для ntnuH
в ты
ГРУППА А
полный
СБОРНИК РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
для поступающих в вузы
ГРУППА А
Под редакцией М. И. Сканави
Москва Мир и Образование Астрель
УДК 51(076.1)
ББК 22.11
П51
Все права защищены.
Перепечатка отдельных глав и произведения в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.
Полный сборник решений задач по математике для
П51 поступающих в вузы. Группа А / Под ред. М. И. Сканави. — М.: ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство Астрель», 2012. — 912 с.: ил.
ISBN 978-5-94666-634-3 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 978-5-271-37256-8 (ООО «Издательство Астрель»)
В помощь абитуриентам публикуется полный сборник задач по математике с решениями под редакцией М. И. Сканави по всем группам сложности.
Условия и нумерация всех задач полностью соответствуют изданию «Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией М. И. Сканави, 6-е издание (М.: Оникс, Мир и Образование).
Пособия помогут при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз. Книги адресованы школьникам старших классов, абитуриентам, репетиторам и преподавателям.
УДК 51(076.1)
ББК 22.11
ISBN 978-5-94666-634-3
(ООО «Издательство «Мир и Образование») ISBN 978-5-271-37256-8
(ООО «Издательство Астрель»)
ISBN 978-985-18-0106-6 (ООО «Харвест»)
© Суходский А. М., Маслова Т. Н., 2011
© Ничкова Н. Б., Фохт О. Б., наследники, 2011
© ООО «Издательство «Мир и Образование», 2011
© Оформление переплета. ООО «Харвест». 2011
Решения к главе 1
Вычислить (1.001—1.040):
1.001.
(7-635): 6,5+9,9
13:36+13:035-1— —
16 J 24
Решение.
(7-635): 63+93 * 16
13:36+13:035-1^1:^
16 I 24
0,65:63 + 9,9 = 0,1+93 1 24 _ 21А 24 ~ 169 24 30 + 5 16 j 169 48 169
2
= 20.
Ответ: 20.
1.002.
ГГ2_47\^5+Г6_17Л
I 9 72	7 28 ,
1	10
: (0358-ОД 08) 1,6-
Решение.
Yi-47'' I9 72 >
=[^|+^:035}13-^=(0Д+1М,б-§<7б-0>7б=1.
17 Л	A	io
: 135+ ~^ : (0,358-ОД08) 1,6-^ 72 J ^7 28 J	J	25
I	7 4 3 1
0,5:1,25 + -: 1-- — -3 , л I	5711
1.003. v>-1,5 + — :18-4	3
Решение.
7.4	3 ]	(2	49	Зк
0,5:1^25 + —:!-----3	- +--------3
5 7	11 J	( 5	55	11 J	168
55
1
1 1 1
1,5+- :18-
4	3
4
7 _3
4 55
— • — = 32. 7 3
Ответ: 32.
1.004.
(2,7 -0,8)-21 ---------^- + 0Д25
(5^-1,4):^
: 2-+0,43. 2
Решение.
(2,7 -0,8)-21
:2- + 0,43 = 2
19 7 ю'з
38 70
10' 3
. +0Д25
1 2	1
-----+ —+0,43 = 0,02+0,05+0,43 = 0,5.
20 5 20
1
8
2
•-+0,43 = 5
Ответ: 0,5.
1.005.
г^ц+з- . [21+4,5)0,375 4	3 . 5 _ (6	)
1’7	1
2,5-0,43- 1 *	2,75-1-
3	2
Решение.
22;i,i+31 . [21+4,5)0,375 5+1°.
4	3 . 5 _ (6 J = 2 3. Z
17	1	5 4 5
2,5-0,4 3- 1	2,75-1 -	Э
3	2	2 3
Ответ: 5.
20 3
-1_1 = 7_2 = 5.
U5
1.006.
13,75 + 9— Ц
6)
(	1 А 5
>03-8- -
6,8-3- |-5-
;---ф*-271.
з|-з|-56	6
Решение.
рз,75+91)12 (б^-зЩ (т+у)| (т-тН
)_______6 J _________5 J 6	1 _ V 4	6 J 5	5	5 J 6
(1O.3-81V Гз—-3-1-56	* (2,3-0,5)1	(1-11-56
I	* 1 2 3J 9 ( 3 6J	9	(6 6j
11(1+11 11.11
163 =	Г 2)	5 6	163 55 2 163	169 163	)
6	18 5 + 28	6	2+3	6	6	6
10'9 •
Ответ: 1.
1 + 0Д + —|:(1+0Д- —1-2,52
,6	15 J [,6	15 J
1	1W	1А 7
О,5--+ОД5-- : 0,25-- —
3	5	6 13
1.007.
Решение.
1 + 0,1 + —|:(1 + 0Д-— 1-2,52
6	15 J (6	15 J
fl 1 П
—Ь---1--
16 10 15
1+_L__L\63 6 + 10 15 J 25
0,5-1 + 025-
Т_
13
1_1 1_11(1_11L
2 3 + 4 5 Д4 6 J' 13
1.5-11
3	25 ^21 5 =
"11.12.2’5V-
60	13
Ответ: 3.
1.008.
3-+2,5 3
2,5-1-3
0,05
1-------+5’7
--0Д25
Решение.
Ответ: 1.
1.009.
Г	5 А	1
0,4 + 8 5-0,8- -5:2-"	8)	2
( 1	(	2Y1 '2
11.8-8,9-2,6:- -34-8	I	3 1	5
к V	//
•90.
Решение.
(	5^1	1
0,4+8 5-0,8- -5:2-
7---- г... " V\ 2 90 =
1--8-^8,9-2,6:-11-34-
I8 I 3jJ 5
I	2 1
0,4+40-4-5— -90
(15 о 89 13 ЗА 172
8	10 5 2) 5
34,4 90	344-9
<150_89 + 391.172 2-172 к 10 10 +10 ) 5
Ответ: 9.
5±-4> :5А
1010 U* 3 * 5 6 *
1.U1U. / 2	\	9	7	70	7
4—+0,75 -3 — 3	13
Решение.
(с 4 л 1) . 8	f229 25 83
I 45	6 I 15 ,.2	0,3:0,01	2	45	6 I 15 240	30 2
(ЛП,<М 7	70	7	<14	3^48	7	70 7
3 J 13	3 4 J 13
83 15 90 83 240	5	1	240 5	2	5	.
65 48 7	7	6-20 7	7	7	7
1213
Ответ: 1.
1.011. 1
3	1
|+0,425-0,005 :0Д
зо^+|+з| о 3
26:3^
-0,05.
Решение.
-+0,425 - 0,005 |:ОД б-+5-
---------j-YL+-4	2-o.o3 =
30,5+4 + 3^	26:3^
6	3	7
= (0,6+0,42)-10
61 1 10
2 +6+ 3
12--26
-^77" °’0-5 = 26-7
10,2	7	1	3	7 1	х
—ч------= —।--------= 2.
34	4	20	10	4	20.
Ответ: 2.
1.012.
1	1	2	2
3-1,9+19,5:4- 3,5 + 4- + 2 —
3	2 .	3	15
62	' f 1 'l
--0,16	+
Решение.
J ,П me J „2 ~ 2	10 19 39
3-1,9+19,5:4- 3,5+ 4-+ 2—-----------+ --
3	2 .	3	15 _ 3 10 2
— -0,16
75
( 1
0,5 1 —+4,1 20
2
2 62__4_
75 25
J/21 4Г 2[ 20 +10 ;
7 14 32
—। 4. — 2 3 15
19 13 103
_ 3 + 3 40 - 16-/|
2	103 4
3	10
Ответ: 4.
1.013.
(17
- + 0,6-0,005
^40
5+ll-l^
6 3	30
4,75 + 7-
+-------:0,25.
33:4-
7
Решение.
(17
-+0,6-0,005
^40
5 1 23 - + 1-1 —
6	3	30
4,75 + 7------Л0,25 =
33:4 — 7
6/17 + 3_МП 19 15	6 51 17
= ^ЬЦ1^Ьо+Л^.4 = 1^1О+Л9_.4 = 5 + 7 = 12.
- + i-—	33-1	-	47
6 3 30	33	5
Ответ: 12.
(4,5 1|-6,75 j-1	1^.0,22:0,3-0,96
1.014. / ।	i i \ 2 + 7 зУ
3-0,3+5--- :2-	0,2- — 1,6
( 3	38	3	40 J
Решение.
^4,5-11-6,75 j	1^0,22:0,3-0,96
( i	i i Л 24	7 ГУ
3- 03 + 5- - :2—	0,2- — 1,6
3	3 8 J 3	1/40 J
(9 5_27>l 2 [2’3 4 J 3 10 2 16 V 3 3 10+ 3 8J 8
15 И.10_24	,24
11'50 ’ 3 25 _ И 4 J 3 1 25,1 8 1
(1 _ 3/ 8	Л 2V	1.8 2 5 5
[5 40 J 5	[3 J 8	8 5
Ответ: 1.
3 13
1,88+2 — —
25 J 16
26 9
1.015. д-------гт
0,625- — 18
0,216
, 0Д5
3 2 'I
7,7:24— + — -4,5
4 15
+ 0,56 :0,5
Решение.
7 з
1,88+2 —
3_
16
0,625-
13.26
18' 9
oai6+o,56:0,5
Lai5 j_________
7,7:24- + —У 4,5
4 15
(1,88+242)-^
513 9_
8 18 26
f 216 56 V 3	(72 28 V
(150 100	4 16	150 50. J
77 4 V9"5_l + fll AV
10 ’ 99 +15 J 2 8 4 [45 + 45 ) 2
. 3 8 4 = 4------------------+ -
16 3 2
= 4.
Ответ: 4.
1.016. Г16—-13—У —+2,2(— 2	9 J 33 ^33
Решение.
f16l_13Z\H+2>2fA_l\l=f”_124H+ 2	9 J 33	1^33 11J 11	2 9 J И
22 f 8	3^2	49 6 1 2 49 17 „
—-----н— —----ч—I— = —I— = 2.
10 33 33	11	18 11 3 11 33 33
Ответ: 2.
(32 13^1 1—- — -3,6
I 63 21J
0Д28:3,2 + 0,86 5	2
^12 + 0,8	0,505-j-0,002
Решение.
1.017.
(32 13 1 1--— -3,6 0428:32+0,86	63 21J 0,04 + 0,86
| -12 + 0,8	0,505-|-0,002	1+0,8
J 8 18 _8 18 9 02 5
Ответ: 8.
95_39\18 163 63 j 5 0202 - 0,002
1.018.
1	I11 Ии
3^:10+0475:0,35	77-77 :1,4
3	( lo 1j ]
1,75-1—•— 17 56
0,5-- |-3 9
Решение.
1	(11
3-:10+0Д75:035	77 ,,
3	I 10 1J
1 1:1,4	1 + 1
_ 3 2
49 5 ____________.	__________90 7 = fw_n3 Л! ’.3'
17 56 I 9j 4 17 56 18
5	718 -10 1 .-з
18-7-3 3 3
6 ---
4 2
1 +
7
Ответ: 3.
1.019.
9
0Д25:0,25+1—: 2,5 ,17	>.
7-----------------+ —+1,9 • 0,5.
(10-22:23) 0,46+1,6 ^20	1
Решение.
0Д25:0,25+1—:23 , ч ____________16____। I _ +19 1.0 5 = (10-22:2,3)-0,46+1,6 I 20 ’ 1 Р
М 2 8
17 19
10 220 А 114 40+20
23 50 5
9
8	17 38 5 11 „
1 8 40 40 8 8
5 5
Ответ: 2.
(( 1 23А 22 (	3^1	1 )
1.020. 1--— : — - 0,6:3 — -2-+3,75:1- :2Д.
Ц 7 49 ) 147 4	4)2	2)
Решение.
((Л 23Л
22
147
(311	1
- 0,6:3— -2—+ 3,75:1— 4	2	2
:23 =
((8 23)147	(33 147 ... .) _
= ((?‘49"0J6'W + W;22 = (49 22 "°'4 + У22 =
= (4,5-0,4 + 2,5) ^ = 3.
Ответ: 3.
1.021. 2:3| +
f3l:i3U+f2A_E\18U. .4 J 3 ^ 18 36) 65 J 3
Решение.
(	1 Г 1	^2
4 :3 5+4 4 :13/3 +
"г—' I 18’36 J
18) 1
65 ]’3
(. 5 1 3 65 18 Л 1 (5 3 4)1
2 • —• н— —I— * — I* — = 1 —I— + —  —
( 16 4 2 36 65) 3 4 8 8) 3
= 03.
2
Ответ: 0,5.
1.022.
0,5 + - + -+0,125 (3,75-0,625)—
4 6	।	425
1+0,4+—	12,8-025
Решение.
0,5 + — + -+0,125 (3,75-0,625)— ^+-+-+- a]0<
4 6	+ v	425 = 2 4 6 8 + 3J25-48 =
l+04+—	12,8-0,25 l + 2+ll ЗД-125
3	’	15	3 5 15
25 3 12
= — •- + ^=- = 0,625 + 0,375 = 1.
24 5 32
Ответ: 1.
1.023.
2	1 (	5 1
26-:6,4 • 192:3- -3	9
8-:2 —
7	77
2 0,5:18-11
3
18’
Решение.
81-2^
f26?;6,4Ul^:3’L2LV.l = [S0.AU96 И
l * 3 * JI 9 J 0,5:18—11 18 I 3 32 J I 5 32 J
3 60 77
7 180 1 _25 27 11 112 1 _ 45 112 1 _
1.Л.Ц 18~ 6 * l 5 3-33 18“ 2	9 18"
2 56
= -l(45-9-112-2-l)=10.
Ответ: 10.
1.024.
7 11
0,725+0,6 + — + — 40 20
0,128-6—-0,0345 : —
4	25
•025.
7 И 0,725 + 0,6 + — + — ------j-----40 20, • 0,25 = 0,128 6—-0,0345: —
4	25
= 1325 + 0,725	305
0,8-0,2875	0,5125
Ответ: 1.
1,325 + — ---------------------0,25 = 0,128 -635-0,0345: ОД 2
1.025. | (520-0,43):036-217-2—1-(з1,5:12 —+114-2-+61 — .
к	к	3	2>
Решение.
^(520-0,43):036-217-21- ™:12^ :’.У. 2* = ^223,6:036-217 — W— • —+114-+—1 t	7 J 2 63	3 2 J
-	123^	„„л ,
2 I
17>
- 31,5:12 —+114-2 —+61— =
= (860-527)- -+266+ — 1=333—330 = 3.
2
7
1
2
Ответ: 3.
1.026.
(3,4-1375)—
A-fi-L+611
18 85	17 J
Решение.
(3,4-1375)-^
2
18
(7	2
1 —+6 —
85	17
+ 03 2 +
12,5
5,75 + -2
2Д25 — 17
12,5 ]
—7---------\ "I— 2 +---- =
5 (92 104Л 2	635
— — +------
18 85 17
17 16
=^Й+1+1'1+2=3-
18 85
1.027.
( 1 3,75+2 —
J 2
2--1,875
I 2
2-+1,5 4
2,75-1-2
10 if
Решение.
S’75*22	2 4 +1,5 1() / 375+2,5 _ 2,75+1,5^ 10
21-1,875 ’ 2,75 -1 * ’11 = I2’5 -1’875 ” 2’75 J 11
I 2	2 J
( 6,25	4,25^ 10(	17 A 10 _ 33 10 _ 6
1^0,625 1,25 J11 [	5 J 11 5 11	\
Ответ: 6.
1.028. ((21,85:43,7+8,5:3,4): 4,5): 11 +11|.
Решение.
2 ,11
((21,85:43,7 + 8,5 :3,4): 4,5): 1 =+1	= (0,5 + 2,5): 4 i
=Гз I"15
"I 9
Ответ: 2.
5	21
32 10 32 _42 =2 7 21 "21 + 21 - 21 -
1 |.7+11
2 ’ 5 + 21
1.029.
11 + 3,5:111:21 + 3,4:21-0,35.
I5 4J 5	8
Решение.
(2	1 >	2	1
1—+ 3,5:1— :2- + 3,4:2--0,35 =
5	4 J	5	8
= (1,4+3,5:1,25): 2,4 + 3,4: 2Д 25 - 0,35 = (1,4 + 2,8): 2,4 + +1,6 - 035 = 43:2,4 +1,25 = 1,75 + Ц5 = 3.
Ответ: 3.
1.030.
f Г 15 4 Л 2 Л 03275 - 2— + — :12—
I 88 33 J 9 J
:0,07
(13-0,416): 6,05+1,92
Решение.
(15 4
03275 - 2 —+—
I 88 33
2 I :12- :0,07
9
(13-0,416): 6,05+1,92
(191 4 19 1 03275- —+— •— :0,07 ^88 33) 110) 12,584:6,05+132
г131 605 _9_) ЮР f 131 3 А 100
400 264 110) 7	^400 16) 7 _7 100 1 _ 1
2,08+132	”	4	~ 50 7 4 ”2
Ответ: 0,5.
1.031.
5_ 21
6 45
1-6
3 5 1Д25+1—- —
4 12 0,59
Решение.
5_21
6 45
059 И
9 7_2_
8 + 4 12 _ 11 6 59 100
59	30 11 24 59
100
±25 = 5
5’ 6	6’
Ответ: 7
6
з_|
1.032. *—

+12,5 0,64.
—: 0,0925 300
i----—-------------+12,5 • 0,64 =
0,0925
300
37 400
+ 8 =
300 37
у-------+ 8 = 3(-1)-2 +8 = 3 + 8 = 11.
Ответ: 11.
1.033. х'л „
1,3 + —
<5	17 А
-+2—- :2,5
I8 247_____
- 23+±1112
30 + 11 I 401
•0,5.
Решение.
3+2И :2,5	* + *ф1
( 8	24) л е _ ( 8 24 ) 5 2
-23 4 >11()U’
,3+ 30 +11 401
10 £
3 5 -2.2_!
"в 23	421.110 з'з
10 + 30 + 11 401 165 401
Ответ: 1.
((7 - 6,35): 6,5+9,9)-—-
1.034.
1	5> 1
1,2:36+1-: 0,25-1- 1-
5	6	4
: 0,125.
Решение.
((7-6,35): 6,5+9,9)-^
1	5^1 1
1^:36+12:025-1- 14
5	6 J 4
:0Д25 =
(0,65:6,5 + 9,9) ^-8
_______________64
(6 1 6 л 11> 5
-----+ -.4------
(5 36 5	6 ) 4
(OJ+9,9) | __________о
J_ + 24_ll | 5
30 + 5 6 4
90	3
30
1.035.
45 15.
Решение.
fl —- —113- + 3—•—	25 9 198 26
I 45 15/ 9	65 99	9 125+ 65 99
fl8l_137\l	’	f37 1241 * 2
1/2	9 J 85	[2 9 J* 85
1 52
_ 5 65 _ 1 _9
85 2. 1
18 85 9
Ответ: 9.
2:3-5
2a_iz 118
218 36 j 65
Решение.
3^2 Г3.15А5 f8_23A 147 5 , 33 147 4 3 (2 4 J~2 (7 49 J 22 = 2 +1+ 49 ’ 22 2 —+ (— 13) 2_f£LlZ) A l + 3_A.ll 16/4 ' J 2 (18 36J 65 8 8 36 65
Ответ: 16.
53
1.037.
((	13 9 A 9
4,625- ——:	'
18 26 J 4
- - 0,375 |: 0Д 25 +1 - - — I: (0358 -1,4796:13,7)
2 I 6 12 I
:- + 2,5:135:6,75 :1—
4	’ J 68
68
Решение.
13 9 19
4,625-— — :
18 26 I 4
9	I 53
:-+2,5:135:6,75 :1 —
4	68
|-0,375 j: 0Д25 +
/ <	7 \
--— : (0358-1,4796:13,7)
^6 12 J
• — +2:6,75 • — 9	Г’
68	(35	27^ 68
121	118+2’ 4 121
((37 1
0Д 25: 0Д 25 + 035: (0358 - 0Д08)	1+035:035
121 68 1 = 17
54 121’2 27'
Ответ:
17
27 ‘
1.038.
7	11	1 'I 5	3 ( 1 5 Y
з/-2^+2Л lYz-Zr 3- + -
<. 2 6Л 2__1 i 27 3 9
7 .И
5
12	18	24
19 /13	13
84 ‘ Г 42 2S:
31 52
l-ll I 13
13 A
42 "28 + 24
/12 218 + 224j Si 52/2 + 6j 4з 19:Г5В_213+АЪ2.-1Л 84 ^ 42	28 24 J 27 3 9
Y*3_^ + ^\36__3j7 + 5Y| 20 <217 36 3 13 20 [12 18 24 J 31 52^2 + 6 j] 13 _ [*72~ 31 52 T J 13
19 /223 69 t 5	29 4	” IZ-lZl + ZZ
84 /42 28 + 24/ 27 27	84 ' 56 27
(2 4 J 13 13 20
_2_ + 25	4 13
27 27
Ответ: 5.
1.039.
/ x	fl — -1,5|1,5
(32-1,7): 0,003 [20 J
(29 3 A (	14 A 1
— -•4:0,2 |2,44+1— -
35 7	25 8
62^+l,364:0J 24.
Решение.
(32-1,7): 0,003
<29 3 A
— -- -4:02
35 7
62 4-+1364:0Д24 =
3 3'
1,5:0,003 20 2 .1241	<500 9 A 20
14 4 5 4 1 20 + [в 40 2 j 1241 35 ’	’ 8 J
125_±\20_+11=1241.20_+11 = 12
2 20 J 1241	20 1241
1.040. 5-: 7
8,4-- 6-7
23 + 5:6,25)-7 8-0,0125+6,9
-20,384:1,3
Решение.
39
7
(2,3+5:635)-7 8 0,0125+6,9
-20,384:13
/ >
<42 6Г (2,3+0,8)-7Л	39 <ЗбГ ЗД-7А
[5 7^ ОД + 6,9 )	] 7 Щ 7 J
39
(73-2,9-15,68) = у
(20,88-15,68)=
39,7_ 39.26_15
7	7’5 14 ‘
15 Ответ: — •
14
Найти У из пропорции (1.041 —1.045):
Г Г 1 1 4-3,5- 2--1-I____"I 7 5
1.041. А----------------
:0Д6 32__3.1
„ 7 14'6
~41—-40 —
84	60
Решение.
( 1	1	( 23	49 А
4-33- 2--1- :0,16 41—-40—
Ц 7 5 JJ	I 84	60 J
32__3..1
7 14'6
7 33 А _4_ 16
4 2 35 I 25 35
7 7
(д-З-И-А.АЁ 2_ 25 16
I 10 J 25 35 10 4 35
2	2
, л 12:0375 - 02 0,016: ОД 2 + 0,7
1.042. —-------------------------
6—:15- + 0,8 Х 25	5
Решение.
(0,016:0,12+0,7)(б-:15-+0,8^ { —• —+—Y—•—+ -. v	у 25	5 J (125 25 10 } 25 5 5
1,2:0,375-0,2	3,2-0,2
(2 7Y2 4А 5 6
( 15 10 1 5 5 ) 6 5 _1 3	3	3’
1 Ответ: — •
1.043.
0Д25У 19_21\82 24 40 J 16
63
0,675-2,4-0,02
Решение.
fl^LLZ) 07 (— - —1 8—	±125
 Д бЗ 21J ,У'(24 40j°16 (63 21/10 15 16
(0,675 • 2,4 - 0,02)- ОД 25	(1,62 - 0,02)- ОД 25
40 63
63 40	1 5
1,6-0Д25 02
Ответ: 5.
9|1П-0^45:0,9 Л	I
1 Q44 ----------------= _i------------
103 024-15Д5:7,5	ij__42.7
40	8
9| 1 - 0,945:0,9 j-(10,5 0,24 -15,15:7,5)
-1-42;
9^“1П(2’52 2’02) 9 -~ -[20 20 j________ 2 2_4
43_35.7	43_5 9
40 8 ’	40 8 20
Ответ: 5.
[13_ 2._£.21 [11
15,2-0,25-48,51:14,7	44 И 66 2 J 5
1.045.	у	*	7—.	>~
3,2 + 0,8 5--3,25
Решение.
(15,2-0,25-48,51:14,7)- 3,2+0,8 5
13_A_J_-211.11
44 11 66 2) 5
(3,8 - 3,3)- (3,2+0,8  2,25) 0,5 - (3,2+1,8) _ 0,5 - 5
Г_5__^_.5^6
|^44 66'2 / 5	1^44 33 /5 12 5
Ответ: 25.
Вычислить наиболее рациональным способом (1.046 —1.048):
763-1,7-
1.046. -f=
V63-1.7-
1,7
te + lj)2-4-63-1,7 V632 +2-63-l,7 + L72-463-l,7 763-1,7
76,3 1,7	= 63-1,7 = 63-V = 1
7б32 - 2-63 1,7 + 1,72 J(6,3-l 7)2 6)3
Ответ: 1.
1.047.
V5612 -4592
4-0Д5+4 —: —
t 7	7 3
+4710
/
Решение.
75612 -4592
2	2 20
4 —-0Д5+4 —-
( 7	7 3
7(561+459X561-459)	/-
30	so.2.
7 20+ 7 20
3
/ \
71020 102 t 3 7TiO22 10 + 36710 3
9	2710	9	2710
I 7 J
714710 + 36-Л0	3	750710	3	375
9	2T10- 9	3
Ответ: 125.
1.048.
5-|Т-ОУ
--V2-1+ 2
.2
Ответ: -7 4
Вычислить:
2-2+5°
1.049.-------------------—
(0,5)-2-5(-2)-2 +[|
+ 4,75.
Решение.
2‘2+5°
+4,75 =
(0,5)”2-5(-2)-2 +
?+|
-----2------г+4,75 =
1____5 т2
(0,5Г(-2)2+Ы
- + 1
1	.	5
--—	1-2
, f	+4,75 = -±- +4,75 = —+4— = 5.
J______5	9	4+1	4	4
0,25 4 4
Ответ: 5.
1.050.
(0,б)° - (од)'1
3
Решение.
(0,6)°-(О,!)-1
1-10	=__z2_^-9^-9^ 3
3 Ответ: --
Решения к главе 2
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПОНЯТИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВО И ТОЖДЕСТВЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий, входит действие деления, то выражения называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
Действия над степенями
Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам: атап = ат+п; ,	(2.1)
„т . п „т-п . а : а =а ; (а")'” = атп;
(а-ЬУ =ап Ьп-,
f \П п
I £
Ijj ~ ьп
(2.2)
(23)
(2-4)
(2.5)
Одночлен
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями—умножением и возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения
(a+b)2 =а2+2ab+b2 ;	(2.6)
(a-b)2 =а2-2ab+b2 ;	(2.7)
(а+Ь^ = а3+3a2b+3ab2+Ь3;	(2.8)
(a-bf = а3 -3a2b+3ab2 -Ь3 ;	(2.9)
(a-b\a + b)=a2 -Ь2;	(2-Ю)
(a-b^a2 +ab+b2)=a3 -Ь3;	(211)
(a+b/a2 -ab+b2]=a3 +Ь3;	(2.12)
(a-bfa3 + a2b+ab2 +63)=а4 -b4 ;	(2.13)
(a-bja4 +a3b+a2b2 +ab3 +b4)=as -bs;	(2.14)
(a + bfa4 -a3b+a2b2 -ab3 +b4)=a5 +b5;	(2.15)
(a-bjifi5 + a4b+a3b2 + a2b3 + ab4 +as)=a6 -b6;	(2.16)
(a-b^a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 +ab5 +2>6)=a7-b1; (2.17) (a+ft)(a6 -asb+a4b2 -a3b3 +a2b4 -ab5 +b6)=a7 +b7; (2.18) +an~2b + an"3b2 +an^b3 +... + bn-')=an-bn , (2.19) где n — любое целое число;
(a + b^-1 -an~2b + an~3b2 -an~4b3 + ... + bn~[)= an +bn , (2.20)
где n = 2k+1, к — натуральное число;
(a+b + cf =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc;	(2.21)
(a+b-c^ =a2 +b2 +c2 +2ab-2ac-2bc',	(2.22)
(a+b+c+ctf =a2+b2+c2+d2 +
+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd;	(2’2^
(fl+b-c-d^ =a2 +b2 +c2 +d2 +
+2ab-2ac-2ad-2bc-2J>d+2cd-,	.	(2'24)
a(x~xx\x-x2)=ax2 +bx+c,	(2.25)
где xpx2 — корни квадратного трехчлена ax2 +bx + c .
Формулы (2.16) — (2.24) остаются верными, если вместо одночленов а, Ь, с, dподставить любые выражения.
Многочлен Рл(х) относительно переменной х вида
Pn(x)=aQxn + «1хл-1 + а2хп~2 + ... + алЧх + «0, где а0, al9 а2, ... ап — действительные числа и л0 *0, называется многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или многочленом, представленным в каноническом виде.
Числа а0, ах, а2,... ап называются его коэффициентами, одночлен а^хп — его старшим членом, aQ — свободным членом, число п — степенью многочлена (п — натуральное число).
Корнями многочлена Рп(х) будем называть такие значения переменной х, при которых многочлен Рп(х) превращается в нуль.
Разделить многочлен Рп (х) на многочлен Qm (х) (т < л) значит найти два
таких многочлена 5я_т(х) и Rk(x), чтобы Pn(x)=Qm(x)sn_m(x)+ Rk(x) и степень многочлена Rk(x) была меньше степени делителя 2Л1(х), т.е. к < т . При этом многочлен Sn_m (х) называют частным, а многочлен яДх)—остатком.
Для любых двух многочленов Рп(х) и Qm(x) (т<п и 2w(x)#0) всегда найдется, и притом единственная пара многочленов Sn_m (х) и Rk (х)> удовлетворяющая тождеству
Л (*) = Qm №п_т (х)+ Rk (х)	(к < т),
т.е. если делитель не нуль — многочлен, то действие деления многочленов всегда выполнимо.
Теорема Безу. Если многочлен Pn(x)=aQxn +а}хп~} +а2хп~2 + ... + ап разделить на двучлен х - а, то в остатке получим число R, равное значению данного многочлена при х = а, т.е. R = Рп (а).
Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении многочлена Рп(х)=апхп +ап_{хп~х +ап_2хп~2 +... + а0,расположенного по убывающим степеням х, на двучлен х - а применяется метод сокращенного деления, называемый схемой Горнера.
Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов частного , b2,..., 6лЧ и остатка^:
= О} + аа0,
Ьп-1 - ал-1 + а^п-2 >
Практически вычисление коэффициентов частного блЧ(х) и остатка R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).
Пусть требуется разделить многочлен Рл(х)=ялхл + ал_1хл"1 +ал_2хл-2 + +... + я0 на двучлен х-а.
Значение а двучлена, коэффициенты многочлена (Ьп_х, Ьп_2,..., ) и остаток запишем в следующей форме:
ап	ак-1	ЛЯ-2	• ..	а\	ао
ftn-l ~	Ьп-2 = ап~1 + +а6л-1	ftw-З = ап-2 * + ^л-2		+ ab\	R = ao +aft0
Отсюда записываем частное
е„-1 W =*„-!* "* +bn_2xn~1 +... + blx+b0,
если R = 0, и результат деления
Pn(x).(x-a)=Qn_l(x)+-^- или Р„(х)= (х - а)вп_{(х)+R, х-а
если R*0.
Понятие корня. Основные свойства корня
Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения корня, называются иррациональными.
Корнем л-й степени из числа а называется такое число ft, и-я степень которого равна а (п > 2 ). Обозначается tfa , где а — подкоренное выражение (или число), п—показатель корня (п > 2; п g N).
По определению у[а = Ь, если Ьп = а , или (>/л )" = а.
Основные свойства корня
Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то: а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
б)	корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует;
в)	корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;
г)	корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;
д)	корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.
Действие, посредством которого отыскивается корень и-й степени из
данного числа а, называется извлечением корня п-й степени из числа а, а результат извлечения корня в виде tfa называют радикалом.
Таким образом, множество действительных чисел не замкнуто относительно извлечения корня четной степени, а результат этого действия (корень) не однозначен.
Заметим, что множество действительных чисел замкнуто относительно извлечения корня нечетной степени, а результат этого действия однозначен.
Арифметический корень и его свойства
Арифметическим значением корня или арифметическим корнем степени и(л>2;л€ДГ)из положительного числа а называется положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет называться арифметическим корнем, т.е. >fa =Ь есть арифметический корень, где а>0,6>0 и Ьп =а.
Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа а и натурального числа п (п > 1) всегда найдется, и при том только одно, такое неотрицательное число Ь, что Ьп = а .
Правила действий над корнями
Для любых действительных чисел а, Ь и с и натуральных пик имеют место следующие правила действий над корнями:
2п+у/а • 2пУ[Ь  2п+у[с = 2n+^abc >	(2.26)
2n+^abc = 2n+tfa  2n+4b  2n+-l[c ,	(2.27)
=	(i^o) 2n+№ vft	’	(2.28)
2a+J^ = y^ (ь*о) Nb 2n+tfb	(2.29)
(^)к=2П^>	(2.30)
2п+^Г = (2п+^)*:,	(2.31)
2тч^2л4у^ _ (2m+lX2«+lj^ ,	(2.32)
(2т+1Х2л+1|^ _ 2»14^2л^ ,	(2.33)
2^а=2tiabc (а^0,6>0,с>0),	(2.34)
2y/abc = 2^[о| • 2^|й[ • 2^Й (pbc > 0),	(2.35)
^ = 2Л (a>O,Z»O),	(2.36)
2лЕ = _^1[ 2л^|	J’	(2.37)
2^ = 2nVa (а>0),	(2.38)
2пу[а =2ffia (а>0)>	(2.39)
fcfaf = 2tfa* (а>0),	(2.40)
2у/а2к = ^^a\fk (а —любое действительное число).	(2.41)
Во множестве действительных чисел рассматриваются корни нечетной степени из любых действительных чисел и корни четной степени из неотрицательных чисел, причем берутся арифметические значения корней.
Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель (или оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с рациональным числителем (знаменателем) называется исключением иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.
При исключении иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения числитель и знаменатель этого выражения умножают на множитель, сопряженный с числителем (знаменателем).
Сопряженным множителем относительно иррационального выражения А называют всякое не равное тождественно нулю выражение В, которое в произведении с Л не содержит знака корня, т.е. Л В рационально.
Рассмотрим основные случаи исключения иррациональности из зна менателей дробных выражений (аналогично выполняется исключение иррациональности из числителей):
А
1. Дроби вида пг~г , где п> к, а> 0, Я — некоторое выражение; в каче-На
стве множителя, сопряженного со знаменателем, можно взять	, так
как	• ylan~k = а.
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на ylan~k , получим
А	Апу[^ (
-г= = ~7=	,---=---------
п4ак	4ак -4ап~к а
2. Дроби ввда -т=—т=.
ja+Jb
Выражения 4a+4b и 4а -4b взаимно сопряженные, так как ra+ 4b\4а - 4b)=а - Ь, поэтому
A. а(4^-4ь) AUa-4b)
А _ Aja _ Ajb
~г=—/г - -----, е£ли а > 0, а - b;
Ha+y/b 2а	2Ь
A A{ja+jb]	A[ja+jb)
л-л”(Х-Ж^)=	"р"020-'’20'»’*4-
Выражения Ja+Jb и Уа2 -Jab + vb2 , а также Ja-Jb и
(а - b) рациональны. Поэтому исключить иррациональность из знаменателей указанных дробей можно следующим образом:
где а и b — любые действительные числа, причем а+b Ф 0.
где а и b —любые действительные числа, причем а # Ь •
где а и й—любые действительные числа, причем а+b # О.
гдеаиб—любые действительные числа, причем а*Ь. 	д
4.	Дроби вида ^7^ и
Для выражения tfa-tfb сопряженный множитель можно определить из тождества
(х-у)(х"_| +хп~2у+...+хуп~2 +у"_|)=х" -у" .
Если принять х = >[а, y = >[b , то получим
+ ^an~2b + ... + ^abn~2 +^b^^=a-b. Следовательно,
33
2 М. И. Сканави, группа А
где a*b ( а £ О, А £ 0, если п — четное; а, b — любые действительные числа, если п — нечетное).
Для выражения yfa+tfb сопряженный множитель можно определить из тождества
(х+/)(хл_1 -хл“2/+...+х(-у)п~2 +(-^)л_1)= хп +(-1)л уп.
Если принять х = у[а, у = tfb , то
fa+n4b ^4^ - 4^Ь +...+ (-l)"-2 4аЬп~2 + (- О"'1 4b^y а + (-I)”1 Ь. Следовательно,
л	А(24а2к~^-24a2k~2b+...+24аЬ2к~2 -2$^П
____= _к___________________________________________ 24а+24b	a—b
при а 0,6 О,а*Ь‘,
А
fa2k^b+...-2k^b2kl
а + Ь
где а и b—любые действительные числа и а+b # 0.
А
5.	Дроби вида I- гт I- .
Умножив знаменатель на
(jfl + 4b + 4с jfa+4b - 4с ) = а+b - с+2 Jab .
Умножив последнее выражение на а+b - с - 14аЬ, найдем ^a+b-c)+24ab^a+b-c)-24ab}=(a+b-cf -4ab-
Таким образом, множителем, сопряженным со знаменателем данной дроби,является fai+4b-4c)x(a+b-c-24ab)-Следовательно,
A A(4a+4b-4cta+b-c-24ab)
4a+4b+4c	(a+b-cf -Aab
где a S 0, b S 0, с > 0, (a+b-с)2 -4аЬ # 0.
Аналогично исключают иррациональность из знаменателей дробей
А	А
Г~ П~ Г и Г" гг г • yla+y/b-ylc ^Ja-yjb ~yjc
Если знаменатель дроби — сумма четырех квадратных корней
у/a + y[b + 4с +Jd
, причем ab = cd, то исключить иррациональность из
знаменателя этой дроби можно так:
_____А________ A^yla +jb)-[jc _ A^Ja+ylb-y[c-y/d)
-^Гс+Jdf " а+ь-c-d
где a^0,b>0,c^0,dZQ,a+b*c+d.
A
6.	Дроби вида зГ^зГГ.зП  у] Cl + у] О + yJC
Найдем сопряженный со знаменателем множитель. Для этого воспользуемся тождеством
(х + y+zjp2 +у2 +z2 -xy-xz-yz)=x3 +у3 + z3-3xyz.
Если принять х = у/a, у = y[b, z = y[c ,то
fya + 3y[b +3Jc^/a2 -^yfb2 -^-ylc2 -y[ab -y[ac -y/bc	a + b + c-£[abc .
Умножив полученное выражение на
В = (а + 6 + с)2 + 3(а + 6 + cfilabc + 9у](abtf , получим
(а+Ь+с-Зу/аЬс^ В -(a + b+c)3 -27abc .
Следовательно,
^ylb2	-y[ab-у[ас-ylbc^В
у[а +y[b +yfc	(а+6+с)3 -21abc
при у/a +y[b +у[с *0, (а + 6 + с)3 *21abc .
Преобразование сложного квадратного корня (радикала)
Выражения вида J j + .Jg называются сложными квадратными корнями (радикалами). Для их преобразования пользуются формулой
V 2 V 2
где Л > О, В>0 и Л2 - В > 0; знаки берутся либо только верхние, либо только нижние. В правильности этой формулы можно убедиться, возведя обе части формулы в квадрат. Эта формула упрощает сложный радикал, если А2 -В —точный квадрат.
Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения параметров (2.001—2.124):
х
2.001. —7=	г'-~Т Ху/Х+Х + у/х х- Решение. ОДЗ:0<х#1. yfx+1	1	_ Xifx+X + уГх х2-yfx (Vx+lVx-l) у! = Д+^+1)(У7-1У х^*Рх-1)=х ! 1 Ответ: х -1. 2.002. pVp-47?)'2+(Vp Решение. ОДЗ: р#?.	-у[х 4х +1 4х{ху[х -1) Vx(*+Vx+1)	1 5c(xVx-l)	X—1 1	Д.Л-1)* ) р-я
Jp+Jq = i | i
P-g = fe/p+l/7)2 +typ-ffl. (Vp-TilVp+Ti)=
Jp+Jq {jp-4q^	4p+4q
ylp+2^pq+4q+Jp-2^pg+4q _2(ylp+4q)^
Jp-Jq	4p-y[q
2(jp+y[g\jp+4q)_ ^p+4qf (Jp-JqUp + yfq)	P~q
Ответ:
2(у[р+4д^ p-q
Тогда
(a-bi^Ja + Jbf _ (a-bj^+^bj
((Л-ЛКЛ+Л))2
I»-*)2
(л^У
a-b
Ответ: л-----*—.
а-Ь
2.004.
((а+Ь)-п/4 с1'2 У/3 а2-пЬ-3'4
(	а3~4
о с
Ца+dJ а
6 = 0,04-
Решение.
ОДЗ: а #-6 =-0,04.
Пусть
f(a + 6)-"/4-Л2 а2~пЬ~у4
\4/3
(а+Ь)~п!3 с2!3 _ Ьсуз a^^b-1	a^^ia+b^3'
( b3c4 f6=	6V2-c2/3
Ja + ft)2^'6-8" J (a+bY/3-a^^'
Ь.с2/3	b^c2'3
Т°ГДа X'Y~ a^3 (a+6)^ : (а+б)я/3 й(8-4"Уз
= by2 = (0,04 )V2 = 70Д4 = 0Д.
b e2'3 {a^bY3 a^3
a^3 \a+b)n/3-bV2-c2li
Ответ: 0,2.
2х~^3	х2^3	х+1
2Л05. x2/3_3x-V3"x5/3_x2/}-x2_4x + 3-
Решение.
ОДЗ:
х#0, х#1, х#3.
2Х-1'3	х^3	х+1	2х-*/3
х^3-Зх~^3 х5'3-х*3 х2-4х+3 х~У3(х-3) _	Х2^3______Х4-1	_ 2______1____Х4-1
х^3(х-1) (х-1Хх-3) х-3 х-1 (х-1Хх-3)
_ 2х-2-х-ьЗ-х-1 _	0
=	(х-1Хх-3)	-(х-1Хх-3) = 0-
Ответ: 0.
Решение.
а*Ь,
ОДЗ:  а > 0, Ь>0.
Ofr
и^-шр\ :шээшо
’O< u
‘u ш
эпиэтэд
{и-шу
'LWZ
‘O < ш r
qv
_ . ШЭ8ШО
I
qo _ (q£-qvj^. + qvp-^ _
T“ q£-q^-z+t’ q^ ^qpi+^)yy{qr+qp -
+3-j2tfy-2
Ответ: у2.
Решение.
ОДЗ:0</*1.
/ 1 1-2/+/2	4t+l-2t+l2
V 4 t____________ у 4t
I ! 1 1-2Z+/2" 1 1-t	l4t+l-2(+t2 1-t
4 t	2 4t	N 4t	241
Ответ:
2.010. t.
Решение.
/+4>0,
Г*0.
Ответ: -4.
Решение.
ода:{
1 + х>0, х £ О, <=> 1-4х ф о
Гх >0, |х *1.
4х _ 4х((1-ух) ~(1 + Vx) ) (Vu7(i-V7))2 (Vm(i+V7)(i-V7))2
4х(1-2л/х + х-1-2-Ух-х) _ -16xVx _ 16xVx (1+X)(1-X)2	(1 + X)(1-X)(1-X)
Ответ:
16xVx
(l-x2)(x-l)’
2.012.
x-1 x + x'/2 + l
x°’5 + l 2
x’’5-l+x-0>5‘
Решение.
x-1	x°’5+l	2 =(x1/2-l)(x1/2+l) (x1/2)3-l	2
x + x>/2+l\h5_1+x-O,5- x + xl/2+1	‘ x!/2+1 + J_
-1X* + X"2 +D+2xl/2	,/2 _1)2 +2x./2 =х_2л./2
x + x,/2 + l
+ 1 + 2x1/2=x + 1.
Ответ: x + 1.
Решение.
a>0,
ОДЗ:
r- ,----- |a>o,
\a > 1
a + 1 a-1
Пусть %— выражение в первых скобках, Y— во вторых:
Ответ:
Х-у xl/2jI/4+xl/4^/2	х1/4г1/4
х3/4 + х1/2/,4 ’	Х1/2 + j,/2	' х1/2 -2х1/4//4 +у[12 ’
Решение.
(х>0,
ОДЗ:
[х Фу,
х-у x,/2j1/4+x,/4j1/2	x1/4j"l/4
х3/4+х1/2/4’	х1/2+у1/2	 х,/2-2х1/4//4+у1/2
Ответ:
I п I ----
2.015.
Решение.
т * +п,
ОДЗ: 5У*0,
у > 0 при т = 2к.
I (лг-л)2+4/лл 2л т2~2тп+п2+4тп у т2-п2 =уп(т~п^:у »1(т+п)(т-п)
2	т2+2тп+п2	2	(т+п)2	2 т+п
=	. ^ш(л1+л)(т-л) =	. ут(т+п)(т-п) = у^ . ут(т-п) =
2 т+п 2т-т-п т-п 1 _ут-п т(т-п) _yin(m-n) _ т(т-п) _
Ответ: п1/у.
2.016.
((z^P+z^4)2_4z2/P+2/g (z^P_z^4)2+4zyp^4
\1/2
7
Решение.
ОДЗ: z ф 0, р 0, q Ф 0.
(гг,Р +z2/4)2 -4z2/^+2/« Y/2 _((z2lp)2 +2z2/p+2,4 +(z2lb2 -4z2/^2/’ (z1/p_z1/9)2+4z1/^1/<? J -^(zl/p)2_2zl/p+l/9+(zl/9)2+42l/p+l/9
\jlp?-2jlp*2lq+(?lq)2
^zVp)2 +2zXlp+xlq +{zXlq)2
[ (z2lp-z2lq V/2
z2lp_,2lq

Ответ: |z1/₽ -zxlq\
x-
3/4 + x
Решение.
ОДЗ: x>0.
x-1 xX'2+xU4 1/4	(x1/2-l)(x1/2+l) x2/4 + x1/4 1/4
x3/4+x1/2‘ x1/2+l	x3/4+x2/4	‘ x1/2 + l '
1/2-I
x2/4(xl/4 + l)
J/4zJ/4.n
-----------x,/4 + 1 = xl/2 -1+1 = xx 2 =
1
Ответ: ^Jx.
2.018.
Z	9	9 X“ 1
1+x+x	, 1-x+x
------9“ + 2----Г 4 2x+x 2x-x y
(5-2х2);х = Д92?
Решение.
1 + x+x2 _ 1-x+x2 ---------+2	 x(2 + x)-x(2-x)
•(5-2x2) =
(2-х)(1 + х+х2) + 2х(2+х)(2-х)-(2+х)(1-х+х2Й 1 x(2 + x)(2-x)
•(5-2x2) =
2+2x + 2x2-x-x2
(. _ 21 (10x-4x3) /. „	(2х(5-2х2Ь (.
*V~2x h -n—n	P-2x2)= Г 2\'	(5
I A4’* ) J I *(4-* ) )
_ (4-x2)(5-2x2) 4-x2
2(5-2x2)	2
-2x!)=
Отсюда при x = -J3,92 имеем
4 -(Д92 У _ 4-3,92 _ 0,08
2	2	" 2
Ответ: 0,04.
64.
Решение.
ОДЗ: z = VP~ + Vx2J3 -ylx3y2 -tfy* *0.
3/ 2 3/— ЗГ 2 3/— 3/ 2 3/ Т 3L л2
= >1х +у]*У + ]/У ~УХУ ~уУЛ - чх =з/64 =
,3Л“.42-16.
Ответ: 16.
2.020.
314 + 8/д + 4/д2
V V2
Решение,
ОДЗ:
а 0,	Оа>0.
а
| 8д3	J16(a + 1)4 = J 8д3	8(1+ д)4 61б4 = 2^
(1 + д)4 V 2д4	у(1 + а)4 д4 Ь а
2^ Ответ: д

ТСх + 2)2 -8х
2.022.
Решение.
ОДЗ: 0 < х * 2.
7(х+2)2 -8х _ у/x2 +4х+4-8х _ Jxyjx2 -4х-4 _
-А = ~(Ж^ =	х~2
Jx	г~
у/х
_ Jx^2-if _ у[х -|х-2|
=	х^2	х-2	’
Отсюда:
1)для x<2,-Jx;
2) для х е (2;+°о), 4х .
Ответ: -Jx для хе (0;2); 4х для хе (2;<«).
2.0	23. ^6х(5 + 2>/б )• 7з>/2х - 2>/Зх.
Решение.
ОДЗ:х>0.'
^6х(5+2>/б) • у/Зу12х-2>/Зх = ^6х^ + 2>/б) • 7>/бх(УЗ-^) = = ^6х^ + 2л/б)^(Уб^(>/3-^))2 = ^/бх(5 + 2 л/б ) • ^/бх(5 - 2>/б) = >/бх^ + 2л/б)-6х^-2л/б) = ^36х2(25-24) = у/збх2 = Тбх.
Ответ: у[бх,
2.0	24. ^4xj 1 + 4>/б ) • ^4>/2х - 2л/Зх'.
Решение.
ОДЗ:х>0.
^4х(11+4>/б) • ^4>/2х-2>/Зх =	• ^2л/х(2>/2->/з) =
= ^4х(1+4Тб)-^Vx^-Vs))2 = ^4xJ 1+4-Уб) • ^4х(11 - 4^6) = = ^4х(н + 4>/б)-4х(11-4л/б) = ^16х2 (121-96) = ^400х2 = V20x.
Ответ: V20x.
2.025.
' а3 +а2 +ab + a2b	b \
а2-Ь2	+ а-Ь
\ /
д = 23;6 = 22.
Решение.
а3 -а-2Ь-Ь2/а
Д+А|(д+ЛГ \а а2
7
a4-a2 -2ab-b2
а3 + а2 + ab+a2b
__________ Ь__ а2-Ь2 а-Ь
1-J—z- \а + у/а + Ь
1 a J
а4 - (д2 +2аЬ+Ь2) .(а(а +1Ха+
д2(а + 1)+а/>(д+1) Ь
(a-b\a+b) а-Ь
а-Ь
а
_а4 - (а+ Ь^ /а(а+1) ; Ь
a2-a-b \ a-b a-b J
_ (a2 - a-bjp2 + а + б) а2 +а + Ь _
а2-а-Ь а-Ь
= (д2 +Д+^-1) = а_/> = 23_22=1
„2 . л . L
Ответ: 1.
Решение. [а >0, °®Uo. / 		\3/2 ( / 3ГЧ~У ^4/У. а» V 	Z— —	3		}у/2 ^/дд2/3-61/3	д(4/15)(з/2) 7 ^у	“W!” У'»)4	и-,», a(W46llf6>4
(д^-б1/8)6	«12/5 «6/4*6/8 10/3 А 2/3 = а-10/5 	2— = а-2 ,fl10/3-3/2 ,62/3-3/4 = - д3/2-63/4 !	л(-12+11Уб = д’2  д11'6 -ft-*/12 = д-2+11/6 —L =		= /,1/12	61/12 1 1 Ъ'!'1 ^Ь 1 Ответ: 	 12/^21. yja о ^jx + yll-х2 -^l-xyll-x2 2-027-	VT-x2 Решение. ОДЗ: 1-X^2-X 1-x2 #0.	a3/2 -b3^ 2 ,fl(20-9)/6 ,^(8-9)/12 = д-1/6 _ ’ bl/l2 /
Ответ: - при Vl-x2 < 0; V1 при Vl-x2 > О.
х(х2 -а2)~^2 +1 a2-Jx + a 1 2-0М- .{х-^+(х-аГ
Решение.
ОДЗ:
х2 -а2 >0, х-а >0, х*0, х-7х2 -а2 £0
х>а, х^О, а #0.
л	2
Ответ: —z--7.
х -а
Решение.
г# О,
ОДЗ:
г £-2.

аг 2^-2-а^	+	г'^а1'2 •(>-23'4)_
a3/2.2V2_23/4.fl	2^2а^2-2х/4)
o+7i
а1/2 -2^	^а-^-У4}	а^2 ^4
(а*/2-2^+2^-а1/2+21/2) a + 2V2 а+У4-а*2 а1/2^4^2-21>4)	ах>2^4	а^2^4
а + 2^а 2'/4.а'/г 2>/2 =2'/4.а'/2 = а^-У4	ах'2-2'14
Ответ: Л.
Решение,
[а >0,
Ответ: —• а
abc + 4 A be
V-------+4Л —
2.032. V	fl * a
Jabc +2
Решение.
ОДЗ: be >0.
a = 0,04.
Ответ: 5.
, n,,	+ +V(2j>-1)3
^4p + 2yj4p2 -1
Решение.
ОДЗ:р^|-
(72p+l + 72p-l
^2p+l+2y/4p2 -I +2p-l
(j2/>+l + j2p-lY2p +1 -^4p2-I + 2p-1
<^2p+\f +2y/4p2 -1 +(j2p^tf
(J^+J^x^-^p2 -i) _
(Тг^ТТ+Тг^Тхдр-^р2-!) _ г~т~
^+^~i =4р~^р -1 Ответ: 4р-^4р2 -1.
Решение.
ОДЗ: а>\.
7^7Т-У(а-1Хд + 1) j _ (1-7а2-1)У(а+1Ха-1)
•^(а-1Ха + 1)(л/а-1 -л/а + 1)	Va-l(Va-l ->/а + 1)
Ответ:
^а2 -1.
2.035.
а + 2 а 2 л/2а V2a+2 а->/2а
'а-У2 а + 2
Решение,
ОДЗ:
а > 0, а #2.
2.036
Решение.
ОДЗ:
inn > 0, пр о, т * О, р *0, тр > 0.
Зопт2р -Зтп-2у9тп2р -Зпр = -Зп(т + р).
Отверг -Зп(т + р).
2.037. ^1/2	*3/2 + *1/2 _х-1/2 ’
Решение.
[х>0, ОДЗ: j ,
хг + х2 х_____2 = (1-х)4х_______2
(V7)2-l	43 ~ х-1 ,Сз
Ответ: -
Решение.
ОДЗ: 0<а*1.
(g-l)2 а-24а+\-а-24а-\ _ (а-У)2{-44а) = _ д-1 1-д
4о	д-1	4д(д-1) 4а 4а
^~а
Ответ: -т=->1а
2.039.	°	—---------------;
4а3'2Ь~2	+9b^ «3/4-ЗЙ5/3
Решение.
а312	Ь2 -а3'2
Ь2	Ь2 _ ь2
у1а3/2Ь-2+6а3>4Ь-У3+9Ь4/2 ^4-ЗЬ3'3 \ Ь2 + й+1/3 +
Ответ: -4.
___1
2.040. S Ь+с • f 1 + б2—-'— "I: а~^~с; 1	1	2bc abc
— + -  \	7
а Ь + с
а = 0,02; Ь = -11,05; с = 1,07. Решение.
1	1	Ь+с-а
а Ь + с । | Ь1 +с2 -а2\а-Ь-с _ a(b + c)
1	1	2bc abc Ь + с + а
а Ь+с	a(b + c)
2Ьс + Ь2 +с2 -а2 ----------------х
2Ьс
abc (b+c-a)a(b+c) (fr2 +2bc+c2)-a2 abc _ a-b-c a(b+c\b+c+a) 2bc a-b-c _b+c-a (b+c)2 -a2 ab _ -(а-Ь-сУр+с+а$р+с-а)а b+c+a 2 a-b-c 2(b+c+a\a-b-c) = -(b+c-a)a = (a-b-cfr = (0,02+11,05-1,07)0,02 =
2	2	2	” 4‘
Ответ: 0,1. 1	1 a2 +2
X04L ^)+^T7-
Решение.
ОДЗ: 0£a*l.
1	1	д2+2 1-Va+l+Va a2 +2 _ 2
2^+Va)+ 2^-Va) 1-a3 2^ + Jafa-Ja) 1-a3	2(1-a)
a2+2	1 a2 +2	_ 1+a + a2-a2 -2 _
(l-a)^ + a + a2) 1 - л (l-a)^+a+a2) (l-a)^+a + a2)
(l-a^l+a+a2) a2+a+l
-1
Ответ: “5	7
a +a+l
2.042.
a = 0,32; x = 0,08. Решение.

-Jax _ - 70,32 0,08 _ -0,16 _ j 2x-a ~ 2 0,08-0,32 “ -0,16 ”
Ответ: 1.
(mn-lY” +	(mn + lj1 m
n2m ' mnm (тп-1/(пин1)п (mn-tfn"n
2n ”__
(/мл-1/” (п?и + 1)л m2n nm~n	nn
[mn-tf1 (mn+iy1 n2m mn ^2m mm
Ответ:
Решение.
x> a > 0.
Ответ: 1.
Решение.
ОДЗ:0<х#1.
Ответ:
2.046.
Решение.
(х #0, °Д3: [—1<S JC <1.
Ответ: -1,
2.047.
a-b a2+b2+а
i 24~Ь 1а2ЛЬГЬ? \i2 +b+ab+a).. (46 4 +4ab2 + a2): fab2 +a)
Решение.
ОДЗ:
a#+-“2’
• 2д2 + ab-b2 Ф 0, <=> a*0, 6*0
a * -b, a *0, 6*0.
a-b _ a2 +b2 +a	a-b _ a2 +b2 +a
l	^ + <,b^).2‘-b/‘, + bl2‘-b'>x
[4b4 +4ab1 +a2):l^b2 +a)	^2 +af
2b2 + a (a-b\a+b)-a2 -b2 -a
x(f>2 +& + a£ + a)=-
r	2b2 + a	'	’
2,2	2/2
a -b - a -b -a
(a + b)(2a - b)(2b2 +a)
(b(b + V) + a(b + V)) =
=_	(;,+1)(0+6)=z«±i). ±ll.
(а + b)(2a -b)(2b2 +a)	2a-b b-2a
b +1 Ответ: ----.
b- 2a
2048 Qp-9^y -3m:f,=Oi78;,=7;2S.
2p + q	2 +pq
Решение.
(2p-q)2 + 2q2 -3pq 4/;2 -3pq _ 4p2 -4pq + q2 + 2q2 -3pq
2p~'+q2	1 + Pq2	~ + q2
P
X 2 + Pc!2 = ^P1 -Ipg + ^bp. 2 + /X/2 = (p-q)(4p-3q) p(4p-3q)	2 +pq2 p(4p-3q)	4p-3q
7
= p - q = 0,78--= 0,78 - 0,28 = 0,5.
25
Ответ: 0,5.
/	3	_	\ (	2	2A
РЧ________2/ </-_ pg . p___________p g
2'049' [(p + f/)5/2 (p + <?)3/2 Jp + q) \<p + q)511 <P + q)V2, Решение.
ОДЗ: P + q > 0 <=> p > -q.
(	3 o2	\ (	2	2 A
___pq ipq , pq . p____________________p q
Sp+ч)5 2 (p+q)312 ylp+qj l(p+?)5/2 (p+^)7/2>
pq j q2	2</ iij- p2	fi g 1
(p+«7)1/2 {(p+q)2 p+q ) (p+q)5/2 I p+qJ
РЧ	(ч2 ~^ч(р+ч)+(р+ч? 1 Р2 . (Р+Ч-Ч
(р+ч)'12 [	(р + чУ	) (р+ч)5/2 I P + q
РЧ^Г -'-РЧ-~Ч2 +р2 +2-РЧ + Ч2} (р+ч)5/2 (р+ч)__ (р+чУ2-(р+ч)2	Р2Р
(р+Ч)	P
Ответ: q(j> + q).
2(х4 + 4х2 -12)+ х4 + 11х2 +30
2.050. ----------/----------------
х +6
Решение.
2(х4 + 4х2 -12)+х4 +11х2 +30 2(х2 + б)(х2 -2)+ (х2 + б)(х2 +5)
х2 + 6	х2 4- 6
(х2 + б)^(х2 — 2)+Х2 +5)	->	2 с о 2 1 1 о 2
= -^-------------------t = 2x~ -4 + х2 +5 =3х2 +1 = 1 + Зх2.
х“ + 6
Ответ: 1 + Зх2.
Oy/b+aja-by[b-ylab2 ay[b-yla3b2 -yfb^ + aja a = 4,91; b = 0,09. Решение,
= a + b = 4,91 + 0,09 = 5.
Ответ: 5.
Решение.

1-х2 >0,	1-1<х<1,
х # 0 [х # 0.
Ответ: 1 - х2.
Решение.
ОДЗ:-1<р<1.
л 2
Ответ:---т-
1-/
2.054.
За2+2ах-х2 ах-Зх2
(Зх + а\а+х) + а2 -9х2
Решение.
ОДЗ:
а х#±—, 3 хФ-а.
За2 +2ах-х2 1П ах-Зх2 ~(х+а\х-За} о (Зх+аХа+х) + а2 -9х2	(Зх+а)(а+х)
, 1Л.	х(а-3х)	_-х+За_*	10х _
(а-ЗхХа+Зх) Зх+а Зх+а
_ -х+За-6х-2а + 10х _ Зх+а _ Зх+а	Зх+а
Ответ: 1.
Решение.
ОДЗ: х*+у.
Ответ: l]x + y -ljx-y.
2.056.
а +1 b(abc + а + с) а b
1	4
Решение.
а+—
*> + -с
ОДЗ.
b(abc + а + с) * 0.
4	. b__________4
д + _£_ ab + \ b(abc+a+c) < bc+l	j
f 4bc+4 ab+1________4
la^c+a + c b b(abc+a+c)
4ab2c+4bc+4ab+4	4
b(abc+a+c) b(abc+a+c)
r4b(abc+a+c) b(abc+a + c)
1 Ответ: —•
2.057.
(x + yf-4xy x2 -xy
Решение.
I x Ф ±y,
ОДЗ: ।	°’
1^*0.
“2
X (x+?) -4xy x4 y-xj x2-xy x2y2-y4
x4 (y2-2xy + x2 x2-2xy+y2>
X/p-y2) [ X2 x(x-y)
y2(y-x)2 x4	(x-j)2 X-y
x*	y2\^c2-y2)~ {x-y\x + y)~ x + y‘
„ x~y
Omeem x + y
2.058.
Y i t i A ja+*+c,
1 1 Yl
1+ к
b2+c2-a2\ 2bc
a = I — ;b = 0,625; c = 3,2.
40
Решение.
2 , „2
1+_L_1[1___i_
a b+cfl a b+c
2bc
_ f a+b+c -a+b+c \ 2bc+b2 +c2-a2 _
I a(b+c) a(b+c) J	2bc
_fa+b+c a(b+c) (b2 +2bc+c2)-a2 _
^a(6 + c) -a+b+c	2bc
_ a+b+c 2bc _ 2(a+b+c)bc _
-a+b+c (b + c)2 -a2	(-a+b+c\b+c-a)(b+c+a)
- 2bc -	2 0,625 -3,2	_	4 -l-i
"(-a+Z,+c)2"r ЗЗ	У“(-1,825+3,825)2 "4_ '
— 1 F ILoZO + J,Z 40
Ответ: 1.
7x2 i'
Х059-
X 1	1
— — + -у2 У х
(х-у)2 + 4ху 1 + у/х
Решение.
ОДЗ:
х * О, у # О, х*-у.
х+у
2	2
х -ху + у
х + у 1	_ 1
у (х+у)х ху
1 Ответ: —• ху
f 3	2	1 4
2.060. 2х-у 2х + у 2х-5у
Решение.
ОДЗ:
С 3	2	1 \ У2	= (3(2х + у)-2(2х-у)	1
^2х-у 2х + у 2x-5yj4x2-y2	(2х-у\2х + у)	2х-5у
у2 _ (6х + 3у-4х + 2у _	1 'j 4х2-у2 _
4л2-J2 [	4x2-j2	2x-5j J у2
2x + 5j>	1	^4х2-д>2 (2x + 5^X^v-5>J-4x2 + у2
°	J'—/— =	(4л= !К-5.г)	х
4х2 -у2 _ 4х2-25у2-4х2 +у2 4л2 - у2 -24у2
З'2	{^х2-у2\2х-5у)	у2	(2х-5у)у2
-24 _ 24
2х - 5у 5у - 2х
24
Ответ: 7 т~ 5у-2х
2.061.
л-2 +2х-
11х-2
Зх + 1
х+1-
% = 7,(3)
Решение.
х2 +2х-
Их-2
Зх + 1
2х2 + х + 2
Зх + 1
Зх3 + 6х2 + х2 + 2х-11х + 2 Зх2 +Зх + х + 1-2х2
Зх + 1	Зх + 1
= Зх2+7х2-9х + 2	Зх + 1 _ Зх3+7х2-9х + 2 _
Зх+1 х2+Зх-1	х2+Зх-1
_ Зх3 +9х2 -Зх-2х2 -6х+2 Зх(г2 +Зх-1)-2(\2 +Зх-1) х2+Зх-1	х2+Зх-1
= fe_t?AlZ.!^3-5~2) = 3x_2 = 3-7,(3)-2 = 37--2 = 3-7--2 =
х2+Зл-1	9	3
22
= 3-—-2 = 22-2=20.
3
Ответ: 20.
1 с 1 п + 4^ 2.062. 6я“ +5tf-l +-----
\	я +1
Решение. ОДЗ: r/*-l.
За-2 + ——
а + 1
6а2 + 5а -1 +	: (за - 2 +	1 =
а + 1 J V a + lj
(д + 1)(6д2+5д-1)+д + 4 (д + 1)(Зд-2) + 3 = 6д3 + 11д2+5д + 3* д+1	’	д+1	д+1
д+1	6д3 + 2д2 + 2д + 9д2 + Зд + 3
'	2	о
За + а +1	За + а +1
2д(3д2+д + 1) + 3(Зд2+а + 1) (Зд2+д + 1)(2д + 3)
Зд2 + д + 1	Зд2+д + 1
Ответ: 2д + 3.
х 6-64 х2 4х2(2х + 1)
2,°63' 4 + 2х-1+х~2'4Л+J_'	1-2х
х X2
Решение.
ОДЗ:
х*0,
1 х*—.
2
х 6-64 х2 4х2(2х + 1)_- х6 6 х2
4 + 2х-1 + х-2 4_.1 + J_	1 -2х	4 + 2 + X 4х2 -4х + 1
X X2	X X2 х2
1-64х6
4х2(2х+1) =	/________х4 * 4х2(2х+1) =	1-(4х2)3
1-2х ~ 4х2+2х+1 (2х-1)2	1~2х	х4(4х2 +2х+1)
х4 _ 4х2(2х+1) _ (1-4х2)(1+4х2+ 16х4) _ 4х2(2х + 1) = (2х-1)2	1"2х	" (4х2+2х + 1)(1-2х)2	1“2х
_ (1-2х)(1 + 2х)(1+4х2 +16х4) 4х2(2х + 1) _ (1 + 2х)(1+4х2+16х4)
(4х2+2х+1)(1-2х)2	1-2х	(4х2+2х+1)(1-2х)
4х2(2х + 1) = (1 + 2х)(1 + 4х2 +16х4) - 4х2 (2х + 1)(4х2 + 2х +1)
1-2х	(4х2+ 2х + 1)(1-2х)
(1 + 2х)(1 + 4х2 + 16х4 - 16х4 -8х3 -4х2 (4х2 +2х+1)(1-2х)
)	(1 + 2х)(1-8х3)
.(4х2 +2x+ljl-2x)
(1+2хХ1-2х)(1+2х + 4х2) (4х 2 + 2х +1)(1 - 2х)
= 1 + 2х.
Ответ: 1+2х.
4а2 -Ь2
2.064.	-----Sb-toV.ab’
Ь3+2аЬ2-За2Ь а2-Ь2
Решение.
ОДЗ:
6*0,
Ь -Зя, b Ф +а.
4а2-b2	2аЬ-а2-4а2 +62
26 + а---__ fl3f>_2fl2fc2+afc3	...
Ь3+2аЬ2-За2Ь	а2-Ь2	б(б2+2а6-3а2)
аб(а2 -2а6+62)_ (а2 +2ab+b2]-4а2 ab(a-b)2 _ (а-бХа + б)	аб(б+ЗаХб-а) (а-Ь^а+Ь)
_ (a+b)2 -4а2 _ (а+b-2а\а+b + 2а) _
-(б+ЗаХ«+б)	~(b + 3a\a+b)
_ (b-a\b + 3a) __Ь-а _ а-Ь
-(б + ЗаХа+б)	а+b а+Ь
а-Ь Ответ:----
а + Ь
Решение.
ОДЗ:
х > 0, у >0, X * у.
(Vx -V7xVx +V7)
Ответ: x + y.
2.066.
Решение.
ОДЗ:
х >0, j>0, X * у.
y/у^ +yjx4y -ijxy4	(V?+^lx4y)-(^jxy4 +
Jx(4x^ + -/^)-у[у(4х^ +	_ 4х(х + у)-у[у(х + у)
‘\[y(tfy4 + >[x4)-Vx(tfy4 +^Х4) л[у(х +y)-Vx(x+у)
(x + y)(Jx-Jy) _ (л/х-^Хл/х+^/7) (x + ^X^y-Vx) -(4у/х-4у[у)
=-(4^+4V7).
Ответ: -($fx + ^[у).
a^1 +ab 1	а
2 067- a-V3_e-V6ft-VJ+r2/3"3^-
Решение.
b*0,
ОДЗ:
а>0,
b* -aV^ +aV3 #0.
Ответ: а5^6.
2.068.
1	1	2	4с2 ’
a2+b2+ab a2b2
a = 1^b =—.
Решение.
f-)a+6+2c) a+b (a+b+2c)
(a b ab )_________ gb v_______
1	1	2	4c2 ” a2 +2ab+b2 -4c2 ~
a2 b2 ab a2b2	a2b2
(a+b-2c\a+b+2c)
________ab_________(a+b-2c)(a+b + 2c)a2b2
(a+b)2 ~(2c)2	~ fa+b)2 ~(2cf)ib
a2b2
_(a+b-2c\a+b+2c\ib	J_=37 A = 1
(a+b-2c\a+b + 2c)	~ ’37	5 37 * 1
Ответ: 1.
a^-laV+ab4/3 V3 2.069. a5/3 _ a4/3bU3 _ ab2/3 + a2/3b  a
Решение.
a*0,
°ДЗ: a5/’ - a'W - ab2'3 + a2'3b # 0.
a3'3-la3^3 +ab^ w a3/3(a^+Ь4'3)
_aWbV> _abW + aWb •a a^P -a^bV3 _aVbW +^/3)X
1	H-fe2^)2
(aV3 -a^b'l3)-^3 -b3'3) a2'3^-b^}-b2l3^-b»3)
(^-/7	_^-^Jgv?-^P+^)_aV3 +fcl/3
(а'/’-б'/зрз.^л) а>/з_51/з aV3_fei/3	•
Ответ:	.
Решение.
ОДЗ: a*±b.
(а2 -Ь2)(Уа - Vfr)(а + 1>Ха-б)(Уа -V&)
(а^Ха-4^-^)_а (a+Z>)(Va-V^)
Ответ: a-b.
(m-l)Jm-(n-l)Jn
2.071. i 3	2
vw n + mn + m -m
Решение.
w>0,
ОДЗ:<и£0,
Jmn +n 4-w-l#0.
m -yjn
Ответ:
m
2.072.
Решение. ‘
ОДЗ: а^О.
Ответ:	- ylb^.
2-073- (й+йй-й)’
Решение.
у15-2у[б	_ 73-2л/Г2 + 2
Л-Л
ДЛ-Л)2 ..Уз->/2_1 Л-Л Л-Л
Ответ: 1.
,a\/m _aVny2 + 4д(т+л)/(тл)
2.074. ~------------- „I „I ’•
Решение.
а > 0, если т и п — четные числа,
ОДЗ:
’ а Ф О, а Ф 1.
^1/т _а1/л^2 +^д(т+л)/(тл)
(a2/m -а2/л)('”7^Т+'^Т)
а2/т -2а|/л1а1/л +а2/" + 4а(л|+л^/('лл^ " (ах'т -аХ1п\ах,т + «1/л)(а('л+|)/,л + а(л+1>/л)
_ a2/>”-2a<1/”,^1/")+a2/"+4fl(i;",KI/',)
(J/m -a1/")(a,/m +a1/”)(a1+I/m +a1+,/")
a2lm +2а(Х1т}^1п}+аг1п ~ (ax,m-axln)(ax/m +aX/n)(a al/m +a-ax/n) ~
___________(aX/m+aX,n)2___________ 1	1
(ax/m-ax/n)(aVm +ax,”)a(ax/m +ax/n) ~ a(ax,m-alln) aC^-Va
Ответ:
1
2/™-9x2/")(wJ7^3;
2.075. ^2,m-9xzln)(^x'-m-?:\lxx-n) (х1/,"+Зх1/”)2-12х(т+")/('”л)
Решение.
x > 0, если т и п — четные числа,
ОДЗ:
х 2тп/^т~п^
(х2/л< -9х2/л)(7х|-Я1 -зУх'~л
(х1/т+3х,/л)2-12х('п+л)/('лл)
= ((х1/л>)2 -(3x(1/w))2)(x(1-w)/,n -Зх(1~л)/л) = х2/”' +6?/л,г1/л +9Г2/" -12х(|/л')+(1/л)
(х1/л> -Зх1/л)(х|/,л +3х'/л)(х(|/л|)~' -Зх(1/лН
2/т_6х(1/т)+(1/Я)+9х2/и
1/m о 1/и
(х1/ш -Зх,/л)(х1/'л + 3х|/л)(----——
X X
(х|/л,-3х1/л)2
(Х^т _3х1/й)(х1/т +Зх1/Л)-—(х1/,Л -Зх1/Л) xVm +3jf
(x1/m-Зх|/Л)2	X
х1/л'+3х1/л
Ответ:
X
2.076.
'45-4V3
Решение,
V45-4V3
+3) =
6__
Т5-4
6(715+4)
= 6(V15-+^ + 30 + 6л/й = -бТ?5 - 24 + 30 + 6-У15 = 6.
15-16
Ответ: 6.
a~* l -b~' a2b2
2*077- а-3+Ь-3 '(а + Ь?-Заь[ ab ,
а = 1-л/2;й = 1 + >/2.
Решение. i 1	1
-1	A-'	„2.2	(z.2 A2 V ------7	„2t2
a —b a b a — b _ a b	a b
a"3 + b~3 (a + b)2-3ab I	. 1 a2 +2ab+b2-3ab
♦ v	7 zJ дЗ
a b
b-a
ab _ ab a2 -ab+b2 ab _	(a-b}a3b3
a2-b2 a3+b3 a2b2 a2-b2	ab(a + bffi2 -ab + b2)
~7b3~
a2-ab+b2 ab = _ ab = _ (l-JlKl + J?) 1 a2b2 (a+b\a-b)	(a+b)2	(1-V2+I+V2)2 4
1 Ответ: — •
4
2.078. ----------+ -5-------+ -5-------
^/“+3r + 2 Г+4/ + 3 / +5/ + 6 J
(t-3f+\2t 2
Решение.
ОДЗ:
t * —3,
t *-2,
r 1	2/	1 V (/-З)2 +12/ =
J2 +3/ + 2 +12 +4/+3 r2+5/ + 6j 2
_(	1	2t	1 f /2-6/+9 + 12/_
<(/+2X/+l)+(/ + 3Xr+l)+(z+3X/ + 2)J ’	2
_ f t + 3+2l(t+2)+l + l V t2 +6/+ 9 _ f 2(t+2)+2t(t+2) Y (/ + 3)2
\ (/ + 1X/ + 2X/ + 3) )'	2	_[(/+lX/+2X/ + 3)J ‘ 2
_ ^(/^Х/пУ^з)2 _^гН^П+з)2 _2
 2M/+2X/ + 3))2 ~2(t + 2nt + \nt + lT 
Решение.
ОДЗ: т > 3.
Ответ: V2(w4-3).
(а - b)2 + ab а5 +Ь5 + а2Ь3 + а3Ь2
2.080.-----\: —о--------;---з-----5---;---Г
(a+b)2-ab (а3 + b3 + a2b + ab2)(a3-Ь3)
Решение.
(я Ь,
ОДЗ: 5 А
[а ф —о.
(a-b)2 +ab а5 + Ь5 + a2b? + a3b2 _ a2 -2ab + b2 +ab t (a + b)2-ab (a3 +b3 +a2b + ab2)(a3-b3) a2 +2ab + b2 -ab
(a5 +a2b3)-^(a3b2 +b5) a2 ~ab + b2
((а3 + Ь3) + (a2b + ab2 ))(а3 -b3) a2 ±ab + b2
((a + b)(a2 -ab + b2) + ab(a + h))(a-h)(a2 +ab + b2) _
а2(а3 4-63) + 62(а3 4-Z?)
_ (°2 -С1Ь^Ь2)(а+Ь))(а2 ^b2)(a-b) _а_^
(a^b)(a2 -ab + b2)(a2 +Ь2)
Ответ: а — Ь.
2.081.
Решение.
ОДЗ: t > 2.
Ответ:
2-082, b(abc + a + c) .	1	’ Г
'	' а ч-------а ч—
b + l/c	b
Решение.
ОДЗ:
abc + а ч- с # О,
Ьс Ф —1, ab * -1.
b
ab + \
6 # О,
1_______6с+ 1	ab + \ = l-frc+QH+l)
b(abc+a+c} abc + a + c b	b(abc + a + c)
_ 1 -ab2c-ab-bc-1 _ -b(abc + а + с) _ b(abc + а + с)	b(abc + а + с)
Ответ: -1.
2.083.
2-х+4х2 +
5х2 -бх+3 Л. . 2х А --------- : 2х+1+--- .
х-1	х-1 I
Решение.
ОДЗ:х#1.
(_	, 2х )
: 2х+1+---- =
1	х-1 J
2—х + 4х!
Х-1
(х+Цх-1 + х)
4х3 -Зх+1 х-1	2х2+х-1
2х — 1	2х-1
Ответ: 2х-1.
а-1 . _ 2-Ь\ 6-1 ’ "а-2 ’
(2-Ь	а-1) (, а-1
2.084. Н~Т+2 “—у 1: Ь-—+а-I о — 1	а —2
a = V2+( Решение.
(2-b ^,a~L\(h.E—L	2~b^ (2-b\a-2)+2(a-l\b-l)
^6-1+ л-2; b-l+a а-2J (Ь-1Ха-2) Ь(а - 1\а - 2)+ a(2-b)(b -1) = ab-2 (b-l\a-2)	=
(b-l\a-2)	~ (b-l\a-2) a2b-ab2 -2а + 2Ь
_ ab-2 _ ab-2 _ 1	1
ab(a-b)-2(a~b) (a-b\ab-2) a-b 72 + 0,8-72 + 0,2
, .... - f «V <’ + b/b	Г--'j [ V<7 + 4b
2.085.	I—  [—	у ab •	.
Ju +yjb J a-b J
Решение.
ОДЗ-J/’>0,
f _ 4i t \lb \(4a ч jb)(4a -4b),
(%G -4b)2
Omnein: I.
2.086.
e~~,~ a - Va~ —b~
+	-b~
a i- у/a~ -b2 Wa4-a2b2
T-7a^^) W2
Решение
ОДЗ:
2 12 a ~b
b^-0.
>0,
/2	>2
-b
4yla4-a2b2 (5b)2
I 2 ”/ 2 a - V a - b J
(а~Уа2 -62)2 ~(а + 7а2-Z>2 )2	25b2
(а + >la2 -b2 )(a -7a2-b2)	4^а2(а2-b2)
_ а2-2а^а2-b2 +a2-b2 -a2-2a^a2 -b2 -a2 +b2	25b2
a2-a2+b2	4-|а|-7а2-*2
_ 4a^a2-b2	25b2	_ _ 25а _ (- 25, если a > 0,
b1 4-\a\-yla2-b2 ~ H " [25, если а < 0.
Ответ: -25, если а > 0; 25, если а < 0.
2.087.
л/3(а-Ь2)+ 736^8^ J2^-J2c ^2(a-b2)2 +(2bj2a)2
Решение.
а >0,
ОДЗ:
• о 0, 2(a-b2)2 +(2bj2a)2 *0.
J3(a-b2) + j3b^ ^(a-b2)2 +(2b42a)2
у[2^-у/2с- V3(a-62)+2V3/>2
42{4а-4с)	4з(а-Ь2 + 2Ь2)	y/2(J^-Jc)Jac
^2.-^1. J2>la2 -2ab2 +b4 + 4ab2	4i(4c-ja)
4a 4c
_	a + b	-Jac _-(a+b )-Jac _-(a + b yjac
-\la2 + 2ab2 +b4	*	^/(a + Z>2)2	a + b2
Ответ: - Jac.
i ». ин. ite.
ОДЗ:
Omee n:
Реше tue.
. и * ±8, °да „«о.
Ответ: 2.
2.090. (a-b)3(4a +4b) 3 + 2a4a +b4b 3(4ab-b)
a4a+b4b	a-b
Решение.
a*b,
ОДЗ:
a > 0, 6>0.
(a-b)\4a+Jb)~3+2a4a+bjb ! 3(7oK-6)
a-ja+bjb	a-b
(A-Tti3___________' з4ь[4^-4ьу
ayfa+bjb (4a -4b)(4a + 4b)
(a-b)3 +(2a4a +b4b)(4a +4b)3 t 14b
(4a+4b)3(a4a+b4b)	4a+4b
За3 + 9a2b + 9ab2 + 3b3 + 9a24ab + 9b24ab +6ab4ab a3 +3a2b + 3ab2 +b3 + 3a2 4ab + 3b2 4ab + 2ab4ab
_3(a3 +3a2b + 3ab2 + b3 +3a24ab ^3b24ab ^2ab4ab) _ a3 + 3a2 b + 3ab2 +b3 + 3a2 4ab + 3b2 4ab + 2ab 4ab
Ответ: 3.
2.091
x'^+x'V6' ^'V'3-*1'2?2'3	’
Решение.
ОДЗ:
x *0, у #0, X *±у.
х^-у^	(x>/3+?Z3)2-^	2/3 1/6	;;
xl/2+xI/3jI/6- х5/6>,1/3 _х1/2у2/3	У х3/6+х2/6д,1/6
(х2/6+>>2/6)_4х2/6>,2/6	2	=
Х у5/6„2/6_ г3/б„4/6	+ „2/3 „1/6	2/6/J/6 . „1/6чХ'
л у л у	л у л	т у J
х4'6+2х2У'6+//6-4х2у/6	2	л-'/6-/6
Х х^у^^-у2/6)	+ х^у'Р v2/6(x,/6+JV,/6)X
x4/6-2xy6/'6+/'6	2	х1'6-/6	(х2/6-уУ6)2
Х х^у^х^-у2!6) + x4V6 л%1/6 +3',/6)'х3/6?2/6И6 ~Г/6Т
2	х1/6-/6	х^-^6	2	= (х|/6-/6)
+ x4V6 х2/6(х'/6+/6)' х3'6.Л6 +xV%|/6'_P/6(x|/6+/6)X
2	Jx1/6-/6)2	2
Х х’/61Л6	+г4/М6'	y5/6v2/6 ~+ ЛМ6
•Л у	Л у	I	•'V у
_ X2/6 -2х116ух>6 +y2/6+2x'l6y'l(> _ х2/6 + V2’11' _ х1'3 +у'>2
Х^у^ 	= А.^//6 =	•
XV3 + yV3
Ответ:
2.092.
Решение.
ОДЗ: х*±1.
1
Ответ:	Г
х -1
Решение.
Г > О,

14*	t.141-2 ijllf+lji-l) 2к
' 4i i.i4i-2
Ответ: 2-Уз.
т4^3 -21т^3 п тУ3 + Зу[тп + 9п2!3
Решение.
ОДЗ: ш#0.
-21т^3-п (. v[7] зГ~2 _	m^3(m-27n)	.
m2/3 + 3& + 9„2'3 \ К Р™ ‘ т*	+9п^
К-M „	т»
}[т	т2^3 +5т^3пУ3 ^9п^3 т^3 ~Зп^3
_ т^3(т^3-Зп^3\т^3 + Зт^3пУ3 + 9л^3) тУ3 т213+Зтх13пх13+9п213	тУ3-ЗпУ3
= т2^3 -т2^3 =0.
Ответ: 0.
р-3	12	3
2.095. zp2+3p :z9~p2 -z3p~p2.
Решение.
ОДЗ:
0 < z * 1, р*0, р * ±3.
р-З 12	3	р-3	12	3
zp2+3p :z9~p2 'Z3p~p2 =zp2+3p 9~p2 3p~p =
p-3 t 12	3	(р-ЗУ+12р-3(р+3)
_zpG>+3) 0>-ЗХр+3) p(p-3) _z pG^+3)(p-3)	_
p2 -6p+9+12 p-3 p-9	P2+3p	p(p+3)	1
_ z p(p+3Xp-3)	_ z p(p+3)(p-3) _ z p(p+3\p-3) _ z p-3
1
Ответ: z p~3.
2.096.
Решение.
x>0,
ОДЗ:
a *0.
2	2
a _ a 4(x-a2) 4(a2-x)
a2
Ответ:----z-----
4(a2 -x)
2.097.
Решение.
ОДЗ: x>0,x*2.
4 M. И. Сканави, группа A
97
= 2.
Ответ: 2.
Решение.
1>0,
ОДЗ:
Ответ: 1.
2.099.
Решение.
• [х*0,
ОДЗ.
у * 0, х * 8 у.
(х2|/3+2^/ху + 4у2^3) С /7) х2/3+2х1У3+4у2/3 ( 3jT_
М (x4/3-8>-x,/3):x1V3| V7/
= ^+2xV+4/J 2^?-V7 Jp3 + 2х[У3 +4У2/3 V3
*1/3(*-8Л ' V7 =	W-fc/3)5 Х
х'/^’/з
2V7-V7 _	(х^3 +2x'/3yV3 +4//3У3	2у‘/3 -х‘/3 _
Х з/7	^3-2у^3+2х113у^3+4уУ3)'	у*3
у''3	2/3-х''3 =
2у'13-х1/3'	у'/3
Ответ: -1.
I-+2-2^)4+^ rFTZZ
2.100.		f—5------L-zVzJ- + 4+z.
z-2+-	Vz
Решение.
f-^A.Az + z2 z2-2z + l	ZV V z
, ) О-гЖгЬ fe-if ' fr-tf
- z(2 + z)= (z + if z - z(2 + z)= (z+2)z(z+2 -1)=z(z + iXz+2).
Ответ: z(z + iXz + 2)
2.101.
' 1 a2 +4 \Га 1 • 1 Y' <a + 41 a3 +2V2 Д2 V2 a J
Решение.
ОДЗ:
a 0, а Ф -42.
/	п\/	\— \ f
1 a2+4	__L + ll =	1 a +4
a + V2 a3 +2V2 ^2 4*2 a J a + 42 a3-^^42^
fa___1_ fl_f 1_____________g* 2 + 4	a2-42a + 2
y/2 a) ^a + ^2 (a 4-	~~>f2a + 2)^ 2л
a2-42a + 2-a2-4 a2-41a + 2 _ -42a-2 1 =
(a + V2 )(a2 - Via + 2) 2a ” a+ 41 2a
„ V2
Ответ:-----
2a
2.102. f(^_(1_a)-.li^z2) . p л	J a -a+1 |(a +
Решение.
ОДЗ:
a *0,
а * ±1.
"(o-l)'1 (1 a)-i1 1+0(0-2) I 1	a-l
a~3	J a2-a + l y(a + l)2	_L
I a3
l + g2-2a__1 _Г a3 , 1 "j a2-2a + l_1 _a3 + l
a2-a + l |« + 1| ^0-1 a-1) a2-a + l |« +1| a-l
(a-I)2	1 = (a+ l)(a2-a + l)(a-1) = (a + l)(a-l)
a2-a + l |a + l| (a2-a + l)-|a + l| la + l|
(a + l)(a-l)
2---------- = 1 -а, если a +1 < 0, или a < -1;
-(0 + 1)
(a + l)(a—1) _ _ j, если a +1 > 0, или, учитывая ОДЗ, a + 1
a > -l,a *0 и a * 1.
Ответ: l-а для a e(-oo;-l); a -1 для a e(-l;0)U(0;l)(l;oo).
2.103.
Решение.
ОДЗ:
ab > 0, а^Ь.
Ответ:
а
2’
2.104.
Ь4 -4а9
&2 -2а3 Ь2
Решение.
\а #0, °да »«о.
а ,1,	4а6	2-,1~Ь	4~	2 з/	3,4	9
b---Г ~а I ~Т—r+ — Vab* —4а
И	b3 Ъ6	Ь3	ab
34b2^3 Ь2
'ajb4-4a6
ЬЧ Ь3
Ь4 -4а6 а6Ь3
а2У^47|2аУ^47>| Ь2
b2	a2b	ab ^2 _2аз
з/Л а 1 2) b2 ty2 -2a3fy2 +2a3\a+b) I*2 b b)W-2a3	Ь
х .	—----- = (а+b^lb2 +2а3.
34ь^
Ответ: (a+b$b2 +2а3.
Ответ: -1.
II
н н н н н Q Q Ч * К
ОДЗ:
3
.	.	,	1	а+х+1
1+(а+х)1 i 1 —^?2+x2)	+ a+x 2ax-l+a2+x2 _ a+x x
l-(a+x)‘* [ 2ax J j 1	2ax a+x-1
a+x	a+x
a2 +2ax+x2 -1 _ a+x+1 (a+x)2 -1 _ (a+x+lXa+x+lXa+x-1) 2ax a+x-1 2ax	(a+x-l)2ax
.	2	( 2	i i \2
(	1 у a -a+l+a-1
_ (a+x+1)2 _ (	a-1 j _ [	a~^ J _
2ax	2a	2a
a-1	a-1
_ a4 a-1 _ a3
~(a-lf'l^~2(a-iy
a3
Ответ: ~Z7—
b
(a b
2.108. k + ~
a+b ~2a~
b a+b
h2 a+2b + — ’ a
a a+b a-b
a = 0,75; 6 = 4/3. Решение,
a b (a+b b -+-+2 • —------- :
b a 11 2a a + b I
b2 a+2b+— •
a
a [ b a+b a-b
a2+2ab+b2 a2+2ab+b2-2ab _ (a2+2ab+b2 a2-ab+ab+b2'\ ab	2a(a+b)	a (a+b\a-b)
(a+b)2ifl2 +b2) (a+b)2{fl2 +b2)_ (a+b)2^2 +b2) a(a+b\a-b) 2a2b(a+b) a(a+b\a-b) 2a2b(a+b)	(a+ft)2^2 +b2)
075-*	1-1 -2
’	3_43__________12..2.
2 0,75-1 2-1-1	2	24
3	4 3
Ответ:	•
4
а = 3 —;х = 0,28.
7
Решение.
ЮО--72 — I25 7 = 2500 1800 - 700
7	7 V 7 *25 “ 7	7 “ 7
Ответ: 100.
2.110.
yjc-d c2yflc
c-d с2+cd
---7 +	---- c + d \c2-cd
c = 2;d = l/4.
Решение.
dc-d c2J2c
Ответ: -7
3
(ah * 1 + a~lb+l^a 1 -b~lJ 2’11L a2b~2 +a~2b2 -](ib~l +a~lb)
Решение.
[a # 0, од3:(ь#о.
(aZ>~*+a ‘fc+lYa '-6 ‘j2 a2b~2 +a~2b2 -(afe-1 +a-lZ>)
a2 +b2 +ab (b-aY (a2 +ab+b2\b-a)2
ab 1	a3b3
a4+b4 a2+b2 a4 +b4 -a3b-ab3
a2b2 ab	a2b2
(р2+аЬ+Ь2\а-Ь)2	a2b2
a3b3 '^-а^ьУ^-Ь4) ip2+ab+b2\a-b)2	(p2+аЬ+Ь2\а-Ь)2
ab[fi3(a-b)-b3(a-b)) ab(a-b^fi -b3)
ip2 +ab+b2\a-b)2	1
abifl-b^a-b^2 +ab+b2) ab
1
Ответ:
ab
2.112.
V^2 J \ 4-4t + t2 \	7
Решение.
|z>0, o«*U2.

