/
Автор: Ибрагимов Н.Х.
Теги: математический анализ функциональный анализ математика кибернетика дифференциальные уравнения
ISBN: 5-07-002045-5
Год: 1991
Текст
Новое
в жизни,
науке,
технике
МАТЕМАТИКА
КИБЕРНЕТИКА
Подписная
научно-
популярная
серия
7/1991
Издается
ежемесячно
с 1967 г.
Н. X. Ибрагимов
ОПЫТ ГРУППОВОГО
АНАЛИЗА
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава первая. Исходные понятия и алгоритмы 3
Группа точечных преобразований. Продолжение группы и ин-
финитезимального оператора. Дифференциальные уравнения,
допускающие группу. Интегрирование и понижение порядка
с помощью однопараметрической группы. Определяющее урав-
уравнение. Алгебра Ли 3
Глава вторая. Интегрирование уравнений второго порядка,
допускающих двухпараметрическую группу 12
Поучительный пример. Разрешимые алгебры Ли. Интегрирование
в квадратурах с помощью двухмерной алгебры. Пример реализации
алгоритма. Cherchez le groupe. Пример уравнения, не допускаю-
допускающего группу, но интегрируемого в квадратурах 12
Глава третья. Групповая классификация уравнений второго
порядка 21
Уравнения, допускающие трехмерную алгебру Ли. Общая класси-
классификация. Один замечательный класс уравнений. Признаки
линеаризуемости. Заключительные замечания 21
Глава четвертая. Инвариантные решения 28
Определение и примеры. Оптимальная система инвариантных ре-
решений. Интегрирование уравнений второго порядка, допускающих
3-мерную алгебру. Решение одной инвариантной краевой задачи.
Сферические функции. Групповой штрих к методу Римана 28
Литература 42
Приложение 43
Москва
Издательство
«Знание»
1991
ББК 22.161
И 15
ИБРАГИМОВ Наиль Хайруллович — доктор физико-математиче-
физико-математических наук, лауреат Государственной премии, профессор МФТИ,
главный научный сотрудник Всесоюзного центра математического
моделирования АН СССР, специалист по математической физике
и групповому анализу дифференциальных уравнений.
Редактор Я. Г. ВИРКО
Ибрагимов Н. X,
И 15 Опыт группового анализа обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений.—М.: Знание, 1991.—
48 с— (Новое в жизни, науке, технике. Сер.
«Математика, кибернетика»; № 7).
ISBN 5-07-002045-5
55 к.
Одним из впечатляющих достижений С. Ли A842—1899) явилось открытие,
что известные частные методы интегрирования обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, казавшиеся искусственными и лишенными внутренней связи,
могут быть выведены единообразно при помощи теории групп.
Настоящая брошюра поможет читателю освоиться с совокупностью знаний
и навыков по групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. Она может служить в качестве краткого практического руководства для
широкого круга научных работников, преподавателей и студентов.
1602010000 ББК 22.161
ISBN 5-07-002045-5 © Ибрагимов Н. X., 1991 г.
К 150-летию со дня рождения Софуса Ли
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта брошюра является продолже-
продолжением «Азбуки группового анализа» и
связана с ней единством замысла —
дать общедоступное изложение теории
Ли дифференциальных уравнений. Я по-
прежнему стремился свести до мини-
минимума подготовительные теоретические
построения и привести читателя к ме-
методам решения дифференциальных урав-
уравнений кратчайшим путем. Ибо как на-
начинающему купальщику невозможно
нырнуть вместе с надувным кругом, так
отягощенное трактатностью и подчеркну-
подчеркнутой строгостью изложение мало способ-
способствует погружению в необычный мир
группового анализа.
Для первоначального ознакомления
с предметом достаточно прочесть первые
две главы. В первой главе собраны
ключевые понятия группового анализа
и сформулированы в виде теорем те фак-
факты, которые лежат в основе используе-
используемых алгоритмов. Этот раздел поможет
читателю быстро научиться вычислять
допускаемую группу и освоиться с дру-
другими простыми приемами группового
анализа. Во второй главе изложена
основная схема Ли интегрирования
обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений методом теории групп. Ограниче-
Ограничение уравнениями второго порядка вызва-
вызвано не существом метода, а стремлением
сосредоточиться на конкретном материа-
материале и привести к исчерпывающим ре-
результатам.
Остальные главы предназначены для
желающих углубиться в предмет. За-
Заинтересовавшийся читатель может пе-
перейти далее к изучению специальной
литературы, указанной в библиографии.
Н. ИБРАГИМОВ
ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И АЛГОРИТМЫ
Группа точечных преобразований. Про-
Продолжение группы и инфинитезимально-
го оператора. Дифференциальные урав-
уравнения, допускающие группу. Интегриро-
Интегрирование и понижение порядка с помощью
однопараметрической группы. Опреде-
Определяющее уравнение. Алгебра Ли.
1.1. Группа точечных преобразова-
преобразований. Рассматриваются обратимые пре-
преобразования в плоскости (jc, у):
х = ф,ууа)у у = ^(х,у,а\ A.1)
зависящие от вещественного парамет-
параметра а, причем
ф = 0)=х, ^(а = О)=у. A.2)
Говорят, что эти преобразования
образуют однопараметрическую груп-
группу G, если последовательное выпол-
выполнение двух преобразований равносильно
применению третьего преобразования
того же вида A.1). Путем подходяще-
подходящего выбора параметра а это групповое
свойство может быть записано в сле-
следующем виде:
= фу у, Ь) = ф,уу
=^(х, у, Ь)=ф, у, а + Ь).
Преобразования A.1) называются
точечными (в отличие, скажем, от кон-
контактных, когда преобразованные зна-
значения х, у зависят также от производ-
производной у' = ду/дх), а группа G — группой
точечных преобразований. Из A.2), A.3)
видно, что обратное к A.1) преобра-
зование получается путем изменения
знака группового параметра а:
х = ф,у—а\ у = ур(х,у,—а). A.4)
Обозначив через Та преобразова-
преобразование A.1) точки (х, у) в точку (х,у),
через / — тождественное преобразова-
преобразование, через 7V1—обратное к Та пре-
преобразование, переводящее точку (х, у)
в точку (х, у), а через ТьТа — компо-
композицию двух преобразований, можно
суммировать свойства A.2) — A.4) в
виде следующего определения.
Определение 1.1. Совокупность G
преобразований Та называется одно-
параметрической группой, если
1) T IG
2) TbTa=Ta+bZEG,
3) Ta{=T-a^G.
Разложим функции ф, ty в ряд Тей-
Тейлора по параметру а в окрестности а = 0
и запишем инфинитезимальное (беско-
(бесконечно малое) преобразование A.1) с
учетом A.2) в виде
где
да
а=0
а=0
A.1')
A.5)
Например, для группы вращений
x = xcos а-\-у sin a, y = y cos а — х sin а
инфинитезимальное преобразование име-
имеет вид
хжх-\-уа,
Вектор (|, ц) с компонентами A.5)
является касательным вектором (в точ-
точке (х, у)) к кривой, описываемой пре-
преобразованными точками (х, у), и поэтому
называется касательным векторным по-
полем группы.
Однопараметрическая группа пол-
полностью восстанавливается, если из-
известно ее инфинитезимальное преобра-
преобразование A.1), с помощью следующего
уравнения Ли с начальным условием:
), <р(а=0)=*,
A.6)
Касательное векторное поле запи-
записывают также в виде дифференциаль-
дифференциального оператора первого порядка
~у
A.7)
который ведет себя как скаляр при
произвольной замене переменных (в от-
отличие от вектора (g, r))). С. Ли называл
оператор A.7) символом инфинитези-
мального преобразования A.1') i позже
в употребление вошло словосочетание
инфинитезимальный оператор группы
(или кратко оператор группы), а в фи-
физической литературе часто встречается
термин генератор группы.
Определение 1.2. Фунция F(xy у) на-
называется инвариантом группы преобра-
преобразований A.1), если для каждой точки
(х, у) функция F постоянна вдоль
траектории, описываемой преобразован-
преобразованными точками (Зс, у):
F(x,y) = F(x,y).
Теорема 1.1. Функция F(x, у) является
инвариантом тогда и только тогда, когда
она удовлетворяет уравнению в частных
производных:
XF = l(x,y)?+n(x,y)?. A.8)
Следовательно, всякая однопара-
однопараметрическая группа точечных преобра-
преобразований на плоскости имеет один неза-
независимый инвариант, в качестве которо-
которого можно взять левую часть первого
интеграла 1(х,у) = С, сопряженного с
A.8) обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения (уравнения характе-
характеристик):
dx dy
Ъ(х, у) ц(х, у) '
A.80
Любой другой инвариант является
тогда функцией от /.
Приведенные выше понятия очевид-
очевидным образом обобщаются на многомер-
многомерный случай, когда рассматриваются
группы преобразований не на плоскости,
а в я-мерном пространстве точек х =
= (х\ ..., хп). Зафиксируем внимание
на этом многомерном случае и рассмот-
рассмотрим систему уравнений
Fi(*) = 0, ..., ВД = О, s<n. A.9)
Будем предполагать, что ранг матри-
цы
dFk
дх1
равен s во всех точках х,
удовлетворяющих системе A.9). Систе-
Система уравнений A.9) задает (n — s)-
мерную поверхность М.
Определение 1.3. Говорят, что систе-
система уравнений A.9) инвариантна отно-
относительно группы G преобразований
(или допускает группу G)
xi = f(x,y), « = 1,...,Л, A.10)
если каждая точка х поверхности М
перемещается вдоль этой поверхности,
т. е. из хеМ следует хеЛ1.
Теорема 1.2. Система уравнений A.9)
инвариантна относительно группы G
преобразований A.10) с инфинитези-
мальным оператором
;л?'
да а=о
S A.11)
тогда и только тогда, когда
XFk\ =0, /5 = 1, ..., s. A.12)
Эта теорема удобна для нахождения
группы, допускаемой заданной системой
уравнений A.9). При известных функ-
функциях Fk(x) из уравнений A.12) нахо-
находятся координаты 11(х) оператора A.11),
а затем путем решения уравнений Ли
dxl _р(-\ -i( _с\\_ i -_i
находятся и сами преобразования A.10)
допускаемой группы. Если же, наоборот,
группа G задана и нужно найти до-
допускающую ее систему уравнений, то
удобно пользоваться следующей теоре-
теоремой о представлении инвариантных
уравнений с помощью инвариантов.
Теорема 1.3. Пусть система урав-
уравнений A.9) допускает группу G, инфи-
нитезимальный оператор которой не об-
обращается в нуль на поверхности М,
определяемой уравнениями A.9). Тогда
эту систему можно равносильным обра-
образом переписать так, что левые части
уравнений будут инвариантами груп-
группы G, т.е. в виде
),,«i()) , ,,,
A,90
где 1\(х), ..., In-i(x) —базис инвариан-
инвариантов группы G (набор всех функцио-
функционально независимых инвариантов).
Уравнения A.9) и A.90 равносильны
в том смысле, что они задают одну и
ту же поверхность М.
Например, параболоид вращения
можно задать в двух формах:
х2-\-у2 — z =
или
. — 1 = 0.
растяжений
Группа неоднородных
х=хеа, у=уеа, z=ze2a перемещает точ-
точки параболоида вдоль этой поверх-
поверхности и, следовательно, каждое из урав-
уравнений, задающих рассматриваемый па-
параболоид, инвариантно. Но, как легко
проверить, функция F = x2-\-y2 — z не
является инвариантом, в то время как
х2\ и2
Ф = -
1
инвариант.
При интегрировании обыкновенных
дифференциальных уравнений мы будем
пользоваться следующей простой теоре-
теоремой о подобии всех однопараметри-
ческих групп, которую сформулируем
в интересующем нас случае групп пре-
преобразований на плоскости (х, у).
Теорема 1.4. Всякая однопарамет-
рическая группа G преобразований A.1)
подходящей заменой переменных
t=t(xyy), u = u(xyy)
приводится к группе переносов 7=^ + а,
п = и с оператором Х = —.
Такие переменные t, и называются
каноническими переменными.
Доказательство. При замене
переменных инфинитезимальный опера-
оператор A.7) преобразуется по формуле
X—*'X(t')—--\-X(u)— (I 13}
Поэтому канонические переменные
находятся из уравнений
X(t)=U
Х(и)=0.
A.14)
(так что в качестве одной из перемен-
переменных и выбирается инвариант).
Например, для группы растяжений
х = хеа, у = уе2а с оператором Х = х—- +
+ 2у4- уравнения A.14) легко решаются
и дают замену / = 1пя, и = у/х2, приво-
приводящую группу растяжений к группе
переносов: t=\nx = \nx-\-a = t-\-a, п =
=у/х2 = у/х2 = и.
1.2. Продолжение группы и инфини-
тезимального оператора. Выпишем фор-
формулы преобразования производных у\
у" при точечных преобразованиях A.1),
рассматриваемых как замена перемен-
переменных. Удобно будет при этом исполь-
использовать символ «полного» дифференци-
дифференцирования
дх
ду
ду'
Преобразования производных дают-
даются формулами:
dy
dy'
dx
A.15)
DP
Dq>
Если стартовать от группы G точеч-
точечных преобразований A.1), то после до-
добавления формулы A.15) получается
продолженная группа G, действующая
в пространстве трех переменных (х,
у, у'), а после добавления еще форму-
формулы A.16) —дважды продолженная
группа G, действующая в пространстве
(х,у,у',у")-
Подставляя в формулы A.15), A.16)
инфинитезимальное преобразование
A.Г) x = x-\-al, у=у-\-ац и пре-
пренебрегая членами порядка О(а), полу-
получаем инфинитезимальные преобразо-
преобразования производных:
y"=-
Следовательно, инфинитезимальные
операторы продолженных групп G и G
соответственно равны
д
b=D{r\)-y'D(Z),
2 1
A.17)
-y"O©- A.18)
Они называются первым и вторым
продолжениями инфинитезимального
оператора A.7). Часто формулами про-
продолжения соответствующего порядка на-
называются выражения для дополнитель-
дополнительных координат:
Б1 = D( л) - y'D{l) = л х + ЫУ - Ш -
(
у%
A.170
у'
, - 21ху)у'2 - у
1.3. Дифференциальные уравнения,
допускающие группу. Пусть G — группа
точечных преобразований, а G и G — ее
1 2
первое и второе продолжения, опреде-
определенные в § 1.2.
Определение 1.4. Говорят, что обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение
первого порядка
F(Xiy1y/) = 0 A.19)
допускает группу G, если уравнение
A.19) (рассматриваемое как уравнение
двухмерной поверхности в пространстве
трех независимых переменных х, у, у')
инвариантно относительно продолжен-
продолженной группы G в смысле определения 1.3.
Аналогично дифференциальное уравне-
уравнение второго порядка
F(x,y,y',y") = 0 A.20)
допускает группу G, если это уравнение в
пространстве четырех переменных х, у,
у', у" инвариантно в смысле определения
1.3 относительно дважды продолженной
группы G.
Определение очевидным образом
обобщается на дифференциальные урав-
уравнения более высокого порядка.
Построение дифференциальных урав-
уравнений, допускающих заданную группу,
легко осуществляется с помощью теоре-
теоремы 1.3 о представлении инвариантных
уравнений через инварианты. При этом
полезно иметь в виду, что всякая одно-
параметрическая группа преобразований
в плоскости (ху у) имеет ровно один не-
независимый инвариант, при продолжении
группы на первую производную у' добав-
добавляется еще один инвариант, который с
необходимостью будет зависеть от у'у и
потому называется дифференциальным
инвариантом первого порядка. У дважды
продолженной группы уже будет три
функционально независимых инвариан-
инварианта, причем добавляется инвариант, со-
содержащий вторую производную — диф-
дифференциальный инвариант второго по-
порядка.
Пример. Пусть G — группа преобра-
преобразований Галилея с инфинитезимальным
оператором Х = у— (см. табл. 1 в конце
брошюры). Инвариантом этой группы яв-
является и=у. Первое и второе продол-
продолжения оператора X легко находятся по
формулам A.17), A.18) и равны
и'2 д
—и д и'2 д
* дх * ду'
2 д
W
Решая систему
dx _dyr dy"
y~ y*~ Ъу'у" '
получаем дифференциальные инвариан-
инварианты первого и второго порядка:
у у"
В соответствии с теоремой 1.3 инва-
инвариантные уравнения для продолженных
групп G и G могут быть записаны соот-
соответственно в виде v = F(u) и w = F(u,v).
После подстановки сюда значений инва-
инвариантов получаются следующие наибо-
наиболее общие дифференциальные уравнения
первого и второго порядка, допускающие
группу преобразований Галилея:
В более сложных случаях вычисле-
вычисление дифференциальных инвариантов вто-
второго порядка удобнее проводить в соот-
соответствии со следующей теоремой.
Теорема 1.5. Пусть для группы G из-
известны инвариант и(х,у) и дифферен-
дифференциальный инвариант первого порядка
v(xy у, у'). Тогда производная
dv_
du
Du
ux-\-y'Uy
представляет собой дифференциальный
инвариант второго порядка. Любой диф-
дифференциальный инвариант (не выше вто-
второго порядка) группы G является функ-
функцией от и, v, w.
Путем дальнейших дифференцирова-
дифференцирований можно получить дифференциальные
инварианты более высоких порядков
d2v/du2, d3v/du3, ... . В качестве упраж-
упражнения полезно проверить эту теорему на
приведенном выше примере группы пре-
преобразований Галилея.
В табл. 2 и 3 для справок приведены
некоторые дифференциальные уравнения
первого и второго порядка с указанием
инфинитезимального оператора допус-
допускаемой однопараметрической группы.
