Li(Q) является полным пространством. Кро-
ме того известно, что множество непрерывных (и даже беско-
нечно дифференцируемых) в Q функций плотно в £з(^)- Тем
самым процедура пополнения неполного пространства Л4(0)
приводит к Ьг(^)- При этом сделаем одно важное замечание -
интегралы в определении нормы понимаются в смысле Лебе-
га. Элементы из Ьз(^) могут не являться интегрируемыми в
квадрате функциями в смысле интеграла Римана.
W
Два элемента и и v ортогональны в Я, если (u, v) = 0.
Элемент из Я, ортогональный ко всем элементам некоторого
множества Т> С Я, называют ортогональным множеству D
относительно скалярного произведения в Я.
1.1. Некоторые сведения из функционального анализа
15
Теорема 1.1. Элемент из Н, ортогональный к плотному в
Н множеству - нулевой элемент.
Далее, элемент w € V будем называть ортогональной проек-
цией элемента и € Н на замкнутое подпространство V, если
разность w — и ортогональна V.
Вещественную функцию I : Р/ —> R, Pi С Н будем назы-
вать функционалом в Р/, а множество Р/ - областью опреде-
ления функционала I. Функционал I ограничен в Р/, если суще-
ствует положительное число с такое, что для любого элемента
и € Р| имеет место неравенство |/(u)| < с||и||. Функционал
I линейный, если Р/ линейное множество и l{cx\U\ + а^и^) =
«U(ttl) + «2^(и2)> u1>u2€P/, Oil,012 ER.
Пример 2. I (и) — (u, v) - линейный функционал в Н. Из
неравенства Шварца следует его ограниченность с константой
с = ||и||. При этом константане может быть уменьшена. Чтобы
в этом убедиться, достаточно положить и — v.
Теорема 1.2 (о представлении линейного функционала). Вся-
кому линейному ограниченному в Н функционалу I взаимно
однозначно соответствует элемент v G Н такой, что для
любого и € Н имеет место равенство 1(и) = (и, и).
Пусть Рд С Н. Отображение А : Н -> Н будем наг
зывать линейным оператором, если его область определения
Ра с Н. является линейным множеством и A(otiui + «2^2) =
ctiAui + 012AU2, ui, U2 € Рд, «1)02 € R. В дальнейшем
рассматриваются только линейные множества и операторы, и
поэтому слово “линейный” мы будем опускать. Далее, пусть
С Рв и пусть задан оператор В : Н -> Н с областью
определения Рв, я Au = Ви Vu € Рд. Будем говорить, что
оператор В есть расширение оператора А с множества Рд на
множество Рд. И наоборот, А есть сужение В. Если при этом
16
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
ФА = то операторы Ав В совпадают. Оператор огра-
ничен в ВAi если существует положительное число с такое,
что для любого элемента и € Ва имеет место неравенство
||Au|| < c||u||. Ясно, что такое число определяется не одно-
значно. Наименьшее из всех таких чисел называется нормой
оператора. Пусть множество В а плотно в Н. Тогда существу-
ет ограниченный оператор В •. Н —> Я, определенный всюду в
Я и являющийся расширением оператора А на Я с сохранени-
ем нормы. Это означает, что при рассмотрении ограниченных
операторов плотные множества и все пространство Я факти-
чески не различимы. В случае неограниченных операторов (а
именно с ними нам предстоит иметь дело в дальнейшем) ситу-
ация совершенно иная. Поэтому далее всегда будет предполаг
гаться наличие плотной в Я области определения В а-
Оператор А назовем симметрическим, если для любых
и, v € В а выполняется равенство
(Au, и) = (и, Ди). (1.1)
Отметим, что для неограниченных операторов введенное поня-
тие не совпадает с понятием самосопряженности оператора. В
дальнейшем будут рассматриваться только симметрические
операторы. Оператор А будем называть неотрицательным в
В а, если
(Au,u)>0 VueP4. (1.2)
Оператор А будем называть положительным в В а, если он
неотрицательный и
(Au, и) = 0 только при и = 0. (1.3)
И наконец, оператор А будем называть положительно опреде-
ленным в Ва, если существует положительное число у такое,
что
(Au, u) > у2||и||2 Vu 6 В а- (1.4)
1.1. Некоторые сведения из функционального анализа
17
Отметим, что в случае конечномерных пространств понятия
положительности и положительной определенности совпадал
ют. Конечно, при этом число у может зависеть от размерности
пространства. Различие между этими понятиями в бесконеч-
номерном случае иллюстрируется в задачах к данной главе.
В заключение данного пункта приведем некоторые фак-
ты относительно конечномерных подпространств гильберто-
ва пространства Н. Конечная последовательность элементов
из Н называется линейно зависимой, если существует
набор чисел а* € R, i = 1,..., N, таких, что af Н-1- > О,
а
«1¥>1 4---1- aN<PN = 0. (1.5)
В противном случае последовательность является линейно
независимой. Иначе говоря, из (1.5) следует, что а, = О,
i = 1,..., N. Справедлива
Теорема 1.3. Последовательность {<pt}£Li линейно незави-
сима тогда и только тогда, когда отличен от нуля опреде-
литель матрицы Грама {(</’*, V3j)}£j=i-
Отметим, что понятие линейной зависимости не связано со
скалярным произведением, введенным в Н. Это означает, что
приведенная теорема не зависит от способа задания скалярного
произведения.
Итак, в дальнейшем под конечномерным подпространством
VW будем понимать снабженную гильбертовой структурой
пространства Н линейную оболочку линейно независимой си-
стемы обозначаемую как — span{y>J^1, т.е. мно-
жество элементов, представимых в виде линейных комбинат
Пий Н---------1- ощ<ря. Последовательность является
базисом пространства V^N\ Приведем два полезных факта от-
носительно конечномерных подпространств.
18
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Теорема 1.4. Всякое конечномерное подпространство из Н
замкнутое.
Из этой теоремы, в частности, следует, что конечномерное
подпространство не может быть плотно в Н (см. выше). И
наконец, имеет место
Теорема 1.5. Любые две нормы в конечномерном подпро-
странстве из Н эквивалентны с, вообще говоря, зависящи-
ми от размерности подпространства константами эквива-
лентности.
Напомним, что две нормы ||«||(i) и ||«||(2) называются экви-
валентными, если существуют не зависящие от и положитель-
ные числа o' и с" такие, что
*'11«И(2) < 1М1(1) < С"1М1(2)-
1.2. Энергетическое пространство
Рассмотрим положительный в Рд оператор. На множестве
X Т>л введем величину
а(и, и) = (Au, v), (2.1)
которую будем называть билинейной формой, соответствую-
щей положительному оператору А. Это название обусловлено
тем фактом, что при фиксированных по отдельности и и v ве-
личины а(и, v) являются линейными функционалами от пере-
менных v и и соответственно.
Теорема 2.1. Билинейная форма a(u, v) удовлетворяет усло-
виям скалярного произведения.
1.2. Энергетическое пространство
19
Доказательство. Согласно представлению (2.1) первое усло-
вие следует из симметричности оператора А (1.1), второе усло-
вие следует из его линейности, и наконец, третье условие - из
условий положительности (1.2), (1.3). □
Приведенная теорема позволяет использовать билинейную
форму а(и, и) в качестве скалярного произведения на множе-
стве T>Ai превращая его тем самым в предгильбертово про-
странство с нормой
||«||л = \/а(и, и). (2.2)
Такое пространство полным не является. Пополним его пре-
делами всех фундаментальных (относительной новой нормы
(2.2)) последовательностей. В результате получим гильбер-
тово пространство, которое будем называть энергетическим
пространством оператора А и обозначать Яд. Билинейную
форму a(u, v) и норму (2.2) в этом пространстве будем назы-
вать соответственно энергетическим скалярным произведени-
ем и энергетической нормой. Отметим, что только для нео-
трицательного оператора ввести энергетическое пространство
нельзя, поскольку в этом случае не имеет место теорема 2.1 (не
выполняется третье условие скалярного произведения).
По отношению к пространству Яд исходное пространство
Я будем называть основным. Возникает вопрос, являются ли
элементы энергетического пространства элементами основного
пространства. В общем случае ответ отрицательный (см. за-
дачу 1.7)-. Оказывается, для того, чтобы данный факт имел
место, только положительности оператора не достаточно. А
именно, справедлива
Теорема 2.2. Пусть А положительно определенный опера-
тор (сл.(1.4)). Тогда На С Я, и имеет место неравенство
||«|| < i||«IU. (2.3)
20
Глава I. Задачи в энергетических пространствах
Доказательство. Пусть и - произвольный элемент из Нд.
Если и € Рд, той е Н, так как Рд С Н. При этом для элемен-
тов из Рд неравенство (2.3) немедленно следует из (1.4). Пусть
и Рд. Тогда по определению энергетического пространства
существует бесконечная последовательность {un} элементов из
Рд такая, что ||un - «||д —> 0 при п -> оо. Из неравенства тре-
угольника немедленно следует
||«П - Мл < Н«п - «IU + ||«к - «||А -+ о, п, к -> оо,
т. е. {«„} - фундаментальная в энергетической норме последо-
вательность. С другой стороны, так как ип — ик € Рд, то для
этой разности имеет место неравенство (2.3):
||«n - «fell < -||«п - Мд «, k -> ОО,
т.е. {ttn} фундаментальна и в основном пространстве Н. Из
полноты Н следует существование элемента и' € Н такого,
что ||«п — «'|| —> 0 при п -+ оо.
Покажем, что элемент и' можно отождествить с и. Для это-
го достаточно показать, что полученное соответствие и —> и'
является взаимно однозначным. Во-первых, это соответствие
линейно. Действительно, пусть элементам и, w € Нд соответ-
ствуют элементы v',w' G Н, т.е. существуют две последова-
тельности {ип} и {wn} элементов из Рд, сходящиеся к v, w в
Нд и к v', w' в Н соответственно. Но тогда, как легко видеть,
последовательность {avn 4- /3wn) сходится к от + /Зад в Нд и к
om'+(3w' в Н. Это и означает линейность соответствия и —> и'.
Далее, пусть элементам v, w G Нд соответствует один элемент
v' G Н. Из показанной линейности следует, что разности v — w
соответствует нулевой элемент пространства Н. Тогда для со-
ответствующих последовательностей элементов из Рд имеет
место: ||vn - адп|| -> 0. Пусть z G Рд. Тогда существует эле-
мент Az € Н и из неравенства Шварца
1.3. Задача о представлении линейного функционала
21
\(Az, vn - wn)| < ||Az\\ ||vn - wn|| -4 0.
Но согласно представлению (2.1), верного для элементов из Рд,
это означает, что a (z, vn — wn) —> 0. Из очевидных неравенств
с применением неравенства Шварца для энергетического ска-
лярного произведения получим
fa(z, v - w)| < |a(z, vn - wn)| + |a(z, (vn - wn) - (v - w))| <
< ]a(z, vn - wn)| + ||г||д(||vn - и||д + ||wn - ю||д) -> 0,
т. e. a(z, v—w) = 0. Поскольку z - произвольный элемент из Рд,
а Рд плотно в Н, то по теореме 1.1 v — w = 0. Таким образом,
мы показали, что разным элементам из На соответствуют
равные элементы из Н.
Осталось получить неравенство (2.3). Из легко устанавли-
ваемого неравенства | ||v|| — ||w|| | < ||v — w|| следует, что
||«п||л -> Мл и ||дп|| -4 ||u||. Так как ип € Рд, то для un
(2.3) выполнено. Переходя к пределу, получаем требуемый ре-
зультат для произвольного элемента из Яд. □
Следствие. Для положительно определенного оператора А
пространство На плотно в Н.
Данное утверждение сразу следует из плотности Рд в Я и из
доказанной теоремы, согласно которой Рд С Яд С Я.
1.3. Задача о представлении линейного
функционала
Как мы увидим ниже, эллиптическим краевым задачам, явля-
ющимся объектом применения МКЭ в данном курсе лекций,
Можно сопоставить некоторый положительно определенный
оператор А, заданный на множестве Рд, а сама краевая за-
дача при этом формулируется в виде операторного уравнения,
т,е* нами будет рассматриваться
22
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Задача А. По заданному элементу f € Н найти элемент
и € Т>а такой, что имеет место равенство
Au = f. (3.1)
Как показывают многочисленные примеры, далеко не при вся-
ком f из любого плотного в Н множества данная задача раз-
решима. Ниже мы сформулируем задачи, в некотором смысле
эквивалентные задаче А, для которых вопрос об однозначной
разрешимости решается положительно.
Пусть для положительно определенного оператора А по-
строено энергетическое пространство Яд со скалярным про-
изведением а(и, v) и нормой ||ц||д. Далее, пусть / € Я - неко-
торый элемент основного пространства и и 6 Яд - произволь-
ный элемент из энергетического пространства. По теореме 2.2
v € Я, и, следовательно, по неравенству Шварца конечно ска-
лярное произведение (/, и). Рассмотрим следующую задачу.
Задача В. По заданному элементу f € Я найти элемент
и G Яд такой, что для любого элемента v £ На имеет
место равенство
а(ц, и) = (/, v). (3.2)
По теореме 1.2 скалярное произведение в правой части равен-
ства (3.2) есть линейный ограниченный в Я функционал lj со
значениями If (у) = (/,«). Тогда задача В эквивалентна следу-
ющей задаче:
Задача В'. По заданному линейному ограниченному в Н
функционалу If найти элемент и G Яд такой, что для любо-
го элемента v G Яд имеет место равенство
a(u,v) = lf(v). (3.3)
Ответ на вопрос об однозначной разрешимости задачи В (В')
дает следующая
1.3. Задача о представлении линейного функционала
23
Теорема 3.1 (Лакса-Мильграма). Решение задачи В (В') су-
ществует и единственно.
Доказательство. Поскольку v есть произвольный элемент из
Яд» функционал If является линейным функционалом в Яд.
Последовательно применяя неравенство Шварца и неравенство
(2.3) из формулировки теоремы 2.2, получим
I0MI < 11/11М < i|l/ll И»11л-
Тем самым установлена ограниченность функционала If в Яд
с константой Ц/Ц/1. Но тогда по теореме 1.2 существует един-
ственный элемент и из Яд, дающий представление линейного
ограниченного функционала в виде энергетического скалярно-
го произведения, т.е. Vv € Яд имеет место равенство (3.3)
(или, что то же самое, равенство (3.2)). □
Как мы видели по ходу доказательства этой теоремы, задача В
- это, по сути дела, задача о представлении линейного ограни-
ченного функционала в энергетическом пространстве положи-
тельно определенного оператора, и нахождение ее решения -
это поиск элемента, порождающего указанное представление.
Теперь установим связь между задачами А и В.
Теорема 3.2. Пусть и € Яд - решение задачи В и, кроме
того, пусть и € Рд. Тогда и является решением задачи А.
И обратно, пусть существует решение задачи А. Тогда оно
является и решением задачи В.
Доказательство. Пусть и € Рд - решение задачи В. Так
как 2>д q НА рассмотрим равенство (3.2) при v € Рд. Тогда
в соответствии с представлением (2.1), имеющим место для
твких функций, получим (Aw, v) = e(u, v) = (/, v), т.е.
24
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
(Au — f,v) = O VvET>a.
Так как Рд плотно в Н, элемент Au — f ортогонален плотному
множеству и по теореме 1.1 является нулевым, т.е. Au = f и
и € Рд - решение задачи А.
Далее, пусть существует элемент и - решение задачи А.
Это, в частности, означает, что и 6 Рд. Домножим скалярно
в Н равенство (3.1) на произвольный элемент и € Рд и 1
воспользуемся представлением (2.1). В результате получим 1
справедливость равенства (3.2), но только для функций из ;
области определения оператора А. Так как Рд плотно и в Яд,
и в Я, то имеют место предельные переходы а(и, vn) —> a(u, v)
(/,«n) (/>w) при vn € Рд и v 6 Яд. Осуществляя
предельный переход в равенстве a(u, ип) = (/, vn)» приходим
к (3.2) Vv € Яд. Таким образом, элемент и является решением
задачи В. □
Решение задачи А называют классическим решением, а реше-
ние задачи В (В') - обобщенным решением уравнения Аи = /.
Саму задачу В иногда называют слабой постановкой задачи.
Замечание. Ясно, что решение задачи В порождает некото-
рый разрешающий оператор S : Я -> W такой, что и = Sf, и
W С Яд. При этом мы не затрагивали вопрос о том, совпадает
ли W с Яд. Ответ на него отрицательный. Оказывается, что
основное пространство, как множество правых частей, слиш-
ком узкое, чтобы исчерпать все пространство Яд ..Однако опе-
ратор S может быть расширен до оператора S' : Н\ -ь На,
где Яд - пространство линейных ограниченных в Яд функци-
оналов, сопряженное к Яд относительно скалярного произве-
дения в Я (которое, в свою очередь, само предполагается рас-
ширенным до так называемого отношения двойственности).
При этом оператор S' уже является изоморфизмом между Яд
и Яд. Во избежание существенных усложнений, в данном кур-
се лекций мы остаемся в рамках основного пространства Я.
1.4- Задача о минимуме функционала энергии
25
Единственный пример, связанный с данным замечанием, будет
рассмотрен в п. 3.5 главы 3, где в качестве правой части бу-
дет рассмотрена ^-функция Дирака, лежащая в пространстве
функционалов и не принадлежащая основному пространству.
1.4. Задача о минимуме функционала энергии
В данном пункте мы рассмотрим еще одну задачу, которая
может быть сформулирована для случая положительно опре-
деленного оператора. В энергетическом пространстве На рас-
смотрим квадратичный функционал
J’(tt) = a(u, u) - 2(/, u), (4.1)
который будем называть функционалом энергии.
Задача С. По заданному элементу f € Н найти элемент
и € На, доставляющий минимум функционалу У.
Теорема 4.1 (о минимуме функционала энергии). Решение
задачи С существует и единственно. При этом минимум
функционалу энергии доставляет обобщенное решение урав-
нения Au = f (решение задачи В является решением зада-
чи С). И наоборот - решение задачи С является решением
задачи В.
Доказательство. Пусть и - решение задачи В, а и - произ-
вольный элемент из Яд. Тогда
^(v) = a(v — u, v — u)+2a(u, v — и) + а(и, и) - 2(/, v—и) — 2(/, и),
я так как согласно равенству (3.2) a(u,v — и) = (/, v — и), а
«(",«)= (/,«),
Л») = II» - < - Н«1Й- (4.2)
26
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Из этого равенства немедленно следует существование един-
ственного элемента v = и из На, доставляющего минимум
функционалу энергии. При этом минимальное значение есть
Л”) = -||«|11- (4.3)
По теореме 3.1 (Лакса-Мильграма) элемент и существует и
единственен. Тем самым первая часть теоремы доказана. Па-
раллельно мы доказали, что решение задачи В доставляет
минимум функционалу энергии. Осталось доказать обратное
утверждение - элемент, реализующий минимум функционала
энергии, является решением задачи В. Пусть и € На доста-
вляет минимум функционалу энергии, т. е.
Г (у + и) > /•(«) У и € НА. (4.4)
Во-первых, отметим, У и € Яд имеет место представление
v = aw, а € R, ||»Щ = 1. Простые выкладки показывают,
что (4.4) эквивалентно неравенству a2+2a[a(w, w) - (/, w)] > 0.
В силу произвольности v, а следовательно, и а, последнее не-
равенство имеет место тогда, и только тогда, когда а (и, w) =
(f,w). Домножая последнее равенство на а, приходим к спра-
ведливости (3.2) Уи € Яд. Теорема полностью доказана. □
Данная теорема устанавливает эквивалентность задач В и С.
1.5. Пространства Соболева
При рассмотрении эллиптических краевых задач фундамен-
тальную роль в построении соответствующих энергетических
пространств играют пространства суммируемых в квадрате
обобщенных производных, введенные С.Л. Соболевым. В связи
с этим в данном пункте мы напомним ряд фактов из теории
пространств Соболева, причем ограничимся случаем только
1.5. Пространства Соболева
27
гильбертовых пространств. Последнее означает, что формули-
ровки приводимых теорем даны в существенно суженном виде,
яо достаточном для дальнейшего изложения.
Пусть ft - ограниченное открытое связное подмножество
евклидова пространства Rm с кусочно-гладкой границей Г. В
дальнейшем это множество будем называть областью. Через
(®1,..., хт) будем обозначать точку в Я*”. Далее, пусть
(7°°(ft) - множество бесконечно дифференцируемых в ft функ-
ций и Co°(ft) - подмножество функций из С00 (ft) с компактным
Bft носителем. Последнее означает, что функции из Ср0 (ft) от-
личны от нуля только внутри некоторого замкнутого и строго
Гпреннего по отношению к ft множества. В свою очередь,
означает, что сами функции из Co°(ft) и все их производ-
н*е тождественно равны нулю на Г. Справедлива следующая
Лемма 5.1. Множество C*o°(ft) плотно в пространстве
bs(ft)-
В дальнейшем будем использовать следующие обозначения.
Вдедем мультииндекс А = (Ai,..., Am), где А,- - целые неотри-
цательные числа, |А| = Ai 4-F Хт. Далее, пусть
Dxu = —г-------г—.
дх^-'-дх^'
Для произвольного целого I на множестве С00 (ft) рассмотрим
билинейную форму
I .
bi(u, v) = 5? / DxuDxvdx,
k=o | A|=fc
^ТОрая удовлетворяет свойствам скалярного произведения,
этом интеграл понимается в смысле Лебега. Тем са-
****** мы ввели в рассмотрение предгильбертово пространство
28
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
H^Q) с нормой и) и состоящее из элементов множества
C°°(Q). Однако такое пространство не полное. Пополним его
по введенной норме. В результате приходим к пространству
Соболева Я;(Л) с нормой
/ I . 2 \ 2
Мчс ЕЕ /(»'«) (5-ч
\k=O|A|=fcJn /
При этом Dxu - обобщенные производные, которые следует по-
нимать как пределы фундаментальных в смысле нормы про-
странства Li(£l) (для пространства Я°(П) сохраняем стан-
дартное обозначение) последовательностей Dxun элементов из
C°°(Q), и которые существуют в силу полноты Мож-
но дать другое, эквивалентное, определение обобщенной про-
изводной. Функция <р является обобщенной производной поряд-
ка Л функции и € L2 (О,) и обозначается Dxu, если для любой
функции v € С1Л1(0) с компактным в (2 носителем выполняется
равенство
У uDxvdx = (-1)'А‘ У <ри<£г. (5.2)
Условия непрерывности функций из пространств Соболева
дает
Теорема 5.1 (вложения). При I > тп/2 функции из Н1(0.)
непрерывны в О, и существует положительное число С5.1
такое, что Чи € Я* (£2) имеет место неравенство
max|u(T)| < СБд||и||Я1(П).
Из теоремы вложения, в частности, следует, что в одномерном
случае (m = 1) непрерывными являются функции из Я1 (О), а
в двумерном и трехмерном случаях (ш = 2,3) - из Я2(£2). В
дальнейшем мы будем многократно использовать этот факт.
1.5. Пространства Соболева
29
Величину
будем называть полунормой в пространстве Hk(Q). В (5.3)
нарушено первое свойство нормы (см. п. 1.1). Действительно,
|и|нк(П) = 0 на любом полиноме степени не выше к — 1. Нам
понадобится следующее
Определение 5.1. Пусть для функционала Ф : V -> R вы-
полнены условия
Ф(сга) = |а|Ф(и), а € Я,
Ф(и + и) < Ф(и) + Ф(о).
Тогда будем говорить, что функционал Ф обладает в Р свой-
ствами полунормы.
Сейчас приведем теорему, на которой базируется наше изло-
жение теории сходимости МКЭ.
Теорема 5.2 (об эквивалентных нормах). Пусть задан огра-
ниченный в Hl(Q) функционал Ф/, обладающий свойствами
полунормы и не обращающийся в нуль ни на одном отличном
от тождественного нуля полиноме степени не выше I — 1.
Тогда
' 1
Ни11я'(П) < с5.2 (|м1я1(П) + Ф?(М))2 >
где число С5.2 не зависит от и.
Отметим, что имеет место и обратное неравенство, немедлен-
Во следующее из условия ограниченности функционала, т.е.
®®яичина
30
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
(|и|н«(П)+ $?(«)) 2
является нормой, эквивалентной норме пространства В
дальнейшем будем говорить, что два пространства совпада-
ют, если они состоят из одних и тех же элементов, а их нормы
эквивалентны.
Теперь приведем некоторые хорошо известные факты, ко-
торые лежат в основе исследования операторов эллиптических
краевых задач и доказательства которых немедленно следуют
из теоремы об эквивалентных нормах.
Теорема 5.3 (неравенство Пуанкаре). Пусть и € Я1(П).
Справедливо неравенство
/ 2\ "
||«Пь2(П) < с5.3 (|«1нI(ft) + (J udx^ \ ,
где число C5.3 не зависит от и.
Доказательство. Пусть Ф1(п) = | ш/я|. Во-первых, из
неравенства Коши-Буняковского
|Ф1(н)| < ymes(fi)||u||L2(ft) < Уте8(П)||и||Я1(П),
т.е. функционал Ф1 ограничен в Я*(Г2). Далее, как легко ви-
деть, этот функционал обладает свойствами полунормы. И
наконец, для v(®) = const € ЯХ(П) имеет место Фх(и) =
mes(Q)|const|, т.е. функционал Ф1 не обращается в нуль ни
на одной отличной от нуля константе (ни на однрм полиноме
степени не выше 0). Таким образом, выполнены условия тео-
ремы 5.2 при I = 1, из которой следует требуемое неравенство
с С5.3 = С5.2 (для выбранного функционала). □
Далее нам понадобится одна простая лемма о следе функции
на границе Г. Операцию взятия слепа будем обозначать как
1.5. Пространства Соболева
31
trr, т. е. запись trr и означает функцию, определенную на мно-
гообразии Г и совпадающую на нем (почти всюду) со значени-
ями функции «, заданной в Q. Рассмотрим пространство L? (Г)
с нормой
Ммг) = ’
где ds - мера на многообразии Г.
Лемма 5.2 (о следе). Пусть и 6 Я1^). Тогда trr и € Ьг(Г) и
имеет место неравенство
II «|к2(Г) < Сег||«||я1(й),
где число ctr не зависит от и.
Теорема 5.4 (обобщенное неравенство Фридрихса). Пусть
и € Hl(Q). Справедливо неравенство
||«||ь2(й) < (|«1я1(О) + II trT и||£,2(Гр)) 2 »
где Г„ С Г, тев(Г|/) > v > 0, число с$л(у) не зависит от и.