,з, J<3g2+2r+4)~> V (2-02
Ответ:
х^Р-х^ч	хУр
2Л13- (х1/р + х1/<?)2-2x'/q(x}/q+xVp) +	+1 
Решение.
Р*0,
ОДЗ:
9*0, х > 0,
x3/p-x3/q	х"р
(XVp +х,л?)2-2x{l\xxl4+xVp}+ x{q-p)lpg+\~
= {xVp-x'/q)(x2/p+x'/px',q +Х2/<?) ! Х1/р
(xi/p+xllq)(xl/p+xl/q-2xl/q) +xl/p~llq + l
_ (xl/p -x1/?)(x2/₽ + xl/pxi,<l +x2,g)	x1/₽
(xl,p +x1/?)(x1/₽-x1/?) x1/p J/?4
Vp + xVpxUg + x2lg хНРхМЧ _
xx'p+x"< V'+x17’"
2/P+2x1/px1/g+x2/g (x^+x17*)2
Mp + J'q
------"Р+х^^ + ЧГх.
Up + rU<l
Ответ: Р4х +
1 + a 1 -6д'2
9-4д-2
Зд-,/2+2д-3/2 д-1/2+Зд-3/2 Решение.
2.114.
ОДЗ:
a *0,
2
3
9-4д-2	1 + д-|-6д-2>|4
Зд-,/2 + 2д-3/2 д-,/2 + Зд’3/2
3	2
1/2 +аЗ/2
, 1	6
+	2
а а1
1	3
1/2 + „3/2 д а 
д2+д-6^
9д2-4 д2
Зл+2	а + 3
3/2	“372
а	а
9а2-4 а2
„3/2	„2 ,„ А „3/2 Y*
а	а + д —о а
За+ 2 а2 а + 3
1(Зд + 2)(Зд-2) (д + 3)(д-2)
[ д1/2(Зд + 2)	д1/2(д + 3)
I =(2д1/2)4 =16д2.
Зд-2 д-2У*
„1/2	1/2
a a J
[ 3a - 2 - a + 2
~l T72
Ответ: 16д .
2.115. 4ai +
. 2b^ J a + Jab'
^+4bV 2aJb
(ь+4Гьу 2 \	7
Решение,
fa >0, ОДЗ: [Z>>0.
«W a + b
2b4a + 2ay/b
- 4ab + +	-ab+b2)_ 2y/ab[Ja +y[b)^
a + b	4a + 4b
= a2 +3ab+b2 -ab = a2 + 2ab + b2 =(a + &)2.
Ответ: (a + bf.
Решение,
т >1, ОДЗ: п > О, Ш*П,
1 Ответ: ?• т
2.117.
1
Решение,
ОДЗ:
а *Ь, а >0, Ь>0, -1<а<1.
= (а+Л'Р +6-a-2a'^V2 _b),l+l_a2 =
=	.-1—+1-а2 = -1+1-а2 = -а2.
а1/2Ь1/2
Ответ: -а2.
Решение.
г(Уз+1)	з(Тз+2)	15(34-5/3) 1
Д73-1)(7з+1) (ТЗ-2)(Уз+ 2)+	) Тз+5
'2(73+1) 13(73+2) 115(34-5/3)^ 1 =
2 + -1	6 J 734-5
-473-10+15+57з 1 Тз+5 1 = 1
2 Тз + 5	2 Тз+5 2
^7754+157128
2 П9‘ 7^32+V^‘
Решение.
77754+157128	77727-2+15764-2	7?-372+15-472
^4732 + 797162 74716^2 + 79t^b2 ^4-2^2 + 79-з72 = 72172+60^ =	78172	= 3$2	= 3‘Т2 = 3
7^/2 + 72772 27^ + 377^ 21^+3‘72 5’72 5*
5747192 + 7718781
Решение.
5747192 + 7718781 _ 5^4^641 +7718Т2ГЗ
712724 + 67375	712^3+671253
574-473 + 7718-3^ 571673 +?7547з 712-27з+6-57з	7247з+307з
5^8 2^3 4-7^27 -2^3 5 2^2^3 4-7 3^2^
Ответ: — •
2.121.
Решение.
^32^4 4-^64^ - З^Ж = V25 -22/3 4-^26-2-|/3 - 3^2-21/4 = = 217/12 +217/12 -3-25/12 =2-2I7/i2 -3-25/12 =25/12(4-3)=25/|2 = = ‘^2? = 1^2.
2.122.
Решение.
- 22^7^2 = 24>/V18 - 22JV18 = 24V18 - 22^18 = 2^18.
Ответ: 2^18.
2.123. 2740-712 + 3^5748 - 2^75 - 4715^7.
Решение.
2^40712 + 3^748 - 2^75 - 4J15V27 = = 2740>/Гз + зТ^Аб^ -21/25~3 -4^157^3 =
= 2^40-2Тз + з75 -4>/з - 2772^3 -4^15-Зу/з = = 2^80-73 + 3 • 2у[з4з - 2у1^3 - 4^4573 = = 2^16 -5<УЗ + 6у[^/з - 2у[^/з - 4-^9-5-Тз = = 2 • 4^5^ + 6- 2>/s/3 - 4 • 3	=
= 8>/?7з+б7^-2>/^-127^ = 14^573 -14^573 = О. t
Ответ: О.
2.124. 5^бТ32 - 3^97162 -11718 + 2^75>/50.
Решение.
537б7И - 3^97162 -11718 + 2^75^50 = = 5^67162 -3^97812 -11^92 + 2^7572^2 = = 5^6-4-72 -3^9-942 -11VV92 + 2^75-5-72 = = 5^24-72 - 3^8172 -1 $1з42 + 2^375-72 =
= 5^8-3<Л - з427 -з42 -1	+ 2^125-372 =
= 5-2ll^-3-33у/з42 -111/з42 +2-53у/з42 = = 10^372-20^3^+10^^ = 0.
Ответ: 0.
Проверить справедливость равенств (2.125—2.134):
2.125.
4:
Решение.
Преобразуем отдельно левую и правую части равенства:
а) 4:
3
5
32/3 Т
= 20-3"2/3;
б) 10^5: (0,25^21679 )=10*||:• $23-З3-32/3 j=
= 1О.зУ4 -23/4.2^4-3"/12 = 5-31/4-23/4-22 =	2/3
2	22	23/4-311^12
Получили, что 20 • 3 -2/3 = 20 • 3 -2^3.
2.126. (4 + 715)(Л0 - Тб)-74-715 = 2.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
(4+715 У (710-76^-715)= 4,
(4+715 ){* - 715 )(4 + 715 0 - 2ТбО + 6) = 4,
^42 -(V15)2 ^4 + Л5^6-2Тбо)=4,
(16-15)(4 + 715)-2.(8-7б0)=4, (l+715^8-7445)= 2,
(4+ 715 )(8-2715)= 2, (4 + 715)-2 (4-71?)= 2,
+	42-(Т15)2=1, 16-15=1, 1=1.
2.127. 7з - 75 • (з + 75 )• (710 - ^)= 8.
Решение,
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
(7з - 75 J + 75 У (72 (75 - 1)У =64,
^-V^J + Vs)2 2(75-l)2 =64,
(3 - V5 )^ + >/5)(з + >/5 )(5-2л/5+1)= 32,
(З2-^ J? + V5)(6-2V5)= 32,
(9-з/з + Л)-2-(3-V5)= 32, 8^+ Т5)(з-7?)= 32,
8^32 -(75)2 )=32,
8(9-5)=32, 8-4 = 32, 32 = 32.
2.128.
УТз+Тё-79-672-Vis = эд 72-1
Решение.
Преобразуем левую часть равенства:
Итак, -7з = -7з.
2.129.
25-72+275 1^2 5
7250 + 5^8 V 5 +72 +
Решение.
Положим
25-72+275 , Т^г+Уб2 ^4 л^50 + 578 7s6-22 + 754-23
t/5^2
2^ + _5_+2= Ь+2-5>/2+25 5 +>/2+ V 5Л
Отсюда
_у = 5-У52 2 +У2 _ 5 + 72 = 5-V52-2+72-5-72 V52 -2	V52 -2	V52 -2
-*4^2 __ .
4^2
Получили -1 = -1.
2.130.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
= 2,
У27-7зТЗ-7з+1 = j ^27-72-73+1 = j j _ j 727-7273+1	’ t/27-7273+1
Решение.
---16-----[	= 2^61 + 247?, 9-6-75+5 Тб-5 >
—^-=-6 = 27б1+2475, —^-=-6 = 2761+2475, 14-6-75	7-3-75
—^-=-3 = 761+2475, 4~21'ф^ = 7б1+2475, 7-3-75	7-3-75
7-3-75	(7-3V5j7+3V5)
12^-+14-=761+2475, 12^+i6=761+2475, 72^(зТ5)2	4
з75+4 = 7б1+2475.
Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Тогда (3V5 + 4)2 = 61+24-75 , 45 + 24-75+16 = 61 + 24-75, 61 + 2475=61 + 24-75.
2.132.
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, имеем
Л + Уб _з(Уб4-Уз) 4(Л-Уз) 7-6 ~	6-3 +	7-3
V7+V6=V6+V3+V7-V3,
7б=>/б.
3	5	2
iA33- 45-42* 41+42 41-45'
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, имеем
V7+V5 =>/7+>/5.
4iJ10-7V2
2134'
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное ее знаменателю, имеем
^/2 -1^2 -l)Jho-142^Q-141) (Л-1У _ 3^0 - 742f
(Л+1р2-1) ЦО+142^0-742)’	2-1 V 100-98
2 -242 +1 =	3-242 = 499-7042.
V 2
Возведем обе части последнего равенства в куб. Имеем
(з-2<^У = 99-70-72, 27-54л/2+72-16^ = 99-70-72,
99 - 7042 = 99 - 7042.
Сделать указанную подстановку и результат упростить (2.135—2.145): x^-a-^-b-^+b^ + b^	2/31-1/2
2-135.----------ь* х2 ----------; х=а •
Решение.
(а *0,
ОДЗ: |6*0.
(а^-./2у _fl2/3 ,ь-|(д2 +b2^3b-l/2 +bl/2
b^.^b-t/2f
_a2b~3^2-a0b~3^2^i2+b2)+b1^2 _ ь^ь-'
а2 а2+b2 Ц2 а2 -а2 -Ъ2 +Ьг
= Ь3'2	Ь3'2 +	=	Ь3‘2	= 0
61/2в4/3	^2^3
Ответ: 0.
2.136.	Ц=- *2 ~2х+ •'/*; х= ^Г-
>[ь	1-4ь
Решение.
ОДЗ: 0<Л#1.
Ответ: 0.
(x+2b х+2а\х 4аЬ 2Л37, \х-2Ь + х-2а / 2’ X~7+b' Решение.
ОДЗ: а Ф -Ь Ф 0.
( m 4aZ> п
—г + 2^ —г + 2а	A L
a + b	a + b .
4ab 2b 2a 2(a+i) ^a + b	a + b >
a + b
> |a+b_ ' 2b(b-a))~2ab~
(4ab+2ab+b2 4ab-2ab-2b2 4ab + 2a2+2ab 4ab-2a2-2ab
—		♦---------------------1---------
a+b	a+b	a+b
a+b (2b$a+b) a+b 2b(3b+a) a+b
2ab I a+b 2b(a-b) a + b
(За + b 3b+a\ a+b (За + b 3b+a\a+b
—	I---.	|.	.. — — I	—---— |.	-
\a-b b-a I lab \ a-b a-b j lab
3a+b-3b-a a + b la-lb a + b l(a-b\a + b) a + b a-b lab	a-b lab	l(a-b)ab ab
x
a + b Ответ: — ab
2.138. (x + lXx + 2Xx + 3Xx + 4>
x =
41-5 1
Решение.
'12-lOjl 5/7-25?
4	+	2
+ 10.p2-l(b/7+52/7-2S'l 24, 4	2
к	/
3 Ответ:
4
11ад (г-1Хг + 2Хг-ЗХг + 4),
Решение.
23
23
3 Ответ: — •
4
2.140.
х(х+lX-х+2\х + 3).
(х-1X^+4)
Решение.
14-6V5 Зл/5-9
14-6-J5 зЛ-9
-1-4
7-3V5+3-J5-9 л -------------4 2
£ 5
1 Ответ: —
2-141- /G+i)2
Решение.
1
1
j3 + x-Jx+2 73-х-7х-2.
2.142.	1	1
73 + x • у/х+2 73 —х • у/х-2
Решение.
1 t 1
7з+7б • >/>/б + 2 5/З—7б • 77б —2 _ 1 1
5/3+Тб • ^у/б + 2 5/3—5/6 • 5/5/6— 2 7з—7б • 5/76— 2 + 7з+7б • 75/6 + 2 _ 7з+л/б • 5/л/б +2 • 5/3—7б • 5/76— 2 5/3—5/6 • ^у/б — 2 — 7з+7б • 5/5/6 + 2 7з+7б • y}Jf> + 2  д/З-л/б • у/у/б -2
(>/55/6-12 J - (5/55/6+12 у
5-J6-12+25/(5>/б-12^Уб+12)+5Уб +12
5>/б-12-5л/б-12
Юл/б+гдаб)* 2 -122 = 576+7150-144 = 57б+7б _ Тб
-24	”	-12	-12 " 2
л 76
Ответ: - —
2
2.143.
2bjx2-l х — Vx2 -1
а > b > 0.
Решение.
a2 + 2ab+b2 ZOJ-----------1
__V 4ab_______________ a+b la2 + 2ab+b2
-1 2jab 1 tab
la2-2ab+bz
2bi-----------
a+b a2 +2ab+b2 -4ab a+b a2-2ab+b2
2jab V tab	2y[ab V 4ab
(a-b)2	2b-^-
a+b a-b .Jab 2-Jab 2-Joi
2b.--------
V 4ab a+b l(a-b)2 2-Jab 1
_ b(a-b) ' a+b-a+b^ _
~ ' 2jdb Г
^ab 2b
Ответ: a — b.
2.144.
2aVl + x2 x + yll + x2
a>0,b>0.
Решение.
a2-2ab + b2 4ab
a-b , a2-2ab+b2 --7= +111 +------- 2jab I 4ай
„ 4ab+a2-2ab+b2 2a.--------------
V______4ab_______
a-b l4ab+a2-2ab+b2 2jab 1 ^ab
_ la2 +2ab+b2	. (a + b)2	2a(a+b)
2a J--------- 2a>  ---------—	---/=
V 4ab___________ V 4ab _ 2<Jab
a-b la2 +2ab+b2 a-b	l(a + b)2	a~.^ + g +
2Vai+’ 4ab 2jabi 4ab
a(a+b) (a-b + a + b Job 2jab
a(a + b) 2a _a(a + b) y/ab Jab 2jab Jab a
Ответ: a + b.
\ + bx t \-bx'
2.145.
1 +ax
1 \2a-b x = — • J---;
a V b
a b
0< — <a<b.
2
Решение.
1. I2a~b а У b
2a-b N b l2a-b N b
x
1+1. М2(2а-^>) j 42a-b al b _ Jb
1 i_l. Ib2(2a~b) j ! V2a-f>
I a 1 b	4b
a+4b(2a-b)
a _ 4b —42a—b a-Jb(2a-b) ~ 4b+42a-b
a
Ja+4b(2a-b) (4b-42a^b\4b-42a-b a-4b(2a-b) (4b + 42a-b\4b-42a-b l(a + y/b(2a-b')J(i + y/b(2a-bjJ _ b-24b(2a-b)+2a-b у ip~4l42a-b)Jp+4b(2a-b)') b-2a+b
y]b(2a-b)f 2a-2-Jb(2a-b) (?+4b(2a-b)f -b(2a-b) ~	2b-2a	1| a2-2ab+b2
a~4b(2a~b) Га+у/Ь(2а-Ь) a-y/b(2a-b) a+y/b(2a-b) b-a u a-b	b—a	b-a
H	7
a2 -b(2a-b) = a2-2ab+b2 = (b-a)2 = 1
(b-a)2	"	(b-a?	~(b-a)2
Ответ: 1.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби (2.146—2.151):
14 2146- 43^/2-Решение.
$ М. И. Сканавн, группа А
129
=2(®-й)(7з+У2)(з+72).
Ответ: 2^/3 -’Л^З	+
4
2.147.	_4^9
Решение.
Ответ: (1/13 +1/9 )(-Лз + з)
Решение.
(з+(У2+Уз))(з+(У2+Уз)) (з+(У2+УзУ ..
(з-(У2+УзДз+(У2+Уз)) 32-(У2+Уз)2
_9+б('/2 + >/з)+('/2+'/з)2 _ 9+б(У2 + Уз)+2+2Уб + 3
9-(2+2>/£ + з) "	9 - 5 - 2 Тб
14+б(У2 + Уз)+2>/б 7+з(У2+Уз)+Уб =
4-2>/б	” 2—Уб
_ (7 + з(У2 + Уз)+ Уб)(2 + Уб)_ (2-Уб)(2+У^)
= 14+б(У2+Уз)+2Уб + 7Уб+з(У12 + У18)+б^
4-6
14+бУ2+бУз+9Уб + 6'/з+9^2+6 20+12-Уз+15-^2+9-Уб -2	-2
^+з42^+з4з) 2
п ^+з42^+з4з)
Ответ:	------L.
2
2.149.
6
Решение.
п 2л/з + з72-л/30 Ответ:---------------.
2
Решение.
Представим заданную дробь в виде
• Умножимэтудробь
на
(74+л/2 + л/з)(|+2-3-24^2} и,
применив равенство
с—24аЬ)=(в + Ь + сУ —4аЬ,	где
а>0,6>0 ис>0,получим
-42-4з\Д+42+43^4+2-3-24^2.) {44+42-4з\44+42+4з\4+2-3-244^2)
(4+2-3)2-4-4-2	9-32
(гТё-иКз-ФУг)
23
_	(>л/б+1)(?-4л/2)
Ответ:	a------L.
23
Решение.
ОДЗ: 0 < a * L a-1
a
2.152.	Показать, что если z = \a + 4a2 + А3 -vVa2 + 63 -а , то z3 + 3bz-2a = 0 •
Решение.
Тогда z3 + 3bz-2а = 2а~ 3bz + 3bz - 2а = 0, что и требовалось доказать.
2.153.	Если л/8-а + j5 + a = 5 , то чему равен ^(8-0^5 +a) 1
Решение.
|8-а>0, ОПЗ-(	<=>-5<а<8.
Д |5 + а>0
Возведя обе части равенства в квадрат, имеем
8 - а + 2-J(8 - а\5 + а) + 5 + а = 25 , или V(8-«X5+a) = 6.
Ответ: 6.
2.154.	Чему равна сумма 725 - х2 + 715 - х2 > если известно, что разность 725 - х2 - 715-х2 = 2 (величину х находить не нужно) ?
Решение.
ОДЗ:
Умножив обе части равенства на 725 - х2 + 715-х2 > имеем
[725-х2 -715-х2 ^725-х2 + 715-х2
= 2f725-х2 + 715-х2
откуда 725-х2 + 715-х2 = 5.
Ответ: 5.
2.155.	Преобразовать (a2 + b2\c2 + rf2) так, чтобы получилось (ас + bclf +(ad- bc^ .
Решение.
Раскрывая скобки, получим а2с2 + a2d2 +b2c2 +b2d2 .Прибавими вычтем выражение labcd. Тогда
а2с2 +2abcd+b2d2 + a2d2-2abcd + b2c2 = (ac+bd)2 ^(ad-bcf => => (a2 +h2)(c2 + d2]=(ac + bd)2 +(ad-bc)2.
2.156.	Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и произведение соответственно равны 11 и 21.
Решение.
Пусть a + b = llnab = 21. Тогда
а3 + Ь3 = (а + b/a2 - ab+Ь2 )= (а +. b^(a+bf - 3ab)= 11(112 - 3 21)=
= 11(121-63) = 638.
Ответ: 638.
2.157.	Вычислить значение выражения:
3	_____
a)— -z, z = VV3+^+VV3-V2;
3
б) х3 + Зх, х = Va/5+2 -VV5^2.
Решение.
б) X3 + Зх = ^V5 + 2 - Va/5-2 ) + 30/V5 4- 2 - VV5-2 = 45 + 2 - З3^ +2^ (V5 -2) + 3^45 + 2\45-2f -45+2 +
+ 3^75 + 2 - 3^75-2 = 4 - 33J(45 + 2\j5-2y5 + 2) +
+ 3^(45+2145-2^5-2) + 3^45 + 2 - 3^45-2 =
= 4 - 3^(5-4)(75+2) + 3^5-4^45-2) + 3^45+2 - 3^75-2 =
= 4 - 3^45 + 2 + 3^45-2 + 3^45 + 2 - 3^45-2 = 4.
Ответ: а) —; 6)4.
Решения к главе 3
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
sin2 a + cos2 a = l>	(3.1)
*	sina	tl\	~ tga =	, a#— (2л+11 neZ;	(3.2)
cosa	2	
. cosa	_ ctga =	,	neZ;	(3.3)
sina	
ЯЛ tgactga = l, a*—, n&Z-,	(3-4)
l+tg2a =—, a*—(2n+l)t neZ-	(3.5)
cos a	2	’	
l+ctg2a =—, a* ли, neZ	(3.6)
sin2 a	
(здесь и в дальнейшем запись п е Z означает, что п — любое целое число).
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их тригонометрических величин (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Аргумент (а, градусы, радианы)			Функция			
			sin а	cos а	tga	ctga
О’(О)			0	1	0	00 (не определен)
15°	гп ' J2>		Уз-1 2У2	Уз+1 2У2	2-УЗ	2 + УЗ
18° I	.10 J		У5-1 4	л/з + Уз 2^2	У5-1 ^0+2У5	710+2У5 У5-1
30°			£ 2	Уз 2	1	Уз
			2У2	У?4-1 4	У10-2У5 У5+1	Уз +1 У10-2У5
45°	ы л,		1 •Ji	1 Л	1	1
54°	^Зл То		4	V5-V5 2У2	710-2У5	710-2У5 У5+1
(?)			Уз 2	£ 2	Уз	1 Уз
			Уз+1 2У2	Уз-1 2У2	2 + УЗ	2-УЗ
90°	f ^2,		1	0	(не определен)	0
Знаки функций по четвертям
Таблица 3.2
Четверти	Функция			
	sin а	cos а	tga	ctga
I	+	+	+	+
п	+	—	—	—
III		—	+	+
IV	—	+	—	—
Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
sin(a + p)=sinacosp + cosasinp;	(3.7)
sin(a - p).= sinacosP - cosasinp;	(3.8)
cos (a + p) = cos acos P - sin a sin p;	(3.9)
cos(a - p)=cos acos P + sin asin P;	(З.Ю)
tg(a + P)= 8	a,p,a + p* +7w, neZ- 1-tgatgP	2	(3.U)
tg(a ₽)=.*	«Д« ₽*,+*»» 1 + tgatgP	2	(3.12)
ctg(a + P) = c*£actsP J (х,р,а + р#лп, neZ-v ’ ctga + ctgP	(3.13)
ctg(a - P) = ctgactgP+*} а,р,а-р*ли, neZ ctga-ctgP	(3-14)
Формулы двойных и тройных аргументов
sin2а=2sin a cos а;	(3.15)
cos2a = cos2 а - sin2 а=2 cos2 а -1 = 1 - 2 sin2 а;	(3.16)
tg2a=	a# — + ^-,ke Z,a#-^+nn,«e Z .
* l-tg2a 4 2	2
ctg2a = Ctg ——a* — ,ke Z,a* ян,ne Z; 2ctga 2
sin3a = 3sina-4sin3ai
cos3a = 4cos3 a-3cosa1
tg3a= 3tga~tg.ct.> a*^(2n+l),n€Z. l-3tg a 6
, 3ctga-ctg3a , 7W „
ctg3a = —-----, a * —, ne Z
l-3ctg2a	3
Формулы Ьоловинного аргумента
. 2 a 1-cosa sin—=--------
2	2
2 a 1 + cosa cos — =-------
2	2
* > a 1-cosa	_
tg* —=------, а*л(2и + Цие Z ;
2 1 + cosa
. 2 a 1+cosa »	™
ctg — =-----, а*2лл,neZ;
2 1-cosa
a tg— =
2 1 + cosa
sina 1-cosa	™
-----, a*Jtn,«GZ; sina
a 1 + cosa Ctgy =
sina	_
-----, a#wi,neZ;
sina 1-cosa
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
. о . . а+Р а-р sma + smB = 2sin	-cos   ♦ н	2	2 ’ . „ _ а+Р . а-р sina-smp = 2cos	-sin		  2	2	(3.29) (330)
о „ а+Р а-р cosa + cosP=2cos -cos-—- ; 2	2	(3.31)
а _ . а+Р . а-р п . а+Р . Р-а cos а - cos В = -2 sin	—sin - = 2 sin	-sin  	; 2	2	2	2	(3.32)
cos a + sin a = 41 cos(45° - a);	(3.33)
cosa-sina = V2sin(l5° -a);	(3.34)
, a sin(a+p)	„ л/»	<7 tga+tgP = —i—4-, a,P#-(2«-l|«eZ; cos a cos p	2	(3.35)
tga tgp= (	a,p#-(2n-l}neZ; cosacosp	2	(3.36)
„ sin(a+P) a	- ctga+ctgP = —-—а,Р*лл, neZ-sinasinP	’	(3.37)
4	„ o sinfe-a) -	„ ctga-ctgP= .	. ' а,Р#ли, neZ- sin asm p	’	(3.38)
n cos(a-B)	n , . _ o	„ tga+ctgP = —*—a* — + idc,ke Z,p*nn,ne Z  cosasinp	2	’	(3.39)
o cos(a + B)	n	* . tga-ctgP =	*—г-Цг, a* —+itk,ke Z,p*jw,ne Z • cosasinp	2	’	(3.40)
2	mt	„ tga+ctga =	, a*—, neZ; sin 2a	2	(3.41)
itn tga-ctga = -2ctg2a, a*—, neZ;	(3.42)
	1	? a l+cosa = 2cos“ — 2		>		(3.43)
	l-cosa = 2sin — 2				(3.44)
	l+sina = 2cos2	45° - I	2 ;	1 ?	(3.45)
	l-sina = 2sin2	45°-	K»| ft	ч	(3.46)
l + tga =	sin(45° + a) _ sin (45е	’+«)	a	л * — + nn, 2	neZ ; (3.47)
	cos45°cosa	cos a				
l-tga =	sin(45° - a) _ Vi sin(45	•-a)	л а* — + ли, 2		neZ; (3.48)
	cos45°cosa	cosa				
l+tgatgP= cos^a -61 a,P*-^+nn, neZ; (3.49) cosacosP	2
,	o cos(a + B)	0	.	r? l-tgatgp =	*—a,P* —+ лл, neZ- cosacosP	2	’	(3.50)
„ , cos(a-p)	„ ctgactgB + l= .	.^77, а,р*ли, neZ- sin a sin p	(3.51)
1-tg2 a= cos^a, а*^ + ли, neZ;	(3.52)
cos a 2
, j cos 2a	™
l-ctg2a =-----z—, а* ли, neZ;	(3.53)
sin a
tgz«-tg?p=Sin(ct+;^)sin(<^-^-,	»eZ; (3.54)
cos acos p	2
c,O-a8-f..s"ll“7la'ji;“1 "eZ; (3.55) sin asm p
tg2a-sin2a = tg2asin2a, а*у + ли, neZ; (3.56)
ctg2a-cos2a = ctg2acos2a, a# ли, ne Z ;	(3.57)
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
sin a sin p = ^-(cos(a - p)- cos (a + p));	(3.58)
cos a cos p = 1 (cos(a+p)+cos(a - p));	(3.59)
sin a cos p = i (sin (a + p)+ sin(a~P));	(3.60)
sinasinpsiny =
= -(sin(a + р-у)+ sin(p + у-a)+sin(y+ a-p)-sin(a+P+y)); (3.61) 4
sinacospcosy =
= (sin(a+p - y)- sin(p+у - a)+ sin(y+a - p)+sin(a+P+y)); (3.62)
sinasinPcosy =
= - (- cos(a + p - y)+cos(p + у - a)+ cos(y+ a - P)-cos(a + P+y)); (3.63) 4
cosacosPcosy=
= - (cos(a + P - y)+ cos(p + у - a)+cos(y+ a - p)+cos(a+ p + y)). (3.64) 4
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента
2tgy
sina =----а*л(2и+1), neZ; •	(3.65)
l+tg2y
1-tg2 —
cosa =----а*я(2л+1), neZ;	(3.66)
1+tg2I
2tg— tga=	2 a, # (2«+l) neZ; l-tff 2 2	(3.67)
ctga =	a # ли, n e Z . *«7	(3.68)
Формулы приведения
sin ^±a^=cosa, sin(K±a)=Tsina, sin^-| n ± a j = - cos a, sin(2n ± a) = ± sin a;	(3.69)
cos^ ± a = ± sin a, cos(rc ± a) = - cos a, ГЗ A cod “n±a	cos(2rc±a)=cosa;	(3.70)
tgl ^±а j= + ctga, а*т, neZ,
tg(n±a)=±tga, a#-^(2n+l), neZ, tgl — я±а l=Tctga, a#Jtn, neZ,	(3.71)
tg(2jc±a)=±tga, а*^(2л+1), neZ; ctg| ^±а |=Ttga, а*^(2л+1), neZ,
ctg(n±a) = ±ctga, a#m, ne Z, ctg^-|n±a)= + tga, а#^(2и + Ц ne.Z, ctg(2m ± a)=± ctga, а Ф im, neZ. 144	(3.72)
Обратные тригонометрические функции
sin(arcsin х) = х, -1 < х < 1;	(3.73)
sin(arccos х) = 71 - х2, -1 х 1;	(3.74)
	(3.75)
эШ1 dlUgX) —	1	
7i+x2	
1	(3.76)
Vi+x2	
cos(arccos х) = х, -1 < х 1;	(3.77)
cos(arcsin х) = 71 - х2, -1 < х < 1;	(3.78)
Z	ч	1	(3.79)
Vi+х2	
cos(arcctg х) = •.	; 71+х2	(3.80)
tg(arctg х) = х;	(3.81)
tg(arcctgx) =—, х*0;	(3.82)
X	
Z	.	X	X	.	1	(3.83)
71-х2	
71-х2 tg(arccosх) =	, -1 < х < 0, 0<х<1;	(3.84)
X	
ctg(arcctg х) = х;	(3.85)
ctg(arctgx) = —, х^О;	(3.86)
X	
71-х2 ctg(arcsinx) 		, -l^x^O, 0<х£1; X	(3.87)
ctg(arccosx) =
arcsinx = <
arccosvl-x2, если 0<х<1,
- arccos v 1 - x2, если -1 < x <
(3.88)
i
(3.89)
0;
x
arcsinx = arctg-7==, -1 < x < 1;
Л7?
(3.90)
	д/l — x^ arcctg	, если 0 < x < 1,
arcsinx = ’	Л77	<191) arcctg	л, если -1 < x < 0; X
arcsinv 1 - x2, если 0 < x < 1,
arccos x =
л-arcsinvl-x2, если -1<х<0;
(3.92)
	7i-x2 arctg	, если 0 < x < 1,
arccosx = -	k? „ (W) л + arctg	, если -1 < x < 0; x
X	1	1 arccos x = arcctg -r-	, -1 < x < I; Vl-?	(3.94)
x arctgx = arcsin -r—	, -oo < x < oo; 7i+x2	(3.95)
arccos-7= I , если x>0, 7l + X2 arctgx = ! - arccos —7=, если x < 0;	(3.96)
arctg х =
arcctg—, если x > 0, x
arcctg—- я, если x < 0;
(3.97)
arcctgx =
arcctg x =
arcsin-. — —, если x > 0,
1
я - arcsin  -----j- , если x < 0;
(3.98)
arccos—=====, если x > 0, Ji^x2
X
- arccos	j , если x < 0;
(3.99)
arcctgx =
arctg—,еслих>0, x
л+arctg—,если x < 0; x
(3.100)
(3.101)
arctg x +arcctgx = —, -<»<x<oo;
(3.102)
sin x+arcsin у =
arcsin^x^l-J2 + ja/1-х2 J, если xy S 0 или x2 + y2 < 1;
n - arcsin^ x-Jl-j2 + y>ll-x2 естлх>0,у>0их2 +y2 >1; - л-arcsin^x^/l-y2 + jVl-x2 еслих<0,у<0их2 +y2 >1;
(3.103)
	arcsin^x-Jl - у2 -уу/\-х2 если ху > 0 или х2 + У < 1;
	л-arcsinf xJl- у2 -yVl-x2
arcsinx-arcsin^ = ’	к	)	(3.104)
	если х > 0, у < 0 и х2 + у2 > 1;
	_	’ (	/1	2	/1	2 Л
	- л - arcsin х-\/1 - у - у v 1 - х L
	если х < 0, у > 0 и х2 + у2 > 1;
	arccos^xy -	- х2 J1 - у2)), если х + у > 0;
arccos х + arccos у = <	Z	п	у	(3.105)
	2n-arccosl xy-yl^-x2 Jl-y2) |, если х + у < 0;
если x > у; arccos х - arccos у = «
(3.106)
arccos
если х < у;
	. х+у arctg	—, если ху < 1; 1-х^
arctgx + arctg^ = <	х+у л+arctg	=Чеслих>0иху>1; (3.107) 1-ху х + у - л+arctg	—, если х < 0 и ху > 1; 1-ху
arctgx -arctgy =
X — у
arctg----—, если ху > -1;
1 + ху
я + arctg ———, если х > 0 и ху < -1;
(3.108)
X — у
- п + arctg---если х < 0 и ху < -
Доказать тождества (3.001—3.062): 3.001. ^+cos_|2a + tg2a)(l-cos_|2a Решение.
(1+cos_| 2a + tg2a)^-cos_| 2a + tg2a)= 2 tg2a =
(,	1 sin2a Y. 1 sin2a'I
cos2a cos2aj^ cos2a cos2a J
_ cos2a+l + sin2a cos2a-l+sin2a
cos2a	cos2a
_ ((cos2a + sin2a)+lX(cos2a+sin2a)-l) (cos2a+sin2a)1 2 cos2 2a	cos2 2a
cos22a+2sin2acos2a+sin2 2a-l _ l+2sin2acos2a-l
cos2 2a	cos2 2a
2sin2acos2a 2sin2a -
=------=-----=----— = 2 tg2a.
cos2 2a cos2a. ,
-1
Получили 2tg2a=2tg2a.
3.002.
cos ’2a+ctg -я+2а
=1.
Решение.
5
_1	(5 н (5
cos 2a+ctd -я+2а ctd -я-a
12	‘
4
1	.J 4я+я _ ] ]
-----+ ctfl---+ 2а -ct] cos2a 1 2 I
4л+л ------а
1 cos2a
I	л
+cts2tt+ —+2a 4	2
( л
•ctg я+ —a 4
1	. J K n I d n
-----—+ctfl —+2a *ctg —a l-tg* 2a \2 J \4
J + tg2a
l+tg2a 1-tg2 a
-tg2a
Я 1+tg-tga 4 tgj-tga 4
1-tg2 a J 1-tga
1+tg2 a 2tga 1 + tga l + tg2a-2tga 1+tga 1-tg2 a 1-tg2 a, 1-tga l-tg2a 1-tga l-2tga+tg2 a 1+tga _	(1-tga)2 1+tga
(1-tgaXl+tga) 1-tga (1-tgaXl+tga) 1-tga
Получили 1=1.
3.003.
cos(3n-2a)
. /5л
2 sin —+ a 4
( 5л = t® a---
4	4
Решение.
cos(3n-2a)
. . гГ5л 2sin —+a
4
-cos2a
i (i .
1—cos —+2a	1-cos
1 2
-cos 2a
4л+л _
----+2a
2
-cos2a
-cos2a
7C
1 —cos 2n+ —+ 2a 2
1-cos —+2a 2
-cos 2a
1+sin 2a
Получили tg а-
tg2a+ctg3p _ tg2a
3.004. ctg2a + tg3p tg3p
Решение.
sin 2a cos3P sin 2a sin 3p + cos 2acos 3p
tg2a + ctg3p _ cos 2a sin3P  ________cos 2a sin 3P_____
ctg 2a + tg 3P ~ cos 2a sin3P ~ cos 2a cos 3p+sin 2a sin 3p
sin 2a cos 3p	sin 2a cos 3P
_ sin 2a sin 3P 4- cos 2a cos 3P sin 2a cos 3P_ cos 2a sin 3P	cos 2a cos 3p + sin 2a sin 3P
= sin2acos3p = sin2a cos3p = .ctg3p = tg2a,_Ь = ^. cos 2a sin 3p cos 2a sin3p	tg3p tg3p
tg2a _ tg2a
Получили
3.005. cos a+cos 2a+cos 6a+cos 7a = 4 cos—cos—cos4a.
2	2
Решение.
cosa+cos2a+cos6a+cos7a = (cosa+cos7a)+(cos2a+cos6a)= =2cos4acos3a+2cos4acos2a=2cos4a(cos3a+cos2a)=
.	. . 5a	a.	a	5a	.
= 2cos4a • 2 cos— cos— = 4cos— cos—cos4a 2	2	2	2
„	. a 5a .	. a 5a .
Получили 4cos—cos—cos4a = 4cos —cos—cos4a.
3.006. sin 9а+sin 10а+sin 1 la+sin 12а=4 cos—cos a sin-.
2	2
Решение.
sin 9a+sin 10a +sinl la+sinl 2a =
= (sin9a+sinl2a)+ (sinlOa+sinl la)=
„ . 21a 3a ~ . 21a a „ . 21a ( 3a a
= 2sin--cos—+2sm---cos — = 2sin- cos —+cos—
22	22	2^2	2
- . 21a . a . a . 21a
= 2 sin-2cosacos—= 4cos—cosasin-.
2	2	2	2
Тождество доказано.
7a 2
3.007. cos2a -cos3a -cos4a+cos5a = -4sin—sinacos
2
Решение.
3a
(cos2a+cos5a)- (cos3a+cos4a)=
* 7a	3a	- 7a	a	, 7a (	3a
= 2 cos—cos--2 cos—cos— = 2 cos— cos—
2	2	2	2	2	2
a
—cos—
2
2
7a
a
„ 7a f _ .	.a]	..a. 7a
=2cos—• -2 sin asm— = -4sin—sinacos—.
2 I	2	2	2
2
2
Тождество доказано.
3.008. sin 4a - sin 5a - sin 6a+sin 7a = -4sin—sin asin	.
2	2
Решение.
sin4a+sin7a-(sin5a+sin6a)=
. . Ila 3a - . Ila a . . llaf 3a a
=2 sin—cos----2 sin—cos— = 2 sin— cos---cos—
2	2	2	2	2	2	2
_ . Ila ( - .	. a ]	, • a . .Ila
=2sm—• -2 sin asm— =-4sin—sinasin-—.
2	2 1	2	2
Тождество доказано.
3.009. cos a + sin a + cos За + sin За = 2>/2 cos a sin ~+2a ^4
Решение.
cos a + cos — a + cos 3a+cos — 3a
I2 J I2
я
4
я COS cos 4
+2cos —cos —3a
4	1^4
л
= 2cos —
4
я cos —a
4
f я
+ COS-----
4
За
л/2 (я '
= 2-----2c0s —2а cosa =
2
п
4
cosacosf --2а |=2>/2 cosacos -- — -2a j= 14	1241
= 2V2cosacos — - —+2a =2-72 cos a sin —+2a . 2	4	4
Тождество доказано.
„	- 8cos2 2a
3.010. tga+ctga+tg3a+ctg3a =------.
sin 6a Решение.
sina	cosa	sin3a	cos3a	sin2a+cos2a	sin23a+cos23a
------1- —.-1------1-----=---------------p-------------
cosa	sma	cos3a	sin3a sinacosa sin3aco$3a
= 1 + 1 = 2 + 2 = sinacosa sin3acos3a 2 sinacosa 2sin3acos3a
_ 2	2 _ 2sin6a+2sin2a _ 2(sin6a+sin2a) _
sin2a sin 6a sin2asin6a sin2asin6a
_ 2-2sin4acos2a _ 4sin4acos2a _ 4-2sin2acos2acos2a _
sin2asin6a	sin 2a sin 6a	sin2asin6a
_ 8 sin 2a cos2 2a _ 8 cos2 2a
sin2asin6a	sin6a
Тождество доказано.
3.011. (sina)* 1+(tga)1 =ctgy.
Решение.
(sina)-1 + (tga)1 = -Д- + —— = —J— sin a tga sina
1 sina cosa
1 cosa
-----1----- sin a sin a
1	»	2 « , n 2 O-
_ „„ l+2cos —1	2 cos — +cosa_ 2	_	2
sina - • a	a ~ . a	a
2	sin—cos—	2sin —cos—
2	2	2	2
a cos—
2	. a
---— = ctg—
.a 2 sm —
2
Тождество доказано.
3.012.
. л .
sm - + 3a
U J
l-sin(3a-n)
= ctg
5 3 -л+-а
4 2
Решение.
sin[^ + 3aj	cos|2-|a| Cos2 * — -sin2 —
12 J _ cos3a _ I 2 j _	2______2
l-sin(3a-n) l + sin3a . .	3
v 7	1 + sin 2--a	l + 2sin — cos —
I 2	2	2
(	За	. 3a Y	За	. За (	За	. 3a Y	За	. 3a
cos---sin— cos— + sin— cos-----sin— cos—+ sin —
I	2	2 I	2	2 J Д	2	2 1	2	2
2 3a . 2 За . За За	(	Y
cos y+sin — + 2sin — cos —	cos^ + sin^
За За .3a cos--sin— 1-tg—
2	2	2
За .За .3a cos — + sin— 1 + tg— 2	2	2
A п , я За 164 ~'84 '6T  _
л За (п 3a ,8r18T ,8k+T
За ж (5л За т]=с1<т+т}
Тождество доказано.
„	sin2a-sin3a + sm4a , ,
3.013. —---------------— = tg3a.
cos2a - cos 3a+cos4a
Решение.
(sin2a+sin4a)-sin3a _ 2 sin 3a cos a-sin 3a _ sin3a(2cosa-l)
(cos 2a+cos4a)- cos 3a 2cos3acosa-cos3a cos3a(2cosa-l)
sin 3a
= —i- = tg3a.
cos 3a
Тождество доказано.
3.014. 2 sin2 (Зл - 2a)cos2 (5 л+2a) = — -—sinf - л - 8a |. 4 4	12	1
Решение.
,	. 2 х 1-cosx
Применяя формулы понижения степени sin — = —-— и
2 X 1 + cosx
cos — = —-—, представляем левую часть в виде
2 (l-^-tofecostlte^a))_ 1 (1 __4q))(1 t+4a))=
= (1 - cos 4aXl+cos4a) = (1 - cos2 4a)= f 1 - ^+<^s^a
If, 1 1	o )
= — 1-------cos 8a =
2	2 2
1(1 1	_ 1 1 1 . (5л _ )
- T-Tcos8a =---siri ——8a .
2 2 2	4 4 12 I
Тождество доказано.
3.015. sin 2a(l+tg2a tg a)+ 1 + s'na = tg2a+tg2f — + — 1-sina	^4 2
Решение.
Обозначив
j ! sin2a sinal cos2a cosa I
X = sin2a(l + tg2a tg a)=sin2
_ sin2a(cos2acosa+sin2asina) cos 2a cosa
и применив формулу cos х cos j + sin xsin у = cos(x - у), представим это выражение в виде
sin 2а cos a sin 2а
X =----------=--------= tg2a.
cos2acosa cos2a
Пусть Y =
1+sina
1-sina
1+sinf 2-—|
V 2 J
l-sinf2-l
I 2J
Поскольку sin2x = 2sinxcosx,TO
--.a a occ . ? a - . a a 1-ь2 sin—cos— cos" —+ sin" —+2sin—cos —
=	2	2 _	2	2	2	2 _
1/4.a a ? a . 2 a . a a l-2sin—cos— cos" — + sm —2sin—cos—
2	2	2	2	2	2
a ( . a V ( a	a Y
cos—+sin — cos—4-sin —
2	2 J 2	2
COS----Sin—	7 Э
2	2)	\ z 2 7
Разделив числитель и знаменатель выражения в скобках на cos у * О
и применив формулу +	= tg(x + ^)} где у, х + у — + пп, п е Z,
1-tgxtg.y	2
запишем
°2 l-tg?
Тогда X + Y = tg2a + tg —+ — ^4 2
Тождество доказано.
3.016. l-sin4a+ctg
:os4a = 0.
Решение.
l-sin4a+cti
cos 4a =
(Зл ' cost — - 2a
= cos2 2a + sin2 2a - sin(2 • 2a)+
—7^.---r-cos(2-2a)=
sin----2a |
I4	J
Зл -	. 3л . -
cos—cos 2a + sin—sin 2a = cos* 2 2a - 2 sin 2a cos 2a+sin2 2a + —x4--------x
• Зя	_ 3л . „
sin—cos 2a - cos—sin 2a
4	4
x Los2 2a - sin2 2a)= (cos2a - sin 2a)2 + cos^a+s*n^a x '	cos2a+sin2a
x (cos 2a - sin2aXcos2a + sin 2a) = (cos 2a - sin 2a)2 -
(cos 2a - sin 2aXcos 2a - sin 2aXcos 2a + sin 2a) _
cos 2 a + sin2a
= (cos 2a-sin 2a)2 -(cos2a-sin2aX =0.
Тождество доказано.
,	•	«a 6a sin2a-4
3.017. sin —cos — =-----------cosa.
2	2	4
Решение.
Пусть X = I sin2 — I - cos2 — j
2	2 I
„	,	. 2 x 1-cosx
Используя формулы понижения степени sin	—-—
> X 1+cosx cos' — = —-—, получаем
Y_( 1-cosa Y (1+cosa V _ l-3cosa+3cos2 a-cos3 a
2 J2 J	8
l+3cosa + 3cos2a+cos3a 17 ,	-	3 \
--------------------= -1- 6cos a - 2 cos a )= 8-------------------8		’
2cosa/ ,	2 1 cosa/ , /. • 2
= —-— 3 - cos a3 -11 -sin aj)=
cosa/ , ,  2 \ = ——-l-3-l+sm a)
4
sin2 a-4 4
cosa.
Тождество доказано.
f 3	1
3.018. cos -rc + 4aj+sin(3n-8a)-sin(4K-12a)= = 4 cos 2a cos 4 a sin 6a.
Решение.
cos - л 4-4a j+ sin(3n - 8a)- sin(4л -12a)=
= sin 4a+sin 8a 4- sin 12a = 2 sin 6a cos 2a 4- 2 sin 6a cos 6a =
= 2 sin 6a(cos 2 a 4- cos 6a)=2 sin 6a • 2 cos4a cos 2a = = 4 cos 2acos 4a sin 6a.
Тождество доказано.
3.019.
cos -л-6а 4-sin(n4-4a)4-sin(3n-a)
___L?________z______________________
= tga.
Решение.
cosf ^-л-ба |4-sin(n4-4a)+sin(3n-a)	...
|^ 2___J ________________________ sin 6a-sm 4a 4-sin a
. (5 x /.	/ - \ cos6a4-cos4a4-cosa
sm -л4-6а 4-со8(4а-2л)4-со5(а4-2л)
_ 2 cos 5a sin a 4-sin a _ sina(2cos5a4-l) _ sina _tga 2cos5acosa4-cosa cos a(2 cos 5a 4-1) cosa
Тождество доказано.
l+ctg|2a-|n |ctg(\ + a I
3.020------1___2 ) k2_______I = 1 tg2a.
ctga + tga	2
Решение.
l+sin2asma cos2acosa+sin2asina l+tg2atga_ cos2acosa  ________cos2acosa_____
ctga+tga cosa sina	cos2 a+sin2 a
sina cosa	sinacosa
cos2acosa+sin2asina sinacosa _ cosasina cos 2a cos a cos2a+sin2a cos2a
2cosasina _ sin2a 2cos2a	2 cos 2a
= |tg2a.
Тождество доказано.
. ( • 14 ] . (	8 I A
3.021. sin a+sum gl +—k +sin а--л =0.
Решение.
. (14	) . (8	. (15л-л
sina+sin —л+а -sm -л-а = sin a+sin-----+a
13 J I3 J 1 3
. (9л-л	( л
-a =sma + sin 5л+ a—
-sin
л
3
3
-sin 3л- a+— 3
= sina-sii
n ]	л
a+— = sina-sinacos--+cosasin
3	3

л . n 1 . V3 1 . V3 -sinacos—cosasin—= sina—sina +—cosa—sina-----cos
3	3	2	2	2	2
= sina-sina = 0.
Тождество доказано.
3.022. ctg2 a-ctg2 [3 =
cos2 a - cos2 p sin2 asin2 p
Решение.
cos2 а _ cos2 P _ sin2 Pcos2 a + cos2 fl sin2 a _
sin2 a sin2p	sin2asin2p
_ (sin p cos a - cos fl sin aXsin fl cos a + cos Psin a) sin2asin2p
= sin(p-a)sin(p + a) = ‘-(cos2a-cos2p) sin2asin2p sin2asin2p
^-bcOS2a-l-2cOS2p + l) 2„ 2ft
_ 2 '	' _ cos a - cos p
sin2asin2p	sin2asin2p
Тождество доказано.
3.023. (cosa-cosp)2 +(sina-sinp)2 =4sin2 „A.
Решение.
cos2 a - 2 cos a cos p+cos2 P+sin2 a - 2 sin a sin P+sin2 P = = (cos2 a+sin2 a)+(cos2 p+sin2 p)-2(cosacosp + sinasinp)= =2-2cos(a-p)=2-2cos^2~^^=2-2^1-2sin2^y^^= =2-2 +4sin2 -	=4sin2 ——
2	2
Тождество доказано. (tga+cos”1 alcosa-ctga) . 3.024. /	~	ч )“ 1 *
(cosa+ctgaXtga-cos a)
Решение.
(sina 1 Y cosa^ / .v	4	-+--- cosa------
(tga+cos ajcosa -ctga) _ cosa cosa j______sina J _
(cos a+ctg a)(tg a - cos“l a)	f cos+ cosa Y s*na _ 1
sina cos a cosa, sina+1 (sina-l)cosa
__ cosa_____sina
cosa(sina+l) sina^T sina cosa
Тождество доказано.
3
— л-a 2
sin 4a	cos 2a
3.025. j+cos4a i+cos 2a
Решение.
2 sin 2a cos 2a cos 2a	2 sin 2a cos 2a cos 2a
l+2cos22a-l l+cos2a 2cos22a l+cos2a _ sin 2a cos 2a _ sin 2a
cos2a(l+cos2a) l+cos2a
Тождество доказано.
3.026. cos2(a-90°)+ctg2(a-270°)=	cos2 (a+180°)
Решение.
cos2 (a - 90°)+ ctg2 (a -270° )= sin2 a+tg2 a = sin2 a + S*P,a = cosa
_ sin2 a cos2 a+sin2 a _ sin2a(;os2a+l) _ (l - cos2 afa+cos2 a ”	2	~	2	2
cos a	cos a	cos a
l-cos4a 1	2	1	2/ , „„.1
=.---*— = —*-------cos a = —\ - cos la+180 I.
cos2 a cos a	sin2 |a+90° J
Тождество доказано.
3.027.
l-tg(90° +a)	tg(180° +a)+l
l+ctg(s60° - a) ctg(z70° -a)-l
Решение.
l-tg(90° +a) _ 1+ctga _ ^ + tga _ tga+1 _ tg(180° +a)+l l+ctg(160°-a) 1-ctga j______1 tga-1 ctg(270° -a)-l
tga
Тождество доказано.
tg2acos l2B-tg2Bcos *2a	/ o\
3.028. -------1-	-1------= tg(a-p).
cos 2a+cos 2P
Решение.
sin 2a	1 sin2p	1
tg2acos~12p-tg2pcos~12a _ cos2a cos2p cos2p cos2a _
cos"12a+cos"12p	1	+ 1
cos 2a cos2p
sin 2а-sin 2Р
_ cos2acos2p _ sin2a-sin2p _ 2cos(a+p)sin(a-p) _ cos2a+cos2p cos2a + cos2P 2 cos(a + p)cos(a - p) cos2acos2p
cos(a-P)
Тождество доказано.
(	Г 7 я	и
3.029. 2 sin-l4a-tg —+4a + tg(5re+a)=ctga.
Решение.
2
1	|
----------tg sin 4a----|
1
= 2| —-----tg Зл+ —+4a |+tga =2
I sin 4a 2	)
( 1	A
= 2 -----+ctg4a + tga = 2
I sin 4a	)
2(l+cos4a) „	*
sin 4a
+tga =
1 sin 4a
1 cos4a ------1----- sin 4a sm4a
	+ tga = —	+ tga = 2tga---------------tga
l-tg2a
= l-tg2a+tg2«=_l_ = ctga
tga tga
Iя Л I 1 .
-tg -+4a + tga =
Тождество доказано.
.->[15	* ]	2
3.030. sm vrt-2a Fcos l О	)
cos 4a
4i
Решение.
. 2 X 1-COSJC
Используя формулы понижения степени sm — = —-— и
2Х 1 + COSX cos — =-------
2	2
, представляем левую часть равенства в виде
Тождество доказано.
3.031. (cos a-cos
рУ -(sin a-sin
P J2 = -4 sin2	& cos(a + p).
Решение.
(cos a - cos p)2"- (sin a - sin p)2 =
= cos2 a - 2 cos acos p+cos2 p - sin2 a+2 sin asin p - sin2 p =
= (cos2 a-sin2 a)+ (cos2 p-sin2 p)-2(cosacosp-sinasinp)=
= cos2a+cos2p~2cos(a+p)=
=2 cos(a+p)cos(a - p) - 2 cos(a + P)=
/	/ ot —В
= 2 cos(a+pXcos(a - p) -1) = 2 cos(a + PI cos 2 • p
-1
= 2 cos(a+P П - 2 sinI 2 * —-11=-4 sin2 a cos(a + p).
Тождество доказано.
3.032. sin2
fZl-2a'|_5tozf»!'-2aL
I8 J I8 J
sin 4a
V2
Решение.
.	( In . ]
1-cos-----4a
I 4	)
2
Г8л-л . ---------4a
4--------
2
cos
£______
2
( 9л 1-cos------4a
[ 4
2
(8л+л . cos------4a
1 I 4
- + —----------
2	2
( Я cos 2П - — + 4a Гн
2
i-> I Л Л 2л + —4a
I4 *
2
л
л
1	( (n . }\  L. (n .
= cos 2л + —4a -cos 2л- —+4a 2
4
4
1 (	(n , A (n .
- cos — 4a - cos — + 4a 2	4	4
-2sin^sin(-4a)
4
V2 . л sin 4a
=—sin 4a = —t=-
2 Jl
Тождество доказано.
3.033. cos4a-sin4actg2a = cos2a-2cos2 a.
Решение.
cos4a - sin4actg2a = cos4a - sin4a •
cos2a sin2a
_ sin2acos4ot-cos2ctsin4a sin(-2a) _ - sin2a sin2a	sina sin2a
= -1 = 2 cos2 a -1 - 2 cos2 a = cos2a - 2 cos2 a.
Тождество доказано.
• a
a^  г( In a A sm2
3.034. sin2 — + — -sm —+— =—7^-I 8 4 I I 8 4 I
Решение.
1
2
„ f a я cos 2я+--------
2 4
_ Ia K
-cod 2n+\ — + —
I 2 4
2 2
I a n ] (an cos-------cos —+ —
I 2 -4 I 2 4
If a n . a . n	a я. a. я
- cos—cos—+sin—sin—cos—cos—+sin — sin— 2	24	24	24	24
. a
i	~	-	/o	^sin —
1	* .	a	.	я	v2	.	a о
= --2sin—sin—=—sin—= —=£-.
2	2	4	2	2	^2
Тождество доказано.
3.035. cos4atg2a-sin4a= 2*8?. . tg2a-l
Решение. . sin2a . . sin2acos4a-cos2asin4a cos4a-------sin4a =-------:-------------
cos2a	cos2a
и
sin(-2a) sin2a x _
= —i=-------------= - tg2a =
cos2a cos2a
Тождество доказано.
2tga tg2a-l
3.036. sin2 2a-cos| — -2a pinf2a-— |= i 4 3 Г 6	4
Решение.
sin2 2a-co!
l-cos4a 1 . (. л ----------sin 4a-—
2	2 I 2
1 . n	1	cos4a	1	. (л	. ) 1
—sin— =--------+ -sin — 4a —
2	6	2	2	2	2
Тождество доказано.
1 _ 1 cos4a cos4a _ 1
4~4	2~+~~2	4
2
„	-2	I Л I I Л 11
3.037. sin a+cos ---a fcosl j+a = д-Решение.
Используя формулы
. 2 х 1-cosx sin — =-------
2	2
cos х cos у = у (cos(x - у)+ cos (* + >0), представляем левую часть равенства в виде
l-cos2a if - 2л ) 1 cos2a cos2a 1 1 --  +- cos2a+cos— =-  — + —  - = -
2	2 •	3	22	244
2
Тождество доказано.
tg3a
3.038. tg23a_j
1-ctg2 3a ctg3a
Решение.
tg3a 1-ctg2 3a _ tg3a________tg23a
tg23a-l ctg3a tg23a-l _J_ tg3c
_ tg3a tg23a-l t . = tg3a tg23a-l tg23a-l tg23a tg23a-l tg3a
Тождество доказано.
3.039. cos4a-sin4actg2a = -l.
Решение.	‘
cos4a-sin4actg2a = cos4a-sin4a-	— =
sin 2 a
_ sin2acos4a-cos2asin4a _ sin(-2a) _ -sin 2a _
sin 2a	sin2a	sin 2 a
Тождество доказано.
3.040.
1-cos4a ! 1 +cos4a cos-2 2a-1 sin-2 2a-1
Решение.
l-cos4a l+cos4a l-cos4a l+cos4a
---15-----'----15----=---i------'----i-----=
cos 2a-l ‘ sin 2a-l 1 j 1 j cos2 2a sin2 2a
_ (l-cos4a)cos2 2a (l+cos4a)sin22a _ (l-cos4a)cos22a
1-cos2 2a	1-sin2 2a	sin2 2a
(l+cos4a)sin22a _ (1 - (1 - sin2 2a))cos2 2a + (1+2 cos2 2a - l)sin2 2a cos2 2a	sin2 2a	cos2 2a
2sin22acos22a 2cos22asin22a *	• 2->
=-------j------+---------5------= 2 cos 2a+2 sin 2a =
sinz 2a	cos 2a
=2(:os2 2a+sin2 2a)= 2.
Тождество доказано.
3.041.
tga-cos *a cosa-ctga
= tgacos 'a.
Решение.
sina 1	sina-1
_j	------ — ——	
tga-cos	a _ cosa	cosa _ cosa
cosa-ctga	cosa	cosa	cosa(sina-'TJ
sina	sina
sin a-1	sina	sina sina 1	_]
=------------r-------r =---------=-----------= tga cos a.
cosa cosa(sina-l) cosa cosa cosa cosa
Тождество доказано.
3.042. cos2(45° - a)-cos2 (б0° + a)-cos75°sin(75° -2a)=sin2a.
Решение.
Используя формулы
?x 1 + cosx
cos — =------
2	2
sin xcos у = ~ (sin(x - j>)+ sin(x + >>)),
представляем левую часть равенства в виде
l + cos(90°-2a) l + costao0 +2a) 1/. / ~ \ • lien* о
-----1----------------------*--|sm(-2a)+sin|J50 -2a))=
= — (1 + cos(90° - 2a)-1 - cos(l 20° + 2a)+ sin 2a - sin (l 50° - 2a)).
Так как
cos(90° -2a)=sin2a, cos(l20e +2a)=cosl20°cos2a-sinl20°sin2a =
= —cos2a-----sin2a
2	2
и
sin(l50° -2a)=sinl50°cos2a-cosl50°sin2a = -cos2a +—sin2a , v 7	2	2
TO
2
sin 2a + - cos2a +—sin 2a+sin 2a—cos 2a-sin 2a
2	2	2	2
= — - 2sin2a = sin2a. 2
Тождество доказано.
l-2sm2a 1-tga
3.043.	= ;—— •
l + sin2a 1 + tga
Решение.
Используя формулы l-2sin2x = cos2x, sin2x+cos2x = l
и
sin2x = 2sinxcosx, представляем левую часть равенства в виде
____________cos 2a_______ cos2a
cos2 a+sin2 a+2 sin acos a (cos a+sin a)2
Применяя формулу cos2x = cos2 x - sin2 x, имеем
%. _ cos2 a-sin2 a _ (cosa+sinaXcosa-sina) _ cosa-sin a
(cosa+sina)2 (cosa+sina)2 cosa+sina
Разделив числитель и знаменатель этой дроби на cos a * 0, получи
y l-tga
1 + tga'
Тождество доказано.
sin2a+sin5a-sin3a - .
3 044. ------------;--= 2sma.
cosa+i-2sin22a
Решение.
sin2a+(sin5a - sin3a) _ 2sin'acosa+2cos4asina cosa+ |)-2 sin2 2a)	cosa+cos4a
_ 2sina(cosa+cos4a) _
cosa+cos 4a
Тождество доказано.
ctg22a-l -	. a о
3 045 —---------cos8actg4a = sin8a.
2ctg2a
Решение.
ctg2 2a 1	_ tg 2a-----cos8actg4a =
2 ctg 2 a	2
tg2a
l-tg22a tg2a o , . l-tg22a o .
= —г------=-----cos8actg4a = — ------cos8actg4a =
tg22a 2	2tg2a
= —----cos8actg4a = — ---cos8a —-
tg4a	tg4a tg4a tg4a
= Ц-  (1 -cosSa) =	= sinta
l-cos8a	l-cos8a
cos 8a
Тождество доказано.
1
3.046.
cos4a+l 1 . . ----------=—sin4a. ctga-tga 2
Решение.
cos4a+l _ cos4a + l _ cos4a + l _ (cos4a+l)sinacosa _ ctga-tga cosa sina cos2 a-sin2 a cos2 a-sin2 a
sina cosa	sin acos a
_ (cos4a +1)2sinacosa _ (cos4a+l)sin2a _ cos4a + l	? _
2(cos2a-sin2a)	2 cos 2a	2
cos4a + l sin 4a	sin 4a 1 . .
=---------------— = —-— = -sin 4a.
2	l + cos4a	2	2
Тождество доказано.
3.047. c<g(l5-+2«)=-^. l+sin4a
Решение.
Пусть X = ctg(l5° +2а)=
1
„	(	\ ,	X 1-cosx
Применяя к выражению tg(45° +2a) формулу tg—= $	, где
х*л+2ял, ne Z, имеем
x ________1_____ _ sin(9O0 +4a) _ cos 4a
l-cos(90° +4a) l-cos(90° +4a) 1 +sin 4a
sin(90° +4a)
Тождество доказано.
(sin* 1 * 2 a+tg2 a+l)(cos2 a-ctg2 a+1 (cos2 a+ctg2 a+ljsin2 a+tg2 a-1
Решение.
3.048.
=1.
iin2 a+tg2 a+lkos2 a-ctg2 a+l)_ x>s2 a+ctg2 a+ljsin2 a+tg2 a-1)
Y	2
,,	2 cos a
+1 cos a------5—
sin a
2
. 2 sin a sin a+—5— cos a
[2 cos2 a . I . 2 sin" a .
cos a+—j—+1 sin a+—,----1
sin a I cos a
cos2 asin2 a+sin2 a+cos2 a sin2 acos2 a-cos2 a+sin2 a
•2
• 2
• 2
________cos2 a_________________sin2 a_______i
.2 о	2	. 2	2*2	*2	2	*'
sm acos a+cos a+sm a cos asm a+sin a-cos a
cos2 a
sin2 a
Тождество доказано.
3.049.
ftga+^ctga sina+cosa
\2
2 sin 2a
Решение.
sina+cosa
sin2 a+2sinacosa+cos2 a
sina
cosa
__ cosa sing sin2 a+2sinacosa+cos2 a
1	2
sin2 a+2sinacosa+cos2 a
________sinacosa_________ sin2 a+2sinacosa+cos2 a
2
sin 2a’
sinacosa 2sinacosa
Тождество доказано.
3.050. sin2(45° + a)-sin2(30° -a)-sinl5°cos(150 +2a)=sin2a. Решение.
sin2(45° + a)-sin2^0° -a)-sinl5°cos^5° +2a)=
l-cos(90o + 2a) l-cos(60e-2a) 1/. / ~ \ . /,л. ~ \\
=-------------1-----(sin(-2a)+sin(30 +2a>
cos(90°+2a)	cos(60° -2a) sin2a sinfco*+2a)_
”2	2 V 2	+ 2	2
= ^(-cos(90° +2a)+cos(60e -2a)+sin2a-sin^0° +2a))=
= i(sin2a+cos60ecos2a + sin60°sin2a+sin2a-sin30’cos2a-cos30’sin2a)=
2V	7
1C. „	1	о Vi . „ 1	л
2l	2	2	2	2 I
1	„ . „
= -’2sin2a = sin2a.
2
Тождество доказано.
3.051. sin6 a + cos6 a + 3sin2 acos2 a = 1.
Решение.
sin6a+cos6a + 3sin2 acos2 a =
= (йп2аУ +(:os2 a/ +3sin2 acos2 a =
= (sin2 a + cos2 a)(sin4 a-sin2 acos2 a+cos4 a)+3sin2 acos2 a =
= ((sin4 a + cos4 a)- sin2 acos2 a)+ 3 sin2 acos2 a =
= ^(sin2 a + cos2 a)2 -2sin2 acos2 a^-sin2 acos2 a^+3sin2 acos2 a =
= (l - 3sin2 acos2 a)+ 3 sin2 acos2 a = 1.
Тождество доказано.
tg3a _ 3-tg2a
3-052* tga l-3tg2a
Решение.
tg2a + tga
tg3a _ tg(2a + a) _ l-tg2atga _ tg2a + tga _
tga tga tga (l-tg2atga)tga
2tgg_+tga 1-tg a
1—tga tga
2
tga ----2“
(1-tg a
f, 2tg2a '
1-tg2 a
tga
2 =
2+l-tg2a
1-tg2a _ 3-tg2a l-tg2a-2tg2a 1 - 3 tg2 a
1-tg2 a
Тождество доказано.
 (	\ • t( x	• 2 x
3.053. sinasin(x-a)+sin l у-a l=sin —.
Решение.
Используя формулы
sin A sin В = j(cos(^4 - /?)- cos(z4+В))
. э A 1-cosJ sin — =-------,
2	2
представляем левую часть равенства в виде
.. 1 / м \	\ l-cos(x-2a) cos(x-2a) cosx
X = - (cos(2a - x)- cosx)+-------= — -------------+
2	2	2	2
. 1 cos(x-2a) lz,	\ if, Л, xYl
2	2	2V	7	\ 2JJ
ifi fi • 2 * if. i . a • 2 X 'I 1 A . 2 X . 2 X = - 1- l-2sm — =— l-l+2sin — = — -2sin — = sin —.
• 2^	2JJ 2l	2 J 2	2	2
Тождество доказано.
3.054. cos2a-sin22a = cos2acos2a-2sin2acos2a. Решение.
cos2 a - sin2 2a = cos2 a - (sin2a)2 = cos2 a - (2 sin acosa)2 = =cos2 a-4sin2 acos2 a = cos2 all-4 sin2 a)=
= cos2 a(l-2sin2 a-2 sin2 a)=cos2 a(cos2a-2sin2 a = cos2 acos2a-2sin2 acos2 a.
Тождество доказано.
3.055. S--n?a —2(cos2a + cos4a + cos6a)-1 = 0.
sina
Решение.
S*n?a - 2(cos2a+ cos4a+cos6a) -1 = sina
sin(6a+a) ~ n ~	.
= — ------- - 2 cos2a - 2 cos 4a - 2 cos 6a -1 =
sina
_ ( sin(6a+a) _ 2 cos 6a 1- 2 cos2a - 2 cos4a -1 =
I sina	J
pin6acosa+co^sina_2cos6aL2cos2a_2cos4a_1 = sina	)
sin6acosa+cos6asina-2cos6asina ~	_ A .
----------------------------2 cos2a - 2 cos4a -1 =
sina sin6acosa-cos6asina _ n n A . ---------------------2cos2a-2cos4a -1 =
sina
s*n5.a - 2 cos 4a 1- 2 cos2a -1 = ( S^-a- - 2 cos4a 1 - 2 cos2a -1 = sina	)	I sina	)
sin4acosa + cos4asina	. A _	~	.
---------------------2cos4a |-2cos2a-l =
sina	J
sin4acosa+cos4asina-2cos4asina л ~	,
----------------------------------2cos2a-l =
sina
sin4acosa-cos4asina n n . sin3a n ~	.
=---------------------2 cos2a -1 =-----2 cos2a -1 =
sina	sina
fsin(2a + a) _	~	. fsin2acosa+cos2asina -	.
= 1 —ь---^-2cos2a 1-1 = 1---------------------2cos2a 1-1 =
sina	)	sina	j
_ sin2acosa + cos2asina-2cos2asina _ sin2acosa-cos2asina _
sina
sina
sina
Тождество доказано.
3.056. sin2 a - sin2 P = sin(a+p)sin(a - p).
Решение.
sin2 a-sin2 p = (sina-sinpXsina + sinp)=
. a+p . a-p * .a+p a-p = 2 cos--- sin---- • 2 sin-- cos--- =
2	2	2	2
C . a+P a+pY_ . a-p a-P'i = 2sin----cos----- 2sin----cos-—- =
I 2	2 1 2	2 J
= sin(a+p)sin(a - p).
Тождество доказано.
3.057. cos4 x+sin2 у +—sin2 2x -1 = sin(y+x)sin(y - x). 4
Решение.
cos4 x+sin2 y+^sin22x-l = cos4 x + sin2 y+i(sin2x)2 -1 =
= cos4x + sin2y+^(2sinxcosx)2 -1 =
4	. 2	1 j • 2	2	«
= cos x + sm y + ~4sin xcos x-l =
4
= cos4 x + sin2 у + sin2 xcos2 x -1 =
= ^os4 x+sin2 xcos2 x)+sin2 y-1 =
= cos2 x(cos2 x + sin2 x)— (1 - sin2 y)=
= COS2 X -cos2 у = (cOSX -COSyXcOSX + COSy)=
_ . x + y . x-y - x + y x-y
= -2sin---—sin--— 2cos----—cos----— =
2	2	2	2
. x + y	Х + уУл • X-y	X-y^
= - 2sin---cos _ z 2sin-----—cos---— =
I 2	2 A 2	2 J
- -sin(x + y)sin(x - y)=sin(x + y)sin(y - x).
Тождество доказано.
3.058.
ctg ^ + a tg(2n-2a)
<3
ctg -л-2а -tga
-2>/3sin —+a sinl —-a = 2sin|2a-—
.4	4	3
4
4
Решение.
Используя формулу sin xsinу = ±(cos(x- у)-cos(x + у)) и формулы приведения, перепишем левую часть равенства в виде
tgatg2a tg2a-tga
,	2 tga
tga-;;-%—
T cos2a-cos—|= *£аЧ»2а—yf^cos2a = 2 J tg2a-tga 2tg2a
/з cos 2a =----J—tg a _—_ cos 2a _
1-tg2 а
2 tga t
-—5-----tga
1-tg a
21 a	(1	л/з	A
= ——-J? cos 2a = sin 2a--Уз cos 2a = 2 —sin2a---cos2a =
l + tg2a	12	2
—	* /4 7C	7C I I 7C
= 2 sin2acos—cos2asin — =2sin 2a —
3	3	3
Тождество доказано.
л+а
3.059.
tg2a-tga
+2coi
Решение.
+а
-2а .
Используя формулу cos х cos у = (cos(x - у)+cos(x + у)) и формулы приведения, перепишем левую часть равенства в виде
tg2a(-tga) * я tg2atga , X =	\—2—L+cos 2a+cos — = ——--—+cos 2a =
tg2a-tga	2 tga-tg2a
2tga 4
—4~~ tga
= ——я------+ cos 2a =-+ cos 2a = - sin 2a+cos 2a =
tga.2^_ l+tg2a
1-tg a
= cos 2a - sin 2a = cos 2a-cos —2a =-2sin —sin 2a —
2 I 4 I 4
•2t-
л sin —2а
4
4
Тождество доказано.
~	.	-1. cos2a+sin2a
3.060. tg4a+cos 4a =----------
cos2a-sin2a
Решение.
A -i л sm4a 1	l + sin4a
tg4a+cos 4a =----— +--------=---------=
cos4a cos4a * cos4a ________(cos2a+sin2a)2________ cos2a+sin2a (cos2a+sin 2aXcos2a - sin2a) cos2a - sin 2a
Тождество доказано.
lga + t^+l8«Zl|P+2tg!„ = 2C0S-2a. tg(a+P) tgfa-Й
Решение.
3.061.
~	.	sin(x + у)	* sin(x-y)
Так как tgx + tg.y =—*—— и tgx-tgy =—*—— , где cos х cos у	cosxcosy
л	_
х, у * у + ли, п € Z, то левую часть равенства можно записать в виде
sin(a + р) sin(a-p)
cosacosB+ coSacosB +2tg2a = cos(a + p) + cos(a - p)	2 ц fa
sin(a+P) sm(a~P)	cosacosp cosacosp
cos(a + p) cos(a-p)
cos(a + p)+cos(a-p) _ 2 2cosacosp _ 2 Л . 2 \ = —ч----r/--2—+ 21g a =------------ + 2tga = 2ll + tga)
cos a cos p	cos a cos p
2 о -i
= —5—=2 cos a.
cos a
Тождество доказано.
3.062. 1-—sin22a + cos2a = cos2 a + cos4 a. 4
Решение.
1 - sin2 2a + cos2a = 1 - (sin2a)2 + cos2a =
= 1 - - (2 sinacosa)2 + cos2 a - sin2 a = 1 - - • 4sin2 acos2 a+ 4	4
+cos2 a - sin2 a = 1+cos2 a - sin2 a(l+cos2 a)=
= +cos2 a)(l - sin2 a)= (1 + cos2 ajcos2 a = cos2 a+cos4 a.
Тождество доказано.
Упростить выражения (3.063—3.113):
»1 • (« ~ 1 2а . 2 а
3.063. l-sin—Зя -cos — +sin —.
I2 J 4	4
Решение.
1 . f а . А 2 а( • 2 а 1-sin—Зя -cos — + sin — 12	2	2
. .К а 1	2 а . 2 а
= 1 + 81ПЗя— -cos —+ sin —
12	4	4
. 2 а . а . 2 а .(-(Х]-.2<х^-а а = 2sin — + sin— = 2sin —+sin 2 — =2sin —+2sin—cos—=
4	2	4	4 J 4	44
- . af . a	al	. af . a
= 2sin— sin—+ cos— = 2sin— sin—4-si
4	4	4	4	4
x	/	X
. a _ . я f а я 1	~ /т . a fa я я
= 2sin—-2 sin—cos-=2v2 sin—cos — 4--
4	4144	41442
_ o /т . a . f а+я Ответ: 2V2sm—sin —-—
4 I 4
l+sin2a
+cos2 a.
3.064.
cos(2a-2n)ctg
Решение.
2	l + sin2a
—r + cos a =---------------у--------------
cos(2a - 2rc)ctgl a - - л j	cos(2 л - 2al - ctgf n - a
l + sin2a
+ cos2a =
______1+sin 2a____
_	( 4л+л
-cos2actd-------a
4
1+sin 2a
2	i+sinza	2
+ cos a =---------—---------rr+cos a =
M .	Л	I I
cos2actg Л+ —a
4 J
•	2	2
l + sin2a	2 cos a+sin a+2sinacosa 2
--------7----г+cos a =--------------7-----x---+ cos a =
~ J я cos2actd —a
1 4
CO!
cos2a —
• i л sin —a
14
- (cosa + sin a^
-a
+ cos2a =
n i я I cosOcos —a
14 j
- (cos a+sin a)2 ~(cosa-sina)
+ cos2 a = - 1+cos2 a = (cos a + sin aXcos a - sin a)- — (cos a+sin a)
5 a—л
4
-sin2 a.
Ответ: —sin2 a.
Решение.
2 a cos —
. 4
• 2 a sin —
4
2 3a cos —
4
3a 4
2 a a cos —cos— 4	2
sin2
3a ~4
. ? 3a ,	2 3a
sin----1-cos —
4	4 a
----“-------—’COS—
. 2 3a	2
sin — ______________4__________
. 2 3a 2 a 2 3a . 2 « sin —cos —cos —sm —
4	4	4	4
2 a cos —
4
. 2 a • 2 3a sm — sin —
4	4
•2^.2 sin —sin
4
3a 4
. 2 3a 2 a 2 3a . 2 a sm —cos —cos —sm —
4	4	4	4
2 a a . 2 « cos — cos—sm —
4	2	4
. 3a a 3a . a
sm—cos—cos—sm—
4	4	4	4
га	a.2« л	• 2 a	2«	a	. 2 a	a
cos —cos—sm — 4sm —cos —cos— sm —cos—
4	2	4 =	4	4	2 =	2	2	=
sin—sina 2
4sin—sina	4sin—sina
2	2
.a	a » . a	a
sm—cos— 2 sin—cos— • „	,
2	2 _	2	2 _ sma _ £
4sina	8 sin a	8sina 8
Ответ: -• О
. a	a	a
sin—ctg—cos— 4	о	4
a A a —cos—ctg—
a . a
-sin— 4
a cos— . a 8	a
sm-------o__cos_
4 . a	4
sm— 8 a cos— a я . a cos------— 4-sin —
‘ . a 4 sm—
8
4
.a a	a . a
sm—cos-cos—sm—
4	8	4	8
.a	. a a a . a
sm—	sm—cos—cos—sm—
8=	4	8	4	8	_
a	a.	a.	a	a	a.	a.	a
cos—cos — 4- sm—sm —	cos— cos— + sm—sm—
4	8	4	8	4	8	4	8
. a sm—
8
Ответ: “tg—.
о
3.067. cosa^+cos *a+tga)^-cos *a+ tga) Решение.
cos a^ 4-cos”1
(л 1	sinaYi 1	sina
I	cosa cosa 1	cosa cosa
cosa4-14-sina cosa-14-sina = cosa---------------------------=
cosa	cosa
((cosa+sina)+lX(cosa+sina)-l)_ (cosa + sina)2 -1 cosa	cosa
cos2 a+2sinacosa+sin2a-l 2sinacosa . 	=	= 2sina. cosa-------------------------cosa
Ответ: 2 sin a.
3.068. sin2 a(l+sin"1 a+ctg afa - sin"1 a+ctg a Решение.
sin2
. 2 (i 1 cosaYi 1 cosa
= sina 1+-—+------11-----+----
sina sinaj^ sina sina
. 2 sina+l+cosa sina-l+cosa = sin a-----------------------=
sina	sina
= ((sina+cosa)+lX(sina+cosa)-l)=(sina+cosa)2 -1 = = sin2 a+2 sin acos a+cos2 a -1 = 2 sin acos a = sin 2a.
Ответ: sin 2a.
l-cos(8a-~3rc) 3069‘ tg2a~-ctg2a
Решение.
l-cos(8a-3ft)_ l-cos(3it-8a) _ (l-cos(3w-8a))sin2acos2a
tg2a-ctg2a ~ sin2a cos2a ~	sin2 2a-cos2 2a
cos2a sin2a
_ (l-cos(3re-8a))2sin2acos2a _ (l+cos8a)sin4a _
2 (cos2 2a-sin2 2a)	2cos4a
_ (l+2cos2 4a-l)sin4a _ 2cos24asin4a _ -2sin4acos4a _ 2cos4a	2cos4a	2
_ sin 8a
“	2~
л sin 8a
Ответ:------—
Решение.
1 f 1	Vai.al.a	l.a
= - -+cosa sm—= — sm—+—sm—cosa = —sm—+
2^2	J 2 4 2 2 2	42
l(.( a} . 3^1. a l.a 1.3	1.3
+ — sm— +sin-a =—sin-sm —+ -sin-a = -sin-a.
4^	2 J 2J4	24	24	2	4	2
1 . 3 Ответ: —sin—a.
3.071. sin2(j+2pj-sin2^y-2p).
Решение.
sin2f «+2B)-sm2f“-2pl= l-^(a+4p)_l-coS(a-4p) =
^2 J 1^2	2	2
. 1 _cos(a+4p)_ 1 cos(a-4p) _ 1 ( ( _4p)_cos((I +4₽))= 2	2	2	2	2
= -sin asin(- 4p)=sin asin4p.
Ответ: sin a sin 4₽.
cos”12x + sin 2x tg2x
3.072. l+cos4x
1
л . 21 4snr —x
4
— x
Решение.
cos l2x + sin2xtg2x l+cos4x
л . 2 П 1 | Я 4 sin —x ctfl —x
4 И4
1
1	. _ sin2x
------+sin 2x_ cos2x-cos2x
l+cos4x
1 + sin1 2 2x cos2x l+cos4x
l+sin22x cos2x(l+cos4x)
1__________l+sin22x ,	1
cos2x(l+2 cos2 2x -1) 2cos2x
4 J
l+sin22x 1	_ 1+sin2 2x+cos22x _ 1 + 1 _
2cos32x 2cos2x 2cos32x 2cos32x
-----,— = —т— = cos-3 2x.
2 cos 2x cos 2x
Ответ: cos 3 2x.
3.073. cos2((x+2p)+sin2(a-2p)-l.
Решение.
cos2 (a+2p)+ sin2 (a - 2p)-1 = ^+cos(^a+4P)+ t l-cos(2cx-4p)	1- cos(2a+4p) [ 1 cos(2a-4p)
+	2	2+	2	+2	2
= i(cos(2a+4p)-cos(2a-4p))= -sin2asin4p.
Ответ: — sin2asin4p.
3.074. sin2 (a + 2p)+sin2(a-2p)-l.
Решение.
sin2 (a+2p)+sin2 (a - 2p)-1 = * cos(2(X + 4p) +
l-cos(2ot-4p) _ । _ X _ cos(2a+4p)	_ cos(2a-4p)
+	2	2	2	+2	2
= - ^ (cos(2a+4p)+cos(2a -4p))=~ • 2 cos2acos4p = -cos2a cos4p.
Ответ: -cos2acos4p.
3.075. (cosa-cos2p)2 + (sina+sin2p)2.
Решение.
(cosa-cos2p)r+(sina+sin2p)2 =
= cos2 a-2cosacos2p+cos2 2p+sin2 a+2 sin a sin 2p +sin2 2p =
= (cos2 a + sin2 a)+ (:os2 2p+sin2 2p)-2(cosacos2p-sinasin2p)=
= 2 - 2(cos a cos 2p - sin a sin 2p)=2 - 2 cos(a+2p)=
= 2-2fl-2sin2^^l 2
= 2-2cosf2-^&> \ 2 >
= 4sin2^. 2
A . 2 a + 2p Ответ: 4sm —-—.
2
(1 - cos2a)cos(450 +2a)
3*076»	2 л . >
2sin 2a-sin4a
Решение.
= 2-2+4sin2	=
2
(l-cos2a)cos(45°+2a)	a) 22 fcoS2tt-s,n2а)
2sin2 2a-sin4a	2sin2 2a-2sin2acos2a
_ 41 sin2 a(cos2a - sin2a) _ 41 sin2 a _ 72 sin2 a	72 sin a
-2sin2a(cos2a-sin2a) -2 sin 2a 4 sin a cos a	4 cos a
V2 Ответ:-----tga.
,	2(3	(Х^	2^11
3.077. cos -я— -cos — л+ —
I8 4J I8 4)
Решение.
_	-J2 . а
Ответ: -—sin—. 2	2
3.078. ctg 45° -у +ctg 135° -у
Решение.
Ответ: 2tga.
3.079.
l+ctg2actga tga+ctga
Решение.
U^-'-elga l+ctg2actga _ 2ctga__________	2	_ 1+ctg a x
tga+ctga " L+Ctga	1+ctg* 2 a	2
ctga	ctg a
y ctga	ctga
l+ctg2a 2
ctga Ответ: ——•
2
_ cos ma- cos na
3.080. --------:---•
sinna-sinzna
Решение.
—2 sin---asin-----о
cos ma-cos ла _ cos ma-cos ла _2 2
sin ла-sin ma	sin ma-sin ла	™ + л -.т-л
2 cos--asm--------a
2	2
. т + л sin------a
2
т + л cos------a
2
ж т + л =tg—
a.
Ответ: tg
т + л ------a.
. of	3ft | •	2 х I Л	I	-'ll Л
3.081. sinz a---(l-tgza)tg — + a cos —a
\	2 )	\4	/	\4
Решение.
. 21	3л ]z, A 2	| Л	|	-21 Л I
sin a-----1(1 — tg a)tg —+ a cos —a =
V	2 J	14	у 147
1
' /a \A2	(	\
. I J I /,	2 x I Я I
sin —л —a (l-tga)tg — + a •
12	J)	14	J 2(n
> 4	7	4	z cos —-a
14
x 1-cos b^ + 2a
1-cos2a ]	^2 J ___________1_____
14-cos2aj . (л ~ A . , (n ' y sin — + 2a 1 + cos — 2a
12	J l<2	)
_l + cos2a l + cos2a-l + cos2a l + sin2a 2
2	1 +cos 2a cos 2a 1 +sin 2a
Ответ'. 2.
3.082. 1-
Решение.
	1 i 1 j 1 j	cos 2 a !_________________________________________1	! t 1 cos2a + l ~ cos2a+l
-cos 2a cos 2a cos 2a
cos2a4-1-cos2a _	1	_	1	_	1
cos2a4-l cos2a + l 2cos2a-14-l 2cos2a
1
Ответ :---ч—
2 cos a
cos 1 a+cos-1 В
3.083. -----ift . й--— •
tgacos p+tgpcos a
Решение.
1	1	cosa+cosp
cos-1 a+cos-1 p ,  ____cosa cosp_______ cosacosp
tgacos-1 P+tgpcos-1 a " sina 1	sinP 1 sin a+sin p
cosa cosp cosp cosa	cosacosp
a+p	a-p	a+p
cosa+cosp	2cos-^cos^	cos^ a+p
sina+sinp	^„a+P^a^P	sin«+P	Ctg 2 ’
2	2	2
_	. a+P
Ответ: ctg—
3.084.
Решение.
(3	A	3( л	A
tg -л-a +tg3 -+a ___Lz----I----kr--L
.3^5	A	t (3
ctg -л-a +ct81 2 Л+а ctga-ctg3a
ctg a-ctg3 a ctg3
3 я
ctg 2л+ —a -tga
(4л+я	A t
_ ctga-ctg3 a _ tg3a-tga
ctga-ctg3a _
1______1_“
ctg3 a ctga
л
2
, ,g ^ = ctg4a. 1-ctg2 a
ctg3 a
1
3.085. 1-
Решение.
, • -п л 1-sin —+а
2
cosa-1
• (л sm] - + а
V
cosa-1 cosa-1
cosa-1 l-2sin2 —-1 2sin2 —
2	2
Ответ: 0,5 sin
l-tg(%-2a)tga
3.086. ~7j-----'
td г л-а +tga V )
Решение.
(	\	1+ 2t^ ~tga
l-tg(re-2a)tga _ l+tg2atga _ 1-tg a _ . (3	A 4	ctga + tga	1 ..ял,
tg -я-а +tga	&	----+tga
\2	)	tga
l-tg2a+2tg2a
- l~tg2 a _ l+tg2a tga _ tga _ 2 tga l+tg2a 1-tg2a l+tg2a 1-tg2a 2^1-tg2a)
tga
= 1. 2te_cL- = ltle2a = ^ 2 l-tg2a 2 8	2 ’
tg2a Ответ: ——•
3.087.
Решение.
sin2 а	. ?	sin4 а
tg asm a	Cos2a	CpS2a
tg2a-sin2a sin2 a . 2 sin2 all-cos2 a)
cos" a	cos" a
sin4 a cos2 a _ sin4 a __ sin4 a _ 3	2 S 1 \ ~ -2	• 2	~ • 4	~
cos" a sin all-cos" a) sin asm a sin a
Ответ: 1.
ctg(27O° - a) ctg2 (360° - a)-1
1088- l-tg^-180")
Решение.
ctg(?70° - a) ctg2 (збО° - a)-1 _ tg a ctg2 a-1 _ 2tga l-tg2(a-180°) ctg(180° +a) l-tg2a ctg a l-tg2a x—- a * = tg2actg2a = 1.
2 ctg a
Ответ: 1.
cos2 (а-270е)	sin2 (a+270°)
3'089’ sin’2 (a+90°)-1+ cos'2 (a- 90°)-1'
Решение.
cos* * 2 (g-270°) sin2 (g+270°) _ (:os^70°-a))2 sin-2(g+90°)-l cos-2(g-90°)-l	1_______i
(ип(?0°+д)У
^in(27O° +g)f _ sin2g cos2 g _ sin2g cos2g
______?	।	1	।	1	। l-cos2g l-sin2g (jos(90°-g)jf________________________«>s2«	si“2« cos2g sin2g
. 2 о	2	• 2	. 2	2	2	• 2
- sm acos a + cos asm a _ sin acos a cos asm a _ 1-cos2 a l-sin2a sin2 a cos2 a
= cos2a+sin2a=l.
Ответ: 1.
3.0,0. ^‘82к7”')К!(°-г70-)-.).
(1+ctg2 (g+270° ))cos-2 (g+90°) Решение.
6+tg2 (g - 90° )Jkin’2 (a - 270’ )-l) (1+ctg2 (a+270° ))cos-2 (g+90°)
1
. 2 sin a
f 2 A 1	2
, cos g 1-cos g
1+——---------—
sin g cos g
\ /
\ sin2 a	1
2	2
cos a J sin a
sin2 a+cos2 a sin2 a 1
sin2 a cos2 a _ cos2 a _ sin2 acos~ a _ ^2 a
cos2 a+sin2 a	1	1	cos2 a
cos2 a sin2 a sin2 «cos2 a
Ответ: sin2 a.
3.091.
Л |	?! ft
tg 2+“ FCtg a-2
Решение.
)	>(	л')
-cos' a— J Г 2J
-ctg a--
2	♦ *>	?	• 7	2	-2
cos a - siir a _ cos~ a - sin a _ cos a-sin a ctg2 a - tg2 a cos2 a sin2 a cos4 a - sin4 a . 2	2	• 5
sin a cos a cos“asin"a
(cos2 a - sin2 ajcos2 a sin2 a _ (cos2 a - sin2 ajcos2 a sin2 a cos4 a - sin4 a	(cos2 a - sin2 alcos2 a+sin2 a
cos2 a sin2 a 2 • > 4cos2asin2a sin2 2a
—z------5— = cos asm" a =---------=-------
cos a+sin'a	4	4
Ответ:
sin2 2a ~~4
3.092.
a a tg—— Ctg —
.a .a tg—+Ctg —
Решение.
. а	а
sin— cos— _L 2
. 2 а 7 а sin —cos“ —
2	2
ос , а tgI”CtgI х (х х а tgI+Ctg2
а cos—
2
. а sm — __2_-
. а а sm— cos—
2^-2
а cos—
2
. а sm—
2
а . а cos—sin—
2	2
. 2 а 2 а sm —+cos —
2	2
а . а cos—sin—
2	2
2 а
= sm —cos
2
a
I
(	2 а . 2
-ч cos —sin — = -cosa.
I 2	2 J
Ответ: -cosa.
cos2 a-ctg2 a+1 3>093‘ sin2 a + tg2 a-1 Решение.
2	♦ 2	< cos a-----x—+1
cosza-ctg a+l_sin2a sin2a + tg2a-l . 2 sin2a -
cos a
• 2	2	2	-2
sin acos a-cos a+sin a
= —------2	=ctg2 a.
sin acos a+sm a-cos a sin a
cos2 a
7
Ответ: ctg a.
cos2 fca-90°)+ctg2 (90* +2a)+l 3'094, sin2fa -270°)+tg2(z70° +2a)+l ’
Решение.
cos2 fe a-90*)+ctg2 (90° +2a)+l _ sin2^a-270’)+tg2(i70°+2a)+l ~
(cos(90° - 2g))~ + (ctg(90° + 2а))~ +1	sin2 2а+tg2 2а+1
(-sin(270‘ -2а))2 +(tg^70° +2a))* +1 cos22a + ctg22a+1
. >„ sin2 2a , sin22acos22a+sin22a+cos22a sm' 2a + -—z—+1 ------------------------5-----
________cos 2a ____cos 2a________________________
2 cos2 2a , sin22acos22a+cos22a+sin22a
cos 2a + —j—+1 -------------------------2-----
sin 2a	sin 2a
Ответ: tg22a.
3.095.
. ?(. л sin 4a— ________L_ 2J_____: (з	> (3
ctg -n-2a +tg -n+2a 12	2
Решение.
•2л sin 4a—
л-|	|-sin| — -4a |i
2 )	[ I2 J)
f 3	А	С з	А	Сз	А	(з
ctg -n-2a +tg -ic+2a ctg -л-2а +ta -л+2а
\2	J	I2	J	I2	J	Д2
_ cos2 4a _ cos2 4a _ cos2 4a _ “ tg2a-ctg2a ~ sin2a cos2a ~ sin22a-cos22a ~
cos 2a sin 2a sin2acos2a
cos2 4asin2acos2a _ cos2 4asin2acos2a cos2 2a - sin2 2a	cos 4a
cos4a 2sin2acos2a _ cos4asin4a _
"~2	2
2cos4asin4a _ sin8a
4	4~ ‘
Ответ: —-sin 8a. 4
3.096.
1
l-cos(4a-7t) sin3 2a
Решение.
1| l-cos(4a-Jt) n sin3 2a 2tg —л-a cos a —
2	2
3-1	<3	Y (n	St
о 2tg -я-a cos —a
2 J	|^2	1 V2	JJ
1
Г 3 > '> j 3 2ctg^a + -u sin2|a- —л
l-cos(n-4a) sin3 2a
<3 Y M
2ctg -я+a -sin -я-а Д2	2
2
1	+1+cos 4a______1__________1_______
2 ctg a sin2 a sin3 2a -2tgacos2a 2 cos a sina
l+2cos22a-l 1	1 2cos22a
-I-------------1- ---------=-----------1-------p
sin 2a 2sma	2smacosa sin 2a
* Uuo (JC cosa
1	1	. 2 cos2 2a	1 2sin22a+2cos22a
-----------=	. .		-	1	=	------------- 2 sin a cos a sin 2a	sin 2a-sin 2a-sin 2a
2^in2 2a + cos2 2a) _	2
sin3 2a sin3 2a
Ответ:
2 sin3 2a
3.097.
cosl 2 a+2sin2(a-7t) cos2 a + 4 sin a + sin2 (a + я) cos3 (a - 4я)	cosa(4sina+l)
Решение.
cos2 a+2 sin2 (a - я) cos2 a-ь 4 sin a-ь sin2 (a + я) _
cos3 (a - 4я)	cos a(4sin a+1)
_ со82а+2(-8т(я-а))2 со82а+4$та + (5ш(я-ьа))2 __
(со8(4я -a))3	cos a(4 sin a+1)
_ cos2a + 2sin2a ^cos2 a+4sina+sin2a _ cos2 a+2sin2 a cos3 a	cos a(4sin a+1)	cos3 a
l + 4sina _ cos2 a+2sin2 a 1 _ cos2 a+2sin2'a+cos2a
cosa(4sina+l) cos3 a cosa	cos3 a
_ 2cos2a+2sin2a _ 2(cos2a+sin2a)_ 2
cos3 a	cos3 a cos3 a
( 3i	(	8 i 2	1
3.098. sin 2d — л + cos 2a—я +cod -я+2а .
2	3 J 13
Решение.
Пусть
(	3 i	f	8
y = sin 2a—я +cos 2a—я
I	2 J	I	3
(2
+ cos -я+2а =
I 3
( 3
= -sin -я-2а 2
I	(i	(2
+cos -я-2а +cos -я+2а
I	3	3
l 3	1
-sin -я-2а =cos2a;
(2)2	2	1 V3
cos —я+2а =cos—7icos2a-sin—nsin2a = —cos2a-sin 2a.
3	3	3	2	2
1	V3	1	V3
X = cos 2 a—cos 2a +—sin2a—cos2a-sin2a = 0.
2	2	2	2
Ответ; 0.
4 sin* 2 * (a - 5я)~ sin2 (2a+я)
3.099. --7---7-^-
21 о 3 cos 2a—я
2
-4+4sin2a
Решение.
4 sin2 (a - 5я)- sin2 (2a+я) _ 4(- sin(5rc - a))2 - (sin(ff+2a))2 _
/	3 '
cos 2a—я
I	2
-4+4sin2a
4+4sin a |со8|-я-2а I ^2
4sin2a-sin22a _ 4sin2a-4sin2acos2a
sin2 2a - 4+4 sin2 a 4 sin2 a cos2 a - 4+4(1 - cos2 a)
4sin2 a(l-cosz a)___________4sin2asin2a_______
4(1 -cos2 a)cos2 a -4+4 -4cos2 a 4cos2 a-4cos4 a-4cos2 a
4sin4 * * *a
4cos4 a
= -tg4a.
Ответ: - tg4 a.
‘ 2| 9	| . 2[ 17
3.100. sin -я+а -sin —я-а I8	J I8
Решение.
со/--2а cosf —+2а 11=-| -2sin—sin(-2a)
2	14	14	2	4 v 7
= —- (- sin 2a) =—sin 2a = -U sin 2a.
2	2 Ji
Ответ: -=sin2a. V2
3.101. ctg(4a-7U cos4f - я-2a sin4(-тс-2a
Решение. ctg(4a-7t)| cos4| - 1 I 1 = -ctg(n-4a^c< Г/ = -ctg(n-4al cc = ctg 4a cos4 —- I \ x л ff 2(n = ctg 4a cos , A  Гл л = ctg4acos —-4i Ответ: cos 4a.	< И JI4 )) 5	A	(9	Y -	л-2а -sin4 -Tt-2a = *	J	V	)) (4л+л	Yj* f . (8л+л 0 Ylj* I 4	)) И 4 )) j (	(n	yY	(	(	(n yiYl >	s л+ —2a	- sin 2л+ —2a	= 4	4 v	к V	V) ? 1	fir	M 2a -sm —2a = J	I4	JJ \Y ( (к Y2>l -2a - sin2 —2a	= JJ	))) cos4a . . a	— sin4a = cos4a. J sin4a
3.102.
i(5	1	>( 5
cos — л-2а -sin —я-2а
___I4	J I4
а .а I (_ а (ла cos— +sin— cos 2л— +cos — + —
2	21	2	[2 2
Решение.
/5	у	2(5
cos — л-2а -sin
14	I
-л-2а 4
a
a . a j (- a | cos —+ sm — cos 2 л-+cos
2	2 12
2
л a
2 + 2
sina
sina
(5 A cos -л-4а
I 2
cos
a	. a Y a	.ah	(	2 a	• 2 a 1	.
cos—+ sin — cos — sm— sma cos-sm — sma
2	2 12	2 1	I 2	2 1
~	(л .
cos 2л + —4a
2
cos a sin a 4sin2acos2a A n ----:------= 4cos 2 a. sin2a
2 cost	4a j л . л
[2 J_2sm4a 2cosasina	sin 2 a
Ответ: 4 cos 2a.
3.103.
I 5 о cos -л-2а 2
Решение.
cos 2л4- --2a 2
tg Я+ -
cos —2a I 2
. f л n sm —2a
2
tg ^-a j(l + sin2a) l + cos y-2aj
sin 20
(4	/
sin 2a
cos 2a л ----:----(1 +
__ 1 +sin 2a
sin 2a
cos 2a , _
— = ctg2a. sin 2a
Ответ: ctg 2a.
tg2a
tg4a-tg2a
Решение.
tg2a _ tg2a	_ tg2a(l - tg2 2a) _ 1 — tg2 2a
tg4a-tg2a ' 2tg2a _ t	~ tg2a(2-l + tg2 2a)” 1 + tg2 2a
1 - tg2 2a
j _ sin2 2a	cos2 2a - sin2 2a
_ —£os 2a _----- cos 2a ----_ cos2 2a _ sjn2 2a = cos 4a.
, sin2 2a cos2 2a + sin2 2a
1 +—->— ---------5-------
cos- 2a cos 2a
Ответ: cos 4a.
„ „л, sin 6a cos(6a-jc)
3.105. —— +  l.
sin2a cos2a
Решение.
sin6a cos(6a-n) _ sin6a | cos(n-6a) _ sin6a cos6a _ sin2a	cos2a sin2a cos2a sin2a cos2a
_ sin6otcos2a-cos6asin2a _ sin4a _ 2sin4a sin2acos2a	sin2acos2a 2sin2acos2a
_2sin4a _2 sin4a
Ответ: 2.
3.106.
1+cos(4a - 2 n)+cos^ 4a - j / j l+cos(4a+Jt)+cos 4a+—л
Решение.
l+cos(4a- 2л)+ cos| 4a--
3 A -rc+4a
2
l+cos4a+sin4a _ l + 2cos22a-l+2sin2acos2a 1 - cos 4a+sin 4a 1 - (j - 2 sin2 2a)+ 2 sin2acos2a
_ 2cos2 2a+2sin2acos2a _ 2cos2a(cos2a+sin2a)_ cos2a _ctg2a 2sin22a+2sin2acos2a 2sin2a(sin2a+cos2a) sin2a
Ответ: ctg 2 a.
sin(2a+2л)+2sin(4a - n)+sin (ба+4л)
сов(бл - 2a)+2 cos(4a - л)+cos(6a - 4л)
Решение.
8т(2а+2л)+28Й1(4а-л)+5ш(ба+4л)
cos(6n - 2a)+ 2 cos(4a - л)+cos(6a - 4 л)
_ 8т(2л+2а)-28т(л-4а)+8П1(4л+6а) sin2a-2sin4a+sin6a сов(бл - 2a)+2 cos(n - 4a)+cos(4n - 6a) cos2a - 2 cos4a+cos 6a
_ 2sin4acos2a-2sin4a _ 2sin4a(cos2a-l) _ sin4a _ t 2cos4acos2a-2cos4a 2cos4a(cos2a-l) cos4a
Ответ: tg4a.
3.108.
4sin -я + а
_________12	J	 aA__________________a
tg' -я-- —ctg j -я+-2	2	2	2
Решение.
4cosa	4cosa
4 cos a
2 a x 2 a Ctgy-tgy
2 a . 2 a 4 a . 4 a cos — sin —	cos —sin —
2 1	2	2
. 2 a	2a	.2» 2a
sin — cos — sin —cos —
2	2	2	2
л 2 a 2 a 4cosasin —cos —
;______________2	2
2a . 2 aY 2a .2a cos —sin — cos — +sin —
2	2	2	2
cosasin* 2a . 2 =----------= sin a.
cosa
Ответ: sin2 a.
sin(2a+p)+sin(2a-p)-cosf | я-2a
3.109. ------------------------Jy------
cos(2a + p)+cos(2a-p)-sin -n+2a
Решение.
( 3 sin(2a+p)+sin(2a-p)-cos -л-2а
_______________________________J _ 2sin2acosp+sin2a _ cos(2a+p)+cos(2a - p)- sin -л+2a 1 2cos2acosP+cos2a
I2 J
_ sin2a(2cosp+l) _ sin2a _ cos2a(2cosp+l) cos2a
Ответ: tg2a.
cos3a+cos4a+cos5a
3.110. -7-T--—A---------——.
sin 3a + sin 4a + sin 5a
Решение.
cos3a+cos4a+cos5a _ 2cos4acosa+cos4a _ cos4a(2cosa+l) _ sin 3a+sin 4a + sin 5 a	2 sin 4acos a+sin 4a sin 4a(2cosa+1)
cos4a x A
= -- — = ctg 4a. sin 4a
Ответ: ctg4a.
/7
3.111.
-(5	)	,f7	A
cos -л-2а +4cos -л-a -4 2	,	2
2
1+cos(4a - re)-8 sin2 (5 л - a) Решение.
,(5	A	,(7	)
cos -л-2а +4cos -л-а -4 12	I	12
1+cos(4a - тс)- 8 sin2 (5л - a)
Гл	W2 Г Гс
(4л + л	J f 6л+л ]] A
cos------2a +4 cod--------a -4
12 J 4 2 J
2л+1 ^-2a
1+cos(n - 4a)- 8(sin(5n - a))2
' 44x2 ( (	(^
+ 4 cod Зл+ —a 1	2
-4
1+cos(n - 4а)~ 8(sin(5n - a))2
l-cos4a-8sin2a
sin2 2a+4 sin2 a-4 l-cos4a-8sin2 a
4sin2 acos2 a-4(1-sin2 a) 4sin2acos2a-4cos2a _ l-^-2sin22a)-8sin2a 2sin22a-8sin2a
4cos2 a(sin2 a-1) _ -4cos2acos2 a _	-4cos4 a
8sin2acos2a-8sin2a 8sin2 alcos2a-l) -8sin2asin2a
cos4 a 1	4
=-----;— = -ctg a.
2 sin4 a 2
1	4
Ответ: —ctg a-
3.112.
5	1 . ( л a
cos — л-a sin —+—
2	2 2
2f Jt-aY, . л-a (3 cos --- 2sin----+соя -л-а
I 4 1	2	12
Решение.
a :os—
2
хч .	a
2sinacos— _______2
In a)	L . aY^ a
—z	x 14-sin— 2 cos—sina
2 2 I f n a ) I 2 1	2
----A 2cos—sina	v л
2 I 2
CO!
- ♦ a 2 sin a cos— ___________2. \ . aY-i a a a n a(t . a Yi • a) 1 + sin— 2cos—2sm—cos— 2cos— 1+sin— 1-sin—
2 1	2	22	2	2 1	2 J
2sin0 cos— 2
_ . a a ~ . a sina 2sm-cos- 2sin-? a cos**— 2
- . ? a 1-sm** — 2
a
a tg 2 ’ cos—
2
Ответ: 2tgy.
1+cos a + cos 2a+cos 3a cosa4-2cos2a-l Решение.
3.113.
14- cos a 4- cos2a 4- cos 3a _ 14- cos2a 4- (cos a 4- cos 3a) _ cos a 4- 2 cos2 a -1	cos a 4- 2 cos2 a -1
_ 14-cos2a4-2cos2acosa _ 14-2cos2 a-14-2^cos2a-l)cosa
cosa4-2cos2 a-1	cosa4-2cos2 a-1
=2cosa. cosa+2cos a-1
Ответ: 2 cos a.
Преобразовать в произведение (3.114—3.147):
3.114. sin 4a - 2 cos2 2a+1.
Решение.
sin 4a - cos 4a = sin 4a - sin(90e - 4a)= 2 cos45e sin(4a ^45° )=
= 2 — sin (4a
2 v
3.115. tgy+ctgy+2.
Решение.
.	a	a
_	_	sin—	cos—
tg—+ ctg—+2 =----—	_l--1
b2	2	a
cos— 2
. a sin—
2
. 2 a ? a sin — +cos~ —
2	2
a . a cos —sin—
2	2
+2 =
1	-	2	-	2	_ 2+2sina
---------+2 =------------+2 =-----+2 =--------- ♦ a a----Э a a-----------Sin<X Silla
sin—cos —	2 sm — cos—
2	2	2	2
(it A —+a	—a
2(1.sina)_fmrsing | = 2-2sin^-oos^— sina	sina	sina
A . (n aVfn a А л • 4П4+1П4^| sina	sina
A . 21 Я « = 4 sin — + —
4 2
sin"1 a.
>
~ л • 2i л <* Ответ: 4sm — + — 14 2
a.
3.116. cos'4a-sin"4a.
Решение.
sin4 a-cos4 a
—4	—4	1
cos a-sin a = —-------------4 ~------т----—-
cos a sin a cos asin a
a - sin4 a	s2 a - sin2 a%:os2 a + sin'
sin4 2a
16sin4 acos4 a
•4
1
-16cos2a	cos2a 1
=----2----= -16 —--------,— = -16ctg2asin 2a.
sin 2a	sin2a sin 2a
Ответ: -16ctg2asin 32a.
tg4a-tg6a
3.117.	—4-----“г—-
ctg a-ctg a
Решение.
tg4a-tg6a _ tg4a-tg6a = tg4a(l-tg2a)
ctg4 a-ctg2 a 1_______L_ 1-tg2 a
tg4 a tg2 a tg4 a
.tg«a=tg>a
1-tg2 a
Ответ: tg*a.
3.118.	l-3tg2(a+270’).
Решение.
l-3tg2(a+270’)=l-3(tg(270’ +ajf =l-3ctg2 a=4||-|ctg2a
/1 7з
=4 rTctga
! V3 t .1
-+—ctga =4 --2 2	2
cosa sina
cosa
2 2 sina
2 2
1 . V3 1 . V3 -sma----cosa -sma+—cosa
= 4.2	2	.2	2
sina	sina
4|sinacos60° -cosasin60° Asinacos60° +cosasin60‘l J sin2 a
4sin(a-60* Jsin|a+60°) sin2 a
Ответ: 4 sin (a - 60’ )sin(a+60’ )sin“2 a.
3.119.	l-3tg2(a-180’).
Решение.
l-3tg2(a-180’)=l-3(-tg^80r -а)У =
(1 3
= l-3tg2a = 4---tg'a =4tga - + — tga =
14 4	2 2	2 2
4 4
2 2
/ 1 -Уз sina Y1 >/з sina
= 4------------ +------------
2	2 cosa 2 2 cosa
1
. 1	V3 .	1	V3 .
4-cosa----sina -cosa + — sina
2	2	2	2
2
2
cos'a
__ 4(sin 30° cos a - cos30° sin a)sin 30° cos a + cos 30° sin a cos2 a
_ 4sin(30° -ajsin cos2 a
Ответ: 4sin(30’ -a)sin^0° +a)cos 2 a.
/	3 A ,(	3 A
3.120.	tg a-—л -ctg a + jit .
Решение.
2f 3 )	,( 3}	3
tg a—я -ctg" а+-я = -tg -n-a 2	2	2
f (3 W - ctg ^я+а
2	’2	4	-4
x 2	.2 cos" a sin a cos a-sin a
= ctg2 a - tg" a = —--------= —----------—
sin" a cos a sin" acos" a
_ 4(:os2 a-sin2 a)(cos2 a + sin2 a) _ 4cos2a
4 sin2 acos2 a	sin2 2a
Ответ: 4cos2asin 2 2a.
3.121.	3sin2 (a-270° )-cos2 (a+270°).
Решение.
3 sin2 (a - 270’)- cos2 (a+270’ )= з(- sin(?70’ - a))r - (cos^70’ + of = 3(sin(270° - a)^ - (cos^70’ + a))” = 3cos2 a - sin2 a =
'3 .... 1 .
3	2	1  2 1 J V3 1 .
-cos a—sin a =4|—cosa—sina 4	4
V3	1 .
—cosa+-sma
2	2
/к 2	2 ” л
= 4(x>s30’ cosa - sin 30’ sin a)(cos30’ cos a+sin 30’ sin a)=
= 4cos($0’ +a)cos(30° - a).
Ответ: 4cos(30’ +a)cos^( 3.122. sin2(a+90’)-3cos2 Решение.
Г1	3
= cos2 a-3sin2 a = 4 —cos2 a—sin2 a 14	4
. i	V3 . T i	V3 .
= 4 —cosa-----sina — cosa +—sina =
2	2	12	2
= 4(sin 30’ cos a - cos 30’ sin a')(sin 30’ cos a+cos 30’ sin a)= = 4sin^0’ -a)sin(30’ + a).
Ответ: 4 sin(30‘ - a)sin(30’ + a). /	/ о A
3.123. sin2 p— -cos2 a—я . 2	2
V 2 Решение.
sin2[p~^ -cos2
3 I I • я n a—-я = -sin —В
2	.2
71 3 H
2 II
( Зя cos------a
I 2
2
= sin
л2	(	Гъг	W2
I Jic	1	2	о • 2
- cos —-a =cos p-sin a =
I 2	J
7	\	к	))
_l+cos2P l-cos2a_l cos2p 1 cos2a_
~2	2	2+ 2 -2+~l
= i (cos2a+cos2p) = | - 2 cos(a+p)cos(a - p)=cos(a+p)cos(a - p)
Ответ: cos(a + p)cos(a—p)
(a \
3.124. 3-4cos2 -я-а .
12 >
Решение.
. .	>(3	.	l+cos(3re-2a)
3-4cos* -я-a = 3-4--------------  -	=
I2 J 2
= 3-2-2 cos(3k - 2a)= 1 - 2 со$(3я - 2a)=
= l+2cos2a = 21— + cos2a =2 cos —+cos2a =
I2 . „ (n	(n = 2-2cos —+ a cos — I6 J I6 _	.	(я ) Ответ: 4 cos — + a cos I* J 3.125. 3-4sin2| —-a I2 ) Решение. 	A cin 21  ry j— Э  A .	3 /V	/ Г Л a =4cos —+ a cos —a . ) I* J I6 ) (n 'I —a . I6 J l-cos(rt-2a)_
l2 J = 3-2-b2cos(K-2a)=l+2 fl	A f	Д = 2 —cos 2 a =2 cos — I2	J I	3 п Г . Гя V (n = 2- -2sm - + a sin — I I6 J I6 A . (n Y f = 4sin —+ a sin a— . I6 J I 6 J A • ГЛ V ( Ответ: 4sm —+ a sm a 1 6	) I	2 cos(u - 2a)=1-2 cos2a = cos 2a ^= a • (n	V (я a |= —4sinl - + a sin —a JI	16 j I 6 n ” 6 r
(п А (3
3.126.	1+cos —+ 3а -sin —я-За
V 2
(5 +ctd -я+За
2
Решение.
,	(я , ] . (3	. 1 J 5	- 1
1+соя —+3а -sin -я-За +cta -я+За =
12	112	12
. . ,	,	. ,	, • ,	, sin3a
= 1 - sin За+cos За - tg За = 1 - sin За+cos За-=
cos За
_ (cos За - sin 3a)cos За + cos За - sin За _ (cos3a - sin 3aXcos За+1) _
cos3a	cos3a
cos За
_ /Т j За . Г я « ।
2V2 cos —sin — 3a
„	2	14 J
Ответ:--------------1------1.
cos 3a
3.127.	l+cos(2a+270’)+sin(2a+450°).
Решение.
1+cos(ia+270°)+ sin(za+450° )= 1+cos(270° + 2a)+sin(450° + 2a)= = 1 +sin2a+cos2a = cos2 a+sin2 a+2 sin acosa+cos2 a -sin2 a = = (:os2 a+2 sin a cos a+sin2 a)+ (cos a - sin aXcos a + sin a)=
= (cosa+sina)2 + (cosa-sinaXcosa+sin a)=
= (cos a+sin aXcos a+sin a + cos a - sin a)=
= 2(cosa+sin a)cosa = 2 (cos a+cos(90° - a))cosa =
= 2 • 2cos45° cos
(a-45’)c
A osa = 4---cos
2
la-45’)cosa =
= 2л/2 cosacos(a-45’)=2V2 cosacosl45° -a
Ответ: 142 cos a cos(45’ - a).
3.128.	l-cos(ia-270’)+sin(2a+270’).
Решение.
l-cos(2a-270’)+sin(2a+270’)=l-cos(270’ -2a)+sin(270’ +2a)=
= 1+sin2a - cos2a = sin2 a+cos2 a+2 sin a cosa - (:os2 a - sin2 a)=
= (sina+cosa)2 +sin2 a - cos2 a = (sin a+cosa)2 +
+ (sina+cosaXsina-cosa)=(sina+cosaXsina+cosa+sina-cosa)=
=2(sin a+cos a)sin a—2 ^in a+sin(90’ -a))sina =
= 2 ♦ 2 sin45° cos(a -45* )sin a = 4	sin acos(a - 45° )=
= 2^2 sinacos(a-45* )= 2^2 sinacos(45* - a).
Ответ: 141 sin a cosW5* - a
3.129.	sinf—я - 2a |+ 2 sin2
2 I
и 3 I 1 2a—я -1.
2
Решение.
sin
-я-2а |+2sin2 2
(5	1	0Г3 i
2a—я -l = sin -я-2а +2sin -я-2а -1 =
2 J V JI2 J
=cos2a+2cos22a-l =cos2a+cos4a = 2cos3acosa =
= 2cosacos3a.
Ответ: 2 cos a cos За.
3.130.	1 -cos(2a - я)-cos(4a + я)+cos(6a - 2я)
Решение.
1 - cos(2a - я)- cos(4a + n)+cos(6a - 2я)=
= l-cos(n-2a)-cos(n+4a)+cos(2rt-6a)=
= 1+cos2a+cos4a+cos6a = 1+2cos2 a -1+cos4a+cos6a =
=2cos2 a+cos4a+cos6a = 2cos2 a+2 cos5acos a =
=2 cos a(cos a+cos 5 a)=2 cos a  2 cos	cos
= 4cosacos3acos2a = 4cosacos2acos3a.
Ответ: 4cosacos2acos3a.
i3 i Г 5 i
3.131.	1+ctgI—n-4a l+sin"1 -n+4a L
Решение.
. f3 A A . V5 . V J3 A 1 1+ctd -л-4а +sin -rc+4a =l+ctd -rc-4a +—7-------
Д2	)	12 I 12	1.(5.
\	7 к 7	\	7 siri-rc+4a
V
, A 1	, sin4a 1 cos4a+sin4a+l
= l+tg4a+--— = 1 +—— + — =-----------A----=
cos4a cos4a cos4a cos4a
_ cos2 2a - sin2 2a+2 sin2acos2a+cos2 2a+sin2 2a _
cos4a
(cos2a - sin2aXcos2a+sin2a)+ (cos2a+sin2a)r _ cos4a
(cos2a+sin2aXcos2a-sin2a+cos2a+sin2a) _ 2(cos2a+sin2a)cos2( cos4a	cos4a
2cos2oJ cos2a+cod "2a 2cos2a-2cos-cos| 2a--
cos4a	cos4a
2V2 cos2acos 2a - ~ 1 2^2 cos 2a cosl — - 2a I
__________ 1	4)= И /
cos4a	cos4a
2V2cos2acos( —2a 14 Ответ:------------—--------
cos 4a
sin a - 2 cos 3a - sm 5a
3.132.	--------------------—
cos a - 2 sin 3a - cos 5a
Решение.
sina-2cos3a-sin5a _ (sin a-sin 5a)-2 cos 3a __ cosa - 2 sin 3a - cos 5a (cosa - cos5a)- 2 sin 3a _ 2 cos 3a sin(- 2a) - 2 cos3a _ - 2cos3a sin 2a - 2 cos3a _ - 2 sin 3a sin(- 2a) - 2 sin 3a 2 sin 3a sin 2a - 2 sin 3a -2cos3a(sin2a + l) A o sin2a + l A o l + sin2a 2sin3a(sin2a-ll)	sin2a-l l-sin2a
Ответ: ctg3actg2
3.133. 2cos2
Решение.
2 cos21 —
.	2(3lt a\ c (5	,
= 2cos-------+V3cos -тс-a -1 =
12 2 J \2 J
= 2sin2 — -V3sina-l = l-cosa+V3sina-l
Ответ: 2 sin а— .
I 6 J
_____ sin 4а+sin 5а+sin 6а
3,134.		.
cos4a4- cos 5a+cos 6a
Решение.
sin 4a+sin 5a 4-sin 6a _ (sin4a+sin6a)+sin5a _ cos 4a+cos 5a+cos 6a (cos4a+cos 6a)+cos 5a _ 2sin5acosa+sin5a _ sin5a(2cosa+l) _ sin5a
2cos5acosa+cos5a cos5a(2cosa+l) cos5a
Ответ: tg5a.
3.135.	-cos5acos4a-cos4acos3a+2cos2 2acosa. Решение.
- cos 5acos 4a - cos 4a cos 3a+2 cos2 2a cos a =
= - cos 4a(cos 5a + cos 3a) 4- 2 cos2 2a cos a =
= - cos 4a - 2 cos 4a cos a+2 cos2 2 a cos a =
= -2 cos2 4a cos a+2 cos2 2a cos a = -2 cos a(cos2 4a - cos2 2a
= -2 cos a(cos 4a - cos 2aXcos 4a+cos 2a)=
=-2cos a(-2 sin 3a sin a) • 2 cos 3a cos a =
= 2 cos a(2 sin acos aX2 sin 3acos 3a)=2 cos a sin 2a sin 6a.
Ответ: 2cosasin2asin6a.
3.136.	sin 1 Oa sin 8a+sin 8a sin 6a - sin 4a sin 2a.
Решение.
sin 1 Oa sin 8a 4- sin 8a sin 6a - sin 4a sin 2a. =
= sin 8a(sin 1 Oa 4- sin 6a) - sin 4a sin 2a =
= 2 sin 8a sin 8acos2a - sin 4a sin 2a =
= 2 sin* 2 8acos2a-sin4asin2a =
= 2sin2 8acos2a-2sin2acos2asin2a =
= 2sin2 8acos2a-2sin2 2acos2a = 2cos2a^in2 8a-sin2 2a)=
= 2 cos2a(sin 8a - sin 2aXsin 8a + sin 2a)=
= 2 cos 2 a • 2 cos 5 a sin 3 a • 2 sin 5acos3a =
= 2cos2a(2 sin 3acos3aX2 sin 5acos 5a)=2 cos2asin 6a sinl Oa.
Ответ: 2cos2asin6asinl0a.
_____cos7a-cos8a-cos9a+cosl0a
3-137. ——----—------—-----r-TT—-
sm 7a - sm 8a - sin 9a+sin 1 Oa
Решение.
cos7a-cos8a-cos9a+cosl0a (cosl0a+cos7a)-(cos9a+cos8a) sin 7a - sin 8a - sin 9a+sin 1 Oa (sin 1 Oa+sin 7a)- (sin 9a+sin 8a)
_	17a	3a	0	17a	a 2coJ7afcos^_“>|
2cos-cos---2cos--cos—	2cos-r~	C0S^T	V
2	2______2	2 _ 2(2 2 J
- .	17a	3a	-	.	17a	a _ . I7af 3a a
2sin-cos---2sin--cos—	2sm--- cos----
2	2	2	2	2	2 2
17a
cos----
_____2
. 17a sm----
2
. 17a = ctg—•
л . 17a
Ответ: ctg-у-.
3.138. sin5a-sin6a-sin7a+sin8a. Решение.
sin 5a - sin 6a - sin 7a + sin 8a = (sin 8a+sin 5a)- (sin 7a+sin 6a)=
* . 13a 3a ~ . 13a a - . 13af 3a a^ =2sm---cos---2sm---cos— = 2sin- cos--cos— =
2	2	22	2(2	2)
» . 13af » . a'l . . a .	.13a
= 2sin- -2sinasin— =-4sin—sinasin—-.
2	2 I 2	2
a .	. 13a
Ответ: -4 sin
—sinasin----.
2	2
3.139. cos3a-cos4a-cos5a+cos6a.
Решение.
cos 3a - cos4a - cos 5a+cos 6a = (cos 6a+cos 3a)- (cos 5a+cos4a)=
_ 9a 3a _ 9a a . 9af 3a a A
= 2 cos—cos-2 cos—cos— = 2 cos— cos-cos— =
2	2	22	2^2	2 J
* 9a f . .	. a^ 4 . a • 9a
=2 cos— -2smasm— = -4sin —sin acos—.
2	2	2	2
л	. a . 9a
Ответ: -4sin—sinacos—.
2	2
sinl3a+sinl4a+sinl5a+sinl6a
3.140. —---------------—--------—
cosl3a+cosl4a+cosl5a+cosl6a Решение.
sinl3a+sinl4a+sinl5a4-sinl6a
cos 13a+cos 14a+cos 15a+cosl 6a
(sinl6a+sml3a)+(sinl5a+sinl4a)
(cosl6a+cosl 3a)+(cosl 5a+cosl4a)
29a	3	29a a о • 29af 3 a
2sin—cos-a+2sin—cos- 2sm— cos-a+cos-
2	2_______2	2	_	* 2	(	2	2
.	29a	3	_	29a	a	~	29a	f	3	a
2 cos——-cos—a+2cos—-cos— 2 cos  cos—a+cos—
2	2	2	2	2	2	2
« . 29a
2smT_t 29a
,	29a tg 2 ’
2 cos——
2
, 29a
Ответ: tg-y--
3.141. sin2a+sin4a+sin6<x.
Решение.
sin 2 a 4- sin 4a+sin 6a. = (sin2 a + sin 4a)+ sin 2 (3 a)=
= 2 sin 3acos a+2 sin 3acos 3a = 2 sin 3a(cos a 4- cos 3a)= = 2 sin 3a ♦ 2 cos 2a cos a = 4 sin 3acos 2acos a.
Ответ: 4sin3acos2acosa.
3.142.	sin 5a+sin 6a+sin 7a+sin 8a.
Решение.
sin 5a + sin 6a+sin 7a+sin 8a = (sin 5a + sin 6a)+ (sin 7a+sin 8a)=
„ . Ila a * . 15a a - af . Ila . 15aA
= 2 sin—cos—+2 sin-cos—= 2cos— sm—+sm-- =
22	22	2^	2	2 J
. a ~ . 13a	. a . 13a
= 2cos—-2sin-cosa = 4cos—cosasin—.
2	2	2	2
л . a	13a
Ответ: 4 cos—cos a sin—-.
2	2
3.143.	cos5a+cos8a+cos9a+cosl2a.
Решение.
cos 5a + cos 8a+cos9a + cosl 2a = (cos 5a + cos 8a)+ (cos9a + cosl 2a)=
.	13a 3a _	21a 3a „ 3af 13a	21a
= 2cos-—-cos— + 2 cos—- cos—- =2cos— cos-+cos- =
22	22	2^2	2 J
- 3a .	17a	.	. 3a	.	17a
= 2 cos — 2 cos-cos 2a = 4 cos—cos2acos—.
2	2	2	2
_	. 3a -	17a
Ответ: 4 cos—cos2acos .
2	2
3.144.	3+4cos4a+cos8a. Решение.
3+4cos4a+cos 8a = 3+4^2 cos2 2a -1)+ 2 cos2 4a -1 =
= 3+8cos22a-4+2(2cos2 2a-l)” -1 =
= 8cos2 2a+2(4cos4 2a-4cos4 2a+1)-2 =
= 8cos2 2a+8cos4 2a-8cos2 2a+2-2 = 8cos42a.
Ответ: 8 cos4 2a.
3.145.	-Jtga+sina --Jtga-sina, 0 < a < j.
Решение.
7tga+sina - ^/tga-sina = 7tga(l+cosa) - ^tga(l-cosa) =
= 7tga + sina - y/tga-sina = 7tga(F+cosa) - 71ба0"со$а)=
= 7tga • 71 +cos a - 7tSa' 71-cos a = 7tga (71+cos a - 71-cos a
_	~ I---- f n a
Ответ: 2^/tgacos — + — .
^4 2 )
3.146.	l + sin2a-cos2a-tg2a.
Решение,
1 + sin 2a -cos2a - tg2a = 1 + sin 2a - cos2a -	-
cos 2a
cos2a - (cos2a-sin2a)cos2a-sin2a _
cos2a
_ (cos 2a - sin 2a)- (cos2a -sin2a)cos2a _ (cos 2a - sin 2aXl - cos 2a)
cos 2a	cos 2a
-cos 2a)
cos 2a
-2sin — sinl 2a-— I-2sin(7C+a)sin(7C-a))
_____4	4 J _____________________
cos 2a
- 2 •—sinf 2a - —	2 sin2 a) 2^2 sin2 a sin2( 2a “
2 у 4 ___; =к 4
cos 2a	cos 2a
2>/2 sin2 a cos — + 2a
______________у 4
cos 2a
• 2 I 71 n I
sm acos — + 2a
I 4	)
Ответ: -------------------------.
cos 2a
3.174.	sin 2a + sin 4a-sin 6a.
Решение.
sin 2a + sin 4a - sin 6a = sin 2a + sin 4a - sin 2(3a) =
= 2 sin 3a cos a - 2 sin 3a cos 3a = 2 sin 3a(cos a - cos 3a) =
= 2 sin 3a • (-2 sin 2a sin(-a)) = 4 sin 3a sin 2a sin a.
Ответ: 4 sin 3a sin 2a sin a.
Доказать справедливость равенств (3.148—3.152):
3.148.	(sin 160° + sin 40°)(sin 140° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°) x
x(sin 130°-sinl 10°) = 1.
Решение.
(sin 160°+sin40°)(sin 140° + sin 20°) + (sin50° - sin 70°)(sinl 30° - sin 110°) =
= (sin( 180° - 20°) + sin 40°)(sin(l 80° - 40°) + sin 20°) +
+ (sin 50° - sin 70°)(sin(l 80° - 50°) - sin( 180° - 70°)) =
= (sin 20° + sin 40°)(sin 40° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°)(sin 50° - sin 70°) =
= (sin 20°+sin 40°)2 + (sin50° - sin 70°)2 = (2 sin 30° cos 10°)2 +
/	.	\2	/	-	x2
+(2cos60°sinl0°)2 = 2—coslO0 + 2-sinl0° =cos210°+sin210° = l.
I	2	J	V	2	J
Равенство справедливо.
3.149.	(cos34°)-1 +(tg56°)~’ =ctg28°.
Решение.
(cos34°)"' + (tg56°J-' = —L-+ctg56’ =	/  -4+ctg56’ =
cos 34	cos|pO -56 )
=	1 cos 56° = l+cos56° = l+cos2(28°) = l+2cos* 2 28° -1 _
sin56° sin56° sin56° sin2(28°)	2sin28°cos28°
2cos228° cos28° 4 oo0
=--------------=---------= ctg 28 .
2sin28° cos28° sin 28°
Равенство справедливо. cos28°cos56° cos2°cos4° V3sin38° 3 150 -------------+------------=-------------.
sin 2° sin28° 4sin2°sin28°
Решение.
cos28°cos56° cos2°cos4° sm28ocos28ocos56o +sin2°cos20cos4,>
-------------4	— — 	-—— — sin2° sin28°--------------------------sin2°sin28°
4sin28° cos28° cos56° 4-4sin2ocos2ocos4° __
4sin2°cos28°
2sm56°cos56° 4-2sin4° cos4° sinll2° 4-sin8° _
4sin2°cos28o	4sin2°cos28°
= 2sin60°cos52° = 2'T cos(90° ~38°) = V3sin38° 4sin2° cos28° 4sin2° cos28° 4sin2° sin28°
Равенство справедливо.
3.151. l-2sin50° =0,5cos’l160°.
Решение.
'	. cno (1 - 2 sin 50° )• 2 cos 160° 2cos 160°-4 sin 50° cos 160°
2cosl60°	2cosl60°
= 2cosl60°-2^in(-110°)+sin210°)=
2 cos160°
i ° J-2sin50o)-2cosl60o 2cos 160°-4sin50°cos 160°
2cosl60°	2cosl60e
_ 2 cos 160°-2(sin(-1 l(P)+sin210P) 2cosl60°+2sinl lQP-2sin21QP _ 2cosl60P	”	2cosl60p
= 2cos(l 80° - 20°) + 2sin(90° + 20°) -2sin(l80°+30°) _
2 cos 160° .
2 — _ - 2 cos 20° + 2 cos 20° + 2 sin 30° _	2 1
2cosl60°	” 2cosl60° “ 2cosl60°
Равенство справедливо.
3.152. (cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) x
x (cos 320°-cos 380°) = 1.
Решение.
(cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) + (cos 40°+cos 160°) x
x(cos 320° - cos380°) = (cos70°+cos 50°)(cos(360° - 50°)+cos(360° - 70°)) +
+(cos(90° - 50°)+cos(90° + 70°))(cos(270° + 50°) - cos(450° - 70°)) =
= (cos70°+cos50°)(cos70°+cos50°)+(sin 50° - sin 70°)(sin50° - sin 70°) =
= (cos 70° + cos 50°)2 + (sin 50° - sin 70°)2 = (2 cos 60° cos 10°)2 +
, (	1	)	(	1
+ (2cos60°sin(-10°))2 = 2—cosl0° + -2—sinl0°
I 2	i	к	2
= cos210° + sin210° + l.
Равенство справедливо. Вычислить (3.153—3.166): . 2 Л 2 Зл . 2 $Л 2 7л 3 153 sin* —+ cos— + sin*— + cos —.
8	8	8	8
Решение.
. 2 Я 2 Зл . 2 5л 2 7л sin* — + cos* — + sin — + cos* — = 8	8	8	8
1-cos— 1 + cos— 1—cos— 1 + cos—
------4+------4+------4+-------4 =
2	2	2	2
. п 4л-л 4л+л 8я-л
4 - cos—+cos-----cos----+ cos----
4______4________4_______4_
2
I.	/V	I A JV
-COS—+ COS Л-----COS Л+ — +cos 2л—
4	( 4 J ( 4 J (	4
2
4-cos—cos—+cos—+ cos— .
4	4	4	4 _4_?
2	2
Ответ: 2.
3.154. tg435° + tg375°.
Решение.
. «с» . к» cosl5’ sinl5’ cos* 215’+ sin215'
= ctgl5 +tgl5 ---------+--------=----------------
sinl5’ cosl 5° sinl5’cosl5’
2	2	2.
----;--------=--------= -7- = 4.
sinl5’cosl5’ 2sinl5’cosl5°	sin30°	j.
2
1
Ответ: 4.
3.155. tg255°-tgl95°.
Решение.
tg255° -tgl95’ = tg(27O’ -15’)-tg^8O’ +15’)= . ic« . к» cosl5" sinl5’ cos215’-sin215’
= ctgl5 -tgl5 =----------------=------------------=
sinl5 cosl5° sinl5°cosl5’
cos30’ 2cos30’	2cos30’ „	... _ /г
=-------------=---------------=---------= 2ctg30 = 2V3.
sinl5’cosl5’ 2sinl5°cosl5’	sin30°
Ответ: 2у/3.
(3	4
3.156. sml-«-2arctgj
Решение.
. (3	.	4>
sin -я-2arctg— =
2	3 I
-cos 2 arctg—
„ A 4 1 i
2 cos" arctg— -1
= 1-2 cos arctg—
18=2_
25 25’
7 Ответ: —
13	5
3.157. ctg—л-ctg—я.
Решение.
t 13	5	12я+я	5	( я 5я
ctg—я-ctg—n = ctg-----Ctg—Я = С1Я Я+— -ctg— =
612	12 Б 12	*12	\	12)	*12
х я 5я
= ctg--ctg— =
12	12
я 5я . 5я я 5я . я cos— cos— sm—cos-----cos—sm —
12 12	_	12	12	12	12	=
. 5я sm—
12
. я sm —
12
. я . 5я sm — sm —
12	12
1
2
. 4я sm—
12
4я	6я
cos----cos —
12	12
2sin-______3__
л я cos—cos—

