Текст
                    сборник задач
ПО МАТЕМАТИКЕ
с решениями
8—11 классы
под редакцией
М.И. СКАНАВИ
Мир и Образование

сборник задач ПО МАТЕМАТИКЕ с решениями 8-11 классы под редакцией М.И. СКАНАВИ Ог3'ь . <: 7 №Р Москва У оникс - Мир и Образование Астрель
УДК 51(076.2) ББК 22.1я72 С23 Авторы В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский, Т. Н. Маслова, И. Ф. Орловская, Р. И. Позойский, Г. С. Ряховская, М. И. Сканави, А. М. Суходский, Н. М. Федорова Сборник задач по математике с решениями. 8—11 кл. / С23 В. К. Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Из- дательство Астрель», 2012. — 624 с.: ил. ISBN 978-5-488-02963-7 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 978-5-94666-630-5 (ООО «Издательство «Мир и Образование») ISBN 978-5-271-36792-2 (ООО «Издательство Астрель») В книге представлены задачи по всем разделам школьного курса математики, выбранные авторами из широко известного «Сборника задач» под редакцией М. И. Сканави. Задачи разбиты на две группы по уровню сложности и сопровождаются подробными решениями и указаниями. Пособие будет полезно учащимся при самостоятельной подготовке к зачетам, контрольным и проверочным рабо- там, а также к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. УДК 51(076.2) ББК22.1Я72 ISBN 978-5-488-02963-7 (ООО «Издательство Оникс») ISBN 978-5-94666-630-5 (ООО «Издательство «Мир и Образование») ISBN 978-5-271-36792-2 (ООО «Издательство Астрель») ISBN 978-985-16-9989-2 (ООО «Харвест») © Суходский А М., Маслова Т Н., 2003 © Ничкова Н. Б., Фохт О. Б., наследники, 2003 © ООО «Издательство «Мир и Образование», 2011
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее издание содержит более 1000 задач из ши- роко известного двухтомника «Сборник задач по мате- матике для поступающих в вузы (с решениями)» под редакцией М. И. Сканави. В него включены задачи, наиболее типовые как по содержанию, так и по методам решения. Все задачи разбиты на две группы по уровню сложности: А и Б. При этом упомянутый «Сборник» ос- тается незаменимым пособием как для самостоятельно- го решения задач, так и для совершенствования уча- щимися своего умения решать задачи повышенной сложности (из группы В). Авторы считают, что умение решать задачи из группы А определяет минимально необходимый уровень подго- товки учащихся, а успешное решение задач из группы Б характеризует более высокое качество усвоения школь- ной программы. Книга разбита на две части: первая часть «Алгебра» содержит 12 глав, а вторая часть «Геометрия» — 5 глав. В первую часть включены задачи по теме: «Комплексные числа» (гл. 10). Эта тема не входит в ныне действующую программу по математике, но является весьма полезной для учащихся школ, лицеев и гимназий, изучающих ма- тематику по расширенной программе и готовящихся к вступительным экзаменам в вузы. В соответствии со школьной программой по матема- тике всюду (за исключением гл. 10 первой части) рас-
4 Предисловие сматриваются только области действительных чисел: действительные корни функций, уравнений и систем уравнений. В начале каждой главы приводятся краткие теорети- ческие сведения справочного характера (исключение со- ставляют гл. 11 первой части и гл. 4 второй части, содер- жащие дополнительные задачи по алгебре и геометрии), затем — условия задач, а в конце главы — решения или указания к задачам данной главы. При составлении данного сборника авторы стреми- лись обосновывать все решения довольно подробными объяснениями и выкладками, а в некоторых случаях ре- шать одну и ту же задачу различными способами, что должно способствовать расширению математического кругозора учащихся. Авторы надеются, что данная книга окажет помощь в решении задач всем, кто будет ею пользоваться при под- готовке к выпускным экзаменам в школе и вступитель- ным экзаменам в вузы. Ее девиз: хочешь научиться решать задачи — решай их, сопоставляя решения, полу- ченные собственными усилиями, с теми, которые были предложены авторами. Желаем вам успеха! Авторы
Часть первая. АЛГЕБРА ГЛАВА 1 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Свойства степеней Для любых х и у и любых положительных а и Ъ верны следующие равенства: а°=1; (1.1) дХ.дУ-дХ + у. (1.2) ах\аУ = ах~>\ (1.3) («*)>• (1.4) (aby = axbx-t (1.5) /д V ах. ~ Ьх' (1.6) V ах (17) Формулы сокращенного умножения Для любых а, Ъ и с верны следующие равенства: a 2 — b2 = — b)(a + by, (1.8) (а + Ь)2 = в 2 + 2ab + b2; (1.9) (а — b)2 « а2 — 2аЬ + д2; (1.Ю) (а + ЬУ ж а* + За2Ь + ЗаЬ2 + b3 (1.11) или (а + ЬУ - а3 + 3ab(a + b) + Ь3;
6 Часть I. АЛГЕБРА- (а — b)3 — а3 — За 2Ь + ЗаЬ2 — Ь3 (1.12) или (а - Ь)3 - а3 - 3ab(a -b)-b3\ а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2— ab + Ь2)\ (1.13) а3 — Ь3 — (а — b)(a2 + ab + Ъ2)\ (1.14) ах2 + bx+ с= atx-xjtx-xj, (1.15) где Л] и *2 — корни уравнения ах2 + Ьх +с = 0. Свойства арифметических корней Для любых натуральных п и к, больших 1, и любых неотрицательных а и b верны следующие равенства: (1.16) " ЛГ т/а Ул=УГ(4м)); (1.17) (VF)*=V^; (118) 2| к/— nki— у у а ~ у а; (1.19) п, nki - у а — у а*', (1.20) (гуГа)п= а (а > 0); (121) т[а < уГЬ, если 0 < а < Ь; (1.22) 1—г 1а при а > 0, Л/^=|в|= |_а при а<0. (.123) а2п = | а |; (1.24) 2л + 1. 2л + 1 .— у—а = - уа (а > 0). (125)
Глава 1. Тождественные преобразования алгебраических выражений 7 Группа А Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (1.1-1.10): а Ь + с I Ь2 + с2 — д2\ а — 3 — с . 1 ! 1 \1 + гьс ' abc а Ь + с а = 0,02, Л =-11,05, с = 1,07. 12 (____!___+ 2/ +____1____Уу-3)2+.12Г \t2 + 3/4-2 /2 4-4/4-3 /2 + 5/+6/ 2 (а — Ь)2 4- ab . а5 4- Ь5 4- а2Ь3 4- а3Ь2 (a+b)2 — ab ’ (д3 4-д3 4-4-д#2)(я3 —£3) < л За24-2дх-х2 о . 1П ах- Зх2 ’ (Зх 4- а)(а 4- х) а2-7 Эх2' 1.5 (( х 1~2 - (х + у)2-4ху \2 х4 -х/ х2-ху / х 2у2 - у4 * а2 + Ь2 * ab а2Ь2 1 7 а~1 . а2Ъ2 /а2 - />2~У . а“3 4- Ь~3 (а 4- b)2 — 3ab \ ab / а = 1 — УТ, b = 1 4- уТ. b (abc + а + с) 1 *+- 1 +(а + х)-' /. 1-(о2 + х2)У 1 1 - (а 4- х) 1 \ 2ах г а - 1
8 Часть I. АЛГЕБРА 1.10 п — т Не прибегая к приближенным вычислениям, упростить числовые выражения (1.11-1.13): Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (1.14 - 1.24): х4 + 2х2 - Зх+ 1 + 2(У27Р-^)- 1.14 1.15 Уа2 *-4ад + 462 8aZ> 2b —=-.....-....... •--5-----уз- Ч------—, U < а < 2d. У У2 4- ч- 4д2 о2 - 4Ь2 а - 2Ь 1.16 xz - 4 х- 5 + (х 4 i Ь2 .к-л —----- • Q 5= 4, уя2д~2 + 6д4д з 4- д4 — ЗЬ^ 1.17 1.19 Ух — а Ух + d + ух— д 4- -у --------):А|4-1;х>а>0. у х2- д2-х + al \ а2
Глава 1. Тождественные преобразования алгебраических выражений 9 1.20 1.21 1 (а + Ь) 4 с г _3 а2~п b {а + Ь)^--Ч ;6 = 0’04- (e_6):|yi+3jl) Л= + ± №+4+4у№ 1.24 -!-/L- „ ; а = 0,04. V abc + 2 1.25 Проверить справед ливость равенства 2-1 _П10-7-<2 2+1 1 10 + 7 <2 ’ 1.26 Дано выражение х3 — а 2 Ь~1 (а2 + Ь2)х + Ь2 Ь**1 I _1 Сделать подстановку х = а 3Ь 2 и результат упростить Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби (1.27- 1.28): 2-V2-V3 1.27 г=—~r= 2+<2-<3 1.28 д — 1
10 Часть!. АЛГЕБРА 1.29 Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и произведение соответственно равны 11 и 21. 1.30 Преобразовать {а2 + Ь 2)(с2 + d2) так, чтобы получилось (ас + bd)2 + (ad - be)2. Группа Б Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (1.31 - 1.52): 1 а3 - 2д2 + 5а + 26 д3 — 5д2 + 17я — 13 р3 + 4р2+ 10р+ 12 р3 - Зр2 + 8/> р3—р2 + 2р + 16 р 2 + 2р + 6 , ,, Iх4 + 5х3 + 15х- 9 9 V х3 — 4х + Зх2 - 12 \ х6 + 3х4 х4Г х5 1.34 (х4 - 7х2 + I)-2 ((х2 + - 14(х + + 77); х= ^2^. I bx + 4 + -£- (4х2-/>2){- 1 , 35 ___________Ьх_____ ____________Ь_ Ьх \2b + (b2-4)x-2bx2 (b + 2x)2 — 8bxl 2 II 2х2 ' -Л1+х)УТ^Ц1зУ1-х~2 19+18х + 9х2 lx I 2xV^ ^2Ь + 21/ b2-4 139 ^-4+Н2-
Глава 1. Тождественные преобразования алгебраических выражений 11 1.40 (х + 1) 2 _ а2 + 1 _1 _1’*~ 2a (х — 1) 2-(х+ 1) 2 . 1.41 1.42 V1 + (V (1 +%)3 - v (1 -*)3) 2 + д/1 — х2 1.43 т + 4~\[т — 4•т-4 + 2 т — 4т — 4 т — 4^1 т — 4 • т — 4 — 2 1 1 - .. 2 (а + (а + 1) + (а + 2) + ... + 2а) 6 (а 2 + Z>2) 1,44 а2 + За + 2 (а - А)0-6 (а + 2) :((a2-b 2)(a - b)5) \ 1.45 ' _11 . 1 Ч1 \-2 аи (1 + с2)6 (д2 — 1)3 | 3 .(а2+1)‘2 (1-а’2ГЧ + +(2х + УТ^1) П х+ 1 1 х~ 1 V(x+1)3-V(x-1)3 Х + -Л + х-уз VT+ Vx +V? V*— Vх-V?’
12 Часть!. АЛГЕБРА \ х - 4 \ х - 4 + 2 1.50 -___=--- \ х + 4 V х - 4 - 2 1-51 (т^т - 2л-7ТТ + 2х-4): **“ 2|- Проверить справедливость равенств (1.53 - 1.55): 4 - уз 1.54 38 + V 1445 + V 38 - V 1445 = 4 . 1.55 6m + 2yj 9m2 - 6m-2~\J9m2 -п2 = 23m-n. 1.56 Упростить выражение у = ^х + 2 Vx- 1 + *^х- 2 Vx- 1, а затем построить график функции у для 1 < х < 00. 1.57 Исключив и и v из равенств и — v = а, и2 — v2 = b, и3 - v3 = с, найти соотношение между д, b и с. 1.58 Показать, что 1 + 1 + ±+ +_________1___= _5_ 6 12 20 •” л2 + Зл + 2 2п + 4‘ 1.59 Определить А, В и С так, чтобы для всех допустимых значений х имело место равенство х2 + 5 = А В С х3-Зх+2 х+2 (х—I)2 х—1 1.60 Число 19 представить в виде разности кубов натуральных чисел. Показать, что такое представление единственно.
Глава 1. Решения и указания В РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 1.1 Введем обозначения: £____1 а Ь + с л . , Ь2 + с2 — а2 п а — Ь — с _ 1 , 1 ~Л; 1+ 2bc ~В' abc ~С- а Ь + с Тогда заданное выражение примет вид Л • В : С. В выраже- нии?! допустимыми являются значения а * О, b * -с. Приве- дя дроби к общему знаменателю, получим л Ь + с — а А ~ Т7—7— J Ь + с + а для выражения В, используя формулу (1.8), находим (Ь + с)2 — а 2 __ (Ь + с + а)(Ъ + с — а) В~ 2Ьс ~ 2Ьс Следовательно, Ь + с — а (Ь + с + а)(Ъ + с —а) _ (Ъ + с - а)2 А'В~ Ь + с + а' 2Ъс " 2Ьс ; А-В ’ С — (Ь + С~а)1 abc _а(а — Ь — с), 2Ьс а-Ь-с 2 Подставив заданные значения, имеем 0,02(0,02+11,05-1,07) _д1 2 " ’ ‘ Ответ: 0,1. 1.2 Используя формулу (1.15), разложим на множители стоящие в знаменателе квадратные трехчлены: t2 + 3t+2 = (t+ 1)(Г+ 2); Г2 + 4/+3 = (/+ 1)(г + 3); Г2 + 5/+6 = (/ + 2)(Г+3). Отсюда видно, что для существования дробей необхо- димо, чтобы — 1; —2; t^—З. Приведя сумму дробей к общему знаменателю, получим
14 Часть I. АЛГЕБРА (/ + 1)(/ + 2) + (/ + 1)(/ + 3) + (t + 2)(t + 3) 2(/2 + 3/+2) 2 (/+1)(/+2)(/+3) t+3 / 2 V (f~ 3)2 + 12/ „ „далее (—) ------------L-----=2. Ответ'. 2. 1.3 Положим А = ^lSl + ai ; Д = «5 + *5 + а2/>3 + а3*2; (a+by — ab С = (а 3 + Z>3 + a2b + ab 2)(а 3 — b3). Преобразуем каждое из написанных выражений, исполь- зуя для разложения на множители формулы (1.9), (1.10), (1.13), (1.14) и группировку членов: л — а2 — ab + Ь2 . а2 + ab + Ь2 * В = а5 + а3Ь2 + Ь5 + а2Ь3 = а3 (а2 + Ь2) + Ь\а2 + Ь2) = = (fl3 + b3)(a2 + Ь2)\ С = (а3 + Ь3 + a2 b + ab 2)(а3 — b3) = ((а 3 +а 2Ь) + + (Ь3 + ab 2))(fl3 — b3) — (а+ b)(a2 + b 2)(а 3 — b3). Тогда получим Я • — = °2 ~ + 2. (fl + b)(a2 + b 2)(д3 — 3) _ С a2 + ab + b2 (а3 + Z>3)(a2 + Z>2) _ (а2 — ab + b2)(a + b)(a — b)(a2 + ab + b2)(a2 + b2) _ (a2 + ab + b2)(a2 + b2)(a + b)(a2 — ab + b2) = a-b, где а Ф ±b. Ответ: a — b. 1.4 Согласно формуле (1.8), имеем а 2 - 9х2 = (а - Зх)(а + Зх). ах - Зх2 Сократим дробь _ 2х)(а + Зх) на а ~ полагая х а ^Зх; получим -- . Далее, используя форму-
1)»ава 1. Решения и указания лу (1.15), разложим на множители числитель первой дроби: За2 + 2ах- х2 = -(х2 - 2ах - За2 ) = -(х - За)(х + а) = = (За — х)(х + а). Теперь, сократив первую дробь на а + х, где а * —х, находим За — х _ 10х _ Зд - х — 2(3х + д) + 10х _ а + Зх _ Зх + а ” а + Зх ~ а + Зх а + Зх Ответ: 1. 1.5 Последовательно находим: 1) 2 = ~Т^" (согласно формулам (1.7), (1.6)); 2\ (х + у)2-4ху ^х2-2ху+ у2 (х-у)2 _х-у. 7 х2~ху х(х - у) х(х - у) х ’ х^ х4 х2у2 —у4 у2(х2 —у2) ‘ Теперь преобразуем заданное выражение: /(у-х)2 х-у\2 х4 /у2-2ху +х2-х2+ ху\2, ------------—) = Г-------р----------Iх х4 = Су2~ЛУ)2х4 = У2(У~ х)2 = Х-У у2(х2 - у2) х4у2(х2 - у’2) у2(х - у)(х + у) X + у ’ х^0,у*0,х^у,х^ -у. х — у Ответ: т+у- 1.6 Выполним следующие преобразования в числителе и знаменателе: 1 +1 _ 2с _ Ь + а —2с . a b ab ab 9 112 4с2 b2 + a2 + 2ab-4c2 a2 b2 ab а2Ь2 а2Ь2 _(Ь + а)2 - (2с)2 (Ь + а - 2с)(Ь + а + 2с) а2Ь2 а2Ь2
16 Часть I. АЛГЕБРА Таким образом, (Ь + а — 2с)(Ь + а + 2с). (Z> + а — 2с)(Ь + а + 2с) , ab-------- ------W-----------аЬ' 37 5 При а = 7,4 = у , b = yj получаем ab - 1. Ответ: 1. 1.7 Используя формулы (1.7), (1.8), (1.9)и(1.13), преобразуем заданное выражение: 1_1 a b ta2 - ab + b2 t ab _ 1 1 а 2Ь2 (а — Ь)(а + Ь) а3 Ь* = д . Q3Z>3, a2 — ab + b2 е ab _ b3 + fl3 ab a2b2 (a — b)(a + b) _______(а — b)(a2 — ab+ b 2)ab _ _ ab (а + Ь)(а2 - ab + b 2)(а - Ь)(а + Ь) (а + Ь)2 * При а = 1 - b = 1 + V7 находим (1-У2)(1+<7)_1 22 4 п 1 Ответ: -г. 4 1.8 Последовательно найдем: |)>+1.‘£±1,с<0;а,:‘£±1.Е^т,4с+1»0; с abc + а + с 3^a + bc + l~ Ьс+1 : 6)1:^=^тт>аА+1*0: be + 1 . b _ (be + \)(ab + 1) ' abc + а + с'ab + 1 b(abc + а + с)
Глава 1. Решения и указания 17 1 _ (»С+1)(^+1) = ' b(abc + а + с) b(abc + а + с) _ 1 - ab2c- ab- ас - 1 _~b(abc + а + с) _ । b(abc + а + с) b(abc + а + с) Ответ: -1. 1.9 Имеем: 1 1 - (л2 + х2) = 2ах- \ + а2 + х2 = (а + х)2 - 1 2ах 2ах 2ах = (а + х-1)(а + х+1) 0 0 2ах _ L , IV/. 1 \ а + х+1 . . . Л 2) 1 +—т— ф---— = —т-----г , а + х- 1*0 '\ a+xl\ а+х! а+х-1 a + x+\t(a + x- 1)(а + х+ 1) = (д + х+ I)2 ' а + х — 1 2ах 2ах При х = । > где а * 1, получим / XI 4. 1 V- 2а (e2-l + lf. 2" _ (а+1 + ^)-^и ( в-Т”) w _ а4(д-1) а3 (a - l)J2a 2(а—1)' Omeem; гЙу 1.10 Используя формулы (1.8), (1.5) и (1.3), находим Сократив дробь на (м - j , приведем к общему знаменателю дроби в каждой скобке. Наконец, исполь-
18 Часть I. АЛГЕБРА зуя формулу (1.6), после очевидных сокращений (т\т + п получим I—I Ответ: 1.11 Используя формулы (1.16), (1.8), (1.20) и (1.10), находим: \ (13 + 4 У"3)(13 — 4"УЗ)_ $1169 — 48 I IP “ I 121 Итак, данное выражение равно 4-1 = 3. Ответ: 3. 1.12 Числитель и знаменатель каждой дроби умножим на выражение, сопряженное ее знаменателю: для дробей в скобках соответственно на "у[3 + 1, Уз + 2, Уз + 3, наконец, для дроби (У~3 + 5)-1 = Тогда получим 1 5 + У1 — на5 — У"3 . RJ + 1) 3(УЗ + 2) 15(У"3 + 3)\5 - УЗ 2 1 + 6 / 22 = (уз + 1-зУз-б + ^ + |УзЩ1з _ 5 + У~3 5-<3 = 1 2 * 22 2 ’ Ответ: .
Глава 1. Решения и указания 19 1.13 Запишем числа под знаками радикалов в другом виде: Применив формулу (1.19), получим 6,— 6,— 6,— 6,— 5*4<18 + 4<18 - 22<18 = 2<18 . Ответ: 2 <18. 1.14 Обозначим дробь через Л, а выражение в скобках — через В, тогда заданное выражение примет вид Я + 2В. Заметим, ЧТО ДЛЯ <3х И V 27х3 допустимыми являются только значения х > 0. Используя формулу (1.9), выделяем в числителе дроби А полный квадрат: х4 + 2х2 + 1- Зх= (х2 + I)2 - Зх. Так как х > 0, то в силу равенства (1.21) имеем Зх = (<3х)2. Тогда полученное выражение с помощью формулы (1.8) можно разложить на множители как разность квадратов: (х2 + I)2 - (<3х)2 = (х2 + 1 - <3х)(х2 + 1 + <3х). Следовательно, (х2+1-Уз^)(х2+1+Уз^) 2_ г- х2 + Уз7+1 х у 1 6------ Далее, на основании формулы (1.20) имеем у 27х3 = = (Зх)3 = Зх, откуда Итак, А + 2В = х2 - <3х + 1 + 2<3х - 1 = х 2 + <3х. Ответ: x2 + V~3x.
20 Часть I. АЛГЕБРА 1.15 Имеем а2 — 4ab + 4Ь 2 = (а — 2b)2 = \ а — 2b\ = 2Ь — а, а2 + 4аЬ + 4b2 — (а + 2b)2 — | а + 2b | = 2Ь + а\ Здесь были использованы формулы (1.19), (1.10) и (1.23). Следовательно, V а2-4ab + 4Ь2 _2Ь — а "V а 2 + 4ab + 4Ь 2 2Ь + а Теперь находим 2Ь- а _ 8а/> 2b _ 2b + a a2 — 4b2 a -2b _ (2b — а)(а - 2b) — Sab + 2b(2b + a) _ a a2 — 4b2 2b —a' Ответ: 1.16 Обозначим данное выражение через f (х). Далее, исполь- зуя формулу (1.15), разложим на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе дроби: , = (x + 5)(x-l) + (x-5)Vx2- 1 } * * * * * * * * * (Х) (х - 5)(х + 1) + (х + 5)^х2- 1 ’ Так как х > 1, то в силу соотношения (1.21) имеем х - 1 = ^(х- I)2 и х + 1 = ^l(x + I)2. Значит, = -у х - 1 ((х + 5)У х - 1 + (х - 5)У х + I) Х V х + 1 ((х — 5)"У х + 1 + (х + 5)"У х — 1) ’ откуда после сокращения получим Ответ: ~\| —. . I х+ Г
Глава I. Решения и указания 21 1.17 Используя формулы (1.7), (1.8), (1.9), (1.21), находи М2-(Л-)2 ,[71 V 1 _1 / 2V \\аЧ-') + 2-За4Ь 3+\ЗЬ31 (зИ + a4-^3b3-a4b->) j | , =-----------------------== Зя — ац b . а4Ь~1 + ЗЬ3 Тогда заданное выражение преобразуется так: / 2 2 А Ь2 = Ь2{зЬ3-а4) = _ь \ЗЬ3 — а4 b Ч j 5 /з ° ’ а4 — ЗЬ3 Ь\а4 — ЗЬ3) ъткум при b = 4 получаем —4. Ответ: —4. 1.18 Воспользовавшись формулами (1.20) и (1.23), пре- образуем разность в числителе: Следовательно, г2 + 4 — 2 V г4 — 16 + г2 — 4 3/7 у Г2 = (г2 - V г4 - 16 ). Произведя деление, получим _ 2^/7 Ответ: ——. 1.19 Здесь допустимыми значениями выражения являются только значения х > а, где а > 0. Используя равенство х- а = -у/х- а ’Vх- а и приведя сумму дробей в скоб- ках к общему знаменателю, получим
22 Часть 1. АЛГЕБРА Ух — а Ух — а *Ух — а Ух + а + Ух— а Ух — а (Ух + а — Ух - а) _ _ ^х2-а2 ~^йГ (2V^)---------а---• Тогда У**-Д2 ,.JX2 , tJx2-q2 д = а |а2 а Ух2- а2 Ответ: 1. 1.20 Применяя формулы (1.7), (1.9), (1.10), (1.14) и (1.16), в первой скобке получим 3|/3О2 + 2<+4) = ’ ' ] (2 — t)2 Приведя к общему знаменателю дроби во второй скобке, имеем 1 , 1 2<2 <2 + V7 2 —/ Окончательно находим 2У'4 + 2/+/2 .2 У~2 = У8-<3 V(2-/)2 2~f № Ответ: _!—
Глава 1. Решения и указания 23 1.21 Используя формулы (1.5), (1.2), (1.1), находим 2 12 (а+Ь) 3Ьс3. Ь2 с3 \ 8 -4л ’ й 8-4л ~~ и • а 3 (а + Ь)3 а 3 1___ _ При b = 0,04получим0,042 = У0,04 = 0,2. Ответ: 0,2. 1.22 Последовательно имеем: 1) (Уд 4- УУ)2 - 4Z? = (Уд + У7>)2 ~ (2У5 )2 = = (Va + )«а - 77); 3) а + 9Ь + 6 -\[ab = (Уд + ЗУЗ )2 > 4) _L + _1_ = У^У^ . 5ч (УУ + ЗУУ)(УУ- УУ) _J (а - Ь) л[~аБ УУ + ЗУУ __ (УУ 4- ЗУУ)2 (УУ — УУ) __ (У~о + ЗУ"# )2 , (Уа — уТ)(Уо 4- уЗ)Уо5 (Уо4-уТ)УУ5’ (У^ + ЗУ~75 )2 . (УУ 4- ЗУУ)2УУ> _ 1 _ _1^ ' (у/а 4- у?)->fab’ Уо 4-У^ УУ5УУГ ab* Ответ: ab 1.23 Имеем ( I л 2 + 2 4 2+2 4 2+2/2 2\2 \ZP 4- zgJ - 4ZP g = zp+2zp ^+ZQ-.4ZP 9 = \zP^zQ)t Аналогично, U-z») +4z' + «=U+z*).
24 Часть I. АЛГЕБРА Используя формулы (1.4), (1.23) и (1.8), в результате получаем // 2 2\2\2 | 2 21 I 1 111 1 II \zp-zq) \zp-zq\ 1^-dlz"+z«l I 1 1| (GM2/ ’1ЛХ IzW ~'z'~z< Ответ: I 1 1l \zp-z q. 1 .24 Полагая abc 0, имеем: abc+ 4 , , Jbc t , 4 , л JUc -------h 4 v —- = be+ - + 4V — = a ’ a a \ a =(vw+4 + (-jU2=L^+ -jU2; I a \yaI v ya/ ’ _[/ 2 \2 Via/ be J—f= <__ 1 \ V^ / __ V abc + 2 1 V abc + 2 дГо (V abc + 2) ^~a При a = 0,04 находим = 5 . Ответ: 5 . 1.25 Будем исходить из того, что если а3 = Ь, то а =3V~S г. <2-1 Пусть а= . Тогда, используя формулы (1.11) и (1.12), находим , 2 V7-3-2 + 3V7-1 5V7-7 а 5 = —т=------?= = —f=------• 2 V2 + 3-2 + 3<2+ 1 5<2 + 7 Умножив числитель и знаменатель этой дроби на -^2, , (5<2-7)<2 10-7 VI получим а = = 10 + 7 V2 ’ °™ ’/10-7У7 ° - 110 + 7
Глава 1. Решения и указания 25 1.26 Выполнив указанную подстановку, находим ti(.W -1-1 11 _ Д 2 1 — b 2 а2 — Ь2 + Ь2 _ а 4 1 и‘ аЧ2 Ответ: 0. 1.27 Чтобы освободиться от иррациональности в знаменате- ле, умножим числитель и знаменатель на выражение, со- пряженное знаменателю: (2-У2)-<3 (2 + У2) + Уз (2 + /2) - <3 *(2 + <2) + <3 (2-<2)(2+<2)-УЗ(2 + <2)+УЗ(2-У2)-3_ (2 + <2)2 - 3 -1-2<3-УЗ«У2 + 2<3-У2-<3 1+2^6 3 + 4<Т 3 + 4<2 ’ Снова произведя аналогичные действия, находим 1 + 2^6 3 - 4^2 _ (1 + 2<6)(3 - 4<2 ) 3 + 4-<2* 3-4<2- 23 а±2№-4<Г) 1.28 Умножив числитель и знаменатель на -у[а + т[а, имеем (а - !)(<? + Уа) а-уа2 Чтобы получить в знаменателе разность кубов, нужно в силу формулы (1.14) умножить числитель и знаменатель последней дроби на а 2 + а лГа2 + Тогда получим
26 Часть I. АЛГЕБРА (а - 1)(У~д 4- Уд )(д2 4- д УТ2 + а ) а3 - а2 _ а(а - 1)(Уд + Уд")(д 4-Уд7 4- Уд) _ а2 (а - 1) _ (Уд 4- Уд )(д 4-Уд7 4- Уд ) д «д 4- Уд )(Д +^~а1 + Уд’) Ответ: -----------------------. 1.29 Пусть а и b — искомые числа; тогда а 4- b = 11 и ab — 21. Со- гласно формуле (1.11), имеем (а 4- Ь)3 = д3 4-Ь3 4- ЗаЬ (а 4- Ь). Следовательно, д3 4- Ь3 = (а 4- Ь)3 — ЗаЬ (а 4- Z>), т. е. д3 4- &3 = = 113 — 3 • 21 • 11 = 638. Ответ: 638 . 1.30 Указание. Перемножить скобки в данном выражении и к полученной сумме прибавить и вычесть labcd. 1.31 I спосо’б. Числитель и знаменатель преобразуем так, чтобы можно было вынести общий множитель: а3 — 2д2 4- 5д 4- 26 = д3 4- 2д2 — 4д2 — 8д 4- 13д 4- 26 = = д2 (д 4-2) - 4д (д 4-2) 4-13д(д 4-2) = (д 4-2)(д2 - 4д4-13); д3 - 5д2 4- 17д - 13 = д3-д2-4д24-4д4- 13д — 13 = = (д — 1)(д2 —4д4- 13). Произведя деление, получим (д 4-2)(д2 — 4д 4-13) _ Д4-2 (д — 1)(д2-4д4-13) а - Г II способ. Представим свободные члены многочле- нов в виде 26 = 1 • 2 • 13 и 13 = 1*13. Далее проверяем, не является ли каждый из множителей корнем заданного многочлена; для этого подставляем его со знаком «4-» или «-» в многочлен. Для многочлена д3 — 2д 2 4- 5д + 26
Ргава 1. Решения и указания 27 корнем является —2 (поскольку (-2)3 — 2(-2)2 + + 5(—2) + 26 = 0). Теперь делением многочлена на разность а — (-2) понизим его степень на единицу; име- ем (а3 - 2аг + 5а + 26): (а + 2) = а2-4а + 13. Итак, получаем разложение на множители: (а + 2)х х(а2 - 4а + 13). Здесь квадратный трехчлен не имеет кор- ней, так как Л < 0. Аналогично разлагаем другой многочлен и в результате получаем тот же ответ. Ответ: а + 2 а- 1 ’ 1.32 Указание. Воспользоваться одним из способов, рас- смотренных в задаче 1.31. Ответ: р. 1.33 Последовательно находим: х4 + 5х3 + 15х- 9 _ х4 - 9 + 5х(х2 + 3) ' х6 + Зх4 х4 (х2 + 3)- =(х2 + 3)(х2 - 3 + 5х) х2 + 5х-3 . х4 (х2 + 3) х* ’ х2 + 5х-3 9 (х+2)(х+3). 2) Р + Р-------------Р------’ 3) (х + 2)(х + 3) ф х5 _ х4 х(х2 - 4) + 3(х2 - 4) _ х(х + 2)(х + 3) х “ (х + 3)(х + 2)(х - 2) “ х^2 ’ Ответ: х . х- 2 1.34 Рассмотрим выражение х2 + ДГ- 14(х + -Г + 77. х2/ \ х/ Для его упрощения воспользуемся подстановкой х + - = z; тогда х2 + -у - Z2 - 2. Следовательно, X X
28 Часть I. АЛГЕБРА (z2 - 2)2 - 14г2 + 77 = г4 - 18г2 + 81 = (г2 - 9)2, или (х4 —7х2 + 1)2 X4 Теперь заданное выражение примет вид (х4 - 7х2 + I)-2 • (х4~7*2 + 1)2 = _L . х4 х4 _ Vn5 54 Подставляя значение х = —, находим — = 5. Ответ: 5 . 1.35 Первая дробь после обычных преобразований примет следующий вид: ______(bx)2 + 4Ьх +4 _ Ьх (Ь (2 + Ьх) - 2х (2 + Ьх)) ~ (Ьх+2)2 _ Ьх + 2 Ьх (2 + bx)(b - 2х) bx (Z> - 2х) * Упростим вторую дробь: (2х + Ь)(2х — Ь) _ 2х + Ь b(b — 2x)2 Ь(Ь — 2х)' Тогда получим / Ьх + 2 2х+Ь \Ьх = \Ьх(Ь-2х) Ь(Ь-2х)]2 = Ьх+2-2х2 - bxbx = 1 -х2 Ьх (Ь — 2х) 2 Ь — 2х ’ 1 — х2. Ответ: -г—=—. Ь- 2х 1.36 Чтобы разложить числитель на множители, произведем следующее преобразование: х4 + 1 = х4 + 2х2 + Г- 2х2 = (х2 + I)2 — (т[2х)2 = (х2 + 1 + ^2 х)(х2 + 1 - УТх).
Гтава 1. Решения и указания 29 Тогда числитель примет вид (х2 + л[2х+ 1)(х2 - y[Yx+ 1) + (х2 + УТх+ 1) = = (х2 + хт[2 + 1)(х2-х<2 + 2). Таким образом, получим (х2 + ху[2 + 1)(x2-xV2 + 2) х2 -х<2 + 2 = Х2 + хУУ + 1-хУТ=*2 + 1 . Ответ: х2 4- 1. 1.37 Все три множителя запишем под одним общим корнем: e/4x4 (1 4-х)3 *9(1 -х2)(1 -х) _*1(1 4-х)4 (1-х)2 _ j 92 (1 + 2х + х2)2х3>4х3 J 9х2(1+х)4 = ~х)2 = VI1 ~*| 11 9х2 || Зх I* all — х Так какх е (0, 1], то получаем ответ: Я——. Ответ: . 1.38 Имеем (2х)2 + (х2 - I)2 х4 + 2х2 + 1 _ х 2|х|(х2+1)| 2|x|(x2+l)i 2|Х| Ответ: при х € (-°°, 0) => - |; при х € (0, °°) => | . 139 Легко догадаться, что подкоренное выражение в числи- теле есть полный квадрат суммы: ("V д + 2 + Ь — 2)2. Тогда получим л1~Ь + 2 + УУ^~2 V /> + 2 + У />-2______1 ^/>2-4 + b + 2 ” VT+2 (<FT2 4- ут^2)” УУ+2 ’ Оивет; 7Т72-
30 Часть I. АЛГЕБРА 1.40 Здесь х > 1, поэтому д2 + 1 2а >1=>£!z^±l>o=><^>o=>e>o. 2а 2а Далее находим Тогда заданное выражение примет следующий вид: (д+ l)-1^ = |л - 1| {2а {2а в+1-|л-1Г | а — 1| а + 1 Отсюда получаем /л tv ~(а - D 1 - а при а € (0, 1) => —,1 ,——г = -ч— ; F v»/ а + 1 + а _ 1 2а ч а - 1 при а € (1, оо) ==> -“2— . Ответ: при fl € (0, 1) => при а € (1, °о) => --у-. 1.41 Запишем числитель в следующем виде: 3---т 1 1 2 х + ^2ах2 _ = х+ 23л3х3 _ . = 2д + 4д 2 х э Д } | ’ 2л + 43л3х3 2/ 1 1 1\ 2 2 2 = х3\х3 + 23а3/ _ = х3 _ . = х3 - (2л)3 + (2а$ (2а^ Тогда дробь будет равна х3 - (2л)3 _х3 + (2л)3 (2а)Кх* - (2<j)^) (2а$ Внутри скобок получим 11 1111 х3 + (2л)3 1 _ х3 + (2л)3 - (2л)3 _ х3 (2а)^ (2а$ (2а^ (2а^
Глава 1. Решения и указания 31 Окончательно находим / 1 V6 I X3 I _16а4 J “ х2 ‘ \(2а)У Ответ: х1 1.42 Имеем: _у^|^.^(<ТТ7+АГТ-х). 2) ^yWl+jt+Vl-x)x (V 1 + х - V 1 -х)(1 + X + 1 -X2 + 1 - х) _ х 2 + VT^P = Т2(*+1-1+*)* 2 + V 1 -хг 2 + V1-*2 = х<2. Ответ: х У"2. 1.43 Указание. Воспользоваться тем, что т + 4'V'M-4 = (^m-4 + 2)2, m - 4^ /и - 4 = (^/и - 4 - 2J2. Ответ: т~ 8 • 1.44 Легко заметить, что в числителе первой дроби выражение в скобках есть арифметическая прогрессия с раз- ностью ^=1, откуда Sn = Разложив знаменатель на множители, запишем первую
32 Часть I. АЛГЕБРА дробь в виде За (а + 2)(а + 1) а + 2* Затем преобразуем вторую дробь: 6(^~а + л[~Б)(у[а — у/Т>) _ 6 ^/(a -i)3(a + 2)V(a-i)2 " а + 2 ' Окончательно получим j£_+_£_ = 3. а + 2 а + 2 Ответ: 3. 1.45 Имеем: 1.46 Преобразуем подкоренное выражение в числителе: х- 1 Jx+1 (х-1) + (х + 1) X + 1 I X - 1 х2-\
33 Ртава 1. Решения и указания (Vx + 1 - ^х - I)2 Ух2 - 1 откуда х-1 Jx + 1_,= jx+1~Ух~ 1 х+1 Ь-1 Далее, используя формулу (1.14), получим (Vx+1-Ух-1)(2х +Ух2-И) 1 Ух2- 1(Ух + 1 - Ух- 1)(У X2- 1 + 2х) V X2- 1 Ответ: w 1.47 Здесь в знаменателе следует применить формулу Г—— у1а + л[а2- в2у1а-тГа2-в2 \А±В = V-----± V-------, где А > В. I X IX Подставляя х = 2 и используя эту формулу, получим 2 + У4^3 ( JT-V4^3 гу + Уз, или аналогично, Следовательно, 2 ++ 2-<J 2 + УЗ — "V 2 — УЗ Р5-/2 + УЗ 2-УЗ\ V2 \з + уз+з-уз7 i Сканам
34 Часть I. АЛГЕБРА — /з 6 " 2VT 4- 3 <3 — 3 4- 6 4- 2'\[~3 — 3V~J — 3 _ «- -V^ 9_3 -V2. Ответ: т[2. 1.48 Упростим знаменатель: Jb2-2b+\ = |6- 1| 1 b ^Ь ' Тогда данное выражение примет вид |/>-1| + й2|6- l| + 2Z>-2 Нетрудно заметить, что b > 0 и b * 1. Теперь воспользу- емся определением модуля и рассмотрим различные про- межутки изменения д: —{b—\) — b\b—\) + 2b — 2_ ’ ' ’ 1 -YI(ft-i) = (й- 1)(-1-»2 + 2) 1 -Д2 = »2-1. -т[Ь(Ь-1) -у[ь УУ ’ 2) i6(|,«>э»-!< W-D^O-l). »=♦ 3 ' ' 1Гь(ь- о уь Ответ: b е (0,1) => "; b е (1,4-оо) => . 1.49 Упростим числитель: 1=2 (1 + д)2 4д = -4= V 1 - 2д 4- а2 = •уГа ’ Тогда знаменатель запишется следующим образом: W - *h(1 -а)=*Ь(211 - - ° -в))’ ° >0> L
Глава 1 Решения и указания 35 Заданное выражение примет вид 2 |1 - бг| 2 |1 — я| — (1 — я)’ 2 Ответ: при а € (0, 1) => 2; при а € (1, оо) => у. 1.50 Имеем: 1) \ х - 4л[х - 4 + 2 = х -4 - 4^ х — 4 + 4 + 2 = = V(Vx-4-2)2 + 2 = |Vx^4 - 2| + 2; 2) х + 4^х-4-2 = V(Vx-4 + 2)2-2 = = ‘V x-4 + 2 - 2 = Vx-4; 3) «7^21+2 у x-4 Если Vx-4- 2 < 0, то Vx-4 < 2, t. e. 4 <x< 8. Таким образом, при x € (4, 8) получим Л = -рД==-1, ух —4 а при х € [8, оо) получим А = 1. Ответ: при = х е (4, 8) => ;-А- д - 1; при х е [8, оо) => 1. 1.51 Здесь х*-1, х* 1,х ^2. Имеем: 1) х G (-оо, -1) => (-х2 + 2х+2х- 4):(2 - х) = = х2 - 4х + 4 = х_ 2- х-2 х2 + 4 2) хс (-1, 1) => (-х2 - 2х+ 2х-4):(2 -х) = 3) х € (1, 2) => (х2 — 2х + 2х — 4):(2 - х) = -(х + 2); 4) х € (2, оо) => (х2 — 2х + 2х - 4):(х — 2) = х + 2.
36 Часть I. АЛГЕБРА 1.52 Указание. Воспользоваться подстановкой - - z; тогда z2 - 4 = у2 + А . У у2 Ответ: (у — у)2. 1.53 Рассмотрим равенство V7 + 4VJ • V19-8V3 4-лП = 2 + уТ. Очевидно, что если оно верно, то верно и заданное ра- венство. Пусть 4 - УЗ v Легко установить, что а > 0 и b > 0. Если при этом выполняется равенство а2 = b2, то а= Ь. Находим , (7 + 4УЗ)(19-8<3) (4-V3)2 (7 + 4<3)(19 - 8 УЗ) 19-8 УЗ = 7 + 4УЗ; Ь2 = (2 + УЗ)2 = 7 + 4УЗ Так как а2 = Z>2, то а = Ь, т. е. заданное равенство справедливо. Этот пример можно решить быстрее, если догадаться, что оба подкоренных выражения в условии являются квадратами положительных чисел, а именно: 7 + 4 УЗ = (2 + УЗ)2 и 19 - 8 д/3 = (4 - УЗ)2. Тогда левая часть заданного равенства есть (2 + У3)(4 - УЗ) (4-УЗ) — У"3 = 2 + УЗ - УЗ = 2 и 2 = 2.
Пгава 1. Решения и указания 37 1.54 Положим V 38 + < 1445 + V38-V1445 = х. Возведем в куб обе части этого равенства. Используя формулу (1.11), получаем 38 + V1445 + 38 - V1445 + 3^ (38+Y1445)(38 - ^1445)х=х3, или х3 + Зх — 76 = 0. Подстановкой убеждаемся в том, что х = 4 является одним из корней полученного кубического уравнения: 64 + 12 - 76 = 0. Преобразуем это кубическое уравнение: х3 - 64 = 3(4 - х); (х - 4)(х2 + 4х + 16) + 3(х - 4) в 0; (х - 4)(х2 + 4х + 19) = 0. Но множитель х2 + 4х + 19 не имеет действительных корней. Значит, 4—единственное возможное действитель- ное значение для х, чем и доказано требуемое равенство (поскольку очевидно, что V 38 + V1445 + 38 - V1445 — действительное число). 1.55 Имеем 6т + 2^9m2-л2 = Зт + л + 2^9т2-л2 + Зт - л » = Зт + л + у] Зт-п)2; аналогично, 6т - 2^9т2-п* - (*V 3m + л - у/ Зт- п)2. Следовательно, V (V3m + л + V3m - л)2 - У (VЗт + л - Зт — л)2 « « V3m + л + ‘V Зт - л - yf Зт + п + V Зт- л = = 2"V Зт - л , где т > j, т > 0. Итак, равенство справедливо при всех л € [0, 3т].
Часть I. АЛГЕБРА 1.56 Так как -\lx+2-y[x- 1=л/х-1 + 2д/х-1 + 1 = ='VcVx- i +1)2=л/х-1 +1, \x-2 Vx- 1 = | Vx- 1 - 11, то данное выражение примет вид у = ^х-Х + 1+| 1 - 11 • Итак, получаем: 1) при V 1 - 1 [1,2) =>у= 2; 2) при "Vx“ 1 - 1 >0 =>{2, ©о) =>у = 2Vx — График функции у изображен на рис. 1.1. 1. 1.57 Так как и2 - v2 = (и - v)(u + v) = 6, то и + v = получим систему и — v = а, Ъ w + v = a’ откуда . Тогда
Глава 1. Решения и указания 39 Подставив найденные значения и и v в равенство w3 — у3 = ИМеем з з I & >а\3 lb а\3 3£2д3_ и ~v =fe + 2)"fc~2/ =47+4"с- Итак, искомое соотношение имеет вид ЗЬ2 + а4 = 4ас. Ответ: ЗЬ2 + а 4 = 4ас. L58 Разложим квадратный трехчлен на множители: л2 + 3л + 2==(л + 1)(л + 2). Тогда получим 1 + ± + 1+ +_______I______ 6 12 20 •” (л + 1)(л + 2) = JL + JL+JL + +__________I____, 2*3 3*4 4*5 (л+1)(л + 2) Но 1 1 Л 1^11 1 _i L - 2*3 2 3’3*4 3 4’4*5 4 5”~’ 1 _ 1_____________1_ (л + 1)(л + 2) л + 1 л + 2 ’ гт г 1 При сложении этих разностей все члены, кроме и -----г- взаимно уничтожатся. Таким образом, Л т 2 l + ± + _L+ +______I___=1______1_ 6 12 20 - л2 + Зл + 2 2 л + 2 2л+ 4 1.59 Приведем правую часть равенства к общему знаменателю: х2 + 5 _ Л(х- I)2 + В(х + 2) + С(х+ 2)(х — 1) х3-Зх + 2 х3- Зх+2 Если две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то тождественно равны и их числители, т. е.
40 Часть I. АЛГЕБРА х2 + 5 = Л(х- I)2 + В(х + 2) + С(х + 2)(х — 1). Так как это равенство есть тождество, то оно выполняется при любых х Следовательно, если х = 1, то ЗВ = 6, т. е. В = 2; если х = -2, то 9А = 9, т. е. А = 1; если х = 0, то А + 2В-2С- 5, откуда С=0. Ответ: А = 1, В = 2, С = 0. 1.60 Пусть 19=х3-у3, где х>у. Так как х3—у3 = (х —у)х х(х2 + ху + у2), а число 19 является простым, то его можно представить в виде произведения только как 1 • 19. Тогда получим систему (х —у = 1, х2 + лу+ у2 = 19. Подставив у = х - 1 во второе уравнение, имеем 3х2-3х- 18 = 0, или х2-х-6 = 0, откуда Xj = 3, х2 = - 2 (не подходит, так как х должно быть натуральным числом). Значению х = 3 соответствует у = 2. Итак, решение единственно и 19 = З3 - 23. Ответ-. 19 = З3 - 23.
ГЛАВА 2 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1°. Уравнением с одной переменной называется равенство, содер- жащее эту переменную (ее иногда называют неизвестным). Значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство, называется корнем (или решением) урав- нения. Решить уравнение — это значит найти все его корни или дока- зать, что их нет. 2°. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равно- сильными. В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым; при этом используют следующие правила преобразования уравнения в равносильное ему: а) какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части урав- нения в другую с противоположным знаком; б) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число; /(х) в) уравнение вида ~g\x) ~ О можно заменить равносильной системой /(х) = 0, £(х)*0 или решить уравнение,/^ = 0, а затем отбросить те из найденных кор- ней, которые обращают в нуль знаменатель g (х). 3°. Пусть в результате преобразования уравнения /i(x)=gj(x) (2.1) получено уравнение /2(x)=<g2(x). (2.2) Если каждый корень уравнения (2.1) является корнем уравнения (2.2), то уравнение (2.2) называют следствием уравнения (2.1)
42 Часть I. АЛГЕБРА Корни уравнения (2.2), не удовлетворяющие уравнению (2.1), на- зываются посторонними корнями уравнения (2.1) и не считаются реше- ниями этого уравнения. К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квад- рат (или другую четную степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т. п. 4°. Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-след- ствия посторонние корни исходного уравнения, необходимо прове- рить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное урав- нение. Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравне- ния. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются по- сторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение. 5°. Если уравнение имеет вид /(х)Л(х) = g(x)A(x), то деление обеих его частей на h (х), как правило, недопустимо, по- скольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения h (х) = 0, если они существуют. Уравнение не считается решенным как в случае, когда ответ со- держит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень. Группа А Решить уравнения (2.1 - 2.21) 2.1 2 1 = 6 3-х 2 х(3 - х) 2.2 х+ 2 х + 6 х+ 10_ 6 х+1 х+ 3 х+ 5 2.3 /х2 + 6\2 _ / 5х у \х2 — 4/ \4 — х2/ ’
Ihasa 2. Алгебраические уравнения 43 2.4 (х +З)3 - (х+I)3 = 56. 2.5 (х — а)3 — (х — й)3 = b3 — а3. 2.6 8х4+х3 + 64х+8 = 0. 2.7 з(х + -Ц-7(х+—) =0. \ х / \ х I 2.» 7(х + ±)-2(х= + Х).,. 2.9 -- + * ~ 5 + -2 - — - + 4 = 0. х х*+х-5 2 ю ___1______1_= -L ’ х3 + 2 х3 + 3 12’ 2.11 —, —— — х2 + 4х=6. х2- 4х+ 10 2.12 х2 + х + х-1 + х-2 = 4. 2.13 ^х-2 = х-4. 2.14 "V 15 — х +"V3 — >с= 6. 2.15 ^х2 + 9-^х2-7 = 2. 2.16 ^х+ 1 -У9-х=^2х- 12. 2.17 1 + Vl +xYx2-24 = х. 2.20 2f5^7 11^+3 , !х+3 »5-х 2' 2.21 V (5 + х)2 + 4^1(5- х)2 = 5^^х .
44 Часть I. АЛГЕБРА Решить системы уравнений (2.22 - 2.37): , ,, lx~y=i’ 222 |х3-у3 = 7. , ,, |(х-у)лу=30, I (х + у)лу=120. |Х4-У4=15, 124 |х3^-лу3 = 6. 2 25 I х"‘ +->'"1 = 5’ 2-25 | х-2 + у-2 = 13. х+у + у = 9> (, + ,)/ . У [х2у + ху2 = 6, (лу+(х + у) = 5. 2.28 j [ хг + у3 = 35, 1 х + у = 5. 2.29 2х + у + z- 7» х + 2у + z = 8, х + у + 2z = 9. 2.30 х + 2у + 3z = 3, Зх + у + 2z = 7, 2х + Зу + z = 2. 2.31 [V^-Vv=i, I + У7= 5. 2.32 ) [ + Vy= 4, 1 х + у = 28. 2.33 [V * + У + V х~ У = 4, 1Ух + у —Ух —у=8.
Глава 2. Алгебраические уравнения 45 2.34 У(х + у)2 = 3, V(x-y)2= 1. ^5х + у + V 5х-у = 4. 2.37 Vx V7+ V7V*= 12, ху = 64. 2.38 Не решая уравнения ах2 + Ьх + с = 0, найти х,-2 + х^”2, где Xj и Xj — корни данного уравнения. 2.39 Составить квадратное уравнение с корнями и , где Xj Хг Xj и Xj — корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0. 2.40 Составить уравнение второй степени, один из корней которого равен сумме, а другой — произведению корней уравнения ах2 + Ьх + с = 0. 2.41 При каком целом значении уравнения Зх2 — 4х+р—2 = 0 их2 - 2рх +5 = 0 имеют общий корень? Найти этот ко- рень. 2.42 Найти все значения а, при которых сумма корней урав- нения х2 - 2а(х — 1) — 1 = 0 равна сумме квадратов кор- ней. 2.43 При каком значении р отношение корней уравнения х2 + рх - 16 = 0 равно -4? 2.44 Не решая уравнения Зх2 - 5х - 2 = 0, найти сумму ку- бов его корней.
46 Часть I. АЛГЕБРА Группа Б Решить уравнения (2.45 - 2.61): 2.45 (х + 1)(х2 4- 2) 4- (х 4- 2)(х2 + 1) = 2. 7 л а х-т х+ т _ х-2т х+ 2т _ 6(т - 1) х-1 х+1 х-2 х+2 5 2.47 ах4 — х3 + а2х — а = 0. 2.48 |х| + |х-1|=1. 2.50 х3 - (а + b + с)х2 + (ab + ас + bc)x - abc = 0. х2 4-2x4-1 х2 + 2х+2_7 х2 4-2x4-2 х2 4- 2x4- 3 6’ 2.53 2o(^-?V-5(^t?V + 48^|~4 = 0. \X4-1/ \Х— 1/ Х2-1 2.54 (х + ^х*- 1)5(х - Vx2-1)3 = 1. 2.55 ^х+ 1 + V4x+ 13 = V3x+ 12. 2.56 2x2 + 6 — 2V2x2-3x + 2 = 3x + 3. 2.57 V-*4 +x + 4 + V*2 +x+ 1 = V2x2 + 2x + 9 . 2.59 Vx + 2 - ^3x+2 = 0. 2.60 + x + "\l~- ~ * = VT IX IX 2.61 ^9-Vx+ 1 + ^7 + Vx+l = 4.
Глава 2. Алгебраические уравнения 47 Решить системы уравнений (2.62 - 2.74): 2.62 (j2tx = 6. +Х> 2.63 х3 + у3 = 19, х2у + ху2 = -6. 2.64 (х-уХх^у2) = 5, (х + уХ*2-У2) = 9. Г(х-у)(х2-у2) = За3, I (х + уХх2 + у2) = 15а3; а * 0. 2.67 x + yz = 2, y + zx=2, z + xp = 2. х + у + z = 3, x + 2y~z = 2, X + yz 4- & = 3. X69 xy = a, yz-b^ zx= c; abc > 0. f x + Vy — 56 = 0, IVx + y~56 = 0. 2.70 2.72 u—v _ 12 и + v ~ и + v ’ „ х 16 у 9 2JM u2 + v2 — 41
48 Часть I. АЛГЕБРА 2.73 2.74 f х W+ у Vx = 30, | хт[х + у -y[y~ 35. Vx + y + VУ + z - 3, V7+J+ V z + x = 5, Vz + x + +У ~ 2.75 Найти коэффициенты тип квадратного трехчлена х2 + тх + п, если известно, что его остатки при делении на двучлены х - т и х - п соответственно равны т и п. 2.76 Определить, при каких значениях т один из корней урав- нения z3 - (т2 - т + 7)z - (Зт2 - Зт - 6) = 0 равен —1. Отыскать два остальных корня уравнения при этих зна- чениях т. 2.77 Показать, что если а и b — корни уравнения х2+рх + 1 - 0, а b и с — корни уравнения х2 + #х + 2 = 0, то (/>-д)Х x(Z>- с)-pq-6. 2.78 При каких значениях а уравнения х2 + ах+1=0и х2 + х + а = 0 имеют общий корень? 2.79 Найти коэффициенты уравнения х2+рх+ q-Q при ус- ловии, что разность корней уравнения равна 5, а разность их кубов равна 35. 2.80 Показать, что среди корней уравнениях4 + 5х3 + 15х- 9=0 имеются только один положительный и только один от- рицательный (сами корни находить не обязательно).
Глава 2. Решения и указания 49 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 2.1 Перенесем все члены уравнения в левую часть и преоб- разуем полученное уравнение к виду х2 - 7х 4- 12 _ п 2х(3 - х) Из уравнениях2 - 7х + 12= 0 находим= 3^ = 4. При х = 3 знаменатель обращается в нуль; значит, 3 не явля- ется корнем. Итак, х = 4. Ответ: х = 4. 2.2 Переписав уравнение в виде получим —-— + — + —-— = 3. х+ 1 х+ 3 х+ 5 Отсюда, приведя к общему знаменателю, имеем 9х2 + 46х + 45 = Зх3 + 27х2 + 69х + 45; Зх3 4- 18х2 + 23х = 0; х(3х2 + 18х +23) = 0; 7 г— xi=°; x2,3=-3±fV3. 2 г" Ответ: Xj = 0; Xj 3 = -3 ±-у 3. 2.3 Имеем Раскладывая левую часть уравнения как разность квад- ратов, получим (при х * ±2):
50 Часть I. АЛГЕБРЛ либо х2 + 6 + 5х = 0, откуда х} = —3, либо х2 + 6 - 5х = 0, откуда х2 = 3. Ответ: хх 2- ±3. 2.4 Разложив левую часть уравнения как разность кубов, получим f(x + 3) - (х + 1)][(х + З)2 + (х + 3)(х + 1) + (х + I)2] = 56. Отсюда Зх2 + 12х+ 13 = 28, или х2 + 4х - 5 = 0, т. е. Xj = 1,х2 = -5. Ответ: х, = 1, Xj = —5. 2.5 Имеем (х-а)3-(х-й)3 = = (Ь - а)(х2 — lax +a1 + x1 — (a + b)x+ab + x1 — 2bx + b1). Поэтому уравнение примет вид (Ь - д)(3х2 - 3(а + b)x+а2 + ab + b2) = (b-a)(b 2 + аЬ + а2). Отсюда находим: если а = Ь, то х — любое число; если а * Ь, то 3x2-3(a + b)x+a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2, т. е. Xj = 0; х2 — а + Ь. Ответ: = 0, Xj = а + b при а * Ь; х — любое число при а = Ь. 2.6 Имеем х3(8х+ 1) +8(8х+ 1) = 0,
Птава 2. Решения и указания 51 откуда (8х + 1)(х’ + 8) = 0, или (8х+1)(х + 2)(х2 —2х + 4) = 0, т е. х, = -|; *2 = -2. Ответ: Xj = -0,125, Xj = -2. 2.7 Имеем откуда -*^р-(3х2 - Зх + 3 - 7х) = О, т. е. либо х + 1 = 0, либо Зх2 — 10х 4* 3 = 0. Следова- тельно, Xj = -1; хг = 3; х3 = Ответ: xl = -1, х2 = 3, х3 = |. 2.8 Введем переменную z, полагая х + — = z. Тогда х + ~) =z2t откуда находим х2 + 2+Л=г2. X2 Заменив в данном уравнении выражение в первой скоб- ке на z, а во второй — на z2 - 2, получим 7z-2(z2-2) = 9; 2z2-7z+5 = O; ?i=|; z,»!. Для отыскания х следует решить два квадратных урав- нения: х + ~=-|’ 2х2-5х+2 = 0; х. = 2; х2=4, х 2 1 2 2
52 Часть I. АЛГЕБРА х + - = 1, х2 —х + 1 =0; Р<0 — корней нет. Ответ: jq = 2, х2 = 0,5. % — 5 2.9 Указание. Использовать подстановку -----------= z. Ответ: Xj=-5, = 1, х3 4 = -1±Уб\ 2.10 Указание. Воспользоваться подстановкой х3 + 2 = z- Ответ: х}= 1, х2 = — Уб". 2.11 Указание. Использовать подстановку х2 - 4х + 10 = z Ответ: х,= 1, х2 = 3. 2.12 Переписав уравнение в виде Нр) +(х +т)=4’ положим х + — = z. Тогда х2 + 2 + Л = z2, или Z2 - 2 = х2 + р. Заданное уравнение примет вид z2 + z - 6 = 0, откуда z{ = 2, z2 = -3. -3±<5 Ответ: Xj = 1, х2 3 =---• 2.13 Возведем обе части уравнения в квадрат: (Ух^2)2 = (х-4)2; х-2 = х2-8х + 16; х2 - 9х + 18 = 0; Xj =3; х2 = 6. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение. Если х=3, то получаем 1 = -1 —неверное равенство; если х = 6, то получаем 2 = 2— верное ра-
Diasa 2. Решения и указания_________________________53 венство. Значит, заданное уравнение имеет единствен- ный корень х — 6. Отметим, что можно было сначала найти область опре- деления данного уравнения. Для этого решим систему неравенств х-2>0, х - 4 > О, откуда х>4. Тогда сразу видно, что Xj = 3 —посторон- ний корень исходного уравнения. Проверкой убеждаем- ся, что х = 6 удовлетворяет заданному уравнению. Ответ: х = 6. 2.14 Имеем 15-х = 6 - V 3 — х. Возведя обе части равен- ства в квадрат, получим 15 — х = 36 — 12^ 3 — х + 3 — х; V 3-х=2; 3-х = 4; х=-1. Проверка показывает, что это значение является корнем уравнения. Ответ: х — — 1. 2.15 Имеем (х2 + 9) - (х2 - 7) = 16, или (V*5 + 9-^х^ — 7 )(^х2 + 9 + Ух2 —7 ) = 16. Так как V*2 + 9 - yjx2-! = 2, тоУлТ+9 + Ух*-7 = 8. Следовательно, получаем систему Ух2+ 9 + Ух*-7 = 8, Ух* + 9 - Ух2 —7 = 2, откуда 2^х2 + 9 = 10, т. е. х{ 2 = ±4. Ответ: Xj 2 — ±4. 2.16 Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем (х+ 1) + (9 - х) - 2V (х + 1)(9 -х) - 2х- 12, или
54 Часть I. АЛГЕБРА V(X+ 1)(9-х) = 11 —х. Снова возведя в квадрат, после преобразований получим х2 - 15х + 56 = О, откуда jq = 7, х2 = 8. Проверкой убеждаемся в том, что оба корня подходят. Ответ: х] = 7, Xj = 8. 2.17 Перенеся 1 в правую часть уравнения, после возведения обеих его частей в квадрат получим 1 + х Ух2 - 24 = х2 - 2х + 1, откуда Ух2-24 = х- 2 (так как х # 0). Решив это уравнение, находим х = 7. Ответ: х = 7. 2.18 Сократив дроби в левой части уравнения, получим Ъ? + 1 - УЗГ+ 1 = 4, или Ух5 — V* - 2 = 0. Отсюда УТ= -1 или Ух= 2. Так как не может быть равен -1 (при этом знаменатели исходных дробей обращаются в нуль), то х = 8. Ответ: х = 8. 2.19 Для решения уравнения воспользуемся следующим уг- а с верждением: если верно равенство то справедли- во и равенство (проверьте!) 2-^4Имеем а — и с — а (у[х + Чх) + (-{х-Ух)_3 + 1. 2Ух (V7+Vx)-(Vx-V?) 3 - Г 2^х УТ= 2^Т; х3 = 64х2.
55 Глава 2. Решения и указания Так как х 0, то х = 64. Ответ: х = 64. 2.20 Указание. Использовать подстановку и = z. Ответ: х- 1. 2.21 Так как х = 5 не является корнем уравнения, то обе час- ти уравнения можно разделить на \ (5-х)2, причем потери корней не произойдет. Получаем уравнение, рав- носильное исходному: 5 + х\2 . 5 + х +4 = 54s3T- Полагая 5 + х V —— = z, приходим к квадратному уравне- нию z2 - 5z + 4 = 0, корнями которого являются z{ = 1, Z2 = 4. Для отыскания х имеем два уравне- ния: 15-х 15-х Возведя в куб обе части каждого из них, получим 5 + х . Л 5 + х х. 63 т“~— = 1, откуда х = 0, и —— = 64, откуда х = — . J " X X 10 Ответ: х1 = 0, Xj = ~. 2.22 Из первого уравнения находим у = х - 1. Подставив это выражение во второе уравнение, имеем х3 - (х- I)3 = 7, откуда х2 - х - 2 = 0. Следовательно, Xj = 2, х2 = -1, а У1 = h У2 = -2- Ответ: (2; 1), (-1;-2).
56 Часть I. АЛГЕБРА 2.23 Разделив второе уравнение системы на первое, получим х + у А 2х 5 т. ----- = 4, откуда ~ ч • Тогда х - у 7 2у 3 (у 4- у )у у = 120, т. е. у у3 = 120; у3 = 27. Значит, у = 3, а х = 5. Ответ: (5; 3). 2.24 Имеем (х2-у2)(х2 + у2) =15 х У=5 (х2 — у2)ху 6 ’ ’ ' у х 2 ‘ х Полагая ~ = z, получим 2z2 - 5z + 2 = 0, откуда z{ = 2, 1 У z2 = 2 • Итак, х—2у и х = . Подставим найденные выражения в первое уравнение системы: у4 = 1, т. е. у = ±1; тогда х - ±2; у4 = -16 (это уравнение не имеет корней). Ответ: (2; 1), (-2;-1). 2.25 Возведем первое уравнение в квадрат: х~2 + у ~2 + + 2(лу)“1 = 25. Учитывая, что х~2 4- у~2 = 13, получим 13 4-2(ху)"1 = 25, т. е. ху = ^. х + у 5 Из уравнения --- = 5 находим х 4- у = 7-. ху о Итак, остается решить систему 1 ^=6’ Ответ: (ИНМ)-
Ртава 2. Решения и указания 57 2.26 Указание.Положить х + у = к, ~ = у. Л /л 14 ПО. 2\ Ответ: (4; 1), j). 2.27 Указание. Использовать подстановку ху = и, х + у = v. Ответ: (1; 2), (2; 1). 2.28 I способ. Имеем I (х + у)(х2 - ху + у2) = 35, |х + у=5, откуда (х2 - ху + у2 = 7, |х2 + 2ху + у2 = 25. Вычитая первое уравнение из второго, получаем Зху =18, откуда ху = 6. Итак, решив систему |лу = 6, |х + у = 5, найдем значения Xj = 2, у{ = 3 или х2 =3, у2 = 2. II способ. Возведя второе уравнение в куб, получаем систему (х3 + у3 = 35, |х3 + у3 + Зху(х + у) — 125, откуда 35 + Зху(х + у) = 125, или ху(х + у) = 30. Таким образом, снова приходим к системе |ху = 6, (х + у = 5,
58 Часть I. АЛГЕБРА решив которую получаем тот же ответ. Ответ: (2; 3), (3; 2). 2.29 Сложив все три уравнения, получим 4(х + у + z) - 24, откуда х + у + z = 6. Последовательно вычитая это урав- нение из каждого уравнения системы, находим х= 1, У=2, z=3. Ответ: (1; 2; 3). 2.30 Сложив уравнения системы, получим 6(х + у + z) = 12, т. е. х + у + z = 2. Вычитая это уравнение из первого, имеем у + 2z = 1. Теперь из системы ly + 2z= 1, (3x + y+2z=7 находим Зх = 6, т. е. х = 2. Легко видеть, что у = -1, z = 1. Ответ: (2; -1; 1). 2.31 Возведя первое уравнение в квадрат, получим ___ __ 4________ _____________________ ______ . ______________ и + yv - 2 -у uv = 1. Так как -yfu + V * = 5, то uv = 2. Итак, решив систему Ы~й-fv = 4, [V77 + VT= 5, найдем значения и и v. Ответ: (16; 1). 2.32 Возведя первое уравнение в куб, получим х + у+ 3(V* + Vy)V*y = 64, или x + y + 3-4-Y^=64.
Diana 2. Решения и указания 59 Так как х + у- 28, то 28 + 3’4«V*y = 64, т. е. 3. Остается решить систему |V*y=3, lV3r+V7=4. Ответ: (1; 27), (27; 1). 2.33 Представим второе уравнение системы в виде (^х + у-)(V*+ У + ) = 8- Таккак \х + у + ^х—у = 4, то 4(Vx + y-\fx^y) = 8, т. е. х +у-\l х - у = 2. Остается решить систему или (х + у= 81, |х-у=1. Ответ: (41; 40). 234 Имеем |x + j»| = 3, |х->|=1. Отсюда получаем четыре системы уравнений 1х + у=3, |х + у-3, |х + у = —3, 1х + у = —3, |х-у=1; |х-у=-1; |х-у=1; |х-у = -1. Решив их, найдем все значения х и у. Ответ: (2; 1), (1; 2), <-1; -2), (-2; -1). 2.35 Полагая = z>0,получим= 1,илиг2-z-2 = 0, и, значит, Zi = 2, z2 = -1 (этот корень не подходит). Итак, VI- 2, т. е. у - 4х. Тогда ^9х -у[~х - 4, или
60 Часть I. АЛГЕБРА У\Гх + Ух я 4, откуда х = 1, а у = 4. Ответ: (1; 4). 2.36 Перемножив уравнения, получим х + у = 9, т. е. у = 9 - х. Подставив данное выражение в первое уравнение и выпол- нив преобразования, придем к уравнению х2 - 9х + 8 = 0. Отсюда Xj = 1, х2 = 8, 8, у2 = 1. Ответ: (1; 8), (8; 1). 2.37 Имеем л]х2у^ +^х3у2 = 12,откуда ^х2у2(Ух + Уу)« 12. Так как6ух2у2 =\ху = \ 64 = 4, то Vjc + Уу =3. Итак, остается решить систему УхГ+У7=з, 6/— „ Ответ: (1; 64), (64; 1). 2.38 Выполнив преобразования и используя теорему Виета, получим 1 1 = х* + *2 = (х, + Хг)2 - 2х,х2 = Х|2 х^ (х,х2)2 (х^)2 = a2 a _ b2 — lac с2 с2 а2 Ответ: г*- 2.39 Имеем 1 1 х, + Xj 1 1 1
Глава 2. Решения и указания 61 Ь с Но по теореме Виета Xj + х2 = - —; х1х2 =—. Поэтому b Xj Х2 £ с * Xj Х2 с ’ а Итак, х2 + ~х+—= 0, или сх2 + Ъх + д = 0. с с 2.40 Если корни искомого уравнения обозначить через х{ и а данного — через xt и х2, то из условия следует, что xj = X) + Xjj х^ = хЛ. Используя теорему Виета, получим _ b __ с ~ _ с - b______ Ьс *1 = ~ д! *2 = я • Отсюда X] + хг-хЛ = -. Итак, искомое уравнение примет вид х2 + х - = 0, или а2х2 + (ab - ас)х — Ьс = О. 2.41 Имеем | Зх2 —4х + р —2 = 0, (х2-2рх + 5 = 0. Подставив выражение р = 2 - Зх2 + 4х во второе урав- нение, получим 6х3 — 7х2 - 4х + 5 = 6х3 - 6х2 — х2 - 4х+ 5 = = 6х2(х - 1) - (х - 1)(х + 5) = (х - 1 )(6х2 - х - 5) = = (х- 1)2(6х+ 5), 5 41 т. е. Xj = 1, Х2 = -- . Отсюда рх = 3, р2 = (проти- воречит условию). Итак, р = 3. При этом значении р получим уравнения Зх2-4х + 1 = 0 и х2 — 6х + 5 = 0.
62 Часть I. АЛГЕБРА Первое из них имеет корни Х| =1, х2 = - , а второе — корни х1 = 1, %2 = 5, т. е. Xj = 1 — общий корень. Ответ: р = 3, х = 1. 2.42 Имеем х2 - lax + (2а - 1) = 0 и Xj + х2 = х^ + х22, т. е. Xi + х2 = (Xj + Х2)2 - 2xjX2. Согласно теореме Виета, 2а - 4д2 - 4д + 2, или 2а2 - За + 1 = 0, откуда ах = 1, 1 а2~2- Ответ: а{ = 1; а2 = 0,5. Xi 2.43 Имеем х2+рх-16 = 0 и 5^= -4. Из системы Xft - -16, найдем = 8, х2 = -2 или Xj = -8, Xj = 2. Далее, исполь- зуя равенство хх + х2 = —р, получаемрх = -6, р2 = 6. Ответ: при р = ±6. 2.44 Выполнив преобразования и используя теорему Виета, находим (с \ 3 9 с 91с з) + 3’Гз="27' Ответ: . 2.45 Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению 2х3 + Зх2 + Зх + 2 =0
Глава 2. Решения и указания 63 Разложим его левую часть на множители. Группируя чле- ны и используя формулу суммы кубов, получаем 2(х3 + 1) + Зх(х+ 1) = 0; 2(х+ 1)(х2 -х + 1) + Зх(х + 1) = 0; (х + 1)(2х2 + х + 2) = 0. Последнее равенство верно при условии, что по край- ней мере один из сомножителей равен нулю: х + 1 = 0, откуда х=-1, или 2х2 + х + 2 = 0. Однако дискрими- нант последнего уравнения отрицателен, следовательно, оно не имеет корней. Итак, х = -1. Ответ: х = — 1. 2.46 Выполнив преобразования (сделайте это самостоятель- но), в результате получим — | (т - 1)(х« + 4) = 0. Легко видеть, что при т = 1 в качестве х можно взять любое число, кроме ±1, ±2; при т * 1 получим х4 + 4 = 0, или х4 = -4 (действительных корней нет). Отвел: если ж = 1, то х — любое число, кроме ±1, ±2; если т * 1, то корней нет. 2.47 Перепишем уравнение так: хл2 + (х4- 1)в-х3 = 0. Заметим, что если х = 0, то и а = 0. Если же х * 0, то полу- чим квадратное уравнение относительно а, откуда находим _ -(х4 - 1) ±У (х4 - I)2 4- 4х* _ -(х4 - 1) ± (х4 + 1) а~ 2х ~ 2х Следовательно, а=-х3. Остается решить урав- нения ах — 1 и х3 + о = 0. Ответ: х,=-; х2 = -^, если а *0; х=0, если в = 0.