Эти таблицы построены с помощью тео-
теорем 1.3 и 1.5.
1.4. Интегрирование и понижение по-
порядка с помощью однопараметрической
группы. Теперь мы обсудим простейшее
использование однопараметрических
групп в задачах интегрирования диффе-
дифференциальных уравнений.
Начнем с уравнений первого порядка.
Пусть рассматривается обыкновенное
дифференциальное уравнение первого
порядка, для которого известен допус-
допускаемый оператор (т. е. инфинитезималь-
ный оператор допускаемой однопарамет-
однопараметрической группы). Тогда естественно вос-
воспользоваться теоремой 1.4 о приводимо-
приводимости любой однопараметрической группы
к переносам путем перехода к канониче-
каноническим переменным. Поскольку свойство
инвариантности уравнения относительно
какой-либо группы не зависит от выбора
переменных, то после замены, приводя-
приводящей известную допускаемую группу к
группе переносов, мы придем к уравне-
уравнению, не зависящему от одной из пере-
переменных и потому интегрируемому в квад-
квадратурах. Вот поясняющий пример.
Уравнение Риккати
у' + У2=2/х2 A.21)
допускает, очевидно, группу растяжений
х = хеа, у = уе~а с оператором
Х = *1Г-У1Г' С1-22)
дх у ду v '
Это частный случай приведенной в
табл. 1 группы неоднородных растяжений
с k = — 1, которая переходит в группу пе-
переносов после замены
t= \nx, и=ху. A.23)
Подстановкой A.23) в A.21) полу-
получаем уравнение
A.27)
которое легко интегрируется и дает
In
и+1 _
и-2
= 3t-\-C. Возвращаясь к старым
переменным, получаем отсюда решение
уравнения A.21):
У =
х(хА-С)
A.24)
Другой способ интегрирования, спе-
специфичный для уравнений первого поряд-
порядка, состоит в построении интегрирующе-
интегрирующего множителя с помощью известного ин-
финитезимального оператора допускае-
допускаемой группы. Пусть для уравнения пер-
первого порядка
Q(x, y)dx + P(x, y)dy = 0 A.25)
известен допускаемый оператор A.7).
Тогда функция
1 A.26)
является интегрирующим множителем
для A.25).
Применим этот способ к уравнению
A.21), которое запишем в дифферен-
дифференциальной форме A.25):
-2/x2)dx =
A.2 Г)
Подстановка в формулу A.26) коор-
координат ? = х, у]= — у оператора A.22)
дает интегрирующий множитель
1 х
г— xyt-y-2/x
Умножив на этот множитель левую
часть уравнения A.21'), получим реше-
решение уравнения A.21) в виде х3 ху =С,
равносильном формуле A.24).
В случае уравнений второго порядка
знание допускаемой однопараметриче-
ской группы (ее инфинитезимального
оператора) позволяет понизить порядок
уравнения. Для этого можно предло-
предложить два простых способа.
Первый способ тот же, что и в случае
уравнений первого порядка,— замена пе-
переменных, приводящая допускаемую
группу к переносам. Разберем его на при-
примере линейного уравнения
которое в силу однородности допускает
группу растяжений по у с оператором
ду
A.28)
Здесь приведение к переносам осу-
осуществляется заменой и = ху t = \ny, после
которой уравнение A.27) принимает вид
u"-u'+f(u)u/3 = 0, (u'=4jL).
Полученное уравнение не содержит
независимой переменной, поэтому его по-
порядок понижается подстановкой и' = р{и),
и задача сводится к интегрированию
уравнения Риккати
Второй способ представляет собой
инвариантную формулировку известных
методов понижения порядка уравнений,
не содержащих явно искомой функции
или независимой переменной*, и опирает-
опирается на теоремы 1.3 и 1.5. Согласно пер-
первой из этих теорем любое уравнение вто-
второго порядка, допускающее группу G,
может быть записано через дифферен-
дифференциальные инварианты (нулевого, первого
и второго порядка) и, v, w этой группы.
Согласно же теореме 1.5 дифференциаль-
дифференциальный инвариант второго порядка можно
выбрать в виде w = dv/du и рассматри-
рассматриваемое инвариантное дифференциальное
уравнение второго порядка записать так:
dv
du
= F(u,v).
A.29)
Этим достигается понижение поряд-
порядка: если найден интеграл
ф(и,с/, Q = 0 A.30)
уравнения первого порядка A.29), то ре-
решение исходного уравнения второго по-
порядка сводится к квадратурам **. В са-
самом деле, подстановка в A.30) известных
выражений и(х,у) и v(x,y,y') приводит к
дифференциальному уравнению первого
порядка, допускающему группу G ввиду
* См., например, Степанов В. В. Курс
обыкновенных дифференциальных уравнений —
М.: Физматгиз, 1958 (гл. IV, § 3).
** Здесь нужно вдуматься в смысл термина
«понижение порядка».
инвариантности и, v и потому интегри-
интегрируемому в квадратурах.
Понизим этим вторым способом поря-
порядок уравнения A.27). Записав первое
продолжение оператора A.28)
1 * ду ^ и ду'
находим инварианты и = х, v = y'/y. По
теореме 1.5 находим дифференциальный
инвариант второго порядка
du у у2 у '
откуда y"/y = dv/du-\-v2. После подста-
подстановки этого выражения в A.27) полу-
получается уравнение первого порядка A.29)
в виде следующего уравнения Риккати:
1.5. Определяющее уравнение. Алгеб-
Алгебра Ли. Перейдем к вопросу о построении
группы, допускаемой данным дифферен-
дифференциальным уравнением. Пусть дано урав-
уравнение второго порядка A.20) (случай
уравнения первого порядка включается
сюда как частный случай при /у=0).
Согласно определению 1.4 и теореме 1.2
инфинитезимальный критерий инвари-
инвариантности имеет вид уравнения A.12),
записанного для дважды продолженного
оператора X:
=0=0, A.31)
где ?i и 1,2 вычислены по формулам про-
продолжения A.17х) и A.18'). Уравнение
A.31) называется определяющим урав-
уравнением для группы, допускаемой обыкно-
обыкновенным дифференциальным уравнением
A.20).
В дальнейшем мы будем рассматри-
рассматривать дифференциальные уравнения, за-
записанные в разрешенном виде:
" = f(x,y,y').
В этом случае определяющее урав-
уравнение A.31) после подстановки значений
?ь U из формул A.17х), A.18') с заме-
заменой у" на правую часть уравнения A.32)
принимает вид
A.33)
Здесь f(x, у, у') — известная функция
(мы имеем дело с заданным дифферен-
дифференциальным уравнением A.32)), а коорди-
координаты ? и ц искомого допускаемого опера-
оператора A.7) являются неизвестными функ-
функциями от х, у. Поскольку в левую часть
A.33) входит, помимо х, у, еще и величи-
величина у\ рассматриваемая как независимая
переменная, то определяющее уравнение
будет «расщепляться» на несколько неза-
независимых уравнений, становясь переопре-
переопределенной системой дифференциальных
уравнений для ?, т|. Решив эту систему,
мы найдем все операторы, допускаемые
рассматриваемым дифференциальным
уравнением A.32).
Пример. Найдем операторы A.7)
д
допускаемые уравнением второго по-
порядка
A.34)
Здесь f = ey у', и определяющее урав-
уравнение A.33) имеет вид
Цхх + BЛ ху ~ 1хх)у' 2
Левая часть этого уравнения являет-
является многочленом третьей степени относи-
относительно переменной у'. Поэтому опреде-
определяющее уравнение «расщепляется» на
следующие четыре уравнения, получае-
получаемые приравниванием нулю коэффициен-
коэффициентов при различных степенях у'\
О/
'K: 1 =
A.32) («/') : %i/-
A.35)
A-36)
(у'I: 2Лч,-&**+(!),-31^ = 0, A.37)
Л хх + Bу\ху —
— 21ху)у/2 —
A.38)
Из уравнений A.35) и A.36) интегри-
интегрированием по у получаем
Подставим эти выражения для g, ц в
уравнения A.37) и A.38). Сначала заме-
заметим, что ? и г) зависят от г/ полино-
полиномиально, а в левые части уравнений
A.37), A.38) входит ё*\ следовательно,
должны выполняться условия
Первое из них дает р = 0, т. е. равен-
равенство ? = а(х), с учетом которого второе ус-
условие записывается в виде
+ 2а/+6 = 0.
Отсюда 2(a'—j) + q=0, 2af + b=0.
Таким образом,
1 = а(х)у г)=—2а'(х).
Подстановка этих выражений в A.37)
дает уравнение второго порядка:
откуда a—Cix In х-\-С2х\ при этом урав-
уравнение A.38) выполняется тождественно.
В результате мы получили общее ре-
решение определяющих уравнений A.35) —
A.38) в виде
с постоянными коэффициентами Ci, С2.
Ввиду линейности определяющих урав-
уравнений общее решение представляется в
виде линейной комбинации двух незави-
независимых решений:
1{ = х\пх, v]i = — 2A + 1п х),
Ь = х, кJ = — 2.
Это означает, что уравнение A.34)
допускает два линейно независимых опе-
оператора
дх
ду
дх
ду
A.39)
пространством с базисом A.39).
Вернемся теперь к общим свойствам
определяющего уравнения. Как видно из
A.33), определяющее уравнение пред-
представляет собой линейное дифференциаль-
дифференциальное уравнение в частных производных
относительно функций \ и ц от двух пере-
переменных х, у. Поэтому множество всех его
решений образует векторное простран-
пространство, что уже отмечалось в приведенном
примере. Но, помимо этого, имеется еще
одно свойство, характерное именно для
определяющих уравнений. Оказывается,
множество решений определяющего
уравнения образует весьма специальное
векторное пространство, называемое ал-
алгеброй Ли (термин принадлежит Г. Вей-
лю; сам С. Ли говорил об инфинитези-
мальной группе).
Определим коммутатор [Х\у Хг] любой
пары операторов вида A.7)
^ д | д
A.40)
формулой
[XUX2] =XiX2 —
В результате снова получится опера-
оператор вида A.7), что видно из равенства
м-адо)|- A.400
которое легко выводится из A.40) и кото-
которое можно взять за определение комму-
коммутатора вместо A.40). Из определения
коммутатора видно, что он
1) билинеен:
и что множество всех допускаемых опе-
операторов является двухмерным векторным
2) антисимметричен:
[ХиХ2] = -[Х2,Х11
3) удовлетворяет тождеству Якоби:
[Хи[Х2,Хз]]+[Х2,[ХьХ{]] +
+ [Хг,[ХиХ2]] = 0.
Определение 1.5. Алгеброй Ли опера-
операторов A.7) называется векторное про-
пространство L, в которое наряду с любыми
операторами Х\, X2^L входит также их
коммутатор [Xi,X2]. Эта алгебра Ли обо-
обозначается той же буквой L, а размер-
размерность алгебры понимается как размер
ность векторного пространства L.
Пусть Lr — конечномерная алгебра
Ли размерности г. Зафиксируем некото-
некоторый базис Х\,..., Хг векторного простран-
пространства Lr и рассмотрим коммутаторы [Х^
Xv] всевозможных пар базисных операто-
операторов. Так как любой оператор X из Lr раз-
разлагается по базису:
A.41)
то знание всех [Х^, Xv] позволяет найти
коммутатор любых операторов из Lr с ис-
использованием свойства билинейности.
Следовательно, векторное пространство
Lr образует алгебру Ли тогда и только
тогда, когда коммутаторы базисных опе-
операторов принадлежат Lr, т. е.
-.v = 1 г. A.42)
где c^v — вещественные числа (назы-
(называемые структурными постоянными).
Замечание. Алгебра Ли Lr порождает
r-параметрическую группу преобразова-
преобразований Та вида A.1) с вектор-параметром
а = (а\ ..., аг). Построение преобразова-
преобразований этой группы можно осуществить пу-
путем решения уравнений Ли A.6) для
каждого базисного оператора алгебры Lr
и взятия композиции полученных г одно-
параметрических групп.
Теорема 1.6. Множество всех реше-
решений определяющего уравнения A.33) для
уравнений второго порядка A.32) обра-
образует алгебру Ли Lr размерности г ^8.
Максимальная размерность г = 8 дости-
достигается тогда и только тогда, когда урав-
уравнение A.32) линейно или линеаризуется
некоторой заменой переменных.
Пример. Коммутатор операторов
A.39) равен
[ХиХ2] = -Х2. A.390
Таким образом, свойство A.42) вы-
выполнено, и векторное пространство с ба-
базисом A.39) является двухмерной ал-
алгеброй Ли. По теореме 1.6 это означает,
в частности, что дифференциальное урав-
уравнение A.34) не может быть линеаризо-
линеаризовано какой-либо заменой переменных.
Хотя выше речь шла главным обра-
образом о группах, допускаемых диффе-
дифференциальными уравнениями второго по-
порядка, на самом деле все понятия и алго-
алгоритмы очевидным образом переносятся
на уравнения и более высокого порядка.
Более того, Ли дал классификацию всех
обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений произвольного порядка по допус-
допускаемым группам, основываясь на по-
полученном им перечислении всевозмож-
всевозможных групп преобразований на плоскости.
Изложению этой классификации и ин-
интегрированию соответствующих уравне-
уравнений посвящен мемуар «Классификация
и интегрирование обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений между х, у, кото-
которые допускают группу преобразований»,
состоящий из четырех частей и включен-
включенный в пятый том Собрания сочинений
Софуса Ли [6@].
Дифференциальные уравнения перво-
первого порядка составляют исключение: для
них использование определяющего урав-
уравнения для практического отыскания до-
допускаемой группы неэффективно. Это
станет очевидным, если выписать опреде-
определяющее уравнение A.31) для уравнения
первого порядка y' = f(x,y). В этом слу-
случае вместо A.33) имеем следующее опре-
определяющее уравнение:
-y2-lfx-nfy=0. A.43)
Сюда уже не входит переменная у\
и поэтому не происходит «расщепления»
определяющего уравнения на переопре-
переопределенную систему (см. A.35) — A.38)).
При заданной функции f(xy у) определяю-
определяющее уравнение A.43) представляет со-
собой одно линейное дифференциальное
уравнение в частных производных пер-
первого порядка относительно двух искомых
функций ?•(*, у) и г\(х, у). Оно, очевидно,
имеет бесконечное множество решений.
Следовательно, всякое обыкновенное
дифференциальное уравнение первого
порядка допускает бесконечномерную ал-
алгебру Ли.
ГЛАВА ВТОРА Я. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ДОПУСКАЮЩИХ
ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКУЮ ГРУППУ
приводящую к переносам однопарамет-
рическую группу с оператором Х\. После
этой замены операторы B.2) переходят в
* голыши пример» Разрешимые ал-
т(:Ььы з*1 и. Интегрирование в квадратурах
с rtCMwKUbio двухмерной алгебры. При-
Пример реализации алгоритма. Cherchez le
^roup'-i. Пример уравнения, не допу-
са^ющето группу, но интегрируемого
:-* чкзддоатурах.
2.1. Поучительный пример. Рассмот-
Рассмотрим следующее линейное уравнение:
У" + У'-У/х = 0. B.1)
Оно, очевидно, имеет решение у = х
и по принципу суперпозиции допускает
группу преобразований с инфинитези-
мальным оператором Х\ = х-^. Кроме
того, уравнение B.1) ввиду однород-
однородности допускает растяжения по у, т. е.
группу с оператором Х2 = у — . Итак, для
уравнения B.1) мы знаем по крайней
мере два допускаемых оператора (из
восьми имеющихся по теореме 1.6):
*¦=*!• **=4- B-2)
По формуле A.40х) находим их ком-
коммутатор
[ХиХ2]=Хх. B.3)
Следовательно, векторное простран-
пространство с базисом B.2) является двухмер-
двухмерной алгеброй Ли L2.
Из § 1.4 мы знаем, что с помощью
одного допускаемого оператора (или,
что то же самое, одномерной алгебры)
можно один раз понизить порядок урав-
уравнения второго порядка. Естественно
поэтому ожидать, что при наличии двух-
двухмерной алгебры порядок можно пони-
понизить на две единицы, т. е. проинтегри-
проинтегрировать уравнение. Имея это в виду,
применим первый способ понижения по-
порядка, изложенный в § 1.4, и сделаем
замену переменных
t=x, u = y/x,
а уравнение B.1) принимает вид
tu" + (t + 2)u'=0. B.1)
Уравнение B.1) легко интегрируется:
Переходя к старым переменным, по-
получаем следующее общее решение урав-
уравнения B.1):
y = C2x+i
B.4)
При изложенном способе интегриро-
интегрирования оператор Х2 явно не использовал-
использовался. Чтобы выявить роль этого опера-
оператора и проследить, как происходит по-
последовательное понижение порядка с по-
помощью каждого из операторов B.2),
воспользуемся теперь вторым (инва-
(инвариантным) способом понижения поряд-
порядка, приведенным в конце § 1.4.