Ответ: 2>/з.
3.158. sinf 2а + - п I I 4 1
2 если tg а = -
3
Решение.
.С 5 1 . [ 4л+я ~	к
sin 2а + -л =sm-----+2а =sin л + 2а + —
4	4
я
4
4
= — sinl 2а + -
4
. ~ л _ . я V2 V2 _ = -sm2acos—cos 2 a sin— =-sin 2 a-cos2a =
4	4	2	2
= —— (sin 2a+cos 2a) =——
2	2 ^1 + tg a
! 1-tg2 a' l + tg2a?
V2 tg2 a-2tga-l _ <J2 9 3	17^/2
2 l + tg2a 2 j + £	26
9
Ответ:-----
26
I 7 ) 3.159. cos 2a + —я L если
4 I
2. ctga = -.
Решение.
cos 2а+-л =cos 4
8л-я 4
*	я
+2a = cos 2л + 2a—
I 4
л А - л . _ . л V2 _ V2 . _ = соя 2a— =cos2acos—+sm2asm —= — cos2a+—sin2a = 1	4	4	4	2	2
V2 1-tg2a 2tga 2 |j + tg2a l + tg2a,
V2 fl+2tga-tg2 a^_ V2 ctga ctg2a
2 [ l+tg2a j" 2	1+ 1
ctg a
V2 ctg2 a+2ctga-l V2 9 + 3	_ 7-J2
2 ctg2a+l	2	4 j 26
9
Ответ: —r-26
3.160. , „ . „ , если tga = 0,2.
6 + 7sin2a Решение.
5	_	5	_	5+5tg* 2a____
6+7sin2a 61 14tga 6+6tg2a+14tga
l	+ tg2a
5+5 0,04	= 65
6 + 6 0,04+14 0,2 113’
65 Ответ: —.
2
3.161. -—----если tga = 0,2.
3+4cos2a
Решение.
2	=	2	=	2+2tg2a	= 2+2tg2a
3+4cos2a 4-4tg2a 3+3tg2 a + 4-4tg2 a	7-tg2a
l + tg2a
_2+2 0,04_26
7-0,04	87'
Л 26
Ответ: —.
3.162. sina, если sin —+ cos—=1,4. 2	2
Решение.
.a	a	,,
sin —+ cos—= 1,4 =>
2	2
, 2«	Л	.	a	a	2®
=>sin	— + 2sin — cos— + cos	— = 1,96, sin —+cos — + sin a
2	22	2^2 2j
1 +sin a = 1,96.
Тогда sin a = 1,96 -1 = 0,96.
Ответ: sina = 0,96.
1,96,
3.163. sin2a, если sina-cosa = p.
Решение.
sina-cosa = p =>
=> sin2 a-2sinacosa + cos2 a = p2, l-sin2a = p2, откуда sin2a=l-p2.
Ответ: 1 - p2.
3.164. 2-13cos2a+sin"12a, если ctga = -y.
Решение.
<	ю -	1	~ 13-13tg2a
2 -13cos2a+sin 2a = 2 -13cos2a+---= 2--------— +
sin2a l+tg2a
2	2	13----Ц- 1 + —1-
+	1	= 2- 13~13t8 a + l + tg a _2_	ctg tx + ctg a
2tga	l + tg2a	2tga 11	1	2
l+tg2a	ctg2 a ctga
12 _n ±4.1
=2- 13ctg2a-13 + ctg2a+l = 2_ 25 _ + 25	=
ctg2a+l 2ctga ±+i	--
25	5
13-325 _ 1+25 . 312 26	13_57
1+25 2-5	26 10	5 5
57 Ответ: — •
3.165. l+5sin2a-3cos“*2a, если tga = -2.
Решение.
1+5 sin 2a - 3cos-12a = 1+5 sin2a-1— = 1+-------±—
cos2a 1+tg a 1-tg a l+tg2a
j IQtgct _ 3+3tg2q = j +10(-2) _ 3 + 3(-2)r l + tg2a l-tg2a 1+4	1-4
Ответ: 2.
( 5л
3.166. ls y + a
если
(in ) 9
tg — + 2a = —
2	11
-ос ,
Решение.
sin 2a
2 sin 2a _ 2 sin 2a
n	cos 2a
cos — + cos 2a
2
= 2tg2a =
2 ctg2a’
(7л -	(6л + л
tg|j- + 2aJ=tg|—
9	9
= -ctg2a = —, ctg2a = -—;
2 _ 2 __22 ctg2a _ 9	9
11
22
Ответ: ---• 9
[ л	]	12
3.167. Найти число a€ , если известно, что tg2a = —— \	j	5
Решение.
2 tga __12 1-tg2a 5 ’
1-tg2 a 5
=>6tg2a-5tga-6 = 0, откуда (tg a)] = ^, что не подходит к решению задачи, так как по условию угол принадлежит 2-й четверти и его тан-
2
гене отрицателен, и (tga^ = - у .
Отсюда,
а =-arctg-4-ял, ле Z . Так как
то
2
a = -arctg j + тс
Ответ: я-arctg—.
3.168. Доказать, что если АиВ — острые углы некоторого прямоугольного треугольника, то sin 2 А+sin2В = 4 sin A sin В.
Решение.
sin 2 А + sin 25 = 4 sin A sin В =>
=> 2 sin A cos А + 2 sin В cos В = 4 sin A sin В.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Отсюда А 4- В - 90°, В = 90° - А, и
2 sin A cos A 4-2sin(90° -j)cos(90° -л)= 4 sin A sin(90° - а) => => 2sinЛ cos A 4-2cosЛбш A = 4sin Acos A,
4sinAcos Л =4sin Acos A,
что и требовалось доказать.
Р < я j, если известно, что tg(a 4- р) = и
। я
3.169. Найти число В — <
I 2
tga = -4 .
Решение.
ч(а+Р)=ч“±йЬ_1
1-tgatgp 19
Так как tga = -4,
то l+4tgp "19’	откуда
P = -arctg5 + nn,ne Z. С учетом того, что Pe
л A , получим
J
p = л-arctg 5.
Ответ: p = л-arctg 5.
3.170. Найти sin4 a+cos4 a если известно, что sin a - cos a = - .
2 Решение.
sin4 a+cos4 a = ^in2 3 4 a+cos2 af -2sin2 acos2 a = 1-2 sin2 acos2 a.
„ 1
Возведя обе части равенства sin a-cosa = - в квадрат, получим
2	2	1
sin a-2sinacosa+cos a = — , 4
откуда
3 . 2	2	9
sinacosa = - sin acos a = —. 8’	64
Подставив это значение sin2 acos2 a в исходное равенство, получим
• 4	4	1 о 9	,	9	32-9	23
sina + cos a = 1 - 2 — = 1-=--= —
64	32	32	32
23 Ответ: —
3.171.	Дано: ctga = ^,ctgp = |,0<a<^,0<p<p Найти a + p. Решение.
о 3 1 ctga + ctgp = - + -, 4 7
cosa cosp _ 25 sina sinp 28’
sinpcosa+cospsin a _ 25
sinasinp 28
_	3 cosa
По условию ctg a = ----
4 sina
3 cos2 a 9 l-sin2a 9
= 77^—2— = —’ОткУДа
4 sin a 16 sin a 16
• 2	16
sm а = 25 И’ТаК КаК ае
4	„ 1 cos2 Р 1 l-sin2p 1
5	7 sin2 p 49 sin2 P 49 ’
откуда
sin2 P = 7^ и, так как Pe I I, to
50	\	\
. „	7	7
SinP = -^=- = —T=
V50 5V2 ’
Подставляя полученные значения, получаем
sin(a + p) 25 . / а\ m(o+D)=-,
5 5>/2
откуда а + Р = (-1)" + ли, пе И;иучитывая ограничения на а, р,име-
а Зя ем а+Р = — 4
Л	О Зя
Ответ: а+Р = — 4
3.172.	Найти ctg2a, если известно, что sin
и
270’< а < 360° • Решение.
sin(a-90’)=-p -sin (90°-а)=~-, sin(p0°-a)=—, 3	3	3
2	2	4
cosa = -, cos a--, 3	9
.	• 2	-2	5
1-sm a=—, sin a = —.
9	9
С учетом того, что х е (270°; 360°), имеем sina = --^-. Учитывая
найденные значения, получим
ctg 2a = —1— tg2a
j _ sin2 a
1	_ 1 - tg2 a _ cos2a _ cos2 a-sin2 a
2 tga 2 tga 2sina	2 sin a cos a
1-tg2 a	cosa
4_5
9 9
'5
2- - —
3
3
„	*5
Ответ:----
20
3.173. Доказать, что если a и P удовлетворяют неравенствам
л Л Л _ Л	7	„	1	Я
0<а<—,0<В<—и cosa = —tgB = —, то а + 2В =—.
2 Р 2	V50	3	4
Решение.
sina 2tgP
tg(a+2Р) = tga + tg2P = COSa 1-_tg2J3 = l-tgatg2p । sina cosa
2tgp l-tg2p
_ sina(l-tg2 P) + 2tgPcosa cos a(l - tg2 Р) - 2 sin a tg р
Так как ае 0;— , то
I 2J
7	2	49 .	. 2
cosa = —т=, cos а = —, 1 — sin а
>/50	50
49 . 2	1	1
—, sin a = —, sina =-?=
50	50	V50
1	7	1
Учитывая значения sina = —?=, cosa =-7= и tgB = —, имеем V50	V50	3
9	-F= 1-- +2----7==
sina(l-tg P) + 2tgPcosa _ V5Q < 9 J 3 V50 cosa(l-tg2p)-2sinatgp 7 (। О 2 * *
V50l 9J TV50
Отсюда tg(a + 2P) = l,T.e. a + 2p = ^ (при 0<a<— и 0<p<~), что и требовалось доказать.
3.174.	Найти tg2a, если известно, что cos(a-90°) = 0,2 и 90°<а<180°.
Решение,
cos(a - 90°) = cos(90° - а) = sin а = 0,2, sin2 а = 0,04,
*>	о	24
1 — cos 2 а = 0,04, cos2 а = 0,96 = —, 25
cosa =
при а е (90°;180°).
„	- sin 2а	2 sin a cos а
Далее, tg2a =-----—- =—5-----------—
cos 2а cos а - sinz а
2 1 (. 24бУ
5 I 5 J = 4л/б
24_J_	23 '
25 25
Ответ:-------.
23
3.175.	Доказать, что если а и Р удовлетврряют неравенствам
0<а<—, 0<р<— и tga = 5, ctgp = —, то а + р =—.
2	2	3	4
Решение.
CtgB=- C0SP^2 cos2P = 4 1~sin2P = 4 sin26 = 2.
3 sinP 3 sin2p 9 sin2p 9	13
л
откуда при 0 < P < у имеем
2	2
. а 3	sina sin a 1-cos а г 1
sinP = -₽=; tg а = 5;--= 5; —x— = 25;------= = 25; cos a = —
V13	cosa cos2 a cos2 a	26
Отсюда при 0 < а < — находим cosa = -7=. Тогда 2	V26
»	2 с 13
ctgp-tga = --5 = -y,
cosp _ sina _ cosacosp-sinasinp _ cos(a+p) _ 13
sinp cosa sinpcosa sinpcosa 3
Использовав найденные значения sin p = -7= и cosa = -7=, имеем 713	V26
cos(a+p) _ 13
3	1 ~~T’
713 726
13>/2cos(a+p) _ 13 j	_ _у> откуда
cos(a + р) = —у, отсюда a + Р = у, что и требовалось доказать.
3.176. Дано: ctga = 4, ctgP = |, 0 < a < у 0 < р < у Найти a + р. Решение.
.	. cosa . cos2 a l-sin2a
ctg a — 4, -— = 4, —5— = 16,---5— = 16,
sina sin a sin a
• 2	1-	n л
откуда sm a = —, отсюда при 0 < a < — имеем
1 a cosP 5 cos2p 25 l-sin2p 25 sma = -=; ctgP = -£ = -,—=	,-----£ = —
717 sinP 3 sin2 P 9 sin" p 9 ’
9	л	3
откуда sin p — следовательно, при 0 < p < — имеем sinP = -т= 34	2	V34
Тогда ctga + ctgP =
cosa cosP _ sinPcosa + sinacosp _д + 5 sina sinP sinasinP	3
17
3 ’
sin(a + p)_ 17
sinasinP 3
Использовав найденные значения sin а = —= и sin В = —/=, имеем л/17	у/34
sin(a+p)_17	17-У2 sin(a+p)_ 17
1___з_ з ’	3	" 3 ’
V17 >/34
откуда sin(a + p)=^y-.
п а< —
2
Отсюда a + р = у для 0 < 4
иО<Р<^.
О Я
Ответ: а + р = —.
4
3.177. Вычислить (1 + ctgaXl + ctgр), если а + р = -р Решение.
(1 + ctg аХ1 + ctg р) = (1 +	Y1 +
I sina 1 smp
sin а + cos а ------------х
sina
^sinp + cosp _ cos acosp + sin asin p + sin acos p + cos a sin p _ sinp	sin asin p
cos(a - P)+ sin(a + p) |(cos(a-p)-cos(a + p))
/9
2 cos(a-p)+ —
---------л~2=2‘ cos(a-p)+y-
Ответ: 2.
3.178. Вычислить (1 + tgaXl + tgp), если a + p = ^.
Решение.
(l + tgaXl + ЧЙ-
i cosa 1 cosP I cosa
cos P + sin p _ cos acos P + sin a sin P + sin acos p+cos a sin p _ cosp	cosacosP
(
2 cos(a-p)+^-
cos(a - 0)+sin(a + р) - 1 . .
2...................
(	=2.
у (cos(a-p)+cos(a + p)) Cos(a-p)+^y-
Ответ: 2.
V21	V21
3.179. Доказать, что если sina = —sinP = -^- иа,Р —острые
углы, то a + Р = 60°. Решение.
V21 . ,	21 t 2	21 i 28
sina =--,sm"a = —,1-cos a = —,cos"a = —
7	49	49	49
так как aa — острый угол, то cos a =
. п V21 .	21 ,	21	175
sinp =----, sin" P = —, 1 -cos" P = —, cos" p =-;
14 H 196 H 196 И 196
так как РР — острый угол, то cosp =
. Тогда
sin(a + р) = sin acos Р + cos asin p =-------+-----------= —
K H 7	14	7	14	2
Следовательно, a + р = 60°, что и требовалось доказать.
sin a + tga
3.180. Показать, что выражение cosa+ctaa неотрицательно в об-
ласти определения.
Решение.
sina + tga _ sina + tga _
cosa + ctga „ , 1 b cosa +-------------
tga
(	\2
8tg2|	Vitgf
=----:H------------7 = 7---------v2------г >o,
H2! 1+,8i
2 j 2) \A	J J
Что и требовалось доказать. 2	• 2
3.181.	Исключить а из равенств х = tg а, у = sm а.
Решение. 2 sin2 а у у 2
x = tg а = —z— = —— и — = cos а. cos2 а cos а *
Отсюда
у . 2	2	У
у + —= sin а + cos а, _у + — = 1, ху + .у = х, х-у = ху.
X	X
Ответ: х-у-ху.
3.182.	Доказать, что cos 2 - cos 8 < 0.
Решение.
cos 2-cos 8 = -2sin5sin(-3) = 2 sin 5 sin 3.
Так как -^<5<2л, то sin5<0;3<n, поэтому sin3>0. Тогда 2sin5sin3<0 и cos2-cos8 < 0, что и требовалось доказать.
3.183.	Величины а, р, у в указанном порядке составляют арифметиче-_	sin a-sin у	_
кую прогрессию. Доказать, что----------= ctgp.
cos у-cos а
Решение.
Согласно свойству членов арифметической прогрессии
ак =а*-1+°Аг-И ( * = 2, 3,.... п -1, поэтому
н 2
Тогда
~ а+у . а-у 2 cos--sm-----L
sina-siny _	2	2
cosv —cosa ♦ a + y . a —у
'	2 sin-Lsin----L
2	2
= ctg^|^ = ctg0,
что и требовалось доказать.
3.184.	Дана дробь — .	Преобразовать подко-
1 +у32со5415°-10-8>/з
ренное выражение к более простому виду, после чего дробь сократить. Решение.
___________5___________=____________5_____________
1 + ^32сов415°-10-8->/з 1 + ^32(cos215 )2-10-8-Уз
5(1-^4+У16)	= 5(l-^4+Vl6) = j _ 3/4 + 3/jg
+ 1+4
Ответ: 1-^4 + l/l6
3.185.	Выразить tg4 a+ctg4 а черезт, где m = tga+ctga.
Решение.
tg4a+ctg4a = ((tga+ctga)2-Itgactga^ -2tg2actg2a = = ((tga+ctga)r -2^ -2 = ^и2 -2^ -2 = m4 -4m2 +4-2 = = m4 -4m2 +2.
4 о л Ответ: m -4m +2.
Решения к главе 4
ПРОГРЕССИИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, у которой задан первый член av а каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d, называемым разностью прогрессии.
Если заданы первый член ах и разность арифметической прогрессии d, то и-й член арифметической прогрессии вычисляется по формуле
ап +<7(л-1),	(4.1)
Формула (4.1) называется формулой общего члена арифметической прогрессии.
Свойства членов арифметической прогрессии
1. Каждый средний член арифметической прогрессии равен полусумме равноотстоящих от него членов:
ак = ак-\+^ак+\ , к = 2> з,п _ j.	(4 2)
2. В конечной арифметической прогрессии суммы членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
Д| + ап = а2 + а„_х = ... = ак + ап_к^} =... = 2а, + d(n -1).	(4.3)
Сумма п первых членов арифметической прогрессии
Сумма п первых членов арифметической прогрессии равна
Sn=^-n.	(4.4)
Учитывая (4.3), т.е что ах +ап = 2а{ +</(л-1), формулу (4.4) можно записать в виде
Sn = 2ai+d2{n~^n.	(4.5)
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, у которой задан первый член bv а каждый следующий член, начиная со второго,равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности число q, называемое знаменателем прогрессии.
Если заданы первый член и знаменатель геометрической прогрессии д,то л-й член геометрической прогрессии вычисляется по формуле bn=bl4n-1.	(4.6)
Формула (4.6) называется формулой общего члена геометрической прогрессии.
Свойства членов геометрической прогрессии
1.	Квадрат каждого среднего члена геометрической прогрессии равен произведению равноотстоящих от него членов, т.е.	'
(4.7)
2.	В конечной геометрической прогессии произведения членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних членов:
*1 A = *»2 А-! =byb„_1=... = bk-bM..^qn-\ (4.8)
3.	Произведение п первых членов геометрической прогрессии с по
ложительными членами равно корню квадратному из л-й степени произведения ее крайних членов:
Рп=^ьп)п.	(4.9)
В общем случае
Сумма п первых членов геометрической прогрессии
Сумма п первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле
S„=b>~n4	(4.10)
1-9
Учитывая (4.6), т.е. что bn -b^qn~x, формулу (4.10) можно представить в виде
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии
Бесконечный числовой ряд, образованный из членов геометрической прогрессии Ь} + Ь2 + &3+ ...+ Ьп +... , при |<?| < 1 сходится, и его сумма 5 равна
S =-^~.	(4.12)
1-9
Формулу (4.12) называют также формулой суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
4.	001.3а изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее заплатили на 200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость изготовления и установ-
4
ки одного кольца оказалась равной 2244 — руб. Сколько колец было уста
новлено?
Решение.
Пусть = 2600 — первый член арифметической прогрессии, d = -200— разность этой прогрессии, п — количество членов.
Тогда по формуле (4.5) получаем
Z-ZOOCC-IX-ZOQ) --------г-------------= 2244, п---------------------9
2	40
9п - 41л - 360 = 0, откуда п\ = 9; л2 = _ ~ (не подходит).
Ответ: п-9.
4.002.Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов равно 65/72. Найти сумму 17 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Имеем
5 а1+а5
65 43-4<=^
Используя формулу (4.1), находим
а, +а( +4d = |, (a1+2rf)(a1+3<Z) = ^
2а.+4</=-,
1	3
(a1+2rf)(a1+3J) = ^
a,+2d = —,	al+2d-~,
6	О
(a1 + 2<Z)((a1+2J) + </) = ^|	=
72 [O\O 7
По формуле (4.5) получаем =
2- + — 16
3 4
2
•17 = 1”
3
119
Ответ:
4.003. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, а за каждый последующий — на 1/2 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?
Решение.
Пусть ах = 1 — первый член арифметической прогрессии, d = ± —
ее разность, Sn = 7 — сумма п членов этой прогрессии, где п — количество членов. По формуле (4.5) имеем
--------—-л = 7, л2+Зи-28 = 0,
2
откуда пх = -7 (не подходит); п2 = 4 . Отсюда: стрелок попал в цель 21 раз.
Ответ: 21 раз.
4.004. Найти три первых члена аьа2, аз арифметической прогрессии, если известно, что Л] + а3+а5 =-12 и аха3а5 =80.
Решение.
\а{ + а3 +д5 =-12,
Из условия имеем s
[oj ^3 ^5= 80.
Используя формулу (4.1), получим
(ах + ax+2d + ax+4d = -12,
[aifo + Id \ax + 4rf)= 80
Ja1+2rf = -4,
+2rfXai +2d + 2J)= 80
ar(-4X-4+2</)=80
al=-4-2J, at(d-2) = -10**
|a|=-4-2rf, Ц-4-2^-2)=-Ю**
(at = -4-2d, (rf = ±3.
Я| =-4-2б/, d2 =9
[л = -4-2rf, \ax = -4-2J, Отсюда s ,	или i
[d = -3	|// = 3,
т.е.
= 2, d = -3
или
aj =-10, d = 3.
Тогда
ax = 2,a2 = 2-3=-l,a3 = 2-6 = -4;
или
a{ =-10, a2 =-10 + 3 = -7, a3 =-10+6 =-4.
Ответ: 1) 2, -1, -4; 2) -10, -7, -4.
4.005. Найти число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность прогрессии равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32. Написать три первых члена этой прогрессии.
Решение.
f(ai +d)d = 30, И3^СЛ0ВИЯИМееМ [(a,+2</)+(a, + 4rf)= 32 =>^=16-34/, (16-2</)rf = 30, 2d2 -16t/ + 30 = 0 или
rf2-8rf+15 = 0=>
/ = 3,	p' = 5
=> z ИЛИ 5 » ax =7	[ai =1
Для каждого из решений воспользуемся формулой (4.5).
1) При ах = 7, d' = 3 получим
14 + 3(«- 1)	о 2 it	л
П2 =----------л, Зп +11и-224 = 0,
2
32
откуда п} = 7 , п2 = —— (не подходит). В этом случае имеем
«I =7, а2 = Ю, а3 =13 •
2) При ц =1 сГ = 5 имеем 112 = ^-—^——л, 5л* 2 * *-Зп-224 = 0,
откуда п = 7 , п = -6,4 (не подходит). В этом случае три члена таковы:
= 1, а2 = 6,а3 =11.
Ответ. 7; 1)7, 10,13; 2) 1,6, 11.
4.006. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?
Решение.
Пусть ц=800 — первый член арифметической прогрессии, d = -25 — разность, Sn = 5700 — сумма п членов этой прогрессии. Используя формулу (4.5), получим
п = 5700, п2 -65и + 456 = 0,
2
отсюда п{ = 8 , п2=57 (не подходит).
Ответ: за 8 часов.
4.007. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.
Решение.
{а9
«13 =2«6 + 5-
Используя формулу (4.1), получим
Гц + 8rf = 5(ц +rf) Г4ц =3J, Ш = 2(а} + 5d)+ 5 ** [а, = 2d - 5, **
'4(2J-5)=3< ‘ aj=2J-5
d = 4,
a( =3.
Ответ: 3; 4.
4.008. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна -49, а сумма средних членов равна 14.
Решение.
+Z>4 =-49, Из условия имеем < =14.
Используя формулу (4.6), получим
Ь + b,q3 = -49,	(1 + q3 )= -49,
b\q + bxq* 1 2 = 14	|б19(1 + ^) = 14
[a(i+?)J-?+?2)=-49>
[/w(l + $)=14.
Разделив первое уравнение системы на второе, получим
®=0 1V+359+14=o.
biq^ + q) 14 q 14
2?2+5?+2 = 0 т.е. q = -2, / =	=7, />, =-56.
Тогда получим:
1) bi' = 7, b2 = -14, b3 =28, b4' = -56 *
2) Z>j" = -56, b" = 28, b" = -14, />/ = 7 •
Ответ: 1) 7, -14, 28, -56; 2) -56, 28, -14, 7.
4.009. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |<?| < 1, сумма которой равна 8/5, второй член равен -1/2.
Решение.
к
Используя формулы S = —- и bn — bxqnA , получим -
bi _8 \-q 5’ , 1 ^ = -2
—	, 16g2 -16g -5 = 0, откуда найдем Ч\ =	, Чг = — > 1 (не
7	(
подходит). Тогда ^з = Ь\Ч~ =
1У_ п
2 Л Л
8’
Ответ: -
О
4.010. Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |^| < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна 93/16.
Решение.
Используя формулы 5 = —— и (4.11), получим
1-^
У^ = 6,	р>!=б(1-д>	р!=б(1-д>
“м—й	16	2
t , 1 3 t , 1 3
Тогда Ь2 = 3- = -, Ь3 = 3 - = -.
Z7	, 3	3
Ответ: 3,—,—.
2 4
4.011. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти эти числа.
Решение.
ах + а2 + л3 =2,
Из условия имеем
д|2
2	2 14
а2 +а3 =у
+
Используя формулу (4.1), получим
+О|+2t/ — 2,	в|+</	,
а2+(а, +J)'+(a1+2J)'= —	2,4 ,/2	_14
[ 1 9 [3	) 9
3 Отсюда имеем: 1) За2-4o,+1=0.
Тогда
,	, 2	' 1	" 1	"2	",
1) at =1, a2 =-, a3 = -;2) at =-, af = -, a3 =1.
,21	12,
Ответ: 1) 1,	2)	1.
4.012. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Из условия имеем а3+О9=8. По формуле (4.1) получаем a1+2rf+a14-8rf = 8> 2^410^ = 8, а по формуле (4.5), находим SH = 2а1^—.11 = 44
Ответ: 44.
4.013. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные три числа составят геометрическую прогрессию. Найти сумму 10 первых членов арифметической прогрессии.
Решение.
Из условия имеем: av -1, ^+</-1, ах +2^41 --три последовательных члена геометрической прогрессии. По формуле (4.5) находим 53 =	t-—-3 = 15 или ^+^ = 5. По формуле (4.7) получаем
=(^-1X01+26/+!). Подставляя в это уравнение значение
ax =5-d , получим 16 = (4-d\() + d\ d2 +2d-8 = 0. Отсюда J,=-4, d2 =2 . Тогда ax =9, a2 =5, a3 =1; ax =3, a2 =5, a3 =7. Учитывая, что по условию «] < а2 < а3, получим а, = 3, d = 2. Тогда
Slo = 2’3+2'9 10 = 120.
Ответ: 120.
4.014. Известно, что при любом п сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn = 4и2 -Зп. Найти три первых ч лена этой прогрессии.
Решение.
Пусть л=2 и п-3. По формуле (4.4), находим
5, =^-|^-2 = 4 (2f-3-2 = 10, =а±£1.3 = 4.(з)2_3.3 = 18
или по формуле (4.1) получаем
(а, + а, + d = 10,	[2а + d = 10,	[а=1,
+«! +2 J =18	[aj+rf = 9	|d = 8.
Тогда a2 = ax + d = 9, a3 = +2d = 17 .
Ответ: 1,9, 17.
4.015. Вычислить
(l+З2 +52 +... + (2n-tf +...+1992)-(г2 +42 +62 + (2nf +...+2002).
Решение.
Из условия имеем
l + З2 +52 + ... + (2л-1)2 +...+1992 -22 -42 -62 -(2л)2 -...-2002 =
= (1 - З)2 + (з2 - 42)+ (s2 - 62)+... + ((2л -1)2 - (2л)2)+...+(1992 -2002 )= = (1-2Х1+2)+(3-4ХЗ+4)+(5-бХ5 + б)+...+(2л-1-2лХ2л-1 + 2л)+ +...+ (199-200X199+200)=-3-7-11-...-(4л-1)-. ..-399.
Отсюда =-3, J = -4, ап =-399 . Используя формулы (4.4) и
ап ~ а\ 1
п = ——- +1, получим
Sn =
-3-399
2
-399 + 3 Л
-------+ 1
-4	)
= -20100.
Ответ: - 20100.
4.016. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560.
Решение.
Из условия имеем
£>!-*2=35, by - 64=560.
По формуле (4.6) получаем
*1-% = 35,	f*1(l-^) = 35, i-g _ 35
%2-*,93=560	|*i<72(l.-g) = 560	92(1-^)~560
=> </2 = 16,<?| = -4,<?2 = 4. Подставляя qx = -4, получим
*1 =7,*2 =~28,*з =112,*4 =-448. Подставляя qy = 4, получим
"	35 , "	140 . "	560 . "	2240
61 ’’Т'*2
14^7 оо 11. лло 35	140	560	2240
Ответ: 1) 7, -28,112, -448; 2)--,---,-----,-----.
3	3	3	3
4.017. Найти четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
Решение.
IZh-fy =9, Из условия имеем <
1^-64=18.
По формуле (4.6) получаем
*1<72-*1=9, b^q-b^q* = 18
*!(<?2-1) = 9,	_	?2-1	_9_
-blq(q2-l) = lS -?(?2-1) 18
9
=> q = -2. Подставляя q = -2, получаем bx = —z— Я -1
9
=----= 3. Тогда
4-1
*2 =—6,*з =12,*4 =—24.
Ответ: 3, -6,12, -24.
4.018. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3, четвертый член этой прогрессии равен 1/54, а сумма всех ее членов равна 121/162. Найти число членов прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
ь4 =—,
4 54’
S
. ” 162
По формулам (4.6) и (4.11) получаем
.	, з .fiY bi i , i
о4 = ад = 6, - ; — =—, Oi= —
4	1 3 I 27 54 1 2
= —=>24з(з"-1)= 242-3”
162 V ’
=> 3” =243, n = 5.
Ответ: n = 5.
4.019. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что Ь4 -Ь2 =-45/32 и 56 -64 = -45/512 .
Решение.
Из условия имеем
45
32’
-b4=-
45
512
^4 “ ^2 - “

Используя формулу (4.6), получим
[, 3 ,	45	32’	g(y2-l) 512 32
2	1	I	1 „
=> q = —,	= ~7>	= 7 • Подставляя эти значения qt и q2, найдем
16	4	4
= -6 и = 6 •
Ответ: 1) - 6, - —; 2) 6, - .
4.020. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов равна 1820.
Решение.
Из условия имеем q = 3, S6 = 1820 .
По формуле (4.11) получаем
^——^ = 1820, ^=5. 1-3	1
Используя формулу (4.6), найдем Ь5 = £^4 = 5 • (з)4 = 405.
Ответ: 5, 405.
4.021. Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: при любом п сумма ее п первых членов равна 5п2 . Найти разность этой прогрессии и три первых ее члена.
Решение.
Пусть л = 2 и и = З.Поформуле(4.5)находим
^а\	7 - S 72
7 Э ’	[2a1+t/ = 20, R = 10,
2ax+2d у1	=	(/*1=5.
2
Тогда a2 =15, a3 =25 .
Ответ: 10; 5, 15, 25.
4.022. Произведение трех первых членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.
Решение.
fa Л А =1728, Из условия имеем 5,	7	.
J	+b2 + Ь3 =63.
Используя формулу (4.6), получим
bi-btf-biq2 =1728,
' >
4	+	= 63
M = 1728,	(*W = 12,
1} + l\q + (bfl )j = 63	[^+12+12^ = 63
*W = 12, 6j+12^ = 51.
=> 4<?2-17<?+4 = 0,
<7 = 4 или q = —. 4
\q = 4, Отсюда получаем s или «
4=48.
Ответ: 1) 3, 4; 2) 48, ~ .
4.023. Решить уравнения:
а)	2х + 1 + х2 -х3 + х4 -X5 +... = 13/6, где |х|<1;
б)	—ьх + х2 + ... + хл + ... = —, где |х| < 1.
х	2	’ 1
Решение.
а) 2х + 1 + (х2 -х3 +х4 -х5 + ...)= 6
По формуле S =	получаем
1-9
X2	13	17
2х+1+-----= — =>18х2+5х-7 = 0 =>*!=-> х2=~а’
1 + х	6	2	9
б) —+ (х + х2 + ... + х" + ...)=
По формуле (4.12) получаем
Ответ: а) Х| = -, х2 = --; б) х2 = - .
4.024. Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность ее равна -22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 3069?
Решение.
Из условия имеем at = 429, d = -22, Sn = 3069.
По формуле (4.5) получаем
2-429-22(и-1) п = 3069, (429_j= 3069
п2 -40л+ 279 = 0 => п{ =9, п2 =31.
Ответ: 9 или 31.
4.025. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |<?| < 1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна 153,6. Найти четвертый член и знаменатель прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
Ь\ + ^2 + 63 + • • • = 16, l^+l^+bl +... = 153,6,
По формуле (4.6) получаем
5, +biq + l\q2 +... = 16,	^(j+9 + 92 +...)=16,
Д2 + b2q2 + bfq4 +... = 153,6 J + q2 + qA +.. .)= 153,6.
По формуле (4.12) получаем
^—=16,
&2—Ц- = 153,6 1"?
=> b[ =16(1-9) => (1б(1-9))?——г = 153,6, откуда 9 = — . Тогда
1~9	4

= 12. По формуле (4.6) получаем b4 = bfq3 = 12 • — = 64
3
16
3 1
Ответ:	—
16 4
9 М. И. Сканави, группа А
257
4.026. Найти натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию, если произведение трех и четырех первых ее членов равны соответственно 6 и 24 .
Решение.
[«!(«! + rf)(«2 +^) = 6 условия имеем < z , z Л , z
+ 2rf)(«j + 3J) =
^1 (#| + ^)(«2 + tZ)	6	J A A 1 J
=>-------------------------= — =>«i + 3d = 4,«, = 4-3tZ.
a1(a1+6/)(a2+t/)(a1+3rf) 24	1	1
Получаем уравнение
3d3 - lid2 + 48</ - 29 = 0 <=> 3d3 - 3d2 -19d2 +19d + 29d - 29 = 0 <=>
о(d-l)(3d2-\9d + 29) = 0 =>di =1,J23 =	(не подходят).
’	6
d = 1 => «] = 1, «2 = 2, «з=3, «4=4.
Ответ: 1,2,3,4, ...
4.027. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 6, их произведение равно 135/16. Найти сумму 15 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
«3 +«9=6,
135 а3п9= —
По формуле (4.1) получаем
«I + 2J +«i +8</ = 6,	(«j +5J = 3,
*	135	135
(«J + 2rf)(«! + 8rf) =	(«! + 2tZ)(«l + 8J) = —
16 I	16
=> a, = 3 - 5d => (3 - 5 d + 2</)(3 - 5 d + 8<7) =
,2	1 .	1 .	1
16	1	4	2	4
	. 17	.7
Тогда «j =— и «| =—. 4	4
По формуле (4.5) получаем
17	1 .л	7	1 «л
,-------14	„ - + --14
S15 = -^—-----15 = 37,5 или 5,5 = -2—4--15 = 52,5.
Ответ: 37,5 или 52,5.
4.028. Найти число членов конечной геометрической прогрессии, у которого первый, второй и последний члены соответственно равны 3, 12 и 3072.
Решение.
Из условия имеем Ьх = 3, b2 = 12,..., Ьп = 3072.
По формуле (4.6) получаем
*1 =3, q=4, 4'"1 =1024
5
/»!=3,
% = 12,
б,?”’1 * =3072
Ответ: 6.
4.029. Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3 нацело.
Решение.
Из условия имеем ах = 12, ап = 96, d = 12 .
По формулам (4.4) и (4.5) получаем
H = q"~a| +1; n = —~12+1 = 15, S„ = —9^-15 = 810.
d	6	”2
Ответ: 810.
4.030. Найти знаменатель q бесконечной геометрической прогрессии (|^| < 1), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех ее последующих членов.
Решение.
Из условия имеем Ь} = 4(5-^).
По формуле (4.12) получаем
/>, =4f-A—U *, =
U-? I
1 л 1
, 1-<7=4?, q = -
1~<7
1
Ответ: —
4.031. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют арифметическую прогрессию с разностью в 5°. Определить число сторон многоугольника.
Решение.
Из условия имеем а\ = 120°, d - 5°. Используя формулы суммы членов арифметической прогрессии (4.5) и суммы внутренних углов л-уголь-ника Sn = 180°(л - 2), получим
240°+ 01-1)5-. и _ j 8qo^w _ 2)эи2 _ 25и +144 = 0 =>
=> Л| = 9,л2 = 16 (не подходит, так как в этом случае
=> а16 = 120° +5° -15 = 195°, а внутренний угол выпуклого n-угольника всегда меньше 180° ).
Ответ: 9.
4.032. Произведение третьего и шестого членов арифметической прогрессии равно 406. При делении девятого члена прогрессии на ее четвертый член в частном получается 2, а в остатке 6. Найти первый член и разность прогрессии.
Решение.
Из условия имеем «И3 °6	По формуле (4.1) получаем
= 2я4 +6.
(a1+2t/)(a1+5t/) = 406, Uj +8d = 2(fl| +Зб/) + 6.
=>at = 2d-6 и 14rf2-33d -185 = 0, откуда найдем
37	'	( 37 1	79
d, =----,d? =5. Тогда a, =2-------6 =------(не подходит) или
1	14 2	I 14 J 7
ai"=2-5-6 = 4.
Ответ :4 и 5.
4.033. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными членами и со знаменателем |#| < 1 сумма трех первых членов равна 10,5, а сумма прогрессии 12. Найти прогрессию.
Решение.
По формулам (4.6) и (4.12) получаем:
bl + bxq + Ьд1 = 10,5,	k (1 + q + q1) = 10,5,
A = 12(l-9)	=12(1-9).
Отсюда 12(1-^)(1 +</ +02) = 10,5, 12(1-?3) = 10,5, ? = 0,5.
Тогда bi = 12(1 -0,5) = 6, b2 = 3, by =
3
Ответ: 6,3, — ,....
2
4.034. Найти три первых члена арифметической прогрессии, у которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.
Решение.
Пусть и = 2 и л = 3. Из условия имеем
а\ +а2 =3-22,
<
+ а2 4-я3 = З-З2.
По формуле (4.1) получаем
fa} +ai + d = 12,	j2aj 4-rf = 12, fd = 6,
[al+al+d + ai+2d = 27 [a14-rf = 9	(aj=3.
Тогда a2 = 9,a3 = 15.
Ответ: 3, 9, 15.
4.035. При делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на третий член в частном получается 3, а при делении восемнадцатого члена на седьмой член в частном получается 2 и в остатке 8. Определить разность и первый член прогрессии.
Решение.
[^13 “ За3,
Из условия имеем S ~
1^18 ~ 2^7 4- 8.
Используя формулу (4.1), получим
п, + 12</ = з(а1+24	(at=3d,	1а,=12,
п, +17d = 2 (а, + 6J)+ 8 (а, = 5d - 8 ** [d = 4.
Ответ: 4, 12.
Решения к главе 6
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для любых а, b и с верны равенства:
(a + bf =а2 + 2ab+b2	(6.1)
(a-bf =а2 -2ab + b2 ;	(6.2)
a2 —b2 = (a-b\a+b)‘,	(6.3)
(а + bf = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3(6.4) (a-b)3 =а3-За2Ь + ЗаЬ2-Ь3;	(6.5)
a3 +b3 =(a+b^a2 -ab+b2);	(6.6)
а3 -Ь3 = (a-b/a2 +ab + b2)',	(6.7)
ах2 + Ьх + с = а(х - Xj X* - х2), где %i, х2 — корни уравнения
ах2 +Ьх + с = 0 •	(6-8)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Уравнением с одним неизвестным называется равенство /|(*)=£|(*)	(6-9)
где fx (х) и gj (х) — некоторые заданные функции переменной х над числовым множеством М,
Решением (корнем) уравнения (6.9) с одним неизвестным называется такое численное значение неизвестного, взятое из множества чисел,
указанных в условии уравнения, которое обращает данное уравнение в тождество (верное равенство).
Решить уравнение — это значит найти множество всех его решений или показать, что решений нет.
Областью допустимых значений неизвестного (ОДЗ) уравнения (6.9), называется множество всех значений, взятых из числового множества, над которым задано уравнение, при которых существуют обе фун-кции(части уравнения) /(х) и gjx).
Пусть в результате преобразования уравнения (6.9) получено уравнение
(6.10)
Если все решения уравнения (6.9) являются решениями уравнения (6.10), то уравнение (6.10) называется следствием уравнения (6.9).
Два уравнения (6.9) и (6.10) с одним и тем же неизвестным называются равносильными (эквивалентными), если уравнение (6.10) является следствием уравнения (6.9) и, наоборот, уравнение (6.9) является следствием уравнения (6.10) или если оба уравнения решений не имеют.
При преобразованиях уравнения область его допустимых значений может изменяться, полученное уравнение в общем случае неравносильно данному. Если при некоторых преобразованиях ОДЗ уравнения расширяется, то полученное уравнение может иметь корни, посторонние для данного уравнения.
Если обе части данного уравнения возвести в одну и ту же степень, то все его корни будут корнями полученного уравнения, т.е. полученное уравнение всегда будет следствием данного, обратное утверждение не всегда имеет место.
Всякое целое рациональное алгебраическое уравнение п-й степени с одним неизвестным может быть записано в виде
апхп + an_xx'l~{ +... + ajX + a0 =0	(6.11)
где ап, ап_х,..., а0 — заданные числа (коэффициенты уравнения), х — неизвестное, п — натуральное число.
Коэффициенты ап и а0 называются соответственно старшим коэффициентом и свободным членом уравнения (6.11).
Уравнение первой степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение первой степени называют просто уравнением первой степени.
Любое уравнение первой степени с одним неизвестным может быть приведено к каноническому виду •
пх + 6 = 0 (а*О}	(6.12)
Уравнение (6.12) является частным случаем уравнения (6.11), если в последнем положить п = 1, а, = 1 и а0 = b.
Уравнение ах + 6 = 0 (а^0)в множестве действительных чисел всегда имеет решение, и притом только одно:
Ь х =—. а
Уравнение второй степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение второй степени называется уравнением второй степени, или квадратным уравнением.
Всякое квадратное уравнение с одним неизвестным можно привести к каноническому виду
ах2 +6х + с = 0 (а*О)	(6.13)
Уравнение (6.13) является частным случаем уравнения (6.11), если в последнем положить п = 2 , а2 = а , а{ = b п а$ = с .
Квадратное уравнение (6.13), записанное в канонической форме, называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов, кроме старшего а, равен нулю.
Если все коэффициенты квадратного уравнения, записанного в каноническом виде, отличны от нуля, то оно называется полным.
Полное квадратное уравнение, старший коэффициент которого равен 1 (а = 1), называется приведенным квадратным уравнением', оно имеет вид
х2+рх + ^ = 0.	(6.14)
Формулы корней полного квадратного уравнения
Если D = Ь2 -4ас > 0 (дискриминант уравнения), то уравнение (6.13) в множестве действительных чисел имеет два и только два действительных корня, которые определяются по формулам
(6.15)
- b - 4 b2 -4ac	-b + >lb2 -4ac
Xi =--------------, x7 =------------
1	2a	2	2a
Если b2 - 4ac > 0, то xl Ф x2, а если b2 - 4ac = 0, то xx=x2, Если b2 - 4ac < 0, то уравнение (6.13) действительных решений не имеет.
В частном случае, когда b — четное число, т.е. Ь = 2к , уравнение (6.13) принимает вид ах2 + 2кх + с = 0, а формулы (6.15) преобразуются в следующую:
(6.16)
-к±\к -ас
xi 2 _ а
Если уравнение приведенное, т.е. имеет вид х2 + рх + q = 0, то для определения его корней получим
Х^~ 2 * V 4
(6.17)
Разложение квадратного трехчлена на множители
Выражение ах2 +Ьх + с при а Ф 0 называется квадратным трехчленом.
Выражение D = b2 -4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена.
Если D > 0, то квадратный трехчлен разлагается на множители с действительными коэффициентами:
ах2 + Ьх + с = а(х-хх\х-х2\	(6.18)
где Xj и х2 — корни квадратного трехчлена, определяемые по формулам нахождения корней полного квадратного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется целое рациональное алгебраическое уравнение четвертой степени, которое может быть приведено к каноническому виду
ax4 + bx2 +c = 0 (a#0).	(6.19)
Заменив x2 на Z, получим at2 + bt + c = 0, из которого находим _-b- ylb2 -4ас _ - b + 4 b2 -4ac ‘l~ 2a 't2~ 2a
Если Zj >0 и Z2 >0	(a>0,c>0,b2 -4ac>0,6<0 или
a < 0, c < 0, b2 -4ac > 0, b > 0), то биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня
J-b-ylb2 -4ас , l-b + ylb2 -4ас ------э	’ хз,4 =	-z-• 2а---------------------------------1 2а
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения и имеющие вид
решаются с помощью подстановки
(6.20)
(6.21)
Тогда ** t и относительно z получается уравнение
aZ + & —= <?или д/2_с/ + £ = о (z*0).
Теорема Виета
Корни уравнения апхп +ап_1хп~} +... + а1х + а0 =0 (дл*0) сего коэффициентами связаны следующими соотношениями:
ап-\
Х1 + х2 +‘-- + х„ =----—,
ап
ап^
х!х2 + Х1Х3+... + Хл_1Х// = “^>
ап-3
{Х}Х2Х3 +х{х2х4 +... + Хл-2х,1-1Хн =-------->
ап
Х^Ху.-.Х^Х^^^-. ап
Например, для уравнений четвертой степени ах* + bx3 + сх2 + dx + е = О (а * 0) теорема Виета имеет вид
X] +Хэ +х3 +х4 =---,
а с
Х}Х2 + XjX3 +Х)Х4 + х7х3 +х7х4 +х3х4 = —, а d
Х1Х2Х3 +Х1Х2Х4 + Х1Х3Х4 +Х2Х3Х4 =--,
а
е ххх2х3х4 = —; а
для кубического уравнения ах3 + bx2 + сх + d = 0 (а Ф 0):
Х1 + х2 + хз =--,
а
с
< XjX2 +XjX3 +Х2Х3 = —, а
d xtx2x3 =---;
а
для квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 {а 0):
b %i+x2 =—, a
c
Xl%2 =-• a
Иррациональные уравнения
Иррациоиалънымуравнением называется алгебраическое уравнение, если хотя бы один из членов которого иррационален относительно неизвестного, т.е. это есть уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала.
Общий метод решения иррациональных уравнений заключается в следующем: сначала изолируется один радикал, затем обе части уравнения возводят в степень, потом снова изолируют радикал и т.д. При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается уравнение, в общем случае неравносильное данному; поэтому проверка найденных значений неизвестного по условию исходного уравнения обязательна, т.е. является составной частью решения.
Если обе части уравнения /|(х)= /2(х) возвести в четную степень л, то корнями полученного уравнения (/j(x))n = (/2(х))л будут все корни исходного уравнения (х) = /2 (х) и уравнения fx (х) = -/2 (х).
При переходе от уравнения Л(х) = /2(х) к уравнению (yj (х))" = (/2 (х))л потери корней не произойдет, но могут появиться посторонние корни, а именно: корни сопряженного с исходным уравнения
Если обе части уравнения /i(x) = /2(х) возвести в нечетную степень к, то получим уравнение (х))* = (f2 (х))*, равносильное исходному в множестве действительных чисел.
При возведении в нечетную степень обеих частей уравнения, рассматриваемого в множестве действительных чисел, посторонние корни не появляются.
Приступая к решению иррационального уравнения, целесообразно предварительно определить ОДЗ, так как может оказаться, что это уравнение не определено в области действительных чисел.
При решении иррациональных уравнений следует иметь в виду, что не принадлежащие к ОДЗ значения неизвестного всегда посторонние для решаемого уравнения; их можно отбросить без проверки по условию. Найденные значения неизвестного из области допустимых обязательно следует проверить по условию уравнения, так как они также могут оказаться посторонними.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Системой п уравнений с т неизвестными называется п уравнений, в каждом из которых неизвестные, обозначенные одной и той же буквой, означают одну и ту же неизвестную величину.
Решением системы п уравнений с т неизвестными называется всякая упорядоченная совокупность из т таких чисел, которые, будучи подставлены в систему вместо неизвестных, обращают каждое уравнение системы в тождество.
Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или показать, что она решений не имеет.
Если система не имеет решений, то ее называют несовместной или противоречивой, в противном случае — совместной.
{а}х +Zm’ = q,
может либо иметь единственное решение, а2 х + Ь2 у = с 2
либо иметь бесконечно много решений, либо не иметь решений. При графическом способе решения каждому уравнению данной системы ставится в соответствие некоторая прямая на плоскости ХО У; таким образом, данной системе на плоскости соответствует пара прямых. Две прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо совпадать, либо не иметь общих точек.
При пересечении прямых данная система имеет единственное решение; при совпадении прямых данная система имеет бесконечно много решений; если прямые не имеют ни одной общей точки, то данная система решений не имеет.
Решить уравнения (6.001 — 6.066):
6.001.	1 = 23.
х - 4	л* + 3
Решение.
ОДЗ: х * -3, х # 4.
х2+1 х2-1 „	16х2-25х-275 п
х-4 х + 3	(х — 4Хх + 3)
=> 16х2-25х-275 = 0 => х. =	, х2 =5.
1	16	2
55 Ответ:	, х2 =->.
16
6.002. ----
х~а
Решение.
ОДЗ: х*а,
Ь —^—=2. х-Ь
х*Ь.
Ь । а х-а х-Ь
2х2 - 3(а + б)х + (а + б)2 _ ^-а\х-Ь)	=°^
а+Ь ~2~
а + Ь
Ответ:	, х2 = а + о.
X2 6Л03. —
3*	4 Л
-2---------+ 4 = 0.
2 . v с
Решение.
_ 1 + V21
ОДЗ: х Ф 0, х Ф у
х2
Пусть —
= z, тогда z + — + 4= 0 => z
=^z2 +4z + 3 = 0, =» zj =-3, z2 =-1.
Чтобы найти х, решим два уравнения:
х2+х-5	~2
--------= -3 или
= -1.
Решая каждое из них, находим:
%! = -5, х2 *з =-1->/б, х4 =-1 + >/б.
Ответ: х, = -5, х2 =1, х3-4 = -1±>/б.
4	50	..
6.004. х -	=14.
2х4 -7 Решение.
„	„ 4	Z+2 50
Пусть 2х - 7 = z, тогда —--— = 14 =>
Чтобынайтих, решим два уравнения 2х4 - 7 = -4 или 2х4 - 7 = 25,
решив которые, получим х, =
, х3 = -2, х4 =2.
Ответ: х12 = ±Я—, х3>4 = ±2.
б-°°5- х(х + 2) (х + 1)2 12’
Решение, ОДЗ: х * 0, х * -1, х Ф -2.
1________1	= J_ 1_______________1	= J_
х(х+2) (х + 1)2 ~12^х2+2х х2+2х+1 12'
Пусть х2 + 2х = z, тогда
z2+z + 12 Л 2	л -5
—7----г— = 0=» z +z + l2 = 0=»Zi =-4, Zo =3.
z(z + l)
Чтобы найти х, решим два уравнения: х2 +2х = -4 или х2 +2х = 3.
Решая их, находим: хх1 е 0 (р < 0} х3 = -3, х4 = 1.
Ответ: хХ 2 е 0, х3 = -3, х4 = 1.
6.006.
1	?	2
l _ m + n “ ~	2	2 *
x m — n
Решение.
ОДЗ: x * 0, т * ±п. .	7	2	7	2
1 ~т+п 2	+ л 1 л
х + - = 2—----<=>х2 -2—--х + 1 = 0,
х т~-п~	т~-п
корни Х| =
т + п	т-п
----, х2 = ——• т-п-т + п
л	т + п	т-п	। ।
Ответ'. х1 =-, х2 =----, где т * л
т-п	т + п	1
Решение.
ОДЗ: х * 0, а * 0.
х2 Ъ3 Ь Ь2	х4 -{a2b + ab2\c2 + а3Ь3
— □----= — + — <=>----------------£--------
а3 х2 а а2	а3х2
или х4 - (я 2 6 + ab2 )х2 + а3Ь3 =0, ах Ф 0.
Уравнение является биквадратным относительно х. Пусть х2 = j тогда наше уравнение принимает вид
у2 - [a2b + ab2 )у + а3Ь3 = 0,
откуда
a2b + ab2 ±\(a2b + ab2\-4а3Ь3 --------------------------=
a2b + ab2 +JaAb2 +2а3Ь3 +а2Ь4 -4а3^
2
b2 -2a3b3 +a2b4 _a2b + ab2
~2	Г"
a2b+ab2±\
; yi =ab2, у2 -а2Ь.
Чтобы найти х, нужно решить два квадратных уравнения: х2 = ab2 или х2 =а2Ь.
х12 = tTofe2" = ±bja , где с учетом ОДЗ а > 0;
х3 4 = +т]а2Ь = +ch[b , где Ь > 0 ♦
Ответ: хХ2 = ±bja , где а > 0; х3 4 = +ajb , где Ь > 0 ♦
6.008.
х-3 х + 3 х + 6 х-6 -----1--=-----1----.
х -1	х+1 х + 2 х-2
Решение,
ОДЗ: х Ф +1, х Ф +2.
х-3 х + 3 х + 6 х-6	2х2-6 2х2 -24
----+------=-----+-----<=> —----= —------<=> х —1 х + 1 х + 2 х-2 х2-1 х2-4
х2-3 х2-12	6х2
х2 -1 х2 -4	(х2 -1)(х2 -4)
отсюда х = 0.
Ответ: х = 0.
5а 4а За о
6.009. ——+ ~+ ~= 8 у + а у + 2а у + За
Решение.
ОДЗ: у Ф -а, у Ф -2а, у Ф -За.
-g8-У3 +36лу2 +38а2^
у + а у + 2а у + За	{у + а)(у + 2ajy + За)
или
j>(4j>2 +18ау+19а2)=0,
у Ф -2а, уФ-За
>=>;> = 0 или 4^2 + 18яу + 19а2 =0.
-9а±78к?-76а2 -9a±aV5 a(-9 + >/3 ’	4	4	4
„ л a(-9± Уз)
Ответ: У| = 0, у2 з = —5-1.
4 1 1 1
6.010. з . з . . • х3 +2 х3+3 12
Решение.
ОДЗ: х # -V2, х * -7з.
1_____1_ = ±	х6+5х3-6
х3+2 х3+3 ^^^х’+г^+з)	**
1хб+5х3-6 = 0, [(х3+2р+з)*О.
Пусть х3 = у. Получаем квадратное уравнение относительно у: уг + 5 у - 6 = 0. Отсюда yt = -6, у2 = 1.
Отсюда х3 = -6 или х3 = 1 и X! = -Тб, х2 = 1.
Ответ: х1 = ~7б, х2 = 1.
6.011.
х-2 х + 2 х-4 х + 4 28 ----h----—----F-------. х-1 х + 1 х-3 х + 3 15
Решение,
ОДЗ: х#±1,х*±3.
Из условия имеем
----+
Iх-1
х + 2] / х-4 х + 4 ]	28
----I— ---------1=----
х + 1 1 I х-3 х + 3 1	15
х2-2 х2-12	14	2х2+6	14 .
х2 +3	7	»2+3	7 .
°(х._фГ5)-нв^_1р-9)+1з=0<=>
7х4-55х2+108 = Ьх4 -55х2 +108 = 0, (х2 - 1)(х2 - 9)	[(х2 - 1)(х2 - 9) * 0.
2
Пусть х = у, откуда
Ту2 - 55у +108 = 0;	= 4, у2 = у.
Чтобы найти х, решим два уравнения: х2 = 4, Х] 2 - ±2 или
Ответ: Xj 2 =±2,х3 4 = ±^у.
6.012. (х- 1)(х2 - 3) + (2х - 1)(х2 + 2) = 3.
Решение.
ОДЗ: хе Л.
Имеем
х3 -х2 -Зх + 3+2х3 -х2 +4х-2 = 3<=>
<=>Зх3-2х2 +х-2 = 0<=>Зх3 -Зх2 +х2-х + 2х-2 = 0<=>
<=>Зх2(х-1) + х(х-1) + 2(х-1) = 0<=>(х-1)(Зх2+х + 2) = 0
х-1 = 0,Х| = 1 или Зх2 +х + 2 = 0,Х2з 6 0 (D<0).
Ответ: х = 1.
6.013. 3| x+-V|-7| 1 + —| = 0. к х2)	\ х)
Решение.
ОДЗ: х#0.
зГ, + 'L7f,.£|.о« Хх^1>-7<»')х = о«
I	X2 J V х)	X2
3(х + 1)(х2-х +1)-7(х+1)х .	(х + 1)(3(х2-х + 1)-7х)
<=>-----------------------0<=>----------2	и
Xх	х“
^(x + l)(3x* 2-10x + 3) Q
Имеем (х+1)(Зх2-10х+3) = 0. Отсюда х + 1 = О, X] = -1 или , 1
Зх - 10х + 3 = О, х2 =—, х3 = 3.
Ответ: xt = -1, х2 = у, х3 = 3.
4	5
6.014.	---+ ~5----= 2.
•х2+4 х2+5
Решение.
ОДЗ: хе Л.
4	2
t9*----= о<=>2х4 * 6 7 * +9х2 = 0 <=>х2(2х2 +9) = О,
(х2+4)(х2+5)
х2 = 0,Х| = 0 или 2х2 +9 = 0, х2 3 е0.
Ответ: х = 0.
7(х-2)(х-3)(х-4) _ 2
6’015' (2х-7)(х+2)(х-6)
Решение.
7 ОДЗ: х * у, х # -2, х * 6.
11х3-93х2 + 190х
Из условия получаем -------------~ = СучетомОДЗэтоурав-
(2х - 7)(х+2)(х - 6)
нение равносильно
11х3 -93х2 + 190х = 0 <=> х(11х2 -93х + 190) = 0 =>
,	38
=> Xi =0 или 11х -93х +190 = 0, х2 =5, х3 = —
Л	А	с	38
Ответ: х> = 0, х2 = 5, х3 = —
2 -’ll
Х* 2+1 X лл 6.016. ------+ — = 2,9.
X X2 +1 Решение.
QJXS: х * 0.
Пусть — = у, тогда J <---2,9 = 0 <=> —-—----0 <=>
х	у	у
_	х2+1 5
Отсюда-----= — или
X 2
х2+1 2
Первое уравнение имеет корни *i = 2, хг = —, а второе уравнен решений не имеет (D < 0).
Ответ: Х| =2, хг = ^.
х + п т-п х + р т-р
6.017.----------=-----------~-
т + п х-п т + р х-р
Решение.
ОДЗ: х Ф п, х Ф р, т Ф -п, т * -р.
Из условия получаем
¥п\х-п)-(т-п\т + п) _ (х +р\х-р)-(т-р\т + р)
(m + n^x-n)	(т + р\х - р)
х2-п2-т2+п2 х2 -р2 -т2 + р2 (т + п)х - п(т + п) (т + р)х - р(т + р)
2	2	2	2
х -т	х -т______
(т + п)х - п(т + л) (т + р)х - р(т + р)
х2-т2	_	х2-т2	= о
(т + п)х - п(т + п) (т + р)х- р(т + р) (г2 - ж21 (___1______________1______1=о
' I (т + и)х - п(т + л) (т + р)х - р(т + р) I
Отсюда получаем х2 - т2 = 0 <=> х2 = т2, х12 =	, или
_______t____________________________ о
(т + п)х-п(т + п) (т + р)х - р(т + р)
(ш + р)х - р(т + /?)- (т + п)х + п(т + п) _
((ди + п)х - п(т + и)Х(ап + р)х - р(т + />))
или с учетом ОДЗ
(т + р)х-(т + п)х- р(т + р)+л(т + и)=0<=>
<	=> (w + p)x-(pi + п)х = р(т + р)-п(т + п)<^>
<	=> (pi + р-т-п)х = рт + р2 -тп-п2 <^(р-п)х = р2 -п2 + рт-тп <=>
<	=> (р- п)х = (р-п\р + и)+ т(р-п)^> (р-п)х = (р-п\р + п + т)
Отсюда:
1)если р-п-0, р = п, то, учитывая ОДЗ, хе Я, кроме/? и л;
2)если />-и^0, р^п.то х3= р + п^т.
Ответ: если п = р, то хе R, кроме пир; если п Ф р, то jq = т,
х2 = -т, х3 = т + п + р.
6.018. х2 4-х + х”1+х-2 =4. Решение.
ОДЗ: х 0.
Из условия имеем х
1 W 1 "I А л + — 1+1 х + - -4 = 0.
х J I х)
Пусть х + —= j=>x2 +2 + -^- = у2 илих2 +Д- = у2 -2.Нашеурав-х	X1	X2
некие принимает вид у2-2 + j>-4 = 0<=>у2 +у-6 = 0, откуда
у{ = -3, у2 =2 . Относительно х получаем два уравнения: х + — = -3,
откуда Xj 2 =
±>'5	1	ч	1
----или х + — = 2, откуда х34 = 1.
2	х
Ответ: xi 2 =-----,х34
21	> л <
6.019. i-;—— - х- + 4х = 6.
х -4х + 10
Решение.
ОДЗ: хе R.
Из условия имеем +	- 4х +1 о)+ 4 = 0.
?	21	v2 -4v-21
Пусть х~-4х+ 10 = j>*0:---j> + 4 = 0 <=> —-----= 0.Урав-
У	У
некие у~ —4у -21 = 0 имеет корни yt = -3, у2 = 7 . Относительно х получаем два уравнения: х2 - 4х +10 = -3 , х2 - 4х +13 = 0 (р < 0) или х2 -4х + 10 = 7, х2 -4х + 3 = 0, xj =3, х2 =1.
Ответ: Xj = 3, х2 = 1.
6.020. ---- +----= 2,5.
х-b х-а
Решение.
ОДЗ: х Ф Ь, х * а.
„ х-а	1 Л. у2 -2,5^ + 1 п
Пусть------ -у: У + — 2,5 = 0, -------= 0.
х-Ь	у	у
, 1
Уравнение у1 -2,5д> + 1 = 0 имеет корни Л = Уг=2 • Получаем
два уравнения относительно х:
х-а 1
Т^Т“2 ’
откуда Xj = 2а - b, или
---г = 2 откуда х2 = 2Ь - а .
х-Ь
Ответ: если а Ф Ь, то Xj =2а-Ь9 х2 -2Ь-а\ если а = Ь , то корней нет.
6.021. 8х4+х3+64х + 8 = 0.
Решение.
ОДЗ: хе R.
Из условия имеем (8х4 + х3) + (64х + 8) = 0 <=> х3(8х +1)+8(8х +1) = 0
<=> (8х + 1)(х3 + 8) = 0 <=> (8х + 1)(х + 2)(х2 - 2х + 4) = О.
Отсюда 8х+1 = O,Xj =-^-, или х+2 = 0,х2 = -2, или х2 -2х+4 = 0, х3 4 60 (£><0).
Ответ:
1 , х,--,х2 = -2.
6.022. (х + З)3 - (х +1)3 » 56.
Решение.
ОДЗ: xeR.
Из условия имеем
(х+3-х-1)((х+3)2 +(х+3)(х + 1)+(х + 1)2) = 56 <=> <=>2(х2 +6х+9+х2 +4х+3 + х2 +2х + 1) = 56<=> ох2 +4х-5 = 0,Х[ = -5,х2 =1.
Ответ: jq = -5,х2 = 1.
,	* + 2 х + 6 х + 10 ,
6.023. ----+—— +------= 6.
х + 1 , х + 3 х + 5 Решение. ОДЗ: х*-1,х*-3,х*-5. Из условия имеем:
(x + D + l t (х + 3) + 3 t (х + 5) + 5 _ 6 х+1	х+3	х+5
,	13	5,	Зх3+18х2+23х
х + 1 х + 3 х + 5	(х + 1)(х + 3)(х + 5)
С учетом ОДЗ получаем Зх3 +18х2 + 23х = 0 или х(3х2 +18х+23) = 0, откуда Xj =0, или
„ ,	-9 + V12	-9-V12
Зх2 + 18х + 23 = 0> х2 =---,х3 =------
Ответ: Х| = 0, х2
-9 + V12
-Г-^з =
л 1	1-	12	4 л_
6.024. 4х'+12х + —+ —= 47.
х х"
Решение.
ОДЗ: х 9*0.
Группируя, получаем:
+(12х + —
-47 = 0 <=>
х2 +-^ |+12
-47 = 0.
Пусть х + — = у=> х2 +2 + Дг = у2 или х2 + Д- = у2 -2 • Тогда
Х	X2	X2
4(у2-2)+12у-47 = 0, 4/+12у-55 = 0, yt=~,y2=^.
Относительно х получаем два уравнения: х +
1	5
или х + — = —, X 2
корнями которых ЯВЛЯЮТСЯ Xj 2
_	-n±Vio5 1
Ответ: х12 =--------, х3 = —9 х4 =2.
6.025. (х-а)2-(х-Ь)3 =Ьг-а3.
Решение.
ОДЗ: хе А.
Левую и правую части уравнения разложим на множители как разности кубов:
{x-a-x^bj^x-af +(х - а\х -б)+(х-b^ )=(b-a^)2 +Ьа + а2\
(b-a^c2 -2ax + a2 + x2 ~(a + Z>)x ++ x2-lbx + b2 )-- (b - afy2 + ba + a2 )= 0,
(b~afex2 -3(я + b)x + ab + а2 +62)-(й-а)(б2 +6а + д2)=0<=>
<=> (Z>-a)(x2 -(a + Z>)x)=0.
Отсюда:
1)если b -a = 0, b = a, to xgR;
2)если b-a*0, Ь*а,то x2 -(a + Z>)x = 0,или x(x-(a+ Z>)) = 0,откуда x{ = 0, x2 = a + b.
Ответ: если a = b , to xe R; если а Ф b, to Xj = 0, x2 = a + b.
6.026. — = (a+\f. x-1
Решение.
ОДЗ: x *1.
Приводим уравнение к общему знаменателю:
дх2-(д + 1)2(х-1) = 0дх2-(д + 1)2х + (д + 1)2 = 0 х-1	х-1
С учетом ОДЗ дх2 - (д+1)2 х + (д+1)2 = 0, откуда
(д+1)2 ±-4a(a + lf (д+1)2 ±^/(д+1)2((а+1)2 -4д) = 2а 2а '
_ (д+1)2 ±7(а+1У(д2 +2д + 1-4д) _ (д+1)2 ±^(a+iyCa-l)2 _ 2д	2д
(д+1У±(а-1У. 2д
_ (д+1)2 -(д-1)2 _ а2 +2д + 1-д2 +1 _ д+1
1	2д	2д	а '
(д+1У+д2-1 д2+2д+1 + д2-1 2д2+2д	,
х2 =  ---—-----=-----------------= — -----= д+1.
2д	2д	2д
л а+1 ' Ответ: х1 =----,где л#0; х2 =д+1.
(х-а)2 + х(х -л)+ х2 19
6.027. 7----v---7---ч--Г = Т’
(х-л; -х(х-а)+х	'
Решение.
ОДЗ: (х-л)2 -х(х-л)+х2 ^0.
Из условия получаем
б(х — л)2 -13х(х-л)+6х2 Л	\2 1 о /	\ , 2 а
---'—2---1---1----у = 0=>6(х-лу-13х(х-л)+6х =0.
7((х - а у - х(х - л)+ х2 ;
Разделим обе части последнего уравнения на х2 * 0:
„ х-л ?
Пусть----= у: бу -1 Зу + 6 = 0. Корнями полученного квадрат-
2	3
ного уравнения являются У\ = —, Уг - ~
Имее л два уравнения:
х-л 2	х-л 3
	= — или -= —, откуда X. = Зл , X-------------3	X-2	1
х2 = “2л . Сделав проверку по ОДЗ, получим ответ.
Ответ: если л # 0, то Xj = Зл , х2 = “2л ; если л = 0, то корней нет.
6.028. ---- +----------
а + Ь а-b х
Решение.
ОДЗ: л +Ь, х 0.
Из условия имеем
х 2л-х а + Ь , л ----ь-----------1 = 0»
а + Ь а-Ь х
(a-b)x2 +(2a-x\a + b)x-(a + b^(a-b)-(a + b\a-b)x __
~	{а + Ь\а-Ь)х
(а - b)x2 + 2а(а + b)x — (д + b)x2 — (а + Z>)r (п - />)- (я2 - Z>2
°	pQjr
((g-&)x2 - (fl+ fe)x2)+(2fl(a+ Z>)x -(fl2 -b2\]-(a + b^a-b) (a2-62>
(a-b-a-b)x2 +Ь,а2 +2ab-a2 +b2)x-(a+bf(a-b) л
~—------------------------------------------=Oe
-2bx2 +(a2 +2ab + b2pc-(a+bf(a-b)_n
СучетомОДЗ -2bx2 + ^i2 + 2а6 + 62}с-(д + б)2(а-б)=0 или 2bx2 -(a + bj x + (a + bf (a-b)=0, откуда
(a + bf ±-J(a + b^ -Sb(a + bf(a-b) _
“	4b	~
(р+ьУ ±7(д+&)2((д+^)2-8б(д-б))_
4b	~
_ (a+bf ±(a + b)Ja2 +lab + b2 -%ab + ib2 _
4b
_((i + b^ ±(a + b)Ja2 -6ab + 9b2 _(a + bf ±(a+b)J(a-3b^ 4b	4b
_ (a+b^ ±(a + b\a-3b)_ (a + b)((a+b)±(a-3b))-
4b	4b
(a + bXa+b-a+3b) _ (a + b)4b _а + ^
4b	4b ° ’
(a+bXa + b + a-3b) _ (a+bX^a-2b) _ (a+bXfl-b) _ a2 -b2
4b	4b	26	2b~'
a2 -b2
Ответ: если b Ф 0, то Xi = a + b, x2 = ———; если b = 0, to x = a. 2b
6.029.
2
a -1 a-x л ----+-----= 1.
ax-1 a
Решение.
ОДЗ: a#0,х/-. а
Из условия имеем:
ах~\ а
ах-\ а
д2-1 а х -----1----- ах -1 а а
с учетом ОДЗ ах2 - х - [а2 -1)2 = 0, откуда
= 1± 71+4д2(д2-1) = 1±>/4д4-4д2+1 = l±-J^fl2-lj
1,2 “ 2д “ 2а ~ 2а 1±(гд2-1).
2д
*1 =
1-2д2+1 2а
1-д2	1 + 2д2-1
-----> *2 =	«---- а---2а
= а.
1~л2	Л
Ответ: х, =----, х2 = а ПРИ a * 0.
а
6.030.
' х2 +6>2 _Г 5х Y ^х2-4_>	^4-х2 J
Решение.
ОДЗ: х Ф ±2.
Перепишем это уравнение в виде
/ 2 х V /	\2	2 х I/ ~е
х +6 f 5х |	х +6 _ If 5х |
^х2-4^	^х2-4у	х2-4 v[x2-4J
х2 +6
Р^4
5х х2 -4
х2 +6 5х	х2 +6 5х
=> “5--=----5---или —7 - “5—
х2-4	х2-4	х2-4 х2-4
С учетом ОДЗ получим уравнения х2 + 5х + 6 = 0
или х2 - 5х + 6 = 0,
откуда jq = -3, х2 = -2, х3 = 2, х4 = 3; х2 = -2 и х3 =2 не подходят по ОДЗ.
Ответ: Xj = -3, хг =3.
6.031- 73х + 4 + Jx-4 = 2>[х.
Решение.
ОДЗ: Зх + 4 >0,х-4 >0,х>0=> х>4.
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
Зх + 4 + 27(Зх + 4^х - 4) + х - 4 = 4х <=> «27(Зх+4Хх-4) = 0.
Ещераз возводя в квадрат, получаем: (Зх+4Х* -4)=0 .Отсюда имеем
4	4
Зх + 4 = 0 илих-4 = 0,	= --,х2 = 4; х{ = _у не входит в ОДЗ. Про-
веряя х = 4 непосредственной подстановкой в исходное уравнение, имеем: Ответ: х = 4 •
6.032. -Jx +Vx + И + 7x-Vx+7T = 4.
Решение.
Пусть 7х + 11 = >0 или х + 11 = >>2 ,т.е. х = у2 -11 .Тогда
^У1 + «У—11 + ^У2 “У“П = 4 или ^у1 +_у-11 = 4-^у1 -у-11 • Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
/ +>--11 = 16-8// -J'-ll + / - J-11» 87/-у-11=16-2у
или 4-J/ - у -11 = 8 - у. После возведения обеих частей уравнения в квадрат, найдем
1б/-16у-176 = 64-16>'+/, 0<j<8=*
15/ =240,	.
=> z	или у = 4.
0<^<8
Отсюда получаем Vx + 11 =4 или х + 11 = 16, х = 5. Проверкой убеждаемся, что это корень йсходного уравнения.
Ответ: х = 5.
6.033. ^/15 — л* + у/з — x = 6.
Решение.
|15-х>0,	[х<15,
°Д3: 3-х>0 ~ х<3,
Из условия имеем:
У15-х = 6->/3--х =>15-х = 36-12>/3-7х+3-х, 12>/з^х =24.Уз^7 = 2.
Отсюда 3 - х = 4 или х = -1. Проверкой убеждаемся, что это корень исходного уравнения.
Ответ: х = -1.
6.034. 1 + 71 + х7х2 -24 = х.
Решение.
Запишем уравнение в виде V1 + х>1х2 -24 = х-1. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
14-хл/х2 -24 = х2 -2x4-1, ху/х2 -24 = х2 -2х, х-1>0	|х>1
7х2 -24 = х-2, х>1.
=> х2 -24 = х2 -4x4-4 или 4х = 28; х = 7.
Проверяя х = 7 непосредственной подстановкой в исходное уравнение, имеем:
Ответ: х = 7.
(x-a)ylx-a 4-(x-ft)vx-fe , /	,\
6.035. 1\ —-------------------= а~Ь (а>Ь).
у!х-а л-yjx-b
Решение.
Из условия имеем
у/х-а +у!х~Ь
Разложим на множители числитель левой части уравнения как сумму кубов:
х-а
- yl(x-a\x-b) + (х/х-й j2
+ <Jx-b
а-Ь.
Так как jx-a + Jx-b # 0. то
(л/х-аУ -<J(x-a\x-b) + (y/x-b\ = а-Ь<^>
& х-а- J(x-a\x-b) + x-b = a-b<^>
<=> 2х - 2а = ,](х-а\х-Ь) о 2(х - а) = <J(x-a\x-b) =>
=>4(x-af = (x-a\x-b)<^4(x-af -(х-аХх-б)=0<=>
<=> (х-а%4х-4а-х + b)& (х-а/Зх-4а + б)=0.
Из последнего уравнения следует, что либо х - а = 0, откуда Х| = а,
либо Зх - 4а + b = 0, откуда х2 = —-— .
Подставляя Xj и х2 в начальное уравнение, убеждаемся, что это действительно корни.
„	4а-Ь
Ответ: х( = а; х2 =---.
6.036. V3x + 7-Vx+T = 2.
Решение.
ОДЗ:
Зх+7>0, х + 1>0
<=$> х>-1.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
Зх+7-27(Зх + 7Хх+1) + х+1 = 4 <=>4х+4 = 27(Зх+7Хх+1) <=>
<=> 2(х+1)=V(3x+7Xx+l) => 4(х+1)2 = (Зх+1\х+1) <=>
<=>4(х + 1У -(Зх+?Хх + 1)=0«> (х+1Х4х+4-Зх-7)=0<=>
<=> (х+1Хх-3)=0 или ,х + 1 = 0,Х| =-1 или х-3 = 0,х2=3.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что это корни начального уравнения.
Ответ: х, = -1, х2 = 3.
6.037. Vl + Vx +V1-V* =2.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
1 + Vx + 3^ +Vx^-Vxj+S^ + Vx^-Vx)2 + 1-Vx =8<=>
Так как у/1 + у[х + у! - 4х = 2, то уравнение принимает вид:
3^ +Vx)(l->/x) 2 = 6 <=>	+Vx^-Vx) = 1 <=> Vl-x = 1 <=>
<=> 1 - х = 1, х = 0.
Ответ: х = 0.
6.038. 2>/7^ : 0,63/- = 10^5 :-^216^9.
V 3	4
Решение.
ОДЗ: 7-х>0<=> х<7.
Будем упрощать исходное уравнение:
2Л^5^3 40^3 /г
<=>--------=----- <=> V /
3	2'^3"
Очевидно, что х = 3 есть корень этого уравнения и других корней нет.
Ответ: х = 3
6.039.
2	2
х + 5^2 л( х V -----+4 ---------- х ) х + 5 >
= 4.
Решение.
- Из условия имеем
|х + 5 . Г х . л /х + 5	4	. п
J-----+4J-------4 = 0<=> J----+  —- -4 = 0.
V х Vx + 5	V х х
V х + 5
Пусть
,|Х + 5 = у. >0: у + — -4 = 0<=>у2 -4у + 4 = 0<=>
V х	У
«(у-2)2 = 0<=>у-2 = 0<=>у = 2.
/х + 5	„
Тогда J =2 .Проверкой убеждаемся, что это выражение удовлетворяет условию.
х+5	.	_ .	5
Отсюда------= 4 <=> х + 5 = 4х, х = -.
х	3
5
Ответ: х = — •
6.040. ^24 + >/^-^5 + Тх =1.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
24 4- Vx - 3^(24 + Vx^(5 +7х)+3^44->/х)(54->/хУ - 5 - у[х = 1 <^>
<=> -3^4 + Vx )(5 + у[х^24 + 4х - y[s + y[x ^=-18.
Тах как ^24 +Vx - ^5 + >/х = 1 по условию, то получаем
V(24 + Vxfc+Vx) = 6 <=> (24+4х J5 + 4х )= 216,
(л/х)2 +29л/х-96 = 0.
Откуда у[х = 3, 4х = -3 (не подходит). Отсюда х = 9.
Ответ: х = 9.
6.041. Vx + 34-Ux-3 =1.
Решение.
Возведя обе части уравнения в куб, получим х + 34-х + 3- $](х + 34\х-3) (Vx + 34 - Vx -3) = 1.
Так как Vx+34 - Vx-3 = 1 > то имеем следующее уравнение:
37 - 3 V(x+34Xx-3) = 1 <=> Щх+34\х-3) = 12-» <=>(х+24Хх-3)=1728<=>х2+31х-1830=0; xt =-61,х2 =30. Проверкой убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: jq = -61, х2 = 30.
6.042. х2 + Зх -18+4>/х2+Зх-6 = 0.
Решение.
Пусть Vx2 + 3х-6 = у > 0. Тогда х2 + Зх -6 = у1 или
х2 + 3х = ^2 +6
и уравнение принимает вид:
у2 + 6-18 + 4у = 0 <=> у2 + 4^-12 = 0,	=-6 (неподходит), у2 = 2 .
Тогда
>/х2 + 3х-6 =2 <=> х2 + 3х - 6 = 4 <=>
<=> х2 +Зх-10 = 0; Х|=-5, х2=2.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Х| = -5, х2 = 2.
6.043. 7х2 + 32-2^х2 +32=3.
Решение.
Пусть Vx2 +32 =)>>0. Относительно у получаем уравнение у2 - 2у - 3 = 0, откуда yt = -1 (не подходит), у2 = 3 . Тогда
а/х2 +32 =3»х2+32 = 81 »х2 =49.
Это выражение удовлетворяет заданному уравнению. Отсюда |х| = 7
ИЛИ Xj 2 = ±7.
Ответ: = -7, х2 = 7.
6.044. У(5х+2)3 —-----= 6.
№х + 2?
Решение.
ОДЗ: х#-|.
Пусть ^(Sx + 2)3 = у, у 0 • Относительно у имеем уравнение:
у- — = 6 (у * 0) <=> у2 -бу-16 = 0, откуда у, = -2 , у2 =8. Тогда: У
и v^=-^,=4^=z#±i);
2)	V(5x+2)3 =8; х2 = 6.
-2(У4 + 1)
Ответ:	, х2 = 6.
6.045. хТх -4^? + 4 = 0.
Решение.
Пусть 7х = у, тогда х = у3, х2 = у6. Относительно у имеем уравнение
у3 у-4у2 +4 = 0 <=> у4 -4у2 + 4 = 0 <=> (у2 -2^ =0t=>
<=>у2-2 = 0, у2 =2,
откуда у12 = ±72 . Тогда Vx = -72, х1 = -78 и 7х = 72, х2 = 78.
Ответ: = -2-Л, х2 = 2у/1.
6.046. Зу[х -5у1х 1 = 2х"1.
Решение.
Из условия имеем З^х -	~ •
Ух х
Пусть Vx = у, у Ф 0, и уравнение принимает вид
Зд>---4- = °1г#0)оЗ/-5г-2 = 0«з(у2)2-5(г2)-2 = 0) у У
откуда у2 = 2; у2 = -1 (не подходит). Тогда у12 - ±71 => 7х = -2 или Vx = 71, х( = —Ji, х, = 78 •
Ответ: х, = -2у/2,х2 = 272.
6.047. х2 +7х2 +20 =22.
Решение.
Пусть 7х2 +20 = у > 0 , тогда х2 +20 = у2, х2 = у2 -20 и уравнение принимает вид у2 - 20+у = 22 <=> у2 + у - 42 = 0, откуда найдем У|=-7, у2=6; у1=-7<0 не подходит. Тогда 7х2 +20 =6 или х2 +20 = 36> х2 =16> *1,2 =±4-
Ответ: х( = 4, х2 = -4.
4 7х +3 -
6.048. 57=-— + —Г~ = 2-7х +2	5
Решение.
ОДЗ: yfx + 2 * 0,7х # -2, х * -8.
Пусть >[х + 2 = у, у 0. Относительно у уравнение принимает вид — + ^^ = 2 (у*0)<=>у2-9у+20 = 0,откуда у( =4, у2 = 5.
У 5
Тогда: 1) у/х + 2=4; х, = 8 ; 2) у[х +2 = 5; х2 =27 .
Ответ: Xj = 8; х2 = 27.
6.049. V778+47P78=6.
Решение.
ОДЗ: х3 + 8 > 0 <=> х3 > -8 <=> х > -2.
Пусть ух3 + 8 = у, у > 0, и уравнение принимает вид у2 + у = 6 <=> <=> у2 +у-6 = 0, откуда у, = -3, у2 = 2; = -3 не подходит. Тогда
Vx3+8=2, х3+8 = 16, х3=8, х = 2-
Ответ: х = 2.
(5 - х)>/5 - х +(x-3)Jx-3 »
6.050. 1---le I ’--------= 2.
V5-x +Vx-3
Решение.
[5-х >0, °«3:U-3>0o3fixS5'
п	(л/5-х)3 +(>/х-зУ
Перепишем уравнение в виде -Ь— . /_—\_ / = 2 и разложим
у15-х+у1х-3
числитель левой части на множители как сумму кубов:
(л/5-х + л/х-З“хХх”3) + 7(х“З)2
л/5-х + 7х-3
Учитывая, что знаменатель положителен, получаем
7(5-х)2 -	- х\х -3) + у}(х -3^ =2<=>
<=> 5 - х - ^/(5-хХх-З) + х - 3 = 2 <=>
<=>7(5-хХх-3) = О, (5-хХ*-3)=0,
откуда 5 - х = 0, Xj = 5, или х-3 = 0, х2 = 3. Проверкой убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: х} = 5, х2 =3.
6.051. 7х + 1 -у/9-х = >/2х-12.
Решение.
х+1>0,.
ОДЗ: < 9-х > О, 2х-12>0
Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получаем 7(х+1Х9-х) = 11 - х, откуда
(х + 1X9-х) = 121-22х + х2 <=> х2 -15х + 56 = 0; Xj = 7, х2 =8.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Xj = 7, х2 = 8.
6.052. ---7=т=--------П= =
x-vx-x х + ух -X
Решение.
х2-х>0,	[х(х-1)^0,	/ ,г ч
х Ф 0 |х Ф 0
Из условия получаем
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем —-— = 3 или х = 4 . Проверкой убеждаемся, что х = 4 является корнем последнего уравнения с радикалами.
Ответ: х = 4.
Решение.
ОДЗ: х#±1.
Пусть Vx = у, у * ±1 • Относительно у уравнение принимает вид
/-	(уг-|р->1)
у2-1	у+1	у2 -1	у+1
<=> у2 +1-у+1 = 4 <=> у2 — у—2 = 0,
откуда найдем у( = -1, у2 = 2 . Тогда vx = -1, х( = -1, или Vx = 2, х2 =8; X] = -1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: х = 8.
6.054. 75 + V^ +	= V^.
Решение.
ОДЗ:
5+Vx>0, 5-Vx^0
<=>-125<xS125.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем уравнение
5 +Vx+27(s + VxJs-Vx)+5-Vx = V? <=>
2д/25-Vx7 = Vx7 -10 => 100 - 4tfx2 = Vx7 - 20Vx7 4-100 <=>
Vx7-leVx7 = 0 <=>
откуда Vx7 =0, Xj = 0, или Vx7-16 = 0, Vx7 = 16, x2 =64. При
проверке х1 =0 не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х = 64.
6.055. Jxtfx + VxVx = 56.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Из условия имеем
— —	( — Y —
xi°-х'о =56<=> х10 -х10-56 = 0.
2
Пусть х10 = }>>0. Относительно у уравнение принимает вид у2 - у - 56 = 0, откуда = -7 или у2 = 8;	= -7 < 0 не подходит.
1	12 ю
Тогда х10 =8 . Отсюда х = 8 3 , х = (г3)з , х = 210 =1024 .
Ответ: х = 1024.
6.056. 7х2 +9-Vx2 -7 = 2.
Решение,
ОДЗ. X2 -7>0.
Перепишем уравнение в виде 7х2 +9 = 7х2 - 7 + 2 . Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
х2+9 = х2 -7 + Vx2-7+4<=>Vx2-7 = 3 <=> х2-7 = 9 <=>
<=> х2 =16, х12 =±4.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Xj = 4, х2 = -4.
6.057. 710-х2 + 7х2 +3=5.
Решение.
ОДЗ: 10-х2 >0.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем
10 - X2 + 27(ю-х2)(х2+з)+X2 + 3 = 25 <=> ^0-х2\х2+з) = 6 <=>
<=> (10-х2 )(х2 + з)=36<=>х4 -7х2 +6 = 0, х2 =1илих2 =6;
Х| 2 =+1, Х3 4 =+л/б.
Ответ: хХ2 - ±1, х34 = ±л/б.
6.058. т£| + ^р1 = 2.
V х + 3 V 5-х
Решение.
(х Ф -3,
ОДЗ:
|х*5.
_	75”х
Пусть 4/-т ~z>
J Vx+3
z Ф 0. Относительно z уравнение принимает вид
z + - = 2 <=> z2 -2z + l = 0<=> (z—1)2 = 0<=>z-l = 0, z = l. z
i 5-x	1	,
Тогда Zl—— =!<=>----- = 1; x = l.
Vx + 3	x+3
Ответ: x = 1.
J 16z Jz -1
6.059. 5J—-+( — =2,5.
V z-1 V 16z
Решение.
Пусть
J 16z
V z-1
= у, у *0. Относительно у уравнение принимает вид
1	2	1
у + — = 2,5<=>у -2,5у+1 = 0, откуда л = ~,У2 = 2 .Тогда или
У	2
J16z 1 16z	1	1
ПТГГ^Гй’г'=~5п’1'™
= 32,z2=2.
Ответ: z} = z2 = 2-
6.060. Hsx + 1 -V5X-12 = 1.
Решение.
Перепишем уравнение в виде ^5х + 7 = V5x-12 +1 и возведем обе части в куб:
5х + 7 = 5х-12+з(^5х-12У +3^5х-12+1<=>
«> (V5X-12)2 +V5x-12-6 = 0.
Пусть V5x-12 = t. Относительно t уравнение принимает вид t2 -1 - 6 = 0, откуда найдем Z, = -3 и t2 = 2.
Тогда или ^5х-12 = -3, 5х -12 = -27, х( = -3 , или V5x-12 = 2 , 5х-12 = 8, х2 = 4.
Ответ: х, = -3, х2 = 4.
6.061. 2Vx+5Vx-18 = 0.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Обозначим Vx = у > 0 • Относительно у уравнение принимает вид 9	9
1уг +5^-18 = 0, откуда найдем я ---, у2 =2 ;	= -- <0 ие под-
ходит.
Тогда Vx = 2, х=26 =64-
Ответ: х = 64.
6.062. >/Зх2 +1+д/х2 +3 =7бх2 +10.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
Зх2 +1+2<Дзх2 +1)(х2 +з)+х2 +3 = 6х2 +10 <=>
<=> 7(зх2 +lj(x2 +з) = х2 +3 =>
=> (зх2 + 1)(х2 + з)= (х2 + if. <=> (зх2 + 1)(х2 + з)- (х2 + з)* = 0 <=>
<=> (х2 +з)(зх2 +1-х2 ~з)=0<=> (х2 +з)(х2 -1)= 0;
х2+3^0,х2-1 = 0,х2 =1, х12=±1.
Ответ: х12 =±1.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перепишем уравнение в виде
V7 +1	у/х +1 - 3Vx +3 л
-7-=----3 = 0, х * 1 <=>-——--------= О <=>
Vx-l	Vx-1
<=> -264х +4 = О о Vx = 2,х = 26 = 64.
Ответ: х = 64.
6.064. х+2 + л/Зх + 8 = >/2х + 6.
Решение.
х + 2^0,
ОДЗ:<Зх + 8>0,<=>х£-2.
2х + 6>0
Запишем уравнение в виде >/х+2 -л/2х+6 = -\/Зх + 8 и возведем обе его части в квадрат:
х + 2-2^/(х + 2)(2х + 6) +2х + 6 = Зх + 8<=>
<=> 7(х + 2)(2х + 6)=0,
откуда х + 2 = 0, Xj = -2, или 2х + 6 = 0, х2 = -3— не подходит по ОДЗ.
Проверкой убеждаемся, что х = -2 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = -2.
6.065. V2x+5 +V5X + 6 =712х+25.
Решение.
ОДЗ:
2х + 5>0, 5х+6>0, <=>х>-—. 12х + 25>0	5
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем 2х+5 + 2Л/(2х + 5)(5х+6) + 5х+6 = 12х + 25» о 27(2х + 5)(5х+6) = 5х+14 => => 4(2х+5)(5х+6) = 25х2 + 140х +196 <=> 15х2 + 8х - 76 = 0, 38	,	38
откудаХ| = х2 = 2; Xi = не подходит по ОДЗ. Проверкой убеж-
даемся, что х = 2 является корнем уравнения.
Ответ: х-2.
6.066. х2 -4х-6 = >/2х2-8х + 12.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
(х2-4х-бУ = 2х2 -8х + 12 <=> (х2 -4х-6^ -2(х2-4х-6 + 12)=0.
Пусть х2 - 4х - 6 = у, у > 0. Относительно у уравнение примет вид у2 -2у-24 = 0, откуда у1 = -4 , у2 = 6; у} = -4 не подходит.
Тогда х2 -4х-6 = 6<=> х2 -4х-12 = 0, Xj = -2, х2 = 6 . Проверкой убеждаемся, что это действительно корни исходного уравнения.
Ответ: Xj = -2, х2 = 6.
Решить системы уравнений (6.067—6.119):
6.067.
х + у = 0,9.
Решение.
Перепишем систему в виде
(х + 0,2)-+ (у + 0,3/ =1, х + 0,2 - 0,2 + у + 0,3 - 0,3 = 0,9
х + ОД = и, 7 + 0,3 = v.
Тогда •
и2 + v2 =1, и + v = 1,4
(w + v)2-2uv = l. и + v = 1,4
(1,4-2uv = 1,	fl,96-2uv = 1,	(uv = 0,48,
и + v = 1,4	[u + v = 1,4	[и + v = 1,4.
По теореме Виета возможны только следующие варианты: [и] =0,6,	[u2=0,8,
< Л или < [v! = 0,8 [vs = 0,6.
fx + 0,2=0,6,	[х + 0,2 = 0,8, fxj=0,4,	]х2=0,6,
Тогда	или <	<	_ или <
[у + 0,3 = 0,8	[^ + 0,3 = 0,6; |/i=0,5	[у2 =03.
Ответ: (0,4; 0,5), (0.6; 0,3>
6.068.
х3 + у3 =7, Х3у3 = -8.
Решение.
По теореме Виета возможны только следующие варианты:
или
х3=-1, (х2 =-1, /=8, Ы=2-
Ответ: (2; -1) (-1; 2)
6.069.
х-1 + у 1 =5, х~2 +у-2 =13.
Решение.
Перепишем систему уравнений в
виде *
1 + 1 = 5, х у
1	1	,,
2 + 2
X	У
ОДЗ:
х#0, у .* 0.
Приводя к общему знаменателю, получаем
х + у = 5ху, х2 + у2 =13х2у2
х + у = 5ху,	(х + у = 5ху,
(х + уУ - 2ху = 1 Зх2у2	[ху(бху -1) = 0.
Последняя система равносильна двум системам уравнений:
jx + y = 0, |ху = 0
*!=0,
Л =0-
Это решение не подходит по ОДЗ.
6.070.
х у 13 у X 6 х + у = 5.
Решение,
ОДЗ:
х*0, /*0.
Умножив левую и правую части первого уравнения на Ьху * 0, получим
б(х2 +^2)=13х^,б^хч-^)2 -2xj)=13x%\ху = 6,
х + у = 5	|х + у = 5	[х + >> = 5,
у2-5^4-6 = 0, 1*1=2, (х2=3, x + j> = 5,	/1=3, (/2=2.
Ответ: (2; 3 X (3; 2)
6.071.
х - у = 1, х3-/=7.
Решение,
Преобразуем второе уравнение системы
х-у = 1,	[х-у = 1,
(x-jj(x:2 +ху + _у2)=7	(х-у)2 +3х^ = 7
х-у = 1, [х-у = 1, <=>
1 + Зху = 7	|х>> = 2,
откуда
х2 =-1,
У2 = “2-
Ответ: (2; 1) (-1; -2)
6.072.
'J___1_ = J_
}> + 1 х’ /-х-5 = 0.
Решение.
1У ±1, °Д3: |х#0.
Преобразуем первое уравнение системы
ху + х-ху+х = у2 -1, у2 — х = 5
2х = у2-1, у2 -х = 5
у2 -х = 5
=> х = у2 - 5. Подставив это значение х в первое уравнение системы, получим 2(у2 -5)= у2 -1, у2 = 9, у, = 3, у2 = -3; тогда Xj = 4, х2 = 4 .
Ответ: (4;ЗЦ4;-3)
у2 -ху = -12, х2 - ху = 28.
Решение.
6.073.
(у(у-х)=-12, Из условия имеем	у) - 28
Разделив первое уравнение на второе, получим
Зх у=-’ х(х-у)=28.
х(х-у)=2%
х(х- у)=28
Зх
Подставив у = — из первого уравнения системы во второе, получим
Зх У~~’ х[х-—1=28
Ц 7 )
Отсюда:
Зх г о у =—, л
7 Ь1=-7 х = -7	1 1
Ответ: (- 7; - 3} (7; 3)
Зх у~~’
X2 =49.
1)
или
2)
Зх У~-
х = 7
У2 =3, х2 = 7.
у Л
6.074.
х + у + — = 9, У к±2>=20.
Решение, ОДЗ: у*0.
Пусть
х + у = и, f
|W + V=9.
х _ Имеем s	По теореме Виета возможны толь-
,У	”
ко следующие варианты:
Тогда
или
2)
и2 =5, v2 =4.
или
Х2 =4, ,У2 =1-
Ответ:
< х2у + ху2 =6, ху + х + у = 5.
6.075.
Решение.
fxy(x + y) = 6, Из условия имеем < z \ с
I ху = и, П*СТЬ U + , = v.
{uv = 6,
,, откуда по теореме w + v = 5
Виета находим и, = 2, и2 = 3 , V[ = 3, v2 = 2 .
ху = 2,	, Гху = 3,	]*> Ь
„ или <	, откуда 1_ 7 и
х + у = 3 [х + у = 2	{У1~^
х2 = 2, ,Уг =L
Ответ: (1; 2), (2; 1)
6.076. i
х2у3 + х3у2 =12, х2у3 -х3у2 =4.
Решение.
Из условия имеем
х2у2(у + х)=12, х2у2(у-х) = 4.
Разделив первое уравнение на второе, получим х2у2(у + х) 12 у + х _	,	,
,z,;----( = — <=>  -= 3 <=> у + х = 3у-3х <=> у = 2х.
х2у (у-х) 4 у-х
Из первого уравнения системы находим
х2(2х)3 +х3(2х)2 =12 <=> 8х5+4х5 =12 <=> х5 =1, х = 1.
Тогда у = 2.
Ответ: (1;2)
6.077.
х4+/ =82, ху = 3.
Решение.
Перепишем систему в виде
((х+у)2 -2xyf -2х2у2 =82, Rx+y)2 -6^ -18 = 82, ху = 3	[ху = 3
((х + у^-б/ =100, ху = 3.
Из первого уравнения (х + у)2 - 6 =10, откуда (х + у)2 =16 или
(х + у)2 = -4; (х + у)2 = -4 не подходит. Тогда
{х + у = 4, |х[=1, (х2 =3, ху = 3, 1/1=3, 1/2 =1
или
(х+у = -4, Гх3=-1, Гх4=-3, 2)|ху = 3,	[у3=-3, |у4=-1-
Ответ. (1;3)(3;1)(-1,-3)(- 3,-1)
6.078.
х3+у3 =35, х + у = 5.
Решение.
По формуле суммы кубов получаем
(х + у)(х2-ху + у2)=35,^ х + у = 5
(х + уд(х + у)2 - Зху)= 35, х + у = 5
|5(25-Зху)=35, (25-Зху = 7, Г ху = 6, |x + j> = 5	|х + у = 5	|х + у = 5.
[%! =2,	[х2=3,
По теореме Виета возможные варианты; < _ или «	_
Ответ: (2; 3} (3; 2)
6.079.
х3 +у3 =9, ху = 2.
Решение.
Перепишем систему в виде
х6 - 9х3 +8 = 0, где х * 0,
2
У = -• х
Из первого уравнения получаем х3 = 1 или х2 = 8, откуда Xj = 1, х2=2.Тогда ^=2, j2=l.
Ответ: (1; (2; 1)
6.080.
и2 + uv = 15, v2 +uv = 10.
Решение.
Ju(w + v) = 15, Перепишем систему в виде j / -ь v) = 10 и раЗД6™14 пеРвое уравне-
ние на второе:
u(w + v) 15	и	3	3v
v(w + v) 10	v 2	2
ж-r	3v
Подставив м= — во второе уравнение системы, получим
э 3v 5v
v2 + -у = 10 , -у = Ю, v2 = 4 , откуда Vj = -2, v2 = 2 . Тогда их = -3 ,
и2 =3 .
Ответ: (-3; -2\ (3;2)
6.081.
х3 + у3 =65, х2у + ху2 =20.
Решение.
Разложив левые части, представим систему в виде . (x + yk*2 -xf + /2)=65,(x + y^x + yf -Зху)=65, ху(х + j>) = 20	+ j)=20.
х + у = и, Тогда
ху = V.
u(w2 -3v)=65.
uv = 20
u(u2 -3v)= 65, 20
v = —.
и
„	( 2 а 2(Н
Из первого уравнения получаем и! и -3— I и
= 65, и3 = 125,отку-
20	х + у = 5,
да и = 5 . Тогда v = — = 4 и s А Отсюда 5	[ху = 4.
Ответ: (4; 1) (1; 4)
х2 + у4 = 5, ху2 = 2.
Решение.
Xi=4,	(х2 =1,
1И1 л [У1=1	[у2=4.
6.082.
2
Из второго уравнения системы х = — . Тогда из первого уравнения
У
2 получаем —
I У
+ у4 = 5 , j8 - 5у4 +4 = 0. Отсюда yf = 1 или у4 = 4 ,
Г-	Г-	2
откуда У!=-1, y2=U ^з=“^2, ^4=^2. Тогда х1>2=у = 2;
*3,4 =|=1.
Ответ: (2; Ц (2; -1^; 41) (1; - 41) 12(х + у^ + х = 2,5-у, б(х-у? +х = 0,125 + у.
Решение.
6.083.
Перепишем систему в виде
12(х + у^ + (х + у)-2,5 = 0, 6(x-yf + (х-у)-ОД 25 = 0.
Тогда первое уравнение будет квадратным относительно х + у, а второе относительно х - у. Решая указанные уравнения, получаем
-1±V1+12O =-1±11
24	24 ’
(* + Л,2
-1±2
Перебирая возможные варианты, имеем:
	f	1	3	[ 1	5
	х+у=~~,	Х' ~ ~ 8 ’	х+у=~~,	Х2~ 24 ’
1)-	1 <=>'	- 1-2)	1 <=>'	7
	Г^-4	П 8’	х-у =— 1	12 J	У2 24’
	Г	5	1	[	5	1
	х+у =—, 12 <=><	12 ’	х+^ = -.	Х4 4,
з)-	1	-1. ч	1	1
		3’	х-у = — 1 Л 12	Г4 = 6-
Ответ:
4’6 Д12 ’ 3 Д 24 ’ 24 Д 8’ 8J
6.084.
—+ —= 3, х 3
х	3	3
--1-  —
2	у	2
Решение.
[х#0, °да; Uo.
Приводя к общему знаменателю, получаем
6 + ху - 9х,
=> 9х - Зу = 0,
откуда у = 3х .Отсюдаполучаем — + — = 3, х2 -Зх + 2 = 0 при х # 0 , х 3
откуда X] = 1, х2 = 2 ; тогда = 3, у2 = 6 .
Ответ: (1; 3) (2; б)
6.085. 1
х2 + у2 _ 10
х + у	3 ’
х у 4
Решение.
х*0,
ОДЗ:
X * -у.
Перепишем систему в виде
з(х2 +/)=Ю(х+Я<=>, З^х + у)2 -2ху)=10(х + Я 4(х + у)~3ху	[4(х + у)=3х^.
(х + у = и,	Г 3u2 -10w-6v = 0,
Пусть I _ у Тогда в новых переменных *
4	7	(4 1	7
Отсюда v = -w и Зи -10и-6\-и =0, Зи -18w = 0, откуда 3	3
и{ = 0 , и2 = 6; тогда Vj = 0, v2 = 8.
Получили совокупность двух систем lx + j = 0,	(х + у = 6,
или2)Ь = 8.
1х!=2, 1х2 =4,
Решая эти системы, найдем 1 „	и]„
Ответ: (2; 4)l (4; 2)
(х-у/х2 - у2) =45,
6.086. Г А ' ’ х + у = 5.
Решение.
Перепишем эту систему в виде
< '(* - И* - уХ*+J>)= 45,	((х - у)2 (х+у)= 45,
х+у = 5	х+у = 5.
=» (х - yf -9, откуда х - у = -3 или х - у = 3 . Получили совокупность двух систем:
х-у = -3, |х-у = 3, 2) 1
х + у = 5, |х + у = 5.
Решая эти системы, найдем
xj =4, 7i=1
х2 =1, Л =4-
Ответ; (4;1}(1;4)
6.087.
х4-/=15, х3у-ху3 =6.
Решение.
Пусть t = —, тогда у = tx и система принимает вид
х4-/4х4 =15,	[х4(1-?)=15,
x4r-x4z3=6	x4(z-z3)=6.
1-“/^ 15
После деления получаем------ = — <=> 2z2 - 5/+2 = 0, откуда
t-r 6
1
А = 2’ г2=2-
При Zi из уравнения х4(1-/4)=15 имеем
X4fl- —L15»X4
I 16J
= 16
9
откуда Xj = -2 , x2 = 2 ; тогда yx = -1, y2 = 1.
При t2 = 2 имеем x4 (1 -1 б) = 15, x4 = -1, это решение не подходит.
Ответ: (-2; -1), (2; 1)
6.088.
*-2 = 2, у х б’
X2 - у2 =5.
Решение.
ОДЗ:
х * О, 7*0.
После преобразований первого уравнения, получим
Х ~У = 7ХУ> 5 с г 6
’	6	=> — ху = 5 <=> xj> = 6, у = ~.
2	2	<	Х
X -у = 5.
Из второго уравнения системы находим
х2 — —у-= 5 <=> х4 -5х2 -36 = 0 х
откуда х2 = -4 или х2 = 9; х2 = -4 не подходит, поэтому х, = -3 ,
х2 = 3; тогда у1 = -2 , у2 = 2 .
Ответ: (- 3; -2\ (3; 2).
Решение.
Из первого уравнения системы v3 = m -1 - и3. Подставив это значение v3 во второе уравнение, получим
u3(w-l-u3)=-/и <=> (w3)2-(w-l)u3-?и = 0,
откуда
з __	+	+4m m — 1 ±V/h2 —2m +1 + 4/И _
“u -	2	~	2
_ m-1 ±Jm2 +2m+l _ m -1 ±^/(w+l)2 _ zn-l±(m+l)
"	2	2	’>	2
ИЛИ 3 m~\ + m + \	— -
«2 =----------=;"J’ “2 = ^fn ’
тогда = m ,vx= >[m или	= m -1 -m = -1, v2 = -1-
Ответ: (-1; Vw) (Vm;-1)
6.090.
ax+— =2, У
b
—t-ay = 2ab.
.x
Решение.
(x *0, °д3: V#o.
„	(axy + b = 2y,	,
Перепишем систему в виде	=> 2у = 2аЬху у = abx.
\Ьл-аху = 2аЬх
Из первого уравнения системы получаем а2х2 -2ах + 1-0 (при/>*0)
или (ох-1)2 =0,откуда Xi =х2 = —.Тогда y = a b — = 6,где а^О. а	а
Ответ: если ab = 0 , то корней нет; если ab 0, то х = —, у-Ь. а
[(х-у)ху^30,
6-091, [(x + j) xj' = 120.
Решение.
После деления второго уравнения системы на первое получаем
(x+r)xv_120	3
(х - у)ху ~	И3 первого уравнения системы находим
3'3
х - ~ х к -х = 30, х3 = 53, откуда х = 5; тогда у = 3 .
Ответ: (5; 3)
6.092. i
х2 + у2 +6x + 2j> = 0, х + у + 8 = 0.
Решение.
Из второго уравнения системы у = -8 - х. Подставив это значение^ в первое уравнение системы, получим
х2 +(--8-х)2 +6х +2(-8- х)= 0 <=> х2 +1 Ох+ 24 = 0,
откуда Xj = -6 , х2 = -4; тогда = -2 , у2 = -4 .
Ответ: (- 6; - 2\ (-4; -4)
v-u = 1,
6.093. <>-v = l,