Доказательство. Пусть Ф1(и) = || trr «||ь»(Гр) ~ функционал,
который в соответствии с леммой 5.2 (о следе) ограничен в
ЯХ(П) и удовлетворяет свойствам полунормы. Далее, пусть
v(x) = const G ЯХ(Л) и пусть Фх(и) = 0. Но тогда v(x) = 0 на
Гр, и единственная константа, удовлетворяющая этому усло-
вию, - это 0. Таким образом, v(x) = 0 b Q, и, следовательно,
Функционал Ф1 не обращается в нуль ни на одной ненулевой
константе (или на полиноме степени не выше 0). Тем самым,
выполнены все условия теоремы 5.2 при I = 1, и, следователь-
8°i имеет место требуемый результат с константой С5.4 = С5.2
(для заданного функционала). При этом С5.2, а следовательно,
® с5.4 зависят от и. °
32
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Из обобщенного неравенства Фридрихса немедленно следует
Теорема 5.5 (неравенство Фридрихса). Пусть и € Н1 (О) «
и(х) = 0 на Г. Тогда
llMllb2(ft) < С5.5|«|Я1(Я),
где число С5.5 не зависит от и.
Замечание. Как легко видеть, в формулировке этой теоремы
множество Г может быть заменено на Г' С Г, mes(r') > 0.
По сути дела, в последней теореме из пространства Hr(Q)
было выделено множество функций, тождественно равных ну-
лю на границе области. Это множество будет играть ведущую
роль при рассмотрении задачи Дирихле для эллиптических
уравнений. Обозначим его Снабдим множество
гильбертовой структурой пространства Я1 (О), превратив его
тем самым в гильбертово пространство.
Лемма 5.3. Пространство полное.
Доказательство. Рассмотрим произвольную фундаменталь-
ную в Я1(П) последовательность {«п) элементов из Я^(О). В
силу полноты ЯХ(П) существует и Е Я1 (О), что
||«п - и|1я‘(й) 0.
Из неравенства треугольника следует, что
• II trr и||1а(Г) < II trr «п||ьг(Г) + || trr ип - trr «||ь2(Г)-
Но так как un(®) = 0 на Г, по леммы 5.2 (о следе) получим
II trr «1к2(Г) < cllun - м||н1(й)-
1.5. Пространства Соболева
33
Переходя к пределу, приходим к равенству || trr «||z,2(r) = О,
т,е. «(®) = О на Г, и, следовательно, и € Яо(П). □
Отметим, что к Яд(П) приводит замыкание по норме про-
странства Я1 (ft) множества функций Cq°(Q). Тогда в соот-
ветствии с леммой 5.1 Hq(Q) плотно в Ьз(^)- При этом
является замкнутым подпространством пространства Я1 (ft),
и, следовательно, в соответствии с п. 1.1 не плотно в Я1 (ft).
Теорема 5.6 (о норме пространства Полунорма в
пространстве Я1 (ft) является нормой в Яд(П).
Доказательство. Пусть и € Hq (ft). Нужно показать, что для
таких элементов
с/|М1я»(й) < 1«1н>(П) < С,/Ни11н1(«)-
Правое неравенство очевидно, и с" = 1. Левое неравенство
следует из неравенства Фридрихса (теорема 5.5):
. . 1
/1 1 ।
Мн1 (П) > I + ’
т.е. <? = 4= min(l,-М. □
у/2 ' ’ с55 >
В дальнейшем будет использоваться еще одно замкнутое
подпространство из Я1 (О). Рассмотрим множества функций
^2,1(П) = •(« € Ьг(О), [ udx — 0? (5.4)
'I Jsi >
в Я} (ft) = Я1 (ft) Г) £2,1 (И). Как нетрудно видеть, это ли-
пейные множества. Снабдим эти множества гильбертовыми
структурами пространств £2 (ft) и Я1 (ft) соответственно, пре-
®ратив их в предгильбертовы пространства. Справедлива
34
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Лемма 5.4. Пространства Тг,х(^) « Я}(П) полные.
Доказательство. Рассмотрим произвольную фундаменталь-
ную в последовательность {un} элементов из £г,х(й). В
силу полноты Ьг(^) существует uGT2(H)> что ||«п-«||£2(п)->0.
Тогда
[ udx = Ни- un)dx < ^/mes(Q) ||«- ип|к2(л)-
«/О J о
Переходя к пределу, получим, что и G ^2,х(^)- Совершенно
аналогично устанавливается полнота пространства Н±(Q). □
Таким образом, введенные пространства являются замкнуты-
ми подпространствами из Тг(^) и HX(Q) соответственно. И
наконец, имеет место аналогичная теореме 5.6
Теорема 5.7 (о норме пространства H}(Q)). Полунорма в
пространстве HX(Q) является нормой в Я}(Л).
Доказательство. Пусть и G Я}(П). Покажем, что для таких
элементов
с/|1м11н1(п) < < с/1М1я1(й)-
Правое неравенство очевидно, и с" = 1. Левое неравенство
следует из неравенства Пуанкаре (теорема 5.3):
(1 1 I
21“1ячп) + ^”Ни11ь2(й) ] »
5.3 /
и с* = 4» min(l,-г~).
V2 ' ’ С5.3 '
1.6. Операторы эллиптических краевых задач
35
1'6. Операторы эллиптических краевых задач
5 области Q рассмотрим дифференциальное уравнение второго
порядка вида
т Я I Я»» \
Си = - 52 ^7 (ov(®)^T ) + «Ч®)1* = Л®) (6Л)
i,j=l U * \ •’ /
со следующими условиями на коэффициенты:
€ С* (^), € ^(^)> ®Ъ*(®)= ®j<(®)> ®
Уравнение (6.1) будем называть эллиптическим в Q, если су-
ществует положительное число Ао такое, что для любых ве-
щественных чисел &, •.., &п и для любого х G Q выполняется
неравенство
тп тп
52 aij (х)^з > ^o52f?« (®*2)
*,5=1 «=1
Для уравнения (6.1) будем рассматривать следующие краевые
условия:
и = 0, х G Г - условие Дирихле, (6.3)
5м п
fc+""=0’
_ П.В.
х € Г - условие Неймана,
(6.4)
где
ди А ди .__________.
м=1 ’
п(ж), х* - орты внешней нормали, определенной почти всюду
на Г, и j-й координатной оси,
а 6 С(Г), а(х) > 0, х е Г.
^Равнение (6.1) с условием эллиптичности (6.2), и удовлетво-
РЮощее одному из краевых условий (6.3), (6.4), будем назы-
вать эллиптической краевой задачей. Каждой такой задаче
36
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
соответствует некоторый оператор, а сама задача может быть
записана в виде операторного уравнения Au = f, где и и f
- элементы некоторых гильбертовых пространств. В качестве
основного будет использоваться пространство LztQ). Рассмо-
трим процесс построения и исследования таких операторов для
приведенных краевых задач. Задать оператор - это прежде все-
го указать его область определения, которая конструируется с
учетом естественной гладкости функций, входящих в диффе-
ренциальное выражение £и, и краевых условий. Таким обра-
зом,
Га = { и € С2(П), краевые условия на Г). (6.5)
Тогда А : ~ линейный оператор с областью
определения Рд, действующий по формуле Аи = £и. Важ-
ным инструментом исследования таких операторов является
формула Грина:
[ . j_ Г I ди до I j_ [ди ,.
I (£u)vax = I I > вйх-л h аоыи \ ах- —vas. (6.6)
Jsi Vdxidxi ) Jrdn
Рассмотрим каждую из приведённых задач.
Задача Дирихле. В соответствии с (6.3), (6.5)
Т>А = {м € С2(П), и(х) = 0, х е г|.
(6.7)
При этом согласно лемме 5.1 множество Рд плотно в £г(^)-
Пусть ц, и € Рд. Тогда
и по формуле Грина (6.6) с учетом равенства = aj,- и обо-
значения (2.1) получим, что билинейная форма a(w, и) симме-
трична и имеет вид
1.6. Операторы эллиптических краевых задач
37
a(w, v)
ди dv
a*J дх, dxj
+ oquv I dx,
(6-8)
t. e. оператор А симметрический. Напомним, что здесь и далее
рассматриваются скалярные произведения в Lz(Q,). Найдем
условия, при которых оператор А положительно определен.
Согласно (6.8) имеет место равенство
a(u, и)
ди ди
дх, dXj
+ aou2
dx.
(6-9)
Используя условие эллиптичности (6.2) и непрерывность функ-
ции <ю(®), получим Vu € Рд
“(“.») > Ао|ч|я1(П) + minao(x)
(6.10)
Так как Т>д С к первому слагаемому в правой части
этого неравенства применимо неравенство Фридрихса (теоре-
ма 5.5):
а(«, и) > (+ min а0(х)) ||«Щ (п).
\^.5 /
Пусть
Ao + с5.5 min ао(ж) > 0. (6.11)
Это и есть искомое условие положительной определенности
оператора А, так как согласно (6.11) можно ввести положи-
тельный параметр
Ар
с|5
+ minao(®),
(6.12)
•И которого а(«, о) > т!||и||^г(п) (см. (1.4)).
38
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Таким образом, в соответствии с теоремой 2.1 по формуле
(6.8) может быть введено энергетическое скалярное произве-
дение а(и, и), а правая часть равенства (6.9) задает квадрат
энергетической нормы. Замыканием области определения (6.7)
по этой норме вводится энергетическое пространство На- При
этом, поскольку оператор не просто положительный, но поло-
жительно определенный, справедлива теорема 2.2, согласно ко-
торой На С Z/2(fi) и ||и||д > 7||м||ь2(й) Vw 6 Яд. Покажем, что
введенное энергетическое пространство имеет самое непосред-
ственное отношение к рассмотренным в предыдущем пункте
пространствам Соболева. А именно, справедлива следующая
Теорема 6.1. При условии (6.11) пространство На совпада-
ет с Яд (£2).
Доказательство. Сначала установим эквивалентность норм
этих пространств для функций из Рд. Из непрерывности функ-
ций aij и во и элементарного неравенства |а&| < |а2 + |б2 (ко-
торым в дальнейшем мы будем пользоваться без специального
упоминания) следует, что
где с = max{maxr€jj |<ztJ(ar)|, шаха,€^|ао(®)|}- Из этого нера-
венства и теоремы 5.6 немедленно следует
(6.13)
где с* - константа эквивалентности из доказательства теоре-
мы 5.6. Далее, для квадрата энергетической нормы имеет ме-
сто неравенство, аналогичное неравенству (6.10), из которого
1.6. Операторы эллиптических краевых задач
39
при minJeftOo(®) > 0 сразу следует, что
Мл > хАоМяцй)-
(6.14)
Если же min5e^ao(®) < 0, то воспользуемся неравенством
фридрихса и обозначением (6.12), согласно которым
||«||л > <%.57Ыя1(П)-
(6.15)
Неравенства (6.13)-(6.15) и означают эквивалентность норм
пространств На и
Теперь покажем, что пространства На и Hq(SI) состоят из
одних и тех же элементов. Действительно, так как Hq(SI) явля-
ется пополнением множества C^°(Q), a C“(Q) С Рд С Яд(П),
то Hq (П) является пополнением множества Рд по норме, экви-
валентной, как мы только что показали, энергетической норме.
Но это означает, что, фактически, пополнение произведено по
энергетической норме, а, по определению, результатом такого
пополнения и является энергетическое пространство. Теорема
доказана. □
Задача Неймана. Для задачи Неймана исходная область
определения оператора задается согласно (6.4), (6.5):
Рд = («еС'2(Л), (^ + <иА(г) = 0, ®И€Тк (6.16)
t \ип / )
В отличие от предыдущего случая множество Рд не содержит
Qj°(Q). Этому мешают краевые условия (6.4). Поэтому вопрос
0 плотности Рд в пространствах Соболева более тонкий, чем
Раньше. Тем не менее, имеет место
^®Мма 6.1. Заданное представлением (6.16) множество Т>а
Плогпно в ЯХ(Й).
40
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Исследование оператора А мало чем отличается от преды-
дущего случая. Как и раньше, для функций и, и € Va при-
меняется формула Грина (6.6), но с учетом того факта, что
согласно (6.4)
Г ди Г dv
/ -^-vds = / и—
Jr on Jr on
Из этих равенств немедленно следует симметричность опера-
тора А, и соответствующая (2.1) билинейная форма имеет вид
л / т (Jd \ л
a(u,v) = I I а„-— ------|-во«ц)<йс+ / ouvds. (6.17)
•/ft \, dxi oxj у Jr
Далее, вместо (6.9) имеет место
а(и, и) = [ | У2 аиТГ-7Г~ + оо«2+ [ о и? ds, (6.18)
\tj=i ifx{uxj J Jr
а вместо неравенства (6.10) получим
a(u,«) > Ао|«1н1(П) + М*гг«|1ь2(п,) +
+ mina0(®) ||«||12(П), (6.19)
x€ft
где
= max min a(x) Г„ С Г, mes(rp) > iz.
Tj/ #€Гр
Рассмотрим два случая:
V// > 0 о„ = 0 и minao(x) > 0, (6.20)
jfeft
3iz > 0 такое, что > 0 и
min{A0) cfv} + 4^) min во(х) > 0. (6.21)
seft
1.6. Операторы эллиптических краевых задач
41
Как нетрудно заметить, случай (6.20), в частности, означает,
что <т(®) = 0 на Г. Часто именно такую задачу называют зада-
чей Неймана, в то время как случай сги > 0 называют третьей
краевой задачей. В случае (6.20), полагая у = у^тт-^ао(х),
немедленно приходим к положительной определенности опера-
тора А. В случае (6.21) к (6.19) следует применить обобщенное
неравенство Фридрихса (теорема 5.4). Тогда положительная
определенность имеет место с константой
у = min{Ao, + minao(®). (6.22)
V С5.5
Таким образом, как и для задачи Дирихле, могут быть вве-
дены энергетическое скалярное произведение и энергетическая
норма (равенства (6.17), (6.18)). Замыкание области определе-
ния (6.16) по энергетической норме приводит к энергетическо-
му пространству На С 7>2(Q) (см. теорему 2.2). И наконец,
имеет место аналог теоремы 6.1
Теорема в.2. При условии либо (6.20), либо (6.21) простран-
ство На совпадает с Нх($1}.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 6.1, на-
чнем с получения неравенств эквивалентности норм для функ-
ций из Рд. Используя те же соображения, а также лемму 5.2
(о следе), получим
||и||л < /тс + с?гтах<т(®) (6.23)
у
Где с и ctr - числа из неравенства (6.13) и леммы 5.2 соответ-
стВенно. Далее, вернемся к неравенству (6.19). В случае (6.20)
имеет место
||«||д > /min{A0, minao(®)} ||«||я1(й)> (б-24)
А/ Х&1
42
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
При ттге^ао(я) > 0 это же неравенство имеет место и в слу-
чае (6.21). И наконец, в случае (6.21), когда min5ejjao(®) <
воспользуемся обобщенным неравенством Фридрихса для оцеН|-
ки последнего слагаемого в правой части неравенства (6.19). В
результате получим оценку '
Ни11л > (6.25)
где у задано равенством (6.22). Итак, неравенства (6.23)-
(6.25) устанавливают эквивалентность норм пространств Яд
и
Так как множество Рд плотно в Нд и, согласно лемме 6.1
в Я1 (ft), его пополнения по эквивалентным нормам приводят
к одним и тем же элементам. Это завершает доказательство
теоремы. □;
Вырожденная задача Неймана. Условия (6.20), (6.21) не
исчерпывают всех возможных ситуаций, возникающих при ис-
следовании эллиптических краевых задач. Здесь мы рассмо-!
трим один важный случай, остававшийся, до сих пор, за пре-
делами нашего внимания. А именно, пусть (
ац(ж) = 0 в ft, ст (ж) = 0 на Г. (6.26)J
!
Если при этом в качестве области определения Оператора А'
использовать (6.16), то оператор не будет положительно опре-
деленным (и даже положительным). В связи с этим мы и гово-
рим о вырожденной задаче Неймана. Чтобы в этом убедиться,
достаточно рассмотреть функцию v(«) = const / 0, которая,
как легко видеть, является элементом множества Рд. При этом
согласно (6.18) а(и, и) = 0, что является нарушением свойств
скалярного произведения. Далее, по формуле Грина (6.6) для
такого v
/ Cudx = 0,
Ja
1.6. Операторы эллиптических краевых задач
43 .
й для того, чтобы задача (6.1), (6.4) с условиями (6.26) была
разрешима, необходимо, в частности, чтобы
/€Ь2,±(«). (6.27)
При этом, если и - решение этой задачи, то и + const также
является решением. Среди всех решений выберем принадлежа-
щее Ьгд (^)- Такое решение всегда найдется. Действительно,
пусть v - некоторое произвольное решение. Так как и + const
также является решением, полагаем
1 Г д-
и = V------7Т— / VOX.
mes(S2) Jo
Как нетрудно видеть, и € ^2,_l(Q). Таким образом, вырожден-
ной задаче Неймана соответствует оператор, действующий в
подпространстве функций ортогональных единице. В качестве
области определения такого оператора рассмотрим множество
Рд,Х = Рд П Д2,1Ф)> где Рд задано представлением (6.16) с
учетом (6.26), т.е.
= (« € С2(П), тг-(®) = 0, х "е Г, f udx = О
I On Jfl
Из лемм 5.4 и 6.1 следует, что множество Рд^у плотно в Я} (Q).
Оператор А положительно определен на этом множестве. Дей-
ствительно, из (6.19) следует, что
а(и,и) > Ао|«1я1(й),
и по теореме 5.7 приходим к условию положительной опреде-
ленности. Введение энергетического скалярного произведения
и энергетической нормы, по которой осуществляется замыка-
нйе множества Рд,_у, приводит к энергетическому простран-
ству ЯдХ. Роль теоремы 6.2 здесь играет
Теорема 6.3. Пространство Нд^[ совпадает с
44
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
Доказательство. Эквивалентность норм немедленно следу-
ет из теоремы 5.7 и условия эллиптичности (6.2), а совпадение
элементов - из плотности Т>а^/ в Я}(О) (см. выше). □
Замечание. Для вырожденной задачи Неймана в формули-
ровках задач В и С в качестве основного следует использовать
пространство £2,1 (ЭД-
На этом мы заканчиваем рассмотрение свойств операто-
ров эллиптических краевых задач. Один из главных выводов
нашего исследования состоит в следующем: при пополнении
множеств определения операторов некоторые условия в пред-
ставлении этих множеств сохраняются, а некоторые исчезают.
Условия, которые сохраняются, будем называть главными, а
исчезающие - естественными. В первую очередь, это отно-
сится к краевым условиям. Так, для задачи Дирихле краевые
условия - главные, поскольку они сохраняются в определении
энергетического пространства, а для задачи Неймана - есте-
ственные. Далее, к главному условию следовало бы отнести
ортогональность функций единице для вырожденной задачи
Неймана. Однако термин “главный” в данном случае обычно
не используется, поскольку речь идет, во-первых, не о краевом
условии, и во-вторых, это условие характеризует и основное
пространство.
Второй чрезвычайно важный вывод - это совпадение энер-
гетических пространств операторов рассмотренных задач ли-
бо с пространством Соболева Я1 (12) (невырожденная задача
Неймана), либо с его замкнутыми подпространствами #J(Q)
(задача Дирихле) и Я}(П) (вырожденная задача; Неймана).
Важность данного вывода состоит в том, что предстоящая
нам в дальнейшем аппроксимация энергетических пространств
сводится к аппроксимации пространства Я1 (О) с последую-
щим выделением замкнутых подпространств, функции из ко-
торых удовлетворяют главным условиям - процедуре, никак
не связанной с дифференциальной задачей (описанного типа).
В этом состоит одно из главных теоретических достоинств
МКЭ.
Задачи к главе 1
45
Задачи к главе 1
1.1. Доказать, что пространство Л4(П) из примера 1 п. 1.1 не
является полным.
1.2. Пусть и 6 Н1(а,Ь). Доказать одномерный аналог обоб-
щенного неравенства Фридрихса
[ u2dx < —£—[(& - ®о)2 + (®о - л)2] [ (г»')2 +
Ja 2 Ja
Я-----(6 — а)«2(х0),
€
где «о € [в, Ь], s > 0.
Указание: использовать формулу Лейбница для разности
u(ar) — u(xq).
1.3. Пусть О = (0,1) X (0,1). Доказать лемму 5.2 (о следе).
1.4. Пусть основное пространство Lz(a,b), и оператор А дей-
ствует по формуле Аи = —(и')' на множестве функций
Т>а = € С2[а, 6], w(a) = «(5) = о}.
Доказать симметричность и положительную определенность
оператора А с константой у = л/2/(b - а).
Для предыдущей задачи рассмотреть множество функций
Т)А = {« € С2[а, 6], u'(a) = u'(b) = о}.
Доказать, что оператор А является неотрицательным, но не
Положительным.
46
Глава 1. Задачи в энергетических пространствах
1.6. Пусть основное пространство 1/2 (О,1), и оператор А дей-
ствует по формуле Au = — (®3u')Z на множестве функций
Т)А = {и е с2[о, 1], u(i) = о}.
Доказать, что оператор А является положительным, но не
положительно определенным.
Указание: рассмотреть последовательность функций
/1 \3 1
ип(х) = I---х ) при 0 < х < — и
\п J ~ ~ п
1.7. Доказать, что энергетическое пространство оператора из
задачи 1.6 не содержится в ^(0,1).
Указание: рассмотреть функцию и(х) = х~а — 1, а G (|, 1)
и установить ее принадлежность энергетическому простран-
ству.
Предостережение: и $ С2[0,1].
1.8. Для уравнения из задачи 1.4 поставлены краевые условия
а) и(а) = 0, и'(Ъ) + аи(Ь) = 0,
б) и'(а) + 0и(а) = 0, и(Ъ) = 0,
где а < 0, Р > 0. Привести любые из указанного диапазона знал
чения чисел а и /3, при которых для каждой из задач можно
построить энергетическое пространство. Указать какие из кран
евых условий главные, а какие естественные. Описать энерге-
тические пространства. (Всем ответам дать обоснование.)
Глава 2
Задачи на последовательности
подпространств
в этой главе будет сформулирована главная идея МКЭ: приближенная
задача - это задача в конечномерном подпространстве, а сведение к ней
задач в энергетических пространствах - это поиск подходящих подпро-
странств.
2.1. Задачи в подпространстве и основная лемма
Пусть А - положительно определенный оператор и На - его
энергетическое пространство. Далее, пусть V - некоторое за-
мкнутое подпространство пространства На- Вместо задач В
и С рассмотрим задачи в подпространствах. При этом зада-
ча о представлении линейного функционала в подпространстве
имеет следующую формулировку.
Задача By. По заданному элементу f G Н найти элемент
w € V такой, что для любого элемента v G V имеет место
равенство
a(w,v)= (f,v). (1.1)
Далее, сформулируем задачу о минимизации энергетического
функционала в подпространстве.
Задача Су. По заданному элементу f 6 Н найти элемент
v Е V, доставляющий минимум функционалу
F(y) = a(y, v)-2(f,v).
При этом возникают следующие вопросы: имеют ли сформу-
лированные задачи решения и, при положительном ответе на
Эт°т вопрос, совпадают ли решения задач By и Су и насколько
48 Глава 2. Задачи на последовательности подпространств
они отличаются от решений исходных задач в энергетическом
пространстве?
Ответ на первые два вопроса тривиален. Достаточно лишь
в формулировках и доказательствах теорем 1.3.1 и 1.4.1 энер-
гетическое пространство На заменить на его замкнутое под-
пространство V.
Ответ на вопрос, насколько отличаются решения задач
В (С) и By (Су) составляет основной предмет теории МКЭ
и не может быть дан без указания конкретной структуры
подпространства. При этом в основе механизма получения
такого ответа лежит следующая
Лемма 1.1 (основная). Пусть и и ш - решение задач В и Ву
соответственно. Тогда справедливо равенство
||w-<4 = inf ||v-w||a.
v€ V
Доказательство. Пусть v € V. Тогда v G На, и имеет
место равенство (1.3.2) (слабая формулировка в Яд). Вычтем
равенство (1.3.2) из (1.1). В результате получим
a(w - и) = О v € V. (1.2)
Используя линейность по второму аргументу энергетического
скалярного произведения, имеем для некоторого и 6 V:
||w — м||д = a(w — u, w — v) + a(w - и, и - и).
Так как w £ V и v £ V, tow — v также лежит в V, и
согласно (1.2) a(w-u, w-v) = 0. Тогда предыдущее равенство
принимает вид
||w — и||д = а(ш — «, v — и). (1.3)
Применяя к правой части этого равенства неравенство Швар-
ца, получим
2.1- Задачи в подпространстве и основная лемма
49
|a(w - и, v - д)| < ||w - u||a ||v - и||д.
Отметим, что правая часть в (1.3) всегда неотрицательна,
и модуль в левой части последнего неравенства можно было
бы опустить. Подставляя это неравенство в (1.3), приходим к
оценке ||w — и||д < ||v — u||д, имеющей место для любого v € V.
Причем при v = w достигается равенство. Это доказывает
утверждение леммы. □
Таким образом, минимальное расстояние в энергетической
норме между обобщенным решением исходного операторного
уравнения Аи = / и элементами подпространства V достига-
ется на обобщенном решении уравнения Au = f в этом под-
пространстве. Этот чрезвычайно важный факт дает нам в ру-
ки ключ’ к получению ответа на третий вопрос - насколько
отличаются обобщенные решения в исходном энергетическом
пространстве и в его подпространстве. Нам достаточно полу-
чить оценку расстояния между обобщенным решением в Яд
и какой-нибудь функцией из V. Тогда искомое расстояние бу-
дет не больше. Далее, весьма примечательно равенство (1.2)
- погрешность w - и ортогональна подпространству V отно-
сительно энергетического скалярного произведения, и, следо-
вательно, w € V является ортогональной проекцией обобщен-
ного решения и € Яд на замкнутое подпространство V. В си-
лу сказанного, задача By может рассматриваться как задача
о поиске ортогональной относительно энергетического скаляр-
лого произведения проекции обобщенного решения на замкну-
тое подпространство. Данный факт дает основание связанные
с решением задачи By методы называть проекционными.
Для всех рассмотренных в п. 1.6 эллиптических краевых
задач было установлено, что их энергетические нормы эквива-
^ентны норме пространства Я1(Л):
50 Глава 2. Задачи на последовательности подпространств
Это позволяет утверждение леммы 1.1 переписать в виде,
который и будет использоваться в дальнейшем:
с"
llw - «Ня‘(П) < p-|lw - и11н‘(П) Vv € V. (1.4)
Поскольку решения задач By и Су совпадают, то лемма 1.1
и неравенство (1.4) справедливы и для решения задачи Су.
Укажем лишь то, как изменяется минимальное значение функ-
ционала энергии при переходе к подпространству. Для любого!
v € На имеем
/"(и) = а(и — и, v - и) + 2а(и, и - и) + а(и, и) - 2(/, v - и) - 2(/, и)
- равенство, которое уже использовалось при доказательстве
теоремы 1.4.1. Так как и - обобщенное решение из На и
v - и е На, то а (и, v - и) = (/, v - и) и
jr(v) = jT(tt) + |1v-tt||2. (1.5)
При доказательстве теоремы 1.4.1 мы получили равенство
(1.4.2), из которого немедленно следует, что ^(м) = —||и||д
и ^(w) = — ||w||^. Подставляя эти равенства в (1.5) при v = w,
получим, что
11«11а = Мд + llw -
Отметим, что также это равенство является прямым следстви-
ем ортогональности элементов w и w — и. Методы, основанные
на минимизации какого-либо квадратичного функционала, и в
частности, функционала энергии, называются вариационными.