Записав первое продолжение опера-
оператора Х\
Л] — X — Ь- -г- ,
Г ду ' ду>"
находим его инварианты и = х, v = y' —
— у/х. По теореме 1.5 имеем диффе-
дифференциальный инвариант второго порядка
du
откуда у" = -^- + —. Выражая левую
часть B.1) в переменных и, v, полу-
получаем следующее уравнение первого по-
порядка A.29):
Теперь найдем, как действует опера-
оператор Х2 в плоскости (и, v). Для этого
продолжим его на у' и по формуле A.13)
перейдем к переменным и, v:
лу д . , д
Так как Х2(и) = Х2(х) = 0, X2(v) =
= X2{yf — у/х) = У'— y/x=v, то мы ви-
видим, что получается оператор растяже-
ния Y = v-c- , который допускается урав-
уравнением B.5). Итак, оператор Х\ позво-
позволил понизить порядок уравнения B.1) и
привести его к виду B.5), а оператор Х2
обеспечивает возможность дальнейшего
интегрирования полученного уравнения
первого порядка B.5). Построение реше-
решения исходного уравнения производится
в обратном порядке: сначала находится
решение уравнения B.5)
Это не оператор группы, точечных
преобразований, так как содержит ин-
интеграл, не предусмотренный в формуле
A.7). Тем не менее он удовлетворяет
определяющему уравнению A.43), запи-
записанному для уравнения B.6). Действи-
Действительно, продолжив оператор B.7) на
производную v' = dv/du по формуле
A.17')
имеем
которое подстановкой значения v =
= у' — у/х переписывается в виде не-
неоднородного линейного уравнения пер-
первого порядка
у'=у/х+Схх-хе~х\
оно легко интегрируется и дает фор-
формулу B.4).
Выше мы начинали понижение по-
порядка с помощью первого из операто-
операторов B.2). Этот выбор был совершенно
случайным. Выясним теперь, изменится
ли что-нибудь, если начать с оператора
Х2. Он совпадает с оператором A.28),
для которого в конце § 1.4 были найдены
дифференциальные инварианты
и = х, v=y'/yy dv/du = y"/y — y'2/y2.
С их помощью уравнение B.1) пере-
переписывается так:
dv_
du
v =0.
и
B.6)
В отличие от B.5) это уравнение
Риккати не имеет явно интегрируемого
вида. Выясним, укажет ли упрощающую
замену пока не использованный опера-
оператор Х\. Найдем для этого его действие
в плоскости (и, v). Имеем:
1 ду ' ду'
??H ±(l_ttl,H
у у / dv уч ' dv
Так как y = exp(\vdu), то получен-
полученный оператор можно записать в виде
-uv)±. B.7)
Чтобы выразить эти два факта (за-
(зависимость оператора от интеграла и вы-
выполнение определяющего уравнения),
скажем, что B.7) является оператором
нелокальной симметрии уравнения B.6).
Если попытаться найти упрощающую
замену, приводя B.7) к оператору пере-
переноса в соответствии с § 1.4, то станет
ясно, что идея начать понижение поряд-
порядка уравнения B.1) с помощью опера-
оператора Х2 была неудачной. Почему?
Чтобы разобраться в возникшей си-
ситуации и сформулировать общий алго-
алгоритм интегрирования с помощью извест-
известной группы, нам понадобятся некоторые
сведения о структуре алгебр Ли.
2.2. Разрешимые алгебры Ли. Пусть
Lr — конечномерная алгебра Ли размер-
размерности г и пусть N — линейное под-
подпространство в Lr.
Определение 2.1. Подпространство N
называется подалгеброй, если [X, Y] ^N
для всех X, Y<=N (т. е. это подпро-
подпространство само является алгеброй Ли),
и идеалом алгебры Lr, если [X, Y] ^N
для всех iGiV и всех FeLr.
Если N — идеал, то в алгебре Lr вво-
вводится отношение эквивалентности: опе-
операторы X и Y из Lr считаются экви-
эквивалентными, если Y — X^:N. Множество
всех операторов, эквивалентных данному
оператору X, называется смежным клас-
классом, представленным оператором Х\ вся-
всякий элемент Y этого смежного класса
имеет вид Y = X+Z с некоторым Z^N.
Множество всех смежных классов обра-
образует алгебру Ли, которая называется
фактор-алгеброй алгебры Lr по идеалу N
и обозначается Lr/N. В качестве эле-
элементов этой фактор-алгебры можно
брать представителей соответствующих
смежных классов.
Если рассматривать все построения
в области комплексных чисел, то верна
следующая
Теорема 2.1. В любой алгебре Lr
(г>2) можно выделить двухмерную под-
подалгебру. Более того, любой оператор
X^Lr можно включить в двухмерную
подалгебру.
Доказательство. Достаточно
показать, что для любого IeLr можно
подобрать линейно независимый с ним
оператор KeLr такой, что
[X, Y] = aX+bY. B.8)
Доказательство проведем на примере
алгебры L3 с базисом
B.9)
ЛА-уд~х—Ту'
Коммутационные соотношения A.42)
для операторов B.9) имеют вид
[ХиХ2]=Х3,
[Х2,Х3]=Хи B.10)
Пусть Х=Х\. Будем искать оператор
Y=aX2 + fiX3. Тогда условие B.8) в силу
равенств B.10) запишется так:
Отсюда а = 0, а коэффициенты 6, а, |3
должны удовлетворять системе алгебраи-
алгебраических уравнений
Эта система имеет ненулевое решение
(а, |3), если только ее определитель равен
нулю:
_, *!=*'+1=0-
Поэтому 6 = ±г, взяв, например,
6 = —/, имеем р = /а. Следовательно,
подпространство, натянутое на опера-
операторы
X = XU Y =
образует двухмерную подалгебру Li a L3,
причем [X, Y]=-iY.
Определение 2.2. Алгебра Lr назы-
называется разрешимой, если существует ряд
LrZDL,_iZD ... zdLx B.11)
подалгебр размерностей г, г—1, ..., 1 со-
соответственно, в котором каждая под-
подалгебра Ls-\ является идеалом в Ls
(s = 2,...,r).
Удобный критерий разрешимости
формулируется в терминах производной
алгебры.
Определение 2.3. Пусть Х\,..., Хг —
базис алгебры Lr. Подпространство, на-
натянутое на коммутаторы [Х^ Xv] всевоз-
всевозможных пар базисных операторов, обра-
образует идеал, который обозначается IS1) и
называется производной алгеброй. Про-
Производные алгебры более высокого поряд-
порядка определяются рекуррентно: L(rrt + 1)=
= (L(n)\ /i = l, 2, ...
Теорема 2.2. Алгебра Lr разрешима
тогда и только тогда, когда ее производ-
производная алгебра некоторого порядка обра-
обращается в нуль: L(rn) = 0 для некоторого
п>0.
Следствие. Всякая двухмерная
алгебра разрешима.
В качестве полезного упражнения чи-
читателю предлагается доказать это про-
простое следствие, а также неразрешимость
алгебры Ьз с базисом B.9).
В случае двухмерной алгебры Li для
построения ряда B.11) нужно выбрать
базис Х\, Х2 так, чтобы выполнялось ра-
равенство [Xi, X2] = olX\. Тогда одномерная
алгебра Li, натянутая на Х\, образует
идеал в L2, а фактор-алгебру L2/L1 мож-
можно отождествить с одномерной алгеброй,
натянутой на Х^.
Теперь можно сформулировать ответ
на вопрос, поставленный в конце § 2.1.
Как видно из равенства B.3), оператор
Х\ порождает идеал L\ в алгебре L2 с ба-
базисом B.2). После понижения порядка
уравнения B.1) с помощью этого идеала
L\ мы получили уравнение первого по-
порядка B.5), которое допускает фактор-
алгебру L2/L{ (которую мы отождест-
отождествили с одномерной алгеброй, натянутой
на Х2) при естественном определении ее
действия на плоскости (и, v). Но когда
мы использовали для понижения порядка
одномерную подалгебру с базисом Х2,
не являющуюся идеалом, то мы эту до-
полнительную симметрию потеряли. При
попытке восстановить ее мы пришли к не-
необходимости расширения понятия сим-
симметрии путем введения оператора нело-
нелокальной симметрии B.7). Итак, если мы
хотим иметь дело исключительно с точеч-
точечными симметриями, то понижение поряд-
порядка следует проводить с помощью идеала,
что Ли и делал. Подробное обсуждение
этого вопроса имеется в книге [9] (теоре-
(теоремы 2.60, 2.61 и 2.64).
Из теоремы 2.1 и следствия теоремы
2.2 ясно, почему в вопросах интегри-
интегрирования уравнений второго порядка в
основу кладутся двухмерные алгебры
(или, что то же самое, двухпараметри-
ческие группы). Довольно ясно также,
что для интегрирования уравнения по-
порядка п>2 методом последовательного
понижения порядка нужно, чтобы это
уравнение допускало разрешимую я-мер-
ную алгебру. Но мы ограничимся здесь
уравнениями второго порядка.
2.3. Интегрирование в квадратурах
с помощью двухмерной алгебры. Приве-
Приведем общую схему Ли [5] интегриро-
интегрирования уравнений второго порядка, допу-
допускающих двухмерную алгебру. По теоре-
теореме 2.1 сюда включаются также уравне-
уравнения, допускающие алгебры более высо-
высокой размерности (специальный метод ин-
интегрирования с помощью трехмерной ал-
алгебры, изложенный в [5], здесь не об-
обсуждается).
Сначала обсудим структурные осо-
особенности двухмерных алгебр Ли L2. Одно
из свойств — разрешимость всякой двух-
двухмерной алгебры — уже отмечалось в
следствии к теореме 2.2. Очевидно, что
это свойство не зависит от выбора базиса
в /,2 и инвариантно относительно замены
переменных в плоскости (х, у). Здесь
мы отметим еще два инвариантных свой-
свойства, которые лежат в основе разбиения
всех двухмерных алгебр Ли на четыре
типа и в итоге приводят к простому
способу интегрирования.
Эти два свойства связаны с законом
преобразования коммутатора
= ^X+^y' Х*=^ + Ч4у <2Л2>
'ду
A.40')
y у
и их псевдоскалярного (или косого) про-
произведения*
B.13)
при невырожденной замене переменных
t = t(x,y), u = u(x,y);
г) It и\
B.14)
д(х,у)-'*"У 'У
и преобразования базиса в L2'.
1 = ОС 1 А 1 ~Г С^2А2, A2^piAi-
B.15)
При замене переменных B.14) опера-
операторы B.12) преобразуются по формуле
A.13) и переходят в операторы
dt
?
B.16)
Лемма 2.1. Коммутатор базисных опе-
операторов B.12) в алгебре L2 при переходе
к новому базису B.15) преобразуется по
формуле
B.17)
а при замене переменных B.14) преобра-
преобразуется ковариантно:
Доказательство. Формула
B.17) является простым следствием
свойств билинейности и антисимметрич-
антисимметричности коммутатора:
= (a, p2—a2Pi) [XUX2].
Ковариантность коммутатора предла-
предлагается читателю либо вывести самостоя-
операторов
* По поводу понятий векторной алгебры
см., например, статью «Векторная алгебра» в Ма-
Математической энциклопедии.— М.: 1977.
тельно с использованием B.16), либо
посмотреть в § 7.9 книги [8].
Следствие. Во всякой двухмерной
алгебре Ли можно выбрать такой базис
Х\, Х2, что выполняется одно из двух
коммутационных соотношений:
[ХиХ2]=0 или [ХиХ2]=Хи B.18)
причем каждое из этих соотношений ин-
инвариантно относительно замены пере-
переменных B.14).
Действительно, пусть в исходном ба-
базисе B.12)
[Ai, A2j=C6lAi -|-a2A2. (Z.ly)
Если ai = a2 = 0, то мы имеем первый
случай из B.18), причем равенство
[A"i, Х2] = 0 сохраняется при любых заме-
заменах B.14) и B.15) в силу леммы; такая
алгебра называется коммутативной, или
абелевой. Если же в B.19) отличен от
нуля хотя бы один из коэффициентов
ai, сб2, то мы делаем преобразование
B.15), выбрав коэффициенты ai, a2 из
B.19), а коэффициенты |3i, |32 — из усло-
условия афг—a2|3i = l (например, при а2ФО
можно взять |3i = —l/a2, 02 = 0); тогда
мы получим второе коммутационное со-
соотношение B.18). Инвариантность соот-
соотношений B.18) вытекает из ковариант-
ковариантности коммутатора.
Лемма 2.2. Косое произведение B.13)
операторов Х\, Х2 преобразуется при за-
заменах B.14) и B.15) по формулам
х{ vх2 = -ItS^1 v*2)' B-20)
Х\\/Х'2 = /±(Хх\/Х2). B.21)
Доказательство. Вычисление
косого произведения B.13) операторов
B.16) дает формулу B.20):
Х\\/ X2=(
d(t, и)
Формула B.21) доказывается анало-
аналогично формуле B.17). А именно, заме-
замечая, что косое произведение B.13) анти-
антисимметрично (X2\fX\ = —X\\JX2)y име-
имеем из B.15)
Х\\/ Х'2 =
Следствие. Уравнение
Ai v А2 — U \Z.ZZ)
инвариантно относительно преобразова-
преобразований B.14) и B.15).
Замечание. Уравнение B.22) пред-
представляет собой необходимое и достаточ-
достаточное условие существования таких функ-
функций <р\(х,у)Ф0 и ч>2(х,у)Ф0, с которыми
тождественно по х, у выполняется ра-
равенство
91*1 + 92*2 = 0. B.22")
Поэтому операторы Х\у Х2, удовлет-
удовлетворяющие уравнению B.22), называются
линейно связанными. Ли [5] использует
это условие в виде равенства B.22).
Доказанные леммы приводят к сле-
следующему результату о разбиении мно-
множества всех двухмерных алгебр Ли на
четыре основных типа.
Теорема 2.3. Всякая двухмерная ал-
алгебра Ли путем выбора подходящего
базиса Х\, Х2 приводится к одному из
четырех различных типов, определяемых
следующими каноническими структур-
структурными соотношениями:
I. [ХиХ2]=0,
П. [хиХ2]=0, Х{\/Х2=0,
III. [ХиХ2]=Хи Х^Х.ФО,
IV. [ХиХ2]=Хи Х{\/Х2=0.
Эти структурные соотношения инва-
инвариантны относительно замены B.14),
B.16).
Пользуясь инвариантностью струк-
структурных соотношений I—IV относительно
замены переменных ху у, можно подходя-
подходящей заменой упростить вид базисных
операторов алгебры L2 каждого из пере-
перечисленных выше типов и прийти к сле-
следующему результату.
Теорема 2.4. Базис алгебры L2 под-
подходящей заменой переменных B.14) мо-
может быть приведен к одному из следую-
следующих видов:
I. X,=f,
дх
п. л-,=А
ду
ду
ду
itt у и у О | О
ду ' 2 дх У ду*
i\r v д v д
IV. Ai= —, Х2=и—.
ду и ду
Соответствующие переменные х> у
называются каноническими перемен-
переменными.
Доказательство. Пусть рас-
рассматриваемая двухмерная алгебра при-
принадлежит к первому типу из теоремы 2.3.
Так как по теореме 1.4 всякий инфините-
зимальный оператор может быть приве-
приведен к оператору переноса, то будем счи-
считать, что первый из базисных операторов
алгебры L2 имеет вид Х\=— . Тогда
для второго базисного оператора Х2 =
= %— + т)-г- из равенства [ХиХ2]=0
дх ду
получаем [Хи Х2]=Ь^+цх — = 0, т.е.
= ^=0. Итак,
§-у. B.23)
Косое произведение этих операторов
равно Х\\/Х2 = ц, поэтому условие
Х\\/Х2ф0 дает ц(у)фО. Теперь найдем
общую замену B.14), сохраняющую вид
оператора Х\\ по формуле B.16) Х\ =
= tx — -\- их— , и из условия ^i=-w имеем
/*=1, их=0. Следовательно, оператор
переноса Х\ = -— переходит в оператор
^ д
переноса Ai=-tt при заменах вида
t = x+№> и = ё(У)- B.24)
При этом оператор Х2 переходит в
и принимает вид Х2 = -^, если функции
/ и g в B.24) определить из уравнений
= 0. r\(y)g' = l. Отсюда
Итак, после замены
B.25)
операторы B.23) переходят в Х\ = — ,
Х2= —. Этим завершается доказатель-
ди
ство в случае типа I.
При рассмотрении типа II исходные
переменные выбираем так, чтобы первый
базисный оператор имел вид Х\=—.
Решив уравнения [Х\, Х2]=0 и Х\\/Х2 =
= 0, приходим вместо B.23) к операто-
операторам
Хх~, Х2=ц(х)^-. B.26)
ду IV ' ду '
Из B.24), поменяв местами зависи-
зависимые и независимые переменные, полу-
получаем общий вид замены, сохраняющей
первый из операторов B.26):
t = f(x), u = y + g(x). B.24')
Взяв здесь / = г|(х), g = 0, получим
замену
t = r\(x), u = y, B.27)
переводящую операторы B.26) в опера-
торы Ai^rr-, X2 = t-T-. I ем самым
г ди ди
утверждение теоремы доказано и для
типа II.
Для двух остальных типов доказа-
доказательство проводится аналогично. Де-
Детальное обсуждение необходимых вы-
вычислений можно найти в [5]. Для даль-
дальнейшего важно отметить, что при доказа-
доказательстве теоремы 2.4 используются заме-
замены переменных, выраженные через коор-
координаты исходных операторов либо явно
(например, в B.27)), либо с помощью
квадратур (например, в B.25)).
Найдем теперь все обыкновенные
дифференциальные уравнения второго
порядка, допускающие двухмерные ал-
алгебры Ли указанных четырех типов, и
проинтегрируем их.
