Автор: Гун Г.Я.
Теги: общее машиностроение технология машиностроения металлургия обработка металлов математическое моделирование
Год: 1983
Текст
Г. Я. ГУН
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОЦЕССОВ
ОБРАБОТКИ
МЕТАЛЛОВ
ДАВЛЕНИЕМ
Под редакцией академика
АН КазССР П. И. ПОЛУХИНА
«Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебного пособия для студентов
вузов, обучающихся по специальности «Обработка металлов
давлением»
МОСКВА «МЕТАЛЛУРГИЯ» 1983
Научная библиотека ПНИПУ
2002138644
УДК 621;771.001 (075.8)
Рецензенты: проф. докт. техн, наук А. К. Григорьев, кафедра об-
работки металлов давлением Ленинградского механического института
УДК 621.771.001(0.75.8)
Гун Г. Я. Математическое моделирование процессов обработки метал-
лов давлением. Учебное пособие для вузов. М., «Металлургия», 1983.
352 с.
Учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специально-
сти «Обработка металлов давлением». Может быть полезно аспиран-
там, научным и инженерно-техническим работникам научно-исследова-
тельских институтов и предприятий металлургической и машинострои-
тельной промышленности.
На современном научном уровне излагаются математические осно-
вы моделирования процессов пластической деформации металлов и
сплавов: основы линейной алгебры, теории отображений, механики твер-
дого деформируемого тела в матричной записи, методов аппроксимации
с применением теории сплайнов и конечных элементов. Теоретический
материал иллюстрируется примерами решения многочисленных задач.
Приводятся результаты исследования с применением ЭВМ процессов
прокатки и прессования. Ил. 141. Табл. 5. Библиогр. список: 16 назв.
БИГ'ЛИПТ^К \
Пермского у •*>*. е.х; аческого {
5”ол:,''г,ека
1;омп.ак.’ са
2704030000—205
040(01)—83
2-83
© Издательство «Металлургия», 1983.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора . . .5
Предисловие .... 7
Введение ..... * 8
Раздел I. МАТРИЦЫ, ОТОБРАЖЕНИЯ, МЕХАНИКА КОН-
ТИНУУМА
Глава I. Линейные пространства...........................15
1. Метрические и линейные пространства. Обобщенные функции 17
2. Матрицы..................................................33
3. Линейные алгебраические системы........................ 47
4. Тензоры ..................................... . - 58
Глава II. Отображения. Криволинейные координаты ... 67
1. Отображения.........................................68
2. Криволинейные координаты и отображения..............75
3. Преобразование дифференциальных и интегральных выражений 84
Глава III. Зависимости механики континуума в матричном
представлении...............................................90
1. Деформации...............................................91
2. Течение. Скорости деформации............................105
3. Напряжения. Законы сохранения...........................119
4. Пластичность и разрушение...............................128
5. Краевые задачи..........................................139
6. Начала виртуальных скоростей и виртуальных напряжений 146
Раздел 11. ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ
Глава IV. Проекционные методы 153
1. Обобщенный метод моментов ... 154
2. Метод Ритца............................ . . 157
3. Метод Галеркина. Отображения 165
Глава V. Аппроксимации. Финитные функции. Сплайны 169
1. Пространство сплайн-функций. В-сплайны и фундаментальные
сплайны . . „........................................... 173
2, Кубические сплайны................................... 180
3. Двумерные кубические сплайны................... . 195
4. Сплайн-дифференцирование и интегрирование..............200
Глава VI. Локальная аппроксимация. Конечные элементы 203
1. Классификация конечных элементов. Симплскс-элементы . . 204
2. Элементы высоких порядков . <..........................216
3. Криволинейные элементы. Отображения.................. 224
4. Приближенное интегрирование............................228
Гла^ва VII. Глобальная аппроксимация. Метод конечных
элементов....................................................237
1. Методический пример.......................................237
2. Дискретизация области....................................245
3. Глобальная аппроксимация.................................249
4. Построение матрицы жесткости.............................251
5. Система линейных уравнений...............................254
3
Раздел III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ. ДИАЛОГОВЫЕ
СИСТЕМЫ
Глава VIII. Структура и алгоритмы моделей...................258
1. Определяющие уравнения наследственного типа .... 259
2. Численная реализация начала виртуальных скоростей . 266
3. Пакет прикладных программ ..............................275
Глава IX. Плоские и осесимметричные пластические течения 278
1. Плоское течение .................................' . 279
2. Моделирование процесса прокатки методом конечных эле-
ментов ......................................................286
3. Метод конформных отображений............................297
4. Опорное решение. Конформные отображения..................303
5. Моделирование процесса прокатки.........................313
6. Резание металлов........................................314
7. Осесимметричное течение..................................319
Глава X. Объемные пластические течения . . 326
1. Моделирование объемных течений .... . . 327
2. Прессование профилей..................... . . 333
3. Проектирование на ЭВМ прессовых матриц . . 340
Библиографический список. .... ............. 347
Предметный указатель..................................... 348
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Современные вычислительные машины дали ученым мощ-
ное средство для математического моделирования. В насто-
ящее время количественные методы исследования проника-
ют практически во все сферы человеческой деятельности, а
математические модели становятся средством познания
основных закономерностей реального мира.
Описывая сложный комплекс явлений, характерных для
пластической деформации металлов и сплавов, исследова?
тели в стремлении создать детальную картину изучаемых
процессов приходят к необходимости строить все более
сложные математические модели, которые, в свою очередь,
требуют применения тонкого и эффективного современного
математического аппарата.
Изучение методов математического моделирования про-
цессов обработки металлов давлением предусматривает
приобретение комплекса знаний и практических навыков в
таких разделах прикладной математики и механики, как
линейная алгебра, теория отображений, теория аппрокси-
маций, термодинамика и механика деформируемого твер-
дого тела, обладающего сложными реологическими свойст-
вами. Этот материал включен в лекционный цикл, читаемый
проф. Г. Я. Гуном в Московском институте стали и сплавов
с 1965 г. В указанный цикл входят лекции по курсам «До-
полнительные главы высшей математики», «Механика
сплошных сред», «Теория обработки металлов давлением».
К основной особенности этих лекций следует отнести после-
довательное и достаточно строгое изложение механико-
математических основ специальности, сочетание коррект-
ных методов постановки и решения на ЭВМ краевых задач
пластического течения с инженерным подходом к указан-
ным задачам.
В 1980 г. издательством «Металлургия» выпущен учеб-
ник для вузов «Теоретические основы обработки металлов
давлением», содержащий изложение курса «Механика
сплошных сред» и в настоящее время являющийся базовым
учебником для глубокого изучения теории пластичности
студентами, обучающимися по специальности 0408 «Обра-
ботка металлов давлением».
Предлагаемое учебное пособие, также написанное по
материалам указанного лекционного цикла, имеет практи-
ческую направленность. В нем излагаются методы реализа-
ции на ЭВМ описанных в учебнике алгоритмов решения
краевых задач неизотермического пластического течения.
5
Приводятся необходимые сведения из линейной алгебры,
теории отображений, теории сплайнов, описывается аппа-
рат конечноэлементных аппроксимаций.
Методика изложения, сопровождающегося многочислен-
ными примерами и задачами, облегчает усвоение сложного
математического аппарата. Пособие предназначено для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по спе-
циальности 0408 «Обработка металлов давлением». Может
быть полезно аспирантам, работникам НИИ и заводов, спе-
циализирующимся в области пластической деформации ме-
таллов и сплавов.
Академик АН КазССР Полухин П. И.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое учебное пособие предназначено для студен-
тов, специализирующихся по обработке металлов давлени-
ем. В его основу положены лекции и практикум по курсу
«Механика сплошных сред», входящие в учебный цикл, ор-
ганизованный автором в Московском институте стали и
сплавов в 1965 г. В отличие от учебника Г. Я. Тупа «Теоре-
тические основы обработки металлов давлением» («Метал-
лургия», 1980) в учебном пособии принята ориентация на
изложение методов практической реализации алгоритмов
на ЭВМ. Это привело к необходимости использования мат-
ричной формы изложения механики сплошных сред, подроб-
ного изучения матриц и систем линейных алгебраических
уравнений. В качестве основного вычислительного метода
принят проекционно-сеточный метод. В сочетании с локаль-
ными и глобальными отображениями и аппроксимациями
проекционно-сеточные методы составляют основу матема-
тического моделирования неизотермического пластического
течения металлов.
Как и в учебнике, изложение теоретического материала
сопровождается решением многочисленных задач и разбо-
ром примеров. В конце каждой главы приводится список
библиографии, рекомендуемой для более глубокого изуче-
ния курса.
Для того чтобы, сохраняя логическую последователь-
ность построения материала книги, по возможности избе-
жать дублирования учебника, при изложении механики
сплошных сред в матричной форме многие результаты, под-
робно в нем описанные, приводятся без выводов. В ссылках
используется сокращенное наименование учебника — «Тео-
ретические основы» (например, подробный вывод уравне-
ний движения приводится в «Теоретических основах», см.
гл. V, п. 2).
Автор выражает искреннюю признательность академи-
ку АН КазССР П. И. Полухину, взявшему на себя труд по
редактированию книги, чл-кор. АН СССР А. А. Поздееву,
сделавшему ряд ценных замечаний, коллективу кафедры
обработки металлов давлением Ленинградского механиче-
ского института, проф. А. К. Григорьеву за ценные советы
и предложения, которые были даны при рецензировании
рукописи.
ВВЕДЕНИЕ
Изучая реологические свойства сплошной среды, говоря о
постановке и решении краевых задач пластического тече-
ния, мы часто используем понятие модели как некоторого
объекта, на котором приближенно воспроизводятся наибо-
лее существенные характеристики физического явления
или процесса с целью его исследования. Как известно, сле-
дует различать предметное моделирование и абстрактное
моделирование.
При предметном моделировании исследование процесса
ведется на физической модели, воспроизводящей основные
геометрические, физические, динамические и функциональ-
ные характеристики соригинала». Если модель и моделиру-
емый объект имеют одну и ту же физическую природу, то
говорят о физическом предметном моделировании, или про-
сто о физическом моделировании.
Под математическим предметным моделированием пони-
мают способ исследования различных процессов путем изу-
чения явлений, имеющих различное физическое содержа-
ние, но описываемых одинаковыми математическими соот-
ношениями. В простейших случаях для этой цели
используют известные аналогии между механическими,
электрическими и другими явлениями.
Модели могут быть реализованы не только с помощью
физических, но и с помощью абстрактных объектов. К ним
относятся, в частности, математические выражения, описы-
вающие характеристики объекта моделирования, модели в
графических образах — графики, диаграммы, рисунки, блок-
схемы алгоритмов и программ расчетов на ЭВМ. Таким об-
разом, мы приходим к понятию математического моделиро-
вания в широком смысле — приближенному описанию наи-
более существенных характеристик физического явления
или процесса с помощью математической символики. Сов-
ременная форма математического моделирования — это мо-
делирование на цифровых электронных вычислительных
машинах (ЭВМ).
Математическое моделирование является наиболее
совершенным и эффективным методом моделирования, от-
крывая путь для применения современных мощных методов
математического анализа, вычислительной математики и
программирования при исследовании и оптимизации техно-
логических процессов.
Сложный характер явлений, возникающих при пластиче-
ской обработке металлов, приводит к необходимости строить
8
сложные и точные математические модели, учитывающие
многие стороны рассматриваемого процесса. Степень совер-
шенства математических моделей, применяемых при опи-
сании и оптимизации процессов обработки металлов давле-
нием, математический аппарат, используемый для их иссле-
дования, в известной степени характеризуют уровень
развития теории обработки металлов давлением как науки.
Понятие математической модели исключительно широко.
В дальнейшем для определенности под математической мо-
делью процесса пластического неизотермического течения
при обработке металлов давлением условимся подразуме-
вать приближенное описание этого процесса, позволяющее
найти в области пластического течения распределение ско-
ростей, деформаций, температур, напряжений, рассчитать
вероятность разрушения металла и определить оптимальные
условия его деформирования.
Математическая модель разрабатывается в виде алго-
ритма для ЭВМ. Под алгоритмом будем понимать точное
предписание по выполнению некоторого вычислительного
процесса, который через конечное число шагов приводит
либо к решению задачи, либо к выводу о невозможности ре-
шения.
Для реализации алгоритма составляется программа —
последовательность команд, сообщаемая машине. Посколь-
ку непосредственное программирование является чрезвы-
чайно трудоемким процессом, при решении инженерных
задач обычно используются алгоритмические языки — свя-
занные синтаксической структурой системы обозначений и
терминов, содержащие исчерпывающие сведения о том, ка-
кие действия, в какой последовательности и при каких ус-
ловиях нужно выполнить при реализации алгоритма. Алго-
ритмический язык позволяет обеспечить автоматический пе-
ревод описания алгоритма в готовую машинную программу
для любой ЭВМ с помощью специальной программы — транс-
лятора. В настоящее время для описания вычислительных
процессов наибольшее распространение получили алгорит-
мические языки высокого уровня АЛГОЛ и ФОРТРАН.
Эксплуатация современных ЭВМ невозможна без осна-
щения их большим комплексом программ, которые облегча-
ют решение задач и повышают эффективность ЭВМ. Эти
программы организуют весь процесс прохождения задач и
фактически управляют работой самих ЭВМ. Весь комплекс
таких программ принято называть программным обеспече-
нием. Более точно, под программным обеспечением (сокра-
щенно ПО) ЭВМ будем подразумевать совокупность про-
9
грамм и документации на них, предназначенных для реали-
зации целей и задач ЭВМ.
По функциональному назначению ПО можно разделить
на две части: системное ПО, предназначенное для автома-
тизации разработки программ, для организации и контроля
вычислительного процесса на ЭВМ, а также прикладное
ПО, предназначенное для решения конкретных задач в раз-
личных сферах применения ЭВМ.
Программное обеспечение является составной частью
математического обеспечения ЭВМ, представляющего собой
совокупность математических методов, алгоритмов, алгорит-
мических языков и программного обеспечения, предназна-
ченных для подготовки задач к машинному решению,
обеспечения эффективного прохождения их через ЭВМ и
получения решения задачи.
Трудоемкость разработки программного обеспечения можно проил-
люстрировать следующими данными. Трудоемкость операционной систе-
мы, разработанной фирмой IBM (США) для своих ЭВМ второго поколе-
ния, составила около 200 чел.-лет, для ЭВМ третьего поколения — уже
около 2000 чел.-лет.
Совокупная стоимость ПО, разработанного фирмой IBM, к 1975 г.
достигла 1 млрд. дол. Общая мировая (без учета стран СЭВ) стои-
мость разработанного к 1970 г. ПО составила 20 млрд, дол.; по прогно-
зам на 1985 г. эта сумма возрастет до 200 млрд, дол.; при этом стои-
мость технических средств ЭВМ соответственно равна 5 и 20 млрд. дол.
В то время как для темпов роста традиционных видов научно-тех-
нической информации характерно удвоение информации за 12—16 лет,
в рассмотренном периоде в течение 10—15 лет произошло увеличение
стоимости ПО в 10 раз. В ближайшие десятилетия, согласно 'научным
прогнозам, эти высокие темпы роста должны сохраниться.
Непрерывное наращивание установленных машинных мощ-
ностей, повышение основных технических характеристик
ЭВМ (объема всех видов памяти и быстродействия) приво-
дят к снижению стоимости основных видов услуг (выполне-
ние одной операции и хранение единицы информации в еди-
ницу времени), значительному расширению круга пользова-
телей и вместе с тем к непрерывному росту параметров, харак-
теризующих сложность решаемых задач: объемов обрабаты-
ваемых данных, трудоемкости и сложности алгоритмов.
Это приводит к разрыву между потребностями пользовате-
лей и возможностями программистов, обслуживающих ЭВМ.
Преодолеть возникшее противоречие удается за счет ис-
пользования алгоритмического языка высокого уровня и
максимального приближения пользователя к ЭВМ, обеспе-
чив ему возможность решать задачу, минуя посредника —
прикладного программиста. При этом решающее значение
имеет создание специальным образом организованных про-
10
граммных комплексов, обеспечивающих одновременно пот-
ребности возможно большего числа пользователей — паке-
тов программ.
Пакетом прикладных программ (ППП) будем называть
комплекс взаимосвязанных прикладных программ, облада-
ющих специальной организацией, которая обеспечивает зна-
чительное повышение производительности труда програм-
мистов и пользователей пакета. Для ППП характерны:
1. Ориентация пакета на определенный класс задач. 2. Нали-
чие определенных возможностей по методам обработки
данных, формам представления данных, полноте диагности-
ки, тестовых примеров. 3. Значительное снижение требова-
ний к уровню профессиональной подготовки пользователя в
области программирования.
По способу управления пакетом ППП делят па два класса: пакеты
простой структуры и пакеты сложной структуры.
ППП простой структуры — это набор модулей, обеспечивающих ре-
шение различных задач из предметной области на которую ориенти-
рован пакет. Среди пакетов простой структуры можно выделить две
группы.
Первая из них —это пакеты, расширяющие системные или личные
библиотеки. Обращение к модулям таких пакетов осуществляется из
прикладной программы пользователя. При этом информационное сопря-
жение включенных в программу модулей друг с другом и с включаю-
щей программой обычно происходит па уровне оперативной памяти.
Ввод и вывод результатов, использование внешней памяти в каче-
стве буфера при решении больших задач такие пакеты обычно не обес-
печивают— эти функции возлагаются на программиста.
Вторую группу пакетов простой структуры условно можно назвать
пакетами с автономными программами. Для них характерно закрепление
отдельных задач,, решаемых пакетом, за автономными программами, об-
ращение к которым оформляется в виде самостоятельных шагов (пунк-
тов) задания. Такая организация пакета требует разработки информа-
ционного сопряжения на уровне внешней памяти.
Для управления пакетом обычно используются возможности языка
управления заданиями операционной системы (ОС) ЭВМ.
Среди пакетов сложной структуры также можно выделить две
группы.
Пакеты первой группы — пакеты с произвольной последовательно-
стью обращения к модулям — являются дальнейшим развитием пакетов
с автономными программами. Функции управления пакетом сосредота-
чиваются в специальных модулях, образующих управляющую програм-
му. Используется входной язык пакета, обеспечивающий задание требуе-
мой последовательности обращений к обрабатывающим модулям.
Вторая группа пакетов сложной структуры — пакеты с фиксирован-
ной последовательностью обращения к модулям.
В пакетах этой группы допустимые последовательности обращения
к обрабатывающим модулям фиксируются при создании пакета в виде
1 Предметная'область —некоторый раздел науки, техники либо
некоторая область человеческой деятельности, решение задач которой
обеспечивается пакетом.
Н
некоторого графа1 предметной области—(ГПО), отражающего при-
чинно-следственные связи между результатами решения частных задач
(этапов вычислений), вырабатываемых отдельными модулями. Таким
образом, ГПО является математической моделью предметной области.
Решению некоторой задачи из предметной области соответствует неко-
торый подграф ГПО.
Наличие в составе пакету формализованной модели предметной об-
ласти и средств, обеспечивающих работу с ГПО, значительно упрощает
работу с пакетом.
Пакеты этой группы обладают наиболее сложной организацией и
предъявляют наименьшие требования к квалификации пользователя.
Эго направление в конструировании пакетов программ в настоящее вре-
мя интенсивно развивается в Московском институте стали и сплавов
при разработке под руководством автора пакета прикладных программ
<ОМД-83>, предназначенного для математического моделирования про-
цессов неизотермического пластического течения металлов и сплавов и
создания диалоговой системы на базе ЭВМ СМ-4.
В основе алгоритмов прикладных программ и их отдель-
ных модулей при исследовании процессов, связанных с плас-
тической деформацией металлов и сплавов, лежат решения
краевых задач математической физики. Как отмечает
Г. И. Марчук, всякая редукция задач математической фи-
зики или техники в конечном итоге обычно сводится к ал-
гебраическим уравнениям той или иной структуры. Поэтому
решение краевых задач, как правило, связано с выбором
того или иного метода сведения задачи к системе линейных
алгебраических уравнений и ее последующему решению.
Наиболее перспективным методом, решающим указан-
ную проблему, в настоящее время следует считать проекци-
онно-сеточный метод (метод конечных элементов). В своей
методологической основе этот метод тесно связан с такими
проекционными методами, как метод Галеркина или метод
Ритца, однако вместо привычных нам координатных функ-
ций (тригонометрические функции, полиномы Лежандра,
Эрмита и т. д.) в этом методе в качестве координатных ис-
пользуются функции с конечным носителем, отличные от ну-
ля только в сравнительно небольшой области изменения
аргументов.
Метод конечных элементов первоначально появился в строительной
механике как один из вариантов хорошо известного метода Рэлея—
Ритца. В дальнейшем, когда было показано, что построение системы
алгебраических уравнений может быть выполнено с помощью метода 1
1 Граф — основное понятие теории графов, раздела конечной матема-
тики, особенностью которого является геометрический подход к изуче-
нию объектов. Граф задается множеством вершин (точек) и множеством
ребер (связей), соединяющих некоторые, а может быть и все пары вер-
шин. Граф называется ориентированным, если на ребрах задана ориен-
тация, т. е. указан порядок прохождения вершин.
12
Галеркина, область применения метода существенно расширилась, по-
скольку с его помощью удается решить практически любые краевые
задачи.
Метод сводится к следующему. Физическая область задачи делится
на неперссекающиеся подобласти или конечные элементы. Зависимая пе-
ременная (их может быть несколько) локально аппроксимируется функ-
цией специального вида (например, полиномом невысокой степени) на
каждом конечном элементе и в дальнейшем глобально — во всей области.
Параметры этих аппроксимаций в дальнейшем становятся неизвестными
параметрами задачи. Подстановка аппроксимаций в уравнения метода
Галеркина или Ритца (или эквивалентные им, например, в уравнения
начала виртуальных скоростей в механике сплошной среды) с после-
дующей линеаризацией дает систему линейных алгебраических уравне-
ний относительно указанных параметров, матрица которой обладает за-
мечательным свойством — она является ленточной, очень удобной для
решения системы на ЭВМ.
В настоящее время разработаны хорошо организованные пакеты
прикладных программ для ЭВМ, включающие «библиотеку элементов»,
позволяющих правильно представить рассматриваемую область, описа-
ния «функций формы» элементов — координатных функций, заданных
внутри элемента, а также программы конструирования и решения со-
ответствующих алгебраических систем. При этом разбиение области на
конечные элементы может осуществляться самой ЭВМ.
Следует отметить, что при моделировании процессов
пластического течения необходимость решения больших си-
стем с применением ЭВМ требует применения матричной
формы записи основных уравнений механики сплошных
сред.
С практической реализацией и теоретическим обоснова-
нием метода конечных элементов оказались тесно связанны-
ми две математических проблемы — проблема аппроксима-
ции и проблема отображения одной области на другую.
Первая из этих проблем близка к проблеме интерполя-
ции сеточных функций. Эта проблема возникает всякий раз,
когда требуется восполнить заданную на сетке функцию
непрерывными функциями на всю область. Сюда относятся
задача продолжения приближенного решения на всю об-
ласть по его значениям в узлах сетки и задача обработки
экспериментальных данных, известных на дискретном мно-
жестве точек.
Несмотря на то что задача интерполяции не является
новой и в литературе хорошо известны классические методы
ее решения (такие, как построение интерполяционных по-
линомов Лагранжа) в последние десятилетия появилось
новое и очень перспективное с точки зрения приложений на-
правление в теории интерполяции и сглаживания — исполь-
зование так называемых сплайновых интерполяций.
Идея сплайновой интерполяции во многом близка идеям метода ко
ночных элементов. Область определения функции разбивается на ко-
13
нечнбе число непересекающихся областей, в каждой из которых стро-
ится аппроксимирующий полином сравнительно невысокой (например,
третьей) степени. Параметры полинома находятся из условий аппрок-
симации (например, функция должна принимать заданные значения в
узлах сетки), а также из условия гладкости — непрерывности произ-
водных вплоть до некоторого порядка. Таким образом, теория сплайн-
фупкций создала теоретический фундамент для метода конечных эле-
ментов. Вместе с тем с применением сплайнов удается решить многие
проблемы, возникающие при моделировании процессов пластического
течения. К ним относятся, в частности, проблемы аппроксимации дан-
ных пластометрических испытаний сопротивления деформации и плас-
тичности металлов и сплавов, обработки результатов измерений дефор-
мированных координатных сеток и др.
Метод отображений нашел широкое применение при по-
строении криволинейных элементов, позволяющих получить
аппроксимацию тела относительно сложной формы с при-
менением небольшого числа конечных элементов. Наряду
с локальным отображением отдельного элемента на канони-
ческую область во многих случаях удается построить гло-
бальное отображение всей физической области на такую
область — прямолинейную полосу, единичный круг, круго-
вой цилиндр или прямоугольный параллелепипед, т. е. на
область значительно более простой геометрии. Решение кра-
евой задачи для такой области существенно упрощается.
Итак, создание математических моделей процессов плас-
тической деформации металлов и сплавов, включение их в
соответствующие пакеты прикладных программ предусмат-
ривают глубокое изучение и практическое использование-
математического аппарата линейной алгебры, теории ото-
бражений, проекциопно-сеточных методов, теории аппрокси-
маций. Необходимо также уметь записывать основные за-
висимости механики деформируемого твердого тела в мат-
ричной форме, наиболее удобной для постановки и решения
краевых задач с применением ЭВМ.
Раздел I. МАТРИЦЫ, ОТОБРАЖЕНИЯ,
МЕХАНИКА КОНТИНУУМА
я
Высокопроизводительные электронные вычислительные ма-
шины являются эффективным средством для математичес-
кого моделирования сложных задач науки и техники. В на-
стоящее время количественные методы исследования про-
никают во все сферы человеческой деятельности, а матема-
тические модели становятся средством познания.
При этом появилась необходимость в последовательном
изложении основ вычислительной математики и механики
сплошных сред, ориентированном на практическое создание
алгоритмов и программ для ЭВМ, реализующих эти моде-
ли. В центре внимания оказываются методы построения и
решения систем линейных алгебраических уравнений, к ко-
торым практически всегда редуцируется соответствующая
задача математической физики, лежащая в основе модели.
При этом к основным вопросам, изучаемым вычислитель-
ной математикой, относятся вопросы аппроксимации реше-
ния, устойчивости и сходимости алгоритмов.
Большое значение для реализации на ЭВМ имеет удоб-
ная форма записи основных зависимостей. В настоящее вре-
мя наиболее перспективной следует считать матричную фор-
му записи. Она позволяет не только наглядно представить
соответствующие алгоритмы, но и практически сформиро-
вать системы уравнений при очень широких исходных пред-
положениях о свойствах сплошной среды, моделирующей по-
ведение реального металла, например, для анизотропных
сжимаемых сред с памятью.
Изучение элементов теории линейных пространств, ото-
бражений, формулировка основных зависимостей механи-
ки сплошных сред в матричной форме позволят перейти к
практическому построению алгоритмов таких тонких мето-
дов современной вычислительной математики, как проекци-
онно-разностные методы и метод конечных разностей, а в
дальнейшем — реализовать на их основе математические
модели процессов пластической деформации металлов.
Г л а в а 1.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Практическая реализация математических моделей процес-
сов обработки металлов давлением осуществляется с при-
менением методов вычислительной математики, непрерывно
15
совершенствующейся вместе с развитием вычислительной
техники.
Наиболее эффективные из этих методов сводят решение
соответствующих краевых задач к решению систем линей-
ных алгебраических уравнений. Поэтому ознакомление с ос-
новами аппарата линейной алгебры является необходимым
для успешного изучения методов математического модели-
рования.
Рассматривая основные понятия теории конечномерных
линейных пространств, элементы любого линейного прост-
ранства будем называть векторами, несмотря на то что по
своей конкретной природе они могут быть совсем не похожи
на направленные отрезки. Геометрические представления,
связанные с понятием «вектора», помогут уяснить и часто
предвидеть нужные результаты, а также находить не всег-
да очевидный геометрический смысл в различных зависи-
мостях.
Рассмотрение метрических пространств позволяет дать
определение близости элементов множеств, последователь-
ности этих элементов, предельного перехода, полноты про-
странства, т. е. ввести основные топологические понятия.
Понятие скалярного произведения позволяет построить ап-
парат гильбертовых пространств — основной «рабочий
инструмент» современной вычислительной математики.
Построение линейного оператора, действующего из од-
ного конечномерного линейного пространства в другое, про-
изводится с применением матрицы. Матричное изложение
основных зависимостей механики сплошных сред и аппара-
та вычислительных методов сочетает наглядность алгорит-
мов с возможностью их эффективной практической реализа-
ции на ЭВМ. Особый интерес для приложений представля-
ют матрицы с диагональным преобладанием, диагональные
элементы которых значительно больше по модулю боковых
компонент, а также ленточные матрицы.
Вычислительные методы, сводящиеся к хорошо обуслов-
ленным системам линейных алгебраических уравнений с
такими матрицами наиболее эффективны, отличаются ус-
тойчивостью, позволяют экономить память ЭВМ.
Преобразования базиса в линейном пространстве приво-
дят к необходимости изучения общих свойств тензоров. При
этом рассматриваются наиболее простые тензоры — тензоры
второй валентности в декартовых координатах. Основное
внимание уделяется соответствующим матричным соотно-
шениям, позволяющим наглядно записывать уравнения ме-
ханики сплошных сред.
16
1. Метрические и линейные пространства.
Обобщенные функции
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. Множество £ называ-
ется метрическим пространством, если каждой паре его эле-
ментов хну поставлено в соответствие неотрицательное ве-
щественное число р(х, у), называемое расстоянием между
х и у и удовлетворяющее следующим условиям (аксиомы
метрического пространства [1]: 1) р(х, у)=0 тогда и толь-
ко тогда, когда х=у; 2) р(х, у)=р(у, х) (аксиома симмет-
рии)^) для любых трех элементов х,у и z р(х, у)^.
г^р(х, z) +p(z, у) (аксиома треугольника).
При этом говорят, что в пространстве £ введена метри-
ка. Элементы метрического пространства обычно называ-
ются его точками.
Всякое множество D, лежащее в метрическом простран-
стве £ и рассматриваемое с теми же расстояниями между
элементами, что и в £, является метрическим пространст-
вом и называется подпространством пространства £.
Элемент х метрического пространства £ называется
пределом последовательности элементов хь х2, ..., хп, ... из
£, если р(хп, х)-»-0 при л-»-оо. В этом случае, x«->x.
Множество М, содержащееся в £, называется замкну-
тым, если какова бы не была сходящаяся в предел последо-
вательность точек хп, ее предел тоже входит в М.
Пусть D С. Е — произвольное множество. Точка хе£
называется предельной точкой множества D, если существу-
ет такая последовательность точек хлеО, среди которых
имеется бесконечное множество различных, что x=lim хп.
Таким образом, замкнутое множество — это такое мно-
жество, которое содержит все свои предельные точки.
Для произвольного множества DC2 E существует опера-
ция замыкания, заключающаяся в присвоении к множеству
D пределов всех сходящихся последовательностей его точек.
Последовательность •{ хп} элементов метрического
пространства £ называется сходящейся в себе или фунда-
ментальной последовательностью, если она удовлетворяет
критерию Коши, т. е. для любого числа е>0 найдется такое
число А^е, что р(хп, хт) <е при п, .
Если в пространстве £ любая фундаментальная после-
довательность сходится, то это пространство называется
полным.
Множество D, содержащееся в метрическом простран-
стве £, называется компактным, если из любой бесконечной
последовательности точек xn^D можно выделить частичную
2 Г. Я. Гув
17
последовательность Xni, хП2, .... хпь,... (И1.<П2<...<лл<...),
сходящуюся в D к некоторому пределу. Если, в частности,
само пространство Е обладает таким свойством, то оно на-
зывается компактным пространством.
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
Определение линейного пространства обобщает определение
совокупности векторов привычного нам трехмерного евкли-
дова пространства [2].
Определение. Множество К называется линейным
пространством над полем' К., если
а) имеется правило (правило сложения), которое позво-
ляет для каждых двух элементов х и у из К построить тре-
тий элемент zeK, называемый суммой и обозначаемый
х+у;
б) имеется правило (правило умножения на число), ко-
торое позволяет построить для каждого элемента хе К и
любого числа 2.еК элемент и еК, называемый произведе-
нием элемента х на число А, и обозначаемый \х;
в) правила а) и б) удовлетворяют двум группам аксиом:
аксиомы сложения:
1) х+у=у+х для любых х, у из К; х
2) (х+у) +z=x+ (y+z) для любых х, у, г из К;
3) существует элемент 0 (нуль-вектор). такой, что х+
+0=х для любого хе К;
4) для каждого хе К существует элемент t/eK такой,
что х+#=6 (противоположный элемент); аксиомы умно-
жения:
5) 1 «х=х для любого хе К;
6) а(0х) = (а0)х для любого хе К и любых а и 0 из К;
7) (а+0)х=ах+0х для любого хеК и любых а и 0
из К;
8) а(х+у) = ах+ау для любых х и у из К и любого
аеК.
.Элементы линейного пространства будем называть так-
же векторами.
Пример. Пространство Уз. Элементы этого пространства —
свободные векторы, рассматриваемые в аналитической геометрии.
Каждый вектор характеризуется длиной и направлением. Исключение
составляет нуль-вектор, длина которого равна нулю, а направление —
произвольно.
1 Всякая система чисел, содержащая сумму, разность, произведение
двух чисел, называется числовым кольцом. Кольцо называется числовым
полем, если оно состоит не только из одного нуля и если в нем можно
выполнить деление, притом однозначным образом, во всех случаях, кро-
ме случая деления на нуль. В дальнейшем под полем К будем, как
правило, подразумевать поле R вещественных чисел.
18
Сложение векторов определено обычным образом по правилу па-
раллелограмма. Умножение вектора на вещественное число X опреде-
лено также обычным образом.
Аналогичные совокупности векторов на плоскости и прямой обозна-
чим соответственно через V2 и Уь
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. Пусть х(, х2..........хк — векто-
ры линейного пространства К над полем К и at, а2,ак—
числа из поля К.
Вектор
у = агХг+ а2х2+...+ акхк (1.1)
называется линейной комбинацией векторов Хь x2,...,xk; чи-
сла at, аг,..., ak — коэффициентами этой линейной комби-
нации.
Определение. Векторы xit х2хк называются линей-
но зависимыми, если существуют числа at, а2.ак, не все
равные нулю, и такие, что
a1x1 + a2x2+...+ aftxft = 0. , (1.2)
Если равенство (1.2) возможно в единственном случае,
когда а1=а2=...=ал=0, то векторы xt, х2, ...,хк называют-
ся линейно независимыми.
Пример. Пространство V3. В этом пространстве ли-
нейная зависимость двух векторов означает, что они па-
раллельны одной и той же прямой; .линейная зависимость
трех векторов характеризуется параллельностью одной и
той же плоскости.
Всякие четыре вектора линейно зависимы.
БАЗИС, КООРДИНАТЫ, РАЗМЕРНОСТЬ. Рассмот-
рим способ, позволяющий свести линейные операции в про-
странстве заданные абстрактно, к обычным линейным опе-
рациям с числами. С этой целью введем понятие базиса и
координат вектора в этом базисе [2, 3].
Определение. 1. Система линейно независимых век-
торов (в[, е2, ..., еп) некоторого линейного пространства К
образует базис пространства К, если для всякого вектора
хе К существует разложение
х=^е1 + ^е2+...+ ^пеп(^К, /=1,2......n). (1.3)
«Числа gi, 1-2, —, £п определяются единственным образом,
они называются координатами вектора х относительно ба-
зиса Ct, е2,.... еп.
Легко видеть, что введенные ранее операции сложения
векторов, и умножение вектора на число сводятся к опера-
циям над координатами: соответственно сложению коорди-
2*
19
нат двух векторов и умножению координат вектора на
число.
Пример. Пространство V3. В этом пространстве базис об-
разуют тройки взаимно ортогональных ортов е2, е3. Координаты xt,
х2, х3 вектора х относительно этого базиса — проекции вектора х на
координатные оси.
Рассмотрим понятие размерности пространства.
Определение 2. Если в линейном пространстве К
можно найти п линейно независимых векторов, а всякие п-}-
+/ векторов этого пространства линейно зависимы, то число
п называют размерностью пространства К; само же прост'
ранство К называют п-мерным.
ПОДПРОСТРАНСТВА. Пусть некоторая совокупность
L элементов линейного пространства К обладает следую-
щими свойствами: 1) если xeL, y^L, то x+y^L\ 2) если
xeL. X — элемент поля К, то Ххе£.
Определение. Всякая совокупность LcK, удовлет-
воряющая условиям 1 и 2, называется линейным подпрост-
ранством (или просто подпространством) пространства К.
Пример. Пространство У3. В пространстве V3 все векторы,
параллельные какой-либо плоскости (или какой-либо прямой), образу-
ют подпространство соответственно размерности 2 или 1.
Отметим важное свойство подпространств: 1) каждое
подпространство также является линейным пространствам;
2) в каждом подпространстве LcK можно построить базис
из такого числа векторов, какова размерность подпростран-
ства L.
ЛИНЕЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ. Наиболее простым спосо-
бом построения подпространства является образование ли-
нейной оболочки заданной системы векторов.
Определение. Пусть х, у, ...г — некоторая система
векторов линейного пространства К; линейной оболочкой
системы х, у, г, ..., называется совокупность всех (конеч-
ных) линейных комбинаций
ах + $у + Ьг +... (1.4)
с коэффициентами а, 0, X из поля К.
Пример. Пространство У3. Линейная оболочка пары (некол-
линеарных) вектором пространства состоит из всех векторов, парал-
лельных плоскости указанной пары векторов.
Линейная оболочка векторов х, у, z, ...» обозначается
через L(x, у, z, ... ). Допустим, что среди этих векторов мы
смогли найти г линейно независимых векторов хь х2, ...»
20
хг. Можно показать, что они образуют базис пространства
L (х,у, z,...).
Отсюда следует, что размерность пространства L (х, у,
г, ...) можно определить как максимальное число линейно-
независимых векторов в системе х, у, z,...
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА. Рассмотрим
понятие нормированного пространства.
Определение. Линейное пространство Е называет-
ся нормированным, если каждому элементу х^Е ставит-
ся в соответствие вещественное число, которое называется
нормой этого элемента и обозначается ||х||, причем предпо-
лагается, что выполняются следующие условия (аксиомы
нормы):
1) ||х||^0, причем ||х|| =0, тогда и только тогда, когда
х=б;
2) ||х-|-у||^||х||+Иу|| для любых х, у^Е (аксиома тре-
угольника) ;
3) ||Хх||=|Х| • ||х|| для любого хеЕ и любого числа X.
В линейном нормированном пространстве можно ввести
метрику, полагая для любых х, у^Е, что
р(х,у) = II х—у и- (1.5)
расстояние между элементами равно норме их разности.
Легко проверить, что введенное расстояние удовлетво-
ряет всем аксиомам метрики. Поскольку х—0=х, то
11X11 = Их—е II =р(х,0), (1.6)
т. е. норма любого элемента равна его расстоянию до нуля.
Элемент, норма которого равна единице/ называется
нормированным.
После введения нормы сходимость последовательности
элементов {хп} к х означает, что ||хп—х||—>0.
Определенная таким образом сходимость называется
сходимостью по норме.
Применяя определение полноты, данное для произволь-
ного метрического пространства, будем называть нормиро-
ванное пространство полным (пространством Банаха), ес-
ли всякая фундаментальная последовательность его эле-
ментов имеет предел.
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА. Пусть Е — линей-
ное йространство и пусть любым двум ее элементам х и у
(в частности, может быть х=-у) сопоставлено веществен-
ное число, обозначаемое (х, у) и удовлетворяющее следу-
ющим условиям (аксиомы скалярного произведения):
1) (*, у) = (у, х); 2) (х+у, z) = (x, z) + (y, z); 3) (Хх,
21
у)=К(х, у); 4) (х, х)>0 для любого хеЕ, причем (х,
х) =0, тогда и только тогда, когда х=0.
Число (х, у) называется скалярным произведением. Ис-
пользуя это понятие, определим норму элемента в системе
Е. Для этого достаточно положить
II х|| = + /(*?*)• J (1.7)
Итак, скалярное произведение породило норму в линей-
ной системе Е, т. е. превратило эту систему в нормирован-
ное пространство. Пусть теперь получившееся пространст-
во является полным. Другими словами, каждая фундамен-
тальная. последовательность в этом пространстве имеет
предел.
Определение. Полное нормированное пространство
Н, норма в котором порождена скалярным произведением,
называется гильбертовым пространством.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. Введя скалярное произ-
ведение, можно дать определение основных метрических
понятий — длины вектора и угла между двумя векторами.
Определение 1. Длиной (нормой) вектора х в гиль-
бертовом пространстве Н называется величина
Цх|| = + ИМ.- (1.8)
Определение 2. Углом между парой векторов х и у
называется тот угол (в пределах от 0 до 180°), косинус ко-
торого равен отношению (х, у)/(||х|| • ||у||).
Указанное отношение по абсолютной величине не превы-
шает единицы, что вытекает из неравенства Коши—Буня-
ковского
I (х, у) | < || х || || у || . (1.9)
Докажем это неравенство. Рассмотрим вектор Хх—у, где X— ве-
щественное число. Из аксиомы 4 при любом X следует, что (Хх—у, Кх—
—у) >0 или
V (х, х) - 2Х (х, у) + (у, у) > 0. * (L10)
Квадратный трехчлен с постоянными коэффициентами, стоящий в
левой части неравенства (1.10), не может иметь различных веществен-
ных корней. В противном случае он не мог бы сохранять знака для
всех значений К. Поэтому дискриминант (х, у)2—(х, x)(yt у) этого трех-
члена не может быть положительным. Следовательно, (х, у)2<(х, х)Х
Х(у, у). Извлекая квадратный корень, получаем (1.9).
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ. Векторы (х, у) называются ор-
тогональными, если (х, у)=0, другими словами угол меж-
ду ортогональными векторами х, у равен 90°. Нулевой век-
тор ортогонален к любому вектору хе/?.
22
Можно показать, что: а) взаимно ортогональные нену-
левые векторы Xi, х2...Хн линейно независимы; б) если
векторы 4/1, 4/2. 4/л ортогональны к вектору х, то любая
комбинация ai4/i+a24/2+...-f-aft4/fc также ортогональна к
вектору х.
Совокупность всех линейных комбинаций ai4/i+a2#2+—
...+ал4/л образует линейную оболочку. Присоединив к ней
все ее предельные элементы, получим подпространство L
(4/1, 4/2.4/л). Следовательно, вектор х ортогонален к каж-
дому вектору подпространства L. Будем полагать, что век-
тор х ортогонален к подпространству L.
Понятие ортогональности позволяет дать обобщение те-
оремы Пифагора, а именно: пусть векторы Xi, х2.х* вза-
имно ортогональны и z—Xi+x2+...+x\, тогда
|| z И * = (х, + хг +... 4- xk, хх + х2 +...+ xk) =
= 11х1||24- ||х,||2+...+ II ХА II 2. (1.11)
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС. Существование ортого-
нального базиса устанавливает следующая теорема.
Теорема 1.1. В п-мерном гильбертовом пространстве
Нп существует базис из п ненулевых взаимно ортогональ-
ных векторов.
Пусть 4/ь 4/2, ..., 4/п — ортогональный базис. Разделив
каждый из векторов на его длину, получаем в пространстве
Нп ортонормированный базис elt е2, ..., еп. Каждый вектор
х^Нп можно представить в виде
х = Н- ^2 “Ь ••• 4~ 5п ел> (I-12)
где (х,-в/)—координаты вектора в базисе вь е2, ..., еп\
будем называть их коэффициентами Фурье.
Рассмотрим бесконечномерное гильбертово пространст-
во Н. Система' функций фь фг, ...» ф«, — называется полной
в пространстве Н, если в Н не существует ни одного нену-
левого элемента, ортогонального всем элементам этой си-
стемы. Иначе говоря, система фь фг,... ф„,... полна, если
цз условий феЯ, (фя, <р)=0 (л=1, 2, ...) вытекает, что
Ф=0.
Теорема 1.2. Полная ортонормированная система ei е2,
.... еп в гильбертовом пространстве Н является базисом в
том смысле, что для каждого элемента существует
разложение в сходящийся (по норме) ряд Фурье:
оо
ф ~ 2 а'т ^т9
т=1
(1.13)
20
причем
II Ф II 2= 2 ат
т—1
(1.14)
ОПЕРАТОРЫ и ФУНКЦИОНАЛЫ.
Определение 1. На некотором множестве Da элементов
гильбертова пространства Н определен оператор А, если
каждому элементу q^DA приведен в соответствие по неко-
торому закону один и только один элемент ф гильбертова
пространства. Запишем это соответствие в виде
ф = Лф. (1.15)
Множество Da называется областью определения опе-
ратора А, а множество Ra всевозможных элементов ф—
областью значений оператора А.
Следует отметить, что в понятие ‘оператора существен-
но входит его область определения. Поэтому для равенст-
ва двух операторов Л и В требуется совпадение их облас-
тей определения. Кроме того, для каждого элемента <р, вхо-
дящего в их области определения, должно выполняться
равенство Лф=Вф.
Если DaczDb и для каждого феВд Лф=Вф, то опера-
тор В называется расширением оператора Л.
Пусть Da — линейное пространство и для произвольных
постоянных at и аг выполняется равенство
Л(а1ф1 + а2ф2) = а1Лф1 + а2Лф2, (1.16)
где фь фг — два произвольных элемента Da. Тогда опера-
тор Л называется линейным оператором.
Оператор называется непрерывным, если
НшЛф=Лф при ф-*-ф (1.17)
и ограниченным, если он линейный и
|| Лф || < С || ф || при С — const. (1.18)
Z
Наименьшая из постоянных С, удовлетворяющая нера-
венству (1.18), называется нормой ограниченного операто-
ра Л и обозначается ЦЛ||. Очевидно, ||Лф||||Л|| • ||<р||.
Линейный ограниченный оператор непрерывен и, обрат-
но, линейный непрерывный оператор ограничен.
Пусть Da — область определения оператора А и Ra —
его область значений. Допустим, что соответствие между
элементами DA и Ra, устанавливаемое оператором Л, яв-
24
ляется взаимно однозначным, т. е. каждому элементу DA
соответствует один элемент Ra и, обратно, каждому эле-
менту Ra соответствует только один элемент DA\ это со-
ответствие определяет некоторый оператор В, имеющий Ra
своей областью определения и DA— своей областью зна-
чений. Оператор В называется обратным по отношению к
А. Очевидно, что и оператор А—обратный по отношению
к В. Мы будем писать В=А~\ Оператор, обратный линей-
ному, тоже линеен.
Оператор А называется симметричным, если множество
Рл —плотно и для любых <р, феРд выполняется тожде-
ство (Дф, ф) = (ф, Дф).
Симметричный оператор называется самосопряженным,
если выполнены следующие условия: пусть ф и ф*—эле-
менты И, обладающие тем свойством, что для любого эле-
мента феВл справедливо тождество:
(Дф.ф) = (ф,ф*), (1.19)
тогда
фбРл и Дф = ф*, (1.20)
т. е. (Дф, ф) = (ф, Дф). Симметричный оператор А назы-
вается положительным, если для любой, отличной от тож-
дественного нуля функции ф из его области определения
справедливо неравенство
(Дф»ф)>0. (1.21)
Симметричный оператор А называется положительно
определенным, если для любой функции ф из его области
определения справедливо неравенство
(Дф,ф)>у» || Ф ||«, (1.22)
где у — положительная постоянная.
Простейшим примером самосопряженных операторов
является оператор проектирования. Пусть L — подпрост-
ранство пространства Н. Оператором проектирования Р на
подпространство L или ортогональным проектом на L на-
зывается оператор, ставящий в соответствие каждому эле-
менту ф его проекцию ф на пространство L-.
ф = Рф. (1.23)
Ортогональный проектор самосопряжен; его квадрат
равен ему самому. Норма проекционного оператора равна
единице и он ограничен.
Определение 2. На множестве Di, принадлежащем
гильбертову пространству Н, определен функционал /(ф),
25
если каждому элементу <p^Di приведено в соответствие не-
которое число /(ф). Множество Dt называется областью
определения функционала /.
Пусть Di — линеал. Функционал Z(<p), заданный на Di,
называется линейным, если выполняется равенство
/ (flx Ф1 4- а2 Фг) = ах / (фх) + а21 (ф2). (1.24)
Функционал /(ф) называется непрерывным, если
lim I (ф) = I (ф), ф->ф. (1.25)
Линейный функционал называется ограниченным, если
/(ф)1<АЙ| ф || . (1.26)
Здесь Я1, а2, N — постоянные, а ф>, фг, ф—элементы
гильбертова пространства Н.
Пример. Функционал, определяемый скалярным произведением:
Z(<p)=(<p, ф)—линейный и ограниченный. Линейность следует из
свойств скалярного произведения, а’ограниченность — из неравенства
Коши—Буняковского: | (<р, ф) | < llxpll • ||ф|.
Наименьшее из чисел Аг, удовлетворяющих неравенст-
ву (1.26), называется нормой ограниченного функционала
/(ф) и обозначается ||/||, Неравенство (1.26) принимает вид
/(ф)|<11/|| • II ФИ- (1.27)
Теорема 1.3. Всякий ограниченный в пространстве Н
линейный функционал I имеет вид скалярного произведе-
ния: /(ф) = (<р, ф), где ф—фиксированный элемент прост-
ранства Н. Элемент ф определен единственным образом.
ПРОСТРАНСТВО L2(Q). Рассмотрим множество функ-
ций ф(Р), определенных в некоторой конечной области й
m-мерного эвклидова пространства Rm причем Рей. Эта
область будет плоской (т=2), если функции зависят от
двух независимых переменных, выродится в отрезок пря-
мой при т=1 и будет пространственной, если т=3.
Предположим, что функции являются квадратично сум-
мируемыми, т. е. существует интеграл1 (по Лебегу)
Уф‘(Р)</й. (1.28)
Q
1 Понятие интеграла по Лебегу является более общим, чем обычное
понятие интеграла по Риману. В отличие от интеграла Римана интеграл
Лебега существует практически для каждой ограниченной функции.
При этом всякая функция, интегрируемая по Риману, необходимо ин-
тегрируем и по Лебегу и оба ее интеграла равны между собой. Под-
робнее см. [1].
26
Обозначим пространство таких функций L2(Q). Введем в
нем операции сложения по правилу:
Ф 4-ф = ф(Р) + ф(Р). Хф = Хф(Р) при (1.29)
Аксиомы линейных пространств удовлетворяются. Если
ф(Р) и ф(Р) квадратично суммируемы, то из неравенства
| аф + bty |2 < (а3 ф2 + Ь2 ф2). (1.30)
и свойства лебеговых интегралов следует, что функции
ф+ф и Лф также квадратично суммируемы.
Определим скалярное произведение в L2(Q) следующим
образом:
(ф,ф) = |ф(Р)ф(Р)<й2. (1.31)
о '
Интеграл (1.31) существует. Это следует из свойства
лебеговых интегралов и неравенства фф^ 1/2(ф24-ф2).
Легко видеть, что'аксиомы скалярного произведения
выполняются. Норма в пространстве L2(Q) определяется
равенством
II Ф II2 = f Фа (Р) dQ. (1.32)
Q
Рассмотрим операцию предельного перехода в L2(Q).
Последовательность {фп} сходится к элементу фе£2(й),
если
lim [ [фп(Р) — ф(Р)]МЙ->0. (1.33)
Л->оо q
>ОО
Такая сходимость называется сходимостью в среднем.
Полнота пространства £2(П) следует из теоремы Рис-
са—Фишера:
Теорема 1.4. Если квадратично суммируемые в £2
функции ц>п(Р), n= 1,2, ...удовлетворяют условию
lim р<рДР)-фп(Р)12^ = 0 (1.34)
fc.n-юо Q
(т. е. последовательность фп является фундаментальной),
то существует квадратично суммируемая в Q функция
Ч(Р), К которой последовательность <рп(Р) сходится в
среднем.
Итак, пространство L2(Q) является гильбертовым про-
странством.
ПРОСТРАНСТВО L2(Q). Рассмотрим множество век-
27
торных функций (u) (Р), как и ранее определенных в не-
которой конечной области Я m-мерного евклидова прост-
ранства Rm.
Предположим, что векторные функции являются квад-
ратично суммируемыми по Лебегу, т. е. существует инте-
грал
J и2 (Р) dQ< оо, (1.35)
о
где и — модуль вектора и.
Обозначим пространство таких функций ^(Я). Введем
в нем операции сложения и умножения на число:
и 4- v = и (Р) 4- v (Р), X и = Xu (Р) (1.36)
при РеЯ. Легко видеть, что аксиомы линейных прост-
ранств удовлетворяются. Кроме того, если и(Р) и о(Р)
квадратично суммируемы, то векторные функции u-^-v и
Х'и также будут квадратично суммируемыми.
Определим скалярное произведение в L2 (Я) следующим
образом:
(и, о) = Ju (Р) v (Р) <1Я. (1.37)
Q
Можно показать, что интеграл (1.37) существует, а все
аксиомы скалярного произведения выполняются. Последо-
вательность элементов {un} сходится к элементу ие£г(Я),
если
lim J | ип (Р) — и(Р) |2 dQ->0. - (1.38)
Q
Такая сходимость называется сходимостью в среднем.
Полнота пространства L2(Q) следует из теоремы Рис-
са—Фишера.
Таким образом пространство A2(Q) является гильбер-
товым пространством.
ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА. Пусть Q — замкнутая ограниченная
область. Рассмотрим линейное пространство функций ф(Р), PgQ,
I раз непрерывно дифференцируемых на Q. При этом будем предпола-
гать, что в Q функции <р(Р) I раз непрерывно дифференцируемы, при-
чем каждая частная производная функции ф(Р) имеет предел при
стремлении Р к любой граничной точке области О, так что в резуль-
тате ее продолжения на Q она становится непрерывной в Q.
28
Введем в рассмотренном линейном пространстве норму (р>1)
НФ II ==И|ф(Р)|₽<К2+ 2 f\D»<f\PdQy"’, (1.39)
[й lc|a|</Q J
где
D°t<p = С+ +« ’ “={“i—» а"Ь (14°)
дХ1'...дхпп
Легко видеть, что все аксиомы нормы в данном случае выполняются.
Обозначим полученное нормированное пространство Присо-
единим к нему все предельные элементы. Пополнение пространства
Vzp(Q) обозначается IFp(Q) и называется пространством Соболева.
Наибольшее прикладное значение имеет случай, когда р=2. Обозна-
чив 1^2 (Q) =HZ(Q), приходим к гильбертову пространству, норма в ко-
тором порождена скалярным произведением
(Ф,ф) = (’<p(P)ip(P)dQ+ 2 [ЛафЯ°Ч<Ю. (1.41)
Пример 1. Пространство Н' (а, Ь) состоит из всевозможных функ-
ций ф(х), непрерывно дифференцируемых на [а, 6], со скалярным про-
изведением
ь ъ
(ф, ф) [ ф (х) ф (х) dx + f ф' (х) ф' (х) dx (1.42)
а а
и соответствующей этому скалярному произведению нормой '
/6 Ъ \1/2
II Ф II = If Ф2 (*) dx + ( ф-2 (х) dx , (1.43)
\а а /
где b) является пополнением Н'(а, Ь) в этой норме.
Пример 2. Пусть_ — односвязная область с границей S.
В замкнутой области Q=Q+S рассмотрим линейное пространство все-
возможных непрерывно дифференцируемых функций ф(х, у, г) со ска-
лярным произведением
(V. ♦) - JJJ W л * л + (-§- + -g- +
Q
дф дф \
+ \dxdydz
дг дг }
и нормой
II ф II = ^dxdydz
Q
(4.44)
2
Q
V/2
dx dydz> .
(1.45)
29
Полученное пространство обозначается Я'(Й), а его пополнение
является — пространством Соболева
ФУНКЦИИ ТОЧКИ И ФУНКЦИИ ОБЛАСТИ. Приняв гипотезу о
сплошности, мы тем самым игнорируем фактически дискретное строение
материи. «Функции точки», с которыми мы имеем дело в механике
сплошных сред, непосредственно не имеют физического смысла. Физиче-
ский смысл может быть приписан им лишь постольку, поскольку эти
функции позволяют охарактеризовать состояние среды не в точке, а в
некоторой, хотя бы малой, области достаточной, чтобы дискретное
строение материи перестало играть роль.
Пример. Понятие температуры имеет смысл лишь по отношению к
части физической среды, содержащей достаточно большое количество
молекул.
Таким образом, имеется определенный разрыв между содержанием
задач механики сплошных сред и их классической формулировкой, пре-
дусматривающей выполнение некоторых условий в каждой точке изу-
чаемой области. Между тем более правильным было бы описание физи-
ческих явлений с помощью функции области, а не функции точки.
В последние десятилетия разработана теория обобщенных функ-
ций — область функционального анализа^ возникшая в связи с потреб-
ностями математической физики и позволившая значительна усовершен-
ствовать аналитическую формулировку задач, глубже исследовать проб-
лему существования их решений. Изложим, не приводя строгих доказа-
тельств, элементы этой теории.
Рассматривая области m-мерного евклидова пространства Rm, бу-
дем обозначать точки этих областей буквами х, %,... Эти же буквы, но
с индексами, будут обозначать координаты соответствующих точек.
Пусть f (х) — функция точки х, описывающая некоторое физиче-
ское явление. Как было отмечено, физический смысл должен быть при-
писан не Самой функции f(x), а некоторой определяемой с се помощью
функции области. Так, если f(x) — температура, то нас интересует сред-
нее значение f(x) в некоторой малой области; если f(x) — плотность, то
масса элемента объема равна интегралу от f(x) по этому объему.
В обоих указанных примерах переход от функции точки х к функции
области осуществляется с помощью интегрирования.
Таким образом, функциям точки может быть приписан смысл лишь
постольку, поскольку они определяют значение некоторого интеграла,
непосредственно имеющего физический смысл.
ПРОСТРАНСТВО ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ. Рассмотрим линейное
пространство К всех вещественных функций <р(х), каждая и£ которых
имеет производные всех порядков и финитна, т. е. обращается в нуль
вне некоторой ограниченной области [своей для каждой из функций
Назовем эти функции основными, а пространство К — основным
пространством.
Будем считать, что последовательность q>i(x), Ф2 (х),..., q>v(x),... ос-
новных функций сходится в основном пространстве, если всё эти функ-
ции обращаются в нуль вне одной и тон же конечной области, а раз-
ности <pv(£>0) вместе с их производными любого порядка стре-
мятся к нулю с ростом v равномерно относительно выбора точки х.
Пример. Функция
(ехр [— а21 (а2 — г2)] при г < а
ф(Х’а) = 1 О приг>«.
30
где г s | х | = "1/ 2 х? имеет непрерывные производные всех поряд-
Г i
ков и обращается в нуль при г>а.
Последовательность функций <pv(х) = (1/у)ф(х, a) (v=l, 2,...) стре-
мится к нул{0 в пространстве k.
Последовательность функций <pv (х) = (1/у)ф(х/г, a) {v=l, 2,...)
стремится к нулю вместе со всеми производными, по не стремится к нулю
в пространстве kt поскольку нет общей ограниченной области, вне ко-
торой эти функции обращаются в нуль.,
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ. Как обычно, будем считать, что на
пространстве К задан линейный непрерывный функционал А если ука-
зано правило, по которому с каждой основной функцией <р(х) сопо-
ставлено некоторое вещественное число (А ф), и при этом выполнены
следующие условия: а) для любых вещественных at, «2 и любых основ-
ных функций Ф1(х), ф2(х) справедливо равенство (А а1ф1+а2ф2) =
=«1(А» Ti)+«2(f2, фг) (свойство линейности функционала); б) если
последовательность основных функций фь ф2,..., стремится к нулю в
пространстве К, то последовательность чисел (А ф1), (f; ф2),...»(А фу)>...
сходится к нулю (свойство непрерывности функционала f).
Определение. Обобщенной функцией называется каждый ли-
нейный непрерывный функционал, определенный на основном простран-
стве К.
Обобщенная функция называется регулярной, если она может быть
представлена в виде интеграла
(Л Ф) = f7(*)»(«)<&. (1-46)
Функция f(x)—локально интегрируема, т. е. абсолютно интегри-
руема в каждой конечной области /?я. Все остальные обобщенные
функции называются сингулярными.
Интегрирование можно считать распространенным по всему геомет-
рическому пространству; фактически оно будет осуществляться по ко-
нечной области, в которой соответствующая основная функция ф(х)
не равна тождественно нулю.
Можно показать, что совокупность значений, которые функционал
(А ф) принимает в основном пространстве [т. е. при всевозможном вы-
боре функций ф(х)], однозначно определяет функцию f(x) во всех точ-
ках, в которых она непрерывна. В частности, двум различным непре-
рывным функциям А(х) и f2(x) соответствуют функционалы (А, х) и
(А, х), принимающие различные значения хотя бы для некоторых ос-
новных функций. Кроме того, средние значения локально интегрируемой
функции в любой конечной области однозначно определяются функцио-
налом (А х). Таким образом, задание функционала определяет функ-
цию точки с той степенью точности, какая нас интересует, и в этом
смысле эквивалентно заданию самой функции точки.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. Покажем,
что обобщенные функции дифференцируемы неограниченпое число раз.
Пусть Ми — линейное дифференциальное выражение. Вычислим ре-
гулярную обобщенную функцию
CMu,<p) = j(Afu)<p<fr. (1.47)
Выберем область интегрирования настолько большой, чтобы на ее
границе основная функция ф(х) обратилась в нуль. При этом с помо-
щью формулы Грина получим J(Mw)q?dx= j* u(№p)dx или (Afu, (ф) =
= («> tfq>). (1.48).
Будем называть функционал (и, Мф) дифференциальным выраже-
нием Ми от обобщенной функции и. Легко показать, что это также
обобщенная функция, что и доказывает наше утверждение.
Функция и(х) точки х, удовлетворяющая дифференциальному урав-
нению
Mu = f> (1.49)
в обобщенном смысле
(Ма —/,<р) = 0 (1.50)
называется обобщенным решением этого уравнения. Если функция и(х)
является классическим решением, то она является и обобщенным ре-
шением.
Решениями уравнения (1.50) могут быть и сингулярные обобщенные
функции.
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА. Определим сингулярную дельта-
функцию б (х—|) правилом
(в(х-В.ф(*)) = ф£). 0.51)
где 5 — произвольная фиксированная точка. Таким образом, каждой ос-
новной функции ф(х) ставят в соответствие ее значение ф(£) в точке Б.
Носителем дельта-функции б(х—£), очевидно, является одна точ-
ка 5- Вследствие этого значение функционала (6(х—£), ф(х)) одина-
ково для всех основных функций, имеющих одинаковые значения в.
точке х=£.
Перепишем соотношение (1.51) в виде
1в(*-£)ф(х)4х = Ф(£) 0-52)
и будем формально рассматривать его как интеграл. В силу замечания
о носителе дельта-функции части этого интеграла, полученные интег-
рированием по областям, не содержащим точки £, должны быть равны
нулю. Вследствие этого при всех основных функциях, равных 1 в точке
х=5, формально можно записать
(1.Й)
J |0, когда £ вне и.
и '
Это соотношение иногда составляет основу определения дельта-
функции.
Контрольные вопросы
1. Перечислите аксиомы метрического пространства.
2. Что такое замкнутое множество?
3. Какие операции определены в линейном пространстве?
4. Какие векторы называются линейно зависимыми?
5. Как определяется размерность линейного пространства?
6. Что называется линейной оболочкой системы векторов?
7. Какое линейное пространство называется нормированным? Прост-
ранством Банаха?
8. Как определяется скалярное произведение двух векторов?
9. Какие векторы называются ортогональными?
10. Какой базис называется [ортогональным?
11. Что такое оператор? Чем оператор отличается от функционала?
32
12. Какой оператор называется линейным? непрерывным? самосо-
пряженным?
13. Какими свойствами обладает оператор проектирования?
14. Как определено в пространстве L2(Q) скалярное произведение?
Является ли это пространство гильбертовым?
15. В каком случае пространство Соболева является гильбертовым
пространством? Как при этом определено скалярное произведение?
16. Какое линейное пространство называется пространством основ-
ных функций?
17. Какие функции 'называются финитными?
18. Что называется обобщенной функцией?
19. Какая обобщенная функция называется регулярной?
20. Как выполняется дифференцирование обобщенных функций?
21. Какая обобщенная функция называется дельта-функцией Дира-
ка? Является ли она регулярной?
2. Матрицы
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ и МАТРИЦЫ. Рассмотрим
один общий способ построения линейного оператора, дейст-
вующего из m-мерного линейного векторного пространства
X в n-мерное линейное векторное -пространство У [2, 3].
Пусть векторам базиса е2 ..., ет пространства X постав-
лены в соответствие какие-то векторы ft, f2, ...» fm простран-
ства У. Тогда существует и единственен линейный оператор
Л, действующий из X в У, который переводит каждый век-
тор ek в соответствующий вектор fk.
Предположим, что искомый оператор А существует. Возьмем прЪ-
извольный вектор х £ X и представим его в виде разложения
х = Si ei 4“ Е2 е2 +• • -4* Em ет> (1-54)
Тогда Ах =. А [ 2 &ek ) = 2 Ел Aek == 2 (1.55)
U=i / fe=i
Правая часть соотношений однозначно определяется вектором х и
образами базиса. Поэтому полученное равенство доказывает единствен-
ность оператора Л, если он существует.
С другой стороны, мы можем определить оператор А именно этим
равенством, т. е. положить
т
Ax^^lkfk- (1.56)
fe=i
Полученный оператор, как легко проверить, является
линейным оператором, действующим из X в У и при этом
переводящим каждый вектор е/: в соответствующий вектор
fk- Область значений DA оператора А совпадает с линейной
оболочкой системы векторов fs, .... fm. Таким образом,
линейный оператор, действующий из линейного векторного
3 Г. Я. Гун
33
пространства X в линейное векторное пространство У, пол-
ностью определяется совокупностью образов
Ает
любого фиксированного'базиса
е2,..., ет
(1.57)
(1.58)‘
пространства X.
Зафиксируем в пространстве X базис е2> —> ет и в
пространстве У базис qi, qz, ..., qn. Вектор е, переводится
оператором А в некоторый вектор Ае, пространства У, ко-
торый, как каждый вектор этого пространства, можно раз-
ложить по базисным векторам:
Лех = аи qi+a21q2+...+ ап1 q„.
Aes = a12q1 + a22q2 +...+ an2qn
(1.59)
q± 4~ a2m q% 4”... 4“ nnm qn
Коэффициенты а,л этих соотношений определяют пря-
моугольную таблицу чисел — матрицу [Л] размером «Х/п:
all а12 а1т
Ь4] =
^21 ^22 ••• &2т
(1.60)
_flnl Оп2 ...Птп-
которая называется матрицей оператора А в выбранных
базисах.
Легко показать, что между линейными операторами и
прямоугольными матрицами устанавливается взаимно од-
нозначное соответствие при любых фиксированных бази-
сах. Операциям над матрицами соответствуют аналогичные
действия над операторами.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. Матрицей называется
прямоугольная таблица чисел. Для обозначения матриц
будем применять прямые скобки, например
’1 3 5 8'
2 2 4 3
3 5 6 1
Г1 51
8 7
6 3
4 1
или
Числа, составляющие матрицу, называются ее элемен-
тами. Горизонтальные ряды элементов называются стро-
ками, а вертикальные — столбцами.
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то
матрица называется квадратной, а число строк— порядком
34
матрицы. В противном случае матрица называется прямо-
угольной.
При записи в общем виде элементы матрицы обознача-
ются обычно буквой с двумя индексами, из которых пер-
вый указывает номер строки, а второй — номер столбца.
Так, квадратная матрица третьего порядка в общем виде
записывается следующим образом:
Oil а12 ^13
Oji а22 Огз
O31 аэа азз
(L61)
(читается а один, один; а один, два, а не а одиннадцать,
двенадцать).
Прямоугольную (в частности, квадратную) матрицу из
т строк и п столбцов мы будем называть (т. п)-матрицей
или матрицей размером т>(п и обозначать сокращенно
следующим образом:
[Л] = [aj (i = 1,2..m; k = 1,2,..., n) (1.62)
или
1Л1 = . (1.63)
Две матрицы р одинаковым числом строк и одинаковым
числом столбцов будем называть матрицами одинаковых
размеров.
С квадратной матрицей [Л]=[а^]п,п связан определи-
тель (детерминант):
с1еЦЛ1 = |Л| =
а11 а12 ••• а1П
о22... о2п
0п1 ^п2“‘ &пп
— I^uln.n
(1.64)
Не следует отождествлять эти два понятия: матрица
представляет собой упорядоченную систему чисел, запи-
санную в виде прямоугольной таблицы, в то время как ее
определитель det [Л] есть число, определяемое по извест-
ным правилам вычисления детерминантов.
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ МАТРИЦ. Рассмотрим некото-
рые типы матриц, которые часто встречаются в приложе-
ниях.
1. Квадратная матрица вид_а
ах
О
О
О
О ... О “
а2 ••• 6
О ... О
О ...ап_
(1.65)
з*
35
называется диагональной. В частности, если ai = az=...=
=an=l, то матрица (1.65) называется единичной и ее
обозначают:
~1 0... 0“
0 1 ... 0
_0 0 ... 1_
(L66)
Для обозначения элементов единичной матрицы удобно
использовать символ Кронексра б/л, определенный по пра-
вилу
«„=(' np"i=*
(0 при i =£ k
(1.67)
тогда
[Л = (Ыы.
2. Квадратная матрица вида
(1.68)
(1.69)
при С|=ЬП=О называется трехдиагональной матрицей.
3. Квадратная матрица вида
с с с о fr^o о о o'
С С С С С о о
с с с с с о о
о. с с с с с с
с с с с с с о (>
с с с с с с с
о zNz? с с с с с о
О О ЗХС о с с с с
ООО Хг с о с с
(I.7O)
(здесь С означает ненулевые элементы) называется ленточ-
ной матрицей. При этом все ненулевые элементы и некото-
рые нулевые находятся между двумя линиями, параллель-
ными главной диагонали,’ точнее O(/t=0 для всех i, k та-
ких, что |/—k\>m, где /п«п. Шириной ленты называется
число 2т-|-1. Все компоненты матрицы вне этой полосы
равны нулю.
36
4. Квадратная матрица [Л]=[а^] порядка п называет-
ся матрицей с диагональным преобладанием, если выпол-
няются условия:
anl —*’* = 1-’п-
k i-i
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ. Для матриц опреде-
лены три основные операции: сложение, умножение матри-
цы на число, умножение матрицы па матрицу.
Суммой двух матриц [А] и [В] одинаковых размеров
т\п называется матрица [С] тех же размеров, элементы
которой находятся по правилу
cik = aik+bih(i = 1,2,..., m; k = 1,2,.., и). (1.71)
Таким образом, сложение сводится к суммированию со-
ответственных элементов обеих матриц.
Пример:
' 1
1
2
—3"
2
4
' 3 —3"
2’3
—3 5
Из определения суммы матриц непосредственно выте-
кают следующие ее свойства:
1) [Л] + ([В] + ICJ) = <[Л] + [В]) + [С] 2) [Л] + [В] =
= [В]+[Л] 3) [Л] +10] = [Л].
Здесь [0] — нулевая матрица, все элементы которой равны
нулю.
Произведением матрицы [Л]=[а1й]т.п на число а назы-
вается матрица а[Л]=[аа(*]ти,71, полученная умножением
всех элементов матрицы [Л] на число а.
Пример '
Г1 —1 21 Г —5 5 —10’
[2 1 0 “ [—10 —5 0.
Свойства произведения матрицы на число:
1) 1 [Л] = [Л]; 2) 0 [Л] = [0]; 3) а (0 [Л]) = (а0) [Л];
4) (а + 0) [Л] = а [Л] + 0 [Л];
5) а ([Л] + [В]) = а [Л] + а [В].
Здесь [Л] и [В] — матрицы; а и 0—числа.
Заметим, что если матрица [Л]—квадратная порядка п,
то
det (а [Л]) = a^det [Л]. (1.72)
37
Произведением, двух матриц [Я]=[а/л]т,п и [В]=
=[2н£]п,р заданных в определенном порядке (первая и
вторая) называется матрица [C]=[c,ft]m>p, элементы кото-
рой определяются по правилу:
Cjt Oipbph 4- &2A +... ~b O/n ^nk- (1.73)
Таким образом, элемент произведения матриц [Я] и
[В], стоящий в «-той строке и Л-том столбце, равен сумме
произведений элементов i-той строки первой матрицы на
соответствующие элементы Л-того столбца второй матрицы.
Пример:
2 Г
О —1
1 1.
1В]=
[С]=[Л] [В],
при этом
ся=1.24-2-0+1(-1)=1;
сй=Ы+2(-1)+Ы=0;
с41=4-2 + 3-0 + 2(-1) = 6;
см = 4-1 4-3 (— 1) 4-2-1 =3.
Таким образом:
[С] = [ Л] [В] - [' ° .
Как видно из рассмотренного примера, по указанному
правилу можно производить умножение не только квадрат-
ных матриц одинакового порядка, но и матриц различных
размеров. Требуется лишь, чтобы число столбцов первой
матрицы равнялось числу строк второй, только в этом слу-
чае можно производить суммирование по «немому» индек-
су в формуле (1.73).
Матричное произведение обладает следующими свой-
ствами: 1) [Я] ([В][С]=([Я][В]) [С]; 2) а([Я][В]) =
= (а[Я])[В]; 3) ([Я]+[В]) [С)=[Я][С]+[В][С]; 4) [С]Х
Х([Л]+[В])=[С][Я] + [С][В] ([Я], [В], [С] - матрицы,
а—число).
Равенства 1—4 понимаются в том смысле, что если од-
на из частей существует, то другая часть также существу-
ет и они равны между собой.
Произведение двух матриц не обладает переместитель-
ным свойством, т. е. вообще говоря, [Я][В]#=[В][Я].
38
Пример:
Тогда
Г17 201 ~ Г 23 301
[А] 1В> = 47 «Я ' 151 (Л] 47 R9 *
,57 DoJ L’7 Ь2
т. е. М] [В] * [5] [4].
В тех частных случаях, когда [А][В] = [В] [А], матри-
цы [4] и [В] называются перестановочными (коммутатив-
ными). Так, например, единичная матрица [/] перестановоч-
на с любой квадратной матрицей того же порядка, причем
[А] [/] = [/] [А] = [А]. (1.74)
Таким образом, единичная матрица играет роль единицы
при умножении.
Если [А] и [В] — квадратные матрицы одного и того
же порядка, *
det ([А] [В]) = det ([В] [А]) = det [A] det [В]. (1.75)
Эта формула вытекает из7 правила перемножения опре-
делителей.
- КЛЕТОЧНЫЕ МАТРИЦЫ. Пусть дана некоторая мат-
рица [А]. Разобьем ее на подматрицы — матрицы низших
порядков (клетки) с помощью горизонтальных и верти-
кальных пунктирных перегородок, идущих вдоль матрицы.
Например:
[А1 = Дц а12 а13; а14 .?.22 .Л2.?.* .?24
_a3i о32 Лзз ?л34_
где клетками являются матрицы
Аи —
°н а12 ais л _
• Л12“ >
аг1 а22 а23 J La24 J
A2i = [O31 Ojj G33L А 22 = [Сзд]
Тогда матрицу [А] можно рассматривать как сложную
матрицу, элементами которой являются клетки:
[А1=ИП
39
Матрица, разбитая на клетки, называется клеточной.
УМНОЖЕНИЕ КЛЕТОЧНЫХ МАТРИЦ. Предполо-
жим, что нам дана матрица [А] размером тХ« и матри-
ца [В] размером пХР, имеющие клеточную структуру:
p]=w
(П)
| Лг I -. .
