Автор: Ибрагимов Н.Х.
Теги: математический анализ функциональный анализ математика кибернетика
ISBN: 5-07-000901-х
Год: 1989
Текст
МАТЕМАТИКА
КИБЕРНЕТИКА
Н. X. Ибрагимов
АЗБУКА ГРУППОВОГО
АНАЛИЗА
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
§ 1. Однопараметрические группы преобразований 4
§ 2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями 14
§ 3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений,
допускающих группу 24
§ 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие
фундаментальной системой решений 34
§ 5. Фундаментальные решения уравнений математической физики
как инвариантные решения 39
§ 6. Короткое отступление о группе Галуа 42
Литература 44
ББК 22.161
И 15
ИБРАГИМОВ Наиль Хайруллович — доктор физико-математи-
ческих наук, лауреат Государственной премии, профессор МФТИ,
ведущий научный сотрудник Института прикладной математики
им. М. В. Келдыша АН СССР, специалист по математической
физике и групповому анализу дифференциальных уравнений.
Редактор И. Г. ВИРКО
Ибрагимов Н. X.
И15 Азбука группового анализа. — М.: Знание,
1989. — 48 с.— (Новое в жизни, науке, технике.
Сер. «Математика, кибернетика»; № 8).
ISBN 5-07-000901-х
20 к.
Групповой анализ служит для описания свойств дифференциальных урав-
нений при помощи допускаемых групп преобразований. Он дает практические
методы понижения порядка или полного интегрирования обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений и построения отдельных классов точных решений
линейных и нелинейных уравнений математической физики.
Настоящая брошюра включает фрагменты курса лекций по групповому
анализу, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.
1602070000
ISBN 5-07-000901-х
ББК 22.161
© Издательство «Знание», 1989 г.
ВВЕДЕНИЕ
Групповой анализ дифференциальных
уравнений возник как научное направ-
ление в работах выдающегося матема-
тика XIX в. Софуса Ли (1842—1899)
и служил главной составной частью его
важнейшего творения — теории непре-
рывных групп. Первоначальная основная
задача группового анализа — вопрос
о разрешимости в квадратурах диффе-
ренциальных уравнений — была практи-
чески решена самим Ли, но не нашла ши-
рокого применения. Хотя подход Ли к
дифференциальным уравнениям еще ис-
пользовался его ранними последовате-
лями, позже исследования в этом направ-
лении прекратились, и надолго.
Интерес к групповому анализу возро-
дил Л. В. Овсянников, показав в своих
работах 1958—1962 гг., что главное ору-
дие, которым пользовался Ли, — описа-
ние свойств дифференциальных уравне-
ний при помощи допускаемых групп —
обнаруживает свою силу не только в во-
просах о полной разрешимости, но и при
построении отдельных классов точных
решений и качественном исследовании
дифференциальных уравнений механики
и математической физики. Такое расши-
рение области применений потребовало
существенного углубления методов груп-
пового анализа, разработки новых по-
нятий и алгоритмов. Возникшие в связи
с этим проблемы и перспективы развития
стимулировали большое число исследо-
ваний (см. книги [7], [9] и обзор [10]).
Стало ясно, каким действенным инстру-
ментом является групповой анализ при
решении сложных задач. Он существенно
расширяет и уточняет интуитивное по-
нимание симметрии, вооружает конструк-
тивными методами ее использования, ве-
дет к правильной постановке задач, а
во многих случаях позволяет увидеть
возможные пути их решения.
К сожалению, приходится констати-
ровать, что и сегодня практическое при-
менение свойств симметрии основывается
чаще всего не на знании методов груп-
пового анализа, а на случайных, более
или менее удачных догадках. Странность
положения усугубляется тем, что в на-
стоящее время разработаны и ждут при-
менения новые мощные методы группо-
вого анализа. Поэтому знакомство с
классическими его основами и современ-
ными методами становится важным эле-
ментом математической культуры для
тех, кто имеет дело с построением и изу-
чением математических моделей задач
естествознания. Для этого наряду с
имеющимися монографиями по группо-
вому анализу нужен учебник, рассчи-
танный на широкую аудиторию и при-
годный для первоначального ознакомле-
ния с предметом.
Данная брошюра, по замыслу автора,
и должна сыграть роль такого учебника.
При ее чтении рекомендуется тщательно
разобрать примеры и прорешать пред-
лагаемые упражнения, так как групповой
анализ относится к одной из тех обла-
стей, которые необходимо изучать на при-
мерах. Сюда в полной мере относятся
слова И. Ньютона о том, что «при изуче-
нии наук примеры не менее поучительны,
нежели правила». Недостаточно лишь
формально знать теорию групп, ею надо
овладевать творчески, решая многочис-
ленные упражнения и нестандартные за-
дачи.
При работе над этой брошюрой ос-
новным источником послужили работы
С. Ли, в частности его книга [8]. Хоро-
шее представление о работах Ли по обык-
новенным дифференциальным уравнени-
ям и о его манере мышления можно по-
лучить по статье [5] Л. Диксона — одно-
го из бывших слушателей лекций С. Ли.
§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В этом параграфе определяется и ил-
люстрируется понятие группы преобразо-
ваний, зависящей от одного веществен-
ного параметра. Каждая такая однопа-
раметрическая группа полностью опреде-
ляется первым членом своего тейлоров-
ского разложения по параметру, или,
другими словами, касательным вектор-
ным полем, называемым также инфини-
тезимальным оператором группы. Ис-
пользование инфинитезимального опера-
тора вместо группы оказывается более
удобным в приложениях.
1.1. Определение и примеры. Рас-
смотрим преобразование Т:
z'=f(z),
при помощи которого точка z=(zl,..., zN}
евклидова пространства R^ переводится
в новое положение z' = (z'i, ..., z,7V) в том
же пространстве R^; координаты zl и
zn точек z и z' относятся к одной и той
же системе координат. Будем предпола-
гать, что преобразование обратимо, и
записывать обратное преобразование, пе-
реводящее точку z' в z, как Г-1. После-
довательное выполнение преобразований
Г и Г-1 в любом порядке дает тожде-
ственное преобразование /, переводящее
любую точку z в себя.
Будем рассматривать теперь преобра-
зования, включенные в однопараметри-
ческое семейство {Та}:
z'=\(z,a\ (1.1)
где а — вещественный параметр, непре-
рывно изменяющийся в данном интерва-
ле Ас/?. Каждому частному значению
параметра а соответствует конкретное
преобразование семейства. Будем пред-
полагать, что значению а = § соответ-
ствует тождественное преобразование
Tq=I и что ТаФ1 для всех отличных
от нуля а^\. Если тождественное пре-
образование получается не при а = 0,
а при некотором другом значении
(Тао = 1), то предыдущее условие Т$=1
достигается простым сдвигом параметра
а = а-\-а$. Примем далее, что рассматри-
ваемое семейство вместе с каждым пре-
образованием содержит также обратное
преобразование; если Та — преобразова-
ние, соответствующее некоторому кон-
кретному значению параметра а, то зна-
чение параметра, отвечающее обратному
преобразованию, будем обозначать а”,
так что Та{ = Та->.
Например, для преобразований растя-
жения z' = az тождественное преобразо-
вание получается при а = \. После ука-
занного выше сдвига параметра имеем
семейство преобразований
z' = z-\-az, (1.2)
удовлетворяющее условию Tq = I. При
этом а~{ =—так что для любого
1 + а
значения а из интервала — 1<а<сю
определено обратное преобразование
TG-i. Возьмем теперь два частных зна-
чения а и b параметра, принадлежащих
указанному интервалу, и последователь-
но применим преобразования (1.2) с эти-
ми значениями параметра. После первого
преобразования точка z перейдет в точку
z' = z-\- az, которую второе преобразова-
ние переведет к
z" = z' + bz' = z + az + b(z + az} =
= z -|- (a -|- b -|- ab}z.
Отсюда видно, что результат приме-
нения двух последовательных преобра-
зований семейств (1.2) тождествен ре-
зультату применения третьего преобра-
зования этого семейства со значением
параметра c = a-\-b-\- ab. Символически
это записывают в виде ТьТа = Та+ь+аь и
говорят, что преобразования (1.2) обра-
зуют однопараметрическую группу.
В общем случае про преобразования
(1.1) говорят, что они образуют одно-
параметрическую группу, если они, поми-
мо перечисленных свойств, удовлетворя-
ют условию
ТЬТа=Т^ (1.3)
где функция <р(ц, Ь} считается достаточ-
ное число раз дифференцируемой (как,
впрочем, и все другие встречающиеся в
дальнейшем функции). Смысл этого ус-
ловия тот же, что и в приведенном выше
примере: оно означает, что последова-
тельное применение двух преобразований
Та и Ть равносильно третьему преоб-
разованию Тс с параметром c = q\a,b}.
Ясно, что для произвольного семейства
преобразований (1.1) такое условие не
будет выполняться; читателю предлага-
ется в качестве упражнения самостоя-
тельно придумать примеры однопарамет-
рических семейств преобразований, не
образующих группу. Пусть выполнены
групповое свойство (1.3) и «начальное»
условие Tq=1. Тогда ТЛа = Та, ТьТъ=Ть,
откуда следует, что
ф(а, 0) = а, ср(О, b)=b. (1.4)
Например, для преобразований (1.2)
ср(а, b)=a-\-b-\- ab, и выполнение усло-
вий (1.4) очевидно.
Наиболее распространенным приме-
ром однопараметрической группы яв-
ляется группа переносов вдоль заданной
прямой. Считая эту прямую направлен-
ной вдоль первой координатной оси и
потому не обращая внимания на другие
координаты, имеем следующий
ф Пример 1.1. Группа переносов вдоль
вещественной прямой
х' = х-\-а.
В результате двух последовательных
переносов точки х получим
х" = х-\-а-\-Ь,
так что в данном случае <р(а, b) = a-\-b,
а а~1 = — а. •
О Упражнение 1.1. Покажите, что пре-
образования
х'=х-\-а-\-а2
образуют группу, и найдите значения
ср(а, Ь) и а-1.0
О Упражнение 1.2. Выясните, образуют
ли группу преобразования
х' = х-\-ау у' = у-\~а2
на плоскости (х, у). О
Резюмируем основные свойства одно-
параметрической группы:
1) Tq = 1 (или Тао = 1) (существование
единицы);
2) Т^~1 =Та-у (существование обрат-
ного элемента);
3) Тс(ТьТа)=(ТсТь)Та (ассоциатив-
ность умножения в группе).
Последнее свойство сразу следует из
определения умножения как последова-
тельного выполнения преобразований;
действительно,
Tc(7'6Te)(z)=Tc((Tftra)(z)) =
= Тс (Tb(Ta(Ta(z))) = (Тс Tb)( Ta(z)) =
=(TcTb)Ta(z).
В абстрактной теории групп эти три
свойства кладутся в основу определения
группы. Помимо этих свойств, в нашем
случае присутствует еще дополнительное
свойство топологического характера —
непрерывная зависимость от параметра,
которым мы сейчас воспользуемся.
1.2. Уравнение Ли. Пусть преобразо-
вания (1.1) образуют группу и пусть
условие (1.3), выражающее групповое
свойство, имеет простой вид ТьТа = Та+ь,
так что <р(а,Ь) = а-\-Ь. Другими словами,
пусть
f(f(Z,a),b)=f(Z,a+b)-, (1.5)
при этом, очевидно, а~х =— а. Ниже мы
покажем, что на самом деле так могут
быть описаны все однопараметрические
группы: любой закон умножения (1.3)
может быть приведен к виду (1.5) путем
перепараметризации (невырожденной
замены группового параметра а). Будем
обозначать эту группу буквой G.
Разложим функцию f(z, а) в ряд Тей-
лора по параметру а в окрестности а=0.
По условию То = 1 имеем f(z, 0) = z. По-
этому, обозначив
<L6>
запишем преобразование (1.1) в виде
z' = z + ^(z)a + o(a). (1.7)
Следующая теорема Ли утверждает,
что этими двумя членами разложения
однозначно определяется функция /(z, а),
удовлетворяющая групповому свойству
(1.5). Говорят также, что группа G оп-
ределяется своим касательным вектор-
ным полем так как формулой (1.6) за-
дается касательный вектор в точке z к
кривой, описываемой точками z' при
групповом преобразовании (1.1).
Теорема 1.1. Пусть функция f(z, а)
удовлетворяет групповому свойству (1.5)
и имеет разложение (1.7). Тогда она яв-
ляется решением обыкновенного диффе-
ренциального уравнения первого порядка
(называемого уравнением Ли) с началь-
ным условием:
= f|„. = 2. (1.8)
Обратно, для любого гладкого вектор-
ного поля g(z) решение задачи Коши
(1.8) (решение существует и единствен-
но) удовлетворяет групповому свойству
(1.5).
Доказательство. Пусть выпол-
нено групповое свойство (1.5). Придав
параметру а приращение Ла, запишем
равенство (1.5) в виде
f(z, a + Aa) = f(f(z, а), Ла).
Отсюда, выделяя главную линейную
часть по Ла,
f (z, а + Да) = f (z, а) + Ла + о(Ла),
ГО(2.о).Да) = ;(2,а) + А|41_<].Ла+о(Лв)
и записывая Аа)| =g(f(z, а))
oixa |Да=0
по определению (1.6), получаем урав-
нение Ли
df(z,a)___
да
а)).
Докажем теперь вторую часть теоре-
мы. Пусть f(z, а) — решение задачи (1.8).
Зафиксируем значение параметра а
(близкое ка = 0, поскольку решение мо-
жет существовать лишь локально, т. е.
для достаточно малых значений а) и
рассмотрим две функции:
ф Пример 1.3. Зададим на веществен-
ной прямой векторное поле g(x)=x и ре-
шим для него уравнение Ли. Соответ-
ствующая задача (1.8) имеет вид
dx'/da=x', х'\а=0=х. Она легко решает-
ся и дает группу растяжений х'=хеа,
ранее записанную в другой параметри-
зации в виде (1.2). ф
ф Пример 1.4. Найдем группу преобра-
зований на плоскости (х, у), имеющую
касательное векторное поле £(х, у) =
= (х, 2у). Пусть искомые преобразования
(1.1) переводят точки z=(x,y) в точки
z' = (x',y'). Тогда уравнение Ли (1.8)
запишется в виде системы
£=V(x'./),
В нашем случае £\х, у)=х, g2(x, у) =
= 2у, так что задача сводится к решению
системы
^=2/.
da da v
Отсюда х' = С\еау y'=Cze2a. Постоян-
ные интегрирования Ci, Сг находятся из
начальных условий х'|а=0 = х, у'|G=0 = у
и равны Ci = x, С2=У- В результате по-
лучается группа неоднородных растяже-
ний
u(fe)=f(z', fe) = f(f(z, а), b).
x' = xea, y' = ye2a.
v(b)=f(z, а+Ь).
Для них в силу уравнения Ли имеем
Ы|
db db 7 I
dv____df(z, a + b)
~db~ db
b=0=Kz’al
vL=o=Kz’
Таким образом, функции и(Ь) и v(b)
удовлетворяют одному и тому же обык-
новенному дифференциальному уравне-
нию первого порядка и одинаковым на-
чальным условиям. В силу единственно-
сти решения задачи Коши отсюда следует
равенство u(b) = v(b), равносильное груп-
повому свойству (1.5). Теорема дока-
зана.
ф Пример 1.2. Группа переносов х'=
= х-\-а из примера 1.1 имеет касатель-
ный вектор g(x) = l. Выполнение уравне-
ния Ли, имеющего в данном случае вид
dx'/da = \, очевидно.®
Введя новый параметр d=ea, эти пре-
образования можно записать в виде
х' = ах, у' = а2у, в такой записи тожде-
ственное преобразование получается при
значении ао = 1, а обратное преобразова-
ние — при а-1 = 1/а. ф
ф Пример 1.5. Пусть на плоскости
(х, у) задано векторное поле £ = (х2, ху).
Построим однопараметрическую группу
преобразований, имеющую поле | в каче-
стве своего касательного векторного по-
ля. Другими словами, нужно восстано-
вить преобразование (1.1) по известному
бесконечно малому преобразованию
(1.7), которое, ограничиваясь величина-
ми первого порядка малости по а, можно
записать для нашего случая в виде
х'^х + ах2, у'жу-\-аху.
Для этого надо решить уравнения Ли
_____________/2 dy' _ , z
da ’ da X У •
Эта система легко решается и дает
х' =-----Цг, и' = —• Из начального
a+Ci’ у a + G
условия находим С\ = — 1/х, Съ= — у/х.
В результате получается однопараметри-
ческая группа проективных преобразова-
ний:
, X г у
х' = ч------, У = —
\ — ах и \ — ах
(1-9)
О Упражнение 1.3. Проверьте, что пре-
образования (1.9) удовлетворяют груп-
повому свойству (1.5), т. е. что в резуль-
тате последовательного выполнения пре-
образований (1.9) со значениями пара-
метра а и b точка (х, у) перейдет в точку
с координатами
(11g
Последний из рассмотренных приме-
ров удобен для иллюстрации еще не упо-
минавшегося свойства групп преобразо-
ваний вида (1.1) — их локального харак-
тера. Возьмем, например, точку (х, у)
с координатами х=у = \ и подвергнем
преобразованию (1.9), получим
Отсюда видно, что параметр а может
принимать любые значения из Д =
= (—оо, 1). Но из (1.10) ясно, что после-
довательное выполнение преобразований
с произвольно выбранными значениями
параметра а и b из указанного интервала
может привести к недопустимому значе-
нию а-\-Ь =1. Например, преобразова-
ния Та и Ть с а = 1/3 и 6 = 2/3 определе-
ны, но их произведение ТьТа не имеет
смысла. Следовательно, перемножать
можно только те преобразования, значе-
ния параметра которых принадлежат не-
которому подынтервалу. Так, в нашем
случае определено произведение ТьТа,
когда а и b берутся из подынтервала
Д'=(—оо, 1/2); если мы хотим перемно-
жить три преобразования, то их парамет-
ры нужно выбирать из еще меньшего
подынтервала основного интервала Д,
и т. д. Это говорит о том, что решение
уравнения Ли дает, строго говоря, не
группу, а локальную группу в том смысле,
что в семействе {Та} преобразований (1 -1)
умножение элементов Та и Ть возможно
не при всех значениях а, а только
для а, b из некоторого подынтервала
Д' сД, содержащего а = 0. Этот подын-
тервал можно выбрать так, что каждое
преобразование Та при аеД' обладает
обратным преобразованием Тйх = Ta-i с
а~1^Л. Кроме того, тот же пример 1.5
показывает, что основной интервал Д мо-
жет зависеть (непрерывным образом) от
преобразуемой точки z.
Вернемся теперь к вопросу о приве-
дении произвольного закона умножения
(1.3) в локальной однопараметрической
группе к простейшему виду (1.5). Запи-
шем групповое свойство (1.3) для преоб-
разований z'=f(z, а) в виде
/(*'. b)=f(f(z, a), b)=f(z, <р(а, 6)) (1.3')
и будем считать, что тождественное пре-
образование получается при а = 0, т. е.