64 Часть I. АЛГЕБРА 2.48 Воспользуемся определением модуля и рассмотрим раз- ные случаи. 1-й случай: х < 0. Тогда -х + 1 -х = 1, т. е. х = 0. Легко видеть, что х = 0 не удовлетворяет неравенству х < 0. Следовательно, х = 0 — посторонний корень. 2-й случай: 0 < х< 1. Тогда х + 1 -х = 1. Значит, х может быть любым числом на [0, 1). 3-й случай: х> Тогда х= 1. Ответ: х€[0,1]. 2.49 Имеем (х2 + 1)(х—2) + (х2 + 2)(х + 1) = -2(х+ 1)(х—2). Выполнив преобразования, получим 2х3+х2 + х — 4 = 0. Так как сумма всех коэффициентов равна нулю, то х = 1. Запишем последнее уравнение в виде 2х3 - 2х2 + Зх2 - Зх + 4х- 4 = 0, или (х — 1)(2х2 + Зх + 4) = 0. Отсюда 2х2 + Зх + 4 = 0. Поскольку дискриминант это- го уравнения отрицателен, оно не имеет корней. Ответ: х= 1. 2.50 Легко видеть, что одним из корней данного уравнения является Xj = а. Тогда Дх3 - (а + b + с)х2 + (ab + ас + bc)x - abc]\(x — а) = = х2 — (b + с)х + Ьс. Из уравнения х2 — (Ъ + с)х + Ьс = § находим, что х^ = bt х3 = с. Ответ: Xj = a, Xj = b, х3 = с.
Глава 2. Решения и указания Замечание. Можно сформулировать и доказать.так назы аемую обобщенную теорему Виета. Если хр х2, х3 — корни уравнения х3 +рх2 + qx + s = О, то х1+х2 + х3 = -р; x1x2+x1x3 + x2x3==r, x1jcjX3 = -j. 2.51 Полагая х + 1 = z, получим (z-i)2 + а+1)2=7 ’ или 5x4 “19x2_4=°- Отсюда Zj2 = 4, т.е. г=±2, и z2 = -^ (это уравнение не имеет корней). Ответ: = 1, Xj = -3. 2.52 Указание. Использовать подстановку х2 + 2х + 1 = у. Ответ: х, = -2, Xj = 0. х “• 2 х 4"2 2.53 Полагая — - = у и yyy = z, получим уравнение /у\2 у 20у2 + 48yz-5z2 = 0, или 20^j + 48-^ -5 = 0. Следовательно, Z-1 z”10’ или (х —2)(х — 1)1 (х+1)(х+2) 10’ 2 откуда Xj = 3, Х2 = у; У 5 ---у, или (х —2)(х—1) 2 (х+1)(х+2) ”“2 (действительных корней нет). Ответ: х, = 3, х^ = j. 3 Ск*нма
66 ___________Часть I. АЛГЕБРА 2.54 Имеем (х + 1)2[(х + v*2-1)(х- Vх2 ~ О]3 = 1, или (х + V*2 ~ 1)2(х2 - х2 + 1) = 1. Таким образом, х + ^х2 - 1 = 1, или Ух2 - 1 = 1 - х, или х2 - 1 = 1 - 2х +х2, откуда х=1; х + ^х2- 1 = -1, или ^х2-1 = -(1 + х), или х2 - 1 = 1 + 2х +х2, откуда х = -1; Ответ: х12 = ±1. 2.55 Возведя обе части уравнения в квадрат, получим х + 1 + 4х + 13 + 2V(x+l)(4x+ 13) = 3Y+ 12; V(x+ 1)(4х+ 13) = -(х + 1). Еще одно возведение в квадрат привело бы к уничтоже- нию иррациональности, однако здесь нет необходимос- ти в этом преобразовании. Замечаем, что полученное уравнение-следствие может иметь решение только при условии х + 1 < 0. Вместе с тем одним из условий суще- ствования решения исходного уравнения является тре- бование х + 1 > 0. Оба эти условия совместны в един- ственном случае, если х+ 1 = 0, откуда х= -1. Этс значение х, как легко проверить, удовлетворяет исход- ному уравнению. Так как уравнение-следствие други» корней не имеет, то других корней не имеет и исходное уравнение. Итак, х—— 1. Ответ: х= — 1. 2.56 Запишем уравнение в следующем виде: (2х2 - Зх + 2) - 2^2х2-Зх + 2 +1 = 0.
Глава 2. Решения и указания_______________________67 Положим Зх-ь 2 = г, отметим, что пригодными могут быть только значения ?>0. Произведя указанную замену, получим уравнение z2 - 2z + 1 = 0, откуда? = 1 — это пригодное значение z и поэтому уравнение V2x2-3x + 2 = 1, или 2х2 - Зх 4-1 = О TZ 1 равносильно заданному. Корни х, = 2", *2= 1 этого квадратного уравнения являются корнями исходного уравнения. Ответ: Xj == 0,5, Xj = 1. 2.57 После возведения в квадрат получим 2х2 4-2х 4-5 4- 2*7 (х2 4- х 4- 4)(х2 4- х 4- 1) = 2х2 4- 2х 4- 9, или V (х2 4- x)i 4- 5(х2 4- х) 4- 4 = 2. Отсюда (X2 4-х)2 4-5(х2 4-х) 4-4 = 4, или (х2 4- хХх2 4- х4- 5) = 0. Ответ: Xj = 0, Xj = —1. 2Л8 Имеем ,Г- , 2x4-1 з У*=2~Т+2’ + После возведения в квадрат и выполнения преобразова- ний уравнение примет вид х3 4- 4х2 4- 4х - 9 = 0. Заме- тим, что сумма коэффициентов последнего уравнения равно нулю и, значит, оно имеет корень х = 1. Поэтому х3 — х24- 5х2 — 5х4-9х — 9 = 0, или (х - 1 )(х2 4- 5х 4- 9) = 0.
68 Часть I. АЛГЕБРА Так как уравнение х2 + 5х+9 = 0 не имеет корней, то х = 1 — единственный корень исходного уравнения. Ответ: х= 1. 2.59 Имеем ^х+2 = V Зх + 2 . После возведения уравнения в шестую степень получим (х + 2)3 = (Зх + 2)2, или х3 - Зх2 + 4 = 0, или (х + 1)(х2 - 4х + 4) = 0. Отсюда Xj = -1 (посторонний корень), = 2. Ответ: х = 2. 20 2.60 Указание. Использовать подстановку — = Z- Ответ: х=12. 2.61 Возведем обе части уравнения в куб: 9 - Vx+l + 7+-fic+1 + 3 • 41/(9-Vx+l)(7+Vx+l) = 64, или "V 63 + 2^х + 1 — (х + 1) = 4. Отсюда (х+ 1)-2^х+ 1 + 1=0, или -/х +1 = 1,т.е.х = 0. Ответ: х = 0. 2.62 Имеем 1х2 + у = у2 + X, |у2 + х=6, I х2 + у= 6, откуда 2 . к |у2 + х=6. Вычитая из первого уравнения второе, получим
Diaaa 2. Решения и указания 69 (х2-у2)-(х-у) = О, ИЛИ (х-у)(х + у- 1) = 0. Итак, если у = х, то Xj = 2; х2 = -3; если у = -х + 1, 1 ±<21 то*з,4 s—2------* Ответ: (2; 2)Л-3;-3), 2.63 Имеем |х3 +у3 = 19, (3(х2у + ху2) =-18. Сложив уравнения, находим (х + у)3 = 1, или х + у = 1. Тогда у = 1 - х и из первого уравнения получим х3 + (1 — х)3 = 19, или х2 - х - 6 = О, откуда Xj = 3, х2 = -2 и у j = -2, у2 = 3. Ответ: (3; -2), (-2; 3). 2.64 Имеем у 3’ - = ху-^-. (х 2 Перемножив уравнения системы, получим <1 SQ 144 73 (ху)2 ~ ^ху + S- = 1- Отсюда ху-6 и ху = —. о о о Легко видеть, что х, = 2, yj = 3 и х2 = -2, у2 = -3. Ответ: (2; 3), (-2; -3).
70___________________________________ Часть I. АЛГЕБРА 2.65 Разделив первое уравнение системы на второе, получим х2 + у2 __ 5 (х +у)2 9 * Отсюда 2х2 + 2у2 - 5ху = 0, или - 5— +2 = 0. У2 У Итак, если — = 2, то х. = 2, у. = 1; если ~ то У 1 1 У 2 Х2 = — 1, у2 = -2. Ответ: (2; 1), (-1; -2). 2.66 Сложив уравнения системы, получим 2(х3+у3) = 18а3, или х3+у3 = 9а3. Отсюда х2у + ху2 = 6а3. Далее, сложив уравнения 3(х 2у+ху2) = 18а3 и х3+у3 = 9а3, находим (х + у)3 = 27а3, откуда х + у = За. Тогда из уравнения ху(х + у) = 6а3 следует, что ху = 2а2. Таким образом, х и у являются корнями квадратного уравнения z2 - 3az + 2а2 = 0. Итак, Xj = а, У1 = 2а и х2 = 2а, у2 = а. Ответ: (а; 2а), (2а; а). 2.67 Составляя попарно разности двух уравнений, получаем, что х = у = Z- Тогда любое из двух уравнений примет вид и + и2 = 2, откуда их = -2, и2 - 1. Ответ: (1; 1; 1), (—2; —2; —2). 2.68 Первые два уравнения запишем так: 1х + у = 3 - z, |х + 2у = 2 + z. Отсюда находим у - 2z - 1, х = —3z + 4. Тогда из тре- тьего уравнения получим (~3z + 4) + z(3 - z) = 3,
Рхава 2. Решения и указания откуда z2 = 1. Итак, Zj = 1, у{ = 1, = 1 и z2 = — 1, у2 = -3, х2 = 7. Ответ: (1; 1; 1), (7;-3;-1). 2.69 Перемножив уравнения системы, получим (xyz# = abc, т. е. xyz = abc. Отсюда Ответ: 2.70 Составим разность уравнений системы: (х-у) + (Уу-Ух) = 0, или (УУ-Ух)(Ух + Уу-1) = 0. Отсюда либо У У - У х = 0, т- е- х = у = 49, либо УТ4- Уу = 1. В последнем случае, сложив уравнения си- стемы, получим х + у + (Ух + Уу) -112 = 0, откуда |х + у = 111, |Ух+У7= 1, а эта система не имеет решений. Ответ: (49; 49). 2.71 Перемножив уравнения системы, имеем 8 = (х + у) - (х - у), откуда у = 4. Затем возведем уравнения системы в квадрат и сложим их; 5 у 4х тогда получим +-^ = х. При у = 4 найдем х = 5 (х = -5 — посторонний корень). Ответ: (5; 4).
72 Часть I. АЛГЕБРА 2.72 Указание. Рассмотреть два случая: 1) и - v > 0, и + v > О; 2) и - v < О, и + v < 0. Затем, используя первое уравнение системы, решить соответствующие каждому случаю квадрат- ные уравнения относительно 7м2 “V2. Ответ: (5; 4); (5; -4); ' _ _ /zT). С Izz. [И] ч N 2 ’ ЙДЙ’Й/ 2.73 Перепишем исходную систему так: (У?)3 + (Y7)3 = 35, Зх V7+ Зу>[х = 90. Тогда, сложив уравнения этой системы, придем к урав- нению (УУ+У7)3в 125, откуда УУ+УУ = 5. Далее имеем УУ = 5 - УУ; у - 25 - ЮУУ + г, у ^[у = 125 — - 75УУ- х + 15х Последнее выражение подставим во второе уравнение исходной системы и получим х - 5УУ +6 = 0, откуда УУ=2, УУ = 3. Итак, х{ = 4, Л = 9; *2 = 9, у2 = 4. Ответ: (4; 9), (9; 4). 2.74 Сложив уравнения системы, найдем '{х + у + ^у + Z + Z + x = 6. Вычитая из этого уравнения поочередно каждое из урав- нений данной системы, придем к системе Vz + x = 3, Vx + y = 1, или V7+T= 2, z + x=9, х + у= 1, У + Z = 4.
Глава 2. Решения и указания 73 Снова применяя указанные выше действия к уравнени- ям последней системы, получим х = 3, у — -2, z ~ 6. Ответ: (3; -2; 6). 2.75 Выполнив деление, получим: _х2 + тх + п | х- т х2 - тх х + 2т _2тх + п 2тх — 2т2 2т2 + п х2 + тх+ п | х-п х2 — их х+т+ п _{т + п)х (т + п)х-тп-п2 тп + п2 + п Согласно условию, 2т2 + п — т, тп + п2 + п = п. Если п = 0, то 2т 2 — т, т. е. т — 0 либо т — 0,5. Если п # 0, то п = —/л, т(т - 1) = 0, т. е. т = 1, п — —1. Ответ: т = 0, п = 0; т = 0,5, n = 0; m=l, п = — 1. 2.76 Полагая z=-l, получим относительно т уравнение т2 — т — 6 = 0, корнями которого являются т = 3 и т- — 2. При каждом из этих значений т данное урав- нение запишется так: z3- 13z- 12 = 0. Это уравнение представим в виде (z + l)(z + 3)(z - 4) = 0, откуда zi = -1; z2 = -3; г3 = 4. Ответ: z2 ~ — 3, z3 = 4. 2.77 Используя теорему Виета, имеем: ab = 1, а + Ь = -р и Ьс = 2, b + с = — q. Тогда pq - (а + Ь)(Ь + с) = Ъ2 + + ас 4- 3, откуда Ь2 + ас — pq - 3, (b - a)(b —c) = (Z>2 + + ас) - 3 = pq — 6. Итак, (Ъ — а)(Ь - с) = pq — 6. 2.78 Вычитая из первого уравнения второе, получим ах- х+ \ - а-^, или (а - 1)(х-1) = 0. Если а = 1, то каждое из уравнений примет вид
74 Часть I. АЛГЕБРА X2 4- X + 1 ~ О, а такое уравнение не имеет действительных корней. Если же а * 1, то х = 1 и, значит, 1 4- а 4- 1 = 2, т. е. а - -2. Ответ: при а = -2. 2.79 Имеем х{-х2 = 5, х{3 - х23 - 35, где и х2 - корни уравнения х2 + рх 4- q = 0. Кроме того, _ -р + p2-4q _-р- p2-4q Xj — ————— pj х2 • Итак Хр3 - x23 = (Xj - x2)(Xj2 + XjX2 + x22), или 5(Xj2 + XjX2 + Xj2) = 35, или Xj2 4- XjX2 4- x2 = 7, t. e. получим систему />2-?=7, Vp2 - 4q = 5. Решив ее, находим p=l, q=-f> и p = -l, q--6. Ответ: p-1, q=—6; p=—l, q = —6. 2.80 Имеем x4 + 5x3 4- 15x- 9 = (x2 - 3)(x2 + 3) + 5x(x2 + 3) = = (x2 4- 3)(x2 4- 5x — 3) = 0, т. e. либо x2 4- 3 = 0 (это уравнение не имеет корней), либо х2 4- 5х - 3 - 0. Поскольку дискриминант после- днего квадратного уравнения положителен, оно имеет два корня: Xj и х2, причем XjX2 = -3, Xj + х2 = -5. Легко видеть, что знаки этих корней противоположны.
ГЛАВА 3 ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УКАЗАНИЯ К СОСТАВЛЕНИЮ УРАВНЕНИЙ ПО ТЕКСТУ ЗАДАЧИ 1°. Решение задач с помощью уравнений (или систем УРарн^ций) обычно производят в такой последовательности: 1) вводят переменные, т. е. обозначают буквами х, у, z,... неиз- вестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин; 2) используя введенные переменные, а также данные в усло- вии задачи числа и соотношения между ними, составляют си- стему уравнений (или одно уравнение); 3) решают эту систему уравнений (или уравнение); 4) из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи. 2°. При решении задач на соотношения между натуральными чис- лами используют следующие утверждения: 1) если к натуральному числу х приписать справа л-значное число у, то получится число 10*х+у; 2) если а и b—натуральные числа, причем а > b и а не кратно Ь, то существует и притом единственная пара натуральных чисел q и гтаких, что а - bq + г, где г< Ь. 3°. При решении задач на движение принимают такие допуще- ния: 1) движение считается равномерным (если нет специальных оговорок); 2) скорость считается величиной положительной; 3) повороты движущихся тел и переходы на новый режим дви- жения считаются происходящими мгновенно; 4) если тело, имеющее собственную скорость и, движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость тела по течению равна и + v, а скорость против течения равна и — v. При решении задач, связанных с равномерным движением, пользуются формулами s s s=vt,t= где t— время, v — скорость, s — пройденное расстояние.
76 Часть I. АЛГЕБРА Часто при решении таких задач бывает удобно ввести систему координат tOs, где по оси абсцисс откладывают время, а по оси орди- нат — путь, пройденный телом (рис. 3.1). Тогда графиком зависимос- ти $ = vt является отрезок прямой, составляющей с осью Ot угол а, тангенс которого равен значению скорости у. 4°. При решении задач на совместную работу обычно принима- ют за единицу объем всей работы, которая должна быть выполнена. Тогда, если производительность труда, т. е. величину работы, выпол- няемой в единицу времени, обозначить через А, а время, необходи- мое для выполнения всей работы, — через t, то получается зависи- мость । А= 7- 5°. При решении задач на сплавы и смеси используют следую- щие допущения: 1) все полученные сплавы, смеси, растворы считаются одно- родными; 2) не делается различие между литром как мерой вместимости и литром как мерой количества жидкости (или газа). Если смесь (сплав, раствор) массы т состоит из веществ Л, В и С тл (имеющих соответственно массы тА, т# тс), то величину —- (со- ли та ответственно называют концентрацией вещества А (соответ- тл тв ~ ственно В, С) в смеси, а величину -^-100% (соответственно 100%, тс 100%) — процентным содержанием вещества Л (соответственно В, 0 в смеси. При этом выполняется равенство = 1 т + т + т *•
Глава 3. Применение уравнений к решению задач Группа А 77 Деление на части, отношения, проценты 3.1 Тракторист вспахал три участка земли. Площадь перво- го равна площади всех трех участков, а площадь вто- 3 4 рого относится к площади третьего как - : —. Сколько Л 3 гектаров было во всех трех участках, если в третьем было на 16 га меньше, чем в первом? 3.2 Двое рабочих за смену вместе изготовили 72 детали. Пос- ле .того как первый рабочий повысил производитель- ность труда на 15%, а второй — на 25%, вместе за смену они стали изготовлять 86 деталей. Сколько деталей из- готовляет каждый рабочий за смену после повышения производительности труда? 3.3 Площади трех участков земли находятся в отношении Известно, что с первого участка собрано зер- на на 72 ц больше, чем со второго. Найти площадь всех трех участков, если средняя урожайность составляет 18 цс 1 га. 3.4 Рабочий день уменьшился с 8 до 7 ч. На сколько процен- тов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%? 3.5 В первый день спортивных соревнований не выпол- нили зачетные нормы и выбыли из дальнейшей борь- - 1 бы -г состава команды юношей и - состава команды 6 7 девушек. В течение остального периода соревнован <й из обеих команд выбыло из-за невыполнения норм одинаковое количество спортсменов. Всего к концу испытаний не выполнили зачетные нормы 48 человек
78 Часть I АЛГЕБРА из команды юношей и 50 человек из команды девушек, но из общего количества спортсменов, выполнивших зачетные нормы, девушек оказалось вдвое больше, чем юношей. Какова была первоначальная численность команд? Отношения «больше — меньше» 3.6 Один фермер получил средний урожай гречихи 21 ц с 1 га, а другой, у которого под гречихой было на 12 га меньше, добился среднего урожая 25 ц с 1 га. В'резуль- тате второй фермер собрал на 300 ц гречихи больше, чем первый. Сколько центнеров гречихи было собра- но каждым фермером? 3.7 Два парка общей площадью 110 га разбиты на равное ко- личество участков. Участки каждого парка по площади равны между собой, но отличаются от участков другого. Если бы первый парк был разбит на участки такой же площади, как второй, то он имел бы 75 участков, а если бы второй был разбит на такие же участки, как первый, то он содержал бы 108 участков. Определить площадь каждого парка. Геометрические и физические задачи 3.8 Переднее колесо движущейся модели на протяжении 120 м делает на 6 оборотов больше, чем заднее. Если 1 окружность переднего колеса увеличить на ее дли- 1 ны, а окружность заднего — на ее длины, то на том же расстоянии переднее колесо сделает на 4 оборота больше, чем заднее. Найти длины окружностей пере- днего и заднего колес. 3.9 Кристалл, находясь в стадии формирования, равномер- но наращивает свою массу. Наблюдая формирование двух кристаллов, заметили, что первый из них за 3 мес.
Риша 3. Применение уравнений к решению задач__________79 дал такой же прирост массы, как второй за 7 мес. Одна- ко по истечении года оказалось, что первый кристалл увеличил свою первоначальную массу на 4%, второй — на 5%. Найти отношение первоначальных масс этих кристаллов. Торгово-денежные отношения ЗЛО Две шкурки общей стоимостью в 2250 руб. были прода- ны на аукционе с прибылью в 40%. Какова стоимость каждой шкурки, если от первой было получено прибыли 25%, а от второй — 50%? 3.11 В магазин привезли яблоки первого сорта на сумму 228 руб. и яблоки второго сорта на сумму 180 руб. При разгрузке привезенные яблоки случайно перемеша- лись. Подсчет показал, что если теперь продавать все яблоки по одной цене — на 90 коп. ниже цены килограм- ма яблок первого сорта, то будет выручена намеченная сумма. Сколько килограммов яблок было привезено, если известно, что яблок второго сорта было на 5 кг боль- ше, чем первого сорта? Соотношения между натуральными числами 3.12 Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же циф- рами, но в обратном порядке. Найти исходное число. 3.13 Трехзначное число оканчивается цифрой 2. Если ее пе- ренести в начало записи числа, то полученное число будет на 18 больше первоначального. Найти исходное число. 3.14 Задумано целое положительное число. К его записи при- соединили справа цифру 7 и из полученного нового чис- ла вычли квадрат задуманного числа. Остаток уменьши- ли на 75% этого остатка и еще вычли задуманное числа В окончательном результате получили нуль. Какое чис- ло задумано?
80 Часть I. АЛГЕБРА Движение: путь, скорость, время 3.15 В направлении от А к В автомобиль ехал некоторое время с постоянной скоростью Vj = 60 км/ч. Осталь- ную часть пути он проехал за такое же время, но со ско- ростью v2 = 40 км/ч. В противоположном направлении автомобиль ехал одну половину пути со скоростью v3 = 80 км/ч, а другую половину — со скоростью v4 = 45 км/ч. Какова средняя скорость рейса: а) из А в В ? б) из В в А ? 3.16 В отверстие трубы вошла одна материальная частица, а спустя 6,8 мин в то же отверстие вошла вторая частица. Войдя в трубу, каждая частица немедленно начала посту- пательное движение вдоль трубы: первая частица двига- лась равномерно со скоростью 5 м/мин, а вторая в пер- вую минуту пробежала 3 м, а в каждую следующую ми- нуту на 0,5 м больше, чем в предыдущую. За сколько минут вторая частица догнала первую? 3.17 Пешеход, идущий из дома на железнодорожную стан- цию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоз- дает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со ско- ростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от дома до станции и с какой постоянной на всем пути скоростью пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда? 3.18 Расстояние между точками А и В равно 270 м. Из А в В равномерно движется тело; достигнув В, оно сразу же возвращается назад с той же скоростью. Второе тело, выходящее из Въ А через 11 с после выхода первого из Л движется равномерно, но медленнее. На пути от В к А оно встречается с первым дважды: через 10 и 40 с после своего выхода из В. Найти скорость движения каждого тела. 3.19 Первый турист, проехав 1,5 ч на велосипеде со скорос- тью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продол-
Глава 3. Применение уравнений к решению задач________81 жает путь с первоначальной скоростью. Спустя 4 ч после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выез- жает на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого? 3.20 Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин, а затем на расстоянии 60 км наверстал потерянное время, уве- личив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную ско- рость поезда. 3.21 Мотоциклист отправился из пункта А в пункт В, отстоя- щий от Л на 120 км. Обратно он выехал с той же скорос- тью, но через час после выезда должен был остановиться на 10 мин. После этой остановки он продолжал путь до А, увеличив скорость на 6 км/ч. Какова была перво- начальная скорость мотоциклиста, если известно, что на обратный путь он затратил столько же времени, сколько на путь от А до Б? 3.22 Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 ч после отправ- ления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7 ч 30 мин раньше, чем пешеход в В. Найти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что они все время оставались неизменными. Работа 3.23 Бригада рабочих выполнила некоторое задание. Если бригаду уменьшить на 20 человек, то такое же задание она выполнит на 5 дней позже, чем при первоначальном составе, а если бригаду увеличить на 15 человек, то она выполнит задание на 2 дня раньше. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и за сколько дней они вы- полнили задание? 3.24 На одном из двух станков обрабатывают партию деталей на 3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продол-
82 Часть I. АЛГЕБРА жалась бы обработка этой партии деталей каждым стан- ком в отдельности, если известно, что при совместной работе на этих станках втрое большая партия деталей была обработана за 20 дней? 3.25 На уборке снега работают две снегоочистительные ма- шины. Первая может убрать улицу за 1 ч, а вторая — за 75% этого времени. Начав уборку одновременно, обе машины проработали вместе 20 мин, после чего первая машина прекратила работу. Сколько еще нужно време- ни, чтобы вторая машина закончила работу? Смеси, сплавы 3.26 Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т цел- люлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды? 3.27 Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г боль- ше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое ко- _ 1 личество чистого серебра, по массе равное массы чис- того серебра, первоначально содержавшегося в сплаве, то получился бы новый сплав, содержащий 83,5% сереб- ра. Какова масса сплава и каково первоначальное про- центное содержание в нем серебра? Группа Б Отношения, проценты 3.28 Одна из трех бочек наполнена водой, а остальные пус- тые. Если вторую бочку наполнить водой из первой боч- ки, то в первой останется Д бывшей в ней воды. Если 4 затем наполнить третью бочку из второй, то во второй 2 останется — количества содержавшейся в ней воды.
Риюа 3. Применение уравнений к решению задач 81 Если, наконец, из третьей бочки вылить воду в пустую первую, то для ее наполнения потребуется еще 50 ведер. Определить вместимость каждой бочки. 3.29 Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем вещества В составляет 1_ 5 сум- мы объемов веществ Л и С. Найти отношение объема ве- щества С к сумме объемов веществ Ли В. 3.30 Известно, что разность переменных величин z и у про- порциональна величине х, а разность величин х и z про- порциональна величине у. Коэффициент пропорцио- нальности один и тот же и равен целому положительно- му числу к. Некоторое значение величины z в раза больше разности соответствующих значений х и у. Най- ти числовое значение коэффициента к. 3.31 Стрелку в тире были предложены следующие условия: каждое попадание в цель вознаграждается пятью жето- нами, но за каждый промах отбирается три жетона. Стре- лок был не очень метким. После последнего (л-го) выст- рела у него не осталось ни одного жетона. Из скольких выстрелов состояла серия и сколько было удачных выс- трелов, если 10<л<20? 3.32 Для перевозки груза из одного места в другое было затре- бовано некоторое количество грузовиков одинаковой вме- стимости. Ввиду неисправности дороги на каждую -ма- шину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполага- лось, поэтому дополнительно были затребованы 4 такие же машины. Масса перевезенного груза была не менее 55 т, но не превосходила 64 т. Сколько тонн груза было перевезено на каждом грузовике? 3.33 Из молока, жирность которого составляет 5%, изготов- ляют творог жирностью 15,5%, при этом остается сыво-
84 Часть I. АЛГЕБРА ротка жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1 т молока? Геометрические и физические задачи 3.34 Квадрат и равносторонний треугольник заполнены одинаковым количеством равных кругов, касающих- ся друг друга и сторон этих фигур. Сколько кругов для этого потребуется, если к стороне треугольника при- мыкает на 14 кругов .больше, чем к стороне квадрата (рис. 3.2)? Рис. 3.2 3.35 3.36 3.37 По внутренней области угла 60е прямолинейно движет- ся материальная_точка. Выйдя из вершины этого угла, она через некоторый промежуток времени оказалась на расстоянии а от одной стороны угла и на расстоянии b от другой стороны. Далее она изменила направление дви- жения и по кратчайшему пути просто упала на ту-сторо- ну, к которой она была ближе. Найти длину пути, прой- денного точкой, если а<Ь. В некотором механизме три шестеренки разных диа- метров связаны между собой так, что большая из них касается обеих меньших, причем все три шестеренки вместе имеют 60 зубцов. Когда большая шестеренка не доходит на 20 зубцов до полных четырех оборотов, вторая и третья делают соответственно 5 и 10 полных оборотов. Сколько зубцов имеет каждая шестеренка в отдельности? Модули двух сил, действующих на материальную точку под прямым углом, и модуль их равнодействующей со-
Птава 3. Применение уравнений к решению задач 85 ставляют арифметическую прогрессию. Определить, в каком отношении находятся модули сил. 3.38 Известно, что свободно падающее тело проходит в пер- вую секунду 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м боль- ше, чем в предыдущую. Если два тела начали падать с одной высоты спустя 5 с одно после другого, то через какое время они будут друг от друга на расстоянии 220,5 м? 3.39 Мяч катится перпендикулярно боковой линии фут- больного поля. Предположим, что, двигаясь равно- мерно-замедленно, мяч прокатился в первую секун- ду 4 м, а в следующую секунду на 0,75 м меньше. Фут- болист, находящийся первоначально в 10 м от мяча, побежал в направлении движения мяча, чтобы дог- нать его. Двигаясь равномерно-ускоренно, футболист пробежал в первую секунду 3,5 м, а в следующую се- кунду на 0,5 м больше. За какое время футболист до- гонит мяч и успеет ли он сделать это до выхода мяча за боковую линию, если к линии поля футболисту надо пробежать 23 м? Торгово-денежные отношения 3.40 Красный карандаш стоит 27 коп., синий — 23 коп. На по- купку карандашей можно затратить не более 9 руб. 40 коп. Необходимо закупить максимально возможное суммар- ное количество красных и синих карандашей. При этом красных карандашей нужно закупить как можно меньше, но число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей более, чем на 10. Сколько красных и сколько синих карандашей следует закупить при ука- занных условиях? 3.41 Несколько студентов решили купить импортный магни- тофон ценой от 170 до 195 долларов. Однако в последний момент двое отказались участвовать в покупке, поэтому каждому из оставшихся пришлось внести на 1 доллар больше. Сколько стоил магнитофон?
86 Часть I. АЛГЕБРА Соотношения между натуральными числами 3.42 Цифры некоторого трехзначного числа составляют гео- метрическую прогрессию. Если в этом числе поменять местами цифры сотен и единиц, то новое трехзначное число будет на 594 меньше искомого. Если же в иско- мом числе зачеркнуть цифру сотен и в полученном дву- значном числе переставить его цифры, то новое дву- значное число будет на 18 меньше числа, выраженного двумя последними цифрами искомого числа. Найти исходное число. 3.43 При умножении двух чисел, из которых одно на 10 боль- ше другого, ученик допустил ошибку, уменьшив цифру десятков произведения на 4. При делении полученного произведения на меньший множитель для проверки от- вета он получил в .частном 39, а в остатке 22. Найти мно- жители. 3.44 Задумано целое положительное число. К его цифро- вой записи приписали справа какую-то цифру. Из по- лучившегося нового числа вычли квадрат задуманно- го числа. Разность оказалась в 8 раз больше задуман- ного числа. Какое число задумано и какая цифра была приписана? 3.45 Запись шестизначного числа начинается цифрой 2. Если эту цифру перенести с первого места на последнее, со- хранив порядок остальных пяти цифр, то вновь получен- ное число будет втрое больше первоначального. Найти первоначальное число. Движение: путь, скорость, время 3.46 Путь от Л до В пассажирский поезд проходит на 3 ч 12 мин быстрее товарного. За то время, что то- варный поезд проходит путь от А до В, пассажирский проходит на 288 км больше. Если скорость каждого увеличить на 10 км/ч, то пассажирский пройдет
Глава 3. Применение уравнений к решению задач________87 от А до В на 2 ч 24 мин быстрее товарного. Определить расстояние от А до В. 3.47 Два спортсмена начинают бег одновременно — первый из А в В, второй из В в А. Они бегут с неодинаковыми, но постоянными скоростями и встречаются на расстоя- нии 300 м от А. Пробежав дорожку ЛЯ до конца, каждый из них тотчас поворачивает назад и встречает другого на- расстоянии 400 м от В. Найти длину ЛЯ. 3.48 Юноша возвращался домой из отпуска на велосипе- де. Сначала, проехав несколько километров, он потра- тил на один день больше половины числа дней, ос- тавшихся после этого до конца отпуска. Теперь у юно- ши есть две возможности проехать остальной путь так, чтобы прибыть домой точно к сроку: проезжать ежед- невно на А км больше, чем первоначально, или сохра- нить прежнюю норму ежедневного пути, превысив ее лишь один раз — в последний день пути — на 2А км. За сколько дней до конца отпуска отпра- вился юноша домой? 3.49 Из Л в Я вышла машина с почтой. Через 20 мин по тому же маршруту вышла вторая машина, скорость которой 45 км/ч. Догнав первую машину, шофер передал пакет и немедленно поехал обратно с той же скоростью (вре- мя, затраченное на остановку и разворот, не учитыва- ется). В тот момент, когда первая машина прибыла в В, вторая достигла лишь середины пути от места встречи ее с первой машиной до пункта Л. Найти ско- рость первой машины, если расстояние между Л и Я равно 40 км. 3.50 Два велосипедиста стартовали одновременно из од- ного и того же места в одном направлении. Следом за ними, через 10 мин с того же места начал путь тре- тий велосипедист. Сначала он обогнал первого ве- лосипедиста, после чего находился в пути еще 20 мин, пока догнал второго. Начиная от самого старта и до конца пути каждый велосипедист шел
88 Часть I. АЛГЕБРА с постоянной скоростью: а км/ч — первый велоси- педист, b км/ч —второй. Найти скорость третьего ве- лосипедиста. 3.51 На реке, скорость течения которой 5 км/ч, в направ- лении ее течения расположены пристани А, В и С, причем В находится посередине между Л и С. От при- стани 2? одновременно отходят плот, который движет- ся по течению к пристани С, и катер, который идет к пристани А, причем скорость катера в стоячей воде равна v км/ч. Дойдя до пристани Л, катер разворачи- вается и движется по направлению к пристани С. Найти все те значения v, при которых катер приходит в С позже, чем плот. 3.52 Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда равна 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пас- сажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м. Работа 3.53 Обычно к выполнению некоторого задания привлека- ются одновременно два механизма. Производитель- ность этих механизмов не одинакова и при совместном действии задание выполняется ими за 30 ч. Однажды совместная работа двух механизмов продолжалась толь- ко 6 ч, после чего первый механизм был остановлен и всю остальную часть задания выполнил второй меха- низм за 40 ч. За какое время такое же задание может вы- полнить каждый механизм, работая отдельно с прису- щей ему производительностью? 3.54 Три насоса, качающие воду для поливки, начали рабо- тать одновременно. Первый и третий насосы ззакончи- ли работу одновременно, а второй — через 2 ч после на- чала работы. В результате первый насос выкачал 9 м3
Глава 3. Применение уравнений к решению задач 89 воды, а второй и третий вместе 28 м3. Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос за час выкачивает на 3 м3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачи- вают за час 14 м3? 3.55 При разгрузке баржи сначала 2 ч действовали четыре подъемных крана одинаковой мощности. Затем добавоч- но ввели в действие еще два крана меньшей, но одина- ковой мощности. После этого для окончания разгрузки потребовалось еще 3 ч. Если бы все эти краны начали работать одновременно, то разгрузка была бы произве- дена за 4,5 ч. Если бы один кран большей и один кран меньшей мощности работали совместно, то за какое вре- мя они разгрузили бы баржу? 3.56 В бассейн проведены две трубы разного сечения, одна равномерно подающая, другая — равномерно отводящая воду, причем через первую бассейн наполняется на 2 ч дольше, чем через вторую опорожняется. При заполнен- ном на у бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 ч. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая опорожняет бассейн? Смеси, сплавы 3.57 Некоторые сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в от- ношении 2:3 Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27? Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из этого сосуда выпускают неко- торое количество смеси и впускают такое же количе- ство азота, после чего опять выпускают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять добав-
90 Часть I. АЛГЕБРА ляют столько же азота. В новой смеси кислорода ока- залось 9%. Какое количество смеси каждый раз выпус- калось из сосуда? 3.59 Примеси составляют 20% от общего объема раствора. Каково наименьшее число фильтров, через которые нужно пропустить раствор, чтобы окончательное со- держание примесей не превышало 0,01%, если каждый фильтр поглощает 80% примесей? (Известно, что 1g 2 - 0,30.) 3.60 Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобож- дают его от значительной части воды. Исследования по- казали, что нектар обычно содержит около 70% воды, а полученный из него мед содержит только 17% воды. Сколько килограммов нектара приходится перерабаты- вать пчелам для получения 1 кг меда?
faaaa 3. Решения и указания Л РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 3.1 Площади участков равны х, у, х-16(га). Согласно ус- 2 3 4 ловию, х = - (х + у + х - 16) и у: (х - 16) = -: - , от- J X о 9 куда у = ~ (х- 16). Далее имеем о x=Z[2x- 16 + |х- 18), или * = |(^г~34к 5 \ 8 / j \ о / откуда х = Теперь находим у = - 1б)=Ц£ 5 о \ 5 / Э 5^ 216 Вся площадь составляет-у- + -у— 16 = 136 (га). Ответ: 136 га. 3.2 Первоначально рабочие изготовляли за смену хи 72-х деталей, а затем 1,15х и 1,25(72 - х) деталей. По условию, 1,15х + 90—1,25х=86; 0,1х = 4; х = 40; 1,15 *40 = 46. Ответ: 46 и 40 деталей. 3.3 Пусть х, у, z —площадиучастков.Тогда у = , у = ~, откуда х = 6к,у= 4к, z-Зк. По условию, (6Jt — 4А:) *13=72, откуда к =2. Значит, площадь всех участков составляет х + у + z = 2(6 + 4 + 3) = 26 (га). Ответ: 26 га. 3.4 Пусть за 8 ч работы мастер изготовлял а деталей и зарабатывал Ъ руб. Тогда расценка составляет руб. за а у деталь, а производительность труда равна деталей в о час. После увеличения производительности на х% мае-
92 Часть I. АЛГЕБРА тер стал изготовлять деталей в час. Поэто- о о * 100 деталей и заработал му за 7 ч он изготовил Согласно условию, -^(1 +т~)= l,05Z>, откуда х=20%. о \ 100/ Ответ: на 20%. 3.5 Пусть зачетные нормы выполнили х юношей и 2х де- вушек. Таким образом, первоначальная численность ко- манд составляет х + 48 юношей и 2х + 50 девушек. По окончании первого дня соревнований выбыло 7 (х + 48) юношей и -i (2х + 50) о 7 девушек. Позже еще выбыло из обеих команд одинаковое число спортсменов, поэтому 48 - j (х + 48) = 50 -1 (2х + 50), о 7 откуда х = 24. Итак, первоначальная численность ко- манд— 72 и 98 человек. Ответ: 72 юноши и 98 девушек. З.б Составим следующую таблицу: Фермер Площадь, га Урожайность, ц/ га Масса, ц Первый х 2 1 2 1х Второй х - 12 25 25 (х - 12) По условию, 25 (х- 12) - 21х= 300, откуда х= 150. Тогда 21х = 3150 (ц), а 25 (х - 12) = 3450 (ц). Ответ: 3150 и 3450 ц.
Глава 3. Решения и указания 93 3.7 Пусть 5 — площадь парка, п — число равновеликих с участков, Q — площадь участка. Тогда — = Q. Данны- п ми и искомыми значениями заполним таблицу в последо- вательности, указанной цифрами (Т), (2),@ . Парк Первоначально При новом разбиении S л Q S п Q Первый © х 108х П) по -X ПО -х 5)108 tn х ©75 X ©75 Второй (4,0-х 75(110 - х) В) х X ® 75 $°-х ©,08 НО —х Я108 По условию, 108* 75(110 —х) 110-х х откуда х = 50. Ответ: 50 и 60 га. 3.8 Длина окружности колеса С, число оборотов п и расстояние 5 связаны формулой Сл = х Таблицу значе- ний этих величин заполним в порядке, указанном циф- рами (Г), (5),..., @ . Колесо До изменения После изменения С S п С S п Переднее ©х ~120 © 120 О X 5х 5) 4 ^20 © 120’4 Л) 5х Заднее ©у -120 © 120 _6д © 5 -120 io) 120’5 й бу Согласно условию, получаем систему 120 120 _ , ~~ т-6’ 96 100 а ——* — —— 4. X у ’
94 Часть!. АЛГЕБРА откуда находим х = 4 (м), у = 5 (м). Ответ: 4 и 5 м. 3.9 Пусть годовой прирост массы х равен а; тогда, соглас- но условию, годовой прирост массы у равен у . Име- у = 0,5у => ем л = 0,4х, 1. *=2=>x:j,= 35: 12. 5 У 3 Ответ: 35: 12. 3.10 Пусть х (руб.) — стоимость первой шкурки, тогда 2250 - х (руб.) — стоимость второй шкурки. После про- дажи за первую шкурку было получено 1,25х(руб.), аза вторую 1,5 (2250 - х) (руб.). Согласно условию, состав- ляем уравнение 1,25х + 1,5 (2250 - х) = 1,4 • 2250, откуда х = 900 (руб.); значит, 2250 - х = 1350 (руб.). Ответ: 900 и 1350 руб. 3.11 Составим следующую таблицу: Сорт яблок Стоимость, руб Количество, кг Цена, руб /кг Первый 228 X 228 X Второй 180 х + 5 180 х + 5 По условию задачи имеем уравнение - 0,9 )(2х + 5) = 408, откуда после преобразований приходим к квадратному уравнению 6х2-145х- 3800 = 0.
Пава 3. Решения и указания_.________________________95 Находим его корни: 145 + 335 АЛ 145 - 335 , п , • х, =----= 40, х2 =-------12---< & (не подходит). Значит, привезли 40 кг яблок первого сорта и 45 кг яблок второго сорта, т. е. всего 85 кг. Ответ: 85 кг. 3.12 Пусть искомое число имеет вид 10х + у. Тогда по усло- вию х + у=12 (1) и 10х + у + 36 = 10у + х, т. е. х-у + 4 = 0. (2) Складывая (1) и (2), получим 2х=8, откуда х = 4, а у =8. Ответ: 48. 3.13 Пусть искомое трехзначное число имеет вид 10Qx+10y+2; тогда после перенесения цифры 2 оно примет вид 200 + 10х + у. (1) По условию, 200 + 10х + у-(100х + 10у + 2) = 18, откуда 10х + у = 20. Подставив это выражение в (1), получим’ 200 + 20 = 220. Итак, первоначальное трех- значное число есть 202. Ответ: 202. 3.14 Пусть задумано число х. Далее, следуя тексту условия, получим числа 25 10х+7, 10х+7-х2 и остаток удо(10х +7-х2).
96 Часть!. АЛГЕБРА Тогда 4 (Юх +7-х2)-х = О, или х2-6х-7 = 0. Го- 4 дится лишь значение х = 7. Ответ: 7. 3.15 а) Так как автомобиль в течение одинаковых промежут- ков времени ехал с каждой из указанных скоростей, то Vcp vi + v2 60 + 40 2 2 = 50 (км/ч). б) Обратный рейс состоит из двух равных частей пути (предположим, что каждая из них равна s км), которые пройдены автомобилем в разные промежутки времени; поэтому было бы неверно считать, что „ _ v3+ v4 80 + 45 ,, с . vcp = —— = —j— = 62,5 (км/ч). Пусть автомобиль ехал х часов со скоростью v3 и у ча- сов со скоростью v4. Тогда v3x=v4y = j, откуда х = Следовательно, средняя скорость 2s V = -------- СР Х + у 2у4У 2у3у4 М+у ”з + ”4 у3 +У 2-80-45 125 57,6 (км/ч). Ответ: а) 50 км/ч; б) 57,6 км/ч. 3.16 Пусть t — время (в минутах), за которое вторая частица догнала первую. Расстояние, пройденное второй части- цей, равно сумме t членов арифметической прогрессии, у которой J=0,5; следовательно, 2а.+ </(/-1) 6 + 0,5(Z — 1) S= ------2-----' =------1----'• То же расстояние, пройденное первой частицей, соста- вит 5(6,8 + /) = 34 + 5t. Итак, / = 34 + 5^ откуда t- 17 (мин). Ответ: за 17 мин.
Глава 3. Решения и указания 97 3.17 Составим следующую таблицу: Пешеход пришел бы на станцию Расстояние, км Скорость, км/ч Время, ч Точно X V ' X V С опозданием х-3 3 х-3 3 С опережением х-3 4 х-3 4 Уравнивая промежутки времени, записанные в первой и второй, в первой и третьей строках, получаем систему уравнений х_1 . х-3 2 х . . х-3 , 1 7-1+ — “з’ ?"1+— + 4’ или х— 2 х+2 3 ” 4 ’ откуда х = 14. Итак, х = 14 км, v = 3,5 км/ч. Ответ: 14 км; 3,5 км/ч. 3.18 Удобная модель задачи — график равномерного движе- ния в системе координат «путь» (з — в метрах), «вре- мя» (/ в секундах). Пусть АС (рис. 3.3) — график дви- жения из А в В первого тела со скоростью =tga (ось времени At); CD — график движения из В в А того же тела с той же скоростью Vj = tg а (ось времени Bf); EF — график движения второго тела из В в Л со ско- ростью v2 = tgР, р<а (осьвремени Bf). Промежуток времени BE =11, промежуток времени до первой встречи ЕН= 10, между первой и второй встречами ЯАГ=30; тогда 7VAf=21vp НМ = 10v2, KF= 40v2, NM+ НМ= АВ= 270, т. е. 21 Vj + 10v2 = 270. (1) 4 Синят
98 Часть I. АЛГЕБРА НМ 10v, Промежуток времени НС = —> промежуток ч ч времени СК= = Так как НС + СК= 30, то ч ч 10v2 40v2 = 30, откуда 5v2 = 3vr (2) Решая совместно уравнения (1) и (2), находим v, = 10 м/с, v2 = 6 м/с. Ответ: 10 и 6 м/с. 3.19 Примерный график движения изображен на рис. 3.4. Пусть t — время (в часах), за которое второй турист догонит первого. Так как v,M= 16 км/ч, Vmot = 56 КМ/Ч> Т0 $вел = (2,5 +/) • 16, Отсюда 56/= 16/+ 40, т. е. /= 1 (ч). Итак, j=56km. Ответ: 56 км.
Ргава 3. Решения и указания 99 3.20 Пусть скорость поезда до задержки равна х км/ч, а после нее (х + 15) км/ч. Тогда (рис. 3.5) С£=60, CD=60- 60-| ЛР= — лг 60 ЛЕ х + 15 * ° 60- Так как BD-AE, то - Рис. 3.5 60 = х+ 15 ’ откуда х = 60 (км/ч). Ответ: 60 км/ч. 3.21 По условию, ЯС= CD (рис. 3.6). „ 120 Имеем АС — —, где х — первоначальная скорость; 1 . 1 . 120 -х тт CD = 1 + -7 + ——7—. Итак, 6 х+ 6
100 Часть 1. АЛГЕБРА 120 _ 7 , 120 —х V “б Т+б“ ’ 0ТКУда х = 48 (км/ч). Ответ: 48 км/ч. 3.22 Таблицу значений скорости, пути и времени заполним в порядке, указанном цифрами (Т), (5),..., ©: Турист До встречи После встречи скорость, км/ч время, ч путь, км скорость, км/ч время, ч пуп», км Пешеход X э 2 Э 2х э X ® .... 40 -2х 40 -2х Э Велосипедист © 20 -х У 2 а 40 -2х © 20 -х ®2х 12) 2х 20-х По условию, 40 — 2х 2х _ 15 х 20-х 2 ’ откуда х = 4(км/ч). Ответ: 4 и 16 км/ч. 3.23 Пусть х рабочих выполнили задание за у дней; тогда по условию ху = (х - 20)(у +5) и ху = (х + 15)(у - 2). Запишем оба равенства в виде пропорций: х-20 _ у х + 15 = у х " у + 5 и х у- 2 ’ Каждую пропорцию вида — заменим равносильной b а а — b с — d —, пропорцией вида ——. Тогда получим -20 -5 15 2 ----=----и —--------. х у + 5 х у-2
Глава 3. Решения и указания 101 Теперь легко находим, что х=60 и 10. Итак, в бри- гаде было 60 человек, которые выполнили задание за 10 дней. Ответ: 60 рабочих; 10 дней. 3.24 Время (/), количество работы, выполняемой в единицу времени, т. е. производительность (ИО, и весь объем работы (И) связаны соотношением V= Wt. Примем V= 1 и заполним следующую таблицу: Станок Время, дни Объем работы Производительность Первый X 1 1 X Второй X -3 1 1 х -3 Оба шесте 20 3 3 20 Так как при совместной работе станков их производи- 1 1 ч тельности складываются, то - + —-— = — , откуда х х—3 20 х= 15. Ответ: 15 и 12 дней. 3.25 Весь объем работы примем за единицу. Производи- тельность первой машины равна 1 (за 1 ч),. второй 1: ~ j (за 1 ч). Работая вместе ч, они выполнят 1 14 7 t * * + Ч * т = а всей Pa6°™- Тогда на долю одной в* о- 9 рой машины останется ~ работы, для чего потребуется М = 1(ч). 9 3 6 ' ’ Ответ: 10 мин.
102 Часть!. АЛГЕБРА 3.26 В целлюлозной массе содержится 0,85*500 = 425 кг воды. Пусть выпарено х кг воды; тогда получим 425 - х = 0,75(500 - х), откуда х = 200 (кг). Ответ: 200 кг. 3.27 Составим следующую таблицу: Сплав Масса, г серебра меди Первоначальный X х-1845 Новый 4х 3 х-1845 Используя условие, получим уравнение = 0,835^+ х- 1845), или 4х = 0,835(7х - 5535), откуда 4х = 5,845х - 0,835 • 5535; Г,845х = 0,835 • 5535. о 0,835*5535 Значит, х = —— = 2505 (г). Таким образом, масса первоначального сплава равна 2505 + 2505 - 1845 = 3165 (г) ив этом сплаве содержит- ся • 100% == 79% серебра. 3165 Ответ: 3165 г; -79%. 3.28 Пусть х — вместимость первой бочки; тогда вмести- 1 мость второй равна ух, а третьей 4 — • — х = — х. По ус- 4 9 12 7 лови.о, “-х+ 50 = х, откуда х= 120. Итак, вместимо- сти бочек составляют 120, 90 и 70 ведер. Ответ: 120, 90 и 70 ведер.
Глава 3. Решения и указания 103 3.29 По условию, 2КЛ= Кв + Vc и 5ИВ= Кл + Vc. Пусть VA = xVc и VB = у Vc. Тогда получим систему |2х-у = 1, |-х + 5у= 1, откуда х = , у = J . Следовательно, Ответ: 1. 3.30 Указание. Записать условие в ваде системы трех урав- х У нений. Из первых двух уравнений выразить — и — через к, а затем подставить полученные выражения X у — и в третье уравнение и вычислить искомое зна- чение к. Ответ: 3. 3.31 Пусть было т попаданий, а значит, п — т промахов. Тогда 5т - 3(л — т) = 0, или 8/л = Зл, откуда т = . о Так как тип — натуральные числа, то п должно быть кратно восьми. В интервале 10 < п < 20 пригодно лишь значение п - 16. Итак, произведено 16 выстрелов, из ко- торых 6 удачных. Ответ: 16 и 6 выстрелов. 3.32 Пусть масса перевезенного груза составляет хтонн, а число машин равно п. По условию, х = (—— Д(л + 4), или л2 + 4л-8х=0, \п 21
104 Часть I. АЛГЕБРА откуда п = 2(-1 + V 1 + 2х) (п — натуральное). В интервале 55 < х < 64 подходит только х — 60. Тогда п = 2(-1 + 11) = 20. Итак, было 24 машины, на каждую из которых грузили по 60:24 = 2,5 т. Ответ: 2,5 т. 3.33 Пусть получено х тонн творога жирностью 15,5%; тог- да останется 1 — х тонн сыворотки жирностью 0,5%. Следовательно, в 1 т молока содержится 15,5х 0,5(1 — х) _ 15х+0,5 100 + 100 100 т ЖИ₽а’ л 15х + 0,5 5 „ , , ч По условию, —iQQ - jog , откуда х = 0,3 (т). Ответ: 300 кг. 3.34 Пусть к стороне квадрата примыкает п кругов; тогда всего имеется п2 кругов. К стороне треугольника примыкает л + 14 кругов; значит, в треугольнике содержится 1 + 2 + ... + (л + 14) = + кругов. По условию, п 2 = + ЛХл-+..-1-4)> откуда л = 35. Итак, каждая фигура содержит по 1225 кругов. Ответ: 1225 кругов. 3.35 Длина пути, пройденного точкой, равна сумме длин отрезков ОА и АВ~ а (рис. 3.7). Имеем sin a sin(60* - а) ’ Отсюда находим
Глава 3. Решения и указания 105 Рис. 3.7 sin (60° - а) _ Ь_. sin а ~ а ’ sin 60* cos а - cos 60е sin а _ b sin а а 2^ctga-| = -; ctga=-^±=-_ 2 la а\3 Используя формулу . ? 1 sin2 а = . . • 2— 1 + ctg2 а получим V3 а sin а = и ----- V д + ab + Z> Итак, искомая длина составляет Л . а __ 0 J а2 + ab + Ь2 а + —------= а + 2 V------------------ sin a i 3 Ответ: а + 2-J Д2 + + &2 ’ 3 3.36 Пусть х, у, z — числа зубцов трех шестеренок, причем х>у> z и х + у + z - 60. (1) Так как шестеренки сцеплены, то за время их вращения придет в соприкосновение одинаковое число зубцов каж- дой шестеренки, т. е.
106 Часть I. АЛГЕБРА 10z=5y = 4x-20 (2) Решив систему уравнений (1), (2), находим х = 30, у = 20, z = 10. Ответ: 30, 20, и 10 зубцов. 3.37 По условию, а1 + (а + d)2 = (а + 2d)2, т. е. 3d2 + 2ad — а2 = 0. Пусть d= ак(к> 0); тогда За2к2 + 2агк-а2~ 0, откуда ЗА:2 4-2fc-1 = 0. Годится лишь корень к = . Находим искомые отно- шения: = 1 + 1; = 1+2-^ = 1. а а 3 а а 3 Ответ: 3:4:5. 3.38 Указание. Воспользоваться известной из физики формулой s = 4,9 t2. Ответ: через 7 с после начала падения первого тела. 3.39 Указание. Воспользоваться формулой 5 = vt 4- at2, где v и а —постоянные. Их значения можно вычислить из следующих условий: для мяча 5(1) = 4, 5(2) = 7,25; для футболиста 5(1) - 3,5, 5(2) = 7,5. Вместо указанной формулы можно использовать также формулу суммы п членов арифметической прогрессии, полагая, что иско- мое число t = п — целое. Ответ: Через 5 с; успеет догнать мяч за 0,5 м до линии поля. 3.40 Пусть было куплено х красных и у синих карандашей. По условию, 27х+ 23у < 940 и у-х < 10. Построим прямые
1)1ава 3. Решения и указания 107 21 х + 23у = 940, (1) у- х= 10. (2) Из рис. 3.8 видно, что эти прямые пересекаются в точке А, координаты которой удовлетворяют уравнениям (1) и (2), и при этом достигается максимально возможная сумма х + у. Решив систему (1), (2) и учитывая, что чис- ла х и у — натуральные, получаем х — 14, у = 24. Ответ: 14 красных и 24 синих карандаша. 3.41 Пусть х — первоначальное число студентов, р — сто- имость магнитофона. Тогда — это сумма, которую каждый студент должен был внести первоначально, а “ сумма, которую внес каждый из покупателей магнитофона. Используя одно из условий задачи, полу- чаем уравнение -2__________£ = 1 х- 2 х ’ откуда
108 Часть I. АЛГЕБРА р(^2-|)=1;^ .2 =х.р=х£-1) х(х—2) 2 Теперь воспользуемся другим условием: 170 < Х(Х ~ 2) <195; 340 < х2 - 2х < 390; 341 < (х—I)2 < 391; 18,5 < х-1 < 19,8. Так как число х- 1 должно быть целым, то х- 1 = 19, 20*18 т. е. х=20. Значит, магнитофон стоил —~ 180 долларов. Ответ: 180 долларов. 3.42 Искомое число имеет вид 100х + 10y + z, где х, у, z образуют геометрическую прогрессию, т. е. xz = y2. (1) Согласно условию, имеем: 100г + 1 Оу + х = ЮОх + 1 Оу + z - 594, откуда x-z=6; (2) 10у + z = Юг + у + 18, откуда у-г=2. (3) Системе уравнений (1), (2), (3) удовлетворяют х= 8, у = 4, z = 2. Искомое число есть 842. ответ: 842. 3.43 По условию, х(х + 10) — 40 — 22 = 39х, где х — иско- мый меньший множитель. Отсюда находим х=31 и х+ 10 = 41. Ответ: 31 и 41.
Глава 3. Решения и указания 109 3.44 Пусть было задумано число х, тогда, приписав к не иу справа цифру у, получим число 10х + у. Согласно усло- вию, 10х + у - х2 = 8х, откуда х2 - 2х- у = 0, т. е. х = 1 ± V 1 + у. Возможные значения у таковы: 0; 3; 8. Следовательно, задуманное число есть 2, или 3, или 4. Ответ: задумано число 2, 3 или 4; приписана соответственно циф- ра 0, 3 или 8. 3.45 Первоначальное шестизначное число имеет вид 2 • 105 + х. После перенесения цифры 2 на последнее ме- сто получим число 10х+2. Согласно условию, 10х + 2 = 3(2 • 105 + х), откуда х = 85 714. Итак, перво- начальное число есть 285 714. Ответ: 285 714. 3.46 На рис. 3.9 изображены графики движения поездов до изменения скоростей. Находим tg Z_MCN= v <0>пас - 288 : 3,2 = 90 (км/ч). Пусть v<0)тов = х км/ч; тогда АВ = NL = xt км; CD = 90(Г - 3,2) = х/, откуда 288 ' 90 - х ‘ <1)
110 Часть I, АЛГЕБРА После изменения скоростей имеем v(1)nac = 100 км/ч, v<1)tob ~ х + Ю км/ч. По условию, xt __ х/ х+10 100 = 2,4. (2) Решив систему уравнений (1) и (2), получим х = 50 км/ч, t = 7,2 ч. Таким образом, АВ = xt = 50 • 7,2 = 360 (км). Ответ: 360 км. 3.47 На рис. 3.10 изображены графики бега двух спортсменов. Рис. 3.10 Пусть AS = хм, Си D- точки первой и второй встреч. Если Vj и v2 - скорости первого и второго спортсме- нов, то 300 х - 300 V1 V2 (1) За время, прошедшее между встречами (KL), спортс- мены пробежали: первый (х - 300) + 400 = х + 100 м; второй 300 + (х - 400) = х - 100 м. Следовательно, х+100 х—100 V1 V2 (2)
ГЬава 3. Решения и указания Ш Из (1) и (2) получаем х + 100 _ х- 100 300 х - 300 ’ откуда х = 500 (м>. Ответ: 500 м. 3.48 Пусть отрезок АВ (рис. 3.11) изображает весь путь юно- ши и количество дней (х), за которые он должен про- ехать его при норме v км в день. По условию, отрезок времени АС на единицу больше половины отрезка времени СВ; следовательно, 7 день С Рис. 3.11 .СВ . СВ АС- 1 = —, или х- СВ- 1 =“2“, 2 г _ 2 откуда СВ = —-—дней. Примем за единицу путь, изображенный отрезком СВ. Тогда, согласно первому варианту, ±(v + h) = 1, а согласно второму, - 1) v + (у + 2Л) • 1 = 1. Исключив из этих двух уравнений у, находим х = 4. Ответ: за 4 дня. 3.49 Рассмотрим систему координат «путь» (5 — в километ- рах), «время» (/—в часах). Пусть АС (рис. 3.12) — гра- фик движения первой машины с искомой скоростью v = tga; DE и EF — график движения «туда—обратно» второй машины со скоростью tg/3 - 45; AD — . Изве- О
112 Часть I. АЛ ГЕ РА стно, что АВ = 40 и G —• середина пути АН. Пусть у у AG = NK=y. Тогда промежуток времени = h- ЬО Р */ Геометрически ясно, что DK= KL = LM, поэтому промежуток времени движения первой машины 1 Зу ЛЛ/= j +45 , откуда (1) Промежуток времени AL = j- , LE— АН = 2у, по- этому (2) Решив совместно уравнения (1) и (2), находим у = 15 км и v = 30 км/ч. Ответ: 30 км/ч.
ГЬава 3. Решения и указания 113 3.50 Графики движения велосипедистов изображены на рис. 3.13. Выразим пройденные ими расстояния: для первого АВ а\ для третьего АВ = xv, где v — искомая скорость; Имеем систему уравнений относительно х и v. 1 Г~2 2 Исключив х, находим v = — (a + 3b + y]a -10ab+b ). 4 Ответ: т(а + 36 + № -10аЬ + Ь2) км/ч. 4 3.51 Указание. Принять АВ — ВС за единицу и решить неравенство_1_+_2_>1 гда у>5 v-5 v+5 5 Ответ: 5<v<15.
114 Часть 1. АЛГЕБРА 3.52 Указание. Условие задачи равносильно тому, что встречный поезд стоит, а пассажир мчится мимо него со скоростью, равной (v +40) км/ч, где v — искомая ско- рость. Ответ: 50 км/ч. 3.53 Весь объем работы примем за единицу. Пусть первый механизм выполняет задание за х часов, а второй — за у часов. Так как при совместной работе мощности (производительности) складываются, то имеем систему уравнений 1+1=1, х у 30 1 -6 р. +lj = 40. У1 у Решив ее, находим х = 75 ч, у = 50 ч. Ответ: за 75 и 50 ч. 3.54 Пусть первый и второй насосы выкачивают за час соот- ветственно х и у м3, тогда третий выкачивает за час (х + 3) м3. Второй и третий насосы выкачали соответ- ственно 2у и (28 - 2у) м3 воды. Первый насос работал ~ часов, третий часов. Согласно условию, -= и 2х + у+3= 14. X х + 3 Решив систему уравнений, находим х = 3, у = 5. Ответ: 3, 5 и 6 м3. 3.55 Весь объем работы примем за единицу. Пусть для ее вы- полнения крану большей мощности нужно х часов, кра- ну меньшей мощности — у часов, а при совместной ра- боте одного крана большей и одного крана меньшей мощ- ности — z часов. Тогда соответствующие производитель-
Глава 3. Решения и указания 115 ности равны —, — и —. По условию, х у z 4 +2 = _!_• 1 + 1 = 1 х у 4,5’ х у z* Решив эту систему, находим х = 24, у = 36, z = 14,4. Ответ: за 14,4 ч. 3.56 Значения искомых и заданных величин запишем в виде таблицы: Труба Время, ч Вместимость Производительность Подающая X 1 1 X Отводящая х + 2 1 1 х + 2 Обе вместе 8 1 1 24 По условию,-------!— =~ , откуда х = 6. х х + 2 24 Ответ: за 6 и 8 ч. 3.57 Пусть взято х частей первого металла и у частей вто- 1 7 17 35 рого. Тогда ~ х + — у — — (х + у), откуда у — ^х. 3 5 44 9 Ответ: 9 и 35 частей. 3.58 Первоначально в сосуде содержалось 16 • = || л кислорода. Выпущенные хл смеси содержат =|| л кислорода. Теперь в сосуде на 8 л смеси приходится
116 Часть I. АЛГЕБРА ——— л кислорода, что составляет (16 - 2х)%. Вто- рично выпущенные хл смеси содержат (16 - 2х) = (8 - х) л кислорода. Согласно условию, 32-4х (8-х)х 8 25 50 9 *100’ откуда Xj = 2, х2 = 14 (не подходит). Ответ: 2 л. 3.59 Примеси составляют раствора. После первой фильт- /1 \2 рации останется примесей, а после Л-й фильтра- ции — 1-11 примесей. По условию, (-1 < 10 , —(к + 1 )lg5 < -4, откуда к > 4,7. Ответ: 5 фильтров. 3.60 Пусть 1 кг меда получается из х кг нектара; После удале- ния воды из нектара останется 300 г прочих веществ на каж- дый килограмм, а после удаления воды из меда — 830 г на килограмм. Имеем ЗООх = 830, откуда х ~ 2,77 кг. Ответ: « 2,77 кг.
ГЛАВА 4 ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента (здесь и в дальнейшем запись п € Z означает, что п — любое целое число) sin2x + cos2x = 1; (4.1) sinx „ ™ » х*-х(2л+ 1), п € Z; (4.2) cosx 2 „ cosx „ ctg х - . , х л'л, п € Z (4.3) sinx лгл „ tgх* ctgх = 1, х# у, п € Z; (4.4) 1 + tg2 х = —, х * % (2п + 1), л € Z; (4.5) cos2 х 2 1 + ctg2 х — , X 5й лп, пЕ Z. sin2x (4.6) Формулы сложения sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у\ (4.7) sin (х — у) = sin х cos у — cos x sin y; (4.8) cos(x + y) = cosx cosy- sinx sinx (4.9) cos (x - y) = cos x cos у + sin x sin y; (4.10) tg(x + >')= ® х,у,х + у^- + яп, n^Z; & A> Ig у (4.11) tg(X-/)= 1+t t . x,y,x-y* +яп, nez. (4.12)
118 Часть I. АЛГЕБРА Формулы двойного аргумента sin 2х = 2sin х cos х; (4.13) cos 2х - cos2 х - sin2 х = 2cos2 х — 1 = 1 - 2sin2 х; (4.14) tg 2х -; 2 , х # - + - к, k€Z,x*- + лп, nG Z. 1 - tg2 х ’ 4 2 2 (4.15) Формулы половинного аргумента (для синуса и косинуса — формулы понижения степени) sin2x=bLc^x 2 2 (4.16) X _ 1 + COS X cos2 т ~ —i ; 2 2 (4.17) . x _ sinx 1 - cos x - tg _ ' - , x^ л + 2лп, n € Z. 2 1 + cos x sm x (4.18) Формулы преобразования суммы в произведение - . x + y x-y sin x + sm у - 2sm cos 2 * (4.19) _ x + y . x-y sin x - sin у = 2cos 2 sm 2 J (4.20) , x+y x-y cos x + cos у - 2cos 2 cos 2 * (4.21) - . x + y , x-y cos x — cos у = -2sm sm ; (4.22) sin (x + y) л tgx + tgj/-cos;tco-sj;, х,у^-+я„, neZ', (4.23) sin (х — у) t^-tgT’-cosxcosy- + ntz. (4.24)
Глава 4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 119 Формулы преобразования произведения в сумму sin x sin у — -i (cos (x - y) - cos (x + y)); (4.25) cos x cos у = i (cos (x - y) + cos (x + y)); (4.26) sin x cos у = -i (sin (x - y) + sin (x + y)). (4.27) Соотношения между sinx, cosx и tg — z 2tgi sin x -----, x * (2л + 1)*, л € Z; (4.28) 1 +tg2j 1 A 1 X 1-tg2- cos x =-----7-, x # (2n + 1)jt, n^Z. (4.29) l+tgJJ Формулы приведения Название функции не изменяется Название функции изменяется на сходное - a я — a л +a Ml Я 1 Р Ml Я + Q Зя y-« Зя y+ a sin -sin a sin a -sin a cos a cos a -cos a -cos a cos cos a -cos a -cos a sin a -sin a -sin a sin a tg -tg a -tg a tg a ctg a -ctg a ctg a -ctg a a Ф ^(2л+ 1)> n a # яп, n ^Z ctg -ctg a -ctg a ctg a tg a -tg a tg a -tg a a * ял, neZ a *?(2i+l), nsZ
120 Часть I. АЛГЕБРА Группа А Доказать тождества (4.1 -4.14): 4.1 [ Н--------h tg 2а I (1-— + tg 2a2tg 2a. \ cos 2a I \ cos 2a / tg 2a + ctg 30 _ tg 2a 4,2 ctg 2a + tg 30 tg 30 * j л . , , . „ .. a . . 1 la 4.3 sin 4a - sin Sa - sin 6a + sin la = -4sin - sin a sin —. 2 2 4.4 —— + —- = ctg sin a tg a 2 . _ _ _ 11 /5я \ 4.5 2sin2 (Зя - 2a)cos2 (5я + 2a) = sin I — ~8aj. 15л \ cos I-у — 6a I + sin (я + 4a) + sin (Зя - a) 46 “7^—\------------------------------~=t8a- sin (у + 6acos (4a — 2я) + cos (a + 2я) 4.7 (cos a — cos 0)2 + (sin a - sin 0)2 = 4sin2 — 4.8 cos2 (a - 90е) + ctg2 (a - 270е) = = ",/ - cos2 (a + 180“). sin2 (a + 90°) . n . ,/7я \ . э/9я \ sin 4a 49 sin2|y- 2a)-sm2(y-2a) = -^. 4.10 cos2 (45е - a) - cos2 (60° + a) - cos 75е sin (75е - 2a) = sin 2a. ctg2 2a — 1 4.11 —2ctg 2a '“ ~ cos 8a ctg 4a = sin 8a. 4 12 (s*n2 a + tg2 a + l)(cos2 a — ctg2 a + 1) __ (cos2 a + ctg2 a + l)(sin2 a + tg2 a - 1) 4.13 sin6 a + cos6 a + 3sin2 a cos2 a = 1.