- - -
[в]=Ю
(Р)
- - -
- - •
/
Предположим, что ширина любой клеточной матрицы
Ajk совпадает с высотой клеточной матрицы Bks. Тогда все
произведения AjkBks имеют смысл; это —прямоугольные
матрицы, размеры которых зависят от индексов / и s, но
не зависят от индекса k.
Произведение матриц [А][В] можно составить из кле-
точных матри#—блоков, построенных из блоков матриц
[А] и [В] так же, как элементы матрицы [А] [В] составля-
ются из элементов матриц [А] и [В].
4/Д'
4?/
(1.7Я
Действительно, пусть i — номер блок-строки матрицы [Д], содержа-
щую &-ю строку самой матрицы [Д], и / — номер блок-столбца матри-
цы [В], содержащего g-й столбец матрицы [В]. Элементы матрицы
1С] = [ЛНВ], согласно правилу умножения матриц, имеют вид:
^kq = &kl &lq “Ь • • • “h ^kn bnq = (flkl &lq “4" • • • "F &kP ^pq) + • • • 4"
“F (flk2 ^2q +... + fl/tn ^nq)>
где скобки расставлены в соответствии с шириной блоков матрицы
[Д] (и высотой блоков матрицы [В]). Нумеруя строки и столбцы бло-
ков теми же номерами, что и в самой матрице Д, получим, что в пер-
вой скобке находится элемент, находящийся на пересечении k-н строки
и g-го столбца блока АцВц, во второй скобке — элемент, стоящий на
пересечении k-й строки и g-го столбца блока А12Вц, и т. д.; в результате
получается элемент, стоящий на пересечении fc-й строки и q-ro столбца
блока ДИВ1/ + ...4-Д/2В2/, что и утверждалось.
40
УМНОЖЕНИЕ КВАЗИДИАГОНАЛЬНЫХ МАТРИЦ.
Матрица [А] называется квазидиагональной, если она име-
ет вид:
причем необозначеиные блоки состоят из нулей. Предполо-
жим, что блок Алл представляет матрицу размером /ИлХ
ХМ* = 1,2,.... s).
Рассмотрим квазидиагональную матрицу
блок Bkh представляет собой матрицу размером п*Хр*
(*=1, 2....$) Матрицы [А] и [В] можно перемножить по
правилу (1.76), которое в данном случае приводит к следу-
ющему результату:
Таким образом, в данном случае [А] [В]—снова ква-
зидиагональная матрица, причем блок АллВлл имеет
/Пл строк и Рк столбцов.
РАНГ МАТРИЦЫ. Пусть дана матрица [А] =[о,л]т,л.
Если в этой матрице выбрать произвольно k строк и k
столбцов, то элементы, стоящие на пересечениях этих строк
и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k.
Определитель этой матрицы называется минором k-ro
порядка матрицы [А].‘ Натуральное число г называется
41
рангом матрицы, если у нее имеется минор порядка г, от-
личный от нуля, а все имеющиеся миноры порядка r-j-l и
выше равны нулю.
Если матрица [А] имеет ранг г>0, то всякий ее минор
г-го порядка, отл.ичный от нуля, называется базисным ми-
нором. Столбцы и строки матрицы, на пересечениях кото-
рых находятся элементы базисного минора, называются
базисными столбцами и строками.
МАТРИЦЫ-СТОЛБЦЫ. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ
МАТРИЦ. Транспонированием матрицы называется пере-
мена ролями строк и столбцов с сохранением их номеров.
Таким образом, строки данной матрицы будут в той же
последовательности столбцами транспонированной матри-
цы, и наоборот.
Пример 1. Транспонируя матрицу
получим матрицу
[Л]т =
*1 8*
4 5
7 9
Для транспонирования произведения матриц справед-
лива формула
[(А][В1)Т = [В]Т[ЛГ
(1.77)
и аналогично для любого числа сомножителей.
Матрица типа 1Х« называется матрицей-строкой (век-
тором-строкой), а матрица типа /«XI называется матри-
цей-столбцом (вектором—столбцом).
Пример матрицы-строки: [1 4 7 8 9 5]
Пример матрицы-столбца:
г4я
7
8 .
LsJ
Используя операцию транспонирования, матрицу-стол-
бец всегда можно записать в виде матрицы-строки и обрат-
но. Это позволяет в дальнейшем рассматривать только
матрицы-столбцы, принимая следующие обозначения:
(1.78)
42
Очевидно, матрицу-столбец удобно записывать в транспо-
нированном виде.
Пусть {6} и {с}—матрицы-столбцы одинаковой размер-
ности, т. е. {&}T={6i Ь2...Ьт}, {с}т={с1 с2...ст}. Тогда
произведение {Ь}т{с} имеет смысл и равно
{6}т {с} = С1 + Ь^С2 "Ь • • • “Ь ст>
Квадратную матрицу [А]=[а(|к]я.т можно слева умно-
жить на матрицу-строку размером 1Х«- Результатом
явится снова матрица-строка того же размера.
Пример
{123}
'1
2
3
О 2‘
1 3
1 5.
= {14 5 23}.
При умножении квадратной матрицы [А]=[о,л]п,т спра-
ва на матрицу-столбец n\l результатом явится также
матрица-столбец того же размера.
Пример.
'lt0 2“| [1
2 1 3 <2
.3 1 б] |з
' 71
13
20,
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Квадратная матрица, [А] на-
зывается вырожденной (или особенной), если ее определи-
тель равен нулю: det[A]=O, и невырожденной (или неосо-
бенной), если det[A]=/=O.
Обратной матрицей для квадратной матрицы [А] по-
рядка п называется квадратная матрица [А]-1 того же по-
рядка, обладающая свойством [А][А]-1=[А]-1[А]=[/], где
[/]—единичная матрица порядка п.
Вырожденная.матрица не имеет обратной.
Любая невырожденная матрица [А]=[а,•,]«.„ имеет един-
ственную обратную матрицу, а именно:
Пи/|^|“^2;/|А| ...~Ап1/|А|
[Д]-1= А,/|Л| АИ/|А| ... Ап2/|А|
(1.79)
LAln/|A| А12/|А| ... Апп/| А |
где Aik— алгебраическое дополнение элемента aik в матри-
це [А]:
Матрицей, обратной для матрицы [А]-1, будет матрица
[А], т. е. ([А]-|)-1=[А]. Определители двух взаимно обрат-
ных матриц являются числами взаимно обратными:
det [A] det [А]-1 = 1. (1.80)
43
ТРЕУГОЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ. Квадратная матрица на-
зывается треугольной, если элементы, стоящие выше (ни-
же) главной диагонали, равны нулю.
Например
in /12 ... tin
[Г1 =
О /22 ... ^271
(1.81)
Loo... tnn J
где tik=O при i>k есть верхняя треугольная матрица. Ана-
логично *
[Т11 =' "Gi о ... о “ ^21 ^22-•• 0 JI.82)
-Cll ^712 ’’Лп-
где tik = 0 для k>i есть нижняя треугольная матрица.
Можно показать, что: а) сумма и произведение тре-
угольных матриц одинакового типа и одной и той же струк- *
туры, т. е. одновременно только верхних или только ниж-
них, есть также треугольные матрицы того же типа и общей
структуры; б) обратная матрица неособенной треугольной
матрицы есть также треугольная матрица того Ясе порядка
и структуры. Последнее обстоятельство позволяет легко
обращать треугольные матрицы.
Задача 1.1. Обращение матрицы.
Обратить матрицу
[10 0”
12 0.
1 2 3_
Решение. Положим
Пи
[ЛГ1- /21
-/31
0 0 ”
/22
/за /33^
Перемножая матрицы [Л] и [Л]-1, будем иметь
/11+2/21 = 0, 2/22+3/32=0, 2/22=1, 3/зз=1.
Последовательно решая эту систему, находим:
/ц=1,
/11 +2/2| + 3/з|=0,
/ц — 1: /21 “— * /2; /22 ~ 1/2;
/31 /32 —— 1 /3>
Следовательно:
[Л]-1 =
1 о
—1/2 1/2'
о -1/3
/33 = 1/з.
0
о .
1/3,
44
Можно показать, что всякую квадратную матрицу
°11 а12 •••
[А] =
а21 а22 ... а2п
(1.83)
L^nl ®п2 ••• &пп—
имеющую отличные от нуля главные диагональные миноры
Дх = аи^0, А2=О11°12^0. ДП = [А|#=О (1.84)
°21 °22
можно представить в виде произведения двух треугольных
матриц различных структур (нижней и верхней), причем
это разложение будет единственным, если заранее фикси-
ровать диагональные элементы цдной из треугольных мат-
риц (например, положить их равными единице).
СИММЕТРИЧЕСКИЕ И КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ
МАТРИЦЫ. Квадратная матрица называется симметриче-
ской, если выполняется условие а,л=ал,. Квадратная мат-
рица называется кососимметрической, если а,>=—о*,-.
В первом случае элементы, расположенные симметрич-
но относительно главной диагонали, попарно равны.
Во втором случае эти элементы равны по абсолютной
величине и имеют различные знаки. Элементы, находящие-
ся на главной диагонали кососимметрической матрицы,
равны нулю.
Используем операцию транспонирования матрицы, т. е.
замены строк соответствующими столбцами и, наоборот,
столбцов — соответствующими строками.
Транспонирование квадратной матрицы сводится к «по-
вороту» матрицы относительно главной диагонали па 180°.
Используя эту операцию, каждую квадратную матри-
цу [А] можно представить в виде суммы двух матриц: сим-
метрической [В] и кососимметрической [С].
Действительно, записав, очевидно, равенство
[Л] = 1/2 ([А] + [А]т) + 1/2 ([А] - Й1т),
(1.85)
где [А]т —транспонированная матрица, легко убедиться в
том, что матрица
[В] = 1/2([А1 + [А1т)
(1.86)
— симметрическая. Для ее элементов выполняются зависи-
мости
bik = 1/2 (aik + aki) = bhi = 1/2 (aki + aik).
45
Аналогично матрица
[С] = 1/2([Л]-[ЛР) (1.87)
является кососимметрической. .Для нее выполняются равен-
ства
С|*='1/2 == 1/2 (вл/ П/а) == См.
Пример.
' 2 4 6' '2 6 10' 0 — 2—4'
8 10 12 = 6 10 14 + 2 0—2
.14 16 18. .10 14 18. - 4 2 0.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ COOT-
НОШЕНИЙ. Рассмотрим соотношение вида
Ф = [ЛП{а}. (1.88)
где [Af]=[Afi Л^г-.-Л^т]—матрица—строка, {а}—матрица-
столбец, {а}т={fli th ...От}- -
Вычислим производную <р по {а}, т.’е. ду/д{а}. Эта про-
изводная определяется следующим матрицей-столбцом
<Эф/<Э{а} =
д^!дах
ду/да2
(1.89)
д^!дат
Записав (1.88) в развернутом виде, получим
Ф = N1a1 + N2a2 +...+ Nmam
и после дифференцирования будем иметь
дф/Зах = Nlt д<р/да2 = N2,..., ду!дат = Nm.
В результате уравнение (1.89) запишется в виде
(ЛГх
ду/д (а} =
(1.90)
Nm
К этому же результату приводит и дифференцирование
{a}T[AZ]T по {а}, поскольку это выражение идентично (1.88).
Рассмотрим произведение следующего вида:
Ф = {а)т1В]{а}, (1.91)
46
где [В]—квадратная симметричная матрица, {а}—матри-
ца—столбец. Пусть, например, матрица [В] имеет размеры
2X2
[В] = Р11 t12
b2i b22_
и {а}т ={0^2}. Используя условие симметрии 012=^21» за- -
пишем произведение в виде
Ф = {а}Т {^} = Ьц ^1 + 2^2 а1 °2 + &22 а2-
Дифференцируя это выражение по ait a2l получаем
д(р/да! = 2Ьп аг + 2Ь12 а2> ду/дог = 2fe21 ах + 2&22 а2.
После
лучаем
дф/д{а} =
подстановки этих соотношений в (<9<р/<Э{а}) по-
2&п а 1 4^ а^
2&21 + 2b22 b2
^11^12 (а1
Ь21 &22. 1^2
ИЛИ
д/д{а}({а)т[В] {а}) = 2 [В] {а}.
(1.92)
Контрольные вопросы
1. Как связаны между собой матрицы и линейные операторы, дей-
ствующие в конечномерных линейных пространствах?
2. Какая матрица называется квадратной? симметричной? диаго-
нальной? трехдиагональной? ленточной? клеточной? треугольной?
3. Как выполняется умножение матриц?
4. Обладает ли матричное произведение переместительным свой-
ством?
5. Как производится умножение клеточных матриц? квазидиаго-
нальных?
6. Как определяется ранг матрицы?
7. Какая матрица называется матрицей-строкой? матрицей-столб-
цом?
8. Как выполняется обращение треугольной матрицы?
3. Линейные алгебраические системы.
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕ-
НИЙ. Рассмотрим систему и линейных алгебраических
уравнений с п неизвестными
+ а12х2 +...+ а1пхп = bi9
4* ^2а4*... 4“ а2пхп s=? b2 (193)
4" 4* • • • 4” &пп
47
Обозначим
а11 а12 ••• ®1п
^21 ^22 ••• ^2Л
(^/Л^л.л
(1.94)
_flnl ОП2 • •• Опп~
матрицу из коэффициентов системы (1.93), через
(1.95)
столбец ее свободных членов, через
(1.96)
столбец из неизвестных. Тогда система (1.93) кратко мо-
жет быть записана в виде матричного уравнения
М1{х) = {5). (1.97)
Совокупность чисел Xir х2. х„ (или, короче, вектор
{*}, преобразующих систему (1.94) в тождество, называ-
ется решением этой системы, а сами числа х,—ее корнями.
С системой (1.93) сопоставим две матрицы: матрицу
а11 а12 ••• °1л
Ог1 ^22 ••• ^2п
- ®П1 ^Л2 ••• @пп —
называемую основной матрицей системы (1.93), и матрицу
°11 Я12 ••• а1п
1ЛХ1 =
°21 °22 ••• а2л ^2
(1.98)
_цП1 а„2 ... аппЬп _
называемую расширенной матрицей системы (1.97).
Теорема 1.5 Система (1.93) совместно тогда и только
тогда, когда ранг расширенной матрицы этой системы ра-
вен рангу основной матрицы.
48
Если матрица [Л]—неособенная, т. е. det [Л]=Д=/=0,
то система (1.93) или эквивалентное ей матричное уравне-
ние (1.97) имеют единственное решение.
Действительно, при det[4]^O существует обратная мат-
рица [Л]-1. Умножая обе части уравнения (1.97) слева па
матрицу [Л]-1, получим
[ЛГЧЛЦх) = [ЛГ’{^
ИЛИ
(х}=[ЛГ’(Ь). (1.99)
Формула (1.99) дает решение уравнения (1.97), причем
так как каждое решение имеет вид (1.99), то решение един-
ственно.
Задача 1.2. Решение линейной системы с помощью обратной матрицы.
Решить систему уравнений
3xi — х2 = 5;
—2*1 + ха + х3 = 0;
2xj — х2 + 4х3 = 15.
Решение. Запишем систему в матричной форме:
’ 3 —1 Olfxi) (5)
.—2 1 1 х2 = 0 .
2—1 4 Jlx3 J I 15 J
Определитель матрицы [Л] данной системы
det [А] =
3—10
—2 1 1
2—14
= 5^0
Вычисляя обратную матрицу [А]"1, получим
М]-! =
Отсюда
2}=
Г 1 4/5
3 12/5
. 0 1/5
Г 1 4/5
2 12/5
0 1/5
-1/51
-3/5
1/5
-1/51 [5] (2)
-3/5 0=1,
V5J115) 13)
т. е. Xi = 2, х2=1, х3 = 3.
ФОРМУЛА КРАМЕРА. Воспользуемся
(1.79):
[Л]-1 = 4- [л],
Д L J
формулой
где
r~i _ Ап Л21 ... АП1
А * А ' А
Ьл1п л2п ••• ™пп J
(1.100)
4 Г. я. Гун
49
и Ла — алгебраические дополнения элементов а^. Поэтому
(1.101)
(1.101а)
п ан •••
д«=2 = °21
*=i ......
ап1 ••• ап,1—1
см-и ain
^2°2,1+1 ••• °2п
bnan.i+l ••• апп
(1.102)
— определители, получающиеся из определителя Д [форму-
ла (1.64)] путем замены его t-того столбца свободных чле-
нов системы (1.93).
Из равенства (1.102) получаем формулы Крамера:
= Дх/Д, х2 = Д2/Д,..., хп = Дп/Д.
(1.103)
Задача 1.3. Применение формул Крамера.
Решить систему линейных уравнений
2xi + xa —5х3 + х4 = 8;
xi “ Зх2 — 6х4 = 9;
2ха — х3 + 2х4 =— 5;
xi + 4xi — 7х3 + 6х< = 0.
(1.104)
применив формулы Крамера:
Решение. Определитель системы равен
1 —5
—3 0
2 -1
4 -7
1
-6
2
6
= 27 0.
Вычислим дополнительные определители А/, заменив соответствую-
щие столбцы определителя Д столбцом свободных членов {Ь}т ={8 9
-5 0}:
8
9
-5
0
1 -5
-3 0
2 —1
4 —7
1
2
6
= 81;
8 —5 1
9 0—6
-5 -I 2
0—7 6
=— 108;
50
дз —
2 1
1 —3
О 2
1 4
8 1
9 —6
-5 2
О 6
=—27;
1
1 —5 8
—3 0 9
2 ^1 —5
4—7 О
Решение системы (1.104) запишется следующим образом: xi=Ai/A =
=81/27=3; х2=Дг/А=—108/27=—4; х3=Дэ/Д=—27/27=—1; х4=
=Д4/Д=27/27=1.
Следует отметить, что решение больших систем с при-
менением правила Крамера практически невозможно. В ка-
честве иллюстрации можно привести следующие элемен-
тарные расчеты. При решении системы из 30 уравнений с
помощью правила Крамера потребовалось бы вычислить
31 определитель порядка 30. Сумма членов каждого опре-
делителя равна 30!, причем каждый требует 29 умноже-
ний. Следовательно, решение линейной системы предпола-
гает 31*30! *29 умножений плюс примерно такое же коли-
чество сложений, т. е. 476924* 1035 действий.
При быстродействии современной ЭВМ (Гмлн. оп/с) в
течение года можно выполнить 365 *24 *60 *60* 106=3,1536Х
ХЮ13 операций.
Таким образом, для решения, системы потребуется
1,51231 • 1022 лет!
МЕТОД ГАУССА. Наиболее известным методом реше-
ния систем линейных алгебраических уравнений является
метод последовательного исключения неизвестных, или ме-
тод Гаусса. Проиллюстрируем его на примере решения си-
стемы четырех уравнений с четырьмя неизвестными.
Решить систему: метод Гаусса.
«и xi + «« х» + а1з *з + он = «»;
ац xi + «22 х2 + а23 х3 + аи х4 = а23;
a3f Х1 + «32 х» + а33 х3 + «34 х4 = «35»
«41 Х1 + «43 Х2 + «43 х3 + «44 *4 = «43*
(1.105)
Решение. Пусть ац=#0 («ведущий элемент»). Разделив коэф-
фициенты первого уравнения системы (1.105) на ап, получим
Х1 + х2 + ^13 *3 + ^14 х4 == ^15» (1.106)
где 6lft = aih/a11(fe>l).
Пользуясь уравнением (1.106)), легко исключить из системы (1.105)
неизвестную хь Для этого достаточно из второго уравнения * системы
(1.105) вычесть уравнение (1.106), умноженное на a2i, из третьего урав-
4*
51
нения системы (1.105) вычесть уравнение (1.106), умноженное на a3i
и т. д. В результате получим систему из трех уравнений
Л<1) у ... Л(Ь.
<*22 Х2 ' а23 Х3 » fl24 Х4 ~ а25 »
Л<0 Y 1 я(1)~ 4-л(1)г — Л(1,‘
а32 х2 а33 *3 ' °34 *4 — <*35 ,
л(1) v -к//1** — д(1>
<*42 х2 ' “43 х3 i а44 х4 ~ а45 »
где коэффициенты (i, k>2) вычисляются по формуле
aik = alk k>2).
(1.107)
(1.109)
(1.110)
(ЫН)
(1.108)
Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы (1.107)
на «ведущий элемент» получим уравнение
Х2 + Х3 + ^24> Х4 = &25> ’
где = п21)/а22> •
Исключая Х2 таким же способом, каким исключили хь придем к
следующей системе уравнений^
«та х3 + а34* Х4 = «та’:
«43>хз + «44>х4 = 045-
где а(£ = ag> - ag> Ь<‘> (i, k > 3). (1.112)
Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1.111) на «ве-
дущий элемент» , получим
(1.113)
где b3k = (* > 3). (1.114)
Исключив х3 аналогичным путем из системы (1.111), будем иметь
«44 *4 = «45> (I-H5)
где a^ = a^-a^b^(i, k > 4). (1.116)
Отсюда
.*4 = ««/“«--bls’- (1-П7)
Остальные неизвестные последовательно определяются из уравне-
ний (1.113), (1.109) и (1.106):
х3 = ~ 1’34> х4> х2 = ~~ х4~ х3: х1 = 1'15 — ^14 х4 ~
— ^1з хз — 512xs.
Таким образом, процесс решения системы по методу
Гаусса сводится- к построению эквивалентной системы
(1.117), (1.113), (1.109), (1.106), имеющей треугольную
матрицу. Необходимым и достаточным условием примени-
52
мости метода является неравенство нулю всех «ведущих
элементов».
Итак, в общем случае метод Гаусса сводится к двум этапам: прямому
ходу и обратному ходу. Прямой ход состоит из п шагов. На Л-м шаге
кратные Л-го уравнения вычитаются из оставшихся уравнений с целью
исключить k-c неизвестное.
Обратный ход сводится к решению последнего уравнения с тре-
угольной матрицей относительно хп, затем предпоследнего уравнения
относительно xn-i и т. д. пока из первого уравнения не будет вычисле-
но X].
И вычисление множителей, и обратная подстановка связаны с
делением на ведущие элементы. При этом алгоритм не может быть реа-
лизован, если какой-либо из ведущих элементов равен нулю. Если же
он близок к нулю, то ошибки округлений, совершенных в процессе вы-
числения, могут привести к значительным погрешностям. Для того что-
бы избежать их, применяют метод частичного выбора ведущего элемен-
та: на Л-м шаге прямого хода в качестве ведущего берется наибольший
(по абсолютной величине) элемент неприведенной части &-'го столбца.
Строка, содержащая этот элемент, переставляется с А?-й строкой с тем,
чтобы перевести ведущий элемент в позицию (£, А?). Такие же пере-
становки должны производиться с элементами правой части {Ь}. Неиз-
вестные в векторе {х} не переупорядочиваются, поскольку столбцы в А
не переставлялись.
На примере рассмотрим, к каким погрешностям приводит близость
ведущего элемента к нулю.
Пример. Решая методом Гаусса систему
10 —7 0 ] ( xt) ( 7)
— 3 2 6 х2 = 4 к
5 -1 5 J lx3 J (6 J
получаем ответ: Xi=0, Х2=—1, х3= 1.
Изменим коэффициент а22=2 в матрице [Л] на 0,099.
В результате первый шаг исключения дает:
Г10 -7 01 (хП (7
0 —1,0.10-3 6 хЛ= 6,001
0 2,5 5j(x3J I 2,5
Элемент теперь очень мал по сравнению с другими элементами.
Выполняя дальнейшие операции алгоритма Гаусса, не прибегая к пере-
становкам, па гипотетической ЭВМ, которая имеет десятичную плаваю-
щую арифметику с пятью значащими цифрами, получим новое решение:
Xi=—0,35; х2=—1,50; х3=0,99993, значительно отличающееся от точ-
ного.
Если же второе и третье уравнения переставляются, то вычисленное
решение оказывается достаточно точным.
. ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ МАТРИЦЫ [4]. При постро-
ении и решении па ЭВМ систем линейных алгебраических
уравнений неизбежны погрешности, связанные с прибли-
женным вычислением коэффициентов матрицы [А], свобод-
ных членов {6}, округлением в ЭВМ результатов расчетов.
Это вызывает очень важный для приложений вопрос: како-
53
вы условия устойчивости вычислений? Другими словами,
как обеспечить, решая систему
[Л] {х} = {&), (1.118)
чтобы малым изменениям [Л] и {Ь} соответствовали малые
изменения {х}?
Пример 1. Если [А] — вырожденная матрица, т. е. det [А]=0, то
для некоторых {6) решения {х) не существует, тогда как для других {Ь}
решение является неединственным. Следовательно, если матрица [А]
близка к вырожденной, то можно ожидать, что малые изменения в
[А] и {Ь} вызовут большие изменения в (х), т. е. решение системы
(1.118) будет, неустойчивым.
Пример 2. [А]=[/] — единичная матрица. Следовательно (6) и {х}—
один и тот же вектор; малые изменения (Ь} повлекут за собой соответ-
ственно малые изменения {х}.
Для оценки близости матрицы к вырожденной введем в
пространстве n-мерных векторов {*} норму следующим об-
разом:
ало)
<=i
Легко убедиться, что аксиомы нормы для нее выполня-
ются.
Умножение вектора {х} на матрицу [Д] приводит к но-
вому вектору [Д]{х). Область возможных изменений нор-
мы вектора при этом может быть задана двумя числами:
М = max 11 .(*)!'.., щ = min JLH1_W£. (1.120)
* II x II x IIXII
Максимум и минимум, берутся по всем ненулевым век-
торам. Если [Д] вырождена, то /п=0.
Определение. Отношение М/т называется числом
обусловленности матрицы [Д]: сопб[Д]=М/т.
Пусть правая часть уравнения [Д] {х} ={&} получила
приращение {Дй}, что соответствует изменению {х)на {Дх}.
Поскольку (Д]{Дх) = {Д&}, из определения Мат сле-
дует что ||Ь||^М||х||, ||Д&||>т||х||.
Если т=£0, то
l^L<condU]-l^-. (1.121)
IIX II НИ
Здесь ||ДЬ||/||Ь||—относительное изменение правой час-
ти (1.118), а ||Дх||/||х||—относительная ошибка, вызванная
этим изменением.
Таким образом, число обусловленности выполняет роль
множителя в увеличении относительной ошибки; его мож-
54
но рассматривать как величину, обратную к относительно-
му расстоянию от данной матрицы до множества вырож-
денных матриц.
Итак, чем меньше число обусловленности матрицы [4]
системы (1.118), тем лучше обусловлена эта система, тем
устойчивее проходит процесс решения системы на ЭВМ.
Пример 1. Для единичной матрицы cond[/]=l. Поскольку Л4>т,
для любой матрицы [Л] cond [Л] >1.
Пример 2. Для диагональной матрицы
cond [£>J —
шах | djf |
minify |
Пример 3. Пусть
При этом ||Ь|| = 13,8 и ||х|| = 1.
Изменим вектор {Ь} следующим образом:
{П =
4, П)
9, 70 J*
Решением системы (1.118) будет вектор
причем
|| Д6|| =0,01, || Дх || =1,63.
Таким образом, очень малое ‘возмущение, внесенное в {Ь}, совер-
шенно изменило {х}.
При ЦДЫ1/НЫ1 =0,0007246, 11Дх||/||х|| = 1,63 и cond (А) >1,63/
/0,0007246=2249,4.
Большое число обусловленности привело к неустойчивости реше-
ния системы (1.118).
ИТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ. Решая задачу итеративным методом,
операторное уравнение преобразуют к виду
x = Q(x),
где Q — оператор, действующий из X в X, причем такой, что х* есть
единственное решение уравнения (1.122). (Здесь X — полное метриче-
ское пространство.) Будем полагать, что оператор Q задан на некото-
ром замкнутом подмножестве DqcX и непрерывен, причем все его зна-
чения также принадлежат Dq. Точки, удовлетворяющие уравнению
(1.122), называются неподвижными точками оператора Q. Тем самым
решение уравнения (1.122) сводится к нахождению неподвижной точки.
Возьмем произвольную точку xogZ)q и положим Xi = Qxo. Возмо-
жен случай, что точка х0 и есть неподвижная точка оператора Q; тогда
мы получим xi=xo. Однако, как правило, х^х0 при произвольном вы-
боре х0.
Далее последовательно полагаем x2=Qxi, хз=рх2,... или в общем
виде
xn = Qxn-i. (1,123)
S5
В результате получаем последовательность точек хь х2,...,
принадлежащих замкнутому подмножеству DQ. Если процесс сходится,
т. е. существует предел последовательности (х*), то вследствие замкну-
тости DQt х* С Dq-
Теперь остается в уравнении (1.123) перейти к пределу и восполь-
зоваться непрерывностью оператора Q.
В результате получаем x* = Qx*, т. е. х*— неподвижная точка опе-
ратора* Q.
Если оператор Q задан в каком-то конкретном пространстве, то
точки хп представляют собой приближенные решения задач, а р(хп, х*)
дает оценку погрешности, которая за счет выбора п может быть сдела-
на сколь угодно малой.
Назовем оператор Q оператором сжатия, если существует такая по-
ложительная постоянная а<1, при которой для любых х и у из X
P(Qx, <Й0<«Р(х, У)- ' (1.124)
Очевидно, оператор сжатия всегда непрерывен. Так, если хп и х*
принадлежит области определения оператора и хл->х*, то из неравен-
ства
p(Qxn, Qx*)<ap(xn, х*) (1.125)
следует, что Qxn-^Qx*.
Теорема 1.6 (принцип сжатых отображений). Если оператор
сжатия отображает полное метрическое пространство в само себя, то
он имеет единственнук? неподвижную точку х*, которая может быть
получена методом последовательных приближений при любой началь-
ной точке Хо.
Для n-го приближения оценка погрешности дается формулой
вп = р(*п. х*) < (an/1 — a)p(x0, Qx0). ’ (1.126)
Таким образом, при одном и том же п точность приближенного реше-
ния тем выше, чем ближе начальное приближение хо к точному реше-
нию х*.
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ
ИТЕРАЦИЙ. В качестве примера рассмотрим применение
метода итераций при решении системы линейных алгебра-
ических уравнений. Для больших систем этот метод во мно-
гих случаях оказывается 'более эффективным, чем метод
Гаусса.
Рассмотрим систему (1.93), записав ее в матричной
форме:
[А1{х} = (Ь}. , (1.127)
Полагая диагональные элементы (i=l, 2................. п),
разрешим первое уравнение системы (1.93) относительно
хь второе — относительное Хг нт. д.
В результате получаем систему
W = (Р) + [a]{x|, (1.128)
эквивалентную исходной. Здесь
Pi = aif =— aj/Zflii при i =£ / (1.129)
и aif =» 0 при i = j(i, j = 1, 2, ... , n), (1.130)
56
причем матрица (1.131)
Метод, последовательных приближений реализуется
следующим образом. В качестве нулевого примем столбец свободных членов {х(0)} = {0}. приближения
Далее последовательно вычисляем:.
{хп>} = {0}+[а]{х(0’) (1.132)
(первое приближение) Ю = {₽} + [а] Ю ‘ (1.133)
(второе приближение) kft’} = {P} + [alk*-,,)(*= 1.2,...). (1.134)
Условие сходимости итеративного метода сформулиро-
вано в теореме 1.6. В данном случае это условие формули-
руется так: для успешного применения метода итераций
модули диагональных коэффициентов системы (1.127) дол-
жны быть велики по сравнению с модулями педиагональ-
ных коэффициентов этой системы (свободные члены при
этом роли не играют).
Используя понятие собственных значений матрицы [а],
т. е. корней характеристического уравнения det [а,л—
—Хб,*] =0, можно также сформулировать следующую тео-
рему:
Теорема. 1.7. Для сходимости процесса, итерации
{?*>} = {0) + [а] (х'*-1’), (k = 1, 2, ...) (1.135)
при любом выборе начального вектора {х<°)} и любом сво-
бодном члене {р} необходимо и достаточно, чтобы собствен-
ные корни матрицы [а] были по модулю меньше единицы.
Задача 1.5. Метод итераций. Решить систему
4xt + 0,24*2 - 0,08*3 = 8;
0,09*1 + 3*2 — 0,15*3 = 9;
0,04*i + 0,08*2 + 4*з — 20
(1.136)
применив метод итерации.
Решение [5]. Анализ системы (1.136) показывает, что в данном
случае условия сходимости итеративного метода выполняются (матри-
ца системы — с диагональным преобладанием).
Приводя систему к виду (1.135), запишем ее в матричной форме:
’ 0 —0,006 0,02] ( *х ]
—0,03 0 0,05 < *2 }
—0,01 0,02 0 J ( *3 |
57
Результаты расчетов приведены в следующей таблице:
Анализ таблицы свиде-
k Х(Л) 1 л<4) • Х(Л) в тельствует о быстрой * сходи- мости итеративного процесса. Контрольные вопросы
0 1 2 3 т 1.92 1,9094 1,90923 2 3,19 3,1944 3,19495 5 5,04 5,0446 5,04495 1. Как в матричной фор- ме записывается еистема ли- нейных алгебраических урав- нений? Каковы условия сов- местности этой системы?
2. Как записываются фор*
мулы Крамера?
3. Какова последовательность решения системы (1.93) методом Га-
усса? К чему сводится прямой ход? обратный ход?
4. Что такое обусловленность матрицы [Л] системы (1.93)? Каким
образом число обусловленности матрицы влияет на устойчивость ре-
шения?
5. К чему сводится решение линейной системы методом итераций?
Каково условие сходимости?
4. Тензоры
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. Выберем три взаимно ор-
тогональных направления и отложим по ним три вектора
единичной длины 61, е2, е3, для которых выполняются соот-
ношения |в1| = |е2| = |е3| = 1; е|е2=е2^з=езег=0. Векто-
ры ei, е2, ез называются ортами.
Соответствующая базису система координатных осей
Xi, х2, 'хз (рис. 1) называется прямолинейной ортогональ-
ной (декартовой) системой координат. Как правило, в
дальнейшем будет использоваться правая система коорди-
' нат. Любой вектор а может быть разложен по базисным
юртам, т.е. можно записать a=a1e1+a2e2+a3e3=a,e*1.
Величины alt а2, а3 называются координатами вектора
а; они представляют собой проекции вектора на оси х2,
х3.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА. Рассмотрим некоторый
базис, образованный тройкой взаимно ортогональных век-
торов—ортов е, (рис. 2). Повернем базис в пространстве,
оставив начало координат (точку 0) неподвижным. Обо- **
** Здесь и далее используется правило суммирования по повторяю-
щимся индексам (см. [7, гл. I, п. 1]).
58
значим символом ei орты, которые заняли новое положе-
ние.
В результате мы получили две системы координат —
«старую» (без Штрихов) с ортами и «новую» (со штри-
хами) с ортами ei, причем
Рис. !. Ортогональный базис и
координатные оси
Рис. 2. Поворот ортогонального
базиса
?.7’в6 =|1.при1 = 61
‘ к th (0 при i ф k j
(1.138)
«1 *1
«11 «12 «13
«21 «23 «зз
«31 «32 «33
где — символ Кронекера.
Введем таблицу косинусов девяти углов, составленных
новыми осями координат со старыми. Назовем ее таблицей
направляющих косинусов.
Здесь а,а—косинус угла между i-м ортом «штрихован-
—Л — _
ным» и k-ы «нештрихованным»: a,A=cos (₽,; £*)=£/«еА.
Легко показать, что сум-
ма квадратов элементов
люббй строки равна еди-
нице, а сумма попарных
произведений соответст-
вующих элементов, нахо-
дящихся в различных
строках, равна нулю.
Аналогично сумма
квадратов элементов лю-
бого столбца таблицы
59
равна единице, а* сумма попарных произведений соответст-
вующих элементов двух различных столбцов — нулю.
Задана 1.6. Ортогональная матрица.
Показать, что квадратная матрица [а]=[«/*]» определяемая таб-
лицей направляющих косинусов, является ортогональной матрицей,
удовлетворяющей условиям:
[а] [а]т=[а]т [а] = [/), (1.139)
где [/]=[6,ч] — единичная матрица.
Решение. Рассмотрим вначале произведение [а][а]т ; вычислим
произвольный элемент этой матрицы:
(а] [а]т =
Pi h = “iP «lip = «ii «hl + a,.2 aAa + ai3 ah3.
Это выражение представляет собой скалярное произведение ортов е{
и равное
(1 при i = k
ih [О при i k.
Итак, матрица [а] [а]т имеет вид
10 0 1
ОГО.
0 0 1
Аналогично для матрицы [а]т [а] получим
Pifc = &ph = "4" = fyk*
Определение. Если для каждой декартовой системы
координат задана совокупность девяти чисел aPq, преобра-
зующихся при повороте базиса по закону
(1.140)
— <Xqp &kq &Pq'
то нам задан двухвалентный тензор.
Числа aVq будем называть компонентами, а тензор обо-
значать следующим образом: Та—[ар9], Гв=[Ь|л] и т. д.
Каждому тензору в принятой системе координат соот-
ветствует матрица, образованная компонентами тензоров.
Так, тензору Гл=[а,л] соответствует матрица [Л]=[о,й].
Следует помнить, что если матрица — таблица чисел —не
связывается с системой координат, то компоненты тензора
существенным образом зависят от выбора базиса, поэтому
одному й тому же тензору в различных системах коорди-
нат будут соответствовать различные .матрицы.
Задача 1.7. Преобразование компонент тензора.
Показать, что преобразование матрицы тензора ТА при переходе к
новому базису определяется формулой
[4') = [а]ИПа]Т.
(1.141)
60
Решение. Запишем формулу (1.140) следующим образом:
д' = а а а = а. к
ip kp pq ip\ Pq kq)
Легко видеть, что выражение в круглых скобках соответствует про-
изведению [Д][а]т, а последующее умножение на аф — произведению
[а][Л][а]т .
Две матрицы [Л] и [В] называются ортогонально подоб-
ными, если существует ортогональная матрица [а], удов-
летворяющая равенству
(В] = [а][Л]Да]т. (1.142)
Таким образом, все матрицы тензора Та, соответствую-
щие различным базисам, ортогонально подобны.
ДЕЙСТВИЯ НАД ТЕНЗОРАМИ. Действия над тензо-
рами сводятся к соответствующим действиям над матрица-
ми, составленными из компонент тензоров. Полученная в
результате матрица есть матрица нового тензора. К ним
относятся: сложение тензоров Тс=ТА + Тв, где матрица
[С]=[Л]+[В]; умножение тензора на число TD=}.TA, где
матрица [В]=А.[Л]; умножение тензора на тензор (скаляр-
ное) Тс—ТаТв, где матрица [С]=[А][В].
Операцию «умножение» можно расширить, включив в
нее умножение тензора, на вектор.
Пусть в некоторой системе координат нам задан тепзор
Гл=[а/л]'и вектор b с компонентами .
Левым произведением вектора b на тензор Тл называ-
ется вектор с=Ь-ТА, компоненты которого получены по
правилу умножения матрицы-строки вектора b на матрицу
[Л] тензора Та:
С( — bkahi или (с)т = {В)Т[Л]. (1.143)
Правым произведением вектора b на тензор ТА называ-
ется вектор с, компоненты которого образованы по пра-
вилу умножения матрицы Л на матрицу-столбец вектора
Ь; с=ТАЬ\ в координатной форме:
ct = aik bk или (с) = [Л] (6). (1.144)
Произвольный тензор 7'а=[«,/!] можно представить, и
притом единственным образом, в виде суммы двух тензо-
ров: симметричного Тв и кососимметричного Тс: Та =
= Тв+Тс.
61
Для симметричного тензора Тв, компоненты которого
находятся по формуле 6|Л = 1/2 (а^+аь,), выполняется
условие симметрии относительно главной диагонали
= bki. Компоненты кососимметричного тензора с;й = 1/2Х
Х-(°чл—akt) удовлетворяют соотношениям cik=—chi. Рас-
смотрим еще одно разложение тензора:
+«<,/. 0145)
Здесь
(1.146)
(1.147)
где / — единичный тензор, обладающий свойством ТА1 =
=1ТА = ТА.
Тензор
&а ~ [а« ао —
°и — °о
а21
а31
fl12 Я13
а22 °23
а32 а33----а0
(1.148)
сумма диагональных компонент которого равна нулю, на-
зывается девиатором.
Формула (1.145) дает разложение произвольного тен-
зора на сумму девиатора ЬА и шарового тензора а©/.
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНА-
ЧЕНИЯ. Как мы уже отметили, результатом умножения
вектора у на тензор снова является вектор. Если-получен-
ный вектор коллинарен исходному, то его направление на-
зывается главным направлением тензора ТА [6].
Считая в дальнейшем для определенности, что речь идет
о произведении справа, будем иметь ТАу—У.у (1.149).
Вещественное число А называется собственным значе-
нием тензора ТА.
Проблема определения главных направлений и собст-
венных значений тензора ТА сводится к решению характе-
ристического уравнения его матрицы А:
а11 fl12 Д13
aik ^ik I- #21 ^22 ^23 ДЭ1 fl32 а33 = 0. (1.150)
62
Каждый симметричный тензор путем поворота системы
координат может быть приведен к диагональному виду:
Т
А
01
О
О
О 0‘
а2 О
О а3
(L151)
где числа at называются главными компонентами тензора.
Они являются корнями характеристического уравнения
(1.150). Другими словами, для каждого симметричного тен-
зора имеются три взаимно ортогональных главных направ-
лений; соответствующие им собственные значения (главные
компоненты тензора) —действительные числа.
Собственные значения тензора, как и его главные нап-
равления, не должны зависеть от выбора системы коорди-
нат. Поэтому коэффициенты характеристического уравне-
ния
X3 — а’Л’ + а’Ч-а111 = 0 (1.152)
также не зависит от этого выбора и называются в связи с
этим инвариантами тензора ТЛ-
Каждому тензору Тд=[а1й] соответствуют:
линейный инвариант
а1 = Оц + а23 + Gjs = ai 4* + о3;
квадратичный инвариант
II Оц Д12 ^22 ^23
^21 а22
Озз Озз
I I <*33 <*31
I I <*13 <*11
— а2 +
+ 02 <*3 + <*3 <*1
и кубический инвариант
а111 = |а«1 = aia2a3.
(1.153)
(1.154)
(1.155)
а
ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ВЕКТОРА ПО ВЕКТОРНОМУ
АРГУМЕНТУ. Рассмотрим векторное поле а=а(х, f), где
x=(xi) —радиус-вектор.точки, в которой вычисляется век-
тор.
Эта зависимость означает, что в некоторой области за-
даны три действительные функции, каждая из них имеет
вид
0. (1.156)
Зафиксируем некоторый момент времени /. Возьмем
произвольную точку М с радиусом-вектороМ х и перейдем
63
в соседнюю точку М' с радиусом-вектором x-}-dx. Величи-
ны а, получат приращения:
dat = (dat/dxk) dxk (1.157)
и тогда можно записать
da = (dajdx^dx. (1.158)
Назовем тензор
dal dx = [dai/dxk] (1.159)
производной вектора a no векторному аргументу x.
Транспонированный тензор
ya = [da/dx/l (1.160)
называется градиентом вектора а. Первый инвариант тен-
зоров да/дх и Да есть дивергенция вектора а.
ДИВЕРГЕНЦИЯ ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ.
Определение 1. Если в каждой точке области D задан
некоторый тензор Та,'то эта область называется тензорным
полем. При этом пишем
Гл = Тлр,<). . (1.161)
Пусть в области D задано поле тензора ТА. Построим в
этой области замкнутую поверхность S, ограничивающую
объем W (ри.с. 3).
Пусть п — единичный вектор внешней нормали к по-
верхности. Умножим этот вектор на тензор ТА и вычислим
интеграл:
£
который назовем потоком тензора ТА через поверхность S.
Результатом интегрирования явится некоторый вектор.
Определение 2. Вектор с компонентами да^/дх^ на-
зывается дивергенцией тензора ТА:
div = (^/5^)7. (1-162)
Следующая формула обобщает формулу Гаусса — Остро-
градского:
!Jrj;dS=njdlvr,®'. (1.163)
S' W
64
Задача 1.8. Дивергенция тензорного поля.
Записать выражение дивергенции тензорного поля [формула (1.162)]
в матричной форме.
Решение. Запишем симметричный тензор Тл в виде матрицы-
столбца размером 6X1:
Т — {а11 а22 а33 : fl12 fl23 fl31} •
Введем матрицу-оператор размером 6X3:
Г d/dxi О О П
О д/дх2 О
гя / м _ 0 0 д!дх3
Р(...)] “д]дхя ’didx'i "О'"
О д/дх$ д/дх.
- д/дх3 0 d/dxi -
(1.164)
Представив div Та в виде матри-
цы-столбца размером 3XL полу-
чаем
{div Тл} = 0(...)]Г{«}. (1-165)
Рис. 3. К выводу формулы ди-
вергенции тензорного поля
Контрольные вопросы
1. Какая матрица называется ортогональной? Какими свойствами
она обладает?
2. Как изменяются компоненты двухвалентного тензора с перехо-
дом к новому базису?
3. Какие действия выполняются над тензорами?
. 4. Что такое главные направления и собственные значения тензора?
5. Дайте определение инварианта тензора. Какие инварианты тен-
зора второй валентности Вы знаете?
6. Какой тензор называется производной вектора по векторному
аргументу? градиентом вектора?
7. Какой вектор называется дивергенцией тензорного поля?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Воеводин В. В.,Линейная алгебра. 2-е изд. М.: «Наука», 1980. 400 с.
Вулих Б. 3, Введение в функциональный анализ. 2-е изд. М.: Физ-
иатгиз, 1967. 415 с.
Гун Г. Я. Теоретические основы обработки металлов давлением (тео-
рия пластичности). М.: Металлургия, 1980. 456 с.
Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные методы
анализа. 4-е изд. М.: Наука, 1970. 664 с.
Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. 2-е изд. М.: Изд-во
МГУ, 1978. 288 с.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 2-е изд.
М.: Наука, 1977. 742 с. с ил.
Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика:
Пер. с англ. М.: Мир, 1969. 447 с.
Кочин И. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
9-е изд. М.: Наука, 1965. 426 с.
5 г- Я. Гун . 65
Таблица I. Основные зависимости теории поля
Наименование Векторная запись Запись в декартовых коор- динатах
Орт координатного бази- са Вектор Сложение векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение Векторное произведение Радиус-вектор Скалярное поле Векторное поле Оператор Г амильтона <набла> Градиент скалярного по- ля ф (х, 0 Производная скалярного поля ф(х, /) по направ- лению п Дивергенция векторного поля а(х91) Нормальная к поверх- ности 2 составляющая вектора а Поток векторного поля а(х9 t) через поверхность S Формула Г аусса — Ост- роградского Оператор Лапласа Тензор второй валент- ности Сложение тензоров Умножение тензора на число Умножение тензора на тензор Умножение тензора иа вектор (левое) Умножение тензора на вектор (правое) е1 а с= а+Ь а • b а • b X Ф(*»0 а (х, 0 V fared/Дф)/Р дф дп diva f f S И ап dS=.j.fx s V XdioadW V2 Та Тс =Та+Тв тв~ьтА Тс =тАтв 1=ЬТА ^с^ТАЪ а — а( et (с{ ) = (а{ + b{) (Ь{) = (ка( ) а • Ь = at ~х ~ х^ е{ Ф = Ф(*; , 1) а~а (х( , /) у = (д/дх() е( 7Ф = (д<р/д*,- ) et дф/Эг» = ( Wdxt )п( div а = dai 1 dxi ал =at Я а( nt d S 2 И а, = X X д а( / д х( d W ^2 = д 1 д xt д 1 д х{ та = I I cik = aik + bik bik = * aik cik = aip bPh Ci ~ bk aki — aU bi
66
Продолжение
Наименование
Векторная запись
Запись в декартовых
координатах
Единичный тензор
Характеристическое
уравнение тензора Тл
Производная от вектора
по векторному аргумен-
ту
Градиент вектора
Дивергенция тензорного
поля
Формула Г аусса — Ост-
роградского для тензор-
ного поля
da / d х
div ТА
J’f ТА л d 2 =
2 Л
= Щ div ТА
/ = [6<А1
I aik ~ ^ik I = 0
dal d *=[d at ldxk ]
V a = [ d at I d xt ]
div TA = d aik I d xk \
Цв<*л* el d2 =
Примечание.^- ; л = n. e — единичный вектор; n —
единичный вектор внешней нормали к поверхности: IT — объем, ограниченный
замкнутый поверхностью 2.
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ: Пер. с англ. М.:
Физматгиз, 1963. 412 с.
Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: Пер. с англ.
М.: Мир, 1974, 319 с.
Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра. М.: Физматгиз,
1962. 300 с.
Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. 3-е изд.
М.: Наука, 1967. 664 с.
Форсайт Дж„ Малькольм М., Моулер К. Машинные методы мате-
матических вычислений: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 280 с.
Шилов Г. Е. Математический анализ (конечномерные линейные
пространства). М.: Наука, 1969. 432 с.
Г л а в а II.
ОТОБРАЖЕНИЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Решение краевых задач математической физики, связанных
с математическим моделированием технологических процес-
сов, существенно затрудняется, как правило, сложной гео-
метрией пространственно-временной области,, в которой
строится решение задачи. Естественным является стремле-
ние преобразовать систему координат таким образом, что-
5*
67
бы с переходом к новым переменным область стала простой,
«канонической» — такой, как прямолинейная полоса, круг,
шар, прямоугольный параллелепипед, полупространство.
Это приводит к необходимости построения отображения од-
ной области па другую и изучению системы криволинейных
координат, порожденных этим отображением.
Наиболее важными понятиями теории отображений яв-
ляются понятия якобиана как коэффициента искажения
отображения, понятие и свойства обратного отображения и
суперпозиции отображений. Особое значение имеют кон-
формные отображения, обладающие важным свойством
консерватизма углов и получившие широкое применение
при решении задач математической физики.
Как было отмечено, каждое неособенное отображение
порождает некоторую систему координат. Наибольший ин-
терес представляют ортогональные криволинейные коорди-
наты и соответствующие им отображения. Многие употре-
бительные системы координат порождены конформными
отображениями.
Зависимости между «старыми» и «новыми» переменны-
ми, т. е. формулы преобразования, могут быть интерпрети-
рованы двояким образом: либо как формулы отображения
одной области на другую, либо как формулы преобразова-
ния координат в заданной области. И в том и в другом слу-
чае с переходом к новым переменным обычно необходимо
преобразовать некоторые дифференциальные и интеграль-
ные выражения.
1. Отображения
ОТОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКИХ ОБЛАСТЕЙ. Изложение тео-
рии отображений целесообразно начать с анализа относи-
тельно более простого случая отображений плоских обла-
стей, часто встречающихся в приложениях. Переход к про-
странственному случаю в дальнейшем не вызовет сущест-
венного усложнения теории либо принципиальных измене-
ний определений и формулировок.
Рассмотрим [8] некоторую область D плоскости Ох\Х2
(рис. 4), которая может быть всей плоскостью или какой-
нибудь ее бесконечной частью.
Пусть в области D заданы две функции yit у2:
У1 = fi (*i» хг)', _уг = Д (хх, х2) (II. 1)
так, что каждая из этих функций определена, однозначна
и непрерывна в D.
68
41
4
Рис. 4. Отображение плоских областей
(II. 1) называется отображе-
Каждой точке Л4(хь х2) система функций (II.1) ставит
в соответствие единственную точку N(yt, у2) плоскости,
снабженной системой координат.
Множеству всех точек М области D ставится в соответ-
ствие множество точек N некоторого множества Е, которое
при некоторых дополнительных предположениях также яв-
ляется областью. При этом
точка # называется отобра-
жением или образом точки
М, а точка М — оригиналом
(или прообразом) точки AL
Аналогично область Е назы-
вается отображением (или
образом) области D плоско-
сти Oxtx2 на плоскость Oyiy2,
а область D — оригиналом
(или прообразом) обла-
сти Е.
Обращением отображения
ние, которое приводит в соответствие те же точки плоско-
стей OxiX2 и Oyiy2, что и данное отображение, но в обрат-
ном порядке, т.е. точкам плоскости Оу\у2 ставятся в соот-
ветствие точки плоскости Ох1х2. Сами отображения при
этом называются взаимно-обратными. Если обратное ото-
бражение также однозначно, то такие отображения назы-
ваются взаимно-однозначными. При этом каждой точке об-
ласти Е соответствует одна точка бласти D, а каждым
двум различным точкам области Е соответствуют две раз-
личные точки области D.
Взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображе-
ние области называется гомеоморфным.
Пусть функции
У1 = Fi(xlt х2); У2 — Е2 (а, хг) (П.2)
заданы как сложные функции независимых переменных Х|
и х2 посредством промежуточных аргументов и &.
= fi (51» £2); = /2 (61» Ег);
Et == gi (xi« = Ег(х1> хг)>
так что
У1 = Fx (хь xi) = fi Igi (*1. xi)> gi (*1. *г)1;
ya = F2 (xlt x2) = f2 tei U'i, Хг), gt (xlf x2)l.
(П.З)
(П.4)
(П.5)
(П.6)
69
Система (II.2) отображает некоторую область D плос-
кости Oxtx2 в область Е плоскости Оу\у2 посредством двух
промежуточных отображений: области D — в область Д
плоскости О£1£г с помощью системы (11.4); области Д —
во область Е с помощью
Рнс. 6. Отображение как суперпозиция
примитивных отображение
примитивных отображений (рис
системы (П.З). Результи-
рующее отображение об-
ласти D в область Е на-
зывается суперпозицией
этих промежуточных ото-
бражений (рис. 5).
Отображение, в кото-
ром одна из координат
(абсцисса или ордината)
остается неизменной, на-
зывается примитивным.
При достаточно общих
условиях каждое отобра-
жение можно представить
как суперпозицию двух
5).
Пример. Простейшим примером отображений являются так назы-
ваемые аффинные отображения, определяемые линейными функциями
= an хх + flaха + Ьх; = а^ хх + ха + 5а,
где aik, bi (i, fc=l, 2) — постоянные.
Если определитель системы (П.7) отличен от нуля:
(П.7)
a2i 021
а11 а22 —
а12 a2i * О»
(П.8)
то отображение (П.7) однозначно обратимо, причем для х> и Х2 имеем
линейные выражения: *2=а21У1+а2202+^2» где
— постоянные.
Таким образом, отображение, обратное аффинному, тоже аффинное.
Аффинные отображения обладают рядом замечательных свойств;
в частности, эллипсы и прямые они отображают снова на эллипсы и
прямые; отношение площади образа к площади прообраза (коэффици-
ент искажения) при аффинном отображении есть величина постоянная.
Коэффициент искажения суперпозиции аффинных отображений равен
произведению коэффициентов искажений промежуточных аффинных
отображений.
ЯКОБИАН. Пусть функции fi(xlt х2) и f2(*b х2) непре-
рывно дифференцируемы в области D, т. е. имеют непре-
рывные частные производные по обеим переменным. Отоб-
ражение (П.1) также называется дифференцируемым. Его
70
важной характеристикой является функциональный опре-
делитель — якобиан
Р(У1. У») _ I dyi ' _ dyJdXi dyjdx2 ' щ gv
Р (*i, *») I dx* ’ ” dyjdxx дуг1дх2 ’ ' ’
Модуль якобиана отображения в данной точке равен
коэффициенту искажения в данной точке; с точностью до
Рис. 6. Конформное отображение криволинейной полосы на прямолинейную
бесконечно малых величин высших порядков он показывает,
во сколько раз изменяется при отображении площадь бес-
конечно малой области, содержащей данную точку.
Знак якобиана обусловливает направление перемещения
образа точки при движении ее по какому-либо замкнутому
контуру в окрестности точки Мо, при этом, если D(yif у2)/
/D(xu х2) | лг>0, то направление обхода сохраняется; в
противном случае оно становится противоположным.
Всякое дифференцируемое отображение является «ло-
кально аффинным», т. е. в бесконечно малой области обла-
дает теми же свойствами, что и аффинное отображение во
всей плоскости. Рассмотрим в качестве частного случая
такие отображения при которых бесконечно малые окруж-
ности снова преобразуются'в бесконечно малые окружно-
сти при сохранении направления обхода контура.
Задача II.1. Конформные отображения. Отображение области D
плоскости ОХ|Х2 на область Е плоскости Оу\уг реализуется аналитиче-
ской функцией комплексного переменного w=w(z), где w=yi + iyi, z=
=xt + ixj (рис. 6). Вычислить якобиан прямого и обратного отобра-
жений.
Решение. Отображение вводится к следующим зависимостям:
У1 = fl (xi. *»). У» = /2 (*i. *»). (И • Ю)
причем в каждой точке области D выполняются соотношениями Коши—
Римана (Даламбера—Эйлера):
ду^/дх^ = дуя/дхя; дУ1/дхя = — дуя/дх^. (II. И)
71
Такое отображение называется конформным, оно преобразует вся-
кую бесконечно малую область в подобную бесконечно малую область.
Якобиан конформного отображения равен
о (У1, Уа)
О (Xi, х»)
дУ1 dt/i
dxi dxt
дУа дУа
dxi дх2
I ди. \»
+ я =1“''(г)1\
\ дха )
/ Эу, у / dyt у = / ду„ у +
\ дх! / \ дх3 ) \ dxi /
(П.12)
где | w'(z) | — модуль производной w'(z).
Обратное отображение реализуется функцией z=z(w), его якобиан
равен
йХ1
D(xit xt) _ Р(УЪ У а) ду2 дхЛ дуа дх2 _ (4. (dxi У ~ \ 0У1 / + \ дУа /
йУ1 йуг
_ 1 дх* \ <^ / + / дх2 ' \ дУа > ) =|г' (») 1*.
где |z'(w) |—модуль производной z'(w), причем z'(w) = l/wz(z).
(11.13)
Рассмотрим некоторые свойства якобиана.
1. Условие гомеоморфности отображения. Если якобиан
отображения не равен нулю в точке Мо, то отображение
х2). у2=Ы*1, х2) в некоторой окрестности этой
точки гомеоморфно.
2. Якобиан обратного отображения. Если якобиан не-
прерывно дифференцируемого отображения отличен от ну-
ля, то
Р(У1, У»)
D(xitXa)
Д (xt, ха)
Д(У1. Уа) ’
(П.14)
= 1
т. е. якобиан обратного отображения есть величина, обрат-
ная якобиану прямого отображения.
3. Якобиан суперпозиции отображений. Если дифферен-
цируемое отображение
У1 = Fi (хъ х2); у2 = F2 (хг, х2) (П. 15)
является суперпозицией отображений
У1=/1(5п Ба)? У2 ~ /а(?1> ...
72
причем, если функции fi, f2» g2 в соответствующих обла-
стях дифференцируемы, то
Р(Уи У*У _ О (УУ2) # Ь)
О (Xi, х2) । 5г) D(xi> х2)
т. е. якобиан суперпозиции отображений равен произведе-
нию якобианов промежуточных отображений.
(11.17)
Задача II.2. Примитивное отображение криволинейной полосы на
прямолинейную. Область плоского
ляет собой криволинейную полосу
D, ограниченную кривой X2=f(xi),
причем f(X|)>0 и осью xt
(рис. 7). Отобразить область те-
чения на прямолинейную полосу
плоскости Оу\У2. Рассмотреть об-
разы прямых y\—CL\y 1/2=0 (0<6<
<1) на плоскости 0х\Х2. Вычис-
лить якобиан отображения.
Решение. 1. Поставленная
задача имеет бесконечное множе-
ство решений; построим одно из
г них следующим образом. Пусть
(11.18)
т. е. отображение является при-
течения сплошной среды представ-
Рис. 7. Примитивное отображение
криволинейной полосы
митивным.
Образом прямой линии У2=Ь на плоскости ОХ1Х2 является кривая
x2=cf(x0, (0<Ь<1), образом прямой у\ = а — также прямая Xi=a.
Якобиан отображения равен
О(У1. Уз) _ D(xb х2) дУз 8X1 дУз dXi dyt дУз дх2 = 1 — ХзГ(*1) f,(*l)]a 0 1 f(*l) = l//(X1)^0. (П.19)
Обратное отображение имеет вид
*1 = У1! *з = = Уз! (У1)- (П.20)
Якобиан обратного отображения равен
D (*1. xi) _ D (Fx> Уз) &У1 dx2 дУз дх3 = ' 1 0 = /(У1). (И.21)
0У1 дУз Уз Г (Ух) /(У1)
Поскольку x\ = yit то, как и следовало ожидать:
Otoi.y») =
D(xlt х,) D(yityt)'
(11.22)
73
ОТОБРАЖЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ОБЛАСТЕЙ. Пере-
ходя к рассмотрению отображения трехмерных областей,
заметим, что основные определения в этом случае являют-
ся дословным повторением (с некоторыми терминологичес-
кими изменениями) соответствующих определений, относя-
щихся к отображению плоских областей. Поэтому ограни-
чимся изложением наиболее важных зависимостей.
Пусть три функции
У1 = fi (-«1. хг, х3); Уг = ft (*(. х2, х3). J/з = f3 (хх, хг, xt)
трех независимых переменных, определенные и непрерывно
дифференцируемые в некоторой области D пространства,
снабженного декартовой системой координат Ох}х2х3, ото-
бражают эту область в область Е пространства, снабжен-
ного декартовой системой координат Оу\у2у3-
Основной характеристикой отображения является яко-
биан
Д (У1. У3. Уз) _ tot I
D(xi,x2,x3) Зх*|
Зух ЗУ1 3^1
ЙХ1 Зх, Зх3
ду2 ду2 зу,
3X1 Зх, Зх3
ду3 дУз дхз
3xi Зх, Зх3
(П.24)
Его модуль является коэффициентом искажения в дан-
ной точке; с точностью до бесконечно малых величин выс-
ших порядков он показывает, во сколько раз изменяется
объем бесконечно малой области, содержащей указанную
точку, при ее отображении.
При аффинном отображении
Vl = aib*hA-bi,. * (11.25)
где Я/*, bi — константы, якобианом служит определитель системы ли-
нейных функций (11.25), т. е.
„ Х*’ = | aih I = const. (11.26)
При этом эллипсоиды, плоскости и прямые отображаются снова соот-
ветственно в эллипсоиды, плоскости и прямые.
Всякое дифференцируемое отображение является локально аффин-
ным, поэтому в бесконечно малой области обладает теми же свойства-
ми, что и аффинное отображение во всей области.
При отображении пространственных областей свойства
якобиана практически совпадают с аналогичными свойства-
ми якобиана при отображении плоских областей:
74
1. Условие гомеоморфности отображения. Если якобиан
отображения в точке М не равен нулю, то отображение
в некоторой окрестности этой точки гомеоморфно.
2. Якобиан обратного отображения. Для якобианов вза-
имно-обратных дифференцируемых отображений справед-
ливо следующее соотношение:
Д (У1> Уз» Уз) _ (xt> х»< *з) до 27)
D(xf,xt,x3) D (t/i, у3, у3)'
3. Якобиан суперпозиции отображений.
Если дифференцируемое отображение
У1 = Fi (х» х2, х,).у у3 = Fa (хр хг, х,),Т № = (^i. 2. *з)
(П.28)
является суперпозицией отображений
й-МЛЬ). у3 = ЫЪЛМ (П.29)
11 = gi (Xi, х3, х>), Еа = g3 (xlt х2, х3), £3 = g3 (хи х2, х3), (11.30)
причем функции ft, f2, f3, gi, g2, gi в соответствующих обла-
стях дифференцируемы, то оно также дифференцируемо и
О (У1« У». Уз) _ Д (xi> xt, х3) D (&, gg, Ь) Л] 31)
О(*1.*»,*з) 0(51, ь.£з) ‘ D(xitx3,x3)'
Контрольные вопросы
1. Что называется образом точки? области? их прообразами?
2. Какие отображения называются взаимно-обратными? взаимно-
однозначными? гомеоморфными? В чем различие между ними?
3. Что такое суперпозиция нескольких отображений?
4. Какое отображение называется аффинным? Какими свойствами
оно обладает?
5. Что такое якобиан? Какой геометрический смысл имеет его мо-
дуль? знак?
6. Чему равен якобиан обратного отображения? Суперпозиции не-
скольких отображений?
7. В каком случае отображение в некоторой окрестности точки яв-
ляется гомеоморфным?
8. , Каким и свойствами обладает конформное отображение?
2. Криволинейные координаты и отображения
криволинейные координаты на плоскости.
Рассмотрим отображение
Pi fi (*1> *2)» 02 = /2(^1» (П.32)
гомеоморфное в некоторой области D плоскости Ох\Х2.
Пусть М — точка области D, Допустим далее, что ее обра-
75
зом на плоскости O₽iP2 является точка N, а образом обла-
сти D — область Е. Поскольку каждой точке N области Е
соответствует единственная точка М области D, то числа
Pb р2 (прямоугольные декартовы координаты точки N) со-
вместно с системой (П.32)
Рис. 8. Криволинейные координаты
на плоскости
полностью определяют по-
ложение точки Af в области
D. Будем называть эти чис-
ла криволинейными коорди-
натами точки М. Это опре-
деление связано с тем, что
по заданной точке М мож-
но найти соответствующие
ей значения 0Ь 02 и наобо-
рот, по заданным числам
01, р2 можно найти соответ-
ствующую им единственную
точку М (например, обратив
соотношения (11.32) следую-
щим образом):
*1 Si (01» 0г)» — ёг (01» 02).
(Н.ЗЗ)
Координатной линией в данной системе криволинейных
координат называется множество точек, имеющих одну из
своих криволинейных координат постоянной (i/i=const или
1/2 = const). Через каждую точку М проходят две координат-
ные линии (рис. 8).
Координатная линия 0i=Ci=const в плоскости OxiX2
определяется уравнением fi(xi, Хг)=С1, а координатная
линия 02=C2=const уравнением f2(xb х2)=с2. Легко ви-
деть, что координатные линии представляют собой линии
уровня соответствующих функций; две системы координат-
ных линий образуют криволинейную сеть, покрывающую
область D и разбивающую се на криволинейные четырех-
угольники. 1
Итак, любое отображение вида (11.32), гомеоморфное
в некоторой области D плоскости, снабженной декартовой
прямоугольной системой координат Ох^ порождает в этой
области криволинейную систему координат 0102. При этом
область D отображается на область Е другой плоскости,
снабженной декартовой прямоугольной системой координат
00102. Если всякие две координатные линии из различных
семейств пересекаются под прямым углом, то система кри-
волинейных координат в плоскости называется прямоуголъ-
ной или ортогональной. Условие ортогональности может
быть записано следующим образом:
= о или дх^ = 0 (П.34)
dxi dxt дх3 дхг dPi dp2 dp! d₽j
Пусть система криволинейных координат ортогональна.
Введем единичные векторы bi, направленные по касатель-
ным к координатным линиям в точке М в сторону возрас-
тания соответствующих переменных yi. Система векторов
t>i, t>2 образует локальный ортогональный базис. Произволь-
ный вектор а, заданный в точке М, может быть разложен
по векторам этого базиса:
а — 0} bf.^
(П.35)
Будем называть а, криволинейными составляющими
вектора или же проекциями вектора а на оси криволиней-
ных координат.
Пусть х=Х1(рь p2)ei+x2(Pi, р2) е2 — радиус-вектор точ-
ки М. Вычислим производную
^=*Le1 + -^ei.
dpi dpi dpi г
(П.36)
При дифференцировании р2 считается постоянной, по-
этому вектор dx/dpi направлен по касательной к координат-
ной линии рь т. е. dx/dfii=Hibl. Очевидно, /Л —длина век-
тора dx/<?Pi, при этом соблюдается соотношение
Hi
1/ ^х &х — ($Xi V I (^Хг у
' 5р! др, “ V UpJ bpj
(П.37)
аналогичное дх/д$2=Н2Ь2, где
Нг = 1/ _ 1/V + (П.38)
У дв2 dpj У U₽J \dpj
Величины Н\ и Н2 называются коэффициентами Лямэ си-
стемы криволинейных координат (11.32). Для квадрата
длины элемента dx получаем следующую формулу:
dS» = H2dp2 + H'dfy (П.39)
77
В качестве примера рассмотрим полярную систему ко-
ординат.
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ г, со (г>0, 0<с0<2л). В этой систе-
ме координат р! = г, p2=w. Координатными линиями служат концент-
рические окружности с центром с начала координат и полупрямые, ис-
Рнс. 9. Полярные координаты
точки М
ходящие из начала координат (рис. 9).
Формула перехода от полярных
координат к декартовым и обратно
Xj = г cosco; xa=rsinco; (11.40)
г = + *2 » ® = arctg хх/х2 =
= arcsinxg/'. (11.41)
Дифференциалы координат равны
dxi = cos со dr — rsincodco; j (Ц 42)
dx2 = sincodr+rcos(od(o. J
Квадрат длины элемента dx
dS2 = dx‘f + dx~2 = dr* + r2 dw2.
(11.43)
Коэффициенты Лямэ
Я£=ЯГ=1; Нл = Н& = г.
(11.44)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ, СВЯЗАННЫЕ
С КОНФОРМНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ. Пусть задача ана-
литическая функция
w = w (г),
(11.45)
где о>=ф-Нф, z=x+'iy, реализующая конформное отобра-
жение некоторой области D плоскости z на область Е плос-
кости W.
Уравнение (П.45) эквивалентно двум соотношениям
х = х(ф,ф), у = у(ф,ф), * (П.46)
в связи с чем величины ф и ф можно рассматривать как
криволинейные координаты точек (х, у) плоскости г. Ли-
нии ф(х, у) = con st и ф(х, y)=const образуют ортогональ-
ную сеть, поэтому криволинейная система координат явля-
ется ортогональной.
Поскольку при этом dz2=dx24-dy2 = |z,(u>) |2(</ф2+
-|-ch|)2), то коэффициенты Лямэ равны модулю производной
функции z—z(w), обратной (П.45):
Я,.Яф = |г»|, (П.47)
78
Рис. 10. Криволинейные
координаты, связанные с
конформным отображением
. Пусть дана какая-либо точка М области D. Проведем
через нее линии <p=const и if=const (рис. 10) и обозначим
единичный вектор, касающийся линии if=const и на-
правленный в сторону возрастания if, а —единичный век-
тор, касающийся линии ф=const,
направленной в сторону возраста-
ния ip. Таким образом, векторы
и образуют в точке М локальный
базис. Любой вектор а, имеющий в
точке М декартовы координаты (ах,
av), будет иметь в локальном бази-
се проекции (аф, Оф), причем
а, + »аф = е~£а (ах 4- iav), (II.48)
где а — угол, составляемый ортом
Ьф с осью Ох и отсчитываемый от
последней в положительном направ-
лении.
Чтобы вычислить е{а, придадим
точке z смещение dz в направлении
орта 6ф. Тогда соответствующая точка w получит смеще-
ние в горизонтальном направлении, причем
dz = eialdzl, dw=ldu>l,
откуда
е«а — dz = г' dw = 2'(Ц))
I dz | | г' (а») I dw | | г’ (ю) |
Значит, окончательно:
= | г' (ю) | +
(П.49)
(П.50)
(П.51)
Так, при плоском течении сплошной среды компоненты
(Оф, Оф), вектора скорости в криволинейных координатах
(ф, if) связаны с компонентами вектора скорости в декар-
товых координатах (хь х2) следующим образом:
+ + iv^‘
(П.52)
ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВУЮ ОБЛАСТЬ. Рас-
смотрим теперь отображение область D, находящейся на
плоскости z, на область А плоскости £, представляющую со-
то
бой либо круг, либо круговое кольцо, причем начало коор-
динат £=0 расположено в центре.
Введем в рассмотрение полярные координаты г и со на
плоскости положив t = rei(i>.
Окружностям r=const и co=const плоскости £ на плос-
кости z соответствуют некоторые кривые, которые мы то-
же будем обозначать r=const и co=const.
Рис. 11. Отображение
на круговую область
Пусть D — конечная односвязная область, ограниченная
замкнутым контуром S, а Д — круг радиусом г=1 с цент-
ром в точке £=0. Полагая, что точки z=0 и 5=0 соответ-
ствуют одна другой, найдем, что кривые r=const на плос-
кости z представляют собой семейство замкнутых линий,
окружающих точку z=0. Кривые ©=const выходят из точ-
ки 2=0 и кончаются на контуре S. Сам контур S соответ-
ствует г=1 (рис. И).
Аналогичная картина получится в случае, когда область
D ограничена двумя замкнутыми контурами и S2 и ото-
бражается на круговое кольцо
Величины г и со можно рассматривать как криволиней-
ные координаты точек (х, у) плоскости z.
Поскольку
dz* = dx2 + dy2 = | z' (5) |2 (d|2 + di]2) = I z' (5) Г (dr2 + r2 dw2),
(П.53)
коэффициенты Лямэ такой ортогональной системы коорди-
нат равны д
Нг = |/(01, Н- = г|/(0|, (П.54)
причем для произвольного вектора, заданного в точке М об-
ласти D:
Of + iaw = -j- Ч + Ч)- (П.55)
80
Аналогично зависимостям (11.51), (11.52) можно запи-
сать: --шит
vr + iva = 4 -414 (V1 + iv2). (П.56)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КООРДИ-
НАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ. Рассмотрим преобразование
Pi«fi(x*), (П.57)
где — произвольные, достаточ-
но гладкие функции от перемен-
ных 0ft (i, Л = 1, 2, 3).
Если функциональный опреде-
литель (якобиан) |dpi/dx*| отли-
чен от нуля, то преобразование
(11.57) обратимо, т. е. уравнение
(11.57) можно разрешить относи-
тельно хк:
Рис. 12. Криволинейные ортого*
нальные координаты
xh=gM-
(П.58)
Из формул (11.57) и (11.58) следует, что любой сово-
купности р, соответствует единственная совокупность х„ и
наоборот. Переменные 0,- определяют положение точки М
в пространстве единственным образом и поэтому называ-
ются криволинейными координатами точки М.
Поверхности уровня функций 0< (х) образуют некоторые
семейства поверхностей. Через каждую точку М простран-
ства проходит по одной поверхности каждого семейства
(рис. 12). Назовем эти поверхности координатными поверх-
ностями. Линии пересечения этих двух координатных по-
верхностей назовем- координатными линиями. Так, напри-
мер, две координатные поверхности 02(хь *2. x3)=const и
р3= (хь хг, Хз) =const пересекаются по координатной ли-
нии Рь Вдоль нее меняется только координата 01, а коор-
динаты р2 и 0з сохраняют постоянное значение.
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением наиболее
важного для приложений случая криволинейных ортого-
нальных координат. При этом координатные линии в каж-
дой точке перпендикулярны.
Введем единичные векторы bi, направленные по каса-
тельным к координатным линиям в точке М в сторону воз-
растания переменных 0, (см. рис. 12). Система векторов bi
6 Г. Я. Гун 81
образует локальный ортогональный базис. Произвольный
вектор а, заданный в точке М, может быть разложен по
векторам этого базиса: a=ab{.
Будем называть а криволинейными составляющими век-
тора а или же проекциями вектора а на оси криволинейных
координат.
Направление векторов локального базиса меняется при
переходе к другой точке пространства, в то время как на-
правление ортов декартовой прямоугольной системы ко-
ординат остается неизменным.
Для дифференциала вектора х имеем
dx = (dx/бра = Нх dp А 4- Я2 dpa Ь, + Hs dp, bs. - (11.59)
Возведем в квадрат обе части равенства (11.59). Так
как dx.-dx=dS2, а для квадрата длины элемен-
та dx получим следующую формулу:
dSt = H2dpl + Н1<Ц + Н2 dp|, (П.60)
где ______________________________
Н„ = V №-)' + (11.61)
г \ дрл ) \ opk / \ obk /
— коэффициенты Лямэ.
В качестве примера рассмотрим цилиндрическую и сфе-
рическую системы координат.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ г, ш, z (г>0).
В этой системе координат pi=r и рг=со — полярные координаты про-
екции точки М на плоскость X[Ox2t z —расстояние точки М до плоско-
сти XiOx2 (рис. 13).