Тип I. Для построения всех уравне-
уравнений второго порядка, допускающих ал-
алгебру L2 с базисом Х\ = — , Х2 = — , нуж-
нужно найти базис дифференциальных ин-
инвариантов второго порядка этих двух
операторов. В данном случае продолже-
продолжения этих операторов совпадают с ними
самими, поэтому искомыми дифферен-
дифференциальными инвариантами являются у' и
у". Следовательно, общее уравнение вто-
второго порядка, допускающее алгебру L2
первого типа, имеет вид
B.28)
Оно интегрируется в квадратурах:
=x+Cu или явно, y' =
откуда
Тип II. Дифференциальные инва-
инварианты второго порядка для оператора
X\=-j- имеют вид 1(хуу\у"). Запишем
У v д
второе продолжение оператора Л2=х—,
обозначив его снова
в виде Х2=
=х^- + щ>- Из уравнения Х21=0 для
определения инвариантов имеем д1 /ду'=
=0. Следовательно, общий дифферен-
дифференциальный инвариант второго порядка
для операторов Х\ и Х2 имеет вид
1(ху у"). Это означает, что базис диф-
дифференциальных инвариантов алгебры L2
типа II образуют х и у", а инвариантное
дифференциальное уравнение имеет вид
y" = f(x). B.29)
Его решение находится двумя квад-
квадратурами:
Тип III. Здесь по сравнению с пре-
предыдущим случаем изменяется только
второй базисный оператор алгебры, кото-
который после продолжения равен Х2 =
= х — + и- ц"-гт,- Поэтому, рассуж-
дх ду ду
дая как выше, находим инварианты /i =
= (/', 12=ху" и соответствующее инва-
инвариантное уравнение
у"= -/(/). B.30)
Оно тоже решается двумя квадрату-
рами: ^-77-77- = lnx + Ci, или явно, у'=
= 9(lnx+Ci), откуда
Тип IV. Здесь второй из базисных
операторов после продолжения имеет
ходятся инварианты /i=jc, h = y"/y' и
инвариантное уравнение
y" = f{x)y' B.31)
с общим решением
f(x)dx) dx+C2.
Результаты теорем 2.3 и 2.4 вместе с
соответствующими инвариантными урав-
уравнениями приведены в табл. 4.
Суммируя изложенное в этом разделе,
получаем универсальный алгоритм Ли
для интегрирования обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений второго по-
порядка, допускающих алгебру Lr размер-
размерности г^2. Для удобства пользования
он оформлен в виде табл. 6. Важно
отметить, что, когда допускаемая алгеб-
алгебра уже известна, последующие действия
алгоритма выполняются с использовани-
использованием только алгебраических преобразова-
преобразований или квадратур (см. доказательство
теоремы 2.4).
2.4. Пример реализации алгоритма.
Применим групповой алгоритм к урав-
уравнению
B.32)
Для построения допускаемой алгебры
используются те же вычислительные при-
приемы, которые приводились в § 1.5 при
нахождении операторов, допускаемых
уравнением A.34). Поэтому некоторые
подробности здесь будут опускаться.
Итак, перейдем к последовательному
выполнению алгоритма по табл. 6.
1—нахождение допускаемой алгебры
Lr. Подставим в определяющее уравне-
уравнение A.33) правую часть B.32) f = y'/y2—
— \/ху и приравняем нулю коэффициен-
коэффициенты при различных степенях у'. Тогда
определяющее уравнение запишется в
виде следующих четырех уравнений:
(У'J:
вид Х2 =
"±;. Легко на-
Из двух первых уравнений интегри-
интегрированием по у получаем
1=р(х)у + а(х),
г) = - р(х) \пу2 + р\х)у2 + д(х)у + Ь(х).
Теперь эти выражения нужно подста-
подставить в третье и четвертое уравнения.
При этом их левые части будут содер-
содержать, помимо степеней у, слагаемые с
\пу2; приравняв нулю эти последние сла-
слагаемые, получаем р = 0. Следовательно,
l = a(x), y] = q(x)y + b(x). После подста-
подстановки этих выражений для g и ц третье
и четвертое уравнения легко решаются
и дают
Полагая в этом общем решении опре-
определяющих уравнений сначала Ci = l,
С2 = 0, а потом Ci = 0, Сг = 1, получаем
операторы
гд_
дх
:~дх
2ду
B.33)
Таким образом, уравнение B.32) до-
допускает алгебру L2 с базисом B.33). Со-
Согласно табл. 6 можно переходить сразу
к третьему шагу.
3 — определение типа алгебры L2. По
формулам A.40') и B.13) находим
ту у 1 V V \ / V 1 ..2.. / п
[Al,A2J Л\, Л1\/Л2= ^-ХуфК).
Следовательно, алгебра L2 принадле-
принадлежит к типу III табл. 4; чтобы соответ-
соответствие было полным, нужно изменить знак
у оператора Х2, и тогда базис
д , _..д_
B.330
' дх
у_д_
2 ду
будет в точности удовлетворять струк-
структуре типа III табл. 4.
4—нахождение интегрирующей заме-
замены переменных. Здесь Х\ — оператор
группы проективных преобразований из
табл. 1. Поэтому воспользуемся указан-
указанной там заменой, приводящей к перено-
переносам (поменяв местами /, и):
X '
B.34)
После этой замены операторы B.33')
принимают вид
отличие от соответствующих операторов
типа III из табл. 4 (множитель 1/2 в
Х2) существенной роли не играет. По
формуле A.15) имеем
_du Du _ \/x2 _
~ dt~ Dt ~(xyf—y)/x2~~y
1 . У
откуда у = ^7+7' или с использованием
B.34)
y'= — *Lt + L B.35)
При этом исключаются следующие
решения уравнения B.32):
у = Сх. B.36)
С помощью формулы A.16) так же
просто получается преобразование вто-
второй производной:
B.37)
После подстановки выражений
B.35), B.37) уравнение B.32) записы-
записывается в виде
-^1 + 1=0. B.320
Отсюда после однократного интегри-
интегрирования имеем
и'=-
t
' Cxt — \
Если здесь Ci=0, то
и = -^ + Су B.38)
а если С\ Ф0, то
и=7-+7^1п|С,* —1| + С2. B.39)
5 — решение в исходных переменных.
После подстановки в формулу B.38)
значений B.34) переменных t, и полу-
получаем следующее решение уравнения
B.32):
у= ±
Сх2 . B.40)
Аналогичная подстановка в формулу
B.39) дает решение уравнения B.32)
в неявном виде
B.41)
Резюмируем: если обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение не удается
решить традиционным методом «при-
«пристального разглядывания» — cherchez
le groupe.
2.5. Пример уравнения, не допускаю-
допускающего группу, но интегрируемого в квад-
квадратурах. Рассмотрим уравнение второго
порядка*:
[у'-{х + х2)еу}'=0. B.42)
Это уравнение записывается в виде
A.32) с правой частью / = [(х + х2)у' +
+ {\-\-2х)]еу. Подставляя это значе-
значение в определяющее уравнение A.33) и
почти дословно повторяя рассуждения,
приведенные в § 1.5 при вычислении ал-
алгебры, допускаемой уравнением A.34),
получаем g = 0, rj = O. Это и означает,
что уравнение B.42) не допускает группу
точечных преобразований.
Теперь решим уравнение B.42). Пос-
После однократного интегрирования получа-
получается уравнение
2 B.43)
B.44)
B.430
и решение уравнения B.42) получается
в квадратурах:
y=Clx-\n\C2-Ux + x2)eCiXdx .
B.45)
Замечание. Уравнение B.42), как и
всякое обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка, допускает
бесконечную группу контактных преобра-
преобразований. Так называются группы, у кото-
которых координаты ?, г] инфинитезимально-
го оператора A.7) зависят от перемен-
переменных х, у, у\ но не произвольным образом,
а так, что после продолжения A.17) по-
получается дополнительная координата
которое линеаризуется заменой
г = е~у
и приводится к виду
z'
Отсюда
* Этот пример привел студент Московско-
Московского физико-технического института. Д. Тамаркин
как решение конкурсной задачи, предложенной
мной слушателям курса лекций по групповому
анализу.
?ь зависящая также только от jc, у, у'
(но не от у"). К сожалению, определяю-
определяющее уравнение A.33) не дает эффек-
эффективного способа вычисления группы кон-
контактных преобразований, допускаемой
уравнениями второго порядка,— здесь
полная аналогия с вычислением группы
точечных преобразований для уравне-
уравнений первого порядка (см. конец § 1.5).
Это не исключает, однако, возможности
изобретения специальных приемов с ис-
использованием неточечных преобразова-
преобразований. С этой точки зрения интересен
применяемый В. Ф. Зайцевым подход*,
который позволил проинтегрировать
большое число уравнений, не допускаю-
допускающих достаточного числа операторов
групп точечных преобразований.
Одним из таких уравнений является
уравнение второго порядка:
ii + ~tu-5/3 = 0 (й = ^)9 B.46)
допускающее лишь однопараметриче-
скую группу точечных преобразований с
оператором
Xl = 8t4i + 9м-?-. B.47)
Но это уравнение допускает еще один
(неточечный) оператор
удовлетворяющий условию контактности
(т. е. формуле продолжения A.17)) на
решениях уравнения B.46). Операторы
B.47), B.48) образуют алгебру Ли:
[Х\, Х2] =— 6Х2. Эта двухмерная алгебра
позволяет проинтегрировать уравнение
B.46) изложенным выше методом пере-
перехода к каноническим переменным (сде-
(сделайте это). Но откуда взялся оператор
B.48)? Дело в том, что уравнение B.46)
связано с уравнением
B.460
преобразованием
* Зайцев В. Ф. О дискретно-групповом
анализе обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений // ДАН СССР. — 1988.— Т. 299. — № 3.
x=iT2l\ y=u\ tf=t; B.49)
оно является контактным на решениях
уравнения B.46), а обратное преобра-
преобразование
t = y', u=x-3/2, й = у1/2. B.50)
— на решениях уравнения B.46'). Это и
другие подобные неточечные преобразо-
преобразования позволяют находить дискретно-
групповой подход Зайцева. Остается за-
заметить, что уравнение B.46') допускает
алгебру L2 с базисом
v о д д
X. =3х-г-—и-г- ,
1 дх ду
yxz ~ дх
и переписать эти операторы (после про-
продолжения на у') в переменных B.49').
Упражнение. Подумайте о групповой
трактовке разрешимости в квадратурах
уравнения B.42) с позиций неточеч-
неточечных симметрии.
Й А В A Y
h V Ь Я. ГРУППОВАЯ
КАЦИЯ УРАВНЕНИЙ
допускающие трежмерную
--, Общая классификация»
й кяасс у равнений.
Закпючи-
3.1. Уравнения, допускающие трех-
трехмерную алгебру Ли. В табл. 4 приведен
канонический вид всех уравнений второго
порядка, допускающих алгебру L2. Если
подвергнуть эти канонические уравне-
уравнения произвольной замене переменных
B.14), то получится семейство всевоз-
всевозможных уравнений второго порядка,
обладающих двухмерной алгеброй Ли.
Полученное семейство зависит от трех
произвольных функций: помимо указан-
указанных в табл. 4 функций / одного аргумен-
аргумента, замена переменных B.14) добавляет
еще две произвольные функции, каждая
из которых зависит от двух переменных.
Некоторые уравнения этого семейства
могут допускать алгебру Ли размерно-
размерности 3 или выше. Таким образом, возни-
возникает естественная задача групповой
классификации, т. е. классификации
уравнений по максимальным допускае-
допускаемым алгебрам. В работе Ли [6(/)] дано
ее полное решение для обыкновенных
дифференциальных уравнений произ-
произвольного порядка.
Для уравнений второго порядка ре-
результат этой классификации выглядит
особенно просто [6(//)]. Оказывается, в
этом случае размерность допускаемой
алгебры принимает только значения 0, 1,
2, 3 и 8. Размерность 0 означает, что
уравнение не допускает ни одного инфи-
нитезимального оператора (т. е. опре-
определяющее уравнение A.33) имеет только
тривиальное решение |=ti = 0); такими
уравнениями являются, например,
у"= еу'-\-ху, у" = у/2-\-ху,
Размерности 1 и 2 рассматривались
в предыдущих главах. Поэтому эту главу
начнем с рассмотрения уравнений, допу-
допускающих трехмерную алгебру.
В основу метода классификации Ли
кладет перечисление всех алгебр Ли опе-
операторов (в его терминологии — групп
инфинитезимальных преобразований) на
плоскости (jc, у). Базисные операторы
каждой алгебры максимально упроща-
упрощаются с помощью подходящей замены пе-
переменных B.14): алгебры, получаемые
друг из друга такой заменой, называют-
называются подобными. Перечисление алгебр
ведется с точностью до подобия, так как
уравнения, допускающие подобные ал-
алгебры, переводятся друг в друга заменой
переменных (говорят, что эти уравнения
эквивалентны). Следует иметь в виду,
что в своей классификации Ли пользу-
пользуется при необходимости преобразова-
преобразованиями с комплексными коэффициентами.
Результат классификации трехмер-
трехмерных алгебр можно найти в [5]. Этот ре-
результат приведен в табл. 7 вместе с соот-
соответствующими инвариантными уравне-
уравнениями (эти уравнения выводятся в [5] ).
Для всех трехмерных алгебр вывод инвари-
инвариантного уравнения осуществляется еди-
единообразно путем решения определяюще-
определяющего уравнения A.33) с известными коор-
координатами | и ц допускаемых операторов
при искомой функции f(x, у, у'). Этот
процесс достаточно проследить на при-
примере одной из алгебр.
Здесь для примера выберем первую
алгебру L3 из табл. 7, имеющую базис
у д . д у „ д , д
дх ' ду дх ' v ду
Для оператора Х\ имеем ?=1, г| = 1.
После подстановки этих значений ?, т]
определяющее уравнение A.33) примет
ВИД ^+ф =
, откуда
--f(x-y,y').
C.2)
Теперь подставим в определяющее
уравнение A.33) координаты 2-=л;, т} = */
второго из операторов C.1). В резуль-
результате для функции / вида C.2) получим
следующее уравнение:
где временно обозначили z = a;— у. Это
уравнение легко решается и дает
t=
х — у
C.3)
с произвольной функцией g(y'). Наконец,
подставив в A.33) координаты 1^ = х2,
ц = у2 оператора Лз, придем к следующе-
следующему уравнению для функции g(y') из C.3):
Решив это неоднородное линейное
уравнение первого порядка, находим
g = -2(y'+y'2+Cy'z/2)9 C = const. C.4)
Формулы C.3) и C.4) дают искомую
правую часть инвариантного уравнения
A.32). Итак, алгебру L3 с базисом C.1)
допускает уравнение
х — у
¦=0.
C.5)
Для приобретения необходимых на-
навыков очень полезно самостоятельно про-
проделать аналогичные выкладки для всех
остальных случаев табл. 7.
3.2. Общая классификация. Часть
уравнений из табл. 4,7 линейны, и поэто-
поэтому допускают 8-мерную алгебру (теоре-
(теорема 1.6). Помимо них, и некоторые не-
нелинейные уравнения из этих таблиц могут
обладать 8-мерной алгеброй, что будет
означать их линеаризуемость точечной
заменой переменных B.14) (ниже мы
обсудим этот вопрос). Путем перебора
различных алгебр Ли более высоких раз-
размерностей и соответствующих инва-
инвариантных уравнений устанавливается,
что если уравнение второго порядка до-
допускает алгебру размерности ^4, то на
самом деле он допускает 8-мерную алгеб-
алгебру. Все эти уравнения линеаризуются
(теорема 1.6) и, более того, эквивалент-
эквивалентны простейшему уравнению
J/" = 0. C.6)
Результат групповой классификации
всех уравнений второго порядка приве-
приведен в табл. 8. В первом столбце таблицы
указана размерность допускаемой груп-
группы, а не алгебры, так как всякой г-мер-
ной алгебре Ли соответствует г-пара-
метрическая группа (см. замечание к
определению 1.5).
3.3. Один замечательный класс урав-
уравнений. Признаки линеаризуемости.
В практике решения дифференциальных
уравнений полезно иметь простые кри-
критерии их линеаризуемости. В таких во-
вопросах с успехом могут использоваться
следующие результаты Ли.
Теорема 3.1. Для линеаризуемости
обыкновенного дифференциального урав-
уравнения второго порядка
y"=f(x9y,y')
C.7)
заменой переменных
х = ф(х, у)у y = ty(x, у) C.8)
необходимо, чтобы правая часть урав-
уравнения была многочленом не выше третьей
степени по у\ т. е. чтобы уравнение C.7)
имело вид
Класс всех уравнений вида C.9) ин-
инвариантен относительно произвольной
замены переменных C.8).
Доказательство. При замене
переменных C.8) первое и второе произ-
производные преобразуются по формулам
A.15), A.16):
1$Ый = р(х л
ф(х, у) v > У> У h
У"=щ- C.10)
У'=% =
Линейное уравнение, к которому по
условию теоремы приводится рассматри-
рассматриваемое уравнение C.7), можно взять в
виде C.6), т. е. у" = 0. В силу C.10) это
означает, что
или
Остается подробно записать левую
часть этого уравнения. Имеем:
X (фхх + 2у'<рху + у'
'Ъу) X
" у у) = (цхуру —
C.11)
После деления на якобиан <pxtyy —
(он отличен от нуля ввиду невырожден-
невырожденности замены C.8)) это выражение сов-
совпадает с левой частью уравнения C.9).
Этим доказана первая часть теоремы.
Второе утверждение теоремы об ин-
инвариантности класса уравнений вида
C.9) по отношению к заменам перемен-
переменных также следует из формулы C.10) и
может быть легко проверено.
Простым применением этой теоремы
является приведение линейного уравне-
уравнения (ограничимся здесь однородным
уравнением)
" + а(х)у'
C.12)
к виду C.6). В этом случае естественно
выбирать замену C.8) среди преобразо-
преобразований
= f(x)y,
C.13)
сохраняющих линейный вид уравнений
C.12). Для C.13) выражение C.11)
равно
и пропорционально левой части уравне-
уравнения C.12), если
C.14)
Первое из этих уравнений дает
а второе после подстановки ф"/ф/ =
= —2/'// — а(х) принимает вид ///+а// +
+ fe/ = 0. Таким образом, замена пере-
переменных
\a(x)dx
х=\—9 dx, y = i~, C.15)
где f(x) — любое отличное от нуля реше-
решение уравнения C.12), приводит уравне-
уравнение C.12) к простейшему виду C.6)
У" = О-
Теорема 3.1 специфична для уравне-
уравнений второго порядка. Так, в случае урав-
уравнений первого порядка ее аналогом яв-
является следующее.