2.2. Аппроксимация
Основная лемма позволила нам заменить поиск обобщенно-
го решения в Нд на решение задачи в замкнутом подпро-
странстве. Причем, поскольку речь идет о вычислительных
2.2. Аппроксимация
51
алгоритмах, то в качестве такого замкнутого подпространства
естественно использовать конечномерное пространство. Одна-
ко здесь возникает определенная трудность. Согласно основной
лемме найти приближение к обобщенному решению и € Яд
- это сконструировать подпространство, в котором имеются
функции, близкие к и. Но естественным образом это возможно
только тогда, когда множество, в котором ищется приближе-
ние, плотно в Яд. При этом про плотное множество даже гово-
рят, что оно аппроксимирует исходное пространство. Это за-
ведомо не так для замкнутого подпространства и, в частности,
для любого конечномерного подпространства (см. теорему 1.4).
Требование плотности слишком жесткое для множества, в ко-
тором ищется приближение. В связи с этим введем более сла-
бое требование предельной плотности бесконечной последо-
вательности замкнутых подпространств в исходном простран-
стве.
Определение 2.1. Бесконечная последовательность замкну- -
тых подпространств {14} предельно плотна в Яд, если Ve > О
и Vn € Яд найдется номер ко = ко(е,и) такой, что при любом
к > ко имеет место неравенство
inf llv - «II л < е.
Замечание. Свойство предельной плотности означает, что
элемент и 6 На можно сколь угодно точно приблизить уже
не одним элементом из плотного в Яд множества, а элемен-
тами последовательности и* из замкнутых подпространств 14.
Поэтому перед нами стоит задача конструирования бесконеч-
ных последовательностей (или, что эквивалентно, однопараме-
трических семейств) замкнутых подпространств, удовлетворя-
юЩих условию предельной плотности. При этом желательно
п<М1Учение оценки на энергетическую норму разности и* - и
в зависимости от к (или какого-то другого параметра, харак-
теризующего семейство подпространств). Предполагая только
52 Глава 2. Задачи на последовательности подпространств
и € Яд, сделать это бывает далеко не просто. Однако соглас-
но замечанию к теореме 1.3.2 об узости основного простран-
ства правых частей для исчерпывания всего энергетического
пространства можно ожидать, что при некоторых благоприят-
ных обстоятельствах обобщенное решение принадлежит неко-
торому более узкому множеству, плотному в Яд. Для эллипти-
ческих краевых задач таким благоприятным обстоятельством
является, например, использование в качестве области Q выпу-
клого многогранника (см. п. 6.3). А ведь наша цель состоит не
в аппроксимации всего энергетического пространства, а толь-
ко в поиске приближения к обобщенному решению. При этом
может оказаться (и окажется при анализе МКЭ), что аппрокси-
мация такого плотного множества семейством замкнутых под-
пространств сопровождается достаточно простыми оценками,
о которых говорилось выше. В определении предельной плот-
ности это связано с зависимостью номера ко от и.
2.3. Методы Галеркина и Ритца
В данном пункте мы более подробно рассмотрим задачи на
последовательности конечномерных подпространств. Проекци-
онным в этом фтучае является метод Галеркина, а вариацион-
ным - метод Ритца. В этой связи последовательно перефор-
мулируем и исследуем задачи By и Су.
Задача Вд» (метод Галеркина). Пусть {У*} - бесконечная
последовательность конечномерных подпространств из Ид.
По заданному f € Я требуется найти последовательность
{wjt}, Wk G Vk такую, что
a(wk, v) = (f, v) Vu 6 Vt. (3.1)
Приведенная формулировка требует некоторого комментария.
На практике решить задачу методом Галеркина вовсе не озна-
чает, что следует решать бесконечную последовательность за-
2.3. Методы Галеркина и Ритца
53
дач, да это и не возможно. Реальный процесс решения состо-
ит в выборе одного представителя из бесконечной последова-
тельности подпространств и в получении априорной оценки,
характеризующей свойство предельной плотности,’а следова-
тельно, и точность. Как мы увидим в дальнейшем, чрезвы-
чайно важно при этом выбрать “удачный” базис в конечно-
мерном подпространстве. Несколько другой, менее “теорети-
ческий путь” состоит в последовательном решении задачи на
нескольких подпространствах, когда требуемая оценка полу-
чается как результат анализа апостериорной информации. В
нашем курсе лекций мы исследуем первый путь.
Итак, рассмотрим конечномерное пространство V размер-
ности dim(V) = N, и пусть система элементов - его
базис. Как легко видеть, для выполнения (3.1) необходимо и
достаточно справедливости этого равенства только для всех
элементов базиса, т.е. (3.1) эквивалентно
a(w, <pi) = i = 1,..., Я. (3.2)'
Действительно, для произвольного элемента из V (в том числе
и для w) имеет место представление
v = + + (3.3)
В частности, можно положить и = уц, i = и (3.1)
переходит (3.2). С другой стороны, если выполняется (3.2), по-
множим каждое из этих равенств на произвольное число v, и
все полученные при этом равенства сложим. Учитывая линей-
ность по каждому из аргументов скалярных произведений в
На и в Я, а также представление (3.3), исчерпывающее все
элементы из V, получим (3.1). Представим w в виде (3.3) и
подставим в уравнения (3.2). С учетом симметричности били-
нейной формы e(u, v) получим систему линейных алгебраиче-
ских уравнений относительно неизвестных vp
54 Глава 2. Задачи на последовательности подпространств
N
52 v3 = i = (3.4)
j=i
Введем векторноматричные обозначения. Пусть Ем ~ еВ"
клидово пространство вещественных векторов й размерности
N со скалярным произведением [й, v]jv, и 0 - нулевой вектор
(вектор со всеми нулевыми компонентами). Система (3.4) пе-
репишется в виде
Ли = /, (3.5)
где v и f - векторы из Ем с компонентами v, и (/, у>,) соответ-
ственно, А - квадратная симметрическая матрица порядка N
с элементами a(<pi, <pj). Матрица А является матрицей Грама
для базиса {<Pi)£Li относительно энергетического скалярного
произведения. Такую матрицу называют матрицей жестко-
сти. Далее, пусть М - квадратная симметрическая матри-
ца порядка N с элементами (<£>,-, <ру), т.е. матрица Грама от-
носительно скалярного произведения основного пространства
Н. Эту матрицу называют матрицей масс. По теореме 1.1.3
определители этих матриц отличны от нуля, откуда, в частно-
сти, следует однозначная разрешимость линейной алгебраиче-
ской системы (3.5). Отметим, что невырожденность матрицы
А является прямым следствием положительности оператора
А, поскольку только в этом случае билинейная форма a(u, v)
является скалярным произведением (теорема 1.2.1). Далее, из
представления (3.3) нетрудно получить равенства
[Ли, % = || v , [Atv, u]jv = || v ||2, (3.6)
и согласно (1.1.5) условие положительной определенности мож-
но записать в виде
[Лм,й]дг > 72 Уй € Ем- (3.7)
Напомним, что матрица В положительна (положительно опре-
делена), если для любого ненулевого вектора й £ £n выполня-
ется неравенство
2.3. Методы Галеркина и Ритца
55
[Вй, > 0.
Как нетрудно видеть, матрица М положительна. Это следует
из ее невырожденности, второго из равенств (3.6) и того факта,
что v = П тогда и только тогда, когда в представлении
(3.3) v = 0. В свою очередь, из (3.7) немедленно следует
положительность матрицы А.
Рассмотрим вопрос о сходимости метода Галеркина. Будем
говорить, что метод Галеркина сходится, если последователь-
ность {wfc} сходится в энергетической норме к обобщенному
решению и € На-
Теорема 3.1. Пусть последовательность {14} предельно
плотна в Яд. Тогда метод Галеркина сходится.
Доказательство. Пусть и G На - решение задачи В. Зада-
дим произвольное е > 0. По условию предельной плотности
найдется номер к0 = ко(е, и) такой, что при к > ко
inf llv ~ «Нл < е-
С другой стороны, по основной лемме
Н ~ «||д = inf ||v - и||д, *
ver*
откуда следует, что ||Wk — «||д < £- Это и доказывает сходи-
мость. □
Следствие. В условиях теоремы 3.1 последовательность
сходится к решению задачи В в норме основного про-
странства Н.
•Равный факт немедленно следует из только что доказанной
Те°ремы и теоремы 1.2.2, согласно которой
56 Глава 2, Задачи на последовательности подпространств
Ik* - «II < II - «Цд.
7
Теперь коротко остановимся на вариационном методе.
Задача Сд (метод Ритца). Пусть {VjJ - бесконечная
последовательность конечномерных подпространств из На-
По заданному f € Н требуется найти последовательность
{w*;}, Wfc € Vfc, каждый элемент которой минимизирует
функционал энергии на подпространстве V*.
Последовательность {wjt} будем называть минимизирующей.
Используя представление (3.3), выпишем значение функциона-
ла энергии для функций из ЛГ-мерного пространства V. Имеем
N N
•?г(и) = 52 ®(^> -2 (3-8)
i,j=l i=l
Необходимыми и достаточными условиями минимума выпи-
санной квадратичной формы являются уравнения Эйлера
^=0, i = (3.9)
и положительность квадратной симметрической матрицы по-
рядка N с элементами
dvidvj'
N.
(3.10)
Как нетрудно заметить, равенства (3.9) полностью совпадают
с (3.4), а матрица с элементами (3.10) - это введенная выше ма-
трица А. Иначе говоря, компоненты вектора-решения системы
линейных алгебраических уравнений метода Галеркина (3.5)
доставляют минимум квадратичной форме (3.8), и наоборот -
2-4- Устойчивость
57
числа минимизирующие квадратичную форму (3.8), соста-
вляют вектор, являющийся решением системы (3.5).
Будем говорить, что метод Ритца сходится, если миними-
зирующая последовательность сходится в энергетической нор-
ме к обобщенному решению и € Яд. При этом из теоремы 3.1
немедленно следует
Теорема 3.2. Пусть последовательность {VjJ предельно
плотна в Ид. Тогда метод Ритца сходится.
Очевидно и следующее
Следствие. В условиях теоремы 3.2 минимизирующая после-
довательность сходится к решению задачи С в норме основ-
ного пространства Н.
Таким образом, для симметрических положительно опреде-
ленных операторов оба рассмотренных метода эквивалентны.
В связи с этим, в дальнейшем будем упоминать только метод
Галеркина (или проекционный метод).
2.4. Устойчивость
Рассмотрим вопрос об устойчивости метода Галеркина. Раз-
делим этот вопрос на два. Во-первых, выясним, как влияют
возмущения правой части на решение задачи в фиксированном
подпространстве. Как будет видно из дальнейшего, ответ на
этот вопрос чрезвычайно прост. Гораздо более тонким являет-
ся Другой вопрос - о численной устойчивости решения задачи
(3.5). Как мы увидим, здесь самую существенную роль играет
выбор базиса в конечномерном подпространстве.
Итак, сначала ответим на первый вопрос. Так как w G V
в Равенстве (1.1) можно положить v = w, т.е. ||»||д = (/,«>).
Далее по теореме 1.2.2 (оператор А положительно определен)
58 Глава 2. Задачи на последовательности подпространств
w является элементом основного пространства Н, и по нера-
венству Шварца |(/,w)| < ||/|| ||w||. Далее, в соответствии с
неравенством (1.2.3) той же теоремы |(/, w)| < i||/|| ||и?||л,
откуда следует, что
llwiu < i||/ll- (4-1)
Неравенство (4.1) и говорит об устойчивости в энергетической
норме решения задачи в подпространстве по отношению к
возмущениям правой части. Кроме того, из неравенства (1.2.3)
следует устойчивость и в основном пространстве:
М < £||/||. (4.2)
Рассмотрим вопрос о численной устойчивости метода
Галеркина, которая определяется устойчивостью алгоритма
решения системы (3.5). При этом главной числовой характе-
ристикой устойчивости является число обусловленности ма-
трицы жесткости Л, определяемое как condA = Amax/Amin -
отношение максимального и минимального собственных чисел
матрицы А. При этом
Amin[u, u]jv < [Хи, и]^ < Amax[u, и]Vu € £n, (4.3)
причем эти неравенства не могут быть улучшены, поскольку
порознь они достигаются на соответствующем собственном
векторе. Аналогично, для матрицы масс М имеем
Mmin[u, й]дг < [Atu, u]n < дтах[й, u]n Vu G Sn, (4.4)
где ^mjn и дтах - минимальное и максимальное собственные
числа матрицы масс. С другой стороны, так как пространства
£n и V изоморфны, а согласно теореме 1.1.5 любые две нормы
в V эквивалентны, то в соответствии с равенствами (3.6)
существуют положительные константы 71 и 72 такие, что
2.4- Устойчивость
59
7i[Mu, u]n < [Ли, u]jv < 7г[Л4и, и]# Vu € £n. (4.5)
Здесь 7i = 72. Для минимального и максимального собствен-
ных чисел матрицы жесткости из (4.3)-(4.5) следуют оценки
71Мпгйг> — ^min < 72Mmin И 71Mmax < ^тах < 72Дтах, И, СЛвДОВа-
тельно,
/ 71 \ У2
max (1, —condAd ) < condЛ < —cond Ad.
\ 72 / 71
(4-6)
При этом, отношение 72/71 определяется только константами
эквивалентности энергетической нормы и нормы основного
пространства на функциях из V и не зависит от базиса, в то
время как величина cond М как раз и характеризует качество
базиса. Базис является “плохим”, если cond М неограниченно
возрастает с увеличением размерности пространства. Здесь
мы, по сути дела, снова говорим не об одном подпространстве,
а об однопараметрическом семействе подпространств. Введем
чрезвычайно важное понятие устойчивого семейства базисов.
Определение 4.1. Базисы бесконечной последова-
тельности конечномерных пространств Vjt размерности Nk
образуют устойчивое семейство, если существует не зависящее
от к число р такое, что для соответствующих матриц масс Мк
имеют место неравенства
condAdjt<p, fc=l,2.....
Согласно (4.6) для устойчивого семейства базисов имеет место
оценка cond Л*. < 7гр/7ь При этом, так как 71 = 72, только
число 72 зависит от размерности пространства. Но эта зави-
симость не устранима и определяется структурой оператора
Л. В то же время, не допустить зависимость р от к - одна из
главных задач при применении МКЭ. К этому вопросу мы еще
ве раз будем возвращаться. Примеры устойчивости семейства
60 Глава 2. Задачи на последовательности подпространств
базисов содержатся в задачах к этой главе и являются пред-
метом обсуждения в следующих главах. А сейчас мы дадим
пример отсутствия такого свойства и увидим, к каким печаль-
ным последствиям это приводит.
Пример. Пусть На = Нг(0,1) и пусть Vk - конечномерное
пространство определенных на замкнутом интервале [0,1] по-
линомов степени не выше к — 1. При этом Nk = к - размер-
ность пространства Vk. Как нетрудно видеть, Vk С На. При
этом последовательность {У*.} предельно плотна в На- Дан-
ное утверждение следует из теоремы 5.1 (вложения) и теоремы
Вейерштрасса, согласно которым На С С[0,1], и непрерыв-
ные функции аппроксимируются полиномами. В пространстве
Vk рассмотрим систему функций = ж’-1, i = l,...,fc.
Поскольку для любого тождественно равного нулю полинома
Pk-i(x) имеет место
иХ
все его коэффициенты нулевые. Это означает линейную неза-
висимость системы которую рассмотрим в качестве
базиса в Vk. При этом элементами матрицы масс Мк порядка
к являются
mij == i I i 7’ *, J = 1> • • • >
И j ~ 1
Это так называемая матрица Гильберта. Приведем оценку
снизу числа обусловленности такой матрицы. Для этой цели
рассмотрим вектор v с компонентами Vi — 1, t>2 — • • • = vk = 0.
Тогда [v, v]fc = 1. Далее, v(x) = 1 - полином, соответствующий
этому вектору, и согласно (3.6) [A1*;V,v)n = 1. Но тогда из
(4.4) следует, что
„ v. [A4fcV,v]fc _
(4.7)
2-4- Устойчивость
61
Если взять вектор с компонентами Vi = • = vfc_x = о, Vk = 1
и соответствующий ему полином v(ar) = хк-1, то, аналогично
предыдущему, получим, что
[.Мили]*
Дш|П S Г_____1
[v, vjfc
1
2к — Г
(4-8)
Из (4.7), (4.8) следует оценка снизу числа обусловленности
матрицы Гильберта:
condAlfc > 2k - 1.
Данная оценка чрезвычайно грубая. Так, при к = 10 число об-
условленности превышает 1013. Однако эта оценка показывает,
что семейство базисов, образованное увеличением к в рассмо-
тренной системе функций, не является устойчивым. Иначе го-
воря, с ростом к базисы становятся “почти линейно зависимы-
ми”. При использовании такого базиса в матрице жесткости
для уже не очень больших к получаем вырожденную, с точ-
ки зрения машинной арифметики, систему. Попытка выделить
инвариантное подпространство, в котором и осуществлять ре-
шение системы, к успеху не приведет, поскольку сгущение
спектра около нуля происходит постепенно. Резюме: рассма-
триваемый базис совершенно не пригоден для практических
вычислений.
Может возникнуть ситуация, когда при введении семейства ба-
зисов на основе некоторых “естественных” функций (напри-
мер, полиномов определенного типа) условие устойчивости от-
сутствует из-за неудачной нормировки. Такая ситуация легко
выправляется введением масштабирующей матрицы. В связи
с этим имеет смысл дать следующее
Определение 4.2. Базисы бесконечной последова-
тельности конечномерных пространств Vk размерности Nk
62 Глава 2. Задачи на последовательности подпространств
образуют Р^-устойчивое семейство, если существует последо-
вательность диагональных матриц Рд порядка Nk с положи-
тельными элементами на диагонали и не зависящее от к число
р такие, что
соп<1(р^Л4лР^) <р, А? = 1,2,....
Иными словами, семейство базисов {9?^}^ является
Рд-устойчивым, если устойчиво семейство {<р^ / > где
через обозначены диагональные элементы матрицы Рд.
Задачи к главе 2
2.1. Для задачи Дирихле
—и11 — f(x), 0 < х < 7Г, «(0) = «(л-) = О
последовательность конечномерных подпространств заданных
на отрезке [0, л-] функций определяется как
Vk — span {sin
Доказать предельную плотность в Нд данной последовательно-
сти. Выписать матрицу жесткости. Исследовать устойчивость
семейства базисов.
Указание: При доказательстве предельной плотности ис-
пользовать неравенство Бесселя.
2.2. Для задачи Неймана
-'и" + и = /(®), -1 < х < 1, и'(-1) = м'(1) = 0
последовательность конечномерных подпространств заданных
на отрезке [—1,1] функций определяется как
Задачи к главе 2
63
Vk = span{fj_i(a:)}*=1,
где Рп(х) ~ полиномы Лежандра. Ответить на вопросы
задачи 2.1.
Указание:
„ . . 2п— 1 „ , . п - 1 „ . . _ л
Рп(®) — ХРп—1(®) Рп—2('Е)> п _ 2,
П П
Р0(х) = 1, Р1(х) = х.
2.3. В задаче 2.2 вместо полиномов Лежандра Рп(®) рассмо-
треть полиномы Rn(x) = \/2п -Ь 1РП(®).
Глава 3
МКЭ в одномерном случае
Данная глава дает одномерную иллюстрацию общей теории МКЭ, но уже
здесь выясняется фундаментальная роль кусочно-полиномиальных функ-
ций для построения аппроксимирующих подпространств. Кроме того, не-
которые вопросы исследуются только здесь, из-за сложности их рассмо-
трения в общем случае.
3.1. Двухточечная краевая задача
В этой главе будет рассматриваться обыкновенное дифферен-
циальное уравнение второго порядка
- + q(x)u = /(ж), 0 < х < 1 (1:1)
с однородными краевыми условиями
м(0) = 0, «'(1) = 0.
(1.2)
Мы преднамеренно используем краевые условия разных типов,
чтобы охватить всю специфику рассматриваемых ниже кон-
струкций. Относительно коэффициентов уравнения (1.1) будем
предполагать, что
ресЧо,!],
р(®) > ро > 0,
9€С[0,1],
д(ж) > 0, х € [0,1].
(1-3)
Оператор такой задачи положительно определен (см. задал
чу 1.8). При этом энергетическое пространство Яд - это за-
мкнутое подпространство функций из Я1 (0,1), удовлетворяю-
щих первому из условий (1.2) (главному краевому условию).
Причем по теореме 1.5.1 (вложения) эти функции непрерыв-
ны в [0,1]. В соответствии с п. 1.6, при любых f € Ьг(0,1) у
3.1. Двухточечная краевая задача
65
задачи (1.1), (1.2) существует единственное, удовлетворяющее
интегральному тождеству
1 1
а(и, V) = J (pu'v' + quv) dx — J fvdx Vv € Ha (1-4)
о о
обобщенное решение и € Яд.
Здесь мы остановимся на двух вопросах. Во-первых, обла-
дает ли обобщенное решение какой-либо дополнительной глад-
костью, если правая часть уравнения f - произвольная функ-
ция из L2(0,1)? Оказывается, что и € Яд О Я2(0,1). При по-
лучении оценок погрешности этот факт сыграет решающую
роль. Именно об этом говорилось в замечании при формули-
ровке понятия предельной плотности последовательности под-
пространств (определение 1.2.1). Ранее об этом же говорилось
в замечании в конце п. 1.3 - пространство £2(0,1) слишком уз-
кое, чтобы полностью исчерпать Яд. Оно исчерпывает только
плотное в Яд подмножество На О Я2 (0,1). При этом возни-
кает второй, рассматриваемый нами в этом пункте, вопрос.
Какой должна быть правая часть, чтобы обобщенное решение
не обладало никакой дополнительной гладкостью. Мы не бу-
дем пытаться дать на него исчерпывающий ответ, а ограни-
чимся одним содержательным примером, который раскрывает
существо дела. Позже для этого же примера будет изучена си-
туация, возникающая при анализе сходимости МКЭ.
Итак, рассмотрим первый вопрос. .
Теорема 1.1. При любой функции f € ^2 (0,1) решение зада-
чи (1.4) имеет суммируемую в квадрате вторую обобщенную
производную. При этом существует не зависящее от функ-
ции f положительное число ci.i такое, что выполняется не-
равенство
1«1н2(о,1) < ci.i П/11л2(о,1)-
66
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
Доказательство. Пусть v е С1 [0,1] имеет компактный на
интервале (0,1) носитель. Тогда согласно (1.3) такому же усло-
вию удовлетворяет функция pv € С1 [0,1]. Так как и' является
элементом £2 (О,1), по определению обобщенной производной
(1.5.2) имеем
1 1
У u'(pv)'dx = - У <p(pv)dx. (1.5)
о о
Покажем, что такая функция 9? существует и является элемен-
том £2(0,1). Из (1.4) следует
1 1
У u'{pv)'dx = У (/ + р'и' — qu) vdx.
о о
Подставляя это равенство в (1.5), получим
1
У (РФ + / + Р'и' ~ 4й) = 0.
о
Так как множество функций из Сх[0,1] с компактным носите-
лем содержит Cq°(0, 1) и по лемме 1.5.1 плотно в £2(0,1), по
теореме 1.1.1 имеет место р<р + f +р,и' — qu = 0. И наконец, из
условий (1.3) и u',f € £2(0,1) следует, что
¥> = l(?tt _ р'и> - /) е £2(0,1).
Это и означает принадлежность обобщенного решения про-
странству Я2 (0,1). Далее, учитывая условия (1.3) и исполь-
зуя одномерный аналог неравенства Фридрихса (задача 1.2 при
и(®о) = «(О) = 0 и £ -> 0), получим, что
I|9’IIl2(o,i) < (||/||£3(0,1) + с |«|я 1(од)) >
где
3.1. Двухточечная краевая задача
67
с= max |р'(®)| Н—= max q(x).
о<*<1 \/2о<®<1 v '
Применение к правой части равенства (1.4) при v = и неравен-
ства Коши-Буняковского дает
1и1я‘(0,1) - ~ 11/11^2(0,1) IIuIIl2(0,1)-
Ро
Для оценки правой части снова воспользуемся одномерным
аналогом неравенства Фридрихса. Тогда
1“1н1(0,1) < ^=Н1/Нь2(0.1)‘
Подстановка этого неравенства в оценку Дг-нормы функции <р
приводит к требуемому результату с константой
1 Л с \
£1.1 — I 1 "1" ЛГ | •
□
Отметим, что полученный результат справедлив только в
одномерном случае. Он стал следствием возможности элемен-
тарно выразить вторую обобщенную производную решения че-
рез первую производную, само решение и правую часть. В мно-
гомерном случае такая возможность предоставляется только
либо при некоторых условиях на границу области (см. п. 6.3),
либо при специально подобранных правых частях. При этом
в силу теоремы 1.5.1 (вложения) и € С4[0,1], и поэтому обоб-
щенные решения уравнений с правой частью из £г(0| 1) будем
называть гладкими.
Перейдем ко второму вопросу данного пункта. Рассмотрим
произвольную точку £ € (0,1). Определим 5-функцию Дирака
Как линейный функционал с областью определения Я1 (0,1)
такой, что
68
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
= (1-6)
По теореме 1.5.1 (вложения) функционал 8^ ограничен в своей
области определения:
1М»)1 < max |«(ж)| < c5.i||v||Hi(o,i)- (1-7)
При этом задача о поиске обобщенного решения выглядит
следующим образом: найти функцию и G Яд такую, что
а(и, и) = 6$(и) Vv G На- (1-8)
Поскольку функции из £2(0,1) определены почти всюду, и в
окрестности заданной точки, где они не определены, ими мо-
гут достигаться сколь угодно большие значения, функционал
(1.6) не ограничен в £г(0,1) (см. задачу 3.2). В этом состоит
принципиальное отличие задачи (1.8) от рассмотренных ранее
(включая формулировку задачи В').
Замечание. Часто 5-функцию Дирака определяют при помо-
щи записи: 5^ (®) - функция, определяемая равенством
1
У 8(vdx = v(fl Vv € С[0,1],
о
и используют ее в качестве правой части уравнения (1.1).
Но такая запись уравнения является чисто символической и
означает лишь выполнение равенства (1.8).
Теорема 1.2. Задача (1.8) однозначно разрешима в На- При
этом и Я2 (0,1).
Доказательство. При анализе задач в главе 1 предполага-
лась ограниченность в основном пространстве (в нашем слу-
чае £2(0,1)) функционала в правой части. В частности, кос-
венно это требование включалось в условия теоремы 1.3.1
3.1. Двухточечная краевая задача
69
(Лакса-Мильграма). Но использовалось оно лишь для того,
чтобы установить ограниченность функционала в энергетиче-
ском пространстве. Для функционала 6^ такая ограниченность
имеет место (см. (1.7)), и поэтому теорема Лакса-Мильграма
справедлива и в данном случае. Покажем, что и $ Я2(0,1).