DiaBa 4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 121 ctgly + a I tg (2л — 2а) 4.14 —:— ctgly -2al-tga Упростить выражения (4.15-4.24): . . /а \ 0 а 4.15 1 - sm - - Зя - cos2 - 4- sm2 - \2 / 4 4 4.16 sin2/^ 4- 2/Й- sin2/— - 2/Й. \ J \ X / л (1 - cos 2а) cos (45е + а) 4.17 . 2sin2 2а - sin 4а (я а\ [л а\ а 4.18 cos z- т sin -х - -г sin-т . \6 4/ \3 4/ 4 4.20 2cos2 За + л| 3 sin 6а - 1. ^4» a ♦ *4, 1 / / '•А' 1 । / *» . *4» II • cos - + sin -1 {cosi--------------------14“ cost- 4- - |)sma
122 Часть I. АЛГЕБРА Преобразовать в произведение (4.25—4.32): 4.25 sin 4а - 2cos2 2а + 1. 4.26 tg | +ctg + 2. 4.27 -Ц-------- cos* a sm* a л л\ ,/ Зя \ 4.28 sin2I- - -I- cos2la ). 4.29 1 + cos(^ + За) - sin (у - За) + ctg (у + За, 4.30 sin 10а sin 8а + sin 8а sin 6а - sin 4а sin 2а. 4 31 s*n На + s*n 14а + sin 15а + sin 16а cos 13а + cos 14а + cos 15а + cos 16а 4.32 3 + 4cos 4а + cos 8а. Доказать справедливость равенств (4.33-4.34): 4.33 (sin 160е + sin 40e)(sin 140е + sin 20е) + + (sin 50е - sin 70e)(sin 130е - sin 110е) = 1. л ~ cos 28е cos 56е cos 2е cos 4е V3 sin 38е sin 2е sin 28е 4sin 2е sin 28е Вычислить (4.35-4.38): 4.35 tg 435е + tg 375е. если tg a = 0,2. 4.36 3 + 4cos 2a ’
Глава 4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 123 4.37 sin 2а, если sin а — cos а = р. 4.38 2 - 13 cos 2а + , если ctg а = — . sm 2а 5 4.39 Дано: ctg а = - , ctg р = - , 0 < а < - , 0 < 0 < ^ . 4 7 2 2 Найти а + р. 2 4.40 Найти ctg 2а, если известно, что sin (а - 90*) = ~ и 270* < а < 360*. 4.41 Доказать, что если а и р удовлетворяют неравенствам 0<a<p0< 0<^Htga = 5,ctg£ = |,Toa+£ = ^. 4.42 Величины а, Р,у составляют арифметическую прогрес- сию. Доказать, что sin а - sin у ------------= Ctg/?. cos у— cos a 4.43 Дана дробь 5 1 + \з2с«к4 15’— 10 — 8 Уз ' Преобразовать подкоренное выражение к более просто- му виду, после чего дробь сократить. tyynna Б Доказать тождества (4.44-4.57): 4.44 tg 2a + ctg 2a + tg 6a + ctg 6a = . sm 12a
124 Часть I. АЛГЕБРА едЧ2»-д> 3cosi(S».U. = 4sin(— — 2aj sin(~ + 2a V \6 / \6 / sin2^-^ -a)(tg2a - 1) ctgta - —j 4-47 ------------2/5я \ ----~ = 2' sin2 — + a \ 4 / 1 4.48 4.49 ctg(4a — — )+ \ 2 / cos (4a - Зя) 3 - 4cos (4a - Зя) - cos (5я + 8a) = 8cos4 2a. 4.50 cos6 a cos2 a 4.51 x 7 , x 2 a 2cos (B - a) , _ ctg2a + ctg2/?------:~ -n- + 2 = sm a sin p sin2 (a - P) sin2 a sin2 ft * 4.52 sin 6a 4- sin 7a 4- sin 8a 4- sin 9a cos 6a + cos 7a 4- cos 8a + cos 9a 15a =t8T- 4.53 1 4- cos (2a — 2я) 4- cos (4a 4- 2я) — cos (6a — я) _ cos (2я — 2a) 4- 2cos2 (2a 4- л) — 1 ^C0S cos 4.54 = tg4a. 4.55 , . . r 5 + 3cos 4a cos6 a + sin6 a =----------- 4.56 ctg (30е - a) ctg (150’ - a) ctg (270’ + a) = tg 3a. 4.57 16sin5a - 20sin3 a + 5sin a = sin 5a.
Глава 4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 125 Упростить выражения (4.58-4.66): J cos 2а 4.58 V —2—;90 < « < 135 • I ctg2 а — tg2 а cos 2а - cos 6а + cos 10а - cos 14а 4 59 -------------------------. sin 2а + sin 6а + sin 10а + sin 14а « (1 + cos 2а)(1 + cos 4а) 4.62 cos4 2а - 6cos2 2а sin2 2а + sin4 2а. М6В.--.«355- tg 795е+ tg 735е 4 & 3cos2 (а + 270е) - sin2 (а - 270е) 3sin2 (а - 90е) - cos2 (а + 90е) 4.65 sin2 (135е - 2а) - sin2 (210е - 2а) - sin 195е cos (165е - 4а). 15я \ ,15л \ . 17л \ 4.66 sin + 4aj-sin6 + 2а]+ cos6|—- 2aJ. Преобразовать в произведение (4.67-4.73): 4.67 sin 4a + 1 — 2cos2 2a. 4.68 1+ sin - - 1/1 — sin - , где 0 < a < 180е. I 2 ! 2 sin2 (a + /?) - sin2 a - sin2 P sin2 (a + P) - cos2 a - cos2 p ’
126 Часть I. АЛГЕБРА 4.70 1 - sin2 а - sin2/? + 2sin а sincos (a -fi). 4.71 2sin2 2a + sin 4a — 4tg2a (I - tg2 2a) sin 8а (1 + tg2 2a)2 ’ 4.72 1 - cos (я - 8а) - cos (я 4- 4а). 4.73 77^—.----г - tg а + sin/ - + а) - cos /а 2tg(^ + a)cos^+a) '2 ’ 1 Доказать справедливость равенств (4.74-4.78): . _. cos 64е cos 4е - cos 86° cos 26е 4.74 ----------------------------= — 1. cos 71 ’cos 4 Г - cos 49’ cos 19’ 4.75 ctg 10’ ctg 50’ ctg 70’ = ctg 30’. 4.76 sin 20’ sin 40’ sin 60’ sin 80’ = — . 16 4.77 tg 9’ + tg 15’ - tg 27’ - ctg 27’ + ctg 9’ + ctg 15’ = 8. 1 <3 4.78 = 4. sin 10 cos 10 Вычислить (4.79-4.81): 4.79 Зя 6я cos — cos — . /5я \ /5я \ /Зя , \ 3 4.80 tg^y + xj+tgly-xl, если tg^-y+xj=-. 4.81 sin и cos если sin a + sin^ = ~ > cos a + + cos В = < a < Зя и -— < p < 0. H 652 2
Глава 4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений 127 4.82 Пусть A, С — внутренние углы треугольника. Дока- зать, что tg^tg^+tg^tg^+tg^tg^ = l. 2 2 2 2 2 2 л „ sin (а + В) р тт „ А о 4.83 Известно, что —— -. Найти ctgр. sm(a-0) q 4.84 Проверить, что tg 20* + 4sin 20е = УТ. 4.85 Найти значение tg если sin х - cos х = 1,4. 4.86 Известно, что sin а - cos а = п. Найти sin3 а — cos3 а. 4.87 Найти cos 2а, если известно, что 2ctg* 2 а + 7ctga + 3 = 0 . Зя . , 7я и число а удовлетворяет неравенствам: а) — < а < — ; 7я б)— <а<2л. 4 4.88 Доказать, что выражение 1 - 2sin2 (а — ^)+ cos + у | sinl- - 2а | \6 / лп л не зависит от а, где а *— + —. 2 12 4.89 Известно, что sin а + sinjfl = 2sin (а +/?), а +/? * 2ял (п € 2). Найти tg tg . 4.90 Показать, что если р постоянно, то функция _ . pcos3 а - cos За psin3 а + sin За cos а sm а также является постоянной.
128 Часть I. АЛГЕБРА РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 4.1 Перегруппировав слагаемые и используя сначала фор- мулы (1.8) и (1.9), азатем (4.5), получим (1 + —-т- + tg 2а)(1 - ~—— + tg 2а) = \ cos 2а /\ cos 2а I / 1 \/ 1 \ = (1 + tg 2а) +---— (1 +tg2a) -------— = V cos 2a/\ cos 2a/ = (1 + tg 2a)2----= 1 + 2tg 2a + tg2 2a-----= cos2 2a cos2 2a = 2tg 2a + tg2 2a - tg2 2a = 2tg 2a. 4.2 Вынесем за скобки в числителе tg 2a, а в знаменателе tg 3/3 и воспользуемся формулой (4.4): tg 2a + ctg 3 _ tg 2a (1 + ctg 2a ctg 3/3) _ tg 2a ctg2a+tg3/3 tg 3/3 (ctg2a tg 3/3 + 1) tg 3/3 ’ 4.3 Обозначив левую часть тождества через Л, сгруппируем члены так: А = (sin 4a - sin 6a) + (sin la — sin 5a). Теперь воспользуемся сначала формулой (4.20), а затем (4.22): А = -2sina cos 5a + 2sina cos6a = 2sina (cos 6a — cos 5a) = . . . Ila . a = - 4sm a sin — sin — , 2 2 что и требовалось установить. 4.4 I способ. Воспользуемся формулами (4.2), (4.18) и (4.4): 1 cos а 1 + cos a 1 а ----4- -----= ----------= -----= ctg - . sin a sin a sin a t a 2
Глава 4. Решения и указания 129 II способ. Используя формулы (4.28), (4.15) и (4.4 находим 1 1 —:-----ь -— sin a tg а l + tg* I 2 * *^ 1-tg2^ 2 2 2tg^ 2tg^ 2 a ~a = 82- 2tg2 4.5 4.6 4.7 Имеем 2sin2 (Зл — 2a) cos2 (5л + 2a) = 2sin2 2a cos2 2a = sin2 4a = L о \ 1 /i • / o \\ 1 1 . 15л o \ = -(l-cos8a) = - 1-sinf-----8а = — -sin-------8а. 4 4 \ \ 2 .// 4 4 \ 2 I Здесь мы трижды использовали формулы приведения, а также (4.13) и (4.16). Сначала воспользуемся формулами приведения и запи- шем левую часть тождества в виде sin 6а — sin 4а + sin а cos ба + cos 4а + cos а ’ Теперь используем формулы (4.20) и (4.21): 2sin а cos 5а + sin а sin а (2cos 5а + 1) 2cos 5а cos а + cos а cos а (2cos 5а + 1) tg °" I способ. Применяя формулы (4.22), (4.20) и (4.1), на- ходим (cos а - cos/?)2 + (sinа - sin/?)2 =• 2а+£ . и - 2а*Р = 4sin2 ——sin2 ——- + 4sin2 —cos2---------- = 2 2 2 2 = 4sin2 ——— (sin2 + cos2 ) = 4sin2 . 2 \ 2 2 1 2 5 Сыялп
ио ___________________________________________Часть I. АЛГЕБРА II способ. Раскрыв скобки, получим (cos а - cos/?)2 + (sin а - sinfl)2 = = cos2а — 2cosa cosy? + cos2/? + sin2а - 2sin« sin/? + sin2/? = = 2( 1 - cos a cos fl — sin a sin /?) = 2(1 - cos (a — fl)) = = 2 • 2sin2 —= 4sin2 . Здесь были использованы формулы (4.1), (4.10) и (4.16). 4.8 Доказываемое тождество (после применения формул приведения) равносильно следующему: sin2 а + tg2 а = —------cos2 а. cos2 а Преобразуя левую часть последнего равенства, получим . о . sin2 a sin2 a (cos2 а + 1) sin2 а + —z— =----------;--------= cos2 a cos2 а _ (1 — cos2 а)(1 + cos2 а) _ l-cos4a_ 1 2 cos2 а cos2 а cos2 а 4.9 Имеем . 9/7л _ \ . 7/9я ' sin2 — - 2а — sin2 —2а \ 8 / \ 8 Л = —sin (2л - 4а) sin — = 4 sin4<z лГГ Здесь мы последовательно использовали формулы (4.16) и (4.22), а также тот факт, что sin = -4=
ГЬава 4. Решения и указания 131 4.10 Воспользуемся формулами (4.17) и (4.27): cos2 (45е -a)- cos2 (60* + а) - cos 75* sin (75* - 2а) = _ 1 4- cos (90* - 2а) 1 + cos (120* - 2а) 2 2 _ sin (150* - 2а) 4- sin (-2а) _ 2 _ sin 2а 4- sin 2а - cos (120* 4- 2а) - sin (150* — 2а) 2 Действительно, третье и четвертое слагаемые в числите- ле взаимно уничтожаются, так как sin (150* - 2а) = sin (90* + (60* - 2а)) = cos (60* — 2а), a cos (120* + а) = cos (180* - (60* - 2а)) = -cos (60* - 2а). 4.11 У к а з а н и е. Воспользоваться тем, что ctg2 2а - 1 1 2ctg2a tg4a Ct^ ’ и произвести дальнейшие преобразования в левой части тождества. 4.12 Указание. Умножить и разделить числитель и знаме- натель на tg2 a. 4.13 Воспользуемся алгебраическим тождеством (а + Ь)3 = = а3 4- ЗаЬ(а 4- £) + б3 и тригонометрическим тождеством (sin2 a 4- cos2 a)3 = 1. Тогда получим sin6 a 4- 3sin2 a cos2 a (sin2 a 4- cos2 a) 4- cos6 a = 1, откуда sin6 a + cos6 a 4- 3sin2 a cos2 a = 1.
132 Часть I. АЛГЕБРА 4.14 Упростим сначала первое слагаемое в левой части: ctg^ + tg (2л - 2а) —tgq(—tg2a) tg2a-tga sin a sin 2а cos a cos 2а -----:------------z-----= sin 2a sm a cos a cos 2a (использованы формулы приведения и (4.24)). Затем уп- ростим второе слагаемое: 2 У? sin^j+ ajsin^ - = 2 Уз cos(~ - я) sin(^ ” а)= = у 3 sm - - 2а = у 3 cos 2а (использованы формулы приведения и (4.13)). Таким образом, левая часть примет вид г- /1 yj \ sin 2а - *у 3 cos 2а = 2 - sin 2а —— cos 2а . \2 2 I о 1 Л Уз . л Заменив - на cos - , а_1— на sm - и воспользовавшись 2 3 2 3 формулой (4.8), окончательно получим 2 (sin 2а cos- -cos 2а sin -1= 2sin |2а - - ]. \ 3 31 \ 3) 4.15 Применяя формулы приведения, а также (4.14) и (4.16), находим А = 1 + sin - - cos — = (1 — cos — V sin — = 2 2 \ 2/2 = 2sin2 - + 2sin - cos - = 2sin -(sin - + cos -1 4 4 4 4\. 4 4/ Сумму sin + cos - можно найти различными способа- 4 4
П1ава 4. Решения и указания ’33 ми. Укажем два из них: . а , а . а , . /л а\ * . я ла 1) sm - + cos - = sm - + sm - - - = 2sin - cos - - - 4 4 4 \2 4/ 4 \4 4 2) sin - + cos - = УУ(sin - + -£= cos -\ = 4 4 \^2 4 У2 4/ г=-/ л . a , . л a\ nr . /я , a = У 2 (cos — sm — 4- sin — cos — = у 2 sin - 4- - 144 44/ 14 4 Заметим, что cos Итак, A = 2 VTsin - sin № + - V 4 \4 4/ 4.16 Указание. Воспользоваться формулами (4.16) и (4.22). Ответ: sin a sin 4.17 Используя формулы (4.16) и (4.13), имеем _ 2sin2 a cos (45* 4- 2а) _ 2sin 2а (sin 2а - cos 2а) ~ sin2 a cos (45° 4- 2а) _ tg a cos (45* + 2а) 2sin a cos a (sin 2а - cos 2а) ~ 2(sin 2а - cos 2а)' Преобразуем разность sin 2а - cos 2а следующим образом: sin 2а - cos 2а = УУ (^=sin ~ cos = 72 (sin 45* sin 2а - cos 45е cos 2а) = cos (45* + 2а). В результате получаем tg a cos (45° + 2а) _ _ У2 2 УУcos (45* 4- 2а) 4
134 Часть I. АЛГЕБРА 4.18 К произведению первых двух сомножителей применим формулу (4.27). Тогда получим Снова используя формулу (4.27), находим 1/ а , 1 \ . а 1 а . а , 1 . а - cos - + - Ism — = — cos - sin - + - sin — = 2\ 2 2/ 4 2 2 44 4 1 / . 3a . a\, 1 . a 1 . 3a = - sin-sm- ]+ - sin - = - sin —. 4\ 4 4/4444 4.19 Имеем sin2(- + aVcos2(a--l \2 /_____\ 2/ cos2 «-sin2 a _ _ 7/^ . \ . 2/ л\ ctg2a-tg2a 1 8 \2 j”Ctg V ”2) _ cos 2a ________cos 2a sin2 a cos2 a_ cos2 a sin2 a (cos2 a — sin2 a)(sin2 a + cos2 a) sin2 a cos2 a = i sin2 2a. 4 Мы воспользовались формулами приведения, а также (4.14), (4.3), (4.4) и (4.13). 4.20 Согласно формуле (4.14), имеем 2cos2 За — 1 = cos 6а. Значит, (- / 3 1 i cos 6а + sin ба) = = 2|cos - cos 6а + sin - sin 6а I. \ 3 3 / Так как выражение в скобках — это развернутая форму- ла (4.10) для косинуса разности, то данное выражение
Птава4. Решения и указания 135 4.21 Указание. Воспользоваться формулами приведения и разности квадратов. Ответ: cos 4а. 4.22 К числителю применяем формулу (4.14), а затем формулу /5л л \ . л „ приведения; получим cost — - 4а I = sin 4а. Преобразуем произведение первых двух множителей в знаменателе: (а .. а\1 а . а\ 2 а . 2 а cos - + sin - cos — sin -1= cos2 — sin2 - = cos a. 2 2/12 2/ 2 2 Окончательно находим sin 4a 2sin 2a cos 2a ------:— = 4cos 2a. cos asm a 0,5sin2a 4.23 Имеем . Ct ) Ct л .yd tCl 4cos a sin2 - cos2 — 4cos a sin2 - cos2 — __2 2_2 2 cos4 - - sin4 - cos2 - - sin2 - 2 2 2 2 4cosa* - sin2 a 4 *2 =----------------= sin2 a. cos a 4.24 Находим
136 Часть I. АЛГЕБРА а sin a cos - 2 1. 1л а\ , t 1+cos------ ' а \ \2 2/ 2cos--sin а •------------ а а a\L , . cos - - sin - cos -1 + sin - 2 2 2 \ 2 ex x . a a sm a cos - 2sin - cos - 2 2 2 cos - (1 - sin - Vl + sin - j 1-sin* 2- 2\ 2]\ 21 2 ~ . a a 2sm — cos — -----1-A = 2tg2 2 a 2 cos2 - 2 4.25 Из формулы (4.17) следует, что 2cos2 2а - 1 = cos 4а. Тог- да данное выражение примет вид А = sin 4а - cos 4а и, значит, А = sin 4а - sin (90* — 4а) = 2cos 45* sin (4а — 45’) = = sin (4а -45*). 4.26 I способ. Имеем . 2 а , sin2 - + cos2 — tg + ctg + 2 = + 2 = -^- + 2 = sin 2 cos Slna 2 2 2(1 + sin а) sin а Сумму 1+ sin а можно преобразовать в произведение, например, так:
Глава 4. Решения и указания 137 1 + sin а = I + cos( —-al = 2cos2[^ —-1 = 2sin2/^ +-^ \2 / \4 21 \4 2J В результате получаем 4sin2(*+«) Л= —Д±-21. sin а II способ.Находим sin/? + «)|2 2sin2(^+ — ] 2srf+^) \4 2/ 1 \4 2/_ *4 2/ я а . а ,а а .а а cos — cos — tg — cos2 - tg — sin — cos — 4 2 2 2 2 2 2 Mill) sin a 4.27 Имеем 1 1 sin4 a - cos4 a cos4 a sin4 a sin4 a cos4 a (sin2 a + cos2 a)(sin2 a - cos2 a) _ ] 6C0S 1 sin* 2a sin4 2a 16 _ _ I6ctg 2a sin3 2a Здесь были использованы формулы (4.13), (4.14), (4.1) и (4.3).
138 Часть I. АЛГЕБРА 4.28 Используя сначала формулы приведения, а затем (4.16), (4.17) и (4.21), получим . ,10 я\ ,/ Злг\ sin2 - — — — cos2 а-------= \2 2/ 1 2 / cos2 ft — sin2 а 1 + cos 2/? - 1 + cos 2а 2 = cos (а + Р) cos (а - ft). 4.29 Воспользовавшись формулами приведения, после пре- образований находим А = 1 - sin За + cos За - tg За = 1 + cos За - 1 + cos За cos За sin За = (1 + cos За) (cos За - sin За) cos За Преобразуем множители в числителе: Зеб 1 + cos За = 2cos2 -у, cos За - sin За = = л[2^у cos За - -±= sin За)= V 2 cos + За Окончательно получим 4.30 I способ. Имеем sin 10а sin 8а + sin 8а sin 6а — sin 4а sin 2а = sin 8а X X (sin 10а + sin 6а) — 2sin2 2а cos 2а = sin 8а • 2sin 8а-X х cos 2а - 2sin2 2а cos 2а = 2cos 2а (sin2 8а - sin2 2а) = = 2cos 2а ’ (1 - cos 16а - 1 + cos 4а) = = 2cos 2а sin 6а sin 10а.
Пиша 4. Решения и указания_______________________________139 II способ. Находим sin 10а sin 8а + sin 8а sin 6а - sin 4а sin 2а = = sin 10а sin 8а + (cos 2а - cos 14а - cos 2а + cos 6а) = = sin 10а sin 8а + sin 10а sin 4а = = sin 10а (sin 8а + sin 4а) = 2cos 2а sin 6а sin 10а. 4.31 Указание. Использовать формулы (4.19) и (4.21). Ответ: tg—у. 4.32 Запишем данное выражение так: А = 4 4- 4cos 4а — 1 + cos 8а = 4(1 + cos 4а) — (1 — cos 8а). Тогда, применяя формулы (4.16) и (4.17), получим А = 8cos2 2а - 2sinz4a = 8cos2 2а - 8sin2 2а cos2 2а = = 8cos2 2а (1 - sin2 2а) = 8cos4 2а. 4.33 Приведем одно из возможных решений. В левой части предполагаемого равенства сначала применим формулы приведения: (sin 20° + sin 40°)(sin 20° + sin 40°) + (sin 50е - sin 70°)* x(sin 50° - sin 70е) = sin2 20° + 2sin 20“ sin 40’ + sin2 40’ + + sin2 50“ - 2sin 50’ sin 70° + sin2 70°. Заметим, что sin2 20° + sin2 70’ = 1 и sin2 40’ + sin2 50’ = 1, a 2sin 20° sin 40’ = cos 20“ - cos 60’ и 2sin 50’ sin 70’ = = cos 20’ — cos 120’ (согласно формуле (4.25).
140 Часть I. АЛГЕБРА После этого левая часть примет вид 2 + cos 20° - cos 60е - cos 20° + cos 120’ = 2 - 1 = 1, т.е. она равна правой части. 4.34 Сложив дроби в левой части равенства, получим sin 28° cos 28° cos 56’ + sin 2° cos 2° cos 4° _ sin 2° sin 28 sin 56° cos 56’ + sin 4° cos 4° sin 112° + sin 8 2sin 2° sin 28° 4sin 2’ sin 28° _ УТ cos 52° _ sin 38° 4sin 2’ sin 28° 4sin 2“ sin 28° ’ Здесь были использованы формулы (4.13), (4.19) и форт мулы приведения. 4.35 Имеем tg 435- + tg 375- - tg 75* + tg 15“ = = =________?_________4. cos 90’ + cos 60’ Здесь были использованы формулы приведения, а так- же (4.23) и (4.26). 4.36 Используя формулу (4.29), находим 1 -tg2q = 1 — 0,04 12 l+tg2a 1+0,04 "В’ Следовательно, 2= 2 _26 3 + 4cos2a з + _ $7 13
Глава 4. Решения и указания 141 4.37 Указание. Обе части равенства sin а - cos а = р возве- сти в квадрат. Ответ: \~р*. 4.38 Сначала заметим, что tg а = -5. Затем, используя фор- мулы (4.29) и (4.28), найдем 1 — 25 12 1 1 + 25 13 1 + 25 13 sin 2а -10 5 13 57 Итак, Л = 2+ 12- — = —. 5 5 4.39 4.40 4 Заметим, что tg а = -, tg/J = 7. Тогда по формуле (4.11) найдем $ - + 7 tg(a+^) = -^—= -1. 1-- 3 Так как по условию 0 <а + В < л, то а + /? 4 ’ 2 2 Имеем sin (а - 90*) = -sin (90° - а) = --, т. е. cos а = I 4 л/5 Следовательно, sin а = - м 1-= —-— (так как а — И 9 3 угол IV четверти). Далее находим 2« ——1 ctg 2а = COs2a = а**2*-1 = 9 = VS sin 2а 2sin a cos а 2 / УУ \ 20 2’з\ Г/ 4.41 Имеем tg/? = Так как tg (а + /?) = >то
И2 Часть I. АЛГЕБРА tg(a+^) =-----— = —1. 1-- 2 Зя Учитывая, что 0 < а 4- ft < л, получим а + ft = —. 4.42 Согласно свойству арифметической прогрессии, fi = Используя формулы (4.20) и (4.22), преобразуем левую часть: sin а - sin у cos’,-cosa ~ 2sin sin 2 2 2sin-----£ cos------£ cos----------- 2 2 2 о ---------—= ctg/J. . а 4-у sin------- 2 4.43 Используя формулу (4.17), находим 32cos4 15’ - 10 - 8 = 32 + C?- 3-°-j2 - 10 - 8 <3 = / V3P r- = 8\1+ 2 / -I0-8V3 =4. Далее получим 5 _ 1+4 _(1+V4)(1-V?4-V^= 1+V4 1+V4 1+у4 Мы воспользовались формулой с? + Ь3 = (а+^(а2 - ab+б2), . 1 3ГТ где роль а и b играли соответственно 1 и у 4. 4.44 Применяя последовательно к левой части равенства фор- мулы (4.2), (4.3), (4.1) и (4.13), находим , sin 2а cos 2а А = tg 2а 4- ctg 2а + tg 6а + ctg 6а =----4- ——— 4- cos 2а sin 2а
Diana 4. Решения и указания sin 6а cos 6а sin* 2 2а + cos2 2а sin2 6а + cos2 6а _ cos 6а sin 6а sin 2а cos 2а sin 6а cos 6а = 1 + 1 = 2 / 2 = sin 2а cos 2а sin 6а cos 6а sin 4а sin 12а _ 2 (sin 12а + sin 4а) sin 4а sin 12а Преобразуя сумму синусов по формуле (4.19), получаем _ 4sin 8а cos 4а sin 4а sin 12а ’ Так как sin 8а = 2sin 4а cos 4а, то 8sin 4а cos2 4а _ 8cos2 4а ” sin 4а sin 12а sin 12а ’ 4.45 Имеем 2sin - cos - + 2sin2 — х . 1 , sina+l-cosa 2 2 2 tg a +-----1 =------------=---------------- cos a cos a cos a 2sin - (cos - + sin — \ 2 \ 2 2] cos a n . a I a . . a 2sin - (cos - + sin - 2 \ 2 2 cos2 — - sin2 — 2 2 2sin — 2sin — sin — ______2 _ 2 2 a . a ~ nr , (л a\ ~ . I л a cos--sm- V2sm(---) sin(--- 4.46 После преобразований левая часть примет следующий вид: А = cos2 2a - 3sin2 2a = = 4Ц cos 2a - sin 2aV~ cos 2a + — sin 2a \2 2 l\2 2
144 Часть I. АЛГЕБРА Далее имеем I • '1 \/ • 'У I \ sin - cos 2а - cos - sin 2a sin - cos 2a + cos - sin 2a = \ 6 6 /\ 6 6 / = 4sin (- 4.47 Заметим, что sin2 cos2 а, , . sin2 a — cos2 a (sin a - cos a)(sin a + cos a) tg2 a - 1 =---------z-----=------------------2-------------- cos2 a cos a sin a - cos a = v 2 sin sin a + cos a = V2 sin ctg Тогда левая часть тождества запишется так: 4.48 cos2a* VTsin I* у 2 sin = 2, cos2 a sin2 поскольку cos Преобразуя левую часть, получим 1 1 + sin 4a -tg 4a-------— =-----------— cos 4a cos 4a 1 + cos cos4a
Diasa 4. Решения и указания 145 cos2 2а - sin2 2а (cos 2а — sin 2a)(cos 2а *+ sin 2а) Замечание. Выражение cos 4а можно преобразовать итак: cos 4а = sin I— — 4а] = 2sin (— — 2а] cos - — 2а]. \2 I \4 I \4 ) 4.49 Сначала, используя формулы приведения, преобразуем левую часть к виду 3 + 4cos 4а + cos 8а. Затем, применяя формулу (4.17),’преобразуем правую часть: о да 0/l+cos4a\2 л , l+cos8a\ 8cos4 2a = 8 ------------ =21+ 2cos 4a +------------------ = \ 2 / \ 2 / = 3 + 4cos 4a + cos 8a. Итак, правая часть равна левой, т. е. тождество доказано. 4.50 Имеем 1 sin6 a (1 - sin2 a)( 1 + sin2 a + sin4 a) __ cos6 a cos6 a cos4 a cos2 a « 1 + sin2a + 1 - 2cos2a -+ cos4a _ 3sin2a_ 3tg2a } cos4 a cos4 a cos2 a
146 Часть I. АЛГЕБРА 4.51 Преобразуя левую часть, получим ctg2а + ctg2/? - 2c°S + 2 = sin a sin р _ cos2a cos2/? _ 2cosа cos/?_ sin2 а sin2/? sin a sin p _ cos2 a sin2 P - 2cos a cos jfl sin a sin /? + cos2 /? sin2 a sin2 a sin2 P _ sin2 (a - p) sin2 a sin2 p 4.52 Указание. Воспользоваться формулами (4.19) и (4.21). 4.53 Используя формулы приведения, а также (4.17) и (4.21), получим 1 4- cos 2а + cos 4g + cos 6g _ 2cos2 а + 2cos 5а cos а _ cos 2g 4- 2cos2 2a — 1 cos 2g + cos 4a _ cos a (cos a + cos _ 2cos 3g cos 2a _ 2C0S cos 3a cos a cos 3a 4.54 Преобразуем левую часть: __________sin 4а_____________ ctg (- 4- 2g) • 2sin2 № 4- 2a) \4 / \ 4 I sin 4g _ 2ctg 4- 2a j • sin2 (4- 2a j sin 4g sin 4g =----7Z------7 =----7" = sin g + 4a) cos4« 4.55 Используя формулу суммы кубов, получаем cos6g 4- sin6g = (cos2g 4- sin2g)(cos4g - cos2g sin2g 4- sin4g) =
Пива 4. Решения и указания 147 = (1+cos2a? _ 1 sin2 2а +P-cos2gf = \ 2 / 4 \ 2 I = -(1 + 2cos 2а + cos2 2а - sin2 2а +1 — 2cos 2а + cos2 2а) = 4 = i (1 + 3cos2 2а) = ~ (5 + 3cos 4а). Здесь были использованы также формулы (4.16), (4.17) и (4.13). 4.56 Преобразуем левую часть тождества: ctg (30°— a) ctg (150е— а) ctg (270*+ а) = = -tg а tg (60*+ а) tg (120*+ а) = _ sin (60*+ а) sin (120*+ а) _ * а cos (60*+ а) cos (120*+ а) ~ v — sin а + sin а cos 2а _ cos60 -cos(180 +2а)_ 2 ” “tg Л cos 60* + cos (180*+ 2а)" 1 - cos а - cos а cos 2а 2 1 . 1 . , 1 . - sin а + - sin За — sin а 2 2 2 Т---------1,1 183“- - cos а - — cos За — - cos а 2 2 2 Основную роль в преобразованиях играли формулы (4.25) и (4.26). 4.57 Сначала преобразуем правую часть: sin 5а = sin 4а cos а + cos 4а sin а = = 4sin а cos2 а cos 2а + cos 4а sin а = sin a (4cos2a cos 2а + + cos 4а) = sin a (4cos2 а - 8sin2 a cos2 а + cos 4а) = = sin a (4cos2 а - 2sin2 2а + cos 4а).
148 Часть I. АЛГЕБРА Теперь выполним преобразования в левой части: 16sin5 а - 20sin3 а + 5sin а = sin а (16sin2 a (sin2 а - 1) + + 4(1 - sin2 а) + 1) = sin a (4cos2 а - 4sin2 2а + 1) = = sin a (4cos2 а - 2sin2 2а + cos 4а). Итак, тождество справедливо. 4.58 Имеем cos 2а cos 2а sin2 a cos2 а 1 . ---5------5— =----z------;------;-----;— e — Sin 2а. ctg2a-tg2a (cos2a-sin2a)(cos2a + sin2a) 4 Так как по условию 90* < а < 135\ то 180* < 2а < 270* и sin 2a < 0. Следовательно, V - sin2 2a = sin 2a. ! 4 2 4.59 Находим cos 2a - cos 6a + pos 10a — cos 14a _ sin 2a + sin 6a + sin 10a + sin 14a _ 2sin 8a sin 6a — 2sin 8a sin 2a _ sin 6a — sin 2a 2sin 8a cos 6a + 2sin 8a cos 2a cos 6a + cos 2a 2sin 2a cos 4a = z---z-----T" = tg 2a. 2cos 2a cos 4a 4.60 Имеем 4 sin (4a - ) ____________' 2 I_______। _ —4cos 4a ctg2(2a_^)_tg2(2a + ^) tg>2a-ctg*2a =—4cos 4a sin2 2a cos2 2a। _ (sin2 2a - cos2 2a)(sin2 2a + cos2 2a)
Глава 4. Решения и указания 149 —cos 4а sin2 4а -cos 4а - 1 = sin* 1 2 4а - 1 = -cos2 4а. 4.61 Используя сначала формулы приведения, а затем (4.18) и (4.17), находим cos sin 4а cos 2а (1 + cos 2а)(1 + cos 4а) (1 + cos 2а)(1 + cos 4а) sin 2а 2cos2 2а ----------.-----------_ tga. 1 + cos 2а 1 + cos 4а 4.62 Находим cos4 2а — 6cos2 2а sin2 2а + sin4 2а = = (cos2 2а - sin2 2а)2 - sin2 4а = cos2 4а - sin2 4а = cos 8а. 4.63 Используя формулы приведения, а также (4.23) и (4.24), получим tg75*- tg 15* _ sin 60* cos 75* cos 15*^ VJ tg75* + tgl5* cos 75* cos 15* sin 90* 2 4.64 Воспользуемся формулами приведения и преобразуем отдельно числитель и знаменатель: 3sin2a — cos2a = 3-3cos2«-1-cos2gs j _2cos2a = 2 = 2(у - cos 2а) = 2(cos 60* - cos 2a) = = 4sin (a + 30*) sin (a - 30’); ~ ~ 3 + 3cos 2a — 1 + cos 2a , . n ~ 3cos a — sinz a =----------------------= 1 + 2cos 2a 3 2 = 2/- + cos 2aI = 2(cos 60* + cos 2a) =
150 Часть I. АЛГЕБРА = 4cos (а + 30е) cos (а — 30е); Разделив первое выражение на второе, получим tg (а + 30е) tg (а - 30е). 4.65 К первым двум членам применим формулу (4.16), а к тре- тьему — (4.27): sin1 2 (135е - 2а) - sin2 (210е - 2а) - sin 195е cos (165е - 4а) = = 1- (1 - cos (270’- 4а) -1 + cos (420’- 4а) - — sin (360’ - 4а) — sin (ЗО’+ 4а)) = - (sin 4а + cos (60’- 4а) + X + sin 4а — sin (30е+ 4а)) = sin 4а. 4.66 Указание. Воспользоваться формулами приведения, а также формулой разности кубов. Ответ: sin 4а sin 8а. о 4.67 Так как cos 4а = 2cos2 2а - 1, то данное выражение пре- образуется следующим образом: sin 4а - cos 4а = -т= I - sin 4а - cos 4а УЗ <3\2 2 2 = sin (4а - 60е). 4.68 Предварительно заметим, что 0 < - < 45е, —45е< — < 0, 4 4 а 0 < 45е — < 45е. Подкоренные выражения преобразу- 4 ем так: 1 + sin - = 1 + cos/ 90°--^ = 2cos2/45e- -k 2 A 2/ \ 4/
Diasa 4. Решения и указания 151 l-sm- = 2sin2/45”--V 2 I 4/ Теперь получаем 1 + sin 1 = У^сов^ 45’—— sin^45°— = 4.69 Указание. Воспользоваться формулами понижения степени. Ответ: —tgatgfi. 4.70 Имеем sin2 a + sin2/? - (cos (a -р) - cos (a + P)) cos (a ~P) = = - icos 2a+i - icos 2p - cos^a-/?) + icos 2a + -|cos Ifl = L L L L 2л = 1 - cos2 (a - P) = sin2 (a - Д). Теперь находим 1 - sin2 (a - Д) = cos2 (a - p). 4.71 Используя формулы (4.16), (4.14), (4.9), находим 1 — cos 4a + УЗ sin 4a — 4tg 2a cos 4a cos2 2a _ sin 8a ~ = 1 - cos 4a + УЗ sin 4a - 1 sin 4a — 4 cos 4a 2 I = 2sin(4a --V I 6/ 4.72 Используя формулы приведения, а также (4.17) и (4.21), получим 1 1 + cos 8a + cos 4a = 2cos2 4a + cos 4a =
152 Часть I. АЛГЕБРА = 2cos 4а I cos 4a + cos — I = 4cos 4a cos (la + —1 cos | la - — I. I 3/ I 6/ 1 6/ 4.73 Имеем cos la ------------------------- — tg a + cos a - sin a = 2sin P + «j cos + a j --------tg a + cos a — sin a = cos 2a _ cos a — sin a + cos a (cos a — sin a) cos a 2 ^2 cos^ + cos2 = cos a • Здесь были использованы тождества 2sin + aj cos + a j = sin + la j = cos 2a, cosa -sina = VTcosl- + a| и 1 + cosa = 2cos2- . \4 I 2 4.74 Преобразуем отдельно числитель и знаменатель: cos 60* + cos 68’ - cos 60* - cos 112* --------------------------------------= cos 68 ; cos 30’+ cos 112’- cos 30* — cos 68* ro. --------------------------------= -cos 68 . Таким образом, частное равно —1. 4.75 В левой части предполагаемого равенства перейдем к вычислению числителя и знаменателя. Имеем cos 10* cos 50’ cos 70° = - (cos 60* + cos 40*) cos 70* =
Глава 4. Решения и указания 153 = —(— cos 70’ + — cos 110’ + - cos 30*j = — cos 30*. 2X2 2 2 /4 Аналогично находим sin 10* sin 50* sin 70* = - sin 30*. 4 Разделив первое выражение на второе, получаем ctg 30*. 4.76 Сначала используем формулу (4.25), а затем (4.27): Уз sin 20* sin 40* sin 60* sin 80* = — sin 20* sin 40* sin 80* = Уз = sin 80’(cos 20* - cos 60’) = 4 = ^(sin 80* cos 20’ - -- sin 80*j = = —sin 100’ + sin60’ - i sin 80*) • 77 =Л- 4 \2 2 2 / 4 2 2 16 4.77 Имеем tg 9* + tg 81* - (tg 27* + tg 63*) + tg 15* + tg 75* = = 2 2 2 = cos 90* + cos 72* cos 90’ + cos 36* cos 90* + cos 60* 2 2 2(cos36* — cos 72*) • 2 =---------------+ 4 = —------------------— +4 = 8 cos 72* cos 36* cos 36* + cos 108* 4.78 Находим 1 "уЗ _ cos 10’ - Уз sin 10’ sin 10* cos 10’ sin 10’ cos 10* 2 cos 10*sin 10°) \2 2 I = 2sin (30*- 10*) sin 10* cos 10* sin 10* cos 10'
154 Часть I. АЛГЕБРА 2sin 20° --------------— 4 sin 10* cos 10° Зл 6л 4.79 I способ. Пусть А = cos —cos —. Умножив обе части ~ . Зл этого равенства на 2sm—, получим _ л . Зл . Зл Зл 6л _ , . Зл .6л 6л 24sin— = 2sin— cos—cos —; 24sm — = sin—cos —; ~ . Зл 1 . 12л _ . : Зл 1 . 2л 2А sin —= - sin — ; 2А sin— = - sin—. 5 2 5’ 5 2 5 TT . 2л . I Зл \ . 3л . 1 Ho sin — = sin 1л------1= sm —, откуда Л = — . 5 \ 5 / 5 4 II способ. Имеем л . Зл Зл 6л 2sm—cos—cos — 6л 5 5 5 cos— = . Зл A = cos— _. Зл ^SU1~5~ . 12л sin--- _____5_ л • 3л 4sin — . 2л sin— ____5_ a • 3л 4sin— 5 £ 4 4.80 Находим tg . 5л sin— 2 cos 2 _ 2 5л , _ cos2x‘ cos — + cos 2x
ГЬава 4. Решения и указания 155 Так как tg 3 4 -ctg х = - , то tg х = — и, значит. 4 3 cos2x = 1 - tg* 2x _ 1 + tg2 х 25 Ответ: ~. 4.81 Из условия следует, что „ . а+0 а-р 21 „ а+р а~Р 27 2sin ——^cos —— = 2cos —— cos —— = , 2 2 Ь5 2 2 Oj f а+р 7 откуда tg —--= - а + р Зя Так как 2я < а +/? < Зя, тоя < —< ~2 четверть). Теперь находим _7_ _L 2 трт? I 81 7 „ «+£_ 9 130 2 дЛзо 4.82 Так как А + В + С = я, то - +^- =<- . 2 2 2 2 Далее находим tg^tgf+tgf)+tgftgj=tg4. . в+ с sm-—— 2 В С cos - cos — 2 2 + . В . C sm - sm - 2 2 В C cos - cos - 2 2 tg - cos - + sin - sin — 2 2 2 2 В C cos - cos - 2 2
156 Часть I. АЛГЕБРА sin - + sin - sin - cos (- + sin - sin - 2 2 2 _ \2 2/ 2 2 " В С cos — cos — cos — cos — 2 2 2 2 4.83 Имеем sin a cos ft + cos a sin ft p ctg ft 4- ctg a p —---------------:—- = - , ИЛИ---7------ = - . sin a cos p - cos a sin p q ctg p-ctg a q p 4- q Следовательно, ctg 0 = ctg a. 4.84 Применив формулы (4.2), (4.13) и (4.19), получим А = tg 20е + 4sin 20* = sin 20° + 4sin 20° cos 20° cos 20° sin 20* 4- 2sin 40° (sin 20* 4- sin 40*) 4- sin 40* cos 20* cos 20* 2sin 30* cos 10* 4- sin 40° _ cos 10* 4- sin 40* cos 20’ cos 20* Заменив cos 10* на sin 80’ и снова используя формулу (4.19), находим sin 80* 4- sin 40* _ 2sin 60° cos 20* _ у 3 cos 20’ cos 20° 2 3. 4.85 Удобно воспользоваться формулами (4.28) и (4.29), учи- тывая, что они верны только при х * л(2п + l),neZ. Од- нако в данном случае х не может принимать эти значе- ния. Действительно, если бы х = лг(2л 4-1), то sin (л(2п 4- + 1)) — cos (тг(2л 4- 1)) = 0 - (-1) * 1,4. Выразив sm х и cos х через tg - , перепишем данное ра- венство в виде
Diasa 4. Решения и указания 157 2tg^ 1-tg2-? H-tg2^ 1+tg2^ X X Полагая tg - = z, получим уравнение z2 - 5z + 6 = 0, от- 2 xx куда Zi = 2, z2 = 3. Итак, tg - = 2 и tg - = 3. X X 4.86 Указание. Последовательно возвести в квадрат и в куб обе части равенства sin а - cos а = л. Ответ: • 4.87 Решив квадратное уравнение относительно ctgа, находим (Ctg а), = -1 ((tga), = -2) и (ctga)2 = -3^(tgo)2 = Теперь, используя условие задачи, получаем ответ: a) (cos 2а), = ; б) (cos 2а)г = . 4.88 После применения формул приведения получим 1 - 2cos2 а + Уз sin 2ct _ -2cos 2а + У~3 sin 2а 4.89 Имеем а+Р а~Р л. а+Р а+Р 2sm----- cos-- = 4sm---- cos--- , 2 2 2 2 откуда
158 Часть I. АЛГЕБРА cos^ -----— = 2 а+Р COS--- 2 Значит, п . а . Р а-Р а+р л 2sin - sin - cos —т2- - cos——£- .ав 2 2 2 2 1 2*2 _ а р а-p а+р 3 2cos - cos cos-- + cos-- 2 2 2 2 4.90 Приведя слагаемые к общему знаменателю, получим р (cos3 a sin а + sin3 а cos а) + (sin За cosa - cos За sina) sin a cos a p sin a cos a + sin 2a = ------:------------= p + 2. sm a cos a
ГЛАВА 5 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1°. Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sinx = at cosx = а (где | а| < 1), tg х = a, ctg х = а (где -°о < а < °°). Формулы решений этих уравнений имеют следующий вид (здесь и в дальнейшем запись п € Z означает, что п — любое целое число): sin х = в; х = (—l)n arcsin а + ял, л € Z; (5.1) cosx = а; х = ± arccos а + 2ял, л € 2? (5.2) tg х = в; х = arctg а + ял, л € Z; (5.3) ctg х = а; х = arcctg а + ял, л € Z. (5.4) В частных случаях при а = 0, а = 1, а = -1 получаются следую- щие формулы: sin х = 0; х = ял, л € Z\ (5.5) sin х = 1, х = ^ + 2ял, л € Z; sinx = - 1;х =+ 2ял, neZ; . cosx = 0; х = ^ + ял, л € Z; cos х = 1, х = 2ял, л € Z; (5.6) (5.7) (5.8) (5.9) cos х = - 1; х = я + 2ял, л € Z; (5.10) tg х = 0; х = ял, л € Z; (5.11) ctg х = 0; х = ^ + ял, л € Z (5.12)
160 Часть I. АЛГЕБРА Уравнения вида sin (сох + <р) = a, cos (сох + <р) = а, tg (сох + <р) = b, ctg (wx + ip) = b (I a | < 1, a) * 0, <p,b — любые действительные числа) также относятся к простейшим. Их следует решать по формулам (5.1)-(5.4), заменив х на сох + <р. Пример 1. Решить уравнение sin — 2xj = Решение. Согласно формуле (5.1), имеем л т- — 2х = (— 1)" arcsin ~у~+ лп. о А Так как arcsinЛ— = ^, то 2х = (-1)я~ + лп, откуда z 3 о 3 х=-(-!)•? +£ + или х=(-1)"+1? + £(6л+1),л<=2. о 12 2 6 12 Ответ: (-1)"+12 + £ (6л + 1), л е Z. о 12 Если уравнение не является простейшим, то с помощью тожде- ственных преобразований его нужно свести к одному или несколь- ким простейшим уравнениям, совокупность которых равносильна заданному. 2°. При решении тригонометрических уравнений часто исполь- зуют разложение на множители и введение новой переменной (метод подстановки). Пример 2. Решить уравнение sin х = sin 2х cos Зх. Решение. Применив к sin 2х формулу (4.13), получим sin х = 2sin х cos х cos Зх, sin х (1 - 2cos х cos Зх) = 0. Так как оба множителя в левой части этого уравнения имеют смысл при любых значениях х, то оно равносильно совокупности двух уравнений: sinx=0 и 1 - 2cosхcos Зх = 0.
Глава 5. Тригонометрические уравнения 161 Согласно формуле (5.5), первому уравнению удовлетворяют зна- чения х « лп, n$Z. Для решения второго уравнения преобразуем произведение ко- синусов в сумму по формуле (4.26); имеем 1 — (cos 4х + cos 2х) = 0. Так как 1 — cos 4х = 2sin2 2х [см. формулу (4.16)], то уравнение при- нимает вид 2sin2 2х— cos 2х = 0, или 2(1 — cos2 2х) - cos 2х = 0, откуда получим 2cos2 2х + cos 2х - 2 = 0 — квадратное уравнение от- носительно cos 2х. Полагая cos 2х = z, имеем 2z2 + z - 2 = 0. Решив -1+V17 -1-V77 „ это уравнение, находим Zj =--т-2— , z2 =---4— • Так как 1г2| = > 1, то уравнение cos 2х - z2 не имеет решений. Оста- ется решить уравнение cos 2х = -l+VTz 4 . По формуле (5.2) находим 2х = ± arccos —- + 2лл, п е Z 4 Ответ: х -лп, х = ± 4 arccos ^Д—- + лп, neZ. 2 4 При решении уравнения методом разложения на множители оно может не быть равносильным полученной совокупности уравнений, так как возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из полученных значений неизве- стного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла. Пример 3. Решить уравнение (1 — sin x)(tg2 х — 3) = 0. Решение. Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1 — sin х = 0 и tg2 х — 3 = 0; если sin х = 1, то по формуле (5.6) получим х = ^ + 2лп, neZ; (ф) если tg2 х = 3, т. е. tg х = ± VX то по формуле (5.3) имеем 6 Скаяавк
162 Часть I. АЛГЕБРА х=±^ + лл,л€£ (♦♦) Однако было бы ошибочным считать ответом объединение ре- шений (•) и (**). Дело в том, что исходное уравнение не имеет смыс- ла для значений х = у + яп (п е Z), поэтому первое из предполагае- мых решений непригодно и ответом является только второе решение х = ± + яп (п € Z). Ответ: х = ± + яп, пЕ Z. Пример 4. Решить уравнение cos х cos 2х cos 4х = . о Решение. Наиболее быстрый способ решения — умножение правой и левой частей равенства на 8sin х, хотя при этом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать этого, следует учи- тывать, что в окончательное решение не должны входить значения х, для которых sin х = 0, т. е. значения х = яп (л е Z), так как они не удовлетворяют исходному уравнению. После умножения на 8sinx уравнение примет вид 8sin х cos х cos 2х cos 4х = sin х. Последовательно трижды применив формулу синуса двойного аргумента (4.13), получим сначала 4sin 2х cos 2х cos 4х = sin х, затем 2sin 4х cos 4х = sin х и далее sin 8х « sin х, или sin 8х — sin х = 0. Преоб- разуя по формуле (4.20) разность синусов в произведение, получаем .sin cos = 0. 2 2 Пусть sin -у = 0; тогда ~ ® як (к Е Z), откуда х = (п € Z), причем следует исключить значения х = 2яп (nEZ), получающиеся при к = 7л, как посторонние для исходного уравнения. Пусть теперь cos — = 0; тогда + ят (т € Z), откуда х = е £), прьчем следует исключить значения х = л(2л + 1) (л € Z), получающи- еся при т = 9п + 4 (л € Z), как посторонние для исходного уравнения.
Гтава S. Тригонометрические уравнения 163 Ответ: х = , где целое к * 7 л, п € Z; х = +-U, где целое m # 9л + 4, л е Z. 3°. Однородными уравнениями называются уравнения следующего вида: a sin кх+ bcos кх = 0; (5.13) asin2 Ах + d sin Ах cos Ах + с cos2 Ах = 0; (5.14) a sin3 кх + b sin2 кх cos кх + с sin кх cos2 кх + d cos3 кх = 0. (5.15) Уравнение a sin2 кх + b sin кх cos кх + cos2 кх - d при J # 0 не является однородным, но его можно привести к одно- родному уравнению вида (5.14), заменив число d тождественно рав- ным ему выражением J(sin2 кх + cos2 кх). Для решения уравнений (5.13)—(5.15) в случае а * 0 рассмотрим такие значения х, при которых cos Ах = 0. Тогда из каждого уравне- ния следует, что при тех же значениях х должно быть и sin кх = 0, а это невозможно. Значит, решениями этих уравнений могут быть только такие значения х, при которых cos Ах * 0. Поэтому если (при л # 0) разделить обе части уравнения (5.13) на cos Ах, уравнения (5.14) — на cos2 Ах, уравнения (5.15) — на cos3 Ах, то потери корней не про- изойдет. В результате получается алгебраическое уравнение относительно tg Ах, для решения которого следует произвести подстановку tg Ах = z. Пример 5. Решить уравнение 3sin2 х cos (у + xj + 3sin2 х cos х - sin х cos2 х - sin2(x - jcos x = б. Решение. Используя формулы приведения, получаем 3sin3 х + 3sin2 х cos х - sin х cos2 х - cos3 х - 0. Это однородное уравнение относительно sin х и cos х, причем а * , т. е. значения х, при которых cos х = 0, не являются решениями за- данного уравнения. Разделив члены уравнения на cos3 х, имеем:
164 Часть I. АЛГЕБРА 3tg3 х + 3tg2 x - tg x - 1 = 0; (3tg2 x — 1)(tg x + 1) = 0; 3tg2 x - 1 = 0, tg x = ± , x = (6л ± 1), л € Z; j о tgx + 1 = 0, tgx = —1, x = ~ (4л — 1),ntZ. 4 Ответ: x = (6л ± 1), x = (4л — 1), л e Z. 6 4 При решении уравнений (5.13)—(5.15) в случае а = 0 деление на cos кх недопустимо, так как оно приводит к потере корней — тех зна- чений х, при которых cos кх - 0. При а = 0 уравнение (5.13) становится простейшим, а для реше- ния уравнений (5.14) и (5.15) следует применить метод разложения на множители. 4°. Иногда тригонометрическое уравнение удается свести к ал- гебраическому с помощью подстановки tg j = z, которую называют универсальной. - Пример 6. Решить уравнение 3cos2 2cos х = 4. Решение. Сначала воспользуемся формулами понижения сте- пени (4.16) и (4.17), которые имеют вид sjn2 .* = C0S2 X = 1 + COS X 2 2’2 2 Используем вторую из них: 3(1 + cos (х - —-------------- — 2 cos х = 4 2 и после очевидных преобразований получим уравнение 3sin х — 4cos х = 5. (♦) Оно легко приводится к алгебраическому уравнению относительно tg у с помощью формул (4.28) и (4.29), т. е. равенств 2tg± l-tg2^ sin х ------~, cos х ----— 1+tg2^ l+tg2y
Diasa 5. Тригонометрические уравнения 165 верных для всех х * л + 2л п, neZ. Отметим, что замена sin х и cos х выражениями, содержащими tg , может привести к потере корней вида х » я + 2яп, neZ. Удовлетворяют ли эти значения х исходному уравнению, выясняется проверкой. Выполнив в уравнении (*) универсальную подстановку tg у = z, получим уравнение z2 - 6z + 9 = 0. Оно имеет решение z = 3. Возвра- щаясь к переменной х, получим tg у = 3, откуда х ® 2arctg 3 + 2лл, п € Z Остается проверить, не удовлетворяют ли уравнению (*) числа х « я + 2яп, neZ. Имеем 3sin {я + 2тгп) - 4cos (я + 2яп) # 5; значит, числа х » я + 2яп не являются решениями уравнения (*). Ответ: х = 2arctg 3 + 2лл, п € Z. Группа А Решить уравнения (5.1-5.30): 5Д cost —-Зх ] = U ) 2 5.2 (cos х - 1) ^3 - ctg2 ~ 0. 5.3 cos3x-sinx = yj(cosx-sin Зх). 5.4 2(cos 4х - sin х cos Зх) = sin 4х + sin 2х. 5.5 sin Зх + sin 5х = sin 4х. 5.6 sin (15*+ х) + sin (45' 5.7 cos t sin + 6t j+ cos 5.8 sin 9x = 2sin 3x. 5.9 sin z + sin 2z + sin 3z = cos z + cos 2z + cos 3z. 5.10 1 - cos 6x = tg 3x. 5.11 1 + sin 2x = (cos 3x + sin 3x)2. -x)=l. I ? — nsin 6/ = cos 6/ + cos 4r.
166 Часть I. АЛГЕБРА 5.12 cos2 Зх + cos2 4х + cos2 5х = 1,5. 5.13 8cos z cos (60е - z) cos (60е 4- z) + 1 = 0. 5.14 sin 3x + sin 5x = 2(cos2 2x - sin2 3x). 5.15 ctg sin f = 2sin2 ~ . 5.16 cos3 x + cos2 x - 4cos2 * = 0. 2 5.17 6ctg2 x - 2cos2 x = 3. 5.18 sin4 x + cos4 x = cos2 2x + 0,25. 5.19 7 + 4sinxcosx+ l,5(tgx+ ctgx) = 0. 2 5.20 tgx+ctgx =------ cos4x 5.21 2sin3 x - cos 2x - sin x = 0. 5.22 sin2 x - 2sin x cos x = 3cos2 x. 5.23 2sin z - cos z = 0,4. 5.24 3sin 5z - 2cos 5z =3. 5.25 5.26 5.27 5.28 5.29 4sin 3z + - cos 3z = 3. 3 ctg X - tg x = 1 + \tgx + 1 sin21- + /1= sin /4- sin2(- - / \8 / \8 tg (x- 15”) ctg (x + 15°) = |. sin3 z cos z - sin z cos3 z = V2 4. 8 ’ 5.30 tg x tg 20е + tg 20е tg 40е 4-tg 40° tg x = 1.
Глава 5. Тригонометрические уравнения 167 Группа Б Решить уравнения (5.31-5.58): 5.31 tg 6х cos 2х - sin 2х — 2sin 4х = 0. 5.32 sin 2х sin 6х cos 4х + - cos 12х = 0. 4 „ „ , , е V2tg2xcos3x 5.33 1 + tg 2xtg 5х — -—-— ------= 0. cos 5х 5.34 tg (120е + Зх) - tg (140е - х) = 2sin (80е + 2х). 5.35 tg 2х - ctg Зх + ctg 5х = 0. 3 — t£2 X 5.36 tg х -——z— = sin 6x. l-3tg2x 2 5.37 tg (35е + x) ctg (10е - x) = - . 5 38 1 = 160 _ 2 (ctg2zctgz+ 1) cos4 z 9 sin2z 5.39 sin 2x 4- 2ctg x = 3. 5.40 3sin2 xcos 6sin2 xcosx+2cos3 x- cos^ 4- xjcos2 x = 0. sin21 + sin 2t - 1 5.41 tg t cos2 _ sjn 2/ -t-1 * 5.42 1+sinz + cos^ + sin2z + cos2z = 0. 5,43 cos (22е - t) cos (82е - /) 4- cos (112е - t) cos (172е -1) = = 0,5 (sin /+ cos /). 5.44 tg 5x - 2tg 3x = tg2 3x tg 5x. 82 5.45 tg4 x 4- ctg4 x = — (tg x tg 2x 4- 1) cos 2x.
168 Часть I. АЛГЕБРА 5.46 ctg х - tg x - 2tg 2x - 4tg 4x + 8 = 0. tg4 x + ctg4 x + tg2 x — ctg2 x = —. 3(cos 2x + ctg 2x) 5.48 -— -------V--2(sin2x+l) = 0. ctg 2x - cos 2x 5.49 (cos x - sin x)2 + cos4 x — sin4 x = 0,5sin 4x. 5.50 sin 6x + 2 = 2cos 4x. 5.51 COS2/— — 2Д \2 / ~ 1 _1 1 + cos 2t cos2 2t 5.52 ctg x - tg x = sin x + cos x. 5.53 tg (t2 - t) ctg 2 = 1. 5.54 sin2 / —- tg2 Г cos21 - ctg21 + 2tg3/ + 1 = 0. 5.55 ctg4 x = cos2 2x — 1. 5.56 sin 2z - sin 6z + 2 = 0. 5.57 sin3 x (1 + ctg x) + cos3 x (1 + tg x) = 2 "V sin x cos x. 5.58 sin 3x = a sin x. 5.59 Найти углы a, fl и у первой четверти, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию с разно- стью , а их тангенсы составляют геометрическую про- грессию. 5.60 Решить систему уравнений | sin х sin у = 0,75, Itgxtgy = 3.
Глава 5. Решения и указания 169 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ (Всюду, если нет иных указаний, предполагается, что к, 4 т, п принимают любые целые значения.) 5.1 Записав уравнение в виде cos и используя формулу (5.2), имеем я , ( 1Y ~ Зх = ± arccos + 2ли. 3 I 2J ( 1 2л „ Так как arccos I - — I = —, то получаем две серии корней: „ п 2 л „ л 2 ли 1) Зх — = — + 2 ли, т.е. х,= —+--; 3 3 1 3 3 „ л 2л „ л 2ли 2) Зх — =-----+ 2ли, т.е. х2 = —+----• 3 3 2 9 3 _ л 2ли л 2лн - Ответ'. xt = —+-----; х7 = — +---, п e Z. 1 3 3 2 9 3 5.2 Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из урав- нений cos х - 1 = 0 и 3 - ctg2 ~ = 0. Уравнение cos х = 1 имеет корни, которые находим по формуле (5.9): х=2лл, neZ. (1) Корни уравнения e.g> 1 - 3 находим „о формуле <5.4): — = ± — 4- тгл, т. е. х = ± — + 2лл, л € Z. (2) 2 6 3 Заметим, что данное уравнение не имеет смысла при зна- чениях (1), поэтому его корнями являются только зна- чения (2). Ответ: х = ± -&+ 2лп, л € Z.
170 Часть I. АЛГЕБРА 5.3 Разделив на 2 обе части уравнения и учитывая, что 1 Л" Л "у 3 л л - = cos - = sin - , а = sin - = cos - , имеем 2 3 6 2 3 6 1 „ V3 . „ V3 1 . - cos Зх + sm Зх = -2— cos х + - sm х; 2 2 2 2 cos - cos Зх + sin ~ sin Зх = cos - cos х + sin 2 sin x; 3 3 6 6 Отсюда получим: 1) sin^ - 2xj = 0; 2x = ~ + лк, Xj = ^(4k 4-1); 2) sin - xj = 0; x9 = — + лк. \12 / 12 'твет: x, = ~^4k + 1), x2 = лк, ke Z. 5.4 Перепишем уравнение в виде cos 4х = sin х cos Зх + 0,5(sin 4x + sin 2x). Преобразуем правую часть уравнения: sin х cos Зх + 0,5 • 2sin Зх cos x = sin 4x. Значит, cos 4x = sin 4x, откуда tg4x = l; 4x = —+itk, x = 4 =—(4k +1) (деление на cos 4x возможно, так как значения 16 х, при которых cos 4х = 0, не являются решениями уравне- ния). Ответ: х = (4k + 1), к € Z. 1о 5.5 Применив формулу суммы синусов (4.19), после преоб- разований получим
Глава 5. Решения и указания 171 2sin 4х cos х = sin 4х; sin 4х (2cos х - 1) = 0. Итак: 1) sin 4х = 0; 4х = лк; х, = ; 1 4 2) cos х = - ; х2 = ± + 2лк = - (6k ± 1). 2 3 3 Ответ: х2 = (6k± 1), k€ Z. 5.6 Используя формулу (4.19), получим 2sin 30е х Xcos(15’-x) = 1; так как sin 30е = 0,5, то cos (15*- х) = 1, или cos (х - 15е) = 1, откуда по формуле (5.9) находим х— 15е = 360’к. Ответ: х = 15* + 360*к, к € Z. 5.7 Используя формулы приведения, (4.21) и (4.10), имеем cos t cos 6t + sin t sin 6t = 2cos St cos t; cos St = 2cos 5tcos t; cos St (1 - 2cos t) = 0. Отсюда получим: 1) cos 5t = 0; 5t = 2 + 3tk, f, = (2k + 1); 2) cos t = ; t2 = ± + 2лк. Ответ: = ^(2* + 1), t2 = ± j + 2лк, к e Z. 5.8 Представив 2sin Зх в виде sin Зх + sin Зх, имеем sin 9x— sin 3x = sin Зх; 2cos 6xsin 3x = sin 3x. Отсюда получим: 1) sin Зх =0, Зх = лк; xi = “у >
172 Часть 1. АЛГЕБРА 2) cos 6х = — , 6х = ± - + 2лк\ х2= — (6к ± 1). 2 3 1 2 18 Ответ: х, =у,х2 = (6£ ± 1), ке Z. 5.9 Заметив, что sin z + sin 3z = 2sin 2z cos z, a cos z + cos 3z « = 2cos 2z cos z, имеем 2sin 2z cos z + sin 2z = 2cos 2z cos z + cos 2z; sin 2z(2 cosz+ 1) = cos 2z(2cos z+ 1); (2cos z + 1 )(sin 2z- cos 2z) = 0. Итак: l)2cosz+ 1 =0, cost =-!;?, = j(3A:+ 1); 2) sin 2г = cos 2г, tg 2г = 1, 2г = ^ + л!с, = ? (4Л +1). 4 о Ответ: zt = j (Зк ± 1), г2 = ^(4k + 1), к e Z. 5.10 Имеем . ,, sin 3x 2sin2 3x = tg 3x, cos 3x # 0; 2sin2 3x = ° cos 3x 2sin2 3x cos 3x = sin 3x; 1) sin Зх = 0, Зх = лк\ x{ = —; 2) 2sin Sxcos 3x = 1; sin 6x = 1,6х=- + 2яА:;х, = -(4Л+1). 2 12 Ответ: Xj = , x2 = (4k + 1), к e Z.
Ртава 5. Решения и указания 173 5Л1 В правой части уравнения выполним возведение в квад- рат и упростим полученное уравнение: 1 + sin 2х = cos2 Зх + 2sin Зх cos Зх + sin2 Зх; 1 + sin 2х = 1 + sin 6х; sin 6х — sin 2х = 0; cos 4xsin 2х = 0; лк 1) sin 2х = 0; 2х = лк\ х2 = —; 2) cos 4х = 0; 4х = ^ + лЛ; Xj = (2к + 1). 2 о Ответ: х. = хг = (2к + 1), к 6 Z. L о 5.12 Воспользуемся формулой понижения степени (4.17): 2(cos2 Зх + cos2 4х + cos2 5х) =3; 1 + cos 6х + 1 + cos 8х + 1 + cos 10х = 3; cos 6х + cos 8х + cos 10х = 0; cos 8х + 2cos 8хсов 2х = 0; 1) cos 8х = 0; 8х = ^ + лк\ Xj = ~ (2Л + 1); 2) cos 2х = 2х = ± 2л к; х^ = (ЗЛ ± 1). Ответ: х. = S (2к + 1), х, = -? (ЗЛ ± 1), к 6 Z, 1 1о 3 5.13 Записав левую часть уравнения в виде 4cos z* 2cos (60° - z) cos (60° + z) + 1, воспользуемся формулой (4.26): 4cos z (cos 120° + cos 2z) + 1 = 0; -2cos z + 4cos z • cos 2z + 1 =0; -2cos z + 2(cos 3z + cos z) + 1 = 0; cos 3z = — ,
174 Часть I. АЛГЕБРА 3z = ± 120° + 360° • к\ z = ± 40° + 120° • к. Ответ: ± 40’ + 120’ • к, к € Z. 5.14 К левой части уравнения применим формулу (4.19), а к правой — формулы (4.17) и (4.16): (1 + cos 4х 1 - cos 6х ----2-----------2----- 2sin 4х cos х = cos 4х + cos 6х; sin 4х cos х = cos 5х cos х; я 1) cos х = 0; Xj = - + лк\ 2) cos 5х = sin 4х; cos 5х — cos 0; sin 0; отсюда получим: а) + - = лк, х = — - + 2лк — эти значения входят 4 2 2 в решение Хр б)--- = ^,9х=- + 2ЛЛ;х2 = -+т. 0 твет: = — (2к + 1), х2 = (4к + 1), к eZ. 5.15 Заменив 2sin2 4 на 1 - cos t, имеем 2 ctg t — sin t = 1 - cos r, ctg t - 1 = sin t - cos t, sin t # 0; cos f — sin t . Л Л л -----------= sm t - cos C (sm t - cos r)(sin t + 1) = 0. sin t Отсюда получим: 1) sin t — cos t = 0, tg t = 1; t. = - + лк\ 4
Рида 5. Решения и указания 125 2) sin t = —1; = —— + 2л к. 2 2 Ответ: + лк, t2 = ~ + 2лк, keZ. 5.16 Заменив 2cos2 ~ на 1 + cos х и разложив левую часть урав- нения на множители, получим cos3 х + cos2 х - 2(1 + cos х) = 0; cos2x(cosx+1) — 2(1 + cosx) = 0;(l +cosx)(cos2x-2)= 0; cos2x-2 * 0,таккак|со$х|< 1; 1 +cosx = 0;cosx= -1; x = л + 2л k. Ответ: x = л(2к + 1), к € Z. 5.17 Левая часть уравнения определена при sin х * 0. Заме- нив 2sin2 х на 1 - cos 2х, a 2cos2 х на 1 + cos 2х, получим квадратное уравнение относительно cos 2х: 6------------(1 + cos 2х) = 3; 1 - cos 2х 6 + 6cos 2х - 1 + cos2 2х = 3 - 3cos 2r, cos2 2x + 9cos 2x 4- 2 = 0. Так как -9-V73 2 -9-V73 > 1, то cos 2x #----; следова- тельно cos 2x = -9 + V73 у 73 -9 ---- ----, 2x = ± arccos--x— + 2xk; x = ± - arccos 2 73-9 —---+ лк. 1 V73-9 Ответ: x = ± arccos----+ A: € Z
176 Часть I. АЛГЕБРА 5.18 Воспользуемся тождеством 1 = (sin2 х + cos2 х)2, откуда sin4 х + cos4 х = 1 - 2sin2 х cos2 х = 1 - - sin2 2х. 2 Тогда получим 1 - — sin2 2х = 1 - sin2 2х + - ; 1 - 2sin2 2х = 0; 2 4 cos 4х = 0, 4х = х = (2к + 1). Ответ: х = (2к + 1), к €Z. о 5.19 Уравнение определено при sin х 0, cos х # 0. Преобра- зуем его левую часть: ~ о о . 3/sinx cosx\ 7 4- 2sm 2х 4- - --+ —— = 2\cosx sinx/ „ , „ . , 3(sin2 x + cos2 x) „ . , 3 = 7 4- 2sin 2x + ——---------= 7 + 2sin 2x 4- . 2sin x cos x sin 2x -7-5 Имеем: 2sin2 2x 4- 7sin 2x 4- 3 = 0; sin 2x # —-A— = -3; 4 ’ —7 4" 5 1 7Г sin 2x = —5— = — , 2x = (—l)k+1 • — + лЛ; 4 2 6 12 2 Ответ: + z 5.20 Уравнение определено при sin x * 0, cos x # 0, cos 4x # 0. 2 2 2 Так как tg x 4- ctg x = -——, to , откуда sm 2x sm 2x cos4x sin 2x = cos 4x, cos^~ - 2xj- cos 4x = 0;
Ртава 5. Решения и указания 177 (Я . \ . [Я _ \ л - + xlsm I-- 3x1= 0. Итак: 1) sin + xj = 0; ~ + х = як\ хх = ~ (4к - 1); 2) sin — Зх) = 0; - - Зх = ~лк\ х~- — (4к + 1) — это \4 I 4 ^12 решение включает хр поэтому х = — (4к + 1). Ответ: ~ (4k + 1), к € Z. 5.21 Преобразуем левую часть уравнения: 2sin3 х — sin х — cos 2х = sin х (2sin2 х - 1) — cos 2х = = —cos 2х (sin х + 1). Имеем (1 + sin х) cos 2х = 0, откуда получим: 1) sin х = -1; х = + 2лк\ xY = (4к — 1); 2) cos 2х = 0; 2х = 2 + «Л; (2А: + 1). Ответ: х, = 2(4Л- 1),х, - (2к + 1),ktZ. 5.22 Так как значения х, при которых cos х = 0, не являются решениями уравнения, то, разделив обе его части на cos2 х, получим: tg2x- 2tgx = 3; tg2x— 2tgx- 3 = 0; tgx = 1 ± Vi +3 = 1 ±2;tgx= -l,x. = ?(4Л- 1); 1 4 tg x = 3, Xj = arctg 3 + лк. Ответ: х1 = (4k - 1), x2 = arctg 3 + лк, к € Z.
