Новое
в жизни,
науке,
технике
МАТЕМАТИКА
КИБЕРНЕТИКА
Подписная
научно-
популярная
серия
8/1989
Н. X. Ибрагимов
АЗБУКА ГРУППОВОГО
АНАЛИЗА
Издается
ежемесячно
с 1967 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
§ 1. Однопараметрические группы преобразований 4
§ 2. Группы, допускаемые дифференциальными уравнениями 14
§ 3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений,
допускающих группу 24
§ 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения, обладающие
фундаментальной системой решений 34
§ 5. Фундаментальные решения уравнений математической физики
как инвариантные решения 39
§ 6. Короткое отступление о группе Галуа 42
Литература 44
Издательство
«Знание»
Москва
1989

ББК 22.161
И 15
ИБРАГИМОВ Наиль Хайруллович — доктор физико-математи-
физико-математических наук, лауреат Государственной премии, профессор МФТИ,
ведущий научный сотрудник Института прикладной математики
им. М. В. Келдыша АН СССР, специалист по математической
физике и групповому анализу дифференциальных уравнений.
Редактор И. Г. ВИРКО
Ибрагимов Н. X.
И15 Азбука группового анализа. — М.: Знание,
1989. — 48 с.— (Новое в жизни, науке, технике.
Сер. «Математика, кибернетика»; № 8).
ISBN 5-07-000901-х
20 к.
Групповой анализ служит для описания свойств дифференциальных урав-
уравнений при помощи допускаемых групп преобразований. Он дает практические
методы понижения порядка или полного интегрирования обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений и построения отдельных классов точных решений
линейных и нелинейных уравнений математической физики.
Настоящая брошюра включает фрагменты курса лекций по групповому
анализу, читаемого автором в Московском физико-техническом институте.
1602070000 ББК 22.161
ISBN 5-07-000901-х © Издательство «Знание», 1989 г.

ВВЕДЕНИЕ
Групповой анализ дифференциальных
уравнений возник как научное направ-
направление в работах выдающегося матема-
математика XIX в. Софуса Ли A842—1899)
и служил главной составной частью его
важнейшего творения — теории непре-
непрерывных групп. Первоначальная основная
задача группового анализа — вопрос
о разрешимости в квадратурах диффе-
дифференциальных уравнений — была практи-
практически решена самим Ли, но не нашла ши-
широкого применения. Хотя подход Ли к
дифференциальным уравнениям еще ис-
использовался его ранними последовате-
последователями, позже исследования в этом направ-
направлении прекратились, и надолго.
Интерес к групповому анализу возро-
возродил Л. В. Овсянников, показав в своих
работах 1958—1962 гг., что главное ору-
орудие, которым пользовался Ли, — описа-
описание свойств дифференциальных уравне-
уравнений при помощи допускаемых групп —
обнаруживает свою силу не только в во-
вопросах о полной разрешимости, но и при
построении отдельных классов точных
решений и качественном исследовании
дифференциальных уравнений механики
и математической физики. Такое расши-
расширение области применений потребовало
существенного углубления методов груп-
группового анализа, разработки новых по-
понятий и алгоритмов. Возникшие в связи
с этим проблемы и перспективы развития
стимулировали большое число исследо-
исследований (см. книги [7], [9] и обзор [10]).
Стало ясно, каким действенным инстру-
инструментом является групповой анализ при
решении сложных задач. Он существенно
расширяет и уточняет интуитивное по-
понимание симметрии, вооружает конструк-
конструктивными методами ее использования, ве-
ведет к правильной постановке задач, а
во многих случаях позволяет увидеть
возможные пути их решения.
К сожалению, приходится констати-
констатировать, что и сегодня практическое при-
применение свойств симметрии основывается
чаще всего не на знании методов груп-
группового анализа, а на случайных, более
или менее удачных догадках. Странность
положения усугубляется тем, что в на-
настоящее время разработаны и ждут при-
применения новые мощные методы группо-
группового анализа. Поэтому знакомство с
классическими его основами и современ-
современными методами становится важным эле-
элементом математической культуры для
тех, кто имеет дело с построением и изу-
изучением математических моделей задач
естествознания. Для этого наряду с
имеющимися монографиями по группо-
групповому анализу нужен учебник, рассчи-
рассчитанный на широкую аудиторию и при-
пригодный для первоначального ознакомле-
ознакомления с предметом.
Данная брошюра, по замыслу автора,
и должна сыграть роль такого учебника.
При ее чтении рекомендуется тщательно
разобрать примеры и прорешать пред-
предлагаемые упражнения, так как групповой
анализ относится к одной из тех обла-
областей, которые необходимо изучать на при-
примерах. Сюда в полной мере относятся
слова И. Ньютона о том, что «при изуче-
изучении наук примеры не менее поучительны,
нежели правила». Недостаточно лишь
формально знать теорию групп, ею надо
овладевать творчески, решая многочис-
многочисленные упражнения и нестандартные за-
задачи.
При работе над этой брошюрой ос-
основным источником послужили работы
С. Ли, в частности его книга [8]. Хоро-
Хорошее представление о работах Ли по обык-
обыкновенным дифференциальным уравнени-
уравнениям и о его манере мышления можно по-
получить по статье [5] Л. Диксона — одно-
одного из бывших слушателей лекций С. Ли.

§ 1. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В этом параграфе определяется и ил-
иллюстрируется понятие группы преобразо-
преобразований, зависящей от одного веществен-
вещественного параметра. Каждая такая однопа-
раметрическая группа полностью опреде-
определяется первым членом своего тейлоров-
тейлоровского разложения по параметру, или,
другими словами, касательным вектор-
векторным полем, называемым также инфини-
тезимальным оператором группы. Ис-
Использование инфинитезимального опера-
оператора вместо группы оказывается более
удобным в приложениях.
1.1. Определение и примеры. Рас-
Рассмотрим преобразование Т:
z'=f(z),
при помощи которого точка z = (z\ ..., zN)
евклидова пространства R^ переводится
в новое положение z' = (z'\ ..., z'N) в том
же пространстве R^; координаты zl и
zn точек z и z' относятся к одной и той
же системе координат. Будем предпола-
предполагать, что преобразование обратимо, и
записывать обратное преобразование, пе-
переводящее точку z' в z, как Г. После-
Последовательное выполнение преобразований
Г и Г в любом порядке дает тожде-
тождественное преобразование /, переводящее
любую точку z в себя.
Будем рассматривать теперь преобра-
преобразования, включенные в однопараметри-
ческое семейство {Га}:
z' = f(z,a), A.1)
где а — вещественный параметр, непре-
непрерывно изменяющийся в данном интерва-
интервале А с: R. Каждому частному значению
параметра а соответствует конкретное
преобразование семейства. Будем пред-
предполагать, что значению а = 0 соответ-
соответствует тождественное преобразование
Го=/ и что ТаФ1 для всех отличных
от нуля а^Д. Если тождественное пре-
преобразование получается не при а = 0,
а при некотором другом значении ао^А
(Гао = /), то предыдущее условие Го = /
достигается простым сдвигом параметра
а = а-\-а0. Примем далее, что рассматри-
рассматриваемое семейство вместе с каждым пре-
преобразованием содержит также обратное
преобразование; если Та — преобразова-
преобразование, соответствующее некоторому кон-
конкретному значению параметра а, то зна-
значение параметра, отвечающее обратному
преобразованию, будем обозначать a ,
так что Та~1 =Та-\.
Например, для преобразований растя-
растяжения z' = az тождественное преобразо-
преобразование получается при а = 1. После ука-
указанного выше сдвига параметра имеем
семейство преобразований
z' = z + azy A.2)
удовлетворяющее условию Го = /. При
этом а~1 = —т-т—, т^к что для любого
\-\-a
значения а из интервала —1<Са<:оо
определено обратное преобразование
Га1. Возьмем теперь два частных зна-
значения а и b параметра, принадлежащих
указанному интервалу, и последователь-
последовательно применим преобразования A.2) с эти-
этими значениями параметра. После первого
преобразования точка z перейдет в точку
z' = z-\-az, которую второе преобразова-
преобразование переведет к
ab)z.
Отсюда видно, что результат приме-
применения двух последовательных преобра-
преобразований семейств A.2) тождествен ре-
результату применения третьего преобра-
преобразования этого семейства со значением
параметра c = a-\-b-\-ab. Символически
это записывают в виде ТьТа = Та+ь+аь и
говорят, что преобразования A.2) обра-
образуют однопараметрическую группу.
В общем случае про преобразования
A.1) говорят, что они образуют одно-
параметрическую группу, если они, поми-
помимо перечисленных свойств, удовлетворя-
удовлетворяют условию
ТьТа=Тц(а,Ь), A-3)
где функция ф(а, Ь) считается достаточ-
достаточное число раз дифференцируемой (как,
впрочем, и все другие встречающиеся в
дальнейшем функции). Смысл этого ус-
условия тот же, что и в приведенном выше
примере: оно означает, что последова-
последовательное применение двух преобразований
Та и Ть равносильно третьему преоб-
преобразованию Тс с параметром с = ф(а, Ь).
Ясно, что для произвольного семейства
преобразований A.1) такое условие не
будет выполняться; читателю предлага-
предлагается в качестве упражнения самостоя-

тельно придумать примеры однопарамет-
рических семейств преобразований, не
образующих группу. Пусть выполнены
групповое свойство A.3) и «начальное»
условие То = 1. Тогда ТоТа = Тау TbTo = Tb,
откуда следует, что
ф(а>0) = а, ср(О, b) = b. A.4)
Например, для преобразований A.2)
ф(а, b)=a-\-b-\- aby и выполнение усло-
условий A.4) очевидно.
Наиболее распространенным приме-
примером однопараметрической группы яв-
является группа переносов вдоль заданной
прямой. Считая эту прямую направлен-
направленной вдоль первой координатной оси и
потому не обращая внимания на другие
координаты, имеем следующий
ф Пример 1.1. Группа переносов вдоль
вещественной прямой
х' = х-\-а.
В результате двух последовательных
переносов точки х получим
так что в данном случае ф(а, 6) =
a а~1 = — а. ф
О Упражнение 1.1. Покажите, что пре-
преобразования
х' = х + а-\-а2
образуют группу, и найдите значения
ф(а, Ь) и а.0
О Упражнение 1.2. Выясните, образуют
ли группу преобразования
на плоскости (л;, у). О
Резюмируем основные свойства одно-
параметрической группы:
1) То = 1 (или Тао = 1) (существование
единицы);
2) Т^х =Та-\ (существование обрат-
обратного элемента);
3) Тс(ТьТа)=(ТсТь)Та (ассоциатив-
(ассоциативность умножения в группе).
Последнее свойство сразу следует из
определения умножения как последова-
последовательного выполнения преобразований;
действительно,
= Tc(Tb(Ta(Ta(z))) = (ТсТь){ Та(г)) =
= {ТсТь)Та{г).
В абстрактной теории групп эти три
свойства кладутся в основу определения
группы. Помимо этих свойств, в нашем
случае присутствует еще дополнительное
свойство топологического характера —
непрерывная зависимость от параметра,
которым мы сейчас воспользуемся.
1.2. Уравнение Ли. Пусть преобразо-
преобразования A.1) образуют группу и пусть
условие A.3), выражающее групповое
свойство, имеет простой вид ТьТа = Та+ь,
так что ф(а, Ь) = а-\-Ь. Другими словами,
пусть
/(/B, а), Ь) = f(z, a + b); A.5)
при этом, очевидно, а-1= — а. Ниже мы
покажем, что на самом деле так могут
быть описаны все однопараметрические
группы: любой закон умножения A.3)
может быть приведен к виду A.5) путем
перепараметризации (невырожденной
замены группового параметра а). Будем
обозначать эту группу буквой G.
Разложим функцию f(z, а) в ряд Тей-
Тейлора по параметру а в окрестности а = 0.
По условию Го = / имеем /(«г, 0) = z. По-
Поэтому, обозначив
l(z) = d-I^ , A.6)
v ' да а=о v '
запишем преобразование A.1) в виде
z' = z + l(z)a + o(a). A.7)
Следующая теорема Ли утверждает,
что этими двумя членами разложения
однозначно определяется функция f(z, а),
удовлетворяющая групповому свойству
A.5). Говорят также, что группа G оп-
определяется своим касательным вектор-
векторным полем |, так как формулой A.6) за-
задается касательный вектор в точке z к
кривой, описываемой точками zr при
групповом преобразовании A.1).
Теорема 1.1. Пусть функция f(z9 а)
удовлетворяет групповому свойству A.5)
и имеет разложение A.7). Тогда она яв-
является решением обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения первого порядка
(называемого уравнением Ли) с началь-
начальным условием:
^ = БШ. f\a=0=z. A.8)
Обратно, для любого гладкого вектор-
векторного поля ?(z) решение задачи Коши
A.8) (решение существует и единствен-

но) удовлетворяет групповому свойству
A.5).
Доказательство. Пусть выпол-
выполнено групповое свойство A.5). Придав
параметру а приращение Да, запишем
равенство A.5) в виде
Отсюда, выделяя главную линейную
часть по Да,
Аа + о(Аа)
а=0
и записывая
д№г, а), Да)
д^a
Да=0
= l(f(z9a))
по определению A.6), получаем урав-
уравнение Ли
Докажем теперь вторую часть теоре-
теоремы. Пусть f(z, a) — решение задачи A.8).
Зафиксируем значение параметра a
(близкое к а = 0, поскольку решение мо-
может существовать лишь локально, т. е.
для достаточно малых значений а) и
рассмотрим две функции:
u(b) = f(z',b)=f(f(z,a),b),
Для них в силу уравнения Ли имеем
db
db
Таким образом, функции и(Ь) и и(Ь)
удовлетворяют одному и тому же обык-
обыкновенному дифференциальному уравне-
уравнению первого порядка и одинаковым на-
начальным условиям. В силу единственно-
единственности решения задачи Коши отсюда следует
равенство u(b) = v(b), равносильное груп-
групповому свойству A.5). Теорема дока-
доказана.
ф Пример 1.2. Группа переносов х/ =
= x + a из примера 1.1 имеет касатель-
касательный вектор 1(х) = \. Выполнение уравне-
уравнения Ли, имеющего в данном случае вид
dx'/da = 1, очевидно, ф
ф Пример 1.3. Зададим на веществен-
вещественной прямой векторное поле |(л:)=л: и ре-
решим для него уравнение Ли. Соответ-
Соответствующая задача A.8) имеет вид
dx'/da = x', x'\a=0 = x. Она легко решает-
решается и дает группу растяжений х' = хеа,
ранее записанную в другой параметри-
параметризации в виде A.2). ф
ф Пример 1.4. Найдем группу преобра-
преобразований на плоскости (х, у), имеющую
касательное векторное поле ?(*, z/) =
= (л:, 2у). Пусть искомые преобразования
A.1) переводят точки z = (#, у) в точки
2/ = (л:/, у'). Тогда уравнение Ли A.8)
запишется в виде системы
В нашем случае ^(х, у) = х, |2(л:, у) =
= 2//, так что задача сводится к решению
системы
Отсюда x/ = dea1 y'=C2e2a. Постоян-
Постоянные интегрирования Си Съ находятся из
начальных условий л^|а=0 = л;, у'\а=0 = у
и равны С\ = х, С2 = у. В результате по-
получается группа неоднородных растяже-
растяжений
х' = хе\ у' = уе2а.
Введя новый параметр a = ea, эти пре-
преобразования можно записать в виде
х' = ах, у' = а2у; в такой записи тожде-
тождественное преобразование получается при
значении ао = 1, а обратное преобразова-
преобразование — при a~l = I/a. ф
ф Пример 1.5. Пусть на плоскости
(л:, у) задано векторное поле g = (х2, ху).
Построим однопараметрическую группу
преобразований, имеющую поле | в каче-
качестве своего касательного векторного по-
поля. Другими словами, нужно восстано-
восстановить преобразование A.1) по известному
бесконечно малому преобразованию
A.7), которое, ограничиваясь величина-
величинами первого порядка малости по а, можно
записать для нашего случая в виде
х'жх-\-ах2у у'жу-\-аху.
Для этого надо решить уравнения Ли
da
da