Координатные поверхности: плоскости, перпендикулярные оси х3
(z=const), полуплоскости, ограниченные осью х3 (со=const), и ци-
линдрические поверхности, осью которых является ось х3 (г=const).
Координатные линии —линии пересечения этих поверхностей. Ло-
кальный базис образован векторами brt и Ьх.
Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым и
обратно:
x1=rcos<i); х2 —rsino; x3 = z; (11.62)
^r=]^Xj+x2; G) = arctgxj/xi = arcsinx2/r; z = x3. (П.63)
Дифференциалы координат равны
dxt = cos co dr — r sin codco; j
dxa = sin Gkf/’+ r cos coda); ? (11.64)
dx3 = d2. J
82
Квадрат длины элемента dx
dS2 = ox2 + dxl + dx%~ dr2 + r2 d(&2 + dz2. (11.65)
Коэффициенты Лямэ
H2=Hv=rt Н3 = Нг^\. (11.66)
СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ, г, со. х ('>0, 0<х<«).
Здесь р!=г —длина радиус-вектора; р2=©— долгота, р3=Х — поляр-
Рис. 13. Цилиндрическая система
координат
Рис. 14. Сферическая система коор-
динат
ное расстояние (рис. 14). Положительные направления отсчета показа-
ны на рис. 14. Локальный базис образован векторами Ьг, Ь® и .
Координатные поверхности: сферы с центром в начале координат
(г=const), полуплоскости, ограниченные осью Хз (со=const), круговые
конусы с вершиной в начале координат (x=const).
Координатные линии — линии пересечения этих поверхностей.
Формулы перехода от сферических координат к декартовым и об-
ратно:
= г sin х cos о; ха = г sin х sin ©; x3=rcosx; (11.67)
^ + х|4-*з ; o = arctg—; x = arctg-----—
*1 хз
(11.68)
Дифференциалы координат:
dxi = sin х cos о dr — r sin x sin © d© + r cos x cos © dx;
dx2 = sinxsin (i)dr + r sin xcos ©d© + rcos xs>n(d^X;
dx3 = cos x dr — r sin x dx.
(II. 69)
Квадрат длины элемента dx:
dSa = dXj + dx^ + dXg = dr2 + r2 sin2 xd©2 + r2 dy\ (II. 70)
6*
83
Коэффициенты Лямэ:
//х = Яг = 1;
Яа = Я© = г sin %;
Я3 = ЯХ=7.
(П.71)
Контрольные вопросы
1. Дайте определения: криволинейных координат; координатной ли-
нии; координатной поверхности.
2. Как связаны между собой гомеоморфные отображения и криво-
линейные системы координат?
3. Как строится локальный координатный базис?
4. Дайте определение коэффициентов Лямэ.
5. Какими свойствами обладают криволинейные координаты, свя-
занные с конформным отображением?
6. Чему равны коэффициенты Лямэ для цилиндрической системы
координат? сферической системы координат?
7. Что представляют собой координатные линии и координатные
поверхности для цилиндрической системы координат? сферической си-
стемы координат?
3. Преобразование дифференциальных
и интегральных выражений
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ НЕЗАВИСИ-
МЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть нам дано выражение вида
U = F (хр х2, и, duldxlt ди/дх2,
д*и!дх\ ^u/dxtd^i, &и/дх2), (11.72)
построенное из констант, независимых переменных хг и х2,
их функции u=f(xlt х2) и ее производных, определенных в
некоторой области D плоскости Ох\Х2. Рассмотрим преоб-
разование выражения (11.72) при замене независимых пе-
ременных хь х2.
Пусть вводятся новые независимые переменные у\ и у2,
связанные с данными независимыми переменными зависи-
мостями вида
xi ~ fi (Уъ Уа)> хг — fz (Уъ Уг)> (П.73)
причем функции ft и f2 непрерывны вместе со своими про-
изводными до требуемого порядка; кроме того, якобиан
О (Xi, x2)/D (у к t/2) #= 0.
Поставим следующую задачу: воспользовавшись форму-
лами замены переменных (11.73), подставить в выражение
(11.72) вместо х(, х2 соответственно функции fi(yi, у2),
1г(У1, У2) и найти новое выражение, теперь уже через пере-
84
менные у\, у2, для величины U. Для этого нужно знать, как
выражаются через новые переменные У\ и у2 аргументы
функции F.
Будем последовательно рассматривать эти величины.
Очевидно:
(П.74)
. Далее:
ди _ ди dpi । ди дра ди _ ди дра । ди дуа щ
dxi dt/i dxi дуа дха ’ дха др^ дха дра дха
Пользуясь правилами действия над матрицами, эти зави-
симости можно компактно записать следующим образом:
ди
ди
дха
dPt дра
дха дх^
dPj дра
дха дха
ди
dpi
ди
дра .
(П.76)
Из формул (П.73) можно найти производные dXkldy-,,
однако производные дуг/дхк этими зависимостями не опре-
деляются.
Для нахождения производных dyi/dxk воспользуемся
следующим приемом: продифференцируем по Xi и х2 выра-
жения (П.73), учитывая, что dxi/dxk=f>ik. В результате
получаем следующую систему линейных алгебраических
уравнений относительно этих величин:
dxi dpt । дха дра
дуа дх! дра dxi
дх^^У1 _[_ дха дра
dpt dxi дра [dxt
дх1
др^ dxi дра дха
dxa dyt । dx2 dya
dy, dxi дра дха
(П.77)
Или в матричной записи
dxj dxj dpi dX! 1
dpi dpa
dxa dx2 dpa 0
-dPi dpa _ lax,.
dxj дха
dpt дра
дха дха
_ dPi др2 _
Отсюда находим
dPt
дха
дра
дха
(11.78)
dPt = дха /д,
dxi дра1
9Pi ^2 /д.
dxj dpt I
dPt =_ дха <д
дха дра I
dPi _ dxi k
Эхг dpt I
(11.79)
85
где
^ = D(x1,Xt)fD(y1,yt). (П.80)
После подстановки в равенства (11.75) получаем
ди Р(и,х2) h ди _ О(х1( и) <д (11.81)
dxi D (yit y2)l ' дх2 D (yit y2)[
, Далее, переходя к вычислению вторых производных,
имеем:
д*и д / du \ д / ди \ ЭУ1 ।
dXf дх1 \ дх1 / dxi
. д ( ди \ ду2
*1 ' I ) г
ду2 \ &Х1 ] dxt
д2и _ д / du \ __ д / du \ ду2 ।
дх| ду1\дх2)дх2
। d / du \ ду2
ду2 \ dx> / Эх2 3
d2u d / du \ __ d / du
dXj dx2 dx2 \ dx< / dyt \ dxi
। d / du \ dy2
dt/a \ dxj / dxa
Причем производные dyi/dx.k заменяются в соответствии с
формулами (11.79).
Задача 11.3. Преобразование дифференциальных выражений. Рас-
смотреть, как преобразуются выражения
U = (du/dxj2 + (du/dx2)2 и V = d2u/dx2 + &uldx%
с переходом к новым независимым переменным <р и ф при конформном
отображении w«w(z), w—<p+ty, z«X|+ix2.
Решение. Начнем с первого выражения. Воспользовавшись ра-
венствами (11.81) и учитывая, что t/i=<p, 1/2=ф, получаем
(ГР(ц,ха) р , Г D(xltu)pi 1Г Р(хьха)-|2
11л(<р,ч>) J 12>(ф,ф) J л[р(ф,ф) J •
(И. 83)
Раскрывая квадраты якобианов и учитывая условие ортогонально-
сти, а также, что Нф = |г'(ш) |:
(11.84)
Перейдем ко второму выражению. Опуская громоздкие выкладки,
(см. в работе [8], с. 193—194), получаем
d2u । :д2и / д?и . d2u\l
----------------------------/| г' to) I2.
dx2 dx2 \ *P2 dip2 Jj1 1
(11.85)
86
Отсюда следует, что если функция и является гармонической в пе-
ременных х2, то она будет гармонической и в переменных <р, ф;
другими словами, свойство гармоничности при конформном отображе-
нии сохраняется.
Задача 11.4. Преобразование уравнения теплопроводности. Урав-
нение теплопроводности при плоском течении идеально-пластической
среды имеет вид (см. «Теоретические основы», гл. 10, п. VI)
Л>/Л = х(д2<>/дх2 + д2<>/дх|)+гг4Н, ч (11.86)
где х и v — константы.
Считая течение потенциальным, а температурное поле стационар-
ным, преобразовать уравнение, переходя к переменным <р, ф плоскости
комплексного потенциала w(z)=q>(Xi, х2)+/ф(хь х2).
Решение. Используя результаты задач II.1 и П.З, получаем
. 3*0 _ 1
дх] dx2 I г' (») Is
/ д'в , д40 \
\ дф2 + дф4 )'
(11.87)
Н = 2|ш"(г)|= 2
1 .
|z'(w)|4 г
д0 дф
дф dt ’
(11.88)
(11.89)
2п (О/)
г'(и>)
дО __ дй . d<p
dt ~ dt dq> dt
При потенциальном течении вдоль траектории материальной части-
цы ф=const и dty/dt=O. Из стационарности температурного поля сле-
дует, что дО/д/=0. Наконец, при потенциальном течении dq>/dt=
= l/|z'(w) |> После подстановки этих зависимостей в уравнение
(11.86), умножив обе части уравнения на Iz'(w) |* получаем
2*=J*± + ^ + 2vtJ^|.
дф \ дф4 дф4 / s | г' (а») |
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ТРЁХ НЕЗАВИСИ-
МЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть нам дано выражение
п—р(г v v „ ди ди ди
\ дх, дх2 дха
причем u=f(X|, х2, Хз) — функция трех независимых пере-
менных. Рассмотрим, как преобразуется это выражение при
замене переменных вида
Xi=fi(yk)
или в развернутом виде
Xi = fl (У1, Уг, Уз); *з = /а (У1, Уг> Уз); Х3 = f9 (ylt уг, у3). (П.93)
По правилам дифференцирования сложных функций имеем
в матричной записи
(И. 90)
(П.91)
(П.92)
87
ди
dxi
ди
дх2
ди
дх3
дУз dyt дуа
дхх дхх dxt
дУз дУз ду3
дха дхг дх2
дУз dy, ду3
_ дх3 дх3 дх3 _
ди
дУз
ди
ду2
ди3
дУз
(П.94)
Для нахождения производных дуз/дхц по известным про-
изводным дхк/дуг воспользуемся системой уравнений, соот-
ветствующей известным зависимостям дх</дх*=б(*. Так,
зависимости (11.93) получаем
дифференцируя ПО Х1
дхз дх, дх. дУз
дУз дуз дуз дхз
дх2 дх2 дх2 дУз
дУз дуз дуз дхз
дх» дхз дха дУз
дуз ду» _ дхз.
О
О
(П.95)
откуда
дУз _ О *з) /д &Уз __ D{xt, х»)/д &Уз _ D (-4. Хз)^
dxt D(y,,ys)l ’ dxt Р(У1,Уз)1 ’ dxi Р(У1,Уз)1
(П.96)
где Д= Аналогично находятся производные по
х2 и х3.
Подставляя их в формулы (11.94) для ди/дхз, получаем:
ди _ Р(и,Хз,ХзУ К ди _ D (хх, ц, х>) L
дха. Р(Уз,Уз>УзН ’ дХз D (Уз.Уз.Уз)!
~ = Р(х1'хз>и> /д (П.97)
дх, Р(у1,Уз,уа)1
Пример. С переходом к криволинейной ортогональной системе ко-
ординат с коэффициентами Лямэ Я< дифференциальные выражения,
рассмотренные ранее, преобразуются следующим образом (см. [8],
с. 203—211):
/ ди \2 । / ди У [ / ди у _ 1 / ди \2 ।
\ dxi) \dxt) \дх3) я‘2 \й₽1/
(П.98)
88
или в сокращенном виде
ди ди _ 1 / ди \а
dxi дх. Н2{ \ ’
д2 и . д2 и . д2 и
2. 1------1------
дх2 дх\ дх2
(П.99)
= 1 Г д (Н2Нз ди 'I +
, d lHiH3 ди\ д !НХН3 d«\l
+ эр. ( «. ъ)+ М. (—Л' ’ ’
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ. Поставим следу-
ющую задачу: дан интеграл вида
f j* f (xlt х2) dxi dx2 или J [ J f (xlt x2, x3) dXi dx2 dx3
D D
в системе декартовых прямоугольных координат х>; требу-
ется найти выражение для этого интеграла в другой задан-
ной системе координат у,.
Будем рассматривать два случая. В первом из них об-
ластью интегрирования D является плоская область, во
втором — трехмерная область.
В первом случае формула для выражения интеграла
имеет вид ,
ff/^.x^dx^x, = ^f^y^^^dy.dy,- (11.101)
D Е 11 *
во втором случае для пространственной области
> *з) dxi> ^3 = И У f У*
D Е
x^^d d d (П102)
D<Jh, y2, Уз)
Здесь E — образ области D при переходе к новым перемен-
ным.
Задача II.5. Преобразование интеграла энергии. Мощность внутрен-
них напряжений при потенциальном течении идеально пластической сре-
ды в криволинейной полосе D (рис. 6) определяется выражением («Тео-
ретические основы», гл. 10, п. 6)
/ = 2ts [| ш” (г) | dxx dx-i. (II. 103)
b
Преобразовать интеграл, переходя к переменным ф, ф плоскости
комплексного потенциала ф(хь х2) +1ф(*ь хд- -
Решение. При переходе к переменным ф, ф область D отобра-
жается на прямолинейную полосу Е (рис. 6).
89
При этом
a»' (z) = 1/z' (tv), w" (z) =— г”^ .
(г Ml*
Якобиан отображения равен [9]
В результате интеграл, преобразуется следующим образом:
D
(11.105)
Контрольные вопросы
1. Как выглядит матричная форма записи выражения производных
сложной функции?
2. Какой смысл имеет выражение дх</дхд=ба?
3. Почему гармоническая функция при конформном отображении
остается гармонической?
4. Как преобразуется с переходом к новым независимым перемен-
ным интеграл по плоской области? по пространственной области?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Бермант А, Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Преоб-
разования. Формулы Грина. М.: Физматгиз, 1958. 306 с.
Гун Г, Я. Теоретические основы обработки металлов давлением (тео-
рия пластичности). М.: «Металлургия», 1980. 456 с.
Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления.
9-е изд. М.: Наука, 1965. 426 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В, Методы теории функций комплекс-
ного переменного. 4-е изд. М.: Наука, 1973. 736 с.
Лаврик В. И., Савенков В. Н. Справочник по конформным отобра-
жениям. Киев: Наукова думка, 1970. 252 с.
Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ: Пер. с англ.
М.: Физматгиз, 1963. 412 с.
Сокольников И. С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971. 374 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального ис-
числения. 5-е изд. Т. III. М.: Наука, 1969. 656 с.
Глава III.
ЗАВИСИМОСТИ МЕХАНИКИ КОНТИНУУМА
В МАТРИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Реализация алгоритмов математических моделей процессов
обработки металлов давлением приводит к построению си-
стем линейных алгебраических уравнений и последующему
90
решению этих систем на ЭВМ. При этом организуется сле-
дующий итерационный процесс — связанная задача* о не-
изотермическом движении сплошной среды расщепляется
на две задачи: о движении среды при заданном темпера-
турном поле и о распределении температуры в движущей-
ся заданным образом сплошной среде. В первом случае
систему уравнений строят с применением начала виртуаль-
ных скоростей (метода Галеркина); во втором — Q примене-
нием метода конечных разностей.
Наиболее удобной и обозримой формой записи соответ-
ствующих зависимостей является матричная форма записи,
к тому же она исключительно удобна для реализации на
ЭВМ.
В главе кратко изложены основные положения механики
сплошных сред. Основное внимание уделено последователь-
ному применению матричной формы записи уравнений.
1. Деформации
ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА И ЭЙЛЕРА. Исследуя про-
цессы, протекающие в сплошной среде, в дальнейшем тер-
мином «точка» будем обозначать фиксированную точку не-
подвижного пространства наблюдателя. Материальные точ-
ки сплошной среды будем называть «частицами:».
Рассматривая такие геометрические объекты, как ли-
нии, поверхности, объемы и используя прилагательные
«пространственный» или «материальный» (например, про-
странственная поверхность, материальный объем и т.д.),
будем считать, что эти фигуры образованы соответственно
точками или частицами.
Бесконечное множество материальных частиц, заполня-
ющих в рассматриваемый момент времени некоторую об-
ласть D пространства наблюдателя, образует тело; распо-
ложение частиц, образующих тело, т. е. его конфигурация,
в общем случае изменяется во времени при движении спло-
шной среды. При этом возможны два подхода к исследо-
ванию процессов.
В первом, связанном с именем Лагранжа, объектом изу-
чения являются сами материальные частицы. При этом
рассматривают изменение во времени некоторых скаляр-
ных или векторных величин, таких как плотность, темпе-
ратура, скорость фиксированной материальной частицы, а
также изменение этих величин при переходе от одной час-
тицы к другой.
91
Иначе говоря, эти величины рассматриваются как функ-
ции от времени и тех переменных, которые характеризуют
индивидуальность взятой частицы.
В качестве таких переменных будем принимать декар-
товы координаты Xt произвольной материальной частицы
М в начальный момент времени /=0, тогда ее текущие ко-
ординаты Х{ в том же базисе
неподвижного пространства
наблюдателя есть функции
времени t и начальных ко-
ординат той же частицы:
Рис. 15. Деформация элемента объема
xi — Ф1 С^1» ^2» Х3, t)\
Х2 = Ф2 (^1* ^2> Xs, £)j
Х3 ~ Фз (^1> ^2> Х3, 0. ,
(Ш.1)
Переменные Хь Х2, Х3 и
время t называются пере-
менными Лагранжа.
Зависимости (Ш.1) полностью определяют положение
частицы в пространстве ее лагранжевыми координатами
Хь Х2, Х3. Это позволяет ввести еще одну систему коорди-
нат— подвижную деформируемую систему координат Хь
Х2, Х3, которая называется сопутствующей системой.
В начальный момент времени 1=0 материальные коор-
динатные линии сопутствующей системы прямые; в лю-
бой последующий момент времени ti они вместе с частица-
ми сплошной среды вновь перейдут в координатные линии
этой системы, но в общем случае будут искривлены. Мож-
но сказать, что сопутствующая криволинейная система ко-
ординат «вморожена» в среду и деформируется вместе с
нею (рис. 15).
Второй подход, развитый Эйлером, в качестве объекта
изучения принимает неподвижное пространство наблюда-
теля (или его фиксированную часть), заполненную движу-
щейся средой. Различные величины, характеризующие дви-
жение, считаются функциями точки и времени, т. е. функ-
циями трех аргументов х,- и времени t, называемых пере-
менными Эйлера.
Например, выражение для скорости в данной точке про-
странства с радиусом-вектором х имеет вид u=v(x, t) =
—v(xit t).
Таким образом, с точки зрения Эйлера, объектом изуче-
ния являются различные поля (скалярные, векторные или
92
. тензорные), характеризующие движение сплошной среды.
ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ОПИСАНИЯ ДВИЖЕ-
НИЯ. Рассмотрим движение сплошной среды, не наклады-
вая вначале требование малости смещений. Выберем неко-
торый базис <?2, с3. Будем считать его фиксированным
относительно наблюдателя.
Пусть материальная частица М в начальный момент
времени t=0 находилась в точке пространства с начальны-
ми координатами (Хь Х2, Х3), а в текущий момент време-
ни t — в точке с текущими координатами (хь х2, х3).
Соответствующие радиусы-векторы могут быть записа-
ны' в виде
X = Xiei = X1ei+ Х2 ег + Х373 ’ (Ш.2)
и
х = Xi et = Xj eY + x2 e2 + x3 e3, (III.3)
причем
x = X + и, (Ш.4)
где и — вектор перемещения.
Связь между начальными и текущими координатами,
описывающая движение сплошной среды, может быть пред-
ставлена двумя способами.
В первом из них независимыми переменными являются
переменные Лагранжа — начальные координаты частицы и
время t:
Xi^Xi(XuX2,Xz,t), (Ш.5)
или в векторной форме
х = х(Х,/). (Ш.6)
Как обычно, будем предполагать, что это соответствие
взаимно однозначно, причем функции (Ш.5) имеют непре-
рывные частные производные любого порядка.
Кроме того, движение сплошной среды может быть опи-
сано соотношениями вида
Xt = X, (Хц х2, х3, i) (III.7)
или
Х = Х(х,/). (Ш.8)
Здесь независимыми переменными являются переменные
Эйлера — координаты х, и время /. Такой способ описания
93
движения позволяет найти начальные координаты частицы
М, занимающей в текущий момент времени положение
(*ь х2, х3).
Как и в предыдущем случае, будем считать соответст-
вие (III.7) взаимно однозначным и непрерывным, с непре-
рывными частными производными по всем аргументам.
Рис. 16. Движение сплошной среды как отображение
Очевидно, формулы (III.5) и (Ш.7) представлены един-
ственной парой взаимно обратных функций, причем функ-
циональные определители (якобианы)
Д = | dxtldXk |, Д' = | dXhldxt |, ДД' = 1
в каждой точке области, заполненной сплошной средой, от-
личны от нуля.
ОТОБРАЖЕНИЯ. С математической точки зрения для
произвольного фиксированного значения времени t систе-
ма функций (III.5) определяет гладкое отображение неко-
торой области D трехмерного евклидова пространства,
снабженного декартовой системой координат ОХуХ2Х3
(рис. 16, а) в область Е другого трехмерного евклидова
пространства, снабженного декартовой системой координат
Ох\Х2х3 (рис. 16,6). Так, что при /=0 это отображение яв-
ляется тождественным: Xi=Xi. Последовательность таких
отображений, определяющих конфигурацию тела в различ-
ные моменты времени t, и описывает движение сплошной
среды и связанную с ним деформацию тела. Модуль яко-
биана отображения (Ш.5) является коэффициентом иска-
жения отображения в рассматриваемой точке, он показы-
вает с точностью до бесконечно малых величин высшего по-
рядка, во сколько раз изменяется объем бесконечно малой
области, содержащей указанную точку, при ее отображе-
нии. Отсюда следует, что якобиан Д не может обращаться
в нуль, а поскольку отображение (III.5) непрерывно зави-
сит от t и при <=0 якобиан тождественного отображения
равен единице, то он всегда положителен.
94
Для элементов объемом dw (текущий) и dW (началь-
ный) имеет место соотношение
dw = AdIF. (Ш.9)
Условие несжимаемости можно записать следующим об-
разом:
А = I?1
Аналогично, при фикси-
рованном t система функций
(1II.7) определяет отобра-
жение области Е на область
D. при этом
dr = |5Xf/dxJdoi.
ТЕНЗОРЫ КОНЕЧНОЙ ДЕ-
ФОРМАЦИИ. С целью описания
деформации сплошной среды рас-
смотрим перемещение двух близ-
ких материальных частиц. Пусть в
начальный момент они находились
в точках А1о и Nq (рис. 17), а ко-
нечный момент времени — в точ-
ках М и N. Квадрат бесконечно
малого расстояния между точка-
ми М и N равен
(dx)* = dxdx = dxp dxp. (III. 11)
(ШЛО)
Рис. 17. Конечная деформация элемен-
та объема
В начальный момент времени квадрат- расстояния между матери-
альными частицами (dX)2=dX dX=dXp dXp=6ifl dXi dXh.
В качестве меры деформации окрестности частиц примем разность
(Л)» - (dX)* = б J dXt dXk = 2Llh dXt dXh. (HI. 12)
\ ол% dXk /
Если всюду в теле (dx)2— (dX)*=Qt то движение тела называется аб-
солютно жестким движением. Если в точке М инвариант (dx)2 —
—(dX)2=/=0, то считают, что в этой точке тело находится в деформиро-
ванном состоянии.
Симметричный тензор второй валентности с компонентами
дхр дхр
~dX~~dX^
(III. 13)
называется лагранжевым тензором конечной деформации (тензором
Грина).
Переходя к перемещениям, получаем •
_____1_ / dut дии . дир dup \
ik~ 2 \dXk + dXi dXi ’ dXh Г
(III. 14)
95
Мера деформации (dx)2—(dX)2 может быть также вычислена с по-
мощью эйлерова тензора конечной деформации (тензора Альманси) с
компонентами
Eih = ~ (fyfc
дХР
dxt
дХр\
(111.15)
Переходя к компонентам вектора смещения, получаем
______[ dUj duk дир дир \
ih 2 \ dxk dxt dxi дх^ /
(III. 16)
ЛОГАРИФМИЧЕС-
КИЕ ДЕФОРМАЦИИ.
В процессе деформации,
как это следует из «ло-
кальной аффинности» ото-
бражения, элементарная
сфера превращается в эл-
липсоид с полуосями dri,
dr2, dr3, известный как
Рис. 18. Деформация элементарной сферы:
а-/-0; б-Г-6
материальный эллипсоид
деформации (рис. 18).
Пусть dri^dr2^dr3. Вычислим логарифм
8] = In drx!dr, 82 = In dr2ldr, ез = In dr3!dr (III. 17)
и введем в рассмотрение тензор логарифмических дефор-
маций
81 О О
Те
О 82 о
(III. 18)
О 0 83
главные оси которого совпадают с осями материального
эллипсоида, а главные компоненты е, называются главны-
ми логарифмическими деформациями.
Компоненты тензора в произвольной системе координат
могут быть найдены с помощью формул типа (1.140).
Условие несжимаемости запишется следующим образом:
81 + S2 + ёз = 0, (III. 19)
т. е. сумма логарифмических деформаций равна пулю.
В случае однородной деформации главные логарифми-
ческие деформации представляют собой результат суммиро-
вания бесконечно малых деформаций, поэтому их часто на-
зывают истинными деформациями. Отсюда вытекает ад-
дитивность логарифмической деформации: их можно скла-
.96
Рис. 19. Деформация листового мате-
риала
дывать при определении суммарной деформации, осуществ-
ленной за несколько операций.
КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ЛИСТОВОГО МАТЕ-
РИАЛА. Рассмотрим конечные деформации тел, ограничен-
ных двумя криволинейными поверхностями,' расстояние
между которыми мало по сравнению с прочими размерами
тел.
Геометрическое место точек, равноудаленных от обеих
поверхностей, назовем серединной поверхностью.
Восстановим в произ-
вольной точке серединной
поверхности перпендикуляр.
Длина его отрезка между
ограничивающими поверх-
ностями определяет толщи-
ну листового материала.
Основным допущением,
принятым в теории пластин
и оболочек, является посту-
лат Кирхгоффа — Лява:
нормали к серединной по-
верхности до деформации
остаются нормалями и пос-
ле деформации. Отсюда сле-
дует, что в любой момент
деформации листового материала одно из главных направ-
лений тензора логарифмических деформаций определено
как нормаль к серединной поверхности, а два других на-
правления лежат в плоскости, касательной к серединной
поверхности.
Рассмотрим конечную деформацию первоначально плоского листа.
Координатный базис расположим на серединной поверхности так, чтобы
орты е, и е2 лежали в ее плоскости. Пусть х,( х2, Хз — текущие коорди-
наты произвольной материальной частицы, а Хг, Х3 — ее начальные
координаты. Очевидно, для серединной поверхности Х3=0 (рис. 19).
Будем использовать переменные Х| и Х2 для параметризации се-
рединной поверхности. Уравнение этой поверхности п. произвольный мо-
мент I запишется в следующем виде:
Xi = Xi(Xi,X2). х2 = хг (Xlt Хг), х^хЦХ^Х,). (III.20)
Построим элементарную сферу радиусом dr с центром в точке
Л11)(хр х!>, 0), лежащей па серединной поверхности. В начальный мо-
мент времени (1=0) пересечение сферы с плоскостью, касательной к
серединной поверхности в точке Мо, представляет собой окружность
радиусом dr с текущими координатами Х1=Х,+ dr cosco и Х2=Х2-|-
+dr sin о».
7 г. я. Гун 97
В момент времени t начальная окружность превращается в эллипс,
а квадрат расстояния от точки М до точки N с начальными координа-
тами Xj+dXp dX\=dr cos co, dX2=dr sin <o, лежащей на
эллипсе, определится по формуле dS2=gikdXidXk (i, Л = 1, 2), где gik —
=dxp/dXidXpfdXh — компоненты метрического тензора.
В данном случае
dSa = gu (dr cos со)2 + 2g12 dr2 cos co sin co + £22 (dr sin ю)2. (III. 21)
Найдем направление главных осей тензора деформации из условия
экстремума: d/do(dS/dr) =0.
Отсюда имеем tg2<D=2gi2/(gn — g22).
После подстановки этого значения в формулу (III.21) получаем
главные соотношения:
gii+28” ± у + (£и-М2 <1П•22)
Таким образом, главные логарифмические деформации
определяются следующими зависимостями:
ё, _ Ш У Ш±Л. + ± (Ш.23)
ё, , Ш У ei±is. - -L )/ 4gJj+ta,_fo)< (Ш.24)
Относительное утонение определим из условия несжи-
маемости, откуда
вз----InV gngn-glt. (III.25)
Следует отметить, что разность guga—gnвсегда поло-
жительна. Тем не менее, возможны случаи, когда эта раз-
ность оказывается меньше единицы. При этом индексы
главных деформаций изменяются: правые части равенств
(Ш.23у (III.25) и (III.24) дают соответствующие значе-
ния 81, 82 и 8з.
Для точек, не лежащих на серединной поверхности, де-
формации определяются по тем же формулам, но с учетом
зависимости q,k от Х3.
Для малых деформаций (перемещения при этом могут
быть конечными) целесообразно пользоваться следующи-
ми зависимостями:
8ii = /gTi—1, 812 = g12, e22 = l/gT2— 1. (Ш.26)
МАЛЫЕ СМЕЩЕНИЯ. Откажемся теперь от общего ’
подхода и будем считать, что компоненты перемещения и
их градиенты малы.
98
В частности, считая абсолютные значения величин
dUildXk малыми по сравнению с единицей, в формуле
(III. 14) можно опустить произведения этих величин.
Аналогично, полагая dui/dxk малыми по сравнению с
единицей, в формуле (III.16) можно отбросить их произве-
дения.
Предположение о малости смещений позволяет заклю-
чить, что разница между лагранжевыми и эйлеровыми ко-
ординатами несущественна, а соответствующие тензоры
совпадают.
В дальнейшем в теории малых деформаций будем ис-
пользовать только лагранжевы координаты.
Будем рассматривать два момента времени: начальный
(/=0) и конечный
Конечное положение материальной частицы (при /=Л)
будем определять с помощью вектора перемещения и. Это
позволяет изменить (в пределах параграфа) систему обо-
значений, записывая начальные (лагранжевы) координаты
материальной частицы с помощью строчных букв Х{.
Векторное поле перемещений при этом записывается в
виде
и = и(х) (III.27)
ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ. Симметричный тензор
Те = [eifc], • (III.28)
где
в» = Y (dUi/dxt + dutjdxt) (Ш.29)
называется тензором малой деформации или просто тензо-
ром деформации.
Выделим в сплошной среде при /=0 плоскостями, па-
раллельными координатным, плоскостям, элементарный ку-
бик (рис. 20). При движении сплошной среды он перемес-
тится в пространстве и деформируется, причем изменятся
длины его ребер и исказятся первоначально прямые углы
между ними (рис. 21).
Относительные удлинения ребер характеризуются ком-
понентами линейной деформации еп/егг. е33.
Боковые компоненты тензора деформации ei2> егз и e3i
характеризуют искажение углов; они называются компо-
нентами сдвиговой деформации.
7*
99
При этом положительным линейным деформациям еп,
822» езз соответствуют удлинения вдоль осей координат, от-
рицательным — укорочения.
Положительным сдвиговым деформациям eiz, е2з, Ез1 со-
ответствует уменьшение углов между положительными на-
Рис. 20. Элементарный параллелепипед
Рнс. 21. Линейные и угловые деформа-
ции В ПЛОСКОСТИ XiOXi
правлениями осей, отрицательным — увеличение тех же уг-
лов.
ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ. Тензор деформации Те
поворотом координатных осей может быть приведен к диа-
гональному виду:
ех 0 0
Ге — 0 е. 0 •
А
(Ш.30)
0 0 Ед.
Условимся, что главные деформации удовлетворяют не-
равенству 81^82^63.
В новой координатной системе боковые компоненты
тензора равны нулю, сдвиговые деформации отсутствуют и.
существуют лишь линейные деформации в направлении
осей координат. Элементарный кубик с гранями, парал-
лельными координатным плоскостям, высотой dl и объемом
W=dP в результате деформации превратится в прямо-
угольный параллелепипед с ребрами <//(1+е|), Л(1 + е2),
dl( I + е3) и объемом w.
Относительное изменение объёма с точностью до малых
величин второго порядка равно
(w — W)/W = ех + е2 + е3. (Ш.31)
100
Главные компоненты деформации е, являются действи-
тельными корнями характеристического уравнения | е,*—
__Х6м| =0 или в развернутой форме
X3 —еЧ2 + епХ —еш = 0. (Ш.32)
Инварианты тензора деформации равны
в — бц “I- &22 4“ 633 — 6j Н- 4- 63 — 3eoj (III.33)
е21 е22
622 е23
632 е33
е33 е31
С13 С11
— 8j 82 4" ^2 83 4“ 63 бц
вП1 = |е/А| = е1е2е3.
(1П.34)
(II 1.35)
Задача 1II.1. Вычисление деформаций.
Представить выражения (III.29) в матричной форме.
Решение. Введем в рассмотрение клеточную матрицу. — опера-
тор размером 6x3:
" д dxt 0 0
0 д дх2 0
«...)]= 0 д дх2 ' 0 д dxY д дх3 0 • (III. 36)
i г- 0 д дх3 д дхя
i j д дх3 0 д 9X1
Представим компоненты деформации в виде матрицы-столбца раз-
мером 6X1: {е}г={еце22 833 2е12 2е2з 2e3i}» а компоненты перемещения
в виде матрицы-столбца размером 3X1:
= {«1 «2 «з! •
Легко видеть, что
101
eii
£aa
83З
2£i3
2е2з
2e3i
d
dxi
0
0
d
dx2
д d
dx2 dxx
0 -L
dx3
0
0
d
dx3
0
d
dx2
d
-
“1
“a
“3 .
(III. 37)
0 0
Или в сокращенном виде
{8} = (d (...)] w;
(III. 38)
ДЕВИАТОР ДЕФОРМАЦИИ. Тензор деформации Те
может быть представлен в виде суммы девиатора De и ша-
рового тензора
+ (Ш.39)
ИЛИ
IeJ = [8ift-80S<ft] + 80[6/ft]. (Ш.40)
По определению первый инвариант девиатора De равен
нулю. Поэтому девиатор характеризует деформацию, не
связанную с изменением объема.
Формула (111.40) представляет деформацию бесконеч-
но малого элемента тела как суперпозицию (наложение)
двух деформаций: первая из них описывается девиатором
и характеризует искажение формы элемента без измене-
ния его объема, тогда как вторая составляющая (шаровой
тензор) характеризует равномерное всестороннее растяже-
ние или сжатие этого элемента.
Обозначим компоненты девиатора ыь, тогда
% = eu—e06£ft. (III.41)
Поскольку девиатор Dz =[е«л] удовлетворяет условию
симметрии, он может быть приведен к диагональному ви-
ду. Очевидно, главные направления девиатора деформации
совпадают с главными направлениями тензора деформа-
ции.
Задача II 1.2. Вычисление компонент девиатора деформаций.
Заданы деформации в виде матрицы-столбца {е}. Вычислить ком-
поненты девиатора {е}.
102
Решение. Пусть {е}Тв{ец е33 2ei2 2е2з 2е3|}. Для диагональ-
ных компонент девиатора деформации имеем
£ц ~ еи — ео = ®и 1/3 (еп + е22 + 833) =
= 1/3 (2еп — е22 833)
н т. д. Боковые компоненты деви; .компонентами тензора. v Введем клеточную матрицу j 2 __1_ __1_ 3 3 3 _ 1 2 _1_ “ 3 3 3 |Л] = 1 1 2 “ 3 “ 3 3 1тора совпадают с соответствующими >азмером 6X6: ООО ООО (III. 42) ООО
ООО ООО 0 0 0 Легко видеть, что {е} = [Л] {е) = [Л][д(...)!{«) (см. задачу Ш.1). Характеристическое ура или Л’ + е“Х-еш = О, 10 0 0 1 0 0 0 1_ (III. 43) внение имеет вид |е>4—=0 (III.44)
поскольку первый инвариант девиатора равен нулю.
Инварианты равны:
ец
= е11 I ^22 ^23 -|-
^21 ^22 I ^32 е33
*33 *31 —____L р р
р р~ ^eikeik —
М3 Ml I 4
б
+ 6 (е?2 + в2з + 8з1)];
еШ = |^|.
Введем величину
r=+2]/|77J=+V/2^;
(III.45)
(III.46)
(III.47)
назовем ее интенсивностью деформаций сдвига. Эта вели-
чина в дальнейшем будет широко использоваться при опи-
сании поведения различных материалов.
103
Задача IIL3. Вычисление интенсивности деформаций сдвига.
Записать выражение для Г в матричной форме.
Решение. Вычислим выражение eikCik +2^3+
+2вз! следующим образом:
{е}Т(С] {<?},
где клеточная матрица [С] размером 6X6 имеет вид
[С] =
Г 1 о 0 : “I
0 10- * 0
0 0 1 =
........:Г/2"’О S'"
0 : 0 1/2 0
L : 0 0 1/2 J
(III. 48)
(III. 49)
Поскольку из решения задачи II 1.2 следует, что {е}= [Л]{в} и {е}т =
в{е)т[Л]т [см. формулу (1.77)], имеем
Г = V2eiheih = /2 {е}т [С] (е) = V 2 (е}т (Л]т [С][Л] {в) . (III.50)
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ. Пусть и2, и3 — криволи-
нейные составляющие вектора перемещения в локальном ортогональном
базисе bit т. е. в каждой точке М справедливо разложение: и=щЬ^
Формулы для вычисления компонент тензора деформации в криво-
линейной ортогональной системе координат имеют вид:
~ 1 1 । 1 dHi -
d₽! + HtH2 др, Hl Н3 ЭРз "з:
~ 1 1 ^2 ~ . I_____ ^2
822 “я, ар2 + н2н3 арз из+ н2Hi ар! “1:
~ 1 д“з , 1 ЭН3 ~ 1 дЯ з ~
633 ~ Н3 d^3+HaHi dpt “1 + Н3Н2 др, "2>
2~ д / >7г \ д / и, \
12 Hi dpt \Н2)^Н2 др, Н2 Г
о" _ Яз а / “з ] / «г
623 Н2 д^\ Н3 / Н3 дРз \ Я2 Г
д / \ H3t д i и3\
i3i Н3 дрз \ Hi Г Hi dpj Н3 )’
(III. 51)
(|Н.э!1
где Z/ь Н2, Н3 — коэффициенты Лямэ.
Контрольные вопросы
1. Изменяются ли с течением времени лагранжевы координаты ма-
териальной частицы? Эйлеровы координаты пространственной точки?
104
2. Как связаны между собой отображения и движение сплошной
среды?
3. Как записать условие несжимаемости: а) при конечных дефор-
мациях элемента объема; б) при малых деформациях?
4. Что называется материальным эллипсоидом деформации?
5. Как в матричной форме записать выражения: а) для компонент
деформации; б) для компонент девиатора деформации; в) для интен-
сивности деформаций сдвига?
6. Как записать в матричной форме формулы дЯя вычисления ком-
понент тензора деформации в криволинейных координатах?
2. Течение. Скорости деформации
ПОЛЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ. Движение и деформация
сплошной среды задаются соотношениями, связывающими
начальные и текущие координаты материальных частиц.
Описание конечных деформаций, характерных для процес-
сов обработки металлов
давлением,с применением
нелинейных тензоров свя-
зано с большими матема-
тическими трудностями.
Значительно проще рас-
сматривать поле вектора
скорости V (xit f), которое
описывает мгновенную
картину течения всей со-
вокупности материальных .
ЧаСТИЦ. Рис. 22' Траектория материальной части-
Поскольку поле векто-
ра скорости является ча-
стным случаем векторного поля, для его описания можно
использовать общую теорию векторных полей.
Векторная линия поля скоростей называется линией то-
ка. Касательная к ней в каждой точке совпадает с направ-
лением вектора скорости в этой области.
Совокупность всех векторных линий образует картину
течения в данный момент времени.
Поле скоростей может быть стационарным. При этом
движение сплошной среды называется установившимся, а
картина течения со временем не меняется.
Неустановившееся течение описывается нестационар-
ным полем скоростей.
Траекторией материальной частицы М называется кри-
вая, которую описывает частица во время движения (рис.
105
Направление движения материальной частицы являет-
ся касательным к траектории. Поэтому траектория касает-
ся линии тока, проходящей через мгновенное положение
частицы, когда она описывает траекторию.
__ При установившемся
движении траектории со-
f впадают с линиями тока.
1 Условие совпадения
ч направления касательной
ff к линии тока и вектора
Рис. 23. Трубка тока и струйка тока СКОрОСТИ В ЭТОЙ Ж в ТОЧКе
дает следующую систему
дифференциальных уравнений линий тока:
——— = ——— = ——. (III.53)
М*л. О О «з(*л>0
Аналогично совпадение направления касательной к тра-
ектории и вектора элементарного перемещения dx матери-
альной частицы М запишется в виде системы дифференци-
альных уравнений траекторий:
--------—Л. (Ш54)
О V2(xk, t) Vt(xhri)
Для установившихся движений эти уравнения совпа-
дают.
Возьмем в пространстве замкнутую кривую (рис. 23, а)
и проведем линию тока через каждую ее точку. В резуль-
тате мы получим трубку тока (рис. 23, а). Если попереч-
ное сечение трубки тока имеет бесконечно малые размеры,
то она называется струйкой тока (рис. 23, б).
Конфигурация струек и трубок тока для нестационар-
ного поля скоростей изменяется с течением времени.
При установившемся течении сплошной среды трубка
тока ведет себя подобно действительной трубке, через ко-
торую течет жидкость, т. е. поток касается стенок трубки,
а эти стенки имеют фиксированное положение в простран-
стве.
Рассмотрим в этих же условиях струйку тока. В преде-
лах поперечного сечения струйки тока скорость можно
считать постоянной. Пусть Ui и v? — скорость потока в по-
перечных сечениях, площади которых соответственно рав-
ны Ф] и Ф2 (см. рис. 23, б).
Если среда несжимаема, т. е. div и=0, то объем, вте-
106
кающий через одно сечение, равен объему, вытекающему
через другое сечение за то же время. Таким .образом, мож-
но записать равенство
о1Ф1 = оаФ2. (Ш.55)
Отсюда следует, что струйка тока расширяется в тех
местах, в которых скорость уменьшается, и сужается там,
где скорость движения сплошной среды увеличивается.
Пусть поле скоростей имеет потенциал. Это означает,
что существует некоторая скалярная функция ср (X/), с по-
мощью которой выражаются компоненты вектора скорости
по формулам
- д<$/дх(. (111.56)
Задача II 1.4. Вычисление градиента.
Записать выражение (Ш.56) в матричной форме.
Решение. Пусть (о}т “{viVjVs)- Введем матрицу-столбец
{dldxt}T - (d/dxt д/дхг д[дх3].
Полагая скалярную величину <р матрицей размером 1X1. запишем
{о} = {д/дхД q>. (III.57)
Из теоремы Стокса следует, что при течении в односвя-
зной области необходимым и достаточным условием су-
ществования потенциального поля скоростей является об-
ращение в нуль вихря скорости rot о=0. Поэтому потен-
циальные поля скоростей часто называют безвихревыми
полями.
Поле скоростей, дивергенция которого равна нулю, на-
зывается соленоидальным или трубчатым полем.
Поле скоростей, которое одновременно является соле-
ноидальным и потенциальным, называется гармоническим
векторным полем.
Потенциал такого поля удовлетворяет уравнению Лап-
ласа: - i
д2 y/dxl + д2 <р/<Ы + д2 у/дх$ = 0. (III.58)
Пусть дана некоторая кусочно-гладкая поверхность S,
фиксированная в пространстве (см. рис. 3). Для элемента
поверхности dS с единичным вектором нормали п нормаль-
ная составляющая скорости v,t определяется зависимостью
vn v п = vt cos (n, е/). • (Ш.59)
Объем, протекающий за единицу времени через поверх-
ность S, равен потоку вектора скорости через эту поверх-
ность:
107
В = J f vndS. , (111.60)
ПОЛНЫЕ И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПО ВРЕ-
МЕНИ. В дальнейшем нам придется рассматривать про-
цессы, протекающие во времени и движущейся среде.
Допустим, что имеем такое-движение, причем поле ско-
ростей определится функцией v=v(x,t).
Другими словами, и есть вектор скорости материаль-
ной частицы, проходящей в момент времени t через точку
Af(x).
Рассмотрим некоторую скалярную функцию <р(х, t).
Будем предполагать, что эта функция зависит от коорди-
нат и времени t.
Будем изучать изменение функции <р(х, t) с течением
времени. Это можно сделать двумя способами, рассматри-
вая изменение функции в данной точке, или же рассматри-
вая это изменение для данной частицы.
Изменение функции q> в данной точке пространства ха-
рактеризуется частной или локальной производной <р по I:
= Нт<р(лм+до-<р(Л1,п . (Ш 61)
dt д«-о Д/
при вычислении которой радиус-вектор точки М считается
постоянным.
Для того чтобы охарактеризовать изменение <р для дан-
ной частицы за промежуток времени Д/, мы должны в ка-
честве приращения <р принять разность между значением
функции в момент t + M в том положении йастицы М', в
котором она находилась в этот момент, и значением функ-
ции в момент t в начальном положении ее М. Предел от-
ношения этого приращения к Д/ при Д/->-0 называется пол-
ной производной <р по t и обозначается
Л = lim Ф(АГ, < + ДП-ф(Л1, /) /Ш.62)
dt Ы
При вычислении полной производной от функции
<р(Х(, t) мы должны считать х, функциями времени t, по-
скольку частица, имеющая координаты х,, перемещается
со скоростью v, причем Vi=dXil‘dt.
Таким образом, функция q> (xlt t) является сложной
функцией от времени /, а се производная находится по пра-
вилу дифференцирования сложной функции
199
d<f __ d<p - _дф_ dxt _ _Эф . Эф v цц pg»
dt dt dxt dt dt dxi ‘ ' ’
или в векторной форме
_*L = J* +ograd<p. (III.64)
dt dt
Переходя к векторным величинам и повторяя те Же рас-
суждения. находим выражение для частной производной
вектора а
da/dt = (dai/dtfei (Ш.65)
и полной производной вектора
-£ = — + — = (Ш.66)
di dt dxt \ dt dxt ') k '
В частности, ускорение материальной частицы есть пол-
ная дроизводная от скорости по времени: '
dvldt = dv/dt + (д v/dx^. (Ш.67)
Члены v grad ф в выражении (III.64) и (da/dxi)vi в
формуле (III.66) называются конвективными членами, они
связаны с переносом частиц при движении сплошной
среды.
Если поле стационарно, то в пуль обратится только
частная производная от этих функций по времени, полная
производная в общем случае будет отличной от нуля в свя-
зи с наличием конвективных членов.
Задача II 1.5. Вычисление полной производной.
Записать формулы полной производной по времени от скалярной
и векторной функций в матричной форме.
Решение. Пусть {дф/дх}== {дф/dxt дф/дх2 дф/дхз}, тогда
</ф/dt= дф/д/+ (дф/дх|т {и}.
Пусть, далее {dajdt}1 —{dajdt da2/dt da^dt},
{ da/dt )T= {dal/dtda2!dtda3fdt},
Г a-* 1 Г^/дх! dax!dx2 д^/дхз! _ л
eta oat
— da2!dxx да2:дх2 da2/dx3 —-------------
. dx _ dajdxx da3/dx2 da3,'dx3 '
(III. 68)
(HI.69)
Тогда формула (III.66) запишется следующим образом:
[da/dt | = {da/dt) + [ dal dx ] {v}. (III.70)
109
В частности, ускорение материальной частицы равно
{dv/dt} = { dv/dt] + [d^/dx] {о}. (III.71)
.Рассмотрим теперь изменение во времени интеграла по
материальному объему W, т. е. объему, состоящему из од-
них и тех же материальных частиц:
7=Ш<Р^ (Ш.72)
w
где ф — некоторая скалярная функция.
Производная по времени определяется формулой
и JJJ \ л s«, ‘ а«,-
W
(Ш-73)
W
ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ И ОТОБРАЖЕНИЯ. Пусть дви-
жение сплошной среды задано в виде
Xt = Xt (хх, х2, х3, О, 011.74)
где Xt —* начальные; х*. — текущие декартовы координаты
материальной частицы в неподвижном пространстве на-
блюдателя.
Для произвольной материальной частицы ее лагранже-
вы координаты при движении частицы сохраняют неизмен-
ное значение, т. е. dXi/dt—Q.
Воспользовавшись формулой (П1.64), получаем
dXt/dt+ (dXi/dxk)vk = Q или
(dXi/dxh)vh=— dXi/dt, (IIL75)
Система (II 1.75) — это система линейных алгебраичес-
ких уравнений относительно компонентов скорости vk. Оп-
ределитель системы Д' — якобиан отображения (III.7):
Д' = | dXJdxh | > 0. (Ш.76)
Для несжимаемой среды Д' = 1.
Решение системы (III.75) запишется в виде
0<=-(дХ*/аО(Ди/Д'), (Ш.77)
где Ди— алгебраическое дополнение элемента dXk/dxt в
определителе Д'[см. формулу (1.103)].
Вычислим локальные производные дХь/dt для произ-
вольной точки М области течения, предполагая среду не-
сжимаемой, а поле скоростей стационарным. С этой целью
110
выделим струйку тока, включающую в себя линию тока у,
на которой лежит рассматриваемая точка. Рассмотрим дви-
жение вдоль струйки тока бесконечно малого материаль-
ного элемента тела, ограниченного поверхностью струйки
тока и двумя близкими поперечными
сечениями ш и <oi (рис. 24). Объём это-
го элемента остается постоянным и ра-
вен произведению площади сечения S
на длину элемента А/.
Выберем-начало отсчета времени и
расположим систему координат таким
образом, чтобы при t=0 рассматри-
ваемый элемент находился в области
жесткого перемещения среды парал-
лельности ОСИ Хз СО скоростью V0:
Рис. 24. Движение мате-
риального объема вдоль
струйки тока
Можно показать, что при этом (см. [7, гл. HI, п. 1])
dXJdt = dX3/dt = 0, dX3ldt =-о0, (III.78)
где и0 —скорость поступательного перемещения жесткой зоны. Состав-
ляющие скорости равны:
01 = 0о Д31 = 0о
ьх2 дХ2 dXt дХ3
дх2 дх3 дх9 дх3
’ dXj дХа дХх дХ3
. дх3 дХ! дх3
dXt дХ, dXt ЭХа '
dxt дх2 дх»
= °0
до
Ра — 0о А32
Рз = ^33
(III. 79)
В заключение рассмотрим случай, когда в сечении вве-
дена система криволинейных лагранжевых координат:
в, = В, (А\, XJ; Ва = Ва (Хи Х2). (Ш.80)
Записав условия dB\ldt—dBzldt=dX3ldt=Q, получим
систему уравнений, аналогичную системе (Ш.75), решени-
ями которой являются составляющие скорости:
(А,,/Ао), ^2 = Уо (^32^А#)» ^3 = Vf) (Дзз/До), (III.81)
где &o=[P(BitB2)y[D(Xi, .JG)] — якобиан отображения
(III. 80).
ТЕНЗОР СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ. Симметричный
тензор
W4 (Ш.82)
где
U = 4 (дщ/дхк + dvjdxi) (Ш.83)
А
называется тензором скорости деформации.
111
Диагональные компоненты тензора Tj представляют со-
бой скорости относительного удлинения элементарных от-
резков, параллельных координатным осям.
Боковые компоненты тензора характеризуют ско-
рость искажения первоначально прямых углов между-эти-
ми отрезками, т. е. скорость сдвиговых деформаций. -
ГЛАВНЫЕ СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ. Симметрич-
ный тензор скорости деформации Т। поворотом координат-
ных осей может быть приведен к диагональному виду:
О
О
6~
О 0 •
Ъ О
о Е.
(Ш.84)
причем главные компоненты скорости деформации Е< удов-
летворяют неравенству Е1>Е2>Ез-
В новой координатной системе боковые компоненты тен-
зора равны нулю, отличны от нуля лишь скорости линей-
ных деформаций в направлении осей координат. За время
dt элементарный кубик с гранями, параллельными коорди-
натным плоскостям’высотой dl и объемом W=(dl)\ прев-
ратится в прямоугольный параллелепипед с ребрами d/(l +
+ и объемом w.
Относительное изменение объема с точностью до беско-
нечно малых более высокого порядка, чем dt, составит
(w _ W)/W = (Ei + Е» + ЕэИ. (Ш.85) •
Главйые компоненты скорости .деформации являются
действительными корнями характеристического уравнения
U-MW = 0 <Ш.86)
или в развернутой форме
+ Е‘" = 0. (Ш.87)
Инварианты тензора скорости деформации равны
Е1 = Ен + Е22 + Езз = 11 + Е2 + Ез = ЗЕо;
Е” = Ен Е12 + Е22 Е23 + Езз Ем «s^ + ^ + EiEi;
*21 ©22 ©32 £33 §13 511
Е1Н = |Е,*| = Е1Е2Ез. (Ш.89)
Задача II 1.6. Вычисление скоростей деформаций.
Представить выражения (Ш.83) в матричной форме.
112
Решение. Представим компоненты тензора скорости деформации
в виде матрицы-столбца размером 6X1;
Шт={^иЬ2^з: 2£122В232Ы.
а компоненты вектора скорости в виде матрицы-столбца размером 3X1:
{о)Т= 02t/3).
Легко видеть, что
Sii - д 3*1 0 0
£22 0 д дх2 0
№ » . = 0 д дх2 0 д 3xj д дх3 0 r U1 из (III.90)
2©23 0 д дх3 д дх2
2U д дх3 0 д 3xi
Обозначив через [д(...)] прямоугольную матрицу размером 6X3
(см. задачи 1.6, III.1), запишем в сокращенном виде:
«}••= 13 (•••){*}• (Ш.91)
ДЕВИАТОР СКОРОСТИ ДЕФОРМАЦИИ. Тензор ско-
рости деформации может быть представлен девиатора D$ и шарового тензора IqI: в виде суммы
(Ш.92)
где
Ь = -Ми = т^ + ^ + £э») 0 0 (Ш.93)
или
KulMU-bej + UW. (Ш.94)
По определению, первый инвариант девиатора £>$ равен
нулю. Поэтому девиатор характеризует скорости деформа-
ции элемента сред, не связанные с изменением объема.
Формула (III.92) представляет скорости деформации
бесконечно малого элемента среды как суперпозицию (на-
ложение) двух деформаций: первая из них описывается де-
виатором и характеризует скорость искажения формы эле-
8 Г. Я. Гун 113
мента без изменения его объема, тогда как вторая состав-
ляющая (шаровой тензор) характеризует скорость равно-
мерного всестороннего растяжения или сжатия этого эле-
мента.
Обозначим компоненты девиатора трл:
ihb-hk-Mk. (Ш.95)
Поскольку девиатор скорости деформаций Dg =[т],й] сим-
метричен, он может быть приведен к диагональному виду.
Главные направления девиатора скорости деформации
совпадают с главными направлениями тензора.
Характеристическое уравнение имеет вид
IЛ ik — I = О
или
к3 + пп*-пш = о, поскольку его первый имеем инвариант равен нулю. (111.96) При этом
л" = Ли Т112 TI21 TI22 + Л22 Лгз Пза Паз + Т1зз Лзг TI13 Ли
1/2л«Л» =- 1/6 l«u - ^2)* + &з - ^)2 + + /Ьз — 511)2 + 6 (512 + ?23 + 5з1)]; ЛП,~|Л»|. Введем величину (III.97) (Ш.98)
Н=+2И |т] п|= = + V 2t|/fen<fc , (Ш.99)
которую назовем интенсивностью скоростей деформаций
сдвига. Эта величина, как и интенсивность деформаций
сдвига Г, будет часто встречаться в дальнейшем.
Задача I П.7. Вычисление компонент девиатора скоростей деформа-
ций и величины Н.
Задано поле вектора скорости о. Записать в матричной форме вы-
ражения (Ш.95) и (Ш.99).
Решение. Пусть {о)т ={t>i vt оз).
{|)Т = {£й 2^},
{Л)т = (Пн Чм Лзз!2Пй 2ч83 2т)з1} -
Воспользуемся аналогией между формулами (Ш.29), связывающи-
ми перемещения и деформации, с одной стороны, и формулами (Ш.83),
связывающими скорости со скоростями деформаций, с другой. Это поз-
114
воляет применить результаты, полученные в задачах III.2 и III.3, за-
писав:
(П) = 1Л1 Щ = [Л] [d ()] М; (III. 100)
Н = /2n,hThft = l<2{n)T [С) {*»} =
= /2{иТ[Л]т[С][ЛШ) , (III. 101)
где Р(...)] М, К)т =МТ [<Э (...) ]т .
Матрицы [d (...)], ГЛ] и [С] определяются соответственно, форму-
лами (III.36), (111.42) и (III.49).
СТЕПЕНЬ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА. Выше мы отме-
тили, что, зная поле вектора скорости, можно установить
связь начальных и текущих координат материальной части-
цы и перейти к вычислению деформаций.
При описании эффектов упрочнения и анализе условий
разрушения существенную роль играет суммарное формо-
изменение окрестности материальной частицы. Ее мерой
может служить степень деформации сдвига
A'=fH(x)dT. (III. 102)
6
Интегрирование выполняется вдоль всей траектории ма-
териальной частицы от ее начального положения (т=0) до
тёкущего (т=().
Если представить девиатор малых деформаций De век-
тором в пятимерном евклидовом пространстве Д5, то про-
цесс деформирования окрестности материальной частиць!
во времени будет изображаться некоторой траекторией в
этом пространстве. Длина дуги траектории и представляет
собой степень деформации сдвига А. Параметры, характе-
ризующие деформационное упрочнение и вероятность раз-
рушения материала, могут рассматриваться как функции
этой величины.
Криволинейные координаты. Пусть к»,, о3, о2— криволинейные со-
ставляющие вектора скорости в локальном ортогональном базисе 6,-.
В этом случае в точке М v=v,bt.
Компоненты тензора скоростей деформаций в точке М вычисляют
по формулам:
Г11 = dvi . 1 dHi ~ Ор2 , 1 dHi'- арз °3’
dpi ' /ЛЯз Я1Яз
1 1 дН2 ~ 1 дН2 ~ (III. 103)
т>22 я2 % 1 нгн3 дрз 03 Я2Я1 dpi V1:
1Э8 — 1 1 1 ДЯз ~ , 1 дН3 ~
Из дв3 Я3ЯХ арх 1,1 HZH9 йрз Vi'
а’
п&
На д I ~va j Hi д I Vj j _
fii <3₽i \ Ha / + Ha dpa Hi )’
<ft из д I 03
=23 £f -JQ 1 gj
**2 0P2 \ "3
Ha d / t>a
H3 dfa \H2
(111.104)
2Ё = Hi d ( V1 14- 7/3 д I I
631 h3 dp3 V Hi Г Hi ар! н3 }'
Здесь Hu H2, H3 — коэффициенты Лямэ.
Задача 111.7. Скорости деформации при конформном отображении.
Вычислить скорости деформаций при плоском течении сплошной
среды, используя координаты, порожденные конформным отображени-
ем. Записать формулы в матричном виде.
Решение. Приняв систему координат pi = <p, P2—S5, где ф и ф—
соответственно действительная и мнимая части комплексного потенциа-
ла а>(г)=ф + л|), имеем (см. задачу II.1):
Яф = Ям> = Л=|г'М1; ^3 = 0.
Воспользовавшись формулами (I1I.103)—(111.104), получаем
1 do i dh _ 1 <Чр 1 dln/t
h dip + Лг дф h d<p + h дф :
1^1______________dh 1 % 1 dinA
А <Эф + A« d9 Vv h dij> + Л <*р ‘'ч'1
дф \ h / дф \ h /
(III. 105)
В частности, для потенциального течения v°=w'(z), о° = | w'(z) |
= 1/1 z'(a>) | =1/Л, =0. Формулы (III.105) принимают вид
to ^_to_________1 dln/> .0 __ 1 dlnh
*фф ft2 • ёфф - Л2 Э1р •
Запишем формулы (III. 105) в матричной форме. Положив
(. .)] -
" 1 д (,..)
Л дф
1 dln/t
h дф t”)
д / ... \
дф \ h )
U)T= {ЕффЦфЗЕ^}, (=фv4. },
будем иметь
Ш = О'(...)] {V}.
1 dln/i
h дф (
1 д(...)
h дф
(111.106)
(111.107)
116
ФУНКЦИИ ТОКА СТАЦИОНАРНОГО ОБЪЕМНОГО
ТЕЧЕНИЯ. Рассмотрим стационарное течение несжимае-
мой сплошной среды. Пусть линии тока получаются пересе-
чением поверхностей фЦхь Хч, X3)=const и ф2(^ь Хч, Хз) =
»= const — функций тока (рис. 25).
В этом случае вектор скорости в произвольной точке М
$ точностью до постоянного множителя
может быть представлен следующим
образом:
(III. 108)
или в-развернутой форме
dWi ат, дТ. Ж
о. = —L — ------------!------—;
дхг дх3 дх3 дх2
v - d4fi дЧЧ дУг
2 дх3 дхх дхг дх3
„ _ дУ, dT2 DfFi, Y2)
V3---------------------------= ----------- t
dXj dx2 dx2 dxY D(xlt x2)
(III. 109)
Рис. 25. Функции то-
ка объемного тече-
ния
Обратим внимание на то, что зависимости (III.109)
совпадают с точностью до постоянного множителя н-и0 с
уравнениями (111.79). Это означает, что уравнения мате-
риальных координатных поверхностей X]=const и Хч=
=const, «вмороженных» в сплошную среду и деформиру-
ющихся вместе с ней, могут рассматриваться как функции
тока стационарного пространственного течения.
Поток сплошной среды в трубке тока, ограниченной по-
верхностями ЧГ1=ЧГ1’, ¥!=¥?, Т2=ТГ, равен сле-
дующему интегралу по сечению Q(x3=const) трубки тока:
В = JJ и3 dxx dx2 = fj D {^1’ dx1 dx2 = AT, ДТ2, (III. 110)
Q у ‘ ° 2
где AT, =4^—Tf, ДТ2 = ATt—ТГ.
В частности, если T, =ф(Х1,Хг) и Тг=хз, линии тока
представляют собой линии ф(х,. хч) = const, X3 = const, ле-
жащие в плоскостях, параллельных координатным плос-
костям xiOx2.
По формулам (III.109)
= д^/дх2, v2 =— д^/дХ), (III. 111)
117
т. е. представляет собой функцию тока плоского
течения.
Пусть, далее, функция тока ^(xi, х3) описывает плос-
кое течение на плоскости Х\0х2, а функция тока ^(xi, хг)
описывает плоское течение на Х10х3. Объемное течение, ли-
ния тока которого есть пересечение поверхностей 4fi =
=const и ^2=const, определяется формулами
= ЭУ, дУ3 . v _ ffVj dw, .
дх3 дх3 ’ 2 dXi дх3
dWj дЧг
дх3 дх3
(III. 112)
Перейдем к ортогональным криволинейным координа-
там р<. Функции тока Wi(ft) и ^(р.) определяют течение
сплошной среды, описываемое в системе координат р<, сле-
дующим образом:
к ь3 Ьз
1 &Vj 1 1 дУх (III. 113)
V = .Я, дв2 Н3 ЭРз
1 ЭТа 1 ат2 1
Нг dPa Н3 др3
где И, — коэффициент Лямэ; bi — орты локального коор-
динатного базиса.
В частности, если Чг1 = ф(Р1, р2) и Чг2=Рз, получим
компоненты скорости в виде
~ 1 дф ~ 1 дф
о, =-------—; и 2 =---------—
н3н3 dh' HiH3 а₽х
(III. 114)
‘В цилиндрической системе координат (г, <о, г), если
1>ш=0, условие несжимаемости будет удовлетворительно
при
„ 1 ЭД г г dr ’ V'~ 1 г дг (III. 115)
В сферической v® =0, будем иметь системе координат (г, <0, х)> полагая
r^sinx д% - (III. 116) rsinx dr
При решении задач обработки металлов давлением воз-
никает необходимость общего представления полей ско-
ростей, удовлетворяющих некоторым условиям на грани-
118
це области течения так называемых «кинематически воз-
можных» полей. Автором показано, что любое поле
скоростей в ограниченной односвязной области может быть
представлено в следующей форме:
v== v<P + v^i V^2 + (Ш. 1Г7)
где ф, HS, Ч'г и Ф — скалярные функции, причем V2<p=0.
Контрольные вопросы
1. При каком условии линии тока совпадают с траекториями?
2. Какое поле вектора скорости называется соленоидальным?
3. Как в матричной форме записать формулу полной производной
по времени от скалярной функции? от векторной функции?
4. Как вычислить скорости деформации в матричной форме?
5. Что называется интенсивностью скоростей деформаций сдвига?
степенью деформации сдвига?
6. Сколько функций тока нужно использовать при описании объем:
ного течения несжимаемой среды?
7. Как выглядит общее представление поля скоростей?
3. Напряжения. Законы сохранения
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ. Симметричный тензор
0ц
021
,031
012 013
022 ^23
032 а83 _
(III.I18)
называется тензором напряжений.
Диагональные элементы матрицы оц, 022» Озз называ-
ются нормальными напряжениями. Боковые элементы мат-
рицы 012, 02з, 031 называются касательными напряжени-
ями (рис. 26).
При этом нормальное напряжение считается положительным, если
оно вызывает растяжение (в таком случае оно направлено по внешней
нормали к площадке, принадлежащей рассматриваемой части тела), и
отрицательным, если оно вызывает сжатие (в последнем случае оно на-
правлено для данной части тела по внутренней нормали).
Если внешняя нормаль к площадке совпадает с положительным на-
правлением координатной оси, то за положительные направления со-
ставляющих касательных напряжений, действующих на этой площадке,
принимаются положительные направления соответствующих осей коор-
динат. Если же внешняя нормаль к площадке имеет направление, про-
тивоположное положительному направлению некоторой осн, то за по-
ложительные направления для составляющих касательных напряжений
по этой площадке принимаются отрицательные направления соответст-
вующих координатных осей.
НАПРЯЖЕНИЯ НА НАКЛОННОЙ ПЛОЩАДКЕ.
Зная компоненты напряжений от, можно вычислить вектор
119
напряжения о" на ориентированной площадке с нор-
малью п.
Рассматривая условия равновесия элементарного тет-
раэдра АВСЕ, образованного пересечением наклонной пло-
щадки с плоскостями, перпендикулярными координатным
осям (рис. 27), получаем формулу Коши:
ank — alk пь
(Ш. 119)
где Onk — проекция вектора o'1 на ось к*.
Рис. 26. Нормальные и касательные Рис. 27. Элементарный тетраэдр
напряжения
Эту же формулу можно записать в тензорном виде:
оп = пТо = Топ. (III. 120)
Как и каждый симметричный тензор, тензор напряже-
ний может быть приведен к диагональному виду. Для это-
го необходимо решить характеристическое уравнение
X3 —а,Х2 + опХ —ош = 0. (III. 121)
Корни этого уравнения являются собственными значе-
ниями тензора напряжений и называются главными компо-
нентами напряжений. Условимся, что справедливо нера-
венство 01^02^03.
В новой координатной системе тензор напряжений при-
нимает вид
То =
"ах О
О о,
О О
О'
О •
о>.
(1П.122)
120
при этом касательные компоненты напряжений обращают-
ся в нуль.
На гранях элементарного куба, ортогональных к глав-
ным координатным осям Хр х£, х£, действуют только нор-
мальные напряжения оь о2 и ст3 (рис. 28).
Коэффициенты характеристического уравнения образу-
ют систему инвариантов
а1 = оги + а22 + азз = + а2 + =
= 3ао; (III. 123)
0Ц 012
021 022
10 ад 091 I > .
= 0102 + 0203 + 030i;
013 0ц|
о" =
Q22 а23
^32 Q33
о111 = = Oia2o3.
(III. 124)
(III. 125)
Рис. 28. Главные напряже-
ния*
ДЕВИАТОР НАПРЯЖЕНИЙ. Тензор напряжений мож-
но представить в виде суммы девиатора и шарового тен-
зора:
Ta = Da+a0I. (III. 126)
Здесь величина Оо называется средним напряжением
<т0 = 1/3 (ан + о22 + Стэз). (Ш. 127)
Компоненты девиатора равны
= °ik — а0 &ik- (III. 128)
Характеристическому уравнению девиатора напряже-
ний
X3 + s" X—sin = 0 (111.129)
соответствует система инвариантов.
s” = S11 S12 + s22 s23 + s33 531 —— l/2siksik —
S21 S22 $32 ^32 S13 su
=- 1/6 [ (а„ - о^)2 + (Ого - Озз)2 -Ь ( Озз - оп)2 4
+ 6(°?2 + ^+о21)];
«,n = |sJ*
(III. 130)
(III.131)
121
Величина Т называется интенсивностью касательных
напряжений:
т=+/|7ч = + -L SihSik' (Ш.132)
Задача II 1.8. Вычисление компонент девиатора напряжений и вели-
чины Т.
Записать в матричной форме выражения (III.128) и (III.132).
Решение. Пусть
{<0Т = (сц Озз а1а а» сг31),
{s}T = {$н s22 sss sia s23 s31).
Воспользуемся результатами, полученными в задачах III.2, III.3.
II 1.7. Это позволяет записать:
0} = [Л]{о}, (III.133)
т = /(lA2)sihsjh = K(l/2) {$} ’ (III. 134)
где квадратная матрица размером 6X6
ICil =- -10 0- 0 1 0 о од 0 К
2 00
0 0 2 0
0 0 2_
(Ш.135)
Матрица [Я] определена формулой (II 1.42).
'ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ. Законами сохранения назы-
ваются физические закономерности, согласно которым чис-
ленные значения некоторых физических величин не изме-
няются со временем в любых физических процессах.
Если система не является изолированной, то законы
сохранения записываются в виде уравнений баланса, свя-
зывающих- скорость изменения «полного количества» соот-
ветствующей физической величины в некотором объеме с
«потоком» этой величины через поверхность, ограничиваю-
щую объем и «источниками», действующими внутри объ-
ема.
Законам сохранения, записанным в интегральной фор-
ме для произвольного объема сплошной среды, соответству-
ют локальные законы сохранения — уравнения, тождест-
венно выполняющиеся в каждой точке области, заполнен-
ной сплошной средой.
Изучая кинематику сплошной среды, систему отсчета
выбираем совершенно произвольно. Формулируя законы
сохранения, будем полагать, что система отсчета является
122
инерциальной. Наличие инерциальных систем отсчета, дви-
жущихся одна относительно другой поступательно, равно-
мерно и прямолинейно, является основным постулатом ме-
ханики Ньютона.
СОХРАНЕНИЕ МАССЫ. Выведем уравнение нераз-
рывности сплошной среды. Мысленно выделим в последней
объём W, ограниченный материальной поверхностью S (см.
рис. 3).
Закон сохранения массы утверждает, что масса выде-
ленной части среды остается неизменной во времени.
Отсюда получаем запись закона в интегральной форме:
= (Ш.136)
w
где t — время; р — плотность среды.
С учетом формулы (III.73), определяющей полную про-
изводную от интеграла по времени, запишем после некото-
рых преобразований закон сохранения массы в локальной
форме
dlnp/ей + divo = 0. (III. 137)
Полученное уравнение называется уравнением нераз-
рывности.
Если среда имеет неизменную плотность p=const и од-
нородна, то уравнение неразрывности превращается в
уравнение несжимаемости:
divu = 0. (III. 138)
СОХРАНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ. Урав-
нение сохранения количества движения для материального
объема W может быть записано' в интегральной форме:
d/tttJ<fJpvdP7 = + JjfpFdIF, (III.139)
W 2 W -
t. e. производная no времени от количества движения объе-
ма W сплошной среды равняется сумме всех внешних дей-
ствующих на него массовых и поверхностных сил. Здесь F —
вектор массовых сил (рис. 29).
Запись закона сохранения количества движения в ло-
кальной форме приводит к дифференциальному уравнению
движения сплошной среды:
div Та 4- pF = р (dv/dt) (III. 140)
123
и соответствующим ему трем скалярным уравнениям:
+ pFt = p(dvt/dt), (III. 141)
Если инерционные члены малы и ими можно пренебречь,
уравнения движения становятся уравнениями равновесия:
div Та + pF = О (Ш.142)
или
Рис. 29. Поверхностные и
массовые внешние силы
+ pFf = 0. (III. 143)
Наконец, при отсутствии мас-
совых сил уравнения равновесия
принимают вид
div Та = 0 (III. 144)
или
= (III. 145)
Задача II 1.9. Уравнения движения.
Записать уравнения движения в матричной форме.
Решение. Запишем выражения следующим образом:
do’ll dOja do13
dxt дх2 дх3
do21 do22 do23
дхг дх2 дх3
dogi do32 dare
дхх дх2 дх3
о
дх2 дхг
о
дх3 дхг
-2- 0 -L
_ дх3 дхг J
<hi
О22
<*33
012
а23
Ю31
(III. 146)
Обозначив прямоугольную матрицу — оператор размером 6X3 че-
рез [д(...)] (см. задачи 1.6, III.1, III.6, III.7) и положив {о}т ={оц o2j
Озз : 012 о2з о31), получаем следующее выражение для уравнений дви-
жения:
15(• • -)Г {a) -J-р {F} - р (d'Л) М, (HI. 147)
где {f)T ={Fi F2 F3}, {v}t={vi t’j t»3).
124
£" (ff2 W3a„ ) + (w3) +
I 002
+ P^i — P
1
+ p£=P
1
Запишем уравнения движения в криволинейной ортогональной си-
стеме координат.
1 '
['dpi
+(Wj Яг °13) + Я3 1 ап + Я2Х
орз Ops
дЯх ~ о дНа ~ „ ЭЯ3 ~ 1
X "77 а13 "3 О22 На O33 4~
Орз dpi uDj
dvi
dt. ’
UMH ’ar" (#2#3<*21 ) + “Z7“ (#3#1 a22 ) +
Пхп2п3 L dpx dpa
+ ’77"“ (^1 ^2°23 ) + 2 a23 + Я3 x
d₽3 003
dH2 ~ , d//3 ~ „ dH, ~ 1
X AR a21~^l ла <*33 “^3 Aft all +
dpi d₽2 dp2
dv2 .
dt *’
H H H "ar” ^3 a31 ) + "77“ (^3 <*32 ) +
Л1П2П3 L^Pl 002
d ( ~ \ dHs ~
“I" “77^ \Hi ^2 азз ) + H2 “77 CT3i + X
орз dBj
dH3 ~ , dH. ~ rr dH2 1 ,
X "tt 032 011 ~ Я1 a22 +
002 003 003 J
dt>3
+ PF3 = P —•
(III. 148)
СОХРАНЕНИЕ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕ-
НИЯ. Этот закон может быть сформулирован следующим
образом: производная по времени от момента количества
движения материального объема W сплошной среды отно-
сительно любого центра, связанного с инерциальной систе-
мой координат, равна сумме моментов относительно этого
же центра всех внешних действующих на него массовых и
поверхностных сил.