что выполнены условия (1.4) ср(а, 0)=а,
q(Qyb) = b. Дифференцирование по b ле-
вой и правой частей (1.3х) дает
df(z', b) df(z, с) дц>(а, Ь)
db дс дЬ ’
где с = ср(а, 6). Полагая теперь 6 = 0 и
учитывая, что при этом с = а в силу
(1.4), получаем следующее равенство:
df(z',b)
db
_ <Ма> 6)11
да L db JL=o*
ь=о
Здесь второй множитель справа ра-
вен 1 при а = 0, так что он отличен от
нуля при малых значениях а ввиду не-
прерывности. Поэтому положим
д<р(а, Ь)
db
ь=о А(а)
(1.11)
и, обозначив H(z)= запишем
7 да |б=0
полученное равенство в виде
H(z') = ——
** 7 Л(а) da
или
где новый параметр а определен форму-
лой
а
a=\A(a)da. (1.12)
о
Таким образом, относительно пара-
метра а (он называется каноническим
параметром) получилось уравнение Ли
(1.8). Поэтому из теоремы 1.1 следует,
что в этой параметризации закон умно-
жения в группе имеет вид (1.5).
Например, для преобразований (1.2)
z' = z-\-az закон умножения имеет вид
ф(а, b) = a-\-b-\- ab. По формуле (1.11)
имеем А = и из (1.12) получаем
канонический параметр
“=5тт?=|"(1+“)-
1.3. Инварианты. Инфинитезималь-
ный оператор группы. Функция F(z) на-
зывается инвариантом группы преобра-
зований (1.7)
z' = f(z, a) = z-\- £(z)a + o(a),
если для всех (допустимых) z, а
F(f(z,a))=F(z). (1.13)
Теорема 1.2. Функция F(z) является
инвариантом тогда и только тогда, когда
она удовлетворяет уравнению
(2)^=0. (1.14)
Доказательство. Если F(z) удов-
летворяет условию инвариантности
(1.13), то выполнение (1.14) очевидно
из разложения
F{f^a)) = F(z + a^z) + o{a))=
= F(z) + ag(z) + о(а).
Пусть теперь известно, что F(z) —
решение уравнения (1.14). Поскольку ра-
венство (1.14) выполняется в любой точ-
ке z, запишем его в точках zf — f(z, а):
Воспользовавшись уравнением Ли
(1.8) и этим равенством, получим
dF(f(z, а)) dF(z') df\z, а)
da dzfi da
=m^-=o.
Следовательно, F(f(z, а)) как функция
от а удовлетворяет следующему диффе-
ренциальному уравнению с начальным
условием:
Это дает требуемое равенство (1.13).
Теорема доказана.
Критерий инвариантности (1.14)
представляет собой линейное однородное
уравнение в частных производных пер-
вого порядка. Поэтому всякая однопара-
метрическая группа преобразований в
имеет N—1 функционально независимых
инвариантов, причем любой другой ин-
вариант данной группы является функ-
цией этих W — 1 «базисных» инвариантов.
В качестве такого базиса можно выбрать
левые части первых интегралов
Ji(z) = Ci, ..., JN_\(z) = CN_!
характеристической системы для (1.14):
dzx dz2 __ dzN Z1 !
W) “ Г(г) “------W)' U '
ф Пример 1.6. Для группы растяжений
в R3
х' = хеа, у' = уе2а, z' = ze~2a
касательный вектор равен £ = (х, 2у,
—2z), и уравнение (1.14) имеет вид
х^+2у^-2^=0.
дх 1 ду dz
Легко видеть, что первыми интегра-
лами соответствующей характеристиче-
ской системы (1.15)
dx dy dz
х 2у 2z
являются у/х2 = С\, x2z = C2- Следова-
тельно, базис инвариантов образуют
функции Ц=у/х2, h = x2z, а общий ин-
вариант имеет вид F = F(y/x\ x2z). ф
Если ввести в рассмотрение диффе-
ренциальный оператор
Х = ^)^7, (Мб)
то критерий инвариантности (1.14) запи-
шется в виде
XF = 0. (1149
Этот оператор X называется инфини-
тезимальным оператором (или просто
оператором) группы G преобразований
(1.7). В дальнейшем вместо касательного
вектора g = ^) группы G в основ-
ном будет использоваться инфинитези-
мальный оператор (1.16). Если задан
оператор группы, то преобразования
этой группы находятся путем решения
соответствующего уравнения Ли. Пусть,
скажем, требуется найти группу с опера-
тором Х= Сравнение с фор-
мулой (1.16) показывает, что речь идет
о группе с касательным вектором % =
= (у, — х). Поэтому уравнение Ли (1.8)
имеет вид
dx' . du'
d^=y* ± = ~*-
Эта система легко решается и с уче-
том начальных условий дает
х' = х cos a + z/sin а,
у'= у cos а —х sin а.
• Пример 1.7. Часто встречающиеся
группы на плоскости, их операторы и ти-
пичные инварианты:
(I) Переносы вдоль оси х\ х' = х-\-а,
У' = У\ _________________
вдоль оси у: х'=х, у'=у-\-а;
v д т
Х=^-\ J=x\
параллельно прямой kx-\-ly = 0: х' =
=х-\-1а, у' = у — ka\
Х I дх k ду' J kx-\-ly.
(II) Вращение: х' = х cos а-\-у sin а,
у' = у cos а~х sin а\
ХЗ т 2 I 9
= у^--х—, J = xz-\-y.
дх ду 1
(III) Преобразование Лоренца: х' =
= xch а-\-у sh а, у'= у ch а-\-х sh а\
Х=у-^~ + х^-\ J = x2 — y2.
дх ду (IV)
(IV) Преобразование Галилея: х' =
=х-\-ау, у'=у\
(VI) Неоднородное растяжение:
= хеа, y' = yeka\
Х =
V d I , d . т xk
дх 1 ду у
(VII) Проективное преобразование: х' =
X г у
1------------------
1 — ах и 1 — ах
у__ 2 д д . j____х
X—х "л—\XU~x~ » ——•
дх 1 ду у
Иногда бывает удобно представлять
групповые преобразования z' = f(z, а),
а также функции F(z') = F (F (f (z, а))
в виде рядов по степеням группового
параметра а. Выше мы использовали
такие разложения, ограничиваясь члена-
ми первого порядка малости. Так, при до-
казательстве теоремы 1.2 нам понадоби-
лись формулы
z'=f(z,a}=z+al(z)+o(a), (1.7)
F(z')=F(z)+aV(z)^+o(a), (1.17)
Найдем теперь следующие члены раз-
ложения (1.17). Для сокращения записи
условимся здесь обозначать F(z) = F,
F(z')=F', X = V(z)^, X'=?(z')^.
Тогда (1.17) запишется в виде F' = F-\-
-\-aXF-\-o(d), а равенство ~
= , также приводившееся при
доказательстве теоремы 1.2, — в виде
^ = Х'Р. (1.18)
da
Учитывая, что правая часть равен-
ства (1.18) снова является функцией
от z', мы можем применять его повторно
и получить
= 4- (X'F')=X'(X'F')=X'2F',
da da v 7
Х=уЬ !=У-
(V) Однородное растяжение: х' = хеа,
у'=уеа\
и т. д. Подставляя эти выражения в фор-
мулу Тейлора
F,= Х=0 + а [Sa=o+ IF К1=о+ - ’
получаем следующее разложение:
F'=F + aXF + ^X2F+ ...
v д I д .
дх ' у ду
или
F(z')=(l+aX+^+ ...)F(z>
= eaXF(z). (1.19)
В частном случае F = z формула
(1.19) принимает вид
Z=eflX(z). (1.20)
Это есть известное представление
однопараметрической группы с помощью
экспоненциального отображения.
• Пример 1.8 . Пусть G — группа пере-
носов на вещественной прямой. Тогда
X = d/dx, и формула (1.19) дает обычное
разложение функции F(z-\-a) в ряд Тей-
лора в точке х:
F (x+a)=F(x)+aF' (х)+ ^F" (х) +
• Пример 1.9. Пусть G — группа растя-
жений на прямой с оператором Х = х-^~.
В этом случае
V2 d d d . 2 d2
X =xzr*xir =xzr +x
dx dx dx dx2
+ %3
и разложение (1.19) имеет вид
F (хеа) = F (х) + axF'(x) +
+ J(xF'(x)+x2 F"(x)) +
+ ^(xF'(x) + 3x2F"(x)-|-x3F"'(x))+ ... .
O!
О Упражнение 1.4, Для сравнения вы-
ведите эту формулу с помощью тейло-
ровского разложения функции
ф(1+я+<+^+...)] .о
О)Упражнение 1.5. Получите разложе-
ние функции j_£~) по а с точностью
до членов порядка а3 включительно (ука-
зание: воспользуйтесь формулой (1.19)
для группы проективных преобразований
на прямой с оператором
Х=х2^-).о
dx /
О Упражнение 1.6. Вычислите все члены
ряда (1.20) в одномерном случае (z=x)
для оператора Х = х-^ и просуммируйте
полученный ряд. Проделайте то же самое
для z = (x, у), Х = х ^-\-ky fe = const;
результат суммирования сравните с при-
мером 1.7 (VI). Можете ли сделать это
для всех операторов из примера 1.7? О
В дальнейшем нам понадобится сле-
дующая простая, но весьма полезная
теорема.
Теорема 1.3. Всякая однопараметри-
ческая локальная группа G преобразо-
ваний z' = F(z,d) в некоторой невы-
рожденной заменой переменных
zl = z\z) (1.21)
приводится к группе переносов вдоль
оси zN.
Доказательство. Пусть данная
группа G имеет оператор
(1.22)
Из очевидного равенства
ь дг‘
•ri dzj д
= ^7^7 следУет’ что ПРИ замене пеРе"
менных (1.21) оператор (1.22) прини-
мает вид
Х=Х(?)А. (1.23)
dz
Выберем любой набор N—1 функ-
ционально независимых инвариантов
Ji(z), ..., группы G в качестве
первых N— 1 новых переменных z1,
..., zN~{, а переменную zN найдем из урав-
нения
X(zN}=\. (1.24)
Полученная система функций
zl=Ji(z), ..., zn~x=JN-^\ zn=zn(z)
функционально независима (почему?)
и определяет искомую замену перемен-
ных (1.21). Действительно, в этих пере-
менных оператор (1.22), как видно из
(1.23)(1.24) и (1.14'), имеет вид Х =
=d/dzN и определяет группу переносов
вдоль оси zN. Теорема доказана.
• Пример 1.10. Приведем к переносам
группу вращений из примера 1.7 (II).
Здесь оператор (1.22) равен Х=
= у -^~~х Согласно теореме 1.3 в ка-
честве первой новой переменной следует
выбрать инвариант r=-\Jx2 -\-у2, а вто-
рую переменную (обозначим ее ф) найти
из уравнения (1.24):
Лр_хлр=1
и дх ду
Записав характеристическую систему,
соответствующую этому неоднородному
линейному уравнению,
dx dy d<p
У ~ х ~ 1 ’
легко находим частное решение
г dx х
H^7 = arcsin^
или y = arctg х/у. Итак, в переменных г =
=у/х2 -\-у2, ф = агс!§ у/х имеем Х = д/ду,
и преобразования группы вращений за-
писываются в виде г' = г, ф, = ф + «.
ф Пример 1.11. Пусть G — группа рас-
тяжений в R3 из примера 1.6. Здесь
оператор (1.22) равен
+2у %--2z/•
дх 1 ду дх
Запишем замену переменных (1.21) в ви-
де (х, y,z)Y-+(u,v,w\ взяв в качестве пер-
двух переменных инварианты и = у/х2,
v = x2z. Уравнение (1.24) для нахожде-
третьей переменной w имеет вид
x^+2y^-2z^ = l,
дх J ду дх
видно, что в этом случае удобно
частное решение w, зависящее
от х. Тогда из уравнения х^ = 1
откуда
искать
только
имеем ^ = 1п х. Итак, после замены
и = у/х2, v=x2z, w = \nx
получается группа переносов
и'=и, v' = v, w'=w-}-a.
О Упражнение 1.7. Приведите к пере-
носам группы (III) — (VII) из при-
мера 1.7. Q
1.4. Инвариантные уравнения. Рас-
сматривается (W— s)-мерная поверх-
ность MczR^, заданная системой урав-
нений
Л(г) = 0, ..., ВД = 0, (1.25)
Считается, что это задание поверх-
ности является регулярным, т. е. ранг
матрицы (k=l,...,s; i=\,
равен s.
Поверхность M называется инва-
риантной относительно группы G преоб-
разований
z'=f(z, a)=z+al(z)+o(d)f (1.7)
если каждая точка z поверхности М пере-
мещается преобразованием (1.7) по этой
поверхности. Другими словами, если z —
решение системы (1.25), то z’ — тоже
ее решение
F*(z') = 0, fe=l,...,s. (1.25')
Ввиду этого говорят также, что систе-
ма уравнений (1.25) инвариантна отно-
сительно группы G или что эта система
допускает группу G. Пусть Х=|1’Д —
инфинитезимальный оператор группы.
Теорема 1.4. Система уравнений
(1.25) инвариантна относительно груп-
пы G тогда и только тогда, когда
XFk\M = 0, k = \, (1.26)
Доказательство. Пусть систе-
ма (1.25) инвариантна. Тогда для каж-
дой точки z^M и всех допустимых зна-
чений параметра а преобразования (1.7)
выполняются равенства (1.25'). Под-
ставляя в эти равенства разложения
(1.17) Fk(z') = Fk(<z)+aXFk+o(<a) и учи-
тывая, что Fk(z)=6, получаем (1.26).
Пусть теперь, наоборот, выполнены
равенства (1.26). Нужно показать, что
отсюда следует выполнение уравне-
ний (1.25х) для всех z^M. Заметим
сначала, что (1.26) есть не что иное,
как условие касания вектора g(z) к по-
верхности М в точке z. Из этой геомет-
рической интерпретации следует, что вся
конструкция сохраняется при любой
невырожденной замене переменных
(1.21). Поэтому мы можем сначала
«выпрямить» поверхность М (взяв в за-
мене (1.21) в качестве первых s функций
zl(z) левые части уравнений (1.25)) и
задать ее уравнениями
zk=0; k = l,...,s. (1.27)
Тогда условие (1.26) упрощается и
принимает вид
£*((),..., О, zs+1, .... Z) = 0;
k = l,...,s. (1.28)
Мы хотим показать, что уравне-
ния (1.27) сохранятся и после преобра-
зования (1.7), т. е. что
z'*=0; fe = l,...,s (1.27')
для всех точек z = (0, ..., 0, zs+\..., zN).
С этой целью запишем уравнения Ли
в виде
^=^(г,‘, z's+l, ...,z'N\
fe = l,..„ s, (1.29)
l = \, ...,N—s, (L3°)
а в качестве начального значения
z'\ =0=z возьмем любую точку z из 7И,
т. е. 2 = (0, ..., 0, zs+1, ..., zN\ Тогда из
условия (1.28) видно, что функции
z'k = 0 (fe = l,..., s) удовлетворяют урав-
нениям (1.29) и нулевым начальным
условиям. Остальные функции z's+l
находятся из (1.30) после подстановки
туда z'k = 0. В силу единственности
решения задачи Коши это означает вы-
полнение (1.27') для всех геА1,т. е. ин-
вариантность поверхности М. Теорема
доказана.
Применяя эту теорему, следует по-
мнить, что при ее доказательстве (а имен-
но при приведении уравнений (1.25)
к виду (1.27)) существенно используется
условие регулярности задания поверх-
ности М уравнениями (1.25).
• Пример 1.12. Параболоид вращения
w
Z1 —^2(zz)2=0 (1.31)
1=2
инвариантен относительно группы неод-
нородных растяжений (см. пример 1.7
(VI)) с инфинитезимальным оператором
X = 2z
1 д
dzx
2 д
dz2
К 2
Выполнение критерия инвариантно-
сти (1.26) следует из равенства
421 - 52 <2')21=2 (z 1 - 52 (2‘)2
' i=2 ' ' 1=2
Это же равенство показывает, что
левая часть уравнения (1.31) не является
инвариантом — не выполнено условие
(1.14'). Но тот же параболоид можно
задать с помощью инварианта, перепи-
сав уравнение (1.31) в виде
A^(2f-l = 0. (1.32)
i = 2
Отмеченная в этом примере возмож-
ность задания инвариантной поверхности
с помощью инварианта имеет общий ха-
рактер, как показывает следующая тео-
рема. Основываясь на ней, можно дать
полное описание всех инвариантных
поверхностей (т. е. всех инвариантных
систем уравнений (1.25)) данной группы
с помощью ее базисных инвариантов.
Теорема 1.5. Поверхность М, инва-
риантная относительно группы G, может
быть задана системой уравнений вида
Фк (/](г), ..., JAr_](z)) = 0, k = l, ..., s,
(1.33)
где функции
J}(z\...JN_}(z) (1.34)
образуют базис инвариантов группы G,
если инфинитезимальный оператор груп-
пы G не обращается в нуль на поверх-
ности М.
Доказательство. Пусть поверх-
ность М задана уравнениями (1.25) и
удовлетворяет условию регулярности:
ранг ||^fr||A1 = s- Ввиду инвариантности
поверхности М каждая ее точка пере-
мещается преобразованиями группы G
по этой поверхности. Поэтому, ограничив
действие группы G на Л4, мы получим
семейство преобразований поверхности
М в себя. Это семейство снова образует
локальную группу (почему?) и называет-
ся группой, индуцированной на инва-
риантной поверхности М. Обозначим не-
полученную индуцированную группу G.
Сделаем замену переменных z h>(z, у):
zk = Fk(z),
fe = l,..., s; 1 = 1,..., N — s, (1.35)
где Fk(z) — левые части уравнений
(1.25), a <p/(z) — любые функции, удов-
летворяющие условию невырожденности
замены (1.35). Тогда точки поверх-
ности М характеризуются равенствами
zk = Q, k = l, ..., s,
и индуцированная группа G действует
в (7V —«)-мерном пространстве перемен-
ных у = (у\ yN~s). Следовательно, ин-
дуцированная группа имеет ровно
/V — s—1 функционально независимых
инвариантов. В частности, ее инвариан-
тами являются значения функций (1.34)
на поверхности Л4, которые мы обозначим
через /i (z/), ..., JN_{ (z/). Среди них неза-
висимыми могут быть не более чем
Л/ — s—1; пусть число независимых рав-
но N — s'—— s—1. Тогда сущест-
вует s' функциональных связей
ф*(Ш ...Л-10/))=о,
k = i, ...,s', (1.36)
где s'^s.
Считая левые части (1.36) извест-
ными, определим поверхность М' урав-
нениями
Фл(/1(г),...,^_1(г))=о,
k = \, ..., s', (1.37)
Поверхность Л4', очевидно, содержит
поверхность М (любая точка z^M
удовлетворяет уравнениям (1-37) в си-
лу (1.36)). Следовательно, dim М'
Z>dimM Но так как dimM' = 7V—-s,
dimA4 = 7V —s, то N—s'^N — s,
т. e. s'^s. Последнее неравенство вместе
с условием s'^s дает s' = s,
т. е. dim Af' = dim М. Из равенства раз-
мерностей и включения ТИсзЛГ следует
локальное совпадение М = М'. Таким
образом, уравнения (1.37) представляют
собой искомое инвариантное задание
(1.33) инвариантной поверхности М.
