= У <хо)
BL. О
RbSOf
III. А. АЛИМОВ, A. P. ХАЛМУХАМЕДОВ
M. А. МИРЗАХМЕДОВ
АЛГЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 8 КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ШКОЛ
Утвержден
Министерством народного образования
Республики Узбекистан
ИЗДАТЕЛЬСКО-ПОЛИГРАФИЧЕСКИЙ
ТВОРЧЕСКИЙ ДОМ ,,O‘QITUVCHI“
ТАШКЕНТ - 2006
Условные обозначения
— начало и окончание решения задачи
— начало и окончание обоснования математического утверждения
— занимательные задачи
О
— текст, который важно знать и полезно запомнить
Проверьте! — самостоятельная работа для проверки знаний по основному
себя! материалу
— тестовые задания
— исторические задачи
— исторические сведения
Учебник издан за счет бюджетных средств для ОБОРОТНОГО
ФОНДА УЧЕБНИКОВ (ОФУ).
43060205002 - 46
А----------------бл. - заказ — 2006
353(04) - 2006
ISBN 5—645—04563—7
© ИПТД ,,O‘qituvchi“, перевод
с узбекского, 2006
ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА, ИЗУЧЕННОГО В КУРСЕ
АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА
В курсе алгебры 7-го класса вы познакомились с алгебраическими
выражениями, уравнениями первой степени с одним неизвестным,
одночленами и многочленами, способами разложения многочленов на
множители, алгебраическими дробями.
Для закрепления пройденного материала вам предлагается решить
следующие примеры и задачи.
1.	Найти числовое значение алгебраического выражения:
1)	5 = 2(ab + ас + be), где а = 5, b — 4, с = 10;
2)	V = |(л2 + b2 + ab), где h = 12, а - 10, b = 8;
3)	S - гДе о = 10, b = 40, п = 16;
4)	V = {-abh, где а = 30, Ь= 20, h = 25.
2.	Раскрыть скобки и упростить:
1)	7п-(5а + 46);	3) -{2а - ЗЬ) - (-а + ЗЬ);
2)	9х - (7у - 4х);	4) 8х - (Зу + 5х) - {-2у - х).
3.	Тормозной путь (в метрах) автомобиля, движущегося со скорос-
тью v км/ч, вычисляется по формуле: 5 = - v + ^u2.
Вычислить тормозной путь автомобиля, если: 1) v = 54 км/ч;
2) и = 63 км/ч; 3) и = 90 км/ч; 4) v = 100 км/ч.
4.	За каждый правильный ответ по математике начисляется к, анг-
лийскому языку — т, родному языку и литературе — п баллов
соответственно. Надира правильно ответила на а вопросов по ма-
тематике, Ь — по английскому языку, с — по родному языку и
литературе:
1) составить выражение для подсчета общего числа баллов, на-
бранных Надирой;
2) сколько баллов она набрала, если а ~~ 35; Ь = 34; с = 36; к = 3,1;
тп = 2,1; w = 1,1?
3
5. Решить уравнение (5—6).
1) 2х + 15 = Зх-11;
2) 7 - 5х = х - 2;
6.1) 3,2х + 1,8х = 6х - 3,5;
2)	7,5х - 2,5х - 7х -10;
3)	2(х - 3) = 3(2 - х);
4)	-3(4 - х) = 2(х - 5).
3) 0,5(0,4х-8) = 5(0,2х- 1)
4) 2,4(5х-3) = -0,8(10 -5х).
7.	После того как турист прошел 3 км и еще - оставшегося пути, он
подсчитал, что до половины намеченного пути ему остается прой-
ти еще 1 км. Какой путь он наметил пройти?
8.	Кусок проволоки длиной 9,9 м разделили на две части. Найти
длину каждой из частей, если:
1)	одна из них короче другой на 20 %;
2)	одна из них длиннее другой на 20 %.
9.	1) Одно число составляет 45 % второго. Найти эти числа, если одно
из них больше другого на 66.
2)	Одно число составляет 30 % второго. Найти эти числа, если
одно из них меньше другого на 35.
10.	Из одного села в другое отправился пешеход со скоростью 4 км/ч.
Через 2 ч следом за ним выехал велосипедист со скоростью
10 км/ч. Во второе село он прибыл на 1 ч раньше пешехода. Най-
ти расстояние между селами.
11.	Вычислить:
3-4|0-5-219	23 (4-3|5-7-314)	2,5о16
1)	215	>	2)	316+5.315	’	*) 47,fll5 •
12.	Записать одночлен в стандартном виде и вычислить его числовое
значение:
1)	Ьа8ас, где а = у, b = -3, с = 2;
2)	У’ где х = 3, у = -.
4
13.	Привести многочлен к стандартному виду:
1)	1,lab + 0,8ft2 - 0, lab + 2, lb2 + 2ab\
2)	Зя22я2 + 3ft24fl2 - la2Sb2 - 3a2ab2 - а32а.
Выполнить действия (14—15).
14.	1) (За2-lab-b2)-(2a2-3ab-2b2);
2)	(7 а2 - 13ab + 10ft2) + (-Зя2 + ЮяЛ - 7ft2);
3)	(а2 + 3ab - b2)  ab;
4)	abc • (2а2Ь - ЗаЬс).
15.	1) (х + у)(а - Ь);	3) (а2 - b2 )(а + ft);
2)	(а - ft + с)(а - с);	4) (а - 3)(а -2)-(а- 1)(я - 4).
16.	Упростить выражение:
1)	4я3 : а - (2а)2 + а4 : Зя2;
2)	(5я4 + |я3): а2 - (4я3): (2я) + (2я)2;
3)	(0,1ft4 - 2ft3 + 0,4ft2 + 0,02ft): (0,1ft);
4>
Разложить на множители (17-18).
17. 1) 5я2 - 15я4 +10я6;
2) 9я3 + 12я2 - 6я;
3) а(х + у) - Ь(х + у);
18. 1) ay + zy - lap - 2zp;
2) Sac - 6bd + Sad - 6bc;
4)	(x — 1) — я(1 - x);
5)	4(я-3) + я(3-я);
6)	я2(1 - я) + 4(я -1).
3) я(5я - 4ft) - 10я + 8ft;
4) 4ab - 6cd - Had + 2bc.
5
19. Вычислить:
1) 492 + 51-98 + 512;	532-53  94 + 472 .	
		532 - 472
		1833 -933
2) 582 -116 - 33 + 332;	5)	1832 +183-93+932 ’
192+38-11 + 112 .	z?\	43,732 - 43,73-56,27 + 56,272
3)	192_И2	’	6)	43,733 +56,273
Выполнить действия (20—21).		
2	5	15Z>		1 1
1> 2a + 3b 2a-3b	4а2-9Л2’	3)	(а-2)2 (а + 2)2 ’
а-2	а		4а + 3	4а-3	1
2> а2-1	(а-1)2 ’	4)	4а-3	4а+ 3 ' 16а2-9
4а3Ь2	9с2		18а2/»3 . 24аЬ .
Z1- М 18с3	8а2*3’	3)	7c2d ’ 14cJ2 ’
12a2b3 15аЬ		45a4Z>2 9a3b2
2) 5аЬ2 9а3Ь2 ’	4)	49c3J2 ' 14cJ
6
Глава! ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
§ 1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
НА ПЛОСКОСТИ
Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые:
одну — горизонтально, вторую — вертикально (рис. 1). Их точку пе-
ресечения обозначим буквой О. Выберем некоторый отрезок в каче-
стве единичного отрезка (его длина определяет единицу длины) и за-
дадим на каждой прямой положительное направление: на горизон-
тальной прямой слева направо, на вертикальной прямой снизу вверх,
превратив их тем самым в (числовые) оси.
Горизонтальная ось обозначается Ох и называется осью абсцисс,
вертикальная ось обозначается Оу и называется осью ординат.
Оси абсцисс и ординат называют координатными осями, их точ-
ку пересечения — началом координат. Точка О является началом
отсчета на каждой из осей координат.
Таким образом, на оси абсцисс положительным числам соответ-
ствуют точки, расположенные справа от точки О, отрицательным чис-
лам — точки, расположенные слева от точки О. На оси ординат поло-
жительным числам соответствуют точки, расположенные выше точки
О, а отрицательным числам — точки, расположенные ниже точки О.
РЕНЕ ДЕКАРТ (1596—1650)
— французский философ, математик,
физик и физиолог. С его именем связа-
но использование прямоугольной сис-
темы координат на плоскости.
7
о
Две взаимно перпендикулярные прямые с выбранными направ-
лениями и единицей длины образуют прямоугольную систему
координат на плоскости.
Плоскость, на которой выбрана система координат, называется
координатной плоскостью.
Прямые углы, образуемые осями координат, называют коорди-
натными углами {квадрантами) и нумеруют так, как показано
на рисунке 1.
Пусть М — произвольная точка плоскости (рис. 2). Опустим из
точки Л/перпендикуляр на ось абсцисс.
Число х, соответствующее основанию этого перпендикуляра, на-
зывается абсциссой точки М.
Опустим из точки М перпендикуляр на ось ординат. Число у,
соответствующее основанию этого перпендикуляра, называется орди-
натой точки М.
Абсциссу и ординату точки М называют координатами точки М.
Запись М (х; у) означает, что точка М имеет абсциссу х и ординату у.
Например, в записи Л/(3; 5) число 3 — абсцисса, число 5 — ордината
точки М.
В записи координат точек порядок чисел имеет существенное зна-
чение. Например, точки Му (1,2) и М2 (2; 1) — различные точки
плоскости (рис. 3).
Рассмотрим частные случаи:
Рис. 1	Рис. 2
8
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю.
Например, точка А на рисунке 4 имеет координаты (2; 0).
Если точка лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю.
Например, точка В на рисунке 4 имеет координаты (0; -2).
Начало координат имеет абсциссу и ординату, равные нулю:
0(0; 0).
Рис. 3
Рис. 4
Каждой точке Мна координатной плоскости соответствует един-
ственная пара чисел (х; у) — ее координат, и обратно, каждой
паре чисел (х; у) соответствует единственная точка М коорди-
натной плоскости с координатами (х; у).
Задача. Построить точку М(-3; 2).
Д На оси абсцисс отметим точку с
координатой —3 и проведем через нее пер-
пендикуляр к этой оси. На оси ординат
отметим точку с координатой 2 и прове-
дем через нее перпендикуляр к оси орди-
нат. Точка пересечения этих перпендику-
ляров — искомая точка М (рис. 5). ▲
9
Упражнения
1.	Назвать абсциссу и ординату точки и построить ее: (1; 0), (4; 0),
(0; -2), (-6; 0), (0; -7), (0; 0).
2.	Найти координаты точек А, В, С, D, Е, F, изображенных на ри-
сунке 6.
3.	Построить точки и указать, каким
координатным углам они принадле-
жат:
1) А (3; 4), В (2; -5), С (-2; 5),
Е(-6; -2), F (3; -0,5), К (3; 0),
ТИ(О; 1,5), TV (-3,5; 3,5),
2) А (-1,5; 2,5), В (-2,5; 1,5),
С (31;1)’ F(2’ -2)’ ^С0’2’5)-
4.	Построить прямую, проходящую через точки:
1)	А (3; -2) и В (-2; 2);	2) М (2; 0) и N (0; -2).
5.	Построить отрезок по координатам его концов:
1)	А (3; 4), В (-6; 5);	2) М (0; -5), TV (4; 0).
6.	Построить отрезок по координатам его концов:
1)	А (3; 4), В (-6; 4); 2) Р (-5; 2), Q (2; 7).
7.	Построить треугольник по координатам его вершин:
1)	К (-2; 2), М (3; 2), TV (-1; 0);
2)	А (0; -1), В (0; 5), С (4; 0).
8.	Построить прямоугольник по координатам его вершин:
А (-2; 0), В (-2; 3), С (0; 3), О (0; 0).
9.	Даны три вершины А (1; 2), В (4; 2), С (4; 5) квадрата ABCD.
Найти координаты точки D и построить этот квадрат.
10.	Построить четыре точки, лежащие на оси Ох. Что общего у коор-
динат этих точек?
10
11.	Построить прямую, проходящую через точки А (0; 5) и В (-2; 5).
Чему равны ординаты точек, лежащих на прямой Л Б?
12.	Построить прямую, проходящую через точки А (-2; 3) и В (-2; -1).
Чему равны ординаты точек, лежащих на прямой АВ?
13.	Даны точки А (5; 4), В (2; -1), С (-3; 2), D (-4; -4). Построить
точки, симметричные им относительно оси Ох. Определить коор-
динаты полученных точек.
/ . ~ 1\
14.	Даны точки А (2; -2), В (1; 1), С (-3; 2), 2)1-4; -2 -1. Построить
точки, симметричные им относительно оси Оу. Определить коор-
динаты полученных точек.
§ 2. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим следующие задачи.
Задача 1. Поезд движется из Ташкента в Самарканд со скорос-
тью 60 км/ч. На каком расстоянии от Ташкента поезд будет через t
часов после отправления ?
Д Если искомое расстояние (в км) обозначить буквой s, то ответ
можно записать в виде следующей формулы:
л = 60/. ▲	(1)
При движении поезда путь s и время t непрерывно изменяются.
Поэтому их называют переменными величинами или просто переменны-
ми. При этом важно заметить, что переменные s и t изменяются не
произвольно, а подчиняясь закону равномерного прямолинейного
движения (1), т. е. каждому значению времени / соответствует одно
значение пути s. Например, при t= 2 по формуле (1) получим:
5 = 120.
Таким образом, формула (1) устанавливает правило вычисления
пути s по данному значению времени /. В этой задаче t — положитель-
ное число и не может быть больше времени движения поезда от Таш-
кента до Самарканда.
Рассмотрим еще один пример зависимости между переменными
величинами.
11
Пусть х — длина стороны квадрата, у — его площадь. Тогда
У = *2-	(2)
Формула (2) выражает правило вычисления площади по заданно-
му значению х. Например, если х = 2. то у = 4; если х = 3, то у = 9 и
так далее. В этой задаче х может принимать любые значения из множе-
ства положительных чисел.
В рассмотренных задачах указаны правила, дающие возможность
находить по заранее заданному значению одной переменной величи-
ны значение второй.
Если значению х из некоторого числового множества сопостав-
лено по некоторому правилу число у, то говорят, что на этом
множестве определена функция.
Для того чтобы подчеркнуть зависимость величины у от вели-
чины х, пишут у (х) (читается: «у от х»). При этом х называют
независимой переменной, а у — зависимой переменной или функ-
цией.
Например, площадь квадрата является функцией длины его сто-
роны х, то есть,
у(х)-х2.
Число у (2) — это площадь квадрата, длина стороны которого
равна 2, то есть у (2) = 22 = 4. Аналогично, у (5) = 25, у (6) = 36.
Число у (2) называют значением функции у = х2, соответствую-
щим значению х = 2. Значение этой функции при х = 5, равно 25, а
значение функции, соответствующее х = 6, равно 36.
Обычно независимая переменная обозначается буквой х, а зави-
симая переменная — буквой у. Но такое обозначение не является
обязательным. Например, функция, рассмотренная в начале этого па-
раграфа, выражает зависимость пути 5 от времени t. В этом случае
пишут: л (г) = 60/. При такой записи выражение s (2) обозначает путь
(в км), пройденный за два часа, то есть s (2) = 60-2 = 120 км.
Аналогично, s (1) = 60, s (3) = 180.
12
Функция может быть задана различными способами.
1. Функция может быть задана формулой.
Например, формула у = 2х показывает, как по заданному зна-
чению х вычислить соответствующее значение функции у. Такой
способ задания функции называется аналитическим способом.
Задача 2. Функция задана формулой у = х2 + х + 1.
Найти у (-2), у (0), у (1).
Д 1) Подставляя в эту формулу х = -2, получаем:
у (-2) = (-2)2 + (-2) 4-1=4-24-1 = 3;
2) у (0) = О2 + 0 + 1 = 1;
3)у (1) = I2 + 1 + 1 = 3.
Ответ: у (-2) = 3, у (0) = 1, у (1) = 3. ▲
Задача 3. Функция задана формулой у — -Зх + 5. Найти такое
значение х, при котором значение у равно -1.
Д Подставляя в формулу вместо у число -1, получаем -1= -Зх + 5.
Решая это уравнение, находим Зх = 5 +1, х = 2.
Ответ: х=2.Л
2. Функция может быть задана таблицей.
X	1	2	3	4	5	6	7	8
У	1	4	9	16	25	36	49	64
Согласно этой таблице значению х = 3 соответствует у = 9, а
значению х = 5 соответствует х = 25.
Такой способ задания функции называется табличным спо-
собом.
Примеры табличного способа задания функции: таблица квадра-
тов натуральных чисел, таблица кубов натуральных чисел, таблица
прироста вклада в сберегательном банке в зависимости от величины
вклада.
13
3. Функция может быть задана графиком.
Графиком функции называют множество всех точек координат-
ной плоскости, абсциссы которых равны значениям независи-
мой переменной, а ординаты — соответствующим значениям
функции.
Задача 4. Дана функция у = х2 + 2. Выяснить, принадлежит ли
графику этой функции точка с координатами: 1) (1; 3); 2) (2; 2).
Д 1) Найдем значение у при х = 1:
у (1) = I2 + 2 = 3.
Так как у (1) = 3, то точка (1; 3) принадлежит графику данной
функции.
2) у (2) = 22 + 2 = 6.
Точка графика с абсциссой х — 2 имеет ординату у = 6, поэтому
точка (2; 2) не принадлежит графику данной функции. ▲
Предположим, что на координатной плоскости изображен график
некоторой функции у (х) (рис. 7). Для того чтобы по заданному гра-
фику найти значение функции у (х) при каком-то определенном зна-
чении х, проведем через точку оси абсцисс с координатой х перпен-
дикуляр к этой оси и найдем точку М пересечения его с графиком
данной функции. Ордината точки пересечения и даст соответствую-
щее значение функции.
Способ задания функции с помощью ее графика называется гра-
фическим способом.
У ♦
Рис. 7
Графики функций широко применяются в
практике. При построении графиков в научных
исследованиях и современном производстве ис-
пользуются автоматические записывающие уст-
ройства, вычерчивающие графики изменения
величин. С помощью графика часто изобража-
ют, например, зависимость температуры от
времени; железнодорожники пользуются гра-
фиками движения, экономисты графически
изображают рост производительности труда.
14
Упражнения
15.	(Устно.) Прочитать следующие выражения, назвать независимую
и зависимую переменные:
s(t) — 120/, р(х) = 17,8х, у (х) = Зх,
у (t) = 4,5(/ + 2), /(х) = | х + 3.
16.	Вычислить значение функции у при х, равном -2; -1; 0; 2:
1)у=3х;	3)у = -х-3;
2)	у = -2х;	4) у = 20х + 4.
17.	Функция задана формулой 5 = 60/, где 5 — путь (в км), / — время
(в часах)
1)	определить 5(2), 5(3,5), 5(5);
2)	определить /, если s (/) — 240.
18.	Функция задана формулой у = 2х - 1:
1)	вычислить значение у при х, равном 10; -4,5; 15; 251; 600;
2)	найти значение х, при котором значение у равно -19; —57; 205;
19.	Функция задана формулой р (х) = | (2х + 1):
1)	найти р (3), р (-12), р (2,1);
2)	найти значение х, если р (х) = 15, р (х) = 2,4, р (х) = -9.
20.	Функция задана формулой f(x) = 2- 5х. Верно ли равенство:
1)/(-2) = 12;	3)/(4) = 20;
2)	/(-|) = з;	4) /(|) = 0.5?
21.	Функция задана формулой у (х) = 2х + 5:
1)	найти у (0), у(-1), у (2), у(|),	у (-2,5);
2)	найти значение х, если у(х) = 10, у(х> = 8,6, у(х) = -14,
у(х) = -7|;
15
3)	верны ли равенства: у (-3) = -1, т(-|0 = 6, у (7) = 19,
У (-7) =-10?
22.	(Устно.) Следующая таблица выражает зависимость атмосферно-
го давления р от высоты h над уровнем моря:
h, км	0	0,5	1	2	3	4	5	10	20
р, мм рт. ст.	760,0	716,0	674,0	596,1	525,7	462,2	404,2	198,1	40,9
1)	назвать величину атмосферного давления на высоте 1 км; 3 км;
5 км; 10 км;
2)	на какой высоте над уровнем моря атмосферное давление со-
ставит 760,0 мм рт. ст.; 462,2 мм рт. ст.?
23.	(Устно.) Результаты измерений температуры воздуха за сутки
приведены в следующей таблице:
Время, ч	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
Температура, °C	-1	1	-3	-4	2- 2	5	8	10 — 2	11	9	6	4	11 2
1) назвать температуру в 6 ч, 18 ч, 24 ч;
2) в какое время суток температура была равна +Г С, -4° С,
+11° С?
3) почему эту зависимость можно назвать функцией?
24. Дана функция у = х1 2 3 - 5х + 6. Определить, принадлежит ли гра-
фику этой функции точка с координатами:
1) Л (1; 2);	3) С (-2; 20);
2) В (-2; 0);	4) D (3; 0).
25. Дана функция у = х2 - 5х + 6. Определить, принадлежит ли гра-
фику этой функции точка с координатами:
1) £(-1; 1);	3) С(3;27);
2) Г(1; 0);	4) Я(-2; 7).
16
§ 3. ФУНКЦИЯ у = кх И ЕЕ ГРАФИК
Приведем еще один пример функциональной зависимости.
Найдем площадь прямоугольника, длина основания которого равна
3, а высота равна х. Если искомую площадь обозначить буквой у, то
ответ можно записать формулой у = Зх.
Если основание прямоугольника равно к, то зависимость между
высотой х и площадью у выразится формулой у = кх. Каждое заданное
значение к определяет некоторую функцию
у — кх.
(1)
Теперь построим график функции у=кх.
Пусть к = 2, тогда функция может быть записана в виде:
у = 2х.
По формуле (2) вычислим значения у
для нескольких значений х.
Возьмем, например, х - 2, получим у — 4.
Если х = 0, то у = 2-0 = 0; если х = -3,
то у = 2 • (—3) = -6; если х=0,5, то
у = 2 • 0,5 = 1 и т. д.
Составим таблицу:
X	2	0	-3	0,5
У	4	0	-6	1
Построим точки с найденными коор-
динатами.
Приложив линейку, можно убедиться,
что все построенные точки лежат на одной
прямой, проходящей через начало коор-
динат. Эта прямая и является графиком
функции у — 2х (рис. 8).
2 —Алгебра, 8 класс
17
Точка с координатами (х; у) лежит на этой прямой только при
условии, что у = 2х. Например, точка с координатами (—1; —2) лежит
на этой прямой, т. к. —2 = 2 • (—1) — верное равенство.
Можно показать, что графиком функции у =кх при любом значе-
нии к является прямая, проходящая через начало координат.
Из курса геометрии известно, что через две точки проходит
единственная прямая, поэтому, для того чтобы построить гра-
фик функции у =кх, достаточно построить две точки графика,
а затем с помощью линейки провести через эти точки прямую.
Так как начало координат принадлежит графику функции у—кх,
то для построения этого графика достаточно найти еще одну
точку.
Задача. Построить график функции у = кх при:
l)fc= 1; 2) к = -1; 3)£=0.
Д 1) Пусть к = 1, тогда у =х. Если х — 1, то и у = 1. Поэтому точка
(1; 1) принадлежит графику. Для построения графика функции у =х
проведем прямую, проходящую через точки (0; 0) и (1; 1). Эта прямая
делит первый и третий координатные углы пополам (рис. 9).
2) Пусть к = -1, тогда у = -х. Если х = 1, то у = -1. Поэтому точка
(1; — 1) принадлежит графику. Прямая, проходящая через точки (0; 0)
и (1; -1), является графиком функции у = -х. Эта прямая делит вто-
рой и четвертый координатные углы пополам (рис. 10).
3) Пусть к = 0, тогда у = 0 • х, т. е. у — 0 для любого х. Поэтому
графиком этой функции будет прямая, совпадающая с осью абс-
цисс. ▲
18
Если значения х, у положительны и к > 0, то зависимость
между переменными х и у, выражаемую формулой у = кх,
обычно называют прямой пропорциональной зависимостью,
а число к — коэффициентом пропорциональности.
Например, путь, пройденный телом при движении с постоянной
скоростью, прямо пропорционален времени движения. Масса газа по-
стоянной плотности прямо пропорциональна его объему.
	Упражнения
26. Тетрадь стоит 80 сумов. Выразить формулой зависимость между
купленным числом тетрадей (л) и уплаченной за них суммой (у).
Найти у (6), у (11).
27. Автомобиль «Нексия» движется по шоссе со скоростью 80 км/ч.
Записать формулу, выражающую зависимость длины пути s
(в км) от времени движения t (в часах). Чему равно s (3), s (5,4)?
Построить график функции (28—30).
28. 1) у = 3х; 2) у = 5х;	3) у = -4х; 4) у = -0,8х
29. 1) у = 1,5л:; 2)у = -2,5х;	3) у = -0,2г, 4) у = 0,4х
зо. 1) у = 2|х;	3) у — 0,6х;
2) J =	м	5 4) У = -Зх.
31.	Построить график функции, заданной формулой у = -1,5х Найти
по графику:
1)	значение у, соответствующее значению х, равному 1; 0: 2; 3
соответственно;
19
2)	значение х, если значение у равно —3; 4,5; 6;
3)	несколько целых значений х, при которых значения у будут
положительны (отрицательны).
32.	Построить график функции, заданной формулой у = 0,2х. Найти
по графику:
1)	значение у, соответствующее значению х, равному — 5; 0; 5;
2)	значение х, если значение функции равно -2; 0; 2;
3)	несколько значений х, при которых значения у будут положи-
тельны (отрицательны).
33.	Построить график функции и указать, внутри каких координат-
ных углов расположен этот график:
1)	У = |х;	3) у = 4,5х;
2)	у = -|х;	4)у = -4,5х
34.	Построить график функции:
2
1)У=3,5х,	2) У = -±х.
Найти в каждом из этих случаев по две точки графика, лежащие
выше оси абсцисс (ниже оси абсцисс).
35.	Задать формулой функцию, график которой — прямая линия, изоб-
раженная на чертеже:
1) рис. 11;	2) рис. 12; ✓ 2 -тМ (1; 2) 10	*х Рис. 11	3) рис. 13;	4) рис. 14. У 1 ° 2 *х Рис. 12
20
Рис. 14
36.	Прямая О А проходит через начало координат и точку А (у•
Графиком какой из следующих функций является эта прямая:
у=7х,у = -14х, у = 14x2
37.	Построить график функции у = кх, если известно, что ему при-
надлежит точка В:
1) В (2; -3);
2) В (Зр2)-
График какой из этих функций проходит через точку М (-10; 15)?
38.	Плот плывет по реке со скоростью 2 км/ч. Выразить путь s, прой-
денный плотом за х часов. Вычислить путь, пройденный плотом
за 1 ч, 2,5 ч, 4 ч. Построив график зависимости пути плота от
времени движения, найти по графику время, за которое плот
пройдет 6 км.
39.	Пешеход идет со скоростью 3 км/ч. Выразить путь 5, пройденный
пешеходом за t часов. Построить график пути в зависимости от
времени. Найти по графику путь, пройденный пешеходом за
0,5 ч; 1 ч; 1 ч 30 мин.
21
§ 4. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ГРАФИК
Познакомимся теперь с линейной функцией.
Линейной функцией называется функция вида у = кх + 6, где к и
b — заданные числа.
При 6 = 0 линейная функция принимает вид у =кх, графиком
которой является прямая линия, проходящая через начало коор-
динат. Можно показать, что графиком линейной функции у — kx + b
также является прямая линия. Так как прямая определяется дву-
мя ее точками, то для построения графика функции у = kx+b
достаточно построить две точки этого графика.
Задача 1. Построить график функции у = 2х + 5.
Д При х = 0 значение функции у = 2х + 5 равно 5, т. е. точка (0; 5)
принадлежит графику. Если х = 1, то у = 2 • 1 + 5 = 7, т. е. точка (1; 7)
также принадлежит графику. Построим точки (0; 5) и (1; 7) и прове-
дем через них прямую. Эта прямая и является графиком функции
у=2х+5(рис. 15). А
Заметим, что каждая точка графика функции у — 2х + 5 имеет
ординату, на 5 единиц большую, чем точка графика функции у = 2х
с той же абсциссой. Это означает, что каждая точка графика функции
у = 2х + 5 получается сдвигом на 5 единиц вверх вдоль оси ординат
соответствующей точки графика функции у = 2х.

Вообще, график функции y—kx + b получается сдвигом графика
функции у =кх на b единиц вдоль оси ординат. Графиками функ-
ций у=кх1лу=кх + Ьявляются параллельные прямые.
3 ад а ч а 2. Найти точки пересечения графика функции у = -2х + 4
с осями координат и построить график.
Д Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс. Ордината
этой точки равна 0. Поэтому -2х +4 = 0, откуда х = 2.
Итак, точка пересечения графика с осью абсцисс имеет коорди-
наты (2; 0).
Найдем точку пересечения графика с осью ординат. Так как абс-
цисса этой точки равна 0, у = -2 • 0 + 4 — 4.
Итак, точка пересечения графика с осью ординат имеет коорди-
наты (0; 4). График функции -2х + 4 изображен на рисунке 16. ▲
22
Рис. 16
Заметим, что для построения графика линейной функции иногда
удобно находить точки пересечения графика с осями координат.
Задача 3. Построить график линейной функции у = кх + b при
А = 0 и 6 = 2.
Д Если к = 0 и b = 2 то у = 2. Ординаты всех точек графика равны
2, и поэтому графиком функции является прямая, параллельная оси
Ох и проходящая через точку (0; 2). ▲
С помощью линейной функции описываются многие физические
процессы. Например, путь, пройденный телом при прямолинейном
равномерном движении является линейной функцией времени.
Упражнения
40.	(Устно.) Является ли линейной функция, заданная формулой:
1)у = -х-2;	3)у = |;	5)у = | + 8;
2)>’-2х2+3;	4) >’ = 250;	6Ц = -| + 1?
Назвать значения kv\b для линейных функций.
41.	Дана линейная функция у (х) = Зх- 1. Найти:
1)у(0), у (1), у (2);
2)	значение х, если у (х) = -4, у (х) = 8, у (х) = 0.
23
42.	Температура воды в сосуде, куда был помещен кипятильник, име-
ла температуру 6° С. Каждую минуту ее температура повышалась
на 2° С. Найти формулу, выражающую изменение температуры
воды (Т) в зависимости от времени (t) ее нагревания. Будет ли
Т (/) функция линейной? Чему равны Т (20), 7(31)? Через сколько
минут после начала нагревания вода закипит?
43.	Построить график функции:
1)^=2х+1;	3)у=Зх-4;	5)У = |х-2;
2)	у =-2х+ 1;	4)у = 0,5х-1;	6) у = ±х + 2.
44.	Найти координаты точек пересечения графика функции с осями
координат:
1)	у = -1,5х+3;	3)у = -1,5х-6;	5) у = ~х + 2;
2)у = -2х+4;	4) у = 0,8х-0,6;	6)У = |*-5.
45.	Построить график функции и найти точки пересечения его с ося-
ми координат:
1)у=2х+2;	3)у=4х+8;	5)у=2,5х+5;
; 2) у = ~х-1;	4)у = -3х + 6;	6)у = -6х-2.
46.	Построить график функции:
1)у=7;	2) у = -3,5;	3)у = {;	4)у = 0.
47.	(Устно.) Как из графика функций у = -2х можно получить графи-
ки функций у = -2х + 3 и у = -2х- 3?
48.	(Устно.) Как из графика функции У = | х можно получить гра-
фики функций У = | х + 2 иу = |х-2?
49.	1) Построить график функции у — -0,5х - 2 и найти по графику
несколько значений х, при которых значения функции положи-
тельны (отрицательны);
24
2)	построить график функции у = -4х + 3 и найти по графику
несколько значений х, при которых значения функции положи-
тельны (отрицательны).
50.	Построить график функции, заданной формулой у = 2х + 3. Найти
по графику:
1)	значение у, соответствующее значению х, равному -1; 2; 3; 5
соответственно;
2)	при каком значении х значение у равно 1; 4; 0; -1 соответ-
ственно.
51.	Линейная функция задана формулой у = х + 2. Принадлежат ли
точки М(0; 2), 2V(1; 3), Л(-1; 1), В (-4,7; -2,7), С (-21
графику этой функции?
52.	Найти значение к, если известно, что график функции у = кх + 2
проходит через точку: 1) Р (-7; -12); 2) С (3; -7).
53.	Найти значение Ь, если известно, что график функции у = -Зх + b
проходит через точку: 1) М(-2; 4); 2) N (5; 2).
54.	Построить график функции у = кх + 1, если известно, что ее гра-
фик проходит через точку: 1) М (1; 3); 2) М (2; -7).
55.	1) На овощном складе было 400 т картофеля. Ежедневно на склад
привозили еще по 50 т картофеля. Выразить формулой зависи-
мость количества картофеля на складе (р) от времени (/).
2)	На овощном складе было 400 т картофеля. Ежедневно со скла-
да увозили по 50 т картофеля. Выразить формулой зависимость
количества картофеля на складе (р) от времени (/).
56.	Турист проехал от города 10 км на автобусе, а затем продолжал
движение в том же направлении пешком со скоростью 5 км/ч. На
каком расстоянии (у) турист был от города через х часов ходьбы?
57.	Определить координаты точек пересечения с осями координат
графика функции у = 13-хи вычислить площадь прямоугольно-
го треугольника, ограниченного этой прямой и координатными
осями.
25
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
58.	Построить точки, симметричные точкам А (5; 0), В (5; -3), С (0;
3), D (-3; 1), Е (4; 2) относительно начала координат и найти их
координаты.
59.	Дана точка Л (5; 3). Построить точки, симметричные данной точ-
ке относительно: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) начала координат. Най-
ти координаты полученных точек.
60.	На координатной плоскости расположены точки А (2; 7), В (3; 4),
С (2; -7), D (-3; -4), Е (-2; 7). Определить, какие пары этих точек
симметричны относительно:
1)	оси абсцисс;
2)	оси ординат;
3)	начала координат.
61.	Центр квадрата со стороной 4 расположен в начале координат, а
его стороны параллельны осям координат. Найти координаты вер-
шин квадрата.
Проверьте себя\
1.	Найти координаты точек пересечения прямых с осями координат:
1)	у = х+1;	3)2у—Зх+4 = 0;
2)у = 2х-1;	4)3у —4х—3 = 0.
2.	Найти значение к, если известно, что точка (1; 1) принадлежит
графику функции:
1)у = Ах+2;	2) у = кх— 2.
3.	Найти значение Ь, если известно, что точка (—2; 3) принадле-
жит графику функции:
1)у=— 2х+Ь;	2)у= — 5х+Ь.
4.	Прямая проходит через точки А (0; —1) и В (2; 5). Найти уравне-
ние прямой.
5.	График функции у = кх + b проходит через точки А (0; 3) и В (1; 2).
Найти киЬ.
26
62.	Пользуясь формулой равномерного движения s = vt, выразить
время движения как функцию пути и скорости.
63.	Пользуясь формулой плотности вещества р = ~, выразить:
1)	массу тела т как функцию его плотности и объема;
2)	объем тела Vкак функцию его массы и плотности.
64.	Зависимость между переменными х и у выражена формулой у = кх.
Найти к, если у = -5 при х = 2,5.
65.	1) График функции у = кх проходит через точку В (—30; 3). Найти к.
2)	График функции у = кх проходит через точку В (4; -80). Найти к.
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ I
1.	Даны координаты трех вершин прямоугольника MNPQ : М (0;
0), N(0; 2), Р(3; 2). Найти координаты вершины Q.
А) (3; 0);	С) (2; 3);	Е) (-3; 0)
В) (0; 3);	D) (2; 0);
2.	Даны координаты вершин квадрата MNPQ : Л/(0; 0), А(0; 1),
Р(1; 1), Q(l; 0). Найти координаты точки пересечения диагона-
лей квадрата.
A.)	С) (|;2);	е)
/1 П	_ /1.
В) \2ГТ/’	\2’з)’
3.	Какие из следующих точек: 1) (0; 7); 2) (1; И); 3) (—1; 4);
4) (—2; 1); 5) (—3; 2); 6) (2; 10) принадлежат графику функции
у=Зх+7?
А) 1, 2, 5;	С) 1, 3, 4;	Е) 4, 5, 6.
В) 2, 4, 6;	D) 3, 4, 6;
4.	Какие из следующих точек: 1) (1; —3); 2) (0; 5); 3) (2; 3); 4) (3; —1);
5) (—1; 6); 6) (—2; 9) не принадлежат графику функции у = ~2х + 5?
А) 2, 3, 4;	С) 1, 2, 4;	Е) 1, 3, 6.
В) 4, 5, 6;	D) 1, 3, 5;
27
5.	Через какие квадранты проходит график функции у = —2х — 1?
A)	I, II, III;	С) I, II, IV;	Е) II, III, IV.
В)	I, III, IV;	D) II, III;
6.	График функции у = кх + 4 проходит через точку Af(l; 1). Найти к.
А) -3; В) 3; С) -2; D) -4; Е) 2.
7.	График функции у — — 2х + b проходит через точку М{— 1; 7). Най-
ти Ь.
А) 9; В) 5; С) —5; D) 3; Е) ответа нет.
8.	График функции у = кх + b проходит через точки ЛГ(О; —1), А(1; —5).
Найти к\\Ь.
А) £=2,6 = 3; С) к=—4, Ь = ~1;	Е)£=-3,6=-2.
В) £=3,6 = 2;	D)£=2, 6 = —3;
9.	Прямая проходит через точки М(0; —5) и N( 1, —2). Выписать урав-
нение этой прямой.
А)у=2х—3;	С)у=5х—3;	Е)у = 4х~ 6.
В)у = — Зх + 5;	D)y=3x—5;
10.	Прямая проходит через начало координат и точку М(—2; 5). Гра-
фиком какой из следующих функций будет эта прямая:
5	2
1)	Г = -2Х’	3) у =-х;	5)у=-2х?
2)	У =|х;	4) у=—2х+ 5;
А) 2, 3; В) 3, 4; С) 4, 5; D) 2; Е) 1.
11.	Найти на графике функции у = — 9х + 5 точку, координаты кото-
рой равны между собой.
28
12.	Найти на графике функции у = —5х + 3 точку, сумма координат
которой равна 15.
А) (3; 15);	С) (—4; 19); Е) такой точки нет.
В) (-3; 18);	D) (-2; 17);
2	1
13.	При каком значении х значение функции у - j х - - равно 1?
8 • Ш 8 •	15 •	ТЛЧ _15-	174 3
А) 15’ В) 15’ С) 8 ’	D) 8’ Е) 2’
14.	При каких значениях к и b прямая у = кх + b проходит через
точки М (0; 1 -Ц и N (-;	?
\ ’ 4/	\2 4/
А) k = ^b = ^	с) * = |’М;	Е) к = ^Ь = Л'
В) * =	=	D) fc = y,Z> = l|;
15.	График какой из функций проходит через точки ЛГ(1; 1),	'> з) ?
1)у=2х—1;	3)у=—Зх + 4;
2)у=— 6х+5;	4)у=3х—2.
А) 1; В) 2; С) 2 и 3; D) 1 и 4; Е) 3.
16.	Найти координаты точек пересечения графика функции у = —Зх — 5
с осями координат:
А) (О;-5)иМ;о| D) (0; 5) и (|; 0);
з
В) (0; - 5) и (- -; 0);	Е) правильный ответ не приведен.
