Галицкий, Виктор Михайлович
Часть 1. Задачи по квантовой механике: Учебное пособие для вузов.- 3-е
издание, исправленное и дополненное. - М.: Едиториал УРСС, 2001.- 304 с. :
ил.
ISBN 5-354-00002-5, б/т экз.
Книга содержит задачи различной степени трудности в основном по
нерелятивистской квантовой механике. В первой части книги отражены
основные физические принципы, математический аппарат и расчетные
методы нерелятивистской квантовой механики. Иллюстрируется их
применение на простых модельных системах. Ко всем задачам даны
решения. Книга адресована физикам — студентам и аспирантам высших
учебных заведений, как экспериментаторам, так и теоретикам, изучающим
квантовую механику.
Математика
Квантовая (волновая) механика. Нерелятивистская квантовая механика
ББК 22.1я73, 22.314

Оглавление
Предисловие к третьему изданию - 5c.
Предисловие ко второму изданию - 5-6c.
Принятые сокращения - 7c.
Наиболее часто используемые обозначения - 7-8c.
Универсальные константы - 8c.
Глава 1 Операторы в квантовой механике - 9-28c.
§1 Основные понятия теории линейных операторов -10-13c.
§2 Собственные функции, собственные значения, средние -14-21c.
§3 Проекционные операторы - 21-23c.
§4 Представления операторов и волновых функций. Унитарные
преобразования - 23-28c.
Глава 2 Одномерное движение - 29-62c.
§1 Стационарные состояния дискретного спектра - 30-38c.
§2 Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении. Функция
Грина уравнения Шрёдингера. Интегральная форма уравнения
Шрёдингера - 38-45c.
§3 Состояния непрерывного спектра. Прохождение через
потенциальные барьеры - 45-56c.
§4 Системы с несколькими степенями свободы. Частица в
периодическом потенциале - 56-62c.
Глава 3 Момент импульса - 63-84c.
§1 Общие свойства момента - 64-70c.
§2 Момент L = 1 - 70-73c.
§3 Сложение моментов - 73-80c.
§4 Тензорный формализм в теории момента - 80-84c.
Глава 4 Движение в центральном поле - 85-114c.
§1 Состояния дискретного спектра в центральных полях - 86-102c.

§2 Состояния с малой энергией связи. Частица в совместном поле
короткодействующего и дальнодействующего потенциалов -102-110c.
§3 Системы с аксиальной симметрией -110-114c.
Глава5 Спин-115-137c.
§1 Спина=1/2-116-125c.
§2 Спин-орбитальные состояния частицы со спином а = 1/2. Высшие
спины-125-132c.
§3 Спиновая (поляризационная) матрица плотности. Угловые
распределения и корреляции в распадах -133-137c.
Глава 6 Изменение состояния во времени -13 8-172c.
§1 Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов - 139-146c.
§2 Изменение во времени физических величин. Интегралы движения -
146-151c.
§3 Унитарные преобразования, зависящие от времени. Гейзенберговское
представление -151-161 c.
§4 Временные функции Грина -161-164c.
§5 Квазистационарные и квазиэнергетические состояния -164-172c.
Глава 7 Движение в магнитном поле - 173-190c.
§1 Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля -
174-184c.
§2 Изменение состояний во времени -184-187c.
§3 Магнитное поле орбитальных токов и спинового магнитного момента
- 187-190c.
Глава 8 Теория возмущений. Вариационный метод. Внезапные и
адиабатические воздействия -191-245c.
§1 Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) -193-204c.
§2 Вариационный метод - 204-210c.
§3 Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр) - 211-218c.
§4 Нестационарная теория возмущений. Переходы в непрерывном
спектре-218-230c.
§5 Внезапные воздействия - 230-234c.

§6 Адиабатическое приближение - 234-245c.
Глава 9 Квазиклассическое приближение. 1/N -разложение в квантовой
механике - 246-298c.
§1 Квантование энергетического спектра - 252-271c.
§2 Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние - 271-
280c.
§3 Прохождение через потенциальные барьеры - 280-291c.
§4 1/N-разложение в квантовой механике - 291-298c.
Дополнение - 299-300c.
Список литературы - 301c.

Предисловие к третьему изданию
В настоящем издании наряду с исправлением опечаток и неточностей предыдущего
издания 1992 г. сделаны довольно многочисленные дополнения в разных местах книги.
Наиболее значительные из них относятся к главе «Квазиклассическое приближение»,
в которую, в частности, включен ряд вопросов, связанных с применением метода Лан-
гера, а также написан новый параграф «§ 4. \/N-разложение в квантовой механике».
Ввиду большого объема материала книга издается в двух частях. Разделение
на две части не имеет принципиального характера и связано лишь с тематикой
рассматриваемых вопросов. При этом в первой части книги отражены основные
физические принципы, математический аппарат и расчетные методы нерелятивистской
квантовой механики. Иллюстрируется их применение на простых модельных системах.
Б. М. Карнаков
В. И. Коган
Предисловие ко второму изданию
Предлагаемая книга, как и первое издание 1981 г., содержит задачи различной
степени трудности в основном по нерелятивистской квантовой механике. Она адресо-
адресована физикам — студентам и аспирантам, как экспериментаторам, так и теоретикам,
изучающим квантовую механику по книгам Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, Д. И. Блохин-
цева, А. С. Давыдова или по другим руководствам соответствующего уровня.
В задачах мы стремились уделить должное внимание как основам математического
аппарата, физическим принципам и расчетным методам квантовой механики, так
и иллюстрациям ее конкретных приложений — в основном к атомной физике, физике
ядра и частиц — в той мере, в какой это можно сделать, не прибегая к специальным
методам и представлениям этих областей физики. Ко всем задачам даны решения
(при необходимости — достаточно подробные).
Для второго издания книга полностью переработана и дополнена новым мате-
материалом. Введено несколько новых разделов: частица в периодическом потенциале,
квазистационарные и квазиэнергетические состояния, частица в совместном поле ко-
короткодействующего и дальнодействующего потенциалов, аналитические и унитарные
свойства амплитуды рассеяния и др. Новые задачи включены и в остальные разделы.
Часть из них связана с основополагающими вопросами теории адронных атомов,
мезомолекулярных систем и /t-катализа, автоионизационных состояний, суперсимме-
суперсимметрии в квантовой механике. Увеличено число более сложных — как в идейном, так
и в вычислительном плане — задач, рассчитанных на студентов, начинающих специа-
специализироваться по теоретической физике, с целью выработки у них профессиональных
навыков. Для удобства пользования книгой каждой главе предпослано краткое Введе-
Введение, а также составлено небольшое математическое Дополнение. Для высвобождения
объема под новый материал нам пришлось опустить некоторые задачи из первого

Предисловие ко второму изданию
издания (в частности, исключен материал § 1 расформированной главы 16). И хотя
мы старались сделать это за счет задач методического характера, такое сокращение
в ряде случаев было сделано не без сожаления.
Переработка книги выполнена после безвременной кончины В. М.Галицкого.
Однако идеи значительного числа новых задач, включенных во второе издание,
обсуждались совместно всеми авторами еще в процессе работы над рукописью
первого издания книги.
Мы хотели бы выразить искреннюю благодарность С. Т. Беляеву и В. Г. Соловьеву
за доброжелательные замечания по рукописи книги, а также В. Д. Муру и В. С. Попову
за полезные дискуссии по разнообразным вопросам квантовой теории. Мы призна-
признательны многочисленным друзьям-коллегам по кафедре теоретической физики МИФИ.
Б. М. Карноков
В. И. Коган

Принятые сокращения
у. Ш. — уравнение Шредингера
в. ф. — волновая функция
с.ф. — собственная функция
с. э. — собственное значение
д. с. — дискретный спектр
с. ц. и. — система центра инерции
" — символ оператора (матрицы), однако над операто-
операторами умножения он, как правило, не ставится
ос — знак пропорциональности
~ — знак порядка величины
(m\J\n) s /„ = /Г з
— матричный элемент оператора /
/, (/) — среднее значение величины /
[/,Я = fg-gf — коммутатор операторов / и д~
По двум одинаковым («немым») векторным или спинорным индексам подразумевается вы-
выполнение суммирования.
Наиболее часто
используемые обозначения
Смысл используемых обозначений поясняется либо в условии, либо в решении каждой
задачи. Однако имеется ряд величин, встречающихся во многих задачах, для которых мы
старались придерживаться стандартных обозначений. Обозначения таких величин во всех
случаях, когда это не может привести к недоразумениям, в тексте не поясняются.
*/(?) — при такой записи волновой функции 9 обозначает совокупность переменных
используемого представления, а / — собственные значения соответствующих
физических величин или квантовые числа рассматриваемого состояния
ФЛ™ — с. ф. линейного осциллятора, см. A1.2)
е — заряд частицы"
с — скорость света
Я — гамильтониан
Е, е — энергия
/, Р? — напряженности электрического и магнитного полей
А — векторный потенциал электромагнитного поля
U — потенциальная энергия (потенциал взаимодействия)
'* Но если речь идет о конкретной реальной частице (электроне, протоне, атомном ядре и т.д.), то е
обозначает элементарный заряд е я 4,80 ¦ 10~ш ея. СГСЭ (так что заряд электрона равен -«, протона +е,
ядра Zewi.n,.).

Универсальные константы
V
i,d
с.
Z,
m.
t
s
Л
«,
9
W
Ze
R
M
' к
A
,J
,s
(*)
оператор возмущения
днпольный момент
скалярный потенциал электромагнитного поля
боровский радиус
фазовый сдвиг
матрицы Паули
вероятность перехода, вероятность перехода в единицу времени
заряд ядра
радиус потенциала
масса, магнитное квантовое число
масса, магнитный момент
импульс
волновой вектор
массовое число ядра
частота
(, L, j, J — момент (орбитальный и полный)
спин
функция Бесселя
И„{х) — полином Эрмита
У|т@, ?>) — шаровая функция
Г{г) — гамма-функция
6(х), <5(г) — ^-функция Дирака
S,t — единичный тензор, символ Кронекера
е,и — антисимметричный единичный псевдотензор, ?|Н = 1 и т.д.
Формулы теоретических Введений в начале каждой главы нумеруются римскими цифрами.
Универсальные константы
Решение ряда задач предполагает проведение числовых расчетов. Для удобства вычислений
ниже приведены значения используемых физических величин.
Постоянная Планка
Элементарный заряд
Масса электрона
Скорость света
Боровский радиус (ат.ед. длины)
Атомная единица энергии
Атомная единица частоты
10"'° ед. СГСЭ
е = 4,80
тпе =9,1! Ю-28 г
с = 3,00 • Ю10 см/с
а0 = 0,529 • 10' см
4
= 4,36- 10"" эрг =27,21 эВ
Атомная единица напряженности
электрического поля
Постоянная тонкой структуры
Масса протона
Энергия покоя электрона
I эВ= 1,602- 10~|2 эрг
<
а = й =
I
137
|, = 1836т, = 1,673- 10'
МэВ

Глава 1
Операторы в квантовой механике
Математический аппарат квантовой механики тесно связан с теорией линейных
операторов. Одно из ее положений состоит в сопоставлении физическим вели-
величинам (наблюдаемым) эрмитовых, или самосопряженных, операторов, действующих
в пространстве волновых функций (векторов состояний) Ф, описывающих состояния
физической системы.
В общем случае произвольному линейному оператору L, задающему соответ-
соответствие между функциями, Ф(д) = ?Ф(д), можно сопоставить оператор L+, эрмитово
сопряженный Z, определяемый соотношением
= <?+ф2 |*,> (i.i)
(при некоторых ограничениях на функции *i,j). Если L+ = L, то оператор называют
эрмитовым (самосопряженным) ¦>.
В вопросах сопоставления свойств физической величины / и соответствующего
ей самосопряженного квантовомеханического оператора / важную роль играют
понятия, связанные с уравнением на собственные функции и собственные значения
этого оператора:
/*/.=/«•/.• 0-2)
Спектр собственных значений /„, являющихся вещественными, определяет те
значения величины /, которые она только и может принимать. При этом соб-
собственные функции Фд описывают состояния системы с определенным, равным /„
значением физической величины / (в случае произвольного состояния физическая
величина не имеет определенного значения). Эти функции, отвечающие различ-
различным собственным значениям, взаимно ортогональны и образуют полную систему.
Последнее свойство обеспечивает возможность разложения волновой функции Ф(?)
произвольного состояния в ряд по собственным функциям:
* = 5><Л>)*/.. A-3)
п
где
<fn) = (»/. | *> з у »;.(«)Ф(«) drr A.4)
Здесь" (как и часто, специально не оговариваясь, в дальнейшем) предполагается,
что с. ф. Ф/, выбраны ортонормированными, причем они нормированы на единицу
" Строго говоря, понятия эрмитовости и самосопряженности не совпадают, см. по этому поводу 1.28
н 1.29.
г* Ради краткости разложение по с. ф. записано в виде суммы. В общем случае его следовало бы писать
в виде двух «слагаемых»: суммы по с. ф., отвечающим дискретным с. з., и интеграла по с. з непрерывного
спектра. Аналогично говорится о полной системе с. ф. */,, хотя более точно следовало бы говорить
о собственных функциях совокупности операторов, образующих полный набор.

10 Глава 1. Операторы в квантовой механике
для дискретных с. з. и на ^-функцию 6(f - /') — в непрерывной части спектра.
Если волновая функция рассматриваемого состояния также выбрана нормирован-
нормированной на !3), т.е. (Ф|Ф) = 1, то коэффициенты с(/„) непосредственно определяют
вероятности w(fn) = |с(/„)|2 значений /„ величины / в этом состоянии (плот-
(плотность вероятности, dw/df = |с(/)|2, в непрерывной части спектра с. з.). При этом
среднее значение / = S /пЧ"(/п) физической величины может быть рассчитано
п
по квантовомеханической формуле
/ = (»' | /1 Ф) = J **(«)/«(») Лг„ A.5)
не требующей предварительного вычисления вероятностей.
Если эрмитов оператор /(А) зависит от некоторого вещественного параме-
параметра А, то для производной от с. з. /„(А) в дискретной части спектра справедливо
соотношение
$
имеющее многочисленные приложения.
§ 1. Основные понятия теории линейных операторов
1.1. Рассмотреть следующие операторы (-со < х < +оо):
1) сдвига Та: Т„Ф(х) = Ф(ж + а);
2) отражения J: /Ф(ж) = Ф(-а:);
3) изменения масштаба Мс: МсЪ(х) = ч/сФ(сх), О 0;
4) комплексного сопряжения К: #Ф(х) = Ф*(х);
5) перестановки координат двух частиц Р^: P\i4l(x\, х2) = Ф(х2> ?i)-
Являются ли эти операторы линейными? Найти вид операторов, которые по отно-
отношению к ним являются: о) эрмитово сопряженными, б) обратными.
Решение. 1) Все операторы кроме К линейные.
2) Вил оператора Г„+ следует из цепочки равенств
) dx s j Ф'(г)ФA + a)dx = J Ф"(г - а)Ф(х) dx = /"(Т.+ ф(*))'Ф(х)dx
(интегрирование проводится в бесконечных пределах; при преобразованиях использована
соответствующая замена переменной интегрирования). Отсюда Т„+Ф(г) = 4>(х—а) — Т_,Ф(г),
так что ?„+ = Т...
Аналогично находим: 7* = Г, М* = Mi/r, Р*г = Рц.
Так как оператор К нелинейный, то понятие оператора К* к нему неприменимо (такой
оператор не существует).
3) Все приведенные операторы имеют обратные:
г'=/, ?-'=?-., м;'=Щс, к'=к, Р^ = Р1г.
'* В. ф. Ф любого физически реализуемого состояния должна быть квадратично нитегрируемой.
Ненормируеыые на I собственные функции непрерывной части спектра с. з сами ло себе не описы-
описывают реальных физических состояний (последние описываются волновыми пакетами, составленными
из таких с. ф.)

§ 1. Основные понятия теории линейных операторов 11
1.2. Операторы А и В эрмитовы, L — произвольный линейный оператор4'. Показать
эрмитовость следующих операторов:
1) ?+?и??+;2) ?+?+;3) «(?-?+); 4) LAL+; 5) АВ+ВА;6) i(AB-BA).
Указание. При доказательстве следует учесть соотношения (L*) + = L и (FL)f = ?4F*.
1.3. Показать, что произвольный оператор L можно представить в виде L = А + iB,
где А и В — эрмитовы операторы.
Ответ. А = {(I + ?+), В = ?(?- ?+).
1.4. Выразить коммутаторы [-4, ВС] и [J4B, б] через [•?, В], [J1, С], [В, б].
Решение. [А, 86] = ABC - ВС А = ЛВС - ВАС + ВАС - ВС А = [А, В)С + В[А, С].
Аналогично: [АВ,С] =Л[В,С] + [А,С]В.
1.5. Могут ли две матрицы Р и Q конечного ранга удовлетворять каноническому
коммутационному соотношению [Я,р] = -»йТ?
Решение. Нет, не могут. Взяв следы матриц в обеих частях равенства PQ - QP = -tft 1 н учтя,
что Sp (PQ) = Sp (QP), SpT= N (N — ранг матрицы), приходим к противоречию3'.
1.6. Предполагая Л малой величиной, найти разложение оператора (А- ХВ)
по степеням Л.
Решение. Записав (А-ХЙ)~ — ^Л"С», умножим обе части равенства на (А-хЗ).
п
Приравнивая в получающемся соотношении члены при одинаковых степенях Л, находим
АСя+\ = ВСШ, С+| = А ВСШ, Со = А ,
так что искомое разложение имеет вид
(А- ХВ)-' = А'' + А!"' В А'' + ... = Л ? A"J9n A-\
1.7. Оператор вида F = F(J), где F(z) — функция г, разложимая в ряд F(z) =
5^ CnZn, следует понимать как оператор, равный F = J2 *п/п- Используя это опреде-
п п
ление, найти явный вид следующих операторов:
1) ехр{»а?};
2) Тв = ехр{а^};
3) 2„ = ехр{оя;^},
где а — вещественный параметр, I — оператор отражения. В связи с данной задачей
см. 1.24, а также 1.8 и 1.57.
Решение. 1) Разложив экспоненту в ряд и учтя, что Т2 = 1, находим ехр {<»/} = cosa +
t(sin a)/.
4) в дальнейшем вес рассматриваемые операторы предполагаются линейными и термин «линейный»
для краткости опускается.
51 В случае N = оо противоречия не возникает ввиду того, что Sp(PQ) = оо.

12 Глава 1. Операторы в квантовой механике
2) Представив оператор в виде ряда, получаем
€•«*•(*> = ? ? (?У *<*> = Е S*<n)(l)
п ' ^ ^ п
Последнее равенство в этих соотношениях определяет разложение функции в ряд Тейлора.
Таким образом, оператор exp {a d/dx) является оператором сдвига.
3) Рассмотрим действие оператора
на одночлен хк. Так как (xd/dx)xl = Jfcz', то (ах d/dx)nxk = (ак)пхк и, соответственно,
?az* = (e"z)*. Воспользовавшись разложением функции Ф(х) в ряд Тейлора, получаем
г.щх) = г. Y. ci *k = Е ?(<"*>* = *(е°г)-
так что рассматриваемый оператор с точностью до множителя */с совпадает с оператором
изменения масштаба Мс, введенным в задаче 1.1; при этом с = е*.
1.8. Каков явный вид оператора T(g(x)) = <zxp{g(x)d/dx}, где д(х) — некоторая
функция х? Рассмотреть частные случаи: а) д = ах; 6) д = а3/За;2.
z
Решение. Перейдем к новой переменной у = у(х) согласно соотношению у = fdx/g(x).
ь
При этом f(g(x)) = exp [d/dy], так что рассматриваемый оператор является оператором
сдвига на Ду = 1 вдоль «оси» у (см. 1.7), и поэтому
j- }*(х(у)) =
= exp { j- }*(х(у)) = Ф(х(у + 1)),
где х(у) — обратная функция по отношению к у(х).
В частных случаях имеем:
а) у = (\/а) In z, так что х = е"* и ж|у + 1) = е°х; соответственно f (axIf(x) = Ф(е*г)
(сравнить с 1.7).
б) х = ay1» и f (а'/З*2) «(*) = *((г3 + о3)'").
1.9. Показать, что имеет место равенство
— Sp{exp(Ajr+B)}=Sp{Aexp(AJr + B)},
где А и В — произвольные матрицы (одного и того же ранга). Существенно ли взятие
следа матриц в этом соотношении?
Указание. Для доказательства следует разложить экспоненту в ряд и после дифференцирова-
дифференцирования и взятия следа сравнить члены с одинаковыми степенями Л. При этом, если операторы А
и В не коммутируют, взятие следа является необходимым для справедливости рассматривае-
рассматриваемого соотношения.
1 ПО. Показать, что в случае, когда коммутатор операторов Аи В является числом'*:
[•А, В] = ic, справедливо соотношение
ехр(А + В) = (ехрЛ")(ехрВ)ехр |-у |.
6' Точнее, является оператором icT, кратным единичному.

§ 1. Основные понятия теории линейных операторов 13
Решение. Введем оператор ехр {A(it + 8)} и запишем его в виде
где б подлежит определению. Продифференцировав обе части A) по А и воспользовавшись
соотношением
ехр {ХА }В = (В + iXc) ехр {а!}
(его легко установить, если разложить ехр {ХА } в рад и учесть, что [А, В] = ic), находим
dG/dX = 0,т. е. G от А не зависит. Положив А = 0 в A), получаем 6= 1; из A) же при А = 1
вытекает утверждение задачи.
1.11. В общем случае линейный оператор L можно рассматривать как линейный
интегральный оператор, т. е.
= f HMMOtf,
где ?((,?') — ядро оператора L (( — совокупность переменных используемого
представления). Как ядро Ь+(?,?) оператора L+ связано с ядром оператора V.
Найти ядра операторов /, Та, Мс, х = х, р = —ih d/dx (no поводу Т, Тл и Мс см. 1.1).
Решение. 1) ?+(?,?') = i*({',0-
2) Записав действие оператора Мс на функцию Ф(х) в виде
МсЩх) = -ЛФ(сх) = v/c F(сх-х')Ф(х')dx',
находим его ядро Мс(х, х') = s/c6(cx - x). Аналогично получаем
Цх, х') = 6(х + х'); Т.(х, х') = 6(х -х' + а);
Х(х, х') = хб(х~ х); Р(х, х') = -ih Дд * ¦
1.12. Какой вид имеет ядро L(x, x') оператора L, если этот оператор коммутирует
с оператором: а) координаты х = х; 6) импульса р = -ih d/dx?
Показать, что оператор L, коммутирующий как с х, так и с р, кратен единичному,
т. е. L = j&o = const.
Решение, а) Имея в виду, что ядро оператора С = АВ равно
^х,^)^ J A(x,x")B(x\xl)dx",
и учитывая вид ядра Х(х, х') = х6(х - х) оператора х, из условия Lx — xL = 0 находим
(x'-x)L(x, *') = <), так что Цх, x') = f(x) 6(х - х'), A)
где /(г) — произвольная функция.
б) Аналогично, из условия Lp — pL = 0 и вида ядра Р(х, х') = —Л06(х — х')/дх следует
где д(г) — также произвольная функция.
в) Соотношения A) и B) одновременно могут иметь место лишь при условии /(х) =
L<, - const; при этом L(x, x') = Lq i(x - г'). Оператор с таким ядром имеет вид L = La.

14 Глава 1. Операторы в квантовой механике
§ 2. Собственные функции, собственные значения, средние
1.13. В состоянии частицы с волновой функцией
?2} <»
где ро> zo> о — вещественные параметры, найти распределение вероятностей различ-
различных значений координаты. Определить средние значения и флуктуации координаты
и импульса частицы.
Решение. Нормировка в. ф. на единицу дает \С\ = (*а2) ; при этом dw(x) = |*(х)|2 dx.
По формуле (I.S) находим средние значения:
(AxJ = у,
Как видно, у/(Дг) • (АрJ = Л/2, так что рассматриваемая волновая функция A)
минимизирует соотношение неопределенности Гейэенберга.
1.14. Найти связь между средними значениями координаты и импульса частицы в двух
состояниях, волновые функции Ф| и Ф2 которых связаны соотношением
а) *2(х) = *,(* + а); б) Я/2(х) = exp{ipoz/ft}*,^).
Решение, а) хг = Х\ - а, р2 = р,; 6) хг — х,, р, = р, + ро, где индексы 1, 2 соответствуют
средним значениям в состояниях с волновыми функциями ¦^(х).
1.15. Показать, что средние значения эрмитовых операторов L+L и LL+ в произ-
произвольном состоянии неотрицательны.
Решение. Ш* = f flt'lidr = /(?**)'(Х*Ф) ir > 0.
1.16. Показать, что среднее значение дипольного момента системы заряженных
частиц в состоянии, характеризующемся определенной четностью, равно нулю.
Решение. Среднее значение дипольного момента системы
d= /*> , г,)Х)еЛ*(г".••-.'»)П*1''»- <')
Сделав замену переменных г1, = -г,, имеем
г=-
Так как по условию ^"(-г^..., -г„) = /Ф(г,,..., г.), где J = ±1 — четность состояния,
находим из (I) и B): d = -d = 0.
1.17. Эрмитов оператор / удовлетворяет соотношению
а) /2 = с2; б) P = cf; в) Р = <?1
где с — вещественный параметр. Каковы собственные значения такого оператора?

§ 2. Собственные функции, собственные значения, средние 15
Решение. Соотношение для оператора / вида A(f) = ?(/), где А(г) и B(z) — некоторые
функции г, приводит к аналогичному соотношению A(J,) — B(f,) для его с. з. Поэтому
у оператора / могут быть только такие с. з.: а) Дг = ±с; б) /, = О, Д = с; в) /, = О,
Д, з = ±с. Никаких других с. з. быть не может.
1.18. Найти собственные функции и собственные значения физической величины,
представляющей линейную комбинацию одноименных компонент импульса и коор-
координаты частицы: f = ар + рх. Убедиться в ортогональности полученных функций
и нормировать их соответствующим образом.
Решение. Уравнение для с. ф. и с. з. оператора / и его решение имеют вид
A)
E = ah). Из B) следует, что с.з. / — произвольные вещественные величины (при ком-
комплексных значениях / в. ф. B) возрастает на больших расстояниях; аир — вещественные
параметры, как это следует из эрмитовости /), спектр — непрерывный и с. з. — невыро-
невырожденные. С учетом Д1.1 условие нормировки
приводит к значению С = Bхй)~|/2. Читателю предлагается показать полноту системы
с.ф.B).
1.19. То же, что и в предыдущей задаче, для эрмитова оператора F, ядро кото-
которого имеет вид71 F(x,x') = f(x)f'(x') (см. 1.11). Каковы кратности вырождения
собственных значений?
Решение. Уравнение для с. ф. и с. з.
Нл(х) = /(*) J /V)*n(*') dx' = /,#,(.)
имеет следующие решения. I) Одна с.ф. Фо = Cf(x) отвечает с.з. /o = /|/(z)|2di>0. 2) Вто-
Второе с. з. /| = 0 — бескоиечиократно вырожденное Ему отвечают с. ф. *,(г), обладающие
свойством / /'(х)Ф,(х) dx = 0 (т. е., как и должно быть, эти функции ортогональны с.ф. Фо>
отвечающей другому с. з.). Никаких других с. з. не существует.
1.20. Решить задачу на собственные функции и собственные значения оператора
комплексного сопряжения К (см. 1.1).
Ответ. С.ф. оператора К — это функции вида Ф„ = е'"д(х), где д(х) — произвольная
вещественная функция, га — любое вещественное число. Они соответствуют с.з. ка = е"*.
1.21. Эрмитов оператор (матрица) / имеет лишь N различных собственных значений.
Показать, что оператор fN линейно выражается через операторы 1, /,.•.,/""'.
В качестве иллюстрации рассмотреть оператор отражения /.
Решение. Подействовав оператором G = (/ - /i)(/ - Д) ... (/ - /к) на произвольную
функцию Ф, получим GФ = 0. Действительно, Ф можно представить в виде суперпозиции
с. ф. Ф/4, образующих полную систему: Ф = ]? с4ФЛ, а (/"- Д) ФЛ = 0.
7) Операторы такого вида используются в модельных задачах атомной и ядерной физики для описания
взаимодействия частиц — так называемые сепа/шбельные потенциалы (см. задачи 2.19, 2.34,4.12). Заметим,
что, не конкретизируя представления, рассматриваемый оператор можно записать в виде F = |/> </|.

16 Глава 1. Операторы в квантовой механике
Итак, § = 0; отсюда и следует утверждение задачи:
Г - Е /./"¦' + j Е ллГ-1+...+(-о" П /. = °- (»
При N = 2 из A) имеем /2 = (/, + /2)/ — /,/2. Отсюда в случае оператора отражения,
у которого с. э. равны ± 1, получаем /2 = I, как и следовало ожидать.
1.22. Найти вид оператора F = F(f), где J — эрмитов оператор, F(z) — произ-
произвольная функция, в случае, когда оператор / имеет лишь N различных собственных
значений. Рассмотреть, в частности, случаи N = 2 и N — 3, причем в последнем
считать спектр собственных значений состоящим из величин 0, ±/о.
Решение. Имея в виду результат предыдущей задачи, можно записать
f = f(/>E^ *Ш = 1>Л\ •¦ = I,2,...,JV (I)
(сравнить с 1.17). Второе из соотношений A) представляет собой систему уравнений, позво-
позволяющую определить значения с„.
В случае N = 2 легко находим Coj, а с ними и
В _
Я ~ /l /l ~ /2
В случае N — 3 для указанных в условии задачи с.з. с помощью A) получаем
1.23. Доказать соотношение (I.6).
Решение. Продифференцировав по Л обе части уравнения для с.ф. и с.з.: /(Л)ф>(д, Л) =
Лй)*»(?, А), получаем
(ЮФ"(А) + ГГх *»(А)" Ж *"(А) + Л А ••«¦ «
Умножим обе части A) слева на Я>'„ и проинтегрируем по координатам 9- Учитывая при этом
равенство
j± #. *-, = /(/*„)' ± ..w*-, = /. / К ± ф. *-.,
вытекающее из эрмитовости /, получаем искомое соотношение.
1.24. Какой смысл можно придать оператору вида F = F(f), где F(z) — произ-
произвольная функция переменной г и / — эрмитов оператор? Насколько существенно
предположение об эрмитовости fib качестве иллюстрации рассмотреть опера-
оператор ^г^, где Д — лапласиан.
Решение. Оператор F = F(f) следует понимать как оператор, с. ф. которого совпадают
с с.ф. оператора /, а соответствующие с.з. равны F, = F(f,). Так как система собственных
функций Ф/ является полной (при этом существенна эрмитовость оператора f), то действие F
на произвольную функцию Ф определено, действительно,
РФ = F Е <=(/-)*.'.(?) = Е <=(/» W»)*/.(9)- @

§ 2. Собственные функции, собственные значения, средние 17
Воспользовавшись здесь выражением A.4) для c(f), находим, что оператор F представляет
интегральный оператор с ядром8'
Так как (-Д)"|/2 = fi(p2)"' 2 = fi|p|"', то согласно B) ядро этого оператора имеет вид
J р
2х*(т - г1J
(для вычисления интеграла удобно воспользоваться сферическими координатами, выбрав
полярную ось вдоль вектора г -г7).
1.25. Эрмитовы операторы А, Б и ? удовлетворяют следующим коммутационным
соотношениям: [A, L] = 0 и [В, L] — О, но [А, В] ф 0. Показать, что среди соб-
собственных значений оператора L обязательно есть вырожденные. Привести примеры.
Решение. Из операторного равенства AL - LA = 0, примененного к с. ф. Ф^ операто-
оператора L (L, — с.з.), следует, что функция ЛФХ_ также является с. ф. Z, отвечающей тому же
с.з. L, (или A4tit = 0). Если при этом с.з. L, является невырожденным, то АФХ( = -4,*t,,
т.е. Фх, является также с.ф. и оператора А. Точно так же она является и с.ф. В, т.е.
B*t, = B,*i,. Если бы все с. з. L, были невырожденными, то во всех состояниях имело бы
место соотношение (AB-BA)9il = (А,В, -В,А,)Ч1ь, = 0. Но такое равенство, справедливое
для всех с. ф., образующих полную систему, означало бы АВ — ВА — 0, что противоречит
условию задачи.
В качеству иллюстрации рассмотрим свободное одномерное движение частицы. Ее
гамильтониан И = р2/2т коммутирует с операторами импульса р и отражения /, не ком-
коммутирующими друг с другом. Это обстоятельство объясняет двукратное вырождение уровней
энергии.
1.26. Привести примеры такой ситуации, когда в некотором состоянии: а) две физи-
физические величины, операторы которых не коммутируют, имеют одновременно опреде-
определенные значения; б) из двух физических величин, операторы которых коммутируют,
определенное значение имеет лишь одна.
Решение, а) Операторы различных компонент момента не коммутируют друг с другом,
но в состоянии с моментом L — 0 все компоненты момента одновременно имеют определен-
определенные значения L, = 0. Еще один пример — см. 1.27. 6) Операторы импульса и кинетической
энергии коммутируют друг с другом, но, например, функция Ф = С sin (pr/Л), является с. ф.
лишь оператора кинетической энергии, но не импульса.
Эти примеры не противоречат, конечно, общим квантовомеханическим утверждениям
об одновременной измеримости двух физических величин, в том числе и соотношению
неопределенности, см. 1.30.
1.27. В состоянии, описываемом волновой функцией Ф„ь, физические величины А
и В имеют определенные значения. Что можно сказать о собственных значениях а
и Ь этих величин, если операторы Л и В антикоммутируют друг с другом? В качестве
иллюстрации результата рассмотреть операторы х н I.
Решение. Имеем (АВ + 5^Г)ФоЬ = (аЬ + Ьо)Фо6 = 2аЬФ„» = 0. Таким образом, либо а,
либо 6 равно нулю. Пример: Ix + xl = 0; при этом имеется только одна в. ф.: Фо = С6(х),
являющаяся с.ф. операторов х и Т одновременно, причем с. з. координаты z0 = 0. Отметим,
что антикоммутирующие операторы могут и не иметь ни одной общей с.ф. (см. матрицы
Паули, глава 5 «Спин»).
''Система с.ф. Ф/,(<7) предполагается ортонормированной.

18 Глава 1. Операторы в квантовой механике
1.28. Найти оператор радиальной компоненты импульса рг (в сферических коорди-
координатах). Убедиться а эрмитовости полученного оператора. Найти собственные функции
и собственные значения. Вещественны ли с.з.? Ортогональны ли с.ф.? Объяснить
полученные результаты. В связи с данной задачей см. также 1.29.
Решение. В классической механике рг = тг = рп, где п = г/г. Квантовомеханическим
аналогом этого соотношения является эрмитов оператор
pr = i(pn + np) = np+?divn = ^-r, A)
Решение уравнения на с.ф. и с.з. этого оператора имеет вид Фр,(г) = (С(в, у)/г) x
exp {iprr/h}, где С(в, ip) — произвольная функция угловых переменных. При этом формально
с.з. рг могут принимать комплексные значения р, = pt +ipi с pi > 0, а с.ф., как легко
убедиться, не являются ортогональными.
Установленные свойства с.з. и с.ф. оператора рг, исключающие их физическую ин-
интерпретацию, иллюстрируют деликатность положения квантовой механики о сопоставлении
физическим величинам (наблюдаемым — по терминологии Дирака) эрмитовых, или са-
самосопряженных, операторов. С физической точки зрения этот пример показывает, что
не всякая физическая величина классической механики имеет четкий квантовомеханический
аналог (так же, как не всякая квантовомеханическая величина — например, четность —
имеет классический аналог). В математическом плане он отражает различие понятий эр-
эрмитова и самосопряженного оператора и свойств их с. з. и с. ф.: оператор р, эрмитов,
но не самосопряженный (см. следующую задачу).
1.29. На примере оператора — ihd/dx, действующего в пространстве функций,
заданных на
а) всей оси -оо < х < оо;
б) конечном отрезке а ^х ^Ь;
в) полуоси 0 ^ х < оо,
обсудить вопрос о различии понятий эрмитова и самосопряженного операторов
и о свойствах собственных значений и собственных функций таких операторов.
Решение. Понятия эрмитова и самосопряженного операторов довольно близки и связаны
с существованием соотношений
/ф;/Ф,йт= Л^+Ф2)'ф, dr = Л/Ф2)*Ф|<*г, A)
а различие проявляется лишь в наличии ограничений на классы функций Ф, и Фг, для
которых они должны выполняться. ^
1) Если соотношение A) выполнено на некотором классе функций О/, то оператор / на-
называют эрмитовым (на этом классе функций). Если этот класс функций совпадает с областью
определения D/ оператора / (вообще говоря, он уже), то такой эрмитов оператор называют
самосопряженным. При этом, по определению, область Х>/ включает все функции Ф(/), для
которых
B')
J\f<iu)\2dT< оо, J Ф'/Ф(л dr < оо, B")
где Ф — уже произвольная функция, удовлетворяющая лишь условию, аналогичному B') (ко-
(конечно, смысл могут иметь и выражения /Ф для функций, не входящих в D/). С. з. са-
самосопряженного оператора вещественны, а с. ф. взаимно ортогональны и образуют полную
систему9'.
" При этом, однако, с.ф. уже могут быть и не нормируемы на единицу, т.е. для них не требуется
существование интегралов B), а условие ортогональности формулируется с помощью 6 -функции

§ 2. Собственные функции, собственные значения, средние 19
Так, в случае оператора -ihd/dx, действующего в пространстве функций, заданных
на всей оси, имеем
/
-ос
C)
При этом для функций Ф|,2, входящих в область определения оператора, внеинтегральное
слагаемое равно нулю, как это следует из условия B'), так что оператор является самосопря-
самосопряженным. Его с.з. рх, вещественны, а с. ф. Фр(г) ортогональны и образуют полную систему.
Далее, эрмитовы, но не самосопряженные операторы делятся на два различных клас-
класса: а) существенно самосопряженные операторы, допускающие самосопряженное расширение
и б) максимально эрмитовы операторы (не допускающие такого расширения).
2) Если реализация оператора / как эрмитова с областью определения D/ такова, что
соотношение A) выполнено для любых функций Ф|,2 из D/ и нарушается, если хотя бы одна
из них таковой не является, то говорят о самосопряженном расширении эрмитова оператора,
связанном с теми дополнительными (типа граничных) условиями, которые отвечают данной
реализации и ограничивают область функций Dj. Свойства с.з. и с.ф., удовлетворяющих
указанным условиям, такие же, как и у самосопряженных операторов.
Так, в случае оператора -ih—., действующего в пространстве функций, заданных
на конечном отрезке, имеем
' / а \ • *
D)
Внеинтегральное слагаемое, вообще говоря, отлично от нуля, так что оператор не являет-
является самосопряженным, но он эрмитов и допускает самосопряженное расширение. Например,
он эрмитов на классе функций, удовлетворяющих граничным условиям Ф(а) = ФF) = 0.
Однако такие условия не реализуют самосопряженного расширения. Действительно, для
обращения внеинтегралыгого слагаемого в нуль при этом достаточно, чтобы лишь одна
из функций, Ф| или Ф2, удовлетворяла этому условию. При таком выборе граничного
условия у оператора -ih d/dx вообще нет с. ф.
Другая реализация оператора как эрмитова связана с наложением граничного условия
= exp {t/3}, E)
где Р — вещественное число. Выбор такого граничного условия определяет самосопряженное
расширение оператора -ihd/dx на отрезке. При этом с.з. и с.ф. оператора:
Лп —
6_о • -• (Ъ-а)Ч2
причем с.ф. ортогональны и образуют полную систему. ___
Отметим, что к такому типу операторов принадлежит 1С = — ih d/d<p — оператор проекции
орбитального момента на ось г, при этом а = 0, 6 = 2т, /3 = 0.
3) Если у эрмитова оператора не существует самосопряженных расширений, то его
называют максимально эрмитовым оператором.
Оператор -ihd/dx, действующий в пространстве функций, заданных на полуоси,
представляет собой пример такого оператора:
ос со
J ф;(х)(-йф',(х)) dx = у (-а1Ф'а(*))'Ф,(х) dx + йф;@)ф,(о). F)
о о
Единственная реализация его как эрмитова оператора связана с наложением граничного
условия Ф@) = 0, причем для выполнения соотношения A) этому условию в F) должна удо-
удовлетворять лишь одна из функций Ф,,3, так что оператор является максимально эрмитовым.
С. ф., удовлетворяющих граничному условию Ф@) = 0, у этого оператора не существу-
существует (если же «забыть» о граничном условии, то с. з. оказываются комплексными, а с. ф.

20 Глава 1. Операторы в квантовой механике
не ортогональными, как и в случае оператора рг> рассмотренного в предыдущей задаче
и также яиляющегося максимально эрмитовым оператором).
В заключение сделаем два замечания. Во-первых, классификация данного эрмитово-
го оператора f может быть просто установлена по его так называемым индексам дефек-
дефекта (N,,N), где N± — числа независимых нормируемых на 1 решений уравнения на с. ф.
иида /Ф = ±>/о* (/о вещественно, фиксировано и введено лишь для соблюдения размер-
размерности). Если N+ = N.. = 0, то оператор самосопряженный; если N+ — JV_ = N Ф 0, то
оператор допускает самосопряженное расширение, реализуемое наложением N дополнитель-
дополнительных условий; если N+ Ф N.. то оператор максимально эрмитов. Читателю предлагается
проиллюстрировать это положение на примере рассмотренного оператора -ihd/dx.
Во-вторых, в задачах квантовой механики часто приходится сталкиваться именно с само-
самосопряженным расширением эрмитовых операторов. При этом выбор дополнительных условий
обычно диктуется физическими соображениями. В дополнение к отмеченному выше случаю
оператора Г;, укажем на самосопряженное расширение оператора р2/2т на отрезке с ис-
использованием граничных условий10' Ф@) = Ф(а) = 0, реализующееся в задаче о частице
в бесконечно глубокой потенциальной яме. Далее, используемое при решении уравнений
Шрёдингера условие ограниченности ». ф. в нуле (т. е. при г = 0), даже в случае «хо-
«хороших» потенциалов (/(г), реализует фактически самосопряженное расширение оператора
Гамильтона. При этом более общее условие самосопряженного расширения вида
(гф(г))'
-—t"V > а = const при г -» 0
гФ(г)
с физической точки зрения соответствует включению дополнительного взаимодействия в ви-
виде потенциала нулевого радиуса (см. 4.10). В случае же сингулярных потенциалов притяжения,
когда в квантовой механике возникает «падение на центр» (см. [1], § 35), указанные граничные
условия уже не реализуют самосопряженного расширения и должны быть модифицирова-
модифицированы (см. 9.14).
1.30. Коммутатор операторов А и В двух физических величин имеет вид [А,В] =
iC, где С — эрмитов оператор. Доказать (при некоторых ограничениях на волновые
функции) справедливость соотношения неопределенности
(Л АJ C ВJ > ^
4
где все средние значения относятся к одному и тому же состоянию системы.
Рассмотреть, в частности, операторы гири найти для них явный вид вол-
волновых функций состояний, в которых произведение неопределенностей принимает
минимальное значение.
Обсудить также случай операторов 1г и <р.
Решение. Рассмотрим интеграл 1(а) = /|(аЛ| —«В|)ф| dr ^ 0, где А\ = А — а, В\ = В — Ь\
причем а, а, Ь — вещественные параметры. Используя эрмитовость операторов Л, и В,,
соотношение [А,,/?,] = iC и считая в.ф. Ф нормированной на единицу, интсфал можно
преобразовать к виду
/= [((аА, -|В1)ф)'(а2,-|Д)ф<*г= [^'(аЧ1 -т[Л,,i§,] +В?)Ф<*г =
J J
(О
""При этом самосопряженное расширение определяется наложением двух граничных условий:
Ф@); 0 и Ф(а) - 0 в соответствии с тем, что индексы дефекта оператора р2/2т. заданного на отрезке,
суть B.2) (приведенные условия реализуют один из частных случаев самосопряженного расширения).

§ 3. Проекционные операторы 21
Положим о = А и Ь = В; при этом условие неотрицательности квадратного трехчлена A)
по а приводит к утверждению задачи:
(A-IY-JS^bYz^. B)
Равенство в B) реализуется лишь при условии (aAt — |2?|)Ф = 0. В частности, для
операторов А = х,В = рг и С = ft оно принимает вид Ф' + (а: - хо/сР - »po/ft) Ф = 0 (вместо
о < 0, о и b введены более удобные их вещественные комбинации х0, Ро, <0- Отсюда
ф =
что определяет явный вид в. ф., минимизирующих соотношение неопределенности для коор-
координаты и импульса (см. также 1.13).
При приложениях формулы B) следует соблюдать осторожность. Это видно уже их
результата ее применения к случаю операторов А = lz = —i d/dip и В = <р = <р, для которых
она дает (AJ,J • (АуJ ^ 1/4, что физически бессмысленно, так как (Ду>J во всяком случае
не превышает т2, а (Д(,)г может быть равным нулю.
Дело в том, что при выводе формулы (I) были использованы соотношения
/(АЯ>)'(Лф) dr = /Ф'^РфdT, /(ЛФ)"(ВФ)<1г= f Ъ'
и аналогичные им с взаимной перестановкой А к В. Обоснование их состояло в ссылке
на эрмитовость операторов. Однако если иметь в виду результат предыдущей задачи, такая
аргументация обоснована лишь в случае самосопряженных операторов, а для операторов фи-
физических величин, представляющих самосопряженное расширение эрмитова оператора (тако-
(таковым является {,), требуется большее: необходимо, чтобы не только в. ф. Ф, но и функция ДФ
входили в область определения оператора А как эрмитова (и аналогично ЛФ по отношению
к В). Если эти условия выполнены, то соотношение B) сохраняет свою силу. В частности,
в рассматриваемом случае операторов Z, и <р для этого требуется, чтобы в. ф. состояния
удовлетворяла условию Ф@) = ФBт) = 0 (при этом ф = <рЧ!(у>) входит в область эрмито-
вости ?); для таких состояний справедливо соотношение (Д»,J-(Д^J^ \. Оно допускает
обобщение и на случай произвольных состояний:
A
которое читателю предлагается получить самостоятельно.
§ 3. Проекционные операторы
1.31. Проекционным называют эрмитов оператор Р, удовлетворяющий соотноше-
соотношению Р2 = Р. Показать, что оператор P(fi), действие которого на собственные
функции оператора физической величины / состоит в следующем12):
"' У такого оператора с. з. равны 0 и 1. С его помощью все пространство векторов |Ф) может быть
«разбито» на два взаимно ортогональных подпространства: Р |*> и (I -Р) |Ф). При этом под действием Р
составляющая (проекция) любого вектора в первом из них не изменяется, а во втором обращается в нуль,
что и определяет название его как проекционного. При этом оператор Р = I - Р также является
проекционным и проектирует на второе из указанных подпространств.
121 Приведенное выше соотношение относится к дискретной части спектра с. з. Обобщение на не-
непрерывную часть спектра состоит в проектировании на некоторый конечный интервал (/, / + А/) с. з.

22 Глава 1. Операторы в квантовой механике
является проекционным (так как система с. ф. Фд является полной, то приведенные
соотношения определяют и результат воздействия P(f,) на произвольную функцию Ф).
На какие состояния проектирует этот оператор? Какой физический смысл имеет
среднее значение P(ft) в произвольном состоянии, описываемом волновой функци-
функцией Ф? __
Как выражается через P(f,) проекционный оператор P({f}), проектирующий
на состояния, в которых физическая величина / принимает какое-либо значение
из некоторой совокупности с. з. {/} = {/;,, /,2,..., /,„ }? Убедиться, что при этом
Какой вид имеет проекционный оператор P(f,,gt, ¦ ¦ ¦ i U), проектирующий на со-
состояния с определенными значениями /,,&,..., <| физических величин, входящих
в полный набор (т. е. как он связан с операторами P(ft), P(gk), ¦ ¦ •)?
Решение. Записав произвольные функции Ф и Ф в виде Ф = 53С**Л и * = Х)***л
k t
(считаем, для простоты записи, спектр с. з. невырожденным), убеждаемся в эрмитовости
оператора Р(/,):
J <b'P(f,)9dr = с, JФ'ф/, dr = с,ъ; = J[Р(/,)Ф]*Ф dr = У [Р+(/,)Ф]'Ф dr
(при преобразованиях учтена ортогональность с. ф. оператора /). Из соотношений Р^(/,)Ф =
¦Р(/|)(с.Ф/,) = с,*/, = ^(/|)Ф следует, что Р^/,) = Р(/,); таким образом, Р(/,) — проек-
проекционный оператор, проектирующий на состояние с определенным значением /, физической
величины /. Далее, легко находим
Р(/,) = J V
(считаем в. ф. Ф нормированной на 1), т. е. среднее Р(/,) дает вероятность значения /,
величины / в рассматриваемом состоянии.
Очевидно, что Р({/}) = ? P(fim). Так как Р(/.)Р(Л) = 6,kP(f,), то при этом P({f}) =
Р({/}), как и следует. •
Имея ввиду, что операторы, входящие в полный набор, взаимно коммутируют, нетрудно
сообразить, что
1.32. Указать вид оператора, проектирующего на состояния, в которых значения
координаты частицы удовлетворяют условию х0 ^ а.
Решение. По смыслу проекционного оператора Р(х0 ^ о), должно быть РФ(г) = Ф(г) для
i^oh РФ(г) = 0 для i < а. Отсюда Р(х0 ^ о) = »)(х - о), где rj(z) — ступенчатая функция,
равная г) = 1 при z > 0 и t) = 0 при z < 0. Очевидно, Р(х0 ^ а) — эрмитов оператор
1.33. Найти проекционные операторы Р±, проектирующие на четные Р+ и нечет-
нечетные Р- относительно инверсии координат состояния частицы (выразить их через
оператор отражения Т).
согласно соотношению
При этом Р(/, Д/) определяет вероятность того, что значение / заключено в рассматриваемом интервале,
см. 1.32.

§ 4. Представления операторов и волновых функций 23
Решение. Запишем произвольную функцию в виде суперпозиции четной и нечетной соста-
составляющих:
ф(г) = ф(г)+ ф(-г) + Ф@ - фЫ
Так как по смыслу операторов Р± должно быть Я±Ф = j{*(r) ± Ф(-г)}, то они имеют вид
Р± = j(l ±Т). При этом Р~1 = Р±, а также Р+ +Р- = 1.
1.34. Показать, что эрмитов оператор F, рассмотренный в задаче 1.19, может быть
превращен в проекционный оператор Р — cF умножением на некоторую постоянную
величину с. На какое состояние проектирует этот оператор?
Решение. Оператор Р с ядром Р(х, х') = cf(x)f'(x'), гае с = j\f(x)\2dx, является
проекционным. Он проектирует на состояние, описываемое в. ф. Фо(х) = /(х).
1.35. Эрмитов оператор / имеет лишь N различных собственных значений. Найти вид
проекционного оператора Р(/,) для состояний с заданным значением /< величины /.
Решение. Пусть сначала iV=2. При этом из условия Р(/|)ФЛ=0 следует, что P(f\)=a(f- ft),
а из условия Р(/|)Ф/| = Ф/, находим а = (/t — /г)~' ¦ Обобщение на случай произвольного N
очевидно:
лг '
где штрих у символа произведения означает отсутствие сомножителя с k = i.
§ 4. Представления операторов и волновых функций.
Унитарные преобразования
1.36. Указать нормированные соответствующим образом собственные функции ра-
радиуса-вектора ФГо и импульса Фрл в г- и р-представлениях.
Ответ. ф„(г) = «(г- г„), Фи(г) = BTfi)-J/2e
Фго(р) = BкП)- ехр {-^}, *«(Р) = «(Р - to).
1.37. Найти в импульсном представлении волновую функцию состояния частицы,
рассмотренного в задаче 1.13.
Ответ.
P ~ РоJ )
1.38. По заданной волновой функции Ф(х, j/, z) вычислить вероятность нахождения
частицы в интервалах значений z от z\ до z-i и ру — от pi до рг-
Ответ. Искомая вероятность
г, j>, -со
где
F(x, pf, г) = Bя7»)~1/2 / Ф(х, у, z) ехр |--
причем функция Ф предполагается нормированной на 1.

24 Глава 1. Операторы в квантовой механике
1.39. Найти явный вид в импульсном представлении операторов, рассмотренных
в задаче 1.1.
Решение. 1) В координатном представлении Фг(г) = ?Ф|(х) = Ф|(-г). Умножим эти соот-
соотношения на Ф?(г) = Bтй)"''2exp {-ipx/h} и проинтегрируем по х. В результате получим
(-а:)йа:, A)
где Ф|,г(р) = f 9p(xL>iti(z) dx — в.ф. в импульсном представлении. Замечая, что интеграл
в A) равен Ф|(-р), имеем 1Ф\(р) = Ф|(-р), т.е. 7 в импульсном представлении также
является оператором отражения.
Аналогично находим и для других операторов:
2) Т„Ф(р) = еХр {^} Ф(р); 3) МсФ(р) = -J= ф(^);
4) *Ф(р) = Ф'(-р); 5) Р,2Ф(р„ р2) = Ф(р2, р,).
1.40. Найти в одномерном случае вид оператора р~] в х-представлении и операто-
оператора х"' в ^-представлении.
Решение. Так как рр~' = I, то (^/йх)(р~'ф(г)) = (»/й)Ф(г). Интегрируя в пределах от —оо
до х, находим явный вид оператора р~' в координатном представлении:
(О
-00
С другой стороны, интегрируя в пределах от х до оо, получаем несколько иное соотношение:
. B)
Однако для функций, входящих в область определения оператора р'\ оно совпадает с (I).
Такие функции должны удовлетворять соотношению / 4l(x)dx = 0, обеспечивающему
обращение в нуль функции р~'Я/(х) при z-» ±со, как этого требует условие13) /|/Ф|2<*г < оо
для всех функций из области определения Df оператора / (см. 1.29).
Заметим, что с.ф. оператора р~' являются, как и следовало ожидать, с. ф. оператора
импульса.
Аналогично для оператора х~' в р-представлении получаем:
. f x
= I У ф(р') dp' = -l-J Ф(р') dp'; J Ф(р) dp = О
(см. задачу 4.15, в которой это соотношение используется при решении уравнения Шрёдингера
в импульсном представлении для частицы в кулоновском потенциале).
|3) В импульсном представлении р"' = -,и это условие принимает оид / р~'l*(p)l2 dp < оо; отсюда
Ф@) - 0, что тождественно J
-CQ

§ 4. Представления операторов и волновых функций 25
1.41. Установить соотношение между ядрами L(t, r1) и ?(р, р') одного и того же
оператора L в г- и р-представлениях (см. задачу 1.11).
Omfle/n.
1.42. Найти вид операторов г "' и Т~2 в импульсном представлении.
Решение. Оператор G\ = f" имеет в координатном представлении ядро Gi(r, г7) = ? 6(т—г1),
а в импульсном представлении (см. 1.41) его ядро
Для оператора г аналогично находим
(по поводу вычисления интефаловсм. Д1.4). Читателю предлагается показать, что G2 — GfG\
(в импульсном представлении).
1.43. Даны два эрмитовых оператора А и В. Указать связь между собственными
функциями оператора А в ^-представлении и собственными функциями оператора В
в Л-представлении. Привести примеры, иллюстрирующие полученный результат.
Решение. Обозначим Фл,(?) и *»,(<?) СФ- операторов А и В в некотором ^-представлении,
а Ф(д) — в. ф. произвольного состояния. В. ф. этого состояния в А- и в-представлениях,
а(А„) и Ь(#„), определяются соотношениями
Ь(Вт)= I <t'Bm<f>dT
(для простоты записи мы ограничились случаем, когда спектры операторов А и В —
дискретные и невырожденные).
Взяв в качестве Ф с. ф. Я/Вк, находим, согласно A), ее вид в Л-представлснии
J
и аналогично получаем виде.ф. ~ФАш в В-прсдставлении
C)
Из выражений B) и C) вытекает аВь(.4„) = Ь'л, (Вк); как иллюстрацию этого соотношения
см. задачу 1.36. Из установленного результата следует равенство вероятностей wBt(AB) s
|oSt(>4B)|2 = |^.(Вд)|2 = w^iB/,} (его приложения см. в 3.14, 3.33).

26 Глава 1. Операторы в квантовой механике
1.44. Какие из операторов, рассмотренных в 1.1, являются унитарными?
Ответ. Унитарными являются операторы /, Т„, Мс и Ра-
1.45. Унитарный оператор удовлетворяет уравнению U2 = U. Каков его явный вид?
Решение. Из У2 = U и UU+ = U+0 = 1 следует V ~\.
1.46. Оператор U унитарный. В каком случае оператор V = cU, где с — некоторое
число, также является унитарными?
Ответ. \с\ = I, т. е. с = е'а, а — вещественное число.
1.47. Показать, что произведение U\Ui двух унитарных операторов также является
унитарным оператором.
Решение. Из 0 = G,U2 следует 0+ = U*G*, откуда t/<?+ = 1?+С/ = 1 (здесь учтена
унитарность операторов U^i).
1.48. Может ли унитарный оператор (матрица) являться одновременно и эрмитовым?
Привести примеры.
Решение. Из условий как унитарности: UU' — 1, так и эрмитовости: U* = V оператора
следует V1 = 1. Таким является оператор, имеющий с.з., равные только ±1 (сравнить с 1.17).
Примеры: операторы отражения / и перестановки Р|2 из 1.1; матрицы Паули (см. гл. 5).
1.49. Показать, что эрмитова и антиэрмитова части произвольного унитарного опе-
оператора коммутируют друг с другом, так что унитарный оператор может быть диагона-
лизован. Каким свойством обладают его собственные значения (сравнить с 1.50)?
Решение. Запишем О = @ + G+)/2 + i(u - V+)/2i. Так как UU+ = U+U = 1, то
[(G + U+), (D - 0*)] = 0. Поэтому эрмитовы операторы U + U* и (U - G+)/i, а с ни-
ними и U, могут быть одновременно приведены к диагональному виду. При этом с.з. и»
оператора U удовлетворяют условию |ut| = 1.
1.50. Показать, что оператор вида U = exp {ii*1} является унитарным, если F —
эрмитов оператор. Записать в таком виде унитарные операторы 7, Та, Мс из 1.1.
Решение. Так как U+ = exp {-t'F~} = exp {-iF}, то UU* = U+U = 1. При этом с. з. щ
оператора U связаны с с.э. /» оператора F соотношением uk — exp {t/t}.
Далее:
a) f=exp {«>(?-1)/2}; б) Т„ = exp{ian-'p}; e) Mc = cxp{j7r'lne-(Sp+px)/B)}.
Эти соотношения следуют из 1.7, см. также 1.57.
1.51. Квадратные матрицы А и А' одного ранга связаны унитарным преобразованием
А' = UAU+. Показать, что шпуры и детерминанты этих матриц одинаковы.
Решение. Из условий U*U = 1 и А' = UAU* следует
Sp A' = Sp (UAU+) = Sp (AU+U) = Sp A.
Аналогично
det A' = de« {UAU*) - det (AU*U) = det A.

§ 4. Представления операторов и волновых функций 27
1.52. Доказать соотношение
det||expi4|| =exp{Sp^},
где А — эрмитова матрица.
Решение. Унитарным преобразованием эрмитова матрица может быть приведена к диаго-
диагональному виду. В новом представлении, в котором (ехрА)пт = (ехр.4„H„т, приведенное
в условии соотношение очевидно, а в силу инвариантности шпура и детерминанта матрицы
относительно унитарных преобразований оно справедливо и в произвольном представлении.
1.53. Чем примечателен детерминант унитарной матрицы? Найти его для матрицы
вида U = exp{iF}, где F — эрмитова матрица. Показать, что преобразованием
вида U' = cU унитарную матрицу можно сделать унимодулярной, т. е. такой, что
detC?'= 1.
Решение. С одной стороны, det (UU+) = detT = 1. В то же время det (UU+) = det С? • det U+
и deti/+ = delU' = (detf/)'. Таким образом, |dett/| = 1, т.е. deti7 = exp{t'a}, где а —
вещественное число (этот же результат следует из свойства с. з. щ, см. 1.50). Если ввести
матрицу U' = exp {-ia/N} U, где N — ее ранг, то для нее det U' —\.
Для оператора U = exp {iF }, согласно 1.52, имеем соотношение det U = exp {«Sp F}.
1.54. Сколько имеется независимых квадратных матриц ранга N, которые являются:
а) эрмитовыми; 6) унитарными? Каково число унимодулярных унитарных матриц
ранга JV?
Решение. Всего имеется N2 независимых матриц ранга N. Очевидно, столько же имеется
независимых эрмитовых матриц. Число независимых унитарных матриц также равно N2, так
как между ними и эрмитовыми матрицами имеется соответствие: U — exp{iF} (см. 1.50).
Чтобы унитарная матрица была унимодулярной, необходимо, чтобы SpF — 0 (см. 1.53),
так что число независимых унимодулярных матриц, как и число эрмитовых матриц F1 —
F — N~' Sp F ¦ ? с равным нулю следом равно JV2 - 1.
1.55. Показать, что при унитарных преобразованиях операторов А' = UAU+, алге-
алгебраические соотношения между операторами вида
F(A,) = со + ]П с,At + ]Г c,kA,At + ... = 0
. i,k
сохраняют свой вид, т. е. F(A',) = 0.
Решение.
? = UFU+ = и[со + ? сА, + ? с,„АХ + ..]0+ =
= co + '52c,UA,U+ + Y^CtUA,AkU+ + ... = 0. A)
¦ a
Учитывая, что U*U = 1, произвольный член суммы в выражении A) можно записать в виде
С* »VA,At... Aj}+ = c,k. MUA,U+UAkU+ ... UAnG+ = с,„.. „ВД ...А'а,
так что A) принимает вид
со + X) с,# + Ц сД'Д; + ... = *•(?')= 0,
что по форме совпадает с исходным соотношением и доказывает его инвариантность при
унитарном преобразовании операторов.

28 Глава 1. Операторы в квантовой механике
1.56. Найти закон преобразования операторов х и р при унитарных преобразова-
преобразованиях, осуществляемых операторами: а) отражения /; б) сдвига Та; в) изменения
масштаба Мс. Операторы 1,Та и Мс введены в 1.1.
Решение. Операторы х" = UxU+ ир*= UpU* имеют вид:
а) х' = -х, f = -р;
б) х' = х + а, р1 = р;
х = сх, р = с р.
Приведенные соотношения наиболее просто получить, если воспользоваться координат-
координатным представлением. Так, для U — Тв имеем U* = Т? = ?_„, (см. 1.1) и
х'Щх) = UxU+Щх) - ТахГ_„Ф(г) = Т„(хЩх - а)) = (* + а)Щх) = {х + о)Ф(г).
Отсюда г' = г + в. Далее
) = -«^^?.„4A) = -ihfa ^ Ф(г - о) = -й^ Ф(г),
так что р1 = р. Аналогично выводятся остальные соотношения.
1.57. Совокупность операторов fj{a), зависящих от непрерывного вещественного
параметра о, обладает свойствами U@)—l и l7(a3) = i7(oi)J7(a2), если оз=в|+вг-
Показать, что U имеет вид U(a) = exp{taF}, где F (так называемый инфини-
тезимальный оператор) определяет вид UFa) при бесконечно малом 6а согласно
формуле UFа) и 1 +iF 6а. В качестве иллюстрации рассмотреть связь операторов Та
и Мс (см. 1.1) с операторами соответствующих бесконечно малых преобразований.
Решение. В соотношении G(ai +о2) = U(a))U(a,) положим а, = а и а3 = da —• 0. Учитывая,
что U(da) = 1 + idaF, находим
dV - U(a + da) - U(a) = iFU{a) da.
Отсюда, с учетом условия U@) — I, следует U{a) = exp{iaF} (то обстоятельство, что
в данной задаче не возникает осложнений при решении дифференциального уравнения для
операторов, связано с их коммутативностью).
При бесконечно малом сдвиге имеем
= Ф(г + da) « A + da(d/dx)) Щх),
так что iF - в/дх и Т„ =j:xp {о (д/дх)}.
В случае оператора Мс введем сначала с = е° и запишем Мс = М(а). Зависимость М(а)
от а удоалетворяет условиям рассматриваемой задачи. При этом
^ Ф(х),
так что iF = 1/2 + х(д/дх) и Ме = exp{-(t/2)lnc(i • i(d/dx) + i(d/dx)x)} (сравнить
полученные результаты с 1.7).

Глава 2
Одномерное движение
Стационарное уравнение Шрёдингера
с соответствующими фаничными условиями (ограниченность волновой функции,
обращение ее в нуль на непроницаемых потенциальных стенках и др.) определяет
энергетический спектр частицы в потенциале U(x) и волновые функции стационар-
стационарных состояний.
Спектр Е„ в области энергий mmU{x) < Е„ < ?/(±оо) (в которой, согласно
классической механике, частица может совершать только финитное движение) явля-
является дискретным1'. Эти уровни Еп являются невырожденными, а соответствующие
собственные функции Фп(х) ~ квадратично интегрируемыми (т.е. они описывают
локализованные состояния частицы в согласии с финитным характером движения
в классической теории).
Для линейного осциллятора U(x) — кх2/2, ш = у/к/т решение уравнения
Шрёдингера дает спектр Е„ = Тш>(п + 1/2) и с. ф.
^Ь© (п-2)
где а = ,/Н/(пш) и Hn(z) — полиномы Эрмита; так, Щ(г) = 1, H\(z) = 2z,
Hiiz) = 4г2 - 2 и т. д. Приведем также для осциллятора матричные элементы
координаты
= xn+hn = \ —-— о, (Н.З)
остальные равны нулю; матричные элементы оператора импульса связаны с ними
соотношением рп* = tTOwniZnt, причем шПк = iw для n = fc ± 1.
В области Е > min U(±oo) спектр является непрерывным. Значения энергии
Е > max {/(±оо) (для которых в классической механике возможно инфинитное
движение в обоих направлениях: как при х -» -со, так их—» +со) являются
двукратно вырожденными. При этом в качестве независимых решений у Ш. A1.1)
обычно рассматриваются такие, которые связаны с физической задачей об отражении
частиц потенциалом и однозначно определяются видом асимптотики в. ф. при
'' Мы используем такую нумерацию уровней д. с. Еп и с. ф. ф„, при которой основному состоя-
состоянию отвечает значение п - 0. При этом п совпадает с числом нулей с. ф. Ч/„(х), не считая нулей
при х -> ±оо (или на непроницаемых потенциальных стенках). Аналогичный смысл имеет радиальное
квантовое число пг состояний д. с. частицы в центральном потенциале.

30 Глава 2. Одномерное движение
х -» ±оо; так, в случае частиц, падающих на силовой центр слева2*
+оо,
где fc|J = (\/h)y/2m(E - Ufaoo)). Амплитуды А(Е), В(Е) определяют коэффи-
коэффициенты прохождения D(E) = (fc2/fci)|B|2 и отражения R(E) = \А\2 частиц. Эти
коэффициенты обладают следующими свойствами:
D(E) + R(E) = 1; D+(E) = ?>_(?);
D(E) -» 1 при Е -» со; A1.5)
?>(?) -» 0 при ? -» max U{*oo).
Второе из них, D+(E) = D~(E), выражает независимость коэффициента прохожде-
прохождения при заданной энергии Е от направления падения частиц, слева или справа,
на силовой центр; о последнем из свойств см. задачи 2.37 и 2.39.
Своеобразными свойствами3* обладает энергетический спектр частицы в про-
пространственно периодическом потенциале; некоторые из них рассмотрены в задачах
из §4.
§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра
2.1. Найти энергетические уровни и нормированные волновые функции стационарных
состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины о (т.е. в потен-
потенциале U(x) = О при 0 < х < а и U(x) = со при х < 0 и х > а). Определить в таких
состояниях средние значения и флук-уации координаты и импульса частицы.
В состоянии, описываемом волновой функцией Ф = Ах(х — а) (при 0 < х < а),
найти распределение вероятностей различных значений энергии частицы и ее среднее
значение.
Решение. 1) Уровни энергии и нормированные на единицу с. ф. гамильтониана частицы
имеют вид
ftV(n + !J [2 1г(п + 1)х
L JA 0<x<a>
гас п = 0,1,... (Ф = 0 при х < 0 и х > а).
Искомые средние в n-м состоянии:
IJ
2) Нормируя'прнведенную в условии задачи в. ф., что дает А = yOO/a5, найдем
согласно A.4) коэффициенты С„ в разложении ее по с.ф. Ф„:
/60
Сп = V ^
(n+1K
2'Физически реализуемая ситуация описывается волновыми пакетами из таких с.ф.; см в связи
с этим задачи 6 7, 6.8.
3) Укажем также на своеобразие энергетического спектра и свойств с.ф гамильтониана при движении
в магнитном поле (см. 7.1)

§1. Стационарные состояния дискретного спектра 31
Они определяют вероятность нахождения частицы в n-м квантовом состоянии и, соответ-
соответственно, вероятность значения Е„ энергии: w(E^) = |С„|2; в частности, w(Eo) я 0,999.
Наконец, по формуле A.5) для средних получаем Ё = $Н2/таг я 1,013Е0.
В связи с данной задачей см. также 8.23.
2.2. Найти изменение энергетических уровней и волновых функций стационарных
состояний заряженного линейного осциллятора при наложении на него однородного
электрического поля, направленного вдоль оси колебаний. Каковы поляризуемости**
стационарных состояний осциллятора?
Решение. В этой задаче U = кх2/2 - е^х (-е$>г — потенциальная энергия заряженной
частицы в однородном электрическом поле <&). У. Ш. заменой переменной z = х - eSi/k
сводится к у. Ш. для обычного линейного осциллятора, что позволяет найти спектр и с. ф.
гамильтониана:
см. A1.2). Установленный вид собственных функций гамильтониана частицы показывает,
что, как и в классическом случае, действие однородною поля на осциллятор сводится
лишь к смещению его положения равновесия. Поляризуемости всех стационарных состояний
осциллятора одинаковы и равны /?о = е2/тш2.
2.3. Вычислив среднее значение энергии Е(а) в состоянии с волновой функцией
Ф(а:,л) = \/асхр{—a|i|}, а > 0, показать, что в любом одномерном5) потен-
потенциале U(x), удовлетворяющем условиям U(x) —* 0 при х —» ±со и fU(x)dx < 0,
всегда имеется хотя бы одно состояние дискретного спектра с энергией Eq < 0 (так что
такой потенциал всегда может «связать» частицу; отметим, что при этом не требуется
выполнения более жесткого условия U(x) < 0 при всех значениях х).
Решение. Покажем, что Е(а) < 0 при достаточно малых значениях а. Так как Ео ^ Е,
где Еа — энеогия основного уровня, то_тем самым будет доказано утверждение задачи.
Находим: ? = p2/2m = fi2a2/2m ос a2, a U я a / U(x) dx <х а при a —» 0, так что при этом
Ё(а) я U < 0.
2.4. Обозначим через Еп и Е„ значения п-го уровня энергии дискретного спектра
в полях U(x) и U(x), связанных условием U{x) — U(x) + 6U(x), где 6U(x) > 0.
Показать, что Еп ^ Еп (этот результат непосредственно переносится на случай
системы с произвольным числом степеней свободы).
Решение. Обозначим Еп(\) и Фп(х, А) уровни д. с. и с.ф. гамильтониана #(А) = р2/2т +
U(x) + \SU(x). Согласно формуле A.6) имеем
dX
Отсюда вытекает утверждение задачи, так как Е„ = ??„(А = 0), а Ё„ = Е„(Х = 1).
4' Напомним, что поляризуемость /3 определяет средний дипольный момент, d и р i, индуцируемый
слабым внешним электрическим полем; она же определяет квадратичную часть, ЛВ — -()<$ /2, сдвига
энергетического уровня в таком поле.
5' Сравнить с результатами задач 4.21, 4.33.

32
Глава 2. Одномерное движение
U(x)
2.5. Найти соответствие между
энергетическими уровнями дис-
дискретного спектра и нормирован-
нормированными волновыми функциями ста-
стационарных состояний _частицы в
потенциалах U(x) и U(x), свя-
связанных между собой следующим
образом: U(x) = U(x) при х > О
и U(x) — со при х < 0, при-
причем потенциал U(x) симметричен
(рис. 1).
Решение. Уровни энергии в симметричном потенциале
равную (—!)"• При этом для нечетных состояний при х J
Рис.1
U(x) имеют определенную четность,
О у. Ш. и условия Ф@) = Ф(оо) = О
точно такие же, как и в потенци-
потенциале V. Соответственно, спектр
Ек совпадает со спектром нечет-
нечетных уровней в потенциале U,
а нормированные с. ф. различа-
различаются лишь множителем:
Рис.2
здесь учтено, что четные и нечет-
нечетные уровни чередуются, а самый
нижний — четный (см. рис.2).
2.6. Потенциал имеет вид: U(x) = U{x) + a6(x - хо), где 6{х) — дельта-функция
Дирака, a U(x) — ограниченная функция. Как ведут себя решение Фя(х) уравнения
Шрёдингера и его производная в точке г0?
Решение. Из у. Ш.
[U(x)-a6(x-:
A)
вытекает непрерывность в. ф. Ф{г(г) в точке ха и разрывный характер ее производной.
Величина скачка Ф'? должна быть такой, чтобы 5-функционнос слагаемое в Я/g (производная
разрывной функции пропорциональна б-функиии) компенсировало член а6(х - хо)УЕ(хо)
влевой части A). Проинтегрировав (I) по узкой области хо-е $i^ хо + е иустремляяс кО,
находим
0) =
0). B)
2.7. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции состояний дискретно-
дискретного спектра частицы в ^-потенциале6' U(x) = -а6(х), рис.3. Найти средние значения
кинетической и потенциальной энергии в этих состояниях. Вычислить произведение не-
неопределенностей координаты и импульса. Каков вид волновой функции в импульсном
представлении?
" В одномерном случае ^-потенциал притяжения моделирует мелкую потенциальную яму U(x)
(достаточно произвольного вида), для которой пк>2С/о/Лг < I; Уоио —характерные величина потенциала
и его радиус, при этом ¦ -а = / V(х) dx < 0. В связи с данной задачей см. также 2.17, 2.20 и 3.23.

§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра
33
Решение. 1) Решение7' у. Ш. с U — -а б(х) имеет вил Ф = Ае **
при z > 0 и Ф = Be" при х < 0; здесь х = (-2mJ5/ft2) '/2 > О.
Используя соотношения B) предыдущей задачи (с учетом замены
в них а на -а), находим А = В и уравнение для спектра:
к = ma/fi2. Из него следует, что при о < 0 (б-барьер) связанных
состояний нет, а при а > 0 D-яма) имеется, причем только одно
состояние д. с. с Ео = —ma2/2fi2; при этом нормированная в. ф.
U(x)
где
к„ = ~.
2) Искомые средние
Рис.3
1.-2
3) В. ф. основного состояния в импульсном представлении
(О
сравнить с 2.17.
2.8. Найти энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний
частицы в потенциале, указанном на рис. 4.
Решение. У.Ш.для z^O заменой переменной sz = p(x-E/F0) с/3 = BmF0/fiJ) приводит-
приводится к виду Ф"(г) - гФ(г) = 0. Его решением8', убывающим при z (их)-* +оо, является функция
U(x)i Эйри Ai(z). Соответственно, Ф(х) = cAi ф{х - E/Fq)), при
Fox этом граничное условие Ф@) = cAi (~PE/Fq) = 0 определя-
' / j ет энергетический спектр. Обозначив -а», где * = 1,2,...,
/ последовательность нулей функций Эйри (они отрицательны)
Ео в порядке возрастания а/,, находим уровни энергии
Рис.4
В частности, учтя значение а{ я 2,338, получаем для основного
уровня Ео « l,856(fi2F02/m).
2.9. Найти энергетические уровни дискретного спектра и соответствующие волновые
функции частицы в потенциале U(x) = U(,(e'2x/a - Ье~х1а), Щ > 0, а > 0, 6 > 0.
Решение. С помощью замены переменной z — 2/Эе~г'° и перехода к новой функции w(z)
согласно Ф = z'"e-zn w(z), где х = (-2тЕ/П2L2 и р = Bm?/0o2/fi2)'/2, у. Ш. сводится
к гипергеометрическому уравнению
, / I Ь/3\
zw + (I + 2хо — z)u; + I — ха — r + — j и» = 0.
@
Так как Ф ос е"" a z*" убывает при z -* +oo (z -» 0), то решение уравнения A) следует
выбрать в виде
w(z) = cF\xa + ^-—, I + 2хо, z\ . B)
7) Экспоненциально растущие при х -• ±оо слагаемые в решении у. Ш. опушены.
*>См. 134, 35J.
2 Э..К гы

34 Глава 2. Одномерное движение
Условие убывания Ф(*) при * —» -оо (г -» +оо) требует, чтобы функция F(a, /3, 2) в B)
сводилась к полиному, что определяет спектр:
1 bJ3
Е = —
2п»
При этом условие у/тЬ^а1!/^/2й3 = (Л^ — 1/2) определяет значения параметров потенциала,
соответствующие появлению нового, JV-ro по счету уровня д. с. при углублении потенциаль-
потенциальной ямы.
2.10. То же, что и в предыдущей задаче, для потенциала
U(x)= - =¦ - , Ul , . ; J7, 2>0. а>0.
Решение. Состояния д. с. могут быть лишь при V\ > Viji (иначе потенинал не имеет
минимума), причем для значений Е < ^iin@, U, - Uj). Для решения уравнения Шре'дингера
сделаем замену переменной г = -**'" и подстановку ф = (I - г)"*г'ш(г). При этом у. Ш.
принимает вид (x?j = 2ml/|7/fi2, к— {-imEfh1)m) *
W'+l (ГГЙ5 + —* »a+A.|w = O. (I)
Если параметры п/i выбрать равными
то (I) сводится к стандартному типергеоиетричсскому уравнению
^A - z)w" + [2/Л- I - iifi -2e + \)z]w - [рг + х}а2 -1ец-е -хга2]ш = 0 B)
с параметрами
а = ft — е + хо, fi = /j - е — хо, 7=
Так как Ф(г) при а: -• -со (z -» 0) имеет вид Ф ос е1'11 = г"', то решение уравнения B)
следует выбрать в виде w = cF(ct, /}, у, г). Соответственно,
Отсюда при г (и х) — +во ямеем
Ф ~а-«^ / Пг)Г(Д-а) I ГG)Г(о.-Д 1 1
I Г(ДГG - а) (-г)" + Г(о)Г(Т _/»)(-,)•/¦ * '
Так как z~t+l'~^ = е" возрастает при х -* +с», то необходимо потребовать'' выполнения
условия а = -п, где п — целое, которое фактически определяет энергетический спектр
E)
Анализ спектра предлагается для самостоятельного исследования. Отметим в заключение, что
при U, = U-2 = С/о рассмотренный потенциал переходит в U = -4clii^;bi); см. [I, с.98|.
'' При этом Г(о) = оо и второе слагаемое в D), возрастающее при г -• +ос, обращается в нуль;
условие т - /3 = -я не может реализоваться.

§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра
35
2.11. Найти энергетический спектр в потенциале вида: U(x) = а 6(х), а > О при |х| <
о и U = оо при |г| > а (рис. 5). Показать, что при выполнении условия maa/h2 3> I
нижняя часть спектра состоит из последовательности пар близко расположенных
уровней. Каков спектр сильно возбужденных состояний частицы? Какова картина
энергетических уровней при о < О?
Решение. 1) Стационарные состояния имеют определенную четность. В. ф. четных уровней
при 0 < |я| ^ а имеют вид Ф+ = Asin(k(]x\ - а)) (учтено граничное условие Ф(а) = 0),
где к = \j2mE/h2 > 0. Условия сшивания в.ф. в точке х = О
(см. формулы B) из 2.6) приводят к соотношению, определяю-
определяющему спектр четных уровней:
СА*>, ?„,
51/=°°
ка
(О
При ? > 1, для нижних уровней (таких, что ка <? ?)
в правой части fl) стоит малая величина. Поэтому кпа = пж-е,
где е <? 1 а я = 1,2,... — порядковый номер корня (и четного
уровня); согласно A) находим е a njr/{, так что
О
Рис. 5
fiW
2mo2
(-1)
(индекс (+) указывает на четность уровня).
Для нечетных уровней в. ф. имеет вид Ф" = В sin kx и условие Ф"(а) = 0 определяет их
спектр:
W
(в нечетных состояниях частица не чувствует наличия в-потенциала).
Сравнение Е% у Е„ подгверждает указанный в условии задачи характер нижней части
спектра.
2) Спектр четных уровней в области энергий h»( легко найти из A), положив
ka = (n- l/2)ir + e e< 1:
B)
Здесь первое слагаемое соответствует спектру четных уровней в бесконечно глубокой яме
ширины 2а, второе — смещению их под действием потенциала а 6(х).
3) Заметим, что в случае а > 0 в каждой паре близких уровней нижним является четный,
при этом
? > 0. C)
В случае а < 0 ситуация иная: теперь четный уровень является уже верхним. Однако
в этом случае в нижней части спектра в дополнение к описанной картине пар близко
расположенных уровней появляется еше один четный уровень с энергией Е$ w -B2«g/2m
и в. ф. Ф^ « у/хо exp {-xq\z\}, где «о = т\а\/Н2. Этот уровень соответствует частице,
«связываемой» й-ямой, U = -|a|<5(z), сравнить с 2.7 (при этом наличие непроницаемых
потенциальных стенок при х = ±о приводит к некоторому смешению такого «<5-ямного»
уровня вверх, найти его предлагается читателю самостоятельно).
2.12. Обобщить результат предыдущей задачи на случай, когда <5-барьер разделяет
прямоугольную яму несимметричным образом.
Решение. Решение у. Ш. имеет вид Ф = A sin к(х + а) при -о ^ х < 0 и Ф = В sin k(x - Ь)
при 0 < х < Ь, где к = J2mE/h2 и учтены граничные условия Ф(-а) = ФF) = 0. Сшивание

36 Глава 2. Одномерное движение
решений при х — 0 (см. формулы A, 2) из 2.6) приводит к соотношениям
A sin ка = -В sin kb, В cos kb - A cos ка = —=- A sin ka,
из которых следует уравнение для спектра энергетических уровней частицы:
sinfc(a + 6) = j- sin ка ¦ sin kb A)
(при 6 = а оно переходит в формулу A) из 2.11).
Отметим некоторые свойства спектра.
1) В области значений Е, для которых ma/kh1 <? 1, правая часть A) мала и поэтому
к„(а+Ь) « т(п+1), как и при «свободном» движении частицы вяме шириной (а+Ь) (читателю
предлагается уточнить результат, найдя сдвиги таких уровней под влиянием ^-потенциала,
сравнить с формулой B) из 2.11).
2) В противоположном случае, когда та/кЛ2 3> 1, произведение синусов в (I) мало,
так что либо fcn, я тг(п{ + 1)/о, либо кП2 яг т(п2 + 1)/6. При этом спектр представляет
наложение спектров, соответствующих независимому движению частицы в левой и правой
ямах с ширинами а и 6 (<5-потенциал выступает как малопроницаемая «перегородка»).
2.13. Исследовать поведение решения уравнения Шрёдингера при х —> ±оо в случае
Е = 0 для потенциала, удовлетворяющего условию U(x) -* 0 при х -+ ±со. Показать,
что не возрастающее как при х —» +оо, так и при х —» —со решение Фв=о(х)
уравнения Шрёдингера существует только при исключительных значениях параметров
потенциала, отвечающих условиям появления новых состояний дискретного спектра
при углублении потенциала.
Каково число дискретных уровней частицы, находящейся: а) в прямоугольной
потенциальной яме глубины Uo и ширины а: б) в потенциале U = —а6(х) — а6(х — а),
в зависимости от значений параметров потенциала?
Решение. При достаточно быстром10' убывании U(x), у. Ш. и его решение при х —» ±оо
принимают вид: ф" = О, Ф = At+B±x, т.е. решение является, вообще говоря, возрастающим.
При произвольных значениях параметров потенциала не существует решения у. Ш., которое
не возрастало бы как при z -• +оо, так и при х -* -со (точно так же, как не существует
убывающего одновременно при х — ±оо решения у. Ш. при произвольном Е < 0). Такие
решения существуют только при избранных значениях параметров потенциала, отвечающих
условиям появления новых (по счету) состояний д.с. при углублении потенциальной ямы.
Чтобы пояснить сказанное, рассмотрим самый верхний уровень Е„ д. с. Его в. ф. Ф„ ос
ехр{-х|г|} при х —• ±ос, где х = W2m\En\/h2. При уменьшении глубины ямы все уровни
смешаются вверх и при некоторых значениях параметров поля самый верхний из них
принимает значение Е„ = 0, при этом его в. ф. Ф„ = const при х —» ±оо, а число
нулей в. ф. равно числу имеющихся состояний д. с. с Е < 0. В качестве иллюстрации
рассмотрим свободную частицу. У. Ш. имеет ограниченное решение Ф?-о = const, у которого
отсутствуют нули. В соответствии с вышесказанным, сколь угодно мелкая яма уже связывает
частицу (сравнить с 2.3) и возникающее состояние д. с. является первым по счету.
а) Найдем сначала условие появления нового по счету состояния д. с. при углублении
ямы. Не возрастающее при х -» ±схэ решение у. Ш. с Е = 0 имеет вид: Ф = А при х < 0;
Ф = В cos (-ух + S) при 0 < х < о (область ямы), 7 = y2mUo/h2 и Ф = С при х > а.
Непрерывность в.ф. и ее производной в точках Она дают: А = В; 6 = 0; -уа — тгп, где п —
целое; С = (- 1)пВ. Эта в. ф. имеет п нулей (аргумент косинуса изменяется от 0 до ти), так
'"'Требуется, чтобы потенциал убывал быстрее, чем « 1/хг В случае потенциала притяжения
со степенным убыванием, U к —a/z' при х -> со с s ^ 2, решение у. Ш. для К — 0 имеет совершенно
иную асимптотику, сравнить с 9.9 и 9.14. Физическая причина отмеченного различия состоит в том, что
при медленном убывании потенциала притяжения число существующих в нем состояний д. с. бесконечно
велико за счет сгушения уровней при К„ -> -0.

§ 1. Стационарные состояния дискретного спектра
37
что условие уа = яги является условием появления (п + 1)-го уровня. Отсюда следует, что
число существующих в яме состояний д. с. JVcn определяется условием -уа/п < N^ < ya/ir+ I.
б) При 0 < maa/h? < I — одно связанное состояние, при maa/h7 > I
-два.
2.14. Для частицы в потенциале U(x) вида: a) U = оо при х < О, U — -f/o при
О < х < а, 17 = 0 при х > а; б) U — оо при х < 0, V = -а 6(х - о) при х > 0
(рис. 6, а, б), найти число связанных состояний в зависимости от значений параметров
потенциала.
1Кх)
U(x)
'Д а
Рис.6
Ответ, a) y/2mUoa2/vn - 1/2 < ЛГ„ < y/lmU^lvh + 1/2;
б) единственное связанное состояние появляется при maa/h2 > 1/2.
2.15. Найти условие существования связанных состояний частицы в потенциаль-
потенциальной яме, изображенной на рис. 6, в. Рассмотреть предельные случаи: a) U\ = оо,
б) U, = U2.
Решение. Состояниям д. с. отвечают Е < Ui. Условие появления новых (или первого) состо-
состояний д. с. при углублении ямы можно получить из условия существования не возрастающего
при х —> ±оо решения у. Ш. с Е = U2, (сравнить с 2.13). Оно имеет вид
причем порядковый номер N уровня определяется условием
Соответственно, условие существование связанных состояний"'
12таги2 ^ /?/, - U7
arctg 1
В частности, при Ut = со требуется, чтобы fj > ff2fi2/8ma2; при V\ = U2 хотя бы одно
состояние д. с. существует всегда.
2.16. Частица находится в поле, имеющем вид двух одинаковых симметричных
потенциальных ям, расположенных на некотором расстоянии друг от друга (рис. 7);
"'Подчеркнем, что для состояний л.с. Е„ ^ Ui\ при этом уровни ?„ повышаются как при
увеличении U\, так и при уменьшении а, см. 2.4.

38 Глава 2. Одномерное движение
области действия ям не перекрываются, так что U@) = 0. Показать, что средняя
сила, с которой частица действует на ямы в стационарных состояниях дискретного
спектра, приводит к взаимному притяжению ям в четных состояниях и к их взаимному
отталкиванию в нечетных состояниях.
Решение. Среднее значение силы, действующей со сто-
стоWxY
роны частицы на правую яму, дается интегралом
Выполнив интегрирование по частям и воспользовавшись
Рис. 7 у. Ш., получаем
—(ф'(о)J. (О
Для четных состояний имеем ФЦО) = 0, и так как Еп < 0, то (Fnp)n« < 0; для нечетных
уровней Ф„@) = 0 и (Fn?)nn > 0, что и доказывает утверждение задачи12'.
§ 2. Уравнение Шредингера в импульсном представлении.
Функция Грина уравнения Шредингера.
Интегральная форма уравнения Шредингера
2.17. Найти в импульсном представлении вид стационарного уравнения Шредингера
в случае потенциала U(x), обращающегося в нуль при х —» ±оо. На основе этого
уравнения исследовать состояния дискретного спектра в потенциале V = -а6(х)
и сравнить с результатом 2.7.
Решение. В импульсном представлении Т = рг/2т = р2/2т является оператором умноже-
умножения, a U является интегральным оператором с ядром V(p, р'), равным (см. 1.41)
U(p,jf)sU(p-p'), t7(p) = ^yV(x)exp {~} Л- (О
Таким образом, у. Ш. в импульсном представлении имеет вид
ЯФ(р) = —^ Ф(я) + f U(p -р')Ф(р) dp' = ЕФ(р). B)
-30
В случае V — -а 6(х) имеем I/ = -gj и уравнение B) принимает вид
2 +Ж
|^ у C)
-00
Отсюда (Е = -\Е\ < 0)
Условие согласованности второго из выражений C) и D) дает
irfi J f + 2m\E\ ft V 2|B|'
l2' Отметим, что сила, действующая на левую яму. отличается от A) знаком.

§ 2. Уравнение Шрёдингеро в импульсном представлении 39
что представляет уравнение для спектра. Оно имеет (при а > 0) только одно решение
Ео = -ша2/2Л3. Этому уровню отвечает в.ф. D), которая при С = y/2irma/h нормирована
на единицу, сравнить с 2.7.
2.18. Исследовать связанные состояния частицы в потенциале U — -а[б(х- а) +
6(х + а)] на основе уравнения Шрёдингера в импульсном представлении.
Решение. В данной задаче U{p) = - jjj (e'1"'" + еро'Л) и у. Ш. принимает вид (см. предыду-
предыдущую задачу)
?r *(p) - ^ («' c+ +e c-) = яф(р)> (О
B)
-00
Отсюда, обозначив х7 = —2тЕ/Иг, а — ma/h2, находим
Ф(р) = ^ (e"""»C+ + e-trafK C.) 'ft2 ¦ C)
Подставив (З) в B) и вычислив интсфалы (см. Д1.3), получаем
, S •1/1 Т С О_ I, О_^"^|С С*4- I V— I • (^/
Условием существования нетривиального решения этой системы является выполнение одного
из двух соотношений
К = 3A±е-*"), E)
которые и определяют энергетический спектр.
Первое из уравнений (S), отвечающее выбору знака (+), имеет один корень (при а > 0).
При его реализации из D) следует С+ — С., т. е. соответствующий уровень является четным
(см. C)). Энергия этого уровня при аа < 1 равна Е? ~ -2таг/Н2 (две 6-ямы на близком рас-
расстоянии действуют как одна, но с удвоенным значением а, сравнить с 2.7). При аа > 1 имеем
(в этом случае экспоненциальное слагаемое в E) мало, и, пренебрегая им, получаем х?ка;
подставив это значение в показатель экспоненты, приходим к более точному выражению
для Хд, которое и использовано при вычислении Е?).
Второе из уравнений E) определяет нечетные уровни. Единственный нечетный уровень
имеется лишь при аа > 1/2, сравнить с 2.13. Его энергия в момент появления (т.е. при
0 < аа - 1/2 С I) равна
а при аа > I находим
При а —» со, оба уровня, четный и нечетный, сливаются в один уровень, существующий
водной изолированной 6-яме.
2.19. Рассмотреть связанные состояния частицы в случае сепарабельного потенци-
потенциала, представляющего нелокальный интегральный оператор U с ядром U(x, x') =
-\}(х)]'(х'), исходя из решения уравнения Шрёдингера в импульсном представлении.
Решение. Ядро оператора V в импульсном представлении
A)

40 Глава 2. Одномерное движение
(сепарабельная, или факторизованная форма ядра оператора взаимодействия сохраняется,
естественно, в любом представлении) и у. Ш., см. 2.17, принимает вид
%- Ф(р) - \д(р) [ з*(р')Ф(р') dp' = ЕФ{р). B)
2т J
-ос
Отсюда
C)
Условие согласованности этих выражений приводит к соотношению
ос
/\п(п)г
U1/ — I, \ /
-00
определяющему энергетический спектр связанных состояний частицы.
Рассмотрим следствия этого соотношения.
1. При Е < 0, интеграл в D) является монотонной положительной функцией \Е\, равной
нулю при \Е\ = со. Соответственно, в случае А < 0, уравнение не имеет корней (связанные
состояния отсутствуют). Если А > 0, то имеются две возможности:
а) </@) ф 0, так что интеграл в D) при Е —» 0 равен +оо. В этом случае всегда имеется
только одно связанное состояние. В пределе А -¦ 0 также и Ео —> 0; при этом в интеграле в D)
существенна область малых р, так что можно вынести за знак интеграла |fl@)|2 и получить
Во « -2я-2тА2|9@)|", А - 0. E)
В другом предельном случае, А -• со, также и -Еа —> со, при этом
л.
E<,*-\Jlg(p)\2dp.
F)
Заметим, что |?о(А)| является монотонно возрастающей функцией параметра А.
оо
s) 9@) — 0, причем / |<?|2р~2 dp = А. В этом случае при А > BmA)'1 также имеется
-эо
одно связанное состояние, а при А < BтА)~' их нет.
2. При Е > 0 в случае сепарабельного потенциала может иметь место необычная
ситуация, если д(ро) — 0 для некоторого р0 ф 0. причем
В этом случае при А = Ао = BтИ) ' имеется связанное состояние частицы с энергией
Е = pl/2m > 0. Этот дискретный уровень находится непосредственно на фоне непрерывного
спектра.
2.20. Найти функцию Грина Ge(x, x') уравнения Шрёдингера для свободной частицы
при Е < 0, убывающую при |х - х'| —» оо. Функция Грина удовлетворяет уравнению
(И-Е)СЯ = -^^СВ- EGE = 6(х - х').
С помощью функции Грина записать уравнение Шрёдингера для состояний дис-
дискретного спектра в короткодействующем потенциале U(x) {U(x) —» 0 при х -» ±со)
в виде интегрального уравнения. На основе этого уравнения рассмотреть связанные
состояния частицы в 6-яме и сравнить с результатами задачи 2.7.
Каков вид функции Грина в импульсном представлении?