Пусть это не так, т.е. как элемент из £з(0> 1) существует вто-
рая обобщенная производная ф решения задачи (1.8). Но то-
гда согласно условиям (1.3) и неравенству Коши-Буняковского
имеет место оценка
о
Пусть функция v € На имеет компактный в (0,1) носитель.
Тогда в соответствии с равенствами (1.5) и (1.8) приведенное
неравенство принимает вид
^(w) + J (р'и' -qu)vdx <гм^р(х) M^(0,i)IMIl2(o,i)-
о
И наконец, из этой оценки с использованием элементарного
неравенства (а + b + с)2 < 3(а2 + Ъ2 + с2) следует, что
IMW)I < cllvllb2(o,i)> (1-9)
| 1М1я2(о,1)-
где
с = л/3тах< max р(х), max Ip^®)!, max q(x
0<а?<1 0<x<l
Неравенство (1.9) означает ограниченность функционала в
£>2(0,1) на функциях из На с компактным носителем. Посколь-
ку множество таких функций плотно в Ь2(0,1) такой функцио-
нал может быть единственным образом продолжен на все про-
странство £г(0,1) с сохранением неравенства (1.9). Но функ-
ционал 6^ не ограничен в Zz2(0,1) (см.задачу 3.1). Полученное
противоречие доказывает теорему. °
70
Глава S. МКЭ в одномерном случае
Данный результат также является “чисто одномерным”. Его
получение основано на непрерывности функций энергетическо-
го пространства. Уже в двумерном случае это не так, и, как
следствие, функционал 6^ в Н1 (Q) не ограничен. То есть в этом
случае 5-функция настолько “плоха”, что решение не суще-
ствует даже в энергетическом пространстве. И наконец, так
как и Я2(0,1), решение задачи (1.8) будем называть только
обобщенным.
3.2. Пространство кусочно-линейных функций
Начиная с этого пункта речь пойдет собственно о МКЭ как о
способе конструирования последовательности конечномерных
подпространств для метода Галеркина приближенного реше-
ния одномерных задач, рассмотренных в предыдущем пункте.
На промежутке [0,1] введем последовательность сеток
_ п . _(*) . .... _(*) . _(*) _ (2 п
разделив интервал [0,1] сеточными узлами на Nt частей.
Введем обозначение для шагов к-й сетки:
, i = 1,..., Nk, = . max h^.
Пусть h№ —> 0 при к -> oo. При этом будем говорить, что за-
дан параметр h, аппроксимирующий нуль. Различные последо-
вательности по к будем рассматривать как однопараметриче-
ские семейства по параметру h, и для обозначения представи-
теля такого семейства будем использовать соответствующий
элемент' последовательности по к, снабженный индексом h вме-
сто номера к. При обозначении узлов сетки и размерности про-
странств номер к для упрощения записи будем опускать. Так,
вместо (2.1) используем обозначение
3.2. Пространство кусочно-линейных функций
71
WA = {«о = 0 < ®i < • • • < xn_i < XN = 1} .
С каждым сеточным узлом свяжем функцию ^(ж), линей-
ную на каждом промежутке [х;_их;], j = 1,..., N, и удовле-
творяющую условиям
~ г> J' = • • • > (2*2)
где Sij - символ Кронекера (6ц = 1 и = 0 при i j). На-
помним, что речь идет о семействе таких наборов функций.
Как нетрудно видеть, при фиксированном значении параме-
тра h эти функции непрерывны в [0,1] и на каждом интерваде
(xj_i,xj) дифференцируемы, причем в узлах сетки существу-
ют конечные односторонние производные (рис. 2.1).
Таким образом, щ 6 Я1 (0,1). Здесь мы не указываем
принадлежность этих функций пространству С[0,1], поскольку
это является следствием теоремы вложения.
Введенная система функций линейно независима. Действи-
тельно, пусть v(x) = ао<Ро(®) 4- • • • + <*n<Pn(x) = 0. Но тогда
v(®i) = 0 для любого г = 0,..., N. С другой стороны, согласно
(2.2) v(xi) = а, и, следовательно, а,- = 0, i = 0,..., N. Таким
образом, по этой системе функций можно ввести конечномер-
ное пространство размерности N+1 в виде линейной оболочки
72
Глава S. МКЭ в одномерном случае
Vh = span{<£t(z)}£L0.
(2.3)
При этом пространства (2.3) образуют однопараметрическое
семейство, каждый представитель которого, согласно сказан-
ному ранее, содержится в Я1 (0,1). При доказательстве линей-
ной независимости мы использовали следующее из (2.2) одно
замечательное свойство функций v € Уд:
N
Ф) = £фчМ®),
1=0
(2-4)
т.е. коэффициенты в разложении функций из Vh по базису
равны значениям этих функций в узлах сетки. Для того чтобы
правая часть в (2.4) имела смысл, достаточно непрерывности
функции и (ж), обеспечивающей существование значений u(®i),
т.е. «(ж) из (2.4) представляет собой непрерывную кусочно-
линейную функцию (рис. 2.2).
В связи с этим и пространство Vh будем называть про-
странством кусочно-линейных функций. Введенный базис, для
которого справедливо представление (2.4), будем называть
узловым, а само представление (2.4) - сеточной функцией. За-
метим, что в теории разностных схем под сеточной функцией
3.2. Пространство кусочно-линейных функций
73
понимается функция дискретного аргумента, заданная в уз-
лах сетки. Чтобы подчеркнуть эту разницу в определениях, о
представлении (2.4) иногда говорят как о кусочно-линейном
восполнении сеточной функции.
Теперь рассмотрим вопрос об устойчивости семейства узло-
вых базисов {<pi(®)}£L0. При этом мы будем использовать усло-
вие квазиравномерности.
Определение 2.1. Семейство сеток уд удовлетворяет усло-
вию квазиравномерности, если существует не зависящее от па-
раметра h число и > 1 такое, что
h < v min hi.
Теорема 2.1. Пусть семейство сеток ыь удовлетворяет
условию квазиравномерности. Тогда базисы семейства про-
странств кусочно-линейных функций Уд образуют устойчи-
вое семейство.
Доказательство. Пусть и Е Уд и и € £n+i - вектор с
компонентами v,- = v(®,), i = 0,...,N. Здесь и далее мы
полагаем, что первая компонента вектора имеет индекс 0. При
этом согласно (2.3.6)
[Л4ду, ц]#+1 = IMli2(o,i)- (2-5)
Из (2.2) следует, что на интервале отличны от нуля
только функции 9?,_1(ж) = - x)/hi и = (ж - x,_i)/h,-.
Тогда непосредственные вычисления дают
Xi у
= / (Vi-Wi-I + dx =«
Xi-1
/ 2 । 2\
74
Глава S. МКЭ в одномерном случае
При этом, во-первых,
V,?_l + Vi-iVi + vf = I [t£-i + vf + (v,_i + vf)2] > i (v2-! + v2) ,
и во-вторых,
Vi-1 + Vi-iVi + V? < | (vf-i + V?) .
Из этих неравенств следует, что
£ + V?) < lIvllU-,«) < J (”?- + ”?) (2-в)
Суммируя последние неравенства по i от 1 до N и учитывая
условие квазиравномерности и представление (2.5), получим
^[v, v]jv+i < [MhV, v]N+1 < h[v, v]N+i,
откуда в силу произвольности функции v G Vk, а следователь-
но, и вектора v G Сы+i немедленно следует, что
cond Л4л < 6к
Теорема доказана. □
Нормировав определенным образом элементы узлового базиса,
можно избавиться от требования квазиравномерности. Введем
семейство диагональных матриц Vh порядка N + 1 с элемен-
тами
do = h\, dj = -I- hi, i — 1,..., N 1, • (^*7)
Теорема 2.2. Базисы семейства пространств кусочно-ли-
нейных функций Vh образуют Vh-устойчивое семейство.
Доказательство. Воспользуемся неравенствами (2.6). Их не-
посредственное суммирование без использования условия ква-
зиравномерности и с учетом (2.7) дает
3.2. Пространство кусочно-линейных функций
75
1 W I N
° 1=0 z t=O
Но эти неравенства означают, что
|[Pfev, и]лг+1 < [Л4ли, v]N+1 < J[Pfcv, v]x+i,
о 2
откуда немедленно следует доказывающая теорему оценка
cond 2MhVh 2 ) < 3.
□
По сути дела, в этой теореме мы использовали базисные функ-
ции 'tpi(x) = Для таких функций теряется свойство
(2.4), но никаких трудностей это не влечет, поскольку коэф-
фициенты а, разложения по функциям очевидным образом
связаны с узловыми значениями: gi = \/Tiv(xi). Отметим, что
последнее неравенство на самом деле является равенством, т. е.
нами, фактически, найдены минимальное и максимальное соб-
ственные числа обобщенной спектральной задачи Мьд = рЛьд
(см. задачу 3.3).
В заключение данного пункта коротко остановимся на од-
ном интересном примере не узлового базиса в пространстве Vh-
Речь пойдет о так называемом иерархическом базисе. Этот ба-
зис имеет многоуровневую структуру и строится следующим
образом. Введем сетку первого уровня
_ / ж(1) _ л ,(0 _ 1 J1) - il
< Xq — и, ж* — 2? х2 ” j ’
По ней введем узловой базис и соответствующее про-
странство Vi. Далее, вводя узлы х^ и х^ как полусуммы со-
седних узлов сетки первого уровня, получим дополнительные
сетку
76
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
«2 = {«12\ 42)}>
базис и пространство V2 второго уровня. Объединяя
соответствующие объекты первого и дополнительные объекты
второго уровней, получим сетку = ui Uu>2 с упорядоченны-
ми по возрастанию узлами, базис
и пространство Ц2 = V1 Ф V? (прямая сумма пространств)
второго уровня. Пусть построены сетка ац-к, базис {у»;1
и пространство Vi...k уровня с номером fc, к > 2. При этом ко-
личество узлов в этой сетке, а следовательно, и размерность
пространства составляет 2*4-1, причем шаг сетки составляет
hk = 2~к. Вводя узлы дополнительной сетки к 4- 1-го уровня
как полусуммы соседних узлов сетки к-го уровня, продолжаем
этот процесс до уровня с номером I. В результате приходим к
последовательности вложенных сеток
С W12 С • • • С wi.../ = Шк
с шагом самой мелкой сетки h = hi = 2~1 и пространству
vh = vb..i =
с базисом
{«>!"”) = °}={^и •и {Л
Отметим, что дополнительные базисные функции произволь-
ного уровня попарно ортогональны относительно скалярного
произведения как в £2(0,1), так и в Я1 (0,1). На рис. 2.3 приве-
дены базисные функции трех первых уровней. При построении
иерархического (многоуровнего) базиса, фактически, получе-
но целое семейство базисов. Исследование этого семейства мы
оставляем в качестве упражнения (задача 3.4).
3.3. Аппроксимация гладких решений
77
Рис. 2.3
3.3. Аппроксимация гладких решений
В этом пункте для решения задачи (1.4) применим метод
Галеркина, используя семейство пространств кусочно-линей-
ных функций Vh с узловым базисом. Фактически, применение в
данном случае таких конечномерных пространств - это и есть
МКЭ для одномерных краевых задач. Сначала мы остановим-
ся на структуре сеточных уравнений, т. е. выясним какой вид
имеет матрица жесткости и вектор правой части, а затем рас-
смотрим вопросы, связанные с оценкой погрешности метода.
Конечномерное пространство Vh не является подпростран-
ством из На, поскольку не удовлетворяет главному краевому
условию из (1.2). Вместо Vh следует рассмотреть подпростран-
ство Vh,A = Vh П На размерности 7V, являющееся линейной
оболочкой вида
Vh,A = epan^®)}^. (3.1)
Итак, следуя п. 2.3, рассмотрим задачу (1.4) на семействе ко-
нечномерных подпространств При этом учтем следующие
обстоятельства. Во-первых, согласно (2.4) неизвестные систе-
мы - суть значения ортогональной относительно энергетиче-
ского скалярного произведения проекции uh обобщенного ре-
шения на подпространство Vh,A в узлах сетки, т. е. и,- = uh(xi),
i = 1,..., N, - компоненты искомого вектора. Второе обстоя-
тельство состоит в ортогональности элементов базиса <pi и <pj
78
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
при |г - j| > 2 (см. рис. 2.1). С учетом этих обстоятельств
и использованием явного вида базисных функций система ли-
нейных алгебраических уравнений (2.3.4) принимает в нашем
случае вид трехточечных соотношений:
+ а2«2 =/1>
afwf_i + biUi + aj+i u,+i = /,, i = 2,..., N - 1, (3.2)
a/ywjv-i -I- bpfUN = fa,
где
1
a'~^2 J (~P(x) + (xi~x)(x-xi-i)q(x))dx, i=l,...,N,
1 f
J (p(®) + ~ ®*—1)2?(®)) dx +
1
+ д2~ J (p(«) + (®i+i - «)29(®)) dx, i = l,...,N- 1,
Xi
fi=T- I (x - Xi-.i)f(x)dx+ -— / («t+i - x)f(x)dx,
hi J ftt+i J
i = l,...,N-l,
bN=f^~ f (p(x) + (® “ ^-i)2g(a?)) dx,
NXN_!
X^
^N~^n / (X~ XN~l^(x)dx-
®N-1
Таким образом, матрица жесткости имеет трехдиагональную
структуру, что в точности соответствует результату приме-
3.3. Аппроксимация гладких решений
79
нения конечно-разностного подхода. На самом деле, соответ-
ствие еще более тесное. Если рассмотреть задачу (1.4) при
р(х) = const, q(x) = 0 и f(x) = const с постоянным шагом
сетки h = 1/N, то система (3.2) принимает вид хорошо знако-
мой разностной схемы:
? (2wi - и2) = Л/,
Л
— ( w»—1 2u, = hf, i — 2,..., Я - 1,
n
P 1
- (-un_i + un) = -hf.
n 2
Такое совпадение явилось результатом применения базисных
функций с размерами носителя порядка шага сетки. Иначе го-
воря, мы использовали финитные функции с локальными носи-
телями. В этом и состоит главная особенность МКЭ, в отличие
от метода Галеркина вообще. В связи со сказанным, иногда
МКЭ называют проекционно-разностным (или вариационно-
разностным, если идти от метода Ритца), хотя более точное
название - проекционно-сеточный метод. Это связано с приме-
нением в МКЭ для многомерных задач хаотических сеток (см.
следующие главы), что совершенно не свойственно конечно-
разностному подходу, имеющему дело, главным образом, с сет-
ками прямоугольными.
Перейдем к рассмотрению вопроса о предельной плотно-
сти семейства пространств кусочно-линейных функций Vh в
Я1 (0,1) для гладких функций. Решаться этот вопрос будет
с использованием кусочно-линейных интерполянтов. На мно-
жестве непрерывных функций определим линейный оператор
П/j : С[0,1] -> Vh, действующий по формуле
(Пл и) (х) = ^и(^)^(х).
»=о
80
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
Этот оператор любой непрерывной функции и сопоставляет
кусочно-линейную функцию v = Па« € Vh, принимающую
значения функции и в узлах сетки. Таким образом, оператор
Пд осуществляет процедуру кусочно-линейного интерполиро-
вания. При этом функцию Пдц € Va будем называть кусочно-
линейным интерполянтом функции и. Отметим, что сужение
оператора Щ на Уд является тождественным оператором.
По теореме вложения любая функция из Ях(0,1) непрерыв-
на и, следовательно, принадлежит области определения опе-
ратора Щ. В том числе, это касается и обобщенных решений
задач из п. 3.1. Приведем для кусочно-линейного интерполянта
простые априорные оценки. Имеет место следующая
Лемма 3.1. Для и G Я2(0,1) справедливы неравенства
шах (Па«) (ж) < max |«(ж
0<х<1 I / V /| - (,<^<1^ 1 '
(3.3)
||Па«||н»(о,1) < с |1м11н‘(о,1), (3-4)
где с = у 2 + с2 5л, С1.5.1 - константа из теоремы вложения.
Доказательство. Обозначим v(x) = (Паи) (ж). Как нетрудно
заметить, на интервале [ж,_1,ж,] имеет место представление
г(ж) = ц(а:»)-ц(.ж»-х.)(а! _ + (3.5)
Пусть максимум функции |«(ж)| реализуется в некоторой точке
£ € [ж,_1,ж,]. На этом интервале ц(ж) линейная и
• |«(01 < тах{|ц(ж,_1)|, |и(ж£)|} < отах |«(ж)|,
что доказывает (3.3). Далее, из представления (3.5) по формуле
Лейбница следует, что
3.3. Аппроксимация гладких решений
81
Х{
v'(x) =
1
hi
®i-i
Здесь использован тот факт, что согласно теореме вложения
и' € С[0,1]. Возводя это равенство в квадрат, применяя нера-
венство Коши-Буняковского, интегрируя по х от x,_i до и
наконец, суммируя полученный при этом результат по i от 1
до N, получим
1 1
У (y'(x))2dx< j\u'(x))2dx.
о о
(3.6)
Теперь воспользуемся одномерным аналогом обобщенного не-
равенства Фридрихса (задача 1.2 при «о — 0 и е = 1):
1 х
У v2(x)dx < У (v'(a;))2 dx + v2(0).
о о
Первое слагаемое в правой части этого неравенства оценива-
ется из (3.6), а второе - из (3.3) и по теореме вложения:
У v2(x)dx < с2<51 У u2(®) + (1 + С1.5.1) У (u'(x))2dx.
о
Из этого неравенства и (3.6) немедленно следует оценка (3.4).
□
Теперь мы можем рассмотреть ключевой вопрос об аппрок-
симации гладких функций функциями из пространства Vk-
Теорема 3.1. Пусть и € Я2(0,1). Тогда имеют место нера-
венства
82
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
IIй - Щм||£2(о,1) < Л2|“1н2(о,1))
IIм - Пл«||н1(од) < ^(1 + Л)|«|я2(од)-
(3.7)
(3.8)
Доказательство. Во-первых, отметим, что по теореме вло-
жения функция и непрерывна (и даже непрерывно дифферен-
цируема) в [0,1] и, следовательно, кусочно-линейный интерпо-
лянт Щи существует. Обозначим го(ж) = «(ж) — (Щи) (®). Сна-
чала докажем теорему для функций из С2[0,1]. В соответствии
с представлением (3.5) и формулой Лейбница
Возведем это равенство в квадрат и последовательно приме-
ним неравенство Коши-Буняковского сначала к внешнему ин-
тегралу, а потом к внутреннему. Учитывая, что |« — у| < hi,
получим
Проинтегрируем это неравенство по х от x,-i до ж,-
J (w1 (х))2 dx < h% У (u"(®)) ах.
(3.9)
Далее, согласно (3.5) w(a:t_i) = 0, и, следовательно, по формуле
Лейбница
3.3. Аппроксимация гладких решений
83
X
w(x) = У w'(y)dy.
Возводя это равенство в квадрат, применяя неравенство Коши-
Буняковского и интегрируя результат по х от до х±, по-
лучим неравенство
У (w(®))2 dx < h2 У (w'(x))2 dx,
a?i-i
из которого согласно (3.9) следует оценка
У (w(x))2dx < У (u"(®))2<fc. (3.10)
Д'»—1
Суммирование неравенств (3.9), (3.10) по i от 1 до N неме-
дленно приводит к оценкам (3.7), (3.8). Таким образом, для
функций из С2 [0,1] теорема доказана. Пусть и - произволь-
ная функция из №(0,1) и и - ее кусочно-линейный интер-
полянт. Так как множество С2[0,1] плотно в №(0,1), суще-
ствует последовательность элементов ип € №[0,1] такая, что
||м - ип||н2(о,1) -> 0 ПРИ п -* оо. Тогда и
- h„||l2(0)i) = limj|u - и„||я*(о,1) =
= ~ «п|я2(о,х) = О-
Пусть vn — последовательность кусочно-линейных интерполян-
тов функций ип. В силу линейности оператора Щ функция
v — vn является кусочно-линейным интерполянтом функции
и — ип. Тогда из неравенства 3.^ леммы 3.1 следует, что
Ни “ Мн*(о,1) < с IIй ~ ип||я1(о,1) °-
С учетом этого факта неравенство треугольника и доказанное
для функций ип € С2[0,1] неравенство (3.7) дают
84
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
IIй “ wllb2(0,l) < (1 + С + Л2) ||и - «п||н2(0,1) + h2|«|н2(0,1)•
Переход к пределу в этом неравенстве доказывает (3.7) для
любой функции из Я2(0,1). Совершенно аналогичным образом
устанавливается оценка (3.8). Теорема полностью доказана.
□
Данная теорема фактически устанавливает свойство предель-
ной плотности по аппроксимирующему нуль параметру h се-
мейства конечномерных подпространств Vh С Я1 (0,1), но не
для всех функций из Я1 (0,1), а только для функций из плот-
ного множества Я2(0,1) (см. определение 2.1 и замечание к
нему). Кроме того, в отличие от определения 2.1 мы получили
предельную плотность и для функций основного пространства,
но не как тривиальное следствие, а независимо и с другой, бо-
лее точной оценкой.
Чрезвычайно важным обстоятельством является тот факт,
что полученные оценки непосредственно никак не связаны с
энергетическим пространством операторов краевых задач из
п. 3.1. Причем, если обобщенное решение и € Яд А Я2(0,1), то
ее кусочно-линейный интерполянт принадлежит V^a, и ника-
ких дополнительных ограничений на условия теоремы 3.1 это
не накладывает. Таким образом, кусочно-линейная аппрокси-
мация для эллиптических краевых задач - это даже не вопрос
о предельной плотности последовательности подпространств
в энергетическом пространстве (что, вообще говоря, связано
с задачей), а способ приближения функций из пространства
Соболева.
Оценка (3.8) теоремы 3.1 легко позволяет получить оценку
погрешности МКЭ для задачи (1.4).
Теорема 3.2. Пусть и 6 Яд - решение задачи (1.4) с правой
частью f € £2 (0,1), в € Ул,д - его ортогональная отно-
сительно энергетического скалярного произведения проекция
на подпространство Уд,д. Тогда существует не зависящее
34- Аппроксимация гладких решений (обсуждение) 85
от параметра h и функции f положительное число с3.2 та-
кое, что имеет место неравенство
IIм - U^Hhi(0,1) < с3.2 h ||/||l2(0,1).
Доказательство. Во-первых, согласно теореме 1.1 решение
задачи (1.4) принадлежит пространству Я2(0,1) и к нему при-
менима теорема 3.1, причем неравенству (3.8) можно придать
следующий вид:
IIй “ Пди||н1(о,1) < ci.i + h) II/IIl2(o,i)-
Далее из леммы 2.1.1 (основной) в форме (2.1.4) следует, что
IIй - «Л|1я»(0,1) < с IIй - у|1я»(0,1) Vv € Vh,A,
где с - отношение констант эквивалентности энергетической
нормы и нормы в Я1 (0,1). Полагая в последнем неравенстве
v = П^и и используя предыдущую оценку, приходим к утвер-
ждению теоремы с константой С3.2 = 2ci.ic. □
Доказанная теорема является основным теоретическим резуль-
татом данного пункта. При этом возникают некоторые вопро-
сы, ответу на которые мы посвятим отдельный пункт.
3.4. Аппроксимация гладких решений
(обсуждение)
Итак, ответим на ряд вопросов, возникающих в связи с теоре-
мой 3.2. В теореме 3.1 для Гз-нормы ошибки кусочно-линейной
интерполяции была получена оценка порядка O(h2) (неравен-
ство (3.7)), которую мы пока никак не использовали. Возникает
вопрос: можно ли получить такой же порядок для погрешности
решения по методу Галеркина? Отметим, что оценка поряд-
ка 0(h) является тривиальным следствием теоремы 3.2. Этот
86
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
вопрос весьма не простой. Дело в том, что хотя мы и име-
ем оценку порядка О(Л2) в норме пространства L2(0,1) для
погрешности интерполяции, но основная лемма гарантирует
минимальность только погрешности энергетической нормы. В
этом смысле неравенство (3.7) оказалось для нас в достаточ-
ной степени бесполезным. Тем не менее, ответ на поставленный
вопрос положителен. Его обоснование использует так называе-
мый прием Нитше, который мы приведем в главе 6. Интересно
отметить, что и прием Нитше не использует оценку (3.7). А
сейчас мы дадим только формулировку соответствующего ре-
зультата.
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Тогда
существует не зависящее от параметра h и функции f поло-
жительное число С4.1 такое, что имеет место неравенство
IIй- “^11^2(0,1) < С4.1 h? 11/11^2(0,1)-
Теперь рассмотрим вопрос о том, является ли оценка тео-
ремы 3.2 оптимальной, в том смысле, что нельзя ли повысить
порядок по аппроксимирующему нуль параметру h, оставаясь
в рамках пространств кусочно-линейных функций? Ответ -
нельзя, и дается он на основании примера, в котором эта оцен-
ка достигается.
Пример. Рассмотрим задачу Дирихле
-и" = /(ж), 0 < х < 1, u(0) = и(1) = 0.
Пусть введена сетка с постоянным шагом h = 1/N, порожда-
ющая пространство Vk,a размерности N — 1. Сеточная задача
имеет вид
I (и1*} tp'idx = I f<Pidx, i = 1,..., N - 1.
Si—1
Si-1
3-4- Аппроксимация гладких решений (обсуждение)
87
Обозначим погрешность через z = и — uh. При этом г(0) =
г(1) = 0. Согласно свойству ортогональности погрешности
пространству Vh,A (см- (2.1.2))
®«+i
У z'tp'^dx = 0, i = 1,..., N - 1.
1
Или, учитывая явный вид базисных функций,
a>i ®«+1
— / z'dx — — / z'dx = 0, i = 1,..., N - 1.
h J h J
tfi-l Xi
Формула Лейбница приводит нас к системе
-2г(ж,_1) + 2г(ж,) - z(xi+i) = 0, i = 1,..., N - 1,
где з(0) = z(l) = 0. Как хорошо известно, эта система имеет
единственное решение г(х() = 0, г — 1,..., N - 1. Таким обра-
зом, в узлах сетки решение по методу Галеркина совпадает
с обобщенным решением исходной дифференциальной задачи,
т.е.
N-1
«Л(®) = 13 и(®«)<л(®)- '
»=1
Но это равенство означает ни что иное, как то, что ufe = Щи. В
свою очередь, это означает, что (Щ.г)(ж) = 0, т.е. оценка для
кусочно-линейного интерполянта погрешности “существенно
лучше”, чем дает теорема 3.2 для самой погрешности. К этому
важному замечанию мы еще вернемся. Так как оказалось,
что погрешность - это разница между решением исходной
задачи и ее кусочно-линейным Интерполянтом, то вычисление
Ях-нормы погрешности не составляет труда для некоторой
конкретной правой части. Положим /(ж) = 2. Тогда решение
исходной задачи есть и(ж) = ж(1 — ж), и простые вычисления
дают
88
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
z'(x) = Xi-i + Х{ — 2х, Xi-i < х < Xi.
При этом
J (^(x^dx = ±h3,
откуда немедленно следует, что
||u - ua||hi(од) > -7=.
У О
(Неравенство вместо равенства появилось за счет учета
Z/2-нормы погрешности.) Таким образом, установленная в тео-
реме 3.2 оценка в данном примере достигается, и, следователь-
но, по порядку параметра h не может быть улучшена.