Эта система легко решается и дает
х' = — -
У=-
с2
Из начального
а+С * a + Ci
условия находим С\ = — 1/х, Сг = —у/х.
В результате получается однопараметри-
ческая группа проективных преобразова-
преобразований:
х' =
1 —
A.9)
О Упражнение 1.3. Проверьте, что пре-
преобразования A.9) удовлетворяют груп-
групповому свойству A.5), т. е. что в резуль-
результате последовательного выполнения пре-
преобразований A.9) со значениями пара-
параметра а и Ь точка (х, у) перейдет в точку
с координатами
A.10)
О
r'=-
У" =
У
\-(а + Ь)х
Последний из рассмотренных приме-
примеров удобен для иллюстрации еще не упо-
упоминавшегося свойства групп преобразо-
преобразований вида A.1) — их локального харак-
характера. Возьмем, например, точку (х, у)
с координатами л; = у = 1 и подвергнем
преобразованию A.9), получим
x' = -
1
Отсюда видно, что параметр а может
принимать любые значения из Д =
= (—оо, 1). Но из A.10) ясно, что после-
последовательное выполнение преобразований
с произвольно выбранными значениями
параметра а и Ь из указанного интервала
может привести к недопустимому значе-
значению а + &=1. Например, преобразова-
преобразования Та и Ть с а=1/3 и b = 2/3 определе-
определены, но их произведение ТьТа не имеет
смысла. Следовательно, перемножать
можно только те преобразования, значе-
значения параметра которых принадлежат не-
некоторому подынтервалу. Так, в нашем
случае определено произведение ТьТа,
когда а и b берутся из подынтервала
Д' = (—оо, 1/2); если мы хотим перемно-
перемножить три преобразования, то их парамет-
параметры нужно выбирать из еще меньшего
подынтервала основного интервала А,
и т. д. Это говорит о том, что решение
уравнения Ли дает, строго говоря, не
группу, а локальную группу в том смысле,
что в семействе {Га} преобразований A.1)
умножение элементов Та и Ть возможно
не при всех значениях a, fee A, a только
для а, Ь из некоторого подынтервала
A/dA, содержащего а = 0. Этот подын-
подынтервал можно выбрать так, что каждое
преобразование Та при аЕД' обладает
обратным преобразованием 7Т1 =Та-х с
аЕД. Кроме того, тот же пример 1.5
показывает, что основной интервал Д мо-
может зависеть (непрерывным образом) от
преобразуемой точки г.
Вернемся теперь к вопросу о приве-
приведении произвольного закона умножения
A.3) в локальной однопараметрической
группе к простейшему виду A.5). Запи-
Запишем групповое свойство A.3) для преоб-
преобразований z' = ]{z,d) в виде
f(z', Ь) = f(f(z, a), b)=f(z, Ф(а, Ь)) A.3')
и будем считать, что тождественное пре-
преобразование получается при а = 0, т. е.
что выполнены условия A.4) ср(а, 0)=а,
ф@, b) = b. Дифференцирование по b ле-
левой и правой частей A.3х) дает
df(z, с) д<р(а, Ь)
дс ~db '
где с = ф(а, Ь). Полагая теперь Ь = 0 и
учитывая, что при этом с=а в силу
A.4), получаем следующее равенство:
дЬ
дЬ
^д1(г,а)[д<р(а,ЬЦ
7=0 да L дЬ \\ь=о'
Здесь второй множитель справа ра-
равен 1 при а = 0, так что он отличен от
нуля при малых значениях а ввиду не-
непрерывности. Поэтому положим
дф(а, Ь)
дЬ
ь=о
и, обозначив l{z) = df(z'a)
да
ь=о
запишем
полученное равенство в виде
^ }~ А(а) da
ИЛИ
где новый параметр а определен форму-
формулой
A.12)
а = ^ А(а) da.
Таким образом, относительно пара-
параметра а (он называется каноническим

параметром) получилось уравнение Ли
A.8). Поэтому из теоремы 1.1 следует,
что в этой параметризации закон умно-
умножения в группе имеет вид A.5).
Например, для преобразований A.2)
z' = z-\-az закон умножения имеет вид
ф(а, Ь) = а + b + ab. По формуле A.11)
имеем А= и из A.12) получаем
канонический параметр
1.3. Инварианты. Инфинитезималь-
ный оператор группы. Функция F(z) на-
называется инвариантом группы преобра-
преобразований A.7)
(z)a+o(a),
A.13)
если для всех (допустимых) z, а
F(f(z,a)) = F(z).
Теорема 1.2. Функция F(z) является
инвариантом тогда и только тогда, когда
она удовлетворяет уравнению
1'(г)Ц&=0. A.14)
Доказательство. Если F(z) удов-
удовлетворяет условию инвариантности
A.13), то выполнение A.14) очевидно
из разложения
Пусть теперь известно, что F(z) —
решение уравнения A.14). Поскольку ра-
равенство A.14) выполняется в любой точ-
точке 2, запишем его в точках z'=f(z,a):
Воспользовавшись уравнением
A.8) и этим равенством, получим
dF(f(z, a)) = dF(z') df\z, a) =
da dzn da
Ли
Следовательно, F(f(z, а)) как функция
от а удовлетворяет следующему диффе-
дифференциальному уравнению с начальным
условием:
Это дает требуемое равенство A.13).
Теорема доказана.
Критерий инвариантности A-14)
представляет собой линейное однородное
уравнение в частных производных пер-
первого порядка. Поэтому всякая однопара-
метрическая группа преобразований в R^
имеет N— 1 функционально независимых
инвариантов, причем любой другой ин-
инвариант данной группы является функ-
функцией этих N — 1 «базисных» инвариантов.
В качестве такого базиса можно выбрать
левые части первых интегралов
характеристической системы для A.14):
dz[
dz2
dzh
-Ш-—Ш <1Л5>
ф Пример 1.6. Для группы растяжений
в R3
/ = ze
касательный вектор равен ? = (*, 2у,
—2z), и уравнение A.14) имеет вид
Легко видеть, что первыми интегра-
интегралами соответствующей характеристиче-
характеристической системы A.15)
dx_ dy_ dz_
х ~ 2у ~ ~ 2z
являются у/х2 = С\, x2z = C2. Следова-
Следовательно, базис инвариантов образуют
функции Ji=y/x2, J2 = x2z, а общий ин-
инвариант имеет вид F = F(y/x2,x2z).%
Если ввести в рассмотрение диффе-
дифференциальный оператор
то критерий инвариантности A.14) запи-
запишется в виде
XF = 0. A.14')
Этот оператор X называется инфини-
тезимальным оператором (или просто
оператором) группы G преобразований
A.7). В дальнейшем вместо касательного
вектора ? = (?*,..., ?^) группы G в основ-
основном будет использоваться инфинитези-
мальный оператор A.16). Если задан

оператор группы, то преобразования
этой группы находятся путем решения
соответствующего уравнения Ли. Пусть,
скажем, требуется найти группу с опера-
оператором Х=у- х —. Сравнение с фор-
формулой A.16) показывает, что речь идет
о группе с касательным вектором | =
= (у, —х). Поэтому уравнение «Ли A.8)
имеет вид
с1а~У ' da ~~X '
Эта система легко решается и с уче-
учетом начальных условий дает
х' = х cos а -\- у sin a,
у'= у cos a —х sin а.
ф Пример 1.7. Часто встречающиеся
группы на плоскости, их операторы и ти-
типичные инварианты:
(I) Переносы вдоль оси х: х' =
_d_.
дхУ
вдоль оси у: х'=х, у'=у-\-а\
=Ъ j=x-
параллельно прямой kx-\-ly = 0: xr =
+ l ' k
x=li~kh '=
(II) Вращение: х' = х cos a-\-y sin a,
у'=у cos а — л: sin а;
(III) Преобразование Лоренца: х' =
= xch a+y sh a, y'=y ch a + x sh a;
(IV) Преобразование Галилея: х' =
у у' = у\
=У^> 3=У-
(V) Однородное растяжение: х' = хеау
y'=yea-
д , д j x
(VI) Неоднородное растяжение: х' =
= хеа, у' = уека\
дх
ду
у
(VII) Проективное преобразование: х'=
— х „/_ У .
1 —
1-е
Иногда бывает удобно представлять
групповые преобразования z' = f(z, a),
а также функции Т7(zx) = F(F(f(z, a))
в виде рядов по степеням группового
параметра а. Выше мы использовали
такие разложения, ограничиваясь члена-
членами первого порядка малости. Так, при до-
доказательстве теоремы 1.2 нам понадоби-
понадобились формулы
z'=f{z,a) = z + ai{z) + o{a\ A.7)
F{z') = F{z) + ai\z)^ + o{a\ A.17)
Найдем теперь следующие члены раз-
разложения A.17). Для сокращения записи
условимся здесь обозначать F(z) = Fy
Тогда A.17) запишется в виде F' =
i vr I / \
-\-aXF-\-o (а), а равенство
dF(f(z, a))
da
dzn
также приводившееся при
доказательстве теоремы 1.2, — в виде
— = X F . (l.lo)
Учитывая, что правая часть равен-
равенства A.18) снова является функцией
от zf, мы можем применять его повторно
и получить
d F' d / у/ rv\ V//Y/Z7/\ V^2 rp/
¦7-5- = -- л r )^A (A r )^A r ,
da2 dax ' v 7
d3F'
da3
= X'6F
/3/7/
и т. д. Подставляя эти выражения в фор-
формулу Тейлора
Ja=o ^ а L da Ja=o^ 2! L da2 Ja=o
получаем следующее разложение:

или
F(z') = (l+aX
(aXf
2!
EEEeaXF(z). A.19)
В частном случае F = z формула
A.19) принимает вид
z'=eaX(z). A.20)
Это есть известное представление
однопараметрической группы с помощью
экспоненциального отображения.
ф Пример 1.8 . Пусть G — группа пере-
переносов на вещественной прямой. Тогда
X = d/dx, и формула A.19) дает обычное
разложение функции F(z + a) в ряд Тей-
Тейлора в точке х:
F(x + a) = F{x) + aF' (x) + ^F" (x) +
+ f^""M+....
ф Пример 1.9. Пусть G — группа растя-
жении на прямой с оператором Х = х— .
В этом случае
V2 d d d . 2 d2
A =X — -X— =X— -\"X -3-5-,
dx dx dx dx2
x?
dx
dx
dx
d?
и разложение A.19) имеет вид
F (xea) = F (x) + axF'(x) +
~
О Упражнение 1.4. Для сравнения вы-
выведите эту формулу с помощью тейло-
тейлоровского разложения функции
4*0
(^Упражнение 1.5. Получите разложе-
разложение функции Fyx^ax) по а с точностью
до членов порядка а3 включительно (ука-
(указание: воспользуйтесь формулой A.19)
для группы проективных преобразований
на прямой с оператором
О Упражнение 1.6. Вычислите все члены
ряда A.20) в одномерном случае (z=x)
d
для оператора Х = х-т- и просуммируйте
полученный ряд. Проделайте то же самое
для z = (x,y), X = x — -\-ky— , k = const;
результат суммирования сравните с при-
примером 1.7 (VI). Можете ли сделать это
для всех операторов из примера 1.7? О
В дальнейшем нам понадобится сле-
следующая простая, но весьма полезная
теорема.
Теорема 1.3. Всякая однопараметри-
ческая локальная группа G преобразо-
преобразований z'' = F (z, а) в RN некоторой невы-
невырожденной заменой переменных
il = 2{z) A.21)
приводится к группе переносов вдоль
оси zN.
Доказательство. Пусть данная
группа G имеет оператор
A.22)
Из очевидного равенства
= ?* -j-i — следует, что при замене пере-
переменных A.21) оператор A.22) прини-
принимает вид
dzl
A.23)
Выберем любой набор N—\ функ-
функционально независимых инвариантов
/i(z), ..., !N-\{z) группы G в качестве
первых N— 1 новых переменных z\
..., zN~x, а переменную zN найдем из урав-
уравнения
X(zN)=L A.24)
Полученная система функций
2Wi(z),..., ZN-{=JN-{(ZI ZN=ZN(Z)
функционально независима (почему?)
и определяет искомую замену перемен-
переменных A.21). Действительно, в этих пере-
переменных оператор A.22), как видно из
A.23)L A.24) и A.14'), имеет вид Х =
= d/dzN и определяет группу переносов
вдоль оси zN. Теорема доказана.
ф Пример 1.10. Приведем к переносам
группу вращений из примера 1.7 (II).

Здесь оператор A.22) равен Х=
= у х — . Согласно теореме 1.3 в ка-
качестве первой новой переменной следует
выбрать инвариант г = д/х2+#2, а вто-
вторую переменную (обозначим ее ф) найти
из уравнения A.24):
дх
ду
Записав характеристическую систему,
соответствующую этому неоднородному
линейному уравнению,
dx dy
легко находим частное решение
Ф =
= arcsin—,
или cp = arctg х/у. Итак, в переменных г =
= л]х2 -\-у2, ф = arctg у/х имеем Х = д/дц>,
и преобразования группы вращений за-
записываются в виде г' = г, ф/ = ф-|-а.
ф Пример 1.11. Пусть G — группа рас-
растяжений в R3 из примера 1.6. Здесь
оператор A.22) равен
дх
f
ду
dz '
Запишем замену переменных A.21) в ви-
де (jc,у,z)\-+(u,v,w), взяв в качестве пер-
двух переменных инварианты и = у/х2,
v = x2z. Уравнение A.24) для нахожде-
третьей переменной до имеет вид
x9w 2 dw_ 2z?w =
дх J ду dz
откуда видно, что в этом случае удобно
искать частное решение до, зависящее
только от х. Тогда из уравнения х^- = \
имеем до = 1п х. Итак, после замены
получается группа переносов
и'=иу vf = v, w'=w-\-a.
О Упражнение 1.7. Приведите к пере-
переносам группы (III) — (VII) из при-
примера 1.7.0
1.4. Инвариантные уравнения. Рас-
Рассматривается (N — 5)-мерная поверх-
поверхность MczRN, заданная системой урав-
уравнений
Fi(z) = 0, ...,Fs(z) = O, s<^. A.25)
Считается, что это задание поверх-
поверхности является регулярным, т. е. ранг
матрицы ^-? (fe=l,...,s; 1=1, ...,N)
равен 5.
Поверхность М называется инва-
инвариантной относительно группы G преоб-
преобразований
z' = f(z,a) = z + al(z) + o(a), A.7)
если каждая точка z поверхности М пере-
перемещается преобразованием A.7) по этой
поверхности. Другими словами, если z —
решение системы A.25), то z' — тоже
ее решение
F,(Z0 = 0, jfe=l,...,s. A.25')
Ввиду этого говорят также, что систе-
система уравнений A.25) инвариантна отно-
относительно группы G или что эта система
допускает группу G. Пусть Х=%—j —
инфинитезимальный оператор группы.
Теорема 1.4. Система уравнений
A.25) инвариантна относительно груп-
группы G тогда и только тогда, когда
^1^ = 0, * = l,...,s. A.26)
Доказательство. Пусть систе-
система A.25) инвариантна. Тогда для каж-
каждой точки zgMh всех допустимых зна-
значений параметра а преобразования A.7)
выполняются равенства A.25х). Под-
Подставляя в эти равенства разложения
A.17) Fk{z') = Fk(z) + aXFk + o{a) и учи-
учитывая, что РкB) = 0, получаем A.26).
Пусть теперь, наоборот, выполнены
равенства A.26). Нужно показать, что
отсюда следует выполнение уравне-
уравнений A.25Г) для всех zgM. Заметим
сначала, что A.26) есть не что иное,
как условие касания вектора ?(z) к по~
верхности М в точке г. Из этой геомет-
геометрической интерпретации следует, что вся
конструкция сохраняется при любой
невырожденной замене переменных
A.21). Поэтому мы можем сначала
«выпрямить» поверхность М (взяв в за-
замене A.21) в качестве первых s функций
zl(z) левые части уравнений A.25)) и
задать ее уравнениями
zk = 0; * = l,...,s. A.27)

Тогда условие A.26) упрощается и
принимает вид
|*@, ..., О, zs+1, ..., z") = 0;
fe=l,...,s. A-28)
Мы хотим показать, что уравне-
уравнения A.27) сохранятся и после преобра-
преобразования A.7), т.е. что
г'*=0; * = l,...,s A-270
для всех точек z = @, ..., О, zs+1, ..., zN).
С этой целью запишем уравнения Ли
в виде
da
¦ = E*(z/1,...,z's,.
dz's
da
/ = 1, ..., N —S,
A.29)
A.30)
а в качестве начального значения
zf\ =0=2 возьмем любую точку z из М,
т. е7 z = @, ...,0, zs+\...,zN). Тогда из
условия A.28) видно, что функции
z/k = 0 (fe = l,..., s) удовлетворяют урав-
уравнениям A.29) и нулевым начальным
условиям. Остальные функции z/s+l
находятся из A.30) после подстановки
туда z//j = 0. В силу единственности
решения задачи Коши это означает вы-
выполнение A.27х) для всех z<=M, т. е. ин-
инвариантность поверхности М. Теорема
доказана.
Применяя эту теорему, следует по-
помнить, что при ее доказательстве (а имен-
именно при приведении уравнений A.25)
к виду A.27)) существенно используется
условие регулярности задания поверх-
поверхности М уравнениями A.25).
ф Пример 1.12. Параболоид вращения
'-1>J=0
A.31)
инвариантен относительно группы неод-
неоднородных растяжений (см. пример 1.7
(VI)) с инфинитезимальным оператором
Выполнение критерия инвариантно-
инвариантности A.26) следует из равенства
J2)
i = 2 ' ^ i = 2
Это же равенство показывает, что
левая часть уравнения A.31) не является
инвариантом — не выполнено условие
A.14х). Но тот же параболоид можно
задать с помощью инварианта, перепи-
переписав уравнение A.31) в виде
A.32)
1 = 2
Отмеченная в этом примере возмож-
возможность задания инвариантной поверхности
с помощью инварианта имеет общий ха-
характер, как показывает следующая тео-
теорема. Основываясь на ней, можно дать
полное описание всех инвариантных
поверхностей (т. е. всех инвариантных
систем уравнений A.25)) данной группы
с помощью ее базисных инвариантов.
Теорема 1.5. Поверхность М, инва-
инвариантная относительно группы G, может
быть задана системой уравнений вида
A.33)
где функции
/j(z), ...,/yv_,(z) A.34)
образуют базис инвариантов группы G,
если инфинитезимальный оператор груп-
группы G не обращается в нуль на поверх-
поверхности М.
Доказательство. Пусть поверх-
поверхность М задана уравнениями A.25) и
удовлетворяет условию регулярности:
ранг -г-н = s. Ввиду инвариантности
11 и Z 11 М
поверхности М каждая ее точка пере-
перемещается преобразованиями группы G
по этой поверхности. Поэтому, ограничив
действие группы G на М, мы получим
семейство преобразований поверхности
М в себя. Это семейство снова образует
локальную группу (почему?) и называет-
называется группой, индуцированной на инва-
инвариантной поверхности М. Обозначим по-
полученную индуцированную группу G.
Сделаем замену переменных z h-^(z, у):
zk = Fk{z), yl = m(z)\
jfe = l,...,s; / = l,...,N-s, A.35)
где Fk(z) — левые части уравнений
A.25), a cp,(z) — любые функции, удов-
удовлетворяющие условию невырожденности
замены A.35). Тогда точки поверх-
поверхности М характеризуются равенствами