С)(0; 5) и
17.	Написать уравнение прямой, проходящей через точки Л/(0; 7),
<<>)
А)у = 4х + 7;	С) у = уХ-1;	Е)у=7х+7.
В) у=—4х+7;	D)y = 4x—7;
29
g
Исторические задачи
1.	Длина железного стержня при температуре 0° С равна 1 м.
При нагревании на Г С его длина увеличивается на 0,000012
части его длины. Найти длину стержня при нагревании его до
температуры f С.
2.	Если температура воздуха составляет х по шкале Цельсия,
что соответствует температуре у ° по шкале Фаренгейта, то пере-
ход от одной из них к другой совершается по формуле
У = з (х + 32). Построить график этой функции, выбрав подхо-
дящий масштаб на осях Ох и Оу прямоугольной системы коор-
динат.
ш
Исторические сведения
Функция в переводе с латинского означает «воплощать, вы-
полнять». Первые определения функции появились в трудах
Г. В. Лейбница (1646—1716), И. Бернулли (1667—1748),
Н. И. Лобачевского (1792—1856). Определение, данное П. Л.
Дирихле (1805—1859), близко к тому, которое дается в школь-
ных учебниках.
Ученые древности понимали необходимость понятия функ-
циональной зависимости между величинами. Более чем 4000 лет
тому назад ученые Древнего Вавилона вывели приближенную
формулу S= Зг2, связывающую площадь круга и его радиус г.
Таблицы квадратов, кубов натуральных чисел, квадратных
корней — это ничто иное, как задание функций табличным
способом.
Великий ученый Абу Райхан Беруни (973—1048) также ис-
пользовал в своих трудах понятие функции и ее свойств. В 6-ой
главе своего знаменитого трактата «Канон Масуда» он рассмат-
ривал понятия областей изменения аргумента (независимой пе-
ременной) и функции (зависимой переменной), знаков функ-
ции, дал определение наибольшего и наименьшего значений
функции.
30
Глава II
СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
§ 5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. Ученик задумал два числа, сумма которых равна 10, а
разность равна 4. Какие числа задумал ученик?
Обозначим первое искомое число буквой х, второе — буквой у.
По условию задачи х+у=10их — у = 4.
Так как неизвестные в этих уравнениях одни и те же, то их рас-
сматривают совместно и говорят, что они образуют систему двух урав-
нений'.
х + у = 10,
х - у = 4.
(1)
Фигурная скобка, стоящая слева, показывает, что нужно найти
такую пару чисел (х; у), которая обращает каждое уравнение в верное
равенство.
Система уравнений (1) — пример системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными.
Можно проверить, что два числа х = 7 и у = 3 превращают каждое
уравнение системы (1) в верные равенства:
7 + 3 = 10,
7-3 = 4.
Пару чисел (7; 3) называют решением системы (1).
.г В общем виде систему двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными записывают так:
ахх + Ьху = сх,
а2х + Ь2у - с2.
где а{, а7, Ьх, Ь7, ср с, — заданные числа, хи у — неизвестные.
31
Например, в системе (1) а= 1, b= 1, с} = 10, а2 = 1, Ь2 = —1,
с2 = 4.
О
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными на-
зывают такую пару чисел хи у, которые при подстановке в эту
систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство.
Решить систему уравнений — это значит найти все ее ре-
шения или установить, что их нет.
Упражнения
66.	(Устно.) Проверить, что числа х = 40, у = 20 являются решени-
ем системы
х + у = 60,
х - у = 20.
67.	(Устно.) Проверить, что числа х — 4, у — 3 являются решением
системы
2,5х-3у = 1,
5х - бу = 2.
68.	Дана система уравнений
4х + Зу = 6,
2х + у = 4.
Из следующих пар чисел найти ту, которая удовлетворяет данной
системе:
1)х= 0,^=2;	3)х=6, у=~6;
2)х=3, у= — 2;	4)х=5, у = 0.
69.	Дана система уравнений
32
Из следующих пар чисел найти ту, которая удовлетворяет данной
системе:
1)	6, у = 3;
2)	х = 10, у = 0;
3)	х=0, у = -2;
4)	х= 6, у = —6.
70.	Дана система уравнений
х - Зу = а,
2х + 4у - Ь.
Найти а и Ь, если известно, что пара чисел х — 5, у = 2 является
решением данной системы.
71.	Дана система уравнений
кх - Зу = 11,
11х + ту = 29.
Найти к и т, если известно, что пара чисел х = 1, у = — 2 является
решением данной системы.
72.	Имеет ли решения система уравнений:
х + у = 5,
х + У = -1;
2х - 2у = 4,
х-у = 3?
73.	Найти подбором два решения системы уравнений:
и + v - 7.
uv = 12;
и + v = 10,
uv = 21.
§ 6. СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ
Задача 1. Решить систему уравнений
х + 2у - 5,
2х + у = 4.
(1)
А Предположим, что х и у — это такие числа, при которых оба
равенства системы (1) являются верными, т. е. (г, у ) — решение сис-
темы (1).
3 — Алгебра, 8 класс
33
Перенесем 2х из левой части верного равенства 2х + у = 4 в пра-
вую часть, получим также верное равенство:
у = 4 —2х.	(2)
Теперь рассмотрим первое уравнение системы (1):
х+2у = 5.	(3)
Напомним, что по предположению х и у — такие числа, что
равенство (3) является верным. Заменим в этом равенстве число у
равным ему числом 4 — 2х, т. е. подставим вместо у его значение 4 — 2х.
Получим х + 2(4 — 2х) = 5 .
Из этого равенства находим х + 8 — 4х = 5, — Зх =—3, х = 1. Под-
ставляя х = 1 в равенство (2), получаем у —4 — 2-1 = 2.
Подведем итог проделанных рассуждений. Предположив, что сис-
тема (1) имеет решение, мы получили, что х = 1 и у = 2 и других
решений нет. Осталось убедиться, что эта пара чисел на самом деле
является решением системы (1), т. е. осталось показать, что при х = 1,
у —2 оба уравнения системы становятся верными равенствами.
Подставим найденные значения х и у в оба уравнения системы
(1) и выполним вычисления:
1 + 2-2 = 5,
'2-1+2 = 4.
Оба равенства верные. Итак, система (1) имеет единственное ре-
шение: х= 1,у = 2. ▲
Рассмотренный способ решения системы (1) называется спосо-
бом подстановки. Он заключается в следующем:
1)	из одного уравнения системы (все равно из какого) выра-
зить одно неизвестное через другое, например, у через х;
2)	полученное выражение подставить в другое уравнение систе-
мы, получится одно уравнение с одним неизвестным х;
3)	решив это уравнение, найти значение х;
4)	подставив найденное значение х в выражение для у, найти
значение у.
Задача 2. Решить систему уравнений
Зх-2_у = 16,
5х + Зу = -5.
34
A 1) Из первого уравнения находим — 2у = 16 — Зх, у =
о 3
т. е. у = -8 + -х.
2	3
2)	Подставляем у = -8 + - х во второе уравнение системы:
5х + 3(-8 + |х) = -5.
9	19
3)	Решаем это уравнение: 5х - 24 + -х - -5, — х - 19, х = 2.
£
з
4)	Подставляя х = 2 в равенство у = -8 + - х, находим:
у = -8 + |.2 = -5.
Ответ: х = 2, у =—5. ▲
Задача 3. Решить систему уравнений
X _ У _
.3	2
А Упростим уравнения системы (приведем к общему знаменателю):
9х + 2у = 12,
\2x-3y = -18.
1)	9х+2у = 12, 2у = 12-9х, у = 6-|х;
2)	2х-3(6-|х) = -18, 2x-18 + yx = -18; ух = 0, х = 0;
3)	у = 6-| о = б.
Ответ: х = 0,у = 6.▲
Упражнения
74. В каждом из уравнений выразить одно неизвестное через другое:
1)х + у=7;	3)2х —у = 5;	5)2х+3у = 7;
2)х-у=10;	4)х+3у=11;	6)5у-3х=3.
35
Решить систему уравнений (75—78).
75. 1)
Зх - 2у - 9;
3)
у - 11 - 2х,
5х - 4у = 8;
Гу = 2-4х,
5) [8х = 5-3у;
2)
76. 1)
2)
77.
1)
2)
78.
1)
2)
4)
х - 2у = 11,
у = 2х - 5;
6)
Зх - 5 у - 8,
Зх - 2у = 4;
х - Зу = 17,
х - 2у = -13;
W=5-
2	3
х у 8
— + — — -
[3	2	3
х+у х-у _ с
2	3
^± + ^У- = и-
3	4
3)
4)
х+у _ х-у _
9	9 “ ’
2х-у _ Зх+2у _ 2Q.
9	3
5х - Зу = 3;
у - Зх - 5.
<
3)
4)
3)
4)
5)
6)
2х-3у = 0,
Зх - 2у = 5;
Зх = Sy,
-Зх + 8у = -13.
5х у .
х у _ £.
6 “ 6’
2х ^У _ 2
3	4
5х 7v 4
1т+т=6'
+ 2х = 6,
2
Й=^-у = -2;
3 л
1(2х-у)-1 = у-2,
1(3х-7) = |(2у-3)
36
§ 7. СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
Задача 1. Решить систему линейных уравнений
1х - 2у = 27,
5х + 2у = 33.
Д Предположим, что х и у — это такие числа, при которых оба
равенства системы (1) верны, т. е. (х, у) — решение системы (1).
Сложим эти равенства. Тогда снова получим верное равенство,
так как к равным числам прибавляются равные числа:
7х~2у=27
5х + 2у=33
12х - - 60,
откуда х= 5.
Теперь подставим х = 5 в одно из уравнений системы (1), напри-
мер в первое: 7  5 — 2у = 27.
Из этого равенства находим: 35 — 2у — 27, — 2у =—8, у — 4.
Итак, если система (1) имеет решение, то этим решением может
быть только пара чисел: х = 5, у = 4.
Теперь нужно убедиться в том, что х — 5, у — 4 в самом деле явля-
ются решением системы (1):
7 • 5 — 2 • 4 = 27,
5-5 + 2 4 = 33.
Оба равенства верные. Итак, система (1) имеет единственное ре-
шение: х = 5, у = 4. ▲
Рассмотренный способ решения системы уравнений называется
способом алгебраического сложения. Для исключения одного из неиз-
вестных нужно выполнить сложение или вычитание левых и правых
частей уравнений системы.
Задача 2. Решить систему уравнений -
5х + Зу = 29,
5х - 4у = 8.
37
Д Вычтем из первого уравнения второе:
_5х + 3у=29
5х — 4у = 8
1у = 21, откуда у = 3.
Подставим у = 3 в первое уравнение системы: 5х + 3 • 3 = 29. Ре-
шая это уравнение, находим: 5х + 9 = 29, 5х = 20, х = 4.
Ответ : х = 4, у ~ 3. ▲
Из рассмотренных примеров видно, что способ алгебраического
сложения оказывается удобным для решения системы в том случае,
когда у обоих линейных уравнений коэффициенты при каком-ни-
будь неизвестном одинаковы или отличаются только знаком. Если это
не так, то можно уравнять модули коэффициентов при каком-ни-
будь одном из неизвестных, умножая левую и правую части каждого
уравнения на подходящие числа.
Задача 3. Решить систему уравнений
Зх + 2у = 10,
5х + Зу = 12.
Д Обе части первого уравнения системы умножим на 3, а второ-
го — на 2 и вычтем из второго уравнения полученной системы первое:
j3x + 2y = 10,	|3	10х + бу = 24
15х + Зу = 12.	12	9х + бу = 30
1	1	х = —6
Подставив найденное значение х = —6 в первое уравнение данной
системы, получим —18 + 2у = 10, 2у = 28, у = 14.
Ответ: х = — 6, у - 14. ▲
Итак, для решения системы линейных уравнений способом ал-
гебраического сложения нужно:
1)	уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных;
2)	складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно
неизвестное;
3)	подставляя найденное значение в одно из уравнений исход-
ной системы, найти второе неизвестное.
38
Задача 4. Решить систему уравнений
4х - Зу = 14,
х + 2у = -2.
(2)
А 1) Оставляя первое уравнение без изменений, умножим вто-
рое уравнение на 4:
4х-3у = 14,
4х + 8у = -8.
2) Вычитая из второго уравнения системы (3) первое уравнение,
находим 11у — —22, откуда у = —2.
3) Подставляя у = — 2 во второе уравнение системы (2), находим
х + 2 • (—2) =—2, откуда х = 2.
Ответ: х = 2,у =—2.▲
Упражнения
Способом алгебраического сложения решить систему уравнений (79-82).			
79. 1) <	2х + у = 11, Зх - у = 9;	3) 	4х + 7у = 40, -4х + 9у = 24;
2) <	5х - 2у = 6,	4) <	х + Зу = 17,
	7х + 2у = 6;		2у-х = 13.
	4х + Зу = -15,		х + 5у = 3,
80. 1)	5х + Зу = -3;	3)	х + 4у = 2;
	2х - 5у = 1,		2у - Зх = 6,
2)	4х - 5у = 7;	4)	у - Зх = 9.
	4-4 = 1,		х + У = 2
81. 1) <	2 3	2) -	4	4	’
	х ,	_ о. 4+Т“8’		сч II +
39
	2х + ^ = 11,	5х-Ы = 11,
3)	4>	
		2у= 11.
	х+3 _ У~2 _ q 2	3’	Х+у _ 2у _ 5 2	3	2 ’
82. 1)	2tl + Z±l = 4-	3> [43	^ + 2у = 0;
	‘*±2 +	= 6 2	3	°’	2fc&-2x = 3,
2)	4) х+У _ х-у _ '	’	Зх-2у л
	[4	3°’	+ ч- — ЭЛ.
83. Решить систему уравнений:		
	16х-27у = 20,	1	3(х-у) = 6(у + 1),
1) '	5х + 18у = 41,5;	4)	А _ ] 1 = у- .3	3 У’
		Х-у 1 _ х-у
2)	18х-21у = 2, 5)	3	2	4 ’
	24х - 15у = 7;	ы = 4 5 + 2=1. 2	3 ’
	|(х-4у) = х-у,		Х+у у-х _ v , 3	
			5	2	20’
3) <	f + J = O;	6) .	^У+^У=у_ [43 У	7-L 24
§ 8. ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Пусть дана система уравнений
х-у = -1,
2х + у = 4.
Рассмотрим вначале первое уравнение системы
х — у = — 1.
(1)
(2)
40
Геометрическим образом этого уравнения на координатной плос-
кости служит его график.
о
Графиком уравнения первой степени с двумя неизвестными
ах + by = с
является множество точек М (х, у), координаты х и у которых
после подстановки их в уравнение превращают его в верное ра-
венство.
Для построения графика уравнения (2), выразим у через х:
у=х+ 1.
(3)
Уравнение (3) можно рассматривать как формулу, задающую
функцию у от х. Поэтому графиком уравнения (3) является прямая.
Так как уравнения (2) и (3) выражают одну и ту же зависимость
между х и у, то графиком уравнения (2)
является эта же прямая.
Для построения прямой достаточно
найти какие-нибудь две точки. Напри-
мер, из уравнения (3) находим: если
х = —1, то у — 0. Таким образом, графи-
ком уравнения (2) является прямая,
проходящая через точки (0; 1) и (—1; 0)
(рис. 17).
Можно показать, что графиком любого уравнения ах + by = с
является прямая, если хотя бы одно из чисел а или b не равно
нулю.
Построим график второго уравнения системы (1):
2х+у = 4
(4)
Из этого уравнения находим: если х— 0, то у = 4, если у — 0, то х = 2.
Следовательно, графиком уравнения (4) является прямая, про-
ходящая через точки (0; 4) и (2; 0) (рис. 18).
Найдем координаты точки пересечения построенных прямых. Из
рисунка 19 видно, что ее координаты (1; 2).
41
Рис.18
Так как эта точка принадлежит обеим прямым, то при х — 1 и
у = 2 уравнения (2) и (4) обращаются в верные равенства, то есть
пара чисел (1; 2) является решением системы (1).
Таким образом, система (1) решена графически.
Для решения системы графическим способом нужно:
1) построить график каждого из уравнений системы;
2) найти координаты точки пересечения построенных прямых
(если они пересекаются).
Координаты точки пересечения графиков уравнений образуют ре-
шение системы.
Графический способ часто используется при нахождении прибли-
женного решения практических задач.
С помощью графиков можно легко ответить на вопрос о том,
сколько решений имеет система уравнений.
На плоскости возможны три случая взаимного расположения
двух прямых — графиков уравнений системы:
1)	прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку. В
этом случае система уравнений имеет единственное решение
(рис. 19);
2)	прямые параллельны, т. е. не имеют общих точек. В этом слу-
чае система уравнений не имеет решений;
3)	прямые совпадают. В этом случае система уравнений имеет
бесконечное множество решений.
42
Приведем примеры к двум последним случаям.
Задача 1. Показать, что система уравнений
х + 2у = 6,
2х + 4у = 8.
(5)
не имеет решений.
А Умножим первое уравнение системы (5) на 2 и из полученно-
го уравнения почленно вычтем второе уравнение заданной системы:
_ 2х + 4у = 12
2х + 4у = 8
0 = 4.
Получилось неверное равенство. Следовательно, нет таких значе-
ний х и у, которые обращают оба уравнения системы (5) в верные
равенства, т. е. система (5) не имеет решений. ▲
Геометрически это означает, что графики уравнений системы (5) —
параллельные прямые (рис. 20).
Ответ: решений нет.
Задача 2. Показать, что следующая система уравнений имеет
бесконечное множество решений:
х - 2у = 2,
Зх - бу = 6.
(6)
А Из первого уравнения системы (6) выразим х через у.
х — 2 + 2у.
Подставив это значение х во второе уравнение системы (6), получим
следующий результат.:
3(2 + 2у) - бу = 6,
6 + бу — бу = 6,
6 = 6.
Получилось верное равенство. Таким образом, координаты лю-
бой точки прямой х = 2 + 2у являются решением данной системы, т. е.
система (6) имеет бесконечное множество решений. ▲
43
Рис. 20
Геометрически это означает, что графики обоих уравнений систе-
мы (6) совпадают (рис. 21).
Упражнения
84. Найти координаты точек пересечения прямых с осями координат:
1) х — у + 5 = 0; 2) Зх — 2у + 3 = 0; 85. Построить график уравнения:	3) 2х + у = 1; 4) 5х + 2у = 12.
1) у=Зх+5; 2) Зх + у = 1;	3) 2у+7х=—4; 4) 4у-7х- 12 = 0.
86. Построить графики уравнений у=2х+1их + у=1. Найти коор-
динаты точки их пересечения. Проверить, обращают ли коорди-
наты точки пересечения графиков каждое из уравнений в верное
равенство.
Решить графически систему уравнений (87—88).
87.
у = 2х,
х - у = -3;
= -Зх,
2> [.У - х - -4;
4)
У = Зх,
4х - у = 3.
44
88. 1)
х + у = 5,
х - у = 1;
х + 2 у = 5,
2х - у = 5;
2)
2х + у = 1,
2х - у = 3;
х + Зу = 6,
2х + у = 7.
89.	Показать, что система уравнений не имеет решений:
1)
у = 3х,
6х-2у = 3;
2)
х + у = 6,
2х = 1- 2у.
90.	Показать, что система уравнений имеет бесконечное множество
решений:
х + у = 0,
2х + 2 у = 0;
2)
х-у = 3,
2х - 2у = 6.
О
91.	Показать графически, что система уравнений имеет единствен-
ное решение:
1)
2х + Зу = 13,
Зх - 2у - 13;
2)
2х + у = 7,
х-2у = 1.
92.	Составить линейное уравнение с двумя неизвестными, чтобы оно
вместе с уравнением х — у = 4 образовало систему:
1)	имеющую единственное решение;
2)	имеющую бесконечное множество решений;
3)	не имеющую решений.
§ 9.	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Задача 1. Расстояние между двумя пристанями на реке равно
60 км. Это расстояние катер проходит по течению реки за 2 часа, а
против течения за 3 часа. Найти собственную скорость движения кате-
ра и скорость течения реки.
А Решение задачи состоит из двух этапов: 1) составление систе-
мы уравнений; 2) решение системы уравнений.
45
1)	Введем обозначения: х км/ч — скорость движения катера в стоя-
чей воде; у км/ч — скорость течения реки. Тогда (х + у) км/ч — ско-
рость катера при движении по течению реки; 2 (х + у) км — путь,
который прошел катер по течению реки за 2 часа.
По условию задачи этот путь равен 60 км:
2(х + у) — 60.
Далее, (х — у) км/ч — скорость катера при движении против тече-
ния реки и 3(х — у) км — путь, который прошел катер против тече-
ния реки за 3 часа.
По условию этот путь также равен 60 км:
3(х — у) = 60.
Так как в полученных уравнениях х и у обозначают одни и те же
числа, то эти уравнения образуют систему
2(х + у} = 60,
3(х-у) = 60.	(1)
2)	Решим систему (1).
Упростим каждое из уравнений системы (1), поделив первое урав-
нение на 2, а второе — на 3:
х + у = 30,
х-у = 20.	(2)
Складывая эти уравнения, находим: 2х = 50, х = 25.
Вычитая из первого уравнения системы (2) второе уравнение,
получаем 2у = 10, у = 5.
3)	Возвращаясь к условию задачи и использованным обозначени-
ям, запишем ответ.
Ответ: скорость движения катера 25 км/ч, скорость течения реки
5 км/ч. ▲
Задача 2. Найти два числа, если удвоенная сумма этих чисел
на 5 больше их разности, а утроенная сумма этих чисел на 8 больше
их разности.
А 1) Составление системы уравнений.
Пусть х, у — искомые числа. Тогда по условию задачи имеем:
2(х + у) = (х - у) + 5,
3(х + у) = (х - у) + 8.	(3)
46
2)	Решение системы.
Упростим уравнения системы (3):
2х + 2у = х - у + 5,
Зх + Зу = х - у + 8;
х + Зу = 5,
2х + 4у = 8.
(4)
Разделим обе части второго уравнения системы (4) на 2 и вычтем
полученное уравнение из первого:
_ х + Зу = 5
х + 2у = 4
1
Подставляя у = 1 в первое уравнение системы (4), находим
х+ 3 1 = 5,х = 2.
Так как х и у обозначают искомые числа, то можем записать ответ.
Ответ: искомые числа 2 и 1. ▲
Обычно задачи с помощью системы уравнений решают по сле-
дующей схеме:
1)	вводят обозначения неизвестных и составляют систему урав-
нений;
2)	решают систему уравнений;
3)	возвращаясь к условию задачи и использованным обозначе-
ниям, записывают ответ.
Иногда после решения системы приходится провести еще некото-
рые рассуждения или вычисления. Приведем пример такой задачи.
Задача 3. Два карандаша и три тетради стоят 260 сумов, а три
карандаша и две тетради стоят 240 сумов. Сколько стоят пять каран-
дашей и шесть тетрадей?
Д 1) Составление системы уравнений.
Пусть х сумов — цена карандаша, у сумов — цена тетради.
По условию задачи имеем:
2х + Зу - 260,
Зх + 2 у = 240.
(5)
47
2)	Решение системы.
Вычтем из первого уравнения, умноженного на 3, второе, умно-
женное на 2:
_ 6х + 9у= 780
6х + 4у = 480
5у = 300,
откуда у = 60.
Подставляя у = 60 в первое уравнение системы (5), находим
2х + 3-60 = 260, 2х = 80, х = 40.
3)	Итак, х = 40, у = 60 — решение системы, т. е. карандаш стоит
40 сумов, тетрадь — 60 сумов. Соответственно, 5 карандашей и 6
тетрадей стоят: 5 • 40 + 6 • 60 = 560 (сумов).
Ответ. 560 сумов. ▲
Упражнения
93.	Сумма двух чисел равна 51, а их разность — 21. Найти эти числа.
94.	Ученик за 3 общие тетради и 2 карандаша уплатил а сумов. Дру-
гой ученик за такие же 2 общие тетради и 2 карандаша уплатил b
сумов. Сколько стоила общая тетрадь и сколько стоил карандаш?
(Значения а и b выберите сами).
95.	Из 14 м ткани можно сшить 4 мужских и 2 детских пальто.
Сколько метров ткани необходимо для пошива одного мужско-
го и одного детского пальто, если из 15 м той же ткани можно
сшить 2 мужских и 6 детских пальто?
96.	Периметр прямоугольника равен 32 см. Разность ддин двух смеж-
ных сторон равна 2 см. Найти стороны прямоугольника.
97.	Найти два таких числа, что разность между удвоенным первым
и вторым числами равна 7, а разность между первым числом и
удвоенным вторым равна 8.
98.	Две бригады собрали вместе 1456 ц зерна. Первая бригада собра-
ла зерна с площади 46 га, а вторая бригада с площади 35 га.
48
Сколько центнеров собрала в среднем с 1 га каждая бригада в
отдельности, если первая собрала с 1 га на 7 ц больше зерна,
чем вторая?
99.	Двое рабочих, работая совместно, изготовили 1020 деталей. Пер-
вый рабочий работал 15 дней, второй — 14 дней. Сколько дета-
лей изготовлял в день каждый рабочий, если первый рабочий
за 3 дня изготовлял на 60 деталей больше, чем второй за 2
дня?
100.	Два тракториста забороновали вмесге 678 га пашни. Первый трак-
торист работал 8 дней, а второй — 11 дней. Сколько гектаров
бороновал за один день каждый тракторист, если первый за 3
дня забороновал на 22 га меньше, чем второй за 4 дня?
101.	Для 8 лошадей и 15 коров отпускали ежедневно 162 кг сена. Сколь-
ко сена ежедневно выдавали каждой лошади и каждой корове,
если известно, что 5 лошадей получали сена на 3 кг больше, чем
7 коров?
102.	Двое рабочих изготовили вместе 1170 деталей. Первый рабочий
работал 15 дней, а второй — на один день меньше. Сколько
деталей изготовлял vжeднeвнo каждый рабочий, если известно,
что первый рабочий за 4 дня изготовлял на 110 деталей больше,
чем второй за 3 дня?
103.	На а сумов купили 8 кг винограда первого сорта и 20 кг второго
сорта. Сколько стоит один килограмм винограда каждого сорта,
если 5 кг винограда первого сорта на Ъ сумов дороже, чем 7 кг
винограда второго сорта?
104.	Найти два таких числа, чтобы утроенная сумма этих чисел была
больше их удвоенной разности на 8, а удвоенная сумма этих
чисел была больше их разности на 6.
105.	Отец старше дочери на 26 лет, а через 4 года он будет старше ее в
3 раза. Сколько лет отцу и сколько лет дочери?
4 — Алгебра, 8 класс
49
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Решить систему уравнений способом подстановки (106—108).				
106.	1) ‘	2х + у - 8 = 0, Зх + 4у - 7 = 0;	3) '	7у-х _ _7 3 *+14-У _ л с. 2
	2) -	o' о н II ГЧ 40 1	1 Tt* cn' 1	1 X и СП	4) 	7 х-у _ 2 +^£ = 3,5.
107.	1) '	14 II + СП с?; II 1	3) 	у-2х = 13, х = 2у - 5;
	2) <	Зу + х = 6, у = 8 + 2х;	4) <	х = 3 - 4у, 8 у - 5 - Зх.
108.	1) '	х , У - 1 3	2	6’ Л +	= 0- .2	3	’	2) '	х _У_ _ 1 4	3	5’ Зх+Z = 1 2	3
	Решить систему уравнений способом алгебраического сложения (109—111).			
109.	1)	4х + Зу = 6, 2х + у = 4;	3) '	4х + Зу = -4, 6х + 5у = -7;
	2)	2х + 5у = 25, 4х + Зу = 15;	4) 	4х - 5у = -22, Зх + 2у = 18.
110.	1) ‘	и * I + и । I ГГ II о 4»	3)	36х + ЗЗу + 3 = 0, 12х-13у+ 25 = 0;
	2)	х - Зу - 4 = 0, 5х + Зу +1 = 0;	4)	7х-Зу + 1 = 0, 4х - 5у +17 = 0.
50
111. 1)
2)
Зх + 5y - 4 = О,
5x - Зу = 7;
7х - 9у,
Зх + Зу = 66;
lx - Зу - 2 = О,
5х + Зу + 9 = О;
5х + бу = 9,
Зх + 4у - 7.
Проверьте себя!
1. Решить систему уравнений способом подстановки:
х = Зу-4,	Г3х + 4у = 1,	|2х + 3у = 1,
4х + 5у = 1; ’ [у = 2х + 3;	' [Зх-2у = -1.
2. Решить систему уравнений способом алгебраического сложения:
2)
2х + Зу = -4,
2х-5у = 12;
3)
4х - Зу = 10,
Зх - 2у = 7.
Зх-4у =И1
. 1
3.	Решить систему уравнений графическим способом:
1)
у = -х + 1, 1х + у = 1,
2х - у - -2; Зх - у - -1;
3)
У = х,
2х + у = 3.
4.	При каких значениях а и b прямые Зах + 2Ьу = 12 и 4ах — ЗЬу — — 1
пересекаются в точке (1; 1)?
5.	3 кг яблок и 2 кг гранатов стоят вместе 950 сумов. 5 кг яблок
стоят столько же, сколько и 3 кг гранатов. Сколько стоит 1 кг
яблок и 1 кг гранатов?
112. Решить систему уравнений графическим способом:
1)
2)
2х + у = 8,
2х-у = 1;
3)
2х + у = 1,
у - х = 4;
5)
х + 2у - 5,
2х - у = 5;
Зх + у = 2,
х + 2у = -6;
4)
4х - у + 7 = 0,
х + Зу + 5 = 0;
6)
х + Зу - 6 = 0,
2х + у - 7 = 0.
51
9ГТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ II
Решить систему уравнений (1—4).
2х + Зу = 7,
Зх-4у = 2.
А)	х= 2, у = 1;
В)	х=1, у = |;
U + Z = 1,
.32
х + Зу = 0.
А)	х= 3, у = 2;
В)	х = 6, у = —2;
С)	х = 1, у = |;
D)	х = 3,у = |;
С) х= 1,5, у= 1;
D)	х = 2,у = |;
Е)	х = 9, у - —4.
^ + 3х = 4,
- 2у = -!.
А)	х = 1,у = |;
В)	х = |,у = -|;
С)	х= 1, у= 1;
D)	х = -|,у = -1;
О
Е) правильный от-
вет не приведен.
х+у х-у _ ~ 5
- 2б’
х+у у-х ,11
3	4	12’
А) х= 3, у = 2;
В) х=-2, у =4;
С) х= 1, у=2;
D) х=2, у=3;
Е) х= —1, у = —3.
52
5. Найти сумму х + у, если пара чисел (х; у) является решением сис-
4х + 3у = 17,
темы уравнений v
|3х-4у = -6.
А) 6;	В) -4;	С) 4;	D) -5;	Е) 5.
6. Найти у — х, если пара чисел (х; у) является решением системы
х 2у о
уравнении к _
3	5
А) 2;	В) 3;	С) -3; D) -2;	Е) 1.
7. Найти х2 — у2, если пара чисел (х; у) является решением системы
6х+7у	4х-3у _ ~
уравнений •	2	4 5у-2х	4х-3у п 3	+	6	-°-
А) 0;	J	3) 1;с	С) 2;	D) -1;	Е) 4.
8. Найти х2 + у2	если пара чисел (х; у) является решением системы
уравнений	Зх + 7 у - 23, 5х-2у = 11.
А) 12;	3) 9;	С) 13; D) 16;	Е) 25.
9. Найти х  у, если пара чисел (х; у) является решением системы урав-
7х - 8у = 10,
нений
2х + у = -7.
А) 10;	В) -8;	С) 8;	D) 6;	Е) -6.
53
10.
При каком значении а система уравнений
решений?
ах - 2 у = 0,
Зх + 2у = 5
не имеет
А) -1; В) 4; С) 2; D) 3; Е) -3.
11.	Сад имеет форму прямоугольника. Если увеличить длину сада на
5 м, а ширину на 10 м, то площадь сада увеличится на 325 м2.
Если же длину сада уменьшить на 10 м, а ширину на 5 м, то
площадь сада уменьшится на 200 м2. Определить длину и ширину
сада.
А) 20 м, 15 м;	С) 23 м, 17 м;	Е) 20 м, 10 м.
В) 25 м, 20 м;	D) 30 м, 20 м;
12.	Сумма цифр двузначного числа равна 9. Число, записанное теми
же цифрами, но в обратном порядке, больше исходного числа на
27. Найти данное число.
А)	72;	С) 45;	Е) правильный ответ
не приведен
В)	36;	D) 81;
13.	Книга и тетрадь стоят вместе 1100 сумов. 5 % цены книги на 25
сумов дороже 10 % цены тетради. Сколько стоят по отдельности
книга и тетрадь?
А) 750 сумов, 350 сумов;	D) 950 сумов, 150 сумов;
В) 800 сумов, 300 сумов;	Е) 830 сумов, 270 сумов.
С) 900 сумов, 200 сумов;
14.	Найти натуральное число, которое при делении на 4 дает остаток
3, при делении на 10 дает остаток 1 и для которого второе част-
ное отделения меньше первого частного на 13.
А) 87;	В) 95; С) 83; D) 91; Е) 81.
15.	Катер прошел по реке расстояние между двумя пристанями, рав-
ное 90 км, за 3 часа 45 мин. по течению реки и за 5 часов против
течения. Найти собственную скорость катера и скорость течения реки.
А) 24 км/ч, 3 км/ч; С) 22 км/ч, 2^ км/ч; Е) 21 км/ч, 3 км/ч.
В) 18 км/ч, 4 км/ч; D) 20 км/ч, 2 км/ч;
54

Исторические задачи
1.	Задача аль-Хорезми. Решить систему уравнений
13х-6>> = 1200,
' 5х -10у = 300.
Решить задачу составлением системы уравнений.
2.	Стая голубей прилетела к дереву. Часть птиц села на дере-
во, часть устроилась на земле. «Если один из вас, — сказали
птицы, сидящие на ветвях, — присоединится к нам, то нас
станет в 3 раза больше, чем вас, но если один из нас опустится
к вам, то вас будет столько же, сколько и нас». Сколько голубей
село на дерево и сколько их было внизу?
3.	Один человек сказал другому: «Если ты дашь мне 3 дина-
ра, у меня денег будет в 2 раза больше, чем у тебя». В ответ
второй человек сказал: «Если ты дашь мне 2 динара, у меня
денег будет в 3 раза больше, чем у тебя». Сколько денег было у
каждого?
Исторические сведения
В трактате аль-Хорезми „Китаб аль-джебр валь-мукабала“ в
главе, посвященной различным задачам, приведены задачи, ко-
торые можно решать составлением системы уравнений. Во мно-
гих случаях первое уравнение можно записать в виде х+у = 10,
второе уравнение имеет вторую степень (подробнее об этом см.
в «Исторических сведениях» к главе «Квадратные уравнения». В
главе, посвященной разделу наследства, некоторые задачи сво-
дятся к уравнению вида х = ку. Ученый находит натуральные
решения подобных уравнений.
55
Глава III]_ НЕРАВЕНСТВА
§ 10. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
В курсе математики 6~7-х классов вы познакомились с рацио-
нальными числами и действиями над ними. Рациональное число мо-
жет быть положительным, отрицательным или равным нулю.
„ к
Положительное рациональное число — это число вида —, где к и п —
4	"
- — положительные рацио-
8
3’ 5’ 8
„	2
натуральные числа. Например, -
нальные числа.
к
Отрицательное рациональное число — это число вида — , где к и
тт	2	8	4	"
п — натуральные числа. Например, - у, - -, - — отрицательные
рациональные числа. Отрицательное рациональное число можно за-
-к	2	-2
писать в виде — . Например, - - - — 
гл	т
Рациональными числами называют числа вида —, где т — целое
число, п — натуральное число.
Если рациональное число можно представить в виде дроби, у ко-
торой знаменатель является натуральной степенью числа 10, то это
рациональное число обычно записывают в виде десятичной дроби. На-
поимео.
21 = 0 25- 2^1 = о 257-	324 = -32 4
100	’ ’ 1000	’	’	10
Положительные числа называют большими нуля , а отрицатель-
ные — меньшими нуля. Для того чтобы коротко записать, что число
больше или меньше нуля, используют знаки неравенства > (боль-
ше) и < (меньше). Так, запись а > 0 означает, что число а больше
нуля, т. е. а — положительное число; запись b < 0 означает, что число b
меньше нуля, т. е. b — отрицательное число. Например:
25 > 0, | > 0, -21 <0, -|<0.
56
Знаки неравенств > и < называют противоположными. Так, 5 > О
и 7 > О — неравенства одинакового знака, а 3 > 0 и -2 < 0 — нера-
венства противоположных знаков.
В дальнейшем будут использоваться следующие свойства чисел'.
Формулировка с помощью букв	Словесная формулировка
1. Если а > 0 и b > 0, то а + b > 0, ab > 0, — > 0. D	Сумма, произведение и частное двух положительных чисел — положи- тельные числа.
2. Если а< 0 и b < 0, то а + b <0, а ab > 0, — > 0. D	Сумма отрицательных чисел отри- цательна, а произведение и частное двух отрицательных чисел положи- тельны.
3. Если а > 0 и b < 0 , то ab < 0, -<0. -<0. b	а	Произведение и частное положи- тельного и отрицательного чисел отрицательны.
4. Если ab > 0 , то или а > 0 и b > 0, или а < 0 и b < 0. а Если — > 0, то или а > 0 и b > 0, о или а < 0 и b < 0.	Если произведение или частное двух чисел положительно, то эти числа имеют одинаковые знаки (т. е. оба числа положительны или оба отри- цательны).
5. Если ab < 0, то или а > 0 и b < 0, или а < 0 и b > 0. Если ~ < 0 , то или а > 0 и b < 0, D или а < 0 и b > 0.	Если произведение или частное двух чисел отрицательно, то эти числа имеют разные знаки (т. е. одно из них положительно, а другое отри- цательно).
6. Если ab = 0, то или а = 0 и b Ф 0. или а * 0 и b = 0, или а = 0 и г>=о.	Если произведение двух чисел рав- но нулю, то хотя бы одно из этих чисел равно нулю
а 7. Если — = 0 , то а = 0 и b ф 0. b	Если дробь равна нулю, то ее чис- литель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
57
На числовой оси положительные числа изображаются точками,
лежащими поавее точки 0, а отрицательные числа — точками, лежа-
щими левее точки 0 (рис. 22).
Для краткости вместо слов «точка, изображающая число а» гово-
рят просто «точка а». Например, можно сказать, что точка 3 лежит
правее точки 0; точка —2 лежит левее точки 0 ( рис. 22).
i-----•-----1----•------1----1-----•-----ь
-2	0	3
Рис. 22
3 а д а ч а 1. Доказать, что если а < 0 , то цi 2 > 0 и а3 * < 0.
Д По условию а < 0. Так как ц2 = а • а, а произведение двух отри-
цательных чисел положительно, то ц2 > 0. По свойству степени
ц3 = а2 • а, т. е. а3 является произведением положительного числа а2 и
отрицательного числа а, поэтому а3 < 0. ▲

Вообще при возведении отрицательного числа в четную сте-
пень получается положительное число.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень по-
лучается отрицательное число.
Например, (—2,8)6 > 0, (—1,2)5 < 0.
Задача 2. Решить уравнение (2х + 1)(3х - 9) = 0.
Д Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей
равен нулю, т. е. или 2х + 1 = 0 или Зх — 9 = 0. Решая уравнение
2х+ 1 = 0, находим х = --; решая уравнение Зх — 9 = 0, находим
2
х— 3.