Решение.
Из первого уравнения системы найдем у = 1 + и. Подставив это значение v во второе и третье уравнения системы, имеем
w-(l + u) = l,	(w-u = 2,
(u-1)5 + (l + w-2)3 +(w-3)3 =3	(u-1)3 + (u-l)3 + (w —З)3 =3
и - и = 2,
г^-^+^-з^з.
Из первого уравнения последней системы найдем w = 2 + и . Подставив это значение и> во второе уравнение этой же системы, находим
2(и-1)3 + (2+и-3)3 =3<=>(м-1)3 = 1, откуда и = 2. Тогда w = 4, a v = 3.
Ответ: (2;3;4).
6.094.
х+у ' х-у 13 х-у х+у 6 ’ ху = 5.
Решение,
ОДЗ: х*+у.
Преобразовав первое уравнение системы, получим
6(х + у)2 +6(х-у)2 = 13(х-у)(х+у)<=>х2 = 25у2, откуда
=-5у,х2 =5у.
Из второго уравнения системы находим у1 = -1 (не подходит) или у1 = 1, откуда Д2 ~ *1- Тогда х12 = ±5.
Ответ: (5;1), (-5;-1).
3x+2y + 2z = 13,
6.095. s2x+3y + 2z = 14,
2x + 2y+3z = 15.
Решение.
Сложив все три уравнения, получим 7(x + y + z) = 42, откуда
х+у+ z = 6. Теперь будем последовательно вычитать это уравнение из каждого уравнения системы:
(3x + 2y+2z = 13,	, [2x+3y + 2z = 14,
<	<=>х = 1; <	<=>у = 2;
[x + y+z =6	[x+y + z = 6
|2x + 2y + 3z = 15, 1	<=>У = 3.
[х + у+ z = 6
Ответ:
6.096. i
хУ =16, =2.
Решение.
у
Деля первое уравнение системы на второе, получаем — = 8, у = 8х .
3	2	5	1
Из второго уравнения системы имеем х • 64х = 2, х = —, откуда
1
х = - ; тогда у = 4.
Ответ:
x + 2y + 3z = 3,
6.097. \3x + y + 2z = 7,
2х + Зу + z = 2.
Решение.
Будем преобразовывать систему по методу Гаусса, т.е. из второго и третьего уравнения системы вычтем первое, помноженное на соответствующее число
х + 2у + 3z = 3,	х+2у + 3z = 3,
Зх + у+2z = 7, <=> ’ - 5у - 7z = -2, <=> 2x + 3y + z = 2	-y-5z = -4
x + 2y + 3z = 3, у 4- 5z = 4,	<=>
-5y-7z = -2
x = 2, J=-l, z = 1.
Ответ: (2; -1;1)
X3 +/ =7, 6.098. 1/^4	0
|xy(x + jJ = -2.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
(х + у/^-ху + у2^?,^ xy(x + y) = -2
(x + y)((x + y)2-3xy)=7, _xy(x + y)=-2.
IX 4- У = U, Пусть s	тогда система уравнений имеет вид
(ху = V,
u(u2 -3v)=7,	2
uv = -2	и
Из первого уравнения полученной системы найдем
и и2 + — |=7<=>и3 + 6 = 7> и3 и 1
= 1,
>ткуда и = 1. Тогда
2	9 П
= -у = -2 .Далее,
v
Ответ: (2; -1) (-1; 2)
6.099. 1
х2 + ху + у2 = 91, x + Jxy + у = 13.
Решение.
ОДЗ: ху>0.
Пусть <
тогда
X = и2
У = V2,
х2 = и4 У =v4.
Относительно и и v система уравнений принимает вид
м4 +u2v2 + v4 = 91, С2 +г2У -2u2v2 +u2v2 = 91, и +uv + v =13	u2+v2=13 — uv.
Из первого уравнения полученной системы имеем (13-mv)2-w2v2 =91, 169-26mv+m2v2-w2v2 =91, uv = 3. Из второго уравнения системы получим
u2+v2=13-3, (u + v)2-2uv = 10, (u + v)2 =10 + 2uv = 16, откуда
и + v = -4 или
u + v = 4•
Получили две системы уравнений:
[u + v = 4,
2) 1 Q
7 [uv = 3,
или
|uv = 3
откуда по теореме Виета находим
{Wi=-1, fu2 =-3, (и3 =1, Ju4=3, Vj = -3, [ v2 = -1, [v3 =3, [v4 = 1.
Тогда для <
[Xj =1, fVx=3,	f*2=9>
откуда	откуда <
bl =9> bb=l,	Ьг=1-
Ответ: (1; 9) (9; 1)
6.100.
л/w + v - Vu-v = 2,
и + v - -Ju — v = 8.
Решение.
[u + v>0, 0ДЗ: L-v>0.
Перепишем систему уравнений в виде
Складывая и вычитая уравнения системы, получаем
\Vu + v =6,
Vu + v = 3, Vu-v =1.
Отсюда
|« + v = 81, Ju=41, [u - v = 1, |v = 40.
Ответ: (41; 40)
6.101.
Решение,
Перепишем систему уравнений в виде
Если '
u> Ju + v = 6, v, TO |u v = 8.
J«2 =4, и™ |y2 =2.
По теореме Виета единственно возможные варианты
Гм, =2, |v,=4
Тогда
или •
|x +j? = 4, откуда
[x - у = 64
или
х2=12, Л =4-
и 1
*i = 34,
/,=-30,
x 4- у = 16, x-^ = 8, Ответ: (34;- 30^(12; 4)
6.102.
y]2x-y+l\ -^Зх+у-9 = 3, ^2х-у+11 +фх+у-9 = 3.
Решение.
Пусть "
$]2х-у + \ 1 = и > О, ^/Зх + у-9 = v > 0.
, Относительно и и v система принимает вид
и1 -у2 =3, J(u-vXw + y) = 3, (и-v = l,	(и = 2,
\ + v = 3 ^[u + v = 3	^tu + v = 3, откуда V = l.
Тогда «
ф.х-у+\1=2, фх+у-9=1
2x-j + ll = 16, <=>
Зх + у-9 = 1
2x-j = 5,
3x+j = 10,
откуда
[х = 3, |у = 1.
Ответ: (3;1}
у/5х + у + у]5х- у = 4.
Решение.
ОДЗ:
5х + у > 0,
5х - у > 0,
у>о.
Пусть = z > 0 . Тогда z - — = 1 или z1 - z - 2 = 0, где z*0 . От
сюда zl = -1, z2 = 2 ; Zj = -1 < 0 не подходит.
i У У
Тогда J— = 2,— = 45^ = 4х.Из второго уравнения системы имеем
л/5х + 4х + у/5х-4х = 4, у/9х + у[х = 4, 4-Jx =4, у[х = 1,откуданахо-дим х = 1. Тогда у = 4. Непосредственной проверкой убеждаемся, что это решение.
Ответ: (1;4)
ylxy[y +tfy>[x =12, 6.104.
ху = 64.
Решение.
(х >0, °Д3: [у > о. Перепишем систему в виде
.	= 12,<=>|Vx?V/(V7 + Vx)=12,
ху = 64	|xj = 64.
Пусть >Гх = и > 0, a tfy = у > 0. Тогда имеем
u2v2 (u + v) = 12,	[(«у)2 (м + у)=12,
м6у6=64	|иг = 2
[4(u + v)=12, fu + v = 3, <	<=> <
[uv = 2	[uv = 2,
fui =1,	fu2=2,
откуда <	или 5
h=2	|v2=l.
Тогда
откуда
Xi=l,	[x2=64,
< или 4
[^i=64	[у2=1-
Ответ: (1; 64), (64; 1)
6.105. i
^?=з.
Л’-г)2 =•
Решение.
Из условия имеем ’
|х + /| = 3, >-у|=1.
Из этой системы уравнений получаем
следующие четыре системы: [х+у = -3,	[х+у = -3,	[х+у = 3,	[х + у = 3,
1)	/2)	1	3)	/4) Л ,
=	|х-у = 1;	[х->у = 1;	[х->» = -1.
Складывая и вычитая уравнения каждой системы, найдем ее решения:
{Xi =~2, jx2=-l, Jx3 =2, Jx4=l, Л =4 V?=-2, |у3=1, V«=2-
Ответ: (-2; -1} (-1;-2\ (2; 1} (1; 2)
6.106. 1
и2 +v2 = uv+13,
u + v = Vuv +3.
Решение.
ОДЗ: uv>0.
Относительно x иу получаем систему
*4 +у4 =х2у2 +13,	(х2 +y2>f -2х2у2 -х2у2 +13,
х2 +у2 =ху + 3	[х2+/=х>- + 3
(х2 +у2У -Зх2>>2 -13 =0,
х2 + у2 -ху + 3.
Из первого уравнения системы имеем
(ху+З)2 - Зх2/ -13 = 0, х2у2 + бху + 9-Зх2у2 -13 = 0,
х2у2 -Зху+2 = 0,откуда ху = 2 или ху = 1 .Получили две системы уравнений:
1)
ху-2, (х+у)2 = 3ху+3
или
2)
ху = 1,
(х + у)2 = 3ху+3,
откуда находим
х2 =2, ,У2 =1-
Тогда
Ответ: (1; 4^(4; 1), (* - >/3; 2 + >/з ) (г + >/3; 2 - V3 )
1	1	4
ху = 9.
Решение.
Пусть <
где и > 0 и v > 0 .
Относительно и и v система уравнений примет вид
[114
- и v 3 u2v2 =9.
Учитывая, что и > 0, v > 0 , получаем
w+v 4	[	4
-----= —,	и + v = — uv, 4 uv 3 <=>	3	<=>
uv = 3 uv - 3
и + v = 4, uv = 3,
[uj =1, fu2 =3, откуда <	_ <	1
[vt=3; [v2=l.
Тогда <
yfx =l, fxj =l, 77 = 3. Vi=9;
x2
У2
= 9, = 1.
Ответ: (1; 9) (9; 1)
3b.-Jx-y) +\ob. + Jx + y\ =5.
6.Ю8.4 ;	'	,	'
4^-Jx-y) -Sfy + Jx+y) =3.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
3	!	10
2-у[х-у 2+^х+у
2-у/х-у 2 + <Jx + y
х-у>0,
ОДЗ: <U + >’>0, х-у *4.
Пусть 4
Относительно и и v система уравнений прини-
мает вид
(3u + 10v = 5,
[4u-5v = 3.
Отсюда получаем и = 1; v = - . Тогда
2-Jx-y	2-y/x-y =1,	y/х-у =1,	(х-у = \,
1	_	[2 + ^х + у =5 |/г+7 = 3	1х+>' = 9’
2+yjx + y 5
откуда
|х = 5, [у = 4.
Ответ: (5; 4)
6.109.
Ifx+tfy =4, х+^ = 28.
Решение.
Пусть
Vx =и,
х = и3,
3 Относительно и и v система принимает вид У = V .
u + v = 4, fu + v = 4,
u3 + v3 = 28 (м + v)(u2 -uv + v1 )= 28
(u + v = 4,
=> <
i uv = 3,
откуда
{«1=1, Jw2=3, vt=3; [v2=l.
y[x=l, [x(=l, Тогда <	<=>•!
l[y = 3 th = 27;
Ответ: (1; 27), (27; 1)
Jtfx+y + yjx-y -4,
6.110. ] I---- I------ o
[у1х~^У ух~У =8.
Vx =3,
u + v = 4, ((м + v)2 -3uv)=7
x2 =27,
У2 =1-
Решение.
\х + у>0,
2
Пусть <
= V2.
Относительно и и v система примет вид u + v = 4, ju + v = 4, и2 -v2 =8<[(m + vXm-
u + v = 4, u-v = 2,
|w = 3, откуда 5	, Тогда <
I v = 1.
х+^ = 81, jx = 41, откуда
х - у = 1,	1л -
Ответ: (41; 40)
Решение.
°д3: V °-
Перепишем систему уравнений в виде <
и вве-
дем подстановку
и,	л
где и > 0 и v > 0. Тогда
ху = V,
2u = 3v, и2 -2v = 5
2и v =—,
3
tr-2v = 5
2и v~ 3 ’
2 о 2w и -2-----= 5
3
2и v = —,
3
Зи2 -4и-15 = 0.
6.111.
4	4
Из второго уравнения их =-у , и2 =3; их = - — не подходит. Тог
да v = 2 и
х+у = 5, ху - 4.
„	„	1*1=4, \х2 =1,
Используя теорему Виета, находим: <	•{
1л=1; (Л =4.
Ответ: (4; 1} (1; 4)
6.112.
Решение.
х>0,
ОДЗ: Ь>0.
Пусть
V* = и > О,
V7=v > о,
Относительно миг система имеет вид
и2 +V2 =10, u + v = 4
откуда
(m + v)2 -2uv = 10,	|wv = 3,
u+v = 4	|u+v = 4,
wi =1, yi =3;
m2 =3, v2 =1.
Тогда
$q =1, .^ = 3;
^/x7 = 3, |х(=1, $7=1 ° Vi =81;
Ответ: (l;81),(81;l)i
x2 =81, y2 =1.
6.113.
x + у = xy + a.
Решение.
ОДЗ: — >0.
У
Пусть ------= t, где t > 0. Относительно t уравнение принимает
1	7	7	IX + tf
вид r + - = 2, г -2г + 1 = 0, (г-1) = 0, откуда / = 1. Тогда J-------=1,
/	V У
-----= 1, откуда у = х + а. Из второго уравнения получаем
У
х + х + а = х(х + а) + а, х2 + (а - 2)х = 0,х(х + а - 2) = 0,
откуда X] = 0,х2 = 2 - а. Тогда = д,у2 = 2.
Ответ: если а * 0, то Х| = 0,	= а, х2 = 2-а, у2 = 2; если а = 0, то
х = у = 2.
6.114.
у42х - Ху/2у = 6, ху2 — х2 у = 30.
Решение.
ОДЗ:
х>0, у>0.
Перепишем первое уравнение в виде л/2(7ху2 -д/х2у) = 6 и поло-
/ Г I 2
жим уху = w, ух у = v, где и > 0, v > 0. Тогда система относительно и и v примет вид
< V2(u-v) = 6,^ L-v = 3V2, и2 -v2 =30	[(w-v)(u + v) = 30
и - v = 3 VI,
30 <=> и + V =--7=-
3J2
u-v = 3V2, и + v = 5>/2,
откуда и = 4>/2, v = V2.
Значит, <
ху2 - 32, х2у - 2.
Перемножив эти уравнения, получим х3у3 = 64, откуда ху = 4. Окон-
2	1	32 о
{ательно находим х = — = —,у = — = 8.
4 2	4
Ответ: (—; 8).
Решение.
Пусть
х = м
Относительно миг система принимает вид
u + v = 3,	и + v = 3,	u + v = 3,
и2 -uv+v2 =3	(u +v)2 -3wv = 3	З2 -3wv-3
и + v = 3, uv - 2,
{г	13/—	с
lu2=2,	Vx = l,	|*1=1’
< Тогда < откуда <
V1 =2;	[v2 =1.	1^7	= 2>	=8’
Их = 2,	[х = 8,
откуда <
34у = 1,	^=1-
Ответ: (1;8),(8;1).
6.116.
у/u +Hv =5.
Решение.
Г и >0, ОДЗ: I v > 0.
Пусть <
Относительно х и у система принимает вид
х2 + у2 =5
x-y = l,	|х-у = 1,	(x-y = l,
(x - + 2xy = 5 V + 2xy = 5	|xy = 2,
I Xi =-1, [х2 = 2, I Xi =-1<0, откуда 5	5	5	не подходит.
171=-2; Ь'2=»; bi=-2<o
Тогда *
Vm =2, (и = 16, VJ = 1	|v = l.
Ответ: (16; 1)
6.117.
х-у-^а1,
Решение.
ОДЗ: Vs0-
Перепишем систему уравнений в виде
1) При « = 0 имеем
[xi =0. откуда <
Vi = 0;
2) При а * 0 имеем
откуда <
х = Зя,
х2 =9я2, /2 =^2
при a > 0.
Ответ: если а = 0, то Xj =	= 0; если а > 0, то х2 = 9я2, у2 = a2 *>
если а < 0,0.
I 2	V 3
1* + У 1*-у -
[ 8	V 12
Решение.
ОДЗ:
х+у>0, х-у^О.
Обозначим
1х+у
. — - и,
V 2
---- гдеи>0иу^0. x-j
,---— - V,
V з
Относительно и и v система принимает вид
u + v = 14, и - v = 6,
ju = 10, т откуда < Тогда * v = 4.
^=10, 2
= 4
^’^„fx^-200,
х-у = 48,
[V=‘6
Jx = 124, откуда |J = 76 Ответ: (124; 7б)
6.119.
Vx - Vy = 0,5 yfxy, x + y = 5.
Решение.
fx^O, °Д3: [y>0.
Пусть
где и > 0 и v > О.
Относительно и и v система принимает вид
и - v = 0,5uv, и - v = 0,5uv,
и2 + v2 =5 /и-v)2 +2uv = 5
=> (0,5uv)2 + 2uv-5 = 0, 0,25(uv)2 +2uv-5 = 0,
откуда uv = -10 или uv = 2 ; uv = -10 < 0 не подходит. Тогда
u-v = 0,5uv,	fu —v = l,	[u = 2,
<=> < откуда <
uv = 2	[uv = 2,	[v = 1;
Vx=2, |x = 4, 77=1, V = L
Ответ: (4;1)
6.120.	He решая уравнения ax2 +bx + c = Q , найти xf2 + x£2, где x1 и x2 —корни данного уравнения.
Решение.
_2_?1	1 Х\ + х2 (х, + х-> )2 -2х, х?
1 +Х2“=— + — =
Х1 х2 х{х2	lVjX2X
По теореме Виета Xj +х2 = —, х1 х2 =— и а	а
*Т-2-
a j а _ а2 л _Ь2 -2ас а2 _ Ь2 -2ас
Ь2 -2ас
Ответ:----,--
1	1
6.121.	Составить квадратное уравнение с корнями и , если Х|	х2
Х| и х2 —корни уравнения ах2 +6х + с = 0.
Решение.
Пусть у1 + ру + q = 0 есть искомое уравнение с корнями У\ ~	,
_ 1
У2 - .Из условия по теореме Виета имеем х2
Тогда '
У1+?2 =“А
71 у 2 = <?-
а
с хгх2=-.
а
Отсюда
р = -(у\+у2) = -
xt + х2 _Ь с _Ь Х\Х2 а а с’
1
Ч = УгУг = —
*1
1 _ а
х2 с
Ь а
Получили уравнение у2 +—у+— = 0, ас*Ц , <=> су2 +Ьу + а = Ъ . с с
Ответ: су2 + by + a = Q при а .
6.122.	Составить уравнение второй степени, один из корней которого был бы равен сумме, а другой — произведению корней уравнения ах2 +bx + c = Q •
Решение.
Пусть у2 + ру + q = 0 — искомое уравнение с корнями у1 = х{ + х2, у2 = х, • х2. По теореме Виета имеем
b У\=х^х2= —, а
С и 5 у2=Х|-Х2=-	Ь1У2=^
Отсюда р = -(у1+^2)= —- —= -^—q = yty2	Получили
а а а	а2
уравнение
2 Ь~С be л 22	/»	\ t л
у +-----у—- = 0<=>a у + a\b-c)y-be = 0 .
a a2
Ответ: a2у2 + a(b-c)y-bc = 0.
6.123.	Составить уравнение второй степени, корни которого были
бы на единицу больше корней уравнения ах2 + Ьх + с = 0 .
Решение.
Пусть у2 + ру+q = 0 — искомое уравнение с корнями yi = Xj +1, У2 = х2 +1. Из условия по теореме Виета
b х\ + х2 = —, а тогда с
Х1 -х2 =“, а
У\ +У2 =xi + 1 + х? + l = Xj +х? + 2 = - —+ 2 = -р, а
У1 ' У2 = (*1 + 0(х? +1)=х1*2 + Х1 + х? + 1 = --- + 1 = <7, а а
Ь-2а Р =-----,
а
а-Ь + с 4 =-----
а
Получили уравнение
у ч-----уч--------= 0<=^ау +(Ь-2а)у + а-Ь + с = 0
а	а
Ответ: ау2 +(р-2а)у + а-Ъ + с = Ъ.
6.124.	Определить коэффициенты квадратного уравнения
х2 + px + q = 0
так, чтобы его корни были равны р и q.
Решение.
{p + q--p,	[2р + ^ = 0,
<=> 5 / х
Р4 = 4
Из второго уравнения системы имеем ^ = 0 или р-1 = 0. Тогда = 0,	= 0; р2 =1, ^2 =-2р2 = -2.
Ответ: рх = qx = 0; р2 = 1, q2 =	.
6.125.	Найти коэффициенты АиВ уравнения х2 + Ах + В = 0, если известно, что числа АиВ являются его корнями.
Решение.
По теореме Виета (я+в = -я,	[2Л+в = о,. (4=о,	(4=1
[ЛВ = В	|В(Л-1)=0 |5,=0	[В2=-2.
Ответ: Ах= = 0; А2 = 1, В2 = -2.
6.126.	При каком целом значении к один из корней уравнения 4х2 -(3Ar+2)x + (fc2 -1)=0 втрое меньше другого?
Решение.
Из условия по теореме Виета имеем
ЗА+2
*1+*2= —
Jt2-1 ^2 = —,
х2 = 3Xj
л ЗА:+2 4X1=—
Зл’=*^ 1	4
хг =3х.
ЗА+2
Х1=Лб-’ х2 = 3хь /ЗА+2? А2-1 3 16	4
где ке Z • Отсюда 31к2 -36Аг-76 = 0, к{ =2, к2 =-—Z (не подходит).
Ответ: к = 2.
6.127.	При каком целом значениир уравнения Зх2 -4х + р-2 = 0 и х2-2рх + 5 = 0 имеют общий корень? Найти этот корень.
Решение.
Пусть Xi — общий корень, тогда
Зх2 -4xj + р-2 = 0, Зх2 -4xt +р-2 = 0,
xf - 2рхх + 5 = 0 |3xf -6pxj +15 = 0
=» -4xi +6pxj + р-2-15 = 0, (6p-4)xi +р-17 = 0,
17-р ы
откуда х( =--— . Из второго уравнения системы имеем
6р-4
r17-p V
/
-2р
17-р
6р-4
+5 = 0,
12р3-31р2-138р+369 = 0,
12р3-36р2 + 5р2 -15р-123р+369 = 0, (12р3 -36р2)+(5р2 -15р)-(123р-369)=0,
12р2(р-3)+5р(р-3)-123(р-3) = 0, (р-з)^2р2+5р-12з)=0.
Отсюда р—3 = 0, Р] =3, или 12р2+5р-123 = 0, откуда Рг =~^2’ 41
Рз = 3; Рг =	не подходит. Таким образом, р = 3 , тогда х = 1.
Ответ: х = 1, р = 3 .
6.128.	Найти все значения а, при которых сумма корней уравнения х2 -2я(х-1)-1 = 0 равна сумме квадратов корней.
Решение.
{Х1 + х2 =2а,
Xi -х2 = 2а-1 Далее,
%! + х2 =х? +х2 =(х1 +хг)2 -2XjX2 <=> х, +х2 = (xj +х2)2 -2х{х2 . Используя значения хх+х2=2а и хгх2=2а-1, получаем 2а = (2а)2 -2(2а-1), откуда 2а2 -За+1 = 0 > а1 = | > а2 =1 •
Ответ:	, а2 = 1.
6.129.	При каком значении а уравнения х2+ах + 8 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют общий корень?
Решение.
Пусть	— общий корень, тогда
*|2 х12
+аХ] + 8 = 0, +*! +а = 0
=> ах{ -Х| +8-а = 0,
*1
а-8 а-1
Из второго уравнения системы имеем
fe-8? м
(а-8
о,
а3-24а+72 (я-1)2
а3 -24а + 72 = 0,
а3+216-216-24а+72 = 0, (а3+21б)-24а-144 = 0, (а3 +63)-24(а+б)=0,
(а+б/а2 -6а+Зб)-24(а+б)=0,
(а+б)(а2-6а+12)=0,
откуда а = -6 . Для квадратного уравнения D < 0,0 .
Ответ: а = -6.
6.130.	В уравнении х2 -2х+с=0 определить то значение с, при котором его корни и х2 удовлетворяют условию 1х2	=47 .
Решение.
Из условия по теореме Виета имеем 4
%! + х2 = 2, Xi*x2=c, Отсюда 7х2 -4х! =47.
х2 =2-Х| и получаем
7(2 - X] )—4х| = 47	|Xj = -3.
Таким образом, с = -15.
Ответ: с = -15 .
6.131.	Не решая уравнения х2 -(2а +1)х+а2 +2 = 0, найти, при каком значении а один из корней в два раза больше другого.
Решение.
Из условия по теореме Виета имеем
		2а+1
х, +х2 =2а+1,	Зх, = 2а+1,	х,= 3 ,
х, -х2 =а2 +2, <=>•	2х,2 -а2 +2, <=>-	2 о2 +2 Xi =	 2
х2 = 2х.	х2 = 2х,	х2 =2х,.
Отсюда
2а+1А2 а2+2	4а2+4а+1 а2+2
----- =------<=>----------=------<=>
3 J 2	9	2
<=>а2 -8а +16 = 0 <=> (л-4)2 =0.
Таким образом, а = 4.
Ответ: л = 4.
6.132.	При каком значении р отношение корней уравнения
X2 + рх -16 = 0 равно -4 ?
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
х,+х2= -р, ’ ХГХ2 =-16, <=>
— = -4
\|+х2 =-р, 'Х{-Х2 =-16, =>
/2 = -4х.
хх-4хх=-р, Х1(-4х,)=-16
-Зх, =-р,
-4х2 =-16
х -S-Х1’з’ х,2=4.
р2 .	г
Таким образом, — = 4, откуда р
= 36, или р1>2 = ±6.
Ответ: Р\2 = ±6.
6.133.	Не решая уравнения Зх2 - 5х - 2 = 0 , найти сумму кубов его корней.
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
5
*1+*2 = P
2
X|X2 = ~3
и
Отсюда х*
з 5 f5Y ( 2A 215 + Xj =-	-	- —	=---.
2 3 3	3	27
V ' v '/
215
Ответ:
6.134.	При каком целом значении b уравнения 2х2 + (36-1)л -3 = О и 6х2 -(26-3)х-1 = 0 имеют общий корень?
Решение.
Пусть %! —общий корень. Тогда
2х(2 + (3 b - ifo - 3 = 0, |бх2 + (96 - 3> - 9 = 0, < 6х2 - (26 - 3>q -1 = 0 |бх2 -(2Ь-3>( -1 = 0 «(96-3)х + (26-3>-9+1 = 0, х = ——.
1 \Ь — 6
Из первого уравнения имеем
г[—— 1 +(зб-1{—^—)-з=о, ^116-6 )	\116-6 J
6, = -^-, Ьг =2;
1	99 2
99Z>2-1646-68 = 0,
к 34
bi = - — не является целым значением.
99
Ответ: Ь = 2.
6.135. При каком положительном значении с один корень уравнения 8х2 -6х + 9с2 =0 равен квадрату другого?
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
3
2
Отсюда получаем с1 = -3 или с1 = —; с2 = -3 < 0 не подходит. Тог-
1 1
Да Q с2 = -
Cj = — <0 не удовлетворяет условию.
Ответ: с = ~.
Решения к главе 7
ЛОГАРИФМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ
Степени с действительными показателями
a0 al,	(7.1)
где 0° не имеет смысла;	
а~п а—(а^О) а”	(7.2)
где п - действительное число;	
О AI ^2, 1 * 1^2 in SI с Q	(7.3)
где т и п - натуральные числа;	
а°а₽=аа+₽,	(7.4)
— SaaH5 аР	(7.5)
	(7.6)
где а и Р —действительные числа.	
Показательная функция
Показательной функцией переменной х называется функция у = ах, где а - данное число.
Если а < 0, то функция аЛ определена только при целых и при дробных значениях л- (если знаменатель дробного показателя - нечетное число). Если а = 0, то выражение ОY определено при х > 0. Если а > 0, то функция ах определена при всех действительных значенияхх, причем при а = 1 имеем 1х -1, т.е. функция равна постоянному.
В дальнейшем показательную функцию ах будем рассматривать при а > 0 и а 1.
Основные свойства показательной функции у = ах при а>0,
1.	Показательная функция определена при всех действительных значениях х (хе R).
2.	Областью изменения показательной функции служит множество всех положительных действительных чисел, т.е. у е (0, + ©о).
3.	При а > 1 показательная функция строго возрастает, т.е. из неравенства д') <х2 следует неравенство ах' <аХ2 . Причем если хе (-©©;()), то уе(0;1);если х=0,то у = 1; если хе (0;©о), то уе (1; + ©©),т.е. если хе (-©о; + ©о), то уе (0; + ©©); у—>0 при х—>-©© и У -> +°° при х —> +©© .
4.	При а е (0; 1) показательная функция строго убывает, т.е. из неравенства X) < х2 следует неравенство лЛ| > а*2. Причем если х е (-©©; 0), то уе (1; + ©о); если Л-=0,то у = 1;если хе(0; + ©©),то уе(0;1),т.е. если хе (-©©; + ©©), то уе(0; + ©©);	при х—»-©© и ^—>0 при
X —> +©© .
5.	Характеристическое свойство: значение показательной функции от суммы равно произведению значений этой функции от слагаемых, т.е.
Логарифмы и их свойства
Логарифмом числа/? по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести числом, чтобы получить число b: 1 oga b = х, если ах = b, или
№=/>•	(7.7)
В дальнейшем основание логарифмов будем считать положительным и отличным от единицы (а > 0, а * 1).
Приведем некоторые свойства логарифмов (при любом положительном основании, отличном от единицы).
1.	Логарифм единицы равен нулю, т.е. loga 1 = 0.
2.	Логарифм основания равен единице, т.е. loga а = 1.
3.	Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, такое действительное число а, что logа Ь = а.
4.	Из равенства logfl X! = loga х2 следует Xj = х2 (и наоборот).
Основные правила логарифмирования
1.	Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел, взятых по тому же основанию, т.е.
\oga(bc) = \ogab + \ogac.	(7.8)
Замечание. Логарифм произведения нескольких чисел, если оно по-ложительно, равен сумме логарифмов модулей этих чисел, взятых по тому же основанию, т.е.
loga(Z>! b2...bn)s loga|6,| + loga|б2|+... +
+ loga|ft„| (Z>r/>2...6„ >0).	(7.9)
2.	Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, взятых по тому же основанию, т.е.
loga = loga b - logfl с.	(7.10)
Замечание. Логарифм частного двух чисел, если оно положительно, равен разности логарифмов модулей делимого и делителя, взятых по тому же основанию, т.е.
loga-^sloga|Z>|-loga|c| (ЬоО).	(7.11)
3.	Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм ее основания (логарифмы взяты по тому же основанию), т.е.
logfl6c = eloga6.	(7.12)
Замечание. Логарифм положительной степени числа, отличного от нуля, равен произведению показателя степени на логарифм модуля ее основания, взятый по тому же основанию, т.е.
logoy=clogoH (У>о).	(7.13)
Формулы перехода от одного основания логарифма к другому
1.	Логарифм числа по данному основанию равен логарифму этого числа по новому основанию, деленному на логарифм данного основания по новому основанию, т.е.
,	_ _ log6 #
1оё<Л = —.	(7.14)
log* a	v '
1
Множитель |og а называется модулем перехода.
2.	Из формулы (7.14) при N = Ь получаем
<715>
3.	Часто в логарифмических преобразованиях пользуются тождествами
log? N = log|a| N (ak > о)	(7.16)
И
logi IN
U>0) (717)
Логарифмическая функция, ее свойства и график
Логарифмической функцией называется функция вида y = logox,
где а > 0, аФ\ их - независимая переменная.
По определению логарифма выражение v = log„ х означает то же, что и выражение ау - х , т.е. логарифмическая функция есть обратная функция по отношению к показательной.
Основные свойства логарифмической функции
1.	Логарифмическая функция определена при всех положительных действительных значениях х (нуль и отрицательные числа при положительном основании логарифмов не имеют).
2.	Областью изменения логарифмической функции служит множество всех действительных чисел у € (- <»; + <»).
3.	При а>0 логарифмическая функция возрастает, т.е. если 0<х1<х2,то loga Xj < loga х2. Причем если хе(0;1),то уб(-«>;0); если х = 1 ,то у = 0;если хе (1; + ©©),то уе (0;+<»),т.е.если хе (0; + <»), то уе (-°°;+оо); у ->-<» ПрИ х —>0 и у при х->+оо .
4.	При 0<я<1 логарифмическая функция убывает, т.е. если 0 < Xj < х2, то logaXj >loga х2 . Причем если хе (0; 1), то уе (0;+<»); если х = 1,то у = 0;еслихе (1;+<»),то уе (-©о; 0), т.е. если хе (0; + «>), то уе (-°°; + оо); у->-©о ПрИ х _»+оо и у —>+°° при х ->0<
5.	Характеристическое свойство: значение логарифмической функции от произведений двух положительных чисел равно сумме значений функции от каждого из чисел:
loge (х, • х2) = loge X) + loga х2.
Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, содержащее неизвестное только в показателе степени.
Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых методами элементарной математики.
Показательные уравнения рассматриваются в множестве действительных чисел. Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения при решении показательных уравнений в общем случае обязательна.
1. Уравнение вида
ах=Ь	(7.18)
называется простейшим показательным.
Рассмотрим уравнение (7.18) при а > 0 и а Ф1. Если b > 0, то уравнение имеет единственное решение х = loga b . Если Ь < 0, то уравнение решений не имеет.
2. Показательное уравнение вида
а/М = ь/гЫ,	(7.19)
где <7 > 0 a*l,Z>>0,6*l,a f\(x\f2(x)—заданные элементарные функ-ции, логарифмированием приводится к виду
/l(x)log£,a = /2(x)logf b.
Если последнее уравнение решается методами элементарной математики, го тем самым решается уравнение (7.19).
Логарифмические уравнения
Лога} ифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестные только под знаком логарифма.
Логарифмические уравнения, как и показательные, рассматриваются в множес тве действительных чисел. Проверка найденных значений неизвестного по условию уравнения в общем случае является обязательной.
1.	Ур шнение вида
logax = Z>,	(7.20)
где х - н ^известное, а а и b - заданные числа, называется простейшим логарифмическим.
Если а > 0 и а * 1, то такое уравнение при любом действительном значени i b имеет единственное решение
х = аь.	(7.21)
2.	Логарифмическое уравнение вида
loga/i(*)=1ogaZ>(x)	(7-22)
где а > 0 и а Ф1, после потенцирования приводится к виду /,(х)=/2(х).	(7.23)
Корнями уравнения (7.22) будут только те корни уравнения (7.23), при кот< рых j\ (х) > 0 и /2 (х) > 0, т.е. корни, принадлежащие к области определения уравнения (7.22).
3.	Ло арифмические уравнения вида
/(logev(x))=0,	(7.24)
где /(/) и у(х) — некоторые заданные функции, заменой loga у(х)= t приводятся к уравнению f(t)=O 
Показательно-логарифмические уравнения
Если неизвестное в уравнении входит в показатель степени и под знак логарифма или в основание логарифма, то такое уравнение называют показательно-логарифмическим.
Показательно-логарифмические уравнения чаще всего решают, логарифмируя обе части уравнения, и приводят их к логарифмическим уравнениям.
При решении систем показательных и логарифмических уравнений в основном применяются те же способы, что и при решении систем алгебраических уравнений (подстановки, алгебраического сложения, введения новых неизвестных и др.).
Упростить (7.001-7.015):
[ 1 1
7.001. *251086 5 + 49108,7 .
Решение.
I i 1	_____________ _______________
V 251086 5 4- 491088 7 = 7521°85 6 + 721087 8 — ^51°85 + 71087 & =
= 7б2+82 =10.
Ответ: 10.
1 4
36 +31087 9
Решение.
1	4	3	4	3
81log5’ +271О8»36 + 31О8’9 =з41°8з5 + 32108136 + 321083 7 =54+362+49 =
= 625+216+49 = 890.
Ответ: 890.
7.003. -log2log2M
Решение.
П=	1	1
-log2log2 Vv2 =-log2log228 =-log2-log22 = -log22 3 =3.
8
Ответ: 3.
7.002. 81 °85 3 +2710g9
7.004. -log3log3^.
Решение.
- log3 log3	= —log3 log3 3’ = —log3 ^log3 3 = —log3 3"2 = 2.
Ответ: 2.
7.005.
Решение.
Ответ: -11.
7.006. Зб10^5 +101 ~lg2 _^iog936 Решение.
36loe*5 +10l-le2 — 31069 36 =62log65 । Ю jiog^262 = 10Ig2
= 6i°g652 + 10 _3iog36 _52 +5-6 = 24.
2
Ответ: 24.
7.007.
814 2log’4 4-25108,23 8
^log72
Решение.
8>4 2log’4 +25log,2s8 »49log72
814 t 52Iogs323
Ответ: 19.
7.008.
409
з__
( /	\ 2
------125log236
Решение.
g2lOg9 5 +j31og3V6
409
</ ! \21og725	>
72	_g3Iogs26 _
---------X 409
625-216
409
Ответ: 1.
7.009.
i । ।
1У 1У 1У	(основания лога
рифмов представляют собой идущие подряд натуральные степени числа 2).
Решение.
№°82Л'	... ^°esi2^
is
= (у106' 2 • y108v4 . д^,ов№ ДГ,О8«5|2^5 —
= (2-4-8 -512)й = ^' -22 -23 -2’)^ = (г|т2+3+ +9)^.
Выражение Sn =1 + 2 + 3 + . .. + 9 является суммой членов арифметической прогрессии, где ах = 1, d = 1, ап = 9, п = 9. Тогда Sn = *--- п = = ^•9 = 45. Отсюда (г45р =23=8.
Ответ: 8.
гою. (г108*"
.[741og„a _50.51о?75о
Решение.
^21O84^W — 3lo82?(fl2+1) _2л^74Iog49а — 5°’51og^" _ j = ^2log2fl4 _з1оё?(^+1)_2^у ^7log7a2 -5log5fl-l^=
а -а-1
=	~а~^ (д2 +а + 1)=а2 +а + 1.
о2-а-1
Ответ: а2 + а+1.
70П loga A/a2-l log?/fl7«2-l logo2(a2-l)-log^Va2-l
Решение.
logaл/а2 -1 -logyfl 7а2 -1 2^°^и^а	“О
loge2 (а2 -1)- log.^ Va2 -1 1 lOge (а2 -1)-1 loga (а2 -1)
= I loga (a2 -1)= loga Ve2-1.
Ответ: loge -J a2 -1.
——+1	——+1
7.012. alo8*a	Ь-2аХоъ“A+1 • 6log*e+l + ablog“b .
Решение.
2	2
a'og»/ .ь-2а'°ьм .b'°ba+i +ab'°s‘b* =а-а2^ь Ь-
-2a aloe"b-b b'ot*a+a b b2'otta = a-alo8“*2 b-2abba + +a-b-b^ = ab2b-2a2b2 +aba2 = ab3 -2a2 b2 +aba2 =
= ab3 -2a2b2 + a3b - ab^2 - 2ab + a2 )= ab(b - a)2 =
= aZ>(a - i)2.
Ответ: ab(a-bf.
<	1	\	2
2521og4,25	,4 log34_a2
7.013. -------------------;------------------------•
1-a
Решение.
1	2
2521ogw25+21og21og21og2a21ob4 ,4 log,4_a2
.1_______________________________________=
1-a
^51o6549^ +2iog2log24 .(l210*3)-1 -a2 — ................. ..	./------------—
1-a
W +2108,2'1.9-'-а2	(7 + 2)-1-ог
= ---------------------= ——2--------= 1=2- = 1 + a.
1-a	1-a	1-a
Ответ: 1 + a.
12 M. И. Сканави, группа A
353
7.014. (loga b + log4 a + 2Xloga b - loga6 />)log4 a -1.
Решение.
(logo b + log* a + 2Xloga b - loga4 Z>)logz, a -1 = loga b +
1~4 + 2 x loga6 J
logaab Jlogab	log„b
logn6 ______1____1 =
logaa + logaZ> J loga A
= 5ogM.[, i-JofoLp_________________1 =
logab	l + loga6 JlogaZ>
(lOg^ + l)2	/	1	) 1 (iQgq^+lHl + lOg^-O
10ga b ° [ 1 + loga b Jloga b	(\ + \og„b)iogab
-1 = loga/> + l-l = logaZ>.
Ответ: loga b.
7.015.
________1-lOgqfe_______
(loga/> + log4a+l)loga D
Решение.
________1-logp _________
(loga b + log4 a + 0-loga b
Z>+l + loga/>Xl-logaZ>)
Ответ: logfl b.
7.016. Если logfl 27 = ft, то чему равен log^ y[a 1 Решение.
log jr y[a = — • 2 log3 a =---= —-— = -7.
6	53 31ogfl3 log, 27 ft
7.017. Показать, что при условии х>0 и у>0 из равенства х1 +4у2 = 12ху следует равенство lg(x+2y)-21g2 = 0,5(lgx + ig у)
Решение.
Из условия имеем: (х+2 у? - 2х • 2у = 12ху, (х+2yf = 1 бху.
Прологарифмировав обе части полученного равенства по основанию 10, получим:
\g(x + 2y? = lgl6xy, 21g(x + 2y)=lgl6+lgx + lgy, 21g(x + 2y)=41g2 + Igx + Igy, lg(x + 2y)-21g2 = 0,5(lgx + Igy)
7.018. Вычислить сумму 2х + 2~x, если 4 х +4-х =23.
Решение.
2 х +2~х =y[^x+2~xJ = 74х+4-х+2 = 723 + 2 = 725 = 5.
Ответ: 5.
7.019. Доказать, что если у = 2х* и z = 2У , то х = ±A/0,51og2 log2z , и указать все z, при которых х принимает действительные значения.
Решение.
По условию у > 0 и z > 0. Прологарифмировав обе части равенства по основанию 2, получим log2 у = log2 2Х?, log2 у = х2, откуда х = ±«Jlog2 У • Аналогично z = 2У => у = ^/log2z .
Таким образом, х = ±Jlog2 л/iogTz = ±70,51og2 log2 z . Отсюда log2 log2 z > 0, log2 z > 1, z > 2 .
Ответ: z^2.
Решить уравнения (7.020 - 7.046):
7.020. fl+—Ilg3 + lg2 = lg(27-3l/x).
\ )
Решение.
ОДЗ:
x*0, 27-3l/x >0.
Ig3 2x +lg2 = lg 27-3V
1+—
1g 2-3 2х
= lg 21-3х
1+— 1 1 1
2-3= 27-3Y, 3х +6-32v -27 = 0.
Это уравнение, квадратное относительно 32х; найдем 32х = -9, ко-
77	1
торое не подходит, и 32Л = 3, откуда х = —.
Ответ: -7. 2
7.021. 31og5 2+2-х = Решение.
ОДЗ: 3*-52-v >0.
log5 8 + 2log5 5 -log5(з x -25 • 5 X)=x a log5
откуда ~x $_x = 5 Y <=> 15х = 152. Таким образом, x = 2 .
Ответ: 2.
7.022. A/iog^x?-41og9V3^’ = l.
Решение.
ОДЗ:
x>0, log3x>0, х>1.
-Jlog3 x9 = 1 + 4log9V3x <=» ^9log3x = l + log33x <=>
<=> ^/91og3 x = 1 + log3 3 + log3 x <=> 791og3 x = 2 + log3 x.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
9 log3 х = 4 + 4 log3 х + log3 х <=> log3 x - 5 log3 x + 4 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log3 х, имеем (log3 х), = 1, (log3 х), =4, откуда х, = 3, х2 = З4 = 81.
Ответ: 3; 81.
7.023. log|_x 3 - logbv 2 - 0,5 = 0.
Решение.
ОДЗ:
1 - x > 0, 1-х*1,0*х<1.
3	3 I-----	9	5
Из условия log|_x —= 0,5 <=> — = vl—х => — = 1-х, откуда х = -—.
Ответ:
4
7.024. 1g 5 + lg(x+10)=1 - lg(2x -1)+ lg(2 lx - 20)
Решение,
ОДЗ:
х + 10>0, 2х-1>0, 21х-20>0,
1g5 + lg(x +10)= Igl 0 - lg(2x -1)+lg(2 lx - 20) <=> lg5(x +10)=
= lg 10(21x-20)	5(% + J0)= 10(21x-20),
2x-l	2x-l
откуда 2x2 -23x + 30 = 0 . Решая это уравнение, имеем хх = 1,5; х2 = 10.
Ответ: 1,5; 10.
7.025. log2182 - 2 log2 V5^x = log2 (11 - х)+1.
Решение.
[5-х >0,
ОДЗ:
м [11-х>0,х<5.
log, 182 - log2 (5 - х) = log2 (11 - х)+ log2 2 => log2	= log2 (11 - х)- 2,
-^- = 2(11-х 5-х
откуда х2 -16х - 36 = 0, Х| = -2, х2 = 18; х2 = 18 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -2.
7.026. log5 Vx-9 - log; 10 + log5 >]2x-\ = 0.
Решение. lx-9>0,
0ДЗ: [2x-l>0,x>9.
Из условия
.	J(x-9)(2x-l)	J(x-9X2x-l) .	/7—ттт-----
log5 2L1-------L = о <=> —---------- = 1 <=> уЦх - 9Д2х -1) = 10 =>
=>(x-9X2x-l)=100, 7	7
откуда 2x2 -19x-91 = 0, x, =13, x2 =—^', xi =~ не подходит по ОДЗ.
Ответ: 13.
7.027. lg(x+l,5)=-lgx.
Решение.
(x + l,5>0,
ОДЗ:	n
[x >0.
lg(x +1,5)+Igx = 0=>lg(x4-l,5)x = 0=>x2 4-1,5x-1 = 0,
откуда Xj = —, x2 = -2; x2 = -2 не подходит по ОДЗ.
л 1
Ответ: — •
2
7 028 52(,og52+T)-2 = 5 v+log52
Решение.
^x+iogs2 j2 _ jx+iogs2 _2 = 0; решив это уравнение как квадратное относительно 5 x+log52, найдем 5v+logs2 =-1 и 5v+log52 = 2; 5x+log52 =-1 не имеет решений.
Таким образом,
5x+,og52 =2=>log55A+1O8s2 =log52, x4-log52 = log52,
откуда x = 0 •
Ответ: 0.
7.029. 0,25log2 ^-W'ofct2-’) = ^2(7-x).
Решение.
x + 3 > 0,
ОДЗ:	x2-9>0, 3<x<7.
[7-x^O.
Из условия имеем
(2-гГ’_ ДТТТ) а 2,ОЬ(ЛПГ .2,ogj(.=-,) _
Следовательно, х2 -4х -5 = 0 при х > 3. => Xj = 5, х2 = -1; х2 = -1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.030. xlgV55r?-lg25 = 0.
Решение.
2х-8	(2х-8>	2х2-8х
xlg5 5 = lg25, lg5 5 = lg52, 5 5 = 52,
откуда Xj = 5, x2 = -1.
Ответ: 5; -1.
7.031. log5(x-2)+log^(r3-2)+log0>2(x-2)=4.
Решение.
ОДЗ:	x-2>0,x>2.
Из условия имеем
log5(x-2)+21og5(r3 -2)-log5(x-2)=4, log5(x3-2)=2,
откуда x3 -2 = 25, x3 = 27. Тогда x = 3 •
Ответ: 3.
7.032.
2-lg4 + lg0,12 lg(j3x + 1 +4) -lg2x
Решение.
x>0,
ОДЗ: <3x + l>0, lg(73x + l +4)* lg2x,
Из условия
i inn i л i 1 (/->	7	-	1 100*0Д2 « >/Зх4-1+4
lg 100 - 1g 4 + 1g 0,12 = lg к/ Зх+1 + 4)- lg 2x => lg   = 1g  -
4	2x
3 = >/3x + l +4	73х+Т = 6х-4, 6x-4 >0 =>
2x
3x4-l = 36x2 -48x4-16, 6x-4>0
12x2 -17x4-5 = 0, 'Х>Л.
3
„	.	5	,	5
Корнями квадратного уравнения будут хх =—,х2 =1; xi =— не
подходит.
Ответ: 1.
7.033. xlg’x“51gx =0,0001.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1. '
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем lgxIg x"5Igx = lg0,0001=> (lg3 x-51gx)lgx = ^, lg4 x-51g2 x+4 = 0.
Отсюда (igx^ = -1, (igx^ = 1, (igx)^ = -2, (lgx)4 = 2. Тогда Xj =	,
X2=10, Хз=Т5о’X4=100-
Ответ: 7—10; 100.
7.034. lg(?x -24-x)=2+0^51gl6-0^xlg4.
Решение.
ОДЗ: 3х-24-x >0.
Из условия
lg(3x-24-х)= lgl00+ lg2-lg2x => 18(зх-24-x)= lg*25Ll,
3* _2‘*-x — 200
” 2х '
Отсюда 6х = 216, откуда х = 3.
Ответ: 3.
7.035. log(81х +32x)=31og27 90.
Решение.
Из условия log3 (вIх + 32х )= log3 90, 92х +9* -90 = 0, откуда найдем 9х = -10, что не подходит, или 9х = 9, откуда имеем х = 1.
Ответ: 1.
7.036. 3x-log6 8х =log6(33x +х2 -9)
Решение.
ОДЗ: З3х + х1 - 9 > 0.
Из условия Зх = log6 8х +log6 (з3х + х2 -9) Зх = log6 8х (з3х + х2 ~9), откуда63х =8х(?3х +х2 -9) З3х =33х +х2 -9<=>х2 =9.Тогдахц =±3.
Ответ: -3; 3.
7.037. log6^3x2 +l^-log6^32-x2 +9j=log62-l.
Решение.
Из условия
logef3’2 +1У1о8б(з2-х2 +9l=log62-log66, log6 =log6
V )	\	)	32-х +9	6
ТА	V2
Решая это уравнение как квадратное относительно 3 , получим 3х = -1 (не подходит) или 3 х" = 3 , откуда х2 = 1, х1>2 = ±1.
Ответ: -1; 1.
7.038. Igf625^5*^®^” 1=0.
Решение.
x2-20.V4-55	X2-20x4-55
Из условия имеем 625-5	5	=1, 5	5	=5"4, откуда
х2-20x4-55 л 2
------------= -4, х2 -20х+75 = 0. Тогда х} = 5; х2 =15.
Ответ: 5; 15.
7.039. Ig^lO^2-21) j-2 = Igx -Ig25.
Решение.
ЛТТ_ х2 -21 >0,	/г?
ОДЗ: 1	x>V21.
|х>0,
Из условия имеем
1 ( 2	. ,ЛП 1	1 ос 1 х2-21 .. х х2-21 х
Iglx -21l-lgl00 = lgx-lg25, 1g-----= lg—, ------= —.
V ’ &	5	6 Б 100	6 25	100	25
Получаем квадратное уравнение х2-4х-21 = 0, корнями которого будут X] = 7 , х2 = -3; х2 = -3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 7.
7.040. Igp +l)=21g’‘(х2 +1)-1.
Решение.
ОДЗ: х*0.
lg(x2 +1)= ^2 +i)-l, lg2(х2 +l)+lg(x2 +1)-2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно lg(x2 +1), найдем lg(x2 +1)=-2 и lg(x2 + 1)=1. Отсюда х2 +1 = 0,01, х2 =-0,99,0 . х2 +1 = 10, х2 =9 .Тогда х12 =±3 .
Ответ: -3; 3.
7.041. igV5x(13'x)+lllg2 = ll.
Решение.
*(13-х)	х(13-х)	х(13 —х)
Отсюда имеем 5 2 •2||=10||,5 2	=5’'.Тогда-----------= 11,
х2 -13х+22 =0, откуда Х| =2; х2 =11.
Ответ: 2; 11.
7.042. x(lg5-l)=lg(2x+l)-lg6.
Решение.
x(lg 5 -lg 10)= lg(ix +1)-lg6, Xlg= lg—, 1U О
9х 4-1	9х 4-1
lg2-x=lg——, 2-x=——22x+2x-6 = 0. 6	6
Решив это уравнение как квадратное относительно 2х, найдем
2х = -3 (не подходит), 2х = 2 , откуда имеем х = 1.
Ответ: 1.
7.043. Ig^l Vs*2’8* ^=0.
Решение. ;—	?~8х	г2 _8г
Имеем81уЗх'~8* =1, 3 3 =3^,откуда—-— = -4, х2 -8х+12-0;
х, = 2 ; х2 = 6.
Ответ: 2; 6.
7.044. log* 9х2 ;log2 х = 4.
Решение.
ОДЗ:	0<х*1.
Имеем
log3 9х ]og2 х _ 4	9 + |og3 х2 )]og3 х _ 4 iog2 х + |og3 х _2 = 0.
log3x
Решая это уравнение как квадратное относительно log3 х, найдем
(logз х^ = -2 , откуда Л1 = ^ > 0°8з л')2 = 1 ’ 0ТКУДа хг = 3 • 1 _
Ответ: —;3.
7.045. log5 (Зх -11)+ log5 (х -27)=3 + log5 8.
Решение.
|3x-ll>0, ОДЗ: |«-27>О. *>27'
Имеем
log5 (Зх -11)+ log5 (х - 27) = log5125+log5 8,
log5 (Зх -11)- (х -27)= logj(125-8} (Зх -11Хх - 27) = 125 • 8,
Зх2 -92х-703 = 0,
19	19
откуда находим Xj =37 , ^2	—; х2 =—— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 37.
7.046. lg(5-x)+21gV3-x =1.
Решение.
/5-х > 0,
°Д3: |з-х>ц х<3
Имеем lg(5 - х)+lg(3 - х) = 1, lg(5 - хХз - х) = 1, откуда (5 - хХз - х)=10, х2 -8х + 5 = 0. Тогда х, =4-Vn, х2 =4 + Vn ; х2 = 4 + Vn не подходит по ОДЗ.
Ответ: 4-л/ГТ.
7.047. Найти натуральное число п из равенства
-^2 ^5 ^8 ^З/i-l _27^
Решение.
32+54-8+...+3П-1 =315( 2 + 5 + 8 + ... + Зп-1 = 15.
В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической про-с*	о , „ а 1 1 ак~а\ 1	3/7-1-2 ,
грессии Sk, где =2, rf = 3,	=3/2-1, к=—-----L + l =-----+1 = п.
п =
a}+ak 2-ьЗл-1 Зл2 +п
Тогда Зк -—  к =------------л =—-—, и уравнение принимает
Зл2 +п ., , j -л .
вид —-— = 15, Зл +л-30 = 0,откуда п = 3.
Ответ: 3.
Решить уравнения (7.048 — 7.127):
7.048. 0,5(lg(x2 - 55х+9о)- lg(x -Зб))= 1g Л.
Решение.
(х2 -55х+90>0,
[х-36>0.
Из условия
0,5(lg(x2 - 55х+9о)- lg(x - 36))= 0,5 lg2, lg*2~55* + 9° = 1 g2,
x-36
x2 -55X + 90 2
x-36
Имеем x2 -57x4-162 = 0 при x*36-Отсюда Х]=54, х2=3;
х2 = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 54.
7.049. lg(5-x)-|lg(35-x’)=0.
Решение.
ОДЗ:
5 - х > 0, 35-х3 >0,
x<V35.
Из условия имеем 31g(5-x)=lg(35-x3
lg(5-x)3 =lg(?5-x3), от-
куда (5-х)3 =35-х3, х2 -5x4-6 = 0 Тогда xt =2, х2 =3.
Ответ: 2; 3.
7.050. log2	4-log2 (г2 -25)= 0.
Решение.
ОДЗ: —7>0илихе (-«;-5)U(5;°°)
* х+5
Имеем log,	——— = 0, (х-5)2 = 1, откуда х-5 = -1 или
х + 5
х-5 = 1- Тогда Х| =4, х2 =6; Xj =4 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 6.
7.0SL lgS-lg(x-5) = |
lg Vx + 7-lg2
Решение.
х-5 >0,
ОДЗ:^х + 7>0,	х>5.
л/х + 7 5*2,
Из условия
lg8-lg(x-5)= lg2-lgVx + 7, lg—= lg 2-—, x-5 Vx+7
- = -=£=, 4Vx + 7 = x-5, 16x + 112 = x2-10x+25,x>5.
x-5 Vx+7
Имеем x2 -26x-87 = 0 , откуда Xj =29 , x, =-3 ; x, =-3 не под-
ходит по ОДЗ.
Ответ: 29.
7.052. logo 5 4х + 1оё2	= 8-
О
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем
log2 4x + log, -—8 = 0, 8
log2 x + 61og2 х-1 = 0.
(log2 4+log2 x)2 + log, x2 —log2 8-8 = 0,
Решая это уравнение как квадратное относительно log, х , найдем (log2 х)| = -7, откуда х, = 2'7 =	, или (log2 х)2 = 1, откуда х2 = 2 .
12о
Ответ:
7.053. lg(lg x)+ lg(lg x3 - 2)= 0.
Решение,
Igx >0, ОДЗ:	,
Igx3 -2>0, Из условия имеем
31g2 x-21gx-l = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, найдем
(lg x)i = -1, откуда х( =
-5	V1 v
не подходит по ОДЗ.
или (lg х\ = 1, откуда х2 = 10;
Ответ: 10.
7.054. log2 х + log4 х + log8 х = 11. Решение, ОДЗ: х > 0.
Имеем log2 х + 2. log2 х+i log2 х = 11, log2 х = 6, откуда х = 26 =64.
Ответ: 64.
7.055. log3(jx -8)=2-х.
Решение.
ОДЗ: У -8 >0.
По определению логарифма имеем 3Х-8 = 32-Х,
9 Зх-8 = —
32х - 8 • 3х - 9 = 0, откуда, решая это уравнение как квадратное отно
сительно 3х, найдем 3х = -1,0 ; или 3х = 9, откуда х = 2.
Ответ: 2.
7.056. 7lgx -5lgx+1 = 3-5lgx4 -13 • 7lgx-1.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Из условия
7lgx _5.5igx =2.5ig* -12.7^, 35-7lgx +65 7,gx =2b5lgx +175-5lgx, 5	7
( 7	( 7 V
100-7l8X =196-5lgx, -	= -
15 I 5
откуда Igx = 2 и x = 100-
Ответ: 100.
7.057. 5х+6 —3*+7 = 43-5x+4 -19 3x+s Решение.
( с V ( c \ J
Имеем 56-5х-43-54-5х = З7-3х-19-35-3х, — = — ,отку-l3 J t3 J
да x = -3.
Ответ: -3.
Решение.
7
ОДЗ: 2х-7>0,х>-.
Из условия
logs(V2x-7 +1)= |logs(V2x-7 + 7) log5p2x-7 +1)= logs^2x-l+l,
откуда
л?2х-7 +l = -JV2x-7 + 7 =>(>/2x-7)2 + 2<j2x-7+1 = V2x-7+7, (V2x-7j + V2x-7 -6 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно >/2х-7 , найдем
V2x-7 = -3,0; или V2x-7 = 2, откуда х = 5,5.
Ответ: 5,5.
Решение.
ОДЗ: х>0.
I x 2+Jx+x	1 x 2+Jx+x
J2 . jl+Vx .3 2(1+Vx) _ j4 3 2 1+Vx 2(1+Tx) _
откуда
1 x 2 + yfx +x л
Решив это уравнение как квадратное относительно 4х 9 найдем 4х = -1,0 ; или 4х =9, откуда х = 81.
Ответ: 81.
7.060.	0,12= = 4^2.
Решение.
ОДЗ: х * 0.
Перепишем уравнение в виде
х £ -J_	1	*+*__!_	2+-
22 -23 -2 2х = 22 -23 22 3 2х =2 3
откуда х х 1	7	-
2 + з"2Гз’5*2-14*-3 = 0-
Тогда Xj = -у, х2 = 3.
Ответ: -у; 3. 5	1
7.061. -Л0^4'^+1° -16^=0.
Решение.
ОДЗ: х>0. Из условия j 5	2	1	5	2
22.2 4<Jx+io _2^+* 22 4V*+io =2^+1 откуда
= -Л- =.(ЛУ-зЛ-10.0,
2 477+10 77+1 v ’
Решая это уравнение как квадратное относительно 4* , х = -2, 0; или Vx = 5, откуда х = 25.
Ответ: 25.
х-3 J / Зх-1
7.062. 8^-7^0,25 х'*'1 =1.
Решение.
ОДЗ
7
3
Перепишем уравнение в виде
Зх-9 Зх-1	Зх-9 Зх-1
23х-7 «2 Зх-з = 2°, 23х~7 Зх-з =2°,
откуда
Зх-9 Зх-1 Л 5 -----------= 0 => х =
Зх-7 Зх-З	3
Ответ: —. 3
7.063. 2х2-3-5х2-3 =0,01 (10х’1)3.
Из условия 10х -3 = 103х-5, х2-3 = Зх-5, х2 -Зх + 2 = 0,
X] = 1, х2 = 2.
Ответ: 1; 2.
T25Y 12 ( 27 V
7.064. 0,6х —	= — .
V 9 ) U25J Решение.
Имеем
-2х2+х + 24 = 9,2х2-х-15 = 0,
найдем
откуда
5
откуда Х| = - —, х2 = 3.
л 5 , Oti'ieeiTi. , 3.