Замечание. Любые два обыкновенных
дифференциальных уравнения первого
порядка
У'=К*,У\ ? = §{х,У) C.16)
можно перевести друг в друга заменой
переменных C.8).
Действительно, в силу первой из фор-
формул C.10) условие перехода одного из
уравнений C.16) в другое записывается
в виде
При заданных функциях fug это есть
уравнение в частных производных перво-
первого порядка. Можно даже выбрать пре-
преобразование частного вида, положив
(р = х. Тогда остается найти одну функ-
функцию ty{x,y) из следующего уравнения пер-
первого порядка:
которое разрешимо по общей теории
уравнений в частных производных перво-
первого порядка. Например, приведение к про-
простейшему уравнению f//=0 осуществля-
осуществляется с помощью линейного однородного
уравнения
Вернемся теперь к уравнениям вида
C.9). Не все из них могут быть линеари-
линеаризованы точечной заменой переменных.
Следующая теорема (см. [6(/)] дает
простой критерий линеаризуемости.
Теорема 3.2. Уравнение второго по-
порядка вида
C.9)
линеаризуется заменой C.8) тогда и
только тогда, когда совместна следую-
следующая переопределенная система уравне-
уравнений:
дх
Ту
_
3 дх > 3 с
1 dFx , 2 dF2
C.17)
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Уравнение B.32)
имеет вид C.9) с коэффициентами
F3 = 0, F2 = 0, Fx = -\/y\ F=\/xy.
Подставив эти коэффициенты в
C.17), имеем
о W
Z
ху
4
2 °* 2 C.18)
Одно из условий совместности этой
системы, а именно
в силу двух последних уравнений имеет
вид
wZy-\-zwy-\-2/y4-\-2wwx = 0.
Подставив сюда значения zy, wx и wy
из C.18), приходим к невыполнимому
условию
зуется. Это согласуется с теоремой 1.6,
так как выше мы показали, что уравнение
B.32) допускает лишь двухмерную ал-
алгебру Ли с базисом операторов B.33).
Пример 2. В табл. 3A11) приведено
уравнение общего вида
C.19)
допускающее оператор
дх
Выделим уравнения, допускающие
еще один оператор
Х2 = х?. C.20)
Операторы C.19), C.20) образуют
двухмерную алгебру, причем
[ХиХ2] = Х{. C.21)
Продолжив оператор C.20) на произ-
производные
у д / д „ д
2 дх ду' ду"
и записав условие инвариантности рас-
рассматриваемого класса уравнений отно-
относительно этого оператора
Следовательно, система C.18) несов-
несовместна и уравнение B.32) не линеари-
линеариполучим следующее дифференциальное
уравнение для F:
г dF
F = v — ,
dv
где v = y/y' — х. Отсюда F(y, v) = f(y)v с
произвольной функцией f(y).
Следовательно, уравнение
У" = №(УУ'2-ХУ/3) C-22)
допускает двухмерную алгебру Ли с ба-
базисом C.19), C.20), какова бы ни была
функция f(y).
Заметив, что уравнение C.22) имеет
вид C.9), испытаем его на линеаризуе-
мость по теореме 3.2. Здесь
F3 = xf(y)9 F2=-yf(y), /M=0, F = 0,
и уравнения C.17) имеют вид
zx = z\ zy=—zw,
wx = zw, wy= —w2 — wyf(y)-\-
+ zxf(y) + f(y). C.23)
Первые три уравнения этой системы
легко интегрируются и дают
ную алгебру Ли;
C) уравнение
C.7) имеет вид C.9)
2-
w=
После этого четвертое уравнение при-
принимает вид
g" + yf(y)g'-f(y)g=O- C.24)
При любой фиксированной функции
f(y) — это линейное обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение второго поряд-
порядка относительно g. Подставив его реше-
решение g(y) в полученные выше выражения
для z и w, мы разрешим систему C.23).
Следовательно, уравнение C.22) с про-
произвольным коэффициентом f(y) линеари-
линеаризуется подходящей заменой переменных
C.8). Читателю предлагается найти эту
замену.
Пример 3. Докажем, что уравнение
y" + F(x,y) = 0, C.25)
где F — нелинейная функция от у, не
линеаризуется.
Действительно, уравнения C.17) в
данном случае имеют вид
wx=zw, wy= — w .
Одно из условий совместности, wxy—
— wyx = 0, имеет вид
wzy-\- zwy-\-2wwx = 0
и после подстановки значений zyy wx и wy
превращается в тождество, а второе
условие zxy — 2^ = 0, т. е.
2zzy — wFy — Fwy + Fyy + wzx + zwx = 0,
принимает вид Fyy = 0. Следовательно,
при любой функции F(x, у), нелинейной
по у, система C.26) несовместна, что и
доказывает невозможность линеариза-
линеаризации уравнения C.25).
Для удобства пользования сформули-
сформулируем результаты о линеаризации в виде
следующей теоремы.
Теорема 3.3. Следующие утверждения
эквивалентны:
A) обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка
y" = f(x,y,y')
C.7)
{(x,y)y'+F(x,y) = 0
с коэффициентами Fs, F2, Fi, F, удовле-
удовлетворяющими условиям совместности
вспомогательной системы C.17).
Эту теорему полезно дополнить сле-
следующим специальным признаком линеа-
ризуемости, непосредственно вытекаю-
вытекающим из табл. 4.
Теорема 3.4. Если уравнение второго
порядка C.7) допускает двухмерную ал-
алгебру Ли с базисом Х\, Х2у таким, что
Y \ / У П / 97\
Л\ \/ Л2 — U, \о.?1 )
то это уравнение C.7) линеаризуется.
Эта теорема часто существенно облег-
облегчает исследование линеаризуемости и,
более того, позволяет построить линеа-
линеаризующую замену на основе той же
табл. 4.
Пример 4. Рассмотрим снова уравне-
уравнение C.22). Оно удовлетворяет условиям
теоремы 3.4, так как псевдоскалярное
произведение B.13) операторов C.19),
C.20) равно нулю. Следовательно, урав-
уравнение C.22) линеаризуемо, как это было
установлено в примере 2 на основе теоре-
теоремы 3.2. Чтобы найти линеаризующую
замену, мы замечаем, что ввиду равен-
равенства C.21) мы имеем дело с двухмерной
алгеброй типа (IV) табл. 4. Поэтому
нужно сначала привести оператор C.19)
Х\=ц-— к виду Х\=—, что достигается
дх ду
заменой (см. канонические переменные
для преобразований Галилея в табл. 1)
х = у, у = х/у. C.28)
При этом оператор C.20) Х2 = х— пе-
переходит в Х2 = у—. Следовательно, за-
замена C.28) определяет канонические пе-
переменные для алгебры с базисом C.19),
C.20) и, согласно табл. 4(IV), линеари-
линеаризует уравнение C.22). Действительно,
при замене C.28) производные преобра-
преобразуются по формулам
линеаризуется точечной заменой пере-
переменных C.8);
B) уравнение C.7) допускает 8-мер-
8-мерy" = -{2y'+W){y+WT\
и уравнение C.22) принимает вид
2 y'=0. C.22')
Пример 5. Сравнивая в табл. 3 урав-
уравнения (XV) и (XVI), легко видеть, что
уравнение
C-29)
с произвольной функцией / допускает
алгебру L2 с базисом
дх
д
—
дх
ду
д
ду
C.30)
Эта алгебра принадлежит к типу II
табл. 4:
= x2-y2 — ху-ху = 0.
Поэтому уравнение C.29) линеари-
линеаризуется, а линеаризующая замена
находится из условий
х2х2^) + х2ш = х.
Отсюда имеем четыре уравнения для
определения ф и -ф:
Общее решение первых двух уравне-
уравнений имеет вид (см. канонические пере-
переменные для проективных преобразований
в табл. 1)
При этом третье уравнение Х2{ц>) = О
удовлетворяется тождественно, а четвер-
четвертое уравнение дает ф = у/л:. Выбрав /г = 0,
получаем следующую линеаризующую
замену:
= -1. C.31)
- у
л: = —
X
Она приводит уравнение C.29) к виду
У" + № = 0. C.290
3.4. Заключительные замечания. Те-
Теперь мы вернемся к затронутому в § 3.2
вопросу о линеаризуемых уравнениях из
табл. 4, 7. Что касается табл. 7, то только
уравнение
k — 2
удовлетворяет условию линеаризуемости
(теорема 3.2) при значениях ky равных
2, 0 и !/2* при k = 2 оно линейно, а при
& = 0 и k = l/2 линеаризуется. Поэтому
остается рассмотреть уравнения типов
I и III из табл. 4.
Рассмотрим уравнения типа I:
у" = М). C.32)
По теореме 3.1 для его линеаризуемо-
линеаризуемости необходимо, чтобы функция /(*/') была
многочленом не выше третьей степени,
т. е. чтобы уравнение имело вид
у"+Азу'3 + А2у'2 + А1У' + Ао = О C.33)
с постоянными коэффициентами Д. При-
Применим к нему теорему 3.2. Вспомогатель-
Вспомогательная система C.17) в данном случае имеет
вид
zx = z2 — Aqw— Aiz+A0A2,
zy = —zw — Л<Из, wx=zw—A0A3,
wy = — w2 -\-A2w +A3Z — A1 A3.
C.34)
Из первого уравнения имеем
zXy = 2zzy—AoWy — A\zy = — 2wz2 +
+ A0A3Z + A0W2 — A0A2W + A1ZW,
а из второго
zyx = — wzx — zwx= —2wz2 -\-A0w2-\-
+ Aizw — A0A2W -\-A0A3z,
так что выполнено одно из условий
совместности системы C.34)
ZXy = ZyX'
Аналогично дифференцируя третье и
четвертое уравнения C.34) по у и х
соответственно, легко убедиться в вы-
выполнении другого условия совместности
WXy=WyX.
Тем самым доказано следующее.
Предложение 3.1. Уравнение C.32)
линеаризуется тогда и только тогда,
когда оно имеет вид C.33).
Так же просто находятся все урав-
уравнения типа /// табл. 4
1
C.35)
которые линеаризуются. В соответствии
с теоремой 3.1 нужно ограничиться
уравнениями вида
C.36)
где все коэффициенты А постоянны, как
и в случае C.33), так как функция / за-
зависит только от у'. Для уравнения C.36)
вспомогательная система C.17) имеет
вид
X XX
Zy= —ZW
wx=zw —
¦?». C-37)
3 x2
2
Дифференцированием по у первого
уравнения этой системы получаем
3 х2
At .
ApA2
2
а второе уравнение после дифференци-
дифференцирования по х дает
Zyx= -ZWx-WZx-
| А\ v4 0-Д 2 О ^ 3 ^
л: x' x 3 7"
Поэтому из условия zXy = zyx имеем
C.38)
Аналогично из условия wxy = wyx по-
получаем
ЗЛ3A+Л,) —Л1 = 0. C.39)
Если Лз = 0, то из C.39) следует
^2=0; тогда уравнение C.36) линейно.
Поэтому считаем АзФО. Обозначив
А3= — а, А2 = — Ь,
из C.39) и C.38) находим
"--(•+?)•"—(fe
Итак, справедливо следующее*
Предложение 3.2. Уравнение C.35)
линеаризуется тогда и только тогда,
когда оно имеет вид
с постоянными а и Ь.
Преобразования, линеаризующие
уравнения C.33) и C.40), можно найти
на основе теоремы 3.4. Для этого нужно
сначала вычислить 8-мерные алгебры,
допускаемые этими уравнениями. Сде-
Сделаем это на примере уравнения C.40)
с коэффициентами а=1, 6 = 0, т. е.
уравнения
У"=^(У' + У'3)- C.41)
Определяющее уравнение A.33)
после подстановки правой части C.41)
f= — (y'-\-y/ ) и разложения по степе-
степеням у' дает систему
— } ? _L X 3
— л: ^^"¦"Y^-л? — ~х
Последнее из этих уравнений легко
интегрируется по хи дает
С учетом полученного выражения
для т] остальные уравнения легко ре-
решаются и приводят к формулам
Отсюда следует, что уравнение C.41)
допускает алгебру L8 с базисом
д
дх
д
ду
* Результаты о линеаризации, сформулиро-
сформулированные в предложениях 3.1 и 3.2, а также со-
соответствующие линеаризующие преобразования
рассмотрели в своих недавних работах W. S а г-
lett, F. Mahomed, P. Leach (см. в [7]).
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ.
у — (г^У2\д у — 1 д
V ' х / дх х дх
х =JLJL
х дх '
Заметим, что в этой алгебре у опера-
операторов Xq, X7 и Хъ координата ц равна
нулю, и потому их попарные косые про-
произведения обращаются в нуль. Кроме
того, их коммутаторы равны
[Хъ,Х7]=—2Х7, [*б, Х*]=—2Хь,
Следовательно, любые два из них
порождают подалгебру Z^czLs, удовлет-
удовлетворяющую теореме 3.4. Выберем, на-
например, подалгебру, натянутую на опе-
операторы
Х7=-^-, Х8=^-~. C.42)
х дх х дх v 7
Она принадлежит к типу II табл. 4,
и линеаризующая замена находится
повторением вычислений из примера 5,
§ 3.3 с заменой операторов C.30) на
C.42). В результате получаем канони-
канонические переменные
х = у9 y = Y> C-43)
в которых операторы C.42) принимают
вид ^7=—, Х& = х-2_. При этом (исклю-
ду ду
чив особое решение у = const) имеем
$.?\ о гз
Л О Г, / *: I; % ^ I '4 J 2 *' ^
)j, Р В11
4.1. Определение и примеры. Спе-
Специальные типы точных решений, широко
известные теперь как инвариантные ре-
решения, давно и с успехом используют-
используются при исследовании конкретных задач
и вошли в обиход механики и физики
еще до появления теории групп, став
своеобразным фольклором. Теория групп
позволила осмыслить, уточнить и расши-
расширить интуитивные представления и вклю-
включить принцип инвариантных решений в
современный групповой анализ как одну
из его существенных составных частей.
Именно через понятие инвариантных
решений происходило в 60-е годы* пе-
перемещение области действия группово-
группового анализа с обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений на задачи меха-
механики и математической физики. Этот
параграф знакомит с некоторыми из
многочисленных применений инвариант-
инвариантных решений.
Начнем с простого замечания, что
если дифференциальное уравнение до-
допускает однопараметрическую группу
преобразований A.1)
У dx yn y dx — у'2 у'2
откуда ху" — у'= — у'ъу", так что
Таким образом, замена C.43) ли-
линеаризует уравнение C.41) и приводит
его к виду
у"+1 = 0 C.4Г)
с общим решением у = —-(x2-\-Cix-\-
+ С2). После подстановки сюда выра-
выражений C.43) получается решение урав-
уравнения C.41) в неявной форме
то эти преобразования переводят
каждое решение рассматриваемого
уравнения снова в его решения,
порождая однопараметрическое се-
семейство (и r-параметрическое семейство
* Во многом благодаря книгам: В i г k h о f f G.
Hydrodynamics.— Princeton Univ. Press.— 1960
(Русск. пер.: Биркгоф Г. Гидродинамика.—
М.: ИЛ, 1963); Седов Л. И. Методы подобия
и размерностей в механике.— М.: ГИТТЛ, 1957;
Петров А. 3. Пространства Эйнштейна.—
М.: Физматгиз, 1961; Овсянников Л. В.
Групповые свойства дифференциальных урав-
уравнений.—Новосибирск: СО АН СССР, 1962;
Ames W. F. Nonlinear partial differential
equations in engineering. — V. I, II.— N.-Y., Acad.
Press, 1965, 1972.
решений, если допускается г-парамет-
рическая группа). Действительно, пусть
задано решение
y=g(x). D.1)
Поскольку рассматриваемое диффе-
дифференциальное уравнение имеет одинако-
одинаковый вид как в исходных переменных
jc, у, jaK и в преобразованных перемен-
переменных х, у, то после записи решения D.1)
в виде
y=g(x) D.10
и подстановки сюда значений х и у из
формул A.1) получится интегральная
кривая в плоскости (х, у):
yya)). D.2)
Остается разрешить уравнение D.2)
относительно у.
Пример 1. Рассмотрим уравнение
Риккати A.21)
которое, как мы уже знаем, допускает
однопараметрическую группу G\ растя-
растяжений
= хеа, у =
= уе~а D.3)
с оператором A.22). В качестве форму-
формулы D.1) выберем следующее решение
уравнения Риккати:
y = -
Запишем его в виде D. Г)
D.4)
У х(Р— 1)'
Подставив сюда значения D.3) ве-
величин х, у и сократив на общий множи-
множитель е~а, получим формулу D.2) в раз-
разрешенном виде
У =
х(хге3а — 1)'
Полученное однопараметрическое се-
семейство решений после обозначения
С = е~3а совпадает с общим решением
A.24) уравнения A.21).
Можем ли мы заключить, что общее
решение обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения можно получить, пре-
преобразуя указанным выше способом лю-
любое частное решение уравнения с по-
мощью однопараметрической группы,
допускаемой рассматриваемым уравне-
уравнением? Оказывается, можно, но только
если это исходное частное решение не
переводится само в себя преобразова-
преобразованиями данной группы. Вот поясняющий
пример.