Теорема доказана.
Приведенное доказательство дает
также способ нахождения инвариант-
ного задания (1.33), который сводится
к отысканию функциональных связей
(1.36) между значениями инвариантов
(1.24) на поверхности М. Применим эту
конструкцию к рассмотренному выше
примеру.
ф Пример 1.13. Пусть М — параболоид
вращения из примера 1.12, так что s = 1,
F(z)=z'-jj(z')2.
i=2
В качестве базиса G с оператором инва-
риантов группы
X=2z'/T + z2/y+ ...
dz dz dz
выберем функции
/,(z)=(z2)2/z1, ..., 4_,(z)=(zw)2/z1 (1.38)
Осуществим замену (1.35) форму-
лами
z' = z' — ^(г‘)2, y‘ = z2, .... yN~'=zN.
i = 2
Точки параболоида M характеризуют-
ся уравнением z' = 0, и инвариан-
ты (1.38) принимают вид
Л(у)=(у1)7Л 4-1(//)=(ул,-1)7Л
W-1
где г2 = 2^ (z/)2. Согласно теореме меж-
ду ними должна быть одна функциональ-
ная связь вида (1.36); такой связью, оче-
видно, является соотношение 7i(z/) + ...+
+ //v-i(*/) = 1. Поэтому уравнение (1.37)
записывается так:
/i(^) + •••+ «Gv-i(z) = l-
Подстановкой сюда значений (1.38)
инвариантов получаем уравнение пара-
болоида в явно инвариантной фор-
ме (1.32)
1 = 2
которая в примере 1.12 была угадана.
Инвариантное представление (1.33)
данной инвариантной поверхности опре-
делено неоднозначно. Убедитесь в этом
сами, выполнив следующее.
О Упражнение 1.8. Повторите построе-
ния примера 1.13, взяв в качестве базиса
инвариантов не (1.38), а следующие ин-
варианты:
/i(z)=z'/(z2)2, /2(z) = z3/z2, ...,
Za,_i(z) = za7z2.O
О Упражнение 1.9. Пусть G — группа
преобразований х' = хеа, у' = у на плос-
кости (х, у), т. е. группа растяжений по
направлению оси х. Убедитесь, что ось у
инвариантна относительно группы G,
но не может быть задана в инвариантном
виде (1.33). Не противоречит ли это
теореме 1.5? О
§ 2. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ
Допускаемая группа характеризует
свойства симметрии дифференциального
уравнения и используется для его пол-
ного интегрирования или построения от-
дельных классов точных решений и ка-
чественного исследования. Цель этого
параграфа — научить вычислять допу-
скаемую группу.
2.1. Предварительное обсуждение на
примере уравнения теплопроводности.
Чтобы начать с чего-либо определенно-
го, рассмотрим уравнение теплопровод-
ности
ut — uxx = 0. (2.1)
Очевидно, что оно не изменяется при
переносах времени t' = t-\-a и простран-
ственной координаты х' = х-\-а, а также
ввиду линейности и однородности при
преобразованиях функции и' = и-\-
+ aq(t,x), где ф(/, х)— любое решение
уравнения (2.1) (принцип суперпози-
ции), и и' = иеа\ в последнем случае ле-
вая часть (2.1) приобретает отличный
от нуля множитель еа, поэтому (2.1)
переходит в равносильное уравнение того
же вида u't— ихх = 0. Про всякое пре-
образование, переводящее данное диф-
ференциальное уравнение в равносиль-
ное уравнение того же вида, говорят,
что это преобразование допускается рас-
сматриваемым дифференциальным урав-
нением. Таким образом, приведенные
выше четыре однопараметрические груп-
пы преобразований допускаются уравне-
нием теплопроводности. Менее очевидно,
что это уравнение допускает также сле-
дующее однопараметрическое семейство
преобразований:
Г = /, x'=x-\-2at, и' = ие-(ах+а\ (2.2)
О Упражнение 2.1. Покажите, что пре-
образования (2.2) образуют группу
(представление в пространстве перемен-
ных /, х, и группы Галилея из приме-
ра 1.7 (IV)), и найдите ее инфините-
зимальный оператор.О
Проверим инвариантность уравнения
теплопроводности относительно преобра-
зований (2.2). По обычным формулам
преобразования производных при замене
переменных находим из (2.2):
u't'=(ut-\-a2u — 2аих) e-(ax+at\
их, = (их — аи) е~(ах+а\
и^^ = (ихх + а2и — 2аих) е~(ах+а\ (2-3)
Получающееся отсюда равенство
u't, — ^х'х' = — ихх} е~{ах+аЧ}
показывает, что уравнение (2.1) под дей-
ствием преобразований (2.2) переходит
в равносильное уравнение u't, — их,х, = 0
того же вида.
Одно из возможных применений до-
пускаемых преобразований основывается
на том, что они переводят любое реше-
ние рассматриваемого дифференциаль-
ного уравнения снова в решение. Про-
верим это свойство в случае преобра-
зований (2.2). Пусть задано некоторое
решение
ц = Ф(7, х) (2.4)
уравнения теплопроводности. Поскольку
в переменных (2.2) уравнение (2.1)
имеет тот же вид, запишем решение
(2.4) в штрихованных переменных и'=
= ф(^, х') и подставим сюда выраже-
ния для t'yx'yu' из (2.2). Разрешив по-
лученное равенство &е~(ах+а2°=ф(/, х-|-2а/)
относительно и, получим
ц = еах+^ф(/, x-}-2af). (2.5)
Эта формула определяет однопара-
метрическое семейство решений, в чем
читатель может убедиться сам, выпол-
нив следующее
О Упражнение 2.2. Проверьте подста-
новкой (2.5) в (2.1), что для любого
решения (2.4) уравнения теплопровод-
ности функция и, определенная форму-
лой (2.5), также является решением. На-
пример, простейшее решение и = х пере-
ходит после преобразования (2.5) в ре-
шение и=(х-\-2а{)еах+аЧ. О
Итак, мы знаем пять разных одно-
параметрических групп преобразований,
допускаемых уравнением теплопровод-
ности (на самом деле в формуле и'=
= u-\-aq (ty х) содержится бесконечно
много однопараметрических групп, так
как имеется бесконечно много незави-
симых решений ф (/, х) уравнения (2.1)).
Спрашивается, исчерпываются ли ими
все допускаемые группы? Если нет, то
как найти остальные и доказать, что
найдены все преобразования, допускае-
мые уравнением теплопроводности и об-
разующие группу? Конструктивный под-
ход, позволяющий разрешить эти вопро-
сы для произвольных дифференциаль-
ных уравнений, основывается на теоре-
ме 1.4 и дифференциально-алгебраиче-
ской трактовке дифференциальных урав-
нений как поверхностей в продолжен-
ном (на производные от и по /, х)
пространстве. Прежде чем переходить
к описанию общей конструкции, пояс-
ним суть подхода на примере преобра-
зований (2.2), предложив читателю сна-
чала выполнить следующее подготови-
тельное
О Упражнение 2.3. Покажите, что фор-
мулы (2.2), (2.3) задают однопарамет-
рическую группу преобразований в ше-
стимерном пространстве переменных z =
= (Z, х, u, ut, их, ихх), и найдите ее
инфинитезимальный оператор. Q
Теперь обратимся к § 1.4, взяв N=6,
а в качестве элементов пространства
R6 — указанные в упражнении 2.3 векто-
ры z с компонентами t, ..., ихх. Урав-
нение теплопроводности (2.1) имеет вид
(1.25) с s = 1 и определяет 5-мерную
поверхность М cz R6, являющуюся (ввиду
линейности (2.1)) гиперплоскостью. Вид-
но, что инвариантность уравнения тепло-
проводности относительно преобразова-
ний (2.2) означает инвариантность ука-
занной гиперплоскости М cz R6 относи-
тельно продолженных преобразований
(2.2), (2.3). Но так как последние обра-
зуют группу, то справедлив инфините-
зимальный критерий инвариантности,
сформулированный в теореме 1.4 в виде
равенств (1.26). Выпишем эти равенства
в данном случае. По формуле (1.6)
легко находим, что оператор группы пре-
образований (2.2) равен
X=2t4----хи4~, (2.6)
дх ди ' '
а оператор группы продолженных пре-
образований (2.2), (2.3) равен
Х=Х—(хы/ + 2«х)-^ -(хых + ы)-^- —
-(хЫхх + 2Ых)^-; (2.7)
здесь X дается формулой (2.6), а значок
«2» указывает, что оператор (2.7) по-
лучен продолжением действия операто-
ра X на производные до второго по-
рядка включительно (действие на utt и
utx не указано, так как эти величины
в основных формулах (2.1), (2.2),
(2.3) отсутствуют). Оператор X дейст-
вует на функции от величин t, х, и, ut,
их, ихх, рассматриваемых как независи-
мые переменные. Поэтому имеем
X(ut — ихх) = — (xut + 2ux)^-(ut — ихх)—
2 dut
— (хихх + 2ux)-^—(ut — ихх) =
дихх
(xtit-j- 2их) “I- (х tixx -|- 2их) = х(ихх tit).
Отсюда следует выполнение равен-
ства
Х(^-М|(2Л)=0, (2.8)
представляющего собой инфинитези-
мальный критерий инвариантности
(1.26). Эта схема, проведенная в обрат-
ном порядке (от уравнения (2.8) к опе-
ратору (2.6)), позволяет найти все
допускаемые группы.
2.2. Обозначения. В дальнейшем ком-
поненты вектора z будут выбираться
из следующих различных наборов пере-
менных:
х = {%'}, u = {ti°}, и = {и°\, и = {иц\,...
где индекс i пробегает значения от 1 до
п, а а — от 1 до т. Эти переменные
считаются алгебраически независимыми,
но связанными дифференциальными со-
отношениями
u? = D{u°), u°j = Dj(u°) = D}Di(ua), ... (2.9)
с помощью дифференцирований
£),= /-+z4'-/^А(2.10)
дх1 ди ! duf ' '
Из этих формул ясно, что должны
выполняться условия симметричности
и°} = и°1 и т. д.
Дифференцирования Dt «обрывают-
ся» при действии ими на функции от
конечного набора переменных х, и, и, ...
и, следовательно, корректно определены
на множестве всех гладких функций от
любого конечного набора указанных
переменных. Будем считать эти функции
аналитическими.
Величины х1 называются независи-
мыми переменными, иа — дифференци-
альными переменными, а иТ, и“, ... —
первыми, вторыми и т. я. производ-
ными этих дифференциальных перемен-
ных. Всякая аналитическая функция
конечного набора переменных х, и, и, ...
называется дифференциальной функ-
цией. Максимальный порядок р произ-
водной, входящей в дифференциаль-
ную функцию /==/(х, и, и, ..., и\ на-
1 р
зывается порядком этой функции. Мно-
жество всех дифференциальных функций
будет обозначаться з/.
Пусть Fej/ — дифференциальная
функция порядка р. Уравнение
F (х, и, и, ..., и) = 0 (2.11)
1 р
задает некоторую поверхность в про-
странстве переменных х, и, ..., и. На-
р
пример, левая часть уравнения тепло-
проводности является дифференциаль-
ной функцией порядка 2, а само уравне-
ние (2.1) задает, как уже отмечалось,
гиперплоскость. Будем рассматривать
уравнение (2.11) вместе со всеми его
дифференциальными следствиями
DiF = 0, DiDjF=0, ... (2.11')
и говорить, что уравнение (2.11) задает
дифференциальное многообразие [F].
Аналогично рассматривается дифферен-
циальное многообразие, заданное систе-
мой уравнений
Fi (х, и, ..., u) = Q, ..., Fs (х, и, ..., и) = 0.
Р' Ps (2.12)
Чтобы перейти от дифференциального
многообразия к понятию дифферен-
циального уравнения, нужно указать,
что будет пониматься поя решением
уравнения. Например, классическим ре-
шением уравнения (2.11) называется
достаточное число раз дифференцируе-
мая функция & = ф(х) такая, что при
подстановке вместо величин иа, и“, ...
функций фа(х), дуа(х)/дх1, ... равенство
(2.11) выполняется тождественно по х.
Вместо классических решений можно
рассматривать также обобщенные реше-
ния. В любом случае понятие диффе-
ренциального уравнения включает в ка-
честве своих составных элементов диффе-
ренциальное многообразие и определе-
ние решения. При вычислении допускае-
мой группы мы как бы забываем про
решения и воспринимаем дифферен-
циальные уравнения просто как диф-
ференциальные многообразия. Тогда мы
можем смотреть на (2.12) как на обыч-
ные (недифференциальные) системы
уравнений (1.25) и использовать кри-
терий инвариантности из теоремы 1.4.
2.3. Группы точечных преобразова-
ний. Формулы продолжения. Положим
2 = (х, и) и запишем преобразования
(1.1) в виде
x" = f(x,u,a), Г|а=0=Л (2.13)
и'а = фа(х, и, а), фа|а=0 = ^а- (2.14)
Эти преобразования называются то-
чечными. Предположив выполненным
групповое свойство (1.5), запишем ин-
финитезимальный оператор однопара-
метрической группы G преобразований
(2.13), (2.14) в виде
*=^«)^+тГ(х,«)^, (2.15)
где в соответствии с формулой (1.6)
Обычные формулы замены производ-
ных устроены так, чтобы сохранить диф-
ференциальные соотношения (2.9). Эти
формулы можно получить следующим
простым путем. При переходе от старых
независимых переменных х1 к новым пе-
ременным х" по формулам (2.13) диффе-
ренцирования по нештрихованным и
штрихованным переменным связаны ра-
венствами
D^D^D'. (2.17)
При этом удовлетворяются соотно-
шения (2.9) в штрихованных перемен-
ных:
u'-=D'.^y ... (2.9')
Теперь продифференцируем обе части
равенства (2.14), используя соотношения
(2.17) и (2.9'):
р((ф“)=рг(П^(«'°)=и^((Г).
Таким образом, замена первых произ-
водных при точечных преобразованиях
(2.13), (2.14) определяется формулой
u'aDi(fi)=DM, (2.18)
или более подробно
(EL ЕЕ} и^= ЕЕ д-т/ д<ра
'дх1 1 ди?' 7 дх1 ' 1 ди$ ’
Отсюда находятся значения uf как
функции от %, и, и и параметра а при
достаточно малых а. Действительно, при
а = 0 имеем = в силу начального
условия f/|fl=o=x/, поэтому матрица
|| Di(fi)|| обратима при малых значе-
ниях а. Преобразования вторых произ-
водных получаются из (2.18) повторным
дифференцированием и т. д.
Для дальнейшего нам нужны продол-
жения не самих преобразований (2.13),
(2.14), а инфинитезимального оператора
(2.15). Запишем продолжение этого опе-
ратора на первые производные в виде
<219)
где Ц — 4^-1 — дополнительные ко-
ординаты, которые мы должны найти.
Продифференцируем обе части равенства
(2.18) по параметру а в точке а=0. Учи-
тывая перестановочность дифференциро-
ваний D[ и d/да, формулы (2.16) и на-
чальные условия в (2.13), (2.14), имеем
Di(^)=Z-Di(xi)+uJDiai)=
=^M+ufDi^).
Отсюда получаем искомую формулу
продолжения на первые производные:
tf=DM-u“Di&). (2.20)
Как видно из этой формулы, для по-
строения продолженного оператора
(2.19) нужно знать лишь координаты
т]а исходного оператора X.
О Упражнение 2А. Запишем продолже-
ние оператора (2.19) на вторые произ-
водные в виде
х=х+^’ (2-21)
где . Покажите, что
1 да 1а=о
^ = D^)-uW^k\ (2.22)
Указание: продифференцируйте (2.18)
с помощью (2.17) и повторите процедуру
вывода формулы первого продолжения
(2.20).О
• Пример 2.1. Получим продолжение
(2.7) оператора (2.6) не с помощью фор-
мул (2.3) преобразования производных,
а непосредственно применяя формулы
продолжения (2.19)—(2.22) к оператору
X = 2t4-—xu-l~-
дх ди
Обозначив t=x\ х = х\ имеем для этого
оператора Х^=0, ^=2t, ц=—хи. По-
этому по формулам (2.20) получаем
= —хи)—uxDt(2t) =—xut—2их,
^2=Dx(—xu) —uxDx(2t) =—u—xuXf
а по формулам (2.22) —
^22=Z)x(—П—xux) —uxxDx (2t) =
=—2ux—xuxx.
Полученный оператор
совпадает с оператором (2.7).ф
2.4. Определяющие уравнения. Теперь
вернемся к вопросу о группах точеч-
ных преобразований, допускаемых си-
стемой дифференциальных уравнений
(2.12). Эту систему мы иногда для крат-
кости будем записывать в виде (2.11),
подразумевая, что F — вектор с компо-
нентами Fi, ..., Fs, причем максимальный
порядок входящих в них производных
равен р. Как уже говорилось, [F] будет
обозначать дифференциальное многооб-
разие, определяемое этой системой вме-
сте со всеми дифференциальными следст-
виями (2.11').
Так как в уравнения (2.12) входят
производные до порядка р включительно
(некоторые из Fk, k=l, ..., s могут за-
висеть от производных меньшего поряд-
ка), то необходимо продолжить преобра-
зования (2.13), (2.14), р раз дифферен-
цируя (2.18) с помощью (2.17). Если пре-
образования (2.13), (2.14) образовывали
однопараметрическую группу G, то в ре-
зультате продолжения получим однопа-
раметрическую группу, которую мы обо-
значим G и которая действует на все пе-
р
ременные х, и, и, ..., и. Инфинитезималь-
ным оператором этой р раз продолжен-
ной группы G будет оператор
р
<223>
полученный путем р-кратного продолже-
ния оператора (2.15) группы G. Формула
для высших продолжений оператора ана-
логична формуле второго продолжения
(2.22):
= (2.24)
Будем говорить, что система диф-
ференциальных уравнений (2.12) допу-
скает группу G точечных преобразований
(2.13), (2.14), если дифференциальное
многообразие [F], определяемое системой
(2.12), инвариантно относительно про-
долженной группы G. С помощью теоре-
р
мы (1.4) устанавливается следующий
критерий инвариантности, удобный для
эффективного вычисления допускаемой
группы.
Теорема 2.1. Система дифференциаль-
ных уравнений (2.12) допускает группу G
с инфинитезимальным оператором X тог-
да и только тогда, когда выполняются
условия
XFfe|[F] =0, k = l,..„s. (2.25)
Эта теорема вместе с теоремой Ли
(теорема 1.1) сводит задачу отыскания
всех однопараметрических групп, допу-
скаемых данной системой дифферен-
циальных уравнений, к решению урав-
нений (2.25), называемых поэтому опре-
деляющими уравнениями. Согласно фор-
мулам продолжения (2.20), (2.24) опре-
деляющие уравнения (2.25) представ-
ляют собой систему линейных одно-
родных дифференциальных уравнений
относительно координат т]а операто-
ра X (2.15). Но так как эти координаты
ищутся как функции от х, ц, а в опреде-
ляющие уравнения входят также и про-
изводные и, ..., и, то полученная система
дифференциальных уравнений относи-
тельно £\ца будет переопределенной, что
облегчит их решение.