§ 2. Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении 41
Решение. 1) Решение уравнения для функции Лзина Се при х < х' имеет вид GB =
А(х') ехр {х(х - х')) + В(х') схр {-х(х - х')}, к = y~2mE/h,2 > 0. Условие убывания Ge при
х -> -со требует выбора В(х') = 0. Аналогично при х > х' имеем Ge = C'(z') ехр {-х(г-г')}.
В точке х = х' функция GE непрерывна, а производная G'E имеет скачок, равный (сравнить
с 2.6)
G'E(x = х + 0, г') - G'E(x = х' - 0, х') = —^.
С учетом этих условий находим
I т Г *
С помощью функции Грина общее решение уравнения
(О
2m (I' W-ZW B)
для Е < 0 можно записать в виде
00
Ф(х) = Ае~" + Be" + f GE(x, x')f(x)dx. C)
-00
Если в B) положим / = -U(x)<b(x), то приходим к у. Ш., а его формальное решение C)
при этом является уравнением Шрёдингера в интегральной форме. Так как для физических
приложений обычно представляют интерес решения у. Ш., не возрастающие при х -* ±со,
и так как при этом интегральное слагаемое в C) убывает, то в C) следует положить А = В = О,
так что у. Ш. в интегральной форме принимает вид
Фк(х) = " S /ехр {~*|г "
-00
Оно эквивалентно дифференциальному у. Ш. с учетом граничных условий — убывания Ф(х)
при х -> ±оо, и имеет решение лишь при значениях Е < 0, принадлежащих энергетическому
спектру.
Для V = -а 6(х) уравнение D) принимает вид
непосредственно определяющий в. ф. и энергию Еа = -гаа2/2Д2 единственного уровня д. с.
в б-потенциале.
2) Отметим, что функцию Грина можно рассматривать как линейный оператор Gg,
ядро которого в координатном представлении имеет вид Ge(x, x'). При этом из уравнения
для GB(x, x') следует
(H-E)GS=1 Я=|1. E)
Это операторное уравнение справедливо в произвольном представлении. Его формальное реше-
решение имеет вид дв = (Я - Е)' .В импульсном представлении 8Е = {р2/2т -Е)~' является
оператором умножения. Используя результат задачи 1.41, находим его ядро в координатном
представлении
7
m ^
е
-00
что совпадает с A), значение интеграла — см. Д1.3.

42 Глава 2. Одномерное движение
2.21. Рассмотреть задачу о связанных состояниях частицы в случае сепарабельного
потенциала, см. 2.19, исходя из решения уравнения Шрёдингера в интегральной
форме.
Решение. У. Ш. в интегральной форме в случае сепарабельного потенциала принимает вид
/(х')/'(х")Ф?(г") dx dx". A)
xn jj
Обозначив
00
C= ff(x)VB(x)dxy B)
из A) сразу находим вид в. ф.
00
При этом условие согласованности выражений B) и C)
00
*= ? // f{x')f'(x) ехр {-ф - х'п dx dx D)
-00
определяет спектр. Отсюда в предельных случаях следует:
а) При А -» 0 также и х —> 0; можно заменить экспоненту в D) единицей и получить
для единственного уровня д. с. (А > 0)
?0« f \1 f(x)dx ¦ E)
б) При А -¦ оо также « -» оо. В интефале D) при этом существенна область переменных
х' ~ х. Положив f(x') s; /(г) и вычислив получающийся интеграл по х , находим
(x)|l«fe. F)
Для более полного анализа D) удобно преобразовать это выражение, воспользовавшись
формулой Д1.3. Возникающее соотношение воспроизводит формулу D) из задачи 2.19,
к которой мы отсылаем читателя.
2.22. Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шрёдингера, показать, что
энергетические уровни дискретного спектра в произвольном потенциале U(x) < О
(U(x) —* 0 при х -» ±оо) удовлетворяют условию
Решение. Рассмотрим Фо(з) — в. ф. основного состояния с Щ < О, (\Е„\ ^ I-Eol)- Эта
функция не имеет нулей при конечных х и *о(г) ^ 0 (этому условию можно удовлетворить
соответствующим выбором фазового множителя). Функция ФоОО удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению — уравнению D) задачи 2.20. Возьмем в этом уравнении г = х0. где Хо —
точка максимума Фо(х):
ФоЫ = ^1 / е-^'>-*\и(х')\%(г') dx1. (I)

§ 2. Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении
43
Замечаем, что подынтегральная функция здесь — неотрицательная и замена ехр {-Хо|г0-г'|} х
Фо(я') на Фо(хо) может только увеличить правую часть. После сокращения на Фо(*о) получаем
Отсюда и следует
|Я„1
B)
Приближенно равенство B) имеет место для «мелких» потенциальных ям, в связи с данной
задачей см. также 2.23.
2.23. В «мелкой» одномерной потенциальной яме U(x), для которой Щ <С h2/та2
(Со и а — характерное значение потенциала и его радиус), имеется только одно
связанное состояние, энергия которого приближенно равна ?"о ~ -^т [JlJ(x)dx] .
Воспользовавшись интегральной формой уравнения Шрёдингера, найти поправку
порядка ma2Uo/h2 к этому выражению.
Решение. Воспользуемся интегральной формой у. Ш. — уравнением D) задачи 2.20. Умножим
обе части уравнения на V(x) и проинтегрируем в бесконечных пределах. В получающихся
интегралах существенную роль играют х и х' ~ а, и так как ха <g 1, то можно разложить
экспоненту, ограничиваясь первыми двумя членами. Таким образом получаем
f {/(г)Ф(х)dxи --^ /7A -ф-x'\)U(x)U(x')<fl(x)dxdx.
Отсюда, с рассматриваемой точностью,
(m/fi2) // \х - х'\и(х)Ц(х')Щх') dx dx'
fU(x)*(x)dx
'-Y
В поправочном члене (второе слагаемое в скобках) можно пренебречь изменением в. ф.
в области интегрирования, заменив ее на Ф@), и получить уточненное значение х (а тем
самым и энергии JSo = -ft2x2/2m):
wdx dx>
*= /и(х) dx ~
U(x)
(поправка всегда отрицательна в согласии с предыдущей задачей).
2.24. Найти функцию Грина свободной частицы, движение которой, однако, ограни-
ограничено непроницаемой стенкой (т. е. U = 0 при х > 0 и U = оо при х < 0, рис. 8, а) для
Е < 0. Функция Грина удовлетворя- у(х) t
ет граничному условию Gg(x = 0, х')
= 0 и убывает при \х - х'\ -» оо.
С помощью функции Грина за-
записать уравнение Шрёдингера для _
связанных состояний частицы (Еп <
0) в потенциале вида, приведенного
на рис. 8, б (т. е. U = U(x) при х > 0
и 27 = оо при х < 0) в интегральной
форме. Рис. 8

44 Глава 2. Одномерное движение
Решение. Функцию Грина можно получить из решения уравнения как в 2.20. Однако, имея
в виду результат этой задачи, на основании соображений, аналогичных используемым при
решении электростатических задач методом изображений, ответ можно написать сразу:
GE(x, х')=~[ехр{-х\х-х'\}-ехр{-х\х + х'\}]. A)
У. Ш. я интегральной форме, автоматически учитывающее граничные условия Ф@) =
Ф(оо) = 0, записывается в виде (сравнить с 2.20)
*(*) = - J GFXx, х')и(х')Щх') dx'. B)
о
2.25. Используя интегральную форму уравнения Шрёдингера, показать, что условие
о
является необходимым условием существования связанных состояний в потенциале
U(x) вида, приведенного на рис. 8, 6: U = оо при х < 0, U = U{x) (при этом U ^ 0
и U(x) —¦ 0 для х —» со) при х > 0.
Применить полученный результат к потенциалам: a] U = -Щ рая х < a, U = 0
при х > а; б) U = -а6{х — а), см. рис. 6, о, б, и сравнить с точным условием
существования связанных состояний.
Решение. Идея доказательства точно такая же, как и в 2.22. Укажем оценку экспоненциальных
слагаемых в у. Ш. (см. предыдущую задачу), входящих в функцию Грина. Так как \х + х'\ -
\х - х'\ ^ 2х' (напомним, что х, х' ^ 0), то
< ехр {-х\х - х'\} [1 - ехр{-2х*'}] < 2хх'.
Теперь утверждение задачи представляется очевидным.
Для прямоугольной потенциальной ямы необходимое условие существование состояний
д. с. принимает вид Щтпа2//* ^ 1, а точное условие: Г/дто'/Л2 ^ 7г2/8 ~ 1,24. Для $-ямы
необходимое условие 2maa/h2 ^ 1 совпадает с точным.
2.26. Найти функцию Грина GE(x, x') частицы в бесконечно глубокой потенциальной
яме ширины а. Обсудить аналитические свойства Ge как функции переменной Е.
Показать, в частности, что она имеет полюсы, и установить связь положений этих
полюсов в плоскости комплексной переменной Е со значениями энергетических
уровней Е„ частицы.
Решение. Уравнение для GE(x, x') и его решение имеют вид
~hxi^ Gb(x' x>) -EGe{x> х>)=6(х -х/))
_ ( А(х') sin хх, 0 ^ х < х\
Б ~ \ В(х') sin х(х - о), х' < х < а.
Здесь учтены граничные условия: Gjg = 0 при х — 0 и х = а. Условия сшивания GE(x, x')
в точке х = х', совершенно аналогичные отмеченным в задаче 2.20, позволяют найти А, В
и окончательное выражение для функции Грина:
Ge(l) Х<) = " xl^txl Si" { \

§ 3. Состояния непрерывного спектра 45
Отсюда видно, что Gg является аналитической функцией Е [к = ц2тЕ/Л2 J, имеющей
следующие особые точки:
а) точка Е = оо — существенно особая точка;
б) точки В, = Л2х1/2т, где х„а = (п + 1)гг, п = 0, 1,..., являющиеся полюсами GB;
при этом положения полюсов совпадают с уровнями частицы в яме (точка Е = 0 является
устранимой особой точкой).
2.27. Рассмотреть потенциальные ямы различного вида U(x), удовлетворяющие
условиям:
U(x) < 0; Щх) -+ 0 при х -» ±оо; I U{x) dx - а = const.
Какой конкретный вид имеет потенциальная яма, в которой:
а) энергия связи основного уровня \Eq\ принимает максимальное значение; 6) со-
содержится наибольшее число состояний дискретного спектра?
Решение, а) Ответом на вопрос является результат задачи 2.22: самый глубокий уровень —
в <-яме U = -а 6(х — х0).
б) Максимальное число уровней д. с. в условиях задачи равно бесконечности за счет
их возможного сгущения при Е -» 0, которое имеет место для потенциалов, убывающих
при х -» ±оо, как U и -5|z|~" со>0и0<|/<2 (см. [1], § 18). При 1 < v < 2 такие
потенциалы удовлетворяют условиям задачи.
§ 3. Состояния непрерывного спектра.
Прохождение через потенциальные барьеры
2.28. Для свободной частицы, движение которой ограничено непроницаемой стенкой
(т. е. U = 0 при х > 0 и U — оо при х < 0, рис. 8, а), найти волновые функции стаци-
стационарных состояний. Нормировать их на ^-функцию по энергии. Убедиться в полноте
полученной системы функций (на интервале 0 < х < со).
Решение. Фе(х) = А(Е)s\n (JlmE/h1 х\ (учтено, что Ф^@) = 0). Для нормировки этих
функций на S(E-E') следует выбрать А(Е) = Bт/я2Н2Е) . Условие полноты этой системы
функций
о
легко установить, если воспользоваться соотношением Д1.1.
2.29. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки, изо-
изображенной на рис. 9. Рассмотреть предельные случаи Е —» Uo и Е —» оо.
Решение. Решение у. Ш., описывающее отражение и прохождение U(x)
частиц с Е > Г/о, падающих на стенку слева, имеет вид
f е + А(к)е-'кг, z<(
[ В(к)е"'х, х>о(к'= фт(Е - U0)/h2 > о).
Из непрерывности Ф^ и ф[ в точке х = 0 следует
- к' 2к Рис. 9
.

46
Глава 2. Одномерное движение
Таким образом (Я = |Л|2, D = к'\В\2/к):
Как и следует, R(E) + D(E) = 1, при этом
а) R(E) « У$/16Е2 -> 0 при Д->оо;
б) D{E) « V(S - Uo)/Uo ос
(О
» 0 при Е -»t/0-
2.30. Определить коэффициенты отражения и прохождения частиц в случае <!>-потен-
<!>-потенциала U = а 6(х).
Обсудить аналитические свойства амплитуд отраженной А(Е) и прошедшей В{Е)
волн как функций комплексной переменной Е. Убедиться, что точки Е = 0 и Е =
оо являются точками ветвления этих функций. Проведя в плоскости комплексной
переменной Е разрез от точки Е = 0 вдоль вещественной полуоси Е > 0, найти
особенности функций А(Е) и В(Е) на первом, так называемом физическом, и других
листах их римановой поверхности (физический лист фиксируется условием, что фаза
точек Е на вещественной полуоси Е > 0 сверху равна нулю). Показать, что такими
особенностями являются полюсы, и установить связь между положениями полюсов
и уровнями энергии дискретного спектра частицы.
Решение. 1) В.ф. имеет вид Ф? = е + A(k)e~'kx при К 0 и «f = B(k)e'" при х > О
(здесь * = \j2mElh1 > 0, падающие частицы движутся слева направо). Сшивание Ф? и (Ф^)'
в точке х = 0 (см. соотношения B) из 2.6) дает
] + А = В, ik(B - I + А) -
2таВ
ikh2
0)
ft2 ' "v'# ikh2-ma'
Коэффициенты отражения R(E) = \A\2 и прохождения D(E) = \B\2 удовлетворяют, как
и следует, соотношению R + D = 1. При этом
a) R(E) гз таг12ЕП2 — 0 при Е — оо; 6) D(E) ss 2Eh2/ma2 а ? -» 0 при ?! -» 0.
2) Так как к = y2mE/h2, то из A) следует, что Л(В) и .В(.Е) являются аналитическими
функциями В, имеющими особые точки: а) точки В = 0 и Д = оо — корневые точки
ветвления; б) полюс в точке Е<>, определяемой условием is/ЪтЩ = та/Л.
Е=0
?=0
Рис. 10
Из-за наличия точек ветвления функции А(Е) и В(Е) являются мкоголистными (в дан-
данном случае — двухлистными). Для однозначного определения их проведем в плоскости
комплексной переменной Е разрез вдоль вещественной полуоси Е > 0, см. рис. 10, о. Так
как на физическом листе фаза точек, непосредственно примыкающих к верхнему берегу
разреза (точки типа I на рисунке), равна нулю и при этом fc = у2тЕ/Н2 > 0, то в этих
точках значения аналитических функций А(Е) и В(Е) совпадают со значениями физических
амплитуд А(Е) и В(Е). Далее, фаза точек Е на отрицательной полуоси Е < 0 физического
листа равна ж и для них \/Ё = i\VB\. Соответственно, полюс Ец амплитуд при а < О
(<5-яма) находится на физическом листе, а значение Ей совпадает с энергией единственного

§ 3. Состояния непрерывного спектра
47
уровня д. с. в яме. В случае барьера, а > 0, связанные состояния отсутствуют, а полюс
амплитуд при этом находится на нефизическом листе (фаза Ео равна 3»). Такие полюсы
отвечают, как принято говорить, виртуальным уровням.
2.31. Найти коэффициент прохождения частиц через прямоугольный потенциальный
барьер, изображенный на рис. 11. Как изменяется полученное выражение при переходе
к потенциальной яме (Uo < 0)?
Решение. Приведем выражения для коэффициента прохождения U(x)
ЩЕ - Uo)
ЩЕ - Uo) + Uj sin
- U0)a*/h2
- Е)
4E{U0 -
E>U0,
E<U0.
Рис.11
Первое из них при ?/0 < 0 описывает D(E) в случае потенциаль-
потенциальной ямы, при этом \UU\ — ее глубина.
Отметим, что D(E) -> 1 при Е -» оо (естественный физический результат). С другой
стороны, D(E) a E -» 0 при Е -» 0. Такое свойство D(E) — общий квантовомеханический
результат (см. задачу 2.39). Однако для потенциальной ямы в исключительных случаях, когда
= гиг, п — целое,
указанная зависимость нарушается (при этом D(E) —» 1 при Е —* 0). Выделенность этих
случаев'определяется тем обстоятельством, что при таких значениях параметров ямы в ней
появляются новые состояния д. с. при ее углублении (см. 2.13).
2.32. Найти значения энергий, при которых частицы не отра-
жаютсяотпотенциальногобарьеравида17=а[в(х)+й(а:-а)],
рис. 12.
Ответ. Значения Е, при которых частицы не отражаются от ба-
барьера, являются корнями уравнения
Aft2 ГШШ л
am V ft2
Укажем, что при решении у. Ш. в асимптотике (II.4) в. ф. сле-
следует опустить член, соответствующий отраженным частицам, т. е.
сразу положить А = 0, и в точках х — 0 и х = а воспользоваться
условиями сшивания, установленными в задаче 2.6.
и(.х)'
Рис.12
2.33. Доказать независимость значения коэффициента отражения при данной энергии
от направления падения частиц на силовой центр.
Решение. Рассмотрим для определенности случай, когда U(x) -* 0 при х —» -оо и U(x) —> Uo
при х — +оо. Обозначим Ф.(х) и Ф+(х) в. ф. стационарных состояний с одинаковой
энергией, но с противоположными направлениями движения падающих частиц в область
действия потенциала. Они имеют следующие асимптотики:
Ф+ и
и удовлетворяют у. Ш. - (й2/2">) Ф* +
"'**, х -» -оо (к = у 2mE/h2),
S(*)e
• +00
-¦-00,
-» +оо,
(О

Глава 2. Одномерное движение
Умножая уравнение для Ф+ слева на Ф_, а уравнение для Ф_ на Ф+, и вычитая их
почленно, находим после простых преобразований
Ф-(г)Ф',.(г) - Ф+(г)Ф'_(г) = const. B)
Вычислив левую часть B) при х —» ±оо с помощью асимптотик A) и приравняв результаты,
получаем кВ = к,В. Отсюда и следует
2.34. Найти коэффициенты прохождения и отражения частицы в случае сепарабель-
ного потенциала (см. 2.19). Убедиться, что общие свойства (II.5) этих коэффициентов
сохраняются и в случае сепарабельного потенциала.
Решение. Удобно исходить из интегральной формы у. Ш. (см. 2.42), имеющей для сепара-
сепарабельного потенциала вид (к = \p\/h):
^ } + ^ JJ e-"~V(*')/*(*")*,V') ** **".
Фр(х) =exp
Отсюда
где
С(р)= I /*(г)ф?(г) dx, <pi,(x) = I e'kt'~xif(x')dx'. B)
При этом условие согласованности выражений A) и B) дает
С(Р) = /(Р) 1-(.'Ат/М») #/4*)/(«V'l~'1 **<!«••
Соотношения A), B) и C) полностью определяют в. ф. Переходя к ее асимптотикам при
х -» ±оо, находим амплитуды прошедшей В(р) и отраженной А{р) волн:
Я(р) = I + ^ C{p)gO>), D(p) = \B{p)\\
(эти формулы справедливы как при р > 0, так и при р < 0).
Произведем некоторые преобразования в полученных результатах D). Прежде всего,
воспользовавшись формулой (Д1.3) и соотношением (Д1.2):
J
х-хо-ге J х-х0
(/ означает интеграл в смысле главного значения, е > 0 бесконечно мало), преобразуем C)
к виду
где

§ 3. Состояния непрерывного спектра
49
После этого из D) получаем
т ^ С?(Р) + A2m2(|g(p)|: - \д(-р)\7J
R(p) = clW + cfr) ¦
Отсюда непосредственно следует:
1) D(j>) + R(p) - 1;
2) D{p) = D(-p), т.е. коэффициент прохождения для частиц, i
F)
, падающих как слева, так
и справа, одинаков;
3) при Е -> оо имеем ЩЕ) и {Xm/hpf\g{p)g(-p)\2 -» 0;
4) при Е -» 0 также и D(E) -> 0 (сравнить с 2.39).
2.35. Найти коэффициент прохождения частиц через потенциальный барьер, указан-
указанный на рис. 13. Рассмотреть различные предельные случаи, допускающие наглядное
восприятие полученного выражения для D(E).
Решение. В.ф. при х < 0 имеет вид ф? = е'*'+А(к)е~'к' (падающие
частицы движутся слева направо, к = yllmE/h1 > 0). При х > О
заменой переменной
и„
--l + —1,
\о «о/
где (=
у. Ш. приводится к уравнению
?
+ z*^ = 0. Решение его,
й
имеющее при х
выбрать в виде
+оо вид уходящей направо волны, следует
рис_
i Ai (-*
exp
f Ц
где Ai (z) и Bi (z) — функции Эйри. Из условий непрерывности в. ф. и ее производной
в точке х = 0 находим А и С. При этом
C(J?) = Bi (-zo) + t Ai (-zo) + «D/fca) (Bi'(-zo) + i Ai'(-zo)) ' A)
где z0 = «(Я/Уо - 1).
Вычислив плотность потока частиц, j = (А/2лм)(Ф'Ф' - ФФ"), при х —» +оо:
Лрош = Щ\С\2/пта, и учтя, что для падающих частиц jn», = hk/m, находим коэффици-
коэффициент прохождения
2
D .
]„ш яка
Формулы A) и B) решают задачу. Отметим частные случаи.
1) Е < и0, причем 4A - E/Uo) > 1 (и {> 1)
(при этом следует воспользоваться асимптотикой наиболее существенного в A) слагаемого
.•(«/*a)Bi'(-20),CM.|34]).
2) Е > Щ, причем i(E/Ua - 1) » 1 (при этом *а » ()»

50
Глава 2. Одномерное движение
3) При В -¦ О
2.36. То же, что и в предыдущей задаче, в случае барьера U = -JoM. рис. 14.
D(E) я 4fco
Vix)
Решение. В. ф. имеет вид
+/ ч f [Bi(z,)-«Ai(*>)
ф+(х)= < '.
,) + • Ai (л,)), КО,
\ х>0,
где z\tt =((it E/Fo) и ( = BmFo/ft2) . Она записана в таком
виде,' где каждое слагаемое в квадратных скобках на больших
расстояниях описывает распространяющуюся в соответствующем
направлении волну; при этом а(Е) и Ь(Е) являются амплитудами
отраженной и прошедшей волн, так что R = |а(?)|2, D = \Ь(Е)\2 (сравнить с предыдущей
задачей). Условия непрерывности Ф+ и Ф(+' позволяют найти а(Е) и Ь(Е). В частности,
Рис. 14
где ij = -?E/F0 (при этом учтено значение вронскиана W{Ai (z), Bi (z)} = I/тг).
Используя асимптотики функций Эйри [34], нетрудно получить следующие выражения
для D = \Ь(Е)}2:
1) при Е < 0, когда t\E\/F0 » 1,
2) при Е > 0, когда ^E/Fo » 1,
Я(Д) я 1 -
7 = 0)= 1/4.
B)
3) Z>(f! = 0) = 3/4, .
2.37. Поле U(x) имеет вид потенциальной ступеньки, т. е. U(x) —¦ 0 при х —*
-оо и U(x) —+ С/о > 0 при z —» +оо, рис. 15. Найти энергетическую зависимость
коэффициента прохождения частиц при Е -+Щ. Сравнить с результатом из 2.29.
Решение. В. ф. при х —> ±оо имеет вид
fe^+^(fc)e-
при этом коэффициент прохождения О(Я) = (к,/к)\В(к)\2. При
Е -> Uo имеем *, -• 0, 5(fc,) -. В@) Ф 0 и соответственно
ос (JS - 1/0)'/2 -» 0.
2.38. Найти коэффициенты отражения и прохождения медленных частиц, ка < 1,
в случае «слабого» поля Uo ¦€. h2/ma2 (Co и а — характерная величина и радиус потен-
потенциала). Сравнить полученные выражения с результатами для й-потенциала (см. 2.30).
Решение. Вне области действия потенциала в. ф. имеет вид
е-, .<-,
х > а.

§3. Состояния непрерывного спектра 51
В области же |*| $ а из у. Ш. Ф" = Bmtf(a:)/fi2 - *5)Ф в условиях задачи следует, что
приближенно *f к С| + С^х (действительно, так как Ф" ~ Ф/а3, то у. Ш. в первом
приближении для слабого поля при ка <С 1 принимает вид Ф" = 0). Сшивание этого решения
с A) дает Сг » 0 и С\ « В «в 1 + А. Отсюда следует, что выражения A), дающие Ф? и const
при \х\ < а, приближенно справедливы при всех значениях х. Учитывая это обстоятельство,
проинтегрируем у. Ш. по х в пределах от -6 до Ь, где Ь > о. Так как при этом
ь
J
ь
= хкВёкъ - ike-'H + ikAe'k
Ь Ь х
Г и(хЩх) dxt*B Г U(x) dx^B f U(x) dx,
-Ь -b -х
o
f Цх) dx«B J etkl dx + J (e + ^e*1) dx = iX-{A + В - 1 - (A + B)ettb + e"},
-ь о -ь
то такое интегрирование приводит к соотношению
ik(A + B-l)= ^E.t a - f v{x) dx.
h J
Отсюда, с учетом условия \ + А = В, следует
А и -ima -5—-. , В и Л2* -j— .
ft к + ima ft к + ima
Полученный результат весьма нагляден, так как он означает^что в условиях задачи от-
отражение частиц происходит так же, как и в случае ^-потенциала V — а 6(х) с a — f U(x) dx
(см. 2.30).
2.39. Показать, что коэффициент прохождения в произвольном потенциале, удовле-
удовлетворяющем условию U(x) = 0 для |г| > а, при Е —» 0 обращается в нуль: D(E) ос Е.
В каких исключительных случаях нарушается эта зависимость?
Выразить коэффициент с в зависимости D = сЕ через параметры, характеризу-
характеризующие асимптотику решения уравнения Шрёдингера с Е = 0. Применить полученный
результат к прямоугольному барьеру (яме) и сравнить с результатом точного решения,
см. 2.31.
Решение. В выражениях для асимптотик в. ф.: Ф? « е'кж + А(к)е~'кх (при х < 0, |х| > о),
ф? = В(к)е'кх (при х > а), перейдем к пределу fc -¦ 0:
K0,W>«, A)
1 В(к)(\ + ikx), x » а.
Рассмотрим теперь решение у. Ш. для Е = 0, удовлетворяющее граничному условию
Фв=о(+оо) = 1 • При х -* -оо это решение имеет вид ФВхо = bx + d, где постоянные Ь и d
определяются конкретным видом потенциала. Сравнивая A) с приведенными выражениями
для Фе-о, находим ik(l - А) и ЬВ, 1 + А « dB. Отсюда А и -1, В и 2ik/b, так что1"
при Е -* О
^ B)
Полученный результат теряет силу при 6 = 0. В этом исключительном случае у. Ш.
для Е = 0 имеет решение, которое не возрастает как при х -» +сю, так и при х -* -оо. Такая
"'формула B), как и асимптотики A) в.ф., справедлива в случае потенциалов, убывающих при
-* ±оо быстрее, чем а 1/|г|3.

52 Глава 2. Одномерное движение
ситуация может иметь место только в том случае, когда при малейшем углублении потенциала
в нем возникает новое по счету состояние дискретного спектра (см. 2.13).
Для потенциала из задачи 2.31 имеем: Ф?=в = 1 при х > а; Ф?-о = ch({(x - a))
при 0 < х < а (здесь ? = \j2ma2Ua/H2), Ч/в*л = ch(a - (?shfa)z при х < О, так что
Ь = — {sh{a и D(E) ~ (AE/Uo)sh~2ia при Е —* 0, что совпадает с результатом точного
решения (для перехода к потенциальной яме следует под Uo > 0 понимать ее глубину
и заменить sh?a на sin fa).
2.40. Найти коэффициент прохождения для медленных частиц в потенциале U —
-U0aA/(x2 + a2)\
Решение. С помощью замены переменной z = arctgi/a и перехода к новой функции
w — (х7 + о2)"'/2ф(г) у. Ш. для Е = 0 принимает вид
«/'(*)-КЧ*) = 0, где { =
Теперь не представляет труда найти в.ф. Ф?«о(г), удовлетворяющую граничному условию
Ф?=о(+°°)=1:
•«—^—чч?-"*;;;- A)
Так как Ф?*о « -х sin (jrf)/fa при z -» -оо, то согласно предыдущей задаче находим для
медленных частиц D(E) a %m(?aJ/h2 sin 2тг? Е. Это выражение неприменимо при тг{ = xiV
(N — целое), или
Условие B) определяет значения параметров потенциальной ямы, соответствующих появле-
появлению нового, JV-ro по счету уровня д.с, при ее углублении.
Отметим, что для перехода от ямы к барьеру в полученном выражении для D(E) следует
под — Щ понимать его высоту и заменить f2 sin ~2ir{ на |?|2 sh »|{| в случае {2 < 0.
2.41. Исходя из решения уравнения Шрёдингера в импульсном представлении, найти
волновые функции стационарных состояний частицы в однородном поле U = FqX.
Нормировать их на б-функцию по энергии и убедиться в полноте полученной системы
функций.
Воспользоваться полученными результатами для определения энергетического
спектра в потенциале, рассмотренном в задаче 2.8.
Решение. 1) У. Ш. в импульсном представлении и его решение, нормированное на 5-функ-
цию от энергии, имеют вид
О2
р) = БФЕ(р),
2) Значения Е, для которых соответствующая в. ф. в координатном представлении
удовлетворяет условию Фё(х = 0) = 0, или
определяют энергетический спектр для потенциала из задачи 2.8 (совпадение результатов при
этом следует из интегрального представления для функции Эйри; отметим, что для таких свя-
связанных состояний Ф?(р) уже не является в.ф. в импульсном представлении, сравнить с 4.15).

§ 3. Состояния непрерывного спектра 53
2.42. Найти функции Грина Gg (х, х') свободной частицы при Е > 0; индексы (±)
указывают на характер асимптотики:
Г I От J?" I
G$ ос ехр < ±?л/—^—|аг - х'\ > при |х - х'| —> оо.
Записать уравнение Шредингера в виде интегрального уравнения, решения кото-
которого описывают процесс отражения и прохождения частиц с импульсом р (-с» < р <
+со) в потенциале U(x), обращающемся в нуль при я —» ±оо. На основе полученного
уравнения рассмотреть случай ^-потенциала.
Решение. I) Имея в виду результат задачи 2.20, в которой была найдена функция Грина
GE(x, х) при Е < 0, замечаем что искомые функции G% при Е > 0 могут быть получены
непосредственно из выражении (I) указанной задачи, если в нем положить
~2тЖ
= Т«*, *
G%(x, х') = ±^ ехр {±.*|х - х'|}. (I)
Отметим, что функции Грина G% при Е > 0 и Ge при Е < 0 можно рассматривать как
различные граничные значения единой аналитической функции комплексной переменной Е:
Точка Е — 0 для нее является точкой ветвления. Проведя разрез вдоль вещественной полуоси
плоскости Е от Е = 0 направо, как на рис. 10,6, замечаем, что на верхнем берегу разреза
на физическом листе (см. по этому задачу 2.30) функция Ge совпадает с GE, на нижнем берегу
разреза — с GE, а на полуоси вещественных отрицательных значений — с Ge из задачи 2.20.
Отметим также, что на физическом листе \бе\ -* 0 при \Е\ -* оо вдоль любого направления.
Функции Грина GE(p, p') в импульсном представлении имеют вид
(сравнить с 2.20), здесь е > 0 — бесконечно малая величина.
2) Дифференциальное у. Ш. с граничными условиями вида (II.4), соответствующими
процессу прохождения и отражения частиц с импульсом р через потенциал, эквивалентно
интегральному уравнению
- Jаи», х'Iг(»')ф;(*') dx'
(сравнить со случаем состояний д. с, рассмотренным в 2.20). Первое слагаемое в правой
части C) описывает падающие частицы, а интегральный член на больших расстояниях
х —» ±оо описывает как отраженные частицы, так и изменение в. ф. прошедших частиц под
действием потенциала (чтобы убедиться в этом, следует рассмотреть асимптотику второго
слагаемого при х -* ±оо и учесть, что к = |р|/й).
Для потенциала U — а 6(х) уравнение C) принимает вид
ф;м-«**-|? «*¦*;<<>). D)
Отсюда находим Фр@) (а тем самым и Ф?(*)):
следующие из D), E) значения D и R совпадают, естественно, с полученными ранее
в задаче 2.20.

54 Глава 2. Одномерное движение
2.43. В случае 0-барьера, U = а6(х) с а > 0, доказать непосредственным вы-
вычислением полноту системы функций Фр (х), описывающих процесс отражения
и прохождения частиц с импульсом р (-со < р < +оо).
оо
Решение. Рассмотрим интефал 1{х, х') = f Ф^'(х')ф?(х)<1р, считая в.ф. Ф^(х) нормиро-
-00
ванными на б(р-р')- Они лишь множителем Bя-й)"''2 отличаются от в.ф. D), найденных
в предыдущей задаче. Учитывая это, запишем интефал в виде:
exp {-i(kx' - \кх\)) exp {t(*x - \кх'\)}
\k\ + ia |fc| - ia +
exp {-t(|fcx'| - |fcx|)} exp {-tflfcx'l - |fcx|)} \
2(|*|-to) 2(|*|+ »o) /'
где 5 = ma/ft1, p = hk. Первый интефал в (I) равен S(x - x'), во втором же проделаем
следующие преобразования. Замечая, что он является четной функцией х и х', заменим их
на |х| и |х'|; разобьем область интегрирования на две: (-оо,0) и @,оо) и после простых
алгебраических преобразований приводим его к виду
ее
--/
2* J
exp {t*(|x| + |x |)}
; rz о*-
* + tot
Так как a > 0 E-барьер), то, замыкая контур интегрирования в B) в верхнюю полуплоскость,
находим, что этот интеграл равен нулю. Таким образом, 1(х, х) = 6(х — х'), что и выражает
условие полноты системы функций Ф*(г).
2.44. Обобщить результат предыдущей задачи на случай ^-потенциала притяжения
U = -а6(х), а>0.
Решение. Сделав в формулах предыдущей задачи замену а на —а, имеем:
t«V> W * = <(. - х) +1
-
(а = ma/Д2 > 0). Учитывая значение интеграла в правой части'4' и вид нормированной
в.ф. Фо(х) единственного состояния д.с. в tf-яме (см. 2.7), замечаем, что второе слагаемое
справа в A) равно
-5ехр(-а(|х| + |х'|)} = -*;(*')*в(*)-
Таким образом приходим к соотношению
00
•j(*')»e(*)+/ *;+)v)*,+(
*) dp=s(x -
выражающем полноту системы с. ф. гамильтониана в случае <5-ямы.
2.45. Найти функции Грина: GE(x, х') при Е < 0 и G%\x, х') при Е > 0 для
частицы в ^-потенциале отталкивания U — а6(х), а > 0. Обсудить их аналитические
свойства как функций комплексной переменной Е. Сравнить со случаем свободной
частицы, см. 2.42.
'*' Интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю
полуплоскость.

§ 3. Состояния непрерывного спектра 55
Решение. Искомые функции Грина удовлетворяют уравнению
—т + а 6(х) - Е\GB(x, х') = 6(х-х)
2m ax' J
и соответствующим граничным условиям. Используя общий метод их построения (см.,
например, A5, с. 136]) и учитывая, что в поле отталкивания отсутствуют состояния д. с,
имеем
J
G > 0 бесконечно мало). Здесь Ф,(г) — нормированные на 6(р - р') в. ф., описывающие
процесс отражения. Подставляя их явное выражение (они без множителя BяЛ)~|/2 приведены
в 2.42), получаем
~" »"»5 / dk Uxp{-i(kx'-\kx\)}
i '\-m f ехр[гф-х)} ima f
B(x,x)-—2J fc2_(fc,±i7) vh2 J fc2_
|fc| + ia
exp{-«(|fcx'|-|**l)} exp{-i(\kx'\-\kx\)}
2(|*| -ia) ~
где a = ma/h2, k% = 2mE/ft2. Первый интеграл здесь представляет функцию Грина свободной
частицы (см. Д1.3 и 2.42)
(отметим, что ±%/S = <JE ± «7 и для перехода от значений Е > 0, для которых и приведено
это выражение, к Е < 0 следует просто заменить ±iVE~ на -у/(-Е)).
Второй интеграл в C) (фактически сумму четырех интегралов) можно упростить, если,
заметив, что он является четной функцией х и х', заменить их на |х|, |х'| и затем разбить
область интегрирования на две: (-со, 0) и @, со). При этом происходит взаимное сокращение
большинства слагаемых, так что весь второй интеграл в C) приводится к виду
ima J exp{»*(|x| + |x'|)}dfc
*h2 J (*2-(*„2± «7) )(* + ««)'
-00
Его легко вычислить с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю
полуплоскость. При этом внутри контура имеется лишь один полюс в точке * = ±feo + «7
(при Е < 0, полюс в точке * = t|*0|) и выражение E) оказывается равным
±т5 exp{±i*0(|x| + li'j)}
fi2fc0 ±*0 +15
Окончательное выражение для функций Грина имеет вид
(
{i
ГИГ( Г ПтЁ Л {ф/(\\ \\)}\
G% = ±J—r-{iexp\±iJ—r-\x-x'\\ + / Г—— L\. 6)
V2ft7^\ I V h2 J (±л/2тй!Я + ima) J
Точно так же, как и в случае свободной частицы, найденные функции Грина можно
рассматривать как граничные значения единой функции GE, рассматриваемой как функция
комплексной переменной Е и получаемой из F) опусканием знаковых индексов (±) (сравнить
с 2.42). Отличие аналитических свойств <7Ь> в данной задаче от случая свободной частицы
состоит в наличии у нее полюса в точке </Е1 = -ia\Jm/2ft2, т.е. Ео = -та7/^2, причем,
так как а > 0, этот полюс находится на нефизическом листе и отвечает виртуальному уровню
(сравнить с результатом следующей задачи).

56 Глава 2. Одномерное движение
2.46. То же, что и в предыдущей задаче, для 5-ямы.
Решение. Из уравнения для функции Грина частицы в j-потенциале и граничных усло-
условий следует, что полученное в предыдущей задаче выражение F) справедливо при любом
знаке а, т.е. как для барьера, так и для ямы. При этом в случае потенциала притяжения
полюс GE находится уже на физическом листе и Ел совпадает со значением энергии уровня,
существующего в 5-яме.
Отметим, что если иметь в виду формулу B) предыдущей задачи, то переход от барьера
к яме состоит не только в замене а на -а, но и в добавлении к правой части слагаемого
4/q(x'L!o(x)/(E - Ел), отвечающего связанному состоянию. Однако теперь при вычислении
интеграла E) с а < 0 внутри контура появляется еще один полюс: в точке kt = >|5|. Вклад
от этого полюса компенсирует указанное дополнительное слагаемое, что и обеспечивает
справедливость формулы (б) при любом знаке а.
2.47. Найти в импульсном представлении функцию Грина частицы в ^-потенциале
U = a6(x).
Решение. Уравнение для функции Грина в импульсном представлении имеет вид
(JL -
A)
-эо
Здесь учтен вил оператора U (см. задачу 2.17) и введены добавки ±17 к энергии, обеспечива-
обеспечивающие выполнение требуемых граничных условий (сравнить с 2.4S). Обозначив
получаем из A)
\ О)
Проинтегрировав это выражение по р в бесконечных пределах и учтя B), находим явный вид
функции Cg(p'), а с нею и функцию Грина частицы:
р2/2т - 2*/»(\2тйЯ±«та) (р/2т Е? «7) (р/2т Е* iy
D)
Отметим, что G%{p, p') можно было бы найти и по функции G%(x, х') из 2.45 переходом
к импульсному представлению согласно 1.41.
§ 4. Системы с несколькими степенями свободы.
Частица в периодическом потенциале
2.48. Найти энергетические уровни и соответствующие волновые функции плоского
изотропного осциллятора. Какова кратность вырождения уровней?
Решение. Так как операторы
1 ~ 2mdz* 2 ' 2~ 2m 3y2 2
коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осциллятора, равным Н = Bt+Bi,
то с. ф. Я могут быть выбраны также собственными функциями Я, и Яг. Учитывая это
обстоятельство и известное решение у. Ш. для линейного осциллятора, см. (II.2), находим
уровни энергии и с. ф. плоского осциллятора в виде (см. также 10.23):
4W*. у) =

§ 4. Системы с несколькими степенями свободы 57
п,=0,1,2,..., п2 =0,1,2,... .
Так как уровню Ек с данным значением N отвечают (N + 1) независимые с. ф. ФЯ|„2
cnl=0,l,...,N (при этом n2 = JV -П|), тоон является (ЛГ + 1)-кратно вырожденным.
2.49. Найти энергетический спектр частицы в потенциале U = fc(x2 + у2)/2 + аху,
И < к.
Решение. Запишем потенциал в виде U = к,(х+уJ/4+к2(х-уJ/4, где fcti2 = к±а > 0. Если
теперь перейти к новым переменным х, = (х + у)/у/2 и у, = (-х + у)/\/2 (поворот на ir/4
в плоскости (ху)), то гамильтониан примет вид суммы гамильтонианов двух независимых
осцилляторов:
~ h д к\ 2 h & ^2 2
я = ^ахТ + ТХ1-2^^? + Т!"-
Соответственно энергетический спектр системы имеет вид
fk + a ( \\ t /Г^Г / 1\
e"inj= У~ИГ ("| + 2/ + V~m~ l+2/ ' 3 = 0,1,...,
а с. ф., отвечающие этим уровням, очевидным образом выражаются через с. ф. линейного
осциллятора (сравнить с предыдущей задачей). Читателю предлагается обсудить свойства
нижней части спектра в случае \а\ < к (см. по этому поводу 8.4 и 8.5).
2.50. Найти спектр гамильтониана
3 = Ш ^ + Ък ^ + 2 к
Решение. Положив yt = х>/^ и у2 = хъ, где у = у/т/М, получим
в Л2 82 И2 а2
Путем поворота координатных осей в плоскости (yi y2) потенциал в этом гамильтониане может
быть приведен к диагональному виду V — к,у2/2 + fe2y22/2. Для определения fc|2 заметим, что
если записать потенциал как U = k,ty,yt/2, то при повороте системы координат величины к,к
преобразуются как компоненты тензора. В исходной системе координат к,, = f2k, fc22 = к,
*i2 = fc2i = a~t> а в повернутой к'и = к,, к'77 = fc2, к\2 - к':1 = 0. Учитывая инвариантность
при вращении следа тензора и детерминанта матрицы, составленной из его компонент, имеем
к„ =к, + к2 = *A + 72), det ИМ = *,*2 = (к2 - а2Ь2.
Отсюда
A +12)к± у/([ -7гJ*2 +4^f
*'•'= 2 •
В новых переменных уц гамильтониан принимает вид суммы гамильтонианов двух
независимых осцилляторов, что позволяет сразу определить его спектр:
Читателю предлагается рассмотреть свойства спектра в случае М > m (см. по этому пово-
поводу 8.59).

58 Глава 2. Одномерное движение
2.51. Две частицы одинаковой массы, находятся в одинаковом же потенциале
и взаимодействуют друг с другом как «непроницаемые» точки. Найти энергетический
спектр и соответствующие волновые функции такой системы, считая известным реше-
решение одночастичной задачи в потенциале U(x). Рассмотреть в качестве иллюстрации
случай двух частиц, находящихся в бесконечно глубокой потенциальной яме.
Решение. У. Ш. при х, ^ х2 (считаем, что 1-я частица — слева от 2-й, так что Ф(г,, г2) = О
при х, ^ х2) имеет вид
(ЯA) + ЯB))Ф = ЯФ, гае Я=^+?/(*) -
одночастичкый гамильтониан. Рассмотрим теперь функцию Ф(х|, х2), равную Ф(Х|, х2)
при х, ^ х2 и -Ф(х2, х,) при х, > хг. (Ф представляет антисимметричное продолжение Ф
на область хх > х2). Так как она непрерывна в точках i, = i; и имеет при этом непрерывные
производные, то Ф удовлетворяет указанному у. Ш. уже при всех значениях х,, х2
(для симметричного продолжения производная в точках х\ = х2 имеет скачок и такое
утверждение несправедливо). Его общее решение очевидно:
**,„, = Ф»,(г,)Ф,,,(*а), ?„,„, = Е„, + Еп„
где Ел и Ф„(х) — спектр и с. ф. одночастичного гамильтониана. При этом антисимметричный
характер рассматриваемых в. ф. Ф требует выбора их в виде
и накладывает ограничения на пк2 '¦ "i Ф Щ- Таким образом,
Фп,„2= [ф»,(х|)Ф„2Aг)-*»,(а:|)Ф„(х2)]> Ещя, = Ея, + Enj, n, < п2
(ii ^ xj) При этом энергетический уровень является двукратно вырожденным: второе
независимое решение у. Ш. соответствует ситуации, когда 1-я частица находится справа
от 2-й.
2.52. Обобщить результат предыдущей задачи на случай N частиц.
Ответ. Энергетический спектр системы описывается выражением
N
¦®"l- »» = 5Z ^""•' ПРИЧеМ П| < Г»2 < . . . < ПЫ.
a=l
Вид с. ф. читателю предлагается обсудить самостоятельно.
00
2.53. Для частицы в периодическом потенциале вида U = a J2 6(х-па) (идеальный
п=~оо
бесконечный «кристалл», см. рис. 16) найти систему независимых решений уравнения
Шрёдингера для произвольного значения Е.
Определить энергетический спектр частицы.
Решение. Общее решение у. Ш. при п < х/а < (п + 1) имеет вид
Ф = Ап exp (ik(x - па)} + В„ ехр {-«*(х - по)}, (I)
где * = ^2тЕ/Иг. Рассматривая независимые решения, удовлетворяющие условию Ф(х+а) =
/|ф(х), получаем
Ая., - —, В„., - —. B)
1 ' Непрерывность производных Ф по z.2 в точках х\ = 12 следует из дифференцирования соотно-
соотношения Ф(х, х) =0.

§ 4. Системы с несколькими степенями свободы
59
В то же время сшивание решения в точке х = па (согласно 2.6) приводит к соотношениям
Ап + Вп = exp {iAa}vln_i + exp {—ik
2tma\ / 2»та\ _
~ I Л* — I I — ' I Нп (
1 +
Wx)k
)
-la
j- JB, = ехр{«>а}Лп.| - exp {-1
и /
Исключив отсюда А„~, и В„_! с помощью B), по-
получаем систему двух линейных относительно А„, В„
уравнений. Условие существования нетривиального
решения системы дает
D)
f(E) = cos ka H—— sin ka,
h k
Д.=
- exp {ika}
0
Рис. 16
2a
E)
Отсюда
При любом фиксированном Е F) опре-
определяет два значения fi, соответствующие двум
независимым решениям у. Ш., при этом ц\ •
ft2 = I- При /2(В) > I оба значения ц ве-
вещественны. При этом оба решения у. Ш. воз-
возрастают на больших расстояниях (отвечаю-
(отвечающее ft, > 1 — при х -* +со а fij < 1 —
при г -» -со), так что они не соответствуют
физически реализуемым состояниям частицы.
Последним отвечают значения Е, для которых
\fi\ = |,т.е. /2(J5) sj 1, или
I. G)
та
— 1 ^ cos ka + —j— sin fca :
h к
Таким образом допустимые значения Е обра-
образуют зоны. Если положить"' ц = е1'", где -jr <
ga ^ it, Hq — так называемый квазиимпульс
(не путать с ftfc!), то, согласно D), уравнение
для определения зависимости En(q) принима-
принимает вид (п + 1 — номер зоны, см. рис. 17 для
о>0)
-1
Рис. 17
cos ga = cos
+ Л1О •
(8)
Отметим свойства спектра17', следующие из (8).
1) Зависимость En(q) является четной, так что состояния, различающиеся знаком
квазиимпульса, являются двумя независимыми состояниями, соответствующими двукратно
вырожденному уровню En(q).
2) Зоны не перекрываются. При а > 0 все они расположены в области Еп > 0, при-
причем пп <кпа < (n-H)jr, п = 0,1, При таа/[{п+ l)fi2] > 1 зоны узки, с увеличением п
их ширина увеличивается и при таа/[(п+ 1)А2] < 1 они почти полностью занимают ука-
указанный выше интервал. При изменении знака а нижняя зона опускается в область Е < 0
(при этом к — мнимая величина).
"' Решения у. Ш., отвечающие определенному квазиимпульсу, называют функциями Блоха.
|7>См. задачу 8.32, в которой более подробно обсуждается случай слабого поля, mao/Л2 < I.

60
Глава 2. Одномерное движение
3) При значениях энергии, близких к границам зоны (при q, = 0 и qi = ±тг/а),
зависимостьE,(q) является параболической, т.е. Bn(q)-En(q^j) ос (д-91,2J (сравнитьс8.32).
В заключение отметим, что с. ф. гамильтониана в данной задаче не нормируемы на еди-
единицу, так что локализованные стационарные состояния частицы в периодическом потенциале
отсутствуют; в. ф. A), B) соответствуют частице, «свободно» (т.е. без отражений) движущейся
по кристаллу с квазиимпульсом hq.
00
2.54. Найти энергетический спектр частицы в потенциале U = в ?' Нх ~ па)>
П=-00
где штрих у символа суммы означает отсутствие слагаемого с» = 0 («кристалл»
с дефектом — вакансией, рис. 18).
Показать, что в дополнение к разрешенным энергетическим зонам в случае иде-
идеального кристалла (см. 2.53) появляются новые дискретные уровни, соответствующие
локализованным вблизи дефекта состояниям частицы.
Решение. Разрешенные зоны энергий, найденные в предыдущей задаче, являются разрешен-
разрешенными и в условиях данной задачи. Действительно, произвольное решение у. Ш. для значений
энергии En(q) из разрешенных зон как при х > 0, так и при х < 0 сводится к некоторой
суперпозиции двух независимых решений в строго периодическом потенциале, отвечающих
определенным квазиимпульсам ±Rq и не возрастающих при х —> ±оо. Отличие от случая
строго периодического потенциала состоит лишь
в том, что теперь независимые решения у. Ш.
уже не отвечают определенному значению ква-
квазиимпульса (наглядно: происходит рассеяние —
изменение квазиимпульса — частицы на дефек-
дефекте решетки). При этом двукратное вырождение
уровней сохраняется.
Кроме этого, появляются новые разрешенные
значения энергии, соответствующие локализован-
локализованным вблизи дефекта состояниям частицы. Для
их определения рассмотрим решения у. Ш., от-
вечающие определенной четности (относительно
отражения х -• -х).
Для четных решений при \х\ < а имеем Ф? =
Ccosfcx. В то же время при х > 0 решение у. Ш.
должно совпадать с решением у. Ш. в периодическом потенциале, удовлетворяющим условию
Ф(х + а) = /i*(x) с /1 < 1 (другому независимому решению отвечает у! — l/fi > 1, такое
решение возрастает при х -» +со). Это решение при п < х/а < (п + I) имеет вид (к =
-2а
О а
Рис. 18
2а
Ф4 = li"[Acosk{x - па) + В sink(x - па)]. A)
Из условия его совпадения с Ф^х) при 0 $ х < о находим А = С, В = 0, а сшивание
решения A) в точке х — а (согласно 2.6) приводит к соотношениям
... 2таа
kasmka=—5—cos*a,
B)
второе из которых определяет искомые четные уровни. Отметим свойства спектра этих
уровней.
1) Уровни — дискретные, число их бесконечно.
2) Уровни расположены по одному между соседними зонами непрерывного спектра,
и в случае a > 0 самый нижний из них лежит ниже основной зоны.
3) По мере увеличения энергии уровня, как видно из B), имеем ft -* 1. При этом область
локализации частицы вблизи дефекта неограниченно увеличивается; для нормированной
на единицу в.ф. уровня
(*)
2ка + sin 2fco'

§ 4. Системы с несколькими степенями свободы
61
В связи с этим отметим, что в случае maa/h1 3> 1 в. ф. нижних таких уровней Е, (s = 0,1,...)
с « < maa/h2 локализованы в области |г| < а (при этом ц < 1) и близки к в. ф. стационарных
состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины 2а.
Что же касается «новых» нечетных уровней, то в условиях данной задачи они отсутствуют.
2.55. Найти энергетический спектр и указать кратность вырождения уровней части-
00
цы в потенциале вида: U = or ^ ^(х ~ па) ПРИ я>Ои?/ = ?/о>О при х ^ О
(частица в полубесконечном кристалле, см. рис. 19). Сравнить со случаем идеального
бесконечного кристалла (см. 2.53). Обратить внимание на возможность существования
состояний частицы, локализованных вблизи границы кристалла (так называемые по-
поверхностные, или таммовские состояния, на возможность существования которых
впервые указал И. Е. Тамм).
Решение. Независимые решения у. Ш. при х < 0, где частица свободная, имеют известный
вид. В области же х > 0 два независимых решения у. Ш. для любого значения Е обладают
свойством Ф|12(х+а) = /*|2Ф||2(г), причем /ir^2 = 1.
При этом для значений энергии En(q) из разрешен- U{x)
ных зон в бесконечном кристалле (см. 2.53) оба эти
решения не возрастают при х -» +оо, а для остальных
значений Е невозрастающим является только одно:
с /i| < 1 (оно убывает при х —» +оо). Имея в виду
эти замечания, легко сделать суждения о характере
спектра частицы.
1) При Е > Uo спектр непрерывен. При этом
значения энергии, принадлежащие разрешенным зо- о
нам бесконечного кристалла, двукратно вырождены
(в соответствующих состояниях частица «свободно»
движется по всему пространству, с некоторой вероят-
вероятностью отражаясь от границы кристалла). Остальные значения невырожденные, при этом в. ф.
убывает в глубь кристалла (частицы с такой энергией полностью отражаются от кристалла).
2) При Е <Ug спектр имеет такую же зонную структуру, как и в случае бесконечного
кристалла. При этом уровни уже невырожденные; в. ф. убывает с увеличением расстояния
от кристалла, а при х > 0 представляет определенную суперпозицию состояний со значениями
квазиимпульса ±йд (частица с такой энергией движется внутри кристалла, отражаясь от его
границы).
3) Кроме этого, при Е < Ua могут существовать изолированные уровни, которым
отвечают состояния частицы, локализованные вблизи границы кристалла. Для их нахождения
рассмотрим решение у. Ш., убывающее при х -¦ ±оо. При х < 0 оно имеет вид Ф = Се",
где х = W2m(U0 - E)/h2, а при х > 0 для значений п < х/а < (п + 1) его можно записать
в виде
Ф = Ац" sin [k(x - па) + б], k = \fhnE~Jh2, |/i|< 1. A)
Сшивание решения в точках х = 0 и х = а приводит к соотношениям
а 2а
Рис.19
За
AimS=\, kAcosS —
(для удобства положено С = 1). Отсюда
sin (ka + S) = /i sin S, fik cos б - k cos (ka + 6) = —j-
ka cos *o = (sin ka) I
2т(?/0 -
aka
sin *a.
B)
Уравнение B) определяет спектр рассматриваемых состояний; число уровней зависит
от параметров потенциала (их может не быть вообще). Они расположены между зонами
разрешенных энергий для бесконечного кристалла. При изменении параметров потенциала

62 Глава 2. Одномерное движение
положение таких уровней также изменяется. При этом может происходить как появление
новых связанных состояний, так и исчезновение уже существующих за счет ухода уровня
в ближайшую зону (состояние делокализуется).
Предоставляя читателю дальнейший анализ спектра, следующего из B), ограничимся
для иллюстрации рассмотрением одного частного случай, когда С/о > tf/ma1 и о < О
(кристалл из 5-ям), причем пи»|а|/й2 ~ 1. При этом в области энергий Е < Щ из B)
следует, что ка = гмг + е, где п = 1, 2,..., а |г| <С 1, причем е яз mta/U^a. Для таких уровней
(существующих между каждыми соседними зонами)
sin*o»(-l) l!+(»W^
так что |р| < I (при этом |/i| « 1, т.е. область локализации состояния простирается далеко
в глубь кристалла). В случае а > 0 в этой области энергий связанных состояний нет (|/i| > 1
для решений уравнений B)). Хотя такие состояния и появляются по мере увеличения Щ
(в момент появления их энергия Е = Щ), в дальнейшем уровень «сливается» с зоной.

Глава 3
Момент импульса
Операторы компонент момента импульса частицы Ы = frp] удовлетворяют
коммутационным соотношениям ¦>
[?,?]= *е*Л, [Г2Д]=о, (ш.1)
а также
[?, хк] = ieiknxn, р|, pit] = is,knpn. (HI.2)
В сферических^оординатах операторы Tt содержат только угловые переменные
в, <р. Так, оператор 1г = -id/dip, его с. ф. и с. з. имеют вид (то = lz):
Фт(р) = ^1, т = 0,±1,±2,... . (III.3)
Оператор квадрата момента Т2 выражается через угловую часть оператора Лапласа;
его с. з. равны 1A + 1), причем I = 0, 1,2,... . При исследовании лишь угловой
зависимости волновых функций частицы операторы Т2 и lz образуют полный набор.
Шаровые функции Yim(9,ip) являются нормированными с. ф. этих операторов:
^s~[шТе {*•) + Ш
dip
и имеют вид (|тп| ^ I)
(III.5)
где Р/ и Р,'т' — полиномы Лежандра и присоединенные полиномы Лежандра
соответственно; при этом Y,'m = (-1)'~тУ;,_т, J' Y*mYVm> du - 6iVSmm>.
Шаровые функции имеет определенную четность /, равную (-1)'. Для них
имеет место «теорема сложения»:
Р((Ш1') = j2 y,m(n)C(n'), (ш.б)
m=-l
''Так: (ixi'it) = <'j. и т.д. Говоря о моменте (включая в дальнейшем и спиновый момент), мы
имеем в виду измерение его в единицах А, так что соответствующие операторы и их с. з. безразмер-
безразмерны. Подчеркнем, что как соотношения (III. 1), так и (III 8)—(III. 10) справедливы для момента любой
системы (или подсистемы) независимо от его природы (орбитальный, спиновый, полный).

64 Глава 3. Момент импульса
где п, п' — орты вдоль соответствующих направлений, при этом
К/т(п) = Уы(в, <р) и пп' = cos $ cos в' + sin в sin в' cos (</> - ip').
Приведем шаровые функции для низших орбитальных моментов:
V 8я-
Отметим, что полезно иметь в виду возможность записи шаровых функций через
декартовы координаты; так,
yl±1«sin*e** = ^^, Klo«cos0=-, У20~х2 + уг~2*\т.Л.
г г г2
«Повышающий» (значение проекции момента на ось z) 1+ и «понижающий» /_
операторы, l± = lz ±:7„, удовлетворяют соотношениям коммутации [?,<*] = ±1±.
Отсюда следует, что для них из матричных элементов (im11 Z± | lm) отличны от нуля
только2'
(J+)m,m-l = (»-)m-l,m = y/(l + m)(l - ТП + 1). (IH.8)
Соответственно для операторов lx, lu отличны от нуля только матричные элементы:
{lx)m,m-\ = (lx)m-1,m = ~ V (* + "»)(' - Я» + 1),
1 п (ш-9)
(lV)m,m-l - -(Jy)m-I,m = ~~ iy/(l'+ ГП)A - ТО + 1),
чем и определяется вид этих операторов в k-представлении, при этом
(Umm'=memm.. (III.10)
§ 1. Общие свойства момента
3.1. Показать, что равенство L2 = 1A + 1) получается с помощью элементарных фор-
формул теории вероятностей, исходя из того, что проекция момента на произвольную ось
может принимать лишь значения т= —1,-1 + 1,... ,1, причем все они равновероятны,
а оси равноправны.
_ ^JlfiB определения величины матричного элемента следует также учесть соотношение Т2 = Г_(+ +
!? + 1,. Выбор фазового множителя в A11.8) фиксирует используемую в теории момента относительную
фазу в.ф. состояний с различными m (для одного и того же значения 1).

§1. Общие свойства момента 65
Решение. Ввиду равновероятности различных значений L,, имеем3'
Отсюда в силу равноправности осей х, у, z следует
Заметим, что замена дискретного распределения вероятностей w(m) = ^щ непрерывным
однородным распределением dw = <Ut/21 с -/ < /г ^ 2 приводит к классическому результату
L2 = г2.
3.2. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии плоского
ротатора4' с моментом инерции /. Какова кратность вырождения уровней?
В состоянии ротатора с волновой функцией Ф = С cos V найти вероятности раз-
различных значений энергии и проекции момента, а также средние значения и флуктуации
этих величин.
Решение. 1) Функция Гамильтона ротатора Я = М2/21 (здесь М2 = pv — проекция мо-
момента ротатора на ось z, перпендикулярную плоскости вращения); соответственно оператор
Гамильтона имеет вид Я = M*/2I = h2l2/2I. Так как Я коммутирует с J,, то с.ф. Я могут
быть выбраны одновременно и собственными функциями lz, что позволяет сразу указать
спектр и с.ф. гамильтониана
J4 • я» = 0,±1,±2,.... A)
Все уровни, кроме основного, двукратно вырождены. Укажем также на возможность выбора
с. ф. Н в виде tyj^j = ir'2 cos mip, Ф^| = »"''2 sin пир, при котором они имеют определенную
четность (+1 или -1) при отражении координат относительно оси х.
2) Так как cosv> = (er* + е-*')/2, то
Отсюда непосредственно следуют распределения вероятностей различных значений проекции
момента ш(т) = Icml2 и энергии w(E\m\) = w(m) + vj(-m) (при т Ф 0) ротатора (а также
и значение С2 — 4/Зтг из условия нормировки в. ф. на единицу):
ti)@) = 4ui(±2), u;(JSo) = ю@) = \ и>(Ег) = 2шB) = 2ш(-2) = ^,
вероятности остальных значений равны нулю. Наконец:
т = 0, (Д^=^ Я=^, (Д^Р=^.
" Сумма может быть вычислена следующим образом
'' Ротатором называется вращающаяся относительно центра масс (в плоскости или в пространстве)
система из двух жестко связанных друг с другом части. Момент инерции ротатора равен / = /де2,
где /1 — приведенная масса частиц, a — расстояние между ними.
3 3.IK 254

66 Глава 3. Момент импульса
3.3. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии простран-
пространственного (сферического) ротатора с моментом инерции /. Какова кратность выро-
вырождения уровней?
В состоянии, описываемом волновой функцией Ф = Ccos20, найти вероятности
различных значений энергий, момента и его проекции на ось z, а также средние
значения и флуктуации этих величин.
Решение. I) Функция Гамильтона ротатора Я = М2/21; соответственно, оператор Гамильто-
Гамильтона имеет вид Н = fi21 г/21, а его с. з. и с.ф.
^ = Й<(^+1). **. = %.<*,*>), A)
где I = О, I,...; m = l, l~l,...,-l; Y,m — шаровые функции; в, ip — полярный и азимуталь-
азимутальный углы оси ротатора. Уровни энергии B1 + 1)-кратио вырождены и имеют определенную
четность, равную (-1)'.
2) Приведенная в условии задачи в. ф. описывает состояние ротатора с определенным
значением I, = 0. Записав ее в виде
\ 1 l-3cosJ
Lv4ir
J0l v->
— =2j
J ~
и учтя явный вид шаровых функции У» и Ум (см. (HI.7)), находим, что момент ротатора
может принимать лишь два значения: I = 0 и I = 2, с вероятностями iu@) = 5/9 и u>B) = 4/9.
При этом S = 4л2/3/, (ДВJ = 8й4/3/5; |С|2 = 5/4».
3.4. Дать наглядную интерпретацию:
а) коммутативности операторов проекций импульса,
б) некоммутативности операторов проекций момента импульса,
в) коммутативности операторов проекций импульса и момента импульса на одну
и ту же ось и их некоммутативности для проекций на различные оси, исходя из ки-
кинематического смысла этих операторов, связанного с бесконечно малыми переносами
и поворотами.
Решение. Как известно (|1], §§ 15, 26), операторы импульса Р и момента I. системы связаны
с операторами преобразований в. ф. при бесконечно малых переносах и поворотах системы
координат:
f Fa) « 1 + t - 6aP и R{6<p0) я 1 + i6(p0Z.
h
Любой перенос системы координат перестановочен с любым другим переносом, поэтому
коммутируют и операторы компонент импульса. Совершенно аналогично обстоит дело и с пе-
переносами и поворотами вдоль одной и той же оси. Наоборот, два вращения, как и перенос
и вращение, относительно двух непараллельных осей не перестановочны друг с другом, что
и отвечает некоммутативности соответствующих операторов.
3.5. Найти следующие коммутаторы:
а) [Т.,?2], [Г„р], [Up7)j, [Ul"f].
б) [I, (рг) ft]^ [X, (р7) zt], [Т„ (ахк + if»)],
в) [Ij,?t*i], [X,PkPi], [X,xkpi]
(о, 6 — постоянные величины). Обратить внимание на одинаковую структуру ком-
коммутаторов для операторов, входящих в одну и ту же группу. С чем связана такая
универсальность коммутационных соотношений?
Решение. При вычислении коммутаторов удобно воспользоваться результатом задачи 1.4
и формулой (III.2). Приведем ответ.
о) Все коммутаторы равны нулю, что является проявлением общего свойства равенства
нулю коммутатора вида [1„ /] =0, где / — оператор скалярной величины.

§1. Общие свойства момента 67
б) Коммутаторы имеют структуру вида [Т„ fk] = ieMf,, где % — оператор fc-й проекции
соответствуюшего векторного оператора.
в) ['и /ы] = »(?i»p^«i + ?iin*ty)/pn. где /,» — операторы компонент соответствуюшего
тензора 1-го ранга.
Установленная универсальная структура коммутаторов оператора компонент момента Т,
со скалярными, векторными и тензорными операторами является отражением свойства
оператора 1 как оператора, описывающего преобразование в. ф. при вращениях системы
координат, и того обстоятельства, что при этом все тензоры одного и того же ранга
преобразуются одинаковым образом (независимо от конкретного вида тензора).
3.6. Найти нормированные соответствующим образом волновые функции Фг„!т. опи-
описывающие состояния частицы, находящейся на расстоянии га от начала координат,
имеющей момент I и его проекцию m на ось z.
Ответ. Искомые функции Ф^ь, = C(ro) 6(r -ro)Ytm(9, p), при этом из условия нормировки
(rj, /', m'|r0, /, m> = 6(r - r'o) ia Smn, следует значение C(r0) = l/r0.
3.7. Найти общие собственные функции операторов проекций на ось z импульса
и момента импульса частицы.
Ответ. ФЛга(г) = Bjrfi)"l/2e'I>"/'1 ¦ Bтг)~1/ге"п*7(р), где f(p) — произвольная функция пере-
переменной р (расстояние от оси z) цилиндрической системы координат.
3.8. Показать, что средние значения векторов L, г, р в состоянии частицы с вол-
волновой функцией Ф = exp{tpor//i}y>(r), где ро — вещественный вектор, a tp(r) —
вещественная функция, связаны классическим соотношением L = [гр].
Решение. Считая в. ф. нормированной на единицу (при этом /^2(r)dV = 1), находим: г =
/ гу>2(г) dV, р = ро. Так как I, = c.uXkPi, то
L, = еЛ1 J<p(T){xtPl>i + хкр,}ф) dV. (I)
Преобразовав второе слагаемое под интегралом к виду
h B) +
замечаем, что его вклад в L, равен нулю: равенство нулю интеграла от первого слагаемого
в B) очевидно после преобразования его с использованием теоремы Остроградского—Гаусса,
второе же слагаемое в B) обращается в нуль после свертки 6t, с е,и. Таким образом, из A)
следует Z, = с,цхкры, или L = |гр].
3.9. Найти собственные функции операторов Т2 и 1г в импульсном представлении.
Показать, что в состояниях с определенными значениями I, m средний импульс
частицы р = 0.
Решение. В импульсном представлении р = р, а 7 = «fiV,, при этом йТ= [гр] = -ift[pVf],
что по форме совершенно аналогично виду I в г-прсдставлении, отличаясь лишь заменой г
на р, и позволяет сразу указать вид с.ф. Фьп(р) = YimtyiV) операторов?2 и J,, здесь в,<р —
полярный и азимутальный углы вектора р в сферических координатах (в р-, как и в г-пред-
ставлении, оператор момента действует лишь на угловые переменные).
Равенство нулю среднего значения (i,m|p|/, m) слелует, например, из соображений,
связанных с определенной четностью шаровых функций (сравнить с 1.16).
3.10. Показать, что функции, получающиеся в результате действия операторов (± =
1х±иу на собственные функции 4>т оператора lz, также являются собственными
функциями I., отвечающими уже собственным значениям т± 1.
3*

68 Глава 3. Момент импульса
Показать также, что в состоянии с волновой функцией Фт
aOI = /y = 0; 6)Ji=JJ; в) TJv+TyTx = 0.
Решение. Из коммутационных соотношений для компонент момента следует, что 1.1± =
l±(lt±\). Применив это операторное равенство к с.ф. Фт, получаем J,(/±Фга) = (т±1)х
('±*т), т.е. функции 1±Фт также являются с.ф. /2, отвечающими уже с.з., равным m ± 1
(в частных случаях, когда m = ±1, где I — момент частицы, одна из этих функций равна
нулю тождественно).
Из ортогональности с. ф. следует
(m\T±\m)<x{m\m±l) = 0, (m\U\m) = 0. A)
Отсюда 1Х ± й, = О, или 7, = I, = 0. Второе из соотношений A) эквивалентно равенствам
из которых следует, в частности:
усредняя коммутатор [Г,, 1У] = И, и используя B), получаем l,lt = -1,1? = im/2.
Заметим, что установленные свойства средних значений связаны с тем обстоятельством,
что состояния с определенным значением 1г -проекции орбитального момента являются
аксиально симметричными и поэтому все направления в плоскости ху равноправны.
3.11. В состоянии Ф;т с определенными значениями момента I и его проекции го
на ось z найти средние значения Ц, 1у, а также средние значения U и 1\ проекции
момента на ось I, составляющую угол а с осью z.
Решение. Так как I,2 + Т* = 12 - Т? = 1A + 1) - т2, то с учетом результата предыдущей задачи
l* = ij=[Hl+l)-m*]/2.
Далее, оператор проекции момента на ось z имеет вид
Tz - cosa-Г. +sinocosK-7i + sin a sin /9 Tt, A)
где a,f3 — полярный и азимутальный углы направления оси г. Усредняя оператор A)
по состоянию Ф(п> находим Ij = mcosa (согласно задаче 3.10 7, = 7, = 0). Отметим, что для
справедливости этого соотношения предположение об определенном значении I не является
обязательным. Наконец, учитывая при усреднении оператора 7? результат предыдущей задачи,
!j=l[j(J+l)-3m']sin2
3.12. Доказать соотношение:
Решение. Приведенное соотношение следует непосредственно из (III.б), если в последнем
положить 0* = в, if' = <p; при этом cos a =1, Р/A) = 1.
3.13. Указать вид волновой функции Ф/, m=o(n) состояния частицы с моментом I
и его проекцией т = 0 на ось z, направление которой в пространстве определяется
единичным вектором по- В рассматриваемом состоянии найти вероятности различных
значений проекции момента на ось z.

§ 1. Общие свойства момента 69
Решение. 1) В. ф. состояния с моментом I и проекцией 1г = 0 имеет вид Ф|,|,_в(п) =
(B/+ l)/4ir)ll2P,(cose). Замечая, что cos0 = nk, где к — орт вдоль оси г, и имея в виду
равноправность всех направлений в пространстве, получаем *i,i,=o = {B1 + 1)/4к)'/2Р,(впо).
2) Значения коэффициентов в разложении этой в. ф. по шаровым функциям У)т(п)
непосредственно следуют из (III.6) и вероятность значения 1С - т оказывается равной ш(т) =
Dir/BJ + 1))|У(т(по)| (она зависит только от угла а между осями г и z).
3.14. Обозначим через wi(ml;m2,a) вероятность значения m-i проекции момента
на ось z, составляющей угол а с осью z, в состоянии частицы с определенными
значениями момента I и его проекции mi на ось z. Доказать равенство W|(mt; т2, а) =
()
Решение. Согласно A.43) имеет место соотношение (при этом речь идет о Н,- и 1/,-пред-
ставлениях): W((n>i; т2,а) = wim2(m,,a), где wimi(m,,a) является вероятностью значения
проекции т, на ось z в состоянии с определенным значением проекции т2 на ось У. Эта
вероятность зависит только от значения ]а\ и поэтому
w,rai(m,,a) = u/|(m2; m,,a).
Из приведенных двух соотношений и следует утверждение задачи, см. также 3.20 для случая
1 = 1.
3.15. Найти проекционные операторы Pi(M), проектирующие на состояния с за-
заданным значением М проекции момента на ось z (искомые операторы действуют
в пространстве векторов состояний, отвечающих определенному значению L момента).
Решение. Вид проекционного оператора
где штрих означает отсутствие сомножителя с m = М, следует из результата 1.35.
3.16. Используя коммутационные соотношения для операторов компонент момента,
найти Sp/|, где I, — матрица »-й компоненты момента /.
Решение. Из соотношений ТХ, -ТкТ, = te,t,TI, с учетом формулы Sp (АВ) = Sp (ВА), следует
Spij = 0 (сравнить с 1.5).
3.17. Найти шпуры (следы) следующих матриц:
а) Z,; б) L,Lk; в) LtLkZr, г) LtLtLiLm,
где ?, — матрица i-й компоненты момента L.
Решение. Матрицы L, представляют векторный (точнее, псевдовекторный) оператор, а их
произведение L,Lk--Lt — тензорный оператор. После вычисления шпура такой оператор
становится обычным числовым тензором, выражающимся лишь через универсальные тензо-
тензоры S,t и е,ц, так как никаких других векторов и тензоров в условиях задачи не существует.
Поэтому имеем:
а) Sp?^=O;
б) Sp (Z,Lk) = AS,k, значение А находим, взяв свертку по индексам i и к:
Ы = Sp L2 = L(L + 1) SpT = L(L + 1) BL + 1);
e) Sp (?,?*?,) = Ве,ы\ для определения В имеем
IB = Sp (?,?2?з) - Sp {L2L,l)) = i Sp (P}) = ^ SpL2 = ^ L(L + l)BL + 1)
(здесь использовано соотношение L^ - ЬгЬ\ = iX3);

70 Глава 3. Момент импульса
г) Sp (L,ZtL,Lm) = С, 6,„ 61т + С2 6„ 6кт + С, 6,т 6Ы. (I)
Для определения С„ выполним сначала свертки по t и к, а также по / и т, и получим
9С, + ЗС2 + ЗСз = Sp (ffi) = B? + \)L2(L + IJ. B)
Затем возьмем свертки по « и т, а также по < и fc:
ЗС, + ЗС2 + 9С3 = Sp (L2L2) = B1 + 1)?2(? + IJ. C)
Наконец, свернемs> по индексам ¦' и /, а также по к и го:
ЗС, + 9Сг + ЗСз = BL + \)L\L + IJ - L(L + I) BL + 1). D)
Из B), C), D) следует6'
2?2(?+1JB?+1) + ?(?+1)B?+1)
, E)
L(L+\yBL+\JL(L + l)BL+\)
С2 = . F)
§ 2. Момент X = 1
3.18. В случае момента частицы I = 1 найти волновую функцию Фт=о(^1 V) со"
стояния с определенной проекцией момента m = 0 на ось z, направление которой
в пространстве определяется полярным а и азимутальным р углами.
Решение. В. ф. состояния с J = 1 и lz = 0 есть Кю(в) ос cos в = nlc, где к — орт вдоль оси г.
Ввиду равноправности всех направлений в пространстве для перехода к случаю I, = 0 следует
просто заменить к на По — орт вдоль оси 7, так что (сравнить с 3.13)
/ 3 \  / 3 \|/2
Ф/=1,я=о = « ( г~ I (BvB) = i\7~) {cos б cos a + sin в sin о cos (^)-/3)}.
3.19. Найти волновые функции 9{х(в,<р) и Ф/у(б, <р) состояний частицы с момен-
моментом / = 1 и определенным значением проекции момента на оси хну соответственно.
Воспользоваться известным видом шаровых функций У\т(в,<р), см. (III.7).
Решение. Имея ввиду выражения для Ylm и равноправность различных ориентации системы
координат, искомые в. ф. можно получить с помощью циклической перестановки перемен-
переменных х,у,г. Так
ГТ y±iz ГТ,
; = ?iv/r-(sin в sin p±t cos в).
Аналогично устанавливается вид и других в. ф. (см. также 3.18).
3.20. Частица находится в состоянии с моментом I — 1 и его проекцией m (m = 0, ±1)
на ось z. Найти вероятности w(m', тп) различных значений проекции момента тп'
на ось z', составляющую угол а с осью z.
Задачу предлагается решить одним из следующих способов:
а) используя результат задачи 3.11;
б) путем нахождения коэффициентов разложения с(тп', тп) заданной волновой
функции в ряд по собственным функциям оператора 22>.
5) При этом в (I) удобно подставить ZiLi = 2/2* + iett,L, и воспользоваться соотношением ») и ра-
равенством Et!lt(<t = 6.
''Укажем еще один способ получения этих соотношений. Используя равенство Sp(Z,ZtE(Zm) =
Sp(it2|2m2,), получаем С\ =С2. Умножая теперь (I) на 6,kiim, имеем l2C| + 3Ci = B?+ 1)?2(?+ !J.
а умножение (I) на c,tnSimn яает 6С\ — 6С2 = BL I- \)L{L + I); отсюда следуют соотношения E) и F)

§ 2. Момент L = 1
71
Решение. Обозначив через w(±l) вероятности проекций момента m = ±1, согласно З.П
имеем
7г = ^tu(m)m = to(l) - ш(-1) = mcosa,
Ц = ? ui(m)m2 = шA) +
(-1) = m2 + Л - ЩЛ sin 2a.
Отсюда
l, m) s
2m2 + 2m cos а + B - 3m2) sin 2а
ui(-l, m) = u)(-l) =
u;@, m) = 1 — tu(l)
2m2 - 2m cos a + B - 3ro2) sin 2a
3.21. Показать, что в случае момента частицы I = 1 три функции Ф|ж=о@,у)>
^1г-й(в,1р), Ф/,=о@>?>)> описывающие состояния частицы с равной нулю проекцией
момента на оси х, у, z соответственно, образуют полную систему функций.
Какой смысл имеют коэффициенты разложения волновой функции произвольного
состояния с I = 1 по этим функциям?
Решение. В.ф. *i,=o@> Н>) (»' = I > 2,3) имеют вид (а = iV3/4ir): ф,=0 = у|0 = az/r = acosfl;
ф,1=0 = ах/т = a sin в cos ip; Ф/1=о = oy/r = a sin в sin p и их независимость и полнота
очевидны (в случае I = 1 имеется три независимых в. ф.). Легко заметить, что различные
ВФ- *i,=o ортогональны:
/•
и поэтому коэффициенты С, в разложении произвольной, нормированной в.ф.
функциям определяют вероятность ш(\) = |С,|2 того, что проекция момента
„I ПО ЭТИМ
равна нулю. Отметим, что этот результат не имеет непосредственного отношения к обычному
разложению произвольной в.ф. в ряд по с.ф. эрмитова оператора!
3.22. Указать в lt -представлении явный вид операторов компонент момента, а также
повышающего Т+ и понижающего 1_ операторов (Т±= lz± i/v) для момента 1=1.
Найти из решения уравнения на собственные функции волновую функцию в 1г-
представлении состояния частицы с 1Х = 0.
Решение. I) По формулам (II1.9) для I = 1 получаем
0
I
о
Л °
о -
о
-7= 0
h = 0 0 0
\0 0-1/
2) Обозначив
/0 л/2 0 \ / 0 0 0\
Г+=0 О V2); U =\ у/2 0 0 .
\0 0 0 / V 0 v/2 0/
имеем уравнение на с. ф. в виде

72 Глава 3. Момент импульса
i I \
0 75 °
4= ° 4=
v^ V2
\ ° 71 ° /
Отсюда: Ь = 0, о = -с, причем для нормировки в. ф. на единицу следует взять \а\ = \/V2.
3.23. В состоянии частицы с моментом 2 = 1 и его проекцией m на ось z найти
следующие средние: 2J, 2J (п — целое).
Решение. Так как с. з. J, и lt при I = 1 равны лишь 0, ±1, то Т] = 1Х и J^ = /, (сравнить
с 1.17.). Далее, в состоянии с I = 1 и Г, = m имеем Г, = 7„ = 0 и l\ = JJ = B - т2)/2 (см.,
например, 3.11). Отсюда следует: JJ = Ц = 0, если п — нечетное; 12 = 1J = B - тг)/2 при
четном п (п > 0).
3.24. Найти явный вид оператора й(<^0) = ехР {*Уо' } поворота системы координат
на угол <р0, действующего в пространстве векторов состояний, отвечающих момен-
моменту I = I. С помощью этого оператора получить из шаровой функции Y\o волновую
функцию ч?й=о@, f) состояния частицы с моментом 2 = 1 и его проекцией in — 0
на ось z, направление которой определяется полярным а и азимутальным р углами.
Сравнить с 3.18.
Решение. Так как оператор <р$\ в пространстве векторов состояний с I = 1 имеет лишь три
с.з.: 0, ±у>о. то. согласно 1.22, следует
R = exp{i^0T} = 1 +isinifi0- (nj) - A -cos^о) (по^) , A)
где По = <Palfo- Выберем вектор поворота <р0 таким образом, чтобы в результате вра-
вращения ось z исходной системы координат по отношению к осям повернутой системы
имела бы такую же ориентацию, как и ось z по отношению к исходной системе. При этом
в. ф. Фй@. <р) = RYtm{0, ip) будет описывать состояние частицы с моментом I и его проек-
проекцией т на ось z в соответствии со смыслом оператора R как оператора вращения системы
координат. Нетрудно сообразить, что для этого следует выбрать <р0 = (asin/3, -a cos/3,0).
При этом
R = 1 + isina^sin^-f, cos0) - A -cos a) (/»sin/3- /,cos/?)
и для в. ф. 4>й=.о = ДУШ, воспользовавшись выражениями для (, и явным видом Yia, после
простых вычислений получаем
Фд=о = iw— {cos а cos 0 + sin a sin d cos (y>-/?)} B)
V 4тг
в согласии с результатом задачи 3.18.
3.25. В пространстве векторов состояний, отвечающих моменту 2 = 1, найти про-
проекционные операторы Р(т) для состояний с определенной проекцией момента т
на ось г.
Обобщить результат на случай произвольно направленной оси J. С помощью опе-
оператора P(fh) найти в 1.- к в координатном представлениях волновую функцию Фд=о
состояния частицы с моментом != I и его проекцией in = 0 на ось z. Сравнить с 3.18
и 3.24.
Решение. Для Р(т) имеем выражения (сравнить с 3.1S):
О)

§3. Сложение моментов
73
Проекционные операторы Р(т) получаются из выражений A) заменой Тг на оператор Tt,
имеющий вид „ „ _. „ „
lt = n0T= cos alz + sin a cos plx + sin a sin /#^,
где По — орт вдоль оси z, а и J3 — полярный и азимутальный углы направления По.
В частности, для оператора Р(т = 0) в 1Г-представлении, воспользовавшись формулами A)
из 3.22, получаем
. sin 2a ... sin2
Р(т = 0) =
2
.sin 2a
-е-":
2
, sin 2a
,sin2a
2
д sin 2a
Подействовав этим оператором на произвольную функцию, которую удобно выбрать, на-
находим с. ф. Ф^=в = СР(т ~ 0)ф оператора Тг, отвечающую
sin a
@
пример, в виде V
с. з. /г = 0:
ч оператор
¦(:)•
где С = V2/s\na выбрано для нормировки в. ф. иа 1. При a = я-/2 и /3 — 0 функция A)
воспроизводит результат из 3.22 для в. ф. Ф;,^.
Далее, учтя вид шаровых функций Ylm(a) (см. A11.7)), замечаем, что в. ф. состояния A)
в координатном представлении, Ф = j^,cmYtm, лишь фазовым множителем отличается
от найденных ранее в 3.18 и 3.24 другими способами.
§ 3. Сложение моментов
3.26. Записать оператор момента системы из двух частиц в виде суммы двух сла-
слагаемых, соответствующих моменту частиц в с. ц. и. (т. е. моменту относительного
движения) и моменту поступательного движения системы как целого.
Решение. Оператор момента системы из двух частиц имеет вид
L =Т, +Т2 = -»[r|V|J - «[ггУ2]. A)
Перейдем от Г),г2 к новым переменным г, R:
m2r
Г=Г2-Г|,
R =
г, = К -
Так как
v, =
v.-v,, v2
/
ro,r
i + m2
m2
+ Vr>
i+m2/ Vmi+m2//
то оператор (I) можно записать в виде
L=-i[rVr]-i[RVR],
где первое слагаемое является оператором момента системы двух частиц в с. ц. и., а второе
представляет собой оператор момента, связанного с движением центра масс.
3.27. Моменты /, и 1г двух слабо взаимодействующих систем складываются в резуль-
результирующий момент величины ?. Показать, что в таких состояниях (с определенным L)
скалярные произведения lib, I|L, bL также имеют определенные значения.

74 Глава 3. Момент импульса
Решение. Из соотношения L =Т, +Т2 следуют выражения
тг ?г+1?-Т,г
I2L- -
(здесь учтена коммутативность одноименных компонент L и li|2). Из них непосредственно
нилно, что в состояниях с определенными значениями L2, I?, || рассматриваемые скалярные
произведения также имеют определенные значения.
3.28. Найти следующие коммутаторы:
а) [?,,№)], [?,,(?,?,)], [U(rfc));
б) [Ь,хи], [Li,gk] cf=[l|l2];
В) [?
где I), 1г — операторы моментов двух частиц, L = 1| + 1г — оператор их суммарного
момента. Обратить внимание на универсальную структуру (внутри каждой группы)
коммутаторов. Сравнить с 3.5.
Ответ. Коммутаторы имеют такую же структуру, как и в 3.5.
3.29. Имеются две слабо взаимодействующие системы 1 и 2, состояния которых
характеризуются квантовыми числами A\ут,) и (^тпг) момента и его проекции
на ось z.
Указать возможные значения_полного момента L совокупной системы A+2)
и вычислить средние значения L и L2 в рассматриваемом состоянии. Для частного слу-
случая гп\ —1\, т.2 = 12—1 найти вероятности различных значений суммарного момента.
Решение. 1) Возможные значения момента совокупной системы:
max{|f| -Z2|, \т, + m2|}
Учитывая коммутативность lu и f2t, соотношение L1 = Т,2 +1? -f- 21,12 и равенство нулю
средних 7, = j, = 0 в состоянии с определенным значением lt (см. 3.10), легко находим
искомые средние: L, = Г, = 0, ?, = т, + т2, а также
U = l,(ll + y) + h(l1 + \) + 2mlmi. A)
2) При т, = I,, Ш} = 1г- ] возможны лишь значения суммарного момента L, = U + Ь
и Li = I, +12 - 1. Так как при этом w(L2) = 1 - ш(?,), то, с учетом (I), имеем
= L] - L, + 2?,w(i,) = 1,A, + 1) + h(h + 1) + 2/,(Jj - I).
Отсюда: w(i.) = hl(h + h), «(?,) = /,/(<, + h).
3.30. Показать, что при сложении двух одинаковых по величине моментов (/> = 1г — I)
в результирующий момент L волновая функция Ф/,(т|,т2) в /иЬг-представлении
имеет определенную симметрию по отношению к взаимной перестановке Ш| и т.2.
Как зависит характер симметрии от значения X?
Решение. Рассмотрим сначала в. ф. Фш состояния с L — 21 и М = 21, имеющую вид Фи, и =
*ra,,i *mj.i- Она симметрична по отношению к перестановке т, и т2. Точно так же симметрич-
симметричными являются и в. ф. состояний с L — 21 и другими значениями М^Это^ледует, например,
из соотношения Ф^,м=1-„ = CLH*t|t, где L. = (Г|Г +Г21) ~ »(^i» + '2») и при /, = 12
является симметричным по отношению к перестановке переменных складываемых моментов
оператором (матрицей).

§ 3. Сложение моментов 75
Далее, рассмотрим состояния с М = 21 — 1 и запишем самую общую в. ф. таких состояний
в виде сумы симметричного и антисимметричного слагаемых
с, с2
Af=2i-I ^ m,,l mj,l-l m,,l-l m!tl ^ т,,1 га2,<-1 m,,l-l raj,!;.
Очевидно, что симметричное слагаемое здесь отвечает суммарному моменту L, = 21, а анти-
антисимметричное — значению 1^ = 21-1 (если бы в первом слагаемом были представлены оба
момента, то это противоречило бы ортогональности с. ф., отвечающих различным с. з.). Таким
образом, в. ф. Фл-1,21-1, а с нею и любая другая в. ф., отвечающая L = 21 - 1 (см. выше),
антисимметрична по отношению к взаимной перестановке т, и т2.
Аналогично предыдущему, можно рассмотреть состояния с М = 21 - 2. Теперь в. ф.
Фм-у-2 включает три независимых слагаемых, из которых два (с гп\ и го2, равными I к 1-2,
а также с т\ = тг = I — 1) симметричны, а одно (с т,2, отвечающими I и / - 2)
антисимметрично. Антисимметричное состояние соответствует моменту L = 21 - 1, а два
симметричных — моментам L, = 21 и ?2 = 21 - 2.
Продолжая такое рассмотрение дальше, можно прийти к заключению, что состояниям
с L = 21, 21 — 2, 21 — 4, ... отвечают симметричные по отношению к перестановке т, и т2
функции, а с L = 21 - 1, 21-3, ..., — антисимметричные в.ф.
Установленный характер симметрии в. ф. имеет место как при целочисленных значени-
значениях I, так и при полуцелых, появляющихся при рассмотрении спина частиц (см. гл. S).
3.31. Показать, что в состоянии системы из двух одинаковых по величине момен-
моментов (/| = 1г), отвечающем определенным значениям суммарного момента L и его про-
проекции М на ось z, вероятности значений проекций складываемых моментов тцТ) — m
и Blip) = М — тп равны.
Решение. Утверждение задачи является непосредственным следствием двух обстоятельств:
I) в силу определенной симметрии в. ф. ч>?л(т1, тп2) по отношению к перестановке mt и m2
(см. 3.30) вероятности одного и того же значения m для обоих моментов одинаковы,
т.е. W|(m) = u»2(m) = ш(т); 2) так как mi + m2 = М, то имеет место соотношение ш,(т,) =
оB(М - mi), Отсюда и следует утверждение: ui,2(m) = U|,2(Af - m).
3.32. Две подсистемы, имеющие одинаковые моменты i, = /2 = 1, находятся в состо-
состояниях с определенными значениями проекций момента Ш\ и т.2. Найти вероятности
различных значений суммарного момента L в таких состояниях. При решении задачи
воспользоваться результатом 3.29 для значения L2 и учесть характер симметрии волно-
волновой функции состояния с определенным значением L, установленный в 3.30 (отметим,
что при произвольных значениях 11}2 и т,^ искомая вероятность w(L) = |С,'^'A!^'3| .
где С^|/!П11 — коэффициенты Клебша—Гордана; см. 3.38).
Решение, а) При т, = т2 = ±1 момент системы L = 2.
б) При га, = ±1, mj = 0 (а также при т, = 0,т2 = ±1) момент принимает значе-
значения: jD| = 2 и Ь2 = 1. Вероятности этих значений шB) = 1/2 и w(l) = 1/2 непосредственно
следуют как из результата 3.29, так и из 3.30.
в) При mi = m2 = 0 момент может принимать лишь значения 2 и 0 (? = 1 сразу
исключается из условия симметричности в. ф. по отношению к перестановке mt и т2,
см. 3.30). При этом из условия V = bw(L = 2) = 4 следует и>B) = 2/3, ui@) = 1/3.
г) При mi = -m2 = ±1 момент может принимать все три значения: 0,1,2. Записав для
случая mi = -m2 = 1 в. ф. в J|, J2l-представлении в виде
ф = б,.,'г';..-' = ^Д | '"'">'~'^- '"'-' + '"'| ''••~'^.'|"~' '"
замечаем, что вероятность значения L = 1, которому отвечает второе, антисимметричное
слагаемое в A), равна w(L = 1) = 1/2. Далее:
Y1( )() () 1=2.
Отсюда wB) = 1/6, tu(O) =1/3.

76 Глава 3. Момент импульса
3.33. Проиллюстрировать связь, установленную в задаче 1.43, и ее вероятностный
смысл на примере сложения моментов l\, h двух слабовзаимодействующих подсистем
в результирующий момент L.
Решение. Понимая в условиях задачи 1.43 под А набор коммутирующих операторов /,, и Ij,
с с. з. Го| и п>2, а под В — набор из Р и L, = llt + lj,, имеем равенство вероятностей
wiAf(mi,nij) = wm,m,(L,M), т.е. вероятности значений проекций Ш| и т2 в состоянии
с определенными значениями L и М (при этом М = т{ +т2) равны вероятностям значений
величин L и М в состоянии с определенными проекциями т, и т2 (сравнить, например,
результаты задач 3.32 и 3.35).
3.34. Для системы из двух одинаковых по величине моментов 1У = 1г — I найти
в hthi -представлении волновую функцию состояния с суммарным моментом ? — О
(воспользоваться операторами ?±).
Указать также ее вид в координатном представлении.
Решение. Запишем искомую в.ф. в виде Фь=д = ? С^Ф^'ф^, где Фт'2) — нормированные
т
в.ф. состояний систем 1 и 2 с моментом ( и его проекцией m на ось г. Для нее очевидно
?±Ф1=о = (/;;?+Г2±)Ф^ = 0> A)
где ?± = Ьг ± «?, =7i± + /^±. Учитывая соотношение (см. (IU.8))f+*(im = т/A-т)A + т+ 1)х
Ф|,гаи, из (!) после простых преобразований получаем
Отсюда Ст+1 = -Ст, так что \Ст\ = const = B1 + I)" — из условия нормировки
в. ф. *t-o на единицу. Таким образом, в состоянии с L = 0 вероятности различных значений
проекций складываемых моментов на ось z (и на произвольную ось вообще) одинаковы
и равны ш = 1/B/ -t-1).
Вид в.ф. Ф4=0 в (It{2i-представлении следует непосредственно из того, что в этом
представлении Фт'2) = ii,m,,m- В координатном же представлении Ф„'2) = У(т(П|,]). Учи-
Учитывая, что Ст = (-1)'~щB1 + I)'', соотношение между шаровыми функциями У'т(п) =
(- 1)'"'"У/|_т(п) и теорему сложения для них (Ш.6), находим
Отметим, что такой вид в. ф. Фх=о вытекает также из следующих соображений. В силу
того, что в. ф. не изменяется при вращениях (X = 0), она является скаляром, т. е. функ-
функцией вида Фх=о = /(П|П?). При этом то обстоятельство, что f(x) сводится к полиному
Лежандра Р,(х), связано с тем, что складываемые моменты имеют определенное значение I
(сравнить, например, с 3.13).
3.35. Моменты двух частиц равны 1\ =12= I. Построить волновые функции ^lu
состояний с определенными значениями L суммарного момента и его проекции М
на ось 2 (при решении использовать результаты задач 3.30 и 3.34).
Решение. В /(,/j,-представлении в.ф. *2,±2 очевидны:
/е, \
(здесь и ниже столбцы Ф,B) = I Со 1 представляют собой в.ф. 1B) частицы или
Vc-i/,,2,
подсистемы с моментом / = 1 в ее ^-представлении). Вид в.ф. ^ш, отвечающих состояниям

§ 3. Сложение моментов "П
с ? = 1,2 и М = ±1, а также L = 1, М = 0, непосредственно следует из характера симметрии
в.ф. по отношению к перестановке переменных т, и т2, установленного в 3.30:
*{(i). GHD. AI
*{(?).GK). (:).}¦
(знак «+» в B), C) отвечает L = 2, «-» отвечает L = 1).
Вид в. ф. Фо о следует из результата предыдущей задачи
сна
В. ф. Фз.о. при учете ее симметричности по отношению к перестановке т, и т2, можно
записать в виде
а из условия ее ортогональности в. ф. Ф<>,о найти Сг = 2С\; выбрав при этом в F) С\ = 1/л/б,
С2 — 2/%/б, получаем нормированную в.ф. Фг.о- Вероятности различных значений проекций
складываемых моментов на ось г в состояниях Я1щ непосредственно следуют из установлен-
установленного вида A)-F) в. ф.
3.36. Используя технику проекционных операторов, для системы из двух момен-
моментов {, = |2 = 1 найти волновую функцию Ф/,=о состояния с суммарным момен-
моментом L — 0. Сравнить с 3.34.
Решение. Так как в случае /| = 1г — 1 оператор lib имеет в состояниях с определенным L
следующие значения: I при L = 2, -1 при Ь = 1 и -2 при L = 0, то оператор, проек-
проектирующий на состояние с L = 0, имеет вид P(L = 0) = ((ТТгJ - 1)/3 (сравнить с 1.35).
Подействовав этим оператором на произвольную в. ф. Ф состояния с (, = 12 = 1, получим
(ненормированную) с. ф. оператора квадрата суммарного момента, отвечающую L = 0, т. е.
*i=o = CP(L = 0)Ф (С — нормировочный коэффициент). Записав
ТТ -ТТ , Ъ+h- +Т'-Т>+
И '2 = <U»2« + 5
(вид i± для I = 1 приведен в 3.22) и выбрав для удобства в.ф. в 11г i2<-представлении
/0\ /0\
в виде Ф = I I I I I I , находим после простых преобразований
Выбрав С = х/3, получаем уже нормированную в. ф. состояния с L = 0 в согласии с резуль-
результатом задачи 3.34.
3.37. Произвести классификацию независимых состояний системы, состоящей из трех
слабовзаимодействующих подсистем с моментами 1\ = 1^ = 1 и 1} = I по значениям
суммарного момента L системы.