Пример 2. Рассмотрим снова урав-
уравнение Риккати A.21), но вместо D.4)
выберем другое частное решение этого
уравнения:
у = 2/х. D.5)
Легко видеть, что кривая D.5) ин-
инвариантна относительно группы G\ пре-
преобразований D.3) в плоскости (jc, у).
Поэтому D.5) называется инвариант-
инвариантным решением относительно группы G\.
Итак, подвергая это частное решение
преобразованиям D.3), мы не можем
получить общее решение рассматривае-
рассматриваемого уравнения Риккати, так как пере-
перемещаемся лишь вдоль кривой D.5).
Определение 4.1. Пусть рассматри-
рассматривается дифференциальное уравнение,
допускающее группу G. Если интеграль-
интегральная кривая D.1) y=g(x) инвариантна
относительно группы G в смысле опре-
определения 1.3, то D.1) называется инва-
инвариантным (относительно G) решением.
Пример 3. Теперь найдем для урав-
уравнения Риккати A.21) все инвариантные
относительно растяжений D.3) ре-
решения. По теореме 1.3 всякая инва-
инвариантная кривая D.1) может быть за-
задана с помощью инвариантов. В дан-
данном случае группа растяжений имеет
один независимый инвариант 1=ху.
Поэтому инвариантное решение можно
записать в виде
/ = С, C = const.
Подстановка полученного отсюда
выражения у = С/х в уравнение A.21)
дает для отыскания постоянной С урав-
уравнение С2 — С — 2=0, откуда имеем два
значения: С = 2 и С = — 1. Следова-
Следовательно, имеются два инвариантных ре-
решения:
у = 2/х, у = — \/х.
Пример 4. Уравнение второго по-
порядка
у" = 2у/х2
инвариантно, как легко видеть, относи-
тельно растяжений как по у, так и по х.
Следовательно, допускаются операторы
Для оператора Х\ условие инва-
инвариантности A.12) кривой D.1) имеет
вид
Следовательно, относительно группы
растяжений по у инвариантно только
тривиальное решение у = 0. Аналогично
для оператора Х2 условие инвариантно-
инвариантности A.12) дает
т. е. g'(x) = 0, так что относительно
растяжений по х инвариантно только
постоянное решение у=С. Поэтому
нетривиальные инвариантные решения
будем искать для линейной комбинации
X=X2 + kX\. Тогда имеем инвариант
I=yx~k и общий вид инвариантного
решения y=Cxk. Подстановка этого вы-
выражения в уравнение дает k(k—1) = 2,
откуда k = 2 и k= — 1. В результате
получаются два решения:
у = Сх\ у=С/х,
инвариантные относительно однопара-
метрических групп неоднородных растя-
растяжений с операторами, соответственно
Х = х-- +2у—, Х = х- у—.
дх * ду дх * ду
4.2. Оптимальная система инвариант-
инвариантных решений. Будем интересоваться
инвариантными решениями уравнения,
допускающего группу Gr с алгеб-
алгеброй Ли Lr. Как видно из последнего
примера, существование инвариантного
решения зависит от выбора подалгебры
алгебры Lr. Для нахождения всех воз-
возможных инвариантных решений следо-
следовало бы перебрать все подалгебры. Эту
задачу можно существенно упростить,
заметив, что если две подалгебры по-
подобны, т. е. связаны друг с другом не-
некоторым преобразованием из группы Gr,
то тем же преобразованием связаны
соответствующие этим подалгебрам ин-
инвариантные решения. Поэтому достаточ-
достаточно рассмотреть оптимальную систему
подалгебр [8], состоящую из предста-
представителей всех неподобных подалгебр
(данной размерности) алгебры Lr. Для
каждой подалгебры из оптимальной си-
системы построим инвариантное решение
и полученное семейство решений на-
назовем оптимальной системой инвариант-
инвариантных решений. Тогда все инвариантные
решения рассматриваемого дифферен-
дифференциального уравнения могут быть полу-
получены из оптимальной системы инва-
инвариантных решений преобразованиями
группы Gr. Если уравнение допускает
преобразования, не входящие в непре-
непрерывную группу (скажем, отражения),
они также используются для упроще-
упрощения оптимальной системы.
Проведем эти построения на кон-
конкретном примере. В § 2.4 было показано,
что уравнение
У"= К — — B.32)
Уг ху v '
допускает двухпараметрическую груп-
группу; базис ее алгебры Li образуют опера-
операторы
B.33)
Найдем оптимальную систему инва-
инвариантных решений этого уравнения.
Оператор Х\ порождает группу про-
проективных преобразований (см.табл. 1)
Выясним, как преобразуется произ-
произвольный оператор из L<i при проектив-
проективных преобразованиях D.6). Для этого,
очевидно, достаточно найти преобразо-
преобразованные значения базисных операто-
операторов B.33). А именно, записав оператор
ZeL2b виде A.42)
D.7)
ц=1
и обозначив через Xi и Х2 операторы
B.33) в переменных D.6), получим сле-
следующее преобразованное значение опе-
оператора D.7):
X =
D.7)
Найдем преобразованные значе-
значения операторов B.33) при переходе
к переменным D.6). По формулам пре-
образования A.13) с учетом формул
D.6) получаем
дх 2 ду \ дх J ду /
Итак, при переходе к переменным D.6)
происходит следующее преобразование
базисных операторов B.33):
Xi=Xu X2 = X2—aiXi. D.8)
Теперь заметим, что поскольку пре-
преобразования D.6) оставляют уравнение
B.32) неизменным, то преобразованный
оператор D.7') снова принадлежит ал-
алгебре L2 и потому разлагается по ба-
базису B.33) с постоянными коэффициен-
коэффициентами ё\ ё2. Следовательно,
откуда находится линейное преобразо-
преобразование
Ъ» = А»У D.10)
коэффициентов разложения D.7) произ-
произвольного оператора XeL2.B данном слу-
случае равенство D.9) в силу D.8) запи-
записывается в виде
е1Х1+е2(Х2—а1Х1)=ё1Х1+ё2Х2у
откуда имеем следующее преобразование
D.10):
D.11)
—1 1 9 —9 2
е =е—п\е , е =е .
Аналогичные вычисления с помощью
группы растяжений
х = а2х, у=л/а2у, «2>0, D.12)
порождаемой оператором Х2 из B.33),
приводят к преобразованиям
Х{ = а2Хи Х2 = Х2, D.13)
и
ёх = а2е\ ё2 = е2. D.14)
Найдем оптимальную систему одно-
одномерных подалгебр алгебры L2. Каждая
одномерная подалгебра определяется не-
некоторым оператором X из L2. Запишем
этот оператор в виде D.7), так что рас-
рассматриваемая подалгебра будет прямой с
направляющим вектором
е = (е\ е2). D.15)
Если координата е2 вектора D.15)
равна нулю, то в качестве направляюще-
направляющего вектора выбираем
е = A,0), D.16)
а если е2ф0, то с помощью преобразо-
преобразования D.11) с параметром а\ = е[/е2 при-
приводим вектор D.15) к виду @,е2) и по-
получаем направляющий вектор
е=@,1). D.17)
Следовательно, всякий оператор D.7)
подобен либо оператору Х\, либо опера-
оператору Х2. Таким образом, оптимальная
система подалгебр определяется двумя
векторами D.16), D.17) или оператора-
операторами
Хи Х2. D.18)
Теперь нетрудно найти оптимальную
систему инвариантных решений. Для
оператора Х\ имеем инвариант [ = у/х,
и общий вид инвариантного решения
/ = С (см. пример 3 из § 4.1) дает
= Сх.
D.19)
Подстановка в уравнение B.32) по-
показывает, что функция D.!9) является
решением при любом выборе постоянной
СФО. Таким образом D.19), является
инвариантным решением относительно
группы проективных преобразований
D.6). С помощью растяжений D.12) его
можно получить из
У = ±х. D.19')
Теперь следует заметить, что уравне-
уравнение B.32) допускает, помимо непрерыв-
непрерывной группы преобразований D.6), D.12),
еще отражения
— х,
у.
D.20)
Используя одно из них, мы можем по-
получить два решения D.19") из одного,
скажем из
у = х. D.21)
Второй из операторов оптимальной
системы D.18) имеет инвариант/=г/Д/х,
так что инвариантное решение нужно ис-
искать в виде у = Сл[х. Подстановка в урав-
уравнение B.32) дает_С = ±-^2, т. е. два
решения у=±У2*, которые после од-
ного из отражений D.20) приводятся к
одному решению
у=лДх, D.22)
Суммируя эти результаты, получаем
следующее
Предложение 4.1. Полная группа пре-
преобразований, допускаемых уравнением
B.32)
составлена из двух однопараметрических
групп D.6), D.12) с инфинитезималь-
ными операторами B.33) и двух отра-
отражений D.20). Оптимальную систему ин-
инвариантных решений этого уравнения об-
образуют два решения D.21), D.22):
у = ху у=л]2х.
Весь класс инвариантных решений по-
получается отсюда преобразованиями ука-
указанной полной допускаемой группы и со-
состоит из однопараметрических семейств
решений D.19) и
y=±-yj2x+Cx2.
D.23)
Упражнение. Получите формулу
D.23) из D.22) путем преобразований
D.6) и D.20). Сравните формулы D.19)
и D.23) с найденными в § 2.4 другим
способом решениями B.36) и B.40).
Случайно ли их совпадение?
Теперь посмотрим на приведенный при-
пример построения оптимальной системы
подалгебр и инвариантных решений с
общей точки зрения. Из формул D.8),
D.13) (или, что равносильно, D.11) и
D.14)) видно, что групповые преобра-
преобразования D.6), D.12) действуют в алгеб-
алгебре Ли Z.2 как линейные обратимые пре-
преобразования. Кроме того, они сохраняют
коммутационные соотношения операто-
операторов в смысле леммы 2.1. Про такие пре-
преобразования говорят, что они являются
автоморфизмами алгебры Ли. Для того
чтобы подчеркнуть, что эти автоморфиз-
автоморфизмы алгебры L порождены преобразова-
преобразованиями группы G, алгеброй Ли которой
является L, их называют внутренними
автоморфизмами. Внутренние автомор-
автоморфизмы образуют группу, которая назы-
называется часто присоединенной группой
группы G и обозначается GA. Таким об-
образом, формулы D.8) и D.13) опре-
определяют группу внутренних автоморфиз-
автоморфизмов алгебры L2 с базисом B.33) или
присоединенную группу GA двухпарамет-
рической группы G2 преобразований
D.6), D.12). Формулы D.11), D.14) за-
задают другое представление той же при-
присоединенной группы GA, а именно ее дей-
действие в пространстве векторов D.15).
Присоединенная группа GAr также яв-
является непрерывной группой. Обозначим
ее алгебру Ли через Lj. Оказывается,
для построения этой алгебры (а следова-
следовательно, и самой присоединенной группы
Gj) нет необходимости использовать,
как было сделано выше, преобразования
группы Gr, а достаточно лишь знать
структурные постоянные алгебры Lr
(см. формулу A.42)). А именно базис
алгебры LA образуют операторы (см.,
например, [8])
A»=[X»,XV]-L-, ц = 1,..., г. D.24)
Остается по этим инфинитезималь-
ным операторам решить уравнения Ли.
Суть дела проясняют следующие про-
простые примеры.
Пример 1. Рассмотрим снова алгеб-
алгебру Z.2 с базисом B.33). Здесь
[ХиХ2] = -Хи D.25)
и формула D.24) дает
t
it
Для первого из этих операторов урав-
уравнение Ли имеет вид
dax ' dax '
откуда с учетом начальных условий
Хц\а1=0=Хц получаем однопараметриче-
скую группу преобразований
совпадающую с D.8). Аналогично, ре-
решая для оператора А2 уравнение Ли с
начальными условиями:
dXx
— —О X
получаем преобразования D.13) с точно-
точностью до переобозначения группового па-
параметра.
Этот пример не только иллюстрирует
простоту вычислений присоединенной
группы с помощью формулы D.24), но и
показывает, что эта группа зависит лишь
от структуры D.25) алгебры Ли, а не от
конкретного вида преобразований D.6),
D.12) группы.
Пример 2. Рассмотрим алгебру L3
из табл. 7 A) с базисом
д д
дх ' ду
д
—
дх
д
ду
Xi
х2
Х3
X,
0
-Хх
—2Х2
х2
Х{
0
-Хг
х3
2Х2
х3
0
и построим оптимальную систему ее одно-
одномерных подалгебр. Для использования
формул D.24) удобно записать коммута-
коммутаторы операторов D.26) в виде таблицы
([Хц, Xv] на пересечении ji-й строки и
v-ro столбца)
D.27)
По формулам D.24) получаем сле-
следующие три оператора:
D.28)
Решение уравнений Ли для опера-
оператора А\ дает преобразования
\^Х\, X2 ^
Равенство D.9) в этом случае имеет
вид
откуда получается следующее линейное
преобразование D.10) вектора е =
т;1
Аналогично для операторов Л2 и Л3
из D.28) получаем
ё{=е1/а2, е2 = е2, ёг = а2е3; D.30)
х = е\ е2=е2-\-2а2)е\
D.31)
Рассмотрим два произвольных век-
вектора
е={е\ е2, е3), ё={ё\е2,е3) D.32)
и соответствующие им операторы из
3 3
ё3=е3
D.29)
D.33)
Операторы D.33) подобны тогда и
только тогда, когда векторы D.32) по-
получаются друг из друга линейными пре-
преобразованиями D.29) — D.31). Поэтому
построение оптимальной системы одно-
одномерных подалгебр сводится к класси-
классификации всех векторов в, объединяя в
один класс те векторы D.32), которые
связаны некоторым преобразованием ви-
вида D.29) — D.31). Хотя такой способ
в общем случае (например, при рас-
рассмотрении алгебр Lr большой размер-
размерности) приводит к утомительным пере-
перечислениям и становится неэффективным,
в рассматриваемой здесь простой ситуа-
ситуации он легко реализуется.
Пусть задан вектор е = (е\ е2, е3).
Если у него координата е3 отлична от
нуля, то подвергнем его преобразованию
D.29) с параметром п\ = — е /2е3. В ре-
результате получится вектор ё = (ё\ 0, е3).
Если при этом <?1 = 0, то с точностью до
несущественного множителя мы имеем
вектор (коллинеарные векторы опреде-
определяют одну и ту же подалгебру)
@, 0, 1), D.34)
а если г1 ф 0, то с помощью подходяще-
подходящего растяжения D.30) приводим к ра-
равенству le1!^!^3!. Следовательно, вся-
всякий вектор е=(е\ е2, е3), у которого
координата е3 отлична от нуля, приво-
приводится преобразованиями D.29) и D.30)
к одному из простейших векторов D.34)
или
A, 0, 1), A,0, —1). D.35)
Если теперь е3 = 0, но е2Ф0у то пре-
преобразование D.29) с ai = — ех/е2 дает
?' = 0, и получается вектор
(О, 1,0). D.36)
Наконец, при е2 = еъ = 0 имеем вектор
A,0,0).
D.37)
Таким образом, всякий вектор в =
=(е\ е2, е3) (рассматриваемый с точ-
точностью до постоянного множителя) при-
приводится к одному из векторов D.34) —
D.37), которые, как нетрудно убедить-
убедиться, не связаны друг с другом преобра-
преобразованиями D.29) —D.31). Это озна-
означает, что оптимальная система одно-
одномерных подалгебр алгебры L3 с бази-
базисом D.26) состоит из пяти подалгебр,
определяемых следующими оператора-
операторами:
X1, Л2, Аз, X1 "Т~ A3, X1 A3. D.38)
Для краткости мы будем называть
оптимальной системой одномерных под-
подалгебр совокупность операторов D.38).
4.3. Интегрирование уравнений вто-
второго порядка, допускающих 3-мерную
алгебру. Предложение 4.1 подсказывает
чрезвычайно простой путь интегриро-
интегрирования уравнений второго порядка, до-
допускающих алгебру L3- А именно, если
для уравнения B.32), допускающего
двухмерную алгебру, мы получили два
однопараметрических семейства реше-
решений D.19) и D.23) из оптимальной
системы инвариантных решений D.21),
D.22) путем их преобразования с по-
помощью трансверсальных однопарамет-
однопараметрических групп, то при наличии трех-
трехмерной алгебры можно будет получить
из каждого инвариантного решения
двухпараметрическое семейство реше-
решений. Поступая так с оптимальной си-
системой инвариантных решений, мы, воз-
возможно, получим все решения рассмат-
рассматриваемого уравнения. Обратимся к при-
примерам.
Пример 1. Уравнение
у" = у~ъ D.39)
допускает алгебру L3 с базисом (см.
табл. 7B))
X — д X — х— 4-——
*з=*2?+ *«/¦?:. D.40)
Для этой алгебры ее таблица ком-
коммутаторов совпадает с D.27), поэтому
оптимальная система одномерных под-
подалгебр получается из D.38) заменой
операторов D.26) операторами D.40).
Итак, в данном случае оптимальная
система подалгебр представлена опе-
операторами
Х Х2=Х+\
ъ = х2^- 4-хи-—.
6 дх ' я ду
дх
Найдем теперь оптимальную систему
инвариантных решений. Для этого нуж-
нужно построить инвариантные решения
для каждого из операторов D.41). Для
оператора Лл инвариантом является 1 = у,
и поэтому инвариантное решение долж-
должно иметь вид у = С; уравнение D.39)
такого решения не имеет. В случае опе-
оператора Х2 имеем инвариант 1 = у/л[х
и вид инвариантного решения у = С-фс\
подстановка в уравнение D.39) дает
для С уравнение С4=—4, не имеющее
вещественных решений. Для Хз получает-
получается вид инвариантного решения у = Сх,
что также не удовлетворяет уравнению.