и индуцированная группа G действует
в (N — 5)-мерном пространстве перемен-
переменных у = (у\ ..., yN~~s). Следовательно, ин-
индуцированная группа имеет ровно
N — 5 — 1 функционально независимых
инвариантов. В частности, ее инвариан-
инвариантами являются значения функций A.34)
на поверхности Му которые мы обозначим
через ]\ (у), ..., JN_X (у). Среди них неза-
независимыми могут быть не более чем
N — 5—1; пусть число независимых рав-
равно N — s'—1^Л/ — 5—1. Тогда сущест-
существует s' функциональных связей
выберем функции
где
Считая левые части A.36) извест-
известными, определим поверхность М' урав-
уравнениями
? = 1,...,*', A.37)
Поверхность М\ очевидно, содержит
поверхность М (любая точка z^M
удовлетворяет уравнениям A.37) в си-
силу A.36)). Следовательно, dimM'^
>dimM Но так как dim M' = N — s,
dim M = N — 5, то N — s'^N — s,
т. е. s' ^s. Последнее неравенство вместе
с условием s'^s дает s' = s,
т.е. dim M' = dim М. Из равенства раз-
размерностей и включения MczM' следует
локальное совпадение М = М'. Таким
образом, уравнения A.37) представляют
собой искомое инвариантное задание
A.33) инвариантной поверхности М.
Теорема доказана.
Приведенное доказательство дает
также способ нахождения инвариант-
инвариантного задания A.33), который сводится
к отысканию функциональных связей
A.36) между значениями инвариантов
A.24) на поверхности М. Применим эту
конструкцию к рассмотренному выше
примеру.
ф Пример 1.13. Пусть М — параболоид
вращения из примера 1.12, так что s= 1,
В качестве базиса G с оператором инва-
инвариантов группы
v о~Л д i ~2 д | | JV 3
A.38)
Осуществим замену A.35) форму-
формулами
i = 2
Точки параболоида М характеризуют-
характеризуются уравнением z1^0, и инвариан-
инварианты A.38) принимают вид
A.36) где г2= 2 (у1J. Согласно теореме меж-
между ними должна быть одна функциональ-
функциональная связь вида A.36); такой связью, оче-
очевидно, является соотношение /i(y) + ...+
+ /tf-i(j/) = l- Поэтому уравнение A.37)
записывается так:
Подстановкой сюда значений A.38)
инвариантов получаем уравнение пара-
параболоида в явно инвариантной фор-
форме A.32)
которая в примере 1.12 была угадана.
Инвариантное представление A.33)
данной инвариантной поверхности опре-
определено неоднозначно. Убедитесь в этом
сами, выполнив следующее.
О Упражнение 1.8. Повторите построе-
построения примера 1.13, взяв в качестве базиса
инвариантов не A.38), а следующие ин-
инварианты:
О Упражнение 1.9. Пусть G — группа
преобразований х' = хеа, у' = у на плос-
плоскости (х, у), т. е. группа растяжений по
направлению оси х. Убедитесь, что ось у
инвариантна относительно группы G,
но не может быть задана в инвариантном
виде A.33). Не противоречит ли это
теореме 1.5? О

§ 2. ГРУППЫ, ДОПУСКАЕМЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ
Допускаемая группа характеризует
свойства симметрии дифференциального
уравнения и используется для его пол-
полного интегрирования или построения от-
отдельных классов точных решений и ка-
качественного исследования. Цель этого
параграфа — научить вычислять допу-
допускаемую группу.
2.1. Предварительное обсуждение на
примере уравнения теплопроводности.
Чтобы начать с чего-либо определенно-
определенного, рассмотрим уравнение теплопровод-
теплопроводности
Ut — uxx = 0. B.1)
Очевидно, что оно не изменяется при
переносах времени t' = t-\-a и простран-
пространственной координаты х' = х-\-а, а также
ввиду линейности и однородности при
преобразованиях функции и' = и-{-
-\-a<f>(t,x), где ф(/, х) — любое решение
уравнения B.1) (принцип суперпози-
суперпозиции), и и' = иеа\ в последнем случае ле-
левая часть B.1) приобретает отличный
от нуля множитель еа, поэтому B.1)
переходит в равносильное уравнение того
же вида и\ — ихх = 0. Про всякое пре-
преобразование, переводящее данное диф-
дифференциальное уравнение в равносиль-
равносильное уравнение того же вида, говорят,
что это преобразование допускается рас-
рассматриваемым дифференциальным урав-
уравнением. Таким образом, приведенные
выше четыре однопараметрические груп-
группы преобразований допускаются уравне-
уравнением теплопроводности. Менее очевидно,
что это уравнение допускает также сле-
следующее однопараметрическое семейство
преобразований:
t' = t, x' = x + 2at, и' = ие-{ах+аН\ B.2)
О Упражнение 2.1. Покажите, что пре-
преобразования B.2) образуют группу
(представление в пространстве перемен-
переменных t, х, и группы Галилея из приме-
примера 1.7 (IV)), и найдите ее инфините-
зимальный оператор. О
Проверим инвариантность уравнения
теплопроводности относительно преобра-
преобразований B.2). По обычным формулам
преобразования производных при замене
переменных находим из B.2):
u't,=(ut
а2и-2аих)
Получающееся отсюда равенство
Щ' — их'х' — \ut — ихх) е
показывает, что уравнение B.1) под дей-
действием преобразований B.2) переходит
в равносильное уравнение u!t, — wxV = 0
того же вида.
Одно из возможных применений до-
допускаемых преобразований основывается
на том, что они переводят любое реше-
решение рассматриваемого дифференциаль-
дифференциального уравнения снова в решение. Про-
Проверим это свойство в случае преобра-
преобразований B.2). Пусть задано некоторое
решение
u = q>(t9 x)
B.4)
уравнения теплопроводности. Поскольку
в переменных B.2) уравнение B.1)
имеет тот же вид, запишем решение
B.4) в штрихованных переменных и'' =
= ф(/', xf) и подставим сюда выраже-
выражения для t',x',u' из B.2). Разрешив по-
полученное равенство ue~(ax+a4)=y(t, x-\-2at)
относительно и, получим
B.5)
Эта формула определяет однопара-
однопараметрическое семейство решений, в чем
читатель может убедиться сам, выпол-
выполнив следующее
О Упражнение 2.2. Проверьте подста-
подстановкой B.5) в B.1), что для любого
решения B.4) уравнения теплопровод-
теплопроводности функция и, определенная форму-
формулой B.5), также является решением. На-
Например, простейшее решение и = х пере-
переходит после преобразования B.5) в ре-
решение u=(x + 2at)eax+aH . О
Итак, мы знаем пять разных одно-
параметрических групп преобразований,
допускаемых уравнением теплопровод-
теплопроводности (на самом деле в формуле и' =
= и + ац) (/, х) содержится бесконечно
много однопараметрических групп, так
как имеется бесконечно много незави-
независимых решений ф (/, х) уравнения B.1)).
Спрашивается, исчерпываются ли ими
все допускаемые группы? Если нет, то

как найти остальные и доказать, что
найдены все преобразования, допускае-
допускаемые уравнением теплопроводности и об-
образующие группу? Конструктивный под-
подход, позволяющий разрешить эти вопро-
вопросы для произвольных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, основывается на теоре-
теореме 1.4 и дифференциально-алгебраиче-
дифференциально-алгебраической трактовке дифференциальных урав-
уравнений как поверхностей в продолжен-
продолженном (на производные от и по t, x)
пространстве. Прежде чем переходить
к описанию общей конструкции, пояс-
поясним суть подхода на примере преобра-
преобразований B.2), предложив читателю сна-
сначала выполнить следующее подготови-
подготовительное
О Упражнение 2.3. Покажите, что фор-
формулы B.2), B.3) задают однопарамет-
рическую группу преобразований в ше-
шестимерном пространстве переменных z =
= (/, х, и, ut, uXy uxx), и найдите ее
инфинитезимальный оператор. О
Теперь обратимся к § 1.4, взяв N = 6y
а в качестве элементов пространства
R6 — указанные в упражнении 2.3 векто-
векторы z с компонентами t, ..., ихх. Урав-
Уравнение теплопроводности B.1) имеет вид
A.25) с s=\ и определяет 5-мерную
поверхность MczR6, являющуюся (ввиду
линейности B.1)) гиперплоскостью. Вид-
Видно, что инвариантность уравнения тепло-
теплопроводности относительно преобразова-
преобразований B.2) означает инвариантность ука-
указанной гиперплоскости MczR6 относи-
относительно продолженных преобразований
B.2), B.3). Но так как последние обра-
образуют группу, то справедлив инфините-
инфинитезимальный критерий инвариантности,
сформулированный в теореме 1.4 в виде
равенств A.26). Выпишем эти равенства
в данном случае. По формуле A.6)
легко находим, что оператор группы пре-
преобразований B.2) равен
4
дх
>4-i
ди
B.6)
а оператор группы продолженных пре-
преобразований B.2), B.3) равен
)-?-¦> B-7)
здесь X дается формулой B.6), а значок
«2» указывает, что оператор B.7) по-
получен продолжением действия операто-
оператора X на производные до второго по-
порядка включительно (действие на utt и
utx не указано, так как эти величины
в основных формулах B.1), B.2),
B.3) отсутствуют). Оператор X дейст-
действует на функции от величин t, х, иу ии
иХу иХХу рассматриваемых как независи-
независимые переменные. Поэтому имеем
X(ut — ихх) = — (xut + 2ux)JL(ut — ихх)—
* OUt
Отсюда следует выполнение равен-
равенства
^-М|B.1)=0, B.8)
представляющего собой инфинитези-
инфинитезимальный критерий инвариантности
A.26). Эта схема, проведенная в обрат-
обратном порядке (от уравнения B.8) к опе-
оператору B.6)), позволяет найти все
допускаемые группы.
2.2. Обозначения. В дальнейшем ком-
компоненты вектора z будут выбираться
из следующих различных наборов пере-
переменных:
х={х% и = {иа\, и = {и?}, и = №,...
где индекс i пробегает значения от 1 до
я, а а — от 1 до т. Эти переменные
считаются алгебраически независимыми,
но связанными дифференциальными со-
соотношениями
ut = D(ua), utl = Diut) = DiDl{ua), ... B.9)
с помощью дифференцирований
D'= ?+«"?+"» <?=+- <2Л0>
Из этих формул ясно, что должны
выполняться условия симметричности
uTj = ufi и т. д.
Дифференцирования Д «обрывают-
«обрываются» при действии ими на функции от
конечного набора переменных х, иу и, ...
и, следовательно, корректно определены
на множестве всех гладких функций от
любого конечного набора указанных

переменных. Будем считать эти функции
аналитическими.
Величины х1 называются независи-
независимыми переменными, иа — дифференци-
дифференциальными переменными, a uf, и", ... —
первыми, вторыми и т. д. производ-
производными этих дифференциальных перемен-
переменных. Всякая аналитическая функция
конечного набора переменных лг, и, и, ...
называется дифференциальной функ-
функцией. Максимальный порядок р произ-
производной, входящей в дифференциаль-
дифференциальную функцию f = f(x, uy и, ..., и), на-
1 р
зывается порядком этой функции. Мно-
Множество всех дифференциальных функций
будет обозначаться jd.
Пусть F^jrf — дифференциальная
функция порядка р. Уравнение
F(x, и, и, ..., и) = 0 B.11)
1 р
задает некоторую поверхность в про-
пространстве переменных х, и, ..., и. На-
р
пример, левая часть уравнения тепло-
теплопроводности является дифференциаль-
дифференциальной функцией порядка 2, а само уравне-
уравнение B.1) задает, как уже отмечалось,
гиперплоскость. Будем рассматривать
уравнение B.11) вместе со всеми его
дифференциальными следствиями
DiF = 0, AD/F = 0, ... B.1 Г)
и говорить, что уравнение B.11) задает
дифференциальное многообразие [F].
Аналогично рассматривается дифферен-
дифференциальное многообразие, заданное систе-
системой уравнений
F, (х, и, ..., и) = 0, ..., Fs (x, и, ..., и) = 0.
'¦ р- B.12)
Чтобы перейти от дифференциального
многообразия к понятию дифферен-
дифференциального уравнения, нужно указать,
что будет пониматься под решением
уравнения. Например, классическим ре-
решением уравнения B.11) называется
достаточное число раз дифференцируе-
дифференцируемая функция и = ср(х) такая, что при
подстановке вместо величин иа, uf, ...
функций фа(х), дуа(х)/дх*, ... равенство
B.11) выполняется тождественно по х.
Вместо классических решений можно
рассматривать также обобщенные реше-
решения. В любом случае понятие диффе-
дифференциального уравнения включает в ка-
качестве своих составных элементов диффе-
дифференциальное многообразие и определе-
определение решения. При вычислении допускае-
допускаемой группы мы как бы забываем про
решения и воспринимаем дифферен-
дифференциальные уравнения просто как диф-
дифференциальные многообразия. Тогда мы
можем смотреть на B.12) как на обыч-
обычные (недифференциальные) системы
уравнений A.25) и использовать кри-
критерий инвариантности из теоремы 1.4.
2.3. Группы точечных преобразова-
преобразований. Формулы продолжения. Положим
z = (x, и) и запишем преобразования
A.1) в виде
*" = /'(*, и, а), Г|а=0=*\ B.13)
и/а = Ф*(х,и,а), Фа|а=0 = "а. B.14)
Эти преобразования называются то-
точечными. Предположив выполненным
групповое свойство A.5), запишем ин-
финитезимальный оператор однопара-
метрической группы G преобразований
B.13), B.14) в виде
Х=%(х,и)-^+Ц«(х,и)А-а, B.15)
где в соответствии с формулой A.6)
да а=0'
1 да
да а=0'
B.16)
Обычные формулы замены производ-
производных устроены так, чтобы сохранить диф-
дифференциальные соотношения B.9). Эти
формулы можно получить следующим
простым путем. При переходе от старых
независимых переменных х1 к новым пе-
переменным хп по формулам B.13) диффе-
дифференцирования по нештрихованным и
штрихованным переменным связаны ра-
равенствами
Di = Di(fl)D/j. B.17)
При этом удовлетворяются соотно-
соотношения B.9) в штрихованных перемен-
переменных:
u?=D'L{u'a), ... B.90
Теперь продифференцируем обе части
равенства B.14), используя соотношения
B.17) и B.9'):
Таким образом, замена первых произ-

водных при точечных преобразованиях
B.13), B.14) определяется формулой
B.18)
где Ц =
или более подробно
Отсюда находятся значения и'* как
функции от ху иу и и параметра а при
достаточно малых а. Действительно, при
а = 0 имеем Д-(/') = 8{ в силу начального
условия fj\a=o=xiy поэтому матрица
|| Л (/О II обратима при малых значе-
значениях а. Преобразования вторых произ-
производных получаются из B.18) повторным
дифференцированием и т. д.
Для дальнейшего нам нужны продол-
продолжения не самих преобразований B.13),
B.14), а инфинитезимального оператора
B.15). Запишем продолжение этого опе-
оператора на первые производные в виде
= Х + ??^, B.19)
где U =
да
а=0
— дополнительные ко-
координаты, которые мы должны найти.
Продифференцируем обе части равенства
B.18) по параметру а в точке а=0. Учи-
Учитывая перестановочность дифференциро-
дифференцирований Di и д/да, формулы B.16) и на-
начальные условия в B.13), B.14), имеем
Отсюда получаем искомую формулу
продолжения на первые производные:
??=/Мт|а)-И/аЯ/(?')- B.20)
Как видно из этой формулы, для по-
построения продолженного оператора
B.19) нужно знать лишь координаты
\\ ца исходного оператора X.
О Упражнение 2.4. Запишем продолже-
продолжение оператора B.19) на вторые произ-
производные в виде
B.21)
du\f
да
а=0
. Покажите, что
8} = Я/(Ьа)-«¦(?*). B.22)
Указание: продифференцируйте B.18)
с помощью B.17) и повторите процедуру
вывода формулы первого продолжения
B.20).О
• Пример 2.1. Получим продолжение
B.7) оператора B.6) не с помощью фор-
формул B.3) преобразования производных,
а непосредственно применяя формулы
продолжения B.19)—B.22) к оператору
X = 2t^--xu^-.
дх ди
Обозначив t=x\ х = х2у имеем для этого
оператора X?J=0, ?2=2^, ц=—хи. По-
Поэтому по формулам B.20) получаем
Z>i=Dt(—xu)—uxDtBt)=—xut—2uX9
l2=Dx{—xu)—uxDx{2t)=—u—xux,
а по формулам B.22) —
= —2их—хих
Полученный оператор
совпадает с оператором B.7).ф
2.4. Определяющие уравнения. Теперь
вернемся к вопросу о группах точеч-
точечных преобразований, допускаемых си-
системой дифференциальных уравнений
B.12). Эту систему мы иногда для крат-
краткости будем записывать в виде B.11),
подразумевая, что F — вектор с компо-
компонентами F\, ..., FSi причем максимальный
порядок входящих в них производных
равен р. Как уже говорилось, [F] будет
обозначать дифференциальное многооб-
многообразие, определяемое этой системой вме-
вместе со всеми дифференциальными следст-
следствиями B.1 К).
Так как в уравнения B.12) входят
производные до порядка р включительно
(некоторые из Fkj k=\y ..., 5 могут за-
зависеть от производных меньшего поряд-
порядка), то необходимо продолжить преобра-
преобразования B.13), B.14), р раз дифферен-