Ответ: х{ = -|, х2 = 3. ▲
+5х
Задача 3. Решить уравнение - = 0.
58
Д Данная дробь равна нулю, если х2 + 5х - 0, а х2 + 25 ф 0. Урав-
нение х2 + 5х = 0 можно записать так:
х (х + 5) = 0.
Это уравнение имеет корни = 0, х2 = —5. При х = 0 и х = — 5
знаменатель не равен нулю:х2 + 25 ф 0.
Ответ: = 0, х, = — 5. ▲
х2—25
Задача 4. Решить уравнение = 0.
Д Данная дробь равна нулю, если х2 — 25 = 0, а х + 5 * 0.
Уравнение х2 — 25 = 0 можно записать в виде
(х - 5)(х + 5) = 0,
откуда X] = 5, х2 = —5. При х = 5 знаменатель х + 5 * 0; а при х = —5
знаменатель х + 5 = 0. Следовательно, х = —5 не является корнем ис-
ходного уравнения.
Ответ: х = 5. А
Ул£ аэкне^ ия.
113.	Вычислить:
1)	2 - (—15): 3;
2)	(-0,4)  (-5): 2;
3)	6 • (-8): (-12);
4)	(-6) (-12): (-8);
5)	(-45): 3 • (-2);
6)	(-55): (-11) (-3).
114.	Найти числовое значение выражения:
1)	ст'/ус- при а = —1, b = —3, с = 2;
2)	ab3& при а = —2, b = —1, с = —3;
3)	при —2, Ь= —3, с= —1:
с
4)	при а= 8, b— —1, с = —2.
59
115.	Используя знак > или <, записать утверждение:
1)	—11,7 — отрицательное число;
2)	98,3 — положительное число;
3)	х — отрицательное число;
4)	у — положительное число.
116.	Пусть а > О, b > 0. Доказать, что:
1)	2а (п + 36) > 0;	2) (п + 6)(2а + 6) > 0.
117.	Пусть а < 0, b < 0. Доказать, что:
1)	За + 46 < 0;	2) 2а(а + 6) > 0.
118.	Пусть а > 0, 6 < 0. Доказать, что:
1)	п-6>0;	3) а26 + 63 <0;
2)	6-п<0;	4) а63 + а36<0.
119.	Не вычисляя, выяснить, положительно или отрицательно зна-
чение выражения:
1)	(-17) • (—1,281)2;	3) (—0,37)3 + (—2,7)5;
2)	(-2,23)3 • (—0,54)5;	4) (—3,21)2 • (-45,4)3.
120.	Доказать, что при любом а значение выражения положительно:
1)	2--^—;	3) (За + 2)2 -6а (а+ 2);
а +1
2) n2+^4;	4) (2а - З)2 - За (а - 4).
1+а
121. Доказать, что при любом а значение выражения отрицательно:
1) (-1,5)3-а2;	3) 2а(4а - 3) - (За -1)2;
2) (—7)5 — (1 — а)4;	4) За (а + 4) - (2а + З)2.
122. Пусть а < 0, 6 > 0. Выяснить, положительно или отрицательно
значение выражения:
2	О L 'У
1) а364;	2) р-;	3) (2а - 6)(26 - а);	4)
60
Решить уравнение (123—124).
123. 1) х(х+ 1) = 0;
2) х(х—2) = 0;
124. 1) (Зх - 1)(х+5) = 0;
2)	(2х+3)(х + 1) = 0;
3)	(х — 2)(х + 3) = 0;
4)	(х + 4)(х + 5) = 0.
3) (1 + 2х)(Зх-2) = 0;
4) (5х — 3)(2 + Зх) = 0.
9
10
1 Прямая линия разбивает числа на циферблате часов
на две группы. Как провести прямую, чтобы суммы
чисел в обеих группах были одинаковы?
2
3
4
+ 5
5
7
8
35
12
1
43
§11. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Сравнение чисел широко применяется на практике. Например,
экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач
сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает
размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях срав-
ниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают
числовые неравенства.
4	3
Сравним, например, числа J 11  Для этого найдем их разность:
4 3 _ 16-15 _ 1
5 4 - 20 “ 20'
61
Следовательно, - = - +	, т. е. число у получается прибавлени-
3	1	4
ем к числу - положительного числа . Это означает, что число —
J 4	20	’5
г-	3	1^	4	3
больше числа т на ™. Таким образом, число — больше числа -г,
4	20	5	4
так как их разность положительна.
ли Определение. Число а больше числа Ь, если разность а ~Ь
положительна. Число а меньше числа Ь, если разность а — b
отрицательна.
Если а больше Ь, то пришут: а > Ь; если а меньше Ь, то пишут:
а < Ь.

Таким образом, неравенство а> b означает, что разность a h
положительна, т. е. а — b > 0. Неравенство а< b означает, что
а — b < 0.
Задача 1. Доказать, что если а > Ь, то b < а.
Д Неравенство о > b означает, что а — b — положительное число.
Тогда Ь — а = —(а — Ь) — отрицательное число, т. е. b < а. А
Для любых двух чисел а и b из следующих трех соотношений
а> b, а = b, а< b только одно является верным.
Например, для чисел —5 и —3 неравенство —5 < —3 является вер-
ным, а соотношения —5 — —3 и —5 > —3 не являются верными.
Сравнить числа avtb — значит выяснить, какой из знаков >, =
или < нужно поставить между этими числами, чтобы получить
верное соотношение. Это можно сделать, определив знак разно-
сти а~ Ь.
3 а д а ч а 2. Сравнить числа 0,79 и —.
Д Найдем их разность:
0,79-| = 0,79-0,8 =-0,01.
4	4
Так как 0,79 — у < 0, то 0,79 < у. А
62
Геометрически неравенство а > b означает, что на числовой оси
точка а лежит правее точки b (рис. 23).
b	а
Рис. 23
4	4
Например, точка j лежит правее точки 0,79, так как — > 0,79;
точка 2,3 лежит левее точки 4,4, так как 2,3 < 4,4 (рис. 24).
-----1---1---1----1----—I------1-«—I----►
-2-1 О 1	2 2,3 3	4 4,4 5
Рис. 24
3 а д а ч а 3. Доказать, что а2 + b2 > lab, если а*Ь.
Д Докажем, что разность а2 + b2 — lab положительна. В самом
деле, а1 + b2 — lab = (а — Ь)2 > 0, так как а^Ь. ▲
3 а дач а 4. Доказать, что а + - > 2, если а > 0 и а ф 1.
а
Д Докажем, что разность а + - — 2 положительна. Действительно,
так как а > 0 и а ф 1. ▲
3 а д а ч а 5. Доказать, что если	— правильная дробь, то
л < л + 1
т т + 1'
Д Напомним, что дробь называется правильной, если п<т
(пит — натуральные числа).
л л + 1 п(т + 1) - т{п + 1) л - т
Разность — —------- - -------£-----= —------- меньше нуля,
т т + 1	т(т + 1) т(т + 1)
так как п~ т<0, т>0, ли + 1 > 0. Следовательно, — < -^Ц-. ▲
т т+1
63
Упражнения
125.	Используя определение числового неравенства, сравнить числа:
1	13
1)0,3 и	3) - и 0,35;
2)	| и 0,3;	4) и - 0,7.
Э	о
126.	Сравнить числа а и Ь, если:
1)	Ь-а = -1,3;	3) o-Z> = (-5)4;
2)	Z>-o = 0,01;	4) a-b = -54.
127.	Доказать, что при любых значениях а верно неравенство:
1)	а1 > (а + 1)(g -1);
2)	(а + 2)(g + 4) > (а + 1)(а + 5).
128.	Доказать, что при любых значениях а верно неравенство:
1)	а3 < (а + 1)(g2 - а +1);
2)	(g + 7)(й +1) < (а + 2)(« + 6);
3)	1 + (За +1)2 > (1 + 2g)(1 + 4а);
4)	(За - 2)(а + 2) < (1 + 2а)2.
129.	Доказать, что при любых значениях а и b верно неравенство:
1)	а (а + b) > ab - 2;	3) ЗаЬ -2< а (ЗЬ + а);
2)2ab-l<b(2a + b);	4) b(a + 2b)> ab -3.
130.	Два мальчика купили одинаковое число марок. Первый выбрал
все марки по 50 сумов. Второй половину марок купил по 30
сумов, а остальные — по 60 сумов. Какой мальчик истратил
денег больше?
64
§ 12. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
В этом параграфе рассматриваются свойства числовых неравенств,
которые обычно называют основными, так как они часто использу-
ются при доказательстве других свойств неравенств и при решении
многих задач.
| Теорема 1. Если а > b и b >с, то а >с.
О По условию а> b и Ь> с. Это означает, что а — b > 0 и
b - с > 0. Складывая положительные числа а — b и Ь~ с, получаем
(а - Ь) + (Ь — с) > 0, т. е. а — с > 0.
Следовательно, а > с. •
Геометрически теорема 1 означает, что если на числовой оси точ-
ка а лежит правее точки b и точка b лежит правее точки с, то точка а
лежит правее точки с (рис. 25).
Ь а
Рис. 25
gU Теорема!. Если к обеим частям неравенства прибавить одно
v и то же число, то знак неравенства не изменится.
О Пусть а> Ь. Требуется доказать, что а + с > b + с для любого
числа с.
Рассмотрим разность
(а + с) - (Ь + с) = а + с - b - с - а - b.
Эта разность положительна, так как по условию а> Ь. Следова-
тельно, а + с> Ь + с. •
А'Ж Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной час-
ти неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.
5 — Алгебра 8 класс
65
О Пусть а > Ь + с. Прибавляя к обеим частям этого неравенства
число — с, получаем а — с> Ь + с — с, т. е. а~ с> Ь. •
Теорема 3. Если обе части неравенства умножить на одно и то
же положительное число, то смысл неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрица-
тельное число, то смысл неравенства изменится на противопо-
ложный.
О 1) Пусть а > Ь и с > 0. Докажем, что ас > Ьс.
По условию а~ /? > 0 и с>0. Поэтому {а — Ь)с>0, т. е.
ас — Ьс > 0. Следовательно, ас > Ьс.
2) Пусть а > Ь и с < 0. Докажем, что ас < Ьс.
По условию а — Ь> 0 и с<0. Поэтому (о — Ь)с < 0, т. е.
ас — Ьс< 0. Следовательно, ас < Ьс. •
Например, умножая обе части неравенства < 0,21 на 3, полу-
3	1
чаем - < 0,63 , а умножая обе части неравенства - < 0,21 на —4,
4
получаем -- > -0,84.
Заметим, что если с ф 0, то числа с и - имеют один и тот же
с
1
знак. Так как деление на с можно заменить умножением на -, то из
теоремы 3 вытекает следующее утверждение.
о
Следствие. Если обе части неравенства разделить на одно и
то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрица-
тельное число, то знак неравенства изменится на противопо-
ложный.
Например, разделив обе части неравенства 0,99 < 1 на 3, получим
0,33 < -, а разделив обе части неравенства 0,99 < 1 на —9, получим
66
Задача 1. Доказать, что если а > Ь, то — а < —Ь.
& Умножая обе части неравенства а > b на отрицательное число
—1, получаем ~а < ~Ь. к.
Например, из неравенства 1,9 < 2,01 следует неравенство —1,9 >
3	3
> —2,01; из неравенства 0,63 > - следует неравенство —0,63 < -у.
Задача 2. Доказать, что если си Ь-— положительные числа и
v , 11
а > Ь, то — < т •
а b
Д Разделив обе части неравенства b < а на положительное число
, 1 1 .
ab, получаем: — < ~. А
Отметим, что все свойства неравенств, рассмотренные в этом па-
раграфе, доказаны для неравенства со знаком > (больше).
Точно так же они доказываются и для неравенств со знаком
< (меньше).
Упражнения
131.	Доказать, что:
1)	если о — 2 < и 6 < 0, то о — 2 — отрицательное число;
2)	если а2 — 5 > а и а > 1, то о2 — 5 > 1.
132.	Выяснить, положительным или отрицательным является число
а, если:
1)	а > b и b > 1;	3) а — 1 < £ и Z> < — 1;
2)	а<ЬнЬ<~ 2;	4) о +1 > Z> и b >1.
133.	Записать неравенство, которое получится, если к обеим частям
неравенства —2 < 4 прибавить число:
1)	5;	2)-7.
134.	Записать неравенство, которое получится, если к обеим частям
неравенства 2а + ЗЬ > а — 2Ь прибавить число:
1)	2Ь\	2) —а .
135.	Записать неравенство, которое получится, если из обеих частей
неравенства 3 > 1 вычесть число:
1)	1;	2) -5.
67
136.	Записать неравенство, которое получится, если из обеих частей
неравенства а — 2Ь < Зо + b вычесть число:
1)	о; 2) Ь.
137.	Пусть а<Ь. Сравнить следующие числа:
1)	а + хиЬ + х;	2) а-5 и b-5.
Умножить обе части данного неравенства на указанное
число (138-139).
138.	1) 3,35 <4,5 на 4;
2)	3,8 >2,4 на 5;
139.	1) 2а > 1 на 0,5;
2)	4а < -1 на 0,25;
3)	|>| на -12;
3	7
4)	- <- на -16.
о
3) -4а < -3 на 0,25;
4) - 2а > -4 на - 0,5.
Разделить обе части данного неравенства на указанное
число (140-141).
140.	1) -2 < 5 на 2;
2)	4,5 > —10 на 5;
141.	1) 1,2о < 4,8 на 1,2;
2)	2,3а < -4,6 на 2,3;
3) —25 > —30 на —5;
4) —20 < —12 на —4.
2	1	2
3) -з^-дНа--;
,.3	1	3
4) --х>5на--.
§ 13.	СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
При решении различных задач часто приходится складывать или
умножать неравенства, т. е. складывать или умножать отдельно левые
и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства
складываются или умножаются почленно.
Например, если турист прошел в первый день более 20 км, а во
второй — более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он про-
шел более 45 км.
68
Точно так же, если длина прямоугольника меньше 13 см, а ши-
рина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямо-
угольника меньше 65 см2.
При рассмотрении этих примеров применялись следующие тео-
ремы о сложении и умножении неравенств.

Теорема 1. При сложении неравенств одинакового знака по-
лучается неравенство того же знака: если а > b и с > d, то
а + с > b + d.
О По условию а~ Z> > 0 и с — d> 0. Рассмотрим разность:
(а + с) - (b + d) = а + с - b - d = (а - Ь) + (с - d).
Так как сумма положительных чисел положительна, то
(a+c)-(b+d)>Q, т.е. а + с > b + d.9
Примеры:
2)	1,2 < 1,3
+ - 3 < -2
-1,8 <-0,7.
.♦ Теорема!. При умножении неравенств одинакового знака, у
которых левые и правые части положительны, получается нера-
венство того же знака: если a>b, с >d п a, b, с, d —
положительные числа, то ас > bd.
О Рассмотрим разность
ас - bd = ас - be + be - bd = с {a- b) + b(c - d).
По условию а - b > 0, с - d > 0, b >0, с > 0. Поэтому
с(а - b) + b(c -d)>0, т. е. ас -bd > 0, откуда ас > bd. •
Примеры:
1) 3,2 >3,1
х ? э
3 > 2
9,6 >6,2.
2)
1,8 <2,1
х .
4 <5
7,2 <10,5.
69
Задача 1. Доказать, что если а, b -— положительные числа и
а > Z>, то аг > Ь1.
Д Умножая неравенство а>Ь само на себя, получаем аг > №. ▲
Аналогично можно доказать, что если а, Ь — положительные чис-
ла и а > Ь, то а" > Ьп при любом натуральном п.
Например, из неравенства 5 > 3 следуют неравенства 55 > З5, 57 > З7
ит. д.
Задача 2. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, ле-
жащей внутри треугольника, до его вершин больше полупериметра
этого треугольника.
Д Рассмотрим рисунок 26. Пусть х, у, z — расстояния от внутрен-
ней точки О до вершин треугольника АВС.
Из треугольников АОВ, АОС, ВОС по
теореме о сумме длин двух сторон треуголь-
/ ника имеем:
\ Г	х + у>с,
х + z > Ь,
А	y + z> а.
Рис. 26
Складывая эти неравенства, получаем: 2х + 2у + 2г > а + b + с,
a+b+с .
откуда х + у + z > —-— • А
Упражнения
142.	(Устно.) Верно ли, что:
1)	если х> 7 и у > 4, то х + у > 11;
2)	если х > 5 и у > 8, то ху < 40;
3)	если х < — 7 и у < 7, то х + у < 0;
4)	если х< 2 иу < 5, то ху < 10?
143.	Выполнить сложение неравенств:
1)	5 > —8 и 8 > 5;
2)	-8 < 2 и 3 < 5;
3)	Зх + у < 2х + 1 и Зу — 2х < 14 — 2а;
4)	Зх2 + 2у > 4а — 2 и 5у — Зх2 > 3 — 4а.
70
144.	Выполнить умножение неравенств:
1)	2у>1|и12>6;	3) х-2>1их + 2>4;
2)	б|<9|и4<6;	4) 4 < 2х +1 и 3 < 2х -1.
145.	Доказать, что если а > 2 и b > 5, то:
1)	Зп + 2Z> > 16;	4) а3 +/>3 > 133;
2)	ab - 1 > 9;	5) (я + Ь)2 > 35;
3)	а2 + Ь2 > 29;	6) (а + Ь)3 > 340.
146.	Стороны треугольника меньше 73 см, 1 м 15 см и 1 м 11 см
соответственно. Доказать, что его периметр меньше 3 м.
147.	Куплены 4 общих тетради и 8 блокнотов. Цена общей тетради
меньше 200 сумов, а блокнота меньше 150 сумов. Показать, что
стоимость всей покупки меньше 2000 сумов.
148.	Одна сторона прямоугольника больше 7 см, вторая в 3 раза боль-
ше первой. Доказать, что периметр прямоугольника больше 56 см.
149.	Длина прямоугольного участка в 5 раз больше его ширины, а шири-
на больше 4 м. Доказать, что площадь участка больше 80 м2.
150.	Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внут-
ри прямоугольника, до его вершин больше полупериметра пря-
моугольника.
§ 14.	СТРОГИЕ И НЕСТРОГИЕ НЕРАВЕНСТВА
Неравенства со знаками > (больше) и < (меньше) называют стро-
тт	513.	.	,
гими. Например,	< I, а > Ь, с < а — строгие неравенства.
Наряду со знаками строгих неравенств > и < используются знаки
> (больше или равно) и < (меньше или равно), которые называют
знаками нестрогих неравенств.
Неравенство а < b означает, что а<Ь или а — Ь, т. е. а не больше Ь.
Например, если число посадочных мест в самолете 134, то число а
71
пассажиров может быть меньшим или равным 134. В этом случае мож-
но записать а < 134. Точно так же неравенство а > b означает, что
число а больше или равно Ь, т. е. а не меньше Ь.
Неравенства, содержащие знак > или <, называют нестрогими не-
равенствами. Например, 18 > 12, 11 < 12, 7 > 7,4 < 4, а > b, с < d —
нестрогие неравенства.
Все свойства строгих неравенств, сформулированные в § 12—13.
справедливы и для нестрогих неравенств. При этом, если для строгих
неравенств противоположными считались знаки > и <, то для нестро-
гих неравенств противоположными считаются знаки > и <.
Например, теорема 2 из § 12 справедлива и для нестрогих нера-
венств: если а> Ь, то а+с>Ь + с для любого числа с. Действитель-
но, для случая а >Ь эта теорема доказана в § 12, а для случая а—Ь
это утверждение выражает известное свойство равенств.
Задача. Доказать, что неравенство
а2 + b2 > lab	(О
верно при любых а и Ь.
Л В задаче 3 из § 11 доказано, что при а ф b выполняется строгое
неравенство а1 + />’ > 2аЬ. При в = b неравенство (1) превращается в
очевидное равенство 2а2 = 2а2. Следовательно, неравенство (1) верно
при любых значениях а и Ь, причем знак равенства имеет место толь-
ко при а — Ь. ▲
Упражнения
151.	Найти наибольшее целое число п, удовлетворяющее неравенству:
!)и<-2;	3) и < 4;	5) п <0,2;
2)	п < 3;	4) п < -5;	6) п < - 0,3.
152.	Найти наименьшее целое число п, удовлетворяющее неравенству:
1)и>-3;	3)и>-6;	5) и >-4,21;
2)	п > 6;	4) п > - 4;	6) п > 3,24.
72
153.	Найти наибольшее целое число х, удовлетворяющее неравенству:
1)|<1;	2) ±<-2.
154.	Записать, используя знаки неравенства, утверждения:
1)	сегодня в Ташкенте 0° С, а в Ферганской долине температу-
ра (f С) не выше, чем в Ташкенте;
2)	вода поднялась на высоту (h м), не меньшую 5 м;
3)	температура (f С) воды в жидком состоянии при нормаль-
ном атмосферном давлении не меньше 0° С; не больше 100° С;
4)	скорость (у км/ч) движения автомобильного транспорта в
городе не больше 60 км/ч.
155.	Пусть а < Ь. Верно ли неравенство:
1) а - 3 < b - 3;
2) 5а < 5Ь;
3) а + 2,5 < b + 2,5;
4)а-4>Ь-4?
156.	Пусть а > Ь. Верно ли неравенство:
1)	-2а >-2*;	3)
2)	-За < -ЗЬ;	4)
§ 15.	НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Задача. Из двух городов отправляются одновременно навстречу
друг другу два поезда с одинаковыми постоянными скоростями.
С какой скоростью должны двигаться поезда, чтобы через 2 ч пос-
ле начала движения сумма расстояний, пройденных ими, была не
менее 200 км?
Д Пусть х км/ч — искомая скорость движения поездов. За 2 ч
каждый из поездов пройдет путь 2х километров. По условию задачи,
сумма расстояний, пройденных поездами за 2 ч, должна быть не мень-
ше 200 км: 2х + 2х > 200.
Отсюда 4х > 200, х > 50.
Ответ: скорость движения каждого поезда должна быть не мень-
ше 50 км/ч. ▲
73
В неравенстве 4х > 200 буквой х обозначено неизвестное число.
Это пример линейного неравенства с одним неизвестным.
Неравенства
ах > b, ах < b, ах > b, ах < b,
в которых а и Ь — заданные числа, ах - неизвестное, называют ли-
нейными неравенствами с одним неизвестным.
Многие неравенства, например
4(3-х)>5 + 2х,	1-|<3(х + 4),
сводятся к линейным неравенствам.
Выражения, стоящие слева и справа от знака неравенства, назы-
вают левой и правой частями неравенства. Каждое слагаемое левой и
правой частей неравенства называют членом неравенства.
Например, в неравенстве 2х-5>4 + Зх левая часть 2х — 5, пра-
вая часть 4 + Зх; 2х, —5, 4 и Зх — члены неравенства.
Если в неравенство 2х+ 2х >200, полученное в задаче, подста-
вить х = 50, х = 51, х = 60, то получатся верные числовые неравен-
ства:
2 • 50 + 2 • 50 > 200; 2 • 51 + 2 • 51 > 200;
2 • 60+ 2 • 60 > 200.
Каждое из чисел 50, 51, 60 называют решением неравенства
2х + 2х >200.
Решением неравенства с одним неизвестным называется то зна-
чение неизвестного, при котором это неравенство обращается в
верное числовое неравенство.
Решить неравенство — это значит найти все его решения или
установить, что их нет.
Неизвестное число в неравенстве может быть обозначено любой
буквой. Например, в неравенствах
3(у - 5) < 2(4 - у), 2/-1>4(/ + 3), 5-|>|-4
неизвестные обозначены буквами у, г, z соответственно.
74
Упражнения
157.	Записать в виде неравенства утверждение:
1)	сумма чисел х и 17 больше 18;
2)	разность чисел 13 и х меньше 2;
3)	произведение чисел 17 и хне меньше 3;
4)	удвоенная сумма чисел х и — 3 не больше 2;
5)	полусумма чисел х и 3 не больше их произведения;
6)	удвоенное произведение чисел хи —4 не меньше их разности.
158.	Какие из чисел 10, у, 0,-1 являются решениями неравенства:
1) Зх + 4>2;	3) ^х-3>1-х;
2)	Зх + 4<х;	4) 3-х>±х?
159.	При каких значениях у верно неравенство:
1)	-2у > 0;	3) у2+1>0;	5) (у-1)2<0;
2)	-Зу < 0;	4) 2у2+3<0;	6)(у + 2)2>0?
160.	На рисунке 27 изображен график линейной функции у = кх + Ь.
Записать неравенством, какие значения принимает у при:
1) х > 0;	2)х<0;	3)х>—5;	4) х<-5.
161.	На рисунке 28 изображен график линейной функции у = кх + Ь.
Записать неравенством, при каких х значения функции у:
75
1)	положительны;	4)	меньше —4	;
2)	неотрицательны;	5)	не меньше	—4;
3)	отрицательны;	6)	больше—4.
162.	Построить график функции и найти по графику, при каких х
значение функции положительно, отрицательно, равно нулю,
больше 1, меньше 1:
1)	у = 2х + 4;	3) у = -2х - 8;
2)	у = Зх - 9;	4) у - -Зх + 6.
§ 16. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Решение неравенств с одним неизвестным, которые сводятся к
линейным, основано на свойствах числовых неравенств, рассмотрен-
ных в § 12. Приведем примеры решения неравенств.
Задача 1. Решить неравенство
х + 1 > 7 — 2х.
Д Предположим, что число х является решением данного не-
равенства, т. е. х — число, при котором неравенство х + 1 > 7 — 2х
является верным. Перенесем член —2х из правой части неравенства
в левую, изменив его знак на противоположный, а число 1 пере-
несем в правую часть со знаком «—». В результате получим верное
неравенство:
х+ 2х> 7—1.
В обеих частях этого неравенства приведем подобные члены:
Зх > 6.
Разделив обе части этого неравенства на 3, найдем:
х> 2.
Итак, предположив, что х — решение исходного неравенства, мы
получили, что х > 2. Чтобы убедиться в том, что любое значение х,
большее 2, является решением неравенства, достаточно провести все
рассуждения в обратном порядке.
76
Пусть х > 2. Применяя свойства верных числовых неравенств, пос-
ледовательно получаем:
Зх > 6,
х+ 2х> 7 — 1,
х + 1 > 7 — 2х.
Следовательно, любое число х, большее 2, является решением
данного неравенства.
Ответ: х> 2. ▲
При записи решения неравенства можно не давать подробных объяс-
нений. Например, решение задачи 1 можно записать так:
х + 1 > 7 — 2х,
Зх > 6,
х> 2.
Итак, при решении неравенств используются следующие основ-
ные свойства'.
& Свойство I. Любой член неравенства можно перенести из
одной части неравенства в другую, изменив знак этого члена
на противоположный; при этом знак неравенства не меняется.
Свойство 2. Обе части неравенства можно умножить или
разделить на одно и то же число, не равное нулю; если это
число положительно, то знак неравенства не меняется, а если
это число отрицательно, то знак неравенства меняется на про-
тивоположный.
Эти свойства позволяют заменять данное неравенство другим,
имеющим те же решения.
Для решения неравенства с одним неизвестным, которое сво-
™ дится к линейному, нужно:
1) перенести члены, содержащие неизвестное, в левую часть,
а члены, не содержащие неизвестное, в правую (свойство 1);
2) приведя подобные члены, разделить обе части неравенства
на коэффициент при неизвестном, если он не равен нулю
(свойство 2).
77
Задача 2 Решить неравенство:
3(х~2)-4(х + 1) < 2(х-3) - 2.
Д Упростим левую и правую части неравенства. Раскроем скобки:
Зх — 6 — 4х— 4 < 2х — 6 — 2.
Перенесем члены, содержащие неизвестное, в левую часть, а чле-
ны, не содержащие неизвестное (свободные члены), в правую часть
(свойство 1):
Зх — 4х—2х<6 + 4 — 6 — 2.
Приведем подобные члены:
—Зх<2
и разделим обе части неравенства на — 3 (свойство 2):
2
х> з'
„ 2 *
Ответ, х >	▲
Это решение коротко можно записать так:
3(х - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2,
Зх - 6 - 4х - 4 < 2х - 6 - 2,
-х -10 < 2х - 8,
-Зх < 2,
Множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х > - -, на
2
числовой оси изображается лучом (рис. 29). Точка х = -- не принад-
лежит этому лучу, на рисунке 29 она изображена светлым кружком,
а луч отмечен штриховкой.
_2
3	Рис. 29
78
Множество чисел х, удовлетворяющих, например, неравенству
х > 2 также называют лучом. Точка х = 2 принадлежит этому лучу.
На рисунке 30 эта точка изображена темным кружком.
2
Рис. 30
Задача 3. Решить неравенство
х-5 1 5х х-3
—— + 1 > —--т-
Д Умножим обе части неравенства на 6:
6-^ + 6-1>6
о	2	3
(х - 5) + 6 > 15х - 2(х - 3).
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
х - 5 + 6 > 15х - 2х + 6,
х +1 > 13х + 6,
откуда
-12х > 5, х < --Д-. ▲
5	* 12
Ответ: х <
Множество решений этого неравенства, т. е. множество чисел
х < —, изображено на рисунке 31.
5
12
Рис. 31
79
В рассмотренных примерах неравенства после упрощения сводились
к линейным, у которых коэффициент при неизвестном был не равен
нулю. В некоторых случаях этот коэффициент может быть равен нулю.
Приведем примеры таких неравенств.
Задача 4. Решить неравенство
2(х + 1) + 5 > 3-(1-2х).
Д Упростим обе части неравенства:
2х + 2 + 5>3-1 + 2х,
2х + 7 > 2 + 2х,
откуда
2х - 2х > 2 - 7,
О х > -5.
Последнее неравенство является верным при любом значении х,
так как его левая часть при любом хравна нулю, а 0 > — 5. Следова-
тельно, любое значение х является решением данного неравенства.
Ответ: х —любое число. А
Задача 5. Решить неравенство
3(2-х)-2 > 5-Зх.
Д Упростим левую часть неравенства:
6-Зх-2 >5 -Зх,
4 - Зх > 5 - Зх,
откуда
-Зх + Зх > 5 - 4,
О х > 1.
Последнее неравенство не имеет решений, так как левая часть
неравенства при любом значении х равна нулю, а неравенство 0 > 1
неверно. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
О т в е т: решений нет. А
80
Уп£ ажне£ ия*
Решить неравенство (163—164).
163.	1) х + 2>15;		3) 4)	3 < у + 6; -4 > 5 - у;	5) 6)	2z > Z - 7; 3z > 2z + 4.
	2)	х - 6 < 8;				
164.	1)	12х > -36;	3)	у <7- 4 ~ ’	5)	7,2г >-27;
	2)	-7х < 56;	4)	-5<Ь 3’	6)	-4,5х>9.
Решить неравенство и изобразить множество его решений
на числовой оси (165-166).
165.	1) 2х-16 > 0;
2)	18-Зх> 0;
3)	Зх-16<0;
166.	1) 3(х + 1)<х + 5;
2)	4(х -1) > 5 + х\
3)	2(х - 3) + 4 < х - 2;
4) 25-5х<0;
5) 9-Зх>0;
6) 2х + 4<0.
4) х + 2 < 3(х + 2) - 4;
х-1 > Зх-З.
, Зх-2 2х-1
о 1 ——	.
167.	Выяснить, при каких значениях х выражение принимает поло-
жительные значения:
1)	jx + 4;	3) 2(х+3) + 3х;	5)|-2(х + 4);
о	3
2)	|-4х;	4)3(х—5) —8х;	6)|-3(х-5).
168.	Выяснить, при каких значениях у выражение принимает отри-
цательные значения:
6 — Алгебра, 8 класс	g |
1)	3)	5>
2)	1~2У,	4)	6) ±^-|.
169.	Найти наименьшее целое число, являющееся решением нера-
венства:
1)	4(у-1)<2 + 7у;	3) 3(х - 2) - 2х < 4х +1;
2)	4j - 9 > 3(у - 2);	4) 6х +1 > 2(х -1) - Зх.
170.	Найти наибольшее целое число, являющееся решением нера-
венства:
1)	5-2х>0;	3) 3(1 - х) > 2(2 - х);
2)	6х + 5<0;	4) 4(2 - х) < 5(1 - х).
171.	1) При каких а значение дроби j больше значения дроби
2)	При каких b значение дроби меньше значения дроби
^9
5 '
Зх-5
3)	При каких х значение дроби больше значения разно-
_ „ 6х - 7	3 - х _
сти дробей — - и —— ?
гт	2-5х	7х-3
4)	При каких х значение суммы дробей  - и —-— меньше
4	6
а 2х+5 о
значения дроби ?
Решить неравенство (172—174).
172.	1) 3(х-2) + х<4х + 1;	3)
2)	5(х + 2)-х > 3(х-1) + х; 4) ^-4<х-^.
82
173. 1) 5(х + 2) + 2(х - 3) <	3(х -1) + 4х;
2) 3(2х -1) + 3(х -1) :	> 5(х + 2) + 2(2х - 3);
3) ^-1>3х-^	
4) 2-±^<2х-^	
174.1) 3Д6<0;	-2,3 п 4> 0.4х+8 < °
2) 2х’-4 > 0;	2,1+6,Зх '°’
3) О.З^	-3,8 п 6) т ~ X . >0. ’ 3,2-6,4х
175.	При каких х значения функции у = 2,5х — 4:
1)	положительны;	3) больше 1;
2)	отрицательны;	4) меньше —4?
176.	При каких х значения функции у = 3,5 — 0,5х ,
1)	положительны; 3) не больше 3,5 ;
2)	неотрицательны; 4) не меньше 1?
177.	Построить график функции у = 3 — 2х. С помощью графика най-
ти значения х, при которых точки графика лежат:
1)	выше оси абсцисс;
2)	выше прямой у ~ 2;
3)	ниже оси абсцисс;
4)	ниже прямой у = 4.
Результаты проверить, решая соответствующие неравенства.
178.	Рабочий по плану должен изготовить 40 деталей. Сколько дета-
лей он должен изготовить, чтобы перевыполнить план более чем
на 7 %?
83
§ 17. СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ.
ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ
1	.Системы неравенств.
Задача. В пустой бассейн вместимостью 4000 л начали наливать
воду. Сколько литров воды в час нужно наливать в бассейн, чтобы
через 4 ч было заполнено более половины всего бассейна и чтобы
через 5 ч бассейн не переполнился?
Д Пусть х литров — количество воды, поступающей в бассейн за
1 ч. По условию задачи 4х > 2000, 5х < 4000. Из первого неравенства
получим х > 500, а из второго х < 800 .
Ответ: за час нужно вливать в бассейн больше 500 л, но не
более 800 л. ▲
В неравенствах 4х > 2000 и 5х < 4000 неизвестное число х одно и
то же. Поэтому эти неравенства рассматривают совместно и говорят,
что они образуют систему неравенств'.
4х > 2000,
5х < 4000.
(1)
Фигурная скобка показывает, что нужно найти такие значения х,
при которых оба неравенства системы (1) обращаются в верные чис-
ловые неравенства.
Система (1) — пример системы линейных неравенств с одним не-
известным.
Приведем еще примеры систем неравенств с одним неизвестным,
сводящихся к системе линейных неравенств:
3(х +1) > 5,
4(х - 1) > х - 2;
2х -1 > Зх,
5(х -1) < 8,
х-1 >5.
л. Решением системы неравенств с одним неизвестным называется
” то значение неизвестного, при котором все неравенства систе-
мы обращаются в верные числовые неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти все решения
этой системы или установить, что их нет.
84
Например, х ~ 1 является решением системы
(2)
так как при х — 1 оба неравенства системы (2) верны:
Разделив обе части первого неравенства системы (2) на 2, а вто-
рого — на 3, получим:
Следовательно, решениями системы (2) являются все значения
х, которые не меньше —2 и не больше 3.
Неравенства х > -2 и х < 3 можно записать в виде двойного
неравенства'.
2	. Числовые промежутки.
Решениями систем неравенств с одним неизвестным являются
различные числовые множества. Эти множества имеют свои названия.
Например, на числовой оси множество чисел х, таких, что -2 < х < 3
изображается отрезком с концами в точках —2 и 3 (рис. 32).
-2
О
Рис. 32
3
Поэтому множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам
-2 < х < 3, называют отрезком и обозначают [—2; 3].
gfo Если а < Ь, то множество чисел х, удовлетворяюших неравен-
ствам а < х < b, называется отрезком и обозначается [а; />].
Например, отрезок [4; 7] — это множество чисел х, удовлетворя-
ющих неравенствам 4 < х < 7.
85
Для множеств чисел х, удовлетворяющих неравенствам вида 2 < х < 7,
-1< х <2, 4 < х < 7, также вводятся специальные названия.
I Если а < Ь, то множество чисел х, удовлетворяющих неравен-
I ствам а < х < Ь, называется интервалом и обозначается (а; Ь).
Например, интервал (—2; 3) — это множество чисел х, удовлет-
воряющих неравенствам —2 < х < 3 (рис. 33).
^////////^^^
Рис. 33
Множества чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < b
или а < х < b, называются полуинтервалами и обозначаются
соответственно [а; Ь) и (а; £>].
Например, полуинтервал [—1; 2) — это множество чисел х, удов-
летворяющих неравенствам -1 < х < 2; полуинтервал (4; 7] — это мно-
жество чисел х, удовлетворяющих неравенствам 4 < х < 7 (рис. 34).

Рис. 34
Л* I Отрезки, интервалы, полуинтервалы и лучи называют числовы-
™ | ми промежутками.
Таким образом, числовые промежутки можно задавать в виде не-
равенств.
Упра ясне ния
YJ9. Какие из чисел —3; 0; 5 являются решениями системы нера-
венств:
1)
5 - х < 9,
2 - Зх > - 4;
4х-2>1,
2) 3
5-2х>-25?
86
180.	Какие из чисел —2; 0;1 являются решениями системы неравенств:
1)
12х-1< 11,
-3 - х < 0;
2)
4х -1 > 4 - х,
х + 6 > 2?
181.	Найти все целые числа, являющиеся решениями системы нера-
венств:
1)
х > 2,
х < 7;
182.	Множество чисел х, удовлетворяющих данному двойному нера-
венству, записать с помощью обозначений числового промежутка
и изобразить его на числовой оси:
1)	1 < х < 5;	3) -1 < х < 4;	5) - 3 < х < 1;
2)	-1 < х < 3;	4) 1 < х < 2;	6) - 4 < х < -2.
183.	Множество чисел х, принадлежащих данному числовому про-
межутку, записать в виде двойного неравенства и изобразить его
на числовой оси:
1)[-4;0];	3)(-4;-2);	5)(-1;4];
2)[-3;-1];	4)(0;3);	6) [-2; 2).
184.	Записать в виде двойного неравенства, а также с помощью обо-
значений числового промежутка множество чисел х, изображен-
ное на рис. 35:
Рис. 35
87
• s№ 2 Стороны прямоугольника выражаются натуральными	|
|	числами. Какой длины должны они быть, чтобы	|
|	значение периметра прямоугольника было равно	|
	значению его площади?	а
185.	Принадлежит ли отрезок [2; 3] интервалу (1; 4)?
186.	Имеют ли общие точки отрезки [2; 4] и [3; 5]?
187.	На одной координатной плоскости изображены графики двух
линейных функций (рис. 36). При каких х значения обеих функ-
ций одновременно положительны? отрицательны?
188.	На одной координатной плоскости построить графики функций
у = —2х —2 и у = 2 - . Отметить на оси абсцисс множество зна-
чений х, при которых значения обеих функций: 1) положитель-
ны; 2) отрицательны.