При рассмотрении данного примера мы столкнулись с ситу-
ацией, когда разность между функцией и ее проекцией на под-
пространство полностью определялась погрешностью интер-
поляции, а кусочно-линейный интерполянт погрешности ока-
зался тождественно равным нулю. То есть оценка погрешности
в точности определяется оценкой кусочно-л иней ной интерполя-
ции, которая улучшена, скажем, за счет повышения гладкости
интерполируемой функции, быть не может. Возникает вопрос:
случаен этот факт, или для кусочно-линейных интерполянтов
погрешности можно получать более точные оценки? Покажем,
что данный факт не случаен. Для этого нам понадобится еще
одна (кроме теоремы 3.1) оценка для кусочно-линейных интер-
полянтов.
Лемма 4.1. Пусть и 6 Я2(0,1). Тогда для погрешности
кусочно-линейной интерполяции имеет место оценка
|а(и - Щп, и)| < с h? |m|h2(O)i)||v||hi(o,i) € Vh,
где число с не зависит от h, и и v.
3-4- Аппроксимация гладких решений (обсуждение)
89
Доказательство. В дальнейшем будем использовать обозна-
чение w(x) = и(х) — (Ща)(г). Имеем
N N х‘
a(w,v) = v) = 57 / (pw'v1 + qwv) dx. (4.1)
При этом имеет место
Xi
a{(w,v)= У ((pw) V - p'wv' + qwv) dx.
®«-i
Ho = w(xi) = 0, a v'(x) = const на промежутке
Тогда
a,(w, v) = у w(qv- p'v') dx.
Подставляя это равенство в (4.1), получим
1
|a(w, v)| < У |w (qv - p'v') |da:.
о
Из неравенств Коши-Вуняковского и треугольника следует,
что
|a(w,v)| < с ||м||£2(о>1)1М1я>(о11)>
где
c = 2max< max |р'(о:)|, max q(x) > .
(0<х<1 v 71 о<®<1 v J
И наконец, используя неравенство (3.7) теоремы 3.1 для оценки
сомножителя ||w||l2(o,i), приходим к утверждению леммы. □
С использованием этой леммы мы теперь легко сможем уста-
новить обещанный результат.
90
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Тогда
||Щ“ - uhllif 1(0,1) < с4.2 h2 ||/||ь2(о,1),
где число С4.2 не зависит от параметра h и функции f.
Доказательство. Из свойства ортогональности (2.1.2) следу-
ет, что
а(Щи - uh, v) = а(П/,и - u, v) Vv €
Полагая и = Щи - uh € Vh,A и используя условия (1.3) и
одномерный аналог неравенства Фридрихса (задача 1.2 при
u(xq) = u(0) = 0 и е -> 0), получим
||Щи
о
“ иЛНячо й —1«(« - Щи, Щи - иЛ)|.
' ’ ’ Ро
Применение для оценки правой части этого неравенства лем-
мы 4.1 и теоремы 1.1 приводит к искомой оценке с константой
С4.2 = 2с1дс/ро- а
Таким образом, мы установили, что главную роль в ошибке
и — uh играет погрешность кусочно-линейной интерполяции
и — Щи - величина, не связанная с задачей, а погрешность в
пространстве сеточных функций Щи — иЛ играет второстепен-
ную роль. И наконец, в заключение данного пункта отметим,
что согласно теореме вложения для одномерной задачи нами
получены оценки и в равномерной норме:
max |u - uft| < С1.5.1С3.2 h ||/||l2(oti), (4.2)
max |Щи - ufe| < С1ЛЛС4Л h? 11/11^(0,1)• (4-3)
3.5. Аппроксимация только обобщенного решения
91
3.5. Аппроксимация только обобщенного решения
Теперь займемся задачей (1.8), для решения которой ни одна
из приведенных ранее оценок не верна, поскольку согласно
теореме 1.2 оно не принадлежит пространству Я2(0,1). Тем не
менее, свойство предельной плотности семейства пространств
кусочно-линейных функций имеет место и для функций только
из пространства Я1 (0,1). Напомним, что для таких функций
по-прежнему существуют кусочно-линейные интерполянты. В
многомерном случае это не так, но и для него справедлива
приводимая ниже теорема. Просто вместо кусочно-линейных
интерполянтов используются более сложные конструкции. В
основе получения указанного результата лежит следующая
лемма, являющаяся аналогом теоремы 3.1.
Лемма 5.1. Пусть и G Я1 (0,1). Тогда существует семей-
ство кусочно-линейных функций vh 6 Vh, что
lim ||« - »Л||я1(од) = 0. (5.1)
Доказательство. Зададим произвольное положительное чи-
сло е. Так как Я2(0,1) плотно в Я1 (0,1) найдется функция
ve € Я2(0,1) такая, что
IIй “ Мн1 (од) < 2'
Согласно теореме 3.1, существует такое положительное число
Ь,о(е), что при h < ho(e)
IIve - ПлНе||я1(0,1) <
Далее, из этих неравенств и неравенства треугольника следу-
ет, что
||и - nfcve||я1(0,1) < ||« - ^е||я>(0,1) + llv® “ плМя»(0,1) <
что и доказывает (5.1) при vh — Щге. °
92
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
Из полученного результата немедленно следует сходимость
МКЭ для только обобщенного решения (ср. с теоремой 2.3.1).
Теорема 5.1. Пусть задана функция и € Я1 (0,1) и uh € Vh,A
- ее ортогональная относительно энергетического скалярно-
го произведения проекция на Vh,A- Тогда
lira ||w - иА||Я1(о,1) = 0, (5.2)
Л—>и
Доказательство. Равенство (5.2) следует из лемм 2.1.1
(основной) и 5.1. □
Приведенная теорема устанавливает лишь факт сходимо-
сти в энергетической норме метода Галеркина для только об-
общенных решений, но ничего не говорит о скорости этой схо-
димости. Попытка выяснения порядка сходимости по пара-
метру h для конкретных правых частей потребовала бы от
нас изучения вопроса о принадлежности обобщенных решений
пространствам Соболева с дробным индексом. Это значитель-
но усложнило бы наше знакомство с основами теории МКЭ.
Поэтому просто рассмотрим, в качестве иллюстрации, задачу
(1.8) при р(х) = 1 и q(x) = 0. При таких значениях коэффици-
ентов решение задачи (1.8) есть
{х при 0 < х < С,
£ ПРИ £ < ж < 1*
То, что приведенная функция является решением, устанавли-
вается непосредственной проверкой, а то, что других решений
нет, следует из теоремы 1.2. В точности так же, как в примере
из п. 3.4, устанавливается, что uh = Пди, и как в том же при-
мере, оценка Я1-нормы погрешности сводится к вычислению
нормы ||и — Щц||jji(од). Если точка £ попадает в некоторый
сеточный узел хр, то погрешность равна нулю. В этом случае
3.6. Кусочно-квадратичная аппроксимация
93
решение задачи (1.8) просто становится элементом простран-
ства Vh,A (рис. 5.1).
Рис. 5.1
В случае, когда £ е (жр_ь хр),
(хр ~ i)!hP ПРИ ж₽-1 < ® < С,
и'(х) - (ПЛи)' (х) = (жр_1 - f)/hp при £ < х < хр,
О
в остальных случаях.
Непосредственные вычисления дают
Iй ^Ли1я1(о,1) ~ (£ £)/V
Из этого равенства следует, что для данного примера скорость
сходимости метода Галеркина в энергетической норме соста-
вляет O(Vh).
3.6. Кусочно—квадратичная аппроксимация
Как мы видели, главную роль в изучении сходимости МКЭ
играли кусочно-линейные интерполянты. Именно кусочно-ли-
нейная интерполяция определила главный член погрешно-
сти, составляющий для гладких функций величину 0(h) в
94
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
/Р-норме и О(Л2) в Лг-норме. Возникает вопрос: нельзя ли для
еще более гладких функций использовать на одном сеточном
интервале полиномы более высоких степеней с целью умень-
шения погрешности интерполяции по порядку параметра h, а
следовательно, и увеличения скорости сходимости метода Га-
леркина? Ответу на этот вопрос и посвящен данный пункт.
При этом мы рассмотрим не общий случай, а только полино-
мы второй степени.
В отличие от линейной на одном интервале функции, ко-
торая воспроизводится по двум значениям интерполируемой
функции, квадратичная функция воспроизводится по трем зна-
чениям. В связи с этим введем дополнительные сеточные узлы
х- 1 = (®,_i + xi)/2 и в качестве сетки рассмотрим множество
1 2
= 0 < < Х1 < • • • < XN-l < < XN = 1} >
содержащее 2W + 1 сеточных узлов. При этом будем говорить о
целых и дробных узлах. Под шагом сетки понимается расстоя-
ние между целыми узлами: hi = ж, — ж,_1. С каждым сеточным
узлом свяжем функцию <ра(®), являющуюся полиномом второй
степени на каждом промежутке , ж,], i = 1,..., N, и удовле-
творяющую условиям (2.2) <ра(хр) = Sap, где а и /3 принимают
значения как целых, так и дробных индексов. Причем мы по-
лучили функции двух типов, в зависимости от того, в целом
или дробном узле они принимают значение 1. В связи с этим в
обозначениях будем выделять “целые” функции
в остальных случаях
3.6. Кусочно-квадратичная аппроксимация
95
и “дробные” функции
{1 — 72 (х — 2\_1) , Яч-1 < Ж < ж,-,
hi
О в остальных случаях.
Как нетрудно видеть, эти функции непрерывны в [0,1] и на
каждом интервале а?,-) дифференцируемы, причем в це-
лых узлах сетки существуют конечные односторонние про-
изводные (рис. 6.1). Подобно тому, как это показывалось в
кусочно-линейном случае, их линейная независимость сразу
следует из равенств <fi(xj) = — О при » J и
= = 0. Тогда введенная система функций
является базисом пространства
Vfc(2) = span ({ф,(«)}£0 U {^_1 (ж)}*1) •
Xi-1 Xi-$ Xi
Рис. 6.1
Таким образом, для функций из имеет место предста-
вление
N N
Ф) = 52 v(xi)v>i(x)+52 Ф,-1)А-1(®)- (6Л)
i=O t=l
Анализ устойчивости семейства кусочно-квадратичных бази-
сов требует значительно больших технических усилий по срав-
нению с доказательствами теорем 2.1 и 2.2. Поэтому оставим
96
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
в стороне этот вопрос. В следующей главе будет дан общий
принцип исследования устойчивости в многомерном случае. И
хотя доказательство соответствующей теоремы будет прове-
дено для кусочно-линейного базиса, но оно без труда распро-
страняется на любой кусочно-полиномиальный базис, состоя-
щий из финитных функций с локальными носителями. Прав-
да, при этом не будет указана конкретная константа, огра-
ничивающая число обусловленности матрицы масс, а будет
установлен только факт ее существования. А сейчас мы все
усилия направим на получение оценки погрешности метода
Галеркина, установив аналоги леммы 3.1 и теорем 3.1 и 3.2. Во-
первых, для непрерывных функций введем оператор кусочно-
квадратичного интерполирования : С[0,1] -> V^2\ дей-
ствующий по формуле
N N
(п12)«) (®) = 52 <х№&)+
*
1=0 1=1
Тогда имеет место
Лемма 6.1. Для и € Я2(0,1) справедливо неравенство
ЦП12)и||н.(о,1) < с ||«||я1(0,1),
где число с не зависит от параметра h и функции и.
Доказательство. На интервале arj имеет место пред-
ставление
u(xi) - 2и(а:4_1) + u(a;;-i)
-------------------------(® ~ ^_1)2 +
h]
1). (6.2)
hi
Из этого представления по формуле Лейбница следует
3.6. Кусочно-квадратичная аппроксимация
97
К1»)' w =
u'(y)dy +
После возведения этого равенства в квадрат и применения
неравенства Коши-Буняковского проинтегрируем результат
по х от Xi-i до X,, после чего просуммируем его по г от 1 до
N. Тогда
о о
Дальнейшие рассуждения полностью совпадают с соответ-
ствующими рассуждениями, приведенными при доказатель-
стве леммы 3.1. □
Аналогом теоремы 3.1 является
Теорема 6.1. Пусть и € Я3(0,1). Тогда имеют место нера-
венства
IIм ~ nl2>u||L2(o,i) < ce.ih3 1м1я3(о,1), (6-4)
IIм ~ П^и||Я1(011) < СбдЛ2 |и|н3(о,1)> (6-5)
где число сед не зависит от параметра h и функции и.
Доказательство. Пусть w(®) = и(х) - (П^и)(®). Докажем
теорему для функций класса С3[0,1]. Используя представление
(6.3), получим
98
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
W'w = 1
)) / f u>,(z)dzdy +
*
1
2
ХН *
У J u"(z)dzdy
Xi-l У
Добавим и вычтем под каждым интегралом значение второй
производной «"(£) в некоторой точке £ € [а:,-!,®,]. После
несложных вычислений приходим к равенству
w'(®) = (1 + ^-(х - [ [ f и'"(t)dtdzdy +
I \ 2 / J J J
У €
ХЧ * z s
+ ^1 - ^-(х - / / / ttW(O^^vk
Применим стандартную технику - возводим это равенство в
квадрат, используем неравенство (а + Ъ}2 < 2(а2 + 62), после-
довательно, три раза применяем неравенство Коши-Буняков-
ского и, наконец, интегрируем по х от zt-i до В результате
получим
У (w'^))2 dx < ce.ihj У (и"'(а:))2 dx.
я»-1 Xi-l
(6.6)
Далее, в соответствии с выражением (6.2) = 0 и
аналогично теореме 3.1 получим неравенство
Xi Xi
У (w(a:))2 dx < h] (w^x))2 dx,
из которого согласно (6.6) следует оценка
3.6. Кусочно-квадратичная аппроксимация
99
У (w(x))2 dx < СбдЛ® У (um(x))2dx.
#1-1
(6-7)
Суммирование неравенств (6.6), (6.7) по i от 1 до N неме-
дленно приводит к оценкам (6.4), (6.5). Таким образом, для
функций из С3[0,1] теорема доказана. Пусть и - произволь-
ная функция из Я3(0,1) и v - ее кусочно-квадратичный интер-
полянт. Так как множество С3[0,1] плотно в Я3(0,1), суще-
ствует последовательность элементов ип € С'3[0,1] такая, что
||и - ип||нз(од) -> 0 при п -> оо. Далее, пусть vn - последова-
тельность кусочно-квадратичных интерполянтов функций ип.
Из леммы 6.1 следует, что
llw - уп||я1(0,1) < с Н« “ ип||н1(0,1) о.
Тогда оценка (6.4), полученная для функций ип 6 С3[0,1], дает
IIм ~ < (1 + с + СбдЛ3) ||U - Un||я3(0,1) + СбдЛ3|ц|яЗ(од).
Переход к пределу в последнем неравенстве доказывает (6.4)
для любой функции из Я3(0,1). Аналогичным образом устана-
вливается оценка (6.5). □
Теорема 6.2. Пусть и € На - решение задачи (1.4) при
р € С2[0,1], q е СЧО, 1] и f 6 Я1 (0,1), a uh € vQ - его орто-
гональная относительно энергетического скалярного произ-
ведения проекция на подпространство д. Тогда существу-
ет независящее от параметра h и функции f положительное
число св.2 такое, что имеет место неравенство
IIй - гдЛ|1^Г1(0,1) < с6.2 h,2 ||/||я1(0,1)•
Доказательство. Согласно задаче 3.1 решение задачи (1.4)
принадлежит пространству Я3(0,1) и к нему применима тео-
рема 6.1, причем оценке этой теоремы можно придать следую-
щий вид:
100
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
IIй “ П^«||н»(О,1) < С1.1С6.1 Л2||/||я 1 (од).
Далее из леммы 2.1.1 (основной) в форме (2.1.4) следует, что
11“ - «Л||н1(о,1) < с IIм “ у11я1 (од) Vv G Vh,A,
где с - отношение констант эквивалентности энергетической
нормы и нормы в Я1 (0,1). Полагая в последнем неравенстве
v = и используя оценку (6.5), приходим к утверждению
теоремы с константой св.г = лсвдс. □
3.7. Замечание о неоднородных краевых условиях
До сих пор мы рассматривали только однородные краевые
условия. Использование неоднородных условий никаких суще-
ственных изменений в МКЭ не вносит, хотя с точки зрения
теоретической соответствующее обоснование требует опреде-
ленных усилий. Для одномерных задач ситуация совершенно
прозрачная. Итак, вместо (1.2) рассмотрим условия
и(0) = до, и'(1) = <4, (7.1)
где до и д{ - некоторые заданные числа. Попытаемся опреде-
лить оператор задачи (1.1), (7.1) и начнем, как обычно, с обла-
сти его определения. По аналогии с п. 1.6 введем множество
Va = {« е С2[о, 1], и(0)=5о, “'(1) = ^}- (7.2)
Как легко заметить, множество Рд не замкнуто относитель-
но сложения и умножения на вещественное число, и значит,
линейным не является. Для того, чтобы преодолеть возник-
шую трудность, рассмотрим произвольную функцию z € Рд,
и пусть и(х) = и(х) - г(х), где u G Рд. При этом 5(0) = 0 и
5'(1) = 0, и, следовательно, 5 является элементом линейного
множества
3.7. Замечание о неоднородных краевых условиях 101
VA = {й G С2[0,1], й(0) = 0, й'(1) = о}. (7.3)
Перепишем уравнение (1.1) относительно и:
- (р(ж)д')' + q(x)u = /(ж), 0 < х < 1, (7.4)
где
/(ж) = /(ж) + (р(ж)ж'(ж))' - ?(ж)г(ж). (7.5)
Таким образом мы пришли к “стандартной” ситуации - требу-
ется решить задачу с однородными краевыми условиями, и по-
иск обобщенного решения сводится к задаче (1.4): найти функ-
цию й G НА такую, что
a(u, v) = (/, v) Vv G HA, (7.6)
где На - пополнение по энергетической норме множества Рд.
Теперь с использованием выражения (7.5) вернемся в равен-
стве (7.6) к исходной функции и(ж) = й(ж) + z(x). С учетом
того, что и(0) = 0, а ж'(1) = д{, осуществим интегрирование по
частям. В результате получим
а(и, и) = (/, v) + jfip(l)v(l) Vv G HA, (7.7)
где и G Я1 (0,1) и u(0) = до. Это и есть задача о нахожде-
нии обобщенного решения с неоднородными краевыми усло-
виями. Ее однозначная разрешимость следует из однозначной
разрешимости задачи (7.6). При этом, хотя и и £ Яд, усло-
вие и(0) = до является главным, поскольку таковым является
условие й(0) — 0. Наличие величины v(l) в правой части впол-
не корректно в силу непрерывности функции v G Яд по теоре-
ме вложения. Интересно отметить, что данная постановка не
зависит от выбора функции z G Рд. Важен лишь вопрос ее су-
ществования. Для одномерных задач такая функция находится
чрезвычайно просто - например, линейная функция до + д[х. В
102
Глава 3. МКЭ в одномерном случае
случае задаче Неймана «'(0) = д'о, и'(1) = д{ линейную функ-
цию использовать нельзя, но легко находится квадратичная:
г(®) = д'ох + — д'о)х2. Для вырожденной задачи Неймана
соответствующий анализ также не приводит к особым труд-
ностям (задача 3.6).
Использование МКЭ в случае неоднородных краевых усло-
вий (7.1) осуществляется очевидным образом: ищется сеточная
функция uh G Vh в виде
я
«Л(®) = до<ро(х) + w(®),
i=l
и удовлетворяющая интегральному тождеству
a(uh, и) = (/, v) + 5jp(l)v(l) Vv 6
Весь проведенный в предыдущих пунктах анализ погрешности
имеет место и здесь. Достаточно лишь отметить, что функции
и — Щи и и — uh являются элементами пространства Ул,д.
Задачи к главе 3
3.1. Доказать, что при р € С2[0,1], q Е С1!)), 1] и / Е Hl(0,1)
задача (1.1), (1.2) имеет классическое решение и Е Я3(0,1),
причем
И«Ня3(0Д) < CL1 11/11 Я‘(0,1)-
3.2. Доказать неограниченность функционала в Х2 (0,1).
3.3. Для узлового базиса найти максимальное и минимальное
собственные числа и соответствующие собственные векторы
для обобщенной спектральной задачи Л4ди = pDhV, где диаго-
нальная матрица Рд определена в (2.7).
3.4. Доказать, что система функций, составляющая иерархи-
ческий базис, в действительности является базисом, и исследо-
вать устойчивость семейства иерархических базисов.
Задачи к главе 3
103
3.5. Доказать оптимальность оценки из теоремы 4.1.
Указание: воспользоваться примером из п. 3.4.
3.6. Привести проекционную постановку вырожденной зада-
чи Неймана с неоднородными краевыми условиями. Указать
условия ее однозначной разрешимости.
3.7. Используя кусочно-линейный узловой базис, построить
систему сеточных уравнений для задачи
— (е~хи')'+ хи — х2, 0 < х < 1, и'(0) = и(1) = 0.
3.8. Используя кусочно-квадратичный базис, построить систе-
му сеточных уравнений для задачи
-и" = 1, 0 < х < 1, u(0) = и(1) = 0.
3.9. Используя кусочно-линейный узловой базис, построить
систему сеточных уравнений для задачи
= 0, 0 < х < 1, и'(°) = go, и(1) = gi.
Глава 4
Основные понятия МКЭ
В данной главе рассматриваются “геометрические” вопросы МКЭ в мно-
гомерном случае. Результатом этого рассмотрения явится определение
лагранжевых конечных элементов и введение конечноэлементных про-
странств. В последнем пункте будут рассмотрены различные нормиров-
ки конечноэлементного пространства, и, как следствие, решен вопрос об
устойчивости семейства базисов.
4.1. Симплициальное разбиение
Начиная с этого пункта, через ж*, к = 1,..., т, будут обозна-
чаться компоненты представляемой как вектор-столбец точки
ж = («j,..., хт)' в Rm, точка с номером - через ж,, а ее ком-
поненты - Xkti. В предыдущей главе конечномерные простран-
ства конструировались из функций, линейных на замкнутом
интервале. При этом линейная функция воспроизводилась по
значениям в двух точках (концах интервала). В многомерном
случае линейная функция определяется т+1 коэффициентами,
и для их задания нужны значения функции в m +1 точке. То-
гда коэффициенты линейной функции, принимающие значение
некоторой непрерывной функции и(ж) в заданном наборе точек
о>е = (ниже будет ясен смысл индекса е), определяются
из системы уравнений
ao + <h®i,» + --- + am®m). = «(®.), г=1,...,т+1. (1.1)
Квадратная матрица размерности т + 1 этой системы имеет
вид
( 1 «1,1 * * * *^т,1
хе = 1 ®1,2 • * * ^т,2 , (1-2)
\ 1 " %т,т+1 /
4-1. Симплициальное разбиение
105
и для однозначной разрешимости (1.1) необходимо и достаточ-
но, чтобы det Хе ф 0. В случае т = 2, когда заданы три точки,
величина
S=||detXe|
является площадью треугольника с вершинами ®i, и ®з, и
условие S / 0 означает, что треугольник не вырождается в
отрезок. Таким образом, роль интервала в одномерном случае
в двумерном играет треугольник, а в m-мерном - т-симплекс
или просто симплекс, если ясно, о какой размерности идет
речь.
Определение 1.1. Минимальное выпуклое множество, содер-
жащее т + 1 различных точек ше = будем называть
пг-симплексом е.
Точки ше в дальнейшем будем называть вершинами симплекса.
Можно дать другое определение, в котором симплекс е задан
параметрически (параметрами &,& , • • •>6п+1):
Определение 1.2. Соответствующее набору различных вер-
шин ше = множество
е = ( X eRm |х = 6 >0, £6 = 1 (1.3)
I 1=1 1=1 1
будем называть т-симплексом.
Из (1.3) следует, что для любого номера j и для любого х € е
имеет место представление
ш+1 *д+1
® + 52 (®«- &• > о, 52 & < i. (1-4)
1=1 t=l
106
Глава 4- Основные понятия МКЭ
В соответствии с данными определениями 2-симплекс - это
треугольник, а 3-симплекс - тетраэдр. При этом симплекс -
замкнутое множество, и через е будем обозначать множество
е \ де - “внутренность” множества е. При этом, если еф 0, то
будем говорить, что симплекс е невырожденный.
Лемма 1.1. Для того чтобы т-симплекс е был невырожден-
ным, необходимо и достаточно, чтобы det Хе 0.
Доказательство. Сначала установим достаточность, т.е.
полагая det Хе / 0, покажем, что 0. Пусть это не так. Тогда
согласно (1.3) найдется номер j такой, что либо = 1, либо
= 0. Пусть для определенности j = m + 1. В случае Cm+i = 1
из (1.3) следует, что
{т т
X е R |ж = Н" ®>п+1, > 0) ~ о * >
t=l i=l .
откуда £1 = • • • = 6п = 0. Это означает, что симплекс е состоит
из одной точки хт+1, или, иначе говоря, все точки множества
ше совпадают, что противоречит определению симплекса. В
случае £т+1 = 0
е = х е Rm
(1-5)
Так как xm+i 6 е, согласно (1.5) найдутся числа гц > 0 такие,
что
т т
= 1» ~ %т+1' (1-6)
t=l i=l
Пусть »?ni+i = —1 и - вектор размерности т +1 с компонен-
тами тц. Тогда в соответствии с (1.2) равенства (1.6) означа-
ют, что Х'ет} = 0, где Х'е - транспонированная к Хе матрица.
И так как среди компонент вектора rj есть отличные от нуля
4-1. Симплициалъное разбиение
107
(в частности, f]m+i = -1), последнее равенство означает, что
detX' = 0, а следовательно, и detXe — 0. Полученное проти-
воречие доказывает, что е^ ф.
Теперь докажем обратное утверждение: из условия е / 0
следует, что detXe / 0. Пусть detXe = 0. Тогда согласно (1.2)
существуют не равные одновременно нулю числа а, такие, что
®i«i -|---Для определенности положим am+i 0,
и последнее равенство принимает вид
1
®пг+1
•^m+l —
т
22 ж, а,.
i=i
Подставляя это выражение в (1-3), получим, что любая точка
симплекса е представима в виде х = х^ 4--\-хтг]т. Это озна-
чает, что симплекс е целиком содержится в некоторой гипер-
плоскости. При этом хорошо известно, что любой открытый
шар в Rm с центром на гиперплоскости содержит точки, ей не
принадлежащие. В том числе это касается и любой точки из е,
и, следовательно, е= 0. Полученное противоречие показывает,
что det Хе 0. □
В дальнейшем нам понадобится понятие грани симплекса.
Определение 1.3. При всяком целом 0 < г < т-1 множество
будем называть г-гранью m-симплекса е, если оно является
r-симплексом с вершинами С we.
При этом 0-грань является просто вершиной^ а 1-грань будем
называть ребром симплекса.