цируя B.18) с помощью B.17). Если пре-
преобразования B.13), B.14) образовывали
однопараметрическую группу G, то в ре-
результате продолжения получим однопа-
однопараметрическую группу, которую мы обо-
обозначим G и которая действует на все пе-
р
ременные х, и, и, ..., и. Инфинитезималь-
1 р
ным оператором этой р раз продолжен-
продолженной группы G будет оператор
B.23)
полученный путем р-кратного продолже-
продолжения оператора B.15) группы G. Формула
для высших продолжений оператора ана-
аналогична формуле второго продолжения
B.22):
lljk = Di&lMJ-»l.*-A$)- B-24)
Будем говорить, что система диф-
дифференциальных уравнений B.12) допу-
допускает группу G точечных преобразований
B.13), B.14), если дифференциальное
многообразие [F], определяемое системой
B.12), инвариантно относительно про-
продолженной группы G. С помощью теоре-
р
мы A.4) устанавливается следующий
критерий инвариантности, удобный для
эффективного вычисления допускаемой
группы.
Теорема 2.1. Система дифференциаль-
дифференциальных уравнений B.12) допускает группу G
с инфинитезимальным оператором X тог-
тогда и только тогда, когда выполняются
условия
XF/I -0, fe = l,...,s. B.25)
р IL J
Эта теорема вместе с теоремой Ли
(теорема 1.1) сводит задачу отыскания
всех однопараметрических групп, допу-
допускаемых данной системой дифферен-
дифференциальных уравнений, к решению урав-
уравнений B.25), называемых поэтому опре-
определяющими уравнениями. Согласно фор-
формулам продолжения B.20), B.24) опре-
определяющие уравнения B.25) представ-
представляют собой систему линейных одно-
однородных дифференциальных уравнений
относительно координат ?', ца операто-
оператора X B.15). Но так как эти координаты
ищутся как функции от х, м, а в опреде-
определяющие уравнения входят также и про-
дифференциальных уравнений относи-
относительно ?\т]а будет переопределенной, что
облегчит их решение.
2.5. Примеры решения определяющих
уравнений. Предлагаемые примеры выяв-
выявляют типичные ситуации, встречающие-
встречающиеся при вычислении инфинитезимальных
операторов допускаемых групп (или,
кратко, допускаемых операторов) с по-
помощью определяющих уравнений.
ф Пример 2.2. Рассмотрим уравнение
ихихх + иуу = 0, B.26)
описывающее околозвуковое установив-
установившееся течение газа. Допускаемый опе-
оператор будем искать в виде
>2 д
дх
где g1, g2 и rj — пока неизвестные функ-
функции от ху у, и. Если записать второе
продолжение оператора X в виде
то будем иметь X(uxuxx-\-uyy) = uxxZi\-\-
+ ^^11 + ^22, и определяющее уравнение
B.25) запишется так:
L x = 0. B.27)
= -UxUx
изводные и,
и, то полученная система
р
Здесь переход на дифференциальное
многообразие [F] состоит в том, что всю-
всюду в левой части B.27) величину иуу сле-
следует заменить на —ихихх. Теперь нужно
найти коэффициенты ?i, ?ц, ?22 и подста-
подставить их в определяющее уравнение
B.27). Как видно из этого уравнения,
коэффициент ?i2 не понадобится.
По формулам B.20) и B.22) найдем
выражения для ?i, ?ц и ?22 (сделайте это
сами) и подставим эти выражения в
B.27). Сначала соберем в левой части
B.27) все члены, содержащие смешан-
смешанную производную иху:
-2ихуA{у + ихЦ + Uyll + иЩ).
Так как в B.27) все величины х, у,
и, их, иу, uXXj uxy играют роль независи-
независимых переменных, а искомые функции
?2, ц зависят только от х, у, и, то для вы-
выполнения уравнения B.27) необходимо,

чтобы коэффициент при иху был равен
нулю:
tl + uxg + Uyll + u2xll = Q.
Но в этом уравнении мы опять долж-
должны, рассуждая как выше, отдельно при-
приравнять нулю коэффициенты при их, uXj
иуу так что
6'= О, 6i = 0, |? = 0, 62 = 0. B.28)
Теперь с учетом условий B.28) собе-
соберем все члены в B.27), содержащие
ихх, и приравняем нулю коэффициент
при ихх:
Отсюда
Из уравнений B.29) с учетом B.28)
имеем
B.29)
B.28)
Т1ИИ = О, 6i* = O. B.30)
Вследствие всех этих соотношений
уравнение B.27) принимает вид цуу-\-
+иуBцуи—12Уу) = 0у откуда 2\\уи=12уу и
цуу=0. B.31)
Полученное равенство 2г\уи = ?>2уу и
второе равенство B.29) дают
г\уи = 0, 12уу = 0. B.32)
Из уравнений B.28)—B.32), обра-
образующих переопределенную систему для
трех функций б1» S2 и Цу видно, что g1 и
6 являются линейными функциями от х
и у соответственно, а ц — линейной
функцией от у, и, причем зависимость
ц от и определяется вторым уравнением
из B.29). Полученная система уравне-
уравнений легко решается и дает общее реше-
решение определяющего уравнения B.27):
зависящее от шести произвольных по-
постоянных Ci, ..., С6.
Ввиду линейности определяющих
уравнений их решения образуют вектор-
векторное пространство L, которое может быть
как конечномерным, так и бесконечномер-
бесконечномерным. В данном примере получилось шес-
шестимерное пространство решений, которое
обозначим Lq. Базис этого пространства
можно получить, полагая, например, од-
одну из постоянных Сц равной единице, а
остальные — равными нулю. В резуль-
результате, записывая вместо получаемых зна-
значений б1, ?2> Ц соответствующие опера-
операторы Ху получим операторы
дх ду ди и ди
B.33)
!1
дх
±9
ди
ду
ди
образующие базис векторного простран-
пространства Lq. Каждый из операторов B.33)
порождает однопараметрическую группу
точечных преобразований, допускаемых
уравнением B.26). Следовательно, это
уравнение допускает всего шесть одно-
параметрических групп ф
О Упражнение 2.5. Для каждого из
операторов B.33) найдите соответствую-
соответствующую однопараметрическую группу, ре-
решив уравнение Ли.О
ф Пример 2.3. Рассмотрим простейшее
уравнение переноса
щ = иих. B.34)
Допускаемый оператор будем искать
в ииде
t,u).
Записав его первое продолжение в виде
д
дих
и подставив выражения для ?i и ?2 из
предыдущего примера (с заменой у на t),
представим определяющее уравнение
X(ut—uux)\Ut=UUx =
= (&—цих— ut,\)\ut==UUx =
в виде
ll) - ииД2х
= 0.
Отсюда, приравняв нулю отдельно
члены, содержащие их и не содержащие
его, получаем два уравнения относитель-
относительно трех функций 6', Ц-
1\-и1хх=-ц-и($-и1% B.35)

r\t—ицх =
B.36)
Они представляют собой линейные
уравнения в частных производных пер-
первого порядка с тремя независимыми пе-
переменными х, t, и и легко решаются. Так,
для уравнения B.36) первыми интегра-
интегралами характеристической системы dt =
= —dx/u = du/0 являются x-\-tu = Ci,
u = C2> поэтому общее решение этого
уравнения имеет вид
Т|=Т|(М, X + tu).
Если смотреть на B.35) при задан-
заданных ц{и, x-\-tu)y ?2(х, /, и) как на
неоднородное уравнение первого порядка
относительно ? , то его частным реше-
решением, очевидно, является ?* = —tr\—ug2.
Прибавив к нему общее решение одно-
однородного уравнения, т. е. ф(и, x-\-tu),
получим общее решение уравнения
B.35):
|1=ф(м, x + tu)—tr\{u,x + tu) —
—и?2(х, U и).
Итак, общим оператором, допускаемым
уравнением B.34), является
-1. B.37)
ф Пример 2.4. Для уравнения B.34)
вычислим допускаемый оператор другим
путем: сначала упростим это уравнение
подходящей заменой переменных, вычис-
вычислим допускаемый оператор для преоб-
преобразованного уравнения, а затем с по-
помощью формулы A.23) переведем най-
найденный оператор к старым переменным.
В уравнении B.34) перейдем от функ-
функции u(t, x) к v(s, у) заменой
s = t, y = u, v = x+tu. B.38)
По формулам B.17) имеем
Dt = Ds + utDyy Dx = uxDy.
Действие этих операторов на равен-
равенство v=x-\-tu дает
Vs + UtVy = U + tUt, UxVy=l+tUx.
После подстановки найденных отсю-
отсюда выражений
уравнение B.34) линеаризуется и прини-
принимает вид
vs = 0. B.34х)
Для оператора
,s,v)±
допускаемого этим уравнением, опреде-
определяющее уравнение имеет вид
Отсюда ?i = 0, 7]s=0, т.е.
Следовательно, уравнением B.34х)
допускается оператор
с произвольными функциями I1, |2,
ц указанных аргументов. Теперь с по-
помощью B.38) перейдем к старым пере-
переменным
t=s, x=v — sy, и=у.
Формула преобразования операторов
A.23) в этом случае имеет вид
и дает оператор
их = -
dt
после очевидных переобозначений сов-
совпадающий с B.37).
2.6. Алгебры Ли и многопарамет-
многопараметрические группы. В приведенных приме-
примерах мы получили после решения опре-
определяющих уравнений несколько (а в слу-
случае уравнения B.34) бесконечно много)
допускаемых однопараметрических
групп. Возникает естественный вопрос:
нельзя ли объединить их в общую
многопараметрическую группу? Разбе-
Разберем возможные здесь ситуации на приме-
примере групп, допускаемых уравнением
B.26) и порождаемых оператора-
операторами B.33).

Выберем любые два оператора из
B.33), скажем, Хз и Ха, построим
соответствующие им однопараметриче-
ские группы преобразований (снабдив
параметр каждой из этих групп номе-
номером инфинитезимального оператора)
Таз: и'=и-\-аз,
Тщ: и'=и+уа4
(переменные х, у не преобразуются),
затем путем последовательного выполне-
выполнения Таз и ТаА получим преобразование
ТаJay и'=и+уаА+аз,
зависящее от двух вещественных пара-
параметров а3, а4. Обозначив через а=
= (аз, па) вектор-параметр с двумя ком-
компонентами, запишем полученное двухпа-
раметрическое семейство преобразова-
преобразований Тп4Таз как {Та}. Выполнив два пре-
преобразования этого семейства, соответ-
соответствующих значениям а=(аз, а4) и & =
= (&з, Ьа)у получим преобразование
принадлежащее тому же семейству [Та]
и получающееся при значении параметра
с = (с3, с а) с компонентами Сз = аз + &з,
Са = па-\-Ьа. Таким образом, здесь выпол-
выполнено групповое свойство A.3) с вектор-
функцией ф(а, b) = a-\-b. Отсюда мы за-
заключаем, что семейство [Та] образует
двухпараметрическую группу G, а так
как функция ф, определяющая групповое
свойство, симметрична, Ф (а, Ь) =
= (р(Ь, а), то эта группа G коммутативна:
ТьТа = ТаТь. В конце § 1.2 было показано,
что в однопараметрической группе про-
произвольный закон умножения A.3) заме-
заменой параметра можно привести к ви-
виду A.5) ф(а, Ь) = а-\-Ь, поэтому всякая
однопараметрическая группа коммута-
коммутативна. В случае многопараметрических
групп это неверно.
Пример некоммутативной двухпара-
метрической группы мы получим, повто-
повторив предыдущее построение для пары
операторов Ха, Xq. Преобразования Тп4
для первого из этих операторов выпи-
выписаны выше, а для Хе имеем
Тпб: у'=уеа\ и' = ие~2а\
Произведение преобразований Та
и 7\
aJaA: У'=уеа\ и'=
,-2а6
представляет собой двухпараметриче-
ское семейство {Та} с а = (аА> аь). Резуль-
Результат последовательного применения двух
преобразований Та и Ть семейства {Та}
дается формулами
и" = ие 2{аь+Ьб)-\-у(аАе 2(аь+|
и получается тождественным с резуль-
результатом применения третьего преобразова-
преобразования Тс этого семейства со значением
вектор-параметра с = (с4, Сб), где с4 =
у" = уес\ и"=ие-
Следовательно, семейство {Та} обра-
образует двухпараметрическую группу G2.
Эта группа некоммутативна, так как
определенное выше выражение с = ф(а, Ь)
несимметрично; ф(а, Ь)Фц)(Ь, а).
Возьмем теперь операторы Х2, Ха и
повторим все построение. Перемножив
преобразования ТпА и Га2, где
получим семейство [Та), а = {а,2, а4), пре-
преобразований
Последовательное применение двух
преобразований Та и Ть этого семейства
дает
Для того чтобы применение третьего
преобразования Тс из {Та} привело к тому
же результату
параметр с = (с2, Са) должен удовлетво-
удовлетворять равенствам
Эта переопределенная система урав-
уравнений относительно сг, Са несовместна,
если а и Ь произвольны. Действительно,
подстановка в последнее уравнение зна-
значений С2 и Са, полученных из первых
двух уравнений, дает &2^4 = 0. Следова-
Следовательно, преобразования TaJa2 не обра-
образуют группу. Оказывается, однако, что

их можно включить в трехпараметри-
ческое семейство преобразований, по-
порождаемых операторами Х2у Хз, Х4> кото-
которое образует группу G3. В самом деле,
взяв еще преобразования Тпз: и' = и + аз,
получим
ll' = U
+ п2па + #3-
Это трехпараметрическое семейство
{Та}, а = (а2, аз, па) содержит преобразо-
преобразования Тп4Та2 как частный случай при
а3 = 0 и, кроме того, образует группу G3,
так как для произведения ТьТа
находится преобразование Тс=ТьТа'.
где с=ф(а, Ь) — вектор с компонентами
с2=а2-\-Ь2, Сз=
Очевидно, что ф(а, Ь)Фц)(Ь, а). Сле-
Следовательно, группа бз, порожденная
операторами X2s Хз, X*, некоммутативна.
О Упражнение 2.6. Покажите, что если
к паре Х2у Х4 добавить вместо Хз другой
оператор из B.33), например Лб, то соот-
соответствующее трехпараметрическое се-
семейство преобразований {TaJaATu2) не об-
образует группу. О
Естественно, наконец,спросить, обра-
образует ли группу шестипараметрическое
семейство преобразований, получаемое
с помощью всех операторов B.33).
Простой и ясный ответ на все подобные
вопросы дается с помощью понятия
алгебры Ли.
Рассмотрим любые два оператора ви-
вида A.16)
и определим их коммутатор [Х[у Х2] фор-
формулой
[1,Д2] = М2-И. B.39)
В результате получится снова опера-
оператор вида A.16), что видно из равенства
[ХиХ2} = {Х{A12)-Х2A\))?, B.40)
которое легко выводится из B.39) и ко-
которое можно взять за определение ком-
коммутатора вместо B.39). Из определения
коммутатора видно, что он
1) билинеен: [сХи Х2] = [Хи сХ2] =
= с[Х\, Х2] > ? = const,
\Х, Х{+Х2} = [Х, Xi] + [X, Х2\
2у Х\ = [Хи Х] + [Х2, Х\-
2) антисимметричен: [Х\9Х2] = —
и удовлетворяет тождеству Якоби
Векторное пространство, в котором
задан билинейный закон умножения, на-
называют алгеброй. Таким образом, свойст-
свойства 1) коммутатора показывают, что лю-
любое векторное пространство операторов
A.16) становится алгеброй, если под
произведением элементов этого прост-
пространства понимать их коммутатор B.39).
Дополнительные свойства коммутатора,
выражаемые равенствами 2), говорят о
том, что здесь мы имеем алгебру спе-
специального типа. Эта алгебра играла у
С. Ли (под названием инфинитезималь-
ной группы) основную роль в его общей
теории непрерывных групп и называется
теперь (по предложению Германа Вей-
ля) алгеброй Ли. Итак, алгебра Ли опе-
операторов A.16) представляет собой век-
векторное пространство L, в которое наряду
с любыми операторами Х\, X2^L вхо-
входит также их коммутатор [Х\9 Х2}\ эта
алгебра Ли обозначается той же бук-
буквой L. Размерность алгебры Ли пони-
понимается как размерность векторного про-
пространства L. Если эта размерность ко-
конечна и равна г, то зафиксируем неко-
некоторый базис Х\, ..., Хг векторного про-
пространства L и рассмотрим коммутаторы
[Хр, Xv] всевозможных пар этих базис-
базисных операторов. Так как любой оператор
X из L разлагается по базису:
= ^е^Х„, <?»* = const, B.41)
то знание всех [Х^9 Xv] позволяет одно-
однозначно найти коммутатор любых опера-
операторов из алгебры L с использованием би-
билинейности. Отсюда ясно, что г-мерное
векторное пространство Lr с базисом
Х\, ..., Хг образует алгебру Ли тогда и
только тогда, когда коммутаторы базис-

