Ш. А. АЛИМОВ, А. Р. ХАЛМУХАМЕДОВ,
М. А. МИРЗАХМЕДОВ
АЛГЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 9 КЛАССОВ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ШКОЛ
Утвержден
Министерством народного образования
Республики Узбекистан
ИЗДАТЕЛЬСКО-ПОЛИГРАФИЧЕСКИЙ
ТВОРЧЕСКИЙ ДОМ "0‘QITUVCHI”
ТАШКЕНТ — 2006
Условные обозначения
— начало и окончание решения задачи
О
— начало и окончание обоснования математического утверждения
"	— знак, отделяющий обязательные задачи от дополнительных
— более сложные задачи
Проверьте
себя!
— текст, который важно знать и полезно запомнить
— выделение основного материала
— самостоятельная работа для проверки знаний по основному
материалу
— тестовые задания
Учебник издан за счет бюджетных средств для ОБОРОТНОГО
ФОНДА УЧЕБНИКОВ (ОФУ).
4306020502 - 57
А --------------бл. - заказ — 2006
353(04) - 2006
ISBN 5-645-04565-3
© ИПТД „O‘qituvchi“, перевод
с узбекского, 2006
ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ 7-8 КЛАССОВ
В курсе алгебры 7-8-х классов вы познакомились с алгебраичес-
кими выражениями, одночленами и многочленами, разложением
многочленов на множители, алгебраическими дробями, неравенства-
ми, линейной функцией и ее графиком, системами двух линейных
уравнений с двумя неизвестными, приближенными вычислениями,
квадратными корнями.
Для закрепления пройденного материала вам предлагается ре-
шить следующие примеры и задачи.
1. Упростить: 1) (5а - 2b) - (3& - 5а); 2) 8а - (За - 2&) - 5Ъ; 2. Решить уравнение:	3) 9а - (За + 5&) - 4&; 4) (7а - 2&) - (За 4- 4&).
1) 4х - 6 = 12 - х;	3) 2 (3 -= 54- х; \	о /
7х _ 5 + х ,	5х-3	3-4х _ 2х + 1
9	4 ’ 3. Разложить на множители: 1) 4а(х 4- у) - 5&(х + у); 2) За(х - у) - 4(у - х); 4. Упростить выражение: 1) (2а 4- &)2 - (За - &)2; 2) (а 4- &)2 - (а - &)2;	2	3	4 3) х(а - 2) 4-1/(2 - а) 4- 5(2 - а); 4) c(p-q) + a(p-q) + d(q - р). 3) 5(2 - а)2 4- 4(а - 5)2; 4) (За - i/)2 4-(а — 3i/)2.
5. Решить систему уравнений - 6. Решить неравенство:	6у-х _ о 4 х+131/ _ L 2
1)	2) 3(2х - 1) + 3(х - 1) > 5(х + 2) + 2(2х - 3).
3
7. Решить систему неравенств:
1)	2х + 5 < 0,	3)	- 1,5х > 0,2х -1,5, 2-
	[Эх -18 > 0; х-5 Зх+1		х+3	х+&' Т” 2х -1 < 7х + 6,
2) 8. Pei	4 “ 2 ’ х+2 < х+3# ЛГ пить неравенство:	4)	Зх +1 > 4х - 3, Их - 9 < 14х + 2.
1)|3-х|<|; 2) |1-х|>1; О 9. Решить уравнение:		3) |3	х + 4| > 1; 4) |5 - 4х| < 3 .
1)1	х + 3| = |х - 3|;	3) 1	х + 6| = |х +10];
2) |1 - х| = |х + 2|; 10. Вычислить: 3	7		4)1	х + 5| = |х - 7|. 7	2
И	Л1+з ЛТ-2 ’	3)	З+Лз 2-Лз ’
2)-J—Зх/7; ’ х/7-1 у/7+S 11. Решить уравнение:		4)	1	1 Зх/5 f- +	.	. 3-V5 2-V5	4
1) Зх2 - 5х 4- 4 = 0;		3)	х2-3х	,. . — + х = 11; 7
2) х2 - Зх - 4 = 0; 12. Решить систему уравнений:		4) Зх(х-2)-1 = х-|(х2 +8). Л	
2х2 -у2 =46,
ху = 10;
х2 - у + 2 = 0,
х2 + у2 - 4 = 0;
2)
ху = 5,
х2 +у2 = 26;
13. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а их среднее
геометрическое 12. Найти эти числа.
4
Глава I КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ
В 8-м классе вы познакомились с линейной функцией у = kx + b
и ее графиком.
В различных областях науки и техники часто встречаются функ-
ции, которые называют квадратичными. Приведем примеры.
1) Площадь квадрата у со стороной х вычисляется по формуле
У = х* 1 2.
2) Если тело брошено вверх со скоростью и, то расстояние з от
него до поверхности земли в момент времени t определяется форму-
м gt2 .
лои s =	+ vt + s0, где so — расстояние от тела до поверхности зем-
ли в момент времени t = 0.
В этих примерах рассмотрены функции вида у = ах2 + Ъх + с.
В первом примере а = I, b = с = 0, а переменными являются х и у.
Во втором примере а = ,b = v, с = s0, а переменные обозначены
буквами t и s.
О Определение. Функция у = ах2 + Ьх + с, где а, & и с за-
данные действительные числа, а *0, х — действительная пе-
ременная, называется квадратичной функцией.
Например, квадратичными являются функции:
у = х2, у = -2х2, у = х2 - х,
у = х2 - 5х 4- 6, у = -Зх2 +1 х .
5
Задача 1. Найти значение функции у (х) = х2 - 5х + 6 при
х = -2, х = 0, х = 3.
Д у (-2) = (~2)2 - 5 • (-2) 4- 6 = 20;
у (0) = О2 - 5 • 0 4- 6 = 6;
у (3) = З2 - 5 • 3 4- 6 = 0. А
Задача 2. При каких значениях х квадратичная функция
у = х2 + 4х - 5 принимает значение, равное: 1) 7; 2) -9; 3) -8; 4) О?
Л 1) По условию х2 + 4х - 5 = 7. Решая это уравнение, получаем:
х2 + 4х -12 = 0,
х12 = -2 ± -74 + 12 = -2 ± 4, X] = 2, х2 = -6.
Итак, у (2) = 7 и у (-6) = 7.
2)	По условию х2 + 4х - 5 — -9, откуда
х2 4- 4х + 4 = 0, (х + 2)2 = 0, х = -2.
3)	По условию х2 + 4х - 5 = -8, откуда х2 4- 4х + 3 = 0.
Решая это уравнение, находим xt = -3, х2 = -1.
4)	По условию х2 + 4х - 5 = 0, откуда хг = 1, х2 = -5. А
В последнем случае были найдены значения х, при которых функ-
ция у = х2 + 4х - 5 принимает значение, равное 0, т. е. у (1) = 0 и
у (-5) = 0. Такие значения х называют нулями квадратичной функ-
ции.
Задача 3. Найти нули функции у = х2 - Зх.
Л Решая уравнение х2 - Зх = 0, находим х} = 0, х2 = 3. А
Упражнения
1.	(Устно.) Является ли квадратичной функция:
1)	у = 2х2 + х + 3;	3) у = 5х + 1;	5) у = 4х2;
2)i/ = 3x2-l;	4) р = х3 + 7х - 1; 6)^ = -3х2 + 2х?
2.	Найти действительные значения х, при которых квадратич-
ная функция у = х2 - х - 3 принимает значение, равное:
1) -1;	2)-3;	3)~;	4)-5.
6
3.	При каких действительных значениях х квадратичная функ-
ция у = -4х2 4- Зх - 1 принимает значение, равное:
1) -2;	2) -8;	3) -0,5;	4) -1?
4.	Определить, какие из чисел —2; 0; 1; л/3 являются нулями
квадратичной функции:
1)	у = х2 4- 2х;	3) у = х2 - 3;
2)	у = х2 4- х;	4) у = 5х2 - 4х — 1.
5. Найти нули квадратичной функции:
1) у = х2 - х; 2) у = х2 4- 3;	6) у = 2х2 - 7х 4- 9; 7) у = 8х2 4- 8х 4- 2;
3) i/ = 12x2- 17x4-6;	8) y=ix2-x + i'>
4) у = -6х2 4- 7х - 2;	9) у = 2х2 4- х - 1;
5) у = Зх2 — 5х 4- 8;	10) у = Зх2 4- 5х - 2.
6. Найти коэффициенты pviq квадратичной функции у = х2 4-
+ рх 4- q, если известны нули хх и х2 этой функции:
1) х1 = 2, х2 = 3;	3) х1 = —1, х2 = -2;
2) хх = -4, х2 = 1;	4) хх = 5, х2 = -3.
7. Найти значения х, при которых функции у = х2 4- 2х — 3 и
у = 2х 4-1 принимают равные значения.
I
ФУНКЦИЯ у = х2
§2
Рассмотрим функцию у = х2, т. е. квадратичную функцию у =
= ах2 + Ьх + с при а = 1,& = с = 0. Для построения графика этой
функции составим таблицу ее значений:
X	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
у = х2	16	9	4	1	0	1	4	9	16
Построив указанные в таблице точки и соединив их плавной кри-
вой, получим график функции у = х2 (рис.1).
О| Кривая, являющаяся графиком функции у = х2, называется
I параболой.
7
Рис. 1
Рассмотрим свойства функции у — х2.
1)	Значение функции у = х2 поло-
жительно при г / О и равно нулю при х
= 0. Следовательно, парабола у = х2 про-
ходит через начало координат, а осталь-
ные точки параболы лежат выше оси
абсцисс. Говорят, что парабола у = х2
касается оси абсцисс в точке (0; 0).
2)	График функции у = х2 симмет-
ричен относительно оси ординат,
так как (-х)2 = х2. Например, у (-3) =
= у (3) = 9 (рис. 1). Таким образом,
ось ординат является осью симмет-
рии параболы. Точку пересечения па-
раболы с ее осью симметрии называ-
ют вершиной параболы. Для парабо-
лы у = х2 вершиной является начало
координат.
3)	При х 0 большему значению х соответствует большее зна-
чение у. Например, у (3) > у (2). Говорят, что функция у = х2 являет-
ся возрастающей на промежутке х £ 0 (рис. 1).
При х < 0 большему значению х соответствует меньшее значение
у. Например, у (-2) < у (-4). Говорят, что функция у — х2 является
убывающей на промежутке х < 0 (рис. 1).
Задача. Найти координаты точек пересечения параболы у = х2
и прямой у = х + 6.
Л Координаты точки пересечения являются решением системы
уравнений
2
у = х
у =х + 6.
Решая эту систему, получаем х2 = х + 6, т. е. х2 - х - 6 = 0,
откуда Х] = 3, х2 = -2. Подставляя значения х] и х2 в одно из уравне-
ний системы, находим = 9, уг = 4.
Ответ: (3; 9), (-2; 4). Д
8
Парабола обладает многими интересны-
ми свойствами, которые широко используют-
ся в технике. Например, на оси симметрии
параболы есть точка F, которую называют фо-
кусом параболы (рис. 2).
Если в этой точке находится источник све-
та, то все отраженные от параболы лучи идут
параллельно. Это свойство используется при
изготовлении прожекторов, локаторов и дру-
гих приборов.
Фокусом параболы у = х2 является точка
(4}
Упражнения
8.	На миллиметровой бумаге построить график функции у = х2.
По графику приближенно найти:
1)	значение 1/прих = 0,8; х = 1,5; х = 1,9; х= -2,3; х = -1,5;
2)	значения х, если у = 2; у = 3; у = 4,5; у = 6,5.
9.	Не строя графика функции у = х2, определить, какие из точек
принадлежат ему: А (2; 6), В(-1;1), С(12; 144), Л(-3;-9).
10.	(Устно.) Найти координаты точек, симметричных точкам
А (3; 9), В (-5; 25), С (4; 15), D (л/З ; 3) относительно оси орди-
нат. Принадлежат ли все эти точки графику функции у = х2?
11.	(Устно.) Сравнить значения функции у=х2 при:
1)	х = 2,5 и х = 3^;	3) х = -0,2 и х = -0,1;
2)	х = 0,4 и х = 0,3;	4) х = 4,1 и х = -5,2.
12.	Найти координаты точек пересечения параболы у = х2 и пря-
мой:
1)	у = 25;	3) у = -х;	5) у = 3 - 2х;
2)	у = 5;	4) у = 2х;	6)у = 2х-1.
9
13.	Является ли точка А точкой пересечения параболы у = х2
и прямой:
1) у = -х - 6, если А (-3; 9);	2) z/= 5x 6, если А (2; 4)?
14.	Верно ли утверждение, что функция у = х2 возрастает:
1)	на отрезке [1; 4];	3) на промежутке х > 3;
2)	на интервале (2; 5);	4) на отрезке [-3; 4]?
15.	На одной координатной плоскости построить параболу у = х2
и прямую у = 3. При каких значениях х точки параболы
лежат выше прямой? ниже прямой?
16.	При каких х значения функции у = х2’.
1)	больше 9;	3) не меньше 16;
2)	не больше 25;	4) меньше 36?
§ 3
ФУНКЦИЯ у = ах2
Задача 1. Построить график функции у — 2х2.
Д Составим таблицу значений функции у = 2х2:
X	-3	-2	-1	0	1	2	3
у = 2х2	18	8	2	0	2	8	18
Построим найденные точки и проведем через них плавную кри-
вую (рис. 3). Д
Сравним графики функций у = 2х2 иу = х2 (рис. 3). При одном и
том же х значение функции у = 2х2 в 2 раза больше значения
функции у = х2. Это значит, что каждую точку графика функции
у = 2Х2 можно получить из точки графика функции у = х2 с той же
абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза.
Говорят, что график функции у = 2х2 получается растяжением
графика функции у = х2 от оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.
10
Задача 2. Построить график функции у = | х2.
Д Составим таблицу значений функции у = i х2:
X	-3	-2	-1	0	1	2	3
«с II to 1 !-> н ьэ	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5
Построив найденные точки, проведем через них плавную кри-
вую (рис. 4). А
Сравним графики функций у = |х2 и у = х2. Каждую точку гра-
фика у = i х2 можно получить из точки графика функции у = х2
с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза.
Говорят, что график функции у = | х2 получается сжатием гра-
фика функции у = х2 к оси Ох вдоль оси Оу в 2 раза.
Задача 3. Построить график функции у = —х2.
Д Сравним функции у = -х2 и у = х2 . При одном и том же х
значения этих функций равны по модулю и противоположны по
знаку. Следовательно, график функции у = -х2 можно получить
симметрией относительно оси Ох графика функции у = х2 (рис. 5). А
Аналогично график функции у = -^х2 симметричен графику
функции у = | х2 относительно оси Ох (рис. 6).
©График функции у = ах2 при любом а * 0 также называют
параболой. При а > 0 ветви параболы направлены вверх,
а при а < 0 — вниз.
11
Заметим, что фокус параболы у = ах2 находится в точке (0; —
I 4а
Перечислим основные свойства функции у ~ ах2, где а * 0.
1)	Если а > 0, то функция у = ах2 принимает положитель-
ные значения при х 0; если а < 0, то функция у = ах2
принимает отрицательные значения при х*0; значение функ-
ции у = ах2 равно 0 только при х = 0.
2)	Парабола у = ах2 симметрична относительно оси ординат.
3)	Если а > 0, то функция у = ах2 возрастает при х > 0 и
убывает при х < 0;
Если а < 0, то функция у = ах2 убывает при х > 0 и возрастает
при х < 0.
Все эти свойства видны на графике (рис. 7 и 8).
12
Упражнения
17.	На миллиметровой бумаге построить график функции
у = Зх2. По графику приближенно найти:
1)	значения у при х = -2,8; -1,2; 1,5; 2,5;
2)	значения х, если у = 9; 6; 2; 8; 1,3.
18.	(Устно.) Определить направления ветвей параболы:
l)j/ = 3x2;	2)у = |х2;	3)z/ = ~4x2;	4)i/ = -|x2.
о	о
19.	На одной координатной плоскости построить графики функ-
ций:
1)	у = х2 и у = Зх2;	3) у = Зх2 и у = -Зх2;
2)	у = -х2 и у = -Зх2;	4) у = |х2 и у = -|х2.
Используя графики, выяснить, какие из этих функций возрас-
тают на промежутке х > 0.
20.	Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1)	у = 2х2 и у = Зх + 2;	2) у = ~^х2 и у = ~х-3.
21.	Является ли убывающей на промежутке х < 0 функция:
l)i/ = 4x2;	2)у = |х2;	3)j/ = -5x2;	4)j/ = -|x2?
22.	Выяснить, является ли функция у = —2х2 возрастающей или
убывающей:
1)	на отрезке [-4; —2];	3) на интервале (3; 5);
2)	на отрезке [-5; 0];	4) на интервале (-3; 2).
23.	Путь, пройденный телом при равноускоренном движении,
,	at2
вычисляется по формуле s = —, где з — путь в метрах; а —
ускорение в м/с2; t — время в секундах. Найти ускорение а,
если за 8 сек. тело прошло путь, равный 96 м.
13
§4
ФУНКЦИЯ у = ах2 + Ьх + с
Задача 1. Построить график функции у=х2 - 2х + 3 и срав-
нить его с графиком функции у = х2.
Л Составим таблицу значений функции у = х2 - 2х + 3:
X	-3	-2	-1	0	1	2	3
у = х2 - 2х + 3	18	11	6	3	2	3	6
Построим найденные точки и проведем через них плавную кри-
вую (рис. 9).
Для сравнения графиков преобразуем формулу у = х2 - 2х + 3,
используя метод выделения полного квадрата:
у = х2 - 2х + 1 + 2 = (х - I)2 + 2.
Сначала сравним графики функций у = х2 и у = (х - I)2. Заме-
тим, что если (хх; уг) — точка параболы у = х2, т. е. yt = xf , то точка
(Xj + 1; yj принадлежит графику функции
у = (х - I)2, так как ((хх + 1) - I)2 = xf = уу
Следовательно, графиком функции у = (х - I)2
является парабола, полученная из параболы
у = х2 сдвигом (параллельным переносом) впра-
во на единицу (рис. 10).
Теперь сравним графики функций у = (х
- I)2 и у = (х - I)2 + 2. При каждом х значе-
ние функции у — (х - I)2 + 2 больше значе-
Рис. 9
Рис. 10
14
ния функции у = (х - I)2 на 2. Следовательно, графиком функции
У =	I)2 + 2 является парабола, полученная сдвигом параболы
у = (х - I)2 вверх на две единицы (рис. 11).
Итак, графиком функции у = х2 - 2х + 3 является парабола,
получаемая сдвигом параболы у = х2 на единицу вправо и на две
единицы вверх (рис. 12). Осью симметрии параболы у = х2 - 2х + 3
является прямая, параллельная оси ординат и проходящая через
вершину параболы — точку (1; 2). А
Аналогично доказывается, что графиком функции у = а(х - х0)2 + у0
является парабола, получаемая сдвигом параболы у ~ ах2:
вдоль оси абсцисс вправо на х0, если х0 > 0, влево на | х01, если х0
вдоль оси ординат вверх на у0, если у0 > 0, вниз на | у01, если у0<
Любую квадратичную функцию у = ах2 + Ъх + с с помощью
выделения полного квадрата можно записать в виде
( b Ь2 ~ 4ас
4а ’
z \2 .	Ь	/ \ Ъ2-4ас
т. е. в виде у = а(х - х0)2 + у0 , где х0 = - —, у0 = у(х0) =---.
ла	ча
Таким образом, графиком функции у — ах2 +Ъх + с является
парабола, получаемая сдвигом параболы у = ах2 вдоль
координатных осей. Равенство у = ах2 + Ъх + с называют
уравнением параболы. Координаты (х0,у0) вершины парабо-
лы у = ах2 + Ъх + с можно найти по формулам
<0;
0.
у = а х +—
2а
х0 = у0 = у(х0) = аХо + Ьх0 + с.
ла
15
Ось симметрии параболы у = ах2 + Ьх+ с — прямая, парал-
лельная оси ординат и проходящая через вершину параболы.
Ветви параболы у = ах2 + Ьх + с направлены вверх, если а > О,
и направлены вниз, если а < 0.
Задача 2. Найти координаты вершины параболы
у = 2х2 — х - 3.
Д Абсцисса вершины параболы х0 =
Ордината вершины параболы
2 ,	Ь2 - 4ас	1 + 24	„ 1
Уо = ах0 + Ьх0 + с =-----=----— = -3 —.
4а	8»
Ответ:
Задача 3. Записать уравнение параболы, если известно, что
она проходит через точку (-2; 5), а ее вершиной является точка
(-1; 2).
Д Так как вершиной параболы является точка (-1; 2), то уравне-
ние параболы можно записать в виде
у = а(х + I)2 + 2.
По условию точка (-2; 5) принадлежит параболе, и, следовательно,
5 = а(-2 + I)2 + 2,
откуда а = 3.
Таким образом, парабола задается уравнением
у = 3(х + I)2 + 2, или у = Зх2 + 6х + 5. Д
Упражнения
Найти координаты вершины параболы (24—26).
24. (Устно.)
1) 2)	р = (х - З)2 - 2; г/= (х + 4)2 + 3;	3) z/= 5(х + 2)2 - 7;	
		4)	у = -4(х - I)2 + 5.
25. 1)	у «= х2 + 4х + 1;	3)	у = 2х2 - 6х + 11;
2)	у = х2 - 6х - 7;	4)	у = -Зх2 + 18х - 7.
16
26. 1) у = х2 + 2; 2) у = -х2 - 5;	3) у — Зх2 + 2х; 4) у = -4х2 + х.
27. Найти на оси Ох точку, через которую проходит ось симмет-
рии параболы:
1) у = х2 + 3;	4) у = (х - 2)2 + 2;
2) 1/= (х + 2)2;	5) у = х2 + х + 1;
3) 1/=-3 (х + 2)2 + 2;	6) у = 2х2 - Зх + 5.
28. Проходит ли ось симметрии параболы у = х2 - 10 х через
точку:
1) (5; 10);	2) (3;-8);	3) (5; 0);	4) (-5; 1)?
29. Найти координаты точек пересечения параболы с осями ко-
ординат:
1) у = х2 - Зх + 2;	3) у = Зх2 - 7х + 12;
2) у = —2х2 + Зх - 1;	4) у - Зх2 — 4х.
30.	Написать уравнение параболы, если известно, что парабола
проходит через точку (-1; 6), а ее вершиной является точка
(1; 2).
31.	(Устно.) Принадлежит ли точка (1; -6) параболе
у = -Зх2 + 4х - 7?
32.	Найти значение к, если точка (-1; 2) принадлежит параболе:
1)	у = kx2 + Зх - 4;	2) у = -2х2 + kx - 6.
33.
С помощью шаблона параболы у = х2 построить график функ-
ции:
1) у - (х + 2)2; 3) у = х2 - 2;	5) у = -(х -I)2 - 3;
2)i/ = (x-3)2; 4)i/ = -x2 + l;	6) у = (х + 2)2 + 1.
34.
Записать уравнение параболы, полученной из параболы
у = 2х2:
2 — Алгебра, 9 класс
17
§5
1)	сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо;
2)	сдвигом вдоль оси Оу на 4 единицы вверх;
3)	сдвигом вдоль оси Ох на 2 единицы влево и вдоль оси Оу
на единицу вниз;
4)	сдвигом вдоль оси Ох на 1,5 единицы вправо и вдоль оси
Оу на 3,5 единицы вверх.
1
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА
КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Задача 1. Построить график функции у = х1 2 - 4х + 3 .
Д 1. Вычислим координаты вершины параболы:
х -	- 2
хо - 2 - А
у0 = 22 - 4 • 2 + 3 =-1.
Построим точку (2; -1).
2. Проведем через точку (2; -1) прямую, параллельную оси ор-
динат, — ось симметрии параболы (рис. 13, а).
3. Решая уравнение х2 - 4х + 3 = 0, найдем нули функции: xr = 1,
х2 = 3. Построим точки (1; 0) и (3; 0) (рис.13, б).
4. Возьмем две точки на оси Ох, симметричные относительно точ-
ки х = 2, например, х = 0 и х = 4. Вычислим значения функции в
этих точках: у(0) = у(4) = 3. Построим точки (0; 3) и (4; 3).
5. Проведем параболу через построенные точки ( рис. 13, в). А
18
По такой же схеме можно построить график любой квадра-
тичной функции у = ах2 + Ьх + с:
1.	Построить вершину параболы (х0, у0), вычислив х0, yQ по
формулам х0 =	у0= у(х0).
АН
2.	Провести через вершину параболы прямую, параллельную
оси ординат, — ось симметрии параболы.
3.	Найти нули функции, если они есть, и построить на оси
абсцисс соответствующие точки параболы.
4.	Построить две какие-нибудь точки параболы, симметрич-
ные относительно ее оси. Для этого надо взять две точки на
оси Ох, симметричные относительно точки х0, и вычислить
соответствующие значения функции (эти значения одина-
ковы). Например, можно построить точки параболы с абс-
циссами х = 0 и х = 2х0 , если х0 * 0 (ординаты этих точек
равны с).
5.	Провести через построенные точки параболу.
Заметим, что для более точного построения графика полезно
найти еще несколько точек параболы.
Задача 2. Построить график функции у = -2х2 + 12х - 19.
Д 1. Вычислим координаты вершины параболы:
х0 = ~ = 3, у0 = -2 • З2 +12 • 3 -19 = -1.
Построим точку (3; -1) — вершину параболы (рис. 14).
2.	Проведем через точку (3; -1) ось симметрии параболы (рис. 14).
3.	Решая уравнение -2х2 + 12х - 19 = 0, убеждаемся в том, что
уравнение не имеет действительных корней, и, следовательно, пара-
бола не пересекает ось Ох.
4.	На оси Ох возьмем две точки, симметричные относительно
точки х = 3, например точки х — 2 и х — 4 . Вычислим значение
функции в этих точках: у (2) = у (4) = -3. Построим точки (2; -3) и
(4; -3) (рис. 14).