78
Глава 3. Момент импульса
Решение. Всего имеется 3 ¦ 3 • B/ + 1) = 9B1 + 1) независимых состояний. Классификация их
по значениям суммарного момента L представлена в таблице
L
Число состояний
1 + 2
21 + 5
1+1
2 • BЛ- 3)
I
з-(а + 1)
2.B1-1)
1-2
B1 - 3)
Для решения задачи удобно сначала сложить моменты двух подсистем, имеющих 1=1,
в их результирующий момент L\i, принимающий значения 0,1,2, а затем сложить L\i и lj = I
в суммарный момент L всей системы. При этом следует учесть, что данное значение L можно
получить, вообще говоря, несколькими способами. Так, значение L = 1 + 1 можно получить
путем сложения с моментом / третьей подсистемы как момента ?,2 = 1, так и in = 2.
Приведенные результаты относятся к случаю / ^ 2; значение I = 1 читателю предлагается
рассмотреть самостоятельно.
3.38. Как известно, проблема сложений моментов двух систем 1\ и li в результиру-
результирующий момент L решается в общем виде следующим соотношением:
где С,^|/]т2 — коэффициенты Клебша—Гордана. Используя технику повышаю-
повышающих (понижающих) операторов L±, найти коэффициенты Клебша—Гордана в слу-
случае L = l\ + Jj.
Решение. В данной задаче будем понимать под L его конкретное значение Ь — I, + Jj.
Очевиден вид в.ф. Фд = Ф,|( Ф|2^. Учитывая свойство оператора ?_
Так как Z. =Т,~ +Т2- и операторы Т,- и %- коммутируют друг с другом, то из A) имеем
'(h,
где введены обозначения
Подчеркнем также, что М = m, +mi.
Из B) следуют значения коэффициентов Клебша—Гордана
Учитывая C), находим окончательное выражение (L = 2( + i2):
iA, = Г Bl,)\Bi2)\(L + M)\(L-M)\ 1
'""l'imi [BL)\(l, + m,)!(J, - m,)!(l, + m2)!(J2 - m2)ij
1/2
B)
C)

§3. Сложение моментов 79
3.39. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае 1\ = 1г, L — 0.
Решение. Коэффициенты Клебша—Гордана для этого случая следуют из результата зада-
задачи 3.34. Положив там Q = B1 + 1)"|/2, находим
3.40. В случае двух слабовзаимодействующих систем с моментами j\ и J2 усреднить
следующие операторы:
a) JiB)t; 6) Juj2k - j\k?n; в) j,J2k +jit?2w 0 Jiiii* + 7i*iin
по состоянию с заданным значением J момента совокупной системы, не конкретизируя
зависимости волновой функции состояния от Jt.
Получить выражение для оператора магнитного момента системы Ji = д\\\ + дЗг
в состоянии с определенным значением J полного момента (здесь д]<2 — гиро-
гиромагнитные множители для подсистем, связывающие их магнитные и механические
моменты).
Решение. Рассматриваемые тензорные операторы после усреднения становятся операторами,
действующими в пространстве векторов состояний с моментом J. Любой такой оператор
должен выражаться через векторный оператор J, и универсальные тензоры 6,к и е,и. При этом
условие одинакового тензорного характера исходного и усредненного операторов существенно
ограничивает вид таких выражений. ^ ^
а) i\(iy — an?)Jt (векторы вида JtJ,Jt, €MJkJt, и т.д., как это следует из комму-
коммутационных соотношений для компонент J,, сводятся к J,). Умножив на J,, находим7'
«кг) = JiB)J/(^(J +0); ЗД«СЬ и ниже Райи краткости записи скалярные произведения (ji<2)J)
и ihh), имеющие определенные значения одновременно с j2, j], J2, в явном виде не распи-
расписываются, см. 3.27.
б) Ввиду антисимметричного характера тензора имеем
juhk - hkh = be,uJt. A)
Умножив обе части этого равенства справа на J* и слева на J,, находим, что при этом
левая часть оказывается равной нулю, а правая принимает вид be,uJ,JtJi, — ~iJ(J + 1N, так
что 6 = 0.
в) Ввиду симметричности тензора имеем
juiu + i!t>2. = А] 6,t + A2(J,Jk + JkJ,)- B)
Первый раз, свернув по индексам t и к, а второй — умножив обе части B) справа на Jt
и слева на J, и воспользовавшись равенством J,JtJ,Jt = J2(J + IJ - J(J + 1), получаем два
соотношения
3i
J(J + l)A, + J{J
Отсюда
^ DJ2 + 4J-2)(juI)-4(jlJ)(j2J)
. =6(J,J)(J2J)-2J(J+I)(j|j2)
2 J(J + 1) BJ - I) BJ + 3) '
7* Умножение на jt, (или ^(лишено смысла, так как операторы jij, в отличие от J, «перепутывают»
состояния с различными значениями J.

80 Глава 3. Момент импульса
г) Поступая как и в предыдущем случае, находим
uju = В, S,k + B2(J,Tk + JkJ,),
„ J'O'i + ') (V1 + 4/ - 2) - 4(J,J)* + 2(|,J)
1 Bjr- l)BJ + 3) ' D)
2
J(J+ I)BJ- l)BJ
При выводе D) было использовано равенство
JJ\B)kJni),Jk = (TlB)J) -
Для оператора магнитного момента совокупной системы имеем
и согласно результату пункта а) получаем выражение
§ 4. Тензорный формализм в теории момента
3.41. Показать, что функция вида
'9i(n)=eik...nn,nk...nn,
где п = г/г а ?,* . .п — симметричный по любой паре индексов тензор8' ранга I с равным
нулю следом, еик „ = 0, является собственной функцией оператора квадрата момента
частицы, отвечающей значению момента, равному 2.
Показать далее, что число независимых компонент у указанного тензора рав-
равно 21 + 1, как и число шаровых функций У;т(п) (тем самым будет доказано, что
приведенная угловая зависимость волновой функции является наиболее общей для
состояний частицы с моментом I).
В частных случаях 1=1 и I = 2 указать значения компонент соответствующего
тензора, е,(т) и е,к(т), при выборе которых рассматриваемая волновая функция
совпадает с шаровой функцией К/т.
Решение. I) Рассмотрим в ф. вида
Ф( = ?.* „x,xt...х„ = е,к „п,пк...ппг'.
Учитывая связь оператора Т2 с лапласианом
Т' = -г>Д,„ = г>(Д,-Д), Л, = ^|V?, (.)
находим
г2 Д,Ф, = г\к., ,п,пк... п„ Дгг' = 1A + 1)ф(,
д в
Д*1 = ^- ;^ГЕ-*!>" *х<хкхр ¦ ¦ ¦ *п = ?.ks> n{6.m hmX, ¦¦¦ *» + ¦•¦)= B)
-- ^ттр.. п^р • • • Хп + . . - — U.
Из A) и B) следует Тф/ = /(/ + 1)Ф, (очевидно, что в. ф. Ф,, указанная в условии задачи,
также является с. ф. Т2).
"' Не пугать с антисимметричным тензором f,»j!

§4. Тензорный формализм в теории момента 81
2) Сначала найдем число независимых компонент дA) у симметричного по любой паре
индексов тензора Г,к „ ранга /. Обозначим: П| — число индексов некоторой компоненты
этого тензора, равных 1, п2 — равных 2 и щ = (I — nt — п2) — равных 3. В силу симметрии
тензора его компоненты с одинаковыми числами п, и п2 равны. При фиксированном
значении щ число п2 может быть равным 0,1,..., I - П|, так что число различных компонент
при данном П| равно (I - л, + I). Общее число различных компонент
Число же независимых компонент дA) у симметричного тензора ранга I с равным нулю
следом вытекает из того, что равенство 1„к. „ = 0 представляет совокупность из дA — 2)
линейных соотношений между компонентами e,t.. „, так что дA) = дA) - дA - 2) = IX + 1.
3) Из сравнения выражения *i=i,m = (e(m)n) с (HI.7) находим
e(O) = yj(o,o, о, «(±O = yj(=F<,i,o). (з)
Аналогично, в случае I = 2 находим компоненты тензора е,к(т):
.*B) = -t/^M-l 0 ,
v 32)г \0 О О/
(\)=J— 0 0 *),
v 32jr \1 t О/
e>t
3.42. Согласно предыдущей задаче наиболее общая зависимость от углов волновой
функции состояния частицы с моментом I = 1 имеет вид Ф(=| — (en), где е —
произвольный комплексный вектор. Найти:
а) какому условию должен удовлетворять вектор е, чтобы волновая функция
была нормирована на единицу;
б) средние значения компонент тензора rijTit;
в) средние значения компонент вектора момента I;
г) какому условию должен удовлетворять вектор е, чтобы для рассматриваемого
состояния можно было указать такую ось z в пространстве, проекция момента
на которую имела бы определенное значение, равное т — 0; т = ±1.
Решение, а) Так как
n,nt du = - я- 6,к,
|en|
то для нормировки в.ф. на 1 следует выбрать е = y/3/4ira, где |а| = 1.
g) 5ЩГ = е]еп Jn,n,nknndu = e',en Djr/15)(*,t «,„+«,„ 6и+ 6,, б^) = (б,к+а',ак+а'ка,)/5.
в) Так как ?ф,=, = -ie,knxk (в/9хп) (етхт/г) = -и,Ы?ппк, то
{, = —lf,tn?mfn / ПтПк dQ = —iEtkn&kun>
т.е.! = -ija'a], или, положив а = a, +ia2 (а||2 — вещественные векторы, причем aj +а2 = 1),
получаем 1 = 2[а,а2].
г) Имея в виду, что е = ^/3/4тг (а! + »'а2), легко сообразить, что в случае, если а! || а2,
проекция момента на ось, направленную вдоль а||2, имеет определенное значение т = 0; если
же а, ± а2 и при этом а, = а2, то проекция момента на ось, направленную вдоль вектора [а^?],
имеет определенное значение т= +1 (и m = -1 на противоположное направление).

82 Глава 3. Момент импульса
3.43. В условиях предыдущей задачи найти вероятности ю(т) различных значений
проекции момента m на ось 7, направление которой определяется единичным век-
вектором по. Показать, что для произвольного состояния с моментом I = 1 существует
такое направление в пространстве, вероятность проекции момента те = 0 на которое
равна нулю.
Решение. Записав в. ф. в виде Ф = -у/ЗМт (ао), |а|3 = 1, имеем
Здесь п, — единичный вещественный вектор, перпендикулярный По (выбор П| неоднозначен,
однако от конкретного его выбора значения выражений A) не зависят). Записав « = », + ta2,
где »ii2 — вещественные векторы, замечаем, что вероятность значения проекции m = О
на ось, направленную вдоль вектора (ata2b равна нулю. Если я, || а2, то проекция момента
на любую ось, перпендикулярную жь не может принимать значения m = 0.
3.44. Согласно 3.41 угловая зависимость волновой функции произвольного состояния
частицы с моментом I = 1 имеет вид Ф(=| = (an), т.е. полиостью определяется
комплексным вектором а. Поэтому при рассмотрении состояний с / = 1 можно
перейти к представлению (назовем его векторным), в котором волновой функцией
является совокупность компонент вектора а, т.е. Ф(к) = о* (к = 1,2,3).
Найти явный вид операторов компонент момента в векторном представлении.
Установить соответствие между векторным и iz-представлениями.
Решение. Действие оператора I, — —ie,i,nxk д/дхп на в. ф. вида Ф = (an) дает
Ф, = ?ф =Т,аппт = -ie,kmannk = Ь,,кпк,
что эквивалентно соотношению Ь, к = 1,ак н -ie,kman в векторном представлении, и если
/«Л
в этом представлении записывать в. ф. в виде столбца Ф = I a2 I , то операторами компонент
\
момента являются матрицы I, с элементами (?)ы
/«Л
= I a2 I ,
\а3/
/0 0 0\ / 0 0 «\ /0-t 0\
, = 0 0 -« ) , Г, = ( 0 0 0 } , Г, = i 0 0 .
\0 i 0/ \-i 0 0/ \0 0 0/
Легко убедиться, что коммутационные соотношения для этих матриц имеют стандартную
форму, т.е. [Т„Тк] = ifikXi, а матрица Т3 равна "Р = 2-Т (Т — единичная матрица). Вид
унитарной матрицы U, связывающей векторное и ^-представления: ак = ?) Ukmcm, читателю
предлагается найти самостоятельно.
3.45. Для системы из двух частиц, имеющих моменты l\ = h = U найти:
а) наиболее общий вид угловой зависимости волновой функции;
б) наиболее общий вид угловой зависимости волновых функций Ф^, описыва-
описывающих состояния системы с определенными значениями L (L = 0, 1,2) суммарного
момента;
в) угловую зависимость волновых функций 9щ, описывающих состояния систе-
системы с определенным значением L суммарного момента и его проекции М на ось z.
При решении использовать результат задачи 3.41.
Решение, а) Наиболее общий вид угловой зависимости в. ф. следующий: Ф = a,tn,, n3t,
где П| = Г|/г|, 1J = гг/г2, а,к — произвольный тензор второго ранга, имеющий девять
независимых компонент, что соответствует девяти независимым состояниям системы из двух
частиц с моментами 'i = 'з = 1.

§ 4. Тензорный формализм в теории момента 83
б) Представив тензор а,к в виде
__ап»6,к а,к-ак, t (a,t + ot, - B/3) а„п S,k)
°>* ~ j ¦> ^ 2 '
запишем указанную выше в. ф. следующим образом:
Ф = С(п,п2) + е[п,п2] + ?ltnhn2*, B)
где
_ а„п а,к + а», - B/3)о„„ tf,t
С- = —, ?it = , 2?| = ?,м<1,*, о,» - at, = 2е,и?|
(elt — симметричный тензор с равным нулю следом).
Имея в виду результат задачи 3.41, нетрудно сообразить, что запись в. ф. в форме B)
является представлением ее в виде трех слагаемых, каждое из которых отвечает определенному
значению суммарных момента системы L = 0,1,2, соответственно. При этом выражение
для *i=0 = C(n,n2) согласуется, естественно, с результатом 3.34 для I = \.
в) Для того чтобы в. ф. Фд в B) отвечали состояниям с определенным значением М
проекции суммарного момента на ось г, компоненты вектора e,(Af) и тензора е,к(М)
должны быть выбраны в виде, установленном в задаче 3.41. В частности, в.ф. 4*2,2 ПРИ этом
оказывается имеющей вид
т.е. действительно является с.ф. (ненормированной) операторов L1 и I., отвечающей с.з.
L = 7 пМ = 2.
3.46. Для системы из двух частиц, одна из которых имеет момент 1\ = 1, найти
угловую зависимость волновых функций Фу/.д состояний системы, отвечающих опре-
определенным значениям ее суммарного момента J = 0 и 1, его проекции Jz на ось z
и проекции момента Л на направление радиуса-вектора второй частицы (при этом
ограничиться случаем Л = 0). Каковы четности рассматриваемых состояний? Каковы
возможные значения момента 1г второй частицы в таких состояниях?
Обобщить результат на случай произвольных значений l),J,Jz (по-прежнему
Л = 0).
Решение. Условия I, = 1 и Л = 0 однозначно определяют зависимость в. ф. от угловых
переменных первой частицы в виде ф ос (п,п2), где п, = г,/г, и n2 = r2/r2 (сравнитьс 3.18; при
этом следует учесть, что проекция Л суммарного момента на направление радиуса-вектора г2
полностью определяется проекцией момента только первой частицы, так как a2l2 = 0). Так
как (п,п2) является скаляром, как и в. ф. состояния с J = 0, то Фооо = const(n,n2).
В. ф. состояния с J —¦ 1 представляет линейную комбинацию компонент вектора,
зависящего только от п, и п2 (сравнить с 3.41). При /, = 1 и Л = 0 единственным
таким вектором является v = Л(и,п2)п2. Составляя из его компонент линейные комбинации,
отвечающие проекции момента J,, находим
Ф,Л„ = С(||,п2)У,.,>2) A)
(Y\jt — шаровые функции). В.ф. A) имеет определенную четность, равную -1, и, как не-
нетрудно сообразить, описывает состояние, в котором момент второй частицы может принимать
лишь два значения: 0 и 2.
Обобщение выражения A) на случай произвольных значений l\, J, J2 и Л = 0 имеет
вид
?w = C-Pi(nin2)Wn2). B)
где Pi(z) — полином Лежандра.
3.47. Показать, что в системе из трех частиц состояния с суммарным орбитальным
моментом L = 0 (в с. ц. и.) имеют определенную, причем положительную, четность.

84 Глава 3. Момент импульса
Решение. В. ф. состояния с L = 0 не изменяется при вращениях системы координат, т. е.
является скалярной (или псевдоскалярной, в зависимости от четности состояния) функци-
функцией. В с. ц. и. трех частиц независимыми являются радиусы-векторы г,|2 лишь двух частиц,
при этом Г} = -(г, + г2) (считаем для простоты массы всех частиц одинаковы). Из двух
векторов Г|,г можно образовать следующие скалярные величины: т\, r\, r,r2, являющиеся ис-
истинными скалярами (а не псевдоскалярами!). Скалярная функция, зависящая от векторов г,]2,
может быть функцией только указанных скаляров. Соответственно в. ф. является функцией
вида *i-o = /(rj, г|, Г1Г3). При инверсии координат г^г -» -nt2 эта функция не изменяется:
Ф^=о> т. е. состояние с L — 0 имеет положительную четность".
" Подчеркнем, что речь идет об орбитальной четности. Заметим также, что если число частиц
в системе превышает 3, то появляется возможность образовать псевдоскалярную величину вида
Соответственно состояния таких систем с L = 0 могут иметь уже любую четность.

Глава 4
Движение в центральном поле
Решение стационарного уравнения Шрёдингера для центрального потенциала
(IV. 1)
с учетом взаимной коммутативности операторов H,~P,lz можно искать в виде '* Ф# =
Фп^тМ = ^nri(r)^im(n), где К|т — шаровая функция. При этом (IV. 1) сводится
к одномерному радиальному у. Ш.:
Граничное условие при г —»О имеет вид2' Япго(О) — const < со для / = 0 и R^^O) = О
для 1ф 0.
Для частицы в кулоновском потенциале притяжения, U = -а/г, уровни
энергии и радиальные функции для состояний дискретного спектра имеют вид
Еп = -таг/2И2п2 и
UJ n+'W' ( >
где я = та, + I + 1 — главное квантовое число, а = h2/ma (для атома водорода о
определяет радиус Бора), L%(z) — обобщенный полином Лагерра, выражающийся
через гипергеометрическую функцию
В частности, для нескольких нижних состояний
Дю = 2а~3/2е~г/1° (основное, la-состоянис),
г/2'1 B*-состояние),
Bр-состояние).
'* В этой главе мы рассматриваем только состояния дискретного спектра и обозначаем энергетические
уровни как En,t, где пг = 0,1,... — радиальное квантовое число.
2* При этом имеются в виду регулярные потенциалы, для которых r2l/ -• 0 при г -* 0. Дня них два
независимых решения на малых расстояниях имеют вид й| « г' и Л; « г~'~'. Исключение из рассмо-
рассмотрения возрастающего решения для ( Ф 0 естественно и связано с его ненормируемостью. При / = 0
для растущего решения, (Ri <х 1/г), имеем ДЛг а 6(г), так что оно не удовлетворяет уравнению (IV. I)
при г — 0. Такое решение, квадратично интегрируемое на малых расстояниях, используется при модели-
моделировании короткодействующего центра потенциалом нулевого радиуса, см. задачу 4.10. Для сингулярного
потенциала притяжения возникает «падение на центр», и вопрос о выборе граничного условия при г -> 0
требует дополнительного исследования, см. в связи с этим 9 14.

86 Глава 4. Движение в центральном поле
Для решения уравнения AV.2) часто оказывается удобным перейти к новой
функции Xn,i = '"¦йп,!. Для которой уравнение принимает вид
с граничным условием ХпЛ®) — ®> это Уравнение по форме совпадает с обычным
уравнением Шрёдингера в одномерном случае.
Часто используется также подстановка и„,| = y/rRnri; тогда уравнение прини-
принимает вид
а граничное условие в нуле «Пг(@) = 0.
§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях
4.1. Указать связь энергетических уровней ЕПго и нормированных волновых функ-
функций Ф„,оо(г) стационарных s-состояний дискретного спектра частицы в центральном
потенциале U(r) с уровнями Е„ и нормированными функциями 9„(х) в одномерном
потенциале U(x) вида U(x) = U(x) при ж > 0, U(x) = оо при х < 0 (см. также
задачу 2.5).
Используя установленное соответствие, найти:
а) спектр s-уровней в бесконечно глубокой сферической потенциальной яме,
т. е. U{r) = 0 при г < а и U = оо при г > а;
б) условие существования связанных состояний частицы в потенциале: U = —Щ
при г < а и U = 0 при г > о.
Решение. Уравнение Шрёдингера (IV.5) и граничные условия к нему хФ) — х{°°) — 0 имеют
такой же вид, как и в одномерном потенциале. Соответственно В„,о = -Б», (спектры
совпадают) и ФПто('-) = ^п,{тI^кг, п, = 0,1,....
Установленные соотношения позволяют непосредственно обобщить некоторые резуль-
результаты для одномерного движения частицы на случай центральных потенциалов. В частности,
в случае а) имеем Е„го = Й2я-2(п, + l)J/2ma2 (сравнить с 2.1). В случае б) условие су-
шествования связанных з-состояний (а тем самым и связанных состояний вообще) имеет
вид Uo > fi2ir2/8ma2 (сравнить с 2.14).
4.2. Как изменяются значения En,i энергетических уровней частицы дискретного
спектра
а) при фиксированном значении I с увеличением пт,
б) при фиксированном значении пт с увеличением 2?
Решение, а) Так как уравнение (IV.5) имеет вид одномерного у. Ш., то, как и в одномерном
случае, можно утверждать, что Entl (при фиксированном I) возрастает с ростом пг.
б) Рассматривая в у. Ш. (IV.5) формально / как непрерывный параметр, согласно
формуле A.6) имеем
ЭЕщ1 _ дЙ_ _ fi2B/ + 1)
dl ~~dF~ 2mr2 > '
что доказывает возрастание E^t с ростом I.

§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 87
4.3. Пусть N — номер уровня в центральном потенциале в порядке возрастания
энергии (основному уровню отвечает N = 1). Каковы для JV-ro уровня
о) максимально возможное значение момента 2,
б) максимально возможная кратность вырождения уровня,
в) максимально возможная кратность вырождения уровня при условии, что он
имеет определенную четность?
Решение, а) Имея в виду возрастание ЕПг, с ростом I (при фиксированном пг, см. 4.2),
легко сообразить, что независимо от конкретного вида U(r), в N-м состоянии д. с. значение
момента частицы не может превышать 1„„ = N - 1 (для такого момента значение пг = 0).
б) Максимальная кратность вырождения уровня получается в случае, когда этому уровню
соответствуют состояния со значениями I от 0 до /mlx, и равна
=JV2 (О
(такая ситуация реализуется в кулоновском потенциале). При этом состояниям с данным
значением J отвечает пг = N - 1 -1.
в) Так как четность J = (-i)', то теперь суммирование в (I) следует проводить по зна-
значениям I определенной четности (четным или нечетным), такой же как и 1та = N - 1.
В этом случае находим <Jw(W) = N(N + 1)/2, причем вырожденным состояниям с дан-
данным f = !„„, 1мм — 2,..., 1 @) отвечает пг = (l^, -1)/2 (такая ситуация реализуется у сфери-
сферического осциллятора, см. 4.4 и 4.5).
4.4. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции сферического ос-
осциллятора, U = кг2/2, используя при решении уравнения Шрёдингера разделение
переменных в декартовых координатах. Определить кратность вырождения уровней
и произвести их классификацию по значениям квантовых чисел щ, I и четности.
Связать «случайное» вырождение уровней с коммутативностью операторов T,t =
+ кх,Хъ с гамильтонианом осциллятора.
Решение. Используя соображения, высказанные при решении задачи 2.48 о плоском осцил-
осцилляторе, находим решение в виде
Ф„,„т(г) = Ф?и(*)Ф?иМФГ,иB); п,, пь щ = 0, 1,2,...,
Еп=Тш (п+2) > " = 41+42 + 713, в = 0, 1,....
Уровни осциллятора имеют определенную четность, равную /„ = (-!)", и кратность выро-
вырождения (сравнить с 3.41)
(для данного значения п, имеется п - п, + 1 вырожденных состояний с п2 = 0,1,..., п - п,
К П) = Л - П| - П2).
Так как рассматриваемый потенциал является центрально-симметричным, то стацио-
стационарные состояния могут быть классифицированы по значениям орбитального момента I. Как
видно из A) и выражения (П.2) для волновых функций линейного осциллятора, волновая
функция основного состояния, п = 0, является сферически симметричной, Vooo a е~г /2°
с о = y/h/тш, и описывает з-состояние, как и следовало ожидать. Для первого возбужден-
возбужденного уровня, с п = 1, волновые функции A) имеют вид: г1>„-\ а х,е~Т 12а с « = 1,2,3; они
описывают р-уровень (/ = 1), см. (Ш.7).

88 Глава 4. Движение в центральном поле
Однако в случае л ^ 2 эти волновые функции уже не соответствуют определенному
значению4 орбитального момента (.
Это обстоятельство отражает случайное вырождение, присущее энергетическим уровням
сферического осциллятора, см. задачи 4.3 и 4.5. Такое вырождение может быть просто
объяснено, если принять во внимание коммутативность операторов f,t, указанных в условии
задачи, с гамильтонианом осциллятора и их некоммутативность с оператором I2, см. 1.2S.
4.5. Рассмотреть стационарные состояния сферического осциллятора (см. предыду-
предыдущую задачу), используя при решении уравнения Шрёдингерасферические координаты.
Решение. У. Ш. (IV.2) для V = кг2/2 заменой переменной х = mwr2/h приводится к ви-
виду (ш= у/к/т)
Подстановкой Rnrl = е~11гх>1гш(х) преобразуем A) к гипергеометркческому уравнению
Так как R ос г' а г1'2 при г -»0, то решение уравнения B) следует выбрать в виде
где F(a,p, x) — вырожденная гипергеометрическая функция. При этом условие убывания
в. ф. при г -» со требует, чтобы функция C) сводилась к полиному (иначе F ос е2 и R ос е'12
расходятся при х, г —• со). Отсюда
Е I 3
-2^ + 2 + 4=-"" п' = °.|.2---1
что непосредственно определяет энергетический спектр:
В„,, =hu(l + 2nr + ^) =hu.'(n + lY n = 2n,+/ = 01l,2,... . D)
Уровню с данным п отвечают состояния с моментом I = n, n — 2,..., 1@), так что он
имеет определенную четность /„ = (-0*, а его кратность вырождения, g(n) = J^BZ + 1),
оказывается равной д(п) — (п + 1)(п + 1I2, в согласии с результатом предыдущей задачи.
В заключение укажем значение коэффициента с в C)
„,!!•>(!+ 3/2)'
соответствующее условию нормировки f Д^г((г)г2 dr = 1.
о
4.6. В основном состоянии атома водорода найти:
а) г" для электрона, л — целое;
б) среднюю кинетическую и потенциальную энергию электрона;
б) распределение по импульсам электрона;
г) эффективный (средний) потенциал <р(т), создаваемый атомом.
Решение. В.ф. имеет вид Фо = (та3) е"г'°, о = Л2/т,е2. Простое вычисление дает:
3* Волновые функции с определенным I описываются некоторыми суперпозициями функций A). На-
Например, вслучас п = 2 волновая функция »-состояния имеет вид ^лг=г,(=о = (fooo + ^OM + Vta)/'/?, вто
время как пять других независимых комбинаций из (I), ортогональные указанной, соответствуют 1 = 2.

§1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 89
б)ЩГ) = ~ J e-\
B)
Так как f + U = Во = -е2/2о, то f = е2/2а = -Z7/2.
в) В. ф. в импульсном представлении
определяет распределение по импульсам электрона: dm ¦= \$>o(p)\2d}p.
г) Искомый потенциал у(г) представляет электростатический потенциал системы, ха-
характеризуемой плотностью заряда
здесь первое слагаемое соответствует точечному ядру — протону (в начале координат),
а второе — электронному «облаку». Уравнение Пуассона [27] Atp = -4irp при г ^ О
принимает вид
dr* ~ о? '
где х = '¦р(г). Интегрируя это уравнение с учетом граничных условий4' х(оо) = 0 и х'(°°) — О,
получаем
Отсюда
В частности, при г -¦ 0 мы имеем у>(г) а е/г - е/а. Здесь первый, доминирующий член,
ipp(r) = е/г, описывает электростатический потенциал, создаваемый протоном, в то яремя как
второе слагаемое, ysei(O) = -е/а, описывает потенциал, создаваемый электронным «облаком»
на ядре-протоне; заметьте, что значение eipti(Q) совпадает, конечно, с U.
С другой стороны, на больших расстояниях, г -* оо, из D) следует экспоненциальное
убывание потенциала, соответствующее полной экранировке заряда протона сферически-
симметричным электронным «облаком». Подчеркнем, что этот результат относится именно
к усредненному значению потенциала. «Истинные» значения электростатического поля убы-
убывают существенно медленнее, см. следующую задачу 4.7.
4.7. Найти среднее электрическое поле ?{г) и его флуктуацию (флуктуацию компо-
компонент поля) на больших расстояниях от атома водорода, находящегося в основном
состоянии. Обратить внимание на характер убывания найденных величин с увеличением
расстояния.
Решение. Имея в виду формулу D) из D.6), находим
*№--***)?*§.-"* A)
т. е. среднее поле убывает экспоненциально.
Так как поле «?(R), создаваемое протоном (находящимся в начале координат) и электро-
электроном (в точке г), имеет вид
eR e(R-r) _ еф - 3N(nN))
Л' |R - гр я?~« Д5 -
4) Условие х(оо) = 0 учитывает электронейтральность системы.

90 Глава 4. Движение в центрально/л поле
где п = г/г, N = R/Я, то в результате простого вычисления получаем
- 3NtnmNm) dr du. =
= eV(«,t + ЗЛГ.ЛГ») ^j, R>a B)
(усреднение проводится по положениям электрона в основном состоянии атома водорода),
в частности <*2(Д) ~ 6е2а2/Я'.
Таким образом, флуктуационные значения электрического поля убывают лишь по сте-
пенному закону: «F2(Л) а 1/Л3. Это обстоятельство проявляется в том, что взаимодействие
атомов (и молекул) на больших расстояниях (например, силы Ван-дер-Ваальса) убывает
степенным, а не экспоненциальным образом.
4.8. Найти s-уроани в потенциалах:
a) U = -а6(г - а); б) U = -Ще''1"; в) U = -t/0/(er/e - I) (потенциал
Хюльтена).
Решение. Спектр дискретен при Е < 0; ниже х = J -2тЕ„г0/^ ¦
с) с учетом граничных условий при г = 0 и г = со решение уравнения (IV.S) для ( =
0 и U = —а 6(г — а) имеет вид (г ф а):
{A sh xr, r < а,
Ве-\ г > а.
Условия сшивания в. ф. в точке г = а, аналогичные установленным в B.6), приводят
к соотношению
та
определяющему спектр5' s-уровней. При ? = таа/Н2 < 1/2 это уравнение не имеет корней,
так что связанные состояния отсутствуют. При { > 1/2 имеется, причем только один,
5-уровень. Предельные значения его энергии
б2 \ /2таа \2 _ 1
„ „ i x~.na*J V «! ) ' 2
~ 2й3
Обратите внимание на медленную, квадратичную зависимость глубины «залегания»
мелкого з-уровмя, Е^о ос -(( - 6>J> при углублении потенциальной ямы. Это связано с тем
обстоятельством, что в случае Е —» 0 волновая функция 5-уровня делокализуется: частица
«уходит» на бесконечность и находится в области ямы с малой вероятностью; сравнить
со случаем / ^ 1, рассмотренным в следующей задаче 4.9.
б) Уравнение (IV.5) подстановкой х = — ехр {—г/2а} сводится к уравнению Бесселя
^1 + 1± + Л2-^1
где р = 2ко, А = (8m?/o<>2/fi2) • Условие обращения в. ф. в нуль при г —• оо (при этом х —» 0)
требует выбора решения уравнения B) в виде *„,<> = cJ,(Az). При этом условие х@) = О
приводит к соотношению
О)
I у и i
определяющему спектр s-уровней.
5* Сравнить, имея в виду результат 4.1, со спектром нечетных уровней в условиях задачи 2.18.

§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 91
В условиях, когда уровень при углублении потенциальной ямы только появился, его
энергия сколь угодно мала. Соответственно условие Jo(a) = 0 определяет значения параметров
ямы, отвечающих появлению новых состояний д. с. при ее углублении. Отсюда для N-ro
по счету уровня G0,лг = ft2ijv/8ma2, где xN есть N-Pi нуль функции Jo(x). Так как Х\ « 2,40,
то условие существования «-состояний д. с. (а тем самым и связанных состояний вообще)
имеет вид G0 > 0,72fi2/ma2.
При 0 < (А - xN) <? 1 самый верхний «-уровень — «мелкий». Используя формулы
(Jv, Ny — функции Бесселя н Неймана)
Jj(.) = -/,(«) и
согласно C) находим его энергию (п, = ЛГ - 1):
в) Уравнение (IV.5) при 1 = 0 заменой переменной г = e~T/° (при этом U = -Uqx/A - х))
и подстановкой х*,о = *'у> ? — ха приводится к уравнению для гипергеометрической функ-
функции F(a,A7.*):
A - х)ху" + Bе + 1)A - х)у + Х2у = 0 E)
с параметрами
Условие обращения в. ф. в нуль при г -¦ оо (х -» 0) требует выбора решения уравне-
уравнения E) в виде у = cF(a,/J,7,г), при этом условие х(т = 0) = \(.х = 0 — 0 Дает
что определяет спектр «-уровней. Отсюда, как нетрудно заметить, следует, что у - а = -п,
где п = п, = 0,1,...; Г(-пг) = оо и окончательное выражение для энергии «-уровней
принимает вид
причем пг < А- 1. При этом условие А = N (N целое) определяет значения параметров
потенциала, соответствующие появлению N-ro по счету уровня с I = 0 при углублении
потенциальной ямы. При a -» оо, Щ —> 0, но Ща = const = а, рассматриваемый потенциал
переходит в кулоновский U = -а/г, а формула G) при этом воспроизводит известный
спектр (FV.3) «-уровней в таком потенциале.
4.9. Найти уровни с произвольным моментом I в потенциалах:
a) U = -а 6(г -а); 6) U = 0 при г < а и U = оо при г > а.
Решение, а) Решение уравнения (IV.6) (« = \/—2тВп,|/й 1, учитывающее граничные усло-
условия u@) = u(oo) = 0, для U = -а 6(г - а) имеет вид
un,i = AItц/г(хг) при т <а и и„г| = BKi+\ii(ar) при г > а,
где 1„, К„ — функции Бесселя мнимого аргумента.
Условия сшивания в. ф. в точке г = а такие же, как для одномерного {-потенциала
в 2.6, дают'*
что определяет энергетический спектр частицы.
6) Использовано значение вронскиана W[Inu(z),К„хх(г)\ = /„(г)Я?,(г) -ll(z)Ku(z) = -l/z.

92 Глава 4. Движение в центральном поле
Левая часть в A) при к —» 0, когда уровень имеет сколь угодно малую энергию, принимает
вполне определенное значение, равное 1/B/ + 1)- Это означает (как и при I = 0, см. 4.8 а),
что при { ^ {'0) = I + 1/2 имеется лишь один дискретный уровень (с данным I). Используя
формулы для асимптотик 1„(г) и К„(г) при z -» 0 и г -* оо, из A) получаем обобщение
результата A) из 4.8 на случай состояний с I Ф 0:
4B1
Заметьте, что в случае I ^ 1 углубление мелкого уровня и потенциальной ямы происходит
одинаковым образом, в отличие от случая 1 = 0, см. предыдущую задачу. Такое отличие
обязано центробежному потенциалу, UCf = Н2Ц1 + 1)/2тг2, благодаря которому состояние
с J ^ 1 остается связанным и при Е —» 0 (центробежный барьер препятствует уходу частицы
на бесконечность).
б) Уравнение (IV.6) в рассматриваемой задаче при г < а сводится к уравнению Бесселя.
Так как Un,i@) = 0, то его решение следует выбрать в виде u^i = cJi+i/2(fcr). При этом
условие и„,|(а) = 0 определяет энергетические уровни частицы:
где а„1 — n-й нуль (в порядке возрастания, не считая нуля при х - 0) функции Бессе-
Бесселя Ji+,/i(x).
4.10. Потенциал нулевого радиуса (трехмерный аналог одномерного ^-потенциала,
см. 2.7) задается наложением на волновую функцию граничного условия вида'*:
____ао при г_0,
Обсудить вопрос о возможности существования (в зависимости от знака щ) в та-
таком потенциале связанных состояний частицы. Найти волновую функцию связанного
состояния в импульсном представлении. Каковы средние значения T,U?
Решение. В рассматриваемой задаче (U = 0 при г ф 0) нормируемое решение у. Ш. при К<0
имеет вид
Ае-" I 2тЕ
Фо=-7г=-. «е x = J п->0 2)
V4ir г V
(оно отвечает частице, имеющей момент I = 0). При г •
А
Сравнение с разложением (I) из условия задачи дает х = а„. Таким образом, если а0 < 0, то
связанных состояний в потенциале нулевого радиуса нет.
''Такой «потенциал», оказывающий действие лишь на частицу с моментом I = 0, моделирует
потенциальную яму достаточно произвольного вида U(r) конечного радиуса г^ в случае, если в ней
имеется мелкий реальный (или виртуальный) уровень с энергией Со такой, что Со « Ь2/тг1 ¦ При этом
свойства состояний частицы с моментом I = 0 и энергией Е 4С ft2/"""! слабо зависят от конкретного
вида ?/(г). Применения потенциалов нулевого радиуса в задачах атомной и ядерной физики рассмотрены
в главах II и 13. см. также монографии 119, 20].

§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 93
В случае а0 > 0 имеется, и только одно, связанное состояние с энергией Ер = -Л2а1/2т.
Для нормировки в. ф. B) этого состояния на единицу следует выбрать А = у/2а0. При этом
и. ф. в импульсном представлении имеет вид
Отсюда следует, что8' Т = р2/2т = оо, соответственно U = —оо (Т + V = Е$).
Сделаем несколько заключительных замечаний.
1) П. н. р. независимо от знака параметра а0 носит характер притяжения. При этом
случай ао < 0 соответствует достаточно мелкой «ямс», которая не может связать частицу.
Однако две такие «ямы», расположенные близко друг от друга, совместно уже могут привести
к образованию связанного состояния, см. 11.28.
2) Параметр ад связан с длиной рассеяния а$ для п. и. р. соотношением ао = 1/а0,
см. 13.20.
3) Предельный случай ао —* ±оо соответствует «выключению» п. н. р.
4) Обратим внимание на следующее свойство соотношения (I), определяющего п. н. р.:
оно не зависит от значения энергии частицы. Такое свойство является общим для всякого
условия самосопряженного расширения эрмитова оператора, сравнить с 9.14.
4.11. Найти энергетический спектр частицы, находящейся в бесконечно глубокой
сферической потенциальной яме радиуса а и испытывающей также действие в точ-
точке г = 0 потенциала нулевого радиуса (п. н. р.). Сравнить со спектрами в яме и в п. н. р.
в отдельности. Обратить внимание на возможность существенной перестройки спектра
«ямных» уровней под влиянием п. н. р.
Решение. Энергетический спектр состояний с / Ф 0 такой же, как и в случае одной ямы,
см. 4.9 б).
При 1 = 0 решение у. Ш., удовлетворяющее условию Ф(а) = 0, имеет вид Ф = (А/г) х
sin*(r —а). При г -» 0 его асимптотика: Ф и -As\nka{l/r — kctgka). Сравнив ее с со-
соотношением A) из условия задачи 4.10, определяющим п. и. р., получаем уравнение для
спектра «-уровней:
fcactgfca = a0o, k=J--r-. A)
V п
Отсюда при ao = i°o следует ka = (n, + \)ir, что воспроизводит спектр в яме (см. 4.1),
а при о = оо в случае а0 > 0 имеем fco = ta0, r.t. Eo — -Нга\/2т — уровень в изолированном
п. н.р. (при Е > 0 спектр уже непрерывный).
Рассмотрим некоторые следствия уравнения A):
1) При \аоа\ 2> I в области значений ka <S |aoa| (не слишком сильно возбужденные
уровни) «ямные» уровни испытывают лишь небольшой сдвиг за счет действия п. н. р. Записав
при этом ка = (пг + 1)тг + е,где |<-| < 1,изA) находим'1 Е^ я ?^%A +2/aoa). Если a0 > 0,
то имеющийся в п. н. р. уровень Ец также испытывает небольшой сдвиг, равный
АЕо и -4е'7а°°Еа.
2) При аоа <. 1 ситуация совершенно иная. При этом у имеющегося в п. н. р. уровня
(реального или виртуального) энергия — порядка энергии нижних уровней в яме и, как
видно из A), спектр частицы при совместном действии п. н. р. и ямы сильно отличается
от спектров в изолированных п. н. р. и яме: происходит перестройка спектра. В частности,
при ао = 0 (когда в п. н. р. имеется уровень с нулевой энергией связи) спектр имеет
вид Е„г0 = ft2*2 (пТ + 1/2J /2то2. Эта же формула описывает спектр сильно возбужденных
уровней и при произвольном а0.
*' Значение Т = оо следует также из условия, что ДФо@ ~ Дг ' = —4х6(г) при г -• 0.
'* Этот результат соответствует теории возмущений по длине рассеяния, сравнить с 4.29.

94 Глава 4. Движение в центральном поле
4.12. Обсудить вопрос о связанных состояниях частицы в случае сепарабельного
потенциала, представляющего интегральный оператор с ядром (сравнить с 2.19):
U(r, г') = -А/(г)/'(г'), причем /(г) —» 0 при г —> со. Рассмотреть конкретный
случай U = -(А/гг') ехр {--у(т + г')} {потенциал Ямагучи).
Решение. 1) У. Ш. для сепарабельного потенциала удобно решать в импульсном представле-
представлении, где оно принимает вид (сравнить с 2.19 и 1.41):
|^»(Р) - Ag(p) J SW(P') <*V = ЯФ(р), 9(р) = Bтй)-3'2 У /(г)е-"'д dK A)
Из (I) видно, что рассматриваемый потенциал оказывает действие только на частицу
с 1 = 0 (в. ф. сферически симметрична). Решение задачи дублирует решение 2 19. В частности,
полученные в 2.19 результаты в отношении энергетического спектра связанных состояний пол-
полностью переносятся на данную задачу с единственной заменой в них \д(р)\г на 4xp2\g(p)\2q(p),
где г)(р) — ступенчатая функция. Так, уравнение для спектра принимает вид
|. B)
2) Для потенциала Ямагучи / = е~1Г/г, при этом д(р) = v/2fi/ir(pJ+ft272) ¦ Вычисляя
интеграл в B), получаем
(ft7 + v/2^J = !^. C)
Отсюда видно, что единственное связанное состояние возникает при А > Ао = ft27V4*n», ПРИ
этом его энергия
1
а нормированная в. ф. в координатном и импульсном представлениях имеет вид
*о(р) = -гт-
2я-G - хоУ г
4.13. Рассмотреть связанные s-состояния частицы в ^-потенциале U — -л«5(г — а),
исходя из решения уравнения Шрёдингера в импульсном представлении.
Решение. У. Ш. в импульсном представлении имеет вид
— Ф(р) + I й(р- р')Цр)d3p = ?Ф(р), A)
где
(сравнить с 2.17). Для ^-потенциала
и уравнение (I), с учетом того, что при I = 0 в. ф. не зависит от углов, принимает вид

§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 95
или после интегрирования по в:
(f
Отсюда
4таС sin ipa/h)
о
Условие согласованности этих выражений приводит к соотношению, определяющему спектр
s -уровней (В = — fi2x2/2m):
оо
4та /"
"тгй~У
sin2(pa/ft)dp
(для перехода от первого из них ко второму следует заменить 2 sin 2(pa/ft) на 1 - cos Bpo/fi)
и вычислить интеграл с помощью вычетов). Приближенное решение уравнения E) приведено
в 4.8 а) (см. также 2 18). Здесь же напомним, что единственное связанное s-состояние имеется
при условии maa/h2 > 1/2.
4.14. Найти решение уравнения Шрёдингера предыдущей задачи с граничным усло-
условием Ф(р) = 0 для р < ро (ро > 0).
Показать, что в такой постановке задачи101 в яме произвольной глубины име-
имеется связанное состояние, в котором частица локализована в ограниченной области
пространства, и найти энергию связи частицы в случае мелкой ямы.
Решение. Решение может быть получено в результате простых замен в формулах решения
предыдущей задачи. При этом следует учесть два обстоятельства. 1) Ввиду условия Ф(р) = 0
при р < ро в формулах B)-E) нижний предел интегрирования по р (равный нулю) на-
надо заменить на ро- 2) Связанному состоянию частицы теперь отвечают значения энергии
Е < Eq— Po/2m (а не Е < 0, как раньше), удовлетворяющие уравнению
477IG[ i <*•»• \f~i •'/.. . .
Так как левая часть A) монотонно возрастает с увеличением Е от значения, равного
нулю при Е -» -со, до значения +оо при Е -> Еп (предполагается, что ро ф mch/a, и,
естественно, а > 0), то при любых значениях параметров ямы имеется, и только одно,
связанное з-состояние с энергией Е < A'o.
Рассмотрим два предельных случая. 1) При та/Л > (pOl h/a) (глубокая яма) из A)
следует1" Ец « -ma2/2fi2, как для одномерной tf-ямы, см. 2.7 и 4.8. 2) В противоположном
предельном случае maa/h1 <JC 1 (мелкая яма) уровень Е —> Ео, при этом значение интеграла
определяется областью значений р, прилегающих к нижнему пределу, и приближенно равно
Г sin2 (ра/П) dp _ ^ г /роа \ 7 dp ^ sin2 (poa/h) [д 4Д0
J pi-Pa + 2me~ \ h ) J р2 -р\ + 2те~ 2р0 е'
ш) Образование связанного состояния в рассматриваемой постановке задачи при наличии сколь угодно
слабого притяжения составляет содержание так называемого феномена Купера — явления, лежащего
в основе микроскопического механизма возникновения сверхпроводимости.
"' В этом случае доминирующий вклад в значение интеграла в (I) лает область р ~ V2mt! ~ та/Л
Для приближенного вычисления интеграла мы можем заменить быстро осциллирующий квадрат синуса
его средним значением 1/2 и положить нижний предел интегрирования ро равным нулю; получающийся
интеграл равен эг/4ч/2т?.

96 Глава 4. Движение в центральном поле
Здесь е = Ец-Е>0 — энергия связи частицы. Из A) и B) при ( <? 1 следует
(определение предэкспоненциального множителя в C) требует более точного вычисления ин-
интеграла B)). Таким образом, при { —» 0 энергия связи стремится к нулю по экспоненциальному
закону ссе'''(.
4.15. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции дискретного спектра
в одномерном потенциале U = —а/х при х > 0 и U = оо при х < 0 из решения
уравнения Шрёдингера в импульсном представлении.
Используя полученный результат, найти нормированные волновые функции s-co-
стояний частицы в импульсном представлении для кулоновского потенциала U(r) =
-а/г.
Решение. 1) Сначала у. Ш. для V = —а/х на полуоси г^Ос граничным условием Ф@) = О
запишем в виде такого уравнения, уже на всей оси х, которое при х ^ 0 эквивалентно
исходному, а при х < 0 из которого автоматически вытекает условие Ф(х) = 0:
d2 a ft2
|—Ф(х) Ф(х) - ?Ф(х) = -—- ф'@+) 6(х) A)
2тп х 2т
(так как при этом Ф(О-) = Ф@+) = 0 и Ф'(О-) = 0, сравнить с 2.6, то Ф(г) = 0 при х ^ 0).
Имея в виду 1.40, запишем уравнение A) в импульсном представлении:
B)
zv Z7rn m
?
Дифференцируя B) по р, приходим к уравнению с разделяющимися переменными,
решение которого имеет вид (Е < 0)
С
р1 + 2т\Е\
90
а условие Ф@) = . *_,/t / Ф(р) dp = 0 дает спектр уровней:
-00
хта
= 0' "¦" Е" = -Щ^Ту' —«¦'.-¦ <4>
Для нормировки с. ф. C) следует выбрать
2) Чтобы обобщить полученные «одномерные» результаты на случай s-состояний в ку-
лоновском потенциале, воспользуемся связью их в. ф. в координатном представлении
см. 4.1. Переходя к импульсному представлению, получаем
»()
f Ф.
е-""* dV =

§1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 97
где Ф^ определяется C) и D) с п = пг. Воспользовавшись соотношением
exp {tarctg <р] = A + <р2)' + «V(l + ?>V"J,
перепишем E) в виде (фазовый множитель (-1) опущен)
V2 з/г sin [2(nr + l)arctg(p/Pnt)l ma
-w1 ^r^ • ^ = НТ F)
(при 7ir = 0 и а = e2 отсюда следует результат 4.6 в)).
4.16. Найти поведение при р —» 0 волновой функции Фту. (р) стационарного состоя-
состояния дискретного спектра с моментом I частицы в импульсном представлении.
Решение. Воспользовавшись соотношением
-""'^(п') ЙП, = (-i)'2*^JMli(kr)Yln(n), A)
вытекающим из известного разложения плоской волны по полиномам Лежандра и теоремы
сложения для последних A11.6), и учтя вид функции Бесселя Jv(z) при z -*0, получаем
Ac'?'K" E) •
где
= 2<+</>Л'+'"г(/ + 3/2) У Г'+
Г) *"
о
(сравнить полученный результат Ф| ос р' при р —> 0 с известным соотношением Ф/ а г'
при г -» 0 в координатном представлении).
4.17. Показать, что асимптотика волновой функции стационарного s-состояния ча-
частицы в импульсном представлении при р —» оо имеет вид
Фп,оо(р) « -2BтгЛK/2ФПгОо(О)т 1 бг(р), A)
где Фп,»^) ~ волновая функция состояния в координатном представлении,
— фурье-компонента потенциала. Предполагается, что U(p) при р —» оо убывает
степенным образом: U(j>) ос р~" с п > 1 и не содержит быстро осциллирующего
множителя вида sin (арк) с fc > 1.
Решение. Несложный анализ у. Ш. в импульсном представлении
~ Ф(р) + [п(р- р')Ф(р') d'p' = ЯФ(р) B)
показывает, что при степенном убывании U{p) ос р~" при р -» оо с п > 1 в. ф. Ф(р)
убывает быстрее, чем U(p). При этом доминирующую роль в интеграле в B) играет область
интегрирования |р'| < А/а, где а — радиус потенциала. Соответственно, вынося Г/(р - р')
за знак интеграла при1!> р' и 0 и используя связь в. ф. Ф(р) и Ф(г), сразу приходим к требуемой
асимптотике A) для з-состояний.
Проиллюстрируем асимптотику A) на примере кулоновского потенциала U(r) = —а/г.
Согласно 4.15, см. формулу F), мы имеем (используя кулоновские единицы m = ft = a = I)
|2' При этом существенно, что асимптотика U(p) не содержит быстро осциллирующего множителя
sin (apt) с к ^ 1, см. по этому поводу следующую задачу.
4 Зчк 254

98 Глава 4. Движение в центральном поле
в то время как Ф„,@) = (т(пг + IK)'2 и 0(р) = Bтггрг)~\ Как видно, соотношение (I)
выполняется (в данном случае, по очевидной причине, с точностью до фазового множителя).
Еше один вывод формулы A), допускающий простое обобщение на случай I Ф О,
см. в следующей задаче 4.18.
4.18. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай состояния
с произвольным значением орбитального момента I имеет вид
Ф»,.т(р) я -2B1rftK/2B0'Wfl
р-оо
где Rnri(r) связано с волновой функцией в координатном представлении соотношени-
соотношением Ф„,/т(г) = т'ппЛтЖт (г/г).
Решение. 1) Сначала преобразуем U{p) к виду (положено й = 1)
re^U(\r\) dr. B)
Имея в виду общие соображения о характере убывания фурье-компонент при р —» со
(см., например, [14]), замечаем, что используемые ограничения на потенциал означают,
что функция U(\r\) — четное продолжение 0(г) на область г < 0, рассматриваемая как
аналитическая функция г, имеет особую точку г = 0. При этом сингулярность U(t) ограничена
условием 17(г)г2"' -» 0 при г -> 0, где е > 0 (для V = а/г2 имеем U = a/4irp). Если для
такого потенциала записать в. ф. связанного состояния в виде
то Д^.|@) = const Ф 0 и Д^|@) < оо.
2) Наличие особенности при г = 0 у потенциала проявляется и в радиальной в. ф. Д„г|(г).
Существенным, однако, является то обстоятельство, что сингулярность функции Д,г|(г) более
слабая, чем у потенциала. Это утверждение является непосредственным следствием у. Ш.
В частности, если сингулярная часть U(r) имеет вид f/(*'(r) « ar" (при этом i/ > -2 и не равно
четному числу, несингулярная часть представляет разложение по целым степеням г2), то
сингулярная часть радиальной функции (см. 4.19)
и обращается в нуль при г ~» 0 в отличие от #„,/@).
3) Для дальнейших преобразований удобно записать шаровую функцию в виде (см. 3.41)
r'Y,a(n) = е,. я(т)х,...хп,
где ?,. „ является симметричным по любой паре индексов тензором ранга I с равным нулю
следом с„. „ = 0. Для получения искомой асимптотики умножим обе части у. Ш.
~ 2^ " Е"') *"'Jm(r) = -y(r)*-""»W
на Bir)~)/} exp {-ipr} и, проинтегрировав по координатам, выполним следующее преобразо-
преобразование:
ы~ Епг') *°-'m(P) = " B^ /е""Х> ¦ ¦ ¦ *"VW^<r>dV =

§1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 99
При р -» оо значение интеграла в C) определяется наличием у функции С/(г)Д„г,(г)
особенности при г = 0 (точнее, у ее четного продолжения, как и в B)). При этом наиболее
сингулярная часть такой функции, определяющая главный член асимптотики, содержится
в U(r). Соответственно, вынося в выражении C) из-под интеграла Д^( в точке г = О,
используя соотношение _
ЭУ{р) „
2
и учитывая равенство нулю следа тензора с,. „, приходим к приведенной в условии задачи
асимптотике в.ф A).
4) Имея в виду проделанные вычисления, легко заметить, что полученный результат
может быть очевидным образом обобщен и на случай, когда единственными особыми точками
четного продолжения потенциала являются точки г = ±а на вещественной оси (различного
рода модельные потенциалы с резко выраженными границами или изломами): для этого
в выражении для асимптотики следует заменить ДцДО) на Ru,i(a).
Однако несмотря на внешне похожий вид асимптотик в этих случаях, между ними
имеется существенное различие. Оно связано с тем обстоятельством, что в случае особых
точек г = ±о Ф 0 фурье-компонента U(p) содержит быстро осциллирующий множитель
вида sin(pa), наличие которого приводит к тому, что все производные U(p) убывают
одинаковым образом, так же как и U(p). Соответственно, в.ф. состояний с различными
значениями ( при р —» оо также убывают одинаковым образом. В случае же особой точки г = О,
в.ф. состояния с моментом I убывает тем быстрее, чем больше {.
4.19. Частица находится в потенциале, имеющем при г —» 0 вид V ~ а/г' с * < 2. При
этом радиальная волновая функция состояния с моментом I имеет вид Я„г/ « С„г|г'.
Найти поправку к этому выражению при значениях 0 < s < 2.
Решение. Опустив в уравнении (IV.2) члены, содержащие U и Е, приходим к главному члену
асимптотики:
Д^,«й™=Смг' при г-0.
Для нахождения поправки Д^', имеем уравнение
„<Ч" , 2 (.)• Ц1 + О _<i) 2ma ...
дп,| + " дм ^г— дм ~ "fir с"''г - °-
Отсюда
„(О 2та r I+2-. ,п
При s < 0 первая поправка будет определяться уже членом, содержащим энергию.
Если U = 0, то, как известно, R = CJi+\n(kr)l\/f. Разложение этой функции по степе-
степеням (кгJ остается справедливым и при наличии потенциала, но лишь до тех пор, пока
степень г не превышает значения I + 2 - з. Следующий затем член разложения опять
определяется выражением A).
4.20. Найти функцию Грина Gg(r, г') свободной частицы для значений Е < О,
убывающую при г —» оо. С помощью функции Грина записать уравнение Шрёдин-
гера для состояний дискретного спектра в потенциале U(t), обращающемся в нуль
при г —> оо, в виде интегрального уравнения.
Решение. Функция Грина удовлетворяет уравнению
^ GB(r,r') = 6(r-T') A)
(х - yj-lmElh1 > Oj. Из соображений симметрии представляется очевидным, что она
является функцией вида Gb — /(к ~ г1!). При этом уравнение A) при г Ф г* и его решение
имеют вид
jJ?(r/(r))-x2(r/(r))=O, f(r) = ^f- B)

100 Глава 4. Движение в центральном поле
(экспоненциально растущий член в /(г) опушен). Соотношение Дг"' = -4хб(г) позволяет
определить значение С в B) и окончательный вид Gt::
°*< *-???*¦ C)
С помощью функции Грина у. Ш. для состояний д. с. можно записать в виде интегрального
уравнения (сравнить с 2.20):
у [/(')ФЕ(г') «IV. D)
4.21. Как известно, в трехмерном случае у частицы в потенциале притяжения U(t) ^ 0
[U(t) —> 0 при г -» со) не всегда имеются связанные состояния. Показать, что необ-
необходимым условием существования таких состояний является выполнение неравенства
—• (О
Сравнить это условие с точным условием существования состояний дискретного
спектра в потенциальных полях: прямоугольная яма (см. 4.1), tf-потенциал и экспонен-
экспоненциальная яма (см. 4.8), см. также 4.32.
Решение. Применим уравнение D) предыдущей задачи к основному состоянию с Еа < О
(считая, что оно существует). Соответствующая в. ф. Фо(г) сферически симметрична (/ = 0)
и, так как она не имеет нулей, то можно считать Ф0(г) ^ 0. При этом в уравнении
подынтегральное выражение также неотрицательно.
Возьмем в B) значение г = г0, при котором Фо(г) принимает максимальное значение.
После этого, заменив под интегралом Фо(>"') на Фо(го) и «опустив» экспоненту (от чего
значение интеграла может лишь увеличиться), приходим к соотношению
Выполнив здесь интегрирование по углам (выбрав полярную ось вдоль вектора г), которое
f du' Г 4т 4т  4т
получаем утверждение задачи (имея в виду 4.1, легко заметить, что результат данной задачи
является аналогом результата 2.2S для одномерного движения).
Для прямоугольной ямы необходимое условие существования связанного состояния
принимает вид ? = ma2Uo/h2 ^ 1, а точное: ( ^ »гг/8 и 1,24. Для tf-потенциала не-
необходимое условие совпадает с точным. Для экспоненциальной ямы необходимое усло-
условие ? = ma2f/0/ft2 ^ 1/2, а точное ? > 0,72.
4.22. Показать, что выполнение условия
[{^}]}Ч A)
|}' Впрочем, значение интеграла очевидно и без вычислений, так как он описывает электростатический
потенциал сферы радиуса г', заряженной с постоянной поверхностной плотностью ао = 1.

§ 1. Состояния дискретного спектра в центральных полях 101
является необходимым для существования в центральном потенциале притяжения
U(r) < 0 A7(г) —> 0 при г -» со) связанного состояния частицы с энергией связи ?о
(при ео —» 0 это условие соответствует результату предыдущей задачи).
Решение. Выполнив сначала в уравнении B) из предыдущей задачи интегрирование по углам
вектора г\ выбрав направление г за полярную ось, получаем
Г
У
exP{-*0vV+r*-2rr'cosg'}
1 J
2ir e-^l'-'V] _ e-«c(l'+''l-|r-''l)\ < 2ir л _
хогг' v ; ^ хогг'
Поступая теперь как и в предыдущей задаче (в отношении функции гфо(г)), приходим
к неравенству
которое эквивалентно соотношению, приведенному в условии задачи (при этом е0 = ft2x^
4.23. Найти функцию Грина бг[>0(г, г') радиального уравнения Шрёдингера (IV.5) для
свободной частицы с Е — 0 на отрезке [а, 6] (при этом 0 ^ а < Ь ^ оо).
Она удовлетворяет уравнению
ЩА] |.о(г, О = «(г - г') (I)
и граничным условиям Giio(°, г') = Gf,o(&, г') = 0.
Решение. Решение уравнения A), удовлетворяющее граничным условиям и непрерывное
в точке г = г', имеет вид
| [а.,(г/),+1 _ а,+1(гГ1] (ь,+,г_, _ b.v+1)> r > г, B)
Значение
„, ,ч 2го о'Ь'
следует из условия на скачок производной flG( о/вг в точке г = г': SG', 0 = -2т/Д2, сравнить
с 2.6.
Соотношения B) и C) определяют вид функции Грина (в случае а = 0 и (или) 6 = оо
эти соотношения несколько упрощаются).
4.24. Показать, что выполнение условия
00
/¦
B1+1)п,~ A)
является необходимым для существования в короткодействующем потенциале притя-
притяжения U(r) ^ О (U —» 0 при г —» со) П| уровней с моментом I частицы.
Решение. Рассмотрим ситуацию, отвечающую моменту возникновения п, -го по счету связан-
связанного состояния с орбитальным моментом /, и обозначим Ф^',т = ;Xn?i^im его в- Ф- с ^м = 0>
при этом п, = П| - 1. Радиальная функция x^i(r) имеет (ni + 1) нулей, включая г = О
и г = оо, и удовлетворяет уравнению (IV.5). Пусть, далее, а и 6 представляют соседние

102
Глава 4. Движение в центральном поле
нули Xn,i(r)- Имея в виду результат предыдущей задачи, замечаем, что Xn!i на отрезке [а, 6]
удовлетворяет уравнению
, г') [-
B)
X!
На этом отрезке Xn!i не меняет знака, и будем считать x^i ^ 0. Заметим, что функция
Грина из 4.23 Gjto ^ 0 и С,о принимает максимальное значение при г = г'. Соответственно,
подынтегральная функция в B) неотрицательна. Взяв в B) значение г = г0, отвечающее
максимуму x*t на отрезке [а,Ь], и заменив x?'i(r') под интегралом на Хм(го) (от чего он
может только увеличиться), получаем
C)
Заменим здесь G,t0 ее максимальным значением при г0 = г'. Имея в виду формулы B)
и C) из 4.23, нетрудно получить
1)П2
С учетом D), из C) следует
}<^>)"»<Ц^-
D)
E)
и так как на полуоси @, оо) имеется п, интервалов, на которых Xn!i не изменяет своего знака,
и на каждом из них справедливо аналогичное (S) неравенство, то, суммируя по всем таким
интервалам, приходим к утверждению задачи.
§ 2. Состояния с малой энергией связи.
Частица в совместном поле короткодействующего
и дальнодействующего потенциалов
4.25. Обобщить результат зада-
задачи 2.13 на случай s-состояний ча-
частицы в центральном поле. Найти
условия существования и появле-
появления новых дискретных «-уровней
в потенциалах:
а) U = -в/г4 при г > в и
U = оо при г < о, рис. 20;
б) U = -а/(г + а)\ о>0;
в) U = -Uoa*/(r2 + о2J;
г) U = -а/т' при г > о и U = оо при г < в; з > 2, рис. 20;
д) U = -а/г' при г < а и U = 0 при г > в; 0 < з < 2, рис.21.
Решение. Условию появления нового, iV-ro по счету связанного состояния с / = 0 при
углублении потенциальной ямы отвечает существование решения у. Ш. с Е = 0, которое
Рис.20
Рис.21

§ 2. Состояния с малой энергией связи 103
является ограниченным при конечных значениях г и имеет при г -» оо асимптотику Ф(г) я
С/г (при произвольных параметрах потенциала Ф « А + С/г при г —> оо). Рассмотрим
решения у. Ш., удовлетворяющие таким условиям.
а) Уравнение AV.2) для V = -а/г* при I = 0 и Е = 0 заменой переменной х = 1/г
приводится к виду
dlR _ _ 2та
+ «Я0 а (|)
Решение его, в силу условия при г -• со, следует выбрать в виде R = В sin (Va/r). При этом
условие R(a) = 0 определяет искомые значения параметров потенциала у/а/а = тгЛГ, или
б) Имея в виду уравнение (IV.5) и граничные условия к нему, замечаем, что спек-
спектры «-уровней в потенциалах Ut(r) = /(г + о) и t/2 = /(г) при г>о>0и^ = оо
при г < а совпадают (при I Ф 0 это утверждение уже не справедливо). Соответственно,
искомые значения параметров потенциала определяются прежней формулой B).
в) Уравнение (IV.5) для U = -Uoa*/(r} + а2) при 1 = 0иЕ = Ос помощью подстано-
подстановок w = х/\/г2 + а2 и i = arctg (г/о) принимает вид
В силу условия х(г = 0) = u;(z = 0) = 0 его решение следует выбрать в виде w = С sin (г,
или
Ф = cyiTJsin ({ «ctg (?)) . C)
При г —> оо имеем arctgr/a ~ ir/2 - e/r, так что
-«[*(?)-(?)-(?)]¦ '—
и условие на асимптотику (Ф ос 1/г), требующее, чтобы sin (ж?/2) — 0, приводит к искомому
соотношению {/2 = N (в.ф. C) при этом имеет (TV - 1) нулей при конечных г).
Для потенциалов из г) и в) решение уравнения (IV.5) при / = 0 и Е = 0 согласно (Д2.11)
выражается через цилиндрические функции. Приведем лишь ответы (в них хиц есть JV-й
по счету нуль функции Бесселя Jv(x), не считая нуля при х = 0):
г) 2 
(при s = 4 имеем i/ = 1/2 и D) совпадает с B)); при этом в.ф. в момент появления уровня
имеет вид Ф = СЛ(у9г"|/2^)/\/г (при г > в), где /3 = vyjbma/h2; Ф = 0 при г < а.
E)
а в.ф. в момент появления уровня: Ф = CJy+, (/?г'/2("+|')/\/г при г < а и Ф = С^/а х
JK+,(/8al/2<"+0)/r при г>а; здесь /3 = (v+ 1)^8то/й2.
В случае * = 1 («обрезанный» кулоновский потенциал) из E) следует: таа/Л2 = голг/8-
Имея в виду значение хО| и 2,40 первого нуля функции Бесселя Jo(x), находим условие
существования связанных состояний в таком потенциале: maa/h2 ^ 0,72.
4.26. Обсудить вопрос об условиях существования и появления новых связанных
состояний частицы с отличными от нуля значениями орбитального момента при углу-
углублении потенциальной ямы на основе уравнения Шрёдингера для Е = 0. Каково
качественное отличие волновой функции в момент возникновения связанного состо-
состояния с I Ф 0 по сравнению со случаем I = 0? Рассмотреть конкретные потенциалы
о) U = —« 6(г - а); б) U = —а/г* при г > а и U = оо при г < а, рис. 20.

104 Глава 4. Движение в центральном поле
Решение. Условию появления нового связанного состояния с моментом I отвечает су-
существование решения у. Ш. с Е = 0, радиальная функция которого имеет при г —• оо
асимптотику Л « Сг'1'1 (в общем случае Я « Аг' + Сг~'~'), сравнить с 4.25. При этом
в случае / Ф 0 в. ф. в момент появления уровня нормируема на единицу, т. е. отвечает истинно
связанному состоянию.
а) Радиальная в. ф. в момент появления уровня (т. е. при Е = 0) согласно (IV.5) имеет
вид х = Аг'*х при г < а и х = С/г' при г > а. Сшивание решения в точке г = а согласно 2.6
дает: С -¦ Аа21*' и 2таа/Н2 = B1 + I), что и определяет условие появления единственного
дискретного уровня с моментом 1 при углублении E-ямы. Отметим, что для нормировки в.ф.
в момент возникновения уровня с / Ф 0 на единицу следует выбрать
б) Уравнение (IV.2) для U = -а/г4 при Е = 0 заменой переменной х = 1/г приводится
к виду
Его решение Я = y/zJM/2(Va х), или Я = »"~l'2J|+i/j(v'e/r),дает для г > а радиальную
в. ф. в момент появления уровня; при этом условие Я(а) = 0 приводит к соотношению •/5/а =
xifi/itf. определяющему условие существования такого уровня, здесь хмцц — N-Л нуль
функции Бесселя 7ц.|/2(г), не считая х = 0.
4.27. Параметры центрального потенциала Щ(г) таковы14', что в нем имеется
состояние дискретного спектра с моментом I = 0 и Е = 0. Волновая функ-
функция Фо = Xo{r)/V4^r этого состояния {т.е. в момент возникновения уровня) считается
известной и нормированной, для определенности, условием Хо(г) ~~* ' при г —* оо.
Показать, что смещение этого уровня 6Е0 под влиянием малого возмущения 6U ^ 0
описывается выражением
?[У] A)
Применить полученный результат к потенциалу U = -ог<5(г - а) и сравнить
с точным решением, см. 4.8 а.
Решение. Запишем у. Ш. (IV.S) в потенциале Uq(t) при Е — 0 и в потенциале Uo + SU при
энергии 6Е0 = —й2к2/2п»:
-Xi' + &(г)Хо = 0, -х" + (&(r) + 6U(t) + к2) х = 0 A)
(У = 2mUlh*). Умножив первое из них на х(г), а второе — на Хо(т) н почленно вычтя,
получаем
? (ХоХ - Xix) = FU(r) + xJ) xxo- B)
Проинтегрируем теперь B) по г в пределах от г = 0 до г = о, где а — радиус
потенциалов 1/0(г) и 6U(r). Учитывая, что: I) хо(О) = х@) = 0; 2) хо(о) = 1 и х'о(а) = 0;
5) х(г) и Хо(г) ПРИ г 2s ° (это условие фактически определяет нормировку в.ф. х(г)>
нормировка же функции Хо(г) определяется ее асимптотикой: Хо(г) — 1 при г > о), при
м' При решении считать для простоты, что U = 0 при г > а, а — радиус потенциала. Утверждение за-
задачи сохраняется и для потенциалов, убывающих при г —• оо быстрее, чем а 1/г2. В связи с задачами 4.27
и 4.28 см. также 13.49.

§ 2. Состояния с малой энергией связи 105
этом х(а)а е~*° й 1 и х'(а) и -хе~ы » -у, в результате интегрирования получаем
о а
-х = У X(r)*>(r) W(r) dr + к2 У х(г)хо(г) *. C)
В первом из интегралов в C) можно положить х * Хо и затем устремить а -» оо. Второе же
слагаемое справа, ос х2, можно опустить (оно мало по сравнению с х в левой части). Таким
образом находим
x*f(-eV)xl(r)dr,
о
а с ним и выражение для сдвига уровня, приведенное в условии задачи.
Для б-потенциала уровень с Е — 0 возникает при значении а = а0 таком, что maoa/h2 =
1/2, см., например, 4.26. При этом в. ф. в момент возникновения уровня имеет вид: Хо = '
при г > а и хо = г/° ПРИ г <а,а 6U = -(а - ао) 6(г — а). Соответственно сдвиг уровня при
малом а - ао > 0 равен
что совпадает с результатом точного решения, см. 4.8 а).
В заключение приведем еще один вывод формулы для сдвига уровня, основанный
на соотношении A.6). Для этого запишем потенциал в виде U(r) = U0(r) + A SU(r), где А ^ 0.
При этом энергия уровня 6Е<>(Х) = -h2x2/2m также зависит от А, причем 6Eq(\ — 0) = 0.
Согласно A.6) имеем
|j ^о(А) = У 6U(r)Xl(r, A) *-, D)
о
где Хо(г> А) — нормированная на единицу в. ф. Эта функция просто связана с хо(г):
Действительно, при г ? а функция хо(г>л) лишь множителем отличается от Хо(г) (ПРИ эгом
е~" w 1), а при г > 0 имеем Хо(г; л) — С(х)е~" (при этом Хо(г) = О- Д™ нормировки
в. ф. хо(г; А) следует выбрать С2(х) я 2х (доминирующую роль в нормировочном интегра-
интеграле играет область г ~ 1/х > а, в которой Хо(г>л) = С(х)е~"). С учетом сказанного D)
принимает вид
JL вд,(Д) = -^ g « 2х у W(r)xj(r) dr.
о
Интегрируя это соотношение «(А = 0) = 0), находим
о
Отсюда при А = 1 и следует выражение для сдвига уровня.
4.28. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай I Ф 0 имеет
вид
6Е, = j 6U(r)(xf\r)J dr,

106 Глава 4. Движение в центральном поле
где х\ ~ волновая функция в момент возникновения уровня (фО = х\ Yim/r)
нормирована уже обычным условием /(х; ) dr = I.
о
Обратить внимание на различные законы углубления уровня, 6Е/ ос 6U и 6Е$ ос
-FUJ, под влиянием возмущения в случаях I Ф 0 и 2 = 0 соответственно. Применить
полученный результат к б-потенциалу и сравнить с точным решением, см. 4.9а).
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Хотя теперь уравнения (I) этой задачи
изменяются за счет членов с центробежной энергией, соотношение B) сохраняется и при 1^0.
Проинтегрировав это соотношение по г в пределах от 0 до со, получаем
00
]
Х,(г)Х?\г) ОЦг) dr + x2j XiMxfV) * = 0. A)
В существенной при интегрировании в A) области г ~ а имеем Xi ~ Xi (ПРИ ' = О
во втором интеграле такая замена не оправдана из-за возникающей расходимости). При
этом, имея в виду нормировку f(xi) dr = 1 для в. ф. х\ ¦ сразу находим значение х2,
воспроизводящее приведенное в условии задачи выражение для сдвига уровня.
Отметим, что различие законов углубления уровней под влиянием возмущения: SE ос 6U
при J Ф 0 и ЬЕ <х —(SUJ при I = 0 отражают то обстоятельство, что при 1^0 состояние
с Е = 0 является истинно связанным состоянием и ему отвечает нормируемая на единицу в. ф.;
в случае же I = 0 это не так — в. ф. ненормируема. Физическая причина такого различия свя-
связана с наличием центробежного барьера, препятствующего «уходу» частицы на бесконечность.
Для ^-потенциала в момент возникновения единственного уровня (с данным () име-
имеем 2maoa/h2 = BJ + 1), см. 4.26; там же приведена нормированная в.ф. в момент возникно-
возникновения уровня. При этом 6U = -(о - его) 6(г - а) и энергия уровня при малом (а - а0) > О
оказывается равной
что совпадает с результатом точного решения, см. 4.9а).
В заключение отметим, что при I ФО выражение для сдвига уровня имеет вид формулы
теории возмущений 1-го порядка по взаимодействию 6U(r), см. (VIII. 1). Отметим также
еще один простой вывод выражения для сдвига уровня, основанный на использовании
соотношения D) из предыдущей задачи. Так как при I Ф 0 в. ф. х\ (г) нормирована
на единицу, то в области г < а, вносящей основной вклад в значение интеграла в указанном
соотношении, можно положить Xi(r; А) я х'0)(г) (сравнить с / = 0, когда функции Хо(»";А)
и Хо(г) имеют различную нормировку!). При этом соотношение D) из 4.27 сразу приводит
к выражению для сдвига уровня.
4.29. Найти|5) сдвиги энергетических уровней частицы в центральном поле U(t)
под влиянием потенциала нулевого радиуса (п. н. р., см. 4.10), считая их малыми
по сравнению с расстоянием между невозмущенными уровнями. Спектр и собственные
функции оператора Гамильтона для потенциала U(r) считать известными. Указать
условие применимости полученного результата. В качестве иллюстрации рассмотреть
его приложение к задаче 4.11.
Решение. Под влиянием п. н. р. происходит сдвиг лишь «-уровней. Нормированная радиаль-
радиальная в. ф. невозмущенного состояния при малых г имеет вид л!0>(г) ~ fij,0>@). Обозначим
через L расстояние, на котором еще можно считать функцию J2n°'(r) постоянной (значение L
"' По затронутым в задачах 4.29-31 вопросам см. также 11.4 и 9.3.

§ 2. Состояния с малой энергией связи
107
зависит от конкретного вида V(r) и энергии уровня Е^}). При наличии п. н. р. радиальная
функция, согласно 4.10, при малых г ведет себя следующим образом1":
°ог
A)
! (
и сильно отличается от л! (г) при г -» 0 за счет члена а 1/г. Однако если \a0L\ 2> 1, то
!0)(
при г ~ Ь функция Дп(г)
я<0)«»
мало отличается от Д), (г) (рис.22). Это означает, что в та-
такой ситуации сдвиг уровня под влиянием п.н.р. мал"',
а в. ф. Я„ и Л„ мало отличаются друг от друга при
всех г > L (именно эта область вносит доминирующий
вклад в нормировочный интеграл).
Для нахождения сдвига уровня поступим следую-
следующим образом. Напишем два у. Ш. (IV.S):
Рис. 22
2m
B)
(X = гА). Хотя эти уравнения одинаковы по виду, они
отличаются характером граничного условия при г —» 0:
~ •я^°>г ос г, а при его наличии х„ к Л„г « const, где Л„(г)
определяется A). Умножая первое из уравнений B) на х>, а второе — на Хп4, почленно
вычитая и интегрируя по г в пределах отг = 0дог = оо, получаем
в отсутствие п. н.р.
.] |" =
X$V)x.(r) *.
О)
Левая часть здесь равна ft2fli,0J@)/2ma0. В правой части можно заменить Хп(г) на Хп'(г)
(такая замена не оправдана при малых г, но эта область не вносит существенного вклада
в значение интеграла), так что интеграл приближенно равен единице. Таким образом, из C)
следует искомое выражение для сдвига уровня:
=2^(Ф<»Jа0. D)
Здесь ао = 1/а0 — длина рассеяния на п.н.р. (см. 13.20).
Отметим, что приближение D) для сдвига уровня называют формулой теории возмущений
по длине рассеяния. Эта формула применима и в случае нецентральных потенциалов U{r),
см. 4.31 а также 8.61.
Рассмотрим применение формулы D) в условиях задачи 4.11. При этом
П\ • @) ЛГ
"' Предполагается, что rU{r) -> 0 при г -» 0. Для более сингулярных потенциалов асимптотика (I)
модифицируется и граничное условие из 4.10, определяющее п. и. р., уже не может быть реализовано.
В частости, оказывается несостоятельным моделирование потенциалом нулевого радиуса сильного ко-
короткодействующего потенциала при существовании на малых расстояниях кулоновского взаимодействия
(хотя формула теории возмущений по длине рассеяния остается справедливой).
"'Заметим, что график на рис.22 отвечает значению <>о > 0, когда в л.н.р. имеется уровень д.с.
с энергией Es = -AJaJ/2m, причем \BS \ 3> \ЕП'\ ~Л2/">?2. При нарушении условия ао? 3> 1 энергия
уровня в л.н.р. такого же порядка величины, как и у уровней Е„ в потенциале U(r). Однако в этой
случае сдвиги уровней велики: сравнимы с расстоянием между ними, так что возникает перестройка
спектра (см. 4.11 и 9.3); формула D) при этом неприменима.

108 Глава 4. Движение в центральном поле
где xi0> = *(п, + 1)/о (не путать радиус ямы а с длиной рассеяния о0!) и
АЕ, и
что при «i0) < \ао\ совладает с результантом точного решения. Последнее неравенство, как
нетрудно заметить, соответствует условию применимости |ао?| > 1 формулы D).
4.30. Показать, что обобщение результата предыдущей задачи на случай, когда
состояние Фп (г) является слабосвязанным, имеет вид
, 2
Е„ Rs —
где -RrfV) ~ радиальная волновая функция в момент появления s-уровня с Е = 0,
нормированная условием гй), (г) —» 1 при г -+ оо.
Решение. Применимость формулы D) предыдущей задачи предполагает, что сдвиг уровня
мал по сравнению с энергией связи частицы. Однако если невозмущенное состояние имеет
аномально малую энергию, то она допускает простое обобщение и на случай, когда сдвиг срав-
сравним с энергией связи. Это обобщение может быть получено непосредственно из формулы C)
из 4.29, если учесть следующие обстоятельства.
Во-первых, в. ф. невозмущенного состояния в поле С/(г) с малой энергией связи просто
связана с в. ф. й„ (г) в момент появления уровня (при Е = 0, сравнить с 4.27):
@
Во-вторых, совершенно аналогично, в.ф. состояния, возмущенного п.н.р., при r>L
имеет вид
JL*y/bZmr)e-', Xn = /^f B)
(в. ф. A) и B) нормированы на единицу). С учетом A) и B) из выражения C) предыдущей
задачи находим (х — rR)
^r ^() C)
(при вычислении интеграла следует учесть, что его значение определяется, в основном,
областью больших г, где подынтегральная функция ос ехр {~(х„ + х„ )г}). Отсюда и следует
приведенное в условии выражение для энергии уровня; при этом х„ = xi°' - я1°J@)/а0.
При к„ > |j?i (О)/ао| сдвиг уровня мал и полученный результат переходит в 4.29.
Отметим в заключение, что рассматриваемое состояние является истинно связанным лишь
при к, > 0, в противном случае уровень является виртуальным "\
4.31. Частица находится в поле Г/(г) (причем rU —> 0 при г —> 0) и испытывает
также действие потенциала нулевого радиуса, локализованного в точке г = 0, см. 4.10.
Считая известной функцию Грина частицы Go (г, г1; Е) в потенциале U(r), показать,
"'Заметим, что в зависимости от величины и знака ао, под влиянием п.н. р. виртуальный уро-
уровень в потенциале С/(г) может стать реальным или, наоборот, реальный уровень может превратиться
в виртуальный.

§ 2. Состояния с малой энергией связи 109
что спектр связанных состояний в рассматриваемой системе может быть определен
из уравнения">
Получить отсюда для сдвига уровня результат теории возмущений по длине рассеяния
(см. задачу 4.29, а также 11.4):
B)
здесь а© н 1/ао — длина рассеяния в п. н. р., Ф}, (г) — волновая функция невозму-
невозмущенного уровня, существующего в потенциале U(r), а АЕп — его сдвиг под влиянием
п. н. р.
Решение. Имея в виду уравнение для функции Грина, ее убывание при г -¦ оо и пове-
поведение а 1/г при г —» 0, замечаем, что в. ф. связанного состояния в потенциале U(i) при
наличии п. н.р. имеет вид
Ф„(г, В.) = С„С0(г, 0; Ея) =С„^-2\- + А(ЕЯ) + ...], C)
С„ — нормировочный коэффициент (при этом существенно ограничение г{/(г) -» 0 при г -¦ 0
на потенциал; иначе указанное разложение не справедливо и переход к приближению п. н. р.
невозможен). Сравнив разложение C) с выражением, определяющим п. н. р., см. 4.10,
получаем уравнение для спектра уровней
А(Еп) = -о», D)
которое эквивалентно приведенному в условии задачи.
В частности, для «свободной» частицы, V = 0, уравнение D) принимает вид к = а0
и в случае а0 > 0 описывает связанное состояние, существующее в п.н.р., см. 4.10.
В случае большого значения о0 (в пределе а0 -> оо) корни уравнения D) близки к зна-
значениям Ех , являющимся полюсами функции Грина и отвечающим спектру в изолированном
потенциале U(r). Имея в виду выражение для функции Грина
_, , ^ ф?'(г)ф!;"(О
G0(r, г, В) = ^ д(о) _ в ¦ E)
замечаем, что при г' =0, т —>0 и Е — Е^ она имеет вид
Отсюда Л(^п) « 2я-Л2|Фл @)| /т(Е« - Д,), и из D) следует приведенное в условии вы-
выражение B) для сдвига уровня АЕп = Д, - J5i0> (для п. н. р. длина рассеяния щ, = а^',
см. 13.20).
4.32. Для монотонного потенциала притяжения: U'(r) >0и U(r) —» 0 при г —» оо,
показать, что выполнение неравенства
оо
^j\l-2mV(r)dr>\ (I)
о
является необходимым условием существования связанного состояния в таком потен-
потенциале; сравнить с 4.21.
"' Многочисленные приложения этой формулы рассмотрены в [20].

110 Глава 4. Движение в центральном поле
Решение. Рассмотрим потенциал U(r), для которого волновая функция в момент возникно-
возникновения связанного состояния, т.е. при Е = 0, имеет вид
00
Хо = cos ( - I po(r)dr), где ро(г) = yJ-2mU(r). B)
Г
Эта в.ф. удовлетворяет уравнению JJ - Bm/ft2) С/"хо = 0 с потенциалом
г
и отвечает условию появления первого связанного состояния в таком потенциале в случае20'
\- D)
При этом, записав V(r) = U(r) +SU(r), замечаем, что 6U(r) ^ 0, так что потенциальная
яма U(r) мельче, чем У(г). Отсюда и следует утверждение задачи.
Для прямоугольной потенциальной ямы глубины G0 и ширины а рассматриваемое
необходимое условие принимает вид Щ ^ Л2я-2/8та2, что совпадает с точным условием
существования связанных состояний. Для экспоненциальной ямы, U = -U^r''1', получа-
получаем ma2t7o/fi2 > я-2/32 я 0,31, сравнить с 4.21.
§ 3. Системы с аксиальной симметрией
4.33. Найти энергетические уровни дискретного спектра частицы в двумерной потен-
потенциальной яме вида
а) U(p) = -а 6(р - о);
б) U = -Щ при р < а и U = 0 при р > а,
отвечающие значению проекции момента т — 0. Специально обсудить случай мелкой
ямы; сравнить с одномерным движением.
Решение. У. Ш. в двумерном случае для состояний с т = 0 и энергией Еп>о имеет вид (/i —
масса частицы)
а) Решение уравнения A) для ^-потенциала в случае Enftt = -ft2x2/2m < 0, ограни-
ограниченное в нуле и равное нулю на бесконечности, имеет вид: Я/(р) = с,/о(хр) при р < а
и Ф = с2Ко(хр) при р > а Aо(х) и Кй(х) — модифицированные функции Бесселя). Условия
сшивания решения в точке р = а, такие же как и в 2.6, приводят к соотношению
(^) Ко(*Ш*), B)
х = ха, определяющему спектр. Используя значение вронскиана W (lo(x), К0(х)) = -1/х,
запишем B) в виде
I
К0(хаI0(на) = I, Ц = ^. C)
*' Это соотношенке обеспечивает выполнение граничного условия хо(О) = 0; об условии на беско-
бесконечности, хо -* 0 при г -• оо, см. 4.25.

§3. Системы с аксиальной симметрией 111
Рассмотрим сначала случай, когда уровень имеет малую энергию (на < 1). Используя
асимптотики I0(z) » 1 + z2/4 и K0(z) и In B/-fz) при z -» 0, имеем21' из C)
Ч*7«
причем ( < 1, т.е. уровень с малой энергией связи может быть только в случае мелкой ямы.
Это означает, что в й-яме имеется только один уровень (с m = 0), как и в одномерном случае.
С увеличением а уровень понижается и при { > 1 его энергия Еда * -/ia2/2h2, что легко
получить из C), если воспользоваться асимптотиками K0(z) и I0(z) при г -+ оо.
б) Решение уравнения A) для прямоугольной потенциальной ямы имеет вид
с,J0(kp), p<a, k = ,@\nr0\)/\
E)
р>а, х = ^-2/iJS^o/ft2.
Из непрерывности ФП|>о и Ф^о при /> = а следует
кМка)К'0(ка) = *Ji(*a)/f0(xo), F)
что является уравнением для спектра уровней с m = 0.
В случае мелкой ямы, ( = ра'Щ/Н2 < 1, аргументы цилиндрических функций в F)
малы. Так как
Jo(*)«l, Jo(*)»-f. -K-o(*)»In (J^j , Xj(*)«-^
при z ^ 1, то уравнение F) принимает вид
^„-|^ol)^ln^gl«l. G)
Это уравнение имеет только один корень
2й2
который легко найти, если заметить, что из G) следует \Enft>\ < Щ, и пренебречь \Е„го\
по сравнению с Щ.
Таким образом, в мелкой двумерной яме, как и в «симметричной» одномерной, всегда
имеется одно связанное состояние. Однако теперь глубина залегания уровня, как видно из D)
и (8), мала по сравнению с глубиной ямы уже экспоненциально.
4.34. Найти энергетический спектр связанных состояний частицы с произвольным
значением проекции момента т в двумерных потенциальных полях:
а) U(p) = -alp;
б) U = 0 при р < а и U — оо при р> а.
Указать кратность вырождения уровней.
Решение. У. Ш. принимает вид (ф„,га = AvWe'"II47v'5)r)
о) В случае U = -а/р уравнение A) имеет такой же вид, как и уравнение (IV.6),
отличаясь от последнего лишь заменой ( + 1/2 на |т|. Соответственно, используя известное
2|) Здесь 7 = 1,781... — постоянная Эйлера.

112 Глава 4. Движение в центральном поле
выражение для уровней энергии в кулоновском трехмерном потенциале и заменяя в нем 1 +1 /2
на \т\, находим
Отсюда видно, что в двумерном поле U = -alp, как и в трехмерном U = -а/г, имеет место
случайное вырождение, так как энергия зависит только от комбинации пр + \т\ квантовых
чисел п„ и т. Если ввести квантовое число N = пр + \т\ + 1 (аналог главного квантового
числа п в кулоновском поле), то выражение B) можно записать в виде
^--^(tf-I); W-U W
Этот уровень имеет кратность вырождения g(N) = 2ЛГ - 1.
б) Решение уравнения A) в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы при р<а,
ограниченное в нуле, имеет вил
При этом условие обращения в.ф. в нуль на стенке ямы определяет спектр
где акт > 0 — к-Л нуль функции Бесселя /„(а) (в порядке возрастания а4т). В част-
частности, учитывая значения ai0 а 2,40 и аи ~ 3,83, находим энергии основного уров-
уровня Ею » 2,88ft2//ia2 (для него m = 0) и Ещ и 7,33ft2/pa2 — самого нижнего уровня
с (|т| = 1). Отметим, наконец, что уровни, отвечающие m = 0, являются невырожденными,
а для \т\ фО — двукратно вырожденными.
4.35. В двумерном случае найти функцию Грина свободной частицы при энергии
Е < 0, убывающую при р —> оо.
Решение. Функция Грина удовлетворяет уравнению
HGE = ~(A-x2)GE(p,p') = S(p-p') A)
(х = у-2AЕ/Н2 > 0). Из соображений симметрии представляется очевидным, что она
является функцией вида Ge(p, р') = f[\p - р'\). При этом уравнение A) при р Ф р' и его
решение имеют вид
(? ?) ^М, B)
где Ka(z) — функция Макдональда (второе независимое решение, ос h(xp), экспоненциально
растет при р —» оо).
Для определения с проинтегрируем обе части уравнения A) по кругу малого радиуса е
с центром в точке р = р'. При этом в правой части получаем единицу. Интегрирование
второго слагаемого в левой части (с х2) дает нуль при е -» 0. Интеграл же от первого
слагаемого преобразуем с помощью теоремы Остроградского—Гаусса:
/
= / VG? dS.