2.5. Примеры решения определяющих
уравнений. Предлагаемые примеры выяв-
ляют типичные ситуации, встречающие-
ся при вычислении инфинитезимальных
операторов допускаемых групп (или,
кратко, допускаемых операторов) с по-
мощью определяющих уравнений.
• Пример 2.2. Рассмотрим уравнение
ихихх-}-иуу = 0, (2.26)
описывающее околозвуковое установив-
шееся течение газа. Допускаемый опе-
ратор будем искать в виде
s дх ду ди’
где g1, g2 и г] — пока неизвестные функ-
ции от х, у, и. Если записать второе
продолжение оператора X в виде
2 дих диу 1 ди,
+ £12 —Е £22
диХу диуу
то будем иметь Х(ихихх + иуу'}=иххЦ +
+ ^х£п + £22, и определяющее уравнение
(2.25) запишется так:
(^х%£1 + ^х£н + £22)|ы^=_ЫхЫхх = 0. (2.27)
Здесь переход на дифференциальное
многообразие [F] состоит в том, что всю-
ду в левой части (2.27) величину иуу сле-
дует заменить на —ихихх. Теперь нужно
найти коэффициенты £1, £ц, £22 и подста-
вить их в определяющее уравнение
(2.27). Как видно из этого уравнения,
коэффициент £12 не понадобится.
По формулам (2.20) и (2.22) найдем
выражения для £ь £ц и £22 (сделайте это
сами) и подставим эти выражения в
(2.27). Сначала соберем в левой части
(2.27) все члены, содержащие смешан-
ную производную иху\
—2иХу(1у + их^х+и£1и + UxC) .
Так как в (2.27) все величины х, у,
и, их, иу, ихх, иху играют роль независи-
мых переменных, а искомые функции
£2, ц зависят только от х, у, и, то для вы-
полнения уравнения (2.27) необходимо,
чтобы коэффициент при иху был равен
нулю:
^>у 4" их^х + 4" — 0.
Но в этом уравнении мы опять долж-
ны, рассуждая как выше, отдельно при-
равнять нулю коэффициенты при их, их,
иу, так что
& = 0, ^ = 0, Й = 0, £2 = 0. (2.28)
Теперь с учетом условий (2.28) собе-
рем все члены в (2.27), содержащие
ихх, и приравняем нулю коэффициент
при ихх:
т]х + Мп«~3^ + 2^)=0.
Отсюда
Пх = 0, л„ = 3^-2^. (2.29)
Из уравнений (2.29) с учетом (2.28)
имеем
П«« = 0, &=0. (2.30)
Вследствие всех этих соотношений
уравнение (2.27) принимает вид т^ +
+иу(2цуи—£2уу) = 0, откуда 2i]yu=l2yy и
г1уу = 0- (2.31)
Полученное равенство 2х\уи = ^уу и
второе равенство (2.29) дают
%и = 0, ^ = 0. (2.32)
Из уравнений (2.28)—(2.32), обра-
зующих переопределенную систему для
трех функций £2 и т], видно, что и
являются линейными функциями ОТ X
и у соответственно, а т] — линейной
функцией от у, и, причем зависимость
?! от и определяется вторым уравнением
из (2.29). Полученная система уравне-
ний легко решается и дает общее реше-
ние определяющего уравнения (2.27):
=С\ 4-^2%, ^2= Сз 4-C4Z/,
т] = С5 4” Се>у 4” (ЗС2—2Ca)u,
зависящее от шести произвольных по-
стоянных Ci, ..., С6.
Ввиду линейности определяющих
уравнений их решения образуют вектор-
ное пространство L, которое может быть
как конечномерным, так и бесконечномер-
ным. В данном примере получилось шес-
тимерное пространство решений, которое
обозначим Lq. Базис этого пространства
можно получить, полагая, например, од-
ну из постоянных Ci, равной единице, а
остальные — равными нулю. В резуль-
тате, записывая вместо получаемых зна-
чений g1, g2, т] соответствующие опера-
торы X, получим операторы
Х1=/, х2= А Хз= х4=у±
дх ду ди а ди
(2.33)
дх ди ду ди
образующие базис векторного простран-
ства Lq. Каждый из операторов (2.33)
порождает однопараметрическую группу
точечных преобразований, допускаемых
уравнением (2.26). Следовательно, это
уравнение допускает всего шесть одно-
параметрических групп ф
О Упражнение 2.5. Для каждого из
операторов (2.33) найдите соответствую-
щую однопараметрическую группу, ре-
шив уравнение Ли. О
ф Пример 2.3. Рассмотрим простейшее
уравнение переноса
ut = uux. (2.34)
Допускаемый оператор будем искать
в виде
X = g1(x, t, и)±+^х, t,u)± +
+ п(*. и^~Хи
Записав его первое продолжение в виде
х=х+^/-+;2/.
1 дих dut
и подставив выражения для С| и из
предыдущего примера (с заменой у на t),
представим определяющее уравнение
X ( Щ UUX) | Ut=UUx
(^2 Ц^()| Ut=UUx 0
в виде
П/ + иих Т)„ — их(& + ии£и) — иих$ +
+ «ЫхЙ) — V\UX — U [Т)х + — Ux^x +
+ и&и) - иих(£ + Wxg)] = 0.
Отсюда, приравняв нулю отдельно
члены, содержащие их и не содержащие
его, получаем два уравнения относитель-
но трех функций т]:
(2.35)
t]z—цтц = О. (2.36)
Они представляют собой линейные
уравнения в частных производных пер-
вого порядка с тремя независимыми пе-
ременными х, t, и и легко решаются. Так,
для уравнения (2.36) первыми интегра-
лами характеристической системы dt =
= —dx/u = du/0 являются x-[-tu = C\,
и = С2, поэтому общее решение этого
уравнения имеет вид
т] =т] (ц, x-}-tu).
Если смотреть на (2.35) при задан-
ных T](rz, x-}~tu), £2(х, Л и) как на
неоднородное уравнение первого порядка
относительно g1, то его частным реше-
нием, очевидно, является g1 ——tn]—и^2.
Прибавив к нему общее решение одно-
родного уравнения, т. е. cp(u, x-\-tu),
получим общее решение уравнения
(2.35):
V=t(^, x-}-tu)—tx\(u,x-\-tu)—
—и£2(х, t, и).
Итак, общим оператором, допускаемым
уравнением (2.34), является
Х=1,2 (х, t, и) + (ф (w, x+tu)—u£2—
~ (U’X + tu^Tu- (2-37^
• Пример 2.4. Для уравнения (2.34)
вычислим допускаемый оператор другим
путем: сначала упростим это уравнение
подходящей заменой переменных, вычис-
лим допускаемый оператор для преоб-
разованного уравнения, а затем с по-
мощью формулы (1.23) переведем най-
денный оператор к старым переменным.
В уравнении (2.34) перейдем от функ-
ции u(t, х) к y(s, у) заменой
s = t, у = и, v — x-\-tu. (2.38)
По формулам (2.17) имеем
Dt = Ds-\- utDy. Dx = uxDy.
Действие этих операторов на равен-
ство v = x-\-tu дает
Vs-}~UtVy = U-\-tUt, uxvy=\ -\-tux.
После подстановки найденных отсю-
да выражений
уравнение (2.34) линеаризуется и прини-
мает вид
ys = 0. (2.34')
Для оператора
допускаемого этим уравнением, опреде-
ляющее уравнение имеет вид
Отсюда £1=0, qs=0, т.е.
1=1'(у, v), q=Ti(i/,v).
Следовательно, уравнением (2.34')
допускается оператор
с произвольными функциями g1, £2,
т] указанных аргументов. Теперь с по-
мощью (2.38) перейдем к старым пере-
менным
t=s, x=v — sy, и=у.
Формула преобразования операторов
(1.23) в этом случае имеет вид
X = X^+X[«-S!I)^+X^
и дает оператор
Х = £2 (и, t, x-\-tu)^ + (т] (и, х + tu) —
-ul2-tl')^+1'(u,x + tu)^-,
после очевидных переобозначений сов-
падающий с (2.37).
2.6. Алгебры Ли и многопарамет-
рические группы. В приведенных приме-
рах мы получили после решения опре-
деляющих уравнений несколько (а в слу-
чае уравнения (2.34) бесконечно много)
допускаемых однопараметрических
групп. Возникает естественный вопрос:
нельзя ли объединить их в общую
многопараметрическую группу? Разбе-
рем возможные здесь ситуации на приме-
ре групп, допускаемых уравнением
(2.26) и порождаемых оператора-
ми (2.33).
Выберем любые два оператора из
(2.33), скажем, Х3 и Х4, построим
соответствующие им однопараметриче-
ские группы преобразований (снабдив
параметр каждой из этих групп номе-
ром инфинитезимального оператора)
Таз: и'=и+а^
Та4: и'=и-\-уа4
(переменные х, у не преобразуются),
затем путем последовательного выполне-
ния Таз и Т а4 получим преобразование
Та4 Таз: и'=и+уа4+а^
зависящее от двух вещественных пара-
метров «з, а4. Обозначив через а=
= («з, а4) вектор-параметр с двумя ком-
понентами, запишем полученное двухпа-
раметрическое семейство преобразова-
ний Та4Таз как {Та}. Выполнив два пре-
образования этого семейства, соответ-
ствующих значениям а=(а^уа4) и Ь =
=(Ьз, Ь4\ получим преобразование
=и~\~У (cl 4 4~ ^4) + аз ^з,
принадлежащее тому же семейству {Та}
и получающееся при значении параметра
с = (сз, С4) с компонентами с3 = аз4“^з,
с4 = а4-\-Ь4. Таким образом, здесь выпол-
нено групповое свойство (1.3) с вектор-
функцией ф(а, Ь)=а-\-Ь. Отсюда мы за-
ключаем, что семейство {Та} образует
двухпараметрическую группу Gy а так
как функция ф, определяющая групповое
свойство, симметрична, ф(а, Ь) =
= ф(6, а), то эта группа G коммутативна'.
ТьТа = ТаТь. В конце § 1.2 было показано,
что в однопараметрической группе про-
извольный закон умножения (1.3) заме-
ной параметра можно привести к ви-
ду (1.5) ф(а, b) = a-\-by поэтому всякая
однопараметрическая группа коммута-
тивна. В случае многопараметрических
групп это неверно.
Пример некоммутативной двухпара-
метрической группы мы получим, повто-
рив предыдущее построение для пары
операторов Х4у Х$. Преобразования ГО4
для первого из этих операторов выпи-
саны выше, а для Х§ имеем
Тае- у'=уеа\ и' = ие~2а*.
Произведение преобразований ГО4
И гав
TaJat- у'=уеа\ и'=ие 2ае+уа4е 2а‘
представляет собой двухпараметриче-
ское семейство {Та} с а=(алУ аь). Резуль-
тат последовательного применения двух
преобразований Та и Ть семейства {Та}
дается формулами
у"=уеаь+ь\
и"=ие~2(аб+4 4- у(&4 е -2(°б+&б) 4- Ь4еа* ~ж)
и получается тождественным с резуль-
татом применения третьего преобразова-
ния Тс этого семейства со значением
вектор-параметра с = (с4, с6), где с4 =
= а4-\-Ь4е3а\ сь=аъ + Ьб:
у"=уес\ и"=ие~2съ 4- ус4е ~ 2с\
Следовательно, семейство {Та} обра-
зует двухпараметрическую группу G2.
Эта группа некоммутативна, так как
определенное выше выражение с = ф(а, Ь)
несимметрично; ф(а, й)У=ф(й, а).
Возьмем теперь операторы Х2, Х4 и
повторим все построение. Перемножив
преобразования Та4 и Та2У где
Таг У'=У + ^
получим семейство {Та}, а = (а2у а4\ пре-
образований
TaJar у' = у + а2у и' = и + уа4 + а2а4.
Последовательное применение двух
преобразований Та и Ть этого семейства
дает
у"=У-\т ct2-]r Ь2,
и"=и 4- у(а4 4- /?4) 4~ а2(а4 4~ b4} 4~ Ь2Ь4.
Для того чтобы применение третьего
преобразования Тс из {Та} привело к тому
же результату
У" = у 4~ С2, u" = U-\- уС4 4“ £2^4,
параметр с=(с2у с4) должен удовлетво-
рять равенствам
c2 = a2-\-b2y с4^а4-\-b4i
с2с4=а2(а4 + b4) + b2b4.
Эта переопределенная система урав-
нений относительно с2у с4 несовместна,
если а и b произвольны. Действительно,
подстановка в последнее уравнение зна-
чений с2 и с4, полученных из первых
двух уравнений, дает &2Щ = 0. Следова-
тельно, преобразования TaJa2 не обра-
зуют группу. Оказывается, однако, что
их можно включить в трехпараметри-
ческое семейство преобразований, по-
рождаемых операторами X, X, X, кото-
рое образует группу бз- В самом деле,
взяв еще преобразования Газ: и'=и-\-аз,
получим
TaJaJat- У' = У + «2,
и' = и + уа4 + «2«4 + «з.
Это трехпараметрическое семейство
{Та}, « = («2, «з, щ) содержит преобразо-
вания ТщТа2 как частный случай при
«з = 0 и, кроме того, образует группу бз,
так как для произведения ТьТа
у"=у+а2+ь2,
и"=и-\- + Ьа) + «2(«4 + /м) + ЬъЬь +
+ «з + &з
находится преобразование Тс= ТьТа‘
у"=у + и"=и-\- ус4 + С2С4 + Сз,
где с=ф(«, Ь) — вектор с компонентами
С2=^2 + &2, Сз=&з + ^3—ЬъСЦ,
£4 = «4 ~j- Z?4-
Очевидно, что ср(«,«). Сле-
довательно, группа бз, порожденная
операторами X, Хз, X, некоммутативна.
О Упражнение 2.6. Покажите, что если
к паре Х2> Х4 добавить вместо X другой
оператор из (2.33), например Хв, то соот-
ветствующее трехпараметрическое се-
мейство преобразований {TaJa4Ta2} не об-
разует группу. О
Естественно, наконец, спросить, обра-
зует ли группу шестипараметрическое
семейство преобразований, получаемое
с помощью всех операторов (2.33).
Простой и ясный ответ на все подобные
вопросы дается с помощью понятия
алгебры Ли.
Рассмотрим любые два оператора ви-
да (1.16)
Х2 = Й(г)А.
и определим их коммутатор [X, Х2] фор-
мулой
[Х,Х]=ХХ~ХХ. (2.39)
В результате получится снова опера-
тор вида (1.16), что видно из равенства
[Х>)Х2] = (Х>О-Х2(Й))^. (2-40)
которое легко выводится из (2.39) и ко-
торое можно взять за определение ком-
мутатора вместо (2.39). Из определения
коммутатора видно, что он
1) билинеен: [сХ, X] = [X, сХ2] =
= с[Х,Х], c = const,
[X Х+Х]=[Х Х]+[Х X],
[х+х, х=[х, х+[х>, X;
2) антисимметричен: [Х,Х] = — [Х,Х]
и удовлетворяет тождеству Якоби
[X, [X, X]] + [X, [X, X]] +
+ [Х,[Х,Х]]=0.
Векторное пространство, в котором
задан билинейный закон умножения, на-
зывают алгеброй. Таким образом, свойст-
ва 1) коммутатора показывают, что лю-
бое векторное пространство операторов
(1.16) становится алгеброй, если под
произведением элементов этого прост-
ранства понимать их коммутатор (2.39).
Дополнительные свойства коммутатора,
выражаемые равенствами 2), говорят о
том, что здесь мы имеем алгебру спе-
циального типа. Эта алгебра играла у
С. Ли (под названием инфинитезималь-
ной группы) основную роль в его общей
теории непрерывных групп и называется
теперь (по предложению Германа Вей-
ля) алгеброй Ли. Итак, алгебра Ли опе-
раторов (1.16) представляет собой век-
торное пространство L, в которое наряду
с любыми операторами X, X2^L вхо-
дит также их коммутатор [X, X]; эта
алгебра Ли обозначается той же бук-
вой L. Размерность алгебры Ли пони-
мается как размерность векторного про-
странства L. Если эта размерность ко-
нечна и равна г, то зафиксируем неко-
торый базис X, ..., X векторного про-
странства L и рассмотрим коммутаторы
[X, X] всевозможных пар этих базис-
ных операторов. Так как любой оператор
X из L разлагается по базису:
Х=^е^Х^ е*=const, (2.41)
Ц=1
то знание всех [Хи, X] позволяет одно-
значно найти коммутатор любых опера-
торов из алгебры L с использованием би-
линейности. Отсюда ясно, что г-мерное
векторное пространство Lr с базисом
X, X образует алгебру Ли тогда и
только тогда, когда коммутаторы базис-
ных операторов принадлежат Lr, т. е.
когда
г
= (2.42)
Х=1
где — вещественные числа (на-
зываемые структурными постоянными
алгебры Lr).
Пример 2.5. Векторное пространство
с базисом (2.33) образует 6-мерную ал-
гебру Ли. Выполнение условия (2.42)
видно из следующей таблицы коммута-
торов операторов (2.33), которая легко
строится с помощью формулы (2.40)
и в которой значение |Xg, Xv] распола-
гается на пересечении ц-й строки и
v-ro столбца.
А! а2 Аз а4 Аб А6
Хх 0 0 0 0 А! 0
А2 0 0 0 Аз 0 а2
А3 0 0 0 0 ЗАз —2Аз
А4 0 -Аз 0 0 за4 —за4
А5 -А! 0 —ЗАз —за4 0 0
Ав 0 -а2 2А3 за4 0 0
Теперь мы в состоянии дать ответ на
возникшие выше вопросы относительно
многопараметрических групп. При этом
мы будем опираться на следующие
два факта общего характера.
Первый факт связан с обобщением
уравнения Ли (1.8) на многопараметри-
ческие группы. Пусть преобразования
(1.1) зависят не от одного параметра а, а
от r-мерного вектора а = (а\ ..., аг). Тог-
да групповое свойство выражается снова
формулой (1.3), а уравнение Ли (1.8)
превращается в переопределенную систе-
му г уравнений первого порядка относи-
тельно f =f (z, а\ аг), записанную с
помощью векторных полей (ср. с (1.6))
g-v(z) = ^M , v=l,...,r. (2.43)
дах |а=о
Эта переопределенная система урав-
нений Ли совместна, а ее решение за-
дает r-параметрическую группу Gr тог-
да и только тогда, когда векторное
пространство Lr, натянутое на операторы
v=l,...,r, (2.44)
является r-мерной алгеброй Ли с опре-
делением коммутатора (2.40).
Второй факт касается специального
свойства определяющих уравнений (2.25)
и состоит в том, что если два оператора
Xi и Х2 вида (2.15) удовлетворяют оп-
ределяющим уравнениям (2.25) для за-
данной системы (2.12), то их коммута-
тор [Xi, Х2] также удовлетворяет опре-
деляющим уравнениям (2.25). Это озна-
чает, что векторное пространство L всех
решений определяющих уравнений (2.25)
является алгеброй Ли и, следовательно,
порождает многопараметрическую груп-
пу преобразований, допускаемую систе-
мой (2.12).