88
189.	Решить неравенство:
1)	(х - 3)(2х - 3) + 6х2 > 2(2х - З)2;
2)	(5 - 6х)(1 + Зх) + (1 + Зх)2 < (1 + Зх)(1 - Зх);
3)	(2х + 1)(4х2 - 2х +1) - 8х3 > -2(х + 3);
4)	(х - 2)(х2 + 2х + 4) < х(х2 + 2) +1.
__ _§_18. РЕШЕНИЕ ^СИСТЕМНЕРАВЕНСТВ
Рассмотрим примеры решения систем неравенств.
Задача 1 Решить систему неравенств
5х -1 > 3(х +1),
2(х + 4) > х + 5.
Д Решим первое неравенство:
5х -1 > Зх + 3,
2х > 4, х > 2.
Таким образом, первое неравенство системы выполняется при
х> 2.
Решим второе неравенство:
2х + 8 > х + 5, х > -3.
Таким образом, второе неравенство системы (1) выполняется при
х >—3 .
Изобразим на числовой оси множества решений первого и второ-
го неравенств системы (1). Решения первого неравенства — все точки
луча х > 2, решения второго неравенства — все точки луча х >—3
(рис. 37).
Рис. 37
89
Решениями системы (1) являются такие значения х, которые од-
новременно принадлежат обоим лучам. Из рисунка видно, что мно-
жество всех обших точек этих лучей — луч х > 2
Ответ: х>2.▲
Задача 2. Решить систему неравенств
3(х -1) < 2х + 4,
4х-3>13.	(2)
Д Решим первое неравенство системы (2):
Зх - 3 < 2х + 4,
х < 7.
Решим второе неравенство системы (2):
4х > 16,
х > 4.
Изобразим на числовой оси множества решений первого и второ-
го неравенств системы (2). Решения первого неравенства — луч х < 7,
решения второго неравенства — лучх > 4 (рис. 38).
____,____।___।____|„, 1
О	4	7
Рис. 38
Из рисунка видно, что множество общих точек этих лучей — от-
резок [4; 7].
Ответ. 4 < х < 7. ▲
Задача 3 Решить систему неравенств
5х 4 > х+1
71+ з ~
<
~ 5х 2-х
“ 14<-2~‘
90
А Решим первое неравенство системы (3):
5х + 16 > 4х + 4,
х>-12.
Решим второе неравенство:
28 - 5х < 14 - 7х,
2х < -14,
х <-7.
Изобразим на числовой оси лучи х > -12 и х < -7 (рис. 39).
-12	-7
Рис. 39
Из рисунка видно, что множество общих точек этих лучей — по-
луинтервал [12; —7).
Ответ: -12 < х < -7. ▲
Задача 4. Показать, что система неравенств
2(1 - х) < 4 - Зх,
10-Зх<1	(4)
не имеет решений.
А Решим первое неравенство системы (4):
2 — 2х < 4 — Зх, х < 2.
Решим второе неравенство системы (4):
—Зх<—9,
х> 3.
Изобразим на числовой оси лучи х < 2 и х > 3 (рис. 40).
1	,	। А_________С । Г ^ис- 40
0	2	3
Из рисунка видно, что эти лучи не имеют общих точек. Следова-
тельно, система (4) не имеет решений. ▲
91
Упражнения
Записать все решения системы неравенств одним неравенством
и изобразить это множество на числовой оси (190—191).
	X	>2,	X	>0,	X >	2,	х > -2,
190. 1)	X	>5;	2>	X	> -1; 3) 1	X >	-3;	4» 1	х > -4.
	X	<1,	X <	о,	X <	-2,	х < 1,
191. 1)	X	<5;	2> 1	X <	-1; М	А <	-5;	4> 1	х < 0.
Записать все решения системы неравенств двойным неравен
ством и изобразить это множество на числовой оси (192—193).
192.	1) 1	х > 2, х < 5;	2)	х > 2, х < 6;
193.	1) ‘	х * IV 1Л 1	1 tsj ч*	ч» U1	2) <	х < 1,5, х > -1,5;
	х < 0,	х > 0,
3) •	1%>-2; 4) '	1
		1 2
	х>0,8,	х < 7,5,
3) 	О Э	4) 1 х<2,2;	'	х > - 0,5.
Решить систему неравенств (194—197).
194. 1) '	Зх -18 > 0, 4х > 12;	з) •	2х + 5 > 0, Зх + 6 > 0;
	1х -14 > 0,		2х + 7 > 0,
2) 	2х > 8;	4) <	5х + 15>0
	3 - 2х > 0,		2х + 3 < 0,
195. 1) '	4х + 8 < 0;	3) '	Зх + 9 < 0;
	2х + 4 < 0,		2х-9<0,
2)	4 - Зх > 0;	4) ‘	12 > Зх.
92
196. 1)	7 - 2х > 0, 5х - 20 < 0;	3) 	6 - 2х > 0, Зх + 6 > 0;
	2х + 5 < 0,		10 - 2х > 0,
2)	9х + 18<0;	4) ‘	4х - 8 > 0.
	Зх + 3 < 2х +1,		5(х +1) - х > 2х + 2,
197. 1) '	Зх - 2 < 4х + 2;	з) 	4(х +1) - 2 < 2(2х +1) - х;
	4х + 2 > 5х + 3,		2(х -1) - 3 < 5(2х -1) - 7х,
2) <	2 - Зх < 7 - 2х;	4) ‘	3(х +1) - 2 < 6(1-х) + 7.
198.	Найти все целые числа, являющиеся решениями системы нера-
венств:
1) '	0,2х > -1,		х-1 2 х+1 ~т	IV Л | X +>| X Ч» •	ч»
	1 w| И IV	3) 		
			х-1	X
	1 - 0,5х > 0,		4	- 5’
2) 	х+5	.	4)	X	х+4
	<-1;		I >	
199.	При каких х значения функций у = 0,5х + 2иу=3 — Зх одно-
временно:
I)	положительны;	3) больше 3;
2)	отрицательны;	4) меньше 3?
200.	При каких х значения функций у = х — 2 и у = 0,5 х + 1 одно-
временно:
1)	неотрицательны;	3) не меньше 4;
2)	неположительны;	4) не больше 4?
201.	Одна сторона треугольника равна 5 м, вторая сторона 8 м. Какой
может быть третья сторона, если периметр треугольника:
1) меньше 22 м;	2) больше 17 м?
93
202.	Если из - целого числа вычесть - его, то получится число, боль-
пп	3	1
шее 29, а если из - этого же числа вычесть его, то получится
число, меньшее 29. Найти это целое число.
203.	Если к удвоенному целому числу прибавить его половину, то
получится число, меньшее 92, а если из удвоенного этого же
целого числа вычесть его половину, то получится число, боль-
шее 53. Найти это целое число.
§ 19. МОДУЛЬ ЧИСЛА. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА,
СОДЕРЖАЩИЕ МОДУЛЬ
1.	Модуль числа.
Напомним понятие модуля числа:
1)	Модуль положительного числа равен самому числу.
2
Например, |3| = 3,
|2.4| = 2.4.
7
2)	Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.
Например, |-2| - -(-2) = 2,
|1,5| =-(-1,5) = 1,5.
3)	Модуль нуля равен нулю'. |0| = 0.
Итак, определение модуля числа таково:
|о| = а, если а > 0,
|а| = -а, если а < 0.
Это определение коротко записывают формулой:
а, если а > 0,
-а, если а < 0.
94
Рассмотрим геометрический смысл модуля числа.
Изобразим на числовой оси, например, точки 3 и —2 (рис. 41).
Рис. 41
Из рисунка видно, что | 31 = 3 есть расстояние от точки 0 до
точки 3, |-2| = 2 есть расстояние от точки 0 до точки —2.
♦
Итак, геометрически | а | есть расстояние от точки 0 до точки,
изображающей число а.
2.Уравнения, содержащие неизвестное под зна-
ком модуля.
Задача 1. Решить уравнение
Д 1) Пусть х > 0. Тогда по определению модуля | х | = х, и урав-
нение принимает вид:
х — 7,
т. е. х = 7 — корень исходного уравнения;
2) Пусть х < 0. Тогда по определению модуля | х | = -х и уравне-
ние принимает вид:
—х= 1,
откуда х = — 7 — корень исходного уравнения.
Ответ: х, = 7, хг = —7. ▲
Задача 2. Решить уравнение |3х + 2| = 1.
Д 1) Пусть Зх + 2 > 0. Тогда Зх + 2 = 1, Зх=—1, х -
95
2) Пусть Зх + 2 < 0. Тогда Зх + 2 = —1, Зх = —3, х = — 1.
Ответ: х{ = х2 = -1. ▲
3. Неравенства, содержащие неизвестное под зна-
ком модуля.
Рассмотрим неравенство
|х| < а, где а>0.
Этому неравенству удовлетворяют все точки х, находящиеся на
расстоянии, не большем а, от точки 0, т. е. точки отрезка [~а; а]
(рис. 42).
| х | < а
Рис. 42
Отрезок [~а; а] — это множество чисел х, удовлетворяющих не-
равенству-о < х < а.
Следовательно, неравенство |х| < а, где а > 0, означает то же
самое, что и двойное неравенство -а < х < а.
Например, неравенство |х| < 2,5 означает, что -2,5 < х <2,5;
неравенство |х| < 3 означает, что —3 < х < 3.
Задача 3. Решить неравенство |5 - Зх| < 8.
Д Запишем данное неравенство в виде
-8 <5- Зх<8.
Это двойное неравенство означает то же самое, что и система не-
равенств
5 - Зх < 8,
5 - Зх > -8.
96
о
Рис. 43
Решая эту систему, находим —1 < х < 4| (рис. 43). ▲
Рассмотрим неравенство
|х| > а, где а > 0.
Этому неравенству удовлетворяют все точки х, находящиеся от
точки 0 на расстоянии, не меньшем о, т. е. точки двух лучей х > а и
х < а (рис. 44).
~а
Рис. 44
Задача 4. Решить неравенство |х -1| > 2.
Д 1) Пусть х -1 > 0. Тогда х - 1 > 2 . Получим систему нера-
венств
х -1 > 0,
\ -1 > 2.
Решая эту систему, находим х > 3.
2) Пусть х — 1 < 0. Тогда -(х -1) > 2, или х -1 < -2.
Получим систему неравенств
х -1 < 0,
х -1 < -2.
Решая эту систему, находим х < -1.
7 — Алгебра, 8 класс
97
Итак, во-первых, решениями неравенства |х -1| > 2 являются
числа х > 3, а во-вторых, числа х < -1.
Ответ: х<-1,х>З.А
Решения неравенства |х -1| > 2 изображены на рисунке 45.
о
Рис. 45
Отметим, что если в неравенстве | х | < а число а равно нулю, то
неравенство имеет единственное решение х = 0, а если а < 0, то это
неравенство не имеет решений.
Если в неравенстве | х | > а число а меньше или равно нулю, то
любое число является его решением.
Упражнения
204. (Устно.) Найти модуль числа:
1) 23;	3) I-	5) -2,1;
2) 4,7;	4) -47;	6) ’
О
Решить уравнение (205—208).
205. 1)	|х| = 2,5;	3)	|х-1| = 2;
2)	|х| = 1,5;	4)	|х + 3| = 3.
206. 1)	|х + 4| = 0;	3)	|2х -3| = 0;
2)	|х - 2| = 0;	4)	|3 -4х| = 0.
98
	2	_1	_ _1.
207. 1) |Зх-5| = 5;	3)	зх +	6	" 3’
	3	£	
2) |4х + 3| = 2;	4)	4Х	2	“ 4‘
208. 1) |-х| = 3,4;	3)	5-х		= 5;
2) |х| = 2,1;	4)	3-х,		8.
209.	Изобразить на числовой оси множество решений неравенства:
1)	|^с| < 5;	3) |х| > 3;
2)	|х|<4;	4) |х| > 2.
210.	Записать неравенство с модулем в виде двойного неравенства:
1)	|х| < 3;	2) |х|<2.
211.	Записать двойное неравенство в виде одного неравенства с мо-
дулем:
1)	-3,1<х<3,1;	2) -0,3 < х<0,3.
Решить неравенство (212—215).
212.	0	|! + х|	<0,3;	3)	VI "й" ।
	2)	|2 + х|	<0,2;	4)	
213.	1)	|Зх-4	1|<5;	3)	|2 - Зх| < 2;
	2)	|2х +'	*|<3;	4)	(5-4х|<1.
214.	D	|х+!|	>1,3;	3)	
	2)	|х-2|	>1,1;	4)	|3-х|>|.
99
215. 1) |4х - 3| > 3;
2)	|Зх + 2| >1;
3) |Зх-2| >4;
4) |4 - 5х| > 4.
216. Найти все целые значения х, при которых выполняется неравен-
ство:
1) |5х - 2| < 8; 2) |5х + 3| < 7;	3) |5 - Зх| < 1; 4) |3 - 4х| < 3.
217. Решить неравенство: 1) |2х - 3| > 5; 2) |3х -1| < 4;	3) |1 - Зх| < 1; 4) |3 - 2х| > 3.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Решить уравнение (218—219).
218. 1) х(2х + 5) = 0; 2) х(3х - 4) = 0;	3) (х - 5)(3х + 1) = 0; 4) (х + 4)(2х - 1) = 0.
219. 1) ^±| = 0; Зх-1	(2х+1)(х+2) _ 0. ’	х-3
2) ^ = о; 7 2х+5	(х-3)(2х+4) _ Q f	х+1
220. На числовой оси точка а лежит левее точки Ь. Положительно или
отрицательно число:
1) Ь-а; 2)2 + Ь- о; 221. Решить неравенство:	3) а-Ь;	4) а-З-Ш
1) х + 9 > 8 - 4х; 2) 3(у + 4)>4-(1-Зу);	3) 5(0,2 + у)-1,8 > 4,3 + 5у; 4) 3(х-5) + 9>15.
100
111. Решить систему неравенств:
1)
0,5 (х + 3) - 0,8 < 0,4 (х + 2) - 0,3,
' 0,7 (2 - х) +1,3 < 0,6 (1 - х) + 2,2;
2)
1,5(х-2)-2,1<1,3(х-1) + 2,5,
1,3 (х + 3) +1,7 > 1,6 (х + 2) +1,8.
223. Решить уравнение:
1) |х-1| = 3,4;
2) |1 - х| = 2,4;
224. Решить неравенство:
1) |х -1| < 3,4;
2) |х - 1| > 3,4;
3) |1 - 2х| = 5;
4) |Зх-2| = 1.
3) |х - 1| < 3,4;
4) |2х +1| > 3.
Проверьте себя!
1.	Доказать, что при всех значениях х верно неравенство
| х(2х - 4) > (х - 2)х.
2.	Решить неравенство:
1)	12 - 5х > 0;	2) Зх - 7 < 4(х + 2); 3) |	< 2.
3.	Решить систему неравенств:
1) 	Зх-13>0,	3 |5х + 3<Зх-7, 25 - 4х > 0;	) 11 - 2х > х + 4. 4х-13>Зх-10,
2) 	11-4х< 12-Зх;
101
225.	Пусть а < 2b. Доказать, что:
1)	4« - 2b < а + 4Z>;	3) а + 2Ь > За - 2Ь;
2)	За-2b < a+ 2b;	4)а + Ь>4а-5Ь.
226.	Одна сторона треугольника больше 4 см, вторая в 1,5 раза боль-
ше первой, третья в 1,5 раза больше второй. Доказать, что пери-
метр треугольника больше 19 см.
227.	При какиххзначения функцийу= —х+1иу = х+ 2 одновре-
менно:
1)	положительны;	3) больше 1;
2)	отрицательны;	4) больше 2?
228.	Сумма четного числа с утроенным последующим четным чис-
лом больше 134, а сумма этого же четного числа с удвоенным
предыдущим четным числом меньше 104. Найти это число.
229.	Сумма нечетного числа с удвоенным последующим нечетным
числом меньше 151, а сумма этого же нечетного числа с утро-
енным предыдущим нечетным числом больше 174. Найти это
число.
(?Р ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ III
1.	Решить неравенство 5(х — 3) + 2х < 4х + 3.
А) х < 6; С) х > 6;	Е) х = 6.
В) х<— 6;	D) х> — 6;
2.	Решить неравенство 4(х — 1) + 5(х + 1) < 6(х + 2) + 7(х — 1).
А)х<—1;	С) х< 1;	Е) х= — 2.
В) х> —1; D) х> 1;
3.	Решить неравенство	_ 4*+3.
4	6	3
А)х>1;	С)х>0,1;	Е)х>0,5.
В) х < 1;	D) х < 2;
102
4.	Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
7х + 5 > 3(х -1) - 4х.
А)	х=2; С) х=3;	Е) правильный ответ не
В)	х= —2;	D) х= — 1;	приведен.
5.	Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
7(1 - х) > 5(3 - х).
А)х=3;	С)х=2;	Е) х= — 5.
В)х=—3;	D) х= — 2;
3%_()	4а__5	4__х
6.	При каких х дробь меньше суммы дробей	и —— ?
А)х<3,3;	С) х<-2,3;	Е)х<-1.
В) х> 2,3;	D) х> 4,5;
_ _	г- „ 3-5х 7х+3 _	_ Зх+5_
7.	При каких х разность дробей	и —	больше дроби —jy-?
А)х<1;	C)x>jL;	Е)Х<А
в)	D)
Решить систему неравенств
3(1 - х) > 5 - 4х,
\13-4х<1.
А)
С) х>3;
В) |<х<3;
D) х> —3;
Е) правильный ответ не
приведен.
2
9.
Решить систему неравенств
х-3	х+2
Т-—’
х-4	х-5
ГГ “•
А) 1 < х < 9; С) х > 9;	Е) -12<х<0.
В) -12 <х; D) -12<х<9;
103
10. Решить систему неравенств
(х + 3)(х + 2) < (х + 4)(х -1) + 5,
2(5х -1) > 3(3х - 2).
А) х > 4;
В) -4<х<2,5;
С) 4<х<2,5;
D) 0 < х < 2,5;
Е) -4<х<-2,5.
11.	Найти наименьшее целое число, являющееся решением системы
неравенств
х х .
. 2~3 > ’
Зх - 2 > х + 2.
А) х= 7;	С) х= 6;
В) х= —7;	D)x=3;
Е) х= -3.
12.	Найти наибольшее целое число, являющееся решением системы
неравенств
х_х 1
3~ 4 < 6‘
А)	х = -2;
В)	х= 1;
С) х=2;
D) х=0;
Е) х=3.
13.	Решить неравенство |4х - 5| < 3.
А)	х >-2;	С) |<х<2;
В)	|<х<1;	D) -2<х<-|;
14.	Решить неравенство |1 - Зх| < 2.
А)	0 < х <	С) | < х < 1;
В)	-1<х<-|; D) -|<х<1;
15.	Решить неравенство |3 - 2х| > 1.
А)	х < 1, х > -2;	С) х < 2, х > 3;
В)	х < -1, х > -2;	D) 1 < х < 2;
Е) 0 < х < 2.
Е) правильный ответ
не приведен.
Е) х < 1, х > 2.
104
g
Исторические задачи
1.	Задача Евклида. Доказать, что а + d > b + с, если a, b, с, d —
_	ас
положительные числа, а — наибольшее из них и — - —.
о а
2.	Задача Паппа Александрийского. Доказать, что ad > be, если а,
,	,	а с
Ь, с, d— положительные числа и - > —.
о а
3.	Неравенство Бернулли. Если х{, х2, ...,х > — 1 и все числа х{,
х2,..., хп одного знака, то(1+х!) (1+х2) ... (1+хи) >
> l + Xj +х2 + ... +х„ .
Доказать неравенство Бернулли для п = 2, 3.
Исторические сведения
Знаки строгих неравенств > (больше) и < (меньше) впер-
вые в истории математики ввел Т. Гарриот в своем трактате,
изданном в 1631 г. Знаки нестрогих неравенств > (больше или
равно) и < (меньше или равно) впервые введены в 1734 г. во
Франции.
Знак | х | для модуля числа х ввел известный немецкий
математик К. Вейерштрасс в 1841 г.
105
Глава IV
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 20.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИН.
ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ
При решении практических задач часто приходится иметь дело с
приближенными значениями различных величин. Приближенные значе-
ния обычно получаются при подсчете большого количества предме-
тов, например, числа деревьев в лесу; при измерениях различных
величин с помощью приборов, например длины, массы, температу-
ры; при округлении чисел и т. д.
Рассмотрим несколько примеров:
1)	первая почтовая марка Республики Узбекистан, которая была
посвящена узбекской поэтессе Нодире, была пущена в обращение в
количестве 2 миллионов экземпляров;
2)	в классе 36 учеников;
3)	в Узбекистане насчитывается около 10000 общеобразователь-
ных школ, гимназий, лицеев;
4)	длина железной дороги Навои—Нукус 342 км;
5)	рабочий получил в кассе 10675 сумов;
6)	за последние годы в Узбекистане площадь, отведенная под
зерновые культуры, увеличилась на 300 тысяч гектаров;
7)	расстояние от Ташкента до Бухары 500 км;
8)	в килограмме пшеницы содержится 30 000 зерен;
9)	расстояние от Земли до Солнца 1,5 Ю8 км
10)	на Государственном флаге Республики Узбекистан имеется
12 звезд.
В примерах 2, 5, 10 значения величин точные, а в остальных —
приближенные.
Задача 1. Один из школьников на вопрос о том, сколько уча-
щихся учится в школе, ответил: «1000», а другой на тот же вопрос
ответил: «950». Чей ответ точнее, если в школе учится 986 учащихся?
А Первый школьник ошибся на 14, а второй — на 36. Следова-
тельно, более точным был ответ первого учащегося. ▲
106
Заметим, что разность между точным и приближенным значени-
ями числа учащихся в первом случае отрицательна:
986 -1000 = —14,
а во втором случае положительна-
986 - 950 = 36.
Практически важно знать отклонение приближенного значения
от точного в ту или другую сторону, т. е. модуль (абсолютную величи-
ну) разности между точным значением и приближенным.
Модуль разности между точным значением величины и ее при-
ближенным значением называется абсолютной погрешностью
приближения.
Таким образом, если а — приближенное значение величины, точ-
ное значение которой равно х, то абсолютная погрешность прибли-
жения равна
|х—а|.
Абсолютную погрешность приближения часто называют просто
погрешностью.
Задача 2. При нахождении суммы углов треугольника с помо-
щью транспортира получили результат 182°. Какова абсолютная по-
грешность этого приближения?
А Точное значение суммы углов треугольника равно 180°, при-
ближенное значение равно 182°. Поэтому абсолютная погрешность
равна
| 180°—182° | = | -2° | = 2°. ▲
Задача 3. Найти погрешность приближения числа - десятич-
ной дробью 0,43.
л I 3 _ Л ДТ I - I 3 _ 43 1-1 30°-301 I _ I	1 I _ 1 А
Л ' 7	’ ’ * 7 100 '' 700 'I 700 I 700
107
Упражнения
230.	Указать, какие из приведенных в примерах чисел являются точ-
ными значениями величин, а какие приближенными:
1)	одна лепешка стоит 100 сумов;
2)	тетрадь в 12 листов стоит 60 сумов и имеет толщину 3 мм;
3)	за один год автомобильным заводом было выпущено 200 ты-
сяч автомобилей?
231.	При измерении ширины книги масштабной линейкой учащий-
ся получил результат в промежутке от 14,2 см до 14,4 см.
1)	Можно ли назвать точное значение ширины книги?
2)	Указать несколько приближенных значений ширины книги.
232.	Найти абсолютную погрешность приближения числа 1 числом:
9
1)£; 2)1; 3)0,3; 4)0>44-
233.	Найти погрешность приближения:
1)	числа 0,1975 числом 0,198;
2)	числа —3,254 числом —3,25;
8	1
3)	числа числом —,
'	17	2
22
4)	числа — числом 3,14.
234.	Пусть а — приближенное значение числа х. Найти погреш-
ность приближения, если:
1)х = 5,346, а =5,3;	3)х=15,9, а = 16;
2)х = 4,82, а =4,9;	4) х = 25,08, а = 25.
235.	Известно, что сумма внутренних углов четырехугольника равна
360°. При нахождении суммы внутренних углов четырехуголь-
ника с помощью транспортира получили результат 363°. Чему
равна погрешность этого приближения?
108
236.	С помощью графиков прямых у = 7х + 9 и у = 1 получили, что
эти прямые пересекаются в точке с абсциссой, равной —1. Чему
равна погрешность этого приближения?
237.	Верно ли, что десятичная дробь 0,33 является приближенным
1 R
значением числа - с абсолютной погрешностью, меньшей
0,01?
§ 21. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ
Во многих случаях точное значение величины неизвестно, и
тогда абсолютную погрешность приближения найти нельзя. Тем не
менее часто удается дать оценку абсолютной погрешности, если из-
вестны приближения с избытком и с недостатком.
Задача 1.В комнатном термометре верхний конец столбика
жидкости находится между отметками 21 и 22° С. В качестве прибли-
женного значения температуры взято число 21,5. Оценить абсолют-
ную погрешность приближения.
Д Точное значение температуры t неизвестно, однако мож-
но утверждать, что
21 < /<22.
Чтобы получить оценку разности между точным значением тем-
пературы и приближенным, т. е. разности / — 21,5, вычтем из каждой
части этого двойного неравенства число 21,5.
Получим —0.5 < t— 21,5 <0,5 , т. е. |г —21,5| <0,5. Таким образом,
абсолютная погрешность не больше 0,5. ▲
В этом случае говорят также, что температура измерена с точнос-
тью до 0,5 и записывают:
/=21,5±0,5.
&
Вообще, если число а — приближенное значение числа х и
|х — а| < Л, то говорят, что число х равно числу а с точностью до
h, и пишут:
х = а ± h.
(1)
109
Напомним, что неравенство |х — а| < h означает то же самое, что
и двойное неравенство
a ~h <х<а + h.
(2)
Например, запись х = 2,43 ± 0,01 означает, что х равно 2,43 с
точностью до 0,01, т. е. 2,43 — 0,01 <х< 2,43 + 0,01, или 2,42 <х< 2,44.
Числа 2,42 и 2,44 являются приближенными значениями числа х
с недостатком и с избытком.
Практически при измерении, рассмотренном в задаче 1, в каче-
стве приближенного значения берут 21 или 22° С. В этом случае абсо-
лютная погрешность каждого из этих приближений не превосходит
Г С. Поэтому обычно считают, что измерение температуры с помо-
щью термометра, на котором деления нанесены через Г С, прово-
дится с точностью до ГС.
Аналогично и для других измерительных приборов точность измере-
ния обычно устанавливается по наименьшему делению прибора. На-
пример, микрометром измеряют длину с точностью до 0,01 мм, ме-
дицинским термометром измеряют температуру с точностью до
0, Г С, наручные часы с секундной стрелкой показывают время с
точностью до 1 с.
Таким образом, погрешность измерения зависит от того, каким
прибором ведется это измерение. Чем меньше погрешность прибли-
жения, тем точнее измерительный прибор.
Приближенными значениями часто пользуются при замене обыкно-
венных дробей десятичными.
Задача 2. Доказать, что число 0,43 является приближенным зна-
13
чением дроби с точностью до 0,01.
13
А Требуется доказать, что _ 0,43 < 0,01.
Вычислим разность: 12 _ о 43 = 12
30	'	30
43
100
130-129
300
~ 300’
Следовательно,
^-0,43
30
1
300
Так как — < 0,01
300
то
^-0,43
30
<0,01.А
ПО
Упражнения
238. Что означает запись:	
1) х = 3,9 ±0,2;	4) х = 0,73 ±0,01;
2) х = 0,4 ±0,15;	5)х= —135 ±1;
74	1 л. 1 3) * = 3*15’	6)х = -2-± —? 7	5 10
239.	Записать в виде двойного неравенства:
1)	х = 11 ± 0,5;	3)/=3,7 ±0,1;	5)х = а±Л;
2)	т =142 ±1;	4)v = 900±5;	6)у=т + п.
240.	Известно, что:
1)х = 4±0,1;	3)х= — 0,6 ±0,12;
2)	х = 2,7 ±0,1;	4) х=-5,9 ±0,2.
Найти приближенные значения числа х с недостатком и с из-
бытком.
241.	Пусть х — 5,8 ± 0,2. Может ли точное значение оказаться равным:
1)5,9;	2)6,001;	3)6;	4)5,81?
242.	Пусть х = 8,7 ± 0,4. Может ли число х быть равным:
1)	8,222;	2) 8,4;	3) 9;	4) 9,5?
243.	Указать приближенное значение числа х, равное среднему ариф-
метическому приближений с недостатком и с избытком:
1)20<х<22;	3)4,5<х<4,8;	5) 2,81 <х < 2,83;
2)5<х<6;	4)3,7<х<4,1;	6) 0,55 <х< 0,6.
244.	Доказать, что:
1)	2,7 есть приближенное значение числа 2,7356 с точностью до
0, 5;
2)	число 0,27 является приближенным значением дроби — с
точностью до 0,01.
111
245.	Является ли число 4 приближенным значением дроби 4,3 с точ-
ностью до 0,5? до 0,1?
246.	Согласно оптическим и радиолокационным измерениям диа-
метр Меркурия равен (4880 ±2) км, а радиус Венеры равен
(6050 ± 5) км. Записать результат измерения в виде двойного не-
равенства.
247.	Для измерения диаметра цилиндра рабочий пользуется калибро-
метром, в котором имеются отверстия диаметром 10,00; 10,04;
10,08 мм и т. д. до 10,56 мм. Какова при этом точность измерения?
248.	В отделе технического контроля (ОТК) завода измеряется диа-
метр вала с точностью до 0,1 мм. По таблице допусков диаметр
d вала должен быть в промежутке 167,8 < d< 168,2. Забракует
ли ОТК вал, если в результате измерения его диаметр равен
168,1 мм?
§ 22. ОКРУГЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
Округление чисел используется при действиях с приближенными
значениями различных величин во многих практических задачах ма-
тематики, физики, техники.
Например, ускорение свободного падения на уровне моря и ши-
роте 45° равно 9,80665 м/с2. Обычно это число округляют до десятых:
9,8. При этом пишут: g~ 9,8 (читается: «g приближенно равно 9,8»).
I Запись х ~ а означает, что число а является приближенным
I значением числа х.
Задача 1. Площадь земельного участка прямоугольной формы
равна 25 м2, его длина равна 8 м. Найти ширину участка.
Д Пусть ширина участка равна I метров, тогда
/=25:8 = 3,125.
Ответ: 3,125м. А
Такой результат на практике обычно округляют до десятых, т. е.
полагают I «3,1.
112
Рассмотрим правило округления чисел на следующем примере.
Пусть требуется округлить число 3,647 до сотых. Для округления с
недостатком отбросим последнюю цифру 7, в результате получим 3,64.
Для округления с избытком отбросим последнюю цифру 7, а пред-
последнюю увеличим на единицу. В результате получим 3,65.
В первом случае абсолютная погрешность округления равна
|3,647-3,64|= 0,007.
Во втором случае абсолютная погрешность равна
|3,647-3,65| = 0,003.
Во втором случае погрешность приближения меньше, чем в пер-
вом случае. Следовательно, в рассматриваемом примере наилучшим
является округление с избытком.
Чтобы абсолютная погрешность приближения при округлении по-
ложительных чисел была наименьшей, пользуются следующим пра-
вилом.
Если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то нужно округ-
лять с недостатком, а если эта цифра больше или равна 5, то
нужно округлять с избытком.
Например, при округлении до десятых получаем:
3,647 -3,6, 2,658 -2,7;
при округлении до сотых получаем:
0,6532-0,65, 9,0374-9,04.
2
3 а д а ч а 2. Заменить число у десятичной дробью, равной этому
числу с точностью до 0,01.
Д Запишем результат деления 2 на 7 в виде десятичной дроби с
тремя знаками после запятой:
| = 0,285....
2
Округляя это число до сотых, получаем - ~ 0,29. ▲
.8 — Алгебра, 8 класс
113
Для решения этой задачи было найдено значение - с тремя зна-
ками после запятой, чтобы получить значение с точностью до 0,01.
2
Если бы потребовалось найти приближенное значение числа — с точ-
ностью до 0,001, то надо было бы найти четыре десятичных знака.
Упражнения
249.	Округлить числа последовательно до тысячных, сотых, десятых
долей, единиц, десятков, сотен, тысяч: 3285,05384; 6377,00753;
1234,5336.
250.	Округлить числа 15,75 и 317,25 до единиц с недостатком и с
избытком. Найти абсолютную погрешность каждого округления.
251.	Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,1 число:
1)12-	3)—*	5)--
7	8 ’	7 129 ’	7 7 ’
2)—;	4)Н;	6)1*.
7	25 ’	7 3 ’	7 11
252.	Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,01 число:
!)|;	3)А;	5)2^;
2>^;	4)1|;	6)5±.
253.	Представить в виде десятичной дроби с точностью до 0,001 число:
2	5	з	9
!)|;	2) А; 3)2 А; 4)7^.
254.	Средняя скорость движения молекулы водорода при 0° С равна
1693 м/с. Один ученик округлил это число до 1690 м/с, а дру-
гой — до 1700 м/с. Найти абсолютную погрешность каждого ок-
ругления. В каком случае погрешность приближения меньше?
114
§ 23. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Для сравнения точности некоторых приближений одной и той же
величины используется абсолютная погрешность. Если же сравнива-
ются приближения различных величин, то абсолютной погрешности
недостаточно. Например, расстояние от Ташкента до Самарканда рав-
но (300 ± 1) км. Длина карандаша равна (21,3 ± 0,1) см. Абсолютная
погрешность в первом случае не больше 1 км, а во втором — не боль-
ше 1 мм. Означает ли это, что длина карандаша измерена точнее, чем
расстояние от Ташкента до Самарканда?
При измерении расстояния от Ташкента до Самарканда абсолют-
ная погрешность не превышает 1 км на 300 км, что составляет
— • 100 % ~ 0,33 % измеряемой величины.
При измерении длины карандаша абсолютная погрешность не пре-
вышает 0,1 см на 21,3 см, что составляет • 100% « 0,47% изме-
ряемой величины. Таким образом, расстояние между городами изме-
рено точнее, чем длина карандаша.
Для оценки качества приближения вводится относительная по-
грешность.
Относительной погрешностью называют частное от деления
абсолютной погрешности на модуль приближенного значения
величины.
Итак, если а — приближенное значение числа х, то абсолютная
I I	|х-а|
погрешность равна | х — а |, а относительная погрешность равна	.
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Задача. Приближенное значение массы Земли равно (5,98 ± 0,01 )х
х Ю24 кт. Масса пули охотничьего ружья равна (9 ± 1). Какое измере-
ние является более точным?
А Оценим относительную погрешность каждого измерения:
В -Ю0% ”0,2%;	2) 1-100% « 11%.
Э, Уо - LU	У
Масса Земли измерена точнее. ▲
115
Упражнения
255 Округлить число до единиц и найти абсолютную и относитель-
ную погрешность округления:
1) 3,45;	3) 23,263;
2) 10,59;	4) 0,892.
256 Найти относительную погрешность приближения:
1)	числа | числом 0,33;
2)	числа у числом 0,14.
257.	Какое измерение точнее:
1)	а = (750 ±1) м или b = (1,25 ±0,01) м;
2)	р = (10,6 ± 0,1) с или q = (1,25 ± 0,01) с?
258.	Одновременно различными приборами измерили температуру пара
и получили в первом случае f = (104 ±1) °C, во втором
t — (103,8 ±0,1) °C, в третьем t = (103,86 ±0,01) °C Оценить
относительную погрешность каждого измерения.
259.	Двое учащихся, выполняя практическую работу по измерению
длины, в результате получили (203 ± 1) мм и (120 ± 1) см. Ка-
кой из учащихся выполнил работу качественнее?
260.	1) Приближенное значение числа х равно а. Относительная по-
грешность этого приближения равна 0,01, т. е. 1 %. Найти абсо-
лютную погрешность, если а = 2,71.
2)	Приближенное значение числа х равно Ь. Относительная по-
грешность этого приближения равна 0,001, т. е. 0,1 % Найти аб-
солютную погрешность, если b — 0,398 .
261.	Масса Солнца (2 • 1033 ± 0,1 • 1033) г Масса детского мяча
(2,5 ± 0,1) • 102 г. Какое измерение более точное?
116
§ 24. СТАНДАРТНЫЙ ВИД ЧИСЛА
В научных исследованиях часто приходится оперировать с очень
большими числами.
Например, скорость света с ~ 300 000 км/с. Среднее расстояние от
Земли до Солнца составляет 149 500 000 км, применяемая в астрономии
единица измерения 1 парсек равен 30 800 000 000 000 км и т. д. Для работы
с числами, большими по модулю, на ЭВМ используется их сокращен-
ная запись. Однако можно по-разному записывать числа в сокращенном
виде. Например, скорость света с можно записать в виде 3 • 108 м/с,
или 30 • 107 м/с, или 0,3 • 109 м/с и т. д. Но лишь первая запись использу-
ется в качестве стандартного вида числа. Разъясним это определение.
• Стандартный вид числа — это его запись в виде а 10" , где
1 < |а| <10, п — целое число; а называется мантиссой этого
числа, а п — его порядком.
Например:
1)	стандартный вид скорости света: с = 3 • 108 м/с; здесь 3 — ман-
тисса, 8 — порядок;
2)	275 = 2,75 • 102; здесь 2,75 — мантисса числа 275, а 2 — его
порядок;
3)	—2753= —2,753 • 103; здесь —2,753 — мантисса числа —2753, а 3 —
его порядок.
Порядок числа используется и при приближенном сравнении боль-
ших чисел. Расстояние от Земли до Луны 3,8 • 105 км, расстояние от
Земли до ближайшей звезды Альфа Центавра 4 • 1013км. Итак, поря-
док второго числа равен 13, а первого 5. Это значит, что второе рас-
стояние больше первого в 10* раз, или, как говорят, на 8 порядков.
Масса ташкентской телевизионной башни 6 • 106 кг, масса Эйфе-
левой башни 6,4 • 106 кг. Следовательно, массы этих башен — величи-
ны одного порядка.
В алгебре приняты следующие обозначения:
io°=i, io-1 =—, ю-2 = Д- =—, 1о3=—,
’	10 ю2 юо’ ю’ юоо
Например: 1) 0,27 = 2,7 • — = 2,7  10“’; здесь 2,7 — мантисса чис-
ла, —1 — его порядок;
1
ИТ. д.
117
2)	- 0,0275 = -2,75 •	~	75 • 10 2; здесь 2,75 — мантисса чис-
ла, а —2 — его порядок.
Упражнения
262. Записать число в стандартном виде:
1)	масса атома кислорода
0,000 000 000 000 000 000 000 0 26 62 г;
22 нуля
2)	толщина пленки мыльного пузыря 0,000 000 06 см;
3)	единица длины ангстрем (применяется в молекулярной фи-
зике) 0,000 000 1 см;
4)	диаметр молекулы воды 0,000 000 03 см.
Записать число в стандартном виде, назвать его знак, мантис-
су, знак порядка и порядок (263-264).
263. 1)35,801;
2)430,24;
3)	5,2004;
4)	3 602,1;
5)	0,48 352;
6)	0,068 345;
7)	2 843154;
8)	12 345 678.
264. 1) -0,35;
2)	-0,453;
3)	-23,4578;
4)	-450,102;
5)	-87 654 321;
6)	-3,54001;
7)	-6814,1234;
8)	-12 345,678.
£№3 1. Данную фигуру разрезать на две рав-
ные части.
2. Данную фигуру разрезать на три рав-
ные части.
3. Данную фигуру разрезать на четыре
равные части.