178 Часть 1. АЛГЕБРА 5.23 Воспользуемся универсальной тригонометрической под- становкой : tg = t. Согласно формулам (4.28) и (4.29) имеем sinz = 2/ 1 + /2’ cosz = 1-г2 1 + Л Тогда данное уравнение примет вид -У— - , или 5(4/ - 1 + г2) = 2(1 + г2), 1 + /2 1+/2 5 откуда получаем квадратное уравнение 3/2 + 20/ — 7 = 0, корнями которого являются = -7 и t2 = — . Следова- тельно, z1 = -2 arctg 7 + 2л к, z2 = 2 arctg ~ + 2л к, ке Z. Остается убедиться в том, не удовлетворяют ли исходно- му уравнению числа z = л + 2лк, ке Z, которые могли - ♦ z . быть «потеряны» при использовании подстановки tg — = /. Подставив указанные значения в данное уравнение, по- лучим 2sin (л + 2лк) — cos (я + 2л к) * 0,4 , т. е. они не’ являются решениями исходного уравнения. Ответ: Zj = -2arctg 7 + 2л к, z2 = 2arctg J + 2лк, keZ. 5.24 Указание. Воспользоваться подстановкой tg —*= /. 2 Ответ: z, = (4Л + 1), z2 = arctg 5 + к € Z. 5.25 Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного аргумента (4.13) и (4.14): Л ~ . 3z 3z 1 I 23z . 23z\ I • 2IZ-L. 2^z\ 4 • 2sm — cos — + - cos2---sin2 — = 3 sm2 — + cos2 — , 2 2 3 \ 2 2/ \ 2 2/ cos2 7 # 0; 2
Пива 5. Решения и указания 179 24tg 1 - tg2 = 9tg2 9; 5tg2 12tg ^+4 = 0; z 2 2 2 2 tg3-? = *±<; 8 2 5 ’ 1) у = arctg 2 + лк; z( = у arctg 2 + 3z , 2 х . 2 2^2лк 2) -z = arctg - + лк; z2 = - arctg - + —. X 0 J J J Ответ: z1 - arctg 2 + z2 = j arctg к e Z. 5.26 Имеем cosx sinx , tgx-1 + tgx+1 л -----------+ 2-------z---:---= 4, sin X COS X tg2 X - 1 sinx#0, cosx# 0, |tgx| * 1; cos2 х-sin2 х 4tgx 2cos2x _ —:---------+ —5------7 = 4; —-----2tg 2x = 4; sinxcosx tg2x-1 sm2x Л Л л cos2x sin2x ~ 2cos4x Л ctg 2х- tg 2х = 2; -т— ---= 2; - 2; sm2x cos2x sin4x ctg 4х = 1; 4х = — + лк\ х = — (4к + 1). 4 16 Ответ: х = ^(4к + 1), keZ. 1о 5.27 Указание. Воспользоваться формулой понижения степени (4.16). Ответ: = лЛ, /2 = (8fc ± 1), к € Z. 5.28 Перейдем к синусам и косинусам и воспользуемся фор- мулой (4.27):
180 Часть I. АЛГЕБРА 2sin(x- 15*)cos(x + 15’) _ 1 2cos (x - 15°) sin (x + 15°) 3 ’ cos (x -15’)# 0; sin (x + 15’)# 0; sin 2x — sin 30’ 1 2sin 2x — 1 1 ~ ~ , sin2x + sin 30’ 3 ’ 2sin2x +1 3 ’ Sm * ’ 6sin 2x — 3 = 2sin 2x + 1; sin 2x = 1; 2x = 90’ + 360%; x = 45°(4* 4-1). Ответ: x = 45’(4fc +1), к 6 Z. 5.29 Имеем ^2 V2 2sin z cos z (sin2 z - cos2 z) = —; -sin 2z cos 2z = -—; 4 4 sin 4z = 4z= (-1)*+1 -+nk\ z- — 4”. 2 4 16 4 Ответ: z = (-I)*44 -^+ ktZ. 5.30 После вынесения tg x за скобки и дальнейших преобра- зований получим tg X (tg 20- + tg 40’) = 1 - tg 20’ tg 40’; tg X = tg 20 + tg 40 tg x = ^ro-’+Wtg x =ctg 6O’; tg x = tg 3O’; x= 30’+ 180’•£. Ответ: x = 30’ + 180’ %, к € Z. 5.31 Здесь cos 6x # 0. Следовательно, sin 6x cos 2x — sin 2x cos 6x = 2sin 4x cos 6x; sin 4x = 2sin 4x cos 6x,
Птава 5. Решения и указания 181 откуда получим: 1) sin 4х = 0; х = но при к = 21 + 1 имеем cos 6х = 0, 4 лк поэтому х1 = — ; 2) cos 6х = х7 = — (6k ± 1). 2 2 18 Ответ: х2 = £ (6k± 1), ке Z. 2 1о 5.32 Запишем данное уравнение в виде 2sin 2х* 2sin 6xcos 4х + cos 12х = 0 и преобразуем его левую часть: 2sin 2х (sin 10х + sin 2х) + cos 12х = 2sin 2xsin 10х + + 2sin2 2x + cos 12x = cos 8x - cos 12x + 2sin2 2x + cos 12x = = 2cos2 4x - 1 + 1 - cos 4x = cos 4x (2cos 4x - 1). Имеем cos 4x (2cos 4x— 1) = 0, откуда получим: 1) cos 4x = 0; Xj = ~ (2k + 1); 8 2) cos 4x = |; Xj = (6k ± 1). Ответ: ? (2k + 1), x2 = (6k ± 1), к € Z. 5.33 Здесь cos 2x * 0, cos 5x # 0. Тогда cos 2x cos 5x + sin 2x sin 5x = V"2 sin 2x cos Зх; cos Зх = V? sin 2x cos 3x. Отсюда получим:
182 Часть I. АЛГЕБРА 7t 1) cos Зх = 0; х = - (2k + 1), но при к = 31 + 1 имеем 6 cos 5х = 0, поэтому х. = ± + лк\ 6 2) sin 2х = -4=; х7 = (-1)* — +^. <2 2 8 2 Ответ: х, = ? (6к ± 1), х2 = у к 6 Z. 5.34 Имеем tg (120° + Зх) + tg (40е + х) = 2sin (80* 4- 2х). Пусть 40° + х = у; тогда tg Зу + tg у = 2sin 2у; cos Зу # о, откуда следует cos у # 0; sin 4у sin 2у cos 2у --------— = 2sin 2у;---------= sin 2у. cos у cos Зу cos у cos Зу Отсюда получим: 1) sin 2у = 0; так как cosy * 0, то siny = 0, т. е. yj = 180’ • Аг, 2) cos 2у = cos у cos Зу; 2cos 2у = cos 4у + cos 2у; cos 2у — - cos 4у = 0; sin Зу sin у = 0; sin Зу = 0, у2 = 60* • к (это решение включает yj). Ответ: х = 60е • Л - 40е, к £ Z. 5.35 Имеем sin 2х _ cos Зх cos 5х _ cos 2х sin Зх sin 5х sin Зх * 0, sin 5х # 0, cos 2х * 0; sin 2х sin Зх - cos 2х cos Зх cos 5х cos 2х sin Зх sin 5х
Глава 5. Решения и указания 183 cos 5х cos 5х cos 2х sin Зх sin 5х Далее получим: 1) cos 5х = 0; xt = ~ (2к + 1); 2) 2sin 5х - 2cos 2х sin Зх = 0; 2sin 5х = sin 5х + sin х; sin 5х - sin х = 0; sin 2х cos Зх = 0; лк Х2~ 2’ к 21, так как при этом sin Зх = sin 5х = 0; х3 = (2к + 1) включает решение х,. 6 Ответ: х, = (2к + 1), х2 = | (2к + 1), к € Z. 5.36 Здесь tg х # ±-р=, cos х # 0. Преобразуем левую часть уз уравнения: tg х 3cos2 х sin2 х = tg х 2cos2 х + cos 2х cos2 х - 3sin2 х cos 2х — 2sin2 х = tg х * + 2cos2x_ sinx + 2sinxcos2x _ 2cos 2x - 1 2cos x cos 2x - cos x sin x + sin 3x - sin x =------г----z--------= tg 3x. COS X + cos 3x - COS X Тогда tg 3x = sin 6x, откуда получим: 1) sin Зх = 0; Xj = ^; 2) cos2 3x = ~, 1 + cos 6x = 1, cos 6x = 0; x2 = ~ (2k + 1). Ответ: x2 = (2k + 1), к e Z.
184 Часть I. АЛГЕБРА 5.37 Указание. Положить у = 35° + х и решить уравнение 2 tgy tg (45° + у) = - . Ответ: = arctg — 35° + 180’ • к, х2 = -arctg 2 — 35’ + 180’ • к, к 6 Z. 5.38 Здесь cos z * 0, sin z * 0. Заметим, что ctg 2z ctg z + 1 = cos 2z cos z + sin 2z sin z sin 2z sin z cos г 1 2sinzcoszsinz 2sin2z Тогда получим уравнение 1.1 160 . 4 , 4 160 . 4 -T4- - + -7— = —; Sin4 z + cos4 z = — sin4 z cos4 z sin4 z cos4 z 9 9 Так как sin4 z + cos4 z + 2sin2 z cos2 z = (sin2 z + cos2 z)2 = 1, то уравнение примет вид 1 — 2sin2 z cos2 z = sin4 z cos4 z\ 20sin4 2z + 9sin2 2г—18 = 0; 20w2 + 9w-18 = 0, где и = sin2 2z. Отсюда находим и = - (берем только положительный 4 у 3 л корень). Итак, sin 2z = ± —, т. е . г = - (ЗЛ ± 1). 2 6 Ответ: z = (ЗЛ ± 1), к е Z. о 2tg х 5.39 Воспользовавшись формулой sin 2х = , получим rrfe+ih=3:4tg2x+2=3tgx+3tg3x
Diaaa 5. Решения и указания 185 Заметим, что tgx = 1 — решение этого уравнения; значит, х=-(4к+\). 4 Других решений нет. Действительно, 3tg3 х — 4tg2 х + 3tg х — 2 = 3tg3 x - 3tg2 x — tg2 x + tg x + + 2tgx- 2 = (3tg2x-tgx + 2)(tgx- 1), где 3tg2 x-tgx+2^0 (поскольку D < 0). Ответ: x = (4k + 1), к G Z. 4 5.40 Используя формулы приведения, преобразуем уравнение к виду 3sin3 х — 6sin2 х cos х - sin х cos2 х + 2cos3 х = 0. Это однородное уравнение относительно sin х и cos х, причем значения х, при которых cos х = 0, не являются решениями данного уравнения. Разделив все члены урав- нения на cos3 х, имеем 3tg3x-6tg2x-tgx + 2 = 0; 3tg2x(tgx-2)-(tgx-2) = 0; (3tg2x-l)(tgx-2) = 0; 3tg2 x - 1 = 0; tg x = ± ^2-; x =~2 (6k ± 1), 3 6 tg x - 2 = 0; tg x = 2; x = arctg 2 + ?tk. Ответ: x = ~ (6k ± 1), x = arctg 2 + лк, ktZ. о 5.41 Записав уравнение в виде sin21 + 2sin t cos t — sin21 - cos21 --------------------------------- ь cos21 — 2sin t cos t + sin21 + cos21 ’
186 Часть I. АЛГЕБРА разделим числитель и знаменатель на cos21 (cos t * 0): 2tg t -1 э . g,-2-2«,4- (поскольку D < 0), следовательно, tg31-2tg2t + 1 = 0; (tg t- l)(tg21-tg t- 1) = 0. Ответ: (4k + 1), t2 = arctg *$ + лк, i -л|Т t3 = arctg —— + лк, к 6 Z. SAI Указание. Воспользоваться тем, что 1 + sin 2г = = (sin z + cos г)2, cos 2z = (sin z + cos г) (cos z - sin z) и разложить левую часть уравнения на множители. Ответ: z, = (4к - 1), z2 = ^(3Jt ± 1), к 6 Z. 5.43 Преобразуем Левую часть уравнения: i cos (104" - 2r) + ± cos 60° +1 cos (284’ - 2/) +1 cos 60" = = sin (14” - 20 + - + - sin (14” - 20 + - = -. 2 4 2 4 2 Тогда получим уравнение sin t + cos t = 1; sin t = 2sin2 —; 2sin — cos - = 2sin2 —; 2 2 2 2 1) sin - = 0; Z. = 360° •£; 2 1 2) sin - = cos - , tg - = 1; t2 = 90е (4k + 1). 2 2 2 Ответ: tl - 360° • k, t2 = 90° (4k + 1), к € Z.
Глава 5. Решения и указания 187 5.44 Здесь cos Зх * 0, cos 5х * 0. Перенесем tg Зх в правую часть уравнения: tg 5х - tg Зх = tg Зх + tg1 2 * Зх tg 5х; tg5x-tg3x= tg Зх (1 +tg3xtg5x); l+tg3xtg5x * (при этом 1 + tg Зх tg 5х * 0); tg 2х = tg Зх; Зх = 2х + л/г, х = лк. Ответ: х = nkt keZ. 5.45 Заметим, что tg4 х + ctg4 х «(tg2 х + ctg2 х)2 - 2. Преобра- зуем правую часть уравнения: (tgxtg2x+ 1) cos 2х = (tgx—+ 1 Icos \ l-tg2x I tg2x+l sin2x + cos2x t 1 - tg2 x cos2 x - sin2 x ii«2 Далее имеем (tg2 x + ctg2 x)2 = 2 + —; tg2 x + ctg2 x = — . 9 3 Ho tg2 x + ctg2 x = (tg x + ctgx)2 - 2, откуда tg х + ctg х = ±~=; —— = ± -4=; x = - (ЗЛ ± 1). <3 sin2x VT 6 Ответ: х=% (Зк ± 1), к € Z. о 1 — tg2 x 5.46 Заметив, что ctg x - tg x » —-----= 2ctg 2x, преобразу- tg x ем левую часть уравнения: 2ctg 2х - 2tg 2х - 4tg 4х+8 = 4ctg 4х - 4tg 4х + 8 = 8ctg 8х + 8. Отсюда ctg 8х = -1, 8х = лк; х = ~ (4к + 3). Ответ: х-^(4к + 3),ке Z.
188 Часть I. АЛГЕБРА 5.47 Указание, положить tg2 х - ctg2 х = г, тогда tg4 х + + ctg4 х = z2 + 2. Ответ: х, = ~ (Зк ± 1), х2 = ± ~ arccos ——- + лк, keZ. 5.48 Имеем 3cos 2x(l \ sm 2x1 ---------------------2 (sin 2x + 1) = 0, cos 2x * 0, sin 2x # 0; cos2x| 3 (sin 2х+ 1) _ , . _ 4---——-2(sin2x + 1) = 0; 1—sin2x v 7 sin 2x * -1, так как при этом cos 2х = 0; -—3 = 2 sin 2х = —- ; 2х = (~l)k+1 - + лк. 1 - sin 2х 2 6 Ответ: х = (-1)*+1 + ^,к € Z. 5.49 Заметив, что (cos х - sin х)2 = 1 - sin 2х, a cos4 х - sin4 х = = (cos2 х + sin2 x)(cos2 х — sin2 x) = cos 2x, получим 1 - sin 2x + cos 2x — sin 2x cos 2x = 0; 1 -sin2x + cos2x(l -sin2x) = 0;(l -sin2x)(l +cos2x) = 0, откуда Xj = (4£ + 1), Xj = (2k + 1). Ответ: X| = (4k + 1), x2 = (2k + 1), к € ъ 5.50 Имеем sin 6x = 2cos 4x - 2; sin 6x = -4sin2 2x. Вычтем sin 2x из обеих частей уравнения:
Ртава 5. Решения и указания_________________________________189 sin 6х - sin 2х = —4sin2 2х - sin 2х; 2sin 2х 60s 4х = -sin 2х (4sin 2х + 1). Итак: лк. 1) sin 2х = 0; 2х = лк\ х, = — ; 1 г 2 ) 2cos 4х + 4sin 2х + 1 = 0; 2 - 4sin2 2х + 4sin 2х + 1 » 0; 1 3 4sin2 2х - 4sin 2х - 3 = 0, sin 2х = — , sin 2х # 2 2 r = (-l)w^ + -. 12 2 Ответ: х, = х2 = (-l)*44 к € Z. 5.51 Имеем sin2 2/ _ 1 1 + cos 2t cos2 2t — 1, cos 2t 0, cos 2t # —1; sin2 2t 1 + cos 2t = tg2 2r, l)sin2f= 0;2/= 2лтак как cos 2/= -1 при2/ = л(2к+ 1); 2) cos2 2t = 1 + cos 2r; cos 2t = - , cos 2t * — поскольку Ответ: L = лк, /, = ± arccos -!—^-5+ лк, keZ. 1 г 2 2 5.52 Здесь sin x * 0, cos x # 0. Имеем: cos x sin x —------------= sin x + cos x; sin X COS X
190 Часть I. АЛГЕБРА cos2 х — sin2 x = sin x cos x (sin x + cos x); (sin x + cos x)(cos x - sin x - sin x cos x) = 0; 1) sin x + cosx = 0; tgx = —1; x{ 4 2) cosx —sinx-sinxcosx = 0. Положим cosx- sinx = y\ тогда (cos x - sin x)2 = у2, или 1 - 2sin x cos у = у2, 1 ~У2 т. e. sm x cos x = —-— уравнение: . Решаем полученное квадратное у-Ц^ = 0;у2 + 2у-1 = 0;у=-1±У1; cos х - sin х # -1 - у[2, так как -1 - ^2 < -2 (напомним, что | cos х - sin х | < )• Значит, cosx— sinx = -1 + УТ; cosx— cos _ . л , л \ i.rz./я \ v z - i 2sin - sin - - x = — 1 + \ 2; sin| — x = л- ; 4 \4 f Д4 / V2 x2 = (-1 )* arcsin — + ? (4£ + 1). Ответ: x, = (4fc - 1), x2 = (-1)* arcsin ~ (4fc + 0, keZ. 5.53 Здесь cos (t2 - t) 0; имеем tg (t2 - 0 = tg 2 , откуда t2 - t = 2 + лк, t2 - t - 2 - лк = 0; 1 ± V 1 + 4(2 + лк) 1 ± л!9 + 4лк _ _ , Л 0. 1±^9 + 4тгЛ Ответ: ---'—z----, Ar > 0.
Diasa 5. Решения и указания 191 5.54 Здесь sin t # 0, cos t * 0. Преобразуем выражение sin2t- tg21 —z-------7-; имеем cos2t- ctg21 tg2 t(cos2t- 1) _ tg21*sin21 6 ctg21 (sin2 f — 1) ctg21 • cos21 8 Тогда получим уравнение tg6t+2tg3t+l = 0;(tg3t+l)2 = 0;tgt=-l;t=^(4k-1). 4 Ответ: t = ~ (4k-1), Z. 4 5.55 Так как ctg4 х > 0, cos2 2х - 1 < 0, то приходим к системе уравнений ctg4x= 0, cos22x- 1 = 0. УКк Отсюда находим: 1) х = - (2k + 1); 2) х = — , но в этом 2 2 „ Л случае при к = 21 не существует ctg х. Итак, х = — (21с +1). Ответ: х= *(2к+ 5.56 Так как | sin а | < 1, то равенство sin 2z- sin 6z = -2 возмож- но только при sin 2z = -1, sin 6z = 1. Если sin 2z = -1, to 2z = — + 2лк, откуда z = — + лк. При этих значениях z равенство sin 6z = 1 выполняется. Ответ: z = (4k - 1), к G Z. 5.57 Имеем sin xcos x> 0, но при sin x< 0, cos x< 0 левая часть уравнения отрицательна, поэтому sin х > 0, cos х > 0. Преобразуем левую часть уравнения:
192 Часть!. АЛГЕБРА sin’х sinx + cosx + COS3х sinx+cosx = sin х sin х = (sin x + cos x)(sin2 x + cos2 x) =sin x + cos x. Тогда получим sin x + cos x - 2 V sin x cos x = 0; (V sinx - V cos x )2 = 0; л sinx = cos x; tgx= l;x= — + 2лк, таккакзтхХ), cosx>0. 4 Ответ: x = ~ + 2л к, k^Z. 4 5.58 Преобразуем левую часть уравнения: sin Зх = sin (2х + х) = sin 2х cos х + cos 2х sin х = = 2sin х cos2 х + cos2 x sin x - sin3 x = 3sin x (1 - sin2 x) — — sin3 x = 3sin x — 4sin3 x. Остается решить уравнение 3sin x - 4sin3 x = a sin x. Имеем: 1) sin x = 0; Xj = itk при любом a\ 2) sin2 x = ^-7^; здесь 0 < —~r~ 1; 0 < 3 - a < 4; 4 4 -3 < — a < 1, t. e. — 1 < a < 3 — при таких a существуетsinx. Итак, о-2 3 -а 1 _ 3-а _ а-1 2sm2 х =---, 1 — cos 2х =-; cos 2х = —— 2 2 2 х2 = ± arccos ° + лк при -1 < а < 3. Ответ: Xj = лк при любом a; х2 = ± ~ arccos лк при -1 < а < 3 (keZ).
Глава 5. Решения и указания 5.59 Пустьа =/?-ур у = /? + ^. Так как по условию tg/?- = qtga, tgy = q2tga = qtg/?, то “и “I' - +r2)- V 12/ Преобразуем правую часть этого уравнения: tg^-tg^ tg^ + tg^ tg20-tg2^ l+tg^tg/5 1-tg^tgjJ i-tg2^tg2£ IX -XX XX Тогда получим tg2/? - tg2£• tfp = tg2/? - tg2 73; tg4 Д = 1; XX XX поскольку 0< 0 < , имеем tg/? = 1,t. e./? = ^. Ответ: a - у = О *r J 5.60 Имеем sin x sin у = 0,75, sinx sin у _ $ cos x cos у тл °’75 Из второго уравнения получим----------» 3, откуда cos х cos у cos х cos у » 0,25. Тогда придем к системе sin х sin у = 0,75, cos х cos у = 0,25. 7 Сканави
194 Часть I. АЛГЕБРА Складывая уравнения и вычитая первое уравнение из второго, получаем sin х sin у + cos х cos у = 1, cos х cos у - sin х sin у = —0,5; cos (x — у) = 1, cos (x + y) = -0,5; x - у = Ъгк, x + у = ± + 2лл. Ответ: x = ± ~ + л(к + л),у = ± ~ + л(п - к), n,keZ. •J J
ГЛАВА 6 ПРОГРЕССИИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 1°. Арифметическая прогрессия (at - первый член; d - разность; п - число членов; ап - и-й член; Sn - сумма п первых членов): л„=в1+</(и-1); (6.1) S„=^^n- (6.2) =-2-t+и; (63) а* = а*~'^а*+1 > к = 2,3, .... и-1; (6.4) ак+ат = ар + , где к + т = р + q. (6.5) 2°. Геометрическая прогрессия (Ьх - первый член; q - знаменатель (q* 0); п - число членов; Ьп- п-й член (bn *0); Sn - сумма п первых членов): Ь„=Ь1Ч"-'-, (6.6) (6.7а) 1-^Г Sn =nbi (<7 = 1); (6.76)
Часть I. АЛГЕБРА =bk_\bk+\, Л = 2,3, л-1; (6.8) bkbm =bpbq,rj& k + m = p + q. (6.9) Если |<?|< 1, то при неограниченном увеличении и(и-»оо) о сумма S„ стремится к числу ——, которое называют суммой 1-<7 бесконечной геометрической прогрессии и обозначают буквой S: s=-A_. (6.Ю) 1~<7 Группа А 6.1 В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, а за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков? 6.2 Найти число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Написать три первых члена этой прогрессии. 6.3 Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна -49, а сумма средних членов равна 14. 6.4 Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |<т| < 1, сумма которой равна 8 „ 1 —, второй член равен - —. 6.5 Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел 14 о - равна —. Наити эти числа.
Глава 6. Прогрессии 197 6.6 Вычислить (1 + 32 + 52 +... + (2и-1)2 + ... + 1992)- ~(з2 +42 +62 +... + (2и)2 + ... + 2002). 6.7 Знаменатель геометрической прогрессии равен четвертый член этой прогрессии равен , а сумма всех 121 ч ее членов равна . Найти число членов прогрессии. 6.8 Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что Ь4 - Ь2 =---------и 6.9 Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: при любом п сумма ее п первых членов равна 5п2. Найти разность этой прогрессии и три первых ее члена. 6.10 Найти сумму шести первых членов арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна учетверенному квадрату этого числа. 6.11 Решить уравнения: а) 2х +1 + х2 -х3 + х4 -х5 + ... = —, где |х| < 1; 6 б) —+ х + х2 + ... + х" + ... = —, где Ixl < 1. х 2 6.12 Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |<?|<1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.
198 Часть I. АЛГЕБРА 6.13 Найти натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если произведения трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24. 6.14 Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена этой прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член и разность прогрессии. 6.15 Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии. 6.16 Сумма трех последовательных членов геометрической прогрессии равна 65, а сумма их логарифмов по основанию 15 равна 3. Найти эти члены прогрессии. Группа Б 6.17 Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии, 6.18 Известно, что в некоторую арифметическую прогрессию входят члены а2п и а2т такие, что = -1. Имеется ли а2т член этой прогрессии, равный нулю? Если да, то каков номер этого члена? 6.19 Решить уравнение 1 + 2х + 4х2 +... + (2х)" + ... = 3,4-1,2х, если известно, что |х| < 0,5. 6.20 Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |</| < 1 равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Глава 6. Прогрессии 199 6.21 Даны две бесконечные геометрические прогрессии со знаменателем [#| < 1, различающиеся только знаком их знаменателей. Их суммы равны S, и S2. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. 6.22 Сумма трех чисел равна — а сумма обратных им чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 18. Найти эти числа. 6.23 Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 21. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 2, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии. 6.24 Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних равна 18. 6.25 Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если затем увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа.
200 Часть I. АЛГЕБРА РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 6.1 Пусть х - число промахов в серии из 25 выстрелов. Тогда, используя формулу (6.3), получим уравнение 21+0,5(х-1) _ 2 , „ -----------х = 7, или х + Зх - 28 = 0, 2 откуда *1=4, х2 = -7 (не подходит). Следовательно, стрелок попал в цель 21 раз. Ответ: 21 раз. 6.2 Используя условие и формулу (6.1), имеем систему a2d = 30, а3 + а5 = 32, или (<7|+</)</= 30, ах + 2d + ах +4d = 32. Отсюда находим два решения: 1) <^=1, <7 = 5; 2) ах = 7, d = 3. Для каждого из них воспользуемсся формулой (6.3). 1ЧТ-Т , , 2 + 5(и-1) 1)При tfj=l, а = 5 получим 112 =-----------'-п , откуда = 7, п2 = -6,4 (не подходит). В этом случае первые три члена таковы: 1; 6; 11. _ „ , „ ,14 + 3(и-1) 2) При = 7, d = 3 получим 112 =------------п , откуда п 32 / пх -1,п2 - —— (не подходит). В этом случае первые три члена таковы: 7; 10; 13. Заметим, что в обоих случаях число членов равно 7. Ответ: 7 членов; 1; 6; 11 или 7; 10; 13. 6.3 Используя условие и формулу (6.6), получаем систему Ь.+ь4 =-49, [f>, (1 + а3)=—49, или ' z ' Z?2 b3 = 14, q(\ + q) = 14. Отсюда следует, что 1-<7 + <у2 49 _ 2 г о л —-—— =--------, или 2q + 5q + 2 = 0, q 14
Глава 6. Решения и указания т.е. qx = -2, q2 = -0,5. Тогда искомыми четырьмя числами являются 7; -14; 28; -56. Ответ: 7; -14; 28; -56. 6.4 Воспользуемся формулами (6.10) и (6.6). Тогда получим систему ^ 8 к 1 M = -j- Далее имеем 16g2 - 16g - 5 = 0, откуда qx = 4 q2 = — > 1 (не подходит по условию). Следовательно, 4 zU-lY-lLl. 3 V 2Л 4J 8 Ответ: —. 8 6.5 Согласно условию, запишем систему + #2 + ^3 = 2’ 2 2 2 14 *f+*2 +*з =у. Д1 4- а3 Далее, используя формулу (6.2), имеем - - -3 = 2 4 2 откуда ах + а3 = — и, значит, а2 = . Таким образом, приходим к системе Г 4 *1 +*з=р л2Ал2 10 «I +<Ъ =у> 1 решив которую получим = —, а3 = 1, либо ах = 1, 1 U 1 2 1 а3 = —. Итак, искомыми числами являются —; —; 1. 3 3 3 3 3
202 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: —; —; 1. 3 3 6.6 Заметим, что (2п)2 - (2п -1)2 = 4/7 -1. Число и найдем из равенства 4л? -1 = 2002 -1992, или 4/7 -1 = 399, откуда и = 100. Покажем, что последовательность а„ = (2п)2 - (2n -1)2 есть арифметическая прогрессия. Действительно, =((2")2 ~(2«-02)-((2«-2)2 -(2и-3)2)= = 4п-1-4а?4-5 = 4, т е. d = 4 . Теперь находим 34-399 - -S'ioo = —---ЮО = 20100, откуда £ = -20100. Ответ: - 20 100. 1,1 L 1 Т’ , то — = • —, откуда Ь\ - — • Теперь, 6.7 Так как Z/4 = bxq3 используя формулу (6.7а), получим уравнение 1 1-± 2< 3nJ 121 , 1 121-4 , 1 242 —-------- =--, или 1--=-------, или 1--=----- 2 162 3” 162-3 Зл 243 из которого находим п = 5. Ответ: 5. 6.8 Указание. Составить систему из которой найти q. Ответ: Ьх =6, q ~~ или = ~6, q = 4
Глава 6. Решения и указания 203 6.9 Используя формулу (6.3) и условие задачи, получаем равенство 2#1 + d(n-1) 2 ~ j /«л j\ —!---------~п - 5л , или 2а} - d = (10 - d)n . Так как в этом равенстве может изменяться только п, то d = 10 . При d = 10 находим at = 5. Следовательно, три первых члена этой прогрессии таковы: 5; 15; 25. Ответ: 5; 15; 25; d = 10 . 6.10 Указание. Использовать метод, рассмотренный при решении задачи 6.9. Ответ: 144. 1 7 . 2 ’ "2 ~ 9 ’ „ . 1 2 б) — +-----= — => Х> = — , х2 = —. ' ~ 1 - 1 3’ 2 3 6.11 Воспользуемся формулой (6.10), справедливой при условии |х| < 1: . . , X2 13 1 а) 2х-ь1 +---= — => х, = —, х2 = - 1 + х 6 1 2 r 1 х 7 ' х 1-х 2 х 1 7 1 2 Ответ', a) Xj = —, х2 = ; б) х1 = —, х2 = — 6.12 Применив к обеим прогрессиям формулу (6.10), получим + М + М* + ... - , 1-<7 62+(W +(м2)2 +- = А-- 1-9 Согласно условию, имеем систему — = 16, 1-9 -^Ц- = 153,6, 1-V откуда q = —, b} = 12. Значит, b4 =b}q3 = 12 — = — 4 64 16
204 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: — и —. 16 4 6.13 В силу условия имеем ах (tfj 4- d)(ax 4- 2d) = 6, 4-t/)(aj + 2d)(ax 4-3t/)=24 => ax 4- 3d = 4=> ax = 4 - 3d. Таким образом, приходим к кубическому уравнению 3d3-22d2 + 48rf-29 = 0, или 3d3-3d2 -I9d2 +l9d + 29d-29 = 0, откуда (</-1)(з</2-19rf + 29)= 0. Это уравнение имеет единственный корень d = 1. Ответ: 1; 2; 3; 4. 6.14 Согласно условию, имеем систему а3а6 =406, [(a] 4-2i/)(a| 4-5t/)= 406, ИЛИ л z \ а9 = 2а4 4- 6, [а] 4- 3d = 2(t/j + 3d)+6. Отсюда находим два решения: 1) ^=4, </ = 5; 79 37 2) ах =----,d =-----. Условию задачи удовлетворяет 7 14 только первое из них. Ответ: 4 и 5. 6.15 Пусть ах - первый член арифметической прогрессии, d - „ (2а|+2</)3 ,, ее разность. Согласно условию, 2———— = 15, откуда ^4-^ = 5, (1) Далее, так как числа а} -1, ах 4- d - 1, ах 4- 2d 4-1 образуют геометрическую прогрессию, то в силу формулы (6.8) имеем (а| +rf-l)2 =(й!+2Л + 1). . (2) Решив систему уравнений (1), (2), получим два решения: 1) Д|=3, d = 2\ 2) ax=9,d- -4. Однако второе
Глава 6. Решения и указания 205 решение не подходит (б/ = -4<0). Итак, 2-34-2-9 2 •10 = 120. - Ответ: 120. 6.16 В силу условия имеем систему ai + ai7+ a\Q2 = 65, logl5 at + log|5 (a,<?)+ log,, (<M2)= 3. Записав второе уравнение в виде logls(a) •alq-alg2)=3, получим д373 = 153, т.е. Д]7 = 15. Таким образом, приходим к системе {^17 = 15, [^7 = 15, или ах +15 +157 = 65, [tfj +157 = 50 и в результате получаем два решения: 1) а, =5, </ = 3;2) Д] =45, ? = |. Ответ: 5; 15; 45 или 45; 15; 5. 6.17 Согласно условию, имеем (1 4- 7 4- 72 ) = 21, 62(1 + ?2 + q*}= 189. Возведем в квадрат обе части первого уравнения: Z>i2(1 + <72 +<74)+2Z>!29(l + q + 92)= 441. Вычитая из этого уравнения второе уравнение системы, получим 2/>|2^(1 + 9 + <72)=252, откуда b}q = 6. Теперь из системы j>1(l + 92)=15, находим два решения: 1) 7 = 2, Ь} = 3; 2) 7 = ~, Ъ\ = 12. Проверка показывает, что оба решения подходят.
206 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: bx = 3, q = 2 или =12, q = — . 6.18 Имеем - = -!=> а2„ +а2„ =0=> а2т =>[#! +(2л-1)б/|+[я1 +(2w - 1)б/]= 0=> => Д] + (п + т - l)i7 = 0 . Это означает, что (и + т) -й член прогрессии равен нулю. Ответ: да; (п 4- т)~й член. 6.19 Левая часть уравнения есть сумма бесконечной геометрической прогрессии, причем b{ = 1 и |т| = |2х| < 1, так как |х| < 0,5 . Согласно формуле (6.10), имеем 1 + 2х + 4х2 +... = —!—; 1-2х j-y- = 3,4 - 1,2х; (3,4 - 1,2х)(1 -2х)= 1; 2,4х2-8х + 2,4 = 0; Зх2 -10х + 3 = 0, откуда Х| = 3, х2 = - . Условию удовлетворяет только 1 корень х = —. Ответ: х = —. 3 6.20 Так как + b{q 4- bxq2 4-... - , A3 b{^b{q +b{q 4-... = ----- 1-7 то получим систему
Глава 6. Решения и указания 207 1-9 (4(1-^)=*,, -^1—= 192 Н| + ?+|?М' Л-93 Далее имеем 2q2 + 5q + 2 = 0, откуда q = -2 (не подходит), q = -0,5 . Следовательно, Ьх = 6. Ответ: 6 и -0,5. 6.21 Имеем: 2 <2i ax+axq + axq +... = = у——; <7i-a^+a^q1 ~... = S2 = -^-; 1 + 9 2 2 , л2 2 , 24 , с “1 ai +axq +а\4 +... = £ = -—2". * q Отсюда следует, что Ответ: SXS2 6.22 Пусть х, у, z - искомые числа. Тогда, используя условия, получим систему 11 х+у+г = Гз' 1ДД=18, X у Z 2 1 1 z У Решив ее, найдем х = —, у = —, z- —. 9 6 3
208 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: — ; — ; —. 9 6 3 6.23 Пусть ах - первый член арифметической прогрессии, a d- ее разность. Тогда согласно формуле (6.2) имеем 2д1 + 2 <7 S3 = ——-----3 = 21, или aj + d = 7 . По условию, ах -1, ax+d-\, a}+2d + 2 - три последовательных члена геометрической прогрессии. Используя формулу (6.8), получаем (а, + d-1)2 = (а, + 2d + 2)(а, -1), откуда после замены ax=7-d и раскрытия скобок приходим к квадратному уравнению d2 + 3d-18 = 0 , и, значит dx = 3, d2 = -6. Условию удовлетворяет только dx = 3; тогда ах = 4. Далее находим Ьх = ах -1 = 3, b2 = ах + d -1 = 6 и, следовательно, q = 2. Наконец, по формуле (6.7а) получим Д|(?8-1) з(28-1) 8 q-\ 2-1 Ответ: 765. 6.24 Пусть ах, а2, а3, а4 - искомые числа. Используя условия, а также формулы (6.4) и (6.8), получим систему а2 = «1^3» 2а3 = а2 4- я4, ах 4- а4 = 21, + о3 =18. Исключив из этих уравнений ах, а2, а4, имеем 4а3 - 75а3 4- 324 = 0, откуда находим а3 = 12 либо а3 = 6,75. Ответ: 3; 6; 12; 18 или 18,75; 11,25; 6,75; 2,25.
Глава 6. Решения и указания 209 6.25 По условию, числа а, aq, aq2 образуют геометрическую прогрессию, числа а, а<? + 2, aq2 - арифметическую прогрессию, а числа a, aq + 2y aq2 4-9 - снова геометрическую прогрессию. Используя формулы (6.4) и (6.8), получим систему уравнений I _ а 4- aq2 l9+2=——, [(<7<7 + 2)2 = а(адг + 9), из которой находим два решения: 1) а - 4, q = 2 ; 2) а = — , q = -4. 25 4 - Л О 1Г 4 16 64 Ответ: 4; 8; 16 или —:--; — . 25 25 25
ГЛАВА7 ЛОГАРИФМЫ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ Свойства показательной функции у = ах, а>0, а*1 1°. Область определения функции - множество R всех действительных чисел. 2°. Область значений функции - множество R+ всех положительных чисел: ах > 0 для любого действительного значения х. 3°. При а > 1 функция возрастает, т.е. если х1 < х2, то а*1 < аХ2 . При О < а < 1 функция убывает, т.е. если Х] < х2, то ах' >аХ2. 4°. Если аХ} = аХ2 , то Xj = х2. Свойства логарифмической функции у = logex, а > 0, а *1 1°. Область определения функции - множество Я+ всех положительных действительных чисел. 2°. Область значений функции - множество R всех действительных чисел. 3°. При а > 1 функция возрастает, т.е. если х2 > Xj > 0, то log0x2 > log^Xj. При 0 < а < 1 функция убывает, т.е. если Х2 > Xj > 0, то logax2 < logflXj.
Глава 7. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения 211 Свойства логарифмов 1°. Если х > 0, то x = alos»x (7.1) (основное логарифмическое тождество). 2°. Логарифм основания равен единице: logea = l. (7.2) 3°. Логарифм единицы равен нулю: logol = 0. (7.3) 4°. Если Х| > 0 и х2 > 0, то l°ga(*i*2 ) = loga*i + log^ 0-4) (формула для логарифма произведения); •oga — = 10ga*l - loge*2 (7.5) *2 (формула для логарифма частного). 5°. Если х > 0, то loga*/’ =plogex (7.6) где р - любое действительное число (формула для логарифма степени). 6°. Если х > 0, то log„X = log»* log»a (7.7) для любого действительного числа Ь>0 и Ь*\ (формула перехода к новому основанию логарифма). В частности,
212 Часть I. АЛГЕБРА loga6 = —, или loga6 • logAa = 1; (7.8) loga6 = log*, bp = p \Q%aP b (p e R, p * 0). (7.9) УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1°. Показательное уравнение а/(х) = fcg(x) (а > о, а * 1,6 > 0,6 * 1) (7.10) равносильно уравнению /(x)log4.e = g(x)logt./>, (7.11) которое получается логарифмированием уравнения (7.10) по какому-либо основанию с > 0, с * 1. В частности, уравнение равносильно уравнению /(*)=gW- 2°. Корнями уравнения («(x)/W = («(*)yW (7.12) считаются только решения смешанной системы w(x)>0, «м(х)^1, (7.13) /(*)=$(*) и те значения х, для которых и (х) = 1, если при этих значениях определены /(х) и g(x). Функция вида (к(х)/^ определена только при и (х) > 0, поэтому те значения х, которые формально удовлетворяют равенству (7.12), но при которых и(х)<0, не принято считать корнями уравнения (7.12). 3°. Логарифмическое уравнение
Глава 7. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения 213 loga/(*)=* равносильно уравнению /(х)=а*. 4°. Логарифмическое уравнение <oga/ (*) = logag (х) (а > 0, а * 1) равносильно каждой из следующих систем: 7(х)>0, [g(x)>0, /(x)=g(x) ЫИ t/« = g(x) (7-14) (7.15) (7.16) (7.17) Для решения уравнения (7.16) переходят только к одной из этих систем (той, которая проще) либо решают уравнение /(*)=£ (*), которое может иметь корни,. посторонние для исходного уравнения, и проверяют каждый из них подстановкой в исходное уравнение. 5°. Для решения уравнений log0/(x)+ log„g(x)= log„«(x), (7.18) logo/ (x)- log„g (x) = loga« (x), (7.19) pl°ga/(x)=logaa(x), (7.20) используя формулы (7.4) - (7.6), их приводят соответственно к виду loge(/(x)g(x))= logau(x). (7.21) l°go ^7-T = loga"(x), gw (7.22)
214 Часть I. АЛГЕБРА togoC/WF = loga"W (7.23) и далее решают так, как указано в п. 4°. Из найденных корней следует включить в ответ те, для которых f (х) > 0, g (х) > 0, и (х) > 0, либо проверить каждый из них подстановкой в исходное уравнение. 6°. Если при решении уравнения с помощью формул (7.4) - (7.6) производятся преобразования вида loga(/(x)g(x)), у(х) logo2-/-;. loga(/MF> где Р - четное число, то возникает g(x) опасность потери корней заданного уравнения. Чтобы предотвратить возможную потерю корней, надо пользоваться указанными формулами в таком виде: log<,(/(x)g(x))= loga|/(x)| + loga|g(x)|, (7.24) loga^7^ = loga logaUWF =P10ga|/M|, p - четное число. (7.26) |/(x)|-logJg(x)|, (7.25) Группа A Решить уравнения (7.1 - 7.14): i 7.1 V5-0.22* -0,04l-x =0. I / 1 7.2 \2Х\4Х-0,125х =4^2. 7.3 VI •О,54'^'+10-162^+1' =0.
Г лава 7. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения 215 7.4 2,5 •ОД1'7’’7 = 5,о-0,15. 7.5 7х =0. 7.6 2х2’1-3х2 =Зх2’'-2х2+2. 7.7 2|О8зх2 -5log3X =400. 7.8 4,/х-О-г77’1+2 = 0. 7.9 3-52х~* -2-5х'1 =0,2. 11 1 7.10 10х + 25х =4,25-50х . 7.11 35-3х2 -35-52х’-3х2 +52х =0. 2 Зх+З 7.12 8х -2 х +12 = 0. lgx+5 7.13 х 3 = 10lgx+l. 7.14 xlg2-2“lgx = 1. 7.15 Вычислить сумму 2х + 2“*, если 4х + 4~х = 23. Упростить (7.16-7.17): 7.16 -log2log2A/V2 .
216 Часть I. АЛГЕБРА 7.17 3 + 5,ogl625 >5iog53 Упростить, указав допустимые значения букв (7.18 - 7.19): logayja2• log^у]а2 -1 loga2(a2-l)log^Va2-l 7.20 Найти \og^y[a , если известно, что loga27 = b. 7.21 Показать, что при условии х > 0 и у > 0 из равенства х2 + 4у2 = 12ху следует равенство lg(x + 2^)-21g2 = ^(lgx + lg^). Решить уравнения (7.22 - 7.38): 7.22 lg2(100x) + lg2(10x) = 14 + lg—. X 7.23 7lgx — 5,gx+I = 3 • 5,gx-1 —13 • у*8*"1 7.24 logjG*2'13**28 +|1 = log,0,2 . 7.25 lg (Тб + х + б) = . V ’ Ил10
Глава 7. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения 217 7.26 = о,5. log5(V2x-7 +7) 7.27 lg(3-x)-^lg(27-x3)=0. 7.28 2-lg4 + lg0,12 = , lg(V3x +1 +4) -lg2x 7.29 0,5(lg(x2 -55x + 9o)-lg(x-36))=lgV2. 7.30 lg(lgx)+lg(lgx3-2)=0. 7.31 log3(x-3)2+log3|x-3| = 3. 7.32 logx(9x2)-log2x = 4. * 7.33 log2x 4- log4x + Iog8x = 11. 7.34 log3x • log9x • log27x • log8Ix = -. 7.35 l + 21ogx2-log4(10-x) = —. log4x 7.36 3 log5 2 + 2 - x = logs (зх - 52 '* ). 7.37 0Д5,ОВ2Л75'0-5,О82^2'<7Ц7^. 7.38 x'^^'U. Решить системы уравнений (7.39 - 7.42):
218 Часть I. АЛГЕБРА 7.39 32х-2у =725, 3х -22 =25. 7.40 7.41 \х + у)2у'2х =6,25, 1 (х + у)2х~У =5. х~У У-х 2 2 +2 2 =2,5, lg (2х - у)+ 1 = lg(y + 2x)+lg6. log4x - log2^ = 0, x2-2/-8 = 0. Группа Б Решить уравнения (7.43-7.50): 7.43 5х = 500. х 4 7.44 5'/х+2 • 0,2'/х+2 = 125х"4 -0,04х*2. 7.45 ^х-3|х+' = ^|х-3|'*2 . 7.46 3-4Х+ —-9Х+2 =6-4х+|- —-9х+|. 3 2 7.47 27х-13-9Х+13-Зх+|-27 = 0. 7.48 3-16х+2-81х = 5-36х.
Глава 7. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения 219 7.49 = 14. 7.50 27-2'3х+9-2х-23х-27-2"х =8. 7.51 Решить уравнение 3 • 4х-2 + 27 = а + а • 4х"2 и исследовать, при каких значениях параметра а оно имеет решение и при каких - нет. Упростить выражения и указать, при каких значениях букв возможны преобразования (7.52 - 7.53): 7.52 7.53 Z log,nna 1о8,пп*у|<>Ь»*(а^) b lga a lgA -logba-logab. 1 I 7.54 Известно, что p = 10,-,ga и y = 10,",g₽. Найти зависимость a от у. 7.55 Найти log308, если известно, что lg5 = а и 1g3 = 6. Решить уравнения (7.56 - 7.74): 7.56 --g-l(9--2X)=i. 3-х 7.57 4lgx+l-6lgx-2-3lgx2+2=0. 7.58 21gx2-lg2 (-х) = 4 .
220 Часть I. АЛГЕБРА 7.59 1g4 (х -1)2 + 1g2 (x -l)3 = 25. 7.60 Iog2 (2 - x) - log2 (2 - Vx ) = log2 >/2 -x - 0,5 . Iog916 7.61 log23+ 21og4x = x |O83X . 7.62 log^x + log^x + log^x +... + log^x = 36. 7.63 Iog23-log34-log45...1og„(w + l)=10, neN. 7.64 log^x2 +loga(x-l)=logalog^5. 7.65 3log3x +x'°g3x = 162. 7.66 x2lg2x = 10x3. 7.67 51ogx x + log9 x3 +81og^2 x2 =2 . 9 x 7.68 log„V4+7 + 3loge2(4-x)-log(i4(16-x2)2 = 2. При каких значениях а уравнение имеет решение? 7.69 log4x+17 + log9x 7 = 0. 7.70 201og4xVx + 7log16xx3 -3logxx2 =0. 2 7.71 ^logxT5x =-logx5. 7.72 log^x • ^log^3 - log, 9 +4 = 0.
Глава 7. Логарифмы. Показательные и логарифмические уравнения 221 7.73 ^log0,04X + l + Vlogo,2x + 3 = 1 • 7.74 .Jlogs х + ^log5 x = 2. Решить системы уравнений (7.75 - 7.80): 775 (2“1о^ = 21°в2(^+Я |log2(x+>)+log2(r2-лу+ /)=!. 5х^-51х+10 , 7.76 =1> ху = 15. 777 (х2+^-х2 =1, э(х2 +д,)=6х2-< 7 79 flogx(3x + 2j/) = 2, |log>,(2x+ 3_р) = 2. 7.80 (Х ~ 36, |4(x-2y)+log6 х = 9 (найти только целочисленные решения).
222 Часть I. АЛГЕБРА РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 7.1 Здесь все степени можно привести к одному основанию 5. Имеем: л/5 = 52 , 0.22* = ^2х = S2* , Z . \1-Х 0,041-х = I — I - 5~2^~х\ <25 J Тогда уравнение примет вид 1 _J_ 1_J_ 52 ,5’2х _5-2(|-х) = о, или 52’2* =5’2(|’х). Согласно указанию 1°, перейдем к равносильному уравнению 1-± = -2(1-х). 2 2х После преобразований получим 4х2 - 5х + 1 = 0, х * 0, , 1 откуда %| = 1, х2 = —. 4 Ответ: xt = 1, х2 = 0,25. 7.2 Применив правило извлечения корня из степени и формулы (1.19) и (1.16), получим хх I £ х х I 7 22 -23 0,52х = 22 -2’,или 22*3 =2’ . Согласно указанию 1°, переходим к равносильному 5х2-3 7 1 , уравнению--------= —, откуда xt = — , х2 = 3 . 6х 3 5 Ответ: х( = -0,2, х2 = 3 . 7.3 Приводим все степени к одному основанию 2: I 5 5 ---!-- 2 у/2 = 2 ' 0 = 2 • 1б2^+1) =2^**1 .
Глава 7. Решения и указания 223 Тогда получим I 5 2 1 5 2 22 .2 4V7+I0 =о, или 22 4^+10 =2^+1. Полагая Jx - у > 0, переходим к равносильному уравнению 15 2 2 2(2у + 5)"у + 1 ’ которое имеет корни = 5 и у2 = -2 (последний не подходит, поскольку должно быть у > 0 ). Итак, Jx = 5, откуда х = 25. Ответ: х = 25. 7.4 Имеем Полагаем ^9-х = у > 0 и после преобразований переходим к уравнению у1 - 5 у + 4 = 0, корни которого yi = 1 и у2 = 4 удовлетворяют условию у > 0. Отсюда находим: ^9-х = 1, 9 - х = 1, Xj = 8; л/9-х = 4, 9-х = 16, х2 = -7. Ответ: х, = 8, х2 = -7 . 7.5 Указание. Разделить обе части уравнения на (l\x положительное число
224 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: Х| = -3, х2 = 1. 7.6 Сгруппируем степени с основанием 2 в левой части, а степени с основанием 3 в правой части уравнения и разложим каждую часть на множители. Имеем 2х2(1 + 23)= 3х2 ' (1 + 3), или 2х2' • З2 = 3х2 -1 • 22. Разделив обе части уравнения на 3х • 22 * 0, получим Отсюда х2 - 3 = 0, т.е. xi2 = ±>/з . Ответ: хХ 2 = ±>/з . 7.7 Логарифмическая функция у = log3 х определена при х > 0. Поэтому, согласно формуле (7.6), имеем log3 х2 = 2 log3 х . Следовательно, 22,°g3х . 5,о83 х = 202 • 4,оезх • 51083 х = 202 • 20,оез х = 202 . Отсюда log3 х = 2, т.е. х = З2 = 9 . Ответ: х = 9 . 7.8 Так как Vх = 227х и 27х-1 = 2^ • 2"1 = - • 27х , то данное 2 уравнение примет вид 22jx-2. г'17 +2 = 0. 2 Произведем замену переменной 2 свойства 2° показательной 2 9 уравнение у -—.у+ 2 = 0, = у, где у > 0 в силу функции. Тогда получим корни которого = 4 , уравнения 2VX =4 имеем 1 у2 = — положительны. Из 2^ = 22, у/х = 2, откуда х = 4 . Из уравнения 2^ = находим 2^х=2‘|, откуда Vx=-1, что невозможно.
Глава 7. Решения и указания 225 Итак, х = 4 . Ответ: х = 4 . 7.9 Имеем 52x_1 = 52х-5"1; 5х"1 = 5х-5"‘; 0,2 = 5“’. После деления всех членов данного уравнения на 5”1 оно примет вид 3-52х-2-5х = 1. Положим 5х = у, где у > 0. Тогда получим уравнение Зу2 - 2у -1 = 0, откуда yt = 1, у2 = (не подходит, так как не выполнено условие у > 0). Значит, у = 1, откуда х = 0. Ответ: х = 0. 7.10 Предварительно выполним преобразования: I 111 1 , и 1 10х = (2-5)х = 2Х -5х; 25х = (52)х =5Х.; 1 / J 1 1 50х =(2-52J7 =2Х -5х . 2 Разделив обе части данного уравнения на 5 х * 0, получим уравнение 2 2х + 1 = 4,25-2*, которое решаем подстановкой у = 2 х . Ответ: х12 = ±0,5. 7.11 Группируя подобные члены, имеем З*2 (35-1)-52х(35-1) = 0, или З*2 =52х. Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10 (см. указание 1 °), получаем равносильное уравнение х2 lg3 = 2хlg5, или x(xlg3-21g5)= 0, п 21ё5 откуда Х| = 0, х2 = ——. 1g 3 8 Сканавв
226 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: х, = 0, х2 = ——. Ig3 7.12 Указание. Преобразовать уравнение к виду 6 з 2х-8-2х+12 = 0 и решить его с помощью подстановки 3 2х = ^>0. Ответ: Xj = 3, х2 - 3 log6 2 . 7.13 Так как логарифмическая функция определена при х>0, то левая и правая части данного уравнения положительны. Логарифмируя их по основанию 10 и используя формулы (7.6) и (7.2), приходим к уравнению !gx + 5. . , —-—1g х = 1g х + 1. Произведем замену переменной ^ = lgx и решим уравнение у2 + 5у = Зу + 3. Имеем у2 + 2у - 3 = 0, откуда =-3, у2—\- Из уравнения lgx = -3 получаем хр 10"3, а из уравнения Igx = 1 находим х2 = 10. Ответ: х^ 0,001, х2 = 10. 7.14 Учитывая область определения логарифмической функции (х>0), прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10: 1g2-Igx-Igx 1g2 = 0 . Это уравнение выполняется при любом х > 0. Ответ: (0, со). 7.15 Имеем (2х + ТХ] = 22х + 2 + 2'2х = 4Х + 4‘х +2. Так как по условию 4х +4-х =23, то (2х +2'х)2 =25. Учитывая, что 2х + 2"х > 0 (в силу свойства 2° показательной функции), окончательно находим 2х + 2~х = 5. 0'Ttfew: 5. 7 16 Используя формулы (7.6) и (7.2), находим
Глава 7. Решения и указания 227 ___ - log2 log2 = - log2 lpg2 28 = = -log2l = -(-3)log22 = 3. О Ответ: 3. 7.17 Применив последовательно формулы (7.8), (7.1) и (7.9), получим /7,3 №з 2 , с1оё^7У/л2>894 ^3^2 ЗА 3 + 51°И516.3 ----^ = -Н. 3(1 + 4) Ответ: -11. 7.18 Обозначим данное выражение через А. Согласно .свойству 1° логарифмической функции, а>0. Применив сначала формулу (7.9), а затем (7.1) и (7.6), получим А = ^2°\-3^2<2а\ ;^492|о«49“ -1 = (а4 -(а2 + l)-2a):f49log49‘'2 -а-1 а -д-1 Эта дробь определена при условии а2 -а-1*0. Решив 2 1 л 1+Vs уравнение а - а -1 = 0, находим его корни: at -----1 2 а2 = * (последний не удовлетворяет условию а > 0). Следовательно, а2 - а -1 * 0, если а ~~~ • Теперь можно провести дальнейшее преобразование:
228 Часть I. АЛГЕБРА (а2 +а + 1)(л2 - д-1) а2 - а-1 = а2 + а + 1, где а > 0 и а* 1 + V5 2 7.19 В силу определения и свойства 1° логарифмической функции имеем а > 0, а Ф 1 (1) и а2 - 1 > 0 |д| > 1 => а < -1 или а > 1. (2) Из (1) и (2) следует, что а > 1. Далее, так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то а2 -1 * 1 и, значит, а ф ±^2 . Теперь заметим, что log] yja2 = -Ioga -1 (согласно (7.7)), и, используя а формулу (7.9), находим л = .ogj^-bg^ = Ioge ^777 , loga Vtf2 -1 • 10go >la2 -1 где a > 1 и a V2 . 7.20 Применяя последовательно формулы (7.9), (7.8) и снова (7.9), получим log гт у[а = log31[а = —-— = —-----= —. Л ёз log^-3 loga27 b Ответ: —. b 7.21 Прибавив к обеим частям равенства х2+4у2=12лу по 4ху, получим (х + 2у/ = \6ху. Так как х>0, у>0, то х + 2у = <j\6xy . Прологарифмируем последнее равенство по основанию 10: >g(* + 2j') = ^lg(16xy);
Глава 7. Решения и указания 229 lg(* + 2.F)= jlgl6+|(lgx + lgy); 1g (х + 2у)~21g 2 = у (1g х + Igy), что и требовалось доказать. 7.22 Здесь х>0. После несложных преобразований получим равносильное уравнение (2 + lgx)2 ♦ (l + lgx)2 = 14-lgx. Полагая lgx = y, приходим к квадратному уравнению 2у2+7у-9 = 0, имеющему корни у}=-9/2, у2=^- Следовательно, х, = 10"9у/2, х2 = 10. Ответ: Xj = 10~9^2 , х2 = 10. 7.23 Сгруппируем степени с основанием 7 в левой части уравнения, а степени с основанием 5 - в правой части: 7,gx +13 • 7,ё*-1 = 3-5,ёХ"1 +51ёХ+1. Вынеся за скобки степень с меньшим показателем и проведя дальнейшие преобразования, получим 7,е х-' (7 +1 з) = 5lgx-' (з + 52 ); 7'8* ? 20 = 1; v ’ v ' 5е f-28 ЙГЧ^Г- Отсюда Igx-2 = 0, т.е. х = 100 . Ответ: х = 100 . 7.24 Отметим, что в левой части выражение под знаком логарифма положительно при всех х. Упростим правую часть: log, 0,2 = log5 у = logs1 - logs 5 = -1 = |о§з З’1 • Итак, logs^-'^^+^logsr1. Далее имеем
230 Часть I. АЛГЕБРА 3x2-Bx+28 + 2=1 3х2-Вх+28 = 3-2 2 _|3х + 28 = _2 9 3 х2 -13x4-30 = 0; Xj = 3, х2 = 10. Ответ: Xj = 3, х2 - 10. 7.25 Из определения логарифма следует, что 4х > 0, Vx * 1, т.е. х > 0, х * 1. Применяя формулы (7.8) и (7.6), получим lg(V6 4- х +б)= Igx. Согласно указанию 4°, переходим к равносильной данному уравнению системе х > 0, х * 1, * .----- или у/б + X + 6 = X, х>0,х*1, у/б + х = х - 6. В левой части уравнения ^6 + х > 0, поэтому х - 6 > 0, т.е. х > 6, и обе части уравнения можно возвести в квадрат. Имеем х>6, Гх>6, < , или , 6 4-х = х2 -12x4-36, 1х2 -13x4-30 = 0. Находим корни уравнения: Xj=3, х2=10; из них неравенству х > 6 удовлетворяет только х = 10. Ответ: х = 10 . 7.26 Учитывая область определения заключаем, что V2x-7 >0; V2x-7 + 7 > 7, квадратного корня, 2х - 7 > 0 . При этих значениях х имеем V2x-7 4-l>0, V2x-7 4-7>0 и т.е. Iog5(\/2x - 7 4- 7)^ 0 . Умножив обе части уравнения на log5(л/2х - 7 4-7), получим log5(л/2х - 7 4-1)= 0,5 log5(>/2х - 7 4- 7), или log5(72x-7 + 1)= log5 VV2x-7 + 7 . Согласно указанию 4°, переходим к системе 2х-7>0, V2x-7 + 1 = VV2X-7 + 7. Введя новую переменную >/2х - 7 4-1 = у > 0, приходим к
Глава 7. Решения и указания 231 уравнению у - ^у + 6 или у1 - у - 6 = 0, имеющему корни ух = 3 и у2 = -2 (последний не удовлетворяет условию у > 0). Итак, остается решить уравнение V2x-7 + 1 = 3, откуда х = 5,5, что удовлетворяет неравенству 2х - 7 > 0. Ответ: х = 5,5 . 7.27 Имеем 1g (3 - х)3 = 1g (27 - х3), что равносильно системе 3 - х > 0, х < 3, (3-хУ=27-х\ ИЛИ [(З-х)3 =(3-х)(9 + 3х + х2) Далее получим (3 - х)(9 - 6х + х2 - 9 - Зх - х2 )= 0, или (3 - х)(- Эх) = 0, откуда X] = 0, х2 = 3 (не удовлетворяет неравенству х < 3). Итак, х = 0. Ответ: х = 0. 7.28 Учитывая области определения логарифмической функции и квадратного корня, имеем систему неравенств Зх +1 >0 (при Этом условии л/Зх + 1 + 4>0), х>0, решением которой является х>0. Данное уравнение равносильно системе х > О, • lg(73x + l -+ 4)— lg2x 0, (1) 2 - lg 4 + lg 0,12 = 1g (73x +1 + 4)- 1g 2x. Используя указание 5°, переходим к уравнению . 100 0,12 , л/Зх + 1+4 , л/Зх + 1+4 4 s 2х 2х После умножения обеих частей уравнений на 2х (при этом приобретения корней не произойдет, поскольку х > 0) получим иррациональное уравнение л/Зх + 1 = 6х-4. (2) 2 Так как 4зх + 1 >0, то и бх - 4 > 0, откуда х > — ,
232 Часть I. АЛГЕБРА Возведем обе части уравнения (2) в квадрат: Зх +1 = Зб№ -48х +16, или Зб№ -51х +15 = 0. Отсюда находим Xj = 1, х2 = — (не удовлетворяет 2 условию х > —). Остается убедиться в том, что для х = 1 выполняется второе из условий системы (1): lg(>/3x +1 +4)- 1g 2х = 1g 6 — lg 2 = lg 3 * 0 . Итак, x = 1. Ответ: x = 1. 7.29 Умножив обе части уравнения на 2 и учитывая указание 5°, получим равносильную данному уравнению систему х2 -55х + 90>0, х-36>0, (1) (2) (3) Решаем уравнение (3). Имеем ------------= 2, или х-36 х2 - 57х + 162 = 0, откуда х, = 54, х2 = 3 . Значение х = 3 не удовлетворяет неравенству (2), а х = 54 ему удовлетворяет. Подстановкой в неравенство (1) убеждаемся в том, что х = 54 удовлетворяет и ему. Итак, х = 54. Ответ: х = 54. 7.30 Для существования логарифмов необходимо, чтобы одновременно были выполнены неравенства х>0, 2 lgx>0, 31gx-2 >0, т.е. х>0, х>1, Igx> у. Отсюда , 2 lgx>~. Теперь переходим к равносильной данному уравнению системе lgx(3 Igx - 2)= 1
233 Глава 7. Решения и указания После замены переменной y = lgx получим уравнение З^2 - 2у -1 = 0, корни которого у} = 1, у2 = -у. Из этих 2 значении неравенству lgx>y удовлетворяет только первое. Итак, Igx = 1, откуда х = 10 . Ответ: х = 10 . 7.31 Здесь х*3. Записав правую часть уравнения в виде 3 = 31og3 3 = log3 З3, переходим к равносильному уравнению (х - З)2 |х - 3| = З3 при условии х * 3. Так как а2=|я|2,то получим |х - З|3 = З3, или |х —3| = 3 , откуда X] = 0, х2 = 6. Ответ: Х| = 0, х2 = 6. 7.32 Здесь х > 0, х * 1. После преобразований приведем уравнение к виду (2 logx 3 + 2)log3 х = 4 , откуда, учитывая, что logx 3 • log3 х = 1, получим 2 log3 х + 2 log2 х = 4. Решив это уравнение с помощью подстановки log3 х = у, 1 в результате находим х} = —, х2 = 3. 1 Ответ: х. = —, х9 = 3 . 9 2 7.33 Используя формулу (7.7), получим уравнение . log2 х log? х , t , 1 О i i Iog2x + 7~r + —^— = 11, или log2x 1 + - + - =11, log2 4 log2 8 < 2 3) откуда log2 x = 6, т.е. x = 64 . Ответ: x = 64 . 7.34 Указание. Воспользоваться формулой (7.7) и перейти к основанию 3.
234 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: Xj = ^, х2 = 9. 7.35 Учитывая область определения логарифмической функции и ограничения, налагаемые на основание логарифма, имеем систему неравенств 10 - х > 0, х > 0, х * 1, откуда О < х < 1, 1 < х < 10. (1) Так как х^1, то log4x*0. Умножив обе части уравнения на Iog4 х (при этом приобретения корней не будет), после преобразований получим уравнение log4 х + log4(10-x)= log4 16, или х2 - 10х + 16 = 0. Его корни Xj = 2 и х2 = 8 являются и корнями данного уравнения, поскольку удовлетворяют условиям (1). Ответ: Х| = 2 , х2 = 8 . 7.36 Здесь Зх-52*х>0. (1) Воспользуемся тем, что 2-х = log, 52-х, и запишем уравнение в виде log; (23-52-х)= logs (зх-52“х). Далее имеем 2-’. 52“» = 3х _ 52-х ; 52-* (23 + ])= 3х ; 52"х = 3х"2. Наконец, умножив обе части уравнения на 32"х*0, получим (5 • 3)2-х = 1 152-х = 15° => 2 - х = 0 => х = 2 . Этот корень удовлетворяет неравенству (1). Ответ: х = 2 . 7.37 Учитывая области определения квадратного корня и логарифмической функции, имеем систему неравенств х + 3 > 0, х2 -9>0, 7-х>0, ИЛИ х > -3, Н>з, х<7. С помощью рис. 7.1 находим
235 Глава 7. Решения и указания 3<х<7. (1) Преобразуем левую часть уравнения: Рис. 7.1 гг~\-2 х2-9 I х2 -9 . — =------= х - 3 . г2 х + 3 Остается решить уравнение х - 3 = -^2 (7 - х). Из неравенства (I) следует, что х-3>0, и обе части этого уравнения можно возвести в квадрат. После упрощений получим х2-4х-5 = 0. Значение Х|=-1 не удовлетворяет условию (1), а х2 = 5 - удовлетворяет. Ответ: х - 5. 7.38 Согласно указанию 2°, х>0. (I) Далее, учитывая область определения логарифмической функции, получим х2 -1 > 0, или |х| > 1, откуда х<-1,х>1. (2) Из (1) и (2) следует, что х>1 (при этом автоматически выполняется ограничение х * 1, наложенное на основание логарифма). Теперь имеем х1оБг -| = 5 , или \/х2 - 1 = 5 ; х] 2 ~ ±4^6 • Данному уравнению удовлетворяет только х = V26 . Ответ: х - у/26 .
236 Часть I. АЛГЕБРА У. 7.39 Положим 3 х = а > О и 2 2 = v > 0. Тогда получим a2-v2 =725, J(a- v)(a + v)= 725, fa + v = 29, w-v = 25 |a-v = 25 [a-v = 25, и, значит, a = 27, v = 2. Итак, остается решить систему у_ 3х = З3, 2 2 = 2, откуда х = 3, у = 2 . Ответ: (3; 2). 7.40 Указание. Возвести обе части второго уравнения в степень 2х-у и подставить полученное выражение в первое уравнение. Ответ: (9; 16). 7.41 Учитывая область определения логарифмической функции, заключаем, что должны выполняться неравенства 2х + у >0, 2х-у >0 . (1) х-У Положим в первом уравнении 2 2 = z и получим 15 _ 2 f л z + — = —, или 2z - 5z + 2 = 0, z 2 откуда Zj = 2, z2 = 0,5. Составим и решим две новые системы, равносильные данной: 1) х-У 2 2 =2, lg((2x-^)10)= lg((^ + 2x)-6) х-у 1 Г о ---— = 1, х - у = 2, 5(2х-у)=з(у + 2х) У => х = 4 , у = 2. При этом условия (1) выполняются. 2) 2 2 =0,5, Iх у- 2’=> х = _4, у = _2. 5(2х-у)=3(у + 2х) 1Х~2У Здесь условия (1) не выполняются. Ответ: (4; 2).
Глава 7. Решения и указания 7.42 Здесь х>0, у>0. 237 (1) Перейдем в первом уравнении к основанию 4 и получим систему • х - х . •og4 -Т = 1оё4 ~2 = У => хг-2уг =8 [х2-2/=8 х2-2х-8 = 0. Из второго уравнения системы находим jq - 4, х2 = -2 (не удовлетворяет условиям (1)); тогда у2 = 4, т.е. у} = 2, у2 - -2 (не удовлетворяет условиям (1)). Ответ: (4; 2). 7.43 Согласно определению корня, х * 0. Запишем уравнение в виде Зх-З 5х-2 х = 53-22. Разделив обе части на 53 • 22 * 0, получим Зх-З , х-3 Z 1Y”3 5х'3-2 х ' =1,или 5х’3-2 х = 1, или 5-2* =1. \ / £ Так как 5-2х >0 и 5-2х *1,то х-3 = 0, т.е. х = 3. Ответ: х-3. 7.44 Приведя все степени к основанию 5, получим х-4 5V7+2 = 53(х-4)-2(х-2) Согласно указанию 1°, перейдем к равносильному уравнению (V7-2)(V7 + 2) „ „ л . -----* = Зх-12-2x4-4. ух 4-2 Сократив на Vx 4- 2 > 0 (при этом потери корней не произойдет), после преобразований придем к уравнению х - 4х - 6 = 0. Положим 4х = у > 0 и решим уравнение
238 Часть I. АЛГЕБРА у1 - у - 6 = 0, откуда yt = -2 (не годйтся), у2 = 3. Итак, х = 9 . Ответ: х = 9 . 7.45 Имеем х+1 х-2 |х — 3| 4 = |х-3| з . Согласно указанию 2°, корнями данного уравнения являются решения системы |х-3|>0, |х*3, < |х - 3| * 1, , т.е. * х ф 2, х Ф 4, х +1 х-2 |3х + 3 = 4х - 8 . 4 ~ 3 и, быть может, решения уравнения |х-3| = 1. Уравнение системы имеет корень х = 11, а условию |х-3| = 1 удовлетворяют х = 2 и х = 4, также являющиеся решением системы, поскольку при этих значениях , х + 1 х-2 __ . функции —— и —-— определены. Итак, х1 = 2, х2 = 4, х3 = 11. Ответ: xt = 2 , х2 = 4, х3 = 11. 7.46 Сгруппировав степени с основанием 4 в левой части уравнения, а степени с основанием 9 - в правой и вынося общий множитель за скобки, имеем 3-4х(1-2-4) = 9х+|(-3-|), или 3 22x(-7)=32x+2(-2j. „ 21 Разделим обе части уравнения на - — и получим 22х+| _ ^2x+i это равенство возможно только при условии 2х +1 = 0, откуда х = - — .