Пусть х — радиус-вектор элемента объема dW. Тогда
уравнение баланса в интегральной форме может быть за-
писано следующим образом:
125
~dT Ш (*XP = JJ + ff (*xp^ (П1.149)
w X w
Запись закона сохранения в локальной форме сводится
к закону парности касательных напряжений:
oik = oki. (Ш.150)
СОХРАНЕНИЕ МЕХАНИЧЕ-
СКОЙ ЭНЕРГИИ. Уравнение со-
хранения механической энергии
записывается в следующем виде
(рис. 30):
JJ ап V d2 + JJJ р ~FvdW=
£ W
=№°*l*dw+
ного объема W
г
Мощность внешних сил (поверхностных о” и 'объемных
F) равна сумме мощности, развиваемой напряжениями
out, и скорости изменения со временем кинетической энергии
деформируемого тела.
Задача ШЛО. Уравнение сохранения механической энергии.
Записать в.матричной форме уравнение (III.151).
Решение. Обозначим (о)т ={t>i 03),
{«"} ~ {ам ам an2). (F)T = F, Fa),
fa)T = fall CT22 °33 i °li a23 <*31) >
(5)T = (111 ^2 Ьз:: 2^2133 2^31).
Учитывая, что <ь*Б«*={£}т fa), t>2={t>)Tfa}, получим матричную фор-
му уравнения сохранения механической энергии:
=Ш{5|т +4? Ш 'г₽ {и}т (v} dw- (IIIJ52)
w w
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. Выделим в де-
формируемой среде объем IF, ограниченный поверхностью
X (см. рис. 3).
126
Пусть температура произвольной материальной частицы
выделенного объема составит й, а за время dt изменится
на dft.
Элемент объема dW поглотит тепло, равное pdWcdfy,
rjifi с — теплоемкость среды, а уравнение теплового балан-
са для объема W будет иметь вид
dW,
(Ш.153)
W 2 W
где q — вектор теплового потока; —компоненты тен-
зора скоростей пластических (необратимых) деформаций;
J механический эквивалент теплоты.
Свяжем вектор теплового потока q с градиентом темпе-
ратурного поля О следующей зависимостью (закон тепло-
проводности Фурье):
q=— k grad О. (III. 154)
Здесь k — некоторая величина, называемая коэффици-
ентом теплопроводности. Знак «минус» означает, что тепло
движется от более нагретых к менее нагретым частям тела.
После подстановки этого уравнения в (Ш.153) получа-
ем уравнение теплопроводности:
___a-lk
dt dxt \ dxi ) J
(HI. 155)
Рассмотрим частный случай этого уравнения, когда k —
=const. Разделив обе части на рс, получаем
V = х + + 7^)+’ vcr“ %’ (Ш-,56)
® \ дх{ дх^ дх$ )
где x=klpc — называется коэффициентом температуропро-
водности, а величина v определяется формулой
v=I/(Jpc). (III. 157)
Задача IIL11. Уравнение теплопроводности.
Записать уравнение теплопроводности (II 1.155) в матричной форме.
Р е ш е н и е. Пусть {д^/дх}т ={д^/дхх д^/дх2 д$/дх3}, }т »
&...2&L {а)т ={an ®22....<Тз|}, VT ~(d/dxt д/дх2 д/дх3).
Учитывая, что dtydt=dft/dt+ (dtydXi)vi, получаем запись уравне-
ния теплопроводности (III. 155) в следующей форме:
do/а/ + {дЫдх}у {«) = v т v (АН»/рс + О {^}т {а).
127
Контрольные вопросы
1. Какой физический смысл имеют компоненты тензора напряжений?
2. Как вычислить вектор напряжения, действующего на наклон-
ной площадке?
3. Как записать в матричной форме выражение интенсивности касд.
тельных напряжений? •
4. Как записать закон сохранения массы: а) в интегральной' фор-
ме? б) в локальной?
5. Как записать уравнения движения в матричной форме?
6. Какие гипотезы приняты при выводе уравнения теплопроводно-
сти?
4. Пластичность и разрушение
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ- Кинематические зави-
симости и законы сохранения не дают полной системы урав-
нений, позволяющей вместе с начальными и граничными ус-
ловиями одназначно описать движение сплошной среды.
Для того чтобы, сделать систему замкнутой, необходимы
дополнительные соотношения. К ним относятся так назы-
ваемые определяющие уравнения, которые характеризуют
конкретные физические свойства изучаемой среды.
Во многих необратимых процессах, протекающих в
сплошной среде, соответствующие закономерности выража-
ются линейными соотношениями между причиной и след-
ствием. Например, закон теплопроводности пропорциональ-
ности теплового потока градиенту температуры (q=
=—Agrad#, й>0), закон диффузии о пропорциональности
потока компоненты смеси градиенту концентрации (/=
= —Dgradc, D>0), закон Ома о пропорциональности плот-
ности тока градиенту потенциала: (/=—7?gradq>, R>0).
Причины, вызывающие необратимые явления, носят в
термодинамике этих явлений названия «сил» и обознача-
ются через У, (i=l, 2,...; градиент температуры, градиент
концентрации, градиент электрического потенциала и т. д.).
Количественные характеристики соответствующих необ-
ратимых явлений, вызываемых силами У(, называются «по-
токами» J, (t = l, 2,...; поток тепла, поток диффузии, вектор
плотности электрического тока и т. д.).
Скорость производства энтропии у определяется только
необратимыми процессами, и может быть записана в виде
Т = - (III. 158)
128
где Ik — «потоки» (например, диффузионный поток j, теп-
ловой поток q, тензор диссипативных напряжении cik , а
У*— сопряженные им «термодинамические силы», т. е. гра-
диенты термодинамических параметров, вызывающих от-
клонение от равномерного состояния).
Положение равновесия с термодинамической точки зре-
ния характеризуется равенством нулю действующих термо-
динамических сил. В этом случае выражение для скорости
производства энтропии также обращается в нуль. Вместе
с обращением в нуль всех действующих термодинамических
сил в положении равновесия в нуль обращаются также и
термодинамические потоки. Связь термодинамических по-
токов и сил, как мы уже отметили, в широком диапазоне
экспериментальных условий чрезвычайно проста — необ-
ратимые потоки являются линейными функциями термоди-
намических сил:
(Ш. 159)
i
где Lik — коэффициенты переноса.
В прямых процессах термодинамическая сила У/ вызы-
вает поток Ji, например градиент температуры вызывает
поток тепла
q=— £ grad О, (III. 160)
где k — коэффициент теплопроводности.
В эту же схему укладываются закон Ома, устанавли-
вающий связь между градиентом электрического потенциа-
ла и электрическим током, закон Дарси, устанавливающий
связь между градиентом концентрации и потоком веще-
ства.
Вместе с тем термодинамическая сила У( может вызы-
вать также поток Д при k^i; Так, градиент температуры
может вызвать поток вещества в многокомпонентных систе-
мах (термодиффузия), а градиент концентрации — поток
тепла (диффузионный термоэффект). Такие процессы на-
зываются перекрестными или налагающимися эффекта-
ми, они характеризуются коэффициентами при k=£i.
Теорема Онзагера устанавливает свойство симметрии
коэффициентов переноса:
Llh = Lhi. (III. 161)
9 Г. Я. Гун
129
Создание общей теории феноменологических определя-
ющих уравнений, устанавливающей общие формы связей
между полями напряжений, деформаций, скоростей дефор-
маций, температур для различных сред, является од-
ной из фундаментальных проблем механики сплошных
сред. При этом должны выполняться некоторые основопо-
лагающие принципы (постулаты). Рассмотрим принципы
макроскопической определимости, физической допустимости
и независимости от системы отсчета.
Сформулированный А. А. Ильюшиным постулат (прин-
цип) макроскопической определимости утверждает, что для
данного вещества термомеханическое состояние, т. е. лю-
бая термомеханическая макроскопическая величина для
материальной частицы M(X=const) в момент t, однознач-
но определяется процессом Те (т), ©(т), и началь-
ными значениями Те (/о), 0(<о) для этой частицы.
Принцип физической допустимости требует, чтобы опре-
деляющие уравнения были согласованы с физическими за-
конами сохранения.
Из принципа независимости от системы отсчета следует,
что определяющие уравнения должны быть ковариантны
по отношению к преобразованию системы координат на-
блюдателя.
Важное значение имеет следствие из постулата макро-
скопической определимости, лежащее в основе эксперимен-
тальных исследований механических свойств металлов и
сплавов.
Рассматривая движение сплошной среды, можно выде-
лить достаточно малую окрестность произвольной матери-
альной частицы М. Вследствие непрерывности напряжен-
ное и деформированное состояние в этой окрестности мож-
но считать однородными.
Следуя А. А. Ильюшину, будем называть М-образцом
по отношению к объему тела в окрестности Материальной
частицы М любое тело определенной формы и конечных
размеров, вещество которого и его состояние в начальный
момент времени /=0 одинаковы с веществом и его состоя-
нием в объеме &W в момент / = 0. Прй этом напряженное
и деформированное состояние образца, а также температур-
ное поле являются однородными по объему в любой момент
времени; может быть реализован любой процесс изменения
температуры 0(0, деформаций е,ч(/) [напряжений <т»л(01-
Совокупность испытаний M-образцов назовем М-опытами.
Следствие постулата макроскопической определимости
130
утверждает, что состояние вещества в объеме &W тела мо-
лсет быть вдепроизведено в М-опытах. Другими словами,
рассматриваемой окрестности материальной частицы М
можно поставить в соответствие Л1-образец, причем про-
цесс нагружения в точке (деформации) этой окрестности
может быть воспроизведен в М-образце.
Это позволяет, устанавливая законы связи между на-
пряжениями и деформациями, изучая условия разрушения
материала, с учетом влияния процессов нагружения прово-
дить соответствующие испытания М-образцов.
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ А. А. ИЛЬЮШИНА. Во
многих теориях пластичности, таких как деформационная
теория пластичности и теория вязко-пластического тече-
ния, между напряжениями, деформациями и скоростями
деформаций устанавливаются конечные, функциональные
зависимости. Более глубокий анализ свидетельствует о том,
что напряженное состояние в исследуемом элементе объема
определяется, вообще говоря, характеристиками всего пред-
шествующего процесса изменения компонент тензора дефор-
мации, скорости деформации и внешних физических пара-
метров, а не их текущими значениями. Это означает, что
как деформационная теория пластичности, так и теория
вязкопластического течения должны вытекать из более
общей теории как некоторые упрощенные варианты, спра-
ведливые для определенных классов процессов нагру-
жения.
Такая.общая теория пластичности, относящаяся к малым
реформациям первоначально изотропного материала, раз-
работана А. А. Ильюшиным. Рассмотрим ее основные поло-
жения.
ПРОСТРАНСТВА ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ.
Выделив исследуемый элемент объема, будем .изображать
процесс изменения девиатора деформации в евклидовом
пятимерном пространстве £5 с ортогональным единичным
базисом о, (i=l, 2,...,5) траекторией деформации Z)5.
Назовем вектором деформации радиус-вектор точки
траектории
е = е/ах. (III.162)
с компонентами, выражающимися через компоненты девиа-
тора деформации линейными зависимостями так, чтобы
модуль вектора деформации равнялся интенсивности де-
формации сдвига 1’:
Й = г = Г 27^7. (Ш.163)
9* 131
При этом длина дуги траектории Л есть степень дефор-
мации сдвига. Аналогично в пятимерном пространстве на-
пряжений ^5 с базисом qi определяется вектор напряжений
(рис. 31):
s = s^z, - (III. 164)
компоненты которого связаны с компонентами девиатора
напряжений линейными зависимостями так, что при этом
модуль вектора напряжений равен интенсивности касатель-
ных напряжений:
| 7| = Т - (III. 165)
Путем наложения пространства напряжений Ss па про-
странство деформаций £& строится образ процесса как со-
вокупность траектории деформации, множества векторов
напряжений, построенных в соответствующих точках тра-
ектории и функции 0(A), Оо(Л) длины дуги Л траектории
£)5 (см. рис. 31).
ПРИНЦИП ЗАПАЗДЫВАНИЯ- Для упруго-пластичес-
кого материала сформулирован принцип запаздывания:
ориентация вектора'напряжений s в естественном базисе pi
зависит от внутренней геометрии ограниченного отрезка
траектории деформации, предшествующего рассматривае-
мой точке траектории. Длина этого отрезка называется
следом запаздывания и обозначается /г.
В частности, если до точки А траектория деформации
располагалась в n-мерном подпространстве Еп пространст-
ва £5(1^п^5), а начиная с точки А она целиком рас-
полагается в (n — k)-мерном подпространстве £п-л(1^
^.п—Л^п),"то па расстоянии от точки А, превышаю-
щем Л, вектор напряжения располагается в подпростран-
стве En-k- Так, папример, если начиная с точки А траекто-
рия деформации прямолинейная, то на расстоянии от точки
А, превышающем h, вектор напряжения направлен по этой
прямой.
Траектория деформации, во всех точках которой выпол-
няется неравенство й2Х1<С1, где xi— главная кривизна
траектории, называется траекторией малой кривизны. На
траектории деформации малой кривизны вектор напряже-
ний направлен по касательной к траектории:
? = />!, (III. 166)
где s° —единичный вектор напряжений; pi — единичный
вектор касательной к траектории.
132
Из теории А. А. Ильюшина вытекают, как частные слу-
чаи, две наиболее известные теории пластичности: дефор-
маццонная теория пластичности (теория малых упруго-
пластических деформаций) и теория вязко-пластического
течения.
ДЕФОРМАЦИОННАЯ
С позиции общего подхода
Рис. 31. Образ процесса натру
жения
ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ.
А. А. Ильюшина эта теория при-
менима к процессам простой
деформации. В этом случае
траектории деформации пред-
ставляют собой прямолиней-
Рис. 32. Зависимость Т от р и Г
ные лучи, исходящие из начала координат пространства Е5.
Деформационная теория пластичности непосредственно
следует из постулата изотропии; ес положения могут быть
сформулированы следующим образом: 1) среда изотропна;
2) среднее напряжение о0 пропорционально относительному
изменению объема А, имеющему упругий характер:
<т0 = ^А. k = const; (III, 167)
3) девиаторы напряжений и деформаций пропорциональны:
D<, = 2pDe. • (III. 168)
Следствием третьего положения теории являются сов-
падение главных осей и тензоров напряжений и деформа-
ций, а также пропорциональность главных значений девиа-
торов. ___ .
К. частным случаям относятся:
состояние линейной упругости
р = const; (III. 169)
133
состояние идеальной пластичности:
I* = t/Г. (III. 170)
При этом «(л = (2т,/Г)е,„; (III.171)
состояние деформационного упрочнения т = И(а,г)г х (III. 172)
и s^ = 2p((>, Г)е(Л (III. 173)
или sih = (2Т р, Г)/Г) eik- (III. 174)
состояние упругой разгрузки <тф —<ж0 = Л(Д* — А); (III. 175)
sik - sik = 2^«а - eik), и = const. (III. 176)
Звездочкой обозначены напряжения и деформации, со-
ответствующие началу разгрузки.
Уравнение (IIL172) соответствует гипотезе, «единой кри-
вой»: интенсивность касательных напряжений Т при ак-
тивном нагружении элемента тела является функцией тем-
пературы элемента -fl* и интенсивности деформаций сдвига
Г, не зависящей от вида напряженного состояния (рис. 32).
Задача II 1.12. Вычисление напряжений в деформационной теории
пластичности.
Пользуясь деформационной теорией пластичности, записать уравне-
ния связи напряжений и деформаций в матричной форме.
Решение. Введем в рассмотрение матрицы-столбцы напряжений
{а} и деформаций {е} размером 7X1 следующим образом:
Т T !
{о} -- {$ а0} = {$п $22 5зз • si2 s23 s3i i ^o }»
{ e } — {e 3e0} — £33 • 2е2з • 3e0).
Тогда, учитывая, что Л=Зе0> уравнения (III.167), (III.168) запи-
шутся следующим образом:
= (III. 177)
где квазидиагональная матрица [DJ размером 7X7 имеет вид:
-2|1 0 0 ; 0 2g 0 j 0
0 0 2p :
[Dx]= A : 1» 0 0 i
и i0 p 0 :
[°
i k
(III. 178)
134
•. ТЕОРИЯ ВЯЗКО-ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ. Эта
теория представляет собой в рамках общего подхода
д. А. Ильюшина теорию процессов малой кривизны. Сфор-
мулируем ее положения следующим образом: 1) среда изо-
тропна;
2) среднее напряжение о0 пропорционально относитель-
ному изменению, объема А, имеющему упругий характер:
ов = М, k = const; (III. 179)
3) девиаторы напряжении и скоростей деформаций про-
порциональны:
D,= 2gDE. (III. 180)
Следствием третьего положения теории являются совпа-
дение главных осей тензоров напряжений и скоростей де-
формаций, а также пропорциональность главных значений
девиаторов.
К частным случаям зависимости (III.180) относятся: со-
стояние линейной вязкости
g = const; (III. 181)
состояние идеальной пластичности
(III. 182)
при этом sifc = (2^/Н) TlifeJ (III. 183)
состояние вязкого упрочнения
T = T(0,H) = g(0, Н)Н (III. 184)
и
sifc = 2g(®, Н) т],* (III. 185)
или = (2Т(О, H)/H)nift. (111/186)
Уравнение (III.184) соответствует следующей гипотезе:
интенсивность касательных напряжений при пластическом
течении является функцией температуры О и интенсивности
скоростей деформаций сдвига Н, не зависящей от вида на-
пряженного состояния.
Возможность применения теории вязко-пластического
течения при анализе процессов обработки металлов давле-
нием основана па том обстоятельстве, что в этих процессах
(исключая импульсные методы обработки металлов) внеш-
ние нагрузки изменяются плавно и во всех точках тела
практически реализуются траектории малой кривизны.
135
Задача 111.13. Вычисление напряжений в теории вязко-пластическо-
го течения.
Пользуясь теорией вязко-пластического течения, записать уравнения
связи напряжений и скоростей деформаций в матричной форме.
Решение. Обозначим (см. задачу II 1.12) {о}т ={s а0}={$ц s22
5зз : $i2 $23 $3i : Оо}, {$}Т = {в3£о} ={т]п П22 Лзз : 2r|t2 2г|2з 2q3i • 3£0}.
Тогда, учитывая, что Д— 3g0(t)dT, получаем
6
|а} = ад!}.
(Ш.187)
где квазидиагональная матрица — оператор [D2] размером 7X7 имеет
следующий вид:
Р2] =
(III. 188)
РАЗРУШЕНИЕ МЕТАЛЛА ПРИ ОБРАБОТКЕ ДАВ-
ЛЕНИЕМ. Разрушение — комплексная проблема, находя-
щаяся на стыке физики твердого тела, механики сплошных
сред и материаловедения. Учитывая сложность структуры
реальных материалов, наличие многочисленных поврежде-
ний, начиная от микроскопических и субмикроскопических
дефектов и кончая крупными порами и магистральными
трещинами, при математическом моделировании процессов
обработки металлов давлением часто используют упрощен-
ный, феноменологический подход к этой проблеме. Приме-
ром такого подхода может служить теория накопления по-
вреждений.
Для описания развития разрушения во времени в этой
теории предлагается использовать некоторую скалярную
функцию ф, изменяющуюся в пределах от нуля до едини-
цы— так называемую сплошность тела. В начальном состо-
янии при отсутствии повреждснности ф=1; с течением вре-
мени функция ф убывает. При ф = 0 происходит разрушение.
IO. Н. Работпов ввел функцию са= 1—ф— повреждепностъ,
равную нулю в начальном состоянии и единице в момент
разрушения. Для функции ф или ш из физических сообра-
жений составляется кинетическое уравнение вида
dty/dt = /(ф,...) или d(&/dt = f (со,...), (III.189)
136
связывающее скорость изменения сплошности или повреж-
денности с основными параметрами процесса, Решение это-
го уравнения позволяет найти область, в которой ф = 0
(ф=1), и тем самым описать распространение по телу
фронта разрушения.
При анализе разрушения в процессах обработки метал-
лов давлением скалярная функция о характеризует повреж-
Рис. 33. Диаграммы пластичности
денность материального элемента объема dW, достаточно
малого, чтобы в его пределах напряженное и деформирован-
ное состояния, равно как и температурное поле, можно было
считать однородным.
Рассмотрим движение элемента dW вдоль некоторой
траектории как функцию переменной X (см. рис. 22). Роль
такой переменной может играть время t или накопленная
при движении степень деформации сдвига Л= j НЛ. Пусть
о
состояние элемента характеризуется конечным числом па-
раметров Н|(Х), В качестве последних мож-
но взять температуру, инварианты тензора напряжений или
некоторые функции от них. Наиболее часто используются
параметры £=<jq/T — коэффициент жесткости напряжен-
ного состояния и va — параметр Лоде.
Используя принцип линейного суммирования поврежде-
ний, запишем кинетическое уравнение для поврежденности
в виде .
d© = —-------, (III, 190)
(Д1» • • • »°п)
137
Здесь ХР — значение параметра X, соответствующее раз-
рушению элемента dW при. постоянных значениях a,: at =
= const, a2=const,an=const.
Интегрируя, получаем
_____________dk______________
Хр [ei (X), a2 (X) > • • • > оп (X)]
причем условие разрушения имеет вид
х
С_________dX_
J XplqHXMHX),
(Ш.191)
(Ш.192)
ап (X)]
Опыты, проведенные рядом ученых по растяжению, сжа-
тию и кручению цилиндрических образцов, в том числе и в
условиях всестороннего сжатия гидростатическим давлени-
ем, свидетельствуют о том, что при заданной температуре и
скорости деформации в условиях монотонной деформации
имеется близкая к однозначной зависимость между пластич-
ностью металла, характеризуемой предельной степенью де-
формации сдвига Лр, соответствующей моменту разрушения,
и коэффициентом жесткости напряженного состояния k =
= о0/Т. Эту зависимость можно представить в виде диаграм-
мы пластичности (рис. 33). Из анализа диаграммы следует,
что пластичность наиболее высока в условиях всесторонне-
го гидростатического сжатия и резко падает с ростом коэф-
фициента k.
Приняв в качестве параметра X степень деформации сдви-
га Л и ограничившись одним параметром ai=fe=oo/T,
В. Л. Колмогоров записал кинетическое уравнение для пов-
режденности в виде da = </А/Лр[Л]. .
Поскольку dA=Hdt, где Н — интенсивность скоростей
деформации сдвига, получаем
О ПЛ
<о = I---------
J Лр [Л (01
о
Условие разрушения запишется в виде
л t
ё dA = (* НЛ
J ЛРЩЛ)] J Лр(Л(О]
о о
(III. 193)
(III. 194)
13S
Контрольные вопросы
1. Какие процессы, протекающие в термодинамических системах,
относятся к прямым? к перекрестным?
2. Какое свойство необратимых термодинамических процессов уста-
навливает теорема Оизагера?
3. Какие принципы теории определяющих уравнений Вы знаете?
4. В чем состоит принцип Макроскопической определимости?
5. Как строится образ процесса нагружения? В каких простран-
ствах?
6. Какая траектория деформации называется траекторией малой
кривизны? Как при этом направлен вектор напряжений?
7. Сформулируйте основные положения деформационной теории
пластичности, теории вязко-пластического течения.
8. Как формулируется теория единой кривой?
9. Как применяется теория накопления повреждений при описании
разрушения металлов при обработке давлением?
5. Краевые задачи
О КОРРЕКТНОЙ ПОСТАНОВКЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ. Ис-
следование процессов, протекающих в металле при обра-
ботке давлением — расчет температурных полей, напряже-
ний и деформаций, анализ условий разрушения, приводит
к необходимости изучения соответствующих физических
подей. В условиях стационарного процесса эти поля оста-
ются неизменными во времени, для нестационарных про-
цессов изменяются во времени, отражая влияние различ-
ных факторов.
Приведенные ранее зависимости представляют собой
математическую модель внутреннего механизма изучаемых
процессов. Они не описывают условий взаимодействия тела
с окружающей средой, его начального состояния. В связи
с этим необходимо дополнительно рассмотреть совокупность
данных, определяющих начальное состояние тела (началь-
ные условия) и описывающих влияние окружающей среды
на протекающие в теле процессы (граничные условия).
Вместе они образуют условия единственности решения рас-
сматриваемой задачи, объединяясь в понятие краевых ус-
ловий. При этом имеются в виду «края» той пространствен-
но-временной области, в пределах которой происходит ис-
следуемый процесс.
В результате имеем краевую задачу: по заданным усло-
виям на границах пространственно-временной области оп-
ределить с помощью математической модели среды условия
во всем объеме этой области.
Краевая задача должна удовлетворять следующим ос-
новным. требованиям: 1) решение должно существовать;
139
2) решение должно определяться однозначно; 3) решение
должно непрерывно зависеть от данных задачи.
Первое требование сводится к условию, чтобы на реше-
ние не накладывалось слишком много органичений, т. е.
чтобы среди этих ограничений нс было противоречащих од-
но другому.
Согласно второму требованию, неопределенность или
неоднозначность должны быть исключены, если они не при-
сущи самой физической ситуации.
Третье требование утверждает, что математическая за-
дача правильно описывает физическое явление только в том
случае, когда неизбежные погрешности при определении ис-
ходных данных задачи не приводят к большим погрешнос-
тям в решении.
Задача, удовлетворяющая всем трем требованиям, назы-
вается корректно поставленной задачей.
Поставить конкретную задачу о движении сплошной
среды в области D с границей S означает выбрать матема-
тическую модель среды, т. е. записать соответствующую
, замкнутую систему уравнений, задать внешние силы и сфор-
мулировать начальные и граничные условия.
К начальным условиям относятся уравнения, описыва-
ющие распределение искомых давлений, температур, скоро-
стей в начальный момент времени. В некоторых случаях
одних только начальных условий вполне достаточно для выде-
ления определенного решения (например, течение в неогра-
ниченной области).
Примером задания начальных условий является гипоте-
за о первоначальном ненапряженном состоянии тела.
Условия на границе S (известной или неизвестной при
любом t) можно разделить на механические и температур-
ные. К последним относятся уравнения, описывающие рас-
пределение температуры или условия теплоотдачи па гра-
нице тела.
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. Рассмо-
трим следующие варианты граничных условий (сокращенно
ГУ).
ГУ первого рода задаст распределение температуры по
поверхности тела в любой момент времени:
fl|s = iHAU), (III.195)
где М — точка поверхности S.
ГУ второго рода задаст плотность теплового потока в
каждой точке поверхности тела как функцию времени:
= ' (Ш.196)
U0
Здесь qn — проекция вектора теплового потока q на на-
правлеИие*внешней нормали и.к поверхности тела. Поэтому
величина qn положительна, если поверхность тела охлаж-
дается, и-отрицатсльпа — при нагревании поверхности.
Поскольку qn=—k(d$/dn), условие (III.196) может
быть записано следующим образом:
_*J±| = ф(М,0, (III. 197)
дп |s
где k — коэффициент теплопроводности.
- В частности, тепл.овой изоляции поверхности тела соот-
ветствует условие
Л| =0. (III. 198)
dn |s
Если процесс передачи тепла происходит излучением, то
тепловой поток прямо пропорционален разности четверт-
ных степеней абсолютных температур поверхности излуче-
ния Тс и поверхности тела Ts (закон Стефана—Больцмана):
~<In = WT*c-TsY (Ш.199)
Здесь 0 — постоянная Стефана — Больцмана; с — посто-
янный коэффициент, учитывающий условия теплообмена.
ГУ третьего рода описывает процесс конвективного теп-
лообмена между поверхностью тела и окружающей средой
по закону Ньютона:
= (1П.200)
где Ос — температура окружающей среды; а — коэффици-
ент теплообмена.
Аналогично (III.197), это соотношение может быть за-
писано следующим образом:
-Л-^ = а(д5-0с).
дп I
ГУ четвертого рода описывает теплообмен поверхности
тела с омывающей его жидкостью или газом, а также теп-
лообмен соприкасающихся твердых тел в предположении,
что температуры соприкасающихся поверхностей одина-
ковы. 1
При этом наряду с равенством температур на поверхно-
сти контакта
Os = 0с (III.201)
141
соблюдаются равенства тепловых потоков:
— =— . (III.202)
\ дп /|s \ дп /с
Очевидно, ГУ четвертого рода более точно, чем условие
третьего рода, описывает процесс контактного теплообме-
на, особенно для нестационарных температурных полей. Од-
нако применение этого граничного условия предусматрива-
ет решение еще одной температурной задачи — расчета рас-
пределения температуры в окружающей среде, например в
инструменте.
В процессах обработки металлов давлением при задании
температурных граничных условий наибольшие трудности
связаны с описанием процесса теплопередачи между плас-
тически деформируемым телом и инструментом. Строгий
подход к этой проблеме предусматривает решение двух до-
статочно сложных температурных задач с согласованием
решений па границе раздела.
Вместе с тем во многих случаях, учитывая отсутствие
полной информации о значениях теплофизических констант
на контактных поверхностях, а также сложное влияние па
процессы теплопередачи промежуточных пленок окислов
или смазок, можно ограничиться приближенным описанием
граничных условий, воспользовавшись результатами реше-
ния сравнительно простых задач о контакте полуограничсн-
пых тел. При этом вводится усредненная по объему тел на-
чальная температура обрабатываемого металла #ю и инст-
румента #20 (здесь и в дальнейшем индексы .1 и 2 относятся
соответственно к обрабатываемому металлу и инструменту).
Теплообмен на контактной поверхности моделируется теп-
лообменом двух полуограниченных тел.
Наиболее важными теплофизическими константами, оп-
ределяющими условия теплообмена, являются коэффициен-
ты тепловой активности металла \ = Yk1clрх и инстру-
мента 62 = ]/£2с2р2, где k — коэффициент теплопроводно-
сти; с — теплоемкость; р — плотность среды.
Рассмотрим три наиболее важных варианта граничных
условий:
1. Идеальный тепловой контакт между металлом и ин-
струментом, Граничные условия сводятся к ГУ первого
рода:
0|з = 02о + п^. (Ш.203)
1 т я
где ДО=0ю—О2о, k=bi/b2.
14^
дп
2. Теплообмен при наличии теплового сопротивления
между контактными поверхностями по закону (111.200),
связанного с наличием промежуточного слоя окалины или
смазки. Граничные условия записываются как ГУ третьего
рода:
= А(д-дс), (Ш.204)
где относительный коэффициент теплообмена равен
Л = + 205)
klbz
а температуру окружающей среды определяет формула
_ »10bl+ ^20&2 (Ш.206)
bi + bt
3. Теплообмен при наличии теплового сопротивления и
выделения тепла трения между контактными поверхностя-
ми. Граничные условия сводятся к ГУ третьего рода:
---(Ш.207)
дл s ' с'
где h — вычисляется по формуле (Ш.205), а
o;=v+ (Ш-208)
h (ij + b2)
Здесь Ос — определено зависимостью (III.206); а — интен-
сивность тепловых источников на границе тела.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. Механи-
ческие граничные условия могут быть динамическими (ста-
тическими), кинематическими и смешанными.
Динамические граничные условия задают на границе
тела вектор напряжений оп как известную функцию точки
границы М и времени./:
ов|з=7(Я0. (Ш.209)
Так, при движении сплошной среды можно рассматри-
вать поверхности, называемые свободными, на которых
поверхностные напряжения сводятся просто к атмосферно-
му давлению.
Если среда находится в равновесии, то условия
(III.209) называются статическими.
Если среда является жестко-пластической, то динами-
ческие (статические) условия на границе Sq между жест-
кой областью и областью пластического течения D могут
143
задавать выраженные через поверхностные напряжения
главный вектор Q и главный момент М относительно неко-
торой точки О известных, согласно условиям задачи, вне-
шних сил, приложенных к жесткой области (рис. 34, а).
Кинематические граничные условия полностью опреде-
ляют на поверхности тела вектор скорости v.
Рис. 34. Условия на границе между жесткой областью и'областью
пластического течения
Пусть задано положение и движение некоторого участ-
ка границы обтекаемого твердого тела. При отсутствии
проскальзывания материальных частиц по касательной к
границе имеет место условие «прилипания» частиц к по-
верхности тела. Это условие запишется в виде
Череды =*= ^пов- (III.210)
Граничное условие прилипания к обтекаемым телам
характерно для вязкой жидкости. Эксперименты показы-
вают, что в определенных условиях (например, при про-
катке высоких полос) прилипание имеет место на контак-
те между цнетрументом и горячим металлом.
К этому же условию сводится условие на границе Sv
непрерывной стыковки движения «жесткой» области с по-
лем скоростей в области пластического течения D для
жестко-пластических сред (рис. 34,6). В этом случае мо-
гут быть заданы скорости поступательного движения v и
углового вращения <о жесткой зоны.
Если частицы среды могут скользить вдоль границы
обтекаемого тела, то на поверхности действует более сла-
бое кинематическое условие обтекания (непроницаемости):
Уп<среды) = ^Л(ПОВ). (III.211)
144
При этом на границе совпадают только нормальные
составляющие скорости частиц среды и граничной поверх-
ности. Это условие дополняется некоторым физическим за-
коном внешнего трения на контактной поверхности, который
накладывает некоторые условия на соотношения между
нормальной и касательной'составляющими вектора поверх-
ностных напряжений.
Тем самым мы пришли к смешанным граничным усло-
виям, в которых на поверхности тела частично накладыва-
ются ограничения на кинематику и частично на поверхно-
стные напряжения. Рассмотрим более подробно трение на
контактной поверхности.
Рассмотрим элементарную площадку, расположенную на
контактной поверхности, с нормалью п. Вектор поверхно-
стных напряжений оп, действующий на площадке, пред-
ставим в виде суммы двух векторов: вектора давления р и
вектора напряжения трения т:
а» = р + т. (III.212)
Вектор р направлен по внутренней нормали к поверхно-
сти, его модуль р равен нормальной силе, действующей па
единицу площади.
Вектор т лежит в плоскости, касательной к поверхно-
сти, и направлен в сторону/противоположную скольжения
частиц металла относительно инструмента. Пусть v — ско-
рость частицы, Vi — скорость инструмента на рассматри-
ваемой площадке, Аи = и—t>i — скорость скольжения. Тогда
т=—т —, (Ш.213)
Ы
где т — модуль вектора напряжения трения; обычно на-
зывается напряжением трепия.
Результаты экспериментов свидетельствуют о сложном
характере зависимости напряжения трения от основных
факторов: давления р, скорости скольжения Ди, суммар-
ного относительного перемещения Ди, состояния поверхно-
сти инструмента, химического состава и температуры
инструмента и деформируемого тела, наличия смазки или
окалины на контактной поверхности. Практически исполь-
зуются два упрощенных закона трения:
г- я. Гун ’ 145
закон Амонтона—Кулона
r=fp, (III.214)
где / -‘-коэффициент трения, и закон Прандтля (Зибеля)
т = /ов, (111.215)
где ов — предел текучести металла, а коэффициент / (ус-
ловно называют коэффициентом трения), как и в (III.214),
должен отражать влияние перечисленных факторов.
Необходимо отметить, что, в соответствии с условием
текучести, напряжение трения не может превышать преде-
ла текучести сдвига деформируемого металла в прикон-
тактном слое. Поэтому (III.214) более правильно так:
<с =
(111.216)
Вследствие интенсивной пластической деформации, а
также охлаждения приконтактных слоев os в этой области
может существенно превышать усредненное по всей обла-
сти пластического течения значение этой величины.
Контрольные вопросы
1. Каким условиям удовлетворяет корректная постановка краевой
задачи?
2. Как ставится краевая задача о движении сплошной среды?
3. Какие граничные условия теории теплопроводности Вы знаете?
4. Каким образом можно приближенно описать теплообмен между
пластически деформируемым телом и инструментом?
5. Как задаются условия стыковки пластически деформируемых и
жестких областей тела?
6. Как описываются условия трения на контактной поверхности?
7. Какие типичные упрощения используются при решении задач ме-
ханики сплошных сред?
6. Начала виртуальных скоростей
и виртуальных напряжений
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. Для того чтобы рассмотреть основ-
ную структуру доказательств вариационных принципов,
не прибегая к громоздким выкладкам, упростим краевую
задачу. В частности, примем, что участки границы со сме-
шанными механическими граничными условиями отсутст-
вуют. Будем также пренебрегать внешними массовыми си-
лами, инерционными эффектами. Переход к более общим
условиям не связан с принципиальными трудностями. В ре-
зультате уравнения движения (III.141) преобразуются в
уравнения равновесия
146
dcikldxh = O (Ш.217)
яли в тензорной записи
divTa = 0. (Ш.218)
' Зафиксируем время t и рассмотрим для мгновенной
конфигурации области D механические граничные условия,
полагая S=SB+SO и обозначая «звездочкой» заданные
функции трчки границы М — на So заданы скорости:
;|se = o*(A4); (Ш.219)
на S « заданы напряжения:
?|so=a.W (Ш.220)
Если область S,, совпадает со всей поверхностью S, а
среда несжимаема, то заданные поверхностные скорости
должны удовлетворять условию несжимаемости, отнесен-
ному ко всему телу: поток вектора скорости через поверх-
ность 5 равен нулю. Если со всей поверхностью совпадает
Se, то заданные поверхностные нагрузки должны удовлет-
ворять условиям равновесия, относящимся ко всему телу.
Будем предполагать, что существует некоторая про-
цедура, позволяющая для произвольного момента времени
t однозначно определить границу S области D, темпера-
турное поле и все параметры, входящие в определяющие
уравнения.
Поставим квазистатическую краевую задачу следующим
образом: для мгновенной конфигурации тела, находящего-
ся в равновесии под воздействием внешних нагрузок, опре-
делить в области течения D функции Vi, oin, > удовлетво-
ряющие граничным условиям и обращающие уравнения
(111.83), (III.186), (III.217) в тождества по независимым
переменным х,.
СЖИМАЕМАЯ СРЕДА. ТЕОРЕМЫ. Зафиксируем вре-
мя t, рассматривая мгновенную картину течения и соответ-
ствующую ей мгновенную конфигурацию области D. Будем
исследовать в области D некоторые векторные и тензорные
поля. Предположим, что соответствующие скалярные функ-
ции непрерывны и дифференцируемы в D и имеют
в D необходимое число непрерывных и дифференцируемых
производных по независимым переменным. Введем следу-
ющие определения.
1. Поле напряжений называется статически возможным,
если оно удовлетворяет в D уравнениям равновесия
(Ш.217), а на поверхности S-граничным условиям
W*
147
2. Поле скоростей называется кинематически возмож-
ным, если оно удовлетворяет на Sv кинематическим гра-
ничным условиям (III.219). Поле скоростей деформаций,
для которого существует некоторое кинематически возмож-
ное поле скоростей, связанное с ним соотношением (III.83),
также называется кинематически возможным.
3. Поле симметричного тензора Ida = {6(^4, удовлетво-
ряющее в области D уравнению divfda = 0, а на So одно-
родному условию 6an|sa=0, где 6an=nTfi0, называется
полем виртуальных напряжений.
4. Поле вектора 6у удовлетворяющее однородным гра-
ничным условиям |sy=0, называется полем виртуальных
скоростей.
5. Напряжения, поставленные в соответствие кинемати-
чески возможному полю скоростей определяющими урав-
нениями, называются кинематическими.
6. Скорости деформаций, поставленные в соответствие
статически возможному полю напряжений определяющими
уравнениями, называются статическими.
7. Кинематически возможное поле скоростей, для кото-
рого кинематические напряжения являются статически
возможными, называется действительным.
8. Статически возможное поле напряжений, для кото-
рого статические скорости деформаций являются кинема-
тически возможными, называется действительным.
Докажем следующую лемму. ' _
Лемма III.1. Пусть в замкнутой области D задано
векторное поле b и поле симметричного тензора 7л =
= {Дг4- Тогда имеем зависимость
f ( (div TAbdW= J f an b dS - f f f aih dW, (111.221)
' KD ' S " b’
zr, “ О 1 I db; , dbk \
где an = TAn = aillnkei, 0ih = — —.
2 \ OXk OX I /
Доказательство.
JJJ div TA iw _ JJJ b.M - Щ -
DSD
+ dW = Jp MS - JJJ aik 0/ft dW.
‘ S D
148
(III.222)
(III.223)
Перейдем к рассмотрению теорем.
• Теорема III.1. (Начало виртуальных скоростей).
Для того чтобы поле симметричного тензора напряжения
^ = {0^} было статически возможным, необходимо и до-
статочно, чтобы для любых виртуальных скоростей выпол-
нялось уравнение
= <w,
Sa D
где
°** 2 Ua +
Доказательство. Для того чтобы поле тензора То удовлет-
воряло уравнениям (III.217) и (III.220), необходимо и достаточно, что-
бы выполнялось условие ортогональности невязок этих
отношению к виртуальным скоростям 1 6а*:
j ( (di v T„^vdW + f J (a? -о") todS - 0.
J'd ‘sa
Воспользовавшись уравнением (III.221), полагая в
Ь=би, получаем (III.222).
Задача 111.14. Начало виртуальных скоростей.
Записать уравнение (III.222) в матричной форме.
Решение. По аналогии с решением задачи III.10
И {6v}T (a?) dS - |'ff {6£}т {О} dW,
S<j
где
{& }T = &>2 6o3}, |aS}T = {a‘«i a*2 o*3|;
{$} T= {6gll 6£„ бВзз 26512 265,3 2613!};
(®}T ~ {041 ст22 ®зз °i2 О'аз CT3t} •
Теорема III.2. (Начало виртуальных напряжений).
Для того чтобы поле симметричного тензора скорости де-
формации Т$ = [tjf*] было кинематически возможным, не-
обходимо и достаточно, чтобы для любых виртуальных на-
пряжений выполнялось уравнение
Доказательство. Для того чтобы существовало некоторое
поле скоростей и, связанное с тензором уравнениями (III.83) и удо-
1 Необходимость очевидна, а достаточность вытекает из основной
леммы вариационного исчисления.
уравнений по
нем Тл = Тф
будем иметь:
(III. 224)
(III. 225)
(III. 226)
149
влетворяющее условию (III.219), необходимо и достаточно, чтобы вы-
полнялось условие ортогональности невязок этих уравнений по отно-
шению к виртуальным напряжениям:
Ш [т ($+~ °-
D
Воспользовавшись уравнением (II 1.221) (пусть TA — T^t b = v) и
учитывая, что divT^0=O, получаем (III.226):
Задача 111.15. Начало виртуальных напряжений.
Записать уравнение (III.226) в матричной форме.
Решение. Обозначим
{6о)Т = {6<Гп ^22 ^33 ^12 бОаЗ ^31) * (Ш • 227)
Используя обозначения (III.225), получим
[Г {6а)т {и* } dS = Щ {ба}т {£} dW.. (III.228)
b
Непосредственным следствием указанных теорем явля-
ется следующая теорема.
Теорема III.3. Для того чтобы поля симметричных
тензоров напряжений Та и скоростей деформаций были
соответственно статически и кинематически возможными,
необходимо и достаточно, чтобы для любых виртуальных
скоростей и напряжений выполнялось уравнение
f f < f>vdS + f f 6on v- dS = f f (atft 6U + dW (Ш.229)
'•Sa 4
или в матричной записи
(J|6»)TI<I <S+<« =
SV
= T {a} + {So)T dW. (ffl.230)
b*
НЕСЖИМАЕМАЯ СРЕДА. Рассмотрим движение не-
сжимаемой» среды. Несколько изменим определения.
А именно: потребуем, чтобы кинематически возможное по-
ле скоростей удовлетворяло условию несжимаемости.
Определяющие уравнения в этом случае позволяют вы-
числить только компоненты девиатора напряжений. Ис-
пользуя уравнения движения и граничные условия, можно
определить шаровой тензор напряжений. Назовем поле
девиатора статически возможным, если оно может быть
дополнено некоторым шаровым тензором по/, где о0 — не-
прерывная и непрерывно-дифференцируемая функция ко-
ординат до статически возможного поля напряжений. Для
15V
действительного поля скоростей v статически возможным
является кинематический девиатор напряжений, поставлен-
ный в соответствие полю v определяющими уравнениями.
Рассмотрим соответствующие теоремы. \
Теорема II 1.4. (Начало виртуальных скоростей).
Для того чтобы поле симметричного девиатора напряже-
ний [Si*] было статически возможным, необходимо и до-
статочно, чтобы для любых виртуальных скоростей выпол-
нялось уравнение
(р; 6vdS = f f [sift(Ш.231)
s0 vb’
или в матричной записи
JJ {&>JT {< | dS = jJ f {6т)}Т{s} dW, (III.232)
b‘
где
{6t]| ” 26t]12 26т]2з 25т|з1)y (III.233)
{$} {sn s22 S33 s12 s23 S31}. (III.234)
Необходимость. Пусть поле девиатора Da статически воз-
можно и 6у — поле виртуальных скоростей. Дополнив Do до статически
возможного поля напряжений Та из теоремы III.1 будем иметь (III.222).
Поскольку dgo=O, Uik^liti=Sihbr\ikt что приводит к уравнению (III.231).
Достаточность. Пусть для некоторого симметричного девиа-
тора Da и некоторого поля v при любых виртуальных скоростях выпол-
няется уравнение (III.231). Используя метод множителей Лагранжа,
введем в правую часть (III.231) слагаемое 3 JJ Udiv(du)d№, предпола-
D
гая теперь величины doi независимыми. При этом
sik frljh + зх div (бу ) = Sih fr\ih + ЗХбВо = Oik &lih,
..где <Т1*=$и+Хбм и выполняется уравнение (Ш.222).
Это позволяет воспользоваться теоремой III.1, согласно которой
симметричный тензор Га={<я*} является статически возможным для
поля v, причем шаровой тензор 1.1 дополняет девиатор Do до Го. Тео-
рема доказана.
Теорема 1П.5. (Начало виртуальных напряжений).
Для того чтобы, поле симметричного девиатора (а посколь-
ку среда несжимаема, то и тензора) скоростей деформа-
ций было кинематически возможным, необходимо и доста-
точно, чтобы для любых виртуальных напряжений выпол-
нялось уравнение
И 6о"~v dS = f 6s/ft <W, (111,235)
S' d
151
в матричной форме
ff (бол}т (и*) dS = fff {6s)T{T!}d№. (III.236)
X "°
Справедливость теоремы вытекает из теоремы II 1.2, по-
скольку дл^ несжимаемой среды 6Vik%ik=bSikT\ik-
Аналогично изменяется формулировка теоремы III.3.
Теорема III.6. Для того чтобы поля симметричных
девиаторов напряжений Do и скоростей деформаций
были соответственно статически и кинематически возмож-
ными, необходимо и достаточно, чтобы для любых вирту-
альных скоростей и напряжений выполнялось уравнение
И a?6vdS+ +
So К
или в матричной форме
JJ {Sv)T I dS + f J (боп)т (v‘J dS =
=Ш K6tilT м + l6slTN № (in.238)
Теорема является следствием теорем III.4 и III.5.
Контрольные вопросы
1. Какие гипотезы приняты при упрощенной постановке задачи?
2. Каким условиям удовлетворяют статически возможные напряже-
ния, кинематически возможные скорости? Чем они отличаются от дей-
ствительных?
3. Что такое кинематические напряжения? Удовлетворяют ли они
условиям равновесия?
4. Что такое статические скорости деформаций? Связаны ли они
с полем скоростей соотношениями (111.83)?
5. Каковы необходимые и достаточные условия того, что поле ско-
ростей или поле напряжений являются действительными?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Ил ьюшин А. Л. Механика сплошной среды. 2-е изд., персраб. и
доп. М.: Изд-во МГУ, 1978. 288 с.
Ильюшин Л. А., Победря Б. Е. Основы математичсскоГ! теории тер-
мо-вязко-упругости. М.: Наука, 1970.280 с.
Мейз Дж. Теория и задачи механики, сплошных сред: Пер. с англ.
М.: Мир, 1974. 319 с.
Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука,
1966. 752 с.
Смирнов-Аляев Г. А. Сопротивление материалов пластическому де-
формированию. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Машгиз, 1978. 368 с.
Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплош-
ных сред: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 592 с.
152
раздел И. ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЕ
МЕТОДЫ
Проекционно-сеточные методы, к которым, в частности, от-
носится метод конечных элементов, стали в настоящее вре-
мя наиболее эффективными методами решения краевых
задач математической физики. Причиной этого можно счи-
тать развитие мощной электронной вычислительной тех-
ники, а также теории аппроксимации с применением финит-
ных функций — функций с конечным носителем.
' По Г. И. Марчуку, изучение проекционно-сеточных мето-,
дов целесообразно организовать по следующей схеме. Вна-
чале рекомендуется изучить основные алгоритмы проекци-
онных методов, в частности метода Ритца и метода Галер-
кина. Далее целесообразна ознакомиться с общей теорией
аппроксимации с применением финитных функций — теори-
ей сплайнов, локальной аппроксимацией в отдельных под-
областях— конечных элементах. Это позволит перейти к
изучению методов построения глобальных аппроксимаций —
приближенных решений краевых задач. В таком порядке
и расположен материал раздела.
Гл а в а IV
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Задачи механики сплошных сред сводятся к дифференци-
альным уравнениям в частных производных, которые необ-
ходимо интегрировать при определенных краевых услови-
ях. Приближенное решение краевых задач во многих случа-
ях удастся получить с применением так называемых пря-
мых методов. По определению С. Л. Соболева, прямыми
называются такие методы приближенного решения задач
теории дифференциальных и интегральных уравнений, ко-
торые сводят эти задачи к конечным системам алгебраи-
ческих уравнений. В теории и практике применения прямых
методов особое место занимают два метода: метод Ритца
и метод Галеркина.
В первом из них задача интегрирования дифференциаль-
ного уравнения заменяется некоторой равносильной вари-
ационной задачей. Второй основан на ортогонализации не-
вязки операторного уравнения по отношению к координат-
153
ной системе функций и, вообще говоря, не связан с
какой-либо вариационной задачей.
Несмотря на указанные различия, оба метода можно
объединить в рамках общего подхода — проекционного ме-
тода решения краевых задач.
1. Обобщенный метод моментов
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИБ-
ЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ. Используя основные понятия
функционального аналйза, можно сформулировать постанов-
ку краевой задачи следующим образом.
Даны метрические пространства X и У и оператор А.
определенный на множестве Ьл пространства X с множест-
вом значений в пространстве У. Требуется решить уравне-
ние
Ах = у*, (IV. 1)
где у* — заданный элемент У.
Будем полагать, что задача поставлена корректно,
т. е. решение х* существует, единственно и устойчиво по
отндшению к краевым условиям.
Для нахождения приближенного решения краевой за-
дачи разрабатывается алгоритм, который выдаст последо-
вательность приближенных решений хп^Х (п=1, 2,...).
При обосновании алгоритма необходимо показать, что
обеспечивается сходимость последовательности прибли-
женных решений к точному:
limxn = x*. (IV.2)
Кроме того, нужно дать оценку погрешности n-го при-
ближения:
6п = ₽*(*«♦ Х*)’ (IV.3)
где рх — расстояние в метрическом пространстве X.
Для построения последовательности хп предложено
множество методов, из которых выделим в качестве основ-
ных методы сведения к более простым, алгебраическим
уравнениям — так называемые «прямые» методы.
ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ. К прямым методам
приближенного решения краевых задач относятся проек-
ционные методы.
154
Примем, что X=Y=H, т. е. оператор А с областью
определения DA действует в гильбертовом пространстве
Ц, Рассмотрим уравнение
Ах = У*(у* 6 Н), (IV.4)
полага!, что Da — линеал и существует единственное ре-
шение x*^Da.
Пусть фь фг,... фп, — есть некоторая полная линейно-
независимая система элементов DA- Назовем се коорди-
натной системой, а ее элементы — координатными" функ-
циями.
Обозначим Я<п) линейную оболочку элементов ф,.
Легко видеть, что Н<^>а:Ол. Будем проектировать про-
странство Н в Я(п> и искать приближенное решение в
этом n-мерном подпространстве в виде
п
(rv-5)
Такой метод решения краевых задач будем называть про-
екционным.
Элемент хп вводит в область определения оператора
А, т. е. при любом натуральном п и любых коэффициентах
а,- хп принадлежит DA. Критерии, которыми
руководствуются при выборе коэффициентов а,, могут
быть различными. Поэтому мы имеем дело с различными
модификациями проекционного метода.
Многие из этих модификаций являются частными слу-
чаями метода моментов или средневзвешенных невязок.
• Рассмотрим его схему.
Введем наряду с координатной системой еще одну
полную линейно независимую систему фь фг, ..., фп,...,
которую назовем проекционной.
Элементы этой системы в отличие от координатной яв-
ляются произвольными элементами гильбертова прост-
ранства Н и в общем случае не принадлежат области оп-
ределения оператора А.
Пусть G<n>— линейная оболочка элементов ф<, а Рп —
оператор ортогонального проектирования на это подпро-
странство. Элементы ф, линейно независимы и опи обра-
зуют базис в G(n>.
Будем искать приближенное решение в виде (IV.5).
Поскольку в общем случае, х* не принадлежит подпрост-
ранству fPn\ в этом подпространстве нет элемента, кото-
155
рый обеспечил бы равенство левой и правой частей урав-
нения (IV.4).
Вместе с тем в H(rV> можно найти такой элемент, кото-
рый сделает равным проекции на G<n) левой и правой час-
тей (IV.4). Для этого нужно составить уравнение
РпАх = Рпу* * (IV.6)
и найти его решение в Эта задача сводится к нахож-
дению решения хп уравнения
Рп(Ахп-у*) = 0, (IV.7)
которое означает условие ортогональности невязки Ахп —
—//* по отношению к первым п элементам проекционной
системы:
(Ахп — у*, -ф.) = 0(Z = 1, 2, ... ,n). ’ (IV.8)
Если оператор А линеен, то из (IV.8) вытекает линей-
ная алгебраическая система для нахождения коэффици-
ентов at:
п
2♦»)=<#*> '•’«)• <IV-9)
Л=1
Для нелинейных операторов уравнения (IV.8) образу-
ют систему из вещественных уравнений относительно ис-
комых коэффициентов ,ап.
При приближенном решении краевых задач проекци-
онные исследовательности можно выбирать различными
способами. В частности, в методе Галеркина координат-
ная система ср, совпадает с проекционной, а система (IV.8)
принимает вид
(4хп — г/*, ф.) = 0(£ = 1, 2, ... ,n) (IV.10)
Если оператор А линеен, то для определения а, полу-
чаем следующую систему линейных алгебраических урав-
нений:
2 <Pi) = (у*. Ф.)(«’ --= 1. 2...., И). (IV. 11)
fe=l
К проекционным методам можно отнести и многие
прямые вариационные методы, например метод Ритца.
Контрольные вопросы
1. Как ставится краевая задача? К чему сводятся условия кор-
ректности?
156
2. Как определяется сходимость последовательности приближенных
решений к точному решению?
, 3. Какие приближенные методы решения краевых задач называют-
ся прямыми?
4. В чем состоит метод моментов?
5. Как выбирается проекционная система функций в методе Га-
леркина?
2. Метод Ритца
ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА. Большая группа методов
приближенного решения краевых задач называется вари-
ационными методами. Суть их сводится к следующему.
Для приближенного решения уравнения
Ах = у*, xEDAaH,y*eH (IV. 12)
строится некоторый функционал /, сопоставляющий эле-
ментам множества йл вещественные числа. Доказывает-
ся, что />/0>—со, причем / достигает своего минималь-
ного значения /о в единственной точке, а именно в точке
х*, являющейся решением уравнения (IV.12). Далее
строят минимизирующую последовательность %i, х2, ...
...jXn, такую, что lim I (А,) =Лъ п->-ао.
Во многих важных случаях’ при этом оказывается, что
минимизирующая последовательность {хп} по норме про-
странства II сходится к точке х* — решению краевой за-
дачи.
МЕТОД РИТЦА. Одним из наиболее известных мето-
дов построения минимизирующей последовательности яв-
ляется метод Ритца.
Пусть требуется найти минимум некоторого функцио-
нала I(х) с областью определения Dj.
Выберем координатную систему функций <pj, <р2.-,<рп,
•Удовлетворяющую следующим требованиям: 1) элементы
координатной системы, взятые в любом конечном количе-
стве, линейно независимы; 2) координатная система полна
в некоторой метрике, определенной на области Dj\ 3) при
любых значениях постоянных аь а2,...,ап элемент
п
xn = ^at <р,-
i—1
(IV. 13)
: принадлежит Dj и выражение I (хп) имеет смысл.
Рассматривая его как функцию конечного числа пере-
менных, аь а2,...,ап, найдем те значения, при которых
157
J (xn) достигает минимума. С этой целью решим следую-;
щую систему уравнений:
— {Хп} =0(t = 1, 2.....п) (IV.14)
да* , '
[необходимые условия экстремума функции J(xn)]. Убе-
дившись, что найденные значения постоянных сц действи-
тельно реализуют минимум величины J, подставим* эти
значения в выражение (IV. 13). В результате получим эле-
мент хп, который назовем п-м приближением по Ритцу
решения данной вариационной задачи.
Заметим, что проще всего удовлетворить требованию
3, предположив, что Dj — линейное множество, и потребо-
вав, чтобы элементы фх также принадлежали Dj. Так, в
вариационной задаче при обращении функции и в нуль на
границе области Dj является линейным множеством.
Для неоднородных граничных условий можно искать
n-е приближение по Ритцу в следующем виде:
= 2ai(P'> (IV. 15)
1=1
где элемент ф0 удовлетворяет заданным граничным усло-
виям, а <р(- (i=l, 2,.... п) удовлетворяют соответствующим
однородным граничным условиям. Очевидно, при таком
выборе при любых а, хп входят в область определения
функционала.
Решение системы уравнений (IV.14) является в общем
случае весьма сложной задачей. Опа существенно упро-
щается, если J(x)—квадратичный функционал; в этом
случае уравнения dJ/dai=O линейпы Ътносителыю а,-.
На практике во многих случаях приходится ограничи-
ваться сравнительно небольшим числом членов рядов
(IV.13), (IV. 15), поэтому удачный выбор координатных
функций имеет решающее значение. При решении вариа-
ционных задач' теор'ии обработки металлов давлением для
выбора координатных функций (их часто называют «под-
ходящими функциями») обычно используют результаты
экспериментальных исследований.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача IV.1. Метод Ритца.
Применив метод Ритца, решить задачу Дирихле для уравнения Пу-
ассона:
Vs « + f (х, у) — 0 в области Q, (IV. 16)
«|? = 0. (IV. 17)
158
Область П— прямоугольник со сторонами'а и Ь (рис. 35).
Поставленная задача описывает прогиб мембраны, закрепленной по
краю Y> ПОЛ Действием неравномерно распределенного давления р, с
точностью до постоянного множителя, совпадающего с функцией
• м , т
решение. Можно показать («Тео-
ретические основы», гл. 9, п. 5), что эта
задача сводится к проблеме минимиза-
ции функционала:
Ли(Х, У)] = Д
Q
У
— 2uf(x, у) dxdy
'(IV. 18)
Рис. 35. Область Q
при граничном условии и|у =0.
Используя матричную форму записи,
обозначим Ч
(ди!дх\
(ди/дх} Г1 О'
J’ 1-[о 1.
Легко видеть, что
(ди/дх?+ (ди/ду? = {g}T[DJ {g}
и
*= 1^1 {g} — 2uf(x, у)] dxdy.
й
- [/] .
(IV. 19)
(IV. 20)
(IV.21)
Представим приближенное решение в виде отрезка ряда, удовле-
творяющего условиям 1—3 метода Ритца:
«= «1Ф1 + аа <р2 + ... + ап фп = (ATJ {«}. (IV.22)
или в сокращенной записи
(g} = (B]{a), (IV. 25)
’ 1 Введение матрицы [D], в данном случае единичной ([D] = [/]),
позволяет существенно расширить результаты, в частности рассматри-
вать анизотропные физические свойства сплошных сред.
159
где матрица
[5] =
Г д [ЛИ -1 д<Р1 d<f2 дфп
дх дх дх дх
<ЧЛ'1 — дф1 дф2 d<fn
- ду .. dy dy dy
(IV. 26)
содержит информацию, связанную с производными координатных функ-
ций фь ф2, ...» фп ПО X и у.
После подстановки в (IV.21) получаем
J - | {а)т [В)т [D] (В) (a) dQ - 2 ff f (х, у) |.V] (a) dQ, (IV.27)
Q Q
причем
dJ/d{a} — Q. (IV. 28)
Воспользуемся формулами (1.92) и (1.89):
{«}Т|В]Т Ю) [5] (<0<Ю — 2 JJ [В]т (ОЦВ) {«} dft; (IV.29)
did {а}2 f|’/(x, y)[JVJ (a)dQ-2 \\f(x, у) [N]JdQ. (IV. 30)
’□ □
В результате получаем
dJ/d {а} = (К] {а} - (F) - 0, (1V.31)
где матрица размером геХге
[К] = [[ [В]т [D](5] dQ, (IV.32)
□
— так называемая матрица жесткости, в данной задаче характеризую-
щая способность мембраны сопротивляться действию приложенных к
ней нагрузок. Далее, вектор
1Н= ff/(*. y)[V]TdQ- (IV.33)
Q
«вектор нагрузок», соответствующий давлению р, вызывающему
прогиб мембраны и с точностью до постоянного множителя совпадаю-
щему с функцией Цх, у).
В результате нахождение параметров {а} сводится к решению сле-
дующей линейной системы алгебраических уравнений:
1*1 {«} = {£}. . (IV. 34)
Исследуем вид матрицы жесткости. Поскольку в рассматриваемом
случае [Ь]=[/], вычисление элементов матрицы [К] сводится к инте-
грированию по области Q элементов матрицы [В]Т[’В]:
* дфх дф!
дх dy
дфг дфа Г d<pt д<р2 дфп
дх dx ' ” дх
[В]т [В] дх dy дфг дф? дфп v
ду ду ’ * ду
дфп d<Pn — —
дх ду ~
160
л
511 512 • • •
521 В22 ... в2п
[S1T[5] =
(IV. 36)
_Bni Вп2 •.. впп_
api__a₽i . Jjpl Jjpfc. ,IV3n
5<*=1Г дх + ду ду • (IV 37)
' Таким образом, произвольный элемент матрицы [К] равен
^L-*£lL0
ду J •
(1V.381
Q й
В качестве конкретного примера рассмотрим два варианта выбора
координатных функцйй — тригонометрических ’ и степенных, представив
л-е приближение по Ритцу в следующих формах:
Р Q
ип = Sin^~ sin^y“ » P+Q^-n (IV.39)
p=i 0=1
P Q
ил = (а — х)(Ь — у)'^1 apqxpif .
р=1 ф=4
(IV. 40)
Для записи этих выражений в виде (IV.22) достаточно, зафиксиро-
вав п, последовательно пронумеровать координатные функции, напри-
мер, так, как это сделано в следующей таблице для л=16:
Так, например, для рйда
4IV.39)
Ф1В = (2 IVab ) •sin(3nx/a) X
X sin (4ш//б);
для ряда (IV.40) ф9=(а—х)Х
Х(Ь—у)х2у3 и т. д.
Можно показать, что тре-
бования 1—3, предъявляемые к
представлению (IV.23), выпол-
няются. В частности, при любом
выборе apq обеспечивается вы-
полнение однородного гранич-
ного условия м|? =0.
Рассмотрим более подробно
первый вариант. Система функций
фрд = (2 /Yob) sin (рях/a) sin (qny/b)
И г. я. Гун
161
является не только полной, но и ортонормированной. Этим же свойсг
вом обладают и системы
фрд = (2 /Кab ) cos (p«x/a)sin (qpylb),
(Dpq = (2® sin (рях la) cos (qnylb).
Воспользовавшись этим обстоятельством, можно показать, что диа-
тональные элементы матрицы жесткости [К] равны [(рл/а)2+ (<pi/d)2],
а боковые элементы равны нулю («Теоретические основы», задача
9.11).
Так, например, при р=1 и д=3
('v”>
•J V IA / \ @У / J L \ ® / К b /
о
при (р-2, 7=2) и (р-1, 7—3)
+_&.2^u=1) (1V42)
" JJ \ Эх Эх Эу дц /
Q
и т. д.
Это позволяет сразу же записать решение системы (IV.34):
а b
2 г г рях цяу
•у | | f(xt y)sln-sin---dxdy
Vab J J a b
ам =------~/^ -----------------------• (1V 43)
I *11 I I
\ a / Ц d /
Второй вариант выбора координатной системы — системы степен-
ных функций ф|«(а — x)(d — у)ху, <р2= (а — х) (Ь — у)х2у, срз =
в(а — х) (b — y)xy2t..., ф|б« (а — х) (Ь — у)х*у* — приводит к плотно
заполненной матрице [К]. Так, например, при р=2, ?=2; ф5=(а —х)Х
X(Ь — у)х*у\ дфв/дх= (2a — Зх) (Ь — у)ху2, дф>1ду= (а — х) (2d — Зу)X
Х*2У и
к“ - Л (-V-)’+Ш]40=1 •2™-,о- &+£)• (iv-4,)
Q
Далее, при р=1, q—3t Фе=(а—’Х)(Ь —i/)xp3, дфб/дх= (а — 2х)Х
X(Ь — у)у\ дф6/др= (а — х) (3d — 4у)ху\
В результате
ff(“TL_Ti'+"TL ‘TL)dQ= 1.667-Ю-3(1 -8,929-^-').
J J \ dx dx dy dy ) \ a21
Q
(IV. 45)
Видно, что элемент K& отличен от нуля, более того, его абсолютная
величина при d>a почти на порядок превышает абсолютную величину
диагонального элемента Л55.
Из результатов вычисления следует, что в матрице жесткости [К]
почти все элементы отличны от нуля, причем нет диагонального преоб-
ладания. Это приводит к большим трудностям и неустойчивости реше-
ния при больших п.
162
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПРИБЛИЖЕННЫХ ПО РИТ-
ЦУ~ РЕШЕНИЙ. Рассматривая последовательность приб-
лиженных решений, полученных методом Ритца, можно
ожидать, что для получения более точного приближения
по Ритцу следует увеличить число используемых коорди-
натных функций. Однако при этом возрастает порядок
системы (IV.34). Учитывая, что матрица [К] и вектор
вычисляются с некоторыми, пусть малыми, погрешно-
стями, можно сделать вывод, что при неудачном выборе
системы координатных функций при высоком порядке си-
стемы п погрешность может оказаться весьма значитель-
ной; более того, эта погрешность может бесконечно возра-
стать с порядком системы. Практика вычислений показы-
вает, что такие явления на самом деле могут наблюдаться
[10]. В связи с этим можно говорить об «устойчивости»
или «неустойчивости» процесса Ритца.
Рассмотрим эти понятия более подробно. Прежде все-
го введем понятие минимальной системы.
Определение 1. Множество элементов гильбертова
пространства называется минимальнойв этом прост-
ранстве системой, если вычеркивание любого элемента
этого множества сужает натянутое на него подпростран-
ство.
Пример 1. Любое конечное множество линейно независимых эле-
ментов минимально: вычеркивание любого элемента этого множества
'уменьшает на единицу размерность подпространства, натянутого на это
множество.
Пример 2. Любая (конечная или бесконечная) система элементов
гильбертова пространства, ортогональных и отличных от нулевого, ми-
нимальна. Так, например, система функций sin knx/a (Л=1, 2, J.) мини-
мальна в пространстве LjfO, а],
\ Пример 3. В том же пространстве система х, sin лх/а,_ sin 2лх/а, ...,
неминимальна: если вычеркнуть элемент х, то пространство, натянутое
на остальные элементы, совпадает с самим пространством £г[0, а] и,
следовательно, не претерпело сужения.
Пусть задана система элементов
Ф1. ф...... фп, ... (IV.46)
принадлежащих данному гильбертову пространству и,
матрица Грама (см. [7, гл. 9, п. 1]) первых п элементов'"
этой системы:
"(Фь Ф1) (Фь Ф2) ... (Ф1. Фп) “
(ф2. Ф1) (ф2. Ф2) .. (ф2. Фп)
[₽]= (IV.47)
_(фп. Ф1) (фп, ф2) ... (Фп. Фп)_
И*
163
Можно показать, что из симметрии и неотрицательно-
сти матрицы следует, что ее собственные числа неотрица-
тельны. Запишем их в порядке возрастания:
О < М” < М"’ ... < №. (IV.48)
Определение 2. Система (IV.46) называется силь-
но минимальной в пространстве Н, если
inf limbi’” > 0. (IV.49)
При этом, очевидно, существует такая положительная
постоянная Ь», что при любом п выполняется неравенство
Мв> > Хо. (IV.50)
Пример 4. Ортонормированная система — сильно минимальна, для
нее X *=1 при любых п и k, при этом получаем Хо= 1.
Приведем следующие теоремы.
Теорема IV.I. Всякая сильно минимальная в некото-
ром пространстве система минимальна в том же прост-
ранстве.
Пусть выбрана координатная система фь фг, —, фп и
пусть построена последовательность приближенных по
Ритцу решений:
^=2аГ><рь (IV-51)
*=i
Теорема IV.2. Если координатная система (IV.46)
минимальна в Н, то существуют пределы коэффициентов
Ритца а*=lim aln) (А = 1, 2,...).
Теорема IV.3. Для того чтобы процесс Ритца был
устойчив, необходимо и достаточно, чтобы координатная
система была сильно минимальна в соответствующем про-
странстве.
Применим полученные результаты к задаче IV. 1. Ис-
пользованная в первом варианте решения ортонормиро-
ванная тригонометрическая система сильно минимальна в
L2(S1), что обеспечивает устойчивость процесса Ритца.
Напротив, координатная система х?уч (р, q = l, 2,...)
не является ортонормированной; можно показать, что опа
также не является и сильно минимальной в L2(&)- Приве-
денный в работе [10, с.38] пример убедительно демонстри-
рует неустойчивость решения по Ритцу, полученного с
применением этой системы. При этом возникает парадок-
164
^ильная ситуация — чтобы увеличить точность приближен-
ного решения по Ритцу, необходимо увеличить число п
координатных элементов в приближенном решении. Но
при увеличении п могут резко возрасти погрешности при
решении системы Ритца, а эти погрешности могут умень-
шить или вовсе уничтожить полезный эффект от увеличе-
ния числа координатных элементов.
Контрольные вопросы
1. Что такое минимизирующая последовательность?
2. Как строится минимизирующая последовательность в методе
Ритца?
3. Каким условиям должна удовлетворять координатная система
функций? Что означают условия линейной независимости? полноты?
4. Как формируется матрица жесткости системы (IV.34)?
5. В каком смысле можно говорить об устойчивости или неустой-
чивости процесса Ритца?
6. Какая координатная система является минимальной? сильно ми-
нимальной?
7. Как формулируется необходимое и достаточное условие устойчи-
вости процесса Ритца?
3. Метод Галеркина. Отображения
МЕТОД ГАЛЕРКИНА. Рассмотрим более подробно обоб-
щенный метод Галеркина. Пусть требуется найти решение
уравнения
Ах = у* (у£ D С Н, у* е Н). (IV.52)
Как и в методе Ритца, выберем координатную систему
функций epi, фг,..., фп, удовлетворяющую следующим тре-
бованиям: 1) элементы координатной системы, взятые в
любом конечном количестве, линейно независимы; 2) ко-
ординатная система полна в некоторой метрике, опреде-
ленной на области DA\ 3) при любых значениях постоян-
ных аь а2,..... ап элемент
(IV-53)
1=1
принадлежит DA и выражение Ахп имеет смысл.
Запишем условие ортогональности невязки уравнения
Ахп=у* к первым п координатным функциям:
(Ахя —у*, ф;) = 0(i = 1, 2,..., п). (IV.54)
Это означает, что выражение Ахп — у* «равно нулю> в
подпространстве Я(п) с базисом ф,- (i=l, 2,...,я), т.е. ор-
165
тогонально базисным функциям и любому элементу этого
подпространства.
В результате мы получаем систему из п уравнений
для нахождения коэффициентов at, а2,..., ап. Если опера-
тор А — линеен, то эта система представляет собой систе-
му линейных алгебраических уравнений относительно а/.
Решив полученную систему и подставив коэффициенты
at в (IV.53), получаем элемент хп> который назовем п-м
приближением по Галеркину решения данной задачи.
При выборе координатных функций проще всего удов-
летворить требованию 3, преобразовав условия задачи так,
чтобы Da представляло собой линейное множество (лине-
ал) и потребовав, чтобы элементы <р,- также принадлежа-
ли Da- Это легко сделать, есл,и граничные условия задачи
(IV.52) являются однородными, т. е. искомая функция об-
ращается в нуль на границе области (см. задачу 1V.I).
Для неоднородных граничных условий можно искать
ц-е приближение по Галеркину в следующем виде:
*п = Фо + 2а«’Р«’ <IV-55)
Г=1
где элемент фо удовлетворяет заданным граничным уело-
виям, а (*=1, 2,.... п) удовлетворяют соответствующим
однородным граничным условиям.
Очевидно, при таком выборе при любых сц хп входит
в область распределения оператора А
Рассмотрим следующую задачу.
Задача IV.2. Метод Галер кин а.
Используя метод Галеркина, решить задачу Дирихле для уравне-
ния Пуассона:
+ у) = 0 в области Q, (IV.56)
u|v = 0. (IV. 57)
Область Q—прямоугольник со сторонами а и b (рис. 35).
Решение. Представим приближенное решение в виде отрезка ря-
да, удовлетворяющего условйям 1—3:
“п = <»1Ф1 + а»Ф2+ «пФи = (*]{«!. ’ (IV.58)
где
(а)т = {01 а3 ... ап), (ATJ = [Ф1 Ф> • • • Фп1 • (IV. 59)
Запишем условие ортогональности левой части уравнения (IV.56)
координатным функциям:
(V’w + Л Ф/) = 0 *=1,2, ... , л; (IV.60)
166
едав । «атричной записи
Ис Q \ дх2 ду2 / пользуя формулу Грина, перепишем уравнение (IV.61) в виде лЕ й T,L0_ дх дх ду ду 1 '/
в([ЛПТ-Т-^ = О. (IV.62)
J ол
?
Поскольку nn|7«0 при любых значениях aiy на границе элемен-
ты матрицы [Af]т обращаются в нуль и интеграл по контуру пропа-
дает.
- Из выражения и= [#]{а1 следует, что
ди/дх == {д!дх) [V] {а), duidy = (д/ду) [А/] {а}, (IV. 63)
что позволяет записать (IV.62) в виде (*](«) = ю. (IV.64)
где JJ \ дх дх ду ду / Q (IV.65)
Q (IV. 66)
Используя обозначения задачи IV.1, можно записать:
дх дх 1 ду ду “lBJ (IV. 67)
убеждаемся в том, что метод Галеркина привел к той же системе для
коэффициентов {а}, что и метод Ритца (см. задачу. IV. 1).
Во многих случаях решение задачи с применением ме-
тодов Ритца или Галеркина связано с большими трудно-
стями, вызванными сложной геометрией области Q. Ис-
пользуя отображение этой области на более простую, «ка-
ноническую* область, можно существенно облегчить под-
бор координатных функций, вычисление матрицы жестко-
сти. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача IV.3. Применение конформного отображения.
Решить с применением проекционных методов задачу Дирихле для
Уравнения Пуассона:
V*w + /(x, !/) = 0 в области Q; (IV.68)
u|Y = 0 (IV. 69)
167
для области fl, изображенной на рис. 36. Контур у состоит из отрезков
луча у=х (1--4), луча у=0 (1—2), и двух равнобоких гипербол:
д = У х* — а(2 — 3) и у = Ы2х (3 — 4).
Решение. Непосредственное применение проекционных методов
существенно затрудняется сложной формой области fl.
Отобразим эту область на прямоугольник £:
Рис. 36. Конформное отображение области:
а — исходная область; б — канонический прямоугольник; / — у=>
=х; — VxJ—a; III — у=*Ы%х
Конформное отображение реализуется функцией ?=za, причем
dljdz=2z, ^=х2+-у\ г\^=2ху. _
Обратное отображение г — V. 5 характеризуется зависимостями
= 1^5 , dzld£= 1 /(2^£) (см. «Теоретические основы», гл. 9, табл. 7):
. (IV.7O)
Поскольку при конформном отображении
«.I (iv.71)
ду* \ д%* &\* /\ dz \
(см. задачу II. 3), краевая задача может быть поставлена следующим
(Аразом:
д* и д*и
-I—— + g(£, 1)^0 в области Е; (IV.72)
»6г <тП
«|?' = 0, (IV.73)
(IV. 74)
где
«г^+п2
168
Область £ — прямоугольник со сторонами а и Ь, решение указан-
ий краевой задачи получено ранее (см. задачи IV. 1, VI.2).
