СПРАВОЧНИК
ПО АНТЕННОЙ
ТЕХНИКЕ

Глава 1
Основные уравнения электромагнитного
поля
1.1. Уравнения поля для немонохроматических
процессов
Электромагнитное поле в
практической системе единиц удовлетворяет
уравнениям Максвелла:
( тт 8D , .. „
rotH= -5- +J; divD = p;
дВ (L1)
rot Е- —^; divB = 0.
Здесь E, H — векторы электрической
и магнитной напряженности поля; D,
В — векторы электрической и
магнитной индукции.
Для изотропных сред, в
отсутствие дисперсии, эти векторы связаны
соотношениями
D = гЕ; В = ^Н, (1.2)
где г и \х — диэлектрическая и
магнитная проницаемости среды.
В анизотропных средах £ n/i —
тензоры. При наличии дисперсии D
и В зависят от значений Е и Н
соответственно во все предшествующие
рассматриваемому моменты времени.
В этом случае в (1.2) г и /л
являются интегральными, линейными (при
не очень больших полях) операторами
[1.1]. Для дальнейшего важно
отметить, что для монохроматических
колебаний частоты ш эти операторы
сводятся к обычным скалярным (или
тензорным для анизотропных сред)
диэлектрическим и магнитным проницае-
мостям также при наличии дисперсии.
Вектор плотности тока J связан с Е
законом Ома J = <тЕ, где <х — объемная
электрическая проводимость среды.
Из (1.1) следуют законы
сохранения заряда и энергии
—+JE + div[EH] = 0,
где р — объемная плотность заряда;
W = (ED + НВ)/2 —
электромагнитная энергия в единице объема; [ЕН]
— вектор Пойнтинга, равный
потоку энергии, проходящей через единицу
площади в единицу времени.
При решении задач о возбуждении
поля вводят обычно сторонние токи с
плотностью JCT или сторонние
напряженности Ест, которые считаются за~
данными и являются первичными
источниками, создающими поле. При
этом задача несколько
идеализируется, но делается обозримой и
практически решаемой. Вводятся эти величины
при помощи закона Ома
J = <tE + Jct = <t(E + Ect). (1.4)
Определяя Е из (1.4) и подставляя
в (1.3) во второе слагаемое, придадим
закону сохранения энергии следующий
вид:
dW J2
JECI=^- + div[EH] + - (1.5)
т.е. мощность сторонней ЭДС
расходуется на увеличение энергии, излучение
и джоулевы потери. Все это относится
к единице объема и единице времени.

Из уравнений (1.1) легко получить
[1.2] лемму, аналогичную лемме
Лоренца, являющуюся обобщением
последней для немонохроматических
нестационарных процессов:
t
I f[E1(t-t)H2(t)]ds,dt=
О (,)
t
= f f[E3(T)Hi(t-T)]d8dt. (1.6)
о (*)
Здесь Ei, Hi и Еэ, Щ поля,
удовлетворяющие внутри области,
ограниченной поверхностью s, уравнениям
(1.1) и нулевым начальным условиям
при t = 0. Предполагается также, что
в этой области отсутствуют сторонние
токи, а г, /л и а являются
произвольными функциями координат. ,
Если внутри рассматриваемой
области v отсутствуют сторонние токи,
фигурирующие в (1.1) в соответствии
с выражением (1.4) для первого и
второго поля, т.е. JJT = J5T = 0, то лемма
(1.6) принимает следующий вид:
{E^t - г)Н-,(т)-
-E2(T)K1(t-t)}ds,dt =
i
= jj{J?(t-T)E2(r)-
0 (V)
-JftfEiQ-'ifidvdT,
t <C 0. (1.6a)
Вектора поля в равенствах (1.6) и
(1.6а) зависят также от
пространственных координат, но для сокращения
записи это явно не отмечено. Используя
одну из этих лемм, можно получить
теорему взаимности для двух
произвольных антенн, любым образом
расположенных в пространстве с
изменяющимися от точки к точке параметрами е,
fi, а для немонохроматических
колебаний [1.3]:
о
*
= I h(t)£(1){t-t)dt. (1.7)
о
Здесь h и 12 — полные токи на входах
первой и второй антенн при работе
их в режиме передачи;
— полные ЭДС на входах первой и
второй антенн в режиме приема при
отсутствии нагрузки (приемника).
Предполагалось, что h{t) =
— I2(t) — 0 при t ^ 0. Уравнения (1.6)-
(1.7) справедливы также для
дисперсионных сред. Наличие дисперсии, а она
практически всегда имеет место при
достаточной ширине полосы
используемых частот, зависимость между на-
пряжеиностями Е, Н и векторами D, В
сильно усложняется. Поэтому в этих
случаях поступают следующим
образом: раскладывают в ряд или
интеграл Фурье сторонние источники или
первичные поля (в зависимости от
постановки задачи) и для каждого
монохроматического колебания частоты
ш определяют поле. Это сравнительно
легко сделать, поскольку для
монохроматического колебания связь между Е,
Н и D, В проста (1.2), a s, \x и а
являются известными функциями и/. Затем
найденные поля суммируют, что
допустимо вследствие линейности
уравнений Максвелла, и таким образом,
получают решение задачи. Учитывая
сказанное, в дальнейшем основное
внимание уделяем рассмотрению
монохроматических колебаний частоты ш.

1.2. Уравнения электромагнитного поля
для монохроматических колебаний
Для зависимых от времени t
процессов вида exp(iwi), где ш — угловая
частота, в практической системе
единиц (МКС) уравнения Максвелла
имеют вид
rotH
rOt E :
iweE + J;
-iw/iH-J".
(1.8)
Здесь еи/j — комплексные
диэлектрическая и магнитная проницаемости,
зависящие от ш:
£• = £'- IS"
ц — \х' — \ц''
е" > 0;
/i" £ 0.
(1.9)
Мнимые части е", //'
обусловлены наличием джоулевых или
диэлектрических и магнитных потерь в среде.
При отсутствии последних
е" = а/и; ц" = 0.
(1.9а)
Хотя векторов плотности J и JM
сторонних электрического и
магнитного токов в природе не существует, их
введение бывает полезно, так как в
ряде случаев позволяет значительно
упростить расчет поля, возбуждаемого
фактически электрическими токами.
На границе раздела двух сред,
обладающих различными параметрэ-
ми, уравнения (1.8) должны быть
дополнены соответствующими
граничными условиями. Если две области ve и
vi с различными электромагнитными
параметрами граничат вдоль
поверхности s, то эти условия имеют вид
[тг(Не - Н')] = К;
НЕе-Е!')] = -К".
(1.10)
Здесь п — единичный вектор нормали
к s, направленный внутрь ve\ е и г —
индексы, означающие, что Ес, Не и Е!,
Н' являются предельными значениями
векторов поля на s при стремлении к
s со стороны ve и и,- соответственно;
К, Км — поверхностные плотности
электрического и магнитного токов,
текущих по s.
Если поверхностных токов на s
нет, то условия (1.10) принимают вид
[тг(Не - №)] = 0;
Ьг{Ее - Е;)1 = 0.
(1.10а)
Пусть одна из сред, например t>,-,
обладает бесконечной проводимостью
а = оо, тогда поле внутри и,- равно
нулю и условия (1.10а) заменяются
следующими:
[ixHe] = К; [тъЕе
0,
(1.11)
поскольку на s индуцируется
поверхностный электрический ток.
Аналогично, если среда -и,-
обладает бесконечной магнитной
проводимостью, то вместо (1.11) будем иметь
[пЕе] = -К"; [пНе] = 0. (1.11а)
Первые формулы в (1.11) и (1.11а)
определяют соответствующие токи, а
вторые являются граничными
условиями, которые нужно учитывать при
решении уравнений (1.8). Когда область,
для которой определяем поле,
простирается на бесконечность, необходимо
потребовать выполнения условия
излучения Зоммерфельда. Оно состоит в
том, что на бесконечности поле должно
иметь вид уходящей локально плоской
волны, т.е.*
E=^-F((),ip)+0(r-2);
г
к--
(1.12)
* Аналогичное равенство должно
выполняться для Н.

где г, 9, <р — сферическая система
координат; F — вектор, поперечный по
отношеникГк г.
Если в среде имеются потери, то
условие (1,12) можно заменить более
простым
lim rE= lim rH = 0. (1.12а)
7'-*СО Г—*-СО
Следует обратить внимание на еще
одно условие, которое нужно иметь
ввиду при интегрировании уравнений
(1.8) в областях, где находятся
металлические ребра и острия. На них
должны отсутствовать источники (стоки)
энергии. Согласно условия Мейкснеру
для этого достаточно потребовать
интегрируемости плотности энергии поля
в окрестности этих областей.
Перечисленных выше условий
достаточно для того, чтобы выполнялась
следующая теорема.
Теорема единственности.
Неоднородные уравнения (1.8), в которых
сторонние токи J, J'( заданы и
распределены на конечном расстоянии, не
могут иметь более одного решения,
удовлетворяющего условиям:
1) на поверхностях, где г и \х
имеют разрыв непрерывности, должны
выполняться равенства (1.10а);
2) на поверхностях,
ограничивающих рассматриваемую область
пространства, тангенциальная
компонента Et или Нг должна быть задана;
3) если область, для которой
определяется решение (1.8), простирается
на бесконечность, то поле должно
удовлетворять условию (1.12) (или (1.12а)
при наличии потерь);
4) на остриях и ребрах должны
выполняться условия Мейкснера.
Перечисленные выше условия не
противоречивы и всегда существует
(одно) решение уравнений (1.8),
удовлетворяющее им.
Отметим еще, что при отсутствии
потерь в среде теорема
единственности может нарушаться для
внутренних граничных задач (т.е. для
конечных областей, ограниченных
некоторой поверхностью), если заданная
частота и> совпадает с одной из
резонансных частот рассматриваемой области;
при граничном условии Et = 0, если в
п. 2 задана Ег, или Ht = 0, если за.да-
на Н(.
Свойство системы (1,8) сохранять
свой вид при перестановке
Е -► Н; Н -► -Е;
J^J'1; J^^-J; (1.13)
г —> /.<; /i —*■ г
называют принципом
перестановочной инвариантности, оно часто
позволяет сокращать выкладки при
решении различных задач. Например,
решив задачу определения поля по
заданным электрическим токам, можно
сразу написать выражение для поля,
создаваемого соответствующими
магнитными токами и наоборот. Следует
однако при этом учитывать, что
перестановка (1.13) должна также
переводить граничные условия одной задачи
в условия другой.
Из уравнений Максвелла (1.8)
легко получить закон сохранения энергии
— комплексную теорему Пойнтинга —
i / Ест j; dv = J S ds+
(v) (0
+ y /(/iHH* -s'EE')dv+
(v)
+ J^\3*\2dv. (1.14)
M
Здесь v — область, ограниченная
поверхностью s; J,r = 3 + crE — c(ECT+E)
— полная плотность тока, равная
сумме плотностей стороннего тока и тока

проводимости; S = 0,5[ЕН*] —
комплексный вектор Пойнтинга,
представляющий собой плотность
комплексного потока мощности; последний член в
(1.14) равен средней (за период)
мощности, расходуемой в объеме v на
джоулеву теплоту; е' — вещественная
часть е (1.9); * — знак комплексного
сопряжения.
■ Из (1.8) можно получить так
называемую лемму Лоренца, которая
широко используется в электродинамике и
теории антенн. Применительно к двум
полям Ei, Hi и Е2, Н2 одной и той же
частоты w, возбуждаемым сторонними
токами Ji, Jj* и J2, J2 соответственно,
лемма имеет следующий вид:
y'{[E1H2]-[E2Hi]}ds= (1.15)
I»)
= /(JiE2 - J2E1 + Jj'Hi - Jf H2) dv,
И
где da = nds; n — внешняя по
отношению к v нормаль к поверхности s.
Эта лемма справедлива для любой
неоднородной среды, например, когда
v все бесконечное пространство, лемма
(1.15) сводится к следующей:
/ (J1E2-J2Ei+J2iH1-JfH2)dw = 0,
Ко)
так как интеграл по бесконечно
удаленной поверхности, ограничивающей
i>oo, обращается в нуль вследствие
(1.12); условия для Н аналогичны.
При наличии потерь это сразу следует
из (1.12а). Из последней леммы
получаются теоремы взаимности для
электрических диполей с моментами pi и
р2, магнитных с моментами та! и та2
и одного электрического pi и
магнитного та2 соответственно
PiE2 = p2Ei;
m.iH2 = m2Hi; (1.16)
pjE2 = —m2Hi.
Векторы поля в (1.16) берутся в
точках нахождения диполей, на
моменты которых и умножаются.
Из леммы Лоренца следует
теорема взаимности для любых двух антенн
[1.4]
£{l4x=S^h- (1.17)
Здесь £^ и £(2) — полные ЭДС на
клеммах первой и второй антенн в
режиме приема; Д и /2 — токи,
протекающие через клеммы этих антенн в
режиме передачи. (Внутренние
сопротивления генератора и приемника,
подключаемые к антенне в этих режимах
могут быть различными.)
Из уравнений Максвелла можно
получить [1.5] еще одну так
называемую «сопряженную лемму». Когда в
среде отсутствуют потери, а,
следовательно, е = е' и ц = ц', т.е. ц" — е" =
= 0 (1.9), эта лемма имеет вид
y{[EiH5]+[E*2H1]}ole =
(О
= - /"(JiES+JjEi+JfHJ+J^HiJoto,
где все векторы имеют тот же смысл,
что и в лемме Лоренца (1.15).
Сопряженная лемма бывает полезна при
рассмотрении некоторых задач
электроники и антенной техники.

1.3. Краевые задачи электродинамики
Первая внешняя краевая
задача электродинамики (КЗЭ)
сводится к определению поля Е, Н во
внешней области ve, ограниченной
изнутри замкнутой геометрической
поверхностью s, по заданным на ней
значениям тангенциальной составляющей
Щ = е. Последняя является
предельным значением Et при стремлении к s
со стороны ve. Поверхность s может
быть многосвязной. Полагаем,- что в
области ve источников токов нет. Из
теоремы единственности следует, что
эта задача имеет одно решение.
Теорема 1.1. Поле Е, Н в
области ve тождественно с полем Е1, Н1,
возбуждаемым поверхностным
магнитным током с плотностью
К" = [en] (1.19)
(п — нормаль к s, направленная
внутрь vs), распределенным на
внешней стороне поверхности s, которая
при этом считается обладающей
бесконечной электрической проводимостью.
Последнее означает, что поле Е1, Н1
возбуждается совместным действием
магнитного тока Км и наводимым им
на внешней стороне идеально
проводящей поверхности s электрическим
током. Поле Е1, Н1 в области и;, т. е.
внутри s, будет, очевидно,
тождественно равно нулю.
Доказательство. Поля Е, Н и Е1,
Н1 не имеют источников внутри ve,
поэтому для того, чтобы они совпадали
в области ve, необходимо и достаточно
выполнение равенства Ef = Е(1е на s.
Последнее следует из того, что Е* = е
на s, а условие «скачка» для Е| при
переходе через s дает (1.10) E*e = [пКм]
на s, так как Е** = 0 на s (поскольку
источники Е1, Н1 находятся снаружи
идеально проводящей поверхности s).
Подставляя значение Км из (1.19),
получаем Etle = [пКм] = [n[en]] = e на
s. Теорема доказана.
Первая внешняя КЗЭ сведена,
таким образом, к задаче о
возбуждении идеально проводящей
(электрически) поверхности s заданным на ней
магнитным током Км = [ей].
Вторая внешняя КЗЭ
сводится к определению поля Е, Н в
области ve, ограниченной изнутри
поверхностью s с по заданным на ней
значениям Щ = 1г. Для этой задачи
справедлива теорема.
Теорема 1.2. Поле Е, Н в
области 1>е тождественно совпадает с полем
Е2, Н2, возбуждаемым поверхностным
электрическим током с плотностью
К = [nil], распределенным на внешней
стороне s, которая при этом
считается обладающей бесконечной магнитной
проводимостью. Этот ток К
возбуждает на s магнитный поверхностный ток,
совместным действием которых и
определяется поле Е2, Н2. В области v, это
поле равно нулю.
Смешанная внешняя КЗЭ
сводится к нахождению поля Е, Н в
области ve, ограниченной изнутри
поверхностью s, по заданным на ней
составляющим:
Е4е = е на si; Н' = h на йг;
si + s2 = s.
Для этой задачи выполняется
следующая теорема.
Теорема 1.3. Поле Е, Н в
области ve тождественно совпадает с полем
Е3, Н3, возбуждаемым поверхностным
магнитным током, распределенным с
плотностью Км = [en] на si и
поверхностным электрическим током,
распределенным с плотностью К = [nh,]
на 52- Считаем, что поверхности si и S2

обладают бесконечной электрической
и магнитной проводимостями.
Доказательства теорем 1.2 и 1.3 аналогичны
доказательству теоремы 1.1.
Подобно трем внешним краевым
задачам могут быть сформулированы
соответствующие внутренние краевые
задачи. При этом вместо ve
рассматривается внутренняя область г>,-,
ограниченная снаружи поверхностью s и
вместо внешних предельных значений Е|,
Н| в них фигурируют внутренние EJ,
HJ. Для этих задач также
справедливы теоремы 1.1-1.3. В отличие от
внешних краевых задач, для
внутренних может нарушаться единственность
решения, если потери в среде,
заполняющей ы, отсутствуют и заданная ча-
Из рассмотерния КЗЭ и теоремы
единственности следует, что поле в
области v однозначно* определяется
заданием Е{ или Ht на поверхности s,
ограничивающей v. Одновременное
задание Е< и Ht на s не может быть
произвольным, так как одна из этих
величин определяет другую. Однако на
практике нахождение поля в
результате решения первой или второй КЗЭ
весьма трудно для более или менее
сложных поверхностей s. Задача
резко упрощается и могут быть написаны
общие формулы для поля, если заданы
на s обе составляющие Е( и Hf.
Теорема эквивалентности.
Пусть поверхность s разделяет
пространство на две области ve и и,- и все
источники ноля Е, Н сосредоточены в
области V{. Если Е| = с и Щ = h
на. s, то поле Е1, Н1, возбуждаемое
распределенными на s электрическими
и магнитными токами с плотностями
* Возможные исключения указаны выше.
стота ш совпадает с одной из
резонансных частот внутреннего резонатора с
краевыми условиями Е\ — 0 на s для
первой КЗЭ; Ш\ = 0 на s для
второй КЗЭ; Щ = 0 на *i; Н{ = 0 на
s2 для смешанной КЗЭ. В этих
случаях к решению могут быть
добавлены линейные комбинации
соответствующих собственных колебаний
внутреннего резонатора, не нарушающих
заданные краевые условия задачи. При
этом поля типа Е1, Н1; Е2, Н2; Е3,
Н3, фигурирующие в теоремах 1.1-1.3,
для внутренних задач остаются
конечными, так как возбуждающие их токи
ортогональны к соответствующим
собственным колебаниям резонатора [1.6].
К = [тьН] и 1С = [тье] (тъ направлен
внутрь ve) совпадает с полем Е, Н в
области ve и равно нулю в области и,.
Одна или обе области ve и и* могут
быть бесконечными. Среда,
заполняющая их, в общем случае неоднородна.
Полезно отметить, что если среда
внутри ve однородна, то при расчете Е1,
Н1 по токам К и 1С можно все
пространство ve + Vi считать однородным
с параметрами среды ve. Наличие не-
однородностей внутри г>,- не скажется,
так как поле Е1, Н1 в области и,- равно
нулю. Введенные токи К и 1С также
называют эквивалентными.
Доказательство. Теорема
эквивалентности следует, например, из
теоремы 1.1. Действительно, поскольку
Щ (= е) задано на s, то на
основании теоремы 1.1, поле Е, Н в
области vt совпадает с полем,
возбуждаемым магнитным током,
распределенным с плотностью К*' = [не] на s,
в предположении, что последняя
идеально проводящая. Но тогда, как уже
1.4. Теорема эквивалентности и эквивалентные токи

указывалось выше, это поле
возбуждается совместным действием тока Км
и электрического тока К,
наведенного на s. Из первого выражения (1.11)
плотность электрического тока К =
= [ixHe] = [nil]. Теорема эквивалент-
Рассмотрим однородную среду, в
которой отсутствуют магнитные токи.
В этом случае поле может быть
выражено при помощи векторного и
скалярного потенциалов
Н = ш£гоШ; Е = k2U + grad U,
(1.20)
которые удовлетворяют одному
векторному уравнению
У2П + к2П + grad(U - div П) = - Д-.
ltoe
(1.21)
Таким образом, при любых П и
U, связанных равенством (1.21), поле
(1.20) удовлетворяет уравнениям (1.8),
где Jf* = 0. Поскольку (1.21) может
определить J только при скалярных
неизвестных, а у нас их четыре — U
и три компоненты П, то к (1.21)
можно добавить еще одно скалярное
равенство в значительной мере
произвольное:
U-divU = 0,
тогда получаем
Е = grad div П+&2П; (1.21)
H = iwerotII; (1.22)
V2n + /fc2n = -J/(iu)£). (1.23)
Таким образом, поле в этом
случае выражается через один вектор П,
который называют (электрическим)
вектором Герца.
ности доказана.
Равенство нулю поля Е1, Н1 в
области Vi очевидно, так как это
поле не имеет там источников, а
поверхность s при его расчете предполагается
идеально проводящей.
Интегрируя (1.23), найдем
следующее решение, удовлетворяющее
принципу излучения
1 г g-iir
П=—— /J dv. (1.24)
47T1UJ£ J Г
Когда вместо электрического тока
в однородном пространстве
распределены заданные магнитные токи с
плотностью JM, поле определяется
следующими формулами:
E = -iumrotnM;
(1.25)
Н = grad div П" + *2П", v '
где магнитный вектор Герца
У21Р + £2ГР = -Л7М,
решение которого имеет вид
П" = -г^— /J"- dv. (1.26)
47TlW/i J Г
(v)
Все эти выражения получаются
в результате перестановки (1.13) из
(1.22)—(1.24). Если уравнения (1.8)
содержат электрические и магнитные
токи, то на основании принципа
суперпозиции, поле будет равно сумме полей,
определяемых в (1.22) и (1.25).
Потенциалы Боргниса-Дебая.
Эти потенциалы вводят при
использовании криволинейной ортогональной
1.5. Решение уравнений Максвелла при помощи
вспомогательных потенциалов

системы координат xi, Х2, хз с
коэффициентами Ляме,
удовлетворяющими условиям Боргниса
h = l;
д
дх\
= 0,
(1.27)
для решения однородных уравнений
Максвелла [1.7]. Координату х\
называют главной. В [1.8] метод Боргниса-
Дебая обобщен в двух направлениях:
для неоднородных уравнений
Максвелла, и неоднородных сред,
параметры которых зависят от одной
(главной) координаты. При этом
справедливы следующие теоремы.
Теорема 1.4. Если токи
удовлетворяют условиям
П = 0;
h = h = 0;
divJM = 0,
(1.27а)
то Е, Н — поле электрического типа
(#1 = 0) и может быть выражено при
помощи скалярного потенциала U:
Ел
Е,
#1
д /1 8U
dxi \e дх\
1 d2U
Sfl2 8X18X2'
_ iw dU
U, Л2 - — , Лз
Лз дхз
+ цш2и-^;
Е3 =
1 d2U
екз дх\дхз'
- ш dU
i/i2 8x2'
где U определяем из уравнения
1
-I-
д /Лз dU
Л2Л3 ^дх2 \ho дх2
д fh2dU
+
О 11г2 OU \ -1 д
дхз V. Лз дхз) > дх\
1 dU
е дх\
+
':
+k'U=-Ji+;
ш
— el h3J!}dx3-e / Л2/о|_,__о dx2;
г»
X<i
и
*° —
произвольные функции
Теорема 1.5. Если токи
удовлетворяют условиям
Ji=0; divJ = 0;
J = J\\ J2 = J3 = v,
(1.276)
то Е, Н — поле магнитного типа
(Ei = 0) и может быть выражено при
помощи скалярной функции V:
Ьх - U, Ь2 — — д—, Ьз — т-д—!
гкз дхз п2 дх2
д (I dV\ , 2,г 1
Нх = __ ___ + suj2V - -q;
OXi \Ц ОХ\ J fl
1 d2V „ 1 d2V
til = —T-7; 7, i "-3 —
\xh,2 dxidx2' 1л1гз дхгдхз'
где V определяют из уравнения
*2«3 ^OT2 V"! ОЖ2/
a (h2dV\
д (\ dV
ОТ Х\.
~ I ■■* °v \ \ a I l ov \
дх3 \h3dx3J i dxi \(J.dxij
+k2V=-J? + q;
*3 Х2
q = -ц h3J2dx3-^ / /г2«/з|Гз=го dx2.
Если заданная система токов
допускает разбиение на две системы,
удовлетворяющие условиям (1.27а) и
(1.276), то поле представляет собой
суперпозицию электрического и
магнитного полей. Все сказанное
относится к случаям, когда система
координат xi, X2, хз удовлетворяет
условиям (1.27); последним
удовлетворяют сферическая и любые
цилиндрические системы координат.
Необходимо подчеркнуть, что теорема 1.1
(соответственно и теорема 1.2)
справедлива тогда, когда условия г = e(xi),
/л = /i(x'i) и (1.27а)
(соответственно (1.276)) выполняются во всем
пространстве. Если они выполнены лишь

в части пространства Q, то поле в Q
слагается из электрического
(магнитного) и магнитного (электрического)
полей, являющихся решением
соответствующей однородной задачи (т.е. при
токах равных нулю внутри Q).
Исключение составляют, например, области
пространства Q, ограниченные
идеально проводящими стенками,
совпадающими с координатными поверхностями
хп = const, n = 1,3, для которых
теоремы 1.1 и 1.2 выполняются. При
J = JP — 0 и £ = const, ц = const
вышеприведенные выражения сводятся к
полученным Дебаем и Бергнисом.
1.6. Формулы Гюйгенса-Кирхгофа
для электромагнитных полей
Определим поле Е, Н в области v,
ограниченной (снаружи или изнутри)
поверхностью s. Пусть это поле
возбуждается токами, распределенными как
в области v, так и вне ее. Считаем
v заполненной однородной, изотропной
средой с параметрами е, ц\ вне области
v среда может быть любой. Будем
искать поле внутри v в виде суммы двух
полей:
Е = Е° + Е1; Н = Н° + Н1, (1.28)
где Е°, Н° — поле токов,
находящихся внутри пространства v,
заполненного однородной средой с
параметрами г, ц. Это поле будет определяться
формулами типа (1.22), (1.24) и (1.25),
(1.26), где J и J'1 — объемные
плотности заданных внутри v токов. Поле
Е1, Н1 не имеет источников внутри v и
его тангенциальные составляющие на
s, учитывая (1.28), будут
Е] = Ej - Е4°; В.] = Ht - Н?. (1.28а)
Здесь и ниже подразумеваются
предельные значения составляющих
векторов поля при стремлении v к s. Если
считать заданными Et и Н* на s, то
задача сводится к нахождению поля в
области v, не имеющего там
источников. По значениям (1.28а)
тангенциальных составляющих Е* и Н* на ее
границе s и теоремы эквивалентности
следует, что это поле внутри v
тождественно совпадает с полем
электрических и магнитных токов,
распределенных на s с поверхностной плоскостью
K1 = MH-H0)]; К? = [п(Е-Е0)].
(1.29)
Нормаль п направлена внутрь v.
Вводя обозначения К = [tiH], К" = [тгЕ];
Ко = [тгН°], Kq1 = [пЕ°], перепишем
(1.29) в виде
Ki = К - К0; К>{ = К*
К*
(1.29а)
Из теоремы эквивалентности
следует, что поле токов К0 и К£,
распределенных на s, равно нулю внутри v,
так как все источники ноля Е°, Н°,
определяющего К0 и К0' находятся в
области v. Поэтому при расчете Е1,
Н1 можно в выражения для векторов
Герца (1.24) и (1.26) вместо Кг и К?
подставлять любую линейную
комбинацию Ki + /Ж0 и К^ + [ЗК%
соответственно (/? — постоянная) и в
частности К и К>\ Учитывая (1.29) и (1.29а),
для векторов Герца, определяющих
поле Е1, Н1, найдем выражения
П1
IF1
1 f e_I*
\шц J r
ds.
(0

Выражения (1.30) следуют из
(1.24) и (1.26), где объемные токи
заменены на поверхностные, поэтому
интегрирование производится по s. Таким
образом, поле Е1, Н1 полностью
определяется значениями Е* и Ht на s.
Полное поле Е, Н в области v
определяется (1.22) и (1.25) и
имеет вид
' Е = Е° + Е1 =
= (graddiv+fc2)II - iw//rotn'';
н = н° + н1 =
= \ше rot П + (grad div +k2)W,
(1.31)
Рассмотрим (1.24) для вектора
Герца, определяемого током с
плотностью J, распределенным в конечной
области v. Поместив начало координат
«О» в некоторой ее точке, обозначим
через Rap расстояния от нее до точки
наблюдения и точки интегрирования,
тогда
r= ^/R2 + p2 ~2Rpcos$,
где ?5 — угол, под которым видны из
начала координат точки наблюдения и
интегрирования. Если R > р, то
г = Д Л - L cos г? + j^sm4 +.Л.
(А)
Дальней зоной называют область,
где можно ограничиться первыми
двумя членами этого разложения в
экспоненте (1.24). Практически, это будет
при R ^ 2D"1 /X, где D — наибольший
диаметр области и.
Ограничиваясь в экспоненте
двумя членами ряда (А), а в знаменателе
где
П = П1 + —— / J dv;
47Г1Ш£ J Г
(у)
1 f p-'lkr
П" = IF1 + —— / J"- dv.
4тг1ше J г
(v)
Если внутри v токов нет, то
Е° = Н° = 0 и Е = Е\ Н = Н1 в
области V.
одним*, придадим (1.24) вид
1 p-ikR
П = — —F. (1.32)
47Г1Ш£ R '
Здесь
F= ( Зе1крС05<> dv.
(v)
Если 0, <p и 0', <p' — угловые
координаты точек наблюдения и
интегрирования в сферической системе
координат с центром в точке 0, то
cost? = cos 0 cos 0' -fsin 0 sin 0' cos(tp-ip').
(1.33)
Таким образом F = F(0,<p) —
вектор-функция только угловых
координат точки наблюдения и не зависит
от ее расстояния R до центра.
Аналогичное выражение получим для
магнитного вектора Герца (1.26) в дальней
зоне:
1 p-ikR
П" = —-^- — F", (1.34)
Атпшр, R
* Этого достаточно, когда R 3> D; в
экспоненте можно ограничиться одним
членом только, когда D< А.
1.7. Поле в дальней зоне

где
F"= [3^eikpcosUv.
(v)
Наконец, для П1 и П^1 из (1.30)
справедливы подобные выражения, где
F* = [[nH]elkpcosUs;
00
F"1 = f[nE]elkf>coslS ds.
I»)
(1.35)
Рассмотрим поле Е, Н в
дальней зоне, создаваемое электрическим
и магнитным токами. Их можно
получить, суммируя поля (1.22) и (1.25)
для электрических и магнитных
токов и подставляя в полученные
выражения значения векторов Герца (1.33)
и (1.34). Отбрасывая при
проведении векторных операций члены
степени R~2 и ниже, найдем, после
несложных вычислений, асимптотические
выражения
Е =
Н
toft e
-ikR
4?ri R
iR[FiR]] ■
1ЛЕ]
ше е
\F4R]
-ikR
4wi R
j[iRF] + ЫГЧл]]
(1.36)
Здесь F и FM определяются
формулами (1.32) и (1.34) или (1.35) в
зависимости от того, какими токами создается
поле; гд — единичный орт в
направлении R.
Из (1.36) следует, что поле в
дальней зоне имеет поперечный характер, а
его векторы связаны между собой как
в плоской волне. Множители, стоящие
в фигурных скобках, зависят только
от угловых координат точки
наблюдения и характеризуют собой векторную
ДН системы токов. В общем случае
последняя имеет две комплексные 0-ю
и (р-ю компоненты. Большинство
приведенных в этом параграфе
результатов может быть получено при помощи
леммы Лоренца. Покажем это на
примере вывода формул типа Гюйгенса-
Кирхгофа. По-прежнему считаем
среду однородной внутри области v, но
источники поля Е, Н находятся вне
v. Введем в рассматриваемой области
v, ограниченной поверхностью s, кроме
искомого поля Е, Н, еще два
вспомогательных:
1) е', h/ — поле электрического
диполя с моментом р, расположенным
в точке наблюдения q;
2) е", К" — поле магнитного
диполя с моментом in, расположенным в
точке наблюдения д.
При расчете вспомогательных
полей среда вне v может быть вэята
любой, в том числе отличной от реально
существующей в рассматриваемой
задаче. Последовательно применяя
лемму Лоренца к области v и полям Е, Н
и е', 1г' или е", h", получаем
{[h/E]-[e'H]}ds:
(*)
Г рЕ(д) при q G v;
\ 0 при q g v;
A /{[h"E]-[e"H]}d8
(О
Г mH(g) при q G v;
\ 0 при q $ v.
Ввиду произвольности р и та, эти
выражения полностью определяют Е и
Н внутри v и являются наиболее
общими, определяющими поле внутри v
через заданные Е( и Н( на «. Общность
эта обусловлена значительным
произволом, допускаемым при определении

вспомогательных полей. Если при
расчете последних считать все
пространство заполненным однородной средой с
параметрами теми же, что и у v, то
последние выражения совпадут с (1.31)
Лемма 1.1. Если на
замкнутой геометрической поверхности s
распределен магнитный ток с плотностью
К'', то можно распределить на s
такой электрический ток с плотностью
К, чтобы поле, создаваемое обоими
токами, равнялось нулю снаружи
(внутри) на s.
Доказательство. Для
нахождения К считаем поверхность s
временно идеально проводящей, а заданный
ток К'1 распределенным на ее
внутренней (внешней) стороне. Таким
образом, приходим к задаче о
возбуждении замкнутой идеально проводящей
поверхности s током К*1, находящимся
внутри (снаружи) ее. Задача эта
имеет единственное решение за
исключением случая*, когда в среде внутри s
нет потерь и частота совпадает с одной
из резонансных (см. ниже). Полагая
К равным поверхностному току,
индуцированному на внутренней (внешней)
стороне s током К*1, получаем
систему из двух поверхностных токов К^ и
К, распределенных на s, поле которых
равно нулю снаружи (внутри) s.
Лемма 1.2. Лемма 1.1 остается
справедливой, если в ней поменять
местами магнитный К'1 и электрический
К поверхностные токи.
* Это исключение выполняется только
для внешней задачи, когда
рассматривается возбуждение внутренней области
током Км.
при J = J^ =0. Полагая при
расчете вспомогательных полей e't = е'/ = 0
на s, получаем решение первой КЗЭ.
Вспомогательные поля при этом
играют роль векторных функций Грина,
Доказательство. Применим
принцип «перестановочной
инвариантности» (1.13) и лемму 1.1. Для
нахождения К'1 по заданному К
достаточно решить задачу о возбуждении
поверхности s током К, распределенным
на ее внутренней (внешней) стороне;
при этом s обладает идеальной
магнитной проводимостью, а ток К'1 равен
магнитному току, индуцированному на
внутренней (внешней) стороне s.
Таким образом, опять получили систему
токов К и К'', поле которых равно
нулю снаружи (внутри) s.
Из теоремы 1.1 (см. § 1.3)
следует, что поле первой КЗЭ может быть
выражено через заданный магнитный
ток КА' = [етъ] на s и
индуцированный им на s (которая при этом
считается идеально проводящей)
электрический ток К. На основании леммы 1.1
к этим токам можно добавить
систему токов К]4 и Ki, не изменив поле
вне (внутри) s. Взяв Kj равным —К'',
получим возможность определить поле
только при помощи электрических
токов. Аналогично, добавляя на основа.-
нии леммы 1.2 к токам К^ и К систему
токов Кп и К*,' и выбирая Кг = —К,
находим поле только при помощи
магнитных токов.
Из предыдущего следует, что
поле может быть выражено также через
совокупность электрических и
магнитных токов, распределенных на. s.
Теорема 1.6. При решении
первой КЗЭ искомое поле запишем
через следующие фиктивные (в общем
1.8. Сведение первой КЗЭ
к интегродифферендиальным уравнениям для токов

случае) источники, распределенные
на рассматриваемой поверхности s:
i) электрические поверхностные токи
К; 2) магнитные поверхностные токи
К'1; 3) те и другие токи.
Распределение этих токов может
быть найдено из решения следующих
интегродифференциальных уравнений
£{К} = е; £,{KM} = e;
£{К} + £м{К"} = е. ( ' '
Здесь £ и £ц — линейные операторы,
которые, действуя на соответствующие
токи, определяют касательные
составляющие электрических векторов,
возбуждаемых последними на s. Эти
операторы, в случае однородных сред,
легко определить для любых s при
помощи электрического или магнитного
векторов Герца (1.24) или (1.26), где
вместо J и Jfl стоят К и Км, а
интегрирование идет по s. Первые формулы в
(1.22) и (1.25) позволяют после этого
налисать выражения для £ и £11. Так
как в третье уравнение (1-37) входят
два неизвестных К и Км, то их
определение может быть произвольным, что
позволяет упростить их решение. Так
можно добавить к третьму любое
уравнение, не противоречащее ему,
например 1С = G{K} + b, после чего
токи определяются однозначно. Здесь G
— некоторый оператор; Ъ — вектор-
функция, касательная к s.
Аналогичные результаты могут
быть получены для второй КЗЭ.
Среда без потерь. Замечания
к решению первой КЗЭ. При
решении первой КЗЭ при помощи
электрических токов К последние нельзя
определить однозначно, если ш
совпадает с одной из собственных частот
резонатора с идеально проводящей
поверхностью s, хотя поле, как это
следует из теоремы единственности, первой
внешней КЗЭ определяется
однозначно. Действительно, к решению первого
уравнения из (1.37) для К можно до-
N
бавить выражения Y1 йпК„, где ап —
постоянные числа; Кп —
распределение тока на s, соответствующего п-иу
собственному ./V-вырожденному
колебанию, удовлетворяющего уравнению
£{Кп] = О на s. Более того, при
произвольном Et (= e) на s внутренняя
задача о возбуждении резонатора
током К*1 = [en] не имеет конечного
решения, а значит, не имеет решения и
уравнение £{К} = е, т. е. поле первой
внешней КЗЭ не может быть выражено
только электрическим током на. s. Для
того, чтобы существовало конечное
решение внутренней задачи о
возбуждении резонатора, на собственной
частоте, магнитным током К*1, а значит и
внешней КЗЭ при помощи
электрического тока К, необходимо и достаточно
выполнение условий
[ К"Н.1 ds = 0; n = Tjf. (1.38)
(«)
Здесь Н„ — вектор магнитной
напряженности n-го собственного
//-вырожденного колебания резонатора s.
Необходимость этих условий вытекает из
следующего. Если существует решение
Е, Н внутренней задачи о
возбуждении резонатора s заданным током К'4,
то применяя к нему и собственному
колебанию Еп, Н„ сопряженную лемму
(1.18), найдем
f[E*nH]ds+ /к"н*йв = о.
(«) (.»)
Так как ЕП|1 = 0 на s, то отсюда
сразу следуют условия (1.38). Таким
образом, необходимость последних
доказана.
Физический смысл состоит в том,
что они обеспечивают
«ортогональность» возбуждающих токов и
собственных колебаний, вследствие чего

внешние силы не совершают работу и
колебания остаются конечными;
Последнее можно рассматривать так же,
как доказательство достаточности.
Когда Кд = [en] на s (случай
наиболее интересный), условия (1.38)
принимают вид
/
[eH*]ds = 0; n = l,N. (1.39)
Если е — электрический вектор
падающего на s снаружи поля, то условия
(1.39) всегда выполняются. Пусть h —
магнитный вектор этого поля, тогда на
основании сопряженной леммы,
примененной к области, находящейся
внутри s, и полям е, h и Е„, Н„, получим
Ген:ы8:=
[е;ь] ds,
с»)
(«)
а так как Enii = 0 на s, то наше
утверждение доказано. Из сказанного
следует, что задача о дифракции
падающей волны на идеально проводящем
теле всегда может быть сведена к
решению уравнения £{К} = —е< на s, a
вторичное поле выражено через ток К
на s. Это соответствует физической
реальности, поскольку К, в этом случае,
является не фиктивным источником,
а реально существующим током. Все
сказанное о сведении первой внешней
КЗЭ к нахождению электрического
тока К на s, может быть распространено
и на случай сведения ее к нахождению
магнитного тока Км на s.
1.9. Граничные условия Леонтовича
При большом коэффициенте пре-
> 1,
ломления тела,
когда
и сильном скин-эффекте, а толщина
скин-слоя d мала по сравнению с
длиной волны, размерами тела и
радиусами кривизны его поверхности,
справедливы приближенные граничные
условия Леонтовича на поверхности тела
fuEl
(1.40)
Здесь е, fi ■— параметры тела; п —
нормаль, направленная внутрь тела.
Если ввести на поверхности тела
ортогональную систему координат и,
v, орты которой iu, iv образуют с п
правую тройку (ги,г„,тг), то условие
(1.40) можно свести к двум скалярным
соотношениям
Еи — \j—Hv\
£
(1.40а)
Эти условия вытекают из
следующих соображений. Любая волна,
источники которой находятся на
расстоянии г ;> d от поверхности тела,
может быть представлена в виде суммы
плоских волн, падающих на тело под
различными углами. Каждая из этих
волн, преломляясь, распространяется
внутри тела (практически) по
нормали и, так как коэффициент
преломления тела невелик. Очевидно, для
каждой из этих преломленных плоских
волн справедливы соотношения (1.40)
и (1.40а), поэтому они справедливы
и для суммы этих волн. Наконец,
поскольку касательные составляющие
векторов поля непрерывны при
переходе через поверхность раздела двух
сред, то эти условия должны
выполняться и на наружной поверхности
тела. Граничные условия Леонтовича
позволяют не рассматривать поле
внутри тела, а как и в случае
идеально проводящих тел, учитывать
влияние тела при помощи граничных
условий на его поверхности.

1.10. Принцип двойственности для щелей и отверстий,
прорезанных в плоских экранах
Этот принцип [1.9]
устанавливает связь между полями экрана с
отверстием и экрана, совпадающего по
форме с этим отверстием при
некоторых условиях, накладываемых на
первичные поля, падающие на
первичные экраны в первом и втором
случаях. Для формулировки задачи
рассмотрим следующие две системы:
1. Пусть в однородной среде с
параметрами е, fj, расположен бесконечно
тонкий, идеально проводящий
(бесконечный) плоский экран S с отверстием
s произвольной формы. В общем
случае отверстие может быть
многосвязным. Полагаем, что в верхнем
полупространстве (рис. 1.1,а) расположены
источники (токи) I. Поле, создаваемое
этими источниками в отсутствии
экрана, обозначим буквами е\, Hi, а
полное поле с учетом экрана — буквами
Ei, Hi.
а)
\
б)
\
X X Г
X X
S
\
• • I
• •
S
\
Рис. 1.1
ss
S^
2. Параллельно этой системе
рассмотрим ей взаимную, когда экран S
убран, а отверстие s
металлизировано (рис. 1.1,6"). Источники I
заменим новыми, расположенными также
в верхнем пространстве. Поле их в
отсутствии экрана обозначим буквами
е2, Н2, а полное поле с учетом
экрана — буквами Ез, Нг- Будем
считать, что между первичными полями в
нижнем полупространстве существует
связь вида
ег = Zohi; Zo = \/—; Н2 = — —.
V £ Z0
(1.41)
Принцип двойственности,
выражающий связь между полями Ei, Hi и
Ег, Нг, в нижнем полупространстве
записывается следующим образом:
Ei = ei + Z0H2;
Hi = Hi — 1Ej2/Zq.
(1.42)
Используя доказательства в [12],
придадим этим равенствам несколько
иной вид, заменив в них ei, Hi на
(1.41), тогда в нижнем пространстве
Е2 — ез — Zohii\
H2=H2 + E1/Z0.
(1.42а)
Для того чтобы найти связь между
полными полями в верхнем
полупространстве, следует учесть, что вторые
члены в правой части (1.42)
представляют собой поле, создаваемое в
нижнем полупространстве токами,
индуцированными на экране S. Так как
поле Ei, Hi в верхнем полупространстве
состоит из поля ei, Hi и поля токов,
индуцированных на экране S, а
последние расположены симметрично
относительно обеих полупространств, то
на основании только что сказанного в
верхнем полупространстве
Ei GO = ei(ff) + г0Щ(д*);
HiG0=hi(ff) + E;(/)/2o.
(1.43)
Здесь д — точка в верхнем
полупространстве; д* — ее зеркальное
отображение относительно плоскости s + S.
Вектор Щ(д*) (или Щ(д*))
является зеркальным отображением
вектора Н.2(д*) (или Ег(<7*)) в
плоскости s + S. Таким образом, (1-42) и

(1.43) определяют связь между
полями Ei, Hi и Е2, Н2 во всем
пространстве. Полная (двухсторонняя)
поверхностная плотность тока К2 на экране
S связана с касательной составляющей
Еи на отверстии s (в рассматриваемых
двух системах) следующим
соотношением, вытекающим из (1.42а):
К2 = 2[nEi]/%, (1.44)
где и — нормаль к s, направленная
вверх.
Для узких щелей полный ток J2
вдоль узкой металлической ленты s
связан с напряжением U\ между
краями щели s выражением
J2 = 2U1/Za. (1.44а)
Из последнего следует, что
[(E2-e2)(H2-h2)*] = [ElH1], (1.45)
т.е. комплексные мощности,
излучаемые током J2 и щелью s в нижнее
полупространство, комплексно
сопряжены; * — знак комплексного
сопряжения. Из равенства (1.45) также следу-
1.1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.
Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,
1982. Т. 8.
1.2. Фельд Я.Н. Ц ДАН СССР, 1943.
Т. 41. to 7. С. 294.
1.3. Фельд Я.Н. // ДАН СССР, 1991.
Т. 318. to 2. С. 325.
1.4. Фельд Я.Н. II ДАН СССР, 1945.
Т. 48. № 7. С 503.
1.5. Фельд Я.Н. Ц ДАН СССР, 1947.
ет, что ДН по мощности у ленточного
вибратора и соответствующей щели в
нижнем полупространстве совпадают.
Необходимо только иметь ввиду, что
поляризации поля у щели и
вибратора различны, так как Е и Н меняются
местами в (1.42).
Из равенства (1.45) и известных
выражений для односторонней*
проводимости щели Y\ и одностороннего
сопротивления излучения вибратора Rz,
следует
Y1 = (2/ZQ)2Rt. (1.46)
Из последнего выражения,
полученного А.А. Пистолькорсом,
следует, что резонансные длины щели и
вибратора одинаковы. Он же впервые
сформулировал принцип
двойственности, правда, при несколько иной
постановке задачи, нежели изложенная
выше.
* Поскольку при эхом учитывалась
только мощность, излученная в нижнее
полупространство.
Т. 56. № 5.
1.6. Фельд Я.Н. II ДАН СССР, 1981.
Т. 256. to 6. С. 1351.
1.7. Луи де-Бройлъ. Электромагнитные
волны в волноводах и полых резонаторах. М.:
ГИИЛ, 1948.
1.8. Фельд Я.Н. II ДАН СССР, 1979.
Т. 247. to 6. С. 1359.
1.9. Фельд Я.Н. II ДАН СССР, 1948.
Т. 60. to 7. С. 1165.
Литература

Глава 2
Поле излучающих апертурных антенн
2.1. Плоские апертуры
Выражения, приведенные в гл. 1,
могут быть использованы для
нахождения поля излучения антенны по
токам, текущим по ее металлической
поверхности или касательным
составляющим векторов поля в ее
апертуре. Под апертурой антенны
понимается любая геометрическая поверхность,
через которую проходит вся
излучаемая мощность, например, рупорные
антенны, зеркальные и т.п. имеют явно
выраженную апертуру, которую
удобно выбирать плоской. Любая такая
антенна имеет внешнюю металлическую
поверхность s1; замыкающуюся
апертурой* s (рис. 2.1).
А
S
Рис. 2.1
Для нахождения поля необходимо
знать Е4 и Н< на замкнутой
поверхности s + s\. Обычно эти величины
неизвестны и для их нахождения
используют приближенные методы, например
поверхность si считают идеально
проводящей и токи на нее не
затекающими. Это равносильно предположению,
что Et = Н4 = 0 на sx. Значение
же этих величин на s находим
методами геометрической оптики или иными
приближенными методами. После
чего поле, излучаемре антенной,
определяем по (1.30) и (1.31) или для
дальней зоны по (1.35) и (1.36), так как
в рассматриваемом случае П = П1,
IF = IF1 и F = F1, F^ = F^1.
Изложенный способ расчета поля
антенны называют методом
эквивалентных токов. Метод является
приближенным, поскольку не точно заданы
значения Е< и Н« на s + si, и весьма
полезным, так как позволяет
сравнительно просто определить поле
антенны при любой форме ее металлической
поверхности si. Для достаточно
остронаправленных антенн этот метод дает
правильные результаты для главного и
первых боковых лепестков ДН и
одинаково пригоден для антенн как с
плоскими, так и криволинейными
апертурами. Изложенный метод требует
задания излишних краевых условий (Е*
и Н< на s + s\), которые к тому же
противоречивы, например из условий
Е( = Н< = 0 на si строго говоря
следует, что поле всюду равно нулю.
Поэтому ниже перейдем от реальной
антенны к близким к ней системам, для
которых задача определения поля
может быть решена строго, без
внутренних противоречий.
* В качестве апертуры можно
использовать любую поверхность, охватывающую
антенну, в частности бесконечную
плоскость, проведенную ниже апертуры.

2.2. Антенна с идеально проводящим фланцем
Рассмотрим антенну с плоской
апертурой s, к которой добавлен
плоский, идеально проводящий фланец Е
(рис. 2.2). Для нахождения поля в
нижнем полупространстве зададим на
плоскости s + Е краевые условия
Е< = е на s; Et = 0 на Е. (2.1)
Здесь е — заданный вектор, который
находится также, как и в методе
эквивалентных токов (см. § 1.1).
Следовательно, задача сводится к первой КЗЭ.
Л
s
Рис. 2.2
На основании теоремы 1.1
искомое поле совпадает в нижнем
полупространстве с полем, возбуждаемым
магнитным током, распределенным на
s + Е с плотностью
Кд _ Г [тге] на s; (2 2)
10 наЕ. V ' ;
Плоскость s + S при этом
предполагается идеально проводящей. Учет
В этом случае плоский фланец Е
(рис. 2.2) магнитно-проводящий и при
нахождении поля в нижнем
полупространстве ставятся краевые условия
Ht=hHas; Ht = 0 на Е. (2.4)
Заданный на s вектор Н находят
влияния этой плоскости легко
провести, используя принцип
зеркального отображения. Искомое поле при
этом находят как поле магнитного
тока 2К^, распределенного в свободном
пространстве, по (1.25), (1.26).
Учитывая поверхностный характер тока,
запишем
1 Г е~'ь'
Е = rot / 2К" ds (2.3)
Аж J r
(*)
или, для дальней зоны (1.36)
Е = кгтг™- (23а)
где
F^= j[ne]eikp€OS<>ds.
(О
Вектор Н в дальней зоне связан с
Е соотношением
Н = </%ЯЕ]. (2.36)
Если облучатель находится в
нижнем пространстве, то к полю (2.3а) и
(2.36) следует добавить поле
облучателя и его зеркального изображения в
s + Е. В (2.3а) е — касательная
составляющая полного вектора Е.
так нее, как и вектор е в § 2.2.
Используя принцип перестановочной
инвариантности (1.13), запишем
К = [пН] = { {,UK] ™* (2.5)
2.3. Антенна с идеально магнитно-проводящим
фланцем

1 f e~lkr
H = — rot / 2K ds, (2.6)
47Г J Г
00
т.е. искомое поле в нижнем
полупространстве — поле электрического тока
с плотностью 2К, расположенное в
однородной среде. В дальней зоне
E = J^[HiR],
где
F= [riKle1^cos0 ds.
00
Переход к антенне с электрически или
магнитно-проводящим фланцем,
позволяет свести задачу к
самосогласованной, т.е. при любой заданной в
апертуре s составляющей е или h
полученное поле удовлетворяет
краевому условию (2.1) или (2.4). Однако
при этом эквивалентность антенне без
фланца сохраняется только для
достаточно направленной антенны в области
главного и первых боковых лепестков.
Вблизи фланца поле существенно
изменится.
2.4. Антенна с абсолютно черным фланцем
Система с абсолютно черным
фланцем [2.1] значительно ближе по
полю в переднем полупространстве к
антенне без фланца, поскольку
поле, падающее на часть плоскости Е
(рис. 2.2), не отражается фланцем, а
полностью поглощается им.
Аналогичное явление имеет место в антенне
без фланца, где поле, падающее на Е,
в основном, уходит в заднее
полупространство.
Поле в нижнем (переднем)
полупространстве, ограниченном
плоскостью s + Е, будем определять по
величинам Ej = е и Hj = Ь,
заданным на s, и при краевых условиях
на Е, соответствующих «черному»
телу. Как известно, такие условия не
могут быть строго сформулированы в
пределах классической
электродинамики. Ниже использована концепция*
Макдональда, по которой искомое
поле равно полусумме полей, найденных
* Отличие от нее заключается в том, что
вместо первичных источников задаются
Et и Ht на s.
при следующих краевых условиях на
s + E:
1) поле Е1, Н1 удовлетворяет
условиям (первая КЗЭ)
Е,1 = е на s; Ext = 0 на Е; (2.7)
2) поле Е2, Н2 удовлетворяет
условиям (вторая КЗЭ)
Н2 = h на s; Н2 = 0 на Е. (2.8)
Искомое поле
Е = (Е1 + Е2)/2;
Н = (Н1 + Н2)/2.
(2.9)
Так как условия (2.7) совпадают
с (2.1), то поле Е1, Н1, как показано
в § 2.2, совпадает с полем магнитного
тока, распределенного на s с
поверхностной плотностью
К? = 2[пе]. (2.10)
Так как (2.8) совпадает с (2.4), то
поле Е2, Н2 совпадает с полем
электрического тока (см. § 2.3),
распределенного на s с плотностью
К2 = 2[тОг].
(2.11)

Напомним, что при расчете полей
Е1, Н1 и Е2, Н2 токи К? и К2
следует считать находящимися в однородной
среде с параметрами нижнего
полупространства (рис. 2.2). Таким образом,
при наличии черного фланца поле Е,
Н (2.9)—(2.11) определяется токами
К^
тге ;
К
гЬ],
распределенными на s. Отсюда
следует, что поле тождественно совпадает с
полем антенны без фланца (рис. 2.1),
рассчитанным методом
«эквивалентных токов» (см. § 2.1).
Выявленная здесь
эквивалентность двух различных подходов к
расчету поля апертурных антенн
естественна. Действительно, используемое
при расчете методом эквивалента ы.х
токов предположение, что Н* = 0 на
«1, возможно лишь при полной
экранировке этой части поверхности от
апертуры антенны. При расчете по (2.9)
такая экранировка и обеспечивается
наличием «черного» фланца Е.
В этом разделе предполагалось,
что источники в нижнем
полупространстве отсутствуют (рис. 2.2). Если
же облучатель находится ниже
плоскости s + E, то предыдущее изложение
следует дополнить. Так, к полю Е1,
Н1 следует добавить первичное поле
облучателя и поле его зеркального
изображения в плоскости s + Е, которая
при этом считается идеально
электрически проводящей. Обозначая это поле
буквами Е°£, Н°£, на s + E будем иметь
Аналогично к полю Е2, Н2
следует добавить поля облучателя и его
зеркального изображения в плоскости
s + E, которая при этом считается
идеально магнитно-проводящей. Это поле
Е0'', Н0'' удовлетворяет на s + E
условию Я0/ = 0.
Таким образом, искомое поле
определяется формулами
■Е0г+Е2+Е°")/2;
-Н0е+Н2 + Н°")/2,
Е = (Е1 -
H = (HJ
(2.12)
вместо (2.9). Поскольку токи в
зеркальных изображениях в первом и
втором случаях отличаются по фазе на
180°, то очевидно, что
Е0г + Е0?' = 2Е°;
Н0г + Н0'' = 2Н°,
где Е°, Н° — первичное поле
облучателя. Поля токов изображений
компенсируют друг друга и формулы (2.12)
принимают вид
Е =
Е1 + Е2
Еи
н = 1^! + н°.
(2.13)
Ео.
0.
Отсюда следует, что и при
наличии источников в нижнем
полупространстве (рис. 2.2) поле антенны
с «черным» фланцем также
совпадает там с полем антенны без фланца
(рис. 2.1), вычисленным в
приближении метода эквивалентных токов.
Литература
2.1. Фельд Я.Н. И РЭ. 1981. Т. 26. № 1. С. 178.

Глава 3
Обратные задачи теории антенн
Обратные задачи теории антенн,
которые называют также задачами
синтеза антенн, сводятся к
нахождению законов распределения
излучающих источников — токов или полей
в антенне, обеспечивающих создание
заданной ДН. При этом не
рассматривают вопросы построения конкретной
схемы антенны, реализующей
найденное распределение источников [3.16-
3.19]. Ниже рассмотрим следующие
задачи.
1. Определение классов ДН,
точно реализуемых при помощи антенн
различных типов (линейных, плоских,
криволинейных, дискретных), а
также нахождение распределений
источников, создающих эти диаграммы.
2. Расчет распределений
источников в антеннах различных типов,
создающих диаграммы, достаточно
хорошо аппроксимирующие любые
заданные, в том числе и не принадлежащие
к классу реализуемых диаграмм.
3. Изучение вопросов, связанных
со «сверхнаправленностью» антенн.
4. Рассмотрение «оптимальных»
диаграмм и методов их реализации.
5. Синтез антенн с качанием луча.
Приведем прежде всего основные
определения и формулы для ДН.
Диаграммой направленности (по
полю) называют векторную функцию
F(6,<p) = Feie+Fviv,
характеризующую распределение
напряженности электрического вектора
Е в дальней зоне в зависимости от
угловых координат 9 и (р. Векторы Е и
F связаны соотношением
E = AF(e,<p)e-,kR/R. (3.1)
Здесь А — постоянная, выбор которой
зависит от нормировки диаграммы F;
R, в, <р — координаты точки
наблюдения в сферической системе координат
с центром в области расположения
источников.
При этом предполагается, что
зависимость от времени взята в виде е'ш'.
Если поле создается токами J,
распределенными в области S, то диаграмма
определяется выражением
F(0,<p)= /[Ri[JRi]]eiA'PRl6/s, (3.2)
(*)
где р —• радиус-вектор точки
интегрирования; Ri = R/R; к — волновое
число.
Это выражение справедливо для
объемной, поверхностной и линейной
областей S, если под J понимать
соответственно объемную, поверхностную
плотности тока или полный ток,
умноженный на орт, касательный к
линии. Диаграмма направленности
антенн с плоским излучающим раскры-
вом S определяется (приближенно)
выражением (3.2) через Е4 на 5'.
Действительно, предполагая, что раскрыв
дополнен металлическим фланцем,
имеем (см. (2.3а))
F(9,ip)= /'[[nE]R1]ei*pRl ds. (3.2a)
С»)
В (3.1) А = k/(2iri). Нормаль п
направлена наружу и (3.2а),
естественно, справедливо только для
полупространства. Выражение (3.2а)
используют для антенн, у которых
отсутствует фланец, но раскрыв велик по
сравнению с длиной волны. Однако и в
этом случае (3.2а) справедливо только
в пределах главного лепестка
диаграммы и ближайших к нему боковых.

3.1. Линейные антенны
Простейшей линейной антенной
является отрезок провода длиной L,
вдоль которого распределен ток 7.
Если ось Z сферической системы
координат совместить с проводом так,
чтобы начало координат совпадало с
серединой провода, то (3.2) для
линейной антенны
L/2
F, = *-?£- j Je^^kdz; FV = Q.
-i/2...
(3.3)
Таким образом, диаграмма
имеет только меридиональную
составляющую и не зависит от угла. ip. Первый
множитель sin 0 характеризует
направленность элементарного излучателя
длиной dz, а второй —- влияние
системы излучателей, поэтому его
называют множителем системы [решетки)
и обозначают буквой / {Fb = f sin в/к).
Так как sin в —• относительно
медленно меняющаяся функция, то / по
существу полностью определяет диаграмму
линейной антенны. Множитель /
будем называть диаграммой, тогда
а
Ди) = У J(Oeiuf d£; -l^u^l.
(3.4)
Здесь
f = kz; и = совв; а = kL/2. (3.4a)
Итак, 2сг — электрическая
длина антенны. Задача синтеза
заключается в нахождении распределения
тока 7 по заданной диаграмме /, т. е.
в решении уравнения (3.4). Правая
часть уравнения является целой
функцией конечной степени ^ а
переменного и. Следовательно, и Ди)
должна, быть целой функцией конечной
степени; более того, так как из
энергетических соображений вытекает, что
квадрат «7(f) абсолютно интегрируем
на отрезке —а ^ f ^ <т, то (вследствие
теоремы Парсеваля) и f2{u) должна
быть абсолютно интегрируема вдоль
действительной оси. Такие
функции называют принадлежащими
классу Wa. Следовательно, точно
реализуемые при помощи конечной
линейной антенны диаграммы (множители
системы) должны принадлежать
классу W„ (/ € W„). Итак, для
нахождения распределения тока линейной
антенны необходимо решить уравнение
(3.4) относительно -7(f), что возможно
выполнить методами интеграла Фурье,
парциальных диаграмм и др.
Метод интеграла Фурье. Из
теоремы Винера-Пэли следует [3.1], что
любая функция / € W„ представима
в виде интеграла (3.4) и
преобразованная по Фурье равна нулю вне
сегмента [—а, а]. Поэтому решение
уравнения (3.4) для реализуемых диаграмм
/ € Wa находится простым
преобразованием Фурье
оо
7(0 = ~ j /(«)е-'ш« du. (3.5)
— со
Это решение точно и обращается в
нуль при f > <т и f < —и.
Диаграмма Дм) может быть задана на сегменте
— 1 ^ и ^ 1 и тогда, для того чтобы
использовать выражение (3.5), ее следует
аналитически продолжить на всю
действительную ось. Заданная
реализуемая диаграмма однозначно
определяет не только распределение тока (3.5),
но и электрическую (а. значит и
геометрическую) длину антенны, равную
длине интервала, на, котором ток,
рассчитываемый по (3.5), отличен от пуля.
Явное выражение для длины антенны
имеет вид [3.2]
kL = hf{ir/2) + Л.Д-тг/2), (3.6)

где hf(<p) — lim - In \f(reltp)\ — инди-
З'-н-СЮГ
катор / (£ 1^).
Однако существует ряд
примеров излучающих систем, токи
которых принадлежат к пространству Ь\,
т.е. абсолютно интегрируемы, в то
время как их норма в Ьг не
ограничена. К ним относятся, например,
идеально проводящие экраны с ребрами
(щелями), у которых поверхностные
токи, параллельные ребрам, имеют у
последних особенность вида 0(1/у/х),
где х — расстояние от ребра.
Очевидно, что распределение тока J(£) с
такой особенностью лишь абсолютно
интегрируемо, но не интегрируемо в
квадрате, поэтому теория синтеза,
разобранная выше, для таких токов не
подходит.
Изложим теорию синтеза для
токов ./(f) Е Li(-a, а),
удовлетворяющих, как и выше, уравнению
/(«) = Jj(W«dt. (3.7)
— <7
Обозначения см. для (3.4).
Согласно лемме Винера [3.3], если
функция J(f) непрерывна на всей оси
-со < £ < +оо; J(£) G Li(-a,a) и
J(f) = 0 вне промежутка (-а+е, с — е),
где с > 0, то /(«) G Li(-oo, со).
Но, как известно [3.4], если
J(Oeii(-oo,oo);
оо
/(«) = i- /j(f)e-*u# G Li (-oo.oo),
27гу
— оо
•то почти для всех вещественных
значений и существует преобразование
Фурье (3.5).
Из условия J(f) G Li(—cr,ff) и
теоремы Римана-Лебега следует, что
f(u) —s- 0 при и —^ оо вдоль
действительной оси. Скорость
убывания /(и) зависит от
дифференциальных свойств тока </(£)• Из (3.7)
следует, что f(u) Е Ва — класс целых
функций конечной степени ^ а,
ограниченных на действительной оси.
Таким образом, решение
уравнения (3.4) в виде
СО
J($) = ^ J f{u)e-mUu (3.8)
— оо
будет точным, если ДН f(u) — целая
функция экспоненциального типа с
показателем сг ^ ж, стремящаяся к
нулю, когда и —* со вдоль
действительной оси. При этом, если /(u) G Ва,
а ^ 7Г, то J(f) G 1ч[—сг.сг]. Если же
/(«) € W,, <т <С тг, то /(С) G L2[-ff, 4
Следует заметить, что любая
функция из В0 может быть
представлена в виде [3.1]
f(u) = f(Q) + uj g(Oeiiudt, (3.9)
— 17
где д(£) G L2[~ &,<?}■
Как следует из (3.8) и (3.9), для
тока справедливо выражение
где
оо
т 1 /АнЬШе-ЧА,.
27Г 7 И
— оо
Диаграммы направленности
обычно выбираются так, чтобы они
наилучшим образом удовлетворяли
требованиям, предъявляемым к
станциям, в составе которых работают
антенны. При этом ДН задаются в
пределах вещественных углов и, как
правило, не принадлежат к классу
реализуемых, поэтому прежде всего
возникает задача об аппроксимации
заданной диаграммы реализуемой.
Возможность такой аппроксимации с любой

заданной точностью вытекает из
следующей теоремы.
Любая непрерывная на отрезке
—«о $: и $: и0 функция д(и)
может быть аппроксимирована функцией
/(и) € Wa так, чтобы выполнялось
неравенство
\д(и) - f(u)\ < е; -и0 ^.и^и0.
(3.10)
Здесь «о > 0; а > 0; s > 0 — любые
заданные числа.
Отсюда, в частности, следует, что
какова бы ни была длина антенны 2а,
при помощи нее может быть
получена диаграмма, аппроксимирующая (в
интервале вещественных углов)
любую заданную с точностью е. Иногда
удобнее пользоваться среднеквадрати-
ческой аппроксимацией заданной
диаграммы д(и) реализуемой /(и), т.е.
требовать выполнения неравенства
1
J \д(и) - f(u)\4u < е.
-1
Возможность такой
аппроксимации следует из (3.10).
Распределение источников вдоль
антенны зависит от вида диаграммы
на всей оси — оо < и < оо, а не
только в пределах вещественных углов
— 1 ^ и; ^ 1, поэтому при задании
нереализуемой диаграммы д(и) ее
следует продолжить на всю длину оси
—оо < и < оо. Часто ее
продолжают нулем, так как при этом
антенна будет иметь меньшую реактивность.
Вследствие сказанного возникает
задача о наилучшей среднеквадратической
аппроксимации заданной диаграммы
д(и), реализуемой /(и) на всей оси и.
Можно показать, используя равенство
Парсеваля, что наилучшая
аппроксимация обеспечивается функцией
а
/(«■) = J де)еш£ #.
Здесь ток, распределенный вдоль
провода длиной 2сг, реализующий
диаграмму f(u),
оо
J(S)=^ J g(u)e-iu4u.- (3.11)
— оо
Таким образом, задача синтеза
решается преобразованием Фурье (3.11)
заданной нереализуемой диаграммы
с последующим отбрасыванием
токов, находящихся вне отрезка [—а, а].
Точность аппроксимации
определяется при этом выражением
оо
J \g(u)-f(u)\4u =
— ОО
/ — а оо\
= (/+/ И01Ч,
Voo с I
которое будет мало, если спектр д(и),
определяемый (3.11), приходящийся на
область |£| > сг, достаточно мал.
Сверхнаправленность. При
произвольно заданных ДН и размере
антенны в результате решения задачи
синтеза могут получиться быстропере-
меиные распределения токов с очень
большими значениями амплитуд. При
таких распределениях увеличивается
протяженность зоны индукции, резко
возрастают потери в антенне, имеет
место большая реактивная мощность
и, как следствие, резкая критичность
ДН относительно малых изменений
распределения тока. Подобные
системы называют сверхнаправленнъши и
их практически не удается
реализовать. Укажем класс диаграмм,
приводящих к сверхнаправленности. Для
этого введем нормированную на
единицу, в пределах вещественных углов,

диаграмму
/л'(«)
J(0^ d£
max
-1<U<1
J(tyu* d£
Применим к ней неравенство Берн-
штейна, справедливое для / £ Wa:
sup |/лг(")1 < °"
- оо < и < оо
sup |/jv(u)l-
-оо<«<со
(3.12)
Из (3.12) следует, что ДН с
большим значением модуля производной
может иметь место либо при большой
электрической длине антенны 2<т, либо
при больших значениях модуля самой
диаграммы. Последняя нормирована
на единицу на отрезке — 1 $С и ^ 1,
поэтому большие значения |/л?(")1 будут
находиться вне указанного интервала,
что вызовет резкий рост потерь и
реактивной мощности. Последнее приведет
к большим пиковым значениям тока,
увеличению зоны индукции и
уменьшению диапазонности антенны.
Рассмотрим с какими еще
распределениями токов приходится иметь
дело при сверхнаправленности.
Дифференцируя приведенное выше
выражение для fff(u), получаем неравенство
иежме
1./Л-И! ^
max
J(0?M d$
Правая часть его может быть
увеличена при заданной длине 2сг в
результате применения быстроперемен-
ных токов
rf(argJ(Q)
так как при этом знаменатель в
выражении для |/]v(M)l можно сделать
сколь угодно малым. Таким образом,
для получения ДН, производная
которых по углу 9 велика, в частности
ДН с крутыми скатами или узкими
лепестками, необходимо либо удлинять
антенну, либо применять быстропере-
менные распределения тока. В
последнем случае приходим к
сверхнаправленности. Укажем еще один случай
сверхнаправленности, который
возможен при улучшении аппроксимации
нереализуемой диаграммы д
реализуемой /. Действительно, улучшая
аппроксимацию, увеличиваем число
осцилляции разности \д — /| в заданном
интервале аппроксимации. Это
означает, что в нем возрастает |/'(и)|.
Последнее, на основании сказанного
выше, ведет к сверхнаправленности. К
этому же выводу можно прийти,
аппроксимируя д{и) при помощи
парциальных диаграмм [3.5].
Оценку размеров антенны, при
которых еще будут отсутствовать
явления сверхнаправленности,
можно получить из (З.Г2).
Действительно, поскольку ДН
нормирована к единице ( sup \)'n(u)\ = 1), то
-к«<1
<т > sup |/'(u)l или, переходя к ис-
— С0<«<00
ходной сферической системе
координат, имеем
>
sup|g'(g)l
(тг/А) cos в
>1,
Здесь в — угол, для которого \д'[9)\
принимает максимальное значение.
Метод парциальных
диаграмм. Для расчета
нереализуемых диаграмм обычно используется
метод парциальных диаграмм. Он
заключается в аппроксимации
заданной диаграммы д(и) рядом по
специальным функциям (парциальным диа-

граммам), для каждой из которых
может быть найдено точное решение
задачи синтеза. При этом искомое
распределение источников получается в
виде суперпозиции парциальных
распределений, соответствующих
отдельным парциальным диаграммам.
Непосредственно из уравнения
(3.5) следует, что если искомую
функцию J(£) представить в виде
сходящегося ряда по некоторой системе
функций
оо
j(e) = ]Tc*nj„(e), (з.1з)
■/„(£), исходя из удобства
суммирования (3.13).
В [3.5] и [3.6] применяли
следующие пары функций:
f„(u) = sen(arccos u, сг/2); (3.15)
Jnit) = A„sen(arccos(£/cr),<7/2);
sin a(u — П7Г/ a)
Jn{u) ~
a(u — nir/a)
Jn(0- ;г-ехР
Zia
-m—f
a
fn(u) =
Jn(t) =
au
—n
Jn
+ 1/2
au
(3.16)
(3.17)
■-Pntf/v),
/(«) = f>n/„(«), (3.14)
— oo
где fn(u) = 1/(27г)/Jn(£)exp(iu£)d£;
fn(u) G Wa — известные функции; 2a
— размер антенны; Сп —
коэффициенты в разложении /(и) в ряд (3.14).
Если fn(u) ортогональная
система, то при среднеквадратической
аппроксимации Сп совпадает с
коэффициентами Фурье заданной
диаграммы д{и):
cn = l f(u)fn{u)du=^j j(OM№>
где fn{u) — функция, сопряженная
Выбирать системы парциальных
диаграмм при решении (3.5) следует
прежде всего, исходя из удобства
разложения /(«) в ряд (3.14), а системы
где sen — функция Матье; Ап =
= 0,5i#sn(0,7r/2); Hsn(0 — функция
Матье-Ганкеля; Jn+i/2 — функция
Бесселя; Рп — полиномы Лежандра.
Возможны и другие пары функций
[3.5]. Все Jn{0 определяются
заданными выражениями только на интервале
(—сг, сг), вне его они равны нулю.
Парциальные диаграммы (3.15)
ортогональны с весом \/1 — и2 на
интервале (—1,4-1) и обеспечивают
наилучшую среднеквадратическую
аппроксимацию заданной диаграммы, а
коэффициенты Сп легко вычислить.
Система функций (3.16)
ортогональна и обеспечивает наилучшую
среднеквадратическую аппроксимацию на
всей действительной оси. Что
касается функций (3.17), то при их помощи
заданная диаграмма может быть
равномерно аппроксимирована отрезком
ряда Неймана по функциям Весселя.
3.2. Система дискретных излучателей
Множитель системы из N
дискретных идентичных излучателей,
одинаково ориентированных в
пространстве, определяется выражением
Л'-1
/= £>»eiip"Kl.
n=0
Здесь п — номер излучателя; ап

коэффициент, пропорциональный
комплексной амплитуде n-го излучателя;
N — число излучателей; р„ — радиус-
вектор, определяющий положение
центра ?г-го излучателя; 7Z\ = H/R; R —
радиус-вектор точки наблюдения.
Диаграмма направленности, как
указывалось выше, равна
произведению ДН одного излучателя на
множитель решетки, т.е. F = Д/. Для
линейной решетки, у которой центры
отдельных излучателей расположены на
расстоянии dn от начала координат,
множитель решетки [3.11, 3.14]
JV —1
)1=0
или
( _ \ Л ,, Jkdn cos в,
J — / , "ne ,
:0
7Г ^ S ^ 7Г,
(3.18)
где sn = dn2ir/l; I — расстояние
между крайними излучателями; F(sn) =
= \an\ei<p«; z = (l/A) cos в; р = l/\ —
целое число.
Задача синтеза системы
дискретных излучателей формулируется так:
задана ДИ f(z) € Ва, необходимо из
(3.18) определить амплитуды F(sn) и
фазы токов в излучателях, а также
места расположения излучателей sn.
Пусть диаграмма / £ Ва, тогда
и, следовательно,
/1(Л
_L
2а
Ji(Oe**dt
При этом
f(z) = f(Q) + z Л(0^^, (3-19
где Jy(£) S L2(-7r, л-).
Если f{z) определяется рядом
(3.18), то J\ должна быть
ступенчатой функцией. При других f(z)
функция J\ может быть и непрерывной,
поэтому, чтобы представить /(г) в
виде (3.18) необходимо 3\
аппроксимировать ступенчатой функцией. Как-
известно [3.3], если функция J\
интегрируема, то для каждого е > О
существует такое разбиение отрезка [a, b]
на конечное число отрезков и такая
функция J[, принимающая
постоянное значение на каждом из отрезков
разбиения (ступенчатая функция), что
[\Ji-JZ\d£<e.
Отсюда
\f(z)-f*(z)\ = zJ\J1-ri\
d£
При малых значениях г,
например, в пределах основного лепестка
ДН и ее первых лепестков,
приближение весьма высокое. Подставляя J* в
(3.19) вместо J\, получаем
1
ЛГ-1
Я*) = /(«)" «zX>We""-
2т п
р = 0
Следовательно, излучатели
необходимо располагать в точках £ = sp,
—7Г $: sp ^ ж, токи в крайних
излучателях должны быть
/(о) JiH.
2тг
Я0) + М-*)
2тг
равны F(sp) соответ-
а в точках sp
ственно.
Функцию Ji(£) можно
аппроксимировать ступенчатой функцией
различным способом. В частности, можно
подобрать расположение ступеней так,
чтобы значения всех скачков функции

Jj были одинаковыми на всем
интервале изменения £ = (—тг,7г). При этом
получим неэквидистантную решетку с
одинаковыми токами в ее элементах.
Такую решетку проще изготовить и
она более удобна в эксплуатации.
Для эквидистантной решетки,
когда расстояние между ее
излучателями постоянно и равно d, то при
нечетном числе
излучателей N = 2п + 1 имеем
dp — ph.; sp = hp; h — 2ird/l;
f(z) = JTF(hp)evh\
— n
Пусть задана амплитудная
диаграмма [3.5], а к фазовой не
предъявляют каких-либо требований, тогда
проще принять ее равной постоянной
величине. Это налагает определенные
требования на амплитудное и фазовое
распределение источников. Полагая в
уравнении
(7
|/(ы)|е1ф(и) = / 17(£)|е^>е^ d£
Ф(ы) = const, можно показать, что это
возможно только в том случае, когда
амплитудное распределение — четная
Частным случаем задачи
синтеза антенн является задача об
оптимальных диаграммах, когда
требования в первую очередь предъявляют не
к форме основного лепестка, а к не-
а при четном
dp = (2р - l)d/2; sp = (2р - l)ft/2;
п
f(z) = ^F((2p-l)h/2)x
— n
х exp(i(2n — l)hz/2).
Токи в излучателях будут иметь
различные значения. Естественно, что
решетки, у которых и токи в
излучателях, и расстояния между
излучателями различны, несколько теряют в
приближении получаемой диаграммы
от заданной [3.24, 3.25].
функция, а фазовая — нечетная [3.5]:
Ш\ = \Н-0\; № = -№■
Принято считать, что антенна,
у которой выполняется это условие,
обладает фазовым центром. Фазовым
центром называют такую точку
антенны, относительно которой фазовая
диаграмма постоянна и меняется
скачком на 180° при переходе от одного
лепестка к другому или, если принять,
что амплитудная диаграмма
принимает отрицательные значения, то
фазовая диаграмма постоянна. Фазовый
центр может находиться только в
середине антенны.
которым ее параметрам: минимизация
уровня боковых лепестков, при
заданной ширине основного лепестка;
оптимизация крутизны спада основного
лепестка при заданном уровне бокового
3.3. Фазовый дентр линейной антенны
3.4. Оптимальные диаграммы направленности

излучения и др.
Безлепестковая ДН. Такую
диаграмму можно получить как при
помощи линейной антенной решетки
(АР), так и при помощи линейного
непрерывного излучателя.
У АР из N синфазных
излучателей, расположенных на одинаковом
расстоянии друг от друга, равном А/2,
безлепестковую диаграмму можно
получить, если амплитудное
распределение [3.7]
4 _ s-tm /о
где СТ
N-1,
т = 0,1,2.
биномиальные
т\(п — т)\
коэффициенты. Здесь т = 0
соответствует крайнему излучателю решетки.
Такую решетку называют
биномиальной. Ее ДН
/jv = cosN~1(uir/2); u = sin#.
У линейного непрерывного
излучателя безлепестковую диаграмму
можно получить при помощи
амплитудного распределения тока
. ,„ , „ v^ /sin(n7r/p)\p
Для такого излучателя
, v
/(«) =
smiru
ДН заданной ширины с минимальным
уровнем боковых лепестков (УБЛ).
Оптимальная линейная АР.
Для решетки с нормальным
излучением (В — 90°) оптимальная ДН с
минимальным УБЛ при заданной ширине
главного лепестка будет
/jv = Tm(zoz)/Tm(zo),
(3.20)
где N = т + 1 — число излучателей;
Тт — полином Чебышева;
z = cos ( — cos в ) ;
20 =
2m
COS ( — COS во
= ch ( — Arch —
m a
d — расстояние между излучателями;
2#o — ширина главного лепестка по
нулям; а — уровень боковых лепестков.
Задав 2f?o, из последнего равенства
можно определить минимальный
уровень лепестков а и, наоборот, для
заданного а найти ширину 2#о •
Распределение амплитуд тока по
N излучателям определяют из
выражений:
для N = 2п + 1
Ак =
1
- +
а
+2J2tn-i (го cos ^j-
Е> = 0
cos ■
2рктг
N
С увеличением р или числа
элементов N ширина ДН по уровню
половинной мощности уменьшается.
Однако у безлепестковой диаграммы
имеются так называемые затянутые
хвосты, и боковое излучение может быть
значительным. С наличием боковых
лепестков часто мирятся, но
ограничивают их уровень. Ниже остановимся
на. задачах, связанных с определением
для N = 2п
Ак =
N
-+
а
п-1
+2^ Tjv-i [га cos —J cos
рж\ 2(k - l)pir
p=i
N
где к — порядковый номер
излучателя, начиная от центра решетки.