118
265.	Вычислить (результат записать в обычном виде):
1)	1,6524:3,24;	3) 11,3336:248;
2)	151,34:658;	4) 0,8211:357.
266.	Найти частное с точностью до 0,001:
1)	39 : 286;	3) 1,7 : 58,3;
2)	87 : 124;	4) 1,9 : 38,7.
Проверьте себя!
1.	Представить число 1 в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.
9
2.	Записать число в стандартном виде: 44,301; 0,483; —0,25.
__IV ______________________________________
267.	Записать в виде двойного неравенства:
1)х=12±0,3;	3)х=я±1;
2)	w = 23±l;	4)у = ли±0,1.
268.	Представить следующие числа в виде десятичных дробей с
точностью до 0,01:
nA-	2) —‘	3) — -	4)-
'1Г	?22’	43’	?7’
269.	Вычислить сопротивление медного стержня, длина которого
/ = 0,25 м, площадь поперечного сечения 5 ~ 1,2 • 102 мм2, а удель-
ное сопротивление р =* 0,017 Ом • мм2/м | R = 2L ].
'	$	mv1
270.	Вычислить кинетическую энергию тела по формуле Д = ——,
если масса тела т = 7,6 кг, v = 4,2 м/с .
271.	Допустимая погрешность при измерении длины 20 см — 0,5 мм,
а при измерении расстояния 1000 км — 200 м. Какое измерение
более точное?
119
TTL В городе с населением 57 100 человек было проведено медицин-
ское обследование населения с целью выявления частоты встре-
чающихся групп крови. Выяснили, что людей с группой крови
I — 32,9 %, с группой II — 35,8 %, с группой III — 23,2 % и с
группой IV — 8,1 %. Сколько человек с каждой из групп крови
проживает в городе?
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ IV
1.	Найти погрешность округления, если точное значение числа 1,483,
приближенное значение 1,48.
А) 0,003;	С) 1,335;	Е) правильный ответ
В) 0,435;	D) 0,445;	не приведен.
2.	Наити погрешность округления, если точное значение числа уу,
1
приближенное значение -.
А*зГ В>Л’ с>^’ D>H’ Е>Н-
3.	Записать в виде двойного неравенства а = —1,8 ±0,2.
А) - 2 < а < -1,6;	С)	- 2 < а < -1,6;	Е)	правильный ответ
В) -1,6 < а < -2;	D)	- 2 < а < -1,82;	не приведен.
4.	Записать в виде двойного неравенства а = 2,71 + 0,01.
А) 2,7 < а <2,72;	С)	2,7 < а < 2,711;	Е)	2,71 < а < 2,711.
В) 2,7 <а< 2,711;	D)	2,7 < л < 2,72;
8
5.	Представить дробь — в виде десятичной дроби с точностью до
0,01.
А) 0,52; В) 0,05; С) 0,61; D) 0,54; Е) 0,53.
120
6.	Представить дробь в виде десятичной дроби с точностью до
0,001:
А) 0,357; В) 0,353; С) 0,456; D) 0,361; Е) 0,347.
7.	Длина комнаты равна (5 ± 0,02) м. Найти относительную погреш-
ность измерения:
А)	4%;	D) 0,05%;
В)	0,4%;	Е) невозможно определить.
С)	0,02%;
8.	Расстояние между двумя селами равно (100 ± 1) км. Найти отно-
сительную погрешность измерения:
А)	2%;	D) 1,5%;
В)	0,5%;	Е) правильный ответ не приведен.
С)	1%;
9.	Округлить число 5,7635 до сотых. Найти относительную погреш-
ность округления.
А)	5,76; 0,8%;	D) 5,76; 0,06%;
В)	5,76; 0,9%;	Е) правильный ответ не приведен.
С) 5,77; 0,08%;
10.	Округлить число 2,2941 до сотых. Найти относительную погреш-
ность округления.
А) 2,3; 2,6%;	С) 2,3; 0,3%;	Е)2,3; 0,26%.
В) 2,2; 2,5%;	D) 2,3; 0,4%;
11.	Записать число 234,087 в стандартном виде.
А) 2,34087 	102;	С)	2,4 •	102;	Е)	2,34 •	10“2.
В) 23,4087 	10;	D)	23,5	• 102;
12.	Записать число 0,00000078 в стандартном виде.
А) 7,8 • 107;	С)	78 • Ю 7;	Е)	0,078	•	105.
В) 7,8 • 10 7;	D)	0,78	• 10 5;
121
g
Исторические задачи
1.	Вычислить, воспользовавшись формулой (1 + а)2 ~ 1 + 2а,
и оценить погрешность:
1) (1,01)2; 2) (1,001)2; 3) (0,99)2; (0,999)2.
2.	Измерение скорости света в вакууме дало результат
299796 км/с при этом точность приближения 4 км/с. Найти
относительную погрешность.
3.	Толщина человеческого волоса равна (0,15 ±0,005) мм,
расстояние от Земли до Луны равно (380 000 ± 500) км. Какое
измерение точнее?
4.	В папирусе Акмима: «Площадь круга, равного среднему
арифметическому длин окружностей с радиусами г = 5 и R =10,
равна среднему арифметическому площадей кругов с этими ра-
диусами. Найти абсолютную и относительную погрешность по-
лученного результата».
Исторические сведения
Сочинения математического содержания из Древнего Егип-
та и Вавилона, дошедшие до наших дней, свидетельствуют о
том, что уже в Древнем мире были известны некоторые спосо-
бы приближенных вычислений. 4000 лет назад ученые Вавилона
составляли таблицы умножения, квадратов и обратных величин
натуральных чисел, а также таблицы квадратных корней из на-
туральных чисел, в которых были найдены их приближенные
значения.
Приближенные методы извлечения корней 2-й и 3-й степе-
ни знали в Древнем Китае и Средней Азии.
Ученые Самаркандской научной школы Улугбека составля-
ли уточненные астрономические таблицы, для чего ими были
разработаны новые способы приближенных вычислений. Вид-
ный математик академии Улугбека Гияс эд-Дин Джамшид аль-
Каши в своем «Трактате об окружности» нашел значение числа
п с семнадцатью верными знаками после запятой.
122
Глава V КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
§ 25.	АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
Задача!. Сторона квадратного участка земли равна 12 м. Найти
его площадь А.
Д Площадь участка равна квадрату его стороны:
А= 122= 144 (м2). ▲
3 а д а ч а 2. Площадь квадратного участка земли равна 81 дм2. Най-
ти его сторону.
Д Предположим, что длина стороны квадрата равна х децимет-
рам. Тогда площадь участка равна х2 квадратным дециметрам. Так как
по условию эта площадь равна 81 дм2, то х2 — 81. Длина стороны квад-
рата — положительное число. Положительным числом, квадрат кото-
рого равен 81, является число 9.
Ответ. 9 дм.
В задаче 2 требовалось найти число х, квадрат которого равен 81,
т. е. решить уравнение
х2=81.
Это уравнение можно записать в виде х2 — 81 = 0 или
(х — 9)(х + 9) = 0, откуда х, = 9, х,= —9.
Числа 9 и —9 обращают уравнение х2 = 81 в верное равенство, т. е.
92 = 81 и (—9)2= 81. Эти числа называют квадратными корнями из чис-
ла 81. Один из квадратных корней — число 9, является положитель-
ным. Его называют арифметическим квадратным корнем из числа 81
и обозначают VsT. Таким образом, л/81 = 9.
Определение. Арифметическим квадратным корнем из чис-
ла а называется неотрицательное число, квадрат которого
равен а.
Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так:
а. Знак называется знаком арифметического квадратного корня',
123
а называется подкоренным выражением. Выражение 4а читается так:
«Арифметический квадратный корень из числа о».
Например, 736 = 6, так как 6 > 0 и 62 = 36.
Приведем другие примеры:
V0 =0,	=	7049 = 0,7.
В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне,
говорят: «Корень квадратный из а» . Действие нахождения квадрат-
ного корня из числа называют извлечением квадратного корня.
Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадрат-
ный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь
квадратный корень из числа —4, так как нет такого числа, квадрат
которого равен —4.
Итак, выражение 44 имеет смысл только при а > 0. Опреде-
ление квадратного корня можно кратко записать так:
4а > 0, (4а)2 = а.
Равенство (4а)2 = а верно при а > 0.
3 а д а ч а 3. Вычислить 5732 • 2 — 372  8 .
А 5>/32 • 2 - 34П = 5л/64 - 3716 = 58-3-4 = 28. ▲
Упражнения
273.	Найти сторону квадрата, если его площадь равна:
1)	16 м2;	2) 100 дм2; 3) 0,64 км2; 4) Ц мм2.
274.	Вычислить арифметический квадратный корень из числа: 81; 64;
100; 0,16; 0,09; 0,25; 1,44; 4900; 6400.
275.	Верно ли равенство:
1)716 = 4;	2)7100=10; 3)725 =-5; 4)Т0=0?
124
Вычислить (276-278).
276.	1)(V4)2;
2)(V9)2;
277.	1) 3 + 74;
2)	7-725;
3)	>/16-9;
278.	1) 23 + 5716;
2)	Зл/12Т - 2д/144;
3)	2д/3 27 - 672-18;
4)	4-701;
5)	| ТОТ;
6)	0,25 -705.
4)	722 + 3-7;
5)	7з2 + 42;
6)	7172 -152.
279.	Найти значение выражения:
1)	Зл/10 - 2g, где а = -3, а = 3, а = 5;
2)	57бх —2, где х= 1, х = х= 3.
280.	При каких значениях а имеет смысл выражение:
1) 72g;
3)V2-g;
4)>/3 + g?
281.	Решить уравнение:
1)Тх=2;	2)Тх=10.
282.	Сравнить числа:
2) 704 и 709.
125
§ 26. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. Рациональные числа.
Появление новых чисел в математике связано с необходимостью
выполнения тех или иных действий.
При сложении и умножении натуральных чисел всегда получают-
ся натуральные числа. Однако при вычитании натуральных чисел не
всегда получается натуральное число. Например, разность 2 — 5 не
является натуральным числом. Чтобы вычитание было всегда выпол-
нимо, были введены отрицательные числа и число 0. Множество нату-
ральных чисел расширилось до множества целых чисел:
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... .
При сложении, умножении, вычитании целых чисел всегда полу-
чаются целые числа. Однако при делении двух целых чисел не всегда
получается целое число. Например, частное 2:5 — нецелое число. Что-
бы деление было всегда выполнимо, были введены рациональные чис-
т
ла, т. е. числа вида —, где т — целое число, п — натуральное число.
Множество целых чисел расширилось до множества рациональных
чисел.
При выполнении четырех арифметических действий (кроме деле-
ния на нуль) нал рациональными числами всегда получаются рацио-
нальные числа.
Рациональное число можно записать в виде десятичной дроби, ко-
2	3
нечной или бесконечной. Например, числа - и - можно записать в
2	3	15
виде конечных десятичных дробей: -= 0,4; -=0,75. Числа - и —
можно записать, используя деление «уголком» в виде бесконечных
десятичных дробей:
|=0,333...; ^=0,454545....
В записи бесконечной десятичной дроби 0,333... повторяется циф-
ра 3. Цифру 3 называют периодом этой дроби', саму дробь называют
периодической с периодом 3 и записывают в виде 0,(3) и читают так:
«Нуль целых и три в периоде».
126
В записи дроби 0,454545... повторяется группа из двух цифр:
45; эту дробь называют периодической с периодом 45 и записывают в
виде 0,(45).
Приведем еще примеры бесконечных периодических дробей:
— ^=—0,2333... =—0,2(3);
27 ччк = 27,0393939... = 27,0(39).
Любое рациональное число можно представить в виде конеч-
ной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодичес-
кой десятичной дроби. И наоборот, любую бесконечную перио-
дическую или конечную десятичную дробь можно представить в
с	т
виде обыкновенной дроби, т. е. в виде — , где т — целое, п —
п
натуральное число.
Задача 1. Представить число	в виде бесконечной десятич-
ной дроби.
Д Воспользуемся алгоритмом деления «уголком»:
11
2,4545...
27
22
50
~ 44
60
~_55
50
~ 44
60
~ 55
5
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та
27
же группа цифр: 45. Следовательно, — = 2,4545... = 2, (45). А
Задача 2. Представить в виде обыкновенной дроби бесконеч-
ную периодическую десятичную дробь: 1) 1,(7);	2) 0,2(18).
127
Д 1) Пусть х = 1,(7) = 1,777..., тогда 10х = 17,(7)=17,777... Вычи-
о	16
тая из второго равенства первое, получаем Эх = 16, откуда х = —.
2) Пусть х = 0,2(18) = 0,2181818... , тогда
10х= 2,(18) = 2,181818...,
1000л = 218,(18) = 218,181818....
Вычитая из третьего равенства второе, получаем 990х = 216, от-
216 12
кудаЛ=9Й=Л'
Ответ. 1) 1.(7)=ф	2) 0,2(18)=||. ▲
2. Иррациональные числа. Действительные числа.
Наряду с бесконечными периодическими десятичными дробями в
математике рассматриваются также и бесконечные десятичные непери-
одические дроби. Например, дробь 0,1010010001..., которой после пер-
вой цифры 1 стоит один нуль, после второй цифры 1 — два нуля и
т. д., является не периодической. Непериодической является также дробь
0,123456 ..., в которой после запятой записаны подряд все натураль-
ные числа.
&
Бесконечные десятичные непериодические дроби называют
иррациональными числами. Рациональные и иррациональные
числа образуют множество действительных чисел.
Арифметические действия и правила сравнения для действитель-
ных чисел определяются так, что свойства этих действий, а также
свойства равенств и неравенств оказываются такими же, как и для
рациональных чисел.
128
Обратимся к действию извлечения корня. В курсе высшей матема-
тики доказывается, что из любого неотрицательного действительного
числа можно извлечь квадратный корень. В результате извлечения
квадратного корня может получиться как рациональное, так и ирра-
циональное число. Например, -71,21 = 1,1 — рациональное число,
73 =1,71320508... — иррациональное число.
Иррациональными являются также числа -72, 71, -Тб, V7, -78, VlO
и т. д., т. е. квадратные корни из натуральных чисел, которые не явля-
ются квадратами натуральных чисел.
Заметим, что иррациональные числа получаются не только при из-
влечении квадратных корней. Например, число л, равное отношению
длины окружности к ее диаметру, является иррациональным числом;
отметим, что число л не может быть получено извлечением корня из
рационального числа.
На практике для нахождения приближенных значений квадрат-
ных корней с требуемой точностью используются таблицы, микро-
калькуляторы и другие вычислительные средства.
3 а д а ч а 3. Вычислить 717 с помощью приближенной формулы
4а + Ь ~у[а + , * Где Ь < а и погрешность приближения не превос-
, 2яа
ь2
ходит -----.
8(7^)3
Д 717 =716 + 1 « >/Тб+—Ь = 4 + | = 4± = 4,125.
2716	8	8
I2 1	12
Погрешность приближения----г -------- =-------< 0,002.
8 43	8 64	512	Ю24
Итак, действительное число л/17 с точностью до 0,002 можно
заменить рациональным числом 4,125. ▲
Таким образом, практические действия над иррациональными чис-
лами заменяются действиями над их десятичными приближениями.
Геометрически действительные числа
изображаются точками числовой оси (рис.	j
46). Каждому действительному числу coot-	Г°’~55| t	г
ветствует единственная точка числовой оси,	0 12л
и каждой точке числовой оси соответствует
единственное действительное число.	Рис- 46
9 —Алгебра, 8 класс	129
Упражнения
283.	Прочитать дробь:
1)	0,(2);	2) 3,(21);	3) 15,3(53);	4) -2,77(3).
284.	Записать в виде конечной или бесконечной периодической деся-
тичной дроби:
Dh 2>П5’ 3>1’ 4>ir 5>-|; 6’-4
285.	Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную
периодическую дробь:
1) 0,(6);	2) 0,(7);
286. Сравнить числа:
1) 0,35 и 0,(35);
2) 1,03 и 1,0(3);
287. Даны числа: -8; - 716;
3) 4,1(25);	4) 2,3(81).
3) 2,41 и 2,4(1);
4) 3,7(2) и 3,72.
-0,3;	12; Л; 0;	1.
Выписать те из них, которые являются: натуральными; целыми:
рациональными.
288.	(Устно.) Какие из указанных чисел являются иррациональными:
-2; 1; 0; 7П;	716; -1,7;	717; |Т225?
289.	Вычислить приближенные значения чисел:
1)26;	2)737;	3)7120;	4) 7624.
<№ 4 Какие цифры зашифрованы буквами в приведенной
записи сложения чисел:
СМЕХ
+
ГРОМ
ГРЕМИ
130
§ 27. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ СТЕПЕНИ
Вычислим значение выражения при а = 3 и а — —3. По
определению квадратного корня V? - 3. При а = — 3 находим
J(—З)2 = V? = 3 .Так как число 3 является противоположным чис-
лу —3, то можно записать:
Тёзр = - (-3) или Тёз? = |-3|.
Теорема 1. Для любого числа а справедливо равенство
4а2 = | а |.
О Рассмотрим два случая: а > 0 и а < 0.
1) Если а > 0, то по определению арифметического корня
2) Если а < 0, то (—а) > 0 и поэтому
л/я2" =	- —а.
Таким образом,
о2
а, если а > 0;
—а, если а < 0,
т. е.
Например, 7(—8)2 = |—8| = 8.
Вместо того чтобы говорить, что равенство V? = |о| выполняет-
ся при любых значениях входящих в него букв, говорят, что это ра-
венство выполняется тождественно.
• I Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них
I букв, называют тождествами.
131
Приведем примеры тождеств:
V? = |о|,
(а + b)2 = а2 + 2аЬ + Ь2,
а2— Ь2 — (а —Ь)(а +Ь).
Задача 1. Упростить выражения: 1) д/о^; 2)д/о\
Д 1) д/о^ = yj(a4)2 = |о4|. Так как а4 > 0 при любом а, то
|о4| = а4 и поэтому д/о^ = а4.
2)	Jo? = \/(fl3)2 =р3|-
Если а > 0, то а3 > 0 и поэтому |«31 = я3 •
Если а < 0, то а2, < 0 и поэтому |о31 = — а3.
Итак, в этом случае знак модуля следует оставить: 4а^ = |о31. ▲
Теорема!. Если а >b > 0, то д/о > 4b .
О Действительно, если допустить, что 4а <4b, то, возведя обе
части неравенства в квадрат, получим а < b, что противоречит усло-
вию а > Ь. •
Например, V256 > д/225, так как 256>225; 3 < д/10 < 4, так как
9 < 10 < 16.
Задача 2. Упростить выражение
7(V8-3)2.
/2 II
Д Используя тождество д/о = |о|, получаем:
7(д/8-3)2 =|д/8-з|.
Так как 8 < 9, то по теореме 2 получаем д/8 < 3. Поэтому
V8 - 3 < 0 va |V8 - 3| = —(д/8 - 3) = 3 - д/8.
Ответ: 3 —д/8. ▲
132
Задача 3. Решить уравнение 7СХ ~ 7)2 = х — 7.
Д Так как 7(х — 7)2 = |х — 7|, то исходное равенство принимает
вид:
|х — 7| = х — 7.
Это равенство справедливо только при х — 7 > 0, т. е. при х > 7.
Ответ: х > 7.А
Задача 4. Упростить выражение >/7 - 4V3.
Д Заметим, что 7 — 4д/3 = 4 — 4д/3 + 3 - (2 — д/З)2. Поэтому
л/7-4л/3 =7(2~л/3)2 = |2 — 7з| = 2 — >/3,
так как 2 = д/4, д/4 > д/З. ▲
ажнен^ ия.
290.	Верно ли равенство:
1)	V? = 5;	3) V(-5)2 = -5;
2)7^57 = 5;	4)7^57 = 1-51?
291.	Найти значение выражения д/7 при:
1)	х= 1;	2)х=2;	3)х=0;	4)х= -2.
292.	Вычислить:
1)	3) VF;	5) 7(-3)4;
2)72^;	4)J1T;	6)^(-5)6.
293.	Упростить выражение:
1)	77;	2) Т77;	3) 77\ а > 0;	4) 77.
133
294.	Найти значение выражения ух* — 2х +1 при:
1) х= 5;	2)х= 1;
295. Сравнить числа:
1) 4 и 715 ;
2) 2,7 и /7 ;
296. Показать, что:
1) 4 < 717 < 5;
2)3 <710 <4;
3)х=0;	4)х=—5.
3)Д26 и 1,8;
4)718,49 и 4,3.
3) 3,1 <710 <3,2;
4) 6,1 <738 <6,2.
297. Найти два последовательных целых числа, между которыми зак-
лючено число:
1)739;	2)7160;	3)7б?9;	4)78/7-
298. Упростить выражение:
1) Jm-Л)2;	3) ^(Д-2)2;
2) V('/5 -2)2;	4) V<V15 -4)2.
§ 28. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Задача!. Показать, что 716  25 = 716  725 .
Д 716 • 25 = 7400 = 20;
716-725 =4 -5 = 20. ▲
Теорема. Если а > 0, b > 0, то
т. е. корень из произведения неотрицательных множителей ра-
вен произведению корней из этих множителей.
134
О Для того чтобы доказать, что \'а  7b есть арифметический
корень из ab, надо доказать, что:
l)4a-4b>0;	2) (4а  4b)2 = ab 
По определению квадратного корня 4а > 0,4b > 0, поэтому
4а -4b > 0. По свойству степени произведения и определению квад-
ратного корня
(4а  4b)2 = (4а)2 (4b)2 = ab. •
Например, 72304 = 736 - 64 = л/36  Тб4 = 6 • 8 = 48.

По доказанной теореме при умножении корней можно перемно-
жить подкоренные выражения и из результата извлечь корень:
4а -4b = 4аЬ.
Например, ' 312 - 73  12 - 736 - 6.
Отметим, что теорема справедлива для любого числа неотрица-
тельных множителей.Например, если а > 0, Ь > 0,с > 0 , то
4abc = 4а  4b  4с.
Задача 2. Вычислить 754 • 24 .
д754• 24 = 79-6-6-4 = 79-36-4 = 79 -736 -74 = 3- 6- 2 = 36. А
Пусть дано выражение 4а2Ь. Если а > 0 и Ь > 0, то по теореме о
корне из произведения можно записать:
4а2Ь = 4а2  4b = a4b
Такое преобразование называется вынесением множителя из-под
знака корня.
Задача 3. Упростить выражение 2727 + 712:
Д 2727 + 4п = 2733 + 733 = бТз + 273 = 8Тз. а
В некоторых случаях полезно вносить множители под знак корня,
т. е. выполнять преобразование вида a4b = 4а2Ь , где а > 0, b > 0.
135
Задача 4. Упростить выражение За^— где 67 > 0, /> > 0.
Д Внося положительные множители а и b под знак корня, полу-
чаем:
За.1^- - 2Ь. = 3.1а2 - - 2.1b2 	- 3>Jab - 2jab = 4ab. ▲
V a \b \ а \ Ь
Упражнения
Вычислить (299—300).
299. 1)749-25;
2)70,01-169;
300. 1)78 50;
2)732-50;
3)7625-9-36;
4)7256-0,25-81
3)7108-27;
4)72742.
301.	Вычислить разложением подкоренного выражения на множители:
1)73136;	2)76084;	3)74356;	4)71764.
Вычислить (302—305).
302.	1)72-732;	3)73-77-721;
2)Л0 >/90;	4)72	6)J|
303.	1)71132 -1122;	3)7б52 - 632;
2)7822 -182;	4)73132 -3122.
304.	1)754 - 32 ;	3)7(-5)6 • (0,1)2;
2)774-26;	4)Т12<34.
136
Ж 1)(л/8+Л)2;	3)(V7+V6)(V7-V6);
2)(л/7 -V28)2;	4)(5л/2+2л/5)(5л/2-2л/5).
Вынести множитель из-под знака корня (буквами обозначены
положительные числа) (306—307).
306.	1)Лбх2’;	2)л/2^;	3)^5^;	4)л/з7.
307.	2)Л/75ог;	3)VW;	4)^50?
308.	Упростить выражение:
1)	Зл/20 - л/5;	4) 2V20 - 2л/45 +1 Лб;
2)|л/18+2>/2;	5)5л/8+|>/2-2л/18;
3)2л/27 - V12;	6) 3>/48 - V75 +1V147.
309.	Внести множитель под знак корня:
1)2л/2;	2)3л/3;	3)2^ + |>/28;	4)1076^3?
310.	Внести множитель под знак корня (буквами обозначены поло-
жительные числа):
1)оЛ;	2)«V2;	3)^;
311.	Сравнить:
1)2л/3 и Зл/2;	3)4л/8 и 2л/18;
2)2л/40 и 4V10;	4)2л/45 и 4^20.
312.	Упростить:
1)г’^+аЛ’г,>0’4>0;
2)	у \19х3 +	— х2 х > 0.
137
313.	Вычислить:
1)	(Л - л/45)2 - (ЛЗ + ЛТ)( ЛТ - ЛЗ);
2)	(ЛТ-Л)(Л +ЛТ)-(Л2-Л)2.
314. Упростить выражение:
1)|Л28+ЗЛ + 2Л2;
2)ЗЛ5-Л25 +ЛО;
3) -1 л/27 +1 ЛОО + 5Л;
4) 2 Л + 0,5 Л2 — | Л8.
315. Разложить на множители по образцу (а >0, b > 0):
Образец. 9-а = (3-Л)(3 + 4а).
1) 25 — я;	2)6—16;	3) 0,01 - а;	4)Ь~^.
316. Сократить дробь (а > 0, b > 0):
.ч 25—а	6-16	3.0,49-а.	0,81-6
' 5+Л ’	' 4+Л ’	' Л+0,7 ’	' 0,9+Л ’
§ 29. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ИЗ ДРОБИ
Задача
25 _ 5
'Зб ~ 6 '
Теорема. Если а > 0, b > 0 , то
т е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на
корень из знаменателя
О Требуется доказать, что 1) ^=- > 0;
/ г \2
2)|4| =|
I s/b I ь
138
Так как 4а > 0 и 4b > О, то 0. По свойству возведения дроби
4b
в степень и определению квадратного корня получаем:
(Ji'j W2 а
(л/ ь' •
Например,
^21 _ л/121 _ 11
V225 ~ V225 " 15’
По доказанной теореме при делении корней можно разделить
подкоренные выражения и из результата извлечь квадратный
корень:
Например,	= 436 = 6.
В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выра-
жений в знаменателе дроби.
а
Пусть дано выражение^, где b > 0. Умножая числитель и знаме-
r IT	a a-y[b a4b
натель дроби на yjb, получаем -= = 	= ——.
4ь 4ь-4ь ь
Например, 41—— = 41— — - —
Л 2	2
Задача 2. Исключить иррациональность из знаменателя:
л/5+УЗ
л/5-Л ’
Д Если умножить разность \/5 — 43 на сумму 4$ + 43 , то полу-
чится выражение, не содержащее корней. Поэтому
V5+V3 _ (х/5+л/з)(л/5+Л) _ (л/5+Л)2 _ 5+2715+3 _ ,	,
>/5-Л " (75-Л)(л/5+Л) "	5-3	2 +V ’
139
Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чи-
сел а и b не меньше среднего геометрического этих чисел:
(1)
—	(1'гЬ	/ Z~ л
О Требуется доказать, что — у/ab > О .
Преобразуя левую часть этого неравенства, получаем:
а+Ь
Jab -
a+b—ljab _ (Ja — Jb)2
2	“	2
>0. •
условия равновесия у • а = 1
а b
+ ~ килограммов яблок.
Заметим, что в соотношении (1) знак равенства имеет место только
при а—Ь.
Задача 3. Продавец взвешивает яблоки на рычажных весах. По-
купатель купил 1 кг яблок, а затем купил еще 1 кг, попросив продав-
ца поменять местами при втором взвешивании гирю и яблоки. Кто
понес убытки, если весы не отрегулированы?
Д Пусть плечи весов равны аиЬ (рис. 47). Из рисунка видно, что
а фЬ. При первом взвешивании покупатель приобрел х килограммов
яблок. Из курса физики известно, что х • b = 1 а, откуда х = . При
втором взвешивании покупатель приобрел у килограммов яблок. Из
.	b	_
b находим у = -. Итак, было куплено
Используя неравенство для среднего
арифметического и геометрического чи-
fl ь
сел - и -, получаем:
ь а
a b _______
—'—	I 77
b я>
2 v b а’
a b . ~
откуда - + - > 2.
Ответ: убыток понес продавец. ▲
140
1 кг	и
(Укг)	хкг
(1 кг)
Рис. 47
Упражнения
Вычислить (317—320).
322. Площадь одного квадрата 72 см2, а площадь другого квадрата
2 см2. Во сколько раз сторона первого квадрата больше стороны
второго квадрата?
323. Извлечь корень:
25а6 .
49 ’
121х4
64
3) где а > 0;
V 4а“
/ 400	Л
4). -у-, где а < 0.
\ а
2)
141
324. Вычислить:
d _ т
Vn-з VTT-2
3	2
2) ---7= + --7=
3+>/б 2+>/б
325. Доказать с помощью неравенства между средним арифметичес-
ким и средним геометрическим, что для любых положительных
чисел аи b выполняется неравенство	> 2.
326. Упростить выражение:
d-^-vs;
\ia-yjb
2)(Jx + Jy)~* у- .
\1х+у1у
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
327. Вычислить: 1)(Д)!;	2)(7бД)2;	3)^]; 4>(Д]- 328. Что больше: 1)717 или 782;	3) 3 или 710; 2) д/0,2 или д/0,3;	4) 5 или 724? Вычислить (329—332).
329. 1) >/21-6-7-8;	3)7225-0,16-400;
2) 772-6-45-15;	4)	7900-25-1,69. 330.1) 77-763;	3) 775-73; 2) 78 - 798 ;	4) 710-740. 331. 1)	2)	3)	4) Зл/8	>/28	>/80	f 9>/44‘
142
332. 1) VF;	3) VF;
2)VF;	4)ViF;
333. Упростить выражение:
1) ЗЛО + V28 + V45 - л/63;
5)
6) Л/(=7УГ.
3) (бд/45 - 3V20 + 9л/80): (3^5);
4)(7л/8 - 14V18 + 0,7л/12): (7>/2).
334. Сократить дробь:
р5с2-35.	о-. 5х—5>/3
' a-Jl ’	’ 3-х2 ’
~чХ2—Зх.	.ч4л/а+л/А
’ х+л/3 ’	Ь-\6а ’
9-2ч/3
6)5^л-
Проверьте себя!
1.	Сравнить: 7 и V48; 2л/3 и 3>/2.
2.	Вычислить: А1-49; ^0,3 -120;	V(“17)2; VF.
3.	Упростить выражение:
3V8 + V2 - 3V18; (V5-V2)2; (2 - Л)(2 + л/З).
4.	Вынести множитель из-под знака корня: \/8а3, а > 0.
5.
6.
Сократить дробь:
Исключить иррациональность из знаменателя:
А- 1
л/7’ 2+>/3 '
143
335. Решить уравнение:
1) 7х-1 = 4;
2) 7х + 9 = 5;
3) 72(х -1) = 2;
4) Лх-7 = 1.
336. При каких значениях х справедливо равенство:
1) |х — 2| = х — 2;	3)	+ З)2 = х + 3;
2)|3-х| = х-3;	4)7(5 ~ 2х)2 = 2х — 5?
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ V
1.	Вычислить: (727 + 7з )2.
А) 48;	В) 30;	С) 18;	D) 9;	Е) 39.
2.	Вычислить: (710 - 77) (710 + 77).
А) 10;	В) 3;	С) 7;	D) -7;	Е) 770?
3.	Упростить выражение j 7120 — 2  ^7^.
А) 730;	С) 2730;	Н) правильный ответ
В) ЗТЗО;	D) 10,5;	не приведен.
4.	Упростить выражение 3720 — 2745 + з780.
А) 735; В) 5; С) 6755; D) 1275; Е) 47145.
5.	Вычислить:	4|.
32	1	1	1	с 5
А)м> В) 6Л2; с> 2|; D) 41; Е) 5j.
6.	Вычислить: 7196 0,01 225.
А)	21;	С) 1,5;	Е) правильный ответ
В)	1,4;	D) 210;	не приведен.
144
7.	Упростить выражение (Зд/8 — 9а/Г& + 0,2>/50): (~2л/2).
А)—10;	В) 10;	С)10л/2;	D)-10>/2;
8.	Упростить выражение -	.
V3—л/2	V3+V2
А)Л->/2;	С) 12Л;
В)12(л/3 - >/2);	D) 12>/2;
9.	Решить уравнение у](х~ 5)2 = х — 5.
А) х < —5; В) х > —5;	С)х<5; D) х > 5;
10.	Решить уравнение \1(х~ 7)2 = 7 — х.
10
Е> V2 ’
Е)12>/2.
Е)0.
А) 0;	В) х < —7;	С)х>—7;	D)x>7;	Е)х < 7.
	4	5			
11. Вычислить	4+V20	5+л/20			
А) 1;	9 В) 9+2л/20 ’	9 . С) 29 ’	D) 2;	Е) 9.
12. Сумма двух чисел равна л/35 , а их разность равна д/зТ. Чему
равно произведение этих чисел?			
А) 31-75;	В) 1;	С) V35 - 31;	D) 6;	Е) 35V3.
13.	Вычислить у]49 + 8л/3. А)	7 + 2>/б; В)	3>/б +1;	С) 4-Тз +1; D) Зл/З-1;	Е)	1 — 4ч/3.
14. Вычислить у] 28 — 6л/3. А) д/22л/3; В) 4д/7 - 7108;	С) 2V3 +1; D) Зл/3-1;	Е)	Зл/З + 1.
10 — Алгебра, 8 класс
145
15.	Упростить 728 + 1073 + л/28 — 1073.
А) 4^3; В) V56; С) 20Л; D) 2>/3;
16.	Сократить дробь
7д-з
А)>/п-3; В)л/л + 3; С)п + 11;	D) с—3;
Е) 10.
Е)л/я + 9.
17.	Упростить \1а + 2л/п — 1 + у]а — 24а — I, 1 < а < 2.
А)2>/п; В) 2; С) 4; D) -27^1; Е) 2а.
Исторические задачи
1. Задача Евклида. Доказать, что:
1) 4а + 4b - у]а + b± 14аЬ',
2. Задача Бхаскары (XII век). Показать справедливость равенства
79 +754 +7450 +775
5+Тз
42 + 4з + 45.
3. Доказать неравенства, называемые классическими:
2aZ> . г~г , а+b а2 3 4 5+Ь2	, п , , Л	и
—- < \1аЬ <	< *—-—, где а > 0, b > 0, знак „= тогда и
а+Ь	2 V 2
только тогда, когда а = b.
4. Задача аль-Каши. Вычислить приближенное значение ^7^.
5. Задача с клинописной дощечки. Вычислить приближенное зна-
чение 71700.
146
Исторические сведения
Более 4000 лет назад в Вавилоне знали об извлечении квад-
ратного корня из чисел. Способ, который они применяли, мож-
но записать так: -Тс = 7<з2 + b ~ а + ^~.
2а
Абу Райхан Беруни в трактате «Канон Масуда» говорит о
том, что «отношение длины окружности к ее диаметру есть
иррациональное число».
Выдающийся математик научной школы Улугбека Гияс эд-
Дин Джамшид аль-Каши нашел приближенные значения
72, Тб, с точностью до 10“9
Знак квадратного корня V ввел К. Рудольф.
В трактате „Китаб аль-джебр валь-мукабала“ аль-Хорезми
приводит способы решения примеров с квадратными корнями.
Ниже приведены примеры аль-Хорезми:
13) -71875 = 725  75 = 5775 = 2573;
2 ’
147
Глава VI [
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 30. КВАДРАТНОЕ уравнение и его корни
Задача 1. Основание прямоугольника больше высоты на 10 см,
а его площадь равна 24 см2. Найти высоту прямоугольника
Д Пусть х сантиметров — высота прямоугольника, тогда его ос-
нование равно (х + 10) сантиметров. Площадь этого прямоугольника
равна х (х + 10) см2. По условию задачи х (х + 10) = 24.
Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным зна-
ком в левую часть уравнения, получаем:
х2 + 10х — 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители способом груп-
пировки:
х2 + 1 Ох — 24 = х2 + 12х — 2х — 24 =
= х (х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х ~ 2).
Следовательно, уравнение можно записать так:
(х+ 12)(х—2) = 0.
Это уравнение имеет корни X] = —12 и х2 = 2. Так как длина отрезка не
может быть отрицательным числом, то искомая высота равна 2 см. ▲
При решении этой задачи было получено уравнение
х2 + 10х — 24 = 0,
которое называют квадратным.

Квадратным уравнением называется уравнение
сод + Ьх + с — 0,
(1)
где а, Ь, с — заданные числа, а *0, х — неизвестное.
Коэффициенты а, Ь, с квадратного уравнения обычно называют
так: а — первым или старшим коэффициентом, b — вторым коэффи-
циентом, с — свободным членом.
148
Например, в уравнении Зх2 — х + 2 = 0 старший коэффициент 3,
второй коэффициент — 1, свободный член — 2.
Решение многих задач математики, физики, техники сводится к
решению квадратных уравнений.
Приведем еще примеры квадратных уравнений:
2x2+x~l=0, St2- 10/+3 = 0,
х3-25 = 0, 2х2=0.
При решении многих задач получаются уравнения, которые с по-
мощью алгебраических преобразований сводятся к квадратным.
Например, уравнение
2Х2 4- Зх = х2 4- 2х 4- 2
после перенесения всех его членов в левую часть и приведения подоб-
ных членов сводится к квадратному уравнению
л2 4-х—2 = 0.
Задача 2. Решить уравнение
х2 = 64.
Д Перенесем 64 в левую часть, получим квадратное уравнение
х3—64 = 0.
Разложим левую часть на множители:
(х-8)(х4-8) = 0.
Следовательно, уравнение имеет два корня: X] = 8, х2 = —8. ▲
Заметим, что первый корень уравнения х2 = 64 является арифме-
тическим корнем из числа 64, а второй — противоположным ему
числом:
х, = д/64, х2 = -\/б4.
Эти две формулы обычно объединяют в одну:
х, 2 = ±>/64.
Ответ к задаче 2 можно записать так: х, 2 = ±8.
Уравнение х3 = 64 является частным случаем уравнения х2 = d, к
которому сводится любое квадратное уравнение.
149
Теорема. Уравнение х2 = d, где d > 0, имеет два корня:
X]	yjd , х2 —- ~yj'd.
О Перенесем d в левую часть уравнения:
х2 — d=0.
Так как d > 0, то по определению арифметического квадратного
корня d = (Vj) • Поэтому уравнение можно записать так:
х2 - (VJ)2 = 0.
Разложим левую часть этого уравнения на множители, получим:
(х - (х + yfd) = 0,
откуда Xj - 4d, х2 = -4d. •
2 4	[4	1
Например, уравнение х = - имеет корни х12 = ±J- = ±
уравнение х2 = 3 имеет корни х|2 = ±V3 ; уравнение х2 = 8 имеет
корни х12 - ±л/8 = ±2\f2 .
Если в уравнении х2 = d правая часть равна нулю, то уравнение
х2 = 0 имеет один корень: х = 0. Так как уравнение х2 = 0 можно
записать в виде х • х = 0, то иногда говорят, что уравнение х2 = 0
имеет два равных корня: х( 2 — 0.
Если d<0, то уравнение х2~ d не имеет действительных корней,
так как квадрат действительного числа не может быть отрицатель-
ным числом. Например, уравнение х2 = —25 не имеет действитель-
ных корней.