ных операторов принадлежат Lr, т. е.
когда
x,v=l,...,r, B.42)
^2
где c?v — вещественные числа (на-
(называемые структурными постоянными
алгебры Lr).
Пример 2.5. Векторное пространство
с базисом B.33) образует 6-мерную ал-
алгебру Ли. Выполнение условия B.42)
видно из следующей таблицы коммута-
коммутаторов операторов B.33), которая легко
строится с помощью формулы B.40)
и в которой значение [Х^ Xv] распола-
располагается на пересечении \х-й строки и
v-ro столбца.
*i
*2
х,
*4
*5
х.
хх
0
0
0
0
-*i
0
*2
0
0
0
-*з
0
-х2
х,
0
0
0
0
-3*3
2Х3
х,
0
*з
0
0
-3*4
3*4
хъ
X,
0
3*3
3*4
0
0
*6
0
*2
—2*3
— 3*4
0
0
Теперь мы в состоянии дать ответ на
возникшие выше вопросы относительно
многопараметрических групп. При этом
мы будем опираться на следующие
два факта общего характера.
Первый факт связан с обобщением
уравнения Ли A.8) на многопараметри-
многопараметрические группы. Пусть преобразования
A.1) зависят не от одного параметра a, a
от r-мерного вектора а= (а1, ..., а). Тог-
Тогда групповое свойство выражается снова
формулой A.3), а уравнение Ли A.8)
превращается в переопределенную систе-
систему г уравнений первого порядка относи-
относительно f=f(z, a\ ..., а'), записанную с
помощью векторных полей (ср. с A.6))
df'(z, a)
да"
а=0
v=l,...,r. B.43)
Эта переопределенная система урав-
уравнений Ли совместна, а ее решение за-
задает r-параметрическую группу Gr тог-
тогда и только тогда, когда векторное
пространство Lr, натянутое на операторы
Xv = t(z)^, v=l,...,r, B.44)
является r-мерной алгеброй Ли с опре-
определением коммутатора B.40).
Второй факт касается специального
свойства определяющих уравнений B.25)
и состоит в том, что если два оператора
Х\ и Х2 вида B.15) удовлетворяют оп-
определяющим уравнениям B.25) для за-
заданной системы B.12), то их коммута-
коммутатор [Хи Х2] также удовлетворяет опре-
определяющим уравнениям B.25). Это озна-
означает, что векторное пространство L всех
решений определяющих уравнений B.25)
является алгеброй Ли и, следовательно,
порождает многопараметрическую груп-
группу преобразований, допускаемую систе-
системой B.12).
О Упражнение 2.7. На основе этих двух
фактов объясните, почему выше выбор
операторов Х3у ХА и Х4у Х6 привел к двух-
параметрическим группам, а выбор Х2> X*
привел к двухпараметрическому семей-
семейству преобразований, не образующему
группу. Разберите аналогичный вопрос
для трех операторов Х2, Х3у ХА и Х2,
Х^у Xq.
Указание: воспользуйтесь таблицей
коммутаторов из примера 2.5. О
С помощью алгебр Ли также легко
устанавливается, в каких случаях группа
коммутативна, в частности, почему одно-
параметрическая группа всегда комму-
коммутативна. Оказывается, группа Gr ком-
коммутативна тогда и только тогда, когда
соответствующая ей алгебра Ли Lr
с базисом B.44) имеет только нулевые
структурные постоянные:
Тогда, очевидно, [А",У]=0 для всех
X, F6Lr; такая алгебра называется ком-
коммутативной. В частности, ввиду антисим-
антисимметричности коммутатора имеем [Х,Х] =
= 0, и поэтому любая однопараметри-
ческая группа коммутативна.
О Упражнение 2.8. Разберите с этой
точки зрения вопрос о коммутативности
групп G2 и G3, построенных выше с по-
помощью операторов из B.33).О
Из приведенных в § 2.5 примеров
хорошо видно, что в результате решения
определяющих уравнений мы получаем
базис алгебры Ли группы, допускаемой

данной системой дифференциальных
уравнений. Имея это в виду, мы будем
часто говорить о допускаемой алгебре
вместо допускаемой группы. Ясно, что пу-
путем полного решения определяющих
уравнений мы найдем максимально ши-
широкую допускаемую алгебру.
ф Задача 2.1. Вычислите допускаемую алгебру
для уравнения теплопроводности B.1)
путем решения определяющего уравнения.
Ответ: алгебра бесконечномерна и имеет базис
крытие, что все эти приемы, которые
казались искусственными и лишенными
внутренней связи, могут быть выведены
единообразно при помощи теории групп.
3.1. Интегрирующий множитель. Рас-
Рассмотрим обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение первого порядка отно-
относительно у=у(х), записанное в виде
Q(x,y)dx-P(x,y)dy=O. C.1)
Оно равносильно уравнению в част-
частных производных первого порядка
<3-2>
дх
ди
' ди
)f, B.45)
ди
где [i(t,x) — произвольное решение уравнения
теплопроводности, ф
ф Задача 2.2. Вычислите допускаемую ал-
алгебру для обыкновенного дифференциального урав-
уравнения второго порядка d2y/dx2=0. ф
Ф Упражнение 2.9. Найдите преобразо-
преобразования однопараметрической группы с ин-
финитезимальным оператором Х5 из
B.45), проверьте инвариантность урав-
уравнения теплопроводности относительно
этих преобразований и выведите формулу
преобразования решений, аналогичную
формуле B.5). Ф
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ,
ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППУ
В разработке теории обыкновенных
дифференциальных уравнений и методов
их интегрирования приняли участие круп-
крупнейшие математики XVIII века (Ньютон,
Лейбниц, братья Бернулли, Риккати,
Эйлер, Клеро, Даламбер, Лагранж
и др.)- Главные усилия были сосредо-
сосредоточены на частных методах понижения
порядка и интегрирования в элементар-
элементарных функциях или квадратурах кон-
конкретных типов уравнений. Одним из впе-
впечатляющих достижений Ли явилось от-
отв том смысле, что левая часть всякого
интеграла F(x,y) = C уравнения C.1)
является решением уравнения C.2), и
обратно, всякое решение F(x,y) уравне-
уравнения C.2), приравненное произвольной
постоянной, дает интеграл уравнения
C.1).
Пусть уравнение C.1) допускает од-
нопараметрическую группу преобразова-
преобразований x'=f(x,y,a), у'=ц)(хуууа) с операто-
оператором
Х = их,у)^+Ф,у)-^. C.3)
Под действием этой группы всякое
решение уравнения C.1) переходит в ре-
решение. Но тогда всякий интеграл
F(xyy) = C переходит в интеграл F(x',y') =
= С', так что в силу формулы A.19)
интегралом будет также XF=C\. Следо-
Следовательно, наряду с F(xyy) решением
уравнения C.2) является также XF. Но
так как уравнение C.2) может иметь
только одно независимое решение, то
существует функциональная зависимость
XF=<b(F). Итак, функция F(xyy) удов-
удовлетворяет одновременно двум условиям:
дх
ду
дх
ду
Отсюда, исключая из рассмотрения
особый случай ?Q — riP=0, имеем
<ЭФ
dF —РФ
дх
ИЛИ
Qdx—Pdy _ dF

Так как выражение dF/0)(F) являет-
является полным дифференциалом, а приве-
приведенные рассуждения можно обратить,
то мы получили следующий результат
Ли об интегрирующем множителе: урав-
уравнение C.1) допускает группу с опера-
оператором C.3) тогда и только тогда, когда
функция
и = 1-— C.4)
^ WцР К )
является интегрирующим множителем
уравнения C.1). Отсюда следует, в ча-
частности, что любое обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение первого поряд-
порядка допускает бесконечномерную алгебру
Ли, так как всякое уравнение C.1)
обладает бесконечным множеством инте-
интегрирующих множителей.
ф Пример 3.1. Рассмотрим следующее
специальное уравнение Риккати:
^_L,,2_.
C.5)
Поскольку это уравнение степенного
вида, то естественно ожидать, что оно
будет допускать группу растяжений.
Подставляя х'=ах, у'=Ьу, имеем
Для инвариантности уравнения C.5)
нужно, чтобы выполнялись условия
fe/a=62 = l/a2. Отсюда 6 = I/a. Следова-
Следовательно, допускается однопараметриче-
ская группа растяжений, которую можно
записать в виде х'=хеа, у'=уе~а и ко-
которая имеет инфинитезимальный опера-
оператор
Х=х±-у*
дх v ду
C.6)
Записав теперь уравнение Риккати
C.5) в виде
dy + (y2-2/x2)dx=0 C.50
и применив формулу C.4) к оператору
C.6), получим интегрирующий множи-
множитель
1
xy2 — y—2/x
х2у2—ху —
Умножение уравнения C.5х) на этот
множитель дает:
xdy + (xy2 — 2/x)dx __ xdy-\-ydx
x2y2—xy-2 x2y2—xy —
+d\nx =
dx
x
[xyf-xy-2
Отсюда получаем решение уравнения
C.5) в виде
Щ — 2 С 2jc3 + C /о 7ч
у,.1 = -т , ИЛИ у = ————-. (о./)
;а/+1 х3 ^ х(х3—С) v '
О Упражнение 3.1. Покажите, что все
решения C.7) можно получить из од-
9г3-\- 1
ного решения, скажем, у= 3 путем
растяжений х/ = ах, у'=у/а, допускае-
допускаемых уравнением C.5). О
Но если попытаться получить форму-
формулу C.7) исходя из частного решения
у=2/х, то легко убедиться, что под
действием указанных растяжений это ре-
решение перейдет само в себя. Здесь
мы имеем так называемое инвариантное
решение. Поскольку построение инва-
инвариантных решений осуществляется на-
наиболее просто и используется также при
решении уравнений в частных производ-
производных (линейных и нелинейных), то для
иллюстрации техники найдем все инва-
инвариантные (относительно группы растя-
растяжений) решения уравнения C.5). Инва-
Инвариантность решения у=у(х) означает,
что инвариантна описываемая этим ре-
решением кривая в плоскости (xfy). По
теореме 1.5 всякая инвариантная по-
поверхность, в частности кривая, может
быть задана с помощью инвариантов.
В нашем случае группа растяжений
с оператором C.6) имеет один незави-
независимый инвариант J=xy (пример
1.7(VI)). Поэтому всякое инвариантное
решение может быть записано в виде
/ = const, т.е. y=k/x. Подстановка
в C.5) дает для отыскания постоянной
k уравнение k2—k—2=0, откуда имеем
значения &=2 и ? = — 1. Таким образом,
имеются два решения уравнения C.5),
инвариантных относительно группы ра-
растяжений с оператором C.6):
= 2/х, у = — \/х
C.70

Первое из этих решений содержится
в однопараметрическом семействе ре-
решений C.7) и получается при С=0у
а второе не содержится в этом се-
семействе (хотя формально может быть
получено при С—>-оо), так как при выводе
формулы C.7) предполагалось, что
ху+1фО.
ф Пример 3.2. Воспользуемся формулой
C.4) для интегрирования неоднородно-
неоднородного линейного уравнения
UK -\-R(x)y = Q(x). C.8)
Здесь допускаемая группа находится
из принципа суперпозиции: если уо(х) —
решение однородного уравнения, т. е.
dyo/dx + R(x)yo=O9 то уравнение C.8)
допускает группу преобразований у/=
=у-\-ауо(х) с инфинитезимальным опе-
оператором
X=yo(x)jjjj- C.9)
Выбрав любую первообразную \R(x)dx,
возьмем в качестве решения однород-
однородного уравнения функцию
Запишем теперь уравнение C.8) в ви-
виде C.1):
(Q-Ry)dx-dy=0 C.80
и по формуле C.4), примененной к этому
уравнению и оператору C.9), найдем
интегрирующий множитель \х=—\/уо(х).
Из условия полного дифференциала
Уо(х)
уо(х)
имеем
dF
Из первого уравнения интегрирова-
интегрированием по у получаем выражение F =
= ye^R{x)dx + /(#), подстановка которого во
второе уравнение дает f\x)=—Q(x)e^R{x)dx.
Поэтому, взяв f(x) = — \Q(x)e^R{x)dxdx и
подставив найденную функцию F(x, у)
в общее решение F = C уравнения dF = 0,
равносильного C.8'), имеем
ye\R(x)dX _ J Q tyeSRWxfa = С
После разрешения относительно у полу-
получаем общее решение исходного уравне-
уравнения C.8):
3.2. Замена переменных. Метод интег-
интегрирующего множителя пригоден только
для уравнений первого порядка. Другой
путь использования допускаемой группы
основан на теореме 1.3, указывающей
упрощающую замену переменных. Этот
метод универсален и может быть исполь-
использован как для интегрирования уравне-
уравнений первого порядка, так и для пониже-
понижения порядка обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений высшего порядка,
если известна однопараметрическая до-
допускаемая группа. Суть метода пол-
полностью проясняют примеры.
ф Пример 3.3. Рассмотрим с новой точки
зрения уравнение C.5) из примера 3.1.
Приведем оператор C.6) к оператору
группы переносов, для чего, согласно тео-
теореме 1.3, нужно перейти к новым пере-
переменным t,z, взяв в качестве одной из них
инвариант данной группы, например
z = xy, a / найти из условия X(t)=\.
Удобно искать здесь / как функцию толь-
только от х, тогда X(t) = x-^=\ дает t =
= 1пх. Итак, нужно сделать замену
/ = 1п х, z = xy.
Тогда, считая, например, z = z(t\ при-
приведем уравнение Риккати C.5) к виду
которое легко интегрируется и дает
Возвращаясь к старым переменным х,
у, получаем формулу C.7). ф
ф Пример 3.4. Решим неоднородное ли-
линейное уравнение C.8) методом замены
переменных. Для оператора C.9) имеем
инвариант / = х и решение уравнения
yo(x)dz/dy = \, равное z = y/yo(x). В этом
случае замена переменных сводится к
подстановке
где уо(х)= e~^Rdx. После такой подстанов-
подстановки уравнение C.8) принимает вид

dz
Отсюда z=\ ^x\ dx-\-C, так что
J yo(x)
yo(x)
Это общее решение уравнения C.8),
полученное в примере 3.2 другим спосо-
способом, ф
Мы видим, что уравнение первого
порядка с известной однопараметриче-
ской группой может быть приведено
к интегрируемому виду. Полезно также
уметь выписывать общий вид уравнений,
допускающих заданную группу, или, что
то же самое, заданный оператор. Делает-
Делается это на основе теоремы 1.5 о пред-
представлении инвариантных уравнений че-
через инварианты.
ф Пример 3.5. Найдем общий вид обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка для у=у(х)у инвариант-
инвариантных относительно группы неоднородных
растяжений с оператором
дх ' ~* ду
Для этого нужно продолжить действие
оператора X на первую производную
у = -р. Заметим сначала, что формулы
продолжения B.19), B.20) запишутся
для оператора вида C.3) так:
X = ? —+ Т1-Г- +
1 ъ а* ' ' ди '
В нашем случае по этой формуле
получаем
дх
ду
ду
Для этого оператора из системы
dx/x = dy/2y= dy/y находим базис ин-
инвариантов /i=f//x2, J<2 = ij/x (второй из
этих инвариантов зависит от производ-
производной у и поэтому называется диффе-
дифференциальным инвариантом первого по-
порядка) . В соответствии с теоремой
1.5 всякое инвариантное уравнение пер-
первого порядка может быть записано в
виде J2 = F(J\) или
Это и есть общий вид обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения пер-
первого порядка, допускающего группу не-
неоднородных растяжений, ф
О Упражнение 3.2. Приведите получен-
полученное уравнение к квадратуре. О
ф Пример 3.6. Зададимся оператором
±,
C.10)
где ф(х) — решение линейного однород-
однородного уравнения
<p'(x) + A'(x)(f(x) = 0. C.11)
Можно взять
Ц)\Х) — е J (о. 11 )
Сделаем теперь простейшую (степен-
(степенную) замену
z = ym {тфО, тФ\). C.12)
Тогда по формуле A.23) оператор
C.10) преобразуется к виду (с точно-
точностью до несущественного постоянного
множителя)
Х=ц)(х)у[~т—. C.13)
Выпишем общий вид дифференциаль-
дифференциального уравнения первого порядка, до-
допускающего оператор C.13).
Запишем первое продолжение опера-
оператора C.13), используя уравнение C.11),
в виде
ут
ду
^1
дуУ
удобном для вычисления инвариантов.
Одним из его инвариантов, очевидно,
является х. Второй инвариант (диффе-
(дифференциальный инвариант) находится из
уравнения
dy dy
у ~ (гп — \)у+АуУ
ИЛИ
Так как х — инвариант, то А =А(х)
рассматривается здесь как постоянная
величина. Поэтому мы имеем дело с
простым случаем линейного неоднород-
неоднородного уравнения первого порядка C.8)
и можем использовать результаты при-

мера 3.2 с заменой (х,у) на (у, у); имеем
уе] " +А\е] У dy =
Следовательно, в качестве второго
инварианта оператора X можно взять
]=уут-* + Шу'«я Записывая 1 = В(х)
и обозначая 1—т = п, получаем сле-
следующий общий вид уравнения, до-
допускающего оператор C.13):
dx
C.14)
Полученное уравнение C.14) пред-
представляет собой хорошо известное урав-
уравнение Бернулли. Проинтегрируем его с
помощью допускаемого оператора C.13)
±,
(ЗЛУ)
методом замены переменных. Мы уже
знаем, что х является инвариантом,
поэтому остается найти вторую пере-
переменную и из уравнения Х(и) = \, т. е.
ц)(х)упди/ду=\. Очевидно, что
и =
A —я)
лУ
\-п
C.15)
Таким образом, уравнение Бернулли
интегрируется подстановкой C.15). Дей-
Действительно, после несложных вычислений
с использованием уравнения C.11) мы
обнаружим, что в результате подстанов-
подстановки C.15) уравнение C.14) принимает
вид
C.140
Отсюда и= [-r-ldx-\-C. Подставляя
это выражение и значение C.1 Г)
функции ф(;с) в C.15), получаем общий
интеграл уравнения Бернулли:
«,'-=(!_„)
: + С).
C.16)
Например, для уравнения
имеем я =1/2, А=—2/х, В = х. По-
Поэтому формула C.16) дает интеграл
откуда у = х\\п-фс + СJ. •
О Упражнение 3.3. С помощью подста-
подстановки C.15) приведите уравнение C.14)
к виду (З.НО-О
О Упражнение 3.4. Для уравнения Бер-
Бернулли C.14) найдите интегрирующий
множитель. О
О Упражнение 3.5. Найдите общий вид
обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка для у = у(х),
допускающих оператор Х=ху—-.О
О Упражнение 3.6. Выпишите уравне-
уравнения первого порядка, инвариантные от-
относительно вращений с оператором
дх
ду
Для удобства пользования соберем
вместе полученные выше и некоторые
другие часто встречающиеся уравнения
первого порядка с известным допускае-
допускаемым оператором.
3.3. Некоторые уравнения первого
порядка с известным допускаемым
оператором.
Обозначение: и = -г-.
J dx
y = F(kx + ly), X=lj-x-kj-y,
k, / = const;
дх
(in) у=