Выражение (3.20) справедливо для
d ^ А/2. Для d < A/2 и нечетного
числа излучателей оптимальная
диаграмма имеет вид
/jv = cos
N -I 2z2-z0-y
arccos =—
21
2 z0 - Г
(3.21)
где 7 = cos(xd/A).
He рекомендуется для последней
выбирать d <C A/2, так как при этом
антенны будут обладать
сверхнаправленностью.
Непрерывные линейные
антенны. Оптимальная ДН у таких
антенн имеет вид [3.9]
ch it\[z
ch ttzq
1 a l l
где v = — cos о; zq = — arccos —.
Л Ж А
В направлении в0 = тг/2 получаем
/ = 1; / —*■ ch 7rt>/(ch жг0) с
увеличением v. Все боковые лепестки имеют
одинаковый уровень, равный l/(ch ttzq).
Ширина главного лепестка по
половинной мощности и по нулям
соответственно
■,1/2 = y(ArchI)2-(Arch-l-)2;
L>0 = COS
wd
Для реализации таких диаграмм
требуется распределение тока вдоль
излучателя
J(y) = 1 +
COS WZq
£(-ir
т = 1
х sin — \ т ■
2
т2 — z'q cos ту
6(у + тг) + 6(у - тг)
cos тгго
т.е. требуется ток, имеющий на концах
антенны два дельта-всплеска.
Чтобы устранить эти всплески,
предложена квазиоптимальная диаграмма,
имеющая вид [3.9]
/ =
ch ж^/z
V — COS ЖУ
ch itzq
которая отличается от оптимальной
ДН несколько расширенным главным
лепестком и одним высоким боковым.
В пределе / —> 0, когда v —> со.
Распределение тока,
обеспечивающее эту диаграмму,
Т(. \ _ 2tZ07T IijZQ^/ir2 - t/2)
' [У) ~ Ch 7Г20 ^Д2^ '
где h(x) — функция Бесселя чисто
мнимого аргумента.
3.5. Плоский раскрыв
Пусть плоскость раскрыва
совпадает с плоскостью хОу декартовой
системы координат xyz. Поле,
создаваемое излучателями с плоским раскры-
вом в дальней зоне, [3.7]
к exp(ikR
Е = —
Ажг R
гя(тг-гд)Г>Г],
(3.22)
где
N = / / K.exp[iksme(xcos<p+
(О
+у sin <p)]ds; (3.23)
s — поверхность раскрыва; R —
расстояние от точки наблюдения до из-

лучателя; гд, в, ф — единичный
вектор и координатные углы направления
на точку наблюдения; тг —
единичный вектор нормали к раскрыву; К —
тангенциальная к плоскости
раскрыва составляющая электрического
вектора Е или вектора тока, текущего по
раскрыву.
Обозначим через i^,-, %y, %z
координатные орты декартовой системы
координат. При этом тг = —г.. Вектора К
и N можно представить в виде
К = Kxix + Kviy; N = Nxix + Nyiy.
Следовательно, (3.23) можно
переписать так:
iVa
= / / Кх exp[i£ sin 0(x cos ip+
(«)
Ny =
+ у sin <p)} ds;
Ky exp [ik sin 6{x cos <p+
(»)
+ у simp}] ds.
(3.24)
Выражение в квадратных скобках
в (3.22), представляющее собою ДН
плоского раскрыва, обозначим через
F(6,<p). Представим диаграмму в виде
F(0, <р) = (1 + cos (p)[(Nx cos >p+
+Ny sin <p)%e - (N.r sin ip - Ny cos <p)iv].
Здесь ig и xv — орты сферической
системы координат.
Если ввести в дальней зоне
систему координат с ортами qi, q2, q3,
связанными с ортами %$, itp, %r
следующими выражениями [3.5]:
qx = cos^ig — sin piv;
<\2 = sin ip%0 + cos <piv;
Чг = гд,
то
Уравнения (3.24) независимы:
каждая составляющая поля в точке
наблюдения связана только с
соответствующей составляющей поля в рас-
крыве. Если задано поле F, то
нетрудно определить и его составляющие Лг:г
и Ny, и для решения задачи синтеза
плоского раскрыва достаточно решить
два независимых уравнения (3.24).
Остановимся сначала на решении
задачи синтеза плоской антенны с
линейно поляризованным полем в рас-
крыве, т.е. когда Nu = 0 (или Nx = 0).
Расположим систему координат
так, чтобы абсциссы крайних точек
раскрыва были равны —1/2 и 1/2
(рис. 3.1). Эти точки делят контур,
ограничивающий раскрыв, на две
части. Пусть уравнения этих частей
контура будут ух(х) и У2(х).
Щв,(р) = (1 + совЭДЛЬя! + Ns<tt]
Введем следующие обозначения:
Vi = {1/2) sin в cos <р;
t>2 = (//2) sin в sin p;
N($,<p) = f(vuv2);
kx = v, 2ттК(х, y) = V(t, y),
тогда (3.23) запишем в виде
f(vi,v2) = Ty-rt I J V(z,y)x
x exp i(viv+ v->y) dxdij. (3.25)

Функция f(vi,v2) задана, и (3.25)
представляет собой интегральное
уравнение относительно функции
искомого распределения поля по рас-
крыву V(t, у). Решается это
уравнение методом эквивалентного
линейного раскрыва. Так, внутренний
интеграл (3.25) обозначают через
В{т,и2)=~ / V(z,y)exp(iv2y)dy.
(3.26)
При этом
зг
f{vi,v2) = г— I B(T.,v2)exp(\viz)dx.
(3.27)
Выражение (3.25) распалось на
два интегральных уравнения для
линейных излучателей. Решают их теми
же методами, что и уравнения для
линейных излучателей, в частности
методом интеграла Фурье. Сначала
простым преобразованием Фурье находят
из (3.27) функцию
со
В{т,-щ) = / /(i'i,U2)exp(—\zv\)dv\.
— оо
Так как f{v\,v2) 6 Wa по обеим
переменным ы и v2, то В(т, и2) = О,
т > ж. Кроме того
СО
I \B{t,v2)\2dv2 =
— со
оо
= / 1/(^1, щ)\2 dv2 < оо.
— оо
Далее преобразованием Фурье
находим из (3.26) искомое распределение
поля по раскрыву
При этом должны выполняться
следующие равенства:
V(r,y)
± j \V(z,y)\2dy =
уф)
оо
= / \В(т, v2)\2dv2 < оо;
— оо
ж со
-L j\B(t,v2)\2dt = jlfivuv^fdvt.
Из (3.26) находим для контура,
ограничивающего раскрыв, следующие
выражения:
Ш 0*0= lim
}^2|=Г—-СО
lnlBfarexp(-ix/2))|
1п|В(тг,гехр(Ьг/2))|
г
у2{х) = lim
|v>|=r—»со '
(3.28)
Решение уравнения (3.25) можно
также найти непосредственным
преобразованием Фурье
В(т, из)ехр(—iyv2) dv2.
V(z,y) = JJ 1(ьг,ь2)х
— со
х ехр[—i(zui + yv2)] dv\ dv2,
а форму поверхности Р —
индикатором функции f(vi,v2).
Если в плоском раскрыве обе
составляющие поля Кх и Ку не равны
нулю, то, решая по заданным Nx и Ny
уравнения (3.24), определим обе
составляющие Кх и Ку, а применяя
выражение (3.28), найдем форму раскрыва.
При этом может оказаться, что формы
раскрывов, необходимых для создания
Nx и Ny, будут отличаться друг от
друга, т. е. раскрыв будет как бы состоять
из трех частей: на одной части
раскрыва поле будет иметь только одну
составляющую Nx, на другой — только

Ny, а на третьей — обе составляющие
Nx и Ny (рис. 3.2). Формы раскрывов
будут совпадать для обеих
составляющих только в том случае, когда
индикаторы соответствующих им функций
В(т, 1>э) равны между собою.
Рис. 3.2
3.6. Излучатели с круглым раскрывом
Выражения, полученные для
плоского раскрыва любой формы,
применимы и для круглого раскрыва.
Однако здесь решение можно получить в
более простом виде. Так, если ввести
в плоскости раскрыва полярные
координаты р, ip в виде
х =.р cos ip; y = psia.(p
и использовать обозначения:
г - р/р0; 2жр0К(р, if) = J(r, <p);
v = kpo sin в; F($, >р) = f(v, <p),
где ро — радиус раскрыва, то (3.2)
примет вид
2тг 1
где
Д^)=2^ / I J(r,1>)*
о о
х exp[iru cos(<^ - ф)]г dr dip.
Интеграл в правой части после
несложных преобразований легко
привести к следующей сумме:
f(v, <p) = J2 »ПМи) exp(in^), (3.29)
1
bn{v)~ an(r)Jn(r,v)rdr; (3.3
2тг
0)
an(r) = — / J(r,il>)exp(-mip)dip;
о
Jn(r, v) — функция Бесселя.
Так как Jn{x) = (-i-)Jn(-^), то
bn(~v) = (-l)nbn{v). Функции bn(v)
— коэффициенты в разложении
заданной диаграммы в ряд Фурье; их легко
определить из (3.29). Для нахождения
распределения поля по раскрыву надо
по (3.30) сначала определить an(r), a
затем искомую J(r,ip). При этом для
J(r,<p) получаем следующее
выражение:
J(r,<p) = ^a„(r)exp(inv?) =
— со
где p,k,n+i — корни функции Бесселя
J„+i(ar).

3.7. Криволинейные излучатели произвольной
формы, расположенные на плоскости
Пусть излучатель имеет форму
некоторой линии у = L(x), лежащей на
плоскости z = 0. Представим вектор
тока, текущего по излучателю, в виде
где гх, %у, ъг — орты прямоугольной
системы координат.
Когда ДН задана в сферической
системе координат R, в, <р, а в
дальней зоне введена система координат с
ортами
qi = cos /pig — sin tpiv;
q2 = sin (pig + cos ipi^,;
q3 = ir,
то диаграмму можно представить в
виде
F = fsqi + fyq.2,
где
f
'/2
■x = J Jx^l + L'2(x)x
-1/2
x exp[ifesin#(a: cos <p + у simp)} dx;
'/2 ^_^___
fy= j Jyyjl + L<2(x)x
-1/2
x exp[iк sin в(x cos <p + у simp)] dx.
(3.31)
Здесь I — длина проекции излучателя
на ось х.
Уравнения (3.31) не независимые,
поскольку у является функцией х и
в оба уравнения входит одна и та же
неизвестная функция L(x).
Введя обозначения
I ■ п I ■ л ■
t>i = — sin У cos уз; V2 = y8111^81111)5!
Л Л
f*(0,<p) = Mvuib); 2rrL(x)/l = r(t);
Ivxjl = t; Jx{x)y/l+L'3(x) = Ji{t),
преобразуем первое уравнение (3.31) к
виду
fi(vuv2) =
2ж
1/2
Jl(t)X
-1/2
xexp[iv2r(t) + vi]dt. (3.31a)
Аналогично можно представить и
уравнение для fy(6,<p) = /2(^1, и2).
Решение этих уравнений можно
получить, разложив подынтегральное
выражение в ряд Тейлора по
переменной V2'-
т-0
fl=T W-ВтЫ), (3.32)
meBm{v1) = ^- Uty^e^dt.
Так как
imBm(Vl) =
dmfi(vi,v2)
ВуЦ
v2=0
TO
Bo(vi) = /i(vi,0)=^- / Ji(t)e^4t;
Alt
dfi
■a f \ UJ1
lBl(fl) = -7Г-
OV2
v2=0
•2it
]х{1)г{1)ё^ dt.
Отсюда, применяя преобразование
Фурье, запишем
со
Л(*)= j /1(«1,0)е-";1'^;
r(t).h(t) =
dv2
~Wlt dvy.
v2 = 0

Итак, функция J\{t) определяется
только первым членом разложения f\
в ряд Тейлора, а функция r{t) также
и вторым. Все остальные члены ряда
(3.32) определяются первыми двумя
членами разложения и удовлетворяют
уравнениям
Bm(vi)- Ат (vi - .г-)Бга_1 (.в) dx,
выполняться условие
*.
rjxeAm(vi) = ^jrm{t)eVltd;
Решая второе уравнение (3.31),
найдем другую составляющую
тока J-j(t), текущего по излучателю, и
функцию r(t), которая может не
совпадать с найденной r(t) при решении
первого уравнения. Для того чтобы
обе функции r(t) совпадали, должно
fi(vi,v2) = / G'(ui - ^Щж, v2) dx,
где G(x) — преобразование Фурье
функции g(t) = J2{t)/Ji(t).
Криволинейные излучатели,
лежащие на плоскости, будут иметь
фазовый центр только в том случае, если
амплитудное распределение —
четная функция, а фазовая — нечетная
и, кроме того, функция,
определяющая форму излучателя у = L(£), будет
нечетной функцией: L(f) = —£(—£).
Если же выполняются первые два
условия, a L(f) = £(—£), то
амплитудная диаграмма будет четной
функцией, а фазовая — нечетной.
3.8. Приближенный расчет линейного излучателя
по заданной диаграмме направленности
Расчет распределения тока по
линейному излучателю приближенно, но
с достаточной степенью точности
обеспечивающий заданную ДН, можно
проводить следующим образом.
1. Аппроксимировать заданную
диаграмму полиномом Pk(v)
достаточно высокой степени к, что всегда
можно сделать с любой степенью точности
в соответствии с известной теоремой
Вейерштрасса.
2. Умножить полином на функцию
Um{v), обладающую свойствами:
а) Um(v) принадлежит к
функциям класса Wa;
б) на действительной оси Um{v)
бесконечно малая порядка o(l/vm) при
v —*- оо, где т > к. v = (//A) sin 0;
в) Um(v) —r 1 лри увеличении
числа т, т.е. существует такое число
т, когда
\1 - Um{v)\ < e; -1/X^v^.l/X.
Произведение Pk{v)Um(v) будет
принадлежать к функциям класса Wa,
поэтому может быть представлена
интегралом (3.4). Кроме того, это
произведение будет с любой степенью
точности аппроксимировать заданную
диаграмму.
Если взять, например функцию
ТТ . ч sinxu
Um(v) =
«n('-j
p=i
Г2(га+1)
Г(?п+ l-v)T(m+ 1 +v)
или
Um{v) =
COS TTV
m — 1
П
p=0
1-
2v
2p+l,

где Г(и) — гамма-функция, то
распределение тока, обеспечивающее
диаграмму,
т
оо
= J Um(v)Pk{v)e-iv* dv. (3.33)
—сю
Следует отметить, что если 1/Х
велико, то для того чтобы Um(v) = 1,
на участке \v\ ^ 1/Х необходимо т
брать очень большим; функция Um(v)
на участке 1/Х ^ v < m с увеличением
т будет медленно убывать, и так как
Pk{v) при этом растет очень быстро, то
расчет затруднителен. Для его
упрощения можно поступить следующим
образом: так как Um{v) и vkUm(v) при-
Задача сводится к определению
плотности поверхностного
электрического тока К, распределенного на
некоторой криволинейной замкнутой или
разомкнутой поверхности $, по
заданной ДН Т(в,(р) (г, в, <р —
сферическая система координат с центром
вблизи s). Поскольку этот ток
излучает конечную мощность, то F(0, ф) £
LI(Q), где 0, — единичная сфера.
Обозначим через Е, Н поле, создаваемое
искомым током. Очевидно, при г —* оо
имеем
Е=^— ¥(в,<р), (3.35)
где к — волновое число.
Зададим на сфере So радиусом го,
содержащей внутри себя поверхность
надлежат к функциям класса W„, то
■к
lUv) = ^j Ji(y)e"jy dy;
— Ж
It
(iv)kUm(v) = ~ J 4%WVV dy,
— 7Г
где к ^ 2m, поэтому вместо (3.33)
записываем
к
^) = ЕГ"а-/1(П)(0- (3-34)
n=0
Функцию J\" (О вычисляем
заранее, определив коэффициенты ап,
аппроксимируя заданную диаграмму по-
к
линомом Рк(v) = 2jant/1 и суммируя
ряд (3.34).
s, семейство вспомогательных
поверхностных токов {К,,} (??. = 1, 2...).
Поле, возбуждаемое током Кп в
свободном пространстве, обозначим через
Е(п), Н1^. Аналогично (3.35) запишем
вспомогательные токи на 50 в виде
К„ = —j„(0, ф)\ п = 1, 2 ... (3.36)
го
Семейство {jn} будем считать
линейно независимым, принадлежащим
пространству L~(fi) и полным в нем.
Применив к полям Е, Н и Е(п), Н(,г)
лемму Лоренца и переходя в ней к
пределу, когда го —' оо, найдем, учитывая
выражения (3.35) и (3.36),
J кг1 ds= J F(e,ip)in(e,ip)dsi,
(s) (П)
n = l,2..., (3.37)
3.9. Обратная задача теории антенн при любой форме
излучающей поверхности

где е" = lim Щ1' на s; dQ, = smddedtp;
Го—ЮО
черта, сверху — знак комплексного
сопряжения; Щп' — тангенциальная
составляющая Е^™).
Система уравнений (3.37) может
быть использована для определения
плотности тока К на s. Чтобы учесть
случаи, когда поверхность s
разомкнута и опирается на контур С, а ток К
удовлетворяет условиям Мейкснера на
£, например когда s — зеркало, будем
искать его в пространстве Ьд(в) со
скалярным произведением
(А,В)= f ARBds. (3.38)
Здесь R — линейный оператор,
выбираемый так, чтобы Ьд(з) было
гильбертовым пространством, а его
элементы — векторы, касательные к s,
удовлетворяли бы условиям Мейкснера
для тока при приближении к С. В
качестве R удобно использовать матрицу
с положительными элементами
Если на s одна из ортогональных
координатных линий xi = const
совпадает с С, то Rn при приближении к С
должен вести себя как 0(/7_1/'2)) а Д22
— как 0(р1/'2), где р — расстояние до
С Если поверхность s геометрическая
(не металлическая) или замкнутая, то
следует положить Дц = Д22 = 1-
Используя (3.38), перепишем (3.37) в виде
(KR-1en) = a„; n=l,2..., (3.39)
где R-1 — матрица, обратная R;
«„ = I F(e,<p)jn(6,<P)dQ
СП)
— известные числа.
Семейство {R-1en} линейно
независимо и полно в £д(в), поэтому
система уравнений (3.39) пригодна для
определения К. Решая ее, найдем
со
К — \ ^ Г* "П .
— / j LspDp,
(3.40)
kp = (К, Up) = / i amam.
т=1
Здесь
77г=1
— ортонормированные на s вектор-
функции; аРт — постоянные числа,
которые находятся стандартными
приемами из условий ортонормировки
Для Вр и Ср могут быть также
написаны рекуррентные формулы [3.1].
Определим класс функций,
которому должна принадлежать ДИ
F(e,(p), чтобы реализующий ее ток
К € £fj(s)- Из теоремы Рисса-Фишера
следует, что при выполнении условия
со
£|С„|2<оо (3.41)
п = 1
существует функция К G Ьд(«) с
коэффициентами Фурье {С„},
определяемая рядом (3.40). Таким образом, к
классу реализуемых ДН принадлежит
любая вектор-функция из £2(0),
удовлетворяющая условию (3.41).
Напомним, что в рассматриваемом случае
пространство L2(fi) состоит из вектор-
функций, заданных на Q,
касательных к ней и интегрируемых с
квадратом. Критерию (3.41) можно
придать форму, при которой будет видно
как он зависит от заданной функции

F(9,<p). Учитывая (3.40), можно
записать (3.41) в виде
п —1 т=1
Е < / F(fl,
<р)Зт(в,9)с1П
< оо.
(П)
(3.42)
Этот критерий определяет класс
ДН, реализуемых токами,
распределенными на замкнутых или
незамкнутых поверхностях и принадлежащими
пространствам L|j(s). При этом выбор
матрицы R в скалярном произведении
(3.38) позволяет обеспечить
выполнение условий Мейкснера для тока при
наличии изломов или краев у
металлической поверхности s. Критерий (3.42)
существенно упрощается, если
семейство {jm} выбирают так, чтобы
множество {R~lem} было ортогональным,
т. е. {R-1em,R-1en) = 0 при т ф п.
Тогда а^, = 0, когда т < п и критерий
(3.42) принимает вид
F(e,<p)jn(e,<p)dQ
£
(П)
< оо.
/1=1
(3.43)
Рассмотрим отдельные примеры
применения этого критерия. Пусть s
— поверхность бесконечного вдоль оси
z кругового цилиндра радиуса а, на
котором распределен ток плотностью
К = Кг, зависящий от одной
цилиндрической координаты <р (двумерная
задача). Диаграмма F такого тока
зависит только от <р и F(ip) 6 L2(0,2x);
dQ — dip. Определим класс ДН,
реализуемых током К £ L2(£), т.е. когда
R = 1, a s заменяется контуром
цилиндра С, лежащим в плоскости 2 = 0.
Введем семейство функций
jn = ein<7\/2x; n = 0,±l,±2...
В этом случае
Кп =
/Го
-Зп{<р),
где ?'о — радиус цилиндра, играющий
роль поверхности So. Элементарный
расчет приводит к выражению
UlfJ.
271*
-i(™/2+i/4)/n(k)e-m^
Таким образом, Д-1е" = еп
ортогонально в £2(0 — 2тт) и можно
использовать критерий (3.43), который
принимает вид
2тг
£
F{<p)env d<p\
\Jn(ka)\i
< оо. (3.44)
Отметим, что ка не должно быть
корнем ни одной из функций
Бесселя Jn, ибо при этом контур С (а
точнее область внутри него) оказывается
резонансным и нарушается теорема о
полноте {еп} в L2(£). Учитывая
асимптотическую формулу для Jn(ka) при
п —* оо, легко видеть, что ряд (3.44)
сходится при
2*
'2ж
F^y^ d<p
= о
1 /ека
\г+' \2
где £ > 0 и ДН F(ip), имеющая
коэффициенты Фурье, реализуема током
К £ L2(C), распределенным на
цилиндре радиуса а.
Рассмотрим трехмерную задачу,
когда s — сфера радиусом а. Пусть г,
в, (р — сферическая система координат
с центром вблизи s. Требуется
определить класс диаграмм, реализуемых
поверхностным током К £ L2(s),
распределенным на s. Ограничимся
диаграммами, являющимися при г —г оо
асимптотиками полей, состоящих из

волн электрического типа,
определяемых потенциалами Дебая
V = B™P™(cos 0)Zn(kr) cos пир,
(3.45)
где В™ — постоянные; Zn(x) —
= ^/irx/2Jn+1/2(x).
В качестве вектор-функции {j™}
выберем
. т sin пир Р™(cos в)
sint
, (3.46)
где 6™ — постоянные коэффициенты,
обеспечивающие ортонормированность
семейства {j™ } на сфере fi (здесь и
ниже используется двухиндексная
нумерация функций э'я и en); ie,.iv> — орты.
Из (3.45) следует, что в
рассматриваемом примере
о1"
[H-?-Z'n(ka)x
F. ah™ nX '
х< -гв cos пир—Р™ (cos в)+
Ш ]
-—- Р~г (cos в) sin. пир >.
ил Н
S1H
Ортогональность {е^1} в L2(s) при
Я = 1 доказывается элементарно,
поэтому можно использовать критерий
(3.43), положив в нем R = 1.
Несложный расчет позволяет придать ему вид
V^ m=o
Eici2
m=0
где С = / F(0, ^j™ dO.
(П)
Ряд (3.47) сходится, если
2^ |й„ | - см е
(3.47)
m=0
efca
2n + l
2n>
П —*■ OO,
(3.48)
где е > 0.
Здесь использована
асимптотическая формула для Z'n(ka). Критерию
(3.48) можно придать более
компактную форму, если записать диаграмму
в виде ряда F = ^ F„, где Fn =
n = l
п
- ^Со™- Так как семейство {э'пп}
т=0
ортонормировано на Q, то, применяя
равенство Парсеваля к ряду для Fn,
найдем
\
/
(П)
FnPdQ = 0
„1/2+*
ека I«
2п+1
п —+ оо.
Аналогично можно записать
критерий реализуемости диаграмм,
являющихся асимптотиками магнитных
волн.
Нереализуемые диаграммы.
Рассмотрим задачу с наилучшей, в
некотором смысле, аппроксимацией
нереализуемой диаграммы FH € L2(Q),
но не удовлетворяющей условию
(3.42), при помощи реализуемой F,
создаваемой токами из L2R(s). Прежде
всего, применяя формально метод,
разобранный выше, определим искомую
плотность тока К на s, используя N
равенств (3.39)
(К,Д-1е")= JF»(e,v)jn(9,v)dQ;
(П)
п = 17Ж (3.49)
Рассмотрим два примера.
Пример 3.1. Представим ток К
в виде агрегата из N членов ряда типа
(3.40)
N
p=i

на s, где в соответствии с (3.40) и (3.49)
cph = (k,bp) = £</fh3«^-
"=1 (П)
Если обозначить через F(6, <p)
диаграмму, в действительности
реализуемую током (3.50), то для нее будут
выполняться соотношения типа (3.39)
(К,Д-1еп)= f F(9,V')jn(e,<p)dQ;
(П)
п=1,2... (3.51)
Вычитая (3.49) из (3.51), получаем
f (F~FH)jn da = 0; n = TJf. (3.52)
(П)
Из этих N равенств следует, что
реализуемая током К диаграмма F
наилучшим, в некотором смысле,
образом аппроксимирует заданную
нереализуемую диаграмму F". Уточним
это утверждение. Пусть Gjv(fi) —
некоторое подпространство L2(Q),
образованное линейной комбинацией
элементов j„ (n = 1, JV). Тогда, если
Эта задача возникла в связи с
необходимостью создавать антенны с
быстрым качанием луча. Для этого
следует электрическим путем менять
закон распределения источников токов в
раскрыве антенны. Однако, если
скорость качания увеличивать, то при
периоде качания, сравнимом со временем
распространения волны вдоль раскры-
ва, диаграмма начнет искажаться и,
наконец, рассыпется на ряд лепестков,
заполняющих весь сектор качания. В
связи с этим необходимо найти закон
изменения распределения источников
FH € Gjv(^), то на основании
известной теоремы [3.1] из (3.52) следует, что
F" — элемент Gjv(^), наименее
удаленный от F (по норме Ь2(П)).
Пример 3.2. Представим ток в
виде агрегата из N членов .
N
К=^атД_1ега, (3.53)
где ат — коэффициенты,
удовлетворяющие вследствие (3.49) линейной
системе уравнений
N
]Г am(R-1em,R-1en) = / F"i„dQ;
n=l,N.
Из (3.49) и (3.51), последнее из
которых опять выполняется для тока
(3.53) и реализуемой им диаграммы F,
следуют равенства (3.52) и
последующие утверждения.
Аналогичные результаты могут
быть получены также для синтеза
магнитных токов по заданной
диаграмме [3.8].
во времени вдоль раскрыва, при
котором реализуется заданная диаграмма
на заданной скорости качания. В
ряде случаев эта задача может быть
решена при помощи преобразования
Фурье [ЗЛО].
Рассмотрим случай линейной
антенны, в которой задан ток
1= J(z,t)e,u°\
где J{x,i) — периодическая функция
t с периодом 27г/Оо; По <С wq; х
3.10. Синтез антенн с электрическим качанием луча

— координата, отсчитываемая вдоль
линейной антенны.
Полагаем, что I обладает
конечным спектром, точнее спектром,
энергия которого за пределами конечного
интервала пренебрежимо мала. В этом
случае можно говорить о диаграммах
для парциальных составляющих тока;
все они будут сформированы на
некотором конечном расстоянии Rq,
определяемом наибольшей частотой
спектра. При R ^ Яо может быть получено
следующее выражение для поля:
шпи eia,°W
Е = Ев = -rr-^~sm0/(cos в, ft),
(3.54)
где
/(cos^M)=(l + Ii-^J)x
х / j(xi[t]+—')elko*udx (3.54a)
-L/2
— мгновенный множитель системы;
Диаграмма направленности
произвольной совокупности
электрических Je(r) и магнитных JM(r) токов,
распределенных на замкнутой
поверхности S, как известно (см. (1.36) или
(6.12)), определяется следующим
интегралом;
S
-q(qJ V))Mq >< J V))p*4r'<^,
где q = {sin в cos ip, sin в sin if, cos в};
r'= {r'sin 9'cos ip', r'sine'sin<p', r'cos#'}.
[t] = t — R/c — запаздывающее время;
L — длина антенны.
Обращая формулу для /, найдем
со
J(x,t)=!£jf(u,t-™)e-ik°*«du.
-00
(3.55)
Этот переход проще всего
провести, разлагая функции f(u,t) и J(x,t)
в ряд Фурье по второму аргументу
и приравнивая соответствующие
члены в левой и правой частях
равенства (3.54а). Легко убедиться, что
(3.55) является строгим решением
интегрального уравнения (3.54а), если
заданная диаграмма /(«, [t])
принадлежит к классу реализуемых, т.е.
представляет собой периодическую
функцию с конечным спектром по
второму аргументу и принадлежит к классу
W„M (<тм = KmL/2; Км = k0+NQQ/c)
по первому аргументу; NQ —
наибольшая частота спектра [3.20, 3.21].
Диаграммы такого вида включают
в себя класс всех диаграмм,
создаваемых произвольной физически
реализуемой совокупностью источников,
локализованных в конечной части
пространства.
В предыдущем параграфе были
указаны критерии реализуемости
подобных ДН, основанные на свойствах
асимптотики коэффициентов
разложения диаграммы по некоторой полной
системе функций. Здесь рассмотрим
вопрос о реализуемости заданной
диаграммы F(6, f), не обращаясь к каким-
либо ее разложениям в ряды, а исходя
непосредственно из ее аналитических
свойств.
3.11. Аналитические свойства диаграмм
направленности неплоских излучающих поверхностей

Введем ограничение на токи 3е,
JP, не носящее принципиального
характера, а лишь позволяющее
упростить рассмотрение. Будем
считать, что
Г е L2(s); J" G L2(s). (3.57)
Из (3.56) непосредственно
следует, что F(9,(p) аналитически продол-
жима, на всю комплексную плоскость
9 = в\ + i#2i T-e- является векторной
целой функцией.
Пусть w = Qe~iei; Q = е"2. Тогда
при \w\ —► оо
F(0,<p) = FB(w, <p)(l + 0(l/Q)), (3.58)
где
FE(w,<p) =
= 1тг7 / ^(W> T'^ехр 1 ~yw\-cosв'+
s
+isin9'cos(<p-<p')]\ds'; (3-59)
J(w, r') — внеэкспоненциальный
множитель подынтегрального выражения
(3.56) (заключенного в фигурные
скобки), где в компонентах вектора q
следует произвести замены sin 9 —* iw/2,
cos 9 —*■ w/2.
Из (3.59) видно, что FB(w,ip) —
векторная целая функция
комплексной переменной w. Оценив ее
интеграл при помощи неравенства Коши-
Буняковского с использованием (3.57),
легко установить, что
|FB(u/,p)|<e<a+e>Hi
Задача синтеза антенн относится
к обратным задачам математической
где <7 ^ кго/2; го — радиус
минимальной сферы, описанной вокруг 5.
Таким образом, F'S(^, p) — целая
(по переменной w) функция конечной
степени а.
Справедливо и обратное
утверждение: если задана функция F(9,<p),
0^9^. 7г; 0 ^ if ^ 27г,
аналитически продолжимая на всю комплексную
плоскость 9 = 9\ + i#2 и при 92 —► оо
имеющая асимптотику (3.58), в
которой FB(w, ip) — целая по переменной w
функция конечной степени а ^ кг0/2,
то эта заданная функция может быть
реализована как диаграмма
интегрируемых с квадратом токов,
распределенных на замкнутой поверхности,
целиком содержащейся внутри сферы
радиусом г0.
Таким образом, справедлив
следующий критерий реализуемости:
регулярная функция F(Q,(p),
определенная на единичной сфере (0 ^ 9 ^ тг;
О ^ ip ^ 2тг) и аналитически
продолжимая на всю комплексную
плоскость 9 = 9\ + i#2, является
диаграммой поля источников,
распределенных внутри сферы радиусом ?*о,
в том и только в том случае, когда
при е^2 = Q —► оо имеет место
асимптотическое равенство (3.58), в котором
FE(w,ip) — векторная целая по
переменной w = Qe~lSl функция конечной
степени <т ^ кга/2.
Приведенный критерий удобен
тем, что является инвариантным как
по отношению к выбору системы
координат, так и к способу
представления ДН.
физики. Как правило, обратные
задачи — некорректно поставлены, т.е. ма-
3.12. Метод регуляризации в задаче синтеза антенн

лые изменения комбинации исходных
данных могут вызвать большие
вариации решения, что приводит к его
неустойчивости. В задаче синтеза надо
искать не точное решение, а
квазирешение, которое должно решать задачу
(в определенном смысле приближенно)
и обеспечивать устойчивость решения
определенными требованиями,
обусловленными физической сущностью
проблемы и практическим
использованием решения. Требования эти
связаны с априорной информацией,
позволяющей из класса формальных
решений задачи выделить практически
реализуемое и устойчивое решение [3.22,
3.23, 3.26].
При синтезе антенн эта
информация определяется практическими
требованиями к распределению поля в
раскрыве антенны. Возможны
интегральные требования и требования
частные, например, к перепадам
амплитудного распределения поля в
раскрыве антенны, крутизне изменения
фазового распределения поля и т.п.
На практике известны ДН с
погрешностями (например в виде
случайных величин с определенной
плотностью вероятности в области задания
характеристик антенны), которые
обусловлены различными причинами. В
этих случаях известные методы
расчета не позволяют решить вопросы,
возникающие в прямых и смешанных
задачах теории синтеза излучающих
систем, поэтому эффективным
оказывается принцип регуляризации. На
базе принципа регуляризации удается
определить характеристики
излучающих устройств в различных
практических задачах, избегая громоздких
вычислений.
При изучении прямых задач
синтеза отпадает необходимость в
аппроксимации заданной нереализуемой
ДН функциями определенных классов
и вычислении при помощи обратного
преобразования Фурье распределения
тока в антенне, что часто представляет
достаточно сложную задачу.
Следует заметить, что методы
решения некорректно поставленных
задач синтеза антенн, основанные на
принципе регуляризации,
обеспечивают возможность синтеза практически
реализуемых амплитудно-фазовых
характеристик тока в антенне,
определение с достаточной точностью
искомого амплитудно-фазового
распределения тока в антенне по
экспериментально снятой векторной ДИ, а также
устойчивость решения.
Для примера рассмотрим синтез
плоского криволинейного излучателя.
Пусть задача описывается
операторным уравнением
Р(0 = щ, (3.60)
где Р — непрерывный оператор,
действующий из пространства X в У; £
и щ принадлежат соответственно
полным линейным метрическим
пространствам X т Y.
Для прямых задач синтеза
линейной антенны оператор Р полностью
определяется ядром известного
интегрального уравнения антенны, а
функции — амплитудно-фазовое
распределение тока £ и комплексную ДН щ
— можно считать принадлежащими
соответственно метрическим
пространствам L2{ui,uo) и Ь'2{—сг,<т), где и%, щ
— интервал задания «о; <т —
электрическая длина антенны.
Известно, что большинство задач
синтеза некорректно поставлены.
Однако, если в пространстве X
выделить компактно замкнутое
множество X, то уравнение (3.2)
можно решать, определяя так называемое
квазирешение, т.е. такую точку £„, £
X, для которой функционал (3(Р{,щ)

принимает на X минимальное
значение, где /3 — метрика пространства
Y. Весьма существенно для
определения квазирешения его существование
для любого значения щ £ У, что
следует из компактности и замкнутости
множества X. Следовательно,
определение квазирешения сводится к
минимизации функционала f3{P^,iio) на X,
что может быть эффективно
выполнено [3.13].
Для корректного решения задачи
синтеза, линейного излучателя по
заданной ДН /(«) необходимо
эффективно минимизировать сглаживающий
функционал типа
Ma{I(x),f(u)} =
о 2
R(u)- I I(x)elux dx du+
+a
\I(x)\2dx, (3.61)
где a > 0 — параметр регуляризации;
[«i, г*з] — область задания ДН.
Подставив в (3.60) и = й + а
(а = 0,5(ui + щ)), получим
инвариантную форму интеграла с
симметричными пределами. Если —и\ = гсп = Щ = 1,
то это соответствует заданию f(u) на
физическом интервале углов.
Минимум функционала (3.61) существует
и единственен, а амплитудно-фазовое
распределение тока /а(£),
определяющее этот минимум, является решением
уравнения
«/(С) + 2
smu
>(*-£
х — £
I(x)dx—
и
- J /(u)e-iuf du. (3.62)
Амплитудно-фазовое
распределение тока в антенне определяют
также при помощи сетчатых функций,
приводящих к необходимости решения
на ЭВМ системы линейных
уравнений. Этим методом находят токи 1а
в дискретных излучателях,
расположенных на сегменте [—(7,(7], а значит,
вместо непрерывной антенны
синтезируется линейная решетка излучателей.
При большой длине антенны 2а метод
сетчатых функций в некоторых
случаях приводит к значительному
отклонению сетчатой функции от
искомого амплитудно-фазового
распределения тока в излучателе.
Эффективный метод решения уравнения (3.62)
основан на идеях вариационного
исчисления и свободен от указанного выше
недостатка. Для того чтобы в классе
функций
jn+1(C) = in(0+%(0 (3.63)
при возрастании п функционал (3.61)
убывал, необходимо и достаточно,
чтобы
АМп = ant2 + bnt < 0, (3.64)
где ап> Ьп — первая и вторая
вариации (3.61).
Тогда приходим к
градиентному методу минимизации функционала
(3.61), причем
о
ап = 2 \An{x)\2dx+
— а
а а
+ / / Ап{х)Ап(®
dx d£;
х „ £
— а —а
а
Ьп = 2 f\An(x)\2dx. (3.65)
За первое приближение 1\{£)
целесообразно принять сетчатую функцию,
получающуюся в результате решения

разностного уравнения,
соответствующего уравнению (3.36). При этом
последовательность функций 7n+i(£)
быстро сходится к /а(£). Варьируя
параметр а и определяя одним из
известных методов решение
трансцендентного относительно а уравнения связи
/(«)
1а(х)ёих dx
■6 = 0, (3.66)
легко найти наилучшее амплитудно-
фазовое распределение тока в
излучателе, синтезирующее заданную ДН с
точностью 8.
Рассмотренный выше метод
применим и к синтезу плоского
криволинейного излучателя F(u,v),
описываемого соотношениями вида
1
F(u,v) = f I(x)($unW+vrW dx,
-1
(3.67)
где n(x) и r(x) — параметрические
функции, определяющие форму
излучателя; и — sin в cos if; v — sin в sin <p.
Этот метод применим и при
синтезе плоского излучающего раскрыва
S, когда амплитудно-фазовое
распределение тока 1п(х, у) определяется
последовательностью функций
In+i(x,y) = I„(x,y) + trin(x,y).
Метод был испытан на ЭВМ и
показал свою эффективность.
3.13. Смешанные задачи синтеза антенн
Выше были изложены хорошо
разработанные вопросы синтеза линейных
и плоских антенн, когда заданы
амплитудная и фазовая ДН, а требуется
найти соответствующее распределение
амплитуд и фаз токов (поля) в антенне
или ее раскрыве.
В последнее время часто
возникает другая формулировка задач синтеза
антенн — так называемые смешанные
задачи синтеза антенн, когда задана
одна из характеристик ДН
(амплитудная или фазовая) и амплитудное или
фазовое распределение тока в антенне,
а требуется найти характеристики
тока в антенне. Актуальна, в частности,
задача синтеза заданной амплитудной
диаграммы при заданном
распределении амплитуды тока в антенне.
Задача сводится к расчету
соответствующего фазового распределения в антенне.
Например, такая задача возникает,
когда требуется пропустить через
антенну большую мощность.
При электрическом сканировании
ДН обычно следует соответствующим
образом изменять фазовое
распределение токов в антенне при неизменном
амплитудном распределении. В так
называемых гибридных антеннах
решетка фазируемых излучателей
должна создавать определенную фазовую
диаграмму, эквивалентную фазовой
диаграмме квазиточечного
излучателя. При этом задано амплитудное
распределение в линейном излучателе и
фазовая диаграмма, а требуется найти
соответствующее фазовое
распределение в антенне. В антеннах оптического
диапазона очень трудно варьировать
фазовым распределением, поэтому при
заданном фазовом распределении в
линейной антенне требуется для
обеспечения заданной фазовой ДН
определить амплитудное распределение тока
в антенне.
Исходные соотношения для
решения смешанной задачи следующие.

Для линейной антенны
|/(и)|е1ф(") = I A(OJ*J*Mdt,
где |/(и)| и Ф(м) — соответственно
амплитудная и фазовая ДН; А(£) и Ф(£)
— амплитудное и фазовое
распределение тока в антенне; и = sm9; ky = £;
-//2 < у < //2.
Математически задачи
смешанного синтеза заключаются в определении
одной из функций Л(£) или Ф(£) при
заданной одной из них, которые
обеспечивали точное или приближенное
создание заданной амплитудной |/(и)|
или фазовой Ф(м) диаграммы
направленности.
Решение задач смешанного
синтеза нельзя свести к известным типам
дифференциальных или интегральных
уравнений; затруднителен также
строгий анализ условий существования
решения смешанных задач синтеза.
Решение смешанных задач синтеза
базируется на методах вариационного
исчисления, методах регуляризации и
функционального анализа.
Один из сравнительно простых
приближенных методов решения
смешанной задачи синтеза, когда
заданы амплитудное распределение токов
А(х) и амплитудная диаграмма j/(u)|,
базируется на принципе стационарной
фазы (приближение геометрической
оптики). В приближении указанного
метода уравнение энергетического
баланса имеет вид
и=-ф'(а!) tim4x
J f(v)dv/ I f(v)dv =
umin ^min
X СГ
= JA\t)dt/ f A2(t)dt. (3.68)
— a —a
Производная неизвестной
функции Ф(ж) входит в верхний предел
интеграла левой части уравнения.
Машинными методами можно определить
неизвестную функцию. Этот метод
может быть эффективен для
определенного класса ДН, например косеканско-
го типа. Во многих других случаях
точность этого метода невысока.
Хорошие результаты при решении
смешанных задач синтеза дают
вариационные методы в различной постановке,
а также использование методов
функционального анализа и методы
регуляризации Тихонова. Один из
вариационных методов решения смешанных
задач синтеза предполагает
последовательное уменьшение среднеквадра-
тического отклонения заданной
диаграммы от получающейся в процессе
решения.
Рассмотрим четыре возможных
задачи смешанного синтеза, когда
заданы:
1) амплитудная диаграмма |/(и)| и
амплитуда тока А(£);
2) амплитудная диаграмма \}'(и)\ и
фаза тока Ф(£);
3) фазовая диаграмма Ф(х) и
амплитуда тока А(£);
4) фазовая диаграмма Ф(м) и фаза
тока Ф(£).
Один из эффективных методов
для решения задач смешанных задач
синтеза позволяет строить
последовательности контролируемых
приближений к решению.
Особенности вариационного
метода решения смешанных задач
синтеза состоят в том, что осуществляется
последовательное уменьшение средне-
квадратического отклонения заданной
ДН от получающейся в процессе
решения.
Во всех четырех задачах,
упомянутых выше, составляются среднеква-
дратические разности заданной и
получающихся в процессе решения
диаграмм — функционалы относительно

искомых амплитуды или фазы тока.
Для упомянутых четырех задач
можно записать следующие функционалы.
Задача 1. Заданы амплитудная
диаграмма |/(и)| и амплитуда тока
МО-
JiMO) = J [Л2ад(«Ь
til
а
-(У"л(£)«»к+*.-(0)#у
Лфвт^ + Ф^Ж
du.
(3.69)
Задача 2. Заданы амплитудная
диаграмма |/(и)| и фаза тока Ф(£):
J(MO) = / /зВД(«)-
■(Ул(Осов(ч+Ф(о)^)2-
Л-(ОйпК + ф(0)^
du.
(3.70)
Задача 3. Заданы фазовая
диаграмма Ф(и) и амплитуда тока А(£)'.
"2
АЩО) = / [tg«32w(«)-
«I
-(УлфсовК + Ф^ОК)2-
Л(ОшгК + Фг-(«е))^
Задача 4. Заданы фазовая
диаграмма Ф(«) и фаза тока Ф(ж)'.
-(Jmz)
cos« + Ф(£)) <*£
2т 2
С?«.
(3.72)
Четыре приведенные
функционала принимают всегда
неотрицательные значения. Всякое уменьшение
функционала и, следовательно, сред-
неквадратического отклонения
приводит к улучшению приближения.
Понижение значения функционала
приводит к улучшению приближения и
является критерием правильности
построения последовательности
приближений. Процесс приближения должен
быть таким, чтобы каждая
последующая функция уменьшала
функционал. Рассмотрим сказанное на
примере первого функционала (заданы f(u)
и А(0).
Последовательные приближения к
решению связываются так:
*.-+i(£) = **(0+«*(£)• (3-73)
При некоторой произвольной, но
фиксированной функции гц(£),
значение Ф»(£) также фиксировано,
функционал будет функцией только е, тогда
j(«W(t = o) + £< + ^ + ....
где «7(e) — значение функционала,
определяемое Ф,-(£)> его значением на
предыдущем этапе
(3.74)
2
du.
(3.71)
AJ(e) =
_ dj
де
= J(e) - J(e
d2J
e A
де2
£=0 Ut
= 0) =
s2 +
£ = Q

При малых е, пренебрегая
степенями выше первой, допустимо
ограничиться линейной частью приращения,
т.е. первой вариацией функционала
где
л т д3
OS
SJ.
£ = 0
Изучив характер поведения J(e) в
зависимости от значения и знака
производных, можно построить любой вид
зависимости, в частности,
минимизирующий величину функционала.
Можно регулировать значения и
знаки стольких слагаемых, сколько
берется произвольных функций в
выражении для вариации первого
приближения к решению. Приближение ищем
в виде
*i+i(£) = *.-(0+«*(0 + e2»n(0 + ---
Рассмотрим произвольную
функцию r}i{£,). Для всех смешанных
задач синтеза можно получить явную
зависимость величины линейной части
приращения J(e) (при малых £
полностью характеризующих J{e) от
функции i)i(£)). Функционал будет
уменьшаться, если выбрать гц так, чтобы SJ
было отрицательным. Таким образом
определяется способ построения
последовательности приближений,
критерием качества приближения
является скорость уменьшения J. Для
функционала (3.69) линейная часть
приращения определяется выражением
о
— а
х j[zoB{u^+mi{i))g[{u)+
+ sin«+ Фг-(£))<?! («)]х
x[/32a«(«)-(ffi(«))2-(ffk«))2]^,
(3.75)
g[{u)= / A{z)sm{uz + ^i{z))dz;
— a
g\(u) = / A(z) cos(«z + *i(z)) dz.
Если обозначить
Fi(0 = -ФИЮ / [cosK + *i(0)x
a
x / A(z)sin(z + ^i(z))dz~\~
— Q
x j A(z) cos(«z + Щг)) dz] [/32ад(«)-
A(z) cos(uz+ ^i{z))dz\ -
- ( / A{z) sin(uz + Ф,;(г)) dz) du,
то для линейной части приращения
функционала получим
Здесь jFi(£) — функция, определяемая
амплитудой тока А(£), уже известная
приближением к решению \fi(£).
Для уменьшения функционала,
т.е. для улучшения приближения,
вариацию щ{£) искомой фазы
надо брать пропорциональной функции
Щ), т.е. Vi(0 = cFi(0, где с > 0.
Таково условие построения
минимизирующей последовательности.

Аналогичным образом следует
провести операции для трех остальных
функционалов.
Для функционала задачи 2 имеем
— и
Ai+1(0 = А{(0 + em(0;
Fi(S) = % /[соз« + Фг-(0)х
x Ai(z)cos(uz + ^i(z))dz+
— 0
+ sin(uf+ *,-(£)) x
x / Ai(z) sin(uz + Уг(г)) dz /32ад(и)
Ai(z) cos(uz + Ф;(г) с
Ai(z)sm(uz + ^i(z)) dzj 1 du.
(3.76)
Для функционала задачи 3 имеем
а
— о
*.-+i(0 = *.•(£) +«к (О;
а
Fi(t) = -2А(0 У"[со6«+ Ф,-(0)+
— О"
+ tgV3a«(M)sm« + *i(0)]x
О"
tgVsafl(") / Л(г)сов(и2 + Фг-(.г))с/г-
Л(г)8т(иг + Ф,-(2:))^ с/и, (3.77)
где Л(£) не меняется от приближения
к приближению.
Для функционала задачи 4 имеем
<5J
<7
= -е J vdOFi
(0#;
(3.78)
Ai+i =Ai(0 + ev(i).
Поведение функционала в
зависимости от е может быть уточнено, если
рассмотреть его вторую вариацию.
Существенен выбор
начального приближения. Рассмотрим три
примера.
1. Применение метода
стационарной фазы. Этот метод применяется
для приближенного вычисления
интегралов с быстроизменяющейся фазой.
Для исходного выражения этот
метод дает
f(u) = [2ж/Ъ'(и)]А2(х(и));
ip(u) = Ф(ж(и)) + х(и)и ± ж/4.
(3.79)
Этим уравнением можно
пользоваться для определения начального
приближения — одной из трех
входящих в них функций по двум известным
другим.
2. Использование уравнения
энергетического баланса
Р(в) dd = 2тгЛ2(0 cos 6»(0 d£;
с/Ф
<%
= sin в(0-
При помощи этих уравнений,
например графически, можно находить
приближенное решение смешанных
задач синтеза. По наклону фазовой
характеристики определяем угол в, а
из первого уравнения энергетического
баланса находим при данном 9
энергию в элементе с/£ антенны. Для
задач синтеза заданной амплитудной

диаграммы при известном
распределении амплитуды тока, также
можно использовать аналогичные
приближенные методы.
3. Использование системы
линейных уравнений в задачах с заданными
фазовой диаграммой и распределением
фазы тока. Из исходного
интегрального уравнения
tg Фзад(и) =
Л(0зтК + Ф(0К
А(0 cos« + Ф(0) #
заменив интегралы суммами,
получаем
tg<W«) =
N
= J2 Ai{t„)cos(uU + Ф(£П))Д£П-
п = 0
N
J2 Ai(f„)siii(uf„ + Ф(£П))Д£П.
(3.80)
п-0
Задавшись значениями фазовой
диаграммы в ряде точек их, щ, ...,
получим систему однородных уравнений
относительно A(£i), Afa), •■•• Вводя
некоторое дополнительное
неоднородное уравнение (например, из
требований нормировки) и решая уже
неоднородную систему, находим
приближенное распределение тока.
Смешанные задачи синтеза
излучающих систем, в отличие от обычно
рассматриваемых задач синтеза имеют
(в случае их реализуемости) не
единственное решение. Нелинейные
интегральные уравнения также имеют не
единственное решение, то же
наблюдается и в рассматриваемых задачах
синтеза.
Если пытаться синтезировать
антенну с фазовой ДН равной нулю,
т.е. Ф(и) = 0 при условии, что
амплитудное распределение тока вдоль
антенны является четной функцией
относительно начала выбранной- системы
координат, то синтез искомой
излучающей системы можно выполнить, если
физически реализовать фазовое
распределение тока вдоль антенны в виде
любой нечетной функции.
Например, необходимо получить
нулевую фазовую диаграмму при
помощи антенны, амплитудное
распределение тока в которой
А(£) = cos(£/2-5r/4).
Эта задача представляет интерес,
поскольку известно, что строгого
решения не существует, так как для
существования решения необходимо
выполнить условия [3.11]
A(S) = A(-S); Ф4(0 = -Ф<(-0 + Со,
где Со = const.
Минимизируется функционал
даю)
cos | |
-1 -7Г
1 2
xsin«+$,-(f))c/f du, (3.81)
при этом последовательность
приближений будет
где
Z 7Г
X У[с08« + Ф«(£Ж /cOS ^ ^
х sin(uz + ФД-г)) dz du.

<р(и), рад
-2-
Рис. 3.3
Значение е на каждом шаге
выбиралось путем численного
эксперимента, что приводит к различным
минимизирующим последовательностям.
На рис. 3.3 показаны фазовые
диаграммы для одной из таких
последовательностей. За нулевое приближение
специально была выбрана функция
Фо(£)=£ + я74, определяющая
фазовую диаграмму, резко отличающуюся
от заданной. На рисунке кривые: 1 —
нулевое приближение; 2— 1-е
приближение; 3 — 2-е приближение (fo =
= 0,62); J, — 3-е приближение (Jz —
— 0,12). Заштрихованная область
характеризует отклонение
получающейся фазовой диаграммы от заданной.
На третьем шаге осуществляется
так называемое «приведение уровней»,
т.е. может случиться, что фазовая
диаграмма приближается к нужной
закономерности, но смещена от
заданной. Функционал при этом будет иметь
неоправданно большие значения, что
удлиняет процесс решения. Чтобы
избежать этого, нужно на каждом
шаге приводить постоянную
составляющую заданной, которая может,
например, быть выбрана нулевой.
Приведение уровней оказалось весьма
эффективным. После трех шагов фазовая
диаграмма в большом интервале углов
отклонялась от нулевой не более, чем
на 3°. Таким образом, этот метод
эффективен при решении смешанных
задач синтеза.

3.14. Некоторые проблемы синтеза антенных решеток
Различные аспекты синтеза
антенных решеток будут рассмотрены в
третьем томе справочника
применительно к различным задачам, которые
могут решать антенные решетки. В том
числе и различные задачи их синтеза,
отвечающие требованиям оптимизации
характеристик направленности. Выше
были представлены одна из таких
задач, решаемая при помощи чебышев-
скнх полиномов, а также задачи,
когда задана одна из характеристик ДН
(амплитудная или фазовая) и одна из
характеристик поля в раскрыве
антенны (амплитудное или фазово
амплитудное или фазы поля или тока).
Здесь рассмотрены некоторые
принципиальные задачи синтеза
антенных решеток: смешанные задачи
синтеза и общие проблемы синтеза ие-
зк видистантных решеток.
Во многих случаях целесообразно
задаваться только амплитудной ДН,
а амплитудно-фазовое распределение
находить из других соображений,
например наибольшего приближения к
заданной амплитудной ДН. Часто
первую задачу называют фазовым
синтезом (заданы амплитудные
характеристики диаграммы антенны).
Задача определения
амплитудного фазового распределения по
заданной амплитудной ДН также является
нелинейной. Отсюда следует и
неединственность решения. Эту задачу
рассматривают здесь применительно к
антенной решетке — линейной
эквидистантной {d„ — nd). Множитель
решетки
N
дип)= J2 7»einu">
где ип = kd sin 9 — обобщенная угловая
координата.
Пусть F(un) — заданная
вещественная неотрицательная функция
(амплитудная диаграмма), к которой
должна быть приближена заданная
ДН, степень этой близости
определяется величиной
6= f p(un)[F{un) - -4|/К)|]2 dun,
(3.82)
где р[ип) — весовая функция,
позволяющая регулировать степень
приближения |/| к F в различных угловых
направлениях; А — числовой параметр,
который можно задавать, либо
вычислять из условия дб/дА = 0 (в
частности, А = 1).
Для того чтобы минимизировать
функционал, используем равенство
Парсеваля, тогда
7Г
in = ^- f{p(un)Fe^+
2ж J
— 7Г
+[l-p(«n)]/}e-inu-dun;
-JV ^п^ N. (3.83)
Равенства (3.82) и (3.83)
составляют систему нелинейных уравнений
оптимального АФР токов /„ и
создаваемой ими диаграммы /. Цель —
поиск токов, минимизирующих
функционал (3.82). Подстановка (3.82) в (3.83)
или наоборот приводит к системе
нелинейных алгебраических уравнений
относительно /, которую можно решать,
если число излучателей N
сравнительно невелико.
Если число N велико, то
удобнее пользоваться одним интегральным
уравнением
fix) - /[1 - р(х')]к(и, x')f(x') dx' =

= j p(x')k(u, x')F(x')el ««•«*') dx,
— 7Г
(3.84)
где
27Г Sill
Для решения применяют метод
последовательных приближений, на
каждом шаге подставляется arg/ в
правую часть из предыдущей итерации,
при этом каждый раз сг уменьшается.
Число решений задачи удобно
исследовать, если зафиксировать F, как
функцию в и рассматривать поведение
решений при изменении Ы. При
проведении выкладок удобно использовать
переменную в.
Синтез неэквидистантных
решеток. В общем случае синтез
неэквидистантных антенных решеток
сводится к нахождению координат
расположения излучателей и тока в них по
заданным требованиям к ДН. Общую
задачу можно разбить на различные
частные задачи: такие как
определение координат фиксированного числа
излучателей, обеспечивающих в том
или ином смысле наилучшее
приближение к заданной ДН, определение
минимального числа излучателей для
обеспечения заданного КНД и т.д.
Неэквидистантное нерегулярное
размещение излучателей в линейной
решетке используется в основном для
подавления побочных главных
максимумов. Они возникают для
регулярных решеток, если расстояние между
ненаправленными излучателями
превышает определенное значение,
зависящее от длины волны и направления
главного максимума.
Отсутствие побочного главного
максимума выполняется при условии
1 + sin 6»raax '
где d — расстояние между
излучателями; А — длина волны; 0тах —
направление главного максимума.
Аналогичная проблема возникает
и для плоских решеток.
Направление основного главного
максимума не зависит от шага решетки
и зависит только от линейно
нарастающего вдоль решетки сдвига фаз.
Задача неравномерного
размещения элементов перспективна и для
крупногабаритных антенн, в которых
в качестве элементов используются
отдельные антенны или антенные
модули. В отличие от равномерного
размещения элементов, задача,
нахождения оптимального размещения
элементов в линейной решетке или на
заданном раскрыве не имеет точного
аналитического решения.
Ряд задач, относящихся к
неэквидистантным антенным решеткам,
можно решать, используя методы
спектрального анализа, базирующиеся, в
свою очередь, на аппарате дискретного
преобразования Фурье. Для синтеза и
анализа разреженных
неэквидистантных решеток с оптимальным
размещением излучающих элементов мол-сет
использоваться математический
аппарат теории разностных множеств. Для
этого следует рассмотреть общие
соотношения, относящиеся к
разреженным решеткам или к антеннам с
незаполненной апертурой. Всего имеется
к < N элементов, находящихся в
точках с номерами dj, а размер решетки
[0,ЛГ - 1]. Тогда 0 ^ dj <С N - 1 и
1 ^ j ^ &• Диаграмма
направленности по мощности описывается четной
периодической функцией
к
F{u) = J2 ^jU ■

Поскольку F(u) — четная и
периодичная функция, то можно
рассматривать отрезок О $С и <С ж. В направлении
главного максимума F(Q) = Р2
независимо от выбора dj и среднее значение
F(u) также не зависит от
совокупности dj:
- I F(u)du= к.
* J
о
Задача оптимизации состоит в
выборе dj так, чтобы вне области
главного лепестка (2w/N <; и <С ж) значение
F(u) было бы минимальным. Это
имело бы место, если выполнялось
условие F(u) = к — т. при 2w/N <C и <С
7г, а га — величина, равная по
значению примерно площади главного
лепестка. Но на интервале это равенство
не может выполняться, поэтому требу-
Как известно, ДН линейного
излучателя представляется целой
функцией конечной степени, поэтому для
точного ее синтеза фазовую
диаграмму нельзя задавать произвольно, как
это часто делается. В последнее
время привлекает внимание проблема
взаимосвязи амплитудной и фазовой ДН,
имеющая как принципиальное, так и
практическое значение. Интерес
представляет не только амплитудная
характеристика принимаемого поля, но и
фазовая, когда при обычном методе
регистрации амплитуды поля с помощью
детектора фазовая информация
утрачивается. Нужно вводить более
сложный процесс регистрации волнового
поля и его восстановления, например го-
лографический, поэтому развиваются
аналитические подходы полного
восстановления волнового поля по его
интенсивности.
ется выполнить это условие в
конечном числе точек F(up) = к — т, где
ир = 2ttP/v. Совокупность dj, если
выполняется это условие, совпадает с
циклическим разностным множеством,
известным из комбинаторного
анализа. При этом числа к связаны
соотношением
к(к- l) = m(N-l).
Существует ряд методов
синтеза неэквидистантных антенных
решеток: статистический, спектральный,
динамического программирования, на
основе теории разностных множеств,
синтез неэквидистантных решеток на
основе оптимального выбора
дискретного множества возможных значений
координат излучателей.
Наиболее широкое
распространение получило восстановление
волнового поля F(x) = \F[x)\eiai'sF^x^ при
помощи преобразования Гильберта от
ln\F(x)\:
со
„, . 1 /■ \a\F{x')\ , .
argF(a:) = - / ' И dx'+
Ж J X1 - X
— со
+ ^argizii) (з.90)
где Z{ — комплексные нули
функции ji7"(г)|, являющейся
аналитическим продолжением |.Р(.г')| в плоскость
комплексного переменного z — х + [у.
Поиск нулей функции F(z) во всей
плоскости комплексного переменного
очень трудоемкая операция, поэтому
проводилось изыскание других
алгоритмов, которые максимально
использовали специфику волнового поля с
3.15. Взаимосвязь амплитуды и фазы диаграммы
направленности

тем, чтобы не было необходимости в
поиске нулей по всей плоскости
комплексного переменного. Для
простоты рассматривается волновое поле,
зависящее только от одной координаты.
Функция F(u) — пространственный
спектр волнового поля (где и = kxfz —
пространственная частота),
сформированного конечным по .г*
распределением поля Ро{х), т. е. Pq(x) = 0 при
|а-| > D.
Функция F(u) может быть
продолжена в плоскость комплексного
переменного £ = и + iv, как целая
аналитическая функция 1-го порядка
типа D, а функция Ф(«) = F(u)Fr(u)
может быть продолжена в плоскость
комплексного переменного, как целая
функция 1-го порядка типа 2D.
Следовательно, из теоремы Ко-
тельникова следует, что ее можно
представить по своим отсчетным
значениям в виде сходящегося ряда
Ф(0 =
£
Ф(*Д)8т(£-Д'Л-)/£>(£-А:),
(3.91)
где Д = tt/D.
С помощью (3.81) можно
осуществить аналитическое продолжение
функции Ф(и), заданной на
действительной оси Re £ = и на всю плоскость
комплексного переменного.
Связь между амплитудой и фазой
волнового поля установим, исходя из
соотношения
in F(u) = In [F(u)|+i arctg F(u). (3.92)
Функция In F(u) аналитична
всюду за исключением нулей функции
|F(u)|, где она имеет логарифмические
точки ветвления. В любой точке
комплексного переменного £ = u+iv, не
совпадающей с точкой ветвления In F(u),
действительная и мнимая части этой
функции связаны с условиями Коши-
Римана
— ln\F(u,v)\= — a.rg F(u,v);
ди ov
-^ In \F(u, v)\ - - — arg F(u, v),
тогда для определения &xgF(u,v)
получаем выражение
a.ig F{u,v) = arg ^(0,0)-
- 7—ln\F(v.',v')\du'+
dv
0,7
+-— hi\F(u',v')\dv'
du
где argF(0,0) — начальная фаза
волнового поля в точке и — 0, v — 0; у
— контур интегрирования, не
проходящий через точки ветвления. Если
выбрать контур интегрирования по
действительной оси с обходом нулей по
полуокружности, то будем иметь
argF(u,0) = argF(0,0) + W(u)ir-
-^1~1п\Ф(и',0)\сЬ', (3.93)
где N(u) — число нулей функции F(u)
на интервале (0,«).
Из последнего выражения
следует, что фаза одномерного волнового
поля определяется с точностью до
параллакса, задаваемого начальной
фазой <р(0).

Литература
3.1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории
аппроксимации. М.: Наука, 1965.
3.2. Поповкин В.И. Ц РЭ. 1962. Т. 7.
С. 705.
3.3. Випер Н. Интеграл Фурье и
некоторые его приложения. Гос. Изд-во физико-
математической литературы, 1963.
3.4. Линник Ю.В. Разложение
вероятностных законов. Л.: Изд-во ЛГУ, 1960.
3.5. Зелкин Е.Г., Соколов В.Г. Методы
синтеза антенн. М.: Советское радио, 1980.
3.6. Пистолъкорс А.А. // ДАН СССР.
1953. Т. 89. № 5. С. 849.
3.7. Антенны сантиметровых волн:
Пер. с англ. Под ред. Я.Н. Фельда. М-:
Советское радио, 1950.
3.8. Фельд Я.Н. // Радиотехника. 1990.
№ 11. С. 52.
3.9. Соколов И.Ф., Вакман Д.Е. // РЭ.
1958. Т. 3. № 1.С. 46.
3.10. Пономарев Н.Г. // РЭ. 1962. Т. 7.
№ 6. С. 949.
3.11. Зелкип Е.Г. Построение
излучающей системы по заданной диаграмме
направленности. М.: Энергия, 1963.
3.12. Мипкович Б.М., Яковлев В.П.
Теория синтеза антенн. М.: Советское радио,
1969.
3.13. Бахрах Л.Д., Крельенецкий С.Д.
Синтез излучающих систем. М.: Советское
радио, 1974.
3.14. Чаплин А.Ф. Анализ и синтез
антенных решеток. Изд-во Львовского гос.
унта. Львов: «Вища школа», 1987.
3.15. М.И. АндриНчук, Н.Н. Войтович,
П.А. Савенко, В.П. Ткачук. Синтез антенн по
амплитудной ДН. Киев: Наукова думка, 1993.
3.16. Пистолъкорс А.А. Проблемы
синтеза антенн //В кн. 100 лет со дня рождения
Попова А.А. АН СССР, 1960.
3.17. Фельд Я.Н., Бахрах Л.Д.
Современное состояние теории синтеза антенн //
РЭ. 1963. Т. 8. № 8.
3.18. Пистолъкорс А.А., Бахрах Л.Д..
Курочкип А.П. Развитие отечественной
антенной техники // Радиотехника. 1985.
Вып. 7. № 4.
3.19. Зелкин Е.Г. Разработка проблемы
синтеза антенн // В кн. антенно-волноводном
техники / Под ред. А.А. Пистолькорса, 1967.
3.20. Дмитриев Б.И., Чечкин А.В.
Методы решения задач синтеза антенн. М.: Изд-
во МГУ, 1985.
3.21. Дмитриев Б.И., Березина Н.И.
Численные методы решения задач синтеза
излучающих систем. М.: Изд-во МГУ, 1986.
3.22. Бахрах Л.Д., Кременецкий С.Д.,
Троицки-U В.И. Метод последовательных
приближений в некорректно поставленных
задачах теории синтеза излучающих систем //
ДАН СССР, 1969. Т. 187. № 5.
3.23. Бахрах Л.Д., Троицкий В.Д.
Смешанные задачи синтеза антенн // РЭ. 1967.
Т. 12. № 3.
3.24. Содин Л.Г. Статистический анализ
неэквиднетантных антенных решеток // РЭ.
1966.Т. 11.Ш 11.
3.25. Копилович Л.Е.. Содии Л.Г.
Неэквидистантные разрешенные антенны-
решетки с оптимальным размещением
излучающих элементов на основе разностных
множеств // ДАН УССР. Сер. «А» Физико-
математические и технические науки. Отд.
выпуск. Киев, 1986.
3.26. Бахрах Л.Д., Литвинов О.Р. О
взаимосвязи амплитуды и фазы волновых
полей // ДАН. 1982. Т. 266. № 2.