Начиная с этого момента, в качестве области Q будет рас-
сматриваться ограниченный, открытый, связный многогран-
ник в (многоугольник при т = 2) с границей Г. Далее,
пусть задан набор m-симплексов Т, удовлетворяющий следу-
ющим условиям:
108
Глава Основные понятия МКЭ
а) все симплексы из Т не вырождены;
Й) Q =
в) Cj А в2= 0Vei, в2 Е 7";
г) Vei G Т любая его r-грань е^ либо является г-гранью
некоторого другого т-симплекса е2 G 7”, либо е^СГ.
Множество 7", удовлетворяющее условиям а)-г) будем на-
зывать симплициальным разбиением области Q. В случае т—2
множество Т также будем называть триангуляцией. Иногда
симплициальное разбиение вводится без условия г), которое
при этом называется условием согласованного симплициаль-
ного разбиения и оговаривается отдельно. На рис. 1.1 приве-
дены фрагменты согласованной и несогласованной триангуля-
ций. В дальнейшем будут рассматриваться только согласован-
ные разбиения (предполагается, что условие г) выполнено).
Рис. 1.1
Тот факт, что Q - многогранник, является необходимым
условием существования симплициального разбиения.
Теперь введем понятие семейства симплициальных разбие-
ний Th- Пусть Т^1’ - некоторое исходное симплициальное раз-
биение области Q. Через В обозначим замкнутый шар в Ят с
диаметром бв в смысле некоторой, заданной в Rm, нормы.
Введем обозначения:
Ае — sup de, he = inf 4в,
ВСе в^>е
(1-7)
4Л. Симплициальное разбиение
109
и пусть
М1) = max he.
ееТЫ
С учетом последнего обозначения будем писать 7^(1) = Т<1).
Построим последовательность разбиений 7д(*> = такую,
что h№ -» 0 при к —> оо. Сделать это можно, например, сле-
дующим способом. В случае тп = 2 введем новые три точки,
делящие стороны треугольника из пополам. Соединив эти
точки отрезками прямых, получим четыре новых треугольни-
ка (рис. 1.2).
Как легко видеть, множество таких треугольников поро-
ждает триангуляцию Т^р), где h№ = М1)/2. В случае тп = 3 по-
строения несколько более сложные. Аналогично случаю тп = 2,
введем новые четыре точки, делящие ребра тетраэдра попо-
лам. Далее, на каждой грани соединим эти точки отрезками
прямых. В результате тетраэдр будет разбит на четыре те-
траэдра, у каждого из которых одна из вершин совпадает с
вершиной исходного тетраэдра, и на тело, изображенное на
рис. 1.2 справа. После соединения в этом теле противополож-
ных вершин отрезком прямой (пунктирная линия на рис. 1.2),
нетрудно заметить, что оно разбивается на четыре тетраэдра
без появления дополнительных вершин. Таким образом, исход-
ный тетраэдр оказался разбит на 8 новых тетраэдров, а каждая
110
Глава 4- Основные понятия МКЭ
его грань на четыре подобных треугольника. Последнее обес-
печивает условие согласования г), и, следовательно, множе-
ство всех таких тетраэдров, построенных по множеству 77о>,
порождает симплициальное разбиение 7^(2), где Л2 = h^>/2.
Применяя построенный алгоритм к 7^(2) и т.д., получим по-
следовательность симплициальных разбиений 77(*> = где
Mfc) = 2-W->0.
Итак, построена последовательность -> 0 при к —> оо.
Выбирая из нее произвольную подпоследовательность, или на-
оборот, повторяя члены последовательности произвольное чи-
сло раз, мы можем получить последовательность с произволь-
ной скоростью стремления к нулю. Тем самым задано семей-
ство симплициальных разбиений 7л, определяемое аппрокси-
мирующим нуль параметром
h = max/ie.
e€Th
В дальнейшем чрезвычайно важную роль будет играть поня-
тие регулярного семейства.
Определение 1.4. Семейство симплициальных разбиений об-
ласти Q называется регулярным, если существует не завися-
щее от параметра h число а > 1 такое, что при любом фикси-
рованном h имеет место неравенство
he < V he VetTh-
И наконец, введем многомерный аналог понятия квазиравно-
мерности, рассмотренного нами в п. 3.2.
Определение 1.5. Семейство симплициальных разбиений об-
ласти Q удовлетворяет условию квазиравномерности, если су-
ществует не зависящее от параметра h число и > 1 такое, что
при любом фиксированном h имеет место неравенство
4.1. Симплициальное разбиение
111
h< и he Ve eTh-
Пусть все различные вершины всех симплексов, составляю-
щих разбиение Th области Q некоторым образом упорядочены
и составляют множество сеточных узлов • Далее,
пусть К(х{) - число всех симплексов из 7л, содержащих узел
х,. Справедлива следующая
Лемма 1.2. Пусть семейство симплициальных разбиений
области О, удовлетворяет условиям регулярности и квази-
равномерности. Тогда существует не зависящее от параме-
тра h число Ко(а, и) такое, что для любого i = 1,..., N име-
ет место неравенство К(х$ < Kq{o,v).
Доказательство. Пусть e,tjt € Th, k = 1,..., K(xi).
Далее, пусть h^k - соответствующие максимальные диаметры
вписанных шаров. Из условий регулярности и квазиравномер-
ности следует, что h < ov hik. Возведем это неравенство в
степень т и просуммируем по к от 1 до К (ж,). В результате
получим
^(®*) (аи\т
K{xi)hm < (pV)m £ К"к < U2- £ mes(e,.fc), (1.8)
k=i рт к=1
где рт - объем шара с диаметром равным единице. Далее,
пусть - замкнутый шар в ВТ1 с центром в точке ж, и
радиусом, равным h. Тогда
K(xi)
^i,k С
fc=l
откуда следует, что
— У2 mes(etifc) < —mes (Bh(xi)) =
Pm Pm
112
Глава 4- Основные понятия МКЭ
Домножая это неравенство на {ои)т и подставляя в (1.8),
получим, что К(х,) < (2<7i/)’n = Ко(<г, if). Лемма доказана. □
4.2. Канонический симплекс и аффинная
эквивалентность
В этом пункте будет дано обоснование одному техническому
приему, на котором основаны доказательства ряда важных
утверждений теории МКЭ в многомерном случае. В центре
этого приема лежат понятия канонического m-симплекса и
аффинной эквивалентности множеств.
Введем векторы-столбцы
Vi = (0,...,0,1,0,...,0)' при i = l,...,m, yro+i = 0. (2.1)
Определение 2.1. m-симплекс вида
{ТП+1 771-1-1 Ч
f е гЬ £ С» >о, Е 6 = 11 (2.2)
i=l i=l )
будем называть каноническим.
Как легко видеть, из (2.2) следует другая запись канонического
симплекса через координаты вектора у = (yi,..., ут)':
{771
У € В”1] У* > о, ^yi < 1 ►.
i=l
Аналогами величин и /ге, заданными формулами (1.7), для
канонического симплекса во являются
р— sup </g, />= inf </в. (2.3)
“ ВСео ВЭео
Для дальнейшего важно, что эти величины не зависят от h.
На рис. 2.1 представлены канонические 2 и 3-симплексы.
4-2. Канонический симплекс и аффинная эквивалентность 113
т = 2
Рис. 2.1
Теперь введем понятие аффинной
эквивалентности мно-
жеств.
Определение 2.2. Два замкнутых множества Qi С Д’” и
62 С аффинно эквивалентны, если существует линейное
отображение F : Rm -> Rm вида х = F(y) — Gy 4- b такое, что
det G ф 0, х € §2 Vy € & и у € <7i V® € 62-
Последние два условия в определении 2Хв дальнейшем будем
обозначать как <72 — F((7i).
Теорема 2.1 (об аффинной эквивалентности). Пусть зада-
но семейство симплициальных разбиений Th- Тогда всякий
т-симплекс е Е Th аффинно эквивалентен каноническому
т-симплексу ец, т. е. существует отображение Fe(y) —
Gey+bf. такое, что detGe / 0 и е = Fe(eo)- При этом имеют
место неравенства
IIG.II <
IIG.-II <
(2.4)
114
Глава 4- Основные понятия МКЭ
где величины р и р заданы равенствами (2.3), а норма ма-
трицы подчинена норме вектора, в которой эти величины
вычислены.
Доказательство. Пусть - вершины симплекса е.
Матрицу Ge и вектор Ье определим из условий
Xj — GePi 4“ b€, i — 1,..., т 4-1.
Из (2.1) немедленно следует, что be = xm+i. Матрицу Ge
представим в виде Ge = (<h •••<?»«)• Тогда в соответствии с
(2.1) Tji = Xi т.е.
(#1,1 #1,тп4-1
....................
#171,1 — #171,7714-1
х1,т #1,т4-1
#i7i,m4-l
(2-5)
Покажем, что det(7e / 0. Рассмотрим две вспомогательные
квадратные матрицы размерности т 4-1:
0
®1,1 ®1,т+1
0 1 \
®т,т ®т,т+1 /
/0-00
Q — Ет+1 4-
0-00’
\ 1 ••• 1 о /
где Em^.i - единичная матрица размерности т+ 1. Как легко
видеть, | det Ge| = |detGe| и detQ = 1. Простые вычисления
показывают, что GeQ = X', где Х'е - транспонированная к Хе
матрица (см. (1.2)). Но тогда | det GJ = | det Х'| = | det Хе|-
По условию а) симплициального разбиения и по лемме 1.1
det Хе / 0, и, следовательно, | det Ge| / 0.
4-2. Канонический симплекс и аффинная эквивалентность 115
Теперь установим равенство е = F(eo). Пусть у € ео-
Согласно определению 2.1 найдется набор чисел &,..., fm+i
таких, что С; > 0,6 + • ‘ -+6n+i = 1 и у = уг6 + • • •4-ym+iCm+i •
Тогда
ТП4-1 7714-1 тп4-1
X = F(y) = Ge £ у& + be = £ (GeVi + Ье) С. = £ Х&,
1=1 1=1 1=1
и согласно определению 1.2 х G е. Пусть теперь х - произволь-
ная точка из е. Тогда из (1.3) следует, что
(тп4“1 \ 7714“ 1 7714-1
Е -5. = Е - b.)t< = £
i=l / i=l i=l
В соответствии с определением 2.1 это и означает, что у € ео-
Таким образом, равенство е = F(eo) доказано.
Перейдем к получению оценок для норм матриц Ge и G^1*
Так как все нормы в конечномерных пространствах эквива-
лентны с константами эквивалентности, зависящими только
от размерности пространства (в нашем случае от тп), то без
ущерба для общности будем оценивать норму матриц, согла-
сованную с нормой вектора, в которой определены вписанный
и описанный около симплекса шары и их диаметры в обозна-
чениях (1.7). Как известно,
||Ge|| = - sup ||Gey||. (2.6)
£ 11Я1=£
При этом для любого у такого, что ||у|| = £, найдутся у', у^Ево,
что у = у* — у?'. Тогда
Gey = Getf - у") = Fe(y') - Fe(y") = ~
Но по доказанному выше х1, х" G е, и из (2.6) следует, что
116
Глава Основные понятия МКЭ
ЦСе|| < 1
sup Цж7 - ж"||
Ле
£*
и первое из неравенств (2.4) доказано. Далее,
||С.-1|| = Г sup I|G.-’S||. (2.7)
Де 11x11=^
Условие ||ж|| = к* означает, что найдутся ж', ж" € е такие, что
х = х' — х". Тогда
G^x = G;1 (ж7 - ж") = F-1 (ж7) - Fe-1 (ж") = у1 - Г,
причем по доказанному ранее у', € во- Согласно (2.7)
iig;‘ii<^ sup inf-л <
lie у',у"Ее0 lie
что доказывает второе из неравенств (2.4). □
Замечание. Первое из неравенств (2.4) немедленно дает
IIG.II < */£-
Если для семейства симплициальных разбиений выполнены
условия регулярности и квазиравномерности, то второе нера-
венство из (2.4) приводит к оценке
IIG.-4I < Л’1.
В дальнейшем данная теорема позволит проводить анализ
МКЭ в не зависящем от h каноническом симплексе. Это озна-
чает, что-все константы из используемых теорем (например,
теоремы вложения) не будут зависеть от Л. В этом и состоит
суть приема доказательств ряда основных утверждений при
теоретическом обосновании метода.
4.3. Конечные элементы
117
4.3. Конечные элементы
В этом пункте мы определим, а что же собственно такое
конечный элемент. Пусть г - замыкание некоторой области
в Rm и - некоторое n-мерное пространство полиномов
степени I, определенных в т. При этом речь может идти не о
всех полиномах, а о неполных полиномах. Поясним сказанное
на примере. Пусть тп = 2 и I = 2. Тогда произвольный полином
степени 2 имеет вид
p(xi, х2) = «о + aiXi 4- а2®2 + «з®? + а4®1®2 + a5xl,
и множество таких полиномов образует шестимерное (по числу
коэффициентов) пространство. Задав некоторые коэффициен-
ты нулями, мы снова получим линейное множество, являюще-
еся замкнутым подпространством пространства всех полино-
мов. Так, например, полиномы вида
р(®1, ®2) = оо + ei®i + а2®2
образуют трехмерное пространство неполных полиномов. Да-
лее, в пространстве Рп> зададим конечный набор линейных
функционалов Qn — таких, что для любых веществен-
ных чисел «1,.. .,ап существует единственный полином р(х),
удовлетворяющий системе равенств
Z,(p) = O!„ » = 1,...,п. (3.1)
Лемма 3.1. Условие (3.1) эквивалентно существованию на-
бора линейно независимых полиномов р,(х) € Рп \ г = 1,..., п,
таких, что
li(pj) = г, j = 1,..., п, (3.2)
где Sij - символ Кронекера.
Доказательство. Пусть otj = 1, о» = 0 при 1 < г < n, i / J -
В соответствии с условием (3.1) для каждого j существует
118
Глава 4- Основные понятия МКЭ
единственный полином pj(x) такой, что U{pj) = &ij при любых
г = 1,..., п. Такие полиномы образуют линейно независимую
систему. Действительно, пусть
Р(®) = S &зРз = 0.
j=i
В силу линейности функционалов Ц для любого i = 1,..., п
имеет место 1,(р) = 0. С другой стороны,
'<(₽) = ЕМ(?,) = й,
i=i
и, следовательно, Д = 0, i = 1,..., п. Таким образом, показано,
что из (3.1) следует (3.2). И обратно: пусть ., ап - произ- *
вольные вещественные числа, которыми однозначно задается
полином *
ИХ) = ЕХм*)-
3=1
Тогда в соответствии с (3.2)
h(p) = &3?i(Pj) ~ aii » = 1, . . ., П,
3=1
т.е. получено условие (3.1). □
Из этой леммы немедленно следует представление любого по-
линома из Рп>:
п
Р&) = &&)&(*)• (3.3)
«=1
Итак, задано три объекта: замкнутая область т, простран-
ство заданных в г, вообще говоря, неполных полиномов
4*3. Конечные
элементы
119
и набор заданных в функционалов Qn, удовлетворяющих
условию (3.1). Эти объекты и определяют конечный элемент.
Определение 3.1. Конечным элементом степени I называет-
ся тройка
(г, рЦ\ а.).
Как правило, в качестве множества функционалов Qn задается
набор значений функций и их производных в некоторых точ-
ках из г. Если в Qn имеются функционалы, определяемые как
значения производных, то соответствующий конечный элемент
называют эрмитовым. В противном случае (все функциона-
лы - это значения самих функций в заданном наборе точек) -
лагранжевым. Мы будем рассматривать только лагранжевые
конечные элементы, причем в качестве множества т будут ис-
пользоваться m-симплексы е с набором вершин о>й =
Отметим, что набор точек, задающий множество Qn, совер-
шенно не обязан совпадать с ше. Более того, количество та-
ких точек определяется размерностью пространства полино-
мов. Так, например, в случае т = 2 при использовании пол-
ных полиномов второй степени размерность пространства есть
п = 6, в то время как количество вершин составляет тл+1 = 3.
В дальнейшем мы будем рассматривать пространство всех ли-
нейных функций P^+it когда размерность пространства со-
впадает с количеством вершин m-симплекса е. И даже в этом
случае точки, задающие функционалы, могут не совпадать с
вершинами симплекса. Тогда говорят о неконформных конеч-
ных элементах. В случае, когда система функционалов опреде-
ляется как значения в вершинах симплекса, мы имеем дело с
конформными элементами. Мы будем изучать только лагран-
жевые конформные конечные элементы первой степени. Кон-
кретизируем определение 3.1 для таких конечных элементов.
В рассматриваемом случае множество Qn задается функцио-
налами li(p) = р(®?), xf € <л>е, т.е. полностью определяется
120
Глава 4- Основные понятия МКЭ
множеством вершин сие, которое, в свою очередь, однозначно
определяется заданием симплекса е. Тогда можно дать следу-
ющее
Определение 3.2. Лагранжевым конформным конечным эле-
ментом первой степени на m-симплексе е назовем пару
(е, 441)-
Отметим, что в соответствии с леммой 1.1 выполнение условия
(3.1) для таких элементов - это просто невырожденность сим-
плекса е. При этом из леммы 3.1 следует существование систе-
мы линейно независимых линейных функций Фе = {<р‘
таких, что
= i,J = l,...,7n+l. (3.4).
Отметим, что согласно (3.3) любая линейная функция на е
представима в виде
ТП-f-l
1=1
Множество Фе будем называть локальным базисом симплекса.
Сконструируем конечноэлементное пространство Vh. Рас-
смотрим симплициальное разбиение Th области ft. Далее, про-
должим нулем на все Q элементы локальных базисов Фе всех
симплексов разбиения 7д:
..."+1- м
I О, X £ е,
В отличие от ф£(х) функции у>£(ж) определены всюду в ft.
Пусть u>h = {®i,... - некоторым образом упорядоченное
множество всех различных вершин всех m-симплексов е, со-
ставляющих разбиение Th. Такую нумерацию будем называть
4.3. Конечные элементы
121
глобальной. При этом we С и любому е € Th соответствует
набор номеров глобальной нумерации 1е = 1 < ik < N
таких, что xik — х^. Тогда ше = в соответствии с гло-
бальной нумерацией переобозначим продолженные нулем эле-
менты локального базиса Фе. Для каждого симплекса из Th вве-
дем определенные всюду в Q функции
{S?(®), i = h € /е,
i = 1, • • •, N. (3.6)
Отметим, что эти функции определены для индексов i =
1,..., N. Далее, рассмотрим подмножество всех симплексов из
Th, содержащих точку х G Q:
7л(ж) = {е G Th | х е е},
и пусть К (®) - количество этих симплексов (число элементов
в множестве Th(x)). На основе локального базиса симплекса
введем в Q функции
<pi(x) =
г = 1,
.,N.
(3-7)
Отметим, что согласно условию б) симплициального разбие-
ния всегда найдется симплекс е Е Th такой, что ? Е е, и, сле-
довательно, функции <pi (ж) определены всюду в О.
Теорема 3.1. Для фиксированного симплициального_разбие-
ния Th функции <Pi(x), г = непрерывны в Q и име-
ют суммируемые в квадрате первые обобщенные производ-
ные. При этом имеет место равенство
<Pi(xj) = Sij, i,j = 1,..., N. (3.8)
Доказательство. Зафиксируем некоторую точку хо € П. Как
нетрудно видеть, для доказательства непрерывности функции
<р,(®) в точке xq достаточно показать, что для любого симплек-
са е € 7fe(«o) выполняется равенство
122
Глава 4- Основные понятия МКЭ
4>i(xo) = <Pe,i(Xo)-
(3.9)
Во-первых, если i Ц ни для одного из симплексов множества
7л(®о)> то из (3.6) следует, что <pe,i(xo) = 0. Тогда согласно
(3.7) 9>t(xb) = 0 и (3.9) выполнено (рис. 3.1, а), на котором вы-
делено множество 7д(®о)). В частности, это означает справед-
ливость (3.8) для любой точки Xj такой, что г £ 1е, где е -
симплекс, содержащий эту точку. При этом достаточно поло-
жить ®о = Xj.
•</., К(«о)=1
i€/«. К(?о)=1
Рис. 3.1
Пусть найдется m-симплекс е€7л(®о) такой, что iGle.
Когда К(хо) = 1, т.е. множество 7^(®о) состоит только из
одного симплекса (либо ®о либо xq € ГП е С”1-1)), равен-
ство (3.9) очевидно (рис. 3.1,6). Случай K(xq) > 1 означа-
ет, что точка Хо принадлежит некоторой г-грани, общей для
всех m-симплексов из 7А(®о) (см- рис. 3.1, в). Существование
такой грани следует из определения множества 7д(хо). При
этом согласно определению 1.3 данная r-грань е(г) является
r-симплексом, и пусть k = 1,..., г + 1, - его вершины. То-
гда по определению 1.2 найдутся числа &>0, fc = l,...,r + l,
такие, что
г+1 г+1
= 1> х0 — xik€k‘
к-1 fc=l
4.3. Конечные элементы
123
На любом m-симплексе, а значит,и на любой r-грани функции
9?e,i(®) линейные. Следовательно,
г+1
^е,«(®о) = (3.10)
к=1
Заметим, что так как грань общая для всех тп-симплексов
из 7д(®о)> в частности, она является r-гранью и для суще-
ствующего по предположению тп-симплекса с вершиной То-
гда все вершины грани е(г) принадлежат этому пг-симплексу,
и, следовательно, согласно (3.4)-(3.6) равенство (3.10) перепи-
шется в виде
г+1
^е,«(®о) — 5 Ve € 7д(®о).
к=1
Правая часть этого равенства не зависит от е. Тогда согласно
(3.7) для любого симплекса е € Th(®о) имеет место
1 (r+l \ r+1
<£t(®o) = ч У. ( 53 ) = 52 = ^е,»(®о)>
1 °' eETh(x0) \к=1 / fc=l
и равенство (3.9) доказано. Далее, полагая «о = получим,
что При этом используем симплекс, содержа-
щий вершину Х{. Тогда из (3.4)—(3.6) следует (3.7).
Покажем существование суммируемых в квадрате первых
обобщенных производных функции у?,-. Пусть <р - непрерывно
дифференцируемая функция с компактным в Q носителем.
Так как согласно (3.7) в любом m-симплексе е функции <pi
дифференцируемы, используя формулу Грина, можно записать
[ ^<1х} , (3.11)
е дхк /
124
Глава 4- Основные понятия МКЭ
где п(ж), хк - орты внешней нормали к де и А:-й координатной
оси. Рассмотрим некоторый тп-симплекс ej 6 7д и его границу
де^, представляющую собой объединение т— 1-граней. Рассмо-
трим одну из граней Ci"1-1). По условию г) либо С Г,
либо С де2, где е2 - некоторый другой сим-
плекс из Тн- В первом случае ^?(х) = 0 при х € в силу
компактности в Q носителя этой функции. Во втором - в си-
лу доказанной выше непрерывности функции <pi(x), и так как
п2(®) = — П1(т) при х € Ci"1-1) = на этих гранях имеет
место
(pi<p cos(ni, Ж*) + cos(n2, Ж*) = 0.
Тем самым показано, что
У2 / ^cos(n,^)ds = 0,
e€Th Jde
и равенство (3.11) принимает вид
f = - 52 [ (3-12)
JO OXk е£7ье
Ввиду следующей из (3.7) линейности на каждом е € Th
функции (pi определена кусочно-постоянная функция
. d(pi , . _ _.
= ^(®), Х е е> e^Th-
При этом равенство (3.12) принимает вид
г _________________________ f
/ (fi—dx = - / ^ikpdx,
Jtl OXk Jfl
и в соответствии с (1.5.2) i/>itk является обобщенной к-й частной
производной функции <pi- И наконец, будучи кусочно-постоян-
ной функцией, она суммируема в квадрате. Теорема полностью
доказана. □
4-3. Конечные элементы
125
Таким образом, мы построили систему непрерывных в Q функ-
ций i = 1,..., N, линейных на каждом симплексе е 6 Th и
удовлетворяющих условию (3.8). Примеры таких функций при
т = 2, включая функции, соответствующие граничным узлам
области, изрбражены на рис. 3.2.
Рис. 3.2
Приведем некоторые свойства этих функций.
Лемма 3.2. Система функций <р,(х)> i = 1,...,2V, линейно
независима и для любых х € О имеет место
N
0<у>,(®)<1, = (3.13)
:=1
Доказательство. Линейная независимость немедленно сле-
дует из равенства (3.8) теоремы 3.1, если
N
и(®) = 52 w(®) = о,
1=1
то
о = v(xj) = J = 1, • • •»N-
1=1
126
Глава 4- Основные понятия МКЭ •
Далее, пусть х Е е, и cue = “ вершины этого симплекса,
»I. = {;*}£.?•
По определению 1.2 и из линейности в е следует
существование чисел & > О, fc = l,...,m + l, таких, что
т+1 m-t-1
22 Ск = 1» ¥?*(аг) = 22 ^Р»'(®«*)&-
fc=l k=l
Тогда по теореме 3.1
то+1 Ei
Ч>&) = L Sii& = л’
к=1 и’
i — ii Е Ze,
t^Ze.
Из полученного равенства следует, что 0 < <Pi(x) < 1. И кроме
того,
N т+1
12 w(®) = 22 + 22 = 22 & = L
«=1 «€/е «0Д 1=1
Тем самым установлены свойства (3.13).
□
Данная лемма позволяет, используя в качестве семейства по
параметру h базисов ввести однопараметрическое се-
мейство пространств непрерывных кусочно-линейных функ-
ций размерности N = O(h~m):
Vh = span^,^)}^!.
При этом по теореме 3.1
Vh С Ях(й),
а из свойства (3.8) этой же теоремы следует, что любая функ-
ция v G Vh представима в виде
4 4- Эквивалентные нормы сеточных функций
127
N
и(®) = 52 ’>(*«)¥’«(*)• (3.14)
«=1
Как и в одномерном случае, такие функции будем называть се-
точными, а введенный базис, для которого справедливо пред-
ставление (3.14), - узловым.
4.4. Эквивалентные нормы сеточных функций
Как хорошо известно, все нормы в конечномерном простран-
стве эквивалентны. Однако при этом константы эквивалент-
ности могут зависеть от размерности пространства. В случае,
когда такая зависимость отсутствует, будем говорить, что нор-
мы равномерно эквивалентны. Для конечноэлементного про-
странства Vh равномерная эквивалентность означает независи-
мость констант эквивалентности от аппроксимирующего нуль
параметра h. В данном пункте мы, в частности, рассмотрим
некоторые нормы для сеточных функций, равномерно эквива-
лентные Ьг-норме. Как следствие такого рассмотрения, будут
установлены результаты об устойчивости и -устойчивости
семейства узловых базисов.
В дальнейшем нам понадобится матрица масс каноническо-
го симплекса. Пусть а>е = {ж,к - множество вершин сим-
плекса е. В соответствии с теоремой 2.1 аффинным преобразо-
ванием переведем m-симплекс е в канонический симплекс ео.