Глава 7. Решения и указания Ответ: х = -0,5 . 7.47 Полагая 3х = у > 0, получим кубическое ураввнение у} -13/ + 39^-27 = 0. Разложим его левую часть на множители: (у3 -27)-13^(г-3) = 0, или (у-3)(у2 -10^ + 9)=0. Решив уравнения у - 3 = 0 и у2-10^ + 9 = 0, находим У\ =3, у2 =1, у3=9. Ответ: хх =1, х2 =0, х3 =2 . 7.48 Запишем уравнение в виде 3-24х+2-34х =5(2-3)2х. Так как (2 • З)2* = 22х • 32х > 0 при любом х, то, разделив все члены уравнения на 22х • 32х, получим 3-^ + 2-^- = 5,или +2f-1 =5. 32х 22 UJ l2j Теперь положим = у > 0 и придем к уравнению Зу + — = 5, или Зу2 - 5у + 2 = 0, У 2 у2 = у. Остается решить уравнения откуда у{ =1, Ответ: х} = 0 , х2 - —. 7.49 Указание. Воспользоваться тем, что 77 + V48-77-^48 = 1. Ответ: zX2 = ±2 . 7.50 Левая часть уравнения представляет собой куб разности
240 Часть I. АЛГЕБРА двух чисел 3 • 2~х и 2х. Поэтому (з-2"х-2х/= 8,или 3-2*Х-2Х =2. Это уравнение решаем подстановкой 2х = у > 0 . Ответ: х = 0. 7.51 Запишем уравнение в виде 4х*2 (3-а)= а-27. (1) Отсюда при условии 3 - а 0 получим Так как 4х 2 > 0 при любом х, то уравнение (2) имеет а-27 л решение, если —-----> 0 . Рис. 7.2 Решим это неравенство методом интервалов. Используя рис. 7.2, находим 3 < а < 27 . При этих значениях а равенство (2) можно прологарифмировать по основанию . ~ . а-27 а-27 4: х - 2 = log4---, откуда х = 2 + Iog4---. 3-а 3-а С1 Пусть теперь ------< 0, т.е. а < 3 или а > 27 ; тогда 3-а уравнение (2), а, значит, и (1) не имеет решений. Пусть, наконец, 3 - а = 0; тогда уравнение (1) примет вид 4Х“2 • 0 = 3 - 27 * 0 , т.е. оно не имеет решений. а ^11 Ответ: х = 2 + log4 —---- при 3 < а < 27 ; нет решений при 3-а а<3 и а > 27 . 7.52 Упростим дробь: log, 00 а = 1 = 1 = 1 Iga loga1001ga 21oga10-lga 2’
Глава 7. Решения и указания 241 Аналогично, = -1 . В результате получим / j j \21oga/>(a+/>) б2д2 = й)|08а‘(о+‘) = д+б. \ 7 Ответ: а + 6, где а > 0, а *1, Ь> 0, 6*1, аб * 1. 7.53 Имеем 1 1 V ' log* a + 2log* д + 1^ 2 + 2 _ log* а +1 k log* a J log* а Заметим, что log* а + 2 log* а +1 = (log* а + г)2, и, значит, £ ((log* а +1)2 У = | log* а +1| = log* д +1, так как log* а +1 > 0. Далее находим ' log* а + 1 V < log* а , А = £ log* а + 1 _ Г log* a + 21og* Д + 1У log* а log* а , _ log* д + 1 _ log* а + 1 _ log* д +1 log* Д [log* д| log* д Пусть logA а > 0; тогда |logA а| = logA а, откуда А = 0. Пусть logA а < 0; тогда | logA а| = - logA а, откуда
242 Часть I. АЛГЕБРА л 2(logga4-l) log* « Остается решить неравенства logA а > 0 и logA а < 0. Для неравенства logA а > 0 имеем: если 0 < b < 1, то и О < а < 1; если же b > 1, то и а > 1. Для неравенства logA а < 0 получаем: если 0 < b < 1, то а > 1; если же b > 1, то 0 < а < 1. л [0 < а < 1, [а>1, Ответ: 0, если < или < ; [О < b < 1 > 1 1 a fa>1» ГО<а<1, - 2 (log4 а + loge 6), если < или < [U < о < 1 [О > 1. 7.54 Прологарифмировав данные равенства по основанию получим 1g р = —?—, 1g у = —!—. Следовательно, 1 —Iga 1-lgP 1 — Iga откуда lga = —J—. Согласно определению логарифма, 1-lgy i имеем a = 101-,gY. i Ответ: a = 101-lgY . 7.55 Используя последовательно формулы (7.6), (7.7), (7.4), (7.5), получим -1 10 hg30 8 = 3 log30 2 = = 3(1- 1g5) = 3(1-^ 3 30 lg30 lg(310) lg3 + l Z> + 1 30"a) Ответ: —-------- . b+\ 7.56 Уравнение имеет смысл, если выполнены условия у-2* >0, 3-х*0. (1)
Глава 7. Решения и указания 243 Умножив обе его части на 3-х * 0, получим log2 (9 - 2х) = 3 - х, откуда 9 - 2х = 23'х . Положим g 2х = у > 0 и решим уравнение 9 - у = —, которое имеет У корни ^1=1, у2 = 8. Отсюда 2х = 1, т.е. х = 0; 2х = 8, т.е. х = 3, - это значение не удовлетворяет условиям (1). Итак, х = 0. Ответ: х = 0. 7.57 Учитывая, что lgx2=21gx (так как х>0), приведем данное уравнение к виду 22lgx+2 = 2lgx . 3lgx _ 2.32lgx+2 = 0 ? или 4.221gx -2lgx • 3lgx -18 • 32lgx = 0. Разделим обе части последнего уравнения на 32,gx * 0: |М8Х Полагая 1 — 1 = у>0, получим квадратное уравнение 2 9 4_у — у —18 = 0, корни которого У\= — и у2=-2 (не 4 подходит, так как должно быть у>0). Итак, (2\1&х 9 (2Y2 lyj = —= 1у1 ,откуда lgx =-2,т.е. х = 0,01. Ответ: х = 0,01. 7.58 Здесь должно быть -х > 0, откуда х < 0. Тогда lgx2 = 21g (-х) и данное уравнение примет вид 41g(-x)-lg2(-x) = 4. Полагая lg(-x)=y, находим у = 2, откуда lg(-x) = 2, т.е. -х = 100, х = -100. Ответ: х = -100. 7.59 Здесь х -1 > 0, откуда х > I. Воспользуемся тем, что
244 Часть I. АЛГЕБРА lg (х-1)2 = 21g(x-l), lg(x-1)3 = 31g(x-l), и запишем уравнение в виде 161g4 (х-l)+91g2 (х-1) = 25 . Полагая 1g2 (х -1) = у > 0, получим уравнение 16у2 + 9у - 25 = 0, которое имеет корни yj = 1, у2 - 16 (не подходит). Значит, у = lg2 (х -1) = 1, откуда lg(x-l)=l или lg(x —1)=—1. Из первого уравнения находим xj=ll, из второго х2 = 1,1. Оба корня удовлетворяют условию х > 1. Ответ: Xj = 11, х2 = 1,1. 7.60 Учитывая область определения логарифмической функции, имеем 2-х > 0, [х<2, г- => =>0<х<2. (1) 2 - Vx > 0 [0 < х < 4 Согласно указанию 5°, переходим к уравнению 2-х _ V2-х 2-4 Разделив обе его части на ^2-х (при этом потери корней не будет, так как при условии (1) у/2-х >0), получим 1 D « ----= —f= . Решаем это уравнение возведением обеих 2-V* V2 его частей в квадрат и последующей подстановкой у[х = у > 0 . В результате находим его корни Х| = 0, 16 х2 = —, причем оба удовлетворяют условию (1). Ответ: Xj = 0 , х2 = . 7.61 Здесь х > 0. Упростим правую часть уравнения 10gQ 16 х log3 * = (xloSx 3 )°83 4 ж 3I0B3 4 = 4
Глава 7. Решения 245 Теперь запишем уравнение в виде log4 9 + log4 х2 = 4 log4 4 , или log4(9x2)= log4 44, т.е. 9x2=44, откуда x12=±~. Условию x>0 16 удовлетворяет только корень х = —. „ 16 Ответ: х = — . 3 7.62 Применяя формулы (7.8) и (7.6), получим 1 1 1 1 logx >/з logx t/з logx V3 logx !V3 2 4 6 16 ------1------1----:--h ... 4----36, logx 3 logx 3 logx 3 logx 3 —!—(2+ 4 + 6 + ... +1б)= 36. (1) logx3 Выражение в скобках представляет собой арифметическую прогрессию, у которой а} = 2, ап =16, d = 2. Воспользуемся формулой (6.1), т.е. ап = + d(п -1), и получим 16 = 2 + 2 (п -1), откуда п = 8. Тогда согласно формуле (6.2), найдем 2 + 4 + 6+ ... +16 = = а‘ +°8 -8 = ^21.8 = 72. ’ 2 2 Подставив это значение в уравнение (1), имеем —-----72 = 36, или 721og, х = 36, log,3 ёз £ откуда х = З2 = д/з . Ответ: х = у[з . 7.63 Указание. Перейти к логарифмам по основанию 2. Ответ: х = 1023. 7.64 Здесь должны быть выполнены условия х #= 0, х-1>0,
246 Часть I. АЛГЕБРА откуда х > 1. Далее имеем log^2 х2 - loga х (поскольку х > 0, что следует из условия х > 1) и loga log^j 5 = loga 2 . Тогда получим уравнение loga х + logfl (х -1) = logfl 2, или !oga (х (х -1)) = loga 2 , откуда х(х-1)=2. Корень Xj=-1 не удовлетворяет условию х > 0, а корень х2 = 2 - удовлетворяет. Итак, х = 2. Ответ: х = 2 . 7.65 Имеем 3,Оёз х = (з,О8з х),О8з х= х,Оёзх. Тогда уравнение примет вид 2x,og3x =162 , или х’°езх=81. Так как х > 0, то можно прологарифмировать обе части по основанию 3: log3 х = 4 => log3 х = ±2 => Xj = , х2 = 9 . Ответ: х, = —, х7 = 9. 1 9 2 7.66 Указание. Прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10 и решить полученное кубическое уравнение разложением на множители. Ответ: х, = 0,1, х2 3 = ю0*5^^3). 7.67 Здесь х > 0. Используя формулы (7.6) и (7.8), преобразуем данное уравнение: 51ogx х + 31og9 х + 161og9 2 х = 2 ; (1) 9 х log, £ log, - '°gx(M 9 x Заметим, что в уравнении (2) должно быть х 1, но х = 1 не является корнем исходного уравнения и уравнения (1) (в чем убеждаемся подстановкой) и, следовательно,
Глава 7. Решения и указания 247 уравнение (2) равносильно исходному при условиях х > 0, х * 1. После дальнейших преобразований уравнение (2) примет вид . _^_+ 3 +И^=2. 1 - logx 9 logx 9 -1 logx 9 + 2 Полагая logx9 = y, приходим к уравнению 2 16 _ п ----+---— = 2, которое имеет корни = 2 , у2 = 4 . Остается решить уравнения logx 9 = 2 и logx 9 = 4. Из первого находим х2 = 9, а из второго х4 = 9 . Учитывая, что х > 0, получаем Xj = 3, х2 = 7з . Ответ: Xj = 3, х2 = 4$ . 7.68 Учитывая область определения логарифмической функции, квадратного корня и ограничения, наложенные на основание логарифма, заключаем, что 4 + х > О, < 4 - х > 0, => а > 0, а Ф 1 - 4 < х < 4, а > 0, а * 1 (О Приведем все члены уравнения к основанию а2: loga2 (4 + x)+3logo2 (4-x)-loga2 (16-х2)=2, или . (4 + х)(4 - х)3 °8-2 (4-х)(4 + х) Сократив дробь на (4 - х)(4 + х) (потери корней не будет, так как при условии (1) (4 - х)(4 + х) > 0), получим log 2 (4 - х)2 = 2, откуда 2 log 2 (4 - х) = 2, поскольку я а 4 - х > 0. Следовательно, х = 4 - а2 . Найдем те значения а, при которых -4<х<4. Имеем -4<4-а2 <4; ~8<-а2<0; 0<а2 <8. Учитывая, что а > 0, а ф 1, получаем 0 < а < 1 и 1 < а < 14?-. Ответ: х = 4 - а2 , где 0 < а < 1 и 1 <а< 141.
248 Часть I. АЛГЕБРА 7.69 Вследствие ограничений, налагаемых на основание логарифма, имеем систему неравенств 4х +1 > 0, 4х + 1 1, 9х > 0, 9х * 1, откуда (1) Данное уравнение преобразуем к виду 1 ! 1 о log7(4x + l) log7(9x) Умножив обе части уравнения на log7 (4х +1)-log7 (9х)* 0 , при выполнении условий (1) получим log7 (9х)+log7 (4х +1) = 0, или log7(9x(4x+l))= log, 1, или 9х(4х + 1) = 1 . Отсюда находим Х| = -i (не удовлетворяет условиям (1)), х2 = —. Итак, х = — . 2 12 12 Ответ: х = — . 12 7.70 Указание. Перейти к логарифмам по основанию 4х. Ответ: х. = 1, х7 = 4, х, = . 7.71 Так как левая часть уравнения неотрицательна (арифметический корень), то должно быть выполнено неравенство - logx 5 > 0 , т.е. log t 5 < 0, откуда 0 < х < 1. Полагая Возведем обе части уравнения в квадрат: ;*5,или |log,5 + |*=log;5. logv5 = j<0, получим уравнение 2>>2 - у - 1 = о , имеющее корни у} - -0,5, у2 = 1 (не подходит, поскольку не выполнено условие у < 0 ). Итак, logx 5 = -0,5, откуда х~0,5 = 5, т.е. х = 5"2 = 0,04 . Ответ: х = 0,04 .
Глава 7. Решения и указания 249 7.72 Чтобы сумма в левой части уравнения была равна нулю, необходимо, чтобы первое слагаемое было отрицательно, т.е. log^ х < 0. Отсюда следует, что 0<х<1. (1) При этом условии logx9<0 и, значит, подкоренное выражение положительно. Перенесем 4 в правую часть уравнения и возведем обе его части в квадрат: log^x(2-21ogx3)=16. Так как i°gx3 = —!— log, X 2 1 то 4 = 16, x-41og^x-16 = 0. У\ = 4 , у 2 = -2. только значение •og^x 2- I |О8ЛХ Полагая log^jx = y<0 (согласно условию (1)) и решая соответствующее уравнение, находим Данному уравнению удовлетворяет у = -2 , т.е. log^j х = -2 , откуда х = —. Ответ: х = — 3 7.73 Учитывая области определения логарифмической функции и квадратного корня, получаем систему неравенств х > 0, - log004 x + l>0, (1) l°go,2 х + 3 > 0. Воспользуемся тем, что log0 2 х = log0 04 х2 = 2 log0 04 х (поскольку х > 0). Тогда, полагая log0 04 х = у , получим уравнение + 1 +д/2у + 3 =1,или #и+з = 1-V7TT.
250 Часть I. АЛГЕБРА Возведем обе его части в квадрат: 2у + 3 = 1 + у + 1- 2^ у + 1 , или 2^у + 1 = -1 - у . Так как 2-Jy +1 > 0 , то -1 - ^ > 0, откуда у < -1. Снова возведя в квадрат обе части уравнения, имеем 4 (у + 1) = 1 + у2 + 2у, или у2 - 2у - 3 = 0 , откуда yj=-l, у^-^ (не удовлетворяет условию у<-\}. Значит, log0 04 х = -1, т.е. х = 0,04-1=25. При этом условия (1) выполнены. Ответ: х = 25. 7.74 Указание. Привести радикалы к одному показателю, равному 6, и ввести новую переменную. Ответ: х = 5 . 7.75 Здесь должны выполняться неравенства у > 0, х + у > 0, х2 -ху + у2 > 0 . (1) Согласно указаниям 5° и 4°, с учетом условий (1) преобразуем данную систему следующим образом: log2 ~ — log2 (х + _у)2, log2 ((х + у)(х2 - ху + у2 ))= log2 2; -=(х+у)2> k27^-tz..=z, < У < х + у 2 (х + у)[хг -ху + у2)=2; |(x + _y)2j> = 4. Запишем первое уравнение в виде 2х2 - 2ху + 2у2 = ху + у2 , или 2х2 -Зху + у2 = 0. Разделив обе части на у2, получим (\2 X I _ X — -3 —+ 1 = 0. У) У Полагая — = t, имеем 2t2 - 3/ +1 = 0, откуда У '1=1. h = 2 . Остается решить системы уравнений
Глава 7. Решения и указания 251 х _ J х _ 1 У ’ и • У 2’ ,(х + у)2у = 4 [(х + у)2у = 4. Для первой системы имеем х = у, откуда 4х3 = 4; следовательно, х, = 1 и ух = 1; аналогично, для второй з Ve системы имеем у = 2х, откуда 18х = 4; значит, х2 = — 2^6 и у2 = — . Ответ: (1; 1), 'V6 гУб' 1з: 3 j 7.76 Рассмотрим два случая. 1) Пусть у>0, у*1. Тогда из первого уравнения следует, что 5х2 - 51х +10 = 0, откуда Xj = 10, х2 = 0,2. Из второго уравнения находим у} = 1,5, у2 = 75. 2) Пусть у = 1. Тогда первое уравнение выполняется при любом х е R. Из второго уравнения следует, что х = 15. Ответ: (10; 1,5), (0,2; 75), (15; 1). 7.77 Умножив обе части второго уравнения на 6У~*2 >0, получим систему (х2 +у)-2>”х2 =1, 9(х2+у)-2у-:‘2 -З^2 =1. Разделим почленно второе уравнение на первое: 9-3>’-х2 = 1, или З^'2*2 =3°, откуда у - х2 + 2 - 0, т.е. у - х2 = -2 . Остается решить систему уравнений у - х2 = -2, (у - х2 = -2, 7 2 \ 2 И™ 1 2 (х2 + у)- 2 2 = 1, [j/ + x2=4. Эту систему решаем алгебраическим сложением: 2у = 2,
252 Часть I. АЛГЕБРА т.е. у = 1; 2х2 = 6 , т.е. х} 2 = ±>/3 . Ответ: (\/3; 1) (- V3; 1). 7.78 Указание. Прологарифмировать второе уравнение по основанию 3. Ответ: (27; 4), [ —; - 3 |. <81 ) 7.79 Здесь должны быть выполнены неравенства Зх + 2у > О, 2x + 3y>0, fx>0, х*1, < => 5 (О х>0, х*1, [у > 0, у 5*1. у > 0, у 1 При этих условиях данную систему можно переписать в виде Зх + 2у = х2, 2х + Зу = у2. Вычитая из первого уравнения второе, имеем х - у = х2 - у2, или (х - _у)(1 - х - у) = 0 , откуда либо х - у = 0, либо х 4- у -1 = 0 . Таким образом, получаем следующие две системы: Зх4-2у = х2, и Зх4-2у = х2, х-у = О х + у-1 = 0. Во втором уравнении каждой из систем выразим у через х и подставим в первое уравнение. Тогда для первой системы получим х2 - 5х = 0, откуда х = 0 (не удовлетворяет условиям (1)), х = 5 , а соответствующее значение у = 5. Для второй системы получим х2 - х - 2 = 0, откуда х = -1 (не удовлетворяет условиям (1)), х = 2 , а соответствующее значение у = -1 также не удовлетворяет условиям (1). Итак, х = 5, у = 5 . Ответ: (5; 5).
Глава 7. Решения и указания 253 7.80 Здесь х>0. Логарифмируя первое уравнение по основанию 6, придем к системе (х - 2y)log6 х = 2, fa (х - 2y)log6 х = 8, 4 (х - 2у) + log6 х = 9, |4(х - 2у)+ log6 х = 9. Таким образом, значения выражений 4(х-2<у) и log6x можно считать корнями квадратного уравнения z2 - 9z + 8 = 0, откуда z{ = 8, z2 = 1. В результате получаем две системы уравнений |4(х-2у) = 8, |4(х-2у) = 1, [log6x-l [log6x = 8. Первая из них имеет решение х = 6, у = 2, а решение второй системы не удовлетворяет требуемому условию, поскольку значение у не является целым. Ответ: (6; 2).
ГЛАВА 8 НЕРАВЕНСТВА УКАЗАНИЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ НЕРАВЕНСТВ 1°. Числовое неравенство - это неравенство, верное при всех допустимых или при специально подобранных значениях входящих в него букв. Например, a1 +b2 > 2аЬ, где а и Ъ - любые действительные числа; у/a > 0, где а > 0. Наиболее часто встречающийся способ доказательства неравенств основан на определениях понятий «больше» и «меньше» и заключается в выяснении знака разности между левой и правой частями неравенства. Эти определения состоят в следующем: если а - > 0, то а> b; если а - b < 0 , то а < Ъ; (8.1) если а-Ь = Ъ, то а = Ь . Приведенные определения можно использовать и в обратном порядке: если а> b ,то а-Ь>0 и т.д. 2°. Основные свойства числовых неравенств: 1. Если а > Ъ, то b < а. 2. Если а>Ь и 6 > с, то а> с. 3. Если а>Ь и се/?, то a + ob + c. На основании этого свойства члены неравенства можно переносить из одной части в другую с противоположными знаками, сохраняя знак неравенства. 4. Если а>Ь и с > 0, то ас > Ьс. 5. Если а > Ъ и с < 0, то ас < Ьс. 6. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, т.е. если а>Ъ и о d, то а + с> b + d . 7. Неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно умножать, т.е. если а > b > 0 и о d > 0, то ac>bd . 8. Если а > b > 0 ,то ап > bn , п е N . 9. Если а>0, Ь>0 и ап > Ьп, л е А , то а >Ь.
Глава &. Неравенства 255 10. Если д > 6 > 0 , то — < —. а b 3°. Иногда при доказательстве неравенств используются некоторые известные неравенства. Такими, например, являются следующие: aSiO, 6>0, (8.2) т.е. среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического; —+ —>2, а>0,.Z>>0, (8.3) Ь а т.е. сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1°. Неравенства с одной переменной имеют вид /(*)>? (х); / (х) < g (х); f (х) > g (х); f (х) < g (х). Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством. Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Основная идея решения неравенства заключается в замене неравенства более простым, но равносильным заданному. 2°. При решении неравенств используются следующие правила преобразования неравенства в равносильное: а) какой-либо член неравенства можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства; б) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства; в) обе части неравенства можно умножить или разделить на
256 Часть I. АЛГЕБРА одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный; г) если для одних и тех же значений х справедливы неравенства /(х)>0, g(x)>0 и /(x)>g(x), то для тех же значений х верно неравенство (/(*))" > (&(*))” , п € N . 3° . Пусть заданное неравенство имеет вид / > 0 (вместо знака > могут быть знаки <, >, <, а функция в знаменателе может быть постоянной) либо оно приведено к этому виду с помощью правил п. 2 . Для решения неравенства применяется метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем: а) на числовую ось наносят точки Xj, х2,..., хп, разбивающие /(х) ее на промежутки, в которых выражение - определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений f (х) = 0 и g (х) = 0 . Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками - точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками - не удовлетворяющие ему; б) определяют и отмечают на числовой оси знак выражения /(х) для значении х, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции /(х) или g(x) являются многочленами и не содержат множителей вида (х - а)2”, где -. , f (х) neN , то достаточно определить знак функции ) ( в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться. _ _ f (х) Если же в числителе или знаменателе дроби —т-4 имеется gW множитель вида (х - я)2" , где neN , то, полагая х * а, делят обе части заданного неравенства на множитель (х-а)2", положительный при всех значениях х * а (см. п. 2°), и непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли
Глава 8. Неравенства 251 значение х = а заданному неравенству. Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в f(x) соответствии со знаком дроби ( в рассматриваемом sW промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие х-а. Например, для кривой знаков, изображенной на рис. 8.1, получаем следующее решение неравенства: (дг„в)и(а,ж2)и(хз , оо). Рис. 8.1 Роль кривой знаков может играть схематическое расположение параболы относительно оси Ох. Так, в случае, изображенном на рис. 8.2, решение неравенства имеет вид (- 00, Х| )Ufa , оо) ( xj и х2 - корни квадратичной функции). Рис. 8.2 4°. Рассмотрим решение квадратного неравенства ах2 +Ьх + с>0 (8.4) в случае отрицательного дискриминанта квадратного трехчлена ах2 +Ьх + с (т.е. D = Ь2 - 4ас < 0 ). Если а>0, то неравенство (8.4) выполняется при всех значениях х (рис. 8.3, а); если же а < 0, то оно не выполняется ни при каком значении х (рис. 8.3, б). 5°. Иррациональное неравенство (8.5) 9 Сканави
258 Часть!. АЛГЕБРА Рис. 8.3 можно рассматривать при условии f (х) > 0 => => => g(x)> 0. Значит, согласно указанию 2° г, обе его части можно возвести в квадрат. Из рассмотренных выше рассуждений следует, что неравенство (8.5) равносильно системе неравенств g(*)>0. (8.6) (7Д*))2 <($(*)?• 6°. Иррациональное неравенство (8.7) можно рассматривать при условии /(х)>0 => Однако при этом условии его правая часть g(x) может быть как неотрицательной, так и отрицательной, а потому неравенство (8.7) равносильно совокупности двух систем неравенств: /W^O, g(x)>0, >(g(x))2; g(x)<0. (8-8) 7°. Показательное неравенство
Глава 8. Неравенства 259 Л/«>ЛкМ (8.9) при а > 1 равносильно неравенству /(*)>«(*). <81°) а при 0 < а < 1 - неравенству /(x)<g(x). (8.11) 8°. Логарифмическое неравенство Ь&,/(х)>1о&,г(х) (8.12) при а > 1 равносильно системе неравенств 7(х)>о. •g(x)>0, (8.13) /(x)>g(x), а при 0 < а < 1 - системе неравенств 7W>o, g(*)>o. ./(*)< g(*). (8.14) 9°. Для решения простейших тригонометрических неравенств sinx > a, cosx > a, tgx > a, ctgx > а (8.15) (вместо знака > могут быть знаки <, >, <) применяют графический способ. Находят точки пересечения графика соответствующей тригонометрической функции с прямой у = а, расположенные ближе к началу координат, и затем используют периодичность функции. Неравенства вида (8.15) можно решать также с помощью единичного тригонометрического круга. Для решения более сложных тригонометрических неравенств их сводят к простейшим случаям с помощью упрощений.
260 Часть I. АЛГЕБРА Группа А 8.1 Показать, что для всех положительных чисел а и b верно неравенство уа +Jb > y/a + b . 8.2 Доказать, что если а>0 и 6 > 0, то yja + Jb 8.3 Доказать, что если а 2, то —=------> -z--- о2-4а + 4 а3-8 Решить неравенства (8.4 - 8.17): х2 - Зх 4- 2 > х2 +Зх + 2 -------< —. х2-5х + 6 2 8.9 ---— < 0. X2 4-2x4- 1 8.10 х6-9х3+8>0. 8.11 |х2-5х|<6.
Глава 8. Неравенства 261 8.12 |2х2-9х +15| > 20 . х — 7 8.13 — <0. V4x2-19x + 12 у/~Х — 3 8.14 ^—^>0. х-2 8.15 л/х + 61 <х + 5. 8.16 х-3<Л-2. 8.17 7зх-х2 <4-х. 18 Найти целые положительные значения х, удовлетворяю* 5х +1 _ ~ щие неравенству-----> 2х + 2. х-1 8.19 Найти область определения функции = /хг-7х + 12 У 1 х2-2х-3 Решить неравенства (8.20 - 8.35): 8.20 (0, (Д))’2'1 > (0,(б))х2+6. 8.21 ----------<0. х2 + 2х + 5 --I 1-2 8.22 4х -2х -3<0. 8.23 52,/х+5<5,/х+|+5^.
262 Часть I. АЛГЕБРА Зх-5 8.24 log3^^^l. х + 1 8.25 0,4Io82x+1 <6,252'1082х3. 8.26 log„2(x-l)2 >4. / \ 8.27 log21 l-t-logj x-log9 x <1. I 9 > 8.28 logn (x + 27) - logn (16 - 2x) < log^ x. 8.29 ~ + log9 x - log3 (5x) > log j (x + 3). 8.30 logx_]0,3>0. x+5 4x2 -1 8.31 —— ----------<;o. •0gl,7^(l-10g73)^ 8.32 0,5х"2 > 6. l08i‘°e2x; 8.33 0,3 3 >1. 8.34 logjog, (зл-9)<1. 8.35 log2 log! log5 x > 0. 3
Глава 8. Неравенства 263 Найти области определения функций (8.36 - 8.37): +—— 8.36 у = 0,5 *’. «7 I- . V V-x2 +2x4-8 Группа Б 8.38 Доказать, что произведение суммы трех положителывдх чисел на сумму обратных им чисел не меньше 9. 8.39 Доказать, что если а - любое действительное число, то а1 + а + 2 * верно неравенство . > 2 . JS + a+l 8.40 Доказать, что при условии 2у + 5х = 10 выполняется неравенство Зху - х2 - у2 < 7. 8.41 Показать, что при любых действительных значениях х , х2 + X + 1 функция у =—г------- не может принимать значений, xL +1 - 3 1 больших — и меньших —. 2 2 8.42 Найти целые числа х, удовлетворяющие неравенству 2 8 х-13 >9 8.43 При каких значениях р оба корня квадратного трехчлена х2 + 2(р + 1)х + 9р - 5 отрицательны? 8.44 Найти все значения а, при которых выражение 7(а + 1)х2 - 2(а - 1)х + За - 3 имеет смысл для любых х е R.
Часть I. АЛГЕБРА 264_________________________________________ 8.45 При каких значениях т корни уравнения 4х2 - (З/и + 1)х - т - 2 = О заключены в промежутке между -1 и 2? Решить неравенства (8.46 - 8.66): 8.46 Зх +1 х-3 <3. 8.47 |х + 2|-|х|. Л- х3 8.48 х2 - 5х + 4 х2 - -4 >0. 8.49 х4*3*3*4*2 8 < 0 X2 8.50 |х-б|>|х2-5х + 9|. 8.51 (х2 +4Х + К))2 -?(х2 +4х + 11)+7<0 8.52 -7-4--->/2-х<2. yjl-X 8.53 Vx + 3 <Vx^T + Vx-2 . 8.54 (х - 3)7х2 +4 <. х2 - 9. 8.55 log, log, ^±±<0. - - 2х - 3
Глава 8. Неравенства 265 1 1 8.56 7-----с <----------- log2 (х — 1) log2Vx+l 8.57 log3 log4 - log, log j < 0. x + 1 - - 4x -1 8.58 log4 x + log2 (д/x -1)< log2 log^ 5 (найти целые значения x). Зх -1 8.59 logx44>0. x +1 8.60 log J, log2 logx_j 9 > 0. 2 8.61 lo g0Jx-2|<o x2-4x 8.62 0Л^‘з(’х)>6Д52+,*< 8.63 sin2x 8.64 0,5Л <0,5i"cos2x <0,5. 8.65 -<4tgx. COS X 8.66 sin 4x + cos 4x ctg 2x > 1. Найти области определения функций (8.67 - 8.68): 8.67 y = V4 х -17-2* +4 .
266 Часть I. АЛГЕБРА 8.68 у= /iog± log3|x-3|. V з Решить системы неравенств (8.69 - 8.70): 8.69 |х2 + 5х| <6, |х + 1| < 1. 8.70 7* 2 -9х + 20 < л/х-1 V*2 -
Глава 8. Решения и указания 267 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 8.1 Предположим, что неравенство 4а +4b >4а + Ь верно. Так как все его члены положительны, то верно и неравенство (Va+V^)2 > ^Ja + bf, или a+2jab+b > а + b, или 2у[аЬ>0. Последнее действительно верно, поскольку а > 0 и b > О по условию. В результате мы пришли к такому неравенству, из которого можно получить данное. Для доказательства проведем все рассуждения в обратном порядке: неравенство 14аЬ > 0 верно; следовательно, верно и неравенство a + b+2jab>a + b , или [Га+4$>а+ь-, так как 4а + 4b > 0 и а + Ь>Оу то верно и неравенство 4а + 4b> Ja + b . 8.2 Рассмотрим разность между левой и правой частями неравенства: 2^ _ \[ab - ~ 4аЬ (4а + 4b) _ 4а +4ь 4а + 4ь _ 4ab^4ab -4а -4b) _ _ 4abfya ~4bJ < 4а +4ь 4а +4ь поскольку 4аЬ > 0, 4а +4b > 0, (Vfl - 4bf > 0 при а * b и (t/л - 4bf = 0 при а = b. Итак, 144ь l4d> ~j=---= - ЦаЬ < 0 => -=--= < ЦаЬ . Ja+jb Ja+Jb 83 Указание. Определить знак разности между левой и правой частями неравенства. 8.4 Корнями уравнений (х + 3)(5 - х) = 0 и 2х - 5 = 0 служат
268 Часть I. АЛГЕБРА числа %] = -3, ,х2 = 2,5, х3 = 5, которые не являются решениями заданного неравенства, поэтому на числовой оси отмечаем их светлыми кружками (рис. 8.4). Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка. Легко определяем, что при х > 5 левая часть неравенства отрицательна - ставим знак «минус» справа от точки 5 и, двигаясь влево, чередуем знаки «плюс» и «минус». С помощью рис. 8.4 заключаем, что решением данного неравенства служит объединение двух интервалов (- оо, - 3) и (2,5; 5). 2,5 54^ х Рис. 8.4 Ответ: (- оо, - 3)U (2,5; 5). 8.5 Полагая х * 0 и х * 3, разделим обе части неравенства на положительную дробь ------гт- и сразу заметим, что х = 0 удовлетворяет заданному неравенству, а х = 3 не удовлетворяет. Кроме того, множители с нечетными показателями степени заменим соответствующими множителями первой степени (ясно, что при этом знак выражения в левой части неравенства не изменится). В результате получим более простое неравенство, равносильное заданному для всех х * 0 и х ф 3: (2х-9)(х-1),0 х + 4 Начертив кривую знаков, заштрихуем промежутки, удовлетворяющие этому неравенству, и отметим на той же оси точки х = 0 и х = 3 (рис. 8.5). Учитывая, что значение х = 0 является решением заданного неравенства, но не принадлежит заштрихованному промежутку, его дополнительно включаем в ответ. Значение х = 3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному промежутку; следовательно, это
Глава 8. Решения и указания 269 значение нужно исключить. Ответ: (- ®, - 4)U [1,3)U (3; 4,5](J 0. Рис. 8.5 8.6 Перенесем 1 в левую часть неравенства и выполним преобразования: х2-Зх + 2 . x2-3x + 2 _ —-------> 1 => -5--------1 > 0 => х + Зх + 2 х + Зх + 2 6х <0. Применяем метод интервалов и с помощью рис. 8.6 устанавливаем, что х < -2 или -1 < х < 0. Ответ: (- 00, - 2)U (-1, О]. Рис. 8.6 8.7 Имеем 1 5 ---+----< 1 2-х 2 + х х2 — 4х + 8 Л —:—.— <0. 2 + х + 10-5х-4 + х2 Л ----------------<0 => 4-х2 Поскольку х2 - 4х + 8 > 0 при любом х (р - -16 < 0), остается решить неравенство 4-х2 < 0, откуда получаем, что х < -2 или х > 2 . Ответ: (- °о, - 2)U(2, 00). 8.8 Преобразуем данное неравенство в равносильное: 1 1 х2 — 5х + 4 _J---------— <0 ; -4----tz >о. х -5х + 6 2 2р-5х + б) Корни Х| = 1, х2 = 4 уравнения х2 - 5х + 4 = 0 являются
270 Часть I. АЛГЕБРА решениями неравенства (на рис. 8.7 отмечаем их закрашенными кружками); корни х3 = 2, х4 = 3 уравнения х2 - 5х + 6 = 0 не являются решениями неравенства (на рис. 8.7 отмечаем их светлыми кружками). С помощью кривой знаков получаем решение исходного неравенства. Ответ: (- оо, 1](J (2, 3)U [4, оо). +ХХ+ХХ+ г 1X^x4 х Рис. 8.7 8,9 Разлагая числитель и знаменатель на множители, получим (%2 4Xx2t2)<0 (x+ir <0- Заметим, что (х + 1)2>0 при х*-1, а х2+2>0 при любом х. Решив неравенство х2 - 4 < 0, находим -2 < х < 2 . Для записи окончательного ответа следует учесть, что х * -1. Ответ: (- 2, - 1)U (-1,2). 8.10 Указание. Ввести вспомогательную переменную X3 =у. Ответ: (- оо, 1)|J (2, оо). 8.11 Данное неравенство равносильно двойному неравенству - 6 < х2 - 5х < 6, или системе х2 -5х-6<0, х2 -5х + 6 > 0. Каждое неравенство системы решаем самостоятельно, используя метод интервалов. Для первого неравенства находим -1<х<6, а для второго х<2 или х>3. Объединяя эти решения (рис. 8.8), получим, что -1<х<2 илиЗ<х<6. Ответ: (-1,2)U(3, б).
Глава 8. Решения и указания 271 ————-► -1 2 3 6 х Рис. 8.8 8.12 Так как 2х2 - 9х +15 > О при любом х (D = -39 < 0), то |2х2-9х + 15| = 2х2-9х + 15. Решив неравенство 2х2 - 9х +15 £ 20, в результате получаем, что -оо < х < -0,5 или х > 5. Ответ: (- оо; - 0,5]U [5, оо). 8.13 Данное неравенство можно рассматривать лишь при условии 4х2 - 19х +12 > 0, откуда находим, что х < 0,75 или х > 4 . (1) При этих значениях х имеем V4x2-19х + 12 > 0 и достаточно решить неравенство х - 7 < 0, т.е. х<7. (2) Из системы неравенств (1), (2) получаем, что -оо < х < 0,75 или 4 < х < 7 . Ответ: (- оо; 0,75)U(4, 7). 8.14 Учитывая, что х не может принимать отрицательные значения, разобьем точками х, =2 (корень уравнения х - 2 = 0) и х2 = 9 (корень уравнения Jx - 3 = 0 ) на промежутки не всю числовую ось, а только ее часть [О, оо). С помощью кривой знаков (рис. 8.9) находим решения данного неравенства. Рис. 8.9 Ответ: [О, 2)U(9, °°).
272 Часть I. АЛГЕБРА 815 Согласно указанию 5°, это иррациональное неравенство равносильно системе х + 61>0, < х + 5 > О, т.е. х + 61 <х2 ч-Юх + 25, х > -5, х2 +9х-36 >0. Решив квадратное уравнение х2+9х-36 = 0, находим Xj = -12 , х2 = 3 . Строим кривую знаков (в данном случае - дугу параболы) и стрелкой, направленной вправо от точки -5, отмечаем промежуток х>-5 (рис. 8.10). Решения первого и второго неравенств системы совпадают на промежутке (3, оо). Ответ: (3, оо). Рис. 8.10 8.16 Согласно указанию 6°, это иррациональное неравенство равносильно следующей совокупности двух систем неравенств: х-2>0, х-3>0, х2 -6х + 9<х-2; или х > 2, - х > 3, х2 -7х + 11 <0; х-2>0, х - 3 < 0, х>2, х<3. Решением первой системы является промежуток 3 < х < (рис. 8.11, а), а решением второй системы - промежуток 2<х<3 (рис. 8.11, б). Объединяя эти решения, получаем окончательный ответ.
Глава 8. Решения и указания 273 Рис. 8.11 8.17 Согласно указанию 5°, это иррациональное неравенство равносильно системе Зх-х2^0, х(3-х)^0, « 4 - х > 0, или • х < 4, Зх-х2 < 16-8х + х2, |2х2-11х +16>0. Но последнее неравенство выполняется при любом х (поскольку D < 0); поэтому решение системы из первых двух неравенств и дает ответ данного неравенства. Ответ: [0, 3]. 8.18 Имеем 5х + 1 /п Л 5х + 1-2(х2-1) л 2х2-5х-3 л ------(2х + 2)> 0;-------1L > 0 ;-------------< 0. х-1 х-1 х-1 Разложив числитель на множители, получим 2(х + 0,5)(х-3) ,0 х-1 Применим метод интервалов и с помощью рис. 8.12 устанавливаем, что х < -0,5 или 1 < х < 3. В этих интервалах содержится только одно целое положительное значение х = 2 . Рис. 8.12
274 Часть 1. АЛГЕБРА Ответ: х = 2 . 8.19 Данная функция определена при условии 4z2i±E>o. х2-2х-3 Решив это неравенство, находим, что х<-1 или 4 < х < оо. Ответ: (- оо, - 1)|J [4, 00). 8.20 Заметив, что 0,(4) = ^, а 0,(б) = ^, запишем данное неравенство в виде Так как основание степени 0< —<1, то, согласно 3 указанию 7°, переходим к неравенству 1{х2 - 1)<х2 +6. Решив его, получаем решение данного неравенства. Ответ: (-2^2,2^2 ). 8.21 Так как выражение х2+2х + 5 положительно при любом х, то, умножив на него обе части данного неравенства, получим равносильное неравенство -81 <0, или 3’(8+х)<34. Далее, поскольку основание степени 3 > I, используя указание 7°, имеем -8 - х < 4, откуда х > -12 . Ответ: (-12, оо). 8.22 Неравенство имеет смысл при х * 0. Запишем его в виде 2 U >-2х -2- -3<0. 1-1 Положив 2х =у>0 и решив неравенство
Глава 8. Решения и указания 275 2^2-у-6<0, находим -1,5 <у <2. Так как 2х >0 —-I при всех х * 0, то остается решить неравенство 2 х < 2. Имеем — -1 < 1, или -—— < 0, X X откуда получаем -оо < х < 0 или х > 0,5. Ответ: (-оо,0)[0,5;оо). 8.23 Указание. Положить 5V< =^ >0. Ответ: (0, 1). 8.24 Заметим, что 1 = log3 3, а основание логарифма больше 1. Согласно указанию 8°, переходим к системе Зх-5 х + 1 Зх-5 . х + 1 >0, <3 Зх-5 <0. х + 1 Во втором неравенстве системы -8<0, откуда следует, что х +1 > 0, а значит, в первом неравенстве должно быть Зх - 5 > 0. Решив систему х +1 > 0, Зх-5 > 0, находим, что 5 3 8.25 2 (2\~2 Заметив, что 0,4 = у и 6,25 = 1 — I , приведем обе части неравенства к одному основанию:
276 Часть I. АЛГЕБРА Так как основание степени 0 < у < I, то, используя указание 7°, имеем log2 х +1 > 2 log2 х3 - 4 . Функция f (х) = log2 х определена при х > 0; следовательно, 21og2 х3 = 6 log2 х . Полагая у = log2 х , приходим к неравенству у2 - бу + 5 > 0, откуда заключаем, что у < 1 или у > 5 . Таким образом, данное неравенство равносильно совокупности неравенств log2 х < 1, log2 х > 5, которую можно переписать в виде log2 х < log2 2, log2 х > log2 25. Поскольку основание логарифма 2 > 1, используя указание 8°, находим, что решение первого неравенства есть промежуток 0<х<2, а второго - промежуток х > 25, т.е. х > 32. Ответ: (0,2)U(32, оо). 8.26 Данное неравенство можно переписать в виде |log0 2 (* “ 0| > 2, откуда либа Iogo.2 (х-1)<-2. (1) либо log0J(x-l)>2. (2) Решаем неравенство (1). Так как -2 = log0 2 0,2"2 , то, учитывая, что 0 < 0,2 < 1, получим х -1 > 25, т.е. х > 26. Решив неравенство (2), найдем 0 < х -1 < 0,04, т.е. 1<х<1,04. Ответ: (1; l,04)U(26, оо). 8.27 Заметив, что log! х = - log9 х , запишем данное 9 неравенство в виде log2 (1 - 2 log9 x)<log22. Оно равносильно системе
Глава 8. Решения и указания 277 х > О, <1-2 log9 х > О, или 1-2 log9 х < 2, Решаем второе неравенство: -2 < 2 log9 х -1 < 0; -1 < 2 log9 х < 1; О < 1 — 2 log9 х < 2. 1 1 1 — — <log9x< — log9 9 2 < log9 х < Iog9 92 . _1 1 Следовательно, 9 2 <x<92, | < x < 3 (неравенство автоматически). z. Г1 1з J или 3 1 < x < 3, т.е. x > 0 выполняется 8.28 Данное неравенство равносильно системе х + 27>0, х > -27, 16-2х>0, х <8, х > 0, => х >0, => 1 х + 27 . 1,0&Ч6-2х<,08‘Ж х + 27 Лк J6-2x 0 < х < 8, 0 < х < 8, => < 2х2-15x4-27 „=>• (х-3)(х-4,5) < 0 16-2х х-8 Решив ее, находим 3 < х < 4,5. Ответ: (3; 4,5). 8.29 Все слагаемые приведем к логарифмам по основанию 9: | = log, 9 2 = log, 3; log3 (5х) = log, (?5х2 ); log| (х + 3) = - log3 (х + з) = - log9 (х + З)2 = log9 (х + З)"2 . з Данное неравенство равносильно системе
278 Часть I. АЛГЕБРА х > О, ’fcti.-LO. . 25х Решив последнюю систему, находим, что х > 0. Ответ: (0, оо). 8.30 Согласно условию, логарифм числа 0,3, меньшего 1, положителен. Это может быть только в том случае, когда основание логарифма есть положительное число, меньшее 1 (рис. 8.13). Таким образом, имеем систему неравенств л х -1 , 0 <----< 1, решив которую получим х > 1. х + 5 Ответ: (1, оо). 8.31 Указание. Используя свойства логарифмов, показать, что знаменатель дроби отрицателен, и с учетом этого решить неравенство, равносильное данному. Ответ: (- оо; - 0,5]U [0,5; оо). 8.32 Запишем неравенство в виде 22"* > 2 • 3. Прологарифмировав его по основанию 2, получим 2 - х > 1 + log2 3, откуда х < 1 - log2 3 (при логарифмировании знак неравенства сохранился, так как
Глава 8. Решения и указания 279 основание 2 > 1). Ответ: (-оо, l-log2 3). 8.33 Данное неравенство равносильно системе Зх + 6 Зх + 6 _ . л - > и, „ 'Л х2 +2 х2 +2 , Зх + 6 Л Зх + 6 _ toga 2 ,>0> => -г-->1. => х2 +2 х2 + 2 , , Зх + 6 . Зх + 6 10gll0g2-2—<0 log2V- j х24-2 1 х +2 Зх + 6 , —----->1, х2 +1 _ Зх + 6 3x4-6 х24-2 1х2+2 Заметим, что при переходе от второй системы к третьей из первых двух неравенств остается только второе, а в третьей системе достаточно решить только второе неравенство. Ответ: (-0,5; 2). 8.34 Данное неравенство можно рассматривать при условия 3х-9 >0, log, (з*-9)> 0, или 3х >32, (х>2, или < 3х-9>1, [3х >10. Прологарифмировав второе неравенство по основанию 3, находим х > log310 > 2 , т.е. в данном неравенстве основание логарифма х>1/ Значит, log9 (зх-9)<х, откуда 3Х-9<9Х (1) Положим 3х = у и получим неравенство у2 - у + 9 > 0, которое выполняется при любом у. Поэтому неравенство (1) выполняется при всех х, а решением исходного неравенства является промежуток х > log310. ( 1 1 Ответ: —,оо . Us3 )
280 Часть I. АЛГЕБРА 8.35 Данное неравенство равносильно системе х > 0, < log5 х > 0, или logJ| log5 X > 1, 3 х > 0, X > 1, 0 < log5 х < . Достаточно решить двойное неравенство 0 < log5 х < —, откуда log51 < log5 х < log5 53 , т.е. 1 < х < ^5 . Ответ: (1, Vs). 8.36 Данная функция определена при условиях 4 - х2 £ 0, х -1 * 0. Решив эту систему, находим, что -2 < х < 1, 1<х<2. Ответ: [- 2,1)U(1,2], 8.37 Здесь должны выполняться условия х -1 > 0, - х2 + 2х + 8 > 0, logp.3 (* ~ О V-x2 +2х + 8 Из второго неравенства следует, что х2 + 2х + 8 > , и, значит, в третьем неравенстве должно быть log0 з (х -1) < 0. Таким образом, имеем систему х > 1, - (х-4)(х + 2)< 0, logo ,3 (* -1)^ 0, решив которую получим 2 < х < 4. Ответ: [2, 4).
Глава 8. Решения и указания 281 8.38 Здесь требуется доказать, что (а + b + с)( — + - + - I > 9 la b с) при условии а > 0, 6 > 0, с>0. Рассмотрим разность между левой и правой частями неравенства: ( и \( 1 1 И Л (а + 6 + с) — + — + — |-9 = la b с) , b с а , с а b , Л = 1 + — + — + — + 1 + — + —+ — + 1-9 = a a b b с с Так как в силу известного неравенства (8.3) имеем — + — £ 2, — + — > 2 , — + — > 2 , то, сложив эти а b ас b с неравенства, получим (b а\ (с а\ (с Ь'Х , I—+ —1 + 1—+ —1 + 1—+ —|>6. Va Ь) \а с) \Ь с) Итак, (a + b + с)| — + - + - | - 9 £ 0, т.е. \а b с) (а + 6 + с)|— + — + — ] >9. \а b с J 8.39 8.40 Здесь а2 + а +1 > 0 при любом а. Преобразуем левую часть неравенства: a2 + a + 2 _ а2 + а +1 1 _ >/а2 + а + 1 Уа2 + а +1 У а2 + а +1 = Уа2 + а +1 + , Уа2 +а + 1 а это сумма двух положительных взаимно обратных чисел, которая, как известно, не меньше 2. Итак, данное неравенство верно при любом а. Указание. Выразить у = О,5(1О-5х), подставить это выражение в неравенство и рассмотреть разность между
282 Часть I. АЛГЕБРА левой и правой частями неравенства. 8.41 Нам нужно доказать, что 1 х2 + х + 1 3 _ - < —= < -т, х е R. (1) 2 х2+1 2 Если это неравенство верно, то, умножив все его части на 1(х2 +1)> 0, получим верное неравенство х2 +1 < 2(х2+х+ 1)^ з(х2+1). (2) Вычитая из всех частей этого неравенства х2 +1, имеем 0 £ х2 +1 + 2х < 2 (х2 +1), или 0 < (х +1)2 < 2 (х2 +1). (3) Отметим, что неравенство (х + 1У>0 (4) верно при любом х. Рассмотрим теперь разность (х +1)2 - 2 (х2 +1). Имеем (x+iy-a^+^-^+zx-is-fx-i)2 <о при любом х, т.е. (х+1)2 <г(х2+1). (5) Из (4) и (5) следует справедливость (3), а значит, верно (2) и (1), что и требовалось установить. 8.42 Здесь должно выполняться условие х -13 * 0, т.е. х * 13. 2 При этом >0 и данное неравенство равносильно х-13 х-13 9 „ следующему: < —. Решая его, получим 2 8 9 х-13 9 _Z<±__L±<Z; -9<4х-52<9; 43<4х<61. 8 2 8 Итак, 10,75 < х < 15,25 и х * 13. Целыми значениями х, удовлетворяющими этим условиям, являются 11, 12, 14, 15. Ответ: 11; 12; 14; 15.
Глава 8. Решения и указания 283 8.43 Квадратный трехчлен х2 + 1{р + 1)х + 9р - 5 имеет корни, если /> = 4(р + 1)2-4(9р-5)>0. Пусть и х2 -корни трехчлена; тогда по условию х1 < 0 и х2 < 0. Далее, согласно теореме Виета, х1х2=9р-5>0, Xj + х2 = -2 (р +1) < 0. Таким образом, получаем систему (р + 1)2-(9р-5)г0> 9р-5>0, или р +1 > О, р2 - 1р + 6 > О, 5 р > —, 9 р>-1, или р < 1, р > 6, 5 р > —, И 9 р>-1. Используя рис. 8.14, системы: — < р < 1 или р > 6. 9 находим решение последней Ответ: при < р < 1 или р > 6. -1 5 1 9 6 р Рис. 8.14 8.44 Данное выражение определено при условии (a + l)x2-2(a-l)x + 3a-3>0. (1) 1) Пусть а + 1 = 0, т.е. а = -1. Тогда неравенство (1) примет вид 4х - 6 £ 0, откуда х £ |, т.е. оно выполняется не при любом х. 2) Пусть а +1 * 0 . Тогда неравенство (1) выполняется при любом х, если дискриминант квадратного трехчлена неположителен и а +1 > 0. Таким образом, имеем систему неравенств
284 Часть I. АЛГЕБРА /(a-l)2-4(а + 1) з(а-1)<0, |2(а-1)(а + 2)>0, а +1 > 0, +1 > О, откуда получаем, что 1 < а < оо . Ответ: 1 < а < оо . 8.45 Пусть Xj и х2 - корни данного уравнения. По условию, -l<xj <2, -1<х2 <2. (1) Следовательно, f (х) = 4х2 - (3/и + 1)х - т - 2 - квадра- тичная функция, а ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Эта функция имеет корни, поэтому парабола либо пересекает ось Ох в двух точках, либо касается ее в одной точке (на рис. 8.15 изображены возможные случаи расположения параболы относительно оси Ох). Согласно неравенствам (1), эти точки должны принадлежать интервалу (-1, 2). При этом /(-1)> 0 и f (2) > 0. Итак, получаем систему неравенств 4 + 3/и + 1-/и-2>0, [2/и + 3>0, или ( 16-6/и-2-/и-2 >0, 1-7/и + 12>0, 3 т > — 2 . 12 т <—, 7 ИЛИ ’ 3 12 откуда - — < т < —. л 3 12 Ответ: при - — < т < —.
Глава 8. Решения и указания 285 8.46 Имеем ЗХ4-1 х-3 ЗХ4-1 х-3 3x + l + 3(x-3)>c х-3 Зх + 1-3(х-3)<? х-3 [бх-8 Л ----->0, х-3 lx-3 Из второго неравенства следует, что х - 3 < 0, а значит, в первом неравенстве должно быть 6х -г 8 < 0. Итак, х - 3 < 0, ’ 6х-8<0 ( 4 А Ответ: I - оо — . х < 3, 4 ,т.е. х < —. х < — 3 3 8.47 Должно выполняться неравенство \4-х3 >0, которое имеет место, если 4 - х3 > 0, т.е. если х < V?. При этом условии достаточно решить неравенство |х + 2|-|х|>0. (1) Учитывая, что |х + 2| = 0 при х = -2 и |х| = 0 при х = 0, рассмотрим различные интервалы изменения х. 1)Пусть х<-2. Тогда |х4-2|-|х| =-х-24-х =-2<0, т.е. эти значения не удовлетворяют неравенству (1). 2)Пусть -2<х<0. Тогда |х4-2|-|х| = х4-24-х = 2x4-2 и неравенство (1) примет вид 2x4-2 > 0, откуда х>-1. Следовательно, в этом случае -1<х<0. (2) 3)Пусть 0<х<^4. Тогда |х4-2|-|х| = х4-2-х = 2 >0 при любом х из рассматриваемого интервала. Значит, в этом случае OSxcV?. (3) Объединяя неравенства (2) и (3), получаем, что
286 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: 8.48 Имеем х2 - 5х + 4 х2 -4 ^1=> [ 2х(х-2,5) 5(х-1,б) ,(х + 2)(х-2) Применим метод интервалов сразу к двум неравенствам и с помощью рис. 8.16 найдем те значения х, при которых обе дроби неотрицательны. В результате получим О < х < 1,6, х > 2,5. Рис. 8.16 Ответ: [б; 1 ,б]и [2,5; оо). 8.49 Разложив числитель на множители: (х3 - в)+ (х4 + 2х3 + 4х2 )= (х - 2)(х2 + 2х + 4)+ + х2 (х2 +2х + 4)=(х2 +2х + 4)(х2 +х-2), придем к неравенству
Главам. Решения и указания 287 (г2 + 2х + 4Ух2 +Х-2) Л х:-------и--------‘<0. х Так как х2>0 при х*0 и х2+2х + 4>0 при любом х, то остается решить неравенство х2 + х - 2 < 0. Ответ: (- 2, o)U (О, l). 8.50 Очевидно, что х2 - 5х + 9 > 0 при любом х; поэтому |х2 - 5х + 9| = х2 - 5х + 9. 1) Пусть х<6. Тогда неравенство примет вид -(х-б)>х2-5х + 9 =>х2-4х + 3<0. Отсюда находим, что 1 < х < 3. 2) Пусть х > 6. Тогда неравенство примет вид х-6>х2-5х + 9=>х2-6х + 15<0, что невозможно. Ответ: (1,3). 8.51 Указание. х2 + 4х + 10 = у. Ответ: (-3, -1). Воспользоваться подстановкой 8.52 Полагая у = <2 - х , получим неравенство 4 --у<2. (1) У При х < 2 имеем у > 0 и, значит, можно умножить обе части неравенства (1) на у. Следовательно, 4 - у2 < 2 у, или у2 + 2у - 4 > 0. Отсюда находим y<-l-V5 или y>V5-l. Однако значения у < -1 - V5 не удовлетворяют неравенству (1), поскольку должно быть у > 0. Таким образом, у > ^5 ~ 1 и остается решить неравенство 72-х > 7J -1. Так как V5 -1 > 0, то в силу указания 6° это иррациональное неравенство равносильно системе
288 Часть I. АЛГЕБРА 2-х > О, [х<2, fx<2, ' > (л -1)2 3 * I2 - л > 6 - V < -4, откуда получаем, что х < 2^5 - 4. Ответ: (-оо, 2V5-4I. 8.53 Согласно указанию 5°, данное иррациональное неравенство равносильно системе х + 3 > О, х-1>0, х-2>0, (л/х+з)2 < (Vx-1 + V*-2 J х > -3, х > 1, X > 2, х + 3 < 2 х - 3 + 2 7(х-1)(х-2) Гх>2, 6-х < 2^{х- 1)(х -2). ( ) В силу указания 6° второе неравенство системы (1) равносильно совокупности двух систем: (х-1)(х-2)>0, 6-х <0. (х - 1)(х -2)> О, ’6-х>0, (2) 36-12х+х2 <д(х2 -Зх + 2); Решаем систему (2). Из первых двух ее неравенств находим 2 < х < 6. Третье неравенство после преобразований примет вид Зх2-28>0, откуда образом, решением системы (2) является промежуток 2----< х < 6. 3 Решаем систему (3). Из первого ее неравенства находим
Глава 8. Решения и указания 289 х < 1 или х > 2 , а из второго х > 6. Следовательно, х > 6 - решение системы (3). Объединяя решения систем (2) и (3), получаем, что 2721 3 - решение второго неравенства системы (1), а значит, и самой системы (1). Ответ: (2^21 1 I 3 ) 8.54 Приведем данное неравенство к виду (х-3)[\х2 + 4 - (х + 3)|<0. Рассмотрим два случая: х-3>0 и х-3<0. В первом случае получим систему х-3>0, |х>3, V*2 +4 -(х + 3)< 0 Jx2 +4 <х + 3. При х > 3 обе части второго неравенства положительны и их можно возвести в квадрат. Следовательно, х2 + 4 < х2 + 6х + 9, или 6х + 5 > 0, т.е. х > -—. Итак, в этом случае х > 3. 6 Во втором случае имеем систему х - 3 < 0, х < 3, ч]х2 +4 -(х + 3)>0 у/х2 +4 >х + 3. Согласно указанию 6°, второе неравенство равносильно совокупности двух систем: х2 + 4 > О, г _ х2 + 4 > О h + 3>0, (1) Г ’ (2) э э х + 3 < 0. х +4 >х +6х + 9; Первое неравенство системы (1) выполняется при всех х, второе - при х > -3 , третье - при х < - —. Таким образом, 6 -3 < х <-— есть решение системы (1). Очевидно, что 10 Скавави
290 Часть I. АЛГЕБРА система (2) имеет решение х < -3. Отсюда заключаем, 5 что в этом случае - оо < х < —. Объединяя решения, найденные в рассмотренных двух случаях, получаем ответ. 8.55 Заменяя 0 на log1 1 и учитывая, что основание первого з логарифма удовлетворяет неравенству 0 < j < 1, получаем равносильное данному неравенство logl j 2х-3 (при этом условие log j-------- - 2х-3 выполняется автоматически). Далее, так как 1 = log j — и 0 < — < 1, то 2 2 2 приходим к равносильной данному неравенству системе х + 4 ----->0, 2х-3 х + 4 т.е. • 2х-3 И 2(2х- >0, <0. .2х-3 2’ Из второго неравенства системы следует, что 2х-3.<0; значит, х + 4<0 и задача сводится к решению равносильной системы 3 2* 2х-3<0, или < откуда х < -4. Ответ: (- оо, - 4). 8.56 Пусть выполнены неравенства 0 < х -1 < 1, т.е. 1 < х < 2, и log2(x-l;c0. (1)
Глава 8. Решения и указания Тогда 2 < х +1 < 3 и 291 log2 л/х + 1 = 0,5 log2 (х +1) > 0. (2) Из (1) и (2) следует, что при 1 < х < 2 данное неравенство выполняется. Пусть теперь х -1 > 1, т.е. х > 2 . Тогда оба логарифма положительны и приходим к неравенству log2 V* +1 < log2 (х -1), решив которое получим х > 3. Ответ: (1,2)U(3, <ю). 8.57 Заметив, что , х + 1 . 4х-1 >0gi ---г = log4——, - 4х -1 х + 1 4 4х — 1 4х — 1 Iogllog4^-i = -log3log4^-l, - х+1 х+1 преобразуем данное неравенство: 4х — 1 4х — 1 10g3 Iog4 + Iog3 Iog4 < 0; х+1 х+1 , 4х -1 Л Л . 4х -1 , , 4х -1 . 2 log3 log4--- < 0; 0 < log4-г < 1; 1 <--г < 4. х+1 х+1 х+1 п 2 Решив последнюю систему, получим х > — . <2 Ответ: —, оо . 8.58 Учитывая область определения логарифмической функции и квадратного корня, заключаем, что х>0 и 4к -1 >0, откуда х > 1. Приведем все логарифмы к основанию 2: log2 Vx + log2 (>/х -1)< log2 2, или 4х (\/х -1)< 2 . Положим у[х = у > 0 и решим неравенство у2 - у - 2 < 0, откуда -1 < у < 2. Но 4х > 1 и, значит, 1 < 4х < 2 , т.е. 1 < х < 4. Целыми значениями х, удовлетворяющими этому неравенству, являются 2 и 3. Ответ: 2; 3.
292 Часть I. АЛГЕБРА 8.59 У к аз ан и е. Рассмотреть два случая: 0 < х < 1 их>1. Ответ: 8.60 Неравенство имеет смысл, если logx_j 9 > 0, откуда х -1 > 1, т.е. х > 2 . Из данного неравенства следует 0< log2 logx_j 9< 1 => 1 < logx_j 9<2=>х-1<9<(х-1)2. Решив систему х< 10, х -1 > 3, получим 4 < х < 10, что удовлетворяет условию х > 2 . Ответ: (4, 10). Рис. 8.17 8.61 I способ. На одном чертеже построим графики функций у = log0з |* ~2| и у = х2 -4х (рис. 8.17) и определим те значения х, при которых функции имеют разные знаки. Используя рис. 8.17, заключаем, что это имеет место при -оо < х < 0, 1<х<2, 2<х<3 и 4 < х < оо . II способ. Решаем системы неравенств 1°8о,з|х-2|>О, х2 - 4х < О 1°8о,з|х " 2| < °> х2 - 4х > О
Глава 8. Решения и указания 293 и в результате получаем тот же ответ. Ответ: (- оо, o)U (1,2)U (2,3)U (4, оо). 8.62 Указание. Привести обе части неравенства к одному основанию, равному 0,4, и положить log3 х = у. Ответ: 8.63 Заметим, что и положим x,og2х = у. Тогда получим неравенство 1 5 1 „ „ у+—>—, откуда находим у<— или у >2. Итак, у 2 2 log, X 1 log, X _ __ х L с — или х 2 > 2. Эти неравенства решаем логарифмированием по основанию 2. Из первого имеем logfxc’-l, что невозможно; второе дает log|x>l, т.е. log2 х < -1 или log2 х > 1. Ответ: 0, |]и(2,оо). 8.64 Так как основание степени 0 < 0,5 < 1, то приходим к /т sin 2х , _ неравенству V3 >------------> 1. Далее, согласно 1 - cos 2х формулам (4.13) и (4.16), имеем sin2x 2 sin х cos х “-----— -------------= ctgx. l-cos2x 2 sin x Остается решить неравенство l<ctgx <7з . Построив график функции у = ctgx (рис. 8.18), получим ответ.
294 Часть I. АЛГЕБРА — Л Л Л 6 4 2 ТС X Рис. 8.18 Ответ: - + пп<х<- + пп,пе^. 6 4 8.65 Здесь должно выполняться условие cosx* 0, т.е. л „ х* — + лп. Произведем преобразования: 2 Уз 4sinx У?-4 sinx cosx cos2x cosx cos2 x Уз-2 sin 2x _ ------2-----<0* COS X Так как cos x > 0 при x * — + лп, то достаточно решить 2 неравенство Уз -2sin2x<0, т.е. sin2x>^-. Полагая z = 2х и построив график функции y = sinz (рис. 8.19), л ~ 2л ~ устанавливаем, что у + 2 ли < 2х < — + 2 ли, т.е. л л п — + ли<х< — + ли. В эти интервалы значения л х = — + ли не входят.
Глава 8. Решения и указания 295 Ответ: — + ли, — + ли , и е Z . 1б 3 ) 8.66 Имеем sin 2х * 0, т.е. 2х ли, или х * —. Выполнш 2 преобразования: , cos2x . sin4xsin2x + cos4xcos2x , sin 4х + cos4x----> 1;-----------------------> 1; sin 2x sin 2x cos2x sin 2x > 1; ctg2x> 1. Теперь с помощью графика функции у = ctgz (рис. 8.20) устанавливаем, что я пп <2х < — + пп, 4 откуда
296 Часть I. АЛГЕБРА it Tin — < x < — + — . Значения x = — не входят в эти 2 8 2 2 интервалы. _ Г Tin it /. 1 г, Ответ: —, — \Ап +1) , п е Z . и 8 ) 8.67 Функция определена, если £11 1 2(1+~>| - 4 х -17-2х+4>0,т.е. 2 1 х)-17-2х +4 >0. Пусть 2 х = у>0; тогда получим неравенство 4>>2 -1 Ту + 4 > 0, откуда у < — или у > 4. Итак: 2х <-=>-<-2=>И1<0 => -0,5<х<0; 4 х х - 1 1 - 2х 2х > 4 => — > 2 =>——— >0=>0<х < 0,5. х х Ответ: [- 0,5; 0)U (О; 0,5]. 8.68 Здесь должны выполняться следующие неравенства: |х-3| >0, Iog3 |х - 3| > 0, logj log3|х-3|>0 х*3, => - |х-3|> 1, Iog3|x-3|^ 1 х * 3, х-3 <-1 или х-3 > 1, => ]х-3|<3 х *3, х <2 или х >4, 0 < х < 6. С помощью рис. 8.21 устанавливаем, что 0 < х < 2 или 4 < х < 6 . 0 2 3 4 6 Рис. 8.2 i
Глава 8. Решения и указания Ответ: [о, 2)U(4, б]. 297 8.69 Решаем каждое неравенство самостоятельно: х2 + 5х + 6 > О, х2 + 5х - 6 < О 1) х2+5х<6=>-6<х2+5х<6=> =>-6 < х < -3 или -2 < х < 1; (1) 2) |х +1| < 1 =>-1 <х +1 < 1 =>-2 <х < 0. (2) Объединяя решения (1) и (2), получаем -2 < х < 0. Ответ: (2, 0]. 8.70 Заданные неравенства определены при условиях х2 - 9х + 20 > 0, - х -1 > 0, => х2 -13 > 0 х < 4; х > 5, х > 1, х < -УВ; х > Ув. Ув] | 1 П 5 Рис. 8.22 С помощью рис. 8.22 устанавливаем, что У13 < х <4 или х > 5. (1) При этих значениях х все части исходных неравенств неотрицательны и их можно возвести в квадрат, откуда получаем систему 1х2-9х + 20<х-1, х2-10х + 21<0, ГЗ<х<7, |х-1<х2-13 |х2-х-12£0 |х<-3;х£4 и, следовательно, 4 < х < 7. (2) Объединяя решения (1) и (2), получаем ответ. Ответ: 4|j[5, 7].
ГЛАВА 9 КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ Размещения - это комбинации, формируемые из п различимых элементов по т элементов в каждой и отличающиеся одна от другой либо составом, либо порядком следования элементов, размещенных в форме последовательностей. Существуют два вида размещений: а) без повторений - каждый элемент, входящий в комбинацию, представлен единственным экземпляром (например, размещения без повторений из п = 3 элементов а, Ь, с по т = 2 элемента таковы: ab, Ьа, ас, са, be, cb); б) с повторениями - каждый элемент, входящий в комбинацию, может быть представлен одним, двумя, ..., т экземплярами (например, размещения с повторениями из п = 3 элементов а, Ь, с по т = 2 элемента таковы: аа, ab, ас, ba, bb, be, са, cb, сс\ размещения с повторениями из п = 2 элементов а, b по т = 3 элемента таковы: ааа, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb). Число возможных размещений из п различимых элементов по т находят по формулам: без повторений _ nl Ап =-------= и(и-!)...(«-/и+ 1), где т < п ; (9.1) (п - /и)! с повторениями А” = пт . (9.2) Перестановки - это последовательности, каждая из которых состоит из п различимых элементов и отличается от другой только порядком расположения элементов, т.е. это размещения без повторений из п элементов по п (например перестановки из трех элементов а, Ь, с таковы: abc, acb, bac, bca, cab, cba).
Глава 9. Комбинаторика и бином Ньютона 299 Число возможных перестановок из п различимых элементов находят по формуле (9.3) Сочетания - это комбинации, формируемые из п различимых элементов по т элементов в каждой и отличающиеся одна от другой только составом элементов. Существуют два вида сочетаний: а) без повторений - каждый элемент, входящий в комбинацию, представлен единственным экземпляром (например, сочетания без повторений из п = 4 элементов а, b,c,dnom = 2 элемента таковы: ab, ас, ad, be, bd, cd). б) с повторениями - каждый элемент, входящий в комбинацию, может быть представлен одним, двумя, ..., т экземплярами (например, сочетания с повторениями из п = 4 элементов a, b, с, d по т = 2 элемента таковы: аа, ab, ас, ad, bb, be, bd, cc, cd, dd; сочетания из n = 2 элементов a, b no m = 4 элемента таковы: aaaa, aaab, abab, abbb, bbbb). Число возможных сочетаний из п различимых элементов по т находят по формулам: без повторений п Ат I А »' Рт (п-т)\т\ , где т < п; С® = 1; (9.4) с повторениями 1ГП п+т-] (9.5) Справедливы следующие свойства числа сочетаний. без повторений: п ~ (9.6) Г,т 4- + + l (9.7)
300 Часть I. АЛГЕБРА Формула бинома Ньютона имеет вид (а + ЬУ = С^а" +C,„a"~>b + ... + Cka"~kbk +... + С"„Ь\ (9.8) или ( ,\П n n-\, п(п-\)...(п-к 4-1) п-к,к т \a + b) =а + па 'Ь + ... + -±---—*-------f-a b +.,. + b , V 7 k\ где n - натуральное число и Tk+I =Ck a"~kbk (9.9) есть к 4-1 -й член в разложении бинома (А = 0, 1,2, ..., п). Сумма биномиальных коэффициентов равна 2” : С°+С'„+... + С" = 2". (9.10) Группа А Решить уравнения (9.1 - 9.3): 9.1 АХСХ~' =48. 9.2 С^+гС’., =7(х-1). 9.3 А2 + Сх2 = 13х. Доказать тождества (9.4 - 9. 9.4 Р„ =(и-1)(/’„.| +F„.2). 9р __/-ук sitn 9.6 В разложении (1 4- х}1 четвертый член равен 0,96. Найти значения х и п, если сумма биномиальных коэффициентов равна 1024.
Глава 9. Комбинаторика и бином Ньютона 301 9.7 При каком значении х четвертое слагаемое разложения ^2Х~] + ^2~х j в 20 раз больше /и, если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5:1? 9.8 Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и заместителя? 9.9 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6? 9.10 Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек? 9.11 В кондитерском магазине продаются три сорта пирожных: наполеоны, эклеры и бисквитные. Сколькими способами можно купить 9 пирожных? 9.12 Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз? 9.13 Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков? 9.14 Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех попыток. Сколько попыток предшествовало удачной? 9.15 Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находится с ней
302 Часть I. АЛГЕБРА на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски). Группа Б Решить уравнения (9.16-9.17): AxtlPx-V 9.16 1+1 ” = 72. Рх-Х 9.17 Схх-' + С*~2 + Cf 3 +... + С*~9 + CJ'10 = 1023. 9.18 Решить систему уравнений Л* :РХ_| + Cfx =126, Рх+1=720. 9.19 При каких значениях х и у возможно равенство С; :С;+2:4 =1:3:24? 9.20 Найти наибольший биномиальный коэффициент ( 1Y разложения л + — , если произведение четвертого от ч п J начала и четвертого от конца слагаемых равно 14 400. 9.21 Сумма третьего от начала и третьего от конца биномиальных коэффициентов разложения (V3 + равна 9900. Сколько рациональных членов содержится в этом разложении? 9.22 Тридцать человек разбиты на три группы (I, II и III) по 10 человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп? 9.23 Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются)?
Глава 9. Комбинаторика и бином Ньютона 303 9.24 Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр? 9.25 На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом? 9.26 В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных вариантов расписаний первого тура (расписания считаются различными, если они отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются). 9.27 В поезд метро на начальной остановке вошли 100 пассажиров. Сколько существует способов распределения выхода всех этих пассажиров на последующих 16 остановках поезда? 9.28 Восемь авторов должны написать книгу из 16 глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре - по две, два - по одной главе книги? 9.29 Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов? 9.30 Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
304 Часть I. АЛГЕБРА РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 9.1 Согласно формуле (9.1), находим Далее, используя формулы (9.6) и (9.4), имеем Поэтому данное уравнение примет вид х2 (х -1) = 48, или х2 (х - 1) = 42 • 3. Следовательно, х = 4 . Ответ: х = 4. 9.2 Воспользуемся формулой (9.4): ±±0L + 2fczll = 7(x-l) (х-2)!3! (х-4)!3! ' откуда после сокращения первой дроби на (х-2)1, а второй дроби на (х - 4)!, получим (х + 1)х(х -1)+ 2(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 42 (х -1). Далее, учитывая, что х 1, приходим к квадратному уравнению х2 +х + 1(х2 -5х + б)=42, или х2 -Зх-10 = 0, имеющему корни Xj = 5, х2 = -2 (не подходит по смыслу задачи). Ответ: х = 5. 9.3 Используя формулы (9.1) и (9.5), имеем х(х -1)+ 7^2 1) = 13х; х(х -1)+ -^—4- = 13х; V 7 (х-1)!2! V 7 2(х-1)! х(х-1)+ = 13х ; х*0; 2(х-1)+(х + 1)=26; Зх = 27 ; х = 9 . Ответ: х = 9 .
Глава 9. Решения и указания_____________________________305 9.4 Так как = (л -1)!, Рл_2 = (л - 2)!, то правая часть тождества преобразуется следующим образом: (л - 1)((л -1 )’.+(л - 2)!) = (л - 1)(л - 2)! (л -1 +1) = = л(л-1)(л-2)!= л!, т.е. она равна левой части тождества. 9.5 Указание. Показать, что левая и правая части доказываемого тождества преобразуются к виду _____________л!_______ к! (т - к)\ (л - ти)! 9.6 Так как сумма биномиальных коэффициентов равна 2я, а 1024 = 210, то л = 10. Используя формулу (9.9), находим четвертый член разложения Г4 = С„3х3 = -10--9 ?х3 = 120х3 . 4 ” 1-2-3 Согласно условию, 120х3=0,96, откуда х3 = 0,008, т.е. х = 0,2. Ответ: х = 0,2; л = 10. 9.7 Биномиальные коэффициенты четвертого и второго слагаемых равны соответственно С3 и т. Следовательно, т(т-\)(т-2) t —-----—------- = 5, или (т - 1)(т - 2) = 30, откуда т = 7. 3! т Тогда четвертое слагаемое разложения имеет вид Т4 =С322(х-1) -2~х и приходим к уравнению С3 2х"2 = 140, откуда находим - • 2х"2 = 140; 2х"2 =4; х = 4. Ответ: х = 4. 9.8 При выборе председателя и его заместителя из данных семи человек имеет значение не только то, как выбраны эти два человека из семи претендентов, но и то, как распределены их должности между собой (т.е. важен и состав, и порядок следования выбранных элементов).