Глава 4
Прямые методы в теории антенн
В антенной технике [4.1] широко
применяют методы наведенных
электродвижущих (ЭДС) и
магнитодвижущих (МДС) сил. В общем виде они
являются развитием метода Галерки-
на применительно к задачам теории
антенн. Используются также
вариационные методы для расчета
параметров, являющихся функционалами
токов или полей, распределенных в
апертуре антенны. Наконец, следует
отметить метод специальной ортогонали-
зации, который применяется для
решения интегральных уравнений
электродинамики и бесконечных систем
линейных алгебраических уравнений, к
которым могут быть сведены многие
задачи теории антенн.
4.1. Метод наведенных ЭДС в теории антенн
Рассмотрим систему из N
идеально проводящих тонких вибраторов, об-
N
щая поверхность которых S = J2 si >
2 = 1
где S{ — поверхность г'-го вибратора.
Чтобы охватить как приемные, так и
передающие антенны, полагаем, что
эти вибраторы возбуждаются
источниками, расположенными снаружи и
создающими первичное поле Е°, Н°, а
также сторонней ЭДС Ест,
приложенной непосредственно к поверхности
вибраторов. В случае передающей
антенны Е° = Н° = 0 и Ест ф 0 на S; в
случае приемной — Е°, Н° ф 0 и Ест ф О, и
учитывает влияние нагрузки,
подключенной к вибраторам приемной
антенны (см. ниже). Вторичное поле
(обозначим его через Е, Н), возбуждаемое
индуцированными на 5'
поверхностными токами плотности К, должно
удовлетворять краевому условию
Е* + Е° + Ес
О
(4.1)
и принципу излучения на
бесконечности. Здесь Ег — касательная
составляющая Е на 5'. Поле Е = Е{К}
является известным линейным оператором
тока* К. Учитывая (4.1), получим для
К следующее уравнение:
Ej{K} = -E°-Ec
(4.2)
Запишем решение этого уравнения
в виде суммы
м
K = J]jnKn, (4.3)
n=l
где Jn — искомые числа; {Кп} —
заданные на S, касательные к ней,
линейно независимые вектор-функции.
Используя метод Галеркина,
подставим в (4.2) значение К из (4.3),
умножим его скалярно на Кт и
проинтегрируем по S. Тогда
м
У, JnZn
Vm
1 <; т < М. (4.4)
При наличии Ест на S поле Б создается
также магнитным током, равным [Есттг].
Если этот ток кольцевой, охватывающий
тонкий вибратор, то его влиянием можно
пренебречь.

Здесь
%тп = - I KTOE{Kn} ds;
Vm = JKm(E0 + E^)ds.
(S)
(4.5)
Поскольку Zmn и Vm — известные
числа, а Кп заданы, то решение (4.2)
свелось к системе линейных
алгебраических уравнений (4.4). В ряде
случаев можно доказать, что при М —► с©
изложенная методика приводит к
точному решению (4.2). Для Zmn
выполняются соотношения взаимности
^тп — ^>пт-
(4.6)
Для передающих антенн, когда
Е° =0,
Vm= KmE^ds, (4.7)
(.s)
где Ест = Un8(xn)iXn; Un —
напряжение, приложенное к клеммам n-го
вибратора; хп — координата,
отсчитываемая вдоль оси n-го вибратора, у
которого клеммы расположены в точке
хп = 0; ii-„ — орт, направленный вдоль
оси.
Для приемных антенн, учитывая
сопротивление нагрузки,
Vm = f KfflE° ds+ f KmECT ds, (4.8)
(S)
(S)
где Ест = —UnS(xn)i(Cn на п-и
вибраторе; Un — падение напряжения на
нагрузке n-го вибратора.
Полученные выше методом Галер-
кина результаты могут быть найдены
методом Ритца. При этом решение
уравнения (4.2) сводится к
нахождению К на. S, при котором функционал
L{K}= / К(Е{К} + 2Е° + 2ЕС
\ds
стационарен. Метод наведенных ЭДС
в его обобщенной форме, изложенной
выше, приводит к необходимости
решать систему (4.4) в общем случае с
большим числом неизвестных.
Можно, однако, путем специальной орто-
гонализации [4.2] получить выражение
для К в виде суммы (4.3) с
окончательно определенными
коэффициентами. Для этого необходимо семейство
{Кп} предварительно проортонорми-
ровать методом Шмидта так, чтобы
они удовлетворяли соотношениям
J KmE{Kn}ds = 6mn.
(S)
Это выполнимо, если оператор
Е{-} симметричен, т. е. удовлетворяет
соотношению
j KmE{K„} ds = j К„Е{Кт} ds,
(S)
(S)
которое является следствием леммы
Лоренца и справедливо для любых
токов К„, и Кп. При этом уравнения
(4.4) принимают вид Jm = — Vm; l ^
^ т ^ М.
Таким образом коэффициенты Jm
окончательно определены и ток (4.3)
найден. Комплексная мощность,
излучаемая током К, распределенным
на S,
WE = _I f EK* ds, (4.9)
(S)
где * — знак комплексного
сопряжения.

Если выбрать Кп в (4.3)
вещественными, то, учитывая (4.3)-(4.5),
запишем
. м . 1-м
m~l
4.2. Тонкие вибраторы, близкие к резонансным
На резонансных вибраторах
распределение тока вдоль них не зависит
от возбуждения и имеет вид половины
синусоиды на каждом. При этом
удобен следующий способ введения
функций К„ на S. Полагаем М = TV, т.е.
число вибраторов, и К„ ф 0 только на
sn, а. К„ = 0 на sm (та ф п). Таким
образом,
iv — Jnis.n на sn\
Кп = 0 на sm (m ф п)
(4.10)
Считая, что К обладает осевой
симметрией и течет вдоль оси
вибратора, перейдем от плотности тока К к
полному току .7, текущему вдоль
вибратора. Учитывая (4.10), на sn имеем
J = JnVn(xn); l^n^N. (4.11)
Здесь Ф„(а:п) — безразмерная
вещественная функция, обращающаяся в
единицу в некотором сечении (назовем
его клеммным) n-го вибратора и
равная нулю на его концах.
Используя эти обозначения,
перепишем (4.4) и (4.5) в виде
N
]Г J„Zmn = Vm; l^m^N, (4.12)
n-l
где Jn — комплексная амплитуда тока
в клеммном сечении n-го вибратора;
Zm.n -- 4>m{xm)Et{Kn} dxm
— взаимное сопротивление, т. е.
сопротивление, наведенное током
плотностью Кп n-го вибратора на m-й
вибратор, отнесенное к клеммному
сечению последнего;
Vm= I Фт(а.-т)(Е°+Ест)сТа.-т
(т)
(4.126)
— ЭДС, приложенная к т-му
вибратору, отнесенная к его клеммному
сечению.
В двух последних выражениях
интегрирование идет вдоль оси т-го
вибратора. Для передающей антенны
Е° = Н° = 0, а Ест на поверхности
вибраторов задано; для приемных Е° ф О
и задано, что касается Ест, то как
следует из (4.8) и (4.126)
Vm = V% - Um = V% - JmZm, (4.13)
где
V,°n = J 4m(xm)E°t dxm;
(m)
Zm — сопротивление, подключенное к
клеммам m-ro вибратора.
Подставляя (4.13) в (4.12), найдем
TV
Jm %т + / Jii %тп — Vm", 1 ^ m ^
TV,
n = l
(m)
(4.12a)
(4.14)
откуда определяем значения J„ для
приемных вибраторов.

Выражение (4.12а) применяют
также для нахождения полного
входного сопротивления антенных
решеток, определения мощности излучения
(4.9) и т.п. Таким образом, пришли
к уравнениям и понятиям,
используемым в методе наведенных ЭДС в его
классической трактовке,
разработанной А.А. Пистолькорсом и В.В. Та-
тариновым. Последним даны также
подробные таблицы Zmn для полу-
Этот метод можно применять для
определения касательной
составляющей электрического вектора Ej на
геометрической поверхности отверстий
или напряжений вдоль узких щелей.
Рассмотрим волновод любого сечения
с N отверстиями (или щелями).
Обозначим суммарную геометрическую
N
поверхность отверстий S = ^2 sn.
Пусть источники — токи,
возбуждающие волновод, находятся как
внутри него (область v,;), так и снаружи
(область ve), их поле,, невозмущенное
отверстиями, но в присутствии
сплошного волновода обозначим через Е0г,
Н0' в области vt и Е0е, Н0е в области
г>е, а полное поле при наличии
отверстий буквами Е, Н. Тогда, если е = Et
на. 5, то
Н = Нш + Н':{е} в области ы;
Н = Н0е + Не{е} в области ve,
(4.15)
где КР{е} и Не{е} — линейные
операторы, действующие на вектор е. Они
находятся в результате решения
первой КЗЭ для областей гц и ve
соответственно (§ 1.3). Решение этих задач
при одном и том же е обеспечивает
неволновых параллельных вибраторов
[4.3], когда Фт(жт) = cos(27ra:m/A),
— А/4 ^ хт <i A/4. Из сказанного выше
следует, что классический метод
наведенных ЭДС — весьма частный
случай метода Галеркина, когда ток вдоль
каждого вибратора
аппроксимируется одной подходящей функцией Фт,
умноженной на коэффициент Jm,
подлежащий определению.
прерывность Et при переходе через
отверстия S. Для обеспечения
непрерывности Нг при переходе через S
необходимо, учитывая (4.15), выполнение на
S равенства
ННе}-ННе} = Н?{-Н40£. (4.16)
Это и есть искомое уравнение,
определяющее е = Et на 5. Запишем
его решение в виде
м
e=53vr„en. (4.16а)
п = 1
Здесь Vn — искомые постоянные; еп —
заданные вектор-функции,
касательные к S. Подставив это решение в
(4.16) и умножив последнее сначала
векторно на ет, а затем скалярно на ds
(ds направлен внутрь ve),
проинтегрируем по S. После элементарных
преобразований, с учетом линейности
операторов, найдем
м
J2 Vnушп = Fjn + F^; 1 < т < М,
« = 1
(4.17)
ГДе Утп — J mo + ^тп''
Y„\n = J[emH*{en}]ds;
(S)
4.3. Метод наведенных МДС
з

Yiin = -J[emKi{en}]ds;
(5)
Fm = J[emUoi]ds;
(s)
F^^-J[emH°nds.
(5)
Из леммы Лоренца следуют
теоремы взаимностиYmn = Ynm\ Y^n = Ynem;
Y,nn — Y£m. Если система
передающая и источники находятся только
внутри волновода, то при
вещественных е„ (п — 1, М) комплексная
мощность излучения
1 1-м
Система (4.17) может быть
решена, в частности, методом специальной
ортогонализации, поскольку оператор
[(Не{-} - Н'{-})тг] симметричен.
Действительно, если семейство {еп}
подвергнуть предварительной
специальной ортонормировке так, чтобы они
удовлетворяли условию
em(He{en} - H»'{e„})] ds - 8„
(S)
то система (4.17) сведется к следующей
и коэффициенты под знаком суммы в
(4.16а) найдены.
4.4. Узкие щели, близкие к резонансным
Для узких щелей, в случае
когда закон распределения напряжений
вдоль щелей заранее известен и
требуется определить только «масштаб»
кривых, а точнее напряжения в клемм-
ных сечениях, следует принять е =
= V„e„ на sn] en =0 на sm (m ф п),
где
еп = Jn\yn)sn(xn)tyn>
(4.18)
fn(yn) = l/(v\/yn(dn - уп));
Vn — искомая постоянная, равная
напряжению в клеммном сечении п-й
щели; sn = 1; tyn — поперечный
единичный орт; sn(xn) — sm(nxn/ln) —
заданная функция для щели, близкой к
резонансной; хп — координата,
отсчитываемая вдоль длины п-й щели от
одного из ее концов; /п — длина п-й щели;
fn(yn) ~ поперечное
(электростатическое) распределение поля в n-й щели
шириной dn; уп — поперечная
координата.
В сечении хп п-й щели напряжение
ип = Vnsn{xn)- Так как теперь М — N,
то (4.17) принимает вид
N
J2VnYmn = F}n+F,i; l^m^N,
n = l
где, учитывая (4.18), запишем
*тп = / sm(^'m)-ff:Cm{en} uxm;
(т)
1тп
^тп\^т)-^хт\^пj иХ^
(ш)
(m)
гт = / Sm\3*m)"xm "-Хт.
(т)
(4.19)

В (4.19) интегрирование идет
вдоль га-й щели. Легко видеть, что
У^ имеют размерность проводимо-
стей; F%il — внешние и внутренние
МДС. В общем случае, когда закон
распределения напряжений вдоль ще-
В теории антенно-фидерных
систем обычно интересуются
различными параметрами, например, мощность
и сопротивление излучения,
коэффициент отражения, ДН* и т.п. Все эти
параметры являются функционалами
тока в антенне или поля в ее
апертуре. Приближенное вычисление
тока (или поля) и последующее
нахождение по этому току указанных
параметров приводит к малой точности.
Гораздо лучший результат дает
следующий подход. Строится
функционал от тока (или поля),
удовлетворяющий двум требованиям: должен
достигать стационарного значения на
функции, являющейся решением исходного
уравнения задачи; стационарное
значение функционала должно совпадать
с искомым параметром. Подставляя в
такой функционал приближенное
значение тока (или поля), можно найти
соответствующий параметр со
значительно большей точностью. Так,
подставляя значение тока в 1-м
приближении, находим параметр с точностью
до 2-го приближения. Если требуется
определять различные параметры, то
необходимо уметь строить
стационарные функционалы тока,
соответствующие (учитывая второе требование)
* Диаграмма не зависит от переменных,
функциями которых является ток или
поле в апертуре, поэтому может
рассматриваться как параметр
лей неизвестен, следует применять
общий метод наведенных МДС,
изложенный в § 4.3. Расчет величин (4.19)
зависит от типа волновода и взаимного
расположения щелей [4.4].
этим параметрам. Рассмотрим
параметры, являющиеся линейными
функционалами тока или поля и имеющие в
общем случае вид
/? = (J,F), (4.20)
где (J,F) — билинейное
скалярное произведение, которое может
быть гильбертовым, т.е. удовлетворять
условию (J, F) = (F, J)* и, в частности,
иметь вид
(J,F) = / JF* ds (4.21)
и быть псевдоскалярным,
удовлетворять условию (J,F) = (F,J) и иметь
вид
(J,F)= / JF ds, (4.22)
(S)
где J — плотность тока или
напряженность поля; F — некоторая
функция, определяющая функционал
(параметр). Если, в частности, принять
F = 5(х — х0), то параметр (4.20) будет
равен плотности тока в точке хо [4.5].
Запишем исходное уравнение,
определяющее J,
G3 - f, (4.23)
где G — линейный оператор (в общем
случае несимметричный); f —
заданная вектор-функция.
4.5. Вариационные методы
з*

Можно построить функционалы,
сводящие решение (4.23) к
вариационной задаче, стационарное значение
которых совпадает с параметром (4.20)
при любой заданной функции F [4.6].
Для этого рассмотрим два уравнения:
исходное (4.23) и вспомогательное
G4
(4.24)
где G* — оператор, сопряженный с G; I
— новая неизвестная функция. Тогда
£ = (J,F) + (f,I)-(GJ,I) =
= (J,F)(f,I)/(GJ,I) (4.25)
— функционалы, стационарные при J
и I, являющимися решениями (4.23) и
(4.24). Чтобы убедиться в этом,
достаточно взять вариации этих
функционалов и найти, что они равны нулю
при J и I совпадающими с
решениями уравнений (4.23) и (4.24).
Стационарные значения функционалов (4.25)
Сст — (J,F), в чем убеждаемся,
подставив в них f вместо GJ. Все
сказанное справедливо независимо от
того, пользуемся ли определением (4.21)
или (4.22) для билинейного
произведения. Таким образом, (4.25)
удовлетворяют требованиям и дают
стационарные выражения для любого
параметра, являющегося линейным
функционалом тока или поля.
Предпочтительней пользоваться вторым
функционалом, так как при этом не
приходится заботиться о более или менее
правильных значениях амплитуд
приближенных J и I, подставляемых в
функционал для нахождения искомого
параметра. В качестве примера приведем
стационарный функционал для
вычисления диаграммы рассеяния
металлической поверхности s (замкнутой или
разомкнутой) при падении на нее
первичной волны Е°, Н°. Наведенный на
s при этом поверхностный ток
плотности К удовлетворяет уравнению
— т?°-
GK = -Е,°
G=(graddiv+fc2)t / ds'
(4.26)
-\kr
Airiwer
(«)
Здесь индекс t указывает, что после
взятия операции (graddiv +k2)
результат следует спроектировать на
плоскость, касательную к s в точке
наблюдения д; г — расстояние между
точками q и д', лежащими на s; q' — точка
интегрирования.
Компоненты диаграммы
рассеяния определяются известными
формулами
Fg(g) = JKiseik"^ds';
О)
Рф(д)= (Кгфе1
(О
ikpeosy jJ
(4.27)
где ij и %ф — орты сферической
системы координат в точке
наблюдения g(R,,0,<p), лежащей в дальней
зоне; р — расстояние между началом
координат и точкой интегрирования
q'(R',в',(р'); у —угол между
направлениями на точки д и q', проведенными
из начала координат.
Используя обозначения (4.22),
можно записать (4.27) в виде
Fi(g) = (K,ek"^is);
Рф(д) = (К, Jk»™7i_y
(4.27а)
Стационарные функционалы для
расчета F§ и Fq, имеют в соответствии
с (4.25) вид
ш =
(K,elk"cosyig)(-E°t,Ie
(GK,P)
(4.28)

и аналогичное выражение для Еф(д)
с заменой в на ф. Эти функционалы
стационарны при К, удовлетворяющем
уравнению (4.26), и Iй и 1^,
являющимися решениями уравнений (в
рассматриваемом примере G* = G) на s
При этом они совпадают с (4.27а).
4.1. ФелъЗ Я.Н. I/ Радиотехника. 1989.
№ 11. С. 61.
4.2. Фелъд Я.Н. // РЭ. 1959. Т. 4. № 12.
С. 2004.
4.3. Татарииов В.В. Коротковолновые
направленные антенны. М.: Связьиздат, 1936.
В (4.29) векторы i§t и %9t являются
проекциями 'ц и ■Ц на плоскость,
касательную к s в точке q'. Замена г§ на igt
в (4.28) и аналогичная для F<p не
меняет их значений. Однако, для (4.29) с i§t
и %фх значительно легче получить
приближенные решения (например,
методом Кирхгофа), чем с t(- и у
Напомним, что в этом примере К играет
роль I, Fg и F^ роль (3, а -Е° роль F.
4.4. Фелъд Я.Н., Бепенсоп Л.С. Антешго-
фидерные устройства. Ч 2. ВВИА им. Н.Е.
Жуковского, 1959.
4.5. Вайнште-Un Л.А. // Техническая
физика. 1961. № 1.
4.6. Фелъд Я.Н. II РЭ. 1962. Т. 7. № 1.
Литература

Глава 5
Мощность, извлекаемая антенной
из падающей на нее волны
5.1. Падение квазиплоской волны на приемную
антенну
Основные результаты получены
М.С. Нейманом [5.1]. Случай любой
поляризации падающей волны
рассмотрен в [5.4]. Используя теорему
взаимности для двух антенн, находящихся в
дальних зонах относительно друг
друга, можно получить следующие
выражения ЭДС и тока на клеммах
приемной антенны:
£а =
EF
/а =
£'
%ъ. + Za
(5.1)
Здесь Е — напряженность падающего
на антенну поля; F = / 3elkpcosv dv;
(«О
Ja — полный ток на клеммах
антенны в режиме передачи; Za — входное
сопротивление антенны в режиме
передачи; ZH — сопротивление
нагрузки (приемника); J — плотность тока
распределенного в объеме v,
занимаемом антенной, в режиме передачи; р
— радиус-вектор точки
интегрирования; v — угол между р и направлением
прихода волны. Выражения (5.1)
показывают искомую связь между ЭДС и
током на клеммах антенны в режиме
приема и ее характеристикой
(вектором F/Ja) в режиме передачи,
последняя не зависит от Ja. Вектор F
является функцией угловых координат в,
<р, определяющих направление
прихода падающей квазиплоской волны,
поэтому ток и ЭДС на клеммах
приемной антенны зависят от направления
прихода последней. Под ДН приемной
антенны понимают обычно функцию в
и 93, описываемую одной из формул
(5.1). Так так EF = EeFe + E^F^, то
при облучении антенны линейной
вертикальной {Ev — 0) или
горизонтальной [Eg = 0) поляризацией, ДН
приемной антенны, как следует из (5.1),
пропорциональна Fe или Fv
соответственно, т.е. тождественна ДН антенны в
режиме передачи для соответствующей
поляризации. Мощность,
поступающая в приемник, Рпр = Q,5i?H|Ja|2, где
RH = KeZ„. Подставляя сюда
значение Ja из (5.1), после несложных
преобразований получаем
Mip —
G{e^\Ef\ueua\%
240k2
Здесь G(9,<p)
(5.2)
коэффициент
усиления антенны в режиме передачи;
Е Fi
пе = т=т; па = т—; Fj. = Fe%e + F^i^;
Е
|Fii
2тг
£ = 4RaRH/\Za + ZH\<; к = —; Ч, V -
единичные орты.
При полном согласовании
приемника с антенной (2"а = Z*) и
одинаковых поляризациях передающего на
антенну и излучаемого ею в режиме
передачи полей (петга) = 1 формула (5.2)
упрощается и принимает вид
-fnp —
(5.3)
240k2
впервые полученный М.С. Нейманом.
Из (5.3) следует, что ДН антенны в
режимах передачи и приема в
рассматриваемом случае также совпадают.

5.2. Приемная антенна в поле произвольной
конфигурации
Определим мощность,
поступающую в приемник, когда на антенну
падает волна любой конфигурации [4.4].
Полагаем антенну зеркальной с
облучателем в виде рупора, соединенного с
приемником одномодовым волноводом
(рис. 5.1).
Пусть на антенну падает
первичная волна Е°, Н°, возбуждаемая
электрическими и магнитными токами,
распределенными с плотностями J и
Jf* в объеме vq, расположенном вне
антенной системы. Обозначим полное
поле, создаваемое этими токами при
наличии антенны, буквами Е, Н и введем
вспомогательное поле £, С>
возбуждаемое этой же антенной в режиме
передачи, когда вместо приемника включен
генератор, возбуждающий в волновод-
ном тракте волну Е1, Н1, бегущую к
рупору. Применяя лемму Лоренца к
полям Е, Н и £, С, в бесконечном
пространстве, ограниченном изнутри
поверхностью s\ (совпадающей с
поверхностью антенно-фидерной системы) и
сечением s внутри тракта (рис. 5.1),
найдем
I {[EQ-[£n]}ds= [(JS-Ji'Qdv.
00 (»о)
(5.4)
При выводе (5.4) предполагалось,
что поверхности зеркала, рупора и
тракта идеально проводящие.
Поскольку тракт одномодовый, поле в его
сечении s можно записать в виде
суммы двух трактовых волн, т.е.
£, С = (Е1, Н1) + /L^E-1, Н-1);
E,H = C-i(E-1,H~1)+ (5.5)
Здесь Е"1 = Е1*; КГ1 = -Н1* — поля
распространяющейся в тракте
основной волны, бегущие соответственно к
рупору и обратно; * — знак
комплексного сопряжения; С-\ — амплитуда
возбуждения волны Е-1, Н-1; Г\ —
коэффициент отражения ее от
приемника в режиме приема; Г-\ —
коэффициент отражения волны Е1, Н1 от
рупора.
Подставляя (5.5) в левую часть
(5.4), решаем полученное уравнение
относительно
/ (J£-J"C)<*o
с _ 1 0°)
~l l-r1r-12Bjsf\E1H1*]ds'
(О
(5.6)
Теперь определим мощность,
поступающую в приемник,
PnP = ^Re /[EH*]d8.
(»)
Подставляя сюда поле из (5.2) и
С_! из (5.6), получаем
Р - |А|2-1 ::
"P-Sll-AF^I2
Re/[EiHi*Hs '
(*)
Выражению (5.7) можно придать
несколько иной вид. Для этого окру-

жим антенно-фидерную систему
произвольной геометрической
поверхностью s, но так, чтобы область vq
находилась вне s (рис. 5.1). Применив к
области, находящейся вне s, лемму
Лоренца для полей Е°, Н° и £, С, найдем
{[elQ-[£]^]-[£h]}ds.
(/)
Применяя лемму Лоренца к полям
£, С и е1, К1 вне области s, убеждаемся,
что два первых члена правой части
взаимно сокращаются и
J (зе - J"C) dv = J [е°с] - [г*0] &, |{[Еос] _ [шо]} ds = _j
[£h] ds.
(.«о) («)
тогда (5.7) примет вид
А12-1
Рп
8|1-АЛ_!|2
f{[E%]-[m°]}ds
и
Re/[ЕШ1*]^
(5.7а)
Выведем еще одно выражение для
Рпр. Для этого представим
первичное поле Б°, Н° во внешней к s
области в виде суммы двух полей: Е° =
= е + е1; Н° = h + Ь1, где е, h —
поле, создаваемое теми же токами, что
и Е°, Н°, но удовлетворяющее
краевому условию et = 0 на s; e1, Ь1 — поле,
не имеющее источников вне s и
удовлетворяющее краевому условию е] = Е°
на s. Теперь найдем
У {[Е°С] - [Ш0]} ds =
(»)
{>)
Используя это равенство,
придадим (5.7а) вид
р —
l^il
1
f[m°]ds
8|l-riF_i|2Re/[ЕШ1*]^'
00
(5.8)
Если поверхность s выбрана
гладкой и ее радиусы кривизны велики по
сравнению с волной, то в приближении
Кирхгофа lit = 2Hj? на освещенной
части s и 1г< = 0 в области тени. В этом
случае
Г [£H°]de
\Г\Г--1 (,OI.)
пр 2\l-rir-1\2Bef[&H1*]d&'
М
(5.8а)
где sOCB -^ освещенная волной Е°, Н°
часть поверхности s.
(»)
5.3. Максимум мощности, принимаемой антенной
в среде с потерями
Задача о максимизации принятой
мощности из падающего на приемную
антенну поля Е°, Н°,
возбуждаемого токами J, J;i, не имеет решения.
Для того чтобы такой максимум
существовал, необходимо, как это показано
в [5.3], ограничивать направленность
антенны. Из теории цепей известно,
что генератор тока (ток фиксирован)
может отдать мощность в
зависимости от сопротивления нагрузки,
однако если генератор тока зашунтирован
внутренней проводимостью YT, то
такая система может отдать в
нагрузку максимальную мощность, равную
\J\2/(8ReYr) при условии, что прово-

димость нагрузки Ун = Y*, т.е. в этом
случае существует конечный
максимум без каких-либо добавочных
условий, если ReVr ф 0.
Переходя к приемной антенне,
сопоставим генератор тока первичным
источникам поля Е°, Н°, а
шунтируемую проводимость — среде,
окружающей их; реактивная проводимость
последней характеризуется величиной
ы£', а активная — удельной
проводимостью с среды. По аналогии для
существования конечного максимума
мощности, поступающей в приемную
антенну, достаточно, чтобы а ф 0.
Необходимо, следовательно,
рассматривать среду с потерями. Последние
будем учитывать, вводя комплексные £
и к (1тк < 0, зависимость от
времени exp(iut)). Мощность,
поступающая в приемник, определяется одной
из формул (5.6)—(5.8). Полагаем, что
тракт полностью согласован с
приемником i?i = 0. Тангенциальные
составляющие £t и C,t связаны между
собой на поверхности s, охватывающей
приемную антенну (см. § 5.2),
соотношением
[nQ = A£t, (5.9)
где А — линейный оператор,
зависящий только от формы поверхности s,
который может быть найден в
результате решения первой КЗЭ (см. § 1.3).
Поскольку £, С, — поле антенны
в режиме передачи; А-1 — обратный
оператор, то
Re /[£C]ds<Q. (5.10)
(О
Напомним, что вектор ds во всех
выражениях этой главы направлен
внутрь s. Учитывая (5.9), неравенству
(5.10) можно придать вид
-Re f £t(A£t)* ds < 0;
(О
Re(£t,A£t)>Q. (5.11)
Здесь (■) — скалярное произведение в
L2(s).
Тогда оператор можно
представить в виде
A = Ar+iAi, (5.12)
где Д. = (А + А)/2; А{ = (А - A)/2i;
А — оператор, эрмитово-сопряженный
с А; А,- и Ai — самосопряженные
операторы.
Подставляя (5.12) в (5.11) находим
(£t,Ar£t) > 0, т.е. оператор Аг
положительный.
Предполагая, что поверхность S
расположена вблизи антенны и
потерями на пути от s к S можно пренебречь,
а также, что тракт согласован с
антенной (ij_i = 0), напишем, используя
закон сохранения энергии,
Re f\E1Hu]ds= Re f[SC,*]ds. (5.13)
(О (О
Учитывая (5.9), перепишем это
равенство
Re f[E1n1*]ds =
(О
= -Re{£t,A£t) = -(£t,Ar£t). (5.13a)
Аналогично этому придадим
интегралу, стоящему в числителе (5.7а),
следующий вид:
f £[nH0] + C[rbF,°]ds= (Et,ArM),
00
(5.14)
где М = АГ^пН^-ЛЕ0*; Д71 —
оператор, обратный Д..
Подставляя (5.14) и (5.13а) в
(5.7а), находим
Рпр = \(£t)ArM)\2/8(£t,Ar£t). (5.15)
Варьируя £% на 5, определим
максимум Рпр. Так как А,- —
положительный самосопряженный
оператор, то справедливо неравенство

\(St,ArM)\2 <C (£uAr£t)(M,ArM).
Подставляя его в (5.15), получаем
Рпр ^ (М,-АгМ)/8, а следовательно,
Р„ртах = (М,АгМ)/8. (5.16)
Этот максимум реализуется на S
при
St = aM = aA-1 {[пК0*] - IE0},
(5.16а)
где a — константа.
В этом можно убедиться,
подставляя (5.16а) в (5.16). Максимум
(5.16) конечен, если проводимость
среды a > 0. Также можно определить
-Рптах, учитывая (5.8). Для этого
напишем
f £[nh]ds={£t,[nh*]) =
(5)
= (£,,Д.АР_1[«Ь*]).
Подставив последнее выражение и
(5.13) в (5.8), выведем
(5.17)
Прием, использованный выше,
позволяет получить выражения (5.16)-
(5.16а) с заменой М на N, т.е.
Pnpmax = (N,A.N)/S
(5.18)
Оптимальное распределение £t на
5, при котором реализуется максимум,
•будет
St =aN = aA-1[nh*].
В приближении Кирхгофа (5.17)-
(5.18) можно положить
Н*
2Н° на Оосв!
0 на 5Т.
Расчет по (5.16)-(5.18а) требует
определения оператора AJT1, для
чего сначала нужно найти А, т.е.
решить первую внешнюю КЗЭ
(определить [nQ на S по заданному St на S),
взяв в качестве 5' сферическую
поверхность.
Рассмотрим пример, где
приемной антенной является
прямолинейный симметричный вибратор длиной
21. Поле S, С будет иметь только три
компоненты Sg, Sr, Sv. Здесь в, <р, г —
сферическая система координат, ось Z
которой совпадает с осью вибратора, а
начало координат — с его центром.
Такое поле можно выразить через
электрический потенциал Дебая U [5.3].
Вне сферы S радиусом го с
центром в начале координат отношение
U/r удовлетворяет однородному
уравнению Гельмгольца, а потенциал
представляется рядом
со
U = У]апРпр(соа6)(„(кг);
71 = 1
Сп(х) = у/^/2Н™1/2{х), (5.19)
где а„ — постоянные коэффициенты.
Компоненты поля
, оо
£* = —Еа"Р"(со^)С(Ь);
n = l
Ср = ^-^,апРп(совв)СпМ.
(5.19а)
Соотношение (5.9) на S заменим
следующим:
(<р =ASg,
т.е. оператор А определен на
скалярных функциях от в. Для нахождения
максимальной принимаемой мощности
используем (5.8), тогда в
рассматриваемом случае
7Г
f[Sh] ds = -2ят{} J SehcJ sin в dd;
о
(•S)

Учитывая (5.13), получаем
Re f[E1Uu]ds =
(О
7Г
Подставляя последние выражения
в (5.8) и учитывая, что R\ — 0,
находим
Р —
-<пр —
S{Se,Ar£e) '
(5.20)
где (•) = J xy* sindde — новое скаляр-
о
ное произведение.
Выражение (5.20) аналогично
(5.17) и из него следует
■'пртах — \лг uv ,tiv )/o
при £e = aA;1h^*. (5.21)
Здесь оператор А,- определен по (5.12),
где оператор А сопряжен с А
относительно скалярного произведения
(5.21). Зададим первичное поле Е°,
Н° в виде плоской волны с
единичной амплитудой Н°, падающей в
направлении 9 — 7г/2, <р — 0.
Величина h^ на S является средним
значением hv — полного поля, возбуждаемого
волной Е°, Н° в предположении, что
сфера S металлизирована. Несложные
выкладки, приведенные в [5.3] и [5.4],
позволяют написать
h« = 1 у,2п+1 Р„1(0)
хехр[1(?г+1)тг/2]Рп1 COSP).
Здесь знак штрих показывает, что
суммирование ведется по нечетным п.
Подставляя последнее выражение
в (5.21), находим на S
Рпг
оо
,7Г + П
4 ^ 2п + 1
п=1
оо
|C„|2ReAn
при £в = a J2 'CnP^(cose). (5.22)
71 = 1
Здесь
In + 1 P„i(0)
г0(п2 + п) (,'п(кга)
exp[-i(n+l)?r/2]
ReAn
An —
sfS (n{krp)
Если а > 0, то коэффициенты |С„|
1 /e|fcr0|
убывают с ростом п как —
п \ 2п
и ряды (5.22) сходятся очень быстро.
Если <т = 0, потери в среде отсутству-
ют, то С„| растет как —— 1 и эти
V ек?"о /
ряды расходятся, т.е. не существует
конечного максимума для
принимаемой мощности. Можно также найти
распределение тока на вибраторе, при
котором в режиме передачи,
реализуется распределение (5.22) на S [5.3].
Полученные выражения справедливы
для приемных антенн любого типа.
Литература
5.1. Нейлшп М.С. Известия
электропромышленности слабого тока. 1935. № 8.
5.2. Фелъд Я.Н. // РЭ. 19S3. Т. 28. № 12.
С. 2313.
5.3. Фелъд Я.Н. // РЭ. 1984. Т. 29. № 9.
С. 1668.
5.4. Фелъд Я.Н., Фелъд С.Я. // РЭ. 1977.
Т. 22. № 9. С. 1829.

Глава 6
Методы решения граничных задач
электродинамики
Граничные задачи, возникающие
при анализе антенных устройств
математическими методами, относятся (в
наиболее важном случае
гармонических полей) к классу краевых задач
для уравнений эллиптического типа, в
частности для уравнения Гельмголь-
ца. Методы решения подобных
задач чрезвычайно разнообразны и
весьма специфичны, но не существует (и
вряд ли можно рассчитывать на
появление) методов, достаточно
универсальных для того, чтобы при их
помощи любую мыслимую задачу
можно было бы довести, что называется,
«до числа». Далеко не
исчерпывающий обзор современного состояния
этого вопроса дан в [6.1]. Как видно
из этой работы, многообразие методов
чрезвычайно велико и даже их крат-
Пусть поле Е^т), Нг(т)
удовлетворяет в области Ша\Б условию
излучения на бесконечности и однородной
системе уравнений Максвелла
rotH1 = iweE1; rotE1 = -iw^H1.
(6.1)
Здесь а = 2 или 3;D = DUs;s —
поверхность рассеивателя или антенны;
D — область, ограниченная S.
Если граница s — кусочно-
гладкая с конечным числом
неаналитических точек, то поле Е1, Н1 может
быть продолжено как решение
системы (6.1) внутрь D вплоть до границы
кий обзор вряд ли уместен в
справочнике по антеннам. Здесь уделим
внимание лишь наиболее общим приемам,
позволяющим давать математическую
формулировку задачам, возникающим
при анализе и проектировании
антенных устройств.
В гл. 1 были даны общие методы
расчета полей антенн и
сформулированы соответствующие граничные
задачи электродинамики. В этой главе
рассмотрим наиболее
распространенные аналитические представления
полей и определим границы областей их
существования, а также представления
для функций Грина, играющих
фундаментальную роль при сведении
физических задач к соответствующим
краевым задачам.
So области До С Д, являющейся
множеством особенностей поля Е1, Н1 (см.
ниже).
Применяя в области Ша \ Dq
теорему Грина, получаем
El(r) = i/{nx(VxEl(r'))!ir+
Е
+>XEV))(^)'^+
-Kn.EV))(^)'<^lV;
а=3, (6.2)
6.1. Обобщение потенциальных представлений
на случай, когда поверхность — носитель тока -
целиком или частично лежит внутри тела

где •£ — поверхность (могущая
частично совпадать с s), охватывающая
множество Do', R = |г — т'|; г —
радиус-вектор точки наблюдения; г' —
радиус-вектор точки на £; п —• вектор
единичной нормали, направленный из
Do; к — волновое число в М™ \ Do-
Аналогично соотношение и для
вектора Н1.
В двумерном случае имеет
место полная аналогия, за исключением
того, что функция Грина свободного
пространства не (1/47г) ехр(—\kR)/R, a
(1/41)Я$2)(*Я), где Н(02) — функция
Ганкеля второго рода 0-го порядка
[6.2].
Выражения типа (6.2) используют
для сведения граничных задач
электродинамики к интегральным
уравнениям первого рода с гладким ядром
(метод вспомогательных токов (МВТ)
[6.3]). Например, подобное уравнение в
трехмерном случае относительно
электрического тока (иногда может
оказаться более предпочтительным
уравнение относительно магнитного тока)
имеет вид [6.3]
^»('-('</4*))) =
а
= ~(п х Е°(т)); т € в; Z0 = ^/£/£.(6.3)
В двумерном случае подобное
уравнение относительно плотности
потенциала простого слоя выглядит
следующим образом [6.2]:
1-Jl(a)42\kR)d(r = -u0(v);
Е
res. (6.4)
Уравнения вида (6.3) или (6.4)
разрешимы (и притом единственным
образом), если поверхность (контур)
£ охватывает множество £>о
особенностей дифракционного поля [6.3]. Это
условие не только достаточно, но и
необходимо. Эти уравнения в принципе
допускают строгое решение.
Например, в [6.2] приведены точные
решения (в виде рядов по функциям Матье
для токов на вспомогательном
контуре) уравнений (6.4) в задачах о
рассеянии плоской волны и поля нити тока
на эллиптическом цилиндре с
граничными условиями Дирихле и Неймана.
Для большинства же практически
интересных случаев эти уравнения
должны решаться численно.
Один из наиболее
распространенных способов решения уравнений (6.3)
и (6.4) заключается в замене
интегралов в них суммами (например, по
формуле прямоугольников) и
приравнивании левых и правых частей на
дискретном множестве точек (в точках кол-
локации) на 5. Такой вариант МВТ,
известный под названием метода
дискретных (или вспомогательных)
источников (МДИ) был предложен В.Д. Ку-
прадзе [6.4]. Алгоритмы, построенные
на основе такого подхода, весьма
просты [6.5] и обладают хорошей
сходимостью. В [6.6] показано, что при прочих
равных условиях МДИ, являющихся
одним из вариантов метода
неортогональных рядов, — один из наиболее
быстродействующих среди
проекционных методов.
Указанное выше условие охвата
поверхностью Е множества £>q носит
отнюдь не формальный характер. В
[6.7] показано, что при невыполнении
этого условия экспоненциально растет
норма тока J |/(<т)|2й<т, а, следователь-
s
но, происходит разрушение
вычислительного алгоритма [6.5].
Для кусочно-аналитической
границы s точки множества Do попадают
и на s. При этом поверхность £,
расположенная целиком внутри s, часть
точек множества £>о не охватывает.
Помочь преодолеть трудности в подобных

ситуациях позволяет подход,
предложенный в [6.8]. Суть его
заключается в том, что вместо решений точных
уравнений (6.3) или (6.4) находим
токи, определяющие минимум
функционала / \F + SI\2 ds, где S — оператор
уравнения (6.3) или (6.4); F —
«правая часть» при дополнительном
условии / \I(c)\2 da = const. Для искомого
Е
Интегралы плоских волн
(интегралы Зоммерфельда и Зоммер-
фельда-Вейля). Как известно (см.
гл. 1), электрический (Пе) и
магнитный (П*1) векторы Герца
удовлетворяют уравнению Гельмгольца
ДП + А:2П = Л, (6.6)
в котором J = ({/ше)Зе — для Пе и
J = (г'/о;/х)Лд — для Пм. Векторное
поле J описывает источники,
распределенные в области V (под V может
пониматься область D внутри антенны
или ее граница s).
Решая (6.6) методом
преобразования Фурье [6.9], получаем
оо
П=— f [ **(Ы1'Ц2) у
2«A: J J ^р - ш? - ш\
-оо
х ехр(—\ы\х — iw2j/T
^f-iz-Jk2 — и2 — U)2)du)idu)2> (6.7)
где
—к f
f±(wi,W2) = — / J(r')exp (iwix'+
v
+ш2у' ± iz'yjk2 - u\ - u\) dV, (6.8)
тока I получаем интегральное
уравнение Фредгольма второго рода
XI + fl + B = Q, (6.5)
где Т — самосопряженный вполне
непрерывный оператор [6.8]; В = S* F.
Уравнение (6.5) позволяет решить
указанную выше проблему,
пожертвовав точностью расчетов.
причем
у к2 - и)2 - ш\ = — iy ш\ + ш\ — к2
при ш\ +ш2 > к2. В (6.7) и (6.8)
положительные знаки следует взять при
z > а, а нижние — при z < —b, где а
— максимальная; —Ь — минимальная
аппликата области V.
Заменив в интегралах (6.7) и (6.8)
переменные ы\ = к sin a cos/?; o>2 =
= к sin a sin/?, можно привести их к
следующим соотношениям [6.9]:
2л- тг/2+ioo
П(т) = ^/ / F±(a,/?)x
о о
х ехр{—i&r[sin#sinacos(^> — /?)±
± cos 9 cos a]} sin a dadfl; (6.9)
F±(a,/?) =
= f± (k sin a cos /?, к sin a sin /?) =
к f
= —— / 3(r')exp{ikr'[sin9' sinax
v
x cos(^ - /?) ± cos 0' cos a]} dV. (6.10)
В (6.9) и (6.10) введены
сферические координаты точки наблюдения г,
9, ip, связанные еж, у, z
соотношениями х = г sin 9 cos <р; у = г sm9 sin tp;
6.2. Классические аналитические представления
полей

z = r cos в, и точки интегрирования г',
9', <р' (г' G V) — х' = г' sin в1 cos <p';
у1 = г' sin в' sin у'; z> = r'cos в'.
При кг —► оо интеграл (6.9) можно
оценить методом перевала [6.10], тогда
П(т)
-F(0,y) + O
1
кг v ' r/ ' ~ \(А;г)2
(6.11)
rAeF(0,y) = F+(0,y).
Из (6.11) видно, что F(6,(p) —
ДН источников J, локализованных в
области V.
С учетом (1.31), а также (1.36) для
диаграмм Eq(#, <p) и Но(9,<р)
электрического и магнитного полей
соответственно будем иметь
Е,
V
-q(q.JV))]-(qxJV))}x
xeik^T'Uv'\
НоК/?)
ш-1Ш3^
-q(q-JV))] + (qxJV))}*'
хе1к&"> dV', (6.12)
где q = {sin a cos/?, sin a sin/9, cos a};
V = VeUV.
Напомним, что в (6.12) под
объемными плотностями токов 3е,:3^
можно понимать обобщенные
функции 3e(r)6{S); J"(t)S(S), где 6(S) —
дельта-функция, сосредоточенная на
поверхности S [6.11]. В результате
интегралы по V заменятся интегралами
по S.
Диаграммы F(a, /?), Eo(a, /?),
Но (ar,/?) являются (как следует из
(6.10) и (6.12)) векторными целыми по
а функциями [6.3], т.е. они продолжи-
мы как регулярные функции на всю
комплексную плоскость а — ai + ia2.
Пусть w — Qexp(—iai); Q = ett2,
тогда
F(a,p) = FB(w,p)(l+0(l/Q));
\w\ —► oo, (6.13)
где
-ШХ
FBK/?) = i-Jj(rOexp{^
v
x[cos 9' + isinfl' cos(/? - y')]} dV (6.14)
— векторная целая (по переменной w)
функция экспоненциального типа.
Все сказанное выше справедливо и
для функций Ео, Н0, поэтому в
дальнейшем при рассмотрении всех
вопросов, связанных с аналитическими
свойствами ДН, будем иметь дело только с
функцией F(a,/?).
Границы областей сходимости
классических аналитических
представлений и, в частности,
представлений Зоммерфельда-Вейля, удобнее
устанавливать, введя функцию [6.9]
GH = It JFB(w,P)dP- Опреде-
о
лим степень as функции G(w) на
контуре Зоммерфельда-Вейля, т.е. при
w = —iQ; Q —► оо при
помощи'соотношения [6.9]
as = lim
Q-»oo
lnmax|G(—\Q)
Q
(6.15)
Тогда интеграл (6.9) (при выборе
верхних знаков) и аналогичные
интегралы полей Е'(г), Н'(г), в которых
вместо F(a,P) должны стоять
соответственно функции Е0(а, /?), Н0(а, /?),
сходятся [6.3] и [6.9] при z = rcos9 >
> 2as/k и расходятся при z < 2as/k.
Поскольку интеграл (6.9) в области
своего существования удовлетворяет
однородному уравнению (6.6) и
условию излучения, то векторные поля П,

E1, H1 регулярны вне
полупространства
z^2as/k. (6.16)
Вне полупространства (6.16) поля
Е1 и Н1 соленоидальны, т.е.
(VE1) = (VH1) = 0. (6.17)
Величина as зависит от
ориентации системы координат
относительно множества V. Можно показать
[6.3], что множество Во, являющееся
пересечением полупространств (6.16)
для всех вращений системы координат,
есть наименьшее выпуклое замкнутое
множество, вне которого поля П, Е1,
Н1 регулярны, значит В0 —
выпуклая оболочка особенностей полей П,
Е1, Н1.
В двумерном случае волновое поле
и(г, <р) представимо интегралом Зом-
мерфельда
и(г,<р)= (6.18)
тг-f-ioo
= — / f(i>)exp{—ikrcos(ip — jl})}d^,
— ioo
сходящимся при у = г sin ip > 2as/k и
расходящимся при у < 2<т$ /к.
В области вне полупространства
у <С 2as/k (6.19)
волновое поле и(г,<р), представленное
интегралом (6.18), удовлетворяет
однородному уравнению Гельмгольца и
условию излучения, в частности,
и(г, <р) =
= \/3>''+'''^>(1 + 0Ш):
кг » 1. (6.20)
Из (6.20) видно, что f((p) — ДН
волнового поля и(г,<р), представимая
интегралом
S
xexp{ikrcos((p — ip)}ds. (6.21)
Функция }{ф) продолжима на всю
комплексную плоскость ф = ф^+хф'^, а
при \4>2 I —* °° удовлетворяет
асимптотическому равенству /(ф) = fE(z)x
x(l+0(l/Q)), в котором Q =exp(|02l);
z = Qexp(-is,^0i); s^ = ФЧ1\ф'{\\
s
х exp r-^zels^A ds (6.22)
— целая функция конечной степени
[6.2].
Величина, входящая в
неравенство (6.19) as = max[/i+(0);/i_(—я-)],
где h±(6) — индикатрисы роста [6.12]
функций fE(z) при Sjp = ±1
соответственно.
Определим зависимость as от угла
у поворота системы координат
as{j) =max[/i+(r),A-(—7г-у)]. (6.23)
В системе координат, повернутой
на угол у, поле и(г,<р) будет
регулярным всюду вне полупространства
у7 < 2азЬ)/к. (6.24)
Множество Во, являющееся
результатом пересечения
полупространств (6.24) для всех углов у, есть
выпуклая оболочка особенностей
волнового поля и(г,<р) [6.3].
Интеграл (6.18), преобразованный
к виду [6.13]
и{г,р)= (6.25)
тг/2+ioo
= — / f(<p+ip)exp(—ikrcostp) dip,
— it/2 — ioo

сходится при всех (г, <р) из области
IR2\So.
Если ДН задана в явном виде, то
соотношения (6.15) и (6.23)
позволяют легко найти величину as, а,
следовательно, и локализовать множество
Bq. Если же речь идет о задаче
дифракции, когда возникает
необходимость нахождения множества Во до ее
решения, то величина as может быть
найдена при асимптотической оценке
интегралов (6.14) и (6.22). Например,
для задач рассеяния плоской волны на
телах с аналитической границей могут
быть получены следующие
соотношения [6.2]:
в двумерном случае
as = maxRe{<£(v?o)};
Ф(<р) = 0,5kp(ip) exp{is^(<p - 7r/2)},
(6.26)
где <ро — корни уравнений
р{<р) 'w
-is,/,; exp(is^ipo) = 0;
г — p{ip) — уравнение границы S;
в трехмерном случае
as = max Ее{Ф(9о><Ро)};
Ф(^) = М^)ехр(Ы?); s = ±l,
(6.27)
где во, fo — корни уравнений
exp(is^o) = 0;
р(в,<р)
»o,Vo
-is;
(6.27а)
г = р(в, <р) — уравнение границы s.
Рассмотрим несколько примеров
нахождения множества Во.
Пример 6.1. Пусть д(<р) =
= ехр(—ikhcosip)exp(—Asin2^), тогда
gE(z) = ехр(-Л/2)ехр{(Л + ikh)z/2},
откуда (см. (6.23))
<rs(r) = А\ cos71/4 - (khsmj)/2,
т.е. В0: х = Л; \y\ ^ А/2к.
Пример 6.2. Рассмотрим
дифракцию плоской волны на
цилиндрических телах с направляющей S, либо
на телах вращения с поверхностью S.
Многолистник: р((р) = а + Ьх
xcosmip, тело вращения р(в,<р) = а+
+bcosm$; а > Ь > 0; т = 1, 2, 3... Для
т > 1 величина
as = <
где
a max
в трехмерном случае;
2nq
j=0,m-l
Sill ■
в двумерном случае,
ка Г(т - 1) + А „, Ыт - 1)
ff=Ym (m-l)A У^Г-
(6.28)
причем т = £; А = 1 + ^1 + г(т2 - 1).
Случай т = 1 может быть получен из
(6.28) предельным переходом.
Эллиптический цилиндр:
уравнение направляющей p(f) =
= а/у/1 - e2cos2<p и сфероиды р(9, <р) =
= а/[1 - e2sin2(9 - рж/2)], где
малая полуось; е = т/1 — а3/62 —
эксцентриситет; 6 — большая полуось,
р = 0 для сплюснутого и р — — 1
— для вытянутого сфероидов. Для
эллиптического цилиндра и сфероидов
получим соответственно
as (у) = fc6e|siii7|/2; <rs = —pkbe/2.
Трехосный эллипсоид: х2/а2+
+y2/b2 +z2/c2 = 1 при а > b > с.
Решая уравнения (6.27а), получаем
(см. (6.27))
Ф(60,<р0) = ку/с?-а*/2, (6.29)
откуда as = 0. Совмещая ось Z со
средней и меньшей по значению осями
эллипсоида, найдем
as = k\/b2 - с2/2; <rs = fc\/a2 - с2/2.

Поступая аналогично, получаем,
что множество Во в рассматриваемой
задаче есть эллипс в плоскости X0Y с
полуосями л/а2 — с2 и л/b2 — с2. Другие
примеры можно найти в [6.2].
Ряды плоских волн (ряды
Рэлея). Эти представления
применяют при решении задач, связанных с
возбуждением периодических решеток
и поверхностей. Рассмотрим
периодическую решетку (поверхность),
возбуждаемую волной с плоским фронтом
так, что в точке (х,у) плоскости z = О
набег фазы составляет —\кх sin в cos <p—
—iky sin в sin ip. Пусть поверхность
решетки задана уравнением z = S(x, у) =
= S(x + 6, у + d), где b, d — периоды
вдоль осей X и У. Тогда поле над
поверхностью (это будет уточнено ниже)
представимо в следующем виде:
П(т)
ibd ^
оо
\~~~\
т — — оо п = —оо
goo(^lm,^2n)
у/&
J\m
W
In
х exp
\X"Wlm - iyw2„-
-\z
k2-
Jlm
~wln}>
3.30)
где
2t , . „
wim = —m + ksmocos <p;
b
W2n = —П + К Sin 0 Sin p;
goo(wi,w2) =
6/2 (J/2
.— II 3(x,y,S(x,y))x
-6/2 -d/2
x exp {iwiai + i^2j/+
+iS(x,y)\/k2 — w\ — w%}x
+ (|f) dxdy (6.31)
— диаграмма центрального элемента
решетки (периода).
Напомним, что если в (6.31) под
J понимать iJe/ше, то ряд (6.30)
представляет Пе, а если J = iJ^/w/i, то —
вектор П^. Из (6.30) с
использованием (1.22), (1.25) получаем выражение
для полей Е1 и Н1. Можно показать
(см. [6.14]), что ряд (6.30) и
аналогичные ряды для полей Е1 и Н1
сходятся при z > 2<?s/k и расходятся при
z < 2as/k, где as — степень
диаграммы goo была определена ранее.
В двумерном случае для
волнового поля и(х,у) на периодической
поверхности у = S(x) = S(x + b) имеем
2 °°
и{х,у) = -г ]П go(wm)x (6.32)
exp{-ixwm - iyxjk2 - w^}
V^3
wi,
где wm = 2irm/b + к sin в;
dup^-u(x,y)f
an an
y=S(x)
9o(w)
6/2
-Ш
-6/2
x exp {iwx + iS{x)yk2 — w2}x
Xs/l + S/2(x)dx
— диаграмма центрального периода
(элемента). Часто в (6.32) используют
коэффициенты рассеяния вида
Rm — т
gQ{w„
Ь д/Р - wl
В задачах дифракции плоской
волны на периодической поверхности
предположение о справедливости
разложений (6.30) и (6.31) вплоть до
впадин поверхностей называют гипотезой
Рэлея [6.2], которая справедлива в том
и только в том случае, когда
mmS{x,y) >2(TS/k. (6.33)
х,у

Рассмотрим два примера.
Пример 6.3. Поверхность у =
— S(x) = acospx; a > 0; р > 0, тогда
[б.Н]
(Т5=_
ка г \/1 + а2р2
ар
_2.lnl + v/T+aV
ар
ар
Условие (6.33) принимает вид
неравенства
ар <
1 + \/1 + а2р2 г——=-2
In - V1 + а Р >
ар
имеющего решение: ар < 0,447743 ...
Пример 6.4. Поверхность у —
= S(x) задана параметрически
(циклоида): х = a(t + rcosi); у = atsint;
0 < т <J 1, тогда
(75 = ка(1 + \пт)/2..
Условие (6.33) приводит к
неравенству 1 + 1пт < — г, имеющему решение
т< 0,2784613...
Интересно отметить, что для
поверхности, являющейся отражением
рассматриваемой относительно
плоскости X0Z, гипотеза Рэлея
справедлива всегда.
6.3. Ряды по волновым гармоникам и ряды
Уилкокса—Аткинсона.
В прикладной электродинамике и
теории антенн часто используют ряды
по волновым гармоникам и Уилкокса-
Аткинсона [6.15]
оо п
ЕХ«=£ £ атп(-1Г+142)(Их
n=0 m = — n
х РЦ{со8в)ёт^>;
Здесь
-\кг
y^En(g,y)
^ (кг)п
(6.34)
6.34а)
Е0(в,<р)х
2п+1 (п-т)\ [ }
47г (п + ту. J J
о о
хPg(cos в)е-'т,р sin в d9d<p;
ftf\kr) = ^ЩЩН{п%/2(кг) - сфе-
рические функции Ганкеля; P£(cosd)
— присоединенные функции Лежан-
дра [6.16]; Ео(0, <р) —• диаграмма
волнового поля Е^т), через которую
коэффициенты Е„ выражаются
следующими рекуррентными соотношениями
[6.15]:
iSir = -
1
sin в
д , . _ , дЕош
= r(V • Ео);
-2inE(n+1y = n(n - l)Enr + DEnr\
п = 1,2,3...;
-2\пЕпв =
= n(n-l)£,(n_i)9 + D£'(n_i)9-|-D9E„_1;
п= 1,2,3...;
-2\пЕп>ч> -
= n(n-l)£,(n_1)v+D£,(n_i)v,-|-Dv,En_i;
n = 1,2,3...,
где
D
1 д . д
шГвт\8твТв
+
1 д2
sin2 9 д<р2
— оператор Бельтрами; De,Dv —
линейные операторы 1-го порядка,
переводящие векторное поле F = Frir +

+Fgig + Ftpitp в скалярные функции:
np-95i?" F» icos9dFv
c)9 sin-9 snrfl a<p
2 8Fr 2cos9dF(, F^
JJ \y ~ 1~ _ —~_ — Z™._
v sin 9 d<p sin29 d<p sin2#'
Аналогичные разложения имеют
место и для векторов магнитного поля
Н1 и векторов Герца IF, IP.
Рассмотрим теорему, приведенную
в [6.15]. Пусть Е^т) —
векторная волновая функция,
удовлетворяющая векторному уравнению
Гельмгольца АЕ1 + к2Е1 — 0 и условию
излучения Km r[ir x (V х Е1) -ifcE1] = 0;
%,. = r/v (равномерно по ir) в области
г > а, где (г, 9, </?) — сферические
координаты. Тогда для Ех(т) ряды (6.34)
справедливые при г > а, равномерно
и абсолютно сходятся по переменным
г, 9, (р в любой области г ^ а + е > а.
Ряды (6.34) можно дифференцировать
почленно по г, 9 и <р любое число
раз, причем получающиеся в
результате ряды сходятся равномерно и
абсолютно.
Величина а = 2а/к (см. [6.17]), где
по определению
In max |G(ix>)|
и = ilm _ ——— .
Q-* оэ Q
Справедлива формула
a- max |(0o,^o)l,
Sa,<f>0,s
где 9q, <po, s определены в (6.27). Тогда
lim |G(iu)|
Q-*oo
— степень диаграммы Ео(#,^>) (а
также H0(e,ip), F(9,(p)) [6.9], например
для сфероидов (сплюснутого и
вытянутого) а = кЬе/2, для трехосного
эллипсоида а = кл/а2 — с2.
Отметим, что при г < 2а/к ряды
(6.34) расходятся [6.17].
Предположение о сходимости ряда (6.34) вплоть до
поверхности S рассеивателя (антенны)
называют гипотезой Рэлея [6.2]. Из
изложенного ясно, что гипотеза Рэлея
справедлива в том и только в том
случае, когда выполняется неравенство
с < b"min/2, где rmin = minr.
В сферической системе координат
удобнее использовать разложения по
векторным гармоникам [6.18]. Берем
систему производящих функций,
удовлетворяющих скалярному уравнению
Гельмгольца в сферических
координатах:
Фетп = Zn(kr)P£(cos 9) cos mtp;
Фотп = Zn(kr)P£{cos 9) sinrtvp,
где Zn — любая из сферических бессе-
левых функций [6.16] (например, h„ ').
Векторные сферические
гармоники, порождаемые фетп и фотп, имеют
вид
Memn = V X {тфетп);
М0т„ = V X (гфотп);
^ етп ~ Y ^ ^"emn j
Nomn = tV X М0тп.
к
Эти функции удовлетворяют
векторному уравнению Гельмгольца, их
дивергенции равны нулю. Ряды по
векторным волновым гармоникам
обладают всеми свойствами рядов (6.34).
В двумерном случае изложение
может быть перенесено на
представления волнового поля и(г, ф) рядами по
волновым гармоникам вида
оо
u(r,<p) = J2 an(-i)nH(^(kr)em\
n = —oo
(6.35)
где ап = ^ 1!(ф)е-т^' с1ф.
о

Коэффициенты ап можно найти по
заданной диаграмме д(ф). Если
последняя определяется решением
соответствующей краевой задачи, то
коэффициенты ап лишь указывают на
связь, существующую между
коэффициентами Фурье диаграммы и
коэффициентами разложения (6.35) поля по
волновым гармоникам. То же
справедливо и для разложения (6.34).
Так же, как и ранее, ряд (6.35)
с коэффициентами ап сходится при
7* > 2/7/к и расходится при г < 2<т/к,
причем в области г J> 2(<х + е)/к этот
ряд сходится равномерно и абсолютно.
Величина
lim
In max \fE{z)\/Q
= max Re{<£>(<^o)}.
1Р0,Ф' ,$ф
Например, для многолистника
величина а может быть найдена из (6.28).
Другие примеры можно найти в [6.2].
Иная ситуация возникает при
рассмотрении разложения Уилкокса в
двумерном случае: разложение
ц(г, р)
_2_e-ifcr+i7r/4 V^ an(f)
irkr 2-< (кг)п
(6.36)
является лишь асимптотическим [6.17]
и нигде не сходится (кроме бесконечно
удаленной точки). Здесь ао(р) = д(р
a"(rf=2?[("-|)2<-l(rf + ClW
п=1,2,3...
Рп
Введя оператор
" 1
п
m=l L
dp2
можно разложение (6.36) записать в
виде
и(г, <р)
-ikr+i'-
£
Рп
9{<Р)
ж к г ^—' (кг"
п=0 v
Напомним, что для определения
границ областей существования
большинства аналитических
представлений волновых полей достаточно знать
расположение особенностей поля с
точностью до их выпуклой оболочки Во-
Лишь при использовании
представлений полей при помощи волновых
потенциалов может возникнуть
необходимость в локализации самого
множества особенностей Aq. Нахождение
выпуклой оболочки Bq множества
особенностей поля осуществляется методами,
указанными выше (см. (6.26) и (6.27)).
Точная локализация множества
особенностей Л о волнового поля
осуществляется весьма просто при
решении обратных задач, т.е. когда
диаграмма F(9,p) пли Ео(9,р) задана
(см. § 5 в [6.19]). Что касается
локализации множества Ао, когда
диаграмма a priori не задана, то это — более
сложная задача (в двумерном случае
решение этой задачи указано в [6.2]).
Для трехмерных задач решение
проблемы локализации множества Aq
указано в [6.20].
6.4. Функции Грина
Фундаментальное значение при
формулировке и решении краевых
задач имеет функция Грина [6.21], т.е.
решение уравнения Гельмгольца или
системы Максвелла при 5-образном
источнике. При этом различают
функцию Грина свободного пространства
(т.е. удовлетворяющую помимо
уравнения лишь условию излучения) и
функцию Грина краевой задачи, удо-

влетворяющую тем или иным краевым
условиям.
Функция Грина для свободного
пространства легко может быть
получена при решении исходного уравнения
методом интеграла Фурье. В
результате получаем, что функциями
Грина, удовлетворяющими условию
излучения и уравнению
AG(t | т0) + k2G(r | го) = -6(т - т0)
в двумерном и трехмерном случаях,
будут
G(r|ro) = l^2)(fc|r^ro|);
G(v | то) =
Y g-ii|r-ro|
47Г
•то
(напомним, что зависимость от
времени выбрана в виде exp(iwi)).
Эти функции можно представить
в виде непрерывного спектра плоских
волн (6.9), (6.18)
тг+ico
1 1 Г
—Яр^ф-то!) = -— / exp[-ifcrx
4г 47П J
—it»
х cos(ip Т Ф) + ikr0 cos(<£>o Т Ф)} d-Ф]
1 exp[-i(fc|T-T0|)]
4тг
|т - т0[
27г тг/2+ioo
= -—. / / exp(-ik±T + ik±T0)x
8жг J J
о о
х sin a dad(3;
где
k±r = fcr[sin 9 sin a. cos(<£> — /?)±
± cos 9 cos a];
к±то = fcro[sin 90 sin a cos(</?o — /?)±
± cos #о cos a].
Верхние знаки берутся при у > уо
и z > zq соответственно, а нижние —
при у < уо и z < z0.
Можно записать эти
представления в виде дискретного спектра
волновых гармоник (6.34) и (6.35) [6.10]:
±Н<2\к\т-т0\) =
1 со
- J2 Mkr<)HW(kr>)e-
■m(ip-ip0).
for
1 е-К*к-1-°1) к улул 2
_ 47гг" ^-i ^-l 2n +1
47Г
то
п = 0 тп=0
*£r^(^<)^>)
х
хР£(cosв)P£(cos9о) cos m(y> - ip0),
где г< и r> — меньшее и большее из
значений координат г, ?'о.
Иногда вводят в рассмотрение
тензорную функцию Грина,
удовлетворяющую уравнению [6.22]
Vx Vxd-k26 = l5(v-v0),
где I — единичный тензор (диада).
Выразим тензорную функцию через
скалярную
<5 = (J+VV/£2)G,
где VV — диада, образованная из
операторов V.
При исследовании периодических
структур задачу, как правило, сводят к
одному периоду. Здесь уместно ввести
в рассмотрение периодическую
функцию Грина [6.23], которая имеет
следующие представления в двумерном и
трехмерном случаях (сравним (6.30) и
(6.32)):
1 °°
Gp(T\T°)=2ib ^2 e*p{-i(x - х
o)w„
-Цу- Уо|\Л2 - и4}/\Л2 - wm\
Gp(? I то) =
1 oo oo
]C y^exp{-i(.-c-a;o)w1n
n= — oo n = —oo
-i(y-yo)^2n -i|z-20|x
2ibd
']tm-^2n} / \Jk2 -wlm-wln,

Функции Грина краевых задач
описаны в литературе весьма
ограничено. Приведем несколько примеров.
Функция Грина кругового
цилиндра, удовлетворяющая краевому
условию G(v | т0)|г=а = 0, имеет вид
G(T\r0) = ^Hi2\k\v-v0\)+
4г
+ 7 Е -M^RPWbPM*
Н(п2)(ка)
xe-i"(v-Vo)
Второе слагаемое может быть
переписано в виде асимптотического
ряда Ватсона [6.10], быстро сходящегося
при ка >• 1.
Функция Грина клиновидной
области, удовлетворяющая краевому
условию G(t | To)|v=o a = 0, имеет вид
[6.10]
G(v | то) =
= ^2\к\т - Го|)[/(тг -\ч>- <р0\)+
ioo
+ i / H^)(k^r2 + rl + 2rr0cosw)x
— ioo
xA(<p,<po;iv)dw, (6.37)
гдеС/W-i1 ПрИж>0;
тдеи{х)-<^0 приж<0.
— IOO
-12Д7ГЧ
xe
i2/i(7r-») дт(А*у><)8ш(м(а-у>))
sin/id;
d/л,
причем tp< и v?> — меньшее и большее
из значений координат р и ро>
Интеграл в последнем выражении
существует при \tp — ipo\ > 7Г, однако
вычисляется в явном виде и допускает
аналитическое продолжение всюду, кроме
полюсов функции A(<p,(fo; w). Первый
член в (6.37) равен вычету в полюсе
функции A(ip, <pa;w). Другой полюс
соответствует отраженному полю в гео-
метрооптическом приближении.
Функция Грина идеально
проводящего шара радиусом а, т.е.
поле электрического диполя с радиально
ориентированным моментом ро,
расположенного в точке г = г0 > а, до = 0.
Компоненты функции Грина выразим
через потенциал Дебая V:
G,.(t I то)
Gg(T | то) = -
^1
дг2
ld2V
+ к2 V;
Gv(r [ то)
причем [6.24]
V{r,6,<p) =
4Рг02
г дгдв'
1 д2У
г sin 9 drdip'
y-^L±i!x
sin(irvp
№<Ьг
1,(2)
h'sfJik^hYJik^P^ cos 9)
,(2)
a;n(2)V,
Поле элементарного диполя
вблизи плоской границы раздела
двух сред. Пусть плоскость z = 0
является общей границей среды (z > 0)
с материальными параметрами £\, ja,\
и среды (z < 0) с параметрами ео, А*2-
Поле элементарных
электрического и магнитного диполей с моментами
ре и рд соответственно,
расположенных в точке с декартовыми
координатами хо, уо, z0 > 0, определяется
приведенными ниже соотношениями.
В области z ^ 0:
Ех(т) = 7ге(т,то)ре +£Е"(т,то)р";
Hj(t) =7гн=(т,т0)ре +^(r,ro)p".
В области z ^ 0:
Е2(т) = Те(т,то)ре + ТЕ"(т)го)р'';
Н2(т) = Тн=(т,т0)ре +f "(т,то)р".

Операторы 7?. имеют следующие
представления:
Пе(т,т0) =
= Re(r,r0) + Д-(*? + VV)Goi(t)t0);
\LOEl
= R"(t,t0) + , (k\ + VV)G'oi(t, to);
IWjJl
%E"(r,ro) =
= Re"(t,t0)"VxGoi(t,t0);
П"*(т,т0)
= Rh"(t,to) + VxG01(t)to);
Goi(t,to) =
-i*i|r-r0|
47TJT — To I
Декартовые составляющие матриц
R и Т находятся при помощи
соотношений
R<*P = й^2 / / exvi-'lwi(x ~ хо)-
— со
-iw2(y- Уо) -ivi(z+ z0)]x
xrQp(wi,W2)dwidw2;
Та/3 = g^" у у ехр[-Ш!(ж - г0)-
— со
-iw2{y - J/o) + Ь2(г - «о)] х
Xtap(wi,W2) dwidvJ2\
a = x,y,z; /3 = x,y,z. (6.38)
В выражениях (6.38)
Vj = wfc — w( — w%; Imvj ^ 0;
kj - W
bxx
Lxy
lxz —
V£i H i •?
= 1
2;
+ r^
■Zo
Z
Zo't
\W\W2
m-wt)
' ' yx
~ УУ
Zo',
Zo;
t1*
' У г
Zo]
iw2
tz/з = (witxp + w2tyj3)/v2;
~f — ДР /ДД1.
'*/?
a = x,y; /3 = x,y,z;
/3 = x,y,z;
(6.39)
(6.40)
ДЧ = wfwi 1 +
£i«i
£2^2
111 2\ . ^l1'! /i 2 2\
(fcj - гиг) + (fc, - Wy)
£2V2
€2V2 "
"гаг
L " \ £2^2/ ШЛ^1е^2
-exvi
w\w\ - (кi - wj)(k% - wl)
H Ъ
U>- l-4S2ViV2
(*!"«'?) +
£2^2
A£„ = 1шгу1гу2
2 H 1 ei^i:
L V £2V2/
„2,„2
1 +
(ki - wim - wD
Шг jJL\£2ViV2
{Щ - к\)ег
WzfiiC2V2
(*? - «?) +
+
£i^l
£2 «2
(fc22-«,i)]}
Д£г = iweiu;i ( 1 - ^ 1 X
«2^1
(w^ + wDfl + Щ
k2 + 6lVlP
£2^2 ,
A^j. могут быть получены из Д£ при

замене W\ на w2> а w2 на и>\. В
результате аналогичной замены находят
элементы Д£у из Д^, а также Д^'г из
Д^
Элементы tea~ получают из t^»
после замены \х\ на z\ (см. (6.39));
элементы геар из г£д после замены £j
на ft, a iij на Sj (см. (6.40)). Далее,
_1
-К^/э -w2rzl});
г « = (u>i?v - i>i?•„/});
»*5е = («,2г'./? - гУ1^«); Р = х,у, z;
<"" = — (u^e + u^);
и>1Л2
/? = х, у, z.
(6.41)
Элементы г £ находят из rQ%
после замены \i\ на £i и умножения
получившегося выражения на —1;
элементы tQ% — из Л после замены /л2 на е2
и умножения получившегося
выражения на -1 (см. (6.41)).
В интегралах (6.38) можно
произвести замену переменных
интегрирования при помощи соотношений
w\ = «cost/'; w2 = a? sin ф;
Vj=^kj-^; i = 1,2.
В результате интегралы примут
вид
R-a/З = ^-j / / exp[-ia?(a- - х0)созф-
0 О
-хж(г/ - уо) sin ^ - i-«i (г + г0)] х
хга/з(ге cos г/г, aesin-0)as с1згс1ф]
27Г ОО
Т<*/? = БТ9 / / exp[-ice(a; - ж0) cost/'-
8тт2
о о
-ias{y - j/o)sin ф + ш2(- - ;-0)]х
xitt^(oecost/;1 зз sin ф)ге с1аес1ф.
В последних соотношениях при
необходимости можно перейти к
цилиндрической системе координат.
Литература
6.1. Еремин 10.А., Зимпов М.Х.,
Кюркчан А.Г. И РЭ. 1992. Т. 37. № 1. С. 14.
6.2. Апеяъцип В.Ф., Кюркчан А.Г.
Аналитические свойства волновых полей,
Глава П. М.: Изд-во МГУ, 1990.
6.3. Кюркчан А.Г. II РЭ. 1986. Т. 31. № 1.
С. 20. •
6.4. Купрадзе В.Д. // I Всес. школа-
семинар по дифракции и распространению
волн. Харьков: Изд-во ВИРТА, 1968. С. 347.
6.5. Апелъичн В.Ф., Кюркчап А.Г.,
Суков А.И. II Изв. вузов. Сер. Радиофизика.
1989. Т. 32. № 8. С. 1042.
6.6. Васильев Е.Н. Возбуждение тел
вращения. М.: Радио и связь, 1987.
6.7. Кюркчап А.Г., Клеев А.И. // РЭ.
1996. Т. 41. № 2. С. 162.
6.8. Кюркчан А.Г., Полищук И.М. //
ДАН СССР. 1992. Т. 327. № 3. С. 331.
6.9. Кюркчан А.Г. // РЭ. 1983. Т. 28. № 7.
С. 1275.
6.10. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение
и рассеяние волн. Т. 1, 2. М.: Мир, 1978.
6.11. Кеч В., Теодореску П. Введение в
теорию обобщенных функций с
приложениями в технике. М.: Мир, 1978.
6.12. Хургин Я.И., Яковлев В.П.
Финитные функции в физике и технике. М.: Наука,
1971. "
6.13. Кюркчан А.Г. Ц ДАН СССР. 1982.
Т. 265. № 1. С. 68.
6.14. Кюркчан А.Г. // РЭ. 1983. № 8.
С. 1525.
6.15. Wilcox С'.Н. II Comrn. on Pure and
Appl. Math. 1956. Vol. IX. P. 115.
6.16. Абрамович М., Стиган И.
Справочник по специальным функциям. М.:
Наука, 1979.