Контрольные вопросы
1. Что общего между методами Ритца и Галеркина? В чем раз-
личие между ними?
2. В каком смысле выражение Ахп—у* равно нулю в подпростран-
стве Я<п>?
3. Как строится матрица жесткости в задаче IV.2? Отличается ли
оде от матрицы, построенной с применением метода Ритца?
4. К каким упрощениям в задаче IV.3 приводит применение кон-
формного отображения?
рекомендательный библиографический СПИСОК
Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.
24в с.
Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 2-е изд.,
перераб. и доп. М.: Наука, 1977. 742 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б, В. Методы теории функций комплекс-
ного переменного. 4-е изд., перераб. и доп., М.: Наука, 1973. 736 с.
Лаврик В. И., Савенков В. И. Справочник по конформным отобра-
жениям. Киев: Наукова думка, 1970. 252 с.
Михлин С. Г, Вариационные методы в математической физике. 2-е
изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1970. 512 с.
Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М.:
Наука, 1966. 432 с.
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное ис-
числение. М.: Наука, 1965. 424 с.
Г л а в а V.
АППРОКСИМАЦИИ.
ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ. СПЛАЙНЫ.
На протяжении многих десятков лет проекционные мето-
ды используются для решения краевых задач математи-
ческой физики. Широкое применение они^ нашли, в част-
ности, при математическом моделировании процессов, про-
исходящих в сплошной среде.
При выборе системы координатных функций в течение
длительного времени использовались функции, носитель
.которых совпадал со всей областью, на которой определе-
но решение задачи. Это приводило к тому, что матрица
жесткости системы
Ш{а} = {£|, (V.1)
к которой в результате применения проекционного метода
сводилось решение краевой задачи, была плотной, т. е.
169
почти все ее элементы Кц были ненулевыми. Без примене-
ния ЭВМ систему (V.1) было трудно решать уже при W =
=5, 6, 7. В результате удавалось решать сравнительно
простые задачи, а приближенные решения зачастую были
пе очень точными, так как число N не могло быть выбра-
но большим.
С появлением и быстрым развитием вычислительной
техники произошла определенная переоценка ценности
методов, применяемых в вычислительной математике. Па-
мять ЭВМ и их быстродействие вначале были еще малы,
чтобы эффективно решать системы типа (V.1) при боль-
ших значениях Л/, но уже первые ЭВМ позволили полу-
чать достаточно точные решения задач, построенные с
помощью другого метода — разностного. Чтобы понять
причину этого, запишем в разностной форме следующую
краевую задачу [11J:
---+ и = f (х) на [0, 1]; (V.2)
u(0) = u(l) = 0. (V.3)
Используя результаты, приведенные в гл. 9, п. 4 (см.
«Теоретические основы»), будем иметь:
+ + lli=f (Xj)> f = 1, 2..N; (V.4)
uo = uw = O (V.5)
на сетке
X[ = ih, i = 0, 1..N, h= l/N. (V.6)
Запишем это уравнение в матричной форме:
[В] = (V.7)
На первый взгляд, по сравнению с системой (V.1) за-
дача только усложнилась, поскольку порядок полученной
системы (N-—1), a N может быть значительно больше,
чем в (V.7). Однако более глубокий анализ показывает,
что в (V.7) матрица [В] является трехдиагопальной и для
хранения ее в памяти ЭВМ требуется значительно мень-
ший объем памяти, чем для хранения матрицы системы
(V.1). Это обстоятельство наряду с использованием таких
экономичных и устойчивых методов, как метод прогонки и
метод расщепления многомерных задач (локально-одно-
мерный метод), привело к тому, что разностные методы с
развитием ЭВМ стали находить все более широкую об-
ласть применения.
17С
Вместе с тем сразу же стали выявляться и некоторые
трудности в использовании разностных методов. К ним
относятся, в частности, проблема построения решения для
многомерных задач с криволинейной границей, нарушение
симметрии матрицы системы (V.7) при использовании не-
которых разностных схем и т. д.
Как отмечают Г. И. Марчук и В. И. Агошков [11],
привлекательным становится конструирование таких ал-
горитмов приближенного решения задач, которые, с одной
стороны, по форме были бы проекционными и, таким об-
разом, обладали бы всеми их преимуществами, а с другой
Стороны, чтобы эти алгоритмы приводили к системам
уравнений, подобным возникающим в разностных мето-
дах, т. е. незначительное число элементов матриц этих
систем было бы ненулевым. Такими алгоритмами являют-
ся проекционно-сеточные алгоритмы, в частности алгорит-
мы метода конечных элементов.
Чтобы прийти к этим алгоритмам, достаточно в проек-
ционных методах в качестве координатных функций <р*
использовать функции с конечным носителем (финитные
функции), т. е. такие функции, которые ‘отличны от нуля
-лишь на небольшой части той области, на которой опреде-
лено искомое решение задачи.
Математический аппарат функций с конечным носите-
лем основан на теории сплайнов, бурно развивающейся в
.последние годы.
Термин сплайн произошел от английского^ сло-
ва spline — рейка, стержень, по названию приспособления,
которое применяли чертежники для проведения гладких
кривых через заданные точки. Если взять гибкую сталь-
ную линейку и, поставив ее на ребро, закрепить один ко-
нец в заданной точке (х0, f (х0)), а затем поместить между
опорами, расположенными так, чтобы линейка проходила
через заданные точки, то дифференциальное уравнение
изогнутой оси линейки имеет вид
(EJS"(x)^M(x), (V.8)
где S"(x)—вторая производная прогиба; М(х)—изгиба-
ющий момент; EJ— жесткость. Учитывая, что изгибаю-
щий момент изменяется линейно от одной опоры к другой,
после интегрирования уравнения (V.8) получим, что функ-
ция S(x), описывающая профиль линейки, является куби-
ческим многочленом между двумя соседними точками
опоры и дважды непрерывно дифференцируемой функцией
на всем промежутке интегрирования. Эта функция, кото-
171
S (xo) “ f {ха) и (xn) ~ Г (XN) или
S"^ = S'(xw) = O
принимает форму, при которой потенциальная ...опг
реики минимальна, т. е. выполняется неравенство Р Я
[lS"(x)]«dx< [ [f(x)F<fc, _
а а ( • 9)
переходящее в равенство только для f(x) =S(X\
Рассмотренный пример относится лишь к одной ич
ластей применения сплайнов —при интеополяпии а об‘
ций. В общем случае аппарат сплайнм P„"X
применение при решении следующих основных зада? вп
числительной математики [12]: д 4 вы’
1. Задача приближенного представления Финкшп, и
отрезке задана функция сложной природы (ста!™ о
ния вычисления ее значений). Требуется зям₽1?иИ зре’
функцию в некотором смысле близкой функцией It Л?
ния которой легко вычисляются. ’ значе-
2. Задача приближенного восполнения финкиии ы
отрезке [а, &] задана сетка функции. На
Дп: а ~ хо < xi < *п & (V 10)
и в ее узлах.xt заданы значения yi=fix.\ ,__п
таточно плавной функции f(x) (т> е ЖуНкпим ’’"У п Дос‘
жащей некоторому фиксированному кл/ссу К) ТпН«ДЛе
ся по этим значениям восполнить функцию f(x} Л «ЛЛ
отрезке. , '' ' “ всем
3. Задача исправления или сглаживания Финки ни
В узлах xt определены эмпирические данные У1 хаоакте’
ризующие с известной погрешностью изучаемый процесс'
Требуется представить функцию f(x), описывающую Лот
процесс, гладкой функцией S(x), на определенную cSd
шую производную,которой наложены дополнительные ог-
раничения.
4. Задача приближенного вычисления по финкиии
функционалов и операторов. Например, требуется вычис-
лить интеграл от функции, ее значения в заданной систе-
ме точек или вычислить по функции ее производную.
о. Проблема приближенного решения краевых задач.
Сформулированные задачи возникают и для функций
многих переменных.
Рассмотрим, следуя [12, 13], основные положения тео-
рии сплайнов.
1. Пространство сплайн-функций.
5-сплайны и фундаментальные сплайны
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СПЛАЙНОВ. Пусть задан отрезок [а, 6]
н задано его разбиение Д: a=Xo<Xi<...<xN = b. Для цело-
го k^O через Ск = Ск[а, Ь] обозначим множество k раз не-
прерывно дифференцируемых функций, а через С-1[а, Ь] —
множество кусочно-непрерывных функций с точками раз-
рыва первого рода.
Определение. Функция Sn.-/x) называется сплай-
ном степени п дефекта v (v — целое число, O^v^n-i-1) с
узлами на сетке А, если
а) на каждом отрезке [х„ х,+)] функция Sn.v(x) являет-
ся многочленом степени п, т. е.
Л
Sn,vW = х')“для [*<’l;(V.ll)
а=0
б) S„.v(x)6C'-v[a,bl. (V.12)
Таким образом, сплайн Sn>v(x) имеет непрерывные про-
изводные до порядка п—v. Производные сплайна поряд-
ка выше п — V, вообще говоря, терпят разрывы в точках
Xt, i=l, .... N—1. При этом будем предполагать, что функ-
ция 5^(х), г>п — v, непрерывна справа, т. е.
&?*(*) = S£v(Xi + 0); ’ (V.13)
r = n-v+l,..., n;j' V I
i=l, ... , N— 1. I
МНОЖЕСТВО СПЛАЙНОВ. БАЗИС. Множество
сплайнов, удовлетворяющих данному ранее определению,
обозначим Sn,v(A). Можно показать, что оно представляет
собой линейное пространство.
Примеры:
1. Единичная функция Хевисайда
ft. . (1 при х > О
’W = Up»«<0 (V-I5>
является сплайном нулевой степени дефекта 1 с единственным узлом
В нулевой точке,
173
2. Усеченная степенная функция
X" =*"в(х)=(*ПпРи*>° (V.16)
+ 1.0 при х < О ’
является сплайном степени п дефекта 1.
Имеет место следующая теорема:
Теорема V.I. Функции
Xе, а = 0.....л; (V.17)
а'= л —v+ 1, ,л(1 О<л + 1); (V.18)
i = 1,..., N—\ (V.19)
линейно независимы и образуют базис в линейном прост-
ранстве Sn,v (А) размерности (а 4-1) +v(V+1).
РАЗДЕЛЕННЫЕ РАЗНОСТИ. Рассмотрим функцию f(x), задан-
ную таблично. Пусть х0, хь х2,... ^ значения аргумента, a yQ, yh уг,.-- —
соответствующие значения функции, где разности
Дх< = х/+1-х. ^0(i = 0, 1, 2, (V.20)
вообще говоря, неравны между собой.
Разделенными разностями первого порядка называются отношения
^4-1 “ У;
*<4-11 = ~ ~ " (* = °» h2’ (V‘21)
“ xi
Пример:
У [*0. . у [xit ха]» -^~У1 и т. д. (V.22)
Xj — Хо Х2 — Xi
Аналогично, разделенными разностями второго порядка называются
отношения
Пример:
и...
*4 — х2
(V.24)
Для разделенных разностей n-го порядка справедлива рекуррентная
формула
(n = 1, 2, ... ; i = 0, 1, 2, ...),
174
Задача V.1. Вычисление разделенных разностей.
Составить разделенные разности для функции, заданной следую*
щей таблицей:
X 0 0,2 0,3 0,4 0,7 0,9
У 132,651 148,877 157,464 166,375 195,112 216,000 .
Решение [5]. Вычисляя разделенные разности последователь*
во по формуле (V.25), получим t/[x0, Xi]= (148,877—132,651)/(0,2—0) =
=81,13; t/[xh Хг] = (157,464—148,877)/(0,3—0,2) =85,87; х4, х2]=
= (85,87—81,13)/(0,3—0) = 15,8 и т. д.
Результаты вычислений приведены в следующей таблице:
X У Разделенные разности порядка
1-го | | 2-го 3-го | | 4-го '
0 132,651
0,2 148,877 81,13 15,8 —
0,3 157,464 85,87 16,2 1 0
0,4 166,375 95,79 16,7 1 0
0,7 195,112 104,44 17,3 1
0,9 216,000 — — — —'
Для разделенных разностей (п+1)-го порядка от функции у(х)
по точкам Xi, ...» Xi+n+i справедливо равенство
Н-л+1
У1Х1.....*Н-п+1] = V -Г-Хр~ • (V.26)
^4 “л+м(*р)
где *
«+л+1
®л+1><= П (/ —xj). (V.27)
В-СПЛАИНЫ. В практических приложениях исключи-
тельно' важную роль играют так называемые финитные
функции—гладкие функции, которые определяются на
всей действительной оси, но отличны от нуля лишь на не-
котором конечном интервале (носителе). В связи с этим
они часто называются функциями с конечным носителем.
Можно поставить следующую важную задачу — найти
общее представление сплайнов, обладающих конечными
носителями минимальной длины. С этой целью исследуем
финитные сплайны из пространства 5Л11(Д),
175
Расширим сетку Д, добавив дополнительные точки;
х—п < ••• < х~ 1 < < *#+1 < ••• < xN+n' (V.28)
Это можно сделать, например, следующим образом. До-
пустим, что
= Хй~ »(*1 - *о)’ XN+i = XN + ‘ (XN-XN-l) (i = nY
(V.29)
Возьмем функцию <pn(x, f) — (—1)"+1 (и+1)(х—/)" и
построим для нес разделенные разности (л-|-1)-го поряд-
ка по значениям аргумента х,+я+1. В результате
получаются функции переменной х:
(х) = 4>п [*; хр •• • ’ xi+n+i]♦» =— «.N — 1. (V.30)
Воспользовавшись формулой (V.26), получим
<+я+1
3<(4=(- 1)п+1(п4- 1) V (*—*р)+ ,
^4 ®п+1.«(жр)
i =— п.....N— 1. (V.31)
Используя тождество
(х - 04- = (х - 0" + (- l)n+1 (/ - х)п+, ' (N.32)
получим другую форму записи этой функции:
‘+”+1
B‘n(x) = (п + 1) VV (Хр~х)+ i =_ п,..., N— 1. (V.33)
^4 "л-илЧМ
p=i
Из определения усеченных степенных функций следует,
что функция В‘п(х) является сплайном степени п дефекта
1 на сетке узлов х,,..., х,+л+1 (носителе сплайна).
Приведем следующие леммы.
Л е м м a V.I. Справедливо тождество
(х) = -х~\ В1^ + В'Д(х). (V.34)
п + 4 *(+„-!-*1 х(+п+1-х. '
Лемма V.2. Сплайны В„(х), i=—n, ..> N—1 обладают
следующими свойствами:
|76
a) В'п(х)
r>0 для х€(хрх,+п+1)
= 0 для х0 (х(,ж/+п+1);
б) J Bln(x)dx = 1.
—оо
(V.35)
(V.36)
Лемма V.3. Функции В‘п(х) являются сплайнами сте-
пени п дефекта 1 с конечными носителями минимальной
длины.
Из указанных лемм следует
Теорема V.2. Функции Bln(x), i=—n, .... N—1 линей-
но независимы и образуют базис в пространстве сплайнов
S„,i(b).
Полученные результаты позволяют дать следующее
Определение. Функции В‘п(х), 1=—п, ..., N—1 на-
зываются базисными сплайнами с конечными носителями
минимальной длины (В-сплайнами).
Согласно теореме V.2, всякий сплайн S(x)eSn>i(A) мо-
жет быть единственным образом представлен через В-
сплайны, т. е. записан в виде
JV-1
S(x)= 2 *Л(х), (V.37)
i=—n
где Ь, — некоторые постоянные коэффициенты. Кроме то-
го, всякий сплайн S(x)^0, принадлежащий Sn,t(A), с ко-
нечным носителем минимальной длины, с точностью до по-
стоянного множителя совпадает с В-сплайном.
НОРМАЛИЗОВАННЫЕ В-СПЛАИНЫ. Пусть
&п(х) = Xt+n+it - &(х). (V.38)
п -Ь 1
Определение. Функции {V.38) называются норма-
лизованными В-сплайнами.
Для нормализованных В-сплайнов из (V.34) вытекает
тождество
# (*)+/<+я-7— (*)• <v-39)
xl+n ~ xi xi+n+l ~~ х«+1
Эта формула позволяет строить последовательность
В-сплайнов.
|2 Г. Я. Гун
177
Задача V.2. Построение В-сплайнов.
Построить последовательность нормализованных В-сплайнов для
случая равноудаленных узлов ht=h,
Решение. Ограничимся первыми четырьмя членами последо-
вательности. Носителем сплайна В* является отрезок [xf> xl+n+1],
причем точка х п_^1 — середина этого отрезка.
Обозначим
тогда будем иметь:
1 для X € [хр х<+1]
О для Х0 [х;, x/+1J;
В\ (а) = (I +оп)В^ + (1 - ап)^+1;
*2(О) я ("2" + + (I" ' °'2) В«+1 +
вз (°)=4- (2+°is)3 д$+(4 - - -у-) в°+1+
VI у о /
+ (т - +4 )eS+2 + Т<2 -
(V.40)
(V.41)
(V.42)
(V.43)
(V.44)
и т. д.
На рис. 37 изображены построенные В-сплайны.
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ СПЛАЙ-
НЫ. Подобно тому, как интерполяционный многочлен Лаг-
ранжа явным образом выражается через фундаменталь-
ные многочлены, интерполяционный сплайн можно выра-
зить через так называемые фундаментальные сплайны.
Рассмотрим две сетки узлов. Одна из них — ранее ис-
пользовавшаяся сетка A: a=x0<xi<...<xN=b, другая —
6:—oo<5i<...<b<-.<U-n<+«>.
Определение 1. Интерполяционным сплайном на-
зывается сплайн S (х) eSnj (б), удовлетворяющий интерпо-
ляционным условиям:
S (*<) = fi Для xt 6 Д, (V.45)
где fi, i=0, .... N — заданные действительные числа.
178
Первый вопрос, который сразу возникает — существует
ли вообще интерполяционный сплайн? Ответ на этот воп-
рос дает следующая теорема.
Теорема V.2. Для того чтобы существовал единствен-
ный интерполяционный сплайн S(x)eSn>1(6), удовлетворя-
ющий условиям (V.45), необходимо и достаточно, чтобы
xi-i < 5/ < *<+n. i — 1»
N—n.
(V.46)
Определение 2. Сплайны Fln (x)eS„,i(6)r где t=0,...,
N, удовлетворяющие условиям интерполяции вида
F^(xp)=6,0 для хреД при i=0,...,N, называются фунда-
ментальными сплайнами.
Здесь 6,р — символ Кронекера:
ПРИ '=Р
ip [О при i =£ р.
(V.47)
Таким образом, фундаментальный сплайн F{n(x) обра-
щается в нуль во всех узлах сетки Д, за исключением i-ro
узла, в котором он равен единице (рис. 38).
Справедлива следующая теорема.
Теорема V.3. Фундаментальные сплайны F(n(x), i=
e0,..., N образуют базис в пространстве Sn,i(6).
13* 179
Это означает, что интерполяционный сплайн
5(х)е5я,1(б), такой, что S(Xi)=fi для Х;еД, имеет вид
N
SW-2f,l№. (V.48)
i~0
причем этот сплайн —
• единственный.
Формула (V.48) очень
удобна тем, что коэффи-
циентами разложения
(V.48) являются непо-
средственно значения ин-
терполируемой функции
в узлах сетки Д.
Контрольные вопросы
1. Что такое сплайн? Какие задачи вычислительной математики
можно решать с применением сплайнов?
2. Дайте определение сплайна степени п дефекта v с узлами на
сетке Д. Являются лн производные этого сплайна непрерывными функ-
циями?
3. Что такое линейное пространство и его базис?
4. В каком смысле пространство сплайнов является линейным
пространством? Какие базисы этого пространства Вы знаете?
5. Что такое разделенные разности? Каким образом они связаны
с В-сплайнами?
6. Какими свойствами обладают В-сплайны?
7. Какие сплайны называются фундаментальными? Какие значения
принимают фундаментальные сплайны в узлах сетки?
2. Кубические сплайны
ЭРМИТОВЫ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ. Пусть в узлах
сетки Д: a=Xo<Xi<...<xN=b заданы значения некоторой
функции f (х) и ее производной f'(x):
fi = f (*.)- fi = Г (*<)’ ‘ = 0.N- (V.49)
Определение. Кубическим интерполяционным сплай-
ном дефекта 2 (эрмитовым кубическим сплайном) называ-
ется функция S3,2(f; x)=S3i2(x), удовлетворяющая усло-
виям:
1) на каждом из промежутков [х,, x,+i]
*^3.2 W ~ ai0 »” аи Xi) “Ь а12 (•* -^i)2 “Ь а1з (* -*/)3» (V-5®)
2) s3.2 («4 = fi’ s;,2 W = fi’ « = 0, ..., N. (V.51)
190
Эрмитов кубический сплайн имеет непрерывную первую
производную; его вторая производная, вообще говоря, раз-
рывна в узлах сетки Д.
Задача V.3. Построение эрмитова кубического сплайна.
Построить эрмитов кубический сплайн на сетке А.
Решение. 1. Будем опускать индекс, обозначающий дефект
сплайна, т. е. писать Ss,2(x) =S3(x), S3 2 (х)=$з (х).
Из условий интерполяции для вычисления коэффициентов а{а9
0*0, 1, 2, 3 при каждом i имеем систему уравнений
S,(xi) = (хН-0 fi+l' s3 (xi) = fi> 5з (хж) = fi+i- (V-52)
Решая эту систему, получаем на [Xf, Xi+t]
S3(X) = Фх (0 Ц + ф2 (0./ж + ф3 (0 h. f\ + ф4 (0 ht /;+1, (V.53)
Гйе
*Ю«(1-0*(1+20, Фа(0 = <8(3-20, Фз(0 = /(1-0*.] V54)
ф4(0=-*г(1—0. ^ = ж<+1-жг, / = (х —ж,)/Л{. /
2. Другое решение, более удобное с точки зрения объема вычисле-
мй, имеет вид
S, (ж) = ft + (ж - ж.) [ 1 (В + м>]; (V.55)
где
л»-2(/ж-^ + (/;+/ж): (у56)
^=-л+(/ж-бА-/;.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ СПЛАЙН. Пусть на отрез-
ке [а, Ь] в узлах сетки Д: a=xo<*i<...<xN=b заданы зна-
чения некоторой функции ft=f(Xi), 1=0,
Определение. Интерполяционным кубическим
сплайном S(f; х) называется сплайн степени 3 дефекта 1,
удовлетворяющий условиям:
S(f; = М i = O,l, ... , N. (V.57)
Интерполяционные сплайны наряду с (V.57) удовлетво-
ряют некоторым краевым условиям.
К наиболее часто встречающимся относятся:
I)S'(f; a) = r (a), S'(f- b)=f(b)- (V.58)
П) S"(/; a) = f(a),S"tf-, (V.59)
Й) S'r> (f; a) = S<n (f; ft), r = 1, 2; (V.60)
xp + 0) = Sin(f; xp-0), p = 1, N— 1 . (V.61)
181
Таким образом, граничные условия типа I задают зна-
чения первых производных на концах отрезка, типа II —
вторых производных.
Граничные условия типа III называются периодически-
ми; они позволяют гладко «сшивать» сплайны для периоди-
ческих функций. Наконец, граничные условия типа IV обес-
печивают непрерывность третьих производных кубического
сплайна в узлах Xi и
Методику построения кубического интерполяционного
сплайна рассмотрим на примере следующей задачи.
Задача V.4. Построение кубического интерполяционного сплайна.
Построить интерполяционный кубический сплайн, удовлетворяющий
граничным условиям I—IV.
Решение [13]. Обозначим
xi) = mi, / = 0, ... , N. (V.62)
Сплайн S(f; х) можно рассматривать как эрмитов кубический
сплайн, удовлетворяющий условиям (V.50), (V.51). В соответствии с
формулами (V.53), (V.54) (см. задачу V.3) для хе[х<, х<+1] получаем
s (/; х) = fl (1 - 0* (1 + 21)+/<+1 Р (З — 20-Ь
+ (V.63
где, как и в задаче V.3, Л<=х<+<—х<, t=(x—xi)/hi. При этом обеспе-
чивается непрерывность как самого сплайна, так и его первой произ-
водной на [а, 6].
Выберем величины Шг так, чтобы была непрерывна и вторая про-
изводная. Поскольку
S' (/; *) = ( - I2t)lh2t+ mt (- 4 + &)lht+ mf+l (- 2 + 6t)!h
(V.64)
и
rv. + (V.65)
S-V; ,,_0)„6A^ + 2-^+“L. (V.66)
то условие непрерывности второй производной S"(f, х»+0) xi—0)
в точках Xi, i=l, 2, ..., JV—1 принимает вид
Л, т^_х + 2m, + Jij л«<+1 = 3 ~ \ j • (v • 67)
Здесь Xi = l—р<.
2. Рассмотрим уравнения, вытекающие из граничных условий:
а) граничные условия типов I и*П. Уравнения имеют следующую
форму:
2«о + Но mi = со> (V-6S>
182
lx»/-! + 2mi + ml+1 = c(, i = 1, ... , N — 1; 1 + ^mN = CN> (V.69) (V.70)
причем f lAi fi+l~fi [ ?. *-8(* ft< u, A(_t J. (V.71)
Для условий типа I
pJ=^ = O, Cg = 2f0t c*N = 2fN. (V.72)
Для условий типа II
«Iм 1 e L 00 11 *«? II •«£ Л (V.73)
.. _o fn~fN—l ,hN—l f" . 3 h + In* nN—l 2 (V.74)
б) граничные условия типа III. Продолжая периодическим образом-сетку Д и полагая
/о = /л;> /лн-1 = /1» mo = myv» mi = wAH-i» = (V.75)
запишем условие (V.67) в точках xn следующим образом: 2«i + Н1^2 + ^л/ = СК (V.76)
+ 2/n^ + = cit '= 2,..., N — 1; (Vr77)
mN—i + 2m^ = cN . (V.78)
в) граничные условия типа IV. Из формулы (V.64) следует, что
s"(/: х)=ftf (т'+>+mi-2 ‘ (V.7&
Поэтому условия непрерывности функции S"'(f; х) в точках Хр,
р=1, N—1 запишутся следующим образом:
£ ("»+»₽-. -8^)<v.eo>
откуда для краевых условий типа IV имеем
*о + 0(V.81)
\ ло ni /
~ + (1 -+ »«- 2 (----
-Ti/-*-?—*4 (V.S2)
%-2 /
‘ е
где уо=Ло/Л1,
183
исключив неизвестные m0 и mN из уравнений (V.67) и (V.82), по-
лучаем систему:
(H’Y.)m1 + vom2 = q; (V.83)
+2т, + р.тж =сг 1 = 2.........JV —2; (V.84)
VWmW_2 + (‘ +Vw)mjv-1 = 4-1 . (V.85)
где
• 1 . _ ft — fl • 1 . (n—1~Jn~2
cl" з С1 + Ч "J— • CN~1=~^ 'N-i + ^tN hN_2 (V.86)
3. Таким образом, построение интерполяционного кубического
сплайна сводится к вычислению величин причем для граничных
условий типов I и II их можно найти из уравнений (V.68) — (V.70),
для условий типа IV — из уравнений (V.81), (V.82), (V.83) — (V.86),
а в периодическом случае — из уравнений (V.83) — (V.85) в предпо-
ложении то=mN.
Решения систем уравнений относительно т: находятся методом
прогонки (см. задачу V.5). При этом для вычисления коэффициентов
системы требуется выполнить 10# арифметических операций и для реа-
лизации алгоритма прогонки еще 8# или 14# операций соответствен-
но в непериодическом и периодическом случаях. После определения
mi вычисление сплайна производится, как указано в задаче V.3.
4. Рассмотрим другое представление кубического сплайна, в кото-
ром вместо величин mt используют М<«$"(х<); 1=0, ..., #. Поскольку
на каждом промежутке [х», x<+i] S(x) есть кубический многочлен и
учитывая, что
sft) = ff. S (ХЖ) = f(+l, S"(X#) = Mt, S'(x<+1) = Mt.+1, (V.87)
легко получить для S (х) следующую формулу:
h2
sU) = ft (l -о + fi+1 t)[(2 -0 Mt + (1 + 0 Afl+1],
(V.88)
*€[*,. ж<+1], *-0.1....N—i.
Отсюда
fl+i~f( ki
S'(x) = - — L - f[(2-6/ + ЗЛ) + (1 - Afw]; (V.89)
S"(x) = (1 - 0 + 4+1* (V.90)
Sw(x) = (Afw-Mf)/A., (V.91)
Из уравнения (V.88) следует, что функция S(x) непрерывна в точ-
ках х,-, i=l, ...» #—1, а из (V.90) следует, что непрерывна и ее вторая
производная.
Далее, согласно выражению (V.89):
/ i-Ll / г h;
8*^ + °) = + (V.92)
184
fi fi—l ^1—1
S'(*t - °) = —h---------+ — <Mi-> + 2Mil
I—1
(V.93)
Для непрерывности первой производной сплайна необходимо вы*
полнение условий
РА-*+ 2М*+ Xi + M'+‘= (/2±лГ^ “
Bjfr i= 1,..., JV-1. ' (V.94)
Эти уравнения вместе с краевыми условиями одного из типов I—IV
образуют систему относительно неизвестных М,. Для условий I и III
п&ов система имеет вид
= (V-95)
рЛ-i+2Mi+xA+i=dr 1 =1 - • •• • N ~1: (v.96)
^_1+2mJ = 4. (V.97)
где
.6 //•+
* i \ fy—i /
В случае граничных условий типа I
«* • •. j» 6 — ,Л
ЛД -foj,
a 6 /г fN~fN-i \
л h -
ЯЛГ-1 \ лДГ-1 /
Для условий типа II
Aq = MN = 0; d$ = 2fQ; d^ = 2f^.
(V.98)
(V.99)
(V.100)
(V.101)
После вычисления всех Mit Z=0, N значение кубического сплай-
на в любой точке хе [а, 6] может быть найдено по формуле (V.88).
Мы установили, что построение интерполяционного ку-
•йческого сплайна связано с решением системы линейных
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.
В связи с этим рассмотрим следующую задачу.
Задача V.5. Метод прогонки для системы с диагональным преобла-
данием.
Найти решение системы
M]{^ = {d), . (V. 102)
где матрица [Л] имеет форму (1.69), т. е. при С|=6д =0 является трех-
-Диагональной, с диагональным преобладанием. ч
Решение Г13]. 1. Пусть вначале С1 = дЛ=0. Будем искать реше-
Дие в виде
1р^+1 + иг i=l.........ЛГ-1. (V.103)
185
Используя выражение для yt-i из (V.103), исключим это неизвест-
ное из i-того уравнения системы. Получаем
(af++ Мм-1 = <*< “ (V. 104)
Сравнивая это соотношение с (V.103), выводим рекуррентные фор-
мулы для прогоночных коэффициентов Di, и, (прямая прогонка):
о# = «о = 0; (V.105)
Ь1
(V. 106)
N.
/ -г 1 а{ +
Очевидно, yN=uN. Все остальные неизвестные находятся по фор-
мулам (V.103) (обратная прогонка). Для реализации алгоритма требу-
ется выполнить 8N арифметических операций: 3N сложений, 3jV умно-
жений, 2ЛГ делений.
2. Пусть теперь Ci и отличны от нуля. Будем искать у, в виде
= + * = 1....АГ—1. (V. 107)
Подставив выражение для tji—i из (V.107) в х-тое уравнение систе-
мы, получаем
(а, + yt + Мж + ctwtyN = dN~ . (V. 108)
Отсюда получаем формулы (V.106) для определения коэффициентов
Vi, щ, f=l, ... У—1. Величины ин определяют, используя соотношения
с^.<=1
»o = 1 • =
Af—1.
(V.109)
Выразив у< через у я:
i=l.................W-l (V.110)
и подставляя выражение для y<+i в (V.107), получаем
«'i = (vis Ж + “i) Уы + + “0 • (V‘111 >
Сравнивая это соотношение с (V.110), находим рекуррентные фор-
мулы для величин
sN=l, /N = 0, (V. 112)
«<“0<8ж + ®г ‘=JV—1,..., 1. (V.1I3)
Подставляя yi и уя-i из (V.110) в последнее уравнение системы
(V.102), находим
- dN — bNt — cNtN_x
Ум =--------------------♦
aN + bN si + CN SN-1
затем решение проводят по формулам (V.110). Всего необходимо вы-
полнить 14N арифметических операций: 5N сложений, 6У умножений и
3jV делений. ”
В работе [13] описаны методы прогонки для случая Ci = 6.v = 0 для
систем без диагонального преобладания. Требуется лишь, чтобы матри-
ца [Д] системы (V.102) была невырожденной.
186
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЭРМИТОВЫМИ СПЛАЙНАМИ. Для
построения эрмитова кубического сплайна необходимо за-
дать в узлах сетки А значения интерполируемой функции
и ее производных ft. Однако в практических задачах час-
то известны лишь узловые значения ft. Наиболее простым
выходом из этой ситуации является использование вместо
точных значений производной некоторых величин f'it ап-
проксимирующих fp
X. Акима предложил следующую простую аппроксима-
цию. Выбираются подряд пять узлов сетки А и соответст-
вующие им точки 1, 2, 3, 4, 5 на плоскости хОу. Производ-
ная в точке 3 аппроксимируется следующим выражением:
т, = (|m4 — т3| /П2 4-1 /Лг — mJ тз)/(|т4 — Шз| + К — mJ),
(V.114)
где ть m2t тз и т4 — угловые коэффициенты соответст-
венно отрезков 12, 23, 34 и 45, определенные методом конеч-
ных разностей.
Из анализа формулы (V.114) следует, что при /Н1=/п2,
гт=т2, при m3=m4i tni=fn3. При одновременном выпол-
нении равенств zni=m2, /п3=т4, принимается, что /их=
в1/2(/и2+/и3). Вблизи граничных узлов а и b вводятся до-
полнительные узлы, обеспечивающие применимость ука-
занной интерполяции.
Задача V.6. Интерполяция эрмитовым кубическим сплайном.
Значения однозначной функции y=f(x) заданы следующей таб-
лицей:
X 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00
У 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 10,00 80,00 100,00 150,00
Построить интерполирующий эрмитов сплайн по методике X. Акима.
Сопоставить результаты с интерполяцией: а) полиномом девятой сте-
пени; б) рядом Фурье по косинусам кратных дуг; в) кубическим
сплайном.
Рассмотреть интерполяцию на неравномерной сетке.
Решение. На рис. 39 построены результаты сопоставления раз-
личных методов интерполяции. Очевидны недостатки, присущие класси-
ческим методам (таким, как полиномиальный, метод разложения в ряд
Фурье) — осцилляция интерполирующей функции, большие погрешности
прн вычислении производных (см. рис. 38, а, б).
Следует отметить, что и кубические сплайны в определенных усло-
виях (резкое изменение первой производной) склонны к осцилляции (см.
рис. 38,в). Наилучшие результаты, как правило, дает эрмитов интер-
полирующий сплайн (см. рис. 38,г).
187
СГЛАЖИВАЮЩИЙ СПЛАЙН". Пусть на отрезке [а, 6] в
узлах сетки A: a^x0<Xi< — <xN^.b заданы приближен-
ные (например, каким-либо образом измеренные) значения
некоторой функции f<=f(x,), i=0,..., N.
Обозначим W? класс функций f(x) с абсолютно непре-
рывной (т— 1)-й производной на [a, fe) и т-й производной
из L2 (а, Ь).
Рис. 39. Интерполяция эрмитовым кубическим
сплайном:
а — интерполяция полиномом; б — интерполяция
рядом Фурье (разложение по косинусам); в —
интерполяция кубическим сплайном; г —интерпо-
ляция эрмитовым сплайном
Поставим следующую задачу: найти функцию f*(x) 6
на которой достигается
< п Ь р/2
min(2 ptlyi-f (xz)l2 + р J (/‘"Wdtj , (V.115)
где p(p^O)—вспомогательный параметр и р, (р,>0) —
заданные числа.
Таким образом, мы хотим вблизи измеренных значений
yi провести-график аппроксимирующей функции так, чтобы
она имела возможно меньшую производную в L2(a, b). Ре-
шение этой задачи обеспечивает близость этой функции к
измеренным значениям и отсутствие резких изменений фун-
кции между измеренными значениями. Величины р, игра-
ют роль весовых коэффициентов: если некоторым измере-
ниям отдается предпочтение, то в соответствующих точках
выбираются большие значения р,.
188
Положив п^т, введем в пространстве скалярное
произведение
п b
(f, £) = 2 Pif (xi) g (xi) + .(g<m)(0 dt (V. 116)
1=0 a
и присоединим к нему все предельные точки.
В результате пространство становится гильберто-
вым, причем можно показать, что в этом пространстве по-
ставленная задача имеет единственное решение.
Пусть Ssm-i.A —совокупность сплайнов Sjm-Jx), удов-
летворяющих условиям:
1) &m-i(x) = С2"1-'2 [а, Ы; (V. 117)
2) &»_1(Х)6Р-2т-Ъ хж) (V. 118)
(1 = 0,1,..., п— 1);
3) S^_i(x) = 0, xeia, х0], х£[х4, Ь] (V.H9)
(/ = т, т + 1,..., 2т — 2).
Здесь Ргт-i — множество полиномов степени не выше
2m — 1.
. Тогда решение задачи определяется следующей теоре-
мой:
Теорема V.4. В поставленной задаче решение дости-
гаетсц для единственной функции f(x)=S2m-i(x), которая
является сплайном из класса S2m-i,a •
Рассмотрим методику построения сглаживающего сплай-
на. С этой целью решим следующую задачу.
Задача V.7. Построение сглаживающего сплайна.
Построить сглаживающий сплайн для случая т—2 и краевых ус-
ловий:
S'(a) = S"(b) = 0. (V. 120)
Решение [13], Обозначим р/р;=р<>0. Тогда условию (V.115)
соответствует минимум функционала
ь N
'(f) = f Г (x)l2 dx 4- 2 Р~’ (fi - г?)2. (V. 121)
а <=0
где
h~f(xt), г1~Уг- (V. 122)
Очевидно, чем меньше коэффициенты pt, тем ближе проходит
функция, минимизирующая функционал /(/), к заданным значениям г
Пусть S(x) — кубический сплайн, минимизирующий J(f). Возьмем
сплайн S(x) =S(x)+а/ч(х), где Г^(х), — фундаментальный
кубический сплайн, удовлетворяющий условиям
189
Fh (xi)=6W>1=0......=°’ < V/123)
где 6<fc — символ Кронекера.
Из формулы (V.121) следует, что
ь N
j (S) = f Is"(*) + a + 2 p7'(S4 - г®)2 +
а /=0
+ 2арГ1(5Л-г2)+а2рГ1- (V. 124)
Тогда
J (3) — J (S) = a®aft + 2ath, (V. 125)
где
ь
a*= fKtol^ + pr1: (V.126)
а
b
Ьк = f № S"W dx + рЛ?а - (V. 127)
а
Здесь а*>0. Предположим, что 6л=#0. Выберем а так, чтобы |а|<
<2|6fc|a£‘l, sign а—— sign bk. Тогда /(S)—/(S) <0, т. e. /(S)</(f).
Но это противоречит предположению, что сплайн $(х) минимизирует
функционал /(f). Следовательно, 6*=0. Так как k — любой индекс от
О до W, то соотношения
bft = 0, £ = 0,..., N (V.128)
представляют собой необходимые условия минимума.
Обозначим
ъ ~ JV-1
Dk = J = FkMSm(x9 +) + 2 Ft (*i) X
a '
x [3"(х, +) - +)] - Fk(xN) Sm(xN^ +), (V. 129)
где f(x* + ) означает предельное значение f при стремлении х к xi
справа.
Из свойств функции Fh(x) отсюда следует, что
Dh =
'S"(xe+),
Sw(xh+)-S“(xh-).
Л = 0
k= 1...^-l
k = N.
(V. 130)
Необходимые условия минимума (V.128) запишутся в виде
Sl + ptDl = z°i, i = 0...N. (V.131)
Можно показать, что эти соотношения вместе -с краевыми условия-
ми (V.120) являются также достаточными условиями минимума. Си-
стема уравнений, которую необходимо решать при построении сглажи-
вающего сплайна, имеет пятидиагональную структуру'.
00^, + ^ + ^, = ^; (V.132)
190
+ aiMi + + сгМ3 = gt; ^'-1 + aiMt + + CiMi+2 = Si, (V. 133)
l=>2 N — 2; (V. 134)
Cff—3 MN~3 + bN-2 MN-2 + aN-l ^N-l + bN-l MN = Sn~1 (V.135)
^N—2 + bN—\ MN—\ + aN = Sn . (V.136)
Здесь Afi=S"(Xi). Коэффициенты этой системы определяются формулами
1 1 / 1 , 1 ч
Vs Т <А'-> + М + Р'~1+ ( А/-1 + А J Р<+ ftf рж
(V.137)
при »= 1,2,..., -*« = ТЛ‘~'Г О til при i = 1, ... , N— 1; 7 I 1 \ / 1 1 \ I | (V. 138)
1 + *4 *4 •«Г h h 1 6Г 1
1
Мж р<+1’ • о о о о
4+1 — 4 tl—~ 7 hi zl — 4^1 ~L~ ' ,1=1 N-l. hl-t (V. 140)
Если сглаживающий сплайн удовлетворяет условиям S,,(a) =
=S"(6) =0, то
gt = aN= 1 > b0 = c0 = cN_2 = bN~i =g0 = gN= 0. (V. 141)
Если S(x) удовлетворяет условиям S'(a)=ZQ, S'{b)~z'Nt to
ftp , J_, , v г1 -*o л0 (V.142)
3 л 9 \H0 । Г1/ > SO — *0
h 1/1 1 \ 1 1 (V.143)
Do — 6 Л» Uo hi /P1 9 p0; co— .. Pi; hj Mi
1 / ZN — 2N— 1
/V 1ЛЛ\
eN = 3 I- 2 (PjV-1-ГРл/) » Sn~2n h hN—l ^V. I'M)
1 1/1 , 1 \ 1
” 6 + — nN~i \hN^i hN_ PN-1— 2 PN’ -2 / nN-l (V.145)
w~2 = — P^-*-------. (V. 146)
AW—1 ft7V-2
После вычисления Mf из системы (V.132) — (V.136) величины z<
определяются соотношениями (V.131).
191
Итак, построение сглаживающего сплайна связано с ре-
шением системы линейных алгебраических уравнений с
пятидиагональной матрицей. В связи с этим рассмотрим
следующую задачу:
Задача V.8. Решение системы с пятидиагональной матрицей.
Решить систему
MJ{y| = U}. (V.147)
где матрица [4] имеет вид:
“ “о *• co bl 0 .. V- . 0 . 0 cN—l 0 bN CN
MJ- со bi a» b2 .. . 0 0 0 (V. 148)
• • • • • • • • • • • • •
сЛГ—1 0 0 0 .. • bfi—2 aN-l bN-\
CN 0 0 .. • CN-2 bN—l aN _
Решение [13]. Матрица [4] представима в виде
Ml = M[W1T . (V. 149)
где [С/]—нижняя треугольная матрица; [U7] —диагональная матрица
с диагональными элементами, отличными от нуля.
Рассмотрим случай, когда Ья = Сн=сх-1=0. Более общий случай
рассматривается в работе [13]. Будем искать матрицы [I/] и [IV7]
в виде:
si = — u^i q-f, (V, 151)
= <4 — — «i-i Sj-i; (V. 152)
Ui = Silwit Vi — Cilwif i—0, 1, ... , N, (V. 153)
где
= c___2 ~ 0—i = 0_2= u_i ~ 1 ~ Cft_i = 0. (V. 154)
Обозначая
[№][l/]T Ш = И» (V.155)
запишем систему (V.147) в виде
|(/lW=teb (V.156)
Отсюда находим неизвестное
= Si — гх-2 — “<-i zf-i • » = °» ••• » N- (V. 157)
192
Здесь формально введены неизвестные z_i, Z-г. Теперь из (V.155)
вычисляем (формально введены ijnli, г/л+г)
— и. г/;+1 — v. yi+2, i — N, ... , о. (V.158)
Общее количество арифметических операций, необходимых для
решения исходной системы, равно 17N, из них 7N сложений, 7N умно-
жений, 3tf делений.
Задача V.9. Сглаживание приближенных данных.
Применив интерполяционный и сглаживающий сплайны, восста-
новить функцию f(x) и ее первую производную с точностью до пяти
значащих цифр по табличным значениям функции z^. В качестве таб-
личных значений принять значения функции схр(х), округленные до
0,05 на сетке с -шагом 0,05, на отрезке [0,1] с краевыми условиями
S'(0) = l, S'(l)=e.
Решение [13]. Воспользуемся решением задачи V.8, организо-
вав итерационный процесс для вычисления по формулам
<д+1) , если | D?' | > х (V. 159)
Р< “|о, если | D<*> | < х (V.160)
и приняв 6i=d=0,05, 0=0,9, и=0,0001.
При этом сглаживающий сплайн по окончании итерационного про-
цесса будет удовлетворять условиям е, |г4-—zi | где zt — точные
значения.
‘Т а б л и ц а 2. Сглаживание приближенных значений 113]
X Прибли- женные значения 2* Производная интерполя- ционного сплайна S'(z°, х) Значения г, восстанов- ленные сгла- живающим сплайном Производная сглаживаю- щего сплай- на S!(z. х) Восстанав- ливаемая функция ехр (х) и ее производная
0 1,0 1 ,000 1,0078 1,0000 1,0000
0,05 1,1 1,000 1,0584 1,0257 1,0513
. 0,10 1,1 0,998 1,1104 1,0571 1,1052
0,15 1,2 1,007 1,1643 1,0994 1,1618
0,20 1,2 0,975 1,2206 1,1529 1,2214
. 0,25 1,3 1,092 1,2798 1,2175 1,2840
0,30 1,3 0,658 1,3426 1,2977 1,3499
0,35 1,4 2,275 1,4097 1,3858 1,4191
0,40 1,5 2,242 1,4810 1,4666 1,4918
0,45 1,6 0,758 1,5563 1,5449 1,5683
0,50 1,6 0,725 1,6353 1,6113 1,6487
0,55 1,7 2,342 1,7178 1,7012 1,7332
0,60 1,8 1,907 1,8055 1,7922 1,8221
0,65 1,9 2,031 1,8972 1,8906 1,9155
0,70 2,0 1,969 1,9952 2,0276 2,0137
0,75 2,1 2,092 2,1000 2,1692 2,1170
0,80 2,2 1,663 2,2121 2,3143 2,2255
0,85 2,3 3,256 2,3311 2,4391 2,3396
0,90 2,5 3,313 2,4557 2,5397 2,4596
0,95 ‘ 2,6 1,492 2,5849 2,6294 2,5857
1,00 2,7 2,718 2,7186 2,7183 2,7183
13 Г. Я- Гун
193
Результаты вычислений приведены в табл. 2. Здесь S'(z0, х) и
S'(z» х)—производные соответственно интерполяционного и сглажи-
вающего сплайнов. Легко видеть, что сглаживающий сплайн дает зна-
чительно более точные результаты (последняя колонка даст как зна-
чения восстанавливаемой функции, так и значения ее производной, по-
скольку |ехр(х)]'=ехр(х).
РАЦИОНАЛЬНЫЕ СПЛАЙНЫ. Рациональные сплай-
ны относятся к обобщенным кубическим сплайнам, в фор-
мулах которых присутствует большое число свободных па-
раметров. При определенных значениях последних обоб-
щенный сплайн переходит в обычный кубический. Для
каждого из обобщенных сплайнов существуют задачи, где
их применение приводит к лучшим результатам по сравне-
нию с кубическими сплайнами.
Пусть на отрезке [а, 6] задана сетка A: a=x0<xi<...
... <xN—b.
Определение. Рациональным сплайном называется
функция SR (х) , которая:
1) на каждом промежутке [х,-, x(+i] имеет вид:
s,,w-v+M-n + -n^^ + 5^. (V.161)
где t=(x — Xi) /hi, hi =x,+1 — x,-, pi, qi — заданные числа,
—l<p,, qi<oo,
2) SB(x)eC»[o, 6].
Легко видеть, что рациональный сплайн отличается от
кубического лишь более сложным аналитическим выраже-
нием. При pi=qi=O, t=0,..., AZ—1 рациональный сплайн
превращается в кубический.
Сплайн первой степени также является частным случа-
ем рационального сплайна, при этом pk, qa-t-co, q^O, i^k.
Таким образом, рациональные сплайны сочетают в себе
свойства Как линейных, так и кубических сплайнов. Так,
кубические сплайны обеспечивают высокую точность пред-
ставления гладких функций, но не всегда удовлетворяют
требованиям качественного характера (таким, как выпук-
лость, отсутствие осцилляций и т. д.). Этих недостатков ли-
шены сплайны первой степени, однако они часто не обе-
спечивают высокой точности вычислений, не являются глад-
кими функциями.
Используя рациональные сплайны, при удачном выборе
свободных параметров pi, qi, как правило, удается одновре-
менно удовлетворить требованиям и количественного, и ка-
чественного характера, в том числе й при интерполяции
функций с большими градиентами.
194
Задача V.10. Интерполяция рациональным сплайном.
Применив рациональный сплайн, выполнить интерполяцию функции
ехр(100х)-ехр(- ЮОх)
fW ~ 1 - ехр(100)-exp(-100) ’ 1°’ ”
на сетке с узлами Xi~i/\0, i=-0, 10.
Решение [13]. Воспользуемся двумя интерполяционными
еялайнами: кубическим 5з(х) и рациональным, 5д(х), удовлетворяю-
щим траничным условиям типа I: 53(0)=0, S3(l)=—100; 5^(0) =0,
$'(!) =—100. При построении рационального сплайна примем pi-q^
Контрольные вопросы
- 1. Какой сплайн называется эрмитовым? Каков дефект эрмитова
кубического сплайна?
2. Каким условиям удовлетворяет интерполяционный кубический
сплайн?
3. Какие методы построения кубического интерполяционного
сплайна Вы знаете?
4. В чем преимущества интерполяционных кубических сплайнов?
В чем их недостатки? Как избежать осцилляции сплайна при резком
изменении аппроксимируемой функции?
5. Что такое сглаживающий сплайн? Как он строится?
6. Какие сплайны называются рациональными? Какими свойства-
ми они обладают?
3. Двумерные кубические сплайны
ДВУМЕРНЫЕ СПЛАЙНЫ. Пусть в прямоугольной обла-
сти Q = [a, b]X[c> d] введена сетка линий АхХАу, где
Д,:а = х0<х1< ... <xN = b-‘
Ьи-с = У»<Ух< <УМ = 1
13*
(V.162)
195
делящая область Q на прямоугольные ячейки:
Ц, = ((*» У), хЕ [X,., Х,Ч1], уе [у,, y/+I]}, (V.163)
1 = 0, У — 1; j = 0,• ... , М — 1.
Для целых k^O, 1^0 обозначим через Cfc,[Q] множе-
ство непрерывных па У функций f(x, у), имеющих непре-
рывные частные и смешанные производные Drsf(x, у)
(г^Л, 5^/). Далее, пусть С-1-1 — множество кусочпо-не-
прерывных функций с разрывами первого рода на некото-
рых замкнутых линиях, содержащих, быть может, границы
области.
Определение. Функция Sn,m,v.n (х, у) называется
сплайном двух переменных степени п дефекта у по x(0g
sgvsgn-j-l) и степени ш дефекта ц по у(O^gtn +1) с
линиями склейки на сетке Д, если:
а) в каждой ячейке У,, функция Sn,m.v.nfx, у) является
многочленом степени п по х и степени пг по у, т. с.
п m
sn,m.».v (х>у>= 2 5 а'4(х~ *••)“ (у ~ (VJ64)
а=0 р=0
i =0, ... , N— 1;. / = 0, ... , М— 1;
б) Sn.m.v.g (х, у) € С™-“ [Q1. (V. 165)
Множество сплайнов Sn.m,v,u, удовлетворяющих опреде-
лению, является линейным пространством.
РАЗЛОЖЕНИЕ ДВУМЕРНЫХ СПЛАЙНОВ. Начнем
с разложения по одномерным В-сплайнам. Расширим сет-
ки Дх и Ду, включив дополнительные узлы [см. формулу
(V.28)l.
Для пространства Sn,i (Дх) можно построить базис из
нормализованных В-сплайнов переменной х: Bln(x), i —
=—n,...,N—\.
Аналогично строится базис из нормализованных
В-сплайнов переменной у. В„ (у)> !~ т,...,М—1 для про-
странства 5т,1(Д«/).
Теорема V.5. Всякий сплайн S(x, y)^Sn.m<ifi может
быть представлен единственным образом в виде
N—l Al—1 _
s(x,y)=2 2 <VJ66)
Г—л i——m
где bij — постоянные коэффициенты.
196
Перейдем к разложению Двумерного сплайна по одно-
мерным фундаментальным сплайнам. А именно: пусть в
области Й введена еще одна сетка б=6ЛХб». причем
°о< ' ’ + °0’
в/.-°°< П! < П2 < ... < Пл,-" <4-00
я пусть выполняются условия •
< ^ < х»+п' 1 “ ’ N~n’
^<1\!<У1+т> ' = 1’ - ’ М~т
для xt^Ax и у^Лу. Согласно теореме V.2 существуют две
Системы фундаментальных сплайнов Fln(x)£ Sn,i (бх) и
Ж(У) € S)n,i (бу) таких, что
Еп(хр) = бо» Ь Р = 0, , М; О', (yq) =
= 6tq, j,q = O, ... , М, (V.167)
которые образуют базис в пространствах 5„,1(бЛ) и
Stn.l (бу) •
Теорема V.6. Всякий сплайн S(x, у) € 5„,;..г>1.| может
быть единственным образом представлен в виде
NM
8(х, у) = У J hiFn(х) OU). (V.168)
1=0 /=0
с постоянными коэффициентами f,j=S(Xi, у,).
Таким образом, представление (V.168) решает пробле-
му интерполяции функции двух переменных f(x, у) по
значениям f,j, заданным в узлах (г, /) сетки Л.
ЭРМИТОВЫ КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ ДВУХ ПЕ-
РЕМЕННЫХ. В прямоугольной области Й = [а, б]ХК dj
введем сетку Д=ДхХДу> где ДЛ : a=x0<...<x.v = &; Дм :
с=Уо<.—<.Ум—Ф. Пусть в узлах (х,-, у;) заданы значе-
ния: \
V s f (Xi, У!) = tfj”, Г, S = О, 1; i = 0.АГ;
j=0, ... М. (V.169)
Определение. Интерполяционным эрмитовым ку-
бическим сплайном двух переменных назовем функцию
Зз,з(х, у)=5з.з(Л х, у), которая в каждом из прямоуголь-
ников Qij= [Х|, х,+)]X[«//> f/iTi] имеет вид
S3.3<x, У)= 2 аа,Р(х — xi)a(y~ (У Л70]
а.₽=0
197
и удовлетворяет условиям интерполяции
У’ Зз.з (х/, yi) = fijs\ r,S = O, 1; 7 = 0......,ЛГ;
/ = О, ... ,М. (V.171)
Для построения эрмитова кубического сплайна двух
переменных необходимо задать в узлах сетки А значения
интерполируемой функции ft,, и ее частных производных.
Как правило, в прикладных задачах известны лишь
узловые значения Как и при построении эрмитового
интерполяционного сплайна одной переменной, вместо точ-
ных значений производных можно воспользоваться неко-
торыми аппроксимациями.
Ограничимся подходом, предложенным X. Акима и аналогичным
рассмотренному ранее (см. п. 2). Определим частные производные,
в точке (х,-, уд следующим образом:
(df/dx)ii} = (wxs с» + “»хз СззЩшхь + »хз);
(д/ / dy)i j = (wyt </32 + шрз <^зз) / (и’и + ш?з) >
где
мха = I сп — Сзз |, wx3 = | — с,з |;
®от = I </з4 — </зз I> Шу3 = I d3i — d3j I;
ci.i = ( fc+ij—
di,i( h,i+\ —
Смешанная производная равна
~ WX2 [(^2 e22 4“ &V3 e23) 4~ &X3 (®U2 e32 4*
ij
+ Муз езз)]/[(шха + шхз)(₽»от + “’и)]
при
ец = (сг.ж -Шж + -х«)-
При wX2 = Wx3—0 и (или) ^V2 = wv3=0 для получения однозначно-
го результата в этих формулах следует принять шЛ2 = ^'хз=1 и (или)
У Задача V.11. Интерполяция кубическим эрмитовым сплайном двух
переменных.
Значения однозначной функции z=f(x, у) заданы следующей таб-
лицей:
/ &f \
\ дх ду /
0,0 5,0 . 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 •ю,и
0,0 58,2 61,5 47; 9 62,3 34,6 45,5 38,2 41,2 41.7
5,0 37,2 40,0 24,0 41,3 14,1 24,5 17,3 20,2 20,8
10,0 22,4 22,5 14,6 22,5 х 4,7 7,2 1,8 2,1 2,1
15,0 21,8 20,5 12,8 17,6 5,8 7,6 0,8 0,6 0,6
Ю8
Рис. 41. Сопоставление различ-
ных видов интерполяции:
а — исходные данные (в изомет-
рии); б — интерполяция эрмито-
вым сплайном (в изометрии);
о—исходные изолинии: г—ин-
терполяция бикубическим
сплайном; д — интерполяция
эрмитовым сплайном
199
У X 0,0 5.0 10.0 15,0 20.0 25.0 30.0 35,0 40,0
20,0 16,8 14,4 8,1 6,9 6,2 0,6 0,‘1 0,0 0,0
25,0 12,0 8,0 5,3 2,9 0,6 0,0 0,0 0,0 0,0
30,0 ' 7,4 4,8 1,4 0,1 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
35,0 3,2 0.7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
40,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
45,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
50,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
Построить интерполирующий эрмитов сплайн двух не’
ременных. Сопоставить с интерполяцией кубическим неэр-
митовым сплайном.
Решение. Результаты расчетов приведены па рис.
41. Анализ изолиний показывает, что для кубического не-
эрмитового сплайна в области больших градиентов функ-
ции z(x, у) характерны осцилляции с локальными экстре-
мумами (рис. 41,6). Эрмитов сплайн обладает хорошими
интерполяционными характеристиками (рис. 41,6,6).
Контрольные вопросы
1. Каково определение сплайна двух переменных?
2. Является ли множество'Сплайнов линейным пространством?
3. Как разложить двумерный сплайн по базисным сплайнам? По
фундаментальным сплайнам?
4. Каким условиям удовлетворяет эрмитов кубический сплайн двух
переменных?
5. Каковы интерполяционные свойства двумерного эрмитова
сплайна?
4. Сплайн-дифференцирование и интегрирование
СПЛАЙН-ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ. При вычислении
производных функции f(x)t заданной таблично, можно по-
ступить следующим образом. Построить интерполяционный
сплайн по значениям /=(),..., N, заданным на сет-
ке Д: a=x0<Xi<...<x1V=b, и дифференцировать указан-
ный сплайн. Наиболее удобно при этом использовать ку-
бические сплайны, позволяющие вычислять производные
до третьей включительно.
Кубический сплайн S(x) на промежутке [хг, х.и’|
представляется одной из формул:
S (*) = А (Г- О2 (1 + 20 + /ж? (3 - 2/) +
+ Ц1 — О2 h. - tn.+1 (1 — 0 hit (V. 172)
S (х) = (1 - 0 f + tfi+l - (ft2 6) /(1-0|(2-0М..-1-
+ (1 + 0Мж], (V.173)
200
rtf-, как обычно, h,=Xi+l—xif t=(x — Xi)/hi, m,=
asS'(Xi), M;=S"(Xi). Из выражений (V.172), (V.173) вы-
текают следующие формулы для производных:
с использованием mt
S{x) = 6/(1 -1) [(/ж - Д)/Л(.] + (1 - 4/ + 3t2)m( —
(V.174)
S*(x) = 1/Л,- [6 (1 - 2/) [( fi+l - - (4 - 60 x
•XOTi-(2-60mt.+I]; (V.175)
Г (x) - [тж + m( - 2 (fi+, - ДОЗД. (V. 176)
с использованием М<:
S' (х) = [(fi+l - f,)/M - (Л,/6)[(2 - 6/ -h 3/0 X
X Л4,. + (1- 3/0 Л1Ж], (V.177)
S' (х) = Mt (1 -1) + Л4.+1 /; (V.178)
5"'(х) = (Л4ж-Л4к)/Л1.. (V.179)
Алгоритмы вычисления т, и М, приведены в задачах
V.4, V.5.
Если использовать представление сплайна S(x) через
кубические В-сплайны:
W-H
S(x)= 2 btBt(x), (V.180)
,i=-i
то, очевидно:
А'+1
S” (х) = 2 bi B‘z> (*)» г = 1. 2, 3. (V.181).
1=—1
СПЛАЙН-ИНТЕГРИРОВАНИЕ. При вычислении ин-
ь
тегралов вида ^f(x)dx функцию f(x) можно, как и при
а
дифференцировании, заменить некоторым интерполяцион-
ным сплайном S(x) и в качестве приближенного значения
* .
интеграла принять величину S (х) dx.
а
Так, если S(x) — кубический сплайн, записанный в ви-
де (V.172), то
201
b
J S w dx = i у h,(J, + /,+1) + A. 2 (4 - ™,+1) Л;.
a f==0 Z=0
(V.182>
На равномерной сетке эта формула упрощается:
6 _~L
[ 3 (X) dx = A f0 + h„ ft + A fN + A (m0 - mN). (V. 183)
fl ~ /=1
Если для S(x) используется представление (V.173), то
J S (x) dx = ± 2 *, (f, + м - i 2 Ч (Л, + Л4,+1).
a i=0 (=0
(V.184)
Для равномерной сетки, учитывая, что
+ 7-<л,«-‘ + 2л1»)’ CV.185)
получаем
ь
f s w * = пг (4 + М + 4г № + f"-< >+
а
N-2
+" А‘“ (2Л,°"м>+л,"“'+2‘и")' (VJ86’
Контрольные вопросы
1. Как выполняется сплайн-дифференцирование? Какие преимуще-
ства имеет использование сглаживающих сплайнов вычисления про-
изводных от экспериментально построенных зависимостей?
2. Как выполняется сплайн-интегрирование?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее прило-
жения: Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 380 с.
Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в чис-
ленном анализе: Пер. с англ. М.: Мир, 1974.
Завьялов Ю. С., Квасов Б, И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-
фуикцин. М.: Наука, 1980. 352 с.
202
Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной матема-
А1ке. М.: Наука, 1976. 248 с.
Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы мате-
матических вычислений: Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 279 с.
Глава.VI
ЛОКАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ
КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Метод конечных элементов (МКЭ) завоевал широкое при-
знание как эффективный метод решения краевых задач
математической физики. Популярность метода объясняет-
ся простотой его физической интерпретации и математиче-
ской формы, гибкостью численного алгоритма, хорошо при-
способленного для реализации на ЭВМ и обеспечивающего
возможность решения сложных задач.
Успехи в развитии теории сплайп-функций в значитель-
ной мере стимулировали разработку математических основ
метода.
В основе метода конечных элементов лежит идея заме-
ны непрерывной функции ее дискретной моделью. Эта мо-
дель включает в себя множество значений указанной функ-
ции на некотором конечном числе точек области ее опре-
деления в совокупности с кусочно-гладкой ее аппроксима-
цией на некотором конечном числе подобластей.
Итак, дискретизируется как сама функция, так и. об-
ласть ее определения й. При этом: 1) в й фиксируется ко-
нечное число точек—глобальных узлов; 2) область Й при-
ближенно представляется в виде совокупности конечного
числа непересекающихся подобластей'—конечных элемен-
тов, связанных между собой определенным образом в гло-
.бальных узлах на их границах; 3) рассматриваемую функ-
цию локально аппроксимируют на каждом конечном'
элементе непрерывными функциями, однозначно определя-
емыми значениями функции (а в некоторых случаях—и
значениями ее производных вплоть до некоторого порядка)
в глобальных узлах, принадлежащих этому элементу.
Таким образом, проблема глобальной аппроксимации
искомого решения краевой задачи оказывается тесно свя-
занной с другой проблемой — построением локальной ап-
проксимации этого решения в пределах отдельной подоб-
ласти— конечного элемента. Отметим, что при локальной
аппроксимации функции каждый элемент можно считать
совершенно изолированным от всей совокупности элемсн-
203
тов и аппроксимировать на нем функцию с помощью ее
значений в узлах независимо от того, какое место займет
рассматриваемый элемент в связанной модели, и от пове-
дения, функции на других конечных элементах. В связи с
этим изучение метода конечных элементов целесообразно
начать с рассмотрения основных вопросов, связанных с
локальной аппроксимацией. Будем следовать монографи-
ям [14, 15].
1. Классификация конечных элементов.
Симплекс-элементы
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ОБЛАСТИ. Процесс дискретизации
области, включает: а) разбиение тела на «конечные эле-
менты» — непересекающисся • подобласти; б) нумерацию
элементов и узлов.
Разбиение области на элементы сводится к заданию
числа, размеров и формы нспересекдющихся подобластей.
При этом были использованы элементы трех основных
типов:
1) одномерные элементы. Их схематически изобража-
ют в виде отрезка.
На рис. 42 представлен простейший одномерный симп-
лекс-элемент1, имеющий два узла, а также элементы более
высокого порядка, трехузловые (квадратичные) и четырех-
узловые (кубические);
2) двумерные элементы. Для дискретизации двумерных
областей обычно используются два основных семейства
элементов — треугольники и четырехугольники (рис. 43).
При этом симплекс-элементы имеют прямолинейные сто-
роны, а квадратичный и кубические элементы могут иметь
как прямолинейные, так и криволинейные стороны;
3) трехмерные элементы. При дискретизации трехмер-
ных областей наиболее часто используются тетраэдр и па-
раллелепипед (рис. 44). Симплекс-элементы при этом огра-
ничены прямолинейными сторонами (плоскостями), а эле-
менты более высокого порядка могут <быть ограничены
криволинейным)! поверхностями.
1 Симплексом в А’-мерном пространстве называется -выпуклое мно-
жество 5, определяемое совокупностью £+1 вершин (узлов), не лежа-
щих в одной (k—1)-мерной гиперплоскости. В евклидовых пространст-
вах Л* симплексами являются тетраэдр (4 узла) в трехмерном прост-
ранстве треугольник (три узла) в двумерном пространстве fa и от-
резок прямой (два узла) в одномерном пространстве /?t.
?<н
a — треугольный; б—.прямоугольный; в — криволинейный четырехугольник
Рис. 44. Трехмерные элементы:
и — прямоугольный параллелепипед; б — тетраэдр; в — призма
Следует отметить, что наибольшее практическое при-
менение получили симплекс-элементы, к ним относятся ли-
нейный одномерный элюент с двумя узлами, линейный
треугольник с тремя узлами и линейный тетраэдр с че-
тырьмя узлами. К достоинствам этих элементов следует
отнести простоту в теоретическом отношении, возможность
аппроксимации границ сложной формы, наличие’программ
для ЭВМ, позволяющих производить дискретизацию об-
ласти.
Размеры отдельных элементов могут варьироваться — в
областях с высоким градиентом напряжений, температур и
т. д. Разбиение в этих областях обычно выбирается мел-
205
ким, что существенно повышает точность расчетов. Воз-
можность такого варьирования — важное достоинство ме-
тода конечных элементов.
При дискретизации области с применением симплекс-
элементов необходимо стремиться, чтобы треугольники
приближались по форме к равносторонним треугольникам,
Рис. 45. Два примера нумерации узлов при разбиении на элементы двумер-
ного тела:
а — правильное разбиение; б — неправильное разбиение
206
а тетраэдры — к правильным тетраэдрам. Такое разбиение
приводит к более точным результатам.
Проводя нумерацию узлов, следует учитывать, что мат-
рица жесткости [К] имеет ленточную структуру. Ширина
полосы В вычисляется по формуле
= + (VI. 1)
где R — максимальная по элементам величина наибольшей
разности между номерами элементов в отдельном узле;
Q — число неизвестных в каждом узле.
Стремление сократить размеры требуемой для решения
задачи памяти ЭВМ приводит к необходимости минимиза-
ции В (а, следовательно, и R).
Это обеспечивается последовательной нумерацией уз-
'лов при движении в направлении наименьшего размера
тела (рис. 45).
СИМПЛЕКС-, КОМПЛЕКС- И МУЛЬТИПЛЕКС-ЭЛЕ-
МЕНТЫ. Исходя из порядка полиномиальных функций,
можно рассматривать элементы трех типов: симплекс-,
комплекс- и мультиплекс-элементы.
Как было отмечено, число узлов в симплекс-элементе
равно размерности координатного пространства плюс еди-
ница. Интерполяционный полипом содержит константу и
линейные члены.
Так, для двумерного треугольного элемента (рис. 43, а)
симплексная интерполяционная функция имеет вид
ф = + а2 х + а3 у. (VI.2)
Этот полином линеен по х н у, число коэффициентов
равно трем, что соответствует трем узлам элемента.
Комплекс-элементы имеют большее число узлов, а со-
ответствующие им полиномиальные функции содержат
константу, линейные чл,ены, а также члены второго и, воз-
можно, третьего и более высокого порядка.
Например, для двумерного треугольного элемента
третьего порядка (рис. 46) комплексная функция пред-
ставляется следующим образом:
Ф = аг 4- аах + а3у 4- а4х2 4- аъху 4- ав у2 4- а7 х3 4-
4- а8 хъ у 4- а# ху3 4- а10 у3. (VI.3)
Это соотношение включает десять коэффициентов, по-
этому рассматриваемый элемент должен иметь десять
узлов, в том числе один внутренний.
Мультиплекс-элементы отличаются от комплекс-элемен-
тов тем, что границы элементов должны быть параллельны
207
координатным осям (в трехмерном случае — плоскостям).
Это обеспечивает непрерывность аппроксимирующих функ-
ций при переходе от одного элемента к другому. Примером
мультиплекс-элемента может служить прямоугольный эле-
мент с четырьмя узлами (рис. 47), соответствующий муль-
типлексный полином имеет вид
WA)
Ф = eq + а2х + а3# + <х4 ху.
Рис. 48. Двумерный симплекс-эле-
мент
Рис. 47. Двумерный мультиплекс-
элемент (прямоугольник)
ДВУМЕРНЫЙ СИМ-
ПЛЕКС-ЭЛЕМЕНТ. На рис.
48 показан двумерный сим-
плекс-элемент. Узлы эле-
мента нумеруют, начиная с
некоторого i-ro узла, против
часовой стрелки.
Поставим задачу: пред-
ставить интерполяционный
полином (VI.2) в виде
Ф=^Ф, + ^Ф/ + ^Фк-
= [М{Ф}, (VI.5)
где Ф„ Ф/ Ф*. — узловые
значения скалярной величи-
ны <р, a Ni, Nj, Nk — так па-
зываемые «функции фор-
мы». Они также представля-
ют собой линейные полиномы вида (VI.2), однако коэффи-
циенты полиномов подобраны так, чтобы обеспечить выпол-
нения следующего фундаментального требования:
Nt = 1 в узле i и нулю в узлах ‘j и k-t
Nj = 1 в узле j и нулю в узлах i и k\
Nk= 1 в узле k и нулю в узлах i и /. ,
(VI.6)
208
Кроме того, в каждой внутренней точке элемента сумма
значений функций формы равна единице:
+ (VI.7)
Задача VI.1. Построение функций формы для двумерного симплекс-
элемента.
Построить функции формы Ni для двумерного симплекс-элемента
(рис. 48).
Решение [14]. Обозначим узловые значения скалярной функ-
ции (р через Ф/, Ф„ Фд, а координатные пары трех узлов — через
(Х<, Yi)t (Xj, KJ, (Хл> Уа).
Внутри элемента, интерполяционный полином имеет вид
a2x + a3y. (VI.8)
Условия в узлах элемента запишутся следующим образом:
>Ф = Ф,- при х — Х^ у = j
ф = Ф; при X — Xj, У = Yj\ I (VI.9)
ф=Фл при x = Xh, y=Yk. J
Подставляя эти условия в (VI.8), получаем систему уравнений
®i = ai + a2 Xt + аз
Фу = «1 + «2 Xj + а3 Yft
Фь = + а2 Хь + а3 У &
(VI. 10)
Решая эту систему по формулам Крамера (1.103), получаем
ai=Ai/A, а2 = Д2/Д, а3 = Д3/Д, (VI.И)
где определитель системы Д связан с площадью треугольника -формулой
1 Л1
Д= 1 Ху Yj =2А.
1 Xk Yk
(VI. 12)
Здесь Д’, Дг, Дз — определители, в которых соответствующий столбец
заменен столбцом свободных членов, Д —площадь треугольника.
После подстановки (VI.ll) в формулу (VI.8) подучаем
Ф = Ф< + Nj Фу + Nk Фл (VI. 13)
или в матричной форме
f фи
. Ф = [tff Ni Nk] Фу = W • (VI •l4)
l Ф* J
При этом
1 (ai = XjYk-XhYj
Ni~^t°i+bi* + Ciy] Hlbi^Yj-Yb , (VI.15)
2/1 (Ct = Afc — Ay
„ 1 (aj^Xj.Yi-YuXi
= [aj + bj x + c} y] n by = Yh - Yt (VI. 16)
2/1 Uj = xt — xh
! (ah^XiYj-Xj Yt
[oft + t>fc x + Ch у] и Yt — Yj (VI. 17)
2Л kh = Xj — Y i
14 Г. я Тун 209
Покажем, что значение функции Ni в 7-том узле равно
единице, а в двух других узлах — нулю. Действительно
Ni (Х„ У,) = (1/2Л) (ах+&.Х£+с,У,) = (1/2Л) (ХуУл-ХйУ^
+ У/Х,—YbXi+XbYi—Х/У,)=Д/2А = 1 (выражение в круг-
лых скобках равно определителю А). Далее: Nt(Xj, У,) =
= (1/2Л)(а,+ЬД/+с/У/) = '(1/2Л) (Х/Ул - Х^Уу+У/Х/ -
-УйХу+ХйУу-Х/У/) =0.
Рис. 49. Непрерывность функции <р Рис. 50. Трехмерный снмплекс-эле-
вдоль общей границы двух элемеи- мент
тов
Аналогично ^ (Х*, Ул)=0.
Отметим основные свойства рассматриваемого элемента:
а) градиенты скалярной величины <р по направлениям осей
х и у постоянны; б) функция ф линейно изменяется между
двумя любыми узлами; в) любая линия, вдоль которой <р
принимает постоянные значения, есть прямая, пересекаю-
щая дЬе стороны элемента; г) функция ф непрерывна
вдоль общей границы двух элементов (рис. 49); д) сумма
значений функций формы в каждой внутренней точке эле-
мента равна единице.
Последнее свойство позволяет, в частности, моделиро-
вать в пределах элемента постоянное значение функции <р,
если только такие значения встречаются.
Действительно, если внутри элемента ф=с, то Ф< =
=Ф/=Фй=с и C=NiC+NjC+NbC, откуда
AG + tfy + AIk= 1. (VI. 18)
ТРЕХМЕРНЫЙ СИМПЛЕКС-ЭЛЕМЕНТ. Рассмотрим следующую
задачу.
Задача VI.2. Построение функций формы для трехмерного симп-
лекс-элемента.
210
Построить функции формы М для трехмерного симплекс-элемснта
(рис. 50).
• Решение [14]. Обозначим узловые значения скалярной функ-
ции Ф через Фь Фь Фа, Ф/, а координатные тройки четырех узлов че-
рез (Хй Yit Z,) ... (Х/} Ylt Z,).