§ 3. Системы с аксиальной симметрией 113
В двумерном случае dV = dS, dS = Л = n <fl22). Так как при х -> О имеем К„(х) « In 2/42,
то VJTo(«/>) « -p/fi2 при /> —> 0 и в результате интегрирования получаем vh с/р = 1, так
что окончательное выражение для G? имеет вид
, _ рЯо(*|р-р'|)
) Р ) - ^5 • C)
4.36. То же, что и в предыдущей задаче, но для Е > 0. Рассмотреть функции
Грина GE , имеющие асимптотики при р —> оо вида расходящейся и сходящейся волн.
Решение. Рассмотрение, аналогичное проведенному в предыдущей задаче, приводит к следу-
следующему виду функций Грина:
Gf(p, р') = ±: ^ Я^2)(х|р - р'\), (I)
^''2\г) — функции Ганкеля.
4.37. Найти функцию Грина Ge{<P, <p') плоского ротатора (см. 3.2). Рассматривая ее
как аналитическую функцию комплексной переменной Е, показать, что она имеет
особые точки — полюсы, и установить связь между положениями этих полюсов
в плоскости Е и энергетическими уровнями ротатора, сравнить с 2.26.
Решение. Функция Грина удовлетворяет уравнению
" \»у /
здесь х = y/UE/h1. Из соображений симметрии очевидно, что GE является функцией
вида Gb = Ge(\v> ~ f'\)- При этом из уравнения A) при <р Ф <р' следует
GE = Ccos [x\<p - <р'\ + а].
Значение С = 7/xfi2 sin а вытекает из условия сшивания функции GE в точке <р - tp' (сравнить
с 2.6), а величина а находится из условия равенства функции Грина и ее производной по <р
в точках ip-ip' = ±it, соответствующих одной и той же точке пространства, и равна а = -xit.
Таким образом, функция Грина имеет вид
^1 B)
Она имеет полюсы в точках х = ±т (т — целые числа, га = 0,1,2,...), т.е. в точ-
точках Ет = h2m2/2J плоскости комплексной переменной Е. При этом, как и следовало
ожидать, положения полюсов совпадают со значениями энергетических уровней ротатора.
4.38. Найти функцию Грина Gs(n, n') сферического ротатора, п — единичный вектор
вдоль оси ротатора (см. 3.3). Задачу предлагается решить двумя способами:
1) непосредственно решая уравнение для функции Грина,
2) используя общий алгоритм построения функции Грина; см. [15, с. 136].
Решение. I) Функция Грина является решением уравнения
[ш-4). A)
32) Обращаем внимание на то, что орт п (орт «внешней нормали») перпендикулярен контуру интегри-
интегрирования. В данной задаче
d\ = ndl= ^pdtp= pdtp (p = |pp| = e)

114 Глава 4. Движение в центральном поле
Из соображений симметрии представляется очевидным, что Gg является функцией вида Gg =
Gfj(nn'), т.е. зависит только от угла между векторами п и п'. Соответственно, выбрав
направление полярной оси по вдоль п' и введя обозначения z - ооо = cos $, В = h2v(v+1)/2/,
перепишем уравнение A) в виде
A - z')GE(z) - 2zCF(z) + v(v + l)GB(z) = -H й(„ _ „,). B)
При в фа (т.е. при z Ф 1) правая часть B) равна нулю; решение такого уравнения, как
известно [33], можно представить в виде
C)
где #t(z) — сферическая функция Лежандра 1-го рода. Так как Й^A) = 1, а УР„ -» со
при г -• -1, то в C) следует положить сг =0; значение же с, определяется б-функционным
слагаемым в B). Для определения с, рассмотрим предел z —> 1, положив гг 1- в7/2.
Уравнение B) при этом принимает вид
совершенно аналогичный уравнению для функции Грина свободной частицы в двумерном
случае23' (см. 4.35.). Так как24)
B\ в1
- J sm (я-!/) In в при z = 1 - — -> 1,
то, имея в виду результат задачи 4.35, находим значение с( = -7/2Л2 sin тге и окончательный
вид функции Грина
2/i simrf 2 \ ft' 4
2) Нахождение функции Грина по общему методу сводится в данной задаче к вычислению
суммы
GB(n,B) = ^ , F)
I, П
где Ei —Л2Ц1+1)/21 — уровни энергии ротатора, У1га — шаровые функции, соответствующие
с. ф. гамильтониана. Воспользовавшись теоремой сложения для шаровых функций (см. (III.б)),
выражение F) можно преобразовать к виду
I ^ B1+ 1)Р,(пп')
? 2хЬг2^Щ+\)-1>(у+\у К>
Используя также соотношение (см. [33, с. 1033])
замечаем, что выражения F) и G) совпадают с E).
н' Такая аналогия не случайна, так как оператор — Iг является лапласианом на сфере, а малая часть
сферы совпадает с касательной плоскостью. При этом вектор я — во приближенно перпендикулярен во
и |n — nol к в является аналогом переменной р.
м' Этот результат легко получить из известного соотношения |33]
. „v 2 / cos (v +l/2)/3 J
J>Jcose) = - I '-IZ— da,
замечая, что при в ~> х интеграл расходятся на верхнем пределе, и вычисляя его расходящуюся часть.

Глава 5
Спин
1) Волновая функция частицы со спином з имеет Bs + 1) компоненту и в
sz -представлении изображается в виде столбца
U(r,s-l)
*= : - (V.I)
где V(ricr) является амплитудой состояния с проекцией спина на ось z, равной а,
причем а = $, з — 1,..., —5. В этом представлении операторы компонент вектора
спина — механического момента по своей физической природе — изображаются
матрицами ?,, ?„, $2, элементы которых определяются общими формулами (Ш.9)
и (ШЛО) с I = з, т = а; матрица Si диагональна и (?*)„• = а Ьа<?.
Для спина з = 1/2 эти операторы ?= а/2 выражаются через матрицы Паули:
Матрицы Паули обладают следующим свойством'':
(V.3)
(здесь t, к — 1, 2, 3; при этом <Г| = ох, di = ?у, ?3 = <?г)-
В случае а = 1/2 для компонент спиновой функции часто используются обозна-
обозначения ij>\ =i>(<r = +1/2) и ¦фг = ^>{<f — -1/2), так что * = ( ?' 1, а скалярное про-
произведение в спиновом пространстве записывается в виде (Ф | Ф) = Ф'Ф = у>*^| +<рЦ>2 ¦
Отметим характерное для s — 1/2 свойство произвольного спинового состояния:
возможность всегда указать такое направление, вдоль которого проекция спина имеет
определенное (равное ±1/2) значение. Если записать нормированную на единицу
спиновую функцию наиболее общего состояния в виде
то0иу;(О<0$1г, 0<у?< 2тг) определяют полярный и азимутальный углы такой
оси п, вдоль которой в„ = +1/2, см. 5.3 и 5.9.
2) Часто приходится иметь дело со спиновым состоянием, описываемым ма-
матрицей плотности р. Элементы р„& такой матрицы сопоставляются билинейной
"В частности: а\ = а\ = а\ = \, агау = iSt, и т.д. Из (V.3) следует антикоммутативность разных
матриц Паули: д,дк + дк9, = 0 для i jt к.

116 Глава 5. Спин
комбинации il>(a)f(a') из спиновых волновых функций и могут рассматриваться
как результат некоторого усреднения ее2):
/W=#r,A)W, A) (V.5)
(здесь А — параметр усреднения). При этом среднее значение оператора (матрицы) /
в спиновом пространстве описывается выражением
)- (V.6)
Для спина s = 1/2 матрица плотности может быть записана в виде
l (V.7)
где Р = 2s — так называемый вектор поляризации. Случай Р = 0 соответствует пол-
полностью неполяризованному состоянию, а при |Р| = 1, наоборот, состояние является
чистым и описывается спиновой функцией (V. 4) с выбором соответствующей оси п
вдоль вектора Р.
§ 1. Спин 8 = 1/2
5.1. Для частицы со спином з = 1/2 найти собственные значения и собственные
функции операторов ?„?(и?г, соответственно.
Решение. С. ф. Ф,г = ( ? J и с. э. », оператора Тг = ajl находятся из решения уравне-
уравнеили Ь — 2ага, а = 2зхЬ. Нетривиальное решение этой системы уравнений существует при
условии 4sJ = 1, определяющем возможные значения (спектр) величины sx = ±1/2. При
этом а = Ь для !, = 1/2 и g = -6 для sx = -1/2. Нормированные на единицу, так что
<*-. I *.,> = М2 + № = 1. сф. Ф., имеют вид
Аналогично находим
5.2. Указать вид оператора проекции спина ?. на произвольное направление, зада-
задаваемое единичным вектором п. В состояниях с определенным значением проекции
спина на ось z найти s,. Каковы в этих состояниях вероятности значений проекции
спина ±1/2 на направление п?
2' Матрица плотности нормирована условием Sp р = 1. Ее диагональные элементы >w определя-
определяют вероятности соответствующих значений <г проекции спина на ось г. В случае р2 = ? матрица
плотности имеет вид /><,„' = У>(<т)У>'(<г') и характеризует чистое состояние, олисываемое уже волновой
функцией i>(a).

§1. Спин s = 1/2 117
Решение. 1) Оператор спина ? = 9/2 является оператором веюгорной (точнее, псевдовектор-
псевдовекторной) величины и поэтому оператор 3". проекции его на произвольное направление а (п2 = 1)
должен выражаться через операторы компонент 7Х, ?„, ?, так же, как и в случае обычного
(неоператорного) вектора, т. е.
?, = ris = - па = - (sin в cos <р • ах + sin 0 sin <р ¦ о, + cos 0 ¦ 9,),
где в, >р — полярный и азимутальный углы направления п. Используя явный вид матриц
Паули (V. 2), имеем
W cos0 е-»iin«\ ,
'"i9 0 ) ' *''
"~ 2 Ve'"sin9 -cos0
Ф,,=1/2 = ( о )
2) Значение 5. в состоянии
*.-<tftit).(i
Аналогично для состояния с », = -1/2 находим 5„ = -cose/2 (отметим, что соотноше-
соотношение s, = s, cos6 аналогично результату 3.11).
Обозначим и>(+) вероятность значения з, = +1/2, при этом и>(—) = 1 - to(+) —
вероятность значения я, = -1/2. Учитывая, что s, — s, cos в, находим
5. = «>(+) • - + Ц-) • (—A = -[2iu(+)- ll = s, cos»,
w(+) = -(l + 2aIcose), w(-) = -(l-2a,cose). B)
5.3. В случае спина s = 1/2 нормированная волновая функция наиболее общего
спинового состояния имеет вид31 Ф = I 1/3 . 1, где 0<«< %,0^ р < 2т. Найти
полярный и азимутальный углы такой оси п в пространстве, вдоль которой проекция
спина имеет определенное значение, равное +1/2 (возможность указать такую ось для
произвольного состояния — специфика спина 5 = 1/2; сравнить с результатом 3.42
для момента L = 1).
Используя полученный результат, решить задачу 5.1.
Решение. 1) Найдем сначала с.ф. Ф,,=|/2 = ( ¦, ) оператора проекции спина на направле-
ние п. Используя явный вид оператора ?,, установленный в предыдущей задаче, из уравнения
на с. ф.
».*..»1/2 = j Ф..=1/2
получаем соотношение a sin @/2) = be'"* cosF/2). Отсюда, выбрав (для нормировки на I)
а = cos@/2), находим b = e1"sin @/2), так что спиновая функция Ф,.=|/2 принимает вид,
указанный в условии задачи; при этом 0 = 2а и <р = /3 определяют искомые полярный
и азимутальный углы.
2) Выбрав 0 = 2а = тг/2, ip = /? = 0, находим с.ф. Ф,,-1/2. При в ¦= т/2 и <р = *
получаем с.ф. *j,«-i/2, и т.д.; сравнить с результатами из 5.1.
5.4. Показать, что коэффициенты в разложении произвольной квадратной матри-
матрицы 2-го ранга А по полной системе матриц \,сх,?„,<?z:
А = о0Т + ахах + uyffy + агаг = о0 + яЭ A)
равны 2оо = Sp jf, 2a = Sp(<7.4).
J* С точностью до фазового множителя е'1.

118 Глава 5. Спин
Решение. Взяв шпур от обеих частей соотношения A) и воспользовавшись тем, что Spir, = О,
Sp I = 2, находим
а0 = - Sp A.
Далее, умножив обе части A) на матрицу at справа, опять вычислим шпур. Используя при
этом соотношение (V. 3), находим
пъ — ~«Р(л0>1 — T^plO^A i.
2 2
5.5. Упростить выражение (а?)", где а — вещественный числовой вектор, п — целое
число, В — матрицы Паули.
Ответ. (»<?)" = а, если п четное, и (»?)" = а"~'(а<г), если п нечетное.
5.6. Найти:
1) собственные значения и собственные функции оператора / = а + ЬЭ;
2) явное выражение для оператора вида F = F(a + Ь<?); здесь а и b —
вещественные скалярный и векторный параметры, F(z) — достаточно произвольная
функция переменной г.
Рассмотреть в качестве иллюстрации оператор R(ifio) — ехр {*у>0<?/2}, описы-
описывающий преобразование спиновой функции, Ф' = Л(^0)Ф, при повороте системы
координат на угол <pQ, и с его помощью найти собственные функции Ф,,=±|/2 опера-
оператора проекции спина на направление вектора п (сравнить с 5.3).
Решение. 1) Оператор имеет всего два с.з., равные Д2 = о± 6. Соответствующие им с.ф.
определяются результатом из S.3, причем теперь п = ±Ъ/Ъ.
2) Вид оператора F = F(f) следует из результата 1.22:
F = i [F(a + Ь) + F(a -Ь)] + ^- [F(a + Ь)- F(a - Ь)]Ъ&.
3) В частности, оператор поворота примет вид R(<?0)=cos(<po/2)+ism(<po/2)-((<p0/<po)S).
Чтобы спиновые функции *Jj=±i/j в результате вращения системы координат перешли
в Ф,.=±1/5, вектор <р„ следует выбрать равным <рй — (в sin <p, -9cos<p, 0), см. 3.24, где в и <р —
полярный и азимутальный углы вектора а. При этом R(<p0) = cos (в/2) + i sin @/2)(sin ipax -
cosy»?,), так что
в согласии с 5.3.
5.7. Используя закон преобразования спиновых функций Ф = ( ^' J при вращении
системы координат, Ф' = Д(у?0)Ф (см. предыдущую задачу), показать, что при этом
величины вида
S = Ф'Ф =
не изменяются, т. е. являются скалярами, а вида
или Ц =
преобразуются как вектор.

§1. Спин s = 1/2 119
Решение. Из преобразования (по =
o|}*=(cos^+isin^na?)* A)
следует закон преобразования комплексно сопряженной спиновой функции Ф' = (<р\, <р\):
Ф" = W, tf) = Ф* (cos ^ - ,• sin ? do?) . B)
Отсюда сразу находим, что Ф"Ф' = Ф'ф.
Используя A), B) и соотношение (V. 3), после простых преобразований находим
V = Ф"Э*' = cos vo ¦ V - sin ip0 ¦ (noVI + 2 sin2 ~ ¦ no(noV), C)
что представляет закон преобразования вектора при повороте системы координат на угол <р0.
В частности, при по = @,0, I) (поворот относительно оси z) из C) следует V/ = V, и
Vx' = cos ipn ¦ Vx + sin (ра ¦ Vv, V, = - sin <pa ¦ Vx + cos ifa ¦ Vt.
5.8. Рассмотреть матричный элемент вида4'
| А | Ф('>)(Ф<2) | В j ФО)) s
где >1, В — некоторые матрицы 2 х 2, а Ф'1'2), ф('>2) — спиновые функции. Показать
возможность записи его в форме
|,*=0
с переставленными спиновыми функциями; здесь для единообразия записи положе-
положено 1 = <7о- Записать таким образом скалярные матричные элементы
(ф(Ч|ф@)(фB)|ф0)) и <ф<2> | ff | Ф(|>><Ф<2> | S= | Ф<'>>.
Решение. Выражение АарВ^ можно рассматривать как матрицу3' Ма1(~/, /3), зависящую от р
и 7 как от параметров, и записать ее в виде разложения
з
i-O
где значения Q (f, Р) определяются результатом 5.4. Точно так же можно разложить и С,(у, р).
Таким образом, приходим к соотношениям
3 _ 1
Используя (I), нетрудно получить
(в этом случае Аа/, = 6лр, Вуе = fyt и Ctt = tf,t/2), а также
<ФB) 15 | Ф(|))<ФB) 191 ФA>> = -{
{3
*' Подчеркнем, что здесь индексы 1 и 2 нумеруют различные спиноры, а не различные компоненты
одной и той же спиновой функции!
5>Т.е. положить Matb,P) =. А„0В1б.

120 Глава 5. Спин
(в этом случае А„р = (?i)o/j, Blf - (а(O^ и Coo = 3/2, С,* = -A/2N,к для », к - 1, 2, 3 и
С1,* = 0, если i ?t А:); обратить внимание на скалярный характер всех фигурирующих в этих
соотношениях матричных элементов, см. з связи с этим 5.7.
5.9. Найти проекционные операторы P,,=±i/2 для состояний с определенным значе-
значением проекции спина на ось г.
Какой вид имеет их обобщение Р„,=±|/2 на случай определенного значения проек-
проекции спина на ось, направление которой задается единичным вектором п? С помощью
этих операторов найти спиновые функции Ф,,=±]/2 и сравнить с (V.4) и 5.3.
Решение. Вид искомых операторов непосредственно следует из результата 1.35:
в _ 1±?' и В |±п?
г,,.±\р - —^— и *••=*'/* - —2—'
здесь п2 = 1. Подействовав оператором Р,,=\р на произвольную спиновую функцию Ф,
получаем с.ф. оператора ?., отвечающую с. з. з, = 1/2. Выбрав для простоты вычислений
здесь в, if — полярный и азимутальный углы направления л, а значение С = (cos @/2))
выбрано для нормировки спиновой функции на 1.
5.10. Для системы из двух спинов с s = 1/2 найти собственные функции Ф$&
операторов квадрата суммарного спина и его проекции на ось z. Обратить внимание
на характер симметрии этих функций по отношению к взаимной перестановке спиновых
переменных обеих частиц в зависимости от значения S.
Решение. Вид спиновых функций для S = I и S, = ±1 очевиден:
•¦-AШ, ¦—(!).(?),•
Далее, спиновые функции с 5, = 0 имеют вид
Из уравнения S2*oo = 0 следует, что 5,Фоо = 0, т.е.
{(о.охчо.а),}
Отсюда Cq"'* = -Cj2), при этом из условия нормировки спиновой функции имеем Со'1 = I/V2.
Для определения с[''2> в A) в случае 5 = 1 удобно воспользоваться условием ортогональности
с. ф. <Фоо| Ф,о) = 0, что дает с[° = с}2).
Таким образом, нормированные с.ф. Ф50 имеют вид
.0),}-
Спиновые функции имеют определенную симметрию по отношению к перестановке спиновых
переменных обеих частиц: они симметричны при 5 = 1 и антисимметричны при S = 0
в соответствии с результатом 3.30 (имея его в виду, выражение B) для 4>s,s,=o можно было
написать непосредственно без вычислений).

§1. Cpuhs= 1/2 121
5.11. Система их двух спинов с s = 1/2 находится а состоянии, описываемом спиновой
функцией вида Фо^ = <раХр (мультипликативный вид Фо/з указывает на отсутствие
корреляции между спиновыми состояниями частиц).
Каковы вероятности различных значений S суммарного спина в этом состоянии?
Чему равно значение S2? Рассмотреть, в частности, случай, когда <ра = х<х-
Решение. Запишем спиновую функцию в виде суперпозиции симметричного и антисимме-
антисимметричного слагаемых:
*O0 = J^faXff + XaVp] + jtVoXO - XaVfiY 0)
Имея в виду характер симметрии функций *SSj (см. предыдущую задачу), замечаем, что
первое, симметричное, слагаемое в (I) отвечает 5 = 1, а второе, антисимметричное —
значению 5 = 0. При этом (считаем спиновые функции <ра и Хц, как и Фа0, нормированными
на единицу) норма каждого из этих слагаемых определяет вероятность соответствующего
значения 5, так что
w(S = 0, 1) = \(<&Xfi*W)i*)
знак + отвечает 5 = 1; наконец S2 = 2ш E = I).
5.12. Для системы из двух частиц со спинами s = 1/2 показать, что
1) оператор ir iff г в состояниях, отвечающих определенному значению суммар-
суммарного спина, также имеет определенное значение,
2) оператор (9)92J может быть представлен в виде, содержащем матрицы
Паули а 1,2 в степени, не выше первой.
Решение. 1) Так как S2 = (<?i + atf/A, то а{дг — -3 + 2S2 = 0 и с.ф. оператора S2
являются также собственными функциями и оператора <t\&i, отвечающими с.з., равным -3
(при 5 = 0) и +1 (при 5 = 1).
2) Так как у эрмитова оператора 9t92 только два различных с. з., имеет место соотно-
соотношение (<7]<?2 ~ 0(^1^2 + 3) = 0 (сравнить с 1.21); отсюда (<?i<?2J = 3 - 2?|
5.13. Для системы из двух частиц со спинами s = 1/2 найти оператор спинового
обмена С, действие которого на спиновую функцию Фв/д состоит в следующем:
СФО0 = Ф/ja. т. е. он переставляет спиновые переменные обеих частиц (задача состоит
в том, чтобы выразить С через матрицы Паули).
Решение. Запишем спиновую функцию системы в виде
»^ = »i + »i, где Ф5,
Имея в виду характер симметрии функции Я/ss., замечаем, что Ф^ отвечает суммарному
спину 5 = 1, а Ф",, — значению 5 = 0 (сравнить с E.11)). Поэтому 82Ф„^ = 2Ф^
и соответственно
Согласно определению С, имеем СЯ/ар = Ф/)а = Ф^ - *^s- Из приведенных выше соотно-
соотношений следует
2
(о связи операторов S2 и &\Эг см. предыдущую задачу).
Отметим свойства оператора С. Это — эрмитов оператор. Спиновые функции Ф$ E —
суммарный спин) являются его с.ф., а соответствующие с.з. равны +1 при 5 = 1 и -1
при 5 = 0; очевидно, также С2 = 1.

122 Глава 5. Спин
5.14. Для системы из двух частиц со спином s — 1/2 найти собственные функции
и собственные значения операторов:
о) V] = F(a + ЬЭ\&г), F(x) — некоторая функция х;
б) % = а{
в) ?1 = аа
г) Vt =
(параметры а и 6 вещественны, так что все операторы V эрмитовы).
Решение. Напомним сначала, что Э\Э\ = -3 + 2S2, 5, = (<?ц + ?гг)/2.
а) Спиновые функции Ф$ являются также с.ф. оператора / = а + &<?|<72, отвечающими
с. з. fs = а - 36 + 2bS(S +1); соответственно с.з. оператора V| равны (Vj)$ = F(fs).
б) Спиновые функции Я/ss, являются с.ф. оператора Vj, отвечающими с.з. (V2)SSl =
2aS, - 2b + 2bS(S + 1).
в) Так как ?|,2?2« = 2S% — 1, то, как и в б), функции tyss, являются с.ф. V3, а с. з.
равны (V3)jSj = -a + 2aS2, - ЗЫ- 2Ь5E + I).
г) Найдем вид оператора
У*= r(a, + а2)(9и + 9гс) + -(a, -o2)(?i, -а-ц) + b<T,9i
в SS, -представлении, где он является матрицей с элементами (S*5j | V* | S5^). Исполь-
Используя в матричных элементах следующую нумерацию состояний, определяемых квантовыми
числами 5, 5,:
E=1, S, = l)-.l; A,-0-2; A,0)-3; @,0)-» 4
и учитывая явный вид спиновых функций tyss, (см. 3.10), находим
В = -а,-аг + Ь,
С = Ь, D = -3&, К '
Е = Е' = а, -а2.
Унитарным преобразованием эта эрмитова матрица может быть приведена к диагональ-
диагональному виду, непосредственно определяющему ее с. з. Из вида матрицы Vt легко заключить,
что два ее с. э. равны (V4)i = А и (ViJ = В, и им отвечают с.ф., равные 9s=i,s,=\ и *i,-i.
соответственно. Унитарный оператор (матрица), диагонализующий V4, «перемешивает» лишь
состояния с квантовыми числами A,0) и @,0), и задача отыскания двух других с. з. сводится
к лиагонализации двухрядной матрицы / „, „ ]. Эти с. з. легко найти, если учесть, что при
унитарных преобразованиях след и детерминант матрицы не изменяются (см. 1.51); отсюда
получаем
(^)з,< = — Ь ± у(о\ — в2
5.15. Спины N частиц, равные s каждый, складываются в результирующий спин
S = Ns. Каков при этом суммарный спин любых 2, 3,..., п частиц? Имеет ли спи-
спиновая функция определенную симметрию по отношению к перестановке спиновых
переменных любых двух частиц?
Решение. Спин любых п частиц имеет определенное значение, равное ns. При этом спиновая
функция симметрична по отношению к взаимной перестановке спиновых переменных любых
двух частиц (сравнить с 3.30). Если же 5 < N/2 для s = 1/2, то при N > 2 спиновая
функция уже не имеет определенной симметрии при перестановке любых двух частиц (см.,
например, 5.19).

§1. Спин s = 1/2 123
5.16. Спиновая функция системы из JV спинов s = 1/2 имеет вид
Найти S2. В частных случаях п = 1 и п = ЛГ - 1 найти также вероятности возможных
значений S суммарного спина.
Решение. Учитывая, что
N ч 2
9\ = 3 и что в рассматриваемом состоянии между спинами отдельных частиц нет корреляции,
а средние значения <г„ равны
О, .•*=!, 2;
f
• = \
l
.-1, t = 3, а^п+1,
легко находим S2 = (ЛГ2 - 4пЛГ + 2N + 4п2)/4.
При п = 1 и п = ЛГ - 1 суммарный спин может принимать лишь два значения^ = N/2
и 52 = ЛГ - 2/2 (ЛГ ^ 2), вероятности которых легко найти, имея в виду значение S2:
( - —\ - i. ( -N~2\ -N~ '
(сравнить с 3.29).
5.17. Состояние частицы со спином s = 1/2 характеризуется определенными значе-
значениями квантовых чисел I, га, зг. Найти вероятности возможных значений j полного
момента j = 1 + s; воспользоваться результатом 3.29.
Решение. Имеем j: = 11/4 + 2ms,. Так как возможны лишь два значения полного момента:
j = J ± 1/2, то значение jJ позволяет найти их вероятности:
I — 2тзх
21 + 1
5.18. Моменты двух слабо взаимодействующих подсистем, равные 1 и 1/2, склады-
складываются в результирующий момент J. В состояниях совокупной системы, характери-
характеризующихся определенными значениями J и Jz, найти вероятности значений проекций
складываемых моментов на ось z и их средние значения. При решении задачи
воспользоваться операторами J±, не прибегая к коэффициентам Клебша—Гордана.
Решение. «Спиновая» функция для состояния с J = 3/2, J, = 3/2 имеет вид
при этом проекции «1г» и «s,» имеют определенные значения, равные 1 и 1/2. Подействовав
на эту функцию оператором J. = Jz — iJr = j|_ + j^-, находим (вид оператора j_ для j = 1
см. в 3.22):

124 Глава 5. Спин
множитель С = 3~'/2 введен для нормировки. Из A) следуют искомые вероятности в состоя-
состоянии с J = 3/2 и 3, = 1/2:
w(l, = !) = .(., = -0 = I, «((, = 0) =
и средние значения I, = 1/3, я, = 1/6 (J, =7, + »,).
Записав «спиновую» функцию для состояния с J = 1/2 и 3, = 1/2 в виде
и воспользовавшись ортогональностью ее к Ф3/2, i/г. находим значения С| = у/2/3, Cj =
-л/1/3 (с учетом нормировки), а с ними искомые вероятности в состоянии с J = 1/2,
Л = 1/2:
w(J, = 1) = w (s, = -0 = у w(l, = 0) = w (sz = 0 = j
и средние lj = 2/3, »7= -1/6.
Результаты для состояний с 7, < 0 могут быть получены аналогично и представляются
очевидными.
5.19. В системе из трех частиц со спином 5=1/2 имеется восемь независимых
спиновых состояний. Произвести их классификацию по значениям суммарного спина
системы. Найти полную систему спиновых функций Ч/ss.. описывающих состояния
с определенными значениями S, Sz суммарного спина. Обратить внимание на характер
симметрии этих функций по отношению к перестановке спиновых переменных частиц
и сравнить со случаем системы из двух частиц.
Решение. 1) Возможные значения суммарного спина: S = 3/2 и 1/2.
Теперь набор с.з. S = 1/2, S, является вырожденным в том смысле, что при 5 = 1/2
и данном S, имеется два независимых спиновых состояния. Действительно, значение 5=1/2
может быть получено двумя независимыми (при данном S-) способами: 1) путем сложения
спинов первых двух частиц в их результирующий спин S,2 = 0, при этом значение полного
спина системы определяется спином третьей частицы, 2) путем сложения результирующего
спина 5|2 = I со спином третьей частицы в суммарный спин 5 = 1/2. Так как число незави-
независимых спиновых состояний приданном 5 (в отсутствии вырождения по S, S2) равно 25+1,
то обшее число независимых спиновых состояний равно B • 3/2 + 1) + 2 B • 1/2 + I) = 8, как
и следует.
2) Вид спиновых функций 9smi/t,s,=±ifi очевиден:
Также без вычислений можно указать спиновые функции для 5 = 3/2, 5, = ±1/2, имея
в виду их симметричность по отношению к перестановке спиновых переменных любых двух
частиц, для которых их результирующий спин равен 1 (сравнить с 5.10):
B)
Далее, если спиновая функция отвечает результирующему спину первых двух частиц,
равному 5и = 0, то она, очевидно, описывает состояние с 5 = 1/2. Поэтому
*¦<«-тП о), 0), оно, о, оно,
(Т). С), (!),* (J). @
,<¦> -±fA} (°]-(°) A)\(°) ^

§2. Спин-орбитальные состояния частицы со спином s = 1/2 125
Вторую пару функций Ф(|*2±,/2, линейно независимых по отношению к C), можно найти,
S 0 й й
рассмотрев состояния с результирующим спином Sjj = 0 второй и третьей частиц:
•"-¦ а @. {@.@,-0), @J-
Отметим, что хотя функции C) и D) линейно независимы, они при одинаковых
значениях Sz не являются ортогональными. Наиболее обшая спиновая функция состояния
с 5 = 1/2 представляет суперпозицию функций C) и D). Читателю предлагается рассмотреть
состояние с результирующим спином Su = 0, также отвечающее 5 = 1/2, и убедиться в том,
что соответствующая функция выражается через функции C) и D).
В заключение отметим, что спиновые функции состояний с суммарным спином 5 = 1/2
не обладают определенной симметрией по отношению к перестановке спиновых переменных
любой пары частиц. Так, хотя первая из функций C) антисимметрична при перестановке
спиновых переменных 1-й и 2-й частиц, при перестановке 1-й и 3-й частиц она переходит
совсем в другую функцию (в -*'),_ ,/2)-
§ 2. Спин-орбитальные состояния частицы со спином s = 1/2.
Высшие спины
5.20. Состояния частицы с определенным значением Л проекции спина на направление
импульса называют спиральными6^. Для частицы со спином 8 = 1/2 найти волновые
функции Ф^.л состояний с определенными импульсом ро и спиральностью Л = ±1/2.
Решение. Указанные функции легко найти, имея в виду результат задачи 5.3, см. также (V.4):
F/2)
е"°г/А
у-2)).
/ sin(*/2) \
\-e'?cos(fl/2)/'
здесь в, $ — полярный и азимутальный углы вектора ро.
5.21. Для частицы со спином в = 1/2 показать, что наиболее общая спин-угловая
зависимость волновой функции pi/2-состояния (т. е. состояния с / = 1 и полным
моментом j — 1/2) имеет вид
Ф = (Sn)x, или Фо = ffapnxp,
где х — I к ) — произвольный спинор, не зависящий от направления вектора п (п =
г/г или п = р/р, в зависимости от используемого представления).
Нормировать на единицу эту волновую функцию. Каково распределение (усред-
(усредненное по спину) по направлениям импульса частицы в указанном состоянии?
Вычислив среднее значение j, выяснить, как этот вектор зависит от конкретного
выбора спинора х-
Найти вид функций, описывающих pi/2-состояния с определенным значением
U =¦ ±»/2.
6* Отметим, что так как вектор импульса — полярный, а спина — аксиаяышй, то слиральность является
псевдоскалярной величиной и при инверсии координат изменяет знак.

126 Глава 5. Спин
Решение. 1) Подействовав на указанную функцию оператором j2, приходим к выраже-
выражению {Т+ <т/2J(дп)х- Учитывая соотношение7' [j,, irn] = 0 и равенствоТ* = 0, приводим
это выражение к виду (<тп)(?/2Jх, или A/4)(&п)х- Отсюда следует, чторФ = C/4)Ф,т.е. j
имеет определенное значение, равное 1/2. То обстоятельство, что указанная функция отвечает
значению 1 = 1, следует из ее линейной зависимости от вектора п (сравнить с (III.7) и 3.42).
2) Так как Ф'Ф = х'(&пJХ — х'х = const и не зависит от п, то распределение
по направлениям импульса (или радиуса-вектора) является изотропным, как и в случае «-со-
«-состояния, а условие нормировки / Ф'Ф du = 1 будет выполнено при х'х — 1°12 + 1*12 = '/4».
3) Наконец, из соотношения
следует, что вектор полного момента в рассматриваемом состоянии точно такой же, как
и вектор спина в состоянии со спиновой функцией х- Соответственно, выбрав */4*х
в виде (о) и ( | ), получим нормированные функции р,/2-состояний с jt = +1/2 и -1/2; так
,-.л-./. - ^»» (I) = ^
где в и ip — полярный и азимутальный углы вектора п. Аналогично можно найти спин-
угловую функцию состояния с j, = -1/2; сравнить полученные результаты с 5.24.
5.22. Провести анализ состояний частицы со спином а = 1/2, спин-угловая зависи-
зависимость волновых функций которых имеет вид Ф± = A±<?п)х (спинор х не зависит от п),
по значениям следующих квантовых чисел: j, I, I (четность), а также А — с. з. опера-
оператора А = trn/2 — проекции спина на направление вектора п (при этом, если п = р/р,
т.е. используется импульсное представление, то А является спиральностью).
Как функции Ф± преобразуются при инверсии координат?
Решение. Приведенные в.ф. являются суперпозициями функций з^г-сосгояния х и pi/г-со-
pi/г-состояния (ffn)x (см. 5.21) и поэтому отвечают определенному значению j = 1/2 полного
момента. Орбитальный же момент {, как и четность, не имеет определенного значения. Имея
в виду одинаковую нормировку указанных выше функций, заключаем, что I с одинаковой
вероятностью 1/2 может принимать два возможных значения: 0 и 1. Далее, замечаем,
что АФ± = ±Ф±/2 (так что проекция спина на направление вектора п имеет определенное
значение, равное, соответственно, ±1/2). При инверсии координат функции *± взаимно
переходят друг в друга.
5.23. Для частицы со спином s = 1/2 показать, что спин-угловая волновая функция
вида Ф = {2(cn) + i[cn]<r}x, где вектор с и спинор х = ( ь J от вектора п = г/г
не зависят, описывает рз/2 -состояние.
При каком конкретном выборе сих указанная функция описывает рз/2-состояние
с определенным значением {jt = ±1/2, ±3/2) проекции полного момента на ось г?
Решение. Рассмотрим спин-угловую в.ф. состояния с J = I: Ф^ = (сп)х, где с и х У*^
не зависят от п, сравнить с 3.42. Эта функция не отвечает, вообще говоря, определенному
значению j, а представляет суперпозицию состояний с j = 1/2 и j = 3/2. Чтобы выделить
из нее часть, соответствующую j — 3/2, воспользуемся проекционным оператором
'* В связи с приведенным значением коммутатора см. также 3.S и 3.28.

§ 2. Спин-орбитальные состояния частицы со спином s = 1/2 127
сравнить8' с 3.36. Легко находим
Ф^з/2 = 3=з/2*|=1 = з<:Bп + i[n9])x A)
в согласии с условием задачи. Читателю предлагается самостоятельно нормировать в. ф.
и убедиться в том, что она ортогональна в. ф. р,/2-состояния из 5.21. Отметим, что число
независимых функций Ф)=1 равно 6 (три независимых способа выбора вектора с и два —
спинора х)> независимых же функций вида A) лишь 4, так как они получаются исключением
из Ф|_, двух независимых функций'', отвечающих j = 1/2.
Функция Ф/_| при выборе с = @,0,1) и х = (д) описывает состояние с 1г = 0
(см. 3.18), зг = 1/2 и, соответственно, с jt = 1/2; при этом j не имеет определенного
значения. Функция же A) для таких сих имеет вид
2 cosd
и описывает состояние с j = 3/2, 1=1 и j, = 1/2 (так как Р, коммутирует с операторами I2
и jz, то с. ф. последних и последействия Р7 остаются их с.ф.).
Аналогично можно найти в. ф. и других />з/2 -состояний. Так, выбрав с = A,1,0) и
X = ( л ). получим Фз/2,|,з/2 и т.д.; сравнить с результатом 5.24.
5.24. Для частицы со спином s = 1/2 найти спин-угловые волновые функции Ф^л
состояний с определенными значениями /, jt и j = I ± 1/2 (l,j — орбитальный
и полный моменты).
Задачу предлагается решить следующими двумя способами, не прибегая к коэф-
коэффициентами Клебша—Гордана:
1) используя проекционные операторы Pj)
2) используя повышающие (понижающие) операторы j±.
Решение. 1) Рассмотрим спин-угловую функцию вида Ф = [ '"''"), описывающую
состояние частицы с определенными значениями J, т, зг = 1/2 и j, = т + 1/2. Она
не является с. ф. j2, а представляет суперпозицию состояний с j = (± 1 /2 (кроме случая т = I,
когда j = I + 1/2). Подействовав на эту функцию проекционным оператором10' Рг для
состояния с заданным j
и учтя соотношения, аналогичные (III.8):
9l= 2is = гГд, +Г+т. +Т-?+,
?+«», = y/u-h){j+h + i) *,,,.+i, (О
7-*№ = \f{j+h)U-h + О *;,;,-!.
'' См. также 5 24.
'* Заметим, что функцию A) можно записать в виде Ф°~з/2 —nV°, где спин-векторная величина V =
Bс - »|с<? ))х" ¦ Такой спин-вектор удовлетворяет дополнительному условию S V = 0, соответствующему
исключению состояний с j — 1/2 (сравнить с 5.27).
10* Вид которого следует из 1 35, если учесть при этом также 3.27.

128 Глава 5. Спин
легко находим явный вид искомых функций:
_| / VI + го + 1 Ylm \
/ЯПГГ ./ПГ^у: . ' ^
где коэффициенты С|>2 выбраны из условия нормировки в. ф. на единицу. Из B) видна
ортогональность функций:
UulJx\J2,l,j.)=0, где jl|2=Z± 1/2.
J' 1. Подействовав на эту функцию оператором j.", где
п = I + 1/2 — j,, получим Ф|+|/2,(,;, ¦ Учитывая, что j_ = J- + 3"-, Si = 0, и поэтому
а также соотношения A), приходим к уже известной из B) функции
5.25. Показать, что функции $}i,,, рассмотренные в предыдущей задаче, связаны
соотношением
1.2 = J ± j (п = Т-
Найти спин-угловую зависимость волновых функций Ф;;,а (в импульсном предста-
представлении) состояний частицы с определенными значениями j,jz и спиральное™ Л.
Решение. 1) Утверждение задачи можно проверить непосредственным вычислением, но про-
проще его подтвердить следующим рассуждением, основанным на коммутативности операто-
операторов м) У, и (<?п) и псевдоскалярном характере последнего.
Пусть Ф,1н, — с.ф. операторов j2, T5, j,, причем l2 = j - 1/2. Эта функция имеет
определенную четность, равную 1г = (-1)'!. Рассмотрим теперь функцию
Для нее легко находим
13 =?«(^п)Ф„„, = EпO,Фл„, = ;,(ап)Ф„„, =}$,
72Ф =р(го)Ф„„, = (9п)рФ„„, = ;0'+ О*.
7Ф =Г(9п)Ф„„, = -(?о)/Ф;1,;, = (-1)"+|Ф.
Отсюда следует, что Ф также является с. ф. операторов j3, j,, I, причем четность ее
противоположна четности в. ф. Ф;|,;> ¦ Так как при данном j возможны лишь два значения (,
равные f|,2 = j± 1/2, а четность состояния равна (-1)'. т° * отвечает значению It = j+ 1/2.
Таким образом, функция Ф является с. ф. операторов jJ .T2, j,, так что Ф;||;, = Ф = ($n)9jia, ¦
Отметим, что после усреднения по спиновому состоянию частицы возникает соотношение
<ф|ф> = <фл». К*»)'|фл,.> = <фл,.|ф,1№>,
выражающее одинаковый характер угловых распределений (по направлениям в) в состояниях
св.ф. Ф„„, иФ„„,.
"'Сравнить с 3.5 и 3.28.

§2. Спин-орбитальные состояния частицы со спином s = 1 /2 129
2) Теперь легко сообразить, что
и, учтя явный вод функций Ф;(I из предыдущей задачи, найти
~( /в\ /в\ 1 i С0\2/ I
Jv/I+r^+Tcos(-)r,m + vT^sin(-)e--1«'^ra+lU V; ,
sinG)
где m = jz - 1/2, при этом спиновая часть в. ф. такая же, как в (V.4) и 5.3.
5.26. Частицу со спином s = 1 можно описывать как симметричным спинором12'
второго ранга -фа^(т) (спинорное представление), так и векторной функцией V(r)
(векторное представление). Указать:
1) вид оператора спина в этих представлениях,
2) связь этих волновых функций с волновой функцией ip(r, о) в s.-представлении,
3) явный вид рассматриваемых волновых функций для состояния частицы с ор-
орбитальным моментом 2 = 1 и полным j — 0.
Решение. 1) Для з = 1 описание спиновых свойств частицы с помощью симметричного
спинора ipa>> аналогично рассмотрению состояний с суммарным спином 1 в системе из двух
спинов с 5 = 1/2, сравнить с 5.10, 5.11. Отсюда, по аналогии с соотношением S = (S| + <?2)/2,
сразу следует вид операторов компонент спина в спинорном представлении:
Связь между в. ф. rpaf в спинорном представлении и в. ф. </>(<т) в зс -представлении
определяется соотношением|3>
где спинор i>°° является с. ф. оператора 7,. Эти спиноры, отвечающие различным значени-
значениям а,, имеют вид
^ (з)
(сравнить с 5.10), компоненты спинора 6% равны б\ = б\ = 1, б\ — в? = 0. Из B), C) следует
" ^2 '2 2' ^ D)
'2* Для решения задач 5.26 и S.27 надо знать основы спинорной алгебры и связь спиноров с тензорами,
см. §56, 57 в A|. При этом следует различать ко- и контравариантные спинорные компоненты.
Соответственно обычные матрицы Паули (V.2) теперь надо писать не в виде (с,)„/5. а как <7°g. здесь >
является векторным, а а и 0 контра- и ковариантными спинорными индексами; обратите внимание
на порядок расположения таких индексов у матриц Паули. В 5.26 и 5.27 векторные индексы изображаются
латинскими буквами, спннорные — греческими.
|}) Обратим внимание на двоякий смысл переменной >z в соотношении B): как аргумент в. ф. 1>(з,)
она имеет смысл переменной >г -представления, а в случае спинора V?/ является с.з. оператора »2.
5 3.IK 254

130 Глава 5. Спин
2) Переход для спина * = 1 к векторному представлению аналогичен подходу, исполь-
использованному в 3.44 в случае орбитального момента I = 1. В этом представлении
s,Vtss,tuVi, »i,u = -ie,tl. E)
Обобщение соотношения B) на векторное представление имеет вид
Здесь векторы \„, являющиеся с. ф. оператора ?,, равны14'
».,-±i = T^(l,±i,0), vJf.0 = @,0,1) F)
(сравнить с 3.41). Ввиду взаимной ортогональности этих векторов имеем ip{a) = W'((t),
откуда следует связь в. ф. в векторном и в я,-представлениях:
j
X i G>
№@ 0@) V
X i
vx = ^=№(-0 - 0@). V* = -^5
С помощью D), G) приходим к соотношениям между спинорной и векторной волновыми
функциями
-L^-v), и, = --^(*+«). * = ^. (8)
Более наглядно эти соотношения могут быть записаны в виде
у = св-\0°"а7/,нсо-1а<, (9)
где J0, — антисимметричный единичный спинор второго ранга, компоненты которого
равны 0п = -321 = 1, 9и = 322 = 0, а С = 1/\/2; при этом ^ = $""др„, причем V" = 0
ввиду симметричности спинора ф"^. В таком виде связь волновых функций V и <ра? очевидна
заранее, так как <r%Va является единственным (с точностью до множителя, естественно)
вектором, который можно сопоставить спинору <p°?. Используя равенство
соотношения (9) можно обратить:
(значения компонент контравариантного антисимметричного спинора з°^ совпадают с дар).
3) Обсудим теперь для частицы со спином s = 1 вопрос о спин-орбитальных с. ф. |*,i,,)
(в различных представлениях). Конечно, в обшем виде он решается соотношением из теории
сложения моментов (орбитального I и спинового з = L в результирующий j):
|*л,> = Ес^^»(пI1>°г>. со
где 11, а) — чисто спиновая (т. е. не зависящая от координат) с. ф. оператора ?,, отвечающая
с. з. з, ~ <т; напомним, что коэффициенты Клебша— Гордана в (II) отличны от нуля лишь
при ), = т + (т. В соответствии с формой записи соотношения (II) коэффициент перед |1,а)
в нем является в.ф рассматриваемого состояния в *,-представлении, т.е.
«Л,» = C&,lWn), m^U-a. (П)
|4' Отметим, что выбор фазовых множителей в выражениях C), (б) для с. ф. v, , V>"f при различных
значениях зг соответствует принятому в теории момента, см. [1, §27| (впрочем, в F) по сравнению с [I]
опушен несущественный, общий для всех векторов v,,, фазовый множитель, равный t).

§2. Спин-орбитальные состояния частицы со спином a = 1/2 131
Если же под |1,<г) в соотношении (II) понимать базисные векторы у„ из F), то оно будет
описывать спин-угловую часть в. ф. частицы в векторном представлении, а заменив |1,<т)
на спиноры из C), приходим к в. ф. в спинорном представлении.
Поучительно, однако, рассмотреть состояния с низшими значениями j, не прибегая
к A1), а исходя лишь из общих соображений, связанных с трансформационными свойствами
в. ф. состояний, отвечающих различным значениям момента (сравнить с задачами из §4
главы 3).
Так, для определения вида в.ф. состояния частицы с I = 1 и j = 0 замечаем, что она
должна линейно зависеть от вектора п (ввиду I = 1, см. 3.41) и в силу сферической симметрии
состояния с j' = 0 не должна включать каких-либо «внешних» векторных или спинорных
величин. Отсюда сразу следует вид в.ф. в векторном представлении15': V, = сп,, или V = сп,
причем \с\ = 1/\/4тг из условия нормировки /V'VdQ = 1. Конечно, этот результат можно
получить и из A1) (коэффициенты Клебша—Гордана для этого случая найдены в 3.39). Теперь
по формулам A0) легко находим в. ф. рассматриваемого состояния с I = 1, j = 0 в спинорном
представлении
~etin0, ^ = |cos«, ^=-^esine, A3)
где в, ip — полярный и азимутальный углы направления вектора п, а по формулам D) или G)
находим в.ф. в а,-представлении:
в согласии с A2).
В заключение сделаем замечание о виде спин-угловых в. ф. в случае j Ф 0 на примере
состояний частицы с / = 1. Теперь в.ф. включает «внешние» тензоры, характеризующие
состояния с отличным от нуля моментом j, сравнить с 3.41. В частности, в векторном
представлении искомые в. ф. имеют вид
3 \  / 3 \ 
M 7J
причем из условия нормировки е'е = 1, e'te,t = 1. Конкретный выбор e(jz), f.tOi)>
при котором векторные функции A4) описывают состояния с определенным значением jc,
определяется результатом из 3.41. Вид в.ф. в других представлениях может быть найден, как
и выше в случае j = 0.
5.27. Частицу со спином s — 3/2 можно описывать как симметричным спинором
третьего ранга Va^7(r), так и спин-векторной функцией VJ.°(r), удовлетворяющей
дополнительному условию fikYpVj! = 0. Указать вид оператора спина и связь
волновых функций в этих представлениях друг с другом и с волновой функцией V(r, с)
в st -представлении.
Указать вид волновых функций состояний частицы с 2 = 1 и полным моментом
3 = 1/2-
Решение. 1) Для частицы со спином s = 3/2 описание спиновых свойств с помощью
спинора ф1 аналогично рассмотрению состояний с суммарным спином 3/2 в системе
15' Примером частицы со спином з = 1 является фотон. При этом ввиду специфического свойства фо-
фотона, связанного с поперечностью электромагнитного поля, его в.ф. — векторный потенциал А(р) (в им-
импульсном представлении) — должна удовлетворять дополнительному условию вида рА(р) = 0 (или
divA(r) = 0, см. главу 14) Найденная функция А = /0>)р состояния с j = 0 этому условию не удовле-
удовлетворяет. Это означает, что состояний фонона с j = 0 не существует, и указывает на невозможность его
излучения системой, если ее полный момент как в начальном, так и в конечном состояниях равен нулю:
*0-0»-переходы запрещены.

132 Глава 5. Спин
из трех спинов cj= 1/2, сравнить с S.19. Так же, как и в предыдущей задачей, имеем
1
(здесь приведены лишь независимые компоненты спинора).
Переход к спин-вскторному представлению осуществляется с помощью отмеченной
в предыдущей задаче (см. формулу (9)) связи спинора второго ранга с вектором:
У=±г'0дг,Г»=±<г',Я'. B)
Отсюда автоматически вытекает дополнительное условие'6' (т°^У^ = 0. Операторы компонент
спина в этом представлении имеют вид (сравнить с предыдущей задачей)
(*.);,« = -•?.*,*? + \h,o%- C)
2) Для определения вида в. ф. состояний с I = 1 и j = 1/2 следует учесть, что они
должны линейно зависеть от вектора п и от «внешнего» спинора j(a, задающего состояние
системы с моментом j = 1/2. При этом выбор спинора х° в виле 6° и 6° соответствует
состояниям системы с j, = 1/2 и -!/2. Волновая функция состояния частицы с j = 1/2,
I = 1 в слинорном представлении имеет наиболее простой вид для «смешанных» (с ко-
и контравариантными индексами) компонент спинора
(здесь учтены как симметричность спинора по верхним индексам, так и равенство VS" =
спинора </>°^ = д-,и<раР"). Не останавливаясь подробно на анализе в. ф. состояния в «, -пред-
-представлении, ограничимся видом лишь одной компоненты:
(пропорциональность ее шаровой функции Y,^,(n) и компоненте спинора х', отвечающей
значению j, = +1/2. очевидны заранее из физических соображений, так как j = 1/2, ( = I,
jz = m + (У, а «г = +3/2).
Спин-векторная в. ф. Vй состояния с j — \/2,1 - \ может быть найдена по формулам B),
D). Воспользовавшись соотношением
(сравнить с (V. 3)), получаем
Г = ^«гт^ = ~СBп - «Tnffl)^. E)
Это выражение можно получить несколько иным способом. Для этого заметим, что наиболее
общий вил егшн-вектора, зависящего линейно от п и х°, есть
V°=c,n/+c,[nO-%j/.
При этом дополнительное условие <r"TV приводит к соотношению с> = 2ic2; отсюда
и следует E), сравнить также с 5.23.
'^Доказательство его основано на использовании соотношения
и равенства *?" — 0.

§ 3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности 133
§ 3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности.
Угловые распределения и корреляции в распадах
5.28. Система из двух частиц с « = 1/2 находится в состоянии с определенными
значениями 5 и Sz (S — суммарный спин). Найти спиновые матрицы плотности каждой
из частиц в этих состояниях в случае, когда произведено усреднение (суммирование)
по спиновому состоянию другой частицы.
Решение. Спиновая матрица плотности 1-й частицы р^], выражается через спиновую функ-
функцию *5s,(o'ii^2) системы (<г, 2 — спиновые переменные частиц) согласно обшей форму-
формуле (V. 5):
Воспользовавшись явным выражением для Ф$$, из S.10, находим
-) I О 1 / •
A)
Сравнивая A) с общим выражением (V. 7) для р, замечаем, что в состояниях с 5 = 1,
S, — 0 и 5 = 0 вектор поляризации Р = 0, т. с. имеем полностью кеполяризованные
состояния. В случае S, = ±1 уже Р = @,0, ±1), так что |Р| = 1, т.е. имеем полностью поля-
поляризованные состояния; при этом спиновое состояние является «чистым» и р2 = р (это связано
с мультипликативным видом спиновой функции при Sz = ±1). Матрица плотности 2-й ча-
частицы имеет такой же вид, как и для 1-й частицы. Выражения (I) можно было бы написать
и без вычислений, имея в виду способ решения, использованный в следующей задаче.
5.29. Частица со спином s=l/2 находится в состоянии с определенными значения-
значениями j, J и j,. Найти спиновую матрицу плотности, характеризующую спиновое состояние
частицы безотносительно к ее положению в пространстве.
Решение. Спиновая матрица плотности имеет вид р = A + Р<?)/2, где Р = 2s — вектор
поляризации. В данной задаче его легко найти, если воспользоваться результатом из 3.40 а):
1UTT) jl
так, что"* Р = @,0, ±j,/{l + 1/2)), где знаки (±) относятся к значениям j — 1± 1/2.
В случае jt — ±j при j = I + 1/2 имеем |Р| = 1 и спиновое состояние является «чистым».
5.30. Указать ограничения на квантовые числа"' — спин J и внутреннюю чет-
четность Р — нейтральной частицы А0, следующие из факта существования распадов
такой частицы А0 —* тг+т~, идущих с сохранением четности; квантовые числа пио-
пиона J? =0".
Найти угловое распределение пионов в системе покоя частицы А0, если она
до распада находилась в состоянии с определенным значением Jz, см. также 5.32.
Решение. Спин пиона J, = 0, так что полный момент J двух пионов в с. ц. и. (она же —
система покоя А°) совпадает с моментом L их относительного движения, J = L, и он же
"'СравнитьТсТизЗ.Юв).
"' При применении закона сохранения четности к распадам, когда изменяется вид частиц, необходимо
учитывать их внутренние четности. О распаде А" — 2г° см. 10.5.

134 Глава 5. Спин
(в силу сохранения момента) равен спину частицы Зл, т. е. За = L. Далее, четность системы
из двух пионов (в с. ц. и.) равна Plt = (-])LPtPT — (-\)J*, здесь (-1I — орбитальная
четность пары. В силу предполагаемого сохранения четности, внутренняя четность Рл части-
частицы 4° должна быть равна Рл = Pjx = {-\)J*. Таким образом, для частицы А0 возможны
лишь следующие квантовые числа: Jjf = 0+, 1", 2*
Если частица А0 находится в состоянии с определенным значением 3,, то у распадных
пионов Lt = ¦/,. Фиксирование L = 3 и Ьг = 3, однозначно определяет угловую зависимость
в. ф. двух пионов в виде Yjj^a) (n = р/р, р — относительный их импульс). Соответственно,
угловое распределение продуктов распада имеет вид dw/du, = |yjj,(ii)| , см. также 5.32.
5.31. Показать, что существование у if-мезона, имеющего спин Зк — О, каналов
распада как на два пиона, К -» 2тг, так и на три, К —» Зт (для пиона 3* = 0~),
свидетельствует о несохранении четности в его распадах (до открытия несохра-
несохранения четности считалось, что эти каналы распада соответствуют двум различным
частицам в и т; и именно разрешение т—^-проблемы стимулировало эксперимен-
эксперименты, в которых непосредственно было установлено несохранение четности в слабых
взаимодействиях).
Решение. В силу сохранения момента для системы пионов из распада L = 0. При этом
двухпионная система имеет положительную четность (сравнить с предыдущей задачей).
В то же время для системы из трех пионов с L = 0 (в с. ц. и.) орбитальная четность
положительная, см. 3.47, а внутренняя и, соответственно, полная четность системы —
отрицательная (четность является мультипликативной величиной). Существование у одной
и той же частицы двух каналов распада с различной четностью конечного состояния указывает
на ее несохранение.
5.32. Покоящаяся частица X со спином 3 распадается на две бесспиновые частицы
(например, на два пиона). Найти угловое распределение продуктов распада в случае,
если
а) распадающаяся частица имеет определенное значение Зг;
б) находится в состоянии, описываемом спиновой матрицей плотности pmm.,
где m — проекция спина на ось г.
В качестве иллюстрации рассмотреть угловое распределение пионов в распаде
векторной частицы V — 2ir C$ =1").
Решение, а) В силу сохранения момента, у частиц — продуктов распада — орбитальный
момент их относительного движения Z = J и Lt = J,, что однозначно определяет угловую
зависимость в. ф. в виде У>л (о) (п - р/р, р — относительный импульс частиц после распада),
а с нею и угловое распределение частиц в распаде dw/dQ, = |50j, (n)| -
6) Пусть с(га) (т = J,J - 1,..., -J) — нормированная спиновая в. ф. распадающейся
частицы n J,-представлении. Она же, в силу сохранения момента, описывает состояние
частиц — продуктов распада. Соответственно, угловая часть их в. ф. имеет вид
а угловое распределение частиц в распаде описывается выражением
— = 2^c(m)YJm(u) = ^c(m)c(m)YJm(a)YJm,(rx). A)
Искомое угловое распределение получается из A) заменой с^с'^ —* ртт* = с(т)с'(т'),
где р — поляризационная матрица плотности распадающейся частицы. В частности, в слу-
случае 3—1, воспользовавшись явным видом шаровых функций A11.7), получаем

§ 3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности 135
Г^Г = 5-{(pii+P-i,-i)sin20 + 2/>oo<:os20-2Re?i,-i • cos lip- sin2» +
+ 2 lmpi,-i sin 2y> ¦ sin 2в - V2Re/)|i0 -cosy; sin 29 + V2 Imp,i0 ¦ sinyj -sin 20 +
+ -Jl Re p-,,0 • cos<p ¦ sin 20 + \/2 Im p_i,0 • sin p • sin 20}, B)
где в, ip — полярный и азимутальный углы вектора п; ри + роо + р-\,-> — 1 (для полностью
неполяризованного состояния имеем рЛ = 6,к/3 и угловое распределение — изотропное).
5.33. Найти угловое распределение продуктов распада В —* irN нестабильной части-
частицы В со спином Jb = 1/2, если
а) в распаде сохраняется четность, и четность частицы В отрицательная;
б) в распаде сохраняется четность, и четность частицы В положительная;
в) распад происходит с несохранением четности. Предполагается, что спиновой
состояние образующегося нуклона не фиксируется (напомним квантовые числа нуклона
и пиона: J% = A/2)+, 3? = О").
Решение. Прежде всего установим вид спин-угловой зависимости в. ф. TdV-системы с мо-
моментом J = 1/2. Так как у пиона J? = 0", а у нуклона J& = 1/2+, замечаем, что при данном
значении J полного момента орбитальный момент L может принимать лишь два значения:
L = J ± 1/2. При этом четность Tr/V-систсмы равна
так что фиксирование J и Р,ц однозначно определяет L. Учитывая сказанное, находим:
а) L = 0 при Рв = — 1, так что в. ф. xN-системы не зависит от углов и ее спин-угловая
зависимость имеет тривиальный вид: Ф(тЛГ) = xiN\ причем в силу сохранения момента
спинор х*"' совпадает со спинором х • описывающим спиновое состояние частицы В.
Так как в. ф. не зависит от углов, то угловое распределение продуктов распада является
изотропным.
б) Теперь L = 1 и спин-угловая часть в. ф. имеет вид Ф*" = С(9п)х, где о = р/р
и X - Х<В^< см- 5.21. Угловое распределение пионов описывается выражением|9)
U ос (*•")'»¦* = |С|У>>п)У*> = |С| W = cons.,
т.е., как и в случае а), является изотропным (об одинаковой зависимости угловых распреде-
распределений при L — 3 ± 1/2 см. 5.25).
Наконец, в случае о), в силу несохранения четности, четность nN-системы не имеет
определенного значения и соответственно спин-угловая зависимость в. ф. представляет собой
суперпозицию в. ф., рассмотренных в а), 6):
а угловое распределение продуктов распада имеет вид
— ос (Ф'")*Ф'" = хт'(а' + Ь'апЦа + Ь»а)хт =
ail,
"J; (О
здесь, как и в случае 6), произведено суммирование по независимым спиновым состояниям
возникающего в распаде нуклона.
"' После суммирования по независимым спиновым состояниям нуклона. Если же в распаде фиксиру-
ется спиновое состояние нуклона, описываемое спинором х\ . то
— оо х\ (<™)Х1В)\ ¦

136 Глава 5. Спин
Характерным свойством этого распределения является асимметрия вылета «вперед-
назад» пионов в распаде относительно вектора поляризации Р = {<т)в распадающейся
частицы В. Существование такой корреляции между направлениями аксиального (<т)ц и по-
полярного п векторов, неинвариантной относительно отражения координат, как раз и является
проявлением несохранения четности в рассматриваемом процессе20'
5.34. В распаде X -* а+В бесспиновой частицы X спин частицы а также равен нулю,
а у частицы В спин равен j. Найти поляризационную матрицу плотности частицы В при
а) фиксированном выборе в пространстве оси квантования г;
б) выборе оси квантования вдоль направления относительного движения продук-
продуктов распада (в системе покоя X).
В случае а) найти также элементы матрицы плотности, усредненные по направле-
направлениям вылета продуктов распада.
Решение, а) Так как момент системы J = 0, то спин-угловая часть в. ф. конечного состояния
имеет вид
}
*^0 = J2 C?m,j-n,Y,,-m{B)Xm S ]Г Ф,т)Хт (I)
m=-j m
(орбитальный момент относительного движения равен j — спину частицы В, а — единичный
вектор вдоль импульса относительного движения,
— коэффициенты Клебша—Гордана (см. 3.39), X™ — с.ф. оператора компоненты j, спина
частииы В). Величины с(п,гл) при фиксированном п можно рассматривать как спиновую
в. ф. частицы В в j,-распределении, так что матрица плотности имеет вид
Cw = ЛГс(п,т)с%(п,т') = -il_(_i)—™'y,,_m(n)K;.m.(ii) B)
(,У = 4я — нормировочный коэффициент). Отметим, что лри фиксированном п спиновое
состояние частицы В является чистым, так как при этом рг = р. Если )ке усреднить ртп,
по всем направлениям п вылета частиц после распада, то с учетом ортогональности шаровых
функций получается естественный результат pnm, = Smm'/{2j + 1), что описывает матрицу
плотности полностью неполяризовашюго состояния.
S) Чтобы перейти к этому случаю (см. условие задачи), следует, очевидно, в B) считать п,
направленным вдоль оси г. Так как
¦*.<•« ОД ~
то теперь находим
Ртт' — ^r»,0^m',0-
Этот результат имеет наглядный смысл. Он означает, что проекция спина частицы на на-
направление о имеет определенное, равное нулю значение. Это непосредственно следует
из сохранения момента; в условиях задачи {J = 0) проекция J на любое направление равна
нулю, а так как проекция орбитального момента на направление а всегда равна нулю, то,
следовательно, и проекция спина на это направление также равна нулю.
30*Заметим, что примерами распадов такого типа, идущих с несохранением четности, являются
распады гиперонов на нуклон и лион, например, Л° — рк~. Читателю предлагается самостоятельно
показать, что в таких распадах неполяризованных частиц у нуклона возникает поляризация, равная
2 Re аЬ'
Р

§ 3. Спиновая (поляризационная) матрица плотности 137
5.35. В условиях предыдущей задачи частица В в свою очередь распадается на две
бесспиновые частицы: В —» 6 4- с. Найти функцию распределения по значениям угла 7
между векторами р„ — импульса частицы а в системе покоя X и р& — импульса
частицы Ь в системе покоя21' В (так что cos7 = РаРь/PaPbh описывающую корреляцию
между направлениями вылета этих частиц.
Решение. Проекция спина частицы В на ось z, направленную вдоль вектора по = ра/ра,
равна нулю. Соответственно в системе покоя этой частицы, частицы Ь и с (после распада)
имеют орбитальные момент l=j и его проекцию lt = О, а их угловое распределение
описывается выражением
(такое же распределение следует из результата 5.32, если для матрицы плотности ртт> вос-
воспользоваться ее видом, установленным в пункте 6) предыдущей задачи). Так как IP,(cos й)| ^ 1
и |Р((±1)| = I, то частицы в распаде В -* Ъ + с вылетают преимущественно вдоль (по или
против) импульса частицы а (при j ф 0).
5.36. Установить соотношение между спиновыми матрицами плотности р<о>'>(п) ча-
частиц а и 6, имеющих спин 1/2 и образующихся в распаде X —* а + b бесспиновой
частицы X (вектор п направлен вдоль относительного импульса частиц а и Ь).
Обсудить случаи, когда а) четкость в распаде сохраняется; б) распад происходит
с несохранением четности.
Решение. Спиновые матрицы плотности имеют вид
?'°» = 1A +РМ9)
(они описывают спиновое состояние одной из частиц в случае, когда проведено усредне-
усреднение по спиновому состоянию другой). В силу сферической симметрии рассматриваемого
состояния (J = 0) векторы поляризации Р„,б = fa,tn могут определяться единственным век-
вектором п. Такое соотношение между аксиальным Р и полярным п векторами, неинвариантное
по отношению к инверсии координат, может иметь место лишь при несохранении четности
в распаде. Если четность сохраняется, то ?,>(, = 0 и спиновое состояние каждой из частиц
является полностью неполяризованным.
При несохранении четности в распаде, вообще говоря, параметры ?,,6 ^ 0, но между
ними существует соотношение ?« = — &. Действительно, так как J = 0, то проекция J,
на любое направление равна нулю. Рассмотрим теперь среднее значение проекции полного
момента
на направление п. Так как 7„ s 0, то з„ = -з^ и соответственно Р„ = -Pj (так как Р = 2s).
Примером рассматриваемого распада, идущего с несохранением четности, является
jrw -распад: зг+ -> р* + v. В этом распаде мюон и нейтрино полностью поляризованы, Р = 1,
антипараллельно своим импульсам.
2" Обратим внимание на то, что векторы р„ и pi, определены по отношению к различным системам
отсчета.

Глава 6
Изменение состояния во времени
Изменение во времени состояний квантовомеханических систем может быть
описано несколькими различными способами.
В шрёдингеровском представлении^ волновая функция (вектор состояния) изме-
изменяется во времени в соответствии с уравнением Шрёдингера
а операторы динамических переменных: координат <f,, импульсов р|, спина ?,
от времени не зависят. Если гамильтониан не зависит явно от времени, то волновая
функция системы может быть записана в виде разложения2*
*(«. О = ? c(En)e-'B-"h Ф*. (g) (VI.2)
л
по полной системе собственных функций Фя. (?) гамильтониана (описывающих
стационарные состояния). Коэффициенты в нем однозначно определяются заданием
волновой функции в начальный момент времени
с(Еп) = j П.(q)9(q, t = 0) dTr (VI.3)
Если некоторой физической величине / сопоставляется квантовомеханический
оператор / = /(§",?, t), то оператор, соответствующий физической величине / = df/dt
(производной по времени), определяется соотношением
' = Т-Ъ + \Р'Ъ (vr4)
Физическую величину, для которой / = 0, называют интегралом движения^.
Временная функция Грина G(q,t;q',t'), удовлетворяющая уравнению Шрё-
Шрёдингера по переменным q, t и начальному условию G(q,t = t',q',f) = 6(q — а*)у
позволяет записать решение уравнения (VI. 1) в виде
Ф(9, 0 = j G(qy t; q', 0)*0(?') *V» O^-5)
'*O различных способах (представлениях) описания временнбй эволюции квантовомеханических
систем говорят также как о соответствующих картинах движения.
2) По поводу формы записи разложения см. подстрочное примечание на с. 10.
3' Для таких величин спектр собственных значений и распределение их вероятностей в произвольном
состоянии не зависит от времени.

§ 1. Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов 139
где $о(?) = Ф(<7, t = 0). При не зависящем от времени гамильтониане для функции
Грина имеем
G(q, t; q', t') = ? ^'-'H*
В частности, для свободной частицы, Н = р2/2т, временная функция Грина имеет
вид
В гейзенберговском представлении, наоборот, от времени не зависит волновая
функция системы, а временная зависимость операторов динамических переменных
определяется уравнениями4'
причем гамильтониан Н(9WiPW>0 выражается уже через гейзенберговские опе-
операторы q(t), p(t), удовлетворяющие каноническому коммутационному соотноше-
соотношению [p,(t), qk(t)\ = -»Л5,*. Теперь соотношение (VI.4) является уже не определени-
определением /, а непосредственным следствием (VI.8).
Шрёдингеровское и гейзенберговское представления для описания временной
эволюции системы связаны унитарным преобразованием: Ф(д, t) = U(t)*o(g). Если
гамильтониан не зависит явно от времени, то U(t) = exp {-iHt/h} и соотношение
между операторами в этих представлениях имеет вид
/КО = eiBt'hTme-'S"h. (VI.9)
Еще одна картина движения, так называемое представление взаимодействия,
рассмотрена в задаче 6.30.
§ 1. Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов
6.1. Для указанных ниже систем и их волновых функций Фо в начальный момент
времени (t = 0):
1) частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а и Фо(х) =
A sin 3(irx/a) при 0 < a; < о;
2) плоского ротатора и *o(v) = A- s'n 2f>
3) сферического ротатора и Фо("> У>) = A. cos 2в
найти волновые функции в произвольный момент времени. Показать, что через
некоторое время Т рассматриваемые системы возвращаются в исходное состояние.
Решение. Стационарные состояния этих систем были рассмотрены в 2.1, 3.2 и 3.3. Восполь-
Воспользовавшись (VI.2), находим:
1) Ф(г, t) = (Л/4)е-"( C sin (хх/а) - е'8'"' sin (Зтгг/а)), ш = x2h/2ma\
2) Ф(у>, t) = (Л/2)[1 - exp {-2M/I} ¦ cosЪр],
3) Я/(в, 0 = (Д/3)[1 + ехр {-ЗШ//} • Ccos29 - l)],
4* Чтобы различать используемое представление (картину движения), у операторов динамических
переменных в гейзенберговском представлении указывается на их временную зависимость: q{t), p{t).
Обозначения q, p сохраняются для операторов в шредингеровском представлении. Обычно связь этих
представлений вводится таким образом, что при I = 0 соответствующие операторы и волновые функции
состояний совпадают, сравнить с (VI.9).

140 Глава 6. Изменение состояния во времени
(для определения коэффициентов разложения в. ф. Фо по с. ф. гамильтониана удобно вос-
воспользоваться известными тригонометрическими формулами, не прибегая к (VI.3)).
Через время Т, равное: 1) то!/2тЛ, 2) эг//й, 3) 2г//3й, рассматриваемые системы
возвращаются в исходные состояния (читателю предлагается самостоятельно обсудить вопрос
о «периодичности движения» квантовомеханических систем в общем случае).
6.2. Состояние свободной частицы при t = 0 описывается волновой функцией
Найти изменение состояния во времени и следующие средние: x(t), p(t), (Ax(t)J,
(Др(*)J (см. также 6.21).
Показать, что ширина волнового пакета (Дх(<)J независимо от значений па-
параметров, определяющих волновую функцию Фо(г), не может быть произвольно
малой.
Решение. Разложим в. ф. Фо(я) по С-Ф- оператора импульса, являющимся также с.ф. гамиль-
гамильтониана свободной частицы5':
*о(*) = J с(р)Ъ,(х) dp, *,(х) = {2гП)-е""\
Используя значение интеграла Пуассона, находим
exp{-^^}. A)
Теперь, воспользовавшись (VI.2), получаем
Щх, t) = [ ф) ехр { - ^ } *",(*) dp =
B)
- vot) \ W
~ 11 + ^?J еХР1 2(*П2 Ы*/>) J
где vq = ра/т. Отсюда
Выбрав |Л|2 = (*а2)~*1г для нормировки в. ф. на единицу, находим
2i±) D)
= J
Так как с(р) = ехр {-ip2t/2mh}c(p) является в. ф. в импульсном представлении, то
с учетом (I) находим
f ^ E)
(независимость импульсных характеристик от времени связана с тем, что для свободной
частицы импульс-интеграл движения).
Результаты C)-E) имеют простой смысл: распределение по координатам C) — гаус-
совский пакет, центр которого x(t) перемещается со скоростью i'o (равной р/т = v); при
'' Все интегралы в данной задаче вычисляются в бесконечных пределах

§ 1. Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов 141
этом ширина пакета ~ y(Az(t)J увеличивается (пакет расплывается). Расплывание пакета
связано с тем, что импульс (скорость) частицы не имеет определенного значения.
Ширина пакета увеличивается вдвое за время ta = -У3та:/П. Приведем числовую оцен-
оценку t0 в двух случаях. 1) Для микроскопической частицы с массой m = 10~27 г (электрон)
при а = 10~8 см (атомные размеры) имеем (о ~ Ю~" с. 2) Для малой, но уже макро-
макроскопической частицы с m = 10~6 г при а = КГ2 см находим to ~ Ю|Т с ~ 1010 лет.
Подчеркнем, что особенно быстрое расплывание пакета с первоначально «узкой» локализа-
локализацией Дх@) связано с соотношением неопределенности Др • Ах > ft (и так как расплывание
определяется неопределенностью Av скорости, то оно особенно ярко проявляется при
уменьшении массы частицы). Как видно из D), ширина пакета удовлетворяет соотношени-
соотношениям (Дх@J ? (о2/2, M/m, fiV/2ma2).
6.3. Рассмотрим при t = 0 нормированный волновой пакет
Щх, t = O) = J c(E)VE(*) dB, J |Ф|2 dx = 1,
составленный из собственных функций гамильтониана, отвечающих непрерывной части
энергетического спектра. Показать, что плотность вероятности нахождения частицы
в любой точке при < -+ оо стремится к нулю. Почему это обстоятельство не противо-
противоречит сохранению нормировки волновой функции?
Решение. В произвольный момент времени
= J
A)
и убывание |4>(г,()Р при t —> оо представляется очевидным: ввиду быстрой осцилляции
подынтефальной функции (ее вещественной и мнимой частей) происходит взаимная компен-
компенсация вкладов соседних областей интегрирования. Убывание |Ф(х,<)|2 означает, что частица
при t -» со уходит на бесконечно большое расстояние. Это соответствует инфиннтному
характеру движения в классической механике. Отметим, что одновременно с уменьшением
плотности вероятности увеличивается ширина пакета — он расплывается, что и обеспечивает
сохранение нормировки в. ф. (в качестве иллюстрации см. C) из 6.2).
6.4. Состояние частицы в поле <5-ямы (см. 2.7) при t = 0 описывается волновой
функцией $о(х) = Аехр{-/3\х\}, /9 > 0. Какова вероятность W(x)dx обнаружить
частицу на отрезке (х, х + dx) при t —¦ оо? Найти значение интеграла / W(x) dx
и сравнить его с первоначальным значением. Объяснить полученный результат.
Решение. Разложив Фо(г) по с. ф. гамильтониана, имеем
|^} У{-^}ф,(.)ЛВ, (I)
о
где 2 2
представляют в. ф. и энергию единственного состояния д.с. в б-яме, см. 2.7.
Второе слагаемое в (I) — вклад непрерывного спектра — при t -* оо обращается в нуль
(сравнить с 6.3), так что
|Ф(*. t = оо)|2 = |со*о(*)|2 = XolcolV2*^. B)
Выбрав А = -У/3 для нормировки в. ф. Фо на единицу и вычислив

142 Глава 6. Изменение состояния во времени
перепишем выражение B) в виде
W(x) = |Ф(«, t = оо)|2 = ^jLe-™, C)
определяющем распределение по координатам частииы при t -» oo. Оно нормировано
на значение
отличие которого от 1 означает, что частица с конечной вероятностью, равной A - ш), уходит
на бесконечность. Для пояснения полученного результата отметим, что в общем случае
/ lim \Я/(х, t)\2 dx * lim / |Ф{х, t)\2 dx =
J 1-00 1-00 J
1.
6.5. При t = О состояние свободной частицы определяется нормированной ма еди-
единицу волновой функцией Фо(р) в импульсном представлении. Найти асимптотическое
при t —» со поведение ее волновой функции Ф(ж, t). Убедиться в сохранении норми-
нормировки. Для иллюстрации результата рассмотреть волновой пакет из 6.2.
Решение. В. ф. имеет вид
При t -* oo (и х -* ±оо) фаза в показателе экспоненты сильно изменяется уже при небольшом
изменении переменной р, что приводит к быстрым осцилляциям и к взаимному сокращению
вкладов от соседних областей интегрирования. Наименее скомпенсированным (а потому
и доминирующим) является вклад тех областей интегрирования, в которых фаза как функция р
имеет экстремум и изменяется наиболее медленно. Экстремальная точка ра = mx/t. Вынося
из-под знака интеграла значение «плавной» функции Фо(ро) в этой точке, находим искомый
асимптотический вид в. ф. при t -» со:
f
J е
(очевидно, что она, как и Фо(р), нормирована на единицу). Отметим наглядный смысл
результата B): значение в. ф. при ( —» оо в точке х -» ±оо (так, что x/t = const = vq = ро/т)
определяется в. ф. ФоО>) пРи р = ро. т. е. именно при таком импульсе, который должна иметь
свободная частица в классической механике, чтобы за время t сместиться на расстояние х.
При этом выражение в показателе экспоненты в B) есть iS(x,l)/h, где S — классическое
действие такой частицы.
6.6. Рассмотреть отражение волнового пакета от непроницаемой стенки, т. е. для
потенциала U = со при х > 0 и U = 0 при х < 0. В начальный момент времени
причем ро > 0, го > 0 и предполагается го > о, так что можно считать Ф(х, 0) = О
при i^O.
Решение. Для вычисления Ф(г,t) воспользуемся временнбй функцией Грина G(x,t; x',t'),
которая по переменным г, t удовлетворяет у. Ш. для свободной частицы и граничному
условию G(x — O,t;x',t') = 0. Имея з виду (V1.7), нетрудно сообразить (по аналогии
с методом изображений в электростатике), что

§ 1. Представление Шрёдингера. Движение волновых пакетов 143
Подставив это выражение и фц из условия задачи в (VI.5) и вычислив получающийся
интеграл, находим
х + х _Ро*У , М(х
2ipoa2(x + Хо) ipla2
+
где ехр{(х -¦ -х)} означает выражение, получающееся из первого экспоненциального
слагаемого заменой в нем х на -х.
В. ф. (I) представляет собой суперпозицию двух волновых пакетов, первый из которых
описывает падающие на стенку частицы, а второй — отраженные. В начальные моменты
времени в (I) наиболее существенным является первое слагаемое, а при t > тхо/ро в случае6>
Ро 3> ft/a, наоборот, доминирующим является второе слагаемое.
6.7. Рассмотреть отражение волнового пакета от потенциальной ступеньки вида
U(х) = Щ > О при х > О и U(x) = О при х < О (рис. 9), считая, что падающий слева
на барьер пакет включает с одинаковой амплитудой импульсы из интервала ро ± Ар
с Др С ро и Ео < Uq. Найти время задержки в процессе отражения от барьера
по сравнению со случаем классической частицы.
Решение. Сначала рассмотрим нормированный на единицу волновой пакет для свободной
частицы, в котором представлены с одинаковой амплитудой импульсы р = hk из интервала
=-к /
ехр
При значении х0 -С Аг0 и для моментов времени таких, что \t\ < Т = m/h>4, в показателе
экспоненты можно опустить член ос х2 и найти
. . Га ( ihkh) sin Ux - 1>оО/°] / >
Фсюв(х> 0 ~ и - ехр < tkox ——— } — -¦—-, B)
V л" ^ 2m J х — VqI
здесь «о = hko/m, а = 1/«о. Согласно B), |ФСК«(*, 'I2 описывает волновой пакет, центр
которого движется со скоростью t>o (находясь в точке х = 0 при t = 0); ширина пакета Ах =
\х — vot\ ~ a, причем он не расплывается (в течение лишь рассматриваемого времени!).
Переходя к рассмотрению отражения пакета от «ступеньки», приведем с.ф. гамильтони-
гамильтониана для Е = ft2fc2/2m при х < 0:
где
(это следует из сшивания C) с в. ф. Ф, = А ехр {-\/2тп(Щ - E)x/h} при х > 0). Составим
теперь из функций C) волновой пакет Ф(г, I) таким же образом, как и в A). В результате
" Отметим, что именно в случае ро > А/а и имеет смысл характеризовать исходный волновой пакет
как описывающий падаюшУю на стенку частицу. В противном случае (при ро 5 "/а) уже в исходном
состоянии частица с заметной вероятностью (~ 1) имеет отрицательное значение импульса (сравнить
с 1.37), как и отраженная частица; соответственно, характеризовать первое слагаемое в (I), как отвечающее
падающим на стенку частицам, буквально лишеносмысла. Отмеченное различие между случаями ро » Л/а
и Ро й А/а проявляется в том, что при ро < Л/а первое слагаемое в A) не является пренебрежимо малым
но сравнению со вторым даже при t —• со.

144 Глава 6. Изменение состояния во времени
в. ф. частицы (уже с учетом наличия потенциальной ступеньки) при х $ 0 запишется в виде
Здесь Ф„„ — часть пакета, связанная с первым слагаемым в C), совпадает с A) и B)
и описывает частицу, движущуюся к барьеру; она отлична от нуля (напомним: х ^ 0) лишь
при t ? o/vo, пока весь падающий пакет не достигает ступеньки. Вторая часть пакета,
Ф,пр, соответствует частице, отраженной от ступеньки (она фактически отлична от нуля
лишь при t > 0). Если при интегрировании по к пренебречь изменением фазы ip(k)
отраженной волны, т.е. положить <р(к) и <р(ко), то для Ф^р придем к явному выражению,
получающемуся из B) заменой х на -х и умножением на -е1*1*"'. В этом приближении
эффект задержки частицы при отражении отсутствует. Для уточнения результата выполним
разложение: <р(ко + х) и <р(ка) + <р'(ко)х. Теперь получаем7'
Ф ~_,/Vw>f!!L[EZj?
Отсюда следует выражение для времени задержки (Ео = pl/2m)
г_/(*о)_ Д (б)
Vo y/Eo(Uo - Ео)'
Так как т > 0, то при отражении частиц от барьера действительно происходит их задержка.
Это можно понять, если иметь в виду, что, в отличие от классической механики, частица
проникает под барьер8'. При этом естественным является уменьшение г с увеличением Щ,
так что т = 0 при Uo = оо. В заключение отметим, что г «? о/ио, т.е. время задержки мало
по сравнению со временем пролета частицей расстояния порядка ширины пакета.
6.8. Рассмотреть процесс отражения частицы короткодействующим потенциалом
U(x). Состояние движущейся в область действия потенциала частицы описывает-
описывается нормированным на единицу волновым пакетом. Считая для определенности, что
в этом пакете с одинаковой амплитудой представлены импульсы частицы из интер-
интервала pa ± Ар, выяснить, при каких ограничениях на Ар значения коэффициентов
отражения и прохождения не зависят от его величины и определяются обычными
выражениями стационарной теории, см. A1.4).
Решение. С. ф. гамильтониана, соответствующие падающим слева частицам, вне области
действия потенциала имеют вид
0)
где * = y2mE/h2, d — радиус действия потенциала, так что можно считать U = 0 при |i| > d.
Рассмотрим нормированный на 1 волновой пакет (сравнить с предыдущей задачей)
-^(е- + Л(*)е—), x<-d,
-«о
При значениях *о < fc0, причем настолько малых, что можно считать
А(ка ± щ) я А(к0) и Я(*о ± «о)
7) Очевидное значение фазы а(х, () мы не указываем.
8* При этом т ~ бх/со, где Сх ~ Л/ y/m(Uo — Ео) — расстояние, на которое проникает частица в глубь
барьера.

§ 1. Представление Шрёдингера. Движете волновых пакетов 145
а также пренебречь членом ккг> показателе экспоненты (при |(| -С Т = тп/Ахо). в. ф. вне
области действия потенциала с учетом асимптотик A) принимает вил
D)
a v0 =Л*о/гп, а = 1/и0.
Интерпретация выражений C), D) представляется очевидной. При t < -d/щ существен-
существенно отлична от нуля лишь часть в.ф. Ф„„, описывающая падающий пакет, еше не достигший
области |г| ^ d действия потенциала. При t > d/t/ц, наоборот, отличны от нуля лишь
частк Ф^р и Фпмш, описывающие частицу, вылетающую из области действия потенциала.
При этом вероятности нахождения частицы в отраженном и прошедшем волновых пакетах
равны соответственно Д = |Д(*оI2 и Д = |JB(fco)P — в согласии со смыслом этих величин
в стационарном подходе.
6.9. На двухуровневую систему*® (уровни невырожденные, их энергии с, и е2 ),
находящуюся в одном и* стационарных состояний, при t > 0 начинает действовать
внешнее поле. Взаимодействие V системы с полем характеризуется матричными
элементами V\\r VJ2. V\i — У{\ между исходными мевозмущенными состояниями |1)
и |2), причем Vab от времени не зависят (при ( > 0). Найти волновую функцию системы
при t > 0 и вероятности нахождения ее а собственных состояниях невозмущенного
гамильтониана J?o-
Решение. В. ф. системы будем описывать двухкомпонентным столбцом Ф(<) = ( ! ( ) ¦
гле rp^i — амплитуды 1-го к 2-го собственны* состояний невозмущенного гамильтони-
гамильтониана Ио, причем в отсутствие возмущения tfi, г = Ctl 3 ехр { —1?; \t/h}. При воздействии
на систему внешнего поля ее новые стационарные состояния (их энергии и. в. ф.) определя-
определяются из решения у. Ш. (Во + И)Ф< = е*,, которое для Ф, = ( ' \ сводится к системе двух
алгебраических уравнений:
(е, +- V,, - е)а, + VI2oz = 0, V^a, + (е\ + Vn - е)а2 = 0.
Решение ее дает «возмущенные» уровни ?i,j и с. ф.;
*
(с, ф, Ф,,,, как и следует, взаимно ортогональны).
" Здесь фаза а(х, i) = kjX - hk\t/2m, см. формулу B) из предыдущей задачи.
"'Двухуровневая система моделирует повеление системы, энергетический спектр которой имеет два
Близких урорня. При не слишком сильном воздействии на систему переходы м«жду этими и другими ее
состояниями малы.

146 Глава 6. Изменение состояния во времени
В. ф. системы при ( > 0 имеет вид
где значения С|2 определяются начальными условиями. В рассматриваемом случае, Ф@) =
, находим
де зн
и вероятность перехода системы в другое B-е) состояние невозмушенного гамильтониана
О)
Ее величина осциллирует между 0 и «)„„ = 4|Ь|2(| + |&|3) . Значение w^ может быть
близко к 1, если матричный элемент VJ2 является достаточно большим. Такая ситуация
реализуется, например, в случае"' е|0> = 4°' (вырожденные уровни) при Vu — V22 = 0. Как
видно из A), при этом в стационарных состояниях возмущенной системы исходные состояния
представлены с одинаковой, равной 1/2, вероятностью.
§ 2. Изменение во времени физических величин.
Интегралы движения
б. 10. Для заряженной бесспиновой частицы, находящейся в электромагнитном поле|2>,
найти операторы скорости у и ускорения w. Сравнить с выражениями классической
теории.
Решение. Имея в виду гамильтониан (VII. 1), по формуле (VI.4) находим13'
«=?= — + 1\п,у\ = -Е+ — ([V5?l - [Sir у)), B)
at ft1 ц 2/*с
где E = —Vip - SAt/cdt, Ж = rot А, что представляет естественное квантовомеханическое
обобщение соответствующих выражений классической теории (при этом правая часть B)
определяет оператор силы Лоренца РЛо5,).
6.11. Для нейтральной частицы со спином а, имеющей собственный магнитный
момент /1о и движущейся в электромагнитном поле14', найти операторы скорости V,
ускорения w и производной по времени вектора спина s.
Решение. Как и в предыдущей задаче, находим
уЛ, « = 8гаа(?ЗГ<М)), ?=[?,s] ?[s5r(r,01
f* fiS ft i^S
(сравнить с соответствующими классическими выражениями для нейтральной частицы, име-
имеющей магнитный момент ц и собственный механический момент М = xfi, взаимодей-
взаимодействие которой с электромагнитным полем описывается потенциалом U = -/iPf(r, t); при
этом dM/dt = L,p = [ЯГ])
"'Отметим почти вырожденные 2а- и 2р-состояння атома водорода, значительные переходы между
которыми возникают уже в сравнительно слабом электрическом поле. Это, в свою очередь, приводит
к существенному влиянию электрическому поли на время жизни метастабнльного 2з -состояния, см. 11.62.
12' Гамильтониан частицы — см. (VII.I).
|}' Не путать векторное произведение с коммутатором!
|4' Гамильтониан частицы — см. (VII.1).

§ 2. Изменение во времени физических величин. Интегралы движения 147
6.12. Показать, что среднее значение производной по времени физической величины,
не зависящей явно от времени, в стационарном состоянии дискретного спектра равно
нулю. Основываясь на этом результате'4, усреднением оператора d(fi7)/dt доказать
теорему вириала для частицы, движущейся в потенциале U = аг"'.
Решение. 1) Усредняя оператор /, находим
?T = 0 (I)
(здесь учтено, что ЯФ„ = ВПФ„ и под интегралом Ф^Я... = (ЯФ„)'... ввиду эрмитово-
сти
Учитывая, что df/dt = р/т и dp/dt = — grad U, для U = or" имеем
B)
и, согласно A), для средних значений получаем Tnn = vUnn/2, что и представляет кванто-
вомеханическое обобщение теоремы вириала классической механики (в которой усреднение
проводится по времени).
Приведем еще один вывод теоремы вириала, основанный на использовании соотноше-
соотношения A.6). Для этого заметим, что степенной потенциал V = ±огг" характеризуется только
одним размерным параметром а. Так как из трех размерных параметров h, m, а мож-
можно лишь единственным способом составить комбинацию, имеющую размерность энергии,
?о = а(й2/тл)" "+ , и нельзя образовать ни одного безразмерного параметра, то для с. з.
гамильтониана Я = -(h2/2m)A + U, относящихся к д. с, из соображений размерности
следует Еп = С(п, v)e0. Замечая, что V = адН/да, согласно A.6), получаем
Из этого соотношения и равенства Е„ = Тпп + Unn непосредственно следует утверждение
теоремы вириала.
Отметим, что полученное соотношение справедливо и для системы из произвольного
числа частиц, если взаимодействие их друг с другом и с внешним полем описывается
степенными потенциалами с одинаковым показателем и.
6.13. Показать, что для системы из N заряженных частиц, находящейся в п-м
стационарном состоянии дискретного спектра, справедливо равенство (так называемое
«правило сумм», см. также 14.11)
^2J2^m-En)\(d,)mn\2 = N A=1,2,3),
m
где {d,)mn — матричные элементы дипольного момента системы; суммирование
проводится по всем независимым стационарным состояниям системы, ft и е — масса
и заряд каждой частицы.
Решение. Усредняя соотношения \р„,хьк\ = —ih6ai,S,t и dxc,Xu/dt — (i/hfi)(ps,xlk + xa,pM)
(индексы о, 6 нумеруют частицы) по состоянию д. с. с в. ф. Ф„ с учетом равенства нулю
второго среднего, находим при « = к (без суммирования!)
(I)
IS* В ряде случаев для конкретного вида потенциала при подходящем выборе оператора /(г, р)
из условия
можно получить соотношения между различными средними; см. в связи с этим [15, с.61].

148 Глава 6. Изменение состояния во времени
(здесь использовано условие полноты ]?} |"»)(т| = 1). Учтем теперь, что р0 = (i/i/fi) [Я,г"а],
и поэтому т
(mlft,|n) = i^(Em -Ея){т\ха{\п). B)
Так как ?= е]С?а, то после умножения A) на е2, подстановки в него B) и выполнения
суммирования по о и b (по всем частицам) приходим к приведенному в условии задачи
правилу сумм.
6.14. Показать, что если не зависящий явно от времени унитарный оператор V
оставляет гамильтониан системы неизменным, так что UHU+ = Н, то связанный
с U = exp {iF } (см. 1.50) эрмитов оператор F описывает сохраняющуюся величину —
интеграл движения. Выяснить физический смысл интегралов движения системы из N
частиц, связанных с инвариантностью ее гамильтониана относительно преобразований
координат:
а) сдвига г„ -» г1,, = г„ + а;
б) поворота на угол <р0 — <^опо;
в) отражения г„ —> г{, = -г„; п = 1,2,..., N.
Решение. Из условия неизменности гамильтониана следует UH — HU = 0, и если записать
унитарный оператор в виде U = exp{i\F}, где F — уже эрмитов оператор, то, очевидно,
и [F, Н] = 0. Соответственно, если $F/dt = 0, то F является оператором сохраняющейся
(во времени) величины — интеграла движения системы. Подчеркнем, что существование таких
интегралов движения связано именно с симметрией взаимодействия (гамильтониана) — его
неизменностью при соответствующем преобразовании координат системы — и не зависит
от конкретного вида взаимодействия.
а) Оператор сдвига U = exp{iaP/A}, см. 1.7; его коммутативность с Н эквивалентна
условию [Р,Я] = 0, означающему сохранение импульса системы, Р = 52 Рп-
б) Оператор вращения координат U = exp {tv»«J}, где 7 = ? + S — оператор полного
момента системы. Коммутативность U с Я эквивалентна условию [J, Я] = 0, означающему
сохранение полного момента системы (если же взаимодействие не зависит от спина, то
инвариантность гамильтониана относительно вращения координат приводит к сохранению
как орбитального, так и спинового моментов в отдельности).
в) Для преобразования отражения координат {/Ф(г„) = Ф(-г„) из коммутативности U
с Н следуют сохранение четности.
Гамильтониан любой замкнутой системы частиц инвариантен относительно рассмо-
рассмотренных выше преобразований, что связано со свойствами свободного пространства: его
однородностью, изотропией и эквивалентностью правого и левого (последняя инвариант-
инвариантность и соответственно закон сохранения четности нарушаются так называемыми слабыми
взаимодействиями). Внешнее поле изменяет отмеченные свойства пространства. Соответ-
Соответственно гамильтониан системы во внешнем поле уже не обладает такой высокой степенью
симметрии. Однако отдельные элементы симметрии и отвечающие им интегралы движения
могут иметь место и в этом случае, см. следующие задачи.
6.15. Указать механические интегралы движения для системы из N бесспиновых
частиц, находящейся в следующих полях:
1) при свободном движении,
2) в поле бесконечной однородной плоскости,
3) в поле однородного шара,
4) в поле двух точек,
5) в однородном поле, зависящем от времени,
6) в поле равномерно заряженного прямого провода,
7) в поле бесконечной однородной цилиндрической винтовой линии.

§ 2. Изменение во времени физических величин. Интегралы движения 149
Решение. Гамильтониан Н системы в отсутствие внешнего поля имеет наиболее высокую
симметрию: он инвариантен относительно произвольного сдвига, вращения и отражения
координат. Внешнее поле нарушает эту симметрию, так что именно симметрия потенциальной
энергии частиц во внешнем поле
определяет симметрию гамильтониана системы Я = Щ + UbHW в целом.
В свою очередь симметрия U,mm однозначно определяется характером симметрии «источ-
«источников» внешнего поля и для выявления ее следует позаботиться о выборе системы координат,
адекватном симметрии системы (проявляющейся в независимости UtMm от соответствующих
координат).
Имея в виду высказанные соображения, явный вид операторов проекции импульса
и момента,
*—??¦ *¦-<??•
а также сохранение энергии системы в случае dUmtm/dt = 0, приходим к следующим
заключениям об интегралах движения.
1) Интегралы движения: Е, Р, L, /. Так как для замкнутой системы движение центра
масс и относительное движение независимы, то Е, L, / сохраняются не только для системы
в целом, но и для обоих указанных движений в отдельности.
2) Система трансляционно инвариантна в любом направлении, параллельном плоско-
плоскости г, у, создающей внешнее поле, имеет азимутальную симметрию относительно любой
оси z, перпендикулярной плоскости г, у, и зеркальную симметрию относительно этой
плоскости; соответственно
Интегралы движения: Е, Рх, Pt, Ь„ I.
3) Система имеет центральную симметрию; интегралы движения: Е, L, /.
4) Система обладает аксиальной симметрией относительно оси, проходящей через точ-
точки — источники внешнего поля; Umela = X) ^Mft» *«) и интегралами движения являют-
я
ся Е, L,. В случае, когда точки несут одинаковый заряд, имеем|6) Un = Un(pn, \zn \) и поэтому
сохраняет также и четность I.
5) Если направление сил, действующих на частицы, зависит от времени, то никаких
интегралов движения у системы нет. Если же от времени зависят только величины сил
(но не их направление, общее для всех частиц системы), то, выбрав ось z вдоль этого
направления, имеем
и интегралы движения Рх, Ру, L, (а при F»(t) = const также и интеграл энергии Е).
6) Система обладает аксиальной симметрией относительно оси z, направленной вдоль
провода, и трансляционно инвариантна в этом направлении, так что UMcm - X)f»(/>¦.).
n
и интегралами движения являются Е, Рг, L,, I (сохранение четности / отражает зеркальную
симметрию относительно плоскости, перпендикулярной оси г).
7) Ось винта — ось г, шаг винта — о, угол поворота вокруг оси — <р. Функция
инвариантна относительно преобразования <р„ ~* ipn + 6а, г„ —» г„ + a6a/2ir при фикси-
фиксированных значениях р„: при этом 6U,MUJ = 0. Это означает, что оператор U,tlcal, а потому
'*' Плоскость z = 0 проходит через середину отрезка, соединяющего точки.