Ул£ ажнен ия*
337. (Устно.) Какие из данных уравнений являются квадратными:
1) 5х2— 14х+ 17 = 0;	4) 17x4-24 = 0;
2) |х2+4 = 0; 3) -7х2- 13х+8 = 0;	5) —13х44- 26 = 0; 6) х2 —х=0?
150
338.	(Устно.) Назвать коэффициенты и свободный член квадратного
уравнения:
1)	5х2- 14х + 17-0;
2)	—7х2 — 13х+8 — 0;
3)	|х2 +4 = 0;
4)	- 13х4 + 26 = 0;
5)	-х2 + х +1 = 0;
6)	—х2 — х — 0.
339.	Записать квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0, если известны
его коэффициенты:
1)	« = 2,6 = 3, с = 4;	3) « = 1, 6 = -5, с = 0;
2)	с = -1,6 = 0, с = 9;	4) а = 1, 6 = 0, с = 0.
340.	Привести данное уравнение к квадратному:
1)	х(х-3) = 4;	3) Зх(х - 5) = х(х +1) - х2;
2)	(х - 3)(х -1) = 12;	4) 7(х2 -1) = 2(х + 2)(х - 2).
341.	Какие из чисел —3, —2, 0, 1 являются корнями уравнения:
1)	х2-9 = 0;	4)	х2-5х + 4 = 0;
2)	х2-х = 0;	5)	(х - 1)(х + 2) = 0;
3)	х2 + х - 6 = 0;	6)	(х + 1)(х - 3) = х ?
342.	(Устно.) Сколько корней имеет уравнение х2 = 36? Найти их.
Какой из них является арифметическим корнем из 36?
343. (Устно.) Решить уравнение:
1) х2 = 1;	3) х2	= 16;	5)	х2 = 100:
2) х2 = 9;	4) х2	= 25;	6)	х2 = 0.
344. Найти корни уравнения:			
1) *2	3) х2		5)	х2 = 5;
2) х2=^;	4) х2	=2+	6)	х2= 13.
151
345. Решить уравнение:
1)	х2-49 = 0;
2)	х2-121 = 0;
3)	|х2=0;
х2
4)	у = 0;
5)	х2 + 9 = 0;
6)	х2+12 = 0.
346. Решить квадратное уравнение, разложив его левую часть на мно-
жители:
1)	х2-х = 0;	3) Зх2+5х = 0;	5) х2-4х + 4 = 0;
2)	х2 + 2х = 0;	4) 5х2 - Зх = 0;	6) х2 + 6х + 9 = 0.
§ 31. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 называют неполным, если
хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю.
Таким образом, неполное квадратное уравнение есть уравнение
одного из следующих видов:
ах2 = 0,
ах2 + с = 0, с 0,
ах2 + Ьх = 0, b * 0.
(1)
(2)
(3)
Подчеркнем, что в уравнениях (1), (2), (3) коэффициент а не
равен нулю.
Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.
Задача 1. Решить уравнение
5х2 = 0.
А Разделив обе части этого уравнения на 5, получим:
х2 = 0,
откудах=0. ▲
Задача 2. Решить уравнение Зх2 — 27 = 0.
А Разделим обе части уравнения на 3:
х2 - 9 = 0.
152
Это уравнение можно записать так:
х2 = 9,
откуда х12 = ±3. ▲
Задача 3. Решить уравнение
2х2 + 7 = 0.
Д Уравнение можно записать так:
Это уравнение действительных корней не имеет, так как х2 > 0
для любого действительного числа х. ▲
Задача 4. Решить уравнение
—Зх2 + 5х = 0.
Д Разложив левую часть уравнения на множители, получим:
х (—Зх + 5) = 0,
п 5
откуда %! = 0, х2 =
Ответ: jc, = 0, х2 = |. ▲
Упражнения
Решить уравнение (347—351).
347. 1)	х2 = 0;	5)	4х2 - 64 = 0;
2)	Зх2 = 0;	6)	х2-21 = 0;
3)	5х2 = 125;	7)	4х2 =81;
4)	9х2 =81;	8)	0,01х2 =4.
348. 1)	х2 - 7х = 0;	4)	4х2 = 0,16х;
2)	х2 + 5х = 0;	5)	9х2 - х = 0;
3)	5х2 = Зх;	6)	9х2 +1 = 0.
153
349.	1)	4х2 -169 = 0;	4)	Зх2 =15;
	2)	25-16х2 =0;	5)	2х>=|;
	3)	2х2 -16 = 0;	6)	3^ = 5|.
350.	1)	^1 = 5;	3)	4 = —;
	2)	^ = 1;	4)	9х2-4 4 '
351.	1)	Зх2 + 6х = 8х2 - 15х;	3)	10х + 7х2 = 2х2 + 8х;
	2)	17х2 - 5х = 14х2 + 7х;	4)	15х + 9х2 = 7х2 + 10х.
352.	При каких значениях х значения данных дробей равны:			
	1)	4х2-Зх	х2+5х 	 и 	; 3	2 ’	2)	Зх2+7х	7х2-5х„ 4 И 3
§ 32. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ПОЛНОГО КВАДРАТА
Для решения квадратных уравнений применяется метод выделе-
ния полного квадрата. Поясним этот метод на примерах.
Задача 1. Решить квадратное уравнение
х2 + 2х — 3 = 0.
Д Преобразуем это уравнение так:
х2 + 2х - 3,
х2 + 2х +1 = 3 +1,
(х + I)2 - 4.
Следовательно, х + 1 = 2 или х + 1= —2, откуда х, = 1, х2 = —3. ▲
Решая уравнение х2 + 2х — 3 = 0, мы преобразовали его так, что в
левой части получился квадрат двучлена (х+ I)2, а правая часть не
содержит неизвестное.
Задача 2. Решить квадратное уравнение
х2 + 6х - 7 = 0.
154
Д Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился
квадрат двучлена:
х2 + 6х = 7,
х2 + 2  Зх = 7,
х2 + 2  Зх + З2 = 7 +З2,
(х + З)2 = 16.
Поясним эти преобразования. В выражении а2 + 6х первое слагае-
мое — квадрат числа х, а второе — удвоенное произведение х и 3.
Поэтому для получения в левой части уравнения квадрата двучлена
нужно прибавить к обеим частям уравнения З2.
Решая уравнение (х + З)2 =16, получаем х + 3 = 4 или х + 3 = —4,
откуда Xj = 1, х2 = —7. ▲
Задача 3. Решить уравнение 4х2 - 8х + 3 = 0.
А 4х2 - 8х = -3,
(2х)2-2-2 2х =-3,
(2х)2 - 2  2  2х + 4 = -3 + 4,
(2х - 2)2 = 1,
2х - 2 = 1 или 2х - 2 = -1,
Xj — 2 , Х2
2
2'
Задача 4. Решить уравнение х2 + 5х — 14 = 0.
4
_ 81
“ 4 ’
— 2’
_9 _ 5 =
2 2 “
9
2
Д х2 + 5х = 14,
п 5	25	25
4- 2  -х + —
2	4
( 5\2
\ +2/ :
5
х+ 2~
f = 2’ Х2 =
155
Упражнения
353. Найти такое положительное число т, чтобы данное выражение
было квадратом суммы или разности:
1) х2 + 4х + ли; 2) х2 - 6х + ли;	3) х2 - 14х + т;	5) х2 + тх + 4; 4) х2 + 16х + ли;	6) х2 - тх + 9.
354. Методом выделения полного квадрата решить уравнение:
1)	х2 + 4х - 5 = 0; 2)	х2 + 4х - 12 = 0; 3)	х2 + 2х - 15 = 0;	4)	х2 - 10х + 16 = 0; 5)	х2 - 6х + 3 = 0; 6)	х2 + 8х - 7 = 0.
Решить уравнение (355—357).
355. 1) 9х2 + 6х - 8 = 0; 356. 1) х2-5х + 4 = 0;	2) 25х2 - 10х - 3 = 0. 2) х2 -Зх-10 = 0.
357. 1) 2х2+Зх-5 = 0;	2) 5х2 -7х -6 -- 0.
§ 33. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
В предыдущем параграфе были рассмотрены решения квадратных
уравнений методом выделения полного квадрата.
Применим этот метод для вывода формулы, по которой можно
решать квадратное уравнение общего вида:
	ах2 + Ьх + с = 0,
где а ф 0.
Разделив обе части уравнения на а, получим:
	2 Ь	С п х+-х + - = 0. а	а
Преобразуем это уравнение так, чтобы в левой части получился
квадрат двучлена:	2 b	с х + -х = —. а	а
156
b V b2-4ac
x + —	=-----5—.
2a)	4a2
(1)
Если b2 - 4«c > 0, to
b \2 (>Jb2-4ac
x + — - —-----------
2a) 2a
откуда
\lb2-4ac
2a
b , ^b2-4ac
*12 = ~^-±---э---
2a 2a
или
-b±y/b2-4ac
2a
Формулу (2) называют формулой корней квадратного уравнения
общего вида.
Задача 1. Решить уравнение
6х2 + х - 2 = 0.
Д Здесь а = 6, Ь=1, с = —2. По формуле (2) находим:
_ -1± 712 - 4 •6(-2) _ -1 ± л/49 _ -1 ± 7
Х1’2 ”	2-6	“	12	12 ’
откуда
_-1 + 7 _ 1	-1-7 _ 2
" 12 " 2 ’ *2 " 12 " 3 ’
1	2 А
Ответ: х, =-, х2 ▲
Задача 2. Решить уравнение
4х2 - 4х +1 = 0.
157
А Здесь a = 4, b = —4, c = 1. По формуле (2)находим:
_ 4±-^42-4-4 1 _ 4±0 _ 1
Xi-2 ~	2~4	~	" 2 ’
Ответ: x = |. ▲
Если в равенстве (1) правая часть отрицательна, т.е.Ь2 — Лас < О,
то равенство (1) не может быть верным ни при каком действитель-
ном х, так как его левая часть неотрицательна. Поэтому уравнение
ах2 + Ьх + с = О
не имеет действительных корней, если Ь2 — Лас < 0.
Задача 3. Доказать, что уравнение
х2 — Лх + 5 — 0
не имеет действительных корней.
А Здесь а = 1, b = —4, с = 5,
Ь2 - Лас = (-4)2 - 4 • 1 • 5 = -4 < 0.
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных кор-
ней. ▲
Задача 4. Решить уравнение
2х2 + Зх + 4 = 0.
А По формуле (2) имеем:
_ -3±79-4 2-4
х1.2 -	4
Число, стоящее под знаком квадратного корня, отрицательно:
9-4  2  4 = 9-32 < 0.
Ответ: уравнение не имеет действительных корней. ▲
В отсутствии действительных корней можно убедиться и с помо-
щью формулы (2).
Неполные квадратные уравнения также можно решать по форму-
ле (2), однако при их решении удобнее пользоваться приемами, рас-
смотренными в § 31.
158
Упражнения
Найти значение выражения у]Ь2 - 4ас при:
358.
	1) а = 3, Ь = 1, с =-4;	3) а = 7, b = -6, с = -45;
	2) а = 3,Ь = -0,2, с = -0,01;	4) а = -1, b = 5, с = 1800.
359.	Решить квадратное уравнение: 1)	2х2 + Зх + 1 = 0;	4)	2х2	- 1х + 3 = 0; 2)	2х2 - Зх + 1 = 0;	5)	Зх2	+ 11х + 6 = 0; 3)	2х2 + 5х + 2 = 0;	6)	4х2	- Их + 6 = 0.
360.	Найти все значения х, при которых значение выражения равно нулю: 1)	2х2 + 5х - 3;	5)	х2 + 4х - 3; 2)	2х2-7х-4;	6)	Зх2+12х + 10; 3)	Зх2 + х - 4;	7)	- 2х2 + х + 1; 4)	Зх2 + 2х - 1;	8)	- Зх2 - х + 4.
Решить квадратное уравнение (361—362).	
361.	1) 9х’-6х + 1=0;	3) 49х2 + 28х + 4 = 0; 2) 16х2-8х + 1 = 0;	4) 36х2 + 12х + 1 = 0.
362.	1) 2х2+х + 1 = 0;	3) 5х2+2х + 3 = 0; 2) Зх2-х + 2 = 0;	4) х2-2х + 10 = 0.
363.	Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет: 1) 2х2+5х-7 = 0;	3) 4х2+4х + 1 = 0; 2) Зх2-7х-8 = 0;	4) 9х’-6х + 2=0.
159
Решить уравнение (364—367).
364. 1) 7х2-6х + 2 = 0;
2) Зх2 - 5х + 4 = 0;
3) 9х2+12х + 4 = 0;
365. 1) 6х2=5х + 1;
2) 5х2 +1 = 6х;
3) х(х-1) = 72;
4)	4х2 - 20х + 25 - 0;
5)	4х2 + 12х + 9 = 0;
6)	х2 - Зх - 4 = 0.
4)	х(х + 1) = 56;
5)	4х2 + 12х + 9 = 0;
6)	Зх(х - 2) - 1 = х - 0,5(8 + х2).
366. 1)
х+7.
4 ’
2х2 +х 2-Зх _ х2 -6 .
3	4~ ~ 6 ’
х2-3х	,.
2) —— + х = 11;
367. 1) 5х2-8х-4 = 0;
2) 4х2 + 4х-3 = 0;
3) 8х2-6х + 1 = 0;
4) 5х2-26х + 5 = 0.
sNS 5
Куб, длина ребра которого равна 3 см, покрашен
красной краской. Его разрезали на кубики по 1 см3.
Сколько кубиков имеют три красные грани? две
красные грани? одну красную грань? ни одной
красной грани?
160
§ 34. ПРИВЕДЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ.
ТЕОРЕМА ВИЕТА
Квадратное уравнение вида
х2 + рх + q = О
называется приведенным.
В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Напри-
мер, уравнение
х2 - Зх - 4 = О
является приведенным.
Всякое квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с = О
может быть приведено к виду (1) делением обеих частей урав-
нения на а ф 0.
Например, уравнение 4х2 + 4х - 3 = 0 делением на 4 приводится
к виду
х2 + х - -- 0.
4
Найдем корни приведенного квадратного уравнения (1). Для этого
воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида
ах2 + Ьх + с = 0,
т. е. формулой
_ ~Ь±л1ь2~4ас
Х1’2“ Та •	(2)
Приведенное уравнение
х2 + рх + q = 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = Ь = р, с = q .
Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула (2) при-
нимает вид:
11 — Алгебра, 8 класс	161
или
_ -p+^p2-4q
Л1,2 “ о
(3)
Формулу (3) называют формулой корней приведенного квадратно-
го уравнения. Формулой (3) особенно удобно пользоваться, когда
р — четное число.
Задача 1. Решить уравнение х2 — 14х — 15 = 0.
Д По формуле (3) находим:
х1>2 = 7 ± >/49 +15 = 7 ± 8.
Ответ:X] = 15,х2 = — 1. ▲
Для приведенного квадратного уравнения справедлива следующая
теорема:
Теорема Виета. Еслих,их2 — корни уравнения
х’ +рх + q = 0,
то справедливы формулы
Xj +х2 =-р,
x\'x1~q,
т. е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену.
О По формуле (3) имеем:
£
2
162
Складывая эти равенства, получаем:
Xj + х2 = —р.
Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов полу-
чаем:
Например, уравнение х2 — 13х + 30 = О имеет корни X] = 10, х, = 3;
сумма его корней х( + х2 = 13, а их произведение хг • х, = 30.
Отметим, что теорема Виета справедлива и в том случае, когда
р
квадратное уравнение имеет два равных корня: xt = х2 = - у.
Например, уравнение х2 — 6х + 9 = 0 имеет равные корни = х, = 3;
их сумма X] + х2 = 6, произведение х( • х2 = 9.
Задача 2. Один из корней уравнения х2 + рх~ 12 =0 равен
X] = 4. Найти коэффициент р и второй корень х2 этого уравнения.
Д По теореме Виета:
X) • х2 = -12, Xj + х2 = -р.
Так как х, = 4, то 4х2 = —12, откуда х2 - —3,
Р = -(х, + х2) = -(4-3) = -1.
Ответ: х2 = —3, р = — !.▲
Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение, корни
которого X] = 3, х2 = 4.
Д Так как числа х} = 3, х2 = 4 — корни квадратного уравнения
х2 + рх + q = 0, то по теореме Виета р = — (х, + х2) = — 7, q = х,х? = 12.
Ответ: х2 — 7х + 12 = 0. ▲
Задача 4. Один из корней квадратного уравнения Зх2 + 8х — 4 = 0
положителен. Не решая уравнения, определить знак второго корня.
Д Разделив обе части уравнения на 3, получим:
163
По теореме Виета х^ = - - < 0. По условию х} > 0, следователь-
но, х2 < 0. ▲
При решении некоторых задач применяется следующая теорема,
обратная теореме Виета.
Если числа р, q, хр х2 таковы, что
%! + Х2 = -р,
(4)
х}  х2 = q,
то Xj и х2 — корни уравнения
х2 + рх + q = 0.
О Подставим в левую часть х2 + рх + q вместо р выражение —(х, + х2),
а вместо q произведение X] • х2. Получим:
х2 + рх + q = х2 - (х, + х2)х + х,х2 =
= х2 - XjX - х2х + XjX2 = х(х - xj - х2(х - xj =
= (Х-Х!)(Х-Х2).
Таким образом, если числа р, q, х1 и х2 связаны соотношениями
(4), то при всех х выполняется равенство
х2 + рх + q - (х - Xj )(х - х2),
из которого следует, что хг и х2 — корни уравнения х2 + рх + q = 0. •
Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно под-
бором найти корни квадратного уравнения.
Задача 5. Подбором найти корни уравнения
х2 — 5х + 6 = 0.
Д Здесь р — —5, q — 6. Подберем два числа Xj и х2 так, чтобы
х, + х2 = 5, XjX2 = 6.
Заметив, что 6 = 2- 3, а2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме
Виета, получаем, что xi = 2, х2 = 3 — корни уравнения
х2 — 5х + 6 = 0. ▲
164
Задача 6. Упростить дробь ——.
Разложим числитель дроби на множители:
х2 - х -12 = х2 - 4х + Зх -12 =
= х(х - 4) + 3(х - 4) = (х - 4)(х + 3).
Следовательно,
х2-х-12 _ (х-4)(х+3)
х+3	х+3
= х-4.
Многочлен ах2 + Ьх+ с, где а ф 0, называет квадратным трехчле-
ном. При решении задачи 5 квадратный трехчлен х2 — х — 12 был раз-
ложен на множители способом группировки. Его можно было разло-
жить на множители, используя следующую теорему.
Теорема. Если хх и х, — корни квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с = 0, то при всех х справедливо равенство
ах2 + Ьх + с = а(х - х,)(х - х2).
(5)
О Преобразуем выражение, стоящее в правой части равенства (5):
а(х - xj(x - х2) = ах2 - ах • х, - ах • х2 + аххх2 =
= ах2 -а(хх +х2)х + аххх2.
(6)
Так как х1 и х2 — корни уравнения ах2 + Ьх + с = 0, т. е. уравнения
х2 + х + ^ = 0, то по теореме Виета
X, + х2
й
а
с
а
х(х2
откуда а(х1 + х2) = -Ь, аххх2 = с.
Подставляя эти выражения в равенство (6), получаем формулу
(5).е
165
_	_	2х2+5х-3
Задача 7. Упростить выражение 2	
Д Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
1)	Уравнение 2х2 + 5х — 3 = 0 имеет корни:
X, = 2’х2 =-3-
По доказанной теореме
2х2 + 5х - 3 = 2^х - )(х + 3) - (2х -1) (х + 3).
2)	Уравнение х2 — х — 12 = 0 имеет корни х, = —3, х2 = 4. По до-
казанной теореме
х2-х- 12 = (х+3)(х—4).
Таким образом,
2х2+5х-3 = (2х-1)(х+3) = 2х-1
х2-х-12	(х+3)(х-4)	х-4 ‘
Упражнения
368.	Решить приведенное квадратное уравнение:
1)	х2 + 4х - 5 = 0;	4)	х2 + 6х - 40 - 0;
2)	х2 - 6х - 7 - 0;	5)	х2 + х - 6 = 0;
3)	х2-8х-9 = 0;	6)	х2-х-2 =	0.
369.	(Устно.) Найти сумму и произведение корней приведенного
квадратного уравнения:
1)	х2 - х - 2 - 0;	4)	х2	+	Зх - 4 = 0;
2)	х2-5х-6 = 0;	5)	х2	-	7х4-5 = 0;
3)	х2 4- Зх 4- 2 = 0;	6)	х2	4-	9х - 6 = 0.
370.	(Устно.) Один из корней уравнения х2 — 19х + 18 = 0 равен 1.
Найти его второй корень.
166
371.	(Устно.) Один из корней уравнения 28л2 + 23х —5 = 0 равен —1.
Найти его второй корень.
372.	(Устно.) Не решая уравнения, определить знаки его корней:
1)	х2 + 4х - 5 = 0;
2)	х2 + 5х + 3 = 0;
3)	х2 - 5х + 3 = 0;
4)	х2-8х-7 = 0.
373.	Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее корни х,
их2:
1)	X] =3, х, = -1;
2)	Xj = 2, х2 = 3;
3)	X! - -4, х2 = -5;
4)	X] - -3, х2 = 6.
374.	Подбором найти корни уравнения:
1)	х2 + 5х + 6 = 0;
2)	х2- 7х + 12 = 0;
3)	х2 — 6х 4- 5 = 0;
4)	х2 4-8x4-7 = 0;
5)	х2-8x4-15 = 0;
6)	х2 4- 2х -15 = 0.
375. Разложить на множители квадратный трехчлен:
1) 2) 3) 4)	х2 - 5х 4- 6; х2 4- 4х - 5; х2 4- 5х - 24; х2 4- х - 42;	5) 6) 7) 8)	2х2 - х -1; 8х2 4- 10х 4- 3; -	6х2 4- 7х - 2; -	4х2 - 7х 4- 2.
376. Сократить дробь:			
1 \	х2+х-2.	х+3	.	_ 2х2-Зх-2
1)	х-1 ’	х2-6х-27’	5)	4х2-! 1
	х24-4х-12 .	4\	Х~8		, Зх2 +8х-3
2)	х-2	х2-х-56’	6)	9л2~1 '
377.	Решить приведенное квадратное уравнение:
1)	х2-2V3-х-1 =0;	3) х2 + V2 • х-4 = 0;
2)	х2 -2л/5х4-1 = 0;	4) х2-4л/7х + 4 = 0.
167
378.	Разложить на множители:
1)	х3 - Зх2 + 2х;
2)	х3 + 4х2 - 21х;
379.	Сократить дробь:
1)	фбх-7.
7 х2-7х+6
х2-8х-9.
х2+9х+8’
3) х3 + 5х2 - 24х;
4) х3-9х2-22х.
д, х2-8х+15 .
-х2+5х-6’
.ч 36+5х-х2
7 х2-х-20 ‘
380. Упростить выражение:
1)	1	1 .	3)	7	5 .
	х2-7х+12	х-3 ’		5х2 +Зх-2	5х-2 ’
2)	3	1	4)	5х+1	5х2 +х
	х2+6х+9	х+3 ’		х2+9х-10	х2-2х+1
§ 35. УРАВНЕНИЯ, СВОДЯЩИЕСЯ К КВАДРАТНЫМ
Задача 1. Решить уравнение
х4 - 7х2 +12 = 0.
Д Обозначим х2 = I, тогда уравнение примет вид:
t2-7t+ 12 = 0.
Решая это квадратное уравнение, получаем:
— 4, t2 — 3.
Так как t = хг, то решение исходного уравнения сводится к реше-
нию двух уравнений:
х2 = 4, х2 = 3,
откуда
х12 - +2, х3 4 = ±л/3.
Ответ: х12 =±2, х34 = ±>/3. ▲
168
о
Уравнение
ах4 + Ьх2 + с = О,
где а ф 0, называют биквадратным.
Заменой х2 = t это уравнение сводится к квадратному.
Задача 2. Решить биквадратное уравнение
9х4 + 5х2-4 = 0.
Д Обозначим х2 = t. Тогда данное уравнение примет вид:
9/2+5/-4 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение, находим:
Zi = 9’	=~L
2	4	2
Уравнение х = - имеет корни х12 = ±-, а уравнение х2 = — 1
не имеет действительных корней.
2
Ответ: Х2 = ±-. ▲
3
Задача 3. Решить уравнение
3__________________________i_ = 3
х+2 х-3
Д Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен
(х + 2)(х — 3). Если х+2^0 и х-3^0,то, умножая обе части урав-
нения на (х + 2)(х — 3), получаем:
3(х - 3) - 4(х + 2) = 3(х + 2)(х - 3).
Преобразуем это уравнение:
Зх - 9 - 4х - 8 = 3(х2 - х - 6),
—х —17 — Зх2 - Зх -18,
Зх2 - 2х -1 = 0.
Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:
1
=1; %2
169
Так как прих = 1 и х = -- знаменатели дробей исходного урав-
нения не обращаются в нуль, то числа 1 и являются корнями
этого уравнения.
„	1	1 А
Ответ: х, - -1, х2 = - -. А
Задача 4. Решить уравнение
1	3 _ 3-х
(х-1)(х-2) + х-1	х-2 '
(1)
Д По условию (х — 1 )(х — 2) ф 0. Умножая обе части уравнения на
(х— 1)(х — 2), получаем:
1 + 3(х-2) = (3-х)(х-1).
Преобразуем это уравнение:
1 + Зх - 6 = -х2 + 4х - 3,
х2-х-2 = 0.	(2)
Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:
х, = -1,х2 = 2.
При х= —1 знаменатели исходного уравнения не обращаются в
нуль, следовательно, число —1 — корень исходного уравнения. При
х = 2 двух дробей исходного уравнения равны нулю, поэтому число 2
не является корнем исходного уравнения.
Ответ: х= —1.А
В задаче 4 исходное уравнение (1) было сведено к квадратному
уравнению (2), имеющему два корня. Один из них Xj = — 1 является
корнем уравнения (1). Другой корень х2 = 2 не является корнем урав-
нения (1), в этом случае его называют посторонним корнем.
Таким образом, при умножении уравнения на выражение, со-
держащее неизвестное, могут появиться посторонние корни.
Поэтому при решении уравнения, содержащего неизвестное в зна-
менателе дроби, необходима проверка.
170
Задача 5. Решить уравнение
±±Z___L +_____1___= о.
х+4	х+3	х2+7х+12
Д Разложим квадратный трехчлен х2 + 7х + 12 на множители. Ре-
шая уравнение х2 + 1х + 12 = 0, находим его корни х, = — 3, х2 = —4.
Поэтому х2 + 7х +12 = (х + 3)(х + 4).
Умножим обе части данного уравнения на общий знаменатель
дробей, т. е. (х + 3)(х + 4). Получим:
(х + 7)(х + 3) - (х + 4) +1 = 0.
Преобразуем это уравнение:
х2 + 10х + 21-х-4 + 1 = 0,
х2 + 9х +18 = 0.
Решая это уравнение, находим его корни:
X] = -3, х2 = - 6.
Проверим эти корни. При х = —3 знаменатели второй и третьей
дробей исходного уравнения обращаются в нуль, поэтому х, = —3 —
посторонний корень. При х = — 6 знаменатели дробей исходного урав-
нения не равны нулю. Подстановкой х = —6 в исходное уравнение
можно убедиться, что это число является корнем данного уравнения.
Ответ: х = — 6. А
вии,_иииивииииии-и^Л££,^«^	_
Решить уравнение (381—384).
381. 1)	х4-10х2+9 = 0;	3)	х4-13х2 + 36 = 0;
2)	х4-5х2+4 = 0;	4)	х4 -50х2 + 49 = 0.
382. 1)	х4-Зх2-4 = 0;	3)	х4+х2-20 =	0;
2)	х4+Зх2-4 = 0;	4)	х4-4х2-5 =	0.
171
383. 1) Д-| = и	4) -40_-40 = 1; 2 х-20 х
2) -^ + - = 3;	1	15 5) —4	т - 71 х-3	х+3	8
3) - + —!— =— ' х х+3	20’	6) -^ + -^ = 1,5. х-2	х+2
384. 1)	= х-6	4х+3	х2-2х-5	1	,. ) (х-3)(х-1)	х-3	’
х+2 х-2 13 2) —э+—= Т х-2 х+2	6	х2 _ х _ 6 . х+3 -3-х	х+3 ’
х+5	1	1 . ) х+2 + (х+1)(х+2) х+1 ’	-х2 _ 2х _ 3 ' х-Г — 1-х — х-1
385. Имеет ли действительные корни уравнение:
1) х4 -5х2 + 7 = 0;	2) х4+Зх2+2 = 0?
386. При каких значениях х равны значения выражений:
, ч 6	2	п х+4 1) ~5— + i— и 2	 2 Х2-1	1-Х	х+1	2) и * +1? ? х+2	х-2	4-х2
§ 36. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решим несколько задач с помощью квадратных уравнений.
Задача 1. В шахту брошен камень, и звук от его удара был
услышан спустя 9 с. Определить глубину шахты, считая скорость зву-
ка равной 320 м/с, а ускорение силы тяжести g = 10 м/с2.
Д Для нахождения глубины шахты достаточно определить время
(I) падения камня, так как глубина шахты согласно закону свободно-
gtz
го падения равна метрам.
По условию g = 10 м/с2, поэтому глубина шахты равна St2 метрам.
С другой стороны, глубину шахты можно найти, умножив скорость
172
звука 320 м/с на время его распространения от момента удара камня
до момента, когда был услышан звук, т.е. на (9- /) секунд. Следова-
тельно, глубина шахты равна 320 (9 — t) метрам. Приравнивая два
найденных выражения для глубины шахты, получаем уравнение
5t2 = 320(9 — !)• Решим это уравнение:
t2 - 64(9 - /),
t2 + 64/ - 64 • 9 = 0.
Решим полученное квадратное уравнение:
tx 2 = -32 ± >/322 + 64 - 9 - -32 ± ^/32(32 +18) =
= -32 ± 732 • 50 = -32 ± 716 100 = -32 ± 40,
tx =8, t2= -72.
Так как время падения камня положительно, то t = 8 с. Следователь-
но, глубина шахты равна:
5/2 = 5 - 82 = 320(м).
Ответ: 320 м. ▲
Задача 2. Автобус-экспресс отправился от автовокзала в аэро-
порт, находящийся на расстоянии 40 км. Через 10 минут вслед за
автобусом выехал пассажир на такси. Скорость такси на 20 км/ч больше
скорости автобуса. Найти скорость такси и автобуса, если в аэропорт
они прибыли одновременно.
Д Пусть х км/ч — скорость автобуса, тогда скорость такси равна
40
(х + 20) км/ч. Время движения автобуса равно — часам, а время
40	„
движения такси равно - —- часам. По условию задачи разница меж-
ду временем движения автобуса и такси равна 10 мин, т. е. т ч. Сле-
о
довательно,
40	40 _ 1
х х + 20~ 6"	А)
Решим полученное уравнение. Умножая обе части уравнения на
6х(х + 20), получаем:
173
40-6 (х + 20) - 40 • 6х = х(х + 20),
240х + 4800 - 240х = х2 + 20х.
х2 + 20х - 4800 = 0.
Корни этого уравнения: xt = 60, х2 = —80.
При этих значениях х знаменатели дробей, входящих в уравнение
(1), не равны нулю, поэтому х, = 60 и х2 = —80 являются корнями
уравнения (1). Так как скорость автобуса положительна, то условию
задачи удовлетворяет только один корень: х = 60. Поэтому скорость
такси 80 км/ч.
Ответ: скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч. ▲
Задача 3. На перепечатку рукописи первая машинистка тратит
на 3 ч меньше, чем вторая. Работая одновременно, они закончили
перепечатку всей рукописи за 6 ч 40 мин. Сколько времени потребо-
валось бы каждой из них на перепечатку всей рукописи?
Д Примем работу по перепечатке всей рукописи за единицу. Пусть
первая машинистка затратит на перепечатку рукописи х часов, тогда
второй из них на эту работу потребуется (х + 3) часов. Первая маши-
1	г-	1
нистка за час выполняет — часть работы, а вторая . Работая
вместе, они выполняют за час	всей работы, а за 6 ч 40 мин,
2
т. е. за 6- ч они выполняют всю работу. Поэтому
Это уравнение можно записать так:
1 1 - 3
х х+3	20'
Умножая обе его части на 20х (х + 30), получаем.
20(х + 3) + 20х = Зх(х + 3),
40х + 60 = Зх2 + 9х,
Зх2 -31Х-60 = 0.
(2)
174
Корни этого уравнения:
х{ = 12, х2 =-|.
При этих значениях х знаменатели дробей, входящих в уравне-
ние (2), не равны нулю, поэтому х{ = 12 и х2 = - | являются кор-
нями уравнения (2). Так как по смыслу задачи х > 0, то х = 12. Сле-
довательно, первая машинистка затрачивает на работу 12 ч, вторая
12 ч + 3 ч =15 ч.
Ответ: 12ч и 15ч. А
_____^^Уп^аж11ения
387.	Найти два последовательных натуральных числа, произведение
которых равно: 1) 156; 2) 210.
388.	Найти два последовательных нечетных числа, если их произве-
дение равно: I) 255; 2) 399.
389.	Периметр прямоугольника равен 1 м, а площадь — 4 дм2. Найти
его стороны.
390.	Сад площадью 2,45 га обнесен изгородью длиной 630 м. Найти
длину и ширину сада, если он имеет прямоугольную форму.
391.	Расстояние в 400 км скорый поезд прошел на час быстрее то-
варного. Какова скорость каждого поезда, если скорость товар-
ного поезда на 20 км/ч меньше, чем скорость скорого?
392.	Прогулочный теплоход отправился вниз по течению реки от при-
стани А до пристани В. После получасовой стоянки теплоход от-
правился обратно и через 8 ч после отплытия из А вернулся на
эту же пристань. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если
расстояние между пристанями А и В равно 36 км, а скорость
течения реки 2 км/ч?
393.	Две бригады, работая вместе, закончили задание за 6 дней. Сколь-
ко дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой
работы, если одной из бригад требуется на 5 дней меньше, чем
другой?
175
Разложить многочлен
х4 + 2006х2 + 2005х + 2006
на множители.
394.	От квадратного листа жести отрезали полоску шириной 6 см.
Площадь оставшейся части равна 135 см2. Определить первона-
чальные размеры листа.
395.	Площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2. Найти ка-
теты этого треугольника, если один больше другого на 31 см.
396.	Расстояние в 30 км один из лыжников прошел на 20 мин быст-
рее другого. Скорость первого лыжника была на 3 км/ч больше
скорости второго. Какова скорость каждого лыжника?
397.	Две строительные бригады, работая вместе, построили коша-
ру для овец за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы на
строительство такой же кошары каждой бригаде отдельно, если
первой бригаде нужно было работать на 10 дней больше, чем
второй?
§ 37. РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ,
СОДЕРЖАЩИХ УРАВНЕНИЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Задача 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна у/13 см,
а его площадь 3 см2. Найти катеты.
Д Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему
Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, усло-
вие задачи запишем так:
х2 + у2 = 13,
•1^ = 3.	<1>
Прибавляя к первому уравнению системы второе, умноженное на
4, получаем:
х2 + у2 + 2ху = 25,
176
откуда (х + у)2 = 25, или х + у = ±5. Так как хи у — положительные
числа, то х + у = 5. Из этого уравнения выразим у через х и подста-
вим в одно из уравнений системы (1), например, во второе:
у = 5 - х, | х(5 - х) - 3.
Решим полученное уравнение:
5х - х2 = 6, х2 - 5х + 6 = О, х, - 2, х2 = 3.
Подставив эти значения в формулу у = 5 — х, находим yt = 3, у,  2.
В обоих случаях один из катетов равен 2 см, другой 3 см.
О т в е т: 2 см, 3 см. ▲
Задача 2. Решить систему уравнений
х + у = 3,
ху = -10.
Д По теореме, обратной теореме Виета, числа х и у являются
корнями квадратного уравнения
Z2-3z-10 = 0-
Решая это уравнение, получаем zl = 5, z2= —2. Следовательно, реше-
ниями системы являются следующие две пары чисел: х, = 5, у{ = — 2 и
х, = -2, у2 = 5.
Ответ: (5;-2), (-2; 5). А
Задача 3. Решить систему уравнений
х2 + 4ху - 2у2 = -29,
Зх - у -6 = 0.
Д Решим эту систему способом подстановки:
у = Зх - 6,
х2 + 4х(3х - 6) - 2(3х - 6)2 = -29.
Упростив это уравнение, получим: 5х2 — 48х + 43 = 0, откуда Xj = 1,
х, = 8,6. Подставляя значения х в формулу у ~ Зх — 6, находим у. ~ —3,
у\ = 19,8.
Ответ: (1; -3), (8,6; 19,8). ▲
12 —Алгебра, 8 класс	177
Задача 4. Решить систему уравнений
х2 - у2 = 16,
х - у = 2.
Д Запишем первое уравнение системы так:
(х-у)(х + у) = 16.
Подставляя сюда х — у = 2, получаем х + у = 8. Итак,
х + у = 8,
х-у = 2.
Решая эту систему способом сложения, находим х = 5, у = 3.
Ответ: (5; 3). ▲
Ул£ ажнен ия.
398. Решить систему уравнений первой степени с двумя неизвестными:
	2х - у - 3,	Зх + у + 4 = 0,
1) 	2у + х = 14;	3)	4 у + 8х - 4 = 0;
	х + 5у = 9,	2х - 3 у + 8 = 0,
2) 	Зу-2х = -5;	}	4х - 2у + 4 = 0.
Решить систему уравнений (399—403).
	у = х + 6,	х + 2у = 1,
399. 1)	X2-4j--3;	3)	х + у2 =4;
	X = 2 - у,	у - Зх = 2,
2) '	2	О'-)	4) у + х = 32;	'	х2 - 2у = 3.
	х2 +ху = 2,	х + у = 1,
400. 1) ’	,у-3х = 7;	3) '	х2 + у2 = 5;
	х2 -ху-у2 -- 19,	х2 +у2 = 17,
2) '	7	4) х-у = 7;	7	х — у = 3.
178
401.
402.
403.
404.
405.
406.
407.
2)
х + у = 5,
ху = 6;
[х-у = 7,
|х2 -у2 = 14;
Гх + у = 3,
|х2 -у2 =15;
х2 + у2 = 17,
ху = 4;
ху = 10,
X2 + у2 =29;
4)
3)
3)
4)
х + у = 12,
ху = 11;
X + у = -7,
ху = 10.
х2 - у2 = 24,
х + у = 4;
х2 - у2 = 8,
х-у = 2.
х2 + у2 = 10;
ху = 5,
х2 + у2 = 26.
Сумма двух чисел равна 18, а их произведение — 65. Найти эти
числа.
Среднее арифметическое двух чисел равно 20. а их среднее гео-
метрическое — 12. Найти эти числа.
Решить систему уравнений (406—407).
1)
х = 2 у = -3.
у2 - 2х = 3;
х + у = 6,
ху = -7;
3)
х2-у2 =21,
х + у = 7.
X - у = 2,
ХУ =
3;
3)
2х2 - у2 = 46,
ху = 10;
х2 - у2 = 0,
4 + ху = 0;
х - у = 3,
ху = 4;
4)
(х - у)2 = 4,
6) 11+ 1
_х у
179
408. Участок прямоугольной формы нужно огородить забором дли-
ной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если
его площадь равна 6 га?
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
Решить уравнение (409—411).