5.	Проведем параболу через найденные точки (рис. 15). А
19
Рис. 14	Рис. 15
Задача 3. Построить график функции у = -х2 + х + 6 и выяс-
нить, какими свойствами обладает эта функция.
А Для построения графика найдем нули функции:
-х2 + х + 6 = О,
откуда хг = -2, х2 = 3.
Координаты вершины параболы можно найти так:
_ хг + х2 _ -2 + 3 _ 1
Х° 2	2	2
-1 + 2 + 24	„ 1
----------= О —.
4	4
Так как а = -1 < 0, то ветви парабо-
лы направлены вниз.
Найдем еще несколько точек па-
раболы: у(-1) = 4, у(0) = 6, i/(l) = 6,
f/(2) - 4.
Строим параболу (рис. 16).
С помощью графика получим сле-
дующие свойства функции
у = -х2 + х + 6:
1)	при любых значениях х значе-
ния функции меньше или равны 6 -;
2)	значения функции положитель-
ны при -2 < х < 3, отрицательны при
х < -2 и х > 3, равны нулю при
х = -2 и х = 3;
20
3)	функция возрастает на промежутке х < |, убывает на проме-
1
жутке х > -;
4)	при х - функция принимает наибольшее значение, равное
5)	график функции симметричен относительно прямой х = -. Д
&
Отметим, что функция у = ах2 + Ьх + с принимает наименьшее
ъ
или наибольшее значение в точке х0 = - —, которое является
ла
абсциссой вершины параболы.
Значение функции в точке х0 можно найти по формуле
У0 = У(х^.
Если а > 0, то функция имеет наименьшее значение, а если
а < 0, то функция имеет наибольшее значение.
Например, функция у = х2 - 4х + 3 при х = 2 принимает наимень-
шее значение, равное -1 (рис. 13, в); функция у = -2х2 + 12х - 9 при
х = 3 принимает наибольшее значение, равное -1 (рис. 15).
Задача 4. Сумма двух положительных чисел равна 6. Найти
эти числа, если сумма их квадратов наименьшая. Каково наимень-
шее значение суммы квадратов этих чисел?
Л Обозначим первое число буквой х, тогда второе число равно
6 - х, а сумма их квадратов равна х2 + (6 - х)2. Преобразуем это
выражение:
х2 + (6 - х)2 = х2 + 36 - 12х + х2 = 2х2 - 12х + 36.
Задача свелась к нахождению наименьшего значения функции
у — 2х2 - 12х 4- 36. Найдем координаты вершины этой параболы:
х0=-А = __^£=з, у0 = р(3) = 2 9-12 3 + 36 = 18.
л ~ л
Итак, при х = 3 функция принимает наименьшее значение, рав-
ное 18. Таким образом, первое число равно 3, второе также равно 3.
Значение суммы квадратов этих чисел равно 18. А
21
Упражнения
35.	Найти координаты вершины параболы:
1)	у = х2 - 4х - 5;	3) у = -х2 - 2х + 5;
2)	у = х2 + Зх + 5;	4) у = -х2 + 5х - 1.
36.	Найти координаты точек пересечения параболы с осями ко-
ординат:
1)	у = х2 - Зх + 5;	3) у = -2х2 + 6;
2)	у = —2х2 - 8х + 10;	4)f/ = 7x2 + 14.
Построить график функции и по графику:
1)	найти значения х, при которых значения функции положи-
тельны; отрицательны;
2)	найти промежутки убывания и возрастания функции;
3)	выяснить, при каком значении х функция принимает наи-
большее или наименьшее значение (37—38).
37.	1) у = х2 - 7х + 10;
2)	у = -х2 + х + 2;
38.	1) у - 4х2 + 4х - 3;
2)	у = -Зх2 - 2х + 1;
3)	у = -2х2 + Зх + 2;
4)	у = Зх2 - 8х + 4;
3)	у = -х2 + 6х - 9;
4)	у = х2 + 4х + 5.
5)	у = 4х2 + 12х + 9
6)	у = -4х2 + 4х - 1:
7)	у = 2х2 - 4х + 5;
8)	у = -Зх2 - 6х - 4.
39.	По данному графику квадратичной функции (рис. 17) выяс-
нить ее свойства.
22
40.	Число 15 представить в виде суммы двух чисел так, чтобы
произведение этих чисел было наибольшим.
41.	Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их
кубов является наименьшей.
42.	Участок прямоугольной формы, примыкающий к стене дома,
требуется огородить с трех сторон забором длиной 12 м. Ка-
кими должны быть размеры участка, чтобы площадь его была
наибольшей?
43.	В треугольнике сумма основания и высоты, опущенной на это
основание, равна 14 см. Может ли такой треугольник иметь
площадь, равную 25 см2?
44.	Не строя график, определить, при каком значении х квадра-
тичная функция имеет наибольшее (наименьшее значение);
найти это значение:
1)	у = х2 - 6х + 13;	3) у = -х2 4- 4х 4- 3;
2)	у = х2 - 2х - 4;	4) у = Зх2 - 6х + 1.
45.	Определить знаки коэффициентов уравнения параболы
у = ах2 4- Ьх 4- с, если:
1)	ветви параболы направлены вверх, абсцисса ее вершины
отрицательна, а ордината положительна;
2)	ветви параболы направлены вниз, абсцисса и ордината ее
вершины отрицательны.
46.
С высоты 5 м вертикально вверх из лука выпущена стрела
с начальной скоростью 50 м/с. Высота h м, на которой
находится стрела через t секунд, вычисляется по формуле
h = h(t) = 5 4- 50t —г-, где g~ 10 м/с2. Через сколько секунд
4л
стрела:
1) достигнет наибольшей высоты и какой;
2) упадет на землю?
23
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I
47.	Найти значения х, при которых квадратичная функция
у = 2х2 - 5х 4- 3 принимает значение, равное:
1)	0;	2) 1;	3) 10;	4) -1.
48.	Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1)	у = х2 - 4 и у = 2х - 4;
2)	у = х2 и у = Зх - 2;
3)	у = х2 - 2х - 5 и у = 2х2 4- Зх 4- 1;
4)	у = х2 + х- 2иу = (х + 3)(х - 4).
49.	Решить неравенство:
1)	х2<5;	2) х2 > 36.
50.	Найти координаты точек пересечения параболы с осями ко-
ординат:
1)	у = х2 4- х - 12;
2)	у = -х2 4- Зх 4- 10;
3)	у = -8х2 - 2х 4-1;
4)	у = 7х2 4- 4х — 11;
51.	Найти координаты вершины
1)	у = х2 - 4х - 5;
2)	у = -х2 - 2х 4- 3;
3)	у = х2 - 6х 4-10;
52.	Построить график функции
ства:
1)	у = х2 - 5х 4- 6;
2)	у = х2 4- 10х 4- 30;
3)	у = -х2 - 6х - 8;
5)	у = 5х 4- х - 1;
6)	у — 5х2 4- Зх - 2;
7)	у = 4х2 - Их 4- 6;
8)	у = Зх2 4- 13х - 10.
параболы:
4)	у = х2 4- х 4- |;
5)	у = -2х(х 4- 2);
6)	у = (х - 2)(х 4- 3).
и по графику выяснить ее свой-
4)	у = 2х2 - 5х 4- 2;
5)	у = -Зх2 - Зх 4- 1;
6)	у = -2х2 - Зх - 3.
1)	у = х2 - 5х 4- 6;
2)	у = х2 4- 10х 4- 30;
3)	у = -х2 - 6х - 8;
24
Проверьте себя!
1.	Построить график функции у = х* 1 2 — 6х + 5 и найти ее
наименьшее значение.
2.	С помощью графика функции у = -х2 4- 2х 4- 3 найти значе-
ния х, при которых значение функции равно 3.
3.	По графику функции у = 1 - х2 найти значения х, при ко-
торых функция принимает положительные значения; от-
рицательные значения.
4.	На каких промежутках функция у = 2х2 возрастает? убы-
вает? Построить график этой функции.
5.	Найти координаты вершины параболы у = (х — З)2 и пост-
роить ее график.
53. Не строя график функции, найти ее наибольшее или наимень-
шее значение:
1) у = х2 4- 2х 4- 3;	3) у = -Зх2 + 7х;
2) у = -х2 4- 2х 4- 3;	4) у = Зх2 4- 4х 4- 5.
54. Периметр прямоугольника 600 м. Какими должны быть его
высота и основание, чтобы площадь прямоугольника была
наибольшей?
55. Прямоугольник разбит на 3 части двумя отрезками, парал-
лельными одной из его сторон. Сумма периметра прямоуголь-
ника и длин отрезков равна 1600 м. Найти стороны прямо-
угольника, если его площадь наибольшая.
56. Найти коэффициентыpeq квадратичной функции
у = х2 4- рх 4- q, если эта функция:
1) при х = 0 принимает значение 2, а при х = 1 — значе-
ние 3;
2) при х = 0 принимает значение 0, а при х = 2 — значение 6.
25
58.
59.
57.	Найти р и q, если парабола у — х2 + рх + q:
1)	пересекает ось абсцисс в точках х = 2 и х = 3;
2)	пересекает ось абсцисс в точке х = 1 и ось ординат в точке
1/ = 3;
3)	касается оси абсцисс в точке х = 2.
При каких значениях х принимают равные значения функ-
ции:
1) у = х2 + Зх + 2 и у — |7 - х|;
2) у = Зх2 - 6х + 3 и у = |3х - 3| ?
Построить параболу у = ах2 + Ьх 4- с, если известно, что:
1)	парабола проходит через точки с координатами (0; 0),
(2; 0), (3; 3);
2)	точка (1; 3) является вершиной параболы, а точка (-1; 7)
принадлежит параболе;
3)	нулями функции у = ах2 + Ьх + с являются числа хх= 1
и х2= 3, а наибольшее значение равно 2.
? ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 1
1.	Найти значение а, для которого одна из точек пересечения
параболы у = ах2 с прямой у = 5х + 1 имеет абсциссу х = 1.
А) а = 6; В) а = -6; С) а = 4; D) а =-4; Е) а = 7.
2.	Найти значение k, для которого одна из точек пересечения
параболы у = -х2 с прямой у = kx - 6 имеет абсциссу х = 2.
A) fe = -l; В) k = 1; С) k = 2; D) к = -2; Е) k = -6.
3.	Найти значение Ь, для которого одна из точек пересечения
параболы у = Зх2 с прямой у = 2х + Ь имеет абсциссу х = 1.
А) Ь = 2; В)Ь = -1; С) b = 1; D) Ь = -2; Е) Ь = 3.
Найти координаты точек пересечения параболы с осями ко-
ординат (4—7).
4.	у = х2 - 2х + 4.
А) (-1; 3); В) (3; 1); С) (1; 3); D) (0; 4); Е) (4; 0).
26
5. у = —х2 - 4х — 5.
А) (-1; 2); В) (2; -1);
6. у = 6х2 - 5х 4- 1.
А)
в) (-Ь °)’ (-|;°)’ а;0*
\ о / \ &	/
С) (°! 1М011И1);
С) (5; 0); D) (-5; 0); Е) (0; -5).
D) (i:
Е) правильный ответ не
приведен.
7.	у = -х2 + 6х + 7.
А) (-1; 0), (-7; 0), (0; -7);
В) (-1; 0), (7; 0), (1; 7);
С) (1; 0), (7; 0), (0; -7);
D) (-1; 2), (7; -1), (7; 0);
Е) (3; 16).
Найти координаты вершины параболы (8—11).
8.	у = х2 - 4х.
А) (0; 4);	В) (4; 2);	С) (2; -4); D) (-4; 2); Е) (0; -4).
9.	у = -х2 + 2х.
А) (-1; -1); В) (1; -2); С) (0; 2);	D) (1; 1); Е) (1; -1).
10.	у = х2 + 6х + 5.
А) (3; —4); В) (-5; -1); С) (-1; -5); D) (3; 4); Е) (-3; -4).
11.	у = — 5х2 + 4х.+ 1.
а>	I);	В) (~1; I) ’ С) (-<; I); D> 9); Е) <9; 5>-
12.	Написать уравнение параболы, которая пересекает ось абс-
цисс в точках с абсциссами х = 1их = 2,а ось ординат в точке
1
с ординатой у = -.
27
A) у^Х*-^;
в)
С) у = x2 - Зх + 2;
D) ^ = x2-|x + |;
25	25
E) правильный
ответ не
приведен.
13.	Написать уравнение параболы, которая пересекает ось абс-
цисс в точках с абсциссами х = -1 и х = 3, а ось ординат в
точке с ординатой у = 1.
х2 2
А)	у в -х2 + 2х + 3; С) у = —- + -х + 1;	Е) правильный
„2	2 2	ответ не
В)	</ = -—+ 2х + 1; D)y = —--Х —1; приведен.
В каких квадрантах расположена парабола (14—18)?
14.	у = Зх2 + 5х - 2.
А) I, П, Ш;	С) I, Ш, IV;	Е) I, П, IV.
В)	П, III, IV;	D) I, П, III, IV;
15.	у = х2 - 4х + 6.
A) I, IV;	В)	П, Ш;	С)	I, П, Ш, IV;	D)	П, Ш, IV; Е) I, П.
16.	у = -х2 - 6х - 11.
A) III, IV;	В)	I, П, Ш;	С)	П, Ш, IV;	D)	I, Ш, IV; Е) I, П.
17.	у = -х2 + 5х.
А)	I, П, Ш;	С)	I, П, III, IV;	Е)	правильный от-
В)	I, Ш, IV;	D)	П, Ш, IV;	вет не приведен.
18.	у — х2 - 4х.
А) I, П, Ш; В) П, Ш, IV; С) I, П, IV; D) Ш, tV; Е) I, П.
19.	Сумма двух положительных чисел равна 160. Найти эти чис-
ла, если сумма их кубов имеет наименьшее значение.
А) 95; 65; В) 155; 5; С) 75; 85; D) 80; 80; Е) 90; 70.
20.	Сумма двух положительных чисел равна а, Найти эти числа,
если сумма их квадратов имеет наименьшее значение.
А)Т’Т; В) а ,а -а; С) —D)a2,a-a2; Е)
28
Глава II КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§6
КВАДРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО
И ЕГО РЕШЕНИЕ
Задача 1. Стороны прямоугольника равны 2 дм и 3 дм. Каж-
дую сторону увеличили на одинаковое число дециметров так, что
площадь прямоугольника стала больше 12 дм2. Как изменилась
каждая сторона?
Л Пусть каждая сторона прямоугольника увеличена на х деци-
метров. Тогда стороны нового прямоугольника равны (2 4- х) и (3 + х)
дециметрам, а его площадь равна (2 4- х) (3 4- х) квадратным децимет-
рам. По условию задачи (2 4- х) (3 4- х) > 12, откуда х2 + 5х 4- 6 > 12,
или х2 4- 5х - 6 > 0.
Разложим левую часть этого неравенства на множители:
(х + 6) (х — 1) > 0.
Так как по условию задачи х > 0, то х + 6 > 0. Поделив обе части
неравенства на положительное число х + 6, получим х - 1 > 0, т. е.
х> 1.
Ответ: каждую сторону прямоугольника увеличили больше чем
на 1 дм. А
В неравенстве х2 4- 5х - 6 > 0 буквой х обозначено неизвестное
число. Это пример квадратного неравенства.
О Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен,
а в правой —- нуль, то такое неравенство называют квад-
ратным.
Например, неравенства 2х2 - Зх 4- 1 > 0, -Зх2 4- 4х 4- 5 < 0
являются квадратными.
29
Напомним, что решением неравенства с одним неизвестным на-
зывается то значение неизвестного, при котором это неравенство
обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство —
это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Задача 2. Решить неравенство х2 - 5х + 6 > 0.
Д Квадратное уравнение х2 - 5х + 6 = 0 имеет два различных
корня х1 = 2, х2— 3. Следовательно, квадратный трехчлен х2 - 5х + 6
можно разложить на множители:
х2 - 5х + 6 = (х - 2)(х - 3).
Поэтому данное неравенство можно записать так:
(х - 2)(х - 3) > 0.
Произведение двух множителей положительно, если они имеют
одинаковые знаки.
1) Рассмотрим случай, когда оба множителя положительны, т. е.
х-2>0их-3>0.
Эти два неравенства образуют систему:
Гх - 2 > 0,
|х - 3 > 0.
Решая систему, получаем <х > откуда х > 3. Итак, все числа
|х > о,
х > 3 являются решениями неравенства (х - 2)(х - 3) > 0.
2) Рассмотрим теперь случай, когда оба множителя отрицатель-
ны, т.е.х-2<0их-3<0.
Эти два неравенства образуют систему:
Гх — 2 < 0,
[х - 3 < 0.
Решая систему, получаем <х < откуда х < 2. Итак, все числа
[X < о,
х < 2 также являются решениями неравенства (х - 2)(х - 3) > 0.
Таким образом, решениями неравенства (х - 2)(х - 3) > 0, а
значит, и исходного неравенства х2 - 5х + 6 > 0 являются числа х < 2,
а также числа х > 3.
Ответ: х < 2 или х > 3. Д
30
9
Вообще, если квадратное уравнение ах2+ Ъх + с = 0 имеет два
различных действительных корня, то решение квадратного
неравенства ах2 + Ьх + с > 0 и ах2 + Ъх + с < 0 можно свести
к решению системы неравенств первой степени, разложив ле-
вую часть квадратного неравенства на множители.
3 а д а ч а 3. Решить неравенство -Зх2 - 5х + 2 > 0.
Л Чтобы удобнее проводить вычисления, представим данное не-
равенство в виде квадратного неравенства с положительным пер-
вым коэффициентом. Для этого умножим обе его части на -1:
Зх2 + 5х - 2 < 0.
Найдем корни уравнения Зх2 + 5х - 2 = 0:
-5 ±^25+24 _ -5±7
6
6
1
3
Разложив квадратный трехчлен на множители, получим:
Отсюда получаем две системы:
х - - < 0,
3
х + 2 > 0.
х - - > 0,
3
х + 2 < 0;
Первую систему можно записать так:
х>1
.3’
х < -2,
откуда видно, что она не имеет решений.
Решая вторую систему, находим:
откуда -2 < х < ^.
о
х<|’
х > -2,
31
Отсюда следует, что решениями неравенства З^х - - j(x + 2) < 0,
т. е. неравенства -Зх2 - 5х + 2 > 0, являются все числа интервала
(-* >)
Ответ: -2 < х <^. А
Упражнения
60. (Устно.) Указать, какие наследующих неравенств являются
квадратными:
1) х2 - 4 > 0;	3) Зх + 4 > 0;	5) х2 - 1 < 0;
2) х2 - Зх - 5 < 0;	4) 4х - 5 < 0;	6) х4 - 16 > 0.
61. Свести к квадратным следующие неравенства:
1) х2 < Зх + 4;
2) Зх2 - 1 > х;
3)	Зх2 < х2 - 5х + 6;
4)	2х(х + 1) < х + 5.
62.	(Устно.) Какие из чисел 0;-1; 2 являются решениями нера-
венства:
1) х2 + Зх + 2 > 0;	3) х2 - х - 2 < 0;
2) -х2 + 3,5х + 2 > 0;	4) -х2 + х + | < О?
Решить неравенство (63—65).
63.	1) (х - 2) (х + 4) > 0;
2) (х - 11) (х - 3) < 0;
64.	1) х2 - 4 < 0;
2) х2 - 9 > 0;
3) (х - 3) (х + 5) < 0;
4) (х + 7) (х + 1) > 0.
3) х2 + Зх < 0;
4) х2 - 2х > 0.
65. 1) х2 - Зх + 2 < 0;
2)	х2 + х - 2 < 0;
3)	х2 - 2х - 3 > 0;
4)	х2 + 2х - 3 > 0;
5)	2х2 + Зх - 2 > 0;
6)	Зх2 + 2х - 1 > 0.
32
66. Решить неравенство:
/ 1\I 2 3
1)2|х-| >0;
11	\2
2)7- |-х! <0;
3) Зх2 - 3 < х2 - х;
4) (х - 1)(х + 3) > 5.
67. Построить график функции. По графику найти все значения
х, при которых функция принимает положительные значе-
ния; отрицательные значения; значения, равные нулю:
1) у = 2х2;	3) у = 2х2 - х + 2;
2) у = -(х + 1,5)2;	4) у = -Зх2 - х - 2.
Известно, что числа х1 и х2, где х1 < х2, являются нулями функ-
ции у = ах2 + Ъх + с. Доказать, что если число х0 заключено
между х1 и х2, т. е. х]<х()< х2, то выполняется неравенство
а(ахд + Ьх0 + с) < 0.
I
РЕШЕНИЕ КВАДРАТНОГО НЕРАВЕНСТВА С
ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
68.
§7
Напомним, что квадратичная функция задается формулой
у = ах'2 + Ьх + с, где а Ф 0. Поэтому решение квадратного неравен-
ства сводится к отысканию нулей квадратичной функции и проме-
жутков, на которых квадратичная функция принимает положитель-
ные или отрицательные значения.
Задача 1. Решить с помощью графика неравенство
2х2 - х - 1 < 0.
Д График квадратичной функции у = 2х2 - х - 1 — парабола,
ветви которой направлены вверх.
Найдем точки пересечения этой параболы с осью Ох. Для этого
решим квадратное уравнение 2х2 - х - 1 = 0. Корни этого уравнения:
1± J1 + 8	1± 3	.	1
Чг = —-л----= —; *i = 1, х2 = -
4
4
3 - Алгебра, 9 класс
33
у = 2х2 - х - 1
Рис. 18
Следовательно, парабола пересекает ось Ох в
точках х = - ± и х = 1 (рис. 18). Неравен-
ству 2х2 - х - 1 < 0 удовлетворяют те значе-
ния х, при которых значения функции равны
нулю или отрицательны, т. е. те значения х,
при которых точки параболы лежат на оси
Ох или ниже этой оси. Из рисунка 18 видно,
что этими значениями являются все числа из отрезка
Ответ: ~-<х<1. А
2
График этой функции можно использовать и при решении дру-
гих неравенств, которые отличаются от данного только знаком не-
равенства. Из рисунка 18 видно, что:
1)	решениями неравенства 2х2 - х - 1 < 0 являются числа ин-
тервала — i < х < 1;
2)	решениями 2х2 - х - 1 > 0 являются все числа промежутков
1 .
х < - - и х > 1;
2
3)	решениями 2х2 - х - 1 > 0 являются все числа промежутков
х < их >1.
Задача 2. Решить неравенство 4х2 + 4х + 1 > 0.
Л Построим эскиз графика функции у = 4х2 + 4х + 1. Ветви
этой параболы направлены вверх. Уравнение 4х2 + 4х + 1 = 0 имеет
один корень х = - -, .поэтому парабола касается оси Ох в точке
(1	\	2
- -; 0j. График этой функции изображен на рисунке 19. Для реше-
ния данного неравенства нужно установить, при каких значениях
х значения функции положительны. Таким образом, неравенству
4х2 + 4х + 1 > 0 удовлетворяют те значения х, при которых точки
параболы лежат выше оси Ох. Из рисунка 19 видно, что такими
являются все действительные числа х, кроме х = -0,5.
Ответ: х^-0,5. А
Из рисунка 19 видно также, что:
1)	решениями неравенства 4х2 + 4х + 1 > 0 являются все дей-
ствительные числа;
2)	неравенство 4х2 + 4х + 1 < 0 имеет одно решение х = - i;
3)	неравенство 4х2 + 4х + 1 <0 не имеет решений.
Эти неравенства можно решить устно, если заметить, что
4х2 + 4х + 1 = (2х + I)2 .
Задача 3. Решить неравенство -х2 + х - 1 < 0.
Л Построим эскиз графика функции у = -х2 + х - 1. Ветви этой
параболы направлены вниз. У уравнения -х2 4x1 = 0 действи-
тельных корней нет, поэтому парабола не пересекает ось Ох. Следо-
вательно, эта парабола расположена ниже оси Ох (рис. 20). Это
означает, что значения квадратичной функции при всех х отрица-
тельны, т. е. неравенство -х2 + х - 1 < 0 выполняется при всех дей-
ствительных значениях х. А
Из рисунка 20 видно также, что решениями неравенства
-х2 + х - 1 <0 являются все действительные значения х, а неравен-
ства -х2 + х - 1 > 0 и -х2 + х - 1 > 0 не имеют решений.
Итак, для решения квадратного неравенства с помощью гра-
фика нужно:
1)	определить направление ветвей параболы по знаку перво-
го коэффициента квадратичной функции;
2)	найти действительные корни соответствующего квадрат-
ного уравнения или установить, что их нет;
3)	построить эскиз графика квадратичной функции, исполь-
зуя точки пересечения (или касания) с осью Ох, если они есть;
4)	по графику определить промежутки, на которых функция
принимает нужные значения.
35
Упражнения
69. Построить график функции у = х2 + х - 6. Определить по
графику значения х, при которых функция принимает поло-
жительные значения; отрицательные значения.
70. (Устно.) Используя график функции у = ах2+ Ьх + с (рис. 21),
указать, при каких значениях х эта функция принимает по-
ложительные значения; отрицательные значения; значение,
равное нулю.
Рис. 21
Решить квадратное неравенство (71—75).
71.	1) х2-Зх + 2<0;
2)	х2 - Зх - 4 > 0;
72.	1) 2х2 + 7х - 4 < 0;
2)	Зх2 - 5х - 2 > 0;
73.	1) х2 - 6х + 9 > 0;
2)	х2- 14х + 49<0;
3)	4х2-4х + 1 >0;
3) -х2 + Зх - 2 < 0;
4) -х2 + Зх + 4 > 0.
3)	-2х2 + х + 1 > 0;
4)	—4х2 + Зх + 1 < 0.
4)	4х2 - 20х + 25 < 0;
5)	-9х2 - 6х - 1 < 0;
6)	-2х2 + 6х - 4,5 < 0.
36
74. 1) х2 - 4х 4- 6 > 0;	4) х2 4- Зх 4- 5 < 0;
2) х2 + 6х + 10 < 0;	5) 2х2 - Зх + 7 < 0;
3) х2 + х 4 2 > 0;	6) 4х2 - 8х 4- 9 > 0.