(IV) y = ^
(V) xy=
(VI) y =
(VII) xy=y + F(x),
(VIII) xy=-
дх^~ х ду'
>=х —-\-xy-;
дх ' ^ <9у
дх
J дх
(IX) x*y=f/(F(x)+lnf/), X = xy—\
(X) y + PWf/ = QW, * = ен
(XI) y + P(x)y = Q(x)yn9
ду'
Х—цПе{п-\)\Р{х)йхб_
ду'
О Упражнение 3.7. Найдите общий вид
уравнений первого порядка, инвариант-
инвариантных относительно группы с оператором
Х=У{-Х+ХТУ (см. пример 1.7(Ш)).О
О Упражнение 3.8. Выясните, к каким
из выписанных выше типов уравнений
с известным допускаемым оператором
принадлежат уравнения
ху—у = хт,
и проинтегрируйте их. О
Изложенный в § 3.2 способ интег-
интегрирования уравнений с известной груп-
группой применим, конечно, также в случае
уравнений, не разрешенных относитель-
относительно производной. Убедитесь в этом, вы-
выполнив следующее
О Упражнение 3.9. Покажите, что урав-
уравнения
у2 — у — х2 = 0, х4у2— ху — у = 0,
у2-2х3у-4х2у = 0, у4-4у(ху-2уJ = 0
инвариантны относительно растяжений
и, найдя для каждого уравнения до-
допускаемый оператор, проинтегрируйте их
методом замены переменных. Q
3.4. Уравнения второго порядка. По-
Подобно тому как при рассмотрении урав-
уравнений первого порядка использовалось
первое продолжение (З.З7) оператора
C.3)
Х=Ъ{х,у)± + ф,у)±.
в случае уравнений второго порядка
нам понадобится его второе продолже-
продолжение, равное
л? f д - d I
О Упражнение 3.10. Получите формулу
C.3") путем применения к один раз
продолженному оператору (З.З') формул
продолжения B.21) и B.22). О
В соответствии с теоремой 1.5 урав-
уравнения второго порядка, допускающие
оператор X, могут быть записаны в тер-
терминах дифференциальных инвариантов
второго порядка — функций от четырех
переменных х, у, у, у, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению JW = 0. Как видно из
формулы продолжения C.3"), отыска-
отыскание этих дифференциальных инвариан-
инвариантов путем решения соответствующей
характеристической системы A.15) мо-
может представить значительные трудно-
трудности. Ли показал, что есть способ из-
избежать эти прямые вычисления и по-
получить дифференциальные инварианты
второго порядка из инвариантов пер-
первого и нулевого порядков с помощью
дифференцирования. Получается это
следующими рассуждениями.
Из § 1.3 и вида оператора (З.З7)
ясно, что мы имеем один независимый
инвариант нулевого и один первого по-
порядка. Обозначим их через и(х, у) и
?>(*> У, у) соответственно. Пусть k, I —
произвольные постоянные. Дифференци-
Дифференциальное уравнение первого порядка
v(x, у, y)-ku(x, у)-1 = 0 C.17)
допускает оператор X, так как левая
часть уравнения является дифференци-
дифференциальным инвариантом. Если зафиксиро-
зафиксировать коэффициент k и варьировать /,
то получится бесконечное семейство ин-
инвариантных уравнений. Ввиду этой ин-
инвариантности совокупность всех интег-
интегральных кривых полученного семейства
уравнений будет инвариантной относи-

тельно преобразований группы с опе-
оператором X. Но указанная совокупность
кривых совпадает с множеством интег-
интегральных кривых дифференциального
уравнения второго порядка, полученного
из C.17) исключением параметра /
путем дифференцирования. Следователь-
Следовательно, каждое решение уравнения второго
порядка dv — kdu = 0 или dv/du=k
переходит после преобразования рас-
рассматриваемой группы в некоторое реше-
решение того же уравнения. Обозначив
w = dv/du, мы заключаем отсюда, что
уравнение w — k = 0 допускает оператор
X и поэтому выражение Х(ш — k) =
= Xw обращается в нуль на решениях
уравнения w — & = 0. Но так как это вер-
верно для всех к, а выражение Хш
не зависит от &, то отсюда следует, что
Хш = 0 тождественно, т. е. что функция
w является инвариантом. Итак, верна
следующая
Теорема 3.1. Пусть для заданного
оператора C.3) известны инвариант
и(х,у) и дифференциальный инвариант
первого порядка и(х,у,у). Тогда путем
дифференцирования получается диффе-
дифференциальный инвариант второго порядка
du du/dx
du du/dx
vx-\-yvy-\-yvy Dv
ux-\-yuy
C.18)
Любой другой дифференциальный ин-
инвариант не выше второго порядка яв-
является функцией от и, v, w.
То, что даваемая этой теоремой
функция w действительно зависит от
второй производной у, видно из формулы
C.18), так как и зависит от у по
предположению. Путем дальнейших диф-
дифференцирований . можно получать диф-
дифференциальные инварианты более высо-
высоких порядков d2v/du2, d3v/du3, ... .
По теореме 1.5 любое обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение второ-
второго порядка, допускающее оператор Х>
может быть записано через дифферен-
дифференциальные инварианты и, v, w этого
оператора. Следовательно, разрешив это
инвариантное представление относитель-
относительно w и использовав C.18), мы можем
записать рассматриваемое уравнение
второго порядка в виде уравнения
первого порядка
%=F(u,v). C.19)
Этим достигается понижение по-
порядка: если найден интеграл
ф(и,0,С) = О C.20)
уравнения C.19), то решение исходного
уравнения второго порядка сводится к
квадратурам. Действительно, подста-
подстановка в C.20) известных выражений
и(х,у) и v(x,y,y) приводит к уравнению
первого порядка, которое допускает
оператор X в силу инвариантности и, и,
и поэтому интегрируется в квадрату-
квадратурах изложенными выше методами. Сле-
Следующий простой пример поясняет ска-
сказанное.
ф Пример 3.7. Рассмотрим линейное
однородное уравнение второго порядка,
приведенное к виду
у + Р(х)у = 0. C.21)
В силу однородности оно допускает
оператор растяжения Y = y—. Записав
первое продолжение Y = y-—\-у—т, на-
находим инварианты u = x,v=y/y. Форму-
Формула C.18) дает дифференциальный ин-
инвариант второго порядка
откуда y/y = dv/du-\-v2. После подста-
подстановки этого выражения в C.21) полу-
получается уравнение первого порядка C.19)
в виде уравнения Риккати
C.210
Чтобы проследить процесс интегри-
интегрирования, остановимся подробнее на част-
частном случае уравнения C.21)
у=2/х2у, C.22)
когда наряду с Y допускается второй
оператор растяжения Х = х-—. Инва-
Инвариантность уравнения C.22) относи-
относительно двухпараметрической группы по-
позволяет не только понизить порядок,

но и проинтегрировать его. Уравнение
C.2Г) в данном случае имеет вид
j^ + v2 = 2/u2, C.220
т. е. совпадает с решенным в примерах
3.1 и 3.3 специальным уравнением
Риккати C.5). При этом оператор
Х = х—, допускаемый уравнением C.22),
переходит в оператор C.6) Х=и-
— v—y допускаемый уравнением C.22').
Этот переход осуществляется продолже-
продолжением X на первую производную у и
переходом к переменным м = хи v = y/y:
л = х- у — = Х(и)- X(v)^- =
1 дх У ду 1 v ; ди \У Jdv
д д
= U- у—.
ди ди
О (Упражнение 3.11. Проделайте такую
же процедуру перехода к переменным
и и v для оператора К = у—JO
Согласно формуле C.7) решением
уравнения C.220 является
„._ 2и*+С
и(и3-С)'
Это и есть интеграл C.20). Подста-
Подстановкой сюда значений и = х и и = —
du 2х3+С У
получаем -2. = —^—^dxy т.е. формулу
у х(х3—С) ^ r J J
2х3+С
C.23)
дающую решение уравнения C.22).
Вместо того чтобы вычислять интеграл
в C.23) при произвольной постоянной
С, можно воспользоваться инвариант-
инвариантностью уравнения C.22) относительно
растяжения по х: вычислить сначала ин-
интеграл при С = 1, что даст у = К(х2 —
— 1/х), а затем сделать растяжение по
х и получить общее решение
y = ClX2 + C2/x. C.24)
О Упражнение 3.12. Выведите формулу
общего решения C.24) указанными дву-
двумя способами: путем вычисления интег-
интеграла C.23) сначала при произвольной
постоянной С, а затем при С = 1 с
последующим растяжением. О
На самом деле решение C.24)
можно получить и не обращать к об-
общей формуле C.7), так как в силу
линейности (это дополнительное груп-
групповое свойство) и однородности урав-
уравнения C.22) достаточно найти два его
частных решения. Они легко находятся
с помощью двух инвариантных решений
C.70 уравнения Риккати C.220:
v = 2/uy v=l/u,
которые после подстановки значений ин-
инвариантов и и v имеют вид dy/y =
2dx/x и dy/y=—dx/x и дают следую-
следующие два независимых решения уравне-
уравнения C.22):
ух=х\ У2=\/х. C.240
Общее решение C.24) является их
линейной комбинацией.
Проследив на этом примере все эта-
этапы интегрирования с помощью допускае-
допускаемой группы, мы убедились, что увели-
увеличение размерности допускаемой алгебры
Ли приводит к упрощению задачи ин-
интегрирования. Отсюда понятно, с какой
целью Ли классифицировал дифферен-
дифференциальные уравнения по числу различ-
различных инфинитезимальных операторов,
которые они допускают.
В § 3.1 отмечалось, что уравнения
первого порядка y = F(xyy) допускают
бесконечно много операторов. В случае
уравнений второго порядка это уже не
так, в чем читатель мог убедиться
после решения задачи 2.2: уравнение
второго порядка у = 0 допускает 8-мер-
8-мерную алгебру. Как показал Ли, эта
размерность является максимальной для
уравнений второго порядка, так что
алгебра Ли Lr, допускаемая уравнением
y = F(x,y,y), C.25)
имеет размерность г <18 при любой
правой части F. Случай jF=O, как мы
уже знаем, дает пример уравнения,
когда достигается максимальное значе-
значение г = 8. Нелишне будет привести
также примеры, когда достигается мини-
минимальное значение г = 0, т. е. примеры
уравнений, не допускающих ни одного
оператора. Построение таких примеров,
как и решение общей задачи группо-

вой классификации, осуществляется на
основе определяющего уравнения B.25).
Для обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка C.25) опре-
определяющее уравнение с учетом форму-
формулы продолжения C.3") записывается
так:
цхх + Bцху —
C.26)
не допускает ни одного оператора.
С помощью уравнения C.26) это про-
проверяется очень просто. Подставив F =
= еУ-\-ху в C.26), получим в левой части
выражение, содержащее первую произ-
производную в виде степеней и еК Приравняв
коэффициент при е^нулю, получим
Пример 3.8. Уравнение
у— 1х)у — у%.
Отсюда имеем равенства %>у = 0,
= Ь, цх= — 1х, которые дают
Подстановка этих выражений для
|, ц в оставшееся от C.26) уравнение
ху\х-\-у^-\-хг\ = 0 дает ?=0, г| = 0. ф
ф Задача 3.1. Докажите, что уравнение
не допускает ни одного оператора, ф
ф Пример 3.9. Дважды продолженный
оператор вращения равен
Отсюда видно, что в качестве диф-
дифференциальных инвариантов нулевого,
первого и второго порядков группы
вращений можно взять
х + уу '
C.27)
и записать общее уравнение второго
порядка, инвариантное относительно
вращений, в виде
/11 -2x3/2,
О Упражнение 3.13. Проверьте, что в
соответствии с теоремой 3.1
C.28)
является дифференциальным инвариан-
инвариантом группы вращений, и выразите его
через инварианты C.27)
Ответ:
ф Пример 3.10. Проинтегрируем урав-
уравнение
у2)=0, C.29)
инвариантное относительно вращений.
В силу C.28) оно равносильно урав-
уравнению dv/du = 0, которое и представ-
представляет собой в данном случае уравнение
первого порядка C.19). Его интеграл
C.20), равный v = C\, после подстановки
значения v из C.27) становится урав-
уравнением первого порядка
у — ху _^
х + уу
C.290
Оно допускает оператор вращения и
поэтому интегрируется переходом к по-
полярным координатам
9 = arctg—, т-
переводящим оператор вращения в
оператор переноса по ф. Считая г = г(ф),
по формулам B.17), B.18) имеем:
d
dx
dtp'
xy — y dt_ х + уу
P r
Следовательно, уравнение C.29') в
полярных координатах принимает вид
и дает r = Cek^. В результате полу-
получается общее решение уравнения C.29)
в параметрическом представлении
х= O^cos ф, у = Cek4\n ф
с произвольными постоянными Си/г.§
ф Пример 3.11. На практике ветре-

чаются уравнения второго порядка, до-
допускающие оператор вида
X = p(x)j-y, C.30)
где функция р(х) либо задана, либо
определяется из некоторого другого
дифференциального уравнения. Диффе-
Дифференциальными инвариантами для опера-
оператора C.30) являются
и = х, v = p(x)y — p'(x)y,
dv / \ •• /// \
w = 7Z = P(x)y—P (Х)У>
так что общее инвариантное уравне-
уравнение второго порядка имеет вид*
р(х)у = р"{х)у + F(x, p(x)y - р"(х)у).
В частном случае /^ = 0 имеем уравнение
C.31)
которое записывается в виде dv/du=0,
т. е. v=C\. Поэтому решение уравне-
уравнения C.31) сводится к интегрированию
уравнения первого порядка
p(x)y-p'(x)y=Ci C.31')
с известным допускаемым оператором
C.30). Инвариантом для этого операто-
оператора является переменная х, а условию
X(z) = l удовлетворяет z = y/p(x). Та-
Таким образом, мы имеем подстановку
y = p(x)z,
после которой уравнение C.31) прини-
принимает вид
Отсюда
1= С Л 2/ ч Н~
р\х)
так что общее решение
C.31) дается формулой
уравнения
. C.32) •
О Упражнение 3.14. Найдите диффе-
дифференциальные инварианты и общий вид
инвариантных уравнений второго по-
порядка для операторов Х = ху— и Х =
= хц— соответственно.
эдх
* Через р'(х) обозначается производная задан-
заданной функции по ее аргументу, тогда как у, у, у рас-
рассматриваются как переменные величины.
Указание: вычисления достаточно
провести для первого оператора; ре-
результат для второго оператора полу-
получается заменой х и у местами с ис-
использованием формул х=\/у, х =
= -у/у\О
Ниже для справок приводится таб-
таблица некоторых уравнений второго по-
порядка общего вида с известным до-
допускаемым оператором. Указанные опе-
операторы позволяют понизить порядок
всякого уравнения соответствующего ти-
типа, а если для конкретного уравнения
данного типа (при частном виде функ-
функции F) удается найти второй до-
допускаемый оператор, то это уравнение
можно проинтегрировать.
3.5. Некоторые уравнения второго
порядка с известным допускаемым опе-
оператором.
(I) y=F(y,y), *=¦?;
y = F(x,y), X=±;
(II) ? = (l+^fV(r,rf),
v д д
Х = у- х — \
* дх ду
(IV) x2y = F(y,xy), X = x^-x;
(V) Р2(^) У + р(х) р'{х) у = F(y, р(х)у),
х=р(х)±;
(VI) у' = уг
(VII)
(VIII) y = F(x,xy — i
= x
—\

(IX) p(x)y-p"(x)y=F(x,p(x)y-p'
(X)
(XII)
УУ
(XIII)
X1J -4-
лу —j-
(XIVl
(XV) "
(XVI)
XI
X-PiX)dy>
y=yfD)
= y2+y2F(x,
i=F(!L,Xy-
v д
X = y—\
p( У \ V —
f-'ny), X.
»
Л x—x2 — -
/ dx
-ky—V
-\-y—V
a
§ 4. ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ОБЛАДАЮЩИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ РЕШЕНИЙ
Продолжая обсуждение проблем ин-
интегрирования обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, остановимся на
вопросе о том, какие уравнения (по-
(помимо линейных) обладают фундамен-
фундаментальной системой решений, так что
задача построения общего решения сво-
сводится к нахождению конечного числа
частных решений. Этот вопрос не имеет
прямого отношения к допускаемой груп-
группе, но решается он, как показали
Е. Вессио, А. Гульдберг и С. Ли
A893 г.), также при помощи теории
групп.
4.1. Определение и основная теоре-
теорема. Говорят, что обыкновенные диффе-
дифференциальные уравнения
4g = F(t9x\...,xn)9 / = 1,...,м D.1)
обладают фундаментальной системой
решений, если общее решение этих
уравнений выражается через конечное
число т произвольно выбранных част-
частных решений
** = (*?, ...,*g), * = 1,..., т D.2)
формулами
^' = ф^1, ...,Хт, Си .-, С), D.3)
содержащими п произвольных постоян-
постоянных Ci, ..., Сп- Частные решения D.2)
(которые считаются функционально не-
независимыми) называют при этом фун-
фундаментальной системой решений урав-
уравнений D.1). Требуется, чтобы вид
функций D.3) не зависел от выбора
конкретных частных решений D.2). Од-
Однако это не исключает такую возмож-
возможность, когда данная система уравнений
D.1) допускает несколько различных
представлений D.3) общего решения и
разное число m необходимых частных
решений (см. ниже пример 4.6). Общий
вид уравнений с фундаментальными ре-
решениями нашел С. Ли и доказал
следующую основную теорему (ее дока-
доказательство с подробным предваритель-
предварительным обсуждением и примерами можно
найти в [8], гл. 24).
Теорема 4.1. Уравнения D.1) обла-
обладают фундаментальной системой реше-
решений, если они представимы в спе-
специальном виде
так, что операторы
D.5)
образуют r-мерную алгебру Ли. При
этом число m необходимых частных
(фундаментальных) решений D.2) удов-
удовлетворяет условию
nm~^r. D.6)
ф Пример 4.1. Для линейного одно-
однородного уравнения
dx
dt
= A(t)x
имеем
n=l,
= l, r = l, X = x—.
dx
Представление D.3) общего решения
через частное решение х\ имеет вид
х = Сх\. Условие D.6), очевидно, вы-
выполняется в виде равенства, ф