409.	1)	х2 - 12 = 0;	3)	i х2 + 2х = 0;
	2)	х2 -50 = 0;	4)	Зх -1 х2 =0.
410.	1)	х2 + 4х - 45 = 0;	3)	Зх2 - 7х - 40 = 0;
	2)	х2-9х-52 = 0;	4)	5х2 + 17х -126 = 0.
411.	D	4х2 - 2х - 3 = 0;	3)	4х2 - 8х -1 = 0;
	2)	9х2 - Зх - 4 = 0;	4)	Зх2 + 4х -1 = 0.
412. Не решая уравнения, определить, сколько действительных кор-
ней оно имеет:
	1) х2 - 5х + 6 = 0;	3) 4)	25х2 - 10х + 1 = 0; 9х2 + ЗОх + 25 = 0.
	2) 5х2+7х-8 = 0;		
413.	Разложить на множители квадратный трехчлен:		
	1) х2 + 12х + 30;	3)	2х2 + х -1;
	2) х2 - 10х + 16;	4)	2х2 - Зх - 2.
414.	Сократить дробь: —9 1) ^-4; х+3	3)	16х2-24х+9. 4х2 +5х-6 ’
	х3+4х2+4х. 2	х+2	4)	25х2+10х+1 5х2-14х-3 '
180
Решить уравнение (415—416):
415.	1) х4-9х2+20 = 0;
2)	х4 — Их2 +18 = 0;
X 3	3
416.	1) — + - =
х-2 х х-2
х2 2+х	5-х
2)	-^~Г + —7 =----’
х2+3х	х+3 х
3) 2х4-5х2+2 = 0;
4) 5х4 - 16х2 + 3 = 0.
у+3	6—у	у+5
3)
417.	Найти два числа, сумма которых равна 3, а сумма их квадратов
равна 5.
418.	Найти два числа, разность которых равна 1, а сумма их квадра-
тов равна 3 .
419.	Одна сторона прямоугольника на 5 м больше другой, а его пло-
щадь равна 84 м2. Найти стороны прямоугольника.
420.	Площадь прямоугольника равна 675 см2. Найти стороны прямо-
угольника, если одна из них на 30 см меньше другой.
421.	Скорость вертолета Ми-6 относительно воздуха равна 300 км/ч.
Расстояние в 224 км вертолет пролетел дважды: один раз — по
ветру, другой раз — против ветра. Определить скорость ветра,
если на полет против ветра вертолет затратил на 6 минут боль-
ше, чем на полет по ветру.
422.	Скорость велосипедиста на первой половине пути была на 3 км/ч
больше, чем его скорость на второй половине пути.С какой ско-
ростью велосипедист проехал вторую половину пути, если весь
путь в 90 км он преодолел за 5,5 ч?
423.	На посадке деревьев работали две бригады. Первая бригада еже-
дневно высаживала на 40 деревьев больше, чем вторая, и поса-
дила 270 деревьев. Вторая бригада работала на 2 дня больше пер-
вой и посадила 250 деревьев. Сколько дней работала на посадке
деревьев каждая бригада?
181
424. Решить систему уравнений:
Х + У = 1, ху = -6;	5) ’	х2 - у2 X + у =	= 200, 20;
х + Зу -10,		х2 - у2	= 9,
	6) '		
[ху = 3;		Х-У =	1;
х - 2у = -7,		2	2 х +у	= 41,
ху = -6;	7) '	у —х =	1;
х + у = -7,		Х-У =	з,
ху = 12;	8) 	2	2 X +у	= 5.
Проверьте себя!
1.	Решить уравнение:
1)	Зх2 = 0;
2)	(х + 1)(х — 1) = 0;
3)	4х2-1 = 0;
4)	Зх2 = 5х;
2.	Разложить на множители:
1)	х2 + х — 6;
5)	4х2 - 4х +1 = 0;
6)	х2-16х-17 = 0;
7)	0,Зх2+5х = 2;
8)	х2 - 4х + 5 = 0.
2) 2х2 — х — 3.
3.	Расстояние между двумя селами в 36 км один велосипедист
проехал на 1 час быстрее второго. Найти скорость каждого
велосипедиста, если известно, что скорость одного велосипе-
диста на 3 км/ч больше скорости другого.
4.	Решить систему уравнений
х2 - у1 = 72,
х + у = 9.
182
Решить уравнение (425—427).
425.	1) Зх(х-2) = х-4;	2)	=
о 2 о
426.	1) 2х(х - 2) = (х +1)2-9;	3)	=
2) 5х(х - 4) = (х - 8)2 - 65;	4)	= 4.
427.	1) (х - 5)(х - 6) = 30;	3) (х - 1)(х - 4) = Зх;
2) (х + 2)(х + 3) = 6;	4) (х - 2)(х + 8) = 6х.
428.	При каких значениях х выражение х2 + Зх — 88 равно:
1) 0;	2) 20;	3) -18;	4) -70?
429.	Сколько действительных корней имеет квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с — 0, если:
1)	а - 3, b = 1, с = -4;	3) а = 25, b = -10, с = 1;
2)	а = 5, Z> = 2, с = 3;	4) а = 1, b = 0, с = -251
430.	Решить уравнение:
12х+4 _ Зх-2 2х+3 .
х2+2х-3 ” Х-1 “ х+3 ’
5 8 _	2 20
' х2-4 х2-1 х2-Зх+2 х2+Зх+2‘
431.	Мастерская в определенный срок должна выпустить 5400 пар
обуви. Фактически она выпускала в день на 30 пар больше, чем
предполагалось, и выполнила заказ на 9 дней раньше срока. За
сколько дней был выполнен заказ?
432.	Два туриста выехали одновременно на велосипедах из села А и
направились разными дорогами в село В. Первый должен был
проехать 30 км, а второй — 20 км. Скорость движения первого
183
туриста была на 3 км/ч больше скорости второго. Однако второй
турист прибыл в В на 20 мин раньше первого. Сколько времени
был в дороге каждый турист?
433.	Две бригады рабочих закончили ремонт участка дороги за 4 ч.
Если бы сначала одна из них отремонтировала половину всего
участка, а затем другая — оставшуюся часть, то весь ремонт был
бы закончен за 9 ч. За сколько времени каждая бригада в отдель-
ности могла бы отремонтировать весь участок?
434.	Решить систему уравнений:
	х2 + у2 = 0,		х2 + у - х = 4,
1) •	ху = -3;	3) '	Зх2 - у + 2х = -1;
2) ‘	х2 + у2 = 13, ху = 6;	4) '	(х - 1)(у -1) = 3, (х + 2)(у + 2) = 24.
435. Пусть Xj = — 3 — корень уравнения 5х2 + 12х + q — 0. Найти х2.
	(оРТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ	К ГЛАВЕ VI
1.	Решить уравнение х2 = 64. А) х12=±8;	С) х= —8; В)х=8;	D)x=32;	Е) 0.
2.	Решить уравнение х2 — 11 = 0.	
	А) х = ЛТ;	С) х = -ЛТ;	Е) правильный ответ
	В) х12=±ЛТ;	D) х = у;	не приведен.
3.	Решить уравнение Зх2 = 48. А) х = 4;	С) х12 = ±4; В) х = —4;	D) х = 8;	Е) х= 16.
184
4. Решить уравнение	х2 = 5х.	
А) 0;	С) х-0;	Е) х = 5.
В) х = 2,5;	D) X! = 0, х2 = 5;	
5. Решить уравнение	х2 + 9х = 0.	
А) х, 2 = -9;	С) х12 = 9;	Е) х, = 0, х2 = —9.
В) X] 2 = ±3;	D) х{ = 9, х,= 0;
6.	Решить квадратное уравнение х2 + х — 6 = 0.
А) X] = —3, х2 = 2;	С)	х( 2 = ±6;	Е)	х, 2 - ±3.
В) X] - 3, х2 = —2;	D) х, = ~2; х2 = —3;
7.	Решить квадратное уравнение х2 + 7х + 6 = 0.
А) X] = 1, х2=-1;	С)	X] =-7, х2=-6;	Е)	0.
В) х, = -6, х, = -1;	D)	X! = —1,х2 = -5;
8.	Решить квадратное уравнение х2 + х + 1 = 0.
A)	х, = 0, х2=1; С) 0;	Е) Xi , =-|.
В)	x1<2=^; D) х12=±л/=3;
9.	Решить квадратное уравнение х2 - 7х +10 = 0.
А) X! = -2, х2 = 2;
В) X! = -5, х2 = 2;
С) Х| = 5, х2 = 1; Е) правильный
ответ не приведен.
D) X! = 2, х2 = 5;
10.	Решить квадратное уравнение 6х2 — 5х + 1 = 0.
А) х!=0,х2=-|; С) ^1=-|,х2=-|; Е) ^=|,х2=|.
D) х = -|;
185
11. Решить квадратное уравнение 12х2 + 1х + 1 = 0. 1	1	z~'\	1	1 А) хх=-,х2=-\	С) х,=-,х2=---,		Е)	7 Х~ 12’
В) %! =-|,х2 =|;	D	) * =		
12. Решить уравнение х4 - 5х2 +4 = 0.			
А) х, 2 = ±4, х3 4 = 1;	С	) х, = 1, х2 = 4;	Е)	0-
В) %! 2 = ±1, х3 4 = ±2; D	) xt 2 = ±1;		
13. Решить уравнение х4 - 4х2 -	-5 = 0.		
А) Х[ 2 = ~Х3 4 = U	С	) х12 =±75;	Е)	X] 2 = ±V3.
В) Xj 2 = 5;	D	) 0;		
14. Решить систему уравнений -	х + у = 5, ху = 4.		
А) х = -4,у = -1;	С В) х = 1, у =-4;	D	) х = 4, у = -1; ) (1;4)и(4;1);	Е)	0.
15. Решить систему уравнений 	об II II « еч к к t		1		
А) х = 2, у =-2;	С	) х = 4, у = 0,	Е)	х = 3, у = 1
В) х = 5, у = -1;	D	) х = 1, у = 3;		
16. Разность двух чисел равна 3, а их произведение 28. Найти эти
числа.
А) 7 и 4;	С) 14 и 2;	Е) найти
В) 5 и 2;	D) 11 и 8;	невозможно.
17. Периметр прямоугольника 30 м, а его площадь равна 56 м2. На-
сколько его длина больше его ширины?
186
A) 1,2 м;
В) 1 м;
С) 2 м; Е) правильный ответ не приведен.
D) 2,5 и;
18. Путь в 60 км один велосипедист проехал на 1 час быстрее второ-
го. Найти скорость каждого велосипедиста, если скорость одного
из них была на 5 км/ч меньше скорости второго.
А) 20 км/ч, 25 км/ч; В) 10 км/ч, 15 км/ч; С) 15 км/ч, 20 км/ч;	D) 12 км/ч, 17 км/ч; Е) 16 км/ч, 21 км/ч.
Исторические задачи
1. Решить уравнения и системы уравнений из трактата алъ-
Хорезми «Китаб аль-джебр валъ-мукабала»:
1)	х2 + 10х=39;
2)	х2 + 5х=24;
3)	х2 + 10х = 56;
4)	х2 + (10 —х)2 = 58;
5)	(l + 1)(? + 1) = 2°;
6)	4х(10 —х) =х2;
7)	ух2 = 100;
8)	х2 + 21 = 10х;
9)	Зх + 4 = х2;
Ю) 7’7 = * + 24;
12)	100 + х2 — 20х= 81х;
13)	30х= 100+ х2;
14)	4х • 5х = 2х2 + 36;
17)	132 —х2= 152 —(14 —х)2;
18)	(10 — х)2 — х2 = 40;
19)	(10-х)2 + л2 + (10 —х) -х = 54;
2°) =
21) х2 + 20=12х;
(х 1\( X
- + 1Ц- + 2j = X + 13;
187
?	3
23) х+ х = -;
24)	=х+12;
(.	\ V
х-1| + 31 = х;
2 1 2 1
26)	J з х = -х;
27)	^^ = 4х;
28)	(х2 —Зх)2 = х2;
29)	1 1х2=|х;
30)	10х= (10 — х)2;
31)
32)
33)
34)
35)
х + у = 10,
' ху = 21;
х + у = 10,
х2 - у2 = х - у + 54;
х + у = 10,
Х + £ = 21;
X у 6
х + у = 10,
у2 = 8х;
х + у = 10,
х2 - 4ху.
х	10— х	г~
2.	Задача Абу Камила. Решить уравнение	~	
3.	Задача Евклида. Решить уравнение (1 — х): х = х: 1.
4.	Задачи из вавилонских клинописных табличек (III—IIтыс. до н. э.)
1)	Сумма площадей двух квадратов равна 25 . Сторона вто-
г	2
рого квадрата на 5 единиц больше - стороны первого квад-
рата. Найти стороны квадратов.
2)	Известна сумма (разность) длин смежных сторон прямо-
угольника и его площадь. Найти длины его сторон.
5.	Задача из книги Диофанта «Арифметика» . Сумма двух чисел
равна 20, а сумма их квадратов равна 208. Найти эти числа.
188
МУХАММЕД ИБН МУСА
АЛЬ-ХОРЕЗМИ (783-850)
— великий математик и астроном. Ав-
тор основополагающих трактатов по
арифметике и алгебре, оказавших боль-
шое влияние на развитие математики.
Исторические сведения
Великий ученый Мухаммед аль-Хорезми в своем трактате
«Китаб аль-джебр валь-мукабала» заложил основы алгебры. Араб-
ская рукопись книги аль-Хорезми, переписанная в 1342 г., со-
хранилась в Бодленской библиотеке Оксфордского университета.
Аль-Хорезми так говорит о целях написания своей книги: «..Я
написал книгу, в которой рассмотрены простые и сложные ариф-
метические задачи, так как решение таких задач необходимо лю-
дям при разделе наследства и имущества, составлении завеща-
ния, в юридических вопросах, торговле и во всевозможных кон-
трактах, а также при разделе земельных угодий, прокладывании
оросительных каналов, в инженерном деле и тому подобных ве-
щах». В алгебре приходится иметь дело «с величинами трех ро-
дов» пишет аль-Хорезми Это корни (неизвестное число х урав-
нения), квадраты (х* 1 2 3 4 5 6) и обычные числа (свободные члены).
Аль-Хорезми изучал соотношения между этими тремя ро-
дами величин. Он делил уравнения на следующие классы:
1) ах- = Ьх — квадраты равны корням;
2) ах- = с — квадраты равны числу;
3) Ьх= с — корни равны числу;
4) ах- + Ьх — с — квадраты и корни равны числу;
5) ах- + с= Ьх — квадраты и число равны корням;
6) Ьх + с = ах2 — корни и число равны квадратам.
В своем трактате аль-Хорезми предлагает для решения урав-
нений вида 4, 5, 6 геометрические методы. Методами алгебры
ученый приводит каждое из уравнений к одному из приведен-
ных выше 6 видов уравнений.
189
УПРАЖНЕНИЯ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 8 КЛАССА
436. Вычислить:
27	8 72.
32 * 162'69 ’
38	91 . 65 .
147 ’ 152 ‘ 264 ’
5) 34,17:1,7 + (24 + 0,15И-23^;
\ 4	/58
6) 5,86-3|-
'	6 23 28	7
7)
8)
12—-3 —— 4—-4-
5	4	118.
2	4	’
11—-2 —
3	7
5^-5— + 5--з|
7	4	8	5
10—: 1 —
13	26
437.	Тело движется равномерно со скоростью 4 км/ч:
1)	написать формулу, выражающую путь s этого тела за t часов;
2)	составить таблицу значений s при t, равном 0; 1; 2; 3; 4;
3)	по данным таблицы построить график изменения пути дан-
ного тела в зависимости от изменения времени дви Кения,
4)	найти по графику путь, пройденный телом за 1 ч 30 мин,
3,5 ч;
5)	найти по графику, за какое время тело пройдет 10 км, 6 км;
6)	доказать, что отношение ординаты любой точки полученнсгс
графика к ее абсциссе равно 3.
438.	Построить график функции:
l)y = -3x + 2;	3)у = |х + 2;	5)у = -2;
2)j = 3x-2;	4) у = --2;	6)у = 1.
190
439.	Построить график функции у = 0,4х — 8. Найти по графику:
1)	значение у, соответствующее значению х, равному — 1; 0; 1;
2,5;
2)	при каком значении х значение у равно —8; —2; 0; 0,5; 1,5; 4.
440.	Найти координаты точек пересечения прямой с осями координат:
1)у=7х + 4;	3)у=3,5х- 1;
2)	у=— 7х+4;	4) у=— 3,5х+ 1.
441.	Дана функция у = кх + b . При каких значениях к и b график
функции проходит через точки (—1; 1) и (2; 3)?
442.	Найти значение к, если известно, что график функции у = кх — 1
проходит через точку (—3; 2).
443.	Найти значение Ь, если известно, что график функции
у = jX + b проходит через точку (—6; 0).
444.	Построить график уравнения:
1)х + у—1=0;	3) Зу- 2х=9;
2)	2х + у—3;	4) 2х = у—1.
445.	Найти координаты точки пересечения прямых:
1)	у = 4х—6 иу = Зх—2;	2) у = Зх — 1 и у = -|х +1.
Решить систему уравнений (446—448).
446. !)•	2х - у — -6, х + 2у = 7;	3)-	Зх + 7у = 13, 8х - Зу = 13;
2)-	х + у = 4, Зх + у -- 0;	4)	Зх - 5у = 6, —8 у = Зх + 7.
447.
--— = 0 5'
4	5	’ ’
191
Ц^ + 2у = 3,	jl2^_3x =-5,
i^±S-3x = 3;	У	+	= -8.
-2	.11
449.	Решить систему уравнений графическим способом:
Зх + 2у = 1, '
5х - 2у = -7;
4х - 5у - 7 = О,
2х - 8у + 2 = 0.
450.	В первом баке в 4 раза больше жидкости, чем во втором. Когда из
первого бака перелили 10 л жидкости во второй, оказалось, что
во втором баке стало в 1,5 раза больше жидкости, чем осталось в
первом баке. Сколько жидкости было в каждом баке первона-
чально?
451.	За две пары гольф и три пары носков уплатили р сумов. Сколь-
ко стоит пара гольф и пара носков, если одна пара гольф и
четыре пары носков стоят q сумов?
452.	За 5 м шерсти с лавсаном и 4 м шелка в магазине уплатили п
сумов. При передаче остатков ткани в магазин по продаже мер-
ного лоскута цену на шерсть с лавсаном снизили на 25 %, а на
шелк — на 15%, и в этом магазине за 6 м шерсти с лавсаном и
5 м шелка нужно заплатить т сумов. Сколько стоил метр ткани с
лавсаном и метр шелка в магазине первоначально?
453.	Сестра старше брата на 6 лет, а через год будет старше его в 2
раза. Сколько лет каждому из них?
454.	Если к числителю некоторой дроби прибавить 3, а знаменатель
оставить без изменения, то получится 1; если к знаменателю
исходной дроби прибавить 2, не меняя ее числитель, то полу-
чится дробь, равная у. Найти эту дробь.
192
455.	Если каждый множитель произведения 12 • (—5) увеличить на
одно и то же число, то получится квадрат этого числа. Найти это
число.
456.	Найти натуральное число, остаток при делении которого на 8 ра-
вен 3, а на 9 равен 7, если первое частное меньше второго на 1.
457.	Найти натуральное число, остаток при делении которого на 4
равен 3. а на 7 равен 5, а частное при делении на 4 на 2 больше
частного при делении его на 7.
458.	Теплоход прошел по реке расстояние между двумя пристанями,
равное 80 км, за 3 ч 20 мин по течению реки и за 5 ч против
течения. Найти скорость течения реки и собственную скорость
теплохода.
459.	Поезд прошел расстояние 63 км между двумя станциями за 1 ч
15 мин. Часть пути он шел под уклон со скоростью 42 км/ч, а
остальную горизонтальную часть пути поезд шел со скоростью
56 км/ч. Сколько километров пути уложено под уклон?
460.	1) Проходит ли график функции у — — 2х— 1 через точки (—3; 5),
(-1; 2)?
2)	Построить график функции у = — 2х — 1. Найти координаты
точек пересечения графика с осями координат.
3)	При каком значении х значение функции у = — 2х — 1 равно
нулю?
4)	Указать несколько целых значений х, при которых значения
функции у=~2х— 1 положительны (отрицательны).
5)	Найти координаты точки пересечения графика функции
у = — 2х — 1 с графиком функции у = 5.
461. Решить уравнение:		
1)	(х — 9)(2 — х) = 0;	5) 1 - 4х2 = 0;
2)	(х + 4)(3 — х) = 0;	6) 9х2 —4 = 0;
3)	2х2 — х = 0;	7) ^^ = 0; X
4)	Зх2+5х=0;	8) = X
13—Алгебра, 8 класс
193
462.	Доказать, что если х > - и у > 4, то:
1)	4х+3^>14;	3)х2у>1;
2)2ху—3>1;	4)х3+у2>16.
463.	(Устно.) Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее не-
равенству:
1)	п<-7;	2) «<—3,6;	3)«<4,8;	4) «<-5,6.
464.	(Устно.) Найти наименьшее целое число, удовлетворяющее не-
равенству:
1)	п>-12;	2) п>~5,2;	3) п > 8,1;	4) п >-8,1.
465.	Решить неравенство:
1)х + 4>3 —2х;	4) 7(х+5) + 10 > 17;
2)	5(у + 2)> 8-(2-3>>);	5) ^ + ^>7;
3)	2(0,4+х) — 2,8 >2,3 + Зх; 6)^-2^<5.
466. Какие целые значения может принимать х, если:
1) 0< х<7,2;		3)	4<|х<5;	
2) -	о VI к VI —|сп 1	4)	11<3х< 13?	
467. Решить систему уравнений:				
1) 	0,Зх-0,5у = 1, 0,5х + 0,2у = 5,8;	3)		-г	см +	и Ss|tN Ss|oo II	+ * |сп К 1'0 I			1
2) 	2(х + у) = (х - у) + 5, 3(х + у) = (х - у) + 8;	4)		W I >- *	1 1 bJl'r!
194
4х - 9у = -24,
2х - у = 2;
5х + 4у = 13,
Зх + 5у = 13.
468. Решить систему неравенств:
J5x- 2 > 6х-1,
) 4 - Зх > 2х - 6;
12х - 3(х + 2) > 7х - 5,
' 13х+ 6<(х-5)-2 + 3;
7(х + 1) + 2х > 9 - 4х,
3(5 - 2х) - 1 > 4 - 5х;
4х-5 Зх-8
7 < 4 ’
6-х .	14х-3
5~ ~ <	2
469. Найти целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:
	2х-5	*1 1 Г* m 1 VI сч 1		10х-1	2-5х _	, 5-Зх
	4			3	4	' 6 ’
1) 	5х+1	4-*.	2) ‘	2х+1	3+7х	5+4х
	5	> 4 ’		L 2 "	4	5 '
470. Решить уравнение:
1)	|х-2|	= 3,4;	3)	|2х+ 1| = 5;	5)	| Зх + 2 | = 5;
2)	|3-х|	= 5,1;	4)	11 -2х| = 7;	6)	| 7х-3 | = 3.
471. Решить неравенство:
1) |х-2|<5,4;
2) |х-2|>5,4;
3)
4)
12—х| < 5,4;
| Зх-21 > 5;
5)
2х+3|<5;
6) | Зх-2,81>3.
472.	Найти относительную погрешность приближения:
1)	числа 0,2781 числом 0,278;	3) числа числом
lo	J
з
2)	числа —2,154 числом—2,15;	4) числа—числом 0,272.
195
473.	Доказать, что число 3,5 есть приближенное значение числа 3,5478
с точностью до 0,05.
7
474.	Найти относительную погрешность приближения числа чис-
лом 0,777.
475.	Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в
виде обыкновенной:
1)	0,(7); 2) 1,(3); 3) 2,(31); 4) 0,(52); 5) 1,1(3); 6) 2,3(7).
476.	Сравнить числа:
1)	>/23 и 5; 2) 3,1 и V10; 3) ^0,0361 и 0,19; 4) Дз и 2,7.
477.	При каких значениях а верно равенство:
1)	л/л + 1 = 2;	3) 2^|л-2 = 1;
2)	V3-2fl = 5;	4) |>/7о-4 = 0?
478.	Вычислить:
1)	(V2 — 2)(>/2 +2);	2) (Зл/5 +1)(1 - Зл/5).
479.	Разложить на множители данные выражения по образцу
о2 - 7 = {а - V7)(o + V7):
1)<з2-13;	2) 15-й2;	3)х2-80;	4)^-х2.
480.	Вычислить:
1)	Ло  л/ГбО; 3) л/3  ЛТ л/33;	5) (Зл/12 + 2л/3 )2;
4)Т7У2ТД 6)(2V2 3732)\
481.	Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если его высота
^/12,5 см, ширина ^5 см, длина л/Го см.
482.	Площадь одного квадрата 7,68 м2, площадь другого 300 дм2. Во
сколько раз сторона первого квадрата больше стороны второго
квадрата?
196
483.	Вынести множитель из-под знака корня:
1)	yjl6xy2, где х > 0, у < 0;	2) ^45х3у3, где х < 0, у < 0.
484.	Упростить:
1)	-73 - 5-7108 + ^-712;	2) -|V72 + 4j6?08 - 2Ж
485.	Вычислить:
1)	^2 +	+ (720 - 745 + 3 V125): 2у/5;
2)	>/5 + 2-Тб 75-2л/6-^2- + ^рН.
719 7П
486.	Упростить выражение:
1)	2V18 + 378 + 3732 - 750;
2)	3720 - 745 + 3718 +Jn- 7180;
3)	5>Ja - Зу[4а + 2л/9о, а > 0;
4)	Jx3 + 736х3 - -Т9х, х > 0.
Решить уравнение (487—488).
487.	1) х2 = 7;	3) х2 + 6х = 0;	5) х2 = 8х;
2)	х2 = 11;	4) X2 + 5х= 0;	6) х2 = 12х.
488.	1) 1,5 х—4х2= 6,3х —х2;	4) |(3х2 + 1) -
2)	Пу- 15 = (у + 5)(у—3);	5) 2^1 -= ±1 
3)	Зх(х+2)=2х(х-2);	6) jx-4 = 1 + 1,5х2
489.	Прямоугольник, одна сторона которого на 2 см больше дру-
гой, имеет площадь, равную площади квадрата со стороной,
на 4 см меньшей периметра прямоугольника. Найти стороны
прямоугольника.
490.	Прямоугольник, одна сторона которого на 8 см меньше сторо-
ны квадрата, а другая вдвое больше стороны квадрата, имеет
площадь, равную площади этого квадрата. Найти стороны пря-
моугольника.
197
491. Решить уравнение (491—494):
1)	х2 + 6х + 5 = 0;	4) 2х2 + Зх — 2 — 0;
2)	х2 + 3,5х — 2= 0;	5) 4х2-х~ 14 = 0;
3)	х2-1,8х-3,6 = 0;	6) х2-х-2 = 0.
492.	1) 2х2 +х- 3 = 0;	3) 2х2- 9х= 35;
2)	20 + 8х —х2=0;	4) (х+5)(х—3) = 2х—7;
5)	2(х-2)(х+2) = (х+l,5)2+4(x-5^j;
6)	(х-3)(х-2) = 7х-1.
493.	3)^ = ^;
2)|х2-* + Ь0;	4) + = ю-
494. 1) х2 + Зх+70 = 0;
2)	х2- 12х + 11 = 0;
3)	х2 + 20х + 100 = 0;
4)	х2+ 18х-208 = 0;
5) х(х- 15) = 3(108-5хЛ
6) (х- ЗУ + (х+ 4У- (х- 5У = 17х+ 24;
5х2+9 4х2-9 _
° ~6	5~
8)	ifc2>_n = -x.
495.	Найти коэффициенты р и q, если известно, что числа 10 и —15
являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0.
496.	Записать квадратное уравнение, корни которого отличались бы
от корней данного уравнения только знаками:
1)	х2 — 8х +15 = 0;	2) х2+Ьх + с = 0.
497.	Решить уравнение (497—500):
1) 4Х4 — 17х2+4 = 0; 2) 4х4-37х2 + 9= 0;	3) х4—7х2+ 12=0; 4) X4- 11х2 + 24 = 0.
498. 1) х4—5х2 + 4= 0;	3) х4—Зх2 + 2= 0;
2) х4 —7х2—12 = 0;	4) х4—5х2+6 = 0.
198
499. 1)Ду = 4 + -Ц;
х+2	х—1
2)TZT '3 + з7н;
500. в -2L. +з= з
х-3	х2-5х + 6	2-х
3	3	1-х
х-3	а-2-7х+12	х-4
3)
, 5х 6х+2
1 + —г = —7;
Х+1	(х+1)2
4)2 + ——
х+2
3) з + +-
х —1
12-х
(х+2)2
.ч х- 2	12
4) 5 + —- = —-.
х-2	х+3
2
х + 2 ’
501.	Разложить на множители квадратный трехчлен:
1)	х?-12х+35;	5) -5х2 + 11х — 2;
2)	х2 - 5х - 36;	6) -4х? - 10х + 6;
3)2х2 + х—3;	7) -|х2+8х + 27;
4)	2х2 — Зх-5;	8)|х2+х-10.
502.	Сократить дробь:
а2— 4	-к а2 + 7а+12.	-2а2+За+2 .
' а+2 ’	<22 + 6а + 8 ’	2g2 + 5o+2
а +4	2о2-5а-2	-5й2+13с+6
а“-7д-18	4а2 —6а —4	5а“-8а-4
503.	Разложить на множители:
1)	a4 — ft4 +b2 — а \
2)	т2п — п +тп2 — т;
3)	т5+ т3 — т2— т\
4)	х4— х3 — х+ х2;
5)	16х2 + 8ху — Зу2;
6)	4+а4- 5а2;
7)	b4- 13b2 +36;
8)	Зх4 — Ьхт — 9т2.
504.	Для приготовления бронзы берется 17 частей меди, 2 части цин-
ка и одна часть олова. Сколько нужно взять каждого металла
отдельно, чтобы получить 400 кг бронзы?
505.	С одного участка собрали 450 т картофеля, а с другого, площадь
которого на 5 га меньше, 400 т. Определить урожайность карто-
феля с каждого участка, если на втором участке она была на 2 т
выше, чем на первом.
199
506.	Числитель некоторой обыкновенной дроби на 11 больше знаме-
нателя. Если к числителю дроби прибавить 5, а к знаменателю 12,
то получится дробь, втрое меньшая исходной. Найти эту дробь.
507.	На спортивных соревнованиях семиклассник пробежал дистан-
цию 60 м за 9 с, а десятиклассник — дистанцию 100 м за 14,8 с.
Считая, что ученики бежали с постоянными скоростями, выяс-
нить, кто бежал быстрее.
508.	Доказать, что:
1)	если (у — З)2 > (3 + у)(у — 3), то у < 3;
2)	если (3а + Ь)2 < (За —Ь)\ то ab < 0.
___ _	а+b а+с Ь+с ,	,
509.	Доказать, что если х <Z < то x+y+z<a+b + c.
510.	Высота прямоугольного параллелепипеда больше 15 см, ширина
больше 2 см, а длина больше 0,3 м. Доказать, что его объем
больше 0,9 дм3.
511.	Доказать, что при любом у значение данного выражения поло-
жительно: 1) (у — 3)(у — 1) + 5; 2) (у — 4) (у — 6) + 3.
512.	Найти множество значений к, при которых уравнение 4у2 —
— Зу + к = 0 не имеет действительных корней.
513.	При каких значениях к число —2 является корнем уравнения
(к-2)^-7х~2к2=№
514. Решить уравнение:	5	Зх-З	2х2 + 8
1) Зх?+8х+5=0; 2) 5х2+4х—12=0;	4) х-1 1 2х + 2 30	13		х2-1 7+18х
	' х2-1	х2+х+1		х3-1 ’
оч	6	х =	5	•	2	1	2х-1
4х2-1	2х-1	2х+1 ’	х2—х+1 х+1		х3+1
515. Решить неравенство:
1) (х + 2)2< (2х—З)2—8(х—5);	2)
(2х—3)(х+2) (х-7)	(х-6)2
12	3	>	4	’
4) 6х I (3+5х)2 > 8~2х (х+3)(х+7)

200
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ 8 КЛАССА
1.	Линейная функция и ее график
Прямоугольная система координат на плоскости — это две вза-
имно перпендикулярные прямые, на которых выбраны определенные
направления в качестве положительных и единица длины.
Эти прямые называются осями координат', прямая, проведенная
горизонтально— ось абсцисс, а прямая, проведенная вертикально —
ось ординат. Точка пересечения осей координат называется началом
координат. Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс —
Ох, ось ординат — Оу.
Координатная плоскость — это плоскость, на которой выбрана
система координат.
Функция. Если каждому значению х из некоторого числового мно-
жества чисел ставится в соответствие число у, то говорят, что на этом
множестве определена функция. При этом х называется независимой
переменной, а у (х) — зависимой переменной, или функцией.
Линейная функция — это функция вида у = kx + b, где км b —
заданные числа.
График функции у (х) — это множество всех точек координатной
плоскости с координатами (х,у (х)).
Например, график функции у (х) = 2х +1 — множество всех то-
чек координатной плоскости с координатами (х; 2х +1).
График линейной функции у— kx + b — прямая. При b = 0 функция
принимает вид: у = кх, ее график проходит через начало координат.
Прямая пропорциональная зависимость'. у=кх, где к>(}, х>0,
к — коэффициент пропорциональности.
Например, в формуле s = vt путь s прямо пропорционален време-
ни t при постоянной скорости и.	к
Обратная пропорциональная зависимость'. У = —, где к > 0, х > О,
к — коэффициент пропорциональности.
Например, в формуле V = — объем газа ^обратно пропорциона-
Р
лен плотности р при постоянной массе т.
201
2.	Система двух уравнений с двумя неизвестными
Общий вид системы линейных уравнений с двумя неизвестными:
а{х + Ь{ у = С],
а2х + Ь2у = с2,
где а{, Ь{, с,, а2, Ь2, с, — заданные числа; х, у — неизвестные числа.
Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в
эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство.
4х - у = 2,
Например, решением системы _	_ является пара чисел
5х + у = 7
х — 1, у = 2.
Решить систему — это значит найти все ее решения или устано-
вить, что их нет.
При решении систем уравнений применяются следующие способы.
1)	Способ подстановки.
Из какого-нибудь уравнения одно из неизвестных выражают че-
рез другое и подставляют в другое уравнение системы.
2)	Способ алгебраического сложения.
Уравняв модули коэффициентов при одном из неизвестных, по-
членным сложением или вычитанием уравнений системы исключают
это неизвестное.
3)	Графический способ.
Строят графики уравнений системы и находят координаты точки
пересечения графиков.
3.	Неравенства
Неравенство а>Ь означает, что разность а~Ь положительна, т. е.
а — b >0.
Неравенство а<Ь означает, что разность а~Ь отрицательна, т. е.
а — b < 0.
Для любых двух чисел а и b только одно из следующих трех соот-
ношений является верным: а >Ь, а=Ь, а<Ь.
Сравнить числа а и b — значит выяснить, какой из знаков >, <, =
нужно поставить между этими числами, чтобы получить верное соот-
ношение.
202
Основные свойства числовых неравенств'.
1.	Если а > Ь, то b < а.
2.	Если а > b и b > с, то а > с.
3.	Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из них
одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если а > Ь, то
а+с>Ь+сиа~с>Ь~с для любого числа с.
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в
другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
4.	Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и
то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Если
обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрица-
тельное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Если а > Ь, то
„ , а Ь . _	,	а b	_
ас>Ьси->- при с > 0,	ас < Ьс и — < - при с < 0.
с с	с с
5.	Сложение неравенств. Неравенства одинакового знака можно
складывать, при этом получится неравенство того же знака: если а > b
v.c>d,Toa+c>b+d.
6.	Умножение неравенств. Неравенства одинакового знака, у ко-
торых левые и правые части положительны, можно перемножать, при
этом получается неравенство того же знака: если а > b, с > dn а, Ь, с,
d — положительные числа, то ас > bd.
7.	Возведение неравенства в степень. Неравенство, у которого левые
и правые части положительны, можно возводить в натуральную сте-
пень, при этом получается неравенство того же знака: если а >b>Q,
то ап>Ьп при любом натуральном п.
Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и <
(меньше).
Например, 5 > 3, х < 1.
Нестрогие неравенства — неравенства со знаками > (больше или
равно) и < (меньше или равно).
Например, а1 + b~ > 2аЬ, х < 3.
Нестрогое неравенство а > b означает, что а > b или а=Ь. Свойства
нестрогих неравенств такие же, как и свойства строгих неравенств.
При этом в свойствах строгих неравенств противоположными считают-
ся знаки > и <, а в свойствах нестрогих неравенств — знаки > и <.
203
х + 2 < 5х,
3(х -1) > 4,
х-4<7.
Неравенство с одним неизвестным — это неравенство, содержа-
щее неизвестное число, обозначенное буквой.
Примеры неравенств с одним неизвестным:
Зх + 4 < 5х — 2; i х -1 >	.
’ 3	4
Решение неравенства с одним неизвестным — значение неизвест-
ного, при котором данное неравенство обращается в верное числовое
неравенство.
Решить неравенство — значит найти все его решения или устано-
вить, что их нет.
Система неравенств с одним неизвестным — это несколько не-
равенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассматрива-
емых совместно.
Примеры систем неравенств с одним неизвестным:
2(х-1)>3,
Зх + 4 > 1 - х;
Решение системы неравенств — это значение неизвестного, при
котором все неравенства системы обращаются в верные числовые не-
равенства. Например, число 2 является решением системы
Зх - 4 < 2х,
х + 2 > 3,
так как 3-2 — 4<2-2, 2 + 2>3 — верные неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти все ее решения
или установить, что их нет.
Числовые промежутки — отрезки, интервалы и полуинтервалы.
Отрезок [а; А] — множество чисел х, удовлетворяющих неравен-
ствам а < х < Ь, где а < Ь.
Например, интервал [2; 5] — это множество чисел х, удовлетво-
ряющих неравенствам 2< х < 5.
Интервал (а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих нера-
венствам а < х < Ь, где а < Ь.
Например, интервал (—2; 3) — это множество чисел х, удовлет-
воряющих неравенствам —2 < х < 3.
204
Полуинтервал [а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих не-
равенствам а < х < Ь; полуинтервал (а; Л] — множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, где а <Ь.
Например, [3; 8) — множество чисел х, таких, что 3 < х < 8;
(—4; 2] — множество чисел х, таких, что — 4 < х < 2.
Модуль числа а (обозначается | а |) определяется формулой
. , 1а, если а > О,
а =
|—«, если а < 0.
Геометрически | а | — расстояние от точки 0 до точки, изображаю-
щей число а.
Для любого числа а выполняется неравенство | а | > 0, причем
/ а = 9 только при а = 0.
Неравенству |х | < а, где а > 0, удовлетворяют числа х из отрезка
[—а; а], т. е. такие числа х, что —а <х < а.
Неравенству | х | < а, где а > 0, удовлетворяют числа х из интерва-
ла (—о; а), т. е. такие числа х, что —а < х < а.
Неравенству | х | > а, где а > 0, удовлетворяют все числа х < —а и
числа х > а.
Неравенству | х | > а, где а > 0, удовлетворяют все числа х < —а и
числа х > а.
4.	Приближенные вычисления
Абсолютная погрешность приближения — модуль разности между
точным значением величины и ее приближенным значением. Если а —
приближенное значение, ах — точное, то абсолютная погрешность
равна | х — а |.