75. 1) 5-х2>0;	5) -6х2 - х + 12 > 0;
2) -х2 + 7 < 0;	6) -Зх2 - 6х + 45 < 0;
3) -2,1х2 4- 10,5х < 0;	7) — — х2 + 4,5х — 4 > 0; 2
4) -3,6х2 - 7,2х < 0; 76. (Устно.) Решить неравенство:	8) -х2 - Зх - 2 > 0.
1) х2 + 10 > 0;	5) -(х 4-1)2 - 2 < 0;
2) х2 + 9 < 0;	6) -(х - 2)2 - 4 > 0;
3) (х - I)2 4- 1 > 0;	7) 0,5х2 4- 8<0;
4) (х + 5)2 4 3 < 0;	8) (х-|) 4-21>0.
Решить квадратное неравенство (77—79).	
77. 1) 4х2 - 9 > 0;	5) 2х2 - 4х 4- 9 < 0;
2) Эх2 - 25 > 0;	6) Зх2 4- 2х 4- 4 > 0;
3) х2 - Зх + 2 > 0;	7) |х2-4х>-8;
4) х2 - Зх - 4 < 0;	8) |х2+2х<-3.
78. 1) 2х2 - 8х <-8;	5) 2х2 - х > 0;
2) х2 + 12х > -36;	6) Зх2 4- х < 0;
3) 9х2 4- 25 < ЗОх;	7) 0,4х2 - 1,1х 4-1 > 0;
4) 16х2 + 1 > 8х;	8) х2 - х 4- 0,26 < 0.
79. 1) х (х 4- 1) < 2(1 - 2х - х2);	4) 2х (х - 1) < 3 (х + 1);
2) х2 + 2 < Зх-^х2;	5)	< х 4 1;
3) 6х2 +1 < 5х - ix2; 4	6) ^2+|>х-1.
37
80. Найти все значения х, при которых функция принимает зна-
чения, не большие нуля:
1) у = -х2 + 6х - 9;
2) у = х2 - 2х + 1;
3) у = - — х2 - Зх - 4 —;
7 у 2	2
4) у = - — х2 - 4х - 12.
3
1)	Показать, что при q > 1 решениями неравенства х2 - 2х +
+ q > О являются все действительные значения х;
2)	показать, что при q > 1 неравенство х2 + 2х + q < 0 не
имеет решений.
Найти все значения г, для которых при всех действительных
значениях х выполняется неравенство х2 - (2 + г)х + 4 > 0.
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
При решении неравенств часто применяется метод интервалов.
Поясним этот метод на примерах.
Задача 1. Выяснить, при каких значениях х квадратный
трехчлен х2 - 4х + 3 принимает положительные значения, а при
каких — отрицательные.
А Найдем корни уравнения х2 - 4х + 3 = 0:
хт = 1, х2 = 3.
Поэтому х2 - 4х + 3 = (х - 1)(х - 3). Точки х = 1 и х = 3 (рис. 22)
разбивают числовую ось на три промежутка: х < 1, 1 < х < 3, х > 3.
Рис. 22
Промежутки х < 1, х > 3, так же как и промежуток 1 < х < 3,
называют интервалами.
Двигаясь вдоль числовой оси справа налево, видим, что на интер-
вале х > 3 трехчлен х2 - 4х + 3 = (х-1) (х-3) принимает положи-
тельные значения, так как в этом случае оба множителя х - 1 и
х-3 положительны.
38
На следующем интервале 1 < х < 3 этот трехчлен принимает
отрицательные значения. Это происходит потому, что в произведе-
нии (х—1) (х-3) при переходе через точку х = 3 первый множитель
х - 1 не меняет знак, а второй х - 3 меняет знак.
При переходе через точку х = 1 трехчлен снова меняет знак, так
как в произведении (х - 1) (х — 3) первый множитель х - 1 меняет
знак, а второй х - 3 не меняет.
Итак, при движении по числовой оси справа налево от одного ин-
тервала к соседнему знаки произведения (х - 1) (х - 3) чередуются.
Таким образом, задачу о знаке квадратного трехчлена х2 - 4х + 3
можно решить следующим способом.
Отмечаем на числовой оси корни уравнения х2 - 4х + 3 = 0 —
точки хг = 1, х2 = 3. Они разбивают числовую ось (рис. 22) на
три интервала. Заметив, что на интервале х > 3 значения
трехчлена х2 - 4х + 3 положительны, расставляем его знаки
на остальных интервалах в порядке чередования (рис. 23).
Рис. 23
Из рисунка 23 видно, что х2 - 4х + 3 > 0 при х < 1 или х > 3,
а х2 - 4х + 3 < О при 1 < х < 3. А
Рассмотренный способ называют методом интервалов. Этот
метод используется при решении квадратных и некоторых других
неравенств.
Например, решая задачу 1, мы практически решили методом
интервалов неравенства х2 - 4х + 3 > 0 и х2 —4х + 3 < 0.
Задача 2. Решить неравенство х3 - х < 0.
Д Разложим многочлен х3 - х на множители:
X3 - X = х(х2 - 1) = х(х - 1)(х + 1).
Следовательно, неравенство можно записать так:
(х + 1) х(х - 1) < 0.
39
Отметим на числовой оси точки -1, 0 и 1. Эти точки разбивают
числовую ось на четыре интервала: х < -1, -1 < х < О, 0<х<1,х>1
(рис. 24).
Рис. 24
При х > 1 все множители произведения (х + 1) х (х - 1) положи-
тельны, и поэтому (х + 1)х(х~1)>0на интервале х > 1. Учитывая
смену знака произведения при переходе к соседнему интервалу, най-
дем для каждого интервала знак произведения (х + 1)х(х - 1)
(рис. 25).
Рис. 25
Таким образом, решениями неравенства являются все значения
х из интервалов х <-1 иО<х< 1.
Ответ:х<-1 или 0 < х < 1. А
Задача 3. Решить неравенство (х2 - 9)(х + 3)(х - 2) > 0.
Л Данное неравенство можно записать в виде
(х + 3)2(х - 2)(х - 3) > 0.
Так как (х + З)2 > 0 при всех х * -3, то при х * -3 множества
решений неравенства (1) и неравенства
(х - 2)(х - 3) > 0
(2)
совпадают.
Значение х = -3 не является решением неравенства (1), так как
при х = -3 левая часть неравенства равна 0.
Решая неравенство (2) методом интервалов, получаем х < 2, х > 3
(рис. 26).
Рис. 26
40
Учитывая, что х = -3 не является решением исходного неравен-
ства, окончательно получаем: х < -3, -3 < х < 2, х > 3.
Ответ: х<-3, -3<х<2, х>3. Д
Задача 4. Решить неравенство
х1 2 + 2х - 3 > Q
х2-Зх-4 "
Д Разложив числитель и знаменатель дроби на множители, по-
лучим:
(х + 3)(х - 1) > 0
(х + 1Хх - 4) -
(3)
Отметим на числовой оси точки -3; -1; 1; 4, в которых числи-
тель или знаменатель дроби обращаются в нуль. Эти точки разби-
вают числовую прямую на пять интервалов (рис. 27).
Рис. 27
При х > 4 все множители числителя и знаменателя дроби поло-
жительны, и поэтому дробь положительна. При переходе от одного
интервала к следующему дробь меняет знак, поэтому можно расста-
вить знаки дроби так, как это показано на рисунке 27.
Значения х = -3 и х = 1 удовлетворяют неравенству (3), а при
х = -1 и х = 4 дробь не имеет смысла. Таким образом, исходное
неравенство имеет следующие решения: х < -3, -1 < х < 1, х > 4.
Ответ:х<-3, -1<х<1, х > 4. Д
Упражнения
83. (Устно.) Показать, что значение х = 5 является решением
неравенства:
1) (х - 1)(х - 3) > 0;
2) (х + 2)(х + 5) > 0;
3)	(х - 7)(х - 10) > 0;
4)	(х + 1)(х - 4) > 0.
41
Решить методом интервалов неравенство (84—90).
84. 1) (х + 2)(х - 7) > 0;
2)	(х + 5)(х - 8) < 0;
3)	(х - 2)(х +< 0;
4)	(х + 5)/х-3-^1 > 0.
\ £ /
85. 1) х* 2 + 5х > 0;
2)	х2- 9х > 0;
3)	2х2-х <0;
4)	х2 + Зх < 0;
5)	х2 + х - 12 < 0;
6)	х2 - 2х - 3 > 0.
86. 1) х3 - 16х < 0;
2)	4х3 - х > 0;
3)	(х2 - 1)(х + 3) < 0;
4)	(х2 - 4)(х - 5) < 0.
87. 1) (х - 5)2(х2- 25) > 0;
2)	(х + 7)2(х2- 49) < 0;
3)	(х - 3)(х2 - 9) < 0;
4)	(х - 4)(х2 - 16) > 0;
5)	(х - 8)(х - 1)(х2 - 1)>0;
6)	(х - 5)(х + 2)(х2 - 4)<0.
88. 1) —-г > 0;	3)~-—>0;	5) (21 + 1)<Г2) <0;
' х + 5	’ 3 + х	'	х-3
2)
х - 4
х + 3
4)
3,5 + х
х-7
6)
(х - 3)(2х + 4)
89. 1)
2)
х2-2х + 3
-------2“
(х - 2)2
(х + 4)2
2х2-Зх + 1
X2 — X
з)
7 х2 -4
4) ^4
0;
90.1) (х2- 5х + 6)(х2 - 1) > 0;
2) (х + 2)(х2+х - 12) > 0;
3) (х2- 7х + 12)(х2- х + 2)<0;
4) (х2- Зх - 4)(х2- 2х - 15)<0.
Решить неравенство (91—93).
91.1)
2)
х2- х - 12	„
---------> 0;
х -1
х2- 4х - 12 Л
----------< О;
х-2
3)
4)
х2 + Зх - 10
х2 + х - 2
х2 + х - 6
42
92.1)
х	3	3
х - 2	х	х - 2 ’
93.	1) - 21Х -8~ < 0;
х2-64
»=+ 7* + 1В> 0.
*	b	Л
х - 4
х2 2-х	5-х
2) х2 + Зх + * + 3 < х
Ь^-Зх-З >
4) —------------>0
2х2 + 5х - 12
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Решить неравенство (94—100).
94. 1) (х — 5,7) (х- 7,2) > 0;
2) (х - 3) (х - 4) > 0;
95.1	) х2 > х; 2) х2 > 36;
96.	1) -9х2 + 1 <0;
2)	-4х2 + 1 >0;
97.	1) -2х2+ 4х + 30 < 0;
2)	-2х2 + 9х - 4 > 0;
3)	4х2 + Зх - 1 < 0;
98.	1) х2- 2х + 1 >0;
2)	х2+ 10х + 25 > 0;
3)	-х2 + 6х - 9 < 0;
99.	1) х2 - Зх + 8 > 0;
2)	х2 - 5х + 10 < 0;
3)	2х2-Зх + 5>0;
1W. 1) (х - 2)(х2 - 9) > 0;
2) (х2 - 1)(х + 4) < 0;
3) (x±jMx-5)<0.
х +1
3) (х - 2,5) (3 - х) < 0;
4) (х - 3) (4 - х) < 0.
3) 4 > х2;	4)	> х2
16
3)	-5х2-х>0;
4)	-Зх2 + х < 0.
4)	2х2+ Зх - 2 < 0;
5)	6х2 + х - 1 > 0;
6)	5х2- 9х + 1 > 0.
4)	—4х2 - 12х - 9 < 0;
5)	|х2 - ix + 4 > 0;
6)	-х2+х~4<0.
4)	Зх2 - 4х + 5 < 0;
5)	—х2 + 2х + 4 < О;
6)	-4х2 + 7х - 5 > 0.
4)		. > о;
(4 - х)(2х + 1)
5)	4*2~4*7Ьо;
х+3
6)	2x2 ~ 3xzZ < о.
х -1
43
Проверъте себя!
1. Решить неравенство:
1) х2 - Зх - 4 < 0;	3) -х2 + Зх - 5 > 0;
2) Зх2 - 4х + 8 £ 0;	4) х2 + 20х + 100 < 0.
2. Решить неравенство методом интервалов: х(х - 1)(х + 2) > 0.
Решить неравенство (101—105).
101. 1) х2 > 2 - х;	3) х + 8 < Зх2 - 9;	5) 10х - 12 < 2х2			
2)	х2 - 5< 4х;	4) х2 < 10 - Зх;		6) 3 - 7х < 6х2.
102. 1)	х2 + 4 < х;	5)	Зх2 - 5 > 2х;
2)	х2 + 3 > 2х;	6)	2х2 + 1 < Зх;
3)	-х2 + 3 < 4;	7)	^ + 24^;
			10	10
4)	-х2-5х2>8;	8)	х2 _ 2х > Зх-10
			3	3	4
103. 1)	ix-Jx2 >1-х; 3	9	4)	14.. -x--^x(x-l); 0	У
2)	ix(x +1) < (х -1)2;	5)	х(- -11 < х2 + х +1; \4	/
3)	х(1-х)> 1,5-х;	6)	2х - 2,5 > х(х - 1).
	2	>	3		9	х > 1 —Зх
104. 1)	Х--/2	х+>/2’	3)	2х+2	х-1 ~ 2-2х*
	&	2		3	13
2)	< -F—; 3-х2 V3-X	4)	х2-!	2 < 2х-2’
	Зх2 - 5х - 8	_		2 + 7х - 4х2 q
105. 1)	—5	> 0; 2х- 5х - 3	3)	Зх2+2х - 1
	4х2+х-3		2 + 9х - 5х2 . _
2)	—2	<0; 5х2+9х-9	4)		2	-°’ Зх2-2х-1
106. Катер должен не более чем за 4 ч пройти по течению реки
22,5 км и вернуться обратно. С какой скоростью относительно
воды должен идти катер, если скорость течения реки — 3 км/ч?
44
107. В одной системе координат построить графики функций и
выяснить, при каких х значения одной функции больше (мень-
ше) значений другой, результат проверить, решив соответствую-
щее неравенство:
1)	у = 2х2,
2)	у = х2 - 2,
3)	у = х2-5х4-4,
4)	у = Зх2 - 2х + 5,
5)	у = х2-2х,
у = 2х2 - Зх 4- 5,
108.
Решить неравенство:
х4 - 5х2- 36
х2 4- х -2
х'+ -4*2" 5 < О;
х2 + 5х + 6
у = 2 - Зх;
у = 1 - 2х;
у = 7 - Зх;
у = 5х + 3;
у = -х2 + х 4- 5;
у = х2 4- 4х - 5.
2<0;
х4 4- х2 - 2
х4- 2х2 — 8
х4- 2х2 - 3
2 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ II
Решить неравенство (1—12).
1. 2х2-8<0.
А) -2<х<2; В) -2<х; С) х>2; D) 0<х<4; Е) -2<х<4.
2. -Зх2 4- 27 > 0.
А) х<3; В) |х|<3; С) х>3; D) 0<х<9; Е) -3 <х<0.
3. Зх2-9>0.
А) х < л/3; В) х > л/3; С) х < -л/з, х > л/З; D) х > 3; Е) х < 3.
4. х2 4- 7х > 0.
А) х>0; В) х>7; С) 0<х<7; D) х<-7, х>0; Е) -7<х<0.
5.	-х24-Зх<0.
А) х > 3; В) х > 0; С) 0 < х < 3; D) -3 < х < 3; Е) х < 0, х > 3.
6.	(х 4- 3)(х - 4) > 0.
А) х<-3,х>4; В) -3<х<4; С) х>4; D) х<-3; Е) 0<х<4.
45
7.	(х - 1) (х + 7) < 0.
А) х>-7; В) -7<х<1; С) х>1; D) х<-7, х>1; Е) -1<х<7.
8.	6х24-5х-6>0.
2	3	2
А) х > -;	С) х < - х >	Е) нет решений.
О	л	О
3	тлч 3	2
В) х с	D) - - < х <
’	2	2	3
9.	-4х2 4- 8х - 3 > 0.
А) х > -; В) х < С) х < D) 1 < х < -; Е) - ? < х <
7	2	7	2	7	2	7 2	2	7	2	2
Ю — - 7х + 1° < о
х2-Зх-10
А) 2 < х < 5;
В) -2< х <5;
С) х^-2, х* 5;
D) -2 < х < 0;
Е) -2 < х < 2.
/+х >0.
-х2+6х-8
А) -1 < х < 0, 2 < х < 4;
В) -2 < х < 4;
С) 0<х<1;
D) -1 < х < 4;
Е) правильный от-
вет не приведен.
А) -2 < х < 3;
С)-1 <х<3;
Е) -1 < х < 6.
В) х<-2;-1<х<1, х>3; D) х^-2, х^З;
13.	Найти сумму всех целых решений неравенства х2 + 6х + 5 < 0.
А) 10; В) 9; С) -9; D) -10; Е) -15.
л?—6х-7
14.	Найти сумму всех натуральных решений неравенства ------------
х “Ь4х~Ь4
А) 29; В) 24; С) 25; D) 28; Е) 27.
15.	Сколько имеется целых значений р, для которых уравнение
х2 + рх + 9 = 0 не имеет корней?
А) 10; В) 8; С) 13; D) 12; Е) 11.
16.	При каких значениях а неравенство ах2 4- 4х 4- 9а < 0 будет
верным при всех значениях х?
А) а <В) а > |; С)а<-1; Б)а>1; Е)-|<а<|.
46
17.	При каком наименьшем значении k уравнение х2 - 2(k 4- 3)х +
+ 20 + k2 = 0 имеет два различных действительных корня?
A) k = 3; В) k = 2; С) k = 1;
18.	При каких значениях k уравнение
тельные корни?
А)	? < k < 2;	С) k <
4	2
В)	| < k < 3;	D) k > 3;
D) k = -2; E) k = -1.
4x-3	, .
----= k +1 имеет отрица-
ла 4~ 2
A > 3; E) -|<fe<3.
19.	При каком значении а неравенство ax2 - 8x - 2 < 0 верно при
всех значениях х?
А) -8 < а < 8; В) а > 8; С) а < 8; D) а < -8; Е) а > -8.
20.	При каких значениях а корень уравнения 4(х 4- 2) = 5 - ах
будет больше -2?
А) а>-4;	С)-4<а<|;	Е)а<-4,а>-|.
В) -- < а < 4;	D) а > а < -4;
2	2
21.	Решить неравенство
А) х<-1,0<х<1;	С)0<х<1; Е)правильныйот-
В) х<-1;	D) ~1<х<1;	вет не приведен.
j
22.	Решить неравенство —— < 2.
А)х<0; В) х > 0; С) 1 < х < 2; D)x<2; Е) х>1.
2	2
х—3
23.	Найти сумму всех целых решений неравенства----< 0.
х+2
А) -3; В) 6; С) 5;	D) 4; Е) -5.
—20
24.	Решить неравенство--------> 0.
х2+11х+24
А) х<-8, х > 5;	В) - 4 < х <-3; С) -4<х< 5;
D) х < -8, -4 < х < -3, х > 5; Е) х < -3, х > 5.
__^.2 _ g
25.	Найти произведение всех решений неравенства —;-----> 0.
х2 +7х + 10
А) 1; В) -1; С) -6;	D) 2; Е) 0.
47
При рассмотрении свойств функции с натуральным показате-
лям отмечалось, что свойство деления степеней
ап : ат = ап~т	(1)
справедливо при п > т и а О.
Если п < т, то в правой части равенства (1) показатель степени
п - т отрицателен или равен нулю.
Степень с отрицательным и нулевым показателем определяют
так, чтобы равенство (1) было верно не только при п > т, но и при
п < т. Например, если п = 2, т = 5, то по формуле (1) получаем:
„2 . „5	„2-5	„-3
CL • CL — CL — CL •
2	9
«	- Л	1
гл •	2	5	**	w	х С другой стороны, а : а° = — = Q	d d	d „	_Ч	1 Поэтому считают, что а = — . а3 । Определение 1. Если а ^0 и п - а-п=—. 	ап Например, 2 3 = — = 1 • (-3)"4 =	; (-0,5)-3 23	8’	(-3)4	81	- натуральное число, то = 1 =	1 = _8 (-0,5)3	0,125
48
Если п = т, то по формуле (1) получаем:
а : а = а = а .
С другой стороны, ап : ап = — = 1. Поэтому считают, что а°= 1 .
Определение 2. Если а* 0, то
а0 = 1.
Например, 3° = 1
Степени с отрицательными показателями уже использовались при
записи чисел в стандартном виде. Например,
0,00027 = 2,7 • Л- = 2,7 • Ю4.
104
Все свойства степени с натуральным показателем справедли-
вы и для степени с любым целым показателем.
Для любых а * 0, Ь Ф 0 и любых целых п и т справедливы
равенства:	ё' g‘	. е* <3	II	«	«	е	,• II	ёв II	11	II g	ё	«	11 в	"	е”4	Л	5	 Ь	8	3	S гН	СЧ	СО	тг	1О
	\Ы Ъп
Докажем, например, справедливость равенства (а&)п = апЬп при
п<0.
Q Пусть п — целое отрицательное число. Тогда п = -k, где k —
натуральное число. Используя определение степени с отрицатель-
ным показателем и свойства степени с натуральным показателем,
получаем:
{аЬТ = (ад)"* = -2- = -±- = А
(ab)k akbk ak
4 — Алгебра, 9 класс
± = a-k b~k =апЬп. •
Ъ*
49
Аналогично доказываются и другие свойства степени с целым
показателем.
Приведем примеры применения Свойств степени с целым пока-
зателем:
1) 4~3.4П . 4^ = 4-З+11-6 = 42 = 16;
\2	-8 (-2)	о2 6	„ ,
= -ттг^ = ?-5- = 9Л4.
I 3“2<f(_2)	Q-4
р 3
3g2
Задача. Упростить выражение а6(а~2 - а 4)(а2 + а3)-1.
JL____1_
а2 а4
2)
Д а6(а 2 - а4)(«2 + а3)1 = а6
1
a2+as
а2-1	1
—	А ' О
а4 а2(1+а)
Упражнения
109. Вычислить:
1) 23 + (-3)3 - (-2)2 + (-1)5;
2) (-7)2-(-4)3-34;
3) 13 • 23 - 9  23 + 23;
4) 6(-2)3 -5(-2)3 -(-2)3.
110. Представить выражение в виде степени с натуральным пока-
зателем:
72-715.	б3-б10 *-5.	а7 2а8Ь3. c3d5c9
)	713 ’	>	54.515 ’•	) a9fe2 ;	) c10d7 •
111. (Устно.) Вычислить:
1) I"5;
/1Y4	/3\-1
2) 4~3;	3) (-10)°; 4) (-5)2; 5) - ; 6) f .
I I	\ * /
112. Записать в виде степени с отрицательным показателем:
»	2)	3)	4) ±.
50
Вычислить (113—114).
113.	1) (—Г3;	3) (0,2)4;
\ 3 /
/ о \~2
2)	(-ц) >	4) (О,5)-5;
5) -(-17)1;
6) -(-13)-2.
114.	1) З1 + (-2)2; 3) (0,2)2 + (0,5)6;
2)	(I) -4 2; 4) (-одГ-ниг3.
115.	(Устно.) Сравнить с единицей:
( к \
1)	123;	2) 21°;	3) (0,6)'5;	4) —
I 19 J
116.	Записать без степеней с отрицательным показателем:
1) (х-^Г2;
2) (х + г/)3;
3)	3&se8;	5) а^е’3;
4)	Эа3^-4;	6) аЬАс\
Вычислить (117—118).
119. Возвести степень в степень:
1)(а3)Л	2) (Ь-2)4;	3) (а 3)7;	4) (Ь7)Л
120. Возвести в степень произведение:
1) (аЬ^2)3;	2) (aV1)4;	3) (2а2)^;	4) (За3)-4.
Выполнить действия:
51
122.	Вычислить значение выражения:
(х Y
1)	(х* 1 21/ 2 - 4i/“2) • — при х = 5, д' = 6,7;
2)	((а2Ь х)4 - а°Ь4): а 2Ь при а = 2, Ь - -3 .
Записать в стандартном виде (123—124).
123.	1) 200 0004;
2) 0,0033;
3) 4000-2;
4) 0,002 3.
124.	1) 0,0000087;
2) 0,00000005086;
125.	Процесс шлифовки стекла заканчивается, когда глубина вые-
мок на его поверхности не превышает 3 • 10 3 мм. Записать
это число в виде десятичной дроби.
126.	Ядро сверхтяжелого водорода существует лишь
0,00 000 000 001 сек. Записать это число в виде степени с от-
рицательным показателем.
127. Размеры вируса гриппа составляют около 10 4 мм. Записать
это число в виде десятичной дроби.
128. Представить дробь в виде степени и найти ее значение при
данном значении а:
129. Вычислить:
1) ((-20)7Г7 : ((-20)-6)8 + 2 2; 2) ((-17) 4) 6 : ((-17) 13)~2 -
Упростить:
1) {а3 + b'A)  (а-2 - б’2)’1 • (а2 - a'b1 + 6’2)1;
2) (azb - ab~2)  (а 2 + a"1#'1 + 6"2)"1.
52
§ 10
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ
НАТУРАЛЬНОЙ СТЕПЕНИ
Известный астроном и математик Самаркандской научной шко-
лы Улугбека Гияс эд-Дин Джамшид аль-Каши определил действие
извлечения корня n-й степени в своем трактате «Ключ арифмети-
ки». Пятая глава этого произведения носит название «Определение
основания степени».
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Решить уравнение х4 = 81.
Д Запишем уравнение в виде х4 - 81 = О или (х2 - 9)(х2 + 9) = 0.
Так как х2 + 9 * 0, то х2 - 9 = 0, откуда х} = 3, х2 = -3. А
Таким образом, уравнение х4 = 81 имеет два действительных
корня х1 = 3, х2 = -3. Их называют корнями четвертой степени из
числа 81, а положительный корень (число 3) называют арифмети-
ческим корнем четвертой степени из числа 81 и обозначают ^/§1.
Таким образом, Vsi = 3.