6.17. Кюркчан А.Г. И ДАН СССР. 1991.
Т. 319. № 4. С. 854.
6.18. Борен К., Хафмеп Д. Поглощение и
рассеяние света малыми частицами. М.: Мир,
1986.
6.19. Электродинамика антенн с
полупрозрачными поверхностями. Методы
конструктивного синтеза / Под ред. Б.З. Каце-
неленбаума, А.Н. Сиеова. М.: Наука, 1989.
6.20. Кюркчан А.Г., Отернин Б.Ю.,
Шаталов В.Е. Ц УФН. 1996. Т. 166.№ 12. С. 1257.
6.21. Морс Ф.М., Фешба'х Г. Методы
теоретической физики. Т. 1,2. М.: ИЛ, 1958.
6.22. Twersky V. // Journ. of Math. Phys.
1967. Vol. 8. № 3. PP. 589.
6.23. Wilcox C.H. Scattering Theory for
Diffraction Gratings. Springer Verlag. New York,
Berlin, Heidelberg, Tokyo. 1984.
6.24. Фелъд Я.Н., Фелъд С.Я. Ц РЭ. 1977.
Т. 22. № 9. С. 1829.
«-•■'№■ ■■ Н tr.; ■"
;tv- i ■:»'
;HVRt \nyMsh, :::S
. .■ -.'b ,;i:
'■■:' ■■'■HUW.l
.Л Г:.'
>J';Uf.t ';•, •':
'" .-illl.'.', !
..v/.'.iV-
ч !;!';!Кй!!К
|-,ф--.
' :-.* Ы/.
r. •>!■■
-;-.!?(. .;
..V : : ■
.•it.ii-■!!..•.
hi..-: :■
i1 V..fl )".'.'-\'.V, (\
't .ис/.н'.еЧ ■
\
.-■:--..в;.{ Д\
. i ■., :>;fv .:■■. •■<! л
•v. -,
Ч''''
,\.'U.
W«.''
ГШ'Д!
■, >.!
!.•■'•-
.jrtS
ик[

Глава 7
Основные параметры и характеристики
антенн; простейшие антенны
7.1. Поле излучения в дальней зоне и диаграмма
направленности
Характеристики излучения —
важнейшее параметры антенны. К ним
относятся поле излучения на
достаточно большом удалении от антенны,
когда оказывается возможным
отделить зависимость поля от расстояния
и угловых координат. Первая из них
соответствует квазисферической волне
(с центром в начале координат),
порожденной антенной как квазиточечным
источником. Вторая представляет
собой комплексную ДН в общем случае
векторную, имеющую две компоненты
в-ю и <р-ю (в сферической системе
координат с центром в условном центре
антенны). Обычно изучают ДН по
отдельным компонентам поля,
подразделяя их на диаграммы по амплитуде и
фазе поля.
Общее выражение для ДН систем
электрических и магнитных токов
описано выражениями (1.36),
полученными при R —*• оо (где R — расстояние
от начала координат до точки
наблюдения), с ошибкой, не превосходящей
22,5 фазовых град., применимыми до
расстояния R > Rm\n — 2D2/X
(таким образом, Rm[n/D — 2D/A), где D
— максимальный эквивалентный
размер антенны. Записанное условие
соответствует «дальней зоне» для
данной антенны. Расстояниям R,
удовлетворяющим условию 0,6\/D/A <
< R/D < 2D/X соответствует
«промежуточная» или «Френелева» зона.
Для расчета поля антенны в этой
зоне можно также использовать (1.36),
вводя дополнительный фазовый
множитель
ехр
.кр- . ,
-Х2Д8т
где р
радиус-вектор точки
источника; cos и = {ip-iR), т.е. как оы
принимая дополнительную фазовую ошибку,
квадратичную по р, в распределении
тока (эта фиктивная фазовая ошибка
зависит от R, 9, <р точки наблюдения).
7.1.1. Мощность и сопротивление излучения
Мощность, излучаемая антенной
[7.1] с электрическими токами* на
единицу телесного угла,
P(e,<p)^Z0\FL\2/8\2
(7.1)
* Выражения для магнитных токов
получается при помощи принципа
перестановочной двойственности (см. гл. 1).
полная излучаемая мощность
Ps= £ P{9,p)dw.
(4тг)
Здесь Zq — \J'\xqJZq — волновое
сопротивление поля в пространстве с
параметрами £0 и цо (для воздуха Z0 =

= 120тг Ом); Fi = Fgig + F^i^ —
поперечная к направлению излучения %д
часть вектора излучения F (см. гл. 1);
r/fi = sin 9 d£d<p — элемент телесного
угла.
Вводя сопротивление излучения
Rs, можно записать
jPv —
0,5|10|2ЯЕ;
0,5 Соря;1
где /о, Uq — произвольно выбираемые
амплитуды тока и напряжения. Так,
для линейных вибраторов было
принято выбирать /о в «пучности»
распределения тока. Если же выбрать Uq
на входах антенны, то R = Двх, т.е.
совпадает с активной частью входного
сопротивления (мнимую часть
входного сопротивления хвх находим из
комплексной теоремы Пойнтинга [7.15]).
7.1.2. Коэффициенты направленного действия
и усиления
В качестве энергетической
характеристики антенны вместо Р(9, ip) и РЕ
удобно использовать коэффициент
направленного действия (КНД) D(9, ф) и
его максимум D, независящие от
излучаемой мощности, а целиком
определяемые ДН. По определению КНД
D(9,ip) равняется отношению
мощностей, излучаемых в единицу
телесного угла в направлении [9, <р) данной
антенной — Р(9, <р) и гипотетической
изотропной (полностью
ненаправленной) антенной — Р^/4тг — при условии
равенства полных излучаемых
мощностей J-V-
Таким образом,
D{9tip)=4-irP(e,ip)/Ps. (7.2)
Согласно этой записи можно
также определить D как отношение
излучаемых мощностей — изотропной
антенной — 4жР(9, <р) и данной
антенной — Ps — ПРИ условии равенства
мощностей, излучаемых ими в
направлении (в,<р). Отсюда следует, что
D{6,(p) показывает энергетический
выигрыш, связанный с использованием
направленной антенны.
Если мощность Р(9, <р) считать
нормированной на единицу ДН по
полной мощности Pa0n{9,ip), то (7.2)
примет вид
D(e,<p) = D0Pnojl(6,<p), (7.3)
где
Аз=4тг^ <Ь РполсЮ
(4т)
Если ДН осесимметрична по углу
<р, 0 < <р ^ 27г, то
-1
£>о = 2( / Pno„(e)sm9de
а если Рпоп(9, f = 0) и Рпол(9, <р = тг/2)
мало различаются, то
71
D0 = 4 [ [[Р„ол(9, ч> = 0)-
+iW0,v? = 7r/2)sin6>d0j .
Помимо КНД D(9, p) используют
также коэффициент усиления (КУ)
(ji — КПД антенны), который легко
изменить, поскольку он определен
аналогично D(9, ip), но при условии
равенства подводимых к антенне мощностей.
В амплитудных ДН (как по
полной мощности, так и по компонентам

поля) различают основной (главный)
лепесток с максимумом, равным 1 (или
О дБ), и побочные (боковые и задние
лепестки, уровень которых (УБЛ) от-
Поле излучения антенны, в общем
случае содержащее две ортогональные
(в и <р) компоненты с различными
амплитудами и фазами, является
эллиптически поляризованным [7.1-7.3],
Поляризацию антенны удобно
характеризовать комплексным единичным
вектором
ti = F±|F1|-1; H = фг] + n% = \
с компонентами
пв = |Fe||Fi|^1exp(iargF9) =
= cos a exp(i arg F$)\
nv = iF^HFil-^xpfiargF^) =
= sin a exp(iy) exp(i arg Fg);
у = arg Fv - arg-Fe; tg a = п^/щ. (7.4)
Включая множитель exp(i arg F$) в
фазовую диаграмму антенны,
перепишем вектор
п = cos ai$ + sin а ехр(1у)%^.
Мгновенное значение вектора п
Re(fiexp(iwf)) =
— cos a cos(ut)ig + sin a cos(tut + y)iv
соответствует эллипсу, описываемому
за время t — 2тг/со концом мгновенного
значения вектора электрического поля
антенны (в дальней зоне).
Отношение полуосей этого
эллипса — коэффициент эллиптичности
(КЭ) m и угол наклона ( одной из
полуосей относительно направления -i.j
носительно максимума ДН
записывают либо в децибелах (ниже 0), либо в
долях единицы (или %).
связаны с величинами а и у
соотношениями:
при а ф 45°
tg 2( = tg 2а cosy;
m2 = tg(a + C)tg(a-C),
при а = 45°
щ = nv; С = 45°; m = tg (y/2).
Полуоси эллипса равны . =,
у1 + т2
1 ,
=: :■=■:::-■::.:, а СДВИГ фЭЗ МвЖДУ ЗНаЧвНИ-
VI + т2
ями поля в этих направлениях
составляет +90° или —90°. При у = 77.7Г
эллипс вытягивается в прямую линию с
наклоном 4 = ±а. При у = (2п+ 1)тт/2
оси эллипса параллельны г$ и г& (С =
0), а m — tg а. Значение т = 1
соответствует круговой поляризации.
Направление вращения вектора
электрического поля определяется
знаком у. Если у > 0, то вектор поля
вращается от -iv к %д, т.е. по часовой
стрелке, если у < 0, то наоборот;
согласно стандарту, если вектор
поляризации при наблюдении в направлении
уходящей волны вращается по часовой
стрелке, то такая поляризация
называется правовращающейся (правой), при
вращении в обратном направлении —
левовращающейся (левой).
Представление произвольно
поляризованного поля в виде
суперпозиции двух ортогонально линейно
поляризованных компонент является
вполне естественным, но не единственно
7.1.3. Поляризационная характеристика антенны

возможным. Среди других
употребительны представления в виде круговых
поляризаций с противоположными
направлениями вращения — гл гп.
Базисные орты этих двух представлений
связаны соотношениями [7.6]
Под фазовой диаграммой Ф(в, <р)
антенны понимают угловое
распределение фазы компонент поля излучения
[7.4, 7.5]. Вместо функции Ф{9, ср)
можно рассматривать эквифазные
поверхности поля излучения в пространстве
где Д0 — радиус сферы с центром в
центре системы координат,
используемой при расчете поля антенны в
дальней зоне; к = 2я"/А.
Если за вычетом скачков фазы,
равных 180°, при переходе в
амплитудной ДН от одного лепестка к
другому поверхность Ф(9, tp) представляет
собой сферу, то фазовый центром
антенны совпадает с центром этой сферы
(см. § 3.3). При случайном выборе
начала координат этого не будет,
поэтому о наличии фазового центра судят по
тому, можно ли его найти за счет пе-
Как правило, антенна
располагается над подстилающей поверхностью
(над поверхностью земли, корпуса
самолета и т.д.), влияние которой на
форму ДН следует учитывать. Рассмо-
is =-^=(гл-iin); iv = i —(гл + iin);
Отсюда видно, что линейно
поляризованное поле представимо в
виде двух равно амплитудных круговых
поляризаций с противоположными
направлениями вращения. Этот вывод
имеет большое практическое значение.
реноса начала координат.
Установлено, что это возможно лишь в тех
случаях, когда функция (считаем, что ось
0Z совмещена с полярной осью)
Ф(9, if) = k(xo sin в cos <p+
+уо sin В sin ip + zq cos в + а),
где к = 2тг/А; xq, уо, zq — координаты
начала координат, например в случае
линейных токов с симметричным
амплитудным и антисимметричным
фазовым распределением; а — константа.
В общем случае можно говорить
лишь о частичных фазовых центрах
для отдельных участков фазовой ДН
— локальных центрах кривизны
плоских сечений эквифазовой поверхности.
Следует отметить, что отсутствие
фазового центра существенно лишь в
небольшом числе случаев, например
для антенн фазовых пеленгаторов.
трим простейший случай плоской
подстилающей поверхности и ДН в
вертикальной плоскости, записывая зту
угломестную ДН в функции угла ф,
отсчитываемого от подстилающей плос-
7.1.4. Фазовая диаграмма антенны
7.1.5. Влияние плоской подстилающей поверхности
на диаграмму направлености антенны

Кости. Тогда участки ДН,
соответствующие ф > 0, минуют подстилающую
поверхность, а соответствующие ф < О,
наоборот, облучают ее и отражаются
с некоторым коэффициентом
отражения Л»,|/|(|^|)> зависящим как от угла
ф, так и от поляризации поля. Таким
образом, в каждом направлении ф > О
ДН будет представлять собой
суперпозицию двух лучей — прямого и
отраженного. Учитывая возможную
несимметрию ДН относительно направления
ф = 0 (в частности, за счет
возможного наклона ДН), а также разность фаз
при расположении антенны на высоте
h над подстилающей поверхностью,
запишем для суммарной угломестной ДН
выражение
F^J = Рв^{ф)ехр{1ккзтф)+
+Рв,1р{-ф)Гв,1р{ф)ехр{-[кк8тф).
В частности, при Р$]!р(ф) =
= Fe,v(-1>)\ Гв(ф) = 1 и ад) = -1
(т.е. при симметричной по ф ДН и
чисто металлической подстилающей
поверхности, а также земной поверхности
на достаточно длинных волнах) имеем
F$s) = 2\Fs(<p)\co8(kh8mil>);
F(s) _ 2^(^)1 sin(fc/ismV>)-
Таким образом, влияние
подстилающей поверхности приводит к
появлению интерференционных
множителей cos(fc/isin^>), sin(kh sin ф) и,
следовательно, «раздроблению» ДН на
ряд остронаправленных (при больших
/г/А) лепестков; при этом нулям при
вертикальной поляризации
соответствуют максимумы при
горизонтальной поляризации; вдоль земли
независимо от величины Л/А при
горизонтальной поляризации будет
устойчивый нуль.
Отметим следующее интересное
обстоятельство: для антенны с
линейной наклонной поляризацией {Fv
и Fg — чисто вещественны) при
отражении от поверхности
поляризация становится эллиптической.
Действительно, рассматривая вибратор,
наклоненный к поверхности
раздела в поперечной плоскости, найдем,
что суммарное поле с учетом
отражения от поверхности будет иметь две
компоненты: вертикальную ах£х(1+
+i?x exp(—i2khsin9) и горизонтальную
ацец(1 + Дц ехр(—i2khsm9), где ах, ац
—- амплитуды; ех, ец — векторы
поляризации двух компонент; Rx., Дц —
коэффициенты Френеля; в — угол
направления относительно Земли. Так
как Rx ф Лц, то между компонентами
возникает сдвиг фаз. Например, если
подстилающая поверхность —
металлическая, то Rx. = 1, Лц = —1 (по
вектору е) и при ах = ац получаем
два наклоненных под углом 45° к
Земле взаимно ортогональных вектора
(ех + ец) и (ех — ец) с фазовым
сдвигом exp(-i2fe/isin0).
Если ДН несимметрична
относительно подстилающей поверхности
{Р{-ф) = Р{ф)), а также при Г{ф) = 1
минимумы интерференционных
лепестков не доходят до нуля. При более
точных расчетах следует учитывать
кривизну земной поверхности, а также
временные и пространственные
флуктуации коэффициента отражения. В
результате на СВЧ отражение от
подстилающей поверхности уже не
может рассматриваться как чисто
зеркальное и появляется флуктуирующее
диффузное рассеяние, расчет которого
достаточно сложен.

7.1.6. ЭДС, ток и принимаемая мощность на входе
приемной антенны
Ток Ja и ЭДС £а на входе
приемной антенны [7.2] при падении на нее
плоской (по крайней мере в пределах
антенны) волны (Е, Н) находят при
помощи теоремы взаимности в виде (5.1),
причем выражение для Ja
соответствует обобщенному закону Ома.
Вводя векторы поляризации
первичного поля пе и антенны в
режиме передачи тпа, придадим выражению
(5.1) вид
£a=-|Ex||FXa|(nB0/Ja (7.5)
(различие выражений (5.1) и (7.5)
обусловлено тем, что в (7.5) т^е п.*
записаны каждый в системе координат сво-
Естественной характеристикой
приемной антенны является ее
эффективная поглощающая поверхность Аэф,
равная размеру площадки,
перпендикулярной направлению прихода
первичной волны, с которой приемная
антенна как бы собирает принимаемую
ею мощность. Таким образом, по
определению
4 РПР _ 2407Г
5ф~ |ReS| ~ |Ej.|2 пр~
Эффективность приемной
антенны определяется отношением
мощностей полезного принимаемого сигнала
и шумов на входе антенны. Различают
внутренние шумы, обусловленные
омическими потерями в антенне, и внеш-
ей антенны, что удобно при
практическом применении [7.4], тогда как в гл. 5
используется единая система
координат [7.1, 7.2]), а для принятой
мощности Рпр на входе приемной антенны
получим выражение (5.2)
где D(9.(f) — КНД антенны в режиме
передачи; £ = 1 — |ГН|2 ^ 1 —
коэффициент, характеризующий отдачу
антенной мощности в нагрузку на ее
клеммах; 1] — КПД приемного тракта; Гн —
коэффициент отражения от нагрузки.
= ^D(e,9)\(nEnl)\4v,
47Г
где S — вектор Пойнтинга первичной
волны.
При согласованной нагрузке (£=1)
и совпадающих поляризациях (пе —
= na, lOn-JS^a)!2 = 1) имеем
Лэф = \2D(e,cp)V/4ir = Х2С(в,ср)/4ж.
ние шумы, связанные с внешними
источниками, например, тепловым
излучением земной поверхности,
атмосферы и радиоизлучением внеземных
(космических) объектов.
Мощность шумов Ршя (Вт) ха-
7.1.7. Эффективная поглощающая поверхность
приемной антенны
7.1.8. Шумовая температура приемной антенны

рактеризуется эквивалентной
шумовой температурой Та:
Рш.а = kT^Af,
где к = 1,38 • 1(Г29 Вт/к-Гц —
постоянная Больцмана; Таб = Та.ф + Та£
— абсолютная температура, К; А/ —
полоса частотного диапазона антенны,
Гц; Та.ф — температура флуктуацион-
ных внутренних шумов антенны; Та£
— эквивалентная температура
внешних шумов.
Величина Та.ф определяется
формулой Найквиста; для нагрузки,
согласованной с антенной,
Та.ф = Т0(1 - I/),
где То = 288 К — стандартная
температура среды (равная +15° С); ?? —
КПД антенны.
Для определения Та£ вводят
понятие эквивалентной яркости шумовых
источников и соответствующие
угловые распределения яркостной
температуры Тя(в,<р) по небесной сфере. С
учетом направленных свойств
приемной антенны получим
TaS« j Tn(^)|F((?,^)|2dC!. (7.6)
(4jt)
Разбивая небесную сферу на М
участков, соответствующих
различным степеням яркости Тя; (г = 1,М),
запишем (7.5) в виде
TaS = ?7
м
(1-да.ГЛ+Х>гЯ1
= г}Тя
где Тя.гл — усредненная яркосная
температура в области главного лепестка;
T„i — то же в областях /;
/? = I \F(0,ip)\2cm/l |F((?,<^)|2<ffi;
0i= I |F(0,^)|2 Cl^l/ j \?(6,<p)\2d$l
(П.)
(47Г)
— полный и парциальный
коэффициенты, характеризующие доли
мощностей излучения антенны в режиме
передачи, приходящиеся на отдельные
участки и на всю зону побочных
лепестков, по отношению ко всей
излучаемой мощности; Г2ГЛ — угловая зона
главного лепестка; Г2; — угловые зоны
побочных лепестков. При этом доля
мощности, излучаемой в зоне главного
лепестка ДН, равняется (1 — /?).
Отношение сигнал/шум на входе
приемника
S _ Рс __ |ReS|A^?7 _
N ~ Рш.а + Рш.п ~ kAf(T^ + Тпр)
_ [ReSl А2 D
~ kAf 4^гТ0(1 - Ч) + ??ТЯ + Тпр '
где S — вектор Пойнтинга падающего
поля; Тпр — эквивалентная шумовая
температура приемника.
Если внешние шумы превосходят
внутренние, т.е. 1]ТЯ > Т0(1 - rj) + Тпр,
то S/N пропорционально И/Тя и не
зависит от КПД антенны и шумов
приемника. Это действительно имеет место
на длинных радиоволнах и объясняет
возможность использования малых
рамочных и проволочных антенн с
низким КПД. Низкое напряжение
полезного сигнала на выходе таких антенн
компенсируется увеличением КУ
приемника (например, применение мало-
шумящего предварительного
усилителя). Следует отметить также важную
роль направленности диаграммы
приемной антенны: полезный сигнал
приходит только с одного направления,
тогда как шумы — со всех, поэтому
сужение главного лепестка и
уменьшение УБЛ снижает суммарный шумовой
сигнал подчеркивая одновременно
полезный.

В больших антеннах
радиотелескопов, ориентированных главным
лепестком в небо, особенно важно
уменьшать задние лепестки, обращенные в
сторону Земли.
Для расчета линий радиосвязи
необходимо вычислить мощность Рпр
приемной антенны, в долях мощности
Р-£, излученной передающей. Введем
коэффициент связи двух антенн
р
_ гпр _
х ~~ PJT-
= Di(0i,fi)D2(02,f2)\(nin*2)\2^l2
(4тгЛ12/Л)2
Здесь £ — коэффициент
рассогласования.
Параметры £г,??2 относятся к
приемной антенне. При вычислении
Рпр/Рпер (Рпер — мощность передат-
чика) необходимо умножить % на £i??i.
Поляризационный коэффициент
связи Хп = \(nin2)\2 B зависимости от
того, какие поляризационные
параметры антенн-корреспондентов известны,
может быть записан в одном из
следующих видов:
cosj(q-1 - 0-2) - sin 2а sin 2/jsin2 - ■■■■ 3;
(7.7a)
l + [Pi|2lP2|2 +'2\pi\\p2\ cos(ji +y2)
(l + |pi|2)(l + |p2|2) ;
(7.76)
1 2mi?7Z2
2±(ГТпг?)(1+^|) +
(l-7772)(l-m2)
+ 2(l+m2)(l+m2)COS^; (7'7b)
В отличие от длинных радиоволн
в диапазоне СВЧ, как правило,
превалируют внутренние шумы, поэтому в
антеннах СВЧ необходимо добиваться
максимального КПД.
(l+?niTO2)2cos27/| + (n72+m2)sin"^i
(l + m2)(l + m2) " '
(7.7г)
Здесь а-2, 72 — поляризационные
параметры второй антенны (см. (7.4));
ф — угол между большими
полуосями поляризационных эллипсов
антенн. В выражении (7.7в) знаки
соответствуют одинаковым (+) и
противоположным (—) направлениям
вращения поляризаций антенн, причем
та^г > 0; в (7.7г) следует брать ??г < 0
для левовращающейся и т. > 0 —
для правовращающейея поляризаций;
Pi = tg cvi,P2 = tg Q'2.
Из (7.7) следует, что Xn max = 1
при >р = 0 и 777,1 = '>Щ> т.е.
совпадающих поляризационных эллипсах и
одинаковых направлениях вращения, а
Xn min = 0 имеет место при <р = 90°
и ?п 1 = —?77.2, т.е. взаимно
ортогональных эллипсах и противоположных
направлениях вращения. Таким образом,
при любой поляризационной
характеристике антенны существует такая
поляризация, что связь между
антеннами будет отсутствовать. В то же
время, если одна из поляризаций —
чисто круговая (mi — 1), а вторая —
линейная {т^ = 0), то независимо от
угла поворота линейной поляризации
Хп = 0,5.
Для исследования
поляризационной характеристики одной из антенн
7.2. Коэфидиенты связи и развязки двух антенн
7.2.1. Связь антенны с детерминированной
поляризацией

часто используют измерительную
антенну с поворачивающейся линейной
поляризацией, т.е. с ?пг = 0 и ф = ф(и).
Тогда
/ ч 1 1 — т? „ , / ч
,Yn = Xn{v) =-+ а cos2^(i/) =
2 2(1-|-raj)
cos2t/>(z/) + ml sin" ifi (i/)
= (1 + m?)
называют поляризационной
диаграммой антенны 1 для данного
направления 9, <р, где v — угол поворота.
Коэффициент связи будет максимальным
Хп max = 1/(1 + ГП\) При ф = О И МИ-
НИМаЛЬНЫМ Xn min = ml/(l + ml) ПРИ
^ = 90°, радиус-векторы этой кривой
Если антенна имеет два
независимых взаимно ортогональных (по
поляризации) входа, то при возбуждении
с этих входов некогерентными
сигналами ее поле излучения будет
содержать любые поляризации, т.е. будет
иметь недетерминированную или
хаотическую поляризацию (в оптике
такое излучение называют непо.ляризо-
еаниым) [7.7]. Поляризационный
коэффициент связи с такой антенной
(j. = 0,5, независимо от поляризации
антенны-корреспондента. В этом
случае для описиния состояния
поляризации требуются дополнительные
параметры. Обычно используют
параметры Стокса
Q = \Ev{t)r--\Ee№;
U = 2\Ee{t)\\Ev(t)\coB*ev(tY>
V = 2\Ee{t)\\Ev(t)\sm<bev(ty,
Q2 + U'2 + V2 = I2,
равны квадратам полуосей
поляризационного эллипса антенны 1, а их
отношение Хп min/Xn max = ГП2, Т.е. раВНО
квадрату коэффициента
эллиптичности. Если достаточно быстрое
вращение вспомогательной антенны 2 вокруг
своей оси совместить с более
медленным поворотом антенны 1 в какой-либо
плоскости, то получим обобщенную
характеристику направленности
антенны 1 в этой плоскости,
модулированную изменением ее уровня при т\ ф 1
(при т,\ = 1 модуляция отсутствует,
так как \п = const = 0,5). Однако
определить, каким наклонам антенны
2 на графике соответствуют
минимальные и максимальные уровни кривой,
затруднительно.
где Eg(t), Ev(t) — амплитуды
гармонических колебаний; Фв.Д£) — разность
фаз между компонентами; черта
сверху означает усреднение по времени.
Таким образом, параметр /
соответствует средней интенсивности поля,
параметр Q — разности средних ин-
тенсивностей компонент в и (р,
параметры U и V — взаимные
корреляционные функции этих компонент.
Компоненты в т/1 (р хаотически
поляризованного поля независимы и,
следовательно, некоррелированы, а
интенсивности их равны, поэтому для этого по-
ля U — V = Q — 0. Для случая
полностью детерминированной поляризации
I = Eg + Е^, = |Едет|-;
Q — |Едет |" cos 2v cos la;
U = [Едет!" cos 2vsin 2a;
V - |EMeT|2sm2t>,
где v — arctg m.
7.2.2. Связь антенн с недетерминированной или
частично детерминированной поляризациями

Поле с частично
недетерминированной поляризацией можно разбить
на две части:
с детерминированной
поляризацией и параметрами Q, U, V, /дет =
с хаотической поляризацией и
параметрами Q = U = V = 0; 1хаот =
= ^2 — ^дет-
Мощность в приемном тракте ан-
Если связь между антеннами
нежелательна., то вместо
коэффициента связи х употребляют обратную ему
величину — коэффициент развязки
А: раз = ~~ Х-
Необходимость в расчете
коэффициента развязки возникает при
электромагнитной совместимости (ЭМС)
радиоаппаратуры, а также в приемно-
передающих антенных системах
радиорелейных линий и т.п.
Запишем коэффициент развязки
(дБ) в виде
Храз = 22,6 + 6п — G\ max ~ Сг max-
-УБЛ1 - УБЛ2 + Я12 + А.
Здесь первый член — развязка двух
изотропных излучателей, разнесенных
на 1А; п соответствует записи
расстояния Ru = 2"; УБЛ^г — уровни
боковых лепестков ДН в направлении друг
на друга; /i12 — поляризационный
коэффициент.
При //12 = 0 теоретически можно
Излучающую поверхность любой
антенны можно представить в виде
простейших — элементарных — из-
тенны, находящейся в поле с частично
недетерминированной поляризацией,
Р„р = АЭф|8|[С/* + 0,5(1-О].
где S = [Ee(t)E*e(t) + Ev(t)E*v(t)]/2Z0
— вектор Пойнтинга; С = ^дет/^2 —
коэффициент степени
детерминированности поляризации.
обеспечить полную развязку антенн.
Однако практически это
неосуществимо, так как управлять поляризацией в
области боковых лепестков (особенно
удаленных) невозможно, так как она
определяется, в том числе, и
случайным факторами.
Получить большую развязку при
повышении п в условиях размещения
антенн на одном объекте тоже
нереально, например, при возрастании п от 20
до 21 развязка увеличивается всего на
4,5 %. В этих случаях необходимо
использовать дополнительные факторы:
взаимное экранирование (не в ущерб
основной ДН), развязывающие
структуры, компенсационные схемы и
другие, эффект которых учитывается
коэффициентом х- Возможности
повышения развязки ограничивают также
отражение и рассеяние радиоволн не-
однородностями атмосферы, а для
наземных систем — и элементами
рельефа местности и т.п.
лучателей, размеры которых много
меньше длины волны [7.1, 7.4].
Общим для всех этих излучателей явля-
7.2.3. Коэффициент развязки антенн
7.3. Элементарные излучатели

ется возможность пренебречь
запаздыванием по фазе излучения их
частей, т.е. положить в (1.36) для ДН
exp(ifc/5 cos и) яа 1. Тогда ДН будет
определяться просто проекциями рас-
Электрические диполи —
линейные проводники — симметричные при
возбуждении в центре,
несимметричные при возбуждении у основания и
расположении вертикально к земной
поверхности. К антеннам
последнего типа относятся длинноволновые
антенны-мачты, так как несмотря на
значительную высоту, доходящую до
сотни и более метров, в долях А их
размеры незначительны. Равномерность
распределения тока вдоль
несимметричного диполя обеспечивалась при
помощи емкостной нагрузки в виде
сети горизонтальных проводов,
подключенных на его верхнем конце. В
сферической системе координат, полярная
ось которой совмещена с осью
диполя, согласно сказанному выше, ДН по
мощности будет равна sirr#.
Коэффициент направленного
действия симметричного диполя
7Г
D = 4tt/(2w sin3ede) = -.
о
Для симметричного магнитного
диполя, используя принцип
перестановочной двойственности уравнений
Максвелла, найдем, что амплитудная
ДН и КНД такие же как и у
электрического диполя, но поле излучения имеет
пределения тока на направление,
поперечное к направлению излучения.
Распределение тока вдоль элементарных
излучателей обычно принимают
равномерным.
Так как для такого диполя Fj_ =
= Fgie; Fe — II sin в; F^ = 0 (I -
амплитуда тока в диполе; 1 - его длина),
то поле излучения будет иметь
компоненты Eg, Hv и мощность излучения
л^а/1*1'* = §*,(£)'.
(4т)
Сопротивление излучения i?s =
= 2Ps/|i"|2 (Ом) выразим формулой
Рюденберга:
(для воздуха Zq = 120тг Ом).
Для несимметричного диполя
высотой h формула Рюденберга
принимает вид
Дз = 160тг(Л/А)2,
где / = 2/г; Pv; вычисляют
интегрированием по полусфере.
компоненты Ev, Hg\ проводимость
излучения (Ом)
s ~iZa\x) ~ 180 I. А )
(последний член выражения при
расположении в воздухе), где /;, — длина
7.3.1. Элементарные электрические излучатели —
диполи
7.3.2. Элементарные магнитные диполи

диполя. При равных длинах диполей,
расположенных в свободном
пространстве, найдем
Gs = Rhzo2- (7-9)
Одним из вариантов практической
реализации магнитного диполя
является щель, прорезанная в плоском
бесконечном металлическом экране.
Однако, хотя силовые линии
электрического поля по координате <р и
образуют замкнутую окружность, но
направления Е^ по обе стороны экрана
противоположны. Поэтому при конечном
экране за его пределами в
азимутальной ДН щелевого излучателя
возникает нуль в плоскости экрана,
отсутствующий в диаграмме диполя в свободном
пространстве.
Согласно принципу
двойственности напряжение между краями щели
и полный ток в ленточном излучателе
связаны соотношением Iе = 2Uux/Zo.
Приравнивая мощности, излучаемые
этими излучателями в
полупространство, 0,5Д?,|/е|2 = 0,5С£|?УЩ|2 и
используя связь между Iе и £/щ, найдем
также связь «односторонних»
(излучение в полупространство) проводимости
излучения щели G^ и сопротивления
излучения вибратора Щ, в виде
Gg = (2/Z0)2Rh,
или
_ Д|, щ _ (60тг)2
s " (60тг)2' Ks - Щ
при Z0 = 1207Г Ом.
Так как у симметричного
полуволнового вибратора одностороннее
Щ, и 36 Ом, то Щ « 1000 Ом. Если
же щелевой излучатель двусторонний,
то его проводимость излучения
удваивается и Щ, т 500 Ом. Эти выкладки
подтверждаются на практике.
Другим эквивалентом магнитного
диполя является кольцевой
электрический излучатель малого (в долях А)
диаметра а с равномерно и синфазно
распределенным током Ц — так
называемая рамка. Размещая рамку в
плоскости 9 = 90° сферической
системы координат с центром в центре
рамки, найдем из (1.30)
Fe = 0; (vv)^ »
« aZoI / [1 + ika sin в cos(tp — tp')] x
о
x cos(<^ — <p') dip' = ikira1 sin в
(вследствие осесимметричной
конфигурации рамки ip = 0).
Таким образом, поле рамки имеет
те же компоненты Ev,Hg, что и
магнитный диполь.
Сопротивление излучения рамки
Щ. = 2Ps/|/p|2 или после некоторого
преобразования получаем
Щ, = 8tt3Z0s2/3A4,
для рамки в воздухе
Л| = 320tV/A4.
Так как (s/A2)2 на два порядка
меньше, чем (2а/А)2, то
сопротивление излучения рамки много меньше,
чем у электрического диполя при
равенстве их моментов, вследствие чего
рамка как антенна менее эффективна
по сравнению с линейным вибратором.

7.3.3. Элементарный излучатель Гюйгенса
Элементарный излучатель
Гюйгенса представляет собой элемент
плоской волны. Вводя эквивалентные
поверхностные токи — электрический
К = [пН] и магнитный К1" = [тпЕ]
(тп — вектор внешней, по отношению
к пространству, нормали к плоскости
элемента), найдем, что элемент
Гюйгенса можно рассматривать как два
взаимно перпендикулярных диполя —
электрический и магнитный.
Располагая элемент Гюйгенса в
плоскости X0Y, ориентируя
электрический диполь по оси ОЛ", магнитный
— по оси ОУ" и суммируя проекции
полей диполей на направления %д и iv,
запишем поле элемента Гюйгенса (в
дальней зоне) в виде
Е0(9,^) = ^i^(Z0Г cos 9 + Р)х
exp(-ikR)
R '
х cos (p
Ev(9,<p) = -i—(Z0Ie +Pcos0)x
x sin 9?
exp(—ikR)
R '
В направлениях 9 = 0 и 9 = ж,
т.е. по нормали к элементу,
г-, ,п Л\ Л^11л .exp(-ikR)
Ев(0,0) = -г—(1 + т)-П^—2-
Ев(ж,0) = -1 2д-(1 - т) д- ,
где m = Z0Ie/Ili.
Так как в элементе плоской волны
т = 1, то в направлении 9 = 0 (вперед)
поле удваивается, а в направлении
в = ж (назад) обращается в нуль. При
этом нормированные амплитудные ДН
будут:
по компонентам поля
Fg = 0,5 cos 95(1 + cos9);
Fv = O,5siny?(l + cos0);
по суммарной мощности
P{9) = Fg2 + F2 = 0,25(1 + cos0)2.
График Р(9) представляет собой
кардиоиду с одним нулем (при в = ж) и
КНД D = 3. Фаза поля во всех
направлениях 9 и (р постоянна и равна 7г/2
для обеих компонент, так что
суммарное поле линейно поляризовано и
имеет фазовый центр в начале координат.
7.3.4. Элементарный турникетный излучатель
Элементарный турникетный
излучатель представляет собой два
компланарных взаимно ортогональных
одинаковых диполя, возбуждаемых со
сдвигом фаз 90°. При расположении
диполей по осям ОХ и ОУ". суммарное
поле будет иметь вид
7 I
Eg = -i-jr (4 cos p + Iy sin ip) x
x cos 9
exp(—ikR)
R '
,-, -ZoI,t ■ t .exp(-ikR)
Ev =1—(4 sin <p-Iy cos tp) ,
где Ix, Iy — составляющие тока.
Если Iy = — Ну (что соответствует
правовращающейся поляризации), то
Eg = —icos9Aexp(—iip);
Ev = -Aexp(-i<p); A = Z0IJ/(2X).
Таким образом, поле имеет пра-
вовращающуюся в направлении 9 = 0

и левовращающуюся в
направлении в = ж круговую поляризацию, в
остальных направлениях поле будет
эллиптически поляризовано за
исключением плоскости в = 7г/2, где
поляризация чисто горизонтальная
{Fg = 0). Диаграмма полной
мощности Рп(в) = Fg + Fl = (1 + cos в) не
имеет нулей вообще, в направлении
оси ее КПД = 1,5, а в
экваториальной плоскости КПД = 0,75.
Фазовая диаграмма определяется
функцией exp[^i(7r</?)], т.е. представляет собой
На практике встречаются случаи,
когда взаимные ориентации антенн
линии связи не являются жестко
фиксированными, а могут изменяться в
процессе связи. Если закон этих
изменений неизвестен, то приходится считать
его случайным, а значение
коэффициента связи — вероятностным [7.8-7.12,
7.19, 7.20]. Если к тому же
перерывы в связи нежелательны (это
особенно важно при связи с
искусственными спутниками Земли и
космическими аппаратами), то необходимо
рассчитать превышения коэффициента
связи относительно некоторого
порогового уровня, при котором обеспечивается
связь.
Близкая проблема возникает и в
тех случаях, когда направление
линии связи не фиксировано, а связь
осуществляется вследствие конечной
ширины ДН антенн, например в
приемной аппаратуре, предназначенной для
обнаружения сигналов, приходящих с
различных направлений. Наконец,
даже в самой простой линии связи
следует учитывать вероятность изменения
сигнала связи из-за неточной взаимной
архимедову спираль г = (-zr + <р),
фазовый центр у которой отсутствует.
Такое поле называют спиралънофазовым.
Близкие характеристики имеет
антенна, выполненная в виде кольца с
параметром 1А и бегущей волной тока.
Действительно, ее можно рассматривать
как систему малых турникетных
излучателей, образованных
элементарными участками кольца и отстоящими от
них по кольцу на А/4, возбуждаемых с
относительными сдвигами фаз,
равными 7г/2.
ориентации антенн, особенно при
наличии в их ДН достаточно частых и
глубоких провалов (случай, часто
встречающийся на практике у самолетных
антенн с достаточно широкими ДН).
Если значения G\ и гц
фиксированы, а случайным образом
изменяются лишь G? и пэ (что чаще и
бывает), то расчитывают кривые
распределения вероятности коэффициента
связи X — x(G2,n2).
" Кривые строят путем подсчета
долей рассматриваемого углового
сектора, в которых х превышает различные
уровни х — Хо в интервале изменений
в, ip, у, где у — параметры
поляризационного эллипса приемной
антенны. Эти величины можно определить
как расчетами, так и
экспериментальным методом статистических
испытаний, используя таблицы случайных
чисел. При постоянстве по это не
представляет трудности.
Сложнее обстоит дело, если
необходимо учитывать и случайные
изменения коэффициента по, ведь как
было показано выше, если п^ может
принимать любые значения, то среди
7.4. Вероятностный коэффициент связи антенн,
ориентированных относительно друг друга
случайным образом

них будут и такие, когда n,2 JL rii,
а это значит, что \ = 0 и связь бу-
дет отсутствовать. Таким образом,
нельзя обеспечить 100 %-нуго
вероятность связи, независимо от значения
порогового уровня. Этот вывод
формулируется в виде следующей
теоремы: «если амплитудная ДН не имеет
нулей, то поляризация излучения
зависит от направления и в полном
телесном угле 47г обязательно найдется
хотя бы одно направление, в котором
коэффициент эллиптичности
принимает любое наперед заданное значение»
(т.е. и такое, когда по J- rii). Из
этой теоремы следует, что хотя
близкую к изотропной ДН полной
мощности реализовать возможно
(например, турникетные излучатели), но
поляризационную изотропность
обеспечить невозможно и речь может
идти лишь об оптимальном подборе пар
антенн-корреспондентов, при котором
обеспечивается максимальная
вероятность коэффициента связи. Так, для
двух диполей Xd = 1 - i/^срАюр, где
Рср = 0,67 — средний уровень ДН поля
(по мощности); Dnop — пороговый
уровень КНД. По этой формуле ^ = 0, 8
при Dnop = 0,06; х = °.59 при Dnop =
= 0,25; х = 0,43 при Dnop = 0,5; х = 0
при Dnop = Дпах = 1,5 (рис. 7.1,
кривая 1 — линейная поляризация у обеих
антенн).
В случае связи с турникетной
антенной круговой поляризации, для
которой Рср = 1,33 и Xd = \Д - -Рср-Опор,
имеем х = 0,82 при Dnop = 0,25;
X = 0,56 при -Dnop = 0,5; х — 0 ПРИ
-Опор = Апах = 0,75 (кривая 2 — у
одной антенны линейная поляризация, у
другой — круговая).
Если же обе антенны —
турникетные с одинаковым направлением
вращения поляризации, то х ~ 0,80 при
= 0,5, a Dmax = 1,5 (кривая 3).
0 0,25 0,50 0,751,001,251,50 £>эф
Рис. 7.1
Таким образом, последний
вариант сочетания антенн-корреспондентов
самый выгодный. Однако
обеспечить коэффициент связи х> близкий
к 100 %-ной вероятности, вполне
возможно, для этого, например, следует
использовать наземную антенну с
раздельным приемом двух ортогонально-
поляризованных компонент поля,
тогда бортовая антенна должна будет
иметь безнулевую диаграмму
мощности при любой поляризации, далее
изменяющейся по ДН.
7.5. Приближенные расчетные формулы поля
излучения апертурных антенн
Для расчета полей излучений
апертурных антенн на практике
применяют упрощенный метод,
сочетающий приближенный принцип
Гюйгенса-Кирхгофа с принципом
эквивалентности [7.1, 7.2]. Согласно первому,
поле в апертуре принимается таким же,
каким оно будет в невозмущенной
конструкции, на базе которой создана
антенна. Принцип же эквивалентности

заключается в замене касательных к
поверхности апертуры компонент
векторов Е и Н эквивалентными им
поверхностными электрическим К и
магнитным К'1 токами:
К = [п,Н]; К" = [пЕ],
где 11 — нормаль к поверхности
апертуры, внешняя по отношению к
пространству, в котором вычисляется
поле (в выражениях гл. 1 используется
нормаль противоположного
направления) .
Расчет полей излучения при этом
производится по формулам (1.36):
Е = ^exv{-ikR){Z0[iR\FiR]] +
+[F4R]};
H = Z0"1[ifiE]; (7.11)
F = / [nH] exp(ikp cos v) ds;
F*1 =
/nE] exp(ikp cos v) ds;
Zo = \//Uo/£o-
Расчеты упрощаются, если Е^ и
Нг в апертуре связаны импедансным
соотношением
Еъ = a[ibHT],
где а — коэффициент, в общем случае
изменяющийся по апертуре.
Если апертура совпадает с
поверхностью фазового фронта волны,
падающей на апертуру, то а постоянен
и равен импедансу волны в
направлении (—тъ).
Подставляя в (7.11) значения F,
F'' и Ег, получаем
^ . ехр(—ikR)
Е = 1 , „ 'X
2АЯ
гд
п, —
Zq%r
Е7
х exp(ikpcoav) ds;
cos и = cos9 сов в' +sin 9 sin 9' cos((p—<p'),
где г r — единичный орт радиус-
вектора R точки наблюдения; р —
радиус-вектор точки апертуры; 9, (р
и в', f1 — угловые координаты точки
наблюдения и апертуры.
Если апертура плоская, то п =
= const, a = const и
Е
. ехр(—ikR).
1 2АД %R
п —
Zo'lR
N
N= / Ev exp(ik p cos v)ds.
Если ввести в апертуре
криволинейную систему координат гх, %2, г =
= —п,, а в пространстве —
сферическую гя, %в, г,р, то Е в координатной
записи принимает вид
.ехр(—ikR)
Ее = i-
2ЛД
Ei
гг'Ч
+ М^е){_Е2
Ev —
iiM -
^о(гггв)
х exp(ife/ocosu) ds;
.ехр(—ikR)
+
•^o(ii'i^)
2ЛД
— Е2
Ei
(i-iie) -
(•12*«) +
■Zo(i2v)
x expiikpcos v) ds. (7-12)
Наибольший практический
интерес представляют следующие частные
случаи.
1. Плоская апертура в плоскости
X0Y декартовой системы координат с
осью QZ в центре апертуры и
сферическая система координат в пространстве
R, в, <р с полярной осью, совпадающей
с осью 0Z, угол ip отсчитывается от оси
ОХ к оси 0Y (рис. 7.2). При этом
(гзг^) = (iyiv) - cosip;
(iiie) = (гхъв) = cos 0 cos ^>;
(iiV) = (ix-v) = -sin^;
(гг'м) = (iyifl) = cosflsin^;
p cos v = x sin 9 cos <p + y sin в sin <p+
+ z cos tp.

p{r,e,v)
Рис. 7.2
С учетом последних выражений
(7.12) принимают вид
.exp(-ikR) ( Z0
2aR \ a
cost/ x
x (Nx cos <p + Ny sin w);
E, = i2M(co«e + f)x
x(TVa; sin<p — TVj, cos <p);
N= F,0 exp(ikp cos v)ds.
2. Плоская апертура в плоскости
ХОУ декартовой системы координат с
осью QZ в центре апертуры и
сферическая система координат в пространстве
R, в, <р с полярной осью, совпадающей
с осью 0Y (рис. 7.3). После
циклической перестановки получаем
(hip) = (Ъ'Ц) = 0;
(iiij) = (isifl) = cos6>sin</?;
(iiV) = (■»»*¥>) = cos ip;
(i2ie) = (iyie) = -sin 6»;
p cos v = у cos # + г sin 8 cos ^+
+ a; sin в sin <p.
Угол <р отсчитывается от оси 0Z в
плоскости апертуры X0Z.
Подставляя последние
соотношения в (7.12), получаем
.exp(-i£i?) \Z0
Ее =1 WVb— —cosesm<pNx-
2XR I a
Рис. 7.3
— I cos <p -\ sin 9) Ny ;
ехр(-1*Я)г/
^_1' 2АД llSm^+
H cos <p ] TVa; + cos # sin <pNy .
3. Цилиндрическая апертура с
цилиндрической системой координат <р',
z, r в апертуре и сферической Я, в,
у> в пространстве, ось QZ совпадает с
полярной осью сферической системы,
углы <р и <р' отсчитываются от оси ОХ в
сторону оси 0Y в плоскости X0Y. При
этом
(i-2v) = (izi<p) = 0;
(iiifl) = (v*«) = cos6»sin(</? - ¥>')!
(i-iv) = (vv) = cos(^ - v?');
(i2i9) = (i^ie) = -sin 5;
p cos v = p cos 5' cos # + p sin 5' sin 8 x
x cos(<p—<p) = г cos#+r sin$cos(<p—9?').
4. Сферическая апертура со
сферической системой координат в', <р',
R' = а в апертуре
(i2v) = (VV) = cos(^' - <р)
(iii9) = (i9'«'e) =
= sin 0 sin в' + cos 5 cos в' cos(<p — <p');
(i2ie) = (vie) = sin(cp' - <p);
(iiV) = (*»'*¥>) = cosd' sm{(p' - <p);
p cos v =
= a(cos в cos 5' + sin 9 sin 5' cos(9o' — </?)).

7.6. Коэффициент направленного действия,
коэффициент использования поверхности
и эффективная поверхность апертурных антенн
Определение КНД антенн по (7.3)
осложняется необходимостью
вычислять полную излучаемую мощность
путем интегрирования Р(в,<р) по углам
в, if. Даже для простых линейных
антенн, когда это интегрирование
выполнялось, окончательные выражения
были довольно громоздки. В то же
время, для апертурных антенн расчет
Ps может быть существенно упрощен
при нахождении потока мощности
излучаемого поля через апертуру
антенны [7.1, 7.2]. Задавая апертурное
распределение в духе принципа Гюйгенса-
Кирхгофа и полагая справедливым
соотношение Ег, найдем
Ps = i f -\ET\2ds,
2 J a
w
где А — площадь апертуры.
В частном случае а = Z0 и при
синфазном возбуждении апертуры для
направления нормали к апертуре
I / E,dS|2
(А)
При равномерном синфазном
возбуждении |ЕГ| = const и
Do — Апах — 4пАгеом/\ .
Нетрудно показать, что при
неравномерном амплитудном распределении
Do < Armx, поэтому последнее
выражение можно видоизменить, вводя в
него коэффициент использования
поверхности (КИП) апертуры q ^ 1:
п -— л - 4?г л
Таким образом, максимальный
КНД апертурной антенны
обеспечивается при равномерном синфазном
распределении (сверхнаправленные
распределения, для которых g > 1,
исключаются). При постоянном
амплитудном и линейном фазовом
распределениях
q = cos £max,
где $max — отклонение максимума ДН
от нормали к апертуре.
Выражение q приближенно верно
при углах 9max ^ 45°.
Эффективная поверхность апертурной антенны
в режиме передачи тождественна ее
эффективной поглощающей
поверхности в режиме приема, а связь этих
величин с КНД выражается одной и
той же формулой. Отсюда можно
сделать вывод, что любым антеннам (а не
только апертурным) можно
приписывать некоторую эквивалентную апер-
ТУРУ> определяя ее таким же
соотношением
Аэф = A2D0/47r,
или с учетом КПД
А>ф = А2С0/4тг.
Так, эффективная поверхность
диполя, у которого Do = 1,5, составит
ЗА2 /А\2
АэФ=2 4^*Чз; •
Введенная эффективная
поверхность характеризует полную
излучаемую антенной мощность. Очевидно,
можно вводить эффективные
поверхности А5ф по отдельным
поляризациям, а также учитывать
рассогласование антенны с нагрузкой.

7.7. Рассеяние э.нхенн
Антенны, как и любые тела,
рассеивают падающее на них
электромагнитное поле. Это рассеяние
нежелательно, так как его уровень может
быть достаточно велик и
способствует радиолокационному обнаружению
объектов, на которых антенны
размещены. Полностью устранить
рассеяние антенны невозможно, так как
если антенна не рассеивает, то она и
не принимает электромагнитную
энергию, т.е. не выполняет свою
основную задачу. В этом нетрудно
убедится, применяя к суммарному полю
Е = Е° + Ерас, Н = Н° + НРас (Е°, Н°
— первичное, а Ерас, Нрас —
рассеянное поля) теорему Пойнтинга,
записанную для области, ограниченной
снаружи замкнутой поверхностью s,
не включающей источники первичного
поля, но окружающую антенну, [7.13]:
Re i 1{{Е° + Ерас)(Н° + Нрас)*] ds =
где -Рпогл — мощность, поглощаемая
приемной антенной.
Полагая Ерас= Нрас= 0, получаем
Re^i[E°H°*}ds=PnQTJ1,
но поскольку внутри s источников
поля Е°, Н° нет, то интеграл в левой
части выражения равен нулю и РПогл = 0.
Рассеяние антенн так же, как
и других тел, характеризуется [7.32,
7.33]:
1) однопозиционной
(моностатической) интегральной поверхностью
<Тъ(в,р) = Рх(в,<р)/\Ке8(в,<р)\,
равной отношению всей рассеянной
антенной мощности Ps($, <p) к плотности
потока мощности ReS(d,<p),
переносимой плоской волной, облучающей
антенну с направления в, <р;
2) двухпозиционной (бистатиче-
екой) дифференциальной
поверхностью
ал(в.,9;в'^') =
Рт{9^;9',9')
(l/4T)|ReS(0,y>)|
= 4жРг(в,^;9',^)
\ReS(e,<p)\ '
равной отношению мощности,
рассеиваемой антенной в направлении в', <р'
при облучении с направления 9, <р, к
мощности, рассеиваемой в единицу
телесного угла гипотетическим
изотропным рассеивателем, облучаемым такой
же первичной волной;
3) КНД двухпозиционной
диаграммы рассеяния
Dr(0, <р; в',<р') = 4тгРг/Р2 = <гд/(Г2.
Наибольший практический
интерес представляют дифференциальные
поверхности сгт — теневого (по
направлению первичной волны) и сг0бр —
обратного или радиолокационного
(навстречу первичной волне) рассеяния.
Графики функций os(9sp) и <тя(9',р')
при д' — const, <p' = const называют
диаграммалт, а (тл(в, ср) при 9 = const,
ip = const — индикатрисами
рассеивания.
Поляризации рассеянного и
первичного полей, как правило,
различны. Связь между ними
описывается при помощи девятикомпонентных (в
общем случае) матриц рассеяния,
различных для каждого направления
рассеяния.
Для обратного рассеяния эти
матрицы четырехкомпонентны (2-го
ранга). Приводя их к диагональному
виду, можно найти поляризации,
сохраняющиеся при рассеянии. Обозначая

через (Tik дифференциальные
поперечники рассеяния волны с поляризацией
г при облучении тела волной с
поляризацией к, имеем для обратного
рассеяния независимо от
поляризационного базиса соотношения ац, = Vki —
как следствие теоремы взаимности и
2
Y, О-ц- = (7ц + СГ22 + 2(7! 2 = COnst —
г,к = 1
как следствие независимости
рассеянной мощности от выбора
поляризационного базиса.
Отметим некоторые вырожденные
случаи: например, ац ф 0, Oil —
— (7i2 = 0 при рассеянии
прямолинейным проводом (индекс 1
соответствует поляризации параллельной оси
провода, а 2 — перпендикулярной) или
oil = ""22 = 0, 0*12 Ф 0 при отражении
плоской волны от металлической
плоскости для нормального падения,
описываемого в базисе круговых
поляризаций.
Для оценки интегральной ЭПР
можно использовать оптическую
теорему [7.22, 7.23]
'рас + -Гпогл = *B3i v'-^"J
где Ррас — мощность, рассеиваемая
наружу;
= 7Г- Re I {[Е°Нрас*] + [ЕрасН0*]} dQ
2тг ./
— взаимная мощность первичного
и рассеянного полей, причем
интегрирование происходит по
поверхности, окружающей рассеиватель, но не
включающей источники поля.
Нормируя уравнение (7.10) к
| Re S|, приведем оптическую теорему
к виду
&S + <тпогл =
где ( — — Im(e*p(i%)); e, p —
единичные поляризационные векторы
первичного и рассеянного полей; п — единичт
ный вектор направления
распространения первичной волны (т.е.
«теневого» направления); а = A2(2D''(n)/(47r)
— параметр, который при чисто
мнимой ( равняется эффективной
поверхности антенны с КНД £>рас(«,).
Решение последнего уравнения
(0-s)i,2/<r = [1 =F \/l ~ o-s/сг]2
имеет два корня, предельные
значения КОТОрЫХ (7s, = (7£, = <Т, (T£i = О,
(7е, = 4(7 при площади поглощения
Спогл = с (оптимально нагруженная
антенна) и <тпогл = 0 (короткозамкну-
тая антенна).
Укажем, что при <7погл —► О
и о-погл/о- < 1 имеем crsjcr
и 0,25(7ПОгл/"' *С 1, т.е. (7Ej
уменьшается быстрее (7ПОгл, так что можно
снижать (7Ej при менее существенном
снижении <7П01.Л антенны. Это не
противоречит выводу, что возможна
частичная взаимная компенсация двух
компонент поля рассеяния приемной
антенны. Возможны следующие
варианты такого представления поля:
1) в виде суперпозиции поля,
рассеянного короткозамкнутой антенной,
и поля излучения антенной с ЭДС,
равной (—IqZh), где 10 — ток на коротко-
замкнутых клеммах; ZH —
сопротивление нагрузки антенны (например,
приемника);
2) в виде суперпозиции поля,
рассеянного антенной при согласованной
нагрузке, и поля излучения антенны,
обусловленного отражением от
нагрузки ZH.
Если у антенны ДН рассеяния и
излучения в режиме передачи
совпадают как по амплитуде, так и по
поляризации, то за счет подбора
комплексной нагрузки ZH можно в той

или иной степени осуществить
частичную компенсацию рассеяния.
Антенны такого типа называют
каноническими минимально рассеивающими,
например линейный вибратор,
компенсация рассеяния у которого возможна
при Z„ —-*■ оо. Отметим, что <ts
вибратора при Zs ^ Z„ < оо ведет себя как
its,, тогда как при 0 ^ ZH ^ Z-£
значение <rs соответствует а^п. Здесь Zs —
сопротивление излучения,
согласованного с нагрузкой вибратора.
У апертурных антенн,
упомянутых выше, две компоненты
рассеянного поля в пространстве никогда не
перекрываются (их главные
лепестки ориентированны в
противоположные стороны), поэтому такая
взаимная компенсация в принципе
невозможна, корень asl у них отсутствует
и (Ts соответствует <те,. В то же
время у такой антенны диаграмма
рассеяния при КЗ — двухлепестковая
(существуют как «обратный», так и
«теневой» лепестки), тогда как при
оптимальном согласовании диаграмма
рассеяния — однолепестковая
(существует только «теневой» лепесток),
поэтому Dpac(ix) в первом случае в 2
раза ниже, чем во втором, и
максимальная интегральная эффективная
площадь рассеяния (ЭПР) лишь в 2 раза
(а не в четыре) выше «теневого»
поперечника sjl. При оптимальном
согласовании по-прежнему erg = sj_.
Таким образом, для апертурных
антенн
sj_ < о-£ ^ 2sj_; <те = 2sj_ - гтпогл.
(7.14)
Под «теневым» поперечником s±
любого выпуклого тела понимается
площадка, контур которой
представляет линию, соединяющую точки
касания тела (антенны) параллельным
пучком лучей первичного поля. Для
реальных апертурных антенн при
согласованной нагрузке еТпогл —- огл —
= зЛ-еом = <ZS.l; 0 < q < 1, а при
наличии отражений от нагрузки с
коэффициентом отражения Г (по полю)
О-погл = 9(1 - |-T|2)S-L.
Перепишем (7.14) в виде
o-s, = s± + [l-q(l-\r\2)}s±,
где первое слагаемое соответствует
рассеянию в «теневую», а второе —
в обратную полусферы.
Это выражение справедливо при
облучении с любого направления,
поэтому КИП q = q(0,<p) следует
рассматривать как обобщенную функцию,
учитывающую и ДН антенны, в
отличие от антенн, работающих в режиме
передачи, когда КИП является
константой, зависящей лишь от
распределения поля в апертуре,
обусловленного возбуждением ее основной модой
фидерного тракта.
Приведенные соотношения для
УЭПР апертурных антенн могут быть
получены и в результате расчета
рассеяния на выпуклых телах в
приближении Кирхгофа. Напомним, что в
приближении Кирхгофа на освещенной
поверхности, если она идеально
проводящая, полагают Ег = 0, Hr = 2HJ,
если же она идеально поглощающая
(черная), то Et = Е°, EL = Н?; на
теневой поверхности в обоих случаях
полагают Ег = H-j = 0.
На практике важно оценивать и
дифференциальное рассеяние,
особенно в обратную полусферу. У
проволочных антенн рассеяние всегда есть,
ибо вызывается токами в их проводах.
Как указывалось выше, компенсация
этого рассеяния связана с
уменьшением (Тпогл вплоть до полного
прекращения приема сигналов. Антенны чисто
круговой поляризации (например,
спиральные и турникетные) при
облучении их полем линейной поляризации,
сохраняют все свойства, в том числе

и компенсационные, антенн линейной
поляризации. В то же время, при
облучении их полем круговой
поляризации, поле обратного рассеяния этих
антенн, полностью согласованных по
обоим концам (в случае спирали), будет
иметь поляризацию, обратную
направлению вращения поля, излученного
в режиме передачи, поэтому взаимная
компенсация этих компонент не
возможна; как и в случае опертурных
антенн сг2|(Гпорл=о = 2(Т2|сг„огл=оР1.
Дифференциальная поверхность
рассеяния апертурных антенн в
«обратную» полусферу может быть
приближенно оценена по их
характеристикам в режиме передачи. Наиболее
наглядно это видно на примере рупорных
антенн.
Действительно, поле первичной
волны падающей на апертуру,
можно разложить в ряд по собственным
модам апертуры. При этом только
та компонента этого разложения,
которая соответствует основной
распространяющейся моде фидера, проходит
внутрь него, либо полностью
поглощается нагрузкой (при Г — 0), либо
частично отражается от нее (при Г ф 0).
Отраженная мощность возвращается
обратно в апертуру, и
переизлучается из нее, как и в режиме передачи.
Очевидно, эта мощность соответствует
<rs = (т'отр = qsL\r\2. В то же
время высшие апертурные моды, которым
соответствует <те = сотр = (1 — q)sL,
в тракт пройти не могут и полностью
отражаются (в разных сечениях
рупора) . Каждой такой моде соответствует
апертурное распределение, более или
менее многолепестковое,
соответственно и их диаграммы рассеяния будут в
той или иной степени
многолепестковыми, тогда как рассеяние доли
мощности основной моды, отраженной
нагрузкой, происходит в диаграмме
рассеяния вида ДН антенны, работающей
в режиме передачи (точнее, как
показано ниже, в виде квадрата этой
диаграммы) .
В то же время полная диаграмма
рассеяния антенны с короткозамкну-
той нагрузкой не совпадает с
диаграммой рассеяния равновеликой
апертуры металлической пластины.
Например, при нормальном падении энергии
эта пластина отражает синфазно,
тогда как отражение мод апертуры,
имеющее место в разных сечениях рупора,
несинфазно и полный
дифференциальный поперечник обратного рассеяния
короткозамкнутого рупора ниже на 4-
б дБ, чем пластины. При
приближенной оценке обратного рассеяния
короткозамкнутого рупора в случае
возбуждения его по оси можно ограничиться
лишь рассеянием по основной моде
ад = а'д(в, <р; в1, <р') - q(0, <p)sL x
где D{9', <р') — КНД антенны в режиме
передачи.
Если \Г\ < 1, но не очень мало
(порядка 0,7.. .0,8), можно записать
<т'д(в,<Р;в',<рГ) = Аэф(е,<р)0(е',<р,)\Г\2,
в «обратном» направлении
^'обр(в, <р) = А^{в, <p)D(6, ^)|Г|2.
Используя соотношения из § 7.8,
записываем
в то же время
<re(e,<P;e',<p') = <TS(e,<p)Dr(e,<p;e',<p'),
тогда
<T0bp{e,v) = ez{d,v)Dr(6,V).
Из этих выражений видно, что
величина \Г\2 является постоянным мно-

жителем, поэтому сг'обр($, </?) от \Г\2 не
зависит. В то же время ч0бр(в, <р)
существенно зависит от |Г|2: если при
\Г\ яй 1 обе кривые весьма схожи, то
при \Г\ <С 1 в графике сг0&р{в,<-р) в
направлении, соответствующем
главному максимуму ДН антенны в
режиме передачи, появляется глубокий
провал (вследствие значительного
уменьшения рассеяния основной моды),
тогда как уровень периферийной части
индикатрисеы рассеяния практически
мало меняется, ведь высшие моды
рассеиваются по-прежнему полностью, да
и вклад их существенно возрастает.
Аналогичная картина будет и для
других апертурных антенн,
добавляется лишь рассеяние токами,
наведенными на апертуре линзы или
зеркала. Правда, в случае рупорного
облучателя диаграмма рассеяния мало
меняется. Например, если облучатель
отсутствует, то поле, отраженное зер-
Прямолинейными вибраторами
называют относительно короткие [7.2]
(/ ^ Л, где I — длина плеча
вибратора) электрические излучатели:
симметричные двуплечие, обычно
возбуждаемые в центре симметричной
двухпроводной линией или коаксиальным
кабелем, снабженным симметрирующим
переходом, либо несимметричные
одноплечие, перпендикулярные к экрану
(в частности, к Земле), возбуждаемые
у основания коаксиальным кабелем
(более сложные варианты
возбуждающих устройств и самих конструкций
вибраторов рассматриваются в гл. 4)
[7.14, 7.14а, 7.15]
В отсутствие оконечных
емкостных нагрузок ток в вибраторе уже
нельзя считать равномерным, как в
диполе: на концах вибратора он обраща-
калом, собирается в фокусе, а затем
вновь расходится, образуя широкона-
правленную диаграмму рассеяния.
В заключение отметим часто
совершаемую ошибку, когда
эквивалентную схему приемной антенны как
генератора с подключенной нагрузкой-
приемником пытаются использовать
для оценки рассеянной антенной
мощности. Дело в том, что мощность,
отдаваемая антенной в нагрузку,
определяется током и ЭДС только на входе
антенны, тогда как переизлученная
мощность и диаграмма рассеяния вообще
определяются распределением токов
по всей поверхности антенны
(единственным исключением является
диполь, у которого распределения тока в
режимах передачи, приема и
переизлучения совпадают). Еще менее
правильно говорить о КПД приемной антенны,
оценивая его по отношению
«гПОгл/светел в нуль. Так как вибратор осе-
симметричен, то объемное
распределение тока может быть заменено
линейным на оси, в достаточно строгой
теории таких вибраторов граничное
условие вида Er(z, а) + Ест = 0, где z
— координата вдоль оси вибратора; а
— радиус вибратора, выполняется не
на оси, а на боковой поверхности
радиусом а. Приближенная модель
вибратора представляет собой два
развернутых на 90° плеча двупроводиой,
разомкнутой на конце линии, как бы
продолжающей фидерную линию; при
этом осевое распределение тока
принимается таким же, как и в этой
линии, т.е.
/(*)=sinJb(Z-|*|). (7.15)
7.8. Прямолинейные вибраторы

По более точной теории закон
распределения несколько иной особенно при
/ > Л/4 и на участках вблизи
сечения г = 0.
Распределению тока (7.15)
соответствует ДН
Еф = 0; Fe{9) = A
cos(kl cos в) — cos kl
sin б
где А — множитель, нормирующий
[Fe(9)]ma.x на единицу.
Для полуволнового
симметричного вибратора
I{z) = cos kt; Fe(0)
cos[(tt/2) cos 6]
sin б
Важным параметром вибратора
является комплексное сопротивление
излучения Zs- Для его расчета
используют два альтернативных метода,
которые можно обосновать, исходя из
комплексной теоремы Пойнтинга
[Е, Н*] ds+
+iw [[[лИИ* - еЕЕ*] dV = 0
где V — объем, не содержащий
источников поля и ограниченный замкнутой
поверхностью s.
Вибратор находится вне s.
Принимая s = Sqo + sB„6 (где вес —
поверхность сферы достаточно
большого радиуса R; sBI,6 — поверхность
вибратора) и используя преобразование
[E,H*]c/s = E[W,n]ds = EK* ds,
запишем последнее выражение в виде
Ps = ^j[E,n*)ds +
= у [[цПН* -eEE*}dV ■
(7.16)
EK* ds.
Здесь К — поверхностное
распределение тока на вибраторе (см. § 7.5).
При этом правая часть
выражения (7.16) соответствует
представлению комплексной мощности излучения
.Ре через поле и ток на поверхности
вибратора, а левая часть - через поле
излучения в пространстве.
Комплексная мощность излучения
Ps = 0,5Zs|Jo|2,
где /0 — амплитуда линейного
распределения тока на вибраторе.
Из (7.14) найдем два варианта
записи комплексного сопротивления
излучения вибратора:
_L 1_
Ш2 Z0
|Er{/}|2rfs;
ДЕ = <
\1о
Re / I*(z)ET{I}dz;
■"виб
ХЕ
= <
\1о\2
\1а\2
(7.17)
(7.18)
ЫН{1}|2-£|Е{1}|2]сЛ/;
Im [K*(z,<p)Et{K}ds,
5ви6
^виб
где jLBH6 — длина вибратора.
Расчет Де, А'е по первым
выражениям принято называть расчетом по
методу комплексного вектора
Пойнтинга. В нем Де определяется
потоком активной мощности излучения
через Sco, а Х-р. пропорционально
разности запасенных в объеме V средних
энергий магнитного и электрического
полей.
Расчет Де, Хе по вторым
выражениям ведут по электромагнитному
полю непосредственно у поверхности
вибратора. Этот метод называют
расчетом по методу наведенных ЭДС. При

этом, если для ЛЕ возможен переход
от двумерного интеграла по sB„6 к
линейному по LBH6, то для Х% такой
переход невозможен, ибо дает бесконечное
значение для Х%, кроме резонансных
случаев.
Принимая за 10 ток в пучности
функции распределения тока (7.13),
для i?s получаем известную формулу
Баллантайна
ДЕпуч = 30{sinfcI[si(2fcL) - 2si(kL)}+
+ cos kL[2di(kL) - di(2lcL)] + 2di(kL)},
где L = 21; si(a;) = / - dt; di(a-) =
1 — cos t
dt — In 7 — ci(x); In у
X
- 0,577; ci(x) = /
cost
t
dt.
Входное сопротивление вибратора,
т.е. сопротивление излучения,
отнесенное к клеммам вибратора,
Д2»х = Д2ПУЧД2(0) = RSnyJsin2kl
При kl = 7г, т.е. L = А
(симметричный волновой вибратор) формула
Баллантайна дает Депуч = 199 Ом, но
Яе„х = оо. По более строгим расчетам
Девх сохраняется большим, но
конечным. При //А <С 1 формула
Баллантайна упрощается и переходит в
приближенную формулу Рюденберга (7.8)
(при этом в (7.8) следует заменять /
на «действующую длину» вибратора
lg = fl(z)dz/l).
о
Подставив Р% и P(6,ip) в (7.3а),
запишем КНД вибратора
Anax = Z0(l - cosktf/irR-s^-
Согласно этому выражению, КНД
с ростом I вплоть до 7г/4
(полуволновой симметричный вибратор) почти не
меняется, возрастая лишь до 1,64, т.е.
всего на 10 %, и лишь при 21/X = 1,25
возрастает до 3,3.
Расчет Хт, по формуле (7.18)
требует знания поля во всем
пространстве, поэтому трудоемок. Однако его
можно существенно упростить, если
вычислить Х\ — Xi — АХ — разность
реактивных сопротивлений излучения
цилиндрического и вписанного в
него эллипсоидального вибраторов.
Действительно, в пространстве вне
цилиндрического вибратора можно считать
их поля совпадающими, тогда АХ
будет определятся интегралом по
объему, заключенному между их
поверхностями, и только по полю второго
вибратора (ибо поле цилиндрического
вибратора в этой области равно нулю),
причем для поля в этой области
можно принять квазистатическое
приближение, и если ХЭл известно, то
Ацил — Аэ
■АХ
(в частности, Хьл = 0 при L = пХ/2).
Этим методом в [7.15] получено
выражение
Х„
(7.19)
L г кЬ
-60 sm kL In — + 30i 4 cos —- х
2а I 2
sin —-di(fcL) + cos —-si(kL)
— [sin kLsi(2kL) + cos kLsi(2kL)
При L = 21 — n\/2 имеем Хп =
= 30si(27rn), например Х\ = 42,5 Ом
при n = 1. Такое же значение получим
и по (7.18) для бесконечного тонкого
вибратора — единственный случай,
когда при допущении а = 0 получается
конечное значение Хцил.
При L/X <С 1; а/А ф 0 запишем
Х„
— —ZB ctg kl,

7 1 I
где ZB = — \ In - - ll = 120 [ In - - ll
ж a a J
— волновое сопротивление короткого
вибратора.
Это выражение представляет
вибратор как отрезок разомкнутой на
конце линии, где ясны границы
пригодности. Все эти, а также более точные
выражения для I(z), получены в
достаточно строгой теории
цилиндрического вибратора, в которой граничные
условия удовлетворяются на истинной
поверхности вибратора г = а, а ток из-
за малости радиуса вибратора а
принимается осевым. Интегральное
уравнение для неизвестного распределения
тока. I(z) запишем в виде
Ег{/}|,- = а + Ест = 0.
Более наглядна теория бикониче-
ского вибратора, который вполне
строго рассматривается как конечный
отрезок биконической линии, в которой
существует ТЕМ-волна, а
следовательно, однозначно могут вводится
понятия напряжения между двумя
половинами биконуса и полного осевого
тока. В отличие от обычной ТЕМ-волны,
распространяющейся в кабелях,
коаксиальных и двухпроводных линиях,
эта волна сферическая с компонентами
Е$ — ZqH^ — Zq
ехр(—ikr)
2wrsin6
Линия имеет следующие
характеристики:
напряжение между двумя
половинами биконуса на расстоянии г от
вершины конуса
U(r) = 12Oexp(-ifcr)ln[ctg0/4];
полный осевой ток
I(r) = exp(—ifcr);
волновое сопротивление
Здесь в — угол при вершине биконуса.
При приложении напряжения на
вход биконуса в нем возбуждается
лишь эта волна. Однако
выполнение условий непрерывности поля на
ограниченной поверхности г — I
между биконическим вибратором и
свободным пространством возможно лишь
при учете всех высших парциальных
мод биконуса. Поэтому определенное в
результате этих расчетов
эквивалентное сопротивление конечной нагрузки
биконической линии Zn = [U/I]r=i
учитывает все парциальные моды.
Пересчитаем ZH ко входу биконуса
по известной формуле теории длинных
линий
ZBX — Zn
Z„ + iZB0J1 tg kl
1 ZBon + \Zn tg kl'
(7.20)
Вводя сопротивление нагрузки
Za = -^вол/^н, пересчитанное на
расстояние А/4 от конца биконуса,
преобразуем выражение (7.20) к виду
Za — iZB0„ ctg kl
1 + iZa ctg kl/ZB
Учитывая, что ZH имеет большое
значение (соответствующее почти
разомкнутому концу линии), найдем
ZB:
L ^вол' J Sin kl
-iZBO„ ctg kl + i
Xa
+
Ra
kl sin kl
при [Za/ZB0J1f < 1.
Это выражение аналогично ZBX
цилиндрического вибратора, но
выгодно отличается от них тем, что уже
в рассматриваемом приближении дает
поправку на «укорочение» вибратора
(а именно, Хвк = 0 при значении I,
несколько меньшем А/4).
Явол = ^(г)/7(г) = 12О1п[с160/4].