Интерполяционный полином для тетраэдра имеет вид:
фо^ + аахЧ- a3y4-a4z. (VI. 19)
Для нахождения коэффициентов используем условия в узлах:
Ф/== ai + + аз
Oj = at + аа Xj + а3 Y j + а4 Zjt
<J^= а1 + а2Хь + а3У>1+a4Zfe; (VI.20)
Ф/ = ai + a2 Xi + cc3 Yi + a4 %i-
Запишем эту систему в матричной форме:
{Ф} = [С] {а}, где {Ф}Т={Ф1Ф;ФЛФ,}; (VI.21) (VI, 22)
(а)т= {а, а/аьаО; Г1 Xt Yt ZH 1 X) Yi Z, lC* 1 Xh Yk Zh • . Ll Yt Решение системы запишется (VI. 23) (VI.24) следующим образом
[формула (1.99)]: {а} = [С]-1 {Ф}. Для интерполяционного полинома ф = + а2х + азу + a4z = [1 х у г] ИЛИ Ф-Н X у г][С]-'{Ф}. (VI.25) «1 S (VI.26) «3 ' (VI.27)
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН.
Переходя к интерполированию векторных величин, посту-
пим следующим образом: будем представлять такую вели-
чину ее компонентами, которые будем считать неизвестны-
ми скалярными величинами. При этом каждый узел будет
содержать две или три неизвестные — степени свободы в
И*
211
зависимости от того, какая задача рассматривается — дву-
мерная или трехмерная.
Рассмотрим следующую задачу,
Задача VI.3. Интерполирование векторного поля скорости.
Используя обозначения компонент векторного поля скорости, ука-
занное на рис. 51, записать в матричной форме интерполяционные за-
Рис. 51. Интерполирование век-
торного поля скорости для дву-
мерного симплскс-элемента
висим ости для двумерного и трех,
мерного симплекс-элемснтов.
Решение. В двумерном сим-
плекс-элементе горизонтальная со.
ставляющая скорости ui аппрокси-
мируется выражением
^N.V^NiV^+N^,^.
(VI. 28)
Вертикальная компонента v2
представляется формулой
v^NtV2i + NiVii + NkV2ll-
(VI. 29)
Записав эти соотношения в мат
ричной форме
V«-i
V2i
А) |Л’ о \Nj 0 \Nk 0 1
uj [о Nil 0 Nj\ 0 AfJ
VzJ~i
VzJ
v2k
(VI.30)
получим сокращенную запись
(VI.31)
где
WT={fiV2). {V}T = {V2i-1 Vu V2j-i V2j V2h-! Vik}. (VI.32)
Для случая трех измерений имеем (рис. 52)
'Ni 0 0 >Nj 0 0 >Nh 0 0 : Ni О О’
О Ni 0 i 0 Nj 0 : 0 Nh 0 : 0 Nt О
О 0 vj О О Nj\ 0 0 Nh\ 0 0 Ni
Из/—2
Из/—i
Из/
(VI.33)
Из/-2
Из/-!
Из/
212
L-КООРДИНАТЫ. При использовании треугольных эле-
ментов применение декартовой системы координат во
многих случаях неудобно. Для треугольника с узлами i, j,
k (рис. 53, а) более естественно ввести систему координат
Li, L2, связанную с декартовой следующими линейными
соотношениями:
Li^t + LfXj Н- | zyj 34.
y=L1Yi^LiYi^L3Yk-,]
1=L1 + L2 + Ls. (VI.35)
Каждой совокупности координат Lb L2, L3 соответству-
ет единственная пара декартовых координат х, у. Очевид-
213
но, координаты Lb L2, L3 в двумерном случае не -являются
независимыми и связаны между собой соотношением
(VI.35).
Рассмотрим более подробно свойства L-координат.
. Задача VI.4. L-координаты для двумерного симплекс-элемента.
Исследовать свойства L-координат, введенных в треугольном эле-
менте (рис. 53, а) и представляющих собой отношение расстояния от
выбранной точки треугольника до одной из его сторон s к высоте й,
опущенной па эту сторону из противолежащей вершины (рис. 53,6).
Решение. Покажем, что L-координаты обладают следующими
свойствами.
1. Значения координат Li, L2, L3 представляют собой относитель-
ные величины площадей треугольников, на которые разбит элемент
(рис. 53, в).
Площадь треугольника («, j, k) A = bh/2. Площадь Л! заштрихован-
ного треугольника (В, /, k) равна Ai = bs/2t отсюда
A1/A = s//i = L1. • (VI. 36)
Аналогично
£а = Л.2/Л, £3 = Л3/Л. (VI.37)
2. Для координат Lb L2 и L3 выполняется зависимость
L1 + L2 + L3=l. (VI.38)
Действительно, поскольку Л1+Л24-Лз=Л, из (VI.36) и (VI.37) по-,
лучаем (VI.38).
3. Координатные переменные Li, L2, L3 представляют собой функ-
ции формы'для треугольного симплекс-элемента:
Ni = Llt Nj = L2, Nk = L3. (VI.39)
Действительно, Li, L2, L3 линейно зависят от координат, а из
рис. 53, г следует, что
в узле с номером i 40)
(О в узле с номерами j, k.
ОБЪЕМНЫЕ L-КООРДИНАТЫ. Для тетраэдра с
узлами i, j, k, I во многих случаях удобно использовать
объемные L-координа'ты, связанные с декартовым.и следу-
ющими соотношениями:
х = ^Xi + + £3Xh + £4Xf;
y = L1Yi + LiYi + L3Yk + LtYl-,
z = L-jZi 4- L3Zj + L3Zh + L3Zi‘t
1 = Li + L3 + L3 + £4.
(VI.41)
(VI.42)
Относительные расстояния £i, £2, £3, £< определяются
как отношения расстояний от выбранной произвольной
точки элемента до одной из его граней к высоте, опущен-
ной на эту грань из противоположной стороны (рис. 54).
214
Для объемного симплекс-элемента функции формы
представляют собой объемные L-координаты:
М = Llt = L^Nh = La: Nt = L<. (VI.43)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ
L-КООРДИНАТ. Применение L-координат позволяет су-
щественно упростить вычисление интегралов вдоль сторон
элемента и по его площади.
Для двумерного элемента [14]
alfe!
(VI.44)
т
где у — сторона элемента, I — ее
длина.
А
Рис. 64. Объемная L-коорди •
ната /.з Для тетраэдра с уз-
лами I, j, k, I
а! 6! с! о л
уд
(а + д + с + 2)!
(VI.45)
Здесь числа а, Ь, с могут принимать значения 0, 1» 2, ... .
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача V1.5. Вычисление интеграла с применением L-координат.
Вычислить интеграл по площади треугольного элемента вида
^NtN}dA. (VI. 46)
Решение. Воспользуемся формулой (VI.45):
А
В данном случае (см. решение задачи VI.4) Ni=L}, Nj = L2. По-
этому а=1, b=\t с=0 (Nk нс входит в подынтегральное выражение).
В результате
А
Для трехмерного симплекс-элемента [14]
ДОцЦЦфИ- (а+.^.^—-6И. (VI.49)
где V — объем элемента.
Контрольные вопросы
I. Что такое локальная аппроксимация некоторой функции? Чем
локальная аппроксимация отличается от глобальной?
2. Что такое симплекс? Приведите примеры симплексов в одномер.
ном, двумерном и трехмерном евклидовых пространствах.
3. Каким "требованиям удовлетворяют функции формы?
4. Какими свойствами обладает двумерный симплекс-элемент?
5. Как производится интерполирование векторных величин?
6. Что такое L-координаты? Как определяются L-координаты для
треугольника? для тетраэдра?
7. Как вычисляются интегралы с применением L-координат?
2. Элементы высоких порядков
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. На рис. 55 изображен
двумерный элемент — прямоугольник со сторонами, парал-
лельными координатным
осям хну.
Рис. 55. Прямоугольный элемент
Рис. 56. Пример прямоугольного эле-
мента с узлами 1—8
Рис. 57. Функции формы для элемента, представлениого на рис. 56 (по
О. Зенкевичу)
216
При построении функций формы для прямоугольного
элемента должны выполняться следующие требования. Во-
первых, в /-том узле W/=l, в остальных узлах ЛГг = О. Да-
лее, должны соблюдаться законы изменения функции фор-
мы вдоль границ, обусловленные требованиями непрерыв-
ности. Так, для элемента, представленного на рис. 56, вдоль
границ элемента должен выполняться линейный закон из-
менения функции формы вдоль оси х и кубический — вдоль
оси у. На рис. 57 в изометрии изображены функции фор-
&{ы, соответствующие двум узлам. Один из них — угловой,
второй лежит на стороне элемента. *
Введем нормализованную систему координат
^ = (х —xj/a, d£=dx/a (VI.50)
n = (у — Ус)/Ь, dll = dy/b, (VI.51)
где хс, Ус — координаты центра тяжести; 2а и 2Ь — разме-
ры прямоугольника (рис. 58).
Обозначим
Ь = 4o = W (VI.52)
где %,, гр — значения g, и для i-того узла. Можно показать,
что общие выражения функций формы для представленно-
го на рис. 39 семейства элементов имеют следующий вид:
для элемента первого порядка (см. рис. 59, а)
N, = (1/4) (1+^(1 + По); ( (VI.53)
для элемента второго порядка (см. рис. 59, б): угловые узлы. Nt = (1/4)(1 + £о)(1+’1о)(£о -|-но- 1); - (VI.54)
узлы на сторонах ^ = о, ^ = (i/2)(i-^)(i+no); = = (1/2)(1 + ?о)(1 — п2). (VI.55) (VI.56)
для элементов третьего порядка (рис. 59, б) угловые узлы Nt = (1/32) (1 + у (1 + п„) [- ЮЧ9 (^ + п2)]; (VI.57)
узлы на сторонах Si = + 1 и Hi — ' 1'3; — (9. 32) (1 4-г»)(1 — ч2) (1 !-9>i„). (VI.58) (VI.59)
Семейство элементов, рассмотренных выше, называется
сирендиповым семейством [15].
217
Простой и универсальный способ построения функций
формы для лагранжева семейства прямоугольных элемен-
тов (рис. 60) состоит в перемножении соответствующих по-
линомов по каждой из двух координат [15]. Так, для эле-
мента, изображенного на рис. 61, функция формы для узла,
обведенного кружочком, может быть представлена в виде
произведения полинома по
£, равного единице в узлах
второго столбца и нулю во
всех остальных узлах, на по-
лином четвертой степени по
Рис. 58. Нормализованные координаты
для прямоугольного элемента
т|, равный единице при значениях координат, соответствую-
щих верхней строке узлов, и нулю в остальных узлах.
В этом, случае будут удовлетворяться условия непрерывно-
сти между элементами.
О О
о о
а
в
Рис. 60. Лагранжево семейство прямо-
угольных элементов:
а —элемент первого порядка; б —эле-
мент второго порядка; в —элемент
третьего порядка
Известно, что полиномами от одной переменной, удов-
летворяющими таким требованиям, являются полиномы
Лагранжа.
Общая формула для полиномов Лагранжа имеет вид
я_ (Е—Е*)(Е—Е«) ••• (Е — Ei-i) (Е — Et+i) -• (Е—Еп)
*’ (Ei — Ei) (Е« — Es) • • • (Е« — Ej-i) (Ei — Еж) • • • (Ej — Еп)
218
В результате для узла (i, j) соответствующая функция
формы запишется следующим образом:
где пит — количество разбиений в каждом направлении.
Следует отметить, что появление внутренних узлов в
элементах лагранжева семейства приводит к дополнитель-
Рис. 61. Типичная функ-
ция формы для элемен-
та Лагранжа (по
О. Зенкевичу)
ным степеням свободы; при этом соответствующая функ-
ция формы обращается в нуль на границах элемента. На
рис. 62 в изометрии изображены функции формы для эле-
ментов второго порядка сирендипова и лагранжева се-
мейств [15].
ТРЕУГОЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. На рис. 63 изображено
семейство треугольных элементов первого (3 узла), второ-
го (6 узлов) и третьего (10 узлов, в том числе один внут-
рений).
Общая формула для вычисления функций формы име-
ет вид [14]
п _
Ч = П^' (VI.60)
где п — порядок элемента (величина, на единицу меньшая
числа узлов на стороне треугольника); -Е6—функции от
Li, L2, L3. Эти функции находятся из уравнений линий, ко-
торые проходят через все узлы, за исключением узла, для
которого определяется функция формы.
219
Пусть, например, уравнение такой прямой имеет вид L2=c. -Тогда
— с, В знаменателе находится значение этой функции, соответ-
ствующее координатам узла р.
В результате имеем для элемента первого порядка (рис. 64,-а)
о . о п
о о о
о—о —о
Рис. 62, Функции формы для эле-
ментов второго порядка сирендипо-
ва и лагранжева семейств (по
О. Зенкевичу)
Для элемента второго порядка (рис. 64, б)
^ = ^(2^-1), N3 = L2(2L2-\), JVS = L3(2L3-1);
~ = 4L2L3, Nq = 4L2L3\
для элемента третьего порядка (рис. 64, в):
220
Ц (3Ll— 1) (3^-2).
№ = (l/2) L2(3/.2-l)(3L2-2);
^=(1/2)13(313 1)(3L3 -2);
N, = (9/2) /-А (3L, - 1), N3 - (9/2) LJ., (3L2 - 1);
Nt = (9/2) LtL3 (3Lt - 1), Ne - (9/2) L2L3 (3L3 - 1);
Л = (9/2) L3L, (3L3 - 1), N, = (9/2) L,L3 (3AX - 1).
(VI. 63)
3
Рис. 63. Семейство треугольных элементов:
а — линейный; б — квадратичный: в — кубичный
Рис. 64. Функции формы для треугольных элементов:
а —линейный; б- квадратичный; в — кубичный
Задача VI.6. Построение функции формы для кубичного трехугодь-
яого элемента.
Определить функцию формы для кубичного треугольного эле-
мента (рис. 65)» *
Решение. Интерполяционный полином для кубичного элемента
представляется следующим образом:
Ф = «1 -I- а2х + азу Н- а4х2 + а3ху + ад2 + а7х3 + а8х2{/ +
+ а»«/2 + апгЛ (VI. 64)
Применяя /.-координаты, имеем общую формулу для вычисления
функции формы [14]:
*.-п
6=1
^6
F&\LltL2,L3
(VI. 65)
221
где п — порядок треугольника (число узлов на стороне); Fб — функции
от Lh L2 и L3t которые определяются из уравнений п «линий, которые
проходят через все узлы, за исключением узла, для которого опреде-
ляется функция формы. Так, если рассматривается уравнение прямой
Li=c, то — с. Знаменатель (VI.65) есть значение F&, определяе-
мое с помощью координат узла
Расположение и нумерация
Рис. 65. Кубичный треугольный
элемент
Р, в котором вычисляется Vp •
узлов рассматриваемого элемента по-
казаны на рис. 65. Порядок элемента
равен п=4—1 = 3 (на стороне элемен-
та имеются четыре узла).
Линии, проходящие через все уз-
лы, за исключением первого, показа-
ны на рис. 65, их уравнения: Lo=0,
Ls=1/3 и £2=2/з-
Функции F$ имеют вид:
Fy = L>2 “ 0 = L2j
F2 = — 1/3 = (ЗДа — 1)/3; .
F3 = L2 —2/3 = (3L2 —2)/3.
(VI. 66)
Значения функций в четвертом
узле (L|=0, L2=l, L3=0) равны
Л|0,1,0 — IS ^2|0,1,0 — 2/3, ^310,1,0 —
. По формуле (VI.65) при р=4 находим:
з _
г _ П - ( Li\ f 3L« ~ 1 \ 3 ( 3L1 —2 \ 3
‘ ” L! ^‘’0,0 "Ь /I 3 '/ 2 I 3 ) 1
или
= (3L2~l)(3L2-2)/2.
(VI. 67)
(VI. 68)
(VI. 69)
Задача VI.7. Построение функции формы для треугольного элемен-
та четвертого порядка.
Построить функцию формы jVj5 для треугольного элемента четвер-
того порядка (рис. 66). Воспользоваться методикой, изложенной в за-
даче VI.6.
Решение [14]. Расположение и нумерация узлов показаны на
рисунке.
Порядок элемента равен п=5—1=4.
Три из линий, проходящих через все узлы, за исключением узла 15,
соответствуют сторонам треугольника Li=0, L2=0 и L3=0. Четвертая
линия проходит через узлы 12, 13, 14 и 6, ее-уравнение L3=‘/4-
Функции F& имеют вид
Г1 = £„ F2 = £2. F3 = L3, Г4 = (4£з-1)/4- <vl70)
£i £, £» 4£3-1
Для узла 15 с координатами (1/4, 1/4, 1/2) имеем:
4 р
N ГТ _______-
“ Vi FejtM.V4.i/2 (1/4) (1/4) (1/2) 4/(1/4)
(VI.71)
222
32L1LtL3 (4L3 - 1). (VI. 72)
ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРИЗМЫ. На рис. 67 изобра-
жен трехмерный элемент — прямоугольная призма с граня-
ми, параллельными координатным плоскостям.
Рис. 68. Прямоугольные призмы (сирендипово семейство):
а —элемент первого порядка; б — элемент второго порядка; в — элемент
третьего порядка
Введем нормализованную систему координат:
|,= (х — хс)la, d£ = dxla
4 = (У — Ус)1Ь, dt\ = dy/b .
t — (.z — zc)lc, dt, = dz/c
(VI. 73)
где хс, ус, zc — координаты центра тяжести, 2а, 2Ь, 2с—
размеры параллелепипеда.
Обозначим
’lo = nni, &, = &. (VI.74)
где 5». Ль £< — значения 1), £ для f-го угла.
Тогда для элемента первого порядка (8 узлов) (рис. 68,а):
#1“1/8(1+Ь)О+Пр)(1+Со). (VI.75)
223
Для элемента второго порядка (20 узлов) (рис. 68,6):
угловые узлы
Ni = 1/8 (1 + So) (I + По) (1 + So) (So + По + So - 2), (VI.76)
типичный узел на ребре
Si=°. П, = + 1. ?i= 1 1, (VI.77)
Nt = 1/4 (1 -^) (1 +М (1 -|- Q. (VI.78)
Для элемента третьего порядка (32 узла) (рис. 68, в)
угловой узел
Nt = 4/64 (1 + |о) (1 По) (1 + So) 19 (S2 -I- П2 т S2) - 19], (VI. 79)
типичный узел на ребре
s< = ± 1/3, П| = ± I, 5i= ± 1, (VI.80)
= 9/64 (1 - ^) (1 + 9g0) (1 + т]0) (1 + У- (VI.81)
Выражения для узлов на других ребрах получаются заменой пе-
ременных. 4
Контрольные вопросы
1. Как вводится нормализованная система координат для прямо-
угольного элемента?
2. Каким образом строятся функции формы для прямоугольных
элементов? Какие два семейства прямоугольных элементов Вы знаете?
3. Как строятся функции формы для треугольных элементов? Для
прямоугольных призм?
3, Криволинейные элементы. Отображения
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. Увеличение числа уз-
лов и повышение порядка элементов позволяют существен-
но уменьшить число элементов для получения достаточно
точного решения.
Однако, рассматривая тела сложной формы, необходимо
добиться хорошей аппроксимации формы тела при дискре-
тизации области. Сделать это, ограничиваясь небольшим
числом таких элементов, как треугольники, прямоугольни-
ки или призмы, нельзя.
Это приводит к необходимости, используя отображения
(см. гл. II), преобразовать эти простые элементы в элемен-
ты произвольной формы.
На рис. 69, 70 представлены двумерные и трехмерные
элементы и соответствующие криволинейные элементы.
При установлении связи между координатами очень
удобно использовать функции формы, которые мы ввели
для аппроксимации неизвестной функции.
Пусть, например, в пространстве, снабженном глобаль-
ной системой декартовых координат Охуг, нам необходимо
построить криволинейный элемент D с заданными коорди-
224
патами узловых точек (Хь У>, Zi), (Х2, Уг. Х2), ... . В про-
странстве локальных координат О|т]£ образ этого элемен-
та — правильный куб Е. Воспользуемся функциями формы
H'y N'2, — , построенными для элемента Е в локальных ко-
ординатах, и запишем:
, = N\ (В, П, 9X, + (I, 4, В)Х2 + ... = [Г 1 (X), (VI.82),
9 =jv;а, л, оyx + n:2(в, л, О y2 +... = (лг] {y।, (Vi.83)
П, Т], С) z2+... = [N']\Z\. (VI.84)
г
Рис. 69. Отображения двумерных элементов (по О. Зенкевичу)
Поскольку функции формы равны единице в рассмат-
риваемой точке'и нулю в остальных, точки с координата-
ми X], Уь Zi и т. д. совпадают с соответствующими точками
границы элемента.
Так, например, для координат В. Л> соответствующих
Узлу 2, N2 =1, a ^/j=A^3 = ...=0, пбэтому
« = Х2, y = Y2> z=Z2. (VI.85)
Воспользуемся следующими теоремами [15]:
15 г. я. Гун 225
Теорема VI. 1. Если два смежных криволинейных эле-
мента образуются из первичных, функции формы которых
удовлетворяют условиям непрерывности, то они будут со-
прикасаться по-всей границе.
Теорема VI.2. Если функции формы, входящие в фор-
мулу ф=[Л/]{Ф}, в первичных координатах удовлетворяют
Рис. 70. Отображения трехмерных элементов (по О. Зенкевичу)
условиям непрерывности <f, то и в криволинейных коорди-
натах условия непрерывности будут выполняться.
Из первой теоремы вытекает, в частности, что при отоб-
ражении (VI.82) и (VI.84) не возникает «щелей» между
смежными элементами.
Вторая теорема дает возможность использовать одни и
те же функции формы как для отображения элементов,
так и для аппроксимации функций. В этом случае |W] =
=[#4, а элемент называется изопараметрическим.
Если при аппроксимации неизвестной функции исполь-
зуется меньше узлов, чем при преобразовании элементов,
то конечный элемент называется суперпараметрическим.
Наконец, если для определения q> вводится больше уз-
226
*лов, чем для задания геометрического преобразования, то
элемент называется субпараметрическим.
:• С переходом к криволинейным координатам возникает
необходимость преобразования дифференциальных и ин-
тегральных выражений. Соответствующий теоретический
материал изложен в гл. П. Применительно к методу конеч-
ных элементов эти преобразования иллюстрируются сле-
дующими задачами.
а — расположение точки (/, 4)\ б — координаты узлов
Задача VI.8. Вычисление якобиана в /.-координатах для треуголь-
ного элемента.
Вычислить якобиан отображения (х, L2) в точке (1,4) для
квадратичного треугольного элемента (рис. 71,а).
Решение.
Формула для матрицы якобиана имеет вид
дх/д!^ ду/д^
дх;дЬ2 ду! dL2
(VI. 86)
Преобразование координат осуществляется по следующим фор-
мулам:
* = + L2X2 + L3X2\ 1
У-£1У1 + А2К2 + ^з> J
Причем
1 = -|-1*2 + L3.
(VI. 87)
(VI. 88)
Подставляя координаты узлов (см. 71,б), получаем: х^=3/.2 + Гз,У=
^2L2 + 6L3, det [7] = 16.
Задача VI.9. Вычисление глобальных производных.
Известен закон преобразования координат (£, т), £) «->(х, у, г) и за-
даны функции формы n, С). Вычислить производные dXi/dx,
dNt/ду, dNt/dz.
15*
227
Решение. Из формул типа
dN dNj дх dNt ду dNj дг
дх д£ + ду д1 + дг д1
вытекает следующее матричное соотношение:
(VI. 89)
dx dy dz ""
di dl dl di
dNj dx dy дг
di) di) di) di)
dNt dx dy дг
di di di di
dNj ( dNj
dx dx
dNj { dNi
dy
dNj dNj
dz дг
(VI. 90)
(/] — матрица Якоби отображения (х, у, z)-*-(£, i), $) (фор.
Здесь I
мулы 11.94).
В матричной форме
dN2
~dT
dN2
дг)
dN2
элемента объема в соответствии с формулой (П.102)
-Xj Л 2Х-
хг уг гг
(VI.91)
дЫ^
dNtldt,
~зГ
dNy
дП
dN[
при этом для
dx dydz = det [7] dg Л) dS-
Обратим матрицу [/]. Это позволяет записать
дЫц'дх
dNt/ду — [j]-i dNt/дц ,
dNt/дг
т. е. получить решение поставленной задачи.
Контрольные вопросы
1. Для чего применяются криволинейные элементы?
2. Каким образом можно использовать функции формы
при построении отображений?
3. Какие элементы называются изопараметрнческими?
суперпараметрическими? субпараметрическими?
4. Что такое якобиан отображения? Как он вычисля-
ется?
4. Приближенное интегрирование
О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Ес-
ли функция f(x) непрерывна на отрезке [a, ft] и известна
228
ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой
функции от а до b может быть вычислен по формуле
Ньютона — Лейбница:
‘ ь
l = $f (x)dx — F (Ь) — F (а).
а
(VI. 92)
Однако во многих случаях первообразная функция
Г(х) не может быть определена или же функция /'(х) за-
дана в узлах некоторой сетки. В этом случае вычисление
определенного интеграла по
формуле (VI.92) невозмож-
но. Аналогичные - вопросы
возникают и при вычислении
кратных интегралов.
В связи с этим важное
значение имеют численные
методы вычисления опреде-
ленных интегралов.^ >
Рассмотрим вначале чис-
Рис. 72. Интегрирование по Ньюто-
ну — Котесу при п-=6
ленное вычисление одно-
кратных интегралов. Обычный прием заключается в том,
что сначала априори выбираются точки, обычно равноот-
стоящие друг от друга, а затем строится полином <р(х), зна-
чения которого точно совпадают со значениями функций в
этих точках, и точно интегрируется (рис. 72).
Поскольку п значений функции определяют полином
степени п—1, то ошибка имеет порядок 0(Д)п, где Д— рас-
стояние между точками.
Так, если функция у = /(|) задана на стандартном про-
межутке [—1, +1] (а этого всегда можно добиться линей-
ным преобразованием, переменной), то получаем квадра-
турную формулу Ньютона — Котсса:
4-1 л
1= f = MVI.93)
—1 i=l
Властности, при п = 2
/ = /(-!)+/(!); (VI.94
при п = 3 (формула трапеций)
' = 4^- 0 + 4/(0) + f(l)l; (VI.95)
о
при п = 4
229
Рис. 73. Полиномы Лежандра
/=4 к*- +34- 4)+v (4)(we)
(формула Симпсона) и т. д.
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА ГАУССА. Поставим те-
перь задачу по-другому. А именно: значения функции бу-
дем вычислять не в априорно заданных точках, а так, что-
бы достигалась наивысшая
возможная для данного ко-
личества 'точек точность.
Положив
4-1 п
/= f =
—1 i=l
(VI.97)
и представив подынтеграль-
ную функцию в виде поли-
нома, для п точек интегри-
рования получим 2п неизве-
стных gz, Hi (i=l, 2, ...,n).
Это позволяет построить и
точно проинтегрировать по-
липом степени 2п—1. Ошиб-
ка интегрирования будет иметь порядок 0(А)2п, т.с. в об-
щем случае существенно меньше, чем при использовании
квадратурной формулы Ньютона — Котеса.
Прежде чем перейти к выводу формулы Гаусса, приве-
дем некоторые сведения о полиномах Лежандра — полино-
мах вида
Р„ (х) =--!---— [(х2 — 1)" ] (п =- 0, 1, 2, ...). (VI.98)
2" л1 dx"
К важнейшим свойствам полиномов Лежандра отно-
сятся:
1) Рл(1) = 1, Р„(- 1) = (— 1)" (п = 0, 1, 2, ...); (VI.99)
4-1
2) [ Ра (х) (х) dx = 0 (k < n), (VI. ЮО)
—1
где Qfc(x)—любой полином степени k, меньшей и;
3) Рп(х) имеет п различных и действительных корней,
которые расположены на интервале (—1, 1).
230
Jia рис. 73 приведены графики первых пяти полиномов
Лежандра:
Рк(х) ~ (*) = х> Ps W = (Зх2 1)/2; 1 ,yi |Q|.
Pt (х) = (5х2 — Зх)/2, Р4 (х) = (35х* — ЗОх2 + 3)/8. |
Перейдем к выводу квадратурной формулы Гаусса.
Пусть функция у={(£,) задана на стандартном промежутке
[—1, 4-1]. Общий случай легко свести к рассмотренному с
помощью линейной замены переменных.
; Решим следующую задачу.
Задача VI.9. Вывод формулы Гаусса.
Определить точки ......tjn и коэффициенты Ht, Н2....Нп так,
чтобы квадратурная формула
/ллы - (Vi. Ю2)
-1. 1=1
была точной для всех полиномов f(£) наивысшей возможной степе-
ни N.
Решение [5]. Поскольку мы можем распоряжаться выбором 2п
постоянных и Hi (i=l, 2, а полипом степени 2а—1 определя-
ется 2а коэффициентами, то эта наивысшая степень в общем случае,
очевидно, равна N=2n—1.
Для обеспечения равенства (VI. 102) необходимо и достаточно, что-
бы оно было верным при
Ш = ......I8'1-1-
Действительно, полагая
+1 п
f = 5 Hi'$ (* = °> >• 2...........2л-1),
—1 /=1
2л—1
W = s Cklk. (VI. 103)
А=0
будем иметь
4-1 2л—1 4;1 2л—I п
Ч S ск С lkdl= ^ск^ =
—1 А=0 -1 А=0 1=1
п 2л—1 л
.= 2 Hi 2 ch $ = 2 Ut /(!,). (VI- >04)
Z=1 ЬО i=l
Учитывая, что
41
1— (— l)fe+x _f2/(£ 1) при k четном 'I
k +1 I 0 при k нечетномj ’
(VI. 105)
можно сделать вывод, что для решения поставленной задачи достаточ-
231
но определить и Hi из системы 2п уравнений
2 Ai = 2' S Ai ^i = °........ S Ai $П~' = 2/(2n~ 1),
1=1 1=1 1=1
g А Й"'1 = °- (VI. 106)
Решение системы (VI.106) выполним следующим образом. Рас-
смотрим полиномы
/(£) = £* рп(1) (Л = 0, 1, 2....п-1), (VI.107)
где Рп(£) — полином Лежандра.
Поскольку степени этих полиномов не превышают 2п—1, то на ос-
новании системы (VI. 106) для них должна быть справедлива формула
(VI.102) и '
-Н . п
f 6 Рп (I) 2 Ht lkipn &) (А = 0. 1.....п — 1). (VI. 108)
—1 /=1
С другой стороны, в силу свойства ортогональности полиномов
Лежандра (свойство 2) выполняются равенства
+1
f lkPn (l)^= 0 при k<n. (VI.109)
—1
Поэтому
2 $ Рп fe) =0 (А — 0, 1.....п - 1). (VI. 110)
1=1
Равенство (VI.ПО) заведомо будет обеспечено при любых значени-
ях Я1, если положить
^и<) = 0 (i=l,2, ... , п). (VI.111)
Таким образом, для достижения наивысшей точности квадратурной
формулы (VI.101) в качестве точек достаточно взять нули соответст-
вующего полинома Лежандра. Как известно [свойство (3)], эти нули
действительны, различны и расположены на интервале (—1, 1). Зная
абсциссы gf, легко можно найти из линейной системы [первые п урав-
нений системы (VI.106)] коэффициенты Hi (i=l, 2,...,п).
Определитель этой подсистемы есть определитель Вандермонда:
Р = П(/г—0)*0 (VI. 112)
(>1
и, следовательно, //,• определяются однозначно.
Формула (VI.102), где — нули полинома Лежандра Рп(£) и Н,
(1=1, 2,.... п) определяются из системы (VI.106); называется квадра-
турной формулой Гаусса.
В табл. 3 приведены абсциссы и весовые коэффициен-
ты квадратурной формулы Гаусса для п=1, 2, ..., 8. На
рис. 74 указаны точки интегрирования квадратуры Гаусса
при п = 2 и п = 3. Очевидно, применение формулы Гаусса
232
позволяет существенно
. уменьшить число точек *
интегрирования, необхо-
димое для достижения
заданной точности вычис-
лений, сокращая тем са-
мым расход машинного
времени при решении на
ЭВМ сложных задач ме-
тодом конечных элемен-
тов. В качестве примера
на рис. 75 приведено сопо-
ставление интегрирова-
ния по Ньютон — Котссу
и Гауссу, обеспечиваю-
щего точное вычисление
интеграла для полиномов
седьмого порядка. В этом
случае при интегрирова-
нии по Ньютону — Котесу
подынтегральное выра-
жение необходимо вычис-
лять в восьми точках, при
интегрировании по Гаус-
су— только в четырех.
Таблица 3. Элементы формулы
Г аусса
п i *1
1 1 0 2
2 1; 2 ±0,57735 1
3 1; 3 ±0,77460 5/9=0,55556
2 0 8/9=0,88889
4 1;4 ±0,86114 0,34785
2; 3 4=0,33998 0,65215
5 1;5 4=0, 90618 0,23693
2; 4 4=0,53847 0,47863
3 0 0,56889
6 1;б +0,93247 0,17132
2; 5 ТО,66121 0,36076
3; 4 4=0,23862 0,46791
7 1; 7 4=0,94911 0,12949
2; 6 4=0,74153 0,27971
3; 5 '4=0,40585 0,38183
4 0 0,41796
8 1; 8 4=0,96029 0,10123
2; 7 4=0,79667 0,22238
3;6 4=0,52553 0,31371
4; 5 4=0,18343 0,36268
а — л=2; б — л=3
ФОРМУЛЫ ГАУССА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И
ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ. Вычисляя интеграл
/ = (VI. 113)
—1 —I
с применением формулы Гаусса, будем иметь
п п
Аналогично для прямой призмы
111 п п п
— 1 —1 -1 Л=1 /=1 1=1
X Я//&, Т1/Л). ' (VI. 115)
Значения Hi и (£,-, т]„ I» приведены в табл. 3. При этом
предполагается, что число точек интегрирования в каждом
направлении’одинаково.
Рис. 75. Сопоставление интегрирова-
ния по Ньютону — Котссу и Гауссу;
а — интегрирование по Ньютону-'-Коге-
су (8 точек); б — интегрирование по
Гауссу (4 точки)
Рис. 76. Точки интегрирования по Га-
уссу, обеспечивающие точное интегри-
рование полинома пятого порядка по
каждой из переменных т):
/ — узлы элемента; 2 — точки интегри-
рования
Из анализа формул (VI.114) и (VI.115) следует, что
двойное суммирование сводится к простому суммированию
по («Хи) точкам для прямоугольника (или п3 точкам для
куба). На рис. 76 показано девять точек, обеспечивающих
точное интегрирование полинома пятого порядка по каж-
дой из переменных.
Докажем формулу (VI.114). Вычисляя интеграл, найдем вначале
значение внутреннего интеграла в предположении, что ц — постоянная:
ffiftti, П)-ФГО- . (VI.П6)
—1 /=1
Перейдем к вычислению внешнего интеграла:
I - f Ф ГО dn --= 5 Hjф Го) = 2 S Hif ’’Л =
-1 /=1 /=1 /=1
234
J Hi f(lit T)>). (VI. 117)
/=1 1=1
Формула (VI.l 15) доказывается аналогично.
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ТРЕУГОЛЬНИ-
КА ИЛИ ТЕТРАЭДРА. Квадратурные формулы для тре-
угольника или тетраэдра основаны на применении L-коор-
динат и имеют следующий вид [14]:
для треугольника
1 1—Li п п
/=[ f (VI.118)
6 6 /=1 i=l
где W — весовые коэффициенты, соответствующие точкам
интегрирования (табл. 4); для тетраэдра:
Таблица 4. Формулы численного интегрирования для треугольников
А В С D Е
Рисунок Ошибка Точки Координаты Весовые коэф- фициенты
А R=0(/i2) а а Lt 1/3 1/2 £г 1/3 0 Ез 1/3 1/2 1/2 1/6
В Л=0(Л2) b 1/2 1/2 0 * 1,6
с 0 1/2 1/2 1,6
а 1/3 1/3 1/3 —27/96
С Я=0(Л<) b 11/15 2/15 2/15 -
с 2/15 2/15 11/15 25/96
d 2/15 11/15 2/15
а 1/3 1/3 1/3 27/120
D /?=-0(А4) b И/2 0 1/2
с d 1/2 0 1/2 1/2 0 . 1/2 8/120
е 0 0 1
f 1 0 0 3/120
8 0 1 0
а 1/3 1/3 1/3 0,11250
Е /?=0(Л6) b а 0 0
с ‘ d 0 0 0 а а 0 0,066197075
е Y Y А
f А Y Y 0,06296959
8 Y А V
П р и к । сч а ние. а=0,05961587; р = 0,47011206; ? = ( ).1О128651; Д= 0.79742699.
235
Таблица 5. Формулы численного интегрирования для тетраэдра
Рисунок Ошибка Точки Координаты Весовые. коэффициенты
L* Lt L, L,
I Я=0(Л2) а 1/4 1/4 1/4 1/4 1
а СО СО. со. 8 1/4
II Я=0(й3) b Р а Р В 1/4
с Р В а р • 1/4
d Р Р Р а 1/4
а 1/4 1/4 1/4 1/4 —16/2СГ
III b 1/3 1/6 1/6 1/6 9/20
с 1/6 1/3 1/6 1,6 9/20
d 1/6 1/6 1,3 1/6 9/20
е 1/6 1,6 1/6 1/3 9/20
* Lj — перпендикуляр к грани напротив первого узла.
Примечание. а=0,58541020; 0=0,13819660.
п п п
I. = 2 22^ L3, LJ. (VI. 119)
Л=1 1=1
Расположение точек и соответствующие весовые коэффи-
циенты приведены в табл. 5.
Контрольные вопросы
1. Какие частные случаи формулы Ньютона — Котеса Вы знас/с?
2. Какими свойствами обладают полиномы Лежандра?
3. Какая основная задача ставится при выводе квадратурной фор-
мулы Гаусса?
4. Какими достоинствами обладает метод интегрирования по Гаус-
су? В чем его недостатки?
5. Как производится интегрирование по Гауссу для прямоуголь
пика? прямой призмы? треугольника? тетраэдра?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Зенкевич О. 3. Метод конечных элементов в ’’Технике: Пер. с англ.
М.: Мир, 1975..542 с.
Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных
сред: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. 464 с.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ.
М.: Мир, 1979. >392 с.
Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с
англ. М.: Мир, 1977. 349 с.
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач:
Пер. с англ. М.: Мир, 1980. 512 с,
Глава VII
ГЛОБАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов можно трактовать как метод
аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью,
представляющей собой множество значений заданной
функции в некотором конечном числе точек области ее оп-
ределения в совокупности с кусочными аппроксимациями
этой функции на некотором конечном числе подобластей.
Эти подобласти называются конечными элементами. К ос-
новным этапам решения задачи с применением МКЭ отно-
сятся: 1) дискретизация области; 2) локальная аппрокси-
мация на отдельном элементе; 3) глобальная аппроксима-
ция кусочпо-полипомиальной функцией, определенной на
всей области; 4) составление системы линейных алгебраи-
ческих уравнений с применением метода Ритца или метода
Галеркина; 5) решение указанной системы относительно
узловых значений; 6) вычисление искомых величин в эле-
менте.
Методы локальной аппроксимации мы рассмотрели в
предыдущей главе. Рассмотрение остальных этапов реше-
ния целесообразно начать с простого методического приме-
ра, не требующего использования ЭВМ. Будем следовать
классическим монографиям [14, 15].
1. Методический пример
Решим следующую задачу.
Задача VII. 1. Конечно-элементная реализация метода
Ритца.
- Применив метод конечных элементов, решить методом
Ритца задачу Дирихле для уравнения Пуассона:
y*u + f(x, »/) = 0; «|? = 0. (VII.1)
Область й — прямоугольник со сторонами 2а, 2Ь
(рис. 77,а).
Решение.
1. Дискретизация области. Процесс дискретизации све-
дем к двум этапам: разбиение области й на линейные
треугольные элементы и нумерация элементов и узлов.
Пусть 2а = 26= 1 см.
В связи с наличием симметрии можно рассматривать
*/8 прямоугольника. Разобьем эту область на четыре эле-
237
мента и пронумеруем элементы и узлы, как показано на
рис. 77, б. '
2ч. Построение интерполяционного полинома для от-
дельного элемента. Рассмотрим элемент (е) с узлами г, д
k. Здесь и в дальнейшем будем использовать последова-
тельную нумерацию узлов против часовой стрелки, начиная
Рис. 77. К задаче VII. 1:
а — область U; б — дискретизация треугольника
С некоторого i-того узла, который выбирается произвольно. Интерполяционный полином вида
uw = cq + а2 х + а3 у (VII .2)
можно представить в следующей форме;
и = NiUi + NfUj + NhUh, < (VII.3)
где
[а^Х^-Х.У/
Nt = + biх + Ci и bi = Y>~ Y* (V L4)
(с^Хь-Х,
_ , (al^XkYi-YkXl
(ai+bjX + с, y)n bj = Yk — Yt (VII.5) 2A v v С/ X^
. (ah^XiY/-XlYi .
Nk = ^T(ah + bkx + cky)n\bll = Yi — Yi (VII.6) [Сл = х,._у/
Здесь 'А — площадь элемента, узловые значения ска-
лярной величины и обозначены U>, U;, Uk, а координаты
соответствующих узлов (X,-, У,), (Х„ У,), (Хк, Ук).
Функция формы N; равна единице в узле i и нулю в уз-
лах j и k. Аналогичным свойством обладают функции фор-
238
мы Nj (равна единице в узле / и нулю в узлах i и k) и АД
(равна единице в узле k и нулю в узлах I и [).
3. Построение интерполяционного полинома для дис-
кретизированной области. Обозначим звездочкой i-тый
узел в каждом элементе.
В результате имеем следующую нумерацию узлов:
Элемент ..............1 2\ 3 4
i...................12 2 4
j................... 2 3 5 5
k................... 4 5 4 »
Для элемента (е)
ы<'> = [дГ> ]((/<«}, (V1I.7)
что приводит к следующей совокупности уравнений для
элементов:
иш = JVp Щ + N?> U2 + Atf” Us,
ua> = N^U2 + N^U. + N^Us, '
«,3> = yv<” U-, + M3> U5+ N?> Us,
u{i> = U4 + N?> U5 + N?> U6.
Каждое из уравнений в системе (VII.8) содержит гло-
бальные узловые значения, по относится к конкретному
элементу. Запишем эти уравнения в расширенной форме:
иа> = М1’ Ui + U2 + 0-иЛ 4- N\" U4 +
-h0-l/5+0f/6;
u<* = 0• t/j + N2*U2 + N?> U2 + 0.U4 +
+ ^U5 + 0.U6; , 9
ui3)=0.Ui+N^)U2 + 0.U-.i + N<4)U4 +
+ M3>t/5+0-C/6;
uli> = O-Ui + 0-U2 + 0 U3 + N?> U4 +
+ U3 + A^6 tA>.
4. Построение матрицы жесткости. Дальнейшее реше-
ние будем выполнять с применением метода Ритца.
Вариационная формулировка поставленной краевой за-
дачи связана с минимизацией функционала («Теоретиче-
ские основы», гл. 9, п. 5);
239
J [и (x, J/)1 = f j" Idu/dx)2 + (dut/dy) — 2uf (x, y)] dx dy (VII. 10)
'd
при граничном условии zz|v = Q.
Используя матричную форму записи, обозначим
(г}=!л“/Г1*ID1= [ди/ду] 10’ -° 1. • (VII. 11)
Тогда легко видеть, что
(ди/дх)* + (ди/ду)- = ( и (VII. 12)
п ‘й 2«f (х, г/)1 dx dy. (VII. 13)
Вспоминая, что функции от и не являются непрерыв-
ными во всей* области, вместо них введем в рассмотрение
функции определенные, на отдельных элементах.
Интеграл в (VII.13) должен быть разбит на интегралы
по отдельным элементам, что дает
J = 2 [я |g"T [О"’] lg" I Л- 2 J j «<*> /<« (х, й da
(V
1.14)
Это соотношение может быть символически записано
следующим образом:
J = Ja> + + /<3’ + J(4> = 2 Jw, (VII. 15)
1=1
где J(e)— вклад отдельного элемента в J. Минимизация 7
требует выполнения соотношения
Л- = -±- V J" = у дЛ. = о (уп.16)
5 {У} d{U}^ Md{U}
е=1 е=1
Найдем производные dJM/d{U}. Учитывая, что
„«> = [#“’] (47), (VII.17)
можно вычислить '
{g)T={du/dxdu/di/}, (VII. 18)
240
что дает:
ди(е)
дх
ди(е)
. ду
dN\c> dM/’ dN(Ge> "|( У1
дх дх ” ’ дх .
dN\e> dNff dN(6e> :
ду ду~ ду J ил )
(VII. 19)
или в сокращенной записи
(g(e’) = [В,е>] {(/}, (VII.20)
.где матрица [В] содержит информацию, связанную с про-
изводными от функций формы.
После подстановки в (VII. 13) получаем
Jw =Jf {С/)т [в<е,Г [D(<,][B<f)](^l <*й —
Q(V;
-2^f(Xty)[N<e>]{U}dQ.
Q<e>
(VII.21)
Воспользовавшись формулами (1.90) — (1.92), выполним
дифференцирование величины /(с) по U2,...,Ue.
4г) П{^Т[5<еТ 1Л<г,1 [BU4 М = 2 JJ[В<еЧт X
Q<O
X [Р<г)][В<е’]{(7}б1й; (VII.22)
^j-2 yjZ(x, y)[N(e)]{U}d£i= 2 JJ f(x, y) d£2.(VII,23)
Q<e> Q
i Вклад отдельного элемента Й(е) в общую сумму
(VI 1.16) равен
= 2 JJ [В(е’]т [D(<)][В(<)] \U\ dQ- 2 JJ f (х, у) X
д о<«) q(«
X [Л^’Рай. (VII.24)
Это выражение может быть записано в компактной
форме:
&/(е)/<Э (U} = ] {I/} — {FW)} = О, (VII.25)
где
[fe,e>] = j* [ [в<п]т[D] [В(г)] i/Й- (VII.26)
Q<₽>
16 г. я. Гун
241
матрица жесткости элемента,
(F<o) = ^f(x,y)\N{ei]rdQ-
Q<«)
(VII.27)
столбец свободных членов элемента. После подстановки выражения (Vll.15) лучим окончательную систему уравнений дЛд {£/} = 2 ([*“’]{<'}- {Fa‘}) = 0 в (VI 1.16) по- (VII.28)
или IK1W-V4, где ио = 2 [*'"]- глобальная матрица жесткости; 6=1 (VII.29) (VII.30) (VII.31)
глобальный столбец свободных членов.
Итак, в рассматриваемой задаче для элемента (е) при
[О] = [/] матрица жесткости запишется в виде
[К<г>] =[Пв<',]Т[5(е>]<«2. (VII.32)
’о"
В частности, для первого элемента
' диа> ] дх 1 — ~ cW}0 • жр дх 0 0 Ui и?
дх дх
да(1) " dN?> 0 0
. ду L ду ду ду
Из формул (VI.15)—(VI.17), (VII.19) следует, что матрица гра-
диентов имеет вид
[в*”] = (1/2) А(,) 5{п tV’ 0 0 0, (VII.33) с^1) 0 0 0
Площадь первого элемента равна
Д(1>= (1/4).(1/4)-(1/2)= 1/32, (1/2)Л(1,= 16.
Коэффициенты b и с равны: =Уг— У4=—0,25; = У4 —
=0,25; -У.-Уг-О; с‘1)=Х4-Х2=0; с.^1’ =*i -Х4=-0,25;
с <’> =Х2-Х1=0,25.
242
После подстановки в (VII.33) получаем:
4 4 0 0 0 0 '
~ L 0 —4 0 4 О О J*
Произведение [В(1)]т равно
(в'1’!1 1b'1’] — Г—4 4 0 0 0 0 О' —4 0 4 0 ()_ [-S 4 0 0 0 01 —4 0 4 0 0J
ИЛИ ~ 16 —16 — 16 0 32 0 0 0 О'! —16 0 0
(в'Ч'Чв'1’] - 0 0 0 0 — 16 0 . ООО 16 0 о •
0 0 0 0 0 0 0.00 ООО.
Вычисляя интеграл (VI 1.26), вынесем* произведение матриц
[В(0] [В(1>], как постоянную величину, из-под знака интеграла:
(VII. 34)
[ ^>1 [В(1>1Т[В(,>1 ff dxdy = [Ba>]r[Ba>]Aa>.
qU)
Поскольку Л*1)—1/32, получаем
о
о
о
о
о
о
1 —1
—I
О
0—1
О
О
Вычислим {F<0):
~N\"~
N“>
О
N\ly
О
_ О _
If f(x, у)
о
—1
о
1
о
о
О
О
О
О
о
о
ОТ
о
о
о
о
0_
dx dy.
I у
2
О
о
о
Пусть, в частности f(x, у) = 96. При вычислении интеграла восполь-.
зуемся L-координатами и формулой (VI.44): L\=N{X>, » Lv—
В результате
16*
243
Итак, для первого элемента получаем следующую систему уравне-
ний:
[ А(1>] {(/} = |F(1>}. (VII.35)
ИЛИ
Г 1 — 1 0 0 0 (П f 1/11 1
—1 2 0 — 1 0 0 1/2 1
1 0 0 0 0 0 0 и3 0
2 0 — 1 .0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 и ъ 0
0 0 0 0 0 0_ [ut] 0
Запишем окончательные выражения для матриц остальных эле-
ментов:
[ л‘2)] {I/} = {f‘2'}
Рис. 78. Узловые значении функции и
°)
1
О
1 •
1
. о
[fc<4>] {U} « {f(4)}
Полная система уравнений
получается алгебраическим сумми-
рованием уравнений для отдель-
ных элементов. Запишем ее в ви*
де
244
1/2
1
1
О
О
О
о
-1ООО
4 _1 —2 О
— 1 2 0—1
—204 —2
0—1—2 4
0 0 0 —1
1
3
1
3
3
1
Величины (73, С/5 и U6 равны нулю, так как соответствующие им
узлы расположены на внешней границе. Преобразуя систему уравнений,
как указано в п. 5, гл. VII, и решая ее, получаем (рис. 78)
Рис. 79. Различные варианты квадратичного четырехугольника
Рис. 80. Стороны квадратичного четырсхуголь- Рис. 81. Построение треуголь-
ника пых элементов
(4 = 7,50; (У3 = 0; (4 = 5,50; Ub = 0; (4 = 4,25; U9 - 0.
Контрольные вопросы
1. Какие этапы решений краевой задачи методою конечных элемен-
тов Вы знаете?
2. Какими свойствами обладают функции формы? Какие значения
они принимают в узлах элемента?
3. Что такое матрица жесткости? Как она 'строится?
4. Как строится функционал, соответствующий краевой задаче?
5. Как реализуется метод Ритца?
6. В чем состоит метод Галеркина? Как он реализуется?
2. Дискретизация области
Дискретизация области включает в себя задание числа,
размеров и формы подобластей, на которые разбивается
данное тело. Несмотря на кажущуюся простоту, решение
245-
этих вопросов имеет большое значение. Стремление лучше
аппроксимировать искомое решение конечно-элементным
побуждает брать количество элементов большим. Однако
даже современные ЭВМ обладают ограниченными возмож-
ностями памяти и быстродействия. Поэтому при решении
многомерных задач приходится обращаться к сеткам со .
сравнительно небольшим числом узлов. Выбор разумного
компромисса зачастую определяется методом «проб и оши-
бок». Во многих случаях приходится уменьшать размеры
элементов в тех областях, в которых ожидаемый резуль-
тат может быстро меняться и увеличивать их в областях с
малым градиентом определяемых функций.
РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ НА ЭЛЕМЕНТЫ С ПРИ-
МЕНЕНИЕМ ЭВМ [14]. Процесс дискретизации обычно
выполняют с применением специально разработанных
программ для ЭВМ. Он включает в себя два этапа: разби-
ение тела на элементы и нумерацию элементов и узлов.
В качестве примера приведем программу GRID.
В программе GRID для предварительного разбиения на
зоны могут применяться квадратичные четырехугольники.
Этот элемент обладает значительной гибкостью: его можно
использовать в качестве'прямоугольника, четырехугольни-
ка, общего вида или треугольника (рис. 79). В последнем
случае две стороны четырехугольника используют для за-
дания одной стороны треугольной зоны.
Восемь узлов, определяющих зону, нумеруются, как по-
казано па рис. 80. Узлу 1 всегда соответствуют координаты
g=T) =—1. Заметим, что одни из угловых узлов (узел 5 на
рис. 80) всегда будет на гипотенузе треугольной зоны.
При рассмотрении каждой четырехугольной зоны вы-
полняются следующие операции [14]: 1) определяется
число строк и столбцов узлов; 2) делается проверка, нет
ли среди граничных узлов таких, которые уже были прону-
мерованы ранее. Если такие узлы есть, то за ними сохра-
няются номера, которые им были приписаны раньше;
3) узлы нумеруются последовательно, начиная от точки с
координатами £ =—1, т) = 4-1 и двигаясь слева направо
(при изменении т| от —1 до +1) и сверху вниз
(при изменении т] от 4-1 до —1). Все узлы, пронумерован-
ные раньше, пропускаются; 4) номера всех граничных у3"
лов сохраняются для последующих рассмотрений соседних
зон; 5) зона делится на треугольные элементы. Каждому
элементу приписывается определенный номер. Вычисляется
величина (/?-Н)> которая сравнивается с наибольшим зна-
чением (R4-1), полученным в предыдущих расчетах.
246
Разбиение зоны на треугольные элементы осуществля-
ется следующим образом. Рассматриваются четыре узла,
которые образуют четырехугольник, как показано на рис.
81. Вычисляются и сравниваются длины двух его диагона-
лей, после чего четырехугольный элемент делится с по-
мощью короткой диагонали на два треугольных элемента.
Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будут рас-
Рис. 82. Смещение узлов, лежащих на Рис. 83. Область, составленная из че-
сторонах четырехугольника тырех квадратичных четырехугольни-
ков
смотрены все множества, состоящие из соседних четырех
узлещ.
Размеры элементов можно варьировать, смещая узлы 2,
4, 6 или 8 относительно середин соответствующих стороны
зоны. Это приводит к перемещению начала местной систе-
мы координат и к разбиению, подобному тому, которое
представлено на рис. 82. Заметим, что координаты узлов,
о которых идет речь, должны оставаться внутри интерва-
лов —1/2<£<1/2 или —1/2<т]<1/2.
Дискретная модель тела обычно конструируется с ис-
пользованием нескольких четырехугольных зон, имеющих
одну или несколько общих сторон. При этом необходимо
задать некоторую дополнительную информацию с тем, что-
бы можно было приписывать узлам, расположенным вдоль
общей границы, одни и те же номера независимо от того,
какая рассматривается зона — так называемые «исходные
данные соединения». Эти данные указывают ЭВМ, как
рассматриваемая зона соединяется с другими зонами.
Пример 1. Область, состоящая из четырех зон (рис. 83).
Данные соединения для отдельной зоны состоят из четырех чисел,
представляющих собой номера каждой из ее сторон. Стороны четырех-
угольника пронумерованы так, как показано на рис. 80: первая сторона
расположена между узлами 1 и 3, вторая — между узлами 3 и 5 и т. д.
Введем местную систему координат (£, т|) и номер зоны. Нумера-
ция зон совершенно произвольна. (Система координат (£, т|) обычно
ориентируется так, чтобы получалась наименьшая ширина полосы лен-
точной матрицы жесткости.) Сторонам каждой зоны соответствуют чис-
ла 1—4.
247
Данные соединения для области, составленной из четырех зон
(см. рис. 83), сведены в следующую таблицу:
Первая строка данных устанавливает, что сторона 1 зо-
ны 1 соединяет ее с. зоной 2, а
Зона Номера зон, соединяемых вдоль сторон
г 1 2 3 4
1 2 3 0 0
2 4 1 0 0
3 4* -0 0 1
4 2 0 0 3
сторона 2 зоны 1 соединя-
ет се с зоной 3. Два нуле-
вых значения строки оз-
начают, что вдоль сторон
3 и 4 зона 1 не соединя-
ется ни с какими другими
зонами. Каждой зоне со-
ответствует своя строка
исходных данных.
Рис. 85. Окончательное разбиение об-
ласти на треугольные элементы
Рис. 84. Предварительное разбиение
области на зоны
Пример 2. Произведем разбиение области, представленной на
рис. 84, с помощью программы GRID. Предварительно область разби-
вается на три зоны [квадрат (2) и два треугольника (1) и (3)]. Окон-
чательная дискретизация области и нумерация узлов приведены на
рис. 85.
Контрольные вопросы
1. К чему сводится дискретизация области?
2. Что такое квадратичный четырехугольник? Какие частные слу-
чаи включает это понятие?
3. Как используются квадратичные четырехугольники в программе
GRID? Как происходит их дальнейшее разбиение?
4. Как определяются исходные данные соединения? Какую инфор-
мацию они содержат?
248
(Хр, Ур) предполагаются'из-
3. Глобальная аппроксимация
ДВЕ ЗАДАЧИ. Для того чтобы рассмотреть последова-
тельность операций, связанных с включением отдельных
элементов в рассматриваемую область, присвоением узлам
глобальной нумерации, а узловым степеням свободы — гло-
бальных значений, решим
следующие задачи.
Задача V1I.2. Интерпо-
ляция скалярной величи-
ны в дискретизированной
области.
Построить интерполя-
ционные полиномы для
функции ф в дискретизи-
рованной области (рис.
86).
Нумерация узлов эле-
ментов (от 1 до 5), гло-
бальные степени свободы
Фь Ф2, ...» Фе указаны на
рис. 86. Координаты узлов
вестными. Номера элементов записаны в круглых скобках.
Решение. Обозначим i-тый узел в каждом элементе
звездочкой (см. рис. 86). Узлы j и k следуют за t-тым уз-
лом в направлении часовой стрелки.
В результате имеем:
Элемент . .
. 1
. 2
. 3
. 1
з
5
3
4
4
1
3
5
2
3
2
4
Ф(€> = [АП {Ф} = [Ме)
/
k
Эти соотношения ставят в соответствие индексы элемен-
та (i, j, k) глобальным номерам узлов.
Для функции ф, изменяющейся в произвольном элемен-
те, имеем следующую аппроксимацию:
N? Ме>] Ф; .
Ф*,
(VII.36)
k в формулу
Подставляя значения индексов i, /,
(VII.36) получаем:
фП> = Ф, -и #<» ф, -L у'1' ф1;
Ф<2) = N? Фз + NT Ф-2 I- Л^’ Ф-G
ф<3’ =-Д^3> ф5 + ф3 + М” ф4;
ф<4> = ф, + N?' Фз + № Ф5.
(VII.37)
249
Легко показать, что функции формы, относящиеся к
разным элементам и к1 одинаковым узлам, в общем случае
не совпадают, так, NF
Запишем уравнения (VII.37) в расширенной форме:
Ф(1) = nF Ф1 + Д#’ ф2 + nF Ф3 + 0 Ф4 + 0Ф5;
<р(2> = 0 • Ф! + М2> Ф2 + М2> Ф3 + М2) Ф4 4- 0 • Ф5;
ф(3» = о • Ф! + о • ф2 4- М3’ Ф3 + nF ф4 4- nF Ф5;
ф<4> = nF Ф! + о ф2 4- nF ф3 + о • ф4 4- nF ф5.
В матричной форме эти уравнения имеют вид
М” nF nF о
л *z<2> л;<2> м<2>
-GO
(4)
Ф1
Ф2
Фз
Ф4
Ф5
(VII .39)
О
о
Опишем порядок глобальной интерполяции векторных
функций. С этой целью рассмотрим следующую задачу.
Задача VI 1.3. Интерполяция векторного поля скорости в
дискретизированной области.
Построить интерполяционные полиномы для векторной
функции v в дискретизированной области (рис. 86), исполь-
зуя методологию решения задачи VI 1.2.
Решение. Для элемента (е) имеем (см. задачу
VI.3):
nF \nF о \nF о
о nF\ о nF\ о nF
(VII.40)
Поскольку нумерация узлов приведена в решении за-'
дачи (V1I.2), в окончательной форме получаем:
250
*1*’ яр 0 лг'” Ч - 0 JV'1’ О 0 0 0 0 0 V1
- < 0 Яр 0 Яр 0 Л#’ 0 0 0 0 v2
0 0 N™ 0 яр 0 яр 0 0 0 V3 V<
0 0 0 Яр 0 jv<2’ 0 яр 0 0 v5
v{3) 0 0 0 0 яр 0 Яр 0 Яр 0 V.
0 0 0 0 0 0 0 Яр V, V»
яр 0 0 0 яр 0 0 0 Яр 0 V»
Г2 j 0 Яр 0 0 0 0 0 0 яр Ую
— (VII.41)
Контрольные вопросы
1. Чем различаются локальная н глобальная аппроксимации?
2. Как показать, что функции формы, относящиеся к разным эле-
'ментам и к одинаковым узлам, не совпадают?
3. Как производится глобальная аппроксимация скалярных функ-
ций? векторных функций?
4. Построение матрицы жесткости
ПРЯМОЕ ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ.
Рассмотренный в задаче VII. 1 метод построения матрицы
жесткости при всей наглядности является весьма неэф-
фективным.
Основной проблемой при практической реализации ме-
тода конечных элементов является проблема экономии
оперативной памяти ЭВМ. *Гак, например, для хранения
компонент матрицы размером 100X100 требуется массив
памяти объемом 1002= 10000 слов. Легко видеть, однако,
что почти все компоненты матрицы [/г(е>] равны нулю. В
рассмотренной задаче матрица жесткости отдельного эле-
мента содержит только девять ненулевых членов.
При сложении матриц жесткости элементов с целью по-
. лучения глобальной матрицы жесткости необходимо запо-
минать ка-к матрицы отдельных элементов, так и матрицу
[JQ. Это также перегружает оперативную память.
Эффективные алгоритмы построения глобальной мат-
рицы жесткости используют метод «прямой жесткости». Он
сводится к следующему.
1. Вначале рассматривается матрица для кон-
кретного элемента. Все глобальные степени свободы, не
251
относящиеся к данному элементу, исключаются из рас-
смотрения. При этом элементу с т степенями свободы со-
ответствует матрица размером mXm, причем функции
формы записываются в порядке чередования индексов уз.
лов отдельного элемента, начиная с i-того.
2. Производится расширение и переформировка матри-'
цы жесткости элемента. При этом столбцам и строкам
матрицы элемента приписываются номера глобальных
степеней свободы, после чего компоненты матрицы рассы-
лаются в соответствующие ячейки глобальной матрицы
жесткости. Если при этом производить суммирование, то
после завершения цикла по всем элементам глобальная
матрица жесткости представляет собой точную матрицу
жесткости [К].
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача VI 1.4. Метод «прямой жесткости».
Построить глобальную матрицу элемента (3) (задача VI 1.1) мето-
дом прямой жесткости.
Решение. Элементу (3) соответствуют узлы 2, 5, 4 и глобальные
степени свободы С/2* ^5> ЧЛ, причем
u<3> = Q.u1 + V.<3) U2 + о из + N?' U4 + N?> U5 + o u6 . (VII.42)
В принятой нумерации узлов элемента /=2, /=5, £=4. Это позво-
ляет записать уравнение (VII.42) в сокращенном виде:
и<3) = N(3) Vi + и5 + N<3) Ut (VII 43)
{Й =
Далее:
ди
дх
ди
ду
1
2Л<3)
г(3) г(3) _(3)
с2 С5 С4
Ut
uf
= [В(3)] {£7<3>}. (VII.44)
ut
Вычисляя коэффициенты др3) и по формулам (VI.15) —
(VI. 17), получаем
{g) =
0 4—4"'
— 4 0
(VII. 45)
иъ
[В{3>] в сокращенной форме в равенство, аналогичное
выполнения операций умножения i . . я
в интегрирования
Подставляя
(VI 1.34), после
0 4 — 4'
-4 0 4
— 0,5
0
— 0,5
0,5
-0,5
-0,5"
— 0,5
1,0 .
4
= [B<3>] {i/t3>}.
О
252
Итак, в результате мы получили матрицу размером 3X3 вместо
матрицы размером 6X6, используемой в задаче VII. 1.
Применив подобную процедуру к интегралу И(3) uf (х, y)dQ при
f(x, y)=96t получим
А(3) (И (П
{F<3>} = ,-----96 1 = 1 .
3 U) UJ
(VII. 46)
В результате для элемента (3) уравнения могут быть записаны
следующим образом:
1 0 — И
О 1^1
— 1 —1 2
£
2
(VII. 47)
Легко видеть, однако, что уравнения (VI 1.47) не идентичны урав-
нениям задачи VII.1. Производя переформирование и расширение мат-
рицы жесткости третьего элемента согласно методике, описанной выше,
получаем
2 S 4
2
[*"] S
(VH.48)
4 -1/2 ГУ?] 7
Таким образом, мы приписали столбцам и строкам матрицы поме-
Рис. 87. Рассылка элементов матрицы
I» I в ячейки глобальной матрицы
жесткости
253
жесткости. Результаты рассылки компонент матрицы [*3] в соответ-
ствующие ячейки глобальной матрицы жесткости представлены ца
рис- 87.
Контрольные вопросы
1. К чему сводится построение матрицы жесткости?
2. Что такое <метод прямой жесткости»? Какие преимущества си
имеет?
3. Как производится рассылка компонент локальной матрицы жест-
кости в ячейки глобальной матрицы?
5. Система линейных уравнений
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ. При использовании метода
конечных элементов получается система линейных уравне-
ний, которая должна быть решена относительно неизвест-
ных узловых параметров.
При правильной нумерации узлов матрица системы —
глобальная матрица жесткости — ленточного типа, т. с.
все ее ненулевые элементы располагаются вблизи главной
диагонали, а все коэффициенты за пределами некоторой
полосы, ограниченной линиями, параллельными главной
диагонали, равны нулю (см. формулу (1.70)]. ,
Результирующая.система имеет вид
[К]{Ф} = {К). (VII.49)
Поскольку, как правило, некоторые составляющие {Ф}
определены граничными условиями, система (VI 1.49)
должна быть преобразована. Так, если "фиксирована одна
степень свободы узлового параметра, то преобразование
системы уравнений представляет собой двухшаговую про-
цедуру. Пусть, например, известно значение Фь; преобра-
зование сводится тогда к следующему:
1. Все коэффициенты пятой строки, за исключением
диагональных, приравниваются нулю. Диагональный член
остается неизменным. В форме равенства это выглядит как
K5j = 0 при / = 1, ..., п и /=/=5. Соответствующая компонента
F5 вектора {F} заменяется на произведение АььФь-
2. Все остальные уравнения преобразуются вычитанием
произведения А/зФз из F, и подстановкой Kjs,
j =#= 5.
Одним из наиболее эффективных методов решения сис-
темы уравнений, которые получаются при использовании
метода конечных элементов, является известный вариант
метода исключения Гаусса. Матрица системы преобразу-
ется к треугольному виду, после чего решение получается
обратной прогонкой. Метод Гаусса описан в гл. 1.
254
ОБЩАЯ БЛОК-СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЙ. На рис. 88
представлена общая блок-схема вычислений. Предвари-
тельная информация о числе уравнений, числе элементов и
ширине полосы матрицы не-
обходима для того, чтобы
в исходном состоянии гло-
бальную матрицу жесткости
и глобальный вектор нагруз-
ки можно было заполнить
нулями (предварительная
чистка матриц), поскольку в
процессе счета эти матрицы
составляются путем сумми-
рования.
Далее следует цикличес-
кая операция, выполняемая
для каждого элемента,
включающая в себя ввод ис-
ходной информации об эле-
менте, составление матриц
элементов и рассылку их в
глобальные матрицы. Кон-
кретная информация об
элементе включает номер
элемента и номера узлов,
координат узлов элемента.
Информацию об элемен-
те целесообразно вывести на
печать где-либо внутри ука-
занного цикла. Это позволит
убедиться, что эти данные
правильно отперфорированы
и введены в нужном поряд-
ке.
Ввод узловых сил, если
вообще это требуется, и со-
ставление глобального век-
тора нагрузки {/•} осущест-
вляются после -завершения
указанного выше цикла по
элементам. Вектор узловых
сил содержит величины, ко-
торые связаны с определен-
ным узлом, а не с опреде-
ленным элементом.
Рис. 88. Блок схема программы, реали-
зующей метод конечных элементов
255
• После ввода узловых сил производится ввод заданных
узловых значений искомой величины. Необходимая моди-
фикация системы уравнений выполняется так, как описано
в гл. VI.
После преобразования системы уравнений проводится
решение этих уравнений относительно неизвестных узловых
значений. Существует несколько процедур построения ре-
шения. Одна из них уже обсуждалась в данной главе. Сис-
тема уравнений имеет специальный вид: ее матрица лен-
точная, причем диагональные элементы обычно положи-
тельны и доминируют над элементами соответствующих
столбцов и строк вне главной диагонали. Этр позволяет
многие достаточно общие процедуры решения видоизме-
нить так, чтобы повысить их эффективность.
После решения системы уравнений осуществляется вы-
вод узловых значений. Если результанты элементов не вы-
числяются, то этот этап является завершающим.
Контрольные вопросы
1. Что такое ленточная матрица? Симметричная матрица? Положи-
тельно определенная матрица?
2. Как преобразуется результирующая система при фиксированных
степенях свободы?
3. В чем состоит метод Гаусса решения системы линейных алгебра-
ических уравнений? В чем заключаются его достоинства и недостатки?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
Зенкевич О. 3. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ.
М.: Мир, 1975. 542 с.
Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных
сред: Пер. с англ. М.: Мир, 1976. 464 с.
Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ.
М.: Мир, 1979. 392 с.
раздел III МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ.
ДИАЛОГОВЫЕ СИСТЕМЫ
решение проблемы оптимизации технологических процес-
сов в настоящее время не может ограничиться чисто эмпи-
рическими подходами, основанными па обобщении произ-
водственного опыта. В связи с .этим развитие теории обра-
ботки металлов давлением идет в направлении создания
методов достаточно точного количественного описания
технологических процессов с учетом большого числа факто-
ров, т. е. их математического моделирования.
Используя феноменологический подход, исследователи
не рассматривают какие-либо конкретные модели и меха-
низмы мнкропроцессов, происходящих при пластической
деформации металлов и сплавов. На основании опытов по
нагружению макрообразцов (М-опытов по терминологии
А. А. Ильюшина) устанавливаются конкретные реологиче-
ские свойства, способность к пластической деформации без
разрушения сплошной среды — абстрактной модели реаль-
ного металла. В результате исследование процессов пла-
стической деформации обрабатываемого тела сводится к
анализу решения некоторой краевой задачи математиче-
ской физики, т. е. к изучению распределения напряжений и
деформаций,, температурных полей, условий разрушения.
Применение методов теории управления системами с
распределенными параметрами позволяет поставить задачу
об оптимизации в некотором смысле (например, по произ-
водительности, точности геометрии, качеству поверхности
и т. п.) процесса обработки металлов давлением.
Итак, центральной проблемой построения математиче-
ской модели процесса неизотермического пластического те-
чения является проблема решения соответствующей крае-
вой задачи. Возникающие при этом трудности связаны с
существующей нелийейностью и громоздкостью многих
уравнений, сложной геометрией области,течения, необхо-
димостью определения границ пластических зон.
Как мы уже отмечали, к наиболее перспективным мето-
дам решения краевых задач пластического течения следует
отнести конечно-разностные и вариацнопно-сеточные мето-
ды. Их отличают универсальность, быстрая сходимость й
устойчивость, наличие развитого математического обеспе-
чения, ориентированного на современные ЭВМ. Примене-
ние этих методов в сочетании с локальными (для отдель-
17 Г. Я. Гун
257
ных конечных элементов) и глобальными (для области в
целом) отображениями с переходом к таким каноническим
областям, как прямоугольник, прямоугольный параллеле-
пипед, позволяет создать универсальные алгоритмы для
решения широкого класса прикладных задач.
Практическая реализация алгоритмов приводит к раз-
работке комплекса программ математических моделей на
основе специальным образом организованного пакета
прикладных программ (см. Введение). При этом удается
обеспечить возможность быстрого развития и совершенст-
вования математического обеспечения и, главное, создания
диалоговых систем.
Диалоговую форму общения с ЭВМ в настоящее время
следует считать наиболее эффективной. В режиме диалога
пользователь может не только наблюдать на экране дис-
плея изолинии скоростей, температур, напряжений, вероят-
ностей разрушения, но также изучать влияние изменения
технологического режима на эти параметры, решая вместе
с ЭВМ проблему оптимизации процесса.
Глава VIII
СТРУКТУРА И АЛГОРИТМЫ МОДЕЛЕЙ
При построении математической модели неизотермическо-
го пластического течения при обработке металлов давле-
нием необходимо решить несколько проблем. Прежде всего
нужно достаточно полно описать реологические свойства
реального металла. Далее, необходимо поставить краевую
задачу и выбрать эффективный метод ее решения. Нако-
нец, реализовать алгоритм в виде комплекса математиче-
ских программ для ЭВМ, предусмотрев возможность удоб-
ной формы общения с машиной.
Наметим следующую схему решения. Для описания
реологического поведения сплошной среды воспользуемся
достаточно общим и эффективным аппаратом механики
наследственных сред — представлением связи между на-
пряжениями и скоростями деформации в виде интегралов
типа свертки:
t
Sih = jT)i)ih(T)dT,
о
t
т)6о(т)Л,
о
.258
где R(t, т) и Ro(t, т)—некоторые функции, называемые
ядрами и описывающие влияние всего процесса деформиро-
вания окрестности материальной частицы на напряженное
состояние в момент времени t. Тем самым мы вводим в
рассмотрение новый тип сплошных сред — среды с па-
мятью-. Как известно, горячая пластическая деформация
металла с высок’ой скоростью деформирования является
термодинамически неравновесным процессом. Это приво-
дит к тому, что связь между напряжениями, скоростями
деформации и деформациями является неоднозначной. Ве-
личина напряжений в значительной степени определяется
тем путем, по которому происходит развитие деформаций
(скоростей деформаций) во времени. Другими словами,
история процесса оказывает значительное влияние на на-
пряженно-деформированное состояние при обработке ме-
таллов давлением. Использование модели среды с памятью
позволяет математически описать это влияние.
Вместе с тем использование интегральных соотношений
между напряжениями и скоростями деформации, записан-
ных в матричной форме, позволяет решить другую пробле-
му — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в об-
щем случае ядра R(t, т) и Ro(t, т)—функции инвариантов
тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформа-
ций, температуры, степени деформации. Однако, организо-
вав итерационный процесс при численном решении краевой
задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации счи-
тать, что эт1г величины определены предыдущим приближе-
нием. В этом случае определяющие уравнения становятся
линейными. Применяя проекционно-сеточные методы реше-
ния краевых задач, в конечном счете приходим к линейной
системе алгебраических уравнений для определения иско-
мых параметров.
Проблему общения с ЭВМ решает использование диа-
логовых систем в сочетании с параллельной работой в ре-
жиме разделения времени нескольких дисплеев. Для ЭВМ
СМ-4 такие возможности обеспечивает операционная систе-
ма реального времени ОС—РВ. '
1. Определяющие уравнения
наследственного типа
НАСЛЕДСТВЕННАЯ СРЕДА. Из теории определяющих
уравнений (см. также «Теоретические основы», гл. VI)
следует, что при пластической деформации напряжения в
исследуемом элементе объема в общем случае определя-
17*
259
ются характеристиками всего предшествовавшего процесса
изменения компонент деформации, скорости деформации
температуры, а не их текущими значениями. Другими сло-
вами, термомеханические свойства различных сред связа-
ны с видом функционалов ТО = ТО[Т. (т)] Установим об-
щие свойства таких функционалов, начав с линейных со-
отношений для изотермических процессов.