О Упражнение 2,7. На основе этих двух
фактов объясните, почему выше выбор
операторов Х3, Х4 и Х4, Х6 привел к двух-
параметрическим группам, а выбор Х2, Х$
привел к двухпараметрическому семей-
ству преобразований, не образующему
группу. Разберите аналогичный вопрос
для трех операторов Х2, Х3, Х4 и Х2,
Х4, Х6.
Указание: воспользуйтесь таблицей
коммутаторов из примера 2.5.0
С помощью алгебр Ли также легко
устанавливается, в каких случаях группа
коммутативна, в частности, почему одно-
параметрическая группа всегда комму-
тативна. Оказывается, группа Gr ком-
мутативна тогда и только тогда, когда
соответствующая ей алгебра Ли Lr
с базисом (2.44) имеет только нулевые
структурные постоянные:
[Хи, XJ=0, H,v=l,...,r,
Тогда, очевидно, [Х,Р] =0 для всех
Х1 YELr\ такая алгебра называется ком-
мутативной. В частности, ввиду антисим-
метричности коммутатора имеем =
= 0, и поэтому любая однопараметри-
ческая группа коммутативна.
О Упражнение 2.8. Разберите с этой
точки зрения вопрос о коммутативности
групп G2 и G3, построенных выше с по-
мощью операторов из (2.33). О
Из приведенных в § 2.5 примеров
хорошо видно, что в результате решения
определяющих уравнений мы получаем
базис алгебры Ли группы, допускаемой
данной системой дифференциальных
уравнений. Имея это в виду, мы будем
часто говорить о допускаемой алгебре
вместо допускаемой группы. Ясно, что пу-
тем полного решения определяющих
уравнений мы найдем максимально ши-
рокую допускаемую алгебру.
• Задача 2.1. Вычислите допускаемую алгебру
для уравнения теплопроводности (2.1)
ut~uxx
путем решения определяющего уравнения.
Ответ: алгебра бесконечномерна и имеет базис
х^ Х*ч-х’
X*=2t^ + XTx’ Xi=2tTX-XUTu’
x^+txTx-^x2+2t^’
Х6 = и^-, (2.45)
ди ди
где ц(/,х) — произвольное решение уравнения
теплопроводности, ф
Ф Задача 2.2. Вычислите допускаемую ал-
гебру для обыкновенного дифференциального урав-
нения второго порядка d2y/dx2=0. ф
• Упражнение 2.9, Найдите преобразо-
вания однопараметрической группы с ин-
финитезимальным оператором Х5 из
(2.45), проверьте инвариантность урав-
нения теплопроводности относительно
этих преобразований и выведите формулу
преобразования решений, аналогичную
формуле (2.5). (ф
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ,
ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППУ
В разработке теории обыкновенных
дифференциальных уравнений и методов
их интегрирования приняли участие круп-
нейшие математики XVIII века (Ньютон,
Лейбниц, братья Бернулли, Риккати,
Эйлер, Клеро, Даламбер, Лагранж
и др.). Главные усилия были сосредо-
точены на частных методах понижения
порядка и интегрирования в элементар-
ных функциях или квадратурах кон-
кретных типов уравнений. Одним из впе-
чатляющих достижений Ли явилось от-
крытие, что все эти приемы, которые
казались искусственными и лишенными
внутренней связи, могут быть выведены
единообразно при помощи теории групп.
3.1. Интегрирующий множитель. Рас-
смотрим обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка отно-
сительно у=у(х), записанное в виде
Q(x, y)dx — Р(х, y)dy = 0.
Оно равносильно уравнению в
ных производных первого порядка
(3.1)
част-
(3.2)
в том смысле, что левая часть всякого
интеграла F(x, у) = С уравнения (3.1)
является решением уравнения (3.2), и
обратно, всякое решение F(xyy) уравне-
ния (3.2), приравненное произвольной
постоянной, дает интеграл уравнения
(3.1).
Пусть уравнение (3.1) допускает од-
нопараметрическую группу преобразова-
ний x'=f(x,y,a), у'=^х,у,а) с операто-
ром
A = g(x,r/)£ + r1(x>r/)A. (3.3)
Под действием этой группы всякое
решение уравнения (3.1) переходит в ре-
шение. Но тогда всякий интеграл
F(x, у)=С переходит в интеграл F (х' у') =
=(?', так что в силу формулы (1.19)
интегралом будет также XF=C\. Следо-
вательно, наряду с F(x,y) решением
уравнения (3.2) является также XF. Но
так как уравнение (3.2) может иметь
только одно независимое решение, то
существует функциональная зависимость
XF=<D(F). Итак, функция F(x,y) удов-
летворяет одновременно двум условиям:
^ + Q^ = 0, +
дх ^ ду дх 1 ду
Отсюда, исключая из рассмотрения
особый случай £Q — т]Р=0, имеем
dF ОФ dF _ —РФ
dx~lQ-i]P' ду~Ю-^Р’
ИЛИ
Qdx—Pdy dF
— Ф(£)‘
Так как выражение dF/O(F) являет-
ся полным дифференциалом, а приве-
денные рассуждения можно обратить,
то мы получили следующий результат
Ли об интегрирующем множителе: урав-
нение (3.1) допускает группу с опера-
тором (3.3) тогда и только тогда, когда
функция
и =----1— (3.4)
и IQ-rtP V ’
является интегрирующим множителем
уравнения (3.1). Отсюда следует, в ча-
стности, что любое обыкновенное диф-
ференциальное уравнение первого поряд-
ка допускает бесконечномерную алгебру
Ли, так как всякое уравнение (3.1)
обладает бесконечным множеством инте-
грирующих множителей.
• Пример 3.1. Рассмотрим следующее
специальное уравнение Риккати:
dx ' х2
(3-5)
Поскольку это уравнение степенного
вида, то естественно ожидать, что оно
будет допускать группу растяжений.
Подставляя х'=ах, у'=Ьу, имеем
I .,/2__2__ b_dy_\ Ь2„2_______2_
dx' 'У х'2 a dx' а2х2'
Для инвариантности уравнения (3.5)
нужно, чтобы выполнялись условия
b/а=Ь2 = 1/а2. Отсюда Ь = \/а. Следова-
тельно, допускается однопараметриче-
ская группа растяжений, которую можно
записать в виде х'=хеа, у'=уе~а и ко-
торая имеет инфинитезимальный опера-
тор
Х=х-^-у4~- (3.6)
дх и ду v '
Записав теперь уравнение Риккати
(3.5) в виде
dy + (У2 — 2/х2) dx = 0 (3.5')
и применив формулу (3.4) к оператору
(3.6), получим интегрирующий множи-
тель
______1______________X
ху2 — у—2/х х2у2—ху — 2 ’
Умножение уравнения (3.5') на этот
множитель дает:
xdy + (ху2 — 2/х)dx xdy + ydx dx
х2у2—ху — 2 х2у2—ху — 2' х
d(xy)
(ху)2—ху — 2
4-rfln X =
= d(lnx + |ln^T|
Отсюда получаем решение уравнения
(3.5) в виде
ху—2 С
xz/4-l х3
ИЛИ у
2х3 + С
х(х3—С) ’
(3-7)
О Упражнение 3.1. Покажите, что все
решения (3.7) можно получить из од-
9 г3 4- 1
ного решения, скажем, у=^/^ путем
растяжений х' = ах, у'=у/а, допускае-
мых уравнением (3.5). Q
Но если попытаться получить форму-
лу (3.7) исходя из частного решения
у=2/х, то легко убедиться, что под
действием указанных растяжений это ре-
шение перейдет само в себя. Здесь
мы имеем так называемое инвариантное
решение. Поскольку построение инва-
риантных решений осуществляется на-
иболее просто и используется также при
решении уравнений в частных производ-
ных (линейных и нелинейных), то для
иллюстрации техники найдем все инва-
риантные (относительно группы растя-
жений) решения уравнения (3.5). Инва-
риантность решения у=у(х) означает,
что инвариантна описываемая этим ре-
шением кривая в плоскости (х,у). По
теореме 1.5 всякая инвариантная по-
верхность, в частности кривая, может
быть задана с помощью инвариантов.
В нашем случае группа растяжений
с оператором (3.6) имеет один незави-
симый инвариант J=xy (пример
1.7 (VI)). Поэтому всякое инвариантное
решение может быть записано в виде
J = const, т. е. y=k/x. Подстановка
в (3.5) дает для отыскания постоянной
k уравнение k2—k—2=0, откуда имеем
значения k=2 и k = — 1. Таким образом,
имеются два решения уравнения (3.5),
инвариантных относительно группы ра-
стяжений с оператором (3.6):
у=2/х, у = — \/х (3.7')
Первое из этих решений содержится
в однопараметрическом семействе ре-
шений (3.7) и получается при С—О,
а второе не содержится в этом се-
мействе (хотя формально может быть
получено при С-^оо), так как при выводе
формулы (3.7) предполагалось, что
ху+1=#0.
ф Пример 3.2. Воспользуемся формулой
(3.4) для интегрирования неоднородно-
го линейного уравнения
+ R(x)y = Q(x).
(3.8)
Здесь допускаемая группа находится
из принципа суперпозиции: если уо(х) —
решение однородного уравнения, т. е.
dyo/dx-\-R(x)yQ=O, то уравнение (3.8)
допускает группу преобразований у'=
=у + ш/о(х) с инфинитезимальным опе-
ратором
Л=уо(х)^- (3.9)
Выбрав любую первообразную \R(x)dx,
возьмем в качестве решения однород-
ного уравнения функцию
уо(х) = e~\R(x)dx.
Запишем теперь уравнение (3.8) в ви-
де (3.1):
(Q—Ry)dx — dy=0 (3.8')
и по формуле (3.4), примененной к этому
уравнению и оператору (3.9), найдем
интегрирующий множитель ц=—1///о(х).
Из условия полного дифференциала
1 dy+Ry^Qdx = dF
Уо(х) * 1 у о (%)
имеем
ЁЕ.-p№x)dx
ду ’
= R (х) ye^dx—Q(x)e^dx.
Из первого уравнения интегрирова-
нием по у получаем выражение F =
_ ye\R(x)dx подстановка которого во
второе уравнение дает |'(х)=—Q(x)e$R(x)dx.
Поэтому, взяв f(x) = — \Q(x)e^x}dxdx и
подставив найденную функцию F(x, у)
в общее решение F = C уравнения dF = 0,
равносильного (3.8'), имеем
ye\RMdx _ $ Q= С
После разрешения относительно у полу-
чаем общее решение исходного уравне-
ния (3.8):
у(х) = e"^(x)dx^Q(x)e^(x)dxd%+ С"), ф
3.2. Замена переменных. Метод интег-
рирующего множителя пригоден только
для уравнений первого порядка. Другой
путь использования допускаемой группы
основан на теореме 1.3, указывающей
упрощающую замену переменных. Этот
метод универсален и может быть исполь-
зован как для интегрирования уравне-
ний первого порядка, так и для пониже-
ния порядка обыкновенных дифферен-
циальных уравнений высшего порядка,
если известна однопараметрическая до-
пускаемая группа. Суть метода пол-
ностью проясняют примеры.
ф Пример 3.3. Рассмотрим с новой точки
зрения уравнение (3.5) из примера 3.1.
Приведем оператор (3.6) к оператору
группы переносов, для чего, согласно тео-
реме 1.3, нужно перейти к новым пере-
менным /,z, взяв в качестве одной из них
инвариант данной группы, например
z = xy, a t найти из условия X(t)=\.
Удобно искать здесь t как функцию толь-
ко от х, тогда X(t) = x^= \ дает t =
= In х. Итак, нужно сделать замену
/ = 1п х, г = ху.
Тогда, считая, например, z = z(t\ при-
ведем уравнение Риккати (3.5) к виду
^ + г2-г-2 = 0,
которое легко интегрируется и дает
1п|^| = 3/ + С.
Возвращаясь к старым переменным х,
у, получаем формулу (3.7). ф
ф Пример 3.4. Решим неоднородное ли-
нейное уравнение (3.8) методом замены
переменных. Для оператора (3.9) имеем
инвариант 1 = х и решение уравнения
y^x)dz/dy = \y равное z = y/y0(x). В этом
случае замена переменных сводится к
подстановке
y = y0(x)zy
где уо(х)= e~^Rdx. После такой подстанов-
ки уравнение (3.8) принимает вид
y0^ = Q(x).
Отсюда z=\-^^dx-\-Cy так что
J £/о(х)
y = y0(pc)z=e~^dx(^ Qe\Rdxdx-\-C).
Это общее решение уравнения (3.8),
полученное в примере 3.2 другим спосо-
бом.®
Мы видим, что уравнение первого
порядка с известной однопараметриче-
ской группой может быть приведено
к интегрируемому виду. Полезно также
уметь выписывать общий вид уравнений,
допускающих заданную группу, или, что
то же самое, заданный оператор. Делает-
ся это на основе теоремы 1.5 о пред-
ставлении инвариантных уравнений че-
рез инварианты.
® Пример 3.5. Найдем общий вид обык-
новенных дифференциальных уравнений
первого порядка для у=у(х\ инвариант-
ных относительно группы неоднородных
растяжений с оператором
Х = х-1~ + 2у-1~.
дх v ду
Для этого нужно продолжить действие
оператора X на первую производную
у = ^-. Заметим сначала, что формулы
продолжения (2.19), (2.20) запишутся
для оператора вида (3.3) так:
Х = ^ + ^у +
+ [^+^у-^У-У2^. (3.39
В нашем случае по этой формуле
получаем
у__ д I q д . • д
X — % "Н И з—h У з7" •
1 дх ' J ду 1 у ду
Для этого оператора из системы
dx/x = dy/2y= dy/y находим базис ин-
вариантов h=y/x2, Jz=y/x (второй из
этих инвариантов зависит от производ-
ной у и поэтому называется диффе-
ренциальным инвариантом первого по-
рядка) . В соответствии с теоремой
1.5 всякое инвариантное уравнение пер-
вого порядка может быть записано в
виде h = F(J\) или
Это и есть общий вид обыкновен-
ного дифференциального уравнения пер-
вого порядка, допускающего группу не-
однородных растяжений ®
О Упражнение 3.2. Приведите получен-
ное уравнение к квадратуре. О
® Пример 3.6. Зададимся оператором
Х = Ф(х)А, (З.Ю)
где ф(х) — решение линейного однород-
ного уравнения
ф'(х) + Д\х)<р(х) = 0. (3.11)
Можно взять
= (з Ц/)
Сделаем теперь простейшую (степен-
ную) замену
z = ym (m=/=0, m=£l). (3.12)
Тогда по формуле (1.23) оператор
(3.10) преобразуется к виду (с точно-
стью до несущественного постоянного
множителя)
Х=ф)у'~т^. (3.13)
Выпишем общий вид дифференциаль-
ного уравнения первого порядка, до-
пускающего оператор (3.13).
Запишем первое продолжение опера-
тора (3.13), используя уравнение (3.11),
в виде
удобном для вычисления инвариантов.
Одним из его инвариантов, очевидно,
является х. Второй инвариант (диффе-
ренциальный инвариант) находится из
уравнения
dy_ dy
У (m — \)y+Ay’
ИЛИ
^ + /^у+А = О.
dy ' У
Так как х — инвариант, то А =Л(х)
рассматривается здесь как постоянная
величина. Поэтому мы имеем дело с
простым случаем линейного неоднород-
ного уравнения первого порядка (3.8)
и можем использовать результаты при-
мера 3.2 с заменой (х, у) на (t/,z/); имеем
=уут~'+4ут=с-
имеем rz=l/2, А=— 2/х, В = х. По-
этому формула (3.16) дает интеграл
х/у=е
С2 .
\—dx
1С
dx-\~C
= х2(1пу/%+С),
Следовательно, в качестве второго
инварианта оператора X можно взять
^-ут Записывая ] = В(х)
и обозначая 1—т = п, получаем сле-
дующий общий вид уравнения, до-
пускающего оператор (3.13):
% + т=Ь = в^уп- <3-14)
Полученное уравнение (3.14) пред-
ставляет собой хорошо известное урав-
нение Бернулли. Проинтегрируем его с
помощью допускаемого оператора (3.13)
х=^УпТу'
методом замены переменных. Мы уже
знаем, что х является инвариантом,
поэтому остается найти вторую пере-
менную и из уравнения Х(и) = 1, т. е.
у(х)упди/ду = 1. Очевидно, что
(1 — п)ч>(х)У
(3.15)
Таким образом, уравнение Бернулли
интегрируется подстановкой (3.15). Дей-
ствительно, после несложных вычислений
с использованием уравнения (З.Н) мы
обнаружим, что в результате подстанов-
ки (3.15) уравнение (3.14) принимает
вид
<р(х)^=В(х). (3.149
Отсюда и= Подставляя
J <р(*)
это выражение и значение (3.11')
функции ф(х) в (3.15), получаем общий
интеграл уравнения Бернулли:
у'-п=(1 -n)e4A{x)dx^B(x)eiA(x)dxdx + С).
(3.16)
Например, для уравнения
dy
dx
4 Г
— — У = Х\У
откуда ^ = х4(1п^+С)2-#
О Упражнение 3.3. С помощью подста-
новки (3.15) приведите уравнение (3.14)
к виду (3.14')-О
О Упражнение 3.4. Для уравнения Бер-
нулли (3.14) найдите интегрирующий
множитель. О
О Упражнение 3.5. Найдите общий вид
обыкновенных дифференциальных урав-
нений первого порядка для у = у(х),
допускающих оператор Х= ху-^-.О
О Упражнение 3.6. Выпишите уравне-
ния первого порядка, инвариантные от-
носительно вращений с оператором
д д
Х = у^—х^~- О
J дх ду
Для удобства пользования соберем
вместе полученные выше и некоторые
другие часто встречающиеся уравнения
первого порядка с известным допускае-
мым оператором.
3.3. Некоторые уравнения первого
порядка с известным допускаемым
оператором.
Обозначение: у = ~г~.
J dx
(I) y=F(y), X = A;
y=F^ x=^’
y=F(kx + ly), X=l±-k±
k, / = const;
(II) y=^^r, r =
J x — yF(r) v
V д d .
х=у^~хТу'
(III) y=F(f), X=x-^+y^,
У=^& X=xTx + kyTy'
v 7 x ' \x/> dx x dy
(V) xy=y+F(^), X=x2j-x+xy^-
<VI * * *> y=^wy X=y^
(VII) xy=y-\-F(x), x=x|:
(VIII) xy=-.—X=xy-^~;
v 7 y lnx+F(t/)’ J dx
(IX) xy=y(F(x) + \ny), X = xy-^;
(X) y-\-P(x)y = Q(x), X=e-W^-,
(XI) y+P(x)y = Q(x)yn,
_ ne(n-l)\P(x)dx d
dy'
О Упражнение 3.7. Найдите общий вид
уравнений первого порядка, инвариант-
ных относительно группы с оператором
Х=у~^+х^ (см- пример 1.7(Ш)).О
О Упражнение 3.8. Выясните, к каким
из выписанных выше типов уравнений
с известным допускаемым оператором
принадлежат уравнения
ху —у = хт, 2хуу-у2-\-х = 0у
и проинтегрируйте их. О
Изложенный в § 3.2 способ интег-
рирования уравнений с известной груп-
пой применим, конечно, также в случае
уравнений, не разрешенных относитель-
но производной. Убедитесь в этом, вы-
полнив следующее
О Упражнение 3.9. Покажите, что урав-
нения
у2 — у — х2 = 0, хАу2 — ху — у = 0,
у2 — 2х3у — 4х2// = 0, у4 — ty(xy — 2у)2 = О
инвариантны относительно растяжений
и, найдя для каждого уравнения до-
пускаемый оператор, проинтегрируйте их
методом замены переменных. Q
3.4. Уравнения второго порядка. По-
добно тому как при рассмотрении урав-
нений первого порядка использовалось
первое продолжение (3.3') оператора
(3-3)
Х=^х, у)^ + ж*. у)^’
в случае уравнений второго порядка
нам понадобится его второе продолже-
ние, равное
v с. d . d .