150 Глава 6. Изменение состояния во времени
и гамильтониан Н, коммутирует с оператором
У1 Н I = -1 HL. + —Р,
Следовательно, интегралом движения является комбинация
а также, в силу dU,nelu/dt = 0, и энергия В.
6.16. Для частицы со спином s — 1/2, взаимодействие которой с внешним полем
имеет вид"'
а) U = Uo(i
б) U = U0{
указать интегралы движения и спин-угловую зависимость волновых функций стацио-
стационарных состояний.
Решение. В обоих случаях интегралами движения являются: энергия Е, проекции полного
момента J = 1 + s и соответственно j1, а в случае а) также четность / и I2.
Так как с. ф. гамильтониана можно выбрать также и с. ф. коммутирующих с ним и друг
с другом операторов, то, очевидно, в. ф. стационарных состояний в случае а) имеют вид
где Ф;|;, — известные спин-угловые в.ф. частицы со спином s = 1/2, см. 5.24, llt2 = j ± 1/2;
при этом / = (-1)''г, а у. Ш. сводится к одномерному уравнению для функции /(г).
В случае б) в. ф. стационарных состояний имеют вид
а у. Ш. сводится к системе двух линейных дифференциальных уравнений для функций f\
и /;; сравнить с 12.5.
6.17. Показать, что если /i и /г — интегралы движения некоторой системы, то <?| —
(/1/2 + /2/1) и 9г — »(/|/г - Л/i) также являются интегралами движения.
Для иллюстрации результата указать еще один механический интеграл движения
для системы, у которой сохраняются а) Рг и Jz; б) Jz и Jy; объяснить полученный
результат, исходя из свойств симметрии рассматриваемой системы.
Решение. Из условий dft^/dt = 0 следует d(h%)/dt = 0 и d(f2T\)/dt = 0, так что /1?
и hf\, как и указанные в условии задачи эрмитовы комбинации этих операторов (если Д j —
эрмитовы), являются интегралами движения.
а) Так как Pt = '(/«Л - Л-Р»), см. (Ш.2), то из сохранения Рг и Jz автоматически
следует сохранение и Pt. Это легко объяснить. Действительно, сохранение Рх означает,
что система обладает трансляционной инвариантностью вдоль оси х, а сохранение Jx
свидетельствует о ее аксиальной симметрии относительно оси z. Наличие этих симметрии
автоматически влечет за собой и трансляционную симметрию вдоль оси у (и в плоскости х, у
вообще).
б) Интегралом движения является также и J, = —i(J,Tt - JtJz). Сохранение Jx и J,
свидетельствуют об аксиальной симметрии системы относительно осей хну, что, в свою
очередь, автоматически приводит к аксиальной симметрии также и относительно любой
другой оси, имеющей общую точку пересечения с указанными осями, и тем самым означает
наличие у системы центральной симметрии.
"' См. также задачу 12.5.

§3. Унитарные преобразования, зависящие от времени 151
6.18. Показать, что для частицы в однородном поле оператор G = р- Fo< является
оператором сохраняющейся величины (Fq — сила, действующая на частицу). Сравнить
с результатом классической механики.
Решение. Учитывая, 4то Я = p2/2m - For, находим
dt dt h h
так что среднее значение
G = p(t) - Fot = const.
Это является естественным квантовомеханическим обобщением результата классической
механики, согласно которой при движении в однородном поле вектор Ро = р(<) - Fo<
(так как v(t) = v@) + Fot/m) является интегралом движения и равен импульсу частицы
при t = 0.
§3. Унитарные преобразования, зависящие от времени.
Гейзенберговское представление
6.19. Доказать соотношение
[А,В] + [А,[А,В}}+... .
Решение. Введем сначала оператор /(А) = еЛЛВе~ЛЛ. Дифференцирование его по параметру Л
дает _
АеВе еВАе = ехХ [А, В] е"Ч
Аналогично находим производные второго и более высоких порядков: / '(Л) = ехл [А, [А, В ] ] х
е~кА, и т.д. Воспользовавшись теперь разложением в ряд Тейлора, приходим к искомому
соотношению:
= /(Л=.) = Х:1E()^ = В + 1[1,В] + 1[1,[Л1В]]+....
6.20. Для указанных ниже систем:
а) свободной частицы,
б) частицы в однородном поле, U = -Fox;
в) линейного гармонического осциллятора —
найти гейзенберговские операторы координаты и импульса следующими способами:
1) используя унитарное преобразование, связывающее шрёдингеровское и гейзен-
гейзенберговское представления и 2) непосредственным решением уравнений движения для
гейзенберговских операторов.
Решение. 1) Вид гейзенберговских операторов координаты и импульса согласно (VI.9) легко
установить, если воспользоваться результатом предыдущей задачи. При определении же вида
этих операторов вторым способом следует учесть, что из-за линейности системы уравне-
уравнений (в данной задаче) ее можно решать так же, как для обычных, неоператорных функций,
так как при этом не возникает осложнений, связанных с некоммугативностью операторов.
Приведем ответ:
а) для свободной частицы
*(<) = *+^р, т=р;

152 Глава 6. Изменение состояния во времени
б) для частицы в однородном поле
в) для линейного осциллятора
x(t) = xcoswt-i sin wt, pit) — p cos wt — mwx sin w J.
mw
Здесь x, p — обычные шрёдингеровскмс операторы, с которыми, гейзенберговские операторы
совпадают при I — 0.
2) Покажем, как определяется вис гейзенберговских операторов из уравнений движения
на примере осциллятора. Для него
~ _ p\t) kx!(t)
С учетом значения коммутатора [p(t),x(t)] = -ih уравнения движения принимают вид
Решение этой системы уравнений дает (ш = у/к/т):
x(t) = C| cosa;< + С] sin wt, p\t) = -mw [Ct sin uit - Сг cos ut],
а из^условия совпадения при t = 0 гейзенберговских и шрёдинегеровских операторов следу-
следует Cj = х, Сг = р/тш.
6.21. Используя гейзенберговские операторы координаты и импульса, найти следу-
следующие средние: x(t), p(t), (Ax(t)J, (Ap(t)J для указанных в предыдущей задаче
систем, находящихся в состоянии с волновой функцией
Решение. Временная зависимость средних значений физических величин полностью опре-
определяется зависимостью от времени соответствующих гейзенберговских операторов. Учитывая
значения следующих средних в рассматриваемом состоянии:
i = io, х2=х0+~, р-ро, P2
находим, воспользовавшись результатами из 6.20:
а) для свободной частицы
для частицы в однородном поле
в) для осциллятора
г(<) = i0 cos u>t н sin wf, p(t) = po cos wt - nwig sin wt,
tnw
= у (cos 2u,« + -Aj- sin lwt}, jApW = ~2 (cos 2
Обратим внимание на то, что для осциллятора при значении а2 = h/тш дисперсии
как координаты, так и импульса в рассматриваемом состоянии не зависят от времени,

§ 3. Унитарные преобразования, зависящие от времени 153
а их произведение принимает минимально возможное значение, определяемое соотношением
неопределенности Да; • Др = fi/2. Такие состояния осциллятора называют когерентными,
см. в связи с этим также 10.15. В заключение отметим, что вычисление искомых средних зна-
значений в шрёдиигеровском представлении существенно более трудоемко, сравнить с решением
задачи 6.2.
6.22. Исходя из уравнений движения для гейзенберговских операторов, показать,
что [p,(t),xk(t)] = -ih6ik.
Решение. Используя уравнения движения (V1.4) для гейзенберговских операторов, нетрудно
найти, что
d\p,(t),xt(t)]
dt
т. е. значение коммутатора не зависит от времени, и так как при t = 0 оно равно -tfitf,», то тем
самым доказывается совместность коммутационных соотношений с уравнениями движения.
6.23. Найти значение «разновременного» коммутатора [p(t),x(t')] для указанных
в 6.20 систем.
Решение. Используя вид гейзенберговских операторов координаты и импульса, установлен-
установленный в задаче 6.20, находим
«О \p[t),x(tl)]=-ih;
6) \p[t),x(t')]=-ih-
•) [й«).3<0] = -*«»«(*-О
соответственно для свободной частицы, частицы в однородном поле и осциллятора.
Равенство нулю коммутатора в) для осциллятора при значениях t - t' — я (п + 1/2) /ш
(п — целое) имеет следующий смысл. Пусть в момент времени t = 0 состояние осциллятора
характеризуется малым значением дисперсии координаты (в пределе Ах ~* 0), так что коорди-
координата имеет (почти) определенное значение. Тогда в моменты времени t' = я- (п + 1/2) /ш уже
импульс имеет (почти) определенное значение (сравнить с результатом из 1.30 и выражениями
для дисперсии координаты и импульса осциллятора из 6.21).
6.24. Частица (описываемая некоторым нормированным волновым пакетом) находит-
находится в однородном, переменном во времени поле, причем сила F(t) —» 0 при t —» ±оо.
Найти изменение среднего значения энергии частицы, вызванное действием поля.
Сравнить с результатом классической механики.
Решение. Взаимодействие частицы с полем описывается выражением U = -F(tjf{t). При
этом
Отсюда следует (аналогично классическому случаю)
1
?(t')dt'. A)
-00
Так как при t —* ±оо гамильтониан частицы имеет вид
то согласно A) получаем
оо со 2
= В(-оо) + 1 р(-оо) J F(«) Л + ^ [ У F@ dfj . B)

154 Глава 6. Изменение состояния во времени
Это соотношение, как и A), по пилу аналогично классическому, которое получается из B)
заменой квантовомеханических средних величин их определенными классическими значени-
значениями, при этом, естественно, В(-оо) = р2(-оо)/2т. Если же рассматривать статистический
ансамбль классических частиц с некоторым распределением по импульсам, то для средних
уже в классическом смысле значений будет непосредственно применимо соотношение B).
6.25. На линейный осциллятор, находящийся при t —» -оо в основном состоянии,
действует внешняя сила F(t), причем F(t) —» 0 при t —> ±oo. Найти вероятности
возбуждения различных стационарных состояний осциллятора и среднее значение
его энергии при t —» +оо. Для решения задачи воспользоваться гейзенберговским
представлением и исходить из уравнений движения для операторов рождения и уни-
уничтожения a+(t), a(t).
Решение. Используя гейзенберговские операторы
ад s , r(f)=^t
запишем гамильтониан рассматриваемой системы в виде
йA)=яш [в* @8@+i] - <J^
Уравнения движения для этих операторов
3@ = %- [Я@,3@] = -ШЩ + «-Д=, 3+@ = *«Ч0 " i-Ш* B)
ft V2mhu v2mhw
позволяют сразу найти их временную зависимость18'
Отсюда при t —> ±00 имеем
3@ = e""'3m при t -» -co,
3@ = e"™'or, ar = ат+а при t -* +со.
Здесь
X
- ' /" -^,1
-30
Для гамильтониана системы получаем
Я(-оо) = Я,„ = fto; ('a.la.n + \) ,
_\ч ^ E)
Не зависящий от времени в гейзенберговском представлении вектор состояния |<Р)
рассматриваемой системы определяется тем условием, что при t —• — со осциллятор находится
в основном состоянии, т. е. для него Я,„|Ф) = (ftw/2) |Ф). Согласно E), это состояние является
*вакуумным» по отношению к операторам 3,п, 3?, т.е. |Ф) = |0, in), причем 3,„|0, in) = 0.
"'Оператор a'(t) получается эрмитовым сопряжением а(()- Не зависящий от времени оператор 5,„
играет роль «начального» условия, при этом для него должно быть выполнено соотношение |3,n,S;!i| - 1.

§ 3. Унитарные преобразования, зависящие от времени 155
Стационарные состояния осциллятора при t -+ +co описываются векторами состояний
|n, f) = -i=C?)"|0, f),
так что коэффициенты в разложении |0, in) = ?c,|n, f), определяют искомые вероятности
п
переходов осциллятора ш@ -> п) = |с«|2. Подействовав на обе части приведенного разложения
оператором ат и учтя его связь D) с Of, а также соотношение
ar\n, f) = VS|n-I, Г),
приходим к рекуррентному соотношению с„ = (а/у/п)^-,. Из него следует, что с, =
(а"/\/п!)со. При этом условие нормировки
<0,in|0,in)=]T|c»r = l
дает |со|2 = ехр {-|<*|2}, и для вероятностей перехода получаем
u,@-.n) = J^e-H3 F)
(распределение Пуассона). Воспользовавшись значением п = |а|2, находим
Е(+оо) = Ли, (п + 0 = Лш (\а\г + 0 .
Укажем способ вычисления Е(+оо), не требующий расчета вероятностей перехода
осциллятора. Согласно D), E), имеем
Я(+оо) = Я,„ + Ли (\а\2 + аа?„ + а'ат).
Соответственно, если при t —> -co осциллятор находился в своем fc-м квантовом состоянии,
т.е. |Ф> = |fc,in) (при этом (Ф|о,„|Ф) = (Ф|3^Л|Ф) =0), то
]¦ }
Е{-оо) = Лш[к+-\ G)
(заметим, что среднее значение приобретаемой осциллятором энергии, равное /ш|а|г, не со-
содержит постоянной Планка и совпадает с результатом классической механики, см. [26]).
6.26. Найти унитарный оператор, соответствующий преобразованию Гали/гея, т.е.
переходу в новую инерциальную системы отсчета. Убедиться в инвариантности урав-
уравнения Шрёдингера относительно этого преобразования. Как при этом преобразуется
волновая функция частицы в координатном и импульсном представлениях?
Решение. Пусть система К1 движется со скоростью V вдоль оси х относительно системы К,
так что х = х' + Vt, t = t'. Потенциальные энергии частицы в этих системах связаны
соотношением
U'(x, О = U'(x - Vt, t) = U(x, t).
Унитарный оператор'" U, соответствующий преобразованию Галилея, находится из того
условия, что если волновая функция Ф(х,1) удовлетворяет у. Ш. в системе К:
л | Щх, <) = яф = [^р2 + и(х, о] »(*,«), A)
то функция Ф'(х', t) = U9(x, t) должна являться решением у. Ш. в системе К' (и наоборот):
V,«). B)
путать с потенциальной энергией U(x,t); мы ограничились для краткости записи случаем
одномерного движения.

156 Глава 6. Изменение состояния во времени
Так как обе функции ф, ф' описывают одно и то же физическое состояние частицы
(но по отношению к различным системам координат), то должно быть выполнено условие
|ФV. 0I2 = l*'(* " Vt, t)\2 = |Ф(*. t)\\ C)
выражающее независимость от выбора системы координат плотности вероятности нахождения
частицы в данной точке пространства. Из C) следует, что искомый оператор имеет вид
U = exp{iS(x,t)},
где S(x,t) — вещественная функция. Подставив в уравнение B) функцию
«V.«) = «p {«(«,«) }Ф(*,9 D)
и перейдя в нем к переменным х, t, получим
+ \U(x,t) н — + ftV—+Л— Ф(х,Л.
L 2m dx> 2m \dx) dx dt\ x '
Потребовав, чтобы это уравнение было тождественно A), приходим к системе уравнений
ft as ., т 925 н /ds\2 es as n
i_ у ^ Q J 1 1 _i_ If _L — ^ Л
m dx ' lm 8x2 2m \dx J dx dt
Из первого из них следует, что 5 = -mVx/h + f(t),a второе позволяет найти f(t) и получить
„, % mVx mVH „ ...
S(x,t) = —r + — +C E)
(несущественную постоянную С здесь можно опустить).
Найдем закон преобразования волновой функции частицы в импульсном представлении.
Умножив D) на Ф^(г') (с. ф. оператора импульса) и проинтегрировав по х' с учетом E),
получаем
Ф'(р',0 = ехр{-^+,^}ф(р>0, p = p' + mV. F)
Отсюда следует естественное соотношение
rv'(p-mV,t) = w(p,t)
между функциями распределения по импульсам частицы в системах К' и К.
6.27. Найти унитарный оператор, соответствующий калибровочному преобразованию
потенциалов электромагнитного поля. Убедиться в инвариантности уравнения Шрё-
дингера относительно этого преобразования.
Решение. Пусть в. ф. Ф(г, t) является решением у. Ш.
ЭФ 1 Г е I2
'Л5Г = 2^[Р- ~А(г, Oj Ф +ertr,l)«, A)
где А(г,(), <p(r,t) — потенциалы внешнего электромагнитного поля. Инвариантность у. Ш.
относительно калибровочного преобразования потенциалов означает, что, если перейти
к новым потенциалам
то должен существовать такой унитарный оператор U, что волновая функция Ф' = УФ,
описывающая то же самое физическое состояние частицы, что и исходная в. ф. Ф (но с другим
выбором потенциалов), и поэтому удовлетворяющая соотношению |Ф'(г,<)|2 = |Ф(г,<)|2,
является решением уравнения Шре'дингера

§3. Унитарные преобразования, зависящие от времени 157
Ввиду неизменности плотности вероятности, искомый оператор должен иметь вид
t? = exp{>S(r,f)},
где 5(r, t) — вещественная функция (сравнить с предыдущей задачей). Подставив в. ф. вида
в уравнение B) и потребовав, чтобы получающееся уравнение совпадало с уравнением A),
приходим к соотношениям
rtVS(r,l) = е V/(r,«), chjt S(r,t) = е |/(М)-
Отсюда находим 5(г, t) = e/(r, t)/hc+C, что и решает задачу (несущественную постоянную С
здесь можно опустить). Очевидно, что для системы заряженных частиц
6.28. Как необходимо преобразовать оператор Гамильтона системы, чтобы при зави-
зависящем явно от времени унитарном преобразовании уравнение Шрёдингера сохранило
свой вид? Сравнить с каноническими преобразованиями в классической механике.
Решение. 1) При унитарных преобразованиях волновые функции и операторы преобразуются
следующим образом:
В частности, для гамильтониана системы имеем
Ё' = ияи*. A)
Выясним, какой вид принимает уравнение Шрёдингера при унитарном преобразовании,
зависящем явно от времени. Подействовав на обе части исходного у. Ш. оператором 17@ •
получаем
Подставив сюда Ф' = t/Ф и учтя, что U*U = 1, приходим к уравнению
•?-["»*¦•(?)»*]•'•
представляющему уравнение Шрёдингера с гамильтонианом
B)
что и решает поставленную задачу (Я" — эрмитов оператор).
2) Итак, при зависящем от времени унитарном преобразовании в соответствие гамиль-
гамильтониану системы Я можно поставить два оператора: Я' и Я". Для понимания полученного
результата и выяснения роли этих операторов необходимо иметь в виду следующее об-
обстоятельство. Гамильтониан системы играет, вообще говоря, двоякую роль: 1) он определяет
временную эволюцию волновой функции в соответствии с уравнением Шрёдингера и 2) в слу-
случае его независимости от времени он является интегралом движения, при этом его с. з. имеют
непосредственный физический смысл, определяя энергетический спектр системы.
Если исходный гамильтониан Я не зависит от времени, то при зависящем от времени
унитарном^реобразовании отмеченные его роли распределяются между операторами Я" и Я/:
оператор Я" определяет временную эволюцию волновой функции системы, а оператор Я'
принимает на себя роль интеграла движения (спектры с. з. Я и Я'(<) совпадают).
Если же Я(() зависит от времени, то гамильтониан утрачивает роль интеграла движения
(энергия уже не сохраняется). При этом с. э. «мгновенных» гамильтонианов Hit) и 3'(t)

158 Глава 6. Изменение состояния во времени
в общем случае не имеют глубокого физического смысла. Оператор же S"(t) по-прежнему
определяет временную эволюцию20*.
Иллюстрацией проведенного рассмотрения является переход к гейзенберговскому пред-
представлению в случае dH/dt = О, осуществляемый унитарным оператором U = exp {iHt/h}.
При этом Н' = Н, Я" = 0 и из у. Ш. в новом представлении следует, как и должно быть,
независимость в. ф. системы в гейзенберговском представлении от времени.
Унитарные преобразования в квантовой механике являются аналогом канонических
преобразований в классической механике. При этом соотношение B) для гамильтониана
системы является квантовомеханическим обобщением формулы
классической механики [26], выражающей преобразование функции Гамильтона при ка-
каноническом преобразовании, осуществляемом зависящей явно от времени производящей
функцией J(t).
6.29. Указать вид унитарного преобразования, описывающего переход к равномерно
вращающейся системе координат. Как при этом преобразуются операторы координат
импульса, скорости и гамильтониан частицы? Сравнить с результатом классической
механики. Для иллюстрации рассмотреть заряженную частицу, находящуюся в цирку-
циркулярном электрическом поле, т.е. таком, что S'z — $ cosut, S'v — <§о sinu>i, &г = 0.
Решение. Вид унитарного оператора U = exp{itaii}, осуществляющего рассматриваемое
преобразование, определяется известным из теории углового момента законом преобразо-
преобразования волновой функции при повороте системы координат; здесь ш — угловая скорость
вращающейся системы координат относительно исходной инерциальной системы отсчета.
При этом закон преобразования в. ф. имеет вид
Ф'(г,0 = exp {t?u><}*(r,0 = Ф(г',«), A)
где Я/'(г, () — в. ф. во вращающейся системе, а Ф(г'| () — исходная в. ф. в неподвижной систе-
системе координат. При этом г — радиус-вектор относительно вращающейся системы, а г1 = Яг —
радиус-вектор точки пространства в неподвижной системе, которая в момент времени t совпа-
совпадает с точкой г. Равенство A) означает, что значение в. ф. системы не зависит от того, в пере-
переменных какой системы координат (неподвижной г* или вращающейся г) она описывается31'.
Найдем вил операторов физических величин в новом представлении, т. е. во вращающей-
вращающейся системе координат, и их связь с операторами в исходной, неподвижной системе координат
Определим сначала вид операторов радиуса-вектора Т„„A) и импульса |>цСп@ относительно
исходной системы. Используя результат задачи 6.19 и известные значения коммутаторовjcom-
понент?и р с L, см (III 2), согласно общей формуле преобразования операторов /' = UfU+.
находим:
?«-.@ = UxU* = VxU* = х coswt - у sinw«,
Si«n@ = xsinu/t + j/cosut, zMn(«) = г,
а также
= ^(~Л5х)^+ =P*coswt -PiSinwt,
Pi. иеп@ = P. Sin bit + p, COS U)t, ft, „„(<) = p!t
здесь px = -ihd/дх и т.д., а ось z направлена вдоль вектора о).
20) Если же Я", в отличие от 4A), не зависит от времени, то он выполняет обе отмеченные выше
роли гамильтониана, см в связи с этим 6.29.
J" Сравнить с задачами 6.26 и 6.27, в которых при соответствующих унитарных преобразованиях
не изменялась лишь плотность вероятности.

§ 3. Унитарные преобразования, зависящие от времени 159
Соотношения B) имеют очевидный смысл и означают22', что оператор радиуса-вектора
частицы является умножением на г как во вращающейся, так и в неподвижной системах
координат (компоненты же вектора в этих системах координат различны и связаны обычными
формулами для преобразования векторов при поворотах системы координат). Аналогично
соотношения C), также имеющие вид формул преобразования компонент вектора при
поворотах системы координат, означают, что и оператор импульса частицы в обеих системах
координат одинаков и имеет вид f = -ifiV. Точно так же одинаковый вид в неподвижной
и вращающейся системах имеет оператор момента импульса
й? = |?р] = [г«'„риш].
Гамильтониан же частицы Я = p2/2m + U(r, t) при переходе во вращающуюся систему
координат изменяется и согласно формуле B) из 6.28 имеет вид
о3
Я„р = VHU+ - Нш L = J- + V'(г, t) - Пш L, D)
2т
где U'(r, t) = (/(Л I) — потенциальная энергия частицы в переменных вращающейся системы
координат. Теперь, имея в виду соотношение V = ?= i[#,?]/fi, нетрудно найти операторы
скорости в неподвижной и вращающейся системах:
V,, = —, У,р = — - {а>г] = vHtn - [ш?] E)
(сравнить с результатами классической механики, см. [26]).
Наконец, рассмотрим частицу, находящуюся во внешнем поле, источники которого
вращаются с постоянной угловой скоростью относительно некоторой оси, так что потенци-
потенциальная энергия в исходной системе координат U(r,t) зависит явно от времени. Переходя
во вращающуюся вместе с источниками поля систему координат, согласно D) находим
Яв), = -^Д + 17'(г)-Ла,?. F)
Существенно, что теперь как U'(г), так и гамильтониан в целом не зависят явно от вре-
времени, так что энергия во вращающейся системе координат является интегралом движения;
так, для частицы в электрическом поле циркулярно-поляризованной монохроматической
волны U'(t) = -е<%1.
В заключение заметим, что полученные в данной задаче результаты являются есте-
естественным квантовомеханическим обобщением соответствующих выражений классической
механики, см. [26, § 39).
6.30. Гамильтониан системы имеет вид Н = Но + V, где «невозмущенный» га-
гамильтониан Яо не зависит явно от времени. Рассмотреть унитарное преобразование
от шрёдингеровского представления к новому, так называемому представлению вза-
взаимодействия, осуществляемое24 унитарным оператором U = exp {i#o(* - <о)А}
(при V = 0 и to = 0 это преобразование описывает переход к гейзенберговскому
представлению).
Как изменяются во времени операторы и волновая функция системы в предста-
представлении взаимодействия?
Для иллюстрации использования этого представления рассмотреть возбуждение
линейного осциллятора, находящегося при t —» -со в основном состоянии, внешней
22) Во избежание недоразумений сделаем следующее разъяснение. До преобразования г является
радиусом-вектором относительно исходной системы координат, при этом 7 = г. После выполнения
преобразования это соотношение относится уже к частице во вращающейся системе, а исходный
оператор (сохраняющий свой физический смысл) преобразуется обычным образом, 7' = U7U*. Это
замечание остается справедливым и в отношении импульса частицы.
"' Значение времени <о ^выбирается обычно таким образом, чтобы оно предшествовало моменту
включения взаимодействия V(i), либо 1ц — 0.

160 Глава 6. Изменение состояния во времени
силой F(t), причем JF"(() —» 0 при t -* ±00. Взаимодействие V — -F(t)x считать
слабым. Сравнить с результатом точного решения, см. 6.25.
Решение. Связь волновых функций и операторов в представлении взаимодействия (они снаб-
снабжены индексом int) со шрёдингеровскими имеет вид
(О
При этом, если / = f(p,q,t), то /,„, = f(p,m,qm,t).
Продифференцировав A) по времени, получаем уравнение движения для соответствую-
соответствующего оператора
Л = Hi + К ^ '' ^
причем
Ho(p,q) - Я0.,п, = Я0(р,ш, Ям); Аи («о) = Pi ?ги('о) = 9-
Изменение со временем волновой функции системы определяется уравнением
«^•tai = #¦»•«, H'im = VM C)
(такой вид гамильтониана Н'м в представлении взаимодействия следует из формулы B)
задачи 6.28).
Проиллюстрируем использование представления взаимодействия на примере осцилля-
осциллятора, находящегося в однородном, зависящем от времени внешнем поле. При этом
v2 1
Я, = ^ + -mu-V, V = -F(t)x,
а зависимость от времени операторов координаты и импульса в представлении взаимо-
взаимодействия такая же, как и в гейзенберговском представлении для свободного осциллятора.
Соответственно, используя результат задачи 6.20 для x(t), получаем
9М = -F(t)zm = -F(t) J* cos w(t -k)-? si" «(*" «0) • ?] • D)
Для решения уравнения C) с VM из D) последовательными итерациями, учитывающими
малость внешней силы F(t), подставим в него
где в соответствии с постановкой задачи Фо(*) — в. ф. основного состояния осциллятора
и ty'''(z,i = —00) = 0 (до включения силы осциллятор находится в основном состоянии).
Теперь с учетом вида волновой функции, см. (II.2),
согласно C), D) получаем
Отсюда ФA> = V2C,{t)x^!0(x)/a, где
t
C,(t) = <Bтпйы)-1/2е-"'« J F(i')e'u'' Л'.

§4. Временные функции Грина 161
Имея в виду, что Ф, = </2хЯ/0(х)/а является в. ф. первого возбужденного состояния осцил-
осциллятора, замечаем, что под действием однородного поля в низшем порядке по F только в это
состояние и возникают переходы из основного состояния. При этом вероятность перехода
при t -» +00 оказывается равной24'
-00
что для случая слабого поля согласуется с результатом точного решения, см. 6.25.
§ 4. Временные функции Грина
6.31. Показать, что для не зависящего от времени гамильтониана временная функция
Грина удовлетворяет уравнению
q(-t)G(q, t; q', t' = 0) = q'G(q, t; q', 0), A)
где §"{<) — гейзенберговский оператор.
Используя это соотношение, найти функцию Грина свободной частицы в ко-
координатном и импульсном представлениях. Получить ее также по формуле (VI.6).
С помощью найденной функции Грина решить задачу 6.2.
Решение. 1) Сначала покажем, что если в шрёдингсровском представлении волновая функ-
функция при t = 0 является собственной функцией не зависящего от времени оператора /,
то Ф(д, t) является с. ф. гейзенберговского оператора f(—t). Действительно, действуя на соот-
соотношение /Ф(д, 0) = /Ф(?, 0) слева оператором exp {-iHt/h} и учитывая связь в. ф. и операто-
операторов в шрёдингеровском и гейзенберговском представлениях, получаем /(-i)*(9> 0 — /*(?» 0 ¦
Если здесь выбрать / = }= q, f = q', то функция Ф(?, <) будет совпадать2'* с временной
функцией Грина G(q,t; q',0), и мы приходим к уравнению для нее, приведенному в условии
задачи.
2) Для свободной частицы p(t) = p (оператор от времени не зависит). В импульсном
представлении р = р и уравнение для функции Грина принимает вид pG = p'G. Отсюда
G(p, t; p', 0) = с(р, /) б(р — р'). B)
Воспользовавшись теперь у. Ш. (по переменным р, t), находим
mfi
а из начального условия при t = 0 следует со(р) = 1; приведенные соотношения полностью
определяют вид временнбй функции Грина в импульсном представлении.
Аналогично, используя соотношение?^) =?+(р/т, имеем в координатном пред-
представлении (г- tp/m)G =?G, что является системой трех дифференциальных уравнений;
для х-компонепты
и аналогично для других компонент. Решение этой системы уравнений имеет вид
C)
24' Как и следовало ожидать, выражение для вероятности перехода не зависит от конкретного выбора
момента времени <о-
2S) В случае нескольких степеней свободы это — система соответствующего числа уравнений.
^Действительно, функция *(?,() при этом удовлетворяет у. Ш. по переменным q,t » при 1 = 0
равна 6(q - q'), как и требуется для функции Грина.

162 Глава 6. Изменение состояния во времени
Подставив эту функцию в у. Ш., получаем а = -За/2/, так что
о(г',0 = а0(г')Г:>'2.
Для определения ао(г/) замечаем, что согласно начальному условию / GdV -> 1 при t -* 0.
Вычисляя интеграл, находим
что с учетом C) завершает определение вида функции Грина.
Заметим, что это выражение можно было бы также получить следующими двумя спосо-
способами: 1) непосредственным вычислением интеграла (VI.6), выбрав в нем с. ф. Фв(г) в виде
плоских полн и выполнив интегрирование по р, и 2) воспользовавшись B) и общим выраже-
выражением, связывающим ядра оператора в координатном и импульсном представлениях, как это
было сделано в 2.20 для функции Грина стационарного у. Ш.
В заключение подчеркнем, что показатель экспоненты в выражении B) равен iS/h, где
является действием для свободной классической частицы, движущейся из точки г* при 1 = 0
в точку г в момент времени t; ее скорость при этом равна г - r'/i, см. [26].
6.32. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы в однородном поле U — —For.
Решение. Так какг~(<) =T+pt/n»+Fo22/2m, см. 6.20, то уравнение для функции Грина7(—t)G =
t'G отличается от рассмотренного в предыдущей задаче лишь заменой г1 на г* - F0t3/2m.
Это же замечание справедливо и в отношении его решения C) из 6.31. Теперь, однако,
Отсюда находим а(г/,() и окончательное выражение для функции Грина в координатном
представлении
(как и в 6.31, показатель экспоненты — действие для классической частицы, движущейся
в однородном поле).
В импульсном представлении
G(f,t; р',0) = ехр |-^ (рг - Fopt + jFJt2^ j й(р - р' - ВД-
6.33. То же, что и в двух предыдущих задачах, для линейного гармонического
осциллятора.
Решение. I) Сначала найдем функцию Грина с помощью (VI. 6). Для осциллятора
где а = s/h/тш; суммирование в (VI.6) проводится с использованием известной из теории
полиномов Эрмита формулы
f^o 2"n!
и приводит к следующему результату:
, ехр {» ctg (art) ¦ (z2 - 2хх' secuit + (г'J)/2о2}
v2»io2 sin w<

§ 4. Временные функции Грина 163
2) При определении вида функции Грина с помощью уравнения A) из 6.31 имеем
(гейзенберговский оператор координаты осциллятора см. в 6.20):
x(-t)G = ( х cos ut + to2 sin ut— IG = x'G.
V ox)
Отсюда
' »(x2 ctgwt - 2n' cosecuf) 1
Подставив это выражение в у. Ш., получаем уравнение
Его решение
v-i/2 Г'(*')'«8 И) 1
) "'exp | |
при этом из начального условия имеем Со = B7ria2)~l/2 и для функции Грина опять приходим
к выражению A).
Так как для осциллятора у. Ш. в импульсном представлении имеет такой же вид,
как и в координатном, то выражение для функции Грина G(p,t; р',0) получается из A)
в результате очевидных переобозначений: х -*р, а-* л/Ашш.
6.34. Найти временную функцию Грина заряженной частицы в циркулярном электри-
электрическом поле во вращающейся системе координат; см. в связи с этим задачу 6.29.
Решение. Гамильтониан частицы во вращающейся системе координат имеет вид (см. 6.29)
Я„ = ^ ь>Ь, -Fx, F = e%>.
2т
Временную функцию Грина найдем с помощью уравнения A) из 6.31. Для этого сначала
установим вид гейзенберговских операторов t(t) и p(t). Для упрощения записи ниже в них
будем опускать аргумент ( (а для шрёдингеровских операторов будем использовать лишь
их явные выражения: г и -tftV!), а также положим ft = т = 1. Уравнения движения для
операторов имеют вид
х=р,+шу, у = ри-шх, ? = й,
fy- -wRi Р, = 0-
Ввиду линейности эту систему уравнений можно решать как для обычных неоператорных
функций. Вводя комбинации рг ±ipv и x±iy, находим
рг+{р, = Аре"°'-^, x + iy= (Л1 + Мр)е-И'-^,
где 2„Ар — не зависящие от времени неэрмитовы операторы. Их явный вид определяется
из совпадения при 1 = 0 гейзенберговских и шрёдингеровских операторов, что дает
т F ~ д д iF
Ax=x + iy + —г, Ар = -!— + — Н •
ш* ' дх ду ш
Функция Грина с точностью до множителя c(i!,t) определяется из системы уравне-
уравнений f{-t)G = x'G, сравнить с предыдущими задачами. Для решения системы уравнений
удобно перейти от переменных х, у к и = х + iy и v = х - iy. Далее, определяя eft, t) так же,
как и в указанных задачах27', можно получить окончательное выражение для функции Грина:
г7> При этом, учитывая независимость гамильтониана от времени, при подстановке функции Грина
в у. Ш. гамильтониан удобно выразить через шредингеровские операторы координаты и импульса частицы.

164 Глава 6. Изменение состояний во времени
G(r, t; г', 0) = Bтп7)- ехр {'- Г-(г - г'J + рр\\ - cosui) + (х'у - ху) sin ut +
Jr F(I - cosu>t)(x + x') - -^ F(wt -smu>t){y- y') + ^F2(\ - coswt) - -^ Fh1] ), A)
U)'
здесь /> — составляющая радиус-вектора в плоскости х, у. При ш —> 0 выражение A)
переходит в функцию Грина из 6.32.
6.35. Найти временную функцию Грина заряженной частицы в однородном магнитном
поле.
Решение. Рассмотрим сначала поперечное движение частицы в магнитном поле, вос-
воспользовавшись векторным потенциалом Л = @, Жх,0). Учитывая установленный в зада-
задаче 7.1 а) вид *&пР1(р), с.ф. гамильтониана и его спектр ?(,„, согласно формуле (VI.6), как
и в 6.33, получаем
P, Ч Л» 0) =
(о
Здесь Gocu — функция Грина линейного осциллятора, найденная в 6.33, с частотой шд =
\t\Jflmc\ х = х - сру/еЖ и аналогично для х0. Вычислив в A) интеграл и умножив
получившиеся выражением) на G0(z, (; z0,0) — функцию Грина свободной частицы, см. 6.31,
приходим к искомой временной функции Грина (а2 = h/mwB):
где S — действие для классической частицы в магнитном поле, сравнить 6.31 и 6.32.
Заметим, что при изменении калибровки векторного потенциала, т. е. при переходе
к А' = А + V/(r), функция Грина в новой калибровке получается умножением B) на
сравнить с 6.27. В частности, для перехода к векторному потенциалу А' = [Э?г\/2 следует
выбрать / = -Жху/2.
§ 5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния291
6.36. Найти сдвиг и ширину основного уровня частицы в одномерной 6-яме (см. 2.7),
возникающие при наложении однородного поля V = —Fqx. Поле предполагается сла-
слабым, так что ojFo < h2/ma2, где а = 1/щ = h2/ma определяет область локализации
частицы в основном состоянии.
Решение. Гамильтониан частицы имеет вид
Я = ?- - а ф) - Fx. A)
2m
п) Мультипликативный вид функции Грина связан с разделением переменных поперечного и продольного
движения частицы
м* См. по этим, как и по многим другим, вопросам квантовой механики монографию А. И. Базя,
Я Б. Зельдовича и А. М. Переломова [15|. Общие представления о квазиэнергетических состояниях
изложены в решении задачи 6.40, рассмотрение их в рамках теории возмущений см в 841-43.

§ 5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния
165
Уровень ?« дискретного спектра в изолирован-
изолированной *-яме, см. 2.7, при наложении однородного поля
приобретает ширину (размывается) и становится ква-
квазистационарным состоянием частицы. Возникновение
ширины уровня Г, определяющей время жизни т = \
состояния, связано с возможностью проникновения
частицы через барьер и ухода ее на бесконечность,
см. рис. 23. Для определения параметров квазистацио-
квазистационарного состояния следует найти решение у. Ш., име-
имеющее требуемые асимптотики при х —» ±оо: уходящая
направо волна при х -> +оо (условие излучения) и за-
затухающая волна в классически недоступной области
при х -» -со, см. [1, § 134].
Для решения уравнения Шрёдингера замечаем,
что как при х > 0,так и при х < 0, оно заменой
переменной
Е
z =
(Лх)
'//////
0
-F,
X
?,-
X
Рис.23
. '/з
приводится к уравнению Ф" + *Ф = 0. С учетом отмеченных выше асимптотик его решение
следует выбрать в виде следующих комбинаций функций Эйри, см. [34, с. 264]:
ос
х>0,
= C2Ai(-z) ос (_,
B)
Условия сшивания решения в точке х = 0 согласно 2.6 приводят к соотношению30'
C)
2ятпа F
определяющему спектр квазидискретных уровней.
В случае слабого поля31', когда ?Н2/та С 1, правая часть в уравнении C) мала. Чтобы
оно было выполнено, требуется малость и Ai (-г0), а для этого должно быть Re (-го) ^ • •
Воспользовавшись асимптотиками функций Эйри [34], согласно уравнению C) получаем
где v = B/3)(-2oK/J, к,, = ma/ft2.
Решая уравнение D) последовательными итерациями (Ret/» 1), находим в нулевом
приближении (когда выражение в квадратных скобках заменяется на I) Е~ Ец = -П.2х$
что соответствует невозмущенному уровню в tf-яме. Записав далее
и заменив v в квадратных скобках в D) значением нулевого приближения щ = h2xl/3mF,
получаем сдвиг уровня АЕ и его ширину Г, возникающие при наложении однородного поля:
E)
Квадратичный по полю сдвиг уровня определяет поляризуемость основного состояния
частицы в 4-яме, равную Д> = 5me2/4fi2xJ (положено F = e<f), и может быть рассчитан
на основе второго порядка теории возмущений, сравнить с 8.12.
м) Использовано значение вронскиана W{M (г), Bi (z)} = 1 /гг.
3" При нарушении этого условия (в достаточно сильном поле) происходит сильное уширенис уровня
и специфические свойства квазистаиионарного состояния на фоне непрерывного спектра исчезают.

166
Глава 6. Изменение состояния во времени
Экспоненциальная малость ширины уровня связана с малой проницаемостью барьера
и может быть получена на основе квазиклассического выражения для его проницаемости,
см. (IX.7), а также задачу 9.28. Такая экспоненциальная зависимость ширины уровня от его
энергии и «напряженности» однородного поля характерна для частицы в достаточно произ-
произвольном потенциале, убывающем на больших расстояниях, см. 11.67.
6.37. Найти квазидискретные уровни энергии (их положение и ширину) s-состоя-
ний частицы в потенциале U — а6(г - а), см. рис.24. Специально обсудить случай
малопроницаемого барьера таа/h1 > I и не очень сильно возбужденных уровней.
Связать ширину уровня с проницаемостью ^-барьера, см. 2.30.
Шг)
Решение. В. ф. квазистационарного «-состояния, Ф^ы) = Х*(г)/Г>
удовлетворяет уравнению
и ~ , ч 1 12тЕ _ 2та , .
-Хк + <*Нг-а)Хк = * Хк, к = у-ГГ> а=~7Г> С)
, V й л
граничному условию х*@) = 0 и имеет при г -» со асимптотику
вида Хк ос ехр {'*г}. В такой постановке задачи решение существует
лишь при некоторых комплексных значениях к = к,- хк^, при этом
а
Рис.24
Е = ВТ - -Г,
2т '
Г =
2ft2fc,fc2
где Ет, Г — энергия и ширина квазистационарного состояния (от-
(отметим, ЧТО fci,2 > 0).
Решение уравнения (I) имеет вид
' С\ sin *г,
С2 ехр {ikr},
Условия сшивания в. ф. в точке г = а согласно 2.6 дают
ika — ka ctg ka = 5a,
r<a,
r>a.
B)
C)
что и определяет спектр квазидискретных «-уровней.
В случае аа » I из уравнения C) следует, что значения ка для нижних уровней (таких,
что \ка\ <kaa) близки к (п + 1)л\ Записав
и подставив в C), легко находим приближенные значения
(п + 1)я- ,
а с ними и спектр нижних квазидискретных «-уровней:
°> Г -4Т("
Подчеркнем, что ширины уровней много меньше расстояния между соседними уровнями.
Как и следовало ожидать, положения квазидискретных уровней близки к «-уровням Е^
частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме радиуса а и переходят в них при а -* со,
когда потенциальный барьер становится непрозрачным.
Ширина квазистационарного состояния Г = hw определяет вероятность ш его распада
в единицу времени (или время жизни состояния г = i/w). Выражение D) для ширины уровня
позволяет наглядно проиллюстрировать эту связь, если его записать в виде
h \
Ima1
,

§ 5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния 167
здесь D(Er,n) — вероятность прохождения <5-барьера при однократном столкновении,
см. 2.30, а
ЛГ= *й^п + ^ = —
2та2 2а
определяет число столкновений («ударов» частицы о барьер) в единицу времени.
В заключение отметим следующее обстоятельство. Полученные результаты полностью
переносятся и на случай а < 0 F-яма), что на первый взгляд представляется удивительным.
Здесь проявляется особенность квантовомеханического отражения частиц потенциальной
ямой в случае, когда она имеет резкие скачки или изломы: коэффициент прохождения при
этом может быть малым, DCI, даже при достаточно большой энергии частицы. Однако если
перейти к плавной яме («размазать» ^-функцию), то уже будет D ~ 1, и квазистационарное
состояние фактически исчезнет (время жизни его будет такого же порядка, что и время
пролета частицей области локализации).
6.38. Обсудить вопрос о сохранении нормировки волновой функции состояния
частицы в случае, когда потенциальная энергия является комплексной функцией:
U = Щ(т) — Ш\(т) где G0-| — вещественные функции (так называемый оптический
потенциал). Изменение со временем нормировки волновой функции можно интерпре-
интерпретировать как «поглощение» или «рождение» частицы при взаимодействии. Как связан
знак мнимой части потенциала с характером таких процессов?
Рассмотреть одномерную tf-яму с U = -(с*о + га\) 6(х) и найти сдвиг и ширину
основного уровня в ней, связанные с возможностью «поглощения» частицы (см. в связи
с этим также следующую задачу).
Решение. 1) Поступая обычным образом, находим
^(r,t)+divj(r, 0 = - ^((г)|Ф(г,012, р= |»(г,01',
in <">
j = - — (Ф'УФ-ФУФ').
2m
Интегрирование A) по произвольному объему дает
~ J \Щ,1)\г dV = - j \dS~^ J и,(г)\Пт,Щг dV. B)
V S V
В случае U\ = 0 соотношение B) представляет собой закон сохранения вероятности:
изменение вероятности нахождения частицы в объеме V за единицу времени равно (со знаком
минус) потоку вероятности через окружающую этот объем поверхность S. В случае же V\ Ф 0
второе слагаемое в правой части соотношения B) нарушает этот баланс и тем самым предста-
представляет дополнительный механизм изменения со временем вероятности, а следовательно, и нор-
нормировки вол ноной функции, что можно интерпретировать как изменение числа частиц: «по-
«поглощение» при U\ > 0 и «рождение» при Ut < 0. Отметим, что оптический потенциал обычно
используется при описании какого-либо конкретного канала в многоканальной системе. При
этом процессы «поглощения» и «рождения» отражают связь каналов, см. следующую задачу.
2) Для комплексной 6-ямы, как и в задаче 2.7, находим (a0|i > 0)
2т?
1/2
Отсюда Е = Ео - tT/2, где
m(al - a]) 2ma0a,
определяют положение и ширину квазидискретного уровня.

168 Глава 6. Изменение состояния во времени
6.39. Рассмотреть следующую модель системы с двумя каналами. Система состоит
из двух частиц, совершающих одномерное движение. Одна из них является бесструк-
бесструктурной, а другая — составной, причем у нее имеется лишь два независимых состояния
«внутреннего» движения, разность энергий которых равна Qq (сравнить с системой
электрон + ядро). Волновую функцию такой системы в с. ц. и можно рассматривать
: двухкомпонентный столбец Ф = I ,', ' /. I, где х = х^ - хх
\ $i\x, t) )
относительная
координата, a Ф^г, являются амплитудами нахождения составной частицы в 1-м и 2-м
внутренних состояниях (соответственно этим двум возможностям и можно говорить
о двух каналах). Взаимодействие частиц является точечным и описывается оператором
аи/? — вещественные параметры, причем а > 0.
Найти спектр дискретных и квазидискретных уровней такой системы. Показать,
что при энергиях, близких к порогу второго канала, динамика в нем может быть
рассмотрена на основе (одноканального) оптического потенциала и найти его вид.
Решение. 1) Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
»--=?-(? 0*>+(! *)•
где го — приведенная масса частиц; ниже считаем Qo > О, так что 1-е состояние составной
частицы, которому соответствует верхняя компонента волновой функции (см. условие задачи),
является основным. Уравнение Шрёдингера сводится к системе двух уравнений, причем
для х J- 0 имеем
? ' (О
где Л, = yj2mE/h2 и к2 — у/2т(Е- Qo)/ft2. Решение этой системы следует выбрать в ви-
виде ^12 = Ci.jexp {«*Г|,г|:г|}, здесь учтены как условие непрерывности волновой функции
в точке х = 0, так и характер асимптотики32' — расходящаяся волна — при х — ±оо.
Сшивание производных в. ф. в точке х = 0 производится как в 2.6 и дает
(«к, + 5)С| + РС2 = О, PC, + (ik2 + а)С2 = 0, B)
где а - та/Н2 и /9 = mp/h2. Условие существования нетривиального решения этой системы
уравнений приводит к соотношению
определяющему энергетический спектр дискретных и квазидискретных уровней системы. Мы
не будем подробно исследовать этот спектр, предоставляя это читателю, а ограничимся лишь
несколькими замечаниями.
Прежде всего отметим, что при /3 = 0, когда нет связи между каналами (т.е. взаи-
взаимодействие между частицами не оказывает влияния на «внутреннее» движение составной
частицы), рассматриваемая система имеет два дискретных уровня: по одному в каждом
из каналов. Это — обычные уровни д.с. в Л-яме. При этом в случае Е2 = Qo + Е^ > 0,
где щ = Е® = -та2/20?, дискретный уровень во втором канале лежит непосредственно
на фоне непрерывного спектра первого канала. В такой ситуации включение даже слабой
связи между каналами, /3 <? а, приводит к появлению у этого уровня ширины, а соответ-
соответствующее состояние становится квазистационарным. При этом из C) для энергии Е} этого
состояния получаем
"-2^-Ле1
"' При этом в случае закрытого канала волновая функция убывает на больших расстояниях.

§ 5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния 169
так что уровень сдвигается вверх и приобретает ширину (дискретный же уровень Е\
из первого канала испытывает лишь небольшой сдпиг вниз).
2) В заключение на примере рассматриваемой системы продемонстрируем возможность
введения оптического потенциала. Считая, что во втором канале система может оказаться
лишь в результате перехода из первого канала, запишем в. ф. стационарного состояния
системы с (вещественной!) энергией Е в виде Ф = ( _ ,./,,,}. Условия сшивания
в.ф. в точке х = 0 приводят к соотношениям (сравнить с B))
-^Н0) = 5^,@) + ДС2, -1*2С2=5С2 + Д<М0), E)
здесь 6tp\@) — скачок производной функции в точке х = 0. Исключая С2 из этих соотноше-
соотношений, получаем
Так как при х ф 0 функция ф\(х) по-прежнему удовлетворяет уравнению A), то условие
сшивания F) (совместно с условием непрерывности ^i(z)) означает, что эта функция является
решением стационарного у. Ш. с «потенциалом»
и^(х,Е) = -ао<х(ЕN{г), G)
где
Таким образом, динамика в одном из каналов исходной двухканальной системы может
быть рассмотрена на основе волновой функции только этого канала33', причем соответству-
соответствующее уравнение имеет вид стационарного уравнения Шрёдингера с одноканальным гамиль-
гамильтонианом. Отметим следующие свойства эффективного (оптического) потенциала в таком
гамильтониане34'.
1) Он сам зависит от энергии, так что соответствующий «гамильтониан» не является
самосопряженным оператором.
2) Как видно из G) и (8), при значениях энергии в рассматриваемом канале, превышаю-
превышающих порог другого канала (т. е. в случае Е > Qo), оптический потенциал приобретает мнимую
часть, причем знак мнимой части потенциала — отрицательный. Это соответствует тому, что
с точки зрения исходного канала переход системы в другой, открытый канал выступает как
поглощение, сравнить с 6.38.
6.40. Заряженная частица находится в однородном электрическом поле ?(t), пе-
периодически изменяющемся со временем, «f(? + т) = «?(/), причем так, что среднее
за период значение напряженности поля равно нулю. Найти спектр квазиэнергии и вид
волновых функций квазиэнергетических состояний. Специально обсудить случаи
а) «?(<) = c%cosb>?;
б) $х = <8> cos art, S4 = <%, sin wt, S"z = 0
(электрическое поле соответственно линейно и циркулярно поляризованной монохро-
монохроматической волны).
Решение. 1) Понятия квазиэнергии и квазиэнергетического состояния (КЭС) возникают при
рассмотрении киаитовой системы, гамильтониан которой является периодической (с пе-
периодом Г = 27г/ш) функцией времени. КЭС определяются как такие состояния системы,
33> Несмотря на взаимодействие между каналами системы, в том числе и переходы между каналами!
341 Такой простой вил эффективного (оптического) потенциала G), (8) является спецификой рас-
рассматриваемой системы с точечным взаимодействием. В общем случае такой эффективный потенциал
является нелокальным оператором, зависящим от энергии системы.

170 Глава 6. Изменение состояния во времени
волновые функции которых являются решением временнбго уравнения Шрёдингера и удо-
удовлетворяют условию
Ф,(« + Т, 9) = е-'г/Ч(<, 9), @
при этом с называется квазиэнергией (сравнить с понятиями квазиимпульса и с блоховскими
функциями для частицы в пространственно периодическом потенциале, см. 2.S3).
Волновую функции КЭС можно записать в виде
*.(«,«) = «-"/Ч(«.9). B)
где uc(t, q) — уже периодическая функция времени. Ее разложение в ряд Фурье
«.(*. 9) = ? в"*1С,,*Л.*(в) C)
определяет квазиэнергетические гармоники <рс,Ля) ¦
Квазиэнергия (как и квазиимпульс) определена не однозначно, а лишь с точностью
до слагаемого, кратного ±hw. Для однозначного определения обычно используется либо
условие приведения ее значения к одной зоне, например -Лш/2 < е ^ Лш/2, либо условие,
требующее, чтобы при адиабатическом выключении зависящей от времени части гамиль-
гамильтониана квазиэнергия совпадала с соответствующим значением энергии Е„ стационарного
гамильтониана.
Понятие КЭС является естественным обобщением понятия стационарного состояния,
а система волновых функций КЭС обладает свойствами во многом аналогичными с. ф. ста-
стационарного гамильтониана. Так, волновые функции КЭС с различными квазиэнергиями
ортогональны, причем в любой момент времени: они образуют полную систему. Соот-
Соответственно аналогичное (VI.2) разложение по волновым функциям КЭС с постоянными
коэффициентами определяет общее решение временнбго уравнения Шрёдингера.
Существенное различие между КЭС и стационарными состояниями проявляется, однако,
в вопросах об излучении системы и о резонансном воздействии возмущения на нее. Если для
системы со стационарным гамильтонианом Яо частоты излучаемых фотонов (при спонтан-
спонтанных переходах между стационарными состояниями) и частоты гармонического возмущения,
вызывающего резонансные переходы в системе, определяются лишь частотами перехода,
Лш/, = Щ — Е\• , то для КЭС ситуация иная. Соответствующие частоты для них определя-
определяются соотношением
hwtn, = el-cn±3hui, 4 = 0,1,2,...,
где ?»,„ — уровни квазиэнергии, при этом возможны и значения п — к. Интенсивности же
переходов для различных s зависят от амплитуд квазиэнергетических гармоник в C).
2) Перейдем к решению задачи. При этом воспользуемся описанием электрического
поля с помощью векторного потенциала: /(<) = -^, который в случае /(() = 0 является
периодической функцией времени351. Гамильтониан частицы принимает вид
Так как оператор импульса коммутирует с гамильтонианом, то обобщенный импульс является
интегралом движения. При этом его с. ф., ос ехр {«pr/ft}, является также собственной функци-
функцией мгновенного гамильтониана, отвечающей с. з. E(t), получающемуся из B(t) заменой в нем
оператора р на импульс р. Это позволяет сразу записать решение уравнения Шрёдингера:
.. JL(,-Ja
E)
э5' Об изменении калибровки потенциалов см. 6.27.

§ 5. Квазистационарные и квазиэнергетические состояния 171
которое при периодической зависимости векторного потенциала A(t) от времени описывает
КЭС с квазиэнергией (ниже для определенности считаем, что А(<) = 0)
=1 J
(б)
равной среднему значению энергии частицы за период.
В отношении физического смысла р и Ро, заметим, что так как
р ^ = mv(<) и A(t)=O,
то р = mv, т.е. сохраняющийся импульс частицы определяет среднюю скорость частицы.
Далее, из приведенных соотношений следует
*-A(t) = m(v - >(t», ~
так что pl/2m определяет среднюю кинетическую энергию осцилляции частицы в электри-
электрическом поле (на фоне равномерного движения е« со скоростью г).
Для линейно-поляризованной монохроматической волны имеем
Ср 2тп " W U)
(при движении частицы в поле циркуляционной: волны в правую часть следует ввести
дополнительный множитель 2). Расходимость ер при ш —» 0 соответствует неограниченному
увеличению скорости частицы в постоянном однородном электрическом поле. Зависимость
же бе a 1/ui2 для изменения квазиэнергии под влиянием поля при значениях частоты иг -> оо
носит общий характер и справедлива для частицы, находящейся в достаточно произвольном
потенциале, сравнить с результатом из 8.42.
6.41. Исследовать квазиэнергетические состояния (КЭС), возникающие из двукратно
вырожденного уровня гамильтониана Щ под влиянием периодического возмуще-
возмущения V(t), матричные элементы которого между двумя рассматриваемыми состояниями
невозмущенного гамильтониана равны"* VM = V22 = 0, Vt2 = Vji = Vosinuit, при
этом Vo = V0'. Выполнить разложение волновых функций КЭС по квазиэнергетическим
гармоникам, см. 6.40. Наличием других состояний пренебречь, сравнить с двухуровне-
двухуровневой системой 6.9.
Решение. Записав в. ф. системы в виде Ф(*) = ( Т'/,( ) е"''*, где функции Vi,2(') являются
амплитудами 1B)-го стационарных состояний невозмущенного гамильтониана Яо с энер-
энергией ?г0, находим, что уравнение Шрёдингера ihdy/dt = (Яо + ^)Ф сводится к системе
уравнений
t"fi^i = Vo sin (и)фь tfi^2 = Vo sin (wt)^i •
Отсюда имеем
и соответственно
«(t) = ^ e'"('»-*>"»> ( 1 ) + ^ e-W)+""«) ( J V A)
^ Эта задача моделирует, налример, влияние электрического поля ^(t) = ^sinu>2 на заряженную
частицу в потенциале с вырожденными е- и р-уровнями Bs- и 2р-состюяння с /2 = 0, ось I вдоль Jo,
в атоме водорода) При напряженности поля, много меньшей атомной, искажение волновых функций
мало и наиболее существенным является их «перемешивание, внешним полем.

172 Глава 6. Изменение состояния во времени
Каждое из слагаемых в волновой функции A) описывает независимое КЭС, при этом
кваэиэнергии обоих состояний одинаковы и равны е0. Разложение (см. [33, с. 987])
в1""* = ? ПлЮе*1, * = ±j?, B)
к——оо
где Л — функция Бесселя, позволяет определить в соответствии с формулой C) из 6.40
амплитуды квазиэнергетических гармоник полученных КЭС. Их интенсивности, а Л2(г)>
осциллируют по мере увеличения %. ^
Отметим в заключение следующее обстоятельство. Если у гамильтониана #о имеются
и другие уровни е!,0), то резонансному переходу в невозмущенной системе с частотой ш0 =
«о - е* при наличии возмущения V будет соответствовать серия резонансных переходов
с частотами, равными шк - шо±кш, где к — 0,1, Амплитуды таких переходов определяются
квазиэнергетическими гармониками.
6.42. Показать, что рассмотрение квазиэнергетических состояний и вычисление спек-
спектра квазиэнергии для системы, находящейся в электрическом поле циркулярно по-
поляризованной волны, т.е. ёг = <^cosu>t, ?у — <^sinwl, &г = 0 может быть сведено
к решению стационарного уравнения Шрёдингера.
Решение. Доказательство утверждения задачи основано на переходе во вращающуюся с угло-
угловой скоростью ш систему координат, в которой гамильтониан системы Я,р уже не зависит
от времени и энергия сохраняется, см. задачу 6.29. При этом стационарное состояние и его
энергия во вращающейся системе являются КЭС и квазиэнергией относительно исходной
системы координат, а соответствующие волновые функции связаны соотношением (I) из 6.29.

Глава 7
Движение в магнитном поле
Гамильтониан заряженной частицы со спином s и спиновым магнитным мо-
моментом fio в присутствии магнитного поля — гамильтониан Паули — имеет вид1'
Я=-^-(р--аJ + 17- — ЯГ%
1т V с / s
при этом ЭР — rot А и р = -a'ftV.
Оператор скорости частицы у = (р — еА/с)/т (см. 6.10.); его компоненты
удовлетворяют коммутационному соотношению
или в векторной форме V xV = (ieh/m2c)9F.
В однородном магнитном поле 3&5 энергетический спектр поперечного движе-
движения2' заряженной бесспиновой частицы является дискретным:
Et п = ЬыЕ { п + - ) , п = 0,1,2,... {уровни Ландау), шн - — , (VII.3)
\ 2/ тс
а вид собственных функций гамильтониана зависит от калибровки потенциала,
см. 7.1. Если частица имеет спин а и собственный магнитный момент ^о>то|"Да (VII.3)
должно быть дополнено еще одним слагаемым, равным -^03ifsz/s, где sz является
проекцией спина частицы вдоль направления магнитного поля.
Плотность тока в присутствии магнитного поля представляется в виде двух
слагаемых:
J=Jop6+Jcn, (VH.4)
где первое слагаемое связано с орбитальным движением
j0P6 = —{(УФ')Ф - Ф* VФ} - —А Ф'Ф, (VII.5)
2т тс
а второе — со спиновым магнитным моментом частицы
s
'' Оператор спинового магнитного момента Д = ро?/з, так что последнее слагаемое в (VII.1) имеет
вид -рЛ"; для частицы с в = 1/2 оно равно -Д0?Л'.
В этой главе мы используем координатное представление в шрёдингеровской картине движения
и поэтому опускаем, как обычно, символ оператора над физическими величинами, зависящими только
от г; см., однако, 7.15.
Обратим также внимание на использование в решениях задач следующих обозначений: буквы m —
как для массы, так и для магнитного квантового числа, а р — хак для магнитного момента, так и для
массы.
3)Т.е. в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

174 Глава 7. Движение в магнитном поле
§ 1. Стационарные состояния частицы
в присутствии магнитного поля
7.1. Найти уровни энергии и нормированные соответствующим образом волновые
функции стационарных состояний заряженной бесспиновой частицы в однородном
магнитном поле (направленном вдоль оси z) при следующих калибровках векторного
потенциала:
а) Аг = О, Ау = Э%х, Az=Q; б) А = [Я?г]/2.
Обратить внимание на дискретность энергетического спектра поперечного движе-
движения частицы и на различный характер нормировки «поперечной» части собственных
функций. С чем связано такое свойство с. ф.? Сравнить со случаем стационарных
состояний дискретного спектра частицы в потенциальном поле U(r).
Решение, а) Ввиду взаимной коммутативности операторов р„, рг и гамильтониана частицы
с. ф. гамильтониана могут быть выбраны в виде
t^(.,fc.)-i«p{^^}*(.). О
При этом из у. Ш. следует уравнение
-С ф"(х)+h (Py ~ eJr)' *(х)=ЕМх)'
где введена энергия Е, = Е — pl/2p поперечного движения. Решение этого уравнения
выражается через решение у. Ш. для линейного осциллятора с собственной частотой и>и =
\е\.Щ/рс, см. (II.2), так что
B)
Enr,=Et,a + ^, E,,n=hu,, (п+^У 1 = 0,1,2,....
Подчеркнем, что энергетические уровни поперечного движения ?(, „ — уровни Ландау — явля-
являются дискретными, кратность их вырождения бесконечна (энергия не зависит от величины р„,
принимающей значения -со < р, < +оо), а «поперечная» часть с. ф. гамильтониана *nffPl
не нормируема на единицу, так как |Ф|2 вообще не зависит от у.
б) При таком выборе векторного потенциала гамильтониан частицы имеет вид
Так как операторы 1„ р, и Я взаимно коммутируют друг с другом, то с. ф. гамильтониана
можно выбрать в виде (воспользовавшись цилиндрическими координатами)
*?*.„ (Р, ',?>) = ^Д «р {« (тр + ^) } Jp f(p) D)
и из у. Ш. получить уравнение для радиальной функции
f +f+[~h2 r~

§ 1. Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля 175
Эго уравнение лишь переобозначением величин отличается от рассмотренного ранее
в 4.5. Отсылая туда за деталями решения, приведем результаты:
,i \
E)
i=ry, аи-
2а'И
Требование, чтобы гипергеометрическая функция здесь сводилась к полиному:
определяет энергетический спектр поперечного движения частицы. Отсюда, в согласии с B),
следует
Uf^' <б)
При этом уровню Е,„ сданным п соответствуют состояния частицы со значениями проекции
момента т на направление магнитного поля, равными3'
m =-п, -п +1,... ,0,+1,...,+00 при е > О,
m =-оо,..., -1,0,... ,п при е < О,
бесконечное число возможных значений т отвечает бесконечной кратности вырождения
уровней Ландау.
Подчеркнем, что теперь с. ф. D) и E) гамильтониана описывают локализованные
в поперечных (перпендикулярных Pfg) направлениях состояния частицы. Для нормировки
на единицу «поперечной» части Фпт (р, у») с. ф. гамильтониана значение нормировочного
коэффициента в E) следует выбрать равным
|С|2 =
nf:\\my.)-a-H
В связи с вопросом о нормировке волновых функций стационарных состояний д. с.
напомним, что для частицы в потенциальном поле G(г) они всегда локализованы в ограни-
ограниченной области пространства. Необычные свойства их для частицы в однородном магнитном
поле связаны с тем обстоятельством, что дискретные энергетические уровни поперечного
движения имеют бесконечную кратность вырождения. Действительно, рассмотрим волновой
пакет, составленный из с. ф. Ф„Р( B) (зависимость в.ф. от z опускаем), вида
*-.<*, У) = j C{p,)Vnp,(x, у) dpy.
Эта волновая функция также отвечает уровню Ландау Е^„, причем если f \С(ру)\г dpy — I, то
она уже нормирована на единицу и описывает локализованное состояние частицы, в отличие
от ненормируемых на единицу с. ф. Фпр,- И наоборот, из нормированных с. ф. Ф„„ можно
составить волновые функции вида Фп = S ^-тчУпт. Они также отвечают уровню Ландау ?(„,
m
однако в случае 2J |Ст| = оо уже не описывают локализованного в плоскости (х, у)
состояния частицы.
7.2. Для заряженной бесспиновой частицы в постоянном однородном магнитном поле
указать операторы координат центра орбиты р0 поперечного (перпендикулярного
магнитному полю, направленному вдоль оси z) движения, квадрата радиуса-вектора
этого центра f>\ и квадрата радиуса ларморовской орбиты J>\.
3' Обратим внимание на то, что основному уровню Ландау, с п = 0, отвечают состояния частицы
лишь с такими т, что е • т ^ 0. Для других значений проекции момента т уровни с минимально
возможной энергией лежат выше, так как дли них уже п > 0.

176 Глава 7. Движение в магнитном поле
Установить коммутационные соотношения для этих операторов друг с другом
и с гамильтонианом. Найти спектры собственных значений операторов ~р\ и ~р\.
Охарактеризовать поперечное пространственное распределение для частицы в ста-
стационарных состояниях ФПтр,, рассмотренных в предыдущей задаче, в случаях:
а) т = -еп/\е\ (при этом специально обсудить значения п>1 и сравнить с резуль-
результатом классической механики); 6) п = 0 и \т\ 3> 1.
Решение. 1) В классической механике движение заряженной частицы в перпендикулярной
магнитному полю плоскости происходит по окружности (ларморовская орбита) с квадратом
радиуса
Рп = — = j—. ^н = . A)
При этом векторы р, р0, vx — радиусы-векторы частицы, центра орбиты (окружности)
и скорость связаны соотношением
Эта формула выражает характер движения частицы в плоскости (г, у) — равномерное
вращение, причем знак ш определяет направление вращения (ось z направлена вдоль
магнитного поля). Из нее следуют соотношения
*о = *--, Уо = !/+-, р\ = х\ + у\- B)
w ш
Квантовомеханическим обобщеннгм выражений (I) и B) классической механики явля-
являются соответствующие эрмитовы операторы:
О)
(при этом /»? = р - еА/с, р = -t'ftV), для которых нетрудно установить следующие коммута-
коммутационные соотношения4':
[И, х»] = [Й, уа] = [Я, р„2] = [Я, pi] = 0, [х0, §¦„] = - ?l, [Й2, Й,2] = 0. D)
Коммутативность введенных операторов с гамильтонианом частицы означает, что соответ-
соответствующие физические величины являются интегралами движения, как и в классической
механике. л Л _
2) Так как рЦ = 2Я<//шд, где Я( = Я - p}/2ft — гамильтониан поперечного движения
частицы, то воспользовавшись результатом из 7.1, находим спектр с. з. квадрата радиуса
орбиты
(pl)n = Bn+\)a]{, я = 0,1,2,...; агн = ^. E)
Далее, выбрав векторный потенциач в виде51 А = |56°г]/2 замечаем, что
так что в. ф. D) из 7.1 являются с.ф. оператора /Гог, при этом спектр6' его с.з.
(Ро)* = B*+1)а2,., * = п+22 = 0,1,21.... F)
4' Их можно получить, не конкретизируя калибровки векторного потенциала, однако вычисления
несколько упрощаются, если воспользоваться конкретным выбором А = @, У/'х, 0).
5) Об изменении волновой функции системы при калибровочном преобразовании потенциалов см. за-
задачу 6.27.
6' Спектры операторов рд и р} могут быть получены непосредственно из сопоставления выражений C)
для них и коммутаторов |?о,Уо]. |5Гц »у] с соответствующей парой равенств для линейного осциллятора:
Я = р1 /2т + mw2x2/2 и \р, г) — -Л, определяющей его спектр Еп =Лы (п + 1/2).

§1. Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля 177
Что же касается с. з. как оператора х0, так и t/o, то они имеют непрерывный спектр.
Отметим, в частности, что в. ф. ФПр,(>, из 7.1 являются с. ф. оператора So, отвечающими
с. з. х0 = -pv/fiw. Однако ввиду некоммутативности операторов хц и уо положение самого
центра орбиты точно не определено и ограничено соотношением неопределенности Ах0 ¦
Дуо ^ Ои/2, сравнить с 1.30.
3) а) Воспользовавшись выражениями D) и (S) из 7.1 для в. ф. рассматриваемых состо-
состояний частицы с го = —еп/|е|, получаем распределение вероятностей
(Л) -^'d G)
с помощью которого находим
р = j pdw = ^-~^ -а„, ~? = 2(п+1)ай, рн., = у/2п+\ав. (8)
Здесь р„ ъ. — наиболее вероятное значение переменной р, отвечающее максимуму распреде-
распределения dw/dp.
Заметим также, что в рассматриваемых состояниях операторы р02 и рд имеют опреде-
определенные значения, равные согласно E) и F)
агв. (9)
В случае п > 1 (квазиклассический предел), используя для гамма-функции асимптотику
Г (х) и \/2ir х'~[Пе~* при х -> со,
согласно (8) находим р~ у/2пан и, таким образом,
Рн . = у/(Рл)п « VP2 яр» \^поя » ая. A0)
Полученные соотношения означают, что радиальное (по переменной р) распределение веро-
вероятностей при п > 1 имеет резкий максимум вблизи значения р„, При этом выражение G)
в наиболее существенной области значений р можно преобразовать к виду
и найти Д/> = у/J - р2 » ая/^2 < р.
Таким образом, вероятность нахождения частицы заметно отлична от нуля лишь в узкой
кольцеобразной области с радиусом \Ппав и шириной порядка ав. Это соответствует
переходу к классической картине движения, усредненной по периоду вращения: круговой
орбите частицы, радиус которой связан с энергией частицы точно также, как и в классической
механике. При этом соотношение т = -еп/|е| для значений п > 1 после подстановок m =
MJh и п я Et/hoin переходит в классическую связь между моментом частицы относительно
центра орбиты и энергией поперечного движения:
AС
б) Теперь, при п = 0 и m = e|m|/|e|, имеем распределение вероятностей
что отличается от G) лишь заменой п на |т|. Аналогичная замена в формулах (8), A0), A1)
определяет для данного случая и другие характеристики радиального распределения частицы.
Однако интерпретация рассматриваемых состояний частицы имеет мало общего с преды-
предыдущим случаем. Энергия поперечного движения при п = 0 принимает минимальное значение,
равное Тшц/2, и такие состояния являются существенно «неклассическими». Тем не менее,
имея в виду, что теперь вместо (9)
Р@)М =

178 Глава 7. Движение в магнитном поле
при \т\ > 1 пространственному распределению частицы в таких состояниях можно сопоста-
сопоставить следующую классическую картину: однородное распределение орбит минимального ради-
радиуса, равного л/(РлH = °н П0 узкой кольцеобразной области с радиусом Л « \/2|т| ад > оц
и шириной порядка ан.
7.3. Найти волновые функции стационарных состояний и соответствующие им значе-
значения энергии для заряженной бесспиновой частицы, находящейся во взаимно перпен-
перпендикулярных однородных магнитном и электрическом полях.
Решение. Направив ось z вдоль магнитного поля, а ось х — вдоль электрического и выбрав
векторный потенциал в виде
Аг=0, А, = .Жх, Л,=0,
имеем гамильтониан частицы
Его с. ф. ввиду взаимной коммутативности операторов pt,pz, Я можно выбрать в виде
При этом из у. Ш. следует уравнение
/"(*) + [гмЯ + до* - (р, - ^р) ] jp /(.) = о, (з)
здесь Et = Е — Jj*. Последнее уравнение сводится к у. Ш. для линейного осциллятора
с собственной частотой шн = '?jj~- и> воспользовавшись его решением, см. A1.2), находим
с.ф. и спектр гамильтониана A) в виде
Отметим ряд свойств полученных результатов D).
1) Энергетический спектр частицы — непрерывный, причем не ограничен снизу. Это
означает, что любой уровень д. с. заряженной частицы в потенциале, исчезающем (U -» 0)
на больших расстояниях, при наложении электрического поля даже совместно с магнитным,
приобретает ширину и становится квазистационарным, сравнить с 6.36.
2) Собственные функции гамильтониана D) описывают состояния, в которых частица
нлольоси х является локализованной. Это обстоятельство при 4 < Ж согласуется с финитным
характером движения в направлении оси х классической частицы, см. [27, §22].
3) Производные
dp, ц' dp, ЖС
определяют соответственно z-компонснту скорости частицы и скорость се дрейфа1^ в напра-
направлении оси у, см. [27].
7.4. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае параллельных полей.
Решение. Направив ось z вдоль совместного направления электрического и магнитного
молей, замечаем, что гамильтониан частицы отличается от рассмотренного в 7.1 лишь одним
7) Ввиду условия v <S с полученное решение D) применимо фактически в случае, когда / « Ж.

§1. Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля 179
дополнительным слагаемым, равным -efz. При этом сохраняется разделение «поперечного»
и «продольного» движения частицы, но теперь продольное движение соответствует частице
в однородном поле, а не свободной, как в 7.1. Соответственно решение рассматриваемой
задачи получается из формул задачи 7.1 заменой в них p\/2fi на энергию Ei продольного
движения и плоской волны Я/Р,(г) на волновую функцию *e,(z) частицы в однородном
поле, см. 2.41, а также [1, §24]. Отметим в заключение, что, как и в предыдущей задаче,
энергетический спектр частицы является непрерывным и неограниченным снизу.
7.5. Найти уровни энергии и нормированные волновые функции стационарных со-
состояний заряженного сферического осциллятора (заряженная частица в потенциа-
потенциале U — кг2/2), находящегося в однородном магнитном поле. Исследовать предельные
случаи а) слабого и б) сильного магнитных полей.
Решение. При выборе векторного потенциала А = \Жг]/2, гамильтониан частицы в цилин-
цилиндрических координатах с осью z, направленной вдоль магнитного поля, принимает вид
Л2П д д \ д2 еЖ-Л /к е2Ж2\ г ~
'" 2pdzi + 2
Благодаря взаимной коммутативности операторов I,, Hi и Я с. ф. гамильтониана можно
выбрать в виде (оператор И: описывает линейный осциллятор)
1.1=0,1,2,.... A)
При этом у. Ш. сводится к уравнению
„ 2 . Г2/^ еЖт _ т2 - 1/4 _рЧ
где Е, = Е-Пш (п2 + 1/2), ш = y/kfii, ыи = \е\Ж/»с, а = (ft/j»)Dw2 + <4)~"\ Оно лишь
переобозначением величин отличается от уравнения Шрёдингера, рассмотренного в задаче 4.S.
Отсылая к ней за деталями решения, приведем окончательные результаты:
Выражения A) и B) определяют собственные функции и спектр гамильтониана осциллятора
в магнитном поле:
„ . / г , , , 2п, + М +
Ещтп, = Л V^2, + 4v7 j
В случае слабого поля, когда шц < и», отсюда имеем
^Bn, +1
, -- ¦ с 2 2 -Я ¦ W
2/iC $цгс'ш
Здесь EN = hu)(N + 3/2) описывает уровни невозмущенного осциллятора, см. 4.5, при
этом N = 2п| + |гп| + щ. Линейная по Ж часть сдвига уровня соответствует взаимодействию
магнитного момента осциллятора с магнитным полем, которое описывается выражени-
выражением V = —JiW, где Ji = (eh/2ftc)l — оператор орбитального магнитного момента заряженной
частицы. Квадратичное по Ж слагаемое в D) определяет диамагнитную часть сдвига уровня.
В частности, для основного уровня линейный по полю сдвиг отсутствует и
1__
определяет магнитную восприимчивость основного состояния осциллятора.

180 Глава 7. Движение в магнитном поле
В случае сильного магнитного поля, когда и>я > шу из C) следует
Яш2
Я»,шч « ?<.» Н Bч| + М + I) + Ei,,,. E)
Теперь «поперечная» часть спектра 'определяется в основном действием магнитного поля,
и Ес,„ — Лшп (" + 1/2) воспроизводит спектр уровней Ландау, при этом n = r»i + |mj/2 -
ет/2|е|. Второе слагаемое a (S) лает поправку, учитывающую влияние упругой силы на попе-
речн ое движен ие частицы. Наконец, последнее слагаемое, S,t Я! = йы (иг + 1/2^, соответствует
энергии свободных колебаний вдоль направления магнитного поля.
7.6. Показать что магнитное поле Ж(г), отличное от нуля в ограниченной обла-
области пространства, не может «связать» заряженную бесспиновую частицу, так что
не существует стационарных состояний, в которых частица локализована в ограни-
ограниченной области пространства. Почему этот результат не противоречит существованию
магнитных ловушек для заряженных частиц в классической механике?
Решение. Действительно, собственные значения гамильтониана частицы В — (р - «А/с) /2«п
являются положительными, а при значениях энергии Е > О на больших расстояниях, где
частица является свободной, не существует убывающих при г -» со решений уравнения
Шредингера. Однако хотя истинно связанных состояний частицы в магнитном прле и не су-
существует, тем не менее у нее могут существовать матетационарные состояния (см. §5
главы 6), время жизни которых в макроскопических условиях практически может считаться
бесконечно большим.
7.7. Как известно, в одномерном и двумерном случаях в любом поле притяже-
притяжения всегда существуют связанные состояния частицы, в которых она локализована
в ограниченной области пространства. В трехмерном случае таких состояний может
и не быть, если потенциальная яма достаточно «мелкая».
Показать, что при наличии в пространств* однородного магнитного поля у за-
заряженной частицы в произвольном потенциале притяжения, удовлетворяющем усло-
условиям U(r) ^ 0, U(r) -¦ 0 при г -¦ оо, всегда имеются стационарные состояния,
в которых она локализована в ограниченной области пространства (и не только
в поперечном направлении!), так что при наличии магнитного поля любая яма может
«связать» частицу. В случае мелкой ямы, для которой J7o < h1 /та7 {где С/о, а —
характерные величина и радиус потенциала), получить приближенные выражения для
энергии связи частицы; в связи с этим вопросом см. также 8.61.
Решение. Воспользуемся, как и в задаче 1.1, вариационным методом. Выбрав векторный
потенциал в виде А = \Жт\/2. запишем гамильтониан частицы
где Bff — поперечная часть гамильтониана в чисто магнитном поле, направленном вдоль
оси z, см. формулу C) из 7.1. Рассмотрим теперь нормированные на единицу волновые
функции вила
^^«¦""^.l^), A)
где Ф„„ — поперечная часть в.ф. D) из задачи 7.1. Для нее Дф^т = (Лшя/г)*^», где ша =
МЛ7^е, так что среднее значение энергии частицы в состоянии с волновой функцией A)
равно
J 711? dV.
(я) = J КЙФ„йУ = ^ +!~- +к J
Так как по условию U(r) ^ 0. то отсюда следует, что при достаточна малых значениях
параметра к всегда будет Ё„ (я) < /ш>в/2. Это неравенство означает, что у рассматриваемого
гамильтониана имеются с.з., меньшие Гшя[2 — минимального значения энергии частицы

§1. Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля 181
в однородном магнитном поле и поэтому соответствующие связанным состояниям частицы,
в которых она не может уйти на бесконечность. Подчеркнем, что число таких независи-
независимых состояний бесконечно велико, как и число различных значений величины проекции
момента т (о возможных значениях m в зависимости от знака заряда частицы см. в 7.1).
Образование связанных состояний частицы в условиях рассматриваемой задачи даже
в случае мелкой потенциальной ямы допускает простое объяснение: в поперечном направле-
направлении частица «связывается» уже одним магнитным полем, см. 7.1, а наличие ямы приводит
к связыванию и в продольном направлении, как это всегда имеет место при одномерном
движении, см. 2.3.
Обсудим случай мелкой ямы более подробно. При этом в. ф. связанных стационарных
состояний приближенно имеют вид, сравнить с в. ф. A):
Здесь учтено, что зависимость с. ф. гамильтониана от поперечных координат определяется
в основном действием лишь магнитного поля. Подставив эту в. ф. в уравнение Шрёдингера,
ЯФ?т ~ ЕЧ>Вт, после умножения его слева на Ф5т (р) и интегрирования по координатам
поперечного движения приходим8' уже к одномерному у. Ш.
с эффективной потенциальной энергией
ос
О
Здесь
и при преобразованиях использован явный вид в. ф. (см. 7.1)
*0m = i
В случае мелкой ямы U(r) эффективный потенциал D) отвечает также мелкой од-
одномерной яме и энергии уровня ет (отсчитываемая от основного уровня Ландау, см. B))
определяется результатом 2.22:
«,*»(*)** E)
(при этом зависимость в.ф. B) от z такая же, как и в A) с х = /хат/Н2).
Простая оценка (она предлагается читателю) показывает, что, как и следовало ожидать,
энергия связи рассматриваемых состояний мала: \ет\ <? Ьшн- При этом энергия связи для
состояний с различными значениями m проекции момента частицы существенно зависит
от соотношения между «магнитной» длиной ав и радиусом R потенциальной ямы. Особенно
резкой является зависимость ст от т, когда Л < ан ос Р?'2. В этом случае в интеграле D)
можно заменить ехр {~р2} единицей и согласно D), E) получить
(D ч 4|ш|+4
i ос <п ,
°Я/
так что энергия связи частицы быстро уменьшается с увеличением \т\.
В заключение заметим, что ряд обобщений полученных выше результатов на случай,
когда потенциальная яма U(r) уже не является мелкой, содержится в 8.61.
81 Подобный прием преобразования уравнения Шредннгера характерен для адиабатического прибли-
приближения, см. в связи с этим 8.61.

182 Глава 7. Движение в магнитном поле
7.8. Найти волновые функции стационарных состояний и соответствующие значения
энергии для нейтральной частицы, имеющей спин s = 1/2 и спиновый магнитный
момент ро (так что Д = А*о<?) в однородном магнитном поле.
Решение. Направив ось z вдоль магнитного поля, имеем гамильтониан частицы Я =
р2/2т -/io.^ffj, см. (VII.1). Ввиду взаимной коммутативности операторов Н,р, дг сразу
полумаем с. ф. гамильтониана и соответствующие им значения энергии частицы
2
здесь х>, — спиновые функции, являющиеся собственными функциями оператора ?,,
отвечающими с. з. sc — ±1/2, см. 5.1.
7.9. Тоже, что и в предыдущей задаче, но для заряженной частицы со спином з = 1/2.
Сравнить с результатами задач 7.1 и 7.8. Обратить внимание на появление дополнитель-
дополнительного вырождения9' уровней поперечного движения для частицы, имеющей магнитный
момент, равный ц0 = eh/2mc (e, m — заряд и масса частицы; такое значение /»о.
следующее из уравнения Дирака [29], имеют электрон, мюон и их античастицы).
Решение. Гамильтониан частицы отличается от гамильтониана бесспиновой частицы до-
дополнительным слагаемым, имеющим вид ~1м,Ж<гг (см. (VII. 1), ось z направлена вдоль
магнитного поля). Оно не зависит от пространственных координат, так что в уравнении Шрё-
дингера координатные и спиновые переменные разделяются. Это обстоятельство с учетом
результата решения задачи 7.1. и сохранения з, позволяет записать с. ф. рассматриваемого
гамильтониана в виде
Ф — Ф (г) Y ' A)
здесь Ф„р,„ (г) — с. ф. гамильтониана бесспиновой частицы; их явный вид зависит от вы-
выбора калибровки векторного потенциала (при этом v = р, и v = m соответствует случа-
случаям а) и б) из 7.1). Приведенные собственные функции A) отвечают энергии частицы
„2
B)
2/
п = 0,1,2,..., ь>н = \e\W/mc; при этом дискретная часть спектра Е1я11 связана с поперечным
движением частицы и учитывает также взаимодействие с полем спинового магнитного момента
частицы.
Для электрона магнитный момент /а0 = -|e|ft/2mc и из B) следует ?(,„,, = Ек = НшнУ,
где N = п + 5, + 1/2, N = 0,1,.... Этот спектр имеет следующие характерные особенности.
Оснонной уровень, N = 0, является «невырожденным»10>, при этом его энергия Ео = О
(п = 0, », = -1/2), а уровни с N Ф 0 «двукратно» вырождены: им отвечают состояния как
с n = N, s, = -1/2, так и с п = N - 1, st = +I/2.
Отмеченные особенности спектра отражают суперсимметричный характер гамильтониана
поперечного движения электрона в магнитном поле. Действительно, этот гамильтониан
сводится к гамильтониану суперсимметричного осциллятора, рассмотренному в 10.26, так как
его можно записать в виде
C)
Здесь / = (?,- «?г)/2 = (° °); при этом /+/ = (I +?,)/2, {/,/+}+ = 1, а 6 =
Eг, + гжх)/у/2пЛшц, причем 5r = mv = (р+ |е|А/с), [Ь, 6+] = 1. Соответственно спин играет
" Это вырождение может быть связано с суперсимметричным характером гамильтониана. О суперсим-
суперсимметрии в квантовой механике см. обзор: Генденштейн Л.Э., Криве ИВ. // УФН. 1985. Т. 146. С. 553.
Характерные черты и следствия сулерснмметрии рассмотрены в задачах 10.26 и 10.27.
|0' Мы отвлекаемся от вырождения, присущего уровням Ein поперечного движения в магнитном поле
бесспиновой частицы.

§ 1. Стационарные состояния частицы в присутствии магнитного поля 183
роль фермионной степени свободы, при этом nF = s2 + 1/2, а орбитальное движение отвечает
бозонной степени свободы, так что пд = п. Спектр гамильтониана C) теперь записывается
в виде #<,„„„, = Ьшя(пв + nF). Он совпадает, естественно, со спектром #(,,,,, и объясняет
отмеченные выше его закономерности.
В заключение приведем выражения для операторов Q преобразования суперсимметрии,
см. 10.26, в условиях данной задачи:
^ V0 °/' '
V2m
v2m v2m
При этом q = VScifjr и гамильтониан C) может быть записан в следующих эквивалентных
формах: Я, = Q,2 = Q} = {Q, Q+} + .
7.10. Показать, что гамильтониан Паули (VII. 1) для электрона в электромагнитном
поле может быть представлен в виде
Й-9 ¦"?'# + *». 0)
На основании этого выражения показать также, что о) при движении электрона
в стационарном однородном магнитном поле проекция спина на направление ско-
скорости является интегралом движения, б) магнитное поле 3f(r), отличное от нуля
в ограниченной области пространства, не может «связать» электрон; сравнить с 7.6.
Сохраняются ли утверждения задачи для других частиц со спином s = 1/2
(протона, нейтрона и др.)?
Решение. 1) Имея в виду соотношения (V. 3) и (VII.2), выполним следующие преобразования
указанного в условии задачи гамильтониана:
Й = (g ¦ (р - f А)J + ^ в тЭ,9ку,щ
2т 2
= т(г,4 + ie,tiat) -^ + еу> = —- + ер - -— ЭГ 9. B)
Отсюда видно, что он действительно является гамильтонианом Паули для заряженной ча-
частицы со спином 5 = 1/2, зарядом с и собственным магнитным моментом ц,, — eh/2mc
в электромагнитном поле (такое значение ц$, следующее из уравнения Дирака [29], имеют
электрон, мюон и их античастицы).
2) При движении частицы в стационарном магнитном поле (в отсутствии электрического
поля) if = 0, а векторный потенциал А(г) не зависит от времени. Соответственно не зависят
явно от времени как оператор скорости частицы, так и оператор $у. Поэтому, имея в виду
выражение для гамильтониана Я = m(?V)!/2 и формулу (VI.4) для дифференцирования
операторов по времени"', приходим к выводу о том, что оператор <rv является оператором
сохраняющейся физической величины (интегралом движения). Далее, при движении частицы
в однородном магнитном поле"?2 также является интегралом движения12). Сохранение как ffv,
так и 72, означает, что проекция спина частицы на направление ее скорости является также
интегралом движения.
Этот результат является отражением того физического обстоятельства, что изменение
со временем векторов скорости и спина (и, в частности, их средних значений) частицы
в однородном магнитном поле имеет одинаковый характер и представляет собой прецессию
с частотой, равной шн, см. 7.15. Если же магнитный момент частицы отличается от значе-
значения eh/lmc (для з = 1/2), то угол между векторами скорости и спина изменяется со временем.
"> Заметим, что дч/dt = -(e/mcHMdt = 0, ва/at -О» поэтому ddb/dt = (t/h)[fi, ffr | = 0.
|2' Для бесспиновой частицы Т! сохраняется при движении и в неоднородном магнитном поле.

184 Глава 7. Движение в магнитном поле
Это обстоятельство лежит в основе экспериментального метода13) определения аномальной
части магнитного момента
eft
в случае, когда она является малой величиной.
3) Соображения об отсутствии связанных состояний при движении заряженной бесспи-
бесспиновой частицы в магнитном поле, высказанные при решении задачи 7.6, непосредственно
переносится и на гамильтониан (I) (в случае <р = 0).
§2. Изменение состояний во времени
7.11. Показать, что при движении заряженной частицы с отличным от нуля спином
и спиновым магнитным моментом в однородном переменном во времени магнитном
поле 3f?(t) (и произвольном электрическом) зависимость волновой функции частицы
от спиновых и пространственных переменных разделяется.
Решение. В условиях рассматриваемой задачи в гамильтониане Паули (VII.1) первые два
слагаемых не зависят от спина, а последнее — от пространственных координат. Поэтому
уравнение Шредингера имеет частные решения с разделенными переменными вида Ф(г, () =
V>(r, t)x(t), в которых функции V и х удовлетворяют соответствующим у. Ш.
J
Общее же решение уравнения Шредингера описывается суперпозицией Bs + 1) (в соот-
соответствии с числом независимых спиновых состояний) таких частных решений. При этом,
записав волновую функцию произвольного состояния частицы в момент времени t = 0
в виде (для наглядности считаем з = 1/2)
где каждое из двух слагаемых представляет в ф. с разделенными переменными, в силу
линейности у. Ш. получаем в произвольный момент времени
*(r,t) = 0i(r,Ox.(<)+1fc(r,OxiW.
где функции Vi,2 и Xi,2 удовлетворяют уравнениям (I) и соответствующим начальным
условиям.
7.12. Найти зависимость от времени спиновой волновой функции и средних значений
компонент вектора спина частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом ц,
находящейся в однородном стационарном магнитном поле (о разделении спиновых
и пространственных переменных в эгом случае см. предыдущую задачу).
Решение. Направив ось z вдоль магнитного поля, имеем спиновую часть гамильтониана
частицы в виде Я = -цХ 9,. При этом у. Ш. (|'А)дФ(<)/& - ЯФ(<) для спиновой в. ф. Ф(<) =
(сводится к уравнениям С, = iu>C|, С2 = -шСг, где и = ft;W/h. Отсюда
(')! )
C,(t) = е""С,@), С,@ = е
где постоянные С, 2@) определяются начальными условиями, причем для нормировки вол-
волновой функции |С||г + IC2I2 = I.
"*См. подстрочное примечание к решению 7.15.

§ 2. Изменение состояний во времени 185
Средние значения компонент вектора спина равны:
Щ) = <5i\t)~ Щ), st{t) = 5.@) cos 2ut + 3v@) sin Tuit,
»„(<) = 5,@) cos 2wt-S:{0) sin 2ш«, 5г@ = J*(°) = const,
т.е. вектор s(t) прецессирует вокруг магнитного поля с угловой скоростью, равной 2ы.
7.13. Обобщить результат предыдущей задачи на случай нестационарного магнитного
поля, направление которого остается неизменным, т. е. ЖA) = ^?"(<)по.
Решение. Результат предыдущей задачи непосредственно обобщается на случай магнитного
поля P?"(t) = @,0, W(t)). Теперь у. Ш. принимает вид
ihC, = -
а его решение
t
C,(t) = e'(ll)C,@), C,(t) = e-*("C2@); {(I) = J j V?{t) dt.
о
Средние значения компонент вектора спина s(() описываются формулами A) преды-
предыдущей задачи с заменой в них wt на ?(t), так что вектор s(?) вращается (вообще говоря,
неравномерно) вокруг направления магнитного поля.
7.14. Частица со спином з = 1/2 и магнитным моментом ц находится в однородном
магнитном поле 3V(t) вида
S% = Щ cos wot, 2СЧ = S#\ sin wo«, 5^ = Щ,
где P^oj, Wo — постоянные величины.
При t = 0 частица находилась в состоянии с sz — 1/2. Найти вероятности раз-
различных значений s: в момент времени t. Обратить внимание на резонансный характер
зависимости вероятности «переворота» спина от частоты ujq в случае \3if\/3io\ <C 1.
Решение. Спиновая часть гамильтониана частицы имеет вид
При этом у. Ш. для спиновой в. ф. Ф({) = ( . . I сводится к системе уравнений
tftd = -fi'Tfoa - рЯ?\exp {-iu>ot}b,
С помощью подстановок
( iu>Qt 1 Г iwQt 1 —
а = схр<—— > о, Ь = ехр< — >Ь
она приводится к системе дифференциальных уравнений для функций a(t), b(t), уже с по-
постоянными коэффициентами, что позволяет легко найти ее решение (сравнить с 6.9):
a(t) = С\ exp {iu>t} + Сг exp {-iu,
-Ciexp{-iuit};
7! 72
здесь

186 Глава 7. Движение в магнитном поле
Учитывая, что, согласно начальным условиям, а@) = 1, 6@) = 0 находим окончательный
вил нормированной в. ф.
так что вероятность переворота спина, т. е. значения проекции зг = -1/2, в момент времени t
равна
где
9=\ш
Вероятность переворота спина, как и значение параметра д, при выполнении усло-
условия ;Щ < ,#5 мала при всех значениях частоты ш0, за исключением узкой области частот
вблизи точки шо|Рс1 = -2р,Щ/Н и шириной порядка Ашо ~ ?Щр1Ь- Отмеченный резонанс-
резонансный характер зависимости вероятности переворота спина от частоты лежит в основе одного
из экспериментальных методов определения магнитных моментов частиц.
7.15. Для заряженной частицы со спином s = 1/2 и спиновым моментом р, на-
находящейся в однородном стационарном магнитном поле, найти в гейзенберговском
представлении операторы радиуса-вектора, скорости, импульса и вектора спина. Век-
Векторный потенциал выбрать в виде14' А = @, ,Щх, 0). Задачу решить одним из способов,
указанных в 6.20.
Сравнить зависимость от времени средних значений векторов скорости v(t)
и спина s(t), см. также 7.10.
Решение. Задача решается аналогично 6.20. Приведем выражения для гейзенберговских
операторов компонент радиуса-вектора, импульса и спина частицы:
i(t) = i cos wat Л — sin wot + —— A - cosa>0<),
y(t) = у - г sin wot + ——
Pi (') = Px cos uot + p, sin u>ot - тшох sin a>ot, ?i(t) = ?i cos wt + 3", sin u>t,
pv(t) = pt, 7,(t) = 7t cos u>t - 7Z sin wt,
ш0 = , u»= .
тс h
Здесь х,, р,,Т, — соответствующие операторы в шрёдиигерооском представлении.
Оператор скорости частицы f = d?(t)/dt находится непосредственным дифференци-
дифференцированием оператора 7(t). Изменение со временем средних значений v(() и s(t) описывает
прецессию этих векторов с угловыми скоростями, равными а»о и а> соответственно, так что
в случае u0 = ui угол между ними остается неизменным. Подчеркнем, что этот случай соот-
соответствует частице, имеющей спиновый магнитный момент /*, равный /i0 = eh/lmc, сравнить
с 7.10. Если же о/0 ф ш, то угол между векторами v(t) и s(t) в азимутальной плоскости (перпен-
(перпендикулярной магнитному полю) изменяется со временем: Лу>(<) = (g-2)uot/2, здесь д = 2/
и' Это классическое выражение теперь, в гейзенберговской картине движения, должно быть заменено
соответствующим квантовомеханическим гейзенберговским оператором А(() = @, .)fox(t),O).