Рассмотрим множество Ht функций <р(т), определенных
на отрезке [0, /]. Определим в Hf скалярное произведение
следующим образом:
(. •
(Ф1. 4>2) = Jp(f. т)Ф1(т)ф2(т)</т. (VIII.1)
о
где р(/, т)—некоторая положительная функция. Легко по-
казать, что аксиомы скалярного произведения (гл. I, п. 1)
удовлетворяются, а пространство Hi является полным от-
носительно метрики, порождаемой скалярным произведе-
нием (VIII.1),т.е. гильбертовым.
Общий вид линейного функционала в этом пространст-
ве следующий:
/ t
^(Ф)= fР(/. ’)Ф*(т)Ф(т)dx = ( т)ф(т)4т, (VIII.2)
b о
где принято обозначение
Кф (t т) = р (t, х) ф* (т) (VIII.3)
Применим полученные результаты к установлению ли-
нейной зависимости между напряжениями и скоростями де-
формации для наследственной среды.
Так как общая линейная изотропная зависимость между
двумя симметричными тензорами Тг и Ту сводится к двум
скалярным соотношениям, связывающим отдельно девиато-
ры и шаровые тензоры (см. «Теоретические основы», гл. 1,
п. 3), то, выбирая в качестве Тг тензор напряжений Т о,
а в качестве Ту тензор скоростей деформаций Tg, можем
записать:
«ih = | R (i. т) tiih (т) dx-, (VIII.4)
()
t
<Т0 = f Ro (t t) So (t) dx, (VIU. 5)
b
260
где интегрирование для элементарного объема выполняет-
ся вдоль его траектории в физическом пространстве. Функ-
ции и /?о(Лт). называются соответственно ядрами
сдвиговой и объемной релаксации.
Если предположить, что состояние материала не зави-
сит от начала отсчета времени, то ядра сдвиговой и объем-
ной релаксации станут ядрами разностного типа:
R(t, т) = /?(/--г); Ra(t, т) = Я0(/-т). (VIII.6)
Для анизотропной сжимаемой среды линейная наслед-
ственная зависимость между напряжениями и скоростями
деформации будет иметь вид
t »
Oik = j Rikpq (Л T) (Т) dt. (VIII. 7)
где [₽<fcp9] — тензор ядер релаксации.
Из ковариантности этого соотношения и симметрии тен-
зоров Т а, Т s следует, что [/tapj—тензор четвертой валент-
ности, симметричный относительно первой и второй пар ин-
дексов. Отсюда следует, что из 81 компонент этого тензора
независимыми являются только 36; термодинамические со-
отношения позволяют уменьшить число независимых ядер
до 21.
. Для ортотропной среды, обладающей тремя взаимно
перпендикулярными плоскостями симметрии, только девять
из ядер Rihpq будут отличными от нуля:
Яиц = Л1, /?2222 = Л2, /?зззз = Лз;
^1123 = ^4, Яцзз = Лв, /?22зз = Л8;
^1212 = Л9, ₽1313 = Л7, /?2323 = Д»
(VIII. 8)
Переходя к средам, обладающим более сложной реоло-
гией, для которых связь между напряжениями и скоростя-
ми деформациями нелинейна, примем в качестве определя-
ющих уравнений зависимости (VIII.4), (VIII.5), (VIII.7).
При этом, однако, будем полагать, что ядра R(t,r), Ro(t,t),
[Rihpq (t, т)] являются функциями температуры, некоторой си-
стемы инвариантов тензоров напряжений и скоростей де-
формации, степени деформации Л, относительного измене-
ния объема Д и т. д. Таким образом, уравнения (VIII.4),
(VIII.5), (VIII.7), имея линейную форму, описывают суще-
ственно нелинейные зависимости. Используя метод последо-
вательных приближений, удобно считать, что перечислен-
ные параметры определены из предыдущей итерации, т. е.
являются известными функциями координат и времени т,
0<т</.
261
Используя матричную форму записи, будем иметь сле-
дующие зависимости:
1. Для изотропной несжимаемой среды
W = [L(...)] {ч}, (VIII.9)
гДе {$}Т = {$11 $22 $33 '$12 S23 $31} J
{n}T = {Пн Пи: 2rli2 2т1гз 2т1л}.
[/.(...)] — матрица-оператор размером 6X6, боковые компо-
ненты которой равны нулю, а на главной диагонали распо-
ложены интегральные операторы:
t
/ R(t-r)(...)dr О
о
(VIII.10)
t
О JR(t-T)(...)dT
о J (6«6) '
2. Для изотропной сжимаемой среды
(а)-1И ..>| IFI- ' <™н>
Матрицы {о} и {£} определены на с. 136.
Матрица-оператор [L (...)] в этом случае имеет размер
7X7 и следующую структуру:
t
f(t,r)(.,.)dr О
о *•,
•. t I
j-fR(t,T)(...)dr\
-------------£-------------------------------
О \jfa(t,T)(...)dr
(VIII. 12}
(7* 7)
3. В общем случае анизотропной сжимаемой среды
(а) =[£(...)] {£}, (VIII.13)
где матрицы {о} и {£} определены на с. 126.
матрица [L (...)] размером 6X6 имеет вид •
[£(...)! = [J *)(...) (VIII.14)
Ядра Pik являются линейной комбинацией ядер Rtkpq-
262
СРЕДА . ПРАНДТЛЯ — РЕЙССА И ЕЕ АНАЛОГИ.
Принятая нами форма квазилинейных определяющих урав-
нений наследственного типа обладает большой общностью.
В частности, она позволяет описывать реологические свой-
ства упруго-пластических сред типа среды Прандтля —
Рейсса.
Изучение поведения таких сред начнем с простейшей
модели вязко-упругой среды Максвелла (см. «Теоретические
основы», гл. 6, п. 1) для одноосного напряженного состоя-
ния (растяжение стержня). Соединим последовательно уп-
ругий и вязкий элементы. Скорость деформации g растяну-
того стержня есть сумма упругой £,е= (l/Е) da/dt и вязкой
£р=о/р составляющих, отвечающих одному и тому же на-
пряжению а:
= (1/Е) da/dt + а/ц/
(VIII. 15)
где р — коэффициент вязкости.
Легко видеть, что при постоянном напряжении (<т=const,
da/dt= 0) материал ведет себя, как вязкая жидкость.
С другой стороны, при постоянной деформации (e=const,
dE/at=ty в растянутом стержне происходит релаксация на-
пряжения а—оно падает по экспоненциальному закону: а—
=а(0) exp [ — /До]. где величина to=y,/E называется време-
нем релаксации.
Наделим среду Максвелла более сложными реологиче-
скими свойствами. Будем считать коэффициент вязкости ц
функцией температуры •&, напряжения а, деформации е,
скорости деформации Поставим следующую задачу.
Задача VI 11.1. Определение наследственного ядра.
Связь между напряжениями а и скоростью деформации 5 при одно-
осном растяжении стержня описывается уравнением
Считая скорость деформации заданной функцией времени /, найти
зависимость o(t).
Решение. Воспользуемся методом последовательных приближе-
ний. На каждой итерации будем считать; что температура, напряжения,
деформации, скорости деформаций являются известными функциями
времени, определенными в предыдущей итерации, т. е. ц = ц(0. Запи-
шем уравнение (VIII.16) в следующем виде:
(VIII. 17)
Общий интеграл этого уравнения:
г t -1 t
<J = exp
Edk
P(M
о0 + £ I exp
pW
(VIII. 18)
263
где X — параметр интегрирования, ст(0) =о h =0.
Пусть, в частности, о(0)=0. Тогда для очередной итерации напря-
жение в произвольный момент времени / определяется формулой
t
0(О=| R(t — T)£(x)dT, (VIII. 19)
6
где
R (t — т) = E exp
EdX
(VIII. 20)
Перейдем теперь к рассмотрению трехмерного напряжен-
ного состояния. Допустим, что скорости деформации мо-
гут быть представлены в виде суммы упругой tjk и пласти-
ческой tfk составляющих, причем для девиаторных состав-
ляющих справедливы соотношения
^a=W2G; (VIII.21)
= (VIII.22)
где G — модуль сдвига, g—Т/Я₽,Т = p (l/2)s;fts/A
Н' = /2гй<.
»
Пусть связь между средним напряжением а0 и скоростью
относительного изменения объема go имеет упругий харак-
тер:
а0 = 3^. (VIII.23)
Точки над компонентами, девиатора напряжений в фор-
муле (VIII.21) означают дифференцирование по времени.
Следует подчеркнуть, Что в отличие от интегрирования в уравнени-
ях (VIII.4), (VIII.5), (VIII.7) операция дифференцирования тензора по
времени далеко нс элементарна. Результатом дифференцирования сно-
ва должен быть тензор. Легко видеть, например, что вычисление пол-
ной производной от компонент тензора нарушает тензорный закон пре-
образования компонент при переходе к новым коордийатам.
Известно несколько вариантов корректного вычисления производ-
ных тензора.
Так, можно говорить о вращательной производной (производная
Яумана), нижней и верхней конвективных производных (производные
Олдройда) и т. д.
Считая x\ik и go заданными функциями времени, для оп-
ределения Sf* и Go имеем следующие соотношения теории
Прандтля — Рейсса.
264
В упругой области:
S/fc/2G = T)Ift (/);
0о = Ж (0;
в пластической области
sifc/2G + sife/2£r = T|/ft(0;
<Т0 = (t),
(VIII.24)
(VII1.25)
(VIII.26)
(VIII.27)
где функция g=T/Hp зависит от О, Н, Л......... Используя,
как и в задаче (VII 1.1), метод последовательных приближе-
ний, будем считать , что для каждого момента времени т,
0<т<7 величина g(x) определена из предыдущей итерации.
В результате уравнение (VIII.26) запишется в виде
slk + Н₽ (G/T)sfft = 2Gnih (0. (VIII.28)
Это же уравнение можно использовать и в упругой облас-
ти, положив при этом Н₽=0. Непосредственное интегриро-
вание уравнения (VIII.28) затрудняется необходимостью
выбора типа производной stk и записи соответствующих
сложных соотношений. Поэтому поступим по-другому —
введем среду, свойства которой описываются зависимостями
Sik = [₽(/ — т) TLft (т) dr-, (VIII .29)
6
i
ст0 = \R0(t —т)?0(т)^т, •
6
где ядра релаксации R(t— т) nRo(t — т) равны
R (t— т) = 2G ехр
H"(X)(G/T(X))dX
7?о (I—т) = 3k — const.
(VIII.30)
(VIII.31)
(VIII.32)
Легко видеть, что эти зависимости обобщают решение
задачи VIII.1 и соответствуют случаю, когда представ-
ляют собой обычные производные по времени t. Поэтому
введенная нами среда обладает свойствами, несколько от-
личающими ее от классической среды Прандтля — Рейсса.
ЖЕСТКО-ПЛАСТИЧЕСКАЯ НЕСЖИМАЕМАЯ СРЕ-
ДА. В заключение покажем, что реологические свойства на-
иболее привычной нам жестко-пластической несжимаемой
среды так же, как частный случай, описывается зависимо-
265
стями (VIIL4), (VIII.5). Для этого вспомним свойства б-
функции Дирака б(/) (см. гл. I, п.1):
г
б (/ — т) <р (т) dx = <p (/). (VIII .33)
о
Приняв, R(t,x) =2gd(t— т), получим основные зависи-
мости теории течения:
t
sik = f 26 (t — т) (т) dx = 2gn, v (VIII .34)
о
Вместе с тем пользоваться уравнением (VIII.5) для не-
сжимаемой среды нельзя. В этом случае £0-Ч), R0(t,x)-+<x>
и величина на оо остается неопределенной. Для ее определе-
ния необходимо использовать уравнения движения (равно-
весия) .
Контрольные вопросы
1. Что такое гильбертово пространство? Как определяется в нем
скалярное произведение? Каким аксиомам оно удовлетворяет?
2. В какой форме записываются ядра сдвиговой и объемной ре-
лаксации, если состояние материала не зависит от начала отсчета вре-
мени?
3. Какую валентность имеет тензор ядер релаксации? Сколько не-
зависимых ядер содержит?
4. Как записываются уравнения теории наследственных сред для
анизотропной сжимаемой среды? для изотропной сжимаемой среды?
для изотропной несжимаемой среды?
5. Какими свойствами обладает среда Максвелла? среда Прандт-
ля — Рейсса?
2. Численная реализация начала
виртуальных скоростей
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА. Запишем в матричной форме замк-
нутую систему уравнений, описывающих течение наследст-
венно упрочняющейся пластической среды.
В систему входят:
уравнения равновесия
[<Э(...)]Т (а) =0; (VIII.35)
определяющие уравнения наследственного типа, записан-
ные в линеаризованном виде:
(a) =[L(...)HB); (VII1.36)
кинематические соотношения для скоростей деформации
{В( = (...)] (о). (VIII.37)
266
Матрицы-операторы [d (...)] и [L] определены формула-
ми (III.36), (VIII.10), (VIII.12), (VIII.14).
Присоединим к этим зависимостям уравнение теплопро-
водности:
(dO/Л) = х {V°}T Ml + v {£}т {or}. (VIII.38)
Сформулируем механические граничные условия. За-
фиксируем время t и положим S=Si>+Sa +St .
Рис. 89. К постановке краевой задачи
Обозначая «звездочкой» заданные функции точки М
границы S, будем иметь следующие граничные условия (рис.
89):
на Sa заданы скорости
= у*(Л4); (VIII.39)
на Sa заданы напряжения
CT"1S(j = o?(iW). (VIII.40)
На контактной поверхности ST граничные условия име-
ют смешанный характер. К ним относятся условие обтека-
ния границ
*„|St = W (VIII.41)
и закон трения
T|St = т> (М)7„ 7, , (VI1I.42)
где vn — нормальная составляющая скорости; Ду — вектор
скорости относительного скольжения на ST .
Для т* (Л4) примем закон прандтлева трения T*=fos.
Если область Su совпадает со всей поверхностью S, а
среда несжимаема, то заданные поверхностные скорости
должны удовлетворять условию несжимаемости, отнесен-
ному ко всему телу: поток вектора скорости через поверх-
ность S равен нулю.
267
Пусть наряду с механическими известны и температур,
ныс краевые условия, определяющие начальное распреде-
ление температуры и условия теплообмена на граничной
поверхности.
Будем предполагать, что существует некоторая проце-
дура, позволяющая, зная поле скоростей в любой проме-
жуточный момент времени (Оа$С/'</), однозначно опреде-
лить для произвольного момента времени t конфигурацию
деформируемого тела в целом, конфигурацию его жестких
частей, температурное поле и все параметры, входящие в
определяющие уравнения.
Поставим краевую задачу следующим образом: для
мгновенной конфигурации тела, находящегося под воздей-
ствием внешних нагрузок, определить в области течения D
функции vit Oik, —, удовлетворяющие граничным условиям и
обращающие уравнения (VIII.35) — (VIII.38) в тождества
по независимым переменным Xi.
Для решения этой задачи можно воспользоваться вари-
ационными принципами механики сплошных сред.
НАЧАЛО ВИРТУАЛЬНЫХ СКОРОСТЕЙ. Рассмотрим
гильбертово-яространство L2, элементами которого являют-
ся заданные в области D векторные функции и = {о} —
такие, что
f f f {о}т {»} dW = f f f + vl + o|) dW < oo. (VIII.43)
J D . ’ D V
, Скалярное'произведение в этом пространстве определим
равенством
(и, ?) = f ff {u}T {«} dW = f f [(мЛ + ад+ u3v3) dW(VIII.44)
vb ’ b'
Выберем в пространстве L2 некоторый элемент y°={v°},
удовлетворяющий кинематическим граничным условиям
(VIII.39), (VIII.41), непрерывный _и непрерывно-дифферен-
цируемый в замкнутой области D = D-{-S. Этот элемент
представляет собой одно из кинематических возможных по-
лей скоростей, в общем случае отличное от действительно-
го; назовем его «опорным» полем скоростей.
Рассмотрим линейное пространство'£<=£2, элементами
которого являются векторные поля, также непрерывные и
непрерывпо-диффсрснцирусмые в D и удовлетворяющие од-
нородным граничным условиям
S, “ % » ' (VIII.45)
гее
Очевидно, действительное поле скоростей v может быть
представлено в виде суммы опорного поля у° и поправочно-
го у':
у=у° + у', (VIII.46)
где v^E.
Если среда несжимаема, потребуем дополнительно, что-
бы опорное решение Уо и элементы пространства Е удовлет-
воряли условию‘несжимаемости, т. е. представляли собой
соленоидальные векторные поля.
Пусть v1, v-,..., ит есть некоторая полная линейпо-неза-
висимая система элементов Е. Назовем ее-координатной
системой, а ее элементы — координатными функциями. Обо-
значим FW линейную оболочку элементов у*. Легко видеть,
что F^dE.
Будем проектировать множество Е на Е(то) и искать при-
ближенное решение в виде отрезка ряда
г т m
0(m> + (V1II.47)
i=l
Таким образом, мы используем проекционный метод ре-
шения задачи о движении сплошной среды (см. «Теорети-
ческие основы», гл. 9, п. 2).
Поле скоростей у(т> при любом натуральном m и любых
значениях коэффициентов а, является кинематически воз-
можным. Критерии, которыми можно руководствоваться
при выборе коэффициентов а(, могут быть различными.
В результате мы приходим к различным модификациям
проекционного метода.
Остановимся на методе моментов. Введем наряду с ко-
ординатной системой еще одну полную линейно-независи-
мую систему векторных функций 6»', бу2,..., бу"*, принадле-
жащих линейному пространству Е, т. с. непрерывных,
непрерывно-дифференцируемых и удовлетворяющих одно-
родным граничным условиям (VIII.45). Назовем ее проекци-
онной системой. Пусть G^— линейная оболочка элементов
бу'. Образуем поле виртуальных скоростей 6yeG(m) следу-
ющим образом:
е^ = 2&,.бу< (VIII.48)
(=1
269
Поскольку уравнение начала виртуальных скоростей
должно выполняться для любого поля 6у, оно должно вы-
полняться и для каждого элемента проекционной системы.
Обычно проекционную систему би* выбирают так, что она совпа-
дает с кЬордипатпой системой у*. В результате метод моментов сводится
к методу Галеркина. Если задачу о движении сплошной среды можно
привести к вариационной задаче и минимизации некоторого функциона-
ла /, применение метода Ритца и определение коэффициентов а,- из
условия dl/ddi^Q также приводит к тем же результатам. Для того
dv<ш) ->
чтобы убедиться в этом, достаточно учесть, что —--= vi= би* ,
OCLi
Вместе с тем в последнем случае существенно облегчается доказа-
тсльство сходимости последовательности приближенных решений к точ-
ному решению.
Перейдем к матричной записи и формированию алгебра-
ической системы, соответствующей линеаризованной крае-
вой задаче. Введем некоторую координатную систему функ-
ций Af,-, удовлетворяющую условиям полноты, линейной не-
зависимости и запишем формулу (VIII.47) следующим
образом:
,{ц) = {цо} 4-[АЛ {a} (V1II.49)
При этом предполагается, что при любых значениях кон-
стант, { а } удовлетворяются кинематические условия зада-
чи. В общем случае не предполагается, что { а } —узловые
переменные, a jW] — функции формы метода конечных эле-
ментов; запись уравнений (VIII.49), например, может быть
следующей:
Аналогично, используя метод Галеркина, запишем
{6v( = [АЛ (ба), (V1II.50)
где ба — произвольные константы.
Сформулируем начало виртуальных скоростей для по-
ставленной выше задачи следующим образом: для того что-
бы поле симметричного тензора напряжений [о(д] было ста-
270
тически возможным, необходимо и достаточно, чтобы для
любых виртуальных скоростей выполнялось уравнение
J [ (6о}т {о") dS + f [ {6о}т (tJ dS = J f j* {6£}T {o}dW, (VIII.51)
4 4 'D
где {т} = К т2 t3}, Tf =— t* .
Вычислим напряжения а,л. С этой целью найдем скоро-
сти деформаций:
ф =(д (...)! М =ld(...)]{v0}+ [#{«};) (VIII52)
{6|} = [Bl {6а}, I '
где [В] — матрица производных координатных функций:
[В] = [д (...)! [М. (VIII.53)
Для общего случая анизотропной сжимаемой среды, вос-
пользовавшись соотношением (VIII.13), получаем
{о} = [£) ф = [£] [5(_..)] {«<»} + [£] [В] {a}. (VII1.54)
После подстановки (VIII.52) и (VIII.54) в уравнение
(VIII.51), учитывая, что {6и}т = {6а} т [V] т , {6£}т =
= {6а}т [В]т, и вынося за знаки интегралов множитель
{6а}т, получаем
{6а}т ([/<1 {а} - {F}) = О, (VIII.55)
где матрица жесткости [/<] равна
1К1 = ([ ([В1т [£] (Bl dttZ - (VIII.56)
и вектор {F} определяется формулой
{F} = С f [Мт {ал} dS + [ ([Мт {т} dS -
ч <
— f [В]т [£] [д(...)] {о0} dW. (VIII.57)
D
Из произвольности {ба} следует уравнение
ttf]{a} = {F}. (VIII.58)
Отметим, что линейность системы (VIII. 58) является
следствием линеаризации задачи за счет использования
итерационного процесса последовательных приближений в
совокупности с записью определяющих уравнений в форме
(VIII.13).
271
Если среда несжимаема, то удобно ввести дополнитель-
но в качестве искомой функции среднее напряжение о0, ис-
пользуя разложение
<Го = {Я}Т{6}. (VIII.59)
где Н\, Н2,.... Hh,... — координатные функции.
Вместе с этим необходимо включить в систему уравне-
ние несжимаемости
3^ = 4^+4^-+-Г^- = 0- (VIII.60)
dxi дхг дх3 '
Используя метод Галеркина, запишем условие ортого-
нальности невязки этого уравнения по отношению к коор-
динатным функциям Hh'.
ЩЯЛ^ = 0. (VIII.61)
Объединяя переменные {а} и {Ь} по схеме
{*} = {$» (VIII.62)
получаем следующую систему:
[К]{ф} = {£}, (VIII.63)
где выражения для матрицы [К] и вектора {F} аналогич-
ны рассмотренным выше. Пример такого подхода приво-
дится в задаче IX.I.
Другой подход к решению задачи о неизотермическом
течении несжимаемой среды основан на применении функ-
ций тока. Если представить поле скоростей в виде
v = V4> + V^i X V^2> V2<₽ = 0. (VIII.64)
то при любом выборе функций <р, Wi, Ч'г обеспечивается
выполнение условий несжимаемости. При плоском и осе-
симметричном течениях одна из функций тока определена
из условий симметрии. В общем случае, положив a° = Vcp
и используя разложения вида {а}, 4^2= [Я] {&},
где Ni, Hh — координатные функции, включим в итерацион-
ный процесс последовательное уточнение поправочных фун-
кций ток£ 'Jfi и гГ2. В результате на каждой итерации полу-
чаем линейную систему
I/O {а} = {Яа} или [Яь] {&} = {Fb) (VIH.65)
для нахождения параметров {а}, {Ь}.
272
Среднее напряжение оо в этом случае может быть най-
дено как решение уравнения
gradp = — div * (VIII.66)
в котором правая часть — заданная функция координат,
определенная полем скоростей.
СТРУКТУРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. Све-
дем решение краевой задачи к следующим основным эта-
пам:
1. Преобразование координат с отображением области
D на каноническую область Е, граница которой не зависит
от поля скоростей. Одновременно вводится удобная криво-
линейная ортогональная система координат так, что грани-,
ца области D состоит из гладких «кусков» координатных
поверхностей. *
2. Построение сетки в области Е с последующим накоп-
лением и сглаживанием в ее узлах результатов вычислений
(коэффициенты Лямэ, температура, напряжения и т. д.).
3. Построение опорного кинематически возможного поля
скоростей v°.
4. Построение полной линейно-независимой системы ко-
ординат функций и*.
5. Представление m-ного приближения поля скоростей
в виде (VIII.47).
6. Линеаризация уравнения (VIII.13) по методике, опи-
санной выше, и организация итерационного процесса, вклю-
чающего: а) решение линеаризованного уравнения (VIII.58)
в предположении, что g=T/H и eVi являются известными
функциями координат, определенными в узлах сетки в пре-
дыдущей итерации (в качестве нулевого приближения ис-
пользуя опорное решение); б) вычисление внутренних и
поверхностных тепловых источников, решение уравнения
теплопроводности методом конечных разностей; в) выделе-
ние «пучка» траекторий и расчет в узлах сетки параметров,
описывающих историю деформирования материальных час-
тиц (степени деформации, сдвига,-интенсивности касатель-
ных напряжений, величины накопленной поврежденное! и и
т. д.); г) уточнение границы области пластического тече-
ния; д) анализ сходимости итерационного процесса.
7. Анализ сходимости последовательности m-ных приб-
лижений полей скоростей.
8. Расчет при выполнении условий сходимости в узлах
сетки напряжений, вероятности разрушения.
9. Вывод на печать или дисплей искомой информации.
18 г. я. Гуя
273
10. Анализ выполнения условия оптимальности .процес-
са. При невыполнении — выбор стратегии поиска оптимума,
изменение краевых условий и возвращение к п.1.
6,мпа
189С -10 с'' -2,5 -0,5 -0,1 -10'*
600°С /Ос’’ 200 °C 2,5 с'1 *0,1
f2,5 0,5 0,1 600°С
800°С 10с~1 ) /О—( - J 2,5с1 >1^"О 0,1- 1—0— >— о
0,5 2,5 0,1 1
О 0,2 0,6 О 0,2 0,k 0,6 t
1111______I___11111_______I I J
0 0,1 0,2 0,3 0,6 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,6 0,5 E
Рис. 90. Пластомстрические кривые для латуни Л90:
е=Д///0; е=1пЛ//0
Цифры на кривых означают скорость деформации, с’
274
11. Анализ влияния основных параметров технологичес-
кого процесса на напряженно-деформированное состояние
и условия разрушения. Вывод на печать или дисплей пол-
ной информации о процессе.
Блок-схема алгоритма приведена на рис. 91.
Контрольные вопросы
1. Как ставится краевая задача пластического течения наследствен-
но упрочняющей среды?
2. В чем состоит метод моментов? В каком случае он совпадает с
методом Галеркина?
3. Что такое виртуальные скорости? Каким граничным условиям
они удовлетворяют?
*4. Как формируется линейная алгебраическая система, соответству-
ющая началу виртуальных скоростей? В чем состоит линеаризация кра-
евой задачи?
5. К каким этапам сводится решение краевой задачи?
3. Пакет прикладных программ
ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ОМД-83. Коротко
опишем пакет прикладных программ ОМД-83, разработан-
ный в МИСиС под руководством автора и предназначенный
для реализации описанного выше алгоритма.
Пакет ориентирован на ЭВМ СМ-4 и относится к пакетам простой
структуры с автономными программами (см. Введение). В настоящее
время ведутся работы по созданию новой версии пакета, с фиксирован-
ной последовательностью обращения к модулям.
В ППП ОМД-83 входят следующие модули, написанные на языке
ФОРТРАН.
I. Линейная алгебра
1. Сложение матриц.
2. Вычитание матриц.
3. Умножение матриц.
4. Обращение матрицы.
5. Решение линейной системы методом Гаусса.
6. Решение линейной системы с ленточной матрицей методом
Гаусса.
7. Решение линейной системы с ленточной матрицей фронтальным
методом.
II. Конформные отображения
1. Отображение обобщенного четырехугольника на полуплоскость
формулой Шварца — Кристоффеля.
2. Отображение внешности звездообразных разрезов на внешность
единичного круга формулой Лахтина.
3. Отображение односвязной области на прямоугольник методом
конечных элементов.
4. Отображение односвязной области на круг методом конечных
элементов.
18* 275
5. Отображение криволинейной полосы на прямолинейную методом
«склейки» на сплайнах.
III. Сплайн-функции
1. Одномерный интерполирующий кубический сплайн.
2. Одномерный сглаживающий кубический сплайн.
3. Двумерный интерполирующий кубический сплайн.
4. Одномерный интерполирующий эрмитов кубический сплайн.
5. Двумерный интерполирующий эрмитов кубический сплайн.
6. n-мерный фундаментальный сплайн.
VI. Метод конечных разностей
1. Решение двумерной стационарной задачи теплопроводности для
плоских и осесимметричных течений.
2. Решение трехмерной нестационарной задачи теплопроводности
для плоских и осесимметричных течений.
3. Решение четырехмерпой нестационарной задачи теплопроводно-
сти для кругового цилиндра.
V. Метод конечных элементов
1. Дискретизация области.
2. Построение матрицы жесткости.
3. Формирование системы уравнений.
4. Решение алгебраической системы (модули 1.5—1.7).
5. Вычисление результатов элементов.
6. Библиотека элементов различных порядков.
VI. Сервисные программы
1. Программы общения с ЭВМ в режиме диалога.
2. Программы построения изолиний на АЦПУ и дисплее.
БАЗЫ ДАННЫХ ПО РЕОЛОГИИ И ПЛАСТИЧНОС-
ТИ. При математическом моделировании процессов неизо-
термического пластического течения возникает необходи-
мость в описании конкретных свойств деформируемых
материалов. Соответствующие данные, охватывающие широ-
кий сортамент металлов и сплавов, хранятся в памяти ЭВМ
в виде базы данных. Для ЭВМ СМ-4 база данных органи-
зована на основе пакета прикладных программ ФОБРИН.
Определение. База данных —это совокупность дан-
ных, хранимых во внешней памяти ЭВМ (на дисках, маг-
нитных лентах), а также набор прикладных программ, по-
зволяющий производить выборку, обновление, включение и
удаление информации.
К преимуществам использования баз данных относятся
сокращение избыточности хранимых данных; устранение
возможной противоречивости хранимых данных; обеспе-
чение соблюдения стандартов; выполнение условии безо-
пасности храпения данных.
Базы данных, входящие в математические модели про-
276
цессов обработки металлов давлением, могут включать в
себя разделы, описывающие следующие свойства металлов
и сплавов: а) реологические свойства; б) пластические
свойства; в) металлофизические и химические свойства;
Кроме того, в базах данных могут храниться описания
технологических процессов и отдельных агрегатов.
Рассмотрим, в качестве
примера, раздел базы дан-
ных, содержащий данные по
реологии металлов и спла-
вов.
Результаты пластомет-
рических испытаний некото-
рого сплава (рис. 90) запи-
сываются в виде трехмер-
ного массива o=<j(0, г, в),
где а, МПа — сопротивление
деформации, О — темпера-
тура, °C; е — логарифмичес-
кая деформация; е — ско-
рость деформации, с-1. Эти
данные образуют хранимое
поле — наименьшую имено-
ванную единицу данных в
базе данных. •
Система управления
базой данных обеспечивает
доступ к хранимому полю,
например, по такой цепочке:
материал — металл — цвет-
ной металл — сплав на ос-
нове меди и цинка — ла-
тунь — латунь 98.
После считывания с
магнитной ленты массива а
и записи его на магнитный
диск решается задача вое-
полисная сеточной функ-
ции, заданной в узлах трех-
мерной сетки й—е—8 непре-
рывной, -а при необходимо-
сти и гладкой функцией,
позволяющей вычислить зна-
Рис. 94. Блок-схема алгоритма комплекс-
ной математической модели^
чения а для любой внутрен-
ней точки этой сетки.
Для решения этой задачи удобно использовать трехмерный интер-
полирующий сплайн. Эту же задачу можно решить последовательным
применением двумерного и одномерного интерполирующих сплайнов. Ре-
зультаты интерполяции могут быть представлены в виде семейства
изолиний o=const на любой из плоскостей Ф— е, e=cojist; е — е, О==
— const, е— О, е—const. При включении соответствующего модуля в
модель интерполирующий сплайн позволяет вычислить значения о в
узлах сетки, построенной в области течения, а также сконструировать
наследственное ядро сдвигаемой релаксации т).
27
Контрольные вопросы
1. Что такое пакет прикладных программ? Какие виды пакетов Вы
знаете?
2. Какие модули входят в ППП ОМД-83?
3. Для чего необходимы модули сплайн-функций?
4. Что такое алфавитно-цифровой дисплей? Каким образом проис-
ходит диалог «ЭВМ — человек>?
5. Для чего необходимы базы данных? Какие преимущества дает
их использование?
6. Каким образом используется интерполирующий сплайн при опи-
сании реологических свойств металлов и сплавов?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ библиографический СПИСОК
Астарита Дж,, Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютонов-
ских жидкостей. М. Пер. с англ. М.: Мир, 1978, 309 с.
Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенны-
ми параметрами. М.: Наука, 1975, 568 с.
Дейт К- Введение в системы баз данных: Пер. с англ. М.: Наука,
1980. 463 с.
Ильюшин А. А., Победря Б. E. Основы математической теории тср-
мовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
Кристинсен Р. Введение в теорию вязкоупругости: Пер. с англ. М.:
Мир, 1974. 338 с.
Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов. М.:
Наука, 1972. 327 с. с ил.
Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.
М.: Наука, 1977. 383 с.
Г л а в а IX.
ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ
ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ.
Один из эффективных методов реализации общего алгорит-
ма при исследовании плоских и с небольшими отличиями
осесимметричных пластических течений сводится к следу-
ющему. Строится глобальное конформное отображение об-
ласти течения — криволинейной полосы D на прямолиней-
ную полосу Е в плоскости комплексного потенциала
=<р+м|). Тем самым в физической области вводится удоб-
ная криволинейная ортогональная система координат <р, ф.
В качестве опорного поля скоростей принимается безвих-
ревое поле, порожденное конформным отображением. Урав-
нение теплопроводности преобразуется к новым перемен-
ным.
В результате весь комплекс программ математической
модели разрабатывается для стандартной области — пря-
моугольника Е\ плоскости w. Это позволяет унифициро-
вать программы, использовать конечно-разностные методы,
работать с двумерными сплайнами.
278
Уточнение поля скоростей производится с применением
поправочной функции тока, удовлетворяющей однородным
граничным условиям. Применение метода Галеркина и ли-'
неаризация задачи с «расщеплением» ее на две: о движе-
нии сплошной среды при заданном температурном поле и
о распределении температуры в область с заданным дви-
жением сплошной» среды приводят к быстро сходящемуся
итерационному процессу.
Альтернативой описанному подходу является непосред-
ственное,/без конформного отображения, применение мето-
да конечных элементов. Если элементы — криволинейные,
то используется локальное отображение каждого элемента
на прямоугольник. Естественные координаты £, т|, порож-
денные этим отображением, в общем случае не ортого-
нальны. (
Наконец, возможно рациональное совмещение метода
конформных отображений с методом конечных элементов,
позволяющее использовать, преимущества каждого из этих
методов. Так, само конформное отображение удобно стро-
ить с применением метода конечных элементов; расчет тем-
пературного поля — с применением криволинейных коорди-
нат <р, ф конечно-разностным методом; уточнение опорного
решения — с применением дискретизации прямоугольника
Е1ит. д. а
Применение пакета прикладных программ, позволяюще-
го строить модель из отдельных модулей, открывает широ-
•кие возможности для таких комбинаций, а участие исследо-
вателя в диалоге «человек — ЭВМ» дает возможность вы-
брать наиболее оптимальное сочетание современных рас-
четных методов, обеспечивающее получение надежной ин-
формации об исследуемом процессе.
г
(Т. Плоское течение
ФУНКЦИЯ ТОКА. Плоское течение сплошной среды ха-
рактеризуется тем, что все линии тока параллельны фикси-
рованной плоскости и все скорости в соответствующих (т. е.
лежащих на одной нормали к указанной плоскости) точках
имеют одинаковую величину и направление.
В связи с этим достаточно рассмотреть движение в од-
ной из параллельных плоскостей, которую назовем плоско-
стью течения или физической плоскостью. Зафиксируем на
ней систему декартовых координат 'XiOx2- Каждая линия,
проведенная в плоскости Х1ОХ2, на самом деле является на-
правляющей цилиндрической поверхности с образующими,
279
перпендикулярными к плоскости. Контур обтекаемого тела
представляется некоторой линией в плоскости, хотя на са-
мом деле происходит обтекание бесконечного цилиндри-
ческого тела.
Все величины сил, приложенных к обтекаемым телам,
потоков сплошной среды и т. д. будем относить к единице
длины в направлении перпендикуляра к плоскости Х[Ох2.
Поле скоростей может быть представлено следующим
образом:
(*«» *2). »2 = V2 (*1. *2)» 0з = О- (IX. 1)
В случае, если выполняется условие несжимаемости:
dvjdx^ 4- du2/dx2 = О, (IX.2)
то, введя функцию тока и положив п^дф/дхг, v2=
=—ditfdxi, тождественно удовлетворим этому уравнению.
Функция ф(хь х2) имеет простой физический смысл.
Вдоль линии тока функции тока ф сохраняет постоянное
значение; другими словами, однопараметрическое семейст-
во линии уровня функции
ф(хх, х2) = С (IX.3)
представляет совокупность линий тока.
Выделим в плоскости течения трубку тока, ограничен-
ную линиями ф=ф: и ф=фг, и проведем некоторый контур
Л(Л2— сечение трубки тока.
Поток сплошной среды (т. е. секундный объемный рас-
ход В, отнесенный к единице длины в направлении, пер-
пендикулярном к плоскости течения) через это сечение
равен
В = f vn dl = (o1n1 v2n2) dl = f [oj (nxdZ) + v2 (n2dl)] =
Л, Л, At
A2
= j t\dx2—
x,
Здесь nb n2 — направляющие косинусы нормали к эле-
менту dS контура AiA2.
После подставки в эту формулу компонент скорости
получаем:
В = f dx2 + -%- dxt) = f dip = ф (Л2) - ф (Л2). (IX.4)
J \ дх2 dxt J
At • А,
280
Таким образом, разность значений функции тока в двух
каких-либо точках поля скоростей равна потоку сплошной
среды, протекающей через сечение трубки тока, ограничен-
ной линиями тока, проходящими через выбранные точки.
В дальнейшем одну из линий тока будем произвольно
рассматривать как нулевую, положив, что вдоль нее ф(хь
х2)=0. Это можно сделать потому, что функция тока оп-
ределена с точностью до аддитивной постоянной. В этом
случае значение произвольной постоянной в формуле
(IX.3) на некоторой линии тока будет равно потоку сплош-
ной среды сквозь сечение трубки тока, образованной этой
линией тока и выбранной произвольно пулевой линии.
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ
ПОТЕНЦИАЛ. При моделировании плоских пластических
течений в качестве опорного, кинематически возможного
поля вектора скорости удобно использовать потенциаль-
ное (безвихревое.) поле. Рассмотрим свойства таких полей
и методы их построения.
' Потенциальное векторное поле v=grad<p для случая,
когда течение является плоским, имеет составляющие
U1==^!L Ht)2 = A. (IX.5)
дх± дх2
г* ~~ дф дф
В то же время v = —L->v2==----Следовательно, по-
r dxa dxi
тенциадьная функция <p(xi, х2) и функция тока ф(хь х2) в
области течения связаны соотношениями Даламбера — Эй-
лера (Коши — Римана):
Эф Эф . Эф _ .Эф цХ 6)
дх^ dxt ’ Эх2 , дх2
а функция w(z) =ф(хь х2)4-1ф(хь х2), где z=xi4-tx2 яв-
ляется аналитической в этой области.
Функцию w(z) называют характеристической функцией
или комплексным потенциалом.
Обозначим через 0 угол, который образует скорость v,
С ОСЬЮ Хр
Тогда имеем:
и = с»! + iv.2 = t>e‘° = w' (г). (IX.7)
В дальнейшем будем использовать также понятие «ком-
плексной скорости»:
= Vi 4- iv2 = wf (г). (IX .8)
281
Очевидно, линии <p=const (эвипотенциальные линии)
ортогональны линиям тока ty=const. Потенциал возраста-
ет в направлении вектора скорости. Определим компонен-
ты скорости деформации при потенциальном течении.
Из (IX.5), (IX.6) следует, что
-t-#— Re""W;
(IX.9)
£12
Im w" (г).
Здесь символы Rew" (г) и 1шш"(г) обозначают дейст-
вительную и мнимую части комплексной величины w"(z).
Следовательно, наряду с комплексной скоростью можно
ввести в рассмотрение «комплексную скорость деформации»
S = gn-i^ = w"(z), (IX.10)
удвоенный модуль которой равен интенсивности скоростей
деформации сдвига
H = 2/^ + ^ = 2|w"(z)|, (IX. 11)
а угол наклона к оси xt — двойному углу <о, определяюще-
му главные оси деформации:
tg 2<в = —2& . = 1”|аГ<г> . (IX. 12)
6 Re о," (г)
Рассмотрим еще одну функцию — «комплексную дефор-
мацию»:
£ = 8ц — ^12-
Компоненты деформации определим соотношениями
еи =deu/dt, eii~deiz/dt.
Следовательно, dE=w"(z)dt и 2|d£| =2|w"(z) | dt=
=Kdt.
Возьмем в области течения произвольную материаль-
ную частицу М. Смещение этой частицы за время dt опи-
сывается вектором dz=vdt=w'(z)dt.
Учитывая, что w,(z)=oe10 и w'(z)=ve10, где v— мо-
дуль вектора скорости, 0 — угол отклонения скорости от
,, di —2(0
направления оси Х|, имеем: dt=-----е
и>(?)
282
В результате
dE = е“2<0 -<<*>£- = е-21'0 d In w’ (z). (IX. 13)
ow'(z)
Введем новую аналитическую функцию Q= In—у— =
= li)-^-+i0, где Цо — некоторое положительное число. На
V
плоскости Q образ частицы сместится на вектор dQ, прой-
дя путь | dQ |.
Поскольку dQ = —dlnw'(z), получаем следующее соот-
ношение: dE=—e~2iedQ.
Вспоминая, что |е~2<0| = 1, находим dA = 2|d£| =2|dQ|,
где Л — степень деформации сдвига. Интегрирование вы-
полняется вдоль траектории движения материальной час-
тицы.
При плоском безвихревом течении приращение степени
деформации сдвига при движении материальной частицы
на плоскости z равно удвоенному пути, проходимому об-
разом частицы на плоскости Q.
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ. ПОСТРОЕНИЕ МАТРИЦЫ [В].
К наиболее сложному этапу в решении краевых задач с
применением проекционных методов следует отнести по-
строение матрицы производных координатных функций —
матрицы [В]. Исследуем вид этой матрицы при описании
плоских течений.
Задача IX.1. Построение матрицы [В] при плоском течении.
После скоростей в элементе (е) определяется формулой {»)=
= fN]{V). W функции формы [//] не зависят от декартовых координат
«1, Хг, а столбец {V) содержит узловые параметры элемента. Течение
плоское.
Построить матрицу [В].
Р еш с н и е. При плоском течении вектор скорости записывается
следующим образом: {v)T = {t»i 02}.
Скорости деформации равны
В результате получаем
Ш = 1В1{К} = [В4 В/...ЦК},
(IX. 15)
283
где
dxi 0
[В,] =- 0 дх2
dNj дх2 dNt dxl
(IX. 16)
Задача IX.2. Построение матрицы [В] с использованием функции
тока.
Функция тока фСхь х2) в элементе (е) определяется формулой
ф=[ЛГ]{£7}, где функции формы [/V] зависят от декартовых координат
хь х2, а столбец {U} содержит узловые параметры элемента. Течение
плоское. Среда несжимаема.
Построить матрицу [В].
Решение. При плоском течении несжимаемой среды вектор
скорости представляется следующим образом:
{и)т = и2) = {д$/дх2 — дф/djq). (IX. 17)
(IX. 18)
При этом получаем
(fcii 1= dXidXi
~ l2£12 / д2(-..)
о
^(•)
дх1
W {(/} = [в,- Bi
где
Г-**!- о
IB,)-
' d2N( d2Nj
3*2 дх{
(IX. 19)
(IX. 20)
Задача IX.3. Построение матрицы [В] с применением координат
ф, Ф-
Поле скоростей в элементе (е) определяется формулой {"}'
= [^]{И. где функции формы W зависят от переменных ф, ф, порож-
денных конформным отображением: w(z)=<p(xi, х2) 4-1ф(хь х2), (IX.21)
а столбец {V} содержит все (узловые) параметры элемента.
. Построить матрицу [В].
284
Решение. Скорости деформации определяются следующим об-
разом:
= |д(...) W - [д (.. .)ИЛГ] {V} = [В] {V}. (IX.22)
где в случае плоского течения в координатах, порожденных конформ-
ным отображением:
ШТ [*1 = [ЛГЛГ/ ...]; (IX.23)
1 <)(••) i ain/z “
[d (••)] = h аф i a in я h аф h дф i <)(•) h аф . [B] = [b,-b, ...]
— M аф \ h) — (— аф \ h )
(IX. 24)
В свою очередь из (XI.21) следует, что
1 dNj i
h аф h — N ^Ф г
[BJ- i a in h h аф 1 1 dNj
h аф
a
аф \ h / аф \ h I
(IX. 25)
Задача IX.4. Построение матрицы [В] в переменных ф, ф с исполь-
зованием функции тока.
функция тока Чг(ф, ф) в элементе (е) определяется формулой
(IX. 26)
где Ui — узловое значение функции Т.
Течение плоское. Построить матрицу [В].
Решение. При плоском течении несжимаемой среды с исполь-
зованием координат ф, ф, порожденных конформным отображением
и»(г)=ф(Х1, х2)4-хф(Х1, х2), вектор скорости представляется следую-
щим образом:
1 ат
h дф
1 ат
л аф
где h — [z' (w)/= 1 /| w' (г) |.
. (IX. 27)
285
Учитывая (IX.26), получаем
Ю = [BJ{{/} = [в;в} ...j{{/},
где
Id lnh dNj dlnh d#f\
дфдф \ д<р dip дф дф /
d*Nj d2Nt fdlnh dNj ^dinhdN.
dip2 dф2 \ dф dф dip di|
(IV. 28)
(IX. 29)
„Контрольные вопросы
1. Что такое функция тока? Какой физический смысл она имеет?
2. Какое течение называется потенциальным?
3. Что такое комплексная скорость? комплексный потенциал?
4. Какими свойствами обладает функция Q?
5. Как запишется матрица [В] при плоском течении? с использо-
ванием функции тока? в координатах ф, ф?
2. Моделирование процесса прокатки методом
конечных элементов1
МЕТОДИЧЕСКИЙ ПРИМЕР. Решая краевые задачи нс-
изотермического пластического течения с применением ме-
тода конечных элементов, с иллюстративной целью остано-
вимся на сравнительно несложной, с точки зрения реологии,
несжимаемой вязко-пластической среде. Выберем в качест-
ве метода построения алгебраической системы метод Га-
леркина.
Схема решения, в общем виде описанная в гл. VIII, п. 2,
сводится к следующему. Запишем уравнения равновесия в
виде
др _ j / <feii । ds 12 \ __ q.
dxi \ дх^ dx2 /
dp । / d$2i । ds22 \ q
dx2 \ dxx dx2 /
(IX.30)
где p=a0 — гидростатическое давление.
Присоединим к этим уравнениям условие несжимаемо-
сти
= (IX.31)
dxj dxt
1 По результатам исследований, выполненных совместно с Н. В. Би-
бой.
286
Представив после дискретизации области искомое ре-
шение В виде
tU [С/
v2 = IM V •
pl N
(IX.32)
где V, V, P — узловые значения соответственно перемен-
ных Vi, о2, р, используем условия ортогональности невязки
уравнений (IX.30), (IX.31) по отношению к координатным
функциям Ni, N2,Ni...
Используя метод линеаризации, основанный на итера-
ционной процедуре, т. е. считая функцию g=T/H опреде-
ленной из предыдущей итерации, после несложных преоб-
разований получаем систему линейных алгебраических
уравнений вида
ПО {ф} = {F}.
(IX.33)
где
(ФИ
Vt
(IX.34)
— совокупность узловых параметров, соответствующих
координатной функции Ni в разложении (IX.32).
Проиллюстрируем эту методику на примере построения
матрицы жесткости и формирования алгебраической си-
стемы для первой итерации, когда g = const = р, т. е. для
линейно-вязкой среды. С этой целью, следуя О. Зенкевичу,
решим следующую задачу.
Задача 1Х.5. Течение вязкой несжимаемой жидкости. В области D
с границей S течет вязкая несжимаемая жидкость. Течение плоское.
Инерционными членами можно пренебречь. Применив метод Галерки-
на, свести решение задачи к решению системы линейных алгебраиче-
ских уравнений.
Решение. Примем для удобства последующих выкладок сле-
дующие обозначения: х=х^ у=х2, u — vit v=v2, р=—а0.
Запишем уравнения Навье—Стокса для рассматриваемого случая
(см. «Теоретические основы», гл. 8, п. 6)
др
— -----F ру2 и + рХ - 0;
дх
др (IX. 35)
--^- + ру2«+ру = о,
287
где р — плотность; ц — коэффициент вязкости; X и Y — массовые
внешние силы. Дополним эти уравнения условием несжимаемости:
ди dv
= О,
(IX. 36)
дх ду
Представим выражения для и, и, р через узловые значения пере-
менных:
р =[*](₽}, «=[^{{7), о=[ЛГ]{Г}. (IX.37)
где [ЛГ| — функции формы, обеспечивающие только непрерывность пе-
ременных.
Применяя метод Галеркина, используем условие ортогональности
функции формы Nt невязкам уравнений (JX.35), (IX.36).
Первое из этих условий запишется в виде
рХ —
др
дх
'д*и
k dx*
д2ы\
dt/2 /
dxdy — 0.
(IX. 38)
В результате интегрирования по частям двух последних членов,
после некоторых преобразований имеем:
X dx dy +
др \ dNt ди dNt
дх / дх дх ду
дй 1
ду ] Х
dS = 0 .
(IX. 39)
Подстановка выражений (IX.37) в> первое слагаемое дает:
JJwpX-tfi
D
d[N]
dx
k dx dx dy dy )x
Аналогично преобразуется и второе уравнение системы (IX.35).
Наконец, условие несжимаемости приводит в рамках метода Галерки-
па к соотношению
D ’ D
(IX. 40)
Группируя все переменные, относящиеся к рассматриваемому индек-
су, в виде
{ф,)= Иг .
(IX.41)
получаем систему линейных алгебраических уравнений вида
[K]{<D)={F). (IX. 42)
288
Для элемента (е) имеем
кости:
следующее представление матрицы жест
W?Wf нх
D(e) .
X
~dNj dNj dNt dNj
дх дх ду ду
О
p- dx
dN{ dNj dNj dNj
dx dx dy dy
И dy
О
р дх
p dy
О
(IX.43)
Поверхностный интеграл в (IX.39) исчезает на той части грани-
цы, где задано и, поскольку в этом случае #<=0. Там, где задано
ди!дп, он дает дополнительный член в вектор {F} в уравнении (IX.42).
В результате
рлч! (1Х-44)
D<e> I о) 5 I О J
Следует подчеркнуть, что в приведенных уравнениях поверхностный
интеграл берется только по внешним границам, на которых заданы
ди/дп или ov/dn. На участках границы, где заданы и и и, в гранич-
ных точках уравнения не составляются.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. ТЕСТОВЫЙ ПРИМЕР. При
моделировании процесса прокатки с применением описанной выше ме-
тодики были использованы криволинейные элементы. Это связано с
тем, что, как правило, краевые задачи, возникающие при описании
процессов обработки металлов давлением, характеризуются сложной
формой области течения металла. Используя симплекс-элементы, для
удовлетворительного представления области необходимо использо-
вать^зпачительное количество граничных элементов, что в свою оче-
редь ведет к излишнему увеличению порядка системы уравнений. Аль-
тернативой является применение элементов с криволинейными грани-,
цами, хорошо описывающих геометрию области даже при сравнительно
небольшом числе элементов (см. гл. VI).
Существуют различные методы построения криволинейных эле-
ментов. На практике наибольшее распространение получил способ
отображения первоначально регулярных (прямосторопних) элементов
при помощи невырожденного преобразования из локальной (естест-
венной) системы координат в глобальную. При построении модели
прокатки для обеспечения квадратичной аппроксимации скорости и
линейной гидростатического давления использовались криволинейные
лагранжевы элементы с девятью узлами. Квадратичные функции фор-
мы для них в естественной системе координат £, т| могут быть полу-
чены перемножением соответствующих одномерных функций формы:
АГ1=(1/4Ш£-0П(П-1),
V3 = (i/4)6(5+i)’i(n-i).
V» = (1/4)5(54- 1)П (ПН- 1),
^ = (1/4)5(5-1)п(п4-1).
JV2=(1/2)(1-5*)T](T)-1)(
/V<= (1/2)5(54-1)(1 — Т)2).
А/. = (1/2)(! - 52) П 014-1)
19 Г. Я. Гун
289
АГ. = (1-£*)(!-Л*),
е. ле [-1, I].
Аналогично линейные функции формы Hid, Л) Для аппроксимации
среднего напряжения имеют вид: Hi = (1/4)(1—£i(l— п)„ Я2=(1/4)х
Х(1+Ш1-Л); (1/4)(1 +6)(1 +л). я*= (1/4)(1-6)(1+Л). 6, ле
е[—1. 1].
Естественные координаты g, п точки внутри элемента связаны с
глобальными координатами х, у взаимно однозначным преобразованием:
х - [Я (g, П)] {X}, у - [Л (£, П)] {У}, (IX.45)
где {X}, {У} — векторы координат узлов элемента с компонентами Х„
У.-(1=1, 9).
Преобразование (IX.45) обеспечивает квадратичную аппроксима-
цию сторон элемента на плоскости х, у. Согласно терминологии гл. VI,
используемый элемент является изопараметрическим по отношению к
аппроксимации поля скоростей и субпараметрическим для представле-
ния среднего напряжения.
Якобиан преобразования (IX.45)
det 17 (g, П)] =
дх Р ду
дх ду
дП дп
внутри элемента не должен обращаться в нуль. Производные функций
формы d[W]/dx, д[?/]/ду, входящие в выражение для матрицы жест-
кости, связаны с производными в системе координат п соотноше-
ниями
_dty дх dNt = [Л-1 dNt dNj , 1 = 1, . . . , 9;
ду
dHh дНь
дх
дНк — и-1 dHh , £ = 1, . .. , 4,
ду dt)
где [J]-1 — матрица, обратная к [/].
Для численного интегрирования величины [В]т [L] [В] det [/] при
построении матрицы жесткости по алгоритму, блок-схема которого
приведена на рис. 92, применялась квадратурная формула Гаусса—Ле-
жандра, причем по обеим переменным использовалась трехточечная
схема, обеспечивающая получение точных результатов для полиномов
для пятого порядка включительно (рис. 93).
Для исследования точности расчетов, выполняемых с применением
криволинейных элементов, был проведен численный эксперимент. В ка-
честве тестовой была выбрана задача о плоском движении несжимае-
мой среды в нолуограниченном канале с параллельными стенками
(рис. 94).
290
Хотя эта задача не имеет точного аналитического решения во всей
области течения, она хорошо исследована численно и является клас-
сической для тестирования приближенных методов.
Установлено, что на удалении (1,0-е-1,5) h от плоскости входа те-
чение становится одномерным и профиль скорости потока перестает
изменяться. Это позволяет огра- _________
ничить длину области решения ве- Л Начало )
личиной порядка (2 ч- 2,5) h. На '---—т-------J
участке установившегося одно-
мерного течения известно аналити-
ческое решение для линейно-вяз-
кой и вязко-пластической сред.
Разбиение области течения
высотой 2Л и длиной I на четы-
рехугольные элементы показано
на рис. 94. При этом принимались
следующие граничные условия:
в плоскости входа АВ во всех уз-
лах, кроме верхнего, их=1, цу=0;
на верхней границе ^х=уу=0; на
оси симметрии ВС vv=Q.
Ограничимся результатами
тестирования для линейно-вязкой
среды. Эпюры скорости vx в раз-
личных сечениях области, постро-
енные исходя из рассчитанных уз-
ловых значений скорости, приве-
дены на рис. 95. Они хорошо сов-
падают с известными результата-
ми. В частности, при x/h скорость
vx не зависит от х, вертикальная
составляющая 0 и устанавли-
вается одномерное течение. Рас-
пределение скорости на этом уча-
стке задается формулой
3 В
v-=T~^~(hi~y2}' (1Х46)
где 2В — расход сплошной среды
в поперечном сечении канала. От-
Выбор точек интегрирования
и весовых коэффициентов
1 -
Заполнение матриц
[К(е)] и {F (e)} нулями
Цикл —
/7# точкам интегри-"
—^оодания^^^
Рис. 92. Блок-схема численного опреде-
ления матрицы элемента
носительная погрешность расчет-
ных, по формуле (IX.46), и вычисленных с применением программы
МКЭ значений горизонтальной составляющей скорости не превышает
1,5%.
Исследование процесса прокатки без уширения сведем к решению
следующей задачи.
Задача IX.6. Прокатка на гладкой бочке. Решение методом конеч-
ных элементов.
Определить поля скоростей их> интенсивности скорости дефор-
мации II и напряжений при прокатке металла в условиях плоской де-
формации на гладкой бочке. Реология материала задается кривыми
упрочнения. На контакте металла с валком задается закон трения т=
Чр-
Решение. Воспользуемся методом конечных элементов. Сетка
элементов и граничные условия показаны на рис. 96. Здесь использу-
19*
291
ются те же изопараметрические криволинейные четырехугольные эле-
менты с девятью узлами, что и в тестовой задаче.
Для задания^граничных условий трения на контакте металла с вал-
ком вводится тонкий слои элементов, в которых реализуется разрыв
скорости между поверхностями валка и металла. Поскольку получас-
Рис. 93. Криволинейный четырехугольный элемент в естественной (а) и гло-
бальной (о) системах координат. Крестиком отмечены гауссовы точки интег-
рирования
мая в результате дискретизации методом Галеркина уравнений вязко-
пластического течения система алгебраических уравнений нелинейна,
то для ее решения требуется применение итерационных алгоритмов.
Блок-схема алгоритма метода последовательных приближений и соот-
ветствующей программы показана на рис. 90. На каждой последующей
итёрации коэффициент вязкости вычисляется исходя из скорости де-
формации и сопротивления пластическому сдвигу, полученных на пре-
дыдущей итерации согласно формуле g=T/II.
Для достижения требуемой точности обычно необходимо 5—8 ите-
раций.
292
У/h
Рис. 95. Эпюры горизонтальном составляющей скорости vx, построен-
ные для различных значений х/1
293
Рис. 97. Расчетные (а) и экспериментальные (б) линии уровня компоненты
ох/о0при прокатке свинца (е=40 %; //Яср=0,78):
/—0.991; 2— 1,027; 3— 1,057; 4 — 1.098; 5—1,150; 5—1,174; 7-1.198- 8- 1,255;
9—1.316; 10— 1,342; //—1.370; /2—1,412; /3- 1,479; /4- 1,509; 15— 1,541; 16 -
1,568; /7- 1,595; /8—1,643
Рис. 98. Расчетные (а) и экспериментальные (б) линии уровня компоненты
ПРИ пР°катке свинца (е=15%, ////ср =0,30):
/ — 1,004; 2—1,018; 3—1,029; 4—1,040; 5—1,050; 5 — 1,060; 7— 1,076; 8— 1.086;
9— 1,098; /0—1,109; //—1,116; /2—1,131; /3—1,144; /4—1,156; /5—1,167
Программа позволяет вести решение в форме диалога между поль-
зователем и ЭВМ.
На рис. 97—102 представлены результаты расчетов, выполненных
с применением математической модели, в сопоставлении с эксперимен-
тальными данными. Следует отметить, что изображенные на рисунках
кривые непосредственно построены ЭВМ в виде изолиний, напечатан-
ных устройством печати. Анализ результатов расчетов свидетельствует
о хорошем совпадении с данными эксперимента. Математическая мо-
дель позволяет с достаточной точностью описать распределение кине-
матических параметров, контактных напряжений, температурных полей
для прокатки в широком диапазоне изменения параметров е,
294
Рис. 99. Линии уровня интенсивности скорости деформации при прокатке свинца
(е=15 %. //Яср =0.71):
а —расчет МКЭ (/ — 0.12; 2 — 0,67: 3—1.07; 4-1,54: 5- 2,02; 5 — 2,49); б - экс-
перимент по В. М. Сегалу; в—эксперимент по Р. Гафарову (/ — 0,20; 2 — 0,48;
3 — 0,96; 4 — 1,44; 5 - 1.92; 6 — 2,40; 7 - 2,88)
Рис. 100. Линии равных значении продольной составляющей скорости при
прокатке с постоянным обжатием е«=15 %;
a_//0/DB =0,331; ////0=0,350 (/-0,997; 2-1,011; 3-1.031; 4- 1,045; 5 - 1,060;
5— 1,074; 7— 1,088); б - //а/£>в-0,240; ////о~О,412 (/— 1,008; 2-1,017; 3-1,027;
4— 1,045; 5— 1,054; 5- 1,063); в — tf0/DB-0,066; ////0-0,785 (/- 1,007; 2-1,019;
3— 1,030; 4—1,041; 5 — 1,052; 5— 1,063); г — -0,018; //Я©-1,496 (/-
1,008; 2— 1,019; 3- 1,030; 4- 1,041; 5 - 1,052; 5- 1,063; 7- 1,074)
295
Р/2Г
Г/Т
Риа. 101. Расчетные эпюры контактных нормальных (а) и касательных (6) на-
пряжений при прокатке (коэффициент трения /-=0,4):
J — прокатка высокой полосы (////Ср=0,38); 2 —прокатка средней полосы
(//Яср-1.00); 3—прокатка тонкой полосы (//ЯСр =4,70)
Рис. 102. Линии уровня температуры 0-= (0—0ср)/(Оа—ОСр). по-
лученные методом конечных элементов:
а — ре= 1,0; Bi-1,0; Ро=0,26; б —Ре=10; Bi = l,0; Ро=2,6
296
Но/D». Значительный интерес представляет также влияние критериев
Пекле [Ре], Био (Bi), Померанцева (Ро) на процессы теплопередачи
для стационарных полей (рис. 102).
Контрольные вопросы
1. Как решается задача о плоском течении несжимаемой среды без
применения функции тока? Какие функции при этом подлежат опреде-
лению?
2. Какая проблема решается в задаче IX.1? Каким методом?
3. В чем состоит метод Галеркина? Как этот метод используется
в задаче IX. 1?
4. Что такое конечные элементы лагранжева семейства? Какие ти-
пы конечных элементов Вы знаете?
5. Как вычисляются производные функций формы при использо-
вании криволинейных элементов?
6. Как изменяется поле вектора скорости при варьировании пара-
метра
3. Метод конформных отображений
ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПО-
ЛОСЕ. Рассмотрим плоское течение сплошной среды в об-
ласти D — криволинейной полосе, расположенной' между
двумя линиями S+ и S~, имеющими общими лишь свои
концы, находящиеся в точке г=оо (рис. 103). Поток обте-
кает границу S=S++S~ и имеет заданный расход В.
Ранее было отмечено, что общее представление поля
скоростей в ограниченной односвязной области D имеют
следующий вид:
v = v<P + VTi X + v<D, (IX.47)
где V — оператор Гамильтона; <р, 'Fi, Ч^, Ф — скалярные
функции эйлеровых переменных х,-, t, причем V2<p=0.
Функция Ф используется при описании движения сжи-
маемых сред (например, при пластическом течении порис-
тых материалов, полученных методами порошковой метал-
лургии, обладающих способностью к необратимому изме-
нению объема). Для несжимаемых сред следует принять
Ф^О.
Описывая плоское течение, введем в рассмотрение ана-
литическую функцию — комплексный потенциал
W (г) = <р (хъ х2) + »ф (хх, х2), (IX.48)
* Программы составлены и расчеты на ЭВМ выполнены Н. В. Би-
бой.
297
реализующую конформное отображение криволинейной по-
лосы D на прямолинейную полосу в плоскости комплексно-
го потенциала. Назовем опорным поле скоростей
v° = w'(z), (IX.49)
описывающее потенциальное течение сплошной среды в об-
ласти D.
Рис. 104. Уточнение опорного решения
Для уточнения опорного поля скоростей в прямоуголь-
нике Di, (рис. 104) (0<ф<Д, 0<ф<В) с границей yi ис-
пользуем поправочную функцию тока, положив в формуле
(IX.74) ¥1=4^, ф), V2=X3, так, что
' 1 » / 1 дЧ /IV
= -г -т—. <4 =—г -т- , (IX.50)
п Оф П Оф
где Л= |z'(ai) |.
Таким образом в рассматриваемом случае ф =
= Rew(z), 4fi=4f, Чг2=*з, Ф=0, причем в области D
v = w'(z) + yV X ух3. (IX.5!)
Искомое поле скоростей v представлено следующим об-
разом:
v(z)=^(z) + u'(z). (IX.52)
298
Здесь v°(z)— опорное кинематически возможное поле
скоростей.
В качестве него принято безвихревое поле скоростей
несжимаемой среды, обтекающей S+ и S- и имеющей за-
данный расход В. Для течений с ограниченной на беско-
нечности скоростью такое поле может быть построено един-
ственным образом, причем комплексный потенциал w(z)
реализует взаимно однозначное конформное отображение
области D на полосу Е: 0<<р<В с соответствием бесконеч-
но удаленных точек: щ(±оо) =±оо.
Поправочное поле скоростей v'(z) или, что то же, функ-
цию Т будем искать из вариационного уравнения (VIII.51).
Очевидно, что поле также должно удовлетворять условию
несжимаемости. Однако вихрь этого поля может быть от-
личен от нуля.
Таким образом, в области D в общем случае имеют
место уравнения
rot tfi = 0, div tfi = 0, rot о' =/= 0, div v’ 0. (IX.53)
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. Запишем ус-
ловия теплопроводности плоской задачи:
— = х + va tfik , (IX.54)
di. д$) tkik
где х и v — константы; —пластическая составляющая
скоростей деформации
Температурными напряжениями будем пренебрегать.
Решение этого уравнения при заданных начальных и
граничных условиях существенно затрудняется тем, что об-
ласть D имеет сложную форму, причем граница ее во мно-
гих случаях заранее полйостью не определена. Эта труд-
ность может быть преодолена, если использовать метод
конформных отображений. Переходя к плоскости w, име-
ем
+ (IX.55)
Я = 2|ш"(г)| = 21^- ——; (IX.56)
1 4,1 |?'(о>) Iz'W
db _ i д& d<p I dft {IX 571
~dt dt~ "дф dt дф dt * V • ?
Ограничимся анализом опорнЪго решения. Поскольку
при потенциальном течении вдоль линии тока if=const,
299
dty/dt—O. Кроме того, dq>/dt = l/\z'(w) |2. Подставляя эти
зависимости в уравнение (IX.54) и умножив обе части
уравнения на |z'(u>) |2, получаем
I *>) I’ = х + -^7) + 2va?. | г' (w) |2.
(IX.58)
Для стационарного температурного поля d$ldt=Q урав-
нение запишется в более простой форме:
W - Х % I * w 1‘- («Х.5Э)
Краевая задача для уравнений (IX.58), (IX.59) значи-
тельно проще, чем для уравнения (IX.54), поскольку об-
ласть изменения переменных (ср, ф) — прямолинейная по-
лоса Е.
Буссинеск предложил пренебречь переносом тепла за счет тепло-
проводности в направлении движения среды, сохранив лишь конвек-
тивный перепое тепла в этом направлении. Это позволяет упростить
уравнение стационарного температурного поля (IX.59), записав его
в виде
^=x“^+2w«&l/(te)l2- (•Х-60)
Приведены для сравнения уравнение, описывающее распределение
температуры в тонком стержне при наличии боковой изоляции и внут-
ренних тепловых источников интенсивностью f(x, О-
(IX.61)
Таким образом, гипотеза Буссинеска позволяет установить анало-
гию между двумерным стационарным распределением температуры в
потенциальном потоке и нестационарным одномерным распределением
температуры в стержне.
УТОЧНЕНИЕ ОПОРНОГО РЕШЕНИЯ. Выделим дву-
мя эквипотенциалями <p=q>i и <р=<р2 криволинейный четы-
рехугольник Di (рис. 104) и поставим задачу уточнить по-
тенциальное поле* скоростей в этой области, приблизить
его к действительному течению, используя принцип мини-
мума полной мощности.
При этом целесообразно воспользоваться криволиней-
ными ортогональными координатами <p=<p (*i, х2), Ф=
=ф(Х1, хг), порожденными конформным отображением кри-
волинейной полосы D на прямолинейную полосу Е. Коэф-
фициенты Лямэ системы координат равны: —
H2=H)=h, где h= |z'(u>) |.
300
Функция тока уточненного решения запишется в виде
суммы функции тока опорного потенциального течения ф
и поправочной функции тока Т (<р, ф).
Компоненты поправочного вектора скорости и тензора
скоростей деформации вычисляются по формулам
' 1 dW 1
ф h дф ф Л дф
Е' —_ t' _• 1 Г ЗУ /д!пЛ дУ . д 1пА д¥ \"|
А2 [ дфдф \ дф дф дф дф /. ’
1 /д2У д2¥\ /д In А дУ д!пАдУУ
дф дф дф дф / ’
(IX.62)
(IX.63)
Положив в этих формулах ,Р=ф, получим составляю-
щие скоростей деформаций для опорного решения, запи-
санные в криволинейных координатах (<р, ф): v^=l/h,
Оф =0:
to to 1 din Л to 1 <?1пЛ /tv
= —— ,U = ——. (IX.64)
причем
н° = V V )’+ (^г)2 • (1Х-65)
/и г \ оф / \ дф /
После уточнения интенсивность скоростей деформаций
сдвига становится равной
н=2/(й.+и,)!+а«+Е«)'. <1Х-м>
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ ЧЦф, ф).
На плоскости w области £>> соответствует прямоугольник
Е\. Расположив начало координат, как указано на рис. 104,
потребуем, чтобы уточненное поле скоростей непрерывно
стыковалось с опорным решением вне области Dlt и на
участках границы ф = 0 и ф = В выполнялось условие обте-
кания границы ия=0. Это приводит к следующим гранич-
ным условиям:
при ср = 0 и <р = А = Оф *=0; 1
при ф = 0иф = Воф = 0. ]
Для того чтобы удовлетворить .условиям, достаточно,
чтобы функция Ч'Хф, ф) принимала постоянное значение
(например, равнялась нулю) на контуре yi области Dj,aee
производные по (р обращались в нуль при ф = 0 и <р=Л.
301
(IX.68)
(IX.69)
В результате граничные условия для поправочной функции
тока можно записать следующим образом:
=°.
дф |ф=л
Если дополнительно потребовать непрерывности поля
скоростей деформаций, то граничные условия запишутся в
виде
YI = ^-1. ^1 =0
?* fax “ W fax '
Остановимся на вопросах симметрии. При построении
поля скоростей, обладающего, симметрией относительно
оси <р, должны выполняться следующие зависимости:
*) = — *)’ =~ ~ (IX.70)
Для выполнения последнего условия достаточно, что-
бы функция ЧЧф, ф) была нечетной по переменной ф.
Следует отметить, что функция Чг (ф, ф), удовлетворяю-
щая условиям (IX.68) или (IX.69), не уточняет дополни-
тельно границы области течения, определенной в рамках
опорного решения. Если снять ограничение Чг=0 на сво-
бодных участках границы, то появляется возможность бо-
лее точного определения формы этих участков.
ФОРМИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
Положим Чг=[А]{а}, где [АП — система координатных функ-
ций, удовлетворяющих требованиям полноты и линейной
независимости; при любом выборе коэффициентов {а} для
функции Ч^ф, Ф) должны удовлетворяться граничные ус-
ловия. Так, например, выражение
_ г |ч т ММ-
¥ (?, $) = I ? (i - (i - j’) 2 2
т=0 л=0
где ф = ф/А, ф = ф/А, позволяет удовлетворить граничным
условиям (IX.68). При этом множитель [<р(1—ф)]2 обеспе-
чивает выполнение условий на боковых сторонах прямо-
угольника. Ряд по нечетным степеням переменной ф в со-
четании с множителем 1—ф2 позволяет условиям симмет-
рии и граничным условиям на горизонтальных участках
границы у.
Начало виртуальных скоростей приводит к следующей
системе:
30?
где
[К] = f J [В)т (L) [B]ft2 dydq, (1Х.71)
Ei л
|F} =_ f J(B1T [LI (g°) ti2d<fd$— J [т+ d[N]+/dty +
Ei 0
+ iTd[N]-Md4. (IX.72)
Индексы « + > и «—> относятся соответственно к верх-
нему и нижнему участкам границы. В формулах К°1Т =
матРица определена зависимостью
(IX.25).
В работах А. Я. Гуна реализован другой подход к формированию
алгебраической системы. Используется разложение вида {с/}=
Производится дискретизация области Ei с применением треугольных
или прямоугольных элементов. На физической плоскости им соответ-
ствуют криволинейные элементы, узлы которых находятся в точках
пересечения семейств эквипотенциалей и линий тока опорного решения.
Используя методику, описанную в п. 2, т. с. вводя в качестве ис-
комой функции гидростатическое давление и включая в систему урав-
нение несжимаемости, с применением метода Галеркина формируется
система (IX.70).
Контрольные вопросы
1. Что такое криволинейная полоса?
2. Какое поле скоростей называется опорным? Каким условиям оно
удовлетворяет?
3. Для чего используется поправочная функция тока? Каким гра-
ничным условиям удовлетворяет эта функция?
4. Как преобразуется уравнение теплопроводности с переходом к
переменным ф, ф?
5. В чем состоит гипотеза Буссинеска? К какой аналогии приводит
ее использование?
4. Опорное решение. Конформные отображения
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ, Рассмотрим следующие основные
задачи, которые можно поставить дл.я комплексного- потен-
циала, определяющего опорное поле скоростей.
1. Поток по внешности замкнутой кривой. Пусть об-
ласть D содержит бесконечно удаленную точку и ограни-
чена контуром S —границей обтекаемого тела (рис. 105).
Предположим, что поток набегает на покоящееся тело со
скоростью и0, а циркуляция потока равна нулю.
Граничное условие имеет следующий вид: на контуре S
ф (хь х2) = const. (IX.73)
303
Действительно, по условиям обтекания в любой точке
контура S скорость должна быть направлена по касатель-
ной к контуру. Следовательно, контур должен входить в
семейство линий тока. Комплексный потенциал id(z) =
= ф(хь х2) + гф(хь х2) реализует взаимно однозначное
отображение области D на внешность некоторого отрезка,
параллельного оси ф (см. рис. 105).
Рис. 105. Обтекание замкнутого конту* Рис. 106. Обтекание со срывом струй
ра
2. Обтекание со срывом струй. Рассмотрим случай, когда
одна из линий тока подходит из бесконечности к некоторой
точке В обтекаемого тела,, где она разделяется на две час-
ти, каждая из которых идет вдоль границы тела до некото-
рых точек Ci и Сг и затем отрывается от стенок, снова ухо-
дя в бесконечность (рис. 106).
Область II может быть заполнена покоящейся сплош-
ной средой, при этом вдоль струн CiAt и С2А2 имеет место
разрыв касательной составляющей скорости.
Если рассматриваемая среда — идеальная невесомая
жидкость, то давление в области II должно быть постоян-
ным. Из уравнения Бернулли — Эйлера вдоль свободных
струй Ci At и С2А2 u=const = uo.
К этому условию следует присоединить кинематическое
требование: на участке CiBC2 ф(хь х2) =const.
Искомый комплексный потенциал w(z) отображает об-
ласть течения на плоскость с бесконечным разрезом,, па-
раллельным оси <р и выходящим из точки В (см. рис. 106).
3. Течение в криволинейной полуплоскости. Граница об-
ласти D — линия S без точек самопересечения, содержащая
бесконечно удаленную точку (рис. 107). В области D тре-
буется построить поток, обтекающий кривую (нулевую ли-
нию тока) и обладающей заданной по величине скоростью
в бесконечности vo.