Для Х\+Хг инвариант равен / =
= */Д/1 +х2, и инвариантное решение
имеет вид г/ = С\/1 +х2; после подста-
подстановки в уравнение D.39) этой функции
получается уравнение С4=1, так что
C=dzl. Так как уравнение D.39) инва-
инвариантно относительно отражений D.20),
то можно ограничиться случаем С=1.
Таким образом, для оператора Х\-\-Хз
имеется инвариантное решение
^ = УГ+**. D.42)
Для оператора Х\—Хз инвариант-
инвариантных решений нет. Итак, доказано сле-
следующее утверждение.
Предложение 4.2. Оптимальная си-
система инвариантных решений уравнения
D.39) состоит из одного решения D.42).
Теперь «размножим» это инвариант-
инвариантное решение с помощью преобразова-
преобразований группы, порожденной инфинитези-
мальными операторами D.40). Сначала
заметим, что двухмерная алгебра, на-
натянутая на операторы Х\ и Хг, транс-
версальна к кривой D.42). Другими
словами, никакой отличный от нуля опе-
оператор Х = е1Х\ + е2Х2 не касается этой
кривой:
Х(у-^+?)\и=^Ф0. D.43)
Поэтому достаточно преобразовать
решение D.42) с помощью двухпара-
метрической группы, порожденной опе-
операторами Х\, Х% и состоящей из пере-
переносов xh+x+а и неоднородных растя-
растяжений x\-+b2x, y\-+by. Записав общее
преобразование этой двухпараметриче-
ской группы в виде
у = Ьу
Пример 2. Рассмотрим первое урав-
уравнение из табл. 7
и взяв решение D.42) в преобразован-
преобразованных переменных
получим следующее двухпараметриче-
ское семейство решений:
D.44)
Здесь b как параметр группы растя-
растяжений должен быть положительным,
но после отражения у ь->—у это ограни-
ограничение снимается и оба параметра а, Ь
в решении D.44) могут принимать про-
произвольные вещественные значения с
единственным условием ЬфО.
Для сравнения предлагается проин-
проинтегрировать уравнение D.39) тради-
традиционным методом и убедиться, что фор-
формула D.44) дает общее решение.
Приведенный пример интересен тем,
что общее решение уравнения D.39)
получается из одного его решения D.42)
групповыми преобразованиями. А по-
поскольку преобразования допускаемой
группы переводят любое инвариантное
решение снова в инвариантные решения
(в данном случае инвариантные отно-
относительно операторов, подобных опера-
оператору Х\-\-Хз), то инвариантные решения
составляют всю совокупность решений
уравнения D.39). Естественно спросить,
является ли это обстоятельство случай-
случайным, связанным с удачно подобранным
примером (правда, этот пример выбран
наугад), или же общим свойством
уравнений второго порядка, допускаю-
допускающих трехмерную алгебру? Следующий
пример предостерегает от излишних ил-
иллюзий на этот счет.
У D.45)
Оно допускает (при любой постоян-
постоянной С) алгебру L3 с базисом D.26).
Оптимальную систему одномерных под-
подалгебр алгебры ?з образуют операторы
D.38), т. е.
дх
v ' дх ' v* * / ду '
D.46)
Найдем инвариантные решения урав-
уравнения D.45) для каждого из опера-
операторов D.46). Для этого нужно, как и
выше, вычислить инвариант 1(х, у), за-
записать общий вид инвариантного реше-
решения в виде/ = /С и подставить в урав-
уравнение D.45) найденное отсюда выраже-
выражение для у. Ниже мы будем в каждом
случае выписывать инвариант J, вид ин-
инвариантного решения, значение F[y] ле-
левой части уравнения D.45) при подста-
подстановке получаемого выражения для у и
результат.
Для оператора Х\ из D.46) имеем
1=х—уу у=х—К,
F[y]=2(C+2)/K, КФО.
Уравнение D.45) выполняется только
при С=—2. Значит, только при этом
значении постоянной С оператор Х\ при-
приводит к инвариантному решению, ко-
которое, упростив с помощью однород-
однородного растяжения по х, у и отражений
D.20), можно записать в виде
у=х+1, если С=—2. D.47)
Для оператора Лг имеем
j=y_ u=K2x
В уравнении D.45) берется положи-
положительное значение у'3/2 (за счет множи-
теля С), и поэтому нас интересуют
неотрицательные вещественные решения
Кф\ уравнения К(К2+СК+1) = 0. Про-
Простой анализ оставляет только следующие
две возможности:
г/=0, С произвольна; D.48)
у=К2х, К2+СК+1=0, если С<-2.
D.49)
Для оператора Х$ имеем
1 1 х
2(С+2)
т K
Условие х—уфО дает КФО; с помо-
помощью растяжения х—кх//(, */—и///( приво-
приводим к /С=1 и получаем инвариантное
решение
У=Л-> если С=—2.
D.50)
Для
имеем
F\u\=—
K(l+x2)(\-Kxf
Используя отражения D.20), можно
ограничиться случаем положительных
значений /С Итак, имеется инвариант-
инвариантное решение
х + К '
У =
1—
к=
\с\
D.51)
если —2<С<0.
Для последнего оператора Х{—Х3 оп-
оптимальной системы D.46)
*) х+К
у
/C(x2
Аналогично предыдущему случаю
получаем инвариантное решение
если С<С—2; кроме того, F[y] = 0 при
/B=1, что дает инвариантное решение
y=U С произвольна. D.53)
Упражнение 1. Проверьте, что реше-
решение D.48) допускает, помимо Х2, еще
один оператор Лз. Выясните, почему при
разборе оператора Х$ не получилось ре-
решение f/=0.
Из полученного перечисления ин-
инвариантных решений видно, что их коли-
количество, а также возможность построения
общего решения путем «размножения»
оптимальной системы инвариантных ре-
решений зависят от значения постоянной
С в уравнении D.45). Так, при С=1
оптимальная система инвариантных ре-
решений состоит только из двух три-
тривиальных решений D.48) и D.53), из
которых преобразованиями всей допус-
допускаемой уравнением D.45) группы G3
можно получить лишь решение
i/=const. D.54)
С другой стороны, подвергнув реше-
решение D.51) двухпараметрической группе
преобразований x=ax-\-b, ~y=ay+b, по-
порожденной трансверсальной к решению
D.51) алгеброй L2 с базисом Х\, Х2, полу-
получим следующее двухпараметрическое
семейство решений:
а{\-ЬК~аКх)
4^
-2<С<0. D.55)
Упражнение 2. Проинтегрируйте урав-
уравнение D.45) (например, с помощью
двухмерной подалгебры алгебры L3 по
алгоритму табл. 6) и выясните, дают
ли формулы D.54), D.55) общее реше-
решение при условии —2<сС<сО.
Для удобства пользования соберем
результаты, приведенные в формулах
D.47) — D.53) и упражнении 1, в виде
следующей таблицы. Тривиальные инва-
Коэффициент
уравнения
D.45)
С —произв.
С<-2
С= 2
— 2<С<0
У = *
У —
У —
Инвариантные
решения
У
У
т/2 „ ts2
г\ X, А
х+К
\+Кх
У =
У
х + К
\-Кх
= 0
= 1
+ск-\
А — —
х + \
X
1+х
V *
А —
С2—А
\с\
\с\
Операторы
симметрии
х,,х3
х,-х3
Хч
Хх
Х3
Ы-х,
риантные решения у=0 и у=1, спра-
справедливые для произвольного значения
коэффициента С, не указаны в случаях
специальных ограничений на С, но долж-
должны быть включены в каждом случае
для получения оптимальной системы
инвариантных решений.
4.4. Решение одной инвариантной
краевой задачи. Для решения многих за-
задач математической физики может быть
с успехом использован следующий про-
простой принцип инвариантности:
если краевая задача инвариантна отно-
относительно некоторой группы, то решение
следует искать в классе функций, ин-
инвариантных относительно этой группы.
Вот простой пример. Уравнение Лиу-
Лиувилля
Да = е", D.56)
где Au=uxx-{-Uyy, допускает бесконечно-
бесконечномерную алгебру Ли операторов
с произвольными аналитическими коэф-
коэффициентами 1(х,у)у г\{х,у), т.е.
1Х—т)у = 0, 1У + цх=0. D.58)
Поэтому удается выписать общее ре-
решение уравнения Лиувилля через гармо-
гармоническую функцию z (Az=0) в виде
D.59)
Здесь мы рассмотрим краевую задачу
Аи=е\ и\г==0. D.60)
Для ее решения общая формула
D.59) неудобна, так как приводит к не-
нелинейной краевой задаче
которая не проще исходной. Поэтому
воспользуемся сформулированным выше
принципом инвариантности.
Перепишем уравнение D.56) в поляр-
полярных координатах
D.56')
допускаемые операторы D.57) запишут-
запишутся в виде
причем уравнения Коши — Римана D.58)
перейдут в
рл+Дгаф = 0, рф_аг+у = 0. D.58')
Требование инвариантности краевого
условия D.60) дает а = 0, р = const, сле-
следовательно, из бесконечномерной алгеб-
алгебры операторов D.57') остается только
оператор
Х1 = тг- D-61)
Таким образом, краевая задача
D.60) инвариантна относительно (оче-
(очевидной) однопараметрической группы
вращений в плоскости (х, у), и поэтому
решение ищется в виде u=U(r). Тогда
D.56') принимает вид
.J-U'—eu = \
г
D.62)
Для полученного уравнения
Будем искать решение при естествен-
естественном условии ограниченности в «особой»
точке г=0. Итак, имеем краевые условия
{/A) = 0, U@) ограничена. D.63)
Проинтегрируем обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение второго по-
порядка D.62) методом теории групп. Для
этого можно искать допускаемую им
группу с помощью общего алгоритма
(это сделано в гл. 1, см. уравнение
A.34)). Однако можно поступить проще
и использовать алгебру, допускаемую ис-
исходным уравнением D.56'). А именно
уравнение D.62), будучи уравнением для
инвариантных относительно D.61) реше-
решений уравнения Лиувилля, допускает фак-
фактор-алгебру L/Li, где L\ — одномерная
алгебра с базисом D.61), a L — ее нор-
нормализатор [8].
Нормализатором является множество
таких операторов D.57'), что [XiyX]<=Lu
т. е.
= const.
Отсюда имеем а
нения D.58') дают
= 0, рф = /С, и урав-
уравa = Kr In r+c\r, fi=
Это означает, что L
алгебра с базисом
v д v г д
dtp дг
трехмерная
д
—,
ди
а фактор-алгебра L/L\ — двухмерная
алгебра с базисом (ср. A.39))
и г> и_
Х~ дг ди'
)^j. D.64)
Следовательно, уравнение D.62) до-
допускает двухмерную алгебру с базисом
D.64) и потому интегрируется группо-
групповым методом.
Операторы D.64) удовлетворяют ус-
условиям
т. е. принадлежат к типу III табл. 4.
Поэтому приводим первый из операторов
D.64) к виду Ki = — заменой
v = U + 2lnr, t = \nr. D.65)
В данном случае этого достаточно,
так как уравнение D.62) после замены
D.65) принимает интегрируемый вид
v"=ev.
Простой анализ показывает, что ус-
условию ограниченности в нуле удовлетво-
удовлетворяет решение
U=ln{8c2) — ln(l—c2r2J,
с = const. D.66)
Краевое условие U(l) = 0 дает 8?2 =
= A—с2J. Следовательно, у задачи
D.60) есть два решения D.66) со значе-
значениями с2 = 5—2-\/б и ?2 = 5 + 2д/б, причем
для первого из этих значений решение
ограничено всюду в круге, а при с2 =
= 5 + 2д/б решение обращается в сю на
окружности радиуса г* = 1/с «0,33.
4.5. Сферические функции. Рассмот-
Рассмотрим уравнение Лапласа
Аи = 0
с тремя независимыми переменными
х, у, z и найдем его инвариантные реше-
решения относительно вращений и растяже-
растяжений по независимым переменным и функ-
функции и.
Удобно перейти к сферическим коор-
координатам
x=rsin 0 cos ф,
^ = rsin 0 sin ф,
и записать опера-
опера= r cos
тор Лапласа в виде
где через Лг обозначен оператор Лапла-
Лапласа— Бельтрами на сфере единичного ра-
радиуса:
А2 =
1
sine ae'
Инвариантное относительно пространст-
пространственных вращений (сферически-симмет-
(сферически-симметричное) решение имеет вид u = R(r).
Для него уравнение Лапласа дает
(r2R'y = 0, откуда
R=9ijrc2. D.67)
Для группы растяжений по и с инфи-
нитезимальным оператором Х = и-^ ин-
ди
вариантом является любая функция от
х, у, z. Поэтому никакое решение
и=у(х, у, z) не может быть инвариант-
инвариантным относительно этой группы, так как
и — не инвариант.
Найдем инвариантные решения для
группы одновременных растяжений по
независимым переменным и функции и:
х = аху у = ауу z = az, п = апи. D.68)
Запишем инфинитезимальный опера-
оператор этой группы в сферических коорди-
координатах в виде
D.69)
дг
ди
Функция и = у(х, у, z), инвариантная
относительно растяжений D.68), назы-
называется однородной степени п. Итак, рас-
рассмотрим однородные степени п решения
уравнения Лапласа. При этом, имея в ви-
виду разложение в ряд произвольного ре-
решения по однородным решениям, будем
считать п целым числом.
Из уравнения XI = 0 с оператором X
D.69) находим базис инвариантов Х =
= иг~п, 6, ф. Инвариантное уравнение
Х = У„F, ф) (индекс п указывает, что
для каждого выбора п имеется своя
функция Y) дает следующий общий вид
инвариантного решения:
и = гТЛ(в,<р). D.70)
Тогда
и уравнение Лапласа принимает вид
A2Yn+n(n + l)Yn = 0. D.71)
Таким образом, коэффициент Yn ин-
инвариантного решения D.70) является
собственной функцией (с собственным
значением п(п-\-\)) оператора Лапла-
Лапласа — Бельтрами Аг и называется сфери-
сферической функцией порядка п.
Уравнение D.71) инвариантно отно-
относительно замены я = —(т + 1), так как
п(п-\- l) = m(m +1). Поэтому вместе с
D.70) решением уравнения Лапласа яв-
является также функция
r-(n + l)Yn(e,q)). D.70')
Ряд, составленный из инвариантных
решений D.67), D.70) и D.70') с по-
постоянными коэфициентами Л, В,
D.72)
представляет собой (формальное) реше-
решение уравнения Лапласа ввиду принци-
принципа суперпозиции (тоже групповое свойст-
свойство). Формула D.72) дает представление
общего решения и обычно выводится ме-
методом разделения переменных. Это еще
один пример (в дополнение к приведен-
приведенным в § 4.3) построения общего реше-
решения с помощью инвариантных решений.
Выяснение случаев, когда это возможно,
представляется не только любопытной,
но и практически важной задачей.
4.6. Групповой штрих к методу Ри-
мана. Этот раздел носит синтетический
характер и является результатом сопо-
сопоставления предложенного Риманом спо-
способа интегрирования линейных гипербо-
гиперболических уравнений второго порядка с
групповой классификацией Ли таких
уравнений.
Метод Римана сводит задачу интегри-
интегрирования уравнения
[u] = uxy + a{x, у)их+Ь{х, у)иу
D.73)
к построению вспомогательной функции
v, удовлетворяющей сопряженному к
D.73) уравнению
L*[v] = vxy-(av)x-(bv)y + cv = 0 D.74)
и следующим условиям на характери-
характеристиках:
D.75)
Если функция v найдена, то для реше-
решения задачи Коши (/ — нехарактеристи-
нехарактеристическая кривая)
L[u]=f, u\=uo(x), иу\=их{х) D.73')
дается явное интегральное представле-
представление (см. любой учебник по уравнениям
математической физики). Функция v на-
называется функцией Римана, а опреде-
определяющая эту функцию краевая задача
D.74), D.75) —характеристической за-
задачей Коши, или задачей Гурса.
Пример 1. Для волнового уравнения
иху = 0 соответствующая задача Гурса
имеет совсем простой вид:
vxy =
3
=1,
У = Yn '
= 1.
Очевидно, ее решением (решение за-
задачи Гурса единственно) является функ-
функция v = l.
Пример 2. Телеграфное уравнение
иху + и = 0 D.76)
представляет один из наиболее простых
типов уравнений (после иху = 0)у к кото-
которым прилагается метод Римана. Задача
Гурса D.74), D.75) в этом случае имеет
вид
= О, v
=\ v\ =\, DJ7)
Обычно в учебниках предлагается та-
кой «метод» решения: будем искать ре-
решение задачи D.77) в виде
v = V(z), z = (x-xo)(y-yo). D.78)
При этом получается обыкновенное
дифференциальное уравнение
zV"+V'+V=0,
являющееся одним из видов уравнения
Бесселя; переход к стандартной форме
jxV" + V'+ \iV=0 осуществляется заме-
заменой ji=y?2. Итак, функция Римана
для телеграфного уравнения D.76) выра-
выражается через функцию Бесселя в виде
v(x, у; х0, у0) = Job/Цх— хо)(у —
D.79)
Здесь непонятно, как угадан вид ре-
решения D.78). Почему бы не «догадаться»
сразу до формулы D.79)?
Пример 3. Риман применил предло-
предложенный им способ к уравнению вида
Сопряженное уравнение
1 '-• ' - N 2X 7v = 0 D.81)
~*у i х + ух л ' ^
заменой w = (x-{-yfv приводится к виду
Wxy — -
+ уJ
=
Для этого уравнения условия на характе-
характеристиках D.75) имеют вид
w\ = 1
\ Х
w\
=1.