Можно доказать, что уравнение хп = а, где п — натуральное чис-
ло, а — неотрицательное число, имеет единственный неотрицатель-
ный корень. Этот корень называют арифметическим корнем п-й
степени из числа а.
О
Определение. Арифметическим корнем натуральной
степени п >2 из неотрицательного числа а называется
неотрицательное число, п-я степень которого равна а.
Арифметический корень n-й степени из числа а обозначается
так: >/а. Число а называется подкоренным выражением. Если
п = 2, то вместо %/а пишут 4а.
Арифметический корень второй степени называют также квад-
ратным корнем, а корень третьей степени — кубическим корнем.
В тех случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом
корне n-й степени, кратко говорят: «корень n-й степени».
01 Чтобы, используя определение, доказать, что у[а равен Ь,
I нужно показать, что: 1) Ь > О; 2) Ьп = а.
Например, л/64 = 4, так как 4 > 0 и 43 = 64.
53
Из определения арифметического квадратного корня следу-
ет, что если а > 0, то
(у[а) = a, tfa? = а.
Например, (V7)5 = 7, V13°=13.
Действие, посредством которого отыскивается корень n-й степе-
ни, называется извлечением корня п-й степени. Это действие являет-
ся обратным к возведению в п-ю степень.
Задача 2. Решить уравнение х3 = -8.
Д Это уравнение можно записать так:
-х3 = 8 или (—х)3 = 8.
Обозначим —х = у, тогда у3 = 8.
Это уравнение имеет один положительный корень у = V8 = 2.
Отрицательных корней уравнение у3 = 8 не имеет, так как у3 < 0 при
у < 0. Число у = 0 также не является корнем этого уравнения.
Таким образом, уравнение у3 = 8 имеет только один корень у = 2,
а значит, уравнение х3 = -8 имеет только один корень х = -у = —2.
Ответ: х = -2. Д
Коротко решение уравнения х3 = -8 можно записать так:
х = 4/8 = -2.
О
Вообще, для любого нечетного натурального числа 2k + 1
уравнение х2А +1 = а при а < 0 имеет только один корень, при-
чем отрицательный. Этот корень обозначается, как и ариф-
метический корень, символом: 2к+у[а . Его называют корнем
нечетной степени из отрицательного числа.
Например, V-27 = -3, V-32 = -2.
О
Корень нечетной степени из отрицательного числа а связан
с арифметическим корнем из числа -а = |а| следующим ра-
венством:
2Л + 1/	2k+ 11	I
yja - - <J-a = - +^| a |.
Например, V-243 = -V243 = -3.
54
Упражнения
131.	(Устно.)
1)	Найти арифметический квадратный корень из числа:
1; 0; 16; 0,81; 169; —.
289
2)	Найти арифметический кубический корень из числа:
1; 0; 125; —; 0,027; 0,064.
27
3)	Найти арифметический корень четвертой степени из чис-
ла: 0; 1; 16; —; —; 0,0016.
81 625
Вычислить (132—134).
134. 1) ^64; 2) 4^4; 3) $-£=; 4) ^1024;
4) >/2254.
/fl У6
4)	А ч
VI о I
5)	V-343; 6)
135.	Решить уравнение:
1)	х4 = 81;	2) х5 = -JL;	3) 5х5 = -160;	4) 2х6 = 128.
О 2
136.	При каких значениях х имеет смысл выражение:
1) V2x-3;	2) Vx + 3;
Вычислить (137—138):
137. 1) V-125 + |V64;
О
2) V32 -0,5^-216;
3) -|^/81+^625;
О
3)	^2х1 2 3 - х-1;	4) t/PI?
V 2х-4
4)	>/-1000-1^/256;
5)	V0,0001 - 2^0,25 +
6)	Й£ + ^“0’001"^0’0016-
55
138. 1) 79 + V17 • л/9->/17;
3) (л/б + V21 + л/б - V21) ;
2) (л/з + л/б - л/з -л/б)2;
у/з+у/2	у/З-^2
* л/З-д/2	л/з+л/2 ‘
139.
Упростить выражение:
1) V(x~2)3 при: а)х>2;
б) х < 2;
2) ^(З-х)6 при: а) х < 3;
б) х > 3.
140.
Сколько имеется натуральных чисел п, таких, что
1987 <ч/й< 1998?
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КОРНЯ
Арифметический корень n-й степени обладает следующими свой-
ствами:
Если а > О, b > 0 и п, т — натуральные числа, причем
п > 2, т > 2, то:
В свойстве 1 число Ь может быть также равным 0, в свойстве 3
число т может быть любым целым, если а > 0.
Докажем, например, что tfab = y/a'-i/b.
О Воспользуемся определением арифметического корня:
1) tfatlb> 0, так как а > 0 и Ь > О,
2) (yfas/b) = ab, так как (y[a\lb) = (у[а) (ylb) = ab . ф
Аналогично доказываются и остальные свойства.
Приведем примеры применения свойств арифметического корня.
1) t/27 л/3 = д/27 -3 =	= VF = 3;
56
2)з1^Ё • з/I =	= -• 4) </</4096 = Ш096 = л/217 = 2;
V 625 \ 5 V 625'5 </125 5 ’
3)	= (V57)3 = 53 = 125;
5) (^9)'2=VF = J±=1.
V О А о
(VaV)4
Задача. Упростить выражение v .....,	где а > О, b > 0.
Л Используя свойства арифметического корня, получаем:
)4 _ а3Ь2 _ а3Ь2
У п ражнения '
Вычислить (141—144).
141.	1) </343-0,125;	3) </256 0,0081;
2) </864 216;	4) </32 100000.
142.	1) </б3-73;	2) </ц<з<;	3) </(0,2)5 -8s; 4)	217.
143.	1) </2 • </500; 2) </0J2 • </0,04; 3) </324 • </4;	4) </2 • </16.
144.	1) </310 -215;	2) </23 -56;
145.	Извлечь корень:
1)	</б4х3г6;	2) &W2;
146.	Упростить выражение:
1)	</2а62 • </4а26;
2)	</за263 • </27а26;
Здесь и далее буквами обозначены положительные числа, если нет дополнительных
условий.
57
Вычислить (147—148).
i47-i>®	2)tf=	з)Д 4)О-
148.	1) </324 : </4;	3)	5) (л/20-л/4б): >/б;
2)	</128 : </2000;	4)	6) (</б25-</б): </б.
149.	Упростить выражение:
1)	у/авЬ7 : tfat?;	2) </81х4г/ : %]3ху;
Вычислить (150—152).
150.	1)(М;	2)(^Г;	3)С«®)!;	4) (ЙбГ.
151.1)7^29;	2) 7V1024;	3) 7W Тз7; 4) $25  Тб7.
152. Упростить выражение:
1) (<£Г;	3) (^. </F)e;	5) (TVS)6;
2) (</7)* 3;	4) (</7 - №)12;	6)	.
Вычислить (153—155).
153. 1) ^| • Д:	3)	: ^|;	5) (О?)*;
4)^1Ц:Д;	6)(Ж)‘.
58
Упростить выражение (156—157).
.___	-VsaV
156.1) t/2ab  y/4a2b  </276;	3) ----я==-----;
</3afe
</2xy2
157. 1)	+ (Tvi? )3;	4) ^V2 - (V^7)5 5
2) (Ж)3 + 2(V^)8;	5) (T^V )4 -(V^V )2;
3) 2aA/^V -	;	6) ((V^)5 -
158. Вычислить:
3) (^4-№0 + </25)(^2 + </б);
2) ^-^43 .	4) (з/9+^/б + ^4)(^/3-^2).
59
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Задача 1. Вычислить v5
Д Так как 512 = (53)4, то № = ^(53)4 = б3 = 125. А
____________________	12
Таким образом, ^/б42 = 54.	15
Точно так же можно показать, что а/7 15 = 7 5 .
©Вообще, если п — натуральное число, п > 2, т — целое число
т	л
и частное — является целым числом, то при а > О справед-
ливо следующее равенство:
= а".
О По условию — целое число, то есть при делении т на п в
результате получается некоторое целое число к. Тогда из равенства
= k следует, что т = kn. Применяя свойства степени и арифмети-
ческого корня, получаем:
Если же частное — не является целым числом, то степень
п
т
ап , где а > 0, определяют так, чтобы осталась верной форму-
ла (1), т. е. и в этом случае считают, что
(2)
Таким образом, формула (2) справедлива для любого целого чис-
ла т и любого натурального числа п > 2 и а > 0. Например,
3	5
60
Напомним, что рациональное число г — это число вида —, где т —
целое число, п — натуральное число, т. е. г = —. Тогда по формуле
т	П
(2) получаем ar = ап = y[aF. Таким образом, степень определена для
любого рационального показателя и любого положительного осно-
вания. Если г = — > О, то выражение tfa™ имеет смысл не только
П	I—
при а > 0, но и при а = 0. Если а = 0, то vО'” = 0. Поэтому считают,
что при г > 0 выполняется равенство 0г = 0.
Пользуясь формулами (1) и (2), степень с рациональным показа-
телем можно представить в виде корня и наоборот.
Отметим, что из формулы (2) и свойств корня следует равен-
ство
т mk
ап = апк,
где а > 0, т — целое число, п, к — натуральные числа.
3	6	9
Например, 74 = 78 = 712 •
О
Можно показать, что все свойства степени с натуральным
показателем верны для степени с любым рациональным по-
казателем и положительным основанием. А именно, для
любых рациональных чисел р и q и любых а > 0 и Ь > 0 вер-
ны равенства:
1)	ар а9 = ар+9.	4) (аЬ)р = арЬр,
2)	ар : а9 = ар~9,	5) f-Y = —.
\ь) ьр
3)	(ар)9 = арч,
Эти свойства вытекают из свойств корней.
Докажем, например, свойство ар • а9 = ар+9 .
О Пусть р = —, <7 = 4, где пи/ — натуральные числа, т и k —
п I
целые числа. Нужно доказать, что
т k т k
ап a1 =an l.	(3)
61
Приведя дроби — и - к общему знаменателю, запишем левую
п I
часть равенства (3) в виде
т k ml kn
ап aJ = anl anl •
Используя определение степени с рациональным показателем,
свойства корня и степени с целым показателем, получаем:
т k ml kn ____________	___
„ ni Sni nil ml nllkn
an - a1 — anl  anl = \a  \a =
_____ ________ ml+kn m k
= \laml  akn = y/aml+kn. = a~^~ = a”*"1.•
Аналогично доказываются остальные свойства степени с рацио-
нальным показателем.
Приведем примеры применения свойств степени.
1	3	13
1)	74 . 74 = 74 + 4 _ 7.
2	1	2_1	1
2)	95 : 96 = 9® 6 = 92 = >/9 = 3;
9
/ 1\4	19	3	3	3
3)	116» ' = 162 4 = 16« = (24)4 = 24 z = 23 = 8;
4)	245 = (23  З)5 = 23 з . зз = 4</з^ = 4</9;
1 1 1
( 8	= 83 = (23)3 = 2
5)	I 27 I " 1 " , 1 ” 3 *
V 7	273	(З3)3 х t
Задача 2. Вычислить 25® • 125® .
Д 25® 125® = (25 125)® = (55)5 = 5. А
Задача 3. Упростить выражение
4	4
д а3Ь + ab3 _ аЬ
~~г
4	4
а3Ь + аЬ3
+ *
= ab. А
62
1	7	1	б
— CL^ CL 3
Задача 4. Упростить выражение —---------j- —.
a3 - a3 a3 + a 3
1	7	1 5	1	1
д a’ - a3	a 3 - a3	_	a3(1 - a2)	a 3(1 - a2) _
“T Z	2 ЗГ	~ 1	Z1
a3 - a3	a3 + a 3	a3 (1 - a)	a 3(1 + a)
= l + a-(l~a) = 2a. A
Покажем, как можно ввести степень с иррациональным пока-
зателем, например, З^2. Выпишем последовательно приближенные
значения л/2 с точностью 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. Получим последо-
вательность:
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ... .
Запишем последовательность степеней числа 3 с этими рацио-
нальными показателями:
Можно показать, что эти степени являются последовательными
приближенными значениями некоторого действительного числа, кото-
рое обозначают З^2:
З1’4 = 4, 6555355,
З1-41 = 4/7069644,
З1-414 = 4,7276942,
З1-442 = 4,7287329,
3/2 «4,7288033.
Аналогично определяется степень аь с положительным основа-
нием а и любым иррациональным показателем. Таким образом,
теперь степень с положительным основанием определена для любо-
го действительного показателя, причем свойства степени с действи-
тельным показателем такие же, как и свойства степени с рацио-
нальным показателем.
63
Упражнения
160.	(Устно.) Представить в виде степени с рациональным показа-
телем:
1) л/х*;
3)
4)
5)
2) </?*;
6) VF.
161.	(Устно.) Представить в виде корня из степени с целым показа-
телем:
1	2	5	1	t
1)	х4;	2) у3',	3) а'*;	4) ь~з. 5)(2х)5; 6) (ЗЬГ
Вычислить (162—165).
112	3
162.	1) 642 ;	2) 273;	3)	83;	4)	814;	5)	16“°-75;	6) 91'5.
163.	1) 23 • 2Т;	3)	93 : 93;	5)	(7~3Р ;
2	5	1	5	/	1 X-4
2) 57-57;	4)	43:46;	6)	(в12) .
22	22	3	3	3	3
164.	1) 95 275;	2) 73 493;	3) 1444 : 94;	4) 1502 : 62.
сс|ьэ
У-и,75	/ - х-
—	+1- 3;
16/	\8/
2
2)	(0,04) 15 -(0,125) 3;
9	2	6	4
3)	87 :8?-35 -З5;
4)	(б’3) +((О,2Н) .
166. Найти значение выражения:
1) х/а у[а при а = 0,09;
2) х/б : у/b при& = 27;
3) —— при & = 1,3;
4) у[а -у/а  1\[а^ при а = 2,7.
167. Представить в виде степени с рациональным показателем:
1) а3 • \/а;
1 1
2) Ь2 • Ь3 • V&;
3)	:66;
4) а3 : </а;
5) х1,7 • х2,8 : х/х8;
6)	: у'2'3  77-
64
Упростить выражение (168—169).
168. 1) U4)’4 G>’3) ;
1
4 i 2
1*9. 1)
а4(а4 + а 4)
2) —-----------;
&3($>-ViF)
170. Вычислить:
I 5	1	5	1\
1) (23 -3 3 -З3 -2 3L</б;
171. Упростить выражение:
1) afylatfa;
5	1
а36-1 - ab 3 '
зЛТ з/Гг- ’
\1а — \Ь
2)
3) (VoiF + (ab)« )VaF;
4) «/а + </б)(а3 + 63 - х/аб);
Упростить выражение (172—174).

(а3 +(>"
5 - Алгебра, 9 класс
4)
2)
а3>/б + b3yfa
Ча + ЧЬ
1	3	1	3\
,54 :24 -24 :54/-3/1000.
5)-Рг;
Х2+у2
yfa-Jb .
6) 1 1 >
a4-b4
1 1
7)	т2+п2	.
m+2-Jmn+n'
1
Q4 с-2с2+1
о) —7—— •
л/с-1
1	9	1	3
а4 - а4	Ь 2 -&2
3) ~I	г 1 2Т ’
а4 - а4 62 + Ь 2
65
173.
2а2 - 4а&.
а-Ь
Зху - у2 уу[у yjx .
х-у y/x-yfy yfx+Jy’
174. 1)
а+Ь
“I	Г»
а3 + 63
а+Ь	а-Ь
~2	1 1 Г 2	1 1	2~’
а3 - а363 + Ь3 а3 + а363 + Ь3
§ 13
ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
ЧИСЛОВОГО НЕРАВЕНСТВА
В четвертом параграфе главы III учебника «Алгебра» для 8-го
класса было доказано, что при умножении неравенств одинакового
знака, у которых левые и правые части положительны, получается
неравенство того же знака.
О| Отсюда следует, что если а>Ь>Оип — натуральное число, то
I ап>Ъп.
О По условию а > О, Ь > 0. Перемножая п одинаковых неравенств
а > Ъ, получаем ап > Ъп. ф
<3 V
Задача 1. Сравнить числа (0,43)5 и I - I .
Д Так как - = 0,428 с точностью до 0,001, то 0,43 > - . Поэтому
(0,43)5 >
66
9
Неравенство, у которого левая и правая части положительны,
можно возводить в любую рациональную степень:
если а:	>Ь'	>0,	г '	>0,	то	ar > Ьг ,	(1)
если а ;	>Ь'	>0,	г<	:0,	то	ar < Ьг.	(2)
Докажем свойство (1).
О Докажем сначала, что свойство (1) верно при г = — , а затем в
п
g,	m
общем случае при г = —.
п
а)	Пусть г = i, где п — натуральное число, большее 1, а > О, b > 0.
П	1	1
По условию а > Ь. Нужно доказать, что ап >Ъп . Предположим, что
I I
это неверно, т. е. ап <Ьп . Но тогда, возведя это неравенство в нату-
ральную степень п, получим а < b, что противоречит условию а > Ь.
1 1
Итак, из а > & > 0 следует, что ап >Ьп .
б)	Пусть, г = —, где тип — натуральные числа. Тогда по доказан-
п 11
ному из условия а > b > 0 следует, что ап > Ьп. Возведя это неравенство
/ 1 Хт ( 1 \т	т т
в натуральную степень т, получим j	те ап >Ьп Ф
2	2	3 з’
Например, 57 > З7 , так как 5 > 3; 24 < 44, так как 2 < 4;
v7 > уб , так как 7 > 6.
Теперь докажем свойство (2).
О Если г < 0, то -г > 0. По свойству (1) из условия а > & > 0
следует, что a~r > Ь~г . Умножая обе части этого неравенства на по-
ложительное число arbr, получаем Ьг > аг, т. е. ar < Ьг. ф
Например, (0,7) 8 < (0,6) 8, так как 0,7 > 0,6; 13~0,6 > 15~0,6, так
как 13<15; \/8-3 > tfr*, так как 8 > 7.
В курсе высшей математики доказывается, что свойство (1) спра-
ведливо для любого положительного действительного числа г, а свой-
67
ство (2) — для любого отрицательного действительного числа г. На-
f 7 V3	8 7	f7V®	feV®	7	6
пример, — > - .таккак —>—;	-	< -	, таккак->-.
I *7 / I О J	*70	I О /	\ I I	О	•
Отметим, что рассмотренные свойства возведения в степень стро-
гих неравенств (со знаками > или <) справедливы и для нестрогих
неравенств (со знаком > или <).
О Итак, если обе части неравенства положительны, то при возве-
дении его в положительную степень смысл неравенства со-
храняется, а при возведении в отрицательную степень смысл
неравенства меняется на противоположный.
Напомним, что для строгих неравенств противоположными счи-
таются знаки > и < , а для нестрогих — знаки > и < .
1	1	^5
Задача 2. Сравнить числа: 1) (—] ’ и (—1 3; 2) (-1 и (О.вб)^.
\18/	\17/	\7/
Д 1) Так как — < 1 и — > 1, то — < — . Возведя это неравенство
1о	17	18	17
. 1 1
I	/171 я /18\ я
в отрицательную степень g J, получим 1 — 1 > 1 — 1 .
2. Сравним основания степени. Так как ® = 0,857... то у < 0,86.
Возведя это неравенство в положительную степень V2, получим
г-
(-1 < 0,86Л. ▲
\7/
Задача 3. Решить уравнение 10х = 1.
Д Число х = О является корнем этого уравнения, так как 10° = 1.
Покажем, что других корней нет.
Запишем данное уравнение в виде 10х = Iх .
Если х > 0, то 10х > Iх и, следовательно, уравнение не имеет поло-
жительных корней.
Если х < 0, то 10х < Iх и, следовательно, уравнение не имеет отри-
цательных корней.
Таким образом, х — 0 — единственный корень уравнения
10х = 1. ▲
68
Аналогично доказывается, что уравнение ах = 1, где а > 0, а Ф 1,
имеет единственный корень х = 0. Отсюда следует, что равенство
ах=а%	(3)
где а > 0, а * 1, верно только при х — у.
Q Умножая равенство (3) на a~v, получаем ax~v = 1, откуда
х =/Л ф
Задача 4. Решить уравнение З2*-1 = 9.
Д З2*-1 = З2, откуда 2х - 1 = 2, х = 1,5. Д
Рассмотрим уравнение ах = Ь, где а > 0, а Ф 1, b > 0.
Можно доказать, что это уравнение имеет единственный корень
х0. Число х0 называют логарифмом числа Ь по основанию а и обо-
значают logofe» Например, корнем уравнения 3* = 9 является число
2, т. е. log„9 = 2. Точно так же log, 16 = 4, так как 24 = 16; log5 i = -1,
1	<1Т3
так как 5 1 = - ; logi 27 = -3, так как 1-1 = 27.
5	3	к37
Логарифм числа b по основанию 10 называют десятичным лога-
рифмом и обозначают 1g Ь. Например, 1g 100 = 2, так как 102= 100;
1g 0,001 = -3, так как 10 я = 0,001.
Упражнения
175. (Устно.) Сравнить числа:
11 -1-1
1) 23 и З3;	2) 5 5 и 3’;
4) 21 и 31<2.
3) 54'3 и 74'3;
176. Сравнить числа:		
1) (о,88)ё и (y06;	3) (4,09)^ и (	4—1 ; , 25/
2) (Й) " И (0’41) ;	.. /и/12 4) — и — \12/	\13	
177. Решить уравнение:		
1) 62х = 63;	3) 71~3х =	= 710;	5)424	Х=1;
		4х-3
2) 3х =27;	4)22х + 1	= 32;	6) У	1	=5.
69
178. Сравнить числа:
н 1	1\3 *	1/1 1\3
Решить уравнение (179—180).
—х—1	3——w
179. 1) 31 2 //= 27; 2) З52* = 1; 3) 92	-3 = 0; 4) 27 3 -81 = 0.
/ . \2x-5
180. 1)	= 35*-8;
3) 8*4*+13 = —;
'	16
2) 24*’9
27;
181. 1)^у‘ = (з^)*;
2)(®‘"=(йГ:
182. Вычислить:
3)
= 43ж-2л/2
1) log7 49;	2) log2 64;
3) logi 4;
2
4) loga^.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Вычислить (183—184).
4
183. 1) (0,175)°+(0,36)-2-I3;
1
2) 1 -Р’43 -(0,008)3 + (15,1)°;
184. 1) 9,3 • 10 е : (3,1 • 10 5);
2) 1,7-1 O-e-3-lO7;
з> (1Г~Ш’+4 -з7в“;
1	/2\2
4) (0,125)з+ - -(1,85)°.
\4 /
3) 8,1 • 1016 • 2 • 1014;
4) 6,4 • 105: (1,6 • 107);
70
I	1	/1 \-2 /1 \3 / 1
5) 2 10'1 + 6°-|| -(I) •||| • --I 5
\	6/ \3/ \3/ \ 4/
I 1 У"1 / i \-3 / , \4 z-i-1
6) 8-10'1 -|8°-i) -I—)	| -I-) .
\	8/ \4/	\4/ \7
185. Найти значение выражения:
/ , С V-2
1)
хз.хб
2)
X®
Vх 7
186. Упростить выражение:
f 2	1
дЗ . д9
2
а 9
при a = 0,1.
1) (^/125х-</8х)-(^27х-л/б4х);
4) | 1-
при х =
187. Решить уравнение:
1) 75ж-1=49;
Зх+З
= 72ж
2) (0,2)lx = 0,04;
188. Вычислить:
1) |_L)	+ЮООО0,26
4) 36x 7 =
1Г
з/
2
3) 273 -(-2)-2 +
1 -11
2) (0,001) 3 -2’2 -643 -8 3
-1-
1 2
4) (-0,5Г4 * -625-
189. При каких значениях х имеет смысл выражение:
4;
3) Й—;
7 Vx+3
2) Vx2 -5x + 6;
4) y/x2 - 5x + 6;
6) Vx3 - 5x2 + 6x ?
71
Проверьте себя!
1.	Вычислить:
1)	З5:3 7 - 2“2-24+ (I)	;	2) ^310-32-
у\3/ )	л/2 • V3
3	2	2	2
3)	252 • 25-1 + (б3)3 : б3 - 483 : 63.
2.	Записать числа в стандартном виде и выполнить их умно-
жение и деление: 8600 и 0,0078.
3.	Упростить выражение:
.. Зх~9-2<	( 1 Y2
1)	•' 14 , ;	5	2) (х + у Э —	.
X	°	I ху I
а3	4	7
4.	Упростить выражение-------и найти его числовое значе-
ние при а = 81. Vo2"  а4
2	2	1	_1
5.	Сравнить числа: (0,78)3 и (0,67)3; (3,09) 3 и (3,08) 3.
190. Упростить выражение: 1	7		5	13
а4 — а 4		Ь4 + 2b4 + Ь 4
1)1	3 ’ а4 - а 4	3)	1 Л + СФ I я*
4	2		3	4
а3-а 3 .		a4b~2-a~2b3
2) 1	2 ’ а3 - а3	4)	_5	5 а 3Ъ'2 -Ь За~2
? ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ III
3 1	1 3
а4Ь 4-а 4Ь4
6) 11	11"
а4Ь 4+а 4Ь4
Вычислить (1—13).
1. (-8)2-<-5)8-(12)"1 -
А) 188||; В) -61 ±; С) 189±; D) 61-L; Е) 188 4
JL/-1	JLZ	*"	Л-4
2. (-0,2) 3 + (0,2)2 - (-2)~2.
A) -150i; В)-100^; С) 99-; D) 11,25; Е)-149,75.
72
A) </2; В) 1;
С) -1;
D> I’
Е) 7л/2.
4.	+4,15-1,61.
А) 3,4; В) 5,76; С) 24;
D) 2,4;
Е) 2,6.
teog/^oie)-, 8	16
V 4,096
А) 0,064; В) 4,096; С) 1,6;	D)0,8;
Е)0,16.
6.	\/2>/2 + 1-^9-4>/2.
A)	V7; С) 3 - 2-^2; Е) правильный ответ не приведен.
В)	2-715; D) 7;
7.	^2->/3-^7 + 4>/з.