7.9. Линейные антенны произвольной длины
(зависимость формы ДН от распределения тока
вдоль антенны)
Не останавливаясь на вопросе о
форме распределения тока в
антенне, определяемой в результате
решения соответствующей граничной
задачи, рассчитаем ДН и КНД такой
антенны при различных
распределениях тока. Полагаем элементы
антенны изотропными и не
учитываем их поляризационные
характеристики. Записывая распределение
тока вдоль антенны длины L в виде
ДС)ехр[1Ф(С) + 1/?С] (где С = 2^/L;
A(Q и Ф(С) — вещественные
функции амплитудного (A(Q) и нелинейной
компоненты фазового (Ф(0)
распределений; /? — фазовая постоянная
линейного распределения фазы вдоль
антенны), приведем выражение (1.32) для
ДН линейной антенны к виду [7.18]
1
F(u) = ^ J A(Oexp[^(C) + ^C}dC,
-i
где и = (kL/2)(sm0 — /3/к) —
обобщенная угловая координата; в — угол,
отсчитываемый от нормали к оси
излучателя.
Если Ф(С) = 0 и А(() = Ачет(()+
-Мнеч(С), то
F(n) = F1(u) + iF2(u)-
Fi(u) = L / (С) cos('uC) dC;
F2(u) = Ll AHe4(Qsm(uC)dC.
о
Здесь Fit2 — вещественные функции;
А(0+А(-0
Ачет\С,)
Лнеч(С)
— .г1чет^ С, J,
Таким образом, ДН линейной
антенны представлена в виде
суперпозиции чисто вещественной и чисто
мнимой компонент. Каждая из них
имеет фазовый центр, но ДН в
целом может его и не иметь (поскольку
F\{u) ф F2(u)). Существует фазовый
центр при Fi(u) = 0 или Fn(u) = О,
например при апертурных
распределениях, линейных по фазе, четных или
нечетных по амплитуде. Если при
ф(£) = 0 амплитудное распределение
представлено в виде степенного ряда
A(Q= E с"С".
(7.21)
то
F1(u) = 2LY/C2n^l)ng{2n)(u);
оо
п = 0
F2(u) = -2L £ C2n+i(-l)ng{2n+1)(u),
где д('п\и) — m-я производная ДН,
называемая базовой,
1
9(и) = g / exP(iuC) dC = ^--
-1
Для оценки КНД линейной
антенны сопоставим ее с апертурной в
виде ленты такой же длинны, но
единичной ширины и распределением А(£),
не зависящим от поперечной
координаты. КНД такой антенны D0 —
где КИП
А(0-А(-р _
,2 г
JA(()d( / J\A{Q\2
.(-с
dQ.
(7.22)

Такой же КИП будет иметь и
линейная антенна (хотя ее Dq
выражается иной формулой, см. ниже).
Подставляя (7.21) в (7.22),
находим
со In
С-2к I V"^ V^ СкСП-п
к=0 ' ' п=0к=0
2п
Рассмотрим несколько
простейших распределений:
при симметричном треугольном
МО = 1 - \С\
|F(U)|2 = g4u/2; q = 0,75;
при несимметричном треугольном
A(Q = 1 — С, тогда на границе антенны
с0 = 1; ci = -1; сп = 0; п ^ 2;
F1(u) = g(u); F2(u) = д'(и);
\F(u)\2=[g(u)¥ + [g>(u)f; q = 0,75.
(эта ДН не имеет нулей, так как нули
д(и) совпадают с максимумами д'{и) и
наоборот);
при спадающем параболическом
A{Q — 1 — а(2; 0 ^ а ^ 1, тогда со = 1;
с2 = —а; сп = 0; п = 1 и п ) 3;
^i(«) = </(«) +«V2)(«); ^2(«) = 0;
Представление А(£) в виде (7.21)
удобно для анализа влияния
нелинейного фазового распределения Ф(С)-
Для упрощения анализа представим
Ф(С) в виде степенного ряда и
рассмотрим влияние отдельных членов
этого ряда. Пусть Ф(С) = -Ьп(п (п ф 0,
п ф 1), тогда
00 ( j\m,Lm
exp(-ib,Cn)= £ ^^С"
F(u) =
m=0
m!
f-i)m6"
= *£- .
m=0
CnmA(C)exp(iC«)(iC
(s-n)mj,m
"n -Apm).
(7.23)
где I0(w) = \ J A(0exp(i(u)d( —
опорная ДН при том же амплитудном
распределении в отсутствии фазовых
ошибок.
Для простейших случаев
квадратичных и кубических фазовых ошибок,
ограничиваясь только первыми двумя
членами ряда имеем
при п = 2
F(u)«(L/2)[J0(u) + i&242)(«)];
\F(u)\^(Ly4){{I0(u)f+[b2tf\u)n
Таблица 7.1. Характеристики ДН для различных амплитудных распределений
q — 5/6 при а = 1.
Некоторые характеристики этих
ДН приведены в табл. 7.1.
Значение
а
1
1,0
0,8
0,5
0,1
КИП q
1,750
1,833
1,970
1,994
1,000
Ширина ДН, радхЛ/L
по уровню
0,5 мощности
по уровню
0
А(С) = 1 - ICI
1,28 | 4,00
А(С) = 1 - <2
1,15
0,97
0,92
0,88
2,86
2,28
2,12
1,00
Уровень первого бокового
лепестка относительно
главного максимума, —дБ
26,4
20,6
17,1
15,8
13,2

при п = 3
F(u)*(L/2)[I0(u) + b3I(03\u)};
|F(U)|2«(L2/4){|M«) + 6343)(«)|2}.
Формулы для F(u) получены при
четных A(Q и вещественных 1о(и).
Из выражений видно, что при
квадратичных фазовых ошибках ДН не
имеет нулей, т.е. ее боковые лепестки
сглаживаются. При кубических
ошибках суперпозиция 10(и) + Ь$Ц '(и)
имеет нули, но поскольку 1о(и) четная,
a 1q '(и) нечетная относительно
максимума ДН функции, то суммарная
ДН становится асимметричной,
причем уровень первого бокового
лепестка по одну сторону главного
максимума сильно возрастает, а главный
максимум отклоняется в
противоположную сторону (поскольку в
распределении фазы молено выделить линейную
компоненту). Следует отметить, что
при спадающем к краям антенны
амплитудном распределении фазовые
искажения менее заметны, чем при
равномерном распределении.
Широко применяются также
метод анализа ДН линейных антенн при
использовании разложения
амплитудно-фазового распределения в ряд
Фурье по собственным гармоникам
отрезка (—1,1), например по функциям
fm(() = exp(-imTrC), т = 0, Т1, зр2 • • ■,
образующим на этом отрезке полную
и ортогональную системы. Этим
гармоникам соответствуют парциальные
диаграммы вида д{и — тж), смещенные
по координате и на тж. Эти ДН как
бы соответствуют фазовым
постоянным /Зт возбуждающего процесса вида
(Зт = /?о + 2ттг/Ь.
Нули функции д(и — mi) при
различных т совпадают, а так как
главным максимумам ДН вида д(и — тж)
соответствуют и = тж, то, очевидно,
максимумы каждой такой ДН также
совпадают с нулями других ДН.
В соответствии со свойствами
рассматриваемых токовых гармоник 1,п и
соответствующих им парциальным ДН
дт имеем:
если A(Q = £amIm((), то F(u) =
= T,amg(u-mir);
если F(mir) = ат и F(u) =
= Y2 F(mir)g(u — тж), то по заданной
таким разложением ДН F{u) легко
найти соответствующее ей
распределение ./(£) = F(mw).
При практических расчетах
достаточно учитывать функции д(и — тж),
главные максимумы которых
попадают в интервал вещественных углов в,
для которых — 1 ^ sin б ^ 1, что
соответствует интервалу по и, равному
риной kL. Число таких гармоник,
очевидно, равно (kL/ж) -f 1 (или (2L/X) +
1). Остальные функции д(и-тж)
определяют лишь тонкую структуру
боковых лепестков ДН.
Уровни пересечения лепестков
главных максимумов смежных
парциальных диаграмм, например, при
т = то и moTl, соответствуют точкам
и = (ж/2)^ж и равны д(^ж/2) = — 0,41
по мощности или —3,92 дБ, т.е. ниже
уровня —3 дБ, на котором обычно
вычисляют ширину ДН. При
равномерном синфазном возбуждении линейной
антенны длиной L КНД
2sin2{kL/2)]~1
DL
7tL
Если
i(LL) -
kL
антенна представляет
собой полосу непрерывно
распределенных поперечных (т.е. параллельных
оси ОХ) диполей, то в ДН по
мощности следует добавить дополнительный
множитель (1 — sin2$cos2<£>), а КНД
D
(1)
271-L
si(kL)
,kL
ikL
kL
{kLf

При (L/X) ;§> 1 эти формулы
упрощаются:
DL
2L
т;
D
Л)
4L
Т
(7.24)
При расположении излучателя
параллельно металлическому экрану на
высоте h = Л/4, над ним КНД
удваивается, а при h = Л/3 — утраивается.
Максимуму опорной ДН соответствует
и = 0 или cos в = (3/к.
При синфазном возбуждении
(3 = 0 и 8 = 0, максимум ДН
ориентирован по нормали к оси антенны. При
О < (3/к < 1, что соответствует
возбуждению антенны ускоренной волной
с Уф > с, максимум ДН
отклоняется от направления нормали в
сторону оси антенны без изменения формы
ДН в функции обобщенной
координаты и. При (3/к — 1 главный максимум
ДН ориентирован точно по оси
антенны, при этом с увеличением /3/к > 1
(т.е. при переходе к возбуждению
антенны замедленной волной) ДН
сужается, но возрастает УБЛ. Поэтому,
если первоначально с ростом /3/к КНД
возрастает, то при некотором (/?/fc)opt
он достигает максимального значения,
а затем начинает падать.
Соотношение, определяющее (/3/k)opt,
называют условием Хансена-Вудеярда,
которое имеет вид
(/? - fe)oPt = 0,936тг
или
{(3/k)opt = 1 + 0.468A/L.
При этом уровень первого
лепестка по мощности составляет 10,8 %,
тогда как у синфазной антенны он
равен 4,8 %. Однако, если амплитудное
распределение вдоль антенны осевого
излучения будет спадающим к концам
антенны, то возрастание боковых
лепестков замедляется, и можно будет
увеличить отношение (3/к, а,
следовательно, достичь некоторого
возрастания КНД.
Образованной изотропными
элементами КНД Dl антенны осевого
излучения составит:
при (3 — к
DL =
2жЬ
si(2kL)
cos kL — 1
2kL
при L/X >> 1
DL ~ 4£/A;
при (3 = /3opt
D°pt « 4AL/X, (7.25)
( 2 при 0,3 < L/X < 0,5;
где A= I 1,8 при L/X = 0,5;
[ 1 при L/X —► oo.
Для линейной системы
поперечных токов
(/?/*)opt « 1 + 0,55A/L;
2,7 + 8,21/Л.
nopt
Сопоставляя выражения (7.24) и
(7.25) видим, что КНД оптимальной
антенны осевого излучения выше, чем
у синфазной антенны.
У достаточно длинных антенн
осевого излучения ширина ДН по уровню
0,5 мощности будет
при (3 = к;
при (3 = /?opt.
Приведем характеристики ДН для
наиболее распространенных
неравномерных амплитудных распределений,
записанных в виде разложений по
функциям типа дт:

1. A{z) = cosn7rC/2; n ^ 1,
тогда диаграмма направленности
Fn(u) = -
7r0,5(n-l)
П [(2а+1)2-(2«/тг)2]
Fn{u) = J cos" ^- exp(i-uC) dC = (7.26)
= 21-" £ с;
m=0
sin('« — mir + пж/2)
'' и — тж + пж/2
где С"г — биномиальные
коэффициенты.
2. Л(г) = l + (l-i)cos7rC/2,
тогда диаграмма направленности
4 соя it
ж 1 — (2и/ж)
3. A(z) = 1 + (1 - ^)cos27rC/2,
тогда диаграмма направленности
(7.27)
g
При четном и нечетном п запишем F{u) = (1 + t)g{'u) — (1 — 02 —
F„(u)
2 sin и
0,5n
П[(2р)2-(2«А)2]
w- — жл
(7.28)
Характеристики ДН вида (7.26)-
(7.28) приведены в табл. 7.2.
Таблица. 7.2. Характеристики ДН для различных амплитудных распределений
Значение
п
0
1
2
3
4
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
КИП q
1,000
0,810
0,667
0,557
0,515
1,000
0,990
0,975
0,950
0,915
0,810
1,000
0,990
0,970
0,940
0,885
0,667
Ширина ДН, радхЛ/L
по уровню
0,5 мощности
по уровню
0
Уровень первого бокового
лепестка относительно
главного максимума, —дБ
Л(() - 1 - cosn7rC/2
0,88
1,20
1,45
1,66
1,93
2
3
4
5
6
13,2
23,0
32,0
40,0
48,0
A{Q = l-(l-f.) cos 71472
0,88
0,91
0,94
1,00
1,08
1,20
2,00
2,10
2,22
2,39
2,60
3,00
13,2
14,0
16,0
18,6
21,5
23,0
Л(С) = 1-(1-*)со82тгС/2
0,88
0,92
0,98
1,16
1,18
1,45
2,00
2,12
2,30
2,51
3,30
4,00
13,2
15,2
18,7
24,3
30,3
32,0

7.10. Линейные эквидистантные решетки излучателей
Антенными решетками (АР)
называют системы дискретных
излучателей. При идентичных и одинаково
расположенных излучателях имеет
место теорема умножения, согласно
которой ДН решетки N излучателей Fljv
равняется произведению ДН
одиночного элемента Fxi и «множителя
решетки» Fjy:
jV-1
Flat = Fn ^ An exp(ib-n cos vn) =
= FL1FN,
по мощности
n=0
где An — комплексная амплитуда
тока в п-м элементе решетки; vn —
радиус-вектор центра n-го элемента;
i>n — угол между т„ и направлением
радиус-вектора точки наблюдения.
Множитель решетки
представляет собой ДН решетки ненаправленных
элементов. Рассмотрим простейшую
линейную решетку из N элементов,
эквидистантно расположенных вдоль
оси 0Z, когда начало решетки
совпадает с началом координат. При этом
v„ cosvn = ndcos0n; n = 0, N — 1,
где 8 — угол, отсчитываемый от оси
решетки; d — период решетки.
Если возбуждение решетки
равномерное, т.е. Ап — ехр(тД), где Д —
сдвиг фаз между соседними
элементами, то нормированный на единицу
множитель решетки принимает вид
JV-1
Fn{0) = -Т7 Yl exP(in'"d)
п = 0
.N-1
(7.29)
exp i
-ud
sin(Nud/2)
2 "J Nsin(ud/2)'
Ud = kdsm6 — Д;
*jv(0) = \Fn(9)\-
sm2{Nud/2)
N2sm2(ud/2)'
При расположении начала
координат в центре решетки фазовый
множитель в (7.29) обращается в
единицу, таким образом решетка имеет
фазовый центр в ее середине.
Рассматривая Фдг(#) как функцию
обобщенной координаты ltd, т.е. как Фя («<<)>
видим, что она представляет собой
периодическую функцию с периодом по
Ud, равным 2-к, с главными
максимумами (равными единице) в точках
Ud max = 2тж, т = 0, ±1, ±2 ...,
нулями в точках «do = 2mir/N, m = О, ±1,
±2 . . ., т ф nN и побочными
максимумами, равными [N sm(ud/'2)]~2, в
точках «йб.л = (2т + l)ir/N, т = 0, ±1,
±2 . ... Число нулей между главными
максимумами функции ФлК'"<0
составляет N —1, а, число побочных
лепестков — N — 2. Отметим, что в точках
т = nN находятся вместо нуля
главные максимумы, а точки т = 0 и — 1
в формуле для Ud&.n попадают еще в
пределы главного лепестка множителя
решетки.
Соответствующие положения
главных и побочных лепестков и нулей
функции Фдг(^) найдем в виде
cos0max = (щ + 2mw)/(kd);
m = 0,±l,±2...;
cos в0 = ud/kd + 2mw/(Nkd);
m = 0,±l,±2...; тфпМ;
cos вб.л = Ud/kd + (2m + l)ir/(Nkd);
т = 1,±2.... (7.30)
Функция Флг(гм) определена на
всей вещественной оси — со < ud < оо,
но вещественным углам — 1 ^ cos в ^ 1

соответствует интервал —kd—<p ^ Ud ^
«С kd — if шириной 2kd. Условиями
существования одного главного
максимума в пределах этого интервала
являются:
< <
Г АГ-1
N
iV" — 1
2/V"
N-
JV(l + COS0rJI)
при iid = 0;
при Ud = kd;
при 0 < Ud < kd.
При kd —<- 0 и ЛГЫ = const функция
Ф^Ы — [sin(0,5i¥Mrf)/(0,5iVU(i)]2
соответствует базовой ДН линейной
антенны д2(и) с и = Nud/2; Nd -> L(N).
Проводя дальнейшую аналогию с
линейной антенной, перепишем
выражение (7.29) в виде
Ud = kd(cos6 — A0/k),
где Д0 — эквивалентная фазовая
постоянная.
Из (7.30) следует, что
существованию семейств главных максимумов
функции vfjv(urf) соответствует
наличие волн возбуждения с фазовыми
постоянными Дш = До + 2nnr/d, что
отвечает представлению поля решетки в
виде суперпозиции пространственных
гармоник с Д = Д„, и согласуется с
известной теоремой Флоке. Часть этих
гармоник, для которых 0 < \Ат/к\ < 1
и, следовательно, vm/c > 1, —
ускоренные. Им соответствует | cos вгл | < 1
в области вещественных углов,
большая же часть пространственных
гармоник, для которых \Ат/к\ > 1 и,
следовательно, vm/c < 1, —
замедленные. Им соответствует cos вгл = 1,
т.е. осевое излучение, поскольку | cos#|
не может превосходить единицу.
Однако максимум функции Фдг(гу) уже
не совпадает с. максимумом
множителя решетки $n(0). Границам между
этими двумя режимами соответствует
|Дт/&| = 1= т.е. сов$гл = 1. Другим
предельным значением Ат/к
является |Дт/&| = 0, чему отвечает
синфазное возбуждение и «поперечное» (к оси
решетки) излучение.
Приведем некоторые простые
расчетные формулы для характеристик
линейной равномерной решетки в
режимах поперечного и осевого
излучения.
Ширина ДН (множителя)
решетки. При малом числе излучателей
N и kd < 1 в случае синфазного
возбуждения
0,
N)
0,5
ANX/(Nd),
где AN - 60 при N = 2; AN =
= 54,5 при N ■= 3; AN = 51 при
N = 12 и AN = 50,97 при N = 50.
При дальнейшем возрастании N
коэффициент Лдг достигает
предельного значения An = 50,8 (в радианах
2, 78/я"). При этом ширина ДН по
нулям 2в0 ~ \/{Nd). Для осевого
излучения при N —*• оо предельное
значение
eif-An^Ud/lNkd),
где Ап = 1,88 при ud/kd = 1 и Ап —
= 1,1 при (ud/kd)opt = l + 2,M/(Nkd) =
= 1 + 0,468A/(iVc/). Относительные
УБЛ при 0 ^ ua/(kd) ^ 1 составляют
(по мощности)
УБЛ
Nsinud6.ji
2
Ns'm(2m + 1)тг
2N
т= 1,±2,±3.
Это выражение определяет УБЛ
для иа&.л в интервале [—7г, 7г], если
отсчитывать и& от значений гцТл =
= 2тж, соответствующих главным

максимумам функции Фдг(г/сг). Из
выражения следует, что уровень первого
бокового лепестка составляет 44 % при
N = 4, 5, 6 % при N = 6. Но уже с
N = 12 уровень снижается до
значения 4,7 96, близкого к уровню 4,6 96,
соответствующему линейному
излучателю с гауссовским распределением.
При этом можно использовать УБЛ ~
~ [2/(2т + 1)7г]2. Минимальный УБЛ
составляет примерно 1/N2. Для КНД
справедливы следующие формулы:
1) синфазная решетка изотропных
элементов
JV-1
DN=N
Е/ n\s"m(nkd)']~1
V ~ 7VV nkd .
при d/X = 0,5 имеем sin(nM) = 0;
Ду = N, если же Nkd ^> 1, то Dn ~
~ 2ЛЦ/А;
2) синфазная решетка поперечных
диполей
Av
3N
JV-1
1 + з£ 1
«=i
w
/siu(nM) cos(nkd) sin(nkd)^'l~1
\ nkd
{nkd)2 {nkdf
DN « 3/4 + 4jVc2/A при Nkd » 1;
Ду = 3/2 + 4jV при d/X = l;
3) решетки осевого излучения при
,8/к = 1
Djv=AT
JV-1
'♦E'-S
n \ sin(2nfcd)
n = ]
iV/ (nfcci)
DN = N при ri/A = 0,25; D/v и 4iVd/A
при JVW> 1;
Djv w l,824JVrf/A
(7.31)
при (fl/k)opt и d < A/3.
При возрастании fed
характеристики решетки будут существенно
отличаться от характеристик линейной
антенны; при этом в интервале
вещественных углов будут появляться
дополнительные главные максимумы
— высшие дифракционные спектры.
Проследим, как это сказывается на
величине D/v на примере синфазной
решетки. Зависимость Dm/N — f(kd),
приведенная на рис. 7.4, соответствует
приближенной формуле (справедливой
при больших N)
Dn
N
•2d
Т
2Е
x' + I
целая часть.
0 0,5 1,5 1,5 2,0 2,5 3,0 d/X
Рис. 7.4
На участке 0 < d/X < 1
зависимость DN{kd)/N — линейная
вследствие возрастания длины решетки Nd.
При N —* со в точках d/X = n,
когда появляются новые главные
максимумы, происходит резкий спад КНД,
при конечных N этот спад несколько
сглаживается из-за конечной ширины
главных лепестков. Вблизи d/X — 1
величина Ду составляет 2JV, а затем
уменьшается в 3 раза (по общему
числу главных максимумов) — до 2jV/3,
вблизи d/X = 2 значение D/v
Доходит до 2 • 2JV/3, а затем уменьшается
до 4jV/5 (так как число главных
максимумов составляет уже пять),
перепад КНД при этом равен 5/3 и т.д. С
дальнейшим ростом kd перепады КНД

уменьшаются и в пределе Dpj —+ N
при d —' оо.
В заключение отметим, что при
всех расчетах токи в излучателях
решетки принимаются заданными, т.е.
не учитывается взаимодействие между
излучателями (для этого следовало
задавать не токи, а напряжение на
клеммах), которое в отдельных случаях
может существенно повлиять на
параметры решетки как антенны (например,
вследствие краевых эффектов при
конечном N).
Рассмотрим семейство
множителей решетки, максимумы главных
лепестков которых ориентированы в
направлении нулей друг друга. Один
из них, а именно Флг ("<*), У
которого направление главных максимумов
соответствует условию гЦгл = 2тж;
т = О,1 ..., примем за базовую ДН.
У других ДН, которые обозначим
^Nn(ud), максимумы будут
ориентированы в направлениях и^„ = 2xn/N,
п < mN (уровни пересечения соседних
парциальных ДН приближенно равны
4 дБ). Этим ДН соответствуют
распределения фазы токов на элементах
решетки вида exp(\2irnl/N); I = Q,N — 1.
Число таких различных ДН будет
равно (N — 1) + 1, т.е. N (с учетом баз
ДН), так как при п = niN, (т + l)N,
(т + 2)N... эти ДН начинают
повторяться. Эти фазовые
распределения и соответствующие им функции
^Nn(^d)', п = О, (N — 1) образуют
полные системы, в виде суперпозиции
которых представимо любое
распределение на излучателях решетки и
соответствующие им множители решетки.
Между собой они взаимо
ортогональны: функции $jvn(ti(i) — на интервале
( — Я", Я")
/ $ Nn(ud)'® Nn(Ud) dud - 2-7Г<5„„,
(7.32)
с Г 1, п' — п;
где Ьпп> = < ' ,
у 0, п = п,
а фазовые распределения вида
^Nn(ud) — на элементах решетки:
1 ^ ( .2жп\\ (:2жп'1\
» S6ХР V 1-n-J exp V-Jr) =
-^^ехр1_1^("~п)] =
(=о ч 7
_ Г 1, п = п'\
\ 0, п. ф п'.
Диаграммы направленности
вида Фтуп (ud) представляют и
практический интерес, поскольку при
независимом возбуждении в решетке фазовых
распределений указанного вида
получаются «многолучевые антенные
решетки». Для этой цели используют
специальные диаграммо-образующие
устройства (ДОУ), входы которых
соответствуют отдельным независимым
ДН, а выходы присоединяются ко
входам излучателей. Эта проблема
детально рассматривается ниже.
Практически все АТ
парциальных множителей Фл'п((м)
использовать удается далеко не всегда.
Действительно, при kd > ж некоторые из
них будут иметь несколько главных
максимумов в интервале
вещественных углов, поэтому применение их
нежелательно. В то же время при kd < ж
максимумы не всех парциальных
множителей $jvn(wd) попадают в интервал
вещественных углов (число их
равняется Nkd/ж). К тому же не всегда
и нужно перекрывать парциальными
ДИ весь сектор (—ж,ж). Выходом из
такого положения является
использование избыточного числа N элементов
решетки.
Отметим, что поскольку
распределения вида. Im(Q = exp(—wnrQ;
m = 0,1,2... образуют полную и
ортогональную систему распределений на

отрезке ( + 1, —1), а ДН вида д(и — ттг)
— полную и ортогональную систему
ДН такой линейной антенны, то,
очевидно, и функции ехр(— Ylirnl/N) и
^Nn(ud) могут быть представлены в
виде разложений по указанным
функциям, соответствующим линейным
антеннам. Для этого нужна лишь связь
между и и Ud вида ид — 2и/п,
полученная при условии kd —* 0, принять
произвольное kd и подставить в (7.29)
для .fjv(ud). При этом найдем
FN(u) =
(. N-1 \ . [ v . «I-1
= exp i,„ ———т | sin и | nN sm •
N
N
где m — номер главного максимума
функции FN{ud).
Разложение Fjv(u) в ряд по
функциям д(и — ?717г), записанное в общем
виде (см. пп. 1 и 2 в § 7.9), имеет вид
FN(u) = ^2 FN(mw]
sm и — mw)
Но Fj\(nnr) — 0 при m ф pN,
где р — целое число; Fff(Npn) =
= exp(ip(W-l)?r) = (-l)
p(N-l)
,
следовательно,
Ы«) = У, (-1)
P(N-1)
sin(w — Np-к)
и — Npir
Ho и = Npir соответствует Udp =
— 2ртг, т.е. направлениям главных
максимумов множителя решетки $jv(ud).
Отсюда следует, что функция
множителя решетки Фдг(и<*) образована как
бы суперпонированием ДИ множества
линейных антенн с различно
ориентированными (в пространстве
обобщенных углов и и Ud) максимумами. В
аналогичном виде могут быть
представлены и функции FjVn(urf),
соответствующие введенным выше Ф^„(г/,а).
Для этого положим Ud = и do + 2irn/N\
п ф mN; и - Nud/2 - Nudo/2 + пп =
= щ + пп, тогда
Fnh(u)
Е (-!)клг
_j\ sin [u — n(pN — ?),)]
и — n(pN — п)
7.11. Направляемые волны, используемые в антеннах
В антеннах большинства
конструкций используют отрезки
направляющих систем — линий передачи
различного вида [7.2]. Так, волновод-
ные и рупорные антенны представляют
собой открытые концы волноводных
и рупорных линий; многощелевые
антенные решетки выполняют в виде
систем отверстий и щелей, прорезанных
на боковой стенке волновода;
антенны поверхностных волн — отрезки
открытых (неэкранированных) линий и
т.п. В связи с этим отметим некоторые
свойства направляемых волн. Для
любой волны, направляемой вдоль оси 0Z
с постоянной распространения у — к?
справедливы соотношения вида
При этом возможны варианты
7" > к-; А > А; ьф ^ с;
к\ = к2 - Г Ъ 0;
у2 ^ к2; А ^ А; г>ф ^ с;
к\ = -{у2 - к2); к± = ±ia±,
соответствующие ускоренным и
замедленным волнам.

Первые волны могут
существовать лишь в экранированных
системах, причем поперечные
распределения полей волн в последних
имеют вид резонансного колебания
мембраны, соответствующей
поперечному сечению волновода, собственные
числа которых а?~гп = kj_. Эти
волны могут распространяться лишь
при 72 = УГ„« = к'' - 4п > °. т-е- ПРИ
А < 2тг/ж^п = (Акр)тп. При А > Акр,
т.е. к2 < < евтпУтп = —icxzmn, мода
соответствующего вида не может
распространяться вдоль оси волновода,
становясь затухающей. В линиях
передачи с многосвязным поперечным
сечением (коаксильиая линия)
возможно существование волны с ге0о = О,
не имеющей критической частоты, т.е.
могущей распространяться на любой
частоте; для односвязного сечения
(полая труба.) такая волна отсутствует.
Замедленные волны могут
существовать и в неэкранированных
системах, так как их поперечное
распределение экспотенциально спадает
при удалении от направляющей
системы (второе решение —
экспотенциально нарастающее — не удовлетворяет
условиям излучения Зоммерфельда).
Но для их существования
необходимо какое-либо устройство,
замедляющее волну — диэлектрическая или
ребристая пластина, стержень. Эти
волны также имеют критические
частоты, однако, докритический режим
отсутствует (ибо такому режиму
соответствовало бы вещественное к, т.е.
излучение в бок от направляющей
системы). Любая волна, направляемая
цилиндрической системой, представи-
ма в виде суперпозиции Е- и Я-волн
(у Я-волн Я, = 0, у Я-волн Ez - 0).
При этом в закрытых системах с
металлическими внешними стенками, а в
открытых системах только для мод с
распределениями, не зависящими
относительно одной поперечной
координаты, возможно существование Е- и Н-
волн (так как каждая из них
удовлетворяет граничным условиям на
боковой поверхности).
В антенных системах
используются моды наинизших индексов: Я10, Нц
и Яо1 — в прямоугольном и круглом
волнооводах, Е\ и Н\ — в
диэлектрических пластинах, Е\ — в
ребристых структурах. В диэлектрическом
стержне основной является смешанная
волна (НЕц), близкая по структуре
поля к волне Нц круглого
волновода. Для расчета волн в
конфигурациях сложных конструкций (например,
в ребристых структурах) часто
применяют импедансное приближение, когда
разделяющая две среды граница
неоднородной конфигурации заменяется
гладкой однородной, на которой
задается приближенное граничное условие
(см. § 1.9)
Et = Z[nHt],
где Z — поверхностный импеданс,
определяемый из решения какой-либо
ключевой задачи и предполагаемый
независящим от поля во внешней
среде.
Это граничное условие дает
возможность находить поле во внешней
среде, не рассматривая поле в
направляющем устройстве, что упрощает
решение граничной задачи. При
расчете антенн импедансное приближение
обеспечивает достаточную точность.

7.12. Обобщенные лемма Лоренца и оптическая
теорема
Обобщенную оптическую теорему
для комплексной мощности рассеяния
Рг запишем в двух различных
видах [7.22]:
^5 "Г ^ ПОГЛ —
-—i(e0A*(no,Tbo))+
■ilmi[E*(H,-H0]d8;
= <
А
i(e0A(uo,u0))+
~Im^[(E,-Ei)H*]d8,
S
(7.33)
где Рпогл — мощность, поглощаемая
в приемнике; ео — единичный
комплексный вектор поляризации
первичной волны Е,- = еоехр[—ifc(Ti,oT)r];
по — направление единичной
нормали к ее фазовому фронту; Е5, Н5
и Е. Н — рассеянное и суммарное
поля (Е = Е»+Е,, Н = Н,- + Hs);
A(uo,Uo) — значение рассеянного
поля (Е5 = = А(тъ) ехр(—ikr)/r) в
направлении п0; s — поверхность рассеи-
вателя.
Для идеально электрических и
магнитнопроводящих, а также
«черных» тел интегралы в (7.33)
обращаются в нуль (так как в первых двух
случаях Er|s = 0 или Нг|5 = 0, а в третьем
он обращается в ^[E,-Hj] ds, — 0).
Из реактивной части уравнения
(7.33) при помощи развернутой записи
комплексной теоремы Пойнтинга
получаем выражение для разности
максимальных запасенных в рассеянном
поле магнитной и электрической
энергии. Так для металлического тела
(и^)тах-(й/;5)тах =
= —-=т Ке(е0А*(ио,По));
us Zq
г/ / f*U
и аналогично для магнитнопроводяще-
го тела. Для полных полей имеет
место соотношение
(W„)
(We)max =
1 А
= — Re(e0A(Ti,o, — п0) exp(i2kR)),
где R — радиус рассматриваемой
области поля.
В [7.23] приведены
альтернативные формулировки активной части
«оптической» теоремы, учитывающие
отражение в антенном тракте и
одновременную с рассеянием работу
антенны на передачу. Для скалярной
(акустической) формы
/ |Ф(п,тг0)|2dSl + 7rG(l - |Г|2)х
п
х|^(т!,о)|2 = 47г1тФ(тго,п0),
а в векторной форме
f *(т1,,По)Ф(т1,,ио)йП+
+ -(1-|Г[2)5(по) =
= 2тг1{Ф(по,тг0) - Ф*(и0)тг0)}.
В последнем случае учитываются
две компоненты поля и ДН по двум
ортогональным поляризациям
Е =
Е$
Е,
ч>
F =
и вводятся матрицы рассеяния и
поглощения
Ф =
Ф«6
Фы
ф
ч>ч>.
В(п0) =
' _Ge\,fe(no)\2 Gfi(n0)fv(no)
.G/e(,n.o)/v(no) Gv\fyino) |2

где G = \jGgGv.
В [7.23] получена новая
«антенная» теорема
2m[F{n0) + r*F(-n0)}+
+ / ^*(n0,n)F(n)dn = 0;
n
2jri{F(no) + rF*(-no)]+
n
в скалярной и векторной формах,
которая может рассматриваться как
интегральное уравнение относительно ДН
антенны в режиме передачи.
Известные лемма Лоренца и
сопряженная лемма (см. гл. 1)
обобщаются для полей частот ш\ и ш2, заданных
в различных средах £i^i и е2ц2 [7.24].
При этом обобщенная лемма Лоренца
принимает вид
^{[ExHaJ-tEaH!]}*»-
S
-/{(•№-№)-
-(JMiH2 - JM2Hi)} dv =
= i / {(wjEi — W2£2)EiE2 +
+(w2^2 - wi^i)HiH2} dv
или
^{[E1H2] + [E2H1]}ds+
s
+ /(JiE2 + J2Ei)+
+(JtllH2 + 3fl2Hi)}dv =
= -i / {(wi£i +a;2£2)EiE2 +
+(wi//i + w2//2)HiH2} dv
при совпадающих полях переходит в
известную теорему о колеблющейся
мощности [7.25].
Обобщенную сопряженную лемму
можно записать в двух вариантах:
^{[е1щ] + [е;н1]}&+
S
• + У'{(л1е; + л;е1)+
v
+(л„1н; + л;;2н1)}Л; =
= i /{(w24 -w1£i)E1E2+
+(и2ц2 - иг^ИгЩ} dv
или
^{[EiH^-^HjDds-
■/
{(JxES-JJEO-
-(Л^Щ-Л^Нг)}*^
= i /{(w2^+wi£i)EiE; +
+(w2^2 + wiA'OHiH,} cb.
Активные и реактивные части
этих лемм дают балансы активных
и реактивных взаимных мощностей
двух полей (при этом следует
учитывать соотношения Re(ab*) = Re(a*6);
Im(ab*) = = -Im(a*6)).
В [7.24] получены леммы для
произведений одноименных векторов. В
дифференциальной форме они
имеют вид
div [EiE2] - Zl div [HXH2] = (7.34а)
= (J„2Ei - J„iE2) + гЦз2Щ - JiH2);
div [E:e;] + Zl div [HiH2] = (7.346)
= (J*2EX - Л,аЕ*2) + ^(JiH, - J2HX).

При Zq = const соотношения (7.34)
могут быть представлены и в
обычной интегральной форме. Из этих
выражений следуют новые виды
теорем взаимности для диполей и антенн
p2Hi — piH2; тхЕг = m2Ei; m2Ei =
= ^|piH2 и hEfj.2 = h£f,i, где pi)2;
mi,2 — электрические и магнитные
моменты диполей; Ji,2 — токи в
режиме передачи антенн; £Mi,2 — МДС,
наведенные в антеннах при приеме.
7.13. Дисперсионные уравнения периодических
структур
Периодические структуры
широко применяют в антенной технике как
искусственные диэлектрики для линз
и самостоятельных антенн.
Важнейшая характеристика таких структур —
постоянные распространения их
собственных волн. Дисперсионные
уравнения для их определения легко
получить методом наведенных ЭДС^МДС.
При этом структура
рассматривается как линейная по продольной оси
0Z решетка двумерных или линейных
решеток, расположенных в поперечной
плоскости X0Y и возбуждающих по
оси 0Z систему гармоник Флоке.
Задавая распределения токов в
элементах структуры в виде рядов мод Фурье
и находя поля этих мод, вычисляют
суммы собственных и взаимных
сопротивлений, наведенных всеми
элементами трехмерной структуры на нулевой.
Удовлетворяя затем граничным
условиям на этом элементе, находят после
усреднения с весом систему
однородных алгебраических уравнений
относительно амплитуд мод Фурье.
Искомое дисперсионное уравнение
получается в результате приравнивания нулю
дитерминанта этой системы [7.27].
В наиболее интересном одномодо-
вом приближении на стержнях и при
одной распространяющейся (с фазовой
постоянной 7о = к) гармонике
Флоке, когда остальные гармоники —
затухающие с постоянной распространения
поперечной структуры ут = — iam,
такое уравнение для трехмерной
структуры имеет вид [7.28]
А,-
sin kLz
cos hzLz — cos к Ь^
+
1 +
sh amLz
cos hzL2—ch ocmLz
(7.35)
= 0.
m^bO
Здесь Lz — период структуры по оси
QZ; hz —• искомая постоянная
распространения по оси 0Z (полагая hx =
= hy = 0) собственной моды
структуры; ат — формфактор нулевого
элемента so (для электрических токов с
распределением ф
t/)Emexp(i7m2')c/s
где Ет — нормированное поле т-й
гармоники Флоке).
Параметр поперечной решетки
AL = iT/Г,
где Г — коэффициент отражения; Т —
коэффициент прохождения через нее
(для симметричных относительно оси
0Z элементов Т — 1 + Г).
Если решетка образована
металлическими стержнями, то
AL = Xoo/R,
'00 >

kLz
Рис. 7.5
где Zoo = Roo + i^oo — сопротивление
стержня в поперечной решетке с
учетом наведения всеми ее стержнями.
Иногда поперечная решетка
может быть заменена эквивалентной
проводимостью Уэкв/% = i-B/Yb,
шунтирующей эквивалентную линию с
волновой проводимостью Yq . Тогда в
дисперсионном уравнении (7.35) следует
полагать
AL = 2/(В/У„).
(7.36)
График функции hzLz = F(kL2)
представляет собой диаграмму Брил-
люэна (рис. 7.5). В области -1 ^
^.coshzLz ^.1, т.е. -1 s% coskzLz +
+ sinkLz/Ai ^l с границами
cos hzLz = ±1, т.е. hzmm = 0; |Лгтах| =
= я/Lz, трехмерная структура
прозрачна. При А]_ < 0 и hz/k > 1 волна в
структуре — замедленная, при А± > 0
и hz/k < 1 волна — ускоренная. Вне
указанного интервала имеет место
полоса запирания, где | coshzLz\ > 1 и
hz = idz, т.е. мода структуры —
затухающая, несмотря на отсутствие
омических потерь*.
Уравнение (7.35) можно решать
итерационным методом. Однако
поскольку интервал изменения hz
известен, то можно поступить проще,
находя А± = ${hzLz) как функцию
hz и обращая полученную зависимость
hzLz = $_1(j4i). Влияние ряда J2m
приводит к сдвигу графика hzLz в
сторону А]_ > 0 (рис. 7.6). Для
При hzLz = kLz + АкгЬг и AhzLz < 1
имеем coshzLz = coskLz cos(AhzLz) —
— sinkLz s'm(AhzLz) и coskLz-AhzLzx
XsinkLz и из (7.35) следует, что
AhzLz я -Яоо/№о + £m); h/к «
*1-Доо/№>о+ £„,)■

окончательного решения
дисперсионного уравнения необходимо рассчитать
А± в зависимости от геометрии
поперечной решетки и самих элементов.
Дисперсионное уравнение
распространения собственных волн в
произвольном направлении (pz = a,vctg(hz/hx)
при hx ф 0 в плоскости XOZ [7.29] для
бесконечных стержней, параллельных
оси OY, с равномерным
распределением тока будет
^оо
■До о
т{кЬгу/Г-1нх/к)3)
sin
coshzLz — cos[kLzy/l — (hx/k)2
со
- Е
(7.37)
-+
1 - {К/ку
(2irm/kLz + hx/k)2 - 1
с . / - 1,2-кт hr\2 \
х \ cos hzLz —
, / , , / /„ ТП2 hv , 2 м - 1 ■,
-4^(2—+ T) -1)] >•
Зависимость Aroo/-Roo от а и Д,,
(a — радиус стержней) при простом
суммировании сопротивлений,
наведенных стержнями, принимает вид
[7.30]
X
оо
кЬя
hxy<fN0(ka)
Rqo 2 V \ к J \ Jo(ka)
Ч-
+
СО
+2 ^ ЩркЬх) cos(pkLx)j. (7.38)
p=i
Так как этот ряд —■ медленно
сходящийся, то его целесообразно
преобразовать, используя выражения
суммирования Пуассона [7.31]
00 1
]Г>о(р/)сов(рЙ) = --(<7-
In-
р=Х
+ Е
(пфО)
1
у/(Н + 2жп)
1 2жп
(7.39)
и полагая / = kLx\ t — hx/k\ tl - hxLx;
0 ^ hx/k ^ 1. Здесь С = 0,5772 —
постоянная Эйлера.

7.14. Оценка эффективности многолучевых антенн
Оценим эффективности д» каналов
многолучевой антенны (МА), равные
отношению реального КУ к КУ одно-
канальной антенны такой же апертуры
и такими же ДН. Запишем поля Е,-, Н;
(г = 1, N) при возбуждении МА по г'-му
каналу:
(■•^пад, "-nanji Т ^(-Ьотр, -Н-отр)»
— в возбужденном канале;
^АнЛ-Ьотр! -Hoxpjfc i к = 1,iv ; Sf 1
— в остальных каналах;
<jft(Eoj,Ho,-) — в пространстве.
Здесь (Епад, Нпад) и (Еотр, Нотр) —
поля, нормированные на единичную
переносимую ими мощность; вц, s^i —
коэффициенты; |s,j|2, |вь:р —
мощности отражения в возбуждаемом и
прохождения в остальных каналах при
единичной падающей мощности; Ео»,
Но» — поле излучения г-ro канала,
нормированное на единичную
излученную мощность.
При возбуждении по г-му каналу
мощность излучения антенны Wu —
= |<2,:|2. Из уравнения энергетического
баланса, следует
N
ИЪ = |и|Ч1-£>*•■ I2 (7.40)
t=i
(неравенство справедливо при потерях
в тракте), а из сопряженной лем-
7.1. Фелъд Я.Н., Бепепсоп Л.С. Антенны
сантиметровых и дециметровых волн. Ч. 1.
М.: ВВЙА им. Н.Е. Жуковского, 1955.
7.2. Фелъд Я.Н., Бепепсоп Л. С. Антенно-
фидерные устройства. Ч. 2. М.: ВВИА им.
Н.Б. Жуковского, 1955.
мы, примененной к полям (Eoi,H0;)
(Eoj,Hoj) (второе поле соответствует
возбуждению антенны по j'-му
каналу), —
лг
Y2 skis*kj = ~Щ = -<liPii<lj\ г Ф 3,
к = 1
(7.41)
где {5ц = \j {[EoiHj^ + tESj-Ho,-]} d& =
ее ± jEoiWojdb; \/3ij\ < 1; \0ц\2 = 1
•Soo
— взаимные мощности
(коэффициенты взаимодействия) парциальных ДН
многолучевой антенны,
нормированные на единичную излучаемую
мощность, (Wij —■ такие же параметры,
но для ДН, нормированных на
единичную подводимую к антенне мощность).
Если Wij = @ij = 0, то по
определению соответствующие ДН
ортогональны. Если поверхность Sod заменена
поверхностью 5s антенны, включающей
и ее апертуру, то
Wij = \ j{[EoiH*oj] + ЩН1П}} els.
s
Поля Ео», Но,:, Eqj, Hoy
рассчитывают по токам, заданным с учетом
металлических частей антенн, поэтому
не совпадают с полями,
рассчитанными в приближении Кирхгофа.
7.3. Антенны эллиптической
поляризации // Сб. статей: Пер. с англ. / Под ред.
А.И. Шпунтоеа. М.: Иностр. лит., 1961.
7.4. Марков Г. Т., Сазонов Д.М. Антенны.
М.: Энергия, 1975.
7.5. Вольперт А.Р. О фазовом центре
Литература

антенн // Радиотехника. 1961. Т. 16. № 3.
С. 3-12.
7.6. Либин В. А, Некоторые
характеристики антенн произвольной поляризации //
РЭ. 1960. Т. 5. № 11. С. 1786-1796.
7.7. Канарейкин Д.Б., Павлов В.А., По-
техин В.А. Поляризация радиолокационных
сигналов. М.: Советское радио, 1966.
7.8. Mathis Н. A Short. Proof That an
Isotropic Radiator Is Impossibly // Proc. IRE.
1954. Vol. 39. № 88. P. 970.
7.9. Scott A Theorem of Polarisation of a
Null Free Antenna // Trans. IRE on AP. 1966.
Bd. AP-14. № 5. P. 587.
7.10. Коренберг E.E. О некоторых
общих свойствах характеристик
направленности антенн // Радиотехника. 1959. Т. 14. № 9.
С. 13-16.
7.11. Постное Г.А. Ц РЭ. 1968. Т. 13.
№ 2. С. 219-225.
7.12. Резников Г.Б. Антенны
летательных аппаратов. М.: Советское радио, 1967.
7.13. Бененсоп Л.С, Фелъд Я.Н.
Рассеяние электромагнитных волн антеннами // РЭ.
1988. Т. 33. № 2. С. 225-246.
7.14. Леонтович М.А., Левин М.Л. К
теории возбуждения колебаний в вибраторах
антенн // ЖТФ. 1944. Т. 14. № 9. С. 481-506.
7.14а. Леонтович М.А., Левин М.Л. О
возбуждении вибраторов в антеннах // Изв.
АН. Сер. Физика. 1944. Т. 8. № 3. С. 156-163.
7.15. Левин М.Л. /I Изв. АН. Сер.
Физика. 1947. Т. 11. № 2.
7.16. Schelkunoff S.A. Electromagnetic
Waves // NY, D. Van Nostrand, Inc. Apr. 1943.
7.17. Аорони Антенны: Пер. с англ. / Под
ред. А.И. Шпунтова. М.: Советское радио,
1951.
7.18. Кюн Рудольф. Микроволновые
антенны: Пер. с нем. / Под ред. М.П. Долуха-
пова. М.: Судостроение, 1967.
7.19. Brouner L.E. On the Vector
Distribution on Surfaces // Proc. Royal Acad.
Amsterdam. 1969. Vol. 11. PP. 850-898.
7.20. Фрадин А.З. Об одном методе
синтеза излучателя, максимально
приближающегося к изотропному // РЭ. 1963. Т. 8. № 5.
С. 759-766.
7.21. Хапсен Г.С. Сканирующие
антенные системы СВЧ. Т. 1-3: Пер. с англ. / Под
ред. Г. Т. Маркова, А.Ф. Чаплина. М.:
Советское радио, 1968-1971.
7.22. Ерохин Г.А., Кочерокевский В.Г.
Обобщение оптической теоремы в элекроди-
намических задачах рассеяния // РЭ. 1995.
Т. 40. № 2. С. 192.
7.23. Кинбер Б.Е., Попов М.П.
Обобщение оптической теоремы на случай антенн //
ДАН СССР. 1989. Т. 308. № 3. С. 614-619.
7.24. Бепенсон Л.С, Фелъд Я.Н.
Некоторые новые квадратичные леммы для элекро-
динамических полей // РЭ. 1993. Т. 38. № 7.
С. 1179-1187.
7.25. Ва&нштейп Л.А. Элекромагнит-
ные волны. М.: Радио и связь, 1988.
7.26. Фелъд Я.Н. Об одной квадратичной
лемме электродинамики // ДАН СССР. 1992.
Т. 324. № 2. С. 321-324.
7.27. Бененсоп Л.С. Дисперсионные
уравнения периодических структур // РЭ.
1971. Т. 6. № 7. С. 1128-1135; Там же Т. 16.
№ 8. С. 1361-1373.
7.28. Фелъд Я.Н., Бепенсон Л.С.
Расчет фазовых скоростей волн в искусственном
металлодиэлектрике // РЭ. 1959. Т. 4. № 3.
С. 417-427.
7.29. Бенепсон Л.С. Фазовая скорость
волн в искусственном металлодиэлектрике
при произвольном направлении
распространения // РЭ. 1959. Т. 4. № 11. С. 1806-1815.
7.30. Бененсоп Л.С. Наведенные
сопротивления вибраторов в волноводе // РЭ. 1961.
Т. 66. С. 926-935. Там же Т. 14. № 7. С. 1202-
1216. Там же Т. 16. № 4. С. 483-497.
7.31. Градште&п И.С, Рыжик И.М.
Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. Изд. 4-е. М.: Физматгиз, 1962.
7.32. Маркувитц. Справочник по
волноводам: Пер. с англ. / Под ред. Я.Н. Фелъда.
М.: Советское радио, 1952.
7.33. Хапсен Р.С. Соотношения между
антеннами как рассеивателями н как
излучателями // ТИИЭР. 1989. Т. 77. № 5. С. 30.
7.34. Бепенсон Л.С. К расчету связи
антенн, расположенных над статистически
неровной поверхностью // РЭ. 1993. Т. 38. № 9.
С. 1570.
7.35. Barric D.E. // Tranc. IRE. 1968.
Vol. AP-16. № 4. P. 449.
7.36. Семенов Б.Н. // РЭ. 1970. Т. 15.
№ 3. С. 595.
7.37. Зубкович С.Г. Статистические
характеристики радиосигналов, отраженных от
земной поверхности. М.: Советское радио,
1968.
7.38. Справочник по радиолокации: Пер.
с англ. / Под ред. М.Т. Сколпика. Т. 1.
7.39. Основы радиолокации: Пер. с англ.
/ Под ред. Я. С. Ицхоки. М.: Советское радио,
1970.
7.40. Антенные решетки. Обзор
зарубежных работ / Под ред. Л.С. Бепенсопа. М.:
Советское радио, 1968.
7.41. Бепенсон Л.С, Лапдсберг И.Л.
Оценка эффективности многолучевых антенн
// Вопросы радиоэлектроники. Сер. XII. 1964.
Вып. 19. С. 29-40.
7.42. Бенепсон Л.С, Ландсберг И.Л.
О парциальных диаграммах многолучевых
антенн с равноэффективными каналами //
Вопросы радиоэлектроники. Сер. XII. 1964.
Вып. 19. С. 59-69.
7.43. Лапдсберг И.Л. Построение
многоэтажной диаграммообразующей схемы для
многолучевых антенных решеток // Вопросы
радиоэлектроники. Сер. XII. 1964. Вып. 19.
С. 41-58.

Глава 8
Метод развязки при помощи периодических
структур
8.1. Общие сведения. Способы повышения развязки.
Импедансные развязывающие структуры
Одной из важнейших задач при
разработке радиоэлектронной
аппаратуры является обеспечение
электромагнитной совместимости (ЭМС)
различных радиосистем, т.е. обеспечение
их одновременного нормального
функционирования в условиях реального
совместного размещения. Особенно
остро эта проблема стоит для
бортовой аппаратуры из-за
относительно небольших габаритов летательных
аппаратов при довольно большом
числе одновременно размещаемых
радиосистем. Электромагнитную
совместимость наиболее желательно
осуществлять методами электродинамики,
без вмешательства в схему
аппаратуры и не прибегая к временной
регламентации, нарушающей ее нормальное
функционирование, т.е. только за счет
уменьшения связи (увеличения
развязки) между антеннами.
Количественно развязка антенн
характеризуется коэффициентом
связи
Хсв = Рп/^пер, (8.1)
где Рп, Рпер — мощности сигналов,
принятого, на выходе приемной, и
передаваемого, на входе передающей
антенн.
Вместо Хсв удобнее использовать
обратную величину, которую
называют величиной развязки или просто
развязкой.
Удобство записи развязки (дБ) в
виде
Храэ = -Ю№в) (8-2)
обусловлено тем, что факторы,
влияющие на ее значение, входят в эту
формулу аддитивно.
Для антенн в свободном
пространстве развязка определяется уровнями
ДН (в долях КУ) в направлении
линии связи (с учетом поляризаций) и
пространственным разносом. При этом
выражение (8.1) представляет собой
формулу «идеальной радиопередачи»:
Хсв = AGiGar, (8.3)
где А = [А/(4тгД12)]2 —
пространственный фактор; Ri2 — расстояние между
центрами антенн-корреспондентов; G\,
Gi — уровни КУ антенн в
направлении линии связи; у = |(ti*tv>)|2
— поляризационный фактор; щ, тгг
— единичные комплексные векторы
(|хх1ж212 = 1), характеризующие
поляризации антенн.
Если антенны расположены на
идеально проводящей плоскости, то
фактор А принимает вид А =
= [A/(16?ri?i2)]4 при горизонтальной
поляризации (сохраняя прежний вид
при вертикальной поляризации).
Согласно (8.2) и (8.3) Храз = 22,6 дБ при
G\ = <j?2 — 7 = Й12/А = 1, возрастая на
6 дБ при каждом удвоении расстояния.
С ростом расстояния относительный
прирост развязки оказывается невелик
и недостаточен, так что возникает
необходимость в дополнительных мерах.
При этом, если эти меры
представляют единое целое с антенной, то
можно говорить о видоизменении ее ДН,

используя (8.1). Вообще же следует
говорить просто об электромагнитном
поле антенн, существенно зависящем
от конфигурации объекта размещения;
при этом связь осуществляется как по
пространству, так и вдоль
геодезических линий по поверхности объекта.
Однако и в этом случае для оценочных
расчетов используют выражения (8.1)-
(8.3), сначала определяя храз (дБ) для
антенн в свободном пространстве, а
затем, находя ее дефицит, подбирают
меры, которые могут его восполнить:
А'раз.тр = Хсв.прос т / у "Л;
г
Для слабонаправленных антенн
такой подход вполне приемлем.
Из сказанного следует, что для
увеличения развязки целесообразно:
1) применять пространственный
разнос антенн;
2) формировать ДН антенн с
низким УБЛ в направлении линии связи
за счет:
реализации специального
амплитудно-фазового распределения на рас-
крыве антенн;
помещении антенн внутрь
металлической или оклеенной поглотителем
полости;
нанесения поглощающего
покрытия непосредственно на боковую
поверхность самой антенны, что
позволяет снизить также и рассеяние
электромагнитных волн антенной;
частичного диафрагмирования
апертур антенны поглощающим (рези-
стивным) материалом;
3) изменять поле антенны при
помощи специальных мер, в том числе,
размещении вблизи приемной и
передающей антенн:
импедансных и резистивных
подстилающих поверхностей вдоль линии
связи, ослабляющих поле вдоль этой
линии;
металлических экранов,
ориентированных вдоль линии связи;
4) использовать эффекты
затенения для уменьшения связи между
антеннами:
располагая поглощающие или
металлические экраны, ориентированные
поперек линии связи;
размещая антенны по разные
стороны выпуклой поверхности,
являющейся частью объекта, на котором
расположены антенны;
5) применять поляризационные
развязки, а также методы,
компенсирующие нежелательные связи
сигналом, специально ответвляемым из
передающего тракта и др. [8.1].
Подчеркнем, что обеспечение
развязки, превышающей 100 дБ, как
правило, возможно лишь при комплекси-
ровании мер. При использовании
экранов развязка может не возрастать, а,
наоборот, уменьшаться. Это, в
частности, будет иметь место за счет
дифракционных эффектов при
размещении экранов вблизи антенны, когда их
кромки освещаются уровнями ДН,
гораздо более высокими, чем уровень в
направлении линии связи в отсутствие
экранов. При приближении экрана, к
антеннам уровень облучения кромок
возрастает, что приводит к
увеличению дифрагированного поля и,
следовательно, к уменьшению развязки.
Для слабонаправленных антенн из
перечисленных выше мер применяют в
основном две группы дополнительных:
1) экранирующие стаканы иэ ра-
диопоглощающего материала (при
этом антенна - волноводный или
рупорный излучатель - устанавливается
внутри стакана так, чтобы кромки
последнего облучались минимумом ДН),
фланцы-экраны, окаймляющие
апертуру и т.п.;

2) поверхностные развязывающие
устройства, расположенные вне
антенны на поверхности объекта по линии
связи для уменьшения уровня
приповерхностного поля.
Подобные меры необходимы лишь
для поля с поляризацией,
перпендикулярной поверхности объекта, так как
поле с параллельной к металлической
поверхности поляризацией равно нулю
на этой поверхности, а под малыми
углами к ней ослабевает как (fcr)-2.
Работу таких устройств поясним,
вводя понятие поперечного
поверхностного импеданса Zj_, равного
отношению взаимно-перпендикулярных
касательных к поверхности
электрического Er и магнитного Нг векторов
поля
Et = Zx[nHj, (8.4)
где п — нормаль к поверхности. В
этом случае может существовать
волна, которая для плоской поверхности
с постоянным рапределением
импеданса имеет вид
exp[-ay-iyz};
у/к = s/l-{ZL/Z0f; (8.5)
а/к = -iZL/Zo,
где z, у — продольная и поперечная
координаты на импедансной плоскости;
к = 2тг/А; ZQ = у/ро/еа; £o, /-«о —
диэлектрическая и магнитная
проницаемости вакуума.
Нетрудно убедиться, что при Z±
комплексном с положительной
(индуктивной) мнимой частью это поле будет
представлять собой медленную волну
с экспоненциально уменьшающей
амплитудой как по у, так и, при
наличии потерь в подстилающей
поверхности, по z. Если же импеданс чисто
реактивный отрицательный (емкостной),
то а/к < 0 и амплитуда поля,
минимальная у поверхности и равная нулю
лишь при у = О, возрастает при
удалении от нее по нормали, т.е. волна,
оставаясь замедленной, будет
псевдоповерхностной.
Возрастание развязки
поверхностных и приповерхностных антенн при
этом будет обусловлено снижением
уровня сигнала связи, в первом случае
— за счет омических потерь, во
втором — за счет уменьшения
приповерхностного поля. Однако реальная
развязка между антеннами определяется
не только развязывающей структурой
(PC), но и вкладом от всего поля,
возбуждаемого передающей антенной, а.
оно, помимо поверхностных и
псевдоповерхностных, будет также содержать
и пространственные волны. Оценим
зависимость вклада последних от
разноса антенн (удвоение разноса при
расположении в свободном пространстве
дает прирост развязки на 6 дБ).
Для простоты рассмотрим пример
бесконечной нити тока, расположенной
вдоль линии у = уо, z — 0 над
импедансной плоскостью у = 0; ее поле
(цилиндрическая волна) [8.2]
Н,(у,г) = °ф(-^/4) х (8.6)
х {exp(ifct/0 sin <p) + g(ip)+
+ 2k~iexP(ikVo sin <p) + g"(ip)]},
где
simp-га/к .
^) = sin^ + ia/TeXp(-1%oSm^);
а/к = — iZj_/Zo (член, обусловленный
поверхностной волной, отброшен).
Из этого выражения видно, что
ведущий член разложения, убывающий
как (fcr)-1/2 вблизи поверхности tp = 0,
отсутствует, а следующий член
разложения убывает как (fcr)-3/2 по
полю или (fcr)-3 по мощности, что
соответствует возрастанию развязки как

(£/А)3, т.е. на 9 дБ при удвоении
разноса.
При излучателе, возбуждающем
сферическую волну, последняя будет
убывать как (kr)~2 по полю, а
развязка — как (£/А)-4, т.е. на 12 дБ при
удвоении разноса, или в 2 раза
больше, чем для антенн в свободном
пространстве. Этот закон, по-видимому,
достаточно универсален и будет иметь
место при любых антеннах; из него
следует также, что чрезмерно
наращивать омические потери или отжатие
поля в PC нецелесообразно. Поэтому
ниже рассматриваются лишь
периодические структуры с
псевдоповерхностными волнами (ребристые и полоско-
вые). Отметим, что приведенные
соотношения еще не определяют
абсолютную величину развязки, которая
зависит от конструкции PC. Это
подтверждается строгими расчетами,
приведенными в [8.3], а также графиками
(рис. 8.1) ослабления* поля HX{L/X)
для структур двух типов — ребристая
(кривая 1) и магнито-диэлектрической
с потерями (кривая 2). Используя
ребристую PC, можно получить более
высокую развязку, чем при магнито-
диэлектрической структуре.
А, дБ
-20 | i 1 1 , 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 L/X
Рис. 8.1
* При расчетах принималось, что
структуры — оптимальные.
В [8.4] указано, что применяя в
PC быстропеременный импеданс,
можно получить и более быстрое
убывание поля с расстоянием. Однако
этот теоретический вывод вряд ли
может быть реализован практически,
поскольку такие импедансы весьма
чувствительны к неточностям
изготовления и к изменению частоты, не говоря
уже о том, что само понятие импеданса
в этом случае теряет смысл. Из
приведенного соотношения на первый взгляд
следует, что при увеличении размеров
PC и разноса антенн развязку можно
беспредельно повышать, но
практически это невозможно. Прежде всего,
на кромках конечной структуры
возникают дифракционные эффекты и
происходит рассеяние поля; аналогичные
эффекты вызывает и неточность
изготовления структуры (которая
сказывается особенно сильно при
использовании в ней резонансных элементов).
Наконец, независимо от условий
размещения антенн, возрастание
развязки свыше 130... 140 дБ
ограничивается связью антенн вследствие рассеяния
поля излучения на неоднородностях в
атмосфере.
Одной из важных характеристик
PC является полоса частот, в
которой ее можно использовать. В час-
ности, полоса частот может
ограничиваться минимально допустимой
развязкой, которая обеспечивается при
заданных размерах структуры. Это
ограничение характерно для низких
частот и для магнитодиэлектрических
PC. В других случаях принципиально
ограничена ширина полосы, например
ребристую периодическую структуру с
периодом 6, с прямоугольными
канавками шириной а и глубиной d при
импедансе [8.5]
-± = i£tg(fc,d). (8.7)

где kg = ку/ер/(ео!Ла); е, ц —
параметры заполнения канавок (импеданс
будет емкостным при 1/4 < d/X < 1/2),
можно использовать лишь в полосе
частот с перекрытием несколько
меньшим, чем 2:1.
Выводы, сделанные на основании
импедансного подхода, являются
ориентировочными, поскольку и этот
метод, и само понятие импеданса, как
величины, которая может быть
задана заранее, являются
приближенными. Более точные результаты
можно получить лишь при использовании
строгих электродинамических методов
и в результате численных
исследований. В частности, как показывают
строгие расчеты, ребристые структуры
«работают» в полосе с перекрытием,
несколько большим 2:1.
Многообразие вариантов
использования переодических PC
обусловливает большое число различных геоме-
Наиболее распространенным
типом PC являются металлические
ребристые структуры с прямоугольным
профилем канавки. Параметрами,
характеризующими конструкцию
структуры, являются период Ь, глубина d
и ширина а канавок. При
заданном периоде свойствами PC можно
управлять, изменяя размеры канавок.
Практически же развязывающие
свойства структуры слабо зависят от
величины а при ее изменении в интервале
О < а/Ь < 1/2 [8.6], поэтому
наиболее эффективен лишь один параметр
— глубина d. При этом наиболее
важно прежде всего для каждого значения
b определить d, при котором
происходит срыв поверхностной волны.
На рис. 8.2-8.16 приведены
графики коэффициента связи (развязки)
трических структур (как правило, их
располагают на линии связи, либо в
виде колец, охватывающих приемную
и (или) передающую антенны). В то же
время всегда имеется выделенное
направление, геометрия структуры вдоль
которого определяет ее
развязывающие свойства. Поэтому
целесообразно соответствующие граничные задачи
ставить для цилиндрических структур,
образующая которых
перпендикулярна выделенному направлению, о
котором сказано выше. Поскольку на
практике ширина PC составляет несколько
длин волн, то полученные в
результате расчетов оптимальные
(доставляющие максимальную развязку или
обеспечивающие максимальную широкопо-
лосность системы) геометрические
параметры структуры оказываются
такими же, как и для реальных
трехмерных структур.
^4раз (дБ) для случая связи двух
открытых концов волноводов на
плоскости, разделенных участком из 20
элементов ребристой или полосковой
структуры при вертикальной
поляризации. При расчете развязки антенн на
цилиндре использовались щелевые
излучатели, также разделенные
структурой из 20 элементов. На рис. 8.2 даны
расчетные графики развязки,
построенные в зависимости от глубины
канавок. Как при а/Ь = 0,1 (кривая 1),
так и при а/Ь = 0,5 (кривая 2)
глубина d, на которой поверхностная волна
срывается, примерно равна 0,215А. На
рис. 8.3 показаны зависимости (d/X)Kp
от величины Ъ/Х, причем кривая 1
получена при строгом расчете,
кривая 2 соответствует аппроксимацион-
ной формуле (d/A)Kp = 1/4 — 6/ЗА,
8.2. Расчетные характеристики импедансных
развязывающих структур

кривая 3 — формуле одномодового
приближения в гребенчатой структуре
(d/A)Kp = (l/27r)arccos(2fc/A).
А, дБ
-5
-15
-25
-35
-45
-55
Л
^
г
\2
2У
**Ч
О
(d/X)Kp
0,3
0.2
0,1 0,2
Рис. 8.2
d/X
^^
***-*^
^*«s
^
5^
^
Vй
^
0,1
°0 ОД 0,2 0,3 0,4 Ь/Х
Рис. 8.3
При Ь/Х ^ 0,1 три кривые
близки друг к другу, тогда как, например,
при Ь/Х = 0,4 зависимости 3 и 1
отличаются примерно на 40 %. Используя
графики на рис. 8.3, можно подобрать
параметры структуры,
обеспечивающей максимальную развязку в
заданной полосе частот. Пусть задан
диапазон Amax/Amjn = 2. Так как должно
выполняться неравенство 6/Amin ^ 0,5,
выберем, например, Ь = 0,32Am;n, что
соответствует Ь/Хтах = 0,160; из
графика 1 на рис. 8.3 найдем, что при этом
а — 0,2Атах.
На рис. 8.4 приведены графики
изменения коэффициента связи от длины
волны в диапазоне от 3,5 до 8 см для
двух глубин канавок: d = 0,2Amax =
= 0,2 • 7,5 = 1,5 см и d = 1,6 см.
Видно, что оптимальная глубина канавок
PC, обеспечивающей в диапазоне длин
волн от 3,75 до 7,5 см дополнительный
прирост развязки не менее 15 дБ,
составляет 1,55 см.
На рис. 8.5 и 8.6 приведены
аналогичные зависимости для структур с
периодами b — 0,067Amjn (рис. 8.5) и
b = 0,133Am;n (рис. 8.6). Эти
графики можно использовать для
подбора оптимальных глубин канавок PC
в заданных диапазонах частот. На
рис. 8.7 дана зависимость d/Xmm от
отношения Ь/Хтт для PC,
оптимизированных в диапазоне Amax/Am;n = 1,4,
построенная путем обработки серий
графиков, подобных изображенным на
рис. 8.4-8.8 [8.6]. На рис. 8.8
приведена экспериментальная зависимость
развязки от частоты для структуры
с периодом b = 0,067Amjn и
глубиной канавок d= 0,334Amin (на рис. 8.5
соответствующая зависимость
помечена цифрой 5). Видно, что PC с
оптимально подобранными
параметрами работает во всем заданном
диапазоне Amax/Amjn = 1,4.
На рис. 8.9 изображена
зависимость развязки Лраз от Ь/Хт-т при
длине структуры L = 4Amjn и глубине
канавок, подобранных в соответствии с
рис. 8.3 так, чтобы структура
обеспечивала максимальную развязку в
диапазоне Частот /max/Zmin = 1)4- При ЭТОМ
кривые 1 и 2 отвечают соотношениям
а/Ь = 0,5 и 0,9 соответственно.
Развязывающие свойства
структуры при правильном подборе
параметров определяются лишь ее длиной и,
по существу, не зависят от ее
периода. Расчетные данные можно
использовать и при других рабочих частотах
/Amin. Для этого по описанной
выше схеме следует подобрать при
помощи графика на рис. 8.3 оптимальные
геометрические параметры структуры.

А, дБ
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
,з
((
2
\
1
•
,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 А, см
Рис. 8.4
0,3233
1,4 A/Amin
А, дБ
1,4 А/Аг

а/л
0.2
ft 1
rnin
А, дБ
-24
-28
0 0,1 0,2 0,3 0,4
о/Amin
Рис. 8.7
-32
V.
rj
•' \yJ
%
f\f
А, дБ
-42
-46
1 1,1 1,2 1,3 1,4
///min
Рис. 8.8
-50
"*---<L
-■—^
2/
А, дБ
-39
0,1 0,2 0,3 0,4
Рис. 8.9
/"""i
/^^2
-47
0 10 30 50 kLi
Рис. 8.10
Графики на рис. 8.10
иллюстрируют зависимость развязки от
положения PC между источником и
приемником, разнесенных на
фиксированное расстояние кЬ. При этом
расстояние кЬ\ от излучающего волновода до
PC изменялось в пределах 0 < kLi <
< kL. Приведенные кривые
соответствуют структурам с глубиной
канавок d = А/4 и периодами kb = 0,6
(кривая 1) и kb = 2,4 (кривая 2). Видно,
что эффективность PC более, чем на
10 дБ, выше при ее расположении в
непосредственной близости от источника
излучения [8.6].
На рис. 8.11 даны зависимости
развязки (кривая 1) и КСВ в излучающем
волноводе (кривая 2) при Ь/Х = 0,2,
а/Ь = 0,5 от d/X [8.7]. Видно, что при
срыве поверхностной волны (d w 0Д8А)
КСВ резко возрастает, а затем плавно
уменьшается и при d/X ^ 0,3
стабилизируется. До момента срыва
величина КСВ испытывает осцилляции,
вызванные переотражениями
поверхностной волны от краев структуры.
При расположении ребристой
структуры на выпуклой
криволинейной поверхности абсолютное
значение развязки возрастает при
фиксированном расстоянии между приемной
и передающей антеннами по
сравнению с плоским случаем за счет
затенения их выпуклой поверхностью.
Большая расчетная широкополосность
выпуклых криволинейных структур
по сравнению с плоскими
объясняется трапециевидным профилем канавок
в первом случае. Очевидно, что при
использовании трапециевидных
канавок, рабочая полоса плоских PC
также увеличивается. Это можно
объяснить, представляя подобную
канавку как цепочку связанных контуров
с близкими резонансными частотами,
результирующая характеристика
которой более широкополосна. Ясно,
что этот эффект достигается за счет
некоторого снижения максимального
уровня развязки. Эффективная
глубина трапециевидной канавки несколько

A, KCB
-10
-30
-50
-80
-^—
^
N
\
-ft
J
\sS
1
— —jm
0Д
А, дБ
-10
-30
0,2 0,3
Рис. 8.11
0,4
0,5 d/X
-50
-70
-90
\
3
£
1
—\ _
/
If
/j
од
0,2 0,3
Рис. 8.12
0,4
0,5 d/X
меньше, чем у прямоугольной. Этот
вывод подтверждается приведенными
на рис. 8.12 данными о значении
развязки между двумя продольными
щелями на круговом цилиндре
радиусом ка = 26,18 и на плоскости для
различных d/X [8.8] при Ь/Х = 0,333,
а/b = 0,84 (кривая 1, только для
цилиндра) и а/Ъ = 0,5 (кривая 2 —
цилиндр, кривая 3 — плоскость). При
этом угловые размеры
трапециевидных канавок на цилиндре (/? — период,
а — ширина в радианах относительно
центра цилиндра) равнялись /3 — 0,08
в обоих случаях, а = 0,067 для
кривой 1, и а = 0,04 для кривой 2. Видно,
что, как и отмечалось, d/XKp для PC
на цилиндре несколько (в 1,15 раза)
больше, чем для плоского случая.
На рис. 8.13 приведены
графики развязки в диапазоне длин волн
/Amin = 1,4 [8.8] для двух щелей
на цилиндре со структурой (кривая 1)
и без нее (кривая 8) при ка = 26,18 и на
плоскости (кривая 2) [8.6] с геометрией
структуры такой же, как и в
предыдущем случае (см. рис. 8.12). Кривая 1
соответствует d = 0,267Am;n, /? = 0,08,

А, дБ
-20
-40
-60
-80
•""
3
2
1
1,1 1,2 1,3 1,4
V^min
Рис. 8.13
А, дБ
-10
-30
-50
"'°0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5
d/X
Рис. 8.14
a = 0,067 (см. рис. 8.7). Кривая J,
соответствует металлической плоскости
без структуры.
Увеличить рабочую полосу PC
можно также, внося дополнительные
резонансные элементы, например слои
магнитодиэлектрика, что
подтверждают зависимости развязки от дли-
Л
V
1
ъ
3
1^
S*
^х^
S
ны волны (рис. 8.14) для различных
структур с 6/А = 0,4 и а/Ь = 0,5 без
диэлектрического заполнения (кривая 1)
и с канавками, частично
заполненными магнитодиэлектриком (кривая 2)
[8.9]. Толщина слоя
магнитодиэлектрика равнялась 0,2А, а его параметры
— е/$о = 4,5, ц/fio = 2 — 2г. На этом
же рисунке приведена аналогичная
зависимость (кривая 3) для полосковой
структуры с тем же периодом (а —
ширина просвета между полосками) на
слое такого же магнитодиэлектрика,
лежащем на металлическом основании
(см. рис. 8.17).
Оптимальная полоско-диэлектри-
ческая структура (ПДС)
соответствует некоторой «резонансной» толщине
d/XKp. Наличие таких «резонансов»
показано на рис. 8.15, где приведена
зависимость величины развязки двух
волноводов, расположенных по разные
стороны ПДС, состоящей из 20
периодов, от толщины d диэлектрической
подложки (е/ео — 4, /л/цо = 1).
(Период структуры b = 1,2 см, ширина
полосок а\ = 0,6 см, расстояние от
волноводов до краев ПДС L\ = L^ = 0,2 см,
длина волны А = 3 см. На графике
видны два «резонанса», один из них
при d/X рв 0,34). Так же, как и для
ребристой PC, найдем, что толщина
подложки, соответствующая этому
«резонансу» и обеспечивающая
максимальную дополнительную развязку в
диапазоне 3,75.. .7,5 см, равна 2,56 см, т.е.