1 1
7.065. 5Х~& -0^ = ^25.
Решение.
QJ& 0<х*1. ।	1	2 I________!_	2
Изусловия 5Х~^ -5	= 53, 5х’77	=53 .
Отсюда —, 2^/х J2 + Vx - 6 = 0. Решив это уравне-х~^х у/х 3 ние как квадратное относительно Jx , найдем Jx = -2,0; или Jx 9 откуда х = —. 4 9 Ответ: — ♦ 4 1	1	77
7.066. 2^~{	=4х+л/*.
Решение. ОДЗ: 0< х*1. 1	_1	277	1___1	2 77
Имеем* 2^*4 *2	= 2*+77	77+1 =2*+77.
_	1	1 2л/х Г о л п
Тогда —/=-------j=— =-----т=г, х - V х -2 = 0. Решая это уравне-
Vx-1 Vx+1 x + vx
ние как квадратное относительно Jx , найдем Jx = -1,0; или Jx = 2, откуда имеем х = 4 *
Ответ: 4.
4+79^7
7.067. 2,5	0,41_,/5=х =510 ОД5.
Решение. ОДЗ: 9-х>0, х<9.
Перепишем уравнение в виде
Тогда
откуда X) = -7, х2 = 8.
Ответ: -7, 8.
7.068. 2х2-1 -З'2 =Зх2_| -2х2+2.
Решение.
2х ,2 3х ,2	9	,2	4	,2
ИмеемV + 4 2 “ + 3*, ~2Х = ^3Х 2	3	2	3
Тогда х2 = 3, откуда х, = —7з , х2=у[з .
Ответ: - 73; >/з.
7.069. log л (г - б)- logV5 (ix - 2)= 2.
Решение.
ОДЗ:-
4х-6 >0, 2х -2 >0.
4х -6 Имеем log -----= 2,
'Г52х-2
п2х —6
—-----= 5, 22х -5 -2 х +4 = 0. Решая это
22-2
уравнение как квадратное относительно 2 х, найдем (2 х J = 1, откуда имеем X] = 0, или (гх = 4, откуда имеем х2 = 2 ; х( = 0 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 2.
7.070. 410g’x2 +log7J3 = 0>2(42+log’x-4log’x).
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Перепишем уравнение в виде
42iog,x +21Og33 = 0^6-4lt>E’x -4log’x) 4210g’-v -3-410fox +2=0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 4log’’c, найдем ^4log’x |=1, откуда (log9 х), = 0, X] = 1, или (4log’x = 2 , откуда (log9 х)2 = 1, х, = 3
Ответ: 1; 3.
7.071. 3-52х-1 -2-5х’1 = 0,2.
Решение.
Из условия 3-52х-2-5х =1, 3-52х-2-5х-1 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно 5 х, получаем 5 х = -1,0; или 5х =1, откуда х = 0.
Ответ: 0. 2	1	1
7.072. 10 х + 25х = 4,25-50х.
Решение.
ОДЗ: х * 0.
1	2	( L' •
Разделив обе части уравнения на 25 х, имеем 2 х -4,25 2 х +1 = 0,отку
да, решая уравнение как квадратное относительно 2х, получим 2 х
ч Л
4
откуда | — | = -2, х. = -—, или 2х
\х Л	2
1 1 k
Ответ: Х( = --; х2 =-.
7.073. 9х2-1 -36-3х"•’ +3 = 0.
Решение.
и Pl -2	1
= 4,откуда! ~ I х2 =-.
9х’	3х
Имеем-------36---+ 3 = 0,
9	27
З2'2 -12 -3х2 +27 = 0 . Решив это
2	2
уравнение как квадратное относительно 3 , получим 3х = 3, откуда х2 = 1, х|>2 = ±1, или 3? = 9, откуда х2 = 2 , *3,4 = ±з/2 .
Ответ: — V2; — 1; 1; V2.
7.074. 4х-10-2х’1-24 = 0.
Решение.
Из условия 21х - 5 • 2 х - 24 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно 2х, получим 2х = -3,0; или 2х = 8, откуда х = 3.
Ответ: 3.
7.075. (Vi)* +(^’10 =84.
Решение.	'
Перепишем уравнение в виде
+ Ж -84 = 0, 3 • $3$* +	-252 = 0 .
Решая уравнение как квадратное относительно (>/з)*, получаем (т/з)* = -—, 0 ; или = 9,310 = З2, откуда = 2, х = 20.
Ответ: 20.
7.076. 9^ -21 = 6-3^.
Решение.
ОДЗ: х-5>0, х>5.
З2^-6-3^ -27 = 0.
Решаем уравнение как квадратное относительно З^”* . Имеем 3^5 =—3 (не подходит) или 3'^ =9, откуда >/х-5 =2 , или х - 5 = 4. Тогда х = 9.
Ответ: 9.
7.077. 17.2^х-8 = 2-4'^х.
Решение.
ОДЗ: х2 -8х > 0, хе (-<»;0]ll[8;-н»)
Имеем 2-22л/х2’'‘х-17-2'/х2"®х+8 = 0. Решая это уравнение как
квадратное относительно 2^ 8х , получаем 2^х2~8х = 2 *, откуда >1х2 -8 = -1,0; или 2^x2~ix = 8, откуда д/х2 -8х = 3, х2 -8х = 9, х2 -8х-9 = 0, х, = -1, х2 = 9.
Ответ: -1; 9. 2 ix+i 7.078. 8х -2 х +12 = 0. Решение.
ОДЗ: х 0.
Перепишем уравнение в виде
2 х -23+* +12 = 0,
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 х, получаем
( 3 > 2х
= 2, откуда
*1
(
= 3, или 2 х = 6 > откуда
< Д
( log22x
( 3 \	а
= log2 6 I — = log2 6 х2 = --------- = 31og6 2 = log6 8
’ (X L ’ log2 6
Ответ: 3; log6 8.
7.079. 21ogx27-31og27x = l.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перейдем к основанию 27. Имеем
— -----3 log27 х — 1 = 0 => 3 log27 х + log27 х - 2 = 0.
log27 *
Решая это уравнение как квадратное относительно log27 х, получаем
1	2	-
(log27 х\ = -1, откуда х( = —, или (log27 х)2 = -, откуда х2 = 273 = 9.
1 27 3
Ответ:
7.080. lgL/6 + .v+e)—
1о8д10
Решение.
6 + х>0,
ОДЗ: <х>0,	0<х^1.
х*1,
Перейдем к основанию 10. Имеем
lg(j6+x +
lg(>/6 + x + б)= 1g х.
Тогда >/б+х + 6 = х,
л/б+ X = X - 6 => <
х2 -13x4-30 = 0, х >6,
откуда х = 10.
Ответ: 10.
7.081. log5 x + logx25 = ctg2 О
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перейдем к основанию 5. Имеем
1	2	((А	,	2	,
log5x+-----= ctg 4л+-	, log5x + ---= 3=>
log5x	6JJ	log5x
=> log2 x-31og5 х + 2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log5 х, получаем (log5 x)t = 1 или (log5 х)2 = 2 , откуда х, = 5; х2 = 25.
Ответ: 5; 25.
lgx+5
7.082. х 3 =10s+lgJt.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, имеем
Igx 3 =lgl05+lgr, ^X^---lgx = (54-lgx)lgl0, lg2 x4-21gx-15 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно Igx , получаем (Igx)! = -5, или(^х)2 = 3, откудаxj = 10"5,х2 =1000.
Ответ: 10”5; 103.
7.083. х10®4 х-2 = 23('og4
Решение.
ОДЗ:0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 4, имеем
log4 x10g4 х“2 = log4 23(log4 хЧ), (log4 x - 2) log4 x = 3(log4 x -1) log4 2,
О	3	7
log4 x - 2 log4 x = — (log4 x -1), 2 log4 x - 71og4 x + 3 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log4х,найдем
/. ч 1
(log4x),=-,
2
(log4x)2 =3. Следовательно, =42 = 2,х2 =43 =64.
Ответ: 2; 64.
7.084.
2х+ 10	9
4	" 2х-2 ’
Решение.
Из условия
2^10=	9	2^10 = 36>22х+10.2Ж_144 = 0
4 2х -2“2	4 2х
Решая это уравнение как квадратное относительно 2х, найдем 2х = -18,0, или 2х =8,откуда х = 3.
Ответ: 3.
7.085. Ю1+х2 -10b? =99.
Решение.
г2 10	Ov2	г2
Имеем 1010х--------г-99 = 0=>10102х -99 10х -10 = 0. Решив
10х
U	г2 1
это уравнение как квадратное относительно 10 , получим 10 = -—, 0,
г2	7
или 10 =10, откуда х =1,х12=±1.
Ответ: - 1; 1.
'Ч'8А	1 л
7.086. х 3	--= = 0.
V100
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
1— IgA'2	j
Записывая уравнение в виде х 3	=  и логарифмируя обе
V100
части по основанию 10, получаем
i-rig* 1	(	2 А 1	о
Igx 3	= lg-==T, l--lgx lgx = --IglOO, 21g2 x-31gx-2 = 0.
V100 V 3	)	3
Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, находим
(lgx)| =-- или (lgx)2 =2,откуда х( =10 2 х2 = Ю2 =100.
Ответ: -Д=г;100.
V10
7.087. 7*(л/г)2*2"6=0.
Решение,
Из условия
7х-2х2-3 =7х-2"2х =>2хМ =2’2х, х2-3 = -2х, х2+2х-3 = 0, откуда %! = -3 , х2 = 1.
Ответ: -3; 1.
7.088. 3-41ое*2 -46-2log’2'1 =8.
Решение.
ОДЗ: 0 < х Ф 1.
Имеем 3 ♦ 221°8х2 - 23 • 2logx2 -8 = 0. Решая уравнение как квадратное относительно 2108x2, найдем 2108x2 = -у, 0 ; или 2108x2 = 8, откуда log* 2 = 3, х = yfl.
Ответ: у/1.
7.089. 91оВ|/3 (*+l) = 5log|/5	+1)
Решение.
ОДЗ: х + 1>0, х>-1.
Из условия
310g3(x+>r2 =5ЮЬ^+1Г t (x + i)”2 =^x2 +1)->,
1 _ 1 (x + 1)2 2x2+l
Решая это уравнение, имеем х, = 0, х2 = 2 .
Ответ: 0; 2.
7.090. 27lgx-7-9Igx-2L3lgx+27 = 0.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем
331gx -7.32'1?* -21 • 3lgx +27 = 0, ^3lgx +27)-7-3lgx(?lgx +з)=0, (1lgx + 3^2lgx - 3 • 3lgx + 9)- 7 • 3lgx felgx + 3)= 0,
^lgx+3b21gx-10-3lgx+9 = 01
откуда 32 lgx -10 • 3lgx + 9 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно 3lgx, получаем (з1гх ) = 1 или (з1вх = 9, откуда (igx^ = 0 или (igx^ = 2. Отсюда X! = 1, х2 = 100.
Ответ: 1; 100.
7.091. log2^-3x —б)—log2^9x -б)=1.
Решение.
ОДЗ:
4-Зх-6>0, 9х-6 >0.
4.4х—А	4-4х—6
Имеем log2 —z--= 1, —z------ 2 => 32х - 2 • 3х -3 = 0. Решая
32х-6	32х-6
его как квадратное относительно 3х, найдем 3х = -1,0; или 3х = 3, откуда х = 1.
Ответ: 1.
7.092. 21og3(x-2)+log3(x-4)2 =0.
Решение.
ОДЗ: !Л 2 >	2 < х * 4.
|х-4 0,
Из условия 2 log3 (х - 2) 4- 2 log3 |х - 4| = О или log3 (х - 2) 4- log3 |х - 4| = 0. Имеем:
(2<х<4,	|2<х<4,
1) [1 °ёз (* “ 2)+ 1оёз (4 - х) = 0	(log 3 (х - 2Х4 - х) = О
2 < х < 4,
<=М 7
х~ - 6х 4- 9 = О,
откуда X, = 3 ;
2)
х>4,	|х>4,
log3 (х - 2)+ log3 (х - 4) = 0	1 og 3 (х - 2 Хх - 4) = 0
х >4,
х2 — 6х + 7 = 0,
откуда х2 = 34-72.
Ответ: 3;3 4-72.
9
7.093. log3 х • log9 х • log27 х • log81 x = -.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Ill 2
Имеем log3x.-log3x -log3x -log3x = y, log3x = 16, откуда
(log3 x)j = -2 или (log3 x)2 = 2 . Отсюда , x2 = 9.
Ответ: —;9.
7.094. 4log5 ? -4log5X+1 4-41ое5ЛГ_| -1 = 0.
Решение.
ОДЗ: x>0.
Из условия 4'42|°85* -15 -4log5* -4 = 0. Решая это уравнение как
квадратное относительно 41о®5 х, найдем 4108’х = -—, 0; или 4,og5 х = 4, 4
откуда log5 х = 1, х = 5.
Ответ: 5.
7.095. 7logo х + 71о6х а = у •
Решение.
logo х > 0,
ОДЗ: -|0<а*1,
0 < х * 1.
Из условия
A/logox + ;   -^ = 0=»3(viogfl х)2 -Юд/logo X+ 3 = 0. 71оё<»х 3
Решая это уравнение как квадратное относительно -jloga х , получаем (jlpgex| = |, 0°ga *)i = у откуда х, = 94а , или Qlogax)2 = 3, (logo х\ = 9»откуда х2 = а9.
Ответ: >[а;а9, где 0 < а # 1.
7.096. lg(3x2 +12x + 19)-lg(3x + 4)=l.
Решение.
ОДЗ: Зх + 4 > 0, х > ~.
. Зх2+12х + 19 . Зх2+12х+19 л 2 10 о, л
Имеем 1g-------------= 1, ----------~ = 10, Зх -18х-21 = 0
Зх+4	Зх + 4
при Зх + 4 # 0. Отсюда X] = -1, х2 = 7.
Ответ: -1; 7.
7.097. logj (х - З)2 + log3 |х - 3| = 3.
Решение.
ОДЗ: х-3 Ф 0,х ф 3.
Из условия
21og3|x-3| + log3|x-3| = 3, 31og3|x —3| = 3, log3|x-3| = l,
откуда |x-3| = 3. Тогда (х-3)]=-3или (х-3)2 = 3. Отсюда Х]=0, Х2 =6.
Ответ: 0; 6.
7.098. lgVr^3+lgVTb3=2-0,51g625.
Решение.
^ттг» [*“3>0,
ОДЗ:< х>3.
|х+3>0
Имеем
lgVx-3+lgV* + 3 =lglOO-lg25, lg>/x2 -9 = lg4, 7x2 -9 =4, отку-
да x2 = 25,	= -5, x2 = 5, X] = -5 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.09	9. lg(3-x)-|lg(27-x3) = 0.
Решение.
ОДЗ: 3-х>0, х<3.
Перепишем уравнение в виде
31g(3-x) = lg(27-x3), lg(3-x)3 =lg(27-x3).
Тогда (З-х)3 =27-х3 =>х2-9х = 0, откуда Х[ =0,х2 =9;х2 =9 не подходит по ОДЗ.
Ответ.О.
7.100.	21gx-lg4 = -lg(5-x2).
Решение.
	x>0,
ОДЗ:-	э 0<x<y5. 5-x2>0,
Из условия
lgx2 +lg(5-x2) = lg4, lg(x2(5-x2)) = lg4, x2(5-x2) = 4,
x4-5x2+4 = 0.
Решая это уравнение как биквадратное относительно х, найдем х1 = -1, хг =1, х3.= -2, х4 =2; Xj = -1 и х3 = -2 не подходят по ОДЗ.
Ответ: 1; 2.
7.101.	lg8-lgVx + 6 = lgl6-lg(x-2)
Решение.
(х + 6>0,
°Д [х-2>0, Х>
Имеем
lg—L. = lg2L,	2>/х + 6=х-2, х2-8х-20 = 0,
>/х + 6	х-2 Vx + 6 * _2
откуда Xi = 10, х2 = -2; х2 = -2 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.102.	21gV4-x + lg(6-x)=l.
Решение.
[4-х > 0, °Д3:Ъ	х<4~
[6 - х > 0,
Перепишем уравнение в виде lg(4-x)+lg(6-x)=l, lg(4-xX6-x)=l,
откуда (4-хХб-х)=10, х2 +1 Ох-14 = 0.Следовательно,х, =5--ЛТ, х2 = 5 + л/ГТ; х2 = 5 + -УГГ не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5 —>/11.
lg(2x-19)-lg(3x-20)_ / .	* •
Igx
Решение. • (2х-19>0,	19
°да:1з,-20>0, Х>2-Из условия lg(2x -19)- lg(3x - 20)=- 1g х, lg(2x -19)+ 1g x = !g(3x - 20) x(2x-19)=3x-20, x2-llx+10 = 0.
Отсюда %! = 10, х2 = 1; х2 = 1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7Л04- d^5)=1-
Решение,
ОДЗ:
х * 0,	5
6х - 5 > 0, 6
Имеем 1gх2 = lg(6x - 5), откуда х2 = 6х - 5, х2 - 6х + 5 = 0, отсюда X] = 5 и х2 = 1; х2 = 1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.105.	loga у + logfl (у + 5)+logo 0,02 = 0.
Решение
у >0,
ОДЗ: 5у + 5>0,
0<а*1
у >0, 0 < а * 1.
Имеем
loga (у(у + 5)’ 0,02) = 0, 0,02/ + ОД у = 1, 0,02/ + 0,1у -1 = 0, откуда = 5 ; у2 = -10 не подходит по ОДЗ.
Ответ: у = 5 при 0 < а *1.
7.106.	log* 42 - log* 42 = log3 27 - log* (2х}
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Перепишем уравнение в виде
-logx2--log2 2 = 3-logx2-1, log2 2-61ogv 2+8 = 0. 2	4
Решая это уравнение как квадратное относительно log* 2 , найдем log* 2 = 2, log * 2 = 4 , откуда х2 =2 или х4 =2. Тогда Xj=-V2, х2 = 42 , х3 = -42 , х4 = 42 ; = -42 и х3 = -42 не подходят по ОДЗ.
Ответ: 42; 42.
7.107.	(log2 x - 3)log2 x+2(log2 x + l)log2 ^2=0.
Решение.
ОДЗ: x > 0.
Из условия
log2V2 = log22|/3 =|, log2x-31og2x+|log2x+| = 0,
3 log2 x - 7 log2 x+2 = 0.
Решая уравнение как квадратное относительно log2 х, имеем (log2 х\ = или (log2 х\ = 2 , откуда Х1 = V2 , х2 = 4.
Ответ: V2; 4.
7.108.	ОД log2 (х - 4)- Ц log2 (х -4)+ 3,6 = 0.
Решение.
ОДЗ: х-4 >0, х>4.
Решая это уравнение как биквадратное относительно log2 (х - 4), имеем
(log2 (х - 4))j = -2; (10g2 (х - 4))2 = 2 ; (log2 (х - 4)), = -3; (log2 (х - 4))4 = 3 ,
17 о 33
откуда х, = —, х2 = 8, х3 = —, х4 = 12. 4	о
17 33
Ответ: j;y;8;12.
7.109.	5 2x4 + 22х -52х +22х+2 =0.
Решение.
Запишем уравнение в виде
—-52х =-22х-4-22х,	-52х =-5-22х
5	5
Ответ: 1.
13 М. И., Сканави, группа А
7.110.	log2(9-2x)=10l8(3-x).
Решение.
ОДЗ:
9-2л >0,
3 - х > 0,
х < 3.
Имеем log2(9-2x)=3-x, 9-2х=23’х, 22х-9-2х+8 = 0. Решив это уравнение как квадратное относительно 2х, имеем ^2Х ) = 1 или (2х )г = 8 , откуда х{ = 0, х2 = 3; х2 = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 0.
7.111.	|lg^271 + 32'/x^+lgl0=2.
Решение.
ОДЗ: х£0.
Изусловия | lg^271 + 32Л )+1 = 2, lg^271 + З2^ )=3.Тогда271+32,/х = = 1000, З2^ = З6, откуда -Jx = 3, х = 9.
Ответ: 9.
7.112.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Перепишем уравнение в виде 3
7
= 34 .Тогда
Зх2 -16х-140 = 0,
,Л 14	14	ЛТТ„
откуда X] = 10 , х2 = —— ; х2 = —— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.113.	xlgx =1000x2.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем lgxlgx = lgl000x2, lgxlgx = lgl000 + lgx2, lg2 x-21gx-3 = 0.Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, получаем (lg х\ = -1 или (ig Д =3 , откуда %| = ОД, х2 = 1000.
Ответ: 0,1; 1000.
7.114.	lg(x(x+9))+lg-^-i^ = 0.
х
Решение.
ОДЗ: х(х + 9)> 0, хе (-оо; -9)U (0;
Имеем igX(x + 9Xx + 9) _ ц , откуда (х + 9J2 = 1 • Тогда (х + 9\ = -1, х( = -10 или (х + 9^ = 1, х2 = -8; х2 = -8 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -10.
7.115.	1g2 (100х)+ 1g2 (10х)= 14 + 1g—. х
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Логарифмируя, имеем
(iglOO+lgx)2 H-GglO + lgx)2 =14-lgx, 21g2 x + 71gx-9 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 1g х, получаем (lgx)i = или (lg х^ = 1, откуда х, =10~9/2, х2 = 10.
Ответ: 10”9^2;10.
7.116.	l + 21ogx21og4(10-x)= ——. log4x
Решение.
Переходя к основанию 2, имеем
1 + 1оё?^0-л) = 4—, log^ x + log2(10-x) = 4, log2 х(10-х)=4 => log2 х log2 X
=>х2 -10х + 16 = 0,
откуда л, = 2, х2 = 8 .
Ответ: 2; 8.
7.117.	210gvv2 •5log?x=400.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Из условия 4log’v .5log,A =400, 20|о8’л = 202, откуда log3x = 2, х = 9-
Ответ: 9.
7.118.	5log2^2-21^0,022 .25~0,5log2 V =1.
Решение.
ОДЗ: К21>0’ х >0,
Записываем
51об2(х2-21) 004------- 1 
25о’51°82 log2(x2 - 21)= 2 + log2 х,
-1 ^log2 (х2-21) _ $2+log2 х log2(x2 -21)=log2 4x,
откуда x2 -21 = 4x, x2 -4x-21 = 0, Xj =7, x2 =-3; x2 =-3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 1.
7.119.	421°8н(2л-2) . 025,og8(2x“3) = V16.
Решение.
[2х-2>0,	3
ОДЗ: i	х>-.
м [2х-3>0,	2
Имеем
421og«(2x-2) 4-1о&(2х-3) = 42/3	421og8(2x-2)-log8(2x-3) = ^2/3
у,	. А 2	,	(2Л--2)2	2	(2л-2)2	.
21og8(2x-2)-log8(2x-3)=-, log82---------— = -, —------— = 4,
3	2х-3	3	2х-3
х2-4х+4 = 0, (х-2)2 =0,
откуда х = 2 • Ответ: 2.
7.120.	log3|r ~|3х+28+-^ j=log5 0,2.
Решение.
Из условия
х2-13х+283х2-13х+28	_£	3х2-1 Зх+28 __J_
9)	’	93’	9’
3х2-13х+28 =3-2> х2 _13х + 28 = -2, х2-13х+30 = 0,
log3 3
откуда Xj = 3 , х2 = 10.
Ответ: 3; 10.
7.121.	log2(4r +4)=x + log2(2T+1 -З)
Решение.
ОДЗ: 2х+1-3>0.
Перепишем уравнение в виде
log2^2x +4)-log2(z-2x ~з)=х, log2 2 +.4 =х, 2-2 -3
7д-4	л
- ..tz_ = 2\ 22х-3-2Х-4 = 0.
2 -2х -3
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 х, получаем 2х = -1,0 ; или 2х = 4, откуда х = 2 .
Ответ: 2.
7.122.	^275^ =3Х(^4)
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем 35Л=Зх^)^5^ = х(^-4) 7х=0, Xj=0, или (л/х)2 - 4>/х- 5 = 0 •
Решая это уравнение как квадратное относительно , получаем у[х = -1,0 ; ИЛИ Vx = 5 , X = 25.
Ответ: 0; 25.
7.123.	log6 7зх(|5’х) + 81og6 2 = 8.
Решение.
Из условия log6 зЛ(15"Л)/7 + iog6 28 = 8, log6 ^х05-*У7 • 28 )= 8. Отсюда 3х(15-хУ7 ,28 =68 3'(15-.г)/7=38 Тогда *(!.^х) = g х2-15Х + 56 = 0 , 7
откуда Xj = 7 , х2 = 8.
Ответ: 7; 8.
7.124.	log5(4x +144)-41og52 = l + log5(r’2 +1)
Решение.
Имеем
,	22х +144 ,	/2х J 22х +144 5&х+4)
log 5-------= log 5 5 —+1 , --------=
5	16	5	4	16	4
Ч 7 22х-20-2х +64 = 0.
• Решая это уравнение как квадратное относительно 2х, получаем =4 или (2*)г =16 , откуда х{ =2, х2 =4 .
Ответ: 2; 4.
7.125.	27x10g2’x =х10/3.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, имеем
log3 27xlog27X = log3 х10/3, 3+-^log3 x = ^log3 x,
log3 x-101og3 x + 9 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log 3 х, получаем (log3 x)j = 1 или (log3 х)2 = 9, откуда X! = 3 , х2 = З9.
Ответ: 3; З9.
7.126.	logx 9+logx2 729 = 10.
Решение.
x>0,
°дз: U±i,
0<x*l.
3	r~
Имеем logx 9+—log x 9 = 10, logx 9 = 4, откуда x4 = 9, x = V3 ,
x = —Уз не подходит по ОДЗ.
Ответ: -J1.
7.127.	log2(25x+3 -l)=2 + log2(5x+3 +1)
Решение.
ОДЗ: 25х+3-1>0, 25х+3>25°, х>-3.
Из условия
log2 (Z53 -25х -l)=log2 4(53 -5х +1) 253 -52х -1 = 4-53 -5х +4, 3125-52х-100 5х-1 = 0,
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно 5 х, имеем
5х = -0; или 5х = 5"2, откуда х = -2.
Ответ: -2.
Решить системы уравнений (7.128 - 7.149):
7.128.
log? х + log* у = 2, х2 -у = 20.
Решение.
ОДЗ:
0<х*1,
0 < у * 1.
Из первого уравнения имеем:
log„x + -—J--2 = 0, log2 x-21og„x + l = 0,
logy x
(log^x-1)2 =0,
откуда logyx = l, х = у. Из второго уравнения системы имеем у2 - у - 20 = 0, откуда у( = -4 , у2 = 5; У| = -4 не подходит по ОДЗ. Тогда х = у = 5.
Ответ: (5; 5)
7.129.
10i+ig(*+y) _ jo, lg(* ~ у)+lg(* + у)=2 - lg5.
Решение.
ОДЗ:
х-у >0, х + у >0.
Имеем:
lgl01+1^) = ig 50,	fl + lg(x + y)= lg50,
lg(x2 - y2 )= lg20 |x2 - y2 = 20
x + y = 5,	jx + y = 5,
(x-yXx + y) = 20 |x-y = 4,
9	1
откуда x = -, у = -
Ответ:
(91
<2’2
7.130.
lg(x2+y2)=2-lg5, lg(* + y)+ lg(x - y)=lg Ц+1.
Решение.
[x + y >0, ОДЗ: |x-y>0. Из условия lg(x2 + у2 )= lg20, lg(x2-y2)= lgl2
x2+y2 =20, x2-y2=12.
Отсюда х2 = 16, откуда х1>2 = ±4. у2 = 4, у1>2 = ±2. Следовательно,
х( = 4, (х2 =4, .>'1=2; 1>>2=-2.
Остальные решения не удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: (4; 2) (4; - 2)
7.131.
log4 х + log4 у = 1 + log4 9, х + у-20 = 0.
Решение.
ОДЗ:
х >0, у>0.
Имеем	ОТКуДа. х*
|х + у = 20,	3	[у, =18;
х2 =18, Л =2-
Ответ: (2;18)(18;2)
Зу-9х = 81,
7.132.	• , ч,
lg(y + xf -lgx = 21g3.
Решение.
х>0, °^Ux^0.
Из первого уравнения системы 3J+2x = З4, у+2х = 4, у = 4 - 2х.
(у + xY	(у + хУ
Из второго уравнения системы 1g —-— = 1g 9, откуда —-— = 9.
Тогда исходная система приобретает вид
у = 4-2х,	,
 v	=> х2 -17х + 16 = 0,
\у + ху =9х
откуда Х| = 1, х2 = 16. Тогда yt = 2, у2 = -28.
Ответ: (1; 2), (16; - 28)
7.133.	+
ху = 27. Решение.
Из первого уравнения системы имеем: 2 log2 х - 5 log}. х + 2 = 0, откуда, решая это уравнение как квадратное относительно log? х, най
дем (logj, х)( = у или (logy х)2 = 2 . Отсюда х{ = Jy , х2 = у2 .
Из второго уравнения системы найдем у3/2 =21,	= 9. Подстав-
ляя значение х2 = у2, найдем у2 = 27, у2 = 3.
Учитывая ОДЗ, имеем
X! =3,
Ji =9;
_'х2 =9, 72 =3.
Ответ: (3; 9), (9; 3)
7.134. i
32х -2У = 725, 3х -2у12 =25.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
(зх -2у,2^х +2у/2)= 725, |зг +2У/2 = 29, |зх = 27, 3* -2у/2 =25	** |з* -2у/2' = 25 ** [2у/2 = 2,
[х = 3, откуда i = j Ответ: (3;2) 7.135. И!^!)=2.
log2 X-4 = log2 3-log2 у.
Решение.
|х>0, °дз: Ь>о.
Из первого уравнения системы уравнений имеем х2 + у2 = 100. Из
, х ,	3	х	3
второго уравнения системы найдем log7 — = log2 —, откуда — = —, * 16 у	16	у
'16
м
< У >
48
х~~  Далее получаем
+ у2 -100 = 0,
/-100/+2304 = 0,
откуда Д2 = ±6 ,	= ±8; у2 = -6 и у4 = -8 не подходят по ОДЗ.
Тогда jq = 8, х2 = 6.
Ответ: (8; б), (б; 8)
7.136.
З^’^ =81, igT*? »i+ig3.
Решение.
ОДЗ:
х >0, у >0.
Из первого уравнения системы имеем з^'Т? = 34,2>/х - -Jy = 4,
Ту = 2-Тх -4. Из второго уравнения системы получим Jxy = 30, 4х • Ту = 30. Система принимает вид
Ту =2л/х -4,
Тх • Ту = 30
(Тх)2-2Тх-15 = 0,
откуда Тх = 5 или Тх = -3 (не подходит). Тогда Ту = 6. Следовательно, х = 25, У = 36 .
Ответ: (25; Зб)
7.137.
2 2 +2 v =2,5, lg(2.v ->)+! = lg(y + 2x)+ 1g 6.
Решение.
ОДЗ:
2x-у > О, у + 2х > 0.
( £2?
2 2
Из первого уравнения системы получаем
X-V
-2,5-2~ +1 = 0.
х-у
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 2 , найдем
'	( у-у
2 2	=2“1 или 2 2
= 2, откуда =-2 или (х-^)2 = 2.
к Л	k J2
Из второго уравнения системы получаем lgl0(2x- j)= lg6(y + 2x), от
куда 10(2х - у) = б(у + 2х), х = 2у. Таким образом, исходная система
эквивалентна системам уравнений:
Гх-_у = -2, [х-у = 2,
'>[Х = 2К 4-2,;
откуда:
х, =-4,	(х2 =4, I*] =-4,
1)5	2)5 2	1
|у!=-2;	[у2 =2;	(у, =-2 (не подходит по ОДЗ).
Ответ: (4; 2)
7.138.
х2/-' =5, х<+2 =125.
Решение.
ОДЗ:	0<х*1.
Логарифмируя первое и второе уравнения системы по основанию 5, получаем
log5 х2’’'4 = log5 5, fey2 - l)log5 х = 1,	1
,	=> 1 / ,	\	=> 1оё5 V =--5--•
logs xr'2 “logs 125	[(y2+2)log5X = 3	2у -1
Из второго уравнения системы имеем -Z—tA 2/-1
У = ±1. Тогда log, х = 1, т.е. х = 5 •
Ответ: (5; 1) (5; -1}
,Ъ-№ГУ = О,5?-3, log3 (х -2у)+log3 (Зх + 2у)= 3.
Решение.
fx-2v >0, °ДЗ: [Зх + 2у>0.
Имеем
7.139.
3+2^ = з-Л 2
(x-2/X3x + 2j)=27,
3+— 1 .2 2 =23Л
log3(x-2yX3x+2y) = 3
откуда, учитывая ОДЗ, получаем х = 3, У = -3 •
Ответ: (3; - 3)
7.140.
4Х+' =2У~Х,
4log^x=/-5.
Решение.
ОДЗ: х > 0. Из условия
2^х+2у _ 2У-Х л	—
210foX =/-5
2х+2у = у-х, 4	4 с
х = у -5
=> у = -Зх.
= 3, у2 = 1, откуда
х = -у, у2 =9,
Из второго уравнения х4 = (- Зх)4 - 5
1	3
ОДЗ, получаем х = - , у = - —.
4	1
х = —, откуда, учитывая
Г1._з
Ответ: К ’ 2
7.141.
log4 х - log2 у = 0, х2 -2/-8 = 0.
Решение.
lx >0,
ОДЗ: .п
[/>0.
Перепишем первое уравнение системы в виде
log4 X = log2 у2 => i log2 X = log2 У, log2 X = log2 у2, X = /.
Из второго уравнения системы имеем у4 - 2у2 - 8 = 0, откуда с учетом ОДЗ, у = 2. Тогда х = 4 •
Ответ: (4; 2)
7.142. 1
log2 х + log4 у = 4, log4x + log2 j = 5.
Решение.
Гх >0, 0ДЗ: Uo. Перейдем к основанию 2. Имеем
log2 X+| log2 у = 4,	р log2 х+10g2 у = 8
1.	.	.	|log2 x+21og2 у = 10
-log2x+log2 у = 5	1
log2x2y = 8, х2у = 28, log2 ху2 =10 ху2 = 210.
28
Из первого уравнения системы у = —у. Из второго уравнения х2
( ?8 Y
— =2*°,х3
kj
Ответ: (4; 1 б)
= 26, откуда х = 4 , У = 16.
7.143.
х+у х+у .2 3 + 2~ =6, х2 + 5у2 = 6ху.
Решение.
Из условия
f х+у Y х+у
2 6	+26 -6 = 0- Решая это уравнение как квад-
< >
х+у	х+у	х+у
ратное относительно 2 6 , имеем 2 6 =-3,0; или 2 6 =2, откуда
6
Из второго уравнения системы х2 -бух + 5>>2 = 0 , решая его как квадратное относительно х, имеем Xj = у, х2 = 5у. Исходная система эквивалентна двум системам:
нН4 2)f«^=6. e 0Ь=3-	2)b=5’
V = 5y	Vi=3;	Ьг=1-
Ответ: (3; 3), (5; 1).
7.144.
2х Зу =6, 3х -4У =12.
Решение.
Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим
3х-4^ _ 12 221-7 V-у-^у
2х-3Л	6’ 2х~1у
Это равенство возможно, когда
{х-у = 0,	, Л
=>х = ь 1 + у-2/ = 0, у = 1.
l + x-2j = 0
Тогда х = у = 1.
Ответ: (1; 1)
7.145.
y = l + log4x, х'=4б.
Решение,
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем log4 ху = log4 46, у log4 х = 6. Отсюда
1 , 1 + logj.x’=>(l + log4x)log4x = 6, log4x + log4x-6 = 0, [ylog4x = 6
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно log4 х, найдем
(log4 х), = -3, (log4 х)2 = 2, Xj = х2 = 16. Тогда ух = -2, у2 = 3.
64
L (16; 3).
log^toO = 8,
7.146.
log3logi/9- = 0.
Решение.
ОДЗ:
О < х * 1, у >0,
log1/9->0=>0<-<1.
У У
Из первого уравнения системы ху = х4 или с учетом ОДЗ у - х3. Из
X	X	1
второго уравнения имеем logi/9 — = 1, — = —. Исходная система перепи-
У	У 9
сывается в виде 
У = х\	,
х 1
х 1 => —у = ~> откуда с учетом ОДЗ х = 3, у = 27. — = — xJ 9
у 9
Ответ*, (3; 27).
logXJ,(x-y)=l, logXJ,(x + y)=0.
Решение.
x-y >0,
ОДЗ: ^x + y >0,
0<xy*l.
Имеем
lx у xy,	_ J_x-(l-x)-x(l-x)=0, x2+x-l = 0,
[x + y = 1
-1-75	-1 + 75	3 + 75	3-75
откуда x, =—-—, x2=—-—, У1 =	2 , У2=—— •
_	-1 + 7?	3-7?
Тогда с учетом ОДЗ имеем x = —-—, у = —-—.
Ответ:
'-1 + 7?.3-7?'
2	’ 2
7.148.
(х + у)-!’’-2* = 6,25, (х + у)2х-у = 5.
Решение.
ОДЗ:
0<х + у #1, 2х-у *0.
Логарифмируя оба уравнения по основанию 10, имеем
lg(x+у). 2У~2х = Igf—Т,	!в(х+З’)* (У - 2х)182 = 20ё 5 “ 1821
l2J =»• lg(x + yk 1£5
lg(x + y)2x-y =lg5	I. 2x-J
Из второго уравнения системы получаем lg(x + у) = (2х - j)lg5 , тогда (2x-y)lg5 + (y-2x)lg2 = 2(lg5-lg2| (2x-yXlg5-lg2)=2(lg5-lg2} 2х-у = 2.
Исходная система принимает вид (2х-у = 2,	(2х-у = 2,
[lg(x+.y)=21g5, |х + у = 25,
fx=9, откуда |^_16
Ответ: (9;1б)
glog,(x-4y) _ I 7-149. !
_j.2x~2y
= 8.
Решение.
ОДЗ: х - 4у > 0.
Из условия
glog9(x-4y) _ g0
-7-2x-2-F-8 = 0.
Из первого уравнения системы имеем log9(x-4j>) = 0, откуда х -4у = 1. Решая второе уравнение системы как квадратное относительно 2х~1у, получаем 2х~1у = -1,0;	= 23, откуда х -2 у = 3 .
{х-4у = 1, [х = 5, х-2у = 3	[7 = 1-
Ответ: (5; 1)
Решения к главе 8
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
sin2 a + cos2 a = li	(81)
tga= sjna> a*5(2и + П neZ;	(8.2)
cosa 2
cosa	„
ctga =----, a*im, neZ;	(8.3)
sina
tgactga = l, a*-y-, neZ',	(8.4)
l + tg2a = —, а*-^(2и + 1^ neZ;	(8.5)
cos a 2
1 + ctg2 a = —, a * ли, n e Z.	(8.6)
sin2 a
(Здесь и в дальнейшем запись и g Z означает, что и - любое целое число.)
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их тригонометрических величин (табл. 8.1), а также знаки функций по четвертям (табл. 8.2).
Таблица 8.1
Аргумент (а, градусы, радианы)			Функция			
			sina	cosa	tga	ctga
0°(0)			0	1	0	оо (не определен)
15'[п]			Уз-i 242	242	2-43	2 + 45
,8“			45-1 4	15 + 45 242	45-1 110+245	110 + 245 4~5-1
Hi)			£ 2	45 2	1 4з	45
[j]			15-45 242	4	110-245 45+1	410-245
«•			1 42	1 42	1	1
54°	[10 J		4	^5-45 242	45+1 J10-245	110-245
6°’ [2]			4з 2	£ 2	45	1 45
75е	(5пу U2.		242	Уз-1 242	2 + 45	2-45
9°- [2]			1	0	оо (не определен)	0
Таблица 8.2
Четверть	Функции			
	sina	cosa	tga	ctg a
I	+	+	+	+
II	+	—	-	—
III	—	-	+	+
IV	—	+	—	—
Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций
sin(a+p)=sinacosp + cosasin0;	(8.7)
sin(a - P)=sin acos p - cos asin p ;	(8.8)
cos(a + p)=cos a cos p - sin a smp;	(8.9)
cos(a - p)=cosacosp + sin a sinP;	(8.10)
tg(a + p)= tg(X + te	a,p,a + p*^ + 7cn, neZ- 1-tgatgp	" 2	(8.H)
tg(a-p)=-^^—a,p,a~P*-^ + 7tn, neZ-1 + tgatgp	2	(8.12)
ctg(a + p)= ctSactgP J	a,p,a + p*7w, neZ- ctga + ctgp	(8.13)
ctg(a p)= 8	, a,p,a P*tw, neZ. ctg a-ctg p	(8.14)
Формулы двойных и тройных аргументов sin2a = 2sinacosa;	(8.15)
cos2a = cos2 a-sin2 a = 2cos2 a-1 = 1-2sin2 a J (8.16) . „ 2tga п як , „ я tg2a =--:—, a* —+—,keZ,a^ — + nn,neZ.	ro i 7\
l-tg2a 4 2	2	’	I*-1 '>
ctg 2а =	1, а* — ,ке Z, а* ли, не Z- 2 ctg а	2	’	(8.18)
sin За = 3sina-4sin3 а > cos За = 4 cos3 а - 3 cos а 5	(8.19) (8.20)
_ . 3tga-tg3a	л/_ tg3a = — 	г—, а*-(2и + Цие2. l-3tg а	6	(8.21)
_ 3ctga-ctg3a	ли	„ ctg3a = —2	, a* —-,neZ l-3ctg2a	3	(8.22)
Формулы половинного аргумента
. э a 1-cosa sin — =	; 2	2			(8.23)
		2 a 1+cosa COS — =	; 2	2	’	(8.24)
tg2	a 2	1-cosa =	, а*я(2и + 1}ие Z; 1 + cosa	(8.25) 1
ctg2		> a 1 + cosa	,	„ — =	, а*2ли,neZ; 2 1-cosa	(8.26)
•4		sina 1-cosa	„	(8.27)
		1 + cosa	sina	
. a ctg у		1 + cosa sina	„ 	 —	-	 ry ITm MC / ‘	(8.28)
		sina 1-cosa	
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение
sina+sinP = 2sin^i^cos——- • 2 .	2 ’	(8.29)
. о _ а + Р . а-р sma-sinp = 2cos—-sin—- • 2	2	(8.30)
cosa + cosP = 2cos^-^cos——&; 2	2 ’	(8.31)
о _ . а+В . а-В _ . а+В . В-а cos а - cos р =-2 sin	-sin		 = 2sin -sinr • 2	2	2	2’	(8.32)
cos a + sin a = 41 cos(45° - a);	(8.33)
cosa-sina = %/2 sin(45° -a);	(8.34)
tga + tgp= 8*п(а + Р) а,р*—(2и-Цие Z; 6	H cosacosp	H 2' A tga-tgP= S—“ 21 а,Р* ^(2и-Цие Z; cosacosp	2V	(8.35) (8.36)
ctga+ctgP = —+а,р*яи, neZ; sin a sin p ctg a - ctgP = --P^ a). а,р*ли, neZ; sin a sin p tga+ctgP = cos(a ft\ a* — + nk,ke Z,^^rni,ne Z; cosasinp	2 tg a - ctg p = - cos(a±P), a* —+itk,kGZ,fi*itn,nG Z; cosasinp	2 .	.	2	m tga + ctga = -	, a*—, neZ; sin2a	2	(8.37) (8.38) (8.39) (8.40) (8.41)
tga-ctga = -2ctg2a,	”^Z;	(8.42)
,	2 «
1 + cosa = 2 cos — •
2 ’
1	о • 2«
1-cosa = 2sin —;
2
(8.43)
(8.44)
l+sina = 2cos2^45’-yj;	(8.45)
l-sina = 2sin2^45° -y);	(8.46)
sin(45’+a)	V2sin(45’+a)	л	„
1 + tga = —ь-----'- =-----ia* —+ Jtn, neZ; (8.47)
cos 45’cosa	cosa	2
.	sinks’-a)	>/2sm(45’-a)	я	_	.О.оч
l-tga = —i-------’- =------------a*- + 7tn, neZ; (8.48)
cos 45’cosa	cosa	2
1 + tgatgp =-CO—a —j, a,₽*—+ ЛИ, neZ;	(8.49)
cosacosp	2
l-tgatgP= cos(a + P), a,p# —+ лл, «eZ;	(8.50)
cosacosp	2
ctgactgp +1 = cos(a ~ P) a,p#7tn, neZ; (8.51) sin asm p
. , 2 cos2a	%_
l-tg2a = —-—, a* —+ Jtn, neZ;	(8.52)
cos a	2
1-ctg2 a = -cos^a, a* тог, neZ;	(8.53)
sin2 a
«,₽,! + 1И, ,5Z;	(8.54)
cos acos p	2
c.g^-ae;P = -sin(a^)si^-a>, 0,15^, .sZ;	(8.55)
sin asin p
tg2a-sin2a = tg2asin2a, a^j + яи, neZ; ctg2 a-cos2 a = ctg2 acos2 a, a*m, neZ;
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
sin a sin p = i (cos(a - p)- cos(a + p));
cos acos p = у (cos(a+p)+ cos(a - p)); sin a cos p = ± (sin(a + p)+ sin(a - p));
sinasinpsiny=
= - (sin(a+P -y)+sin(p+y- a)+sin(y+a - p)-sin(a+p+y));
4
sinacospcosy=
=—(sin (a+Р - у)- sin(p+ у - a)+ sin(y+a - р)+ sin(a+p + у)}, 4
sinasinpcosy=
= - (-cos(a+p - y)+cos(p+y- a)+ cos(y+a- p)-cos(a+p + y)); 4
cos acospcos у=
•^x (cos(a+p - y)+cos(p+y- a)+cos(y+a~p)+ cos(a+p+y)).
(8.56)
(8.57)
(8.58)
(8.59)
(8.60)
(8.61)
(8.62)
(8.63)
(8.64)
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента
2tgy
sina =----—, а*л(2п + 1} neZ;
l + tg2“
1-tg2 у
cosa =-----a*Jt(2n + li neZ;
i+tg2y
(8.65)
(8.66)
2tgy tga =---
а,у*у(2и + 1), neZ;
(8.67)
i 2 &
1-tg у
ctga =-----а* ли, neZ.
2.4
(8.68)
Формулы приведения
sin —±a =cosa, sin (% ± a) = +sin a, I2 )
 (3 M }
sml — л±а =-cosa,
sin(2rc ± а) = ± sin а;
(8.69)
I Л ,	]	, •
cos — ±а = ±sina,
I2 J
(3	}
cos — л±а = ±sina,
I 2
cos(ic±a)=-cosa,
cos(2n±a)=cosa;
(8.70)
tl
+ctga, a*ли, neZ,
tg(x±a)=±tga, a*y(2n+l} neZ, f 3 A
tg-л±а =Tctga, a#ли, neZ,
tg(2n±a)=±tga,
(8.71)
a#j(2n+l| neZ;
ctg -±a = + tga, <2	7
ctgOt±a)=±ctga,
(з
ctg -л±а =Ttga, <2 J
ctg^±a)=±ctga,
а#^(2и+1} hgZ,
a # тот, и g Z, а^^(2и+1) hgZ, a * ли, и g Z.
(8.72)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное входит только под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде линейной функции неизвестного, причем над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида
sinx = /и,	(8.73)
cosx = w,	(8.74)
tg x = m,	(8.75)
ctgx = w,	(8.76)
где т - любое действительное число.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.
1.	sinx = т. Если |лп| < 1, то решения данного уравнения определяются формулой
х = (-1)" arcsin т + т, п е Z.	(8.77)
Если |ди| > 1, то уравнение (8.73) решений не имеет.
2.	cos х = т. Если |m| < 1, то решения этого уравнения определяются формулой
х = ±arccosт + 2ли, neZ.	(8.78)
Если |ди| > 1, то уравнение (8.74) решений не имеет.
3.	tgx = n?. При любом действительном ди
х = arctgди + ли, пе Z.	(8.79)
4.	ctgx = m. При любом действительном ди
х = arcctg ди + ли, и g Z.	(8.80)
В частных случаях при ди = -1, ди = 0, ди = 1 получаются следующие формулы:
Л _	'	„ шх = -1; х =— + 2ли, hgZ; 2	(8.81)
sinх = 0; х = пп, neZ;	(8.82)
sin х -1; х = — + 2ли, и g Z; 2	(8.83)
cosx = -l; х = л + 2ли, hgZ;	(8.84)
л cosx = 0; x = — + лн, hgZ; 2	(8.85)
cos x = 1; x = 2ли, n g Z;	(8.86)
tgx = -l; x = -— + ли, hgZ;	(8.87)
tgx = 0; х = ли, hgZ;	(8.88)
tgx = l; x = —+ лл, weZ;	(8.89)
4
ctgx = -l; x = -—4-тел, neZ;	(8.90)
4
ctgx = 0; х = у + ли, weZ;	(8.91)
ctgx = l; x = — + 7W, neZ.	(8.92)
4
Тригонометрические уравнения вида sin (ax + b) = m, cos(ax + b) = m, tg(ax + b) = t, ctg(ax + b) = 1, где ax + b — линейная функция, |w| < 1, a * 0, x, b —любые действительные числа, также относятся к простейшим и приводятся к уравнениям (8.73) - (8.76) заменой ах + b = у.
Тригонометрические уравнения, содержащие тригонометрические функции одинакового аргумента
Рассмотрим тригонометрические уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций.
Пусть имеем
7?(sin х, cos х) = 0,	(8.93)
где R - рациональная функция относительно sin х и cos х .
Данное уравнение приводится к алгебраическому относительно тригонометрической функции одинакового аргумента. Затем, решая получившееся алгебраическое уравнение относительно этой функции, приводят данное уравнение к нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям, из которых находят значения неизвестного и проверяют, какие из них являются решениями данного уравнения.
Если х # (2и + 1)л, где ц е Z, то каждое тригонометрическое уравнение вида (8.93) можно привести к рациональному уравнению отно-сительно неизвестного с помощью формул (8.65) - (8.68). Решая уравнение таким методом, можно потерять корни вида х = (2 п + 1)л, где
neZ, для которых tgy не имеет смысла. Поэтому необходимо проверить, являются ли числа х = (2л + 1)я, где ле Z, корнями исходного уравнения.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене х на я - х не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно sin х.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему не изменяется при замене х на -х , то его имеет смысл приводить к рациональному относительно cosx.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене х на я + х не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно tg х.
Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
Тригонометрическое уравнение вида
а0 cos” x + tfj cos'1”1 xsinx + a2 cos"’2 xsin2 х + ... + ял sin" x = 0, (8.94)
где л0, ax,..., an — данные числа, ал — натуральное число, называется однородным уравнением относительно функций sin х и cos х . Сумма показателей у sinx и cosx во всех членах такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородности уравнения или показателем однородности.
Уравнение (8.94) являетсяластным случаем уравнения (8.93) и делением обеих своих частей на cos'1 х ф 0 (или на sin" х * 0) приводится к целому рациональному относительно tg х (или ctg х):
а0 tg" х + ах tg"-1x + a2 tg"’2 х + ... +=0
или	_1
а0 ctg" х + ах tg" х + а2 tg" х + ... + ал =0;
при этом область определения уравнения сужается на значения х = у(2л + 1) (илина х = ял), где ле Z.
Умножением на тригонометрическую единицу (sin2 x + cos2 , где ке N , можно привести к однородному некоторые уравнения, не
являющиеся однородными. Так, к уравнению вида (8.94) сводится уравнение
а0 cos2" x + aj cos2""1 xsinx + fl2 cos""2 xsin2 x + ... + an sin" x = b.
Для этого нужно умножить Ь на тригонометрическую единицу:
b = Z>(sin2 х + cos2 xf, ке Z.
Уравнение вида a sin сох + b cos сох = с [а2 +Ь2 * о)
Это уравнение является частным случаем уравнения (8.93), следовательно, его можно решать с помощью универсальной подстановки, а также приводить к однородному.
Укажем еще один способ решения этого уравнения, так называемый способ введения вспомогательного угла. Пусть
asincox + Z>coscox = c ^z2+/>2*o).	(8.95)
Разделим обе его части на -Ja2 + Ь2 > тогда а	b	с
.  sin (ОХ + .  cos сох = , 	.
777F
Пусть <р — одно из решений системы
а
COS<P = -/ , —> у/a2 +Ь2 b sm ф = —=_____
JJTb2
Воспользовавшись этими равенствами, запишем уравнение в виде с sin сох cos ср + cos сох sm ср =	-.
4а2 + Ь2
Применив формулу sin (а + р) = sin а cos р + cos а sin р, получим урав-
нение sin(cox + <p) = .. Л.. =•, которое, как видно из проделанных yla2 +Ь2
выкладок, равносильно исходному уравнению. Если
а2 + Ь2 > с2, то уравнение имеет решение
сох + ф = (-1)" arcsin . С.	+ ял
у/a2 + Ь2
или
Если
ф ял со со
с у]а2 + Ь2
1, т.е. а2 + Ь2 < с2, то уравнение решений не имеет.
ле Z.
Уравнения, рациональные относительно выражений sinx±cosx и sinxcosx
Если левая часть тригонометрического уравнения /(х) = 0 содержит лишь одно из выражений sin х + cos х или sin х - cos х и функцию sin 2х (или произведение sin х cos х), то, вводя новое неизвестное t = sin х + cos х или t = sin х - cos х и учитывая, что sin 2х = (sin х + cos х)2 -1, sin 2х =
-1 - (sin х - cos х)2, приходим к уравнению относительно t.
СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
При решении систем тригонометрических уравнений пользуются способом подстановки или сводят системы тригонометрических уравнений к системам алгебраических уравнений. В ряде случаев для решения системы тригонометрических уравнений ее преобразуют с помощью почленного сложения, вычитания, умножения, деления уравнений с целью, например, исключить одно из неизвестных, разложить полученное уравнение на множители и т.д. Решения системы записываются в виде упорядоченных пар (х; у).
Решить уравнения (8.001 - 8.175):
8.001. cos3x-sinx = V3(cosx-sin3x)
Решение.
1	л/з"
cos Зх - v3 cos х = sin х - V3 sin Зх, <=> — cos Зх+—sin Зх =
2	2
1 .	, V3	. л . , . я
=—smx+—cosx,<=> cos 3x cos—+sm3xsm— = 2	2	3	3
я . я .	л A ( tC\
= cos—cos x + sin—sinx, <=>cos3x— =cos x —
6	6 I 3 J < 6
- K I I Л ] Л О • <=>cos Зх— -cos x— = 0, <=>-2sin
I 3J
О я . K 3x---x + -xsin---------—
2
Тогда:
1) sin| 2x--^ |=0, I 4 I
-1я. 71
3*-3+*~6x 2
Л
— = 0<=>sin| 2x~—|sin[ x—— |=0. I 4 I I 12 J
2x]	= vk,
x!=£+^=£(4*+a kez-, о Z о
%
6
2) sinfx ——— |=0, x2—— = im, x2 = —+ nn =—(12л+11 neZ.
12 J 2 12	2 12	12v ' A
Ответ: x( =^(4Л + 1)х2 =-^-(12и + 1| k,neZ. o	12
8.002. 7 + 4sinxcosx + l^(tgx + ctgx)=0.
Решение.
ОДЗ-
sin x 0, cosx *0.
sinx j cosx^j q
cosx sinx J • 2	2
sm x+cos x
sinx cosx
7 + 4sinxcosx + l,5
<=> 7+4sinxcosx + l,5
L5	3
«=> 7+4sinxcosx + -— --= 0<=> 7+2sin2x+—---= 0.
smxcosx	sin2x
Отсюда получаем уравнение 2 sin2 2х + 7 sin 2х + 3 = 0, квадратное относительно sin2x  Таким образом, sin2x = -3,0, или sin2x = ~, откуда 2х = (-1)*f-^+кк, ке Z, х = (-1)*+1-^ + ^, ке Z.
6 )	12	2
Ответ: х = (-1)*+1 — + —, к е Z.
V 7 12 2
8.003. 4Ctg* 4-sin2 2x4-1 = 0.
14-ctg2x	z
Решение.
ОДЗ: sinx^O.
Из условия
4cosx
——4-sin2 2x4-1 = 0, <=> sin2 2x4-2sin2x4-l = 0 <=>
, cos2 x
1 + —~ sin X <=>(sin2x4-l)2 =0, sin2x = -l.
Тогда 2x = -— + 2idc, ke Z, x = -- + itk = -(4k-l\ keZ.
2	4	4.
Ответ: x = (4k -1} к e Z. 4
8.004.
sin2 2x-4sin2 x . - 2 —----------------+ l = 2tg x.
sin 2x4-4sin x-4
Решение.
ОДЗ: cosx * 0. Имеем
sin2 2x-4sin2 x +sin2 2x4-4sin2 х-4	_ 2
----------------------------------= 2 tg2 x <=> sin 2x4-4sin x-4
2sin22x-4 o 2 sin22x-2 + 2
—=----------5------= 2 tg2 x, —5------------= tg2 x <=>
sin 2x4-4sin x-4	sin 2x4-4sin x-4
sin22x-2 l-cos2x
<=>----------------=--------<=>
sin2 2x + 4sin2 x-4 l + cos2x
1-cos2 2x-2	l-cos2x 3- 2O л
1-cos2 2x + 2-2cos2x-4 l + cos2x cos2 2x(cos2x +1)= 0.
Отсюда:
1)cos22x = 0, cos2x = 0, 2x= — + nk, ke Z,
x =l + ^. = ^.(2k+l\ keZ;
1 4 2 4V A
2) cos2x+l = 0, cos2x = -l, 2x = it+2im, neZ,
x2 = — + JW = — (2и+Ц neZ.
я лет Ял,	„
Объединяя решения, получаем x = — +	+ Ц ш e Z.
Ответ: x = 4(2m +1) me Z.
4
8.005. sinzsin(60° -z)sin(60’ +z)=-.
8
Решение.
Из условия
sinz^sin(60° -z)sin(60° +z))=-^,<=>sinz^os2z-cosl20’>)=^<=>
<=> 2 sin z cos 2z + sin z = —, <=> - sin z + sin 3z + sin z = —, sin 3z =—.
2	2	2
Тогда 3z = (-!)*• 30°+1804, keZ, z = (-l)* 10° +604, ktZ.
Ответ: z = (-1)* 10° + 60°k, keZ.
-9	8
8.006. cos 2f-sin 2/ = -.
3
Решение.
ОДЗ:
cos2z 0, sin2z 0.
Перепишем уравнение в виде
1	1	8	_ cos2 2t-sin2 2t	8	n
--;-------j-----= 0, ----;----------+ —= 0, <=>
cos2 2/	sin2 2/	3 sin2 2/cos2 2/	3
cos4t 2	. cos4t	2..	2 . ,	. _ л
<=>—-— + —= 0, ------z— + — = 0, 2cos 4t-3cos4t-2 = 0.
sin2 2/ 3 l-cos24t 3
Решив это уравнение как квадратное относительно cos 4г, найдем cos4t =2,0;cos4/ = --^-,откуда 4t = ±-л+2лА:, keZ, t = +— +—, 2	3	6	2
ке Z.
тг тт]с
Ответ: t = + — +—, keZ.
8.007. tg3t-tgt-4sint = 0.
Решение.
fcos3t*0, ОДЗ;
[cost *0.
,	.	. о sin(a-B)
Использовав формулу tga - tgp = —-—, перепишем уравнение в cosacosp
sin2t	л™, о 2sintcost . Л - . fl-2cos3t3
виде—;-------4sinr = 0,-----------4smt = 0, <=> 2sintl---- = 0.
cos 3t cost	cos 3t cost	cos3t )
1 %
Отсюда sin t = 0,^=7^, ke Z ,или1-2со53г =0, cos3r = —, 3r = ±y+ 2яи ?
. я 2тсл
=± — +----, n e Z .
2	9	3
, п 2т ,	_
Ответ: t, = лк; t2 = ±- + -у, к, п G Z.
8.008. cos“l 3z-6cos3z = 4sin3/.
Решение.
ОДЗ: cos3z * 0.
Из условия
l-6cos2 3/-4cos3rsin3z = 0, cos2 3z + sin2 3/-6cos2 3r-4cos3rsin3z = 0, 5 cos2 3/ — sin2 3r+4cos3rsin3r = 0.
Разделив уравнение на-cos2 3z 0,имеем tg2 3z-4tg3z-5 = 0.Решив
это уравнение как квадратное относительно tg3z, получим (tg3/)] =-1 или (tg3/)2 =5, откуда 3/|=—+	+	=	keZ’’
,	<	. arctg5 ли _
3z2 = arctg5 + ли, t2 =—-— + —, neZ.
Ответ: /, =^(4Л-1}/2	+ k,neZ.
8.009. ctgt-sinz = 2sin2 —. 2
Решение.
ОДЗ: sin Г * 0.
COS t	л	. 2
-------sin t = 1 - cos t => cos t - sin t = sin t - sin t cos /, sin/
(cos t + sin t cos/)- ^in2 t + sin /)= 0, cos /(1 + sin t)-sin /(1 + sin /)= 0,
(1 + sin t Xcos t - sin t) = 0.
Отсюда 1) l + sin/ = 0 или2) cos/-sin/ = 0.Тогда:
l)sin/ = -l, /j = -— + 2tc£ = y(4£-l), fceZ;
2) cos/ = sin/<=>tg/ = l, /2 =“ + тш = — (4/1 + 1), ne Z.
Ответ: /j =~(4А-1^/2 = ^(4и + 1} k.neZ. 2	4
Решение.
Имеем
4 cos z (:os 2z+cos 120°)+1 = 0, 4 cos z cos 2z - 2 cos z +1 = 0 <=»
1	2
<=> 2 cos z + 2 cos 3z - 2 cos z +1 = 0, cos 3z = —, 3z = ±—л + 27^,
2	3
. 2 2nk . _ z = ±—Л +--, keZ.
9	3
,2 2тсЛ . _ Ответ: z = ±—тс + ——, keZ. 9	3
2
Решение.
ОДЗ: sin3x * 0. Из условия
cos2xctg3x-sin2x-72cos5x = 0 <=> (cos2xcos3x . _ ) [т ,
<=> ---:------sin2x -V2cos5x = 0,
cos2xcos3x-sin2xsin3x /т , Л
-------------------V2cos5x = 0<=>
sin3x
O^.^cos5x=0, c°^4-^sin3x) = [)
sin3x	sin3x
Отсюда:
l)cos5x = 0, 5x = —+ 7tZc, Xj = — + — = —(2&+1), keZ, 2	1 10 5	10 Л
или
2) I-V2sin3x = 0, sin3x = ^, 3x = (-1)" —+ ли, x2=(-l)"—+ —
2	4	12 3
ne Z.
Ответ: x} =— (2& + 1}x2 = (-1)”— + —, k, n& Z, 1 10	2	12	3
7C
8.012. sinxcos2x +cosxcos4x = sin —+ 2x 4
.	71	_
sin —3x 4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
71
-sinx + sin3x+cos3x + cos5x = cos5x-cos —х <=>
I2 >
<=>sin3x+cos3x = 0, sin3x = -cos3x, tg3x = -l,
откуда Зх =	+ Tin, х = ——+ —= —(4л-1)> weZ-
4	12	3	12
Ответ: х = —- (4и -1), п е Z.
. -	4 X . 4 X
8.013. sin2x = cos —sm —. 2	2
Решение. Имеем
( 2* -2*Y 2 X . 2 л
2sinxcosx- cos —- + sin — I cos — — sin •— = 0,
I 2	2 A 2	2 J
2sinxcosx-cosx = 0 <=> cosx(2sinx-l)=0.
Тогда:
1) cosx = 0, Xj =y + ял = у(2и + 1), ne Z; или
2)2sinx-l = 0, sinx = —, x2 = (-1)*+ nk, keZ. 2	6
Ответ:	=-^(2n+l}x2 =(-1)* y + n,keZ.
2	6
8.014. (1 + cos 4x)sin 2x = cos2 2x.
Решение.
Из условия
(14-1 —2sin2 2x)sin2x = l-sin2 2x, 2 sin3 2x-sin2 2x-2sin2x+l = 0, sin2 2x(2 sin 2x -1)- (2 sin 2x -1)= 0, (2 sin 2x -l)(sin2 2x -1)= 0.
Отсюда или
1) 2sin2x-l = 0, sin2x = —, 2x = (-l)fe —+ Я&, Xj = (-1)*+ 2	6	12 2
fceZ,
или
2) sin2 2x-1 = 0, sin2x = ±l, 2х = у + дл, x2 = ^ + ^ = ^(2и + Ц
ne Z.
Ответ: x} = (-1)*	x2 = у (2и +1} k,neZ.
12 2	4
8.015. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
(1 - cos 4z)+ j (1 -cos 6z)+(1 - cos 8z)+ у (1 - cos 1 Oz)=2,
(cos 4z + cos 6z)+ (cos 8z + cos 1 Oz)=0, <=► 2 cos 5zcos z+2 cos 9zcos z = 0,
2 cos z(cos 5z +cos 9z)=0.
Тогда:
1) cosz = 0,z! =y+Jtfc =y(2£ + l} keZ, или
2) cos5z+cos9z = 0, 2cos7zcos2z = 0, cos7z = 0, 7z = — + m,
2
z2 =77 + -т = гт(2п + Ц weZ; cos2z = 0, 2z = - + rcm,
14 7	14	2
it m n( x
z3 = —+-^- =—(2m+Ц me Z; zx входит в z2.
Ответ: z, = -Д- (2n + l)t z2 = (2m +1} n, m € Z.
14	4
8.016. ctg4 2z + sin-4 2z = 25.
Решение.
ОДЗ: sin2z*0.
Из условия
°08* 2z +—J---25 = 0 <=> cos4 2z+l-25sin4 2z = 0 «=>
sin4 2z sin4 2z
<=>(cos22z)2 +1-25sin4 2z = 0, (1 -sin2 2zf +1-25sin4 2z = 0«=> «=>12sin4 2z + sin2 2z-l = 0.
Решив уравнение как биквадратное относительно sin2z, получим sin2z = ±i откуда 2z = ±~ + iik, z = +^- + ^- = -^-(6k + l\ ke Z.
2	6	12	2	12
Ответ: z = -jy fck ± 1), к e Z.
8.017. tg2xcos3x + sin3x + V2sin5x = 0.
Решение.
ОДЗ:	cos2x * 0.
Перепишем уравнение в виде
sin2xcos3x . ~ /г . - л ----------+ sin3x + V2sin5x = 0<=>
sin2xcos3x+cos2xsin3x /т . -<=>----------------------+ V2 sin 5x = 0,
cos2x sin5x /г . c л ------+ V2 sin 5x = 0, cos2x
= 0.
cos2x
Отсюда или
l)sin5x = 0, 5x = Tcfc, X|=—, keZ,
ИЛИ
2) 1 + V2cos2x = 0, cos2x =-, 2x = ±—я+2ли,
2	4
x2 = ±—n+ял = —(8« ± 3), n € Z. О	о
Ответ: x{ =^-;x2 =^fan±3\ k,neZ.
5 о
8.018. ctS^“ + x j- tg2 x = (cos2x - l)cos“2 x. Решение, ОДЗ: cosx^O.
Имеем
A x 2 cos2x-1 sinx sin2x l-cos2x -tgx-tg2x =------—, -----+ ——  ----------<=>
cos x cosx cos X COS X
sinxcosx+sin2x l-bcos2x-ll . /	\ „ . 2 Л
<=>-------5-----= —E—5-------smx(cosx+sinx)-2sm x = 0,
cos x	cos x
sinx(cosx+sinx-2sinx)= 0, sinx(cosx-sinx)=0.
Тогда:
l)sinx = 0, х^тсЛ, fceZ, или
2) cosx-sinx = 0<=>tgx = l, x2 =—= —(4л+1| ле Z. 4	4
Ответ:	= лЛ; x2 = ^(4л + 1} к. пе Z.
8.019. cos—cos---sinxsin3x-sin2xsin3x = 0.
2	2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
cos х+cos2x - cos2x + cos4x - cos x+cos 5x = 0 <=>
<=> cos4x+cos5x = 0, <=> 2cos—cos— = 0. 2	2
Тогда или
9x Л 9x л . л 2тсЛс я л,.	_
1) cos— = 0, — = —+ rcfc, Xi= — +--------= —(2Л + Ц keZ.
4	2	22	1 9	9	9 Л
или
2) cos у = 0,
— = —+ лл, x2 = л + 2ли = л(2и + 11 neZ 2 2
х2 вхо-
дит В Xj .
[X	x
8.020. 1 - sin 3x = sin — cos—
2	2
2
Ответ: х = (2Л +1)> ке Z.
\2
7
Решение.
Имеем
1	•	. 2 X _ . X X 2 X . -	.
1 ~ sin Зх = sin — 2 sin—cos — + cos; —, sm Зх - sin x = 0 <=> 2	2	2	2
<=> 2sinxcos2x = 0.
Тогда или
l)sinx = 0, Xj=7i«} neZ, или
2)cos2x = 0, 2x = —+ л£, x2 =^ + —= ^(2^ + 1), keZ. '	2	4 2	4
Ответ:
Xj = nn; x2 = (?k +1}
n,ke Z.
8.021. 2ctg2 xcos2 x + 4cos2 x-ctg2 x-2 = 0.
Решение.
ОДЗ: sinx^O.
Из условия 2cos2x(ctg2x + 2)-(ctg2x + 2)=0, или (ctg2x + 2zj>
x(jcos2 x-l = o), (ctg2x + 2)cos2x = 0. Так как ctg2x + 2*0,TO
cos2x = 0, 2x = — + idc, x = ^ + —= ^(2Л + 11 ke Z.
2	4	2	4
Ответ: x = (2fc + Ц к e Z.
4
8.022. 2sin3 x+2sin2 xcosx-sinxcos2 x-cos3 x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
2sin2 x(sinx+cosx)-cos2 x(sinx+cosx)=0,«
«(sinx + cosx)^sin2 x-cos2 x)=0.
Тогда:
1) sinx+cosx = 0, или
2) 2sin2 x - cos2 x = 0.
Имеем:
1) tgx = -l или
2) tg2x = -,откуда X) =“ + лл= = 21(4л-1) neZ;
72
x23 = ± arctg+ ide, keZ.
Ответ: x, = (4л -1} x2 3 = ± arctg+ nk, n,ke Z.
8.023. sin 7x + sin 9x = 2 cos2 — - x - cos21 — + 2x
14 I 14
Решение.
Из условия
2sin8xcosx = l + cos—2х —I—cosl —+4х <=>
I2 J \2 J
<=> 2sin8xcosx = sin2x + sin4x <=>
<=> 2 sin 8х cos х - 2 sin Зх cos x = 0, <=> cos x(sin 8x - sin 3x) = 0. Тогда:
I) cosx = 0 или
2) sin8x-sin3x = 0,
откуда 1)х1 =~ + 1& = ^(2£ + 1) ке Z,2)2sin|-xcosy х = 0, sin-|x - 0,
5	2	11 л 11 я , я 2 ,
—х = яи , х-, = — тт, ns Z • cos—х = 0, —х = — + я/, х, =—+ — я/ =
2	’ 2 5	2	’ 2	2	’ 3 11 11
= уу(2/+1} IeZ.
Ответ: A'i = y(2fc + l}x2 = -пп;х3 = уу(2/ + Ц k,n,lsZ.
8.024. tg х + tg 2х - tg Зх = 0.
Решение.
cosx * о, ОДЗ: xcos2x * 0, cos3x * 0.
Используя формулу tg а - tg р = -8*-(а—, перепишем уравнение в виде cosacosp
sin3x sin3x _q<=> sin3x(cos3x-cosxcos2x)_ cosxcos2x cos3x	cosxcos2xcos3x
откуда:
1) sin3x = 0 или2) cos3x-cosxcos2x = 0.
Тогда:
1)3х = ли, X, =~> neZ;
2) 4cos3 x -3cosx - cosx(?cos2 x-l)=0 , cosx(:os2 x-l)= 0, cosx * 0,=> cosx = ±1, x2 = пк, ke Z; x2 входит в X!.
8.025. sin(150 +x)+sin(45° -x)=l.
Решение.
Имеем:
п . 15°+x+45’~x	15°+x-45°+x 1	( 1CO\ ,
2 sin------------cos-------------= 1, coslx -15 1=1.
2	2	v 7
Тогда x-15° =360%, x = 15°+360%, ktZ.
Ответ: x = 15° + 360°k, ke Z.
8.026. cos х + ctg Зх = ctg у -.
Решение.
ОДЗ:
cosx * 0, sin3x * 0,
• Зх Л sin— *0.
.	2
Из условия
if	3x 1	1
---+1 ctg 3x-ctg— 1=0 <=> cosx I	2
•	I a	3	I
sin 3x — x
Г	2	J
cosx	.	,	.3
sin 3x sm — x
2
. 3 sin —х
2
cos х . _ . 3 sin3xsin —х
2
= 0,
-1----b=o,
cos x sin 3x
sin3x-cosx _q cosx sin 3x
1
sin3x-cosx = 0,<=>sin3x-sin — -x |=0<=> 2
_ я	_ я
Зх+—x	Зх —+x
<=> 2 cos-----sin-------= 0,
2	2
( ТС I	I 7C ]
откуда: 1) cos x+4 = 0;2) sin 2x-- =0
Тогда:
1)х + —= —+ лЛ, Х| = — + пк = — (4А: +1), keZ;
4 2	4	4
2) 2x — = ля, x, = — + — = — (4n +11 и e Z.
'	4	2 8 2	8
Ответ: х, = у (4к + 1); х2 = (4и +1} к, п е Z. 4	о
8,027. sinxsin3x + sin4xsin8x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
— (cos(x - Зх)~ cos(x + Зх))+ — (cos(4x - 8х)- cos(4x + 8х)) = 0, 2	2
о	л ~ . 2х+12х . 12х-2х л
cos 2х - cos 12х = 0 <=> 2 sin-sin----= 0,
sin7xsin5x = 0.
Отсюда:
1) sin7x = 0,
2) sin5x = 0,
7x = ЯЛ,
5x = лк,
x. =—, ne Z;
1	7
я£ i
x? =—, ke Z .
2	5
m лк
Ответ: -*i = —; x2 = —,
л, к g Z.
8.028. 2 tg3 x -2 tg2 x + 3 tg x - 3 = 0.
Решение.
ОДЗ: cosx * 0.
Из условия 2tg2 x(tgx-l)+3(tgx-l) = 0, (tgx-l)(2tg2 х + з)=0 .
Отсюда tgx-l = 0, tgx = l, х = ^ + im = ^(4n + l\ пе Z. 4	4
Ответ: х = ~ (4и + 1)^ п 6 Z.
л‘ (п . (к А . (Зя . ] f 7я _
8.029. cosxcos2x = sin —+ х sin —+ 4х +sin — + 4х cos--5х
14 I I 4 I 14 J I 4
Решение.
Перепишем уравнение в виде
(cos(x - 2х)+cos(x + 2х))=
=2 2
л л
(л	Я . 1 п . л . .
cos —+ х--4х |-cos —+ %+—+4х
14	4
4 ' ' 4 '.Гз, .
7я
2
. (Зя . 7я с ] . (Зя 7я , и sin —+4х-+ 5х +sin —+4х+-5х <=>
4	4
4
4
<	=> cos x+cos 3x = cos 3x - cos^y+5x	sin(jt - 9x)+ s*n^'| л - x J <=>
<	=> cos x = sin 5x - sin 9x+cos x, sin 9x - sin 5x = 0 <=>
.	9x+5x . 9x-5x
<	=> 2 cos-sm—-—
2	2
= 0,
откуда:
l)sin2x = 0, 2x = ltk, X|=—, keZ-
2)cos7x = 0, 7x = —+ лл, x2 = — + — = —(2л+ 1) «eZ.
2	14	7	14
Ответ: x( = x2 = •£• (2л + Ц к, n € Z. 2	14
8.030. 2 + tgxctgy + ctgxtg — = 0.
Решение.
cosx * 0, sinx * 0,
ОДЗ:
sin— *0, 2
cos— * 0. 2
_ .	x a l + cosa . a sina
По формулам половинного аргумента ctg у =	, tg — = ] + cosa >
поэтому
A sinx 1+cosx cosx sinx л „ 1+cosx cosx л 2+------------+-------------= 0 => 2+------+--------= 0,
cosx sinx sinx 1+cosx	cosx 1+cosx
4cos2 x+4cosx+l = 0, (2COSX+1)2 =0,
откуда cosx =-у, х = ±^л+2л£ = у^(3&±1} ke.Z.
Ответ: x =	(3k± 1), keZ.
8.031. sin2x + sin(rc-8x)= V2cos3x.
Решение.
Из условия
sin 2х+sin 8х - л/2 cos Зх = 0 <=> 2 sin	cos	_ ^2 cos Зх = 0,
2	2
2 sin 5хcos Зх - >/2 cos Зх = 0, cosЗх(г sin 5х - >/2 )= 0.
Отсюда:
l)cos3x = 0, Зх = —+ л£, X) = — + — = — (2fc + l) £eZ;
2	6	3	6
2) 2sin5x-V2 =0,sin5x = ^-,5x = (-l)" -4-лл, 2	4
=(->) Kz.
Ответ: *i = y(2fc + 0x2 = (-1)"+ ^-, k,ne Z. 6	20	5
8.032. 0,5(cos5x + cos7x)-cos2 2x + sin2 3x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
cos 5х * cos -х •	(1 + cos4x)+(1 - cos 6х)= 0 <=>
<=> 2 cos 6х cos х -1 - cos 4х+1 - cos 6х = 0, 2 cos 6х cos х -
i л	\ Л . -I 4х+6х	4х-6х Л
-(cos4x+cos6x)=0«=>2cos6xcosx-2cos—-—cos—-— = 0, cos 6хcosх -cos 5xcos x = 0 <=» cos x(cos 6x - cos 5x) = 0.
Отсюда:
l)cosx = 0, Xj =y(2fc+0 k&Z;
2) cos6x -cos5x = 0, -2sin 6* + 5x	5x ~ 6x _
2
2
2лл ~ . х х , х? =-----, п е Z : sin — = 0, — = я/,
2	11	’	22
• И а И Тогда sin—x = 0, —x = m,
x3 = 2я/, I € Z; x3 входит в x2.
Ответ: xi = у(2& + 0x2 = k,n^Z.
8.033. 2(cos4x-sinxcos3x)= sin4x + sin2x.
Решение.
Имеем
2 cos 4x - 2 sin x cos 3x - sin 4x - sin 2x = 0, 2 cos 4x - sin (x - 3x)-- sin(x + 3x)- sin 4x - sin2x = 0, 2 cos 4x+sin 2x - sin 4x - sin 4x --sin2x = 0, 2cos4x-2sin4x = 0<=> tg4x = l,
откуда 4х = —+я&, x = —+— =—(4Л + 1), keZ.
4	16 4	16
Ответ: х = £(4Л+1} keZ.
16
8.034. sinxcosxcos2xcos8x = — sin!2x.
4 Решение.
Из условия
2(2sinxcosx)cos2xcos8x = sinl2x <=>2sin2xcos2xcos8x = sinl2x <=> <=> sin 4x cos 8x - sin 12x = 0	(sin(4x - 8x)+ sin(4x+8x ))- sin 12x = 0,
- sin 4x + sin 12x - 2 sin 12x = 0, sin 12x + sin 4x = 0 <=>
- . 12x+4x	12x-4x	. Л
<=> 2sin-----cos--------= 0, sin8xcos4x = 0.
2
2
Отсюда:
1) sin8x = 0,
2) cos4x = 0, ДИТ В X!.
8x = nfc, x, =—, keZ: 1	8
л ТС	7C 7Ut 7U	„
4x = — + im, x2 = — + — =—(2n+l| neZ;x2Bxo-
2	о	4	о
ilk
Ответ: x = —, к g Z. о
8.035. 3sin2 2x + 7cos2x-3 = 0.
Решение.
Имеем
з(1 - cos2 2x)+ 7 cos 2x - 3 = 0 <=> 3 cos2 2x - 7 cos 2x = 0, cos2x(3cos2x-7)=0.
Отсюда:
I)cos2x = 0, 2x = y + rcfc, Xj = -^ + -^ = ^(2fc + l) £gZ;
7
2) 3cos2x-7 = 0, cos2x = — >1-0.
Ответ: х = ^(2Л + 1) keZ.
4
8.036. sin2xsin6x-cos2xcos6x = y[2 sin3xcos8x.
Решение,
Из условия
(cos 2x cos 6x - sin 2x sin 6x)+ 72 sin 3x cos 8x = 0 <=>
<=> cos 8x + 72 sin 3x cos 8x = 0, cos8x|j + 41 sin 3x)= 0.
Отсюда:
1) cos8x = 0, 8x = — + ли, Xi = — + — = —(2и + 11 neZ;
7	2	1 16 8	16v л
2) 1+72 sin3x = 0, sin3x = -—, 3x = (-l)fef-— + я& = (-1/+1—+ rcfc.
2	I 4 J	4
X2 = (-1/** —+ —, keZ.
2	1 12	3
Ответ: X] =^(2л + 1}х2	+ n,keZ.
16	12	3
8.037. sin3xcos3x = sin2x.
Решение, Имеем
2sin3xcos3x-2sin2x = 0, <=> sin 6x-2sin2x = 0, sin 3(2x)- 2 sin 2x = 0, <=> 3 sin 2x - 4 sin3 2x - 2 sin 2x = 0, 4sin3 2x-sin2x = 0, sin2x(4sin2 2x-l)=0.
Отсюда:
itn l)sin2x = 0, 2х = яи, xt=—, wgZ;
2) 4sin22x-l = 0, sin22x = —, sin2x = ±—, 2x = ±—+ 7tfc, 7	4	2	6
x23 =±—+ —= —(6Л + Ц ke Z.
23	12	2	12v h
Ответ:	= -у; х2,з =	(6^ ± k € z-
8.038. cos2x-5sinx-3 = 0.
Решение.
Из условия l-2sin2x-5sinx-3 =0, 2sin2x + 5sinx+2 = 0. Решая это уравнение как квадратное относительно sinx, имеем
sinx =-2,0 ; или sinx = “, откуда х = (-1Уг+| — + л£, ке Z.
2	6
Ответ: х = (-1/+1 у + лЛ, к е Z. 6
8.039. 3sin2x+2cos2x = 3.
Решение.
Имеем
6sinxcosx+2(cos2 x-sin2 х)=з(со$2 x+sin2 х), 5sin2 x-6sinxcosx+cos2 x = 0,<=>5tg2 x-6tgx+l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tgx, найдем
(tg*)i
= -^ mni(tgx)2 =1,откудах( = arctg+ пк = arcctg5+пк, ке Z; э
х2 =—+ пп = — (4л + 1), neZ. 4	4
Ответ: х, = arcctg 5 + пк; х2 = — (4л+1), к, п е Z. 4
оллл . (Зл 'I t 2 . l + cos2x л
8.040. ctg--х I- ctg x +--------= 0.
(2 j	sin2 x
Решение.
[cosx*0,
ОДЗ: .
(sin x * 0.
Перепишем заданное уравнение в виде
х А 2	1 + 2COS2 Х-1 „	2	~	2
tgx-ctg х +------------= 0, <=> tgx-ctg x+2ctg х =0,
sin2 х
ctg2 х+—-— = 0, ctg3x = -l, ctgx = -l. ctgx
Тогда x = —л + я& = —(4£ + 3)> keZ.
4	4
Ответ: x = — (4k + 3) к e Z.
4
8.041. cos 9x - cos 7x + cos 3x - cos x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
_ . 9x + 7x . 9x-7x	. Зх + х {. Зх-х л
- 2 sin------sin--------2 sin----sin-------= 0 <=>
2	2	2	2
<=> sin8xsinx + sin2xsinx = 0 <=> sinx(sin8x + sin2x)=0.
Отсюда:
l)sinx = 0, Xj =ли, weZ;
. _ л . 8x + 2x 8x-2x л 2) sin 8x + sin 2x = 0 <=> 2 sin-cos--= 0,
7	2	2
sin 5x cos Зх = 0
_ izk Тогда или sin5x = 0, 5x = nk, x2=—, £€7,или cos3x = 0,
3x = ^ + iun, x3 =- + —= -(2zn + l), meZ , x} входит в x2. 2	6	3	6
Ответ:	x2 = •— (2m + 1) k,me Z.
t i
8.042. 2 tg—1 =cosz. 2
Решение.
ОДЗ: cos|- * 0-Имеем
2-
. t sin-
——-1 t cos — 2
2 t . 2 f | л cos —sin - = 0<=>
2
J . t	t \
2 sin—cos-	z	4
I 2	2] ( t .
—*--------z- cos—sin— X
r	2	2
cos - V	J
2