А)-1;	В) 1;	С) 3 + 2>/3; О)5 + ЗТЗ; Е) 3~2л/3.
8-	Й + >/2 -^3-2>/2.
A) 3-72;	В)-1;	С) 1;	D) 2^2;	Е)2-Т2.
q ^45-29^ (3-V2)
*7- ...  /“---•
11-6V2
А)	5 - 72;	С) -1;	Е) правильный ответ не приведен.
В)	5^2; D) 1;
10.	л/Тб4.
А) 8;	В)	С) 2^2;	D) -2;	Е) 2.
11.	(ЫТё.
А) 2;	В) -2;	С) 4^2;	D) 8;	Е)
73
12.	\/-4 </8.
А) 2; В) -2; С) V=4; D) V§2; Е) ^4.
^98-^-112
АО, """" о/ 1 1"	•
^500
А)-^4; В) 2,84; С)-2,8;	D)-l,4; Е) х/4.
14.	Найти числовое значение выражения 4а : 4а при а = 125.
А)-25; В) 15; С)-5; D) 5; Е) 25.
15.	Найти числовое значение выражения 4а  4а при а = 0,04.
А) 0,08:	В)	С) 0,4; D) -0,2; Е) 0,2.
2
,	4 ( Л) 3
16.	Упростить выражение (а5) 6 • \6 4/ .
1 1
А) а’4 -Ь2;	В) а4 • Ь2; С) а5 62; D) а-5 6"2; Е) а 4 • Ь2.
17.	Упростить выражение (4а - 4b)  (а3 + 4аЬ + Ь3).
А) а 4-5;	В)а-Ь;	С)а3 + 63; D)a3-63;	Е) (а + б)3.
18.	Упростить выражение ( | i ): I 4- + 4- - 2 I.
\а3 -Ъ3/ \Уь Na )
А)	В) Й + С)	D)	Е)
/ 7 \4	-1
19.	Сравнить числа а = 1 — 1 и Ь = (0,58) 4.
A)6 = a + 0,5; B)a = 6 + 0,8; С) Ь < a; D) 5>а; Е)Ь = а.
г~	/ю
20.	Сравнить числа а = (3,09)v2 и 6 = 13—I .
А) 6 = a -0,09; В) a = 6 - 0,09; С) а > b; D) a = 6; Е) a < 6.
74
21.	Расположить числа а = а/2, Ь = V3, с = у/7 в порядке воз-
растания.
А)	с < а < Ь;	С) b <а < с;
В)	с <Ь < a;	D) а < Ь < с;
Е) Ь < с < а.
22.	Расположить числа а = ^2, b = а/з, с = $5 в порядке убыва-
ния.
А)	а > Ь > с;
В)	Ь > с > а;
С)	с > а > Ь;
D)	Ь > а > с;
Е)	с > Ь > а.
Исторические сведения
Степень с рациональным показателем введена И. Ньютоном.
Понятие степени а“, а > 0 для произвольного действительного
а дано Л. Эйлером в его книге «Введение в анализ».
Абу Райхан Веруни в своем сочинении «Канон Масуда» пи-
сал: «отношение длины окружности к ее диаметру является ир-
рациональным числом».
Уже в Древней Греции было доказано, что «диагональ квадра-
та со стороной, равной 1, не может быть выражена рациональным
числом».
В V-IV вв. до н. э. античные ученые доказали, что число Vn
является иррациональным числом для любого натурального числа
п, не являющегося точным квадратом.
В своем трактате «Ключ арифметики» аль-Каши предложил
общий метод извлечения корня из натурального числа. Корень
л/ап + г он выражал приближенной формулой >/ап + г ~
~ а ч--------, где а — натуральное число и г < (а +1)" - а" .
(а+1) -ап
Для нахождения более точного значения корня аль-Каши пред-
„/г; ^iomnJV
лагал умножать на соответствующую степень 10:	= ———.
Для извлечения корня из дроби использовалась формула
\~N =----N---' НарядУ С этим аль-Каши предлагал формулу
для произведения корней с разными степенями:
= ktfak  bn.
75
Глава IV
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
V=xa
x = Kv
S = пг2
x = V3
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
Если каждому значению х из некоторого множества чисел
поставлено в соответствие число у, то говорят, что на этом
множестве задана функция у(х). При этом х называют неза-
висимой переменной или аргументом, ay — зависимой
переменной или функцией.
Вы знакомы с линейной функцией у = kx + Ъ и квадратичной
функцией у = ах2 + Ьх + с.
Для этих функций значение аргумента может быть любым
действительным числом.
Рассмотрим теперь функцию, которая каждому неотрицатель-
ному числу х сопоставляет число -Jx , т. е. функцию у = у!х . Для
этой функции аргумент моЖет принимать только неотрицательные
значения: х > 0. В этом случае говорят, что функция определена на
множестве всех неотрицательных чисел, и это множество называют
областью определения функции у = 4х .
I Вообще областью определения функции называют множе-
ство всех значений, которые может принимать ее аргумент.
Например, функция, заданная формулой у = -А. , определена при
х * 0, т. е. область определения этой функции — множество всех
действительных чисел, отличных от нуля.
76
Если функция задана формулой, то принято считать, что она
определена при всех тех значениях аргумента, при которых
эта формула имеет смысл, т. е. выполнимы все действия, ука-
занные в выражении, стоящем в правой части формулы.
Найти область определения функции, заданной формулой, — это
значит найти все значения аргумента, при которых формула имеет
смысл.
Задача 1. Найти область определения функции:
1) У(х) = 2х2 + Зх + 5;
2) у(х) = у/х-1 ;
3>^х) = 772;
4) у(х) = ^.
V л- —
Д 1) Так как выражение 2х2 + Зх + 5 имеет смысл при любом х,
то функция определена при всех значениях х.
Ответ: х — любое число.
2)	Выражение Vx-1 имеет смысл при х-1 > 0, т. е. функция
определена при х > 1.
Ответ: х > 1.
3)	Выражение у(х) = имеет смысл при х + 2 * 0 , т. е. функ-
ция определена при х * -2.
Ответ: х * -2.
4)	Выражение имеет смысл при > 0 . Решая это нера-
венство, получаем (рис. 28): х < -2
или х > 2, т. е. функция определена	। /щшш*
при х < -2 и при х > 2.	-2 О 2
Ответ: х < -2, х> 2. Ж	Рис. 28
Напомним, что графиком функции называется множество
всех точек координатной плоскости, абсциссы которых рав-
ны значениям независимой переменной из области опреде-
ления этой функции, а ординаты — соответствующим зна-
чениям функции.
77
Задача 2. Найти область определения и построить график
функции у = |х| .
А Напомним, что
х, если х > О,
-х, если х < 0.
Таким образом, выражение |х| имеет смысл при любом действи-
тельном значении х, т.е. областью определения функции у = |х| яв-
ляется множество всех действительных чисел.
Если х > 0 ,то |х| = х, и поэтому при х > 0 графиком функции
у = |х| является биссектриса первого координатного угла (рис. 29).
Если х < 0, то |х| = -х, т. е. для отрицательных х графиком
функции у = [х] является биссектриса второго координатного угла
(рис. 30).
График функции у = |х| изображен на рис. 31. А
Заметим,что |- х| = |х| для любого х, поэтому график функции
у = |х| симметричен относительно оси ординат.
78
Задача 3. Построить график функции у = |х - 2| -1.
Л График функции у = |х - 2| получается из графика функции
у = |х| сдвигом вдоль оси Ох на 2 единицы вправо (рис. 32).
Для получения графика функции у - |х - 2| - 1 достаточно сдви-
нуть график функции у = |х - 2| на единицу вниз (рис. 33). А
Упражнения
191. Функция задана формулой у(х) = х* 1 2 - 4х + 5.
1) Найти z/(~3), i/(-l), 1/(0), у(2);
2) Найти значениех, если у(х) = 1, у(х) = 5, у(х) = 10, у(х) = 17.
192. Функция задана формулой у(х) =	.
1) Найти у (-2), у(0), у (|), у(3).
2) Найти значение х, если у(х) = -3, у(х) = -2, у(х) = 13,
У(х) = 19.
Найти область определения функции (193-194).
193. (Устно).
1) у = 4х2 - 5х + 1;	4) 2/ = —Ч-; 5-х
2) у = 2-х-3х2;	5) у = V6 - х ;
3)F = ^:	
194.	= х-2х-3 2)у = ^1х2 -7х + 10 ;	3) у = \/Зх2-2х + 5; V о X
195. Функция задана формулой у(х) = \2-х[-2.
1) Найти у(-3), у(-1), у(1), у(3).
2) Найти значение х, если у(х) = -2, у(х) = 0, у(х) = 2, у(х) = 4.
79
196. Найти область определения функции:
D V =	к\ и _ 81х2+4х-5 . 7 v V х-2	’
2) y = V(*-l)(x-2)(x-3);	6) у = ylx +V1 + X ;
3) у = * V1+х	7) у = V- х + Vx + 2 ;
4) у = 7(х + 1)(х-1)(х-4);	8) у = v V x+l
197. Принадлежит ли точка (-2; 1) графику функции:
1) у = Зх2 +2Х + 29; 2) у = |4 - Зх| - 9;	з) */= 4) у = |л/2 - х - б| - 2 ?
Построить график функции:
1)у = |х + 3| + 2;	3) у = 2|х| +1;	5) у = |х| + |х - 2|;
2)у = -|х|;	4) у = 1-11- 2х|; 6) у = |х +1| - |х|.
График функции у = ах2 +Ьх + с проходит через точки А (0; 1),
В(1; 2), С(|; 1).
1)	Найти а, Ъ, с.
2)	При каких значениях х у(х) = 0?
3)	Построить график функции.
____________________________________________
iWH ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Вы знакомы с функциями у = х и у = х2. Эти функции являются
частными случаями степенной функции, т. е. функции
y = xr,	(1)
где г — заданное число.
Пусть г — натуральное число, г = п = 1, 2, 3, .... В этом случае
получим степенную функцию у = хл с натуральным показателем.
Функция у = хп определена на множестве всех действительных
чисел R, т. е. при х е R. Если в формуле (1) г = -2k, keN, приходим
80
к функции у - х 2к = -L. Эта функция определена при значениях х,
отличных от нуля. Ее график симметричен относительно оси Оу.
Если r=-(2k-1), keN, приходим к функции у = х (2к '} =	. Свой-
ства функции у = х(2/г1) = * аналогичны свойствам функции
* * 1
уПусть р и q — натуральные числа и г =	— несократимая
дробь. Область определения функции у = у[х? зависит от четности
З/ 9*	Ч/—
р и q. Например, функции у = \х , у = \х определены для любого
х g R. Функция у = Vi? определена при неотрицательных значени-
ях х, т. е. при х > О.
Из курса алгебры 8-го класса известно, что алгебраические опе-
рации над иррациональными числами определяются таким обра-
зом, чтобы свойства этих операций над рациональными числами пол-
ностью сохранялись и для иррациональных чисел. Так как для каж-
дого иррационального числа можно найти его приближение рацио-
нальным числом с любой степенью точности, то на практике дей-
ствия над иррациональными числами заменяются действиями над
их рациональными приближениями.
Пусть г\,г2, ...,Гк,- —рациональные приближения иррациональ-
ного числа г. Тогда, если х — положительное число, то числа
ха, х^, ... , хГк, ... будут последовательными рациональными при-
ближениями некоторого действительного числа, которое называет-
ся степенью с иррациональным показателем г и обозначается хг •
Таким образом, при х > О можно определить функцию у = хг с
произвольным действительным показателем г.
Степенная функция определена для тех значений х, при которых
формула (1) имеет смысл. Например, областью определения функ-
ций у = х и у = х2 (г = 1 и г = 2) является множество всех действи-
тельных чисел; областью определения функции у = — (г = -1) явля-
х
ется множество всех действительных чисел, не равных нулю; облас-
.	Г t 1 ч
тью определения функции у = vх (г = -) является множество всех
неотрицательных действительных чисел.
6 - Алгебра, 9 класс	81
О Напомним, что функция у(х) называется возрастающей на
некотором промежутке, если большему значению аргумента
соответствует большее значение функции, т. е. для любых
х1,х2, принадлежащих данному промежутку, из неравенства
х2> Xi следует неравенство у(х2) > y(xt).
Функция у (х) называется убывающей на некотором проме-
жутке, если для любых хг, х2 принадлежащих данному проме-
жутку, из неравенства х2 > хг следует неравенство у(х2) < yix^.
Например, функция у = х возрастает на числовой оси, функция
у = х2 возрастает на промежутке х > О и убывает на промежутке х < 0.
Возрастание или убывание степенной функции у=хг зависит
от знака показателя степени г.
О| Если г > 0, то степенная функция у = хг возрастает на
I промежутке х > 0.
О Пусть х2 > хг > 0. Возводя неравенство х2 > хг в положитель-
ную степень г, получаем х2 > х[, т, е. у(х2) > y(Xj). ф
з
Например, функции у = Vx и у = х2 возрастают на промежутке
х > 0 . Графики этих функций изображены на рисунке 34. Из этого
рисунка видно, что график функции у = Vx на промежутке 0 < х < 1
лежит выше графика функции у=х, а на промежутке х > 1 — ниже
графика функции у = х.
Таким же свойством обладает график функции у - хг, если
0 < г < 1.
82
3
График функции у = х% на промежутке О < х < 1 лежит ниже
графика функции у = х , а на промежутке х > 1 — выше графика
функции у = х.
Таким же свойством обладает график функции у = хг, если г > 1.
Рассмотрим теперь случай, когда г < О.
01
Если г < О, то степенная функция у = хг убывает на проме-
жутке х > 0.
О Пусть х2 > х( > 0. Возводя неравенство х2 > х( в отрицательную
степень г, по свойству неравенств, у которых левая и правая части
положительны, получаем хг2 < х[, т. е. у(х2)<у(х1). ф
Например, функция у =
4=, т. е. у = х 5
J х
убывает на промежутке
х > 0. График этой функции изображен на рисунке 35.
з
Задача 1. Решить уравнение х4 =27.
з
Л Функция у = х4 определена прих > 0 . Поэтому данное урав-
нение может иметь только неотрицательные корни. Один такой ко-
рень есть: х = 27® =	= З4 = 81 . Других корней нет, так как
функция у = х4 возрастает при х > 0, и поэтому если х > 81, то
2	з
х4 > 27, если х < 81 ,то х4 < 27 (рис. 36). Д
83
Аналогично доказывается, что уравнение хг = Ь, где г О,
1
Ъ > О всегда имеет положительный корень х - Ьг, причем
только один. Следовательно, функция у = хг, где г > 0, при
х > 0 принимает все положительные значения.
Это означает, например, что, несмотря на медленное возрастание
з
функции у = х4 (рис. 36), ее график как угодно далеко удалится от
оси Ох и пересечет прямую у-b, каким бы ни было положительное
число Ь.
Задача 2 . Доказать, что функция у - х + - возрастает на про-
межутке х > 1.
Д Пусть х2 > л, >1. Покажем, что у (х2) > у(х^. Рассмотрим раз-
ность у (х2) - у (х,):
У(х2)~у(хг) = х2 + -L-(хх + -г) = (х2 -Х1)***2
х2	Х1	Х1Х2
Так как х„>х,, х, > 1, х„> 1, тох„-х, >0, х,х„>1, х,х„>0. Поэтому
Z 1	1	&	£ L	1 Li	L Z
У(х2)-у(хг)>0, т. е. у(х2)>у(х1). ▲
Упражнения
200.	Построить график функции и найти промежутки возраста-
ния и убывания функции:
1)	j/ = 2x + 3;	3) у = х2+2;	5) у = (1 -х)2;
2)	j/ = l-3x;	4) у = 3-х2;	6) у = (2 + х)2.
201.	(Устно.) Возрастает или убывает на промежутке х > 0 функ-
ция:
3	3
l)j/ = x7;	2)у = х4;	3)z/ = x^; 4)у = х'/2?
202.	Нарисовать эскиз графика функции при х > 0:
3	2	3	2
1)	у = х2; 2) у = х* ;	3) у = х 2;	4) у = х ®.
84
203.	Найти положительный корень уравнения:
1-1	5
1)	X* 1 2 = 3;	3) X 2 = 2;	5) X6 = 32;
1	-1	4
2)х4=2;	4)х4=2;	6) х 5 = 81.
204. Построить на
\Гх. Найти
У =
миллиметровой бумаге график функции
по графику приближенно:
1) значения х, при которых i/ = 0,5; 1; 4; 2,5;
2)	значения л/1^5; V2; ^/2,5; V3 .
206.
205. Найти координаты точки пересечения графиков функций:
4	3
1) у = х3 и у = 625;	3) у = х2 и у = 216 ;
S	I
2) у = х5 и у = 64;	4) у = х3 и у = 128 .
Доказать, что функция:
1) у = х +1 убывает на интервале 0 < х < 1;
2) У = убывает на промежутке х > 0 и возрастает на
х2 +1
промежутке х < 0 ;
3) у = х3 - Зх возрастает на промежутках х < -1 и х > 1, убы-
вает на отрезке -1 < х < 1;
4) у = х - 2-Jx возрастает на промежутке х > 1 и убывает на
отрезке 0 < х < 1.
| Построить график и найти промежутки возрастания и убы-
вания функции:
х + 2, если х < -1,
D 2
х , если х > -1;
х2, если х < 1,
2> У~\ z
2 - х , если х > 1.
207.
85
§ 16
ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ФУНКЦИИ
Вы знаете, что графики функций у = х2 и у = |х| (рис. 37 и 38)
симметричны относительно оси ординат. Такие функции называют
четными.
Функция у(х) называется четной, если
у(~х) = у(х)
для любого х из области определения этой функции.
Например, функции у = х* и у = — — четные, так как (х)4 = х4
х2
для любого X И - х-„ = 4т- для любого х # 0.
(—х)2 х2
Задача 1. Построить график функции у = х3.
Д 1) Область определения функции у - х3 — множество всех
действительных чисел.
2)	Значения функции у = х3 положительны при х > О , отрица-
тельны при х < О ; у = О при х - О .
3)	Докажем, что график функции г/=х3 симметричен относительно
начала координат.
О Пусть точка (х0; у{) принадлежит графику функции у = х3, т. е.
у0 = х„. Точка, симметричная точке (х0; у0) относительно начала ко-
ординат, имеет координаты (-х();-г/()). Эта точка также принадлежит
графику функции у = х3, так как умножая обе части верного равен-
ства у0 = х3 на -1, получаем - у0 = ~х3, или -у0 = (~х0)3 . ф
86
Это свойство позволяет для построения
графика функции у = х3 построить сначала
график для х > О, а затем отразить его сим-
метрично относительно начала координат.
4)	Функция у = х3 возрастает на всей об-
ласти определения. Это следует из свойства
возрастания степенной функции с положи-
тельным основанием при х > 0 и симметрии
графика относительно начала координат.
5)	Составив таблицу значений функции
у=х3 для некоторых значений х > О (напри-
мер, х=0,1, 2, 3), построим часть графика для
значений х > 0 и затем с помощью симмет-
рии — ту его часть, которая соответствует
отрицательным значениям х (рис. 39). Д
Функции, графики которых симметричны
относительно начала координат, называются
нечетными. Таким образом, у=х3 — нечет-
ная функция.
XX Функция и(х) называется нечетной, если
для любого х из области определения этой функции.
Например, функции у = х5, у =	— нечетные, так как (-х)5=-х5
о
X
для любого X И —= - Д- для любого X 0.
(-х)3 х3
Отметим, что и у четной, и у нечетной функции область опреде-
ления симметрична относительно начала координат.
Существуют функции, которые не обладают свойствами чет-
ности или нечетности. Например, покажем, что функция у = 2х +1
не является четной и не является нечетной. Если бы эта функция
была четной, то равенство 2(-х)+1 = 2х +1 выполнялось бы для всех
х, но при х = 1 это равенство неверно: -1^3. Если бы эта функция
была нечетной, то тогда при всех значениях х выполнялось бы ра-
венство 2(-х) + 1 = -(2х + 1), но, например, при х = 2 это равенство
неверно: -3 -5.
87
Задача 2 . Построить график функции у = Чх .
Л 1) Область определения — все действительные числа.
2)	Функция является нечетной, так как V- х = -%Гх рля. любого х.
3)	При х > 0 функция возрастает по свойству возрастания сте-
пенной функции с положительным показателем, так как = хз
при х > 0.
4)	При х > 0 значения функции положительны; i/(0)=0.
5)	Найдя несколько точек, принадлежащих графику, например,
точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), построим часть графика для значений х > 0
и затем с помощью симметрии — часть графика для значений х < 0,
(рис. 40). Д
Отметим, что функция у = Vx определена при всех х, а функция
у = х® только при х > 0.
Упражнения
Выяснить, является ли функция четной или нечетной (208—209).
208.	1)	у = 2х4;	2)j/ = 3x5;	3)j/ = x2+3;	4)^	= х3-2.
209.	1)	у = х-4;	3)у = х4+х2;	5)j/ = x2-x +	l;
2)	У = X-3;	4) У = X3 + X5;	6) у =	.
210.	Построить эскиз графика функции:
1)	у = х4;	2) у = х5;	3) у - -х2 + 3;	4)	у = Vx •
88
211.	Показать, что функция не является четной и не является не-
четной:
4)	у = х4 + |х|;
5)	у = |х| + Xs;
6)	у = Vx-1.
212.	Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
1)	у = х4 + 2х2 + 3;
2)	у = х3 +2х + 1;
3)(/ = 4 + К;
ха
213.
Используя симметрию, построить график четной функции:
1) у = х2 - 2|х| +1;
2)у = х2-2\х\.
214.
215.
216.
Используя симметрию, построить график нечетной функции:
1) у = х|х| - 2х ;	2) у - х|х| + 2х .
Выяснить свойства функции и построить ее график:
1) у = Vx-5;	4) у = 1 -х4;
2) у = ^ + 3-,	5)у = (х + 1)3;
3)у = х4+2;	6)у = х3-2.
Построить график функции:
1) У =
х2, если х > О,
х3, если х < О;
2) У =
х3, если х > О,
х2, если х < 0.
Определить, при каких значениях аргумента значения функ-
ции положительны. Указать промежутки возрастания и убы-
вания.
217.
Построить график функции у при х > 0, если:
1)у = х; 2)j/ = x2;	3) у = х2 + х; 4)у = х2-х.
Достроить график каждой из функций для х < 0 так, чтобы
построенная линия была графиком: а) четной функции;
б) нечетной функции. Задать формулой каждую из получен-
ных функций.
89
218.
Записать уравнение оси симметрии каждой функции:
1) £/ = (х + 1)6;
2) у = х6 +1.
219.
Указать координаты центра симметрии графика функции:
1) у = х3+1;
2) у = (х + 1)3.
§ 17
j__________________
ФУНКЦИЯ у = —
X
Задача 1. Построить график функции у = .
Л 1) Область определения — все действительные числа, кроме нуля.
2)	Функция является нечетной, так как	при х О.
3)	Функция убывает на промежутке х > 0 по свойству степенной
функции с отрицательным показателем, так как - = х 1.
4)	При х > 0 функция принимает положительные значения.
5)
точки
чений
Найдя несколько точек, принадлежащих графику, например,
з),	2), (1; 1), 2; 1 1, построим часть графика для зна-
х > О и затем с помощью симметрии — его часть для значе-
ний х < 0 (рис. 41). А
График функции У = ~ называют гиперболой. Она состоит из
двух частей, называемых ветвями гиперболы. Одна ветвь располо-
жена в первом квадранте, а другая — в третьем.
90
Задача 2 . Построить график функции у = £ при k=2 и k=-2.
Д Заметим, что при одних и тех же значениях аргумента значе-
ния функции у = получаются умножением на 2 значений функ-
ции у = . Это значит, что график функции у = получается растя-
жением графика функции у = 1 от оси абсцисс вдоль оси ординат в
2 раза (рис. 42).
Значения функции у = - - отличаются
от соответствующих значений функции
У ~ ~ только знаком. Следовательно, гра-
фик функции г/ = -1 симметричен графи-
ку функции у = - относительно оси абс-
цисс (рис. 43) А
График функции у = * при любом k О
также называют гиперболой.
Гипербола имеет две ветви, которые
расположены в первом и третьем квадрантах, если k > 0, и во вто-
ром и четвертом квадрантах, если k < 0.
Функция у = £, где k > 0, обладает такими же свойствами,
что и функция у = , а именно, эта функция:
1)	определена при х 0;
2)	принимает все действительные значения, кроме нуля',
3)	нечетная',
4)	принимает положительные значения при х > 0 и отрица-
тельные — при х < 0;
5)	убывает на промежутках х < 0 и х > 0.
Если k < 0, то функция у = - обладает свойствами 1-3, а
свойства 4-5 формулируются так:
4)	принимает положительные значения при х < 0 и отрица-
тельные значения при х > 0;
5)	возрастает на промежутках х < 0 и х > 0.
Говорят, что функция у = - при k > 0 выражает обратную про-
порциональную зависимость между х и у. Такая зависимость меж-
ду величинами часто встречается в физике, технике и т. д.
91
Например, при равномерном
движении по окружности с посто-
янной по модулю скоростью v тело
движется с центростремительным
V2
ускорением а - —, где г — ради-
г
ус окружности, т. е. в этом случае
ускорение обратно пропорцио-
нально радиусу окружности.
Задача 3 . Вычислить цен-
тростремительное ускорение Луны,
которая движется вокруг Земли на
расстоянии 3,84 • 108 м, совершая
один оборот за 27,3 суток.
А Вычислим ускорение а по
формуле а = —, где v = -, с = 2лг, t = 27,3 • 24 • 3600 с, г = 3,84 • 108.
г	t
Тогда а =	„ 2,72 10’3 .
(27.3-24-3600)2
Ответ: 2^72 • 10-3 м/с2. А
Задача 4. Построить график функции у =	- 2 .