А, дБ
ou
40
50
60
7П
3,5
4,5
5,5 6 6,5 7 7,5 А, см
Рис. 8.16
^
//у
' У >
Ь a V-
^** d
\
//Л////'
1
W//
WA
V
/
/
Y777-
ъ.
/
",
/
77,
'%
/
/771>
%
V
У/
/
д)
Рис. 8.17

примерно 0,34Amax. На рис. 8.16
приведена зависимость развязки от длины
волны. Структура, как следует из
графика, обеспечивает во всем диапазоне
3.. .8 см дополнительную развязку не
менее 15 дБ.
Из приведенных графиков
следует, что ПДС широкополоснее
ребристых PC и применяются для
увеличения развязки в диапазоне частот с
перекрытием 3:1 и более. При этом,
однако, общая (усредненная по диапазону)
эффективность таких PC ниже, чем
у ребристых, что дает основание
рекомендовать использование ПДС там,
где расстояние между
развязываемыми антеннами достаточно велико.
На рис. 8.17,а-г показаны
различные варианты конструкций PC,
результаты исследований которых
приведены выше. Численные
исследования проводились с использованием
аппарата, основанного на решении
интегрального уравнения Фредгольма 1-го
рода [8.9]:
[(?(г, г') + Ge{r, r')]e(r') dE = H2(r);
s
r,r'<EE, (8.8)
где G",e — функции Грина задачи
Неймана для внутренней и
внешней областей соответственно; е(г) =
%° д и i \ л,
— -——-Нг(г) — искомая функция •—
к on
тангенциальная компонента
электрического вектора на Е; Е — суммарная
апертура (координатная граница
между Vi и Ve); д/дп — производная в
направлении нормали к Е иэ Vi в Ve;
Нг(г) — «правая часть»,
представляющая собой сумму первичного поля Н°
и поля Н', возбужденного первичным
полем в Vi. Соответствующие
алгоритмы приведены в [8.6-8.11].
Структуры 8.17,5,6 и аналогичных
типов (со сложным профилем канавок)
применяют для расширения рабочего
диапазона частот. Их можно
рассчитать на основе уравнения (8.8).
В качестве примера реализации
PC на практике приведем данные,
полученные с подковообразной
ребристой структурой, геометрические
параметры которой были
оптимизированы. Ребристую структуру
применяли с антенной трехсантиметрового
диапазона волн, размещенной в коробе с
закругленными краями, к которому в
плоскости, параллельной апертуре
антенны, пристыковывалась упомянутая
структура. Развязка между двумя
такими модулями, расположенными
заподлицо в плоском экране на
расстоянии около 5,5 м друг от друга,
составила 120... 126 дБ в диапазоне частот
с перекрытием 1,5:1. При этом вклады
различных мер распределились
следующим образом: Л rs 66 дБ, у = 0 дБ,
G1G2W « 54-=-60 дБ. В G1G2W
объединены вклады закругленных краев
коробов (порядка 15... 20 дБ) и структур
(30.. .36 дБ), G'iG2 и 4 -г 9 дБ (края
короба «освещаются» довольно
высоким уровнем диаграммы). Этот
пример показывает, что при оптимальных
PC можно даже при размещении на
малогабаритном объекте достичь
высоких значений развязки, близких к
предельно достижимым.

Литература
8.1. Дмитренко А.Г. // Изв. вузов. РЭ.
1976. № 2. С. 123.
8.2. Шевченко В.В. Плавные переходы в
открытых волноводах. М.: Наука, 1969.
8.3. Кюркчап А.Г., Свистунов Г.А. //
Антенны. М.: Радио и связь. 1982. Вып. 30.
С. 114.
8.4. Терешпн О.Н., Седов В.М., Чаплин
А.Ф. Синтез антенн на замедляющих
структурах. М.: Связь, 1980.
8.5. Нефедов Е.И., Сивое А.Н.
Электродинамика периодических структур. М.:
Наука, 1977.
8.6. Кюркчан А.Г. Расчет и
оптимизация параметров ребристых развязывающих
структур с учетом их влияния на диаграммы
антенн. М.: НИИЭИР. 1977. № 3-5559.
8.7. Кюркчан А.Г. // РЭ. 1977. Т. 22. Ш 7.
С. 1362.
8.8. Кюркчап А.Г., Зпмнов М.Х. // РЭ.
1985. Т. 30. Ш 12. С. 2308.
8.9. Kyurkchan A,G., Zimnov M.Kh.,
Nikonov S. V. jj Electromagnetic compatibility.
X International Wroclaw Symposium on
Electromagnetic Compatibility Wroclaw. 1990. Part 1.
P. 38.
8.10. Бененсон Л.С, Кюркчан А.Г.,
Суков А.И. И РЭ. 1992. Т. 37. № 1. С. 77
8.11. Бенепсон Л.С, Кюркчан А.Г. //
Радиотехника. 1995. Вып. 12.

Глава 9
Статистическая теория антенн
Статистическая теория антенн
(СТА) — это теория антенн со
случайными источниками. Она
позволяет исследовать в полном объеме
свойства реальных антенн, являющихся,
по существу, излучающими системами
со случайными источниками.
Случайными могут быть: амплитуда, фаза,
поляризация источников, их число и
пространственное положение,
размеры и форма излучающего раскрыва
и т.д. Конкретный механизм,
ответственный за флуктуации источников,
может быть различным. В одних
случаях они порождаются в самой
антенне из-за неточностей изготовления
элементов антенны, нестабильности их
параметров, отказов, эксплуатационных
(весовых, ветровых, температурных)
деформаций и т.п. В других
случаях флуктуации обусловлены
условиями распространения волны, падающей
на антенну — неоднородностями среды
распространения, влиянием
шероховатой подстилающей поверхности, мно-
голучевостыо и т.д. Соответственно
говорят о «внутренних» и «внешних»
механизмах происхождения
флуктуации. Наличие случайностей в
антенне ухудшает ее характеристики,
ограничивает предельно достижимые
значения их. Это имеет особую
значимость для крупных зеркальных антенн
и ФАР, поскольку с увеличением
размеров антенн и усложнением их
конструкций роль различных факторов,
приводящих к «случайности» в
распределении в антенне, резко возрастает.
Так как крупные антенны
чрезвычайно дороги, а требования к ним весьма
жесткие, то очень важно знать
причины возникновения и характер
случайностей в них, уметь рассчитать их
влияние на параметры антенны,
синтезировать антенны с учетом
неизбежно присутствующих в них
случайностей, знать возможности ослабления
их влияния. Решение комплекса этих
вопросов и составляет предмет
появившейся на рубеже шестидесятых годов
СТА [9.1].
Как подтверждает практика, в
настоящее время проектирование
современных крупных дорогостоящих
антенн, выбор целесообразной схемы их,
расчет реальных и предельно
достижимых характеристик с учетом
случайностей конструктивных факторов,
различных условий эксплуатации
(деформаций, повреждений, отказов и т.д.), а
также влияния среды немыслимы без
использования в той или иной мере
СТА, ее подходов и результатов. На
базе СТА формулируются разумные
требования к производству антенн и
их надежности. Эта теория позволяет
корректно оценить потенциальные
возможности различных методов
антенных измерений, требования к
соответствующей измерительной аппаратуре и
к антенным эталонам.
Аппарат СТА, ее результаты
могут быть также эффективно
использованы при решении многих задач,
связанных с интерференцией и
дифракцией частично когерентных волн
различной природы или рассеяния волн
на статистически шероховатых телах
и поверхностях, при оценке
потенциальных возможностей схем обработки
сложных сигналов.
Из сказанного выше следует, что
область применимости СТА, круг
решаемых ею задач весьма широк.

Ниже в сжатой форме даются
основы СТА. Излагаются
содержание теории, основные понятия,
методика решения наиболее часто
встречающихся на практике задач СТА,
отмечены основные статистические
эффекты, обусловленные наличием
флуктуации (случайных ошибок) источников
в антенне. Приведены формулы для
оценки этих эффектов, а также гра-
Как отмечалось выше, СТА — это
теория антенн со случайными
источниками. Основу ее аппарата составляют
исходные положения общей теории
антенн в сочетании с теорией
вероятностей и теорией случайных функций.
При статистическом подходе к
изучению характеристик антенн
различают статистику по ансамблю
(семейству) однотипных антенн и статистику
по времени отдельной антенны.
В первом случае изучается
разброс характеристик однотипных
антенн по ансамблю. Причинами такого
разброса могут быть неточности
изготовления антенн, неоднородность
материала, из которого они изготовлены,
и т.д.
Во втором случае рассматривается
разброс по времени характеристик
одной антенны. Причинами разброса
могут быть нестабильности параметров
антенны, изменение параметров среды
распространения волн и т.д.
Как и в обычной
(детерминированной) теории антенн в СТА можно
выделить два больших раздела,
посвященных, соответственно, решению прямых
и обратных задач (рис. 9.1).
Прямая задача СТА определяет
статистику поля антенны по заданной
ее структуре — конструкции и
условиям возбуждения, механизму
происхождения флуктуации тока или поля в
фики, иллюстрирующие основные
закономерности изменения параметров
антенн в зависимости от числовых
параметров ошибок — их дисперсии и
радиуса корреляции. Дается краткая
характеристика современного состояния
СТА, степень проработки различных
разделов теории. Указана наиболее
важная литература по СТА.
раскрыве антенны. Прямые задачи
делят на две, решаемые независимо,
внутренние и внешние.
Цель решения внутренней задачи
— нахождение статистики
распределения источников в антенне. Внешние
задачи состоят в определении статистики
поля антенны по заданной (найденной
в результате решения внутренней
задачи) статистике источников.
Обратная задача определяет
структуру антенны по заданной
статистике поля излучения. Обратная
задача (подобно прямой) делится на две
самостоятельные — внешнюю и
внутреннюю.
Внешняя задача заключается в
нахождении статистики распределения
источников в антенне по заданной
статистике поля излучения. Внутренняя
задача состоит в определении
структуры антенны по заданному (найденному
в результате решения внешней задачи)
распределению источников.
Как и в случае прямых, так и
в случае обратных задач, внутренние
задачи решаются различными
методами. Выбор метода определяется
механизмом происхождения флуктуации
источников в антенне, конструкцией
и технологией изготовления,
условиями эксплуатации. Зачастую решение
внутренней задачи требует
привлечения аппарата и методов, выходящих
9.1. Содержание статистической теории антенн

СТА
(ансамблевая
или временная
статистика)
Прямые
задачи
Внутренние
задачи
Внешние
задачи
Нахождение характеристик
средних
флуктуа-
ционных

корреляционных
Обратные
задачи
Синтез
и
оптимизация
Внутренние
задачи

статистические

Восстановление
Внешние
задачи
детермини-
рованно-
статисти-
ческие
Рис. 9.1
за рамки теории антенн. По
указанным причинам основное внимание в
работах, посвященных общим вопросам
СТА, уделяется рассмотрению
внешних (прямых и обратных) задач.
Внешние задачи решаются одними и теми
же методами для разных типов антенн.
Несущественным здесь является и
конкретный механизм флуктуации тока и
поля в антенне.
Рассмотрим подробнее
содержание прямой и обратной внешних задач
СТА.
Прямая внешняя задача. Цель
ее, как уже отмечалось выше, —
определение статистики поля излучения
антенны по известной статистике
источников в ней.
Начинают обычно с изучения
средних характеристик антенны — средней
ДН, среднего КНД, ширины средней
ДН и т.д.
Следующим шагом является
анализ флуктуации параметров антенны:
дисперсии амплитуды и фазы поля,
КНД, направления главного
максимума ДН и т.д.
Знание средних характеристик
антенны и флуктуации ее параметров
иногда недостаточно. Имеется ряд
практически важных задач, решение
которых требует изучения
статистической связи поля в «смежных» точках
пространства, т.е. изучения
корреляционных свойств поля излучения
антенны. Эти свойства, в частности,
необходимо знать при оценке разброса
случайных функций (ДН по полю или
по мощности, фазовой
характеристики, поляризационной ДН и т.д.) в
заданном угловом секторе.
Если поле излучения окажется
нормально распределенной случайной
функцией, то описание его с
помощью корреляционных функций будет
исчерпывающим. В общем случае
исчерпывающее описание статистики
поля антенны предполагает нахождение

многомерных законов распределения
поля.
Обратная внешняя задача.
Цель ее — определение статистики
распределения источников в антенне
по заданной статистике поля
излучения.
Обратные задачи могут быть
сформулированы как задачи синтеза
и оптимизации, когда надо определить
статистику распределения источников,
обеспечивающую оптимальные в том
или ином смысле статистические
характеристики поля, например
оптимальную среднюю ДН. Наряду с
такими задачами, обратные могут
формулироваться как задачи
восстановления (реконструкции), когда надо по
известной статистике поля излучения
антенны определить статистику
распределения источников в ней, например,
по измеренной средней ДН определить,
что породило эту ДН, т.е. какова
статистика распределения источников в
антенне.
Конкретная формулировка
обратных задач может быть самой
разнообразной в зависимости от того, какие
статистические характеристики поля
излучения антенны известны (заданы),
в какой зоне заданы эти
характеристики (в зоне Франгоуфера или в
зоне Френеля) и что является целью
решения задачи — нахождение
статистики распределения амплитуды или
фазы возбуждения источников, их числа,
положения и т.д.
Весьма важными для практики
являются обратные задачи,
связанные с нахождением такого
регулярного (детерминированного)
распределения источников, которое при
наличии в антенне ошибок с известной
статистикой обеспечивает заданные (или
измеренные) статистические
характеристики. Такие «детерминированно-
статистические» задачи занимают
промежуточное положение между
обратными задачами детерминированной и
статистической теории антенн.
Как видно из рис. 9.1, все
задачи, решаемые обычной
(детерминированной) теорией антенн, можно
сформулировать и в статистической
постановке. Вместе с тем при
статистическом подходе возникает много новых
задач, не имеющих аналога в обычной
теории антенн.
Очевидно, что результаты СТА
автоматически перейдут в
соответствующие результаты детерминированной
теории антенн, если в формулах СТА
устремить значение дисперсии ошибок
в антенне к нулю. Несмотря на
очевидность этого положения, оно
оказалось достаточно плодотворным.
Некоторые исследования антенных
характеристик, выполненные в
статистической постановке, пополнили в
определенной мере и «багаж»
детерминированной теории антенн.
Наиболее разработана и чаще
всего используема на практике теория
внешних задач СТА, которой ниже
уделено особое внимание (§§ 9.2-9.4). В
§ 9.5 дана краткая характеристика
современного состояния СТА в целом,
степени проработки всех основных
разделов.

9.2. Основы теории прямых внешних задач
статистической теории антенн
Основы теории прямых внешних
задач изложены обстоятельно в
монографии [9.1], где сформулированы
основные типы прямых внешних задач,
имеющих своей целью оценить
влияние случайных ошибок в амплитудно-
фазовом распределении (АФР)
источников на характеристики тех или иных
антенн. Статистика ошибок, числовые
значения присущих им параметров
полагаются известными из решения
(теоретического или экспериментального)
внутренней задачи. Разработана
методика решения различных типов
прямых внешних задач, получены
формулы для важнейших статистических
характеристик поля излучения ряда
классов антенн в дальней зоне,
проанализированы разные частные случаи.
Наиболее полно расчеты в [9.1]
выполнены для простейшей антенны —
линейной непрерывной синфазной
системы с равномерным амплитудным
распределением и случайными
фазовыми ошибками. Выбор для анализа
простейшей антенны существенно
облегчает расчет статистических
характеристик поля без ущерба для
главного — понимания сути теории, уяснения
методики решения прямых внешних
задач, выявления основных
статистических эффектов, их физической
интерпретации.
9.2.1. Методика решения прямых внешних задач
Общая характеристика статистических антенных
эффектов
Рассмотрим линейную систему
непрерывно распределенных идентичных
одинаково ориентированных
источников (рис. 9.2). Длина системы L.
Амплитудное и фазовое
распределение источников обозначим через A(z)
и tp(z) соответственно. Комплексный
множитель такой системы
L/2
f{9)= Г A(z)e,^^+kzsineUz, (9.1)
-L/2
где в —■ угол, отсчитываемый от
нормали к оси системы; к = 2ж/Х —
волновое число.
Вводя относительную координату
х = 2z/L и обобщенный угол и =
= (ir\)sin9, получаем
+1
/(и) = | Г A(x)eW')+u*Ux. (9.2)
-1
Рис. 9.2
Амплитудное распределение
будем считать детерминированным,
равномерным, т.е. А(х) — 1. Фазовое
распределение в силу тех или иных
причин случайно*. Примем функцию
* Р1сходные формулы в [9.1] приведены
для системы с произвольным
амплитудным распределением при наличии как
фазовых, так и амплитудных ошибок.

<f(x) нормальной однородной
случайно^ функцией со средним значением
ip(x) — О, дисперсией <f2(x) = сг~{х) =
= <Тд = а и коэффициентом
корреляции
ip(x)<p(xi) _ <p(x)ip(Xl)
<j(x)a(xi) a
— r(x — xi).
Последний характеризует степень
статистической связи между
значениями фазы в разных точках антенны.
Примем его в гауссовской форме
-(x-xi)-/e
(9.3)
Здесь с = 2p/L — радиус корреляции
в относительных единицах, связанный
с радиусом корреляции фазовых
ошибок р.
В соответствии с правилом
перемножения поле антенны в дальней зоне
Я(М = Яо(0, ¥>)/(«)
(9.4)
где Ео(9, <р) — поле центрального
«невозмущенного» источника единичной
длины, угол ip совместно с углом в
определяет направление на точку
наблюдения.
Поскольку Ео(0, if) является
детерминированной величиной, то при
изучении статистики поля эту
величину, как правило, можно опустить,
равно как и постоянный множитель L
в (9.2).
Соответственно можно считать,
что множитель системы
/(«)
+1
ei[v>(*)+«*Jda;
(9.5)
описывает поле антенны в дальней
зоне*.
* Множитель 1/2 в выражении (9.5)
удобно сохранить, так как при этом поле при
отсутствии ошибок /о (и) = smtt/u, и его
значение в направлении главного
максимума /о(0) = 1.
Так как <f(x) случайно, то f(u)
является случайной функцией
обобщенного угла и и представляет собою
одну из реализаций множителя
системы. Для данной реализации
определяют ту или иную характеристику
антенны, например ДН по мощности
|/(«)|2 = /(«)/*(«) =
+1
(9.6)
Av(T)-v^i)]^x-Xl)dxdxi<
или амплитуду и фазу поля, или
направление положения главного
максимума и т.п., а затем путем
усреднения по большому числу реализаций
(по ансамблю или по времени)
находят среднее значение соответствующей
антенной характеристики.
Используя известные подходы и теорию
случайных функций, можно также
рассчитать флуктуации антенных
параметров и корреляционные свойства поля
антенны.
Следуя этой схеме, в [9.1]
последовательно изучены средние
характеристики антенны, флуктуации
основных параметров, корреляционные
характеристики поля излучения
антенны. Показано, что наличие
случайностей в антеннах приводит к
ухудшению всех характеристик —
сглаживанию ДН, повышению УБИ,
снижению КНД, расширению основного
лепестка ДН, флуктуациям направления
главного максимума и т.д. Получены
формулы для оценки различных
статистических эффектов. Приведены
графики, иллюстрирующие зависимости
этих эффектов от дисперсии и радиуса
корреляции ошибок. Наряду с
общими формулами даны также
асимптотические выражения для ряда
практически важных случаев. Для
промежуточных областей, где нельзя
использовать простые асимптотические фор-

Рассеивающий
объем
Случайные
неоднородности
тропосферы
Прямой
сигнал
Рассеянный
сигнал
Передающая
антенна
Приемная
антенна
Рис. 9.3
мулы, приведены графики,
полученные путем численных расчетов.
Таким образом, весь диапазон
изменения дисперсии фазовых флуктуации
<т" и радиусов корреляции р
оказывается охваченным. Это позволило, в
частности, определить области
значений <т2 и р, при которых те или иные
эффекты проявляются в наибольшей
мере или разрушают характеристики
антенны недопустимым образом.
Весьма важным для практики
является то, что случайности в
антенне налагают серьезные ограничения
на параметры антенн — УБИ,
максимально возможное значение КНД,
затрудняется реализация даже
умеренно сверхнаправленных антенн. С
этими ограничениями связано
появление в СТА таких понятий и эффектов,
как предельный КНД [9.1],
насыщение КНД, предельно допустимое при
синтезе антенны значение КНД [9.2],
минимально допустимый уровень
бокового излучения [9.3, 9.4]. Серьезные
ограничения на "УБИ заметно
осложняют решение проблем ЭМС,
помехозащищенности и скрытности
радиотехнических систем.
В ряде случаев (на линиях загори-
зонтного распространения,
протяженных КВ-трассах, наличия на трассе
плазменных образований и т.д.)
флуктуации поля в апертуре антенны
могут быть весьма значительными. Это
приводит к существенному искажению
ДН, а иногда ДН вообще
рассыпается. Подобные эффекты подтверждены
экспериментально на линиях дальнего
тропосферного распространения [9.1].
Механизм образования поля у прямой
антенны в этих случаях показан на
рис. 9.3. «Прямой» сигнал
отсутствует. Поле у приемной антенны — это
поле, рассеянное на случайных неод-
нородностях тропосферы, поэтому оно
имеет резко флуктуационный
характер и статистические эффекты сильно
выражены.
Решения внешних задач пригодны
в равной мере как для ансамблевой,
так и для временной. Они не
зависят от того, порождены ли
случайности в антенне конструктивными
факторами или же обусловлены
влиянием среды распространения. Последнее,
в частности, проявляется в том, что
при заданной статистике поля в
апертуре параксиальной антенны
формулы и графики, описывающие
статистику поля апертурной антенны в
дальней зоне и в фокальной плоскости, оди-

наковы. Это позволяет результаты,
полученные при изучении
статистических эффектов в дальней зоне,
использовать при анализе аналогичных
эффектов в фокальной плоскости
антенны. Проблема статистики антенн в
дальней зоне смыкается, таким
образом, с проблемой статистики
дифракционного изображения фокусирующих
систем [9.1, 9.5]. Последняя, как
отмечено в [9.1], является, по сути, одним
из аспектов СТА.
Отметим еще одно важное
обстоятельство, возникающее по ходу
решения прямых внешних задач. Суть
его состоит в том, что при
статистическом подходе к анализу антенн
некоторые понятия обычной теории антенн
нуждаются в корректировке или
переопределении. Например, в теории
антенн существуют понятия
нормированной ДН, КНД, ширины ДН и т.д. При
статистическом подходе следует,
оказывается, различать среднюю
нормированную ДН и нормированную
среднюю ДН, средний КНД можно
определить различными способами (и
результат будет различным), среднее
значение максимального КНД и
максимальное значение среднего КНД —
понятия разные, различаются также
ширина средней ДН и средняя ширина ДН
и т.д. и т.п. В зависимости от
конкретной ситуации целесообразно
использовать либо одно, либо другое
определение КНД, ширины ДН и т.д.
На этом закончим общее описание
влияния случайностей в антенне на их
характеристики. Рассмотрим
конкретные формулы и графики для наиболее
важных статистических характеристик
поля линейной антенны со
случайными фазовыми ошибками.
9.2.2. Средние характеристики
Средние ДН. Усредняя
соотношение (9.5), получим следующее
выражение для среднего поля (средней
комплексной ДН):
+i
/(«)
,-«/2
/о(«)
-«/2^. (9.7)
Как видно из (9.7), среднее
поле антенны совпадает (с точностью до
масштабного множителя) с полем
антенны при отсутствии ошибок. Таким
образом, случайные однородные
ошибки в распределении источников не
влияют на характер распределения
среднего поля. Иначе обстоит дело со
средней ДН по мощности, выражение
которой можно найти, усредняя
соотношение (9.6):
1/(«)12 =
(9.8)
ifrW-tfzitie^'-'rtdxdx,
sin" u 1 г-^ а
и- 4 *-^ ml
пг—1
где
+1
1(ст,и)--
-(*-*,)/<£ ^(г-*,^^
— табулированная в [9.1] функция;
ст = cjsjrn.
При вычислении (9.8)
использовано выражение для характеристической
функции — совокупности двух
нормально распределенных величии <р(х)
и <р(х\). В выражении (9.8) первое
слагаемое в квадратных скобках
описывает ДН антенны по мощности при
отсутствии ошибок, второе —
характеризует искажение формы ДН при наличии

|/(и)|2,
дБ
-10
-15
-20
-25
к^
\ а =
о\\
3
, У1
1
Г
1
vS
1
гЬ
|/(«)|2,
дБ
-5
-10
-15
-20
-25
0,2\
/
с = ос
к °'5
1 \
а)
4
б)
Рис. 9.4
ошибок. Расчет средней ДН по (9.8) не
составляет особого труда. При
наличии множителя 1/т! ряд, входящий в
(9.8), сходится достаточно быстро.
Характер средней ДН по мощности |/(и)|2
для а = 0 показан на рис. 9.4,а, для
с = оо — на рис. 9.4,6". Кривые
определяют ДН при отсутствии ошибок. На
рис. 9.5 приведено значение средней
мощности, излучаемое в направлении
главного максимума
1 °°
1+ Е^
4 ^+ ml v
711=1
--—cJl1
"^~~—cL.
\^0£
^ .0,2
"*-""
|/(0)|2 = e-° 1+7 >;^/(cm,0)
(9.9)
Из рис. 9.4 видно, что случайные
ошибки в распределении источников
приводят к уменьшению поля в
главном направлении, заполнению нулей в
ДН, увеличению бокового излучения,
расширению главного лепестка. По
мере увеличения ошибок характер ДН
изменяется от осциллирующего к
монотонно убывающему.
1/(0) I2
0,8
0,6
0,4
0,2
° 12а
Рис. 9.5
Рассмотрим ряд важных частных
случаев.
Ошибки малы (а <С 1),
тогда
IW=(^y(l-«)+ia/(C,«).
(9.10)
Отличие средней ДН от
диаграммы при отсутствии ошибок характе-

ризуется двумя слагаемыми.
Первое — a (sin и/и)2 пропорционально
ДН при отсутствии ошибок, второе
— 0,25а/(с, и) определяет
искажение формы ДН из-за наличия
ошибок. Функция I(c,v) представлена на
рис. 9.6. При малых радиусах
корреляции (с <С 1) величина 1(с, и) к- 2^/тгс,
так что второе слагаемое
представляет собой почти постоянный фон
бокового излучения. Если, на.пример,
среднеквадратическая фазовая
ошибка а = 5° и значение радиуса
корреляции р ~ 2А, то при длине антенны 50А
имеем Fg = —31,5 дБ. Это не такой уж
малый фон бокового излучения, если
учесть, что при косинусоидальном
амплитудном распределении третий
боковой лепесток Fe
63
-36 дБ.
/(с, и)
_Лу
с = 6
' 1
/0,5
i-&H
-8-4 0 4 8 ф
Рис. 9.6
Радиус корреляции
ошибок много меньше
длины антенны (р < L). В
этом случае
1/(«)И=е"1( —) +
+ -
Е
2 '—' т\\/т
т=1
-""ст/4
(9.11)
Ошибки вели к и (а ^> 1)
и л и радиус корреляции
много больше длины
антенны (с >> 1). В обоих случаях
|/(«)|3 = 0,25/(са,и),
(9.12)
где са = с/у/а — средняя ДН. При
этом необходимо заменить с на са.
Средний КНД. При
наличии случайных ошибок КНД антенны
уменьшается из-за расширения
главного лепестка и увеличения уровня
бокового излучения. Исходной для
определения среднего КНД является
известная формула для КНД антенны с
осесимметричной ДН
D(u) = 2a\f(u
\f(u)\2du, (9.13)
где а = жЬ/Х.
Средний КНД можно определить
двояко. Первое определение
D(u)= Ua\f{u)\*/j\f{u)\idu
\ -а I
(9.14)
Согласно (9.14) вначале находится
КНД для отдельной реализации, а
затем производится усреднение.
Второе определение, используемое
обычно в литературе по СТА,
а
Щи) = 2a\f(uf-/ fWWdu. (9.15)
Согласно (9.15) средний КНД
находится по средней ДН. В общем
случае определения (9.14) и (9.15) не
эквивалентны. Однако для случаев,
представляющих наибольший
практический интерес, оба выражения
совпадают. Совпадение имеет место для
малых фазовых ошибок, а также в
случае, когда при наличии ошибок полная

мощность, излучаемая антенной,
меняется незначительно, в то время как
мощность, излучаемая антенной в
направлении и, меняется заметно.
Приведем формулы и графики для
среднего КНД в направлении главного
максимума — -D(O), определяемого по (9.15).
Ошибки малы. В этом
случае целесообразно рассматривать
снижение КНД — А = (Do - T>)/D0, где
Do = 2L/A — КНД при отсутствии
ошибок. Зависимость А от р
показана на рис. 9.7. При р <С А величина
А = 2\/жра/Х. С увеличением р
величина А растет, достигая при р на А
максимального значения, равного
примерно дисперсии ошибок а. Ширина
области наибольшего снижения КНД,
определяемая по уровню А = 0,84а,
составляет Q — 0,1L—А/7г и 0,11-. При
дальнейшем увеличении р снижение КНД
уменьшается. При р > 0,1L значение
Д = [1-0,25/(с,0)]а,
(9.16)
где
+1
-1
= 2^сФ ( - ) - с2(1 - е~4'г). (9.17)
А
а
0,84
0,5
п
— —
■«г—
- !
" — "
1 >
" —
~ — *>
\j
J Kj
0А
0,10,2 0,5 1 2 5 10 20 50 £
А
Рис. 9.7
В последнем соотношении Ф(^) =
z
=-у^ f e~* dt — интеграл вероятно-
сти. При /? > L величина А = Ь2-^.
Малые радиусы
корреляции. При р <С L справедливо
выражение D/Do = е~а, которое
достаточно универсально и пригодно при
произвольном амплитудном
распределении как для непрерывных
(линейных и апертурных) антенн, так и для
АР. Это соотношение получено для
нормально распределенных ошибок с
постоянной вдоль антенны
дисперсией а.
Отметим, что хотя р считается
малым, значения его ограничены снизу.
Для линейной непрерывной системы
область применимости по р
определяется неравенством [9.1] — \/а ^ р -С
'где ^(а) = Т 2- ^
<
2N(a)'
т—1
т
при больших ошибках или
неравенством А/7г ^р<1, если ошибки
малы. Форма коэффициента корреляции
несущественна.
Дисперсия ошибок а
и радиусы их корреляции
произвольны. Полная средняя
мощность, излучаемая антенной,
равна мощности, излучаемой при
отсутствии ошибок, т.е.
\f(u)\4u= / fl{u)du. (9.18)
Условия, при которых имеет
место соотношение (9.18), обсуждаются в
[9.1]. В частности, они заведомо
выполняются, если изменение фазы вдоль
антенны на расстоянии, равном
длине волны, мало по сравнению с
единицей. Это является типичным для

случаев, когда флуктуации поля в
антенне обусловлены условиями
распространения падающей на антенну
волны. Заметим, что для этой же
ситуации часто характерны и большие
значения а. При выполнении условия
(9.18) средний КНД
D/D0 = |/(0)|2,
(9.19)
Величина |/(0)|2 представлена на
рис. 9.5. Последний характеризует
снижение КНД при выполнении
условия (9.19).
Предельный КНД.
Оптимальные соотношения для зеркальных
антенн. Эффект предельного КНД
имеет место, если увеличение
размеров антенны сопровождается быстрым
ростом фазовых ошибок в апертуре.
Подобная ситуация возможна в
зеркальных антеннах (ЗА), в которых
допуск £ на изготовление поверхности
зеркала обычно растет с
увеличением L. Если относительный допуск
еотн = e/L = 10_m = const (здесь
величина т характеризует уровень
технологии изготовления зеркала), то
характер изменения КНД линейной ЗА
приведен на рис. 9.8. При L — Lmax
значение КНД достигает предельного
A-nax) a затем КНД уменьшается.
Значения Imax и Дпах определяются
соотношениями [9.6]
(L/A)
д
max лин
0,14/е
0,17/£о
(9.20)
D0,D
2-101-'
1.5
1,0
At/
1
1
i
D
0,5 0,75
Рис. 9.8
'101
L
г
А
Для апертурной ЗА аналогичные
соотношения имеют вид
(L/X)
max an
Anax an = 0,15g/£,
o,i4/£OT„; (921)
где q — КИП антенны.
Конструкция ЗА,
соответствующая I<max> Anax, нецелесообразна.
Потери КНД, обусловленные ошибками
при этом, значительны. Для линейной
антенны Апах = 0,61До, для
апертурной Д11ах = 0,37Д0 (До — КНД при
отсутствии ошибок). Целесообразно
выбрать значение L в начале области
замедления роста КНД (штриховая
линия на рис. 9.8). Если выбрать
значение L, при котором потери КНД
составят 20 % (примерно -1 дБ), то вместо
соотношений (9.20) и (9.21) получаем
(L/X)
А
цел.лий
цел.ап
0,094/ео
'цел.лин — и,101'/£|
Дцел.ап = 0,07г//£,
2 .
отн>
(9.22а)
(9.226)
Переход от £цел к -Ьптах означает
для линейной антенны увеличение
размеров в 1,5 раза, а для апертурной —
увеличение площади в 4,5 раза.
Достигаемое при этом увеличение КНД
будет для линейной антенны 13 %, а для
апертурной — в 2,1 раза. Поскольку
стоимость крупных ЗА резко растет с
увеличением L, то, очевидно, что
разумнее выбрать L = Ьцел, а не
стремиться к реализации L = Ьтьх.
В приведенные для Lmax и Ьтл
выражения входит отношение L/A,
поэтому можно также определять при
заданном допуске £ значение длины
волны Am;n, при котором реализуется
максимум КНД и значение Ацел:
min лин & 7,l£ ((To RJ 40 );
min an « 5£ (<70 И 57°);
цел.ап ~ Ю,бе (<Т0 И 27°).
(9.23а)
(9.236)

В соотношениях (9.23) в
скобках указано соответствующее значение
среднеквадратичной фазовой ошибки в
антенне в градусах.
Насыщение КНД. Эффект
насыщения КНД был обнаружен при
изучении влияния неоднородностей
атмосферы на КНД больших антенн [9.1,
9.7]. На рис. 9.9 показана зависимость
среднего КНД антенны, «работающей»
в неоднородной атмосфере, от ее
размеров L. С увеличением L отношение
радиуса корреляции фазовых
флуктуации в падающей волне к длине
антенны уменьшается*. Это соответствует
усилению роли случайностей в
антенне, ухудшению параметров. Сплошные
линии на рис. 9.9 соответствуют
линейной антенне, штриховые —
антенне с квадратной апертурой. Кривые на
рис. 9.9 построены по формуле (9.19)
D = DQ\f{o)\\
При описании неоднородной среды с
помощью гауссовской корреляционной
функции величина р примерно равна
среднему размеру неоднородностей
среды, имеющему порядок несколько
десятков метров [9.1].
Для линейной системы j/(o)|2
определена соотношением (9.9) и по
рис. 9.5. Сплошные кривые на рис. 9.9
представляют собой перестроенные
иным образом кривые на рис. 9.5.
При этом добавлены значения |/(о)|2
для больших значений а. Для
системы с квадратной апертурой величина
|/(о)|2, входящая в (9.19), будет иметь
следующий вид [9.1]:
|/(о)Р = е"
1
т
/а(С'т,0)
СО
771 = 1
(9.24)
Как видно из рис. 9.9, КНД
антенны вначале растет, затем при
достаточно большом значении дисперсии
флуктуации, как показано в [9.7], при
а ^ 4 реализуется четко выраженная
область «насыщения» КНД, в
пределах которой значение D меняется
мало. Затем КНД вновь растет по закону
D = D0e~a. Границы области
насыщения и значения КНД на этих границах
ориентировочно определяются
соотношениями:
для линейной антенны
J-ЛЛ ~ 1—1
л/а
Ьп и х/тгр ]Р
(9.25а)
771 = 1
т\л/т
2уЯр
A
E
(9.256)
mU/m
для апертурной антенны
2p_
L„ к, р
\
Ear
IT) I,
(9.26a)
m\Wm

Dn
4тгУ
"IT'
m—l
a"
(9.266)
Положения границ области
насыщения, определяемые
соотношениями (9.25а) и (9.26а), представлены
на рис. 9.10 (положение правой
границы отмечено и на рис. 9.9
крестиками). Достоинством рис. 9.10
является то, что представленные на нем
результаты для границ области
насыщения не зависят от р. Более
рельефно эффект насыщения выражен для
линейной антенны, у которой область
насыщения существенно шире. С
увеличением а ширина области
насыщения увеличивается, различие в ее
ширине для линейной и апертурной
антенн растет. При больших а
преодоление области насыщения путем
увеличения L практически нереально. В
области насыщения значение D
меняется мало. Приближенно отношение
D„/Dn ~ 1. Значения этого же
отношения, рассчитанного с
использованием точных формул (9.9) и (9.24),
даны на рис. 9.10 (штриховые линии).
При изменении а = 3... 10 значения
D„/D„ = 3...4,5, а для апертурной
— от 5 до 10 (о = 3 .. .8). При этом
для левой границы Вточ < 23приб, а для
правой — £>точ > Д,риб- Если учесть,
что в области насыщения размеры
антенны изменяются в сотни-тысячи раз,
то изменение КНД в области
насыщения можно считать незначительными.
При необходимости получения
значения D существенно большего, чем его
значения в области насыщения,
надо перейти к самофокусирующейся
системе. Для линейной системы из
N сомкнутых секций применение
самофокусировки эквивалентно замене
L —*• L/N или р —+ pN. Обла.сть
насыщения сдвигается вправо и вверх [9.6].
L
Р
1000
100
10
1
ОД
/
"^
\
•
•
<г
S
S
^3
j>"
1
\
s у
^
\dJt
6 8
Рис. 9.10
а
L,
an.ni
5 —
На рисунке кривые: 1 — L„\ 2
о Дпин.п! 4 (-Un/ил)яин;
ап.точ-
Ширина средней ДН. При
статической оценке ширины ДН
необходимо различать среднюю ширину ДН
и ширину средней ДН. Для
нахождения первой величины необходимо
вначале найти ширину отдельной
реализации ДН, а затем провести
статистическое усреднение. При малых
фазовых ошибках ширина отдельной
реализации ДН (главного лепестка) в
первом приближении оказывается
равной (см. [9.1]) значению ширины ДН
при отсутствии ошибок, т.е. 2uq =
2,78. соответственно и средняя ширина
ДН равна 2к0. При больших ошибках
для нахождения средней ширины ДН
целесообразно (см. [9.8]) использовать
метод математического моделирования
отдельных реализаций ДН с
последующей их статистической обработкой
(метод Монте-Карло).
Вторая величина — ширина
средней ДН, обозначаемая ниже 2иСр,
исследована в [9.1] при произвольных
значениях ошибок. Приведем
соответствующие результаты.
Малые о ш и б к и. В
этом случае имеет место следующее

соотношение [9.1]:
2иср = 2и0 + 2Au = (9.27)
= 2,78 + 0,92[/(c, u0) - 0,5J(c, 0)]a.
Второе слагаемое определяет
расширение средней ДН — 2Ди.
Зависимость этой величины от радиуса
корреляции ошибок, рассчитанная по (9.27),
представлена на рис. 9.11. При с<1
значение 2Ди = 1,63са, при с ^> 1
значение 2Ди = 1,46а/с2. При с га 0,75,
т.е. при условии, когда радиус
корреляции р & 0,4L, значение 2Ди
достигает максимума, приблизительно
равного 0,6а. Относительное расширение
главного лепестка средней ДН (%)
будет 2Аи/2и0 и 0,6а/2,78 « 20а.
2Ди| "74 I I
а / \
0,4 —/ X
0,2
0 12 3с
Рис. 9.11
Приведенные результаты о
характере зависимости ширины главного
лепестка средней ДН от радиуса
корреляции ошибок позволяют понять
«механизм» снижения среднего КНД
антенн. Как уже отмечалось, снижение
КНД Д при наличии ошибок
объясняется расширением главного
лепестка и повышением УБИ. Обозначим
относительный вклад, вносимый в
снижение КНД расширением ДН через
А\ = 2Аи/2щ, соответственно
величина 1 —Дх/Д характеризует
относительный вклад в снижение КНД,
обусловленный увеличением бокового
излучения. Ниже приведены значения
относительного расширения главного
лепестка Дь снижение среднего КНД Д
и величины Ai/A для различных
радиусов корреляции:
р ...~ A 0.1L 0,4L L <L
Ai...~*f 0,1а 0,22а 0,086а 0,14^
А ...~а 0,84а0,45а 0,14а 0,17^
7?-...~Г 0,12 0,49 0,61 0,82
Из данных видно, что характер
Ai и Д от р существенно
отличаются. В области р ~ Л снижение
КНД максимально и обусловлено
увеличением бокового излучения. При
р яз 0,4L расширение главного
лепестка максимально, снижение КНД
составляет примерно половину
максимально возможного. Расширение
главного лепестка и повышение УБИ
вносят примерно равный вклад в
снижение КНД. При дальнейшем
увеличении р снижение КНД уменьшается, а
вклад расширения главного лепестка в
снижение КНД растет.
Итак, при малых р снижение КНД
обусловлено повышением УБИ, при
больших р — расширением главного
лепестка. В общем случае основное
влияние на снижение КНД оказывает
первый фактор.
Ошибки или радиус
корреляции велики.
Средняя ДН описывается формулой
(9.12). Величина 2иср определяется из
условия
w=£fe$4 (9'28)
Общий случай. При
произвольных а и с величину 2иср
находим из рассмотрения средних ДН,
построенных по (9.8). Полученные таким
образом данные о 2иср представлены
на рис. 9.12 и 9.13. Штриховой линией

(a = 0,5
и а — 1)
показаны результаты расчета
отношения 2ucp/2u0 по (9.27) в
предположении, что ошибки малы. Это выражение
практически пригодно для а ~ 1.
0,5 1,0 1,5 с
Рис. 9.12
9.2.3. Флуктуации параметров антенн
Флуктуации амплитуды и
фазы поля. Множитель системы f[u)
представляет собой в общем случае
комплексную величину. Модуль его
определяет амплитуду поля (ДН по
полю), а фаза — фазовую ДН. При
изучении флуктуации амплитуды и
фазы будем считать ошибки малыми,
поэтому достаточно ограничиться
членами первого порядка малости.
Соответственно из (9.5) имеем
„, . sin и .1
Отсюда
+1
ip(x)emxdx. (9.29)
/(«)
sin u
+1
(9.30)
Д/(и)=1| / <p(x)emxdx.
Обозначим далее амплитуду
поля |/(и)| через Д и фазу через Ф.
При отсутствии ошибок амплитуда
поля До = |sinu/u|, фаза поля Фо равна
нулю или 7г. Используя (9.29),
нетрудно показать [9.1], что в области, где
До ^ |Д/|) имеют место следующие
соотношения:
Д = До + созФоЯеД/; Д = Д0;
Ф = Фо + со8Ф01тД//Д0; Ф = Ф0;
(9.31)
AR = созФоЯеД/ =
+1
соэФо
ip(x) sin их dx;
-i
совФ01тД/
■До
СОвФо
2Дп
+1
/ <р(х) cosuxdx. (9.32)
-1

Соотношения (9.32) показывают,
что в симметричных относительно
направления главного максимума
точках флуктуации фазы равны, а
флуктуации амплитуды отличаются
знаком, т.е.
ДФ(гг) = ДФ(-и);
AR(u) = -AR(-u).
(9.33)
При и = 0 получаем AR = 0;
+1
ДФ = ? / <p(z)dx, т.е. в направлении
~-1
главного максимума флуктуации
амплитуды в первом приближении
равны нулю и флуктуации поля
определяются лишь флуктуациями фазы.
Эти результаты характерны для
случая малых ошибок. При малых
амплитудных и фазовых ошибках
флуктуации амплитуды в направлении
главного максимума определяются
ошибками в амплитудном распределении,
флуктуации фазы — фазовыми
ошибками. Для других направлений
флуктуации амплитуды (или фазы) зависят
как от амплитудных, так и от фазовых
ошибок.
Дисперсии амплитуды и фазы
определяются выражениями
(ДЯ)2
До(АФ7
(9.34)
= $*)
■rrsmuxsmuxi
;)ip(xi) dxdx\-
COSW£COSWX*i
-[I(c,u)Th(c,u)],
где I(c, и) определено соотношением
(9.9) при т = 1, а
+1
h(c,u) = / /e-(«-"i)a/es+i«(*+el)dxdXl.
-l
(9.35)
Сумма (AR)2 и Яо(ДФ)2
определяет дисперсию комплексного поля
(ДЯ)2 + Я^(ДФ)2 = |Д/|2 = al(c, u)/4.
(9.36)
Последнее справедливо при любых
и, т.е. при любом соотношении между
Я0 и |Д/|.
Нетрудно видеть, что флуктуации
AR и ДФ независимы. Это следует
из того, что совокупность величин AR
и ДФ подчиняется гауссовскому
(нормальному) закону (поскольку Д/
распределено по гауссовскому закону), а
корреляционный момент
ДЯДФ = -(1/4Я0)х
+1
j I фы
хх) sin их cos'«»i dxdx\
16R~0
[Ii(c,u) - Г (с, и) + 1(с, и) —
-П(с,и)] = 0,
(9.37)
так как величины 1(с, и) и 1х(с, и)
вещественны. Соотношения (9.34)
позволяют рассчитать дисперсии
амплитуды и фазы поля при любых с для
направлений, где Яо 3> |Д/|-
Приведем результаты подобных расчетов
для двух частных случаев —
направления главного максимума и
направлений, соответствующих максимумам
боковых лепестков.
В первом случае и = 0
а .
(ДЯ)2 = 0; (ДФ)2 = -1(с, 0) = (9.38)
2фгсФ
с2(1_е-4/с=)
Результаты расчета (ДФ)2 по
формуле (9.38) представлены на рис. 9.14.
При с —^ оо система стремится к
синфазной, величина (ДФ)2 -* а.
Флуктуации фазы результирующего поля

|АФ|2
а
0,5
0.
0 2
Рис. 9.14
практически равны флуктуациям
фазы источников.
Во втором случае щ fa (2 к + 1)7г/2
и, соответственно,
(AR)l
j( = %[I{c,uk)Th(c,uk)].
(9.39)
Значения величины (ДД)|,
рассчитанные по (9.39), приведены на
рис. 9.15. Как видно из рисунка, при
некотором значении радиуса
корреляции ошибок Cfcmax дисперсия ампли-
туды поля максимальна. С
увеличением номера бокового лепестка Cj,max
уменьшается. Для величин с к max
и (АД)^тах имеем следующие
оценки [9.1]:'
Ом
— i
Uk '
(ДД)2,
Uk
(АЯ)1
а
0,04
0,02
п
3 \
2
к = 1
0,2 0,4 0,6 0,8 с
Рис. 9.15
Максимальная величина
относительных флуктуации амплитуды
поля (%) в направлениях,
соответствующих максимумам боковых лепестков,
СДЯ max/До* = 60у/йк~СГо.
Рассмотрим теперь флуктуации
амплитуды и фазы поля в
направлениях нулевого излучения. В этих
направлениях
f(u) = Af(u)- Д= |/(«)| = |А(«)|;
Д2 = |Д/(м)|2 = аДс,и)/4.
Амплитуда поля Д представляет
собой длину вектора с компонентами
А = ReAf и В = 1тД/.
Величины А и В подчиняются
двумерному гауссовскому закону.
Корреляционный момент
+1
К А,В = 7
<p(x)<p(xi)x
-1
х sin их cos ихi dxdx'i = 0
в силу (9.37), поэтому величины А и В
независимы. Дисперсии этих величин
при произвольном и определяются
соотношением (9.34), т.е.
°л,в = <*[А>.и) Т h(c, «)]/8.
При с «С 1 имеем [9.1]
/(с, и) ps 2y/wc; h(c, и) fa 2у/тгс———,
следовательно,
а\в - Утгса(1 T sin 2и/2ы)/4. (9.40)
В направлениях нулевого
излучения, характеризуемых значениями
щ = ктт (к = ±1, ±2 ..,), sin 2м = 0,
аА — ав — \/7гса/4 = а".

Поскольку компоненты вектора R
независимы и распределены
нормально с параметрами (0, и), то длина его
распределена по закону Рэлея
ш(К) = Re-*2'2*'/*2.
'Среднее значение и дисперсия
амплитуды будут
= Q^o\fij8c = 0,83<го\/с;
2
а
Т "
у/жссх
(AR)' = (4-*)- =
(4-я-)
0Д9са.
Закон распределения фазы поля
равномерный ш(Ф) = 1/27Г, дисперсия
фазы,(ДФ)2 = тг2/3.
При немалых с значения <тА и
<тв в точках и к неодинаковы и для
амплитуды поля имеем распределения
Хойта [9.9]
ЦЯ) =
Д
""Л^В
■ехр
4а2Аа2в
xl0
2 2
^B^^Tt D2
л 9 9
4<^в
-i^
где /о — модифицированная функция
Бесселя нулевого порядка.
Флуктуации КНД.
Выражения для флуктуации КНД следуют из
приведенных выше соотношений для
флуктуации амплитуды.
КНД линейной антенны
D = 2aR2/ / R2du.
(9.41)
В первом приближении (с
точностью до членов первого порядка
малости по <р) имеем [9.1]
а а
= / Щйи.
Соответственно для направлений,
в которых Ro ^> |Д/|,
_ 2a(Rl+2R0AR) 4aR0AR
и s = d0 + — ;
/ R20du f Rl du
— a —a
D=D0. (9.42)
Здесь Do — КНД системы при
отсутствии ошибок; AR — флуктуации
амплитуды, определяемые соотношением
(9.32).
Величина КНД распределена по
гауссовскому закону с дисперсией
a2D = (D- D)2 = 4Dl(AR)2/R20.
(9.43)
Дисперсия амплитуды
определяется соотношением (9.34). Отсюда
следует, что при Rq ^> |Д/| флуктуации
КНД (величина а о) характеризуется
величиной первого порядка малости.
Исключение составляет направление
главного максимума. В этом
направлении в первом приближении
флуктуации КНД отсутствуют и значение
КНД для любой реализации равно Do-
Для того чтобы выявить флуктуации
КНД в направлении главного
максимума, необходимо использовать
формулы второго приближения.
Вычисление дисперсии КНД и окончательное
выражение для него оказываются
довольно громоздкими (см. [9.1]).
Наиболее важными являются следующие
результаты. При р > А и с <С 1 значение
<70 = УсА£>о- Сопоставим эту
величину с £)0 — D. Последняя при р > А
и с <С 1 определяется соотношением
D0 ~ D = АД). Соответственно
aD/(D0-D) = y^<.l,
т.е. флуктуациями КНД можно
пренебречь. Таким образом, при с < 1 во
втором приближении КНД в
направлении главного максимума для любой
реализации может быть принят
практически одинаковым D = Д)(1 - а).
Полученный результат имеет достаточно

ясный смысл. Если с < 1, то
антенна может быть разбита на достаточно
большое число элементов с размером
порядка р и независимыми фазовыми
ошибками. Статистика «срабатывает»
в пределах одной реализации.
При увеличении с величины <Т£>
и Do — D становятся соизмеримыми,
т.е. при немалом с КНД различных
реализаций отличаются друг от друга
и от его среднего значения.
Флуктуации направления
главного максимума. Одним из
наиболее неприятных следствий наличия
фазовых ошибок является уход
направления главного максимума.
Положение максимума отдельной
реализации ДН (значение итах) находится из
условия
в_
du
f(u)\2 = 0.
При малых ошибках значение ttmax
также мало. Учитывая это и
ограничиваясь членами второго порядка
малости, из (9.6) имеем
ч2 7
|/(ы)|2 = 1 - — - u j xip(x) dx-
-l
-i 2
+ 1 Г+1
- <p2(x)dx+ - <p(x)dx
(9.44)
-1 lr-l
Дифференцируя (9.44) по и и
приравнивая производную нулю,
получаем
+1
x<p(x)dx. (9.45)
-1
Подставляя (9.45) в (9.44), найдем
2
3
1/(«)
= 1 +
/ х<р(х) dx
-1
Г+1
-- / <р2(х) dx + - / <p(x) dx
(9.46)
Нетрудно видеть, что значение
l/('u)lmax ^ /о(0) = 1- Знак равенства в
последнем соотношении соответствует
линейному распределению фазы вдоль
антенны.
Рассмотрим подробнее umax.
Поскольку <р{х) = 0, то ытах = 0.
Дисперсия ухода направления главного
максимума ДН будет
9
+ i
хх\(р{х)(р{х{) dxdx1 =
-aJ(c),
(9.47)
где
J(c) =
1
1 - е-4^:
±е-4/с-
(9.48)
При малых с имеем w^ax =
= Зл/тгса/2.
При больших с имеем w^ax =
= 2а/с2, т.е. при с —» 0 и с —> со
величина и^а,. —» 0. Физический смысл
этих предельных соотношений
очевиден. При с «С 1 число «независимых»
элементов, на которые можно
условно разбить антенну, очень велико. По
соображениям симметрии ясно, что в
этом случае направление максимума
поля ггтах близко к направлению и = 0.
При с ^> 1 система является
практически синфазной, а для синфазной
системы цтах = 0. При произвольном с
величина uj^ может быть определена
по (9.47). Результаты расчета по этой
формуле приведены на рис. 9.16.
Максимум величины ы^ах примерно равен
дисперсии ошибок а и соответствует
значению р ~ 0,4Ь (с ~ 0,7). Таким
образом, наиболее неприятными с
точки зрения ухода положения
максимума ДН являются ошибки, «период» ко-

"max
a
0,75
0,50
0,25
0
2
Рис. 9.16
торых составляет примерно половину
размера антенны.
Определим значение
относительного отклонения направления
главного максимума 6 как отношение
среднеквадратичного ухода направления
главного максимума к ширине ДН.
При равномерном амплитудном
распределении ширина ДН при
отсутствии ошибок 2uo = 2,78.
Соответственно 6 = л/u£,ax/2,78.
Максимальное значение этой
величины 6та.х = л/0,85а/2,78 = 0,33<то.
Среднее значение
максимального КНД. Как отмечалось ранее,
при статистической оценке
максимального КНД надо различать две
величины: максимальное значение среднего
КНД £>(0) и среднее значение
максимального КНД Дпах- Величина £)(0)
рассмотрена выше. Она определяется
соотношением (9.15) при и = 0.
Величина Апах естественно должна быть
больше, чем £)(0). В случае малых
ошибок при расчете Dmax можно
использовать выражение (9.46) для
величины |/(м)1тах- Как показано в
[9.1], при радиусах корреляции ошибок
р ^ А снижение максимального КНД
будет
^так —
£»п
Мпах я ^ т/ \
-6__ = A-iaJ(c)1
(9.49)
где Д — определяемая
соотношением (9.16) величина снижения среднего
КНД.
Различие между ДШах и Д
показано на рис. 9.17. Величина Д - Д
max
Достигает максимума при с = 0,7 и равна
приблизительно 0,3а.
Д„
А
0,75
0,5
0,25
д
N. a
Дтах
■>^а
0,5 1,0 1,5 с
Рис. 9.17
9.2.4. Корреляционные характеристики поля
Как отмечалось в § 9.2, имеется
ряд практически важных задач,
решение которых требует знания
корреляционных свойств поля антенны.
Пример такой задачи —
определение вероятности того, что ДН
антенны, представляющая собой случайную
функцию R(u), не выйдет в некотором
заданном секторе щ .. .и2 за
определенный уровень, который характери-

зуется заданной функцией v(u).
Такая задача возникает при оценке
пригодности антенны по уровню боковых
лепестков*.
Решение этой и подобных задач
сводится к нахождению
функционалов распределения случайных
функций. Доопределению [9.10]
функционалом распределения случайных функций
Щи) называют вероятность
выполнения неравенства Д(ы) §С v(u) при всех
значениях аргумента и в заданном
интервале, т.е.
Pr[v(u)} = P[R(u) <: v(u)],
где v(u) — «роизеольно заданная
функция.
Для гауссовской случайной
функции приближенное значение
функционала распределения может быть
найдено, если по известной
корреляционной функции определить интервал
корреляции и вероятность совместного
осуществления ряда независимых
событий, каждое из которых состоит в
том,что при данном и = ик значение
случайной величины R(uk) не
превосходят «(ид,.). Число этих событий к
равно числу интервалов корреляции,
содержащихся в секторе ф\ .. .«2-
К сожалению, амплитуда поля
R(u) не является функцией,
распределенной по гауссовскому закону. Тем не
менее, функционал распределения
амплитуды поля может быть, как ниже
показано, найден по известным
корреляционным характеристикам поля.
Рассмотренный пример
подтверждает, что знание корреляционных
* При учете случайного характера поля
антенны требование по боковым
лепесткам должно быть сформулировано
примерно так: антенна считается
пригодной, если вероятность того, что ДН в
заданном секторе не выходит за
определенный уровень, не меньше заданного
значения.
свойств поля в дальней зоне
антенны составляет основу для оценки
разброса случайных функций — ДН,
фазовых и поляризационной
характеристик. Оно необходимо также при
анализе потенциальной точности
моноимпульсных систем, при расчете
надежности систем разнесенного приема и
при решении ряда других задач [9.1].
Корреляционные свойства
поля излучения линейной антенны с
флуктуациями источников
описываются корреляционной матрицей 2-го
порядка
К(и и) = \ I{a(u'Ui) kaMu>ui)
' {Kb,a{u>ui) Kb(u,ui)
(9.50)
Здесь К а, Кв — корреляционные
функции реальной и мнимой частей
флуктуации поля Д/(и) = /(и) - /(и);
Л'а,в и Л'в,а — взаимные
корреляционные функции.
Матрица (9.50) дает полное
описание комплексной функции Д/(м) в
рамках корреляционной теории.
Если и = щ, то А'а.в дают
дисперсии А(ы) и В(и). Функции Л'а,в,
Л'в,а при этом характеризуют
корреляцию А(и) и B(w). Если и ф их, то
матрица (9.50) определяет корреляцию
между флуктуациями поля в точках и
И Mi.
Когда флуктуации поля
представляют собой гауссовскую функцию:
статистическое описание функции
Af(u) с помощью матрицы K(u,ui)
является исчерпывающим;
равенство нулю какого-либо
элемента матрицы означает
независимость соответствующих величин в
точках и и щ;
равенство нулю всех
элементов матрицы означает независимость
флуктуации комплексного поля в
точках и и и\.
Отметим два важных частных
случая, для которых флуктуации поля

распределены по гауссовскому закону.
Это случаи, когда фазовые ошибки
малы или когда радиус корреляции фа.-
зовых ошибок много меньше размеров
антенны (с <С 1).
В первом случае гауссовский
закон распределения следует из того, что
при малых ошибках е"^) = 1 + i<p(x),
а фаза <р(х) по предположению
распределена по гаусовскому закону.
Во втором случае
+1
-1
можно представить в виде суммы
большого числа слабо зависимых
слагаемых. Отсюда на основании
центральной предельной теоремы следует, что
/(и)' распределено по гаусовскому
закону.
Для анализа матрицы К(к, Ui)
вводятся две корреляционные
функции
K1(u,u1) = Af(u)Af(u1) =
= КА + Кв + i(AB,A - Ka,b);
К2(и,щ) = А/(и)А/(и1) =
= КА + Кв + Ц1<в, а + Ка.в)-
Если функции 7^1,2 найдены, то
все элементы матрицы К будут
KA = {ReK1+ReK2)/2;
КА,в = (1тК2 - Im#i)/2;
KB = (ReK1-ReK2)/2;
К в,a = (lmKi + Im AT2)/2.
Для функции Kii2 в [9.1] получены
следующие выражения:
A'i,2(w,wi
_ I
~ 4
(9.51)
1 _а ^ (±l)mam T/
где
1(ст,и,±щ)
+1
J /"e-(*-*i)a/<4+i«*±i«i*i dxdxi
При и\ = и интегралы I(cm,u,±ui)
совпадают с использованными ранее
величинами 7(ст,и) и Ii{cm,u)
соответственно.
Функции А'1,2 — действительные.
Отсюда следует, что К а,В = К В, А = О,
т.е. реальная и мнимая части Д/ не-
коррелированы, а
Ka,b(u,ui) =
К\{и, щ) ± К2(и, wi)
Используя приведенные в
работе [9.1] выражения или таблицы для
I(cm,u,±ui), можно по (9.51) рассчи-.
тать функции k\i2, а, следовательно,
и функции Ка,в при любых ошибках
и произвольных радиусах их
корреляции. При с <С 1 имеем следующие
асимптотические выражения:
1(ст, и, ±щ) к, 2^/wcr
sin(u=F щ)
Отсюда для ст = с/у/т находим
т=1
т\
Kl,2 =
2 uTui ^-* т\л/т
Максимального значения
функция A'i достигает при щ = и,
функции К2 — при щ = —и, тогда
|Ai max/A2max| > 1-
Если и и щ имеют одинаковый
знак, то при разносе точек и и и\ на
расстояние порядка 7г значения К\ и
К2 много меньше A'imax = К\(и,и).
Отсюда следует, что флуктуации поля

в точках, разнесенных на значение
порядка ж и более, практически некор-
релированы. Так как при с < 1
поле распределено по гауссовскому
закону, то некоррелированность
флуктуации поля означает одновременно и их
независимость.
Если и и и\ имеют одинаковый
знак и модуль их больше ж (т.е.
рассматриваются точки вне главного
лепестка), то величиной Кг можно
пренебречь по сравнению с К\. При этом
v v Kl
л/жс _asin(u — ui) r-^ am
4 и — wi -<-—' m\\fm
m=l v
Дисперсия компонент поля вне
Методы анализа статистики
УБИ. Функционал
распределения огибающей ДН. При анализе
статистики бокового излучения
антенны возможны три подхода. Первый из
них наиболее простой состоит в
расчете среднего УБИ (среднего «фона»).
Этот фон находится из рассмотрения
средней ДН по мощности. Для
линейной системы с малыми ошибками и
радиусами корреляции значение
среднего фона составляет (см. (9.10))
Fl=l,8ap/L.
Если, например, СКО фазы
сг0 = 5° и значение радиуса
корреляции р = 2А, то при длине антенны 50А
имеем Fl = —32,6 дБ. Это не такой уж
малый фон бокового излучения, если
учесть, что при косинусоидальном
амплитудном распределении третий
боковой лепесток F|3 = —36 дБ.
главного лепестка
l— °° m
„2 _ 2 _ V™ _e V^ _^ _ „2
А Б 4 ^ m\Jm
m=l v
(9.52)
Амплитуда поля распределена по
обобщенному закону Рэлея
(9.53)
где
6= |/(w)| = e-a/2|sin«/w|. (9.54)
В точках и = ±кж,
соответствующих нулям невозмущенной
диаграммы, b = 0 и амплитуда поля
распределена по закону Рэлея.
Для системы с квадратной
апертурой в ее главных плоскостях при с<1
и малых ошибках уровень среднего
фона
F| = 7ra(p/i)2,
т.е. УБИ в двумерной системе
заметно меньше. При СКО фазы, равном
5°, р = 2А, L = 50А значение F1 =
= —44,2 дБ вместо —32,6 дБ для
линейной системы.
Для линейной или «плоской
синфазной» решетки изотропных
элементов с малыми фазовыми ошибками,
независимыми в разных элементах,
средний фон постоянен
— N /Г N Л2
п=1 п=1
где N — число элементов; Ап —
коэффициенты возбуждения
излучателей решетки; S — величина,
характеризующая «чувствительность»
среднего фона к амплитудному
распределению в решетке.
9.2.5. Уровень бокового излучения антенны

Если исключить
сверхнаправленные решетки с присущим им быстро
осциллирующим амплитудным
распределением, то зависимость S от
амплитудного распределения
оказывается слабой. Минимальное значение S
имеет место при равномерном
амплитудном распределении. В этом случае
S=l/N; ~F% = a/N. (9.55)
Средний УБИ обратно
пропорционален числу элементов в решетке.
Соотношение (9.55) интересно и
тем, что оно позволяет сопоставить
влияние случайных ошибок в
возбуждении элементов решетки с
влиянием выхода элементов из строя. При
равномерном амплитудном
распределении значения фона, обусловленного
выходом из строя одного элемента,
будет 1/N2. Приравнивая Fl,
обусловленного двумя механизмами, имеем
а = 1/JV. Отсюда, например, следует,
что выход из строя одного излучателя
в 100-элементной решетке
эквивалентен по фону излучения фазовым
ошибкам со значением <т0 = 0,1 (6°).
Средний УБИ создает
определенное представление о влиянии
случайных ошибок на УБИ антенны. Однако
он не позволяет дать оценку
возможного УБИ у отдельной реализации
антенны.
Второй, более глубокий подход к
изучению статистики УБИ опирается
на изучение закона распределения
амплитуды поля антенны W(R) в
области боковых лепестков. Зная W(R),
можно рассчитать вероятность того,
что амплитуда поля в том или ином
направлении и не выйдет за заданный
уровень v(u). Для линейной системы
с равномерным амплитудным
распределением при с <С 1 закон W(R) —
обобщенный закон Рэлея (9.53), а
вероятность не превышения уровня v(u)
определяется интегральным
обобщенным законом Рэлея
«£:№)"'■№)■ <95б>
П=1 > ' ^ '
Здесь и и Ь определяются
соотношениями (9.52) и (9.54) соответственно;
/„ — модифицированная функция
Бесселя п-го порядка.
Кривые интегрального
обобщенного закона Рэлея можно найти,
например в [9.1]. Второй подход является
шагом вперед по сравнению с первым.
Однако и он не дает должного ответа
о действительном УБИ антенны.
Дело в том, что при наличии ошибок в
антенне ДН является случайной
функцией угловых координат, поэтому, как
отмечалось ранее, при анализе УБИ
надо изучать функционал Pr —
вероятность того, что вся ДН (амплитуда
поля R(u) в угловом секторе wj .. .щ)
не выйдет за заданный уровень,
характеризуемый кривой v(u). В этом суть
третьего, наиболее корректного
подхода к анализу УБИ антенны. Методика
нахождения функционала
распределения ДН (огибающей) изложена в [9.1].
В ее основе лежит знание
корреляционных свойств поля антенны.
Рассматривается наиболее важный случай
малых ошибок и малых радиусов
корреляции их. При малых ошибках
поведение огибающей ДН определяется
значениями ДН в точках ±ик,
соответствующих максимумам боковых
лепестков при отсутствии ошибок. При
равномерном амплитудном
распределении значения щ rj (2k + 1)т/2> т-е-
соседние точки разделены
интервалами 7г. Для определения
приближенного значения Pr надо рассчитать
вероятность совместного осуществления

ряда событий, каждое из которых
состоит в том, что значение R(u) = \f(u)\
в точке ик (или — ик) не превышает
значения v(u) в этой точке. Число
событий равно числу точек ±ик,
содержащихся в рассматриваемом секторе
значений и.
Решение задачи разбивается на
три этапа. Вначале находят
интегральный закон распределения R(u)
в точках ик, затем определяют связь
значений R(u) в различных боковых
лепестках, и, наконец, записывают
выражение для PR.
Интегральный закон
распределения R(u) в точках ик будет (см. (9.56))
Pk[R^ v(uk)] =exp
v(uk)
n = l
In
2a2
bkv(uk)
a-
(9.57)
где в соответствии с (9.52) и (9.54)
учитывая малость ошибок,
2 \/^с ,
о- = ——a; Ък =
Sill Ujfc
Wit
(2ik + l)u
Если ошибки так малы, что
Ьк/а ^> 1. то обобщенный закон Рэлея
переходит в гауссовский с
параметрами bk и ст. Интегральная функция
распределения примет вид
«(«*)
Pk
— /
\Дтгсг J
ехр
(а-ьк
>21
2<т2
#
J^j exp (-^)dr, = ^(«fc), (9.58)
где r)-{i- Ьк)/сг; 6к = [v(uk) - bk]/a.
Рассмотрим теперь взаимосвязь
значений R(u) в различных боковых
лепестках. Как отмечено ранее, при
с «С 1 значения поля в точках,
разнесенных на ж, практически независимы,
поэтому амплитуды поля в
максимумах соседних боковых лепестков
статистически независимы.
Однако имеется жесткая связь
флуктуации поля в симметричных
относительно середины ДН точках, что
вытекает из соотношения
Af(u
-i
eluxdx = -Af{-u).
Определим вероятность того, что
R(u) = |/(u)| в точках ±ик
одновременно не превысит значений v(±uk).
Функцию v(u) будем считать четной,
хотя это и не принципиально для
последующих рассуждений. Искомая
вероятность Рок — это вероятность
того, что конец вектора Af(uk) попадает
в заштрихованную на рис. 9.18 часть
круга радиуса v(uk). Учитывая, что
Af{uk) распределено по гауссовскому
закону, получаем
v(uk)-bk
Р0к =
I
2/2а2
dxx
Рис. 9.18

х I e~y2'2a'dy. (9.59a)
о
При bk/cr ^> 1 запишем
P0k = 2^(6k) - 1. (9.596)
Полученные результаты
позволяют вывести выражение для
функционала распределения огибающей
ДНРд.
При симметричном секторе
значений и имеем
N
PR = U Рок, (9.60)
где N — число боковых лепестков в
половине сектора.
При несимметричном секторе
N М
PR = Y[P0kY[Pm. (9.61)
к = 1 т—\
Первый множитель учитывает
лежащие в рассматриваемом секторе
парные боковые лепестки, второй —
одиночные. Величина Рт
определяется соотношением (9.57).
При достаточно малых ошибках
величины Рок и Рт определяются
соотношениями (9.596) и (9.58)
соответственно. Имея выражение типа (9.60)
или (9.61) для разных видов
амплитудных распределений в антенне,
можно сформулировать прямую и
обратную задачи расчета боковых
лепестков. Прямая задача состоит в
вычислении Pr при известном
амплитудном распределении, желаемой
(«граничной») функции v(u) и заданных
ошибках в антенне. Примеры
решения прямой задачи для равномерного
амплитудного распределения
приведены в [9.1].
Обратная задача может быть
сформулирована по-разному, в
зависимости от того, что хотим определить
— уровень v(u), амплитудное
распределение или «допустимую» статистику
ошибок в ней. Во всех случаях
значение функционала Pr считается
заданным. Примеры решения обратных
задач можно найти в [9.1] и [9.3]. В [9.1]
решается в простейшем виде задача об
определении допустимых ошибок при
заданном уровне v{u). Используя
полученные данные о приемлемых
ошибках, можно далее найти разумные
допуски на изготовленные антенны (как
это сделано в [9.1]) или на ее
стабильность.
Другой вариант обратной задачи
рассмотрен в [9.3], где изучены
ограничения, налагаемые случайными
ошибками в антенне на минимально
достижимый для этой антенны УБИ.
Минимально достижимый
(предельный) УБИ [9.3]. Как
известно, для снижения бокового
излучения используется спадающее к
краям амплитудное распределение.
Однако реально возможности снижения
УБИ при управлении амплитудным
распределением ограничиваются
влиянием всегда имеющихся в антенне
случайных ошибок. Эти ошибки создают
фон бокового излучения, уровень
которого мало чувствителен к изменению
амплитудного распределения. По
мере отклонения амплитудного
распределения от равномерного
номинальный УБИ (при отсутствии ошибок)
уменьшается и становится
соизмеримым с фоном, порождаемым
случайными ошибками. Дальнейшие
попытки уменьшить боковое излучение при
изменении амплитудного
распределения не приводят к желаемым
результатам. Более того, оно может даже
слегка возрасти, поскольку с
уменьшением номинального УБИ чувстви-

тельность антенны к случайным
ошибкам немного повышается [9.11].
Предельный УБИ можно определить,
используя каждый из трех отмеченных
выше подходов к анализу статистики
бокового излучения антенн. Наиболее
корректным представляется
использование третьего подхода, в основе
которого лежит использование
функционала Pr. Этот путь выбран в [9.3]
при оценке предельного УБИ дольф-
чебышевском ампдитудном
распределении со случайными ошибками.
Уровень функции v{u), для которой
рассчитывается Pr, принят постоянным
для всего сектора, что представляется
естественным, поскольку при дольф-
чебышевском ампдитудном
распределении все боковые лепестки при
отсутствии ошибок имеют одинаковое
значение. Задавая уровень
номинальных дольф-чебышевских лепестков F$
и значение СКО фазовых ошибок сто,
можно найти такой уровень v, при
котором значение Pr равно заданному.
Соответствующее v названо в [9.3]
статистическим УБИ vCT. Как показано в
[9.3], величину vcr определяют из
уравнения
= Ч/Рк, (9.62)
где а = a0VS; S = £^п/(£Аг)2;
п п
М — число парных боковых
лепестков в рассматриваемом секторе,
который принят симметричным; Ап —
коэффициенты возбуждения
излучателей, определяемые уровнем Fi (см.,
например, [9.12]).
Зависимость vCT от Fg и
характеризует возможность управления УБИ
в дольф-чебышевской решетке.
Пример подобной зависимости для вось-
миэлементной решетки со значениями
дБ
-8
-10
-12
0,75
1,0
D/D0
-15 -20 -25 -30 -35 Л,дБ
Рис. 9.19
<т0 = 0,25 (16°) и PR = 0,99 приведен на
рис. 9.19 (кривая 1).
Сектор углов, в котором задан
уровень v, включает все боковые
лепестки, число которых для восьмиэле-
ментной решетки равно шести. Как
видно из рисунка, реальный УБИ
уменьшается медленнее номинального,
достигая при Fi « —35 дБ минимума
Vei.up ~ —12,4 дБ. Практически
ситуация еще хуже. Дело в том, что в
области минимума значение vcx меняется
незначительно, поэтому разумно
остановиться в начале этой области,
поскольку с уменьшением Fs растет
ширина ДН антенны и падает КНД
(кривая 2). На рисунке D — средний КНД
антенны; Dop — КНД при отсутствии
ошибок при равномерном амплитудном
распределении. Совместное
рассмотрение кривых 1 и 2 (а при
необходимости еще и кривой, иллюстрирующей
зависимость ширины ДН антенны от
Ff), позволяет выбрать
целесообразное Fi, которое лежит левее точки
минимума, что дополнительно ухудшает
УБИ. В рассматриваемом примере
целесообразное Fi лежит вблизи
значения Fi и — (22 -=- 23) дБ.
Дополнительное ухудшение vCT.np составит
примерно — 1,5 дБ, так что минимальное УБИ
будет порядка —11 дБ.