2
(	'	• ' I л I • '	'
х cos- + sin- =0<=> sin—cos —
2	2	2	2
t
2
t cos-
. t t +sm-+cos-2
2
, t	t 2t
sin—cos— 2 + sin—cos—+ cos —
2	2 JI 2	2	2
t cos—
Отсюда:
1) sin—-cos —= 0; 2) 2+sin—cos—+ cos2 —= 0,0.
2	2	7	2	2	2
Из первого уравнения получим
tg— = 1, — = —+ ли, t = — + 2nn =—(4и + 1), n&Z,
*2	2 4	2	2
Решение,
Из условия
72	72 7з	7з
sin 3z-----cos 3z------ — <=> sin 3z cos 45° - cos 3z sin 45° = — <=>
2	2
<=> sin(3z - 45°) =
откуда 3z-45° = 60°+ 360% или 3z-45° = 120° + 360%. Отсюда zj = 35° + 120%, z2 = 55° + 120%, к e Z.
Ответ: zj = 35° + 120%,z2 = 55° + 120%,£ gZ.
8.044. V3sin2x + cos5x-cos9x = 0.
Решение,
Перепишем заданное уравнение в виде
гт . о ~ . 5х + 9х . 5х-9х Л
V3 sin 2х - 2 sm---sin-------= 0 <=>
2	2
<=> 7з sin 2х + 2 sin 7х sin 2х = 0 <=> sin 2х(Тз + 2 sin 7х) = 0. Отсюда:
1) sin2x = 0, 2х = яи, Xj =—, п eZ;
2) 7з+2sin7x = 0, sin7x = -—, 7х = (-1)*+| - + кк.
2	3
( iV+i Л . life ,	„
x2=H) Yi keZ' ли z u+i n itk .	_
Ответ: xl=—;x2=(-\J' ^[ + ~’ n>keZ-8.045. 2 cos2 x + 5 sin x - 4 = 0.
Решение.
Имеем2^-sin2 x)+5sinx-4 = 0 или 2sin2 x-5sinx + 2 = 0.Решив это уравнение как квадратное относительно sin х, получим sin х = 2, 0 ,
или sinx = —, x = (_ 1)* — +	ktZ,
2	6
Ответ: x = (-1)* — + кк, ke Z. . z	3z	1- n . 3z	z
8.046. sin - cos-sin 2z = sin—cos—.
2	2 V3	2	2
Решение. Перепишем уравнение в виде
If . (z 3z ] . I — sin------+sin
2	*	*
z 3z n sin2z
2 2 I Л
2 2
1 f . ( 3z z A . (3z z H n — sin------+sm—+— =0<=>
2^ ^2 2)	|^2 2))
. „ 2sin2z	• а л
<=>-sinz+sm2z---=----sinz-sin2z = 0 <=>
V3
sin z(>/3 + 2 cos z)= 0.
Отсюда:
1) sin z = 0, z, = wi, ne Z;
г-	у(3	5
2) V3+2cosz = 0, cosz =---, z2=±—n + 2nk, keZ.
2	6
Ответ: z, = iui;z2 = ±—л+2кк, n,keZ.
8.047. sin3 z cos z-sin z cos3 z =—.
8
Решение.
Из условия
- sin z cos zlcos2 z - sin2 z )= — <=> 2 sin z cos zlcos2 z - sin2 z )=---<=>
\	7	8	Г	/	4
<=> sin2zcos2z = —— <=> 2sin2zcos2z =-, sin4z = ——,
4	2	2
откуда 4z = (-1)*+1 + nk, z = (-1)*+1 ~ + “r> keZ. 4	16	4
Ответ: z = (-1)*+1	, keZ.
16	4
8.048. sinl -7 + 5x I 4
.In 1. % , sm — + x sm — - 6x
4	4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
if . (я , л „	. (п . л „
— sm —+5х--2х +sin —+5х + —+2х
2|14	4	)	^4	4
If (л	л , 1 f Л
— cos —+х—+6х -cos — 2	4	4	4
<=> sin Зх +
(тс ।	(тс 1
+ sin —+ 7х -cos7x+cos—5х =0<=>sin3x+cos7x-cos7x +
U	2
5х + 3х 5х — Зх + sin 5х = 0, sin Зх + sin 5х = 0 <=> 2 sin-cos— -= 0,
sin4xcosx = 0.
Отсюда:
l)sin4x = 0, 4х = тсл, х, =—, neZ; 1	4
2) cosх = 0, х2 = — + nk, ке Z ; х2 входит в х.
Ответ: х = —, п € Z. 4
f 3л
8.049. cos3x = 2sin — + x 2
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде 4cos3 х - 3cos х = -2 cos х, <=> 4 cos3 х - cos х = 0 <=>
<=^cosxi
Отсюда:
l)cosx = 0, Xj = +	= у(2Л + 1) fceZ;
7	1	я
2) 4cos x-l = 0, cosx = +—, x7 =±— + nn, neZ.
'	2	2	3 •
Ответ: Xj = ^(2Л +1} x2 = ±y + itn, k,ne Z.
8.050. 5(1 + cos x) = 2 + sin4 x - cos4 x.
Решение.
Из условия
5+5 cosx - 2 +(cos2 x - sin2 x)(cos2 x+sin2 x)= 0,
2cos2 x+5cosx+2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cosx , получим 1	2
со8х = -2,0;или cosx = откуда х = ±-л + 2л&, ке Z . 2	3
•2
2
Ответ: х = ±—я + 2л&, keZ. 3
8.051. l + sin2x = (cos3x + sin3x)2.
Решение.
Имеем
1 + sin 2х = cos2 Зх + 2 sin Зх cos Зх + sin2 Зх, 1 + sin 2х = 1 + sin 6х, . ,	. л	6х + 2х . 6х-2х л	_	..
sin 6х - sin 2х = 0 <=> 2 cos-sm------= 0, cos 4х sm 2х = 0,
2	2
откуда:
1) cos4x = 0, 4x = y + Ttfc,
я	keZ
8	4	8 V A
2)sin2x = 0, 2х = тсл, х2=^р neZ.
Ответ:	= ^(2£ +1) x2 - k,neZ.
o	2
8.052. sin3x = 2cos — -х 2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
3sinx-4sin3х =2sinx, 4sin3 x-sinx = 0, sinx^sin2} откуда:
l)sinx = 0, xl=itn, neZ;
2) 4sin2x-l = 0, sinx = ±—, x23=±— + ick, keZ.
2	’	6
Ответ: x, = itn; x2 3 = ±-^ + nk, n,k&Z.
6
8.053. cos4x + 2 sin2 x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 2cos2 2x-l + l-cos2x = 0, cos 2x(2 cos 2x -1) = 0, откуда:
1) cos2x = 0, 2x = y+7t£,
2 cos2 2x -cos 2x = 0,
X'=7+V = Z(2*+1* keZ'> 4	2	4
2) 2cos2x-l = 0,cos2x =—, 2x = ± — + 2пп,x2 = ± — + itn,neZ. 2	3	2	6
Ответ: x, = — (2fc + l)x2 =±—+nn, k,neZ. 4	6
8.054. sin x + sin 7x - cos 5x + cos(3x - 2л) = 0. Решение, Из условия
(sin x+sin 7x)- (cos 5x - cos3x)= 0 фф 2 sin * +^X- cos *
_ . 5х + 3х . 5х-3х _ ' . л . . л
+ 2 sin------sm------= 0 <=> sm 4х cos х + sin 4х sin х = О,
2	2
sin 4x(cos Зх+sin х) = О,
откуда:
Ttlc
l)sin4x = 0, 4х = яЛ, х(=—, keZ;
2) cos3x+sinx = 0, 2cos[ х+— cos|2x-— =0.
I 4 J I 4 J
Полученное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
\ I 7С j Л ТС ТС	ТС	«—
a)	cos х + — =0, х+— = —+ 7си, х2 = —+ лл, neZ;
4	4 2	2 4
б)	cosl 2х-^-1=0, 2х--^ = у + л/и, х3 =-^(4/и+3} те Z .
Решения х2 входят в X].
Ответ: х, =	, х2 = (4и + 3) к, п е Z.
.	,	25
8.055. cos 2x + 6cos 2х =— 16
Решение.
Имеем 16cos4 2х + 96cos2 2х - 25 = 0. Решив это уравнение как биквадратное относительно cos2х , получим cos2х = -, 2х = ± у + тсА:}
л лк
- + —,где ке Z. 6 2
Л	. л лк . _
Ответ: х = ±— + —, keZ. 6	2
8.056. 1 + cos/+ cos 2/+ cos Зг = 0.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде l+cosz+2cos2 r-l + 4cos3 r-3cos/ = 0, 4 cos31 + 2 cos21 - 2 cos t = 0 <=> 2 cos cos21 + cos t -1)= 0.
Отсюда:
l)cos/ = 0, lt =у + л& = -^-(2&+1} keZ-,
2) 2cos21+cosz-l = 0.
Решив уравнение как квадратное относительно cos Г, получим (cos/)j =-!, t2 = л + 2ли, ле Z; (cos/)3 =i,	=±у + 2пт, те Z.
Объединив решения t2 и z3, получим t2 = у (2л + Ц п е Z .
Ответ:	=y(2A:+l)/2 =у(2л+1| k,neZ.
8.057. cos2x = (cosx — sinx)
Решение.
Из условия
cos2 x - sin2 x - >/2 (cos x - sin x)=0 фф
<=> (cosx-sinx)(:osx + sinx--j2}= 0.
Тогда:
1)	cosx-sinx = 0,
2)	cosx + sinx-72 =0.
Из первого уравнения tgx = 1, х, = — + пк ,к е Z .Из второго уравнения 4
•J2	у/2 ,	я . я
cosx----+sinx-----= 1 <=> cos х cos— + smxsm—
2	2	4	4
(	i
<=>cos х— =1,
I 4 .
откуда х - = 2тт, х2 = + 2 т, neZ . Объединив решения х} и х2, получим х = + пк, keZ .
Ответ: х = - + лА:, keZ, 4
8.058. l + cos7x= sin-cos—
I 2	2
Решение.
Имеем
.	_	. 2 Зх - . Зх Зх 2 Зх t	_
l + cos/x = sin-2sin—cos— + cos —, l + cos7x = l-sm3x,
2	2	2	2
f \	7x + —-3x
f Л I	7
cos 7x + sin 3x = 0, cos lx+cos — 3x = 0 <=> 2 cos---x
2	2
7x— + 3x /	\	\
2	/ч	71 I (r я I Л
xcos---------= 0, cos 2x + — cos 5x — = 0.
2 I 4 J I 4 J
Отсюда:
t\	I л	7C7C	л Л
I) cos 2x4-— = 0, 2x4-—= —4-яи, 2x = — 4- m ,
4 I 4 2	4
Л TZH Л /.	- \
Xj =-+ —= -(4и+Ц neZ;
o	2.	о
2) cos|5x-—|=0, 5x-— =—+itk 5x = —л + яЛ,
'	4J	42	’	4
x2 = — n + — = — (4k + 3\keZ
2 20	5	20
Ответ:
xi =7(4«+>^2 =^r(4k + 3\n,ke Z. o	ZU
8.059. 2 tg4 Зх - 3 tg2 Зх +1 = 0.
Решение.
ОДЗ: cos3x *0.
Решив это уравнение как биквадратное относительно tg3x, полу-у/2 гг	± arctg —
чим: 1) tg3x = ±—, х12 =-------—-4-—, keZ;2) tg3x = ±l,
2	3	3
, Л
Хз’4-±12+-3~ ’ пе^' .1	, -J1 пк . п пп ,	„
Ответ: х12 =±-arctg—+ у;х3>4 =+—+ у, k,n<=Z.
( Зл
8.060. sin 2х - sin Зх + sin 8х = cos 7х + — 2
2х + 3х
Решение.
Из условия 2x —Зх (sin2x-sin3x)+(sin8x-sin7x)=0,<=>2sin---cos
А
- . 8x-7x	8x + 7x	_ .x	5x	. x	15x	_
+2sin------cos------= 0, -sm—cos—+sm—cos-------= 0 <=>
2	2	2	2	2	2
. x( 5x 15xЛ <=>-sm— cos---cos--- =0<=>
2^	2	2 J
5x 15x	15x 5x
—— sin —-----— = 0 <=>
2	2
5.	n 2
4=>sin — -2sin— 2
X	j
<=> sin—sin 5x sin—x = 0. 2
Тогда:
1)	sin— = 0, — = ли, x. = 2itn, ne Z;
2	2
2)	sin5x = 0, 5х = лА:, x2 = —, AreZ;
5	5	2
3)	sin—x = 0, — x = таи, x3 = —	Z; Xj и х3 входят в x2.
2	2-	5
Ответ: x = —, keZ. 5
8.061. 4 tg2 3x - cos'2 3x = 2.
Решение.
ОДЗ: cos3x *0.
Имеем
----------1	2 = 0«4z£^)-1---2 = o, cos2 3x cos2 3x------------------------cos2 3x cos2 3x
4^-cos2 3x)-l-2cos2 3x = 0, cos23x = ^.
Отсюда cos3x = ±—3x = ±— + як, x = +—+—, k&Z.
2	4	12 3
л	. it nk
Ответ: x = ±—+—, *G z
8.062. cos3 x + cos2 x - 4 cos2 — = 0.
2
Решение.
Из условия
cos3x + cos2 x-4 — (l + cosx)=0, cos3 x+cos2 x-2cosx-2 = 0, <=> 2
« cos2 x(cos x +1)- 2(cos x +1)=0, <=> (cos x + l/cos2 x - 2 )= 0.
Тогда cosx + l = 0,cosx = -l,Xj =л+2ли =	Z ; cos2 x-2 ^0.
Ответ: x = я(2л + 1} n e Z.
8.063. sin 9x = 2 sin 3x.
Решение.
Переписав уравнение в виде sin 3(3х)~ 2 sin Зх = 0 и воспользовав-
шись формулой sin За = 3 sin а - 4 sin3 а, имеем 3sin3x-4sin3 3x-2sin3x =0, 4sin3 3x-sin3x =0, sin3x(4sin2 3x-l)=0.
Тогда
1) sin3x = 0, Зх = ли, Xi = —, ne Z;
1	3
2)4sin2 3x-l = 0,sin3x = ±-, Зх = ±- + л*5х2 =±—+ — keZ.
2	О	1 о 5
8.064. (sin ^H-cos 1 z)(sinz + cosz)+2 = 0.
Решение.
ОДЗ:
sinz^O, cosz * 0.
Перепишем уравнение в виде
1	1	/.	\ _ Л smz + cosz (.	\ и л
----+-----Msinz+cosz)+2 = 0,	(sinz + cosz)+2 = 0. sinz cosz )	sin z cosz
Отсюда
(sinz+cosz)2 + 2sinzcosz - 0, sin2 z + 2sinzcosz+cos2 z + 2sinzcosz =
= 0,4sinzcosz = -l, sin2z =	.
Тогда 2z = (-1)*+1 -+jtf, z = (-1)*+1—+—, к e Z. 6 v 7	12 2
Ответ-. z = (-l)*+l—+—, к eZ. 12 2
8.065» sin2z + cos2z = >/2sin3z.
Решение.
„ .	ГТ (Я
По формуле cos a + sm a = <2 cos — - a получаем
V-	( Я	|	Г"	( Я	|
2cos---2z = V2sin3zocos —2z -sin3z = 0o
И	J	И	)
<=> cos — - 2z j - cosl — - 3z I = 0, U )	12	)
Я ~ Я	о । о
---------------2z +-----------3z —2z — + 3z - 2 sin--------2-sin—-------2-----_ q
2	2
Тогда:
= 0.
. (5z	Зя^	Л 5z	Зя	5z	Зя
l)sm------=0,------------= яи, — = —
V 2	8 J 2	8	2	8
Z1 =
—я + —яи = —(8и+3), n eZ; 20	5	20
. (z	яА	Л z	я	. z	п	.
2) sin---=0,-----= яЛ, — = — + пк,
12	8J 2	8	2	8
г2=~ + 2яЛ = -(8* + 1),^€2;
4	4
Ответ*. z1 =t^(8>i + 3);z2 =^-(8£ + l), nJceZ.
8.066. 6sin2x + 2sin22x = 5.
Решение.
Перепишем это уравнение в виде
6~(l-cos2x) + 2(l-cos2 2х)-5 = 0 о 2cos2 2x+3cos2x = 0, cos 2х(2 cos 2х + 3) = 0.
Тогда
cos2x = 0, 2х = — + пп, л. =—+ — =—(2л+1), ne Z;
2	’*424
2cos2x + 3*0.
Ответ: х = -^ (2л + Ц л е Z.
8.067. sin Зх + sin 5х = 2(cos2 2х - sin2 Зх).
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
2
_ . Зх + 5х Зх-5х	1	. \
2 sin—-—cos-------= 2 — (1+cos 4x1-
2	2	^2
2 sin 4x cos x = cos 4x+cos 6x <=>
_ . A - 4x + 6x	4x-6x
» 2 sm 4x cos x - 2 cos-cos---
2	2
<=> sin 4x cos x - cos 5x cos x = 0, cos x(sin 4x - cos 5x)=0.
Отсюда:
l)cosx = 0, х, = — + ли = — (2м+ 11 weZ; 2	2
4x-— + 5x	4x + —-5x
7	2
2) sin 4x - cos 5x = 0 <=> 2 sin---cos-------= 0,
2	2
9x Л ( sin--------cos
2 4
=0.
2 4
. f 9x %	Л	9x %	,	9x л .	я
Тогда или	sin ———	= 0,	——— = л£,	— = т + лк,	^2=77 +
12	4	1	2	4	2	4	1о
2 » л /.. «\ » п	(х л j _ х л я . х Зл
+-л/с = — (4fc +1), ke Z, или cos-------=0,---------=—+я/, — = — +
9	18	’	(2 4 J 2 4 2	2 4
3
+ л 9 х3 = —л+2л/, /е Z; х3 входит в х,.
Ответ:	= ^(2л+l) х2 = (4Л+Ц п,к e Z.
2	1 о
п ) э • -2
8.068. lS г+х hctgzx-sm
x(l + cos2x)=0.
Решение.
ОДЗ: sinx^O.
Из условия
-ctgх-ctg2 х + ^+^-С-^ Х—- = 0, -ctgх-ctg2 х + 2ctg2 x = О, sin2 x
ctg2 x-ctgx = 0, ctgx(ctgx-l)=O.
Отсюда:
l)ctgx = O, Xj =у + л/с = у(2Л + Ц keZ;
2)ctgx-l = 0, ctgx = l, x2 = —+ яи = —(4n + l| wgZ.
Ответ:	= ~ (2fc +1); x2 = (4л +1), к, n g Z.
8.069. 2sin3 x-cos2x-sinx = 0.
Решение.
Имеем
2sin3 x-l + 2sin2 x-sinx = 0, 2sin3 x+2sin2 x-sinx-1 = 0, 2sin2 x(sinx + l)-{sinx + l) = 0, (sinx+l)^sin2 x-l)=0.
Отсюда:
l)sinx + l = 0, sinx = -l, Xj =-~ + 2як = j(4fc-l| fceZ;
2) 2sin2x-l = 0, sinx = ±—; x2	—(2и+1) hgZ.
2	4 2	4
Ответ: x, =--(4Л-1)х2 = — (2и+Ц k,ns Z. 2	4
8.070. 3sin5z-2cos5z = 3.
Решение.
Из условия
3sin2| — z |-2cos2| — z |-3| cos2 —z+sin2 — z |=0<=> I 2 I 2 I I 2	2
15 M. И. Сканави, группа A
449
, . 5	5	7 5	. 7 5 ।	5
<=>6sin—zcos—z-2 cos — z-sin — z -3 cos —z+sin —z = 0<=>
2	2^2	2 J (	2	2 J
. 7 5	, . 5	5	.	2 5	„
<=>sin_ — z—6sin—zcos—z + 5cos —z = 0.
2	2	2	2
2 5
Разделив это уравнение на cos —z * 0, получим tg2|z-6tg|z + 5 = 0.
„	5
Решив уравнение как квадратное относительно tg—z, найдем
5	,5	л	, л 2
tg~^ = l, -г = - + л*, Z) = —+-лЛ, ке Z, 2	2	4	10 5
или
5.5 с	2 с 2
tg-z = 5 , —z = arctg5 + 7w , z2 =-arctg5+ -ли, weZ.
2	2	5	5
я 2 t 2	_ 2	.	_
Ответ: ^ = — + у я*; z2 = yarctg 5 + у ял, к, п е Z.
8.071. 4sin3z + —cos3z = 3. 3
Решение,
Перепишем уравнение в виде
. 3z 3z о 3z . 2 3z 2 3z A . 2 3z Л 24 sin—cos — + cos--sin----9 cos----9 sin — = 0 <=>
2	2	2	2	2	2
<=> lOsin2 — -24sin—cos — + 8cos2 — = 0.
2	2	2	2
3z Разделив это уравнение на 2 cos2 — ф 0, получим 5tg2y-12tg^ + 4 = 0;
3z	3z 2
решив уравнение как квадратное относительно tg —, найдем tg — = у,
3^	2	2	2	2	3~	3
— = arctg — + пп, Z| =-arctg—+ —ли, neZ; tg-^ = 2, —x = arctg2 +
2	5	3	5	3	2	2
2	2
=-arctg2 + -nfc, ke Z .
z 3	3
2_____2.2
(✓ZAIOC/Z*. ~1	3---C,	- 3
2	2 2	2
Ответ: zi = “ arctg у+у ял; z2 = у arctg 2 + у я*, к. п е Z.
8.072. (cos 6x - l)ctg 3x = sin 3x.
Решение.
ОДЗ: sin Зх * 0.
Имеем
(cos2(3x)-l)cos3x . , L 2, -Л ->	• 2i л
------—'— -------sin 3x = 0, 12 cos 3x - 2 Icos 3x - sin 3x = 0, sin 3x
-2^-cos2 3x)cos3x-sin2 3x = 0, 2sin2 3xcos3x + sin2 3x = 0, sin2 3x(2cos3x + l)=0.
1	2
Так как sin3x*0,TO 2cos3x + l = 0, cos3x = --, Зх = ±утс+2тс/:1 2	2
Х = ±9Я+3^’ keZ' 2	2
Ответ: х = +-к + -кк, keZ.
Решение.
ОДЗ:
cos —+ х h*0,
I4 J
(n л
cos —x pO. 14	)
Перепишем уравнение в виде
<=> l+cos2x-3(cos2x+0)=0,
„ 1 cos2x = —, 2
2x =+—+2nn, x = +— + nn, ne Z.
3	6
Ответ: x = ±—+л и, n e Z.
6
8.074. 1-cos^r + x)-sin^^X =0.
Решение.
Имеем
1 + cosa* + cos — = 0 <=> l + 2cos2 —-1 + cos — = 0, 2	2	2
-	2 X X л x(X Л л
2cos — + cos— = 0, cos— 2 cos — + 1 =0.
2	2	2^	2 J
Отсюда:
1) cos— = 0,
— = — + nk, Xi = л+ 2nk = л(2£ + 11 keZ: 2 2	1
>v	x 1 x 2	4
2	) 2cos — + 1=0, cos —= —, — = ± — л + 2ли, x2 =± —л + 4ли, 2	2	2	2	3	2	3
ne Z
Ответ: *i = nfa + Oi x2 = ± j л + 4ли, к, n e Z. 2
8	.075. 9C0SX =9sin Y . jcosx	,
ОДЗ: cos x * 0.
Решение.
Из условия
2	2sinjf| 2
32cosx =32sinx.3cosx <=>32cosx=3 S,nx+Cosx 2 COS X = 2 sin X +.
COSX
Отсюда
cos2 x-sinxcosx-l = 0, sinxcosx + l-cos2 x = 0, sin xcos x + sin2 x = 0, sin x(cosx + sin x) = 0.
Тогда:
1) sinx = 0, Xj = nn , ne Z;
.	л
2) cosx + sinx = 0 <=> tgx = l, x2 =~—+ лАг, ke Z
Ответ:
л .	. _
Xj = ли; x2 =	+ лк, и, к e Z.
8.076. sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0.
Решение.
Имеем
(sinx-sin2x)+(sinx+sin8x)=0 <=> 2sin—cos—-— +
- . 5x + 8x 5x-8x л „ . x Зх - . 13x +2sm------cos------= 0 <=> -2 sin—cos—+2sm--x
2	2	2	2	2
Зх л „	3x( . x . 13xA л 3x
xcos— = 0<=>-2cos— sin—sin---- =0<=>cos—x
2	2	2	2 J 2
x 13x	x 13x
9	7	9	9	3x	7x
x2sin—--— cos—---— = 0 <=> cos—sin3xcos— = 0.
2	2	2	2
Отсюда:
Зх . Зх n , n 2 , n fa,	„
1) cos— = 0, — = —+nk, x, =—+—nk = — Qk+l\ keZ-
'	2	2 2	* 3 3 3V
2) sin 3x = 0, Зх = ял, x7 = —, 3
ле Z ;
3)cos—= 0,	=	x3=^ + ^ = ^(2/+ll /6Z;
2	2	2	7	7	7
X] входит в x2.
Ответ:
X|=y;*2=y(M n,leZ.
2
8.077. 2sinz-cosz = -.
Решение.
Переходя к половинному аргументу, находим
«2 Z	2 Z • 2 I	2	*2^1 л
20sm—cos—5 cos —sin — -2 cos — + sin — 1=0, 22^	2	2J<	2.2)
3sin2 —+20sin—cos—-7cos2 — = 0« 3tg2 —+20tg—-7 = 0, 2	2	2	2	2	62
z	z
решив это уравнение как квадратное относительно tg —, найдем tg — = -7,
- = -arctg7 + jtfc, zx =-2arctg7 + 2rc& , fceZ; ^f=3’ 7 = arctSy +
+z/, z2 =2arctgj+2Tt/ = 2arcctg3+2jc/, IeZ .
Ответ: zx =-2arctg7 + 2TtA:; z2 =2arcctg3 + 2n/, Z,
8.078. cos —+ 5x +siiix = 2cos3x.
I2 J
Решение.
Из условия
(sin5x-sinx)+2cos3x = 0 <=» 2cos—-——sin---— + 2cos3x = 0,
7	2	2
2sin2xcos3x + 2cos3x = 0, 2cos3x(sin2x + l)=0.
Отсюда:
l)cos3x = 0, Зх = —+ я£, X, = — + — = — (2^ + 1) ZceZ;
7	2	1 6	3	6 V Л
7C	7C
2)sin2x + l = 0, sin2x = -l, 2x = —+2ял, x3 =—+itn =
2	2	4
= ^(4и-1) n&Z.
Ответ: *1 = ^$k + l); x2 =-^(4л-1) к,ne Z. 6	4
/ K x \
8.079. (l + sinx)tg-----=cos-1 x-cosx.
4 2 I
Решение,
cosx^O, ОДЗ: cos
--- Uo. 4 2
Имеем
(1+sinx
• i я sin —
1 ------cosx, cosx
(1 + sin хХ1 - sin х) _ 1-cos2 x cosx	cosx
Отсюда 1 - sin2 х = 1 - cos2 х, sin2 х = cos2 х <=> tg2 х = 1, откуда
ТС	Я
tgx = ±1, т.е. xj = —+ л£ , ке Z, х2 =	+ тси, ne Z. Объединив Xj
л пк И/., а
и х2,получим х = — + — = — (2х + 1), ке Z.
4 2	4
Ответ: х = —(2А + 1} keZ.
4
8.080. cos х - л/з sin х = cos Зх.
Решение,
Из условия
(cosx-cos3x)-V3 sinx = 0 <=>-2sin	sin——— - л/з sinx =0,
2	2
2 sin 2х sin х - л/з sin x = 0, sin x(i sin 2x - VI )= 0.
Отсюда:
l)sinX = 0, Xj=TCH, hgZ;
2)	2sin2x-7з =0, 2sin2x = — 2x = (-l)* -^ + тсЛ, 2	3
(л\к тс Ttk .	_
-1Г — +—, ke Z '62
Ответ:
Xj = тси;х2 = (-1)* +
8.081. 6sin2 x + sinxcosx-cos2 x = 2.
Решение.
Имеем
6sin2 x + sinxcosx-cos2 x-2^in2 x + cos2 x)=0, 4sin2 x + sinxcosx-3cos2 x = 0 <=> 4tg2 x + tgx-3 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tg х, получим тс	3	3
tgx = -l, X. =—- + idc, ке Z; tgx = -, х2 = arctg-+тг, neZ-4	4	4
я	,	3	,	„
, Ответ: х( = — + юс; х2 = arctg—+пп, к,пе Z.
4	4
8.082. cos7x + sin8x = cos3x-sin2x.
Решение.
Имеем
(cos 7х - cos Зх) + (sin8x + sin 2x) = 0 <=> -2 sin
7x + 3x . 7x-3x
+ 2 sin +	cos ——— = 0,-2 sin 5x sin 2x + 2 sin 5x cos 3x = 0,
2	2
-2 sin 5x(sin 2x - cos 3x) = 0.
Отсюда:
l)sin5x = 0, 5x = ял, xj = n g Z;
2) sin 2x - cos 3x = 0 <=> sin 2x - sinI у - Зх I <=>
2x4- —-Зх	2x- —4-Зх	/_	/г
л о	( Я	х ]	.	( 5	я	л
<=> 2 cos-*--sin-----= 0, 2 cos-sin — х — = 0.
2	2	И	2J	U	4J
Отсюда:
ч (п х^ Гх я^ л х я я .	3
a)cos-----= cos-= 0,--= —4-я£, х9 = — it + 2nk =
U 2J 124)242	2 2
= -y+2rot = y(4*-l),*eZ;
б)	sin|—Х-— | = 0, — Х-— = nl, х3 =—+ —л/ = —(4/ + 1), I е Z.
<2 4J 2	4	3 10 5	10
Ответ: Х} = ™;х2 = ^(4к -1); х3 = ^(4/ +1), п, kJ е Z.
8.083. sin2x-2sinxcosx = 3cos2x
Решение.
Разделив обе части уравнения на cos2 х # 0, имеем tg2 х - 2 tg х - 3 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tg х, найдем
я
(tgx)j = -1, X] = — + пк, к e Z;(tg х)2 = 3; х2 = arctg 3 + лл, п 6 Z.
Ответ: Xj =	+пк, х2 = arctg 3 + пл, к, п е Z.
8.084. cos5x+cos7x = cos(n+6x) Решение.
Из условия _ 5х + 7х	5х-7х
2 cos-----cos-------
2	2
cos 6х(2 cos х +1)=0. Отсюда:
+ cos6x = 0, 2cos6xcosx+cos6x = 0,
Я l)cos6x = 0, 6х = —+ ТСЛ, Xj =
ТС ТС Л	ТС . \ п
—+— =—(2/14-11 neZ;
12	6	12
1	2
2) 2cosx4-l = 0, cosx =—, х, =±—л4-2л&, A:gZ.
7	2	2	3
Ответ: Xj =^-(2и4-1)х2 =±уЯ4-2лЛ, n,keZ.
8.085. 4sinxco;
i=l.
Решение,
По формулам приведения имеем
4sinxsinx-4sinxcosx+2cosxcosx-l = 0,
4sin2 x-4sinxcosx+2cos2 x-(:os2 x+sin2 x)=0,
3sin2 x-4sinxcosx+cos2 x = 0, 3tg2 x-4tgx+l = 0;
решив уравнение как квадратное относительно tg х, найдем (tg х)| = j, х{ = arcig-^ + тсА:, ке Z; (tgxl =1, х2 = ^+ли, neZ-
3	.	4
1	тс
Ответ: х{ = arctg— + лк; х2 = — + тел, Л, п е Z.
8.086. cos6x = 2sin—+2х
I 2
Решение.
ГЗтс	I
Представив уравнение в виде cos 3(2х)- 2 sin —+2х = 0 и приме-12	J
нив формулу cos За = 4 cos а - 3 cos а, имеем
4 cos3 2х - 3 cos2x 4-2 cos 2х = 0, 4 cos3 2х - cos2x = 0,
cos2x(4cos2 2х -1)= 0.
Отсюда:
l)cos2x = 0, 2х = — + пк, х. = —+— = —(2&+1) fceZ; 2	1 4 2 V л
2)	4cos22x-l = 0, cos2x = ±—, 2х = ±— + ял, 2	3
Х2 =
я пп
— +—, wgZ.
6 2
Ответ: х, = — (2& + 1)х2 =±— + —, MeZ. 1 4	2	6 2
8.087. 2 sin х cos^^" + * j- 3 sin(^ - x)cos x++ x jcos x = 0. Решение.
По формулам приведения
2 sin х sin х - 3 sin x cos x + cos x cos x = 0,
2sin2 x-3sinxcosx + cos2 x = 0 <=> 2tg2 x-3tgx + l =0;
решив уравнение как квадратное относительно tg х, найдем (tg х\ = ~,
X! = arctg+ ък , к е Z ; (tgx)2 = 1, х2 = + тт = (4л +1), п е Z.
Ответ: Xj = arctg + пк; х2 = (4л + 1) к, п g Z. 2	4
8.088. (sin4z + cos4z)2 = 16sin2zcos3 2z-8sin2zcos2z.
Решение.
Из условия
sin2 4z + 2sin 4rcos4/ + cos2 4/ = 8(2sin2/cos2t)cos2 2t - 4(2sin 2tcos 2t)<^>
<=» sin2 4t +2sin4rcos4f+ cos2 4r = 8sin4r ^(l + cos4/)-4sin4r, sin24/+ 2sin4rcos4z + cos24f = 4sin4/(1 + cos4r-1), sin24/ + 2sin4rcos4r + + cos24z =4sin4zcos4r, sin2 4/-2sin4zcos4z + cos2 4t = 0,
(sin 4z - cos 4t f =0, sin 4t - cos 4t = 0 <=> tg 4t = 1, 4z = — + nk,
4
r = 2L + ^ = 2L(4^ + Q keZ.
16 4	16
Ответ: t = — (4k + 1} keZ.
8.089. cosl
1
2cos 130
Решение.
Имеем
+ sml
cos 50’	'	' 2 cost 80°-50°)^
cos(zz -18° )sin 50° + sinfez -18° )cos 50° _	1
-2cos50'
sin(2z+32°)=-|.
cos 50° =>sm(2/-18’+5O°)=-|,
Отсюда:
1) 2/+ 32° =-30°+360%,
keZ, z, =-31° +180%;
2) 2z + 32° =210°+360%.
z2 =89 +180%, keZ.
Ответ: tx =-31° +180%; t2 =89° +180%, keZ.
8.090. tg^-ctgy + cos *^sin_Iy = l. Решение.
ОДЗ:
t Л cos—*0, 2
• 3z л sm— * 0.
2
Перепишем уравнение в виде
. Z 3Z sm—cos—	.	.	,,
2	2	1	, n . Z 5t z .
— -----£- +-----z--l = 0=> sm—cos-cos—sm
z . 3z	Z .	3z	2	2	2
cos-sm— cos—sm—
2	2	2	2
«sin|—|+l = 0,	-sinz+l = 0,	sinz = l.
k2 2 J
Отсюда z = —+2zt£ =—(4/r+11 keZ. 2	2
+1 = 0
Ответ: t = (4к +1) keZ.
8.091.
1_________1
л/З-tgr у/3 + tgt
= sin 2t.
Решение.
ОДЗ:
tg/ * ±г/з, cos / # 0.
Имеем
Ji.ig.-JS+.g. =sin2)| 2Js< in2,=()e
(73-tgr)(73+tgJ	3 18'
2 sin/
cos t . л	2 sin/cos2/	. ~ л
<=> —-------sin It = 0 <=>------------— - sin 2/ = 0 =>
3-sin-./	cos/pcos2 /-sin2 /)
cos2 /
=>2sin/cos/-2sin/cos/(3cos2 / -sin2 /)= 0,2 sin/cos/(1-3 cos2 / +sin2 /)=0, 2sin/cos/(sin2 / + cos2 /-3cos2 / + sin2 /)=0, -2sin/cos/(cos2 /-sin2 /)=0, sin/cos/cos2/ = 0.
Отсюда:
1) sin/ = 0, /j = nn, ne Z ;
_ л л 7C ,	71 itk 71 t \	,	_
2)cos2/ = 0, 2/= — + 7%, z2=—+— = —(2Zc + lJ keZ-9cost*0.
2	4	2	4
Ответ:
/j =яи; /2 =^-(2Zc + Q
n, к e Z.
8.092. cos(20o +x)+cos(100°-x)=si.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
20°+х + 100°-л-	20°+х-100°+х 1 . ,ло/	1
2cos-------------cos-------------= -, 2cos60 lx-40 )= — ,
2	2	2	2
cos(x-40°)=-^.
Отсюда
x-40° =±60’ +3604, x1 =-20°+360%; x2 =100° +360%, keZ-
Ответ: x, = -20° + 360° k\ x2 = 100° + 360е к, к e Z.
8.093. coszsin —+6z +cos — -t Isin6z = cos6z+cos4z.
I2 J I2 J
Решение.
По формулам приведения cos t cos 6z + sin t sin 6z = cos 6z + cos 4/ <=>
/,	\ - 6z + 4z 6z-4z Л	c. c. . л
<=> cos(6z -Z l-2cos--cos-----= 0, cos5z -2cos5zcosZ = 0,
2	2
cos5z(l-2cosz)=0.
Отсюда:
l)cos5z = 0, 5z = — + як, z. =—+— =—(2/c + Q keZ; 2	1 10	5 IOV
2)1-2cosz = 0, cosz = — , z2=±—+2л/, leZ. ’	2	3
Ответ: Z] =^(2^+l|z2 = ±y+2itZ, k,leZ.
1-cosx „
8.094. ----— = 2-
sin—
2
Решение.
ОДЗ: siny^O.
Из условия
l-cos2 -у l-l+2sin2 —
12*	о а . х , х п Л ,
-----—= 2 <=>	— = 2 =ф sin— = 1, — =—+2кк, . х	. х--2	2 2
sin—	sin—
2	2
х = п + 4пк = п(4к + 1} к e Z.
Ответ: х = я(4А:+1Х keZ.
7х	Зх	х	5х
8.095. sin—cos — + sin—cos — + sin2xcos 7x = 0.
2	2	2	2
Решение.
Применив формулу
sin acos Р = у (sin (a - 0 j+ sin (a + p))
запишем
уравнение в виде
2
2
. ( 7х Зх sin---------
2	2
I . (7х Зх + sin-----1---
I 2	2
5х ] . (х 5х ] ] — +sin —+— +
2	2 2
+ (sin(2x - 7х)+ sin(2x + 7х))=О,
sin 2х + sin 5х - sin 2х+sin Зх - sin 5х+sin 9х = О,
9х д. 3 х	9х — Зх
sin 9х + sin Зх = 0 <=> 2 sin-cos-----= 0, sin 6х cos Зх = 0.
2	2
Отсюда:
1) sin6x = 0,
6х = ли,
пп
—, п 6 Z •
6
2) cos3x = 0,
Зх = — + 2
Я*, Х2="б+~’ *е > х2 ВХ°ДИТ В Х1 •
~	ли „
Ответ: х-—, neZ.
6
8.096. sin Зх + sin 5х = sin 4х.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
2 sin 3**5Х cos 3*—_ sin 4х = 0, 2 sin 4х cos х - sin 4х = 0, 2	2
sin 4х(2 cos х -1) = 0.
Отсюда:
l)sin4x = 0, 4х = ли, Xj=—, mgZ;
4
2)2cosx-l = 0, cosx = y, x2 =±у + 2яА: = у(бЛ:±1) keZ.
Ответ: Xj = ™ix: =у(б£±1)> n,ke Z.
8.097. sin z - sin2 * * * z = cos2 z - cosz. Решение.
sinz + cosz
z+cos2z)=0, sinz+cosz-l = 0,
. JZ 1 Jl) ( 1Z 2 Z А л ~  Z z 2 Z sin2 — +cos2 - - sin — + cos — =0, <=>2sin—cos—+cos —-2	2	2	2	2	2	2
-sin2 —-sin2 —-cos2 — = 0<=>2sin—cos—-2sin2 4 = 0<=> 2	2	2	2
z л
2 J
^„2 z _^2 z
- 2 — 2
„ , z( _ z
V, 2U”2
Отсюда:
<=>2sin— cos—sin— =0.
. Z л Z
1) sin— = 0, — = лл, 2	2
z{ = 2л», n e Z ;
2) cos—-sin—= 0 « tg—= 1, — = —+nk, z2 =^+2nfc = ^(4fc + l) 2	2	62	2 4	2 2	2
keZ.
Ответ: z( = 2л»; z2 = у (4fc + Ц n, к e Z.
8.098. sin z + sin 2z + sin 3z = cos z + cos 2z + cos 3z. Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
.	. z + 3z z-3z	. _	. z + 3z z-3z	.
2sin----cos-----+sin2z =2cos------cos----+cos2z &
2	2	2	2
2 sin 2z cos z+sin 2z	= 2 cos 2z cos z + cos 2z, sin 2?(2 cos z+1)-
-cos2z(2cosz+1)= 0,	(2cosz+lXsin2z -cos2z)= 0.
Отсюда:
12	2
l)2cosz+l = 0, cosz = -j, z, =±уЯ + 2лА: = ул(ЗА:±1), keZ;
2) sin2z-cos2z = 0<=>tg2z = l, 2z = —+ ли, z2 = — + — = —(4м+1}
4	2 8 2	8
ne Z.
A
Ответ:	=— я(3&±1) z2= —(4л + 1) ktneZ.
3	8
8.099. ctgx-tgx+2-
( I
ktgx + l
1 tgx-1
= 4.
Решение.
ОДЗ:
tgx * ±1, cosx # 0, sin x * 0.
Из условия
4 sinx
cosx _ sin2 x
cosx sinx sinx cosx
cos2 x
2cos2x 2sin2x .
---------------= 4,
sin2x cos2x
Отсюда 4x = — + tin, 4
cos2 x-sin2 x 4 sin xcos2 x sinxcosx cosxtsin2 x-cos"
cos22x-sin22x , cos4x , x A , -------------= 1, -----= 1, ctg 4x = 1.
2sin2xcos2x sin4x
7t UH 7C /.
— +— = —(4л + 11 neZ, 16 4 16V	Л
Ответ: x = тт (4и+0 ne Z. 16
8.100.	l-cos6x = tg3x.
Решение.
ОДЗ: cos Зх * 0,3x # — + ял, x # — (2л + Q n g Z. 2	6
Имеем
1-cos 6x —S*n	=0, (1 - cos 6xXl+cos 6x)— sin 6x = 0,
l+cos6x
1-cos2 6x-sin6x = 0, sin2 6x-sin6x = 0, sin6x(sin6x-l)=0.
Тогда:
1 \	• Z" z\ Z"	7C/1	/'ЧТТ’Э	Ttin
1)	sin6x = 0, 6x = тш, Xj = — ,носучетомОДЗ Xj = —,
6	3
m*2n + l, meZ;
2)	sin6x-l = 0, sin6x = l, 6х = -^ + 2тЛ, x2 = — + ~ = ]y(^ + 0,
keZ-
Ответ: *1	<x2 =^-(4fc+l) m,keZ.
8.101.	V? cos х ч-cos 2х + cos 4х = 0.
Решение,
Перепишем уравнение в виде
—	2х + 4х	2х-4х	г~
2 cos X 4- 2 cos - — cos = О » V2 cos X +
2	2
4- 2 cos Зх cos x = 0 <=> cos x( V2 4- 2 cos 3x) = 0, Отсюда:
1) cos x = 0, Xj = у 4- пк = у (2k 4-1), к e Z;
/-	42	3
2) V2 4-2cos3x = 0, cos3x =-, Зх = ±—я4-2ял,
'	2	4
x2 - ±—+—лл = — (8л ± 3), k,neZ,
2	4 3	12	7
Ответ: Xj = y(2£ +1); *2 = yy ± 3), k,n e Z. 8.102. sin4x4-cos4x = sin2x-0,5.
Решение,
Имеем
(sin2 x 4- cos2 x)2 - 2sin2 xcos2 x - sin 2x + 0,5 = 0 <=> 1 - ~sin2 2x -
1	7
- sin 2x 4- — = 0, sin 2x 4- 2 sin 2x - 3 = 0.
2
Решив это уравнение как квадратное относительно sin 2х, получим
sin 2х = -3,0, или sin 2х = 1, 2х = — 4- 2лл, х = — 4- пп = —(4л 4-1), n g Z.
2	4	4
п
Ответ: х = —(4л 4-1), л е Z.
4
8.103.	2cos2x4-2tg2x = 5.
Решение,
ОДЗ: cosx*0.
Перепишем уравнение в виде
2 cos 2х 4- ——- 5 = 0 => 2 cos 2х(14- cos 2х) 4- 2(1 - cos 2х) -14- cos 2х
- 5(14- cos 2х) = 0, 2 cos2 2х - 5 cos 2х - 3 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cos2x , найдем
cos2x = 3,0, или cos2x = -—, 2х = ±—л + 2л& 2	3
х = +у + л* = у(з*±1)> keZ.
Ответ: х = у (3£ ± 1) к е Z.
8.104.	sin2хsin6х = cosxcosЗх.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
у (cos(2x-6x)-
cos(2x + 6х))- у (cos(x - Зх)
+ cos(x + 3x))=0,
cos 4х - cos 8х - cos 2х - cos 4х = 0, cos 8х + cos2x = 0 <=>
2 cos------cos------= 0, cos 5x cos Зх = 0.
2	2
Отсюда:
I)cos5x = 0, 5x = —+	x, = —+ —= —(2Zc + l) keZ;
J	2	1 10 5	10V Л
2)cos3x = 0, Зх = —+ ли, x2 =^ + —= —(2« + l) neZ.
Ответ: Xj = -^-(2Zr+ 1) x2 =у(2л + 1) k,ne Z. 10	6
8.105.	sin4 2x + cos4 2x = sin2xcos2x.
Решение.
Имеем
(sin2 2x + cos2 2х^ -2sin2 2xcos2 2x-sin2xcos2x = 0,
1	- 2 sin2 2x cos2 2x - sin 2x cos 2x = 0 <=> sin2 4x + sin 4x - 2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin4x, найдем sm4x =-2, 0 , или sin4x = l, 4x = y + 27in, х = у+ —= у (4л+ 1), не Z •
Ответ: х = — (4и + 1} neZ. о
Решение.
Из условия
1
2cos210'
:-3O°Jsin3O’ 1
cos 30’	~ 2cos^80’+30’)
cos(jx-30’)cos30’ -sm^x-30’)sin30’______1_______
cos 30’	2cos^80’+30’)
cos(3x-30° +30’)	1	_	.	-	- rt
—--------------1+-------= 0 <=> 2cos3x+l = 0,
cos 30’	2 cos 30’
cos(jx-30‘
1	2	2я 2
откуда cos3x = —, 3x = ±—n+2nk, x = ±—+—itk, ke Z.
2	3	9 3
,2n 2 . . _ Ответ: х = ±-+-як, keZ.
8.107. 4 sin x + cos x = 4.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
2 x ^„2 x
X
4sin2 — +cos2 — -4 cos—+sin — =0<=>8sin—cos — + 2
2
2	2
2”" 2
+cos2 --sin2 —-4cos2 —-4sin2 — = 0, 5sin2 —-8sin—cos—+
2	2	2	2	2	2	2
+ 3cos2 = 0, <=> 5tg2 — -8tg—+3 = 0.
2	2	2
~ 4 *
Решив последнее уравнение как квадратное относительно tg у, найдем
3	3
arctg — + лл, Xj =2arctg —+ 2ял, ие Z;
5	5
= 1,
у 1 =^ + nk> x2 = y+2nfc = y(4Ar+l), keZ.
Ответ: х, = 2 arctg +2ял; х2 = у (4& +1} п,ке Z.
8.108.	2sin2z + tg2z = 2.
Решение.
ОДЗ: cosz *0.
Из условия
_ . о sin2z Л ~ • 2 sin2z - Л 2sin z+—г—2 = 0 <=>2sinz +-----------—2 = 0=>
cos z	1—sin z
=> 2 sin2 z(l - sin2 z)+ sin2 z - 2^ - sin2 z)= 0, 2 sin4 z - 5 sin2 z+2 = 0.
Решив это уравнение как биквадратное относительно sinz , полу-
чим sinz = ±—, z = — + — = ~ (2£ + 1), keZ.
2	4 2 4V 7
Ответ: z = (2к +1} keZ.
4
8.109.	cos2x + cos6x + 2sin2 х = 1.
Решение.
Из условия
cos 2х + cos 6х - (1 - 2 sin2 х )= 0 <=> cos2х + cos 6х - cos 2х = 0, cos 6х = 0 .
,_L	, Л	Л ЛЛ	Л /_	,\	~
Тогда 6х = — + лл, х = —+—= —(2л + Ц, neZ.
2	12	6	12
Ответ: х = —(2л + 1) weZ.
8.110.	cos Зх cos 6х = cos 4х cos lx.
Решение.
Имеем
у (cos(3x - 6х)+ cos(3x + 6х))=(cos(4x - 7х)+ cos(4x + 7х))
cos Зх+cos 9х - cos Зх - cos 11х = 0, cos 9х - cos 11х = 0 <=>
_ . 9х + 11х . 9х-11х л • 1Л • л
» -2 sin-------sin------= 0, sin 1 Ox sin x = 0.
2	2
Отсюда:
l)sinl0x = 0, 10х = пл, Xi=—, weZ;
10
2) sin х = 0, х2 = пк, ке Z; х2 входит в Xj.
хч	Л Л
Ответ: х = —, п е Z.
Jy	1
8.111. sin3x +—sin5x + — cos5x = 0. 2	2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin3x + cos30° sin5x+sin30’ cos5x = 0, sin3x+sin(30’ +5x)= 0 <=>
„ . 3x+30’+5x	3x-30’-5x n . (. t<A / n
e*2sin-----------cos----------= 0, sin^4x+15 )cospc+15 J=0.
Отсюда:
1) sin(4x + 15’)=0, 4x+ 15’=1804, xt=-^- + 45%, teZ; 2) cos(x + 15’)=0, x +15’=90’+1804, x2 = 75’+1804, ne Z. Ответ: x, = -3’45 + 45%; x2 = 75’ +180’ n, k,ne Z.
8.112. ctg3 x + sin“2 x-3ctgx-4 = 0.
Решение.
ОДЗ:	sinx^O.
Из условия
COS3X 1 3COSX . Л з .	-	* 2 a ‘ 3 f\
—-— + —--------:------4 = 0=» cos x+smx- 3cosx sin x -4sin x = 0,
snrx sin2 x sinx
cos3 x + sinx^in2 x+cos2 x)-3cosxsin2 x-4sin3 x = 0, cos3 x +
+ sin x cos2 x+sin3 x - 3cos x sin2 x - 4 sin3 x = 0, (cos3 x + sin xcos2 x)~
- 3 cos x sin2 x - 3 sin3 x = 0, cos2 x(cos x+sin x)- 3 sin2 x(cos x + sin x) = 0, (cosx + sin x)(cos2 x-3sin2 x)=0.
Отсюда:
1) cosx + sinx = 0;
2) cos2 x-3sin2 x = 0 => ctgx = -1, x, = — + m, ne Z;
4
Ctgx = ±у[3 , x2 =±—+ 7l/c , к G Z .
6
ЗтС	. 7C •	«
Ответ: Xj = — + Ttn; x2 = ±- + як, n,ke Z. 4	6
•у	у	О	3
8.113.	cos Зх + cos 4x + cos 5х = —. 2
Решение.
По формулам понижения степени получаем
111	3
— (1+cos 6х)+ — (1 +cos 8х)+—(1+cos 1 Ox) =—, cos 6x+cos 8x +
6x+10x	6x-10x	„ Л
+coslOx =0 <=> 2cos-cos-+cos8x = 0,
2
cos8x(2cos2x +1)=0.
2 2cos8xcos2x + cos8x = О,
Отсюда:
l)cos8x = 0, 8x = — + nk, Xi = — + — = —(2Л+1), keZ;
2	1 16 8	16
2)
2cos2x + l = 0, cos2x = -—, 2x = ±—n + 2nk, x2 =±—+ ля = —(Зи±11 2	3	2	3	3
я g Z.
Ответ: Xj = 77 (2 к +1) x2 = (Зи ± 0	n e z-
lo	3
8.114.	l + sinx-cos5x-sin7x = 2cos2 |-x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
l+sinx-cos5x-sin7x = l+cos3x <=> (sinx-sin7x)-(cos5x + cos3x)=0 <=> <=> -2 sin Зхcos4x - 2cos4xcosx = 0, -2 cos4x(sin 3x + cosx) = 0.
Отсюда:
l)cos4x = 0, 4x = —+ nA:, x, = —+ —= —(2£ + l), fceZ;
'	2	1 8	4	8 V Л
(-	\	3x + y~x
--x
2
2) sin3x+cosx = 0 <=> sin3x + sin —-x =0, 2sin “2
Имеем
f	л It	7U /«	_
sinI x + — =0, x + —= лл, x2 = — + ли=—(4и-Ц weZ,
14	4	4	4
или
cosf2x-—1=0, 2х-—= —+ л/, х3=—л +—, leZ-4	4 2	3 8	2
х3 входит в х}.
Ответ: X! =-^(2& + 1) х2 = ^-(4л-1) к, neZ.
8.115.	-^^ = 2-ctgz.
1 + cosz Решение.
ОДЗ: Jsin2*0’ [cosz ^-1.
Из условия
—Ш—— 2 +	= 0 => sin2 z - 2 sin z(l + cos z)+ cos z(l+cos z)= 0
1 + cosz sinz
sin2 z-2sinz-2sinzcosz+cosz+cos2 z = 0, (l-2sinz)+
+ (cosz-2sinzcosz)=0, (l-2sinz)+cosz(l-2sinz)=0, (l-2sinzXl + cosz)=0.
Отсюда
l-2sinz = 0, sinz = —, z = (-1)* — + nk, 2	6
ke Z; 1+cosz * 0.
Ответ:
z = (-1)*^ + nk, keZ. 6
8.116.	sin^5°+x)+cos(45’+x)+| = 0.
Решение.
Имеем
sin^5° +x)+sin(90’ -45° -x)+^ = 0,
sin(l5° +x)+sin(45° -x)+
1 Л 0. 15° + x + 45°-x	15°+x-45°+x 1 _
+ - = 0 <=> 2 sin-------cos-------------+ — = 0,
2	2	2	2
2 sin 30° cos(x -15°)+ j = 0, cos(r -15°)=-^.
Отсюда
х-15° =±120° +360%,	=-105°+360%; х2 = 135° +360%, ке Z-
Ответ: xf = -105° + 360%; х2 = 135° + 360%, к е Z.
8.117.	1 + sin 2х = sinx + cosx.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin2 x+2sinxcosx+cos2 x-(sinx+cosx)= 0, (sinx+cosx)2 -
- (sin x + cos x)= 0, (sin x+cos xXsin x+cos x -1)= 0.
Отсюда или sinx + cosx = 0, или sinx + cosx-1 = 0-Из первого
уравнения tgx =-1, х. = -—+ л£ = —(4&-1), ке Z. Второе уравнение 4	4
запишем в виде
2sin—cos—+cos2 --sin2 —-fcos2 —+sin2 — 1=0, 2sin—cos —-
22	2	2 {	2	2)	2	2
-2sin2 —= 0, 2sin—[cos—-sin—|=0.
2	2^2	2)
Отсюда
X	X
sin — = 0, — = nn, x, = 2ли, n e Z,
2	2	2
или
cos ——sin — = 0 <=> tg—= 1—= — + л/, x3 = —+2л/ = —(4/ + l|/e Z. 2	2	z 2 4	3 2	2
Ответ: x( = (4Л -1); x2 = 2лп; x3 = у (4/ +1| k,n,le Z.
8.118.	3(l-sinz)+sin41 = l+cos4t.
Решение.
Из условия
3-3sinl+sin4l-l-(;os2tj =0, sin4t-3sint+2-(l-sin2zy = 0<=>
<=>2sin2 z-3sin/+l = 0.
Решив последнее уравнение как квадратное относительно sinl, получим (sin/)] = |, t, =(-1^^ + пк, ке Z,
2	О
(sint)j =1, t2 =у+2ли = у(4л+1), ne Z.
Ответ: ^ = (-1^у+лЛ;Г2 =^(4n + l} k,neZ. О	2
8.119.	tg^^ + x^-3tg2 x = (cos2x-l)cos 2 x Решение. [cosx 0,
0ДЗ:
Имеем
.	2 cos2x-l 1	2 l-cos2x
- ctgx - 3 tgz X =--— <=>-----+ 3 tg X =  -<=>
cos x tgx	|(l+cos2x)
<=> —— + 3tg2 x-2tg2 x = 0, ——+tg2 x = 0=> tg3 x+l = 0, tgx	tgx
tgx = -l, x = ~— + itk = —(4Л-11 keZ. 4	4
Ответ: х = -^(4£-1} keZ. 4
8.120.	cos2 —+ cos2 - -sin2 2x-sin2 4x = 0. 2	2
Решение.
По формулам понижения степени
(1+cos х)+ (1+cos Зх)-у (1 -cos4x)- (1 -cos 8х)=0,
(cos х+cos Зх)+ (cos 4х+cos 8х)= 0 <=> 2 cos 2х cos х+2 cos 6х cos 2х = 0, 2 cos 2x(cos х+cos 6х)=0.
Отсюда:
l)cos2x = 0, 2х = — + як, Xi = — + — =—(2Л + 1| keZ;
’	2*424
_	. Л _	,х+6х	х-бх л 7х	5х .
2) cos х+cos 6х = 0 <=> 2 cos-cos-= 0, cos—cos — = 0 =>
2	2	2	2
a)	cos—= 0, — = —+ яи, x2 = — + — icn = — (2и + 11 neZ; 2222777VA
6)	cos— = 0, — = -+я/, х,=-+-я/ = -(2/ + 1} leZ. 2	22	3 5 5 5V Л
Ответ: x, =^-(2fc+l)x2 =y(2n+l)x3 =y(2/ + l} k,n,leZ.
8.121.
sin* 2 * * 5х-1 A 2 X
л ;,°18 у sin x-4cos —
2
Решение.
2 х л cos — * О,
ОДЗ: 2Х . 2 х	л 2 х л
sin----4cos — ^0.
I 2	2
Перепишем заданное уравнение в виде
sin2x-2 _ 1-cosx 1-cos2 х-2 1-cosx sin2 х-2(1 +cosx) 1+cosx 1-cos2 x-2-2cosx 1 + cosx cos2x + l	1-cosx л cos2x + l	1—cosx л
-----------------------= о,------------------= 0 => cos2 X + 2COSX + 1 1+COSX (1+cosx)2 1 + cosx => cos2 x + l-(l-cosxXl+cosx)=0<=>2cos2 x = 0, cosx = 0,
x = y + Л& = y(2£ + l) keZ.
Ответ: x = у (?k + 1) ke Z.
8.122. cos2 x + cos2 2x - cos2 3x - cos2 4x = 0.
Решение.
По формулам понижения степени
± (1+cos2x)+~ (1 + cos4x)- у (1 +cos 6х)- у (1 + cos8x)=0, (cos2x + cos4x)-(cos6x+cos8x)=0 <=> 2cos3xcosx-2cos7xcosx = 0,
2 cos x(cos 3x - cos 7x) = 0.
Отсюда или cos x = 0, или cos Зх - cos 7x = 0. Из первого уравнения имеем х1 = у + пк , к е Z . Второе уравнение эквивалентно следующему: sin5xsin2x = 0, откуда или sin5x = 0, 5х = ял, х2=^у, neZ, или8ш2х = 0, 2х = л/, х3 =у , ZeZ; Xj входитв х3.
Ответ: х, =—;х2=—, n,leZ.
5	2
8.123.	sin3x-4sinxcos2x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin Зх -2(sin(x -2х)+ sin(x + 2х)) =0, sin Зх + 2sin х -2 sin Зх = 0, sin 3x-2sinx = 0.
Так как sin3a = 3sina-4sin3 а , то 3sinx-4sin3x-2sinx = 0, 4sin3 х - sin х = 0, sin x(l sin2 х -1)= 0.
Отсюда:
l)sinx = 0, хх=пп. neZ,
2)	4sin2 х-1 = 0, sinx = ±—, х2 = ±—+ л£ = —(б/с ±Q keZ.
2	6	6
Ответ:
X] = ли;х2 = —(б/с±1), 6
л, к е Z.
8.124.	tgx + ctgx = 2cos“l4x.
Решение.
cos х # 0, ОДЗ: -sinx^O, cos4x*0.
Из условия
sinx cosx 2 Л sin2x+cos2x 2
-----+------------= 0,--------------------= 1
cosx sinx cos4x sinxcosx cos4x
1	1	7
<=> -—---------— = 0 => 2 sin 2x+sin2x -1 = 0.
sm2x l-2sin22x
Решив это уравнение как квадратное относительно sin2x, най
дем (sin2x)j = -1,2xj = --|-+2лЛ, Xj = “+л£, ке Z ; (sin2x)2 ,
2х2 = (-1/ +л/, х2 = (-1/ ~ + ~, /•€ Z. Объединив решения х( и 6	12 2
л пк л /., ,\
х2, получим Х = —+ —= —(4*+1), keZ.
Ответ: х = — (4Л + 1) к е Z.
8.125.	sin^ + Зх j-sin(n-5x)= VJ (cos5x -sin3x)
Решение^
Перепишем заданное уравнение в виде
Л _	-	Л -	_
— + Зх - л + 5х	— + Зх + л - 5х
2	2
—-----------cos—------------
2	2
2 sin
1) sin|4x- — )=0, 4х-—= л&, 4х = —+ л&, Xj = — + —= —(41'+ 1)
4 j 4	4	1 16 4 16
A:gZ;
(Зл А ГТ . ( л^ ~ Зл . Зл .
2) cos---х +V3sin х + — =0<=>cos—cosx + sin—sinx +
4	4	4	4
ГТ .	Л	ГТ	Л	_	Л	.	. л
+ V3 sinхcos — + V3 cosxsin — = 0, -cosxcos— + smxsin— +
4	4	3	6
. Л	Л
+ sin x sin — + cos x cos— 3	6
л f	Л .	. Л
= 0«- cosxcos—sinxsin — +
3	3
+cosxcos— + sinxsin — = 0<=>-cos X + — + COS X— =0<=>
6	6 I 3 J I 6 J
л л
^sin---5----
2
Л Л
 x+3'x+6 „ - (
sin--------— = 0, sin x+— sin — = 0,
2	12	4
= 0, x2 =——+mi = — (12/j-l), neZ.
2	12	12
 I я sm x + —
I 12
Ответ: *i =	+1)x2 = -^(12n-l) k,neZ.
16	12
1	1	16
8.126.	:----- + —— = тт-
1+cos z 1 + srn Z 11
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
1	|	1	16 Q 2	|	2	16_0
l+|(l+coS2z)+l+|(l-cos2z) 11	’ 3+cos2z 3-cos2z 11.
о 3	у/з л
=> cos 2z =	cos2z = ±—, 2z = ±— + лк,
4	2	6
z = ±—+— = — (6k±likeZ. 12 2	12v л
Ответ: Z =	(бк ± 1), к G Z.
tg—tgx+1
8.127.	—--------------------= 2Л
2tgyCOS J tgy + ctgx
Решение.
ОДЗ:
х л cos — ^0,
2 sinx Ф 0, tgy +ctgx^0.
Из условия получаем
. х .
sin —sinx
2
cosx
cos —cosx 2
2 sin —cos* 2 —
2	2
cos —
2
sm —
2 +cosx
x sinx cos —
2
sm — sm x+cos — cos x cos x 2	2
cos —sinx 2
sinx
cos —cosx 2
sin — sin x+cos—cos x 2	2
2	• 2
cosx sinx	cos x-sin x _2^
sinx cosx	sinx cosx
2	• 2
cos Х-sm X /Т - ГТ _ П . --------------= V3, ctg2x = V3, 2x= — + nk, 2 sin x cos x-6
7t	Tlk	7t ,'.	14	„
x = —+ — = —(6k +1), к e Z.
12	2	12
Ответ: х = у^-(6£ + ОД е 2.
8.128.	cos4xcos(n+ 2x)-sin2xcos —
V2 • л — sin4x.
2
Решение.
По формулам приведения
V2
-cos4xcos 2х-sin2xsin 4х----2sin2xcos2x = 0, cos4xcos2x +
2
cos 2х( 1 + V2 sin 2х) = 0.
Отсюда:
1)	cos2x = 0, 2х-~ + ли, X. = —+ —= —(2п + 1), и gZ;
7	2	1 4 2	4
2)	1 + V2sin2x = 0, sin2x = -—, 2х = (-l)*+I — + пк,
2	4
х2=(-1/+1^+уДег.
Ответ: X] =-^-(2л + 1);х2 = (-1)*+1-^+-?р n,keZ.
8.129.	sinx-sin3x-sin5x+sin7x = 0.
Решение.
Имеем
(sin х + sin 7х) - (sin Зх + sin 5х) = 0 <=> 2 sin
х + 7х	х-7х
-----cos	 2----2
- 2 sin -*—-5* cos ——— = 0, 2 sin 4х cos Зх - 2 sin 4х cos х = 0, 2	2
2 sin 4x(cos Зх - cos x) = 0.
Отсюда:
nk
1)	sin4x = 0, 4x = itk, х}=—, keZ;
2)	cos3x-cosx = 0 <=> 2sin?x+,y sin ——— = 0, -sin2xsinx = 0, 2	2
ткуда
a)sin2x = 0, 2х = пп, х2=^-, neZ,
б)	sinx = О, х3 = л/, /е Z; х2 и х3 входят в х{.
Л	л£ ,
Ответ: х = —, к € Z.
4
8.130.	sin3x-sin7x =-Уз sin2x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
2 sin	7* cos	- 7з sin 2х = 0, -2 sin 2х cos 5х - V3 sin 2х = 0,
2	2
-sin2x(j cos5x + >/з )= 0.
Отсюда:
лАг
1) sin2x = 0, 2х = л£, %j=—, fceZ;
2) 2cos5x + V3 =0, cos5x = -—, 2
_	,5	iл 2
5x = ±—л+2лл, x2 =±—-+—ЛМ, 6	6 5
ne Z
nk
Ответ: xi=~j
л 2 — +—nn, 6 5
k,neZ.
Л
*3
Решение.
cos x Ф 0,
ОДЗ:
л ] л cos —x *0. I3 J Из условия
3
• I	л	1
Sin X + — -X
(	3	J
(
COS XCOS —-X
3
(~	Л ]	Л	,	(~	Л I	1	- л , л	_ ,
соя 2х—и-cos—= 1, соя 2х— =-, 2х— = ±—+2лк;
\	3 J	3	\	3 J	2	33
2хх=2пку x^Tdc, keZ; 2х2 = у+2л/, х2 =у + л/ = |(3/+1} /eZ.
Ответ: xi = л&; х2 = —(З/ + Q k,leZ.
8.132.	sin2 xcos^4 x-4tg2 x + 3cos~2 x-12 = 0.
Решение.
ОДЗ: cosx *0.
Имеем
sin2x 4sin2x 3 л 1-cos2 x 4-4cos2x j — - —-	j- -	12-0,	-	-	+
cos x cos x cos x	cos x cos x
3	A	9
+-----12 = 0=> 8cos x + 2cos2 x-1 = 0.
cos2 x
Решив это уравнение как биквадратное относительно cos х , полу-
чим cosx = ±у, х = ±~ + пк = у(3£±1), ке Z .
Ответ: * =	keZ.
8.133.	sin2 Зх + sin2 4х = sin2 5x + sin2 6x.
Решение.
По формулам понижения степени
i(l-cos6x)+y (1-cos 8x)=у (1-cos 10x)+y (1-cos 12x}
(cos 6x+cos 8x)- (cos 1 Ox+cos 12x) = 0 <=> 2 cos + cos 6* §x
,	10x + 12x	10x-12x
- 2 cos------cos---------
2	2
2cosx(cos 7x-cosl lx)=0.
= 0 <=> 2cos7xcosx-2cosl lxcosx = 0,
Отсюда:
l)cosx = 0, Х| =у+ лА: = у(2Л+0 keZ;
2) cos lx - cos 1 lx = 0 <=> 2 sin ?x+l — sin	= o,
2	2
sin9xsin2x = 0.
Отсюда:
a)sin9x = 0, 9x = m, x2neZ;
6)sin2x = 0, 2x = nl, хз=^ /e Z; X| входит в x3.
nl nn .	_
Ответ: xi - —> x2 =	l,ne Z.
8.134.	(sin2/-sin"I2/)2 +(x>s-I2/-cos2<)2 =1.
Решение.
[sin 2/ *0,
ОДЗ: 4
M |cos2f*0.
Имеем
sin22f-2+—---------------2+cos22r = l, -Ц—+—!r—
sin 2t cos 2/	sin 2t cos 2/
<=> cos2 2/ + sin2 2t = 4sin2 2zcos2 2t, sin2 4/ = 1, sin4r = ±1,
откуда 4/ = — + пк, / = + —= —(2fc+l| keZ. 2	8 4	8
Ответ: Z = — (2& + l) keZ. о
8.135.	sin4 x + cos4 x = cos2 2x + 0,25.
Решение.
Из условия
(sin2 xf +(cos2 xf = cos2 2x+0,25 <=»P cos2x A
rl + cos2x Y
O- J
= cos2 2x + 0,25 <=> 2cos2 2x-1 = 0 <=> cos4x = 0, 4x = — + ick,
2
£+^=”(2Л+1) keZ.
8 4 8V
Ответ: x = ~U keZ. о
8.136.	sin 2г - 4 cos 2z = 4.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде 2sinzcosz-4(:os2 z-sin2 z)-4(cos2 z+sin2 z)=0, 2sinzcosz-8cos2 z = 0, 2cosz(sinz-4cosz)=0.
Отсюда:
l)cosz = 0, z( = ^ + nk = -j(2fc+l^ fceZ;
2)	sinz-4cosz = 0<=>tgz = 4, z2 =arctg4 + Kn, neZ.
Ответ: zi = у (2^+0 z2 = arctg4 + ли, к, n € Z.
8.137.	3 + 2sin2x = tgx + ctgx.
Решение.
|cosx*0, ОДЗ. [sinx^Q
Имеем
3 + 2 sin 2x - f S*n * + C0S* |=0 => 3 sin 2x+2 sin2 2x-2 = 0, ^cosx sinx I
2sin2 2x + 3sin2x-2 =0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin2x, найдем sin2x =-2,0 , или sin2x = i, 2х = (-1)* — + пк ; х = (-1)^	»
k<=Z-
Ответ: х = (-1)*	keZ.
 21 Я
!П-------1
8
8.138.	sin2[ — + t |=sinf + sin' I 8
Решение.
По формулам понижения степени
— 11-cosl — + 2г | =sint + — 11 —cosf — -2t ] , 2sinz +cos| — + 2t I-
2	14 J 2	14 J	I 4	1
k V 'J	\	\	J)	v /
Я Я	Я Я «
z x	—+2z + --2r	--2z----2t
(я)	4	4	.4	4
-cos —2t =0 <=> 2 sin/ + 2 sin—-----sin----------= 0<=>
4	2	2
« 2sin/-2sin^sin 2t = 0, 2sint-2^2 sin Г cos/ = 0,
2 sin z(l - >/2 cos r) = 0.
Отсюда:
1) sin t - 0, Zj = ял, n e Z;
2) 1 -5/2 cost = 0, cost =	, t2 =	+ 2nk = -^(&t ± 1), к e Z.
Ответ: = ял; t2 =	±n,keZ,
8.139. sin3 — - sin2 —cos—-3 sin—cos2 —+3cos3 — = 0. 3	3	3	3	3	3
Решение,
Перепишем уравнение в виде
sin 2 — | sin — - cos	- 3 cos 2 — f sin—- cos — | = 0,
3<	3	3)	3<	3	3)
f , X xY . 2 X „	2 X^ Л
sin — cos— sin	—3cos	— = 0.
к 3	3 Jk	3	3)
x	x Л	•	2 X	2х	л
Отсюда: sin — cos — = 0,	sm	— 3 cos — = 0.
3	3	3	3
Тогда:
l)tg- = l,- = -+KJl, я. =-л + Зл* = —(4*+l),*€Z;
3	3 4	*4	4
2) tg2y = 3, tgy = ±-Уз, у = ±у+л£, x2 = ±я + Зли = л(3и± 1), neZ.
Ответ: xx = ~^-(4k +1); x2 = л(3л.±.1), k,neZ.
8.140. tg(x-15°)ctg(x + 15°) = |.
Решение, Имеем
sin(x-15°)cos(x+150) _ £ =	sin(x-15o-x-15o)+sin(x-15o-bx + 15°)
cos(x-15°)sin(x+15°) 3	sin(x+15o-x+15o)+sin(x + 15o + x-15°)
1 n -sin30°+sin2x 1	. +sin2x ।
-- = 0,----------------= 0,	----------= 0:
3	sin 30’+sin 2x 3	—-+sin2x 3
2
2x = 90°+360%, x = 45’+180% = 45’(4£+U keZ.
Ответ: x = 45 ° (4fc + Ц к e Z.
8.141. cos(x +1 )sin 2(x +1) = cos 3(x + l)sin4(x + 1)
Решение.
Перепишем уравнение в виде i(sin(2x+2-x-l)+sin(2x+2 + x+l))-
- у (sin(4x + 4 - Зх - 3)+ sin(4x + 4 + Зх + 3)) = 0, sin(x +1)+ sin(x + 3)-
-sin(x + l)-sin(7x + 7) = 0, sin(3x + 3)-sin(7x + 7)=0 <=>
-	Зх +3 + 7х +7	Зх + З- 7х—7	/_	_\ . /_	_\
<=> 2 cos----------sin-----------= 0, cos(5x + 5 )sin(2x+2) = 0.
Отсюда:
О cos(5x + 5)=0, 5х + 5 = ~ + л&, х. =-1 + —+ —= — (2Zc+ 1)-1,
•	2	1	10 5	10v ’
keZ\
2) sin(2x + 2)=0,
2x + 2 =
ЛЛ, x2 = -
l+~
2
ле Z.
Ответ:	=~l+—(2£ + l}*2	+ k,n^Z.
8.142.	cos(4x + 2)+3sin(2x + l) = 2.
Решение.
Из условия
cos2(2x+1)+3sin(2x +1)-2 = 0 <=> 1 -2 sin2 (2x +1)+ 3sin(2x +1)-2 = 0, 2sin2(2x + l)-3sin(2x+l)+l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin(2x +1), найдем (sin(2x + l)), =|, г^+М-^+л*, X! =(-l)^-|+-f ’ k&Z', (sin(2x+1)^ =1, 2х,+1 = у+2ли, х2 =-^-^ + 7гл = ^-(4л+1)-р neZ.
Ответ: х( = (—1/" -^-у+^;х2 = j(4n+l)-|, k,neZ. 12 2	2	4	2
8.143.	cos4x+2cos2 x = l.
Решение.
Имеем
cos2(2x)+2cos2 x-l = 0,«*2cos2 2x-l+cos2x = 0,
2cos2 2x+cos2x-l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cos2x , най-
дем (cos2x)!=-1, 2хх=п+2пк, х(= — + пк, keZ; (cos2x)2 = —,
2	2
2x2 = ±—ч-2лл , x2 =±—ч-тот , ne Z. Объединив Xj и x2, получим 3	6
я пк Ям» 1 \
- + —= -(2fc+l), fceZ.
O 3	0
Ответ: x = — (2fc ч-1} к e Z. 6
4	4	5
8.144.	sin хч-cos x = —. 8
Решение.
Представим уравнение в виде
(sin2 хч-cos2 xf -2sin2 xcos2 х-—= 0, 8-4(4sin2 xcos
8
3	Л/3	7C
3-4sin22x = 0, sin22x =—, sin2x = ±—, 2x = ±— + nk, 4	2	3
x = ±|+^ = £(M:±l) keZ. О z О
Ответ: x = у (3fc ± к е Z. 6
8.145.	cos х - cos 2х = sin Зх.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
* . хч-2х . 2х-х .
2 sin----sin------sin Зх = 0,
2	2
_ . Зх . х _ . Зх	Зх Л
2 sin — sin — 2 sin—cos — = 0, 2	2	2	2
Зх	х	(Зх 1
2sin —sin—-sin2 — =0, 2	2	I2 J
- . 3x( . x	Зх^ Л
2sm— sin — cos— =0. 2.2	2
-cos— =0.
Отсюда:
Зх Зх	2
1) sin — = 0, у = яЛ, x}=^nk, k&Z-
x	тс 3x	x я Зх
	4»	 — 4-- ч . x Зх л ~ • 2	7-2-222
2) sin—cos — = 0 <=> 2 sin ——-—— cos ——-—— - 0,
7	2	2	2	2
я
4
я
4
x
2
sin x
cos
= 0.
Отсюда:
a)	sin| X-—j=0, X-—= я/, x2 = —+ я/ = —(4Z+1J ZgZ;
14 1	4	4	4
6)	cosf —	| = 0, - — + — = — + ял, x3 =я 4-2ял = — (4л-1)
^4 2 J 2 4 2	3	2	2
ne Z.
Ответ: Xj =|-я£;х2 =^(4Z + l);x3 = у (4л-1), к.Цпе Z.
8.146. tgx + tg50° +tg70° = tgxtg50° tg70°.
Решение.
ОДЗ: cosx * 0.
Из условия
sinx sin 50°	sin 70°	sinx sin 50° sin 70°	Л
cosx cos 50° cos 70° cosx cos 50° cos 70’ => ^inxcos50° cos 70° -sinxsin50° sin 70°)+ + (sin50° cosxcos70° +sin70° cosxcos50°)=0, sin x(cos 50° cos 70° - sin 50° sin 70°)+ +cos x^in 50° cos 70° + cos 50° sin 70° )= 0 <=> <=>sinxcos(50° +70°)+cosxsin(s0° + 70°)=0, sinxcosl20° + +cosxsin 120° =0, sin(x+120°)=0, -sin(x-60°)=0.
Отсюда x-60° =180’л , x = 60° +180°л , ле Z.
Ответ: x = 60°+180°л, neZ.
8.147. cosx-sinx = 4cosxsin2 x.
Решение.
По формулам понижения степени
cosx-sinx =2cosx(l-cos2x)«^2cosxcos2x-(cosx+sinx)=0,
2 cos x(cos x+sin xXcos x - sin x)- (cos x + sin x)=0, (cosx+sinx)(2cosx(cosx-sinx)-l)=0, (cosx+sinx)x x (2 cos2 x - 2 sin x cosx -1)= 0 <=> (cos x+sin xXcos 2x - sin2x)=0.
Тогда:
1) cosx+sinx = 0<=>tgx = -l, x, =-— + nk = — (4Л-1), fceZ;
4	4
2) cos2x-sin2x = 0 <=> tg2x = l, x2 = —+— = —(4л + Ц ne Z .
8 2	8
Ответ: x{ = ^(4fc-l)x2 = ^-(4л + 1} kfneZ.
8Л48. tg2xsin2x-3V3ctg2xcos2x = 0. Решение.
ОДЗ:
cos2x * 0, sin2x *0.
Имеем
sin2xsin2x 3-Уз cos2xcos2x _	. 3_	. rr 3^ л
	= 0 => sin 2x - 3V3 cos 2x = 0, cos2x	sin2x
tg32х = 3л/з, tg2x = V3, 2x = —+ яи,х = —+—= —(Зл+1)п€ Z.
3	6 2 6
Ответ: x = у(Зи + 1} ne Z.
6
8.149. cos x - cos 3x = sin 2x.
Решение.
Из условия
х + Зх	Зх-х
2 sin-----sin------sin 2х = 0, 2 sin 2х sin х - sin 2х = 0,
2	2
sin 2х(2 sin х -1)=0.
Отсюда:
пк l)sin2x = 0, 2х = лА:, x. =—, JteZ;
2
2) 2sinx-l = 0, sinx = —, x2 = (-1)" — + im, neZ-2	6
Ответ: xl=^-;x2 = (-1)" + nn, k,neZ. 2	о
8.150. >/2(1 + COS x)=Ctg-y.
Решение,
ОДЗ: sin у *0.
a 1 + cosa По формуле ctg— = —:---получаем
2 sina
/Г/.	\ 1 + COSX Л A / /Т 1 Л
V2(l + cosx)------= 0, (1+cosxl V2-----1=0.
sinx	sinx J
Отсюда:
l)l+cosx = 0, cosx = —1, Xj = л + 2лл = л(2л + 1} «eZ;
2)72-----— = 0, sinx = —, x2 =(-1/—+ n/c, keZ,
sinx	2	4
Ответ: Xj = л(2и +1) x2 = (-1У ~ + nk, n,ke Z.
-‘I
2
л , Зх-7л л-Зх 8.151. sin-----cos-------= cos
2	2
Решение.
Зх
ОДЗ: cos’^“ * 0-
Перепишем уравнение в виде
sin
n Зх^ (к ЗхА 1 — + — +cod------------—
2	2	12	2 I _ 3x
J \ J cos----------
2
Л Зх . Зх 1 = 0 <=> cos—+sin---—
2	2 Зх
cos—
2
cos2 —+sin—cos—-1 = 0 <=> cos 3x + sin 3x -1 = 0, 2	2	2
. „ л „ \ л . 3x 3x ~ . 2 Зх л sin 3x - (1 - cos 3x) = 0 <=> 2 sm—cos-2 sin — = 0,
2	2	2
Зх( 2 Отсюда:
Зх . Зх
2 sin— cos-sin— =0.
2	2
. 3x	3x	.
1) sm— = 0, — = nfc, 2	2
2яЛ , _ X| =——. xeZ;
_ Зх . Зх л
2) cos---sm — = 0,
2	2
л 2m n
X2 =-+—- = -(4n+l| neZ.
О 3 О
. Зх	Зх	Зх , Зх	л
sin — = cos—, tg— = 1, — = —+ яп, 2	2	2	2	4
Ответ: х\ = — > х2 = у (4л+1} к, п € Z. 3 о
8.152.	sin23x = 3cos23x.
Решение.
Разделив это уравнение на cos2 Зх ф 0, получим
tg2 3x = 3,tg3x = ±^,3x = ±y + K*,^ = ±|+y = |(3*±l),*6Z.
Ответ: х = (ЗЛ ±	к е Z.
8.153.	sin3x + sinx = 4sin3x.
Решение.
Поформуле sin3a = 3sina-4sin3 а получаем
3sinx-4sin3 x+sinx-4sin3 x =0, 8sin3 x-4sinx =0,
4sinx(zsin2 x-l)=0.
Отсюда:
l)sinx = 0, х{=кк, keZ;
2)	2sin2x-l = 0, sinx = ±—, x2 =—+ — = —(2л+1| neZ. 2	4 2 4
Ответ: xl=nk;x2 =—^.n+l), k,ns Z.
8.154.	sin6x + sin2x = ^tg2x.
Решение.
ОДЗ: cos2x * 0.
„ ,	ПА* a+P a“P
По формуле sin a+sinp = 2 sin—— cos —- получаем
_ . 6x+2x	6x-2x sin2x Л	~ sin2x Л
2 sm------cos--------------= 0, 2 sin 4x cos 2x---= 0,
2	2 2cos2x	2cos2x
4 sin 2x cos 2xcos 2x —S^n^X = 0 => 8 sin 2 x cos3 2x - sin 2x = 0, 2cos2x
sin2x(8cos3 2x-l)=0.
Отсюда:
< \	Л /4	ЛЛ
1)	sin2x = 0, 2х = ли, Xj=—, mgZ;
2)	8cos32x-l = 0, cos2x = — ,2x = ±—+2itk,x2 =±—+itk = -^(б& + 1}
2	3	6	6
keZ
Ответ: xi = ^xi = J(6fc±H n,keZ. L О	/
2cosGt + x)-5cos[ —л-х j 12	13
8.155.		7-----г *---------z = ~
I 3 j /	\	2
cos — л + х -costo-x)
Решение.
ОДЗ: sinx +cosx * 0.
По формулам приведения
-2cosx + 5sinx 3 n _ .	_ n .
---------------= 0 => 7sin x-7cosx = 0 <=> tgx = 1,
sinx + cosx 2
x = — + пк = ~ (4k + Ц keZ.
4	4
Ответ: x = — (4k +11 keZ. 4
8.156. (sin2x + >/3cos2x)2 = 2-2со^уЯ-xj.
Решение.
Имеем
/	Г- \2	,
11	v3	I	(2 A
4 —sin2x + —cos2x = 2-2cos — л-х ,
V2	2	J	U	)
/ \2 /o \
« Л Л	Z4 I .	I ~	I
2 sm—sin2x + cos—cos2x =l-cos -л-х <=>
I 6	6 J u )
_ 2l	л I «	। 2	i л
<=>2cos —2x — 1 + cos — л-х =0<=>
<6	) U	)
(n A A (2 Л <=> cos — 4x1 + cos — л - x I = 0 <=>
я A 2л я A 2n
---4x +------x--------4x------+ x
<=> 2 cos —-------------cos —------------= 0,
2	2
Отсюда:
„ . 5x _ 5x	2	_
1) sin — = 0, — = Tin, Xi = — ял, n € Z;
7	2	2	1 5
(Зх яА Л Зх я я .	2	2 . 2я/<5. ч
2) cos — + — =0,— = — + —+ яА:,Х2 =— я +—пк = — (ЗЛг + 1) 7	{26J	2	62	2 9	3	9
keZ.
2 2я
Ответ: Х] = у ял, х2 =—(3^ +1), n.keZ.
8.157. ctg х + tg 2х +1 = 4 cos2 х + S*n ^Х- - 2 cos 2х. sinx
Решение.
ОДЗ:
cos2x^0, sinx 7*0.
По формуле sin3a = 3sina-4sin3a запишем уравнение в виде
cosx sin2x , А 2 3sinx-4sin3x _
----+	+1 = 4 cos х +	2 cos 2х, sinx cos2x-----------------sinx
cos2xcosx + sin2xsinx , A 2 sinx(3-4sin2 x) -	_
------:-------------------------------+ 1 = 4 cos x +-----------------	- - 2 cos 2x <=> sinxcos2x----------------------------------------sinx
COS X	2	л • 2	/ч
<=>—-------+ l = 4cos x + 3-4sin x-2cos2x<=>
sinxcos2x
COSX 4/2	• 2 1	~ cosx A _
<=> —------= 4fcos x - sin x 1+ 2 - 2 cos2x <=»  ---= 4 cos2x +
sin x cos 2x	sin x cos 2x
- -	_	COSX	~ Л Л cosx
+ 2 -2 cos2x <=>--------2(cos2x +1) = 0,------------
sin x cos2x	sin x cos2x
- 2 (2 cos2 x -1 +1)= 0, —----4 cos2 x = 0,
sinx cos 2x
(	1 л	n
cosx-------------4 cosx 1=0,
sinx cos 2x	)
cosx(l-4sinxcosxcos2x) л /	. . \ л
------------------------- = 0, cos х(1 - sin 4x) = 0.
sinxcos2x
Отсюда:
l)cosx = 0, Xj =y + rcA: = y(2fc+l} fceZ;
4	_	.	. 7Г _	ТС ПП 7t /.
2)l-sin4x = 0, sin4x = l, 4x = — + 2 л л, x?=—+ — = — (4л+ Ц 2	2	2 8 2	8
ne Z.
Ответ:
X] = — (2Л+1)х2 =—(4л+1| к, neZ. 2	8
8.158.	tgxtg20° +tg20° tg40° +tg40° tgx = 1. Решение.
ОДЗ: cos x * 0.
По условию
sinx sin 20°	sin 20° sin 40°	sin 40° sinx , n
------------- ;----------+---------------1 = 0, cos x cos 20° cos 20° cos 40° cos 40° cos x
^in x sin 20° cos 40° + sin x cos 20° sin 40° )+
+(cosxsin20° sin40° —cosxcos20° cos40° )= 0,
sinx(sin20° cos40° +cos20° sin40°)-
- cos x(cos 20° cos 40° - sin 20° sin 40° )= 0 <=>
<=> sin x sin(20° + 40°)- cos x cos(20° + 40° )= 0, sin x sin 60° -
—cosxcos60° =0, -cos(x+60°)=0, x +60° =90°+180%, x = 30°+180%, k<=Z.
Ответ: x = 30° +180%, ke Z.
8.159.	2cos2 --I = sin3x. 2
Решение.
Имеем
( П „ А л . (п V л А cosx-cos —Зх =0<=>sin —х sin —2х =0, 2	4	4
л
4
п
. л
Отсюда:
sin x— sin 2x— 1=0.
4
1) sin[ Х-— 1=0, 4
— = nk, x, = —+ nfc = —(4fc+Q fceZ;
4	4 4V л
п ПП П (.	_
,= —+— =—(4л+11 neZ 2 8 2	8
Ответ: х, = у (4*+1) х2 = (4 п+1) к, п е Z. 4	8
2	2	9
8.160.	sin 2x + sin х =—.
16
Решение.
По формулам понижения степени
1 —cos2 2х + —(l-cos2x)- —= 0, 16cos2 2x + 8cos2x-15 =0. 2	16
Решая это уравнение как квадратное относительно cos2x, находи
5	3	3
cos2x = —,0,или cos2x = — 2х = ±arccos—+2пк
4	4	4
1	3
x = ±—arccos—+ лАг, k^Z‘ 2	4
Ответ: х = ±—arccos—+Ttfc, к g Z. 2	4
8 Л 61.3 cos2 х = sin2 x + sin 2x.
Решение.
Из условия sin2x + 2sinxcosx-3cos2x = 0. Разделив это уравнение на cos2 х*0, имеем tg2x + 2tgx-3 = 0. Решая уравнение как квадратное относительно tgx, находим (tgx)j = -3, xj = -arctg 3 + пк,
*тт	ТЕ
к gZ; (tgx)2 = 1, х2 = —+ лл = —-(4л + 1), л gZ.
Ответ'. Xj = -arctg 3+ яЛ, х2 = -^(4л +1), к,п g Z.
8Л62. 2(l-cos2x) = V3tgx.
Решение.
ОДЗ: cosx * 0.
Из условия
2(1 - cos 2х) - ^<1~cos2x) = 0, (1 - cos 2х) • f 2 ——'I = 0. sin2x	I sin2x,
Отсюда:
1) l-cos2x = 0, cos2x= 1, 2x = 2nk, xj = як, к g Z;
_. _	3 z\ •	n 3 — z , ч ft Л	z i \ л	Л Л
2)2——— = 0, sin2x = —,2x = (-l) -+nn, x2 = (-l) -+~^> sm2x	2	3	6	2
л gZ.
Ответ: xj
*2=(-0 -+y,^,«eZ.
8.163. acos2 — -(a + 2Z>)sin2 — = acosx-i>sinx; 6*0.
2	2
Решение.
По формулам понижения степени
^(l+cosx)-^^^(l-cosx)-acosx+ftsinx = 0,a+acosx-a-2b+ +(a + 2Z>) cosx-2a cosx+ 26 sinx = 0 <=> 26cosx + 26sinx-26 = 0, 6(cosx + sinx-l) = 0.
Так как 6 * 0, то получаем уравнение cos х + sin х -1 = 0;
U X ]	. J X 1	7 X . 2 X 1 л . X X ,2х л
cos2 — +sin2 — - cos — + sin — = 0<=»sin —cos—sin — = 0, |^2 J |^2 J 2	2 )	2	2	2
X (	X	X I
sin— cos—sin— =0.
2	2	2
Отсюда:
1)	sin — = 0, — = яи, x, = 2nn9 neZ-f 2	2	1
-.4 x . X „ X , X It ,	*	- »	Л/.,
2)	cos--sin—= 0 <=> tg—= 1, — =—+ itk, x, =—+2пк = — (4Л+Ц
2	2	2	2 4	2	2
keZ.
Ответ:	= 2ял; x2 = у(4fc+1) n,keZ.
8.164. sin 5x = cos4x.
Решение.
По формулам приведения
5x-—+4x	5x+—-4x
--------cos--------= 0, 2
sin 5x-sin — -4x =0<=>2sin 2
2
. (9х п । (х я) _ sm-----cos —+ — =0.
2 4 J ^2 4 J
Отсюда:
. (9x Л 9x п	я 2 я (.	_
1)	sin----=0,------= ял, Xi = — +—ял = — 14л + 11 neZ:
2 4	2 4	1 18 9	18' Л
>Ч\.	I	I /4	/4 >	f A f < \
2)	cos — + — =0, — + — = — + тгЛ,	= —+ 2тиЛ = —(4fc+ll ke Z .
’	2 4	2 4 2	2 2	2 ' Л
Ответ: *i =т^(4л+й*2	(4*+0 n,keZ.
Io	2
8Л65. 2tgx-2ctgx = 3.
Решение.
ОДЗ:
cosx 0, sinx Ф 0.
Имеем
l^cosx sinx J ’ sinxcosx 2 sin2x 4’
A ~	3 o	3	1	3 ял _
ctg2x = -—, 2x =-arcctg —+ ял, x =arcctg—+—, neZ.
1	3 m	_
Ответ: x = --arcctg-+—, n g Z. 2	4 2
8.166. 25sin2 x +100cosx = 89.
Решение.
Из условия
25^-cos2 x)+100cosx-89 = 0 , 25cos2 x-100cosx + 64 = 0.
Решив уравнение как квадратное относительно cosx, получим 16	4	4
cosx = —,0, или cosx = —, х = ± arccos у+2пк, keZ •
4
Ответ: х = ± arccos у + 2пк, к е Z.
8.167. cos2x + sin2 x + sin х = 0,25.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 1 - 2 sin2 х + sin2 х + sin х - 0,25 = 0, 4 sin2 х - 4sin х - 3 = 0, Решив его как квадратное относительно sin х, получим sinx = —, 0 ; sinx =	, х = (-l)*+1 ~ + пк , ке Z .
2	2	6
Ответ: х = (-1/с+1-- + 7Л, keZ.
о
---------= 1 + COS4X.
l-tg22x
Решение.
cos2jc*0,
°Д3: [tg2x *±1.
2 a _ 1-cosa
По формуле tg — = :----
Y J 2 1+cosa
имеем
1 i л — 1 + cos 4x 1 + cos 4x , l-cos4x	i + cos4x=1+cos4x
1+cos4x	2cos4x
Так как I + cos4x Ф 0, to
1	<	Л	1 Л	X /X »
---------= 1, cos4x = —, 4x = ±—+2як, 2cos4x--2	3
x = ± —+ —= —(6fc±l} ke Z.
12 2	12v Л
Ответ: х = (бк ± 1} к 6 Z.
8.169. sinx + sin3x = 4cos3 х.
Решение.
Из условия
Л . х + Зх х-Зх л з Л 2 sin----cos-------4 cos х = 0,
2	2
<=> 2 cos x(? sin x cos x - 2 cos2 x)= 0,
Отсюда:
1) cosx = 0, X! =^ + nk = ~(2fc+l)
2) sinx-cosx = 0<=> tgx = l, x2 = —+1Ш =—(4n+l\ ne Z. 4	4
2 sin 2x cosx-4 cos3 x = 0 <=>
4cos2 x(sinx-cosx)= 0.
keZ\
Ответ: х, = (2к +1) х2 = ^(4л +0» к,п6 Z.
8.170. cos2x + 3sinx = 2.
Решение.
Имеем l-2sin2x + 3sinx-2 = 0, 2sin2 x-3sinx+ 1 = 0. Решив это уравнение как квадратное относительно sinx, получим (sinх)| = у ,
= (~1У £ + яЛ, fce Z; (sinx)2 =1, x2 = у+2ял = у(4л+1), neZ.
Ответ: x( = (- if — + itk;x2= —(4 л+1) к, л € Z. 6	2
8.171. cos2x = l-sin2x.
Решение.
По формулам двойного аргумента получаем
cos2 x-sin2 х =cos2 x+sin2 x-2sinxcosx, 2sin2 x-2sinxcosx = 0, 2 sin x(sin x - cos x)= 0.
Отсюда:
l)sinx = 0, Х]=тги, wgZ;
2) sinx-cosx = 0<=> tgx = l, x2 = -“•+ nk = -^(4/r + l), ke Z .
Ответ: X! = пл; x2 = — (4Л +1} n,keZ, 8.172. tg(?O° +x)+tg(20‘ -x)=2.
Решение.
ОДЗ:
cos(?0° cos(>00
+ x)^ 0, - x)^ 0.
_ ,	n sin(a + p)
По формуле tg a + tg p =--—— представим уравнение в виде
cosacosp
sin(70° +x+20° — x) _	sin 90°	- 2 =>
cos(70° + x)cos(20° -x)	cos(70° + x)cos(2(F- x)
2cos(70° + x)cos(i0o -x)= 1 <=> cos(?0° +x-20° +x)+ + cos(70°+x+20°-x)=l, cos(2x + 50°)=l, 2x + 50°=360%,
x =-25°+180%, keZ.
Ответ: x = -25° +180°Zc, keZ.
8.173. sin x +sin —= sin x + — я	nJ
Решение.
Перепишем уравнение в виде
1 1 х + — х —
= 0 <=>2sin--—cos-----—
2	2
Х + “
sinx + sin— -sin2- ---—
л ]	2
-2sin----—cos----— = 0,
2	2
1 x+—
2 sin-—
\	7
1 1 . 1 1 . X— x + — x + — x — x + -	---*- +----------5---*
<=> 2 sin-— • 2 sin —--2— sin —2-1— - о
2	2	2
1 x+-	x 1
sin--— sin—sin — = 0.
2	2	2л
Отсюда:
1 1 x + —	x + —	.
1) sin---— = 0, --— -лк, Xy — — + 2лЛ, keZ;
2	2	л .
2) sin — = 0, — = лп, x7 = 2ля, n g Z.
2	2	2
Ответ:	= - — + 2лк; x2 = 2ли, к, n g Z.
л
8.174. tg2 3x-2sin2 3x = 0.
Решение.
ОДЗ: cos3x*0.
sin2 3x _ . 2 /X • 2 о (	1
Имеем—т.—2sin 3x = 0’ sm 3x’ — cos 3x	^cos 3x
Отсюда:
лк
l)sin3x = 0, Зх = лЛ, x{=—, keZ-
2)---5---2=0, cos3x = ±—3x = — + —
cos2 3x	2	4 2
= ^(2«+!i n&Z.
-2 =0
л лп
—+—
12 2
лк л ,\ .
Ответ:	=— ;x2 =— (2и + 1) k,neZ.
8.175. 6ctg1 2 x-2cos2 x = 3.. Решение.
ОДЗ: sin x * 0.
Из условия
^P-2co?,-3.0»6(UC°s2x)-(H-co>2x)-3 = 0^ sin2 x	l-cos2x
=> 6(1 + cos2x)- (1 + cos2xXl -cos2x)-3(l -cos2x)= 0,
cos22x + 9cos2x + 2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно cos2x , имеем
-9-V73	-9 + V73
cos2x =------< -1,0 , или cos2x =-----, откуда
Л	-9 + V73 „ .	.1	-9 + V73 . . „
2х = + arccos-----+ 2л£, х = ±—arccos-------+ keZ.
4	2	2
1	V73-9
Ответ: х = ±—arccos-----+ ide, ке Z.
2	2
Решения к главе 9
НЕРАВЕНСТВА
НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Неравенства fx(x)> f2(x), /i(x)^ /2(х), f(х)< /2(х), _/;(х)< /2(х), где /, (х) и f2 (х) — заданные функции переменной х (одна из них может быть постоянной), называются неравенствами с одним неизвестным.
Переменная величина х называется неизвестной. Если/(х) и /2(х)— алгебраические выражения, то неравенство называется алгебраическим.
Решением неравенства с одним неизвестным называется такое значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в тождественное (истинное).
Решить неравенство с одним неизвестным — значит найти множество (совокупность) всех его решений или показать, что оно не имеет решений.
Областью допустимых значений неизвестного данного неравенства (ОДЗ) или областью определения неравенства называют множество всех значений неизвестного, при которых существуют обе части неравенства.
Равносильные неравенства и основные теоремы о равносильности неравенств
Так как рассматриваемые ниже понятия и свойства неравенств одинаковы для неравенств /(%)> /2(х), /1(х)- ЛЙ, /1(*)< /г(х)» f2(x) , то будем рассматривать только неравенства вида
Пусть даны два неравенства с одним неизвестным fM>f2[x),	(9.1)
gl(*)>g2(*)'
Неравенство (9.2) называется следствием неравенства (9.1), если все решения неравенства (9.1) есть решения неравенства (9.2) или неравенство (9.1) не имеет решений.
Два неравенства (с одним неизвестным) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из них является следствием другого.
Если над обеими частями неравенства с одним неизвестным произвести тождественные преобразования, не меняющие области определения неравенства, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному, т.е. если дано неравенство f\ (*) > /2 (*) с областью определения D и в результате тождественных преобразований получилось неравенство /з(х) > А(х) с той же областью определения, то они равносильны.
Если к каждой части данного неравенства прибавить одно и то же число или выражение, имеющее смысл при всех значениях неизвестного из области определения неравенства, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному, т.е. если дано неравенство f\(x)> f2(x) с областью определения D и т(х) — число или выражение, имеющее смысл при всех значениях х из £>, то неравенство /i(x) + m(x)> > f2(x) + m(x) равносильно данному.
Члены неравенства можно переносить с противоположным знаком из одной части неравенства в другую.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число или выражение, принимающее положительные значения при всех значениях неизвестного из области допустимых, то полученное неравенство того же смысла будет равносильно данному.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число или выражение, принимающее отрицательные значения при всех значениях неизвестного из области допустимых, то получим равносильное данному неравенство противоположного смысла, т.е. если дано неравенство /1 (*) > /2 (х) и число или выражение т(х) < 0 при всех х из ОДЗ неравенства, то неравенство /\(х) т(х)< f2<x),m(x) будет равносильно данному.
Неравенство > 0 равносильно неравенству f\(x)f2(x) > О при /2W
/2(х)*0.
< 0 равносильно неравенству f\(х) • /2 (*)< 0 при /2W
/2(х)*0.
РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решение неравенства первой степени с одним неизвестным
Неравенства вида
/1М>л(4
где /i(x) и /2(х) —линейные функции переменной х (одна из которых может быть постоянной), называются неравенствами первой степени с одним неизвестным.
Всякое линейное неравенство с одним неизвестным всегда можно привести к каноническому виду
ах + й>0-	(9.3)
Решение неравенства ах + й > О
Если а > 0, то после умножения обеих частей неравенства на — > О ь а получим равносильное данному неравенство х + — > 0, из которого
Ь	а
последует X > — . а Если а<0, то после умножения обеих частей данного неравен-
ства на — < 0 получим равносильное данному неравенство х 4- — < 0, а	а
b из которого следует х < — .
а
Если а = 0, то при b < 0 для любого действительного значения х неравенство обращается в неверное, т.е. решений не имеет, а при Ь > О данное неравенство верно при всех действительных значениях х , т.е. все действительные числа являются решениями неравенства.
Решение неравенств второй степени (квадратных) с одним неизвестным
Неравенство, обе части которого есть многочлены относительно неизвестного не выше второй степени, причем хотя бы один из них второй степени, называется неравенством второй степени с одним неизвестным.
Всякое неравенство второй степени с одним неизвестным (квадратное неравенство) можно привести к одному из его канонических видов:
ах1 + Ьх + с>$, ах1 4-Ьх 4- с >О,
ах2 + Ьх + с < 0, ах2 4- Ьх 4- с < 0, где х * 0 .
Решение неравенства ах2 + Ьх + с>$ (а Ф 0)
Если а > 0, то данное неравенство равносильно неравенству
2 Ь с Л
X 4- —Х4-—>0 а а или
Х24-рх4-#>0,	(9.5)
Ь	с
где Р = - , Я. а	а
Если а < 0, то данное неравенство равносильно неравенству
о Ь с Л X" 4- — Х+ — <0 а а
или
х2 4- рх 4- q < 0,	(9.6)
Ь	с
где р = — , Я = —. а	а
Другие неравенства вида (9.4) также приводятся к виду, аналогичному (9.5) или (9.6).
Исследование трехчлена х2 4- рх 4- q = 0
Рассмотрим трехчлен
х2 + рх 4- q.	(9.7)
1. Если D = р2 - 4q > 0, то трехчлен х2 + рх + q можно разложить на множители с действительными коэффициентами
х2 + px + q = {x-xx\x-x1\
I/ \2 р I р ]	р
где X!	J « *2 = ~ +
-q — корни трехчлена
(Xj <%,)•
Если х < jq < х2, то х - Xj < 0 и х - х2 < 0; тогда х2 + рх + q > 0.
Если Xj < х < х2, то х - Xj > 0, а х - х2 < 0; тогда х2 + рх + q < 0 .
Если х > х2 > Xj, то х - Xj >0 и х-х2 > 0; тогда х2 + рх + q > 0.
Вывод. Если D = р2 -4# > 0, то квадратный трехчлен х2 + рх + q положителен при значениях х , меньших меньшего корня и больших большего корня, и отрицателен при значениях х , лежащих между корнями.
2. Если D = р2 -4q = 0
, то трехчлен х
+ рх + q прини-
мает вид
2	2	Р I Р
х + px + q = х + рх 4-	= х 4- •—
р	р
и при всех х * будет положительным, а при х = равен нулю.
3. Если D = р2 -4q < 0, то трехчлен х2 + рх + q можно предста
вить в виде
2	( Р Y р2 -4q ( р Y 4q- р2
х +рх + а=Дх+—\ -i---= х + — +———.
2	4	2	4
Так как
> 0 при всех х , a 4q - р2 > 0 , то трехчлен
х2 + рх + q положителен при всех значениях х.
Решение целых рациональных неравенств с одним неизвестным
Целым рациональным алгебраическим неравенством с одним неизвестным называется такое неравенство, обе части которого есть многочлены относительно неизвестного.
Степенью целого рационального алгебраического неравенства с одним неизвестным называется большая из степеней многочленов, входящих в это неравенство.
Всякое целое рациональное алгебраическое неравенство и-й степени с одним неизвестным может быть приведено к одному из канонических видов
aQxn + а}хп~1 + а2хп~2 + ... + а„_2х2 + аяЧх + ал >0,	(9.8)
aQxn +а{хп~х + а2хп~2 + ... + ап_2х2 +апАх + ап >0	(9.9)
или
а$хп + а1х”’1 + а2хп~2 + ... + ап_2х2 +ап_1х + ап <0,	(9.10)
Oqx” ч-^х""1 + а2хп~2 + ... + ап_2х2 +ап_{х + ап <0	(9.11)
(ао * О) •
Метод интервалов
Чтобы найти решения неравенства
(х - X! X* - *2 Х*-*3 )•••(*-*/>)> °	(9-12)
или
(х “ X] Хх — Х2 Хх — Х3 )... (х Хп ) < 0 ,	(9.13)
достаточно нанести на числовую ось нули (корни) левой части неравенства Xj, х2, х3,..., хп, а затем проверить знак левой части неравенства на каждом из полученных интервалов путем подстановки любого числа из этого интервала. Тогда множеством всех решений неравенства (9.12)
(х-х1Хх-х2Хх-Хз)...(х-х„)>0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс, а решением неравенства (9.13)
(х - Xj Хх- - х2 Хх - х3)... (х - х„) < 0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак минус.
При решении неравенств
(х-Х!Хх-х2Хх-Хз)...(х-хл)>0
и
(х-Х]Хх-х2Хх-х3)...(х-хл)<0	• 1
с помощью метода интервалов, кроме соответствующих интервалов зна-копостоянства левых частей неравенств, к их решениям надо относить и их нули (корни).
Обобщенный метод интервалов
Рассмотрим схему решения неравенства (9.8) аохл+а1хл-1 + а2хл-2 + ... + ал_2х2 + «л-1х + ал >0
Многочлен aQxn + а1хл“1 + а2хл'2 + ... + ал_2х2 + алЧх + ал в множестве действительных чисел можно представить в виде
аохл -ь^х”4 + а2хл”2 + ... + ал_2х2 + ал-1х + ал = = а0(*_*1X"1 ~*2У”2 ...(х-х*)т‘(х2 +р1х + ^У‘ ,..(х2 + р,х + <7,У', где Xj, х2,..., хк — действительные корни соответственно кратности zn1,zn2,...,mA., а трехчлены х2 + p}x + qt,...,x2 + р,х + ^, имеютотри-цательные дискриминанты, т.е. при всех х положительны.
Неравенство (9.8) можно переписать в виде
ao(x-xi)m'(*-x2>ri ...(х-х*.)'"4^2 + pix+qj' ... ...(х2 +р,х+<7,У' >0.
Так как квадратные трехчлены в этом неравенстве принимают положительные значения при всех действительных значениях неизвестного, то оно равносильно неравенству
a0(x-xl)'"l(x-x2)'"2 ...(x-xtX"* >0.
Множители левой части неравенства с нечетными показателями можно оставить в первой степени, а с четными - опустить, выписав те значения х, при которых они обращаются в нуль. Тогда неравенство примет вид
при а0 > 0 оно равносильно неравенству
(х-хДх-хл). ..(x-xyJ>0,
а при a0 < 0 — неравенству
(х-хДх-хл)...(х-х7- )<О.
Поел щнее неравенство решаем методом интервалов.
Дробно-рациональные неравенства
Неравенства вида
или
(9.14)
(9-15)
(а0 *0) и
где Рп(х) = аохп +а1хп 1 + а2хп 2 + ... + ял_2х2 + ап_хх + ап
QnAx)=boxm +М'"'1 +Ьгхт-1 +... + bm_1x1 +bm_lx + bm (Z>0 * 0) —мно-гочлены переменной х, называются дробно-рациональными неравенствами.
При решении таких неравенств пользуются следующими утверждениями:
1 п	Л(х) Л
I.	Неравенство -	> 0 равносильно неравенству
Qm W
p„(x)em(x)>o.
Р (х)
2.	Неравенство	> 0 равносильно системе неравенств
рл(х)ет(х)>о> ет(х)*о.
р (х)
3.	Неравенство —< 0 равносильно неравенству
Qm \х/
Л(Х)бт(Х)<°-
Р (х)
4.	Неравенство \ < 0 равносильно системе неравенств бДх)
рл(х)ет(х)<о) ет(х)*о.
Таким образом, решение дробно-рациональных неравенств сводится к решению целых рациональных неравенств.
При решении дробно-рациональных неравенств нужно придерживаться следующей схемы:
а)	перенести все члены неравенства в левую часть;
б)	привести все члены левой части нераве (ства к общему знаменателю;
в)	заменить дробные неравенства целыми;
г)	разложить левую часть полученного неравенства на простейшие множители;
д)	привести полученное неравенство к виду (9.12) или (9.13);
е)	найти решения полученного неравенства по методу интервалов.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Системой неравенств с одним неизвестным называется несколько неравенств, в которых под одной и той же буквой, обозначающей неизвестное, подразумевается одна и та же величина.
При решении системы неравенств с одним неизвестным обычно решают каждое из неравенств системы, а затем находят пересечение множеств полученных решений.
Решить систему неравенств с одним неизвестным - значит найти множество всех ее решений или показать, что система не имеет решений.
НЕРАВЕНСТВА С НЕИЗВЕСТНЫМ ПОД ЗНАКОМ АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком абсолютной величины (модуля), используется определение абсолютной величины:
IfM-J /Мпри/(х)>0, |-/(х)при/(х)<0.
Кроме того, иногда бывает полезным применить геометрический смысл модуля числа, согласно которому |х| есть расстояние от точки х числовой прямой до начала отсчета, а |х - л| — это расстояние на числовой прямой между точками х и а.
Рассмотрим неравенство /(jx|)<g(x),	(9.16)
где /(х) и g(x) —некоторые функции.
Неравенство такого вида равносильно следующей совокупности двух систем неравенств:
fx<0,	Jx>0,
’> t/(-x)<Hx)ra“2,l/W<sM
Рассмотрим неравенство |/(x)|<g(x))	(9.17)
где /(х) и g(x) —некоторые функции. Неравенство такого вида рав-носильно следующей совокупности двух систем неравенств: fg(x)>0,	[g(x)<0,
|-g(x)</(х)< g(x)101,12) [хе 0.
Рассмотрим неравенство
|/(x)|>g(x),	(9.18)
где /(х) и g(x) —некоторые функции. Это неравенство равносильно
следующей совокупности двух систем неравенств:
1)
g(x)^0, r/W>«W lu„2JsW>0' , >
/(х) < -g(x)	' I* e	неравенства (9.18)
Рассмотрим неравенство

(9.19)
где /(х) и g(x)—некоторые функции. Это неравенство можно решить двумя способами. Во-первых, оно равносильно совокупности двух систем:
х >0,
или 2) jjy(х} < g(x).
Во-вторых, оно также равносильно двойному неравенству
Рассмотрим неравенство
где /(х) и g(x) — некоторые функции. Это неравенство можно решить двумя способами. Во-первых, оно равносильно совокупности двух систем:
х <0,
х>0,

[|/(-x)|>g(x)
Во-вторых, оно также равносильно совокупности двух неравенств /l|x|)>g(xl /(*|)< -g(x).
Рассмотрим неравенство
(9.21) где f(x) и g(x) — некоторые функции. Это неравенство решается при помощи разбиения области его допустимых значений на промежутки, каждый из которых является промежутком постоянства знака как функции /(х), так и функции g(x). Затем на каждом из этих промежутков решается неравенство без знака абсолютной величины. Объединив решения на всех промежутках, получим множество всех решений неравенства.
Некоторые неравенства вида (9.21) |/(х)| |g(x)| целесообразно ре
шать, перейдя к равносильному неравенству (/(х))2 > GKx))2, т.е. возведением обеих частей исходного неравенства в квадрат.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Алгебраическое неравенство называется иррациональным, если его неизвестное входит под знак корня.
При решении иррациональных неравенств, как и иррациональных уравнений, корни четной степени рассматриваются только арифметические, а корни нечетной степени рассматриваются на всей числовой оси (при всех действительных значениях подкоренных выражений).
Если неравенство, обе части которого неотрицательны при всех значениях неизвестного из области допустимых, возвести в любук) натуральную степень, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному, т.е. если дано неравенство
fl(x)> f2(x),
причем при всех х из ОДЗ (х) > 0 и /2 (х) > 0, то неравенство
ШУ >(Л(х)У
равносильно данному.
Если обе части неравенства возвести в нечетную натуральную степень, то получим неравенство того же смысла, равносильное данному, т.е. если дано неравенство
то неравенство (/’1(х))2л+| > (f2(x}fn+i равносильно данному. В частности, неравенство вида
(9.22)
равносильно системе 1 у<	а неравенство вида
(9.23)
равносильно неравенству f(x) < g(x); неравенство вида
(9.24)
равносильно системе « g(x) >0,	а неравенство вида
f(x)<(g(x)yn,
(9.25)
равносильно неравенству f(x) < (?(х)У”+1; неравенство вида
(9.26)
равносильно совокупности двух систем неравенств g(x)>0,
И*)<о, п или
а неравенство вида
ne N,
(9.27)
равносильно неравенству f(x) > (g(x)f”+1 •
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
При решении показательных неравенств используются следующие правила:
1)	Если а > 1, то неравенство
а/М<аЛМ	(9.28)
равносильно неравенству /((х)< /2 (х), а неравенство a/.W>aAW	(9.29)
равносильно неравенству /1(х)> f2(x).
2)	Если 0 < а < 1, то неравенство
.afM<afAx)	(9.30)
равносильно неравенству /t(x)> /2(х), а неравенство a/t(x)>aAW	(9.31)
равносильно неравенству fx(x)< f2(x).
3)	Если а > 1, то неравенство
loga /1(*) < loga fi (*)>	(9.32)
где (х) > 0, /2 (х) > 0, равносильно неравенству fx (х) < /2 (х), а неравенство
loga/iM>loge/2(x),	(9.33)
где /1(х)>0, /2(х)>0 , равносильно неравенству fx (х) > /2 (*) •
4)	Если 0 < а < 1, то неравенство
loga /1 («) < l°ge fi (Д	(9.34)
где /] (х) > 0, f2 (х) > 0, равносильно неравенству j\ (х) > /2 (х), а не-равенство
loga/iM>loge/2(x),	. (9.35)
где /|(х)>0, /2 (х) > 0, равносильно неравенству /!(х)< /2(х).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Тригонометрическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестное входит под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде линейной функции неизвестного, причем над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.
К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся:
1.	Неравенство sin х > а. Если а < -1, то решением неравенства будет любое действительное число. Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут
arcsina+2rcH <х< л-агс$тл+2лл, ne Z.	(9.36)
Если а > 1, то неравенство решений не имеет.
2.	Неравенство sin х < а. Если а < -1, то неравенство решений не имеет. Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут
л-агс8та+2ли<х<2л + агс$та + 2ли, ne Z .	(9.37)
Если а > 1, то неравенство верно при всех действительных значениях х,
3.	Неравенство cosx > а . Если а < -1, то неравенство верно при всех действительных значениях х . Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут
-arccos а+2лл <x<arccosa + 2Tcn, ne Z .	(9.38)
Если а > 1, то неравенство решений не имеет.
4.	Неравенство cos х < а . Если а < -1, то неравенство решений не имеет. Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут
агссо$а+2лл <х<2л-агссо5а+2лп, neZ .	(9.39)
Если а > 1, то неравенство верно при всех значениях х .
5.	Неравенство tg х > а , Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем
л
arctg я + ти? < х < у + ля, neZ.	(9.40)
6.	Неравенство tgx < а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем
-y + nn<x<arctga + nn, neZ.	(9.41)
7.	Неравенство ctg х > а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем
лп < х < arcctgа + т, ne Z.	(9.42)
8.	Неравенство ctg х < а . Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем
arcctgtf + ял <х< л + яи, neZ.	(9.43)
В случае нестрогих неравенств к решениям присоединяются соответствующие концы интервалов.
9.	001. Показать, что для всех положительных чисел а и b верно неравенство 4a+4b > 4а+ Ь •
Решение,
Возведя обе части данного неравенства в квадрат, имеем эквивалентное неравенство a+24ab+b> a + b&24ab >0«=> 4аЬ >0, а/>>0. Так как а>0и/>>0,то последнее неравенство очевидно, и тем самым справедливость равносильного ему исходного неравенства доказана.
2\fcb
9.0	02. Доказать, что если а>0 и £ > о, то	—т= ^чао
yja +\1Ь
Решение.
Так как 4а + 4b > 0, то получим
24ab <[4а +4b)4ab <=^24ab-[4a + 4b)4ab <0;
учитывая, что - Vad <0, найдем 4a-2^lab + 4b>Q<^ fya-tfbf > 0-
Полученное, а значит, и исходные неравенства истинны.
9.0	03. Доказать, что если р>0 и ? > 0, то (р + 2\q + 2\p + q)>16pq.
Решение.
Имеем
p2q + pq2 +2р2 + 2q2 + 4pq + 4p+4q >16? <=>
<=>p2q + pq2 +2р2 + 2?2 -12p? + 4p+4?>0«=>
<=> ^p2 -4pq+2q2)+ (p2q-2pq/pq + pq2 )+4(p-2y[pq + q)+
+ fapq-Jpq -ipq + iJpq)>0^2(p-qY +(pjq ~qjpf +
+ 4(у1^~4р\ +2y[pq(pq-4y[pq+4)>Q^
&2(р qf + (pjq-qjpf + 4(y[q-Jpf + 2jpq(4pq -if >0.
Полученное неравенство истинно, а значит исходное неравенство справедливо.
1 . 2
9.0	04. Доказать, что если а * 2 , то --7 > —5—“.
а -4а +4 а -8
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
1_________2	а2 + 2а + 4-2а + 4
(а-2)2 (а-2)(а2+2а+4)> ** (а-г^а2+2а+4)> **
Так как сг +8 > 0 при ае R ; (а-2)2 > 0 при а #2 и а2 +2а+4 > 0 при a g R , то это неравенство очевидно. Итак, исходное неравенство истинно.
9.0	05. Доказать, что если т , п и р представляют собой длины сторон некоторого треугольника, то т2 + п2 + р2 < 2{тп + тр + пр).
Решение.
Для всякого треугольника сумма двух сторон больше третьей:
?и + п> р,п + р> т,т + р> п.
Запишем неравенства в виде р-т < п,т-п < р,п-р <т.
Возведя каждое из этих неравенств в квадрат, получим
(p-mf <п2, р2-2тр + т2 <п2, (\2	2	2	2	2
т-п) <р ,<=>т -2тп + п <р ,
(\^	7	7	2	2
п-ру <т~ п -2пр vр <т .
Сложив левые и правые части этих неравенств, найдем
2т2 + 2н2 +2р2 -2(тп + тр + пр)< т2 + л2 + р2 <=>
<=> т2 + п2 + р2 < 2(тп + тр + пр\
что и требовалось доказать.
9.006. Доказать, что если т>0ил>0,то тп(т + п)<т3 +п3.
Решение.
Из условия
тп(т + п}< (т + п^п2 -тп+п2),
тп(т + п)~ (т + n)(pi2 -тп + п2)< 0,
(т + п^пп -т2 + >ил-л2)<0, -(т + и)^п2 -2аии + и2)<0,
-(m + nfcn-n¥ <0, (m + nfon-n^ >0.
Так как т + п > 0 по условию; (т - л)2 > 0, отсюда
(m + nfen-п? >0-
9.007. Доказать, что для любых действительных чисел х и у верно неравенство х2 + 2у2 + 2ху + 6у +10 > 0 .
Решение.
Имеем х2 + у2 +у2 +2ху+6.у + 10>0, (x + yf +(у2+6j + lo)>O-B полученном неравенстве (х + yf >0 для хе R и ye R,ay2 +6у + 10 >0 для уе 7?, так как Р = 36 - 40 < 0 ♦ Значит, и^ + ^у)2 +(у2 + бу + ю)> 0, что и требовалось доказать.
9.008. При каких значениях а оба корня уравнения х2 - (а + 1)х + а + 4 = 0 оказываются отрицательными.
Решение.
Используя теорему Виета, получаем, что оба корня отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма Х| + х2 < 0, а произведение х} • х2 > 0.
Имеем систему неравенств х{ + х2 = а +1 < 0,	[а < -1,
- Х| • х2 = а +4 > 0, <=> ’ а > -4, 1) = я2-2л-15£0	[(я-5Хл + 3)> 0.
Методом интервалов получаем ае (- 4;-3].
-4	-3-15 а
Ответ: ае (-4;-3].
ab
9.009. Показать, что для любых двух положительных чисел произведение их суммы на сумму их обратных величин не меньше четырех.
Решение.
Пусть а > 0 и Ь > 0. Предположим, что
/	, \ Г 1 1 А (	,\а + Ь л Л a2 + 2ab + b2-4аЬ
(a + b)-1- + - >4 <=> (а + Ь)-
{а Ь) .	ab
a2-2ab + b2	Л
(а-Ь?
Так как (а-Ь? >0 и ab>0 при а >0 и Ь >0,то ——— ^0 инера-венство истинно, следовательно, и исходное неравенство справедливо.
9.010. Найти целые положительные значения х, удовлетворяющие 5х + 1 _	_
неравенству ——j- > 2х + 2 .
Решение.
Имеем
5х+1 7v 5х+1-2(х+1Х*-1) ------ZX > и --------------------
-2х2 +5х + 3
С помощью числовой прямой найдем, что х = 2 .
-1/2
-6 ф 1
-6-
3
х
Ответ: х = 2.
9.011. Найти целые решения системы неравенств
х —1 2х + 3 х - х + 5
	+ —<2	, 2	3-6	2
Решение.
Имеем
	+ 2 +	<( 2	3-6	2
, х + 5 4-х - , х+1 1------+----Зх+------<0
8	2	4
х<2,	7
7 <=> — <х<2.
х>-	9
9
Значит, х = 1 •
Ответ: х = 1.
9.012. Найти натуральные значения х , удовлетворяющие системе неравенств
log^ (х -1) < 4,
' х х-5 2х
----+-----<-----'
х-3 х 3-х
Решение,
Из условия
1 < х < 5, 4х2-8х + 15 п<=>
х(х - 3)
1 < х < 5,
4х2 -8х+15 > 0 при хе R,
х(х-3)<0.
С помощью числовой прямой находим решение системы х = 2 .
Ответ: х-2,
9.013. При каких значениях х функция у = V10 + x - V2-x принимает положительные значения?
Решение,
Учитывая ОДЗ, из условия имеем
Vio+x-TT^x >о, 10+х>0, 2-х>0
10 + х>4-4х+х2, х>-10,
х<.2
х1 -5х-6<0, х^-10,	<=>
х<2
-1<х <6,
х>-Г0,
х <2.
С помощью числовой прямой находим решения системы -1 < х < 2 .
Ответ: х е (-1; 2)
9.014. Найти множество целых значений х, удовлетворяющих системе неравенств
[—>2,
’ х+2
Решение.
Учитывая ОДЗ, решаем второе неравенство системы:
х+2
(х-4Х*+2)<0,
——-2>0, х+2
С помощью числовой прямой находим целые решения системы х, = 2; х2 = 3.
-21411	х
Ответ: хх = 2; х2 = 3.
9.015. При каких значениях т неравенство х2 -тх>— выполняется для любых X ?
Решение.
2
Имеем х2 - тх - — > 0. Неравенство выполняется для хе R, ког-
да Z) =	+—< 0 <=>————< 0, (m + ltm2-2m+4k <0. Так как
т	т
т2 _ 2т + 4 > 0 при т е R, то полученное неравенство равносильно неравенству (т + 2)т < 0 . Методом интервалов получаем -2 < т < 0.
> т
Ответ: те(-2;0)
Найти области определения функций (9.016 - 9.021):
9.016. У —
|х2-7х + 12
х2-2х-3 '
Решение.
D(y)-. Х\ 1х*П>0, fc-
х2 - 2х - 3	(х-ЗХх + 1)
(х - 3f (х -4Х*+1)^ 0, х-3#0, х+1^0.
Методом интервалов находим решение системы х < — 1 или х > 4.
Ответ: х g (-<»;- 1)U [4; оо}
V4-xz+---
9.017. у = 0,5	*-«.
Решение.
D(y): •
4-х2 £0, <=>
х-1#0
-2 £ х £ 2, х#1.
Ответ: хе [-2;l)(j(l;2].
к	х-1
9.018. y=Jlog0>3—-т.
V	х + 5
Решение.
х+5 *0
(х- 1Х* + 5)> 0, х + 5>0.
Методом интервалов находим решение системы х > 1 •
11	1	х+1
9.019. У = /log 1 10g3--.
V Й Х-1
Решение,
D(y}\ logj logj 0, 0<log3	1<—<3,
т х-1	Х-1	х-1
л+а-л+Чо,
*_| «
х + 1-Зх + З
х-1
х-^^’	|х-1>0,	|х > 1,
-2х + 4 <q	[(х-2Хх-1)>0 [(х-2Хх-1)>0.
. х-\
С помощью числовой прямой находим решение х > 2 •
Ответ: х G [2; <»)
9.020. у = .5-х--. V х
Решение.
D(y)'. 5-х-— >0,
Методом интервалов находим х < 0 или 2 < х < 3 .
Ответ: хе (-0)U[2;3J
9.021. У~
logo, (х-Г
V-x2 + 2x + 8
Решение.
bg0,3(x-l) >Q log03(x-l) log0,3(x-l)^0,
V-x2 +2x+8	-J-x2 +2x+8	- x2 + 2x + 8 > 0
x-l>l, x2-2x-8<0
x>2, -2<x<4
<=> 2 < x < 4.
Ответ: x 6 [2; 4)
Решить неравенства (9.022 - 9.095):
9.022. -^— + —^—<1.
2-х 2 + x
Решение.
Имеем
1	5 п 2 + х + 10-5х-4 + х2 л х2-4х + 8 п
2-х 2+х	’	(2-х)(2 + х)	’ (х-2Хх+2)
В полученном неравенстве х2 -4х + 8 > 0 ПРИ хе R, поэтому оно равносильно неравенству (х - 2Хх + 2) > 0. Методом интервалов находим х < -2 или х > 2 •
Ответ: х е (- <»; - 2)U (2; °?)
, Зх-1 ,
9.023. logi777<L
Решение.
Это неравенство равносильно неравенству
Зх-1 1 Зх-1 1 	9х-3-х-2 . 8х-5 п
х+2	3	х+2 3	3(х + 2)	х+2
(8х-5Хх+2)>0.
С помощью числовой прямой находим х > - или д < -2.
Ответ:
Зх-5
9.024. log3----<1.
х + 1
Решение.
Неравенство равносильно системе неравенств
Зх-5 х + 1 Зх-5 х + 1
Методом интервалов находим х
5
3
Ответ: хе —
I3 )
9.02S. log, (л + 27)-1ое_ (16-2х)< log, х.
Решение.
Из условия
logg
х + 27 16-2х
< log, х. Это неравенство равносильно, с
учетом ОДЗ системе неравенств
х+27 ------< х, 16-2х
•х+27>0, <=> 16-2х>0
х + 27	Л 	х<0, 16-2х	2х2-15х + 27>0 2х-16	> ’
х > -27,	<=> •	х > -27,	<=>
-2х>-16	х<8
.	.	.	9
С помощью числовой прямой находим 3 < х < —.
Ответ: х G
9.026. log0 з (Зх ~ 8) > log0 з (*2 + 4)
Решение.
Это неравенство равносильно системе неравенств
Зх-8>0, Зх-8<х2+4
х2 -Зх+12 >0.
Так как х2 - Зх +12 > 0 при х е R, то последняя система неравенств
8 эквивалентна неравенству х > -.
п (8
Ответ: хе Ь;»
9.027. (х + ОО-хХх-г)2 >0.
Решение.
Имеем
(x+lfr-SXx-Z^O. +
|х-2^0	[х^2.
Ответ: х е (-1; 2)U (2; 3)
9.028. -hx-x2 <4-х. Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
Зх-х2 <(4-хУ,	Ьх2 -11х + 16>0,
’ Зх-х2 >0,	« х(х-3)<0,
4-х>0	х<4.
Так как 2х2 -1 lx +16 > 0 при х g R, то полученная система нера-
(х(х-3)<0, венств равносильна системе 5 < Методом интервалов находим 0 < х < 3.
Ответ: хе[0;3}
9.029.
1
Зх-2 -х2
7х-4-Зх
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
3	1 Л 3	1
-------------п------> 0» -----7----Т “ 7 
Зх2-7х+4 х2-Зх+2	U-lX^-2)
Методом интервалов получаем х е (- «>; 1)U —; 2
Ответ:
xg (-°o;l)U
9.030. -Д- <-^-z х + 2 х-3
Решение.
Имеем
_J----!_<о^ -2х-9
х + 2 х-3 (х + 2)(х-3)
< 0 €> (2х + 9)(х + 2)(х -3) > 0.
Г 9	|
Методом интервалов получаем х е I -—;-2 IU (3;оо).
----±-----►
—9/2	-	3 х
9.031.
Решение.
Ответ: хе
Зх2-10х + 3 .
------->0
х-10х + 25
V-уЪ-З)
Из условия —-'—2--
(х-5)2
* 5/-3)>0’
х*5.
помощью числовой прямой получаем х е
-®;|]U(3;5)U(5;oo).
С
Ответ-. xe^-oo;-ijU(3;5)U(5;oo).
9.032. |2х2 -9х + 15|>20.
Решение.
Имеем 2х2 - 9х +15 > 0 при х g R, следовательно, исходное нера
венство равносильно неравенству 2х2 - 9х +15 > 20,2х2 - Эх - 5 > 0,
1
2(х-5]х + — >0. Отсюда х^-—или х>5.
2
Ответ: х е
9.033. |х2-5х|<6.
Решение.
Используя геометрический смысл модуля, получаем, что
С помощью числовой прямой получаем хе (-1;2)и(3;б).
Ответ: хе (-1;2)|_|(3;б)
9.034. 5х-20£х2 £8х.
Решение.
Перепишем это неравенство в виде системы неравенств
х2 -5х+20^0, х2-8х£0.
Так как х2 - 5х + 20 > 0 при х е R, то данное неравенство равносильно неравенству х2 - 8х 2 0, х(х - 8) £ 0. С помощью метода интервалов находим хе [0;8].
9.035.
4х2 -1
£0.
Решение,
logj 7	(1 - log7 3 )^ < 0, поэтому исходное неравенство равносильно следующему: 4х2 -1^0. Решив его, найдем х > или х <	.
Ответ: х е
9.036.
0.
Решение.
logo^ (1об2 5 -1) j < О, поэтому исходное неравенство равносильно следующему: (х“8Хх-2)>0.Отсюда х<2 или%>8.

8 х
2
Ответ: х е (- «>; 2)U (8; «>}
9-037. (оД^^фХб))"46.
Решение,
Преобразовав бесконечные десятичные периодические дроби в простые, найдем
(4У*’1 >ГбУ2+6 pY~
I?)	>|<9) ’ [з,
<=>х2 <8,-272 <х<2>/2.
2х2-2	/ \х2+6
>| —I <=>2х2 -2<х2 +6<=> 3
9.038.
Зх2-16х + 21
logo,з И + <)
Решение.
Выражение log0>3 (х2 +4)< 0 при xg R. Следовательно, исходнс неравенство равносильно неравенству
Зх2-16х + 21 >0, 3(х-3)|х-- |>0. 1	3
Методом интервалов получаем х е
J ]и(3;~).
Ответ: х е
9.039. —Ц*-------- < 0
4х2 — 16х Решение.
logs t2 +з)> о при хе R,поэтому 4х2 -16х<0, х(х-4)<0 . Ответ: х е (0; 4)
 - х~7	-<0.
з/4х2 -19х + 12
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств х-7<0, 4х2 -19Х + 12 >0.
9.040.
Методом интервалов получаем х е
|Vl(4; 7). 4
3/4
o^.wssss

4	7
9.041. х6-9х3+8>0.
Решение.
Пусть х3 = у. Тогда получаем у2 - 9у + 8 > 0. Решив это неравен-(х-2)(х2 +2х+4)>0,
ство, найдем
у > 8, . Тогда
х3 >8, з . т.е, _х <1,
Так как х2 +2х + 4>0 и х2 + х+1>0 при хе R, то последняя сово-х >2,
х - 2 > 0, купность неравенств равносильна совокупности
т.е.
Ответ: х е (- <»; 1)U (2; °°)i
9.042. 0,32+4+6+ '+2х > ОЗ72 (xeN}
Решение.
Данное неравенство равносильно неравенству 2+4 + 6+...+2х<72, где в левой части неравенства сумма членов арифметической прогрессии, у которой а{ = 2, d = 2, ап = 2х. Тогда получаем
2+2х	_
2	«<72,
2х-2
I 2
Отсюда имеем х2+х-72<0, -9<х<8• Так как x = neN, то л = 1,2,3,4,5,6,7.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
9.043. 7х2 -х-12 <х.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
п = х.
С помощью числовой прямой получаем х е [4; ©о).
ММ
-12 -3	0	4
Ответ: хе [4; °°).
9.044. -17 15* 2— > 0. х + 3
Решение.
17
2
Данное неравенство равносильно системе двух неравенств 17-15х-2х2 >0,	[2х2+15х-17<0,
х + 3 > 0	Iх>-3
Ответ: хе (-3; 1)
9.045. 79х-20 < х.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе неравенств
9х-20>0, • х > 0,	<=>
9х-20<х2
х2 -9х+20>0,
х>0
х > 5, х<4,
20 9
Ответ:
хе у;4 jU(5;~)
9.046. 1 <
Зх2-7х + 8 х2 +1
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде
Зх2-7х + 8 ,
----5----->1>
х2 +1
Зх2 - 7х + 8 » -	< 2
X2 +1
Так как х2 +1 > 0 >то получаем
2х2-7х + 7>0, х2 -7х + 6<0.
Здесь 2х2 - 7х + 7 > О при хе R, поэтому эта система равносильна неравенству х2-7х + 6<0, (х-1Хх-б)<0, 1<х<6.
Ответ: х е (1; б)
9.047.
х4 +х2 +1 Л —---------<0.
х2 - 4х - 5
Решение.
Так как х4 + х2+1>0 при х е R, поэтому имеем х2-4х-5<0> (х + 1Хх-5)<0, -1<х<5.
Ответ: х е (-1; 5)
4 — х 1
9.048. —у > — х-5 1-
Решение.
ОДЗ:	х *1, х
Из условия
4-х	1 Л (4-хХ1“*)“* + 5 л х2-6х+9
—	(x-5Xi-«) >0'F3Fr
Jx-5^-i) < °’ (х _	~ 5Х* - 0 < °-
Методом интервалов находим х е (1;3)U(3;5).
Ответ: х е (1; 3)U (3; 5) 9.049. lglOle^2+21^ > 1 + lgx. Решение.
ОДЗ: х > 0.
Получаем
lg(x2 +21)> lglO+lgx <=> lg(v2 +21)>lgl0x <=>
x2 +21>10x, x>0
x2-10x + 21>0,
Ответ: x e (O; 3)U (7; «J
x2 -3x + 2
9.050. -j—------
x + 3x + 2 Решение.
ОДЗ: x * -2, x Ф -1. Имеем
Методом интервалов находим х € (- оо' — 2)U(-l;0].
Ответ: х g (-<»;- 2)U (-1; О]
9.051.
1 \*2-2х
3
7
Решение.
ОДЗ:	х 0.
Из условия
х2-2х
Ы "I7
Ответ: xg (0;2j
ч°
г2
< 0,
.2
<0,
(х-2)х<0, х*0.
9.052. 21-2" <0Д25.
Решение.
ОДЗ:	х * 0.
Перепишем данное неравенство в виде
1	±±±11
21-2’<2~3 <=>1-2х <-3, Iх >4, 2х >22, —>2, --2>0, х х
--->0, ---<0, (2х-1д<0.
X	X
С помощью числовой прямой находим х е 10; — .
Ответ: х е0; —
I 2 J
9.053. х2-3х-3X+1 SO.
Решение.
Из условия х2-3х-3-3Х <0, Зх(х2 ~з)<0. Так как 3х >0 при х € R, то полученное неравенство равносильно неравенству х2 - 3 S 0, х2 <3> -7з SxsV3 •
Ответ: х е
9.054. 52л+1 >5Х +4.
Решение.
Имеем 5 - ($х J* - (з* )+ 4 > 0 ♦ Решив его как квадратное относитель-
4
но 5х , получим 55 < -у, 0, или 5х > 1, откуда х >0.
Ответ: х е (0; <»)
9.055. 0,5 х~2 > 6.
Решение.
Из условия
22"* >6, log222-x >log26<=>2-x>log22-3, х <2-1 -log2 3, х < l~log2 3.
Ответ: x g (- <»; 1 - log2 3)
lOgQjfc + l)
9-056- log03100-log03 9 < 
Решение.
ОДЗ: Имеем
bgo,3U + l)-logo,3 ---------------------9 <0
.	100
1оВо,з-£-
,^-i<o, ,	100
logo,3 —
100 где log0 з < 0 • Следовательно,
i (	1^1 ЮО л i ( й i 100
log0>3 U+1 J-log0,3 — > 0, log0>3 (x+1) > log0>3 — <=>
9-91<o,
100
9 ’<=>{ 100
91 9
I i 91 Ответ: x € ~ "9”
log, logz-j— 9.057.0,3 3	>1.
Решение.
Перепишем неравенство в виде
1°810g	3*+6	3*+6	3*+6
оз 3	>03u<=>log! log2-=—-<0, logz-y—>1, -J—>2,
з jc+2	xz+2	jr+2
3x + 6	n 3x + 6-2x2-4 л -2x2+3x + 2 2x2-3x-2
-z----2>0, ------------->0, -----5, ----------------<0.
x +2	x +2	x +2 x +2
,	1	1
Так как х2 + 2 > 0 , то 2х2 -Зх-2 <О, — < х <2 . 2
Ответ: xG|-^-;2|.
I 2 7 .	. 5х
iogo,4Xl0go,4V < 9.058. 2	2 >1.
Решение.
ОДЗ:	х>0.
Из условия logo 4 X’lOgo 4~“	п	$Х
2	2 >2° <=>iog04x-log04 — >0<=>
«log0>4 х| log04 х+log0(41 I > 0.
Отсюда
,	i 5
logo,4*>-log0,4-, z
logo,4 x<°
0<x<|,
Ответ: xg 0;j U (1; °°)l
9.059. 4*-22(x-i> + 83<* 2)>52.
Решение.
Имеем
4х-4X“*+4X-2 > 52, 4х-—+—>52, 4	16
13-4X >16-52,
4х > 43 <=> x > 3.
Ответ: x 6 (3; ©°),
9.060. 21og8(x-2)-log8(x-3)> |.
Решение. *
ОДЗ:	x>3.
Имеем
log8(x-2y -log8(x-3)> j,
1Og8 —
(x-2)2 x-3
2
2
3
х2-4х+4 . Л 	 	Л 'S 11	U-4
		 	*+ V,	
<=>•	х-3	<=>'	х-3
х>3	х>3
>0,
Ответ: х е (3; 4)U (4; <»)
х#4,
х>3.
9.061. 25х <6 5х-5.
Решение.
Записав неравенство в виде (5х Г - 6 рх)+ 5 < 0 и решив его как
квадратное относительно 5х, получим 1 <5х <5, откуда найдем 0 <х<1 •
Ответ: х € (0; 1)
\1о8о.25(<2-5х+8)
9.062. у	<2,5.
Решение.
ОДЗ: х е R.
Имеем
<=> х2-5х+4£0, 1£х£4.
2 \|о8о’5(*2-5*+8)
5
<=> х2-5х+8 <4 <=>
Ответ: х е [1; 4J
1-1	1-2
9.063. 4 х -2х -3<0.
Решение.
ОДЗ: х * 0.
2х
Из условия ----L-
4
-12<0, решим его
_1_	£
как квадратное относительно 2х . Получим 2 х >-3 , откуда найдем
х#0, или 2х <4, откуда найдем
— <2, — -2<0, ——<0,
(2х-1)х>0,
2*
Ответ:
2 хЗ(2х-7)	4х+1
у -12,25 2 >1.
Решение, Из условия
М(2*-7) г 49^
V
<=>3-(2х-7)^4х+1, х<И1.
Ответ: х е (- «>; 11J
9.064.
2 V(2x~7)
7 ,
2>.4х+!
7
4
15
9.065. ——----Г>1
4 + Зх-х
Решение,
Перенесем 1 в левую часть неравенства и приведем его к общему
„ х2-Зх + 11 Л	2	Л
знаменателю. Имеем —-z-------<0. Так как х -Зх+11>0 при
. х2-Зх-4
х€Я,тох2-Зх-4<0. Решив это неравенство, найдем -I < х < 4.
Ответ: х е (-1; 4)
9.066. 0,64 < Vo,8x(x-3) <1.
Решение.
Перепишем неравенство в виде х2 — Зх -——>0, 2
х2 — Зх ——<2 2
—Зх
(0,8)2<(0>8)-^-<(0,8Г^
х2 -Зло 0, х2 -Зх-4<0
С помощью числовой прямой получаем х е (- l;0)U(3;4)
-1	0	3	4 х
Ответ: х € (-1; 0)U (3; 4}
9.067. y + log9x-log35x>log|(x + 3)
2	з
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Перейдем к основанию 3. Имеем
|+1 log3 х - log3 5х > -log3 (х+3) log3 .v-21og3 5x+21og3(x + 3)>-l <=>
log3 Л - log3 25x2 + log3 (x + з)2 > -1, log3 x(x+rf > _ 1
25x
Ответ: x e (O; «>)
9.068. |о8;и°-, >0 .v+5
Решение.
Переходя к основанию 0,3, получаем
Ответ: х е (1; <»)
9.069. (log0>2(x-l))2 >4.
Решение.
ОДЗ: х >1.
Переходя к равносильному неравенству, получаем |logo,2 (х ~ > 2 . Отсюда:
1) log02(x-l)>2<=>0<x-l<(0^)2 « 1 <х< 1,04;
2) log0,2(х-0< “2	х-1 > (0,2)'2, х > 26 .
Ответ: х € (1; l,04)U (26;«)
,	2х-8 Л
9.070. 10g15------ < 0.
х-2
Решение.
Данное неравенство равносильно системе двух неравенств
2х-8 х-2 2х—8 . х-2
С помощью числовой прямой получаем хе (4; б).
2	4	6 х
Ответ: х е (4; б)
9.071. log0>J(x2 -5х + 7)> 0.
Решение.
Данное неравенство равносильно системе двух неравенств
Ответ: х е (2;3)
9.072. х8 - 6х7 + 9х6 - х2 + 6х -9 < 0.
Решение.
Перепишем неравенство в виде
х6(х2 -6х + 9)-(х2 -6х+9)<0, (к6 - 1)(х2 -6х + 9)<0,
(х-З)2^3 - 1р +1)<0, (х-3)2 (х-1)(х2 + х + 1)[х + 1)(х2 -х + 1)<0.
В этом неравенстве выражение х2+х + 1>0 и х2 - х +1 > 0 при х е R, поэтому оно равносильно неравенству (х - З)2 (х - 1Хх +1) < 0. Методом интервалов получаем х g (-1; 1).
Ответ: xg(-1;1)
9.073. а4 + а3 - а -1 < 0.
Решение.
Группируя, получаем
а3(а + 1)-(л+ 1)< 0, (д + 1)(д3 -1)<0, (а + 1Хя - 1)(а2 +а + 1)<0.
В этом неравенстве а1 + а +1 > 0 при a g R , поэтому оно равносильно неравенству (а + 1Х« -1) < 0. С помощью числовой прямой получаем
Ответ: ае(-1;1)
9.074. т3 + т2 - т -1 > 0.
Решение.
Из условия
/n2(w + l)-(w+l)>0, (ж + 1)(/и2-1)>0, (w + 1Xw + 1Xw-0>0>
/	1Y2/ п |7и-1>0,	(т>1,
(w+1 г(/и-1)>0<=>	<=> ^	т>1.
'	|ет+1*0	|ет*-1,
Ответ: те (1;
°°^
9.075. log2 1 + log । x - log9 x < 1.
.	9
Решение.
Данное неравенство равносильно двойному неравенству 0 < 1 + log 1 х - log9 х < 2, -1 < log i х - log9 x < 1.
’ 1 9
Перейдем к основанию у . Имеем
—1 <log] x+log। х< 1, -l<21og1x<l, -i<log( x<i<=>
9	2	9	2
9
9
1 <=>-<x<3.
3
„	0 a
Ответ: xe —;3 3
log?* 4
Решение,
<№*>»• bfc.
Из условия x 2	>2, x 4 >2. Логарифмируя обе части нера-
венства по основанию 2, получаем lOgjX	.
log2x 4 >log22, °^2Х -log2x >1, log2x >4 «=>|log2 x| >2 =>
=^1) log2 x < -2, или 2) log2 x > 2 .
Отсюда: 1) 0 < x < — или 2) x > 4 .
4
Ответ: x 6 (0; — |U (4;
I 4 I
9.077. 2x+2 -2x+3 -2X+4 >5X+I -5x+2.
Решение.
Имеем
4-2x-8-2x-16-2x >5-5x-25-5x, -20-2x >-20-5x «
(2 Y . (2 y
<=> — <1, — • l5J w
Ответ: x g (O; <»)
2?
У , x>0.
9.078. 0,32х "3х+6 < 0,00243.
Решение.
Из условия
0,32х2-3х+6<035 <=> 2х2-Зх + 6 > 5, 2х2-Зх + 1 > 0,
Ответ: х е | - <»; - |U (1; оо)
I 27
— X2 + X — 1
9.079. --- 	 <0.
х + 8
Решение.
ОДЗ: х Ф —8.
х2(х-1)+(х-1) Л (х-1)(х2+1) Л
Перепишем неравенство в виде — --------- < 0,----—1 ь 0.
Так как х2 +1 > 0 при хе А,тополученноенеравенстворавносильносио [(х-1Хх + 8)<0, теме неравенств < (х * - 8.
Методом интервалов получаем х е (- 8; 1].
Ответ: х е (- 8; 1J
9.080.
х4-2х2-8 л ---------<0.
х2 +2х + 1
Решение.
ОДЗ:	х*-1.
Решив биквадратное уравнение х4 - 2х2 - 8 = 0, представим нера-(х2 +2Ух2 -4)
венство в виде	---‘<0. Так как х2+2>0 при хе R и
(х + 1)2
(х + 1)2 > 0 при х — 1, то это неравенство равносильно системе нера-
венств
(х-2Хх+2)<0, х*-1.
Ответ: х € (- 2; - 1)U (-1; 2).
9.081. log12(x-2)+logw(x + 2)< log12 5.
Решение.
ОДЗ: х > 2.
Имеем logl2(x-2Xx + 2)< logw 5. С учетом ОДЗ полученное неравенство равносильно системе неравенств
Ответ: х е (2;3)
Решение.
ОДЗ: х * -3, х * -2, х * -1. Имеем
(х-1Хх-2Хх-3)	-12х2-6	„
(х + 1Х«Т2Т+з)‘ ’ ~ (х + 1Хх + 2Х« + з)’° ~
2х2+1
Так как 2х2 +1 > 0 при хе R, то полученное неравенство равносильно неравенству (х + 1Хх + 2\х + 3) < 0. Методом интервалов находим х е (-«о; - 3)U (-2; -1).
<>-----<>
-1 х
Ответ: х е (-<»; -3)U (-2; -1)
’081
Решение.
ОДЗ: х # -1. Из условия
-------------< 0 «=> 3х+5 3-3Х-1
3-Зх-1-Зх-5 Л (зх + 5Ь-Г-1)< ’
2-Зх-6 л
(З^З Г-!^ ’
Так как 3х + 5 > О ПРИ хе R, то это неравенство равносильно нера-
2-Зх-6 венству -------
3-Зх-1
<0, (зх-3]3х-- |<0, З’1 <3Х <3, -1<х<1.
1	3
Ответ: хе(-1;1)
9.084. logx (log9 (зх - 9))< 1.
Решение.
ОДЗ:
хе (0;l)U(l; + ~l 3х-9 >1,
х€ (0; 1)U (1;+ °4 3х >10,
хе (log310; + оо}
Получаем следующую систему неравенств
x>log310,	[x>log310,
logx(log9(3' -9))< logx х ** [log9(зх -9)< x
x>log310,	x>log310,	x>log310,
log9(3x-9)<log99x [3х-9<32x	1^хУ-Зх+9>0<=>
[xe (log310;+oo} |xe R.
Отсюда x e I-Д-lg3
Ответ: x G
х2+2
9.085. 0,2	>25.
Решение.
ОДЗ:	х*±1.
Перепишем неравенство в виде
X2 +2	2	2
г’,*-. . .2 .. х +2>2 Л_!2+2<0, ’	2_1
х2+2+2х2-2 л
——<0-
.2
Зх2 J-7<0’
х*0,	[.
х2-1<0 Ответ: х е (-1; 0)U (О; 1)
х*0,
9.086. 52^ +5<5^+1 + 5^.
Решение.
( J~ V J— Jx
Представим данное неравенство в виде 5V*	+ 5<5-5VJt+5,
/ j- \2	j~
5 vx - 6 • 5 vx + 5 < 0. Решив это неравенство как квадратное относи-
тельно 5^,получим 1 <5^ <5, 0<Vx<l, 0<х<1-
Ответ: х е (0; 1)
9.087. |3-log2 х|<2.
Решение.
ОДЗ:	х > 0.
Данное неравенство равносильно неравенству
-2 <3 -log2 х <2, -5 < -log2 х < -1 <=> 1 < log2 х < 5, 2 < х < 32.
Ответ: х G (2; 32}
9.088. 5-0,2lgx >0,04lg2.
Решение.
ОДЗ:	х > 0.
Имеем
5-5”'8Х >5-2182, 5I-l8x >5’184 <=> 1-lgx>-lg4, lgx-lg4<l,
lg-<l<=»0<-<10, 0<x<40.
4	4
Ответ: x e (0; 40)
9.089. log2Iogl 1оё5*>0-
3
Решение.
Это неравенство равносильно неравенству
log j log5 х > 1 <=> 0 < log5 л < - <=> 1 < х < ^5. 3
Ответ: xe(l;Vs)
9.090.	+3Va--i _^Vx-2 <ц
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Из условия 3^ 4--^—-^—<11,11-3^ <911,3^ <32 .Оно равносильно неравенству Vx<2,0^x<4.
Ответ: xe[0;4)l
9.091. о,5х < 0,25 х2.
Решение.
Имеем 0,5х <0,52х'<=> х>2х2, 2х2-х<0, х(2х-1)<0. Методом
интервалов получаем х е
> х
А 1 Ответ: хе 0; — . 2_
9.092. logo>5 х + log0 5 х - 2 < 0.
Решение.
ОДЗ:	х > 0.
Решив это неравенство как квадратное относительно log0,5 х»полу
чим -2 < log0 5 х < 1,0,5 < х < 4 .
Ответ: х е [0,5; 4J
1	*-2
log,--
9.093. 5 ’ * <1.
Решение.
x — 2 ОДЗ: =-=- > 0. x
x—2
Это неравенство равносильно неравенству log3------< 0, а после-
х
днее неравенство эквивалентно системе двух неравенств
Методом интервалов получаем х е (2; оо).
Ответ: х е (2; оо)
9.094. log3 х + log^j х + log j x < 6.
з
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Перейдем к основанию 3. Получим log3 х + 21og3 х - log3 х < 6, 21og3x<6, log3x<3, 0<х<27-
Ответ: хе(0;27).
9.095. log4(x + 7)> log2(x + l}
Решение,
QR3-. х >-1.
Перейдем к основанию 2. Имеем
log2 (х 4- 7) > log2 (х + 1)<=> log2(x + 7)>21og2(x + l)<=>
<=> loga (^ + 7) > log2 (х +1)2.
Последнее неравенство равносильно с учетом ОДЗ системе неравенств
Ответ: хе(-1;2)
Решения к главе 10
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Произвольный треугольник (а, с —стороны; а, Р, Y — противолежащие им углы; р —полупериметр; Л —радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности; S —площадь; ha — высота, проведенная к стороне а):
5 = |айа;	(ЮЛ)
S = — 6с sin а • 2	(10.2)
S = -Jp(p-a/p-b^j>-c);	(Ю.З)
S г = —. Р '	(Ю.4)
R^- 4S '	(Ю.5)
S - °2 2sin^4	(10.6)
а2 = b2 +с2 - 2bccos а (теорема косинусов);	(Ю.7)
а	b	с	, = .	= .	=2А (теорема синусов), sina sinp smy	(10.8)
2. Прямоугольный треугольник (а, Ь — катеты; с ас, Ьс — проекции катетов на гипотенузу):	— гипотенуза;
S = —ab- 2	’	(Ю.9)
s={chc’	(10.10)
a + b-c	(10.11)
r =	• 2	’	
/? = -; 2 ’	(10.12)
a2 +b2 - с2 (теорема Пифагора);	(10.13)
/	hc bc	(10.14)
ac	.	(10.15)
a c bc _b	
	(10.16)
b c	
a = csina = ccos|$ = Z>tga = i>ctgP.	(10.17)
3. Равносторонний треугольник:	
с_а2Л . •Э —	. 4	(10.18)
а-Ji	(10.19)
г =	; 6	
3	(10.20)
4. Произвольный выпуклый четырехугольник^ и d2	—диагона-
ли; ф —угол между ними; S —площадь):	
о	1 J J . S = —^i^2sin ф.	(10.21)
5. Параллелограмм (a и b —смежные стороны; a —	угол между
ними; ha — высота, проведенная к стороне а):	
S = aha =adsina = ~^i^2 sinep.	(10.22)
6. Ромб:	
S = aha =a2 sina = yJ1J2.	(10.23)
7.	Прямоугольник:
8.	Квадрат (J —диагональ):
S=a2=d2/2.	(10.25)
9.	Трапеция (а и b —основания; h —расстояние между ними;./ — средняя линия):
/ =	(Ю.26)
S = ^~h = lh.	(\Ь.2Т)
10.	Описанный многоугольник (р — полупериметр; г — радиус вписанной окружности):
S = pr.	(10.28)
11.	Правильный многоугольник (ап — сторона правильного «-угольника; R —радиус описанной окружности; г —радиус вписанной окружности):
а3 = Л-Л; а4 = Rj2 ; a6=R;	(10.29)
S = ^-	(Ю-ЗО)
12.	Окружность, круг (г —радиус; С —длина окружности; S — площадь круга):
С = 2яг;	(10.31)
5 = яг2-	(Ю.32)
13.	Сектор (/ —длина дуги, ограничивающей сектор; п —градусная мера центрального угла; а — радианная мера центрального угла):
/ = ^- = га;	(10.33)
180’
? о я о 7W* «	1 j	z«л а 1 \
s =------= -г2а.	(10.34)
360’	2
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР
1.	Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
2.	Длина медианы треугольника выражается формулой та = ^72t>2 +с2)-а2 , где а, Ь, с —длины сторон треугольника.
3.	Длина стороны треугольника выражается формулой a = |72(W*	>
где та, ть, тс —длины медиан треугольника.
4.	Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим его сторонам.
5.	Длина биссектрисы треугольника выражается формулой lc = y/ab-a^ ,
где а и Ь —длины двух сторон треугольника АВС; ах и Ьх —отрезки третьей стороны.
6.	Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон а , Ь и с по формуле
_ y]ab(a + £ + сХа + 6 - с) с	а + Ь
7.	Для всякого треугольника зависимость между его высотами ha , hb, hc и радиусом г вписанной окружности выражается формулой
1111 --+---4---= -ha hb hc г ‘
8.	Площадь S равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, т.е. S = h2 .
9.	Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является средним геометрическим ее оснований.
Доказательство всех этих дополнительных соотношений можно найти в любом издании данного сборника задач последних лет.
10.	001. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты треугольника.
Решение.
По условию ЛЕ = 5 см,ЕЕ = 12 см (рис. 10.1). Обозначим через г—радиус вписанной окружности. BE = BP = 12 см, PC = г, ВС = PC + BP = 12 + г, AE = AF, CF = r, AC = CF + AF = г + 5, AB = AE + EB = 12 + 5 = 17. ЛАВС, ZC = 90°. Имеем AB2 = AC2 + BC2, (r + 12f+(rЧ-5)2 =289, r2 + 17r-60 = 0, r = 3 см.Следовательно, BC = \5 cm, AC = 8 cm.
Ответ: 8 см, 15 см.
10.	002. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
Решение.
Так как AD —диаметр окружности (рис. 10.2), то OD = ОС = 10 см. Проведем CL1AD; тогда OL = 6 см и из ACLO находим
CL = 4ОС2 -OL2 = 8 (см).
Тогда из ДЛ£С и &CLD имеем
АС = -JCL2 + AL2 = V64 + 256 = (см)
И	__________
CD = -JCL2+LD2 = 764 + 16 = 4^5 (см).
Ответ: 4-Js и 8-^5 см.
Рис. 10.4
10.	003. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21 см, b = 9 см и высота h = 8 см. Найти радиус описанного круга.
Решение.
Трапеция ABCD вписана в круг (рис. 10.3). Значит, &ABD —вписан.
21-9
ВС = 9 см, AD = 2\c^yBE^h = i см, АЕ = —; АЛЕВ, ХВЕЛ =90°.
2
Имеем
АВ = 764 + 36 = 10 см; ABED, ABED = 90°.
Имеем
ED = AD-АЕ = 2\-Ь = \5 см, ££> = 7225 + 64 =17 См.
Обозначим через R радиус описанного круга:
D ABBDAD 17 10 21
R =-----------= —-------= 10,625 см.
4 • — • 8 • 21
2
Ответ: 10,625 см.
10.004. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной т и п. Определить диагонали ромба.
Решение.
Длина стороны ромба равна т + п . Из &АВК (рис. 10.4) находим ВК2 — (т + пУ - т2. В \BKD имеем
BD2 = ВК2 +п2 =(т + пУ -т2 +п2 = 2п(т + п),
т.е. BD = yl2n(m + п) •
Так как AC2 + BD2 = 4AD2 = 4(?и + и)2, то
А С2 = 4(/и + п)2 - 2тп - 2п2 = 4т2 + бши + 2п2, т.е АС = yl4m2 + 6тп + 2п2.
Ответ: BD = у]2п(т + и),ЛС = V4m2 + бтп + 2п2.
10.005. В прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вписан квадрат, имеющий имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через х (рис. 10.5). Так как а Ь
ААСВ- &FEB, то — = ---. Имеем
х Ь-х
ab п . 4аЬ
х =----,Р = 4х =---.
а+Ь	а+Ь
Ответ: ---
а+Ь
10.006. Две окружности радиусов R = 3 см и г = 1 см касаются внешним образом. Найти растояние отточки касания окружностей до их общих касательных.
Решение.
Обозначим FM = x
R-r R+r ----=------, отсюда
(рис. 10.6). Из &О\ТО - &FMO имеем г(Я-г) „	r(R-r) 2Rr
R + r	R + r R+r
6 3 п . .
= — = — см. Если же в качестве общей касательной окружностей рассматривать прямую EF, то искомое расстояние равно нулю.
Ответ: 0 и — см.
2
Рис. 10.7
Рис. 10.8
10<007. Около окружности диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.
Решение.
По условию KQ = 15 см, АВ - CD = 17 см, ВС + AD = АВ + CD = 34. В ДСЕО Z.CED = 90°, СЕ = KQ (рис. 10.7) Имеем DE = V289-225 = 8 см, AD = 2ED +ВС = 16 +ВС, ВС + \6 + ВС = 34, ВС = 9 см, Л£> = 25 см. Ответ: 9 см; 25 см.
10.008. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3 см.
Решение.
Используя теорему косинусов, получим
х2 = 16 + 16-216cosa, т2 = 16 +4-2-8 cosa
=> х2 -2т2 = -8, х2 = 10, х = V10 (рис. 10.8).
Ответ: л/То см.
10.009. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.
Решение.
SMBC = ^AC-BD, где BD = >IaB2-AD2 = 71O2 -82 = 6 (рис. 10.9), т.е. S^bc = 6-8 = 48(см2). Пусть Лиг— радиусы описанной и вписанной в треугольник окружностей. Тогда
„ АВВСАС 10 10 16 25, ч S 48 8, .
R =----------=--------=—(см), г = — = — = —(см),
4S 4-48	3	р 18 3
где р — полупериметр &АВС. Расстояние между центрами 0{02 = 02В-01В = 02В-(ВО-0}0) = В-(6-г) = К + г-6 =
25 8 . ,, , с
- —+—-6-11 — 6 = 5 (см).
8 25
Ответ: — и 5 см. 3 3
10.010. Каждая сторона правильного треугольника разделена на три равные части, и соответственные точки деления, считая в одном направлении, соединены между собой. В полученный правильный треугольник вписана окружность радиуса г = 6 см. Определить стороны треугольников.
Решение.
По условию AS = CS = AC, SB = BD = DC = MC = KM = AK = AF = ГГ rc .	/ 1Л1МС	FB + BM + FM 3FB
= FE- ES, r = 6 см (рис. lO.lO).*?^^ =------r = —• r.
S*™, = FB2—, т.е. FB = 12л/з см. В &AFM ZAFAM = 60°, AF =—, ил	д	2
AM = -| A C, FM 2 = AF2 + AM 2 - 2 • AF  AM  cos ZFAM (по теореме косинусов), откуда FM2 =^— + — AS2-2 — AS2 •—, FM2 = — 9	9	9	2	9
J<?	r-	r-r-
FM = —j=,AS = FM•>/3, FM = BF, AS = 12V3 • V3 = 36 cm.
V3
Ответ: 12>/з см и 36 см.
Рис. 10.12
10.011. Основание равнобедренного треугольника равно 4^/2 см>а медиана боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон.
Решение.
Так как ДЛВС —равнобедренный, то высота BD является медианой (рис. 10.11); далее, точка пересечения медиан делит каждую из них
в отношении 2:1, откуда АО = — (см). Из AAOD получим
od = Jao2 -ad2
(е„).
т.е. BD = >/28 (см). Из &BDC имеем ВС = Л/^У+^У = 6 (см).
Ответ: ВС = 6 см.
10.012. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая (рис. 10.12). Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
Решение.
По условию ЛС = 32 см, ЕО = 5 см, ЛВ = 16 см, АВ2 = ACAD,
АС - AD 
256 = 32-AD, AD = 8 см, СЕ =---= 12 см,С0 = 725+ 144 = 13см.
Ответ: 13 см.
10.013. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.
Решение.
Используя теорему косинусов, из рис. 10.13 имеем:
АВ2 = ВС2 + АС2-2-ВС-AC-cosa =>
=> 122 = 152 +182 -2-15 18cosa, cosa = —, sina = Vl-cos2 a =	;
4	4
BC2 =AB2+AC2 -2- AB- ЛС-cosp =>
=> 152 =122 +182 -21218-cosp, cosp = ^, sinp =-Ji-cos2 p =	.
OM R . n OK R sina x 4
sm a =---=-------. sin p =-= — и —— =--------= —.
ОС 18-х АО х sin(3 18-х 5
5х = 72-4х, 9х = 72, х = 8, У = Ю. АО = Ъ см, ОС = Ю см.
Ответ: 8 и 10 см.
10.014. Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12 см.
Решение.
Проведем радиус в точку А ;таккак ,то ОА1ВС и BD = 6 см (рис. 10.14). Пусть О А = г, OD = х. Тогда AD = у1аВ2 -BD2 = 8, т.е. r + x = 8 (1). Но OD2 = OB2 -BD2 или г2-х2=36; так как
г2 - х2 = (г + хХг - х), то г - х = 36/8 = 9/2 (2). Решив систему уравнений (1) и (2), найдем г = 6,25 (см).
Ответ: 6,25 см.
10.015. Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исходной дуги.
Решение.
Обозначим через г — радиус вписанной окружности, R — радиус
дуги. ААО{В = (Л°, АВАОХ =90° (рис. 10.15), значит, ААВОХ =30°. Из
ДВЛ Ох имеем ВО{ = ——— = 2R, из АВЕО2 /.ВЕО^ = 90°. Отсюда sin 30°
ВО2 = 2г, ОХО2 = 2(В-г). По условию получим, что О{О2 = R + r,
2(B-r)=B + r, B = 3r, г = у; таким образом, 1{ = 2к-г = ^^- —длина вписанной окружности, /2 = R. а = R • —. Следовательно, 1Х = /2, что и требовалось доказать.
10.016. В сектор АОВ с радиусом R и углом 90° вписана окружность, касающаяся отрезков ОАУ О В и дуги АВ (рис. 10.16). Найти радиус окружности.
Решение.
&0MF —равнобедренный (Z.MOB = Z.MFO = 45°). Отсюда МО = MF, OF = R^2 . Из AOigO ~ &OMF имеем — = Г , г = r{J2 -1).
R J2R	7
Ответ: в(л/2-1)
10.017. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р?
Решение.
Проведем диаметр CD через точку Р (рис. 10.17), которая разделит его на отрезки PD и СР длиной 11-7 = 4и11 + 7 = 18 (см). Пусть АР = х; тогда РР = 18-х. Так как ЯРРР = СРР£> = 418, то х(18-х) = 72 или х2 -18х + 72 = 0, откуда Xj = 12, Х2 = 6, т.е. хорда ЯР делится точкой Р на отрезки длиной 12 и 6 см.
Ответ: 12 и 6 см.
10.018. Найти длины сторон АВ и АС треугольника АВС, если ВС = 8 см, а длины высот, проведенью к АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4 см.
Решение.
По условию ЯС = 8 см, ЯР = 4 см, Р/С = 6,4 см (рис. 10.18).Из
&ВКС-&АЕС следует, что	; АС = 5 см. Из АЯЕС имеем
4 АС
СЕ = 725-16 =3 см, BE = 8-3 = 5 см; тогда из ДЯЕР находим ЯР = 716 +25 =74? см.
Ответ:	см, 5 см.
10.019. Площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность,равна Q2 (рис. 10.19). Доказать, что радиус окружности равен 2£?7з/3.
Решение.
По условию Smbc - Q2» АВ = ВС = АС. Пусть ВО = ОС = АО = В, тогда 3$д,ос =б2, 3fl2.l sinl20° = e2, ^Я2 =02,й = J-^02 = 2	4	у 3^/3
2(?^3	,
= —, что и требовалось доказать.
10.020. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найти радиус окружности.
Решение.
По условию ABCD —ромб, BD = 12 см, А С = 6 см(рис. 10.20).0бозна-
АС
чим: ОХО = х , R — радиус окружностей. Тогда х = R------= R-3.
В ЩОВ ZOIOB = 90°, R2 = 36 + (/?-3)2, Л = —= —см.
6	2
Ответ: 7,5 см.
10.021. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти стороны треугольника.
Решение.
„	ЛВСО 2
По условию С0 = т> АО=ВО,------= -, АВ = 2т (О —центр
ЛА СО 1
описанной окружности) (рис. 10.21). Обозначим ЛАСО=х, ЛВСО = 2х,
х + 2х = 90°, х = 30°, ЛАСО = ЛСАО. В ЛАВС ЛАСВ = 90° , ВС = 2m-sin 30° = т , АС = ^4т2 -т2 = т4з .
Ответ: т ; ггь/з , 2т .
10.022. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1:2.
Решение.
ЛВСО 2
АО=ОВ, —77-г(рис. 10.22). В &АВС ЛАСВ = 90 ; таким ЛАСО 1
образом, О —центр описанной окружности, значит, АО = ОВ = СО, &АОС —равнобедренный, ЛА = ЛОСА, ЛВ = ЛВСО. Обозначим
Рис. 10.23
ZOCA - х , значит, ZBCO = 2х, х + 2х = 90°, х = 30°, таким образом, Z^=30\ ZBCO = ZB = 60°.
Ответ: 30°, 60°.
10.023. Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности радиуса R, две другие — на касательной к этой окружности. Найти длину диагонали квадрата.
Решение.
Пусть х —сторона квадрата (рис. 10.23), в АОЕА ZOEA = 90°, ЕА2 = OA2-OE2,R2-(x-Rf =Z,Z + X2 =2xR;x = — -,AC = x>/2^ v ’	4 4	5
= — -4z=\£r41 .
5
Ответ: 1,6/?V2.
10.024. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4 см, а длины непараллельных сторон — 20 и 13 см. Найти высоту трапеции.
Решение.
По условию ДС = 4 cm, AD = 25 см, АВ = 20 см, CD = 13 см (рис. 10.24). Проведем BE1AD и CF1AD. Пусть BE = CF = h, АЕ = х, FD = у. Тогда из &АВЕ и ACFD находим Л2 = 202 - х2 = 132 - у2. Учитывая, что у = 25-4-х = 21-х, имеем 202 -х2 = 132-(21-х)2 или 42х = 672, откуда х = 16 (см). Итак, h = V202 -162 = 12 (см).
Ответ: 12 см.
10.025. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них стороной вписанного квадрата, а для другой—стороной правильного вписанного шестиугольника. Найти расстояние между центрами окруж-
Рис. 10.25
ностей, если радиус меньшей из них равен г (рассмотреть два возможных случая расположения окружностей).
Решение.
1-й случай. По условию Ох А = г , CD = 2СЕ; &0{ЕС — равнобед-
л/2	г~	г~
ренный, ZOj£C = 90°, СЕ = г •—-, CD = rV2 , R = r<2 (рис. 10.25,a).
Обозначим
CD = a = rj2, O,E = - = — = r— • ACEO2, ЛСЕО2 =90’, 2	2	2
EO2 = C£ctg30° = —Л = — 7з=—, 2	5	2	2	2’
2-йслучай. OtO2 =EO2-EOt, CD = r j2, ЕО} EOi =г4б/2,
(\O2 =	(рис. 10.25,6).
_	г(4б+Л)
Ответ: —-------------
2	2
10.026. Из внешней точки проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка секущей. Определить длину касательной.
Решение.
2
По условию ЛВ = 12 см, АС = — DB (рис. 10.26). Обозначим BD = х,
<2
|х 1 = 12(12-х), х2 +27х-324 = 0, х = 9 см,
тогда AC2 = АВ- AD ,
2 AC = —9 = 6 см.
3
Ответ: 6 см.
10.027. Каждая из трех равных окружностей радиуса г касается двух других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям.
Решение.
Треугольник АВС —правильный (рис. 10.27); поэтому его площадь рав-а24з
на------, где а — сторона треугольника. Проведем ОК1АС  Так как
4
Z<X4/C = 30°,to AO = 2r, АК = г-Л , откуда а = 2г-Уз + 2г = 2г(л/з +1).
„	_ 4r2t+2V3+l)j3
Следовательно, о =---— --------— = 2г Ц-J3 +3).
Ответ: 2г2^>/3+з)
10.028. Основания равнобедренной трапеции а и Ь, боковая сторо-
на ее равна с, а диагональ равна d. Доказать, что d2 =ab + c2 . Решение.
По условию ВС = а, AC = d, CD = c, AD = b (рис. 10.28). В &CED
Рис. 10.29
ZCED = 90’, С£2=с2-|—1.В ЛАЕС ZA ЕС =90°, d2=c2-2
_b—2ab+a +b +2ba+a . j2 =/}.a + c^, что и требовалось доказать. 4	4
10.029. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой—стороной вписанного квадрата. Определить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два возможных случая).
Решение.
1-йслучай. Поусловию AB = a = AN = NM = MB-BD = AD, ОХЕ = --,
Z.BO2E = 2ZEDB = 60’, О2Е = ЕВ ctg60° =	,
2V3
°i°2 =	+ 4 ~ 7 + (Рис- 1 °-29’а)-
2V3 2 о
2-й случай. О{О2 = О2Е - ЕО{, ЕОХ = у, ЕО2 = ЕВ • ctg60°
а
О{О2 = -^-- = -(з-Л) (рис. 10.29, б).
Ответ:	+ 7з )/б ,	- Л )/б ♦
10.030. На сторонах квадрата вне его построены правильные треугольники, и их вершины последовательно соединены. Определить отношение периметра полученного четырехугольника к периметру данного квадрата.
Решение.
Обозначим сторону квадрата через х , тогда периметр квадрата
Ро = 4х, bFBM — равнобедренный, zLFBM = 360° - 90° - 2 • 60° = 150°,
FM = yllx2 -2x2 cos 150° = х\2 + у/з (рис. 10.30). Таким образом,
Ответ:
>/б + >/2
2
10.031. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найти сторону ромба.
Решение.
Пусть а —сторона ромба, a d} и d2 —его диагонали (рис. 10.31). Так как высота ромба равна диаметру окружности, то его площадь а. С другой стороны, S = 1 dxd2, откуда, учитывая, что dx = а , находим