ЭОб Часть I. АЛГЕБРА Значит, речь идет о размещениях (без повторений) из семй элементов по два. Используя формулу (9.1), находим А] = 7-6 = 42. Ответ: 42 способами. 9.9 Каждое трехзначное число, составленное из указанных цифр, можно рассматривать как размещение е повторениями, составленное из трех цифр, взятых из данных шести цифр. Искомое количество чисел найдем по формуле (9.2): Al = 63 =216. Ответ: 216 чисел. 9.10 Искомое количество способов равно числу сочетаний (без повторений), которые можно составить из 20 элементов по три. Согласно формуле (9.4), получим з 201 = ^^ = 1140. 20 17!3! 6 Ответ: 1140 способами. идет об из трех 9.11 Здесь требуется найти число всевозможных комбинаций из 9 элементов, которые можно составить из данных трех элементов, причем эти элементы в каждой комбинации могут повторяться, а сами комбинации отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Значит, речь отыскании числа сочетаний с повторениями элементов по 9. По формуле (9.5) находим С39=С’ =С,2, =1^ = 55. Ответ: 55 способами. 9.12 Рассматриваемое четырехзначное число можно представить как некоторую перестановку из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как из четырех цифр можно составить Р4 = 4! перестановок и из них Р3 = 3! начинаются с нуля, то искомое количество равно 4!-3!= 3-3!= 1-2-3-3 = 18.
Глава 9. Решения и указания 107 Ответ: 18 чисел. 9.13 Для каждого звукосочетания клавиши нажимаются одновременно, поэтому для к звуков имеем C*q звукосочетаний. Таким образом, искомое количество есть Сю + <4 +. •• + С|0 = + С+ С ft + ...+ С/д — - Q°o - <но - = 210 -1 -10 - 45 = 968. Ответ: 968 звукосочетаний. 9.14 I способ. Первую цифру можно было выбрать пятью способами, вторую - также пятью, т.е. для двузначного числа имелось 52 вариантов. Значит, всего трехзначных чисел в этих условиях было 53 = 125 и удачной попытке предшествовало 124 неудачных. П способ.Общее количество попыток равно числу размещений с повторениями из пяти элементов по три, т.е. Л53 = 53 = 125. Поэтому количество неудачных попыток равно 124. Ответ: 124 попытки. 9.15 Первую ладью можно поставить на любое из 64 полей. При этом 14 полей оказываются под угрозой, т.е. для второй ладьи остается любое из 64 -15 = 49 полей. Таким образом, общее число вариантов составляет 64*49 = 3136. Ответ: 3136 способами. 9.16 Имеем А‘:' Рх'у =(х_Л,)!’ откуда получаем уравнение (х +1)!(х - у)| (х-у)!(х-1)| k 7 Учитывая, что х - у > 0 и у - целое неотрицательное число, находим у = 0, у = 1, ..., у = 7. Ответ: х = 8; у = 0; 1; ...;7.
308 Часть I. АЛГЕБРА 9.17 Очевидно, что при х = 10 левая часть уравнения на 1 меньше суммы биномиальных коэффициентов разложения бинома (а + £>)10. Эта сумма равна 1024. Следовательно, х -10 является решением данного уравнения. Других решений нет, так как при х<10 не существует С*"10, а при х > 10 левая часть уравнения больше 1023. Ответ: х = 10. 9.18 Из второго уравнения следует, что (х +1)1 =720; так как 720!= 6!, то х = 5. Учитывая, что С*~х = С* (согласно формуле (9.6)), перепишем первое уравнение так: А5у : Р4 + Су = 126. Далее, используя формулу (9.4), имеем Ау : Р4 = Р5Су : Р4 = 5С5у, откуда получаем уравнение 6С5у =126, или j(y-l)(y-2)(y-3)(y-4)= 21-120. Но 21-120 = 23-З2-5-7 = 7-6-5-4-3, откуда у = 7. Ответ: (5; 7). 9.19 Применяя формулу (9.4), получим У'- (у+2)! _ 1 . сх / ,СЛ_ 1 х!(у-х)| х!(у-х + 2)! 3 ’ у ' у 24 Из второго уравнения имеем х!=24, т.е. х = 4 (поскольку 24 = 1-2-3-4), а из первого уравнения находим (у - х + 1)(у - х + 2) 1 (у + 1)(у + 2) 3 Так как х = 4, то у2 - 9 у + 8 = 0, откуда у = 1 и у = 8; у = 1 не удовлетворяет условию (должно быть у > х = 4 ). Ответ: (4; 8). 9.20 Четвертое слагаемое от начала имеет вид Т4 = С3ял~3 , гг а четвертое слагаемое от конца - вид Тп_2 - С”~3п3 • п
Глава 9. Решения и указания 309 Следовательно, Г4ГЛ_2 = (с^)2 =14400, откуда С„ =120. Далее имеем л(и-1)(и-2) = 720; и(и-1)(л-2)= 10-9-8; п = 10. Итак, наибольший биномиальный коэффициент, входящий в слагаемое, одинаково удаленное от концов разложения, есть Cfo = 252. Ответ: 252. 9.21 Указанные в условии коэффициенты равны С„ . Имеем 2-^у-^ = 9900,или и(и-1)=100-99, 100-Аг к откуда л = 100. Тогда Тк+} = Cf003 4 43 ; согласно к \QQ-k условию, — и-----------числа целые, т.е. к делится на 12. 3 4 Для п = 100 таких чисел имеется +1 = 9. L 12 . Ответ: 9 членов. 9.22 Группу I из 10 человек можно составить способами. Из оставшихся 20 человек группу II можно составить С2° способами, при этом всякий раз сама собой образуется группа III из оставшихся 10 человек. Поскольку каждая выборка группы I сопрягается с каждой выборкой группы II, число всех составов групп таково: ^io z^io ^10_ 30! 20! _ 30! 30 20 10 20110! 10! 10! (10!)5 ' 30! Ответ: -—— способами. (Ю!)’ 9.23 Из шести цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 можно составить А$ различных четырехзначных комбинаций (включая и те, которые начинаются с цифры 0). Среди этих комбинаций имеется А% комбинаций с нулем в качестве первой
310 Часть I. АЛГЕБРА цифры, поэтому получается А% - четырехзначных чисел, составленных из заданных шести цифр. Теперь из этого набора нужно исключить все четырехзначные числа, не содержащие цифру 3, т.е. состоящие из пяти цифр 0, 1, 2, 4, 5. Рассуждая как и ранее, заключаем, что имеется А* - А% четырехзначных чисел, в записи которых отсутствует цифра 3. Итак, искомое количество составляет (4-^)-(4-и43)= = (б-5-4-3-5-4-3)-(5-4-3-2-4-3-2) = = 5-60 - 4-24 = 204. Ответ: 204 числа. 9.24 Искомые числа оканчиваются пятью или нулем. Если на последнем месте стоит 0, то таких чисел А% = 4 • 3 • 2 = 24. Если же на последнем месте стоит 5, то на первом месте не может оказаться 0 (искомые числа - четырехзначные); в этом случае таких чисел А% - А% =18. Итак, условию задачи удовлетворяют 42 числа. Ответ: 42 числа. 9.25 Убрав первый том, получим 29! перестановок книг. Первый том можно поставить рядом со вторым двумя способами; следовательно, в 2-29! случаях первый и второй тома стоят рядом. Так как всего имеется 30! перестановок, то в 30!-2-29! из них первый и второй тома не стоят рядом. Ответ: 28-29! способами. 9.26 Участников первой партии можно выбрать С26 способами, а участников второй С24 способами. Так как порядок выбора пар не имеет значения, то участников С2 С2 двух партий можно выбрать - —- —- способами,
Глава 9. Решения и указания 311 С2 С2 с2 участников трех партий 16 ™ 1- способами, ...» и, наконец, участников восьми партий С|б^14^п-Сг _ 161514 1312 11...2 1 _ 8! 28-8-7-6...21 = 15 13 11-9-7-5-3 1 = 2 027 025 способами. Ответ: 2 027 025 вариантов. 9.27 Первый пассажир может выйти на любой из 16 остановок, так же как и второй, т.е. для двух пассажиров имеется 162 возможностей. Следовательно, для .100 пассажиров существует 16100 способов. Ответ: 16100 способами. 9.28 Искомое число таково: хл2 хл2 хч2 хч2 хч! _ Чб С13 с8 с6 с4 с2 ~ - 16! 13! 10! 3!___6! 4! 2 _ 16! " 3113! ’ 31101'218!' 2!6! 214! ’ 212! 2 " 26 -З2 ’ Л 16! - Ответ: —г- способами. 2*-32 9.29 Букв, содержащих ровно к символов, имеется 2к; значит, всего можно изобразить 21 + 22 + 23 +... + 25 = = 62 буквы. Ответ: 62 буквы. 930 Отделим границей деревья, предназначенные для посадки в течение каждого дня. Таких границ две, и для них имеется 9 мест (количество промежутков между десятью деревьями). Имеем С% = 36. Ответ: 36 способами.
ГЛАВА 10 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 1°. Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид z = a + bi (aeR, beR, i2 =-1), (10.1) где a = Re z - действительная часть, b = Im z - мнимая часть. Если a * 0, b 0, то комплексное число z называется мнимым; если а = 0, b * 0, то оно называется чисто мнимым. 2°. Комплексное число z = а + bi на координатной плоскости изображается либо точкой М с абсциссой а и ординатой Ь, либо вектором ОМ с началом О и концом М (радиусом-вектором точки М). 3°. Условие равенства двух комплексных чисел zx = +bxi и Z2 = ^2 ^2Z * Zi = z2 а\ = а2> Ь^Ь2. (Ю.2) 4°. Сумма, разность и произведение комплексных чисел zi = а\ + и z2 = а2 + b2i находятся по формулам: Zi + z2 - (tf] + а2)+ (&1 + b2 )i; (10.3) zi ~zi =(л1 ~a2)+(b\ -М'; 0°-4) z}z2 =(a}a2 -b}b2) + (a}b2 + a2b})i. (10.5) 5°. Числа z = a + bi и -z = -a - bi называются противоположными. Сумма двух противоположных чисел равна нулю: z + (-z) = 0. 6°. Числа z = а + Ы и z = а-Ы называются сопряженными. Сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами:
Глава 10. Комплексные числа 313 z + z = 2а, zz = а2 + Ь2. 7°. Для нахождения частного комплексных чисел zx = ах + bxi z\ и z2=a2+b2i сначала числитель и знаменатель дроби — z2 умножают на сопряженное знаменателю число z2 = а2 - b2i, а затем производят остальные действия. 8°. Степени числа i. Так как /’ = i, i2 = -1, i3 = i2 i = -i, i4 = (/2 j2 = 1, TO /4л+’ = i, /4л+2 = -1, /4л+3 = -/, i*n = 1, n e N . (10.6) 9°. Тригонометрическая форма комлексного числа имеет вид z = r(cos(p + zsin<p), (10.7) где ______ г = yla2+b2 (10.8) — модуль числа z9 а аргумент ф числа связан с а и b формулами cos ф = ~ _.. , sin ф = -=====. (10.9) Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если Ф - аргумент числа z, то ф + 2лА - также аргумент этого числа при любом целом к. Для однозначности определения аргумента его выбирают в пределах -л < ф < л и обозначают arg z; такое значение аргумента называют главным. В дальнейшем под аргументом комплексного числа мы будем понимать его главное значение. 10°. Пусть Z| =Г| (сО8ф1 +/$Шф|) И z2 = г2 (сО8ф2 +/81Пф2) - комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Тогда для произведения zxz2 и частного — справедливы z2 формулы
314 Часть I. АЛГЕБРА z\z2 = rir2 (СО8(ф1 + Ф2)+«т(ф1 + Ф2))> (10.10) -^- = -^-(cos((pj -<р2)+ Zsin(q>| -Ф2)), (10.11) z2 г2 а для и-й степени числа z = r(cosq> + isin ф) - формула zn = rn (cos/wp +/sin жр), neN . (10.12) При r - 1 соотношение (10.12) принимает вид (cos ф + /sin ф)" = coswp + Zsinwp (10.13) и называется формулой Муавра. 11°. Корень и-й степени из комплексного числа z = л*(со8ф +/sinф) имеет п различных значений, которые находятся по формуле пГ пг( ф + 2тс£ . . ф + 2лАЛ /|Л|4. 4Jz=\lr cos-------4-zsm—------- , (10.14) V п nJ где к = 0,1,2,...»п-1. Группа А 10.1 Даны комплексные числа Zj=-2 + 5/ и z2=3-4i. z. Найти: a) zI + z2; б) z2 - z,; в) z1z2; г) —. z2 2yf3-i 10.2 Найти число, сопряженное числу z = —j=-+ 3 . V3 + i 10.3 Найти сумму А = / + /2 + /3 +... + /,5. 10.4 Составить квадратное уравнение с действительными коэффициентами, если известен один из его корней:
Глава 10. Комплексные числа 315 а) X! = 1 - 3i; б) Xj = 4-2/ 1-/ ; г) Xi = 3 4-4/ ’ 10.5 Найти: \ - (2-03 . а) действительную часть комплексного числа z = --—; 3 + 4/ ~ Г1**?1 б) мнимую часть комплексного числа z = - . 11-/) Выполнить действия (10.6 - 10.8): 10.6 1 + 3/ 1-3/ 1 ------1-------1-—. 1-3/ 1 + 3/ 8/3 _Л _ Г чЗ 31-17/Л1+/ . 10.8 —2(1 + 0 +-------------1. V 4-3/ ) 6 10.9 Считая х и у действительными числами, решить уравнение (-5 + 2/)х-(3-4/)<у = 2-/. 10.10 При каких действительных значениях х и у комплексные числа Zi = 2х2 - 3/ -1 + yi и z2 = у + х2/ - 3 - 2/ являются сопряженными? 10.11 При каких действительных значениях х и у комплексные числа z} =х2(1-3/)-10 и z2=y(y-i) являются противоположными? Изобразить множества точек, для которых выполняются заданные условия (10.12 - 10.16): 10.12 -l<Imz<2.
316 Часть I. АЛГЕБРА 10.13 |z|^2. 10.14 |z + i| = l,5. 10.15 1 <i\z + 1| < 2,5. 10.16 |z + 3z| = |z-3|. Найти модуль и аргумент для каждого из заданных комплексных чисел. Записать эти числа в тригонометрической форме и изобразить их точками на плоскости (10.17 - 10.20): 10.17 z = 4-4^/. 10.18 z = -6-6i. 10.19 z = l-V10. 10.20 z = (5/3+l)j. 10.21 Записать в тригонометрической форме комплексное число z = sin 36°+z cos 54° . 10.22 Записать в алгебраической и тригонометрической формах /г/ Зл . . Зл^ комплексное число z = -v21 cos— +1 sm— . 14 4 ) Выполнить умножение (10.23 - 10.24): 10.23 2л . . 2тЛ if 5л . . 5л 3 cos— + zsm— •— cos— + /sm— . < 3 3 J 6 < 6 6 J 10.24 (4-4/)- 3-У2 (cos 75° + isin75°).
Глава 10. Комплексные числа 317 Выполнить деление (10.25 - 10.26): 10.25 ^(cosl60° + /sinl60°): >/з (cos 40° +/sin 40°). 10.26 8 (cos (-105°)+ i sin (-105°)): (- 0,5^3 - 0,5/). Возвести в степень (10.27 - 10.28): __ гг ( Ук . . Ук 10.27 V2 cos—4-zsin — V k 18 18. 10.28 (-l + V3/f. 10.29 Вывести формулы, выражающие cos5а через cosa и sin 5а через sin а. Выполнить действия (10.30 - 10.32): 10 30 (COS72° + /sin72°)(cos41e + /sin 41 °)2 cos 19° +/sin 19° 10.31 10.32 z \2 16/ sin—+/cos — < 6 6J (-1+-Л)’ 10.33 Найти
318 Часть I. АЛГЕБРА Группа Б 10.34 Найти все значения х, для которых комплексное число z = (log0 51°S4 l°ge (*1 2 + 4)~ 0z изображается точкой, лежащей в верхней части мнимой оси. 10.35 При каких действительных значениях х и у комплексные числа Zj = 4Z - 2ху - xyi и z2 = у2i - х2 + 3 равны? 10.36 Найти действительное число b из условия, что точки, изображающие комплексные числа 3 - 5i, 1 - / и -2 + Ы, лежат на одной прямой. 10.37 Представить в тригонометрической форме комплексное число z = 1 - cos 200° + i sin 200° . 10.38 Составить равнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющее корни х, = -2 и х2 = 4 - 3Z. 10.39 Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию 7 4v2-l х + / - 2х + 2yi = у -1 + —-i 2у-\ Изобразить множества точек, для которых выполняются заданные условия (10.40 - 10.42): 10.40 \z-2i\ <\z +1|. 10.41 10.42 2<|z —1|<3, 0 < Im z < ^5. 1 <|z + 0,5/| <2, 0,5 < Re z < 1.
Глава 10. Комплексные числа 319 Решить уравнения (10.43 - 10.44): 10.43 z2- (2+ i)z-1 +71 = 0. 10.44 z2+3|z| = 0. Решить системы уравнении (10.45 - 10.46): 10.45 10.46 Zj + 2z2 = 1 + i, 3z} + fz2 = 2-3/. |z + l-/| = |z + /[, |3 + 2/ -z| = |z + /|. 10.47 Даны комплексные числа z} =1 + ш и л Л I Зл . . Зл | w т W___ W ____ __ z? = 2 41 cos—+/ sm— . Наити все действительные \ 8 8 J 3 2 значения а, при которых zf = z2. 10.48 Сумма двух корней уравнения х3 - Зх2 + 4х + X = 0 равна 2. Найти X и решить это уравнение. 10.49 Найти модуль комплексного числа z3 + z5, если ( Зл^ z = cos а + / sin а, аб|л,— . I 2 ) 10.50 Среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию |z-5/|^4, найти такое, аргумент которого имеет наименьшее положительное значение.
320 Часть I. АЛГЕБРА РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 10.1 а) Используя формулу (10.3), получим 2| + г2 = (-2+ 5/)+(3-4/)= (-2+ 3)+(5-4)1 = 1 +/. б) Аналогично, согласно формуле (10.4) находим гг-гх = (3-4/)-(-2 + 5/)=(3 + 2) + (-4-5)/ = 5-9/. в) Воспользуемся формулой (10.5): 2^ =(-2 + 5»ХЗ-4/)= = (- 2 • 3 - 5(- 4))+ ((- 2\- 4)+ 5 • 3> = 14 + 23/. Тот же результат можно получить, перемножив числа zx и z2 по правилу умножения двучленов с учетом равенства i2 = -1. \ п г\ -2 + 5i г) Для нахождения частного — =-------- умножим z2 3 - 4/ числитель и знаменатель дроби на 3 + 4/ - число, сопряженное знаменателю. Тогда получим Z| = (-2 + 5/ХЗ + 4/) = -6-Ы5/-8/-20 = г2 (3 ~ 4/'ХЗ + 41) З2 + 42 -26 + 7/ 26 7 . =-------=-----4---1. 25 25 25 Ответ: а) 1 + i; б) 5 - 9/; в) 14 + 23/; г) -1,04 + 0,28/. 10.2 Умножив числитель и знаменатель дроби на выражение >/з —/, сопряженное знаменателю, получим . (2V3-/XV3-1), ,_б-27з/-7з»-1 . , И+,-Хл-0 5-Зл/з/ , 17 ЗЛ. 4 4 4 - 17 Зл/З . откуда z = — +----1. 4 4
Глава 10. Решения и указания Ответ: 4,25 + 0,75>/з/. 10.3 Сгруппируем слагаемые следующим образом: A=(.+i2+р+г)+(/5 +i6+1-7+/’)+ + (z’+z’° +," +/>2)+(,B+i'4 +/и) откуда А = (z + z2 + z3 + z4+ i4 + z8)+ z” + ?4 + z’5. Так как / + i2 + i3 + /4 = i -1 - i +1 = 0, то ^ = z,3+/,4+zI5=Z-l^Z = -l. Ответ: -1. 10.4 Указание. Воспользоваться тем, что корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами являются комплексно сопряженными. Ответ: а) х2 - 2х +10 = 0; б) 2х2 +1 = 0; в) х2 - 6х +10 = 0 ; г) 25х2 - 8х +1 = 0. 10.5 а) Имеем (2-z)3 = (2-z)3(3-4z) = (8-3-4z + 3-2z2 -z3)(3-4z) = 3 + 4z ~ (3 + 4z)(3 - 4z) ~ 25 ё--1")(з-40.га-41!-_ 25 25 т.е. Re z- -1,52. б) Так как l + z = (1 + zXl + z) = (1 + zj2 = 2z = . 1-i (1-z'Xl + z) 2 ~2~'’ то z = z11 = z3 = -i. Итак, Im z = -1. Ответ: а) -1,52; б) -1. 10.6 Умножив каждую дробь на выражение, сопряженное ее знаменателю, получим 11 Сканави
322 Часть I. АЛГЕБРА 1 + 3/ । 1-3/ । 1 (1 + 3/)2 (1 -З/)2 £ = 1-3/ 1 + 3/ 8/3 ” Ю + 10 + 8~ 1 + 6/-9+ 1-6/-9 / 16 / мтог- ' - =---+ - = -1,6 + 0,125/ 8 10 8 10 Ответ: -1,6 + 0,125/. 10.7 Имеем •зЛ> 4 1=2-1 4 ” 4 4 Ответ: 2. 10.8 Находим ( /ч/i хЗ 31-17/Л1 + / , Н(|+,) ‘-<+г1= \ 25 J о = Г(-4/ +4)25 +175 + 25/Л 1 + / __} = (11-3/Х1 + /)_ j Д 25 J 6 6 14+ 8/-6 4 4. ----------—I—/ . 6---------3 3 4 4 Ответ: —+—/. 3 3 10.9 Раскрыв скобки в левой части уравнения и сгруппировав действительные и мнимые части, имеем (- 5х - Зу)+ (2х + 4y)i = 2-i.
Глава!0. Решения и указания 323 Теперь воспользуемся условием равенства двух комплексных чисел (10.2) и получим систему 5х + 3у = -2, 2х + 4у = -1, 5 1 откуда х = --, у = 5 1 Ответ: х =-----, у =---. 14 14 10.10 Запишем данные числа в виде z{ = (2х2 -1)+(у -З)/ и z2 = (у-3)+(х2 -г)'. Для того чтобы эти числа были сопряженными, нужно, чтобы имела место система 2х2-1=у-3, у-3 = 2-х2. Отсюда следует, что 2х2 -1 = 2 - х2, или х2 = 1, т.е. х, = 1, х2 = -1. Тогда, yi = у2 = 4. Ответ: Xj = 1, у1 = 4; х2 = -1, у2 = 4 . 10.11 Указание. Записать числа z} и z2 в алгебраической форме и воспользоваться условием равенства комплексных чисел z, и -z2. Ответ: х, = 1, у{ = -3 ; х2 = -1, у2 = -3 . 10.12 Точки искомого множества лежат в полосе между прямыми х = —1 и х = 2, паралельными действительной оси, причем точки нижней прямой принадлежат этому множеству, а точки верхней прямой - нет (рис. 10.1). Рис. 10.1 10.13 Пусть z = х + yi; тогда |z| = ух2 + у2 и данное условие примет вид у[х2 + у2 < 2. Значит, искомые точки лежат
324 Часть I. АЛГЕБРА внутри круга с центром в начале координат и радиусом, равным 2 (рис. 10.2). 10.14 Искомые точки принадлежат окружности с центром (0; -1) и радиусом, равным 1,5 (рис. 10.3). 10.15 Точки искомого множества лежат внутри кольца, ограниченного концентрическими окружностями с центром (-1; 0); радиусы этих окружностей равны 1 и 2,5. При этом точки внутренней окру-жности принадлежат искомому множеству, а точки внешней окружности - нет (рис. 10.4). 10.16 10.17 Данное условие означает, что точки искомого множества равноудалены от точек (0; -3) и (3; 0). Следовательно, искомые точки лежат на серединном перпендекуляре к отрезку, соединяющему указанные точки (рис. 10.5). Используя формулу (10.8), находим модуль данного числа: г = ^42 +(-4>/з)2 =716 + 48 =8.
Глава 10. Решения и указания Далее, по формулам (10.9) имеем 4 1 -4,/з л/з cosq> = — = —, smф =-----=------, 8 2 8 2 л откуда следует, что arg z = ф = . Итак, тригонометрическая форма числа z имеет вид о( ( лА . . ( лУ) z = 8 cos---+ *sm-----. I I 3J < 3JJ Точка плоскости, соответствующая числу z, изображена на рис. 10.6. 10.18 Имеем г = 7(~б)2 + (-б)2 = 6V?, cosq> = —^L =— 6V2 41 -6 1 Зл sin ф = —= = —-=, откуда arg z = ф =--- 6V2 <2 4 (рис. 10.7). Таким образом, z = 6>/2 10.19 Здесь z является действитель- ным отрицательным числом (рис. 10.8). Тогда r = Vn)-l, Ф = л и, значит, тригонометри- ческая форма числа z имеет вид z = V10 - 1(со8Л+ /5тл). Рис. 10.8
Часть I. АЛГЕБРА 10.20 Точка z принадлежит верхней части мнимой оси (рис. 10.9). Имеем 10.21 Так как cos54° = sin36°, то z - sin 36° + / cos54° = sin 36° + / sin 36° = sin 36°(1 + /) Ho 1 + / = 72 (cos45° + /sin45°) и, значит, тригонометри- ческая форма данного числа имеет вид z = V2 sin 36° (cos 45° + / sin 45°). 10.22 Имеем 10.23 Используя формулу (10.10), находим 2л . . 2лS ] ( 5л . . 5л 3 cos — + /sin— •— cos—4-zsin— = < 3 3) 6< 6 6 J .if (2л 5л ) . . (2л 5л 3- — cos — + — +/sm — + — б1 I 3 6 J I 3 6 ( Зл . . Зл^ 1 cos— + / sm— - <2 2 ) Ответ: 0,5/. 10.24 Сначала запишем число 4-4/ в тригонометрической форме. Имеем г - 4^2 , ср = -45° и, значит, 4 -4/ = 4л/2 (cos (-45°)+ z sin (-45°)). Теперь воспользуемся формулой (10.10): (4 - 4/) • З-Л' (cos 75° + i sin 75°) =
ГлаваЮ. Решения и указания = 4^2 (cos(- 45°)+ / sin (- 45°))• 3>/2 (cos 75° + / sin 75°) = = 24(cos30’ + /sin30°) = 12^3 +12/. Ответ: 12л/з+12/. 10.25 Согласно формуле (10.11), находим >/б (cos 160° + / sin 160°): 7з (cos 40° + i sin 40°) = = (cos (160° - 40°)+ / sin (160° - 40°)) = V3 ( 1 = ^2 (cos 120° +/sin 120°) =V2 — + /— = Ответ: - 0,5\/2 + 0,5^6 /. 10.26 Указание. Записать делимое в тригонометрической форме и воспользоваться формулой (10.11). Ответ: 4<j2+442i. 10.27 Согласно формуле (10.12), находим Ответ: 4-4>/3/. 10.28 Сначала представим число -1 + д/з/ в тригонометричес- кой форме. Здесь г = 2, ф = и, следовательно, -1 + / = 2| cos— + г sin — t 3 3 Затем, используя формулу (10.12), получим
328 Часть I. АЛГЕБРА = 29 (cos6k+ /sin6n)= 29 =512. Ответ: 512. 10.29 Указание. Найти степень (cos а + / sin а)5 двумя способами: по формуле Муавра и по формуле бинома Ньютона. Ответ: cos 5сх = 16cos5 а - 20 cos3 а + 5 cos а sin5а = 16sin5 a-20sin3 a + 5sina. 10.30 Используя формулы (10.13), (10.10) и (10.11), находим (cos 72° + i sin 72°)(cos 41 ° + / sin 41 °)2 cos 19° + /sin 19° _ (cos 72° + i sin 72°)(cos 82° + i sin 82°) _ cos 19° + /sin 19° = cos (72° + 82° -19°) + i sin (72° + 82° -19°) = V2 V2 = cos 135° +/sin 135° = -— + ——/. 2 2 Ответ: - 0,5^2 + 0,5>/2 i. 10.31 Представим числа Zj =6-6/ и ------1 в 4 4 тригонометрической форме. Для числа z} имеем гх = 65/2 , л cpt = - — и, значит, = 6^2 I cos| - —| + zsin[ - — I I 4j I 4 тт 1 71 Далее, для числа z2 имеем г2 = — , ср2 ~ > т е- if f Я ] . . f 71 z9 =— cos--------+ zsin------ 2 2l I 3 J 3
Глава! 0. Решения и указания 329 Теперь находим Ответ: 9i. 10.32 Находим r \2 Z x2 iz l • Л . л I . Л . . Л ] 16л sm — + / cos — 16z cos — +1 sin — У 6 6 J Уз 3J ( 2л . . 2л У4 2 cos — + zsm — Уз . 2л 3 л..( 2л . . 2л) 16л cos— + /sm — У 3 3 J i ( 2л 2л У cos 2л+ /sin 2 л 16 cos— + z sin — У 3. 3 J Ответ: i. 10.33 Для числа z = -8z имеем г = 2, ф = -у. Согласно формуле (10.14), получим -8/ =2 л - , л л , ---+ 2лЛ ---------+ 2лЛ 2 . . 2 cos — ------+ I sin — ------- 3 3 , где к = 0,1,2 . При к = 0: 2 , , - [ л . . л ) при к - 1 : 2 cos—+ zsin— = 2i: I 2 ’ 2j , ~ 7л . . 7л A при к = 2: 2 cos — +1 sin — = - У 6 6 J
330 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: ^З - i; 2/; - ^3 - i. 10.34 По условию, log0 5 log4 log8(x2+4)-1 > О при любом х е R . Следовательно, logo,5 *0g4 logs (х2 + 4)> log0>5 0,5 => => 0 < log4 log8 (х2 + 4) < 0,5 => 1 < log8 (х2 + 4) < 2 => =>8 < х2 +4 <64 => =>4<х2 <60, откуда 2 < х < 2-Л? или - 2 V15 < х < -2 . Ответ: - 2>/Г5 < х < -2 или 2 < х < 2 715 . 10.35 Чтобы комплексные числа zx = -2ху + (4 - xy)i и z2 = (з -x2)+y2i были равны, должна иметь место система уравнений 3 - х2 = -2ху, х2 - 2ху = 3, у2=4-ху [у2+ху = 4 4х2 - 8ху = 12, 4х2 - 8ху/ = Зу2 + Зху, 3y2+3xy = V2 (j/2+xj' = 4 X X 1 Из первого уравнения находим — = 3 или — = — У У 4 Таким образом, остается решить две системы - = 3, < У и у2 Уху = 4 Решение первой из них дает пары чисел Xj = 3, yl = 1 и х2 = -3, у2 = -1, а решение второй - пары х _ 1 У~ 4’ у2 + ху = 4.
Глава! 0. Решения и указания 331 л/з 4л/з л/з 4д/з *з= — > Л=—j- и *4=-—, 3'4= — - x/З 4л/з Ответ: Х|=3,^=1; х2 =-3,_у2 =-1; х3= —, у3 =—- ; 73 4>/з Л4=-Т>^4=—• 10.36 Числам 3-5/, 1-/ и -2 + Ы соответствуют точки С(-2; £>)• Л(3;-5), В(1; -1) и С(-2; Ь) на плоскости (рис. 10.10). Находим________________ координаты векторов АВ и АС; ° В(Г имеем ЛВ(-2;4), ЛС(-5;6 + 5). ,л’ Так как эти точки лежат на одной прямой, то должно быть рис ю.Ю выполнено равенство АС=кАВ, т.е. -2Л = -5, ' 4к = Ь + 5. Из этой системы находим b = 5. Ответ: 5. 10.37 Сначала запишем данное число в виде z = 2sin2 100° + 2/sinl00°cosl00° = = 2 sin 2 80° - 2 / sin 80° cos 80° и найдем его модуль: z = ^4 sin 4 80° + 4sin2 80° cos2 80° = ^4 sin 2 80° = 2sin 80°, так как sin 80° > 0 . Далее имеем 2 sin2 80° . ОЛО cos ср =--------= sin 80°, 2 sin 80° 2sin80°cos80° ОЛО sm <p =----------------- - cos 80°. 2 sin 80° Значит, z = 2sin80°(sin80°-/cos80°), но эта запись не является тригонометрической формой данного числа.
332 Часть I. АЛГЕБРА Чтобы найти искомое представление, воспользуемся тем, что sin80° = cos(80°-90°) = cos(-10°), -cos80° = = sin (80° - 90°) = sin (-10°). Тогда получим z = 2 sin 80° (cos (-10°) + i sin (-10°)). 10.38 Так как искомое уравнение должно иметь действительные коэффициенты, то число его комплексных корней - четное. Учитывая существование еще одного комплексного корня х3 = 4 + 3/, заключаем, что уравнением наименьшей степени является кубическое уравнение: (х + 2)(х - 4 + 3z)(x - 4 - 3/) = 0 ; (х + 2)((х - 4)2 + 9^= 0; (х + 2)(х2 - 8х + 25)= 0 ; х3 - 6х2 + 9х + 50 = 0. Ответ: х3 - 6х2 + 9х + 50 = 0. 10.39 При у *0,5 имеем (х2 - 2х)+ (2у +1)/ = (у -1)+ (2 у + 1)/ . Используя условие (10.2) равенства двух комплексных чисел, получим систему х2 -2х = у —1, - 2у + 1 = 2у + 1, => .у *0,5 у е (- оо; 0,5)U(0,5; оо). Искомое множество представляет собой параболу у = (х -1)2 с двумя «выколотыми» точками, ординаты которых равны 0,5 (рис. 10.11). Рис. 10.11 Рис. 10.12 10.40 Пусть z = х + yi', где хе/?, y&R.
Глава! 0. Решения и указания 333 Тогда данное неравенство примет вид |х 4- (у - 2)/| < |(х +1) + yi\, откуда получаем 7х2+(у-2)2^А/(х + 1)2+/; х2 4- у2 - 4у + 4 < х2 + 2х +1 + у2 ; 4у > -2х 4- 3 ; у > -0,5х 4- 0,75. Искомое множество представляет собой часть плоскости, лежащую на прямой у =-0,5x4-0,75 и выше ее (рис. 10.12). 10.41 Пусть z = х + yi, где х е R, у е R. Тогда первое условие можно переписать в виде 2 |(х -1) 4- у/| < 3 , или 2 < ^/(х-1)2 4-у2 < 3, откуда 4 < (х -1)2 4- у2 < 9 . Это множество точек, лежащих внутри и на границе кольца между окружностями с центром Л/(1; 0) и радиусами, равными 2 и 3. Учитывая второе условие, заключаем, что искомое множество есть часть этого кольца, ограниченная отрезками прямых у = 0 и у = V? и не включающая эти отрезки (рис. 10.13). Рис. 10.13 10.42 Указание. Полагая z = x4-y/, где хе/?, уе/?, записать первое условие в виде неравенства, связывающего переменные х и у, и учесть второе условие. Искомое множество изображено на рис. 10.14.
334 Часть I. АЛГЕБРА 10.43 Используя формулу корней квадратного уравнения, получим 2 + i±-J(2 + if+4(\-7i) _2 + i±>]7-24i Z~ 2 2 Дня нахождения всех значений <7-24/ положим л/7-24/ = x + yi (х g Л , у е R). Тогда 7-24/ = х2 +2xyi-y2, т.е. числа хну удовлетворяют системе х2-/=7, ху = -12. Эта система имеет два действительных решения Xj = 4, j/| = —3 и х2 = -4, у2 = 3 . Итак, Ответ: z( = 3 - /, z2 = -1 + 2/. 10.44 Пусть z = х + yi (хе R , yeR). Тогда данное уравнение примет вид (х + у/)2 + Зу[х2+у2 - 0 , или х2 - у2 + 3^/х2 +у2) + 1-xyi - 0 . Таким образом, приходим к системе у2 -х2 = 3^/х2 + ^2, ху = 0, из которой находим х, = 0, yi = 0 ; х2 = 0, у2 = 3 ; х3 = 0, Уз = -3 . Итак, Zj = 0 , z2 = 3/, z3 = -3/. Ответ: zt = 0, z2 3 = ±3/. 10.45 Указание. Решить систему как линейную относительно z, и z2. Ответ: Z| = 1 - /, z2 = i.
Глава! О. Решения и указания 335 10.46 Полагая z = x + yi (хе R, yeR), преобразуем заданную систему так: |х 4- yi 4-1 - /j = |х 4- yi 4- /|, |3 4- 2/ - х - / = |х 4- yi 4- /|; | (х 4-1)+ (у ~ 1)/1 = |х 4- (у + 1)/|, |(3-х)4-(2-у)/| = |х4-(у4-1)/|; (х + 1)2 + (у-1)2=х24-(у4-1)2, \(3-х)24-(2-у)2=х24-(у4-1)2; х2 4-2x4-14-/ -2д/4-1 = х2 4-/ 4-2^4-1, 9-6х4-х2 + 4~4у + у2 = х2 + у2 4-2у 4-1; (2х-4у = -1, [х4-у = 2. 7 5 7 5. Отсюда находим х =—, у = —, т.е. z = — 4-—/. 6 6 6 6 Ответ: z = — + —i. 6 6 10.47 Находим / =(14-ai)3 = (1 -Зя2)4-(зя -a3)i; ,2 ' 2 24 Зл . . Зл cos—4-zsm— 8 8 3 z Л 3 / /~ ггх -( Зя . . Зл ) - <2 .V2 I - .. = 22 cos—4-zsin— =22------+ i— =-2 4-2/. <4 4 ) 2 2 J Так как числа z3 и z2 равны, то приходим к системе 1-За2 =-2, За-я3 =2, из которой, учитывая, что а e R, получим а = 1. Ответ: а = 1.
Часть I. АЛГЕБРА В6 10.48 Указание. Воспользоваться тем, что Х] + х2 + х3 = 3 . Ответ-. Г = -2 , Xj = 1, х2,3 = 1 10.49 Имеем |z3 +z51 = |cos3a + /sin3a + cos5a + /sin5a| = - |cos3a + cos5a + / (sin3a + sin5a)| = = ^cos2 4acos2 oc + 4 sin2 4occos2 a = = -J4cos2 a = 21 cos a |, поскольку a 6 ^л, . Ответ: 2|cosa|. 10.50 Неравенству |z-5/|<4 удовлет- воряют точки плоскости, лежащие внутри и на границе круга с центром Л/(0; 5) и радиусом 4. Из рис. 10.15 видно, что числу, имеющему наименьший положи- тельный аргумент, соответствует точка К, в которой прямая, проведенная из начала координат, касается окружности. Проведем KPLOM . В прямоуголь- ном треугольнике О КМ имеем ОК = ^52 -42 = 3 ; далее, так как ОК2 = ОР ОМ, то ОР = 2К. = 1,8, а ОМ КР = ,/з2 -1,82 = 2,4. Итак, искомым числом является 2,4 +1,8/. Ответ: 2,4 +1,8/.
ГЛАВА И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ Группа А 11.1 Упростить выражение Ja2-2ab + b2 11.2 Решить уравнение |х +1| + |х -1| = 2х3. 11.3 Решить систему уравнений 6,751х + 3,249у = 26,751, 3,249х +6,751у = 23,249. Построить графики функций (11.4 - 11.6): 11.4 а) х2 + 5х + 6 ; б) у = х2 + 5|х| + 6; в) У = |х2 + 5х + б|; г) у = |х2 + 5|х| + 11. 7 Построить на одном чертеже графики функций у = 1g х2 и y = lg2x.
338 Часть I. АЛГЕБРА 11. 8 Найти значения х, при которых все значения функции у = х2 4- 5х + 6 принадлежат промежутку [б, 12]. 11. 9 Составить биквадратное уравнение, если числа >/з-1 и л/з +1 являются его корнями. 11.1 0 Указать область определения функции = -f —. ух2 -10х + 25 Показать, что график этой функции расположен симметрично относительно прямой х - 5. 11.1 1 Без преобразования уравнения Jx + 1 +>/з-х = 17 показать, что оно не имеет корней. 11.1 2 Найти область определения функции у = ^2Х -3х . 11.1 3 Установить, для каких значений х выполняется равенство |х2-8х +12| = х2-8х +12 . Решить уравнения (11.14-11.15): 11.1 4 -Jx2 -1—=£= = 1. 4x^1 11.1 5 ,/^-+- = 5. V х X 11.1 6 При каком значении т система уравнений (2х + (т-1)у = 3, [(т + \)х + 4у = -3 имеет бесконечное множество решений? Не имеет решений?
Глава 11. Дополнительные задачи 339 11.1 7 При каких значениях р уравнение х2 -(г'’-1)х-з(4'’-1 -2/”2)=0 имеет равные корни? 11.1 8 Изобразить в координатной плоскости множество значений переменных х и у, для которых одновременно выполняются неравенства Зх - 4у +12 > О их + у- 2<0. 11.1 9 Указать, какие из следующих функций являются четными, нечетными и какие не являются ни четными, ни нечетными: \ • з 5 -к . л ~ ч 1— sin X а) у = sin* х + ctg х; б) у - sin2х + cos3x; в) у =--; 1 + sinx \ *4 2 1 \ .X г) у - sin х + х +1; д) у = arcsin —; е) у = х + V* ; ж) у = х|х|; з) у = arccos3x; 3х -1 и) у = 5arctgx; к) у = -arcctgx ; л) у =-- 3х +1 11.20 Показать, что парабола у = х2-х + 5,35 не пересекает график функции у = 2 sin х + 3 . 11.21 Найти область значений функции у = (sinx + cosx)2. 11.22 Исключить t из равенств х = 10е0®', у = 10s,n'. 11.23 Вычислить sin arcsin - + arccos - I 5 3 11.24 Что больше: tgl или arctgl? 11.25 Определить знак числа log^7 Q-(1 - log7 3)j. 11.26 Вычислить
340 Часть I. АЛГЕБРА lgtg3°-lgtg6°-Igtg9°...lgtg87°. 11.27 На некоторый товар была дважды снижена цена - сначала на 15%, а затем еще на 20%. Каков общий процент снижения цены? Группа Б 11.28 У простить выражение I ( 2 1 А2 т L т -1 —z---11+ ---- • яГ+ly 2т ) 11.29 Найти рациональные корни уравнения Решить неравенства(11.30-11.31): 11.30 х2-4|х| + 3>0. 11.31 |х + 1|>2|х + 2|. 11.32 Решить систему уравнений 2х-3|у| = 1, |х| + 2у = 4. Построить графики функций (11.33 - 1 1.35): 11.33 11.34 у = 1gх +1lgх|.
Глава 11. Дополнительные задачи 341 11.35 у = log 2 х-2 11.36 Решить графически уравнение |х-1| + 2х-5 = 0. 11.37 Изобразить в координатной плоскости множество значений переменных х и у, удовлетворяющих уравнению |х| + М = 1. 11.38 Для графика функции у = ах2 +Ьх + с, изображенного на рис. 11.1, определить знаки чисел а, b и с. 11.39 Найти коэффициенты квадратичной / I функции у = ах2 +Ьх + с, зная, что при х = -0,75 она принимает наибольшее Рис. 11.1 значение, равное 3,25, а при х = 0 принимает значение 1. 11.40 Сколько действительных решений имеет система уравнений х2 +у = 5, х + у2 =3? 11.41 При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 + ах + а-2 = 0 является наименьшей? 11.42 Имеет ли уравнение х3 + 2х - 3 = 0 отрицательные корни? 11.43 Решить уравнение х + lg(l + 4х )= lg50. 11.44 Решить уравнение ^За-2х + х = а и исследовать, при каких значениях параметра а оно имеет корни (и сколько их) и не имеет корней.
342 Часть I. АЛГЕБРА 11.45 При каких значениях т уравнение 2^/1-w(x + 2) = х + 4 имеет один корень? 11.46 Решить неравенство log2(x +1)> logv+116. 11.47 Для различных х из области определения функций выяснить, какая из величин больше: Igx2 или lg2x. 11.48 Что больше: З400 или 4300 ? 11.49 При каких значениях аир возможно равенство sin а + sin р = sin (а + р) ? 1-sina а 11.50 Чему равна дробь-------, если ctg — = т 7 cosa 2 11.51 Найти область значений функции у = 5sinx - 12cosx. 11.52 Что больше: sin2x или 2sinx? 11.53 Чему равно произведение log3 2 log4 3- log, 4...1og|0 9 , если известно, что Ig2 = 0,3010 ? 11.54 Известно, что log^a = т и logcZ> = п. Найтии logAt. (ah) • п\ 11.55 Сократить дробь j--рг—-.
Глава 11. Решения и указания 343 РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 11.1 Знаменатель дроби ицеет смысл при b - а > 0 . Учитывая это, упростим числитель: ^а2 - 2ab 4- b2 = ^(a-b)2 = |я - b\ = b - а. _ b - а л к , Окончательно получим ,= % о - а , где b > а. 11.2 Имеем |х +1| = 0 при х = -1, а |х-1| = 0 при х = 1. Далее будем решать данное уравнение в промежутках (-оо, -1), [-1,1), [1,00). 1)Если х < —1, то -х-1-x+l = 2х3; 2х34-2х = 0; х(х2 +1)=0. Так как х2 4-1 > 0 при любом х, то х = 0; это значение не входит в интервал (- <ю, -1). 2)Если —1 х < 1, то х4-1-х4-1 = 2х3; 2х3=2; х3 =1; х = 1ё[-1,1). 3) Если х 1, то х4-14-х-1 = 2х3; х3 - х = 0; х(х2-1)=0; х(х — 1)(х 4-1) = 0; х^ =-1, х2=0, х3=1. Промежутку [1, оо) принадлежит только значение х = 1. Итак: х = 1. Ответ: 1. 11.3 Указание. Сложить и вычесть данные уравнения. Ответ: х = 3, у = 2. 11.4 а) Находим корни функции: х2 4-5x4-6 = 0 при Xj = -3 и х2 = -2; затем найдем точку пересечения параболы с осью Оу: у = 6 при х = 0. Кроме того, определим координаты 34-2 вершины параболы: имеем хв = —— = -2,5; у* = 6,25 -12,5 4- 6 = -0,25. Строим параболу по точкам
344 Часть I. АЛГЕБРА (-3;0), (-2;О), (-2,5;-0,25), (0; б) и симметричной последней точке (- 5; б) (рис. 11.2, а) Рис. 11.2 б) Функция f(x) - четная, так как /(- х) = /(х), а потому ее график симметричен относительно оси Оу. Чтобы построить этот график, нужно взять часть полученной выше параболы при х > О и отобразить эту часть симмметрично относительно оси Оу (рис. 11.2, б). в) Отметим, что у = |х2 + 5х + б| > 0 при любом х. График данной функции можно получить из графика функции у = х2 + 5х -F 6 так: при тех значениях х, где у > 0 , указанный график сохраняется, а при тех значениях х, где у < 0 , он отображается симметрично относительно оси Ох вверх (рис. 11.2, в). г) Имеем у = |х2 + 5|х| + б| = х2 + 5|х| + 6, так как х2 + 5|х| + 6 > 0 при любом х. рафик этой функции изображен на рис. 11.2, б. 1 11.5 Запишем функцию в виде х + 1 при х > О, х -1 при х < 0. Строим графики линейных функций при указанных значениях аргумента х. Точки (0; 1) и (0; -1)
345 Глава 11. Решения и указания графику не принадлежат (рис. 11.3). 11.6 а) Строим график по точкам (l;0), (2;-1) (рис. 11.4, а). б)Функция определена, если -х>0, т.е. х<0. График функции у = log j (- х) симметричен графику функции 2 у = log j х относительно оси Оу (рис. 11.4, б). 2
346 Часть I. АЛГЕБРА в) Функция у = log] |х| - четная; ее область определения 2 *5*0. График функции состоит из двух кривых, симме- тричных относительно оси Оу (рис. 11.4, в). г), д) Графики функций у = logjx^ 2 и У = 2 изображены на рис. 11.4, г и д. 11.7 Сначала построим график функции у = Igx2 = 21g|x| (рис. 11.5). Прежде чем построить график функции у - lg2x, отметим, что она определена при х > 0, а ее значения у > 0. Далее находим производную У = 2Igx---J— и исследуем функцию на экстремум. xlnlO Имеем у' = 0 при х = 1; если х < 1, то у' < 0 ,а если х > 1, то У > 0. Итак, х = 1 - точка минимума, причем ymin = 0. Теперь построим график функции у - lg2x (рис. 11.5). 11.8 I способ. Согласно условию, 6 < х2+5х + 6 < 12. Таким образом, имеем систему неравенств х2+5х>0, fx<-5;x>0, < => х2 +5х-6<0 1“6 <х< 1.
У Л Рис. 11.6 Глава 11. Решения и указания 347 В результате получаем ответ: -6 < х < -5 и 0 < х < 1. II способ. Построим парабо- лу у = х2+5х + 6 и прямые у = 6 и у = 12 (рис. 11.6). С помощью рисунка устанавли- ваем, что значения функции у = х2 + 5х + 6 заключены в промежутке [б, 12] при -6 < х < -5 и 0 < х < 1. Ответ: -6 < х < -5 и 0 < х < 1. 11.9 Общий вид биквадратного уравнения таков: дх4+6х2+с = 0. По условию, оно имеет корни Xj = Vi -1 и х2 = л/з +1. Корни биквадратного уравнения попарно противоположны; следовательно, имеются еще корни х3 = -(Уз -1) и х4 = —(>/з +1). Полагая а = 1, представим левую часть уравнения в виде произведения: (г - (7з -1 D(x + (V3 - 1)Хх - (7з + 1)Х* + (а/з +1)) = 0; (х2 -(7з -1)2^х2 -(л/з +1)2) = О; (х2 -4 + 2-Тз)(х2 -4-2л/з)=0; (х2 -4^-(г-Тз)2 =0; х4-8х2 +16-12 = 0 ; х4-8х2+4 = 0. 11.10 Имеем = 1 = 1 = 1 Vx2 -10х + 25 7(*“5)2 Iх “ 51 Найдем область определения функции: |х-5|*0, т.е. х 5. Значения функции слева и справа от точки х = 5
348 Часть I. АЛГЕБРА одинаковы, так как |-а| = |я|; следовательно, график функции симметричен относительно прямой х = 5. 11.11 Найдем область определения уравнения: [х + 1>0, [х > -1, < => < => -1 < х < 3 . [3-х>0 [х<3 Следовательно, 0 < Jx + 1 < 2, 0 < >/3-х <2, откуда Vjc+i + V3-x <17,т.е. уравнение не имеет корней. 11.12 I способ. Функция определена при условии 2х-Зх>0, т.е. 2Х>3Х. Разделив обе части неравенства на 3х > 0, ( 2Y имеем 1 — 1 > 1, откуда получаем х < 0. II способ. На одном чертеже строим графики функций у = 2х и у = 3х (рис. 11.7). С помощью рисунка получаем ответ: (- оо, о]. Ответ: (- оо, о]. 11.13 Согласно определению модуля, |л| = а , если а > 0 . Решив неравенство х2 - 8х +12 > 0, устанавливаем, что х < 2 или х > 6 . Ответ: (- оо, 2]U [б, оо). 11.14 Здесь х2 -1 >0 =>|х|> 1 =>х <-1; х>1. Полагаем Vx2 -1 = у > 0 . Далее имеем у- —= 1; у2-у-6 = 0; У у} - -2 < 0 (не подходит), у2 = 3 . Итак, получаем
Глава 11. Решения и указания 349 уравнение ^х2 -1 = 3 , откуда х2 -1 = 9, т.е. х}2 = ±V10 . Оба корня принадлежат области определения уравнения. Ответ: xi2 - х + 1 11.15 Здесь ------> 0. Решив это неравенство методом х интервалов, находим х < -1 или х > 0. Запишем данное Г1 Г 1 с гт 1 уравнение так: J— +1 + — = 5. Полагая — = у, получим V X X X у]у + 1 + у = 5, или 7у + 1 =5-у. (1) Область определения уравнения (1) есть. у > -1: в этой области + 1 £ 0; следовательно, и 5 - у > 0, т.е. у < 5. Итак, искомый корень принадлежит промежутку -1 < у < 5. Возведем обе части уравнения (1) в квадрат: у +1 = 25 - 10у + у2 ; у2 -11у + 24 = 0 ; у,=36[-1,5]; =8е[-1,5]. Наконец, решив уравнение — = 3, получим х = — > 0 - х 3 корень данного уравнения. Ответ: х = —. 3 Замечания. 1. Полученный корень полезно проверить. 2. Можно выполнить все указанные действия без нахождения области определения уравнения, но следует помнить, что возведение в квадрат обеих частей уравнения расширяет его область определения и могут появиться посторонние корни. После такого решения обязательна проверка корней подстановкой их в исходное уравнение. 11.16 Система имеет бесконечное множество решений либо не имеет решений, если коэффициенты при х и у
350 Часть I. АЛГЕБРА пропорциональны. Следовательно, ----=----- (здесь т +1 4 т +1 * 0 ; легко убедиться в том, что при т = -1 система имеет единственное решение). Далее имеем (/и +1 )(/и -1) = 8 ; т2 -1 = 8, откуда т = ±3. При т = 3 2 2 3 получим — = — Ф —, т.е. система не имеет решении. При 4 4 -3 , 2-4 3 т = -3 получим — = — = —, т.е. система имеет -2 4-3 бесконечное множество решений. Ответ: бесконечное множество решений при т = -3; нет решений при т - 3. 11.17 Квадратное уравнение имеет равные корни, если его дискриминант D-b2 -4ас равен нулю. Находим £» = (2/’-1)2 +12(4/’-1 -2р-2)= = 22р-2-2р + l+i2'22/> _|2 2/’ = 4-22р-5-2р +1. 4 4 Используя замену переменной 2Г = у, получаем уравнение 4у2 -5у + 1 = 0, которое имеет корни = —, 4 у2 = 1. Решаем уравнения 2^=2"2 и 2Р = 1, откуда р = -2 и р = 0 . Ответ: при р = -2 и р = 0 . 11.18 Построим на плоскости прямые Зх-4у + 12 = 0 и х + у - 2 = 0 (рис. 11.8). Каждая из них делит плоскость на две области; точки одной из них удовлетворяют соответствующему неравенству, а точки другой — нет. Чтобы установить, точки какой из этих двух областей удовлетворяют заданному неравенству, достаточно подставить в него координаты точки (0;0). Тогда получим 12 > 0, -2<0, т.е. начало координат удовлетворяет заданным неравенствам. Теперь укажем стрелками направление от каждой из прямых в сторону начала
Глава 11. Решения и указания 351 координат и возьмем общую часть этих двух областей (йа рис. 11.8 она заштрихована). Это и есть искомая часть плоскости хОу, причем точки самих прямых ей не принадлежат. Рис. 11.8 Замечание. Направление нужной области плоскости можно также получить, если записать данные неравенства 3 о в виде у<—х+3 и у <~х+ 2, т.е. ординаты искомых точек меньше ординат прямых у=—х+3 и у = -х + 2. 4 Поэтому нужно взять направление вниз от обеих прямых. 11.19 а) Область определения функции (х^лл) симметрична относительно начала координат. Пусть т принадлежит области определения функции. Тогда f(m) = sin3 т + ctg5 т, = sin3 (- т) + ctg5 (- т) - В силу нечетности функций sinx и ctgx имеем sin (- /и) = - sin т, ctg (- т) = - ctg т , откуда /(- т) = (-sin w)3 +(-ctgw)5 =-(sin3/и + ctg5/и) =-/(/и). Итак, /(- т) = т.е. данная функция нечетная.
352 Часть I. АЛГЕБРА б) Здесь область определения функции (х е 7?) симметрична относительно начала координат. Имеем /(/и) = sin+ cos3w ,/(- w) = sin 2(-/и)+cos3(-/и). Первое слагаемое - функция нечетная, а второе - четная; значит, sin (-2/и)= -sin 2т , a cos(-3w) = cos3w и f(-m)= —sin 2m + cos3w т.е. данная функция не является ни четной, ни нечетной. в) Находим область определения функции: sinx + l*0; • , Д л _ sinx^-1; х^- — + 2тт. Она не симметрична относительно начала координат, и поэтому вопрс о четности и нечетности функции ставить нельзя. Функция ни четная, ни нечетная. г) Область определения (х е 7?) симметрична относительно начала координат. Имеем /(/и)= sin4 т + т2 + 1, /(-т)= sin4 (— т)+ (~т)2 +1 = = (- sin /и)4 + т2 +1 = sin4 т + т2 +1 = f(m). Итак, f(-m)~ f(m), т.е. данная функция четная. д) Область определения функции находим из условия X -1< —<1, откуда -2<х<2, т.е. она симметрична относительно начала координат. Далее имеем f(m) = arcsin -у, f (- т) = arcsin у = = - arcsin у = -/ (т). Итак, данная функция нечетная. Приведем ответы к остальным заданиям: е) ни четная, ни нечетная; ж) нечетная; з) ни четная, ни нечетная; и) нечетная; к) ни четная, ни нечетная; л) нечетная. 11.20 Графиком функции >> = х2-х + 5,35 является парабола, ветви которой направлены вверх. Эта функция принимает наименьшее значение в вершине параболы, т.е. в точке хв = 0,5, уъ = yinin = 0,25 - 0,5 + 5,35 = 5,1. Найдем теперь
Глава 11. Решения и указания 353 область значений функции >> = 2sinx + 3. Так как -1 <sinx<l, то -2<2sinx<2, l<2sinx + 3<5, т.е. Л’шах = $ • Итак, парабола расположена не ниже прямой >> = 5,1, а кривая >> = 2sinx + 3 - не выше прямой у = 5, т.е. эти кривые не имеют общих точек. /— ( Л ) 11.21 Учитывая, что sinx + cosx = V2sin х + — , запишем / . \2 ~ . 21 Я выражение для у в виде у = (sinx + cosx; =2sin I х + — / . \2 ~ . 21 Я 1 выражение для у в виде у = (sinx + cosx; =2sin lx + ~l- Но 0 < sin2! х +— | < 1, откуда 0 < 2sin| х + — I < 2 , т.е. область значений данной функции - промежуток [0,2]. Ответ: 0 < у < 2 . 11.22 Прологарифмировав данные равенства по основанию 10, получим Igx = cos/, lg>> = sinf. Тогда cos21 + sin2 t - lg2 x + lg2 у, или lg2 x + lg2 у = 1. 11.23 Согласно формуле (4.7), находим sin arcsin— cos arccos— + cos arcsin— sin arccos— = I V 3J V 5J V 3J = 2.1+ /i 9 h 1 = 1 । 4 3+8V2 ” 5 * 3 V 25V 9~5 + 5 3 ' 15 11.24 Так как arctg 1 = — < 1, a tg 1 > tg— = 1, to tg 1 > arctg 1. 4 4 11.25 Имеем 0 < log7 3 < 1 => 0 < 1 - log7 3 < 1 => 12 Сканави
354 Часть I. АЛГЕБРА 11.26 Произведение равно нулю, так как среди множителей есть число lgtg45° = 0. 11.27 Примем первоначальную цену за 100%. Тогда после первого снижения новая цена окажется равной 100%- -15% = 85% первоначальной. Второе снижение цены на 20% по отношению к первому составит 85% 0,2 = 17% от первоначальной цены. Таким образом, после второго снижения новая цена будет равна 85%-17% = 68% первоначальной. Итак, общее снижение цены составляет 100%-68% = 32%. Ответ: 32%. 11.28 Для упрощения воспользуемся формулами (1.9), (1.10): т L + /и4 -2т2 +1 _ т т4 + 2т2 +1 т2+1у 4т2 т2+1] 4т2 поскольку /и2+1>0 при любом т, т.е. |/и2 +1| = т2 +1. Теперь, используя определение модуля и учитывая, что т * 0, получаем: А = 0,5 , если т > 0 ; А = -0,5, если т <0. Ответ: А = 0,5, если т > 0 ; А = -0,5, если т < 0. 11.29 Находим область определения уравнения: х + 2>0, откуда х>-2, и х^0, т.е. (-2,0)U(0, оо). Полагая а/х + 2 —гп— = у, получаем уравнение у + — = ^2. , или Зу2 - 4\[?>у + 3 = 0. У 3 2a/3 ± V12-9 2>/з ±>/з Отсюда у. 9 =---------------=----------: 3 3 У\ = л/з ,
Глава 11. Решения и указания 355 V3 у2 - -у. Далее решаем два уравнения: .х -ух+ 2 гт х + 2 _ ~ 7 _ 1) , г = V3 ; —— = 3; Зх2 -х-2 = 0; и * 2 Х,=--,Х2=1. Эти рациональные корни и они входят в область определения уравнения. 2) ^х + 2 = Л; = x2-3x-6 = 0; |х| 3 х2 3 * 3± V9 + 24 1,2 2 Это иррациональные корни, значит, они не удовлетворяют условию задачи. 2 Ответ: Xj = —, х2 = 1. 11.30 Так как х2 = |х|2, то решаем неравенство |х|2 - 4|х| + 3 > 0 . Его левая часть есть квадратный трехчлен относительно |х|, который обращается в нуль при |х| = 1 и |х| = 3. Используя метод интервалов, находим |х| < 1 или |х| > 3. Отсюда следует, что -1<х<1, х<-3; х>3. Ответ: (-оо,-3)U(-1,1)U(3,оо). 11.31 Имеем |х +1| = 0 при х = -1, |х + 2| = 0 при х = -2 . Далее будем решать данное неравенство в промежутках (-оо,-2), [-2,-1) и [-1, оо). 1)Если х<-2, то неравенство примет вид -х -1 > -2х - 4, откуда х > -3 . Значит, -3 < х <-2 . (1) 2) Если -2 < х < -1, то -х -1 > 2х + 4 , или Зх < -5 , т.е. х < . Поэтому
356 Часть I. АЛГЕБРА -2<х<-|. (2) 3) Если х > -1, то х ч-1 > 2х + 4, откуда х < -3 . В этом случае решений нет. Объединяя решения (1) и (2), получаем, что - 3 < х < . „ ( а Ответ: - 3,---. I 3J 11.32 В зависимости от различных сочетаний знаков х и у данная система распадается на четыре системы: х > О, у >0, 2х-3у = 1, -2х-4у = -8; -7 у = -7 ; у = 1 >0, х = 4-2у = 2>0; решение системы (2; 1); х < 0, у < 0, 2х + Зу = 1, - х + 2у = 4 | 2 |; х <0, у < 0, 2х + 3у = 1, -2х + 4у = 8; 7 у = 9 ; у = — > 0 - решений нет; 3) х > 0, у < 0, 2х + 3у = 1, х + 2у = 4 |-2|; х > О, у < О, 2х + 3у = 1, -2х-4у = -8; -у = -7; у = 7 > 0 - решений нет;
Глава 11. Решения и указания 357 х <0, 4) у >0, 2х-3у = 1, - х + 2у = 4 | 2 |; х <0, у >о, 2х-3у = 1, - 2х + 4у = 8; у = 9; х = 2у-4 = 14>0 -решенийнет. Ответ: (2; 1). 11.33 I способ. Имеем у = |х + 2| + |х-2|. Воспользуемся определением модуля и построим график на различных участках числовой оси: если х<-2, то у = -х-2-х+2= -2х; если -2 <, х < 2, то у=х+2-х+2=4; если х2, то у = х+2+х-2=2х (рис. 11.9, а). II способ. Построим на одном чертеже графики функций у = |х + 2| и j/ = |x-2|, а затем сложим их графически (рис. 11.9, б). 11.34 Здесь х > 0. Если 1g х £ 0, т.е. х 1, то у = 21g х; если же 1g х < 0 ,т.е. 0 < х < 1 , то у = 0. Искомый график изображен на рис. 11. ГО. Рис. 11.10 11.35 Найдем область определения функции:
358 Часть I. АЛГЕБРА I х * 2, О => < =>-2<х<2;х>2 -2 х + 2 > О При этих значениях х функция имеет вид у = log2(x + 2). Ее график изображен на рис. 11.11. 11.36 Запишем уравнение в виде |х-1| = 5-2х . Так как I X -1| >0 при любых X, то и 5-2х>0, т.е. х < 2,5. Рассмотрим функции У1 =|х-11> Уг =5-2х и построим на одном чертеже их графики при х < 2,5 (рис. 11.12). Решением данного уравнения является абсцисса точки пересечения данных графиков. С помощью рис. 11.12 Рис. 11.12 устанавливаем, что х = 2 . Ответ: х = 2 . 11.37 Перепишем данное соотно- шение в виде ,|у| = 1 - |х|. В силу того, что|у|>0, имеем 1 - |х| > 0, откуда |х| < 1, т.е. -1 < х < 1. Искомый график Рис. 11.13 симметричен относительно оси Оу, поскольку у не зависит от знака х, и симметричен относительно Ох, так
Глава 11. Решения и указания 359 как у = ±|1 - |х||. Достаточно построить график при х > 0, у > 0, а затем отобразить его симметрично относительно осей координат (рис. 11.13). 11.38 Ветви параболы направлены вниз; следовательно, а<0. Квадратный трехчлен имеет корни х} < 0, х2 > 0. Согласно теореме Виета, х}х2 = — < 0; но а < 0 и, значит, а с > 0. (Иначе: при х = 0 имеем у = с и из того, что у > 0, следует с > 0.) Абсцисса вершины параболы х„ > 0; так как хв = —— > О и а < 0, то Ь>0. 3 3 2а Ответ: п<0, 6>0, с>0. 11.39 По условию, при х = 0 значение у = \, откуда с = 1. Далее, так как абсцисса вершины параболы хв = —~ и 2а _ __ _ b 3 при х = -0,75 имеем унаи6 = 3,25, то --— = —, откуда 2а 4 3 Ь = —а. Тогда искомая функция примет вид у = ах2 ч- — ах +1. Подставив в это равенство координаты 13 9 3 ( 3^ , вершины параболы, получим — = —П4- — al-—14-1. Решим последнее уравнение относительно а и найдем а - -4 ; значит, b = -6. Итак, искомая функция имеет вид у = -4х2 -6x4-1. 11.40 Решением системы являются координаты точек пересечения графиков функций, заданных этими уравнениями. Запишем исходную систему в виде у = 5-х2, х = 3-у2. Графиком первого уравнения является парабола с осью
360 Часть I. АЛГЕБРА симметрии Оу, а графиком второго - парабола с осью симметрии Ох. Построив эти графики (рис. 11.14), получим четыре точки их пересечения, т.е. данная система имеет четыре действительных решения. 11.41 Пусть Xj и х2 - корни уравнения. Тогда ххх2 - а-2, Х1 + х2 ~ -а • Отсюда выразим сумму квадратов корней: хх +х2 = (Х1 + хг)2 -2Х]Х2 = а2 -2а+ 4 = /(а). Так как f(a) - квадратичная функция, первый коэффициент которой положителен, то f(a) принимает наименьшее значение. Оно достигается при а = 1. Ответ: при а = 1. 11.42 1 с п о с о б. Разложив левую часть уравнения на множители, получим (х-1)(х2+х + з)= 0. Так как х2 + х + 3 > 0 при любом х, то х -1 = 0 , откуда х = 1. Значит, уравнение не имеет отрицательных корней. II способ. Решим данное уравнение графически. Записав его в виде х3 = -2х + 3, построим графики функций у = х3 и у = -2х + 3 (рис. 11.15). С помощью рисунка устанавливаем, что х = 1 > 0 и других корней нет. Ответ: нет.
Глава 11. Решения и указания 361 11.43 Запишем уравнение в виде х + 1g (1 + 4Х)= 1 + 1g 5 . Нетрудно установить, что значение х = 1 удовлетворяет уравнению. Левая часть уравнения есть /(x) = x + lg(l + 4x) - функция возрастающая; поэтому если х < 1, то f(x)< 1 + lg5, а если х > 1, то /(x)>l + lg5. Значит, уравнение имеет единственный корень х =1. Ответ: х - 1. 11.44 Положим ^За-2х = / > 0 . Тогда За - 2х = t2 , откуда х = -у- - t—; данное уравнение примет вид t2 - 2/ = а. Построим параболу y = t2-2t и прямую у = а (на рис. 11.16 соответствующая условию t > 0 часть параболы выделена жирной линией). С помощью рисунка устанавливаем, что при а<-\ уравнение не имеет корней, при -1 < а < 0 оно имеет два корня, а при а = -1 и при а > 0 - один корень. Остается найти эти корни. Для этого решаем уравнение f2-2z-a = 0, откуда получим tX2 - 1 ± +1, или, возвращаясь к старой переменной, х] 2 - а -1 ± + l • Итак, при -1 < а < 0 уравнение имеет два корня:
362 Часть I. АЛГЕБРА *12 = а -1 ± у/а + \; при а = -1 - один корень х = -2 ; при а > 0 - один корень х = а -1 - \Ja +1 ; наконец, при а<-\ оно не имеет корней. 11.45 Если т = 0, то уравнение примет вид 2 = х + 4 и, значит, имеет единственный корень х = -2 . Пусть т * 0 . Положим ^/1 -/л(х + 2) = у > 0, откуда после 1-? преобразований найдем х = —-------2 . Тогда данное т уравнение запишется так: 1 - у2 , 2у = —-----2 + 4, или у + 2ту -1 = 2т . т Теперь построим графики функций z = у1 +2/лу-1 и z = 2т . Так как в уравнении параболы коэффициент при у содержит параметр /л, то нужно рассмотреть два случая: /и > О и /л < 0. В обоих случаях, учитывая условие у > 0, берем только ту часть параболы, которая расположена правее оси Oz (рис. 11.17, а, б). Если т > 0, то прямая z -2т пересекает указанную часть параболы в единственной точке при условии
Глава 11. Решения и указания 363 2т > -1, т.е. при т > — ; значит, в этом случае т > 0 . Если же т < 0, то прямая z = 2т пересекает эту часть параболы в единственной точке также при условии 2/и>-1, т.е. при т>~; следовательно, такое пересечение получается при < т <0 . Кроме того, в случае т < 0 уравнение имеет единственный корень при условии, что прямая z = 2т касается параболы z = y2+2my-\ в ее вершине. Записав уравнение параболы в виде z = (у+ т)2 -1-т2 , устанавливаем, что ордината вершины равна -1-/и2; значит, условие касания примет вид -1 - т2 =2т , откуда т - -1. Таким образом, объединив все полученные сведения, заключаем, что уравнение имеет единственный корень при т = -1 и 1 при - — < т < оо . 11.46 Здесь должны быть выполнены условия [х + 1>0, [х>-1, < => < => -1 < х < 0 , 0 < х < оо. [х +1 * 1 [х О В правой части неравенства переходим к основанию 2: , 1Д_ log216 _ 4 8"' log2(x + l) log2(x+l)' Полагая log2 (х +1) = у , получим неравенство у--> 0, откуда находим -2 < у < О или у >2. Далее имеем: -2 < log2(x +1)< 0 => 0,25 < х+ 1 < 1 => -0,75<х<0; log2(x + 1)> 2 => х + 1>4=>х>3. Оба решения удовлетворяют условиям (1). Ответ: (-0,75;0)U(3, оо). 11.47 Данные величины можно сравнивагь только при х > то
364 Часть I. АЛГЕБРА Рассмотрим разность М = 1gх2 - lg2x = 21gх - lg2x = lgx(2 - lg x). Имеем: M = 0 , если Igx = 0 или Igx = 2 , т.е. при x = 1 и x = 100 справедливо равенство Igx2 = lg2x ; M > 0, если 0 < Igx < 2 , т.е. при 1 < x < 100 выполняется неравенство Igx2 >lg2x; M < 0, если Igx < 0 или Igx > 2, т.е. при 0 < x < 1 и при x > 100 выполняется неравенство Igx2 < lg2x. 11.48 Приведем данные числа к одному показателю степени, равному 100. Имеем 3400 _ ^4100 _ ^4 ),0° . дЗОО _ д3100 _ (дЗ J00 Так как из двух степеней с одинаковым положительным показателем 100 больше та, у которой основание больше, то 3400 > 4300. 11.49 Имеем _ . а + Р а-В _ . а + р а+В 2sin------ cos---- - 2sin--- cos----- = 0 ; 2 2 2 2 . а+pf а-р а + рА л sin----- cos----- -cos----- = 0; 2 t 2 2 ) ~ . а + р . а . р - 2sin----- sm — sm — = 0. 2 2 2 Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: . а + р л а + р _ _ 1) sin---= 0 ; ------ = пп; а + В = 2пп ; 2 2 н . а л а sm — = 0 : — = Tin : а = 2пп, Р - любое число: 2 2 3) sin — = 0; — = Tin; В = 2пп , а - любое число. 2 2 ответ: а + р = 2пп ; а = 2тт, ре/?; р = 2т1п , а е /? (п е Z).