При этом локальный базис Фе = симплекса е пре-
образуется в базис канонического симплекса Фо = >
где = <Рек(веУ + Ье) = ¥>*(«), fc = 1,.. •,m + 1. Отметим,
что *Рк(%) = в €’ Тогда для любой сеточной функции
v € Vh в ео имеет место представление
7714-1
v(i/) = 52
Ь=1
где V{ = Согласно этому представлению имеем
128
Глава 4- Основные понятия МКЭ
т4-1
HGllb2(eo) = 52
*,/=!
где числа
(4.1)
mki= I <Pk<?ldy, k,l = 1,
«/ео
являются элементами матрицы масс М$ размерности т + 1
канонического симплекса во, и, что очень важно, не зависят от
симплекса е. Поскольку функции <рк(у) линейно независимы, по
теореме 1.1.3 определитель матрицы Мо отличен от нуля, и из
(4.1) следует ее положительная определенность. Это означает,
что
О < Дтт < Мтах>
где fiann н Дтах - минимальное и максимальное собственные
числа матрицы Л4о, причем они не зависят от е.
Нам понадобится
Лемма 4.1. Для любой сеточной функции w € Уд и для
любого т-симплекса е tTh имеют место неравенства
mesWg'’2(Ti)£
<х Дтах
“ тез(е0)
mes(e) и2(а;,).
•€/е
Доказательство. Пусть v € Уд - произвольная сеточная
функция. В соответствии с (4.1) имеет место
m-f-l
1К(.) = Ие‘С.|1Км = |<fetG.| Еавзд, (4.2)
к,1=1
где V} = v(zt). Правая часть в (4.2) оценивается на основании
очевидных неравенств
4-4- Эквивалентные нормы сеточных функций
129
»п+1 тп+1 ш+1
Дтт J Tn);lVikVil < Дщах
к=1 к,1=1 к=1
и того факта, что из равенства (4.2), в частности, следует (при
и (ж) = 1), что
mes(e) = | det G>| mes(e0).
Это немедленно приводит к требуемому результату. О
Доказанная лемма позволяет сделать вывод о равномерной
эквивалентности ^2-нормы сеточной функции норме
Теорема 4.1. Пусть семейство симплициальных разбиений
области П удовлетворяет условиям регулярности и квази-
равномерности. Тогда для любой сеточной функции v € Vh
имеют место неравенства
4.l|v||(i> < 1М1мп> < <4-4)
где числа и с%Л не зависят от параметра h, и функции V.
Доказательство. Воспользуемся очевидными оценками, сле-
дующими из условий регулярности и квазиравномерности
(см. определения 1.4 и 1.5):
(av)~mpmhm < mes(e) < pmhm,
где рт - объем шара с диаметром, равным единице. С учетом
этих неравенств просуммируем оценки леммы 4.1 по е € Та-
Тогда из свойств б) и в) симплициального разбиения следует,
что для любой функции v € Vh имеют место неравенства
130
Глава 4. Основные понятия МКЭ
Е ЕЕ Е v?,
евТь 1*€Хв e€?h t*€le
где Vi = v(®f),
__ PmPmin (ji Pm Ртах
(стр)”1 mes(eo) ’ mes(eo)
Используя лемму 1.2, нетрудно получить, что
N N
У. V? < У У V? < Ко(ст, р) У V?,
»=1 ебТд »€/e *—1
где Ko(a, v) — (2<ri/)m - число из леммы 1.2, ограничивающее
максимальное количество симплексов, содержащих одну и ту
же вершину. В результате, полагая
/ / PmДmin \ и /(2стр)’пртоДтах\
С4,1 \ (pV)m mes(eo)) ’ С*л \ mes(eo) / ' '
приходим к (4.4) с не зависящими от h константами.
□
Из этой теоремы немедленно следует аналог теоремы 3.2.1 об
устойчивости семейства узловых базисов.
Следствие (об устойчивости). Пусть семейство симплици-
альных разбиений области Q удовлетворяет условиям регу-
лярности и квазиравномерности. Тогда базисы семейства
пространств кусочно-линейных функций Уд образуют устой-
чивое семейство. При этом
соп<1Л1л < (2ст2р2)т condAfo,
где condAd д - матрица масс узлового базиса в Vh.
Доказательство. В соответствии с (2.3.6) для произвольной
сеточной функции v € Уд и соответствующего вектора v G £n
с компонентами v; = v(xi) имеет место представление
4 4- Эквивалентные нормы сеточных функций
131
[AffcV, v]jv = ||«||12(П). (4.6)
Тогда неравенства (4.4) с учетом формул (4.5) приводят к
требуемому результату. □
Подобно одномерному случаю (теорема 3.2.2) можно осуще-
ствить масштабирование элементов узлового базиса и, тем са-
мым, избавиться от условий регулярности и квазиравномерно-
сти. Рассмотрим этот вопрос в терминах равномерно эквива-
лентных норм. В конечноэлементном пространстве Vh рассмо-
трим норму
1
(N \ 2
^d,v2(xi)l , (4.7)
1=1 /
где
di= £ mes(e)> i = (4.8)
e€7h(x»)
Th(xi) - введенное в предыдущем пункте подмножество всех
m-симплексов, содержащих точку ж,-.
Теорема 4.2. Для произвольного симплициального разбиения
Th и для любой сеточной функции v £ Vh имеют место
неравенства
<SII ”11(2) < II»Ий(В) < 42lMI(2), (4-9)
где числа с'4 2 и с4.2 не зависят от параметра h и функции v.
Доказательство. Как нетрудно заметить,
(\ W \
mes(e) V v2(®i) I = У? I 52 mes(e) I y2(®»)- (4-10)
ieie / »=i \eeTh(xi) /
С учетом этого равенства и обозначений (4.8) суммирование
оценок леммы 4.1 по е € Th приводит к (4.9) с не зависящими
от h, о и и константами
132
Глава 4- Основные понятия МКЭ
/ ( Mmin \2 н ( Мтах \ 2
С4'2 \mes(eo)/ ’ 64,2 \mes(e0)/
(4.11)
□
Введем семейство диагональных матриц Рд порядка N с эле-
ментами di, заданными равенствами (4.8). Отметим, что од-
номерным аналогом этих равенств являются (3.2.7). Из теоре-
мы 4.2 вытекает аналог теоремы 3.2.2.
Следствие (о Рд-устойчивости). Базисы семейства прост-
ранств кусочно-линейных функций Уд образуют Vh-устой-
чивое семейство. При этом
cond Рд 2Л4дРд2 < condAlo-
Доказательство. Согласно (4.7) для произвольной сеточной
функции v € Уд и соответствующего вектора v € £n с компо-
нентами Vi = v(®,) имеет место
[Рдц, vfo = ||<2).
Тогда из неравенств (4.9) теоремы 4.2 с учетом представления
(4.6) и формул (4.11) следует указанная выше оценка. □
В заключение данного пункта рассмотрим вопрос об экви-
валентности L2 и Ях-норм сеточных функций - совершенно
бессмысленный для бесконечномерных пространств. Данный
вопрос сводится к следующему - если для любой функции из
Н1 (ft) (и, в частности, для v € Vh) имеет место тривиальное
неравенство
1Мк2(п) < Ни11н1(«)>
то с какой константой, уже только для сеточных функций,
имеет место обратное неравенство? Ответ на него дает
4-4- Эквивалентные нормы сеточных функций
133
Теорема 4.3 (обратное неравенство). Пусть семейство сим-
плициальных разбиений области Q удовлетворяет условиям
регулярности и квазиравномерности. Тогда для произвольной
функции v € Vh имеет место неравенство
Ня»(й) < С4.зЬ~1 ||«||ь2(й),
где число С4.3 не зависит от параметра h и функции v.
Доказательство. Рассмотрим произвольный симплекс е€Тд
с вершинами к = 1,..., тп + 1, и переведем его в кано-
нический симплекс. Для удобства воспользуемся векторными
обозначениями частных производных:
Тогда, как легко видеть,
(Vv)(x) = (G7‘VS)®,
откуда следует, что
Ми.(.) = IdetG.I [ ||G7‘Vv|£<® < |detG.| ||G71||2 |v|l,,(to),
Jeo
где ||. ||m - евклидова норма в Rm, соответствующая скаляр-
ному произведению [.,.]то, и ||. || согласованная с ней норма
матрицы. При этом
т+1
1^Н‘(ео) = 52 (4-12)
к,1=1
где и, = v(xi), а величины
аы - / [V&, k,l= 1,...,т+1,
Jeo
не зависят от h. Отсюда следует, что для неотрицательной
квадратичной формы (4.12) имеет место оценка
134
Глава 4- Основные понятия МКЭ
771+1
1^1я*(ео) - *^тах L Ч»
к=1
где Amax - не зависящее от h максимальное собственное число
квадратной матрицы порядка т 4- 1 с элементами а*/. Из
этого неравенства, второго из неравенств (2.4) теоремы 2.1 (об
аффинной эквивалентности) с учетом условий регулярности
и квазиравномерности и ранее уже отмеченного факта, что
mes(e) = |detGe| mes(eo), следует оценка
А л2
Мяче) < .v h~2 mes(e) 52 «W
1 - (fft/)2 mes(eo) ife
Отметим, что диаметр p здесь используется в соответствии с
евклидовой нормой вектора. Суммирование этого неравенства
по е € Th. с учетом равенства (4.10), использованного при
доказательстве теоремы 4.2, приводит к оценке
Мячй) < / h~2
1 'н W - (ffi/)2 mes(eo) 11 |Ц2Г
где норма ||v||(2) задана равенством (4.7). Применяя к послед-
ней оценке левое из неравенств (4.9) теоремы 4.2 и полагая
__ Р Атах
С4>3 mes(eo)’
приходим к утверждению теоремы.
□
Еще одно неравенство для норм сеточных функций типа
теоремы вложения будет приведено в шестой главе при иссле-
довании равномерной сходимости МКЭ (лемма 6.4.2).
Задачй к главе 4
4.1. Доказать, что все точки из определения 1.1 принадлежат
границе симплекса е.
Задачи к главе 4
135
4.2. Доказать эквивалентность определений 1.1 и 1.2.
4.3. Зная величину | detХе|, вычислить mes(e).
Указание: вычислить значение mes(eo).
4.4. Построить симплициальное разбиение единичного куба
[О, I]3, не вводя дополнительных вершин (кроме вершин куба).
4.5. Доказать, что треугольник {0<«1<1, 0<Ж2<1~
и квадрат [О, I]2 не являются аффинно эквивалентными мно-
жествами.
4.6. Доказать, что если множества Gi и (fa аффинно эквива-
лентны, то отрезок прямой /1, лежащий в (fa, переходит при
аффинном преобразовании в отрезок прямой fa лежащий в (fa
причем середина отрезка Z] переходит в середину отрезка fa
4.7. При произвольном т определить максимальную размер-
ность пространства гармонических полиномов, т. е. полиномов,
являющихся решениями уравнения Лапласа.
4.8. Для регулярного и квазиравномерного семейства симпли-
циальных разбиений доказать равномерную эквивалентность
Ях-нормы сеточных функций v € Vh норме
1
/ т \ 2
1М11Л = 1М112(п)+hm~2 L - y(^»+i))21 •
\ e€Th k=l /
Указание: использовать канонический симплекс ео.
Глава 5
Построение сеточных уравнений
Данная глава содержит некоторые элементарные приемы автоматизации
построения сеточных систем для эллиптических краевых задач, рассмо-
тренных в первой главе.
5.1. Локальные матрица жесткости и вектор
нагрузок
В вычислительной практике МКЭ используется целый ряд
различных подходов к конструированию сеточных систем. Мы
рассмотрим только один из них, основанный на явном виде
базисных функций конечноэлементного пространства Vh- В
основе наших построений лежит система метода Галеркина
вида (2.3.4) (или (2.3.5) в матричном виде). Для удобства
выпишем эту систему снова:
S ^из = (/> <*)> « = 1, • • • Л, (1-1)
j=i
где билинейная форма a(u, v) соответствует невырожденной за-
даче Неймана и задана формулой (1.6.17). Все построения бу-
дут делаться для этой задачи, поскольку в этом случае соглас-
но теореме 1.6.2 метод Галеркина применяется в пространстве
= Vh. Что касается задачи Дирихле и вырожденной зада-
чи Неймана, то на них мы остановимся отдельно. Далее, напо-
мним, что при использовании узлового базиса и,- = ил(®,), где
€ Vh - решение по методу Галеркина. Это есть следствие
того факта, что <pi(xj) = 5{j (равенство (4.3.8) теоремы 4.3.1).
Учитывая свойства б) и в) симплициального разбиения Th и
аддитивность по отношению к нему интегралов, входящих в
(1.1), перепишем (1.1) в виде
5.1. Локальные матрица жесткости и вектор нагрузок 137
N
22 52 <*•(*’•, 4>Aui = 22 (/»*’*)«> * = 1, • • •»(1-2)
7=1 е€Т/» eGT/j
где
aeCv’oV’j) =
+ ao(pi<pj j dx + У aipwjds,
/ ГПе
(f,<Pi)e = I
e
Запишем систему (1.2) в матричном виде:
(1-3)
где Ае - квадратная симметрическая матрица порядка W с
элементами ае(у>,-, <£,), которую мы будем называть матрицей
жесткости симплекса е, и fe € £n - вектор нагрузок сим-
плекса е с компонентами (/, <р;)е. Рассмотрим произвольный
симплекс е € 7л с вершинами ше = {ж<},€/е, где Ie — {tfcjfei1*
Согласно (4.3.6) = 0 при г 0 /е. Это означает, что эле-
менты матрицы Ле, у которых хотя бы один из индексов не
принадлежит множеству 1е, нулевые. Аналогично обстоит дело
с компонентами вектора нагрузок симплекса: (/, <р,)е = 0 при
i 1е. Таким образом, вся “полезная” информация о матрице
Ае и векторе /е задается локальным базисом Фе =
и множеством /е. При этом локальному базису Фе соответству-
ют квадратная симметрическая матрица Aj,00 порядка т + 1 с
элементами ае(у>£, <^f), которую мы будем называть локальной
матрицей жесткости симплекса е, и вектор £ £т+1 ~ ло-
кальный вектор нагрузок симплекса е с компонентами (/, ^)е.
Остановимся на вычислении матрицы А*,ос и вектора /е|ос,
т.е. величин ae(<f>ek,tpl') и (/,^)е. Для этого осуществим пере-
138
Глава 5. Построение сеточных уравнений
ход к каноническому симплексу во. Для коэффициентов били-
нейной формы в новых переменных будем использовать обо-
значения
= ард(х), а0(у) = а0(х), а(у) = <т(а?),
где х = Gey+be. Сначала рассмотрим симплексы, для которых
любая их (ш — 1)-грань не является частью границы Г, т. е.
ГП е (то-1) = 0. В этом случае в билинейной форме ае(<р|,^)
отсутствует интеграл по границе ГАе. Тогда после несложных
вычислений получим
d<pk дщ
дуг ду,
+ b0<pk<pi
(1-4)
где
Му) = | det Ge| 12 (УгРУ«д«и(у)) ,
p,?=i
Ыу) = |detGe| а0(у),
g'rp - элементы матрицы Ge*. При этом функции ^(у) не
зависят от симплекса е и имеют вид
«й= 1-й
к = 1,..т,
Ут, к = т+1,
а их частные производные
д<рк . . J $kh к = 1,..., т,
дуг У [ -1, к = т + 1.
С учетом этих формул равенство (1.4) принимает вид
5.1. Локальные матрица жесткости и вектор нагрузок 139
ае (<?k> ¥>f) = J (bki + ykyibo) dy, k,l=l,...,m,
eo
/тп
УкЬо(1у - J2 ae(^t> )’ Л = 1, • • •
en
m,
« / m z m \2^\
ae(^+1.^+1)= / ( £ *rs+(1-£X) tydg-
eo ''r-s=1 V r=l 7 /
Пусть симплекс e имеет одну или несколько (т — 1)-граней
на границе Г. Тогда, в дополнение к (1.4), для каждой такой
грани следует вычислить величины
Oe.rC^fc, = У °<Pktfds,
e(m_I)
fc,I = 2,.m,
и добавить их к ae(<p£, При этом предполагается, что грань
е(т-1) содержит узлы а узел xf 0 причем
этот узел может не быть внутренним по отношению к О, а
принадлежать другой грани этого же симплекса (случай ко-
нической точки). При рассмотрении другой грани симплекса
е нужно осуществить соответствующую локальную перену-
мерацию. Тогда переход к каноническому симплексу перево-
дит грань е(т-1) в грань = {у е | У1 = 0} П ео,
ds = dy% • • -dym+i и аналогично предыдущему
<»е,г(^,^) = У ykVi^ds, =
(m-l)
ео
/7П
j/fcads-52ae,r(^,^),
(m-l) 1=2
e0
k = 2,...,m,
2
crds.
140
Глава 5. Построение сеточных уравнений
Тем самым, сформированы матрицы и такие, что
=4ос-
Таким образом, вычисление элементов локальной матрицы
жесткости сводится к заданию аффинного преобразования сим-
плекса е в канонический симплекс, т. е. матрицы Ge и вектора
£>е, и определенных действий с ним. Совершенно аналогичная
ситуация имеет место при вычислении локального вектора на-
грузок:
(Л= у Vkfdy, к = 1,...,т,
ео
т
fdv-'L(f,Vk)c-
(ft V’m+lJe — J
5.2. Ассамблирование
В этом пункте мы рассмотрим вопросы, связанные с полу-
чением глобальных матрицы жесткости и вектора нагрузок.
При этом основная процедура состоит в использовании соот-
ветствия индексов вершин локальной и глобальной нумераций.
Такое соответствие можно записать при помощи прямоуголь-
ной матрицы Ре размерности N х (m + 1):
Ре = (Р1-"?т+1)>
где Pk^^N “ векторы-столбцы вида
ik
Рк~ (0,..., 0,1,0,..., 0)'.
Тогда Ае = РеА}?сР'е nfe= Pefe°c,и для глобальных матрицы
жесткости и вектора нагрузок имеет место
а = £ рел‘оср; 7 = £ р^ос- (2-1)
е€7ь ееТд
5.2. Ассемблирование
141
Эти формулы и называют ассемблированием. Отметим, что
на практике матрица А обычно не вычисляется, а вычисляется
ее действие на некоторый вектор (например, вектор невязки в
итерационном процессе) w = Av.
Наиболее распространенной реализацией формул (2.1) яв-
ляется поэлементное ассамблирование. В этом случае все сим-
плексы множества 7д некоторым (совершенно произвольным)
образом упорядочиваются, т.е. Th — К ~ общее ко-
личество симплексов в разбиении. Задание каждого симплекса
еь состоит в указании множества координат его узлов , по
которым определяются матрица Gek и вектор 5ед - информа-
ция, необходимая для вычисления матриц и вектора
и множества номеров этих узлов в глобальной нумерации 1ек,
по которому определяется матрица Рек. Тогда вычисление век-
тора w = Av и вектора нагрузок f осуществляется при помощи
процедуры, которую мы назовем
Алгоритм 1 :
к = 0, w := 0, f := 0;
цикл по к от 1 до К
= КЪ
конец цикла.
Определенным недостатком данного’ подхода является дубли-
рование информации о вершинах, поскольку одна вершина со-
держится, как правило, в нескольких симплексах.
Другой подход состоит в поузловом ассамблировании. Этот
подход бывает полезен при использовании алгоритмов с после-
довательной обработкой компонент вектора, когда нет необхо-
димости хранить вектор целиком. В этом случае нужно по-
142
Глава 5. Построение сеточных уравнений
следовательно вычислять только одну строку глобальной ма-
трицы жесткости и одну компоненту вектора нагрузок. Но при
этом использовать все симплексы, содержащие соответствую-
щий узел. При таком подходе исходная информация организо-
вана на основе пронумерованной последовательности коорди-
нат всех вершин шь, а каждая вершина сопровождается спис-
ком всех симплексов, ее содержащих, т.е. множеством 7л(®»)
(см. п. 4.3.). В отличие от поэлементного ассамблирования
такая информация имеет нерегулярный характер, поскольку
К(«,) - количество элементов в множестве Th(®«), разное при
различных номерах г. Алгоритм последовательного вычисле-
ния компонент векторов w и f следующий
Алгоритм 2 :
цикл по г от 1 до N
цикл по к от 1 до K(xi)
= А’°ХС;
Wi := Wi + (pekw'°c\ , Л := fi + (PeJeir).;
конец цикла по к
конец цикла по i.
Теперь остановимся на особенностях, связанных с рассмо-
трением краевых условий Дирихле (см. п. 1.6). В этом случае
согласно теореме 1.6.1 конечноэлементное пространство обра-
зуется как Vh,A — Размерность этого пространства
Np < N, поскольку в его базисе отсутствуют элементы, со-
ответствующие узлам на границе области Г, и, следователь-
но, глобальная матрица жесткости Ар имеет порядок Np и
fp € £nv • Данный факт можно было бы учесть непосредствен-
но при формировании локальных матриц жесткости A*,oc и век-
торов нагрузок для симплексов, имеющих (т - 1)-граней
5.2. Ассамблирование
143
на Г. Но это нарушило бы единообразие вычислений подобно
тому, как это было при формировании матриц Вместо
этого можно осуществить следующую элементарную процеду-
ру. Пусть А - глобальная матрица жесткости порядка N для
задачи Неймана с <т = 0. Как нетрудно видеть, эта матрица
представима в блочном виде
л _ ( Ар Лр,г А
Ub,r Лг /
Рассмотрим прямоугольную матрицу Рр = (Ер Ог) размер-
ности Np х N, где Ер - единичная матрица порядка Np и
Ог - нулевая прямоугольная матрица размерности Np х (N —
Np). Тогда, как легко видеть,
Ар = РрАдгРр,
и процедура реализации краевых условий Дирихле при поэле-
ментном формировании векторов wp = Apvp и fp - это
v = PpVp;
Алгоритм!
Wp = Pl>W, fp = Ppf.
При поузловом ассамблировании (Алгоритм 2) имеем:
цикл по i от 1 до Np
цикл по к от 1 до K{xi)
<е =
<=44е;
Л = Л + (р..7.!г).;
конец цикла по к
конец цикла по i.
144
Глава 5. Построение сеточных уравнений
И наконец, рассмотрим вырожденную задачу Неймана. В
соответствии с теоремой 1.6.3 приближенная задача решается
в пространстве Vh,A = Vh П Я} (ft). Напомним; что Я}(ft)
является замкнутым подпространством из Я1 (ft) функций,
удовлетворяющих условию
/ u(x)dx = О
а
(2-2)
(см. (1.5.4)). При этом правая часть уравнения f(x) так же
удовлетворяет этому условию. Для функций из Vh,A условие
(2.2) означает, что
г N г
I uh(x)dx = I <pi(x)dx = 0. (2.3)
Пусть вершины упорядочены таким образом, что максималь-
ным по номеру i является интеграл от базисной функции
Тогда из (2.3) следует, что
где
ЛГ-1
«№ - У2 а»и»>
1=1
г = 1,
л-1.
(2-4)
При этом 0 <<*,•< 1. Пусть Рдг - прямоугольная матрица
размерности (N - 1) х N вида
-«1
-aw-i
где En-i - единичная матрица порядка N — 1. Полагая
Задачи к главе 5
145
Ам = РмАР^ fM = PMf,
приходим к системе метода Галеркина
AjfW = Jj^f,
где uy G £n-i - искомый вектор. При этом в соответствии с
пп. 1.6 и 2.3 данная система однозначно разрешима (в отличие
от исходной системы Ай = /). Таким образом, если реализует-
ся процесс решения вырожденной задачи Неймана как задачи в
подпространстве с невырожденной матрицей, следует исполь-
зовать те же алгоритмы, что и для задачи Дирихле с заменой
N-р, vv, WV, 7т), PpnzN-l, v/f, Wtf, ftf, Ptf.
Задачи к главе 5
5.1. Построить матрицу Л*еос для треугольника
е = {0 < Xi < h, 0 < ®2 <
в случае двумерного оператора Лапласа и о = 0.
5.2. Построить матрицу <4*,ос для тетраэдра
е = {0 < < Л, 0 < а?2 < «1, 0 < а?з < — ®г}
в случае трехмерного оператора Лапласа и а = 0.
5.3. Для тетраэдра из задачи 5.2 построить матрицу Л^р при
Г Г) е = {0 < «1 < h, 0 < а?2 < ®з = 0}
U {0 < Xi < h, 0 < ®з < х2 — °)
и а = 1.
Глава в
Основы общей теории сходимости
В данной главе приводится ряд теорем сходимости МКЭ в различных
нормах. В основе доказательства этих теорем лежат результаты п. 6.1 о
предельной плотности семейства пространств кусочно-линейных функций
в пространстве Соболева.
6.1. Интерполяция в пространствах Соболева
Решение вопроса о предельной плотности семейства конечно-
мерных пространств Vh, как и в одномерном случае, будет
решаться с помощью кусочно-линейных интерполянтов непре-
рывных функций. Пусть Щ : C(Q) -> Vh - линейный оператор,
действующий по формуле
N
(Пл«) (ж) =
1=1
В отличие от одномерного случая принадлежность функции
и (ж) области определения оператора Пд не следует только из
ее принадлежности энергетическим пространствам эллиптиче-
ских операторов, рассмотренных в п. 1.6. По теореме вложения
достаточным условием непрерывности функции и (ж) являет-
ся и € Я2(П) при т = 2,3. Все теоремы данной главы бу-
дут получены именно для таких функций. Таким образом, мы
ограничиваемся только двумерным и трехмерным случаями,
которые охватывают большинство приложений. Рассмотрение
произвольного случая при сохранении требования существова-
ния только вторых обобщенных производных вывело бы нас за
рамки гильбертовых пространств, что существенно усложнило
изложение всей теории МКЭ.
Итак, пусть и € Я2(П). В дальнейшем будем обозначать
w(x) = и(х) — (Щи) (ж), и при переходе от симплекса е € Th
6.1. Интерполяция в пространствах Соболева
147
к каноническому симплексу и(у) = и (ж) и w(y) = w(®), где
ж = Gey + Ье. Так как (Щи) (ж) линейна в е, то w G Я2(ео). В
дальнейшем важную роль играет следующая
Лемма 1.1. Для любого т-симплекса е G Th справедливо
неравенство
Н^11я2(е0) < С1Л ^IdetGe Ч л2 |м|я2(е), (1.1)
где число cjл не зависит от параметра h и функции и.
Доказательство. Сначала проведем доказательство леммы
для функции u G С2(0). Рассмотрим симплекс е с вершинами
ше = и соответствующий ему канонический симплекс
ео- Далее, в пространстве Я2(ео) рассмотрим функционал
$(») = £ £2(у*)
(1-2)
fc=i
где У1,..., Ут+i ~ вершины канонического симплекса ео- По-
кажем, что этот функционал удовлетворяет условиям теоре-
мы 1.5.2 (об эквивалентных нормах) при 1 = 2. Во-первых, по
теореме вложения
|ф(й)| < y/inTl max|v(j/)| < Vm + 1 С1.5д||и||Я2(ео),
т.е. функционал Ф ограничен в Я2(во). Далее, как легко ви-
деть, этот функционал удовлетворяет условиям полунормы
(определение 1.5.1). И наконец, Ф(й) не обращается в нуль ни
на одной отличной от тождественного нуля линейной функции.