+ (Л * + (Л у — ^)У y2U +
\ / иу
+ + (2Л^— £хх) У (У\УУ— ^ху)у2
-У4уу + ^у-21х-^у)у)^. (3.3")
О Упражнение 3.10. Получите формулу
(3.3") путем применения к один раз
продолженному оператору (3.3') формул
продолжения (2.21) и (2.22). О
В соответствии с теоремой 1.5 урав-
нения второго порядка, допускающие
оператор X, могут быть записаны в тер-
минах дифференциальных инвариантов
второго порядка — функций от четырех
переменных х, уу уу у, удовлетворяю-
щих уравнению Хг/^О. Как видно из
формулы продолжения (3.3"), отыска-
ние этих дифференциальных инвариан-
тов путем решения соответствующей
характеристической системы (1.15) мо-
жет представить значительные трудно-
сти. Ли показал, что есть способ из-
бежать эти прямые вычисления и по-
лучить дифференциальные инварианты
второго порядка из инвариантов пер-
вого и нулевого порядков с помощью
дифференцирования. Получается это
следующими рассуждениями.
Из § 1.3 и вида оператора (3.3')
ясно, что мы имеем один независимый
инвариант нулевого и один первого по-
рядка. Обозначим их через и(ху у) и
v(xy У, У) соответственно. Пусть k, I —
произвольные постоянные. Дифференци-
альное уравнение первого порядка
и(х, у, у)—ku(xy у)—1 = 0 (3.17)
допускает оператор X, так как левая
часть уравнения является дифференци-
альным инвариантом. Если зафиксиро-
вать коэффициент k и варьировать /,
то получится бесконечное семейство ин-
вариантных уравнений. Ввиду этой ин-
вариантности совокупность всех интег-
ральных кривых полученного семейства
уравнений будет инвариантной относи-
тельно преобразований группы с опе-
ратором X. Но указанная совокупность
кривых совпадает с множеством интег-
ральных кривых дифференциального
уравнения второго порядка, полученного
из (3.17) исключением параметра I
путем дифференцирования. Следователь-
но, каждое решение уравнения второго
порядка dv— kdu = 0 или dv/du=k
переходит после преобразования рас-
сматриваемой группы в некоторое реше-
ние того же уравнения. Обозначив
w = dv/du, мы заключаем отсюда, что
уравнение w — k = 0 допускает оператор
X и поэтому выражение X(w — k) =
= обращается в нуль на решениях
уравнения w — k = 0. Но так как это вер-
но для всех ky а выражение Xw
не зависит от ky то отсюда следует, что
X^ = 0 тождественно, т. е. что функция
w является инвариантом. Итак, верна
следующая
Теорема 3.1. Пусть для заданного
оператора (3.3) известны инвариант
&(х,//) и дифференциальный инвариант
первого порядка v(xyyyy). Тогда путем
дифференцирования получается диффе-
ренциальный инвариант второго порядка
__ dv dv/dx vx-\-yvy-\-yvy Dv
du du/dx ux-\-yuy Du '
(3.18)
Любой другой дифференциальный ин-
вариант не выше второго порядка яв-
ляется функцией от иу vy w.
То, что даваемая этой теоремой
функция w действительно зависит от
второй производной у, видно из формулы
(3.18), так как с зависит от у по
предположению. Путем дальнейших диф-
ференцирований . можно получать диф-
ференциальные инварианты более высо-
ких порядков d2v/du2y d3v/du3y ... .
По теореме 1.5 любое обыкновен-
ное дифференциальное уравнение второ-
го порядка, допускающее оператор X,
может быть записано через дифферен-
циальные инварианты иу vy w этого
оператора. Следовательно, разрешив это
инвариантное представление относитель-
но w и использовав (3.18), мы можем
записать рассматриваемое уравнение
второго порядка в виде уравнения
первого порядка
Tu=FM (3.19)
Этим достигается понижение по-
рядка: если найден интеграл
Ф(и,1\С) = 0 (3.20)
уравнения (3.19), то решение исходного
уравнения второго порядка сводится к
квадратурам. Действительно, подста-
новка в (3.20) известных выражений
и(хуу) и v(xy у, у) приводит к уравнению
первого порядка, которое допускает
оператор X в силу инвариантности иу vy
и поэтому интегрируется в квадрату-
рах изложенными выше методами. Сле-
дующий простой пример поясняет ска-
занное.
• Пример 3.7. Рассмотрим линейное
однородное уравнение второго порядка,
приведенное к виду
y+P(x)i/=0. (3.21)
В силу однородности оно допускает
оператор растяжения Y=y-^. Записав
а/ д . . д
первое продолжение Y = y--\-y—y на-
ходим инварианты u = xyv=y /у. Форму-
ла (3.18) дает дифференциальный ин-
вариант второго порядка
dv/du=у/у—у21у2=yly—и2,
откуда y/y = dv/du-\-v2. После подста-
новки этого выражения в (3.21) полу-
чается уравнение первого порядка (3.19)
в виде уравнения Риккати
^ + v2 + P(w)=0. (3.2К)
Чтобы проследить процесс интегри-
рования, остановимся подробнее на част-
ном случае уравнения (3.21)
у=2/х2уу (3.22)
когда наряду с Y допускается второй
оператор растяжения Х=х-^~. Инва-
риантность уравнения (3.22) относи-
тельно двухпараметрической группы по-
зволяет не только понизить порядок,
но и проинтегрировать его. Уравнение
(3.21х) в данном случае имеет вид
^ + и2=2/«2, (3.22')
т. е. совпадает с решенным в примерах
3.1 и 3.3 специальным уравнением
Риккати (3.5). При этом оператор
Х = х-^, допускаемый уравнением (3.22),
переходит в оператор (3.6) Х=и-^ —
— допускаемый уравнением (3.22х).
Этот переход осуществляется продолже-
нием X на первую производную у и
переходом к переменным и = х и v = y/y\
Х= х/- - у ±=Х(и)
1 дх '()у 1 7 ди 1 v 7 dv
д д
= и----
ди dv
О (Упражнение 3.11. Проделайте такую
же процедуру перехода к переменным
и и v оператора Y =
Согласно формуле (3.7) решением
уравнения (3.22х) является
= Ъи3+С
V и(и3—С)
Это и есть интеграл (3.20). Подста-
новкой сюда значений и = х и v = —
du 2х3+С У
получаем -^-= 3 dx, т. е. формулу
У Х\Х С)
iny=\w^)dx’ <3-23>
дающую решение уравнения (3.22).
Вместо того чтобы вычислять интеграл
в (3.23) при произвольной постоянной
С, можно воспользоваться инвариант-
ностью уравнения (3.22) относительно
растяжения по х: вычислить сначала ин-
теграл при С = 1, что даст у = К(х2—
— 1/х), а затем сделать растяжение по
х и получить общее решение
у = Cix2 + Сг/х. (3.24)
О Упражнение 3.12. Выведите формулу
общего решения (3.24) указанными дву-
мя способами: путем вычисления интег-
рала (3.23) сначала при произвольной
постоянной С, а затем при С = 1 с
последующим растяжением Q
На самом деле решение (3.24)
можно получить и не обращать к об-
щей формуле (3.7), так как в силу
линейности (это дополнительное груп-
повое свойство) и однородности урав-
нения (3.22) достаточно найти два его
частных решения. Они легко находятся
с помощью двух инвариантных решений
(3.7х) уравнения Риккати (3.22х):
v = 2/u, v= \/и,
которые после подстановки значений ин-
вариантов и и v имеют вид dy/y =
2dx/x и dy/y= —dx/x и дают следую-
щие два независимых решения уравне-
ния (3.22):
у{=х2, у2=\/х. (3.24х)
Общее решение (3.24) является их
линейной комбинацией.
Проследив на этом примере все эта-
пы интегрирования с помощью допускае-
мой группы, мы убедились, что увели-
чение размерности допускаемой алгебры
Ли приводит к упрощению задачи ин-
тегрирования. Отсюда понятно, с какой
целью Ли классифицировал дифферен-
циальные уравнения по числу различ-
ных инфинитезимальных операторов,
которые они допускают.
В § 3.1 отмечалось, что уравнения
первого порядка y = F(x,y) допускают
бесконечно много операторов. В случае
уравнений второго порядка это уже не
так, в чем читатель мог убедиться
после решения задачи 2.2: уравнение
второго порядка у = 0 допускает 8-мер-
ную алгебру. Как показал Ли, эта
размерность является максимальной для
уравнений второго порядка, так что
алгебра Ли Lr, допускаемая уравнением
y = F(x,y,y), (3.25)
имеет размерность г ^8 при любой
правой части F. Случай F=0, как мы
уже знаем, дает пример уравнения,
когда достигается максимальное значе-
ние г = 8. Нелишне будет привести
также примеры, когда достигается мини-
мальное значение г = 0, т. е. примеры
уравнений, не допускающих ни одного
оператора. Построение таких примеров,
как и решение общей задачи группо-
вой классификации, осуществляется на
основе определяющего уравнения (2.25).
Для обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка (3.25) опре-
деляющее уравнение с учетом форму-
лы продолжения (3.3") записывается
так:
Пхх + (2т)^ — %>хх)У + (л </</ — 2£>ху)у2 —
— У3^уу + (% — — 3yiy)F —
— blx + (% — &)У — y%]F У — IFX —
_л^ = 0. (3.26)
• Пример 3.8. Уравнение
у = СУ+ху
не допускает ни одного оператора.
С помощью уравнения (3.26) это про-
веряется очень просто. Подставив F=
= еУ-\-ху в (3.26), получим в левой части
выражение, содержащее первую произ-
водную в виде степеней и еК Приравняв
коэффициент при е^нулю, получим
— 2^х — = 1]х + (%— 1х)У — У^у.
Отсюда имеем равенства О,
г]у = ^х, т]х= — ^х. которые дают
g=Ci% + C2, т[ = С\(у— х)+Сз-
Подстановка этих выражений для
L т] в оставшееся от (3.26) уравнение
хУ%х+ yl + xv[ = 0 дает Н=0, q = 0. ф
ф Задача 3.1. Докажите, что уравнение
у = у2-\-ху
не допускает ни одного оператора, ф
• Пример 3.9. Дважды продолженный
оператор вращения равен
Х = у 4--х-^—(1 +//2)-уг —3/д/-^7.
2 V дх ду х 7 ду ~JJ ду
Отсюда видно, что в качестве диф-
ференциальных инвариантов нулевого,
первого и второго порядков группы
вращений можно взять
и = г = у/х2 +у2 у V= y~XV ,
v х + уу
w=y(\ + y2r3/2 (3.27)
и записать общее уравнение второго
порядка, инвариантное относительно
вращений, в виде
О Упражнение ЗАЗ. Проверьте, что в
соответствии с теоремой 3.1
й = - дддд ~х^1+1
(3 28)
является дифференциальным инвариан-
том группы вращений, и выразите его
через инварианты (3.27)
Ответ:
£=-I0(i+l,7«-.i(i + «’).O
ф Пример 3.10. Проинтегрируем урав-
нение
г2у+(у-ху)(1+у2)=0, (3.29)
инвариантное относительно вращений.
В силу (3.28) оно равносильно урав-
нению dv/du = 0, которое и представ-
ляет собой в данном случае уравнение
первого порядка (3.19). Его интеграл
(3.20), равный v = C\, после подстановки
значения и из (3.27) становится урав-
нением первого порядка
Оно допускает оператор вращения и
поэтому интегрируется переходом к по-
лярным координатам
<p = arctgy, г=д/х2+у2,
переводящим оператор вращения в
оператор переноса по ф. Считая г = г(ф),
по формулам (2.17), (2.18) имеем:
d ху — у d ху — у dr х-\-уу
dx dq> ’ Т7 dq г
Следовательно, уравнение (3.29х) в
полярных координатах принимает вид
= /? = const
г dq)
и дает r = Cek{i. В результате полу-
чается общее решение уравнения (3.29)
в параметрическом представлении
х= Celcos ф, у = Ce^sin q
с произвольными постоянными С и /г. ф
ф Пример 3.11. На практике ветре-
чаются уравнения второго порядка, до-
пускающие оператор вида
Х=р(х)^, (3.30)
где функция р(х) либо задана, либо
определяется из некоторого другого
дифференциального уравнения. Диффе-
ренциальными инвариантами для опера-
тора (3.30) являются
U = x, v=p(x)y—p\x)y.
w = ^ = p(xYy—p'\x)y,
так что общее инвариантное уравне-
ние второго порядка имеет вид*
Р(х)у = р"(х)у + F(x, р(х)у—р"(х)у).
В частном случае F=0 имеем уравнение
р(х)у=р"(х)у, (3.31)
которое записывается в виде dv/du=0,
т. е. v=C\. Поэтому решение уравне-
ния (3.31) сводится к интегрированию
уравнения первого порядка
р(х)у — p'(x)y=Ci (3.31')
с известным допускаемым оператором
(3.30). Инвариантом для этого операто-
ра является переменная х, а условию
X(z)=\ удовлетворяет z = y/p(x). Та-
ким образом, мы имеем подстановку
y=p(x)z,
после которой уравнение (3.31) прини-
мает вид
p2(x)z=C\.
Отсюда
г=с-$7Й+Сг'
так что общее решение уравнения
(3.31) дается формулой
У = С1Р(х)\-^ + С2р(х). (3.32) •
О Упражнение 3.14. Найдите диффе-
ренциальные инварианты и общий вид
инвариантных уравнений второго по-
рядка для операторов Х = ху-^- и Х =
д у
= хи— соответственно.
J дх
* Через р'(х) обозначается производная задан-
ной функции по ее аргументу, тогда как у, у, у рас-
сматриваются как переменные величины
Указание: вычисления достаточно
провести для первого оператора; ре-
зультат для второго оператора полу-
чается заменой хну местами с ис-
пользованием формул х=\/у, х =
= —у/у3-О
Ниже для справок приводится таб-
лица некоторых уравнений второго по-
рядка общего вида с известным до-
пускаемым оператором. Указанные опе-
раторы позволяют понизить порядок
всякого уравнения соответствующего ти-
па, а если для конкретного уравнения
данного типа (при частном виде функ-
ции F) удается найти второй до-
пускаемый оператор, то это уравнение
можно проинтегрировать.
3.5. Некоторые уравнения второго
порядка с известным допускаемым опе-
ратором.
(I) y=F(y,y), Х=-^,
y=F(x,y), X
иу
y = F(kx + ly,y\ X =
(II) 5 = (1 + !;ГЧ-7тЙ)'
v д д
Х=у<гх-Хд^
(III) xy=F(±y), Х=х%-х+у^,
Х=4х+^
(IV) x2y = F(y, ху), Х=х^;
(V) Р2(х) у+р(х) p'{x)y=F(y, р(х)у),
Х=Р(х^х’
(VI) y=y3F(y,±-^), Х=у^;
(VIP
Х = у(у)^-;
дх
(VIII) y = F(x, ху — у), Х=Х^~;
(IX) р(х)у—р"(х)у = F(x, р(х)у — р'(х)у),
х=^
(X) 9-=SF(x.i). х=!1±-,
(XII)
УУ=У2+у2р(х,^~ — Iny), X=xi/—;
(ХШ)
ху+у=х2у3р(у,± —1пх), Х=ху^\
(XIV)
x3y=F(—,xi/—у), Х=х2--\-ху—',
(XV) ду
xk+2y = (k — V)xk+l у-\-F(Jt-, xy—ky),
X = xk(x^--]-ky^-'\;
\ дх ду/
(XVI)
ху2у = (1 -k)xyy2+y3F(^-, | —/гх).
X = yk(kx^--\-y-^-\.
J \ dx * 1 ''ду/
§ 4. ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ОБЛАДАЮЩИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ РЕШЕНИЙ
Продолжая обсуждение проблем ин-
тегрирования обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, остановимся на
вопросе о том, какие уравнения (по-
мимо линейных) обладают фундамен-
тальной системой решений, так что
задача построения общего решения сво-
дится к нахождению конечного числа
частных решений. Этот вопрос не имеет
прямого отношения к допускаемой груп-
пе, но решается он, как показали
Е. Вессио, А. Гульдберг и С. Ли
(1893 г.), также при помощи теории
групп.
4.1. Определение и основная теоре-
ма. Говорят, что обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения
^.=F‘(t,x', ...,хп), 1 = 1,..., п (4.1)
обладают фундаментальной системой
решений, если общее решение этих
уравнений выражается через конечное
число т произвольно выбранных част-
ных решений
хк = (х\, k = (4.2)
формулами
x'=q\X\, ..., Xm, Cl, ..., Cn), (4.3)
содержащими n произвольных постоян-
ных Ci, ..., Cn. Частные решения (4.2)
(которые считаются функционально не-
зависимыми) называют при этом фун-
даментальной системой решений урав-
нений (4.1). Требуется, чтобы вид
функций (4.3) не зависел от выбора
конкретных частных решений (4.2). Од-
нако это не исключает такую возмож-
ность, когда данная система уравнений
(4.1) допускает несколько различных
представлений (4.3) общего решения и
разное число m необходимых частных
решений (см. ниже пример 4.6). Общий
вид уравнений с фундаментальными ре-
шениями нашел С. Ли и доказал
следующую основную теорему (ее дока-
зательство с подробным предваритель-
ным обсуждением и примерами можно
найти в [8], гл. 24).
Теорема 4.1. Уравнения (4.1) обла-
дают фундаментальной системой реше-
ний, если они представимы в спе-
циальном виде
^=Tmx)+...+Tr(t)l‘(x) (4.4)
так, что операторы
Х=Ш^> а = 1,..,г (4.5)
образуют r-мерную алгебру Ли. При
этом число m необходимых частных
(фундаментальных) решений (4.2) удов-
летворяет условию
nm>r.
(4-6)
ф Пример 4.1. Для линейного одно-
родного уравнения
имеем п=\, т = \, г = \, Х = х-^~ .