365 Глава 11. Решения и указания 11.50 Обозначив данное выражение через Л, перейдем к ос аргументу — и выполним следующие преобразования: 2 2 а . э ос _ а . а cos — + sin-----2cos —sin — Л =-------2--------2-------2___2_ _ 2 ОС . 2 ОС COS------sin — 2 2 \2 а .a I cos----sin 2 2 J а .а а .а cos-sin— cos—+ sin — 2 2 JI 2 2 (1) Выражение А определено при условии а . ос W ос . а Л cos----sin— cos—+ sin — 9*0. 2 2 JI 2 2 J а как ctg—=/и _ ос . ос _ _ Решим уравнения cosy±siny = 0. Так ос существует, то sin — * 0. Разделив обе части уравнений на sin у, получим ctg у ± 1 = 0, откуда ctg у = ±1 = т . Итак, выражение А определено при условии /И9*±1. Далее, zix а . а сократив дробь (1) на cosy-siny и разделив числитель . сс _ и знаменатель на sin — ?* 0, находим 2 а . а х а , cos---sin— ctg----1 . А = 2 2 = 2 = w~l ос . а х а , /л + 1 cos —+ sin — ctg —+ 1 2 2 5 2 Л т -1 Ответ: ----. ш + 1 11.51 В координатной плоскости хОу построим точку /1(5; 12) и рассмотрим вектор ОА (рис. 11.18). Пусть этот вектор
366 Часть I. АЛГЕБРА образует с осью абсцисс угол ф . Тогда из рисунка видно, 55. 12 12 ЧТО СО8ф = —г------.-'-г =-, Sin ф = . г =--, 725 + 144 13 725 + 144 13 12 12 гт <7 1§ф = —, т.е. ф = arctg — . Преобразуем данную функцию так: ./5 • 12 у = 13 —sinx-----COSX <13 13 = 13 (созф sin х - sin ф cosx) = 13sin(x -ф), 12 где ф = arctg —. Очевидно, что -1 < sin (х - ф) < 1, откуда -13<_у<13. Ответ: -13 < у < 13 . 11.52 Для сравнения выражений sin2x и 2sinx находим их разность: А = sin 2х -2 sinx = 2 sinx cosx -2 sinx = 2sinx(cosx -1). Воспользуемся неравенствами -l<sinx<l и -l<cosx<l. Вычитая по 1 из всех частей второго неравенства, получим -2<cosx-l<0. Таким образом, имеем: если -l<sinx<0, то А = 2sinx(cosx-1)> 0 , т.е. если 2яп - я. < х < 2яп (п е Z), то sin2x > 2 sinx; если 0<sinx<l, то А = 2sinx(cosx-1)<0, т.е. если
Глава 11. Решения и указания 367 2ли < х < л + 2лп sin 2х < 2 sin х. 11.53 Указание. Привести все множители к основанию 10. Ответ: 0,3010. 11.54 Имеем: log*. ("*) = 1оёл< а + log*c *; (1) log*" = logic" log^* , , . 1 1 тп => logit." = znlogAt* = m —----= m------- = ——; 1 + logiC | + £ и + 1 n . , logAt. b . , . 1 n logc b = -—— => 10gAtZ> = «logAcc = n-------------- = —- logAc c n +1 n + 1 Подставив выражения (2) и (3) в равенство (1), получим п +1 п(т +1) Ответ: —----- «4-1 11.55 Используя определение факториала, находим «! _ Ь2-3-...-« _ 1 2-3»... « я! 1 («4-1)!-«! п\(п +1-1) п\п п\п п Ответ: —. п
ГЛАВА 12 НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ПЕРВООБРАЗНЫХ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ (а, b - постоянные) Первообразная F(x) Функция f(x) Производная f'(x) ах a 0 хр" , р * 1 р+1 xp, p&R ах Ina ax ax Ina ех ex ex xlnx-x Inx X *loga- е 1 xlna 1пН X _J_ x2 -COSX sinx cosx sin х cosx -sinx - In|cosX| tgx 1 cos2x In [sin x| ctgx 1 sin2x —F(u) = — F(ax + b), a^O a a /(м)=/(ох + б) a/'(«)=a/'(ax: + Z>)
Глава 12. 369 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ \\ Правила дифференцирования (iz, v - функции; с - постоянная): (си) = си'; (12.1) (и + v) = и + v*; (12.2) (uv) = u'v + uv'; (12.3) 9 f гЛ u'v-uv' (12.4) U" V2 ’ («(/(*))) = g'(/(x))/'(x), где g(/(x))-сложная функция. (12.5) 2°. Уравнение касательной к графику функции у = /(*) записывается в виде (12.6) где (х0; у0) - точка касания. 3°. Правила нахождения первообразных-. а) если F - первообразная для f,b.G - первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g ; б) если F - первообразная для /а к~ постоянная, то kF есть первообразная для kf; в) если F(x) - первообразная для /(х), а к* 0 и b - постоянные, то — F (кх + b) есть первообразная для функции к f(kx + b). 4°. Формула Ньютона - Лейбница имеет вид
370 ч асть I. АЛГЕБРА h jf(x)dx = F(b)-F(a). (12.7) а 5°. Площадь криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 12.1), ограниченной осью Ох, прямыми х = а и х = Ь и графиком неотрицательной функции у = f (х) на отрезке [a, , находится по формуле ь S=J/(x>. (12.8) Группа А Найти пределы (12.1 - 12.3): 12.1 .. х3-8 lim------ х->2 2х - 4 12.2 .. \х -7-3 lim---------- x->4 X-4 12.3 ,. V2X + 3-1 lim —-------• <— V5 + X-2
Глава 12. Начала математического анализа 12.4 Вычислить пределы, а затем подтвердить или опровергнуть утверждение Найти производные функций (12.5 - 12.7): 12.5 12.6 у = In 7х2 - I. 1 -cos2x 12.7 у =--------. 1 + cos2x Вычислить значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной (12.8 - 12.9): 12.8 7(x) = Vx2+3+-^-; /'(1)=? 12.10 Функция задана формулой f (х) = 5 sin х + 3cosx. Решить уравнение /'(о) = /'(х). Найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума заданных функций (12.11 - 12.13): 12.11 /(х)=^-^-. X 12.12 /(х) = -х(х-3)2.
372 Часть I. АЛГЕБРА 12.13 у = — Найти наименьшее и наибольшее значения функций на заданных промежутках (12.14- 12.15): 12.14 у = х3 — Зх2 + Зх + 2 на [-2,2]. 12.15 f (х) = 2 sin х + sin 2х на оЛ 2 12.16 Число 18 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. 12.17 Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей? 12.18 Из пункта А на прогулку вышел пешеход со скоростью v км/ч. После того как он отошел от А на 6 км, из А следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и возвратились вместе в А со скоростью 4 км/ч. При каком значении v время прогулки пешехода окажется наименьшим? 12.19 Дана функция у = х4-6х2+1. Найти наибольшее и наименьшее значения ее производной на промежутке [-1,3]. 12.20 Составить уравнение касательной к графику функции f (х) = — в точке его пересечения с осью ординат. х-2 12.21 Под каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции g(x)= х21пх в точке х0 = 1 ?
Глава 12. .ачала математического анализа 373 12.22 На графике функции у = х(х - 4)3 найти точки, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Найти точки экстремума функций (12.23 - 12.24): 12.23 у = ^-. 1пх 12.24 у = х3е~*. 2 12.25 Для функции f (х) = 2 sin 5х + у[х + - найти первообразную F(x) при условий, что графики функций f (х) и F(x) пересекаются в точке, лежащей на оси Оу. 12.26 Найти функцию Г(х), график которой проходит через точку MQ (3; - 2), если известно, что F'(x) = 4х2 + 9х-2. Вычислить интегралы (12.27 - 12.30): 12.27 Jcos2x<fr. о л/2 12.29 jsinxcosxtfc. о 2 12.30 [(I + Зх)4 dx. о
374 Часть I. АЛГЕБРА Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями (12.31 - 12.34): 12.31 у~х3, у = 1 и х = 2 . 12.32 у = 4х, у = 2 и х = 9 . 12.33 у = х3 и у = Vx . Группа Б Найти пределы (12.35 - 12.36): 12.35 x + Vx-6 hm-----=—. x->4x-5Vx +6 12.36 lim x—>1 Вычислить пределы, а затем подтвердить или опровергнуть данные утверждения (12.37- 12.38): 12.37 .. V3x-5 -1 v Vx + 1 -1 л lim-----------lim-------< cos—. х->2 х-2 х-и) х 10 1 *3-8 V 2х+2-16 , 12.38 lim—7---Г--11Ш-------— = 1. ^2х(х2-л) ~24‘-24 Вычислить значения производных заданных функций при указанных значениях независимой переменной (12.39- 12.40):
Глава 12. Начала математического анализа 375 12.39 /(*)= cosx 1 + sinx ^2х 12.40 / (х) = -===;/'(о) = ? V2-22x 12.41 Найти промежутки возрастания и убывания функции у = 7зsinx-cosx . Найти наименьшее и наибольшее значения функций на заданных промежутках (12.42 - 12.43): 12.42 /(*)= sin2x . (п sin — + х 14 на 0, — 2 12.43 /(х)=2*х2 : а) на [-8,-1]; 6) на [-1,1]. 12.44 В арифметической прогрессии шестой член равен 3, а разность прогрессии больше 0,5. При каком значении разности этой прогрессии произведение первого, четвертого и пятого ее членов является наибольшим? 12.45 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 12.46 Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна а. При каком значении а отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно это отношение? 12.47 Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды имеет постоянную заданную площадь и наклонейа к плоскости основания под углом а. При каком значении а объем пирамиды является наибольшим?
376 Часть I. АЛГЕБРА 12.48 Переменная у обратно пропорциональна переменной х. Найти коэффициент к обратной пропорциональности и заполнить таблицу: 0,1 9,6 3,05 На графике заданной обратной пропорциональности найти точку, ближайшую к началу координат <?(0; 0). х3 12.49 В каких точках сательные к кривой у-------х2-х-ь1 параллельны прямой у = 2х -1 ? 12.50 Составить уравнения касательных к кривым у = 2х2 - 5 и у = х2 -Зх + 5, проведенным через точки пересечения этих кривых. 1 , 1 2 12.51 Дана функция у = —х —х - 2х 4-3. Найти промежутки ее возрастания и убывания, экстремумы, а также начертить эскиз ее графика. 12.52 Точка движется прямолинейно по закону s(t) = ^]72 . Показать, что ее ускорение обратно пропорционально квадрату пройденного расстояния. 12.53 Дана функция /(х)=|х|. Написать выражение первообразной функции. 2 12.54 Н1айти функцию S(x), если ее производная S'(x)~ . - и S(l)= -1.
Глава 12. Начала математического анализа 377 Вычислить интегралы (12.55 - 12.58): 12.55 л/4 J(sin 2/ - cos2/)2 dt. 0 12.56 7/3 f Х + 1 ]\зх + 1 12.57 1 г xdx oVo3 ’ 12.58 15г dx -i V* + 10 -Vx + l 12.59 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х3 - 4х и у = 0 при х > 0 . 12.60 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х2 -2х +1, прямыми х = 0 и у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х0 = 2 .
378 Часть I. АЛГЕБРА РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 12.1 Функция f(x) = ——- в точке х = 2 не определена. 2х-4 Разложив числитель на множители по формуле (1.14), представим эту функцию в виде В области определения функции /(х) выражение х - 2 * 0, поэтому дробь можно сократить на х - 2 . Тогда получим lim f (х) = lim Х +^Х + 4 = f (2) = 6 . х->2 х->2 2 Ответ: 6. 12.2 Указание. Умножить числитель и знаменатель дроби на 4хг -7+3. 4 Ответ: —. 3 12.3 Умножив числитель и знаменатель дроби на (>/2х + 3 +1)(>/5 4- х 4- 2), получим ,. (2x + 3-1)(V5+7 + 2) ,. 2(x + 1)(V5+7 + 2) lim --------М —Л= lim — --------------—г2 = (5 + х - 4)(V2x + 3 4-1) (х + l)(V2x + 3 4- 1) 2(>/5 + х+2) 2-4 л lim \ ... - --1 =--= 4 . л/2х + 3 4-1 2 Ответ: 4. 12.4 Находим .. х24-х-12 1 х4-16 2 1 lim--------= 2- (1); 5 4-hm--—=5-2—=2- (2). Х-.3 Зх-9 3 Х-.2 8-Х3 3 3 Из (1) и (2) следует, что данное равенство верно.
Глава 12. Решения и указания 379 12.5 Запишем данную функцию в виде у = \х2 -1)3 (х4 -1), откуда, используя правило дифференцирования произведения (12.3) и таблицу производных, находим у' = ^(х2 -1) 3 -2х(х4 -1)+ (х2 -1)3 -4х3 = _ 2>(/-|) *4ж,эГТТУ- 24‘ -|Ь’-и) 12.6 Указание. Преобразовать данную функцию: у = In 4*2 -1 = ~ In(х2 -1). Ответ: . х2-1 12.7 Воспользуемся правилом дифференцирования частного (12.4) и таблицей производных: , (1 — cos2x>) у = г;—= ^1 + cos2x ) _ (1 - cos 2х) (1 + cos 2х) - (1 - cos 2х)(1 + cos 2х) _ (1 + COS2X)2 _ -(-2sin2x)(l + cos2x)-(l -cos2x)(-2sin2x) _ (1 + cos2x)2 _ 2sin2x(l + cos2x +1 -cos2x) _ 4sin2x (1 + cos 2x)2 (1 + cos 2x)2 12.8 Сначала находим \ x x + l-x x 2 / (x) = 4-2 —--— = -7= + 7-------ry. ylx2 +3 (x + 0 Vx2 4-3 (X + 0 1 2 Теперь, полагая x = 1, получим /'(1) = — 4- — = 1.
380 Часть I. АЛГЕБРА Ответ: 1. 12.9 Имеем /' (х) = 4 cos 4х • cos 4х + sin 4х (- 4 sin 4х) = = 4(cos24x-sin24x)= 4cos8x. n I л . 2тГ При х = — находим / I у I ~ 4cos— = 4cos— = -2 . Ответ: -2. 12.10 Находим /'(х) = 5cosx-3sinx, /'(о)=5. Согласно условию, имеем уравнение 5 = 5cosx-3sinx => 5 1 -2sin2 — -6sin—cos — = 5 => 2J 2 2 => -2sin—| 5sin —+ 3cos—| = 0, 2< 2 2J X XX откуда sin — = 0 либо 5 sin — + 3 cos — = 0. Из первого 2 2 2 уравнения получаем Xj = 2пп, п е Z, а из второго ( ЗА 3 х2 = 2arctgl -- 1 + 2тгл = 2 ял - 2 arctg -, neZ. Ответ: Xj = 2пп ; х2 = 2пп-2arctg0,6, neZ . 12.11 Область определения функции - вся числовая ось, кроме точки х = 0. Используя формулу (12.4) и таблицу производных, находим /д 2(х-2)х2-(х-2)22х = 4(х-2). /'(х) = 0 только при х = 2 . Составим таблицу: Интервал (-00, о) (0,2) 2 (2,») /'(*) + — 0 + /(*) 71 min 71
Глава 12. Решения и указания 381 Следовательно, х = 2 - точка минимума; функций возрастает на (- оо, о) и на (2, оо), убывает на (о, 2). 12.12 Функция определена при всех х. Имеем /'(х) = —(х- З)2 -х• 2(х -3) = —(х-3)(х-3 + 2х) = = 3(х-1)(3-х); /'(х) = 0 при х = 1 и х = 3. Составим таблицу: Интервал (-°о,1) 1 (1.3) 3 (з,°°) /'(*) - 0 4- 0 — /G) min 71 max Значит, функция убывает на (-оо, 1) и на (3, оо) возрастает на (1,3); в точке х = 1 функция достигает минимума, а в точке х = 3 - максимума. 12.13 Функция определена при всех х. Находим , _ х2 4-1 - х • 2х _ 1-х2 (1 ~ х)(1 + х) (x^l)2 (х24-1У (ХМ Уравнение у' = 0 имеет корни Xj = -1 и х2 = 1. Составим таблицу: Интервал (-00,-1) -1 (-1.1) 1 (1>°°) у' — 0 4- 0 — У / min 71 max Итак, при х = -1 функция имеет минимум, а при х = 1 - максимум; в интервале (-1,1) она возрастает, а в интервалах (- оо, -1) и (1, оо) - убывает.
382 Часть I. АЛГЕБРА 12.14 Сначала находим значения у на концах промежутка: у (-2) =-24, у (2) = 4. Теперь найдем критические точки, принадлежащие промежутку [-2,2]. Имеем у' = Зх2 -6х + 3 = З(х -1)2; уравнение у' = 0 имеет корень х = 1, причем у(1) = 3. Сравнивая между собой значения у (-2), у(2) и у(1), заключаем, что унаим =-24, Тнаиб — * Ответ: унаим = -24 , унаиб = 4 . 12.15 Сначала найдем значения /(х) на концах данного отрезка: /(0)=0, /[у] = -2 а затем критические точки, принадлежащие этому отрезку. Имеем /'(х)= 2cosx + 2cos2х; /'(х) = 0,если cosx4-cos2x = О, откуда 2 cos — cos — = 0 . Зх л находим — = — 4- ип, т.е. 2 2 Из уравнения cos—= 0 л 2 х = — + — кп, а из уравнения cos—= 0 получим — = —4-ли, т.е. х = л4-2ли, neZ . 2 2 2 Второе решение является частью первого, следовательно, л 2 решение уравнения имеет вид х = —4- —ли, Отрезку оД 2 принадлежат точки Находим значения f (х) в критических п е Z . х2 = я . точках: л 7 и f j = — , /(л) = 0. Сравнивая между собой числа /(0), /Д1 /Д] и /(тг), заключаем, что Тнаим ’ Тнаиб Ответ. унаим — —2 , унаиб — 1,5 >/з .
Глава 12. Решения и указания 383 12.16 Пусть х - первое слагаемое; тогда 18-х - второе слагаемое. Согласно условию, получим функцию S(x) = x2 + (18-x)2, где по смыслу задачи 0<х<18. Найдем наименьшее значение S(x). Имеем 5'(х) = 4х -3.6; S'(x) = 0 при х = 9 ; если 0 < х < 9, то 5'(х)< 0 ; если же 9 < х < 18, то 5"(х)> 0. Итак, х = 9 - точка минимума s(x) и, значит, каждое из слагаемых равно 9. Ответ: 9 и 9. 12.17 Пусть х и у (рис. 12.2) - (линейные размеры участка в метрах), тогда площадь участка есть 294 ху = 294, откуда у =-------. х Длина всего забора выразится функцией У X X У Рис. 12.2 , 588 Зх2+588 f (х) = Зх + 2у = Зх +-=-------, X X причем по смыслу задачи х>0. Далее имеем \ Зх2 —588 z,/ \ Л .. f \х)-------5--, откуда f (х)= 0 при х - 14 х (поскольку х > 0). Если 0 < х < 14, то /'(х)< 0; если же х > 14, то /'(х) > 0; поэтому х = 14 ебть точка минимума функции /(х). В результате получаем, что х = 14, Л = 21. Ответ: 14 и 21 м. 12.18 Время, за которое велосипедист догонит пешехода, 6 2 z ч составит — = — (ч). До встречи пешеход находился в пути 6 2 / ч Г6 2^| , ч ~ —+ — (ч) и прошел v — + — (км). Этот же путь они v 3 I v 3 J
384 Часть I. АЛГЕБРА преодолели обратно с одинаковой скоростью 4 км/ч и Гб 2^1 v - + - \у 3) , ч ~ затратили время —-------- (ч). Тогда время, затраченное 4 пешеходом на всю прогулку, выразится функцией I- -I 6 2 Ъ + з) 6 2 3 v v2+13v + 36 -1--I------_--1--1--1-_--------- v3 4 у 3 2 6 6у где v > 0 . Находим 6v2 у2 -36 6у2 откуда /'(v) = 0 при v = 6. Легко установить, что v = 6 - точка минимума функции /(у). Итак, пешеход затратит на прогулку наименьшее время, если первоначально будет идти со скоростью 6 км/ч. Ответ: 6 км/ч. 12.1 9 Имеем у' = 4х3-12х = /(х). Находим значения функции f (х) на концах промежутка [-1,3]: f (-1) = 8, f (з) = 72 . Теперь найдем критические точки функции /(х), принадлежащие этому промежутку: f'(x}=yn- = 12х2-12 = 12(х2-1); /'(х) = 0, если х = ±1. Тогда получим /(-1) = 8 (это значение было найдено ранее), f 0) ~ “8 • Итак, унаим — —8 , унаиб — 72 . Ответ: у'аим = -8 , у'аиб = 72 . 12.2 0 Согласно формуле (12.6), уравнение касательной записывается в виде у-у0 = /г(хо)(х~хо)> где (хо»^о) ~ точка касания. Абсцисса х0 точки пересечения графика с осью Оу равна нулю, а ордината у0 = f (о) = -2 ; значит, (0; -2) - точка касания. Далее, используя формулу (12.4) и таблицу производных, получим
Глава 12. Решения и указания 385 \ 2х(х-2)-(х2 4-д)-1 х2-4х-4 /(х)= (х-2)2 =Л^Г’ откуда /'(о)=-1. Итак, искомое уравнение касательном имеет вид у - (- 2) = -1 • (х - о), или у = -х - 2 . 12.2 1 Угловой коэффициент касательной к графику функции g(x) равен к = g'(x0) = tga, где х0 - абсцисса точки касания, a a - угол наклона касательной к оси Ох. Находим g'(x) = 2xlnx + x2 • — = 2х1пх + х = х(21пх + 1). х При х0 = 1 получим g'(l)=l, откуда tga = l и, тс следовательно, а = —. 4 _ л Ответ: —. 4 12.2 2 Пусть (х0;у0) - точка касания. Так как касательная параллельна оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной в этой точке равен нулю. Имеем у' = (х-4)3 + х-3(х-4)2 = (х-4)2(х-4 + Зх) = = 4(х - 4)2 (х -1); к = /(х0)= 4(х0 -4/ (х0 -1)= 0, откуда находим (хД = 4, (х0)2 =1 и, значит, (y0)i =0, (у0)2 = -27. Итак, (4; 0) и (1; -27) - точки касания. Ответ: (4; 0) и (1; -27). 12.2 3 Функция определена при х > 0 и х * 1. Имеем . 1 In х - х • — . , , х lnx-1 У ’ In2 X " In2 X ’ значит, У = 0 при 1пх-1=0, т.е. при х = е. Составим таблицу: 13 Сканааи
386 Часть I. АЛГЕБРА Интервал (0,1) (и) е (е,оо) у' — — 0 + У min 71 Следовательно, при х = е функция имеет минимум. Найдем значение функции при х = е : J^min ~ У fe) ~ 7 “ е • 1пе Ответ: (е; е) - точка минимума. 12.24 Функция определена при всех х. Находим у' = Зх2е~х - х3е~х = х2е~х (3 - х). Уравнение у' = 0 имеет только один корень х = 3 . Так как у' > 0 при х < 3 и у' < 0 при х > 3, то в точке х = 3 27 функция достигает максимума, равного З3 е~3 = —. е f 27^ Ответ: 3; —т- - точка максимума. \ е J 12.25 Так как для функции sinx одной из первообразных является -cosx, то, согласно правилам п. 3°, 2 первообразная функции 2sin5x есть -ycos5x. Далее, 4. Г 3 2 Г 3 "Т первообразная функции чх+~ есть — . Тогда для f (х) первообразной функцией является \ 2 2 /— 3 F (х)= -ycos5x + -jxvx +ух + С при произвольном значении постоянной С. Необходимо найти такое значение С, при котором графики функций F(x) и /(х) пересекаются в точке, лежащей на оси Оу . Это значит, что при х = 0 должно быть выполнено равенство
Глава 12. Решения и указания 387 F(0)=/(o). Но г(о) = -| + С, а 2 3 следовательно, - у + С = -, откуда С = 1. 2 2 г~ 3 Ответ: F(x) = -ycos5x + —xjx + — х + 1. '(о)Л 12.26 Имеем F (х) = 4 + 9 + С. Подставив в это равенство координаты точки Л/0(3;-2), получим -2 = |з3-9-3'1 +С, откуда С = -35 . Ответ: Г(х)=ух3- —-35. 12.27 Чтобы преобразовать подынтегральную функцию, воспользуемся формулой понижения степени (4.17). Тогда получим Л Л , - , (л л f 2 J fl + COS2x J If, f ~ , Jcos xdx=J--------dx = — |av+ J cos 2x ox = о о 2 2lo о * = *h-o+i 21 2 л 71 Ответ: — 2 12.28 Имеем = з(27|/3-8,/3)=3. 12.29 Указание. Воспользоваться формулой синуса двойного угла. Ответ: 0,5.
388 Часть I. АЛГЕБРА 12.30 Используя правило п. 3° в) для нахождения первообразных, получим J(1 + Зх)4 dx = - • 2 = —(7s -1)= 1120,4 . о 3 5 0 15 Ответ: 1120,4. 12.31 Заданные линии образуют фигуру АВС (на рис. 12.3 она заштрихована). Абсциссу точки А найдем, решив систему у = х3, у = 1, откуда х = 1. Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE. Согласно формуле (12.8), имеем Рис. 12.3 5 ~ $DACE “ $DABE 16-1 , llz —------1 = —- (кв. ед.). 4 4 Ответ: 2,75 кв. ед. 12.32 Здесь нужно найти площадь фигуры ECD (рис. 12.4). Абсциссу точки Е найдем из уравнения Vx = 2, откуда х = 4 . Искомую площадь вычислим как разность между площадью криволинейной трапеции Рис. 12.4 АЕСВ и площадью прямоугольника AEDB. Имеем JVx dx - АВ • АЕ = -(9-4)2=
Глава 12. Решения и указания 389 = |(27-8)-10 = у-10 = | (кв. ед.). 8 Ответ: - кв. ед. 3 12.33 Указание. Искомую площадь найти как разность площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных снизу отрезком 0 < х < 1 оси абсцисс, а сверху кривыми у = х3 и у = Ответ: — кв. ед. 12 12.34 Графики заданных функций изображены на рис. 12.5. Требуется найти площадь S фигуры ОАВ (на рисунке она заштрихована). Очевидно, что искомая площадь равна разности между площадью прямоугольника ABCD и площадями Sj и 52 ДВУХ криволинейных треугольников координаты точек А и В. Решив системы уравнений 8 Г ,у=Ь получим Л(-2; 8) и В(9; 8). Далее имеем С(9; 0), £>(-2; 0), CD = 11, ВС = 8, откуда SABCD = 11-8 = 88. Площади криволинейных треугольников OAD и ОВС находим с помощью интеграла: Ук А 8 £>|fl х Рис. 12.5 OAD и ОВС. Найдем У = ~х\ z и 7 = 8 £1 4 -2 О = 4, -2 9 Q 8ГГл 82 = — Ых ах =- 30J 3 3 9 О Итак, S' = SABCD - - S2 = 88 - 4 - 48 = 36 (кв. ед.).
Часть I. АЛГЕБРА 390 Ответ: 36 кв. ед. 12.35 Числитель и знаменатель данной дроби представляют собой квадратичные функции относительно у/х . Имеем Ответ: -5. 12.36 Разложим знаменатель дроби на множители: + -3 = (V* -l)2 +4^х-4 = (Vx-1)(V*+з). Теперь, сократив дробь на у[х -1^0, находим 1 1 lim -7= = — . Их + 3 4 Ответ: 0,25. 12.37 Имеем lim ---------------= — . Для нахождения х->2 х-2 2 Vx + 1 -1 lim-------- домножим числитель и знаменатель на х—>0 X неполный квадрат суммы чисел 1/х +1 и 1: 1Ш1 - / -------- = х->0 +1)2 + у/х + 1 + 1J = lim ------— = —. x">oV(x+if +v^+i+i 3 „ 3 1л Итак, получаем неравенство —--<cos —, котоРое п неверно, поскольку cos— < 1 • 12.38 Находим
Глава 12. Решения и указания = lim х->2 .. (х - 2)(х2 + 2х + 4) lim-—, • ч/----г-2 *-►2 х(х-2)(х + 2) х2 +2х-ь 4 х(х + 2) = 15; = lim-------- х->2 2х+4 = 0,5. Итак, получаем 1,5 - 0,5 = 1, т.е. данное равенство верно. 12.39 Имеем - sin х (1 + sin х)— cosx ♦ cosx (1 + sin x)2 - ~ s*n x ~ sin2x - cos2x _ 14- sin x _ _ 1 . (14- sin x)2 (14- sin x)2 14- sin x ’ /(-К--. I2 J 2 Ответ: -0,5. / \ 4х 12.40 Так как 2 = 4х, то f (х)= . Находим V2-4X лХ. л Г 77 4x(-4x)ln4 4 1п4\2-4------у-.?7- - ч 2у2-4х 4Л1п4(4-2-4х+4*) 4х 1п4(4-4*) 2 (2 - 4х )V2-4X 2 (2-4х )^2-4х ’ Ответ: 3 In 2 .
392 Часть I. АЛГЕБРА 12.41 Имеем , /Т . nl • 71 Л • у = V3 cosx + sinx = 2 sin—cosх + cos—sinX I 3 3 . . f it = 2 sin — + x U Из равнения sinl — + x| = 0 находим x = ~ — + nn, <3 J 3 neZ . Далее решаем неравенства sin+ x^>0 и .Гл | sin — + x < 0. Первое из них выполняется, если 2пп — < х < — + 2пп, 3 3 2л _ 5л ~ — + 2пп < х < — + 2пп , 3 3 а второе - если weZ (рис. 12.6). Итак, данная 1 Гл л 2л _ ] _ функция возрастает на 12 ли-у, — + 2ли I и убывает на Рис. 12.6 12.42 Сначала вычислим значения f (х) на /(о) = 0, /^у^ = ® • Далее находим * л • I 1 • * ( 2cos2xsm — + х -sm2xcos — + х f W =-----------S-----7----ч-----Ь---- • 2| 71 | sin — + Х И ) концах промежутка:
Глава 12. Решения и указания 393 Решим уравнение /'(х)= О. Имеем: _ . f Я | . ( Л ] . . f Л cos2xsin — + x +cos2xsin — + x -sm2xcos — + x =0; 14 J (4 J 14 ) (л 1 . i я — + х + sin----х 4 J 14 _ . [ Я 1 f Л ) Л cos2xsin —+ x +cos —+ x =0, 14 J 14 J sin I — + х I * 0; cos2x + ctg 14 J Так как . I п ctg - + х 14 . (л _ ) sin —+ 2х 1 _ \^2 J cos2x (л А , Г я _ А 1 + sin 2х ’ tg — + х 1 - cos — + 2х 14 J \2 J то в cos2x 1 + результате придем к уравнению 1 1 + sin 2х = 0. Следовательно, cos2x = 0 либо 2 + sin2x л „ л ли -j— = 0. Из первого уравнения находим х = — + —, п е Z , а второе не имеет решений. Промежутку 0, принадлежит только значение л —, для которого 4 — 1 . Итак, У’наим — о . У’наиб “ 1 • Ответ: ,унаим = 0, ^наиб = 1. 3/ 2 2 12.43 Находим f'(x) = 2'x ln2-—x"^2 3; /'(x)^0 при любом x, f'(x) не существует при x = 0. а)Если хе[-8,-1], то /(-8) = 24=16, /(-1) = 2;
394 Часть I. АЛГЕБРА значит, унаим 2, унаиб 16. б) Если ХЕ [-1,1], то /(-1)=2, /(0=2, /(о)=1, ОТКуда Унаим — 1 , унаиб ~ 2 . Ответ, а) унаим — 2, уНаиб — 16,6) унаим — 1 ♦ Тнаиб ~ 2 • 12.44 Согласно условию, ав = ах + 5d = 3, откуда ах = 3 - 5d . Обозначим произведение аха4а5 через у». Тогда получим у = «! («! +3tZ)(a! +4t/)=-10б73+51<У2 -12d + 21. Для отыскания значения d, при котором функция у принимает наибольшее значение, сначала найдем производную у' = -30</2 + 102</ - 72 = -6 (s<Z2 - 17rf +12), а затем, решив уравнение 5d2 - 17tZ +12 = 0, найдем ее корни iZ| = 1; d2 = 2,4. Так как по условию d > 0,5, то исследуем поведение функции у на интервале (0,5;оо). Составим таблицу Интервал изменения d (0,5;1) 1 (|;2,4) 2,4 (2,4; 00) у' - 0 + 0 - У min 71 max На интервале (0,5; оо) имеется только одна точка максимума функции у, а именно d = 2,4 . Это значит, что на интервале (0,5;оо) функция у достигает наибольшего значения при d = 2,4 . Ответ: при d = 2,4 . 12.45 По условию, АВ = 24 см, Z А = 60° , откуда Z В = 30° (рис. 12.7). Пусть MN = х и LM = у - линейные размеры прямоугольника MNKL (в сантиметрах). Выразим х через у. Из bKBL-. BZ = KZctg30® = х->/з ; ИЗ &MNA:
Глава 12. Решения и указания 395 V3 AM = MN ctg60° = х— ; тогда y = ML = AB-BL-AM = 2A-xJi-x — = 24-^-^. У 3 3 Площадь прямоугольника MNKL выразится функцией 5 (х) = ху = х 24 - = 24х-----—. Далее имеем 3 £'(*) = 24-, откуда S'(x)=0 при х = 3^3 . Если х<3>/з, то S'(x)>0, а если х>3>/з, то S'(x)<0, т.е. х = 3>/з - точка максимума функции S(x). Итак, длины сторон искомого прямоугольника равны 3V3 см и Рис. 12.7 Ответ: 3 л/з и 12 см. Рис. 12.8 12.46 Указание. Пусть в треугольнике АВС точки О и Ох — центры описанной и вписанной окружностей, a R и г радиусы этих окружностей (рис. 12.8). Выразить
396 Часть I. АЛГЕБРА отношение г ~R через а и исследовать полученную функцию — = f (а) = sin2atg— на экстремум. R 2 7Г Г 1 Ответ: a = —; — = —. 3 R 2 12.47 Объем пирамиды SABCD (рис. 12.9) выражается формулой V = ~ $abcd ' SO • Пусть AD = а, тогда SABCD = а2 , а из A SOK находим SO = OKtgZSKO = ^tga . Значит, 1 2 Я 1 3 Р = —tga = -a tga. 3 2 о (1) Далее, • пусть = Q = — a SK, где OK а _ _ а2 SK =----=------. Поэтому Q =------, откуда cosa 2cosa 4cosa а = y/AQcosa . (2) Подставив (2) в (1), получим V = V (а) = — (^42 cos а У tg а = sin а ^/2 cos а , 6 х 3 где 0 < а < — по смыслу задачи. Если a -> 0 или a , то V (а) -> 0, причем V (а) > 0 на 0, — . Находим rz/Z \ 4 2 2cos2 a-sin2 a ч _ V (a) = — 2 ---1 — J значит, V (a) = 0, если 3 2^2cosa
Глава 12. Решения и указания 397 2 cos2a - sin2a = 0; далее имеем tg2a = 2; tg a = ±^2 ; a = ± arctg 41 + nn, neZ . Условию задачи удовлетворяет только значение a = arctg ^2 . Итак, объем пирамиды является наибольшим при a = arctg ^2 . Ответ: при a = arctg V2 . k 12.48 По условию, у = — или к = ху ; значит, к = 9,6 • 3,05 = х 29 28 = 29,28. Если у = 30, то х = —-— » 0,98; если х = 0,1, то 30 29 28 у = Qi = 292,8. Расстояние от начала координат (0;0) до точки (х; у), лежащей на гиперболе, равно yjx2 +у2 . Таким образом, нужно исследовать на экстремум / к2 функцию f (х) =. х2 + — , где хе (о,оо). Находим V х Следовательно, /'(х) = 0, если 1 —- = 0, или х4 = к2, х откуда х = ^\к\. При к > 0 имеем у = ~^= = 4к , т.е. х = у = 4к . Итак, х = у & 5,4 . Ответ: к = 29,28; (5,4; 5,4). 12.49 Пусть (х0;у0) - точка касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке есть к = 2. Находим Ужх2-2х-1; к = ^/(хо) = хо-2х0 -1 = 2. Решив уравнение Xq - 2х0 - 3 = 0, получим (х0)| = 3, (х0)2 = -1,
398 Часть I. АЛГЕБРА 2 откуда (y0)j=-2, (у0)2 = у - Итак, искомыми точками ( 2^ касания являются (3; - 2) и -1; — . Г 2, Ответ: (3; - 2) и I -1; — 1. 12.50 Чтобы найти точки пересечения данных кривых, решим систему уравнений у - 2х2 -5, у = х1 -Зх + 5, из которой получим Х| = -5, х2 = 2 и = 45, у2 = 3. Таким образом, имеем две точки пересечения: Л(-5; 45) и В(2; 3). Далее найдем производные данных функций у' = 4х и у' = 2х - 3, а затем угловые коэффициенты касательных к заданным кривым в точке А: к{ = 4 (- 5) = -20, к2 = 2 (- 5)- 3 = -13 . Значит, уравнения касательных в точке А имеют вид у-45 =-20(х + 5) и у-45 =-13(х + 5), или у = -20х - 55 и у = -13х - 20. Аналогично для точки В находим к\ = 8 и к2 = 1, а уравнения касательных запишутся в виде у = 8х -13 и у = х +1. 12.51 Находим у' = х2 - х-2 = 0 = (х + 1)(х-2). Уравнение у' = 0 имеет корни Xj=-1 и х2=2. Если -оо<х<-1, то У>0; если -1<х<2, то /<0; если 2 < х < оо, то У > 0. Таким образом, при х = -1 имеем 25 ~ 1 , Утт=Т< а при х = 2 имеем ymi„=--; функция О 3 возрастает на (-оо, -1) и на (2, оо), убывает на (- 1, 2).
Глава 12. Решения и указания 399 Для более точного построения графика найдем еще точки его пересечения с осями координат. При х = 0 получим у = 3, т.е. (0; 3) - точка пересечения графиках осью Оу . Чтобы найти точки пересечения графика с осью Ох, решим кубическое уравнение: 3 7 у-у-2х + 3 = 0=> 2х3-Зх2 + б(3-2х)=0=> => х2 (2х -3)-б(2х -3)= 0 => (2х-3)(х2 -б)= 0. Итак, у = 0, если Xj = 1,5, х13 = ±7б . Эскиз графику изображен на рис. 12.10. У 12.52 25 Рис. 12.10 Сначала находим скорость точки v = s'(t) = 2г1/з 3 а затем ее ускорение а = *’(/)=s’(г)= 2 2 9^? 9 (Л'))2 _ , к . 2 Таким образом, а = — —, где к = — ш2 9 12.53 Если х > 0, то f (х) = х и F (х) = 0,5х2 + С; если х < 0, то /(х)=-х и F (х) = -0,5х2 + С .
400 Часть I. АЛГЕБРА 12.54 Запишем производную в виде S'(x)= 2(5-х) . Тогда, используя правило 3° в), находим 5(х)=2-^^у^- + С = -4>/5^7 + С. 2 Полагая х = 1, получим S(l)= -4-2 + С = -1, откуда С = 7.Итак, S(x)=7-4V5-x . 12.55 Возведя выражение sin2/-cos2/ в квадрат и используя известные тригонометрические формулы, находим л/4 J(sin 2t - cos2/)2 dt = о = [(sin2 2t - 2 sin 2t cos2t + cos2 2t)dt = о । \ jt/4 _ i i _ n = \dt- [sin 4/<7/ = । / + — cos4/ | =----------=-------. 0J oJ I 4 Jo 4 4 4 4 Ответ: 0,25 (л - 2). 12.56 Имеем 7/r x +1 7/f3 3(x +1) , 4 7/р Зх +1 -7=cfr = „ , - - dx = - -==г^ + 0J V3x +1 0J З^Зх + 1 з J 3V3x +1 .7/3 <7/3 7/3 >+1)2/3^+2f(3x + i)-'^ J 0 V3X + 1 JI 0 0 46 Ответ: — 15
Глава 12. Решения и указания 401 12.57 Указание. В числителе подынтегральной функции прибавить и вычесть 1, а затем разбить на два интеграла от степени функции х +1. Ответ: —. 8 12.58 Указание. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби. Ответ: 12. 12.59 Сначала график у = х3 - 4х Находим экстремума: у' = Зх2 - 4; Зх2-4 = 0; X = ±-7=- » ±1,1 . V3 х > 0 функция убывает на fo, 2 построим функции х>0. при точки При у = х"-4х, х^О А уь о , возрастает Рис. 12.11 I 2 на —г I 2 ,00 , а Х = -7=г ) - точка минимума, причем 16 „ ГГ =~3?3 Л"’3‘ Итак> фигуры ОАВ (рис. 12.11). Так как функция у = х3-4х принимает на (0,2) отрицательные значения, то 2 5= fix3 -4x)dx .Имеем требуется найти площадь о ( 4 2 А X . X ----4 — 4 2 2 0 о откуда получаем 5 = 4 (кв. ед.). Ответ: 4 кв. ед.
402 Часть I. АЛГЕБРА 12.60 Сначала составим уравнение касательной к параболе. Так как у' = 4х - 2 , то при х0 = 2 получим к = у'(2) = 6. Находим ординату точки касания: >>0 = 2-22-2-2 +1 = 5. Следовательно, уравнение касательной имеет вид jz-5 = 6(x-2), ИЛИ у = 6х - 7 . Фигура, площадь которой требуется определить, на рис. 12.12 заштрихована. Имеем $OABD ~ $ОАВС ~ $kDBC • Рис. 12.12 Абсциссу точки D найдем из условия 6х - 7 = 0, т.е. 7 7 5 х = —. Значит, DC = 2 — = —, откуда 6 6 6 5довС=|оС ВС = 1-|.5 = ^ (кв. ед.). 2 2 о 12 Далее находим $оавс 10 z = — (кв. ед.) о Ю 25 5 ( и окончательно получим S()AB]) =------= — (кв. ед.). 3 12 4 Ответ: 1,25 кв. ед.
Часть вторая ГЕОМЕТРИЯ Глава 1 ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 1°. Произвольный треугольник (а, Ь, с — стороны; а, р, у — противолежащие им углы; р — полупериметр; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписанной окружности; S' — площадь; ha — высота, проведенная к стороне а): S = ^-aha; (1.1) S = |*csina; (1.2) S = ^p(p- а)(р - b)(p - с) (формула Герои а); (1.3) (1.4) 4S' (1.5) $ _ a2sinBsinC 2sin?l а2 = b2 +с2 -2bccosa (теорема косинусов); а b с -— = - = —— = 2R (теорема синусов), sina sinp siny (1.6) (1.7) (1.8) 2°. Прямоугольный треугольник (a, b — катеты; с — гипоте- нуза; ас, Ьс — проекции катетов на гипотенузу): о 1 г S =— ab’ 2 (i:9) с 1 L S=Z2Chci (1.10) a+b-c r = ; 2 (i.ii)
404 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ Я = -; 2 а2 + Ь2 = с2 (теорема Пифагора); ас _hc (112) (1.13) (114) = а с ’ (1.15) b с* (1.16) а = с sin а = с cos|3 = b tg а = Z>ctg р. 3°. Равносторонний треугольник. (1.17) 4 (1.18) ау/3 г = ; 6 (1.19) 3 (1.20) 4°. Произвольный выпуклый четырехугольник (d} и d2 агонали; ф — угол между ними; S — площадь): -да- S = ^-dxd2 зшф. (121) 5°. Параллелограмм (а и b — смежные стороны; а между ними; ha — высота, проведенная к стороне а): — угол S = aha = aZ>sin а = зтф. 6°. Ромб'. (122) S = aha = a2 sin а = dxd2. 7°. Прямоугольник: (123) S = аЬ = ^^2зт(р. (124)
Глава 1. Задачи по планиметрии 405 8°. Квадрат (d — диагональ): S = a2=-d2. 2 (125) 9°. Трапеция (аиЬ — основания; h — расстояние между ними; / — средняя линия): 2 ’ (1.26) S = ^-h = lh 2 (1.27) 10°. Описанный многоугольник (р — полупериметр; г — ра- диус вписанной окружности): S ~ pr. (1.28) 11 °. Правильный многоугольник (ап — сторона правильного и-угольника; R — радиус описанной окружности; г — радиус впи- санной окружности): a3 = Ry[5\ a4 = r41\ a6=R\ (1.29) 2 (1.30) 12°. Окружность, круг (г — радиус; С — длина окружности; S — площадь круга): C = 2nr; S' = 7СГ2. (1.31) (1.32) 13°. Сектор (I — длина дуги, ограничивающей сектор; п° — градусная мера центрального угла; а — радианная мера централь- ного угла): . ЯГИ° 1 / = = — ra. 180° 2 (1.33) 7Cr2n° 1 2 S = =—r a. 360° 2 (1.34) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР (Доказательства этих свойств приведены в книге II двухтомно- го «Сборника» на с. 5-8).
406 Часть П. ГЕОМЕТРИЯ 1°. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вер- шины треугольника. 2°. Длина медианы треугольника выражается формулой та = у2(Ь2+с2)-а2, (1.35) где а, Ь, с — длины сторон треугольника. 3°. Длина стороны треугольника выражается формулой а = ^2{т2+т2)-т2, (1.36) где та, ть, тс — длины медиан треугольника. 4°. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, про- порциональные двум другим его сторонам. 5°. Длина биссектрисы треугольника выражается формулой 1С = yjab-аф!, (1.37) где а и b — длины сторон треугольника, ах и — отрезки тре- тьей стороны. 6°. Длина биссектрисы треугольника выражается через дли- ны его сторон а, b и с по формуле [ jab(a + b + с)(а + 6 - с) (138) с~ а + Ь 7°. Для всякого треугольника зависимость между его высота- ми ha, hb, hc и радиусом г вписанной окружности выражается фор- мулой 1111 -1-1-= —. ha hb hc r (1.39) 8°. Площадь Sравнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, т.е. S = h2. 9°. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно впи- сать окружность, является средним геометрическим ее основа- ний. ГруппаА 1.1. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину ги- потенузы.
Глава 1. Задачи по планиметрии 407 1.2. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, де- лит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треу- гольника. 1.3. Основание равнобедренного треугольника равно 4^/F см, а медиана боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон. 1.4. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. см. Опреде- лить площадь треугольника. 1.5. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от верши- ны), и через точку деления проведена прямая, параллельная осно- ванию. Определить площадь полученной при этом трапеции. 1.6. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пе- ресечения медиан. 1.7. Площадь треугольника АВС равна 30 см2. На стороне АС взята точка D так, что AD : DC - 2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного к стороне ВС, равна 9 см. Найти ВС. 1.8. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найти длину основания. 1.9. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окруж- ности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равно утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности? 1.10. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно а, адлина высоты, проведенной к основанию, рав- на длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой сто- роны. 1.11. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь это- го восьмиугольника. 1.12. Круг радиуса R разделен двумя концентрическими с ним окружностями на три равновеликие фигуры. Найти радиусы этих окружностей. 1.13. Внутри круга радиуса 15 см взята точка Л/ на расстоянии 13 см от центра. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Найти длины отрезков, на которые точка Л/ делит хорду.
408 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 1.14. Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две произвольные части и на каждой из них построитыкак на диаметре полуокружность (внутри данного полукруга), то площадь, заклю- ченная между тремя полуокружностями, равна площади круга, ди- аметр которого равен длине перпендикуляра к диаметру полукруга, проведенного в точке деления до пересечения с окружностью. 1.15. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в ок- ружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента. 1.16. Каждая из трех равных окружностей радиуса г касается двух других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям. 1.17. Одна из двух параллельных прямых касается окружности радиуса R в точке А, а другая пересекает эту окружность в точках В и С. Выразить площадь треугольника ЛВС как функцию расстояния х между прямыми. 1.18. Радиус окружности, описанной около прямоугольного тре- угольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен а. 1.19. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в рав- нобедренный прямоугольный треугольник, к высоте, опущенной на гипотенузу. 1.20. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, парал- лельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заклю- ченного между сторонами треугольника. 1.21. В окружность, диаметр которой равен у/12 , вписан пра- вильный треугольник. На его высоте как на стороне построен дру- гой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти радиус этой окружности. 1.22. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г. 1.23. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Найти отно- шение площадей описанного и вписанного в треугольник кругов. 1.24. Через концы дуги окружности, содержащей 120°, прове- дены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исходной дуги.
Глава 1. Задачи по планиметрии 409 1.25. Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из его сторон равно отношению высоты, опущенной на эту сторону, к радиусу вписанной окружности. 1 1.26. Площадь равнобедренного треугольника равна у площа- ди квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. Найти длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию. 1.27. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что угол в 60° у них общий и все верши- ны ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треу- гольника. 1.28. Величина одного из углов параллелограмма равна 60°, а меньшая диагональ 2д/зТ см. Длина перпендикуляра, проведенно- го из точки пересечения диагоналей к большей стороне, равна V75 — см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограм- ма. 1.29. Через точки R и Е,- принадлежащие сторонам АВ и AD 2 1 параллелограмма ABCD и такие, что AR = —ЛВ, ИР0” ведена прямая. Найти отношение площади параллелограмма к пло- щади полученного треугольника. 130. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4 см, а длины непараллельных сторон — 20 и 13 см. Найти высоту тра- пеции. 131. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр ра- вен 42 см. Найти площадь трапеции. 132. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной ра- пеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описан- ной окружности лежит на большем основании трапеции. 133. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна Л, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°. 134. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около кру-
410 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ га, равна 5. Определить боковую сторону трапеции, если известно, я что острый угол при основании равен — • 135. Вычислить отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность. Группа Б 136. Внутри прямого угла дана точка Л/, расстояния от которой до сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку Л/, отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти катеты треугольника. 137. Периметр прямоугольного треугольника АВС (АС = 90°) равен 72 см, а разность между длинами медианы СЛ/ и высоты СК равна 7 см. Найти длину гипотенузы. 138. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Проек- ция вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему как больший ко всей гипотенузе. Определить площадь треугольника. 139. Высоты треугольника равны 12,15 и 20 см. Доказать, что треугольник прямоугольный. 1. 40. Точка Л/лежит внутри равностороннего треугольника ЛВС. Вычислить площадь этого треугольника, если известно, что AM = = ВМ - 2 см, а СМ = 1 см. 1. 41. Отношение величин двух углов треугольника равно 2, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см; длина тре- тьей стороны треугольника равна 5 см. Вычислить площадь треу- гольника. 142. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Определить площади треугольников, на которые данный треугольник разбива- ется его медианами. 143. Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки длиной т и п. Доказать, что площадь треугольника S = тп. Найти площадь прямоугольника, вписанного в данный треугольник так, что одна его вершина совпа- дает с вершиной прямого угла, а противоположная вершина — а точкой касания окружности и гипотенузы. 144. В окружности с центром О проведена хорда АВ, Пересе-
Глава 1. Задачи по планиметрии 41! кающая диаметр в точке Л/ и составляощая с диаметром угол, рав- ный 60°. Найти ОМ, если AM = 10 см, а ВМ = 4 см. 1.45 . В круге радиуса R проведены по разные стороны от цент- ращве параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в 60°, другая — в 120°. Найти площадь части круга, заключенной между хордами. 1.46 . Найти радиус круга, в сегмент которого, соответствующий хорде длиной 6 см, вписан квадрат со стороной 2 см. 1.47 . На отрезке АВ взята точка С и на частях АС и СВ этого отрезка как на диаметрах построены полуокружности. Доказать, что сумма длин этих полуокружностей не зависит от положения точки С на отрезке АВ. 1.48 . Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая проходит через центр другой. Две другие окружности того же ради- уса имеют центры в точках пересечения первых двух окружностей. Найти площадь, общую всем четырем кругам. 1.49 . Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а гипотенуза равна 10 см. Найти радиус вписанной окружности. 150. Центр полуокружности, вписанной в прямоугольный тре- угольник так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, делит гипотену- зу на отрезки 30 и 40. Найти длину дуги полуокружности, заклю- ченной между точками ее касания с катетами. 151. Сторона правильного треугольника равна а. Определить площадь части треугольника, лежащей вне круга радиуса а з3 центр которого совпадает с центром треугольника. 152. Около круга радиуса 3 описан равнобедренный треуголь- ник с острым углом 30° при основании. Определить стороны треу- гольника. 153. Дан треугольник ЛВС такой, чтоЛВ = 15 см, ВС = 12 см и АС « 18 см. В каком отношении центр вписанной в треугольник окружности делит биссектрису угла С? 154. Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса о тс тс 2 см, если два угла треугольника равны — и —. 155. Внутри квадрата со стороной а на каждой его стороне как на диаметре построена полуокружность. Найти площадь розетки, ограниченной дугами полуокружностей.
412 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 1.56. Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в одну и ту же окружность, наибольшую площадь имеет квадрат. 1.57. Вершины прямоугольника, вписанного в окружность, делят ее на четыре дуги. Найти расстояние от середины одной из больших дуг до вершин прямоугольника, если стороны его равны 24 и 7 см. 1.58. Из вершины острого угла ромба проведены перпендику- ляры к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принад- лежит эта вершина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние между их основаниями 3>/з см. Вычислить длины ди- агоналей ромба. 1.59. В ромб со стороной а и острым углом 60° вписана окруж- ность. Определить площадь четырехугольника, вершинами которо- го являются точки касания окружности со сторонами ромба. 1.60. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 3 и 4 см. Из вершины тупого угла В проведены высоты BE и BF. Вычислить пло- щадь четырехугольника BFDE. 1.61. Вычислить площадь общей части двух ромбов, длины диагоналей первого из которых равны 4 и 6 см, а второй получен поворотом первого на 90° вокруг его центра. 1.62. Площадь четырехугольника равна 5. Найти площадь па- раллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагона- лям четырехугольника. 1.63. Вся дуга окружности радиуса R разделена на четыре боль- шие и четыре малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в 2 раза длиннее малой. Определить площадь вось- миугольника, вершинами которого являются точки деления дуги ок- ружности. 1.64. Найти радиус окружности, описанной около равнобедрен- ной трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10. 1.65. В некоторый угол вписана окружность радиуса R, а длина хорды, соединяющей точки касания, равна а. Параллельно этой хорде проведены две касательные, в результате чего получилась трапе- ция. Найти площадь этой трапеции. 1.66. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса г. 4г Найти стороны трапеции, если ее меньшее основание равно “•
Глава 1. Решения и указания 413 1.67. Прямая пересекает окружность радиуса R в точках А и В таких, что и АВ = 45 °, а прямую, перпендикулярную диаметру AM окружности и проходящую через ее центр, — в точке D. Прямая, проходящая через точку В перпендикулярно диаметру AM, пересе- кает его в точке С. Найти площадь трапеции OCBD. 1.68. Через точку пересечения диагоналей трапеции параллель- но основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны 2аЬ в точках М и N. Доказать, что MN=--г, где а и b — длины осно- а + Ь ваний. 1.69. В трапеции ABCD известны длины оснований AD = 24 см, ВС = 8 см и диагоналей АС = 13 см, BD = 5л/Г7 см. Вычислить пло- щадь трапеции. 1.70. Дан квадрат со стороной а. На каждой стороне квадрата вне его построена трапеция так, что верхние основания этих трапе- ций и их боковые стороны образуют правильный двенадцатиуголь- ник. Вычислить его площадь. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ 1.1. Пусть с — длина гипотенузы. Тогда длины катетов равны с - 1 и с - 2. Имеем (с - I)2 + (с - 2)2 = с2, или с2 - 6с + 5 в 0, откуда с = 5 (см) (второй корень уравнения не удовлетворяет усло- вию). Ответ: 5 см. В 1.2. По условию, ZC = 90°, AD = 30 см, / DB = 40 см (рис. 1.1). Положим АС = х, ВС ау. Так как точка, равноудаленная от сторон угла, / _ х 30 о/ лежит на его биссектрисе, то “ = т- е- ? 4Х л/___________ х q У =—- Но х2 +>^ = АВ2 и, значит, х Рис. 1.1
414 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 16х^ * I 2 * 4+—-— = 702, откуда х2 = 1764. Итак, х = 42 (см), тогда у =^--42 = 56 (см). Ответ: 42 и 56 см. В А О С D Рис. 1.2 1.3. Так как ЬАВС равнобедренный, то высота BD является медианой (рис. 1.2); точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, откуда АО=^- (см). Из &AOD находим OD = у/АО2 -AD2 = 10 3 ,2 _ -^28 I -(2<2)2 = —у- (см), т. е. BD = 4tt (см). Наконец, из &BDC получим ВС - д/(д/28)2 +(2>/2)2 = 6 (см). Ответ: 6 см. 1.4. Пусть ВС = х (рис. 1.3). Тогда J X2 ЛВ = <81 + х2 и — =----- (поскольку 4 5 BD — биссектриса). Отсюда имеем 25Х2 = = 16(81 +х2), т. е. х = 12 (см). Значит, Smbc=\bC-АС =1.12-9 = 54 (см*). Ответ: 54 см2. 15. По условию, АВ = с = 30 см, АС = b = 26 см, ВС = а = 28 см (рис. 1.4). Тогда р - 0,5(а + b + с) = 42, р - а = 14, р - b = 16, р - с - = 12 и по формуле Герона находим S^bc = V42-14-16-12 = 336 (см2).
Глава 1. Решения и указания 415 Так как &MNC — АЛВС, то _ СК2 _ 4 -016 $мвс CD2 25 Отсюда определяем площадь трапеции: $АМЫВ = $ЬАВС - S&MNC ~ = 336-0,16-336 = 282,24 (см2). Ответ: 282,24 см2. 1.6. В &АВС (рис. 1.5) имеем АВ = >/92 +122 = 15 (см); меди- ана CD равна половине гипотенузы, т. е. — см. Пусть Е — точка 2 2 2 15 пересечения медиан; тогда СЕ = у CD = у ~ = 5 (см) (согласно до- полнительным соотношениям, п.1°). Проведем DF1AC; так как 9 DF — средняя линия в ДАВС, то CF = 6 см, DF = у см. Далее, проведем ЕК1АС; тогда ЕЕ II DF и \CEK~kCDF, откуда 2 2 9 2 2 ЕЕ = -Е>Е = -- = 3 (см), СЕ=-СЕ = --6 = 4 (см). 3 3 2 3 3 Пусть Л/ — точка пересечения биссектрис углов СВА и ВСА, Рис. 1.5
416 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ т. е. центр вписанной в &АВС окружности; тогда MN1AC, где г = MN — радиус этой окружности. В силу формулы (1.4) имеем С 1 1 г = —,где S = —-9-12 = 54 (см2), р =—(9 + 12 + 15) = 18 (см); зна- р 2 2 54 чит, г = — = 3 (см). Наконец, учитывая, что AMCN = 45°, т. е. CN = MN, получаем NK = ME = СК-CN = 4-3 = 1 (см). Ответ: 1 см. Рис. 1.6 1.7. Проведем BD (рис. 1.6); треугольники ABD и BDC имеют общую высоту, следовательно, их площади от- носятся как длины оснований, С т. е. S^BD : S^gDC =2:3;тогда 3 S&BDC ~"^S&ABC = 18 см2. С другой стороны, согласно формуле (1.1), S^dc = —ВС DE, т. е. 2 18 = -^ВС -9, откуда ВС = 4 см. Ответ: 4 см. 1.8. В АЛВС имеем АВ = ВС, АЕА.ВС, BD = 10 см и АЕ- 12 см (рис. 1.7). Пусть АС = х,АВ = ВС = у. Прямоугольные треугольники АЕС и В DC подобны (угол С — общий); следовательно, ВС : АС = BD : АЕ, или у : х = 10.12 = 5:6. Применяя теорему Пифагора (1.13) к &BDC, имеем ВС2 = BD2 + DC2, т. е.
Глава 1. Решения и указания 417 2 % у = 100 +—. Итак, приходим к системе уравнений 4 X б’ х2 /=100+—, Г 4 решив которую получим х - 15. Ответ: 15 см. 1.9. Пусть Ох и О2 — центры окружнос- тей, Л — точка касания (рис. 1.8). Тогда ОХА = = 0^2 = Rx + R2,О?А = 3R2 (по условию). Требуется найти отношение 2яЯ) : 2яЯ2 = = R} : R2. В прямоугольном треугольнике О{АО2 (ZA = 90°) имеем Ofil =ОгА2+ОгА2, или (Rl+R2)2=Rf+(3R2)2. Упростив это равенство, получим = 4Я2, откуда Rx : R2 = 4. Ответ: в 4 раза. 1.10. По условию, DK — средняя линия &АВС (рис. 1.9). Так как BD =DK = — BC, то ZC = 30° и ВС = 2BD. В ДВС£> имеем 2 CD2 = ВС2 - BD2, или — = 4В£>2 - BD2, откуда BD = Следо- 4 2V3 вательно, В 14 Сканави A D С Рис. 1.9
418 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 1 S = —АС • BD =CD• BD =—^—. 2 12 Ответ: а2Л 12 1.11. Пусть АЕ = х (рис. 1.10). Тогда АВ = 2АЕ + EF, или о < /? а а (2- 42) 2x + xV2 = а, откуда х =--?=г = —------Следовательно, ис- 2 + V2 2 комая площадь _ „2 4х2 _ 2 4а2(4-4-У2+2) 2,/7 п ~ abcd ~ ~а ~а q-------~ 2а (V 2 -1). Z о Ответ: 2а2(42-1). 1.12. У к а з а н и е. Воспользоваться равенствами = S, л7?2 - яЯ2 = ЗЯ, где Rx и R2 — радиусы меньшей и средней окружностей, a S — площадь меньшего круга. D r4i d r4g Ответ: R} =------, R? =----. 1 3 2 3
Глава 1. Решения и указания 419 1.13. Проведем ОС .LAB (рис. 1.11) . Тогда С5=—АВ =9 см. 2 Из ЬОВС следует, что ос=Job2-вс2 =12 (см), а из ДОЛ/С —что МС= JOM2-OC2 =5 (см). Значит, AM = 9 + 5 = 14 (см), МВ = 9 - 5 = 4 (см). . Ответ: 14 и 4 см. 1.14. Пусть R — радиус данно- го полукруга, аг — радиус одного из построенных полукругов (рис. 1.12). Тогда площадь заданной фи- гуры равна 0,5(лЯ2 - лг2 - k(R - г)2) = = nr(R - г). Так как ZADB - 90°, то CD2 - itCD2 -AC CB-2r* 2(R - r) = 4r(R - г), откуда-= nr(R -г), что и 4 требовалось доказать. 1.15. Площадь сегмента АпВ равна разности площадей секто- ра АОВ и треугольника АОВ icR2 (рис. 1.13). Находим S№mAOB=—-t 1 R aR 'ьаов = откуда х ч* _ кК ак „ _ а о=----------. Так как R = —=> то 3 4 Л Рис. 1.13
420 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ ка2 а2 _ 2 >/з^_ а2(4к-3>/3) ~9 4?3 ' 36 п Q а2(4я-3>/з) Ответ: S =----------- 36 1.16. Треугольник АВС — правиль- ный (рис. 1.14); поэтому его площадь рав- а2Л на —-—, где а — сторона треугольника. Проведем OKI АС. Так как Z.OAK = 30°, то АО = 2 г, АК = ry/з, откуда а = 2г4з +2г = 2г (7з +1). Следовательно, 4 Ответ: 2г2(2\/з+3). А Рис. 1.15 1.17. Пусть расстояние между парал- лельными прямыми равно х (рис. 1.15); тогда площадь S треугольника АВС рав- на 0,5ВС- х. Так как OAJ.BC, то ВМ^ = МСиВМ-МС = AMMD~x(2R- - х). Значит, 0,250с2 = x(2R -х), откуда S = 0,5х • 2^2Rx-x2 = xy/2Rx-x2. Ответ: S = x^2Rx-x2. 1.18. Пусть г и R — радиусы вписанной и описанной окружнос- тей, ВС = а (рис. 1.16). Положим BD = х; тогда BL = х (как каса- тельные, проведенные из одной точки), LA = АК = 2R-x (так как ДАВС — прямоугольный, то АВ = 2R). Имеем АС2 + ВС2 = АВ2,
с _ 1 4а 1 2 3 2а2 „ 1 За За2 3 2 2 4 8 2а2 г-> За2 Ответ: ------и-----. 8 3 1.19. Так как &АВС — равнобед- ренный и прямоугольный, то высота CD Является биссектрисой, т. е. XDCA = = ХА- 45° (рис. 1.17); поэтому AD = = DC и АС = V2DC. Но АС = АК + + КС = DC + г (АК = AD как каса- тельные, проведенные из одной точки), откуда г = J1DC - DC, т. е. —- = 41 -1. Ответ: (41-ТуЛ. 1.20. Найдем длину боковой стороны ВС (рис. 1.18); ВС = 4вМ2 +МС2 = 7б2 +82 =10 (см). Учитывая, что АО — бис-
422 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ МО AM г 6 сектриса МВМ, имеем , или -— =—, откуда г = 3 ОВ АВ 8 —z* 10 (см). Так как DE 11 АС, то , . DE BN М)ВЕ~ЬАВС, т. е. — = , или лс вм DE 8-2г -jy = —> откуца£)£’=3 Ответ: 3 см. см. 1.21. Согласно условию, R = 0,5л/п. Сторона Л В правильного вписанного треугольника (рис. 1.19) равна Вл/з, т. е. 0,5>/12-7з=3. Найдем сторону CD нового треуголь- ника: а = ^З2 —1,52 = 1,5>/з. Так как радиус г вписанной окружности ра- да/з вен то окончательно получим r = l,5V3—= -. 6 4 Ответ: 0,75
Глава 1. Решения и указания 423 1.22. Пусть а — сторо- на треугольника, R — ра- диус вписанной в него ok- г. ружности; тогда R =----. 6 Проведем радиусы ОМ и ОгК в точки касания (рис. 1.20). Из подобия треу- гольников АОМ и АОХК R АО имеем —= .—• А г AO-R-r Отсюда, учитывая, что W3 п или —----г = 2г, 6 т. е. а = 6гУз. Ответ: 6r<j3. 1.23. Радиусы г и Я вписанной и описанной окружностей связа- ны с площадью S треугольника формулами (1.4) и (1.5): 5 _ abc тт , г = —, R =--. Но площадь треугольника находится по формуле р AS Герона: S = 7p(p-a)(p-d)(p-c) = V21-8-7-6 = 84 (см2). Следовательно, г = 4 см, R = — см, откуда получим искомое огно
424 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ Рис. 1.21 65? 32 J 1.24. Пусть R — радиус дуги, г— ра- диус окружности (рис. 1.21). Так как тс 1 1 ZC=-, то R=-OC, г = -О'С. Тог- 3 2 2 1 да ОС = 2R-, с другой стороны, ОС = ООг + + 0}С = R + г + 2r = = R + Зг, откуда R = Зг. Следовательно, 1 Зг ^лв=2яЛ| = 2я.^ = 2яг. 1.25. Указание. Воспользоваться формулами (1.1) и (1.4). 1.26. По условию, ВС2 = = 3 — ВС АН (рис. 1.22), илиАЯ = 2 9 /1 = -ВС. Но АН2 = АВ2 - -ВС 3 12 ) и, значит, -ВС2 = АВ2--ВС2 , 9 4 или АВ2 = —ВС2,т. е. АВ-—ВС. 36 6 Тогда получим АВ = — (Л2?+1), от- куда АВ = 5 (см). Следовательно, ВС = 6 см, АН = 4 см. Ответ: 5 и 6 см; 4 см.
Глава 1. Решения и указания 425 1.27. В AFBD (рис. 1.23) катет FD = = 6 см и лежит против угла в 30°, откуда FB = 12 см и, значит, АВ = 18 см. Далее, в &АВС имеем АС =— АВ = 9 см. На- 2 конец, ВС = JaB2 -АС2 = -/243 = 9>/з (см). Ответ: 9, 9^/з и 18 см. 1.28. Проведем BN.LAD (рис. 1.24); так как BN = 2ОЛ/, то BN = л/75 см. Учитывая, что в ЬАЫВ ЛАВЫ = 30°, имеем АВ - 2AN и, зна- чит, 4ЛЛ72 = 75 +AN2, отку- да ЛУ= 5 см и АВ - 10 см. Далее, из &BDN получим ND2 = BD2 - ВЫ2 - 124 -75 = 49; следовательно, ND = 7 см и AD = 12 см. Наконец, из равенства АС2 + BD2 = 2АВ2 + + 2AD2 находим АС2 = 200 + 288 - 124 = 364, т. е. АС = 2л/9? см. Ответ: 10 и 12 см; 2^/91 см. 1.29. Пусть h — высота параллелограмма ABCD, А, — высота треугольника ARE (рис. 1.25). Тогда SABCD = AD h, = Ho 2 h} AR 2 Следовательно, Рис. 1.25
426 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ ^abcd _ AD'h _ AD‘h с ~ 1 1 1 2 —AE-hx ---AD--h 2 1 2 3 3 Ответ: 9:1. 130. По условию, ВС = = 4 см, AD = 25 см, АВ ~ 20 см, CD = 13 см (рис. 1.26). Проведем BELAD и CF1AD. Пусть BE = CF = = h,AE = х, FD = у. Тогда из &АВЕ и &CFD нахо- D дим h - 202 - х2 = 132 -у1. Учитывая, что у - 25 - 4 - -х = 21 -х, имеем 202 - х2 = 132 - (21 - х)2, или 42х = 672, откуда х = 16 (см). Итак, h = д/202 -162 =12 (см). Ответ: 12 см. 131. По условию, Z.BCA = = Z4CD (рис. 1.27). Но Z.BCA = = ZC4D, а значит, A4CD — рав- нобедренный и AD = CD. Имеем 3AD + ВС = 42; так как ВС = 3 см, тоЛО = 13 см. Проведем BKLAD\ тогда АК = у (13 - 3) = 5 (см) и из М.КВ находим ВК = V132-52 = = 12 (см). Итак, S = 1(3 + 13)12 = 96 (см2). Ответ: 96 см2.
Г лава 1. Решения и указания 427 132. Так как AD — диа- метр окружности (рис. 1.28), то OD - ОС = 10 см. Про- ведем CL1AD‘> тогда OL= = 6 см и из ЛСЬО находим А CL = -J()C2-OL2 = 8 (см). Теперь из ДЛЛС и &CLD получаем АС = JCL2+AL2 = 764+256 = 875 (см), рИс. 1.28 CD = -JcL2+LD2 = = 764+16 = 4-75 (см). Ответ: и 4>/5 см. 133. Так как центральный угол COD равен 60° (рис. 1.29), то вписанный угол CAD равен 30° Следовательно, h~—АС и из ЛАКС получим А К -у)АС2 - СК2 = Иу[з. Находим площадь тра- пеции:
428 Часть П. ГЕОМЕТРИЯ 5 = 1(ВС + AD)h = (АЕ + EK)h = АК • h = h^3h = h2Уз. Ответ: Л2Уз. 1.34. Указание. Воспользоваться тем, что если трапеция описана около окружности, то сумма ее оснований равна сумме бо- ковых сторон. Ответ: 41S. 1.35. Пусть R — радиус окружности. Тогда сторона правильно- а32Уз ЗУ?2 Уз 4 " 4 го вписанного треугольника а3 = RУз и S3 = Далее, сторона квадрата а4 = rJ1 и 54 = а4 = 2R2 и, наконец, сторона правильного вписанного шестиугольника а6 = R и о бя2Уз зя2Уз 1-г- S6 = —~~—• Следовательно, S4 : S3: S6 = 8:3V3:6<3. Ответ: 8:ЗУз:бУз. Рис. 1.30 1.36. По условию, Z.C = 90°, МР = = 4 см, MQ - 8 см, SMBC =100 см2 (рис. 1.30); требуется найти ВС и Л С. Пусть ВС = х, АС = у, тогда 0,5лу = 100, т. е. ху = 200. Так как &BPM-&MQA, то MP ВР 4 х-8 ---= , или -- = „ • Следо- Л2 MQ-----------------у —4-8 вательно, имеем систему уравнений 4 _ х-8 у-4~ 8 ’ ху = 200, х + 2у = 50, |ху = 200, которая сводится к квадратному уравнению у2 - 25у + 100 = 0, отку- да находим ух = 5 см; у2 - 20 см. В результате получаем два реше- ния: Xj = 40 см, у = 5 см; х2 = 10 см, у2 = 20 см. Ответ: 40 и 5 см или 10 и 20 см.