Д График этой функции можно построить, сдвигая график функ-
ции у = | (рис. 42) вдоль оси Ох вправо на единицу и вдоль оси Оу
вниз на две единицы (рис. 44). А
Упражнения
220.	Построить график функции у = -. Выяснить, при каких зна-
X
чениях х:
1)у(х) = 4;	2)у(х) = -|;	3)у(х)>1;	4) у(х)<1.
221.	На одной координатной плоскости построить графики функ-
ций у = i и у = х . Выяснить, при каких значениях х:
1) графики этих функций пересекаются;
2)	график первой функции лежит выше (ниже) графика второй.
92
222.	Не строя графики функций, найти точки их пересечения:
i)	= Y’ ^ = 3х;	3)y = J, у = х-1;
2)	у = -J, у = -2х;	4)у = ^,у = х + 2.
223.	Построив графики функций, приближенно найти точки их пе-
ресечения:
l)y = J, у = х + 1;	3) у = |, у = х2 +2;
л	X
2)	у = у = 1-х;	4) у = i, у = х2 + 4х.
224.	В цилиндре под поршнем при постоянной температуре нахо-
дится газ. Объем V (литров) газа при давлении р (атмосфер)
вычисляется по формуле V -	.
1)	Найти объем, занимаемый газом при 4 атм.; 5 атм.; 10 атм.
2)	Вычислить, при каком давлении газ имеет объем 3 л; 5 л;
15 л.
3)	Построить график зависимости объема газа от его давления.
225.	Сила тока в реостате I (в амперах) вычисляется по формуле
I = ,где U — напряжение (в вольтах), R — сопротивление
(в омах).
1)	Построить график зависимости I(R) при U = 6 .
2)	По графику приближенно найти: а) силу тока при сопро-
тивлении R, равном 6, 12, 20 Ом; б) сопротивление реостата
при силе тока, равной 10, 5,1,2 А.
226.	Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 150 м
со скоростью 60 км/ч. Найти центростремительное ускоре-
ние автомобиля. Увеличится или уменьшится центростреми-
тельное ускорение, если скорость автомобиля останется преж-
ней, а радиус закругления дороги увеличится?
Построить график функции:
227.
l)y = J-2; 2)j/ = J + l; 3)у = -^-1; 4)у = ^- + 1.
Л	Л	X, ।	Л- "X
93
§ 18
НЕРАВЕНСТВА И УРАВНЕНИЯ,
СОДЕРЖАЩИЕ СТЕПЕНЬ
Свойства степенной функции используются при решении различ-
ных уравнений и неравенств.
Задача 1. Решить неравенство х5 >32.
Л Функция у - х5 определена и возрастает при всех действи-
тельных значениях х. Так как у(2) = 32, то у(2) > 32 при х > 2 и
у(х) < 32 при х < 2 .
Ответ: х > 2. А
Задача 2 . Решить неравенство х4 < 81.
Л Функция у = х4 убывает при х < О и возрастает при х > 0.
Уравнение х4 = 81 имеет два действительных корня X] = -3, х2 - 3 .
Поэтому неравенство х4 < 81 при х < О имеет решения - 3 < х < О
и при х > 0 — решения 0 < х < 3 (рис. 45).
Ответ: -3<х<З.Д
Задача З.С помощью графиков решить уравнение - = х2 +1.
Построим на одной координатной плоскости графики функций
Рис. 45
94
Л При х < 0 уравнение - = х2 +1 корней не имеет, так как
X
| < 0, а х2 +1 > 0. При х > 0 это уравнение имеет один корень, рав-
ный абсциссе точки пересечения графиков этих функций. Из рисунка
46 видно, что х1 ~ 1,2. Других положительных корней уравнение не
имеет, так как при х > х1 функция у = - убывает, а функция у = х2 +1
возрастает, и, следовательно, графики функций при х > х} не пересека-
ются. По той же причине они не пересекаются при 0 < х < xv
Ответ: х = 1,2. Д
Задача 4. Решить уравнение
72-х2 = х.	(1)
Л Пусть х — корень данного уравнения, т. е. х — такое число,
при котором уравнение (1) обращается в верное равенство. Возве-
дем~обе части уравнения в квадрат:
2-х2 =х2.	(2)
Отсюда х2 - 1, х12 = ±1.
Итак, предположив, что уравнение (1) имеет корни, мы получили,
что этими корнями могут быть только числа 1 и -1. Проверим, яв-
ляются ли эти числа корнями уравнения (1). При х = 1 уравнение
(1) обращается в верное равенство 72-I2 = 1, поэтому х = 1 — ко-
рень уравнения (1).
При х = -1 левая часть уравнения (1) равна 72-(-I)2 = Л-1,
а правая равна -1, т. е. х = -1 не является корнем уравнения (1).
Ответ: х = 1. Д
В рассмотренной задаче уравнение (1) было решено с помощью
возведения обеих частей этого уравнения в квадрат. При этом полу-
чилось уравнение (2).
Уравнение (1) имеет только один корень х = 1, а уравнение (2) —
два корня х12 = ±1 ,т.е.при переходе от уравнения (1) к уравнению
(2) появляется так называемый посторонний корень. Это произош-
ло потому, что при х = —1 уравнение (1) обращается в неверное ра-
венство 1 =-1, а при возведении обеих частей этого неверного равен-
ства в квадрат получается верное равенство I2 = ( I)2 .
95
о
Таким образом, при возведении обеих частей уравнения в
квадрат могут появиться посторонние корни.
При решении уравнения возведением в квадрат обеих его
частей необходимо делать проверку.
Уравнение (1) — пример иррационального уравнения. Приве-
дем еще примеры иррациональных уравнений:
V3-2x = 1-х; у/х + 1 = 2- Vx-3 •
Рассмотрим решение нескольких иррациональных уравнений.
Задача 5. Решить уравнение V5-2x = 1 - х.
Л Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
5 - 2х = х2 - 2х +1,
или х2 = 4, откуда хг =2, х2 = -2. Проверим найденные корни.
При х = 2 левая часть исходного уравнения равна V5 - 2 • 2 = 1, а
правая часть равна 1 - 2 = -1. Так как 1 #-1, то х = 2 не является
корнем исходного уравнения.
При х = -2 левая часть уравнения равна J5-2-(-2) = 3, правая
часть равна 1 - (-2) = 3. Следовательно, х = -2 — корень исходного
уравнения.
Ответ: х - -2. А
Задача 6. Решить уравнение -Jx-2 + 3 = 0.
Д Запишем это уравнение в виде Vx - 2 = -3.
Так как арифметический корень не может быть отрицательным,
то это уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет. А
Задача 7. Решить уравнение Vx-1 + V11 - х = 4 .
Д Возведя обе части уравнения в квадрат, получим:
х-1 + 2Vx-1 • V11 -х +11 - х = 16 .
Приведем подобные члены и запишем уравнение в виде:
2Vx-1 • V11 -х = 6 или Vx-1 • V11 -х = 3.
96
Возведя обе части последнего уравнения в квадрат, получим:
(х —1)(11 —х) = 9, или х2-12х + 20 = О,
откуда х1 = 2, х2 = 10. Проверка показывает, что каждое из чисел 2
и 10 является корнем исходного уравнения.
Ответ: X] = 2, х2 = 10. А
Упражнения
228.	Решить неравенство:
1)х7>1;	3) ys > 64 ;	5)х4<16;
2)х3<27;	4) у3 <125;	6)х4>625.
229.	1) Какой может быть сторона квадрата, если его площадь боль-
ше 361 см2?
2)	Каким может быть ребро куба, если его объем больше
343 дм3?
230.	(Устно.) Показать, что число 7 является корнем уравнения:
1)	7х-3 = 2;	2) Vx2 -13 - 72х-5 = 3.
231.	(Устно.) Решить уравнение:
1)7х = 3; 2)Тх = 7;	3) 72х-1 = 0;	4) ТЗх+2 = 0.
Решить уравнение (232-	-235).
232. 1) 7x4-1 = 2;	3) 71 - 2х = 4;
2) 7х -1 = 3;	4) 72х -1 = 3 .
233. 1) 7х 4-1 = 72х - 3;	3) 7х2 4- 24 = ТПх ;
2) 7х-2 = 73х-6;	4) 7х2 4- 4х = 714 - х
234. 1) >!х 4- 2 = х;	3) 720-х2 = 2х;
2) 73х 4- 4 = х;	4) Vo,4 - х2 = Зх .
235. 1) Vx2 — х — 8 = х - 2;	2) Vx2 4- х - 6 = x -1.
7 — Алгебра, 9 класс
97
236. Решить неравенство:
1)(х-1)3>1;	3)(2х-3)7>1;	5) (3- х)4 > 256;
2)(х + 5)3>8;	4)(Зх-5)7<1;	6) (4-х)4 >81.
237. Объяснить, почему данное уравнение не имеет корней:
1) Vx = -8; 2) Jx + л/х - 4 = -3;	3) V-2-х2 =12; 4) V7x-x2-63 = 5.
Решить уравнение (238—240).
238. 1) Vx2 - 4х + 9 = 2х - 5 ;	3) 2x = 1 + >lx2 + 5 ;
2) >1 х2 + Зх + 6 = Зх + 8;	4) x + V13-4x = 4.
239. 1) л/х + 12 = 2 + Vx;	2) V4 + x + -Jx = 4.
240. 1) J2x +1 + V3x + 4 = 3; 2) J4x - 3 + V5x + 4 = 4;	3) Vx-7 - Vx + 17 =-4; 4) -Jx + 4 - -Jx -1 = 1.
При каких значениях х функции принимают одинаковые зна-
чения:
1)	у = V4 + Vx, у = V19 - 2-Ух ; 2) у = V7 + Vx, у = Vll - Vx ?
Решить неравенство:
1) Vx-2 >3;	3)V2^x>x;	5) V5x + ll > х + 3;
2)	Vx - 2 < 1;	4) V2-х < х;	6) Vx+3<x + l.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
243. Найти область определения функции:
	3) у = V- 5 - Зх ;
2) j/ = (3-2x)-2;	4) у = %/7-3x.
98
244.	(Устно.) Используя свойства возрастания или убывания функ-
ций у = уГх и у = х5, сравнить числа:
1)	^2/7 8 ^9 ;	3) (-2)5 8 (-3)5;
2)	^8^1;	4)(2|)S 8 (2|)6.
245.	Выяснить свойства функции и построить эскиз ее графика:
1)	У = -2х4; 2) у = |х5 ; 3) у = 2^ ; 4) у = 3^ .
246.	(Устно.) В каких квадрантах расположены ветви гиперболы
у = -, если k = -4, k = 3 ?
х	з
247.	Построить на одном рисунке графики функций у = х и у = х .
Найти координаты точек пересечения этих графиков.
248.	Найти координаты точек пересечения графиков функций:
1)	у = х\ у = х3; 2)	у = ±, у = 2х; 249.	Решить неравенство: 1)х4<81;	2) х5 > 32 250.	Решить уравнение: 1)	73 - х = 2; 2)	Лзх + 1 = 7; 3)	73-11х = 2х;	3)	у = >fx, у = |х|; 4)	у = Vx, у = 1. ; 3) х6 > 64;	4) х5 < -32. 4)	7бх-1 + Зх2 =3х; 5)	>/2х -1 = х - 2 ; 6)	V2 - 2х = х + 3 .
251.	Найти область определения функции: 1)	у = Vx2 + х - 2 ;	4)	у	= 2)	у = >1х2 + 2х -15 ;	5)	у	= 3)	у = ^6 - х - х2 ;	6)	у	=	V13x-22-x2 ; х% + 6х +5 . \ х + 7	’ / х2- 9 V х2+ 8х + 7
99
Проверьте себя!
1.	Найти область определения функции:
1)	у =	;	2) У = у/9-Х* 1 2 .
2.	Построить график функции:
1)у = 3л/х; 2)у = |;	3)y = -J; 4)У = 2х3.
Для каждой функции по графику найти: а) г/(2); б) зна-
чения х, если у(х) = 3; в) промежутки, на которых
у(х) > О, у(х) < О; г) промежутки возрастания, убывания.
3.	Исследовать функцию на четность и нечетность:
1)	у - Зх6 + х2;	2) у - 8х5 - х.
4.	Решить уравнение:
1)	Vx-3 = 5;	2) у!з- х-х2 = х•
252. Выяснить, возрастает или убывает функция:
1) У =—на промежутке х > 3;
(х-З)2
2)
у = з на промежутке х < 2;
3) у = ‘^х + 1 на промежутке х > О;
4) У - 77== на промежутке х < -1.
фс+1
253. Выяснить, является ли функция четной или нечетной:
1) у = х6 - Зх4 + х2 - 2 ;	3) у = —+ 1;
(х-2)2
2) у = х5 - х3 + х;	4) у = х7 + х5 +1.
254. Выяснить свойства функции и построить ее график:
=	3)y = -±- + 2;
2)уД;	4)у = 3-4;
х	х*
6)
1
(3-х)2
(х-1)3
+ 1;
-2.
У =
У =
100
255.	Решить неравенство:
1)	(Зх +1)4 > 625 ;
256.	Решить уравнение:
1)	у/2х2 + 5х- 3 = х +1;
2)	^3х2 -4х + 2 = х + 4;
3)	А+ 11 = 1 + 7х ;
257.	Решите неравенство:
1)	Vx2 -8х > 3;
2)	Vx2 - Зх < 2;
2) (Зх2 + 5х)5 < 32.
4)	Vx +19 - 1 + yfx;
5)	-ч/х + 3 + V2x-3 = 6;
6)	Л-х + V3x-5 = 4.
3) V3x-2 > х - 2 ;
4) -»/2х + 1 < х - 1.
2 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ IV
1.	Найти область определения функции у = У-х2 + Зх - 2 .
А)1<х<2;	С) х>2,х<1;	Е)х<-1,х>2.
В) 1<х<2;	D)-2<x<-l;
_	,	13х+2
2.	Наити область определения функции У =	•
А) -д х < -; С) х > -;	Е) правильный от-
9 к	9	вет не приведен.
В) х<-^х>5; D) х<-{;
3.	Найти область определения функции у = J—^-^2	’
А)х<2;	С) х<2, 2<х<11; Е)-2<х<11.
В) 2<х<11;	D) х<-2;
4.	Какие из функций являются возрастающими:
1)	у =-х;	2)у = ~;	3) у =	;	4) у = х/х-100?
А) все;	В) 1,2,3;	С) 1,3,4;	D)2,3,4;	Е)1,2,4.
5.	Какие из функций являются возрастающими:
l)i/ = ^;	2)у = ^\	3)i/ = -2x +	7; 4) у =	-л/з^?
А) 1, 4;	В) 3, 4;	С) 2, 3;	D) 1, 2;	Е) 2, 4.
101
6.	Какие из функций являются убывающими?
1)	у=-4; 2) у = -Зх + 4; 3)i/ = x3-27;	4)у = ^8^.
АГ
А) 2,4; В) 1, 2; С) 2, 3; D) 3,4; Е) 1,4.
7.	Какие из функций являются убывающими?
Г)У = &; 2')у = уГ-х; 3)Z/ = ^=;	4)^ = </ГЛб.
А) 1, 2; В) 2, 3; С) 3, 4; D) 1, 3; Е) 2, 4.
8.	Какие из функций являются четными?
l)^ = x + i; 2)у = х2+М; 3) у = -3 + -^-; 4) у = х2 - ® .
А) 1,2; В) 3,4; С) 2,3;	D)l,4;	Е)1,3.
9.	Какие из функций являются четными?
1)	у = Зх6 -7х4 ч-бх2 +9;	3) I/= 1 + 4х5+7х7;
2)	= (х + 1)4+3(х + 1)2-6;	4) S/ = ^j-
А) 1,2; В) 2,3; С) 3,4;	D)l,4;	Е)2,4.
10.	Какие из функций являются нечетными?
1)	у = 6х;	2)у = у[х; 3)i/ = 4x + 7;	4) у = 2х3 - 10.
А) 2,4; В) 2,3; С) 3,4;	D)l,4;	Е)1,2.
11.	Какие из функций являются нечетными?
1)	У =	; 2) у = х2 + х5; 3) у = х3 + 7; 4) у = x2n+1 (Л, n&N).
хг
А) 1, 4; В) 2, 3; С) 3, 4; D) 1, 2; Е) правильного ответа нет.
12.	При каких значениях а и /г графики функций у = ах2 и у =
пересекаются в точке (3; 2)?
А)а = -|,Л = 6; С)а = 6,Л = |; Е)а = 6,Л = -|.
В) а = |,Л = 6; Б)а = -?Л = -6;
У	У
102
k
13.	При каких значениях k гипербола у = - и прямая у = 2х + 5
пересекаются в двух точках?
A) fee — ; В) k<-_; C)fe>—D) fe > —; E) fe = —.
О	О	ООО
k
14.	При каких значениях k гипербола у = - и прямая у = 6 - х
имеют одну общую точку?
А) 10; В) -9; С) 8;	D) 9; Е) -10.
k
15.	При каких значениях k гипербола у = - и прямая у = 3 - 2х
не пересекаются?
А)Л = |; В) fe<|;	C)fe>-|; D) к <	; Е) к >
О	О	о	о	о
16.	Найти корень уравнения Vx - 5 + V10- х = 3, принадлежащий
1ж^—15х +50
области определения функции # = J ~ .
V Л- A. Лг I
А) 6; В) 9; С) -6; D) 3; Е) 10.
17.	Найти сумму целых решений неравенства у/х -50  V100 - х > 0.
А) 3765; В) 3675; С) 49; D) 99; Е) 3775.
18.	Решить уравнение V2X2 -8х + 5 = х- 2.
А)4->/3; В) >/14;	С)2 + >/3;	D) 2-V§; Е) 2 + ^.
19.	Решить уравнение v2x - 3 = 3 - х .
А) 6;	В)	С) 3;	D) 2;	Е) 0.
2
20.	Найти число целых решений неравенства
V3-x• V-2X2 +9х + 5 > 0.
А) 6; В) 3; С) 5;	D) 2; Е) 4.
103
Исторические сведения
Абу Райхан Беруин
(973-1048)
Слово функция происходит от
латинского слова functio — испол-
нение, осуществление. Первые оп-
ределения функции принадлежат
Г. В. Лейбницу.
Древние ученые, не владея со-
временным понятием функции,
ясно представляли себе характер
функциональной зависимости меж-
ду переменными величинами.
За 4000 лет до наших дней в
Древнем Вавилоне пользовались,
пусть и грубо приближенной, формулой для площади кру-
га радиуса г - S = Зг2.
Ранние сведения о степенях чисел сохранились на ва-
вилонских клинописных табличках. В частности, име-
ются таблицы квадратов и кубов чисел.
Таблицы квадратов и кубов чисел, таблицы лога-
рифмов и тригонометрические таблицы — все это при-
меры функциональной зависимости, заданной в таблич-
ной форме.
Великий ученый-энциклопедист Абу Райхан Веруни
широко пользовался в своих трудах понятием, функцио-
нальной зависимости. В 6-й главе своего фундаменталь-
ного руководства по астрономии "Канон Масуда"он оп-
ределяет промежутки изменения аргумента и функции,
наибольшие и наименьшие значения функции.
104
Глава V ЭЛЕМЕНТЫ тригонометрии
§ 19
РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Пусть вертикальная прямая касается в точке Р окружности с
центром О радиуса 1 (рис. 47). Будем считать эту прямую число-
вой осью с началом в точке Р, а положительным направлением на
прямой — направление вверх. За едини-
цу длины на числовой оси возьмем ради-
ус окружности. Отметим на прямой не-
сколько точек: ±1,	, ±3, ±л (напомним,
что л — иррациональное число, прибли-
женно равное 3,14). Вообразив эту пря-
мую в виде нерастяжимой нити, закреп-
ленной на окружности в точке Р, будем
мысленно наматывать ее на окружность.
При этом точки числовой прямой с ко-
ординатами, например, 1, #,-1, -2 пе-
рейдут соответственно в точки окруж-
ности Мх, М2, М3, М4, такие, что длина
дуги РМг равна 1, длина дуги РМ2 рав-
на и т. Д-
Таким образом, каждой точке прямой
ставится в соответствие некоторая
точка окружности.
л
3
Рис. 47
-3
-л
105
Так как точке прямой с координатой 1
ставится в соответствие точка ЛГХ, то естествен-
но считать угол РОМг единичным и мерой этого
угла измерять другие углы. Например, угол
РОМ„ следует считать равным -, угол РОМ,, —
£	2	о
равным -1, угол РОМ4 — равным -2. Такой
способ измерения углов широко используется
в математике и физике. В этом случае гово-
рят, что углы измеряются в радианной мере, а
угол РОМХ называют углом в 1 радиан (1 рад.).
Отметим, что длина дуги окружности РМХ равна радиусу. Теперь
рассмотрим окружность произвольного радиуса R и отметим на
ней дугу РМ, длина которой равна R, и угол РОМ (рис. 48).
OI
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой рав-
на радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.
Найдем градусную меру угла в 1 рад. Так как дуга длиной лЯ
(полуокружность) стягивает центральный угол в 180°, то дуга дли-
ной R стягивает угол, в л раз меньший, т. е.
Так как л ® 3,14, то 1 рад. = 57,3°.
Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна:
арад.= (^а) .
(1)
Задача 1. Найти градусную меру угла, равного:
1) л рад.; 2) 2 рад.; 3) рад.
Д По формуле (1) находим:
1) л рад. = 180°; 2) £ рад. = 90°; 3) рад. =	= 135°. А
4	\ 71	4 /
106
Найдем радианную меру угла в 1° . Так как угол 180° равен л
рад., то
1° = —~ рад.
180 Р
Если угол содержит а градусов, то его радианная мера равна
о 7Г
а =1^арад
(2)
Задача 2. Найти радианную меру угла, равного: 1) 45°; 2) 15°.
Л По формуле (2) находим:
1) 45° =	• 45 рад. = J рад.;
2) 15° =	• 15 рад. =	рад. А
loU	JLZ
Приведем таблицу наиболее часто встречающихся углов в гра-
дусной и в радианной мере.
Градусы	0	30	45	60	90	180
Радианы	0	л 6	л 4	л 3	л 2	л
Обычно при обозначении угла в радианах наименование «рад.»
опускают.
Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги ок-
ружности. Так как угол в 1 рад. стягивает дугу, длина которой рав-
на радиусу JR, то угол в а радиан стягивает дугу длиной
I = аЛ.
(3)
Задача 3. Конец минутной стрелки городских курантов дви-
жется по окружности радиуса R ~ 0,8 м. Какой путь проходит ко-
нец этой стрелки за 15 минут?
Д За 15 минут минутная стрелка поворачивается на угол
радиан. По формуле (3) при а = -^ находим:
£1
ьэ|а
107
l = $R «Ml.0,8 м« 1,3 м.
Ответ: 1,3 м. A
Особенно простой вид формула (3) имеет в случае, когда радиус
окружности R = L Тогда длина дуги равна величине центрального
угла, стягиваемого этой дугой, в радианах, т. е. I = а. Этим объясня-
ется удобство применения радианной меры в математике, физике,
механике и т. д.
Задача 4. Доказать, что площадь кругового сектора радиуса
JR, образованного углом в а рад., равна
р2
S - ^а, где 0<«<л.
Д Площадь кругового сектора в л рад. (полукруга) равна
Поэтому площадь сектора в 1 рад. в я раз меньше, т. е. равна : я.
_	К2 А
Следовательно, площадь сектора в а рад. равна ^-а. А
Упражнения
258.	Найти радианную меру угла, выраженного в градусах:
1)	40°;	3)	105°;	5) 75°;	7) 100°;
2)	120°;	4)	150°;	6) 32°;	8) 140°.
259.	Найти градусную меру угла, выраженного в радианах:
1)£;	3)	|л;	5)2;	7)1,5;
О	о
2)	4) |л;	6)4;	8)0,36.
260.	Записать с точностью до 0,01 число:
1)£;	2)|л;	3) 2л;	4)|л.
261.	Сравнить числа:
1)|-и2;	3) л и 3|;	5)-*и-|;
2)	2л и 6,7;	4)|ли4,8;	6)-|ли-Ло.
108
262.	(Устно.) Определить градусную и радианную меру углов:
а) равностороннего треугольника;
б)	равнобедренного треугольника;
в)	квадрата;
г)	правильного шестиугольника.
263.	Вычислить радиус окружности, если дуга длиной 0,36 м стя-
гивает центральный угол 0,9 рад.
264.	Найти радианную меру угла, стягиваемого дугой окружности,
если длина дуги 3 см, а радиус окружности 1,5 см.
265.
266.
Дуга кругового сектора стягивает угол в рад. Найти пло-
4
щадь сектора, если радиус круга равен 1 см.
Радиус круга равен 2,5 см, а площадь кругового сектора рав-
на 6,25 см2. Найти угол, который стягивается дугой этого
кругового сектора.
§ 20
ПОВОРОТ точки
ВОКРУГ НАЧАЛА КООРДИНАТ
В предыдущем параграфе использовался наглядный способ ус-
тановления соответствия между точками числовой прямой и точка-
ми окружности. Покажем теперь, как можно установить соответ-
ствие между действительными числами и точками окружности с
помощью поворота точки окружности.
Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1
с центром в начале координат. Ее называют единичной окружнос-
тью. Введем понятие поворота точки единичной окружности вок-
руг начала координат на угол а радиан, где а — любое действитель-
ное число.
1	.Пусть а > 0. Предположим, что точка, двигаясь по единич-
ной окружности от точки Р против часовой стрелки, прошла путь
длиной а (рис. 49). Конечную точку пути обозначим М.
В этом случае будем говорить, что точка М получена из точки
Р поворотом вокруг начала координат на угол а радиан.
109
Рис. 51
Рис. 52
2	. Пусть а < О. В этом случае поворот на угол а радиан озна-
чает, что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла
путь длиной |а| (рис. 50).
Поворот на 0 рад. означает, что точка остается на месте.
Примеры.
1) При повороте точки Р (1; 0) на угол рад. (рис. 51) получа-
ется точка М с координатами (0; 1).
л
2
2) При повороте точки Р (1; 0) на угол
ется точка N(0; -1).
3) При повороте точки Р (1; 0) на угол
ется точка J5T(0; -1).