ах
Представление (4.3) общего решения
через частное решение xi имеет вид
х=Сх\. Условие (4.6), очевидно, вы-
полняется в виде равенства, ф
• Пример 4.2. Для неоднородного ли-
нейного уравнения
имеем п = \, г = 2, т = 2, так что
условие (4.6) в этом случае также
имеет вид равенства. Операторами (4.5)
здесь являются X\=d/dx, Xz = xd/dx;
их коммутатор равен [Xi,X2] =Х\, так что
они действительно образуют двумерную
алгебру Ли L2. Формулой (4.3) здесь
является запись общего решения х =
= Х\-\-Сх через частное решение Xi
неоднородного уравнения и частное
решение х однородного уравнения, ес-
ли представить х в виде разности
двух решений неоднородного уравнения:
Х = Х2 — Х\. ф
ф Пример 4.3. Примером нелинейного
уравнения с фундаментальными реше-
ниями является уравнение Риккати
^=P(/) + Q(0x+/?(/)x2. (4.7)
Оно имеет специальный вид (4.4)
с г = 3 и с операторами (4.5)
Хх = ^~, Х2=х^, Х3 = х2^-, (4.8)
dx dx dx ' '
образующими алгебру Ли L3. Формула
(4.6) дает т^З, так что для выраже-
ния общего решения уравнения Риккати
с произвольными коэффициентами Р,
Q, R требуется не менее трех частных
решений. На самом деле достаточно
знать три решения, так как любые
четыре решения уравнения Риккати свя-
заны условием постоянства их ангармо-
нического отношения. К обсуждению
свойств уравнения Риккати с групповой
точки зрения мы еще вернемся в § 4.2. ф
ф Пример 4.4. Рассмотрим однородную
систему двух линейных уравнений
ап(/)х+ ai2(f)y,
^=a2\(f)x-\-a22(f)y.
Она имеет специальный вид (4.4)
с коэффициентами
T\ = a\\(t)4 Tz = a\2(t\
T3=d2\(t), T^ = U22(t\
5i=(x,0), g2 = (t/,0), b = (0,x), g4 = (0,£/).
Поэтому здесь операторами (4.5) яв-
ляются
Х\ = х^-, Х2=у^-, Х3=х± Х<=у^,
дх дх ду' ду
которые, как легко проверить, образуют
алгебру L4. Выражение общего решения
х= CiXi-|-С2Х2, у — С\у\С2У2
через два частных решения (xi,z/i) и
(Х2,уг) реализует формулу (4.3), так что
имеем т = 2. Условие (4.6) имеет вид
равенства, так как и =2, г = 4. ф
ф Пример 4.5. В случае неоднородной
системы
^ = an(Z)x+ai2(0y+^iW>
= a2i(^)x + а22(0У + b2(t)
к коэффициентам Га, £а из предыду-
щего примера добавляются
т5=М)> т.=ь2^ ь=(1,0), &6=(О,1),
так что алгебра L4 расширяется до
алгебры £б путем добавления операто-
ров Хь = д/дх и Хв = д/ду. Итак, п = 2,
г = 6, поэтому из условия (4.6) следует,
что для выражения общего решения
рассматриваемой неоднородной системы
с произвольными коэффициентами a^t)
и bt(t) нужно знать три частных реше-
ния (х^ yk), Ze = 1,2, 3; соответствующая
формула (4.3) хорошо известна:
Х = Х1 + С1(Х2— Х1) + С2(Хз — Х1),
У = У\ + С1(У2 — f/i)+C2(z/3 — г/1). Ф
ф Пример 4.6. В книге [8] Ли приво-
дит пример неоднородной системы двух
линейных уравнений
^-=al2(t)y + b^,
^=-a^x+b2(t), (4.9)
когда можно обойтись двумя частными
решениями. Эта специфика имеет груп-
повую природу и состоит в следующем.
По теореме 4.1 системе (4.9) сопоставля-
ются операторы
у?- д д т/ д -у _____ д
Х\ = у--X—, = ^3 = 7Г’
дх ду дх ду
порождающие группу движений (враще-
ний и переносов) в плоскости (х,у). Так
как движения сохраняют расстояние
между любыми двумя точками, то, как
показывает Ли, любые три решения
(%2,t/2) и (x,y) рассматриваемой
системы связаны двумя соотношениями
(х-х|)2 + (у-у1)2 = С1,
(x-x2)2 + (y-f/2)2 = C2. 1 '
Поэтому для получения представле-
ния (4.3) общего решения системы (4.9)
через два ее частных решения (xi,yi),
(х2. уч) и две произвольные постоянные
Ci, Сч достаточно разрешить (4.10) от-
носительно х, у. Таким образом, система
(4.9) допускает два представления обще-
го решения: в виде линейной суперпози-
ции трех решений (пример 4.5) и «не-
линейной суперпозиции» двух решений,
которая получается, если разрешить ра-
венства (4.10) относительно х, у. ф
О Упражнение 4.1. Проверьте, что для
любых двух решений (xi,//i), (х2, у2) сис-
темы (4.9) и любых постоянных Ci, Сч
функции х, у. найденные из (4.10), удов-
летворяют системе (4.9). О
4.2. Группы на прямой и уравнение
Риккати. Теорема 4.1 позволяет найти
все обыкновенные дифференциальные
уравнения (4.1), имеющие фундамен-
тальную систему решений, сводя задачу
к перечислению всевозможных групп пре-
образований с конечным числом парамет-
ров (или соответствующих конечномер-
ных алгебр Ли операторов (4.5)) в
п-мерном пространстве переменных х =
= (х, ..., хп). Такое перечисление для
прямой (/1 = 1) И ПЛОСКОСТИ (/1 = 2) было
проделано Ли (эти результаты можно
найти, например, в [12], гл. IV). Здесь
мы остановимся на случае п = 1. В этом
случае выбор очень ограничен: всякая
группа преобразований на прямой совпа-
дает (с точностью до замены перемен-
ных) с группой проективных преобра-
зований, порожденной трехмерной ал-
геброй Ли с базисом операторов (4.8),
или же с некоторой ее подгруппой. Это
означает, что при п=\ уравнение Рик-
кати (4 7) является (с точностью до за-
мены переменной х) самым общим урав-
нением, обладающим фундаментальной
системой решений. При /1^2 таких урав-
нений гораздо больше.
Таким образом, уравнение Риккати —
это своеобразная реализация группы
проективных преобразований. Отраже-
нием этого факта является теорема о
постоянстве ангармонического отноше-
ния любых четырех решений уравнения
Риккати. Для ее доказательства введем
однородные координаты ц, v, положив
х= u/v. Тогда уравнение Риккати примет
вид
-к(^ + Я«+4<?») = 0. (4.7')
Так как в определении x=u/v участ-
вуют две функции, можно ограничить
их одним дополнительным условием, на-
пример потребовать выполнения уравне-
ния ^-^-Qu — Pv = 0. При этом урав-
нение (4.7') сведется к системе двух
линейных уравнений
%=±Q(t)u + P(t)v,
$=-R(t)u-±Q(t)v,
представляющей собой запись уравнения
Риккати в проективном пространстве.
Пусть (//1, щ) и (ич, ич) — два частных
решения этой системы, выбранных так,
что отношения и\/ич и v\/v4 не равны од-
ной и той же постоянной. Тогда
и= СчИчу v = С\щ + C2V4,
так что общее решение уравнения Рикка-
ти (4.7) дается формулой
у _ С*1 t/i —1~ C2U2 __ и\ К112 (4.11)
С1У1 + С2У2 У1+^2 *
Пусть xi, ..., х4 — четыре решения урав-
нения Риккати, соответствующих част-
ным значениям К\, ..., К4 постоянной К
в формуле (4.11). Тогда выполняется
равенство
Xi—Х2 . Х1 —Х4 = #2. Ki— Д4 м
ХЗ —%2’ХЗ—Х4 ^3—^2*^3 —^4 ’
доказывающее постоянство ангармони-
ческого отношения любых четырех реше-
ний уравнения Риккати.
О Упражнение 4.2. Из представления
(4.11) общего решения уравнения Рик-
кати выведите равенство (4.12)0
Итак, каждому уравнению Риккати
вида (4.7) соответствует по теореме 4.1
алгебра Ли Lr, которая является либо
трехмерной алгеброй с базисом операто-
ров (4.8), либо (при частных значе-
ниях коэффициентов Р, Q, /?) некоторой
ее подалгеброй (тогда г = 2 или г=1).
Эта алгебра, как мы сейчас увидим,
позволяет легко выяснить, существует ли
для данного уравнения Риккати линеари-
зующая замена переменной х. Сначала
полезно выполнить следующие упраж-
нения.
О>Упражнение 4.3. Постройте алгебры
минимальной размерности для следую-
щих уравнений при произвольных коэф-
фициентах Р(/), Q(/):
f=*2+r f=*2+m
^=x2+i/’(o+ik+m
f = x2+|2P(0+l]x+m
^=P(0+Q(Z)x+[Q(/)-P(/)]x2,
% = P(t) + Q(t)x+[Q(0-2/W2 О
О Упражнение 4.4. Выясните, какие из
следующих уравнений можно линеари-
зовать заменой переменной х при произ-
вольных коэффициентах Р(/), Q(/):
^=P(0+Q(0x+[Q(0-P(0K
f = Р(0 + Q(0%+[Q(0 - 2P(/)]x2,
f= P(t) + Q(/)x+2[Q(0-2P(/)]x2.O
Вопрос о линеаризации уравнения
Риккати решает следующая теорема, яв-
ляющаяся простым следствием основной
теоремы 4.1.
Теорема 4.2. Обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение первого порядка,
обладающее фундаментальной системой
решений, линеаризуется преобразовани-
ем зависимой переменной х в том и только
в том случае, когда оно может быть
записано в специальном виде
f = Т|(/)|,(х) + 7ХШ*) (4.4')
так, что операторы
= = (4.5')
образуют алгебру Ли Lr размерности
г = 2 или г = 1, т. е.
[Хь Х2\ = аХ{+^Х2 (4.13)
или X2 = aXi с постоянными коэффициен-
тами а, |3.
Доказательство. Заметим сна-
чала, что любая замена х сохраняет
вид уравнения (4.4') и структурное со-
отношение (4.13). Поэтому из примеров
4.1 и 4.2 ясно, что линеаризуемому урав-
нению (4.4') соответствует алгебра
Д, г<Z2; в двумерном случае (г = 2) ли-
неаризующей является замена, приводя-
щая базис алгебры L2 к виду
*4? *2=< <414)
Докажем теперь, что если операторы
(4.5') образуют алгебру Lr размерности
г <2, то уравнение (4.4') линеаризуется.
При г = \ имеем g2(x)=a^i(x), так что
в этом случае (4.4') является уравне-
нием с разделяющимися переменными
dx/dt= (Г i(/) + аТ 2(/))gi(x) и, очевидно,
линеаризуется. В случае г =2 для дока-
зательства теоремы достаточно показать,
что всякая двумерная алгебра Ли L2
на прямой приводится заменой х к ал-
гебре с базисом (4.14). Для доказатель-
ства этого свойства двумерных алгебр
воспользуемся теоремой 1.3 и будем счи-
тать, что один из операторов рассмат-
риваемой алгебры Л2 приведен к виду
X=d/dx. Пусть Y=f(x) d/dx — другой
оператор из L2, линейно независимый с X.
Выберем эти два оператора в качестве
базиса L2. Для них [X, У] = f'(x) d/dx,
так что условие (4.13) имеет вид
^=a + ₽f,
dx I»/’
причем хотя бы одна из постоянных а, |3
отлична от нуля (почему?). Из этого
уравнения имеем
f = ax-\-C, Y = ах-^--\-СХ, если |3 = 0,
' dx
f=Ce^x-4, Y=Ce^~
1 |3 dx р
если р=И=О;
в первом случае в качестве базиса Т2
можно взять операторы (4.14), а во вто-
ром — операторы X\ = d/dx, X2=exd/dx,
которые приводятся к виду (4.14) допол-
нительной заменой х = е~х. Теорема до-
казана.
ф Пример 4.7. Применим теорему 4.2 к
уравнению
J = P(t) + Q(t)x + [Q(/)- P(t)]x2 (4.15)
из упражнения 4.4. Оно имеет вид (4.4')
с 7\ = Р, T2=Q, g! = l-x2, Ъ=х + х2.
Поэтому операторами (4.5х) здесь явля-
ются
d
dx
Х2 = (х+х2)^. (4.16)
Х1 = (1-%2
Вычислив коммутатор
[X,, Х2] = |(1-х2/(*^-->-
L I dx
_(х+х2)<=^И =
' dx J dx
= {(1—x2)( 1 + 2x)+2x(x + X2)} A =
= {(1-x2)+2(x + x2)}^ = Xi + 2X2,
мы видим, что операторы (4.16) удовлет-
воряют условию (4.13) двумерности ал-
гебры. Следовательно, уравнение (4.15)
линеаризуется. Для отыскания линеари-
зующей замены выберем сначала вместо
(4.16) новый базис
X=Xi + 2X2 = (1 + x)2^,
У = Х2 = (х+х2)^.
Тогда [X, У]=Х, как для операторов
(4.14). Теперь найдем замену у = у(х\
переводящую оператор X к виду Х= —
Для этого решаем уравнение Х(у)=
= (1+ х)2-||-= I и находим
У=-тЬ- (4Л7)
Замена (4.17) переводит алгебру, по-
рожденную операторами (4.16), в алгеб-
ру с базисом (4.14) и, следовательно,
линеаризует уравнение (4.15). Действи-
тельно, после указанной замены урав-
нение (4.15) принимает вид
= Q (/) - P(t) [Q (/) - 2P(t)] у. (4.15')
О Упражнение 4.5. Используя линеари-
зацию (4.17), покажите, что любые три
решения %1, х2> %з уравнения (4.15) связа-
ны условием
%3— Х1 . Хз+ 1 q
Х2 — Xi * Х2+ 1
являющимся частным случаем условия
постоянства ангармонического отноше-
ния (4.12) решений общего уравнения
Риккати. Отсюда видно, что частным
решением уравнения (4.15) является
х = —1.0
• Пример 4.8. Уравнение +
имеет двучленный вид (4.4х) с коэф-
фициентами T\ = t, £1 = 1, Г2=1, £г = х2,
так что здесь операторами (4.5') являют-
ся Х\=4~, Х2=х2^-. Очевидно, что ком-
ах’ dx
мутатор этих операторов [Xi, Х2] = 2х-^
не выражается линейно через Х\ и Х2,
поэтому рассматриваемое уравнение не
линеаризуется заменой х. В данном слу-
чае алгебра Lr трехмерна и совпадает
с алгеброй, порожденной операторами
(4.8). Для приведения этой ситуации
в соответствие с теоремой 4.1 рассмат-
риваемое уравнение следует записать в
виде (4.4) так:
^=/+о-х+х2.е
ф Пример 4.9. Уравнение
J = t+(д/2 + 02х+2<2(2 + /2)х2
имеет вид (4.4) с T\=t, Г2 = (д/2 +Z)2,
73 = 2^/2(24-^) и £i = l, £2=х, £3 = х2.
Поэтому соответствующая алгебра трех-
мерна и совпадает с алгеброй для общего
уравнения Риккати. Но было бы неверно
заключить отсюда, что рассматриваемое
уравнение не линеаризуется Действи-
тельно, его можно переписать в дву-
членном виде (4.4х):
f = /(1 + 2д/2х) + (2 + /2)(х + 2л/2х2)
и получить операторы
Х1=(1 + 2<2х)А, х2=(х+2л/2х2)А,
удовлетворяющие условию (4.13):
|Х1,Х2] = Х1 + 2л/2Х2.
Следовательно, по теореме 4.2 рассматри-
ваемое уравнение линеаризуется, ф
Как видно из этого примера, неод-
нозначность представления уравнений в
виде (4.4) создает определенные неудоб-
ства, в частности, при использовании
теоремы 4.2. Следующая теорема, кото-
рая выводится из теоремы 4.2, содер-
жит другие критерии линеаризуемости,
не зависящие от специального представ-
ления (4.4х).
Теорема 4.3. Если уравнение Риккати
^=P(/) + Q(0% + W2 (4 7)
обладает одним из следующих четырех
свойств, то оно обладает и тремя дру-
гими:
(1) уравнение (4.7) линеаризуется за-
меной переменной х;
(2) уравнение (4.7) может быть запи-
сано в двучленном виде
(i у
^ = Т,(/)^(х) + Г2(/)Ь(х) (4.4')
так, что операторы Х\ = Ъ)\(х)^, Х%=
= £2(х) — порождают двумерную алгеб-
ру Ли, т. е. [Xi, X2] = aXi + |3^2 (при
[АТ, Х2| = 0 алгебра одномерна, и в урав-
нении Риккати переменные разделя-
ются);
(3) уравнение (4.7) либо имеет вид
% = Q(t)x + R(t)x2, (4.18)
либо
=P(f) + Q (/) х+k [Q (/) - kP (/)]х2
(4.19)
с некоторым постоянным (вообще говоря,
комплексным) коэффициентом k;
(4) уравнение (4.7) допускает посто-
янное (вообще говоря, комплексное) ре-
шение.
Замечание. Уравнение (4.19) име-
ет постоянное решение х= — 1 /k. Поэто-
му линейное уравнение, являющееся
частным случаем (4.19) при k = Q, мо-
жет рассматриваться как уравнение Рик-
кати, имеющее в качестве постоянного
решения бесконечно удаленную точку.
• Пример 4.10. Если в уравнении из
примера 4.9 положить х= const и при-
равнять нулю коэффициенты при разных
степенях t, то легко видеть, что оно
имеет постоянное решение х=— 1 /2-у]2
и линеаризуется, ф
• Задача 4.1. Докажите теорему 4.3.®
§ 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ физики
КАК ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
В задачах гидромеханики и математи-
ческой физики допускаемая группа широ-
ко используется для построения частных
точных решений, наиболее популярными
из которых являются так называемые ин-
вариантные решения. Здесь иллюстриру-
ется техника вычисления инвариантных
решений уравнений в частных производ-
ных на примере фундаментальных реше-
ний уравнений Лапласа и теплопровод-
ности.
5.1. Сферически-симметричные реше-
ния уравнений Лапласа. Понятие инва-
риантных решений уже обсуждалось в
§ 3 в связи с частными решениями (3.7х)
уравнения Риккати (3.5). Метод по-
строения этих решений основан на теоре-
ме 1.5 и применим также к уравнениям в
частных производных. Для иллюстрации
возьмем уравнение Лапласа
Аг/ = О (5.1)
с п^З переменными х = (х1, ..., хп) и най-
дем все его решения, инвариантные от-
носительно группы вращений с операто-
рами
Х;.=х/Д —i,/ = 1,...,п. (5.2)
4 дх1 дх1 J ' 7
Инвариантами этой группы являются
и и г = д/(х1)2+... +(хпд, и по теореме
1.5 всякое инвариантное решение записы-
вается в виде и = и(г). Тогда
дх г
д2г/ „/ х(%4)2
—-1^=и"(гу-±-
(дх) v 7 г2
(?)2
и
\и= и" -(-^—^U' = у [п/" + (п — !)£/'] =
= у[ги'+(п— 2)и]'.
Поэтому уравнение (5.1) для искомых
сферически-симметричных решений при-
нимает вид обыкновенного дифференци-
ального уравнения \ги'-\-(п—2)и]'=0,
которое легко интегрируется и дает
и = Сг2~п-\-С].
5.2. Использование растяжений. По-
лученное решение имеет особенность в
начале координат и при Ci = 0 совпада-
ет (с точностью до постоянного множи-
теля) с фундаментальным решением
уравнения Лапласа, равным
и =-----— г2- п
(5-3)
где (on — площадь поверхности единич-
ной сферы в n-мерном пространстве. Та-
ким образом, фундаментальное решение
(5.3) является инвариантным (относи-
тельно группы вращений) решением
уравнения
\и = 6(х) (5.4)
с 6-функцией Дирака в правой части.