2 а ., или а - — +16, т.е. а =---.
4	3
Ответ: 8->/з/3.
10.032» В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см (рис. 10.32). Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных к данным сторонам, равна третьей высоте.
6 ha+hb = 6	+ l =	2 I 1 = 12
hb АВ' 2hb АВ hb АВ ’ АВ ’
4 см.
Решение.
По условию А С = 6 см, ВС = 3 см. Обозначим через ha, hb, hc —
высоты. Тогда = hc. ЬВЕС ~ ЛАКС => - = AANC ~ 2	6 ha
~ АЛЕВ =>
ЯВ = 4см-
Ответ:
10,033. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника.
Решение.	__________
Найдем длину боковой стороны ВС (рис. 10.33): ВС = уВМ2 + МС2 = = 7б2 +82 = 10 (см). Учитывая, что АО — биссектриса &АВМ, имеем МО/ОВ = AMI АВ или г/(8 - г) = 6/10, откуда г = 3 (см). Так как DE^A С, то &DBE ~ &АВС , т.е. DE/AC-BN/BM или DE/12 = (8 -2г)/8, откуда £>£ = 3 см.
Ответ: 3 см.
10.034. Из одной точки проведены к окружности две касательные (рис. 10.34). Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определить радиус окружности.
Решение.
По условию А К = AN = 12 см, KN -14,4 см. В &АЕК ААЕК = 90°,
AE = Jl44-fytf =9,6 см, КЕ2=АЕ ОЕ, ОЕ = ^£ = 5,4 .В ЬКЕО
ЛКЕО = 90°, Л = ^51,84 + 294 6 = 9 см.
Ответ: 9 см.
10.035. Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса R в точках В и С так, что треугольник АВС — равносторонний. Найти его площадь (рис. 10.35).
Решение.
По условию ОВ = ОС = R, АВ = АС = ВС . Так как ДЛВС — рав-
носторонний, то S = ВС2 —; ZABO = 90е, ZABC = 60°, АСВО = 30°, 4
BC=2J? cos30 = V3 J?, S = 3R2 —.
4
л/з
Ответ: 3R2 —.
4
10.036. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что угол 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.
Решение.
В &FBD (рис. 10.36) катет FD = 6 см и лежит против угла в 30°, откуда FB = 12 см и, значит, ЛВ = 18 см. Далее, в &АВС имеем А С = А В/2 = 9 см. Наконец, ВС = >1аВ2 - АС2 = >/243 = 9>/з (см).
Ответ: 9,9>/з и 18 см.
Рис. 10.38
10.037. Дан правильный треугольник АВС (рис. 10.37). ТочкаХ'делит сторону Л С в отношении 2:1, а точка М—сторону А В в отношении 1:2 (считая в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ЛВС.
Решение. у д 2
По условию —— = —;	= —. Пусть А М = х. Так как ДЛВС — пра-
Л М 1 КС 1
вильный, то /ВА С = 60° и КМ2 = AM2 + АК2-2 AM • ЛКсозбО0;
КМ2 =4х2 +х2 -4х2 cos60°, КМ2=Зх2\ КМ = х4зR = AB—;
3
3
Что и требовалось показать.
10.038. Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60° (рис. 10.38). Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.
Решение.
/ABD 3
По условию 2ВС + 2СВ = 90 см, /.BCD = 60°, ~^ЬвС = Т ‘ Имеем BC + CD = 45, Z.AВС + ZBCD = 180°. Пусть ZCBD = x, ZABD = 3x, следовательно, Зх + х + 60° = 180° и х = 30°, ZABD = 90\B &ABD AB = AD cos60°, АВ = 4г- = ^~, AB = CD, ВС + — = 45, ЗВС = 90;
2	2	2
ВС = 30 CM. AD = DC = \5 см.
Ответ: 15 и 30 см.
10.039. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом (рис. 10.39). Найти длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см2, а длина высоты равна 2 см.
Рис. 10.39
Рис. 10.40
Решение,
~	90°
По условию SMBCD = 12 см2, BE = 2 см; /LOAD = /LODA = — = 45°,
BE _ AD AD _ 2	Г'ТЪ	DC ВС + Dr _ 1
	= АВЬ АВ = .— • 2 = 2V 2 = CD, АЕ — BE — 2,-* BE = 12, sin45°-------------------------------------------------------у/2	2
.?C + AD .2 = 12,ВС + AD = 12, тогда 2ВС + 2АЕ = 12, ВС + АЕ = 6,
2
ВС + 2 = 6, ВС = 4 см, AD = 4 + 4 = 8 см.
Ответ: 4 и 8 см; 2^2 и 2^2 см.
10.040. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки длиной 15 и 20 см (рис. 10.40). Найти площадь треугольника и длину вписанной полуокружности.
Решение,
По условию АО = 20 см, OB = 15 см. Обозначим через г радиус полуокружности; &AFO ~ &ОЕВ, имеем — = , Г 	; 4^225-г2 = Зг;
>5
16(225 - г1) = 9г2, г2 = 9 • 16, г = 12 см; / = яг = 12я. В ДЛГО ZAFO = 90°,
А С=V400-144+12 = 28, ВС=л/225-144 +12 = 21, S== 294 см2.
2
Ответ: 294 см2,12лсм.
10.041. Величина одного из углов параллелограмма равна 60°, а меньшая диагональ 2>/з1см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей к большей стороне, равна 415/2 см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.
Решение.
Проведем BN1AD (рис. 10.41); так как BN = 20М, то BN = V75 см. Учитывая, что в &ANB Z.ABN = 30“, имеем АВ = 2AN и, значит, 4AN2 =75 + AN1, откуда AN = 5 см и ЛВ = 10 см. Далее, из NBND получим ND2 = BD2 - BN2 = 124 - 75 = 49; следовательно, ND = 1 см и JD = 12 см. Наконец, из равенства АС2 + BD2 =2АВ2 + 2AD2 находим АС2 =200+ 288-124 = 364,т.е. АС = 2451 см.
Ответ: 12 ; 10 и 2^/91 см.
10.042. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом (рис. 10.42). Найти длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.
Решение.
По условию Z.BCA- 30°, Z.ABC = 90°, О/= 10 см, D£ = 8 см, 8 4" /4 С7
—-— = 10, АС = 12 см (так как КМ — средняя линия). Так как
АВ AC x + DB 12 ,	х	1
ДДВЕ-ДЛВС.то —= —;-^- = -(гдеЛР = х)>х = РВ-.
В ZDBE = 90°, ^-BED = ЛВСА = 30°, DB = DE sin30° =8/2 = 4, значит, х = 4 ♦ — = 2 см.
2
Ответ: 2 см.
10.043. В окружность, диаметр которой равен V12 , вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой пра-
Рис. 10.43
вильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти радиус этой окружности.
Решение.
По условию R = 0,5-ЛТ. Сторона АВ правильного вписанного треугольника (рис. 10.43) равна R-J1, т.е. 0,5-J\2 • 7з = 3. Найдем сторону CD нового треугольника: а = д/з2 -1,52 = 1,5-х/з . Так как радиус г вписанной в него окружности равен а7з/б, то окончательно получим г = 1,573-7з/б = 3/4.
Ответ: 3/4.
10.044. В окружности проведены две хорды АВ = а и АС = Ь. Длина дуги А С вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности.
Решение.
Обозначим /.ВОА = а, тогда ZACB = —, a2 = 2R2 -2R2 -cosa 2
(R —искомый радиус) (рис. 10.44). По теореме синусов а = —— = 2R, • a sina
sm—
2
sina = -^- , a2 =2R2 -2R2 — yl4R2 -b2 ,	= 1 - Jl-
2R	2R	’ 2R2 N 4R2
R2 =	°4	• В =	°
4а2 - Ь2 ’	у/4а2 -Ь2
а2
Ответ: / , . -Г’ 74а2 -Ь2
Рис. 10.46
10.045. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из центров под углами 90° и 60°. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно л/з +1.
Решение.
Пусть г—радиус одной, R — радиус другой окружности. По условию ЛАОХВ = 90°,ZJO2£ = 60°, О{О2 = 73+1; АВ = rV2;
О^Е = АВ/2; О\Е = r^-, АВ = 2flsin30° = R^ZAO2E =	зна-
чщ R = rj2, EO2 = R^- = r-y, O,O2 =O{E+O2E =	=
= >/з +1, г(>/б + 72) = (л/з + 1)-2,г = 72;Я = л/2->/2=2 (рис. 10.45).
Ответ'. 2 и 41.
10.046. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если длины катетов равны 5 и 12?
Решение.
По условию АС = 5, СЯ = 12 (рис. 10.46). В ЬАВС ZC = 90°,
АВ = >/25 + 144 = 13. Имеем ЛА СВ ~ ЛОйВ => — =	Пусть OD = R
OB OD 3
— радиус данной окружности, тогда = и OB = \3-R, поэтому
13 —Л R 18
65
Ответ: — 
18
Рис. 10.47
Рис. 10.48
10.047. Периметр прямоугольного треугольника АВС (ZC = 90°) равен 72 см,, а разность между длинами медианы СК и высоты СМ равна 7 см (рис. 10.47). Найти длину гипотенузы.
Решение.
По условию СК - СМ = 7 см, РАВС
= 72 см, р = ?АВС = 36. Если г —
F 2
радиус вписанной окружности, то r = p- АВ, S = рг = р(р-АВ).
Обозначим АВ = х, К —центр описанной окружности, СК = АК = = КВ = ^- = ^; S = 36-(36-х); — -СМ = 7 (по условию) СЛ/= —-7;
2	2	2	2
2l2 J 4
Ответ: 32 см.
— = 362 -36х, х2 +130х-5184 = 0, х = 32 см. 2
10.048. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г  Найти радиус большей окружности.
Решение.
По условию Z2?AC = 60°, <?,£ = г (рис. 10.48). В A/lCOj ZACOt =90°, О, С
ZO, А С = 30’; AOj = ——- = 2OiC = 2г . В \О2ЕА Z.O.EA = 90°; sin 30
ДЛ	л ^2Е 3r + R R 3r + R D ,
ЬО7ЕА ~ ДО.СЛ => —±— =------; — =-----; R = 3r.
ОКС 2г г 2г
Ответ: Зг.
19 М. И. Сканави, группа А
577
10.049. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника. Решение.
По условию Z-C - 90°, AD = 30 см, BD = 40 см (рис. 10.49). Пусть
АС = х,ВС - у. Так как точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его
X 30 4х Т1 2	2	2 16х2
биссектрисе, то — = —, т.е. у =—. Нох +у -Ай или х +-------=70,
у 40	3	9
2 откуда х = 1764. Итак, х = 42 (см), у = 56 (см). Ответ'. 42 и 56 см.
10.050. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а катет равен 10 см. Решение.
Проведем радиусы OD, ОМ и ON в точки касания (рис. 10.50) Имеем OD = ОМ = СМ = CD и, следовательно, BD = 10 - 3 = 7 (см). Но BD - BN и AN = AM (касательные, проведенные из одной точки). Положим AN = х; тогда (х + 7)2 = (х + З)2 +102, откуда 8х = 60, т.е. х = 7,5 (см). Отсюда АВ = 14,5 (см) и получаем ответ: R = 0,5ЛВ = 7,25(см).
Ответ: 7,25 см.
10.051. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга. Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней окружностей равны 6 и 4 см.
Решение.
Рис. 10.51
Рис. 10.52
Пусть г — радиус меньшей окружности. Тогда О1О2 = г + 4, ОХО3 = г + 6 (рис. 10.51). Так как О2О2 =^1^2 + 0|<?з , то ^2 = = (г + 4)2+(г + б)2, г2 + 10г-24 = 0, откуда г = 2 см (корень г = -12 не удовлетворяет условию).
Ответ: 2 см.
10.052. Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.
Решение.
По условию СВ = а, А С = СВ (рис. 10.52). Значит, ЛСАВ = АСВА = 45°
(таккак ZC = 90°) => АВ = а^2. ЬАСВ ~ WEB =>	=—,
aJ2-R R
Л = -^- = ^-Л).
V2 + 1
Ответ:
10.053. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины В тупого угла на сторону DA, делит ее в отношении 5:3, считая от вершины D (рис. 10.53). Найти отношение АС: BD , если AD: АВ = 2.
Решение.
AD	ED >
По условию — = 2, — = -; Л£> = 3х + 5х = 8х Ad	Ac. 3
8x
AB
AB=4x, BE = 716x2 -9x2 = хЛ , BD = ^25x2 +7x2 = х>/32 =4хЛ
(ABED, ABED = 90’). В ЛА FC AAFC = 90’, A C = tIfC2 +AF2 ;
AF = BE = xJl, FC = 3x + 8x = llx, AC = 7121x2 +7x2 = 8x^2 ;
ЯС_8хЛ _2
4x72
Ответ: 2:1.
10.054. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника (рис. 10.54). Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенной на основание треугольника, равна 3 см.
Решение.
По условию AB=BQ, AQ = 8 см, ВЕ = 3 см. АВ = 716 + 9 =5 см,
АЕ2=ВЕОЕ => ОЕ-3 = 16, ОЕ = -- AB2=BDBC> 3
25 = (Л + 3 + 1ШаМ R2 =625^9 = 400 r = 2*
I	3 J I 3 J 9	9	3
„	20
Ответ: — см.
10.055. В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и
боковой стороной а вписана окружность (рис. 10.55). Найти радиус этой окружности.
Решение.
По условию АВ = ВС = а, Z.ABC = 120°, ЛВАС = ЛАСВ = 30°,
_ ОЛО я с»	АВ+ВС+АС	~	2а^/з гт
BE = a sin 30 -—,8 -г------------, АС = 2а ♦ cos 30 =-= aV3;
2	2	2
2	4	4	2	2
п a73(2-V3)
Ответ: -----------.
2
10.056. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного многоугольника, до всех прямых, содержащих его стороны, есть величина постоянная.
Решение.
Соединим любую внутреннюю точку Р со всеми вершинами многоугольника и опустим перпендикуляры на все стороны (или их продолжения). Пусть длины этих перпендикуляров равны d\, di* ...,dn. Нужно доказать, что сумма d\ +di +...+dn не зависит от Р: Площадь многоугольника 5 = 0,5а(d{ +	• + dn)’ гДе а — сторона многоугольника. Значит,
+^2 +— + dn = 28/а, т.е. эта сумма не зависит от выбора точки Р. Что и требовалось доказать.
10.057. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 2 см, а боковая сторона 4 см.
Решение.
По условию AD = 2 см; DB = ВС = 4 см (рис. 10.56). В &DAB
ZDA В = 90°, AB = -J\6-4=J\2, ВЕ = —= - = - = !, ВМ = — = 2. 2	2	2	2
В ABEMZBEM = 90°, ЕМ = 41^\=4з и NM = NE+ЕМ = АВ+ЕМ = = л/12+7з = Зл/3(см).
Ответ: З-ТЗсм.
Рис. 10.58
10.058. В правильный треугольник вписан квадрат, сторона которого равна т . Найти сторону треугольника.
Решение.
По условию EF = FN = NM = ЕМ = т (рис. 10.57); АВ = ВС = АС = х.
S Ху13	2х
Б0ЧХ ~~ MOC~*FNC =
т^Ц+з) 3
m(2V3+3)
Ответ: ----------.
3
10.059. В окружности радиуса г проведена хорда, равная г/2 . Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной (рис. 10.58). Найти расстояние между касательной и секущей.
Решение.
ОК - ОМ = г, КМ = -; по теореме косинусов КМ1 2 = OK2 +ОМ2 -2
г2	7	7
-2OK OM cosa, — = 2r2 -2r2cosa, cosa = - ОЕ = rcosa = r-4	8	8
7	1
{/.КОМ = Za). EK = КО-ЕО = r--r = -r , 8	8
1
Ответ: - г. О
10.060. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5 см (рис, 10.59). Найти катеты треугольника.
Решение.
Поусловиюг = 2 см, А = 5 см. В ЬАСВ, СВ = 90°, ЛВ = 2В = 10, АК = АЕ,КВ = МВ,АС = АЕ + СЕ = АК + СЕ = АК + г,ВС=МВ+СМ = = KB + CM = r + KB, AC + CB = 2r + AB, AC+ СВ = 2(г+ В). Пусть АС-х, тогда СВ = 2(r + R)-x , СВ = 14-х . Так как АВ2=АС2 + + ВС2,то 100 = х2 + 196-28х + х2, ^=8, х2 =6.
Ответ: 6; 8 см.
10.061. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15 см. Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см (рис. 10.60). Найти длины сторон параллелограмма и его диагоналей.
Решение.
Поусловию АЕ = 6 см, ЕС = 15 см, ВС -АВ-1 см. Обозначим ВС = х, АВ = х-7.ВДВЕЛ Z.BEA=9tf => BE2 = х2 -14х + 49-36. В &ВЕС Z.BEC = 90° => BE2 = х2 -225. Отсюда х2 - 14х + 49 - 36 = х2 -225; х=17, значит, ВС = 17см, АВ = 17-7 = 10 см, АС = 6 + 15 = 21 (см); АО = —, ЕО=^-АЕ=^-6 = ~, В£ = 7289-225=8, BD = 2-.64+ —
2	2	2	2	V 4
(ЛВЕО, где ZBEO = 90’), BD = V337 .
Ответ: 10; 17; 21; >/з37 см.
Рис. 10.61	Рис. 10.62
10.062. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда, равная 32 см и касающаяся меньшего круга (рис. 10.61). Определить длину радиуса каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.
Решение,
По условию СВ = 8 см, Л5 = 32 см, ЕВ2-ВС • ВК . Так как £В = -^ = 16и ДАГ = ВС + 2г,то256 = 8-(8 + 2г)=> г = 12, R = ОС + СВ = = г+8 = 12 + 8 = 20 см.
Ответ: 12 и 20 см.
10.063. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2:3. Диагонали ромба равны т и п (рис. 10.62). Найти стороны треугольника, содержащие стороны ромба.
Решение.
KD 3	Л	1т2 п2
По условию, BD = m, АС = п- Отсюда АВ = .-----+— =
DM 2	у 4	4
1	Г~г---Г	AD KD
= -'Jm + п . &KAD ~ &DCM => 777 = 7П7 и, так как АВ = ВС =
2	CM DM
/ 2	2 = DC = AD (поусловию), т +п = 3, см = СМ 5	/ 2	2	KD	АК + ВС = — ^т +п . Так как 	=	, то 6	DM	CD -4т2 +п2 , КВ=АК+АВ=—4т2 +п2 . 4	4 Ответ: у4т2 +п2 ; ^-4т2 +п2 . 6	4	/2	2 —-—, вм=см+ АК	3 И АК~ у/т +п z
10.064. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сторон этих треугольников.
Решение.
Площадь треугольника находится по формуле (рис. 10.63):
5 = -Jptp-alp-blp-c) = д/16(16-10X16-10X16-12) = 48.
iS 48
Радиус вписанной окружности г = — = — = 3 (см); г = DH. НС = DC -р 16
-DH = 6-3 = 3 см; &BCD и &FCH подобные, поэтому =
ВС • НС 10*3
Отсюда FC =----------=-----= 5 см. Из №СН следует, что FC2 =
DC 6
= FH2 + НС2; FH = 4fC2-HC2 = 4$2 -З2 = 4 (см).
Ответ: 3 см, 4 см, 5 см.
10.065. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г•
Решение.
Пусть а — сторона треугольника, R — радиус вписанной в него ад/з
окружности; тогда R = —— . Проведем радиусы ОМ и ОХК в точки 6
касания (рис. 10.64). Из подобия треугольников АОМ и АОХК имеем
R АО	а4з
— = ~АО—~R— ’ Отсюда, учитывая, что А О = —— , получаем
6r
- aJ3 a-j3 3—
или --------г = 2г, т.е. а = 6гу/з .
6
Ответ: 6г>/з.
10.066. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см (рис. 10.65). Найти радиус окружности, вписанной в треугольник.
Решение.
Искомый радиус находится по формуле: г -	~; ЛАРС и
ВС DC ?
&BDC подобные, отсюда	. ВС = АС • DC. Из ЛАВС по-
лучаем АС2 ~ АВ2 = ЯС2. Отсюда: (16 4-х)2 -152 = 1б(1б4-х). Решая уравнение х2 +16х - 225 = 0, находим Xj = -25 см (не удовлетворяет решению задачи) или х2 = 9 см. АС = 94-16 = 25 см. ВС = V16 25 = 20 см. тя 15 + 20-25 с Итак, г =---------= 5 см.
2 Ответ: 5 см.
10.067. Внутри круга радиуса 15 см взята точка М на расстоянии 13 см от центра. Через точку М проведена хорда длиной 18 см. Найти длины отрезков, на которые точка М делит хорду.
Решение.
Проведем ОС1АВ (рис. 10.66). Тогда СВ = i АВ = 9 см. Из ДОВС
находим ОС = yloB2 - ВС2 = 12 (см), а из ЬОМС получим МС -- у1оМ2 - ОС2 = 5 (см). Следовательно, AM = 9 + 5 = 14 (см), МВ -= 9-5 = 4 (см).
Ответ: 14 и 4 см.
10.068. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника. Решение.
Обозначим искомую длину через х . Тогда из подобия треугольников АВС и LBM (рис. 10.67)имеем AC2 :х2 = S:(iS/2), где5—площадь ДЛВС. Отсюда АС2 = 2х2 и х = 18>/2 (см).
Ответ: 18>/2 см.
10.069. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен 6 см. Найти стороны треугольника.
Решение.
По условию АВ = 2R = 2 • 15 = 30 (см) (рис. 10.68). Радиус вписанной a + b-с	_
окружности г = —-— . Отсюда 2г = а + b - с . Решая систему
2г = а + Ь- с,	12 = a + Z>-30,
а2 + Ь2 =с2 а2 +Ь2 = 900,
получаем =18 (см), Ьх =24 (см) или а2 =24 (см), Ь2 =18 (см). Ответ: 18; 24 и 30 см.
Рис. 10.69
10.070. В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг. Найти радиус вписанного круга, если радиус данного круга равен R.
Решение.
&О2АО\ — прямоугольный, ЛО\О2А - 60°, sin 60° =	= —-—;
R — r
— = —— (рис. 10.69). Отсюда г =	= Тз7?(2 — л/з).
2 R-r	2 + V3
Ответ: л/з/?(2-л/3).
10.071. Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
Решение.
Так как AD — диаметр окружности (см. рис. 10.2), то OD = ОС = = 10 см. Проведем CL AD\ тогда OZ = 6 см и из ACZO находим CL = yloC2 -OL2 =8 (см). Тогда SABCD = 0,5(ВС + AD) CL = 0,5(12 +
+20) -8 = 128 (см2). Обозначив сторону правильного шестиугольника че-6л2>/з	2 128-2	16^3
рез х, имеем —-— = 128, откуда х	те- х = —j—•
п |6^3 Ответ:------
3
10.072. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.
Решение.
СМ.
Проведем BDLAC (рис. 10.70); так как &АВС—равнобедренный, то BD является и медианой. Имеем BD2 = АВ2 - AD2, откуда BD = 7з92 -152 =36 (см) и, значит, 5 = 1.30 • 36 = 540 (см2). Но S=рг = = 54г, откуда г = 10 см.
Ответ: 10 см.
Рис. 10.72
10.073* В квадрате, сторона которого 12 см, середины его смежных сторон соединены между собой и с противоположной стороной квадрата. Найти радиус круга, вписанного в образовавшийся треугольник.
Решение.
Найдем площадь треугольника NMD (рис. 10.71); S^md = ~= 0,5-6-6 = 18(см2); ^ДЛ/CZ)“0,5-6-12 = = 36 (см2); S^MD =144-2-36-18 = 54 (см2). Так как MD=DN= = 7122+62 =7180 =бТ5(см), ^ = 7б2+62 = 6-71 (см), то P&nmd = = 0,5(12д/5 +6>/2) = 65/5+ 3-72 (см). Тогда по формуле (10.4) получим
г =
54	18
&J5+3/1 245 + 42-
2л/5-л/2(см).
Ответ: 2 75 - 42 см.
10.074. Одна из двух параллельных прямых касается окружности радиуса R в точке Л, а другая пересекает эту окружность в точках В и С. Выразить площадь треугольника АВС как функцию расстояния х между прямыми.
Решение.
Пусть расстояние между параллельными прямыми равно х (рис. 10.72); тогда площадь S треугольника АВС равна 0,5ВС • х. Так как АМ1ВС, то ВМ = МС и ВМ • МС = АМ • MD = x(2R - х). Значит, 0,25ЯС2 = x(2R - х), откуда S - 0,5х• 2^2Rx-x2 = x^2Rx-x2.
Ответ: x^2Rx-x2.
10.075. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан.
Рис. 10.73 и
Решение,
Выберем систему координат хОу, связанную с данным прямоу-.
гольным треугольником АО АВ, таким образом, как это показано на рис. 10.73. Тогда
А В = у10А2+0В2 = д/92 + 122 = 15,
S = -OAOB = 54 см2,
2
р = |(9 + 12 + 15)= 18 см
Точка пересечения биссектрис совпадает с центром вписанной в этот треугольник окружности — Q (3; 3). Найдем точку С2 пересече
ния медиан как точку пересечения прямых AD и В К . Составим урав
нение прямых AD и ВК. Пусть уравнение AD \ yt = k}x + b{) где Л(0; 12) и £>(%;о). Отсюда =12, 0 = ^Л1+12, кх = -•|. Значит,
AD: у = --х + 12 .
л 3
Пусть уравнение прямой В К : у2 -к2х + Ь2, где 2?(9; 0) и АГ(О; б).
Тогда Ь2 = 6, 0 = 9^ + 6, к2 = — . Получили, что уравнение ВК ’
2
У = -—х + 6. Координаты точки С2 находим из системы
у =—х + 6,
7	3
8
у =—х+12 3
x = V = 4,C2(3;4)
=>2х-6 = 0,
По формуле расстояния между двумя точками координатной плоскости имеем: СХС2 = ^(З-З)2 + (3-4)2 = 1 см.
Ответ: 1 см.
в
20-х
Рис. 10.74
Рис. 10.75
10.076. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, к высоте, проведенной к гипотенузе.
Решение.
Так как ДЛВС —равнобедренный и прямоугольный, то высота CD является биссектрисой, т.е. Z_DCA = Z?1 = 45O (рис. 10.74); поэтому AD = DC и AC = y/2DC • Но АС = AK + KC = DC + r (AK = AD как касательные, проведенные из одной точки), откуда г = y/2DC - DC, т.е. r/DC^Jl-X.
Ответ: у[2 -1.
10.077. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угда при основании треугольника.
Решение.
(рис. 10.75). Отсюда х = 4 (см). DC = х = 4 (см),
HD = = 20 - 4 = 16 (см). Длина биссектрисы
AD = JAC AB-BD DC = V20-5-416 = 6 (см).
Ответ: 6 см.
10.078. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найти расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности.
Решение.
АВ - >1аС2 + СВ2 = у]б2 +82 =10 (см) (рис. 10.76). Расстояние меж-ду центрами ОК = JoE2 + ЕК2; р = (АВ+ВС+АС)/2 = 12 (см). Радиус вписанной окружности г = р - АВ = 2 (см).
Получим
КЕ = АЕ-АК = AF - АК = 6-5 = 1 (см),
ОК = у1оЕ2 + ЕК2 =74 + 1=75.
Ответ: 4$ см.
10.079. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см.
Решение.
DC BD	I—;----7	х 24-х
— = — (рис. 10.77); ЛС = у242 + 182 =30(см), — = —ГГ“ От-АС АВ	1б
сюда х= 15, CD = 15 (см), BD = 24-15 = 9 (см).
Биссектриса /ВАС: AD=<JAС- АВ-CD- BD=V30-18-15-9 = 9^5 (см).
ЯЛ£=Л« у =]8-у отсюда у = 10 (см), ЛЛ/ = 10(см), Л/В = 8(см). АС ВС 30	24
Биссектриса ZBCA :
СМ = -JАС-ВС-AM МВ = л/30-24-8 10 = 8-У10 (см).
Ответ: 9у/5 и 8-УГо см.
Рис. 10.78	Рис. 10.79
10.080. Доказать, что если в четырехугольнике (рис. 10.78) диагонали лежат на биссектрисах его углов, то такой четырехугольник есть ромб.
Решение.
ZBCA = ZDCA, ZBAС = ZDA С, ZABD = ZCBD, ZCDB = ZADB => => &BAD = bBCD. Отсюда Z.BAD = Z.BCD, ВС = АВ, DC - DA  AABC = AADC .Отсюда ZABC=ZADC, AB = AD, BC=DC. Получаем AB = BC = CD = DA. Так как &ABC — равнобедренный, то ВО — высота и медиана BD1A С. Что и требовалось доказать.
10.081. Площадь прямоугольника равна 9 см2, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120° (рис. 10.79). Найти стороны прямоугольника.
Решение.
CD = x- АО CD —равносторонний; AO=OC=CD=x; АС-2х.
1	1	>/з	/—
Площадь прямоугольника S' = — dld^ sin 60 =—2х • 2х • —, 9 = х2 -J3 .
о о4/4
Отсюда х=-> = ^— = 33/4 =^27 (см). ЛС = 2^7 (см).
V3 З*4
Из AACD:
AD2 =АС2-CD1 = 4^27= 3^27 ,
AD = ^27 =35/4 =3^3 (cm).
Ответ: ^27 и 3^/3 см.
10.082. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S', а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны (рис. 10.80). Определить радиус вписанного круга.
Решение.
CN = CD/2;AD+BC=AB + CD = = 4х. Площадь равнобедренной трапеции
S = ^(AD + BC)-CN = ^4xx = 2x2.
Отсюда х =	. Искомый радиус
D _ CW VS _ -J2S
’ 2	2^2	4
п Ответ: ------.
4
10.083. Сумма длин диагоналей ромба равна т , а его площадь рав
на S. Найти сторону ромба.
Решение.
AC+BD=m, АС = х, BD = у . S = ^dld2 (рис. 10.081). Решая си-
fx + y = т, стему|25 = ху)
получим х1 =
m + ylm2 — 8S 2
т- у/nr -8S
’У1 2
или
т-4 т2 -8S	т + Jm2 -8S
Х2 2	’ У2 2
Отсюда:
т + 4т2 -8S	т - ^т2 -8S
Г2 + Г2
, _ Vw2 -4S '	2 ~'
Л Vw2 -4S
Ответ: --------.
т2 -4S 4
Рис. 10.81
Рис. 10.82
10.084. Периметр ромба равен 2 м, длины его диагоналей относятся как 3:4. Найти площадь ромба.
Решение.
Искомую площадь найдем по формуле S = ^АС-BD = 2AOOB (рис. 10.81). В ЬАОВ АВ2=А01+В02, где ОВ = ^АО, ЛЛ=^=^(м). Тогда получим уравнение ± = АО2+-^АО2, откуда	т.е.
А О = 0,4 (м). Итак, S = 2 ♦ 0,4 • 0,3 = 0,24 (м2).
Ответ'. 0,24 м2.
10.085. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.
Решение.
CD~y\ED~x (рис. 10.82). Решим систему
/2у = (Я + 2х) + Я, «	От-
[х2+4Я2=/.
3
сюда получаем х- — 7?, тогда AD = R + 2x = R + 3R = 4R. Искомая пло-
1	1	9
шадь S = -(AD + ВС) • ЕС = —(R + 4R) • 2R = 5R2.
Ответ'. 5R2.
10.086. На каждой медиане правильного треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади самого треугольника?
Решение,
EF = -AC; FD = -АВ; ED = -ВС (рмсЛ 0.S3). ЛАВС и &FDE — 2	2	2
подобные,	= к2 = 22 = 4. &FDE и &LK.M — подобные,
S&FDE
KL = -FD;KM = -ED;LM = -EF;^^- = k2 =4. Далее, &LKM и 2	2	2
ENRP — подобные и к - 2, т.е. = 4. Итак, ^вс = 4.4.4 = 64.
^ENRP	^tiNRP
Ответ: в 64 раза.
10.087. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, одна сторона которого лежит на основании треугольника. Найти площадь треугольника, если известно, что центры масс треугольника и квадрата совпадают (центр масс треугольника лежит на пересечении его медиан).
Решение.
BD — медиана, ВО : OD = 2 :1; OD = 0,5 (см), ВО = 1 (см), BD =
= OD + BO=1,5 (см) (рис.10.84). &BEF и &BDC — подобные,
Отсюда DC^————,	АС-2*
BE EF	BE	0,5
1	1	3 3 9
x DC = 3 (см), S^BC = 2 A C • BD = - • 3 • 1,5 = - - = - (кв. ед).
Ответ: — кв. ед. 4
Рис. 10.85
Рис. 10.86
10.088. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции.
Решение.
AD-2x-2R (рис. 10.85). Отсюда х = R. Искомая площадь
= ДС + ЯВ СЕ =^JCD2_ED2 =Ix2 =
2	V 4	2	2
R + 2R >/з Зл/З 2
Э —---------/С —---А .
2	2	4
Ответ: ^^-R2.
4
10.089. Найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая сторона 13 см.
Решение.
Площадь круга S = nR2 (рис. 10.86). Радиус описанной окружности R = _£*£_ где s --ACBD.
4SMBC ^ВС 2
Из ASDC получим BD = -JbC2-DC2 = 7132-122 =5 (см). Тогда Saabc =-24-5 = 60 (см2). Отсюда 7? = 1313 24 = 1^. (см). Итак, 2	4-60	10
2
5 = л = 285,61л (см2).
100
Ответ: 285,61л см2.
10.090. Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15 см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, если периметр треугольника равен 200 см.
Решение.
Радиус окружности из &ОСВ: R = V152 +82 = 17 (см). Искомая пло-
щадь треугольника = R-p = \r	= 1700 (см2)(рис. 10.87).
Ответ: 1700 см2.
10.091. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании равен 120°.
Решение.
В &CED Z.CDE = 60° и cos 60 = а	(рис. 10.88). Отсюда -—- = -,
2с	2с 2
а - b = с. Для описанной равнобедренной трапеции а + b = 2с.
Решая систему
л-/> = с,	2	•	2/?
, ~ получим с = — а. sin 60 = —. Отсюда а + /> = 2с,	3	с
п sin 60 с у/З у/з „	о п2 3 2 IM2
R =-------= — с = —а . Площадь круга о = лк = л—а = —- .
2	4	6	36	12
ла2
Ответ: ——.
12
10.092. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15 и 60° (рис. 10.89). Найти площадь треугольника.
Решение.
ЛАВС = \№>°', ААВС = Ш° -— Z.AОС.Отсюда ZAОС = 150°.Зна-2
чит, ZOAC =\5°. Из &ADO находим AD = Rcosi5°,AC=2AD = = 2flcosl5°. Из АЛОВ (равнобедренного):
АВ2 =R2+R2-2R2cos 120° = 2Я2(1 + cos60°) = ЗЯ2; АВ = >/зЯ.
Площадь треугольника АВС:
S = -ABACsinl5° = -^3R-2Rcosl5°sinl5o =—R2. 2	2	4
л/з 7
Ответ: -----R.
4
10.093. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник.
Решение.
ЛАВС — прямоугольный (рис. 10.90); АВ = х, ВС - у. Известно, что
2р = х + у + с. Отсюда х + у = 2р-с. Радиус вписанной окружности х + у —с
г =-------=---------= р- с. Искомая площадь круга находится по
формуле S = яг2 = п(р - с)2.
Ответ: п(р~с)2.
10.094. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник (рис. 10.90), если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 м.
Решение.
А С = AD + DC = 25 (м); AADB и ЛА ВС — подобные: — = —. Ог-АВ АС
сюда -=—,х2=9-25=225,х = 7225 = 15(м),ЛД=15(м). ABDCnAABC х 25
_ DC ВС	16 у 2 .>•
— подобные: -----=----. Отсюда — =—> у =16-25 = 400,
у = >/400 = 20 (м), ВС = 20 (м). Радиус вписанной окружности:
а + Ь-с 15+20-25 ,
г =-------=----------= 5 (м). Искомая площадь круга
S = кг1 = 25л (м2).
Ответ: 25л м2.
10.095. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см. Найти длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию.
Решение.
1	2
По условию ВС2 =3 -^ВС-АН (рис. 10.91) или АН = — ВС. Но АН1 = АВ2 -f-Дс) и,значит,-ЯС2 =АВ2 -—ВС2 или АВ2 =^ВС2, ^2	)	9	4	36
т.е. АВ =—ВС. Тогда получим АВ = — (АВ + 1), откуда АВ = 5 (см).
О	6
Следовательно, ВС = 6 см, АН=4 см.
Ответ: 5; 6 и 4 см.
10.096. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 32>/3 см2 (рис. 10.92). Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен л/3.
Решение.	г-
2R	уЗ
&CED — прямоугольный и sin 60° =	. Отсюда 2R = —CZ),
CD = x => 2R = ^~-x . Площадь трапеции S= Л = 2Rx = ^-x2.
По условию — л
Ответ: 8 см.
2 = 64, х=8 (см).
в
10.097. Площадь прямоугольного треугольника (рис. 10.93) равна 2л/з см2. Определить его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой угол в отношении 1:2.
Решение.
Z.ABD = 30°, Z.DBC = 60°. Площадь М.ВС находится по формуле
1	DC
S - — АВ-ВС. Из &BDC получаем ВС =-------. Из &ADB находим
2	sin 60°
АВ = — . Тогда 5 = ——DC	— = -^=DCAD. Так как &ADB и
sin30°	2 sin60°-sin30° <3
BD DC
&BDC —подобные, to ------=----. Отсюда BD2=AD-DC. Тогда
AD BD
S = ^=BD2 и В£> = л/З(см).
V3
Ответ: >/з см.
10.098. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая от вершины, она делит боковые стороны?
Решение.
1’ SbABC = SAMNc+SbMBN = х + 2х = Зх;  _	= — (рис. 10.94).
bbBMN 2
Отсюда (=	= 4зх> МВ = VL; AM = (>/з-Л)х,
\ АВ)	3 АВ ]/ 3
AM V3-V2	1
2-	S^BC=SAMiNic+S^MlNl (рис. 10.94). Аналогично находим МХВ: АМХ =(>/з+1):2.
Ответ: (л/б + 2): 1 или (л/з +1): 2.
Рис. 10.95	Рис. 10.96
10.09	9. Площадь равнобедренной трапеции (рис. 10.95), описанной около круга, равна 8 см2. Определить стороны трапеции, если угол при основании содержит 30°.
Решение.
2R	с
Из &CED получим sin30° = —. Отсюда 2/?=—. Площадь трапе-с	2
с2	?
ции 5 = 2Rc - — = 8. Отсюда с = 16, с = 4 (см), CD = АВ = 4 (см). Име-2
ED	г~	я + b = 4,
ем cos30° = -—, ED = 2у/3 (см). Решим систему 7	_ Отсюда
CD	b = a+4>J3.
получим а = 4 - 2 , b = 4 + 27з.
Ответ: 4 - 2>/3; 4 + 2л/з ;4 и 4 см.
10.100.	Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух трапеций (рис. 10.96), имеющих общее основание CF. Известно, что АС= 13 см, АЕ = 10 см. Найти площадь шестиугольника.
Решение.
АСКА —прямоугольный, АК = ± АЕ = 5 (см), СК = >]АС2 - АК2 = = 7132-52 =12(cM),cos<p=^|;sin<p=-^. Рассмотрим АСОВ (КСОВ = 5	5 12 120
= 90°): sin2(p = —и sin2<p = 2sin<pcos<p = 2-—• —= —Отсюда х = х	13 13 169
169-5 169	, СО .	2	• 2	144
=-------=----- (см), cos2<p =-----; cos2<p = cos <р — sin <р = ——-
120	24	х	169
25	119 л™ nn 1®
— --.Отсюда С0 = —
119 119
Liz = _ (ал), СО = KF, CF = СО + OF = 169 24
119 407
= СК + KF = 12 +	(см). Площадь искомого шестиугольника:
Sabcdef = 2Scdef =2.1(CF + ED).£* = ^ + ^|5 = 120 (см2).
Ответ: 120 см2.
10.101.	Найти площадь правильного треугольника (рис. 10.97), вписанного в квадрат со стороной а, при условии, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной квадрата.
Решение.
CD = a ; BE = FD = x ; AF = AE = a-x', СЕ = EF = CF = y . Ре
шим систему
у2 = а2 +х2
а2 +х2 =2(a-xf. Решая это уравнение,
получим х = а^->/з). Найдем у2 =а2 +a2fe-y/lf =.а2(8-4-Д)-
Площадь искомого правильного треугольника находится по формуле
4	4
Ответ: а2- з)
10.102.	Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции.
Решение.
По условию ЛВСА -ZACD (рис. 10.98). Но ЛВС А = Л-CAD, а зна-
Рис. 10.99
Рис. 10.100
чит, АЛ CD — равнобедренный и AD = CD. Имеем 3AD + ВС = 42; так как ВС = 3 см, то Л£> = 13 см. Проведем BK1AD; тогда АК = у (13-3)= 5 (см) и из ДАКВ находим ВК = V132 -52 = 12 (см). Итак, 5 = 1 (3 +13)-12 = 96 (см2).
Ответ: 96 см2.
10.103.	Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на отрезки, тиной 25,6 и 14,4 см.
Решение.
Так как ДЛ2?С — прямоугольный и CD1AB (рис. 10.99), то АС2 = ЛВ ЛЛ = 40-25,6 иВС2 = ЛВ-В£> = 40 14,4,откудаЛС = 32 (см),
ВС = 24 (см) и S^BC =^'32 -24 = 384 (см2). С другой стороны, = рг = 48г . Следовательно, г = 8 и SKp = лг2 = 64л (см2).
Ответ: 64л см2.
10.104.	Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, Площадь его равна 24 см2. Найти площадь описанного круга.
Решение.
Гипотенуза треугольника с = 2R (рис. 10.100).
24 = х + у+ 2Я,
24 = — ху, получим х = 6 (ал), X2 + у2 =4Я2,
Реши (систему ’
р = х + у + 2Л3
х2 +у2 =4Я2
24 — х — у у = 8 (см). Радиус круга R =--—- = 5 (см). Площадь искомого
описанного круга S = лЛ2 = 25л (см2).
Ответ: 25л см2.
Рис. 10.102
10.105. Найти площадь равнобедренного треугольника (рис. 10.101) с углом 120°, если радиус вписанного круга равен V12 см.
Решение.
Из ABDCнаходим BD =ВС sin30°=	; DC =2?Csin60°= —ВС.
2	2
Полупериметр &ABC p = j (x +
Площадь ДЛБС: S = pr = х 1 +	t
'12 .
С другой стороны, S = ^AC BD = -jix  x2. Решим урав-
нение — х2 = х 1 + — >/12 . Получим х =
4
ЬАВС S =
—*----. Тогда площадь
<3
cm2).
Ответ: 2(7 + 4>/3) (см2).
10.106.	На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой с вне этого треугольника построены квадраты. Центры этих квадратов соединены между собой. Найти площадь полученного треугольника.
Решение.
BE = КС = ^;EF = 2ВЕ = с (рис. 10.102). Четырехугольник ABCD —
квадрат. Отсюда А С = BD = с. Площадь искомого треугольника
1	1 , с2
S = —BDEF = —с2 =— .
2 г 2	
Ответ: —.
2
2
Рис. 10.103
10.107.	В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы в 60°. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?
Решение.
Пусть al = а, LB = b и LK = с (рис. РЗ103). Тогда площадь данного квадрата Si =(а + й)2 =а2 +2ab + b2-с2 +2аЬ. Так как ZBLK = 60°, то Z.BKL = 30°, откуда с = 2Ь , a = byf$ и, значит, S, =462+262>/з . Площадь вписанного квадрата S2 - с2 = 4/>2. Итак,
“I— * =4-2j5
S1 4/>2+26?V3 2 + V3
Ответ: 4-2>/з.
10.108.	Найти площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной а.
Решение.
ВС ВК I---------------г
AJBKC и \ЕМС — подобные => — = —, BK = jBC2 -КС2 = .
ЕС ЕМ
| 2 а2 ауЦ	ЕС ВК (а-х)аЬ Л
= da-----=-----; ЕМ = х и х =------=----------. Отсюда 2ах =
V 4	2	ВС 2а 
= a-fi(а - х) • Решая уравнение, получим х =	• Площадь искомо-
го квадрата:
5 = х2 = 3а\=За2(7-4>/з).
Ответ: За2 (? - 4>/з )
Рис. 10.105
10.109.	На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты. Их вершины, лежащие вне треугольника, последовательно соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если
сторона данного треугольника равна а.
Решение.
Площадь искомого шестиугольника (рис. 10.105)
Cl	1
Shkdefg - $ьавс + ^анкв + ^S^kbd = —— + За2 + 3 •—a2 sin 120 =
я2>/3 - 2 3 а22(0, пЛ
= —+	— = а P + V3).
Ответ: а2(з + >/з).
10.110.	Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника.
Решение.
Пусть АЕ-х (рис. 10.106). Тогда AB = 2AE + EF или2х + х>/2 = а, a db — >/2)
откуда х =----= = —-------. Следовательно, искомая площадь
2+Л	2
-о 4<г	4x2-„2 4а2Ц-4>/2+2)	-.//г
- SABCD ’-4одл£лг - а — - а--------------------- 2а \J2 -1).
Z	о
Ответ: 2a2(V2-l)
10.111.	Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна а . Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.
Решение.
Обозначим радиус описанной окружности через R. Тогда а = r4?> , откуда R = а/.Так как сторона вписанного квадрата равна R^l , то его площадь 5 = 2R2 = 2л2/3.
Ответ: 2л2/3.
10.112.	Вычислить отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.
Решение.
Пусть R — радиус окружности. Тогда сторона правильного впи-D/r _ aj-A 3/?2Л _
санного треугольника а3 = л V3 и 53 =	— = —-— . Далее, сторо-
на квадрата а4 = ylS4=o.\ =2Л2 и, наконец, сторона правильно-_ с 6R24i 3r24i
го вписанного шестиугольника a6=R и э6 =—-— = —-—.
Следовательно, S4 : S3 : S6 = 8: 3>/3 : бТз .
Ответ: 8: 3>/3 : 6>/з.
. 10.113. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.
Решение.
Площадь сегмента АпВ равна разности площадей сектора АОВ и я/?2 о \ R aR &АОВ (рис. 10.107). Находим SCCKT/10B = ^—, $ьаов = 2	= "4~’
с л/?2 aR	п а
откуда о = —---------. Так как R = —=, то окончательно получим
3	4	^3
s=^6
Ответ: а2 (4л - 3>/3 Узб.
10.114.	Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна а . Вы
числить площадь отсекаемого ею сегмента.
Решение.
Jq2 _|_д2
Площадь круга SKp = л/?2 . Радиус круга R =-----
— .От-2
сюда о кр =----. Площадь искомого сегмента:
10.115.	На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.
Решение.
&AOD , &DOE , ЬОЕС, &DBE —равносторонние со стороной R (рис. 10.108). Искомая площадь S = S^BE - ScerM. ScerM = у7?2 ~^r2 J о 4
5	-^-R2 S = -R2--R2+ — R2=R2(^^-
z^dbe " 4 K ’	4	6	4 I 6
Л п2(зТЗ-Л>|
Ответ: R ------- ,
6
10,116.	Круг радиуса R обложен четырьмя равными кругами, касающимися данного так, что каждые два соседних из этих четырех кругов касаются друг друга (рис. 10.109). Вычислить площадь од ного из этих кругов.
Решение.
В &ОХОО2 ЛОХОО2 = 90°. Решим уравнение 4х2 = 2(х+Т?)2. Найдем х =	+ 72), где х = г — радиус четырех равных кругов. Площадь
искомого круга S = яг2 = яЯ2 (l+T?)2 = яЯ2(? + 272).
Ответ: %R2 (з +141).
Рис. 10.111
10.117.	В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь фигуры ОХАВО2 , где АВ — общая касательная к окружностям, а О, и О2 —их центры.
Решение.
ЪмкакОхА1ЛВ мО2В1АВ,тоOjЛ||О22? и,значит,фигураОХАВО2 — трапеция (рис. 10.110). Касательные в точке С взаимно перпендикулярны, а потому каждая из них проходит через центр другой окружности, т.е. О]С = 4 см, О2С = 8 см, откуда О}О2 = yjo^C2 +О2С2 = 4>/5 (см).Проведем О{ D\\ А В и из Д DO, найдем О{ D =	-O2D2 = >/80-16 = 8 (см).
Следовательно, 5О1/1Д(92 = 0,5(8+ 4)-8 = 48 см2.
Ответ: 48 см2.
10.118.	Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна £, а длины диагоналей относятся как т: п .
Решение.
Запишем BD = mx \ АС = пх (рис. 10.111). Площадь ромба
с 1	2	т Di
S = — тпх , откуда х = J. Тогда Bi 2	У тп
-	1 Л 1 э
Сторона ромба ВС = -BD~ + -АС~ = 4	4
2S \2Srn \2Sn mJ— =J------; ЛС = J---.
У тп V п	Ут
2Sm 2Sn sinr+n2) ~ 477 4т 2тп
сюда ВС = J—----
V 2тп
Ответ:
10.119.	Периметр ромба равен 2р; длины диагоналей относятся как т.п . Вычислить площадь ромба.
Решение.
Используя рис. 10.111, имеем BD = mx,
nz-2	(AC''? (тх^
АС = пх. ВС=\— + ------ = — +
I 2 I I 2 I I 2 I
Рис. 10.112
ORO
О. к
пх V _ х2(ги2 +п
Т J "	4
Периметр
2р = 4ВС = 41х2Ьп2+п V 4
т2 + п2
р
Отсюда х = .-----1
ylm2 + л2
1	1	2
Площадь ромба S = — BD АС = — тпх
~	тпР2
Ответ:	г	—г-».
_ 1 mnp2 2 (w2 +n
10.120.	Две окружности радиуса R с центрами в точках О1 и О2 касаются друг друга. Их пересекает прямая в точках А, В , С и D так, что АВ = ВС = CD . Найти площадь четырехугольника OXADO2 .
Решение.
&АОХВ 9 &О{ВО , ДВОС, ДОСО2> &CO2D —правильные со сто
роной Я (рис. 10.112). Площадь AAOtB S^O^B =—-—. Площадь ис
комого четырехугольника O{ADO2 S = 5S^OiB = ——
Ответ: -----
4
Рис. 10.113
10.121.	Вычислить площадь
прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно а и большая боко-
вая сторона равна Ь •
Решение.
D	ь45
Высота трапеции равна ——,
а большее основание равно а + —.
Следовательно, ее площадь 5 = —
(	Ь}Ь>13 (4а+6>Тз
а+а+— ----=-------—
2 J 2	8
Ответ: (4а + Ь)ьЛ/%.
10.122.	Большее основание трапеции имеет длину 24 см (рис. 10.113). Найти длину ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 4 см.
Решение.
АЕ = EC',DF = FB ,КЕ = DC/2,FT = DC/2\DC = х.КТ = 2KE + EF =
= х+4 . С другой стороны, КТ =
х+24	л х + 24
—-—. Решая уравнение х+4 = —-—
получим х = 16 (см).
Ответ: 16 см.
10.123.	Площадь равнобедренной трапеции, описанной около кру
га, равна S. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что
острый угол при основании равен тс/6.
Решение.
Пусть х — длина боковой стороны; тогда высота трапеции равна ^х. Так как трапеция описана около круга, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно, площадь трапеции
S = --2х- — х , откуда x = ^2S.
2	2
Ответ: J2S.
10.124.	Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника (рис. 10.114). Доказать, что треугольники, прилегающие к боковым сторонам, равновелики.
Решение,
АО DO , Рассмотрим &AOD и АСОВ • Они подобные, —- = —— = к , Отсю-со ВО
да \DO = kBO’ s =-ВО AOsinZBOA = -BO k COsinZBOA, [AO = kCO.	2	2
S’acoc = |c0 0D sin ZCOD = | CO k BO sin ZCOD и ZBOA = ZCOD.
Отсюда следует, что 5^0A = S&C0D, что и требовалось доказать.
10.125.	* На большем катете треугольника как на диаметре построена полуокружность (рис. 10.115). Найти ее длину, если длина меньшего катета 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и полуокружности, равна 24 см.
Решение,
Из &BDC получим DC = 4ВС2 -BD2 - V900-576 =18 (см). &BDC и &ADB —подобные. Отсюда BD2 =DC-DA => DA = BD2/dC = = 242/18 = 32 (см). Из ДЛДС имеем АВ = 4АС2 -ВС2 = 40 (см). Дли-на полуокружности I = лЛО = 20л (см).
Ответ: 20л (см).
10.126.	На диаметре полукруга построен правильный треугольник, стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей треугольника, лежащих вне и внутри полукруга?
Рис. 10.117
Решение.
Площадь части треугольника, которая лежит внутри полукруга:
$1 -25Д4ОР + SceKT
2Л2>/з л/?2 „гГзТз+л"
=--------1-----= к ----------
4	6	6
\	7
(рис. 10.116). Пло-
щадь части треугольника, которая лежит вне полукруга:
Отношение площадей: _2 — уУ =____ТС
S1 б^зЙ+л) ЗЙ+л
Ответ:
Зл/З-л 3-Уз + л
10.127.	В правильный треугольник со стороной, равной а, вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти площадь шестиугольника.
Решение.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со сторо-л>/3
нои а , равен г =--. Сторона шестиугольника, вписанного в эту ок-
6
я>/3
ружность, равна радиусу: а6 = г =--, а радиус окружности, вписан-
6
а6	а6у/з а-у/З-у/з а
нои в этот шестиугольник, г = -----= —-— = ——— = —.
180°	2	62	4
2tg—
„	о 6а6г	ба^За а2у/з
Площадь шестиугольника о = —-— =	= —-—
2	2-6*4 о
а2>/3
Ответ: —-—.
10.128.	Около квадрата, сторона которого равна а, описана окружность, а около окружности — правильный шестиугольник. Опреде
лить площадь шестиугольника.
Решение.
Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диа-
гонали квадрата г = —. Эта же окружность является вписанной для а6	ah yf3	а41 а6 V3
шестиугольника: г =---2—- =	— . Получим —— =	—, откуда
г	2tg “а
аб -	. Тогда площадь шестиугольника
2	2V3-2
Ответ:	.
10.129.	В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной т и п. Определить площадь трапеции.
Решение.
Пусть АК = т> КВ = п (рис. 10.117). Тогда КВ = ВМ = МС = п,
AK = AN = ND = m .
Найдем высоту трапеции:
h = ВН = у1аВ2 - АН1 = у1(т + пУ -(m-nf = 2<jmn .
Итак, S = ^(ВС + AD^h = (т + n)h = 14тп{т + и).
Ответ: 2у1тп (т + п).
10.130.	Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого равна (2я - 4) см2. Найти площадь квадрата.
Решение.
tzR1
Пусть R — радиус круга. Тогда площадь сектора равна -, а
Рис. 10.118
R2 площадь треугольника равна — и, следовательно, площадь сегмента nR2 R2 Я2 (я-2) составляет —------— = —.
4	2	4
„	Я2(л-2) _	.
Имеем ---------= 2л-4, откуда
4
R = 2^2 (см). Итак, площадь квад-
рата равна 2R2 =16 (см2).
Ответ: 16 см2.
10.131.	В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого равна Q. Найти площадь ромба.
Решение.
Проведем радиусы ОК , OL , ОМ, ON в точки касания (рис. 10.118). ААВС = 180°-Z.BAD = 180°-30° = 150°.Таккакдиаго-
150°
нали в ромбе являются биссектрисами, то ЛАВО = —— = 75°. Значит,
on- К0 - КО	ВО	КО	2КО
ВО --------- ------- Тогда АВ =---------=-------------=------
sin75	cosl5	sinZO45 sinl5’cosl5° sin30°
= 4X€> = 4r. У ромба АВ = ВС = CD = AD-4г . Площадь ромба
S =/4B HDsin3Oe =16r2sin30°- Площадь круга Q = nr2, откуда
, О „	„ 80
г = —. Поэтому окончательно S =	.
л	л
Ответ: —• л
10.132.	В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг.
Найти отношение площади этого круга к площади сектора.
Решение.
Пусть В, D, Е — точки касания. Радиус окружности, из которой вырезан сектор, обозначим R, а радиус вписанной в сектор окружности—
г (рис. 10.119). Значит, ВО =DO -ЕО = r,a ВО-R. ОО =R-r-
DO =ОО sin30’-Этозначит,что г = у(/?-г),откуда R = 3г.Площадь
сектора S, =	=-^у—. Площадь вписанного круга S2 =лг2;
S2 :Si = лг2: — = 2:3.
2
Ответ: 2:3.
10.133.	Из точки м, находящейся на расстоянии а от окружности, проведена к этой окружности касательная длиной 2а. Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность.
Решение.
Проведем радиус О А в точку касания (рис. 10.120) и обозначим радиус окружности через г. Тогда в КО А М имеем (2а)2 + г2 = (а + г)2
или 4а2 + г2 = а2 + 2аг + г2 , откуда г =	. Таким образом,
_ _ 6г2 V3 _ 27а2 V3
4	8	‘
27а2
Ответ: ------
Рис. 10.121	Рис. 10.122
10.134.	В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см, а другое 24 см. Диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь.
Решение.
Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: S = h2. С другой сторо-
а + Ь.	. а + Ь 40 + 24 „ , . .
ны, S =-----h , откуда h ----=-------= 32 (см). А площадь
2	2	2
S = 322 = 1024 (см2).
Ответ: 1024 см2.
10.135.	Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны равны 26 и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить площадь полученной при этом трапеции.
Решение.
По условию АВ = с = 30 см, АС = Ь = 26 см, ВС = а = 28 см (рис. 10.121). Тогда р = 0,5(д+ /> + <?)=42 , р-л = 14, р —= 16 , р-с = 12 и по формуле Герона находим S^BC = >/42 • 14 ♦ 16 • 12 = 336 (см2). Так как ЛЛЖ ~ ДДВС , то 5д;ИЛ.с : SMBC =СК2: CD2 = 4/25 = ОД6. Отсюда определяем площадь трапеции:
$amnb = *^длвс ~ $&mnc = 336 — 0,16 • 336 = 282,24 (см2).
Ответ: 282,24 см2.
10.136.	В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.
Решение.	-----
Пусть ВС = х (рис. 10.122). Тогда АВ = у1^1 + х2 и -=	1 + *
4	5
Рис. 10.123
Рис. 10.124
(поскольку BD — биссектриса). Отсюда имеем 25х2 = 16(81 + х2), т.е.
х = 12 (см). Следовательно, S^BC = — ВС • АС = — * 12 • 9 = 54 (см2).
Ответ: 54 см2.
10.137.	Хорда АВ постоянной длины скользит своими концами по окружности радиуса R. Точка С этой хорды, находящаяся на расстояниях а и b от концов А иВ хорды, описывает при полном обороте окружность. Вычислить площадь кольца, заключенного между данной окружностью и окружностью, описанной точкой С.
Решение.
ЛАОВ —равнобедренный (рис. 10.123). Значит, ZBAO = ZABO .
Пусть ОС = г . По теореме косинусов г2 = R2 + a2 -2aRcosa. С другой стороны, г2 = R2 +b2 -2Wfcosa . Приравнивая, получим а2 -Ь2 =
= 2/?cos а(а-/>), откуда cos а =	Значит, г2 = R2 +b2 - 2bR -
2R	2R
= R2 -ab. Площади кругов Sj = nR2, S2 = nr2 = n^R2 - ab). Площадь
кольца S =	- S2 = nR2 - nR2 + nab = nab.
Ответ: nab.
10.138.	Три равные окружности радиуса г попарно касаются одна другой. Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания.
Решение.
Отрезки, соединяющие центры окружностей (рис. 10.124), образуют пра-w _ _	с 4г2 7з 2 /?
вильныи треугольник со стороной 2г. Его площадь: Sj = —-— = г V3 .
_	1	е ЯГ2 60° 7СГ2 _
Площадь 1-го сектора о2 = ——= ——. Так как секторов три, то пло-
щадь фигуры, расположенной вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания, будет равна
Г2Д лг2 Г2(2>/3-л) 2	2
_	г2(2>/3-л)
Ответ: -----------.
2
10.139.	На сторонах ромба как на диаметрах описаны полуокружности, обращенные внутрь ромба. Определить площадь полученной розетки, если диагонали ромба равны а и Ь. Решение.
Площадь полученной розетки будет равна сумме площадей четырех заштрихованных (рис. 10.125) частей. Площадь каждой заштрихованной части равна разности площади полукруга и площади прямоугольного тре-
а Ь
угольника со сторонами — и — . Сторону ромба можно наити как гипоте
нузу: с = у л/л2 +£2. Тогда радиус полуокружности R = — с = — yja2 + Ь2.
Площадь полукруга S] =^nR2 = -^~(а2 + b2). Площадь прямоугольного
треугольника S2 =	Площадь розетки 5 = 4($1 -^2)=
2 2 2	8
/	\	2
.( Л . 2 > 2 -> а^> I л(д
= 4 —(<Г+/Г)----= ——
U2 8 )
+ b2)-4ab
8
л	л(а2 + b2) - 4ab
Ответ: —--------------.
8
10.140.	Доказать, что если через вершины четырехугольника провести прямые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма, определяемого этими прямыми, в два раза больше площади данного четырехугольника.
Решение.
По условию (рис. 10.126), KL || АС|| NM, KN ||ЯЯ|| LM. Площадь параллелограмма KLMN равна
Рис. 10.127
$KLMN ~$ABCD +$АКВ + $BLC + $CDM +$AND •
Так как KB^AO и Х>ф?О,то КВОА —параллелограмм и АВ — его диагональ. Значит, SAKB -SABO . Аналогично SBLC = SB0C , $CMD - $COD » $DNA “ $DOA * Тогда
$KLMN ” $ABCD + \$BOC +$COD +&DOA + $АВо)-$АВСй +$ABCD - ^$ABCD>
что и требовалось доказать.
10.141.	Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см2.
Решение.
Пусть ВС = 8, AD = 14 (рис. 10.127). Проведем BL.LAD , CM1AD.
_ ВС + AD	2S лот .	_
SABCD ---2----’ Отсюда BL = де	(см). Условию
AD-LM _ у ч _
AB = CD> BL = CM .Значит, AL = MD =---= 3 (см). Тогда
АВ = у/bL2 + ЛЬ2 = V16 + 9 =5 (см).
Ответ: 5 см.
10.142.	В правильный треугольник вписана окружность, а в нее — правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника.
Решение.
Пусть сторона правильного треугольника равна а. Тогда его пло-
с аЧЗ _	~	W3
щадь Si = —-—. Радиус окружности, вписанной в треугольник, г = ——.
Он будет равен стороне шестиугольника, вписанного в эту окружность:
а6 =-----. А радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник:
6
«6
= 2.
_ 180°	2	4 '
2,g—
Площадь шестиугольника
С _ ^а5Г _ °2	. $! _ '
— — —------- *------
2	2	8 S2
Ответ: 2.
10.143.	Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60° и 120°.
Найти отношение площадей этих кругов.
Решение.
Пусть АВ — общая хорда, , R2 — радиусы соответствующих
окружностей (рис. 10.128). По теореме косинусов
АВ2 = R2 + R2 -2А, A] cos 60° = A2 .
С другой стороны, АВ2 = R2 + R-2 — 2R2R2 cos 120° = 3R2. Значит,
А2 = ЗА2 . Площади кругов = лА2, S2 = лА2 •
Л	Si ЗА2 л 3
Отношение — =----г- = — .
S2 лА2 1
Ответ: 3:1.
10.144.	В прямоугольнике проведены биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне. Определить, на какие части делится пло-
Рис. 10.131
Рис. 10.130
щадь прямоугольника этими биссектрисами, если стороны прямоугольника равны 2 и 4 м.
Решение,
Пусть АК и DL — биссектрисы (рис. 10.129), AD = 4, ВА = 2, АКАВ = 45°, АВ = 90°, АВКА = 45°. Значит, ЛАВК — равнобедренный и АВ = ВК = 2 (м). Аналогично, КС = CD = 2 (м). Так как ВК + CL = 4 (м), то точки L и К совпадают. Имеем 5^^ = = l/iB.^ = 1.2-2 = 2(M2),SDCJ<=lc/f CD = l-2.2 = 2(M2), SAKD =
= SABCD~SABK ~SDCK = 2-4-2-2 = 4 (м2).
Ответ: 2, 2, 4 (м2).
10.145.	Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15 см. Найти площадь ромба.
Решение.
Пусть В/k = 12 (см), BD = 15 (см) (рис. 10.130). Из ЛВКО
ЬК 12	4	.2	1	10 J
sma=—=—=—;так как 0<а<9(г,то cosa = VI-sin а= 1---=—.
BD 15 5	V 25 5
а	OD BD	BD 15-5 75, ч
Из ЛА OD cos а  --=----, откуда AD =------=------- — (см).
AD 2AD J	2cosa 2-3	6
75	э
Площадь ромба S = AD • ВК = — • 12 = 150 (см2).
Ответ: 150 см2.
10.146.	Длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника, равна 25 см, а радиус вписанной окружности равен 8 см. Найти длину основания треугольника.
Рис. 10.132
Решение.
Пусть К, L,M—точки касания (рис. 131).
Тогда ВК = 25 (см), ОК = OL = ОМ = 8 (см). Значит,
BO = BK-OK = V1 (см),
ВМ = >1ВО2-ОМ2 = >/289-64 = 15 (см).
ОМ 8
Т огда tg а = —— = —. С другой старо-
ЬМ 13
8	40
АТ?	8	40
ны, tgа =	, откуда КС = ВКtga = 25 — = — (см). Значит,
ЯК	15	3
15	3
АС = 2КС = — (см).
80
Ответ: — см.
10.147.	В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найти длины сторон параллелограмма.
Решение.
Обозначим стороны параллелограмма через а и b. Тогда его периметр равен р = 2(а + b) = 32 . Периметр одного треугольника равен
Р\ =b+2 + 2' второго Рг параллелограмма. Разность
/А ^2 j j
= а + —+ —,где d\, d7 —диагонали 2	2
Р\~Рг =Ь-а = Я. Получили систему:
а = 4, 6 = 12.
Ja + 6 = 16, i, о Решая ее, найдем — а = о.
Ответ: 12 см, 4 см.
10.148.	Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°.
Решение.
Так как центральный угол COD равен 60° (рис. 10.132), то вписан-
ный угол CAD равен 30°. Следовательно, h = у А С и из КАКС получим АК = 7 л с2 - СК2 = hjl . Находим площадь трапеции:
S = ^(BC + AD)h = (AE + EK)h = AKh = hj3h = h2j3.
10.149.	Круг, радиус которого равен R, разделен на два сегмента хордой, равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь меньшего из этих сегментов.
Решение,
Обозначим сторону вписанного квадрата через а. Диаметр окружности является его диагональю. Это значит, что 2а2 = (2Z?)2, откуда а = R^2 • Площадь круга S, = nR2. Площадь квадрата S2 = а2 = 2R2. Площадь меньшего сегмента
3.1(3, 4	4	4
. Л2 (я-2)
Ответ: ---------.
4
10.150.	Определить площадь кругового кольца, заключенного между двумя концентрическими окружностями, длины которых равны Cj и
Решение,
п С, п С2 Длина окружности Cj = 2лЛ, С2 = 2nR2, откуда R\ = —, R2 = — .
2л 2л лС?^	С2	о2
Площадь большего круга	= —у- = -7-; S2 =	. Площадь.
4л	4л	4л
кольца S = S] -S2 = у-(с2 -С22).
4л
г»	С12 ~С2
Ответ: ----------.
4л
10.151.	Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Определить отношение площадей этих сегментов.
Решение,
Пусть г — радиус круга, a Sj и S2 — площади сегментов. Тогда
S2 = nr2-St =лг2-^г2(47Г-3>/з)=^г2^л + 3>/з).
Д _4л-зТз
Значит, т- - --~гт .
’ *$2 8JU + 3V3
4Л-3>/3
Ответ: ~	”"7= •
87C + 3V3
10.152.	В правильный шестиугольник, сторона которого равна а, вписана окружность, и около него же описана окружность. Определить площадь кругового кольца, заключенного между этими окружностями.
Решение.
Радиус вписанной в шестиугольник окружности q =--- = ——.
Радиус описанной же окружности около шестиугольника г2 = а. Пло-
За2
щадь большего круга S2 = тел2, меньшего— S| = к-.
Площадь кольца S = S2 -	= тш2 - —= -~-
>
л тиг
Ответ: ------.
4
10.153.	Круг радиуса R разделен двумя концентрическими с ним окружностями на три равновеликие фигуры. Найти радиусы этих окружностей.
Решение.
Обозначим радиусы внутренних окружностей через R\ и R2. Пусть S — площадь самого малого круга; тогда nR2 = S’, tcR2 = 2S, nR2 = 3S • Сле-о2 лЯ2 —n2 2nR2	_ R _	_ [2
довательно, TtRr =--и tcR2 =------, откуда Ri = —= и R2 =RJ- .
1	3	3	Л V3
Ответ:
10.154.	Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окружности равен длине меньшей окружности. Определить радиус последней.
Решение.
Радиус большей окружности обозначим через R2, а меньшей — через Л,. Площадь кольца S = лТ?22 - л7?2. Так как R2 - 2nRx, то 5 = л-4л2Я12 -лЯ2 = W?!2(lrt2 -1).
<*з
I S
Откуда /?! = г •
Рис. 10.133
120
5
Ответ:
10.155.	В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного вписанного треугольника, а другая—стороне правильного вписанного шестиугольника. Определить площадь части круга, содержащейся между хордами.
Решение.
Длина хорды, равная стороне вписанного правильного шестиуголь-37? г~
ника, а6 =7?, а треугольника а3 =-= = V37? (рис. 10.133). Площадь V3
сектора О АВ S, равна площади сегмента плюс площадь треугольника
е о е ЛЯ2-60° ЛЯ2
АОВ: S, =5^! +SA0B =	Откуда
360	6
„ лЯ2 1 _2 • ,л. nR2 Я27з
5сегм1=-7---— Я251п60 = —--------— .
6	2	6	4
Площадь сектора OCD S2 также равна сумме площадей сегмента и _ <, о о ля2 120° ля2 треугольника ODC: S2 = осеГм2 +^odc ----------= откуда
360	3
„ лЯ2 1 -2 • пл» пК2 л/зя2 _
оСегм2 = ~--2 К sm * 20 = — -------—. Площадь круга, содержа-
щаяся между хордами:
лЯ2 -J3R2 = Я2(я+>/з)
3 + 4	2
S — HR £Сегм1 *^сегм2 “
лЯ2 R2>
----+ ’ 6---4
Ответ:
Рис. 10.134
10.156.	В круг радиуса Л вписаны два правильных треугольника так, что при их взаимном пересечении каждая из сторон разделилась на три равных отрезка. Найти площадь пересечения этих треугольников.
Решение,
Фигура, образованная при пересечении таких треугольников, будет правильным шестиугольником. Сторона
3R г~
вписанного правильного треугольника равна а3 =	= J3R . Тогда
1 V3 сторона правильного шестиугольника равна а6 = —а3 - — R. Радиус
вписанной в него окружности г
а*, yfl _ л/з ♦ -J3R _ R
180°	Г2 У
2‘6—
_	„ 6a6r 6Я73Я J$R2
Площадь шестиугольника: S6 =	= —2—
л ^r2
Ответ: ------.
2
10.157.	Через точки R и Е, принадлежащие сторонам АВ и AD параллелограмма ABCD, и такие, что AR = (2/3)ЛВ, АЕ =, ^3)AD, проведена прямая. Найти отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника.
Решение.
Пусть h —высота параллелограмма A BCD, hx —высота треуголь
ника ARE (рис. 10.134).Тогда SABCD =AD h, S^RE =^AE /it. Но
h АВ 3	$abcd ADh AD h
— = = -. Следовательно, —--= ------= -—:-----z— = >.
Л, AR 2	S^RE \_A YlADlh
2	1 2 3	3
Ответ: 9.
10.158.	Три окружности радиусов =6 см, R2 = 7 см, R3 =8 см попарно касаются друг друга. Определить площадь треугольника, вершины которого совпадают с центрами этих окружностей.
Решение.
Отрезки, соединяющие центры этих окружностей, равны: a = Rx +/?! = 6 + 7 = 13 (см), b = R2 + Я3 =7 + 8 = 15 (см), c = Rx + /?3 = = 6 + 8 = 14 (см). Тогда площадь этого треугольника можно найти по
1	г"	а + b + с 13 + 15 + 14 z ч
формуле Терона, где р =------=-----------= 21 (см):
2	2
S = ylp(p-atp-b\p-c) = ^21(21-13X21-14)^1-15) = 84 (см2).
Ответ: 84 см2.
10.159.	Найти отношение площадей равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны.
Решение.
Пусть сторона правильного треугольника, квадрата, шестиуголь-
Т	с а2^ С 2 е	о
ника равна а. Тогда S3 =—-—, SA-a , 56 =—-—. Значит,
4	4
:S4 :S6 = ^^--.а2 :—а2 = 73:4:6>/з .
4	4
Ответ: 7з: 4:67з.
10.160.	В трапеции, площадь которой равна 594 м2, высота 22 м, а разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из параллельных сторон.
Решение.
Так как S = j(a + 6)ft, то ±(a + b)-22 = 594, откуда а + Ь = 54 . Из
]а + /> = 54, системы уравнений । а __ находим а = 30 (м), b = 24 (м).
Ответ: 30 м и 24 м.
10.161.	Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.
Решение.
Пусть СК —перпендикуляр к гипотенузе АВ &АВС (рис. 10.135).
в
в
Рис. 10.135
Рис. 10.136
Тогда АВ = ^ВС2 +АС2 =10
(см); SABC =^ АС  ВС = 24 (см2);
(АВ^ ВС
&ВКС ~ &АСВ. Значит, $АСВ $вкс _5лсл ВС2 _ 24-64 _ --------------------ioF"15’36(CM)
. Найдем
Тогда SACK = 5авс ~$вкс =24—15,36 = 8,64 (см2).
Ответ: 15,36; 8,64 (см2).
10.162.	Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если длина его высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, адлина основания равна 15 см.
Решение.
Пусть АК —перпендикуляр к боковой стороне ВС (рис. 10.136).Тог-да АК = 12 , АС = 15 (см); КС = -JaC2-AK2 = 7225-144 = 9 (см). Обо
значим АВ = ВС = х. Тогда АВ2 =АК2 + 13х2 или х2 = 144 + (х-9)2,
откуда х = у (см). Тогда SABc = “	‘ ВС = 12 ~ = 75 (см2).
Ответ: 75 см2.
10.163.	Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.
Решение.
Пусть г п R —радиусы вписанной и описанной окружностей. Тогда
S D abc
г = —, к =---. Найдем
р 4S
S = ylp(p-a\p-b^-c) =
= л/21-8-7-6 =84 (см2).
Следовательно/ = 4см, A = — см, 8
откуда получим искомое отноше-
nR2 (65 ?
ние площадей: —г- = — .
nr ^32 J
(65?
Ответ: тт
Рис. 10.137
ЮЛ64. Вычислить площадь трапеции ABCD (AD^BC), если длины ее оснований относятся как 5:3 и площадь треугольника ADM равна 50 см2, где М —точка пересечения прямых АВ и CD.
Решение.
Пусть ABCD —данная трапеция (рис. 10.137). AD .BC = 5:3 ;
SADM =50. ^ADM ~ АВ СЛ/, Значит,	• Тогда
$ВСМ	J
_SADMBC2 (ВС? /З?
BCM~~AD2	"5VJ
ABCD = $ADM ~$всм =50-18 = 32 (cm2).
Ответ: 32 см2.
10.165. В правильный треугольник вписана окружность и около него опйсана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если сторона треугольника равна а.
Решение.
„ С Л	2	3	Яд	Л	2 2	7з	„ а3
Имеем Яд =— а , р --а, г- — = —а = —a, R =--------=
4	2	р	4 За	6 4ЯД
а3 43	__ 2	2	2(11^ ла2
= г- - = — а.ОгаодаЯ = лЯ -пг =па \---=-----.
,43а2 . 3	1^3 12 J 4 -
7Ш2
Ответ: ----.
10.166. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть К. L, М — точки касания вписанной окружности (рис. 10.138). Тогда КО = LO = МО = 3 (см), СА = 15 (см). Отсюда СМ = КС = 3 (см), МА = СА - СМ = 15 - 3 = 12 (см). Значит, LA = = 12 (см). Обозначим ВК = BL = х. Тогда пл о-щадь треугольника S = 2SBKO + 2Sqla + $КОМС =
= 2~x-3 + 2-~12-3 + 3-3 = 3x+45. С другой сторо
ны, S = (x + 3)-15~ = —х + —. Тогда — х + — = Зх + 45, откудах = 5.
2	2	2	2	2
1	7
Итак, площадь треугольника S = 15 • 8 — = 60 (см ).
Ответ: 60 см2.
10Д76. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины одной из непараллельных сторон и длины перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны к первой.
Решение.
Пусть точки К,М— середины непараллельных сторон АВ и CD (рис. 10.139), ML — перпендикуляр к стороне АВ, BN— перпендикуляр к AD. Из &ANB найдем sina=-^^. Из &KLM получим sina = -^-. Зна-
АВ	КМ
BN LM
чит,	гДе — средняя линия трапеции ABCD. Итак,
АВ КМ
АВ • LM = BN • КМ = S, что и требовалось доказать.
10.168.	Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две произвольные части и на каждой из них построить как на диаметре полуокружность (внутри данного полукруга), то площадь, заключенная между тремя полуокружностями, равна площади круга, диаметр которого равен длине перпендикуляра к диаметру полукруга, проведенного в точке деления до пересечения с окружностью.
Решение.
Пусть R — радиус данного полукруга, аг — радиус одного из пост-
Рис. 10.139	Рис. 10.140
роенных полукругов (рис. 10.140). Тогда площадь заданной фигуры равна 0,5^гЛ2 - яг2 - я(Я - г)2 )= яг(Л - г) • Так как AADB = 90‘, то
CD2 =ACCB = 2r-2(R-r)=4r(R-r), откуда = яг(Я - г). Что 4
и требовалось доказать.
ЮЛ 69. В круг радиуса R вписан прямоугольник, площадь которого вдвое меньше площади круга. Определить стороны прямоугольника. Решение.
Пусть стороны прямоугольника равны а и Ь . Тогда диагональ его, являясь диаметром окружности, равна у/а2 + Ь2 , т.е. а2 + Ь2 = 4Я2.
Площадь круга лЛ2 = 2аЬ. Получим систему:.
а2+62=4Я2, лЯ2 = 2аЬ.
Откуда
„ R-Jn+4+Ryl4-n
Ответ: ----------------.
2
10.170.	Определить площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса R с хордой 2а.
Решение.
Опустим радиусы вписанного круга в точки касания (рис. 10.141). Тогда из прямоугольных треугольников ЛА BD и ЛОКВ получаем
sina =
ОК ов
AD -----<=> АВ
г	а	п п	Ra
----= — <=> Rr = Ra-ra	г  	 R-r R	R+a
Рис. 10.142
Рис. 10.141
Ra V
---- —площадь вписанного круга. R + a I
Ответ: к
( Ra R + a
10.171.	Основания трапеции равны а и Ь, углы при большем основании равны я/6 и л/4. Найти площадь трапеции.
Решение.
Пусть BC^AD и АЛ = л/6, Z.D - л/4 . Опустим перпендикуляры ВК и CL на сторону AD (рис. 10.142). CL = BK обозначим через Л. Тогда tgrc/4 = -^-. Значит, LD = h. Тогда =	tg7u/6 = J^- =
LD	АК
Л 1 Л	. b-а _
=-------- , -т=г =---, откуда Л = -5=— . Площадь трапеции
b-a-h Ji b-a-h	V3+1
b-a _ (Тз -1)(б2 -а2)
2	2 Тз+1 4
Л (УЗ-lfe2 -а2)
Ответ: ------
4
10.172.	В ромб с острым углом 30° вписан круг, а в круг — квадрат.
Найти отношение площади ромба к площади квадрата.
К Рис. 10.144
A
D
Решение.
Пусть К, L, М, N —точки касания окружности и сторон ромба. ЛА = 30“ (рис. 10.143), АЛОВ ~ АОКВ . Значит, =	.
Обозначим KO-OL-OM -ON = r, АВ = ВС = DC = AD = a . Тог-r	«cosl5‘	a	.
да —. , „ =--------.откуда r = asinl5 cos 15 =— sin30 .Диаметр
asml5 a	2
окружности является диагональю вписанного в окружность квадрата, т.е. 2Ь2 = (2rf ,где5—сторона квадрата, тогда b = г>/2 = — V2 sin 30“. Пло-1	а1 1
щадь ромба S] = a2 sin 30“ = а1 • —. Площадь квадрата S2 = b2 = — • —.
£
Отношение =4.
Зд
Ответ: 4.
10.173.	Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы.
Решение.
Пусть с —длина гипотенузы. Тогда длины катетов равны с-1 и с-2.Имеем (с-1)2 + (c-lf -с1 или с2 -6с + 5 = 0 , откуда с = 5 (см) (второй корень уравнения не удовлетворяет условию).
Ответ: 5 см.
10.174.	Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 5. Определить радиус этого круга, если угол при основании трапеции равен 30°.
Решение.
Пусть ВС||ЛD, ЛА = 30° (рис. 10.144). Обозначим ВС = а , AD = Ь;
опустим перпендикуляр ВК на AD, обозначим его h , АВ = с . Так
, _	а + Ь тт
как окружность вписана в трапецию, то а + о = 2с или с = —-—. Из
. h 2h 2h 1	,	, _
ЬАВК найдем sin 30 = — =----,----- = — откуда а + Ь = 4Л . Значит,
с а+Ь а+Ь 2
S =	h=2h2; так как h = 2r, to S = 8r2, откуда r -
2S 4
„ J2S
Ответ: -----
4
10.175.	Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
Решение.
По условию DK — средняя линия &АВС (рис. 10.145). Так
как BD = DK --ВС, то ZC = 30° и BC = 2BD& &BCD имеем 2
CD2 = ВС2 - BD2 или = 4BD2 -BD2 , откуда _	• Следо-
1	2 /¥
вательно, S = - А С BD = CD • BD = 2	12
Ответ: —-—.
12
10.176.	Доказать, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали^ С по прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон.
Решение.
Пусть К — произвольная точка диагонали АС (рис. 10.146). Опустим перпендикуляры КМ и KN на ВС и CD.
Из &КМС КС = -^_. Из АЛТУС sina
KN	sinp	KN
КС = .	. Это значит, что --—	=--.
sinp	sina	MK
Из АЛ CD по теореме синусов находим
CD AD
—---= и так как AD = ВС, то
sma sinp
sinp _ ВС sina CD
~	KN ВС
Это значит, что-=---= k
MK CD
k	k
или KN CD - k, MK • ВС = k. Отсюда KN =-----, MK =----, что и тре-
CD	ВС
бовалось доказать.
10.177.	Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из его сторон равно отношению высоты, опущенной на эту сторону, к радиусу вписанной окружности.
Решение.
Так как площадь треугольника S’ = pr- 0,5aha ,ro2p/a = ha/r, что и требовалось доказать.
10.178.	Найти длины сторон равнобедренного треугольника АВС с основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны соответственно пит.
Решение.
\CMB~ &CNA (рис. 10.147), откуда = Отсюда АС = — ВС, AN АС	т
1	( А2
МС=-АС=—ВС. Из ДЯА/СВС2 = МВ2 +МС2,ВС2 = т2+ВС2\ — 2 2т	к 2mу
2т2	2тп
откуда ВС = .	, А С = -====-.
у14т2-п2	ч4т2—п2
Ответ:
2т2 2тп
114т2 ~п2 \l4rn2-п2
Рис. 10.148
10.179.	Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали (рис.
10.148)	, равновелик кругу радиуса Л . Определить сторону ромба. Решение.
Из условия &ABD —равносторонний, следовательно, ZB4D = 60°.
л/3
Площадь ромба: Sp = х2 sin 60° = —-х2 = nR2 =>
Ответ: R
10.180.	Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.
Решение.
Пусть ЯВ = 13, CD = 15 (рис. 10.149). Обозначим АЕ = х , FD = y. AD - ВС = 14, значит, х + у = 14; BE2 = АВ2 - х2 , CF2 = CD2 - у2 ,
откуда 132 - х2 = 152 - у2. Получили систему ’
х + ^ = 14, 132-х2=152-/,°Т‘
куда х = 5, У = 9 . Значит, BE = 12 , ВС + AD = АВ + CD = 28. Тогда
SABCD = (5С +	=28 • 6 = 168 (см).
Ответ: 168 см2.
10.181.	В квадрате со стороной а середины двух смежных сторон соединены между собой и с противоположной вершиной квадрата. Определить площадь внутреннего треугольника.
Рис. 10.151
Решение.
ПустьК,Ь—середины ЛИ и CD (рис. 10.150). Тогда
„	1 а а	а2 „	1	а а2
S) —• — —-----j Di — Q • ~ —
2 22 2	82	2	4
. Площадь квадрата So = a2 . Зна-
с» _ о с» Q с» ___ 2	__ Зб7
чит, о — »Sn — Oi — S^ S^ — ci ~	 — — —.
0,2	3	4	4	8	8
3a2
Ответ: ——.
8
10.182.	Около квадрата co стороной а описана окружность. В один из образовавшихся сегментов вписан квадрат. Определить площадь этого квадрата.
Решение,
Диагональ квадрата является диаметром окружности (рис. 10.151).
(2 7? У = 2а2, откуда R = >/2а. Пусть сторона меньшего квадрата рав-
на х . Тогда PM2 + РО2 = ОМ2, РМ = ~Ь РО = — + х. Значит, 2 f ч2 2	2	2
х (а	) а	а „
— + у + х = —, 0ТКуда Х = "5’ Площадь меньшего квадрата
25
а
Ответ: —.
25
10.183.	В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины окружности к периметру трапеции.
В______________q	Решение.
/к	Обозначим основания трапе-
\	ции через а и Ь. Так как круг впи-
\	сан в трапецию, то a + 6 =2 с ,где
\ с — боковая сторона. Значит, \	а + ь т
\ с =--------. Тогда площадь трапе-
А К	L D 2
„ а + Ь .
ции S| =-----h, где h — ее вы-
Рис. 10.152	2
сота; периметр
рх = a + b + 2- a + b = 2(а + b),
^2
Площадь круга S2 = тег2 = л—. Длина окружности / = 2лг = лЛ, 4
S2 лй2 2 nh I TI
отсюда — = —7------r— = —7--г = —. Что и требовалось доказать.
Sj 4(а + б)-Л 2(а + б) р{
10.184.	Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой содержат 16 и 44 см, а непараллельные — 17 и 25 см.
Решение.
Пусть В К и CL —перпендикуляры, опущенные на AD (рис. 10.152). ВС = 16 (см), ЛВ = 44 (см), JB = 17 (см), CD-25 (см). Обозначим АК = х, LD = у.Тогда АВ2-АК2=ВК2, CL2 =CD2 - LD2 . Это значит, что 172-х2=ВЛГ2, С1?=252 -у2- Получили систему J17 х -25 у , ОТКуДа x_g, j = 20 . Имеем CL = V625-400 =15, [х + у+ 16 = 44,
с ВС + AD гт 16 + 44	, 2\
S abcd _	2	—	2	5 — 450 (см ).
Ответ: 450 см2.
10.185.	В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
Решение.
Пусть основания трапеции равны а и Ь , высота — h • Тогда пло-
Рис. 10.153
« а + 6,	.у гч .	а + Ь ~
щадь $-------h. С другой стороны, S = h . Значит, Л =-= 5, откуда
2	2
5=25.
Ответ, 25.
10.186.	Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а длина ее высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна высоте.
Решение,
Пусть ВС = 5к, AD = 12Л (рис. 10.153). Тогда BC*AD =h = l7,
\2к+5к _ j?, откуда к = 2. Значит, ВС = 10, AD = 24. Пусть CL ± AD, BK1AD, AK = LD= AD~BC = 7 (см); CD = ^CL2+LD2 = >/172 + 72 = = 13>/2, sina = -|^ = ^=. Из AALC найдем AC = ^CL2 +AL2 =
—	д с
172+172 =17л/2. По теореме синусов ---= 2R, следовательно,
sina
17>/2-13>/2 D D 1 *5 /	\
---------= R, R = 13 (см).
17-2
Ответ: 13 см.
10.187.	Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника (рис. 10.154), равна Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону. Найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть ВК = Н ,BL — проекция ВК на АВ.
2R-x/\j_
откуда АВ=2Н-Значит,
ак = 'Jab2 -вк2 = ^4н2-н2 = н&.
Рис. 10.155
Площадь
8 = -вкас = -н-2н4з=н2у[з.
2	2
Ответ: Н2 >/з.
10.188.	Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен a.
Решение.
Пусть R и г — радиусы вписанной и описанной окружностей, ВС = а (рис. 10.155). Положим BD = х; тогда BL = x (как касательные, проведенные из одной точки), LA-AK = 2R-x (так как &АВС —прямоугольный,то AB = 2R). Имеем АС2 + ВС2 = АВ2 или (г + 2R - х)2 + a2 = 4R2. Но R = 5r/2, х = а-г , и последнее уравнение примет вид (7г-а)2 +а2 =25г2 или 12г2 -1аг + а2 =0, откуда q = а/3 , г2 = а/4 . Этим корням соответствуют значения (ЛС)] = 4а/3 , (А = За/4. В результате получаем два решения:
с 1 4а 2а2 с 1 За За2
1 2	3	3	2 2	4	8
Л 2а2 За2
Ответ: ------ или--.
3	8
10.189.	В сегмент, дуга которого равна 60°, вписан квадрат. Вычислить площадь квадрата, если радиус круга равен 2л/з + >/17 .
Решение.
ОбозначимBC = CD = DA = ЛВ = х(рис. 10.156).Рассмотрим &ONC,
В N' С
Рис. 10.156	Рис. 10.157
AONC = 90’. Имеем ON2 + NC2 = ОС2, где ОС = А = 2-Уз + V17 . ON =
= OM + MN~OM + x , NC = -.B \OMF /-ОMF = 90’, ZMOF =
2
^EOF	о	л/3	л/З
—-— = 30° тогда ОМ = OF-------- R---, следовательно, ON =
2	2	2
Ry/3
2
f Я>/з
+ х . Таким образом, имеем + х
2
— = R . Решая квад-4
ратное уравнение, получим, чуо х = ^у(>/Г7-2>/з); SABCD = х2;
“ 1 > $ABCD ~ 1 •
5
Ответ: 1.
10.190. В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4 (рис. 10.157). В него вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти отношение площади полукруга к площади треугольника.
Решение.
По условию АВ: ВС: АС = 2:3:4 .Обозначим АВ = 2х, тогда ВС = Зх,
_ ВС АС .	,о„. 4х2-9х2-16х2 7
АС = 4х, длвс ~ х	sin£ВСА, cosZ.BCA--------——	—
2	-24х о
-24x2
sin £BCA
49 V15	3x2J\5 п
77 =	; smbc =-------• Пусть о —центрполукруга
04	о	4
с	АВ АО 2 АС , 4х 5
и ВО-биссектриса,тогда — = — ; - = — -1, — = -; ОС-
В ДОЕС Z.OEC = 90’. OE = R = OCsmZ.BCA~-~- = ^-
э о 1U
2,4л.
:Л5 ;
о	nR2 9л-15х2 27 2
о „„ =---=--------— =—их . Таким образом,
кр 2	100-2	40	н
с _27 2	4	_ 9л _ЗлЛ5
’ "'С 40 “ З^Л5=10Л5° 50
л Ответ: ------.
50
Решения к главе 11
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1.	Произвольная призма (/— боковое ребро; р — периметр основания; S — площадь основания; Н — высота; Р^ч — периметр перпендикулярного сечения; Sce4 — площадь перпендикулярного сечения; 5бок	— площадь	боковой поверхности;	К	—	объем):
5б0к=^;	(пл)
v = sh;	(Н.2)
У = ^сеч1.	(11.3)
2.	Прямая призма:
S6oK=Pl.	(11.4)
3.	Прямоугольный	параллелепипед	(а,	Ь,	с	—	его	измере-
ния; d — диагональ):
5бок=РЯ;	(11.5)
V = abci	(П.6)
d2=a2+b2+c2-	(П.7)
4.	Куб (а — ребро):
V = a3;	(П.8)
d = ay(3.	(П.9)
5,	Произвольная пирамида (5 — площадь основания; Н — высота; JZ — объем):
у = \$н.	(п.ю)
6.	Правильная пирамида (р — периметр основания; / — апофема; S6oK — площадь боковой поверхности):
5eo«=|w;	(Н.П)
V = \sH.	(11.12)
7.	Произвольная усеченная пирамида (и S2 — площади оснований; h — высота; у — объем):
= j + S2 +	.	(11.13)
8.	Правильная усеченная пирамида (и Р2 — периметры оснований; Z — апофема; 5бок — площадь боковой поверхности):
$бок=|(^+^>.	(И14)
9.	Цилиндр (R — радиус основания; Н — высота; S6oK — площадь боковой поверхности; у — объем):
5бок=2яЯЯ;	(11.15)
V = nR2H-	(1116)
10.	Конус (R— радиус основания; Н — высота; Z — образующая; S6oK — площадь боковой поверхности; у — объем):
S6oK=^Z;	(11.17)
V = ^R2H.	(11.18)
11.	Шар, сфера (Л— радиус шара; 5 — площадь сферической поверхности; V — объем):
5 = 4лЯ2;	(И19)
К =	(11.20)
12.	Шаровой сегмент (R— радиус шара; h — высота сегмента; S —площадь сферической поверхности сегмента; у —объем):
S = 2nRh;
(11.21)
V = rii2\R--h
к 3
(11.22)
13.	Шаровой сектор (R— радиус шара; Л — высота сегмента; V —объем):
V = -nR2h.
3
(11.23)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ
1.	Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а) все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; б) длины всех боковых ребер равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в цёнтр окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
2.	Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих условий: а) все боковые грани образуют с основанием равные углы; б) длины
всех апофем боковых граней равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).
3.	Если в наклонной призме боковое ребро А{ВХ составляет равные углы со сторонами основания, образующими вершину Л, (рис. 11.1), то основание О высоты ВХО лежит на биссектрисе угла 4.
S
Рис. 11.2
Это же утверждение можно сформулировать так: если в трехгранном угле два острых плоских угла равны, то проекция их общего ребра на плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.
4.	Если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения высот треугольника, лежащего в основании, то противоположные ребра пирамиды перпендикулярны. Справедливо и обратное утверждение.
5.	Если SO — высота пирамиды SABC и SA1BC, то площадь SAO1BC (рис. 11.2)
Доказательство указанных дополнительных соотношений можно найти в любом издании данного сборника задач последних лет.
11.001. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с и острым углом 30°. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пирамиды.
Решение,
По условию ZJCB = 90°, ZBZC = 30° (рис. 11.3); поэтому
С	сЛ	1	Сл/З^
вс = -, А С = —-, откуда 30СН = - А С ВС = —- . Проведем SO 2	2.	2	о
так, чтобы АО-ОВ^ Тогда О — центр описанной около ЬЛВС окружности, SO — высота пирамиды (см. «Дополнительные соотношения между элементами призмы и пирамиды», п. 1). В &ASO
с
имеем ZSAО = 45" и, значит, SO = АО = — . Итак, 2
V = -S.
3 *
Ответ:
48 ’
Рис. 11.4
11.002. Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус окружности, описанной около его грани, равен R .
Решение.
У тетраэдра ребра равны. Обозначим их через а . Радиус окружности, описанной около основания тетраэдра (а это правильный треугольник), равен R =	, откуда а = Rд/з . Высота тетраэдра
проецируется в центр описанной около основания окружности (рис. 11.4). Тогда SH = JSA2-AH2 = <Ja2-R2 = 7зЯ2-Я2 =r41. _	_ а27з З-УЗЛ2 _
Площадь основания о0СН = —-— = —-— . Тогда объем
_	R346
Ответ: —-—.
4
11.003. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен 45°. Определить объем и полную поверхность пирамиды.
Решение.
У правильной треугольной пирамиды SA = SB = SC (рис. 11.5); SH — высота, причем Н — центр описанной окружности;/) — середина А С,
Рис. 11.5
это значит, что HD1A С (кдьДАВС —правильный). ZSDH = 45°  Пло
щадь основания SOCH = ——. Из &SDH имеем DH = S7/tg45° = SH.
С другой стороны, — радиус вписанной окружности — г = ——.
6
Это значит, что SH = ДД. Тогда апофема SD =	. Полу-
6	sin45° V6
3 периметр основания р = — а. Площадь боковой поверхности
5бок =SD р = —— . Полная площадь S = 50СН + S6oK =-J
а объем Р = |$Я50СН=^.
_ а3 п2Уз(1 + >/2)
Ответ: — ; ----*----L.
24	4
11.004. Определить объем наклонной треугольной призмы, у которой площадь одной из боковых граней равна S, а расстояние от плоскости этой грани до противолежащего ребра равно d •
Решение.
Через тачку К на ребре АА' = 1 (рис. 11.6) проводим сечение перпендикулярно к этому ребру. Тогда КМ1ВВ', т.к. ВВ'^АА'; KNLCC’, т.к. СС'\\АА' • В &KMN проведем высоту KD. KD1MN и KDi.CC', следовательно, KDIBB'C'C и KD = d  По условию площадь грани
ВВ'С’С равна S’. Тогда V = S£j:mnAA’ = ^KDMN-АА'= ^dal,
где MN = a, MNLCC' = l.
Далее, V = ^d. (a l)=^d(MN CC')=^dS.
Ответ: У = ^dS.
11.005. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади ее основания.
Решение.
У правильной пирамиды АВ=ВС=АС=а (рис. 11.7).
ZZSC = 90°, SA = SC = SB* Это
значит, что z£4C = 45°> AD = DC -
Тогда из \SAC- SA = — — - = —— (так как ДЛ5С — равнобедрен-cos45° 2
ный). SD — апофема. Тогда SD = ZSsin45° = —. Боковая поверх-
„	з
носгь 5бок = p-SD, где р — полупериметр основания — р = - а;
с 3 а За2	а24з _
*^бок = 2°’J = Площадь основания	=—-—. Отношение
^бок = За2 - 4 =
*^осн 4а2 ♦ л/з Ответ: Л.
11.006. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали его боковых граней равны 4>/10 и 3>/Г7 см. Определить объем параллелепипеда.
Решение,
Обозначим стороны основания а и Ь, высоту параллелепипеда h»и пусть Ь > а • Диагональ основания параллелепипеда = То2 +й2 •
Диагональ боковой грани с ребрами ь и h равна Дх = Тй24-й2 = 4>/10 • Диагональ боковой грани с ребрами а и h равна d2 = Ja2+h2 = 3>/Г7 . Диагональ параллелепипеда d = ^d} + h2 =13 . Получим систему b2+h2 =(4л/1о)2,
• a2+h2	откуда д = 3, b = 4, h-\2-Объем к = айй = 144 см3.
a2 +b2 +h2 =132,
Ответ: 144 см3.
11.007. Найти отношение объема куба к объему правильного тетраэдра, ребро которого равно диагонали грани куба.
Решение.
У тетраэдра все ребра равны. Обозначим их через а. Радиус опи-
Дл/З
санной около основания тетраэдра окружности К = —у— . Основание высоты Н является центром описанной около &АВС окружности (см. рис. 11.5). Тогда Н = yla2 -R2 = и объем Vx = у SOCH Н •
2 /Т	^3
Так как ЛАВС правильный , то S0CH = —-—. Значит, Vx = -уу— • Пусть ребро куба равно Ь ♦ Диагональ куба равна £^2 • Она равна а3
а
ребру тетраэдра ь41 = а, откуда . Объем куба V2=b' =	.
а312 __2
Отношение 2у/2<Гу[2
Ответ: 3.
11.008. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и /?, острый угол между ними содержит 60°. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда.
Решение.
Большая диагональ основания лежит напротив большего угла т.е. 180°-60° =120°. Отсюда, по теореме косинусов, dx = т1а2 +b2 -2aZ>cosl20° = у/a2 + b2 +ab • Меньшая диагональ основания параллелепипеда d2 = Va2 +Z>2 -2nZ>cos60° = yla2 + b2 -ab • По условию меньшая диагональ параллелепипеда равна dx. С другой стороны, d2 =h2 +d%, гдей — высота параллелепипеда. Это
значит, что h = ^d2 -d2 = ^2ab . Площадь основания
е г • хЛо «Лаб	, JbabJab
50СН = aftsin60 = -у—. Объем V = S0CH • h =-------.
Л 4баЬ>[аЬ
Ответ: ---------.
2
11.009. Центр верхнего основания правильной четырехугольной призмы и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписанной в призму пирамиды, объем которой равен V. Найти объем призмы.
Решение.
Рис. 11.8
Пусть сторона основания призмы равна а (рис. 11.8). Тогда сторона а& основания пирамиды равна ——, а площадь этого основания рав-а2
на —. Обозначим объем призмы через Ух; имеем Vx = a h , где h —
высота призмы. Так как по условию объем пирамиды равен у, то 2
V = J ~ • h . Но a2h = Ух, откуда Vx = 6К .
Ответ: 6У .
Рис. 11.9
11.010. В кубе, ребро которого равно а, центр верхней грани соединен с вершинами основания. Найти полную поверхность полученной пирамиды.
Решение.
Из условия ясно, что высота пирамиды равна высоте куба, т.е. а
(рис. 11.9). К — середина AD,HHX — высота. Тогда НК- — \
HfK = ^нн^+нк2 =
ау/5
. Полупериметр основания
р = — 4а = 2а. Боковая поверхность 5бок -Н{К р =	• 2а = а2 V5 .
**	л
Площадь основания S0CH = а2. Полная поверхность
S = $бок +$осн = «2+Д2 V5 = <4 + 75).
Ответ: а2(1 + Т5)
11.011. Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, сумма внутренних углов которого равна 720°. Определить объем пирамиды, если ее боковое ребро, равное /, составляет с высотой пирамиды угол 30°.
Решение.
По формуле суммы внутренних углов многоугольника узнаем вид многоугольника 720° =180°(«-2). Отсюда п = 6» т.е. получили
шестиугольник; так как угол между боковым ребром и высотой ра-
V3
вен 30°, то высота h = /cos30° =—/. Радиус описанной около шес
тиугольника окружности Я = / sin 30° = . Он равен стороне шести-
/
угольника а = 2 • РаДиУс окружности, вписанной в шестиугольник,
а	ZV3
равен г =----- = —— = —-. Значит, площадь основания
180	2	4
24—
_ баг bfil1 .	.. 1„	, З/3
5осн = — = —г—, а объем И = -$осн А = —.
Z 10	3	10
„	З/1
Ответ: —
16
11.012. Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырехугольной пирамиды, равна ее боковому ребру и равна а. Найти полную поверхность пирамиды и ее объем.
Решение,
Обозначим сторону квадрата через Ь - Диагональ квадрата d = bjl • Она равна боковому ребру пирамиды а = Ь& (рис. 11.10).
2 а1
Площадь основания S0CH - b = —. Высота пирамиды, как видно
l I 2 Г d из рисунка, h = da -I—
, .	, L, (Ь'\ |з7
Апофема пирамиды / = J л +1 I =
а2 a<Jl
---^.Полуперв-
метр основания р = 2Ь =	. Боковая поверхность ^бок = / • р =
Рис. 11.11
Рис. 11.12
a a2-J7	а241 a2 a2 W7
- —2— • Полная поверхность S = 5б01с + 50СН = —-—+— = —
Объем Р = -5осн й = - —
3 осн 3 2
а^З _ а2 _ 43а2
Ответ:
а2(1 + У7) 43а2
2	’ 12
11.013. Центр верхнего основания куба с ребром, равным а, соединен с серединами сторон нижнего основания, которые также соединены в последовательном порядке. Вычислить полную поверхность полученной пирамиды.
Решение.
Так как ребро куба равно а, то сторона основания пирамиды
SABCD равна (рис. 11.11). Учитывая, что OK = ^AD =	>
найдем апофему пирамиды:
SK = -JsO2 +ОК2 = ja2+^- = 1 о 4
Значит, 5бок
л 1 «>/2 За-Jl За2 4----------------=-----
2	2	4	2
+ *^бок "	.
Ответ: 2а2.
11.014. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при основании равен 60°. Найти полную поверхность пирамиды.
Решение.
Так как Z_SKO = 60° (рис. 1112), то ОК -	= у. Основание
пирамиды — правильный шестиугольник, поэтому AKOD = 30° и
6РЕ27з а2Уз 2
KD-^OD. Тогда OK2 = OD2 -KD2 =4KD2 -KD2 =3KD2, т.е.
KD = ^-, DE = 2KD =	. Получаем: S0CH =
6	3
^бок =	• h — h л/з > ‘S'nOJlH = *$ОСН +‘S,60K —	2	*
4
_ зл27з
Ответ: —~—.
2
11.015. Найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а двугранный угол при основании равен 60°.
Решение.
Радиус вписанной в правильный
&АВС окружности равен г = —— 6
(рис. 11.13); SH — высота пирами-
ды, SK — апофема, к — середина
/_ Г С
I ----— -	. Боковая поверхность
Рис. 11.13
А С, Z.SKH = 60° • Апофема
$бок = Р ’ Л где Р — полупери-
За _	а>/3 За а2>/3 „ а27з
метр основания р = — .Тогда 5бок = — • — =	= ——
2	3	2	2	4
„	о о о а24з а2Л 3а2>/3
Полная поверхность 5 = о0СН + 5бок = —-— + —-— = —-—.
Л 3a2V3 Ответ: —-—.
4
11.016. Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной Ь, и углом 60° между диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем пирамиды.
Решение.
По условию BD = 6, ZAOB = 60° (рис. 11.14);
отсюда АВ = — 2
AD = —^~. Значит, S0CH=JB JD =
---. Так как 4
ASAO = ASBO =
= ZSCO = ZSDO = 45°, то SO — высота пирамиды
ь и SO = —. Итак, 2
К=-$осн$О = —
3 осн 24
л ь34з
Ответ: • _ .
24
11.017. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 1 см, а ее боковая поверхность составляет 3 см2. Найти объем пирамиды.
Решение.
Обозначим сторону основания правильной треугольной пирамиды че-
2	За
рез д, т.е. а = 1 (см); 56ок =3 (см ). Так как 5бок = р/, где р = — —
5	3
полупериметр основания, а / — апофема, то / = —— =--= 2 (см). Ра-
р 3/2
дуЗ диус вписанной в правильный треугольник окружности г =------
6
= —— (см). Тогда можно найти й =л//2 - г2 = А~~~Т" (так как
6	V 36 2уЗ
основанием высоты в правильной пирамиде является центр вписанной в треугольник основания окружности). Площадь основания
50сн =--------~ — (см2)- Тогда объем
4	4
г/ 1 с	д 1 V3 V47	У 47 . v
К= —5осн-й =----------------(см ).
3 °сн 3 4 2>/з	24 V 7
Ответ:	см3.
24
Рис. 11.14	Рис. 11.15
о
11.018. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами, равными а, а и Ь. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60°. Определить объем пирамиды.
Решение.
2 Ь2 По условию АВ - ВС = а (рис. 11.15); поэтому ВН -а-- —- =
4
= —yl^a2 — b2 . Отсюда 50СН = ~ А С • ВН =	-Ь2 . Проведем
высоту SO. Так как все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то точка О — центр описанной около ЬАВС окружности. Пусть радиус этой окружности равен R . Тогда 2»	2
Гур _ р _ Д Р _ Д	SB
4$осн	в ^0В 0В^- -' ПОЭТОМУ
SO = y/sB2—ОВ2 = у/4ОВ2-ОВ2 = ОВу1з =	. Имеем
V4a2-62
' I	1 Ь^4а2-b2	a2-Jl _a2byli
3	3	4	у/4а2 -Ь2
_ a2W3 Ответ: —------.
12
11.019. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно /, а высота равна h • Определить объем пирамиды.
Решение,
Обозначим AS = l, SH-h (см. рис. 11.5). Тогда
АН = -JaS2-SH2 = y/l2-h2  В правильной пирамиде АН является радиусом описанной около правильного &АВС окружности, т.е.
. „ D а4з ГЗ ау/з	Зу1 I2 -h2 [ГК Г2П
АН = R = —^~ или V/ -h - ——,откуда а =----------= yj3\l -h J.
Площадь основания S0CH =
. Тогда объем
а2>/3 _ 3>/з(/2-А2) 4	4
r = |SocH/' = |A
Узл(/2 - л2)
Ответ: -----21----L,
4
11.020. В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со сторонами 3 и 6 дм и острым углом 45°. Боковое ребро призмы равно 4 дм и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти объем призмы.
Решение.
Пусть АВ-3 (дм), AD-Ь (дм), АА{ =4 (дм)(рис. 11.16);4Я —
высота. Тогда АХН = ЛЛ, sin30° =2 (дм). Площадь основания
S0CH = АВ • Л/) sin 45° =	(ДМ2). Объем
V = $осн • А{Н = 9 V2 • 2 = 18>/2 (дм3).
Ответ: 18-J2 Дм3.
11.021. Каждое из боковых ребер пирамиды равно 269/32 см. Основание пирамиды— треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см. Найти объем пирамиды.
Решение.
269
Пусть SA = SB = SC = -^- (см) (рис. 11.4), а ЯВ = с = 15 (см), ВС-а = \3 (см), AC = b = \4 (cm),SH — высота. Это значит, что ASHA = ASHB = AS НС. Тогда АН = ВН = СН (из равенства ДЛSH,
\BSH, &CSH). Значит, Н является центром описанной около ЬАВС окружности и R = ^^. Площадь &АВС можно найти по формуле Герона 5 = р(р ~ а)(р - Ь)(р - с), где р =	+ с -21 (см).
Тогда В = ^21(21 -13)(21 -14)(21 — 15) = 84 (см2). Вычислим радиус опи-
D 13-14-15 65 ч
санной окружности R = —— = — (см) и высоту пирамиды
Г—,------г If 269? f65? 69 Z ч
SH = у AS2 - АН2 = 111"з2’1 "lyl =32 (см)-
Объем К = - SOCH • SH = - • 84 • — = 60,375 см3. 3 осн 3	32.
Ответ: 60,375 см3.
11.022. Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30°, а сторона основания равна а.
Решение,
Пусть АВ = ВС = CD =DA = a, B{D — диагональ призмы, Z.DB} А = 30° (рис. 11.17). Обозначим АВ} = Ь. Тогда b - -	= дТз. Высота
h = BB\ = >lb2 -а2 = а&  Объем V = S0CH • h . Так как ABCD — квад-
рат, то S0CH = а2 . Тогда V = а2 • а41 =а3^2 
Ответ: а3 ^/2
11.023. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания 6 дм, а высота 4 дм. Найти боковую поверхность усеченной пирамиды, отсекаемой от данной плоскостью, параллельной ее основанию и отстоящей от нее на 1 дм.
Решение.
Пусть AD = DC = ВС = АВ = а{ (6 дм), SH — высота, SH = 4 (дм) (рис. 11.18). По условию НН} =1 (дм). Из подобия &HES и AH^S
НЕ _ SH
(где £hEj —середины CD и CXD{ соответственно):	~ SH} ,но
4	9
SHi = SH - ННХ =4-1 = 3 (дм). Значит, нхЕх = НЕ — (дм). Зна-3 4
чит, A'Di = 2Я]Е, = | (ДМ). SEX = ^SH2 +НХЕ{ = J32 + [-1 = — (дм).
2	у ^4J 4
SE = JSH2+HE2 = V42 +32 = 5 • Тогда 5бок1 = рх  SEX, 56ок2 = р2 • SE,
где pi, р2 — полупериметры АХВХСХОХ и ABCD соответственно;
9	15 135
р2 = 2 • 6 = 12 (дм), рх = 2 • - = 9 (дм). Тогда 5бо1(1 = 9 • — = — (дм2);
S6ok2 =12-5 = 60 (дм2). Боковая поверхность усеченной пирамиды
£бок =5бок2-5бок1 = 60-^ = ~26,25 (ДМ2).
Ответ: 26,25 дм2.
11.024. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами ап Ь (а>Ь)> Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°. Определить объем усеченной пирамиды.
Решение.
Пусть AD = DC = BC = АВ = а, А{В}= В}С{ =	= DXAX =b
(рис. 11.19), Z.DXDH = 45°, где^Я — высота усеченной пирамиды.
OOj|pD^, OH = O\I\. О,Dj =^BiDl = ^b>/2 . Аналогично OD = ^aj2.
Значит, HD = OD-OH = —(a-b). HDX = HZ»tg45° =^(a-i>); Z	z
SABCD = fl2 ’	= Ьг. Объем усеченной пирамиды
= ^Dx^abcd +^SABCDSAiBiCiDi +SAiBiCiD.^=-—(a-b^a2 +ab+b2)=
4^’)-
Ответ:	(fl3 ~ )
6
11.025. Боковые ребра правильной усеченной треугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60°. Стороны нижнего и верхнего оснований равны соответственно а и Ь (а>Ь)-Найти объем усеченной пирамиды.
Решение.
Пусть ЛБ = БС = ЛС = я, ДА = ВХСХ =Q4 = b , ZJ^^ = 60°
(рис. 11.20). Так как М.ВС и АХВ£Х —правильные, то б? иЦ —центры
Рис. 11.20	Рис. 11.21
ь4з
описанных около них окружностей. Это значит, что А1О1 =	= -у-,
AO = R = ^,	. Значит, АН = АО-НО-R~RX =
Высоту АХН можно найти: А{Н = АН tg 60° =	(а - b)• 7з = (л - b).
Площадь SABC = —-—,	= —-— Тогда объем
лвс +^АВС$Л№ +SAiBlcJ-
?-Z>;
Ответ: — (а3-Ь3\ ш
12 v г
11.026. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол 45°. Полученное сечение имеет площадь, равную Q. Определить боковую поверхность параллелепипеда.
Решение.
Проведем RK\ DC (рис. 11.21), тогда BXK1DC также. Отсюда
Z.BKB' = 45’ и ВК = ВВ' = h , В'К = 4ih • Пусть стороны ромба рав-ны а. Тогда боковая поверхность
S
S6 = 4а ВВ, ~4ah = -^=a-42h = у/2
= 2-j2 CD B'K = 2j2Q, так как по условию площадь сечения AXBXCD равна Q.
Ответ: 2Q<j2.
11.027. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а площадь диагонального сечения равна S.
Решение.
Рис. 11.22
Пусть АВ = ВС - CD = AD = а (рис. 11.22).Тогда АС = ajl. SH — о CLtH
высота, Z.SCH = 45’. SH = CH tg45 = ——. Площадь диагональ-
ного сечения
о 1 CU 41а а42-	I-- о
S = -ACSH = —---------— = — , откуда а = 42S  Зна
чит, SH = 4s • Площадь основания 5^ = а2 = 2S. Объем
v = -^оск • sh=2S • 4s  - = -s4s.
3 °сн	зз
Ответ: ^s4s.
11.028. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30°. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Определить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен г.
Решение.
Пусть PABCD — данная пирамида (рис. 11.23), PH — высота,
HK1.CD , значит, PK1.CD , Z.PKH = 60°. ZBCD = 30°, НК = г ,
Z.CDH = 75° Из &HDK найдем DK =----------. Из \СКН КС =----------;
tg75°	tgl5°
nv vs, I 1	1 I	sin 90°	2r .
DC = DK +KC = л------+------- = r----------=--------= 4r
^tg75° tgl5°J sinl5°cosl5° sin30°
Площадь основания 5^ = ВС  DC sin 30° = 4r • 4r  — = 8r1 2 * * 5. Высота
IP
PH ИЗ ^PHK равна PH = HK tg60° = rV3 , a PK =-------------= 2r. Tor-
cos 60°
боковая поверхность
1	1	г“ Яг
да И = |5оснРЯ = |8г2г>/3=^
5бок = р  РК, где р — полупериметр основания р = 2 • 4г = 8г ; это
значит, что S6oi( = Sr 2г = 16г2. Полная поверхность
5 = 56oK+SOCH=16r2+8r2=24r2.
Ответ: —-—, 24г2 •
11.029. Объем правильной треугольной пирамиды, боковая грань которой наклонена к плоскости основания под углом 45°, равен 9 см3. Найти полную поверхность пирамиды.
Решение.
Пусть РАВС—данная пирамида (рис. 11.24), PH — высота, где Н— центр вписанной в ЬАВС окружности; НК1АС, значит, PKLAC, НК = г =	ZPКН =45°. Далее, PH = НКtg45° = —, РК = НК =
6	6 cos45°
а^Зу/2 а4б <,	_а24з г	с За
=-------=---; осн = —“—• Боковая поверхность ^бок = — • гл =
6	6	4	2
3 а4б а24б „ о р е а27з(1 + л/2)	„
= -а— = —Тогда S = 5бок +	Объем V =
Z О 4	4
= -50СНРЯ = —= 9, откуда а = 6 (см). Итак, 5 _ Збл/зО + л/!) _ 3	24	4
= 9>/з(1 + л/2) см2.
Ответ: 9л/3(1 + >/2) см2.
11.030. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами 1 и 4 см и острым углом 60°. Большая диагональ параллелепипеда равна 5 см. Определить его объем.
Решение.
Пусть АВ = 1 (см), ВС = 4 (см) (рис. 11.25); Z.BAD = 60°, тогда ZADC-120°. Значит, АС можно найти по теореме косинусов: АС = = AD2 + DC2-2AD-DCcosl20° = 1 + 16+2-4ACt =5 (см).Значит, СС2 = АС?-АС2 =25-21 = 4 (см2). Тогда CCt=2 (см). Объем И = $осн'СС,; 5осн = ЛВ-ЛЙ8т60° = Ь4 ^ = 2>/з (см2). Тогда У = 243 -2 = 443 (см)3.
Ответ: 4^3 см3.
Рис. 11.25
Рис. 11.26
11.031. Центр куба, ребро которого равно а, соединен со всеми его вершинами. Определить объем и поверхность каждой из полученных пирамид.
Решение.
Так как при указанном построении образовалось 6 одинаковых дз
пирамид (рис. 11.26), то каждая из них имеет объем V = — и полную 6
поверхность SnoriH = а2 +4 • у а • ОК . Но ОК = >1оР2 +РК2 =	,
откуда 5П0ЛН = а2 + а2 Л = а2(1 + Vl).
11.032. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием 6 см и высотой 9 см. Каждое боковое ребро равно 13 см. Вычислить объем пирамиды.
Решение.
Пусть АС = 6 (см), ВК = 9 (см) (рис. 11.27), PH — высота, РА = РВ = PC = 13 (см); из равенства \РНА = \РНВ = \РНС следует
Рис. 11.27	АН = НВ = НС , значит,// — центр
описанной около Д4ВС окружности.Тогда АК = КС = -^-- = 3 (см). Значит, ВС = АВ = JbK2+KC2 = >/81 + 9 = 3>/Й) .
Площадь основания S0CH = SABC =	• АС = -6♦ 9 = 27 (см2).
Тогда радиус описанной окружности
„ ав вс ас з-Ло-з-Ло-б . ( ч ~
А =-----------= —-----—----= 5 (см). Значит,
4S^C	4-27
PH = л1ра2-АН2 = 12 (СМ). Объем V =	• PH = |• 27 12 = 108 (см3).
Ответ: 108 см3.
11.033. В треугольной пирамиде боковые ребра взаимно перпендикулярны и имеют длины ^70, 799 и 7126 см. Найти объем и площадь основания пирамиды.
Решение.
По условию ZAPC = ЛАРВ = АВРС = 90° > АР = ТтО , РВ = 799 , PC = 7126 (рис. 11.28, а). По теореме Пифагора
АВ = у1рА2 +РВ2 =>/70 + 99=13. BC = -JpB2 +РС2 =>/99 + 126=15.
Рис. 11.29
AC = J РА2 +PC2 = V70 + 126 = 14 . Тогда площадь основания SABC можно найти по формуле Герона
SABC = д/21(21 -13X21 -14)(21-15) = 84 (см2). Для того чтобы найти объем пирамиды, перевернем ее так, чтобы основанием была грань РАВ (рис. 11.28, б). От этого ее объем не изменится. Тогда СР = V126 является высотой полученной пирамиды, т.к. &РАВ — прямоуголь-
ный, то его площадь
spab = |рЛР5 = |770 799. Объем
V = ^CP SPAB = |Т126 -ТтО-799 = 21755 (см3).
Ответ: 21^55 см3, 84см2.
11.034. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ равна d , а боковые грани — квадраты.
Решение.
V = 5 • Н. Обозначим DXD = х (рис. 11.29). Тогда имеем
Зх2>/3 АВ - ВС = CD = ED = FE = AF = DXD = x (по условию) S = —-—;
AD = 2x * В &ADDX, Z.ADDX = 90°; значит, ADX = ^AD2 +DXD2 ; (no
условию ADx=d). Имеем, что d = xj5', отсюда х = -^=-Н,
V = SH =
3d3J5 10>/5
3J3V3
ЫГ
11.035. Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно d •
Решение.
Расстояние от ребра ААХ до диагонали BXD равно расстоянию от этого ребра до плоскости BBXDXD, т.е. длине отрезка АХЕ (рис. 11.30). Пусть ребро куба равно а; тогда из AAXEDX находим 2d2 = а1, откуда я = <л/2.Итак, р =а3 =2J3V2 .
Ответ: 2d3 41.
11.036. Определить объем октаэдра (правильного восьмигранника), ребро которого равно а .
Решение.
к = “5'я,гдея = 2 Л = 2-5О, 5 = а2
(рис. 11.31). В &SOC ZSOC = 90°,тогда SO2 = SC2-ОС2, где ОС = ^^-;
5<?2 = 2д2~а2 = —• Л = Л Н = ^
2	2 ’	>12’ V2 ’
и, таким образом,
Рис. 11.31
Ответ:
а3 41 3
Рис. 11.33
Рис. 11.32
11.037. Основание призмы— квадрат со стороной, равной а. Одна из боковых граней — также квадрат, другая — ромб с углом 60°. Определить полную поверхность призмы.
Решение.
5поли =4 sabcd +2 SBCC,Bt (рис. 11.32), SABCD=a2 (таккак ABCD — 1	Q2 л/З
квадрат и АВ = а\ SBCC& =-a2sin60° = (ВВХСХС— ромб, ВВх=а, АВХСХС = 60’), 5ПОЛН = 4а2 +а2Л = а2(4 +>/з).
Ответ: а2(4 + -/з)
11.038. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего основания и удалена от плоскости этого основания на расстояние, равное Ъ • Сторона основания равна а. Определить полную поверхность параллелепипеда.
Решение.
S = 2Sосн + 5бок > где 5бок = ^ладв (рис. 11.33), 5ОСН = а2 (ABCD — a	П а2”
квадрат) и ЕО = — . В АЕОА{ АЕОАХ = 90°, тогда АХЕ = Jb2 +— ;
X	f
SAlABBt = AB AXE= a>‘4b^+a2- , s = 2fl2 + 2a J 4b2 + a2 •
Ответ: 2a( a + yjlb2 + a2
11.039. В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней. Вычислить поверхность полученного октаэдра, если ребро куба равно а.
Решение.
\ 2	2	[у
S = 8 • S^EC, где СЕ = — + — =	; СЕ = BE = ВС (рис. 11.34),
поэтому ZBEC = ZECB = ZCBE = 60° и
е 1 а41 а^2 . ,по ^двес ~ 2~2	2~Sm60
Ответ: а2 V3.
11.040. Основанием пирамиды служит треугольник с длинами сторон 6, 5 и 5 см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Определить объем пирамиды.
Решение.
V = ^S Н, S = у1р(р-б\р-5\р-5) ; Р = у = 8, поэтому 5 = 12;
S = p г; отсюда r = — = -.В ASOE, ZSOE = 90° (рис. 11.35), о Z
22 М. И. Сканави, группа Л
673
з
ZSEO = 45° (по условию) => ЕО = SO = - (так как ЕО = г), отсюда
Г = |12-| = 6 см3.
Ответ: 6 см3.
11.041. Определить объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна / и составляет с одной гранью угол 30°, а с другой 45°.
Решение.
ЩВС (рис. 11.36) Z4^C = 90°;
а = ВС = 4C sin30° = 1-; А{В =	. В ЩС{С, ЛАХСХС = 90°;
„„ лг 	лп к 17^2------2	|3/2 2l2
С,С = с = АС• sin45 =-; AB = b = JA}B -с =J-----------=J—:
1	2 ’	3/1 V 4	4 V 4 ’
/3л/2 V = abc =
8
_	/3Л
Ответ: —
11.042. Определить объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее диагональ равна 18 см, а длины сторон оснований 14 и 10 см.
Решение.
Искомый объем выражается формулой V = y(5t +52	)» гДе
51 = 196 (см2), S2 = 100 (см2). Найдем h = B\K (рис. 11.37). Имеем ВуК =
V2	2
B\D -KD . Так как BBXDXD— равнобедренная трапеция, то
= 0,5(5/)-5]^) = 0,5(14^2-10^2) = 2^2 (см) и KD = BD-BK =
= 12>/2 (см), т.е. h = -J182 -(12>/2)2 = 6 (см). Итак,
V = |(196 +100+140) = 872 (см3).
Ответ: 872 см3.
11.043.‘Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q. Площади диагональных сечений равны Sj и S2. Определить объем и боковую поверхность параллелепипеда.
Решение.
Имеем V = 50СНЛ, где 5^ = Q (по
Рис. 11.38
условию); таким образом, следует найти h. Так как ABCD — ромб, то =0,5ЛС-2?£> (рис. 11.38}; учитывая, что ЛСЛ = 51, S	S	S S
BDh = S2, находим АС = —Ц BD =—. Отсюда получаем 2Q = —— h	h	h h
i----- I------------------- ✓ X 7	✓ X 2
Л = Тогда V = Из ACOD: CD2 +f-^| V 20	V 2	I 2 ) t 2 )
+ f^2?|2 _ s\+s2 2h) A2aJ " 4Л2
Итак,
=4CDh = 4h-	= 2-Js2 + Si.
Ответ: ^SiS2Q/2\ 2^S2 + S2.
11.044. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно / и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды.
Рис. 11.39
Решение.
V = \sH .В Д50С ZSOC = 90°. ZSCO = 60’. SC = 1 (рис. 11.39).
Отсюда имеем ОС = SC  cos 60° =
1_
2
H = SO = SC sin60° =^-l;
2
DC = AD = AB = ВС В ДЛРС ZD = 90° (по условию),
, 4 I2 I2
AD2 + DC2 = AC21 2AD2 = 4OC2; $ = AD =yy=y;
Ответ:
12
11.045. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и составляет с боковым ребром призмы угол 30°. Найти объем призмы.
Решение,
V = SH.K &ADDX (рис. 11.40) Z.A DDX = 90°, AADXD = 30°, ADX = d, Toraa# = ^Z> = Jcos30° =<А/з/2; AD = J sin 30° = d/2. Пусть BC = x,
AE sin 30е
AE = (^-x |:2 = 4-^, ZEBA = 30°;
V2 J 4 2
= 2AE J
_ 3d2 Ji dji _9d3
32	2	64 ’
Ответ:
64
11.046. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь- Диагональ параллелепипеда наклонена к боковой грани, содержащей сторону основания, равную Ь, под углом 30°. Найти объем параллелепипеда.
Решение.
V = SH, S = ab- В Ы\АВ ZDxAB = 90°, ^^ = 30° (рис. 11.41).Отсюда ADX =a ctg30° = ау/з, Н = ^AD2 - A^D2 =yjla2-b2 ;
V = SH = abj3a2-b2 
Ответ: abj3a2 -b2.
11.047. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60°. Определить боковую поверхность параллелепипеда.
Решение.
В &BAD ZBAD = 9W, DB = yla2+b2 (рис. 11.42). В &D{DB
Z.DXDB = 90°, DjD = ВЛ • tg60° = л/з • л/а2 + b2 , S^ba = yfiayla2+b2 ;
Sbb^c = V36 • 7a2 +Z>2 ; S = ^Sa^Ba + $вв{\с) = 2л/з • yla2 +b2 (a + b).
Ответ: 2>/3 • yla2 +b2 (a + b).
11.048. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60°.
Решение.
Проведем АХК перпендикулярно плоскости АВС (рис. 11.43);тог-
^2 5/3
да V = SMBC  А\К, где SMBC = —-—. Учитывая, что АК = 60“,
а-/з	а2 Л а-]з За3
находим А,К = ——. Итак, V = —--------— = ——.
2	4	2	8
л За3
Ответ:
11.049. Найти объем правильной треугольной призмы, если сторона ее основания равна а и боковая поверхность равновелика сумме площадей оснований.
s
Решение.
V = S0CH H (рис. 11.44), 3S6oK =2 S0CH; S0CH =	, S6oK = За-H;
За Я = 2~; Я= —; Г =	—	.
4	6	4	6	8
Ответ: a3/i.
11.050. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пирамиды, высота которой равна h» а боковое ребро равно /.
Решение.
S6ok=6 S&fsa=6 ^-AF SK = 3AF-SK (рис. 11.45); ASOA, ZSOA = 90°, OA = Jl2-h2 =AF> SK = J/2 -l-^~ =	>
тогда S6oK =3-V/2-h2 • ^3/22+A2 =|7(Z2-h2\3l2 +h2).
Ответ: ^y/fy2 “^2^2 +A2).
11.051. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой плоский угол при вершине равен 90°, а сторона основания равна 3 см.
Решение,
V =-SH (рис. 11.46); S = —у[3; ОС =	=	= у/з (так как
3	4	3	3
АВ = ВС=АС = а = 3 см); ЕО =	В AESC ZESC=90°, Н2 = ЕО*
6	2
9	9у/2
472	8
Ответ:	см3
8
11.052. В правильной треугольной призме площадь сечения, проходящего через боковое ребро перпендикулярно противолежащей боковой грани, равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти полную поверхность призмы.
Решение.
s = 2SOCH + ISbb^a (рис. 11.47); CD = АВ = ВС = СА = а;
Q-CDC^^-C.C-, c'c = ^; So^,
Sbw =ABBBl=ABCiC = ^a = ^. Ch/3 v3
S = ^-+2Q^3 = л/з(о,5а2 +2q).
Ответ: 7з(о,5а2 +2g)
11.053. Высота правильного тетраэдра равна h. Вычислить его полную поверхность.
Решение.
S = S0CH +35^ =4S^BC = 4~^ = АВ24з (рис. 11.48);
АО = АВ-Л/3, так как = AB = SB = BC-SC = АС (по уело-
вию); AAOS, ZJOS = 90°; AS2 =ОА2 +SO2 AS2 = -^- + h2;
3	2	2
_ зл27з
Ответ: —-—.
2
11.054. Каждое из боковых ребер пирамиды равно Ь • Ее основанием служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как т: п, а гипотенуза равна с. Вычислить объем пирамиды.
Решение.
V = is-Н . Обозначим АВ-тх, ВС-пх (рис. 11.49). По условию АС = с, SC = b-B ЬАВС ZABC = 90°'> значит, с2 = т2х2 + п2х2, с2 _ с	_ 1	2 тле2 —
Чт2+л2 у1т2+п2	2	2{т2 +л2)
Рис. 11.49
Рис. 11.50
С -> d	-Jdh^ — е1
H = SO и АО = ОС = ВО = ~, тоН2=Ь2- —; Н = ——— (в &SOC 2’___________________________ 4_____________ 2
ZSOC = 90’); V =	 d^L =
3 2 (m2+n2)-2	12(т2+п2)
тпс2^4Ь2 - с2 12(/и2 + п2)
Ответ,
11.055. Центр верхнего основания куба соединен с серединами сторон нижнего основания. Образовался четырехгранный угол, каждый плоский угол которого равен а. Доказать, что 30° < а < 45°.
Решение.
I------------ Г2 Ji
Имеем АВ = J AM2 + МВ2 = .— + — =	(рИС. 11.50). Из CSOB
V 4	4	2
I	a2' а4$
находим SB = SA = J а2 + — =------. Пусть ZB SA = а; тогда в ASAB по
V	4	2
7	2
2	2	2	_ о 5а
теореме косинусов получим АВ = 2SB - 2SB cos а, или — - 2 —-5а2	4	42 4 7з
- 2 • —— cos а, откуда cos а = у. Очевидно, что < у <	» т.е., дей-
ствительно, 30° < а < 45°.
Рис. 11.51
Рис. 11.52
11.0	56. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 10 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Площадь основания равна 12 см2. Найти боковую поверхность параллелепипеда.
Решение.
Из &DXDB (рис. 11.51) находим BD = 5 см, DDX = 5>/з см. Боковая поверхность 5бок = 2(DDj • DC+ DDi • AD) = 2DD, (DC+ AD). Но DC2 + AD2 = = /?D2=25, а по условию DC-AD = 12. Значит, (DC + JD)2 = = DC2 + AD2 +2DC - AD = 25 + 24 = 49, откуда DC + AD = 7 (см). Итак, Sfon = 2 • 5• 7 = 70Л (см2).
Ответ: 70>/з см2.
11.0	57. Определить объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d, а длины ребер относятся как т : п : р.
Решение.
V = abc, DxB = d. Обозначим АВ = тх, ВС - пх,ВхВ~ рх (так как т .п :р = АВ:ВС:ВХВ) (рис. 11.52). В &DXDB ZDXDB = 90°, тогда Dj52 = D{D2+DB2. В \DAB Z.DA В = 90° и DB2 = AD2+AB2, поэтому DlB2 = DyD2 + AD2 + AB2, d2 = p2x2 +m2x2 +n2x2, значит, x = d
Jm2 +n2 + p2
5
Отсюда V = АВ  ВС • В,В = тпрх3 =	.
/ 2	2	2 г/2
,	\т + п+р ]
mnpd3
Ответ: ( ->	9	7 \з/2 ’
\т +пл + р£]
11.058. Определить объем правильной треугольной пирамиды, если высота треугольника, служащего ее основанием, равна h, а апофема пирамиды равна т .
Решение.
V = ^SH, MC = h> SM = m (рис. 11.53). АВ = ВС = АС, значит
ав4з ab = 2™=2!l s~ — abJ3 h СМ = — => АВ	и	Л/О = —= -.В
ЛВОМ Z.SOM = 90° Н = >ISM2-МО2 = ^т2= ^9т ~h .
.. 1 h2 yl9m2-h2 43 ,2 lQ 2 ,2
Отсюда	---3----~^lh ~h ’
Ответ:	h2 ylvm2 -h2 .
11.059. Площади боковых граней прямой треугольной призмы равны м у N и р. Боковое ребро ее равно /. Определить объем призмы.
Решение.
По условию SABiBA = М ,	= N , SAACCi -Р, ССХ = I
N М Р
(рис. 11.54). Тогда ВС = —; АВ = — ; АС = —;
TZ С гг С / / ЛГ + Л/ + Р (N+P-M\ (N + M-P\ (M + P-N\ K = s h = s /=/ j - I. - д — д——j
(по формуле Герона находим 5). Таким образом,
V = ^-yl(N + M + P/M + N-P\M + P-NlN + P-M).
Ответ: ^J(N + M + P^M + N-P\M + P-N\N + P-M).
11.060. Известны площадь основания Р и объем V правильной четырехугольной призмы. Вычислить ее полную поверхность.
Решение.
*5П =23’осн +^*^бок (рис. 11.55), где Р = S0CH и р = а2 (а — сторона
х	гт У
квадрата). V-P Н => # =
/— у
^бок = а ‘ Н = >1Р —. Отсюда
S = 2P+4V—
Р
4Г
Ответ:	^~^р
11.061. Найти боковую поверхность правильной треугольной призмы с высотой h, если прямая, проходящая через центр верхнего
Рис. 11.56
5
стороны нижнего основания, наклонена к
основания и середину плоскости основания под углом 60°.
Решение.
Обозначим сторону основания через а. Тогда S6oK = 3ah . Проведем высоту ОХО (рис. 11.56). В &DOOX имеем Z.OOXD = 30°, поэтому OXD = 2OD и 4О£>1 2 - OD2 = h2 , откуда OD = Л>/з/з. С другой стороны, OD - а4з)() и, следовательно, а = 2h . Итак, S6oK = 3 • 2h • h = 6h2.
Ответ: 6/z2
11.062. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно /. Найти объем и полную поверхность пирамиды.
Решение.
По условию SC = /, Z.SBC = 90°, Z.SCB = 45° (Рис- 11 -57)> ОТКУ“ /	1	р Jy
да SB - ВС = —,= , Имеем V = -ВС2  SB =------. Полная поверх-
V2	3	12
НОСТЬ *-*полн = S0CH +2S&SAB +^&SAD » ТаК как $bSAB = $&SBC >
1 if I Y I2
8&SAD = $&SCD  Ио S^AB = — AB SB = — I —j- I = —,
S&sad -—AD SA
Итак,
i34i /2(г+>/2) Ответ:	----L.
12	2
11.063. Найти объем и полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°.
Решение.
^ = |5осн где S0CH=a2 и Z_SEO = 60° (рис. 11.58). В bSOE
Z.SOE = 90° =» // = 5O = ~ tg60°	. Имеем К = ^->/3 . Далее,
Z	Z	о
S = Soch + 4*$б = а? +45б’ гДе	5Е = —^— = а, значит
£	2 cos 60
2
5б =	и S’ = За2 .
Ответ: За ; —— 6
11.064. Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а все плоские углы при вершине прямые.
Решение.
Проведем BD1AC (рис. 11.59). Пусть сторона основания будет а .
Так как пирамида правильная, то OD-^——, AD = DC =
6	2
SOch =——. Выразим а через Д.В ASAC имеем SA = SC9
5
S
a
Z.CSA = 90° > откуда Z.ASD = 45° и SD = AD = - . Тогда
________ 2 л 2
h = SO = JsD2-OD2 = J—=-^ => a = hjf>-
..	.. 1 _ , 1 а27з , 1 6Л2Л . Л37з
ИмеемГ = -S0CHA = y—-—h = -— ------=
Ответ:
11.065. Найти боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен 90°, а площадь основания равна S'.
Решение.
а2^3
Пусть а — сторона основания; тогда 5 = —-—, откуда а -V J
Искомая боковая поверхность выражается так: S6oK =3 ^a-BD
а „	3?	3 4$ г
(рис. 11.60). Так как BD = DC = —, то ^бок -	~
Ответ: sj3.
Рис. 11.61
11.066. Найти объем правильного тетраэдра с ребром, равным а.
Решение.
Объем тетраэдра V ~^SH (рис. 11.61). Площадь основания на
ходится как 5=—-—.Рассмотрим &SDC (Z.SDC = 90° л
I а2 а
/ = Ля2-—=-л/3. Рассмотрим &SOD (ZSOD = 90°):
/2	2 IЗл^ 2
Я = \/ -г =	—г В ДЛВС радиус вписанной окружнос-
e-Уз	„ _ /За2 За2 _ 2а
ти г = ——. Тогда н -	----— - ~г=.
6	V 4	36 V6
Окончательно получаем: v “ у—‘	~
Ответ: ——
12
11.067. Правильная шестиугольная призма, боковые ребра которой равны 3 см, рассечена диагональной плоскостью на две равные четырехугольные призмы. Определить объем шестиугольной призмы, если боковая поверхность четырехугольной призмы равна 30 см2.
Решение.
Пусть АВ-а (рис. 11.62); тогда искомый объем V = 6 --—
h = 3 см — высота призмы. Найдем а. По условию боковая поверхность призмы ABCDA}B}€\D} равна 30 см2. Но S6oK = ($АВ + AD)h;
здесь AD = 2а (как диаметр окружности, описанной около правильного шестиугольника). Следовательно, 5л 3 = 30, откуда а-2 см.
22>/з г Итак, И = 6 ——-3 = 1873 см3. 4
Ответ: 18^3 см3.
11.068. По стороне основания, равной л, определить боковую поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.
Решение.
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пира-
миды находится по формуле 5бок =уР/ (рис. 11.63). Периметр основа-
2 1
ния равен р = 4л. Из условия SABCD = S,iSC . Отсюда а = —AC SO.
Из квадрата ABCD АС = а42 . Подставим и получим 2л2 = a&SO.
__________ 1 Г
Отсюда SO = а^2 . Из ASOE SE = ylSO2 + ОЕ2 = J2a2 + ^-- =	.
V 4	2
Подставим и получим
с 1 , Зл 2 А - с
^бок = 2	• — = Зл .А искомый объем находит-
ся по формуле V = “-$77 = ~^а2а42 =
Ответ:
Зл2;
а3 42
3
Рис. 11.63
Рис. 11.64
11,069. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте основания, а площадь сечения, проведенного через это боковое ребро и высоту основания, равна Q. Определить объем призмы.
Решение.
Искомый объем призмы находится как V = SH (рис. 11.64).
Площадь сечения DDXCXC Q-DC-CQ. Так как по условию /—	х2л/з
DC = ССХ, то DC = ССХ = y/Q . Площадь ДАВС : S’ = —-— . Из
_ х1 2	2	_ 0,Л> _ Q
&CDB 2 + —= х .Отсюда х = —.Тогда д - “/т и иска-4	3	3
мый объем
У.Ы1 л
Ответ: Q-JQ/3.
11.070. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b и образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S Определить объем параллелепипеда.
Решение.
Объем параллелепипеда находится по формуле И = 50СНЯ
(рис. 11.65). Площадь основания 50СН = Z?«sin3O° = —ab. Площадь боковой поверхности S = PH. Периметр основания Р = 2(а + Ь).
Отсюда Н “ 2^а + • Тогда получим объем параллелепипеда:
abS
4(а + b)'
abS
Ответ: ^ьу
11.071. Найти отношение объема правильной шестиугольной пирамиды к объему правильной треугольной пирамиды при условии, что стороны оснований этих пирамид равны, а их апофемы в два раза больше сторон основания.
Решение.
Объем шестиугольной пирамиды:	• Нх. Площадь основания
шестиугольной пирамиды	, а высота равна Нх = ф2 - г2 ,
За
где апофема / = 2а, а радиус вписанной окружности г\ -	. Тогда
H = ~V13. Подставим и получим Vx = ~а2у/з •—\^- = ^-а3>/39 .
2	3 2	2	4
Объем треугольной пирамиды И2 = ^S2H2. Площадь основания
этой пирамиды £•> = —— , а ее высота Н^ 4
, где радиус
ау]3	ГТ а /тут
вписанной окружности г2 - ——. Подставим и получим Н2 = --V141 .
6	6
TZ 1 аЧЗ V141
Тогда V2 = ~—--------—
3 4	6
Получаем отношение:
Ух = а3Уз9 46 = 3 62>/13 = 18-У1833 = 6>/1833
У2 4а3Л>/141	7141	141	47 ’
_ бЛвзз
Ответ: ———.
47
11.072. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как т: п, а диагональное сечение представляет собой квадрат с площадью, равной Q. Определить объем параллелепипеда.
Решение.
Искомый объем V = Somh, где S0CH = А В • AD (рис. 11.66), h — высота параллелепипеда. По условию BBXD{D — квадрат и, значит, Л = y[Q .
Найдем АВ и AD. Так как АВ \ AD = m :n,io AD = — AB.B &ABD т
имеем АВ2 + AD2 = BD2, т.е. АВ2 +^-АВ2 = Q => АВ = гт2^- , м	>1т2 +п2
AD =	. Итак, V = AB AD h = mnQ>^.
>1т2+п2	т2+п2
тп г—
Ответ: —$-----
т +п
11.073. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 6 см. Найти длину ребра такого куба, чтобы объемы этих тел относились как их поверхности.
Решение.
Объем прямоугольного парллелепипеда равен Ипар = 2-3-6 = 36 см3. Объем куба Кк =л3. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда находится так: 5ПЯП =	+ 25nrH = PH + IS^ = 2(2 + 3) • 6 +
+2 • 3• 2 = 72 см2. Площадь полной поверхности куба SK = 6л2. Из усло-
^пар *^пар х-х	36	72
вия —- = —Отсюда — = —-. Получаем а = 3 см.
SK	а3 6а2
Ответ: 3 см.
11.074. Высота пирамиды равна 8 м. На расстоянии 3 м от вершины проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 4 м2. Найти объем пирамиды.
Решение.
Искомый объем пирамиды V = SH (рис. 11.67). Пирамида SABCDEF
SO 8 подобна пирамиде	с коэффициентом подобия к =---= —.
Тогда площади их оснований относятся как ^AB(^PEF- -^k2. Отсюда Sa^D^F,
Sabcdef = у •4 = ^ (см2). Значит, V = 1~-8» 75,85см3.
Ответ: «75,85 см3.
11.075. Доказать, что объем конуса равен объему цилиндра с тем же основанием и той же высотой минус произведение боковой поверхности этого цилиндра на 1/3 радиуса его основания.
Решение.
Пусть Кцил — объем цилиндра, Ккон — объем конуса, г — ра-
диус основания, h — высота; тогда
2	1	2	1
^ЦИЛ ~ ПГ ^КОН = у= '^^ЦИЛ-
1	2 2	2
Так как ^бок.цил “2tcz7i , то ‘^‘^'бок.цил^* ~~	^^цил • Отсюда
I/ — —	г — _1/ — I/
Г ЦИЛ j ‘“'ООК.ЦИЛ' J г цил — г кон •
Что и требовалось доказать.
11.076. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к боковой поверхности.
Решение.
Площадь основания конуса: S0CH=tlR2 (рис. 11.68). Площадь
боковой поверхности конуса S6oK = тМ, где
/ = >Ih2+R2 = -J4R2 +R2 = Rj5  Отсюда 56ок = nR2 . Оконча-
SOCH _ n^2 _ 1 _ Vs
тельно получим	_2 /7 -~fr ~T" •
o6oit iJCJS -J 5	5
Ответ:
y[5
5 '
11.077. Выразить объем конуса через его боковую поверхность S и расстояние г от центра основания до образующей.
Решение.
Объем конуса находится по формуле у = i SH = у nR2H (рис. 11.69).
Рассмотрим ЛОВА (ХОВА = 90°): sina = ^. Из &SOA (XSOA = 90° )’• лх г
Н = 1 sina = /~ . Площадь боковой поверхности 5бок = kRI. Окон-R
чательно запишем объем конуса:
V = -nR2H = -лЯ2 — = -KRlr = -S6r.
3	3 Я 3	3 6
Ответ:
11.078. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Выразить объем у цилиндра через площадь S' этого прямоугольника и длину С окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей.
Решение.
Искомый объем цилиндра находится как V = nR2H (рис. 11.70). По построению R = а, Н = Ь- Площадь прямоугольника S' = а • Ь RH.
Рис. 11.71
Рис. 11.72
Длина окружности
а
С = 2яг , где г = -. Тогда
С =	= ita = nR.
2
Тогда окончательно получаем V = nR • RH = CS .
Ответ: CS.
11.079. Доказать, что если два равных конуса имеют общую высоту и параллельные основания, то объем их общей части составляет 1/4 объема каждого из них.
Решение.
Пусть радиус основания каждого из данных конусов равен R, а высота равна Н (рис. 11.71). Тогда объем каждого конуса