§ 3. Магнитное поле орбитальных токов и спинового магнитного момента 187
Это обстоятельство лежит в основе экспериментального метода определения|5> д-фактора
частицы, когда он мало отличается от значения д0 = 2, следующего из уравнения Дирака;
экспериментальные данные согласуются с предсказываемым квантовой электродинамикой
небольшим отличием <?-фактора для электрона и мюона от значения gD — 2 [29].
7.16. В условиях задачи 7.12, найти временную спиновую функцию Грина Gap{t,t')
частицы (а, /? = 1 и 2 — спиновые переменные).
Решение. Функция Грина Gap(t, t') по определению удовлетворяет по переменным a, t
уравнению Шрёдингера с гамильтонианом И = —/iX"Sl (ось z направлена вдоль магнитного
поля) и при l — t! равна Ga# = бар. Ее явный вид (и> =
0 ехр {-«,(< } Л/
7.17. То же в условиях задачи 7.13.
Ответ. Функция Грина получается из выражения предыдущей задачи заменой в нем u{t-t')
на «(«,«') = WO/^@<«-
г
7.18. Для нейтральной частицы со спином s = 1/2 и магнитным моментом ц,
находящейся в однородном стационарном магнитном поле, найти временную функцию
Грина Gap(T, t; г1, t').
Решение. В соответствии с полученным ранее в 7.11 результатом о разделении простран-
пространственных и спиновых переменных при движении частицы в однородном магнитном поле,
искомая функция Грина является произведением
Gaf(t, t; г', О = G(r, t; r',«') • Gafi(t, t')
временнбй функции Грина свободной бесспиновой частицы, см (VI.7), и спиновой функции
Грина из 7.16.
7.19. Обобщить результат предыдущей задачи на случай однородного нестационарно-
нестационарного магнитного поля, направление которого остается неизменным, т. е. 9P(t) — 2^(t)no.
Ответ. Функция Грина имеет такой же вид, как и в предыдущей задаче, но теперь временная
спиновая функция Грина в соответствующем выражении определяется результатом из 7.17.
§ 3. Магнитное поле орбитальных токов
и спинового магнитного момента
7.20. Найти средние значения компонент плотности тока для заряженной бесспиновой
частицы, находящейся в однородном магнитном поле в стационарном состоянии Ф„тр ,
см. 7.16).
Решение. Учитывая явный вид в. ф. Ч/птр1 (см. формулы D)-F) из 7.1), используемую при
этом калибровку векторного потенциала А = [5ggr]/2 и выражение (VH.5) для плотности тока
заряженной бесспиновой частицы в магнитном поле, находим
7-0 7-^1Ф I2 i -
2/ic
l5' Изменение угла Др(() со временем — «накапливающийся» эффект. Поэтому за достаточно большое
время движения частицы Ар может стать порядка I, что позволяет надежно определить (д - 2) в случае
малого значения этой величины.

188 Глава 7. Движение в магнитном поле
здесь использованы цилиндрические координаты. Подчеркнем, что |Ф|2 для рассматриваемых
состояний зависит только от радиальной переменной р.
7.21. То же, что и в предыдущей задаче, для частицы со спином s = 1/2 и магнитным
моментом цо в стационарном состоянии 9nmptl, из 7.9.
Решение. Волновые функции рассматриваемых состояний имеют вид
гас Хи — спиновые с. ф. оператора ?,; см. 7.9, а также предыдущую задачу. При этом
Учитывая, что значение |Ф„„Л|2 зависит только от переменной р, согласно (VII.6) находим
(в цилиндрических координатах) компоненты плотности тока, связанного со спиновым
магнитным моментом частицы:
jcn,f=jca.c = 0, ;„,„ = -2/1оСв, —|Фптр,|2. A)
Результирующая плотность тока определяется суммой A) и соответствующих компонент
орбитального тока частицы из предыдущей задачи.
7.22. Найти среднее значение магнитного поля ЭР@), создаваемого в начале ко-
координат заряженной бесспиновой частицей, находящейся в кулоновском поле ядра
U = —Ze2/r в Is- и 2р-состояниях.
Решение. Согласно известной формуле классической электродинамики [27], имеем
В отсутствии внешнего магнитного поля плотность тока определяется выражением (VII.5)
с А = 0. Для стационарных «-состояний в. ф. являются вещественными, так что16' j = 0
и 5Г = 0.
Волновая функция наиболее общего 2р-состояния частицы имеет вид
(по поводу угловой зависимости в. ф. см. 3.42). Согласно (I) и (VII.5), при А = 0 получаем
(заряд частицы обозначен через —е)
(заметим, что при вычислении тока следует действовать оператором V лишь на сомножите-
сомножители ег и е'г в в.ф., так как [гУ/(г)] = 0; V(er) = е). Вводя вектор b = [e'e], замечаем, что
интеграл в выражении B) принимает вид
rl}dV = l. C)
Для его вычисления рассмотрим сначала интеграл
= С6,к. D)
г'
Выполнив здесь свертку по индексам ink, получаем
ЗС = [ 1-е-ф dV = 4лч»2. E)
"'физическая причина равенства нулю магнитного поля в «-состояниях связана, конечно, с тем
обстоятельством, что они являются сферически-симметричными.

§ 3. Магнитное поле орбитальных токов и спинового магнитного момента 189
Из C)-E) следует значение I = -8тга2Ь/3 и окончательное выражение для магнитного поля
«на ядре»
Отсюда, используя явный вид векторов е(т), см. 3.42, находим
) G)
Заметим в заключение, что если атомное ядро обладает магнитным моментом, то
взаимодействие его с магнитным полем ЖЩ приводит к сверхтонкому расщеплению атомного
уровня, см. 11.2.
7.23. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в пространстве электроном, нахо-
находящимся в основном состоянии в кулоновском поле ядра с зарядом Ze.
Решение. Волновая функция рассматриваемого состояния электрона имеет вид Ф= (то3) х
е~Т'*Х> гае х — ег<> спиновая функция, а = h2/Ze2(i. Плотность тока, связанного с орби-
орбитальным движением электрона, равна нулю, так что ток определяется только спиновым
магнитным моментом. Согласно (VII.6), имеем
Имея в виду выражение для векторного потенциала [27]
выполним в нем следующие преобразования:
(здесь использована теорема Остроградского—Гаусса и соотношение Vr^(R-r)=- VRp(R-r)).
Входящий в B) интеграл равен17>
Таким образом, получаем A(r) = -/jo[crV/(r)).
Приведем также предельные выражения для магнитного поля Ж = rot A:
За-1 т—о» г'
(на больших расстояниях это — поле магнитного диполя).
7.24. Найти среднее магнитное поле, создаваемое в начале координат частицей
со спином s — 1/2 и магнитным моментом цо, находящейся в стационарном «-состоя-
«-состоянии в произвольном центральном потенциале.
Решение. Исходим из формул A), B) предыдущей задачи:
75—If dV> 0)
где ^(г) — в.ф. рассматриваемого s-состояния. При этом магнитное поле (/i =
= rot A(R) = -
"' Его значение определяется результатом из 4.6, так как этот интеграл описывает вклад в эффективный
потенциал, связанный с электронным «облаком».

190 Глава 7. Движение в магнитном поле
так что для «го компонент имеем
Рассмотрим теперь выражение
——/(Л) =Ct,>. C)
Выполнив в нем свертку по индексам i и к, получаем ЪС — &{(В)\цхя, а учтя явное
выражение A) для /(Я) и соотношение A|R - г|~' s= -4t*(R - г), находим ЗС = -4т|^@)|2.
С учетом этого значения, из формул B) и C) следует
8* ' :, D)
сравнить с предыдущей задачей, а также с результатом 7,22.

Глава 8
Теория возмущений.
Вариационный метод.
Внезапные и адиабатические воздействия
Методы теории возмущений основаны на возможности представления гамиль-
тона системы в виде Я = Щ + V, где возмущение V является малой поправкой,
а решение уравнения Шрёдингера с невозмущенным гамильтонианом Щ при этом
предполагается известным. Эти методы позволяют последовательными итерациями
рассмотреть эффекты, связанные с действием возмущения.
1) В стационарном случае, когда Яо и V, как и гамильтониан Я в целом,
от времени не зависят, собственные значения последнего в дискретном спектре
и соответствующие собственные функции1' записываются в виде рядов по степеням
кратности возмущения:
где Еп , Ф„ — спектр и с. ф. невозмущенного гамильтониана. При этом, если
невозмущенный уровень Еп не вырожден, то
ва=№\?№) = (п\?\п), ^=^
m En — Ет
(в сумме отсутствует слагаемое с т = п), а для с. ф.
@_
спк -
спк ~ °»к> спп-"> спк - @) „@)' К^п-
Условие применимости приведенных результатов (п Ф к):
\(к\?\п)\<\Е!^-Е^\. (VIII.3)
Если невозмущенный уровень Еп является s-кратно вырожденным и ему
отвечают взаимно ортогональные с. ф. Фп,о, где а = 1,2,..., а, то правильные с. ф.
нулевого приближения Ф„ = S0*» *«.» и соответствующие сдвиги уровней Е„
'* О форме записи разложения по собственным функциям см. примечание на с. 10. Подчеркнем,
что ниже матричные элементы <t|P|n) вычисляются с собственными функциями невозмущенного
гамильтониана.

192 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
определяются решением системы уравнений
«|Р|п0> - E^6aP)cf = 0. (VHI.4)
Условие совместности ее приводит к секулярному уравнению:
\{Па\?\пр)-Е{п1Nп0\=О. (VHI.5)
Корни его Е„ (их число равно s) определяют расщепление уровня невозмущенного
гамильтониана2', а их последовательная подстановка в (VII 1.4) позволяет найти
волновые функции соответствующих подуровней (в нулевом приближении).
2) При зависящем от времени возмущении V(t) для в. ф.
из уравнения Шрёдингера ihdV/dt - (#о + ^@)* следует3'
й^г = ? "-*(*) ехр <*¦*»**>в*.
где Vm*(<) = / «?>*(»)V№?\q) dr9, штк = (««? - JEf)/П.
Решение уравнения (VIII.7) последовательными итерациями а*@ = ак '(t) +
а*'@ + • • • прежде всего дает ак (t) = const. Далее, считая, что V(t) —» 0
при t —> —со и что при этом (т. е, до включения возмущения) система находи-
находилась в n-м состоянии дискретного спектра 9„(д) и поэтому ak(t —• -со) -¦ б„*,
выбираем о^ = аЦ — Snt (вместо ak(t) теперь пишем akn(t) в соответствии с рас-
рассматриваемой постановкой задачи). Для поправки первого приближения из (VIII.7)
с учетом условия <4„(^ = — оо) = 0 имеем
t
УкпA)е**-' dt.
Если при t -* +со возмущение V(t) исчезает, то a^(t = +оо) определяет, в первом
порядке теории возмущений, вероятность перехода системы из начального п-го
в конечное к-е (к Ф п) состояние за все время его действия:
e*""'Л
(VIII.9)
3) Напомним формулу для вероятности перехода (в единицу времени) из на-
начального i-ro состояния4' в близкие конечные /-состояния непрерывного спектра
2> Если все корни М различные, то вырождение снимается полностью (при наличии кратных
корней происходит лишь частичное снятие вырождения уропкя; для таких подуровней соответствующие
собственные функции нулевого приближения по-прежнему определены неоднозначно).
3' Подчеркнем, что временная зависимость матричных элементов V»n@ определяется только опера-
оператором 9A) (множители ехр {-iE^t/h} выделены отдельно).
4' Оно может относиться как к дискретному, так и к непрерывному спектру.

§1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) 193
под действием не зависящего от времени возмущения V:
dw(i - /) = у I V/.I2«(« - Е() *7, (VIII. 10)
где dvf характеризует число таких состояний. Интегрирование по энергии этих
состояний дает золотое правило Ферми для вероятности перехода:
w(i -» /) = —WftfpfiEi), (VIII. 11)
где р/(Е,) — плотность конечных состояний.
Обобщение (VIII. 10) на случай периодического во времени возмущения вида
> (VIII. 12)
где F — уже не зависящий от времени оператор, дается формулой
dw(i -> /) = у \Ff,\26(E, -Ef-Нш) dv}. (VIII.13)
§ 1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр)
8.1. Показать, что поправка первого порядка Е„ к энергетическим уровням частицы
в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме для достаточно произвольного
возмущения V(x) при больших значениях п не зависит от п.
Решение. Собственные функции невозмущенного гамильтониана имеют вид ф!0) = i/2/a х
sin (f(n+ \)х/а) (при 0 ^ х $ о). Заменяя в матричном элементе (n\V(x)\n) быстро
осциллирующий при п > 1 квадрат синуса его средним значением, равным 1/2, получаем3'
= {n\V(x)\n) * - fv(x)dx.
о J
8.2. Для заряженного линейного осциллятора найти сдвиги энергетических уровней
в однородном электрическом поле (направленном вдоль оси колебаний) в первых двух
порядках теории возмущений, а также поляризуемости состояний. Сравнить с точным
результатом.
Решение. Возмущение V = -е?х и очевидно ?„' = 0. Для вычисления поправки второго
приближения согласно (VIII. 1) воспользуемся известными значениями матричных элементов
координаты осциллятора, см. (П.З). Учитывая также вид спектра Е„ невозмущенного
осциллятора, получаем
так что поляризуемость для всех состояний осциллятора одинакова и равна Д) = eJ/mw!.
Результат (I) совпадает с точным, см. 2.2. Поэтому представляется очевидным, что поправки
третьего и более высоких порядков теории возмущений равны нулю.
*' Состояния квантешых систем сп> I являются квазиклассическами. Теория возмущения для таких
состояний рассмотрена в задачах 9.10-9.12.

194 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
8.3. То же, что и в предыдущей задаче, для заряженной частицы, находящейся
в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме в основном состоянии.
Решение. Возмущение V = -еА'х. Используя вид в. ф. невозмущенного гамильтониана,
см. 8.1, и симметричность |ф!,0)(г)| относительно центра ямы, находим (n|zjn) = а/2, так
что в первом порядке теории возмущений для всех уровней ?„ — -etCa/2. Далее, вычислив
матричный элемент координаты (для п ф 0):
2 }
= - /
aj
тх т(п+1)ж
* sin sin — — dx -
j
о
(он отличен от нуля лишь для нечетных значений п) и учтя вид невозмущенного энер-
энергетического спектра частицы в яме, см. 2.1, согласно (VIII. 1) находим поправку второго
приближения ?$2) = -Роб2/2, определяющую поляризуемость основного состояния
1024 та'е2 -А (* + IJ
** Л2 t?B*+lMBfc + 3M-
Этот ряд быстро сходится и его значение определяется практически лишь первым членом, так
что fa и 4,39- KT-WV/ft2. Сделаем замечание по поводу числовой малости коэффициента.
Естественная оценка для поляризуемости имеет вид /9 ~ е2/тш2, где ш — характерная
частота (сравнить с поляризуемостью осциллятора из 8.2). В свою очередь, оценка для ш сле-
следует из соотношения Ли = АЕ, где АЕ — расстояние до соседнего уровня (противоположной
четности). В рассматриваемой задаче следует считать
=
Ш~ h 2maJ1
при этом, согласно A), получаем До a 0,%ег/тш2.
8.4. Для плоского изотропного осциллятора найти в первом неисчезающем приближе-
приближении теории возмущений сдвиг основного уровня под действием возмущения V — аху.
Указать условия применимости полученного результата и сравнить его с точным,
см. 2.49.
Решение. Собственные функции и спектр невозмущенного гамильтониана рассмотрены в 2.48
и имеют вид
<>„, = »™(«) ¦ *?'(!/), <„2 = J$> = MJV +1), N = п, + пг = 0, 1, 2,. . . (I)
Сдвиг основного уровня в первом порядке теории возмущений отсутствует, Е$ = 0. При
вычислении поправки второго приближения, согласно (VIII. 1), под т теперь следует по-
понимать набор из двух чисел (п,,п2), определяющий невозмушеиные с. ф. (I). Восполь-
Воспользовавшись известными значениями для матричных элементов координаты линейного ос-
осциллятора, см. (И.З), находим, что (ri|n2|V|00) отлично от нуля лишь при nt = n2 = 1,
причем A11V |00> = сЛ/2тш, и получаем JSj2> = -a2h/8m2w2. Условие применимости теории
возмущений (VIII.3) в рассматриваемой задаче принимает вид |о| <К тш2 = к.
Согласно 2.49, точное значение энергии основного состояния Ей = hw(y/\ +а/к +
у/\ -а/к)/2. Разложение его по параметру а/к соответствует ряду теории возмущений.
Как видно, в случае \а/к\ С I, соответствующем применимости теории возмущений, ряд
быстро сходится. При \а/к\ ^ 1 в рассматриваемой задаче уже не возникает квантования
энергетического спектра, а ряд теории возмущений оказывается расходящимися.

§ 1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) 195
8.5. В условиях предыдущей задачи найти расщепление: а) первого возбужденного,
б) второго возбужденного уровней осциллятора. Указать правильные собственные
функции нулевого приближения.
Решение, а) Невозмущенный уровень осциллятора с N = 1 является двукратно вырожден-
вырожденным. Отвечающие ему невозмущенные с. ф. *!,,„,, см. предыдущую задачу, обозначим
как Ф*о> = Ф,о и щ = Щ\ ¦ Матричные элементы возмущения с такими с. ф. с учетом (II.3)
равны: VM = V22 = 0, V12 = V2| = аН/2тш. Секулярное уравнение (V1II.5) и его решение
имеют вид
h
ah
2пш
ah
С)
так что вырождение уровня снимается. Правильные функции нулевого приближения щ]т
б) Этот уровень с N = 2 трехкратно вырожден. Ему отвечают с. ф. ф{0) = Ф™, Ф,0* = Ф^',
Ф}0' = Ф^'. Отличные от нуля матричные элементы возмущения равны: V,2 = Vj, = Vj3 =
Vj2 = ah/V2~TTw. Решение секулярного уравнения дает следующие значения поправок первого
порядка:
Ег'*--Ш' Е^-°' Е"~ш' B)
так что уровень расщепляется на три подуровня и вырождение полностью снимается. От-
Отвечающие расщепленным уровням B) правильные функции нулевого приближения имеют
22
Читателю предлагается сравнить полученные по теории возмущений результаты с точным
решением, см. 2.49.
8.6. На двухуровневую систему (уровни невырожденные, их энергии et и ег) накла-
накладывается возмущение, характеризуемое матричными элементами V\\, K22, V\i — V2*
между исходными невозмущенными состояниями 1 и 2. Найти сдвиги уровней в пер-
первых двух порядках теории возмущений, указать условия применимости полученных
результатов и сравнить их с точными.
Решение. 1) Сдвиги уровней в первых двух порядках теории возмущений равны:
Условие применимости: |КМ|, |К22|, |V12| -С ?2 - ?|.
2) Эти результаты полезно сравнить с точным решением задачи, состоящим в диагона-
лизации оператора (матрицы)
Эта матрица является гамильтонианом возмущенной двухуровневой системы в энергетическом
представлении для невозмущенного гамильтониана. Ее с. з. равны"
Я|.2 = ]- [е, + е2 + Vn + V22 т у/(е, -e2 + Vu- V22J + 4|VI2P ]. B)
В условиях отмеченной выше малости матричных элементов Vab разложение в B)
радикала по степеням параметра ~V/(e2 - ?|) соответствует ряду теории возмущений для
6) Сравнить с 6.9.

196 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
невырожденных уровней, первые члены которого совпадают, естественно, с выражениями (I).
С другой стороны, в случае с\ = ?г, результат B) непосредственно следует из секулярного
уравнения (VIH.5) для двукратно вырожденного уровня. Соответственно при е, Ф е2 форму-
формула B) дает обобщение теории возмущений на случай двух близко расположенных уровней,
взаимодействие которых друг с другом учитывается точно, а взаимодействием их с остальными
уровнями системы пренебрегается.
8.7. Гамильтониан системы зависит от некоторого параметра А так, что Н(Х) =
h. + XW, где h и W от А уже не зависят. Доказать соотношение <РЕо(Х)/<1Х2 < О,
где Е0(Х) — основной уровень этого гамильтониана. Проиллюстрировать полученный
результат на примере осциллятора и частицы в кулоновском потенциале.
Решение. Рассмотрим значения параметра А близкие к некоторому Ао и запишем гамильто-
гамильтониан в виде
Я(А) = Я(Ао) + (А - А0)Й>\
Используя при А —» Ао теорию возмущений, находим
Ев{Х) = Е0(Ао) + А'Ао)(А - Ао) + В(Ао)(А - АоJ + ...,
при этом В(Х0) < 0, так как поправка второго приближения к основному уровню всегда
отрицательна. Отсюда и следует утверждение задачи, так как
= 2В(А) < 0.
Проиллюстрируем установленное свойство выпуклости зависимости ?«(А) от параметра А
на примере линейного осциллятора. Для него Я = р2/2т+кх2/2 иЕо= Тш/2, где ш = ^/к/т.
В роли параметра А можно выбрать А = fc и непосредственным дифференцированием
убедиться в выполнении неравенства Е% < 0. Аналогично можно рассмотреть и случай
кулоновского потенциала.
8.8. Плоский ротатор с моментом инерции / и электрическим дипольным моментом d
помещен в однородное электрическое поле /, лежащее в плоскости вращения. Рас-
Рассматривая действие поля как возмущение, найти поляризуемость основного состояния
ротатора.
Решение. Для невозмущенного ротатора имеем, см. 3.2:
^-, т = 0,±1,±2,.... A)
Возмущение V — -d/ = -<Mcosy>. Воспользовавшись формулой cosy> = («'* + e'tv)/2,
находим, что матричные элементы Vmm, отличны от нуля лишь для значений m' = m±l
и равны при этом -dt/2. Теперь, согласно (VIII.1) и A), получаем для основного уровня
ротатора
= -^<«J. B)
Соответственно поляризуемость основного состояния ротатора /ЭЬ = 2d2I/h2, сравнить с 8.2
и 8.3.
8.9. В условиях предыдущей задачи найти в первых двух порядках теории возмущений
сдвиги и расщепления энергетических уровней возбужденных состояний ротатора и их
поляризуемости. Указать правильные собственные функции нулевого приближения.
Обратить внимание на выделенность свойств первого возбужденного уровня.
Решение. Хотя возбужденные уровни ротатора являются двукратно вырожденными, для рас-
расчета их сдвигов в однородном электрическом поле можно использовать теорию возмущений
для невырожденных уровней, если заметить следующее. Возмущение V = -dS'cosy, как

§ 1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) 197
и гамильтониан Яо, инвариантны при отражении координат относительно оси, направлен-
направленной вдоль электрического поля, т. е. при преобразовании <р -» -<р. Следствием этого является
возможность классифицировать с. ф. гамильтониана по значению Р = ±1 четности и рас-
рассматривать соответствующие состояния раздельно. При этом сразу определяется система
правильных с.ф. нулевого приближения (сравнить с 8.8):
и Фд°+ = l/\/2Jr, й$_ + = 0 для /i = 0 (основной уровень).
Начнем с расчетов сдвигов четных уровней. Для них находим, что отличны от нуля лишь
следующие матричные элементы возмущения:
AS . .
—-; и — u±l, u ^ 0, ифО,
2
dS . ,
—р; /i = 1, /j = 0 или /л=0, ц = 1,
и по формулам (VIII. 1) получаем
Для нечетных уровней V^^. = —dSji при р' = р± 1 (остальные матричные элементы равны
нулю) и их сдвиги равны
-я „>2. B)
Из сравнения выражений A) и B) следует, что во втором порядке теории возмущении
уровень ротатора с \т\ = 1 расщепляется и вырождение снимается, а при значениях \т\ > 2
происходит лишь сдвиг уровня (его расщепление возникает в 2|т|-м порядке теории возму-
возмущений).
8.10. Пространственный ротатор с моментом инерции / и дипольным моментом d,
направленным вдоль оси ротатора, помещен в однородное электрическое поле, рас-
рассматриваемое как возмущение. Найти поляризуемость основного состояния ротатора.
Решение. С. ф. и с. з. гамильтониана невозмущенного ротатора имеют вид (см. 3.3)
Ц^, @
а возмущение V = -dScose (ось z направлена вдоль электрического поля). Учитывая
соотношение cos0->oo — -iY,o/y/3, см. (III.7), и ортогональность шаровых функций, находим,
что матричный элемент возмущения Vim,oo отличен от нуля лишь при ( = I, т = 0
и равен Vio.oo = «d$[Vb. Согласно (VIII. 1), получаем
B)
так что поляризуемость основного состояния ротатора равна /Эо = 21 d2/3ft2.
8.11. В условиях предыдущей задачи рассчитать в первом неисчезающем порядке
теории возмущений сдвиги энергетических уровней возбужденных состояний ротатора.
Каков при этом характер снятия вырождения уровней? Происходит ли в более высоких
порядках теории возмущений дальнейщее снятие вырождения?

198 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Решение. Для вычисления матричных элементов возмущения (см. предыдущую задачу) вос-
воспользуемся соотношением
cos» • Y,m = a,m?M,m - e(-i,mK,_,im, f Js 1,
1A + т + l)(f - т + 1) (О
B1 + l)Bi + 3)
(для его получения следует учесть связь шаровых функций Yim с присоединенными поли-
полиномами Лежандра Я,'' и воспользоваться рекуррентными соотношениями для последних;
фазовый множитель у Y,m, см. (III.5), выбран как в книге Л.Д.Ландау и Е. М.Лифшица A|).
Согласно A), отличны от нуля матричные элементы возмущения только между соседними
уровнями:
И+1 m,Jm = -VinM+lm = —<Weira.
Хотя уровни энергии невозмущенного ротатора вырождены (по проекции момента т
при / Ф 0), для расчета их сдвига и расщепления в электрическом поле нет необходимости
применять теорию возмущений для вырожденных уровней. Ввиду сохранения I, и при дей-
действии возмущения, состояния с различными значениями т можно рассматривать раздельно
по формулам теории возмущений без вырождения. С учетом этого замечания по форму-
формулам (VIII.1) получаем: Е^ = 0 и
Щп ft2
Как видно, B1 + 1)-кратное вырождение невозмущенного уровня ротатора частично
снимается: он расщепляется на ( + 1 подуровней, из которых один, с m = 0, является
невырожденным, а остальные I — двукратно вырожденными по знаку проекции момен-
момента на направление электрического поля. Дальнейшего снятия вырождения в более высоких
порядках теории возмущений не происходит. Это связано с тем, что, с одной стороны, величи-
величина m = 1г является интегралом движения и может иметь определенное значение одновременно
с энергией, а, с другой стороны, энергия состояний, различающихся лишь знаком проекции
момента на направление электрического поля, одинакова в силу инвариантности гамильто-
гамильтониана относительно зеркального отражения координат в любой плоскости, проходящей через
ось z (при таком преобразовании энергия не изменяется, а проекция аксиального вектора
(момент импульса) на направление полярного вектора (электрическое поле) меняет знак).
8.12. Найти сдвиг в слабом электрическом поле и поляризуемость основного уровня
заряженной частицы в одномерном 5-потенциале V = -а 6(х).
Решение. Для основного уровня частицы в б-потенциале имеем (см. 2.7):
<• = —. фГ(х) = ^е-И, х=™.
Для вычисления его сдвига под действием возмущения V = -е<*х во втором порядке (оче-
(очевидно Ео = 0) в качестве невозмущенных с. ф. непрерывного спектра удобно выбрать
функции Фу(*), отвечающие определенной четности / = ±1. Так как для четных с. ф.
гамильтониана, искажаемых б-потенциалом, матричный элемент возмущения равен ну-
нулю (и поэтому их явный вид несуществен), а нечетные в. ф. не искажаются ^-потенциалом
и поэтому совпадают с в. ф. Ф^'.! = sinfci/v/^ свободной частицы, то, согласно (VIII.1),
имеем (Ек = П2к2/2т):
' 0 °
Используя здесь значения интеграла
/ x sin kx ¦ e *w dx = y-j—-jtj

§ 1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр)
199
и интеграла (Д1.5), находим сдвиг уровня и поляризуемость
5me2
1 ^~4ftV
сравнить с 6.36.
8.13. Найти приближенный вид волновых функций стационарных состояний и энер-
энергетические уровни нижней части спектра плоского ротатора, имеющего дипольный
момент d, в сильном электрическом поле ? таком, что dS 3> h2/I.
Решение. В сильном электрическом поле в. ф. нижних уровней ротатора локализованы
в области малых углов \<р\ <?С 1, так как потенциальная энергия U = -d? cos <р имеет глубокий
минимум при (р = 0, см. рис. 25. Разлагая U(<p) в ряд и ограничиваясь
первыми членами разложения:
U = -d<?cos <р к - dS + ¦
Ы «I.
(О
приводим в нулевом приближении гамильтониан ротатора к гамильто-
гамильтониану линейного осциллятора и, воспользовавшись (И.З), получаем7'
„ = 0,1,2,...,
B)
Условие применимости проведенного рассмотрения состоит в малости
с. ф. B) при |у>| ~ 1. Так как в. ф. Фп (у>) существенно отличны от нуля
лишь в области углов (доступных классическому ротатору)
то отмеченное условие принимает вид ? > ft2 (n + 1/2J jdl.
Заметим в заключение, что, взяв в (I) следующие члены разложения по (р7 (ангармони-
(ангармонические поправки), можно уточнить значение Е„ в B).
8.14. То же, что и в предыдущей задаче, но для сферического ротатора, см. 8.10.
Решение. Гамильтониан системы имеет вид
~ ft2-, ft2
Я=-1 -u*=-h,,v-d?c<Ke (I)
(полярная ось z направлена вдоль электрического поля /).
В случае сильного поля с. ф. гамильтониана для нижних уровней локализованы при
малых значениях угла в <С 1 из-за глубокого минимума при Ц, =0 у потенциальной
энергии U = -d?cose, сравнить с предыдущей задачей. Учитывая это обстоятельство,
а также тот факт, что оператор &i>xV — лапласиан на сфере единичного радиуса — при малых
углах в можно рассматривать как лапласиан в плоском двумерном пространстве (в плоскости,
касательной к сфере радиуса й = 1 в точке в0 = 0, так что при этом в является «радиальной»
переменной), гамильтониан A) можно приближенно записать в виде
" Конечно, в рассматриваемом случае уже не приходится говорить о ротаторе как о вращающейся
частице.

200 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Здесь х = 9 cos у;, у = в sin <р, в = у/х2 + у2.
Гамильтониан B) описывает плоский осциллятор, что позволяет, воспользовавшись 2.48,
получить в нулевом приближении спектр и собственные функции исходного гамильтониана A):
(. «.ч 1/2
yj , N = 0,1,2,...,
где в0 = (h2/Idfi) . Так как с.ф. осциллятора B) локализованы в области в2 <(N + 1)в1,
то использованное выше условие в < I определяет условие применимости C) в виде $1 <
\/(N + 1), или А » Й2(ЛГ + \J/dI.
В рассматриваемом приближении уровень JEJJ' имеет кратность вырождения g(N) =
JV+ 1. Такое вырождение — свойство принятого приближения. Учтя в разложении cos 9 сле-
следующий, ~04, член, а также используя более точное выражение для До,,,, можно уточнить C),
определив малое расщепление уровней J5J,'.
8.15. Частица находится в центральном потенциале вида (а > 0)
a) U = -?/о/(ег/о - 1), 6) U = -Uoae-r!a/r,
причем Uq ^> ft2/та7. В первом порядке теории возмущений найти отличие энергети-
энергетических уровней нижней части спектра от уровней в кулоновском поле U = -Ща/г.
Обратить внимание на снятие случайного кулоновского вырождения уровней.
Решение. При г С о рассматриваемые потенциалы имеют вид U ~ -Uoa/r. В таком
кулоновском поле в. ф. нижних энергетических уровней локализованы на расстоянии поряд-
порядка г„ ~ оо«2 от центра поля; здесь а0 = H2/maUo, п — главное квантовое число. Если г„ < а
(т. е. ( = ma2Uo/h2 2> п2), то, очевидно, в нулевом приближении искомые уровни нижней
части спектра и соответствующие им с. ф. будут такие же, как и в кулоновском поле:
И _ тагЦ$ <0)
'' ~ 2ftV ' *Т'т ~ ''""
см. (IV.3). При этом отличие рассматриваемых потенциалов от кулоновского играет роль
возмущения K(r) = U{r) + Uoa/r. Ввиду того, что орбитальный момент частицы является
интегралом движения и при действии возмущения, с.ф. A) являются правильными функциями
нулевого приближения и поправка первого порядка определяется выражением (VIII. 1):
WWjVr. B)
а) Разлагая в этом случае потенциал возмущения в ряд по степеням г/а, что дает
и учитывая значение интеграла (см. [1, §36])
согласно B)-D) находим

§1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) 201
(заметим, что учет в разложении C) слагаемого ~г3/а3 был бы превышением точности, так
как его вклад в сдвиг уровня ~U0/C имеет такой же порядок величины, как и не учитывается
поправка второго приближения теории возмущений).
б) Теперь V и ?/0(l - г/2а + г2/6а2) к
F)
Как видно из (S) и F), случайное кулоновское вырождение уровней по / снимается.
Заметим, что для потенциала Хюльтенау. Ш. для s -состояний допускает точное решение,
см. 4.8. При этом (для J = 0) Е^о совместно с E) описывают точный результат.
8.16. Для частицы в центральном потенциале U = -а/г", причем 0<«/<2иа>0,
найти энергетические уровни ЕПг1 с большим значением момента I > 1 и с не слишком
большим радиальным квантовым числом пг. В случае кулоновского потенциала, v = 1,
сравнить полученный результат с точным.
Решение. У. Ш. для радиальной части, \ = rR, с.ф. гамильтониана имеет вид
ft2 а ПЧA+})
2m* r"*+ 2mr2 *" "''*•
Эффективная потенциальная энергия в этом уравнении
и - а . »*'<'+0
имеет минимум в точке
2
)|
avm J
В случае v < 2 и значениях момента частицы I -» со для нижних радиальных состояний
область локализации в. ф. вблизи этой точки минимума (при этом г0 —• со) существен-
существенно уже (меньше) области, в которой можно ограничиться первыми членами разложения
эффективного потенциала
V^, = -{-аB - „К" + \<*{2v - *2)r-("+2>(r - г0У + ... A)
(сравнить с предыдущими задачами 8.13-8.15). Поэтому в нулевом приближении мы приходим
фактически к задаче о гармоническом осцилляторе с точкой равновесия г = го и упруго-
упругостью Л = С^фф(го), что позволяет получить8' (сравнить с A1.2))
здесь а = [ft2r02+7maBi/ - *2)] "\
Для применимости полученных результатов требуется выполнение использованного при
их выводе условия: радиальная функция B) должна быть локализована на расстояниях
|г - го| С г0. Отсюда следует, что f3> (пг + 1/2) /V2 -V (сравнить с 8.13 и 8.14).
Проиллюстрируем полученный результат на примере частицы в кулоновском потенциале,
т.е. для v = 1; при этом Е„ = -ma2/2K2n2. Записав п = ( + 1/2+ пг + 1/2 и выполнив
разложение
_ та2 1 та2 та2 .
Ел ~ ~1* (| + 1/2 + п, + 1/2J " ~ 2ft2 (I + 1/2J +h2(l + 1/2K ("r + '>' ('
8) Учет следующих членов в разложении (I) (ангармонических поправок) позволяет с помощью теории
возмущений уточнить этот результат, сравнить с задачами §4 главы 9.

202 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
замечаем, что результат C) представляет первые два члена разложения D) для Еп по малому
параметру (п, + 1/2)/(< + 1/2) (при этом следует учесть, что 1A + 1) и (I + 1/2J ввиду / 2> 1).
8.17. То же, что и в предыдущей задаче, но для потенциала U = аг" с а, и > О
(теперь Е„Г1 > 0). В случае сферического осциллятора, v = 2, сравнить полученный
результат с точным.
Решение. Решение данной задачи получается заменой -о на а и -и на v в формулах
предыдущей задачи (теперь Е„Т\ > 0 и ограничений на значения v > 0 не возникает).
В случае сферического осциллятора точный спектр EN = Ьш (N + 3/2), где N = 2пг +1
(см. 4.5) и w = y/2a/m. Формула C) из предыдущей задачи воспроизводит этот спектр
с единственным отличием: заменой I + 1/2 на \/Щ + 1) (несущественным ввиду 1 » 1).
8.18. Частица находится внутри непроницаемого эллипсоида вращения, так что по-
потенциал имеет вид
О,
причем \а - Ь\ < а. Найти в первом порядке теории возмущений сдвиг основного
энергетического уровня по отношению к уровню в сферической яме такого же объема.
Решение. Замена переменных х = х, у' = у, z' — az/b приводит у. Ш. и граничное условие
для с. ф. гамильтониана к виду
ft2 / д7 д1 а1 в1
Так как по условию |о - Ь| С а. то, записав о = A + е)Ь, где \с\ <S. 1, представим
гамильтониан в виде Я = Яо + V, выбрав
При этом V выступает как оператор возмущения.
Для основного состояния невоэмущенного гамильтониана имеем (сравнить с 4.1)
v2jra г а
(здесь и ниже для упрощения записи штрихи у переменных опушены).
Расчет поправки первого порядка по малому параметру с, согласно A), сводится
к вычислению среднего значения O7/dz2 для основного состояния. Ввиду сферической
симметрии его в. ф. имеем, очевидно,
О* _ ? _ а1 _ 1 —
8х* ~ дУ ~ д? ~ 3 '
Отсюда с учетом выражений A) и B) следует
*-?¦ *-*¦<¦-("¦?)?¦ »
Так как объем эллипсоида равен
то, согласно C), замечаем, что J^i я эг2Л2/2mR2, здесь й — радиус шара такого же объема,
как и у эллипсоида. Таким образом, в первом порядке по параметру деформации е энергия

§ 1. Стационарная теория возмущений (дискретный спектр) 203
основного уровня определяется лишь объемом эллипсоида. Имея в виду, что в з-состояниях
частица оказывает одинаковое по всей поверхности давление на стенки сферической ямы,
а также выражение для совершаемой работы, —PdV, при изменении объема, легко сообра-
сообразить, что результат остается справедливым при малых деформациях поверхности достаточно
произвольного вида, сохраняющих объем.
8.19. Обобщить результат предыдущей задачи на случай возбужденных состояний
частицы. Обсудить вопрос о характере снятия вырождения по проекциям момента
в первом и более высоких порядках теории возмущений.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь
см. 4.9; невозмущенный уровень B1 + 1)-кратно вырожден. Ввиду сохранения /, приве-
приведенные в. ф. являются правильными функциями нулевого приближения для возмущенного
гамильтониана, так что сдвиги уровней
„(О _ гй /"ф@). 9 да
En,lm — J *»,lm ^2 *nrlm «»• (•)
Для вычисления здесь интеграла рассмотрим сначала более общий матричный элемент вида
После выполнения в нем интегрирования по координатам он принимает вид (m'|3\t|m),
где Г,* является уже обычной матрицей, действующей в пространстве векторов состояний
момента величины I, в котором векторы |т) определяют базис. Из соображений о тензорном
характере оператора Т,к следует (сравнить с 3.40,1, — матрицы-векторы компонент момента):
B)
Ввиду симметричности Т,к имеем В — 0. Далее, из условия
следует соотношение
А + {21A + I) - 1)С = 0. C)
Наконец, свертка в B) по индексам ink дает
ЗА + ИA+1)С = Т„- = Д. D)
Определяя из C) и D) значения А и С, а также учитывая, что - (й2/2^() Д = E^j,, получаем
Отсюда следует, что вырождение уровня частично снимается: он расщепляется на I + 1
подуровней, из которых один (с m = 0) является невырожденным, а остальные (с m = ±|m|)
двукратно вырождены. В более высоких порядках теории возмущений дальнейшего снятия
вырождения, очевидно, не происходит.
Заметим, что среднее по всем подуровням значение поправки первого порядка равно
"-"" 71+ \^ "•'"• 3 -'
(о вычислении суммы см. 3.1), так что значение ЕЩ1т, как и в случае основного состояния,
определяется только объемом эллипсоида (см. по этому поводу замечание в предыдущей
задаче).

204 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
8.20. Используя теорию возмущений, получить правило квантования квадрата орби-
орбитального момента и найти вид шаровых функций в случае I « \т\ 3> 1.
Решение. Уравнение Т^Ф^щ = ?2Фхт с помощью подстановки
принимает вид одномерного уравнения Шрёдингера
eft = 1, «массой» /i = J/2, «потенциальнойэнергией» UF) = ^>У и «энергией», равной ?2+
1/4. В случае т2 3> 1 «потенциал» имеет глубокий минимум при значении в = т/2 и в. ф.
нижних «уровней» локализованы вблизи этой точки. Разлагая и(в) в ряд
B)
замечаем, что рассматриваемая задача сводится к у. Ш. для линейного осциллятора. В нулевом
приближении, опуская в B) слагаемое ~ (в - т/2L, получаем (положено х = {в - т/2):
" = 0,1,2,..., C)
здесь С — фазовый множитель, см. ниже; в волновой функции и в выражении для ?»
опущены члены порядка 1/|т|.
Для уточнения значения L2 найдем следующую поправку, соответствующую учету в B)
ангармоничности ~ (в — т/2) . Она оказывается равной
(сравнить с [1, с. 166]), и, прибавив ее к значению нулевого приближения из C), замечаем,
что получающийся результат
L2 = (Ll){0) + (ri)A) = (|m| + n)(|m| + n + 1) D)
воспроизводит точное значение 1} = Щ + 1) с X — |m| + n.
Отметим, что условие локализации а. ф. C) в области углов \в — т/2| <S 1, использованное
при решении задачи, требует, чтобы n < |m|, |т| 3> 1 (сравнить с 8.13). Наконец, как
известно, фазовый множитель у шаровых функций фиксируется определенным условием,
см. A11.8) и (III.5). В соответствии с ним в C) следует выбрать
С = i'(_])<m+H>/2
§2. Вариационный метод
8.21. Найти вариационным методом энергию основного уровня частицы в потенциале
из задачи 2.8: U = Fox для х > 0 и U — оо для х < 0, используя пробные функции
вида
а) Ф = Ахехр{-ах}; б) Ф =Вжсхр {-см;2/2}
при х ^ 0. Сравнить с точным значением.
Решение. Вычислим среднюю энергию Е(а) и найдем ее минимальное значение mini? =
Ш(ай). В соответствии с основной идеей вариационного метода его можно рассматривать

§2. Вариационный метод 205
как некоторое приближенное значение энергии основного состояния ?ч>,»р = Е(щ). Так
как используемые пробные функции отражают характерные свойства точной в. ф. основного
состояния 4>о(х), очевидные из общих соображений: 1) условие Ф0(х) ос х при х -» 0; 2) бы-
быстрое (экспоненциальное) убывание на больших расстояниях, 3) отсутствие нулей (не считая
граничных), 4) ее плавный монотонный характер по разные стороны от экстремальной точки,
то следует ожидать, что отличие Во. юр от точного значения Ев не будет слишком большим''.
При вычислении среднего значения Е = Т + V удобно, пронормировав пробную в. ф.,
воспользоваться соотношением
и учесть значение интеграла (Д1.6).
а) Из условия нормировки в. ф. имеем Аг = 4а3; далее находим
~ 2т' ~ ~2а'
Минимизация Е(а) дает (а0 = CmF<,/2h7) ):
б) Аналогичным образом получаем
¦ С/ ^ 1 Qn ^ I л I *
т у/га \ 9я-Л / ...
in B)
Так как вариационный расчет дает ограничение сверху на значение энергии основного
уровня, то заранее можно утверждать, что из полученных результатов A), B) более точным
является второй; точное значение Е» = l,856(ft2F02/m) . Отметим, что в обоих случаях имеет
место соотношение 2Т(а0) = и(щ) в согласии с теоремой вириала, см. 6.12.
8.22. То же, что и в предыдущей задаче, для
а) 6-ямы, см. 2.7, с пробной функцией Ф = А(а + |х|)";
б) линейного осциллятора и Ф = А{а2 + х2) , v — целое;
в) кулоновского потенциала иФ = 4(в + r)~"l e, v — вариационные параметры.
Решение. Поступая как и в предыдущей задаче, приходим к следующим результатам.
Минимизируя Е(а, v) сначала по параметру а, получаем
а1 ( 1 \ 2Й2!/2
Теперь минимизация по v (очевидно, i/0 = со) дает ?Ь,Мр = -таг/2Л2, что воспроизводит
точный результат, см. 2.7. Причину такого совпадения легко понять, имея в виду соотноше-
соотношение lim A — z/v)" = е~' при v -к»: пробная функция для значений ао(и) из A) при и —» со
совпадает с точной волновой функцией основного состояния.
' Сравнение результатов вариационного расчета с точными в рассмотренных в этом параграфе задачах
позволяет составить представление о точности таких расчетов с использованием простейших пробных
функций

206
Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Как видно из A), значения E(ag, v) близки к Во и при v, отличных от щ = оо:
V
Е
i
0,750
2
0,938
3
0,972
5
0,990
7
0,995
10
0,998
(существенное различие проявляется лишь для малых значений v, при которых начинает
сказываться медленное убывание на больших расстояниях, по сравнению со значениями
точной, пробной волновой функции).
б) Используя значение интеграла (Д1.5), находим
, 2"-\у- l)!e2"-' __ vBv- l)ft2 -_*гг"_ ка1
*Bи - 3)!! ' Т~ 8(«/+l)ma2' U ~ ~ ~ 2Bi/-3)'
Минимизация по параметру а дает (ш = у/к/т)
/ft2i/Bi/-
Е{<4>, v) = -
-hu.
B)
4fcm(i/ + 1)
а последующая минимизация по v воспроизводит (при v — vo = оо) точное значение Ео =
Нш/2 (объяснение этого обстоятельства — такое же, как и в случае .5-ямы, а сделанное выше
замечание о близости Е(а0, v) к Ео и при v ф t/0 остается справедливым и для осциллятора).
в) Для кулоновского потенциала, V = -а/г, находим
4*Л2 = (v - \)Bv - 3)Bi/ - l)a2"-3,
Минимизация по параметру а дает
Е(ао, ") — -
-= viy -
2B«/+1) та1'
2a
l)ft2
а последующая минимизация по i/ приводит к точному результату Ео = -та2/2ft2. Ситуация
здесь такая же, как и в случае рассмотренных выше потенциалов.
В заключение отметим следующее обстоятельство. Как известно, если используемая
пробная функция обеспечивает достаточно высокую точность вариационного расчета Ео, так
- 1
Ео
то вычисление с ее помощью каких-либо других характеристик / основного состояния
(таких, как плотность вероятности |Ф|2, (ДхJ, и т.д.) имеет существенно меньшую точность
и, вообще говоря, |/«,р//™ - 11 ~ 7- Так, в случае E-ямы рассматриваемая пробная функция
при v = 10 дает значение Ео с погрешностью 0,2 %. Вычисленное же с ее помощью среднее
отличается от точного значения на 19%. Далее, в случае кулоновского потенциала, также
при v = 10, согласно C), ?Ь,мр отличается от точного значения на 0,4%. В то же время
отличие
от точного значения составляет 15%. Такая существенная потеря точности при вычислении
пространственных характеристик частицы связана, по-видимому, с тем, что используемые
пробные функции при конечных значениях вариационного параметра и убывают на больших
расстояниях лишь степенным образом, в отличие от экспоненциального убывания точных
в. ф. рассматриваемых систем.

§2. Вариационный метод 207
8.23. Найти энергию: а) основного, 6) первого возбужденного уровней частицы
в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме, аппроксимируя собственные
функции гамильтониана простейшими полиномами, удовлетворяющими требуемым
условиям.
Решение. При определении вида полиномов, аппроксимирующих в. ф. рассматриваемых со-
состояний частицы и представляющих простейшие пробные функции вариационного метода,
прежде всего следует учесть граничные условия Ф@) = Ф(я) = 0 и отсутствие нулей у в. ф.
основного состояния (не считая граничных). Далее, пробная функция для первого возбужден-
возбужденного уровня должна быть ортогональна в. ф. основного состояния (именно при выполнении
этого условия значение Е представляет ограничение сверху для энергии возбужденного уров-
уровня, сравнить с 8.28). В задачах с одномерным симметричным потенциалом такое условие
ортогональности легко обеспечить благодаря различной четности в. ф. основного и первого
возбужденного состояний при отражении координат относительно центра симметрии.
а) Для основного состояния выбираем Ф = Ах(а — х) при 0 ^ х ^ о; эта пробная
функция, как и точная в. ф., является четной при отражении координаты относительно
центра ямы х = а/2. Пронормировав в. ф., находим (так как U = 0, то Е = Г):
6) Теперь, для первого возбужденного уровня, выбираем Ф = Вх(а/2-х)(а - х);
множитель (| - х) определяет требуемую симметрию в.ф. Находим
В2=^, В = Т = 21-^—« 1,064В, B)
а' та1
(при вычислении интегралов удобно сделать подстановку х' = х - а/2).
Найденные значения A) и B) величины Е по смыслу расчета представляют при-
приближенные значения энергетических уровней Ео и Е\. Близость их к точным значени-
значениям Еп — тгЛ!(п + \J/2та* связана с тем, что рассматриваемые пробные функции отражают
основные свойства точных в.ф. Фо(х) и Ф|(х), сравнить с 8.21.
8.24. Для двух частиц одинаковой массы от, находящихся в бесконечно глубокой од-
одномерной потенциальной яме и взаимодействующих друг с другом как непроницаемые
точки, найти энергию основного уровня, аппроксимируя волновую функцию основного
состояния простейшим полиномом, удовлетворяющим требуемым условиям. Сравнить
с точным результатом, см. 2.51.
Решение. Вайду взаимной непроницаемости точек в. ф. системы удовлетворяет условию
*(*i>*j) = 0 при х, =2;. Соответственно, учитывая граничные условия на стенках ямы
и считая для определенности, что 1-я частица находится левее 2-й, аппроксимируем точную
в. ф. основного состояния выражением
Ф = Ах(хх - х2)(а - х2), 0 < х, г? х2 ^ о,
играющим роль пробной функции при вариационном расчете энергии основного уровня Ео.
Пронормировав в. ф., что дает А1 = 5 040а"8, с учетом V = 0 находим
о о
Это значение отличается на 13% от точного Ей = 5т2Лг/2та2, см. 2.51 и сделанное там
замечание о вырождении уровня.
8.25. Найти вариационным методом энергию нижнего р-уровня частицы в бесконечно
глубокой сферической потенциальной яме радиуса а, воспользовавшись пробной
радиальной функцией вида R(r) = Ar(a" - г") при г ^ а, где и — вариационный
параметр (Ф|=|,т(г) = й(г)К|т(п)). Сравнить с точным значением.

208
Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Решение. Для частицы в центральном потенциале при вариационном расчете энергии ниж-
нижнего уровня с произвольным значением орбитального момента I не возникает осложнений,
связанных с необходимостью выбора пробной функции быть ортогональной в. ф. более низ-
низких уровней (с меньшими значениями момента): угловая зависимость в. ф. в виде ос Y,m(n)
обеспечивает такую ортогональность автоматически. Пронормировав указанную в условии
пробную функцию, что дает
с учетом значения U = 0 находим
4C + 2v) та1'
о
Минимум E(v) определяет оптимальное приближенное значение (дающее ограничение свер-
сверху) энергии нижнего уровня, пг = 0, с моментом ( = 1. При этом ?oi»p ~ 10,30 Л?/та1, точка
минимума щ « 0,37. Однако и при других значениях v ~ 1 получается близкий результат,
как это видно из таблицы
V
Ёта1
Л2
0
10,42
0,4
10,30
1
10,50
2
11,25
Отметим, что точное значение Ец\ = 10,10 ft2/ma2 следует из 4.9, если воспользоваться
значением ха = 4,4934 первого нуля функции Бесселя Jju(x).
8.26. Для основного состояния частицы в одномерной 5-яме, Щ(х) = -а6(х), найти
вариационным методом сдвиг уровня под действием слабого однородного поля, т. е.
за счет возмущения V = -Fox, воспользовавшись пробной функцией
Ф(х) = СФ00)(х)A + eF0xe 7|r|), Ф00)(х) = у^е""»111,
где Фд (х) — волновая функция невозмущенного состояния, см. 2.7, а ? и 7 —
вариационные параметры. Сравнить с точным результатом из 8.12.
(Данная задача иллюстрирует возможность вычисления членов ряда теории воз-
возмущений для гамильтониана Н = Щ + V вариационным способом. В связи с этим
отметим, что использование в качестве пробной функции невозмущенной собственной
функции воспроизводит поправку первого порядка для сдвига уровня.)
Решение. В соответствии с основной ааеей вариационного метода найдем среднее значе-
значение Е(у,е), минимизация которого позволит определить сдвиг уровня. Сначала нормируем
пробную функцию, для чего следует выбрать
С3 =
т. с. С7
1 -
A)
2A+7K'
здесь и ниже используется «слабость» внешнего поля, а также система единиц, в которой fi =
т = а = 1, при этом хо= I и Eq — -1/2 — энергия уровня в отсутствии поля. Вычислив
1Г«-.
B)

§2. Вариационный метод 209
и воспользовавшись A), получаем (ограничиваясь членами не выше второго порядка по F)
Минимизация этого выражения по параметру е дает
Наконец, минимизация по параметру у позволяет найти сдвиг уровня. Минимум реализуется
при значении 7 = 7о а 0,34, при этом получаем Д>,мр = 1,225, в то время как точное
значение /3fa = 5/4 = 1,250.
8.27. Исходя из вариационного принципа и используя пробную функцию вида Ф(г) =
Се''"', где к > 0 — вариационный параметр, получить достаточное условие суще-
существования в центральном потенциале U(r) (причем U(r) —» 0 при г —» оо) связанного
состояния частицы. Применить полученное условие к потенциалам, рассмотренным
в 4.8, и сравнить с точными результатами и с необходимым условием существования
связанного состояния из 4.21.
Решение. Найдем среднее значение энергии частицы10' (С2 = х}/я из условия нормировки
пробной функции):
2 2 °°
2т J
r dr,
о
Так как Ео < Е(х) (Ео_— основной уровень частицы), то если при каком-либо значении
параметра х ^ 0 будет Е(к) ^ 0, то в рассматриваемом потенциале заведомо имеется хотя бы
одно состояние д. с. (потенциал связывает частицу). Поэтому искомое условие принимает вид
тах{х У IffWIiV1"- dr J > ~ A)
о
(использование здесь максимального значения соответствует оптимальному выбору параме-
параметра у.)
Для потенциала U = -а 6(г — а) условие A) принимает вид
тах{а«а3е"ь<°} > —, или ? = -^- >^~ 0,68,
в то время как точное и совпадающее с ним необходимое условие ? ^ 1/2.
Для потенциала из 4.8 б) согласно A) получаем
та»СГ. 27
точное условие ? ^ 0,72 а необходимое { > 1/2.
Отметим, что довольно существенное отличие результатов вариационного расчета {
от точных значений связано с крайне простым выбором пробной волновой функции.
8.28. Пусть Фо с о = 0,1,..., N — 1 представляет собой некоторую систему из N
взаимно ортогональных, нормированных на единицу волновых функций, а Ел —
средние значения гамильтониана П в таких состояниях. Показать, что
N-l N-\
?Д,^5><°>, A)
о=0 п=0
'"'Так как для решения задачи важен лишь знак ?(х), то нормировать пробную функцию необяза-
необязательно.

210 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
где Е„ — точные энергетические уровни для указанного гамильтониана, и сумми-
суммирование по ним (в порядке увеличения энергии) проводится с учетом кратности их
вырождения.
Решение. Рассмотрим следующую сумму:
1|я|*.> = ^ХХ B)
Выполнив здесь разложение волновых функций Фо = ^С0„Ф„ по с. ф. гамильтониана Н,
приходим к соотношению
|2 =
Важным свойством коэффициентов разложения Соп, кроме очевидного $3|С<„,|2 = I,
является то, что для них
с--0
Это свойство коэффициентов Сс„ является следствием взаимной ортогональности волновых
функций Ф„. Действительно, из условия (*tl*«) = 4>» имеем
Е С«»Сь = 6ui.
Умножив это соотношение на С'^Сы и выполнив суммирование по а и Ь, находим
ЛГ-1
Е i
» ЛГ-1 2 ,N-\ v2 W-I
i^i1 = Е Е с««с«" = (Е 1С-»'П + Е' Е <?«<?:
E)
где штрих у суммы означает отсутствие в ней слагаемого с п = п'. Отсюда, очевидно, и следует
обсуждаемое неравенство.
Теперь заметим, что левая часть в C) может быть записана в виде
В ш ? «,„??>, где wn = 1 ? |С0„|2, (б)
причем шп является некоторым нормированным на 1 распределением вероятностей, ^2и/„ = 1,
оля которого согласно D) и>п ^ \/N. В этом случае, очевидно, •
где ^i"' с п = 0,1,...,ЛГ — 1 являются значениями энергии нижних N состояний, как
и в правой части соотношения A); из C) и G) следует рассматриваемое неравенство"' A).
В заключение отметим, что результат задачи является обобщением соотношения Е > Ео,
лежащего в основе вариационного метода расчета энергии основного состояния, на случай
возбужденных состояний. Существенно, что в нем фигурируют пробные функции, обладаю-
обладающие лишь взаимной ортогональностью (при этом не требуется их ортогональность точным
собственным функциям гамильтониана, отвечающим более низким уровням энергии).
1 '* Равенство в A) реализуется только в том случае, если функции Ф„ совпадают с точными волновыми
функциями *„ .

§3. Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр) 211
§ 3. Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр)
8.29. Основываясь на результате задачи 2.42, получить выражение для амплитуды от-
отраженной волны в короткодействующем потенциале U(x) (U(x) —» 0 при х —» ±оо)
в первых двух порядках теории возмущений. Обсудить условия применимости те-
теории возмущений для вычисления коэффициента отражения частицы. Рассмотреть
приложения полученных результатов к конкретным потенциалам:
a) U = a6(x);
е~Ф при х>0'
\ О при х < 0;
в) U = Uoch-7x/a;
г) U = {/oe-l2/°!
и сравнить с точными решениями.
Решение. Из уравнения Шрёдингера, записанного в интегральной форме
+00
^ М*-^Щх')*;(х') <**', A)
следует выражение для амплитуды отраженной волны
определяющей коэффициент отражения частиц R = \А\2, см. 2.42.
Решение уравнения A) в виде ряда по степеням потенциала (кратности взаимодействия)
дает, очевидно,
л») _ .'pi/»
w, - е ,
оо
*'" = ~ ГГ| / «Р f Г (W I* - *'1 + рх') } Щх') dx'. C)
-ел
Соответственно имеем аналогичное разложение и для амплитуды А(р) = А(|) + А<2) +...,
где
= - ^ Jf ехр | i (рх' + рх + |р| |Ж - х'\)
-00
Вводя фурье-компоненту потенциала

212 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
и используя соотношение (Д1.3), формулы D) удобно записать в виде
U(p-q)U(p + q)dq P>
f
q2-p2-ie
(с > 0 — бесконечно малая величина). На основе этих выражений, отражающих структуру
ряда теории возмущений для А(р), можно сделать следующие заключения относительно ее
применимости.
1) Теория возмущений заведомо неприменима при р — 0, т.е. для медленных частиц.
Это неудивительно: согласно 2.39, имеем Я -¦ 1 при р -> 0, а применимость теории
возмущений предполагает Ж 1.
2) Обозначив через Ua » а характерные величину и радиус потенциала, замечаем, что
в случае pa/h < I (т. е. для не слишком быстрых частиц, при этом U(p) ~ Uoa) применимость
теории возмущений предполагает выполнение условия
при котором как |ф^| « |ф^|, так и \Ат\ < \Л11)\.
3) В случае быстрых частиц, р —» со, хотя искажение волновой функции ф? по сравне-
сравнению с в. ф. Ф,0' всегда мало, вопрос о применимости теории возмущений (и о сходимости
ряда для А(р) вообще) существенно связан с характером убывания U(jp) при р —» со.
Как видно из E), при законе убывания U(p), удовлетворяющем условию
|?/(р)|>Сехр{-а|р|"}, |р|-|оо
с t/ < 1 (т. е. более медленном, чем экспоненциальное « e'°w) интеграл в E) убывает быстрее,
чем UBp) и соответственно |А'2*|/|А(|^| -¦ 0 при р -* со (аналогичное условие имеет место
и для членов Л(п) более высоких порядков). Это означает, что при р -> со теория возмущений
применима и ряд для А(р) сходится при любом значении Uo.
В случае закона убывания
т.е. более быстрого, чем экспоненциальное e"°w, наоборот, интеграл в E) убывает более
медленно, чем UBp) (см. ниже случай г)), так что |4B)|/|Л(|)| -» со и ряд теории возмущений
расходится.
_ Отметим, что переходным между рассмотренными случаями является режим убывания
U(p) ex \p\ye~alpi с 7 = 1: при 7 > ' теория возмущений применима, а при 7 < ' > наоборот,
уже неприменима. В случае же 7 = 1 интеграл в E) убывает так же, как и UBp). При этом
вопрос о применимости теории возмущений и сходимости ряда для А{р) зависит от числового
значения параметра ma2Uo/h2.
Рассмотрим приложения теории возмущений к конкретным потенциалам, указанным
в условии задачи.
а) Для 6- потенциала, согласно D), находим
А ~ h\p\' Л ~ ду G)
что полезно сравнить с разложением точного выражения для амплитуды, см. 2.30:
ima ima m2a2
й|р| + irao ft|p| rfp1

§ 3. Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр) 213
В согласии с F) теория возмущений применима при та •€ hp (для j-потенциала а = О,
a Uoa ~ а); ряд теории возмущений для А(р) является сходящимся при выполнении
условия ma/hp < 1.
Для расчета амплитуды А(р) в остальных случаях будем считать р > 0 и, учитывая
симметричность подынтегральной функции в формуле D), перепишем ее 8 виде
б) Для указанного в условии потенциала элементарное интегрирование в выражениях D)
и (8) дает
V1
_ А
hp(l-2ipa/h)' fi2p2(l - ipa/h){\ - 2ipa/h)' K>
Как видно, при pa/h ~ I, условие применимости теории возмущений, |л'2'|/|л'''| <S I,
совпадает с F). Ввиду степенного убывания U(p) теория возмущений применима и при р —>
со, при этом параметром разложения является тЩ/р2. Для рассматриваемого потенциала
точное значение амплитуды
где k =p/h, { = Bmo2t/0/ft2) . -Мг) ~ функция Бесселя.
в) Для потенциала V = Щ ch ~2(x/a) в первом порядке теории возмущений
e2lJ>l/*
imU0
Интеграл вычисляется с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю
полуплоскость комплексной переменной х. Особыми точками подынтегральной функции —
полюсами второго порядка — являются г„ = ia (irn + тг/2), где п = О, I,..., а > 0. Так как
при х —> х„ имеем
и соответственно при этом
ch2(z/a)
то суммарный вклад всех полюсов оказывается равным
(члены ряда представляют геометрическую прогрессию).
Далее, интеграл в выражении для А*2', согласно (8) принимает вид
я = Jjng, j l_ Г 2? . | rfi
й2рг У ch3(^/<») I Л oj
-00
и в результате простых преобразований может быть выражен через интеграл A1), что позволяет
получить
Сравнение A2) и A4) показывает, что при pa/h ~ 1 применимость теории возмущений,
как и следует, предполагает выполнение условия F). Что же касается случая pa/h > 1, то

214 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
теория возмущений применима лишь при условии Uo < Нг/таг. Такая ситуация отлича-
отличается от имевшей место для двух предыдущих потенциалов и связана с экспоненциальным
убыванием {/(р) ос ре'ЖТ°11> при р — со. Отметим, что данный потенциал допускает точное
вычисление А(р), см. A, §25]; на основании этого результата легко прийти к заключению,
что при |Уо| > й'/8то2 ряд теории возмущений является расходящимся даже при р -> со.
г) Для потенциала V = U<,e~* I<L получаем
Для вычисления, согласно (S), амплитуды второго приближения в случае быстрых частиц,
р > h/a, замечаем, что в интеграле по q доминирующую роль играет область q ? ft/a (вклад
от остальной области несуществен из-за экспоненциального убывания подынтегральной
функции), так что в знаменателе можно положить q = Q. После этого интеграл легко
вычисляется, что позволяет получить
тгаи1 Г pV
Сравнение с A5) показывает, что |^|2)|/|4(|)| -» со при р —• со и теория возмущений
для быстрых частиц неприменима (ряд для А{р) при этом является расходящимся).
В заключение подчеркнем, что отмеченная в этой задаче различная роль высших
порядков теории возмущений по взаимодействию при р —• оо в зависимости от закона убы-
убывания U(p) отражает общую физическую ситуацию: при «медленном» убывании U(p) (грубо
говоря, в случае \U\ > Се""') большое изменение импульса частицы происходит в результате
однократного взаимодействия, а при «быстром» убывании — в результате большого числа
актов взаимодействия, каждый из которых сопровождается уже сравнительно небольшим
изменением импульса, сравнить с результатами 4.18 и 13.84.
8.30. Найти коэффициент отражения R(E) для быстрых частиц в случае потенциа-
потенциала U(x), имеющего скачок в точке х = 0 (рис. 26). Обобщить полученный результат
на случай, когда потенциал имеет разрывы в нескольких точ-
точках. Применить его к потенциалу из 8.29, б) и к прямоуголь-
прямоугольному барьеру из 2.31; сравнить с асимптотикой при Е —» оо
точного выражения для R(E), см. также 9.27.
Решение. Фурье-компоненту потенциала, определяющую ампли-
амплитуду отраженной волны ЛA), согласно формуле D), из предыду-
предыдущей задачи, преобразуем к виду
A)
(для этого следует записать t'fce'*1 = де'к'/9х и выполнить интегрирование по частям). Для
разрывного в точке 1 = 0 потенциала производная V'(x) содержит слагаемое (Ui - UtN(x)
с {-функцией, которое и определяет асимптотику
- ЦЦг -1/,)
(J гы — ЛрИ К ~^ 00
(при этом вклад остальной области интегрирования несуществен из-за быстрой осцилляции
подынтегральной функции). Соответственно
а обобщение этой формулы на случай потенциала с разрывами в нескольких точках хя имеет
вид
„з 1
р-со, C)

§ 3. Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр) 215
где AUn — скачок потенциала в соответствующей точке хп; подчеркнем, что для разрывных
потенциалов R « l/р* при р-юо.
Согласно B) и C), находим коэффициенты отражения
2) R«
—2- sin2 ^-
Р4 \А
1)Д«2; 2) R« —
V Р
для потенциала из 8.29 6) и для прямоугольного потенциала соответственно, которые со-
совпадают, естественно, с асимптотиками точных выражений для R(p) при р —» со. В связи
с данной задачей см. также 8.31.
8.31. То же, что и в предыдущей задаче, но в случае, когда потенциал имеет излом
в точке 1=0 (рис.27) или изломы в нескольких точках хп. Применить полученный
U(x\k результат к параболическому барьеру вида U(x) = ЩA -
х2/а2) при |z| < в и U(x) = 0 при |х| > а.
Решение. Аналогично формуле A) предыдущей задачи, получаем
'U"(X)dx. A)
В случае потенциала, имеющего излом, производная U'(x) разры-
Рис.27 ВНЗ) а и"(х) содержит *-функционное слагаемое вида -AFS(x),
где -UF = U'@+) - U'@-) •— скачок производной потенциала
в точке излома, которое и определяет асимптотику А*1'. Коэффициент отражения для
потенциала, имеющего изломы в нескольких точках х„, при р —> со равен
m2fi2 I2
так что при этом R(p) a l/р6. В приложении к параболическому барьеру формула B) дает
fl jr \ П /
В заключение сделаем замечание о связи асимптотики при р -> со коэффициента
отражения с аналитическими свойствами потенциальной энергии U(x) как функции пере-
переменной х. Если потенциал имеет особые точки (сингулярности) на вещественной оси х, то
Л(р) убывает степенным образом. При этом чем слабее сингулярность, тем убывание более
быстрое; сравнить результаты данной и предыдущей задач. Если же U(x) не имеет особых
точек на вещественной оси х (бесконечнократно дифференцируемая функция), то R(p)
убывает экспоненциально, см. также 4.18.
8.32. Как известно, энергетический спектр частицы в периодическом потенциале
имеет зонную структуру. Для такого одномерного потенциала (U(x + а) = U{x)),
рассматриваемого как возмущение, найти спектр En(q), здесь п — номер зоны, hq —
квазиимпульс (при этом -т/а ^ q < ir/a). Указать связь импульса hk свободной
частицы с квазиимпульсом hq и правильные собственные функции нулевого при-
приближения Фп|7(ат). Найти величину щели между соседними энергетическими зонами.
Рассмотреть приложения полученных результатов к потенциалу из 2.53.
Решение. Ввиду известного соотношения для функций Блоха — собственных функций
гамильтониана
"'* "'' а а
достаточно рассмотреть решение у. Ш. лишь на отрезке 0 < х < а:
Ф'п Лх) + и(х)9„ Ах) = В„ФП Лх). B)
2m r .ч i .»

216
Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
При этом A) выступает как своеобразное граничное условие, определяющее самосопряженное
расширение12' эрмитова оператора рг/2т + U(x) на этом отрезке (для каждого значения q),
см. 1.29. При фиксированном q спектр ?„(<?) дискретный, а непрерывная зависимость его
от q приводит к зонной структуре спектра в целом.
В пренебрежении U(x) решение уравнения B) дает невозмущенные с. ф и с. з.
Произведем, имея в виду соотношение A), их классификацию по значениям квазиимпульса q
(и номера п зоны). Замечая, что к = 2пз/а + q, где з = 0, ±1,..., нетрудно получить
й2 /тгп
2го \ а
C)
"'¦>¦'
Этот спектр «собран» из участков невозмущенного спектра Ек , см. штриховые линии
на рис.28, так что соседние зоны касаются друг друга (нет запрещенных значений Е). Связь
импульса свободной частицы с квазиимпульсом определяется соотношением
к =
fc =
— + я, ?>о,
ttn
-— + 9, g<0,
"=0,2,4,...,
+ 9. 9>0,
I
¦ + q, ? < О,
п = 1,3,5,...,
Dа)
D6)
из которых следует явный вид
творяющих условию A).
\
\
\
\
X
\
\
\
\
\
>
\
/
/
¦f
\
\
\
/
/
/
/
/
/
\
\
\
\
\
\
V
n-2
/
/
/
/
i
n-\i
f
/
/
/
n=0
-л/а О л/а
Рис.28
!,, = е'кг/</а невозмущенных с. ф. гамильтониана, удовле-
удовлеИз выражений C) или D), см. также рис. 28, видно,
что при фиксированном q невозмущенные уровни Е„ (q)
разделены, вообще говоря, конечным интервалом. Поэтому
для вычисления их сдвигов под влиянием U(x) можно
воспользоваться формулами (V11I.1) теории возмущений
в отсутствие вырождения. В частности, поправка первого
порядка
E)
(в этом приближении сдвиг одинаков для всех значений п
и q)). Условием применимости (S) является
\E^(q)-E^(q)\» ?<"(?).
Как видно из C) и рис. 28, оно нарушается при следу-
следующих значениях q: I) q я 0 и 2) q а ±аг/о, когда проис-
происходит касание соседних энергетических зон при значениях
|2' Фактически речь идет о наложении двух граничных условий'
в соответствии с тем, что индексы дефекта этого оператора суть B,2).

§ 3. Стационарная теория возмущений (непрерывный спектр/ 217
энергии, равных соответственно
причем здесь в обоих случаях п = I, 3,5,....
При указанных выше значениях q для вычисления сдвигов ?« (д) следует использовать
теорию возмущений для близких уровней, сравнить с 8.6. Теперь, как и в случае строгого
вырождения уровней, возмущение сильно «перепутывает» иевозмущенные с. ф. с близкими
энергиями, так что
?>,.,(*); » = о,1,2 F)
Возмущенные уровни и коэффициенты С|,2, определяющие правильные функции нулевого
приближения, находятся так же, как и в теории возмущений при наличии вырождения.
Секулярное уравнение принимает вид
U + Е{°\д)-Е 1/„,„+, ={)
С.,,,. U + E{ZM)-E '
здесь учтено значение E) для 1>„„. В матричном элементе и„+1„ можно воспользоваться
с. ф. Ф^'п+|) ,(*) ПРИ значении q, отвечающем непосредственно условию совпадения рас-
рассматриваемых уровней. Значения соответствующих импульсов равны hk = ±п(п + \)h/a
(подчеркнем, что обсуждается случай пересечения п и п + 1 зон), так что в G)
\и„.
f expl±2ix(n+ \)-\
I'.: .;¦¦¦: \)-_)и(х)*х
= Д. («)
(от выбора знака ± величина Д„ не зависит).
Решение уравнения G) дает
(знак (-) отвечает нижней зоне г», а (+) — верхней зоне п + 1). График зависимости Е„(д),
согласно C), E) и (9), представлен на рис.28 (сплошная линия, причем для определенности
выбрано U = 0). Учет взаимодействия приводит к появлению зонной структуры с энергети-
энергетической щелью в спектре. Ширина щели — расстояние между соседними зонами п и п + 1 —
равна 2 Д„. Коэффициенты C,i3 в F) находятся обычным образом:
(два значения Е здесь определяются соотношением (9)). В частности, непосредственно в точке
кваэипересечения невозмущенных уровней С\ = ±С? = 1/л/5.
Отметим, что при таком удалении (с изменением q) от точки квазипересечения, при
котором
из (9) следует
(И)
Последний член здесь является частью поправки второго порядка теории возмущений,
соответствующей учету в (VIII.1) лишь одного слагаемого, отвечающего ближайшему уровню.
Воспользовавшись явным выражением для Е„, формулу (9) можно переписать в бо-
более наглядном виде. Так, в случае, когда в (9) для нижней зоны значение п нечетное
(квазипересечение уровней при q = 0), имеем
у^
A2)

218 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
где *„ = ir(n + \)/а, п = 1,3, При \q\ <? т Д„/Л2ЛП отсюда следует13'
V. 03)
В случае, когда для нижней зоны значение п четное и квазипересечение уровней имеет
место при q = ±*/а, получаем аналогичные A2) и A3) выражения, но уже с п = 0,2,...,
с единственной заменой в них \q\ на п/а - \q\. _
В заключение отметим, что в применении к потенциалу из 2.53 имеем U = а, и Д„ = \а\,
так что энергетическая щель межлу соседними зонами принимает постоянное значение (не за-
зависит от п; здесь проявляется специфика i-потенциала, для любого другого Д„ -+ 0
при п —• со). В то же время ширина разрешенной зоны растет «пс увеличением п.
§ 4. Нестационарная теория возмущений.
Переходы в непрерывном спектре
8.33. Заряженный линейный осциллятор подвергается воздействию однородного
электрическое поля, изменяющегося во времени по закону:
а) {22}
б)
в) <fi(t) = 4 exp {-t2/r2} cosu>o<.
Считая, что до включения поля (при t —> -со) осциллятор находился в n-м квантовом
состоянии, найти в первом порядке теории возмущений вероятности возбуждения
различных его состояний при t —» +оо. Для случая п — 0 сравнить полученный
результат с точным, см. 6.25.
Решение. Возмущение осциллятора имеет вил V = — ex?(t). Его матричные элементы
а соответственно и вероятности переходов осциллятора в первом порядке теории возмущений
отличны от нуля лишь для значений к = п ± 1, см. (ИЗ) (переходы возникают только между
соседними уровнями). Воспользовавшись формулой (VIII.9), получаем
, * = " + '' 0)
п, к = п-\, w
где Цш) = f еш16(Ь) dt (заметим, что il(w)|2 не зависит от знака c
-X
Для рассматриваемых зависимостей ${?) находим (г > 0):
ос
ехр 11« j > dt = •A-r<%exp I — \,
-К
У)
б) /(«) =,% J «"*,+*/г)» = «-«И"*.
в) I(w) = <^i / ехр < iu/t j > cos (woO <Я =
=-ч/5гт<% jexp --(u>-wo)V +exp --(« + im)V |.
'¦" ООрашаем внимание на квадратичную зависимость от квазиимпульса энергии вблизи границы зоны:
Я(?)-.В<0) ос?2.

§4. Нестационарная теория возмущений 219
Основным условием применимости полученных по теории возмущений результатов
является выполнение неравенства (VIII.3), принимающего в данной задаче вид
Для нерезонансного возмущения это условие обеспечивает малость вероятностей перехо-
переходов, W(l)(n -» к) < 1. В случае же слабого резонансного воздействия (см. в)) условие
малости вероятности перехода накладывает ограничение на время действия возмущения.
Отметим, что при медленном включении и выключении постоянного поля, т. е.
при г -» оо, вероятности переходов стремятся к нулю14' (однако в случае в) при ш -» ш0 они
с ростом г, наоборот, возрастают, что связано с резонансным характером действия поля).
8.34. На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d, накладывается однородное,
переменное во времени электрическое поле ?(t) = S{t) по. До включения поля
ротатор имел определенное значение энергии и проекции момента т. Вычислить
в первом порядке теории возмущений вероятности различных значений проекции
момента и энергии ротатора при t —* +оо. Рассмотреть конкретные зависимости S(t),
указанные в предыдущей задаче.
Решение. Возмущение ротатора имеет вид V = -dS(t) cosy (<p — угол между осью ротатора
и направлением электрического поля). Матричные элементы возмущения отличны от нуля
лишь при m' = m ± 1 и равны при этом
v, -
см. 8.8. Соответственно в первом порядке теории возмущений возникают переходы лишь
на соседние по энергии уровни, их вероятности
m' = m±i. A)
Значения интеграла в A) приведены в предыдущей задаче; следует только учесть, что теперь
значения частот перехода и>т-т равны A ± 2tn)h/2I для т' = т ± I. В связи с условиями
применимости полученного результата см. 8.33.
8.35. Тоже, что и в предыдущей задаче, но для сферического ротатора. До включения
электрического поля ротатор находился в состоянии с квантовыми числами 1,1г — т;
поле направлено вдоль оси z.
Решение. Возмущение ротатора V = -dfi(t)cosO. Используя значения матричных элемен-
элементов Vkn из 8.11 (где рассматривался случай стационарного поля), по формуле (VIII.9) получаем
W(I}A, m - I'm) = -,
h
В первом порядке теории возмущений возникают переходы лишь на соседние по энергии
уровни, при этом из-за сохранения 1г значение т не изменяется. Частоты переходов равны:
W/+I.I = j
Значения интеграла в (I) приведены в 8.33.
м| Это утверждение при адиабатических воздействиях на систему сохраняется и в случае достаточно
сильных полей, см. 8.54 и 8.SS.

220 Глава В. Теория возмущений. Вариационный метод
8.36. В условиях задачи 8.34 рассмотреть переходы ротатора в случае, когда вектор
электрического поля вращается в плоскости вращения ротатора с угловой скоро-
скоростью wo, так что 6Х = (f(()cosa>o<, Sy = &{t) sinw^t. Обратить внимание на возмож-
возможность существенного возрастания вероятности перехода даже в случае «плавной»
зависимости S(t) вида о) и б) из 8.33.
Решение. Рассматривая взаимодействие ротатора с полем как возмущение
V = -ЛЩ = -dS{t) cos (<p - wat),
нетрудно заметить, что результаты для вероятностей переходов ротатора во вращающемся
поле получаются непосредственно из формулы A) задачи 8.34 заменой фигурирующего в ней
интеграла на
/ Щ ехр {«(шт.т + вш0 - m'uo)t} dl.
Существенно, однако, что теперь вероятность перехода определяется фурье-компонентой
поля 6A) с частотой
ш„'т = ш„'т + (т - т) w0,
которая при соответствующем значении ш0 может быть малой. При этом вероятность та-
такого перехода при большой длительности действия поля может резко возрасти. Возник-
Возникновение резонансной ситуации легко понять, если перейти во вращающуюся совместно
с полем систему координат, см. 6.29. В этой системе уровни энергии нсвозмушенного рота-
ротатора, Ev т = Ет — Лшот, с различными значениями проекции момента m могут оказаться
вырожденными, и медленно изменяющееся во времени возмущение может привести (при до-
достаточной его длительности) к существенным переходам между соответствующими состояни-
состояниями, см 8.40. В связи с этим заметим, что значение wm'm как раз и представляет собой частоту
перехода для рассматриваемых состояний ротатора во вращающейся системе координат.
Подчеркнем, что сделанное замечание о переходах, вызываемых возмущением, источники
которого «вращаются» с постоянной угловой скоростью, носит достаточно общий характер.
8.37. Получить выражения для волновой функции и амплитуды перехода систе-
системы из начального (при t —» -со) n-го состояния дискретного спектра в конечное
(при t —> +oo) fc-e во втором порядке нестационарной теории возмущений. Предпола-
Предполагается, что возмущение при t —» ±оо отсутствует.
Решение. Исходим из формул (VUI.6)-(VIII.9), отражающих постановку задачи и ее решение
в первом порядке теории возмущений. При этом
где значения амплитуд первого приближения а^(<) определяются формулой (VIII.8). Подста-
Подставив их в уравнение (VIII.7), получаем
Отсюда, воспользовавшись (V1II.8) и учтя, что о^(-со) = 0, находим
«12„(@ = "jjl ? / VUOe""-' J Vmn(t'Y»"f dl" df. (I)
m -x -x
Вероятность перехода системы из начального n-го в конечное fc-e (при t = +оо)
состояние равна (fc Ф п )
(r» - fc) = \atn(t = +oo)|2 = |а^(оо) + а'2„>(оо) + .. .|2.

§4. Нестационарная теория возмущений 221
Если ai'n(oo) = 0, то
JVB»(n-.fc) = |aS(oo)|2,
определяет вероятность соответствующего перехода, запрещенного в первом порядке теории
возмущений.
8.38. В условиях задачи 8.33 найти во втором порядке теории возмущений веро-
вероятности переходов осциллятора, запрещенных в первом порядке'4. Сравнить их
с wW(n -» к).
Решение. Из выражения A) предыдущей задачи с учетом значений матричных элементов воз-
возмущения V = —e<l?(t)x для осциллятора, см. (II.3), следует, что во втором порядке появляются
переходы осциллятора из начального n-го состояния в конечные состояния с квантовыми
числами п± 2, запрещенные в первом порядке теории возмущений, см. S.33. При этом сумма
в указанном выражении сводится лишь к одному слагаемому, соответственно с m = n ± 1.
Фигурирующие в этом слагаемом частоты переходов совпадают: шкт = шт„ = ±и> (ввиду
эквидистантности уровней осциллятора), что позволяет упростить интегрирование, так как
t 00 -
В результате описанных преобразований получаем
Вероятности рассматриваемых переходов
Сравнение их с вероятностями переходов, происходящих в первом порядке теории воз-
возмущений, см. 8.33, показывает, что W{2) ~ [W{])]2; соответственно Wm/Ww ~ И'"' < I
в условиях применимости теории возмущений.
8.39. Если воспользоваться выражением (VIII.8), то для вероятности Wn = |а„„(+оо)|2
остаться системе в первоначальном n-м состоянии получится Wn > 1, что противо-
противоречит сохранению нормировки волновой функции. Объяснить возникающий парадокс
и получить закон сохранения нормировки волновой функции с учетом переходов
в первом порядке теории возмущений.
Решение. Парадокса, в действительности, нет. Следует просто иметь в виду, что для вычисле-
вычисления квадрата модуля величины а = I+a(l) + aB) + ..., представляющей собой разложение вряд
по некоторому малому параметру V < I (так что |о(л>| ~ У"), с точностью до членов второго
порядка малости включительно, с такой же точностью необходимо знать и вещественную
часть"* а, так как
|o2| = l+2Rea<'> + |a">|2 + 2Rca">+O(K3)) |a<"|2 ~ Reo<2> ~ V2
(о!„ согласно (VIII.8) — мнимая величина).
|5) То есть таких переходов, для которых W(l)(n -> к) -¦ 0.
"' Мнимую же часть а достаточно знать лишь в первом порядке!

222 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Обсудим теперь вопрос о сохранении нормировки волновой функции системы с учетом
переходов в первом поряаке теории возмущений. Согласно формуле A) из задачи 8.37 имеем
ann(t = +оо) » I - i У Ц.(«)« - jjf ]? У К,т(<)е"""' J VM{ty~e it Л,
m
-ос
так что вероятность системе остаться при ( -» +оо в исходном n-м состоянии с точностью
до членов второго порядка по возмущению включительно
ос _ ос I
W? = |апв(оо)|2 = 1 + 1 [У Vnn(t) <й] -^ {Е У KmWe1""' У *Ut>""--' Л' Л+к. с.}
m
(к. с. означает слагаемое, получающееся комплексным сопряжением предшествующего слага-
слагаемого). Учитывая, что штп = -wnm» К1я@ — Kim (О И используя соотношение
выражение A) легко преобразовать к искомому виду
где штрих у символа суммы означает отсутствие в ней слагаемого с m = п.
8.40. На систему, находящуюся при ? —¦ —оо в П|-м квантовом состоянии, отно-
относящемся к двукратно вырожденному уровню Е„ гамильтониана Но, накладыва-
накладывается зависящее от времени возмущение V(t). Найти волновую функцию системы
в «нулевом» приближении в произвольный момент времени. Считать, что диаго-
диагональные матричные элементы для вырожденных состояний удовлетворяют условию
Vn,n, — Ущщ = 0 (это имеет место, например, в случае, когда состояния |Л|>2) облада-
обладают определенной, причем противоположной четностью, а возмущение пропорциональ-
пропорционально дипольному моменту системы). Как теперь надо модифицировать формулу (VIII.8),
определяющую амплитуды переходов с изменением энергии состояния?
Решение. Хотя переходы системы в состояния, отличающиеся от исходного по энергии, ма-
малы, переходы между состояниями, относящимися к вырожденному уровню при достаточной
длительности возмущения могут быть существенными. Возникающая ситуация аналогична
случаю резонансного воздействия возмущения на систему, см. |1, §40|, и может рассматри-
рассматриваться формально как случай точного резонанса на частоте и = 0. Учитывая возможность
переходов между вырожденными состояниями (не предполагая малости их вероятностей),
запишем волновую функцию системы в нулевом приближении d виде, сравнить с (VIII.6),
Ф@=[а,(ОФA0> + о2(ОФ<2°)]е""'-'
(для краткости записи пишем 1,2 вместо п\<2)- Как обычно, получаем систему уравнений
«fid, = f(i)a2, ihd2 = /(l)o,. (I)
Здесь учтено, что Vnn = 0, и введено обозначение Vt2 = f(t), причем функция f(t) считается
вещественной. Из (I) следует
-(а,±о2) = т

§ 4. Нестационарная теория возмущений 223
Отсюда с учетом начальных условий (при t = -co) находим
t
f B)
(эти результаты при { <? 1 согласуются с (VIII.8)).
Теперь обобщение выражения (VIII.8) для амплитуд переходов в состояния с отличной
от исходной энергией представляется очевидным и имеет вид
В заключение обратим внимание на осциллирующий характер временнбй зависимости
как амплитуд as,j(<), так и вероятностей переходов, возникающий даже в случае слабого возму-
возмущения при его большой длительности. Заметим также, что согласно A), суперпозиции |1)±|2)
исходных состояний являются диагональными (между ними нет переходов). Появление таких
независимых состояний связано с тем, что при решении задачи были использованы опреде-
определенные ограничения на значения матричных элементов возмущения Vab (см. комментарий
в связи с системой уравнений A)).
8.41. Для периодического во времени возмущения, V(q,t + Т) = V(q,t), действу-
действующего на систему, найти волновые функции квазиэнергетических состояний|7> (КЭС)
в нулевом приближении и спектр квазиэнергии в первом порядке теории возму-
возмущений. Энергетический спектр невозмущенного гамильтониана считать дискретным
и не содержащим уровней, отвечающих резонансному переходу: Еп - Ек' ф ±hw
сш = 2v/T (в связи с этим см. 8.43).
Решение. Запишем в. ф. КЭС в виде разложения
?>О = { } {
(штрих у символа суммы означает отсутствие слагаемого с к = п). Здесь Ei и Ф» — с. з.
и с. ф. невозмущенного гамильтониана, с которыми совпадают квазиэнергия и в. ф. КЭС
в нулевом приближении. Коэффициенты разложения являются периодическими функция-
функциями, в частности, c»(f +Т) — Cn(t). Подставив A) в у. Ш., умножив его слева на ф!,0)'(<)
и проинтегрировав по координатам, получаем, ограничиваясь членами первого приближения:
ihUt) + «4'4W = V-.We.W- B)
Отсюда
СМ = со ехр {1 (е<°* - j V..@ Л') }. C)
о
Значение е» — поправки первого порядка в квазиэнергии, определяется из условия пе-
периодичности cn(t). Вводя V^n(() — среднее значение матричного элемента возмущения,
перепишем показатель экспоненты в C) в виде
i
о
Так как интегральное слагаемое здесь является периодической функцией, то условие перио-
периодичности c,(i) дает
?С) _ \rnn(t). D)
"' См. подстрочное примечание на с. 164.

224 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Таким образом, значение квазиэнергии в первом порядке теории возмущений, е„ ~ Е„ +е|> ,
совпадает со средним за период значением энергии уровня «мгновенного» гамильтониана,
En(t) = Ек + Vnn(t), в том же приближении (сравнить с результатом 8.56 для случая
адиабатического изменения гамильтониана системы)
8.42. В условиях предыдущей задачи найти поправку второго приближения к ква-
эиэнергии в случае, когда Vnn(t) = 0. Специально обсудить временную зависимость
возмущения вида V = V(q) cos wt и рассмотреть при этом предельные случаи w —» 0
и ш —> оо. Получить выражение для динамической поляризуемости уровней в элек-
электрическом поле линейно поляризованной монохроматической волны, V — -(Mo coswt,
и найти ее для осциллятора.
Указание. Для системы в электрическом поле линейно поляризованной волны динами-
динамическая поляризуемость Р„(ш) связана с поправкой второго приближения в квазиэнергии
соотношением|!)
Решение. 1) Запишем волновую функцию КЭС в виде (сравнить с предыдущей задачей,
ниже полагаем Л = 1)
_ w
1 t '
при этом в рамках теории возмущений
Подставив A) в у. Ш. и умножив его слева'9' на (^\ с k ^ п, как обычно, находим
в первом приближении (шкп = Е^ - Е®):
Общее решение этого уравнения имеет вид
i
«ЙЮ = в4"' (<й<0) - i J УЫ«У*< Л'). B)
о
Значение постоянной с„4'@) находится из условия периодичности c?l(t + Т) = c^l(t) и равно
*•'%-(О * C)
(соотношения B) и C) будут использованы ниже для определения поправки второго прибли-
приближения для квазиэнергии).
Умножив теперь у. Ш на (Ф„ |, находим для членов первого порядка по возмущению
' ' Появление здесь дополнительного, по сравнению со статическим случаем, множителя 1/2 связано
со средним значением cos2o/? = 1/2, сравнить с 8.56.
|ч'Такая символическая запись означает умножение на *i (?) и последующее интегрирование
по коорлинатам.