304
А
Рис. 107. Течение в криволинейной по-
луплоскости
7777777777777^8—
Е Ф\ ®
А : I „~а
7777777777777%77777%777777/.Ч>
Комплексный потенциал w(z) реализует отображение
области D на верхнюю полуплоскость Е при условии
ui(oo)=oo, |а/(оо) | =и0.
4. Течение в криволинейной полосе. Пусть теперь об-
ласть D расположена между двумя линиями 5+ и S-, име-
ющими общими лишь свои концы, находящиеся в точке
z=oo (рис. 103).
В области требуется по-
строить безвихревое поле
скоростей, обтекающее S+ и
S- и имеющее заданный
расход В.
Из условия обтекания
следует, что на кривых S+и
S- функция ф(Х), х^) —мни-
мая часть комплексного по-
тенциала принимает посто-
янные значения:
ф(хп х2) =
ф+ на S+
ф“ на S"
(IX.74)
Поток сплошной среды равен В= f undS=(p+—
S
Следовательно, разность ф~ — ф+ известна. Очевидно,
всегда можно принять ф_=0, <р+=В.
Для течения с ограниченной в бесконечности скоростью
можно доказать при некоторых дополнительных предполо-
жениях, что поставленная задача имеет единственное ре-
шение, а искомый комплексный потенциал реализует вза-
имно однозначное конформное отображение области D на
полосу 0<ф<В с соответствием бесконечно удаленных
точек: а>(±оо)=±оо.
Практическая реализация метода конформных отобра-
жений приводит к необходимости построения конформного
отображения области течения на прямолинейную полосу,
лежащую в плоскости w. Рассмотрим три способа решения
этой задачи — применение формулы Шварца — Кристоф-
феля, метода конечных элементов и метода «склейки»
отображений с использованием сплайнов.
ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ. Для важного с точки
зрения приложений класса полигональных областей, граница которых
состоит из отрезков прямых, Г. Шварцу и Э. Кристоффелю удалось
получить точную формулу, реализующую отображение внутренности
многоугольника на единичный круг или верхнюю полуплоскость.
20 Г. Я. Гун
305
Рассмотрим многоугольник D, расположенный на плоскости г.
Предположим вначале, что вершины многоугольника Л* (Л= 1, 2,.... п),
пронумерованные в соответствии с принятым положительным направ-
лением обхода границ, являются конечными точками комплексной
плоскости.
Пусть ал—выраженные в долях от л или 180° углы при верши-
нах, и аналитическая функция г=г(С) осуществляет отображение верх-
ней полуплоскости Im £>0 комплексной переменной С=£ч-й) на внут-
ренность многоугольника. При этом вершинам Ak будут соответство-
вать точки Ok действительной оси
В дальнейшем параметры отображения будем записывать в форме
таблицы
k Ak «ь fl/t ,
в которую занесем комплексные -числа Д* и действительные числа ak
и а*.
Очевидно, не все они могут быть заданы произвольно. Так, углы
а* должны удовлетворять известному соотношению ... + ап=
=п—2,
Далее, из трех точек а* (например, аь ап-ь On) могут быть вы-
браны произвольно, остальные должны определяться из условий задачи.
Формула Шварца—Кристоффеля, реализующая указанное отобра-
жение, имеет внд
С „ ,
2 (С) = Ci |- (£ - d)*1*-1 (С - а2)“‘-1 ...(£- ап) п + Сг. (IX.75)
№
Если одной из вершин многоугольника D (например, вершине Дт)
соответствует бесконечно удаленная точка ат=оо, то относящийся к
этой вершине множитель в формуле Шварца—Кристоффеля выпадает.
В этом случае
2 (О = c/f (С - ... (С - am-/"*-1-1 X
ь
х (С — (С - о„)ап-1 de + С2. (IX.76)
Формула (IX.75) остается в силе и для многоугольников, у кото-
рых одна или несколько вершин лежат в бесконечно удаленной точке.
Угол между двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется
как угол в конечной точке их пересечения, взятый со знаком «минус».
Наконец, отображение внутренности единичного круга на внут-
ренность многоугольника также осуществляется формулой (IX.75).
Здесь ак (| ак | « 1) — точки единичной окружности, соответствующие
вершинам Д*.
ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ШВАРЦА — КРИСТОФ-
ФЕЛЯ. К одной из первых задач, решенных с применени-
ем конформного отображения, относится классическая за-
дача об истечении идеальной жидкости из отверстия (рис.
108). На поверхности струи А2А3 u = vo=const, поэтому на
плоскости Q = In|v0/v |4-t0 этот участок границы изобража-
ется вертикальным отрезком. Прямолинейным участкам
границы, вдоль которых угол 0=const, на плоскости Q со-
ответствуют горизонтальные отрезки. В результате области
306
течения на плоскостях w и Q представляют собой много-
угольники. Отобразив эти многоугольники на верхнюю по-
луплоскость таким образом, чтобы соответственные участ-
ки границы совпали, имеем две аналитические функции
Q = Q(£) и w = w(£). Учитывая, что Q = ln(vo/f). v = dwldz,
получаем следующие формулы:
v^ = voe~^-, (IX.77)
Рис. 108. Истечение струи из отверстия
Эти зависимости позволяют, используя параметрическую
полуплоскость, вычислить скорость v в каждой точке z об-
ласти D.
Рассмотрим другой случай, когда сама область D пред-
ставляет собой обобщенный многоугольник А с углами
а,кП, при вершинах А&, причем одна или несколько вершин
(источники или стоки) находятся в бесконечности (рис.
109).
Образом многоугольника па плоскости потенциала w яв-
ляется также многоугольник В с углами р^л при вершинах
Ак, поскольку стороны многоугольника А являются линия-
ми тока и отображаются на отрезки прямых ip=const.
Обозначим соответственные точки границ отображае-
мых областей одинаковыми буквами с общей нумерацией,
соответствующей принятому порядку обхода границ. Для
многоугольников это всегда можно сделать, добавив «фик-
тивные» вершины с углами, равными л.
Qg Qg a7 Q6 Qs Qj Qg Qf
0-а 1 аг-сю
Рис. 109. Течение в обобщенном мно-
гоугольнике
Рис. 111. Течение в области В
Рис. 110. Течение в области.А
Qj=O аг=а ay /
Рис. 112. Течение в области С
308
Отобразив указанные многоугольники на полуплоскость
Im£>0, будем иметь
z = Cjn +
*=1
» = с, f П (5-а*)”*-1 + С2. (IX.79)
*=i
В результате, учитывая, что dw/dz~(dw/dt,)/(dz/d^),
получим следующую формулу для производной комплек*
сного потенциала (комплексной скорости):
п
аг • 1
*=1
В качестве примера при-
ведем картины течения в
плоскостях z, w, Q, w' и £
для ряда областей, часто ис-
пользуемых при решении за-
дач пластического течения.
К ним относятся: область
А (течение в сходящемся
канале, рис. ПО); область
В (затекание из прямоли-
нейной полосы в сходящий-
ся канал, рис. 111); область
С (прессование или волоче-
ние полосы, рис. 112).
Рис. 113 соответствует
схеме течения струи, выте-
кающей из сходящегося ка-
нала. Сужение струи опреде-
ляется углом наклона отрез-
ка Л Из на плоскости Q.
Предлагаем читателю по-
строить поля скоростей для
указанных примеров.
(IX.80)
а<*-1 -В а^О В а?=а а3->го
Рис. 113. Сужение вязко-пластической
полосы
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. Пусть
функция a>(z)=<p(x, </)+|’ф(х, у) реализует конформное отображение1
* Методика отображения разработана А. Я. Гуном.
309
области D — криволинейного четырехугольника АИ2А3А4 плоскости г
на область Е— прямоугольник Л1А2Л3А4, лежащий на плоскости ш
Для гармонических функций <р и ф могут быть поставлены следую-
щие краевые задачи:
I. у2ф=0 в области Д, ф=ф1 на Л1Л2, ф=фг па А3А4, дф/дп = 0
на Л1Л4 и ЛИз.
ф = const
Рис. 114. Конформное отображение области D на прямолинейную
полосу Е, построенное МКЭ (прокатка полосы)
II. v2<P=0 в области D на <р=фь Л1Л4, <р = ф2 на А2А3, д(р/дп=0
на Л1Л2 и А3А4.
Будем считать фь ф1 и фг заданными для нахождения <р2—ф1 + /,
где I — длина прямоугольника Е, воспользуемся формулой
ft l/W 1/W
(IX.81)
связывающей действительную и мнимую части аналитической функ-
ции w(z).
Интегрирование выполняется вдоль произвольного контура ZqZl,
пересекающего стороны ЛМ4, А2А3.
В результате, решив краевую задачу I, можно определить пара-
метр I из формулы
(IX.82)
Перейдем к решению краевых задач. Краевой задаче I соответст-
вует вариационная задача
(см. «Теоретические основы», гл. 9, п. 5).
Используя метод конечных элементов, разобьем область D на со-
вокупность конечных элементов. Аппроксимируем функцию, внутри эле-
мента выражением вида
310
ф<« = (Y), (IX.84)
где [ЛГ<*>] - матрица-строка значений функций формы элемента в точ-
ке; {40 — матрица-столбец значений функции ф в узлах элемента.
Минимизируем функционал U на множестве значений функции ф
в узлах элементов.
Введя в рассмотрение матрицу производных:
(в)Т -{-*--*-}• ' "Х И)
можем записать:
(ix.86)
D
или, суммируя по элементам в А:
Е
• <1х-87)
“Sr ^<»>
Минимизация (IX.87) приводит к уравнению (подробнее см. зада-
чу VII.1)
[Kj{¥}=0. (IX.88)
Система (IX.88) — система линейных алгебраических уравнений с
ленточной, положительно определенной матрицей.
При практической реализации изложенного подхода был использо-
ван треугольный субпараметрический элемент третьего порядка. Эле-
мент представляет функцию, интерполированную полиномом третьей
степени по значениям в 10 узлах на границах и в центре элемента при
помощи набора из 10 функций формы.
Опишем методику численного интегрирования для получения ко-
эффициентов матрицы жесткости конечного элемента. Получим выра-
жение компонент матрицы [В<с>] в L-координатах.
Имеем
dNj dNj
дх dLj
dNj = (J]-i dNj f=l,
dL2
...» 10,
где
дх
dLt
дх
дЬ2
(IX.89)
И =
ду ‘
ду
дЦ
— матрица Якоби перехода от координатной системы х—у к коорди-
натной системе Li—Lz.
[У]-1 — матрица, обратная матрица Якоби.
311
Далее:
dNr
dLj.
dNt
dL2
dLr
d/V2
dL2
Wlo
dLt
<Wio
dL2
(IX.90)
Следовательно:
l‘“’l - f
dLt
dN2
dLt
dNi
dL2
dN2
dL2
dNt
dLt
dNt
dL2
dN2 W10
dLx dLr
dNt <W10
dZ«2 dL2
^10
Wxo
dL2 _
Таким образом,
саны в общем виде:
компоненты матрицы жесткости могут быть запп-
п-Ц
*0 “ J J’ f (£>- Li • гз) det 1/1 dLldL*-
Этот интеграл вычисляется с помощью квадратурной формулы
Гаусса:
1 1—Lf п
f f f(Llt L2, £3)detR]dML2 = 2 L2, L3).
0 0 1=1
Здесь. gi(Lt, L2, L3)—значение подынтегральной функции в точке с
координатами (£ь L2t La)—узле квадратуры;' wt— весовой коэффи-
циент квадратичной формулы для этого узла.
В задачц использовалось квадратурное правило, точное для мно-
гочленов до 4 степени включительно. Координаты узлов интегрирова-
ния и веса представлены в табл. 4.
В качестве примера на рис. 114,6 приведена картина линий тока
опорного решения процесса прокатки, построенная с применением опи-
санной выше методики.
МЕТОД «СКЛЕЙКИ» КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕ-
НИИ. В теории конформных отображений установлен ряд
вариационных принципов, позволяющих оценить влияние
вариации некоторого участка границы на геометрические
, параметры отображения. Используя гидродинамическую
трактовку соответствующих результатов, можно сформу-
лировать принцип локального влияния формы границы:
изменение формы отдельного участка границы вызывает
возмущение потока лишь в некоторой окрестности этого
312
участка. Вне этой области картина течения, т. е. совокуп-
ность линий тока, практически остается неизменной.
Воспользовавшись этим обстоятельством, отображае-
мую область можно разбить на части, соответствующие
«зонам влияния» отдельных,участков границы. Во многих
случаях удается подобрать простые по конструкции функ-
ции, реализующие отображение этих подобластей на пря-
моугольники ф1<ф<ф2, <ф<ф2 плоскости w.
Покрыв область Е, лежащую на плоскости w, регуляр-
ной сеткой, с помощью двумерного интерполирующего
сплайна можно восполнить значения функции, отобража-
ющей область D на область Е, в узлах, принадлежащих зо-
нам стыковки указанных прямоугольников. Аналогично
восполняются производные отображающей функции. Таким
образом, с применением сплайнов производится «склейка»
конформного отображения из отдельных прямоугольных
«кусков». Пример такого подхода при моделировании про-
цесса прессования сигмоидальную матрицу будет приведен
в п. 7 этой главы.
Контрольные вопросы
1. Какие краевые задачи теории комплексного потенциала Вы
знаете?
2. Как записывается условие обтекания неподвижного твердого
телаЗ
3. Как записывается формула Шварца—Кристоффеля? Какое кон-
формное отображение она реализует?.
4. Как используется формула Шварца—Кристоффеля в теории
струй? при описании течения в многоугольной области?
5. Какие краевые задачи можно поставить при построении конформ-
ного отображения методом конечных элементов?
6. В чем состоит метод «склейкиэ конформных отображений? Ка-
кие сплайны при этом используются?
5. Моделирование процесса прокатки
В качестве примера реализации описанных в пп. 3,4 мето-
дов моделирования неизотермического течения наследствен-
но-упрочняющегося материала рассмотрим анализ процес-
са прокатки.
При выполнении расчетов на ЭВМ СМ-4 время счета одного ва-
рианта при числе итераций 8—10 составляет 5—6 мин. Решение ана-
логичной задачи с применением метода конечных элементов требует
значительно большого времени — 20—30 мин, что связано с большими
размерами системы (IX.42) и необходимостью хранения большей части
элементов матрицы жесткости на магнитном диске. Другим недостат-
ком метода конечных элементов являются трудоемкость решения не-
стационарных задач теории теплопроводности. Метод конечных разно-
313
стей, реализованный в моделях, основанных на конформном отобра-
жении области течения, с точки зрения экономии оперативной памяти
ЭВМ и машинного времени значительно эффективнее.
На рис. 115 в качестве тестового примера приведены изолинии
vr=const, построенные ЭВМ, в сопоставлении с известным решением
В. В. Соколовского.
Далее, на рис. 116, а приведены изолинии const. Для сравнения
на рис. 116,6 приведены экспериментальные данные В. К. Воронцова.
Рис. 115. Изолинии vf=const при течении в сходящемся канале идеально-
пластического материала:
а — решение В. В. Соколовского; б — расчетные кривые
Для того чтобы продемонстрировать возможности модели, на
рнс. 117 приведены картины распределения интенсивности как скоро-
стей деформаций сдвига Н, температуры О, напряжений сгу/Т, Оо/Т и
Рис. 116. Прокатка в условиях плоской
деформации сплава РЬ+3 % Sb (е=29 %,
///fCp=°,69( Яо/Пв =0.275):
а — расчетные линии уровня горизонталь-
ной составляющей скорости; б — экспери-
ментальные линии уровня
степени использования ресурса
пластичности со при прокатке
вольфрама.
Контрольные вопросы
1. Какими возможностями
обладает ЭВМ СМ-4? К како-
му классу ЭВМ она относится?
2. Что такое операционная
система ЭВМ? Какие функции
она выполняет?
3. Как организуется рабо-
та ЭВМ в диалоговом режиме?
4. Как обеспечивается пол-
ное использование ресурсов
ЭВМ при одновременной рабо-
те нескольких дисплеев в ре-
жиме диалога? В чем состоит
разделение машинного времени
операционной системой?
6. Резание металлов
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА РЕЗАНИЯ. Рассмотрим простейшую за-
дачу резания (рис. 118, а). Область, пластического течения — четырех-
угольник А1А2АзА4 с углами при вершинах 0, (1+а)л, 0, (1— а)л.
1. Построим конформное отображение внутренности четырех-
314
Рис. 118. Резание металлов:
а — простейшая схема течения;
б — течение в подрезцовом слое
—ооо о о--------------—►
afa as=-b а^-С а,=0 аг=1 а3*оо {
315
угольника на верхнюю полуплоскость 1т£>0. Параметры отображе-
ния зададим нормировкой.
k А4 ah ak
L оо 0 a
2 (0,0) 1+a 1
3 оо 0 00
4 U1. У1) 1—a —d
Из формулы Шварца—Кристоффеля следует:
(IX.91)
Расположив начало координат на плоскости z в точке Д4 и приняв
to=l. имеем C2=z(So)=O.
Для определения C'i и а проведем полуокружности Сл и Ст соот-
ветственно бесконечно большого и бесконечно малого радиусов с цент-
ром в точке £=0.
На плоскости z окружности Ст соответствует переход с луча AtA2
на луч Д4Д1 и приращение
Дг = - iheani +0(r), (IX. 92)
где О(г)—бесконечно малая величина порядка г. Окружности Сл со-
ответствует переход с луча А|А3 на луч Д3Д4 и приращение Д?=
=-Я< + О(1/Я).
Рассмотрим интеграл по Сг. В этом случае £ ма^о и подыитеграль-х
ное выражение имеет вид:
U+o) t I « ) c 11
В результате подстановки в формулу (IX.91) получаем
л, г f f С-1 Vх < . с.с-рчй
‘.I (c+J t -C,J( t -
cr CT
Сопоставляя с (IX.92), имеем Ci=a“ft/x.
Аналогично на контуре Сл подынтегральное выражение принима-
ет вид
(IX. 93)
— +□(!//?)
(IX. 94)
С}/л, что дает Н}=—Сгп
R
316
Следовательно, С,-—///л, п= (///Л)1//а и ' ; • . * '
ZЮ = - — J[5 + (Я/А)1/а ~• (IX.95)
1
2. Построим поле скоростей. Поскольку зд(£) =—(В/л) In £-Н’В,
вектор опорного поля скоростей
Рис. 119. Расчет основных параметров процесса резания
равен
J = (В/Я)((£ + а)/а-1)]“. (IX.97)
Исследуем полученную зависимость.
При £=оо (точка Лэ) v=B!H=Vq\ при £=—а (точка Л4) и=0;
—* а а
при с-1 (точка А2) и = <ю; при £=0 (точка Л|) v=voa /(—1) =
==ио(Н/Л)е“я'=сго(Я/Л)еал‘’.
3. Решим с применением математической модели, основанной на
конформном отображении, задачу о неизотермическом течении метал-
ла при резании металла. Необходимо учитывать, что вдоль луча Л3Л4
происходит срез, а на части луча Л4Л1— трение о поверхность резца.
На рнс. 119 приведены результаты расчета* горизонтальной
* Расчеты на ЭВМ выполнены В. Н. Федяниным.
317
Vx/uo (а) и вертикальной vv/vo (б) составляющих скорости, интенсив*
ности скоростей деформаций сдвига-Н (с1) (в), температуры О °C (г)
при резании алюминиевого сплава Д16 (Л//7=2, а=0,416, Ф = 400°С),
ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ В ПОДРЕЗЦОВОМ СЛОЕ.
Перейдем к более сложной задаче резания, когда пластическая дефор-
мация проникает в подрезцовый слой (см. рис. 118,6). Ограничимся
построением опорного решения.
1. Параметры конформного отображения внутренности много-
угольника Aj..,Ae на верхнюю полуплоскость характеризуются следую-
щей таблицей:
k Ak “fc flh
1 со 0 0
2 (0.0) 14-а 1
3 со 0 00
4 об 0 —а
5 (*». Ул) 2—а —b
6 (*«. У») 1 —с
* Расчеты на ЭВМ выполнены
В. Н. Федяниным.
Интеграл Шварца—Кристоффеля при &>=1 и С2=0 запишется
в виде
«->•«+»)- <£.. (IX.9S)
1
Для определения констант at b, Ci имеем следующую систему
уравнений:
С, = — (Я/я), а = (Я/Л) а = (1 + о)“ (а - б)1"",
л
(IX.99)
Перейдем к плоскости потенциала w. Параметры отображения
Шварца—Кристоффеля приведены в.следующей таблице:
k Ak “к ak
1 оо 0 0
2 (0. В) 1 1
3 оо 0 оо
4 оо 0 —а
5 (<Ps. Вг) 1 —Ь
6 (фв> В2) 2 —с
Интеграл Шварца—Кристоффеля запишется в виде
w = с, ]' (5 - О)-1 (С - 1)° (С + а)"1 (С + b)° X (£ + с)1 <К + С2 =
318
. f C + c dC
*J S + a C
C.
4-c,.
(IX. 100)
При £o=l w(l)=iB, отсюда Сг = 1В. Определяя константы инте-
грированием по контурам Сг, Сг и Сп, получаем Ci=—В/л, c=a(Bi/B).
2. Построим опорное поле скоростей
о® = dwldz = (dw/d£) (dz/d?) =
В t+c/С + 6
Н С+6\С-1
(IX. 101)
а
Вычислим скорость в характерных точках.
Результаты приведены в следующей таблице
л, Л. I л. I л, I 1 л«
С 0 1 оо —а I —с
о» с 61—а оо 1 а а—с /а—6\ а—b \l+fl/ оо 0
Контрольные вопросы
1. В какой области происходит течение при резании металлов? Как
ставится простейшая задача резания?
2. Какой метод используется при определении констант в интеграле
Шварца—Кристоффеля?
3. В каких точках границы скорость опорное решение обращается в
нуль? в бесконечность?
4. Что такое подрезцовый слой? Как строится поле скоростей при
анализе деформаций в подрезцовом слое?
7. Осесимметричное течение
ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ. Рассмотрим осесимметрич-
ное течение пластической среды в области, образованной
вращением криволинейной полосы вокруг оси xi (рис. 120).
Введем вращательно-симметричную криволинейную ортого-
нальную систему координат (ф, ф, о), порожденную кон-
формным отображением криволинейной полосы на прямо-
линейную полосу Е в плоскости ц>=ф+(ф шириной В так,
ЧТО Xi =Xi (<р, ф), х2=х2(ф, ф).
Здесь В — величина потока плоского потенциального те-
чения в полосе D., Коэффициенты Лямэ равны //,,=77$ =
=z'(ay) =Л(ф, ф); Яы=х2(ф, ф).
Компоненты вектора скорости осесимметричного тече-
319
ния иф, оф =0 позволяют вычислить скорости деформа-
ции, которые определяются следующими соотношениями:
Пусть 'F(<p, ф) —функция тока осесимметричного тече-
ния. Компоненты вектора скорости равны
VV—L-^L, = (IX.103)
xji дф хгЛ дф
Очевидно, при любом выборе функции тока будет тож-
дественно удовлетворено условие несжимаемости
♦♦ "Ь &><» =0.
Выделим область Ех— прямоугольник (0<ф<Л, 0<
<ф<В) на плоскости w, включающий в себя область плас-
тического течения (рис. 121). Вне области Ех наблюдается
однородное прямолинейное движение сплошной среды как
абсолютно твердого тела. На границе области Ех должны
удовлетворяться следующие кинематические условия:
(0, Ф)=»(; оф (Л, ф)=о2; % (0, ф)=1>+(Л, ф) =
= Рф(<р, 0)=Оф(ф> В) =0, функция Чг(ф, ф) в связи с этим
должна удовлетворять следующим граничным условиям:
320
дЧ дЧ п
——[ф=о = ——|ф=о = и;
Оф |<р=у1 Оф |ф=В
дУ = 2g / It , ф 1 — .
дф |ф=о В \1+m J в И-*!/
дУ _ 2g / X, . ф 1—Х2 \
дф |<р=л В U+X, В 1+%8 )’ j
(IX. 104)
где 11 = Г1//?ь K2 = r2/R2', 2nq — поток сплошной среды в ци-
линдрической области при осесимметричном течении.
Представим функцию тока в виде суммы двух функций:
Ч,=4ГО+1У1, где 4го— функция тока опорного решения;
4й—поправочная функция тока. Выберем функцию тока
таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным усло-
виям (IX. 104). В частности, если Xi=>.2=0 (область тече-
ния — сплошное тело), функция 4го имеет простой вид: 4f0=
=<?ф2/В2. При этом о^=0 и семейство линий тока опорно-
го решения осесимметричной задачи совпадает с семейст-
вом линий тока плоского потенциального течения.
Поправочная функция тока, как и в случае плоского
течения, должна удовлетворять однородным граничным
условиям:
= -^-|Ф=о = о. (IX.
IV» оф 1ф*-л
Здесь у! — граница области Е\.
Представив поправочную функцию тока в виде 4й =
=[АГ]{а}, где [Af] — некоторая подная линейная независи-
мая система координатных функций, позволяющая удов-
летворить граничным условиям, найдем коэффициенты
разложения из следующей системы:
(K]{a} = {F), (IX. 106)
где матрица жесткости
(Kl = ff [BF [L ] [В] xJMwty, (IX. 107)
а вектор {F} равен
{F} = - f f (B]T (LI {5°} xJMycty-
'Ei
A
- f [т+ d [/Vl+/di|> + T- д [ЛГГ7дф] dq>. (IX. 108)
6
Индексы «+» и «—> относятся соответственно к верх-
нему и нижнему участкам границы.
21 Г. Я. Гув
321
Решая линеаризованную систему методом итераций,
включим в итерационный цикл процедуру численного ин-
тегрирования уравнения теплопроводности, преобразован-
ного к переменным <р, ip при соответствующих начальных
и граничных условиях. В остальном алгоритм мало отлича-
ется от описанного выше алгоритма моделей плоских тече-
ний, в том числе нестационарных.
Рис. 122. Прессование прутка из сплава 96 % РЬ+4 % Sb:
а— Х=4; б — Xе 11; сплошные линии — расчетные линии
уровня; пунктирные — экспериментальные линии уровня
ПРИМЕРЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ. В качест-
ве примера реализации алгоритма моделирования неизотермического
осесимметричного течения наследственно упрочняющегося материала
приведем пример анализа процесса прессования прутков из алюминие-
вых сплавов.
На рис. 122 приведено сопоставление расчетных (с применением
математической модели) и экспериментальных данных, относящихся к
прессованию прутков из сурьмянистого свинца. Эксперименты прово-
дились с применением координатных сеток по методике Ю. П. Глебова.
322
Далее, на рис. 123 аналогичное сравнение произведено с применением
метода муар 1.
Картины изолиний, описывающих напряженное состояние при прес-
совании сплава Д16, изображены на рис. 124.
При исследовании процесса прессования в сигмоидальную матри-
цу конформное отображение криволинейной полосы D на прямолиней-
ную полосу Е осуществлялось посредством «склейки* конформных
отображений. На рис. 125 изображены «зоны влияния* отдельных
участков границы и соответст-
вующие им прямоугольники на
плоскости w, «склеиваемые* с
применением кубического двух-
мерного эрмитова интерполя-
ционного сплайна (по X. Аки-
ма). Далее, на рис. 126 приво-
дится сопоставление расчетной
и экспериментальной деформи-
рованных координатных сеток
при прессовании трубы из алю-
мипиевобериллиевого сплава в
сигмоидальную матрицу.
На рис. 127 приведены
картины изолиний ряда пара-
метров при прессовании трубы
из сплава Д16. Температура
нагрева слитка, контейнера и
матрицы 400 °C, температура
иглы 250 °C.
Контрольные вопросы
1. Какое течение называ-
ется осесимметричным? С чем
связано это название?
2. Для чего используется
функция тока осесимметрично-
го течения? Каким граничным
условием она удовлетворяет?
3. Что такое вращательно-
симметричная система коорди-
нат? Каким образом она по-
рождается конформным ото-
бражением?
4. В чем различие между
плоским и осесимметричным те-
чениями? Что общего между
ними?
5. Как формируется систе-
ма линейных алгебраических
уравнений при моделировании
осесимметричного течения? Как
организован итерационный про-
цесс?
Рнс. 123. Прессование прутка:
а. — Хи2; б — Х"4; в — А,=8; сплошные
линии — расчетные линии уровня; пунк-
тирные — экспериментальные линии
уровня (метод муар)
1 Программы модели составлены и расчеты произведены Д. Ю. Га-
нелиным. Эксперименты с применением метода муар выполнены
В. М. Сегалом и Д. Ю. Ганелиным.
21»
323
Рис. 124. Напряженное состояние при прессовании прутка:
а — распределение ож /Т; б — распределение ог/Т; в — распределение TfZ/T;
г — распределение Оо/Т
Рис. 125. Построение
конформного отображе-
ния методом «склейки»:
а — плоскость z;
б — плоскость w
324
Рис. 126. Прессование
трубы из алюминиево-
бериллиевого сплава в
сигмоидальную матрицу:
а — расчетное искажение
координатной сетки; б —
образец с деформирован-
ной координатной сеткой
Рис. 127. Прессование трубы из сплава Д16 в сигмоидальную матрицу. Семейства
линий уровня:
a — v =const; 6 — у «const; в — II=const; г —O=const
325
рекомендательный библиографический список
Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверпы: Пер. с англ.
М.: Мир, 1964. 466 с.
Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979.
536 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплекс-
ного переменного: Изд. 4-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1973. 736 с.
Лаврик В. И., Савенков В. Н. Справочник по конформным отобра-
жениям. Киев: Наукова думка, 1970. 252 с.
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Изд. 3-е, перераб.
и доп. М.: Наука, 1970. 904 с.
Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. 568 с.
Глава X
ОБЪЕМНЫЕ ПЛАСТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ
Математическое моделирование объемных пластических те-
чений связано с большими математическими трудностями.
Основная проблема — это размерность задачи. Так, при ис-
пользовании метода конечных элементов решение трехмер-
ных задач приводит к системам с многими сотнями или ты-
сячами неизвестных. Решение таких систем возможно лишь
на больших ЭВМ, с высоким (порядка млн. оп/сек) быст-
родействием и оперативной памятью объемом в несколько
М байтов.
Вместе с тем хорошо организованный вычислительный
процесс позволяет обойтись более доступными ресурсами.
Подход к решению краевых задач, основанный на концеп-
ции опорного решения и его последующего уточнения, дает
возможность ограничиваться сравнительно простыми конст-
рукциями уточняющих функций. Другими словами, для
уточнения «хорошего» начального приближения требуется
сравнительно небольшое число членов ряда или конечных
элементов.
Во многих случаях при решении объемных задач рацио-
нально применять имитационные модели. Содержащиеся в
расчетных формулах эмпирические коэффициенты опреде-
ляются в процессе проведения «обучающих» экспериментов,
а затем апробируются на другой серии «проверочных» эк-
спериментов. Примером такого подхода является методика
автоматизированного проектирования прессовых матриц,
разработанная учеными Московского института стали и
сплавов.
326
1. Моделирование объемных течений
ОБЪЕМНОЕ ТЕЧЕНИЕ. Рассмотрим установившееся объ-
емное течение пластической среды (рис. 128). Область те-
чения D в дальнейшем будем называть «трубкой тока», а
кусочно-гладкую поверхность S, ограничивающую область
D, — «поверхностью трубки тока».
Будем полагать, что на входе в трубку тока и на выхо-
де из нее движение сплошной среды является равномерным
и прямолинейным, соответствующим перемещению среды
как абсолютно твердого тела параллельно фиксированному
направлению А.
Введем систему фиксированных в пространстве наблю-
дателя декартовых координат Xi, Х2, Хз, направив ось хз
параллельно вектору А (см. рис. 128).
Пусть поверхность S состоит из т+1 связных поверх-
ностей.
Сечение трубки тока D плоскостью С(Хз = с), перпенди-
кулярной оси х3, представляет собой ограниченную в об-
щем случае многосвязную область й (рис. 129). Граница
у последней - состоит из конечного числа кусочно-гладких
замкнутых контуров y=yo+yi-h—Tft, не имеющих гладких
точек, причем контур у0 охватывает все остальные.
При k=0 граница состоит из одного замкнутого контура
у=уо и область Й является односвязной; в общем же
случае она (Л+1) — связна.
Направление обхода контура, при котором область й
остается слева от наблюдателя, примем за положительное;
соответствующая ориентация нормали п и касательной s к
контуру показана на рисунке.
Поскольку форма области й зависит от положения
плоскости С, граница у входит в однопарамстрическое се-
мейство у=у(хз).
Вариации координаты Хз сечения й—бх3 будут соответ-
ствовать нормальные перемещения бп точек границы, по-
ложительные тогда, когда направление перемещений совпа-
дает с вектором нормали п. При этом изменение площади
Ф области й составит
бф = б f [ dxtdx2 = f 6ndy. (X. 1)
Поле скоростей v с составляющими Vi удовлетворяет
условию несжимаемости divv=0; для упруго-пластических
327
и пластических сжимаемых сред, таких, как порошковые
материалы, это условие заменяется реологическим уравне-
нием, описывающим закономерности объемной деформации.
На поверхности S выполняется условие обтекания гра-
ницы: нормальная составляющая скорости vn обращается
в нуль (N — единичный вектор внешней нормали к S).
Рис. 128. Стационарное объемное те-
чение
Рис. 129. Поперечное сечение трубки
тока
На границе области пластического течения должны вы-
полняться условия непрерывной стыковки с жесткими зо-
нами:
yi = v2 = 0, v3 = В/Ф = const, (Х.2)
где В — поток сплошной среды в области D.
ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОТОБРА-
ЖЕНИЕ. Введем криволинейные координаты рь р2, 0з, по-
ложив
Х1 = Х1 (₽1» 02» 0з), Х2 = Х2 (01» 02» 0з)» Х3 = 03, (Х.З)
тем самым отобразив область физического течения D на не-
которую область Е параметрического пространства Рь
Рг, Рз.
Обратное отображение определяется зависимостями
01 = 01(^1, Х2* хз)> 02 = 02 (*^i> х2> *з), 0з ~ ^з* (Х.4)
Поскольку х3=р3, матрицы Якоби прямого и обратно-
го отображений имеют вид
" dxi o” - ~ dpi dpi dPi ~
dpi dp2 dxi dx2 dx3
(Л = дх2 dpi dx2 0 dp2 , [J]-1 dp2 dxi dpa dx2 d62 dx3 (X.5)
dx3 dx3 . 0 0 1
_dpi 1 <n CO. «
328
причем
[ЛМ-1 = [Д,
(Х.6)
где [/] — единичная матрица.
Пусть Р1 = Р1(хь х2, х3) и p2=p2(xb х2, х3) — функции
тока объемного течения. Вектор скорости, удовлетворяю-
щий условию несжимаемости, определится как векторное
произведение градиентов этих функций:
V = V₽1XV₽2- (х-7)
Рис. 130. Область течения:
а — физическое пространство; б — параметрическое пространство
причем v3 = D (Pj, p2)/D (хх х2). (Х.8)
Отсюда следует, что определители Якоби прямого и об-
ратного преобразований вычисляются по формулам
det [Л = 1/п3, det [Л-1 = v3. (Х.9)
Линии тока, совпадающие с траекториями материаль-
ных частиц (течение стационарно), представляют собой
линии пересечения двух семейств поверхностей тока Pi =
=const и р2=const.
Рассмотрим условия, которым удовлетворяют функции
pi и р2, полагая, что поперечное сечение й — односвязная
область, представляющая собой криволинейный четырех-
угольник Л1Л2Л3Л4 (рис. 130,а).
Поскольку составляющая v3 определяется формулой
(Х.8) в области жесткого перемещения функции Pi и р2 не
329
должны зависеть от переменной х3, а якобиан О (Pi, p2)/D-
(хь х2) сохраняет постоянное значение, равное В/Ф.
Кроме того, должно выполняться условие нормировки,
связывающее приращения функций тока с потоком сплош-
ной среды в области D.
КРИВОЛИНЕЙНАЯ СЕТЬ НА СЕЧЕНИИ £2. Пересе-
кая сечение £2(х3=с), поверхности тока образуют криволи-
нейную сеть
Р1(хх, х2) = const, р2 (хь х2) = const. (Х.10)
Произведем нормировку функций тока следующим об-
разом: функция Pi равна нулю на участке A4At и равна В
на А2А3; функция р2 равна нулю на AiA2 и единице на
А3А4.
Область изменения параметров Pi и р2 на £2 представля-
ет собой в плоскости pi, р2 прямоугольник с основанием В
и высотой, равной единице; поток, протекающий в физиче-
ском пространстве, через сечение £2, равен площади прямо-
угольника.
Таким образом, область D преобразуется в прямоуголь-
ный параллелепипед Е шириной В, высотой, равной едини-
це, и длиной I (рис. 130,6).
Легко видеть, что проблема построения функций тока
Pi и р2, а следовательно, и поля скоростей по формуле
(Х.7) эквивалентна построению криволинейной сети (Х.10)
для каждого сечения £2 при х3, пробегающим значения от 0
до /. Действительно, зная линии (Х.10), проходящие через
произвольную точку М (хь х2) сечения £2 (х3), можно уста-
новить соответствия
Pl = Pi (^1, ^2» Хз), Рз = Рз (^1. ^2» Хз)> 1
т. е. определить функции тока.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. СПЛАЙНЫ.
При вычислении матрицы жесткости и вектора {Е} прихо-
дится вычислять интегралы по объему и поверхности обла-
сти течения. Эти щэоцедуры существенно упрощаются с пе-
реходом в параметрическое пространство. Пусть, например,
необходимо вычислить объемный интеграл от некоторой
функции <р(хь х2, х3). С переходом к переменным р, будем
иметь:
/ = j f J ф (-*1, Х2, х3) dxrdx2dx3 =
D
= jf J Ф (Pl. Рз. Рз) det [J] 4ММРз = jj j(q>/v3) <4МРз.(Х,12)
E J E
330
Аналогично упрощается вычисление поверхностных ин-
тегралов. В этом случае коэффициенты квадратичной фор-
мы £, F, G вычисляются путем перемножения соответству-
ющих столбцов матрицы [J]; при преобразовании поверх-
ностных интегралов под знаком интеграла появляются мно-
жители вида EG — F2 фхф3 или EG — F2 dp2dp3.
Пусть в области Е построена прямоугольная сетка Д==
= Д1ХД2ХАз, где Дг — одномерные сетки для переменных
Рг.
Предположим, что в узлах сетки Д заданы значения не-
которой функции Интерполяционным кубическим
сплайнсйл трех переменных будем называть кубический
сплайн дефекта 1, принимающий на сетке Д значения
= (Х.13)
Оговорив некоторые граничные условия (например, об-
ращение в нуль на границе вторых производных), интерпо-
ляционный сплайн можно определить следующим образом:
₽8, Р,) = 222 kW.OMW. (Х.14)
i i k
где F^pj, F2(p2), F3(p3) —фундаментальные сплайны, за-
данные соответственно на сетках Дь Д2, Д3.
Формула (Х.14) решает проблему гладкого восполнения
функций, значения которых заданы в узлах сетки Д.
АЛГОРИТМ МОДЕЛИ. При разработке алгоритма мо-
дели неизотермического течения сплошной среды примем
за основу алгоритм, описанный в п. I гл. VIII. Остановимся
на отдельных аспектах его практической реализации.
1. Отображение на каноническую область. Эту проблему
решает рассмотренное нами отображение (Х.З) области D
на прямоугольный параллелепипед Е.
2. Сетка. В качестве сетки примем рассмотренное выше
множество узлов Д.
3. Опорное поле скоростей. Для построения этого поля
задается в качестве начального приближения в узлах сет-
ки Д некоторая совокупность координат х((р*). Произво-
дится сплайновое восполнение функций хДр*), что позво-
ляет вычислить компоненты матрицы [J]. Далее, для узло-
вых значений переменных pft производится обращение мат-
рицы [/] и вычисление компонент матрицы [J]-1. После
восполнения этих функций компоненты скорости представ-
ляются в виде гладких дважды дифференцируемых функ-
ций переменных Рь
331
4. Температурное поле. Уравнение теплопроводности
преобразуется к переменным рь р2> Рз- Поскольку криволи-
нейные координаты Рл не ортогональны, в уравнении те-
плопроводности появляются смешанные производные, что
приводит к определенным трудностям в реализации мето-
да конечных разностей. При приближенном подходе мо-
жно считать систему координат квазиортогональной, пре-
небрегая указанными членами, что существенно-упрощает
решение.
5. Уточнение опорного решения. Производится методом
конечных элементов. В качестве последних удобно исполь-
зовать элементы в виде прямоугольных параллелепипедов
сирендипова семейства (рис. 130,6). В области D им соот-
ветствуют криволинейные элементы. В качестве узловых
параметров можно принять три компоненты поправочного
вектора скорости v' и гидростатическое давление р. При
этом в систему включается уравнение несжимаемости. Сле-
дует подчеркнуть, что использование достаточно хорошего
опорного решения позволяет уменьшить число элементов и
тем самым существенно уменьшить размерность алгебраи-
ческой системы.
После построения поля скоростей определяются новые
значения координат Xi и х2 в узлах сетки Д с использова-
нием соотношений
% £
*.=*!+( (»Л) % 4 +.[ (»Л) Ъ |5>
0 о
Приняв уточненное поле скоростей за опорное и вернув-
шись к этапу 3, можно перейти к очередной итерации. Про-
цесс продолжается до выполнения условий сходимости.
Описанный алгоритм реализован в виде комплекса про-
грамм для ЭВМ ЕС 1033 Ч
Контрольные вопросы
1. Что такое трубка тока? С чем связано это название?
* 2. Какая область называется односвязной?
3. В чем состоят особенности преобразований координат (Х.З) и
(Х.4)? Как изменяется переменная Хз?
4. Что такое матрица Якоби отображения? Чем она отличается от
якобиана?
5. Как преобразуется интеграл при отображении?
6. Что такое квадратичная форма поверхности?
7. Какими свойствами обладает фундаментальный сплайн? В ка-
ком смысле фундаментальные сплайны образуют базис пространства
сплайнов?
8. К чему сводится алгоритм математической модели объемного
течения?
1 Программы составлением, Е. Громовым и А. Д. Федько,
2. Прессование профилей
Рассмотрим следующую задачу. Тонкостенный профиль
прессуется из круглого контейнера через плоскую матри-
цу (рис. 131). Канал матрицы разбит тонкими перемычка-
Рис. 132. Деление внутренней области Dt на элементарные подобласти
ми на п элементов (рис. 132). Рассчитать скорости истече-
ния отдельных частей профиля, температурное поле, поле
скоростей.
1. Опорное поле скоростей. Рассмотрим задачу много-
канального прессования в общей постановке. Пусть рабо-
333
ченныи контуром yk и
Рис. 133. Кинематически воз-
можное поле скоростей при
многоканальном прессовании
чая поверхность матрицы представляет собой многосвяз-
ную область (рис. 133)
fi0 = Q-(Q1 + Q2++ЙЛ), (Х.16)
ограниченную контуром у=уо+у1+-..+уп.
Здесь й — круг радиусом Л; уо — ограничивающая его
окружность; Qk(k= 1, 2,...,п)—канал матрицы, ограни-
соответствующий форме элемента
профиля.
Сформулируем кинематические
граничные условия. На плоскости
х3=/, отделяющей область пласти-
ческого течения D от жесткой час-
ти заготовки, перемещающейся
вдоль оси Хз со скоростью Vo, со-
ставляющая скорости Оз=—Vo.
На боковой» поверхности кон-
тейнера V| = v2=0; на плоскости
матрицы хз=0 в области Йо Уз=
=0, а в области й* (£=1, 2,..., п)
o3=Cfe=const. Таким образом, из
канала й* элемент профиля вытека-
ет СО СКОрОСТЬЮ Cfc.
Построим разрывное кинемати-
чески возможное поле скоростей,
удовлетворяющее гипотезе плоских
сечений, разбив очаг деформации
D (круговой цилиндр радиусом R и
длиной /) на следующие области:
Dk — цилиндры (в общем случае нс-
круговые), построенные на контурах у* с образующими,
параллельными оси контейнера, и область
D0 = D-2Dfc.
Поперечное сечение очага деформации, рассмотренной
выше плоскостью x3=const (т. е. сечение й), повторяет
расположение каналов на плоскости матрицы (рис. 133).
Из гипотезы плоских сечений следует, что объемному
полю скоростей v в области D соответствует плоскопарал-
лельное поле скоростей V=vt + iv2, которое в области й
будем считать непрерывным; составляющие Vi и v2 не за-
висят от Хз. Очевидно, div Vg^O.
334
Примем следующее предположение. Будем считать пе-
ремычки бесконечно тонкими, а «скелет» совокупности ка-
налов Q1+Q2+... + Qn, т.е. серединную линию прессуемого
профиля, — разрезом.
Отобразим получившуюся в результате двухсвязную
область (круг радисом /? с разрезом) на круговое кольцо
а<г<1 комплексной плоскости t==reia. При этом в обла-
сти D мы вводим криволинейную ортогональную систе-
му координат ₽i=r, ₽2=<о, 0з=*з с коэффициентом Лямэ
H\=Hr—h, H2=Ha=rh и Яз=1, где h=\z'(£)|.
Построим в области Do опорное поле скоростей, поло-
жив п”=0, Vj=—Ах3, где A=vo/l. Составляющую v°r, не
зависящую от переменной хз, найдем из уравнения несжи-
маемости, записанного в виде
<Х17>
Учитывая, что на окружности г=1, цг=0, получаем
1
tfi. (г, со) =----— f tfrdr.
rh J
(X.18)
Таким образом, в области й0 течение происходит вдоль
диний тока (o=const со скоростью (г; ©), обращающей-
ся в нуль на поверхности контейнера. Линии тока ортого-
нальны к контуру контейнера и к «берегам» разреза.
Объем металла, вытекающего за единицу времени че-
рез все каналы матрицы, т. е. поток сплошной среды через
контейнер, равен В.=у0Ф, где Ф=л/?2— площадь области
Й. Введем следующие безразмерные параметры:
п* • h
“Г
(Х.19)
где Фл — площадь области й*; П* — периметр контура
у*, ограничивающего эту область; П* — часть периметра
П», за вычетом ширины перемычек; Ь* — поток вектора V
через контур ул; Нк — длина тормозного пояска:
По = 2л₽, Ь = В/1 = АФ. (Х.20)
Безразмерные параметры А* и цл характеризуют отно-
сительную площадь каналов матрицы и распределения по-
335
токов по этим каналам. Поскольку 2Ф*=Ф> то параметры
*=1
п
А* удовлетворяют условию SXh = l— Хо.
Из формулы Грина
JJdivVdMx2 = (Х.21)
о. V
и непроницаемости контура уо для сплошной среды следу-
ет, что на параметры Ца накладывается условие
= (Х.22)
*=1
В цилиндрических областях Dh составляющие скорости
i»i и и2 непрерывно стыкуются с плечом скоростей, постро-
енным для области Qo> а составляющая v3 равна
*» = - к + ^ (/ - Хз)] = - 41 + тЧ1 - -г)]’ (Х-23>
L Ф* J L Aft \ ‘ /J
причем скорость истечения из канала равна <k=Ml+l**/
/Ал).
Скорость относительного скольжения металла на ци-
линдрической поверхности Sk (k= 1, 2.п) равна
(Х.24)
Наконец, скорость относительного скольжения на гра-
нице между двумя соседними элементами профиля опреде-
лится зависимостью
|
Нун __ нь
(1=1,2.n—1). (Х.25)
2. Температурное поле в области D определяется реше-
нием уравнения теплопроводности в области £>0 с учетом
тепловых источников, действующих на поверхностях раз-
рыва скоростей и распределения температуры в цилиндри-
ческих областях Dh.
3. Уточнение поля скоростей. Введем в области Qo по-
правочную функцию тока 'Г (г, со), определив поправочные
компоненты скорости следующим образом:
1 ray v. 1 ат
гЛ а® ’ ® h dr
0; = о.
(Х.26)
336
Рис. 134. Прессование тавра из алюминиевого сплава:
а — распределение скорости v ; б — распределение скорости v ; в — распределе-
ние величины П; г — распределение температуры 6 в сечении ха-0,17/
22 Г. Я. Гун
Рис. 135. Прессование швеллера из алюминиевого сплава:
а — распределение скорости us б — распределение скорости и^; в — распределе-
ние величины Н; г — распределение температуры 0 в сеченин х3-0,17/
Рис. 136. Сравнение экспери-
ментальных (/) и расчетных
(2) скоростей истечения по эле-
ментам канала матрицы
Поскольку и' (1, ©)=0, то при г=1дЧг/<9(о=О и Т (1,
(о) = C=const. Далее, учитывая экспериментальные дан-
ные о характере течения, потребуем, чтобы линии тока
уточненного течения в области Qo были ортогональны к
контуру fo и к берегам разреза. В результате при г=1 и
г—a v'a =0 и д'¥/дг=0. Положив С=0, получаем следу-
ющие граничные условия для поправочной функции тока:
Т(1, <о) = -у-. =-у- =0. (Х.27)
дг \г=а др и=1
Этим условиям при любых значениях коэффициентов
&тп И Ьтп удовлетворяет функция:
М N
Y (г, со) = А 2 2 sin /п<р + cos х
т=1 л=1
х sin (2m + 1) у (-yzr)’] • (Х.28)
4. Скорости истечения и температурное поле. При этом:
а) область Qo отображается на круговое кольцо Д; б) в
области Д строится сетка с уз-
лами £,ц; в) в узлах сетки вы-
числяются значения координат
(хь х2), модуля производной
h= |z'(t) |. составляющих ско-
ростей и скоростей деформаций
опорного решения; температу-
ра; г) поправочная функция
тока задается отрезком ряда
(Х.28); д) находится распре-
деление потоков в каналы мат-
рицы bk как функции варьиру-
емых параметров атп и b тп,
вычисляется матрица жестко-
сти; е) из решения системы ли-
нейных алгебраических уравне-»
{“}={FJ находятся
значения параметров, скорости
истечения отдельных элемен-
тов профиля; ж) устанавлива-
ется оптимальная геометрия прессового инструмента, обес-
печивающая равномерность истечения металла при прессо-
вании. На рис. 134—136 построены результаты расчетов* в
сопоставлении с опытными данными.
НИЙ {К}
* Программы для ЭВМ составлены и расчеты произведены
О. Н. Лошкаревым.
22* 339
Контрольные вопросы
1. Какое кинематически возможное поле скоростей называется раз-
рывным? Какие разрывы при этом допускаются?
2. Какая кинематическая схема принята в решении задачи о прес-
совании в многоканальную матрицу?
3. Какое решение является опорным? Какими свойствами она об-
ладает?
4. Каким граничным условиям удовлетворяет поправочная функция
тока?
5. Как производится уточнение опорного решения?
3. Проектирование на ЭВМ прессовых матриц
МЕТОДИКА ПРОЕКТИРОВАНИЯ. До недавнего времени
проектирование прессовых . матриц осуществлялось квали-
фицированными проектировщиками методом проб и оши-
бок. Качество проектирования матриц, определяющее ка-
чество прессованных профилей, существенно зависело от
опыта и интуиции проектировщика.
В 1970 г. автором была предложена формализованная
методика проектирования прессовых матриц с применением
ЭВМ, получившая широкое применение в прессовом произ-
водстве*. Под проектированием прессовых матриц в дан-
ном случае понимается выбор оптимальных значений фак-
торов, управляющих потоками металла. К таким факторам
для плоских матриц относятся: положение каналов на
плоскости матрицы и рабочий поясок.
В основу метода положены модели типа имитационных,
позволяющие находить скорости истечения отдельных
элементов сплошного профиля практически любой конфи-
гурации и значения параметров рабочего пояска (длина и
угол торможения) на различных участках профильного ка-
нала.
Оптимальными считаются такие значения управляющих
факторов, которые приводят к минимально возможной не-
равномерности скоростей истечения элементов профиля.
Предложенная автором методика проектирования сво-
дится к следующему. После ввода исходной информации о
геометрии профиля и размерах матрицы профильный ка-
нал матрицы разбивается условным введением тонких пе-
ремычек на элементы— каналы (рис. 134).
1 Большой вклад в организацию экспериментальных исследований
и промышленного внедрения методики проектирования внесен
Б. А. Прудковским. Активное участие в работе принимали В. И. Яков-
лев, В, М. Буданов, А. Ф. Рыжов, А. А. Игуменов, Г. М. Корсетскин,
А. И. Брунилин, Э. А. Стадников, Е. М. Макаров и др. Руководители
работы П. И. Полухин и Г. Я. Гун.
340
Далее ЭВМ с некоторым шагом осуществляет последо-
вательный перебор всех возможных положений канала на
плоскости матрицы. Для каждого положения производится
вычисление скоростей истечения элементов профиля и ве-
личины, характеризующих неравномерность истечения.
При этом используются теоретико-экспериментальные фор-
мулы, сконструированные по разработанным автором прин-.
ципам [16].
Положение, для которого величина неравномерности
минимальна, считается оптимальным и фиксируется. Для
оптимального положения канала по соответствующим фор-
мулам вычисляются параметры рабочего пояска. В случае
необходимости значения рабочего -пояска могут быть вы-
числены для любого положения профильного канала.
Кроме того, в соответствии со свойствами прессуемого
материала и необходимыми допусками вычисляются ис-
полнительные размеры канала матрицы, которые отлича-
ются от размеров получаемого профиля ввиду температур-
ного расширения, упругой деформации матричного комп-
лекта, внеконтактной деформации и других факторов.
Результаты проектирования выдаются в табличном ви-
де и включают оптимальное положение канала на плоско-
сти матрицы, длину и угол торможения рабочего пояска на
различных участках профильного канала, а также испол-
нительные размеры канала матрицы.
На Куйбышевском металлургическом заводе им. В. И. Ленина
создан пакет программ, с применением которого построение рабочего
чертежа для изготовления матриц производится самой ЭВМ. Одновре-
менно с этим готовится лента для станка с числовым программным
управлением, обеспечивающего автоматическое изготовление канала
матрицы.
Опыт использования разработанного метода на ряде отечественных
предприятий показал его эффективность. До 90 % прессовых матриц,
спроектированных с помощью ЭВМ, не нуждаются в корректировке
(доводке) после пробного прессования. В связи с этим сокращаются
простои оборудования, повышается производительность, уменьшаются
потери металла при доводке матриц.
Разработанный метод не требует использования труда квалифици-
рованных проектировщиков. Время непосредственных расчетов на ЭВМ
типа ЕС-1033 на проектирование одной матрицы составляет от 0,5 до
2 мин в зависимости от конфигурации профиля.
ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ. Вернемся к задаче о прессовании
тонкостенного профиля в матрицу с перемычками. Для удобства даль-
нейших выкладок примем обозначение xjsx, Пусть скорость
истечения из канала Й*/А=1, 2, ..., h) равна и*, а скорость переме-
щения прессшайбы ио. Суммарный поток металла (объем, протекаю-
щий за единицу времени через все каналы) составляет
9 = лЯ^ = Ф, (Х.29)
341
где /?о — радиус контейнера; Ф — площадь поперечного сечения кон-
тейнера.
Поток через отдельный канал QK, площадь которого равна Фк,
обозначим Qk=qhQ.
Очевидно:
Q1+... +(?П = <2 Hft+ ...+ <7n=l. (Х.ЗО)
Обозначим через Ф суммарную площадь каналов:
Фг = Ф1+ ... +Ф„ (Х.31)
ф.
и, введя параметр ак (нормированная площадь канала): ан = — ,
Ф
имеем также ai4-...4-aft=l.
Введем в рассмотрение среднюю скорость истечения: Vcp=V0X, где
Л=Ф/Ф s — средняя вытяжка.
Коэффициент обозначающий отношение скорости истечения че-
рез канал Qk к средней скорости истечения, назовем нормированной ско-
ростью истечения.
Легко видеть, что w« = uK/ucP= (Ок/Фк)/(С/Ф2 ) =7л/а*.
Из (Х.ЗО) получим условие сохранения потока для нормирован-
ных скоростей:
п п
S whak = 2 ?fe = 1- (х.32)
Л=1
Для прессования в один канал (я=1) получим оа=1.
В дальнейшем изложении используются лишь нормированные ско-
рости истечения и нормированные площади каналов, причем слово
«нормированные» опускается.
ГИПОТЕЗА О ПЛОТНОСТИ ПОТОКА. Согласно методике про-
ектирования матриц на ЭВМ, профильный канал разбивается услов-
ным введением тонких перемычек на элементы-каналы (рис. 134), и
проектирование на ЭВМ матриц сводится главным образом к исследо-
ванию течения в получаемую таким образом многоканальную матри-
цу. Так как сортамент производимых профилей достигает нескольких
тысяч, трудно предположить возможность создания какого-либо пра-
вила канонического разбиения профильного канала на элементы. По-
этому формула для расчета скоростей не должна зависеть от конкрет-
ного разбиения канала, быть объективной характеристикой конфигура-
ции профильного канала и его расположения на плоскости матрицы.
Этого можно добиться, если выдвинуть гипотезу о существовании
некоторой функции — «плотности потока», определенной в области
профильного канала. Обозначим такую функцию через w(x, у), где
точка (х, y)^Qt a Q — область канала. Скорость истечения в элемент
профильного канала будем считать среднеинтегральной величиной на
поле плотности w (х,«/), иначе говоря
tt>k = Я W (*> у) dx dylak. (Х.ЗЗ)
°*
Принятие вышеупомянутой гипотезы эквивалентно следующему
положению. Пусть мы имеем разбиение канала на элементы. Систему
элементов, составляющих профильный канал, обозначим через {соь}.
Разобьем каждый элемент в свою очередь на ряд элементов меньших
размеров. Обозначим полученную систему элементов через {сом}, где
элементы еш (/=1,2,...) составляют элемент Q*. Тогда, так как вве-
342
денное поле w(x, у) инвариантно относительно разбиения, будем
иметь:
<7л = а*^ = ff w(x, y)dxdy = \ у)dxdy =
Ok=jQM i
= 2w«aM — ^Ям>
I I
т. e. поток металла, истекающий из элемента Q*, равен суммарному
потоку, истекающему из системы элементов Qm (/=1,2,...). Тем самым
обеспечивается независимость скоростей истечения из отдельных эле-
ментов канала от принятого субъективно разбиения этого канала на
элементарные части с помощью перемычек.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ. Запишем
формулу для функции плотности w (х, у} в следующем виде:
w (х, у) = fj w a. n) g (X, У, 5. П) d&in, (X.34)
где точки (x, у) и (J, т]) принадлежат каналу Q; g(x, у; g, т]) — ядро,
вид которого определяется исходя из экспериментальных исследований
процесса многоканального прессования. В частности, ядро g(xt у\ g, т))
должно обладать следующими свойствами: оно должно быть поло-
жительным: g(x, у\ g, т])>0; достигать максимума при x=g и у=т);
стремиться к нулю при Я = ^(х — £)* + (у — Я)*
Очевидно, что из (Х.34) при известной функции g(xt у\ g, т>), при-
соединяя условие сохранения потока в виде:
Т))<ФП) = 1, (Х.35)
Q
можно вычислить значения поля w(g, т|) в точках профильного канала.
В. А. Сыцко показано, что при таком выборе формулы для вы-
числения плотности w(x, у) будут выполняться многие закономерно-
сти, присущие многоканальному истечению металла при прессовании.
Так, при прочих равных условиях скорость истечения в канал с отно-
сительно большей площадью будет больше; при близком расположе-
нии канала массивный участок профиля утягивает за собой тонко-
стенный элемент; при расположении каналов на значительном расстоя-
нии друг от друга их взаимное влияние ослабевает и распределение
скоростей истечения зависит только от соотношения площадей каналов.
При исследовании многоканального истечения из круглого контей-
нера необходимо конкретизировать зависимость функции g(xt у\ g, л)
от аргумента х, у, g, г). Очевидно, что значение этой функции ие дол-
жно меняться при поворотах системы координат вокруг центра матри-
цы. В связи с этими аргументами этой функции должны быть вели-
чины, инвариантные относительно таких преобразований системы коор-
динат. Поскольку рассматриваются элементарные каналы, т. е.
характеризующиеся лишь площадью и положением центра, то необхо-
димо выбрать инварианты, полностью определяющие эти параметры
для системы каналов. Зависимость скорости истечения от площади ка-
нала уже учтена в формуле (Х.ЗЗ). Поэтому функция g(xtyt g, л)
должна зависеть от инвариантов, которые характеризуют положение
центров каналов. Рассмотрим простейший вариант конструирования
343
функции g(x, у\ £, т)). В качестве аргументов функции выберем сле-
дующие инвариантные величины:
ц - И + ft Вы -
где (х*, yk) и (£,, т]>) — координаты 6-того и /-того каналов соот-
ветственно.
Очевидно, что выбранные величины полностью характеризуют по-
ложения центров каналов на плоскости матрицы.
В качестве инварианта, интегрально характеризующего всю со-
вокупность каналов, примем вытяжку X. Таким образом, имеем g(xkt
УК U
Зададимся структурой формулы для вычисления ядра g(X, п, /?м):
g (X. rkt RkJ) = К exp (- Rkjla)*t (X.36)
где K=(l+mir*)0; о=т2/Х(1+/Пзг*+т4/?*,); mlt m2, m9, m4 —число-
вые коэффициенты, которые находятся из экспериментов по многока-
нальному прессованию; 0 — нормирующий числовой множитель, обес-
печивающий выполнение условия сохранения потока.
Очевидно, что при таком выборе ядра g(x*, у*, i]j) будут вы-
полнены основные свойства этой функции. Запишем окончательное вы-
ражение для вычисления скоростей истечения в каналы:
Wk = Sa/Kexp(-«k7/a)s. (Х.37)
/
НАХОЖДЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ. Следующим этапом в по-
строении формулы скоростей истечения в элементы-каналы является
этап нахождения числового значения коэффициентов тх—т* в фор-
муле скоростей истечения в каналы (Х.37) и экспериментальная про-
верка этой формулы.
Коэффициенты mi—должны обеспечивать минимальное значе-
ние квадратичной невязки между расчетными и экспериментальными
значениями скоростей истечения в каналы, т. е. минимизировать функ-
цию четырех переменных:
Т nh
u(mi, mt) = 2 (»* —®z)2. (X.38)
4=1 l=i
где T — число прессовок в многоканальные матрицы; пь — число кана-
лов на матрице 6-той прессовки; w* и wj — расчетное и эксперимен-
тальное значения скорости истечения в /-ный канал для 6*той прес-
совки.
Для нахождения коэффициентов в формуле скоростей истечения
использовались результаты экспериментальных исследований по много-
канальному прессованию алюминиевых сплавов в бсспоясковые «обу-
чающие» матрицы в промышленных условиях.
Для проведения опытов по изучению влияния на характер истече-
ния смещения системы каналов от центра матрицы было специально
сконструировано и изготовлено приспособлейие для прессования. Мат-
рицедержатель имел отверстие, расположенное эксцентрично по отно-
шению к оси прессования, в которое устанаввливалась промежуточная
коническая втулка с эксцентрично расположенным отверстием. Матри-
ца находилась в промежуточной втулке, а втулка— в матрицедержа-
теле. Вращением втулки с «обучающей» матрицей можно добиться сме-
344
щения центра тяжести профильного канала относительно оси прессо-
вания.
Кроме того, прессование проводилось в обычные беспоясковые
матрицы с прямоугольными каналами. Эти эксперименты проводились
для изучения взаимного влияния потоков металла, истекающих из ка-
нала, друг на друга. Для того чтобы иметь возможность применять
формулу для вычисления скоростей истечения при проектировании на
ЭВМ как двухканальных, так и одноканальных матриц, использова-
лись для вычисления коэффициентов «обучающие» многоканальные
матрицы, изготовленные как со значительным расстоянием между ка-
Рнс, 137. Схема расположения каналов матрицы (а) и сопоставление расчет-
ных (/) и экспериментальных (2) скоростей истечения в эти каналы (б)
налами (порядка 30—50 мм), так и с предельно малым, при котором
матрица не разрушалась (~3 мм).
Нахождение коэффициентов /п(, т2, ms, равносильно отыска-
нию минимума функции (Х.38). Решение этой задачи осуществлялось
по известным методам поиска экстремума функции нескольких пере-
менных. Поскольку выбор того или иного метода поиска должен опи-
раться на определенную информацию относительно минимизируемой
функции, которой мы не располагали, целесообразно было запрограм-
мировать несколько методов поиска.
Были реализованы на ЭВМ программы поиска по модифицирован*
ному методу наискорейшего спуска и по процедуре оптимизации по
Розенброку.
Оказалось, что программа поиска по Розенброку дает сравни-
тельно медленное продвижение к минимуму функции (Х.38) до выхо-
да на гребень.
Метод наискорейшего спуска, напротив, давал сначала быстрое
движение к минимуму, которое, однако, сменялось медленным зигзаго-
образным движением по выходу на гребень. Поэтому обе программы
поиска применялись поочередно.
345
ОПЫТНАЯ ПРОВЕРКА ФОРМУЛЫ СКОРОСТЕЙ. Для провер-
ки полученной формулы по определению скоростей истечения в эле-
менты-каналы, а также для подтверждения приемлемости развиваемо-
го подхода к проектированию матриц, основанного на расчленении
Значение коэффициентов для сплава Д16 приведено в таблице:
т» т4
—1,151293 —0,902963 —1,807526 +6,389000
профильного канала на ряд элементов, были спроектированы и изго-
товлены специальные «проверочные» беспоясковые многоканальные
матрицы.
При этом были выборочно взяты несколько заводских матриц, и
затем на основании этих матриц были изготовлены многоканальные
беспоясковые матрицы путем введения тонких (3 мм) перемычек, ко-
торые разбивали исходный профильный канал на элементы-каналы.
В эти матрицы были проведены прессовки заготовок из сплава Д16.
По разработанным формулам при оптимальных коэффициентах
были рассчитаны скорости истечения металла в разные каналы для
этих матриц и проведено сравнение расчетных и экспериментальных
значений скоростей. Результаты сравнения представлены в графиче-
ском виде на рис. 137.
Контрольные вопросы
1. В чем существо предлагаемой методики проектирования прес-
совых матриц?
2. В чем состоит условие оптимальности конструкции матрицы?
3. В чем состоит гипотеза о плотности потока?
4. Как производится «обучение» модели?
5. Как производится «проверка» имитационной модели?
РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Алберг Дж., Нильсон Э,, Уолш Дж. Теория сплайнов и ес прило-
жения: Пер. с англ. М.: Мир, 1972. 380 с.
Илюшин А. А., Ленский В. С. Сопротивление материалов. М.: Физ-
матгиз, 1959. 371 с.
Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред: Пер. с апгл.
М.: Мир, 1974. 319 с.
Прессование алюминиевых сплавов (математическое моделирова-
ние и оптимизация) !Гун Г. Я., Яковлев В. И., Прудковский Б. А. н др.
М.: Металлургия, 1974. 336 с.
Полухин П. И., Гун Г. Я., Галкин А. М. Сопротивление пластиче-
ской деформации металлов и сплавов: Справочник. М.: Металлургия.
1976. 488 с.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Изд. 2-е
перераб. и доп. М.: Наука. 1977. 742 с.
2. Шилов Г. Е. Математический анализ (конечномерные линейные
пространства). М.: Наука, 1969. 432 с.
3. Воеводин В. В, Линейная алгебра. 2-е изд., перераб. и доп. М.:
Наука, 1980. 400 с.
4. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Пер. с англ. Машинные
методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. 280 с.
5. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. Численные ме-
тоды анализа. Йзд. 4-е. М.: Наука, 1970. 664 с.
6. Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. Изд. 2-е. М.: Изд-во
МГУ, 1978. 288 с.
7. Гун Г. Я. Теоретические основы обработки металлов давлением
(теория пластичности). М.: Металлургия, 1980. 456 с.
8. Бер'мант А. Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Пре-
образования. Формулы Грина. М.: Физматгиз, 1958. 306 с.
9. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комп-
лексного переменного. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1973. 736 с.
10. Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М.:
Наука, 1966. 432 с.
И. Марчук Г. И„ Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные
методы. М.: Наука, 1981. 416 с.
12. Стечкин С. Б., Субботин Ю. И. Сплайны в вычислительной ма-
тематике. М.: Наука, 1976. 248 с.
13. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы
сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
14. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер.
с англ. М.: Мир, 1977. 349 с.
15. Зенкевич О. 3. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ.
М.: Мир, 1975. 542 с.
16. Гун Г. Я. Пластическая деформация металлов и сплавов: Науч.
тр./МИСИС. М., Металлургия, 1970, вып. 64, с. 7—15.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Аксиома:
нормы 27, 54
произведения 27
пространства 27
Алгоритм модели 154, 171, 331
— проекционно-сетчатый 171
Амонтона — Кулона закон 146
Аппроксимация 13, 169
— глобальная 237, 249
— локальная 203
— функции 311
Б
База данных 216
---по реологии и пластичности
276
Базис ортогональный 23, 77
Банаха пространство 21
Блок-схема 255
В
Вектор 16, 18
— ортогональный 22
— скорости 105, 107
Г
Галеркина метод 13, 19, 153, 156,
165, 167
Гаусса метод 51, 53
Гаусса формула 230, 231, 232, 233
Г аусса — Остроградского форму-
ла 64
Граф предметной области 12
Грина формула 167
Д
Девиатор 62, 102
— скорости деформации 113
Дискретизация функции 283
Дивергенция тензорного поля 64,
65
— тензора 64
Дирака функция 30
Дирихле задача 158, 167
Деформация:
главная 100
348
конечная 97
логарифмическая 96
тензоры 95, 99, 111, 112
3
Зависимость:
линейная 19
основная 319, 344
Задача вариационная 157
Законы сохранения 119, 122
Запаздывание 132
И
Ильюшина А. А. теория пластич-
ности 131
Интегралы преобразования 89
Интегрирование приближенное
228
Интерполяция векторных вели-
чин 211
— сеточных функций 13, 178
— сплайнами рациональными 195
----эрмитовыми 187
— сплайновая 13, 178
К
Квадратурные формулы:
Гаусса 233
Ньютона — Котеса 233
прямоугольника и прямой приз-
мы 233
треугольника или тэтраэдра 235
Координаты: 58
Декартовы 58
криволинейные 67, 75, 78, 81,104
полярные 79
Коши формула 120
Коэффициент переноса 129
— температуропроводности 127
Л
Лангража полином 218
Лямэ коэффициент 78, 82, 104,
116, 118, 183, 183, 273
М
Матрица диагональная 36, 55
— единичная 36, 55
— жесткости 160, 239, 242, 251
— квадратная 34
— квазидиагональная 41
— клеточная 39
— кососимметрическая 45
— обратная 43
— ортогональная 60
— ортогонально-подобная 61
— основная 48
— построение 251, 283
прессовая 340
— прямоугольная 35, 113
— ранг 42
— расширенная 48
— симметрическая 45
— столбец 42
— строка 42
— транспортированная 42
— трехдиагональная 36
Множество 25
— сплайнов 173
Моделирование:
математическое 322
объемных течений 327
процесса прокатки 286, 313
Модель 12
— математическая 257, 273
— структура и алгоритмы 258
Метод:
вариационный 157
итеративный 55, 57
конечных элементов 12, 237, 310
моментов 155, 269
проекционный 153
проекционно-сеточный 153
проекционный 154, 269
Н
Напряжения 119
— кинематические 148
— на наклонной площадке 119
— нормальные 119
— средние 121
— статические 148
— тензор 119
Норма 24
Начало виртуальных скоростей
---напряжений 150, 152
О
Область значений 24
— определений 24
Образ процесса 132
Оператор:
линейный 24, 33
непрерывный 24
— проектирования 25
сжатия 56
Онзагера теорема 129
Отображения 67, 75, 94, 165
— афиниые 70, 71, 74
— взаимно-обратные 69
— взаимно-однозначные 69
— гомеоморфные 69, 72, 75
— конформные 71, 72, 167, 168,
303
— на круговую область 79
— плоских областей 68
— примитивные 70, 73
— трехмерных областей 74
П
Пакет:
прикладных программ 11, 265
простой структуры 11
сложной структуры 11
Поле:
безвихревое 107
векторное 107
гармоническое 107
соленоид альное 107
Полином аппроксимирующий 14
Потенциал комплексный 281, 297
Призма:
прямоугольная 223
прямая 233
Пространство 27
— линейное 18, 20, 21, 29
— метрическое 17
— нормированное 21, 29
— основное 30
— параметрическое 328
Пуассона уравнение 158, 167
Р л
Разрушение 128, 136
Ритца процесс 164
С
Система:
алгебраическая линейная 47, 254
диалоговая 257
349
инерциальная 123
координатная 269
минимальная 163, 164
проекционная 155, 269
решение 56
уравнений 254
Скорость виртуальная 266, 271
Сохранение
количества движения 125
массы 123
механической энергии 126
момента количества движения
125
Сплайны 169, 171, 173, 330
В-сплайны 173, 175, 176, 177
Сплайны
двумерные кубические 195
дифференцирование 200
интерполяционные 178, 179
интегрирование 201
кубические (эрмитовы) 180, 197
— рациональные 197
— сглаживающие 188, 189
— фундаментальные 178, 179
Среда:
анизотропная сжимаемая 262
жестко-пластическая несжимае-
мая 265
изотропно-сжимаемая 262
наследственная 259
несжимаемая 150
ортотропная 261
Праидтля — Рейсса 263
сжимаемая Г47
с памятью 259
Стефана — Больцмана закон 141
Т
Тензор:
Альманси 96
двухвалентный 60
единичный 62
компоненты 60, 63
кососимметричный 60
направления 62
напряжений 119
определение 58
преобразование 60
симметричный 60, 119
скорости 149
сложение 60
умножение 60
ядер релаксации 261
Теория:
вязко-пластического течения
133, 135
пластичности 133
Течение:
в криволинейной полосе 305
вязкой несжимаемой жидкости
287
объемное 327, 329
осесимметричное 319
пластическое 278, 297
плоское 279
потенциальное 281
У
Узлы:
угловые 217
на сторонах 217
Условия граничные 143, 181, 183
Уравнение:
теплопроводности 127, 299
сохранения механической энер-
гии 126
Ф
Функционал 24
— двух независимых переменных
84
— непрерывный 26, 31
— ограниченный 26
— трех независимых переменных
87
Функции 30
— граничные условия 301
— координатные 269
— области 30
— обобщенные 31
— основные 30
— пространство 30
— сеточные- 277
— тока 279
— точки 30
— финитные 30, 169, 175
X
Хейвисайда функция 173
350
ш
Шварца — Кристоффеля форму-
ла 305, 306
Э
Эйлера переменные 91, 92
Эйлера тензор 96
Элемент:
двумерный 204
изопараметрический 226, 290
комплекс 207
конечный 203, 237
криволинейный 224, 226, 289
мультиплекс 207 ’
одномерный 204
прямоугольный 216
симплекс 204, 207
сирендипов 217
субпараметрический 227, 290
суперпараметрический 226
треугольный 205
трехмерный 204
Я
Ядра:
разностного типа 261
сдвиговой и объемной релакса-
ции 261
Геннадий Яковлевич Гун
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ
Редактор издательства Э. М. 111 е р б и н и н а
Художественный редактор Ю. И. Смурыгин
Технический редактор Г. Б. Жарова
Корректоры Г. Ф. Лобанова, Е. В. Я к и м анская
ИБ № 2215
Сдано в набор 13.06.83. Подписано в печать 19.10.83. Т-19400. Формат бумаги
84X108733- Бумага типографская Хе 3. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 18,48. Усл. кр.-отт. 18,48. Уч.-изд. л. 22,01. Тираж 6800 экз. Заказ 486.
Цена 1 р.. 10 к. Изд. № 0529
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Металлургия»,
119857, ГСП Москва, Г-34, 2-й Обыденский пер., д. 14.
Владимирская типография «Союзполнграфпрома» при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли.
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7