Изложенная выше процедура
нахождения г>ст.пр достаточно громоздка.
При этом с изменением ст$ уравнение
(9.62) надо решать заново.
Ориентировочно величину vCT.np при любом
значении его можно получить значительно
проще. Как видно из рисунка, в
области минимума Fi <C vCT.np. При этом
вместо (9.62) можно использовать
простое соотношение
Ф(уст/(т) = 2V^- (9.63)
Последнее выражение
соответствует значению vCT при биномиальном
амплитудном распределении, для
которого Fs = 0. Из соотношения (9.63)
следует
^ст.бин = /Л<70\/5бин- (9.64)
Здесь ц — величина,
определяемая таблицей интеграла
вероятностей (см., например, [9.13]) при
заданном значении 2%/Pr. Отметим,
что 3Wr~1-(3/2M при Pr = 1,
где /3 = 1 - Pr < 1. Для
рассматриваемого выше случая 2^/Pr — 0,9983
при М = 3 и Pr = 0,99, чему
соответствует ц = 2,22. Для восьмиэле-
ментной решетки £бин = 0,457. При
сто = 0,25 из (9.64) получим значение
^ст.бин ~ 12,2 дБ. Значение «ст.бин
немного хуже, чем vCT.np. Однако,
учитывая сказанное ранее о
целесообразности выбора значения Ft левее
точки минимума, можно для
ориентировки ПРИНЯТЬ VCT пр ^ ^ст.бин-
Эту
величину интересно сравнить со
средним УБИ (средним фоном). Для
решетки с биномиальным амплитудным
распределением с независимыми в
разных излучателях ошибками
возбуждения F* = <т0256ин = 0,0131 (-18,8 дБ).
Уровень минимального УБИ,
определяемый на основе исследования
функционала, выражается соотношением
(9.64). Изменение уровня УБИ будет
^ст.пр/^ф « А«2- Значения i&.np/.F| =
= 4,9 (6,9 дБ) и ц = 2,22 при PR =
= 0,99, что приводит к ранее
указанному значению vCT.np яз —12 дБ.
Таким образом, УБИ,
определяемый исходя из требований, чтобы
вся ДН одновременно с вероятностью
PR = 0,99 не выходила за этот уровень
(статистический УБИ), почти на 7 дБ
хуже, чем УБИ, определяемый по
средней ДН антенны.
Если принять fj, = 1, то можно
определить вероятность Pr того, что
уровень v;Tnp будет равен F|. При
■р, - 1 Ф(1) = 0,843 и значение Pr =
= 0,843е = 0,36, т.е. вероятность того,
что ДН не выходит за уровень среднего
фона, равна 36 %.
Приведенные выше цифры
соответствуют восьмиэлементной решетке.
С увеличением числа элементов N в
решетке значения йбин и ^ст.пр
уменьшаются, однако значение /J. при
заданной вероятности Pr растет. Разрыв
АУБИдб (равный ц^в) между уровнем
УБИ, определенным на основе
функционала Pr, и средним фоном,
увеличивается.
Отмеченные закономерности
иллюстрируются приведенными
ниже данными о статистическом УБИ
дольф-чебышевской решетки в
зависимости от числа элементов:
N ...8 12 16 24 40
л/5б^...0,46 0,41 0,38 0,34 0,30
ист.пр,-.--11,9-12,4-12,9-13,5-14,3
дБ
II ...2,22 2,33 2,39 2,48 2,58
ДУБИ. ..6,9 7,3 7,6 7,9 8,2
(Р2), дБ
Pr ...0,36 0,18 0,0910,023 0,002
(/1=1)
Здесь значения Pr = 0,843^-2
дают вероятность того, что вся ДН
решетки не выйдет за уровень среднего
фона.

9.3. Статистика поля линейной непрерывной антенны
в зоне Френеля
Знание особенностей поля антенн
в зоне Френеля необходимо при
решении многих проблем:
электромагнитной совместимости
радиоэлектронных средств (РЭС), защиты
биологических объектов от облучения
электромагнитным полем, радиосвязи и
радиолокации на «малых» расстояниях.
Актуальность этих проблем
усиливается по мере развития
радиоэлектроники — увеличения мощностей
излучаемых РЭС, повышения
чувствительности их приемных устройств и
особенно в связи с ростом электрических
размеров антенных систем. Последнее
приводит к удалению границы дальней
зоны антенны, увеличению
протяженности зоны Френеля и, соответственно,
к усилению практической значимости.
Увеличение размеров антенн
сопровождается обычно усилением роли
различных факторов, порождающих
случайные ошибки в распределении
источников антенны. Это предопределяет
целесообразность статистического
подхода к анализу поля антенны в зоне
Френеля.
Методика исследования
статистических характеристик поля в зоне
Френеля сходна с методикой, развитой в
[9.1] для дальней зоны. Имеются,
однако, и существенные различия ме-
Среднее поле и его средняя
интенсивность. Исходным при
анализе статистики поля в зоне Френеля
линейной несфокусированной системы с
равномерным амплитудным
распределением и случайными фазовыми
ошибками <р(х) является следующее
выражение для комплексной амплитуды
пожду исследованиями в зоне Френеля и
дальней зоне. Эти различия
обусловлены тем, что в зоне Френеля
интерференционная картина поля
системы излучателей (антенны) зависит как
от пространственных углов 9 и <р, так
и от расстояния R — удаления
точки наблюдения от антенны.
Поэтому при анализе статистики поля в
зоне Френеля необходимо рассматривать
не только зависимость статистических
характеристик от в и ip, но еще и
зависимость от R, т.е, от того,
насколько «глубоко» находится точка
наблюдения в зоне Френеля. Кроме того, в
зоне Френеля «возникают» новые
задачи, не имеющие аналога в СТА для
дальней зоны. К таковым
относятся все задачи, связанные с эволюцией
статистических характеристик поля в
продольном направлении. Как
известно, антенны, работающие в зоне
Френеля, могут быть несфокусированными
и сфокусированными. Структура
поля излучения этих двух типов антенн
различна. Ниже рассмотрены
некоторые статистические характеристики
поля несфокусированной антенны в
зоне Френеля [9.14]. Статистические
характеристики поля сфокусированной
антенны рассматриваются в § 9.4.
ля в этой зоне:
+1
= ТЙ [ e^(*)+u*-x*2Ux, (9.65)
-i
где f(u,x) — комплексный множи-
9.3.1. Средние характеристики

тель системы в зоне Френеля; и =
= (wL/X) sin 9 — обобщенный угол; х —
= kL2cos29/8R; L — длина антенны.
В правой части соотношения (9.65)
опущены несущественные для
последующего анализа постоянные
множители, фазовый множитель е_1*л и
множитель, характеризующий
направленность элементарных источников. Это
соотношение отличается от (9.5),
определяющего поле в дальней зоне,
наличием квадратичного слагаемого хх2 в
показателе степени подынтегрального
выражения и амплитудного
множителя 1/R. Квадратичное слагаемое Xх"1
характерно для зоны Френеля.
Именно из-за этого слагаемого
интерференционная картина в зоне Френеля
меняется с изменением расстояния. Что
же касается амплитудного множителя
1/R, то он характерен как для зоны
Френеля, так и для дальней зоны.
Целесообразность сохранения его в (9.65)
связана с желанием изучить в
дальнейшем картину продольного
распределения поля.
Используя (9.65), имеем для
интенсивности поля в зоне Френеля
(опуская множитель 1/240тг),
следующее выражение:
+1
P(u,X,= 4f//^'W")1x
-1
xJM'-'O-xtf-sl)] dxdxi- (9.66)
Принимаем для фазового
распределения <р(х) те же допущения, что и
в § 9.2, т.е. будем считать <р(х) гауссов-
ской однородной случайной функцией
со средним значением <р{х) = 0,
дисперсией <р2(х) = &2{х) = а и
коэффициентом корреляции г = e~(x~Xi> Iе ,
где с — радиус корреляции в
относительных единицах, связанный с
радиусом корреляции фазовых ошибок
соотношением с = 2p/L. Тогда,
усредняя соотношения (9.65) и (9.66),
получаем следующие выражения для
среднего поля и его средней интенсивности:
Щ^х) = е-^2Е0(и,х);
Р(и,х)=^\/(и,Х)\2=Ше-°х
Rr
1 ~ ат
(9.67)
4 *—•' т\
m=l
где
Eq{u,x)= д/о(и,х) =
1
+1
-2Rje их
-1
— комплексная амплитуда поля
антенны в зоне Френеля при отсутствии
ошибок; /о(и, х) — множитель системы
для этого случая;
+1
1{Ст,и,х)= II
e-(*-*i)a/e».
xeA<x-*i)-x(z2-xl)] dxdxi.
Как и в случае дальней зоны
среднее поле антенны в зоне Френеля,
примыкающее к дальней зоне, совпадает
(с точностью до масштабного
множителя) с полем этой антенны при
отсутствии ошибок. Более интересно
рассмотреть среднюю интенсивность
поля, определяемую выражением (9.67).
Первое слагаемое в квадратных
скобках этого выражения характеризует
интенсивность поля в зоне Френеля
при отсутствии ошибок, второе —
определяет искажение пространственного
распределения интенсивности поля из-
за ошибок.
Если ошибки малы (а <С 1), то
Р{и,х) =
- J_
~ R2
(l-a)\f0(u,x)\2 + 7I(c,u,x)

Р(ц,х)
Ро(0,х) '
дБ
-5
-10
-15
-20
-25
^
а = 0
1
с = 0,5
Х = тг/2
i?H=0,25
,3
V 0,5
vT
V
\
\
«;■
ЗДх)'
дБ
-5
-10
-15
-20
-25
а)'
Ро(0,Х)'
дБ
-5
-10
-15
-20
-25
Д5
с = 0,5
X = ir
Д„= 0,125
3
а = 0
\Ny
1
С = СО
0,05
а= 1
Х = т/2
Л„= 0,25
0,5
V/
V
Г
1
ф 0
Рис. 9.20
Р(и,х)
2 4
Д>(0,х)
дБ
Рис. 9.21
-10
-15
-20
-25
а=1
с = а
0,5
0,05
),125
)
*;
V-
При больших ошибках (а ^> 1),
аналогично (9.12), имеем из (9.66)
P(u,x) = I(c/^!u,X)/4R2.
В общем случае расчеты
необходимо проводить по (9.67). Результаты
таких расчетов для различных значений
статистических параметров случайных
ошибок а и с приведены на рис. 9.20-
9.25.

Ро(0,х)
, ДБ
-10
-15
-20
-25
^
^
с = 0
х = 6
1 ^
а = 0
5
3,065
!'
i
ii
Л,
■f\^
х = 2
Rn =
5
0,016
l\
а = 0
0 10 20 0 10 20 30 40 50 60 ф
а) б)
' Рис. 9.22 '
Р{и,х)
Ро(0,х)
дБ
-5
-10
-15
-20
-25
а=1
x = t
Rh -
г = оо
- 0,065
0,05
0,5
1 1 1
1
Х=2
Rh =
5
0,016
i
'\
С =
0,05
\о,5
= оо
0 10
а)
20 0 10 20
Рис. 9.23
30 40 50 60 ф
б)

-Р(о.Дн)
P0(Q, 1)
, дБ
20
15
10
с = 0,5
ч
Nns/' Дн
V *•*- ^*4w
1 ^Ч.
#2
а =
К4
5^
0
,01 0,02 0,04 0,06 0,1 0,2 0,4 0,6 Д„
а)
Р(0,Дн)
Ра(0,1) '
дБ
20
15
10
5
0
-5.
^w.
N
■s
а= 1
ч
ч
i
l/^
1
RH
^Ч. ^N^>.
0,5
с =
0,05
сю
01 0,02 0,04 0,06 0,1 0,2 0,4 0,6 Дн
б)
Рис. 9.24
На рис. 9.20—9.23 показан характер
распределения средней интенсивности
поля в поперечных сечениях,
расположенных на разных удалениях от
антенны. На рис. 9.24 представлено
продольное распределение средней
интенсивности в направлении и = 0,
нормированное на значение интенсивности
поля, при отсутствии ошибок на
границе дальней зоны, т.е. на расстоянии
Дд.з = 2L2/X.
Особенно наглядны «объемные»
графики (рис. 9.25,а, б), из которых
видно влияние случайных ошибок как
в поперечном, так и в продольном
направлениях. На всех рисунках
удаление точки наблюдения от антенны
определяется либо значением
параметра х, либо величиной Дн = Д/Дд,3 =
= 7rcos2#/(8x). Для антенн больших
размеров углы в, представляющие
интерес, невелики. При этом можно

P0(u,RH) ^ 0,06 0,1 0,125
т,Ь ' ' ' =
Рис. 9.25

"cp
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
h\N
f
/ц$^
a = 0,1
r-5
0
Рис. 9.26
считать cos-fl f» 1, т.е. считать х =
= kL2/(8R), RH = тг/(8х).
Пренебрежение множителем cos2# в выражении
для х соответствует так
называемому приближению Френеля для малых
углов. Диапазон изменения R для
зоны Френеля больших антенн
определяется неравенством [9.5]
1/3
< R<
21?
А
Соответственно, диапазоны
изменения параметров х и Rn будут
2/3
7Г 7Г j L
8^2 А
1 ГХ\уз
-1 < л„ < 1.
4 Vi/
Как видно из рис. 9.20-9.25,
влияние случайных ошибок во всех
случаях приводит к сглаживанию
интерференционной картины,
соответствующей случаю отсутствия ошибок.
Рассмотрим подробнее эти рисунки,
дающие картину распределения средней
интенсивности поля в поперечных
сечениях. Рис. 9.20 и 9.21 характерны
для части зоны Френеля,
примыкающей к границе дальней зоны (х ^ т,
RH ^ 0,125). В этой области поле
максимально при и = 0. Распределение
интенсивности поля в поперечных
сечениях качественно сходно с ее
распределением в дальней зоне — средними
ДН по мощности. Однако в зоне
Френеля сглаживание лепестковой
структуры поля выражено менее рельефно,
чем в дальней зоне. Связано это с тем,
что в зоне Френеля исходное
детерминированное распределение
интенсивности поля Ро(и,х) уже сглажено из-за
влияния квадратичных фазовых
ошибок, обусловленных конечностью
расстояния до точки наблюдения. При
значениях х > "" {Rn < 0,125)
интенсивность поля в направлении и = 0
осциллирует, достигая максимальных и
минимальных значений при
определенных значениях х- Характер
поперечного распределения поля в двух
сечениях, близких к «экстремальным»,
приведен на рис. 9.22,а, б та. 9.23, а, б.
Видно, что и здесь наличие ошибок
приводит к сглаживанию картины
распределения поля и некоторому «расплыва-
нию» в поперечной плоскости.

1 ,\cp
1,9
1.7
1,5
1,3
1
1
I
1
о = 0,1
2 .
о,5^х
с = 0,05
a)
2,6
2,2
1,8
1,4
X О
Рис. 9.27
1 0,5
а = 1
2
с = 0,05
6)
Из рис. 9.24, показывающего
характер продольного распределения
средней интенсивности поля в
направлении и = 0, видно, что по мере
снижения Rn уменьшаются осцилляции
интенсивности поля. Асимптотически
интенсивность поля изменяется по
закону 1/Дн, характерному для
цилиндрической волны.
Ширина средней ДН. Понятие
ДН справедливо лишь для дальней
зоны. Применительно к зоне Френеля о
ДН и ее ширине можно говорить лишь
для части этой зоны, примыкающей к
дальней зоне. При этом следует
различать среднюю ширину ДН и ширину
средней ДН. Методика их нахождения
такая же, как и для дальней зоны. В
частности, ширину средней ДН (2ыхср)
удобно определять по рис. 9.20 и 9.21.
Характер зависимости величин
2мхср от а и с оказывается сходным
с зависимостями, соответствующими
дальней зоне. По мере движения
вглубь зоны Френеля значение 2ихср
растет. Это видно из сопоставления
кривых на рис. 9.26,а для дальней
зоны (\ = 0) и на рис. 9.26,б"для х = ^/2.
Динамика изменения величин 2ихср с
изменением расстояния хорошо
видна из рис. 9.27. Штриховые линии
0,05 0,1
0,2 0,5
Рис. 9.28
соответствуют границе дальней зоны
(Дн = 1, х = ?г/(8Дн) = 0,4).
Весьма полезными для практики
представляются изолинии
относительного расширения средней ДН.
Изолинии на рис. 9.28 (2ихср — 2щ)/2щ (%).
отражают эффект расширения средней
ДН, обусловленный совместным
действием случайных и квадратичных фа-'
зовых ошибок (10 % — сплошные
линии; 50 % — штриховые). Изолинии на
рис. 9.29 (а — дальняя зона; б— зона
Френеля при х — ж или ^н = 0,125)
характеризуют, какой вклад в
расширение ДН вносят случайные фазовые

3
2
1
0,6
0,4
0,2
0,1
>
50%
°n
\/
10 >
,V
/
/
3
2
1
0,6
0,4
0,2
0,2
50 % /
20 У
10 /
5 У
'0,05 0,1 0,2 0,5 1 с 0,05 0,1 0,2 0,5 1 с
а) б)
Рис. 9.29
ошибки. Кривые, для которых RH =
= оо, соответствуют дальней зоне. Как
видно из рисунков, для каждой
изолинии существует некоторое наихудшее
значение с, при котором заданный
уровень расширения достигается при
минимальных значениях а.
Приведенные на. рисунках изолинии позволяют
определить степень расширения
средней ДН при заданных значениях а и
с, а также решить и обратную задачу:
по заданному расширению средней ДН
антенны в зоне Френеля или дальней
зоне определить область допустимых
значений параметров случайных
ошибок а и с.
Коэффициент
дефокусировки. Вернемся к рис. 9.24,
иллюстрирующему продольное распределение
средней интенсивности поля. По оси
ординат здесь отложены значения
величины
Р(о,Дн)
Ро(0,1)
1 1/(0, Д„)|2
ъИДо.Ян)!
Rl l/o(o,i)|2
При написании последнего
выражения учтено, что |/о(0,I))2 и
«|/(0,оо)|2 = 1.
Величина |/(0,Ди)|2
характеризует, во сколько раз квадратичные и
случайные фазовые ошибки уменьшают
интенсивность поля в точке с
координатами (0, R„) по сравнению с
интенсивностью поля, сфокусированной в ту
же точку антенны без ошибок.
Величину v = 1/1/(0,RH)\-
называют коэффициентом дефокусировки.
Значения и для некоторых а и с
представлены на рис. 9.30,а, б.
Дефокусировка связана как с расширением
главного лепестка средней ДН, так и с
ростом УБИ антенны. О вкладе каждого
из этих эффектов в общую
дефокусировку поля можно судить по да.нным
табл. 9.1, в которой сопоставлены
значения коэффициента, дефокусировки и
(в числителе) и относительной ширины
средней ДН 2ихср/2«о (в знаменателе).
Данные, приведенные в колонке
а = 0, соответствуют системе без
случайных фазовых ошибок, т.е.
ситуации, когда сказываются лишь
регулярные квадратичные фазовые
ошибки. Остальные колонки соответствуют
ситуации, когда расширение ДН и
увеличение УБИ лепестков обусловлены
совместным действием квадратичных

Рис. 9.30
Таблица 9.1. Значения коэффициента дефокусировки и и относительной
ширины средней ДН 2uxcp/2wo
Положение точки
наблюдения
X = 0,393
или RH = 1
X = 0,785
или i?H = 0,5
X = 1,571
или Rn — 0,25
X = 3,927
или i?H = 0,1
Значения г/ и 2ыхср/2ио
а = 0
1,014
1,004
1,058
1,011
1,247
1,061
4,270
3,579
с = 0,05
а = 0,5
1,630
1,023
1,696
1,033
2,000
1,088
6,510
3,683
а- 1,0
2,287
1,050
2,694
1,068
3,152
1,122
9,303
3,885
с =0,5
а = 0,5
1,356
1,133
1,410
1,143
1,627
1,225
4,494
3,850
а= 1,0
1,749
1,306
1,808
1,399
2,047
1,475
4,609
4,209 J

и случайных фазовых ошибок.
Таблица показывает, что в большинстве
случаев основной вклад в дефокусировку
поля в зоне Френеля вносит повышение
УБИ.
Из таблицы можно также видеть,
как влияют на расширение ДН в
зоне Френеля регулярные и случайные
фазовые ошибки. Для этого надо
сопоставить значения 2uXCp/2uo,
приведенные в колонке а = 0, со значением
Интегральные энергетические
характеристики поля антенны
показывают, как распределяется излучаемая
антенной мощность между
различными областями пространства. Типичной
интегральной характеристикой в
обычной (детерминированной) теории
антенн в дальней зоне является
коэффициент рассеяния 0, который
определяет, какая часть излучаемой антенной
мощности уходит в боковое излучение.
При статистическом подходе
рассматривается распределение в
пространстве (различных его областях)
средней мощности. В [9.14] и [9.16]
изучены три типа статистических
интегральных характеристик
несфокусированной антенны: область основного
потока средней мощности (ОПСМ),
коэффициенты рассеяния средней
мощности /3Хср и концентрации средней
мощности в угловых
секторах,соответствующих ближайшим боковым лепесткам
невозмущенной ДН в дальней зоне.
Указанные характеристики
рассмотрены для линейной антенны во всей
глубине зоны Френеля. Это позволяет
видеть, как перераспределяется в
пространстве излучаемая антенной
средняя мощность по мере удаления от
антенны.
этой же величины в других колонках.
Вклад регулярных и случайных
фазовых ошибок в расширение средней ДН
можно установить и при сопоставлении
изолиний на рис. 9.28 и 9.29.
Очевидно, что по мере углубления в зону
Френеля влияние регулярных
квадратичных ошибок будет возрастать. Данные
таблицы дают количественную оценку
этой закономерности.
Приведем некоторые результаты
для первых двух интегральных
характеристик — области ОПСМ и
величины Рхср-
Границы области ОПСМ иЩ
определяют из условия, чтобы
заключенная в этих границах средняя мощность
излучения равнялась мощности
уходящей в главный лепесток
невозмущенной ДН в дальней зоне. Для линейной
антенны с равномерным амплитудным
распределением и случайными
фазовыми ошибками уравнение для
нахождения и£Р имеет вид
J \f(u,X)\2du = j \f0(ut0)\2du =
о о
/ sm и
= / -^-du = si(27r), (9.68)
J и-
о
где si(2?r) = 1,418 — интегральный
синус аргумента 27г; \f{u,x)\2
определяется из соотношения (9.67).
Уравнение (9.67) решается
численно. Зная uJP, можно найти и
поперечные размеры области ОПСМ
гЩ, и (А/тг!)Д<р.
Значения и£р и Z^p показаны на
рис. 9.31,а, б. Как видно из этих рисуи-
9.3.2. Интегральные энергетические характеристики
поля

"cp
60
40
20
a
= 0
5
3
. /
^0,7
0^
0,1
7^~
ZZ/cp
30
0:
X'CP
0,5
0,4
0,3
0,2
20
10
0,9
5,
3 /
4),i-
0,3
0,7
- 0
0,01 0,02 0,06 0,1 0,2 0,4 RH 0,01 0,02 0,06 0,1 0,2 0,4 RH
a) 6)
Рис. 9.31
с = 0,2
sy0,3
y0^\
\\,0,05
a = 0
Px
cp
0,5
0,4
0,3
0,2
/
a = 0,1
V.0,05
v\X0'2
0,5Vs
с = oo
6,125 0,2 0,4 0,6 0,8 RH 6,125 0,2 0,4 0,6 0,8 R„
a) 6)
Рис. 9,32
ков, наличие случайных ошибок
приводит к расширению границ области
опсм.
Рассмотрим теперь величину /Зхср,
которая показывает, какая часть
излученной антенной средней мощности Р$
уходит за пределы области,
соответствующей ширине средней ДН. Если
считать, что Р% = PSo (излучаемой
мощности при отсутствии ошибок), то
■Ps(2%cp)
&ср = 1 -
Ps
= 1-
\f(u,x)?du.
Результаты расчета 0хср
приведены на рис. 9.32,а, б и 9.33. Как видно

из рис. 9.32, при отсутствии ошибок
(а = 0) и углублении в зону
Френеля до значений RH ~ 0,14
коэффициент рассеяния растет. Связано это с
увеличением фона бокового излучения
из-за влияния квадратичных фазовых
ошибок при почти неизменной ширине
ДН (табл. 9.1). При дальнейшем
углублении в зону Френеля коэффициент
рассеяния резко уменьшается, что
обусловлено существенным расширением
ДН и, соответственно, увеличением
излучаемой мощности в угловом секторе,
определяемой шириной ДН. Наличие
случайных ошибок приводит к
увеличению коэффициента рассеяния,
которое тем ощутимее, чем больше
дисперсия ошибок (рис. 9.32,я) и меньше
радиус корреляции ошибок (рис. 9.32,6).
На рис. 9.33 даны значения
коэффициента рассеяния в дальней зоне
при различных а и с. Эти значения
также, как и приведенные на рис. 9.31
2££ при RH = 1, характеризуют
интегрально «расплывание» средних ДН в
дальней зоне.
В заключении отметим некоторые
замечания о флуктуационных и
корреляционных характеристиках поля
несфокусированной линейной антенны в
зоне Френеля. Методика
исследования этих характеристик Что же
касается результатов исследования, то
здесь имеются определенные отличия,
из них наиболее существенны два:
в зоне Френеля флуктуации
амплитуды и фазы поля коррелированы,
в то время как в дальней зоне
корреляции между этими величинами нет;
малые фазовые ошибки в
антенне приводят в зоне Френеля и главном
направлении (и = 0) к флуктуациям
фазы поля и к флуктуациям
амплитуды. В дальней зоне эти же ошибки
порождают в направлении и = 0 лишь
флуктуации фазы поля.
Мер
(X = 0)
0,55
0,45
0,35
0,25
0,05
у^0,1
"с = 0,5
0,2 0,4
Рис. 9.33
9.4. Статистика поля сфокусированной антенны
9.4.1. Линейная сфокусированная антенна
Рассмотрим линейную синфазную
антенну с равномерным
амплитудным распределением. Для
комплексной амплитуды поля такой антенны
в зоне Френеля имеем (см. (9.65) при
¥>(*) = 0)
Е(в, R) = /(0, R)/R =
1
2Д
+i
;i[«x-fcb2cos29.r-/(SH)] dx (g_69)
-1
Если ввести в антенне
дополнительное квадратичное фазовое
распределение kLix2/(8RF) (где F —
фокусное расстояние), то в точке R— Rp,
9 = 0 оно скомпенсирует фазовую

ошибку, обусловленную конечностью
расстояния до точки наблюдения
(второе слагаемое в показателе экспоненты
(9.69)). Поля всех источников в этой
точке будут складываться синфазно.
На некоторой части фокальной сферы
(сферы с радиусом Rp) угловое
распределение поля будет таким же, как
и у синфазной антенны в дальней зоне.
Угловые границы области
компенсации на фокальной сфере определяют
из условия
К Li 9 lblj 1 ">nW ^
——х - —-— х cos 9л <
8RF 8RF F ^
^ ^^ ■ 2/irp ""
^ 8RF 8
отсюда
sin 0j? = л/WfZ, (9.70)
где Rfh = Rf/(2L2/\) —
нормированное фокусное расстояние.
Фокусировка антенны в точку,
находящуюся в зоне Френеля,
используется в антеннах с синтезированной
апертурой, системах передачи
энергии СВЧ, технике антенных
измерений и др.
В приближении Френеля (для
малых углов) cos2# sa 1. При этом для
анализа статистики поля
сфокусированной линейной системы со
случайными фазовыми ошибками <р(х) в
качестве исходного имеем следующее
выражение для комплексной амплитуды
поля:
Есф(и, х) = /сф(«, X)/R =
+i
= _L [еЫ')+»'-Хс*'3]ах, (9.71)
2R J
-i
Средняя интенсивность поля.
Средняя интенсивность поля
сфокусированной системы определяется выра-
ю где
Ъ! Хсф_ 4А U Rf) "
)Й \ г /
= 1(1.- -L).
ы 8 \RH RfhJ
z- Соотношение (9.71) формально
-к совпадает с соотношением (9.65) для
е. несфокусированной системы. Отсю-
i- да слудует, что при анализе стати-
,т стики поля сфокусированной системы
можно использовать результаты
исследования статистических
характеристик несфокусированной системы в
зоне Френеля при условии правильного
истолкования параметра Хсф-
Однако, несмотря на формальную аналогию
основных соотношений статистической
' теории несфокусированных и сфоку-
£~ сированных антенн, анализ структуры
поля последних заметно сложнее из-за
1" появления дополнительного аргумен-
'" та Rp в выражениях для величин,
характеризующих поле. Изменение Rp
(глубины фокусировки) меняет
характер продольного распределения поля,
что существенно расширяет объем
необходимых исследований. Кроме того,
в сфокусированных системах надо
изучать и ряд новых (по сравнению с
несфокусированной антенной) эффектов,
связанных с влиянием случайных оши-
л бок на структуру фокального пятна
(его расширение, степень асимметрии,
расходимость точек фокуса и
максимальной интенсивности поля),
флуктуации пятна и т.п.
)
жением (см. (9.65), (9.67), (9.71))
£сф(и,Хсф) = |/сф(«,Хсф)|2/д2 =
9.4.2. Средние характеристики

Рсф(0, Дн)
Л)(о, 1)
, ДБ
20
15
10
-И
RFh = 0,125
с = 0,5
ча = 0
5 N
V Х
,01 0,02 0,03 0,05 0,080,1 0,2 0,3 0,5 0,8ЛН
а)
Рсф(0,Дн)
Ро(ОД) '
дБ
30
20
10
0
-10
-20
а= 0
V 1
/5
Rfh = 0,02
с = 0,5
0,01 0,02 0,03 0,05 0,08 0,1
0,2 0,3 0,5 0,8 R»
Рис. 9.34
R2
|/сф(«,Хсф)|2 +
1 ^ ат _,
+ 7 ^^(^'"'Хсф)
4 ■■—' га!
m=l
Результаты численного расчета
величины Р€ф для двух значений
фокусного расстояния Ер„ и ряда
значений параметров случайных ошибок
а и с приведены на рис. 9.34,я, б и
9.35,я, б". Эти рисунки иллюстрируют
характер распределения средней
интенсивности поля в продольном
направлении (и = 0). Значения РСф
нормированы на значение интенсивности
поля при отсутствии ошибок на
границе дальней зоны несфокусированной
системы Ро(0,1)- Поперечные
распределения средней интенсивности поля

Рсф(0,Дн)
Д)(0,1)
, дБ
20
15
10
-о
RF« = ОД 25
а = 1
0,05
с = оо
4,0,5
01 0,02 0,03 0,05 0,08 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 RH
а)
Рсф(0, Дн)
ВД,1)
, дБ
30
20
10
0
-10
-20
с =
0,05
= оо
,0,5
Rf* = 0
а= 1
,02
0,01 0,02 0,03 0,05 0,08 0,1 0,2 0,3 0,5 0,8 Л„
б)
Рис. 9.35
сфокусированной антенны совпадают
с такими же распределениями для
несфокусированной антенны (рис. 9.20-
9.23) при |хсф! = Х> поэтому
графики для них не приводятся. Характер
«эволюции» указанных распределений
при удалении от фокальной сферы в
обе стороны можно видеть из
«объемных» графиков (рис. 9.36,а, б и 9.37,а,
б). Последние иллюстрируют влияние
случайных ошибок как в поперечном,
так и продольном направлениях для
двух заметно отличающихся «глубин»
фокусировки.
Как видно из приведенных
рисунков, если рассматривать область
вблизи точки фокусировки, то
максимум интенсивности расположен на
некотором расстоянии Rm меньше, чем
Rf. С увеличением глубины фоку-

Р0сф(и, R„)
0,02 0,04 0,06 0,1
0,25 0,5 Д„
0,035
Лосф(«, Rh
0,08 0,125 0,25
а)
0,02 0,04 0,06 0,1
0,035
0,08 0,125 0,25
б)
R„
0,25 0,5 Д„
C-J-30
R„
Рис. 9.36

0,025
0,03 Rn
0,015 0,0155 0,0175 0,02 0,0225 0,029 RK
6)
Рис. 9.37

ARfm
RF
0,6
0,4
0,2
с = 0,5
3S
l/
Г a :
0,5
= 0
A/?fm
Rf
0,6
0,4
0,2
a = 1
0,5,
0,2
' с =
^1
oo
,01 0,02 0,04 0,080,10,15 Д/ъ 0,01 0,02 0,04 0,08 0,10,15 Д^
a) 6)
Рис. 9.38
сировки (уменьшением Rf) разности
ARfm = Rf - Rm и АРрм — -РсфМ -
■РсфЕ уменьшаются — точка
максимума интенсивности приближается к
фокусу. Эта тенденция
иллюстрируется рис. 9.38,а, б и 9.39,а, б, из
которых видно, что наличие случайных
ошибок приводит к увеличению
величин ARfm и APmf- С изменением
радиуса корреляции ошибок величины
ARfm и APmf меняются
немонотонно, достигая максимальных величин
при некотором значении с.
Характеристики среднего
фокального пятна. Размеры
среднего фокального пятна определяются на
уровне половинной мощности.
Обозначим ближнюю и дальнюю границы
пятна в продольном направлении через
Дб и Дд. Эти величины находятся из
уравнения
^ф(0,Дб,д,Д^) = 1
Рсф(0,Дм,Д^) 2'
(9.72)
По оси абсцисс отложены значения
Rfh ^ 0,1, так как только при малых
Д.Рн (глубокой фокусировке) можно
говорить о сформировавшемся в
продольном направлении фокальном
пятне. При больших Д.рн уравнение (9.72)
имеет лишь один корень,
соответствующий Дд. Из рисунков видно, что
фокальное пятно асимметрично. С
увеличением глубины фокусировки
(уменьшением Rf) степень асимметрии
снижается.
Наличие случайных ошибок
приводит к увеличению продольных
размеров фокального пятна. Большему
влиянию подвержено положение
ближней границы пятна. Иногда наличие
ошибок приводит к разрушению пятна,
поскольку положение ближней
границы размывается. Влияние случайных
ошибок на степень асимметрии пятна
незначительно.
Поперечный размер среднего
фокального пятна
Результаты решения уравнения
(9.72) представлены на рис. 9.40,а, б.
Rf
т
2м,
ср,

A-Pmf
Pf
0,6
0,4
0,2
с = 0,5
3
41
' a -
I
//
0,5
= 0
APmf
Pf
0,6
0,4
0,2
a = 1
1
0,5/7
/Т/О, 05
' С =
oo
5,01 0,02 0,04 0,080,10,15 Rf* #,01 0,02 0,04 0,080,1 0,15Rfh
Q-) Рис. 9.39 6)
Rs Rfi,
1,2
1,0
iX^ Лд
Rf' Rf
1,2
1,0
0,8
0,6
П 4
с =0,5
l'
1
a =
0,5
0
a = 0
V \ \
0,5 s
0,i
0,6
0,01 0,02 0,04 0,06 RFh
a)
0,4
a= 1
0,5
0,5
с =
w С =
од
0,1
CO
oo
0,01 0,02 0,04 0,06 RFh
6)
Рис. 9.40
где 2ыср — угловой размер среднего
фокального пятна на фокальной
сфере. Этот размер равен ширине средней
ДН в дальней зоне (см. § 9.2).
Можно показать, что при глубокой
фокусировке отношение продольных размеров
фокального пятна к поперечным
размерам его при малых ошибках или при
их отсутствии определяется
соотношением
ARR.6/Al^8RF/L.

9.4.3. Интегральные энергетические характеристики
поля сфокусированной антенны
Ограничимся рассмотрением
области основного потока средней
мощности (ОПСМ). Границы этой
области определяются из соотношения
(9.68) при замене в нем |/(гг,х)|2 на
|/сф(«,,\'сф)|2. Замена \ на \сф
приводит, однако, к тому, что в
сфокусированной системе для каждого значения
фокусного расстояния Rp имеем свою
картину границ ОПСМ. Две такие
картины для поперечных размеров
области ОПСМ приведены на рис. 9.41,а, б.
Как видно из рисунков, при отсутствии
Искажение фазового
распределения вдоль сфокусированной антенны
приводит к флуктуациям фокального
пятна — флуктуациям положения
точки максимальной интенсивности поля
в этом пятне. Методика исследования
флуктуации фокального пятна сходна
с изложенной в § 9.2 методикой
анализа флуктуации направления главного
максимума ДН.
Положение точки максимальной
интенсивности поля для отдельной
реализации находится из решения
уравнений
^{|,М«,ХсФ)|2} = 0;(9.73)
-а—{|/сф(«,Хсф)12} = 0.
СХсф
Величина \!Сф(и,хс^)\2
определяется в общем случае из
соотношения (9.71). При изучении
флуктуации, как и обычно, ошибки
полагаются малыми, поэтому в выражении
для |/сф(г£,хСф)|2 можно
ограничиться членами второго порядка малости.
Поскольку ошибки малы, то малы и
ошибок минимальные значения
величин 2Z^/L = ARfh достигаются при
RH = RpH. С уменьшением фокусного
расстояния снижается минимальный
поперечный размер области ОПСМ,
что приводит к увеличению плотности
потока мощности в окрестности
фокуса. Наличие случайных ошибок ведет
к расширению области ОПСМ. По
мере удаления от фокальной сферы (в
обе стороны) влияние случайных
ошибок на границы ОПСМ ослабевают.
флуктуации координат точки
максимальной интенсивности. При этих
условиях решение уравнений (9.73)
(опуская далее индекс «сф») имеет вид
+1
«max = ~2 / xtp(x)dx;
-1
Xmax = у I ( X2 ~ g J ¥>(*) dx.
-1
(9.74)
Выражение (9.74) совпадает с
(9.45) для значения ухода
направления главного максимума ДН линейной
антенны в дальней зоне.
ЕСЛИ if(x) — (^чт(ж) + <£>нчт(й')
(сумма четной и нечетной
относительно середины антенны функций), то
из соотношений (9.74) следует, что
флуктуации величины итах
(поперечной угловой координаты максимума
интенсивности поля в фокальном
пятне) определяются нечетной составля
ющей <р{х), а флуктуации величины
Хтах (продольной координаты макси-
9.4.4. Флуктуации пятна

iz\i
10
6
4
1
0,6
0,4
с = 0,2
Rfh = 0,125
0J/
\/
■^ 1 /
0,3 y^y
/a = 0
^0,1
2^rP
•"cp
20
0,01 0,02 0,04 0,06 0,1 0,125 0,2 0,4 0,6 RH
a)
10
6
4
0,6
0,4
0,2
o.i
с = 0,2
Rfh =
4 1 У/
1
0,03
0,7
0,31/^
/ya- 0
4o,i
0,01 0,02 0,03 0,04 0,06 0,1 0,2 0,4 0,6 Rn
6)
a) 6)
Рис. 9.41
мума интенсивности поля)
определяются четной составляющей <р(ж).
Средние значения ытах и Хтах
равны нулю. Дисперсии этих величин
9
+1
"max = TQ/ Ixxie (х Ж1)"/с" di'da?! =
= (9/4)aJ(c);

У2 =
А шах
45\2
хе
+1
л?-!*»+£>
-1
-(x-xrf/c* dxdxi
Величина J(c) определяется
выражением (9.48). При малых с имеем
«так = (3/2)vW;
Хтах = (45/8)V^ca;
Хтах/Ытах — 3,75.
Таким образом, дисперсия
продольной координаты максимума
интенсивности поля примерно в 4
раза превышает дисперсию поперечной
угловой координаты.
При больших с имеем
2a/cz;
Л max
6q/c4;
Хтах/Ытах — «Vе i
иными словами, дисперсия продольной
координаты максимума интенсивности
поля меньше дисперсии поперечной
координаты в с2/3 раза. При с —» 0 и
с —s- со величины и2,^ и Хтах стремят-
ся к нулю. Результаты расчета этих
величин для произвольных с
представлены на рис. 9.42. Как видно из
рисунка, величина и^ж достигает
максимума при С РЗ 0,7, а Хтах ПРИ с ~ 0>5.
Эти максимумы соответственно равны
0,85а и 1,91а.
1,5 2,0
0 0,5 1,0
Рис. 9.42
Дисперсии реальных координат
точки максимальной интенсивности
поля, т.е. величин в (или Z) и R,
определяются выражениями
= (Х/жЬ) и2^;
^max = (XRf/kL) U^axi
(ДЯтах)2 = {A\/irf(RF/Lfxl;
9.5. Современное состояние СТА
9.5.1. Прямые внешние задачи
Теория прямых внешних задач —
наиболее разработанный и наиболее
часто используемый на практике
раздел СТА.
Основы теории этих задач
изложены в §§ 9.2-9.4. Указаны
основные эффекты, характеризующие
изменения параметров антенн при наличии
флуктуации в распределении
источников. Приведены формулы для
расчета наиболее важных эффектов, а
также графики, иллюстрирующие
зависимость этих эффектов от дисперсии и
радиуса корреляции флуктуации.
Наряду с дальней зоной рассмотрена и
статистика поля антенны в френелев-
ской зоне как для несфокусированных,
так и сфокусированных антенн.
Хотя основы теории прямых
внешних задач в §§ 9.2-9.4 изложены приме-

нительно к линейной непрерывной
антенне, постановка этих задач и
методика их решения остаются в общих
чертах неизменными и для антенн других
типов. Качественно сходными
оказываются и многие результаты решения
прямых внешних задач для антенн
разных типов. Например, для любых
антенн поперечного излучения с малыми
фазовыми ошибками основное влияние
на повышение УБИ и снижение КНД
оказывают флуктуации с малыми
радиусами корреляции (р <С L).
Наиболее неприятными являются
флуктуации, для которых р ~ А. Что же
касается ухода направления главного
максимума и расширения средней ДН, то
здесь решающую роль играют
флуктуации, радиус корреляции которых
соизмерим с размерами антенны.
Максимум этих флуктуации имеет место при
p~0,4L.
Близость методики исследования
прямых внешних задач для ряда
типов антенн и сходство получаемых
при этом результатов усиливает
значимость приведенных выше результатов
анализа статистики поля линейной
непрерывной системы, подчеркивает их
достаточную общность.
Вместе с тем, для каждого
класса антенн решение прямых внешних
задач имеет свои особенности как в
вычислительном плане, так и по
полученным результатам, а иногда и по
характеру основных статистических
эффектов. Характер этих особенностей
можно видеть, например, из [9.1], в
которой изучена статистика поля
излучения ряда типов антенн,
отличающихся в том или ином плане от
«эталонной» — линейной непрерывной
антенны с равномерным амплитудным
распределением и однородными
случайными фазовыми ошибками.
Особенно следует выделить
антенны бегущей волны (АБВ), у которых
наряду с ошибками локального
характера (типичных для антенн
поперечного излучения) имеются и
нелокальные ошибки — возникающие на каком-
либо участке антенны случайные
возмущения параметров оказывают свое
влияние на амплитуды и фазы
возбуждения всех последующих источников.
Нелокальные ошибки сказываются на
статистике поля антенны качественно
иначе, чем локальные ошибки [9.1].
Прямым внешним задачам
посвящено подавляющее большинство
опубликованных работ по СТА. Основное
внимание в них уделено рассмотрению
«традиционных вопросов» —
излучению средней ДН, среднего КНД, УБИ,
ухода направления главного
максимума и других для разных классов
непрерывных и дискретных антенн при
различных вероятностных свойствах
флуктуации источников. Особо
следует отметить вопрос об УБИ.
Последний во многом определяет ЭМС и
помехозащищенность радиотехнических
систем. Не случайно в литературе по
СТА он занимает особое место [9.7].
Помимо «традиционных
вопросов» в некоторых работах, особенно
последнего времени, анализируется и
ряд новых интересных, относящихся
к теории прямых внешних задач [9.4],
например можно указать следующие:
изучение статистики разностных,
фазовых, поляризационных ДН; вопрос
о влиянии неточностей изготовления
зеркала на кроссполяризацию поля;
статистический анализ характеристик
антенн на побочных излучениях и мно-
гомодовых антенн; исследование
поля антенны со случайными
размерами или апертурой случайной формы;
развитие статистической теории
антенных укрытий и т.д. Достаточно полная
библиография основных работ по
прямым внешним задачам содержится в
[9.1, 9.4, 9.6].

9.5.2. Прямые внутренние задачи
Цель решения прямых внутренних
задач, как уже отмечалось в § 9.1, —
нахождение статистики источников в
антенне (в частности, дисперсий и
радиусов корреляции флуктуации). Эти
данные являются входными при
расчете статистики поля излучения
антенн по формулам теории внешних
задач. В отличие от внешних задач,
решаемых одними и теми же методами,
внутренние задачи в каждом
конкретном случае решаются по-своему в
зависимости от механизма
происхождения флуктуации, типа и конструкции
антенн. Этим объясняется и то, что
с момента возникновения СТА,
ведущей свое начало от статистической
теории допусков 50-х годов [9.8, 9.9], число
работ, посвященных внутренним
задачам, относительно невелико. В
последнее время в связи с форсированной
разработкой крупных дорогостоящих
антенн наметился и серьезный сдвиг в
области исследования присущих этим
антеннам случайных ошибок.
Значительное место здесь принадлежат
эксперименту.
Для зеркальных антенн решение
внутренней задачи означает, прежде
всего, определение случайных
деформаций зеркала, обусловленных
неточностями изготовления, сборки, а также
эксплуатационными факторами. К
настоящему времени разработан ряд
новых, прецизионных методов
определения деформаций зеркал —
радиолокационные, лазерные фазовые
дальномеры, гологра.фические и т.д.
Лучшие из них обеспечивают точность
измерения до единиц микрон. Созданы
специальные измерительные
комплексы и камеры для натурных измерений
эксплуатационных деформаций
крупных зеркальных антенн. Разработаны
алгоритмы и программы для расчета
механических и температурных
деформаций зеркал, воссоздания возможных
температурных режимов работы
спутниковых антенн.
Для антенных решеток решение
внутренней задачи состоит в
определении статистики флуктуации токов
возбуждения излучателей решетки.
Источниками флуктуации могут быть
неточности изготовления элементов
решетки, слабая жесткость конструкции,
нестабильности генераторов,
усилителей, фазовращателей, которые обычно
определяются экспериментально.
Недостаток такого подхода в том, что
не учитывается обусловленное
взаимовлиянием изменение статистики
источников при качании луча. Это
стимулировало появление ряда
теоретических работ, посвященных
исследованию влияния флуктуации напряжения
на входе решетки и флуктуации
параметров элементов тракта на
статистику поля решетки, ДЫ и КНД. При
этом взаимовлияние излучателей
учитывается полностью. Интересно
отметить наличие работ типа [9.20], в
которых вначале находят строгое решение
краевой задачи для отдельной
реализации решетки с последующим
применением метода статистических
испытаний (метода Монте-Карло). Здесь
фактически нет деления прямой задачи
СТА (расчета статистики поля
излучения антенны) на внутреннюю и
внешнюю.
Если флуктуации поля в апертуре
привнесены падающей волной, то
внутренняя задача представляет собой, по
сути, задачу распространения волн в
той или иной постановке.
Возможности решения подобных задач за
последние годы существенно расширились
благодаря успехам теории
распространения волн в случайно-неоднородных

средах и новым обширным
экспериментальным данным в этой области.
Более полную информацию по во-
Прямые задачи (внутренние и
внешние) составляют содержание
первого раздела общей СТА (см. рис. 9.1).
Второй раздел этой теории — обратные
задачи. Из всей совокупности
обратных задач СТА наибольшее
внимание до настоящего времени уделялось
внешним задачам детерминированно-
статистического синтеза АР. Цель
таких задач — нахождение регулярного
амплитудно-фазового распределения
(АФР) источников в решетке или
регулярного размещения их, которые,
будучи подверженными флуктуациям с
заданными вероятностными
свойствами, обеспечат оптимальность
параметров по тем или иным критериям.
Чаще всего синтез проводится исходя из
определенных требований к
интегральным параметрам. В основе его лежит
использование энергетического
функционала
J\f(u)\*gi(u)dQ
47Г
Здесь |/(и)|2 — средняя ДН решетки
по мощности; и — единичный орт
на точку наблюдения; <7i,2 — весовые
функции.
В зависимости от их вида
функционал га представляет собой тот или
иной энергетический показатель
качества антенны — средний КНД,
коэффициент рассеяния средней
мощности, среднюю шумовую температуру
антенн и т.п.
просам прямых внутренних задач
можно найти в [9.4, 9.6].
При отсутствии ошибок ее
определяет показатели качества антенны,
используемые в теории
детерминированного синтеза. Использование в (9.75)
средней ДН и соответственно переход
от аэ к ж означает учет естественным
образом флуктуации в антеннах при
оптимизации их интегральных
параметров.
Методика решения задачи для
случая, когда искомым в задаче
оптимизации является регулярное АФР,
приведена в [9.21]. Выражение для ab
записывают в виде отношения двух
эрмитовых форм относительно
искомого вектора-столбца АФР. Затем
методами линейной алгебры
определяют наибольшее собственное значение
регулярного пучка матриц,
описывающих числитель и знаменатель
соотношения (9.75) и соответствующий ему
собственный вектор, которые и
определяют максимальное значение ге и
оптимальное АФР. В ряде случаев
(например, при малых или независимых в
разных элементах решетки флуктуа-
циях) удается получить решение в
явном виде. В общем виде необходимо
использовать численные методы.
Степень успеха при этом определяется
эффективностью приемов обращения
матриц большой размерности.
Если в задаче оптимизации
искомым является амплитудное
распределение, то методика в основном
сохраняется такой же, как и при синтезе
АФР. Более сложными оказываются
задачи фазовой оптимизации,
представляющие особый интерес (так как
регулировка фазы более проста и
экономична, чем регулировка амплитуды) и
9.5.3. Обратные задачи СТА

задачи определения оптимального
размещения излучателей [9.21].
Помимо задач статистической
оптимизации интегральных
параметров антенн рассматривались также
задачи статистического синтеза по
заданной ДН. В качестве
оптимизирующего функционала выбиралась
величина
«52 = J |/(u)-/3(u)|25(u)dQ, (9.76)
4тг
характеризующая степень
обусловленности флуктуациями источников
разброса синтезированных ДН /(ii)
относительно заданной /3(и). Входящая
в (9.76) весовая функция позволяет
регулировать точность аппроксимации
заданной ДН в определенных угловых
секторах.
Величина б2 представляет собой
обобщение используемого в теории
детерминированного синтеза среднеква-
дратического отклонения S2
(выражение (9.76) без знака усреднения).
Задача синтеза состоит в
нахождении регулярного распределения
источников, минимизирующего величину 82
при наличии «заданных» флуктуации
в этом распределении. Для случая,
когда искомым является АФР,
функционал 82 представляет собой сумму
эрмитовой и линейной форм относительно
оптимизируемого АФР. Решение
задачи сводится к обращению
положительно определенной матрицы с
последующим умножением на вектор линейной
формы. Решение получается в явном
виде для любых АР и произвольных
случайных ошибок [9.21].
Изложенные выше методы
решения задач статистического синтеза
антенны по интегральным параметрам и
заданной ДН сходны с методами
решения аналогичных задач в теории
детерминированного синтеза. Однако
результаты их решения в ряде
случаев, например при малых
расстояниях между излучателями (меньше А/2),
могут существенно различаться [9.21].
Это особенно ощутимо для АР с
продольным излучением.
Статистический подход к задаче
синтеза позволяет получить выигрыш
(порою весьма значительный) в
значениях оптимизируемых параметров
антенн, а также оценить практически
достижимые значения показателей
качества антенны.
Принципиальной, весьма ценной
чертой статистического анализа
является то, что учет флуктуации
источников на этапе постановки задачи
синтеза приводит к естественной
регуляризации этой задачи, существенно
подавляет эффекты сверхнаправленности.
В завершение следует отметить,
что круг задач статистического
синтеза весьма широк. Многие из этих
задач не имеют аналога в теории
детерминированного синтеза. К
числу таковых можно, например,
отнести задачи, в которых в качестве
исходных (или в качестве
дополнительных ограничений) используются
определенные требования по флуктуацион-
ным или корреляционным
характеристикам антенн.
Подобный обзор основных
результатов, полученных к настоящему
времени в области теории обратных задач
СТА, содержится в [9.21].

9.5.4. Возможности ослабления влияния флуктуации
в антеннах на их характеристики
Предсказываемые СТА эффекты,
основные закономерности их
изменения подтверждены (по крайней мере
качественно) экспериментально путем
изучения характеристик приемной
антенны в поле ДТР [9.1]. Эти
неприятные эффекты неизбежно
проявляются и при разработке различных типов
крупных антенн и их эксплуатации.
Они являются весьма серьезным
препятствием на пути улучшения
характеристик современных
радиотехнических (акустических, оптических и т.д.)
устройств, успешного решения
проблем их ЭМС, помехозащищенности.
Поэтому оценка возможностей
уменьшения влияния случайностей на
параметры антенн — сейчас один из
обязательных, важных этапов
проектирования крупных антенн, а также
злободневный вопрос при их эксплуатации.
За последние двадцать-тридцать лет
вопросам уменьшения случайностей в
антенне, ослабления их влияния на
параметры антенн уделялось большое
внимание. В начале основные усилия
были направлены на уменьшение
«случайностей» путем совершенствования
технологии изготовления зеркал,
разработки более жестких конструкций,
уменьшения массы, использование
материалов с малыми коэффициентами
температурного расширения,
повышение стабильности и надежности
элементов, входящих в состав антенны.
Со временем, однако, стало ясно, что
реализация всех этих мер оказывается
в ряде случаев недостаточной
(особенно в свете резкого повышения
требований к характеристикам современных
антенн), либо нецелесообразной (из-за
резкого удорожания антенны). Это
обстоятельство стимулировало наряду с
упомянутыми выше мерами внедрение
различных способов компенсации
случайностей (или их влияния), включая
переход к новым принципам
построения антенн.
В качестве одного из примеров
укажем идею перехода от сплошного
зеркала с относительно невысокой
точностью изготовления к зеркалу,
состоящему из большого числа
небольших, точно изготовленных
металлических листов. Положение этих листов
друг относительно друга
регулируется вручную или автоматически в
процессе сборки и эксплуатации антенн.
Эта идея, стимулированная наличием
«предельного» КНД (см. 9.2.2), была
высказана С.Э. Хайкиным и Н.Л.
Кайдановским и реализована впервые в
Пулковском радиотелескопе и во
многих других (стационарных и
полноповоротных). Другой пример —
самофокусирующиеся антенны, которые
«адаптируются» к форме искаженного
влиянием среды фронта падающей
волны, обеспечивая на выходе максимум
принимаемого сигнала. В последнее
время активно внедряются и
самофокусирующиеся системы другого типа
— адаптивные к собственному
состоянию, т.е. системы, реагирующие на
флуктуации, возникающие в самой
антенне. Схемы подобного типа весьма
многочисленны и определяются
конкретным механизмом флуктуации, на
который они реагируют, и требованиям
к антенным характеристикам.
Некоторые примеры таких систем указаны в
[9.23]. При решении вопроса о
целесообразности применения подобных схем
и выборе метода их реализации
определяющими являются результаты
статистической теории антенн.

Приведенный в данной главе
справочника материал показывает, что к
настоящему времени в области СТА
сделано немало. Опубликовано
большое число интересных теоретических
и экспериментальных работ [9.1, 9.4,
9.6, 9.21], посвященных изучению
самих флуктуации источников в
антеннах, анализа и синтеза антенн со
случайными источниками, методов
ослабления этого влияния. Важные
результаты получены и по ряду других
актуальных направлений современной
СТА: статистической теории неэкви-
9.1. Шифрин Я.С. Вопросы
статистической теории антенн / Пер. с англ. -— М.: Сов.
радио, 1970.
9.2. Шифрин Я.С, Должиков В.В., Рад-
ченко В.Ю. Сверхнаправленность в
статистической теории антенн. Харьков. 1987. 140 с.
Деп. в УкрНИИРТИ. 05.01.88, № 86.
9.3. Шифрин Я.С, Корниенко Л.Г. О
предельном уровне боковых лепестков
антенных решеток со случайными фазовыми
ошибками// Радиотехника. Харьков. 1974. Вып. 30.
С. 75-84.
9.4. Шифрин Я.С. Современное
состояние статистической теории антенн //
Радиотехника и электроника. 1990. Т. 30. № 7. С.
1345-1365.
9.5. Черное Л. А. Распространение волн
в среде со случайными неоднородыостями //
Изв. АН СССР. 1958.
9.6. Шифрин Я.С. Статистическая
теория антенн (Современное состояние, основные
направления развития). Харьков. 1985. 181 с.
Деп. в УкрНИИРТИ. 09.09.85. № 2098.
9.7. Шифрин Я. С, Харченко В.Н. К
вопросу об ограничениях, налагаемых неодно-
родностями атмосферы на КНД больших
антенн // Радиотехника. Харьков. 1985. Вып. 74.
С. 3-11.
9.8. Greens С.A., Moller R.T. The effect
of normally distributed random rhase errors on
synthetic array gain patterns // IRE Trans. 1962.
Vol. M1L-6. № 2. P. 130.
9.9. Hoyt R.S. Probability functions for
the modules and angle of the normal complex
дистантных решеток [9.23],
статистических аспектов теории антенных
измерений [9.24], статистике поля АР
при дискретных законах
распределения ошибок возбуждения ее элементов
[9.25], сверхнаправленности в СТА [9.2]
и т.д. Все это создает уже сегодня
достаточную базу для успешного
решения специалистами совокупности
вопросов, связанных с ослаблением
влияния случайностей различной природы
на характеристики разрабатываемых и
эксплуатируемых крупных
дорогостоящих антенн.
variable // Bell Sestem Tech. J. 1947. Vol. 26.
P. 318.
9.10. Пугачев B.C. Теория случайных
функций и ее применение к задачам
автоматического управления. М.: Физмат, 1960.
9.11. Gilbert E.N., Morgan S.P. Optimum
design of directive antenna arrays subject to
random variables // Bell Sestem Tech. J. 1955.
Vol. 34. P. 637.
9.12. Айзенберг Г.З. Антенны
ультракоротких волн. М. 1957.
9.13. Янке Е., Эъву Ф. Таблицы с
формулами и кривыми— М.: Гостехиздат, 1948.
9.14. Шифрин Я.С, Бородавко Ю.М.
О статистике поля линейной антенны в
зоне Френеля // Радиотехника и электроника.
1988. Т. 33. № 9. С. 1870-1878.
9.15. Сканирующие антенные системы
СВЧ / Под ред. P.M. Хансена. М.: Сов. радио,
1986.
9.16. Шифрин Я.С, Бородавко Ю.М.,
Назаренко В.А. Интегральные
энергетические характеристики поля линейной
антенны в зоне Френеля // Радиотехника. Харьков.
1988. Вып. 85. С. 3-10.
9.17. Shifrin Y.S. Effect of the current
fluctuations on the side lobe radiation in
antennas // Proc. of 10-th Internatianal
Symposium on EMC. Wroclav. 1990. Vol. 1.
PP. 74-78.
9.18. Ruze J. The effect of aperture errors
on the antenna radiation pattern // Suppl. a
Nuovo Cimento. 1952. Vol. 9. № 3. P. 364.
9.19. Robieux J. Influence de la precision
de fabrication d'ude antenna sur ses perfomances
Литература

// Ann. de Radioelectricite. 1956. Vol. 11. № 43.
P. 29.
9.20. Adams А.Т., Hsi P.C., Farrar A.
Random effects in planar arrays of thin-wire
dipoles // IEEE Trans., Electromagn. Compatib.
1978. Vol. EMC-20. № 1. PP. 223-232.
9.21. Корниенко Л.Г., Шифрин Я.С.
Статистический анализ антенн // Проблемы
антенной техники. М.: Радио и связь, 1989.
С. 275-297.
9.22. Шишов Ю.Л. и др. Адаптация
ФАР по результатам встроенного контроля
// Зарубежная радиоэлектроника. 1990. № 9.
С. 68-89.
9.23. Шифрин Я,С, Должиков В.В.
Статистический синтез линейной непрерывной
антенны по заданной диаграмме
направленности // Радиотехника и электроника, 1994.
Т. 39. № 9-9. С. 1329-1335.
9.24. Шифрин Я.С, Назаренко В.А.
Поле случайных антенных решеток в зоне
Френеля // Радиотехника и электроника. 1991.
Т. 36. № 1. С. 52-62.
9.25. Шифрин Я.С, Усин В.А. Основы
статистической теории голографического
метода определения параметров антенн //
Методы измерения параметров излучающих
систем в ближней зоне. Л.: Наука, 1985.
9.26. Betide? А.В. Статистический анализ
ДН ФАР при отказе излучателей // Изв.
вузов. Сер. Радиоэлектроника. 1994. Т. 33.
№ 2. С. 28.

Глава 10
Антенны с нелинейными элементами
Одним из новых направлений в
современной теории антенн является
изучение характеристик антенн с
нелинейными элементами (АНЭ).
Появление и развитие этого направления
обусловлено двумя основными
причинами.
Первая из них — широкое
внедрение в практику антенн с
нелинейными элементами для решения
ряда важных задач радиоэлектроники:
антенны-выпрямители (ректенны),
антенны с умножением частоты,
смесительные антенны и др. [10.1-10.3].
Освоение новых частотных диапазонов
и широкое использование достижений
микроэлектроники в антенной технике
все более расширяют область
применения АНЭ.
Вторая причина — обострение
проблемы электромагнитной
совместимости радиоэлектронных средств,
обусловленное увеличением числа и
мощности радиопередающих устройств
и повышением чувствительности
радиоприемных устройств. Это
обстоятельство диктует необходимость
анализа вредных нелинейных эффектов,
возникающих в АНЭ, в частности, их
побочного излучения, усложняющего
электромагнитную обстановку.
Побочное излучение может порождаться как
нелинейными элементами (НЭ),
функционально необходимыми для работы
АНЭ, так и паразитными нелинейно-
стями в ней. Последние могут быть
вызваны конструкцией антенны
(например, образующимися в местах
соединения элементов зеркальной
антенны окисными пленками, имеющими
нелинейные вольт-амперные
характеристики [10.4, 10.5]) или
неблагоприятным режимом работы активных
элементов антенны, в частности
активных элементов в АФАР [10.2]. При
современных уровнях мощности
передающих устройств указанные вредные
нелинейные эффекты могут проявлять
себя достаточно заметно.
Интерес к изучению нелинейных
эффектов в излучающих системах
вызван также развитием средств
радиолокационной техники, использующих
эффект нелинейного рассеяния
электромагнитных волн [10.4, 10.5]. Суть
его заключается в том, что при
отражении от объектов, содержащих
элементы с нелинейными
характеристиками, в переизлученном поле
появляются новые спектральные составляющие,
отсутствующие в поле падающей
волны. Нелинейными элементами,
изменяющими спектральный состав
переизлученного объектом поля, могут быть
либо окисленные контакты
металлических элементов облучаемого
объекта, либо НЭ, специально встроенные
в состав установленной на объекте
антенны. Использование нелинейного
рассеяния способствует решению ряда
трудных задач радиолокации, в
частности, задачи обнаружения цели на
фоне сильных отражений от
поверхности земли, морской поверхности и
т.д. Вместе с тем, актуальной
является и обратная задача —
уменьшение нелинейного рассеяния радиоволн
для снижения вероятности
обнаружения целей [10.4].
Как известно, наличие
нелинейности в любом устройстве проявляется в
зависимости его параметров и
характеристик от уровня входного
воздействия и в появлении новых спектраль-

ных составляющих в отклике
устройства. Подобные явления
характерны для любого нелинейного
устройства, будь то антенна, содержащая НЭ,
приемное устройство и др. По этой
причине математический аппарат,
используемый при исследовании
нелинейных явлений в различных
устройствах, имеет много общего. Тем не
менее представляется вполне
оправданным выделение круга задач,
связанных с изучением нелинейных
эффектов в антеннах, в отдельное
направление исследований. Это связано с тем,
что, во-первых, нелинейные эффекты в
антеннах определяются не только
параметрами НЭ, но и зависят от
типа антенны, ее конструкции, типа
излучателей, взаимосвязи между ними;
во-вторых, они оказывают влияние на
антенные характеристики; в-третьих,
при анализе антенн с НЭ используется
общий аппарат исследования
нелинейных явлений в сочетании с подходами
и методами теории антенн.
Изучение нелинейных элементов в
антеннах (НЭА) — задача
достаточно трудная. Связано это со
сложностью математического аппарата,
используемого при анализе нелинейных
устройств, а также и с тем, что НЭА
зависят от большого числа факторов и
в каждом конкретном случае они
проявляются по-разному. Поэтому, как
правило, в работах, анализирующих
НЭА, рассматриваются частные
задачи при тех или иных, обычно
существенных, допущениях. Это
усложняет выявление общих закономерностей,
затрудняет возможность уяснения всей
картины в целом. Однако
рассмотрение проблемы НЭА с максимально
возможных общих позиций
представляется в настоящее время весьма
необходимой. Ниже приводятся примеры
типовых антенн с НЭ, дается общая
характеристика НЭА в приемных и
передающих антеннах, основные методы
анализа антенн с НЭ, пути повышения
эффективности численных алгоритмов
расчета таких антенн.
10.1. Примеры антенн с нелинейными элементами
Рассмотрим вначале примеры
антенн, в которых наличие элементов с
нелинейными характеристиками
принципиально необходимо для
функционирования устройства.
На рис. 10.1 приведен один из
вариантов антенны-смесителя
миллиметрового диапазона волн [10.3]. Антенна
образована кольцевой щелью и двумя
диодами VI и V2, включенными в щель
под углом 90° друг к другу.
Падающие на антенну волны — входной
сигнал Ес и сигнал гетеродина Ег
поляризованы взаимно ортогонально. Сигнал
промежуточной частоты (ПЧ) 1
снимается со щели через фильтрующую
цепь (Др1). Включение НЭ
непосредственно в излучатель позволяет
обойтись без высокочастотных линий
передачи, что обеспечивает хороший
коэффициент преобразования смесителя
вплоть до частот субмиллиметрового
диапазона.
Рассмотрим устройство,
объединяющее антенны с НЭ с
традиционными антеннами оптического типа [10.6].
Решетка из микрополосковых антенн-
генераторов I размещена на
поверхности одного из двух зеркал 2
открытого резонатора (рис. 10.2,а).
Конструкция отдельной антенны-генератора
показана на рис. 10.2,6. На поверхность

Рис. 10.1
зеркала открытого резонатора,
служащую экраном, нанесен слой
диэлектрика 4, выполняющий роль подложки
излучателя. Между экраном и
излучающей полоской 5 включен диод Ган-
на 6. Выходной сигнал снимается при
помощи волновода 3, подключенного
ко второму зеркалу. Частота
генерируемых колебаний зависит от параметров
НЭ, полосковых излучателей, а также
от характера взаимных связей между
излучателями. Открытый резонатор
выполняет роль фильтра,
настроенного на рабочую частоту колебаний. От
характеристик этого фильтра зависит
полоса пропускания устройства и
уровень побочных излучений,
порождаемых НЭ.
На рис. 10.3 приведен фрагмент
АР с НЭ, используемой в одной из
систем миллиметрового диапазона [10.5].
Решетка выполнена по микрополоско-
вой технологии. На рисунке: 1 — ми-
крополосковые излучатели; 2 —
диоды Шоттки; 3 — выход
низкочастотного сигнала; ./ — низкочастотные
фильтры; 5 — металлический экран.
Характерной особенностью данной
антенной решетки является
непосредственное включение НЭ в ее структуру для
Рис. 10.3

уменьшения потерь в высокочастотной
части решетки — линиях передачи,
цепях согласования и т.д. Однако такое
включение привело к существенному
влиянию параметров НЭ на
характеристики всей АР.
Ri
\
ФНЧ
\
/
\
ФПТ
\
1
т
излучатель
выпрямительная
схема
Рис. 10.4
Весьма специфичный тип антенн с
НЭ — антенны-выпрямители (ректен-
ны), являющиеся одним из основных
узлов в различных системах передачи
энергии на СВЧ. Ректенна
представляет собой антенную решетку из
большого числа приемно-выпрямительных
элементов (ПВЭ). Каждый ПВЭ в
общем случае содержит (рис. 10.4)
излучатель, выпрямительную схему,
фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр
постоянного тока (ФПТ) и нагрузку
Ri. Выходы всех ПВЭ соединены
схемой сбора мощности постоянного тока.
Основным параметром ректенны
является КПД преобразования СВЧ
энергии в энергию постоянного тока.
Помимо определения КПД весьма важным
при рассмотрении ректенны
является анализ структуры рассеянного рек-
тенной поля — его спектральный
состав и угловое распределение. При
тех больших уровнях мощности,
которые ожидаются для систем,
использующих крупные ректенны, рассеянное
поле будет сказываться не только на
электромагнитной обстановке, но
может быть и фактором, влияющим на
экологию окружающей среды.
Обратимся теперь к антеннам, в
которых нелинейность входящих в их
состав элементов является следствием
соответствующего режима работы этих
элементов. Характерными примерами
подобных антенн являются
слабонаправленные активные антенны [10.7] и
активные ФАР [10.2]. В первом случае
активные элементы включаются, как
правило, для улучшения габаритно-
весовых характеристик антенн,
расширения их полосы пропускания и т.п.
Во втором случае активные элементы
используются для усиления колебаний
и обычно функционируют в линейном
режиме. В обоих случаях
нелинейность характеристик реальных
активных элементов может явиться
причиной возникновения вредных
нелинейных эффектов, влияющих как на
параметры самой антенны, так и на
окружающую электромагнитную
обстановку. Важно отметить, что и в
антеннах с активными элементами, так же,
как и в рассмотренных ранее примерах
антенн с НЭ нелинейные эффекты
будут зависеть от характеристик
излучающей системы и влиять на выходные
параметры антенны. Таким образом, и
в этих случаях возникающие
нелинейные эффекты имеют антенную
окраску, т.е. имеем дело с НЭА.
Независимо от того, являются ли
источником НЭА входящие в состав
устройства специально встроенные
нелинейные элементы или НЭА
являются следствием неблагоприятного
режима работы активных элементов
устройства, целесообразно оба указанных
типа устройств рассматривать как
единый класс — класс антенн с
нелинейными элементами (АНЭ).