Запись x=a±h означает, что абсолютная погрешность прибли-
жения не превосходит h, т. е. | х — а | < h, или а — h<x< а + h. При
этом говорят, что число х равно а с точностью до h. Например, запись
л = 3,14 ± 0,01 означает, что | л — 3,141 < 0,01, т. е. число л равно 3,14
с точностью до 0,01.
При округлении числа с недостатком с точностью до 10 ' сохра-
няются п первых знаков после запятой, а последующие отбрасывают-
ся. Например, при округлении числа 17,2397 с недостатком до тысяч-
ных, т. е. до 10"3, получаем 17,239, до сотых — 17,23, до десятых — 17,2.
205
При округлении числа с избытком с точностью до 10“" п-й знак
после запятой увеличивается на единицу, а все последующие отбра-
сываются.
Например, при округлении чисел 2,5143 с избытком до тысячных
получаем 2,515, до сотых — 2,52, до десятых — 2,6.
Погрешность округления в обоих случаях не превосходит 10”".
Округление с наименьшей погрешностью: если первая отбрасывае-
мая цифра данного числа меньше 5, то округляют с недостатком, а
если цифра больше или равна 5, то округляют с избытком.
Например, при округлении числа 8,351 до сотых получаем 8,35, а
при округлении до десятых — 8,4.
Запись х~ а означает, что число а является приближенным значе-
нием числах Например: л/2 = 1,41.
Относительная погрешность — частное от деления абсолютной
погрешности на модуль приближенного значения. Если х — точное
значение, а — приближенное, то относительная погрешность равна
|х~а|
И ’
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Например, если точное значение величины равно 1,95, а прибли-
женное равно 2, то относительная погрешность приближения равна
|2-1,95]	0,05 n	~
J—-—' =	= 0,025 или 2,5%
5.	Квадратные корни
Квадратный корень из числа а — такое число, квадрат которого
равен а.
Например, 6 — квадратный корень из числа 36; число —6 также
квадратный корень из числа 36.
Извлечение квадратного корня — действие нахождения квадрат-
ного корня. Извлечь квадратный корень можно только из неотрица-
тельного числа.
Арифметический квадратный корень из числа а (обозначается 4а) —
неотрицательное число, квадрат которого равен а. Например,
ч/16 = 4, л/144 = 12.
206
Выражение 4а имеет смысл только при а > 0, при этом
4а > 0, (Vfl) = а.
Тождество — равенство, справедливое при любых значениях вхо-
дящих в него букв.
Равенство 4а2 = |а| является тождеством, так как выполняется
при любом а. Например,
7(257 = |25| = 25,	V(-15)2 = |-15| = 15.
Если а >Ь>0, то 4а > 4b . Например, -717 > л/ГЗ , так как
17 > 13 >0.
Свойства квадратных корней:
1)	4ab = 4а -4b , если а > 0, b > 0.
Например, х/144 196 = V144 V196 =12 14 = 168-
[а _ 4а
2)	~4ь >если а - 0’ > О'
/169 = J169 _ 13
Например, \225 ~ ^225 ~ 15
3)	Вынесение множителя из-под знака корня:
4a2b = a4b, если а > 0, b > 0.
4)	Внесение множителя под знак корня:
a4b = 4c4b, если а > 0, h > 0.
Среднее арифметическое двух чисел а и b — число —.
Среднее геометрическое двух положительных чисел а и b — число
4аЬ.
Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше
среднего геометрического этих чисел:
Рациональное число — числа вида —, где т — целое, п — нату-
ральное число.
207
Рациональное число можно представить в виде конечной десятич-
ной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Например, | = 0,4; — | = —0,333... - —0,(3).
Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятич-
ная дробь.
Например, 0,1001000100001....
Иррациональными числами являются также числа V2, л/З, л/5, л.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество дей-
ствительных чисел.
Каждое иррациональное число можно приближенно заменить ко-
нечной десятичной дробью, т. е. рациональным числом.
Например, число л можно приближенно заменить числом 3,14;
д/2 приближенно равен 1,41.
На практике при вычислениях с иррациональными числами вы-
полняют действия над их рациональными приближениями.
Например, так как д/2 « 1,4, д/З = 1,7, то V2 + д/З ~ 3,1.
Для приближенного нахождения квадратных корней используют
таблицы или вычислительные машины.
6. Квадратные уравнения
Квадратное уравнение — уравнение ах2 + Ьх + с = 0, где а, b и с —
заданные числа, причем а *0, х — неизвестное.
Коэффициенты квадратного уравнения называют так: а — первый
или старший коэффициент, b — второй коэффициент, с — свобод-
ный член.
Примеры квадратных уравнений: 2л2 — х — 1 = 0, Зх +7= 0.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение
ах1 + Ъх+с =0, у которого хотя бы один из коэффициентов b или с
равен нулю.
Примеры неполных квадратных уравнений: х2 = 0, 5х2 + 4 = 0,
8х2+х= 0.
Уравнение вида х2 = d, где d > 0, имеет два действительных корня
Xj 2 = +4d. Если d— 0, то уравнение х2 = 0 имеет один корень х = 0
(два равных корня).
Если d < 0, то уравнение х2 = d не имеет действительных корней.
208
Квадратное уравнение ахг + Ьс+ с — 0, где а, b и с — действитель-
ные числа, имеет корни хр х,, которые находятся по формуле
—b ± \lb2-4ac	,7	.	. п
х.2 =------------, где Ь~ - час > 0.
2а
Например:
1) уравнение Зх2 + 5х~~ 2 = 0 имеет два действительных корня:
125 + 24	-5 ± 7	1	т
6	Г"’ т-е- * “ 3’ *2 " 2’
2) уравнение 4х2 — 6х + 25 = 0 не имеет действительных корней,
так как
X1 2
b2 - 4oc - 36 - 4 • 4 • 25 < 0.
Приведенное квадратное уравнение — уравнение х2 + рх + q = 0.
Формула корней приведенного квадратного уравнения:
х = -£ +
*1.2	2 ±
2	2
^~q, где-^- —<7>0.
4	4
Например, корни уравнения х2 — 6х — 7= 0 таковы:
х, 2 = 3 ± д/9 + 7 = 3 ± 4, т. е. х, =7, х2 = - 1.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного урав-
нения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным
знаком, а их произведение равно свободному члену: если X] и х2 —
корни уравнения х2 + рх + q = 0, то
Xi + х2 = — р, Х]Х2= q.
Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, хр х2 таковы,
что х, + х7= — р, x{x2=q, то х, и х2 — корни уравнения х2 +рх + q = 0.
Квадратный трехчлен — многочлен ах2 +Ьх + с, где а ~1~ 0.
Разложение квадратного трехчлена на множители — представление
его в виде ах2 + Ьх+ с=а(х —х )(х — х2), где х , х, — корни квадрат-
ного уравнения ах2 + Ьх + с = 0.
Например, 2х2 + Зх — 2 = 2 (х - ^j(x + 2).
14 — Алгебра 8 класс
209
ОТВЕТЫ
Глава I
16. 2) 4; 2; 0; -2; -4; 4) -36; -16; 4; 24; 44. 17. 2) 4. 18. 2) -9; -28; 103; -1,25.
19.2) 22; 3,1; —14. 20. 2) Правильно; 4) неправильно. 21. 2) 2,5; 1,8; —9,5; —6,25.
26. у = 20л; 120; 220. 27. S= 80/; 240; 432. 36. у = 14х. 38. 5= 2х; 2; 5; 8. 39. S= 3/,
1,5; 3; 4,5. 41. 2)-1; 3; |. 42. 6+2Г, 46; 68; 47. 44. 2) (0; 4),(2, 0); 4) (0; -0,6),
(0,75; 0); 6) (0; —5), (7,5; 0). 51. Точки Л/, N, А, В принадлежат графику.
52. 2) к = -3. 53. 2) b = 17. 55. 2) 400 - 50/. 56. у = 10 + 5х. 57. (13; 0), (0; 13), 84,5.
62. t = -. 63. 2) V = - 64. к = -2. 65. 2) к= -20.
v	Р
Глава II
68. х = 3, у — —2. 69. х = 6, у = —6. 70. а = — 1, b = 18. 71. к = 5, т = —9. 72. 1) Нет,
2) нет. 73. 1) (3,4), (4, 3); 2) (3,7), (7, 3). 74. 2) х=10 + у, у = х~10;
их и э 11-х.	5у-3 З+Зх __ „ ..	..	1	<2\
4)х=11—Зу, y = ~Y~: 6)Х = -у-,у = -^—. 75- 2) (1, —1); 4)1 —-5- ;
6) ( -1, 1). 76. 2) ( -73, -30); 4)р^,8^-j; 6)	-4-J. 79. 2) (1, -0,5);
4) (-1,6). 80. 2) (3, у = 1); 4) (-4,-3). 81. 2) (4, 4); 4) (2, 7). 82. 2) (5, 11);
fl О
4) (4, —6). 83. 2) I — > - ь 4) нет решений; 6) (—5, 4,5). 84. 2) (0, 3), (—1, 0);
4) (0, 6), (2,4, 0). 93. 36 и 15. 94. 200 сумов и 30 сумов. 95. 2,7 м, 1,6 м. 96. 7 см,
9 см. 97. 2 и —3. 98. 21ц, 14 ц. 99. 40 деталей и 30 деталей. 100. 38 га, 34 га.
210
101. 9 кг, 6 кг. 102. 50 и 30. 103.1а~^Ь ,	104. 3 и 1. 105. 35 лет, 9 лет.
156	156
/1	7\
109. 2) (0, 5); 4) ( 2, 6). 110. 2)	~ ); 4) ( 2, 5).
Глава Ш
114. 2) 18; 4) -2. 123. 2) х, = 0, х, = 2; 4) х, = -4, х2 = -5. 124. 2) х, = -1,5,
3	2	1	5
х = -1; 4)xt =7, х2 =	125. 2) - > 0,3; 4)	> -0,7. 126. 2) Ь>а‘
2	3	3	3	о
4) а < Ь. 130. Первый. 132. 2) а < 0; 4) а > 0.133. 2) —9 < —3.134. 2) а + 3b > — 2Ь.
135. 2) 8 > 6. 136. 2) а - ЗЬ <3а. 137. 2) а - 5 < b - 5. 138. 2) 19 > 12;
4)—12>—14. 139. 2) а < -0,25; 4) а < 2. 140. 2) 0,9 > -2; 4) 5 > 3. 141. 2) а < -2;
4
4)х < — —. 143. 2) -5 < 7; 4) 1у> 1. 144. 2) 25 < 58; 4) 12 < 4х2~ 1. 151. 2) л=3;
4) п = — 6; 6)л = —1. 152.2)77 = 6; 4) п — — 3; 6) п = 4. 153. 2)х=—9.
154. 2) h > 5; 4) v <60. 155. 2) Верно; 4) неверно. 156. 2) Верно; 4) неверно.
157. 2) 13-х< 2; 4)2(х - 3) < 2; 6)2х(-4) > х - (-4). 158. 2) Ни одно из
данных чисел не является решением; 4)	0; — 1. 159. 2) у > 0; 4) ни при
каких; 6) у*—2. 160. 2) у <2; 4) у < 0.161. 2) х < —3; 4) х>0; 6) х<0.
163. 2) х< 14; 4) у >9; 6)z<4. 164. 2)х >-8; 4) z > -15; 6)х <-2.
165. 2) х<6; 4) х>5; 6) х <-2. 166. 2) х > 3; 4) х > 0; 6) х > 2.
5	1	3	5	2
167. 2)х<-; 4) х < -3; 6)х<5-. 168. 2) у >?; 4)j<-; 6)у>-=.
8	о	о	8	э
2	3
169. 2) х= 3; 4) х = 0. 170. 2) х= —1; 4)х=-4. 171. 2)6 <-51; 4)х>-1у.
172. 2) х — любое число; 4) х — любое число. 173. 2) Решений нет; 4) решений
нет. 174. 2) х>2; 4) х>-20; 6) х>0,5. 175. 2) х< 1,6; 4) х<0. 176. 2)х < 7;
4)х < 5.177. 2) х < 0,5; 4) х > —0,5. 178. Не менее 43 деталей. 179.2) Никакое из
данных чисел не является решением. 180. 2) 1. 181. 2) 0; 1; 2; 3; 4)—5, —4; —3;
211
-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. 182. 2) [-1; 3]; 4) (1; 2); 6)(~4; -2]. 183. 2)-3 < х < -1;
4) 0<х<3; 6) -2 < х < 2. 184. 2) -1<х<2, (-1; 2); 4) -4 < х <0, (-4; 0].
185. Да. 186. Да. 187. 2) —3 < х <1; ни при каких; 4) —5< х <0; ни при каких.
189. 1)х>0,6; 2) х<-|; 3)х>-3,5; 4)х>-4.5. 190. 2) х> 0; 4)х >-2.
191. 2) х< —1; 4)х < 0. 192. 2) 3 <х< 6; 4)0 < х < |. 193. 2)-1.5 < х < 1,5;
4) —0,5 < х < 7,5. 194. 2) х > 4; 4) х > -3. 195. 2) х < -2; х < 4.196. 2) х < -2,5;
4)2 < х < 5. 197. 2)—5 < х < 1; 4) 0 < х < 2,5. 198. 2) 1; 2; 4) 4; 5. 199. 2) Ни
при каких х; 4) 0<х<2. 200. 2)х < —2; 4)х < 6. 201. 2) Больше 4 м, но
меньше 13 м. 202. 24. 203. 36. 205. 2) X] 2 = ±1,5; 4) х( = 0, х, = —6. 206. 2) х =2;
4)х = |. 207. 2)х,= -0,25,х2=-1.25; 4)х,= 1, x2=j. 208- 2)х12=±2,1;
4)х,= -5, х2=11. 210. 2) —2<х<2. 211. 2)|х| < 0,3. 212. 2)-2,2 <х<-1.8;
1	, 3
4)—<х<1 —. 213. 2) —3<х<0; 4) 1<х<1,5. 214. 2) х<0,9,х>3,1;
1	2	1
4)х < 2 —, х > 3 —. 215. 2) х < -1. х > - -; 4)х < 0. х > 1.6. 216. 2) -1; 0;
2	1
4) 0; 1. 217. 2) -1 < х < 1-; 4) х < 0, х > 3. 218. 2) х, = 0, х2 = 1-;
4) х, = - 4, х, = 0,5. 219. 2) х = 0,5; 4) х, = 3, х2 = -2. 220. 2) 2 + b-а > 0;
4) а — 3 — b < б. 221. 2) у — любое число; 4) х > 7. 222. 2) х < 2. 223. 2) х, = 3,4,
х, = —1,4; 4) х, = 1, х2 =	224. 2)х < —2,4, х > 4,4; 4) х < -2, х > 1.
227. 2) Ни при каких; 4) ни при каких. 228. 34. 229.47.
Глава IV
232. 2)-^; 4)^- 233. 2) 0,004; 4)4;-. 234. 2) 0,08; 4) 0,08. 235. 3°. 236. 4-
1о 22 j	ЗэО	/
237. Верно. 239. 2) 141 s х < 143; 4) 895 < у < 905; 6) т — п < у < т + п.
240. 2) 2.6 и 2,8; 4) -6,1 и -5,7. 241. 2) Нет; 4) да. 242. 2) Да; 4) нет. 243. 2) 5,5;
4) 3,9; 6) 0,575. 248. Нет. 251. 2) 0.7; 4) 3,7. 252. 2) 0.07; 4) 1,67; 6) 5,07.
212
253. 2) 0,385; 4) 7,643. 254. 3 и 7. 255. 2) 0,41; «3,7%; 4) 0,108 ; 10,8%.
256. 2) «2%. 257. 2) Второе. 258. «1%; 0,1%; 0.01%. 259. Первый. 260.2) 0,000398.
261. Второе. 262. 2) 6 • 10~s; 4) 3 • 10Л 263. 2) 4,3024 • 102; 4) 3,6021 • 10’;
6) 6,8345 • 10 2; 8) 1.2345678-107. 264. 2) -4.53 • 10"1; 4)-4.50102 • 102;
6) -3,54001 • 10°; 8)-1,2345678 • 104. 265. 2) 0,23; 4) 0,0023. 266. 2) 0,702;
4) 0,049. 269. 3,5416-Ю-5 Ом. 270. 67 Дж. 272. 18800; 20400; 13200; 4600.
Глава V
6
273. 2) 10 дм; 4) у мм. 274. 9; 8; 10; 0,4; 0,3; 0,5; 1,2; 70; 80. 275. 2) Верно;
4) верно. 276. 2) 9; 4) 0,25. 277. 2) 2; 4) 0,4; 6) 0,125. 278. 2) 9; 4) 5; 6) 8.
279. 2) 10; 0; 20. 280. 2) а < 0; 4) а > -3. 281. 2) х = 100. 282. 2) ЛД4 < Д09.
7	.21
284. 2) 0,008; 4) 0,(27); 6) -3,(142857). 285. 2)-; 4)2 — . 286. 2) 1.03 < 1,0(3);
4) 3,7(2) > 3,72. 290. 2) Верно; 4) верно. 291. 2) 2; 4) 2. 292. 2) 16; 4) 121;
6) 125. 293. 2) х6; 4) |Z>|3. 294. 2) 0; 4) 6. 295. 2)2,7 > Л; 4) Л 8.49 = 4,3.
297. 2) 12 < ЛбО < 13; 4)2 < Д7 < 3. 298. 2) Л - 2; 4)4 - Л5. 299. 2) 1,3;
4) 72. 300. 2) 40; 4) 18. 301. 2) 78; 4) 42. 302. 2) 30; 4) 22; 6)|. 303. 2) 80;
4) 25. 304. 2) 392; 4) 108. 305. 2) 7; 4) 30. 306. 2)хЛ; 4) а3 Л. 307. 2)5яЛ;
4) 5а Ла. 308. 2)3 Л"; 4) 1 — 2^5; 6) 8 Л. 309. 2)Л7; 4) Л. 310. 2)ЛЛ;
4) Лх. 311. 2) 2^40-4Лб; 4)2д/45<4Л0. 312. 2) 4хЛ. 313. 2) 1.
314. 2)8Л; 4)5Л. 315. 2) (Л - 4)(Л + 4); 4) (Л-|)(Л + |).
316. 2) Л-4; 4)0,9-Л 317. 2) 1 у; 4)21. 318. 2) 0; 4)-^. 319. 2) 4;
213
4)	12. 320. 2)7^|; 4)з|. 321. 2)^-; 4)-^-; 6)^5~л/2; 8)9 + 4>/5?
322.	В 6 раз. 323. 2)	4) ~ —. 324. 2) 1; 4) -1|. 326. 2)>/х + Зу[у.
о	G	4
327.	2) 0,1; 4)3 j. 328. 2)^/6^; 4) 5. 329. 2) 540; 4) 195. 330. 2) 28; 4) 20.
331.	2) 3; 4) |. 332. 2) 27; 4) 216; 6) 49. 333. 2) 1,5; 4)-4 + 0,1л/б.
1	7з
334.	2) х(х - л/З); 4)	; 6)	. 335. 2)х = 16; 4)х = 4. 336. 2) х > 3;
4) х>2,5.
Глава VI
339. 2) —х2+ 9 = 0; 4) х2 = 0. 340. 2) х2 - 4х- 9 = 0; 4) 5х2 + 1 = 0. 341. 2) 0; 1;
4
4) 1; 6) Никакое из данных чисел не является корнем. 344. 2)х(2 = ± — ;
4) х12=±1,5; 6)х12 = ±V13. 345. 2)х12 =±11; 4) х = 0; 6) действительных
корней нет. 346. 2) Х] = 0, х2=—2; 4) х, = 0, х2=0,6; 6) х = —3. 347. 2) х=0;
4)х12 = ±3; 6) х12 =±3>/3; 8)х12 = ±20. 348. 2) х, = 0, х2=-5; 4) х, = 0,
х2=0,04; 6) корней нет. 349. 2)х]2 =±1^-; 4)х12 = ±л/5; 6)х12 =±1-.
350. 2)х]2 = ±2; 4)х12 = ±1|. 351. 2) х, = 0; х2=4; 4) х( = 0, х2=-2,5.
3'
352. 2) х} = 0,х2 = 2 — . 353. 2) т = 9; 4) т =64; 6) т =6. 354. 2) х, = 2,
/—	3	1
х2= —6; 4) X] = 8, х,= 2; 6) х]2 = —4 ± V23. 355.2) Xj = j: х2 = — —. 356. 1)х1 = 1,
3
х2 = 4; 2) х, =5, х2 = —2. 357. 1) х, =1, х2 = —2,5; 2) х, = 2, х2 -	358. 2) 0,4;
3
4) 85. 359. 2) Х[ = 1, х2= 0,5; 4) х( = 3, х2= 0,5; 6) х{ = 2, х2 = —. 360. 2) х, = 4,
214
х2= —0,5; 4) х, = —1, х2 =|; 6)	\ 8) х = 1, х2 =-|. 361. 2)х = |;
4)х = — 1 362. 1), 2), 3), 4) действительных корней нет. 363. 2) Два; 4) ни
О
одного. 364. 2) Действительных корней нет; 4) х =2,5; 6) х, = 4, х2 = —1.
365. 2) х,= 1, х2=0,2; 4) х,= 7, х2=-8; 6)xw=^. 366. 2) х, = 7, х2=-11;
4)х, = 0,6; х2= -3. 367. 2) х, = 0,5, х2= -1,5; 4) х, = 5, х2 = у. 368. 2) х, = 7,
Xj= —1; 4) х( = 4, х2= —10; 6) Х] = 2, х, =—1. 373.2)хг — 5х + 6 = 0;4)хг— Зх— 18 = 0.
374. 2) х, = 3, х= 4; 4) х, = -1, х2= -7; 6) х, = 3, х= -5. 375. 2) (х- 1)(х+ 5);
4)(х+7)(х—6); 6) (2х+1)(4х + 3); 8) (х + 2)(1-4х). 376. 2) х + 6; 4)-^-;
6)^Ц-. 377. 2)х12 =л/5±2; 4) х. = 2(77 ± л/б). 378. 2) х(х+7)(х-3);
х-9	9-х	х .	х-1
4) х(х—11)(х+2). 379. 2) — ; 4) — . 380. 2)~^, 4)-^^-
381. 2)х12 = ±1, х34 = ±2; 4)х12 = ±1, х3 = ±7.382. 2)х12 = ±1; 4)х12 = ±л/5.
1	2
383. 2) х, = 7, х2 = 3 -; 4) х, = 40, х2= -20; 6) х, = 6, х2 = - -. 384. х12 = ±10;
4) корней нет; 6) х = —3. 385. 2) Нет. 386. 2) х =0.387. 2) 14 и 15. 388. 2) 19 и 21.
389. 10 см, 40 см. 390. 140 м, 175 м. 391. 100 км/ч, 80 км/ч. 392. 10 км/ч.
393. 10 дней, 15 дней. 394. Сторона квадрата равна 15 см. 395. 9 см, 40 см.
396.18 км/ч, 15 км/ч. 397.30 дней, 20 дней. 398.2) (4; 1); 4) (0,5; 3). 399.2) (7; —5),
(-4; 6); 4) (-1; -1), (7; 23). 400. 2) (4; -3); (17; 10); 4) (4; 1), (-1; -4).
401. 2) (1; 7), (7; 1); 4) (-2; -5); (-5; -2). 402. 2) (4; -1); 4) (3; 1). 403. 2) (2; 5),
(5; 2), (-2; -5), (-5; -2); 4) (1; 5), (5; 1), (-1; -5), (-5; -1). 404. 5 и 13.405.4 и 36.
406. 2) (7; -1), (-1; 7). 407. 2) (4; 1), (-1; -4); 4) (2; 4), (4; 2); 6) (2; 2).
215
408. 300 м, 200 м. 409. 2) х, = ±5 л/2 ; 4) х, = 0; х2 = 75. 410. 2) х, =13, х2 =-4;
4) х=3,6, х2=—7. 411. 2) х12	4) х,2=-Ц —. 412. 2) Два; 4) один.
413.2) (х- 8)(х- 2); 4) (х-2)(2х + 1). 414. 2) х(х+ 2); 4)	. 415. 2) х, 2=±3,
х34±>/2 ; 4) X] 2=±л/3 , х34=±у=. 416. 2) х, 2 = ±л/5 4) у=1. 417. 1 и 2. 418. | и
2	2	5
у или-у и --. 419. 12 м, 7 м. 420. 15 см, 45 см. 421. 20 км/ч. 422. 15 км/ч.
423. 3 дня, 5 дней. 424. 2) (1; 3),^9;	; 4) (-3; -4), (-4; -3); 6) (5; 4); 8) (2; -1),
(1; -2). 425. 2) х, = 0, х2 =2. 426. 2) х2 = 0,5; 4) х, =7, х2 = -13. 427. 2) х, = 0,
х2 = —5; 4) х( 2= ±4. 428. 2) х1 = 9, х2= —12; 4) х, =3, х2 = —6. 429. 2) Ни одного;
4) два. 430. 2) xt = 3, х2 = 1,4. 431. За 36 дней. 432. 1 ч 40 мин и 1ч 20 мин или
2 ч и 1 ч 40 мин. 433. 12 ч, 6 ч. 434. 2) (2; 3), (-2; -3), (3; 2), (-3; -2); 4) (2; 4),
(4; 2). 435. х =0,6. 436. 2)||; 4) -1; 6) 3,485. 440. 2) (0; 4),	; 4) (0; 1),
4	35	6	\' У
f2 „А	2	5	(1
I 7' 441- к b =5‘ 443’ ь = 2 * *- 446- 4) I 3J• 450’ 20 л и 5 л.
ла 4p~3q 2q~ р 85и - 80от 2т - 18л	5
451. ------—, —-—. 452.----------------,------. 453. 11 лет и 5 лет. 454.-.
5	5	65	’	13	8
4	1
455.8 -, 43.458.19,4 км/ч и 20 км/ч. 459.21 км и 42 км. 460.1) Да; нет; 3) х = — -;
2	2	1
5) (-3; 5). 461. 2) х, =3, х2 = -4; 4) х, = 0, х = -1 -; 6) х, = ±-; 8) х = --.
4
465. 2) у > -2; 4) х > -4; 6) х < 11у. 466. 2) -5; -4; -3; -2; -1; 0; 4) 4.
2
467. 2) (2; 1); 4) (-13,5; -27,5); 6) (6; 6); 8) (1; 2). 468. 2) - < х < 10; 4) х> 7,2.
469. 2) -15; -14;... . -1; 0. 470. 2) х, = 8,1, х2= -2,1; 4) х, = 4, х2= -3; 6) х, = 0,
6	1
х = -. 471.2) х <-3,4, х >7,4; 4) х <-2-, х > 1; 6) х <~0,4, х > 1,6.472.2) 0,004;
216
4) ^-474-°Л%-475.2)	476. 2)3,1<JH);4)VU>2,7.
477. 2) а = ~11; 4) а . 478. 2) -44. 479. 2) ( 715-6)( 715 ±6);
~гт: + х . 480. 2)-; 4) 21: 6) 200. 481. 25 см3. 482. В 1.6 раза.
483. 2) ~3ху2^ху- 484- 2) -4,2 72.485. 2) 8. 486. 2) 15 72 -75 ; 4) 2xjx.
487. 2) х,2 = ±ТП; 4) х, = 0, х, = -5; 6) х, = 0, х, =12. 488. 2) у, = 0, у2 =9;
1	2
4) х = 0, х = 9; 6) Xj 2= ±1,5. 489. — см, 2 — см. 490. 8 см, 32 см. 491. 2) х, = —4,
х2= 0,5; 4) х( = 0,5, х2 = -2. 492. 2) х, =10, х,= -2; 4) х, = ±277 ; 6) х, ,=6±Т29 .
2	2
493. 2) х| = -, х2 = — ; 4) , = ± 5. 494. 2) х,=11, х,=1; 4) х1 = —26, х2 = 8; 6) х,
= 8, х2= —3; 8) X] = 7, х2=—11. 495. р =5, q = —150. 496. 2) х2 - Ьх + с = 0 .
497. 2) Х| 2 = ± 3, х34 = ± |; 4) х(2 = ± 3, х34 = ±77.499. 2) х = -|; 4) х( =|,
х,= —4. 500. 2)х =-2; 501. 2) (х- 9)(х + 4); 4) (х+ 1)(2х~5);6) 2(х+3)(1-2х);
1	1	а - 3	3-а
8) -(х-5)(х+ 10). 502. 2) -----; 4) ——; 6) --------. 503. 1)(о-6)х
5	а - 9 Да Ч а — 2
х (а + 6)(с2 + б2—1); 2) (т + п)(тп — 1); 3) т2(т — 1)(т2 + 1); 4) х(х—1)(х2+ 1);
5) (4х-у)(4х+3у); 6)(а-1)(а+ 1)(а-2)(а+2); 7) (6-2)(6+2)(6-3)(6-3);
15
8) 3(х + т)(х— 3m). 504. 340 кг, 40 кг, 20 кг. 505. 18 т с га, 20 т с га. 506. —.
9	4
507. Ученик 11 класса. 512. к > —. 513. к =3, к,= —1 514. 2) х =1,2, х, = —2;
16
5	2
4) х = 3; 6) х = 2. 515. 2) 2-< х< 7; 4) х <-1 —, х >-1.
9	65
Ответы к заданиям "Проверьте себя
2;0 ;0); 3) (0; -2) и
Глава 1. 1. 1) (0;1) и (-1; 0); 2) (0; -1) и
О J
4) (0; 1) и (- ^-4 i°J; 0). 2. 1) к = -1; 2) к = 3. 3. 1) b = -1; 2) b = -7.
4. у = Зх -1. 5. Л= — 1, 6=3.
217
Глава II. 1. 1) (-1,1); 2) (-1:1); 3)(—1;1). 2. 1)(1; -2); 2) (1; -2); 3) (1; -2).
4. а = 2, b = 3. 5. 150 сумов, 250 сумов.
Глава III. 2. 1) х< 2,4; 2) х> —15; 3) х< 5. 3. 1) 4^ < х < 6^-, 2) х > 3;
3) х<~5.
Глава IV. 1. 0,(4). 2.4,4301 10'; 4,83 Ю"1; -2,5 КГ1.
Глава V. 1. 7> ^48 ; 2 л/з < 3 ^2 . 2. 63; 6; 5; |; 17, 27. 3. - 2>/2 ; 7-2V10 ; 1.
4.2ал/2д.5.л^7з ; ri Г- 6. ^,2->/з .
чх \У 7
1	2
Глава VI. 1. 1) х =0, 2) х( = — 1, х2 = 2; 3) х12= ±~; 4) xt = 0, х2 = 1 —;
5) х, 2=^-; 6) X] =17, х2 = —1; 7) х, = —2, х2 ; 8) нет решений. 2.1) (х —2) х
х (х + 3), 2) (х + 1)(2х - 3). 3. 9 км/ч; 12 км/ч. 4. (8,5; 0,5).
Ответы к занимательным задачам
1. Между числами 9 и 10, 3 и 4.2. 3 ед. и 6 ед или квадрат со стороной 4 ед. 3. См
рис. 48. 4. Зашифрованы числа 9567 + 1085 = 10652. 5. 8 кубиков имеют три
красные грани, 12 кубиков — две красные грани, 6 кубиков — одну красную
грань, 1 кубик — ни одной красной грани. 6. (х2 + х + 1 )(х! — х + 2006). 7. См.
рис. 49. 8. В 22 раза. 9. 1) 376 • 45 = 16920; 2) 239 54 = 12906; 3) 117 319 =37323.
10.99’.
Рис. 48
218
Ответы к тестовым заданиям
Глава I
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
А	В	с	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В
Глава II
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
А	В	с	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е
Глава III
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
А	В	с	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е
Глава IV
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В
Глава V
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
А	В	с	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В
Глава VI
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
А	В	с	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С
219
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная погрешность 107
Арифметический квадратный корень 123
Биквадратное уравнение 169
График функции 14
Двойное неравенство 85
Действительное число 126
Иррациональное число 128
Квадрант 8
Квадратный корень 123
Квадратный трехчлен 165
Квадратное уравнение 148
Координатная плоскость 7
Координатные углы 8
Координаты точки 8
Коффипиент пропорциональности 19
Метод выделения полного квадрата 154
Модуль числа 94
Неполное квадратное уравнение 152
Неравенство с одним неизвестным 74
Нестрогое неравенство 72
Округление чисел 112
Основные свойства неравенств 77
Оси координат (абсцисс и ординат) 8
Относительная погрешность 115
Отрицательное рациональное число 56
Переменная: независимая, зависимая 12
Положительное рациональное число 56
Посторонний корень 170
Приближенное значение величины 106
Приведенное квадратное уравнение 161
Прямая пропорциональность 19
Прямоугольная система координат 8
ИМЕННОЙ
Рациональные числа 56
Решение
—	квадратных уравнений 156
—	неравенства 76
—	системы неравенств 84,89
Решение системы двух уравнений с двумя
неизвестными 32
Решение системы, содержащей урав-
нение второй степени 176
Свойства числовых неравенств 65
Система двух линейных уравнений первой
степени с двумя неизвестными 31
Система неравенстве одним неизвест-
ным 84
Сложение неравенств 68
Стандартный вид числа 117
Строгое неравенство 71
Теорема Виета 162
Теорема, обратная теореме Виета 164
Теорема о квадратном корне из дроби 139
Теорема о квадратном корне из произ-
ведения 135
Теорема о квадратном корне из степени
131
Теорема о разложении квадратного трех-
члена на множители 165
Тождество 131
Точность измерения ПО
Умножение неравенств 69
Формула корней квадратного уравнения
157, 162
Функция 11, 12
Функция линейная 22
Числовое неравенство 62
Числовой промежуток 84
УКАЗАТЕЛЬ
Абу Камил 188
Бернулли 30, 105
Абу Райхан Беруни 30, 147
Бхаскара (1114 — 1185) 146
Вейерштрасс 105
Гарриот 105
Декарт 7
Диофант 188
220
Дирихле 30
Каши Гияс эд-Дин Джамшид 122, 147
Лейбниц 30
Лобачевский Николай Иванович 30
Рудольф 146
Хорезми Мухаммед ибн Муса 55, 147,
187, 189
ОГЛАВЛЕНИЕ
Повторение материала, изученного в курсе алгебры 7 класса......3
Глава I. Линейная функция и ее график
§ 1.	Прямоугольная система координат на плоскости...........7
§ 2.	Понятие функции...................................... 11
§ 3.	Функция у = кх и ее график........................... 17
§ 4.	Линейная функция и ее график..........................22
Упражнения к главе I.......................................26
Тестовые задания к главе 1.................................27
Глава II. Системы двух уравнений с двумя неизвестными
§5.	Системы линейных уравнений............................31
§ 6.	Способ подстановки....................................33
§ 7.	Способ сложения.......................................37
§ 8.	Графический способ решения систем уравнений...........40
§ 9.	Решение задач с помощью систем уравнений..............45
Упражнения к главе II..........................................50
Тестовые задания к главе II....................................52
Глава III. Неравенства
§ 10.	Положительные и отрицательные числа..................56
§11.	Числовые неравенства.................................61
§12.	Основные свойства числовых неравенств................65
§13.	Сложение и умножение неравенств......................68
§14.	Строгие и нестрогие неравенства......................71
§ 15.	Неравенства с одним неизвестным......................73
§ 16.	Решение неравенств...................................76
§17.	Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые
промежутки.................................................84
§18.	Решение систем неравенств............................89
§ 19.	Модуль числа. Уравнения и неравенства, содержащие модуль.94
Упражнения к главе III....................................100
Тестовые задания к главе III..............................102
221
Глава IV. Приближенные вычисления
§ 20.	Приближенные значения величин. Погрешность приближения... 106
§21.	Оценка погрешности..................................109
§22.	Округление чисел....................................112
§ 23.	Относительная погрешность...........................115
§ 24.	Стандартный вид числа...............................117
Упражнения к главе IV.....................................119
Тестовые задания к главе IV...............................120
Глава V. Квадратные корни
§ 25.	Арифметический квадратный корень....................123
§ 26.	Действительные числа................................126
§ 27.	Квадратный корень из степени........................131
§ 28.	Квадратный корень из произведения...................134
§ 29.	Квадратный корень из дроби..........................138
Упражнения к главе V......................................142
Тестовые задания к главе V................................144
Глава VI. Квадратные уравнения
§ 30.	Квадратное уравнение и его корни....................148
§31.	Неполные квадратные уравнения.......................152
§ 32.	Метод выделения полного квадрата....................154
§ 33.	Решение квадратных уравнений........................156
§ 34.	Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.....161
§ 35.	Уравнения, сводящиеся к квадратным..................168
§ 36.	Решение задач с помощью квадратных уравнений........172
§ 37.	Решение простейших систем, содержащих уравнение
второй степени...........................................176
Упражнения к главе VI.....................................180
Тестовые задания к главе VI...............................184
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса..........190
Краткое содержание курса алгебры 8 класса................ 201
Ответы....................................................210
Предметный указатель......................................220
Именной указатель.........................................220
A 50
Алгебра: учебник для 8 классов общеобра-
зовательных школ / Ш. А. Алимов, А. Р. Халмухамедов,
М. А. Мирзахмедов. — Т.: ИПТД ,,O‘qituvchi“, 2006. —
224 с.
Ш. А. Алимов и др.
ВВК22. 14 я 721
ШАВКАТ АРИФДЖАНОВИЧ АЛИМОВ,
АЛИМДЖАН РАХИМОВИЧ ХАЛМУХАМЕДОВ,
МИРФАЗИЛ АБДИЛХАКОВИЧ МИРЗАХМЕДОВ
АЛГЕБРА
Учебник для 8 классов
общеобразовательных школ
Перевод с узбекского Г. Э. Юсуповой
Издательско-полиграфический творческий дом
„О ‘qituvchi “
Ташкент — 2006
Редакторы Р. Юсупов, Г. Полещикова
Художественный редактор Ф. Никодамбаев
Технический редактор Т. Грешникова
Корректор В. Тараненко
Компьютерная верстка Г. Полещиковой
И Б 8720
Подписано в печать с оригинала-макета 15.03.2006. Формат 70 х 90'/|6.
Кегль 11,5 н/шп. Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Печ. л. 14,0. Усл. п.л. 16,38.
Тираж 25 500. Заказ № 20.
Издательско-полиграфический творческий дом «O'qituvchi» Узбекского агентства
по печати и информации. Ташкент, 129, ул. Навои, 30. //Ташкент, массив
Юнусабад, ул. Мурадова, дом 1. Договор № 14—292—05.
Сведения о состоянии учебника, выданного напрокат
№	Имя, фамилия ученика	Учеб- ный год	Состояние учебника при получении	Подпись классного руководи- теля	Состояние учебника при сдаче	Подпись классного руково- дителя
1						
2						
3						
4						
5						
6						
Таблица заполняется классным руководителем при передаче
учебника в пользование и возвращении назад в конце
учебного года. При заполнении таблицы используются
следующие оценочные критерии:
Новый учебник	Состояние учебника при первой передаче
Хорошо	Обложка цела, не оторвана от основной части книги. Все страницы в наличии, не порваны, на страницах нет записей и помарок.
Удовлет- ворительно	Обложка не смята, слегка испачкана, края стёрты. Удовлетворительно восстановлен пользователем. Вырванные страницы восстановлены, но некоторые страницы исчерчены.
Неудовлет- ворительно	Обложка испачкана, порвана, корешок оторван от основной части книги или совсем отсутствует. Страницы порваны, некоторых вообще не хватает, имеющиеся исчерчены. Учебник к дальнейшему пользованию не пригоден, восстановить нельзя.
Свободная продажа запрещена
ОФУ
«O'QITUVCHI»