ф Пример 4.2. Для неоднородного ли-
линейного уравнения
dx
dt
= A(t)x + B(t)
имеем я=1, г = 2У т = 2у так что
условие D.6) в этом случае также
имеет вид равенства. Операторами D.5)
здесь являются X\=d/dx, X2 = xd/dx\
их коммутатор равен [Х\,Х2]=Х\, так что
они действительно образуют двумерную
алгебру Ли L2. Формулой D.3) здесь
является запись общего решения х =
= х\-\-Сх через частное решение х\
неоднородного уравнения и частное
решение х однородного уравнения, ес-
если представить х в виде разности
двух решений неоднородного уравнения:
Х=Х2 — Х\. ф
ф Пример 4.3. Примером нелинейного
уравнения с фундаментальными реше-
решениями является уравнение Риккати
dt
D.7)
Оно имеет специальный вид D.4)
с г = 3 и с операторами D.5)
dx
dx
= х2^, D.8)
dx v ;
образующими алгебру Ли Ьз. Формула
D.6) дает т^З, так что для выраже-
выражения общего решения уравнения Риккати
с произвольными коэффициентами Р,
Q, R требуется не менее трех частных
решений. На самом деле достаточно
знать три решения, так как любые
четыре решения уравнения Риккати свя-
связаны условием постоянства их ангармо-
ангармонического отношения. К обсуждению
свойств уравнения Риккати с групповой
точки зрения мы еще вернемся в § 4.2. ф
ф Пример 4.4. Рассмотрим однородную
систему двух линейных уравнений
Она имеет специальный вид D.4)
с коэффициентами
T\ = CL\\{t\ T2 = CL\2{t)y
Поэтому здесь операторами D.5) яв-
являются
Х\=Х1Г, Х2=У1Г, Хз=Х7Г, Х* = у7Г,
дх ^ дх дуу ду
которые, как легко проверить, образуют
алгебру L4. Выражение общего решения
х = С\Х\ + С2х2у у = С\у\ + С2у2
через два частных решения (xi,y\) и
{х2,у2) реализует формулу D.3), так что
имеем т = 2. Условие D.6) имеет вид
равенства, так как д = 2, г = 4. #
ф Пример 4.5. В случае неоднородной
системы
к коэффициентам Га, ^а из предыду-
предыдущего примера добавляются
так что алгебра L4 расширяется до
алгебры L& путем добавления операто-
операторов Хь = д/дх и Хв = д/ду. Итак, п = 2,
г = 6, поэтому из условия D.6) следует,
что для выражения общего решения
рассматриваемой неоднородной системы
с произвольными коэффициентами пц(г)
и bi(t) нужно знать три частных реше-
решения (xky yk), fe = l,2, 3; соответствующая
формула D.3) хорошо известна:
ф Пример 4.6. В книге [8] Ли приво-
приводит пример неоднородной системы двух
линейных уравнений
^ t\ D.9)
когда можно обойтись двумя частными
решениями. Эта специфика имеет груп-
групповую природу и состоит в следующем.
По теореме 4.1 системе D.9) сопоставля-
сопоставляются операторы
у d ^ д у д у д
Л] = у- Х-—у Л2=—-у Хз = -г-у
дх ду дх ду
порождающие группу движений (враще-
(вращений и переносов) в плоскости (х,у). Так
как движения сохраняют расстояние
между любыми двумя точками, то, как
показывает Ли, любые три решения

(х\,у\)у (Х2,у2) и (хуу) рассматриваемой
системы связаны двумя соотношениями
D.10)
Поэтому для получения представле-
представления D.3) общего решения системы D.9)
через два ее частных решения (х\,у\),
(Х2, уч) и две произвольные постоянные
С\, Сг достаточно разрешить D.10) от-
относительно х, у. Таким образом, система
D.9) допускает два представления обще-
общего решения: в виде линейной суперпози-
суперпозиции трех решений (пример 4.5) и «не-
«нелинейной суперпозиции» двух решений,
которая получается, если разрешить ра-
равенства D.10) относительно х, у. ф
О Упражнение 4.1. Проверьте, что для
любых двух решений (x\,yi), (x2, У2) сис-
системы D.9) и любых постоянных С\, Сг
функции х, у, найденные из D.10), удов-
удовлетворяют системе D.9). О
4.2. Группы на прямой и уравнение
Риккати. Теорема 4.1 позволяет найти
все обыкновенные дифференциальные
уравнения D.1), имеющие фундамен-
фундаментальную систему решений, сводя задачу
к перечислению всевозможных групп пре-
преобразований с конечным числом парамет-
параметров (или соответствующих конечномер-
конечномерных алгебр Ли операторов D.5)) в
/г-мерном пространстве переменных х =
= (х , ..., хп). Такое перечисление для
прямой (п = 1) и плоскости (п = 2) было
проделано Ли (эти результаты можно
найти, например, в [12], гл. IV). Здесь
мы остановимся на случае п = \. В этом
случае выбор очень ограничен: всякая
группа преобразований на прямой совпа-
совпадает (с точностью до замены перемен-
переменных) с группой проективных преобра-
преобразований, порожденной трехмерной ал-
алгеброй Ли с базисом операторов D.8),
или же с некоторой ее подгруппой. Это
означает, что при п= 1 уравнение Рик-
Риккати D.7) является (с точностью до за-
замены переменной х) самым общим урав-
уравнением, обладающим фундаментальной
системой решений. При д^2 таких урав-
уравнений гораздо больше.
Таким образом, уравнение Риккати —
это своеобразная реализация группы
проективных преобразований. Отраже-
Отражением этого факта является теорема о
постоянстве ангармонического отноше-
отношения любых четырех решений уравнения
Риккати. Для ее доказательства введем
однородные координаты и, v, положив
х= u/v. Тогда уравнение Риккати примет
вид
+ Ru+jQv) = 0. D.70
Так как в определении x = u/v участ-
участвуют две функции, можно ограничить
их одним дополнительным условием, на-
например потребовать выполнения уравне-
уравнения -у- — -^Qu — Pv = 0. При этом урав-
уравнение D.7') сведется к системе двух
линейных уравнений
представляющей собой запись уравнения
Риккати в проективном пространстве.
Пусть (п[у v\) и (и,2, V2) — два частных
решения этой системы, выбранных так,
что отношения и\/и2 и v\/v2 не равны од-
одной и той же постоянной. Тогда
U=C\U\-\-C2U2, V =
так что общее решение уравнения Рикка-
Риккати D.7) дается формулой
D.11)
Пусть х\, ..., X4 — четыре решения урав-
уравнения Риккати, соответствующих част-
частным значениям К\, ..., Ка постоянной К
в формуле D.11). Тогда выполняется
равенство
х\—х2 . хх — х
XZ — X2
ъ—Ха ~ Къ—К2 'Къ —
доказывающее постоянство ангармони-
ангармонического отношения любых четырех реше-
решений уравнения Риккати.
О Упражнение 4.2. Из представления
D.11) общего решения уравнения Рик-
Риккати выведите равенство D.12) О
Итак, каждому уравнению Риккати
вида D.7) соответствует по теореме 4.1

алгебра Ли Lr, которая является либо
трехмерной алгеброй с базисом операто-
операторов D.8), либо (при частных значе-
значениях коэффициентов Р, Q, R) некоторой
ее подалгеброй (тогда г = 2 или г=1).
Эта алгебра, как мы сейчас увидим,
позволяет легко выяснить, существует ли
для данного уравнения Риккати линеари-
линеаризующая замена переменной х. Сначала
полезно выполнить следующие упраж-
упражнения.
О Упражнение 4.3. Постройте алгебры
минимальной размерности для следую-
следующих уравнений при произвольных коэф-
коэффициентах P(t), Q(t):
dt
dx
% = P(t) + Q(t)x + [ Q(t) - 2P(t)}x\ О
О Упражнение 4.4. Выясните, какие из
следующих уравнений можно линеари-
линеаризовать заменой переменной х при произ-
произвольных коэффициентах P(t), Q(t):
Вопрос о линеаризации уравнения
Риккати решает следующая теорема, яв-
являющаяся простым следствием основной
теоремы 4.1.
Теорема 4.2. Обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение первого порядка,
обладающее фундаментальной системой
решений, линеаризуется преобразовани-
преобразованием зависимой переменной х в том и только
в том случае, когда оно может быть
записано в специальном виде
так, что операторы
X, = Ux)±, Х2 = Ь(х)? D.5')
образуют алгебру Ли Lr размерности
г = 2 или г = 1, т. е.
[ХиХ2] = аХ{+$Х2 D.13)
или Х2 = аХ\ с постоянными коэффициен-
коэффициентами а, |3.
Доказательство. Заметим сна-
сначала, что любая замена х сохраняет
вид уравнения D.4') и структурное со-
соотношение D.13). Поэтому из примеров
4.1 и 4.2 ясно, что линеаризуемому урав-
уравнению D.4') соответствует алгебра
Lr, r^2\ в двумерном случае (г = 2) ли-
линеаризующей является замена, приводя-
приводящая базис алгебры L2 к виду
*•=?' *»=*?¦ <4Л4>
Докажем теперь, что если операторы
D.5') образуют алгебру Lr размерности
г^2, то уравнение D.4') линеаризуется.
При г = \ имеем ?J(х) = а%1(х), так что
в этом случае D.4') является уравне-
уравнением с разделяющимися переменными
dx/dt=(Ti(t) + aT2(t))b(x) и, очевидно,
линеаризуется. В случае г =2 для дока-
доказательства теоремы достаточно показать,
что всякая двумерная алгебра Ли L2
на прямой приводится заменой х к ал-
алгебре с базисом D.14). Для доказатель-
доказательства этого свойства двумерных алгебр
воспользуемся теоремой 1.3 и будем счи-
считать, что один из операторов рассмат-
рассматриваемой алгебры L2 приведен к виду
X=d/dx. Пусть Y = f(x) d/dx — другой
оператор из L2, линейно независимый с X.
Выберем эти два оператора в качестве
базиса L2. Для них [X, Y]=f'(x) d/dx,
так что условие D.13) имеет вид
причем хотя бы одна из постоянных а, C
отлична от нуля (почему?). Из этого
уравнения имеем
f = ax+C, Y = ax-^+CX, если C = 0,
±
если
в первом случае в качестве базиса L2
можно взять операторы D.14), а во вто-
втором — операторы X\ = d/dx, X2=exd/dx,
которые приводятся к виду D.14) допол-
дополнительной заменой х = е~х. Теорема до-
доказана.
ф Пример 4.7. Применим теорему 4.2 к
уравнению
? = P(t) + Q(t)x + [Q(t)-P(t)]x2 D.15)
из упражнения 4.4. Оно имеет вид D.4')
с Г,=Р, T2=Q, 1{ = \-х\ Ь = х + х2.

Поэтому операторами D.5') здесь явля-
являются
Хх=(\-х2)^-, Х2 = (х + х2)~. D.16)
v 'dx v ' dx v '
Вычислив коммутатор
dx
dx
мы видим, что операторы D.16) удовлет-
удовлетворяют условию D.13) двумерности ал-
алгебры. Следовательно, уравнение D.15)
линеаризуется. Для отыскания линеари-
линеаризующей замены выберем сначала вместо
D.16) новый базис
Тогда [X, Y]=X, как для операторов
D.14). Теперь найдем замену у = у(х),
переводящую оператор X к виду Х= —•
Для этого решаем уравнение Х(у)=
о du t
-f- = l и находим
У =
\+х'
D.17)
Замена D.17) переводит алгебру, по-
порожденную операторами D.16), в алгеб-
алгебру с базисом D.14) и, следовательно,
линеаризует уравнение D.15). Действи-
Действительно, после указанной замены урав-
уравнение D.15) принимает вид
%=Q(t)-P(t)[Q(t)-2P{t)]y. D.15')
О Упражнение 4.5. Используя линеари-
линеаризацию D.17), покажите, что любые три
решения xi, X2, хз уравнения D.15) связа-
связаны условием
з — х\ . х3+ 1
=с,
Х2— Х\ Х2
являющимся частным случаем условия
постоянства ангармонического отноше-
отношения D.12) решений общего уравнения
Риккати. Отсюда видно, что частным
решением уравнения D.15) является
х=—\.О
ф Пример 4.8. Уравнение л7~^ + *2
имеет двучленный вид D.4') с коэф-
коэффициентами Ti = t, ?i = l, ^2=1, ?>2 = х2,
так что здесь операторами D.5') являют-
являются х{ = 4-> ^2=х2~- Очевидно, что ком-
dx' dx
мутатор этих операторов [Xi, X2] = 2x-^
не выражается линейно через Х\ и Х2,
поэтому рассматриваемое уравнение не
линеаризуется заменой х. В данном слу-
случае алгебра Lr трехмерна и совпадает
с алгеброй, порожденной операторами
D.8). Для приведения этой ситуации
в соответствие с теоремой 4.1 рассмат-
рассматриваемое уравнение следует записать в
виде D.4) так:
ф Пример 4.9. Уравнение
имеет вид D.4) с T{=t, T2 =
T3 = 2^/2B + t2) и g1 = l, %2=x, Ь = х2.
Поэтому соответствующая алгебра трех-
трехмерна и совпадает с алгеброй для общего
уравнения Риккати. Но было бы неверно
заключить отсюда, что рассматриваемое
уравнение не линеаризуется. Действи-
Действительно, его можно переписать в дву-
двучленном виде D.4'):
f = t( I + 2V2x) + B + t2)(x + 2V2V)
и получить операторы
удовлетворяющие условию D.13):
Следовательно, по теореме 4.2 рассматри-
рассматриваемое уравнение линеаризуется, ф
Как видно из этого примера, неод-
неоднозначность представления уравнений в
виде D.4) создает определенные неудоб-
неудобства, в частности, при использовании
теоремы 4.2. Следующая теорема, кото-
которая выводится из теоремы 4.2, содер-
содержит другие критерии линеаризуемости,
не зависящие от специального представ-
представления D.4').
Теорема 4.3. Если уравнение Риккати
dx
-— = P(t)-\-Q(t)x-\-R(t)x D.7)

обладает одним из следующих четырех
свойств, то оно обладает и тремя дру-
другими:
A) уравнение D.7) линеаризуется за-
заменой переменной х\
B) уравнение D.7) может быть запи-
записано в двучленном виде
D.40
так, что операторы Х\ = gi (x)
dx
Х2 =
= ?J(х)— порождают двумерную алгеб-
алгебру Ли, т. е. [Х\, Х2] = аХ\-\-$Х2 (при
[Х\, Х2] = 0 алгебра одномерна, и в урав-
уравнении Риккати переменные разделя-
разделяются);
C) уравнение D.7) либо имеет вид
dx
dt
D.18)
либо
dx
D.19)
с некоторым постоянным (вообще говоря,
комплексным) коэффициентом k\
D) уравнение D.7) допускает посто-
постоянное (вообще говоря, комплексное) ре-
решение.
Замечание. Уравнение D.19) име-
имеет постоянное решение х= — \/k. Поэто-
Поэтому линейное уравнение, являющееся
частным случаем D.19) при & = 0, мо-
может рассматриваться как уравнение Рик-
Риккати, имеющее в качестве постоянного
решения бесконечно удаленную точку.
ф Пример 4.10. Если в уравнении из
примера 4.9 положить х= const и при-
приравнять нулю коэффициенты при разных
степенях t, то легко видеть, что оно
имеет постоянное решение х= —
и линеаризуется, ф
ф Задача 4.1. Докажите теорему 4.3. ф
§ 5. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
КАК ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ
В задачах гидромеханики и математи-
математической физики допускаемая группа широ-
широко используется для построения частных
точных решений, наиболее популярными
из которых являются так называемые ин-
инвариантные решения. Здесь иллюстриру-
иллюстрируется техника вычисления инвариантных
решений уравнений в частных производ-
производных на примере фундаментальных реше-
решений уравнений Лапласа и теплопровод-
теплопроводности.
5.1. Сферически-симметричные реше-
решения уравнений Лапласа. Понятие инва-
инвариантных решений уже обсуждалось в
§ 3 в связи с частными решениями C.7')
уравнения Риккати C.5). Метод по-
построения этих решений основан на теоре-
теореме 1.5 и применим также к уравнениям в
частных производных. Для иллюстрации
возьмем уравнение Лапласа
Аи = 0 E.1)
с п^З переменными х = (х\ ..., хп) и най-
найдем все его решения, инвариантные от-
относительно группы вращений с операто-
операторами
Инвариантами этой группы являются
и и г = -фс[J-\- ...-\-(xnf, и по теореме
1.5 всякое инвариантное решение записы-
записывается в виде и = и(г). Тогда
дх1
(dxf
= L[ru'+(n-2)u]'.
Поэтому уравнение E.1) для искомых
сферически-симметричных решений при-
принимает вид обыкновенного дифференци-
дифференциального уравнения [ruf-\-(п—2)и\ = 0,
которое легко интегрируется и дает
С2п
+
5.2. Использование растяжений. По-
Полученное решение имеет особенность в
начале координат и при Ci = 0 совпада-
совпадает (с точностью до постоянного множи-
множителя) с фундаментальным решением
уравнения Лапласа, равным
и =
1
'2-п
B — п)ь>„
E.3)