§4. Нестационарная теория возмущений 225
Дальнейшие вычисления проведем для случая Vnn = 0. При этом cl = itfi + ci''@)
и из условия периодичности следует ej, = 0 (сравнить с предыдущей задачей). Значение же
постоянной можно выбрать ci^O) = 0 (выбор другого значения соответствует изменению
нормировки и фазы в. ф. A) и не отражается на ее зависимости от q и t), так что ci'V) = 0.
Для членов второго порядка теории возмущений, возникающих при умножении у. Ш.
на (ф!,0)|, получаем
t
где с^ определяются формулами B) и C). Отсюда
E)
при этом постоянную cf, @) можно опустить, как и с!,"@) выше.
Значение ei находится из условия периодичности коэффициента с?(t). Имея в виду,
что, как Vnt(() и ef,t(O> TiK и т произведение в E) являются периодическими функциями
с периодом Т, находим искомую поправку:
F)
Используя эрмитовость оператора возмущения, нетрудно заметить (при шк„ Ф 2*N/T),
что выражение в фигурных скобках является чисто мнимым, а е„ — вещественным.
Если Vkn(q,t) = Vin({) (т.е. возмущение не зависит от времени), то F) переходит в обычную
формулу стационарной теории возмущений (VIII. 1) для сдвига уровня во втором порядке.
2) В случае гармонического возмущения вида V = V(q) coswt cw = 2ir/T, выражение (б)
существенно упрощается:
Обсудим этот случай более подробно.
Прежде всего отметим, что при ш —> 0 выражение G) лишь множителем 1/2 отличается
от обычной формулы стационарной теории возмущений для V = V(q). Это соответствуеттому,
что ?п' получается как результат усреднения поправки второго приближения Е„ (t) а соб2ш(
для «мгновенного» возмущения V(q) coswt, при котором cos2(w() = 1/2 (и наглядно следует
из адиабатического приближения, см. 8.S6). В противоположном предельном случае ш —* оо
из G) вытекает, что ?„ ос 1/ш2 (см. ниже формулу A0)).
В важном частном случае системы заряженных частиц в поле электромагнитной волны,
когда V = -^odcosut, из G) следует выражение для динамической поляризуемости системы
(ось z направлена вдоль As)'-
(8)
(при ш = 0 динамическая поляризуемость совпадает с обычной статической поляризуемо-
поляризуемостью). В частности, для линейного осциллятора, как и в случае стационарного электрического
8 Зэк 254

226 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
поля в 8.2, находим
где ша — его собственная частота.
Воспользовавшись соотношением pt» = шш^Гщ и правилом сумм 6.13, замечаем, что
для системы из N заряженных частиц с одинаковыми массой т и зарядом е выражение (8)
можно преобразовать к виду
Здесь первое слагаемое /3o(u>) = -e2N/nw* соответствует такому сдвигу уровня в поле волны,
как если бы частицы были свободными, сравнить с 6.40, а также с (9) при и>0 = 0; оно
является доминирующим при ш —» оо (при этом поправочный член в A0) может быть сведен
к диагональному матричному элементу, если учесть правило сумм из 14.11).
Формулы G)-A0) неприменимы при ш — шкп, где шы - {Ef - E^)/h является
частотой перехода между дискретными уровнями гамильтониана, вызываемого возмущени-
возмущением V. В возникающей при этом резонансной ситуации даже слабое возмущение приводит
к сильному взаимному влиянию резонирующих уровней, сравнить со следующей задачей.
Иная ситуация возникает в случае, когда резонирующее состояний к = v относится
к непрерывному спектру. Теперь действие возмущения приводит к «ионизации» системы
и затуханию КЭС со временем. Для определения его времени жизни, согласно G), следует
сделать замену Е^ -» Е„ + if или ш\л -» ш\„ - «7, где у > 0 — бесконечно малая величина
(сравнить с подстрочным примечанием на с. 646 в [1]).
Записав теперь
-I» _ А.М) _ I у
и заменив суммирование по * интегрированием по и, находим для ширины КЭС
Г„ = -2 Im «<?' = \J 1^„|2 «(?„ - Е™ - ы) dv A1)
в согласии с общей формулой [1, §42] для вероятности перехода (напомним, что Г„ — Л/т, =
nw,).
В заключение заметим, что для системы в электрическом поле линейно поляризованной
волны, V = -^><f cos (ut), ширина уровня и определяемая ею мнимая часть динамической по-
поляризуемости могут быть связаны с сечением фотоионизации*''' этого состояния соотношением
H-jJ-j *¦„.(*); A2)
здесь с — скорость света, сравнить с 11.63 и 14.20.
8.43. Рассмотреть квазиэнергетические состояния, возникающие при наложении
на двухуровневую систему с энергиями Е\ г периодического резонансного возмущения
вида V = Vo cos о/<, причем \ш - о>о| < щ, где two = Ef - Щ • Оператор Vo от вре-
времени не зависит, его диагональные матричные элементы равны нулю, a (V0)n = Vo,
Vo = Vo', при этом Vo ^C йшо- Обсудить вопрос о квазиэнергетических гармониках КЭС
и сравнить с задачей 6.41.
Решение. Запишем волновую функцию системы в виде
м' Это соотношение непосредственно следует из сопоставления рассматриваемого матричного эле-
элемента У„п с матричными элементами операторов (XIV. 12) и (XIV. 13) для однофотонных переходов,
определяющих сечение фотоэффекта, см. 14.18-14.20.

§ 4. Нестационарная теория возмущений 227
(сравнить с 6.41). Уравнение Шрёдингера, ihdif/dt = (Яо + Р)Ф, сводится к системе двух
уравнений (fia»o = Е2 - Щ ):
iftd, = Кое' cos(u>t)(>2) «Ла2 = Vbe'' cos (ш!)а,. A)
Во входящих сюда временных множителях
е±ш°' coswt = - [eMut'u)t + е*^"»4*1'1] i
первое слагаемое — медленно изменяющаяся, а второе — быстро изменяющаяся функции
времени. В случае слабого возмущения, Vo < hw, члены в уравнениях A), содержащие
быстро меняющийся множитель, могут быть опущены, так как не играют существенной
роли в переходах системы, сравнить с 8.40. Учитывая это обстоятельство и сделав под-
подстановку
приводим систему A) к виду («о = Vo/Й):
2:"О| = -7<i, + 1>0О2> 2i о2 = vo3| + 7<>2- B)
Для двух независимых решений этой системы уравнений с постоянными коэффициентами
обычным способом, с помощью подстановки ai,2@ = C,i2e"'A', находим
г10 _
Таким образом, общее решение у. Ш. имеет вид
где
D)
(отметим, что в точном резонансе, при ш = и>о. имеем 7 = 0и|5= ко1/«о = ±0-
Каждое из двух слагаемых в волновой функции C) описывает независимое КЭС,
причем ?|,2 являются квазиэнергиями этих состояний. Как видно, в каждом из КЭС пред-
представлены лишь по две квазиэнергетических гармоники (см. 6.40), которые соответствуют
состояниям ( q J и ( , ), т. е. являются собственными функциями невозмущенного гамиль-
гамильтониана Яо. Более высокие гармоники имеют амплитуды, пропорциональные степеням малого
параметра Vo/Ашо < 1, и поэтому не появились в рассматриваемом приближении (их «исчез-
«исчезновение» связано с пренебрежением в системе уравнений быстро изменяющимися со временем
слагаемыми).
В заключение рекомендуем читателю обсудить вопрос о переходах в системе, вызы-
вызываемых возмущением, если при 1 = 0 она находилась в одном из собственных состояний
невозмущенного гамильтониана.

228 Глава В. Теория возмущений. Вариационный метод
8.44. Для системы с двумя каналами, рассмотренной в задаче 6.39, в случае слабой
связи каналов (/3 < а), найти по теории возмущений ширину квазистационарного
состояния в канале с возбужденной составной частицей. При решении задачи а) пре-
пренебречь взаимодействием в конечном состоянии, б) учесть его и сравнить полученные
результаты друг с другом и с точным.
Решение. Воспользуемся известной формулой для вероятности перехода в единицу време-
времени из состояния дискретного спектра в состояния непрерывного спектра под влиянием
постоянного возмущения
A)
В данной задаче в роли возмущения V = - { „ q ) 6(х) выступает часть взаимодействия,
ответственная за связь между каналами. Под в.ф. Ф„ исходного состояния2|> д.с. следует
понимать в. ф. Фп°' = ( . / \ ] связанного состояния системы в канале с возбужденной
\ 4>о\х))
составной частицей (по поводу обозначений см. 6.39). При этом
(рассматриваемое состояние отвечает основному уровню частицы в E-яме, см. 2.7, со сме-
смещенной на Qq нижней границей состояний непрерывного спектра энергии в этом канале).
Наконец, в. ф. Ф?' = ( }. 1, где функция тр„(х) описывает состояние непрерывного
спектра в основном канале системы (т. е. с невозбужденной составной частицей) с энерги-
энергией Е„ = 2?10>; о конкретном выборе <р„ см. ниже.
а) В пренебрежении взаимодействием в основном канале вместо точной в. ф. ка-
канала Vv можно воспользоваться в. ф. свободного движения, т. е. выбрать (приближен-
(приближенно) Vv = Bт)~'12е'*'; при этом и — к, -со < к < со, и Е„ = h2k2/2m. Вычислив теперь
матричный элемент возмущения
К„ = <* | V10> = -/9 У ОД 6{х) *,(*) *с = -РуЩ.
согласно A), получаем
б) Для более точного определения Г следует учесть взаимодействие (й-потенциал)
в конечном состоянии. При этом в качестве в.ф. Vv удобно выбрать в.ф. </>*,;, описывающие
состояния с определенной четностью /, и учесть, что теперь fc = у2тЕ„/Нг > 0. Для {-по-
{-потенциала эти в. ф. имеют вид (обращаем внимание на их нормировку):
ifc tfli+1 = -^cos(
причем из условия сшивания решения при х = 0, см. 2.6, следует tgS = ma/h7k. Матричный
элемент Vm, где теперь v = (к, Г), отличен от нуля лишь для четных состояний, с 1 = +1,
и равен
Jl' Истинно связанным оно является лишь в пренебрежении возмущением. Под влиянием возмущения
оно становится уже квазистационарным с шириной уровня Г = Аи. Связь с открытыми каналами
играет роль конечной проницаемости барьера для квазистационарных состояний в случае систем с одним
каналом, сравнить с 6.36 и 6.37.

§4. Нестационарная теория возмущений 229
Учтя значение 6, согласно A), получаем
Сравним полученные результаты B) и C). По смыслу приближения а) формула B) при-
применима лишь при Qo > \Ео\ = Л:хо/2т, когда кинетическая энергия в основном канале много
больше энергии связи. Действительно, в этом случае формулы B) и C) практически совпадают.
При значениях Qo ~ \Е0\, формула B) неприменима (для частиц с энергией Е ~ \Е0\ коэффи-
коэффициент отражения R ~ 1, см. 2.30, и их нельзя рассматривать как свободные). Формула же C),
основанная лишь на слабости связи каналов, /9 < о, остается справедливой и в этом случае
(в чем легко убедиться, сравнив ее с результатом точного решения, см. формулу D) из 6.39).
8.45. Найти в первом порядке теории возмущений вероятность «ионизации» в единицу
времени из основного состояния частицы в одномерной 6-яме (см. 2.7) под действием
однородного, периодического во времени поля, так что V(x, t) = —xFo coswqL Решить
задачу как в пренебрежении взаимодействием в конечном состоянии, так и при учете
его. Сравнить со случаем туннельной ионизации в статическом однородном поле,
рассмотренном в 6.36 и 9.28.
Решение. Воспользуемся обшей формулой для вероятности перехода в состояния непрерыв-
непрерывного спектра под влиянием периодического возмущения (см. [], §42]):
В данной задаче V = -Fox cos (u9t) и соответственно F = -Fox/2. Далее22), Ф?' = у/Ие'^'1 —
в.ф. основного состояния в 5-яме, х = та/И2, Е$р = Ец = -Н2х1/2т — энергия основного
состояния.
В пренебрежении действием 6 -потенциала на частицу в конечном состоянии в качестве
в. ф. Ф,, можно выбрать Ф,, = Bir)"l/2el11 — в. ф. свободной частицы; при этом v = *,
-со < к < со, Er = h7k2/2m. Вычислив теперь матричный элемент
xexp {-(x|z| + ikx)} dx = :
-oo
согласно A) находим
Хотя по способу вывода этой формулы (пренебрежение взаимодействием в конечном
состоянии) ее справедливость предполагает выполнение условия Нш0 > \Е0\, на самом
деле она применима и при Ли»0 > \Е0\ (в том числе и вблизи порога). Действительно, для
учета указанного взаимодействия выберем в качестве в. ф Ф„ точные с. ф. невозмущенного
гамильтониана (частица в 6-ямс) ф*,ь отвечающие определенной четности I (сравнить
с предыдущей задачей). Теперь заметим, что матричный элемент F^ отличен от нуля
лишь для нечетных состояний, волновые функции которых не искажаются «-потенциалом
и совпадают с в. ф. свободной частицы. Соответственно формула B) сохраняется и при
учете взаимодействия в конечном состоянии, когда не возникает ограничений на энергию
вылетающей частицы.
В заключение заметим, что при частотах hw0 < |?q| в рассматриваемом приближении
вероятность w обращается в нуль. При этом переходы частицы в состояния непрерыв-
непрерывного спектра происходят в более высоких порядках теории возмущений («многофотонная
ионизация») и имеют поэтому существенно меньшие вероятности (сравнить с туннельной
ионизацией в статическом поле, см. 6.39, соответствующей предельному случаю щ —¦ 0).
}2^ Сравнить с решением предыдущей задачи.

230 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
8.46. Частица находится в одномерном короткодействующем потенциале U(x), так
что U(x) —* 0 при х —* ±оо. Рассматривая его как возмущение, найти коэффициент
отражения с помощью теории возмущений для переходов в непрерывном спектре.
Указать условия применимости полученного результата и сравнить его с 8.29.
Решение, Для переходов в непрерывном спектре
см. [9, с. 190]. Под и», v следует понимать волновые -«векторы* (одномерного движения)
свободных частиц и соответствующие волновые функции
Сделаем замечание об их нормировке. Для в. ф. конечных состояний она обычная: на 4-функ-
цкю по v, причем в данном случае v = ft'. Нормировка же в. ф. начального состояния
на единичную плотность потока выбирается из следующих соображений. Считая рассма-
рассматриваемую систему помещенной в «ящик» большой длины L, в. ф. начального состояния
следовало бы выбрать в виде Ф^ = e'ix/s/b (нормированной на единицу). При этом вероят-
вероятность перехода w имела бы свой буквальный смысл и требуемую размерность Т*'. Однако
в состояниях непрерывного спектра обычно рассматривается не отдельная частица, а поток
частиц с плотностью потока j = pv = v/L. При этом в качестве характеристики процес-
процесса используется не сама вероятность, а соответствующее «сечение» процесса, определяемое
соотношением а — w/j. Оно уже не зависит от конкретного выбора значения L {в от-
отличие от вероятности перехода). Используемая нормировка в. ф. Ф« как раз и отражает
описание процесса с введением соответствующего «сечения». В одномерном случае «се-
«сечение» — безразмерная величина и имеет физический смысл коэффициента отражения
частиц.
Выполнив в выражении (I) интегрирование по v (т. е. по к'), получаем
ос
Л = „,(* - *' = -*) = J|L| j V(x)e™',
(переходы происходят в состояния с к1 = -*, отвечающие отраженным частицам). Этот
результат совпадает с полученным ранее другим способом в задаче 8.29, в которой обсуждается
ряд вопросов, связанных с вычислением коэффициента отражения по теории возмущений.
§5. Внезапные воздействия
8.474 Система, описываемая гамильтонианом До. находится в n-м стационарном
состоянии дискретного спектра. При t *= 0 гамильтониан системы внезапно изменяется
и становится равным (при t > 0) Я/ = Щ -f Vo, где Уо, как и До, от времени
не зависят. Найти вероятности различных стационарных состояний системы при t > О,
Каково среднее значение энергии, приобретаемое системой? Показать, что в случае
малого возмущения Vb установленные результаты могут бмть получены также в рамках
нестационарной теории возмущений.
Решение. 1) Так как под слиянием ограниченного воздействия Vo (не обязательно малого!)
волновая функция системы не успевает измениться за бесконечно малый промежуток времени
его включения, то непосредственно в первые моменты времени при t > 0 она совпадает
с *„,, — с. ф. исходного гамильтониана Н, — Яо (по условию задачи).

§5. Внезапные воздействия 231
Изменение (в среднем) энергии системы в процессе включения взаимодействия Vo,
23'
AE = (n,i\V0\n,i). A)
Коэффициенты в разложении в. ф. *„,, пос.ф. Фк/ конечного гамильтониана (Я; = Яо+Vo).
(
очевидно, равно23'
определяют искомые вероятности перехода:
Цп, -*/) = 1с*п|2 = К*,/|п,О|2- B)
2) Рассматривая Vo как малое возмущение, для Ф», / можно воспользоваться известным
разложением теории возмущений, см. (VIII.2), и найти, согласно B)
Этот же результат можно получить в рамках нестационарной теории возмущений. Интегри-
Интегрирование в (VIII.8) по частям дает
Применительно к данной задаче V = l^v('). гДе •?(') — ступенчатая функция (>7(t) = I
при 1>0и r)(t) = 0 при t < 0). Так как dr)(t)/dt — S(t), то замечаем, что при t > О
первое слагаемое в правой части D), определяющее вероятность перехода, воспроизводит
результат C) (второе же слагаемое в D) описывает искажение в. ф. n-го состояния при t > О
под влиянием возмущения Vo и к переходам системы отношения не имеет).
8.48. Система подвергается импульсному воздействию V = W(,6(t), так что ее
гамильтониан имеет вид Н = Щ + WtN(t). При t < 0 система находилась в п-м
состоянии дискретного спектра. Найти вероятности различных квантовых состояний
при t > 0. Сравнить их для малого возмущения V с результатом нестационарной
теории возмущений.
В случае Wo = -хР0 дать наглядную интерпретацию полученного результата.
Решение. Для определения изменения волновой функции под влиянием импульсного воз-
воздействия его удобно рассматривать как предельный переход при г -> 0, взаимодействия
вида VA,t) = Wof(t), где функция /(?) отлична от нуля лишь при |(| < г, а интеграл
от нее в пределах от -т до г равен 1. Уравнение Шредингера при |t| < г принимает
вид ЛФ = Wo/W* (слагаемое Яо в гамильтониане опущено, так как оно не дает изме-
изменения в. ф. за бесконечно малый промежуток времени г; в учтенном же слагаемом при
этом /(<) ~ 1/т -¦ со). Решение этого уравнения
-г). A)
Положив здесь < = ги устремляя т —* 0, находим искомое изменение волновой функции
-). B)
2)* В связи с данной задачей см. 9.22, где случай внезапных воздействий рассматривается в квазиклас-
квазиклассическом приближении.

232 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Учитывая, что по условию задачи Ф(О-) = Фп , находим искомые вероятности
г
I / _ lt\\. I »-¦*¦_ I _ (л\ .
(„ _ *) = || Ф<°>' еХр |-i Щ}Ф<°> dr,
Разложение экспоненты в ряд в случае малого возмущения, когда !(%)*„|<^ Л> дает
C)
w(n - fc) « «,">(« - fc) = i| {Щкл\\ * * n,
n
что совпадает с результатом нестационарной теории возмущений, получающимся непосред-
непосредственным (благодаря ^-функции) интегрированием в формуле (VIII.8).
Воздействие вида V(x,t) = -xP06(t) на классическую частицу состоит в мгновенной
передаче ей импульса Рй = / F(t)dt. Это утверждение остается справедливым и в квантовой
механике, что следует24' из формулы B). Действительно, в. ф. состояний частицы в импульс-
импульсном представлении непосредственно до: а,(р) = {p\t = 0-) и сразу после: й/{р) = (p\t = 0+)
воздействия связаны соотношением а/(р) = а,(р - Ро), что и отражает отмеченное выше
обстоятельство об изменении импульса частицы.
8.49. Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной
яме шириной а @ < х < а). В некоторый момент времени правая стенка ямы
за короткий интервал времени т смещается в точку Ь > а. Найти вероятности
возбуждения различных квантовых состояний частицы после остановки стенки.
Решение. Согласно формуле B) из 8.47, находим
„@-.*)-
Условие применимости: га;м = *2(fe+ \JНт/та2 < 1.
8.50. Частица находится в основном состоянии в б-яме, так что U = -а6(х).
Внезапно параметр а, характеризующий «глубину» ямы, изменяется и становится
равным 5 {сравнить с изменением заряда ядра атома, например, при /3-распаде).
Найти
а) вероятность того, что частица останется в связанном состоянии,
б) распределение по импульсам для частицы, вылетающей из ямы.
Решение, а) Используя выражение
*<,(*,«) = Vxe"*1, где к = -=,-,
h
для в. ф. основного состояния частицы в в-яме, см. 2.7, согласно общей формуле B) из 8.47
для вероятностей переходов при внезапных воздействиях на систему, находим вероятность
того, что частица останется связанной ямой
0f) =
Ааа
(I)
б) Для рассмотрения переходов в состояния непрерывного спектра в качестве с. ф. ко-
конечного гамильтониана удобно выбрать в. ф. Ф4,/(г), отвечающие состояниям с определенной
четностью J. Такие функции, нормированные на ^-функцию по fc = ¦J2mE/hi > 0, получены
в задаче 8.44. Используя выражения для них, согласно очевидному обобщению формулы B)
из 8.47 на случай состояний непрерывного спектра, находим
2 а ../.. rr\2t.2 ji.
dw(k) =
.у 2_ "Л** П/ П **"" /<J\
24' Сравнить с 6.26.

§ 5. Внезапные воздействия 233
Это выражение, как и следует, нормировано на значение, равное 1 - шо> гае ш0 определяется
формулой A). Переходы происходят только в четные конечные состояния, при этом веро-
вероятности значений импульса р = dbfifc одинаковые. Как видно из A) и B), в случае а « а
вероятность вылета частицы мала, а при значениях 5 < а и а > а, наоборот, мала
вероятность частице остаться в связанном состоянии.
8.51. Частица находится в основном состоянии в E-яме, U = -аб(х). При t = О
яма приходит в движение с постоянной скоростью V. Найти вероятность того, что
она увлечет частицу за собой. Рассмотреть предельные случаи малых и больших
скоростей V.
Решение. Для расчета искомой вероятности перейдем в систему координат К', движущуюся
вместе с ямой, в которой х' = х - Vt. В. ф. частицы непосредственно сразу после начала
движения ямы в исходной, Фд(х), и в движущейся, Фо(г')> системах координат имеют вид
Ф,(х') = ехр |-%- mVx'} *„(*'), «,(*) =
х = ma/h2, см. 2.7 (здесь соотношение между в. ф. отражает тот факт, что преобразование
в. ф. состоит просто в замене импульса р на р' = р — mV, сравнить с 6.26). Так как в. ф.
связанного состояния частицы в системе К' получается из Фд(*) с помощью замены г на г',
то искомая вероятность, согласно формуле B) из 8.47, оказывается равной
щ = \ *;(r')*0(i') dx' = —
где vg = a!/h2 (заметим, что tig совпадает си2 — средним значением квадрата скорости
в основном состоянии частицы в 5-яме). В случае V < «д имеем щи1- V2/2vl w I —
частица с подавляющей вероятностью увлекается ямой. В обратном предельном случае V > v0,
наоборот, w0 a Bvo/V) < 1, так что частица с подавляющей вероятностью покидает яму.
8.52. На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии, внезапно
накладывается однородное электрическое поле, направленное вдоль оси колебаний.
Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора после включения
поля. Сравнить с результатом задачи 6.25.
Решение. Искомые вероятности ш@ -> п) = \{п, /|0,«I2. см. формулу B) из 8.47. Наиболее
просто матричный элемент можно вычислить, воспользовавшись формализмом операто-
операторов рождения и уничтожения а*, а, сравнить с 6.2S. Для невозмущенного осциллято-
осциллятора 3, = BЛ)-'/2(Ая + i\~'p), где А = ,/тш; при этом его основное состояние определяется
соотношением 3,|0, i) = 0. Наложение электрического поля эквивалентно смещению точки
равновесия осциллятора на расстояние х0 — е&/тшг, так что теперь 3/ = а, - ABfi)"l/2i0,
а конечные (при t > 0, после наложения поля) стационарные состояния определяются
соотношениями
Коэффициенты в разложении ]0, *> = Х)сл!«,/) были вычислены в 6.2S. Воспользовавшись
их значениями, находим искомые вероятности переходов
¦*о-.„)-к.Р-1л-\ .—^ @
(как видно, зависимость вероятностей от номера п квантового состояния осциллятора опи-
описывается распределением Пуассона).

234 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
8.53. У линейного осциллятора, находящегося в основном состоянии, в момент
времени t = 0 «точка подвеса» приходит в движение с постоянной скоростью V
Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора при t > 0.
Решение. Поступим, как и в предыдущей задаче. Переход в движущуюся со скоростью V
систему соответствует изменению импульса частицы на -тК, так что теперь 5/ = 3, -
imV/V2hX и распределение вероятностей определяется формулой A) предыдущей задачи,
в которой следует положить |а| = mV/V2hX.
§ б. Адиабатическое приближение
а) Адиабатическое приближение в нестационарных задачах
8.54. Гамильтониан Н(р, q, X(t)) некоторой системы явно зависит от времени. Для
каждого момента времени t предполагаются известными спектр собственных значе-
значений En(X(t)) «мгновенного» (т. е. в данный момент времени) гамильтониана, являющий-
являющийся дискретным, и полная система соответствующих ортонормированных собственных
функций Ф„(д, А@).
Записать волновое уравнение для системы в представлении, базисом которого
является система функций Ф„(<?, A(i)).
Показать, что при адиабатическом изменении гамильтониана (в пределе А —> 0)
распределение по квантовым состояниям системы не зависит от времени. Каков
классический аналог этого результата?
Решение. Запишем волновую функцию системы в виде разложения25'
Ф(д, I) = ? C.(t)*.(«, t) ехр {-I у ?„<*') <И'}, A)
" о
при этом
Я(р, q, А@)Ф.(9, А@) = ?,(A(f))*n(?, А@), B)
а коэффициенты С„({) являются в.ф. в требуемом представлении. Подставив (I) в у. Ш.,
умножив обе части этого уравнения на ОДО слева и проинтегрировав по координатам q
с использованием ортогональности в. ф. Ф„(д, t), находим
Это и есть искомое уравнение26'. Оно удобно для исследования систем, гамильтони-
гамильтониан которых медленно изменяется со временем. Действительно, так как Ф„ = A#*n/flA,
то (Ф* | Ф„) «АС1 ив нулевом приближении правую часть в C) можно положить равной
нулю и получить27>
Cn(t) и С<0) = const, D)
2!) Для краткости записи ниже пишем Ф»(?, t) вместо Ф, (q, A(()), причем зависимость от координат q
часто не указываем.
м' Его, естественно, можно записать в виде уравнения Шрёдингера, ЛСь = J) Н'^С* = fi"Ci,. При
этом оператор (матрица) Н" является эрмитовым и описывает гамильтониан системы в энергетическом
представлении мгновенного гамильтониана (однако связь его с исходным гамильтонианом, ввиду зависи-
зависимости от времени соответствующего унитарного преобразования, заранее не очевидна, сравнить с 6.28).
2;) Уточнение условий применимости этого результата рассмотрено в следующей задаче

§ 6. Адиабатическое приближение 235
что можно охарактеризовать как (приближенное) сохранение номера квантового состояния
при адиабатическом изменении гамильтониана системы. Этот результат является квантово-
механическим аналогом адиабатической инвариантности величины
в классической механике, см. [26]. Последнее обстоятельство становится особенно наглядным
в квазиклассическом случае, см. следующую главу, если иметь в виду правило квантования
Бора—Зоммерфельда.
В заключение подчеркнем следующее обстоятельство. Несмотря на медленность измене-
изменения гамильтониана, за достаточно длительное время он может измениться очень существенно
(даже иметь мало общего с первоначальным гамильтонианом). Тем не менее, если система
в начальный момент времени находилась в n-м квантовом состоянии, то и в последующие
моменты времени она с подавляющей вероятностью будет находиться в том же по счету кван-
квантовом состоянии, но уже с в.ф Ф„(д, Л(()) (другими словами, при адиабатическом изменении
гамильтониана система успевает «подстраиваться» под его изменение).
8.55. В условиях предыдущей задачи, считая, что при t = to система находилась
в невырожденном n-м квантовом состоянии, найти ее волновую функцию при t > to
в первом порядке адиабатической теории возмущений.
На основе полученных результатов рассмотреть возбуждение заряженного линей-
линейного осциллятора, находящегося при t ~* -оо в основном состоянии, под влиянием
однородного электрического поля S(t) и сравнить с точным решением, см. 6.25.
Исследовать случаи зависимости ?(t) вида, приведенного в 8.33.
Решение. 1) Уточним условия, при которых справедлив результат D) предыдущей задачи,
преобразовав сначала матричный элемент (Ф»|Ф„) из C). Для этого продифференцируем по Л
обе части уравнения B) из 8.S4, затем умножим слева на *J и проинтегрируем по координатам.
Учитывая при этом эрмитовость Я, получаем
(точнее: при Еь ф Еп). В случае же n = к изменением фазового множителя у с. ф. Ч'п@
всегда можно добиться обращения (Ф„ | Ф„) в нуль28'. Таким образом, уравнение C) из 8.54
принимает вид
(слагаемое с п = к в сумме отсутствует, hukn = В» - Еп).
Если производная dB/dt достаточно мала, то С» и 0 и
по условию задачи. В следующем приближении адиабатической теории возмущений, соглас-
согласно B), для к Ф и имеем
28) Так, для вещественной собственной функции инеем

236 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
и. интегрируя при заданном начальном условии, получаем
Оценка С^ по порядку величины имеет вид
0Я 1
9t utr,
Справа стоит отношение изменения гамильтониана за время порядка воровского периода ш^
к разности энергий соответствующих уровней, и именно малость этого отношения характери-
характеризует ситуацию, когда изменение гамильтониана можно считать медленным (адиабатическим).
Подчеркнем, что если при изменении H(t) со временем возникает сближение уровней, так
что Ek(t') я E*(t'), то адиабатичность нарушается, и именно в эти моменты времени переходы
в системе между п- и fc-состояниями происходят наиболее интенсивно.
2) Для осциллятора в электрическом поле,
с. ф. и с. з. мгновенного гамильтониана приведены в 2.2. При этом дН/8t = —eSx, а матрич-
матричный элемент @Я/Л)м для значений * Ф 0 отличен от нуля лишь при к = 1 и равен -ea<f/V2,
где а = \/hl(mu). По формуле C) получаем (положено <0 = -оо)
Соответственно вероятность единственного разрешенного в первом порядке адиабатической
теории возмущений перехода осциллятора
оо ,
E)
(здесь, в предположении, что электрическое поле выключается при t -» +00, при под-
подстановке D) выполнено интегрирование по частям). Этот результат по форме совпадает
с полученным ранее в 8.33 в рамках обычной нестационарной теории возмущений29' и мало
отличается от точного, см. 6.25 при W <?. 1. Значения вероятностей перехода для указанных
в условии зависимостей /(() совпадают с приведенными в 8.33.
8.56. Исследовать квазиэнергетические состояния90' в адиабатическом приближении.
Энергетический спектр мгновенного гамильтониана считать дискретным и невырож-
невырожденным.
Решение. Решения уравнения Шредингера в «нулевом» приближении адиабатической теории
возмущений при периодической зависимости гамильтониана от времени (см. предыдущую
N* Причиной совпадения результата адиабатического приближения (условия применимости которого:
г > ы, еа?/Лшгт « 1) с результатом теории возмущений (условие применимости: taf <? Ли) является
специфическое действие однородного поля на осциллятор, сводящееся фактически лишь к сдвигу точки
подвеса», при котором матричные элементы возмущения отличны от нуля лишь для переходов между
соседними уровнями осциллятора.
318 См. 6.40.

§ 6. Адиабатическое приближение 237
задачу в случае, когда X(t + Т) — А(<))
? ] J A)
описывают КЭС (при этом предполагается, что фазовый множитель в самих с. ф. Ф„ выбран
так, что Ф„ ~ А). Преобразовав следующим образом показатель экспоненты:
Endt = f(En(t) - Д.) dt + Ent,
о о
замечаем, что значение квазиэнергии этих состояний в нулевом приближении равно
т
En(A(t)) <й, B)
о
т.е. совпадает со средним за период изменения гамильтониана значением En(t). Разложение
периодической функции
i
«р {-? J(En(t)-En) д|ф.(?,
о
в ряд Фурье определяет квазиэнергетические гармоники КЭС, см. 6.40.
8.57. Частица находится в поле двух сближающихся <5-ям, так что
При t —* -co ямы находились на бесконечно большом расстоянии друг от друга,
а частица была связана одной из них. Расстояние L(t) между ямами медленно умень-
уменьшается, и в некоторый момент времени ямы «сливаются» в одну: U(x) = -2а6(х).
Какова вероятность того, что лри этом частица останется в связанном состоянии?
Решение. Вероятность того, что частица останется связанной, равна 1/2.
Имея в виду сохранение четности, удобно раздельно анализировать временную зави-
зависимость четной и нечетной составляющих в. ф. Обозначив через Фо(г) в. ф. связанного
состояния в случае одной в-ямы, U = —аб(х), см. 2.7, и считая для определенности,
что при t -» -оо частица была связана правой ямой, запишем в. ф. начального состояния
в виде 9(t - -co) = (Ф+ + Ф_)/>/2, где
Х(-ооI ^ , Г Х(+оо)
При большом расстоянии между ямами, ?(-оо) = оо, как четкая *+, так и нечетная Ф_
составляющие в. ф. описывают связанную частицу с энергией, равной энергии в поле одной
ямы (уровень двукратно вырожден).
Теперь заметим, что каким бы ни был закон «сближения» ям, можно утверждать,
что, когда ямы сливаются в одну, нечетная составляющая в. ф. описывает уже несвязанную
частицу. Это объясняется тем, что в поле одной <5-ямы имеется только одно, четное состояние
д. с. (заметим, что лри сближении ям до такого расстояния, когда дискретный нечетный
уровень сливается с континуумом, адиабатическое приближение для нечетной части в. ф. уже
неприменимо).

238 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Временная зависимость четной составляющей в. ф. существенно зависит от характера
сближения ям, но если он носит адиабатический характер, то частица будет оставаться
в основном, связанном состоянии. Так как для начального состояния вероятность нахождения
частицы в четном состоянии равна 1/2, то вероятность частице остаться связанной при
медленном сближении ям также равна 1/2, что и было указано в начале решения.
Условие применимости полученного результата: |?| <? а/Л. Фактически это условие
должно выполняться лишь, когда ямы сближаются на расстояние порядка размера обла-
области локализации частицы в основном состоянии для ^-потенциала, т.е. при L <, Н7/та.
На больших расстояниях такого жесткого ограничения на скорость сближения ям уже нет,
так как в этом случае частица, локализованная вблизи одной из ям, наличия другой уже
не «чувствует», а при движении ямы с произвольной (но постоянной) скоростью в со-
соответствии с принципом относительности никаких переходов не происходит (фактически
на расстояниях L > И2/та требуется лишь, чтобы не было слишком большим ускорение L).
б) Адиабатическое приближение в стационарных задачах
8.58. Гамильтониан системы, состоящей из двух подсистем, имеет вид
где х, ? — координаты 1-й и 2-й подсистем, V(x, () описывает взаимодействие меж-
между ними. Считая характерные частоты 1-й («быстрой») подсистемы много большими
характерных частот 2-й («медленной») подсистемы, свести задачу приближенного вы-
вычисления энергетических уровней и соответствующих им волновых функций совокупной
системы к решению уравнений Шрёдингера для отдельных подсистем.
На основе полученных результатов исследовать состояния нижней части энерге-
энергетического спектра для частицы, находящейся в двумерном потенциале вида
х2 у2
°> * + Ь * '•
Щх,у)={ ° 6
* У .
в случае b > о.
Решение. Введем Ф„,(х,{) и ?„,({)> ~ систему с. ф. и спектр с. з. оператора Н' = Н\(х) +
V(x,0 при фиксированных («закрепленных») значениях координат { «медленной» подсисте-
подсистемы, так что _ ^
(они играют роль, аналогичную с. ф. и с. з. мгновенного гамильтониана при рассмотре-
рассмотрении адиабатических воздействий на систему, см. 8.54 и 8.5S). Для точных с. ф. полного
гамильтониана системы справедливо разложение вида
*лг = Х>"». («)Ф«, (*,{)•
ni
Существенным для дальнейшего является то обстоятельство, что для «быстрой» под-
подсистемы изменение состояния «медленной» выступает как адиабатическое воздействие, при
котором сохраняется номер квантового состояния, см. 8.S4. Пренебрегая переходами, прихо-
приходим к приближенному выражению для в. ф. системы, соответствующему учету лишь одного
члена в приведенной выше сумме:
Записав уравнение Шрёдингера
и учтя в нем соотношение A), проделаем следующие преобразования. Умножим обе части
получающегося уравнения на Я/', слева, проинтегрируем по координатам х «быстрой»

§ 6. Адиабатическое приближение 239
подсистемы и пренебрежем действием оператора30 Я2(?) на переменную ?, входящую
в в. ф. Ф„, (г, () (т. е. положим Я2ФФ ~ ФЯ2Ф; здесь опять проявляется различие характерных
времен движения рассматриваемых подсистем); в результате приходим к уравнению Ш редин-
гера для «медленной» подсистемы
[я3и) + ^,(О]ф„,„2(О = «.1Ч*.1Ч«). C)
Как видно, в рассматриваемом приближении взаимодействие ее с «быстрой» подсистемой
характеризуется эффективным потенциалом, в роли которого выступает (/эфф(?) = ?„,({).
Формулы A)-C) составляют основу адиабатического приближения для стационарных
состояний. Применительно к указанному в условии потенциалу, ввиду Ь 2> а, в роли
«быстрой» подсистемы выступает движение частицы вдоль оси х, а в роли «медленной» — ее
движение вдоль оси у. При фиксированном у движение вдоль оси х — движение в бесконечно
глубокой яме шириной о(у) = 2о*у/1 - уг/Ь', так что
fiV(n, + IJ
2гао2(у)
При этом, согласно C), движение вдоль оси у происходит в эффективном потенциале
ftV(n, + l)V , .и
Для такого потенциала в. ф. не слишком сильно возбужденных уровней локализованы на рас-
расстояниях |у | <gC fe, где его можно разложить в ряд:
ftV(n' + О2 . Д2*2( + О2 2
+ У
При этом задача вычисления в. ф. Ф„|П2(у) и уровней Entni сводится к задаче о гармоническом
осцилляторе, что позволяет получить
4,2=0,1,...,
D)
(поучительно убедиться в том, что при воздействии оператора В(у) на в.ф. D) можно прене-
пренебречь действием его на функцию Ф„,(х, у) в соответствии со сделанным выше замечанием).
8.S9. Гамильтониан системы имеет вид
2т 2М 2
причем М ^> m (два связанных осциллятора с сильно различающимися массами).
Найти уровни энергии системы и соответствующие им волновые функции на основе
адиабатического приближения. Сравнить полученный результат с точным решением,
см. 2.50.
31' Аналогия со случаем адиабатического воздействия на систему, рассмотренным в 8.S4, 8.SS, проявля-
проявляется в том, что там при вычислении производной дФ/dt можно было опустить слагаемое, получающееся
дифференцированием по временем с. ф. 9„(д, Л(<)) мгновенного гамильтониана.

240 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
Решение. Быстрая подсистема — осциллятор с массой га, характеризующийся координатой х.
При фиксированном у, координате медленной подсистемы, имеем (ш = у/к/т):
В.ф. и уровни энергии медленной подсистемы определяются согласно уравнению C) преды-
предыдущей задачи; при этом
сопоставить с точным результатом для спектра из 2.50, выполнив в нем разложение по малому
параметру у/т/М.
8.60. Две частицы с сильно различающимися массами М > т находятся в беско-
бесконечно глубокой потенциальной яме ширины а и взаимодействуют друг с другом как
взаимно непроницаемые точки. Найти энергетические уровни нижней части спектра
и соответствующие им волновые функции.
Решение. Воспользуемся адиабатическим приближением, см. 8.58. Быстрая подсистема —
легкая частица (координата х,). Ее уровни и в.ф. при фиксированном значении х7, коорди-
координаты тяжелой частицы (медленная подсистема), имеют вид
>(н, + 1)(х,-*,) ftV(n, + IJ
' щ{1)= 2т(а-х2у
(считаем для определенности хг < х\\ В-Ф- равна нулю при значениях х, > а и Х\ < zj,
сравнить с 2.51).
Энергия Е„{(х2) выступает в роли эффективного потенциала U(x1) для тяжелой частицы
при 0 < хг < о (вне этого интервала U = со). Для не слишком сильно возбужденных
состояний характерные значения координаты х2 <?. а и U(x2) можно разложить в ряд
(сравнить с 8 58):
ftV(n, + IJ fiV(n, + IJ
+ 11 х Х>°
При этом задача вычисления спектра ?„,„, и с. ф. Фп,П7(х2) сводится к рассмотренной в 2.8,
воспользовавшись результатом которой получаем
здесь -at, где к = 1,2,..., — последовательность нулей функции Эйри в порядке возрастания
значений -а».
8.61. Используя адиабатическое приближение, обсудить вопрос об энергетическом
спектре и виде соответствующих волновых функций связанных состояний частицы
в центральном потенциале притяжения U(r) в присутствии достаточного сильного
однородного магнитного поля.
Найти сдвиги уровней Ландау под влиянием короткодействующего потенциала,
а также основной уровень атома водорода в сильном магнитном поле.
Решение. Гамильтониан частицы имеет вид
где
1 д
д 1 З2 \ eft „-. е*Жг
, „_ I __ 1 ___ 'УУ1 I л'

§ 6. Адиабатическое приближение 241
является гамильтонианом поперечного движения частицы в однородном магнитном поле,
направленном вдоль оси г, с векторным потенциалом А = \Жт\/7, см. 7.1.
В случае достаточно сильного магнитного поля движение частицы в поперечном на-
направлении определяется, в основном, действием этого поля. При этом шв = \е\Ж/цс —
характерная частота такого движения — значительно превосходит частоту продольного дви-
движения. Поэтому для решения задачи можно воспользоваться адиабатическим приближением,
см. 8.58. При этом в роли «быстрой» подсистемы выступает движение частицы в попереч-
поперечном направлении. Для него действие потенциала U(r) можно рассматривать как возмущение.
Соответственно волновые функции «быстрой» подсистемы (при фиксированном значении ко-
координаты z продольного движения, характеризующей «медленную» подсистему) в «нулевом»
приближении имеют вид
? ^ []^(-n,, и+,, х)
(они не зависят от z), где
р2 ГТ~ \m\-eml\e\
в = /п = п. н
2а2в' " у /хшИ' ' 2
Энергетические уровни «быстрой» подсистемы в первом порядке теории возмущений описы-
описываются выражениями
Е„, (z) = Enm(z) « ЕЦР + Enii(z); fjj,0' = Тшд I n + - ),
B)
здесь ?J,0) определяет уровни Ландау.
Теперь, согласно 8.58, окончательное определение волновых функций частицы ФП|Я: =
¦«mW^iiW и энергетического спектра ?П|П! = Е„„„г связанных состояний сводится к реше-
решению одномерного уравнения Шрёдингера в эффективном потенциале, совпадающем с Enm(z).
Свойства таких связанных состояний существенно зависят как от вида исходного потенциа-
потенциала U(г), так и от квантовых чисел n, m, характеризующих поперечное движение («быструю»
подсистему).
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) Наиболее полное исследование допускает случай «мелкой» сферической ямы U(r) (до-
(достаточно произвольного вида) радиуса R и характерной глубины Щ, для которой liJ&Uolh1 <S. I
и в отсутствие магнитного поля нет связанных состояний частицы. При этом эффективный
потенциал U-^ф = Enm(z) также определяет «мелкую» яму, но уже одномерную. В такой
яме для каждой пары квантовых чисел n, m существует, причем только одно, связанное
состояние, для которого (сравнить, например, с. 2.22)
C)
о о
Отсюда, в частности, в случае слабого магнитного поля32', для которого ан > R, следует
Г Г f R \ 2'm'+2
а„т ос -ая2" JJ t/(r)p2|m|+l dpdz ~ RUQ ( — ) ос Жы+[ D)
32' Подчеркнем, что полученные результаты в случае «мелкой» ямы не предполагают каких-либо
ограничений на величину магнитного поля (поля может быть и слабым), сравнить с 7.7.

242 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
(в интеграле существенны значения р < R < ац, для которых, согласно выражению A),
Фпт ос /э|п||/ая ). так что энергия связи, равная ^oJm/2A2, резко уменьшается с уве-
увеличением \т\. Подчеркнем, что величина {ц ~ h2/fianm определяет область локализации
координаты z частицы и, как легко заметить, Jj 2> /х. nw h ~ °я — размер области локали-
локализации частицы уже в перпендикулярной магнитному полю плоскости. Таким образом, область
локализации частицы имеет спицеобразную («игольчатую») форму. Это свойство сохраняется
и при увеличении магнитного поля, когда условие о« > R не выполняется. Спицеобразная
форма области локализации волновой функции частицы связана с существенно различными
значениями периодов днижения вдоль и поперек магнитного поля в условиях применимости
адиабатического приближения.
2) Пусть теперь потенциал притяжения U(r) не является слабым, так что (iR2Uo/h2 > 1.
Чтобы его можно было рассматривать как возмущение на фоне магнитного поля, последнее
должно быть настолько сильным, что выполнено условие R > ан ос \j-/W. При этом для
состояний с квантовыми числами п, m ~ 1 (точнее, </п, %/|тл| <? R/aH, сравнить с 7.2)
в выражении B) можно, вообще говоря, вынести за знак интеграла U(\z\) и получить
]?l(z)*U(\z\), E)
так что эффективный одномерный потенциал имеет такой же вид, как и исходный цен-
центральный потенциал U(r) (см. 4.1 и 2.S о связи энергетического спектра в симметричном
одномерном потенциале U(\z\) со спектром «-уровней в центральном поле U(r)).
3) Замена U(r) на U(\z\) в формуле B), приводящая к E), не оправдана на малых
расстояниях \z\ < аИ для потенциалов с кулоновским (и более сильным) притяжением в свя-
связи с возникновением в них в одномерном случае «падения на центр». Оценим положение
уровней с п2 = 0 (нижних уровней продольного движения) для водородоподобного атома
в сильном магнитном поле. Для этого запишем Ei'i ~ -Ze2/(\z\ + aH); по сравнению с E)
здесь введено «обрезание» кулоновского потенциала на малых расстояниях. Воспользовав-
Воспользовавшись вариационным методом с пробной волновой функцией вида Фо = -Ухе"*1'1, где х —
вариационный параметр, находим
для приближенного вычисления интеграла с логарифмической точностью можно заменить
экспоненту единицей, а пределы интегрирования ±оо значениями ~ (±1/х).
Минимизация этого выражения для атома водорода при аИ = 10~2 (мы используем
атомные единицы) дает значение энергии связи уровня, равное 12,5 (при к = 3,4).
Подчеркнем, что, как и в предыдущем случае согласно формулам C), «глубина залегания»
уровней продольного движения (при фиксированных квантовых числах n, m) много меньше
расстояния /шн между соседними уровнями Ландау.
4) Сделаем несколько заключительных замечаний. Первое из них связано с возможно-
возможностью обобщения полученных выше в п. 1) результатов о влиянии на уровни Ландау «мелкой»
ямы в случае слабого магнитного поля, когда он 3> R, на произвольный короткодействующий
потенциал радиуса Л с помощью теории возмущений по длине рассеяния, см. 4.29, 4.31 и 4.11.
Для этого заметим, ограничиваясь состояниями с m = 0 (об обобщении на значения т Ф О
см. 13.36 и 13.37), что, согласно C), при ав > Л интеграл в выражении
00 00
а„о « - ^г A I U(r)p dp dz
лишь коэффициентом ft/h2 отличается от длины «-рассеяния о° в борцовском приближе-
приближении. Соответственно, замена <>о на точную длину рассеяния оо в потенциале U(r) дает
в случае а0 < 0 искомое обобщение результатов C); теперь
а„о « т> ^„oo « 4°' - zlMia\ G)

§ 6. Адиабатическое приближение 243
(при ао > 0 рассматриваемых связанных состояний не возникает, как и в случае отталкиватель-
ного потенциала в условиях п. 1)). Эта формула становится неприменимой в случае |ао| ¦> ая,
когда в самом (изолированном) потенциале V(r) имеется «мелкий» «-уровень с энерги-
энергией ~Ыя: при этом возникает существенная перестройка спектра уровней Ландау с m = О
(т.е. их сдвиги становятся ~Пшн, сравнить с 11.4 и 9.3). Подчеркнем, что остальные, «глубо-
«глубокие» уровни как с моментом / = 0, так и с I Ф 0 в потенциале U(r), если они существуют,
под влиянием слабого магнитного поля испытывают лишь небольшой сдвиг.
Далее, заметим, что рассматриваемые уровни Е„тщ при совместном действии магнит-
магнитного поля и потенциала, строго говоря, являются истинно связанными лишь при значениях
квантового числа nf = 0 (для каждого т). При значениях же п„ ^ 1 они отвечают квазиста-
ционарным состояниям, так как под влиянием потенциала U(r) (приводящего к образованию
связанного состояния в продольном направлении) возможен также переход на более низкие
уровни Ej поперечного движения с п'р < nf, при котором в продольном направлении частица
является уже несвязанной и имеет энергию Е, га Тш^Пр-п'^) (при этом учтена отмеченная ра-
ранее малость «глубины залегания» уровней). В случае «мелкой» ямы и слабого магнитного поля,
рассмотренном в п. 1), выражение для ширины таких квазистационарных состояний с m — О
/
О
может быть получено аналогично33> формуле (У) из задачи 8.4. С помощью указанной выше
замены а0 на длину рассеяния о0, выражение (8) может быть обобщено на случай «сильного»
короткодействующего потенциала.
S) Наконец, обсудим особенности квантовомеханической задачи о движении частицы
в одномерном кулоновском потенциале приближения V — -а/\х\ на всей оси -оо < х < +со.
Как отмечалось в п. 3), при этом возникает «падение на центр» (в точку г = 0): из формулы F)
при радиусе «обрезания» потенциала оц -» 0 следует Ео —> -ее. Дело в том, что гамильтониан
частицы
R
при движении на всей оси является эрмитовым, но не самосопряженным оператором. Это
связано с тем, что с. ф. гамильтониана при х = ±\х\ -> 0 имеют вид34' (справа и слева
от точки х — 0):
и обычное для регулярных потенциалов условие непрерывности волновой функции и ее про-
производной не может быть выполнено в точке х = 0, так как Ф±(х) обращается в бесконечность
при х —* 0.
Тем не менее эрмитов оператор (9) допускает самосопряженное расширение. Для введе-
введения дополнительных условий, задающих такое расширение оператора, см. 1.29, заметим, что
для функций, удовлетворяющих при \х\ -«0 условиям A0), справедливо соотношение
е -оо
33) В роли параметра р, определяющего в условиях задачи 8.44 связь двух каналов, теперь выступает
А,,„,т = - JU(r)K,m(pIfn2m(p) dV,
сравнить с Qnm из формулы C).
34' Обратить внимание на логарифмическое слагаемое и независимость его от энергии; от последней
зависят лишь поправочные члены в приведенной асимптотике A0) решений уравнения Шрадингера,
сравнить с 9.14.

244 Глава 8. Теория возмущений. Вариационный метод
здесь е > 0, в котором внеинтегральное слагаемое при с —» 0 равно
"} (.2)
где верхние индексы 1 и 2 относятся к волновым функциям Ф|,з. Сохраняя при само-
самосопряженном расширении оператора (9) условие непрерывности волновых функций A0)
в точке i = 0:
в дополнение к нему из условия обращения в нуль внеинтегрального слагаемого A2), получаем
Вещественный параметр /}, определяющий условия сшивания решения уравнения Шрё-
дингера в точке 1 = 0, задает самосопряженное расширение гамильтониана (9). С физической
точки зрения возможность выбора различных значений параметра /3 отвечает различным спо-
способам «обрезания» потенциала на малых расстояниях (сравнить со случаем, рассмотренным
в п. 3)). При этом значение /3 однозначно восстанавливается по положению основного уровня
частицы. Подчеркнем также, что параметр /3 определяет не только энергетический спектр
связанных состояний частицы, но и состояния непрерывного спектра (отражение частицы
потенциалом).
Найдем теперь дискретный спектр гамильтониана (9) с условиями сшивания A3) и A4)
решения уравнения Шрёдингера в точке я = 0. Экспоненциально убывающее при \х\ —> со ре-
решение у. Ш. с энергией Е = -та2/Hi2и2 в одномерном кулоновском потенциале выражается
через функцию Уиттекера W,.ti/2(z), см. |34]:
Здесь i/ > 0, ф(г) = Г(г)/Г(г) — логарифмическая производная гамма-функции, € =
0,5772.... — постоянная Эйлера.
Уровни имеют определенную четность. Для нечетных состояний Ф±@) = 0. Чтобы
удовлетворить этому условию, значение выражения в квадратных скобках в (IS) должно
быть бесконечным. Так как ip(z) обращается в бесконечность только в точках z = -к,
где * = 0,1,2,..., причем
<Р(г) и ~ ,g + к, при z-»-fc, A6)
то замечаем, что для нечетных уровней v принимает значения е* = п с п = 1,2,....
Соответственно, спектр таких уровней
совпадает со спектром 5-уровней в центральном поле U — —а/г (как и следовало ожидать,
см. 4.1 и 2.5).
Для четных уровней частицы, согласно выражениям A4) и A5), получаем35'
-^-2V(l-f) + 2-444 2ln^=/3oB. A8)
Их спектр существенно зависит от значения параметра /3. Ограничимся анализом двух
предельных случаев. Пусть р > 0, причем /tag > 1. Имея в виду соотношение A6), замечаем,
"' Обратить внимание на различие аргументов логарифма в формулах A0) и (IS).

§ 6. Адиабатическое приближение 245
что в этом случае четные уровни лишь слегка сдвинуты вниз относительно нечетных уровней.
Записав v$ = n + Аг/„, согласно уравнению A8) получаем
2
' A""*1W n = 1>2 09)
причем |Де„| < 1. Эта же формула справедлива и в физически более интересном случае р < О
с |/3|ов » 1, (см. «обрезание» кулоновского потенциала, рассмотренное в п. 3)). Теперь четные
уровни A9) слегка сдвинуты вверх относительно нечетных уровней. Однако в дополнение
к ним появляется еще один, «глубокий» уровень Е?, для которого из уравнения A8) находим
•f^—fia.+ilwM*1 B0)
и соответственно
Именно этот уровень (без Е®) описывается формулой F). Определив из него значение
параметра /3, согласно выражению A9) можно получить спектр четных возбужденных уровней
продольного движения для водородоподобного атома в сильном магнитном поле.

Глава 9
Квазиклассическое приближение1*.
1/iV-разложение в квантовой механике
Два независимых решения одномерного уравнения Шрёдингера2' (II. 1) в ква-
квазиклассическом приближении имеют вид
х
\ [p(x)dx\,
р=у/2т[В-Щх)].
Условие применимости этого приближения — уловие квазикласичности — предпо-
предполагает выполнение неравенства
U'(x)
Ах
= К
<*0/р)
Ах
= mh
pJ(x)
Общее решение уравнения Шрёдингера в квазиклассическом приближении
является некоторой суперпозицией волновых функций (IX. 1)
Однако обычно всегда имеются такие области значений х, в которых усло-
условие (IX.2) нарушается (например, вблизи точек остановки). В связи с этим возникает
проблема3' сшивания квазиклассических функций, отвечающих одному и тому же
решению уравнения Шрёдингера по разные стороны от таких областей.
Часто применимы условия сшивания, основанные на линейной аппроксимации
потенциала в окрестности точек остановки классического движения
Щх) « Щхо) - F(xt)(x - so), F(s0) = -U'(x0), р(х0) = 0.
При этом предполагается, что на таком удалении от точки остановки хо, где еще
справедливо линейное разложение потенциала, уже выполнено условие квазиклас-
квазиклассичности (IX.2).
'> Квазиклассическое приближение называют также методам ВКБ (или WKB, Wentzel—Kramere—
Brillouin).
2) Напомним, что у. Ш. для частицы в центральном потенциале сводится к одномерному, см. (IV.S).
Однако при этом возникают определенные осложнения ввиду появления в эффективном потенциале
слагаемого с центробежной энергией Utf(r) = ft2j(l + l)/2mr2, которое нарушает условие применимости
квазиклассического приближения при г -. 0, так как в этом случае dX/dr к г'2 -• со. Один из
эффективных способов преодоления этого затруднения связан с использованием преобразования Лонгера,
которое мы обсудим ниже.
'* Ее решение требуется, в частности, для учета граничных условий.

Квазиклассическое приближение
247
Для самой правой точки остановки, типа ж = 6 на рис. 29, они имеют вид
*(») =
ехр
х
-4 / |
, х > 6;
6
Ф(х) = —===sin{- / p(x)dx+?-\, x<b
Wp(x) {n, J 4J
(так называемые условия сшивания Кроме pea.)
Для левой точки остановки, х = а на рис. 29:
Ф(х) = —S== ехр {-i / |р(г)| da:}, х < а;
(IX.3a)
(IX.36)
(IX.4a)
s > о.
(IX.46)
В случае потенциальной ямы приведенного на рис. 29 вида, для дискретного
уровня Е = Eq из условия совпадения выражений (IX.36) и (IX.46) (описывающих
одно и то же решение у Ш.): кратности -к суммы фаз
синусов в них, следует правило квантования Бора—
Зоммерфельда^
U(x)
а Ь
Рис.29
х Хотя формально квазиклассические правила кванто-
квантования определяют спектр Еп лишь для п> I, обычно
в случае гладких потенциалов результат и при п ~ 1
имеет достаточно высокую точность.
Дифференцирование в AX.S) по п определяет расстояние между соседними
уровнями
6Е„ = En+t - EnK —— = Кш(Е„),
где ш(Е„) = 2тг/Т{Еп) — частота движения классической частицы с энергией Еп,
Т — его период, см. (IX.7) ниже.
Для волновой функции связанного состояния обычно можно использовать
следующее простое выражение (сравнить с (IX.3,4)):
и
-), а<х<Ь;
х < о, х > Ь,
(IX.6)
4* В более обшем случае, когда неприменимы условия сшивания (IX.3), (IX.4), правая часть в правиле
квантования равна *(п + о), где квазиклассическая поправка а ~ 1 Именно при корректном ее учете
область применимости квазиклассического результата обычно затягивается до значении n ~ 1 (в против-
противном случае происходит существенная потеря точности даже для сравнительно больших значений n ~ 10).

248 Глава 9. Квазиклассическое приближение
пренебрегая возможностью проникновения частицы в классически запрещенную
область, где волновая функция экспоненциально убывает. Для нормировки в. ф.
на единицу следует выбрать
г 2пш(Еп) 2* f dx
Квантовомеханическая плотность вероятности | Ф„ (х) | как функция х быстро
осциллирует, так как я>1. Однако после усреднения55 по небольшому интервалу
значений х эти осцилляции исчезают и плотность вероятности принимает вид
¦ М|2_ 2т 2
что соответствует классической вероятности
определяемой временем dt прохождения частицей интервала dx, отнесенным к по-
половине периода.
Обратим внимание на следующее обстоятельство: при вычислении производ-
производных от волновой функции следует дифференцировать лишь тригонометрический
множитель (синус или косинус) как наиболее быстро изменяющийся.
Одним из важных приложений квазиклассического метода является его приме-
применение для вычисления проницаемостей различного рода потенциальных барьеров.
U(x)
Так, проницаемость барьера, указанного на рис. 30,
в квазиклассическом приближении описывается вы-
выражением
ь
D(E) = exp|-^ J
а ох
Рис.30
Условием применимости этого выражения являет-
является большая величина в нем показателя экспоненты,
так что Х> < 1. Формула (IX.9), как и (IX.5), предполагает возможность сшивания
квазиклассических решений в окрестностях точек остановки, основанного на линей-
линейной аппроксимации потенциала. При нарушении этого условия квазиклассический
результат (IX.9) справедлив лишь с точностью до предэкспоненциального множи-
множителя (но передает главное: экспоненциальную малость коэффициента прохождения
барьера).
Преобразование Лангера
1) В уравнении Шрёдингера (IV.5) для радиальной функции хт(Т) из-за цен-
центробежной энергии в эффективном потенциале (здесь и ниже ft = m = I, E = k2/2)
A)
51 Оно сводится к замене sin 2{...} его средним значением, равным 1/2.

Квазиклассическое приближение 249
доминирующей при г -* 0, квазиклассичность на малых расстояниях нарушается,
так как в этом случае dX(r)(dr ос г"'2 —» оо.
Для преодоления этого осложнения Лангер предложил использовать преобра-
преобразования независимой переменной и волновой функции
т = ех, f(x) = e~z/2XEi{ez), -co < а; < оо, B)
при выполнении которых радиальное уравнение Шрёдингера приводится к виду
/J t *^ ' "г ,»• \э/
Оно сохраняет форму одномерного уравнения Шрёдингера, для которого, что су-
существенно, подбарьерная область х —> -оо (соответствующая г -¦ 0) уже является
областью квазиклассичности. Это обеспечивает, в частности, правильную зави-
зависимость квазиклассической радиальной функции от углового момента на малых
расстояниях. Действительно, применение формулы AХ.4а) к уравнению C) с ис-
использованием B) дает
'KB/ (+1 . \ п /.1
/ (г +...;, г->0. D)
Здесь г_ = е° — левая точка поворота, а квазиклассический импульс описывается
выражением
p?(r)=|>-2tf(r)-?|'2. E)
Применение правила квантования Бора—Зоммерфельда (IX.5) к уравнению C)
и последующий переход в нем к переменной г приводят к условию квантования
J pL(r)dr = жП (пг +-) F)
с квазиклассическим импульсом рь(г) E).
Как видно, хотя для уравнения Шрёдингера с потенциалом A) квазиклассич-
квазиклассичность на малых расстояниях нарушается, тем не менее условие квантования его
спектра описывается обычным выражением (IX.5), в котором, однако, в центро-
центробежном потенциале выполнена следующая замена4: 1A + 1) —»(I + 1/2J (которую
называют введением поправки Лангера).
Однако, строго говоря, применение к уравнению C) условий сшивания Крамер-
са (используемых при выводе правила квантования (IX.5)) является необоснованным.
Дело в том, что в случае, v ~ 1 для этого уравнения нельзя использовать условия сши-
сшивания (IX.4) в окрестности левой точки поворота х — а, основанные на линейном
разложении потенциала: область неквазиклассичности здесь существенно шире.
В этом нетрудно убедиться уже на примере свободного движения, U = О,
в котором согласно E) р(х) = |/уег''"°) - 1, о = In (у/к) — точка остановки. При
\х - о| < 1 имеем р(х) « vy/2(x - о) и условие квазиклассичности (ГХ.2) принимает
вид
i/-2/3 < \х - о|< 1. F)
') Заметим, что подход Лангера применим и для з-состояннй.

250 Глава 9. Квазиклассическое приближение
Эти неравенства одновременно выполняются лишь в случае у> 1 (т.е. I > 1),
когда центробежный потенциал становится квазиклассическим.
2) Обсудим модификацию условий сшивания Крамерса для квазиклассических
решений уравнения C) в окрестности левой точки поворота х = а в двух следующих
случаях.
Сшивание при больших энергиях
С увеличением энергии точка поворота а —» -со, при этом г_ —» 0, и в уравне-
уравнении C) можно опустить слагаемое с потенциалом U{e*), после чего оно решается
в функциях Бесселя, что позволяет сшить квазиклассические асимптотики ^(х).
Это приводит к следующим квазиклассическим выражениям для функции Хв\{т)'-
Xbi(t) =
Г
cos / pLMdr- - 1, r > r_,
f-
G)
exp I - / l?i(r)| dr I, r < r_,
где"
сравнить с (IX.4a ) и AХ.46).
Как видно, значение квазиклассической фазы -т/4 не изменилось, в отличие
от соотношения между коэффициентами С и С". Заметим, что ?A/2) = \/2/е =
0,8578, ?A) = VHre'1 = 0,9221, а с ростом х функция ?(z) выходит на единицу:
4(х) « 1 — 1/ 12а; при х —» со, так что при I 5> 1 соотношения (8) переходят в условия
сшивания Крамерса (IX.4).
Установленная модификация условий сшивания отражается на значениях ради-
радиальной волновой функции в подбарьерной области малых расстояний8'. Проиллю-
Проиллюстрируем ее роль на примере вычисления асимптотического коэффициента в нуле Cnrt
для сферического осциллятора U{r) = w2r2/2 (напомним, что ft = m = 1). Этот
коэффициент (часто встречаемый в приложениях) определяет поведение нормиро-
оо
ванной волновой функции связанного состояния частицы, / Хп,((г)'*г = 1. на малых
о
расстояниях
Хпг((г)«сПг(г'+|, г^О, (9)
сравнить с D). Точное значение cffl для осциллятора согласно задаче 4.5 равно
а квазиклассичские значения описываются выражениями
7) Вывод этих соошошений н их обобщения — см. Карнаков Б. М., Мур В.Д, Попов В. С. ЖЭТФ. 1995.
Т. 107. С. 1768; ЯФ. 1998. T.6I. С.481.
" Подчеркнем, что значение С в G) определяется прежним соотношением (IX.7).
Заметим также, что квантование по Лангеру, т.е. согласно (б), для осциллятора и частицы
в кулоновском потенциале приводит к точному энергетическому спектру.

Квазиклассическое приближение
251
в которых сп I получены с помощью условий сшивания Крамерса. В приведенной
ниже таблице проведено сравнение значений этих коэффициентов. В ней для ряда
состояний представлены значения отношений
Cn,l
'«,1 -
A2)
Cn,l
характеризующие точность соответствующего приближения.
1
0
I
2
S
„(.)
,(.)
nr=0
1,1469
0,9838
1,0293
0,9744
1,0039
0,9711
0,9826
0,9678
n, = !
1,1620
0,9967
1,0493
0,9934
1,0251
0,9917
1,0045
0,9895
nr = 2
1,1642
0,9986
1,0531
0,9969
1,0295
0,9959
1,0095
0,9943
nr = 5
1,1655
0,9997
1,0555
0,9992
1,0325
0,9988
1,0133
0,9981
n, = oo
1,1658
1
1,0563
1
1,0337
I
1,0153
1
Как видно, установленная в G), (8) модификация условий сшивания не только
обеспечивает асимптотическую точность квазиклассичсского приближения для вы-
вычисления с„т1 при Пг —* оо, но дает также вполне удовлетворительные результаты
и для состояний с небольшими значениями радиального квантового пг, в том числе
и для основного состояния. Эти свойства сохраняются и в случае других гладких
потенциалов.
Сшивание при сгущении уровней, Е„ —*¦ —0
Рассмотрим случай степенных потенциалов притяжения U(r) = -gr" с -2 <
а < 0 (при а = -1 — кулоновский потенциал), в которых имеется бесконечное
число уровней, сгущающихся к точке Е — -0. Теперь в уравнении C) в окрестности
левой точки поворота можно пренебречь слагаемым с энергией Е = кг/7, что
позволяет получить точное (не квазиклассическое) решение и с его помощью
сшить квазиклассические асимптотики. Это приводит к прежним выражениям G),
в которых теперь
С 1 , , 21 + 1
С -2— "=2+^ A3)
Проиллюстрируем их роль на примере вычисления асимптотического коэф-
коэффициента в нуле в случае кулоновского потенциала (для которого /i = 21 + 1).
Согласно (IV.3) точное значение
B1-
\
1/2
П = Пг+1+
а квазиклассические выражения для них (сравнить с (II))
(n - j/)<-"
A4)
A5)

252
Глава 9. Квазиклассическое приближение
сравнение их с точными значениями проведено в следующей таблице
/
0
1
2
1
„<«>
щ =0
1,0602
0,9776
0,9974
0,9702
0,9844
0,9681
п, = 1
1,0787
0,9947
1,0189
0,9911
1,0063
0,9897
пг = 2
1,0819
0,9977
1,0235
0,9955
1,0112
0,9945
пр = 5
1,0838
0,9994
1,0267
0,9987
1,0150
0,9982
П, = 00
1,0844
1
1,0281
1
1,0162
1
Как видно, именно модифицированные условия сшивания обеспечивают асим-
асимптотическую точность квазиклассического приближения при вычислении асимпто-
асимптотического коэффициента.
§ 1. Квантование энергетического спектра
9.1. В квазиклассическом приближении найти энергетический спектр:
а) линейного осциллятора;
б) связанных состояний частицы в потенциале U(x) = —ЩсЬ ~2(х/а).
Сравнить с точным результатом (в случае б) см. [1, § 23]).
Решение, а) Для линейного осциллятора элементарное интегрирование в формуле (IX.S) дает
Е, = Иш (п + 1/2), что совпадает с точным результатом.
б) Для указанного потенциала интегрирование в (LX.5) с помощью подстановки
i
sh - = х sin t, x = «/ т=г7 - 1
позволяет получить
2гоо2
В точном результате под корнем стоит 2тСоо2/й2 + 1/4, так что при значениях параметра
квазиклассичности ? = v/2mfooV>3 > 1. когда в потенциале имеется много связанных
состояний, квазиклассический и точный результаты мало отличаются друг от друга и для п ~ 1.
Более того, квазиклассический результат неплохо воспроизводит точный спектр даже в том
случае, когда в потенциале имеется всего 3-4 уровня д. с. Действительно, максимальное
значение п определяется тем, что п + 1/2 ^ {, т. е. п,^ я ? при ( 3> 1; при этом различие
точного и квазиклассического результатов проявляется в слагаемом \/(} + 1/4 -{ и 1/8{ S. 1
на фоне квазиклассического выражения { - (п + 1/2) в формуле (I).
9.2. Получить правило квантования энергетических уровней и найти соответствующие
им квазиклассические волновые функции в случае потенциала вида'*, приведенного
на рис.31.
Применить полученный результат к потенциалу, рассмотренному в 2.8. Обратить
внимание на близость квазиклассического и точного значений Е„ даже при п ~ 1.
" Полученный результат непосредственно переносится и на случай «-состояний частицы в централь-
центральном потенциале, см. 4.1.

О
§ 1. Квантование энергетического спектра 253
Решение. Сшивание квазиклассических решений в окрестности
правой точки поворота (остановки) х = Ь производится обычным
образом с помощью формул (IX.3). Теперь, однако, выражение
для в. ф. при х < Ь справедливо, вообще говоря, и для значе-
значений х, непосредственно примыкающих к левой точке поворота,
i = 0 (которая уже не является точкой остановки!). Использование
Еп граничного условия Ф@) = 0 приводит к правилу квантования
ь
¦[ [ у/Ъп[В. - Щх)] dx = тг L + 1\ , « = 0,1,.... A)
Рис31 о
Подчеркнем, что изменение условий сшивания отражается лишь
на величине квазиклассической поправки: п + 3/4 вместо п + 1/2
в правиле квантования (IX.5). Заметим также, что соотношение A) можно получить и из пра-
правила Бора—Зоммерфельда, примененного к нечетным уровням в симметричном потенциале
V = (/(|х|) (т.е. заменив в нем п на 2п + 1, сравнить с 2.5).
Для потенциала U = Fx при х > 0 согласно A) находим
.2/3
Этот квазиклассический результат мало отличается от точного для всех значений п (а не только
при п > I). Так, значения Е„/ев по формуле B) для п = 0 и 1 равны 1,842 и 3,240; точный
результат дает 1,856 и 3,245 (квантование согласно (IX.5) приводит, особенно при п~1,
к существенной потере точности: 1,405 и 2,923 вместо приведенных выше значений).
9.3. Частица находится в центральном поле, представляющем суперпозицию «даль-
нодействующего» потенциала U{r) вида, приведенного на рис.31 (с заменой в нем х
на г, так что на малых расстояниях нет потенциального барьера), и «короткодей-
«короткодействующего» потенциала, аппроксимируемого потенциалом нулевого радиуса (п. н. р.,
см. 4.10, а также 4.31).
Получить правило квантования s-уровней и обсудить вопрос о сдвиге уровней в по-
потенциале U(г) под влиянием п. н.р. Обратить внимание на возможность перестройки
спектра, т. е. больших сдвигов, сравнимых с расстоянием между невозмущенными
уровнями в потенциале U(t).
Решение. Для радиальной функции х», = гЯ*то «-уровня (см. (IV.5)) имеем при г < Ь
G = 0 в отсутствие п.н. р.), так что при г -» 0
. , - Г /р@) \ I
Хп.(г) и С Isin7+ 1 COS7 1 Н
L \ fi / J
(при этом ввиду квазиклассичности достаточно учесть зависимость от г лишь в аргументе
синуса и можно заменить р(г) на р@)). Сравнивая это разложение с граничным усло-
условием из 4.10, определяющим п. н. р., находим10' 7 — ~ aretg(p@)o0/fi). Сшивая теперь,
согласно AХ.З), функцию A) с убывающим в классически недоступной области решением,
приходим к правилу квантования
B)
|0)Здесь ао = Од1 — длина рассеяния для п.н.р. Будучи выраженными через длину рассеяния,
полученные для л. н. р. результаты непосредственно переносятся на случай достаточно произвольного
короткодействующего потенциала.

254 Глава 9. Квазиклассическое приближение
При oq = 0 это соотношение определяет спектр Е(®„ для «-уровней в потенциале У (г)
(без п. н.р). В случае |р»,(О)ао//»| < I значение арктангенса в B) также мало, соответственно
мал и сдвиг уровня. Записав Е„,й = Е^й + А?»,о и выполнив разложение радикала в B):
«
• + АЕ - U dr a
о о
находим сдвиг уровня под влиянием п. н. р.
АЕ — — '°'o'0'f0W {3}
где ь>? = *"' f[mdr/p?(Q))\ ~ частота радиального движения классической части-
частицы с равным нулю орбитальным моментом в потенциале U(r). Используя соображения
о нормировке квазиклассических в. ф. (сравнить с (IX.7)), этот результат можно представить
в виде (Ф =
что соответствует сдвигу уровня согласно теории возмущений по длине рассеяния, см. 4.29.
В случае |р|ц.@)оо/Л| ^ 1. наоборот, сдвиги уровней велики и сравнимы с расстоянием
между невозмущенными уровнями в потенциале U(r). Это особенно наглядно видно при зна-
значении Оо = со. Физическая выделенность этого случая определяется тем обстоятельством, что
в п. н. р. имеется «мелкий» /одлышп (при а0 > 0) или виртуальный (при ао < 0) уровень с энер-
энергией JEo * -Иг/2та1, сравнить с 4.11 и 13.49, такого же порядка величины, как и у рассматри-
рассматриваемых уровней в потенциале U(r) (так что возникает своеобразная резонансная ситуация).
В заключение заметим, что в. ф. A) относится к случаю Е > U@), который только и мо-
может реализоваться в отсутствие п. н. р. При наличии п. н. р. следует рассмотреть и значения
Е < 1/@). При этом в. ф. при г > 0 описывается убывающей «квазиклассической экспонен-
той» вместо A). Как легко заметить, такое решение существует лишь при значениях о0 > 0
и отвечает энергии Ео = -ft2/2majj + f/@), описывающей сдвинутый на 1/@) уровень д. с,
имеющийся в изолированном потенциале нулевого радиуса.
9.4. В квазиклассическом приближении исследовать энергетический спектр части-
частицы в симметричной потенциальной яме Uo(x), разделенной 5-барьером аб(х), так
что U(x) = Uo(x) + а 6(х). Рассмотреть предельные случаи
а) слабо отражающего, 6) малопроницаемого барьеров.
Решение. Удобно раздельно исследовать спектры четных и нечетных уровней Для нечетных
состояний Ф@) = 0. При этом, имея в виду условия сшивания для d-потенциала из 2.6, заме-
замечаем, что производная в. ф. непрерывна в точке х = 0. Поэтому частица в нечетных состояниях
не «чувствует» ^-потенциала, а спектр нечетных уровней определяется правилом квантова-
квантования (IX.5) для значений п = 2* + I (здесь A: -f 1 — порядковый номер нечетного уровня):
о.
У у/2т[Щ - Ut(x)] dx =
(О
Для четных уровней условие на скачок производной в. ф. принимает вид Ф'@ f) =
(ma/ft3)Ф@). Используя при х > 0 для в.ф. выражения (IX.3), находим
-р@) cos [jj J р(х) dx + ^j = ^ sin ^ J p(x) dx + 1

§1. Квантование энергетического спектра 255
(ввиду квазиклассичности достаточно дифференцировать no х лишь в аргументе синуса).
Отсюда, вводя tg7 = та/р@)Л, получаем правило квантования для четных уровней с п = 2fc:
j фт{Е+-ио(х)] dx = «A (k + i + I arctg
B)
\ *t Л J/j. \\JJH /
О
При а = О оно воспроизводит спектр четных уровней Е?к в потенциале Ua{x). В случае
ma/hpk@) < 1 сдвиги этих уровней малы (много меньше расстояния между невозмущенными
уровнями). Записав Ef = Е?к + &Е{ и выполнив под интегралом разложение радикала
(сравнить с предыдущей задачей), получаем
AEt = 4ma C)
что совпадает с a|*Jt@)| и соответствует результату теории возмущений для V = а6{х);
здесь T(Eqt) и Фд к@) — период движения и в. ф. при х = 0 в потенциале Un(x) для четных
состояний (см. (IX.7)).
Рассмотренный выше случай соответствует слабому отражению (R <? 1) от ^-потенциала,
коэффициент прохождения которого равен (см. 2.30)
"*-('¦?)"•
С увеличением а сдвиги четных уровней возрастают и при значениях та/Лрк@) > 1 они
сближаются с соседними сверху нечетными уровнями. Это — случай малопроницаемого
барьера, а > 0. Подставляя
Р*+@)«А@) =
в правую часть в соотношении B) и используя разложение arctg х ~ я-/2 - \/х при х > 1,
находим, согласно B) и A), расстояние между соседними четным и нечетным уровнями
в этом случае:
6Ек = Щ - Е: « -?^у/ьп[Щ-Щ0)], D)
или, учитывая выражение для Dip),
оЁ/и -— ' ¦' Jj f П|_ @11 • E)
Здесь т(Ек) = Т(Ек)/2 — период классического движения частицы с энергией Ек в потенци-
потенциале Uo(x), разделенном непроницаемым барьером (при х = 0). В таком виде (выражение E))
формула для расщепления уровней в симметричном потенциале носит общий характер и спра-
справедлива для малопроницаемого барьера произвольной формы, см. [1, §50].
Полученные результаты справедливы и в случае о < 0, т.е. для <5-ямы. Однако теперь
четные уровни смещаются вниз, и в случае m\a\/hpf@) > 1 четный уровень (с номером fc+1)
сближается уже с нижним соседним нечетным уровнем (с номером к). При этом основной
уровень Е?{а) с увеличением \а\ обладает следующим свойством. Понижаясь, он сначала до-
достигает значения Ео(ао) = U0@), а при дальнейшем увеличении \а\ переходит уже в основной
уровень в E-яме, сдвинутый на U0@) (сравнить с замечанием, сделанным в конце решения
предыдущей задачи).
9.5. Для частицы в потенциале притяжения, имеющем на малых расстояниях куло-
новский вид U(t) и —о/г, получить в кваэиклассическом приближении волновые
функции и правило квантования s-уровней с энергией \Е\ <S mc^/h1.
Применить полученный результат к кулоновскому потенциалу U = —а/г и к по-
потенциалу Хюльтена U = -Uu/(er/a - 1); сравнить с точным выражением для спектра,
см. 4.8.

256 Глава 9. Квазиклассическое приближение
Решение. Особенность задачи состоит в том, что при решении радиального у. Ш. для функ-
функции х = ГЛ, см- (JV.5), на малых расстояниях, г -» 0, квазиклассичность нарушается.
Действительно, при этом р(т) « y/2ma/r и dX/dr ос г" -» оо. Поэтому, чтобы учесть гра-
граничное условие х@) = 0 в правиле квантования, следует найти точное (неквазиклассическое)
решение у. Ш. на малых расстояниях и сшить его,с квазиклассическим решением (IX.3).
У. Ш. на малых расстояниях принимает вид х"+(<*/г)Х — 0. гяе 5 = 2ma/h2. С помощью
подстановок х — Vrip и г = 2^/аг получаем из него для функции <р(г) уравнение Бесселя
с v = 1 и с учетом граничного условия в нуле, х@) = @), находим
A)
Асимптотика этой функции при Var 5> 1 имеет вид
Теперь замечаем, что для значений г из интервала
\Б\ Va
уже |dA/dr| ~ Eг)~'/2 < 1, т.е. применима квазиклассика"'. Квазиклассическое решение
у.Ш.
Г
на таких расстояниях принимает вид (при этом р(г) и ft^/5/г)
- U(r)) C)
D)
и из условия совпадения его с точным решением B) находим 7 = —т/4 (сравнить со значе-
значением 7 = */4, следующим из условия сшивания квазиклассических решений в окрестности
левой точки поворота х = а в AХ.4), основанного на линейной аппроксимации потенциала,
а также с у = 0 в условиях задачи 9.2).
Наконец, условие совпадения квазиклассического решения C) при -у = -т/4 с реше-
решением (IX.36) (с заменой Ф(х) на х(г))> обеспечивающим выполнение граничного условия
при г -» оо, обычным образом (сумма фаз синусов в решениях должна быть кратна т)
приводит к правилу квантования
ь
i У \/2т<25„г0 - U(r)) dr = т(п, + 1). E)
о
Для кулоновского потенциала, U = -а/г, отсюда находим
что совпадает с точным результатом. Читателю предлагается убедиться в том, что для
потенциала Хюльтена из E) следует также точный результат для спектра «-уровней (см. 4.8).
9.6. Для центрального потенциала вида, приведенного на рис.31 (ограниченного
при г —t 0), найти в квазиклассическом приближении радиальные функции стационар-
стационарных состояний частицы с моментом131 I ~ 1 в области классического движения.
"' При этом считается, что на таких расстояниях еше по-прежнему U т -а/г, причем значение Е
отвечает верхним уровням, с п > I, в таком потенциале.
|2) Именно этот случай и представляет самостоятельный интерес: при 1 > 1 центробежный барьер
Л71{1 + |)/2тпг2 уже является кваэиклассическим и можно воспользоваться условиями сшивания (IX.4),
см. также следующую задачу.

§1. Квантование энергетического спектра 257
Используя полученный результат, обсудить модификацию правила квантова-
квантования (IX.5) и найти энергетические спектры: а) сферического осциллятора U =
mw2r2/2, б) одномерного движения в потенциале: U — Щ tg2 (ъх/а) при \х\ < а/2
и U = со для |х| > а/2. Сравнить с результатом квантования по формуле (IX.5)
и с точным выражением для спектра.
Решение. 1) Особенность задачи состоит в том, что для потенциала U(r) и а/т2 в слу-
случае 2ma/h2 — 1A + I) <, 1 на малых расстояниях (г -¦ 0) квазиклассичность нарушается
и использование условий сшивания (IX.4) не оправдано. Поступая как и в предыдущей
задаче, воспользуемся точным (неквазиклассическим) решением у. Ш. на малых расстояниях,
удовлетворяющим граничному условию х(") = 0; получаем
VFJ,(tor). A)
Здесь к2, = 2m(E - Uo(O))/h2, при этом потенциалl3) U0(r) заменен его значением Уо(О)
в начале координат, а = 2та/Пг и v = \/a+ 1/4. Воспользовавшись асимптотикой функций
Бесселя, замечаем, что на таких расстояниях, где уже А:ог > 1 (для значений и ~ 1), точное
решение A) у. Ш. принимает вид
/ ¦> / »„ ^\
B)
\ *• ¦»/
и совпадает с квазиклассическим выражением
здесь р(а) = 0. Действительно, на рассматриваемых расстояниях имеем
при этом интеграл в C) легко вычисляется интегрированием по частям с последующей
подстановкой z — 1/г и при г > V5/kB оказывается равным Л(ког - irV5/2) (отметим, что
для свободной частицы, U<>(r) — 0, квазиклассическая фаза радиальной в. ф., согласно C),
на больших расстояниях равна кг - я-2/2 и совпадает с точным выражением).
Формула C) решает проблему учета граничного условия х@) = 0 в квазиклассическом
решении в классически разрешенной области движения. При о -» 0 также f -¦ 0 и из C)
следует результат из 9.2. Наоборот, при о > 1, барьер а/г2 является уже квазиклассическим,
\dX/dr\ ос а'2 < 1; при этом 7 ~ т/4 в согласии с (И.4?).
Воспользовавшись C) и обычным условием сшивания (IX.3) для правой точки поворота,
приходим к следующему правилу квантования для уровней с моментом { в центральном
потенциале U(r), ограниченном в начале координат:
ь
2) Отсюда для сферического осциллятора, U = тш2г2/2, воспользовавшись значением
интеграла
/i,
находим Е„Г1 = Нш Bпг + / + 3/2), что совпадает с точным выражением для спектра, см. 4.S.
"'формулы A) относятся к одномерному у. Ш. ? потенциалом (/(г) = а/г2 + Щ(т), где
плавная функция г. Для центробежного потенциала о = Щ + 1) и v = I + 1/2.
9 За» 254

258 Глава 9. Квазиклассическое приближение
Рассмотрим теперь потенциал V = Ua tg2 (rx/а). При значениях х -* ±а/2 он прини-
принимает вид U « а/г2, где г = а/2 — \х\ и а = Со<»2/т2. Поэтому для учета граничных условий
Ф (±о/2) = 0 при выводе правила квантования следует воспользоваться аналогичными C)
выражениями для квазиклассической в. ф. в окрестности обеих точек поворота. После этого
обычным образом (сумма фаз синусов в квазиклассических решениях кратна *) получаем
1
сравнить с т (n + 1/2) в правой части (IX.5). Вычислив интеграл с помощью подстановки
ио, 1/2
sin '
находим
что воспроизводит точный спектр, см. [9]. В связи с полученным результатом заметим, что
квантование согласно (IX.S) при значениях та/Л1 < 1 приводит к заметной потере точности
даже при сравнительно больших п. Так, в случае Uo = 0 (т.е. при переходе к бесконеч-
бесконечно глубокой потенциальной яме) для точного спектра Е, ос (п + IO, а согласно (IX.5),
Еп a (n + 1/2J, при п = 10 погрешность составляет 10 %.
9.7. В предыдущей задаче для состояний частицы с моментом I в центральном
потенциале U(r), ограниченном при г —» 0, было получено правило квантования14'
а
(О
Показать, что с квазиклассической точностью оно эквивалентно квантованию с по-
поправкой Лангерсг.
Показать также, что оба эти соотношения с той же точностью эквивалентны более
простому условию квантования
ь ь
l- Jр(г) dr=X-J yjlm[En,, - U(r)] dr = т^п, + I + ^, C)
о о
в котором радиальный импульс р(г) вообще не содержит центробежного потенциала,
а от величины момента I зависит лишь значение квазиклассической поправки к пг.
Рассчитать, согласно этим правилам квантования, энергетические спектры: а) сфе-
сферического осциллятора U = тш2гг/2, б) частицы в бесконечно глубокой сферической
яме радиуса R (при этом учесть изменение условий «сшивания» для правой точки
поворота г = R). Сравнить с точным спектром.
и) Подчеркнем, что все три условия квантования предполагают обычное, согласно (IX.3), сшивание
квазнклассических решений в правой точке поворота.
Квантование по Лангеру справедливо и для потенциалов, имеющих при г — 0 вид С/(г) » а/г"
с 0 ^ v < 2. Обобщение на этот случай последнего условия квантования приведено в решении.

§1. Квантование энергетического спектра 259
Решение. 1) Начнем с замечания, что в квазиклассических состояниях с п, > 1 для харак-
характерных значений величины ЕЩ1 - U(r) (кинетической энергии частицы) на расстояниях г <, Ь
классического движения имеем по порядку величины оценку
е _tf~?2:
следующую из правил квантования. При этом в основной области интегрирования в правилах
квантования центробежный потенциал при I ~ 1 выступает как поправка порядка (I -t- I/2J/n?
(что находится за пределами точности рассматриваемых правил квантования) и может быть
опущен. Исключением является лишь область малых расстояний в окрестности левой точки
поворота и именно различие вкладов этой области в значение интеграла и определяет различие
квазиклассических поправок в правых частях правил квантования, приведенных в условии
задачи.
Для доказательства утверждения разобьем области интегрирования на две: от а (или 0)
до с и от с до Ь, причем выберем13' с таким образом, что: 1) еще можно пренебречь
изменением U(r) в области г < с и заменить на 1/@) и 2) уже И2/тс* <? E^i - U@).
При этом, согласно 2), при интегрировании в пределах от с до 6 член с центробежным
потенциалом может быть опущен, так что эта часть интеграла во всех трех случаях одинакова
(при одном и том же Е„г1). Воспользовавшись теперь значением интеграла
?' <">
где а = у/а, с^ а (см. замечание в предыдущей задаче по поводу его вычисления), убе-
убеждаемся, что, действительно, различие правых частей правил квантования компенсируется
разницей интегралов в их левых частях. Отсюда и следует эквивалентность (с квазиклассиче-
квазиклассической точностью) всех трех правил квантования, указанных в условии задачи.
2) Для сферического осциллятора, V = mw2r2/2, все они приводят к одинаково-
одинаковому, совпадающему с точным выражением для спектра Е^, = Тш> Bпг + 1 + 3/2) результату
(при этом вычисление особенно элементарно по последнему — без центробежного потенци-
потенциала — условию квантования C), значение интеграла в первых двух условиях квантования —
см. в предыдущей задаче).
Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме в рассматриваемых правилах
квантования следует произвести очевидную модификацию: заменить пг 4- 1/2 на пг + 3/4
(как и в 9.2, но теперь она связана уже с правой точкой поворота х = R). При этом последнее
из правил квантования C) сразу дает
E)
где to = й2/2п»Д2 (Ец = гге — основной уровень), а из квантования по Лангеру, с учетом
значения интеграла D), следует16'
|5' Возможность такого выбора с обеспечивается выполнением условия квазиклассичности \dk/dr\ <K I
на малых расстояниях для движения в потенциале (/(г) (без учета центробежного потенциала!).
|6) При значениях пг » (/ + 1/2) имеем
и, опуская все поправки, связанные с S, из F) приходим к E). Учет же поправок в этом случае (их вклад
порядка A + 1/2J/пг) на фоне (пг +1/2 + 1) формально был бы превышением квазиклассической
точности правила квантования.
9*

260
Глава 9. Квазиклассическое приближение
Для иллюстрации точности квазиклассического результата приведем, записав E^t =
o. таблицу значений д^ для ряда квантовых чисел пг и1, рассчитанных согласно E)
и точных (указанных в скобках). Для точного спектра дщ, = х^,,
1
1
2
3
4
0
22,2
B0,2)
39,5
C3,2)
61,7
D8.8)
88,8
F7,0)
1
61,7
E9,7)
88,8
(82,7)
120,9
A08,5)
157,9
A37,0)
2
120,9 '
A18,9)
157,9
A51,9)
199,9
A87,6)
246,7
B26,2)
3
199,9
A97,9)
246,7
B40,7)
298,6
B86,4)
355,3
C34,9)
4
298,6
B96,5)
355,5
C49,3)
417,0
D04,9)
483,6
D63,3)
где хЩ1 есть (пг + 1)-й нуль (не считая х = 0) функции Бесселя Л(г) с» = 1+ 1/2. Мы
специально ограничились небольшими значениями пг, когда квазиклассика формально не-
неприменима, чтобы подчеркнуть, что и в этом случае квазиклассический результат не слишком
сильно отличается от точного. При этом существенно, что выбор квазиклассической поправки
в условиях квантования обеспечивает выполнение правильных граничных условий17'. В та-
таблице не представлены «-состояния; для них квазиклассический спектр совпадает с точным,
5«,о = *2(пг +1J. Как видно из таблицы, различие между точным и квазиклассическим значе-
значениями E^i при фиксированном / слабо зависит от пг. Так как следующая квазиклассическая
поправка в правой части правила квантования ~1/пг при п, > 1, то такое свойство является
точным в рассматриваемом случае и «затягивается» до значений nr ~ 1.
3) Сделаем два заключительных замечания в отношении правила квантования без цен-
центробежного потенциала.
Так как п, и I входят в него лишь в виде комбинации 2п, +1, то отсюда для квазиклас-
квазиклассических состояний следует своеобразное (приближенное) «случайное» вырождение уровней,
аналогичное имеющему место для сферического осциллятора при точном решении у. Ш.
Конечно, также вырождение снимается при учете следующей квазиклассической поправки.
Обсуждаемое условие квантования C) относится к потенциалу, ограниченному на малых
расстояниях. Однако его можно обобщить и на случай, когда U(r) к 1/г" при г -> 0, причем
0 ^ v < 2, если заменить правую часть18' в нем значением
>
2J+I
(^j
(для ограниченного потенциала v = 0; сравнить также для v — \ к 1 = 0 с 9.5). При
этом для кулоновского потенциала, V = —а/г, получающийся квазиклассический результат
воспроизводит точный спектр для всех значений момента I.
9.8. Для одномерного потенциала притяжения, имеющего при |ж| —* оо вид U ос х~4,
найти в квазиклассическом приближении условие появления новых состояний дис-
дискретного спектра частицы при углублении ямы. Применить полученный результат
к потенциалу из 2.40 и сравнить с точным.
"'Как легко убедиться, квантование согласно (IX.5) приводит к существенной потере точности,
сравнить с 9.6.
"'Такая модификация правила квантования может быть получена, если на малых расстояниях
воспользоваться точным решением у.Ш. xi' — A{1 + l)/r2)xt — Bта/Йг)г""^; =0 и затем «сшить» его
с квазиклассическим решением; см. в связи с этим задачу 9.9.

§1. Квантование энергетического спектра 261
Решение. С известной точностью искомое условие можно получить непосредственно из пра-
правила квантования (IX.5), полагая в нем и = N — 1 (TV — порядковый номер уровня)
и устремляя ?лг-| к нулю и соответственно а —» -оо и Ь -» +оо. При этом, однако, учет ква-
эиклассической поправки 1/2 на фоне п будет превышением точности. Это связано с тем, что
используемое при выводе (IX.5) условие сшивания квазиклассических решений, основанное
на линейной аппроксимации потенциала вблизи точек остановки, в данной задаче заведомо
неприменимо: точки остановки «уходят» на бесконечность, где при Е = 0 квазиклассичность
нарушается, так как \dX/dx\ ос \х\ — оо.
Для уточнения значения квазиклассической поправки следует найти точное решение
у. Ш. на больших расстояниях, а затем сшить его с квазиклассическим решением. У. Ш.
принимает вид
Отсюда с помощью подстановки Ф = <p(z)/z, где z = va/\x\, получаем f"(z) + <p(z) = 0.
Так как моменту возникновения нового состояния д. с. при углублении потенциальной ямы
отвечает существование не возрастающего при х -* ±оо решения у. Ш. для В = 0, см. 2.13,
то решение уравнения для <р(г) следует выбрать в виде ip = Л sin г. Таким образом, точная
в. ф. в момент возникновения уровня имеет на больших расстояниях вид
Ф(г) я А±х sin ( —- ), z-*±oo. A)
\ х /
Теперь заметим, что на таких больших расстояниях, где, тем не менее, \х\ < -Ja, уже
выполнено условие квазиклассичности \d\/dx\ < 1 и применима квазиклассика (при этом,
естественно, предполагается, что на таких расстояниях потенциал еще описывается асимпто-
асимптотическим выражением, т.е. U ос х~4). В квазиклассическом приближении имеем
Значения параметров 7i,2 находим из сшивания этих квазиклассических решений с найденны-
найденными выше точными A), удовлетворяющими требуемым граничным условиям при х —* ±оо. Так
как при этом р/h « y/S^/x2, то очевидно 7i = Ъ = 0- Теперь из условия совпадения обоих
решений в B) (сумма фаз синусов в них равна irN), приходим к искомому соотношению:
C)
(непосредственное использование (IX.5), как указано в начале решения задачи, приводит
к значению правой части, равному n(N- 1/2)). Отсюда для потенциала V — -Ut,{x2/a2 + l)~ ,
находим
2mtW _ .
f- ft2 -If- D)
Точный результат, см. 2.40, получается заменой N7 на N2 - I. Как видно, уточненное
условие C), D) имеет более высокую точность'", чем полученное непосредственно с по-
помощью (IX.5). Так, значение 4w для N = 10, согласно D), отличается от точного на 1%,
а «упрощенное» — на 10%.
9.9. В кваэиклассическом приближении найти условие появления новых связанных
состояний частицы с моментом / ~ 1 в центральном короткодействующем потен-
потенциале притяжения, имеющем вид U к —а2Г~"г с i/j > 2 на больших расстояниях
и U « -ot\r~"' с 0 < V\ < 2 при г —> 0, по мере углубления потенциальной ямы.
Проиллюстрировать полученный результат на конкретных потенциалах.
"' При этом различие квазиклассического и точного результатов проявляется в слагаемых ~ 1/N2.