10.2. Общая характеристика нелинейных эффектов
в антеннах
Как уже отмечалось выше,
наличие элементов с нелинейными
характеристиками проявляется в антенне
двояко. Во-первых, в отклике антенны
появляются новые спектральные
составляющие. Во-вторых, в отличие
от линейных систем возникает
зависимость характеристик антенны от
уровня входного (внешнего) воздействия.
Рассмотрим подробнее эти две группы
эффектов.
Появление в отклике антенны
новых спектральных составляющих
лежит в основе работы ряда указанных
выше типов АНЭ, а также средств
нелинейной радиолокации. Вместе с
тем, в ряде случаев оно
проявляется в виде вредного побочного
излучения на гармониках основного сигнала
и на комбинационных частотах.
Излучение на комбинационных частотах
может иметь место как в
многочастотных передающих, так и в одночастот-
ных (передающих или приемных)
антеннах с нелинейностями, если на них
наряду с основным сигналом действует
сигнал помехи.
Характер диаграммы
направленности на частотах побочных излучений
определяется особенностями антенны
— местом включения НЭ и их
параметрами, параметрами системы
излучателей и т.п. В зависимости от этих
факторов ДН на частотах побочных
излучений могут быть как
остронаправленными с ярко выраженным
главным лепестком, так и
слабонаправленными, с коэффициентом
направленного действия (КНД), близким к единице
[10.8]. В приемных антеннах при
наличии нелинейных элементов
возможно образование побочных каналов
приема, если сигналы с комбинационными
частотами попадают в полосу
пропускания приемного тракта [10.9].
Не менее важным для АНЭ
являются и эффекты, связанные с
зависимостью их характеристик от
уровня входного воздействия. Так,
например, если в усилителях, включенных в
тракты излучателей приемной
активной ФАР (АФАР), имеет место
ограничение амплитуды сигналов, например
из-за узкого динамического диапазона
усилителей, то происходит расширение
главного лепестка ДН и увеличение
уровня боковых лепестков, т.е. форма
ДН изменяется с изменением уровня
входного сигнала. Для приемной АНЭ,
кроме того, наблюдается нелинейная
зависимость отношения сигнал-помеха
на выходе антенны как от уровня
полезного сигнала, так и от уровня
сигнала помехи [10.9]. Все это влечет за
собой необходимость расчета выходных
параметров АНЭ на любой из частот
(основной, гармониках,
комбинационных) для разных уровней входного
воздействия. В ряде случаев оказывается
важным выбирать схему АНЭ и ее
режим в соответствии с внешними
условиями работы антенны.
Из сказанного выше ясно, что
НЭА могут быть полезными,
необходимыми для работы, и вредными:
появление побочного излучения;
изменение характеристик антенны на
основной частоте; образование побочных
каналов приема.
Важно отметить, что НЭА,
степень и особенности их проявления
зависят от конкретной конструкции
АНЭ, взаимосвязи с ее излучателями,
характеристик НЭ, места их
включения, режима работы антенны и т.д.
Это видно из приведенных ниже
рисунков, иллюстрирующих характер
побочного излучения приемной АР из
трех полуволновых вибраторов,
расположенной над металлическим экраном

a)
R,
л^
6)
Рис. 10.5
(рис. 10.5,а). Схема решетки
приведена на рис. 10.5,б. Ко входам
вибраторов 1 в решетке подключены
усилители 2 с нелинейными
характеристиками. Выходы усилителей, в свою
очередь, через линии передачи 3
соединены со входами сумматора 4- Решетка
возбуждается плоской волной частоты
/о, приходящей с направления вп.
На рис. 10.6 показано влияние
взаимной связи между излучателями
решетки на ДН побочного излучения на
частоте третьей гармоники. Сплошной
кривой показана полученная без
учета взаимных связей ДН в плоскости
Н, с четко выраженными нулями ДН.
Наличие взаимной связи, практически
не влияя на форму главного
лепестка, приводит к изменению уровня
боковых лепестков и заплыванию нулей
ДН (пунктирная кривая на рис. 10.6).
Исключение составляет только
нулевое значение ДН при в = ±48°. Ноль
в этом направлении обусловлен нулем
ДН одиночного излучателя над
экраном на частоте третьей гармоники.
На рис. 10.7 показано влияние
сопротивлений ZBYl каждого канала
сумматора в сечениях а-а на побочное
излучение решетки на третьей
гармонике при d = 0,5Ao- Видно, что их
изменение оказывает существенное
влияние на уровень боковых лепестков, не
затрагивая главный.
/
0,8
0,6
U,4
0,2
п
1
1
1
1
1
If
if
\
\
V
N
\
\ \
*
1
1
If
1
\
V-/
\ J
1 /
1
\ 1
\ 1/
ч-7
ви--
d
т0
\
\
V
= 0
= 0,5
■
1
i
/
/
i /
\
\
V
\
_ \
>\
\\
^\v
-90 -72
-54
-36
-18 0
Рис. 10.6
36
54
72 #, град

/
0,8
0,6
0,4
0,2
n
1
1
1
1 /
/ /
/ /
II
II
и
l/
\
\
-v \
\ \
\ \
\\
\\
'
1
\ 1
/
1
1
1
V/
ч\у
к /
\ /
1 1
\ 1
1 /
I 1
\ 1
1 1
\
\
\
\
\jj
ZBX = 10 Ом
ZBX = 100 Ом
вп = 0
/
/
/ /-
/ /
/ /
//
fi
\ /'
\
\
\
\ t
\ \
\\
Vv
-90 -72 -54 -36 -18 0 18
Рис. 10.7
36 54 72 0, град
/
0,8
0,6
0,4
0,2
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I
/
'/~Ч
/
\
\
\
\
\
\
V
\
\
\
\
\
V
Х-Ч.
/\
~/
\
\
I
у
/
/
/
i
i s-
1/
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
, V /-
**/-
■\ ''"ч
V
\
\
\
\
\
\
v
\
\
\
\
1
— вп = 0
-- 0n = 2O0/"
\
\
^\ !
v '
\'/
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
\
\
V
\
V
\
I
\l
-90 -72 -54 -36 -18 0
Рис. 10.8
18
36
54
72
i, град
Влияние направления прихода
возбуждающей волны на побочное
излучение решетки на третьей
гармонике приведено на рис. 10.8, где
показаны ДН решетки с d = 0,25А0 для двух
углов прихода возбуждающей плоской
волны — вп = 0; 20°. Видно, что
наряду с изменением УБИ наблюдается и
значительное изменение формы
главного лепестка ДН.
На рис. 10.9 показано изменение
формы ДН побочного излучения на
третьей гармонике в зависимости от
длины линий передачи, соединяющих
НЭ с сумматором. Приведены ДН для
двух расстояний от НЭ до сумматора
— kol = 1,5; 2,5 (ко = 2tt/Xq). При этом
полагалось, что длины всех линий
одинаковы. На рис. 10.10 приведены ДН
такой же решетки, однако длины
линий передачи были различными и
выбирались таким образом, чтобы
обеспечить отклонение от нормали
направления главного лепестка ДН на основной
частоте соответственно на угол вф = 3;
9°, т.е. этим решетка фазировалась в

/
0,8
0,6
0,4
0,2
\.
л
\
\
\
\
\
'
' ^
/
/
/
1
1
1 ,
1 ' /
\ ; /
4 / /
1 / /
V/
Л
1 v
■ \
\
\
X
\
\ /
\ /
\ 1
\l
1
I
1
V/
■% /
\ /
\ /
\ /
I /
\l
\
^
Л — k0( = 1,5 /
\ ви = 0 /
V"\
/\
/ \
/
/
/
/
/
/
\
\
\
{ \ 1
\ *
\ v /
\ * r
\ x 1
\\f
' \
\
\
s
>
J
определенном направлении. Как
видно из приведенных графиков,
параметры линейных элементов схемы
оказывают существенное влияние на
побочное излучение АНЭ.
Важным нелинейным эффектом
для приемных антенн с НЭ является
образование побочных каналов
приема. Так, если на решетку наряду с
полезным сигналом с частотой /о
воздействует и мощная помеха с частотой
/п fa 2/o, то образовавшиеся
комбинационные составляющие с частотой
72 в, град
/п — /о ~ /о попадают в полосу
пропускания приемного тракта, что
ухудшает ее помехозащищенность.
Характер проявления этого эффекта так же,
как и других НЭА, зависит от
многих факторов. В качестве примера на
рис. 10.11 показаны ДН по побочному
каналу приема решетки, показанной
на рис. 10.5 для двух углов
фазирования вф = 0; 7,5°.
Фазирование на основной частоте
осуществлялось изменением длин
линий передачи от НЭ до сумматора.

/пк, ДБ
1
9
-3
-4
-5
R
1 /•"
/ /
/ 1
\ 1
1
1
1
•
s
>
" х4.
\ \
)0
X
\
— 6»ф = 0
— вф
\
\
\
\
\
\
г\х
\
\
\
1
1
1
1
= 7,5°
/
/
>ч
/I
II
1
11
II
II
и
11
и
If
i
1
/
/
*
/ /
> I
\\
ч \
\ \
N \
\\
Ц
-90 -72
-54
-18 0 18
Рис. 10.11
54
72 в, град
Принято также, что направление
прихода полезного сигнала с частотой /о
совпадает с направлением главного
лепестка ДН решетки, а угол вп
характеризует направление прихода помехи
с частотой /п = 2/о. Видно, что при
вф = 0 существует несколько
направлений (0П = 0; ±18; ±42°), с которых
приходящая помеха будет значительно
ослаблена. Незначительное же
отклонение главного лепестка ДН приводит
к тому, что условия приема
значительно ухудшились практически во всех
направлениях, за исключением вп = 0°.
Приведенные выше результаты
подтверждают, что НЭА зависят от
большого числа факторов. При этом
в ряде случаев небольшие изменения
параметров антенны или условий ее
работы существенно сказываются на
характеристиках АНЭ.
Как результат — корректный
анализ АНЭ требует комплексного
подхода, при котором необходимо
учитывать характеристики и параметры всех
элементов, входящих в АНЭ, а также
условия ее возбуждения.
10.3. Два подхода к анализу нелинейных эффектов в
антеннах
Цель анализа АНЭ —
определение спектрального состава
отклика исследуемого устройства в
зависимости от характера и уровня
внешнего воздействия. Отклик АНЭ
характеризуется вектором выходных
параметров, компонентами которого должны
быть величины, описывающие связь
антенны с пространством и
внешними устройствами (приемниками,
генераторами). В настоящее время
условно можно выделить два подхода к
решению данной задачи — структурный
подход и подход на основе переменных
состояния.

Структурный подход. При этом
подходе антенна представляется в
виде преобразователя входного
воздействия в отклик и описывается
некоторым оператором В, переводящим
вектор входного воздействия x(r,t))* в
вектор выходных параметров
y(r,t))=B{x(T,t)),t}. (10.1)
Структурный подход
непосредственно отвечает исходной постановке
задачи — определению отклика по
известному воздействию. Заметим, что
для линейных устройств структурный
подход является основным при
анализе установившегося режима. Так,
зная матрицу Y собственных и
взаимных проводимостей АР,
возбуждаемой источниками ЭДС 14}, можно для
любого 14} определить
соответствующий ему вектор токов I) на входах
излучателей решетки из соотношения
I) = YVX).
Здесь /) — вектор выходных
параметров; Vx) — вектор входных
воздействий; Y — оператор В для АР.
Внешние параметры, т.е. параметры,
характеризующие АР как функциональное
устройство (диаграмма
направленности, коэффициенты отражения от
входов и т.д.), находят затем по известным
из теории антенн соотношениям. При
этом важно, что матрица Y
определяется только один раз, а затем можно
многократно определять внешние
параметры АР для любого 14} и при этом
нет необходимости в повторном
определении Y.
Основная трудность при
применении структурного подхода к
анализу АНЭ заключается в определении
единого оператора В для различных
* Здесь н далее использовано
введенное Дираком обозначение х(г, £)) и
(х(т, t) для матрицы-столбца (вектора)
и матрицы-строки соответственно.
x(v,t)}, так как при изменении
входного воздействия x(r,t)) изменяются
параметры нелинейного
многополюсника, входящего в состав АНЭ, и, как
результат, изменяется вид оператора
В, Это, как правило, приводит к
необходимости при построении В
принятия некоторых допущений,
идеализации в описании узлов и элементов
антенны (например, пренебрежения
связью между излучателями АФАР,
идеализации характеристик НЭ и т.п.).
Подход на основе переменных
состояния. Он базируется на понятии
состояния устройства, которое
определяется рядом переменных,
называемых переменными состояния [10.11].
В этом случае устройство описывается
некоторой системой уравнений
L{u(r,t)),x{T,t)),t} = 0, (10.2)
связывающей неизвестный вектор
переменных состояния u(v, t)) с
известным вектором внешних воздействий
х(т, t)) и параметрами схемы АНЭ
(входящими в оператор L), также
совокупность соотношений, связывающих
векторы u(v,t)) и x(r,t)) с вектором
выходных параметров
y(v,t)) = y{u(v,t)),x(r,t)),t}. (10.3)
Соотношения (10.2) называют
уравнениями состояния, а
соотношения (10.3) — выходными уравнениями.
Вид уравнений состояния зависит
от выбора переменных состояния, а
вид выходных уравнений — от того,
какой тип АНЭ рассматривается и
какие параметры или характеристики
исследуемой антенны выбраны в
качестве компонент вектора выходных
параметров.
Например, если при анализе
одиночного вибратора, нагруженного на
НЭ, в качестве переменных состояния
выбрано напряжение u(t) на НЭ, то

уравнение состояния представляет
собой уравнение типа Вольтерра
t
u{t) = e(t) - I g{t- т)Щи{т)} dv, t ^ 0.
(10.4)
Здесь e(t) — ЭДС, наведенная на
входе вибратора полем падающей
волны; g{t — г) — отклик на входе
вибратора при воздействии импульса тока
г = 6(t — г); / = Ш{и] —
характеристика нелинейного элемента; 6(t — т) —
дельта-функция Дирака.
Функция g(t) связана с входным
импедансом вибратора
оо
Z(u) - / g(t)exp(iut)dt.
Если в качестве переменной
состояния выбрана функция распределения
тока вдоль вибратора, то система
уравнений состояния включает в себя два
уравнения, одно из которых является
интегральным уравнением
относительно распределения тока на вибраторе
[10.12], а второе описывает связь
между током и напряжением на клеммах
излучателя, к которым подключен НЭ,
4тг
1 di(z',r) с di(z',z)
R~dr- + WZoR~dF~
- — z0Rq{z',T)\ dz1 = Etm(v,i); (10.5a)
i(t) = R{u(t)},
где
q(z',t) =
di(z',t>)
(10.56)
eft'. (10.
Здесь R = |R|; z0 — единичный
вектор в направлении оси z; R = т — г'; г,
т' — радиус-векторы точек источника
и наблюдения, соответственно; i(z',t)
— ток вибратора в точке z' в момент
времени t\t— (t — R/c) — время
запаздывания; с — скорость света; £^т(т, t)
— касательная составляющая поля
падающей волны.
Выделение двух подходов к
исследованию АНЭ — структурного и
основанного на переменных состояния
имеет условный характер. Это видно из
примера, когда уравнения состояния
допускают явное решение
u(v,t)) = L'{x(v}t)},t} (10.7)
для некоторого множества векторов
x(v,t)). Достаточно теперь
подставить (10.7) в (10.3), чтобы получить
структурную модель АНЭ вида (10.1).
Такой способ часто применяется для
формирования структурных моделей.
Вначале задача анализа АНЭ
формулируется с использованием
переменных состояния, затем, используя
различного рода упрощения, находят
решение уравнений состояния в виде
(10.7) и строят структурную модель
АНЭ.
Выбор одного из двух подходов
для анализа АНЭ диктуется типом
рассматриваемой антенны,
сложностью ее схемы, условиями работы,
требованиями к точности и полноте
ее анализа. Например, исследования
приемных АНЭ целесообразно
проводить на основе структурного подхода,
так как эти устройства работают в
режиме слабой нелинейности, т.е. в
режиме близком к линейному, для
которого, как отмечалось выше,
структурный подход является естественным.
При исследовании АНЭ, работающих
в режиме сильной нелинейности
(передающие АНЭ, ректегшы), необходимо
использовать подход на основе
переменных состояния.
Рассмотрим подробнее подход на
основе переменных состояния,
получивший в настоящее время
более широкое распространение.

10.4. Подход на основе переменных состояния
Анализ АНЭ на основе
использования переменных состояния системы
можно условно разбить на четыре
этапа. Первый этап состоит в том, что
для заданной схемы антенны
выбирают вектор переменных состояния,
модели входящих в схему АНЭ
линейных и НЭ и, используя условия их
соединения, находят уравнения
состояния системы и выходные уравнения,
т.е. операторы L и Y. На втором
этапе решают систему уравнений
состояния (10.2) при заданном внешнем
воздействии, в результате чего
определяется вектор переменных состояния. На
третьем этапе по известным x(r,t)) и
u(v,t)) из выходных уравнений (10.3)
определяют вектор выходных
параметров y(r,t)). И, наконец, на четвертом
этапе, зная вектор выходных
параметров, находят внешние характеристики
АНЭ (ее ДН, КНД, мощность в
нагрузке и т.п.).
Наиболее трудоемким является
этап решения уравнений состояния.
Используемые на этом этапе методы
можно разделить на аналитические и
численные. Первые применяют для
решения сравнительно простых задач.
В качестве примера можно указать
задачу об оценке характеристик
рассеяния волн одиночным вибратором с
резистивным НЭ [10.13]. Численные
методы обладают большими
возможностями. Их можно реализовать во
временной и частотной областях.
Решение во временной области
целесообразно искать либо при изучении
переходных процессов [10.14], либо при
определении отклика АНЭ на
нестационарное воздействие
(электромагнитный импульс), изменении во времени
нелинейной выгрузки [10.15] и т.п.
Достоинства временного
«способа» — возможность исследования
переходного режима АНЭ и получения
информации о поведении антенны
сразу во всем частотном диапазоне.
Недостатки: необходимость вычисления
переходных процессов для получения
характеристик установившегося
режима и знания переходных
характеристик всех линейных элементов схемы
АНЭ; высокая размерность системы
типа (10.5) при сложной схеме АНЭ.
Все это приводит к большому (порою
недопустимому) объему
вычислительных затрат, ограничивает возможность
применения временного способа. В
настоящее время значимость временного
подхода к анализу АНЭ заметно
возросла в связи с усилившимся интересом к
использованию сверхкоротких
импульсов (сверхширокополосных сигналов),
резко повышающих разрешающую
способность радиолокационных систем, а
также в связи с быстрым ростом
возможностей вычислительных средств.
Тем не менее, и сейчас при
изучении установившегося режима работы
АНЭ гораздо эффективнее для
решения уравнений состояния использовать
частотный подход.
При периодическом входном
воздействии используют метод
гармонического или модифицированного
гармонического баланса [10.16, 10.17] и
методы нагрузочных характеристик
[10.2]. В качестве уравнения состояния
принимают обычно уравнение (10.4).
Переменные состояния — токи или
напряжения на нелинейных
элементах, представляются в виде ряда
Фурье. При этом интегральное уравнение
(10.4) преобразуется к более простой
системе нелинейных уравнений
относительно комплексных амплитуд
гармонических составляющих токов или
напряжений. Эта система решается

далее каким-либо итерационным
методом (например, методом Ньютона-
Рафсона или с использованием
различного рода оптимизационных методов).
Метод гармонического баланса
можно применять и в случае
возбуждения АНЭ узкополосным сигналом.
Последний заменяется гармоническим
сигналом с медленно меняющейся
амплитудой, что позволяет свести
исходную задачу к последовательности
задач анализа АНЭ с периодическим
возбуждением [10.17].
С помощью перечисленных
методов получены решения задач
рассеяния для одиночных вибраторов,
спиральных и рамочных излучателей с НЭ
[10.16], исследованы некоторые типы
одиночных передающих АНЭ и
построенных на их основе передающих АФАР
[10.2]. При этом в каждом случае
использовалась своя частная
математическая модель антенн с НЭ. Так, в
[10.2] принято предположение о том,
что нелинейность характеристик
активных модулей, входящих в АФАР,
описывается зависимостью либо
коэффициента передачи, либо входного и
выходного сопротивления модуля от
амплитуды сигнала на его входе. Та-
Предложенная в [10.18, 10.19]
обобщенная схема АНЭ приведена на
рис. 10.12. В схеме выделены
линейная и нелинейная подсхемы
(линейный многополюсник ЛМ и нелинейный
многополюсник НМ). Линейный
многополюсник представлен в виде
соединения трех многополюсников.
Многополюсник ЛМ-1
характеризует систему излучателей и
описывается согласно [10.20] на частоте ш
матрицей рассеяния S(w), системой ортонор-
кое положение, с одной стороны,
значительно упростило модели и
позволило анализировать не только
одиночные АНЭ, но и антенные решетки на
их основе. С другой стороны,
принятое предположение означает
пренебрежение процессом появления в отклике
АНЭ новых спектральных
составляющих, отсутствующих в спектре
входного воздействия. Тем самым принятая
модель позволяет изучать лишь НЭА
на основной частоте. Другие эффекты
(побочные излучения и побочные
каналы приема) при такой модели из
рассмотрения выпадают, что
ограничивает область применимости получаемых
с ее помощью результатов.
Достаточно общая
математическая модель, пригодная для
широкого класса АНЭ, предложена в [10.18,
10.19]. Эта модель позволяет для
широкого класса антенн с нелинейностя-
ми анализировать обе группы НЭА —
зависимость выходных характеристик
антенны от уровня входного
воздействия и образование в отклике антенны
новых спектральных составляющих.
Рассмотрим вначале обобщенную
схему АНЭ, положенную в основу данной
модели.
мированных ДН е(в,<р,ш)), системой
диаграмм направленности f(6,(p,w))
и ортогонализирующей матрицей
токов J(w). Связь между e(9,ip,u))t
f(6,ip,u)} и 3(ш) приведена в [10.20].
Матрица S(w) связывает между собою
амплитуды падающих a"(w)) и
отраженных Ь"(ш)) волн на входах системы
излучателей (сечения /?-/?) и
амплитуды сходящихся и'п(ш)} и
расходящихся и'0(ш)) сферических волн в каналах
10.4.1. Обобщенная схема АНЭ

4(w))
5 I
z О—I Излучатель
ЛМ-1
S(«)
/?
~1
а»)
6»)
/?
Линейные
элементы
схемы
ЛМ-3
QH
(или Q'(w))
-О-
.Р
Нагрузка,
независимые
источники
ЛМ-2
Sl(w)
О-
т
Линейная подсхема ,/ГМ
а 9 9- • • 9 а
. ч2Т 4 ,
Нелинейная
подсхема ИМ
Рис. 10.12
свободного пространства (сечения 6-6):
4H)J L%H s«(w)JK(w)>
(10.8)
Линейный многополюсник ЛМ-2
описывает нагрузку или независимые
источники. Он характеризуется
матрицей рассеяния Sx(w),
связывающей комплексные амплитуды
падающих а'(и>)} и отраженных Ь'(ш)) волн на
его входах
6'И) = SL(u>)a'(w)),
(10.9)
надо считать частью АНЭ, а их НЭ
следует ввести в состав нелинейного
многополюсника.
Линейный многополюсник ЛМ-
3 характеризует остальные линейные
элементы схемы АНЭ (линии
передачи, согласующие цепи и др.).
Многополюсник описывается смешанными
матрицами Q(w) или Q'(w), которые
связывают (см. рис. 10.12) падающие
и отраженные волны в сечениях /?-/? и
у-у с нормированными токами га(ш))
и напряжениями u°(w)) в сечении а-
а, соединяющем ЛМ-3 с нелинейным
многополюсником
В сечении у--/ на рис. 10.12
показан также вектор Ьо(ш))
нормированных амплитуд волн, возбуждаемых
независимыми источниками в ЛМ-2.
Число входов ЛМ-2 зависит от числа
линий, соединяющих ЛМ-2 и ЛМ-3,
числа типов колебаний, существующих
в каждой из этих линий. В
схеме нелинейности независимых
генераторов или нагрузок не учитываются,
вектор Ьо(ш)} полагается заданным.
Если по каким-либо причинам
необходимо учесть нелинейность
характеристик внешних устройств, то последние
иа(ш)}
Qaa(^) Qa/?(w) Qay(^)
Q/?«H Q/J/зИ Q/ЗтН
Qya(w) Q7/}(w) Qrr(w)
ЪР{ш))
'Q'aa(«0 Q'a^) Q'aT(^
QJ»» Qft»0") Q;?r(w
q;«h qt/3h Q;y(w.
(10.10)
га(ш))
a"(w))
аУ{ш))
(10.11)
ar(w))

Выбор матрицы типа Q(w) или
Q'(w) определяется соображениями
удобства при решении той или иной
задачи, а блоки этих матриц
вычисляются по известной матрице рассеяния
S(w) многополюсника ЛМ-3 (см.
Приложение 1).
Нормированные токи га(ш)) и
напряжения иа(ш)) связаны с векторами
комплексных амплитуд токов 1а(ш)) и
напряжений Ua(u>)) соотношениями
«°И) = ~{ъву^иа{ш)),
где {ZB(w)}1/2 и {Zb^)}"1/2 -
диагональные матрицы, элементами
которых являются числа yJZbi{w)
(для {ZJ-1/2) и 1/у/гъ1(ш) (для
{ZB(o>)}-1/2); £в{(ы) —волновое
сопротивление (на частоте ш) линии
передачи, подключенной в сечении а-а к 1-му
входу нелинейного многополюсника.
В отличие от линейных многопо-
Выберем в качестве вектора
переменных состояния токи на входах
линейного многополюсника га(ш))
(сечение а-а на рис. 10.12) и
рассмотрим воздействие на антенну
нескольких сигналов с различными частотами
шк со стороны внешнего пространства
и'п{шк)) и от внутренних генераторов
^о(^А-)) (^ = 0>91 5 + 1 — число
различных частот входных воздействий),
т.е. рассмотрим периодический или
почти периодический (при некратных u>k)
режим работы АНЭ. На этапе
нахождения системы уравнений состояния
достаточно знать характеристики
линейного многополюсника АНЭ только
со стороны входов а-а. Данные харак-
люсников, описываемых в частотной
области, нелинейный многополюсник
НМ описывается во временной области
отображением К, переводящим вектор
напряжений u„(t)) на его входах в
вектор токов iH(t))
iH(i))=m{uH(i)}}, (10.12a)
либо наоборот
ua(t))=R-1{i»{t))}. (10.126)
Все указанные выше параметры и
характеристики — матрицы рассеяния
S(w), Sl(lo), S(w), оператор М, векторы
внешнего воздействия и'п(ш)) и Ьо(и)),
дают полное описание схемы АНЭ и
условий ее работы и являются
исходными для анализа антенны.
Определение их (теоретическое и
экспериментальное) для конкретной антенны по
известной схеме и параметрам
элементов составляет первый этап методики
анализа АНЭ.
теристики описываются соотношением
+ (ех(шк)) при ы = Wjt;
\ 0 при ш ф Шк ■
Здесь ех(шк)) = Qas(^k)u'n(uk)) +
+Qay(wk)bo(uk)) — вектор
нормированных ЭДС, создаваемых внешними
источниками и'п(шк)), Ьо(ик)),
приведенный ко входам ЛМ а-а. Матрицы
Qij(vn) (i,j — а,0,у) являются
блоками матрицы Q(vn), описывающей
процессы в линейной подсхеме АНЭ. Эти
блоки характеризуют связь между
величинами в сечениях г, j с учетом
подключенных к многополюснику ЛМ-3
10.4.2. Уравнения состояния АНЭ

многополюсников ЛМ-1 и ЛМ-2.
Элементы этих блоков выражают через
матрицы рассеяния S(w), Sl(ui), S(w)
многополюсников ЛМ-1, 2, 3 (см.
Приложение 1).
Для того чтобы получить систему
уравнений состояния АФАР,
необходимо векторы ia(t)) и ua(i)) представить
в виде ряда Фурье и воспользоваться
условиями соединения линейного и
нелинейного многополюсников в сечении
а-а, а также соотношением (10.56). В
этом случае система уравнений
состояния имеет вид
со
J2 5n{ZB{vn)}-l'2ia(vn)) exp(ivnt)+
п = — оо
со
+и{ J2 ^{z»(%)}1/2Q4^)x
п = —со
xia(vn))exp(ivnt)+
+ f26k{ZB(iok)}^2[Re[ex^k))]x
k=Q
x cos wfc* + Im [ех(шк)}] sin wti] j = 0;
—oo < t < oo. (10.13)
Здесь 6n = 1 при un = 0 и 6п = 1/V^
при t«n ^ 0; 6fc = 1 при wi. = 0 и
<5, = 1/V5 при wk ф 0.
Если в качестве вектора
переменных состояния системы выбрать
вектор комплексных амплитуд
напряжений на входе НМ, то при том же
внешнем воздействии система уравнений
состояния АНЭ имеет вид
со
J2 <и2вЫ}1/2иаМ)ехр(шпг)-
п = — со
оо
-R-1{- E MzB(^)}-l/2x
н = — со
xQ'aa(vn)ua(vn)} exp(ivni)-
- £ 6k{ZB(uk)}-l'2[Re [Jm(uk))] x
x coswfct+ Im[Jm(wft))]sinwj,.i]| = 0;
-oo < t < oo. (10.14)
Здесь Jm{u>k)) = Q'a/j(Wit)«|,(wi)) +
+Q/or(wjt)6o(wfc)) — вектор
нормированных комплексных амплитуд
источников тока; Q'ij(vn) (i,j = a,/3,y) —
матрицы, являющиеся блоками
матрицы Q'(t>„), подобной Q(f„).
Суммирование в (10.13) и (10.14)
ведется по всем возможным
комбинациям частотных входных
воздействий шк:
vn = т0ш0 + гщш1 + . . . + mqwq;
тк = 0,±1,±2... (10.15)
Полученные соотношения
представляют собой матричную запись
систем нелинейных уравнений для
компонент векторов ia{vn)} или ua(t>n)). В
принципе, эти системы являются
бесконечномерными системами, так как
—оо < п < оо. Однако при
численном решении систему обычно
усекают, удерживая только те
составляющие (-N < п < N), которые
вносят заметный вклад в отклик
антенны. В результате получаются
системы нелинейных уравнений
размерности (27V + l)L (L — число входов ЛМ
в сечении а-а).
. Данные системы уравнений
состояния (10.13) и (10.14) пригодны для
анализа широкого класса АНЭ, так
как при их выводе на вид матриц,
описывающих линейный
многополюсник, никаких ограничений не
налагается. Обе рассмотренные выше системы
уравнений состояния равноправны,
поэтому в дальнейшем подробно
разбираем только систему уравнений (10.13).
Решение системы уравнений
(10.13) является ключевым моментом
в методе переменных состояния,
определяющим эффективность всего
метода в. целом. Поэтому вопрос о
методах и возможностях решения системы
уравнений состояния (УС)
заслуживает особого рассмотрения.

10.4.3. Методы решения уравнений состояния
В общем случае процедура
решения уравнений состояния такова.
Система (10.13) с помощью метода
Бубнова-Галеркина приводится к
системе нелинейных уравнений
(системе уравнений гармонического
баланса), решение которой ищется
численными методами — либо с
использованием метода Ньютона, либо с
использованием различного рода
оптимизационных методов. Алгоритмы,
основанные на этих методах, позволяют
анализировать на современных ЭВМ
средней производительности схемы,
содержащие не более восьми-десяти НЭ,
учитывая при этом пять-семь
спектральных составляющих токов ia(vn)}.
Отмеченные ограничения
определяются размерностью системы УС,
которая зависит от сложности антенны,
числа входящих в ее состав НЭ,
параметров этих элементов, характера
входных сигналов, числа
удерживаемых в ходе решения гармоник основной
частоты или комбинационных частот.
С увеличением числа НЭ в
антенне, гармоник или комбинационных
частот, которые необходимо учесть для
получения корректных выходных
результатов, размерность системы УС
растет и ее решение затрудняется.
Возможности численного
анализа могут быть существенно
расширены, если входящие в схему НЭ по-
разному связаны друг с другом.
Подобные ситуации на практике
встречаются достаточно часто, так как в
большинстве практически важных случаев
НМ представляет собой объединение
двух- или трехполюсных
сосредоточенных НЭ (диодов, транзисторов), не
имеющих связей внутри данного
многополюсника. В этих случаях можно
построить значительно более
эффективный двухуровневый алгоритм
решения системы (10.13), основанный на
идее декомпозиции [10.18].
Суть декомпозиции заключается
в объединении НЭ в группы по
признаку их связи между собой и
через ЛМ. Объединение
производится таким образом, чтобы внутри
отдельных групп содержались сильно-
связанные НЭ, т.е. такие, для
которых изменение режима одного из
элементов оказывает существенное
влияние на режим других НЭ только из
данной группы, незначительно
сказываясь при этом на режиме НЭ из
других групп. Это дает возможность
организовать двухуровневый процесс
решения системы уравнений
гармонического баланса таким образом, чтобы в
процессе итераций нижнего уровня
определялись токи I^(v„)), относящиеся к
каждой из отдельных групп
нелинейных элементов (частных нелинейных
многополюсников), а взаимосвязь этих
групп элементов через ЛМ
учитывалась на верхнем уровне итераций.
Такой путь позволяет заменить решение
задачи большой размерности
решением ряда задач меньшей размерности.
Особенности предлагаемого
алгоритма рассмотрим на примере решения
уравнений состояния для АНЭ,
содержащей только двухполюсные НЭ, не
связанные между собой внутри
нелинейного многополюсника. В этом
случае систему уравнений (10.13) можно
записать в виде
(Q(t)I), +m,{(Q(t){Z}uI)l +
м
+ ]T<fi(<){Z},pI)p+ £,(<)} = 0;
p=i
V/ = T7M; O^t^T. (10.16)

Здесь (fi(i) = {exp(iv-Nt), ...,
exp(h'_i<), 2, exp(iwit), ..., exp(itijytf)}
— матрица-строка; J); = {/£,(и_лг),
..., /»,(«_!), /f(0), /»,(«!), ■■■,
■^mi('°w)}* — вектор, компоненты
которого представляют комплексные
амплитуды токов на /-м НЭ (1-м входе
ЛМ); IRj — оператор, описывающий
связь между током и напряжением на
входе /-го НЭ; {Z}/p = diag{Z;p(u_jv),
..., Zip(v-i), ZiP(v0), Zip(vi), ...,
Zip[vn)} —диагональная матрица; М
— число частных НМ; ei(i) —
величина источника ЭДС 1-го входа ЛМ,
эквивалентного источникам внешнего
возбуждения АНЭ, пересчитанным к
сечениям а-а ЛМ;
Система, уравнений (10Л6)
полиостью эквивалентна системе (10ЛЗ),
однако в (10Л6) под знаком
оператора R явно выделено слагаемое
м
Y^, (£l(t){Z}ipI)p, которое описывает
Р=1
р&
связь между НЭ на основной частоте и
частотах гармоник через ЛМ, так как
внутри НМ связи между отдельными
НЭ нет. Степень связи определяется
как элементами матриц {Z}jp, (/ ф р),
так и величиной токов на клеммах
частных НМ 1)р, VI ф р. Вследствие
этого, если известно приближенное ре-
шение (10Л6) в виде векторов Щ ,
V/ = \,М, то следующее (к + 1)-е при-
ближение 1)\ ' можно определить из
решения М независимых уравнений
(Q(t)lf+1) + K,{(Q(f ){Z}„/)<*+1)+
+A£\k+1\t)+£l(t)} = 0;
VI - TJd; O^t^T, (10Л7)
м
rmAe(lk+1\t)=Y/m){Z}lpI)phl
P=i
рФ1
Решение каждого из уравнений
(10.17) на одной из итераций
верхнего*)
го уровня, т.е. определение 1}} при
постоянном значении к, выполняемое
с применением итерационных
процедур, составляет сущность
итерационного процесса нижнего уровня. В свою
очередь, нахождение
последовательности I), (к = 0,1...) образует
итерационный процесс верхнего уровня.
При этом, если итерационный процесс
(10.17) сходится, то он сходится к
точному решению системы (10.16).
Использование идеи декомпозиции
позволяет при одинаковой точности
получаемых результатов анализировать
схемы, содержащие как минимум в 2-3
раза больше НЭ, чем это возможно
при применении одноуровневых
итерационных методов.
Описываемый алгоритм
открывает дополнительные возможности для
дальнейшего увеличения
эффективности вычислительного процесса. Во-
первых, для ряда анализируемых АНЭ
(в частности, для АФАР с
идентичными модулями) очень часто
оказывается, что несколько из уравнений (10.17)
совпадают друг с другом. В этом
случае достаточно решить только одно из
уравнений и сократить время итераций
верхнего уровня. Во-вторых, как
правило, степень связи НЭ через
линейный многополюсник оказывается
различной. При этом возможна ситуация,
когда из некоторых уравнений,
решаемых на нижнем уровне итерационного
процесса, величина Ае\" (t)
незначительно отличается от Ае\ (t), т.е.
||А^+1)(0 - Ае^Щ
1|Д*|4+1)(*)Н
Вместо решения 1-го уровня (10.17)
на данном этапе итераций верхнего
уровня достаточно воспользоваться
решением этого уравнения на
предыдущем этапе. Тем самым
увеличивается общее быстродействие алгоритма за

счет сокращения числа уравнений,
решаемых на верхнем уровне
итерационного процесса.
Еще одна возможность увеличения
быстродействия алгоритма состоит в
том, что не имеет смысла решать
уравнение (10.17) на нижнем уровне
итерации с точностью, значительно
превышающей точность текущей итерации
верхнего уровня. Обычно необходимо,
чтобы точность итерационных
процессов нижнего уровня несколько
превышала точность текущей итерации
верхнего уровня. Это приводит к
сокращению числа итераций нижнего уровня
и, как результат, к сокращению общего
числа вычислений.
Иногда решение системы
уравнений (10.16) можно упростить,
используя специфические свойства
матрицы линейного многополюсника АНЭ
и свойства системы источников
возбуждения. Особенно заметное упрощение
уравнений состояния можно получить
в следующих случаях:
а) при анализе кольцевых ФАР с
НЭ и приемно-выпрямительных
элементов ректенных систем с
многофазными схемами выпрямления, т.е.
когда матрица ЛМ является блочно-
циркулянтной, а внешнее воздействие
представимо симметричной
многофазной системой источников;
б) при анализе линейных
бесконечных ФАР, каждый модуль
которых, в свою очередь, является
антенной с НМ. В этом случае матрица ЛМ
является бесконечно мерной блочно-
теплицевой матрицей, а внешнее
воздействие — периодическим;
в) при анализе плоских
бесконечных ФАР, каждый модуль
которых — антенна с нелинейными
многополюсником, т.е. когда матрица ЛМ
является бесконечно мерной блочно-
теплицевой, а внешнее воздействие
представимо системой источников с
двойной периодичностью.
Рассмотрим каждый из
перечисленных выше случаев.
Случай а. Так как матрица
Q««(<^) является симметричной блоч-
но-циркулянтной матрицей, то и
матрица Ъаа{ш) будет обладать такими
же свойствами
Zfc,1(W) = Z|t_II(W); (ioi8)
2|л--/|(ш) = ZM_|fc_j|(w).
Здесь 7ji.j(uj) — блок матрицы Ъаа{ш),
описывающий взаимодействие между
группами входов, с которыми
соединяются соответственно к-й и 1-й НМ;
Zj(w) = Z|fc_;|(tj) — элементы
матричной последовательности первой строки
блоков матрицы Zaa(w), т.е.
{ZoH, Z^w),..., Ъм-ii*)} = (Ю.19)
= {Z0,o(^), Z0,i(w),..., Zo.m-i(w)};
M — число НМ в схеме АНЭ.
Предполагается, что АНЭ
содержит идентичные нелинейные 2т-
полюсники (рис. 10.13,а), каждый из
которых описывается зависимостью
(10.12а). Обозначим через £*(<)}
вектор размерности т, элементами
которого являются ЭДС холостого хода
группы входов, соединяемых с к-м
нелинейным элементом
4(t)} = {4i(t),et.2(t),...,el,n(t)}\
(10.20)
где т — операция транспонирования.
Если внешнее воздействие АНЭ
является периодическим и при этом
система источников ЭДС, приведенных
к сечениям а-а ЛМ, является
симметричной системой, т.е. £^(t)} = £°(*+
+kAt)) (здесь At = 2ж/(ш0М)), то
вектор комплексных амплитуд токов к-й
группы входов ЛМ можно выразить
через вектор токов входов с нулевым
номером
1п(пш0)) = 1"п(пш0)) exp(inkw0At) -
= 1°п{пш0)) exp(i2jrnJfc/M), (10.21)

»„(<)) =Ж{«„(<)>}
z\t)
(о)
Инт
(0
4°Л*)
,-(°).
,(°)
t)
«по
г(0)т
40)т
wL0)(0
о
r(M-l)
"ж1
WO»
т
uil-l\t)
-О
,4f-1}(0
е(М_1)т
,(M-1)
(0
"лТ^Т
[Qaa(w)]
Рис. 10.13,а)
а систему уравнений состояния
записать в виде
N
]Р 6nI^(nu0))exp(inui0t)+
n=-N
N
+ffi{ Y1 ЬпЦпщ)1°т{пи0))х
n=~N
xexp(mw0f)-|-e0(f))| = 0;
0 < < < Т. (10.22)
Здесь
м-i
Z(nwo) = 2J Z{(n(j0)exp(i27rn//M).
/=o
(10.23)
Таким образом, при оговоренных
вначале предположениях
относительно матрицы ЛМ и системы
источников возбуждения определение
переменных состояния для исходной схемы
(рис. 10.13,а) сводится к определению
переменных состояния из уравнения
(10.22) только для ячейки с нулевым
номером и последующим определением
для остальных ячеек из соотношения
(10.21). Сравнивая (10.22) и (10.13),
видим, что система уравнений (10.22)
описывает некоторую эквивалентную
£М
Рис. 10.13,6)
АНЭ (рис. 10.13,5), состоящую из
одного нелинейного 2га-полюсника,
описываемого вольт-амперной
характеристикой вида (10.12а), и одного ЛМ,
матрица сопротивлений которого
определена на частотах всех гармоник и
равна Z(nido)-
Случай б. Определение
переменных состояния также сводится к
решению уравнения (10.22), так как
матрица собственных и взаимных
сопротивлений ЛМ является
бесконечномерной теплицевой матрицей, блоки
которой ZfcXu), описывающие
взаимодействие между к-м и 1-м нелинейными
2га-полюсниками, удовлетворяют со-

отношению
Zk,i(u) = Z\b-i\(u);
—oo < к < oo; —oo < / < oo, (10.24)
а система ЭДС холостого хода,
приведенных к сечению а-а, подчиняется
условию
ekx{t)) = e°x(t + kAt)); -oo < к < oo.
(10.25)
Здесь Z|fc_/|(id) — элементы
матричной последовательности,составленной
из элементов нулевой строки блоков
матрицы Ъаа(ш). Необходимое для
решения (10.22) значение Z(nw0)
определяется из соотношения
00
Z(nw0) = Y^ Zl(nu>o)exp(inlw0At).
1=: — oo
(10.26)
Векторы I^(nu>0)) для -oo < к <
< со определяются из (10.21) по
найденному в результате решения
уравнения состояния вектору 1^{пи>о)).
Случай в. Определение
переменных состояния в этом случае также
сводится к решению уравнения
состояния (10.22) для цепи с одним НМ.
Таким образом, учет
специфических свойств матрицы линейного
многополюсника АНЭ и свойств системы
источников возбуждения позволяет в
ряде случаев уменьшить размерность
системы уравнений состояния,
облегчает ее решение — нахождение
комплексных амплитуд токов /£(и„)) в
сечении а-а.
Изложенная выше процедура
решения уравнений состояния
характеризует второй ключевой этап
анализа АНЭ. Следующий, третий этап,
состоит в определении вектора выходных
параметров АНЭ при заданных
внешних воздействиях и найденном на
втором этапе векторе ia(vn))-
10.4.4. Определение вектора выходных параметров
Вектор выходных параметров
{a'(vn)), u'Q{vn))Y объединяет в себе
два вектора: вектор а'(и„)),
характеризующий связь антенны с нагрузкой,
и вектор u'0(vn)), описывающий связь
антенны со свободным пространством.
Соотношения, связывающие
векторы а'(уп)), u'0(vn)) и векторы ia(vn)),
Mw*))> u'n(wk)) имеют вид
a'(vn)}
УоМ).
<#>„) Q$y(vn) Q?,K)
~*аЫ)
«n(w*)).
Qss(t
(10.27)
В приведенном выражении^ как и
в (10.14), матрицы Q^(t>„) и QT»(un)
(г = а, 6, у) определяются по
известным матрицам ЛМ-1, ЛМ-2 и ЛМ-3.
Соотношения для их вычисления
приведены в Приложении 2.
Уравнение (10.27) является
матричной записью системы выходных
уравнений для АНЭ, описываемой
схемой на рис. 10.12, если в качестве
вектора переменных состояния выбран
вектор ia(v„)). Здесь и далее под v„
понимается набор частот, для которых
необходимо определить вектор
выходных параметров АНЭ и,
следовательно, ее внешние параметры, а под ш^ —
частоты входных воздействий.
Зная вектор входных параметров
АНЭ, можно определить все ее
внешние параметры. При этом необходимо
отметить следующее.

Во-первых, соотношение (10.27)
является линейным, связывающим
вектор выходных параметров и
векторы ia(vn)), Ь0(шк)}, и'„(ик))- В
действительности нелинейная
зависимость i"(vn)} от Ь0(шк)}, и'п(шк)},
описываемая уравнениями
состояния, приводит к нелинейной
зависимости вектора входных параметров
{a'{vn)), ub{vn))}r от векторов
входных воздействий b0(tok)}, и'п(шк)). В
свою очередь, это приводит к
нелинейной зависимости всех внешних
параметров АИЭ от величины входных
воздействий. Поэтому, строго говоря,
характеризуя АНЭ значением того или
иного внешнего параметра, необходимо
указывать, при каких уровнях
внешних воздействий получено данное
значение.
Во-вторых, наличие НЭ приводит
к появлению в спектре токов ia(vn)) на
входах ЛМ а-а новых спектральных
составляющих с частотами vn, не
совпадающими с частотами входных
воздействий, т.е. vn ф шк. На этих
частотах b0(v„ ф шк)) = u'a(vn ф Шк)) = 0 и
(10.27) имеет вид
*>)}■
u'o(vn)}\ [QsaiVn).
(10.28)
Так так соотношения (10.27) и
(10.28) получены для обобщенной
схемы АНЭ (см. рис. 10.12), то видно, что
любая антенна, в состав которой
входят НЭ, является источником
колебаний с частотами v„ ф шк. Эти
колебания обнаруживаются как на
входах многополюсника нагрузки
(генераторов) (вектор a'(vn ф wft))), так и в
свободном пространстве в виде
побочных излучений (вектор u'0(vn ф ш/.))).
Поэтому определять внешние
параметры АНЭ требуется не только на
частотах входных воздействий, но и на
частотах vn ф tok, что приводит к
необходимости характеризовать АИЭ
большим числом внешних параметров.
10.4.5. Определение внешних параметров АНЭ
Это последний, четвертый этап
общей процедуры анализа АНЭ. Суть его
состоит в нахождении параметров
антенны, определяющих ее связь с
внешним пространством (свободным
пространством и нагрузкой) по
найденному на третьем этапе
вектору.выходных параметров {a'(vn)}, u'0(vn))}T.
Из-за наличия нелинейных
элементов АНЭ является невзаимным
устройством. Поэтому параметры
передающих и приемных антенн надо
рассматривать отдельно. Ниже приведены
внешние параметры двух типов
передающих АНЭ — антенн-усилителей
мощности и антенн с умножением
частоты, а. затем параметры двух приемных
АНЭ — антенн-усилителей и приемно-
выпрямительных антенн.
Внешние параметры антенн-
усилителей мощности. Основная
задача, которую выполняют активные
элементы в антеннах такого типа, —
усиление мощности колебаний
сигнала, поступающего от
многополюсника генераторов. Однако неизбежная
нелинейность характеристик активных
элементов приводит к возникновению
АНЭ. Когда АНЭ возбуждается на
частоте wq волнами Ьо(шо)},
распространяющимися в линиях передачи,
соединяющих многополюсник ЛМ-2 с
остальной схемой, АНЭ система
выходных уравнений (10.27) имеет вид

a'(wo)) = (#аЫ»'°М) + ^
> vn = uq;
«d(«'o)> = Q*o(w0)ia(wo))+
+ Q,57(tJo)bo(^o));
(10.29)
«>»)> = Q?>n)«>n));l t
«/0K)> = Q«tt(v,,)«"K)>;J г'"^°;
(10.30)
Первое равенство (10.29)
определяет параметры АНЭ,
характеризующие на рабочей частоте режим входов
ЛМ-3 со стороны генераторов
(сечения у-j). Важность этих параметров
заключается в том.что определяемые
сечениями у-у входы ЛМ-3 по сути
являются входами антенны с НЭ, так
как при помощи именно этих входов
АНЭ соединяется с внешними
генераторами, которые в схеме на рис. 10.12
описываются многополюсником ЛМ-2.
Если АНЭ имеет только один вход,
то матрица Q7a(u>0) состоит из одной
строки, а О,уу{и>о) — из одного
элемента, который обозначим через q77. В
этом случае коэффициент отражения
от входа ЛМ-3 в сечениях 7-7
^ а'Ы _ , 0?аЫ''аЫ)
р_боЫ"9тг+ ЬоЫ ■
(10.31)
Здесь q77 — коэффициент отражения
от входа ЛМ-3 в сечениях 7-Ti когда
НМ отключен (ia{vn)) = 0); Q^,(w0)
— матрица рассеяния АНЭ со стороны
входов 7~7 при отключенном НМ.
Внешние параметры,
характеризующие связь АНЭ со свободным
пространством, можно получить,
используя второе равенство (10.29). Эти
параметры определяются следующими
соотношениями (для сокращения
записи предполагаем, что все величины в
(10.32)—{10.49), в которых опущена
зависимость от частоты, определены для
частоты cjq):
напряженность электрического
поля в дальней зоне
Е(г, в, у) = V^Z~0«S, р)и'о)е-'1кг/г =
+(m<p)3Qsyb0))e-ii!r/r; (10.32)
диаграмма направленности
Ы0,¥>)= (Ю.ЗЗ)
= {f{6,<p)3QSaia) + (f(e,<p)3Qs7b0);
мощность излучения
Ps = (u^u'q) = (10.34)
= {ia9Q*SaQiaia) + (bm0Q'SyQhf>o)+
+{ia*QsaQsyb0) + (b'0Q'fyQSria).
Здесь и в дальнейших выражениях
верхний индекс * означает операцию
сопряжения по Эрмиту; Z0 —
волновое сопротивление свободного
пространства.
В направлении (во,<ро) КНД
Д(?0,Ы = 4»Ш%^11!. (10.35)
Коэффициент полезного действия
антенны с НМ определяется как
отношение мощности излучения на рабочей
частоте ю0 к мощности, потребляемой
от всех независимых источников
ri = Ps/(P0 + Pb), (10.36)
где Ро, Рв — мощности,
потребляемые от источников постоянного тока и
возбуждения (от источников с
частотой ш0).
Отметим одну особенность
соотношений (10.32) и (10.33), состоящих
из двух слагаемых. Первое слагаемое
описывает ту часть поля, которая
обусловлена токами на входах АНЭ,
второе описывает поле, излучаемое АНЭ
при отключении НМ, т.е. часть поля,

обусловленную прямым прохождением
колебаний с частотой и)0 от
генераторов к выходу многополюсника
излучателей. Эта часть поля не зависит от
параметров нелинейного
многополюсника. Такая структура поля
излучения АНЭ приводит к появлению в
выражении для Р% слагаемых,
описывающих «взаимную» мощность излучения
(последние два слагаемых в (10.34)).
Приведенные соотношения
определяют параметры АНЭ на основной
частоте. На частотах высших гармоник
(в данном случае vn = пи>о)
аналогичные параметры определяются
соотношениями:
ДН побочного излучения на
частоте га-й гармоники
fe(nwo,0>¥>)= (Ю-37)
= {f(nu)0,9,<p)3(nLOo)Qsa(nu)o)ia(nu>0)};
мощность излучения на частоте
n-й гармоники
Psn = (10.38)
= (га*' (nuj0)Q*Sa(nuj0)Qsa{nio0)ia(пш0));
КНД в направлении (90, ^>0)
47Г
D(nu),e0,tp0) = ——|Js(пи)0, 90,t{>0)|2.
(10.39)
Соотношения (10.37)—(10.39)
определяют характеристики побочных
излучений антенн-усилителей мощности.
Внешние параметры антенн с
умножением частоты. В АНЭ
такого типа нелинейные приборы
используются и для умножения частоты
возбуждающих колебаний и для
усиления мощности. Возбуждается АНЭ
на частоте ш0 волнами &0(ш0)), а
выходным является сигнал с частотой
тш0 (га ф 1), где т — кратность
умножения. Параметры АНЭ с
умножением частоты определяются по тем
же соотношениям, что и для антенн-
усилителей мощности. При этом
необходимо иметь в виду следующие
особенности антенн:
частота выходного сигнала
антенны с умножением частоты равна тюо.
Следовательно, ДН, мощность
излучения, КНД такой АНЭ
определяются по соотношениям (10.37)—(10.39)
при п = га;
КПД антенн с умножением
частоты определяют из выражения (10.36), в
котором под Ps понимается мощность
излучения на частоте mw0;
параметры побочного излучения
определяют по (10.37)—(10.39) при
п ф т и по (10.33)—(10-35), так как
для антенн с умножением частоты
излучение на частоте ujq относится к
побочным.
Внешние параметры
приемных антенн-усилителей. В
антеннах такого типа активные приборы,
применяющиеся для усиления, имеют,
как правило, нелинейные
характеристики. Остановимся на случае, когда
АНЭ возбуждается на частоте ш0
плоской волной, приходящей с
направления (в„, <рп) и имеющей напряженность
электрического поля Е„(в„,<рп).
Система выходных уравнений для
основной частоты при Ь(шо)) = 0 примет вид
«о) = Qsaia) + Qs6u'n).
(10,40)
Вектор и'п) связан с параметрами
возбуждающей плоской волны
соотношением
и'п) = —^(Еп(6п,<рп)е(6л,<рп))) =
iA0
=(En(Wn)f(#n^n)»;
(10.41)
и является функцией углов (вп,<рп)
[10.20]. Здесь Ао — длина волны
возбуждающего колебания. Следовательно,

вектор токов также зависит от углов
(вп,<Рп), т.е.
ia)=ia(en<<pn)). (10.42)
Таким образом, амплитуды волн,
распространяющихся к
многополюснику нагрузки в сечениях а-а (на
рис. 10.12), будут
«') = QjJl - (ю.43)
--^(EnO^.^C&fOW..))).
Если учесть, что га) зависит от
{0„,ifin), то а') — вектор, 1-й
элемент которого а\{вп,1рп) является ДН
приемной АНЭ относительно 1-го
входа многополюсника нагрузки ЛМ-2.
Диаграмма направленности приемной
антенны-усилителя так же, как и для
передающей антенны-усилителя
мощности, представляется в виде суммы
двух диаграмм. Одна из них
формируется сигналами, на которых
сказывается влияние НМ, а вторая, не
зависящая от параметров НЭ, формируется
сигналами, напрямую прошедшими от
излучателя к нагрузкам.
Мощность сигнала, поглощаемая в
многополюснике нагрузки,
Рн = (а'ЧшоУЫ). (Ю.44)
Угловое распределение поля,
переизлученного антенной на рабочей
частоте,
<fs(0n,Pn)= (Ю-45)
= (e(e,lp)u'0) = (f(e,<p)3CiSaia)-
^^(f(e,tp)3Qi63T(Enf(e,lp))).
Параметры побочного излучения
на частоте n-й гармоники, как и в
случае антенн-усилителей мощности,
рассчитывают по соотношениям (10.37)—
(10.39).
Внешние параметры приемно-
выпрямительных антенн.
Важнейшими внешними параметрами прием-
но-выпрямительных антенн,
позволяющими полностью описать их
функционирование, являются мощность
постоянного тока, поглощаемая в
многополюснике нагрузки, КПД и поле,
переизлученное антенной на основной
частоте и частотах высших гармоник.
При возбуждении антенны на частоте
loq полем плоской волны с
напряженностью поля Еп(6'п, ipn) система
выходных уравнений имеет вид
a'H>=Q?>KH)Uo;
и'0(пш0)) = Q6a(nuj0)io'(гш0)) +
+ JQ«(woK(w0)); (10.46)
\ 0 при п ф \.
Второе равенство (10.46)
совпадает с аналогичными равенствами из
(10.29)—(10.30), поэтому поле
побочного излучения антенны-выпрямителя
определяется теми же
соотношениями, что и поле побочного излучения
антенны-усилителя и, следовательно,
обладает теми же свойствами.
Мощность постоянного тока,
поглощаемая в многополюснике
нагрузки,
Р0 = (а'(ш)[Е - Sl{u)SL(u)]a'(w))\u=0.
(10.47)
Здесь Е — единичная матрица.
Коэффициент полезного действия
антенны-выпрямителя определяется
как отношение мощности Ро к
максимальному Значению МОЩНОСТИ .Ртах>
которую может извлечь антенна из
падающего поля
'=£=(*b= <io-4s)
= VZqPq
\3\Еп\*{№п,<рп)3'*Щ0п,ч>п))-

Приведенные выше параметры
характеризуют АНЭ как антенное
устройство. Если же АНЭ
рассматривается как объект нелинейной
радиолокации, то для характеристики
побочного излучения ее используется
понятие нелинейной эффективной
площади рассеяния (НЭПР),
определяемой соотношением [10.5]
4ят
= 47Г
П(и0,вп,(рп)
\(uo(vn)e(vn, в, (р))\
40.49)
где ППр(уП)в,(р,вп,1рп) — плотность
потока мощности, излученной
антенной с НЭ на частоте vn в направлении
(9,<р), измеренная на расстоянии г от
антенны; П(и)0, 9n, tpn) — плотность
потока мощности, облучающей антенну с
направления (в„,<рп).
Если побочное излучение антенны
характеризуется НЭПР, то
необходимо иметь в виду, что поведение НЭПР
существенно сложнее, чем поведение
ЭПР для антенн с линейными
характеристиками. Связано это с наличием
в составе антенны НЭ, что приводит,
в частности, к различной зависимости
НЭПР от угловых координат при
различных уровнях возбуждающего
воздействия. Более подробно особенности
поведения НЭПР рассмотрены в [10.5,
10.21].
Приведенные выше параметры
АНЭ учитывали внешнее воздействие
только на одной частоте. Если же
антенна работает в сложной
электромагнитной обстановке, то
появляется зависимость всех параметров АНЭ
как от характеристик основного, как
и от характеристик помеховых
сигналов. Например, если передающая
антенна-усилитель мощности
находится под воздействием мощной помехи, то
она возбуждается как волнами Ьо(и>о)},
распространяющимися от генераторов
в сечениях у-у, так и полем
плоской волны с вектором интенсивности
Еп(шп, вп, ipn). Наличие второго
внешнего воздействия на частоте шп
приводит, во-первых, к возникновению
дополнительных побочных излучений на
гармониках частоты помехи, и на
частотах комбинационных составляющих
■ип = п\и>п + щшо (ni,?b = 0,±1...).
Во-вторых, так как вектор ia(vn)),
являющийся решением уравнения
состояния, связан нелинейной
зависимостью с параметрами возбуждающих
сигналов, т.е. 60(^о)) и Еп(6*п,^>п), то
и все внешние параметры антенны-
усилителя также являются
нелинейными функциями этих же параметров.
Основное внимание в данной
главе справочника уделено рассмотрению
сущности нелинейных антенных
эффектов и методики их анализа.
Отмечено, что НЭА могут быть полезными,
лежащими в основе функционирования
ряда новых типов антенн. Вместе с
тем, зачастую НЭА являются
вредными, осложняющими нормальную
работу РЭС и ухудшающими их ЭМС.
Показано, что НЭА зависят от
конкретной конструкции антенны,
взаимосвязи между ее излучателями,
параметров нелинейных элементов, места их
включения, условной работы АНЭ.
Описана достаточно общая
методика анализа АНЭ, позволяющая
учитывать конкретно параметры всех
линейных и нелинейных элементов,
входящих в антенну, а также характер

возбуждения. В основе методики
лежит использование обобщенной схемы
АНЭ и численных методов решения
уравнений состояния системы.
Эта методика успешно
применялась при анализе побочного
излучения АНЭ [10.21], параметров ректенн
[10.22], нелинейных эффектов в АФАР
[10.23], параметров антенн с
распределенными нелинейностями и задач
дифракции на телах с подобными
нелинейностями [10.24].
Для АНЭ, работающих в
режиме слабой нелинейности, могут быть,
10.1. Rutledge D.B., Neikirk D.P.,
hasilingam D.P. Integrated-circuit antennas //
Infrared and Millimeter Waves. Orlando. 1983.
Vol. 10. PP. 1-90.
10.2. Гостюхип В.Л., Гринева К.И.,
Трусов В.Н. Вопросы проектирования
активных ФАР с использованием ЭВМ. М.: Радио
и связь. 1983.
10.3. Slephan K.D., СатШету N.,
Itoh Т.A. Quasioptical polarisation-duplexed
balanced mixer for millimeter wave applications
// IEEE Trans. 1983. Vol. MTT-31. № 2.
PP. 164-170.
10.4. Кузнецов А.С, К у тип Г.И.
Методы исследования эффекта не.гшнейного
рассеяния электромагнитных воли // Зарубежная
радиоэлектроника. 1985. № 4. С. 41-53.
10.5. ШтеИпшлейгер В.Б. Нелинейное
рассеяние радиоволн металлическими
объектами // Успехи физических наук. 1984. Т. 142.
Вып. 1. С. 131-145.
10.6. Овечхип СМ., Ребров СИ.,
Сазонов В.П. и др. Сложение мощностей диодов
Ганна в открытом СВЧ резонаторе // Письма
в ЖТФ. 1984. Т. 10. Вып. 6. С. 367-370.
10.7. Цыбаев Б.Г., Романов Б.С
Антенны-усилители. М.: Сов. радио, 1980. 240 с.
10.8. Евдоиимепко Ю.А., Крат А.Х. О
методе прогнозирования и контроля
гармонических излучений активных антенных
решеток // Всесоюзная конференция
«Метрологическое обеспечение антенных измерений ».
Ереван. ВНИИРИ. 1984. С. 79-81.
10.9. Горшков В.И., Королев В.И.
Влияние комбинационных помех на отношение
сигнал/шум в приемных фазированных
антенных решетках с малой нелинейностью
трактов // Радиотехника. 1980. Т. 35. № 9. С. 71-
75.
как это отмечалось выше,
применены методы, использующие
аналитическое решение уравнений состояния.
К их числу, в частности, относится
структурно-матричный метод [10.25],
весьма привлекательный для
исследования характеристик антенных
решеток со слабой нелинейностью при
многочастотном входном воздействии.
В целом, к настоящему времени
теория АНЭ продвинута достаточно
далеко, что обеспечивает возможность
аккуратного анализа широкого класса
разнообразных типов АНЭ.
10.10. Адигосяп Х.С, Бурях В.А.
Пространственные характеристики
многоканального устройства при нелинейной обработке
// Радиотехника. 1982. Т. 37. № 11. С. 75-77.
10.11. Директор С, Рорер Р. Введение в
теорию систем. М.: Мир. 1974. 464 с.
10.12. Miller E.K., Landt J.A. Direct time
domain techniques for transient radiation and
scattering from wires // Proc. IEEE. 1980.
Vol. 68. № 11. PP. 1396-1423.
10.13. Kanda M. Analalytical and
numerical techmques for analysing electrically short
dipole with nonlineaiiy load // IEEE Trans.
1980. Vol. AP-28. № 1. PP. 71-78.
10.14. Бубнов Г.Г., Егоров А.Н., Ряб-
цев В.Е. К электродинамическому анализу
нестационарных процессов в линейных
антеннах с нелинейной нагрузкой // Волны и
дифракпня-85: Матер. IX Всесоюз.
симпозиума. Телави. 1985. Т. 2. С. 274-277.
10.15. Landt J.A., Miller E.K., Deadrick
F.J. Time domain modeling of nonlinear loads //
IEEE Trans. 1983. Vol. AP-3J. № 1. PP. 121-
125.
10.16. Фрапческетти Дэю., Пинто И,
Антенны с нелинейной нагрузкой //
Нелинейные гмтектромагнитные волны / Под. ред. П.
Усленги. М.: Мир. 1983. С. 223-249.
10.17. Naldi С, Zick Д., Filicori P.
Distortion anallysis of nonlinearly loaded
antennas // AP-S Int. Symp. Los-Angeles. Calif .
1981. Vol. 2. PP. 410-413.
10.18. Шифрин Я.С, Лучанинов А.И..
Щербина А.А. Нелинейные антенные
эффекты // Изв. вузов СССР. Сер.
Радиоэлектроника. 1990. Т. 33. № 2. С. 4-13.
10.19. Шифрин Я.С, Лучанинов А.И.,
Шокало В.М. Приемно-выпрямителыные
элементы ректениых систем / Харьковск. ин-т
Литература

радиоэлектрон. 1988. 181 с. Деп. в УкрНИ-
ИНТИ 31.03.89. № 941-Ук. 89.
10.20. Сазонов Д.М. Основы матричной
теории антенных решеток // Сб. научно-
методических статей по прикладной
электродинамике. М.: Высш. шк. 1983. Вып. 6.
С. 111-162.
10.21. Шифрин Я.С, Лучанинов А.И.
Побочное излучение антенн с нелинейными
элементами // Антенны. М.: Радио и связь.
1989. Вып. 36. С. 23^33.
10.22. Shijrin Y.S., Luchaninov A.I.,
Shokalo V.M., Shcherbina A. A. Spurious
radiation of recteirna receiving-rectifying
elements // Int. Wroclaw Symp. on EMC (EMC-
94). Wroclaw, Poland. 1994. PP. 67-72.
10.23. Шифрин Я.С, Лучанинов A.M.,
Посохов А.С. Нелинейные эффекты в
активных антенных решетках // Радиотехника и
электроника. 1994. Т. 39. № 7. С. 1095-1106.
10.24. Шифрин Я.С, Лучанинов А.И.
Современное состояние теории антенн с
нелинейными элементами // Изв. вузов. Сер.
Радиоэлектроника. 1996. Т. 39. № 8.
10.25. Шифрин Я.С, Лучанинов А.И.,
Посохов А.С. Матричный метод анализа
антенн с нелинейными многополюсниками при
периодическом или почти периодическом
воздействии // Харьковск. ин-т радиоэлектрон.
1986. 54 С. Деп. в УкрНИИНТИ 25.06.86 .
№ 1456-Ук. 86.

Приложения
S„„(w)
S/3a(w)
.S7a(w)
Sa/3(w)
%(w)
S7/j(jj)
SaT(w)
S/ЗтЙ
stt(w)_
Приложение 1. Связь между
матрицей рассеяния и
смешанными матрицами
Для многополюсника с тремя
группами входов а-а, у^у, /3-/3 и
описываемого матрицей рассеяния
S(w)
блоки смешанной матрицы Q (или Q')
выражаются через блоки матрицы
рассеяния следующим образом:
Qaa = (Е Т Saa)~ (E ± S
act }■>
Qa/3 = ±2(E Т S
агат) ^<*/9>
Qpa — S/3a(E^ Saa) ;
Q/3/з = S^ ± S/3Qr(E T Saa)~ Sa/j;
Q/Зт = S/3T ± S^a(E =p SaQr) SaT;
Qr/з — STjg ± S7Qr(E ^ Saa) Sajg;
^77 — Ъуу i byQ(Ib -p ^aaj ^
ay •
В этих выражениях верхние
знаки берутся при вычислении блоков
матрицы Q, а нижние — при вычислении
блоков матрицы Q'.
Приложение 2. Соотношения
для вычисления блоков матриц
Q и Q'
- SppQpp)~ SppQpa]
QaS = Qa/3(E - S^Q/з/з)- Sps;
Qay = Qay + Qa/3(E —
- S/3/3Q/3/3)- S/3/3Q/3ri
Qia = S^(E - QpffSpp)' Qpa;
Q<5<5 = S&& + SS/3(E-
- Qpp$i3p)~ Q,pp$ps',
Q,6y — S^/3(E — Qpp$pp)~ Q/3T.
Здесь
TJ 1
Q,'i = Q^ + QiT(E - Si^J-'SiQ.
Q»y = Qi't(E — S£QTT) ;
индексы г и j могут принимать
значения а и /3.
Блоки матрицы Q^1 вычисляются
по следующим соотношениям:
Q-ya = (Е- QTrSi)- (Qr« +
+ QT/3(E - S^Q/^)- SppQpa);
Q
= (E — QTTS£) (QTT +
+ Qr/?(E - SppQpp)~ SppQpy);
Q^ = (E-QTTSL)-1QT/3x
x (E — S^Q^)- Spt'

Основные обозначения
А(х) — амплитудное
распределение тока в антенне;
А(£) — амплитуда тока;
А(() — амплитудное
распределение;
Ак — амплитудыное
распределение тока по излучателям решетки;
Ап — коэффициенты возбуждения
излучателей решетки;
b — полная реактивная
проводимость щели как излучателя;
В — вектор магнитной индукции;
с — радиус корреляции в
относительных единицах;
С{6, ч>) — КУ;
d — расстояние между
излучателями;
D — вектор электрической
индукции;
-Спор — пороговый уровень КНД;
D(0, ip) — КНД антенны;
Агор(#></?) — пороговый КНД
антенны;
Е — вектор электрической
напряженности поля;
Е, Н — рассеянное поле;
Es, Hs — рассеянное поле;
е±, е|| — векторы поляризации
двух компонент;
£^ — полная ЭДС на входах
антенн;
Е< — касательная составляющая
Е на S;
f(u) — ДН линейной антенны
(множитель системы);
F(0, ip) — диаграмма
направленности по полю;
Fl — средний фон бокового
излучения линейной системой;
F$ — средний уровень бокового
излучения;
де — внешняя активная
реактивная проводимость щели как
излучателя;
дг — внутренняя активная
реактивная проводимость щели как
излучателя;
G{9, ip) — коэффициент усиления
антенны в режиме передачи;
(?£ — проводимость излучения;
Н — вектор магнитной
напряженности поля;
/} — вектор выходных
параметров;
%r — единичный вектор
направления на точку наблюдения;
'*•*•, 'i-j/. Ь — единичные орты
декартовой системы координат;
%r, г§ и \ф — единичные орты
сферической системы координат;
Ii) — вектор комплексных
амплитуд токов на 1-м НЭ;
/о — амплитуда линейного
распределения тока на вибраторе.
J — вектор плотности
электрического тока;
JCT — сторонний ток;
Зц — вектор плотности
магнитного тока;
Зж — полная плотность тока;
к — волновое число;
к — постоянная Больцмана;
К — вектор поверхностной
плотности электрического тока;
К а , Кв — корреляционные
функции;
А'а.в — корреляционный момент;
К^ — вектор поверхностной
плотности магнитного тока;
га — коэффициент элластично-
сти;
тг — нормаль;
Р — мощность;
Рпот — мощность поглощения
приемником;
Рсф{и,Хср) — доля средней
излучаемой мощности за пределы области
Рша — мощность шумов;
Ps — мощность излучения;

Pi,2 — электрический момент
диполя;
Р(0, ip) — диаграмма
направленности по мощности;
q — КИП;
Q^7(wo) — матрица рассеяния
АНЭ;
г, в, ip — сферическая система
координат;
R — коэффициент отражения;
R, в, <р — координаты точки
наблюдения в сферической системе
координат;
Де — активное сопротивление
излучения;
Ж/ — оператор связи между током
и напряжением на входе 1-го НЭ;
R±> R\\ — коэффициенты
Френеля;
s — поверхность раскрыва;
S — вектор Пойнтинга;
S(w) — матрица рассеяния;
;11
и S
22
матрицы отражений
от входов и выходов ДОУ;
S12 и S21 — матрицы прохождения
от входов ДОУ к выходам и обратно;
Si — теневой поперечник;
Т — коэффициент прохождения
через решетку;
Га — шумовая температура
антенны;
Га.ф — флуктуация шумовой
температуры;
ТаЕ — эквивалентная температура
внешних шумов;
Гпр — эквивалентная шумовая
температура приемника;
Тя.гл — усредненная яркосная
температура в области главного лепестка;
и — обобщенная координата;
ыср — ширина средней ДН;
u(v,t)) — вектор переменного
состояния;
14) — вектор входных
воздействий;
W — электромагнитная энергия в
единицу объема;
х, у, z — декартовая система
координат;
x(v,t)) — вектор входного
воздействия;
Х% — реактивное сопротивление
излучения;
y(r,t)} — вектор выходных
параметров;
Z±_ — поверхностный импеданс;
Za — входное сопротивление
антенны;
-^вол — волновое сопротивление
вибратора;
%вх — входное сопротивление;
ZH — сопротивление нагрузки;
Zmn — взаимное сопротивление;
zo — единичный вектор в
направлении оси г;
2о — волновое сопротивление;
Zy, — комплексное сопротивление
излучения;
Zх — поперечный поверхностный
импеданс;
а — параметр регуляризации;
а — средний уровень бокового
излучения;
а, у, /?, 8 — поляризационные
параметры антенн;
/3ij — коэффициент
взаимодействия;
0\ср — доля средней излучаемой
мощности за пределы области;
8 — дельта-функция Дирака;
А/ — полоса частотного
диапазона антенны, Гц;
Г — коэффициент отражения;
е — электрическая проницаемость
среды;
е — допуск на изготовление;
£отн — относительный допуск на
изготовление;
£ — ЭДС на входе антенны;
£" — ЭМС;
Со — диэлектрическая
проницаемость вакуума;
V - КПД;

в, р, г — сферическая система
координат;
ее — коэффициент рассеяния;
А — длина волны;
/л — магнитная проницаемость
среды;
Но — магнитная проницаемость
вакуума;
А* 12 — поляризационный
коэффициент антенны;
v — коэффициент дефокусировки;
П — электрический
вектор-потенциал (электрический вектор Герца);
цр — магнитный
вектор-потенциал (магнитный вектор Герца);
р — объемная плотность заряда;
р — радиус корреляции;
а — объемная электрическая
проводимость среды;
2<х — электрическая длина
антенны;
<?■£(#> </?) — интегральная
поверхность рассеяния;
(Гд(в, <р) — индикатриса рассеяния;
сгд(в,1р,в' ,ip') —
дифференциальная поверхность рассеяния;
т —- коэффициент
рассогласования;
X — коэффициент связи;
Храз — коэффициент развязки;
Хп — коэффициент связи по
поляризации;
<р(х) — фазовое распределение
тока в антенне;
У(0 — фаза тока;
Ф(6,<р) — фазовая ДН;
ш — угловая частота;
'.fi'i:
С- ! -j
] HI:
-Г.'} !■
' icii-:.'].
., ' ■' ■■ ■'.• - ,',.,:. < ■;': /(и,-
V;;
■■■■ •:■■'■".<!«" . • i!,i :<:<> ,»;кан;
■Г 1(:\Ч .li4i,,'J'.- ■■ CllHVUJifKf
ХУ-<къ>х о юнчетл :n."j.';it
r,rVi •• .fiVUOii

Употребляемые сокращения
АНЭ — антенна с нелинейными
элементами
АР — антенные решетки
АФР — амплитудно-фазовое
распределение
АФАР — активная фазированная АР
ДН — диаграмма направленности
ДОУ — диаграммообразующее
устройство
ЗА — зеркальная антенна
КЗЭ — краевая задача
электродинамики
КИП — коэффициент использования
поверхности
КНД — коэффициент направленного
действия
КПД — коэффициент полезного
действия
КСВ — коэффициент стоячей волны
КУ — коэффициент усиления
КЭ — коэффициент эллиптичности
НЭА — нелинейные элементы антенны
ЛМ — линейный многополюсник
НМ — нелинейный многополюсник
ОПСМ — основной поток средней
мощности
МА — многолучевая антенна
MAP — многолучевая антенная
решетка
МВТ — метод вспомогательных токов
МДИ — метод дискретных источников
МДС — магнитодвижущая сила
НЭПР — нелинейная эффективная
поверхность
ПВЭ — приемовыпрямительный
элемент
ПДС — полосково диэлектрическая
структура
PC — развязывающая структура
РЭС — радиоэлектронные средства
СВЧ — сверх высокие частоты
СКО — средняя квадратическая
ошибка
СТА — статистическая теория антенн
УБИ — уровень бокового излучения
УБЛ — уровень боковых лепестков
УС — уровень состояния
УЭПР — удельная эффективная
поверхность раскрыва
ФАР — фазированная антенна
ФНЧ — фильтр нижних частот
ФПТ — фильтр постоянного тока
ЭВМ — электронно вычислительная
машина
ЭДС — электродвижущая сила
ЭМС — электромагнитная
совместимость
ЭПР — эффективная поверхность
рассеяния
В индексах
а — апертура
аб — абсолютная
ап — апертура
б — боковая
виб — вибрация
вз — взаимное
вол — волновое
вх — входное
геом — геометрическое
гл — главный
гр — граничный
дет — детерминированное
д — действующее
зад — заданная
изл — излучение
кр — кривая
л — левая
лин — линейная
н — нагрузка
нчт — нечетная
обр — обратная
осв — освещения

отр — отраженная
п — правая
пад — падающая
пер — передача
погл — поглощающая
пор — пороговое
приб — приближение
пр — приемник
пуч — пучок
раз — развязка
рас — рассеяние
ср — средняя
ст — стороннее
сф — сфокусированная
т — тень
точ — точная
ф — фаза
хаот — хаотичность
дел — целая
цил — цилиндр
чет — четная
эл —эллипс
экв — эквивалентная
эф — эффективная
я — яркость