nR2H . Общая часть состоит из двух конусов; ее объем
__	2 2»
И2 = -пг h , где г — радиус основания, h — высота. Рассмотрим осе-
вое сечение фигуры. Так как ЛО{ОА ~ ЛО^СВ, то А О : ВС = Ofi :
„	. Н	R „
или R.r-H th Но Л = —, откуда следует, что г = у . Итак,
Г2=-л — — = — nR2H = -Vi. 2 3	4 2 12	4 '
Что и требовалось доказать.
11.080. На основаниях цилиндра с квадратным осевым сечением построены два конуса с вершинами в середине оси (цилиндра). Найти сумму полных поверхностей и сумму объемов конусов, если высота цилиндра равна 2а.
Решение.
По построению Н = 2R (рис. 11.72). Эти конусы одинаковые. Площадь полной поверхности одного конуса: = 5бок	= яЛ/+яЯ2 .
Из ЬАВС 2l = 2j2R- Отсюда / = 5/2Я- Так как 2Я = 2а, то Sj = ла2 71 +ла2. А сумма полных поверхностей S = 2na2\j2 4-1)-
Объем одного конуса Vx = лЯ2Я = j ла3 • А сумма объемов конусов
V = -7W3 .
3
Ответ: 2ла2(>/2 +1); j”0’ •
11.081. Около конуса с радиусом основания R описана произвольная пирамида, у которой периметр основания равен 2р. Определить отношение объемов и отношение боковых поверхностей конуса и пирамиды.
Решение.
Пусть общая высота конуса и пирамиды равна Н (рис. 11.73). Обозначим объемы конуса и пирамиды через Vx и V2, а их боковые
1	2
поверхности — через Sj и S2 ; тогда Vx = ~nR Н ,	= nRl, где / —
образующая конуса. Найдем V2 и S2 . Так как периметр основания пирамиды равен 2р, а основание конуса— вписанная в основание пирамиды окружность, то площадь основания пирамиды равна pR, откуда И2 = ^pRH , S2 = pl (высота любой грани равна /). Итак, ^- = ~tiR2H:^-pRH = —, ^- = nRl: pl = — .
v2 3	3 p S2	p
nR Ответ:	.
P
Рис. 11.73
Рис. 11.74
11.082. Высота конуса и его образующая равны соответственно 4 и 5 см. Найти объем вписанного в конус полушара, основание которого лежит на основании конуса.
Решение.
Из ASOA: ЛО = Л = V25-16 =3 см (рис. 11.74). Объем искомого полушара V =|-яг3. Из ASBO: г2 + (5-х)2 =16. Из ЛАВО: х2+г2 =9.
Решив систему
г2+(5-х)2 = 16, г2+х2 =9,
получим х =
|. Тогда г = л/9-х2 =
12	2 123	1152
= — (см). Окончательно получаем V = —л—у =------п (см3).
5	3	5	125
Л 1132	3
Ответ: ----л см .
125
11.083. Определить объем шара, вписанного в правильную пирамиду, у которой высота равна А, а двугранный угол при основании равен 60°.
Решение.
Проведем сечение правильной пирамиды через апофему АВ и высоту ВС = Л, на которой лежит центр шара, вписанного в пирамиду (рис. 11.75). Шар касается боковой грани в точке К апофемы АВ.
Рис. 11.75
Тогда л В АС = 60° > Z.ABC = 30° • Из ЛВКО имеем sin30° = — = -;
г 1	1 » -г.	„	4	з	4	,	з
•7— = r, 2r = h-r,	r = -h. Тогда	Иш	=-лг	=—^ .
/7 — / Z	3	3	01
4 з
Ответ: ~nh • о 1
11.084. Конус и полушар имеют общее основание, радиус которого равен R . Найти боковую поверхность конуса, если его объем равен сЗъему полушара.
Решение.
2
Так как объемы конуса и полушара равны, то V = —nR*; с дру
гой стороны, V = -nR2h, где h — высота конуса, т.е. h = 2R • Имеем
S6oK = nRl, где / = у/R2 + Л2 = R^5 . Итак, 5бок = nR2^5 .
Отв^т: itR2j5.
11.085. В цилиндре площадь сечения, перпендикулярного образующей. равна М, а площадь осевого сечения равна N. Определить поверхность и объем цилиндра.
Решение.
Площадь осевого сечения 5сеЧ1 = Н 2R = N. А площадь сече
ния, перпендикулярного образующей, Sce42 = nR2 = М. Площадь полной поверхности цилиндра находится так:
S = $бок + 2S0CH = 2nRH + 2nR2 = Nji + 2М. Объем цилиндра можно най-
титак: V = nR Н = МН. Радиус основания B = J—, а высота цилиндра
V л
У TvVrc
Н = — = —Находим искомый объем цилиндра:
2R 2у/М
Njn N 24м ~ 2
V = M-
Ул/л.
АГ /---
Ответ: Nn + 2M; —*4 Мп.
2
П.086. В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен З2л/Зсм3.
Решение.
4 1 32
Объем шара Иш = у пг = — л (рис. 11.76). Отсюда г = 2 см. Объем
1	7
искомого конуса находится как Кк - — nRH. Так как AASB— равносторон-
аУз ~	12	/г
нии, то радиус вписанной окружности г =-. Отсюда а = -^ = 4<3 см.
6	уз
Радиус основания конуса Я=у = 2Уз см. Из tiSOBSO = H = = 7SB2 - OB2 = (4л/з)2 - (2л/з)2 =6 см. Окончательно получим: Кк = = |я(2>/з)2 -6 = 24л.
Ответ: 24л см3.
11.087. Доказать, что объем конуса равен 1/3 произведения боковой поверхности на расстояние от центра основания до образующей.
Решение.
Нужно доказать, что объем конуса
V = у*$бок г. Объем конуса
V = -пЯ2Н . Высоту конуса можно выразить как Н = Zsina из AS О А г	1г
(рис. 11.69). Рассмотрим &SOB; sina = — Тогда Н = — .Подста
вим в объем и получим
1 1г 1
V = -nR2 - = -nRlr . Но известно, что 3 R 3
*^бок =	• Тогда окончательно получим: V = у5бок г.
Что и требовалось доказать.
11.088, Даны шар, цилиндр с квадратным осевым сечением и конус. Цилиндр и конус имеют одинаковые основания, а их высоты равны диаметру шара. Как относятся объемы цилиндра, шара и конуса?
Решение.
*^оснц ^оснк j Нк ”	• Объем шара
4	,	4 з	1	2	2 з
Гш	= з‘я^ • Объем конуса Ук = Н = -kR , Объем ци-
линдра Кц = nR2H = 2яЯ3. Отсюда отношение:
Иц : Кш : Кк = 6:4 :2 = 3 :2 :1.
Ответ: 3:2:1.
11.089. Радиус основания конуса равен R , а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.
Решение.
Объем конуса находится как: у = ^nR2H (рис. 11.77). Длина дуги
nla nl „ v	» л/
сектора, с =	= — .С другой стороны, с - 2nR . Отсюда 2хк = — и
получаем / = 4R, где / — образующая. Тогда Н = v^R)2 - R2 = 715R.
Подставим и получим V = -у k715R3 =
VI5 п3
Ответ: ——nR .
3
11.090. Вычислить поверхность тела, полученного от вращения ромба площадью Q вокруг одной из его сторон.
Решение.
Площадь искомого тела:
‘$ = -$бокц+25’бок,он (рис. 11.78). Пло-щадь боковой поверхности цилинд
Рис. 11.78
ра находится как Збокц = 2rcR# . Высота цилиндра Я = я , а радиус
цилиндра R = asina- Отсюда 5б0Кц = 2rca2sina. Площадь боковой поверхности конусов (они одинаковые) S6oKk = nRl, где R = asina, а I = а. Отсюда 5боКж = па2 sina. Площадь ромба Q = a2 sina ♦ Окончательно получаем S = 4ла2 sina = 4л0 .
Ответ: 4nQ.
11.091. На отрезке АВ как на диаметре построена полуокружность с центром в точке О, а на отрезках О А и ОВ построены две полуокружности, расположенные в той же полуплоскости с грани-
цей АВ, что и первая. Найти поверхность и объем фигуры, которая образована вращением вокруг АВ фигуры, ограниченной этими тремя полуокружностями, если АВ = 20 см.
Решение.
Объем искомой фигуры равен: К = КШ1-2КШ2
4 _з где
(рис. 11.79). Так как ЛВ = 20 см, то =10 см. Тогда получаем
TZ 4000
ИШ1 = ~ з~ '71 • Так как Rx =10 см
т/ 4 оз 500	TZ 4000
Кь	=— it. Тогда V = —j-Tt-
то R2 = 5 см. Отсюда
п = 1000л см3. Площадь
искомой фигуры равна: S'= ,5Ш1 +25Шг. Площадь большей сферической поверхности равна: $ш =4тсЛ12 = 400л. Площадь меньшей сферической поверхности равна: 5Ш? = 4л7?2 = Ю0гс. Тогда
S = 400л + 200л = 600л см2.
Ответ: 600л см2; 1000л см3.
11.092. Треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вращается вокруг большей стороны. Вычислить объем и поверхность полученной фигуры вращения.
Решение.
Из АЛОВ (ОВ = 2\-х) R2 = 172-(21-х)2 (рис. 11.80). Из ЛАОС
(ОС = х) R2 = Ю2 - х2 • Решая систему:
R2 = 172 -(21-х)2, ,	,	, полу-
|Я2 = 102-х2,
ним ОС = х = 6 см, а 05 = 21-6 = 15 см. Тогда R - V102 -62 =8 см. Площадь большего конуса S6oKi = itRlx = л8 -17 = 136л см2. Площадь меньшего конуса £бок^ = nRl2 = л8 10 = 80л см2. Тогда площадь поверхности искомой фигуры равна: £ = S6oK( + S6ol<2 = 216л см2. Объем
большего конуса Vx = ^nR2Hx = ^л64 15 = 320л см3. Объем меньше-
Рис. 11.80
см3. Тогда объем искомой
го конуса У2 = лЯ2Я2 = | л64-6 = 128л
фигуры равен: У = Ух + У2 = 448л см3.
Ответ: 448л см3; 216л см2.
11.093. Найти отношение поверхности и объема шара соответственно к поверхности и объему вписанного куба.
Решение.
Пусть радиус шара равен R, ребро куба равно а; тогда
2 fflY Я2	_ 2Л
R - — = —, откуда а - —jr . Обозначим объемы и поверхности k Z у Л	У1J
4 з шара и куба соответственно через Ух, У2 и Sj, S2 . Имеем У\ = у лЛ , tz з 8Л^	-	-	-	<-
У>=а	5'1=4л/Г, S2 = 6а2 = 8Я, откуда Г1:Г2=л73:2,
S. :52 = л:2
Ответ: п:2', пу[3 :2•
11.094. Найти отношение поверхности и объема шара соответственно к полной поверхности и объему описанного вокруг него конуса с равносторонним осевым сечением.
23 М. И. Сканави, группа А
705
Рис. 11.81
Рис. 11.82
Решение.
4 з	11
Объем шара = —пг , объем конуса Ук = -nR Н (рис. 11.81).
Так как сечение — равносторонний треугольник, то г = ——. Отсюда 6
а ~	= 2>/Зг. д радиус основания конуса = =	 Высота конуса
I ,	а2 Г~2------2	-	Еш- 4гоЛз _4
H = Ja-----= vl2г - Зг	= Зг.	Отсюда	отношение тг - , , 2	“ о	•
V 4	ик ЗпЗг  Зг 9
Площадь сферической поверхности £ш = 4лг2. Площадь полной по
верхности конуса
$к = 5б0К + S0CH = itRa + nR2 = njir • 2>/Зг + Зкг2 = 9кг2 . Отсюда отно-
_ 4w2 _ 4
ШеНИе: ST"9^"9-
-4
Ответ: у* ~ Sk ~
11.095. Около правильной треугольной призмы, высота которой вдвое больше стороны основания, описан шар. Как относится его объем к объему призмы?
Решение.
4 з
Объем шара равен: Уш =—nR (рис. 11.82). Объем призмы равен:
Уп = S H . Площадь основания призмы равна: S = —-—, а высота
।
призмыН = 2а .Отсюда Ип = —-—.Рассмотрим ДЛ ОБ: ОБ = -Н = а ;
AB = r = —у- (радиус описанной окружности для равностороннего
треугольника).
Тогда R - 4аВ2 +ОВ2 = Ja2	• ТогДа
V 9	3 V3
Кп - Jyj • Искомое отношение:
Кш _ 4 • 8д3л • 2 _ 64л
K"3-3V3a3V3 ~~ТГ'
64л
Ответ:
11.096. Определить поверхность шара, описанного около конуса, у которого радиус основания равен R, а высота равна Л.
Решение.
Поверхность шара равна: Sm = 4лг2 (рис. 11.83). Сечение конуса — равнобедренный треугольник. Для него радиус описанной окружности г =	• Для &АВС S = ^AC BD = ^2R h = Rh. Стороны
ЛВ = ВС = 7я2+A2 ♦ Отсюда r = —
тельно получаем = 4л“-------
4h
h2
——L. Оконча-2h
„ п\К+п)
Ответ: ——z—L~.
h2
11.097. В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности конуса к поверхности шара.
Решение.
Рассмотрим осевое сечение конуса, которое пройдет через центр шара. Так как диаметр основания конуса равен образующей, то в сечении получим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. 11.84)).
Пусть радиус шара равен R; тогда АВ = Rjl, AD = -у- • Обозна-
чим полную поверхность конуса через , а поверхность шара — через
S2. Имеем S, =	• /?7з +
2	2
9	>	,
=	, S2 = 4лЛ , откуда
:S2 =9:16.
9 Ответ: —• 16
11.098. Боковая поверхность конуса вдвое больше площади основания. Площадь его осевого сечения равна Q. Найти объем конуса. Решение.
Объем конуса VK = ^nR2H (рис. 11.85). Площадь осевого сечения
1 >
Q = —2RH = RH . По условию S6oK = 2S0CH. Отсюда nRl = 2nR2 и
l = 2R- Из рисунка I2 = H2 + R2 = 47?2. Отсюда Ц = д7з > а также
Н = . Тогда = Л-Уз и получаем R =	. Окончательно полу
1
чаем: К = -nRH  R =
* з з t/з
3
Ответ: ^4^ kQ-JQ-
11.099. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Вычислить поверхность и объем полученной фигуры вращения.
Решение.
Искомый объем V = -2Ккон , а по-
верхность S' — +2SK0H, где , Ккон и 5’цил , 5К0Н — объемы и боковые поверхности цилиндра и конуса соответственно (рис. 11.86). Имеем Кцил=кг2й , где
Рис. 11.86
r = CK, h = AD = 3 см. Так как DK = j(AD-BC)=^ (см), а CD = 2DK = 1 (см), то СК = ylcb2 -DK2 =	(см)* Следовательно, Кщл = л • 3 = ^5 (см3), Икон = | п ~	(см3), отку-
да V = —,---- = 2л (см3).,Наконец, находим
4 4
S'tuvi =2itrh = 2л~*3 = 3л-/з (см2), SKOH = nrl = л*-^-*1 = ^^ (см2), откуда 5 = Зл>/з+л-Уз =4л-Уз (см2).
Ответ: 4я*Уз см2; 2л см3.
11.100. Высота конуса разделена на три равных отрезка, и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости, разбивающие конус на три части. Найти объем среднего усеченного конуса, если объем данного конуса равен у.
Решение.
Иуск = |+ S2 + <jslS2);	= л/?!2, S2 = itR2 , тогда получим,
что Иуск = ^-Лл(А|2 +R2 + RlR2) (рис. 11.87). По условию имеем
н	зи	зк	V
h =	, где Я = — =	, следовательно, А = —у. Получим, что
3	о	nR	nR
^с.к=|^(л,2+л22+ал)=7
э R	3
В
А
ол-
С
Рис. 11.87
7л, У а,а2 La J La J r2
ДВС\Е ~ ДВОС, то имеем
££ = ^l. А._з_. A = l Tak
ос BO’ r н ’ а з’
как ABO2F ~ \BOC, to
A2 2/3 Я A^ = 2 A ~
. Так как
Н
_v_( уск-3 13
, D - , , тогда
К j
if 72V 2'
3) +9
IV
27 •
Ответ: —.
27
11.101. Боковая поверхность конуса развернута на плоскости в сектор, центральный угол которого содержит 120°, а площадь равна S. Найти объем конуса.
Решение.
Пусть радиус основания конуса равен г, а его образующая , т	с 1,2 2л л/2	, |3S
равна /. Тогда площадь развертки о = -I • — = -у-, откуда у~-
и, следовательно, г
конуса найдем
по формуле
V = :~nr2h где h - 4l2 -r2 = J~~Y“ =	• Итак,
3	V л Зл V3re
V = 1 2 1^ = 2Sy^
3 Зл V3n 27л '
Ответ: 2S>/6nS/(27л).
11.102. Из медной болванки, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда размерами 80x20x5 см, прокатывается лист толщиной 1 мм. Определить площадь этого листа.
Решение,
Искомую площадь найдем по формуле S = К/й , где V — объем листа, h — его толщина (при этом форма листа значения не имеет). Так как объемы обоих тел равны, то V = 80-20-5 = 8000 (см3). Итак, 5 = 8000/0,1 = 80000 см2 = 8 м2.
Ответ: 8 м2.
11.103. Металлический шар радиуса R перелит в конус, боковая поверхность которого в три раза больше площади основания. Вычислить высоту конуса.
Решение.
4 з
Так как радиус шара равен R, то объемы тел равны уяЯ .
Пусть г — радиус основания конуса; тогда, по условию, 5бок = Зяг2 • С ДРУгой стороны, 5бок = кг/, где / — образующая
конуса. Поэтому / = 3Г, откуда А = J/2 _г2 = 2ri/2 > т е- г =	h •
1	12	1
Находим V = —лг2й = - л • —Л2 • h = — лй3. Из равенства 3	3	16	24
4 j 1	,3
улЛ =—лй получим h = 2RV4-
Ответ: 2Я^4.
11.104. В правильном тетраэдре построено сечение его плоскостью, проходящей через ребро АС и точку К, принадлежащую ребру SB , причем ВК : KS = 2:1. Найти объем отсеченной пирамиды КАВС, если ребро тетраэдра равно а.
Решение.
Vkabc - 'KN (рис. 11.88),
2ч/з
где S^bc =	♦ Так как ,
Рис. 11.88
TO BN .NO = BK :KS=2 A, откуда
BN = ^BO.\to BO = — ,r.e. 3	3
2а4з	„кт	dm2 /4л22а4б
BN = —-— и, значит, KN = vBK - BN = J—-— = —-— .
9	V 9	27	9
D
Рис. 11.89
Ответ:	л3л/2/18.
11.105. Ромб вращается вокруг своей большей диагонали, а затем вокруг меньшей диагонали. Доказать, что отношение объемов полученных фигур вращения равно отношению площадей их поверхностей.
Решение.
Пусть сторона ромба равна а 9
а его диагонали равны 2d{ и 2d2
(рис. 11.89). При вращении получается тело, состоящее из двух конусов. Обозначим объем и поверхность тела вращения вокруг диагона
ли АС через VAC и ВАС, а вокруг диагонали BD — через VBD и
2	2
SBd • Тогда Уде ~	’ $ас =	, Увя = уTtd2d\, SB£f = 2iuid2 .
Уде _ (2/3)tu/2J2 _	_ SAC
огда fafynd^di d2 SBD ‘
Что и требовалось доказать.
_______Решения к главе 12_ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР
1.	Площадь параллелограмма ABCD (рис. 12.1) можно вычислить по следующим формулам:
5 =
AC2-BD2 а
----~л--^А'’
4
(а)
Л Д2 — Л D2
S=“- tgZAOD,	(б)
где О —точка пересечения диагоналей АС и BD-
2.	Пусть известны длины Ь и с двух сторон треугольника АВС и угол А, образуемый ими (рис. 12.2). Тогда длина биссектрисы AD треугольника, проведенной из вершины этого угла, выражается
3.	Справедливы следующие соотношения между элементами шара и вписанного в него конуса:
/ = 2/?sina;	(а)
l2=2RH,	(б)
где R — радиус шара, / — длина образующей конуса, Н — его высота, a — угол между образующей и плоскостью основания.
Такие же соотношения справедливы и для вписанной в шар пирамиды, боковые ребра которой имеют длину / и составляют с плоскостью основания угол a.
4.	Пусть А& —боковое ребро пи
рамиды или призмы, АХО — его проекция на плоскость основания, ZB14<^ = a, Z(?44=P» ZBl4J2=y (рис. 12.3). Тогда справедливо равенство cosy = cosacosp.
Доказательство этих соотношений можно найти в любом издании данного сборника задач последних лет.
12.001. Сумма двух неравных высот равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине равен a. Найти боковую сторону.
Решение.
По условию АВ = А С , ААХ1ВС, ВВХ1А С, /ВАС = a, ААХ + ВВХ = /
(рис. 12.4). Пусть ВС = а . Из ЛАА1С имеем А 4 = у ctg у, А С =
а из ДВВ^С находим ВВ{ =asin[ — - — j = acos— . По условию
/	\	tg —
-ae-+a<x,s- = l. ^ctg^ l + 2sin^ =/, a =--2— Получили
2	2	2	2	V	l + 2sin5
I
l______
.Ina} о • л+а л-За sin--+sma 2 sm—-—cos—-—
12 2 J	4	4
_______I_______
Ответ: 2 sin	cos— —
4	4
12.002. Угол при основании равнобедренного треугольника равен a. Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
Решение.
По условию АВ-ВС, ^ВАС-Z-BCA-a. Пусть АС = х, тог-
да из ДАЕО, ХАЕО-9^ имеем OE = r-— tg— (рис. 12.5), где 2 2
г — радиус вписанной окружности. Из &АЕВ ЛАЕВ = 90° име-
>4 F* у
ем, что АВ =------=-----. Рассмотрим ^ВК(\ , АВКО,-90\
cosa 2cosa
©л D ВК	п „ АВ х
ВО. =R =---——; в К =----=------ (Oi — центр описанной ок-
cosOq	2 4cosa 1
ружности). ЛАВЕ = 90°-а, тогда ВО. = Л =-----------7-----? =
4cosacos(90°-a)
х	г xtg~'2sin2a
=----------. Следовательно, — =---2----------= tg—• sin 2a.
4cosasina	R 2x	2
Ответ: tg у sin 2a.
12.003. В ромбе через вершину острого угла, равного a, проведена прямая, делящая этот угол в отношении 1:2. В каком отношении эта прямая делит сторону ромба, которую она пересекает?
Решение.
п	АЛВЕ 1	2	. ос
Пусть ZABC = а и = -, значит ХЕВС = -а, ХАВЕ = —, Z.2SjdC 2	э	э
ZDBC =	= - > ХЕВМ = ХЕВС - XDBC = --- = - (рис. 12.6).
2	2	3	2 6
Из подобия \ADO ~ &EDM следует ^p__DO_ Так как
ED DM
AD = ED + AE,то — = ^--1 .Обозначим АВ = ВС = CD = AD = х  ED DM
Из taCOD ZCOD = 90°, XODC = a/2, OD = DC cos^- = x cosy ,
BD=2DO = 2x"CoS'—. Из \BME , ZBME = 90°, EM = BM t&^ . 2	6
Рассмотрим дел/D, /ЕЛ/л=9П°. DA/= ЕЛ/ctg^, DA/=EA/tg—ctg^, 2	6	2
где BM=BD-DM, тогда DM = (BD-DM\i%-ctg-- Получили,
6	2
ЧТО ----i---
oc	a
tgvctg-
O	2
л»	ОС
2xcos—
=------
DM
BD-DM	1
------, где BD = 2x ♦ cos — . Тогда -
DM	2	<ctg^
О 2
DM =
_ a	a a
2xtg—ctg—cos—	AE * 1
----2---------к.. Следовательно, -
, , t a t a	ED
1 + tg-ctg-О 2
Рис. 12.6
Рис. 12.7
at.	а	а
х-cos-- 1 + tg-ctg-2 \	О	2
л а а 2xtg-ctg-О 2
, (х	а .а	а	. а	а
1-tg—ctg— sin— • cos sin— • cos—
_ i =	6	2	=	2	6	6	2 .
•cos— 2tg— ctg— 2sin—cos— 2	6	2	6	2
Ответ: cos—: cos—.
6	2
12.004. В квадрате ABCD через середину M стороны АВ проведена прямая, пересекающая противоположную сторону CD в точке N. В каком отношении прямая MN делит площадь квадрата, если острый угол AMN равен а? Указать возможные значения а.
Решение.
ABCD — кыщрп. М е АВ. МА = MB. ZAMN = а, Ne CD (рис. 12.7);
требуется найти S^MND:	Пусть АВ = а; тогда
е MA+ND a+2ND „ MB+NC ^+а~^ ^AMND------~ а-------7	°’ SBMNC~--Z-----а~-----~----а ~
2ND S~amnd _ а + 2ND ЦрОведем	низ &MEN име-
4 SBMNC За-2ND F	11
ем ME = a ctg а. Отсюда ND = МА - ME = — - a ctg а=-—2flCtga . Значит, 2	2
Samnd = а+ а-2аctga _ 1-ctga _ tga-1 $BMNC 3a-a + 2actga 1 + ctga tga + 1
л tga-tg—
4
«	.	. Л
1 + tgatg-
4
Наименьшее значение угла a достигается в случае совпадения точки Nс вершиной D\ тогда tg a = a: (а / 2) = 2. С другой стороны, a < л / 2. Итак, arctg 2 < a < л /2.
।	л)
Ответ: tg a— ; arctg2 < a< л/2. k J
12.005. Высота равнобедренной трапеции равна h, а угол между ее диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти среднюю линию трапеции.
Решение.
По условию в равнобедренной трапеции ABCD имеем: АВ = CD, BB{LAD, ВВ{ =h, ACC\BD = O, Z.COD = a (рис. 12.8). Так как ZCOD — внешний угол равнобедренного треугольника AOD, то Z.OAD = Z.ODA -= ^. Далее, имеем B}D = ED + B}E = ^AD + ^BC = ^(AD +ВС) = MN,
где MN—средняя линия трапеции. Из ABB^D получим B|D = S5jCtgy =
, <Х
= Actgy.
Ответ: Actgу.
12.006. В прямоугольном треугольнике даны его площадь S и острый угол а. Найти расстояние от точки пересечения медиан треугольника до гипотенузы.
Решение.
В прямоугольном треугольнике АСВ имеем: Z.ACB - 90°, Z.CAB = а,
SMBC =5’ АВ\ =В\С и АС\ =С1В, ВВ\ ПСС1 (Рис- 12*9)’
Рис. 12.8	Рис. 12.9
A
нужно найти расстояние от О до АВ. Проведем CD1AB и положим
__	h __ h h
CD = h Ai3AADC vt&CDB находим AC =-,CB = —----r =-----.
sina sin|?-a] cos“ j	A2	___ '
Так как 5 = - AC  ВС =	, to h = VSsin2a • Проведем OF^AB ,
OFf\AC = F, OFC\CB = E uOFQCD = K.Таккак ACKO ~ ДСРСр
_ ОС -	2	1 VSsin2a
to ~	“ j , откуда СК = -jCD, a KD = ~^CD =-j------это
и есть расстояние от О до АВ, поскольку О е ЕЕЦаБ .
Ответ:
-•JSsmla. 3
12.007. В прямоугольник ABCD (ЛВ||С1>) вписан треугольник AEF. Точка Е лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD • Найти тангенс угла EAF, если АВ: ВС = BE: ЕС = CF :FD = k  Решение.
По условию	= к (рис. 12.10). Обозначим AD = ВС - х,
ВС ЕС FD
ВС х тогда АВ = DC = кХ-ВС = ВЕ+ЕС = кЕС+ЕС'ОКЮдаЕС=——=——, 1+к 1+к
BE = -^~. DC = FC+DF = kDF+DF,тогда DF = ^-, FC = ^~. l+k	l + k	l+k
ZFAE = ZDAE - ZDAF , ZDAE = ZBEA (ВС||ЛР, AE — секу-щая), отсюда /FA e = /BE A - /DA F . Получили, что tgZF4E = = tg(z.BEA-ZDAF} = t&^BEA-tgZDAF Рассмотрим &ADF,
v	’ 1 + tg ZBEAtg ZDAF
ZA DF = 90° > tgZDAF = ^- = 7-^- = -^-H3 &ABE, ZABE = 90°> AD + l+/c
, . к
1 J. If __ tg ZBEA=	=1+к. Окончательно tgZFAE=-?—1±^— =
Ы)2 •
Л2+Л+1
12.008. В параллелограмме co сторонами а и Ь и острым углом а найти тангенсы углов, образуемых большей диагональю параллелограмма с его сторонами.
Решение.
Влвсв = a b sma (рис. 12.11)и SABCD =2 Ssacd = AC CD sinZACD; получили, что absina = a-ACsinZACD, ZADC = 180’-ct > AC2 = a2 +b2 -2ab cosZADC (по теореме косинусов). Отсюда AC = ->la2 +b2 +2af>cosa > b sin a = Va2 +Z>2 +2aZ>cos a sin ZACDi
_______dsina_____
sinZACD = ~ I 2 , ,2 7~7	• По
Va +b +2af»cosa
теореме косинусов находим, что
AD2 = AC2 +CD2 -2АС CD cosZACD
Рис. 12.12
cos ZACD =
2a2 +2aZ>cosa 2a-Ja2 +b2 +2ab •cosa
,Asina ya2 +b2 +2aAcosa Asina tg ZA CD = .	• -------------=--------
Va2 +b2 +2aAcosa a+Acosa a+Acosa
tg zbca=tg(zB/ip - zacd)= WAD~4^i) =
6	V	' 1 + tgZBADtgZACD
Asina
_ ga a+Acosa	asina
. , ^sina b+acosa'
1 + tga-----
a+Acosa
Asina	a sin a
Ответ: ----;----; -------.
a + Acosa A+acosa
12.009. Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине равен a. Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.
Решение.
Имеем АВ=АС, ВС = а, ZBAC=a, ZABB{=ZBlBC
(рис. 12.12). Тогда ZABC = ZACB = у-у,	=
/ddt (к a п п За
- л-1 — - —+—I- — + — # Из ЬВВХС по теореме синусов
а acos-
находим ——- = —  ---------- , тх. ВВ^ = —т-
. f л а ]	. (л За)	c;JK.L3al
sin --—	sin —+—	sm Т+“Г
(2 2 J 14 4 J	И 4 J
Ответ:
a acos— _______2
• (	3a Y
sin 45 +—
k	4 )
в
Рис. 12.13	Рис. 12.14
12.010. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым углом а при основании. Найти периметр этой трапеции.
Решение.
По условию ABCD — трапеция, АВ = CD, О — центр вписанного в трапецию круга, OE1AD, OE = R, ABAD = а, а<л/2 (рис. 12.13); нужно найти PABCd = AD + 2AB + BC. По свойству описанного четырехугольника AD + ВС = 2АВ и PABCd =	• Проведем В£||ОЕ; тог-
да ВК = 2ОЕ = 2R. Из кВ КА находим АВ - и PABCd = “т—" • sina	sina
8Я
Ответ: ~— • sina
12.011. Доказать, что во всяком треугольнике разность между суммой квадратов любых двух его сторон и произведением этих сторон, умноженным на косинус угла между ними, есть для данного треугольника величина постоянная.
Решение.
Пусть АВ-с, ВС = а, А С = b. Соответственно ABAC = а, АВСА = у, ААВС = $. Обозначим dx-a2 +b2-ab cosy, d2 =а2 +с2-accosp, d3 = с2 + b2 - ей cos a . По теореме косинусов с2 - a2 +b2 -2abcosy, b2 = a2+с2-2accosp, а2 =с2 +b2 -2c6cosa- Тогда dx =с2 +aZ?cosy, d2 = b2 +accosp , d3 = a2 +bccosa, dx + d2 = b2 +c2 +tf(6cosy + ccosp)=
= b2 +c2 +a(CE + BE} = b2 +c2 +a2 (рис. 12.14). d2+d3-b2+a2 + + c(acos0 + frcosa)=/>2 +a2 + c(BF + AF}= b2 + a2 + c2, d3 +dt =a2 +c2 + + b(c cosa+a cosy) = a2 +c2 +b(CM+AM}=a2 +c2 +b2 . Следова
тельно, dt +d2 = d2 +d3 = d3 +d{. Откуда d{=d3, d3=d2, значит, dx =d2 = d3 = a2 +b2 +c2. Что и требовалось доказать.
1X012. Даны стороны а, Ь, с и d четырехугольника, вписанного в окружность. Найти угол, заключенной между сторонами а и Ь • Решение.
Так как ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность, то ZB+ZD = ZA+ZC = 180°  Из ABCD по теореме косинусов
BD2 = а2 +b2 -2af>cosZC-H3 ABAD BD2=d2 +с2 -IdccosAA Orao-№ d2 + c2+2dccosC = a2+b2-2abcosC (рис. 12.15). 2(ab+dc)cosC =
= a2 + b2 - If/2 + c2), cosC=), AC=arcco: 2(ab+dc}
Ответ:
arccos
ZT2 _1_ A2 z72	^2
a +b —a —c
2(ab+dc)
12.013. Отношение площади прямоугольного треугольника к площади квадрата, построенного на его гипотенузе, равно к • Най
ти сумму тангенсов острых углов треугольника.
Решение.
В ДЛСВ Z.ACB = 9V  Пусть ZG4B = a, ZABC=p, тогда tga + tgp = ——а+^ =-------. (a+0=90°). Обозначим AB = BF =
cosacosp cosacosp
.	.	„ Saacb AC • BC
=EF=AE=x (ABFE — квадрат) (рис. 12.16).	= ——5—;
Sabfe 2xl
AC = ЛВ-cosa, CB = ЛВ-cosp, тогда ^св = *2 cos a • cos 0.	= k
$ABFE x '2 $ABFE
1 1
(по условию). Имеем, что - cosa.cosp ° Следовательно,
tga + tgp = -!-. 2k
Ответ: tga + tgp = —.
12.014. Площадь прямоугольной трапеции равна S’, острый угол равен a. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему основанию.
Решение.
По условию ZCB/4 = 90°, Z^Z>C = a, AC = AD- SABCD=S, o BC + AD t	, 2S	2S
тогда S =---------h , откуда h =--------=------------
2	BC + AD AD-ED+AD
(рис. 12.17). Из &CED, ZCED = 90°> ED = h ctga. Из ЛАЕС
ZAEC=9W, ZC/l£ = 180°-2a (AC = AD\ AC = -^—, тогда sin 2a
. 2S . 2 h . cosa ’ ---------------Л —-- 2 sina cosa sma
!2 = 2Ssinacosa>/i = ^^ sin2 a
Ответ: y/lSdga.
12.015. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол a. Найти отношение радиусов этих окружностей.
Решение.
Пусть R, г — радиусы двух внешне касающихся окружностей, Z0p4C = a. R = O{E+EC, EC = r (О{С1АС, О2В1ЛС, О2Е1АС) (рис. 12.18). Из SO2OiE, Z.O2EOl=9tf, ZX\O2E = = ZOtAC =а; имеем О\Е = О{О2 sina, ЦО2=г+Л; тогда Q£ = (/?+r)sina, значит, £ = r+(A+r)sina, 7?(l-sina)=r(l+sina), R 1+sin a	2(n a A
r 1-sina	^4 2)
2( л a'I
Ответ: CU> I у I-
12.016. Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла, равны Л, и , а угол между ними равен a. Найти большую диагональ параллелограмма.
Решение.
По условию BF1.CD, BF = h1, BE1AD, BE = h{, Z.EBF = a. Тогда ZABF = Z.CFB = 90’ (ЛВ||С/)Х ZABE = 9Q°-а. Из АВЕА ZBEA = 90‘ • ^£ = A1tg(90’-a)=A1ctga (рис. 12.19). Из &BFC £BFC = 99°, CF = h2ctga, AB = CD = -^~, BC = AD = ^-, sina	sina
o i-r	^2 Л,+Л12 4-2A.A2 cosa
ZD = 180 -а- По теореме косинусов АС= —-------1,
sin a
+ Л,2 +2^*2 cosa следовательно, A C =	5.
sina
Л ч/й?+Й.2+2A|A,cosa
Ответ:	—2------12------.
sina
12.017. Диагональ прямоугольника равна d и делит угол прямоугольника в отношении т: п . Найти периметр прямоугольника. Решение.
По условию ABCD—прямоугольник, AC=d, = — (рис. 12.20). ЛА CD п
п	л л . . тп
Так как ZBCD = — , то тх + пх = — х = т/---\J ^АСВ = -?——т
2	2	2(т + п)	2\т + п)
ZZCD = > Ж--Л . Из ДАВС и ДА DC находим ВС = Jcos	ч ,
2(т + п)	2{т + п)
	1 ИЛ ~	т>	л! I /ИЯ I ия 1
DC = dcos—7--г. Отсюда Pabcd = 2 “COS77----г+«cos-?------v =
2(m + n)	ABCD V	2(т + л)	2(m + «)J
. , л л(т-п) Л гг, л(т-п)
= 4dcos—cos -7---( = 2yl2dcos -7-(.
4	4(m + n)	4(w + n)
_ rr , л(т-п}
Ответ: 24/2Jcos—у-----г.
4(т + и)
12.018. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к . Найти углы трапеции и допустимые значения к .
A
Рис. 12.22
Рис. 12.21
Решение.
CD ,
По условию - Обозначим ZBAE = a (рис. 12.21). Имеем ВС
BC + AD = 2AB,a AD = ВС+2 АЕ, тогда ВС+АЕ=АВ, —+—= 1-АВ АВ
Из ДВЕ А {ХВЕА- 90’) имеем АЕ = АВ cosa, AB=CD, тогда
—+cosa = l, a = arccos-,
к	к
ZABC = ZBCD = я - a = л -
к-1 arccos----
к
Возможные значения к находим из системы
=> ЛИ-
Л-1	к-1
Ответ: arccos-— и я-arccos-—; jfc >1. К	К
12.019. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол между медианами, проведенными к его боковым сторонам, равен а. Найти основание.
Решение.
Имеем АВ — АС > $&лвс —	— В^С, АС\ — С\В, ВВ^ ПCCf — О,
ZBOC = а (рис. 12.22). Тогда -Удвос =	, так как высо-
1
та ДВОС, проведенная из О, равна ~ высоты ДАВС, проведенной из а  Находим площадь ДВОС:
• I Ct |	| Л Ct ]	-л	Ci	r\	(V
BC sin —-— sm —-— BC2 cos2- BC2cos-
c _	2J \2 2J	2 _	2 _
~------------------------------=----------=
2sma	2sma A • a
4sm—cos —
2	2
BC2ctgy	BC2ctgy ,	4Stgy
	Итак, 	— = — S, откуда BC1 =-— =t>BC = 4------------------------------------------4-3	3
"4
3
Stg^
Ответ: 21-----
V з
12.020. В сегмент, дуга которого равна а, вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги, а две другие лежат на хорде. Площадь треугольника равна S. Найти радиус дуги сегмента.
Решение.
По условию Z-АВС = ot (рис. 12.23). Пусть ЕМ = MF = EF = а, с с	е а24ъ L .лг, аЛ	Л 2Л
S&EMF - тогда 5 =---------; п = МО ------; отсюда а = —?=, значит,
S.i*22^=‘; R = BO+OM = R-cos-t-tA/sS, откуда R= .
3 4 V5	2	2sin22
4
Ответ: —------.
о ♦ 2 a 2 sin —
4
12.021. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а, радиус вписанного круга равен г. Через вершину угла при основании и центр вписанного круга проведена прямая. Найти отрезок этой прямой, заключенный внутри треугольника.
Решение.
Имеем АВ = АС, О — центр окружности, вписанной в ДЛВС, ZABC-a, ODLBC, OD = r, ВО НАС = (рис. 12.24). Так как
Рис. 12.23	Рис. 12.24
ВВХ —биссектриса ХАВС9 то ZJ?XBC = у, а АВВ^С = я-у1. Из &ODB
а
получаем ЯР = г ctg у. Так как D — точка касания основания ВС равно
бедренного треугольника АВС с окружностью, то ВС = 2BD = 2 г ctg у.
В &ВВХС по теореме синусов имеем
ВВХ 2rctg 2 sina . ( 3a sin я------------
I 2
т.е.
o . a .	.	2 a
2rctg —sina 4rcos —
ад =------\----=-------=-2-.
1	.3a	.3a
sin— sin—
2	2
A 2 Ct 4rcos —
Ответ: ----——
Рис. 12.25	Рис. 12.26
12.022. Найти угол треугольника, если известно, что стороны, заключающие этот угол, равны 1 и 3, а биссектриса угла равна 0,75>/з.
Решение.
В ЛЛ5С имеем: АС= 1,ВС=3, ЛАСС1=ЛВССХ, СС{ = 0,75л/3; тре-буется найти ZACB (рис. 12.25).
1	~ 1 2aftcos(C/2) ,
Воспользуемся формулой 1С =-----------(см. «Некоторые соотно-
а + Ь
С
шения между элементами фигур», с. 713). Выразив отсюда cos—, имеем
С 1Да + Ь) cos — = —----
2 2ab
или, после подстановки значений а = 1, b = 3, 1С = 0,75^3, находим
С зТз-4 л/з cos — =------= —.
2	4-21-3	2
С
Следовательно, у = 30°, откуда С= 60°.
Ответ'. 60°.
12.023. В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол а при основании. Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.
Решение.
Имеем АВ = АС, ВС = а, ZABC = a, ABi=BlC (рис. 12.26). В
АС ВС
М.ВС по теореме синусов находим sin(X “ sinUQ» _2а] =*
a sin а а sin2а 2cosa'
Проведем AiBl ||ВС. Из ДВДД получаем
AiBl=^BC = ^, ВА,=^АВ = ^АС = —^—, ZB,A,B = 180°-а и по
2	2	2	2 4cosa 1 1
теореме косинусов
л2	л2	л2	/	\
ВВ% = —+—--------2—-—cos(180° -а =
4 16cos2a	8cosa	'	'
a2 a2 a2 a2 tacos2 а+1)
=---1-------1----= —-------- •
4 16cos2a 4 16cos2a
ВВХ =^l8+-L-=^y/9+tg2a.
4 V cos а 4
Отверг: —-J^ + tg2».
12.024. Найти отношение периметра трапеции, описанной около окружности, к длине этой окружности, если углы при большем основании трапеции равны аир.
Решение.
По условию ABCD — трапеция, описанная около окружности,
ZBAD-ql, ZCDA = $. Пусть R —радиус вписанной окружности.
Длина окружности / = 2лЯ (рис. 12.27). Р = БС + ЛЛ + ЛВ + С£>,
2©
bc+ad=ab+cd, 2(ab+cd)=p. Из ABFA ZBFA = 90°, АВ--
sma
Из bCED ZCED = 9O’> CD = -^~  Тогда P = 4/?|-Д-+-Д—j; sinp	Iosina smpj
. . a+p a-P
P 2(sina+sinp) 4sm—cos—
/ rcsinasinp rcsinasinp
. a+p a-p
4 • sm   cos ——
Ответ: -------2------2—.
я-sinasinp
12.025. В прямоугольном треугольнике АВС острый угол А равен а радианам. Дуга окружности с центром в вершине прямого угла С касается гипотенузы в точке D и пересекает катеты АС и ВС соответственно в точках Е и F. Найти отношение площадей криволинейных треугольников ADE и BDF.
Решение.
По условию в ЬАСВ ZACB = 90°, ZCAB = a (рис. 12.28). Обозначим АС = х Из &ADC, ZADC = 90°, CD = xsina, тогда SCed =-x2sin2a-f^-al (т.е. Z.ACD = —-а);	=	5	=
2	12 J	2	2
2 • 2 1 тс 1
„	э	x sin a--a
x2cosasina- c _c c -x cosasina	\2 J
=----------> °4Z>£ “	“ °C£D-------Z	Z	•
2	2	2
x2
Из ACDB, ZCDB = 9Q°, DB = xsinatga, S&CDB = — sin2atga,
о 1 2 • 2	„	„	„ x2sin2atga x2sin2aa
$CDF ~ 2 x Sln a ’a ’ $DFB ~ S&CDB ~ $CDF ~	»
sdfb _ sin2a(tga-a) tga-a ^AED sin2a| ctga-^+a | ctga-^+a • V 2	)	2
tga-a
Ответ: -----------•
ctga- —+a
Рис. 12.29
12.026. В параллелограмм со сторонами а и Ь (а<Ь) и острым углом а вписан ромб; две е