рад. (рис. 51) получа-
Зл
2
рад. (рис. 52) получа-
4) При повороте точки Р (1; 0) на угол -л рад. (рис. 52) получа-
ется точка £(-1; 0).
110
В курсе геометрии рассматривались
углы от 0° до 180°. Используя поворот
точки единичной окружности вокруг на-
чала координат, можно рассматривать
углы, большие 180°, а также отрицатель-
ные углы. Угол поворота можно задавать
как в градусах, так и в радианах. Напри-
мер, поворот точки Р (1; 0) на угол ~ озна-
чает то же самое, что и поворот на 270°;
поворот на угол -1 — это поворот на -90° .
Приведем таблицу поворотов на не-
которые углы, выраженные в радианной
и градусной мерах (рис. 53) .
Отметим, что при повороте точки
Р(1; 0) на 2л, т. е. на 360°, точка возвра-
щается в первоначальное положение (см.
таблицу). При повороте этой точки на -
2л, т. е. на -360°, она также возвращает-
ся в первоначальное положение.
Рассмотрим примеры поворотов на
угол, больший 2л, и на угол, меньший 2л.
Так, при повороте на угол = 2 • 2л + -
точка совершает два полных оборота
против часовой стрелки и проходит еще
путь - (рис. 54).
При повороте на угол - ^ = -2 • 2л -
точка совершает два полных оборота по
часовой стрелке и еще проходит путь
в том же направлении (рис. 55).
Л
2
Заметим, что при повороте точки
Р(1; 0) на угол получается та же са-
мая точка, что и при повороте на угол £
Л
(рис. 54). При повороте на угол
Рис. 53
9л
2
111
получается та же самая точка, что и при повороте на угол-^
(рис. 55).
Вообще, если а = а0 + 2izk , где k — целое число, то при повороте
на угол а получается та же самая точка, что и при повороте на угол
«о-
Итак, каждому действительному числу а соответствует единст-
венная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки
(1; О) на угол а рад.
Однако одной и той же точке М единичной окружности соответ-
ствует бесконечное множество действительных чисел а + 2itk , где
k — целое число, задающих поворот точки Р(1; О) в точку М
(рис. 56).
Задача 1. Найти координаты точки, полученной поворотом
точки Р (1; О) на угол: 1) 7л; 2) -	.
Л
112
Д 1) Так как 7л = л + 2л-3, то
при повороте на 7п получается та же
самая точка, что и при повороте на л,
т. е. получается точка с координата-
ми (-1; О).
2) Так как - — = - - 2л, то при
А А
повороте на угол
5л
2
получается та
же самая точка, что и при повороте
на угол -2, т. е. точка с координатами (0; -1). А
Задача 2. Записать все углы, на которые нужно повернуть
точку (1; 0), чтобы получить точку
7з. 1)
2 ’ 2/
А Из прямоугольного треугольника NOM (рис. 57) следует, что
угол NOM равен , т. е. один из возможных углов поворота равен .
Следовательно, все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0),
чтобы получить точку	выражаются так: ^ + 2л/г, где
\ z Л}	О
любое целое число, т. е. k = 0; ±1; +2; ... А
Упражнения
267.	Найти координаты точки единичной окружности, получен-
ной поворотом точки Р (1; 0) на угол:
1)	90°;	2) -л;	3) 180°;	4)	5) 270°;	6) 2л.
268.	На единичной окружности отметить точку, полученную пово-
ротом точки Р (1; 0) на заданный угол:
1)£;	3)-|л;	5) f+ 2л;	7)^-4л;
4	о	Л	4
2)-£;	4) |л;	6)-л-2л;	8)-£ + 6л.
о	4	о
8 — Алгебра, 9 класс
113
269.	Определить четверть, в которой расположена точка, получен-
ная поворотом точки Р(1; О) на угол:
1)	2,1л; 2)2|л;	3) -^л;	4)-^л; 5) 727°; 6) 460°.
3	3	4
270.	Найти координаты точки, полученной поворотом точки
Р (1; 0) на угол:
1)	Зл; 2)-^л;	3)-^л;	4) 5л;	5) 540°; 6)810°.
Л	А
271.	Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0),
чтобы получить точку:
1)	(-1; 0);	2) (1; 0);	3) (0; 1);	4) (0; -1) .
272.	Определить четверть, в которой расположена точка, получен-
ная поворотом точки Р (1; 0) на заданный угол:
1)	1;	2) 2,75;	3) 3,16;	4) 4,95.
273.	Найти число х, где 0 < х < 2л, и натуральное число k, такие,
чтобы выполнялось равенство а = х + 2л/г, если:
1)	а = 6,7л;	3) а = 4|л;	5) а-^п;
2)	а = 9,8л;	4) а = 7|л;	6)
о	о
274.	На единичной окружности построить точку, полученную по-
воротом точки Р (1; 0) на заданный угол:
1)|±2л;	3)^±6л;	5) 4,5л;	7)-6л;
2) - Н ± 2л ;	4) -	± 8л ;	6) 5,5л;	8) -7л.
3	4
Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0)
на угол (k — целое число):
1) -^ + 2л/?;	2) ^ + 2л/?;	3)^ + 2лй; 4)-^ + 2л/г.
Записать все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0),
275.
276.
чтобы получить точку с координатами:
/ 1. Уз). о\ I 1].	/У2. "Jz\. лл I • У2)
Г2’ TJ’ ( 2 ’ 2 )’	3Ц~2’~~2Т 4) ГТ’ ~2)'
114
§21
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА,
ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА УГЛА
В курсе геометрии были введены синус, косинус и тангенс угла,
выраженного в градусах. Этот угол рассматривался в промежутке
от 0° до 180°.Синус и косинус произвольного угла определяются сле-
дующим образом:
О
Определение 1. Синусом угла а называется ордината
точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала
координат на угол а (обозначается sin а).
О Определение 2. Косинусом угла а называется абсцис-
са точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг на-
чала координат на угол а (обозначается cos а).
В этих определениях угол а может выражаться как в градусах,
так и в радианах.
Например, при повороте точки (1; 0) на угол £, т. е. угол 90°,
получается точка (0; 1). Ордината точки (0; 1) равна 1, поэтому
sin £ = sin 90° = 1;
абсцисса этой точки равна 0, поэтому
cos£ = cos90° = 0.
2
Заметим, что приведенные определения синуса и косинуса в слу-
чае, когда угол заключен в промежутке от 0° до 180°, совпадают с
определениями синуса и косинуса, известными из курса геометрии.
Например, sin J = sin 30° = i, cos n = cos 180° = -1.
6	2
115
Задача 1. Найти sin (-л) и cos (-л).
Д Точка (1; О) при повороте на угол -л перейдет в точку (-1; О)
(рис. 58). Следовательно, sin (-л) - О, сов(-л)=-1. А
Задача 2. Найти sin270° и cos270°.
Д Точка (1; 0) при повороте на угол 270° перейдет в точку (0; -1)
(рис. 59). Следовательно, cos 270° = 0, sin270° = -l.A
Задача 3. Решить уравнение sin t = 0.
д Решить уравнение sin t = 0 — это значит найти все углы, синус
которых равен нулю.
Ординату, равную нулю, имеют две точки единичной окружнос-
ти: (1; 0) и (-1; 0) (рис. 58). Эти точки получаются из точки (1; 0)
поворотом на углы 0, л, 2л, Зл и т. д., а также на углы -л, -2л, -Зл и
т. д.
Следовательно, sin t - 0 при t - kit, где k — любое целое число. А
Множество целых чисел обозначается буквой Z. Для обозначе-
ния того, что число k принадлежит Z, используют запись ke Z (чи-
тается: «число k принадлежит Z*). Поэтому ответ к задаче 3 можно
записать так:
t = itk, k& Z.
Задача 4. Решить уравнение cos t = 0.
Д Абсциссу, равную нулю, имеют две точки единичной окружно-
сти: (0, 1) и (0; -1) (рис. 60).
116
Эти точки получаются из точки (1; О)
поворотом на углы ^ + п, % + 2п и
т. д., а также на углы л, £-2л ит. д.,
т. е. на углы % + kn, где k е. Z.
Ответ: t = | + лЛ, ftе Z. А
2
Задача 5. Решить уравнение:
l)sint=l; 2) cost = 1.
Д 1) Ординату, равную единице, име-
ет точка (О; 1) единичной окружности. Эта
точка получается из точки (1; 0) поворо-
том на углы £ + 2nk , fee Z .
2) Абсциссу, равную единице, имеет точка, полученная из точки
(1; 0) поворотом на углы 2kn, k е Z.
Ответ: sint = 1 при t = + 2nk,
Л
cost = 1 при t = 2nk, fee Z. A
91
Определение 3. Тангенсом угла а называется отно-
шение синуса угла а, к его косинусу (обозначается tgoc)
Таким образом,
tga = 5iH«
cos а
sin2E хЯ
Например, tg 0° =	= — = 0, tg — =----— =	= 1 •
cosO° 1	4 cos— V2
4	2
Иногда используется котангенс угла а (обозначается ctg а). Он
определяется формулой
ctga = £2^.
sin а
Например, ctg 270° = COS270 _ _Д_ _ q c^g Д =	= 1 = 1.
sin 270° "I	4 tg£ 1
e4
117
Отметим, что since и cosa определены для любого угла, а их зна-
чения заключены от -1 до 1; tga = ^^ определен лишь для тех
cosa
углов, для которых cosa ф 0, т. е. для любых углов, кроме a = + л/?,
ke Z.
Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, коси-
нуса, тангенса и котангенса.
a	0 (0)	л 6 (30°)	л 4 (45°)	Л 3 (60°)	л 2 (90°)	л (180°)	Iя (270°)	2л (360°)
sin a	0	1 2	У2 2	Уз 2	1	0	-1	0
cos a	1	Уз 2	У2 2	1 2	0	-1	0	1
tg a	0	1 Уз	1	Уз	не су- щест- вует	0	не су- щест- вует	0
etg a	не су- щест- вует	Уз	1	1 Уз	0	не су- щест- вует	0	не су- щест- вует
Задача 6. Вычислить
4 sin + УЗ cos 5 - tg -у.
О	О 4
Д Используя таблицу, получаем:
4sin+ Узcos5-tg^ = 4- i + -»/3^-l = 2,5. А
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов, не
вошедших в эту таблицу, можно найти по четырехзначным матема-
тическим таблицам В. М. Брадиса, а также с помощью инженер-
ного микрокалькулятора.
Если каждому действительному числу х поставить в соот-
ветствие число sinx, то тем самым на множестве действи-
тельных чисел (оно обозначается буквой R) будет задана
функция у = sinx.
118
Рис. 61
Аналогично задаются функции у=соях, y = tgx и y=ctgx.
Функция у = соях определена при всех х е R, функция у = tgx —
при х * % + nk,keZ, функция y=ctgx — при х Ф nk,keZ.
Графики функций у = sinx и у = cosx изображены на рис. 61 и 62.
Функции у=sinx, у=соях, y=tgx, y=ctgx называют тригономет-
рическими.
Упражнения
277. Вычислить:
l)sin^;	3) tg^;	5) cos(-180°);	7) cos(-135°);
4	6
2) cos^;	4) sin(-90°);	6)	8) sin(-^).
278. Изобразить на единичной окружности точки, соответствую-
щие углу а, если:
1) sina = |;	3) cosa = ~;	5) sin а = -0,6;
Z	z
2) sin a = - --;	4) cos a = -1;	6) cos a = |.
2	2	о
119
Вычислить (279—281).
279.
1) sin^ + sin^;
лл	лл
2)
+ cos£;
лл
280. 1) tgn + cosn;
2) tg0°-tgl80°;
3) sin л-cos л;
4) sin0-cos2n;
3)	tgn + sinn;
4)	cos л -tg 2л.
5)	sin л + sin 1,5л;
6)	cosO-cos|n.

281.	1) 3sinJ + 2cos^-tg5;
6	6	3
3) (2tg£-tg|) :cos£;
2) 5sinJ + 3tg^-cos^-10tg5;	4) sin^cos^-tg-^.
6	4	4	4	3	6	4
282.	Решить уравнение:
l)2sinx = 0; 2)|cosx = 0; 3)cosx-l = 0; 4)l-sinx = 0.
283.	(Устно.) Может ли sin а или cos a быть равным:
1)0,49;	2) -0,875;	3) - V2;	4) 2-^2?
284.	Найти значение выражения при данном значении а:
1)	2 sin a+ v2 cos а при а =
2)	0,5 cos а - >/з sin а при а = 60°;
3)	sin За - cos 2а при а =
4)	cos§ + sin§ при а = §.
Z <5	Z
285.
Решить уравнение:
286.
1)	sinx =-1;
2)	cosx = 1;
Решить уравнение:
1) sin(x+n) =-1;
3)	sin3x =0;
4)	cos0,5x =0;
3) сов(х+л) = -1;
2) sin|(x + l) = 0;	4) cos2(x+1) -1 =0;
5)	cos2x -1 = 0;
6)	l-cos3x=0.
5) sin3(x-2) =0;
6) 1 - cos3(x - 1) = 0.
120
§ 22
ЗНАКИ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА
1.	Знаки синуса и косинуса
Пусть точка (1; О) движется по единичной окружности против
часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти (квад-
ранте), ординаты и абсциссы положительны, поэтому since > 0 и
cosa > 0, если 0 < a < (рис. 63, 64).
Для точек, расположенных во второй четверти, ординаты поло-
жительны, а абсциссы отрицательны. Следовательно, sina>0, cosa < О,
если < a < л (рис. 63, 64). Аналогично в третьей четверти sin a < О,
И
cosa < 0, а в четвертой четверти sina < 0, cosa > 0 (рис. 63, 64). При
дальнейшем движении точки по окружности знаки синуса и коси-
нуса определяются тем, в какой четверти окажется точка.
Если точка (1; О) движется по часовой стрелке, то знаки синуса
и косинуса также определяются тем, в какой четверти окажется
точка; это показано на рисунках 63, 64.
Задача 1. Выяснить знаки синуса и косинуса угла:
1)	ЙЕ; 2) 745°; 3) -ЙЕ.
Д 1) Углу ЙЕ соответствует точка единичной окружности, распо-
ложенная во второй четверти, поэтому sin^? > О, cos^? < О .
4	4
121
2)	Так как 745° = 2 • 360° + 25°, то повороту точки (1; 0) на угол
745° соответствует точка, расположенная в первой четверти, поэто-
му sin 745° > 0, cos 745° > 0 .
3)	Так как -я < —^ < —5, то при повороте точки (1; 0) на угол
•	хи
получается точка третьей четверти, поэтому
sin(-^) < 0, cos(-^l<0.A
\ 7 /	\ 7 I
2.	Знаки тангенса
По определению = поэтому
tg а > 0, если sin а и cos а имеют одинако-
вые знаки, и tg а < 0, если sin а и cos а име-
ют противоположные знаки. Знаки танген-
са изображены на рисунке 65.
Знаки ctg а совпадают со знаками tg а.
Задача 2. Выяснить знак тангенса
угла: 1) 260°; 2) 3.
Д 1) Так как 180° < 260° < 270°, то tg260° > 0.
2)	Так как 2 < 3 < л, то tg 3 < 0 . А
£
Упражнения
287.	Определить четверть, в которой находится точка, полученная
поворотом точки (1; 0) на угол а, если:
1)	а = 2;	3) а - 210°;	5) а = 735°;
О
2)	а = 3* ;	4) а = -210°;	6) а = 848°.
4
288.	Определить знак числа sin а, если:
1)а = ^;	3)а = -|л;	5)а = 740°;
4	о
2)	а =	;	4) а = -^л;	6) а = 510°.
о	3
122
289.	Определить знак числа cos а, если:
1)а = |л;	3)а = -^;	5) а = 290°;
2)а = ^л;	4)а = -|л;	6)а = -150°.
6	5
290.	Определить знаки чисел tg а и ctg а, если:
1)а = |л;	3)а = -|л;	5)а = 190°;	7)а	=	172°;
6	5
2)а = уЛ;	4)	а = -|л;	6)	а = 283°;	8)	а =	200°.
291.	Определить знаки чисел sin а, cos а, tg а и ctg а, если:
1)	л < а <	;	3)	— л < а < 2л;
2)	< а <	;	4)	2л < а < 2,5л	.
лл	4
292.	Определить знаки чисел sin а, cos а, tg а, если:
1)а = 1;	2)а = 3;	3)а = -3,4;	4) а = -1,3.
293.	Пусть 0 < а < ^. Определить знак числа:
лл
1)	sin^-aj; 3) tg(|n-a);	5) со8(а-л); 7) cos(a-^j;
2)	cos(| + a); 4) 8т(л-а);	6) tg(a-n);	8) ctg(a-|).
294.	Найти все значения аргумента а, заключенные в промежутке
от 0 до 2л, для которых знаки синуса и косинуса совпадают
(различны).
295.	Определить знак числа:
sin^
1)	sin^sin^; 2) coscos3)—«г ;	4)tg^ + sin£.
3	4	3	6 cos—	4	4
4
296.	Сравнить значения выражений:
1)	sin 0,7 и sin 4;	2) cos 1,3 и cos 2,3.
123
297.
Решить уравнение:
1) sin(5n + х) = 1;
2) cos(x + Зя) = О;
298.
В какой четверти
ответствующая числу а, если:
1) since+ cosa =-1,4;
находится точка, со-
2) sin а - cos а = 1,4 ?
(Задача Беруни.) Найти радиус Земли R,
ВС и угол a = ZABD (рис. 66).
если известны h =
299.
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ
И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА
Выясним зависимость между синусом и косинусом.
Пусть точка Af(x; у) единичной окружности получена поворо-
том точки (1; О) на угол а (рис. 67). Тогда по определению синуса и
косинуса
х = cosa, у = since.
Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому ее коор-
динаты (х; у) удовлетворяют уравнению х2 + у2 = 1 .
Следовательно,
sin?a +cos2a = 1.	(1)
Равенство (1) выполняется
при любых значениях а и назы-
вается основным тригонометри-
ческим тождеством.
Из равенства (1) можно выра-
зить sin а через cos а и cos а че-
рез sin a:
sina = ±vl - cos2 a »
cos a = ±V1 - sin2 a.
(2)
(3)
В этих формулах знак перед корнем определяется знаком вы-
ражения, стоящего в левой части формулы.
Задача 1. Вычислить sin а, если cos а. = -f и л < а <	.
5	2
Д Воспользуемся формулой (2). Так как л < а < ^, то sin а < О,
поэтому в формуле перед корнем нужно поставить знак «минус»:
sin а - -Vl - cos2 а = -.11 - X = - 4 • А
V 25	5
Задача 2. Вычислить cosa , если sina = | и - £ < a < О .
о 2
Д Так как - ^ < a < 0, то cos a > О, поэтому в формуле (3) перед
корнем нужно поставить знак «плюс»:
cos a = Vl - sin2 a = J1-- =	 A
 У о
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котанген-
сом.
По определению тангенса и котангенса:
tga = siH“, ctga = ^^
cosa	sin a
Перемножая эти равенства, получаем:
tg a  ctg a = 1.	(4)
Из равенства (4) можно выразить tga через ctga и ctga через
tga:
ctga =
(6)
Равенства (4)-(6) справедливы при a s k, k g Z •
125
Задача 3. Вычислить ctg а, если tg а = 13.
Д По формуле (6) находим: ctg а = —i. А
tg ОС 1о
Задача 4. Вычислить tg а, если since = 0,8 и £ < а < л .
£
Д. По формуле (3) находим cos а. Так как < а < л , cos а < 0.
лл
Поэтому
cos а = -VI - sin1 2 а = -^/1 - 0,64 = -0,6.
Следовательно, tga =	= - ^. A
’ *= cosa -0,6	3
Используя основное тригонометрическое тождество и определе-
ние тангенса, найдем зависимость между тангенсом и косинусом.
Д Разделим обе части равенства sin2a + cos2a = 1 на cos2 а, предпо-
2-2	-t
лагая, что cos a * 0. Получим равенство cos “+sin а = ——, откуда
cos a	cos a
1 + tg2 a =
cos a
(7)
Эта формула верна, если cos а Ф 0, т. е. при а ф % + лЛ, k g Z .
£
Из формулы (7) можно выразить тангенс через косинус и коси-
нус через тангенс.
Задача 5. Вычислить tg а, если cos a = - ^ и < a < л .
5	2
Д Из формулы (7) получаем:
tg2 a = —у—
cos a
1____1 = 16
о\2	9 '
Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому tga =
*5
Задача 6. Вычислить cos а, если tg a = 3 и л < a < ^.
Д Из формулы (7) находим:
2	11
cos a = —«— = — •
1+tg2а Ю
Так как л < a < ^, то cosa < 0 и поэтому cosa = —/ОД. А
лл
126
Упражнения
300.	Вычислить:
1)	sin а и tg а, если cosa = А и < а < 2л;
Io Z
2)	cos а и tg а, если sin а = 0,8 и £ < а < л;
И
3)	sin a, tg а и ctg а, если cosa = ~4 и < а < л;
5	2
•	9	Чтт
4)	cos a, tg а и ctg а, если sin а = -~ и л < а <
о	2
5)	sin а и cos а, если tga - и л < а <
8	2
6)	sin а и cos а, если ctga = -3 и < а < 2л •
И
301.	С помощью основного тригонометрического тождества выяс-
нить, могут ли одновременно выполняться равенства:
1)	sin a = 1 и cosa = 1;	3) sin a =-4 и cos a =
5	о
2)	sin a = 0 и cos a = -1;	4) sin a = | и cos a = ~.
o	2
302.	Могут ли одновременно выполняться равенства:
1) sin a = - и tg a = -Д—;
2) ctg a = и cos a = 4 ?
3	4
303.	Пусть a — один из углов прямоугольного треугольника. Най-
ти cos а и tg a , если sina = -2^ .
304.	Угол при вершине равнобедренного треугольника имеет тан-
генс, равный 2л/2. Найти косинус этого угла.
305.	Найти cos а, если cos4a - sin4 a = |.
о
Найти:
1)	cos а, если sin a =	;	2) sin a, если cos a = - i .
5	v5
Известно, что tg a = 2. Найти значение выражения:
306.
307.
127
2 sin a + 3 cos a .
3 sin a - 5 cos a ’
.. sin2 a + 2 cos2 a
4)
.. ctga + tga .
ctga-tga ’
sina—cosa
sin a + cos a 1
. 2	2	*
sin a - cos a
308. Известно, что sina + cosa = 1. Найти значение выражения:
1) sin a cos a;
309. Решить уравнение:
2) sin3 a + cos3 a.
1)	2sinx + sin2x + cos2x = 1;
2)	sin2x - 2 = sinx - cos2x;
3)	2cos2x - 1 = cosx - 2sin2x;
4)	3 - cosx = 3cos2x + 3sin2x.
§24
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Задача 1. Доказать, что при а Ф nk, ke Z, справедливо равенство
1 + ctg2 a = —L—.	(1)
sin a
A—	, cos a
По определению ctg a = — , и поэтому
H-ctg2a = l + ^g = ^-gt,c°-^g=—L.	(2)
sin2 a sin2 a sin2 a
Эти преобразования верны, так как sin а * 0 при а Ф nk, ktZ.k
Равенство (1) справедливо для всех допустимых значений а, т. е.
таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие
равенства называют тождествами, а задачи на доказательство та-
ких равенств называют задачами на доказательство тождеств.
В дальнейшем при доказательстве тождеств мы не будем нахо-
дить допустимые значения углов, если это не требуется в условии
задачи.
Задача 2. Доказать тождество cos2a = (1 - sina)(l + sina).
Д (1 - sina) (1 + sina) = 1 - sin2a = cos2a. A
Задача 3. Доказать тождество cosa _ 1 + sina .
1-sina cosa
128
А Чтобы доказать это тождество, покажем, что разность между
его левой и правой частями равна нулю:
cosa _ 1+sina _ cos2 3 a-(l-sin2 a) _ cos2 a - cos2 a _ q
1-sina cosa cosa(l-sina) cosa(l-sina)
При решении задач 1-3 использовались следующие способы до-
казательства тождеств: преобразование правой части к левой;
преобразование левой части к правой; установление того, что раз-
ность между левой и правой частями равна нулю. Иногда удобно
доказательство тождества провести преобразованием его левой и
правой частей к одному и тому же выражению.
1	2
Задача 4. Доказать тождество ---------—— = cos4 a - sin4 a.
1 + tg2 a
। sin2 a
a 1 - tg2 a	cos2 a cos2 a - sin2 a 2	-2
A ----—т— ------  u = —----------— = cos a - sin a .
1 + tg2 a i , sin2 a cos2 a + sin2 a
r 2
cos a
cos4a - sin4a = (cos2a - sin2a)(cos2a + sin2a) = cos2a - sin2a.
Тождество доказано, так как его левая и правая части равны
cos2a - sin2a. А.
Задача 5. Упростить выражение ---------±----.
tg a + ctg a
1	_______1______ sin a cos a _
tg a + ctg a sin a + cos a sin2 a + cos2 a
cos a sin a
При решении задач на упрощение тригонометрических выраже-
ний мы не будем находить допустимые значения углов, если это не
требуется в условии задачи.
Упражнения
310. Доказать тождество:
1) (1-cosaXl+cosa) = sin2 a;
2) 2-sin2a-cos2a = l;
• 2
3) sm a = tg2 a
1-sin2 a
4)	c-9-= Ctg2 a ;
1-cos2 a
5)	—Ц— + sin2 a = 1;
1+tg2a
6)	—+ cos2 a = 1.
1+ctg2 a
9 — Алгебра, 9 класс
129
311.	Упростить выражение:
1)	cosatga-2sina;	3) a ;
7	' 1 + cosa
2)	cosa-sina• ctga;	4) ,cos. a .
’	b	' 1-sina
312.	Упростить выражение и найти его числовое значение:
• 2	,
. 81П (X — 1	1Г	о .9	.9
1)		5— при a = —;	3) cos a + ctg a + sin a при a =
1 - cos a	4
2)	—К----1 при a = ;	4) cos* 2 a + tg2 a + sin2 a при a =
cos a	3
313.	Доказать тождество:
1)	(1 - sin2a)(l + tg2a) =1; 2) sin2a(l + ctg2a) - cos2a = sin2a.