Глава 1. Решения и указания 429 137. По условию, ZC = 90°, АВ + ВС + АС = 72 см, СЛ/ — медиана, СК — высота, СМ - СК = 7 см (рис. 1.31); требуется най- ти АВ. Так как М — центр описанной окружности, то AM -МВ=МС = —АВ. Воспользуемся равенством АВ2 = ВС2 + + АС2. Заметим, что ВС2 + АС2 = (ВС + АС)2 - 2ВС • АС, откуда АВ2 = (72 -АВ)2 - 2АВ • СК, поскольку ВС • АС = АВ • СК-2S, где S — площадь треугольника. Таким образом, приходим к уравнению АВ2 = (72 - АВ)2 - 2 АВ | —АВ - 7 ), или АВ2 + 1304В - 5184 = О, (2 } откуда АВ = - 65+^9409 = 32 см (второй корень уравнения не удов- летворяет условию). Ответ: 32 см. 1.38. Пусть х — больший отрезок гипотенузы. Тогда по усло- с-х х ~ л c(J$ —1) , „ вию ------= _ > или х2 + сх - с2 = 0, откуда х - — -- (второй х с 2 корень уравнения не удовлетворяет условию). Далее находим 2 с2(3~У5) _ , х =----------. Обозначив через я высоту, проведенную к гипотенузе, с-х h имеем------= —, и, значит, h х
430 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ h2 = сх~х2 -с2 = с2 (V5-2), 2 2 т. е. h = c^j5-2. Следовательно, 5 = 1сй = £ЛХ: 2 2 Ответ: 0,5 с 1.39. Пусть площадь треугольника равна 5. Тогда его стороны 25 , 25 25 тт . таковы: а - —, Ь = —, с = —. Найдем 15 20 12 a2 +b2 = 452 f-L+-L | = 4S2 1152 202/ 1 1 У452р 1 А_452 225 + 4OoJ“ 25 144’ откуда а2 + Ь2 = с2, т. е. треугольник прямоугольный. 1.40. Обозначим сторону треу- гольника через а и проведем MD1AB (рис. 1.32). Поскольку AM = ВМ, точки С, М и D лежат на одной прямой — высоте CD. В ZL4CZ) и 2 &AMD имеем (1 +Л/£>)2 = а2 ——, 2 MD2 =4------. Тогда а2 = 4(4 - 4 - MD2) и получаем квадратное уравнение (1 + Л/£>)2 = 3(4 - Л/Z)2), или 4Л/О2 + 2A/Z) - 11 =0 3 । откуда MD =- (второй корень не уцовлетворяет уоловию). 4 Далее находим
Глава 1. Решения и указания 431 и, следовательно, _ _ а27з _ (9 + Зл/5)7з _ 9>/з+3-У15 4 8 8 Ответ: «3,4 см2. 1.41. По условию, ХА - 2ЛВ, ВС -АС = 2 см, АВ = 5 см (рис. 1.33); требуется найти ^labc * Проведем биссектрису AD\ тогда &АВС ~ A4Z)C (ZC — общий, ХВ = XDAC) и AC CD потому—= —, т.е. АС2 = ВС CD (1). Далее, так как AD — биссектриса, то АС 5 АС 5 т—- = , или —- = ————, или АС • ВС - АС • CD = 5CD, CD BD CD ВС-CD ЛС + 5 (2). tjt /п\ АС • ВС2 Из равенств (1) и (2) следует, что АС = ~~^—~ + 5АС = АС2 + 4АС + 4, откуда АС = 4 см, ВС = 6 см. Итак, , т. е. АС2 + S^bc = Л5-1,5-2,5-3,5 = (см2). 4 Ответ: 3,75>/7 см2. 1.42. Сначала докажем, что все указанные в условии треуголь- ники равновелики. Имеем SMOM = S&COM (рис. 1-34), поскольку
432 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ эти треугольники имеют одинако- вые высоты и одинаковые основа- ния, равные АС . Аналогично, S&4ON - S&BON И S&BOK - S&COK • Но S&BGK = S^BON > так как $ЛВОК - S&DOK- + S&BKD ’ S&BON = = S&DOM + ’ а $М)ОК = *$ДРСМ И S&BKD ~ S&BND (у ЭТИХ треугольников равны основания KD и ND, а также опущенные из них высоты). Итак, площадь каж- дого треугольника равна Теперь по формуле Герона нахо- 6 дим SMBC =л/21-8-7-6 =84 см2, откуда =14 см2. Ответ: 14 см2. В М Е С Рис. 1.35 1.43. Пусть D, Е, F—точки ка- сания (рис. 1.35); тогда AD = AF = = т, BD = BE = п, СЕ = CF -г — радиус вписанной окружности, р = = г + т + п — полупериметр. Да- лее, используя формулу (1.9), нахо- о (г + т)(г + п) А дим S = -----у------, или 2S = г2 + г(т + п) + тп = г(г + т + п) + тп = гр + тп. Так как в силу равенства (1.4) гр = S, то 2S = 5 + тп, откуда 5 = тп. Пусть CMDK—вписанный прямоугольник. Поскольку DK 11 ВС, л 11 , т используя гомотетию с центром в Л и коэффициентом к =-, т + п найдем площадь 5^ треугольника ADK:
Глава 1. Решения и указания 433 о _ с w2 т3п И “ дЫВС ’ ~ —J “ z , ч2 ’ (ти + и) (?л+и) Аналогично для площади S2 треугольника BDM имеем с _ е «2 °2 - '7 “Т " 7 ГТГ’ (т + п) (т + п) Искомая площадь Ответ: $CMDK 2т2п2 (т+п)2 т3п+тп3 2т2п2 -тп--------— =------ (min) (т+п) 1.44. Проведем ОР1АВ (рис. 1.36). Тогда АР = ВР = 7 см и, значит, МР = 3 см. Так как ЛРМО = 60°, то АМОР = 30° и ОЛ/= 2Л/Р = 6 см. Ответ: 6 см. 1.45. Площадь сегмента с дугой ,Л0 „ яя2 я27з 60 равна Si -----------, а пло- 6 4 щадь сегмента с дугой 120° равна S2= — -^В.. Искомая пло- 2 3 4 щадь составляет Я = яЯ 2 - S, - S2 = — 1 2 2 Ответ: 0t5R2 (п + у/з). 1.46. Пусть г — искомый ради- ус. В &АОК (рис. 1.37) имеем ОК = у/г2 -9, а в &OBN имеем
434 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ ON2 + BN2 = ОВ2, или (OK + 2)2 + 1 = г2. Следовательно, г2 -9 + 4\/г2-9 +4 + 1 -г2, г2 - 9 = 1, т. е. г=710 см. Ответ: V10 см. 1.47. Пусть длина отрезка АВ равна 21. Обозначим радиус од- ной из окружностей через х; тогда радиус второй окружности равен 1-х. Сумма длин полуокружностей составляет L = лх + л(/ - х) = л/, т. е. не зависит от х. 1.48. Каждая из двух последних окруж- ностей проходит через центры первых двух (рис. 1.38), поэтому длина общей хорды О}О2 = R. Искомая площадь равна удвоен- ной площади сегмента с центральным углом 60°, т. е. _ Я2(2я-з7з) Ответ: ---------- 6 1.49. Указание. Обозначив через а и b катеты треугольника, решить систему уравнений (ab = 48, |a2+fc2=100, а затем воспользоваться формулой 5 = рг. Ответ: 2 см. 1.50. Проведем радиусы OD и ОЕ в точки касания (рис. 1.39). Имеем OD = ОЕ = СЕ = CD, т. е. ECDO — квадрат. Пусть R —
Глава 1. Решения и указания 435 радиус окружности; тогда длина дуги ED равна Так как ЛАЕО ~ АЕ АО 30 3 тт ~ &ODB, то = —— = — = —. Но OD ОВ 40 4 АЕ* 2 = АО2 - ОЕ2 = 302 - R2, откуда У3°2-д2 =2 шш16(302-Я2) = 9Я2 R 4’ и, значит, R = 24. Итак, длина дуги ED равна 12я. Ответ: 12л. 1.51. Искомая площадь S = Sj - S2 + 3S3, где =—— площадь треугольника, S2 = —-----площадь круга, S3 — площадь сегмента, отсекаемого треугольником от круга. Хорда этого сегмен- а та равна у; поэтому 5-2. ка2 _ %д2 д2Уз 3”б‘ 9 ’ 9-4 54 36 Окончательно получим _ д2Уз _ яд2 яд2 _ д2Уз _ а2 (Зл/з - %) “4 9 +”18 12~” 18 18 1.52. Проведем радиус OEAJBC (рис. 1.40). Так как Z.OBE = }-^ABC = 60°, то Z.BOE = 30°, т. е. BE =-ВО. Тогда из 2 2
436 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ A D С Рис. 1.40 &ВЕО находим ВО2 = —ДО2+9, откуда ВО = 2^3. В &ADB 4 имеем АВ = 2BD. Но BD = ВО +OD = 2л/з +3 и, следователь- но, ЛВ = ВС=4л/з+6. Наконец, АС = 2DC = 2(ВС - BE) = = 2(4л/з+6-д/3) = 6л/з+12 . Ответ: 473+6,4^3+6 и бТз+12. 133. Так как CD — биссектриса (рис. 1.41), то = —- DB ВС 18=2 12 " 2 ’ откуда AD = 9 см, DB = 6 см. Далее, длину биссектрисы найдем по фор- муле (1.37): CD = 71218-9-6 = 9^2 (см). Проведем радиусы в точки ка- сания и положим CF - х. Тогда, ис- пользуя равенство касательных, проведенных из одной точки, получим 18-х+12-х=15, откуда х = — (см). По формуле Герона находим /45 21 15 9 135-77 V 2 ' 2 ' 2 2 “ 4 (см2). Но S рг, откуда г = (см). Значит,
Глава 1. Решения и указания 437 ОС = Vx2 + r2 = = 6^2 (см). Поскольку CD = 9^2 см, II 4 4 точка О делит биссектрису в отношении 2:1. Ответ: 2:1. 1.54. Так как ZACB = ~ (рис. 1.42) , то АВ = 2^2 см (сторона впи- санного квадрата). Проведем BD1AC. 71 Тогда, учитывая, что ZABD = —, на- 6 ходим AD = —AB=41 (см); далее, 2 поскольку ABDC — равнобедренный, Рис. 1.42 DC = BD = — АВ= — -2л/2 =7б (см).Значит, ЛС = АО + РС = 2 2 = л/2+Тб (см). Итак, 5 = у AC BD = 1(72 + 7б)7б = (1 + >/3)7з = Л +3 (см2). Ответ: 7з+3 см2. 1.55. Хорда ОА стягивает дугу 90° (рис. 1.43) ; поэтому площадь половины лепест- ка2 а2 а2 (к-2) ~ ка равна----------= —-------. Следова- 16 8 16 тельно, искомая площадь а\к-2) _а\к-2) О — О----------—-------- . 16 2 Ответ: 0,5а2(я -2).
438 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 1.56. Пусть х — сторона прямоугольника, вписанного в окруж- ность радиуса R. Тогда его площадь равна xy/lR2 -х2 . Площадь вписанного квадрата равна 2R2. Покажем, что 2R2 > х^4А2 -х2 . В самом деле, из очевидного неравенства (2R2 - х2 )2 £ 0 получаем 4Я4 > х2 (4Я2 - х2), откуда и следует, что 2R2 > xyjtR2 -х2 (знак неравенства сохранится, поскольку 2R2 > О и х\/4А2 -х2 > 0). 1.57. Так как АС — диаметр окружности (рис. 1.44), то Я = 0,5>/242+72 =12,5 (см). В &BOF имеем OF = = JoB2-BF2 = д/12,52 -122 = 3,5 (см); значит, MF= 12,5 - 3,5 = 9 (см), МК = 12,5 + 3,5 = 16 (см). Из &MBF и &МАК находим иско- мые расстояния: Л/В = ^MF2 + BF2 = ^92 +122 = 15 (см), МА = 4мк? +КА2 = л/162+122 = 20 (см). Ответ: 15 и 20 см. 1.58. Так как M.EF— равнобедренный (рис. 1.45), то биссект- риса AM перпендикулярна EF и лежит на диагонали ромба. Нахо-
Глава 1. Решения и указания 439 ДИМ AM2 = AF2-MF2 =9-—= -, Т. е. AM =^- (см). В A4CF 4 4 2 имеем ZF = 90° и FA/JL4C; следовательно, AF2 = АС • ЛЛ/, или 3 9 = АС —, откуда АС = 6 (см). Далее, АЛ CD ~ &AEF (углы при основании равны как углы со взаимно перпендикулярными сторо- 3 ч Ш EF у 3>/3 /г нами) и, значит,--=----, или = ——, откуда OD = V3 см. OD AC OD 6 Итак, BD = 2л/з см, АС = 6 см. Ответ: 2>/з и 6 см. 1.59. Радиус впи- санной в ромб ABCD окружности (рис. 1.46) о л , поскольку ХА = = 60°. Четырехуголь- ник KLMN является пря- моугольником, так как его углы опираются на диаметр окружности. Его площадь 5 = - MN • LM, где A/V = R (катет, лежащий против угла 30°), LM = r43 .Итак, 5 = Я27з= — 16 Ответ: За2 УЗ 16 1.60. Площадь ромба S = 0,5 х хЗ • 4 = 6 =ЛО’В£(рис. 1.47). Далее, из АЛСЯ) находим AD = = ^22 + 1,52 = 2,5 (см) и, следова- тельно, BE = 6 : 2,5 = 2,4 (см).
440 Часть И. ГЕОМЕТРИЯ Тогда из &BDE получим DE = у/BD2 - BE2 = -2,42 = 1,8 (см). Итак, $BEDF ~ ^ABED = 1>8*2,4 = 4,32 (см2). Ответ: 4,32 см2. 1.61. Искомая площадь 5* равна 4(5'Д4ОВ ~$mfk} (Рис- 1-48). Находим S^OB =0,5-3-2 =3 (см2). Сторона ромба равна 7г2+з2 = V13 (см). ВЬАОВ отрезок ОК — биссектриса; тогда, ис- пользуя формулу Jab(a + b + с)(а + Ь-с) с= 7+Ь (см. соотношение (1.38)), получим MJ<S<S + 'ff3><S-,ffa.6j2 (си) Рис. 1.48
Глава 1. Решения и указания 441 Теперь найдем SMFK = AF =3-2=1 (см); значит, £д4ЯС=0,6 см2. Итак, 5 = 4(3-0,6)= 9,6 см2. Ответ: 9,6 см2. 1.62. Так как AL 11 ВО и LB II АО (рис. 1.49), то ALBO — параллелограмм и, значит, S^b^Smob- Аналогично получаем 8двмс - $ двое » Sadcv ~ $LMNP = 28 Ответ: 2S. ОК 6 z ч AF KH.me KH = -i= = - (см), V2 5 , 8&APD = S^OD > OTKW следует, что 1.63. Пусть малая дуга содержит х градусов. Тогда 4х + 8х = 2тс, 7С откуда х = —. Значит, восьмиугольник содержит четыре треуголь- 6 R л/3 ника с центральным углом — (их суммарная площадь 4-— ) и 3 4 тс z четыре треугольника с центральным углом — (их суммарная пло- 6 А2 щадь 4----). Искомая площадь 4 составляет S = R2 (>/з +1) . Ответ: R2 (у/з +1). 1.64. Заметим, что окруж- ность, описанная около трапеции ABCD, описана и около &ACD (рис. 1.50), причем такая окруж- Рис. 1.50
442 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ , abc ность единственна. Ее радиус будем искать по формуле R = , где 5 = smcd- Имеем S = ^AD BE , где BE = у/аВ2 -АЕ2 = 7102 -62 = 8 ; отсюда SMCD = ~ 14• 8 = 56. Из ДЛСЛ/ находим А С = у/AM2 +МС2 = = у/з2 +82 = 8^2 . Окончательно получим 4-56 Ответ: 5^2 . 1.65. Пусть L и Л/ — точки касания (рис. 1.51); тогда NL = NM, откуда АВ = CD, поскольку AD 11 ВС WlM. Проведем OKXLM и BH1AD. Тогда искомая площадь 5 = у G4D + ВС)ВН . Для описанной трапеции имеем AD + ВС = АВ + + CD = 2АВ’} поэтому S = АВ ВН. Далее, ЬАВН ~ \OLK (ЛЬОК = = Z.BAH как углы с взаимно перпендикулярными сторонами), LK ВН 0,5а 2R откуда ±2L = ±lL, или ----= -— LO АВ R АВ •>« ы о 4Я2 nD 8Л3 и, значит, АВ =---. Итак, 5 =---2R =----• а а 4Я2 а п 8Я3 Ответ: ---- а 1.66. Сначала найдем сторону АВ = 2г (рис. 1.52). Пусть ED = = х. Тогда, используя равенство АВ + CD = ВС + AD, получим
Глава 1. Решения и указания 443 4г 4г ?»* 2г+С£) = —+— + х, откуда CD= — + x 3 3 3 . В &CED имеем CD2 = ^2г 8г = СЕ2 + ED2, или I—4-х1 = 4г2 4-х2, откуда х = Итак, CD = —. AD= — = 4r. 3 3 _ _ 4г Юг Ответ: 2rt —,----и 4г. 3 3 1.67. В силу условия, АВОС = 45° r и, следовательно, ВС = ОС = —j= , V2 ЛС = Д » (р„0 1.53). V2 V2 Так как ЛАВС ~ Д/ЮО, то , ВС АС ’ откуда DO = АО-ВС АС = 4-1) . Находим площадь тра- пеции: S’ = 1 {DO +ВС)ОС = (V2 +1)+^-^ =
444 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ Ответ: 0,25Я2 (3 + >/2 ) . Тогда 1.68. Пусть AD == а, ВС = = b (рис. 1.54). Так как NMBO ~ ААПГЛ мо во ~ NA.BD, то -----------, т. е. a BD МО = а--. Аналогично, BD &OND ~ \BCDt откуда ON OD _ , OD ----- , т. е. ON = b . b BD----------------BD izxr iz/n a-BO + b-OD 2a ВО MN = MO + ON =-----------=------- BD BD поскольку &AOD ~ &ВОС и , значит, у = , т. е. а • BO = b • OD. Учитывая, что BD = ВО + OD, окончательно находим 2а-ВО 2а 2а 2аЬ MN =---------=----77=- =---=---- BO+OD .OD а а+Ь' 1 Т--1 "Г — во ь 1.69. Проведем BHLAD и CF1AD (рис. 1.55). Пусть ЛЯ = = x; тогда AF = 8 + x, DH ~ - 24 - x. Учитывая, что BH = CF, в &AFC и NBHD имеем ЛС2-Л?2 = ВЯ2-ЯЯ2, или 132 -(8 + х)2 =(57г7)2 -(24-х)2 откуда 64х = 256, т. е. х = 4 (см). Тогда CF = ^AC2-AF2 =7132 -122 =5 (см). Следовательно,
Глава 1. Решения и указания 445 5=1(24+8)-5 = 80 (см2). Ответ: 80 см2. 1.70. Искомая площадь S = 125^^ , где ОА и ОС — радиусы окружности, описанной около квадрата и двенадцатиугольника (рис. 1.56). Так как сторона квадрата равна а, то ОА = ОС = -4L-. Имеем Рис. 1.56 S^aoc = > где CD1OA. Но CD = —ОС, поскольку 2 2 ЛАОС - . Таким образом, „ _ 1 а 1 а а2 За2 S&AOC~2^'2'^ = T’TeS~- Ответ. 1,5 а2.
Глава 2 ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 1 °. Произвольная призма (I — боковое ребро; Р — периметр основания; 5 — площадь основания; Н — высота; — периметр перпендикулярного сечения; Sqvi— площадь перпендикулярного сечения; — площадь боковой поверхности; V — объем): s^=Pmi; (2.1) K = 5W; (2.2) И = 5’сеч/. (2.3) 2°. Прямая призма: S^=Pl. (2.4) 3°. Прямоугольный параллелепипед (а, Ь, с — его измерения; d — диагональ): S^PH-. (2.5) V = abc, (2.6) ^ = a2 + i)2+c2 (2.7) 4°. Куб (а — ребро): Г = а3; (2.8) </=W3. (29) 5°. Произвольная пирамида (S — площадь основания; И — высота; V — объем): V=X-SH. (2.10)
Глава 2. Задачи по стереометрии 447 6°. Правильная пирамида ( Р — периметр основания; / — апофема; — площадь боковой поверхности): £<хж (2.П) V = \sH- (2.12) 7°. Произвольная усеченная пирамида и 52 — площади оснований; h — высота; V — объем): v=|л($! +$2 н-^ад). (из) 8°. Правильная усеченная пирамида (Р1 и Р2 — периметры оснований; / апофема; 5^ — площадь боковой поверхности): 36ж=^и\+Р2')1. (2.14) 9°. Цилиндр (R — радиус основания; Н — высота; 5^ — площадь боковой поверхности; V — объем): 5^=2^; (2.15) V = TtR2H. (216) 10°. Конус (R — радиус основания; Н — высота; / — образую- щая; 5^ — площадь боковой поверхности; V — объем): (2.17) К = (2.18)
448 Часть П. ГЕОМЕТРИЯ 11 °. Шар, сфера (R — радиус шара; £ — площадь сферической поверхности; V — объем): S = 4Ttf2; (2.19) 4 , И = . (2.20) 12°. Шаровой сегмент (R — радиус шара; h — высота сегмен- та; £ — площадь сферической поверхности сегмента; V — объем): S = 2nRh\ (2.21) V = nh2\R--h |. I 3 ) (2.22) 13°. Шаровой сектор (R — радиус шара; Л — высота сегмен- та; V — объем): Г=-тиЯ2Л. 3 (2.23) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ (Доказательства этих свойств см. в книге II двухтомного «Сбор- ника» на с. 38, 39). 1°. Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а) все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы', б) длины всех боковых ребер равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды). 2°. Пусть в пирамиде выолняется одно из следующих условий: а) все боковые грани образуют с основанием равные углы', б) дли- ны всех апофем боковых граней равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пира-
Глава 2. Задачи по стереометрии 449 миды (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис уг- лов в основании пирамиды). 3°. Если в наклонной призме боковое ребро А1В1 составляет равные углы со сторонами основания, образующими вершину Alt то основание О высоты ВХО лежит на биссектрисе угла Лг Это же утверждение можно сформулировать так: если в трех- гранном угле два острых плоских угла равны, то проекция их об- щего ребра на плоскость третьего плоского ребра является его биссектрисой. 4°. Если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника, лежащего в основании, то про- тивоположные ребра пирамиды перпендикулярны. Справедливо и обратное утверждение. 5°. Если SO — высота пирамиды SABC и SA1BC, то плос- кость SAOLBC. Группа А 2.1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с,н острым углом 30°. Боковые ребра пира- миды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пирамиды. 2.2. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами а, а и Ь. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Определить объем пирамиды. 23. Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна Л, а плоские углы при вершине — прямые. 2.4. Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной 6, и углом 60° между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем пирамиды. 2.5. Найти боковую поверхность правильной треугольной пи- рамиды, если плоский угол при ее вершине равен 90°, а площадь основания равна 5. 2.6. Центр верхнего основания куба с ребром, равным а, соеди- нен с серединами сторон нижнего основания, которые также соеди- нены в последовательном порядке. Вычислить полную поверхность полученной пирамиды. 2.7. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна Л, а двугранный угол при основании равен 60°. Найти полную поверх- ность пирамиды. 15 Сканави
450 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 2.8. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к Н<ему под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно /. Найти объем и полную поверхность пирамиды. 2.9. В правильном тетраэдре SABC построено сечение его плос- костью, проходящей через ребро АС и точку К, принадлежащую ребру SB, причем ВК : KS = 2:1. Найти объем отсеченной пирами- ды КАВС, если ребро тетраэдра равно а. 2.10. Определить объем правильной четырехугольной усечен- ной пирамиды, если ее диагональ равна 18 см, а длины сторон ос- нований 14 и 10 см. 2.11. Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно d. 2.12. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда от- носятся как т.п, а диагональное сечение представляет собой квад- рат с площадью, равной Q. Определить объем параллелепипеда. 2.13. Из медной болванки, имеющей форму прямоугольного па- раллелепипеда размерами 80x20x5 см, прокатывается лист толщи- ной в 1 мм. Определить площадь этого листа. 2.14. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, пло- щадь которого равна Q. Площади диагональных сечений равны и S2. Определить объем и боковую поверхность параллелепипеда. 2.15. Найти боковую поверхность правильной треугольной при- змы с высотой h, если прямая, проходящая через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 60°. 2.16. Найти объем наклонной треугольной призмы, основани- ем которой служит равносторонний треугольник со стороной а, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плос- кости основания под углом 60°. 2.17. Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диа- гональных сечений этой призмы равны Р и Q. Найти боковую по- верхность призмы. 2.18. Правильная шестиугольная призма, боковые ребра которой равны 3 см, рассечена диагональной плоскостью на две равные че- тырехугольные призмы. Определить объем шестиугольной призмы, если боковая поверхность четырехугольной призмы равна 30 см2. 2.19. Боковая поверхность конуса развернута на плоскости в сектор, центральный угол которого содержит 120°, а площадь рав- на S. Найти объем конуса.
Глава 2. Задачи по стереометрии 451 2.20. Доказать, что если два равных конуса имеют общую вы- соту и параллельные основания, то объем их общей части составля- 1 ет т объема каждого из них. 4 2.21. Высота цилиндра равна Я, радиус его основания равен R. В цилиндр помещена пирамида, высота которой совпадает с обра- зующей АА j цилиндра, а основанием служит равнобедренный треу- гольник АВС (АВ=АС), вписанный в основание цилиндра. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если ЛА - 120°. 2.22. Металлический шар радиуса R переплавлен в конус, боко- вая поверхность которого в 3 раза больше площади основания. Вычислить высоту конуса. 2.23. Конус и полушар имеют общее основание, радиус которо- го равен R. Найти боковую поверхность конуса, если его объем ра- вен объему полушара. 2.24. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 см и ост- рым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Вычислить поверхность и объем полученной фигуры вращения. 2.25. Ромб вращается вокруг своей большей диагонали, а затем вокруг меньшей диагонали. Доказать, что отношение объемов по- лученных фигур вращения равно отношению площадей их поверх- ностей. 2.26. Около конуса с радиусом основания R описана произволь- ная пирамида, у которой периметр основания равен 2р. Определить отношение объемов и отношение боковых поверхностей конуса и пирамиды. 2.27. В шар вписан конус, образующая которого равна диамет- ру основания. Найти отношение полной поверхности конуса к по- верхности шара. 2.28. Найти отношение поверхности и объема шара соответ- ственно к поверхности и объему вписанного куба. Группа Б 2.29. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в 3 раза больше площади основания. Площадь круга, вписанного в основание, численно равна радиусу этого круга. Найти объем пира- миды. 2.30. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у кото-
452 Часть И. ГЕОМЕТРИЯ рой плоский угол при вершине равен 90°, а расстояние между боко- мым ребром и противоположной стороной основания равно d. 2.31. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Через одну из сторон основания проведена плоскость, пер- пендикулярная противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отношении т : л, считая от вершины основания. Опреде- лить полную поверхность пирамиды. 232. Центры граней правильного тетраэдра служат вершина- ми нового тетраэдра. Найти отношение их поверхностей и отноше- ние их объемов. 233. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 120°. Найти боковую поверхность пира- миды, если площадь ее диагонального сечения равна 5. 234. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями dx и <У2.Высота пирамиды проходит через вершину острого утла ромба. Пло- щадь диагонального сечения, проведенного через меныпую диагональ, равна Q. Вычислить объем пирамиды при условии, что dx > d2. 235. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у кото- рого стороны равны 10 и 8 м, а одна диагоналей равна 6 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основа- ния и равна 4 м. Определить полную поверхность пирамиды. 2.36. Основанием лирамиды служит параллелограмм ABCD, имеющий площадь т2 и такой, что BD1AD', двугранные утлы при ребрах AD и ВС равны 45°, а при ребрах АВ и CD равны 60°. Найти боковую поверхность и объем пирамиды. 237. Основанием пирамиды служит правильный шестиуголь- ник со стороной, равной а. Одно из боковых ребер перпендикуляр- но плоскости основания и равно стороне основания. Определить полную поверхность пирамиды. 238. Через медиану BE основания АВС пирамиды ABCD и се- редину F ребра DC проведена плоскость. Найти объем фигуры ADBFE , если объем пирамиды ABCD равен 40 см3. 2.39. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10 м, стороны одного основания — 27, 29 и 52 м, а периметр другого основания равен 72 м. Определить объем усеченной пирамиды. 2.40. В треугольной усеченной пирамиде через сторону верх- него основания проведена плоскость параллельно противополож- ному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усе- ченной пирамиды, если соответственные стороны оснований от- носятся как 1 : 2?
Глава 2. Задачи по стереометрии 45 3 2.41. Стороны оснований правильной четырехугольной усечен ной пирамиды равны 2 и 1 см, а высота 3 см. Через точку пересече- ния диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды про- ведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них. 2.42. Площади оснований усеченной пирамиды равны и S2 (Sx< Sj), а ее объем равен V. Определить объем полной пирамиды. 2.43. Найти расстояние между серединами двух скрещивающих- ся ребер куба, полная поверхность которого равна 36 см2. 2.44. Площадь сечения куба, представляющего собой правиль- ный шестиугольник, равна Q. Найти полную поверхность куба. 2.45. Через вершины Л, С и Dx прямоугольного параллелепипе- да ABCDAiBiClDl проведена плоскость, образующая с плоскостью основания двугранный угол 60°. Стороны основания равны 4 и 3 см. Найти объем параллелепипеда. 2.46. В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5 дм, а высота равна 12 дм. Сечение, перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью 24 дм2 и диагональю, равной 8 дм. Найти боковую поверхность и объем па- раллелепипеда. 2.47. Основанием призмы АВСАХВХС\ служил правильный тре- угольник АВС со стороной а. Вершина Л j проецируется в центр ниж- него основания, а ребро ААХ наклонено к плоскости основания под углом 60°. Определить боковую поверхность призмы. 2.48. В наклонной треугольной призме расстояния боковых ре- бер друг от друга равны а, b и с. Боковое ребро равно Z, высота призмы h. Определить полную поверхность призмы. 2.49. Объем правильной восьмиугольной призмы равен 8 м3, а ее высота равна 2,2 м. Найти боковую поверхность призмы. 230. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треу- гольник с гипотенузой, равной с, и острым углом 30°. Через гипо- тенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего осно- вания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Определить объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью. 231. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересека- ет основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основа- ния. Определить отношение объемов полученных частей конуса. 232. Радиус основания конуса равен Л, а угол развертки его боковой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.
454 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 2.53. Треугольник со сторонами, равными а, b и с, вращается поочередно вокруг каждой из своих сторон. Найти отношение объе- мов полученных при этом тел. 2.54. Параллелограмм, периметр которого равен 2р, вращается вокруг оси, перпендикулярной диагонали длиной d и проходящей через ее конец. Найти поверхность тела вращения. 2.55. Основанием пирамиды служит правильный треугольник со стороной, равной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно Ь. Найти радиус шара, описанного около пирамиды. 2.56. Вычислить поверхность шара, вписанного в треугольную пирамиду, все ребра которой равны а. 2.57. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная усе- ченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания прохо- дит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°. Определить объем пирамиды. 2.58. Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны а и Ь. Определить полную поверхность параллелепипеда. 2.59. Конус образован вращением прямоугольного треугольни- ка площадью £ вокруг одного из катетов. Найти объем конуса, если длина окружности, описанной при вращении этого треугольника точкой пересечения его медиан, равна L. 2.60. Определить боковую поверхность и объем усеченного ко- нуса с образующей /, описанного около шара радиуса г. РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ Q 2.1. По условию, ЛАСВ = 90° (рис. 2.1); следовательно, ВС = —, 1 АС = -у-, откуда SOCH =—АС • ВС c24i 8 Проведем SO так, что- бы АО = ОВ. Тогда О — центр описанной около к АВС окружности, SO — высота пирамиды (см. «Дополнительные соотношения меж- ду элементами призмы и пирамиды», п. 1°). В &ASO имеем Z.SAO =
2.2. Согласно условию, АВ = = ВС = а (рис. 2.2), поэтому ВН = а2= ^4а2 -Ь2 . 4 2 Отсюда ST = 1А С • ВН = -Ь^а2-Ь2 ““ 2 4 Проведем высоту SO. Поскольку все ребра пирамиды одинаково накло- нены к плоскости основания, точка О —; центр описанной около А АВС окружности. Пусть радиус этой окружности равен R. Тогда OB = R = • -- - = а • В &SOB имеем ОВ =—;зна- 4Soch yj^a2-b2 чит,SO = -JSB2-OB2 = у1юв2-ов2 = ОВ-Ji = . Okoh- ^4a2-b2 чательно имеем
456 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ r = l5 so = 1 byl4a2-b2 а2 41 _a2b41 "3 °СН' 3‘ 4 '44J^~ И Ответ; a2b<j3 12 Рис. 2.3 2.3. Проведем BD1AC (рис. 2.3). Обозначим сторону ос- нования через а. Так как пира- а^З мида правильная, то OD =----, AD=DC=— 2 ’ разим а через Л. В A SAC имеем SA = SC, Z.CSA = 90°, откуда ZASD= = 45° и SD = AD = —. Тогда 2 й = SO = V®2-OD2 =.-— -=-^ V 4 36 4б и, следовательно, а = W6 . Итак, .. 1 , 1 аЧЗ , 1 6ЛЧЗ , h\ V = —Sh =------h =------h =-- 3 °сн 3 4 3 4 2 Ответ: h341 2 2.4. По условию, BD = Z>, ZAOB= = 60° (рис.2.4); отсюда легко найти, что АВ = —, AD = —. Значит, £осн = АВ • AD = . 2 2 «осн 4 Так как Л5АО - = /LSBO - Z.SCO == /.SDO = 45°, то SO — высота
Глава 2. Решения и указания 457 пирамиды и SO = . Итак, V = -8жя SO=^2-. 3 осн 24 п Ответ: ----. 24 2.5. Пусть а — сторона основа- ния; тогда откуда . Искомая боковая повер- хность выражается так: $6«=3 y" 'SD (Рис- 2-5)- Но SD = DC = —, и, следовательно,
458 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ Значит, SK = ylso1 2 3 +ОК2 = .[а2+— = За^ V 8 S - 2 ’ поля \2 ’ + ^бок = 2flf2 ^бок —2 Рис. 2.7 Ответ: 2а2. 2.7. Так как KSKO = 60° (рис. 2.7), то ОК = — SK = — .Основание пирами- 2 2 F ды — правильный шестиугольник, по- этому AKOD = 30° и KD = ^OD. Тогда ОК2 = OD2 -KD2 = 4KD2 - KD2 = 3KD2, т.е. KD=^-, DE = 2KD=^- .Та- 6 з ким образом, S' - осн 4 _L— S' 2 > Лбок 4 2 4 S' = S’ -i- S' - ‘“’поля ОСН ~ ° бок 2 Окончательно находим 2.8. По условию, SC = /, ZJSBC = 90°, /LSCB = 45° (рис. 2.8). откуда SB = ВС - . V2 1 г ч/2 Находим V = — ВС1 • SB =----. Полная 3 12
Глава 2. Решения и указания 459 поверхность выразится так: 5ПОЛН = £осн + 25^^ + 2£дЛИ£>, посколь- ку S&SAB = $&SBC > S&SAD ~ S&SCD ' Итак, Ответ: 0,5/2(2 + V2). 2.9. Искомый объем найдем по фор- муле уклвс =^smbc-KN (рис.2.9.), где 2/7 8^вс==-~- Так как SO||KW , то BN : NO = ВК : KS = 2:1, откуда BN = —ВО . Но ВО-°-^ т.е. 3 3 BN = —— и, значит, 9 KN = a/b/^-W2 = J—. V 9 27 9 Окончательно получим
460 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ + у[^Л)' где *^1= 196 см2, S2= 100 см2. Найдем h = ВХК (рис. 2.10). Имеем ВХК = <JbxD2 -KD2 . Так как BB}D}D — равнобедренная трапеция, то ВК =—(BD~B^DJ = —(\4у/2-10^2) = 2^2 (см) и 2 2 KD = BD - В К = 12\/2 (см), т. е. h = д/182 ~(12л/2)2 = 6 (см). Итак, V = -| (196 + 1.00 + 140) = 872 (см3). Ответ: 872 см3 в стельно, АВ = 2.11. Расстояние от ребра ААХ до диагонали BXD равно расстоянию от этого ребра до плоскости BBxDxDy т. е. длине отрезка АХЕ (рис. 2.11). Пусть ребро куба равно а; тогда из ДЛ1£О1 на- ходим 2d2 = а2, откуда а = d<jl. Значит, V = a3=2d342 . Ответ: 2d3^2 . 2.12. Искомый объем V = S^h, где £осн - AB AD (рис.2.12), h — высота параллелепипеда. По условию, BBXDXD — квадрат и, значит, h = Jq . Найдем АВ и AD. Так как АВ : AD = т : п, то AD=—AB. В&ABD имеемAB2 + AD2 = т ? п2 ? = BD2, т. е. АВ2 +—г ИВ2 =Q; следо- т лгл п4в , ЛЕ> = -у -- - — Итак> V/И +И
Глава 2. Решения и указания 461 v=AB.AD.h=T^. т2+п mnQ-jQ Ответ: —z-7-. т+п 2.13. Указание. Воспользоваться формулой S = —, где V— h объем листа, h — его толщина. Ответ: 8 м2. 2.14. Имеем V = Socnh, где SOCH = Q (по условию); таким обра- зом, нужно найти Л. Так как ABCD — ромб, то S^^^ACBD (рис. 2.13); учитывая, что AC h = SX, BD h = S2 , находим AC = BD = . Отсюда получаем 2Q = ^-~ , т. e. . Далее, из &COD следует, что . [s& _ „ \sxs2q h = / 1 . Тогда V =- V 2Q V 2 CD2 = 2 = Ш2 AV = S"+S22 I 2 J I 2 J U/J A2aJ 4Л2
462 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ Окончательно получим £бок = *CD • h = 4h = 2^+^ • /О . 1 /о 2 1 о 2 Ответ: 2 ' * + *^2 ' 2.15. Обозначим сторону основа- ния через а. Тогда 5^ = 3ah. Прове- дем высоту ОХО (рис. 2.14). В М)ОО{ имеем Z.OOXD = 30°, поэтому OXD э = 2OD и 46ZD2 - OD2 = Л2, откуда OD = — 3 С другой стороны, и, следовательно, а = 2Л. Итак, = 3-2ЛЛ = 6Л2. Ответ: 6Л2. 2.16. Проведем АХК перпен- дикулярно плоскости АВС (рис. 2. 15); тогда V-SMBC-А}К , где Учитывая, что ZAAK- 60°, находим А}К =-------- 1 1 2 Значит, Ответ: 0,375 а3.
Глава 2. Решения и указания 463 2.17. Пусть высота призмы равна Л. Так как ABCD — ромб, то £бок = 4ЛВ ‘ Л (Рис- 2.16). Далее, AC1BD (как диагонали ромба) и, Ibd2 ас2 4bd2 +АС2 _ следовательно, АВ - J-------+-----=-------------. Тогда V 4 4 2 5’6ок=2л/в/)2+ЛС2 Л = . Но BD • h = Р, АС • h - = Q (по условию). Итак, = 2^Р2 +Q2 . Ответ: 2^Р2 +Q2 . 2.18. Пусть АВ = а (рис 2.17); тогда а2Л искомый объем V = 6--------h, где h = 4 = 3 см — высота призмы. Остается най- ти а. По условию, боковая поверхность призмыЛВСОЛ^С^ равна 30 см2. Но ^бок ~ <?АВ+AD)h ; здесь AD = 2а (как диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника). Следова- тельно, 5а • 3 = 30, откуда а = 2 (см).
464 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ Окончательно имеем V = 6 ^^-3 = 185/3 (см3). Ответ: 18^3~ см3. 2.19. Пусть г — радиус основания конуса, а / — его образую- ~ п 1 ,2 2л л/2 . щая. Тогда площадь развертки $ = — г •— = -у, откуда I = J— . Но S = лг/ = лг и, следовательно, г = . Объем конуса най- , TZ 1 2 f . Гг2 Г I л дем по формуле V = — лг h , где h = V/ - г = J-------= 2 3 V л Зл Окончательно получим 1 2^.2 2S'^ 3 Зл VЗл ~ 27л 2.20. Пусть радиус основания каждого из данных конусов равен R, а высота равна Н (рис. 2.18). Тогда объем каждого конуса 1 2 = — лЯ Н . Общая часть состоит из двух 2 конусов; ее объем V2 = —nr2h , где г — радиус основания, h — высота. Рассмот- рим осевое сечение фигуры. Так как &О}ОА ~ ЛО'СВ, то АО : ВС = Oft : ОХС, или R : г = Н : h. Но , Н R ы h = —, откуда следует, что г = —. Итак, 2 2
Глава 2. Решения и указания 465 2 R2 Н 1 _2„ 1.. V = —к----=—nRH =—У} • 2 3 4 2 12 4 1 2.21. Проведем AD1BC и соединим точки A j и D (рис. 2.19). Согласно теоре- ме о трех перпендикулярах, имеем A XD1BC Так как дуга САВ содержит 120°, а дуги АС и АВ — по 60°, то ВС = Ял/з , АВ « R. В &ABD имеем AD-—. 2 Далее, из &AAXD получим AlD = Jff2+—=—y/R2+4ff2 . Сле- 1 V 4 2 довательно, S^^ABAA^lRff-, SZ>ABC =-BC A,D = -rJ1--Jr2 +4Н2 =--j3R2 +ПН2 . ^222 4 Окончательно находим = 2S^ab +S^bc = RH 4~Rj3R2+l2H2 = = —(4/7 +7з/?2+12/72) 4 Ответ: 0,257?(4/7 + 7з/?2 +12//2). 2.22. Указание. Воспользоваться тем, что объемы шара и 4_»з 7 конуса равны — nR , а также равенством Зтсг = кг/, где г — ради- ус основания конуса, а / — его образующая. Ответ: 2Ry[i.
466 Часть П. ГЕОМЕТРИЯ 2.23. Так как объемы конуса и полушара равны, то V = — тс/?3; с другой стороны, И = —тс/?2Л, где h — высота конуса, т. е. h = 2R. Имеем S6oK = nRl, где / = у/r2 +h2 = R^5 . Итак, S6(yg = тс/?2 д/5. Рис. 2.20 Ответ: тс/? 2 >/5. 2.24. Искомый объем V = Ицил — - 2^ а поверхность 5 = 5ЦИЛ + 25юн, гДе ^цил > Исон и ^цил > ЯКон — объемы и боковые поверхности цилиндра и ко- нуса соответственно (рис. 2.20). Име- ем Ицил = nr2h , где г = СК, h =AD = 3 см. Так как DK =у (AD-ВС) =у (см), a CD = 2DK = 1 (см), то CK=-JcD2-DK2 = —(см). « (2) 2 Тогда гг 3 _ 9 тс , зч 1 3 1 тс , И = тс — 3 = — (см ), И =—тс----------= — (см ) , цил 4 4 V 7’ кон 3 4 2 8 откуда V = — - — = 2тс (см3). Наконец, находим 4 4 £Цил = 2тсгЛ = 2тс • 3 = Злу[з~ (см2), £КОн = T^rl = тс-——-1 = ^—(см2) кон 2 2 v z откуда 5 = Зтс>/3 + тс>/з = 4тс^/3 (см2). Ответ: 4л^3~ см2; 2тс см3.
Глава 2. Решения и указания 467 2.25. Пусть сторона ромба рав- на а, а его диагонали равны 2dx и 2^ (рис. 2.21). При вращении полу- чается тело, состоящее из двух ко- нусов. Обозначим объем и поверх- ность тепа вращения вокруг диаго- нали АС через VAC и SAC, а вокруг диагонали BD — через VBD и SBD. Рис. 2.21 2 о Тогда VAC = -тЦ d2 2 $лс =2ла^7|, VBD ^—Ttd-^d^y SBD = 2itad2. Итак, VBD -nd2d, dz Sbd ’ 3 2 1 что и требовалось установить. 2.26. Пусть общая высота конуса и пирамиды равна Н (рис. 2.22). Обозначим объе- мы конуса и пирамиды через Kj и Г2, а их боковые поверхнос- ти — через Sj и S2\ тогда V, = —nR2H, S, = itRl ,mel — 3 образующая конуса. Найдем Г2 и S2 . Так как периметр основания пирамиды равен 2р, а основание конуса — вписанная в основание пирамиды окружность, то площадь основания пирамиды равна pR, откуда Г2 = | pRH, S2 = pl (высота любой грани равна I). Итак, — =—nR2H:—pRH = -,^- = nRl:pl= — V2 3 3к р S2 р Ответ: — (в обоих случаях). Р
468 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 2.27. Изобразим осевое сечение кону- са, которое пройдет через центр шара. Так как диаметр основания конуса равен обра- зующей, то в сечении получим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис 2.23). Пусть радиус шара равен R: тогда D /Т AB = rJ3, AD =-----. Обозначим пол- 2 ную поверхность конуса через а поверх- ность шара — через S2. Имеем = -nR2,S2=4nR2t 4 2 откуда Sj: S2 = 9 : 16. Ответ: 9 : 16. 2.28. Пусть радиус шара равен R, ребро куба равно а; тогда 2 (a}2 a2 2R п, В - = —, откуда а = . Обозначим объемы и поверхнос- ти шара и куба соответственно через Ир V2 и 52. Имеем SR^ 3 = 4кЯ2, $2 = 6д2 = 8^2 ’ откУДа =улл3, к2=а : И2 = л>/з : 2, :S2= л:2. Ответ: к : 2; : 2. Рис. 2.24 2.29. Объем пирамиды И = ^-5’оснда (рис. 2.24). Пусть сторона основания равна а, тогда о «2^3 а->/з _ ^осн = —-—, OD = —-. По усло- 4 о
Глава 2. Решения и указания 469 вию, tiOD1 = OD , или OD = — , откуда , т. е. а = —и я 6 я л\3 ^осн = “V" • Учитывая, что 7^- = 3 , получим £бок = 35^ = . 71 *Л)СН я 1 9SD С другой стороны, S6oK=3—a-SD = —з= и, следовательно, 2 л73 ^=’®,т.е. Ж = —. Из SSOD находим SO = д/ж2 -OD2 = л2 тц/з я 9 1 2V2 I зТз 2-72 2-Уб ——т=---------.Итак, V=------------------- -— я я2 я 3 я2 л л3 „ 2л/б Ответ: —-— л 2.30. По условию, BSLSA и BS1SC (рис. 2.25), т. е. BS— пер- пендикуляр к грани SAC nSD = d. Следовательно, искомый объем V --^S^acs -BS . В &SAD имеем Z.SDA = 90°, ZASD = 45°, огку- да AD = SD = d и S^cs= d2. Да- лее, в &BSD имеем Z.BSD - = 90°, BD = 2d= dyfi f откуда BS = ^BD2-SD2 = 7з</2-</2 = d41 . Окончательно находим V=-d2-d4i = -d24i 3 3 Ответ: d3y/2 3
470 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 2.31. Полную поверхность пи- рамиды найдем по формуле 2 /Т . 5Полн = ^-+~3aSD (рис. 2.26). Так как кВ OS-кВKD (прямоугольные треу- гольники, имеющие общий угол), то BD BS ВК «V3 De а^З ИЛИ ---. BS = ВК \--, ВО 2 3 т. е. a2=2BK-BS. По условию, ВК т KS = — ВК, BS = BK + KS = ^ВК, ВК =-^—BS т т т+п Значит, а2 =-^т BS2, т. е. BS2 п)- . В &SOD имеем т + п 2т SD2 = SO2 + OD2, отсюда, учитывая, что SO2 = BS2 - ВО2, находим SD2 -(т + п^а2 g2 + д2 - ^та2 _ (т+2п)а2 2т 3 12 12ти 4тл Итак, О ° ПОЛИ д2>/з ) 1 а 1т + 2п _а2^3 13(т + 2п)У 4 2 2 v т 4 V т , „ а24з(, 13(т + 2п)) Ответ: ----- ------------- 4 I V т 2.32. Обозначим объемы и поверхности данного и нового тет- раэдров соответственно через Vx, Sx и К2, S2. Пусть А В = а (рис. 2.27); тогда DK = -. Так как &DSK~&MSK, то DK : MN = SD : 2 : SM = —, откуда MN = — . Окончательно получаем
Глава 2. Решения и указания 471 =«3 =27:1, ^^а2:^ =9:1. Ответ: 9:1; 27 : 1. 2.33. Искомая боковая по- верхность, выражается так: 5бок =2AB'SM (рис. 2.28). Пусть АВ = a, SO - h‘> найдем соотноше- ние между о и й. Проведем AK1SB, СК1ВВ\ так как ААКС = 120°, то ААКО=60° и из ДАКО получим ОК = АО ctg60° = ~ . V2 V3 V6 Далее, в прямоугольном треуголь- нике SOB имеем OK1SB, поэтому SB'.SO=SO:SK, т.е. h2=SB-SK. 2 Из ДВКО следует, что SK2 =SO2 -OK2 =h2, откуда 6 SB2 =-^2---2' С ДРУг°й стороны, из Д8ОВ находим
472 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ SB2 -h2 + ~ ♦ Таким образом, h2 +— = , или 12Л4-2a2h2 + 6a2h2-a* = 12Л4, 2 6h2-a2 откуда h = и SM = . По условию, у AC • SO = h-S, a2 x/2 ci о I— t. e. S' =---. Учитывая, что S'6oK = 2AB -SM = 2a —== = a2j2 , 4 > бок окончательно получим S6oK = 4S. Ответ: 4S. 2.34. Искомый объем V = — S0CH -SL4, где SXH =— dxd2 (рис. 3 2 2.29). В &SAO имеем SA = y/sO2-AO2 , причем Л(2=-у-, а Рис. 2.29 22 1 t так как по условию у d2 • SO = Q . Следовательно, &4= l4Q2 d2 .Jl6Q2-d2d22 У d22 4 2d2
473 Глава 2. Решения и указания Окончательно получим 3 2 1 2 2<72 =^-71бе2-4Ч2 1 Z* Ответ: ^\6Q2 -d2d22 2.35. По условию, АВ = = 8 м, AD = 10 м, BD = 6 м (рис. 2.30). Из равенства 62 + 82 = 102 следует, что &ABD — прямоугольный и ^осн = 8-6 = 48 (м2). Так как ВО1АВ, то и SZLL4B, а зна- чит, Рис. 2.30 S^asb =-AB:BS = -AbJsO2+OB2 =--8-Ja2+32 =20 (м2). 2 2 .2 Проведем SK1AD-, тогда SMSD ~ —4D • SK = — AEh]SO2 + OK2 . 2 2 Для нахождения ОК воспользуемся тем, что &OKD~&ABD\ имеем 8-3 12 ОК : АВ - OD : AD, откуда ОК = = — (м). Следовательно, , 144 _4V34 с _ 1 ! л 4^34 rz~r 2 .SAT = J16+——- ——-— (м) и *^д4хо - Ю—- — 4V34 (м2). I D X D Итак, •^полк = 48 + 2 • 20 + 2 • 4-(/34 = 8 (11 +-^4 ) (м2)- Ответ: 8(11 + >/34) м2. 236. Обозначим AD через х, a BD — через у (рис. 2.31). Тогда £ОСн= ху-т2 . Так как BDAAD, то и SDiAD, т. е. Z.SDB — плоский угол двугранного угла и, по условию, ^.SDB = 45°. Через точку О проведем МКААВ', имеем Z.SMK - Z.SKM = 60°. Из &SOD следует,
474 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ Рис. 2.31 что SO = OD = —, а из &SOM — 2 что ОМ = —т= = ——=•; поэтому V3 2V3 S0Ctt=MK-AB = =т2 . Но у = — и» значит, X Х2+^- .20—=т2 ,ИЛИХ4 + ш4 = Зх4, х2 х>/3 откуда х = у = mtfl. Теперь на- VI ходим v = -Sxa SO = -m2 -тУ1 =-т3 VI. 3 °“* 3 2 6 Остается найти £бок = AD -SD + АВ-SM , где AD = х, SD = = ODy/2=^-,AB = ^x2+y2,SM=2OM=^=. Итак, 2 v 3 ^бок х2у2+у4 т24г т4 2т4 1 —-----i— =-----+ ---+--- - — 3 2 V 3 3 2 Ответ: 2 6 237. Имеем 5^^ — S^ + 2S^sf. + 2S^se + 28&esd (Рис- 2.32), 2 /o' o_2 /o' 2 где £осн = 6----— =------—, SMSF = —, поскольку &414Ги SA=a. 4 2 2 Далее, так как AE.LED, то и SELED, а значит, S^^ = -ED-SE. 2
Глава 2. Решения и указания 475 Рис. 2.32 Но SE = y/sA2 +АЕ2 = 7«2 +3а2 = 2а, откуда S^sd = • 2а = а2 . Для вычисления S^SE проведем SK.LFE; тогда и AK1FE. Учиты- вая, что АК =—(^KAF = 30°), SK = y/sA2+AK2 =Ja2+— = 2 V 4 = , находим S^se = -a-" • Итак, За27з 2 a277 2 _ *2 (6+з7з +77) £полн=—~ + =-------2------• Ответ: 0,5а2 (6 + зТз + 77). 2.38. Объем фигуры ADBFE равен разности объемов пирамид ABCD U.ECBF (рис. 2.33). Чтобы найти объем пирами- ды ECBF, сравним его с объемом пира- миды A BCD. Для этого достаточно найти отношения площадей их оснований и со- ответствующих высот. Так как медиана треугольника делит его площадь на две равные части, то S^EC = — SMBC . Далее,
476 Часть IL ГЕОМЕТРИЯ так как F — середина ребра DC, то высота пирамиды ECBF равна половине высоты пирамиды ABCD. Следовательно, ^ECBF ~ ABCD = 10 (см3). Искомый объем равен 30 см3. Ответ: 30 см3. 2.39. Искомый объем V = ~Н(Sj + S2 + ^^52) , где най- дем по формуле Герона. Име- ем 2/^=27+29+52=108 (м), откуда =V54-27-25-2 =270 (м2). Так как ДЛВС'-А41В1С1 (рис. 2.34), то Si = (2р^)2 = 1082 = 9 S2~(2p2f 722 4’ т. е. 4£ = £270 2 2 9 9 Окончательно получим V = | • 10 (270 +120+V270-120) = 1900 (м3). Ответ: 1900 м3. 2.40. Так как стороны оснований от- носятся как 1:2, то площади оснований от- носятся как 1:4 (рис. 2.35). Тогда объем усеченной пирамиды И = ($! + S2 + Тзд )=|й(4$2 +S2 + 2S2) = h2h, где S2 — площадь верхнего основания, h — высота. Но объем при- змы ADEAXBXCX составляет = S2h и, значит, объем оставшейся
Глава 2. Решения и указания 477 части пирамиды есть К,:К2=3:4. Ответ: 3:4. 7- 4 V2=V-V}=^S2h-S2h=^S2h. Итак, 2.41. Пусть ОХО2 - х (рис. 2.36); тогда ОО2 = 3 - х. Так как то BXDX: BD = = ОХО2: ОО2> или 1 : 2 = х : (3 - х), откуда х = 1 (см). Далее, NBXDXB ~ ~Д1О2В и, следовательно, BXDX: LO2 я ООх : ОО2 = 3 : 2, т. е. 2 4 LO2 = =^BxDx, LN = уBXDX. Тогда е _ I6 о _ 16 / 2ч ^KLMN “"q" ^СМ '• Окончательно получим r 1 (А 16 8^ 152 z зх Tz 1 /16 1 4^ 37 f Зч ; =—-2 4+—+- =-(см), К =--1 — + 1+— =—(см5). 13l9 3j 27 23l9 3) 27 _ 152 37 , Ответ: ----и —см3. 27 27 , „ St X2 2.42. Указание. Воспользоваться равенством — = —2 , где о2 И х = Н-h(H — высота полной пирами- ды, а Л — высота усеченной пирамиды). VS2^ Ответ: ^2 ^$2 ~ 81 V^i" 2.43. Так как полная поверх- ность куба £полн = 36 см2, то площадь одной грани £ = 6 см2 и ребро куба Рис. 2.37
478 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ AD = а = 4в см (рис. 2.37). Искомое расстояние КМ = 4аК2+АМ2 ,где АК = - = — (см), 2 2 AM = <JaD2+DM2 = ^а2+~ (см). 16 30 Окончательно получим КМ = J—+— = 3 (см). V 4 4 Ответ: 3 см. Рис. 2.38 2.44. Пусть сторона шестиугольника равна а; тогда ребро куба АВ = аЛ (рис. 2.38) и Sn0JIH = 6Я2?2 = 12а2. По условию, а2 Л „ 2 *2 „ 6—^— = 2» откуда a • Итак, . _8gj3 'полн ~~ ~ Ответ: 3 2.45. Так как CD = 3 см, AD = = 4 см (рис. 2.39), то из &ADC на- ходим АС = у/з2 +42 =5 (см). Проведем DK1AC, тогда DXK1AC и Z.DKDX = 60° (по условию). Но АС АП MDC-&CDK, откуда — = —, J CD DK т. е. DK = =1^. (см). Значит, DDl = DK^3 = (см) и
Глава 2. Решения и указания 479 Г = СС Л£> £)1>1=3-4 ^у^ = ^у^ (см3). Ответ: 28,8>/з см3 2.46. По условию, АХК- 12 дм, АК = 5 дм, A^KIAK (рис. 2.40); следовательно, АА^ =^А^К2 +АК2 =13 (дм). Так как SAiLMN = = 24 дм2 и АА. — перпендикуляр к сечению, то искомый объем K = S^.A4j =2443 = 312 (дм3). Далее, учитывая, что AXLMN— ромб, имеем = 4ААХ -AXN. Для нахождения стороны ромба воспользуемся равенством ИЛИ 24=|.8 IV, откуда LN = 6 (дм); тогда AXN = <32 +42 =5 (дм). Итак, 5^=4-13-5 = 260 дм2. Ответ: 260 дм2; 312 дм3. 2.47. Проведем через ВС се- чение, перпендикулярное ААХ (рис. 2.41); тогда 5бок = (ВС + МС + + Л/В) ААХ = (ВС + 2МС)ААХ. Так как ЛАХАО = 60° (по условию), то Рис. 2.41
480 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ АА1 = 2 А О =-----. Далее, в LAMD имеем ZADM = 30° и, следо- вательно, AM =--------. Тогда из АЛЛ/С находим 4 МС = JaC2-AM2 = . а2-—= Итак, И 16 4 ^бок - 2ау/з 3 д2Уз(У13+2) 3 Ответ: 3 2.48. Полная поверхность призмы £полн = ^осн + ^бок- Так как а, Ь,с—расстояния между боковыми ребрами призмы, то а + b + с — периметр сечения, перпендикулярного ребру. Следовательно, £бок = = (а + b + с)1 - 2р1, где р = — (а+b + с). По формуле Герона нахо- дим £сеч = <jp(p-а)(р-b)(p-с) . учитывая, что V= SC0J = = Sh, имеем SLU = — . Окончательно получим UVXl ' Util tv4 •* 2/ _________________ ^поли =-^Jp(.P-a)(.p-b)(p-c) +2pl. 2i _________________ Ответ: -(^p(p-cT)(p-b')(p-c')+ph'). 2.49. Указание. Воспользоваться тем, что площадь пра- вильного восьмиугольника равна 2а2(1 +V2), где а — длина его стороны. Ответ: 16^2,2(V2-4) м2.
Глава 2. Решения и указания 481 230. Искомый объем V = — ССХ (рис. 2.42). Учитывая, что ЛАВС = 30°, С Cvj находим АС = ВС и, зна- чит, Soo, =----. С другой стороны, 8 8^=-АВ CD, где CD1AB и 1 Са/3 CD = —ВС = —. Так как CD1AB, то и C.D1AB, т. е. ZCDC = 2 4 1 1 = 45° (по условию); поэтому в &CXDC имеем ССХ - CD =-—— Итак, с2 Уз сУз = с3 3 ’ 8 4 “ 32 ’ с3 Ответ: — 32 231. Пусть АО = г, SO = h (рис. 2.43), V — объем конуса, Vx и V2 — объемы его частей. Найдем Vx как разность между объемами части конуса, основанием которой являет- ся сектор АОВ, и пирамиды, в ос- новании которой лежит АЛОВ. Со- гласно условию, АВ = г, т. е. АВ — сторона правильного вписанного шестиугольника и, значит, 16 Сканави
482 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ где 5\ — площадь сегмента АтВ. Тогда V2 -V -Ух = —S2/? , где S2 = лг2 - S\. Таким образом, Vx : V2 - Sx : S2. Далее находим 1 2 г27з г2(2л-3>/з) 2 г2(2л-3л/з)_ 1 6 4 12 2 12 г2 (Юл + 3^3) 2л-зТз =-------—-----. Итак, И : V2 =------т=. 12 Юл + Зл/З Ответ: (2л-3л/3) :(10л 4-3-Уз). 2.52. Пусть / — образующая конуса. Так как длина дуги развер- тки боковой поверхности конуса равна длине окружности основа- n D 2nl ния, то 2тик = — (по условию, развертка представляет собой чет- верть круга), откуда / = 4R. Найдем высоту конуса: h = V/2 -R2 = = 716Я2 - R2 = Ry/15 . Окончательно получим I' = —тгЛ2 Лл/Г? = 3 3 TtR\Ts Ответ: ---2— . 3 2.53. Пусть объемы тел вращения вокруг сторон а, Ь, с равны i;, 1'ь, Ус- тогда Va = ~r.ha2a, Vb = ^nhb2b, Vc =|яйД, где ha, hb, hc — соответствующие высоты . Учитывая, что aha = bhb = chc - 2Sy имеем 2 2 2 V = — nSha ,Vb=- nShb ,УС=— nShc, ИЛИ
Глава 2. Решения и указания Окончательно имеем 483 V VkV = — у а • F b • у с а Ъ с Ответ: — : — : — . а Ь с 2.54. Поверхность £ тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов, полученных при вра- щении отрезков ВС и CD (рис. 2.44), и двух конусов, полу- ченных при вращении отрез- ков АВ nAD. Таким образом, S=x(KB+AC) ВС + + я(Л/£) + AC) CD + + пКВ • АВ+ kMD • AD. Преобразуем это выражение, учитывая, что AD = ВС, CD = АВ и КВ + MD = АС. Имеем к(КВ • ВС + АС • ВС + MD - АВ + АС - АВ + КВ АВ + MD х х ВС)= п((КВ + MD)BC + (КВ + MD)AB + АС • ВС + АС • АВ) = = п(2ВС + 2АВ)АС Так как по условию АС - d, 2ВС + 2АВ - 2р, то S' = 2ndp. Ответ: 2ndp. 2.55. Пусть О — центр шара, описанно- го около пирамиды ABCD (рис. 2.45). Тогда ОА = ОВ = ОС = OD. Опустим перпендику- ляр ОК на плоскость АВС и проведем OE1DB. Поскольку точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, точка К является центром треугольника и В К = -4^. Далее, так D Рис. 2.45 как OB = OD, то ЕВ = ED = —. Следовательно,
484 Часть П. ГЕОМЕТРИЯ ОВ = JOK2 +ВК2 = J—+— = V 4 3 6 От т: 6 2.56. Для отыскания радиуса шара проведем плоскость через вы- соту пирамиды и апофему (рис. 2.46). Радиус круга в полученном сечении равен радиусу шара. Так как все ребра пирамиды равны а, то SD=—, OD=—. Из Д50О 2 6 находим SO = ySD2 -OD2 Обозначим радиус шара через г, тогда SOX -SO-г. В &SKOX имеем ОХК2 = SO,2-Ж2, или г2 =(SO-r)2-y .откуда Окончательно находим = 4яг2 = . K(j2 Ответ: ----- 6 2.57. По условию, Z.OAAX = 60° (рис. 2.47); значит, £ОХОАХ - 30°и Л10,=1л10 = у,001=^А.Находим
Глава 2. Решения и указания 485 с ^всрхносн нижн.осн Окончательно получим 1 яЛ/зГзя2Л/з зя2Уз ^9Я4-з |_21я3 3 2 2 + 8 V 16 16 • \ / n 2LR3 Ответ: ---- 16 2.58. Пусть радиус шара равен R. В сечении шара плоскостью, проходящей через его центр и паралельной основанию параллеле- пипеда, получим параллелограмм, описанный около окружности ра- диуса R. Поскольку суммы противоположных сторон такого опи- санного параллелограмма равны, он представляет собой ромб. Пусть сторона ромба равна т\ тогда искомая полная поверхность S = 2S + Sk = 2т • 2R = 4т • 2R = 6т 2R = 6S’ . WX1 kzVXX и, следовательно, S' = 3ab. Ответ: ЗаЬ. 2.59. Искомый объем V = ^nr2h . Пусть конус образован вращением ЛАВС вокруг катета ВС (рис. 2.48); тогда АС = г
486 Часть IL ГЕОМЕТРИЯ Рис. 2.48 ВС = h. По условию, = отсюда V = — яг •—rh = — nrS . Кроме того, по условию, 3 2 3 2л • DN - = L,ta$D — точка пересечения ме- диан, DN1BC. Но DN :AC = DM:AM=1:3, _. _ г 2 _ 3L откуда DN = — ; значит, — nr = L, т. е. г = —. 3 3 2л Итак, V=--kS-— = SL. 3 2л Ответ: SL. 2.60. Для нахождения боковой поверхности усеченного конуса воспользуемся формулой 5*бок = л + r2)Z, где г}и г2 — радиусы оснований усеченного конуса. Проведем плоскость через высоту ко- нуса. В сечении получим равнобедренную трапецию, описанную около круга радиуса г, причем AD - 2г2, ВС = 2г х (рис. 2.49). Для описанного четырехугольника имеем ВС+AD = АВ + CD, т. е. 2г 1 + + 2г2= 21, откуда 5бок= л/2. Объем усеченного конуса V = улЯ ((г1+ + г2)2 - г\г2), где Н = 2r, rx+r2= I, i\r2 = г2. Рис. 2.49 Последнее соотношение получается из прямоугольного треугольника OCD, в котором ОК2 = СК • KD (Z.COD = 90°, поскольку ОС и OD — биссектрисы углов трапеции и, зна- чит; Z.OCD + A.CDO = 90°). Итак, V = -nr(l2-г2). 3 9 Ответ: nl2,—Tir(l2-r2).
Глава 3 ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР (Доказательства этих свойств см. в книге II двухтомного «Сборника» на с. 56-58.) 1°. Площадь параллелограмма ABCD можно вычислить по следующим формулам: 5 = AC2-BD\ л ---л--- 4 (3.1) S=AD22AB2-tg^AO£>, (3.2) где О — точка пересечения диагоналей АС и BD (рис. 3.1). 2°. Пусть известны длины b и с двух сторон треугольника АВС и угол А, образуемый ими (рис. 3.2). Тогда длина биссектрисы AD треугольника, проведенной из вершины этого угла, выражается формулой (3.3) 2occos — 3°. Справедливы следующие соотношения между элемента- ми шара и вписанного в него конуса:
488 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ / = 27? sin а; l2=2RH, где R — радиус шара, I — длина об- разующей конуса, Н — его высота, а — угол между образующей и плос- костью основания (рис. 3.3). Такие же соотношения справедли- вы и для вписанной в шар пирамид боковые ребра которой имеют длину / и составляют с плоскостью основания угол а. 4°. Пусть АХВХ — боковое ребро пирамиды или призмы, АХО — его проекция на плоскость основания, ЛВХАХО = а, ЛОАхА2 = = 0, ЛВХАХА2 = = у (рис. 3.4). Тогда справедливо ра- (3.4) (3.5) венство cos у = cos а cos 0. 5°. Пусть а —угол наклона бокового ребра правильной п-угольной пирамиды к плоскости основания, 5 —угол наклона ее боковой грани к плоскости основания, <р — плоский угол при вер-
Глава 3. Задачи по геометрии с применением тригонометрии 489 шине пирамиды, со — двугранный угол между смежными боко- выми гранями (рис. 3.5). Тогда справедливы следующие соотно- шения: . Ф sin— 2 cos ос =-— ; . 7С sin— п (3.6) . (О sin—= л cos — ____п_. О * cos — 2 (3.7) cos 8 = , 71 tg- п . © = cos a sin—. 2 (3.8) 2 Группа А 3.1. Сумма двух неравных высот равнобедренного треугольни- ка равна /, угол при вершине равен а. Найти боковую сторону. 3.2. В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол а при основании. Найти длину медианы, проведенной к боковой сто- роне. 33. Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине равен а. Найти длину биссектрисы, проведенной к боко- вой стороне. 3.4. Угол при основании остроугольного равнобедренного треу- гольника АВС (АВ = ВС) равен cl В каком отношении, считая от вершины А, высота BD делит высоту АЕ? 3.5. Площадь равнобедренного треугольника равна 5, а проти- волежащий основанию угол между медианами, проведенными к его боковым сторонам, равен а. Найти основание. 3.6. В прямоугольном треугольнике даны его площадь S и ост- рый угол а. Найти расстояние от точки пересечения медиан треу- гольника до гипотенузы. 3.7. Найти угол треугольника, если известно, что стороны, зак- лючающие этот угол, равны а и Ь, а биссектриса угла равна /.
490 Часть II. ГЕОМЕТРИЯ 3.8. Показать, что если в треугольнике отношение тангенсов двух углов равно отношению квадратов синусов этих же углов, то треу- гольник равнобедренный или прямоугольный. 3.9. В квадрате ABCD через середину М стороны АВ проведена прямая, пересекающая противоположную сторону CD в точке N. В каком отношении прямаяMN делит площадь квадрата, если острый угол AMN равен а? Указать возможные значения ос. 3.10. В квадрат ABCD вписан равнобедренный треугольник ЛЕ77; точка Е лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD и АЕ = AF. Тангенс угла ЛЕЕ равен 3. Найти косинус угла FAD. 3.11. Диагональ прямоугольника равна d и делит угол прямоу- гольника в отношении т.п. Найти периметр прямоугольника. 3.12. Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, равны и h2, а угол между ними равен а. Найти большую диагональ параллелограмма. 3.13. Из вершины С ромба ABCD, сторона которого равна а, проведены два отрезка СЕ и CF, делящие ромб на три равновели- кие фигуры. Известно, что cos С = —. Найти сумму СЕ + CF. 4 3.14. В ромбе через вершину острого угла, равного а, проведе- на прямая, делящая этот угол в отношении 1 : 2. В каком отношении эта прямая делит сторону ромба, которую она пересекает? 3.15. Высота равнобедренной трапеции равна h, а угол между ее диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти среднюю линию трапеции. 3.16. Высота равнобедренной трапеции равна h. Верхнее осно- вание трапеции видно из середины нижнего основания под углом 2а, а нижнее основание из середины верхнего — под углом 2р. Найти площадь трапеции в этом общем случае и вычислить ее без таблиц, если h = 2, а = 15°, (3 = 75°. 3.17. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым углОхМ а при основании. Найти периметр трапеции. 3.18. В равнобедренном треугольнике угол при основании ра- вен а, радиус вписанного круга равен г. Через вершину угла при основании и центр вписанного круга проведена прямая. Найти от- резок этой прямой, заключенный внутри треугольника. 3.19. В ромб ABCD и треугольник АВС, содержащий его большую диагональ, вписаны окружности. Найти отношение ради- усов этих окружностей, если острый угол ромба равен а.
Глава 3. Задачи по геометрии с применением тригонометрии 491 3.20. Даны стороны a, b,cud четырехугольника, вписанного в окружность. Найти угол, заключенный между сторонами а и Ь. 3.21. Из точки, взятой на окружности радиуса R, проведены две равные хорды, составляющие вписанный угол, равный а радианам. Най- ти часть площади круга, заключенную внутри этого вписанного утла. 3.22. В сегмент, дуга которого содержит а°, вписан правиль- ный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги, а две другие лежат на хорде. Площадь треугольника равна S’. Найти радиус дуги сегмента. 3.23. В прямоугольном треугольнике АВС острый угол А равен а радианам. Дуга окружности с центром в вершине прямого угла С касается гипотенузы в точке D и пересекает катеты АС и ВС соот- ветственно в точках Е и F. Найти отношение площадей криволи- нейных треугольников ADE и BDF. 3.24. Плоскость квадрата составляет угол а с плоскостью, про- веденной через одну из его сторон. Какой угол составляет с той же плоскостью диагональ квадрата? 3.25. В грани двугранного угла, равного а, проведена прямая, составляющая угол р с ребром двугранного угла. Найти угол между этой прямой и другой гранью. 3.26. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна / и со- ставляет с боковым ребром угол а. Найти объем параллелепипеда, если периметр его основания равен Р. 3.27. Через сторону нижнего основания куба проведена плос- кость, делящая объем куба в отношении т : п, считая от нижнего основания. Н