где o)rt — площадь поверхности единич-
единичной сферы в д-мерном пространстве. Та-
Таким образом, фундаментальное решение
E.3) является инвариантным (относи-
(относительно группы вращений) решением
уравнения
= 8(х)
E.4)
с б-функцией Дирака в правой части.
Очевидно, что уравнение E.4) допускает
группу вращений, так как оператор Лап-
Лапласа и б-функция инвариантны относи-
относительно вращений. Здесь мы имеем пример
инвариантного уравнения с обобщенны-
обобщенными функциями.
Покажем, что уравнение E.4) допу-
допускает также группу растяжений. Уравне-
Уравнение Лапласа E.1) инвариантно относи-
относительно растяжений х1 = ах1 и п = Ьи с
произвольными параметрами а и Ь. Ни
одно из этих растяжений само по себе не
оставляет инвариантным уравнение
E.4), может найтись допускаемая комби-
комбинация из них. Чтобы выяснить это, вос-
воспользуемся известной формулой преобра-
преобразования б-функции при замене перемен-
переменной xl = fL(x):
которая для растяжений 3? = ах1 дает
6(jt) = an8(x). С другой стороны, при рас-
растяжениях х ни левая часть E.4) пере-
переходит в (а2/Ь)Ап, где А — оператор Лап-
Лапласа в переменных х. Следовательно,
уравнение E.4) принимает вид
(а2/Ь)\п = ап6(х) и остается инвариант-
инвариантным, если Ь = а2~п. Итак, уравнение
E.4) наряду с вращениями допускает
еще однопараметрическую группу растя-
растяжений с оператором
E.6)
О Упражнение 5.1. Проверьте, что с уче-
учетом преобразования б-функции оператор
E.6) записывается в виде
4т
дх1
4
ди
и удовлетворяет условию B.25) инвари-
инвариантности уравнения E.4) .О
Теперь найдем такое решение уравне-
уравнения E.4), которое будет инвариантным
относительно вращении и растяжении,
т. е. относительно группы с инфинитези-
мальными операторами E.2), E.6).
Инвариантами вращений являются, как
уже говорилось выше, г и и\ оператор
E.6) в пространстве этих двух инвариан-
инвариантов записывается в виде
E-6')
и имеет один инвариант J=urn~2. По
теореме 1.5 инвариантное решение может
быть записано в виде (так как имеется
только один инвариант/) /== const, т.е.
и = Сг2-п. E.7)
Подстановкой E.7) в E.4) находится
постоянная С = 1/B—п)(оп в соответ-
соответствии с формулой E.3). Таким образом,
фундаментальное решение находится из
требования инвариантности почти одно-
однозначно, а само уравнение E.4) играет
роль только нормирующего условия.
О Упражнение 5.2. Проделайте необхо-
необходимые выкладки, связанные с подста-
подстановкой выражения E.7) в уравнение
E.4).О
5.3. Тепловое представление группы
Галилея. Рассмотрим группу Галилея,
ограничившись сначала одномерным (по
пространственным переменным) случаем.
Это трехпараметрическая группа, состоя-
состоящая из переносов и преобразования Га-
Галилея с инфинитезимальными операто-
операторами
dt дх дх
(см. пример 1.7). Добавим к независимым
переменным t, x дифференциальную пере-
переменную и, которая будет играть роль тем-
температуры и потому при преобразовании
Галилея будет преобразовываться по
формуле B.2). Полученные операторы
X0=-l-, Xl=-jL, Y=2t^-xu^-
dt дх дх ди
(см. B.6)) не образуют алгебру Ли, так
кяк [Х\, Y]=—и—. Поэтому дополним их
до четырехмерной алгебры с базисом
дх
4-
ди
E.8)

Этой алгебре соответствует группа
Ga, которая состоит из переносов /, х,
растяжения и и преобразования Галилея
B.2) и которую естественно назвать
тепловым представлением группы Гали-
Галилея.
Найдем общий вид линейного диффе-
дифференциального уравнения второго поряд-
порядка, инвариантного относительно группы
Ga. Условия инвариантности относитель-
относительно переносов (XoJ = dJ/dt = О, X\J =
= dJ/дх = 0) приводят к тому, что инва-
инварианты группы Ga не зависят от /, х. Кро-
Кроме того, оказывается, что из инвариан-
инвариантов, содержащих величины utx, utt, не-
невозможно сконструировать линейное
уравнение (см. далее упражнение 5.3).
Поэтому остается найти для операторов
Х2У Y дифференциальные инварианты,
зависящие от и, их, Щ, ихх. Оператор
Х2 после продолжения имеет вид
л/ д , д . д . д
х2 = и — -\-их-—\-ut-—\-ихх -л—;
ди дих out дихх
его инвариантами являются
р = их/иу q = ut/u, r = uxx/u.
В этих величинах продолженный опера-
оператор Y записывается в виде
и имеет инварианты /i = g— p2, /г = г—
—p2. Подставив значения p, q, г, полу-
получим следующие два дифференциальных
инварианта второго порядка группы G4:
f
дх
E.11)
/i=J
E.9)
По теореме 1.5 всякое инвариантное
уравнение записывается в виде
Ф(/ь /2) = 0, среди которых, как легко
видеть, требованию линейности удовлет-
удовлетворяет только уравнение ]\—/2 = /г или
ut=uxx-\-kuy fc =
E.10)
О Упражнение 5.3. Найдите все диффе-
дифференциальные инварианты второго поряд-
порядка (включая производные utx, utt) группы
G4.O
О Упражнение 5.4. Покажите, что един-
единственным оператором растяжения
добавление которого к операторам E.8)
дает пятимерную алгебру Ли, является
Покажите также, что инвариант (не
зависящий от щх и utt) этой расширенной
алгебры равен отношению инвариантов
E.9):
]=uuxx-uIq
uut — ui
Из упражнения 5.4 следует, что груп-
группу Галилея Ga можно расширить с по-
помощью растяжений единственным_обра-
зом (добавляя растяжения t=a2t,
х = ах) и что единственным линейным
уравнением второго порядка, допускаю-
допускающим эту расширенную группу Галилея,
является / = 1, т. е. уравнение тепло-
теплопроводности
ut=Uxx. E.12)
В многомерном случае, когда
х ? Rn, операторы E.8) следует заме-
заменить на
д_
~di'
¦— X=xs—-xl—
дх1 ' lj дх1 дх1
E.80
а оператор E.11) — на
z=2t^- + x1-^. E.110
dt дх1 v '
Тогда, как и в одномерном случае,
требование инвариантности относительно
группы Галилея с операторами E.80
приводит однозначно (при условии ли-
линейности) к уравнению диффузии
ut=&u-\-ku, ?=
E.100
а требование инвариантности относи-
относительно расширенной группы Галилея
с операторами E.80, E.110 — к урав-
уравнению теплопроводности
ut = Au. E.120
Таким образом, для вывода уравне-
уравнения распространения тепла в линейном
приближении можно использовать вме-
вместо закона Фурье (или Нернста в случае
диффузии) принцип инвариантности от-
относительно теплового представления
группы Галилея. Более того, эта группа
позволяет найти распределение темпера-
температуры в любой момент времени, если

известно начальное распределение, не
решая дифференциальное уравнение.
Связано это с тем, что фундаментальное
решение определяется с точностью до
постоянного множителя из соображений
инвариантности (как и в случае уравне-
уравнения Лапласа), а уравнение
ut—bu=6(t,x) E.13)
используется лишь в качестве норми-
нормирующего условия. Действительно, урав-
уравнение E.13) инвариантно относительно
вращений, преобразований Галилея и
растяжений ?=а2/, xl=axl, п=а~пи
(см. E.5)), т.е. относительно группы с
операторами Xih Yt и
Jnu^.
х1 ди
E.14)
Инвариантами группы вращений яв-
являются /, г, и. Так как Yi(r) = 2txi/r,
то в соответствии с формулой A.23)
операторы Yt записываются для функций
от t, r, и в виде
Отсюда ясно, что общими инвариантами
для вращений и преобразований Галилея
являются время/ и величина p=uer2/{4t).
Записав оператор E.14) в этих инвари-
инвариантах,
dt r dp
находим следующий общий инвариант
для всей группы с операторами Xih У„ X:
Поэтому инвариантное решение урав-
уравнения E.13) должно иметь вид
u=ct-n'2e-r2/At. E.15)
Остается найти постоянную С подста-
подстановкой выражения E.15) в уравнение
E.13). В результате получается сле-
следующее фундаментальное решение урав-
уравнения теплопроводности:
е-г2/АК E.16)
Отметим еще раз, что основная фор-
формула E.15) получилась исключительно
из соображений инвариантности.
ф Задача 5.1. Уравнение теплопроводности
E.12) инвариантно относительно проективных
преобразований с оператором Х^ из B.45).
Выясните, используя формулу E.5), допускает ли
группу проективных преобразований уравнение
E.13) (с п=\). Выясните аналогичный вопрос
для уравнения Лапласа и конформной группы
(см. G),§ 10.2). «
ф Задача 5.2. Разберите с изложенной выше
инвариантно-групповой точки зрения фундамен-
фундаментальное решение волнового уравнения с тремя
пространственными переменными, ф
§ 6. КОРОТКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ
О ГРУППЕ ГАЛУА
Цель этого параграфа — дать неко-
некоторое представление о группе Галуа,
которая трактуется здесь в духе теории
Ли как группа преобразований, до-
допускаемых алгебраическим уравнением.
ф Пример 6.1. Рассмотрим уравнение
четвертой степени
+1 = 0 F Л)
и проверим двумя способами, что оно
допускает следующие преобразования
переменной х:
«/ = !, у = х\ у=-(х3+х2+х+1). F.2)
Первый способ. Для г/ =
3 2 (
имеем
У + У + У+ (+ + + +
х4)/х\ т. е. Р(у) = Р(х)/х\ Поэтому из
Р(х)==0 следует Р{у)=0. Это означает,
что уравнение F.1) допускает преобра-
преобразование у=1/х.
Для у=х2 имеем f/4+y3+y+l =
=jc8+*6+*4+*2+1 и делением на х4-\-
-\-х3-\-х2-\-х-\-1 (например, с помощью
алгоритма Евклида) получаем Р(у) =
= (х—х3-\-х2 — х-\- 1) Р(х). Следователь-
Следовательно, второе из преобразований F.2) также
допускается уравнением F.1).
Инвариантность уравнения F.1) от-
относительно третьего преобразования
F.2) проверяется аналогично. Формула
преобразования многочлена Р(х) при за-
замене у=—(jc3+x2+jc+1) имеет вид
Р(у) = (х*+3х7+6х6+9хъ+9х4+7х3+
+4х2+х+\)Р(х).
Второй способ. Запишем условие ин-
инвариантности уравнения F.1) относи-
относительно преобразования y=f{x) с дробно-
рациональной функцией f(x) в виде
P(y)\i*.i)=0. F.3)
Такая запись означает, что в левой
части F.3) следует заменить х4 на

Л ——Л , Л Л , Л Л ; Л
— (x3-\-x2-\-x-\-l) в соответствии с урав-
уравнением F.1). Кроме того, эта замена
дает*5=л>л:4= — (x4+jt3+jt2+Jt) = l, х6=
=х-хъ=х и т. д. Таким образом,
уравнение F.3) подразумевает следую-
следующие подстановки, справедливые в силу
уравнения F.1):
, ЛГ5=1, Х6=Х,
i
1,
ХП=Х, JC12=JC2, JtI3=X3, ... . F.4)
Применим условие F.3) для проверки
инвариантности уравнения F.1) относи-
относительно преобразования у=х . Имеем, ис-
используя подстановки F.4), Р(у)=х*-\-
+х6+х4+х2+1 = х3+х+х4+х2+1=0.
Инвариантность относительно третьего
преобразования из F.2) становится
очевидной, если с помощью первой
формулы F.4) переписать его в виде
у=л;4; это есть дважды примененное
преобразование у=х2. ф
ф Пример 6.2. Теперь мы можем пока-
показать, что уравнение F.1) допускает
бесконечную группу преобразований
F.5)
У=*\
где п принимает все целые (положи-
(положительные и отрицательные) значения, не
кратные пяти. В силу формул F.4)
и инвариантности уравнения F.1) отно-
относительно преобразований у=х и у=х2
достаточно проверить, что допускается
преобразование у=х3. Для этого преоб-
преобразования имеем Р (у) =jtI2+jt9+*6+*3+
+ 1=x2+jc4+a:+jc3+ 1=0. Итак, до-
допускаются преобразования F.5) с п=1,
2, 3, 4. Поэтому из F.4) следует,
что все преобразования F.5) с целыми
положительными пфЪтп (т=0, 1, 2, ...)
удовлетворяют условию F.3). Отрица-
Отрицательные целые значения п получаются
применением преобразования у = \/х. ф
О Упражнение 6.1. Проверьте первым
способом из примера 6.1, что уравне-
уравнение F.1) не допускает преобразова-
преобразования у=х*.О
Построенная в примере 6.2 группа
преобразований, как любая допускаемая
группа, переводит каждый корень урав-
уравнения F.1) в корень того же уравне-
уравнения. Выясним, как преобразуются эти
корни. Из курса алгебры хорошо из-
известно, что корнями уравнения F.1)
являются
i , 2 , з \ , ( )
F.6)
Возьмем, например, преобразование
у=х2 и подействуем им на корни F.6):
ух=х\=г2=х2, у2=е4=х4, г/3=е6=е=л:ь
(/4=e8=83=x3. Это означает, что корень
х\ переходит в х2, х2 в лс4, *ъ в х\
и jc4 в Хъ\ полученная подстановка
обозначается (х\, х2, х4, хг). Аналогично
находим, что преобразование у=х3 при-
приводит к подстановке (х\, лгз, х^ х2),
а преобразование у=\/х — к подста-
подстановке (х\, jc4) (jc2, хз). Остальные пре-
преобразования F.5) новых подстановок не
дают. Обозначив через 1 тождественную
подстановку, получаем, что бесконечная
группа преобразований F.5), допускае-
допускаемая уравнением F.1), индуцирует на
множестве корней этого уравнения ко-
конечную группу порядка четыре, состоя-
состоящую из следующих элементов:
1, (Х\, Х2, #4, Хз), (Х\, Хз, #4, Х2) ,
(хи хА) (x2i хз). F.7)
Эта конечная группа называется груп-
группой Галуа уравнения F.1).
Группа Галуа сохраняет имеющиеся
между корнями F.6) соотношения
=\, х\хз = 1, х\х2 = 1, х\Х\ = 1, F.8)
что легко проверяется для каждого из
элементов F.7) группы. При нашем опре-
определении группы Галуа с помощью до-
допускаемой уравнением F.1) группы свой-
свойство инвариантности соотношений между
корнями является следствием инвариант-
инвариантности уравнения.
О Упражнение 6.2. Найдите все дробно-
линейные (проективные) преобразования
ах+Ь
F.9)
допускаемые уравнением
*4—*2 + 1 = 0. F 10)
Указание: если подставить выраже-
выражение F.9) в уравнение у4—г/2 + 1 = 0,
заменить х4 на х2—1, согласно F.10),
и затем приравнять нулю коэффициенты
при различных хп (я = 0, 1, 2, 3),
то это даст четыре уравнения для опре-
определения коэффициентов a, b, k, /. О

ЛИТЕРАТУРА,
которая поможет заинтересованному читателю
более подробно ознакомиться с теоретическими
вопросами группового анализа, многообразием
приложений и современным развитием, а также
с биографией Софуса Ли.
1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифферен-
дифференциальные уравнения.— Харьков: ОНТИ, 1939.—
Гл. IV.— С. 127—153.
2. Байков В. А., Газизов Р. К.,
Ибрагимов Н. X. Приближенные симметрии //
Матем. сб.— 1988.— Т. 136.— Вып. 4.— С. 435—
450.
3. Галактионов В. А., Дородни-
Дородницын В. А., Еленин Г. Г., Курдю-
мов С. П., Самарский А. А. Квази-
Квазилинейное уравнение с источником: обострение,
локализация, симметрия, точные решения, асимпто-
асимптотики, структуры // Итоги науки и техники:
Современные проблемы математики: Новейшие до-
достижения.— М.: ВИНИТИ, 1987.— Т. 28.—
С. 95—205.
4. Гурса Э. Курс математического анали-
анализа.— М.—Л.: ГТТИ, 1933.— Т. П.— Ч. II.
гл. XIX.— Разд. IV.— С. 92—104.
5. Dickson L. E. Differential equations
from the group standpoint // Annals of Math.—
1924.— V. 25.— P. 287—378.
6. Дородницын В. А., Еленин Г. Г.
Симметрия в решениях уравнений математической
физики.— М.: Знание, 1984.— 64 с. См. также
сб.: Компьютеры и нелинейные явления.— М.:
Наука, 1988.— С. 123—191.
7. Ибрагимов Н. X. Группы преобра-
преобразований в математической физике.— М.: Наука,
1983.— 280 с.
8. Lie S. Vorlesungen tiber continuierliche
Gruppen.— Leipzig: Teubner, 1893.— 805 с
9. Овсянников Л. В. (а) Групповые
свойства дифференциальных уравнений.— Ново-
Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962.— 240 с.
(б) Групповой анализ дифференциальных урав-
уравнений.— М.: Наука, 1978.— 400 с.
10. Овсянников Л. В., Ибраги-
Ибрагимов Н . X. Групповой анализ дифференциаль-
дифференциальных уравнений механики // Итоги науки и тех-
техники: Общая механика.— М.: ВИНИТИ, 1975.—
Т. 2.— С. 5—52.
11. Полищук Е. М. Софус Ли.— Л.:
Наука, 1983.— 214 с.
12. Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли.—
М.—Л.: ГИТТЛ, 1940.— 396 с.
Научно-популярное издание
Наиль Хайруллович Ибрагимов
АЗБУКА ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
Гл. отраслевой редактор Л. А. Ерлыкин
Редактор И . Г . В и р к о
Мл. редактор С. С. Патрикеева
Художник Л. П. Ромасенко
Худож. редактор М. А. Бабичева
Техн. редактор Т. Н. Захаренкова
Корректор В. В. Каночкина
ИБ № 10260
Сдано в набор 09.06.89. Подписано к печати 27.07.89.
Формат бумаги 70X 100'/i6. Бумага офс. № 2. Гарнитура литера-
литературная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,90. Усл. кр.-отт. 8,12.
Уч.-изд. л. 4,31. Тираж 22 925 экз. Заказ 1316. Цена 20 коп.
Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр, проезд
Серова, д. 4. Индекс заказа 894308.
Ордена Трудового Красного Знамени Чеховский полиграфический
комбинат Государственного комитета СССР по делам изда-
издательств, полиграфии и книжной торговли.
142300, г. Чехов Московской области