Действительно, пусть v(y) = «о + aii/i Н hamym и Ф(г) = 0.
Но тогда согласно (1.2) v(yk) = 0, k = 1,.. .,т + 1. При этом
из вида (4.2.1) векторов ук следует, что
148
Глава 6. Основы общей теории сходимости
во = ”(Ут+1) = 0, во + ак = v(yk) = 0, fc = l,...,m,
т. е. ак = 0, к — 1,..., т+1, и значит и(у) = 0. Таким образом,
к функции w(j/) применима теорема 1.5.2 при I = 2:
||<»||н2(ео) - с1.5.2 (1^1^2(60) + ф2(м)) 2 . (1.3)
При этом, что очень важно, число С1.5.2 не зависит от h. Далее,
по теореме 4.3.1 (равенство (4.3.8))
N
™(Ук) = w(Tifc) = u(z,J - = °»
«=1
и согласно (1.2) Ф(и?) = 0. Тогда неравенство (1.3) принимает
вид
Н^11н2(ео) < с1.5.2|^|я2(ео). (1.4)
Перейдем в правой части этого неравенства qt канониче-
ского симплекса к симплексу е. Так как и € C2(Q), а (Пд«) (®)
линейна, и, следовательно, ее вторые частные производные то-
ждественно равны нулю в е, имеет место w € С2(во), и замена
переменных приводит к равенству
82w А 92и ._ч _
где ди- - элементы матрицы Ge. Возводя это равенство в
квадрат, суммируя по к и I от 1 до т и применяя к результату
неравенство Коши-Буняковского для сумм, получим
т z d2w V
дукду1{у))
к,1=1
т тп тп
< Е Е Е
fcj=l ij=l
и?
\dxidxj 'j
Изменение порядка суммирования дает
6.1. Интерполяция в пространствах Соболева
149
)2
т т т т
Ё Ё Sikdji = Ё 9ik Ё =
k,l=lij=l fc,t=l U’=l
откуда следует, что
тп / Л2/Г, \ 2 ш / п2_. \ 2
Jw®) - ||<?Л£ ’ гее'(L5)
Здесь использована евклидова (сферическая) норма матрицы
1
/ т \ 2
IIg.IIe = Е 4 •
Интегрирование неравенства (1.5) по ец, замена переменных
в интеграле и подстановка результата в (1.4) приводит к
неравенству
11«5|1я2(е0) < с1.5.2\/| detGe1! HGelli |‘“1я2(е)- (1-6)
Учитывая, что ||Ge||B < x/^ll^ell - спектральная норма ма-
трицы, подчиненная евклидовой норме вектора, применим для
нее первую из оценок (4.2.4) теоремы 4.2.1 (об аффинной экви-
валентности). В результате (1.6) превращается в требуемую
оценку (1.1) для функций из С2(П) с не зависящей от h кон-
стантой с^ л = mci.5.2/^2, где р - вычисленный в соответствии
с евклидовой нормой диаметр максимального вписанного в ка-
нонический симплекс шара.
И наконец, так как C2(Q) плотно в H2(Q), предельный пе-
реход в неравенстве (1.1) по фундаментальной в Я2(П) после-
довательности элементов из C2(Q) завершает доказательство
леммы. □
Доказанная лемма позволяет установить свойство предель-
ной плотности семейства пространств Уд относительно функ-
ций из пространства Соболева Я2 (П) в различных нормах. Наг
чнем с Я1-нормы.
150
Глава 6. Основы общей теории сходимости
Теорема 1.1 (об интерполяции). Пусть и € Я2(О) и Th
- регулярное и квазиравномерное семейство симплициальных
разбиений. Тогда существует не зависящее от параметра h
и функции и положительное число ci.i(cr, р) такое, что
||и - ЩиЦдцй) < Ci.i(<7,p) h |«|я2(й).
Доказательство. Рассмотрим симплекс е € Th, на котором
оценим Ях-норму функции w(x). Для этого перейдем к канони-
ческому симплексу ео- Используя обозначения, введенные при
доказательстве обратного неравенства (теорема 4.4.3), и вто-
рую из оценок (4.2.4) теоремы 4.2.1 (об аффинной эквивалент-
ности), получим
11”>11я1(.) = HetG.I / (й2 + ||G7‘Vw|£) dy <
ео
, _ ч 2
< IdetG.I (£) Л'2 ||®||я>(1о|. (1.7)
При этом, поскольку параметр h аппроксимирует нуль, мы
предположили, что h < "p/ov. Оценка леммы 1.1 с использо-
ванием тривиального неравенства ||м||я»(е0) < ||^||я2(ео) и ра-
венства | det Ge| IdetGjr1! = 1 дает
1Мн»(е) < h |и|я2(е), (1.8)
где ciл - не зависящая от h константа из леммы 1.1. Возведение
этого неравенства в квадрат и суммирование по всем е € Th
немедленно приводит к утверждению теоремы с константой
ci.i(<y,v) = 4.i?/w. □
Замечание. Неравенство (1.8), полученное в ходе доказатель-
ства теоремы, фактически, говорит о локальном характере
оценки - она имеет место не только для всей области Q, но
6.1. Интерполяция в пространствах Соболева
151
и для каждого симплекса в отдельности. В свою очередь, это
означает, что установленный результат справедлив для лю-
бой подобласти из Q, для которой существует симплициальное
разбиение, являющееся подмножеством из Th-
Отметим, что одномерным аналогом теоремы 1.1 является
неравенство (3.3.8) теоремы 3.3.1.
В п. 6.4 будет исследована равномерная сходимость МКЭ.
В связи с этим нам потребуется оценка интерполяции в рав-
номерной норме.
Теорема 1.2. Пусть и € №(Q) u Th - регулярное и квази-
равномерное семейство симплициальных разбиений. Тогда су-
ществует не зависящее от параметра h и функции и поло-
жительное число С1.2(<т, f) такое, что
max |и(«) - (Щи) («)| < ci.2(ff, о) h2~^ |и|Ягщ), т = 2,3.
гей
Доказательство. Из леммы 1.1 и теоремы вложения следует,
что
max|w(x)| — max|w(y)| < ci.5.i с'х х v/| detG711 h2 |и|Я2(е).
х&е 1»€ео
Так как
1и1я2(е) < Мя2(Й)>
приходим к оценке
max|w(®)| < ci.5.1 с{л у |det(7e г| h2 |'и|Я2(«).
•Учитывая, что
| det<?-l| = ^4 < —1
mes(e) рт
получим неравенство
152
Глава 6. Основы общей теории сходимости
max|w(a:)| < ci.2(a,v) h2 2 |a|tf2(ft)>
где
C1.2(^>^) = С1.5.1 с'1Л (tri/p)T.
Напомним, что p - диаметр минимального шара, описанного
около канонического симплекса. Правая часть этого неравен-
ства не зависит от симплекса е, и в силу произвольности е
приходим к требуемому результату. □
6.2. Сходимость в /Р-норме
В этом пункте мы приведем основной результат теории сходи-
мости МКЭ. В одномерном случае приводимой ниже теореме
соответствует теорема 3.3.2.
Теорема 2.1. Пусть и - элемент энергетического про-
странства Ид оператора одной из задач п. 1.6, и uh - его ор-
тогональная относительно энергетического скалярного про-
изведения проекция на подпространство построенного
по регулярному, квазиравномерному семейству симплициаль-
ных разбиений Th- Тогда, если и G №(Q), существует не за-
висящее от параметра h и функции и положительное число
С2д(<7, и) такое, что имеет место неравенство
IIм “ “Л|1я’(й) < h |«|н2(П)-
Доказательство. Из леммы 2.1.1 (основной) в форме (2.1.4)
следует, что
11“ “ “Л||н«(Я) < с 11“ - “Ня1 (ft) Vv € Vh,A,
где с - отношение констант эквивалентности энергетической
нормы и нормы в Я1(П). Полагая и = Щи и используя оценку
теоремы 1.1, приходим к утверждению теоремы с константой
C2.1(a,l/) = С С1д(<7,1/). □
6.2. Сходимость в Н1 -норме
153
Следствие. При выполнении условий теоремы 2.1 имеет ме-
сто неравенство
||ПЛи - «Л||н1(й) < (С1.1(<т,р) + с2.1(ст,1/)) h |«|н2(й).
Доказательство немедленно следует из неравенства треу-
гольника и теорем 1.1 и 2.1.
Замечание 1. В теореме 2.1 оценка дана через Я2-полунорму
функции из энергетического пространства, а не через правую
часть краевой задачи, как это было сделано в теореме 3.3.2
для одномерного случая. При этом принадлежность обобщен-
ного решения пространству //2(Q) предполагается, тогда как
в одномерном случае мы использовали теорему 3.1.1, гаранти-
ровавшую гладкость решения. Вообще говоря, данный факт
имеет место либо для специально подобранной правой части
/, либо, в случае произвольной / € £2(^), Для выпуклых мно-
гогранников. Об этом уже говорилось в п. 2.2 в замечании к
определению 2.2.1.
Замечание 2. В отличие от оценки интерполяции получен-
ный результат не может быть переписан в локальном виде для
отдельного симплекса (замечание к теореме 1.1). Это не позво-
ляет сделать основная лемма - свойство минимальности рас-
стояния между функцией и ее проекцией относительно энер-
гетического скалярного произведения имеет место только для
энергетической нормы, задаваемой по всей области.
Главным недостатком установленной оценки является ее за-
висимость от параметров о и и, т.е. использование требова-
ний регулярности и квазиравномерности. Такая зависимость
явилась следствием оценки матричной нормы ||G!71II ПРИ по"
лучении неравенства (1.7) в доказательстве теоремы 1.1, ко-
гда в соответствии с теоремой об аффинной эквивалентности
в знаменатель попадает величина h^. Оказывается, что в ряде
154
Глава 6. Основы общей теории сходимости
случаев требования регулярности и квазиравномерности мож-
но снять, используя другой путь получения оценки интерполя-
ции. В частности, для двумерной триангуляции таким случаем
является отсутствие в треугольниках “слишком” тупых углов,
а наличие только острых углов с большой константой ст не пре-
пятствует получению оценки интерполяции с константой, не
зависящей от ст и v. Проанализируем ситуацию подробнее.
Для простоты предположим, что и 6 C*2(Q). Рассмотрим
треугольник е с вершинами xq = (0,0)', Xi = (/i, 0)' и ®2 =
(/2cos0,/2sin0)', т.е. длина стороны (ж0,®2) равна /2 и вну-
тренний угол при точке xq равен 0 G (0, тг) (рис. 2.1, а).
Рис. 2.1
Рассмотрим преобразование х = Gey, которое треугольник
е с вершинами
^о = (0,0)', yi = Gi,0)', у2 = (0,/2)'
переводит в треугольник е. В отличие от канонического тре-
угольника длины двух из сторон треугольника е при преобра-
зовании сохраняются (рис. 2.1,6). Матрица такого преобразо-
вания и обратная к ней имеют вид
cos 9
sin 9
g;' =
cos#
sin#
1
sin#
(2.1)
1
о
При этом
6.2. Сходимость в Н1-норме
155
det = sin 0, IIG;1!! = (2.2)
sin 9 sin#
Тогда вместо неравенства (1.7) получим
|»&1(е) = I detS.II ЦС;1 Vwll^S < (2.3)
£
Оценим полунорму в правой части этого неравенства. Исполь-
зуя технику доказательства теоремы 3.3.1, получим
(h я \ 2
г//I -
*1 J J ^S/i I
0 /
(2.4)
е
Аналогичное неравенство имеет место для частной производ-
ной по переменной уъ'-
Г f dw . \2 2 [ (д2и..\2 . ,о
I *7 (2-5)
е е
Перейдем в правых частях неравенств (2.4) и (2.5) от треуголь-
ника е к треугольнику е. Согласно (2.1) имеет место
d2U,_. 2z>^2ur-\ , • пл d2U . 2а^2и/-\
^w = cos ^« + sln29fe^M + sm
Тогда из неравенств (2.3)-(2.5), с учетом (2.2) и того факта,
что Ц < h, i = 1,2, следует
156
Глава 6. Основы общей теории сходимости
Мя»(е) < h 1“|я2(е)- (2-6)
Dill v
В силу произвольности выбора нумерации вершин в треуголь-
нике е положим 0 = 0е ~ угол, для которого величина sin 0е
максимальная среди всех углов рассматриваемого треугольни-
ка. При этом, если все углы острые, то sin0e > \/3/2. Далее
пусть 0q - угол, для которого
sin 0О = m’n sin #е- (2.7)
е€7/>
Возведение (2.6) в квадрат и суммирование по всем е е Th. с
учетом формулы (2.7) приводит к итоговой оценке
2^/2
|w- Пли|Я1(п) < h |«|я2(й). (2.8)
Зависимость константы от параметров а и и может проявить-
ся только при неограниченном убывании величины sin #о, когда
h -» 0. Эта ситуация соответствует появлению треугольников
с углами, стремящимися к тг. В случае семейства триангуля-
ций только с острыми углами константа в оценке погрешно-
сти интерполяции ограничена сверху величиной 4\/2/3. Отме-
тим, что этот результат показан только для функций из C2(Q).
Для и 6 №(П) мы оставляем доказательство (2.8) в качестве
упражнения (задача 6.3).
6.3. Сходимость в £2-норме
В данном пункте будет получена оценка погрешности для
Z-2-нормы погрешности. В частности, тем самым будет дока-
зана сформулированная в третьей главе теорема 3.4.1. Но для
этого нам понадобится результат о гладкости обобщенного ре-
шения для любой правой части f 6 Ьг(^)> аналогичный теоре-
ме 3.1.1. Условие, обеспечивающее этот результат, сформули-
руем (без доказательства) в виде следующей леммы.
6.3. Сходимость в Ь^-норме
157
Лемма 3.1 (о гладкости). Пусть многогранник Q выпуклый.
Тогда для любой правой части f € £г(^) обобщенные реше-
ния приведенных в п. 1.6 краевых задач являются элементами
из Я2(й). При этом существует не зависящее от f положи-
тельное число С3л такое, что выполняется неравенство
1«1я2(я) < 4.1 |1/1к2(«)-
Предполагается, что выполнены все, приведенные в п. 1.6,
условия гладкости на коэффициенты.
Теперь мы приведем результат, позволяющий оценку
Ьг-нормы погрешности свести к оценке Н1-нормы, т. е. к воз-
можности использования теоремы 2.1.
Лемма 3.2 (прием Нитше). Пусть и - элемент энергетиче-
ского пространства Нд оператора одной из задач п. 1.6, и uh
- его ортогональная относительно энергетического скаляр-
ного произведения проекция на подпространство V/i,a. Тогда,
если Q - выпуклый многогранник, существует не зависящее
от параметра h и функции и положительное число С3 2 та-
кое, что справедливо неравенство
Н« - «а||ь2(Я) < 4.2k h ll« “ «А11ячп)-
Доказательство. Пусть z(x) = и(х) - uh(x) - погрешность
МКЭ. При этом z € Нд. Так как оператор А - положительно
определенный (см. п. 1.6), по теореме 1.2.2 z € £г(^)- Рассмо-
трим задачу: найти функцию й € Нд такую, что
а(й, v) = (z, w) Vu 6 Нд. (3.1)
При этом согласно теореме 1.3.1 (Лакса-Мильграма) зада-
ча (3.1) однозначно разрешима в Нд, причем в соответствии с
леммой 3.1 й € H2(Q) и
158
Глава 6. Основы общей теории сходимости
1«1я2(й) < с3.1 1М1ь2(П) (3-2)
Так как z € Яд, можно положить v = z, т. е.
II^IlLcn) ~ a(u,z). (3.3)
Воспользуемся тем фактом, что uh - ортогональная проекция
функции и на подпространство Vh,A относительно энергетиче-
ского скалярного произведения:
a(z, vh) = 0 € Vh,A-
Поскольку и € H2(Q), по теореме вложения функция и не-
прерывна и, следовательно, принадлежит области определения
оператора Щ. Пусть vh = Щи. Тогда из равенства (3.3) сле-
дует, что
1И1ь2(й) = a(u-Uhu,z).
Применяя к правой части этого равенства неравенство Коши-
Буняковского и используя эквивалентность энергетической
нормы норме пространства Я!(П), получим
С IIй ” ПЛ«||н 1(П) IMItfi(ft),
где число с не зависит от h. В соответствии с теоремой 1.1 из
последнего неравенства следует, что
11-г11ь2(П) - сс11(<7>,/) 1“1я2(П) 1И1я*(П),
откуда согласно (3.2) приходим к требуемому утверждению с
константой С3 2(<т, v) = c ci.i(<t, р) с'3л. □
Прием Нитше позволяет установить оценку МКЭ в норме
пространства L2(J2):
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия леммы 3.2. Тогда су-
ществует не зависящее от параметра h и функции f поло-
жительное число сзд (ст, р) такое, что имеет место неравен-
ство
IIм “ мЛ||ь2(п) < с3.1(а,1/) h2 ||/||ь2(й).
6.4- Равномерная сходимость
159
Доказательство сразу следует из оценки правой части не-
равенства леммы 3.2 при помощи теоремы 2.1. При этом
Сз.1(<Т, = С2.1(ст, ^)4.2(а> ")• °
Отметим, что полученная оценка является оптимальной по
параметру h (см. задачу 3.5).
6.4. Равномерная сходимость
Рассмотрим еще одну важную оценку погрешности МКЭ, ко-
гда непосредственно основная лемма не применима. Речь пой-
дет об оценке в норме пространства C(Q). Для получения со-
ответствующего результата нам понадобятся некоторые вспо-
могательные факты.
Во-первых, справедлива
Лемма 4.1. Для любой сеточной функции v £ Рд имеет
место
шах|и(ж)| = max |и(ж,)|.
хеа »=1..N
Доказательство. Во-первых, имеет место очевидное нера-
венство
тах|и(ж)| > max |и(ж,)|. (4.1)
гео »=1,...Л
Далее, воспользуемся свойствами (4.3.13) из леммы 4.3.2 базис-
ных функций
N
О < 9?j(«) < 1, 52<р,(х) = 1 Vx€Q.
«=1
Согласно этим свойствам
$2 . max |v(®,)|J2w(®) = . max |и(ж,)|,
’ I t=l,....TV i=l,....N
t=l ' ' t=l ’ ’
откуда
160
Глава 6. Основы общей теории сходимости
тах|и(ж)| < max |v(s,-)|.
(4-2)
Из (4.1) и (4.2) следует утверждение леммы.
Далее, установим важное неравенство типа теоремы вложе-
ния для норм сеточных функций. Отметим, что при т_= 2,3
согласно теореме вложения заведомо непрерывными в Q явля-
ются функции из №(Q). Оценить норму функции в С(П) че-
рез №-норму нельзя. Однако это можно сделать для сеточных
функций, поскольку, как уже не раз говорилось, все нормы в
конечномерном пространстве эквивалентны. Естественно, та-
кая оценка “разваливается” при h -> 0. Ответ на вопрос, каким
образом это происходит, в двумерном случае дает следующая
Лемма 4.2. Пусть Q С R2. Существует положительное чи-
сло ho(o, о) такое, что для регулярного и квазиравномерного
семейства триангуляций любая сеточная функция v € % при
h < ho(o,v) удовлетворяет неравенству
max lv(«)l < с4.г(<т)\/|ln^1 IMItfHft)’
где число <4 2(<?) не зависит от параметра h и функции V.
Доказательство. Из леммы 4.1 следует, что максимум моду-
ля сеточной функции достигается в некотором сеточном узле
хо 6 у/,. Пусть для определенности х0 = 0 и
тах|и(ж)| = и(0) > 0.
reft
Далее, пусть е G Th - треугольник с вершинами
Xq = 0, Xi = (/i, 0)', = (/2 cos 0О, ^sin^o)7.
Здесь /1, /г _ длины сторон треугольника е, содержащих вер-
шину хо, и 0о ~ угол между этими сторонами. Отметим, что
6-4- Равномерная сходимость
161
О = 0(a). В дальнейшем будем обозначать Vk = v(xk). Введем
полярную систему координат
Xi = rcos0, X2 = rsin0
и рассмотрим замкнутый круговой сектор
S = S(xq, ро, Оо) = {(г, 0) | 0 < г < р0, 0<0 < 0О}-
Очевидно, что всегда найдется не зависящее от h число ро
такое, что
е С S С Л.
Введем непрерывную срезающую функцию
1,
/х Л 3
»?(г) = 2 - —г,
Ро
О,
О < г < |р0,
1 2
-г - зл’
2
ёРо<?< Ро-
О
(4.3)
Обозначим v(r,0) = v(rcos0,rsin0) = v(x). Согласно формуле
Лейбница для любой точки х € S имеют место равенства
р р
Возведение этих равенства в квадрат и применение неравен-
ства Коши-Буняковского дает
(’?(Р)«(Р^))2 < In ^fr dr-
р
Проинтегрируем полученное неравенство по 0 от 0 до Oq:
162
Глава 6. Основы общей теории сходимости
°о "° "° /Ж \ 2
/?2(р) У v2(/>,0)d0 < In — у* У г Г - J drd9. (4.4)
о о р
Оценим левую часть этого неравенства снизу, а правую -
сверху. Пусть
h < ho(a, и) = max
Ро 1
3 ’ 4ffi/po
(4-5)
Далее, пусть р < - диаметр вписанного в е круга. Так как
he < Л < Ро/З, согласно (4.3) для таких значений р и для
любых 9 6 [0, 0О] имеем »/(/>) = 1 в (р, 0) G е. В треугольнике е
имеет место представление
v(p, 9) = vo<po(p, 9) + vrfitp, 9) + v2^2 (Р, 0)-
При этом по предположению vq > |vj.|, k = 1,2. Тогда в
соответствии с леммой 4.3.2, согласно которой <pk(p, 0) > О,
имеют место неравенства
и(р,0) > voipQ(p,9) - |vi|^i(/>,0) - |V2|^2(P,0) >
> vo[£o(p, 0) - <Pi(p, 0) - frztp, 0)]- (4.6)
Пусть p' = hg/4. Тогда (/>', 0) G e, и для таких точек имеет
место неравенство (4.6). В соответствии с равенством (4.3.8)
теоремы 4.3.1 в вершине xq базисные функции принимают зна-
чения ^i(O,0) = 1, фх(0,9) = ^2(0,0) = 0. В силу линейности
этих функций по переменной р нетрудно показать, что
3 11
?!(/>',») >J, fcW<J,
и неравенство (4.6) для значения р = р' переходит в оценку
и(р', 0) > vo/4. Учитывая, что Tj(p') = 1, получим
6-4- Равномерная сходимость
163
Г О
О
(4-7)
Теперь оценим сверху правую часть неравенства (4.4) при
р = р'. Во-первых, заметим, что р' = h^/4 > h/(4<jv), а
согласно (4.5) ро < l/(4ai/A). Тогда
In < 2 In i (4.8)
р' ~ h '
Далее, так как согласно (4.3)
О < »?(r) < 1, |з~(г)|
I ar I ро
имеет место неравенство
(W)V <2(^У . 18-2
k dr J - \дг) р2 '
Из неравенства Коши-Буняковского следует, что
fdv\2 ( dv dv . Л2 f dv\2 / dv\2
=H—cos0+-£—sintf) < т— + д—I •
\иГ / u%2 J \UX1/ \^3?2/
С учетом того факта, что S С fi, последние два неравенства
приводят к оценке
о р'
2 ( 9\
drdO < 2 max 11, ||v|Ihi(q). (4.9)
Подстановка неравенств (4.7)-(4.9) в (4.4) при р — р' приводит
к итоговому результату с константами
164
Глава 6. Основы общей теории сходимости
8 / 3 \
<2(” = WjmaxV’^
и /ц)(<7,1/), заданной в условии (4.5). □
Доказанная лемма легко позволяет получить оценку погреш-
ности МКЭ в норме пространства С (О).
Теорема 4.1. Пусть Q С R2, и - элемент энергетическо-
го пространства На оператора одной из задач п. 1.6 и uh -
его ортогональная относительно энергетического скалярно-
го произведения проекция на подпространство Vh,A> постро-
енного по регулярному, квазиравномерному семейству триан-
гуляций Th- Тогда, если и € H2(Q), существуют не зависящие
от параметра h и функции и положительные числа
и с4.1(сг,1') такие, что при h < ho(a,v) имеет место неравен-
ство
max|u(7) - uA(®)| < с4Л((т,//) 1пЛ| + 1) h |и|Я2(й).
Доказательство. Рассмотрим тривиальное неравенство
|и(®) - иА(®)| < |и(ж) - (Щи) (ж)| +1«(ж)|, (4.10)
где v(x} = (Щи) (ж) — uh(x) - сеточная функция. Первое слага-
емое в правой части приведенного неравенства оценим в соот-
ветствии с теоремой 1.2 при т = 2:
|и(ж) - (Щи) (ж)| < С1.2(<т, I/) h |«|н2(П). (4.11)
Так как v € Vh, для оценки второго слагаемого последователь-
но воспользуемся леммой 4.2 и следствием из теоремы 2.1:
|v(®)| < v) + c2.i(a> ln h\ h 1«1я2(я)- (4.12)
Подставляя (4.11) и (4.12) в (4.10), получим утверждение тео-
ремы с константой
Задачи к главе 6
165
= max{ci.2(a), C4.2(^)[ci.i(ff,p) +
□
Задачи к главе 6
6.1. Доказать, что Vu € Я2(Г2) и для регулярного, квазиравно-
мерного семейства симплициальных разбиений Та имеет место
неравенство
Нпли11я»(П) < с (Н“11нi(ft) + ^21м1н2(«))2 >
где число с не зависит от h и и.
6.2. Доказать, что Vu € Я2 (О) и для произвольного симпли-
циального разбиения Th имеет место неравенство
||« - Пди||£,2(й) < С h2 |u|#2(ft),
где число с не зависит от h и и.
6.3. Доказать неравенство (2.8) для и G Я2(Л).
Указание: воспользоваться рассуждениями из доказатель-
ства теоремы 3.3.1 и задачей 6.1.
6.4. Доказать, что в трехмерном случае (т = 3) для обобщен-
ного решения и G Я2(П) справедлива оценка
max|w(7) - uA(®)| < с(<7,</) Vh |«|н2(П)-
Указание: используя сферическую систему координат, про-
вести рассуждения, аналогичные доказательству леммы 4.2.
Дополнительная литература
[1] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.:
Наука, 1973.
[2] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их
приложения. М.: Мир, 1971.
[3] Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные
методы. М.: Наука, 1981.
[4] Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.
М.: Наука, 1970.
[5] Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы
решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд. АН Арм.ССР,
1979.
[6] Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.:
Мир, 1977.
[7] Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.
М.: Мир, 1982.
Юрий Миронович Лаевский
Метод конечных элементов
(основы теории, задачи)
Редактор М.В. Зверева
Технический редактор М.В. Зверева
Подписано в печать 25.10.1999 г.
Формат бумаги 60 х 841 /и
Тираж 300 экз.
Уч.-изд.л. 10,3
Заказ № 446,
Лицензия ЛР № 021285 от 6 мая 1998 г.
Издательский центр НГУ
630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2