Очевидно, что уравнение (5.4) допускает
группу вращений, так как оператор Лап-
ласа и 6-функция инвариантны относи-
тельно вращений. Здесь мы имеем пример
инвариантного уравнения с обобщенны-
ми функциями.
Покажем, что уравнение (5.4) допу-
скает также группу растяжений. Уравне-
ние Лапласа (5.1) инвариантно относи-
тельно растяжений ? = ах1 и й = Ьи с
произвольными параметрами а и Ь. Ни
одно из этих растяжений само по себе не
оставляет инвариантным уравнение
(5.4), может найтись допускаемая комби-
нация из них. Чтобы выяснить это, вос-
пользуемся известной формулой преобра-
зования 6-функции при замене перемен-
ной xl = fl(x)\
6W=lde,(l)l|„»-6®' (55)
которая для растяжений х1 = ах1 дает
6(х) = an6(x). С другой стороны, при рас-
тяжениях х и_и левая часть (5.4) пере-
ходит в (а2/Ь)кй, где А — оператор Лап-
ласа в переменных х. Следовательно,
уравнение (5.4) принимает вид
(а2/Ь)Кй = апЬ(х) и остается инвариант-
ным, если Ь = а2~п. Итак, уравнение
(5.4) наряду с вращениями допускает
еще однопараметрическую группу растя-
жений с оператором
X = x‘17 + (2 — п)и^-. (5.6)
дх1 ои
О Упражнение 5.1. Проверьте, что с уче-
том преобразования 6-функции оператор
(5.6) записывается в виде
Х = х‘/т + (2-п)^----«6^
дх1 х ди дд
и удовлетворяет условию (2.25) инвари-
антности уравнения (5.4) .О
Теперь найдем такое решение уравне-
ния (5.4), которое будет инвариантным
относительно вращений и растяжений,
т. е. относительно группы с инфинитези-
мальными операторами (5.2), (5.6)
Инвариантами вращений являются, как
уже говорилось выше, г и и\ оператор
(5.6) в пространстве этих двух инвариан-
тов записывается в виде
и имеет один инвариант J=urn~2. По
теореме 1.5 инвариантное решение может
быть записано в виде (так как имеется
только один инвариант/) / = const, т.е.
и = Сг2-п. (5.7)
Подстановкой (5.7) в (5.4) находится
постоянная С = 1/(2—п)юп в соответ-
ствии с формулой (5.3). Таким образом,
фундаментальное решение находится из
требования инвариантности почти одно-
значно, а само уравнение (5.4) играет
роль только нормирующего условия.
О Упражнение 5.2. Проделайте необхо-
димые выкладки, связанные с подста-
новкой выражения (5.7) в уравнение
(5.4).О
5.3. Тепловое представление группы
Галилея. Рассмотрим группу Галилея,
ограничившись сначала одномерным (по
пространственным переменным) случаем.
Это трехпараметрическая группа, состоя-
щая из переносов и преобразования Га-
лилея с инфинитезимальными операто-
рами
х0~, Xi=/-, У=/А
dt дх дх
(см. пример 1.7). Добавим к независимым
переменным /, х дифференциальную пере-
менную и, которая будет играть роль тем-
пературы и потому при преобразовании
Галилея будет преобразовываться по
формуле (2.2). Полученные операторы
•у _ д у __ д у___д д
ло=——, А|=—, I—2t—-------хи-г—
dt дх дх ди
(см. (2.6)) не образуют алгебру Ли, так
[Х1, Г]= — Поэтому дополним их
до четырехмерной алгебры с базисом
*о=-£-. X >=?-, Х2=и^~,
dt дх ди
Y = 2t^—хи-%-. (5.8)
дх ди
Этой алгебре соответствует группа
О4, которая состоит из переносов /, %,
растяжения и и преобразования Галилея
(2.2) и которую естественно назвать
тепловым представлением группы Гали-
лея.
Найдем общий вид линейного диффе-
ренциального уравнения второго поряд-
ка, инвариантного относительно группы
О4. Условия инвариантности относитель-
но переносов (XoJ = dJ/dt = О, X\J =
= dJ/dx = 0) приводят к тому, что инва-
рианты группы G4 не зависят от /, х. Кро-
ме того, оказывается, что из инвариан-
тов, содержащих величины utXy utty не-
возможно сконструировать линейное
уравнение (см. далее упражнение 5.3).
Поэтому остается найти для операторов
Х2, Y дифференциальные инварианты,
зависящие от и, их, uty ихх. Оператор
Х2 после продолжения имеет вид
v д । д . д . д .
— и —-Г “х ч--Н U't 3-Ь Uxx "5->
ди дих dut дихх
его инвариантами являются
р = их/иу q = ut/u, г = ихх/и.
В этих величинах продолженный опера-
тор Y записывается в виде
л/ д о д о д
Y = ~ л---2р-----2р —
др dq Г дг
и имеет инварианты J\ = q — р2у /2 = г—
—р2. Подставив значения р, q, г, полу-
чим следующие два дифференциальных
инварианта второго порядка группы О4:
j2=uuxx-u^ (59)
По теореме 1.5 всякое инвариантное
уравнение записывается в виде
Ф(/ь /2) = 0, среди которых, как легко
видеть, требованию линейности удовлет-
воряет только уравнение /1—h = k или
ut=uxx-]-kuy k = const. (5.10)
О Упражнение 5.3. Найдите все диффе-
ренциальные инварианты второго поряд-
ка (включая производные utx, utt) группы
G4.O
О Упражнение 5.4. Покажите, что един-
ственным оператором растяжения
Z = a/-g- + px
dt 1 1 дх
добавление которого к операторам (5.8)
дает пятимерную алгебру Ли, является
г=2/^-+х|-. (5.11)
dt дх ' 7
Покажите также, что инвариант (не
зависящий от utx и utt) этой расширенной
алгебры равен отношению инвариантов
(5.9):
J иихх их
UUt — их
Из упражнения 5.4 следует, что груп-
пу Галилея О 4 можно расширить с по-
мощью растяжений единственным_обра-
зом (добавляя растяжения t=a2ty
х = ах) и что единственным линейным
уравнением второго порядка, допускаю-
щим эту расширенную группу Галилея,
является J = l, т. е. уравнение тепло-
проводности
ut=Uxx. (5.12)
В многомерном случае, когда
х Е Rn, операторы (5.8) следует заме-
нить на
Хо=^> Xii=X''dX~
Xn + l = U^’ Yi=2t~d?~X'Ufa’
iyj = 1, ...,пу (5.8')
а оператор (5.11) — на
z=2t-^ + x‘-Г- (5.11')
dt дх ' 7
Тогда, как и в одномерном случае,
требование инвариантности относительно
группы Галилея с операторами (5.8х)
приводит однозначно (при условии ли-
нейности) к уравнению диффузии
ut=Xu-\-kuy fe=const, (5.10х)
а требование инвариантности относи-
тельно расширенной группы Галилея
с операторами (5.8'), (5.11х) — к урав-
нению теплопроводности
ut=Xu.
(5.12х)
Таким образом, для вывода уравне-
ния распространения тепла в линейном
приближении можно использовать вме-
сто закона Фурье (или Нернста в случае
диффузии) принцип инвариантности от-
носительно теплового представления
группы Галилея. Более того, эта группа
позволяет найти распределение темпера-
туры в любой момент времени, если
известно начальное распределение, не
решая дифференциальное уравнение
Связано это с тем, что фундаментальное
решение определяется с точностью до
постоянного множителя из соображений
инвариантности (как и в случае уравне-
ния Лапласа), а уравнение
ut—\u=b(t, х) (5.13)
используется лишь в качестве норми-
рующего условия. Действительно, урав-
нение (5.13) инвариантно относительно
вращений, преобразований Галилея и
растяжений t=a2t, xl=axl, й=апи
(см. (5.5)), т. е. относительно группы с
операторами Xih Yi и
X=Z-nXn+i = 2t^-+xi-^-nu-^.
dt дх1 ди
(5.14)
Инвариантами группы вращений яв-
ляются /, г, и. Так как У<-(г) = 2/х//г,
то в соответствии с формулой (1.23)
операторы К записываются для функций
от /, г, и в виде
Отсюда ясно, что общими инвариантами
для вращений и преобразований Галилея
являются время t и величина p=uer2/{4t).
Записав оператор (5.14) в этих инвари-
антах,
X=2t^--np^-,
dt г др
находим следующий общий инвариант
для всей группы с операторами Xih Yit X:
J=utn,2er2,4t.
Поэтому инвариантное решение урав-
нения (5.13) должно иметь вид
u=ct~n^e-r2/4t. (5.15)
Остается найти постоянную С подста-
новкой выражения (5.15) в уравнение
(5.13). В результате получается сле-
дующее фундаментальное решение урав-
нения теплопроводности:
u=(2VnF)”"e-r!/4/. (5.16)
Отметим еще раз, что основная фор-
мула (5.15) получилась исключительно
из соображений инвариантности.
• Задача 5.1. Уравнение теплопроводности
(5.12) инвариантно относительно проективных
преобразований с оператором из (2.45).
Выясните, используя формулу (5.5), допускает ли
группу проективных преобразований уравнение
(5.13) (с п=1). Выясните аналогичный вопрос
для уравнения Лапласа и конформной группы
(см. (7), § 10.2). •
Задача 5.2. Разберите с изложенной выше
инвариантно-групповой точки зрения фундамен-
тальное решение волнового уравнения с тремя
пространственными переменными, ф
| 6. КОРОТКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ
О ГРУППЕ ГАЛУА
Цель этого параграфа — дать неко-
торое представление о группе Галуа,
которая трактуется здесь в духе теории
Ли как группа преобразований, до-
пускаемых алгебраическим уравнением,
ф Пример 6.1. Рассмотрим уравнение
четвертой степени
Р (х)=х4-+-х3+х2+х+1 = 0 (6.1)
и проверим двумя способами, что оно
допускает следующие преобразования
переменной х:
У = Т> У=х2, У=—(х3+х2+%+1). (6.2)
Первый способ. Для у = \/х имеем
У4 + У3+У2+у+1 = (1 + х+х2 + х3 +
+х4)/х4, т. е. Р(у) =Р(х)/х4. Поэтому из
Р(х)=0 следует Р(у)=0. Это означает,
что уравнение (6.1) допускает преобра-
зование у=Л / х.
Для у=х2 имеем y4+//3+f/+1 =
=х84-х6+%4+%2+1 и делением на х4+
+ х3 + х2 + %+1 (например, с помощью
алгоритма Евклида) получаем Р(у) =
=(х4—х3 + х2-—х + 1) Р(х). Следователь-
но, второе из преобразований (6.2) также
допускается уравнением (6.1).
Инвариантность уравнения (6.1) от-
носительно третьего преобразования
(6.2) проверяется аналогично. Формула
преобразования многочлена Р(х) при за-
мене у=—(х3+х2+^+1) имеет вид
Р(у) = (х8+Зх7+6х6+9х5+9х4+7х3+
4-4х2+х-|-1)Р(х).
Второй способ. Запишем условие ин-
вариантности уравнения (6.1) относи-
тельно преобразования y=f(x) с дробно-
рациональной функцией Дх) в виде
^(f/)|(6..)=0. (6.3)
Такая запись означает, что в левой
части (6.3) следует заменить х4 на
— (х3+%24-х4-1) в соответствии с урав-
нением (6.1). Кроме того, эта замена
даетх5=х-х4=—(х4+х3+х24-х) = 1, х6=
=х-х5=х и т. д. Таким образом,
уравнение (6.3) подразумевает следую-
щие подстановки, справедливые в силу
уравнения (6.1):
х4=—(х3+х24-х4-1), х5=1, х6=х,
v7____у2 v8__v3 v9___v4 10_________i
:• -Г.ЖП1П1-1- j - -ri J
xH=x, xl2=x2, x13=x3,... . (6.4)
Применим условие (6.3) для проверки
инвариантности уравнения (6.1) относи-
тельно преобразования у=х\ Имеем, ис-
пользуя подстановки (6.4), Р(у)=х8+
+х6+х4+х2+1 = х3+х+х4+х2+1=0.
Инвариантность относительно третьего
преобразования из (6.2) становится
очевидной, если с помощью первой
формулы (6.4) переписать его в виде
у—х4; это есть дважды примененное
преобразование у=х2. ф
ф Пример 6.2. Теперь мы можем пока-
зать, что уравнение (6.1) допускает
бесконечную группу преобразований
У=хп, (6.5)
где п принимает все целые (положи-
тельные и отрицательные) значения, не
кратные пяти. В силу формул (6.4)
и инвариантности уравнения (6.1) отно-
сительно преобразований у=х и у=х2
достаточно проверить, что допускается
преобразование у=х3. Для этого преоб-
разования имеем Р(у)=х12+х9+х6+х3+
-|-1=х24-х4+х+х3+1=0. Итак, до-
пускаются преобразования (6.5) с п=1,
2, 3, 4. Поэтому из (6.4) следует,
что все преобразования (6.5) с целыми
положительными (m=0, 1, 2, ...)
удовлетворяют условию (6.3). Отрица-
тельные целые значения п получаются
применением преобразования у=\/х. ф
О Упражнение 6.1. Проверьте первым
способом из примера 6.1, что уравне-
ние (6.1) не допускает преобразова-
ния у=Х . О
Построенная в примере 6.2 группа
преобразований, как любая допускаемая
группа, переводит каждый корень урав-
нения (6.1) в корень того же уравне-
ния. Выясним, как преобразуются эти
корни. Из курса алгебры хорошо из-
вестно, что корнями уравнения (6.1)
являются
Х1=8, Х2 = 82, Хз —83, Х4 — 84 (8 = £2ш/5)
(6.6)
Возьмем, например, преобразование
у=х2 и подействуем им на корни (6.6):
У1=х2==82==х2, t/2=e4=x4, уз=е6=8=Х1,
у4= 88= 83=х3. Это означает, что корень
Xi переходит в х2, х2 в х4, х3 в Xi
и х4 в х3; полученная подстановка
обозначается (xi, х2, х4, х3). Аналогично
находим, что преобразование у=х3 при-
водит к подстановке (хь х3, х4, х2),
а преобразование у=\/х — к подста-
новке (xi, х4) (х2, Хз). Остальные пре-
образования (6.5) новых подстановок не
дают. Обозначив через 1 тождественную
подстановку, получаем, что бесконечная
группа преобразований (6.5), допускае-
мая уравнением (6.1), индуцирует на
множестве корней этого уравнения ко-
нечную группу порядка четыре, состоя-
щую из следующих элементов:
1, (Xi, х2, Х4, Хз), (Xi, Хз, х4, х2),
(Х1, х4) (х2, Хз). (6.7)
Эта конечная группа называется груп-
пой Галуа уравнения (6.1).
Группа Галуа сохраняет имеющиеся
между корнями (6.6) соотношения
Xix4 = 1, х2х3 — 1, х3х2 = 1, х4Х1 = 1, (6.8)
что легко проверяется для каждого из
элементов (6.7) группы. При нашем опре-
делении группы Галуа с помощью до-
пускаемой уравнением (6.1) группы свой-
ство инвариантности соотношений между
корнями является следствием инвариант-
ности уравнения.
О Упражнение 6.2. Найдите все дробно-
линейные (проективные) преобразования
допускаемые уравнением
х4-х2 + 1=0. (6.10)
Указание: если подставить выраже-
ние (6.9) в уравнение у4—у2+1=0,
заменить х4 на х2—1, согласно (6.10),
и затем приравнять нулю коэффициенты
при различных хп (n=0, 1, 2, 3),
то это даст четыре уравнения для опре-
деления коэффициентов а, Ь, /?, I. О
ЛИТЕРАТУРА,
которая поможет заинтересованному читателю
более подробно ознакомиться с теоретическими
вопросами группового анализа, многообразием
приложений и современным развитием, а также
с биографией Софуса Ли.
1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифферен-
циальные уравнения.— Харьков: ОНТИ, 1939.—
Гл. IV.— С. 127—153.
2. Байков В. А., Газизов Р. К.,
Ибрагимов Н. X. Приближенные симметрии //
Матем. сб.— 1988.— Т. 136.— Вып. 4.— С. 435—
450
3. Галактионов В. А., Дородни-
цын В. А., Еленин Г. Г., Курдю-
мов С. П., Самарский А. А. Квази-
линейное уравнение с источником: обострение,
локализация, симметрия, точные решения, асимпто-
тики, структуры // Итоги науки и техники:
Современные проблемы математики: Новейшие до-
стижения.— М.: ВИНИТИ, 1987.— Т. 28.—
С. 95—205.
4. Гуре а Э. Курс математического анали-
за,— М.—Л.: ГТТИ, 1933.— Т. II.— Ч. II.
гл. XIX.— Разд. IV.— С. 92—104.
5. Dickson L. Е. Differential equations
from the group standpoint // Annals of Math.—
1924.— V. 25.— P. 287—378.
6. Дородницын В. А., Еленин Г. Г.
Симметрия в решениях уравнений математической
физики.— М.: Знание, 1984.— 64 с. См. также
сб.: Компьютеры и нелинейные явления.— М.:
Наука, 1988.— С. 123—191.
7. Ибрагимов Н. X. Группы преобра-
зований в математической физике.— М.: Наука,
1983.— 280 с.
8. Lie S. Vorlesungen fiber continuierliche
Gruppen.— Leipzig: Teubner, 1893.— 805 c.
9 Овсянников Л. В. (а) Групповые
свойства дифференциальных уравнений.— Ново-
сибирск: Изд. СО АН СССР, 1962.— 240 с.
(б) Групповой анализ дифференциальных урав-
нений.— М.: Наука, 1978.— 400 с.
10. Овсянников Л. В., Ибраги-
мов Н. X. Групповой анализ дифференциаль-
ных уравнений механики // Итоги науки и тех-
ники: Общая механика.— М.: ВИНИТИ, 1975.—
Т. 2.— С. 5—52.
11. Полищук Е. М. Софус Ли.— Л.:
Наука, 1983.— 214 с.
12. Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли.—
М.—Л.: ГИТТЛ, 1940.— 396 с.
Научно-популярное издание
Наиль Хайруллович Ибрагимов
АЗБУКА ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
Гл. отраслевой редактор Л. А. Е р л ы к и н
Редактор И . Г . В и р к о
Мл. редактор С. С. Патрикеева
Художник Л. П. Ромасенко
Худож. редактор М. А. Бабичева
Техн, редактор Т. Н. Захаренкова
Корректор В. В. Каночкина
ИБ № 10260
Сдано в набор 09.06.89. Подписано к печати 27.07.89.
Формат бумаги 70 X 1ОО’/1б. Бумага офс. № 2. Гарнитура литера-
турная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,90. Усл. кр.-отт. 8,12
Уч.-изд. л. 4,31. Тираж 22 925 экз. Заказ 1316. Цена 20 коп.
Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр, проезд
Серова, д. 4. Индекс заказа 894308.
Ордена Трудового Красного Знамени Чеховский полиграфический
комбинат Государственного комитета СССР по делам изда-
тельств, полиграфии и книжной торговли.
142300, г. Чехов Московской области