D.820
Полученную характеристическую за-
задачу Коши Риман сводит к обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению
(определяющему специальную гипергео-
гипергеометрическую функцию Гаусса), полагая,
что w есть функция от одной переменной
(х—хо)(у—уо)
D.83)
В двух последних примерах построе-
построение функции Римана удалось свести к
решению обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения, правильно угадав вид
решения задачи Гурса. Оказывается,
возможность такого сведения связана с
наличием у уравнения достаточно широ-
широкой допускаемой группы и инвариант-
инвариантностью условий на характеристиках от-
относительно однопараметрическои под-
подгруппы этой группы. Именно эта инва-
инвариантность, а не удачная догадка дает
правильный вид решения. Рассмотрим с
этой точки зрения приведенные в приме-
примерах 2 и 3 уравнения.
Пример 2'. Телеграфное уравнение
D.76) допускает 3-параметрическую
группу (помимо растяжений переменной
и и общей для всех линейных уравне-
уравнений бесконечной группы, состоящей из
прибавления к и любого решения рас-
рассматриваемого уравнения) с инфинитези-
мальными операторами
v д v д v д д
Х\ = —, Х2 = — , Хз=х- у—.
дх ду дх ду
Найдем линейную комбинацию этих
операторов
допускаемую задачей Гурса D.77). По-
Потребуем сначала инвариантность харак-
характеристик х = х0, у=Уо. Ясно, что уфО
(иначе а=р = 0). Поэтому можно поло-
положить y= 1 и получить следующие значе-
значения двух остальных коэффициентов:
а=—хо, Р = уо. Найденный оператор
Х = (х-хо)±-(у-уо)± D.84)
оставляет инвариантной переменную v и,
следовательно, допускается задачей Гур-
Гурса D.77). Поэтому можно воспользовать-
воспользоваться сформулированным в § 4.4 принципом
инвариантности и искать решение этой
задачи Гурса в классе функций, инва-
инвариантных относительно однопараметри-
однопараметрическои группы с инфинитезимальным опе-
оператором D.84). Эта группа имеет два не-
независимых инварианта — переменные v и
z = (x — хо)(у — уо). Следовательно, инва-
инвариантное решение имеет вид D.78).
Пример 3'. Вычислив группу, допус-
допускаемую уравнением D.82), можно убе-
убедиться, что оно также допускает три опе-
оператора (помимо растяжений w и беско-
бесконечной группы линейного уравнения):
дх
д_
ду'
д
—
дх
д
ду
Как и в предыдущем примере, выяс-
выясняется, что из них можно составить
(единственным образом) линейную ком-
комбинацию
ду'
D.85)
оставляющую инвариантными характе-
характеристики, а также условия на характе-
характеристиках. Следовательно, решение зада-
задачи D.82), D.82") следует искать среди
инвариантных функций. Так как инва-
инвариантами оператора D.85) являются w
и выражение
D.86)
то инвариантное решение можно искать
в виде w = w(\i). Это инвариантное реше-
решение и нашел Риман; использованная им
переменная D.83) связана с инвариан-
инвариантом D.86) функциональной зависи-
зависимостью z=\i/(l —\i) и потому также яв-
является инвариантом.
Пример 4. Применим принцип инва-
инвариантности к уравнению D.81) и решим
задачу Гурса с данными
/fo-H/oy - /
= *о V У-\~Х0 / ' \у=уо \
D.87)
Операторы, допускаемые уравнением
D.81), легко получаются из соответ-
соответствующих операторов для уравнения
D.82) путем замены, связывающей эти
два уравнения. Требованию инвариант-
инвариантности краевых условий (здесь нужно ис-
использовать также растяжения зависимой
переменной, так как краевые условия
D.87) не постоянны) удовлетворяет один
оператор
-X[(x-xo)-(y-yo)]vl. D.88)
Проверим, например, инвариантность
первого из условий D.87). Ограничение
оператора D.88) на х = хо равно
и выполнение критерия инвариантности
краевого условия вытекает из равенства
Аналогично проверяется инвариант-
инвариантность второго из условий D.87).
Инвариантами оператора D.88) яв-
являются [л, из D.86) и выражение (х +
~{-yo)\y-±-Xo)xv. Поэтому инвариантное
решение можно записать в виде
v = , , "L —аЦиО- D.89)
При этом два краевых условия D.87)
превращаются в одно условие для функ-
функции V(\x):
1/@) = 1. D.87Г)
Подстановка представления D.89) в
уравнение D.81) дает для V(\i) обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение вто-
второго порядка, к решению которого при
начальном условии D.87') и сводится за-
задача Гурса.
Теперь воспользуемся результатом
групповой классификации Ли (в инва-
инвариантной форме, принадлежащей
Л. В. Овсянникову) и докажем общее
утверждение о сводимости задачи Гурса
к обыкновенным дифференциальным
уравнениям.
Теорема 4.1 [8]. Уравнение
vxy + A(x, y)vx + В(х, y)vy + C(x, y)v = 0
D.90)
допускает (помимо прибавления к v про-
произвольного решения этого уравнения)
4-мерную алгебру тогда и только тогда,
когда величины
p = k/h, q=(\nh)xy/h D.91)
постоянны, где h = Ax-{-AB—С и fe =
= Ву-{-АВ — С — инварианты Лапласа.
При этом уравнение D.90) приводится
либо к виду (если д = 0)
vXy + xvx+pyvy + pxyv = 0 D.92)
и допускает оператор
Х=(а\Х-+-а2) — + (—a it/+ а3)-
)v^ , D.93)
либо к виду (если
vxu — -
и допускает оператор
D.95)
Если хотя бы одна из величин D.91)
непостоянна, уравнение допускает не бо-
более чем двухмерную алгебру.
Теорема 4.2. Если уравнение D.74)
допускает 4-мерную алгебру, то задача
Гурса D.74), D.75) допускает одномер-
одномерную алгебру и поэтому сводится к обык-
обыкновенному дифференциальному урав-
уравнению.
Доказательство. В силу теоре-
теоремы 4.1 достаточно рассмотреть уравне-
уравнения D.74) вида D.92) и D.94). Для
уравнения D.92) условия D.75) имеют
вид
v\ =e-^y
lx = x0
l«/ = «/o
и допускают оператор
дх
D.92')
±
~
Его инвариантами являются v ехр [руох-{-
+ хо(у — у о)] и \1=(х — хо)(у — уо), так что
инвариантное решение имеет вид
уо). D.96)
Функция V(\i) удовлетворяет началь-
начальному условию 1/@) =1 и уравнению
=O. D.97)
Для уравнения D.94) условия D.75)
имеют вид
/
/
Здесь инвариантами являются (х-\-
)-"<v и .x=
а инвариантное решение можно взять
в виде
Тогда задача Гурса D.94), D.94')
сводится к решению обыкновенного диф-
дифференциального уравнения
=1. D.99)
ЛИТЕРАТОРА
1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения.— Харьков: ОНТИ, 1939.—
Гл. IV.— С. 127—153.
2. Гурса Э. Курс математического анали-
анализа.—М.—Л.: ГТТИ, 1933.—Т. П.—Ч. II.—
Гл. XIX.—Разд. IV.—С. 92—104.
3. D i с k s о n L. E. Differential equations from
the group standpoint // Ann. Math.— 1924.—
V. 25.— P. 287—378.
4. Ибрагимов Н. X. Азбука группового
анализа.— M.: Знание, 8/1989.
5. Lie S. Vorlesungen iiber Differential-
geichungen mit bekannten infinitesimalen Trans-
formationen.— Leipzig: B. G. Teubner, 1891.
6. Lie S. Gesammelte Abhandlungen.— (i)
Band 5.— Leipzig — Kristiania.— 1924; (ii)
Band 6.— Leipzig — Oslo, 1927. Статья VI, где
в § 3 суммированы результаты групповой класси-
классификации обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений второго порядка.
7. Mahomed F. M., Leach P. G. L. Lie
algebras associated with scalar second—order
ordinary differential equations // J. Math. Phys.—
1989.— V. 30.— No. 12.— P. 2770—2777.
8. Овсянников Л. В. Групповой анализ
дифференциальных уравнений.— М.: Наука,
1978.— § 8.— С. 104—116.
9. О л в е р П. Приложения групп Ли к диффе-
дифференциальным уравнениям.— М.: Мир, 1989.—
« 2.5.— С. 179—211.
и допускают оператор
Х= (х —
-^ — (У — Уо)(у +х^
•к-
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Часто встречающиеся группы на
Преобразования
Переносы
по х: х = х-\-а, у = у
по у: х = х, у = у-\-а
вдоль прямой ?x+/i/ = 0:
х = х+/а, y = y — ka
Вращение
x = xcos а -\-у sin a,
i/ = i/cos а —л: sin а
Преобразование Лоренца
х — xch a-\-y sh a, y — ycha-\-xsha
Преобразование Галилея
х = х + ау, у = у
Однородное растяжение
х = хеа, У = уеа
Неоднородное растяжение
х = хе\ У = уека
Проективное преобразование
- X - у
\—ах \ — ах
Оператор
Х=~дх
д
ду
дх ду
Х- д хд
дх ду
дх ду
дх
Х—х д + °
Х = х-—\-ky--
дх ду
X х>°+ху°
дх ду
плоскости
Инвариант
1=Х
I=kx + ly
/ у2 х2
!-У
~ У
~ У
I X
У
Канонические переменные,
в которых ^ = —
t = x, и=у
t = y, и=х
t=x/l, u = kx + ly
/ = arctg—, и = л]х2 + у2
6 У
2 у — х
и=у2-х2
х
* = — , и=У
1 X
/ = lnx, w = —
У
t = \nx, и=—
У
1 X
t = , и= —
х у
Таблица 2
Некоторые уравнения первого порядка с известным допускаемым оператором
y'--
11.0'=
111.0'=
IV. // =
F{kX+ly), X-l±-k±,
{ = ц х-
Vx/ dx dy
vii.0' = 4-
xf+ky.
дх dy
± + y±.
dx x dy
Will xy-
IX. </' =
X. y'=-
У
x+F(y/x)'
У
Xl.xy' =
Xll.xy' = -
д
xy-—
удх
d
= xy—.
ду
ду
XIV. y' =
X\\.y'=P(x)y, X=y — .
Таблица 3
Некоторые уравнения второго порядка с известным допускаемым оператором
^
V.
VL
VII.
VIII.
dy '
dx
d d
y"=F(x,y—xy% X = *Y'
p(x)y" — p"(x)y= F(x,p(x)y' — p'(x)y),
P X dy'
p\x) y" + p(x) p'(x) y' = F(y, p(x) y'\
x " = F(y Л X-x — +
V x ' /' dx
IX. i
x.4
XL4
XII.
XIII. 0
XIV x
XV,
XVII. x
A
XVIII.
A
l" = yF(ye~\y'/y), X = -$x- +
i" = yF(x, y'/y), X = y—.
У ~ Я(У) У Я \'~qW)J
., ,2,2 /-/ ХУ' i \
y" = y -\-y< Fix, — In//j,
r + y-WPfaifr-lnx)
\ X /
У У \x' у' Г
fe+2^ + (l _ k) xk+ [y' =F (x~
\ dx dy)
- K + '5>
x — +^0— •
dx di/
di/
^-;
fx+^
"y <3x
"*•?-
dy
xy?.
%'
+ У ду-
-ky).
Таблица 4
Канонический вид уравнений второго порядка, допускающих двухмерную алгебру Ли
Тип
I
II
HI
IV
Структура L2
№.*]=o.*V**o
[Xu X2]=0, X\/X2=0
г v vi v v\/v /n
[Л|, A2J^Ai, Л| у лг^и
[Xu X2]=XU Х{\/Х2=0
Базисные операторы
в канонических переменных
х - д х —д
дх' ду
X д X хд
Л\=——, Л2=л —
ду ду
Xl= — > Х2=Х — + У—-
ду дх ду
Х\=—, Х2=у —
ду ду
Уравнение
у"=Ну')
y"=f(x)
У"=fix)У
Вычисление алгебры Ли операторов,
допускаемых уравнением второго порядка
Таблица 5
Дифференциальное
уравнение A.32)
Допускаемый
оператор A.7)
Определяющее
уравнение A.33)
y"=f(x, у, */')
Х-Нх.у^ + ф.у)!
ЦХХ + Bцху - Ьх) у' + {цуу - 2Ъху)у'2 - у'%у + {цу - 2%х - 3y%)f -
-У*-ч!у-Ь\х+Ыу-Ш-у'2Щ=ъ
Алгоритм интегрирования уравнений 2-го порядка
с помощью двухмерной алгебры Ли
Таблица 6
Шаг
1
2
3
4
5
Действия
Найти алгебру Lr всех допускаемых операторов
v «., ч д . , ч д
Х=1(х,у)-—|- г\(х,у)-—, решив определяющее уравнение
A.33) из табл. 5
Если г =2, перейти к следующему шагу, а если г>2, то предва-
предварительно выделить в Lr любую двухмерную подалгебру L2 по
теореме 2.1. При г = 1 можно понизить порядок уравнения (§ 1.4),
а при г = 0 групповой метод не применим
Определить тип найденной алгебры Z,2 по теореме 2.3: вычислить
коммутатор [Хи Х2] (формула A.40')) базисных операторов
и их псевдоскалярное произведение Х\\/Х2 (формула B.13)); ес-
если [Xi, ^2)^=0 и не равен Х\, то линейным преобразованием
B.15) перейти к новому базису Х\, Х'2 с [Х'и Щ=Х\
По теореме 2.4 привести базисные операторы алгебры />2 к ука-
указанному в табл. 4 виду подходящей заменой переменных х, у.
Этой заменой привести рассматриваемое уравнение к канони-
каноническому виду соответствующего типа из табл. 4 и проинтегриро-
проинтегрировать его (конец § 2.3)
Переписать решение в исходных переменных
Результат
Базис Lr: A\..., Хг
Базис L2: Xu X2
Приведение структуры
Z,2 к одному из четырех
типов табл. 4
Нахождение интегри-
интегрирующей замены пере-
переменных
Решение уравнения
Таблица 7
Неподобные трехмерные алгебры Ли и инвариантные уравнения
1
2
3
4
5*
6
7
8
9
10
11**
12**
у,
X
Хх
Хх
X
X,
X,
X,
Хх
Хх
Хх
д
дх
д
~ дх
_ д
~ дх
_ д
~ дх
д
~ дх '
_ д
~ дх'
д
~ду'
д
~дуУ
д
~дуУ
_ д
~ дх '
д
ду'
_ д
д
Х2 = 2х~дх
v д
Х2 = 7ГУ> '
д
2~ду'
х2- д л
дуУ
X д
2~ду' '
X хд
д
2~Хду'
у д
Л2=Х-—,
ду
X д
2~ ду' '
у д
А 2 X ,
ду
х — д
ду'
Базис ?з
д д
дх Уду '
ду
Х3 = х-^- +
Хз=хЪ1 +
>>=(kx+y)
дх
У ду
дх
ду
д
2 д
2 д 2 д
лз — X | f/
dx di/
2 а . д
dx di/
{Х + У)Ту
ky —, кФ\
ду
дх ду
уту
дх ду'
'р
Уравнение
пу*+Су'^?+у'2
х—у
У = Су->
y» = CeS
k-2
у" = ?у'^~ ^
// p/i _|_ /2\3/2 Л arctg i/r
у"=о
\-2k
у" = 0
у» = Се<
у" = с
ш p'"My"+f(x)
р"(х)
3 и
* Этот случай приводится к случаю 4 после комплексной замены z = /x (с учетом формулы
arctg у' = —In ,) и поэтому отсутствует у Ли [5], который проводил классификацию алгебр
в комплексной области. Вещественная классификация инвариантных уравнений выполнена в [7].
** Уравнений второго порядка, допускающих эту алгебру, нет. Поэтому приведено инвариантное
уравнение третьего порядка.
Таблица
Групповая классификация уравнений второго порядка
Группа
с,
G2
а,
Базисные операторы
3
Xl-dx~
Y д у д
дх ду
уду д , д
Х\ = —, Л2=х \-у~г-
ду дх ду
д д д t д v 2 д х 2 д
X1 — ~. ~\~ ~. , X 2 — х -\- у , А з — х -\- у
ох оу дх ду ох оу
Xi = ——, Х2=2х——\-у-г-, Хз=х ——\-ху —
дх дх ду дх ду
х _ д х — д X — д -\-(х-\- ) д
дх' ду' дх ду
д д д д 1
Х\ = — , Х2 = — , Хз^ х ——\-ky — , k^O, — ,1,2
дх ду дх ду 2
д д д д
1 дх' ду' дх ду
У д уд д у д у д
дх ' ду' ду' дх' дх
у д у 2 д д у д 2 д
ду' дх ду' дх ду
Уравнение
у"=!(у,у')
y"=f{y')
У" ~\~ 2 = 0
k-2
i/-=C(l + i//2K/2^arctg!//
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНОЕ ИЗДАНИЕ
Ибрагимов Наиль Хайруллович
ОПЫТ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
Гл. отраслевой редактор Г. Г. Карвовский
Редактор И. Г. В и р к о
Мл. редактор С. С. Патрикеева
Художник Л. П. Ромасенко
Худож. редактор М. А. Бабичева
Техн. редактор И. Е. Белкина
Корректор В. В. Каночкина
ИБ № 11730
Сдано в набор 20.05.91. Подписано к печати 09.07.91. Формат
бумаги 70Xl00'/i6- Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,90. Усл. кр.-отт. 8,12.
Уч.-изд. л. 4,22. Тираж 9590 экз. Заказ 783 Цена 55 коп.
Издательство «Знание». 101835, Москва, ГСП Центр, проезд
Серова, д. 4. Индекс заказа 914307.
Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полиграфический комбинат Государственного
комитета СССР по печати
142300, г. Чехов Московской области