262 Глава 9. Квазиклассическое приближение
Решение. Поступая, как и в предыдущей задаче, запишем сначала квазиклассическое выра-
выражение для радиальной функции (Ф = YtmxAr)lr) при значении Е = О следующими двумя
способами:
удобными для учета граничных условий (xi ос г|+| при г -» 0 и xi а 1/г' ПРИ г -¦ со в мо-
мент возникновения связанного состояния, см. 4.26). В выражениях A) р — y/-2mU{r) —
радиальный импульс в пренебрежении центробежным потенциалом (обоснование такого при-
приближения для состояний с моментом !~1 в области квазиклассичности см. в 9.7). Однако
в условиях задачи как на малых, так и на больших расстояниях квазиклассичность нарушается
и следует воспользоваться точными решениями у. Ш., сшивание которых с квазиклассичес-
квазиклассическими решениями A) позволит найти значения фаз 7i(i)' и из совпадения обоих выражений
в A) получить искомое условие возникновения связанных состояний.
У. Ш. как при г -» 0, так и при г —> оо, принимает вид
|<'+1>1~| = 0, 5=^. B)
Как известно (см, например, [33]), решения этого уравнения выражаются через цилиндриче-
цилиндрические функции
На малых расстояниях, чтобы удовлетворить граничному условию Xi a г'+' > решение следует
выбрать в виде
Воспользовавшись асимптотикой функции Бесселя J, при z -» со, получаем
Х|К1л/1в|пгь^[г»._21 + !:] (з)
12 — |/ 2 4 1
что соответствует квазиклассическому решению на таких малых расстояниях, где еще U и
-оч/г"', но уже можно пренебречь центробежным потенциалом20'. Сравнение с первым
из выражений для Xi в A) дает
~ !/ + 1 1
Аналогичным образом замечаем, что на больших расстояниях решение уравнения B)
следует выбрать в виде
х,
и находим значение параметра
Теперь из требования, чтобы оба выражения для х* в A) совпадали (для чего сумма фаз
синусов в них должна быть равна *N,), приходим к искомому условию возникновения Nt-ro
м* Подчеркнем, что зависящая от г часть квазиклассической фазы в выражении C) не содержит I
в соответствии с отмеченным выше обстоятельством, что учет центробежного потенциала в основной
области классического доижения находится за пределами точности рассматриваемого приближения,
сравнить с 9.7.

§1. Квантование энергетического спектра 263
по счету связанного состояния частицы с моментом I:
Отметим, что случай щ -» оо соответствует потенциалу с экспоненциальным убыванием
на больших расстояниях.
Рассмотрим ряд приложений формулы F).
1) Для s-состояний в потенциале Хюльтена, U(r) = -Uo/e'1', в F) следует вы-
выбрать </| = 1, i/2 = оо и I = 0. После вычисления интеграла получаем
2ma2U0 _ 2
h2 ~ "
что совпадает с точным результатом, см. 4.8.
2) Аналогичным образом для потенциала Юкавы, U = -ае"г'"/р, получаем согласно F)
_ 2та _ ttN}
Отсюда условиям появления нижних \s-, 2s- и Зз-состояний отвечают значения параметра {,
равные 1,57; 6,28; 14,14. Точные значения, получаемые численным интегрированием у. Ш.,
оказываются равными 1,68; 6,45; 14,34.
3) Рассмотрим, наконец, потенциал Тайтца U = — . ° .;, для которого V\ = 1, i/2 = 3.
Согласно F) легко находим
2та / „ Г "
Для этого потенциала можно найти точное условие появления первого связанного состояния,
Л/) = 1, с произвольным моментом I. В. ф. в момент возникновения такого состояния имеет
вид
при этом
2та
Как видно, даже для N, = 1 квазиклассический результат неплохо воспроизводит точное
условие при всех значениях момента частицы (.
9.10. Исходя из правила квантования Бора—Зоммерфельда, получить выражение
для смещения энергетических уровней при малом изменении потенциала на 6U(x)
и установить его связь с результатом первого порядка квантовомеханической теории
возмущений.
Какова интерпретация полученного выражения в рамках классической теории?
Для иллюстрации рассмотреть сдвиги уровней линейного осциллятора за счет
ангармоничности SU = fix4 и сравнить с точным результатом первого порядка теории
возмущений.
Решение. Обозначим через ?!j0) и J5i0) + 6ЕП уровни энергии в полях Щ(х) и t/0(x) + 6U(x)
соответственно. Разлагая подынтегральную функцию в правиле квантования
J фт [д<0) + 6Еп - U0(x) - 6U(x)\ dx = irt (n
n + 0 A)

264 Глава 9. Кваэиклассическое приближение
с учетом малости 6Е„, 6U, находим искомое смещение уровня21'
-Щ*)], B)
где Т(Е^) — период движения классической частицы в потенциале Щ(х).
Полученный результат соответствует формуле первого порядка теории возмущений
(VIH.1), Е, — (SU)nn, и также вытекает из нее, если при вычислении матричного элемента
возмущения воспользоваться квазиклассическим выражением (IX.6) для нсвозмущенной в.ф.
и заменить под интегралом быстро осциллирующий квадрат синуса его средним значением,
равным 1/2.
Классическая интерпретация соотношения B) основана на адиабатическом инварианте
и состоит в том, что оно описывает изменение энергии Е„ (которая в классической теории
не квантована!) финитного движения частицы в потенциале Vo(x) при адиабатическом
изменении его на SV(x). При этом I = (\/2к) f pdx = const, см. [26], и в случае малого
возмущения потенциала 6U отсюда вытекает B); сравнить с «мгновенным» включением
возмущения, рассмотренным в 9.22.
Для осциллятора с ангармоничностью по формуле B) находим
C)
Отметим, что учет 1/4 на фоне п7 + п, строго говоря, является превышением квазиклассичес-
квазиклассической точности (см. в связи с этим 9.13). Действительно, точное выражение для J5. отличается
от C) лишь значением указанной поправки: 1/2 вместо 1/4. Как видно, кваэиклассический
результат неплохо воспроизводит точный и при п ~ 1 (исключая лишь случай п = 0).
9.11. Для частицы в симметричной потенциальной яме U(x), получить в квазиклас-
квазиклассическом приближении выражение для смещения уровней под влиянием слабого
однородного электрического поля и найти поляризуемость стационарных состояний.
Какова интерпретация полученного результата в рамках классической теории? Най-
Найти поляризуемости для линейного осциллятора и частицы в бесконечно глубокой
потенциальной яме.
Решение. Сдвиги &En(<f) невозмущеиных уровней Е„ определяются правилом квантования
l0> + ДЯ, - U(x) + efix] их = jrft (n + i V A)
«i
Здесь V = -е?х — потенциальная энергия частицы с зарядом е в однородном электрическом
поле &. Так как &Е, ос <<г, то в разложении левой части в (I) по полю ? следует учесть члены
второго порядка. Для их вычисления преобразуем левую часть соотношения A) следующим
образом:
Jl) Сравнить с 9.3. Заметим, что изменение левой части A) за счет смешения точек поворота в первом
порядке равно нулю. Если fU(z) отлично от нуля лишь вне области классического движения частицы,
то, согласно B), сдвиг уровня 6ЕП = 0. Конечно, сдвиг уровня есть и в этом случае. Однако он, вообще
говор», экспоненциально мал и его расчет требует специального рассмотрения; сравнить с 9.4.

§1. Квантование энергетического спектра 265
-V(x)+e?x)} ' dxa
4m .1
«. B)
где pn — \j2m (?„ - U(x)), a ±o — точки остановки для невозмущенного движения. Первый
член с pl(x) в разложении B) воспроизводит правую часть в выражении (I), второй равен
Т(е?))АЕп/2, а третий определяет искомое смещение уровней, так что
Здесь Т(В1>п)) — период невозмущенного движения, Д, — поляризуемость п-го состояния,
определяющая среднее значение дипольного момента системы d.n = р„?, индуцированного
внешним электрическим полем.
Согласно C) поляризуемость равна (при Е = .
где х2 — среднее за период классического движения в потенциале U(х) значение величины х1.
Классическая интерпретация этого выражения основана на рассмотрении среднего за период
значения дипольного момента:
Разлагая здесь, как и в B), интеграл по степеням ?, приходим к соотношению d^^ = f)&,
где /3 определяется формулой D) (отметим также, что поляризуемость определяет изменение
энергии классической системы при медленном включении поля, ЛЕ = -p<f1/2, в согласии
с C), сравнить с предыдущей задачей).
Для осциллятора Т(Е) = const а х2 = Е/trw2 (как это следует, например, из теоремы
вириала); при этом Д, = ег/тш2, что совпадает с точным квантовомеханическим результатом,
см. 2.2.
Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме Д, = -е1а2/24Е^ < 0, здесь а —
ширина ямы.
9.12. Используя правило квантования Бора—Зоммерфельда, получить квазикласси-
квазиклассические выражения для поправок первого и второго приближения к сдвигу уровня под
влиянием возмущения V(x) потенциала.
Найти сдвиги уровней линейного осциллятора за счет ангармоничности V = ах3
и сравнить их с точным результатом второго порядка теории возмущений.
Решение. Записав Е„ = ?#" + 2Й" + Е™, V = U0(x) + V(x) и выполнив в формуле (IX.5)
разложение способом, аналогичным использованному в предыдущей задаче, находим

266 Глава 9. Квазиклассическое приближение
Здесь черта означает усреднение соответствующей величины по периоду движения классиче-
классической частицы в потенциале C0(z) с энергией Ег„ , определяемое соотношением22'
Для осциллятора, Uo = тш2х2/2, с ангармоничностью V = ах3 находим V(x) = 0 и
— *} a2x>dx 5 р
(()) 'i^v^
Соответственно J2» = 0 и согласно (I)
4 mo>2 Vmai/ \ 4/
что лишь значением последней, равной 1/4, квазиклассической поправки отличается от точ-
точного выражения, в котором она равна 11/30 (такое различие согласуется, естественно, с ква-
эиклассической точностью, обеспечиваемой правилом квантования Бора—Зоммерфельда,
сравнить с 9.13). При этом квазиклассический результат хорошо воспроизводит точный и для
состояний с п ~ 1 (исключая лишь случай п = 0).
9.13. Найти следующую по h квазиклассическую поправку к правилу квантования
Бора—Зоммерфельда. Показать, что при учете ее энергии уровня оказывается равной
Еп=#*+ак, аеп
где черта означает усреднение с классической вероятностью, dw = 2dx/T(E)v(x),
при энергии Е = Е%-~3-, определяемой правилом Бора—Зоммерфельда.
Для осциллятора с ангармоничностью вида V = рх* и V = ах3, найти следующие
по К квазиклассические поправки к результатам задач 9.10 и 9.12.
Решение. 1) Искомое уточнение правила квантования может быть получено, если при выводе
правила Бора—Зоммерфельда, изложенном в книге Ландау и Лифшица [1], воспользоваться
более точными квазиклассическими волновыми функциями, учитывающими следующую по h
квазиклассическую поправку. Укажем, какие при этом возникают изменения в соответству-
соответствующих формулах из §47, 48 в A|
В.ф. справа от правой точки остановки23' х — Ь, вместо D7,1) теперь имеет вид
С (if imh F ih д2 f F2 \ . ч
t
где F = -dU/dx; здесь использовано выражение D6,11), записанное в более удобном для
дальнейшего виде: малые квазиклассические поправки внесены в показатель экспоненты
и учтено соотношение
ihm> f F1 Л д2 Г F2
~TJ 7 UW2J 7
(на вещественной оси при х > Ь значение р(х) — мнимое, причем tp < 0). Переходя
в область классического движения по контуру в комплексной плоскости х, как и в A),
22'Т. е. усреднением с классической вероятностью (IX.8).
23'Отметим, что используемое нами обозначение а,* левой и правой точек остановки отличается
от принятого в [ 11.

§ 1. Квантование энергетического спектра 267
получаем волновую функцию при24' х < Ь
С (If пЛ F
UJd+
Аналогичным образом из сшивания с решением, убывающим при х -» -оо, находим
волновую функцию в области х > а
С (I f mh F h д
*Jd
и из условия совпадения выражений B) и C) приходим к правилу квантования
2
dx. D)
Так как последнее слагаемое выступает здесь как поправка, то, записав Ел = Е% ~3 + АЕЯ,
где АЕ„ — связанное с ним изменение энергии уровня, и выполнив в левой части разложение
по ЛЕЯ (сравнить с 9.3), получаем
"
ПТ(Е)
a2 i
дЕг J
(V'(x)Jdx
E)
(в правой части D) изменением энергии уровня можно пренебречь), что совпадает с приве-
приведенным в условии задачи выражением.
Рассмотрим некоторые приложения формулы E).
Для осциллятора имеем U' = тш2х; при этом (U1I = тш2Е и так как Т = 2к/ш = const
(не зависит от энергии), то находим АЕп = 0. Это — естественный результат, так как для
осциллятора правило Бора—Зоммерфельда воспроизводит точный спектр и более высокие
поправки по А должны отсутствовать.
Для осциллятора с ангармоничностью /Зх4, выполняя в формуле (S) соответствующие
разложения, находим для линейной по /3 части сдвига значение
объединяя которое с выражением C) из 9.10, приходим к результату для поправки первого
порядка теории возмущений Еп\ совпадающему с точным.
Аналогичным образом для ангармоничности вида V = ах3 по формуле (S) получаем
АЕп = ~
для квадратичной по а части поправки, которая совместно с выражением C) из 9.12
воспроизводит точный результат второго порядка теории возмущений.
2) В заключение укажем еще один способ вычисления квазиклассических поправок более
высокого порядка по Л в правиле квантования, основанный на исследовании эквивалентного
уравнению Шрёдингера нелинейного уравнения
x'=2^.(U-En)-X2 F)
24) Обращаем внимание на необходимость выбора в интегралах кваэикласенческого решения B)
в качестве верхнего предела интегрирования точки остановки х = Ь.

268 Глава 9. Квазиклассическое приближение
для логарифмической производной в.ф. х = Ф*/Ф. При этом
х = -
(о выборе здесь знака см. ниже).
Интегрируя соотношение G) по контуру, проведенному в плоскости комплексного
переменного х так, что он охватывает отрезок вещественной оси между точками остановки а
и Ь, и используя теорему о вычетах, получаем
X <*г = -i / \Jlm(U-En)-h7x' dx = 2*in. (8)
с с
Здесь учтено, что полюсами функции х(х) являются нули в.ф., число их равно п, а вычет
в каждом из полюсов равен 1.
Соотношение (8) является точным (для аналитических потенциалов) и справедливо при
достаточно произвольном выборе контура С. Однако для дальнейших преобразований удобно
сначала выбрать его не слишком близко от отрезка вещественной оси между точками останов-
остановки. В этом случае в выражениях G), (8) на контуре интегрирования слагаемое с х' выступает
как поправка. Действительно, непосредственно вблизи отрезка (о, 6) на вещественной оси
функция 9(х) имеет осциллирующий характер, Ф ос sin ((i/K) f pdx + y) и величины х'
и х2 — одного порядка. При удалении же в комплексную плоскость в волновой функции
«выживает» лишь одно, растущее экспоненциально слагаемое (сравнить с [1]). При этом
X = Ф'/Ф уже не содержит быстро изменяющегося множителя и производная х' оказывается
малой величиной порядка dX/dx С 1 по сравнению с х2 ¦ Соответственно в этом случае
уравнение G) можно решать последовательными итерациями
и найти
¦••*
Здесь, как обычно, рн = у/7т(Еп - U(x)). Точки остановки а, Ь для функции р,{х) являются
точками ветвления. Для однозначного определения р„ между ними следует провести разрез
вдоль отрезка (а, 6) на вещественной оси х. При этом на верхнем берегу разреза р„ > О
(на нижнем уже р» < 0). Заметим, что можно записать р, = —iy/2m(U(x) - Еп), где
фаза U(x) — Е„ справа от правой точки остановки Ь на вещественной оси х выбрана равной
нулю; это согласуется с выбором знака в G), так как х < 0 при х > Ь. Подчеркнем
также, что точки остановки не являются особыми точками (точками ветвления) для точного
решения х(х)!
Подставляя разложение х в формулу (8), получаем"'
и) Теперь контур интегрирования уже можно деформировать так, чтобы он непосредственно охватывал
отрезок (о, 6) вещественной оси. Подчеркнем, что аналитические свойства точного решения и его
квяэиклассического разложения — различные!

§ 1. Квантование энергетического спектра 269
Здесь учтено, чтои)
j> x<"dx = -*- jd\np(x) = -i>,
а при преобразовании интеграла от хт выполнено интегрирование по частям в слагаемом
с х1'*' и использовано соотношение
Правило квантования A0) совпадает с полученным выше другим способом соотношением D).
9.14. Для потенциала притяжения, имеющего при г —» 0 вид U = -а/г" с v > 2,
возникает «падение на центр» (см. [1], § 35). При этом на малых расстояниях оба
независимых решения радиального уравнения Шрёдингера ведут себя одинаковым
образом (сравнить с Л; к г1 и ос г"' для регулярного потенциала с v < 2),
и, на первый взгляд, не возникает квантования энергетического спектра, так как
только одно условие убывания волновой функции в классически запрещенной области
при г —> оо может быть всегда удовлетворено.
Используя «обрезание» потенциала со стороны малых г в виде непроницаемой
сферы радиуса г<>, показать, что квантование спектра возникает, но в пределе г0 —» О
для однозначного определения этих уровней необходимо фиксировать27' положение
одного из них (для каждого значения I).
Получить правило квантования спектра и выяснить соответствующее ему допол-
дополнительное условие, накладываемое на волновую функцию при г —> 0.
Найти также энергетический спектр в потенциале U — -а/г2 в условиях «падения
на центр».
Решение. 1) Наиболее общее решение радиального у. Ш. в квазиклассическом приближении
в области финитного движения частицы, примыкающей к началу координат, имеет вид
( /)
Здесь28' а = 2гаа/Л2 и Е = -fi2x2/2m. Так как интеграл в (I) при г — О расходится (v > 2),
то оба независимые решения ведут себя при этом одинаковым образом — с бесконечными
осцилляциями синуса — и обеспечивают сходимость нормировочного интеграла на малых
расстояниях. Соответственно при произвольном значении Е выбором параметра 7 всегда
можно добиться того, чтобы в. ф. при г —» оо убывала в классически запрещенной области. От-
Отсюда, на первый взгляд, и следует вывод об отсутствии квантования энергетического спектра.
Однако он является преждевременным. Тонкость здесь в том, что условия самосопряженного
расширения оператора Гамильтона в рассматриваемом случае как раз и ограничивают опре-
определенным образом возможные значения параметра 7. Это обстоятельство особенно наглядно
проявляется, если предварительно «обрезать», как указано в условии, потенциал на малом
расстоянии г0 и затем перейти к пределу г0 -» 0.
м' При этом использована формула inz — 1л И + i arg г и учтено, что фаза р(х) при обходе вдоль
контура интегрирования изменяется на 2т (при обходе каждый из корневых точек ветвления «набегает»
фаза, равная ж).
^ Здесь проявляется то обстоятельство, что гамильтониан является эрмитовым, но не самосопряжен-
самосопряженным оператором, см. 1.29. Для его самосопряженного расширения необходимо введение дополнительного
условия, что и эквивалентно фиксированию положения одного из уровней.
^'Для наглядности считаем, что потенциал имеет вид U = -а/г" во всем пространстве (причем
v > 2). Подчеркнем, что значение нижнего предела интегрирования о в (I) не связано с точкой поворота
и может быть выбрано произвольным образом.

270 Глава 9. Квазиклассическое приближение
При малом, но конечном г0 имеем граничное условие х(го) = 0. При этом в A) следует
положить а = г0 и 7 = 0, после чего, как обычно, приходим к правилу квантования
ч
(сравнить с 9.2).
Спектр энергетических уровней, следующий из правила квантования B), зависит от вы-
выбора г0 и по мере уменьшения г0 обладает двумя характерными особенностями. Во-пер-
Во-первых, уровень с данным фиксированным значением п, опускается вниз, причем для него
Ещ,1 —» -оо при го -» 0. Во-вторых, в какой-либо определенной энергетической обла-
области Е < В < Е + ЛЕ (с Е < 0) появляются новые уровни со все большими значениями п,,
так что для них nr -> оо при г0 -* 0. Хотя положение этих уровней зависит отг0 и предела
для них при го —» 0 не существует, тем не менее расстояние между соседними из них (в ука-
указанной области) — вполне определенное и равно hw (JJ«,j), как обычно в квазиклассическом
приближении.
Таким образом, энергетический спектр рассматриваемой задачи при значениях Е < 0
является дискретным, однако нужны дополнительные условия, однозначно фиксирующие
положение уровней (сам по себе потенциал этого не обеспечивает, в отличие от случая с < 2).
Нетрудно заметить, что задание положения лишь одного уровня (при каждом значении
момента I) полностью определяет весь спектр. Действительно, написав аналогичное B)
выражение с другим значением п, радиального квантового числа и взяв из разность, приходим
к соотношению, в котором уже можно положить г0 = 0 н получить условие квантования,
определяющее спектр, в виде (е -> 0):
C)
Здесь произведены следующие переобозначения: Е*,, заменено на Еы и E^t на Еу, а также
введено квантовое число п = п, - гц, характеризующее порядок расположения уровней
по отношению к фиксированному уровню Ещ- Задание Ещ определяет весь спектр, при
этом число уровней бесконечно, так как значения п не ограничены снизу и Е^ -» -оо
при п -¦ -оо в соответствии с наличием «падения на центр».
2) Обсудим связь правила квантования C) с ограничениями на волновые функции A),
ему соответствующими. Для этого заметим, что соотношение C) следует из записи в. ф. в виде
с с -» 0. Существеннейшим здесь является то обстоятельство, что значение фазы 7i не зависит
от энергии. При этом волновые функции всех состояний (для данного I) при г -» 0 имеют
одинаковую, не зависящую от энергии частицы радиальную зависимость, что обеспечивает
обращение в нуль внеинтегрального слагаемого в соотношении
2т I*2*
о о
и означает, что заданиеи> 7i осуществляет самосопряженное расширение эрмитова операто-
оператора Я (на состояниях с моментом I, сравнить с 1.29).
71 эквивалентно фиксированию положении одного из уровней. Подчеркнем, что один
и тот же параметр 7i определяет свойства состояний как дискретного спектре, при В < 0, так
и непрерывного спектра, при Б > 0. Заметим также, что если рассмотреть «плавное» обрезание
потенциала при г < г0, вида U(r) = С(го) (вместо непроницаемой «стенки»), то для зависимости 71 от '
можно получить соотношение tj = 70 + ''/2, сравнить с 9.7.

§ 2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние 271
3) Проведенное исследование непосредственно переносится и на случай v — 2, если
ввести поправку Лангера в центробежный потенциал. Воспользовавшись значением интеграла
/j iic, c + Vc1- a V
/«л _ „V - - In , ^ , v E)
приводим правило квантования C) к виду
= 2™, e
Отсюда следует явное выражение для спектра
-2^}, п = 0,±1,±2,... . F)
Отметим, что число уровней бесконечно как за счет существования состояний со сколь
угодно большой энергией связи (п -» -со), так и за счет сгущения уровней при Е = О
(для п -» +со); последнее отсутствует в случае v > 2. Приведем также выражение для в. ф.
на малых расстояниях. Используя E) и F), согласно D), находим
j}. G)
Как и следует, зависимость фазы от энергии при г -» 0 отсутствует.
Заметим, наконец, что для потенциала V — -а/г2 у. Ш. допускает точное решение. При
этом
Хт=С^Ки,,(*г), (8)
где К„(г) — функция Макдональда, а точный спектр совпадает с квазиклассическим F).
Действительно, при г -¦ 0 радиальная функция (8) принимает вид:
ХвМ я C[T{ia,)\y/r cos | о, In у + aij Г(-«о,) >,
и из условия G) следует
a;In — =-in, или ?»1 = ?(«ехр I 1, т» = 0,±1,±2,...,
kq, \ а, )
что совпадает с F).
§ 2. Квазиклассические волновые функции,
вероятности и средние
9.15. Получить выражение для квазиклассической волновой функции в импульсном
представлении в области характерных значений импульса частицы.
Найти распределение по импульсам частицы в стационарном состоянии дискрет-
дискретного спектра. Дать классическую интерпретацию полученного результата.
Решение. 1) Рассмотрим сначала квазиклассические волновые функции вида бегущей волны
X
Ф*(.) = -щ exp |±J jp(x') dx'Y p(x) = у/2т(Е-Щх)) > 0.
а
Соответствующие им в. ф. в импульсном представлении имеют вид

272 Глава 9. Квазиклассическое приближение
(не путать р как переменную представления с ±р(х) — импульсом классической частицы!)
Характерная особенность интеграла A) для квазиклассических состояний в том, что фаза у>(х)
его экспоненциального сомножителя как функция х быстро изменяется и значение интеграла
определяется в основном вкладом окрестностей стацнонарных точек показателя экспоненты.
Обозначим положение этих точек как30' xf (р). Они определяются из условия
^=0, или ± „(*?)= р. B)
Разлагая у*(х) в окрестности точек xf(p), имеем
здесь ш = -U'/m и v — ускорение и скорость классической частицы в соответствующей
точке х?. Вынося теперь в A) за знак интеграла медленно меняющийся множитель р~|/2(х)
(т. е. заменяя его значением в соответствующей стационарной точке) и вычисляя получаю-
получающиеся интегралы с использованием разложения11' C), находим
i[±/pdx-px,]}.
D)
Подчеркнем, что вклад в сумму вносят все точки классической траектории частицы, в которых
она имеет импульс р (при этом Ф+ = 0 для значений р < 0, а Ф" = 0 при р > 0).
2) Рассмотрим теперь в. ф. Ф„(х) стационарного состояния в потенциале с одним
минимумом, рис. 29. Записав синус в (IX.6) через экспоненты и используя D), находим
при р > 0:
I
тТ(Е.)\
а Ф«(р) для значений р < 0 получается комплексным сопряжением выражения (S), вычислен-
вычисленного при импульсе, равном |р|. Волновая функция E) отлична от нуля лишь при значениях
импульса .
0 ^ р ^ ро = yJ2m{En - min U).
В ней учтено, что уравнение B) имеет два корня, расположенные по разные стороны от точки
минимума потенциала U(x), которые «сливаются» при р -»ро (в точке минимума U(x), для
больших значений р уравнение B) уже не имеет корней).
Распределение по импульсам, dW,(p) = |Ф>(р)| dp, из-за наличия в E) быстро ос-
осциллирующих экспонент также сильно осциллирует (сравнить с осцилляциями |Ф«(х)| ).
Однако если усреднить это распределение уже по небольшому интервалу импульсов, то
интерференционный член пропадает и получается
(здесь ш > 0). Это выражение допускает простую классическую интерпретацию. Действи-
Действительно, переходя в выражении dWa = dt/T{E) от времени движения dt вдоль траектории
к изменению при этом импульса частицы
(р)
м' Если их нет, то в рассматриваемом приближении Ф*(р) = 0. При этом в классически запрещенной
области, где в.ф. Ф(х) экспоненциально убывает, можно считать ¦ = 0.
"' Хотя интегрирование проводится по узким областям около точек if, ввиду быстрой сходимости
его можно производить в бесконечных пределах; получающиеся интегралы — интегралы Пуассона.

§ 2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние 273
и учитывая двузначность зависимости ш(р) от р, приходим к распределению по импульсам
классической частицы, совпадающему с выражением F) (сравнить с классической вероятно-
вероятностью dWa = 2dx/Tv(x) для координат частицы).
9.16. В стационарном состоянии дискретного спектра найти вероятность нахождения
частицы в классически запрещенной области.
Применить полученный результат к линейному осциллятору.
Решение. Основной вклад в искомую вероятность вносят области, непосредственно примы-
примыкающие к точкам остановки, где нарушается квазиклассичность. Рассмотрим точное решение
у. Ш., основанное на линейной аппроксимации потенциала в окрестности этих точек. Вблизи
правой точки поворота, х = Ь, у. Ш. принимает вид
(*-*)*(*) = о, (О
Л
где |^(Ь)| = и'(Ъ), Е - U(b). Заменой переменной
приводим A) к виду *"(г) - z*(z) = 0. Решение этого уравнения, убывающее в глубь
классически запрещенной области, выражается через функцию Эйри, т.е. Ф = cAi(z). Ее
асимптотики
в
*¦/*•/• B)
где С = 2|z|3'J/3. Теперь из сшивания решения с нормированной на единицу квазиклассиче-
квазиклассической волновой функцией (ГХ.6) находим
и для вероятности нахождения частицы в классически запрещенной области справа от точки
остановки х = Ь получаем
» о
Используя связь функции Эйри с функцией Макдональда: Ai(z) = \/х/Зхг К,/)((), где ( =
ос
2|г|3'2/3, и известное значение интеграла / z~"'Kl(z)ix (см. [33, с. 707]), находим искомую
о
вероятность
3|/3Г2 B/3) Г/ 2тЛ \ |
где для потенциала приведенного на рис. 29 вида учтены обе классически запрещенные
области; Г(г) — гамма-функция, при этом Г B/3) и 1,354.
Для осциллятора U = тш'х2/2, Еп = Пи (п + 1/2) имеем
= F\b) = 2тГш1 (п + Х
12'Так как при этом С = в"'\J p(x)dxI, то из B) следуют прнвваенные в AX3,4) условия сшивания
кюзикласснческих решений (область |(| > 1 — уже область квазнклассичности).

274 Глава 9. Квазиклассическое приближение
и согласно C) получаем
to.»0,134 (»+j) • D)
Как и обычно, квазиклассический результат имеет достаточно высокую точность и для
значений п ~ 1. Так, для основного и первого возбужденного состояний осциллятора
из формулы D) следует too а 0,169 и W\ и 0,117, в то время как точные значения этих
вероятностей равны 0,157 и 0,112 соответственно.
9.17. Каково в квазиклассическом приближении среднее значение физической вели-
величины F(x), являющейся функцией только координаты частицы, в n-м стационарном
состоянии дискретного спектра? В качестве иллюстрации найти средние х1 и х* для
линейного осциллятора и сравнить с точными значениями.
Решение. В приближении (IX.6) для волновой функции получаем
Т(В.)
f F{z)dx j/2^_ f
J v(z) T(E.)J
так что квантовомеханнческое среднее совпадает со средним значением за период движения
в классической механике.
Для линейного осциллятора, U = тш1х1/2, по формуле A) получаем
= ¦'(„
„ + !), ?= |.« („» + « + !), B)
где а2 = h/mu (для вычисления интегралов удобно сделать подстановку х = <^/7Еж1тшг sin <p).
Значение х2 совпадает с точным; отличие квазиклассического среднего х* от точного только
в том, что в последнем вместо слагаемого 1/4 (в скобках) фигурирует 1/2. Эти результаты
согласуются с квазнклассической точностью выражения (I), обеспечивающей правильные
значения первых двух членов разложения по параметру i/n рассматриваемой физической
величины; сравнить с 9.10 и 9.13.
9.18. В квазиклассическом приближении найти выражение для среднего значения
физической величины F(j>), являющейся функцией только импульса частицы, в п-м
стационарном состоянии. Вычислить средние р2 и р4 для линейного осциллятора
и сравнить с точным результатом.
Решение. Воспользуемся для волновой функции приближением (IX.6) и выразим синус через
экспоненты. Теперь заметим, что
Г X
ехр {* Ipdx} - (-p(z))iexp H [pdx}\
так как ввиду квазиклассичности следует дифференцировать лишь экспоненциальные со-
сомножители как наиболее быстро изменяющиеся. Аналогичным (I) выражением, с заменой
в правой части (±р(х))к на F(±p(x)), описывается результат действия на рассматриваемую
в. ф. оператора F = F(p). Теперь вычисление среднего F,. сводится к вычислению четырех
интегралов. Два из них содержат быстро осциллирующие множители, ехр [(±2i/ft) f pdx],
поэтому они малы и могут быть опущены. В результате получаем
р - 2 fFW*))-F(-p(x)) _ I rF(p(x))dx
FJ dX? B)
v(x) dX-T(E%)? v{x)

§ 2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние 275
что совпадает со средним за период движения значением рассматриваемой величины в клас-
классической механике33'.
Для осциллятора согласно B) находим
р2 = т/ш 1 п + - J , р4 = -(vnHwf I n2 + n + - J . C)
Значение р2 совпадает с точным, а р* отличается от точного лишь значением поправки
на фоне п2 + п: в точном результате она равна 1/2 вместо 1/4; см. замечание в предыдущей
задаче по поводу точности квазиклассического приближения при вычислении средних.
9.19. Какова оценка произведения неопределенностей Ах • Ар в стационарных ква-
квазиклассических состояниях дискретного спектра?
Сравнить полученную оценку с точным значением у (ДхJ • (АрJ для линейного
осциллятора и частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме.
Решение. Искомая оценка следует из правила квантования (ГХ.5). Имея в виду, что интеграл
в нем по порядку величины равен (Ь — а)р„р, где р„р — характерная величина импульса
частицы, и учитывая, что Ах ~ (Ь - а)/2, а Лр ~ рпр (так как р = 0), получаем
Ах- Др~ -ft (n + -J
(мы сохранили здесь 1/2 на фоне п, чтобы использовать эту оценку и при п ~ 1, в том числе
и при п = 0). Точное квантовомеханическое значение yJ(AxJ ¦ (АрO для осциллятора равно
й (и + 1/2) (для всех л), а для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме тАп/2%/3
при п > 1.
Во избежание недоразумений подчеркнем, что полученная оценка Л~'Дх ¦ Ар ~ п
с п > 1 относится именно к стационарным квазиклассическим состояниям, волновые функ-
функции которых существенно отличны от нуля во всей области движения классической частицы.
Для локализованных волновых пакетов, составленных из большого числа квазиклассических
состояний, для произведения Ах • Ар имеется только лишь ограничение снизу, определяе-
определяемое соотношением неопределенности; сравнить, например, со случаем когерентных состояний
гармонического осциллятора, см. 6.21.
9.20. В квазиклассическом приближении найти матричные элементы Fmn оператора
вида F — F(x) в случае \т - п\ ~ I, т. е. между близкими по энергии стационарными
состояниями дискретного спектра. Установить соотношение между ними и фурье-
компонентами F, функции F(x(t)) в классической механике:
.=-00
где Т(Е) = 2х/ы — период движения в рассматриваемом поле классической частицы
с энергией Е - (Ет + Е„)/2.
Используя полученный результат, вычислить матричные элементы хт„ и (x2)mn
для осциллятора и сравнить с точными значениями.
Решение. Доминирующий вклад в значение матричного элемента вносит область интегри-
интегрирования между точками поворота и при его вычислении можно воспользоваться выражени-
выражением (IX.6) для в. ф. Ввиду предполагаемой близости состояний пит значения точек поворота
33>Его можно записать также в внос Fnn = J F(p)dW4(p), где распределение вероятностей для
импульса определяется результатом из 9.15.

276 Глава 9. Квазиклассическое приближение
и частоты движения для них можно считать одинаковыми и получить при этом
Подынтегральная функция во втором слагаемом быстро осциллирует (ввиду m, n > 1), так
что его значение пренебрежимо мало. Учитывая, что в квазиклассическом приближении
разность энергий соседних уровней равна Нш, находим
х) и Гш -фГ,
после чего получаем
Имея в виду зависимость от времени координаты классической частицы х = x(t),
которая движется с энергией и) Е = (Ет+Еп)/2, сделаем в B) подстановку t = t(x), что дает
Г/2
*"»,. = ! J ?Ш) cos \ш(т - n)t) dt,
»«Л = Д,га.я C)
о
(начальный момент времени выбран так, что х@) = а; изменению t от 0 до Т(Е) = 2т/а>
соответствует изменение х от а до Ь и обратно).
Формула C) устанавливает искомое соотношение между квантовомеханическими ма-
матричными элементами и фурье-компонентами в классической механике.
Проиллюстрируем точность соотношения C) на примере координаты линейного ос-
осциллятора. Для него x(t) = A cos u>t, так что, согласно C), отличны от нуля только фурьс-
компоненты Х\ = 3L| = А/2. Так как энергия классического осциллятора равна Е = mw2A2/2,
то, приравняв ее (?„ + Ет)/2 и учтя, что Ея — Пш (п I- 1/2), находим А1 и отличные от нуля
матричные элементы координаты осциллятора в квазиклассическом приближении
что совпадает с точным результатом. Аналогично для квадрата координаты, x2(t) — A2 cos 2{u>t),
находим, что отличны от нуля лишь следующие фурье-компоненты: (*2H = 2(z2J =
2{z2)_} = А212. Используя отмеченную выше связь А2 с ?„,„ (значения А2 для случаев
т = п и mjtn, — различные!), находим, согласно C), отличные от нуля квазиклассические
матричные элементы
. 2. j _ 1
V1 J»,.+2 ~ (х )п+2,п - 2 <
где о2 = Л/2тш. Точное значение (г2),, совпадает с D), а для (г2)»,»+2 оно отличается от D)
заменой п + 3/2 на [(п + 1)(п + 2)]|/2. Как видно, квазиклассика обеспечивает достаточно
высокую точность и для квантовых чисел п, т ~ 1.
м' Физически естественное использование такого «усредненного» значения энергии классической
частицы обеспечивает выполнение условия эрмитовостн Рт„ — Fnra.

§ 2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние 277
9.21. Обобщить результат предыдущей задачи на случай оператора вида F = F(p).
Применить его для вычисления матричных элементов операторов р и р2 для осцилля-
осциллятора.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей. Теперь следует учесть, что при действии
оператора р на квазиклассическую функцию достаточно дифференцировать лишь по пере-
переменной х в аргументе синуса (сравнить с 9.18). После простых преобразований получаем
t *\ 2 Г м '/п f«e[w(m-n)<], *- четное,
(р и = у j *р (о • {_. sin [w(m _ n)t] t k _ нечегное (о
о
Так как знаки импульса частицы при О < t < Г/2 и Т/2 <t<T противоположны, то оба
выражения A) можно объединить в одно:
т
/ *@-ш""-"" * (?@) B)
Очевидно, что аналогичное соотношение FmJ, = f)=m.n между квазиклассическими матрич-
матричными элементами и классическими фурье-компонентами имеет место и для произвольной
физической величины35' F{p), сравнить с соотношением C) из 9.20.
Матричные элементы р„п и (р2)щп для импульса осциллятора вычисляются так же,
как и в предыдущей задаче для координаты и описываются, по существу, такими же вы-
выражениями с заменой h/тпш на hmw (при этом в них появляются еще несущественные
фазовые множители). Такая аналогия не случайна: она отражает в квазиклассичсском при-
приближении то обстоятельство, что у. Ш. и в. ф. для осциллятора в координатном и импульсном
представлениях имеют одинаковый вид.
9.22. Частица находится в n-м стационарном состоянии в потенциале U(x). Внезапно
(при г = 0) потенциальная энергия изменяется и становится равной U(x)+V(x). Каковы
средняя энергия частицы и ее флуктуация при t > 0?
Считая п>1 и изменение потенциала достаточно большим36', так что |Т^р(г)| х
(Ъ - а) > hwn, где Т„ = 2*/о>„ — период движения классической частицы в исходном
состоянии, найти вероятности перехода ее в новые стационарные состояния. В каком
случае может происходить «ионизация» системы? Дать интерпретацию полученных
результатов в рамках классической механики.
Для иллюстрации рассмотреть линейный осциллятор, V — mui2x2/2, на который
внезапно накладывается однородное поле, так что V = -F(,x.
Решение. 1) Ввиду мгновенности изменения потенциала, в. ф. сразу после включения V(x)
совпадает с Ф,,„ (здесь и ниже индексы t и / относятся к стационарным состояниям
частицы в потенциалах U(x) и U(x) + V(x) соответственно, но если это не может привести
к недоразумениям, то мы их опускаем). При этом для искомых средних легко получаем
(при t > 0):
E W JW?W? A)
(после включения V(x) гамильтониан опять не зависит от времени, энергия сохраняет-
сохраняется, а энергетические характеристики состояния остаются неизменными). В общем случае
квантовомеханическое усреднение A) проводится по состоянию с в. ф. Ф„(х), но в квазиклас-
квазиклассическом приближении оно может быть заменено более простым усреднением по периоду
финитного движения классической частицы с энергией Еп в потенциале U(x) (см. по этому
поводу 9.17).
35'Оно справедливо в квазиклассическом приближении для произвольной физической величи-
величины F(z,p)
**' Физически это условие означает, что в^исходном состоянии представлен достаточно широкий
спектр состояний «конечного» гамильтониана Я/.

278 Глава 9. Квазиклассическое приближение
2) Вероятность перехода при внезапном изменении потенциальной энергии (см. 8.47)
w(n ->k) =
|У »},»(*)«-,,„(*) <te
B)
Л
Воспользовавшись здесь для волновых функций выражениями вида (IX.6) (для указанных
выше потенциалов), преобразуем матричный элемент следующим образом:
Лехр К
х z
- ехр \~ ( fpk dx1 + [р„ dx') + il] + К.С.} f* C)
LA\J •> / 2J J ^,(г)р,A)
•/ о,
где к. с. означает комплексно сопряженное выражение по отношению к выписанному в фи-
фигурных скобках, а = тах(а,, а,), Ь = minF,, (>,); а,,, и btJ — точки остановки в квазиклас-
квазиклассических состояниях *,.„, */,».
Характерная особенность интегралов в C) — большое и быстро изменяющееся значение
фаз экспонент. Такие интегралы существенно отличны от нуля в случае, когда у фазы как
функции х имеются стационарные точки, интегрирование в окрестностях которых и вносит
доминирующий вклад в значения интегралов. У второй экспоненты в C) и комплексно
сопряженной ей, очевидно, таких точек нет (по определению р„,» > 0) и эти слагаемые могут
быть опушены. Для первой экспоненты условие стационарности фазы, д<р/дх = 0, принимает
вид37) Pf.t(x.) = р,,„(х.), т.е.
^Я,,„ - Щх.) = у/Ег„ - Щх.) - V(x.), или E,,> = B,,. + V(z.). D)
Отсюда видно, что энергетический интервал разрешенных переходов ограничен условиями
где Vmuimit) — максимальное (минимальное) значение V(x) на интервале движения а, <х <Ь,
классической частицы в исходном состоянии. Отметим, что условие D) имеет наглядный
физический смысл. Так как в результате мгновенного изменения потенциала импульс клас-
классической частицы не изменяется, то D) определяет такие точки траекторий в фазовом
пространстве (р, х), которые являются общими для начального и конечного состояний.
Для вычисления интеграла разложим фазу экспоненты в окрестности стационарной
точки
Теперь заметим, что ввиду предполагаемого условия \V\'(b - а) > Лш„, область значений
(х - х,), в которой изменение фазы порядка единицы и которая вносит основной вклад
в интеграл, мала по сравнению с характерной областью движения частицы, ~F - а).
Соответственно в E) можно ограничиться квадратичным членом разложения, распространить
интегрирование в окрестности каждой стационарной точки х, на всю область (из-за быстрой
O) Число стационарных точек I, зависит как от вида потенциалов, так и от значений ?«,»¦ Если V(x) —
монотонная функция х, то есть либо одна точка, либо их вообще нет: в случае, когда U(x) и V(x) —
симметричные функции (с одним минимумом), таких точек две или ни одной. Отсутствие стацио-
стационарных точек означает, что вероятность соответствующего перехода в рассматриваемом приближении
пренебрежимо мала.

§ 2. Квазиклассические волновые функции, вероятности и средние 279
сходимости возникающих интегралов) и получить
/,. , j liicmh ^-, f exp{itf>t(x,)} \
Из-за большой величины фаз f jt(^j) в F) значения вероятностей B), как и само значение
матричного элемента F), испытывают сильные осцилляции уже при небольшом изменении
номера к конечного состояния. Однако после усреднения по небольшому интервалу конечных
состояний такие осцилляции исчезают и получается следующее выражение3*':
3) Найдем теперь вероятное» возбуждения конечных состояний ft, относящихся к не-
некоторому энергетическому интервалу dEr. Так как расстояние между соседними уровнями
в хвазиклассическом приближении равно AEt — Au>/(?*), то искомая вероятность получается
умножением G) на Лк — iEf/AE* — число состояний в этом интервале — и описывается
выражением
В эту формулу уже не входит постоянная Планка и она допускает наглядную интерпрета-
интерпретацию в рамках классической механики. Для этого заметим, что энергия классической частицы
при внезапном включения V(i) зависит от точки х нахождения ее в этот момент времени
и равна Б/ — Е, + V(x}. Соответственно распределение вероятностей для Ej определяется
распределением по координатам частицы в исходном состоянии, которое имеет вид
2 Ас
aw =
T(E,)v,(Xy
Переходя теперь от переменной х к энергии Е/ и учитывая, вообще говоря, многозначный
характер зависимости iot?;, приходим к формуле (8), что, кстати, подтверждает нормировку
на единицу этого распределения, а тем самым и распределения вероятностей G).
Если при энергии частицы ? ^ ?Ь движение ее в потенциале V(x) + V{x) является уже
инфннитным, то формула (8) при Е/ > Ео определяет распределение по энергиям частицы,
покидающей яму. а интегрирование по энергии Е, в пределах от %, до Б,™, = Д,„+1пах V дает
вероятность вылета частицы («ионизации» системы) при внезапном изменении потенциала3".
4) В приложении полученных результатов к осциллятору имеем
Согласно D), находим
после чего по формул? G) получаем вероятности переходов*1
win — к) -—< ! - \Гш{п - к) +
'•' Читателю предлагается обсудить вопрос об особенностях интерференции вклада снмиетричных
стационарных точек в случае, котла V(x) и V(x) являются «имнетрмчными потеншмлами; отметим
лишь, что при этой переходи происходят между состояниями пик одинаковой четности н а для таких
переходов отличается от G) множителем, равным 2, для других переходов ы(п — i) = 0.
)9) Это обстоятельство лредегавляетсл очевидным, если иметь в виду ошеченную аналогию с класси-
классической мемникой, При кмнтоеомеханичесцом рассмотрении «гицтг учесть Н1м<нение »ид» в.ф. */,»,
которая при Ek > Ео описывает уже состояния непрерывного спектра.
*' Заметим, что п(п — к) = п{к — и).

280 Глава 9. Квазиклассическое приближение
(они отличны от нуля лишь для таких значений к, при которых выражение под радикалом
положительно). Формула (8) при этом может быть записана более наглядным образом:
dE,
х[(Е,-Е,,„
где ^/.mufftiin) = ?\, ± a.-Fo — максимальная (минимальная) энергия, которую может иметь
в условиях рассматриваемой задачи осциллятор при t > 0, здесь а„ - i/2h(n+ 1/2) /тш —
амплитуда колебаний классического осциллятора при ( < 0.
§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры
9.23. Используя квазиклассическое приближение, найти проницаемости следующих
потенциальных барьеров:
а) треугольный барьер из 2.36; б) U(x) = Uoch ~2(x/a); в) барьер из 2.35.
Указать условия применимости полученных результатов и сравнить с точными значе-
значениями для D(E).
Решение. По формуле (IX.9) получаем следующие результаты.
что при большой величине показателя экспоненты, когда D < 1 совпадает с точным
результатом для проницаемости треугольного барьера, см. 2.36.
б) В случае потенциала U = ?/0/ch 2(x/a), используя для вычисления интеграла подста-
подстановку
¦О-
находим проницаемость барьера в квазиклассическом приближении
sh(T) =xsint, x=J-?-l,
D(E) = exp { -2xt/ -?- (y/Uo - VE ) }, B)
вто время как точное выражение (см. [1, §25])
D(E) = Sh y' r, * = •
sh J(?rfco) + ch2 (xyj2mUoa>lh1 - 1/4 ^
Как видно, при выполнении условий
кваэиклассический результат великолепно воспроизводит точный. Первое из условий C),
обеспечивающее значение D < I — обычное условие для применимости квазиклассического
выражения для проницаемости барьера. По поводу второго необходимо сделать следую-
следующее замечание. Его происхождение связано с тем обстоятельством, что в основе вывода
формулы (IX.9) лежат условия сшивания квазиклассических решений в окрестностях точек
остановки классического движения, основанные на линейной аппроксимации потенциала.
Однако в задачах, подобных данной (когда на больших расстояниях U -> 0), при малых
энергиях частицы использование таких условий не оправдано41'. Это особенно наглядно
4|> Исключая случай медленно убывающих. У ос III"" с v < 2 при х — ±оо, потенциалов.

§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры
281
видно из рассмотрения случая Е = О, когда на больших расстояниях кваэиклассика вообще
неприменима, сравнить с 9.8 и 9.9. Изменение условий сшивания решений приводит к мо-
модификации квазиклассической формулы (IX.9), сводящейся к появлению дополнительного
предэкспоненциального множителя, имеющего величину порядка единицы42'.
Для данной задачи он, как видно из сравнения приведенных выражений при D(E),
равен 4sh2(ir*o)erta и особенно существенен для Е -» 0, так как при этом он ос Е
(но с увеличением энергии, как и следует, обращается в единицу).
в) Для указанного потенциала
{^|>^} D)
Это выражение определяет коэффициент прохождения лишь по порядку величины, но пере-
передает главное: его экспоненциальную малость. В точном выражении имеется дополнительный
предэкспоненииальный множитель, равный 4^/jB(Cb - E)/Uo- Его появление отражает изме-
изменение условий сшивания квазиклассических решений в окрестности .точки поворота х — О
(которая уже не является точкой остановки!) по сравнению с теми, которые приводят к (IX.9),
сравнить с проницаемостью барьера из 6) при Е —¦ 0.
В заключение отметим, что вопросы вычисления предэкспоненциального множителя
в квазиклассических выражениях для проннцаемостей барьеров, когда неприменимы условия
сшивания квазиклассических решений уравнения Шрёдингера, основанные на линейной
аппроксимации потенциала в точках поворота, обсуждаются в задачах 9.24-9.26.
9.24. Найти предэкспоненциальный множитель в кваэиклассическом выражении для
коэффициента прозрачности барьера вида, приведенного на рис. 32, а, и при указанной
там энергии частицы. Применить полученный результат к барьеру из 2.35 и сравнить
с точным, см. также 9.23, в).
и*
Рис. 32
Решение. Поступая так же, как и при выводе квазиклассической формулы (IX.9) для прони-
проницаемости барьера, см. [1, §30], и считая, что падающие на барьер частицы движутся слева
направо, запишем волновую функцию при х > Ъ в виде
При этом в. ф. в области барьера
A)
B)
"'Сравнить с аналогичным изменением фазы квазикпассической волновой функции при рассмо-
рассмотрении связанных состояний, приводящим к модификации правила квантования Бора—Зоммерфельда
в задачах § 1.

282 Глава 9. Квазиклассическое приближение
(здесь отброшено затухающее в глубь барьера слагаемое). Существенно, что в условиях задачи
это решение применимо, вообще говоря, непосредственно вплоть до точки43' х = 0, в которой
потенциал испытывает скачок. Волновая функция при х ^ 0 имеет вид
При такой нормировке коэффициент прохождения барьера D = \С\2.
Сшивая выражения B) и C) в точке х = 0 (используя непрерывность в. ф. и ее производ-
производной, причем ввиду квазиклассичности достаточно дифференцировать лишь экспоненциальные
множители как наиболее быстро изменяющиеся), получаем
р,@) = ^TmiE-Ut), |р,@)| = ^2m(U2 - Е),
a D0(E) определяется обычным квазиклассическим выражением (IX.9) для проницаемости
барьера. Отсюда легко находим значение С, а с ним и коэффициент прозрачности барьера:
Появление здесь предэкспоненциального множителя (величина которого порядка единицы)
по сравнению с (IX.9) связано с изменением условий сшивания квазиклассических решений
в окрестности точки поворота i = 0.
Применительно к потенциалу из 2.35 имеем t/2 = Со, U, = 0 и предэкспоненциальный
множитель оказывается равным А\/Е<,(и<) - E)/U<,. При этом D) совпадает с точным резуль-
результатом (естественно, при большой величине показателя экспоненты, когда D < 1, сравнить
с 9.23 в).
9.25. То же, что и в предыдущей задаче, но для потенциального барьера вида,
приведенного на рис. 32, 6). Применить полученный результат к прямоугольному
барьеру из 2.31.
Решение. Задачу можно было бы решить так же, как и предыдущую, учитывая, что теперь
условия сшивания квазиклассических решений, основанные на линейной аппроксимации
потенциала, изменяются в обеих точках поворота а, 6. Однако окончательный результат
представляется очевидным и без вычислений. Для этого заметим, что модификация квази-
квазиклассической формулы (IX.9), связанная с изменением условий сшивания волновой функции,
используемых при ее выводе, сводится к появлению дополнительного предэкспоненциального
множителя а(Е), зависящего от характера нарушения условий квазиклассичности в окрестно-
окрестности точек поворота. Важным свойством этой зависимости является ее факторизованный вид:
а(Е) = а,(Е)-а2(Е), (I)
где не зависимые друг от друга множители ах^(Е) связаны с каждой източек поворота (на пер-
первый взгляд такое соотношение неочевидно из-за различного вида решений, сшиваемых в левой
и правой точках поворота; однако если учесть независимость коэффициента прохождения
при данной энергии от направления падения частиц на барьер, то оно представляется уже
естественным, сравнить с 9.26). В условиях сшивания решения, основанного на линейной
°' При этом Е не должно быть слишком близким к t/j и U\ (чтобы в окрестности точки 1 = 0
не нарушалось условие квазиклассичности), но если U(x) = U\ = const при х < 0, то второе ограничение
отсутствует.

§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры 283
аппроксимации потенциала и приводящего к формуле (IX.9), имеем «i,j = 1, а в условиях
предыдущей задачи
Согласно A), для данной задачи а, описывается выражением B), а а2(Е) отличается
от сц(Е) лишь заменами U\ на Uj и U7 на Ut. Это замечание решает вопрос о вычислении
проницаемости барьера:
D(E) = a,(B)a}(E)Dt(E),
где D0(E) описывается (IX.9). Отсюда для прямоугольного барьера высоты Uo и ширины а
получаем
при ^_^>1; C)
сравнить с точным результатом для проницаемости барьера из 2.31.
9.26. В квазиклассическом приближении найти для медленных частиц, Е —> О,
проницаемость потенциального барьера, имеющего при х —» ±оо степенное убывание
U « U\ti(cL/\x\I'1'1 с 1/|_2 > 2. Обобщить полученный результат на случай барьеров
с экспоненциальным убыванием на больших расстояниях.
Решение. Формула (FX.9) при Е -» 0 неприменима44'. Согласно ей D(E = 0) Ф 0, в то
время как точный результат дает D{E) и ЬЕ -» 0. Для вычисления коэффициента Ь в этой
зависимости согласно 2.39 надо найти решение у. Ш. с Е = 0, удовлетворяющее граничному
условию ф(х) -> 1 при х -» +оо. Так как в случае Е = 0 квазиклассичность на больших
расстояниях нарушается, то в этих областях следует воспользоваться точным решением у. Ш ,
а затем сшить его с квазиклассическим решением на конечных расстояниях (где точное
решение уже не может быть получено, но применима квазнклассика; сравнить с аналогичным
подходом при решении задач 9.8 и 9.9).
У. Ш. на больших расстояниях, где Г7(я) я tf,i2(a/|z|)''1-2, принимает вид
Решения этого уравнения выражаются через цилиндрические функции (см., например, [33])
iVZ\\')
С учетом граничного условия Ф(+со) = 1, решение у. Ш. на больших расстояниях справа
следует выбрать в виде
где Г(г) — гамма-функция. На расстояниях х < о^'1, воспользовавшись асимптотикой
функции Бесселя
1/2
получаем
. 1/2
(здесь учтено, что аргумент функции Бесселя в A) — чисто мнимый, а и > 2; при этом
экспоненциально убывающее с уменьшением х слагаемое в B) опушено). Это решение имеет
"'Сравнить с 9.236)

284 Глава 9. Квазиклассическое приближение
уже квазиклассический вид, что определяет в. ф. *(z) во всей области квазиклассичности
на конечных расстояниях (где потенциал, конечно, не описывается своей асимптотикой):
С, = С2 ехр {-? / W *} = \уЦ{* ~
здесь
-оо
Теперь заметим, что решение у. Ш. на больших расстояниях слева (т. е. при z -» -co)
должно быть выбрано в виде
•(*) = Cv^ffi2,', BiV^s2(-x)llu'), E)
где н[? (г) — функция Ганкеля, так как именно оно при значениях |г| < a^Sl в квази-
квазиклассической области переходит в экспоненциально убывающее в глубь барьера решение C).
Воспользовавшись асимптотикой Я; (z) при z -» оо, получаем
Теперь, используя связь функций 1анкеля и Бесселя, находим асимптотику решения E)
при z -» -оо (при этом аргумент функции [анкеля стремиться к нулю). Она, как и следует,
имеет вид * ~ -Вх, причем, с учетом выражений D) и F), коэффициент В оказывается
равным
где значения /3I|2 определяются выражением
а
(индексы 1, 2 для краткости записи опущены).
Наконец, воспользовавшись результатом 2.39, приходим к искомому выражению для
коэффициента прохождения медленных частиц, которое можно записать в виде
D(E) =
+ 30
~l j y/2mV(x)dx} a E, (8)
где
Ъ,2(Е) = 2Аг/3?,2. (9)
Установленный характер модификации квазиклассической формулы (IX.9): появление
дополнительного предэкспоненциального множителя -у(Е) и его факторизованный вид
отражают общую закономерность, отмеченную в предыдущей задаче.
Аналогичным образом можно было бы рассмотреть случай потенциала с экспоненци-
экспоненциальным убыванием, U a e~M/R, на больших расстояниях (о точном решении при этом у. Ш.
см., например, 4.86). Однако, если иметь в виду 9.236), то окончательный результат пред-
представляется очевидным и без вычислений: в этом случае
} A0)

§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры 285
и для медленных частиц
7i,2«4irfcJ8,l2. A1)
Поучительно получить последнее соотношение из выражений G) и (9), рассматривая экс-
экспоненциальный потенциал как результат предельного перехода при v —» со степенного по-
потенциала. Для этого введем сначала хо = vR и рассмотрим значения х, близкие к го- При
этом
э V
(x-xo)J
я е
Соответственно для перехода от степенного потенциала U = а/х" к экспоненциальному
V = 1/ое~1/я надо положить
Подставив A2) в G) (при этом а = Ima/h1) и выполнив предельный переход v -> со, получаем
р - \ZTkR и, согласно (9), приходим к соотношению A1) для потенциала с экспоненциальным
убыванием.
9.27. В кваэиклассическом приближении найти коэффициент мадбарьерного отраже-
отражения частиц в случае потенциала, имеющего скачок в точке х = 0 (см. например, рис. 26).
Сравнить с результатом теории возмущений из 8.30.
Решение. Отражение частиц обусловлено, главным образом, наличием особенности потенци-
потенциала в точке х = 0. В. ф., описывающая процесс отражения (и прохождения) частиц, падающих
на барьер, для определенности, слева, в квазиклассичсском приближении имеет вид
> х <0,
(О
expl- / pdx), x>0,
у/Ф)
здесь р = y/2m(E - U{x)) > 0; при этом коэффициент отражения равен R(E) = \A\*.
Из условий непрерывности в. ф. и ее производной в точке х = 0 (при этом ввиду квазиклас-
квазиклассичности достаточно дифференцировать лишь экспоненциальные сомножители, как наиболее
быстро изменяющиеся) получаем
где pi,г = y/2m(E-Ut,i). Отсюда А - р, -рг/р\ +рг, и коэффициент отражения оказывается
равным
Подчеркнем, что при конечных значениях энергии справедливость формулы B) не предпо-
предполагает малости R(E). Однако при Е -* оо из нее следует
,0
что соответствует результату теории возмущений, сравнить с 8.30.
9.28. Используя квазиклассическое приближение, найти сдвиг и ширину основного
уровня в <5-яме, U = —а6(х), возникающие при наложении слабого однородного
поля V = —Fox. Сравнить полученные результаты с 6.36 и 8.12.

286 Глава 9. Квазиклассическое приближение
Решение. Рассматриваемый уровень при наложении поля отвечаем квазистационарному со-
состоянию. Положение Ец и ширина Г квазидискретных уровней определяются условиями
существования решений у. Ш. для комплексных значений энергии Е = Ец — >Г/2, имеющих
при х -* ±оо вид уходящей волны (если в каком-либо направлении движения U(x) > Eg, то
в этом направлении решение является экспоненциально убывающим), сравнить с 6.36.
В данной задаче решение у. Ш. в квазиклассическом приближении имеет вид45'
(см. рис. 23):
•(*) =
X
-? fp(x)dx\,
Л J J
КО, A.1)
0<x<b, A.2)
x>b, A.3)
где p(x) - y/2m(E + Fax) (подчеркнем, что в классически запрещенных областях в прене-
пренебрежении шириной р(х) — чисто мнимая величина, причем ip(x) < 0). Здесь использовано
известное условие сшивания решений в окрестности точки поворота х = Ь, см. [1, §50], при
этом в A.2) оставлено лишь экспоненциально растущее в глубь барьера слагаемое.
Сшивание решения в точке х — 0, см. 2.6, дает
(при вычислении производных в. ф. дифференцируются лишь экспоненциальные сомножите-
сомножители как наиболее быстро изменяющиеся в условиях квазиклассичности, см., однако, ниже F)).
Отсюда получаем йр(О) = «та, или Е = Е^ = -ma2/2h2, что совладает с энергией уровня
в отсутствии возмущения V = -FBx.
Как видно, в рассматриваемом приближении непосредственно не получены ни сдвиг,
ни ширина уровня! Для получения сдвига уровня следовало бы воспользоваться более точными
кваэиклассическимн выражениями для в. ф., учитывающими следующие поправки по А,
см. ниже.
Что же касается ширины уровня, то она «исчезла» по той причине, что в области
барьера 0 < х < Ь была опущена экспоненциально убывающая от точки х = b в глубь его
часть решения. Вычисления, основанные на ее учете, несколько громоздки4", но их можно
избежать, использовав следующие соображения.
Имея в виду физический смысл Г как величины, определяющей вероятность распада
системы (в данной задаче — прохождение частицы через барьер) в единицу времени: и = Г/Л,
найдем в рассматриваемом состоянии плотность потока справа от точки поворота х — Ь.
Используя A.3), получаем
«Л / . в д Л \С\'
2т\дх дх ) т
C)
При этом, если в. ф. нормирована таким образом, что частица с вероятностью ~ 1 находится
в окрестности ямы, то плотность потока непосредственно определяет вероятность распада
в единицу времени, ш = j. Как видно из A.1) и A.2), плотность вероятности |Ф2| существенно
451 Строго говоря, теперь точки остановки из-за ширины уровня являются комплексными; однако
ввиду экспоненциальной малости Г это обстоятельство не отражается на условиях сшивания решения.
^ Вывод формулы для ширины уровня таким способом см. в |9, § 2].

§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры 287
отлична от нуля лишь при значениях
, I < Г^~ ft2
W * V 2m|S| * тТ2'
и если при этом
fi2 , , mV
Fo < |?о|, т.е., jP0 « —т- D)
та п
(что и предполагается), то в р(х) можно опустить член с Fax. В результате для в. ф.,
нормированной на единицу в существенной области локализации частицы вблизи ямы,
получаем
fi3
(в рассматриваемом приближении в. ф. в этой области совпадает с невозмушенной полем в. ф.
связанного состояния в й-яме). Согласно B) имеем
ь
\С\2 ехр < -
о
После элементарного интегрирования получаем значение |С|2, а с ним и ширину уровня
r_fiJCf _то2ех Г_2
т ft L 3
Вернемся к вопросу о сдвиге уровня. Воспользовавшись в A) более точными выражени-
выражениями для квазиклассических волновых функций, см. [1, §46]:
ф- С (\т imh
* 4
и выполняя при сшивании решения в точке х = 0 дифференцирование также и предэкспо-
ненциальных множителей, можно получить уточнение формул B) и найти
та
8 р5@) ft '
Заменяя во втором, поправочном члене р@) его невозмушенным значением ima/H, находим
F та* 5 ft6F° m
* = "tf "I^V- F)
Второе слагаемое здесь определяет искомый сдвиг уровня (и поляризуемость состояния)
и совпадает с точным результатом второго порядка теории возмущений, см. 8.12, а также 6.36,
где сдвиг и ширина уровня получены из точного решения уравнения Шрёдингера.
9.29. Получить в квазиклассическом приближении выражения для определения энер-
энергии Во, и ширины Г„ квазистационарных состояний в одномерном потенциале вида,
приведенного на рис. 33. Каково их обобщение на случай, когда и слева от ямы барьер
имеет конечную проницаемость (рис. 34)?
Применить полученные результаты для вычисления сдвига и ширины уровней ли-
линейного осциллятора, возникающих под влиянием слабой ангармоничности V — -Ах3.

288
Глава 9. Квазиклассическое приближение
1Лх)
У/
U(x)
E-iT/2
ут^уштщш
Рис.33
Рис.34
Решение. 1) В квазиклассическом приближении решение у. Ш. для квазистационарных со-
состояний имеет вид47'
*(х) =
lKJp(x)dxy
х < о,;
ехр< --
•2 (if 1
7=rexPi » / Pdxl> b,<x<ai;
С,
ехр
Z
аг.
A.1)
A.2)
A.3)
A.4)
Здесь A.1) экспоненциально убывает при х -> -оо; A.2) записано с учетом условия сшивания
решения (IX.4). Далее, в выражениях A.3) и A.4) фигурирует один и тот же коэффициент С,,
как это следует из условия сшивания решения в окрестности точки х = а2 согласно [1, § 50].
Пренебрегая в A.3) вторым, экспоненциально убывающим в глубь барьера (от точки х = а2)
слагаемым, для сшивания решения в окрестности точки х = Ь\ можно уже воспользоваться
условиями (IX.3). Отсюда сразу приходим к правилу квантования Бора—Зоммерфельда для
определения Во» — положений квазидискретных уровней и к соотношению между коэффи-
коэффициентами
= у(-1)пехр{-1
|p(x)|dx|c.
Воспользовавшись теперь значением \С\2 = 4т/Т(ЕВл), обеспечивающим нормировку на еди-
единицу в. ф. A) в области движения классической частицы а! < х < Ьь и вычислив поток
вероятности при х > а2 (сравнить с предыдущей задачей), приходим к следующему выраже-
выражению для ширины рассматриваемых квазистаинонарных состояний:
Отметим наглядный смысл шп здесь: вероятность подбарьерного вылета частицы из ямы в еди-
единицу времени равна числу ударов 1/Т о барьер классической частицы в единицу времени,
умноженному на квантовомеханическую вероятность проникновения через него при одно-
однократном столкновении. В таком виде выражение для ширины уровня имеет более широкую
* 'См. ряд общих замечаний о рассмотрении кваэистационарных состояний в квазиклассическом
приближении, сделанных в предыдущей задаче. В формулах A) о,, Ь\, oj являются точками поворота.

§ 3. Прохождение через потенциальные барьеры 289
область применимости, так как не связано с (квазиклассическим) способом вычисления про-
проницаемости барьера; сравнить, например, с 6.37. Если барьер имеет конечную проницаемость
по обе стороны от ямы, то тогда, очевидно
2) Рассмотрим приложение полученных результатов к осциллятору с ангармонично-
ангармоничностью: U = тш2х7/2 - Хх}. Сдвиги уровней невозмущенного осциллятора были вычислены
в задачах 9.10 и 9.13. Расчет ширин уровней согласно B) сводится к вычислению интеграла
*2 I
= У Jim [д
|p(x)| dx = I Jim - mw V - Ax3 - ?U <fe. C)
Для его приближенного вычисления разобьем область интегрирования на две: от i| до d
и от d до xj, где величина d предполагается удовлетворяющей условиям
D)
тш' А w
При этом можно в первом интеграле рассматривать как малую поправку Ах3, а во втором —
слагаемое с Еь, и выполнить разложение по этим параметрам. Поступая таким образом,
находим
- [\p\dxa- [[JimuxY-lmBto-—., "" =}<**»
й У Л У [ V у/(тшхJ - 2m^Hi J
«I «10
2тшЧ Xd^_
Zhu 2йш Еь, 3ftw' ''
l- f\p\dxal-
f\p\dxa [\у/{пшхГЫЫ yi
f> J Л J ( » у/(лшхJ - 2m\x5
^ тгшъ mud2 Ad3 ?о„ 1тш2
* + W ~ йпГ ™ dA '
2ft + 3W
Сумма выражений E) и F) определяет показатель экспоненты в формуле B), ас ним
и искомую ширину уровня (при этом введенная лишь для удобства вычислений величина d
в окончательный результат не входит):
„ fiuif 8mV Г* / 2mV / l
здесь ?оп заменено невоэмущенным значением Гш(п+ 1/2).
9.30. Оценить проницаемость центробежного барьера и время жизни квазистаци-
квазистационарного состояния частицы (связанное с шириной уровня соотношением т = А/Г)
в короткодействующем потенциале Vs(r) радиуса г5; энергия состояния Е < A2/mr|.
Решение. Качественный вид эффективного потенциала
приведен на рис. 35; на малых расстояниях г -» 0 и в области значений г > rs доминирует
центробежный потенциал. При этом Uo>h7/mr2s, так как в противном случае «мелкой» ямы
как истинно связанных, с Е < 0, так и квазистационарных, с Е > 0, состояний не существует.
Для радиальной функции х = гЯ (см. AV.S)) можно воспользоваться общими формулами
одномерной квазиклассики.
10 3>к 254

290
Глава 9. Квазиклассическое приближение
Вычислив интеграл (Е = h2k2/2m)
С+1/2J
ь
B1 + 1) dr 21+1 21+1
2г ~ 2 " 2krs
(О
(здесь точки остановки а ~ г$ и 6 « BJ + l)/2fc; в центробеж-
центробежном потенциале сделана поправка Лангера, т. е. произведена
замена 1A + 1) на ((+ 1/2I), по квазиклассической фор-
формуле (IX.9) получаем оценку проницаемости центробежного
барьера
И1
(обратить внимание на ее энергетическую зависимость).
Заметим, что использование аналогичного (I) выраже-
выражения для барьера, отделяющего начало координат (с заменой
в нем Ь на Гц и г$ на г < Ь), дает при г —» О
С ( 1 Г 1
- - .ехр\~- ' '-'-1-1 --'+1
Рис.35
в согласии с точным результатом, R, = \/т ос г'.
Для оценки времени жизни квазнстационарного состояния4|> г найдем вероятность о>
вылета частицы из ямы в единицу времени. Эта вероятность получается умножением числа
ударов частицы о барьер в единицу времени, по порядку величины равному4" vs/rs ~ R/mr|,
на вероятность прохождения барьера при однократном столкновении, совпадающую с D
(сравнить с предыдущей задачей), что дает
• = — ш i
(более точное выражение для г, см. в связи с (XIII. 17)); сравнить энергетическую зависимость
ш ос к21*1 для центробежного барьера в случае медленных частиц с экспоненциальной
зависимостью для кулоновского барьера, см. следующую задачу.
9.31. Обобщить результат предыдущей задачи на случай, когда вне ямы на частицу
действует кулоновский потенциал притяжения50': Uc — -(ег/г, причем rs < о, =
ft2/m<e2; считать Е < ?е2/а,.
Решение. 1) График эффективного потенциала приведен на рис.36. Теперь для состояний
с малой энергией (Е -* 0):
1/2 1, ,
здесь a ss rs, 6 = B/ + lJaB/8 и учтено, что rs < aB. Соответственно
/ 2е2г \2'+1 1 /2г \и+|
\B1+\Jав/ [B1+I)!]2 \ °я /
(е = 2,718...; в последнем выражении использована формула Стирлинга).
B)
4" В кваэиклассическом приближении энергия квазистаиионарного состояния, как и истинно связан-
связанного, определяется правилом квантования Бора—Зоммерфельда, сравнить с предыдущей задачей.
**' Здесь vs = pj/m — характерная скорость частицы в яме, ps ~ -JmUa > ft/rs (не путать ps
с импульсом р = fti вылетающей частицы, ps 3> nib).
w' Такая задача возникает в теории адронных атомов (см. 11.4). При этом речь идет о проницаемости
барьера, разделяющего области ядерного притяжения на расстояниях г <, rs и кулоновского — при г >о,.

§4. \ /N-разложение в квантовой механике 291
Заметим, что кулоновское притяжение «укорачивает» центробежный барьер и для ма-
малых энергий, Е -> 0, существенно изменяет (увеличивает) его проницаемость, сравнить
с предыдущей задачей.
ц к 2) Наоборот, в случае отталкивательного характера
**** кулоновского потенциала проницаемость барьера для мед-
медленных частиц резко падает. При этом доминирующую роль
в интеграле (Е = m«2/2, Uc = а/г)
а/В
I-H^L - (m,,V Лт =
fit»
/a b\^~—г • »
играют большие расстояния, на которых центробежный
потенциал мал. Его учет изменяет лишь предэкспоненци-
альный множитель в выражении
Рис.36 -w».
D(E) ~ б C)
для проницаемости барьера; сравнить C) с выражением B), а также с формулой B) предыду-
предыдущей задачи для проницаемости центробежного барьера.
§ 4. l/iV-разложенив в квантовой механике
Метод 1/N-разложения является расчетным методом, развитым в последнее
время и используемым в различных разделах теоретической физики. Идея метода
состоит в «конструировании» параметра N для рассматриваемой системы, при значе-
значениях N » 1 которого решение задачи упрощается и возможно получение его в виде
разложения по 1/JV. При удачном выборе параметра N область применимости та-
такого разложения может «затягиваться» вплоть до значений N ~ 1, характеризующих
исходную систему (сравнить с высокой точностью квазиклассического результата
для Е„ и при п ~ 1, хотя формальное условие применимости его п > 1). Выбор
параметра N связывается с расширением числа степеней свободы (числа состояний,
размерности пространства и т. п.) рассматриваемой системы. Ниже рассмотрено
несколько элементарных реализаций такого подхода при решении одночастичного
уравнения Шрёдингера.
9.32. Исследовать состояния дискретного спектра частицы в одномерном потенциале
U(x) — -Uof (х/а), представляющем яму с одним минимумом (в точке хо = 0),
с помощью l/JV-разложения, выбрав
Проиллюстрировать точность полученных разложений для энергетических уровней
и волновых функций на примерах следующих потенциалов
а) U(x) = -U0ch-2 (х/а);
б) U(x) = Uo(a/x-x/aJ;
в) U(x) = Uo(e-7l'a-be-*'a).
Решение. По мере увеличения параметра N потенциальная яма становится все более глубокой
и число связанных состояний в ней возрастает. В случае N > I волновые функции нижних
уровней локализованы вблизи точки минимума потенциала, в которой U'@) = 0. При этом
для потенциала можно воспользоваться разложением по степеням х/а (ниже h = m = а= 1):
U(x) = U@) + ~ u>V + ах} + рх* +...,
10*

292
Глава 9. Квазиклассическое приближение
где
ш=и(О), а= 6 , 0 = 24 • B)
Здесь третий и последующие члены разложения выступают как возмущение; невозмушенная
система — осциллятор с частотой ш. Ряд теории возмущений по степеням ангармонических
поправок
см. A, §38], применительно к рассматриваемой задаче представляет 1/JV-разложение для
энергетических уровней частицы; при этом t/@) ~ JV2, и ~ N, a2fw* ~ р/шг ~ № = I
и т.д.).
Этот результат асимптотически точен при N -» оо. Однако, как правило, для гладких
потенциалов он имеет достаточно высокую точность и при значениях N > 1 (для увеличения
точности следует учесть более «высокие» ангармонические поправки). Проиллюстрируем это
обстоятельство на конкретных потенциалах.
а} Для потенциала
-j
выражение C) принимает вид (в выбранных единицах N = у/Щ и ш — y/2U0):
Сравним его с точным спектром A, §23)
D)
E)
и с квазиклассическим выражением ??*, отличающимся от E) лишь заменой 1 + 8С/0 на 8G0-
Для основного уровня при различных значениях N имеем
N -у/Щ
-Ea(\/N)
-So
-So"
1
0,543
0,500
0,418
1,5
1,439
1,410
1,314
2
2,836
2,814
2,711
3
7,129
7,114
7,004
4
13,422
13,411
13,297
Для первого возбужденного уровня, п = 1, получаем
-В, A/ЛГ)
-Е,
-Sj"
1,5
0,318
0,231
0,193
2
1,007
0,942
0,882
3
3,886
3,842
3,761
4
8,765
8,732
8,640
Заметим, что этот уровень появляется при значении Uo = 1 (согласно E) общее число
дискретных уровней в рассматриваемом потенциале при N > 1 составляет Л/„, я \/2 N).
Обсудим кратко вопрос о волновых функциях частицы в приближении l/JV-разложения.
По формулам теории возмущений (VI 11.2) получаем
•.(*) * [<'(*) + ей'*?»(х) + «><*)],
F)

§4. \/N-разложение в квантовой механике 293
где ф10)(х) — собственные функции линейного осциллятора с частотой w = V2l/0- При этом
возмущение линейного осциллятора имеет вид V = -2U(,xA/3, так что отличные от нуля
коэффициенты разложения с$ = {k\V\0) равны
Подчеркнем, что волновая функция51' F) нормирована на единицу с точностью до членов
второго порядка по 1/N.
Точная волновая функция основного состояния имеет вид
$„(*) = ilch-'x, s=\(y/iU0+l-l),
2
см. A, §23]. Нормировочный коэффициент легко найти для значений (Уо — ' (при
, = 1) и Vo - 3(« = 2): 4A) = \jy/l и 4C) = \/5/2.
Сравним значения волновых функций в нуле. При этом Фо(О) = А, в то время как
и для отношения J? = Фо(О)/*о(О) получаем:
Д = 1,0048 при {/0 = 1 и R- 1,0020 при Уо = 3.
Как видно, \/N-разложение обеспечивает высокую точность как при расчете энерге-
энергетических уровней, так и волновых функций в существенной области их локализации даже
в случае сравнительно небольших значений N, когда в потенциале существует всего несколько
дискретных уровней. Следует ожидать, что это обстоятельство будет проявляться и в общем
случае для достаточно «гладких» потенциалов.
б) Для потенциала U(x) = Uo (a/x - х/аJ в рассматриваемом приближении получаем
(N - л/Щ, положено а = I)
<7)
Сравнение с точным выражением для спектра
Ея = у/oUq I л + — •+- — (у/8с/о ч* 1 — у/8С^о 11 (8)
L 2 4 J
показывает и в этом случае высокую точность результата 1/N-разложения при значениях
N > 1; так, при N = 1 для основного уровня Ео/Ео = 1,026.
в) Для потенциала (Щ > 0, о > 0, Ь > 0)
рассматриваемое l/iV-разложение дает (N = \ZUi,,a = 1):
(-.... (9)
Приведенные три члена разложения совпадают с точным результатом для спектра Е, =
/ - Bп + 1)] 2/8, см. 2.9.
51) Приведенное выражение для волновой функции справедливо лишь в области существенной лока-
локализации частицы (и неприменимо на больших расстояниях в классически запрещенной области; в этой
области для в. ф. можно воспользоваться квазиклассическим выражением).

294 Глава 9. Квазиклассическое приближение
9.33. Исследовать энергетический спектр связанных s-состояний частицы в централь-
центральном потенциале U(r) с помощью l/iV-разложения, используя в качестве параметра
разложения N размерность D пространства32', т.е. полагая N = Р > I.
В качестве иллюстрации такого подхода рассмотреть потенциалы
a) U(r) = Ft, 6) U(r) = аг\ в) U(r) = -a/r.
Решение. В N-мерном пространстве для сферически симметричных функций имеем'3'
1=1
Поэтому уравнение Шрёдингера для «-состояний подстановкой Ф = х(г)/г" с v = (N - 1)/2
сводится к обычному одномерному уравнению Шрёдингера (ниже ft = т = I):
-\x"HV^(r)-E)X = 0, ^=Ы^ + У(г). A)
При больших значениях N благодаря квазицентробежному барьеру ос N*/r2 волновые функ-
функции и энергетический спектр состояний вблизи минимума эффективного потенциала обладают
свойствами54', подобными отмеченным в предыдущей задаче для потенциала U = Uaf (х/а)
при Uo —» оо и могут быть рассчитаны указанным там способом.
Для решения уравнения A) при iV > 1 с помощью разложения по параметру \/N удобно
сначала получить решение в виде разложения по параметру 1/JV, где N2 = (N - \)(N — 3),
и уже в нем выполнить разложение по I/7V. Рассмотрим приложения изложенного метода
к конкретным потенциалам.
а) Для потенциала V = Ft уравнение A) принимает вид
Выполнив разложение (Аде в окрестности точки г0 — (N2/4F) минимума эффективного
потенциала
3 3 5
2 2 2
где х — г - г0 и д — 4F/JV2, получаем (поступая как и в предыдущей задаче)
Д0/#) = \ Рд-1-а + ±у/зРдЧ> + 1 92'3 + ... . B)
Отсюда, имея в виду, что
4F ,/. 4 13 \
приходим к выражению для энергии основного уровня в виде [///-разложения.
3/FN\
fJ {!- 0,17863^"' + 0,02906ЛГ + ...}. D)
' В этом случае говорят о 1/??-разложенки; для реального пространства D = 3, но иногда подход
можно использовать в одно- и двумерных системах.
5!'Этог результат легко получить, если воспользоваться соотношением Д = divgrad и учесть, что
grad /(г) = /г/г и div г = N.
я) Это замечание справедливо лишь для потенциалов с бесконечным числом связанных состояний,
случаем которых (как указано в условии задачи) мы и ограничимся ниже.
Для короткодействующих потенциалов притяжения с конечным числом состояний дискретного
спектра следует использовать подход, примененный в следующей за данной задаче н состоящий в записи
потенциала в виде ?/(г) = N2gv (r/R).

§ 4. 1/JV -разложение в квантовой механике 295
Положив N = 3, получаем Ев = 1,8549F2/3, что лишь на 0,05% отличается от точного
значения Д> = /9, (F2/2) '/3 = 1,8558F2/3 (здесь -/}, = -2,3381 — первый нуль функции Эйри,
Ai (-Д) = 0; сравнить с 2.8). Отметим также, что применительно к одномерному потенциалу
V = F\x\ формула D) при N = 1 дает Ев = 0,S036F7/i, в то время как точное значение
Eq = 0,8086f2'3. Столь высокая точность формулы D) определяется тем, что в данном случае
параметр разложения можно оценить как и X/5N.
б) Дня потенциала U = аг*, поступая аналогичным образом, находим
и переходя как в C) к параметру разложения 1/iV, получаем
(ЛГ2 \ 2/3
— J {1 + 0.5993ЛГ1 - 0.3255JV2 + ...} E)
(параметр разложения «1/2ЛГ). Отсюда, положив N = 3, имеем Ео = 2,3_79а|/3, что отлича-
отличается от результата точного численного решения уравнения Шрёдингера, Ео = 2,394о|/3, всего
на 0,4%.
в) Для кулоновского потенциала U = -а/г находим
N №
Переходя, как и выше, к разложению по параметру 1/JV, получаем
F)
Здесь по сравнению с D) и (S) сходимость разложения ухудшается. Это разложение можно
«улучшить», если воспользоваться параметром разложения 1 /(JV — 1). При этом выражение F)
принимает вид Ео A/(W - 1)) = -2a2/(N - IJ, что совладает с точным результатом. Ука-
Указанное изменение параметра разложения связано с тем, что оно при JV — 1 обеспечивает
«падение на центр» (дает Ео = -со), возникающее в кулоновском потенциале в одномерном
случае55', см. 8.61.
9.34. Исследовать энергетический спектр связанных состояний в сферически-сим-
сферически-симметричном потенциале притяжения U(r) = Uov(r/R) с помощью l/JV-разложения,
выбирая параметр разложенияэд
N = n = l + nr + \ A)
(п — аналог главного квантового числа в случае кулоновского потенциала) и считая
радиальное квантовое число п,. фиксированным, а орбитальный момент I —* оо.
Проиллюстрировать точность полученного выражения для энергетических уровней
на примерах известных точных решений уравнения Шрёдингера.
Решение. Запишем потенциал в виде V(г) = n2gv(r/R), т.е. положим Щ = дп7, функ-
функция v(z) определяет форму потенциала. Тогда эффективная потенциальная энергия, фигури-
фигурирующая в уравнении (FV.S), принимает вид, удобный для ее дальнейшего 1/п-разложения:
55' Осуществляемая подобным образом интерполяция между областями значений N —> оо н N ~ 1
встречается в различных вариантах метода l/JV-разложения.
** В этом случае обычно говорят о l/n-разложенни; о многочисленных приложениях этого метода
см. статью Мур В.Д., Попов B.C., Сергеев Л. В. ЖЭТФ. 1990. Т.97. С. 32 и цитированную там литературу.

296 Глава 9. Квазиклассическое приближение
(здесь и ниже положено h = го = Я = 1 ). Аналогично запишем l/n-разложение для
энергетических уровней:
/"II Л
C)
При п -» оо частица локализуется вблизи точки минимума эффективного потенциала
г0, для которой
grlv'(r0) = 1, е@) = min С/,фф = —-j- + gv(r0). D)
Ограничиваясь в окрестности этой точки квадратичным по (г - г0) членом разложения
старшего по 1/п слагаемого в B), получаем"'
Х".п. - [»V<r - г„K - ^±i> _ 2п?0>] Хцпг(г) = о, E)
3 \ |/2
4 ¦
"о /
В этом приближении имеем
Аналогичным образом могут быть найдены члены более высокого порядка разложения
по 1/п. Однако ввиду их громоздкости, мы ограничимся ниже иллюстрацией точности
1/п-разложения на примерах первого приближения.
Для степенных потенциалов притяжения (G > 0, v > -2)
rSn()() , л=(^Л (8)
1/п-разложсние для энергетических уровней принимает вид58'
(9)
Отсюда для кулоновского потенциала, v = — I, и сферического осциллятора, и = 2, следуют
точные результаты для энергетического спектра.
Рассмотрим также случай линейного потенциала, v = 1. Для него согласно (9) 1/п-раз-
1/п-разложение для энергетических уровней имеет вид
/ i \
A0)
Сравнение этого разложения с точными значениями е[^', полученными численным ре-
решением радиального уравнения Шрелингера, представлено в приведенной ниже таблице.
57' Заметим, что теперь разложение по параметру 1/п связано как с зависимостью от п самнх слагаемых
в B), так и с их последующий разложением по степеням (г - г0), имеющим малость порядка п'2. При
этом разложение для В.», включает тольхо целые степени параметра 1/п, как и в условиях задачи 9.33.
5" В этом случае ы = V2 + I/. Появление здесь особенности при v — — 2 (ср. также с формулой A2)
ниже) связано с возникновением «падения на иентр», см. 9.14

§ 4. \/N-разложение в квантовой механике
297
в которой указаны значения погрешностей
.«Hi» _
14 ~
_ .
в нулевом и первом приближениях 1/п-разложения.
г
пг=0
0
1,85576
-0,19
5,5 ¦ 10~3
1
2,66783
-0,11
1,4- Ю
2
3,37178
-0,075
6,3 • Ю-4
п, = 1
0
3,24461
-0,27
2,5-10
1
3,87679
-0,20
1,2- 10
2
4,46830
-0,15
7,2 • 1<Г4
(И)
В заключение приведем для степенных потенциалов значение поправки второго прибли-
приближения по 1/п
е""~ \АЛ(г" \{~ 15v-52 + 36v^+^ + 6n'(n' + 1)(''J-9i/-34 + 24\/2+T)}, A2)
учет которой еше более увеличивает точность 1/п-разложения.
9.35. Для короткодействующего потенциала притяжения U(r) = U$v (r/R) (U(r) —¦ О
при г —* оо) найти с помощью 1/п-разложения, см. предыдущую задачу, критические
значения ?пп„сг параметра потенциала
, mU0R2
которые отвечают моменту возникновения ппТ -уровня при углублении потенциальной
ямы.
Решение. Задача решается аналогично предыдущей, только теперь в виде 1/п-разложения
определяется не энергия уровня, а значение константы связи
U = а п2 а =а + — вA) + — оB) + (I)
п п
При этом коэффициенты разложения glj находятся из условия, что в момент возникновения
уровня его энергия Е = 0, так что ?„,' = 0 во всех порядках 1/п-разложения.
Положение точки классического равновесия г0 и значение да константы связи нулевого
приближения определяются следующими выражениями (ср. с D) из предыдущей задачи):
(О
Для поправки первого порядка по 1/п получаем
0»>. B)
где значение частоты ш дается прежним выражением E) с заменой в нем д —> д0.
Мы проиллюстрируем применение полученных результатов на примере потенциала
Юкавы5" U{r) = -U0(R/r) exp (-г/Л). В этом случае
5" Заметим, что s данной задаче роль поправки второго приближения —
чем в предыдущей.
— более существенна,

298
Глава 9. Квазиклассическое приближение
где е - 2,718.... Сравнение этого разложения с точными значниями gi^'1, полученными
численным решением радиального уравнения Шрёдингера, представлено в следующей таблице
1
(cucl)
9ппт
АО)
inn,
м
«ЯП,
пг = 0
0
0,8399
0,62
0,14
1
4,5410
0,20
0,022
2
10,947
0,12
8,3 ¦ 1Q-3
5
46,459
0,053
1,8- 10
п,= 1
0
3,2236
0,69
-0,054
1
8,8723
0,38
-0,025
2
17,210
0,26
-0,014
5
58,496
0,14
-5,6-10-'
в которой указаны также значения пофешностей
(««с.)
5
D)
соответствующего приближения 1/п-разложения, ср. с предыдущей задачей.

Дополнение
Д1. Интегралы и интегральные соотношения
Аналогичное соотношение справедливо и для л-мерного пространства.
J xX^te J х-х
Здесь а < хо<Ь; е >0 — бесконечно мало; f — интеграл в смысле главного значения;
о вычислении мнимой части интеграла см. 13.11.
3.
J *2-х2
-00 -00
х и х — вещественные, причем х > 0; с > 0 бесконечно мало. Интегралы вычисляются
с помощью вычетов замыканием контура интегрирования в верхнюю (при х > 0) или нижнюю
(при х < 0) полуплоскость комплексной переменной fc.
4.
Интеграл (определяющий при Л = 0 фурье-компоненту кулоновского потенциала) вычисля-
вычисляется в сферических координатах с выбором полярной оси вдоль вектора к.
2-п!
1 dx ("О" Я" 7 <ix
У (** + .»)-*¦ =~ri~daZJ хЧ
v ^zt0!!) o>0. (ДК6)
»
/" - ^/(г - а)(Ь- х) dx - | (а + 6 - 2у/оЬ), 0 < а < 6. (Д1.7)
8. /
о
Д2. Цилиндрические функции
Цилиндрическими функциями Zv(z) называют решения дифференциального уравнения
Функции Бесселя

300 Дополнение
являются частным видом цилиндрических функций. Если индекс v не совпадает с це-
целым числом, то функции Бесселя J±,(z) представляют два линейно независимых решения
уравнения (Д2.1), так что его общее решение
Zv(z) =-• CMz) + C2J.y(z), v ф О,1,2,... .
Поведение функций Бесселя при z -» 0 непосредственно следует из их определе-
определения (Д2.2), а асимптотика при z —• оо ичеет вид
йГЧ?;) (д1з)
Функции Неймана
К(г) = Yv{z) = ^r^ [cos (*v)Uz) - J-,(z)] ¦ (Д2.4)
Для целочисленных значений индекса v = n они, Nx(z) — timNy(z) при v —> n, являются
вторым, линейно независимым с Jv(z) решением уравнения (Д2.1); при этом
ГЫ /2\2
ЛГДг) * ^ ( - ) для к>0, (Д2.5)
«-о я- \zj
здесь 1 = ес = 1,781... — постоянная Эйлера, С = 0,5772. Асимптотика функций Неймана
при г -* оо имеет вид:
С функциями Бесселя и Неймана тесно связаны функции Ганкеля
Hi%) = J.(z) + >K(z), Hmv(z) - J,(*) - iAU*), (Д2.7)
а также модифицированные функции Бесселя Iy(z) и К„(г) (функции Макдональдс), опре-
определяемые соотношениями
- *'•±2> ¦ ¦ • ¦
Для целочисленных значений индекса Kn{z) — lim ^B) при v -» n = 0, ±1,±2,...; при
этом
сравнить с (Д2.5). Суперпозиция модифицированных функций Бесселя
«„(*) = Zy(iz) = С, 7,B) + С2ЛГДг)
(представляющая цилиндрическую функцию мнимого аргумента) является общим интегралом
уравнения
В заключение отметим, что с цилиндрическими функциями связаны решения диффе-
дифференциальных уравнений
u" + az"u=0, и = (^)
= 0, « = >^^+I)№+»(^*'-"), (Д2Л2)
u"(z) + GV'-!/>(*) = О, и = гЛ7е"). (Д2.13)
имеющие важные квантовомеханические приложения.

Список литературы
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.: Наука, 1989.
2. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1983.
3. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
4. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовая механика. М.: Наука, 1979.
5. Елютин П. В., Кривченков В. Д. Квантовая механика. М.: Наука, 1976.
6. МессиаА. Квантовая механика. М.: Наука, 1978. Т. 1, 1979. Т. 2.
7. ШиффЛ. Квантовая механика. М.: ИЛ, 1957.
8. Коган В. И., Галицкий В. М. Сборник задач по квантовой механике. М.: Гостехиздат, I9S6.
9. Гольдман И. И., Кривченков В. Д. Сборник задач по квантовой механике. М.: Гостехиздат,
1957.
10. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. М.: Мир, 1974, Т. 1, 2.
И. КронинДж., ГринбергД., Телегди В. Сборник задач по физике с решениями. М.: Атомиэдат,
1975.
12. Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. М: Наука, 1979.
13. Фейнман Р., ХибсА. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: Мир, 1968.
14. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975.
15. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивист-
нерелятивистской квантовой механике. М.: Наука, 1971.
16. Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Физ-
матгиз, 1960.
17. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965; см. также Bethe H. A., Jackiw R. W. Intermediate
Quantum Mechanics; Benjamin W.A. INC. New York, Amsterdam, 1968.
18. Фок В. А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.
19. Смирнов Б. М. Асимптотические методы в теории атомных столкновений. М.: Атомиздат,
1973.
20. Демков Ю. Н., Островский В. И. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике.
Л.: ЛГУ, 1975.
21. Делоне Н. Б., Крайнев В. П. Атом в сильном световом поле. М.: Энергоатомиздат, 1984.
22. Мотт И., Месси Г. Теория атомных столкновений. М.: Мир, 1969.
23. Гольдбергер М., Ватсон К. Теория столкновений. М.: Мир. 1967.
24. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М.: Мир, 1969.
25. Тейлор Дж. Теория рассеяния. М.: Мир, 1975.
26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1988.
27. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1988.
28. Лифшиц Е. М., Питаевскии Л. П. Статистическая физика. Ч. 2. М.: Наука, 1978.
29. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевскии Л. П. Квантовая электродинамика. М.: На-
Наука, 1989.
30. Боголюбов Н. Я, ШирковД.В. Квантовые поля. М.: Наука, 1980.
31. Мигдал А. Б. Фермионы и бозоны в сильных полях. М: Наука, 1978.
32. Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. М.: Наука, 1977.
33. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-
матгиз, 1962.
34. Справочник по специальным функциями / Под редакцией М. Абрамовича и И. Стиган.
М.: Наука, 1979.
35. Янке ?., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции: формулы, графики, таблицы. М.: Наука,
1977.