314. Доказать, что при всех допустимых значениях а выражение
принимает одно и то же значение, т. е. не зависит от а:
1) (1 + tg2 a) cos2 а;	3) 11 + tg2 а + —^_ ] sin2 a cos2 а;
\	sin2 а/
2
2) sin2 а(1 + ctg2 а);	4) 1 + tg,a -tg2а .
1 + ctg а
315. Доказать тождество:
1) (1 - cos 2a)(l + cos 2a) = sin2 2a;
sina-1 _	1	.
f cos2 a 1 + sina’
3) cos4 a - sin4 a = cos2 a - sin2 a;
4) (sin2 a - cos2 a)2 + 2 cos2 a sin2 a = sin4 a + cos4 a;
5) sina + 1 + cos a _ 2 .
1 + cosa sina sina ’
g\ sina _ 1 + cos a .
1 - cos a	sin a ’
•7	9	9	9
l + tg2a l + ctg2a
8) tg2 a - sin2 a = tg2 a sin2 a.
130
316. Упростить выражение и найти его числовое значение:
(sina+cosa)2 , , 2 ч	п
1) 5-----ъ---— ~ (! + ctg «) при a = £;
sin a	d
z, , . 2 ч (sin a-cos a)2	л
2) (1 + tgz a) - ----z---при a = £.
cos2 a	°
317.
318.
Найти значение выражения sin a cos a, если sin a - cos a = 0,6.
Найти значение выражения cos3 a - sin3a, если cos a - sin a -
= 0,2.
319.
Решить уравнение:
1) 3cos2x - 2sinx = 3 - 3sin2x;
2) cos2x - sin2x = 2sinx - 1 - 2sin2x.
§25
СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС
углов а и -а
Пусть точки Мг и М2 единичной окружности получены поворо-
том точки Р (1; 0) на углы а и -а соответственно (рис. 68). Тогда ось
Ох делит угол МгОМ2 пополам, и поэтому точки Мг и М2 симметрич-
ны относительно оси Ох. Абсциссы этих точек совпадают, а ордина-
ты отличаются только знаками. Точка имеет координаты (cos a;
sin а), точка M2 имеет координаты (cos(-a); sin(-a)). Следовательно,
sin(-a) = -sin a, cos(-a) = cos a.
Используя определение тангенса,
получаем:
, , . sin (-a) -sina
tg(-a) = —7—; =-------
cos (-a) cos a
Таким образом,
tg(-a) = -tga.
Аналогично,
ctg(-a) = -ctga.
(1)
Формулы (1) справедливы при любых а, а формулы (2) и (3) —
при а^^ + лА:иа*7г&, ке Z.
Формулы (1)—(3) позволяют найти значения синуса, косинуса,
тангенса и котангенса для отрицательных углов.
Например:
sin(-g) = -sing = -l; cos(-g) = cosg = ^; tg(-g) = -tgg = -V3.
о	о 2	4	4	2	3	3
Упражнения
320.	Вычислить:
1>cos(-|)sin(-f)+te(-j);
2)	1+^2(~30°)
' l+ctg2(-30°) ’
3)	2 sin (- g) cos (- g) +tg (- g) +sin2 (- g);
4)	cos(-n)+ctg (-g) - sin | л) + ctg g).
321.	Упростить выражение:
1)	tg(-a)cosoc + sina;
2)	cosa - ctga (-sina);
cos (-a) + sin (-a)
3) о .о
cos a-sin a
4) tg(-a)ctg(-a) + cos2(-a) + sin2a.
322. Доказать тождество cos a SU1 ** + tg(-a) cos(-a) — cos a •
cosa+sin(-a)
323. Вычислить:
3-sin2 (—cos2
1) -----ЦЦ—	3/;
2 cosl-gj
2) 2sin(~)-3ctg(-^) + 7,5tg(-7c) + lcos(-^n).
324. Упростить:
sin3 4 * 1 (-a) + cos3 (-a) .	1 -(sin a + cos(-a))2
1 - sin(-a) cos(-a) ’	- sin(-a)
132
§26
ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Формулами сложения называют формулы, выражающие cos (а ± Р)
и sin(a ± Р) через косинусы и синусы углов а и р.
О
Теорема. Для любых а и Р справедливо равенство
cos (а + Р) = cos a cos Р - sin a sin р.
(1)
О Пусть точки Ма, М_р и Ма+р получены поворотом точки
Мо (1; 0) на углы а, -Р, а + Р соответственно (рис. 69).
По определению синуса и косинуса эти точки имеют следующие
координаты:
Ма (cos a; sin a); M p (cos(-P); sin(~P));
Ma+P (c°s(a + P); sin(a + P)).
Так как ZM0OMa+p=ZM^OMa, то равнобедренные треугольники
MJJM ,,, и М „ОМ равны, и, значит, равны их основания М.М и
М рМа . Следовательно,
WW2 = (М^маг.
Используя формулу для расстояния между двумя точками, изве-
стную из курса геометрии, получаем:
(1 - cos(a + Р))2 + (sin(a + Р))2 = (cos(-P) - cosa)2 + (sin(—Р) - sina)2.
Преобразуем это равенство, используя
формулы (1) из § 25:
1	- 2cos(a + Р) + cos2(a + Р) + sin2(a + Р) =
= cos2P - 2cos Р cos a + cos2 a + sin2 P +
+ 2sin P sin a + sin2 a.
Используя основное тригонометричес-
кое тождество, получаем:
2	- 2cos(a + Р) = 2 - 2cos a cos P + 2sin a sin p,
откуда cos(a + P) = cos a cos P - sin a sin p. •
133
Задача 1. Вычислить cos 75°.
Д По формуле (1) находим:
cos75° = cos(45° + 30°) = cos45°cos30° - sin45°sin30° =
_ д/2	д/2 1 _ Уб->/2 A
2	2	2 2	4
Заменив в формуле (1) Р на ~Р, получим:
cos(a - Р) = cosacos(-P) - sinasin(-P),
откуда
cos(a - Р) = cos a cos P + sin a sin p.
(2)
Задача 2. Вычислить cos!5°.
Д По формуле (2) получаем:
cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45°sin 30° =
_ J2 УЗ . V2 1 _ V6+J2 Д
2	2	2 2	4
Задача 3. Доказать формулы
COSV2 - a) = s^na’
sin^- a) = cosa.
(3)
При a = по формуле (2) получаем:
т. e.
COs(j-₽) =
cos ~ cos P + sin % sin P = sin p,
cos^-pj = sinp.
(4)
Заменив в этой формуле Р на а, получаем:
cos^-aj = sina.
Полагая в формуле (4) Р = - a, имеем:
4U
sin (2 - a) = cos a • А.
Используя формулы (1)-(4), выведем формулы сложения для си-
нуса'.
134
sin(a + P) = cos
(«-(«+₽))=
= cos(^-a
cos P + sin^-aj sin P = sin a cos p + cos a sin p.
Таким образом,
sin(a + P) = sin a cos P + cos a sin p.
(5)
Заменяя в формуле (5) P на ~P, получаем:
sin(a - Р) = sin a cos(~P) + cos a sin(-P),
откуда
sin(a - P) = sin a cos P - cos a sin p.	(6)
Задача 4. Вычислить sin 210°.
Д sin 210° = sin(180° + 30°) =
= sin!80°cos 30° + cos 180°sin30° = 0	+ (-1) |	. ▲
Задача 5. Вычислить sin Д? cos 5 - sin $ cos Д?.
7	7	7	7
Д sin cos - sin cos = sin(^--£) = sin л = 0. A
7	7	7	7	\ 7	7/
Задача 6. Доказать равенство
Д t ( + В) - S*n(a+P) - s^n a cos P + cos a s^n P
w cos(a + P) cos a cos p - sin a sin p '
(7)
Разделив числитель и знаменатель этой дроби на произведение
cos a cos Р, получим формулу (7). А
Формула (7) может быть полезна при вычислениях.
Например, по этой формуле находим:
tg225° = tg(i80° + 45°) = te180^45' = 1.
l-tgl80°tg45°
135
Упражнения
С помощью формул сложения вычислить (325—327).
325.	1) cosl35°; 2) cosl20°; 3) cosl50°; 4) cos240°.
326.	1) cos57°30'cos27°30' + sin57°30'sin27°30';
2)	cosl9°30'cos25°30' - sinl9°30'sin25°30';
3)	cos cos - sin -77-sin	;
У У	У У
4)	cos^cos£ + sin.
7	7	7	7
327.	1) cos + a I, если sin a - -7= и 0 < a < 7 ;
\3	/	2
2) cos(a--j), если 8 cosa = и < oc < n.
Упростить вражение (328—329).
328.
329.
1)	cos 3a cos a - sin a sin 3a;
2)	cos 5p cos 2P + sin 5P sin 2P;
3)	cos + a j cos (- a) - sin (y + a) sin (- a);
4)	cos^y + a)cosp|£ + a) + sin(^-+ a)sinp^ + a
1) cos(a + p) + cos^-ajcos^~p);
2) sin^-ajsin^-pj-cos(a-p).
С помощью формул сложения вычислить (330—331).
330.
1) sin73°cosl7° + cos73°sinl7°;
3) sin tScos^ + sincos &
2) sin73°cosl3° - cos73°sinl3°;
4) sin^-cos^ - sincos.
1Z Л.&	Л-Л
331.
1) sin(a + 5l> если cosa = —| и n < a <-7^;
'	\	0/	5	2
2) sin(4 - a), если sina = —- и 5 < ос < it.
\4	/	3	2
136
332. Упростить выражение:
1)	sin(a + P) + sin(-a)cos(~P); 3) cos^-ajsin^-pj-sin(a-P);
2)	cos(-a)sin(-P) - sin(a - P); 4) sin (a + P) + sin - a) sin (~P).
333.	Вычислить cos(a + P) и cos(a- P), если sina = л < a < 2л,
и sinp =	0 < P <
334.	Вычислить sin(a~P), если cosa = -0,8,	< a < л и sinP =	,
Л	lo
Л < P < ^7
335.	Упростить выражение:
1) cos(| л - a)+ cos(a + ^
\3	/	\ O.
„ 2 cos a sin p+sin(a - p) .
' 2 cos a cos p - cos(a - p) *
2) sin(
a + |rc)-sin(5-a);
О / \o /
4)
cos a cos p - cos(a+p)
cos(a-P)-sinasinp ’
336.	Доказать тождество:
1)	sin(a - P) sin(a + p) = sin2 a - sin2 P;
2)	cos(a - P) cos(a + P) = cos2 a - sin2 P;
a/2 cosa-2coslj-aj
3)	---------ла—/ = _^/2 tg a.
2 sin|5+a)—V3 sin a
\6	/
cos a-2 cost ?+a)
4)	---- J = ->/з tg a.
2 sin( a~j- v3 sin a
337.	Упростить выражение:
tg29°+tg31°
} l-tg29°tg31° ;	} l + tg^K tg^K-
137
§ 27
СИНУС И КОСИНУС ДВОЙНОГО УГЛА
Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла, используя
формулы сложения.
1)	sin 2а = sin(a + а) = sin a cos а + sin a cos а = 2sin a cos а.
Итак,
sin 2а = 2 sin а cos а.
(1)
Задача 1. Вычислить sin 2a, если sin a = -0,6 и л<а<^.
Д По формуле (1) находим:
sin 2a = 2sin a cos a = 2 -(-0,6) cos a = -l,2cos a.
Так как л < a < ^, то cos a < 0, и поэтому
cos a = -71 - sin2 a = —71 - 0,36 = -0,8.
Следовательно, sin 2a = -1,2 • (-0,8) = 0,96. A
2)	cos 2a = cos(a + a) = cosa cosa - sina sina = cos2a - sin2a.
Итак,
cos 2а = cos2 а - sin2 а.
(2)
Задача 2. Вычислить cos 2a, если cos a = 0,3.
Д Используя формулу (2) и основное тригонометрическое тож-
дество, получаем:
cos 2a = cos2 a - sin2 a = cos2 a - (1 - cos2 a) =
= 2 cos2a- 1 = 2 (0,3)2 - 1 = -0,82. A
Задача 3. Упростить выражение
sin a cos a
1-2 sin2 a
д sin a cos a  2 sin a cos a 	sin 2a
1-2 sin2 a	2(sin2 a+cos2 a-2 sin2 a) 2(cos2 a-sin2 a)
_ sin 2a
2 cos 2a
= |tg2a.
138
Задача 4. Вычислить tg 2а, если tga = 1.
Z
Д Полагая в формуле tg(a + 0) =
лучаем:
г?га(см-§ 2в>₽=о по-
Если tg a = ~,
tg2a =	.	(3)
i-tg2a	2 1
то по формуле (3) находим: tg2a =---= ~. А
1-Й) 3
Упраж нения
Вычислить (338—339).
338.	1) 2sinl5°cosl5°;
2)	cos* 1 215° - sin215°;
339.	1) 2sin-5cos5;
О о
2)	cos2 sin2 f;
О	о
340.	Вычислить sin 2a, если:
1)	sina = f и <a<n;
О A
341.	Вычислить cos 2a, если:
1)	cosa =4;
5
Упростить выражение (342-
342. 1) sin a cos a;
2)	cosacos^-aj;
cos 2a+ 1 #	sin 2a ,
2 cos a ’	' 1—cos2 a *
344. Доказать тождество:
1) sin 2a - (sin a + cos a)2 - 1;
2) (sin a - cos a)2 = 1 - sin 2a;
3)	(cos75° - sin75°)2;
4)	(cosl5° + sinl5°)2.
3)	sin ~ cos-5 + 1;
о о 4
4)	#-(cosf + sin|] .
2)	cos a =	и л < a <	.
О	z
2)	sina =	.
343).
3)	cos 4a + sin2 2a;
4)	sin2a + (sina - cos a)2.
3)	^n2 «	; 4) l + cos^a
(sin a+cos a)2-1	* cos 2a
3)	cos4 a - sin4 a = cos 2a;
4)	2 cos2 a - cos 2a = 1.
139
345.	Вычислить sin2a, если:
1)	sina + cosa = 1;
346.	Доказать тождество:
1)1+ cos2a = 2cos2a;-
347.	Вычислить:
1)	2cos215° -1;
2)	1 - 2sin222,5°;
348.	Упростить выражение:
1)	1 - 2sin25a;
2)	2cos23a - 1;
2)	sina-cosa =-1.
О
2)	1 - cos2a = 2sin2a.
3)	2cos2£-1;
О
4)	l-2sin2^-.
-Liy-
l-cos2a .
sin-^-cos-^-
А
2cos2-£-l
4)	_____2_.
sin 2a
349. Доказать тождество:
i)		cos2a—	= ctga -1;
sin a cos a + sin a
2) sin2a-2cpsa = _2 ctg a.
sin a-sin2 a
350. Вычислить tg2a, если tga = 0,6.
2tg|
351. Вычислить: 1) ------;
1-tg2J
О
3) tg a(l + cos 2a) = sin 2a;
.. l-cos2a+sin2a ,	1
4) з--------— ctg a = I
1+cos 2a+sin 2a
2) 6tgl5°
’ 1-tg2 15° '
§ 28
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса со-
ставляются для углов от 0° до 90° (или от 0 до ). Это объясняется
тем, что их значения для остальных углов сводятся к значениям
для острых углов.
Задача 1. Вычислить sin 870° и cos 870°.
140
зна-
Д Заметим, что 870°=2 • 360°+150°. Следовательно, при поворо-
те точки Р(1; 0) вокруг начала координат на угол 870° точка совер-
шит два полных оборота и еще повернется на угол 150°, т. е. полу-
чится та же самая точка М, что и при повороте на угол 150° (рис.
70). Поэтому sin870° = sinl50°, cos870° = cosl50°. Построим точку
Mv симметричную точке М относительно оси Оу (рис. 71). Ордина-
ты точек М и Мг одинаковы, а абсциссы отличаются только
ком. Поэтому sin 150° = sin 30° = |, cos 150° = - cos 30° -	.
Ответ: sin 870° = |, cos 870° = -	. А
При решении задачи 1 использовались равенства
sin(2 • 360°+150°) = sinl50°, cos(2 • 360°+150°) = cosl50°,
(1)
(2)
sin(180°-30°) = sin30°, cos(180°-30°) = -cos30°.
Равенства (1) верны, так как при повороте точки Д1; 0) на угол
а+2лй, keZ получается та же самая точка, что и при повороте на
угол а.
Следовательно верны формулы:
01
sin(a + 2лЛ) = sin a, cos(a + 2лЛ) = cos a, k e Z.
(3)
В частности, при k = 1 справедливы равенства:
sin(a + 2л) = sina, cos(a + 2л) = cosa.
Равенства (2) являются частными случаями формул
sin(n - a) = sina, cos(k - a) = - cos a.
(4)
141
Докажем формулу sin(n - а) = sina.
О Применяя формулу сложения для синуса, получаем:
sin(n - a) = sinncosa - cosnsina - О • cosa - (- 1) • sina = sina. ф
Аналогично доказывается и вторая из формул (4). Формулы
(4) называются формулами приведения. С помощью формул
(3) и (4) можно свести вычисление синуса и косинуса любого
угла к их значениям для острого угла.
Задача 2. Вычислить sin 930°.
Д Используя формулы (3), получаем:
sin 930° = sin(3 • 360° - 150°) = sin(-150°).
По формуле sin(-a) = -sina получим sin(-150°) = -sinl50° .
По формуле (4) находим:
- sinl50° = - sin(180° - 30°) = - sin30° = -1.
Ответ: sin930°=—A
Задача 3. Вычислить cos-Ц2-.
4
Д cosi^ = cos(4k - 4) = cos(-4) = cos v =	• A
4	4	4	4	2
Покажем теперь, как можно свести вычисление тангенса любо-
го угла к вычислениям тангенса острого угла.
Заметим, что из формул (3) и определения тангенса следует ра-
венство tg(a + 2лЛ) = tga, k е Z .
Используя это равенство и формулы (4), получаем:
tg(a + л) = tg(a + л - 2л) = tg(a - л) = -tg(n - a) =
_ sin(n-a) _ sina = fga
cos(x-a)	- cos a
Следовательно, справедлива формула
tg(a + лЛ) = tga, k e Z.	(5)
Задача 4. Вычислить: 1) tgi|2E; 2) tg-l^L.
142
Д 1) tg!15 = tg(4rc-£) = tg(-|) = -tg£ = -%/3
2)	tgi|2L= tg^3K + ^j = j = 1. A
В § 26 были доказаны формулы
которые также называют формулами приведения. Например, исполь-
зуя эти формулы, получаем sin^ = cos^, cos^ =	•
Для любого значения х справедливы формулы sin(x + 2л) = sinx,
cos(x + 2л) = cosx.
Из этих равенств следует, что значения синуса и косинуса перио-
дически повторяются при изменении аргумента на 2л. Такие функ-
ции называются периодическими с периодом 2л.
©Функция f(x) называется периодической, если существует та-
кое число Т / О, что для любого х из области определения
функции у — f (х) выполняется равенство
| f(x-T)= f(x)=f(x + T).
Число Т называется периодом функции f(x).
Из этого определения следует, что если х принадлежит области
определения функции f (х), то числа х + Т, х - Т и, вообще, числа
х + Tn, пе Z также принадлежат области определения этой перио-
дической функции и f (х + Тп) = Дх), п g. Z .
I Покажем, что число 2л является наименьшим положитель-
ным периодом функции у = cosx.
О Пусть Т > О — период косинуса, т. е. для любого х выполняет-
ся равенство cos (х + Т) = cos х. Положив х = О, получим cos Т = 1.
Отсюда Т = 2лй, k е Z. Так как Т> 0, то Т может принимать значения
2л, 4л, 6л, ..., и поэтому период не может быть меньше 2л. •
I Можно доказать, что наименьший положительный период
функции у = sinx также равен 2л.
143
У пр а ж н е ни я
Вычислить (352—355):
352. 1) sin-^л;	3) cos7л;	5) sin 720°;
2) sin 17л;	4) сов^л;	6) cos 540°.
353. 1) cos 420°;	3) sin 3630°;	5) sin—Д; 0
2) tg570°;	4) ctg 960°;	6) tg-^л.
354. 1) cos 150°;	2)sinl35°; 3) cos 120°; 4) sin315°.	
355. 1) tg^b;	3) cos~; 0	5) cosf-^-j;
2) sin-^b; 6	4) sin(— \	0 /	6) tg(— \	0 /
356.	Найти числовое значение выражения:
1)	cos630° - sinl470° - ctgll25°;
2)	tgl800° - sin495° + cos945°;
3)	sin(-7n) - 2 cos-^£ - tg~ ;
4)	cos(-9n) + 2 sin (—- ctg •
357.	Упростить выражение:
1)	сов2(л - a) + sin2(a - л);
2)	cos(n - a)cos(3n - a) - sin(a - n)sin(cx - 3л).
358.	Вычислить:
1) cos7230° + sin900°;	4)	V2 cos 4,25л- Д'COS ~^ ; V3	6
2) sin300° + tgl50°;	5)	sin(-6,5 л) + tg(-7n)
		cos(-7n) + ctg(-16,25n) ’
3) 2вш6,5л- V3sini|^;	6)	cos(-540°) + sin 480° tg 405°-ctg 330°
144
359. Упростить выражение:
sinl 5-a)+sin(n-a)
1) ___.
cos(n-a)+sin(2n-a)
cos(n-a)+cos|-^-a)
2)------------ГТ"V’
sin(n-a)-sinl"-aj
ox sin(a-n) tg(n-a) .
’ tg(a+n) cos(n_a\ ’
Wol ЯЛ I
sin2(n-a)+sin2[^-a]
4) -------—-  tg(rc - a).
sin(n-a)
360. Доказать, что синус суммы двух внутренних углов треуголь-
ника равен синусу третьего внутреннего угла.
Доказать тождество:
361.
1)	sin^+aj = cosa;
2)	cosl-^+a) = -sina
\ 4Ы	/
3)	cos(|n-a) =-sina;
4)	sin^n-aj = -cosa.
362.
Решить уравнение:
1)	cos(^ -x) = 1;
2)	sin( л - x). = 1;
3)	сов(х-л) = 0;
4)	sinfx--®) = 1.
§ 29
СУММА И РАЗНОСТЬ СИНУСОВ.
СУММА И РАЗНОСТЬ КОСИНУСОВ
Задача 1. Упростить выражение:
sm(a+i) + sUi(a-i))8mi.
Д Используя формулу сложения и формулу Двойного угла, по-
лучим:
(Sin(a+12) + Sin(a’^))Sini2 =
sin a cos + cos a sin + sin a cos - cos a sin )
Л.А	Azu	Л.&	1Z/
sin^ =
= 2 sin a cos	sin yx = sinasin^ = |sina. A
10 — Алгебра, 9 класс
145
Если воспользоваться формулой суммы синусов
. • а	« + ₽	а-Р
sin а + sin р = 2 Sin ——- cos	к
(1)
эту задачу можно решить проще. С помощью этой формулы полу-
чаем:
(sin(a+^) + sin[a--^))sin^ = 2 sin a cos	 sin = Isina.
\	\	1.Л/	\	12	12	12	2
Докажем теперь справедливость формулы (1).
О Обозначим = х, - = у . Тогда х + у-а, х-</ = р и поэто-
му sina + sinP = sin(x + у) + sin(x-</) = sinxcosi/ + cosxsini/ + + sinxcosy-
cosxsint/ = 2sinxcos</ = 2sin — + ^ cos a•
2	2
Наряду с формулой (1) используются формулы разности сину-
сов, формулы суммы и разности косинусов'.
. a n . a-P a+P sin a - sin p = 2 sin	- cos ——, А	Л	(2)
D o a+P	a-В cosa + cosp = 2cos	-cos—-2-,	(3)
a n . a + P . a-P cos a - cos p - -2 sin	sin ——- . H	2	2	(4)
Формулы (3) и (4) доказываются аналогично формуле (1); фор-
мула (2) получается из формулы (1) заменой Р на ~Р (докажите
самостоятельно).
Задача 2. Вычислить sin75° + cos75°.
Д sin75° + cos75° = sin75° + sinl5° =
- 2 sin 75 +15° con 75°-15° _ 2sin45° cos 30° -
— Zj bill“ LUo “	— bill rto LUouU —
Л	A
146
Задача 3. Записать в виде произведения 2sina + V3
2 sin a +
7з = 2 (sin a +	= 2(sin a + sin j =

Задача 4. Доказать, что наименьшее значение выражения
sina + cosa равно - V2, а наибольшее равно 42 .
А Преобразуем данное выражение в произведение:
sina + cosa = sina + sin(^ - a) = 2sin^cos(a -	= 42 cos(a -
Так как наименьшее значение косинуса равно -1, а наибольшее
равно 1, находим, что наименьшее значение данного выражения рав-
но 42  (-1) = -42 , а наибольшее значение равно 42  1 = 42 . А
Упражнения
363.	Упростить выражение:
1)	sin(^ + al + sin(-^-al;
2)	cos^-pj-cos^ + pj;
364.	Вычислить:
1)	cos 105° + cos 75°;
2)	sin 105° - sin 75°;
3)	cosl^ +cos
365.	Записать в виде произведения:
1)	1 + 2sina; 2) 1 - 2sina;
3)	sin2(^+a)-sin2(-Y-a)
\4	/	\4	/
4)	cos2 (a - -5-1 - cos2 (a + %
4)	cos -Ц? - cos
5)	sin^L-cos^;
X^ x^
6)	sin 105° + sin 165°.
3) 1 + 2cosa; 4) 1 + sina.
366.	Доказать тождество:
1)
sin a + sin 3a
cos a + cos 3a
= tg 2a;
2)	=
' cos 2a-cos 4a
147
367.	Упростить выражение:
n 2(cos а + cos За) .	1 + sin а-cos 2а- sin За
' 2sin2a+sin4a ’	'	2 sin1 2 * а + sin а-1
Доказать тождество (368—369).
368.	1) cos4 a - sin4 a + sin 2a = V2 cos^2a - ;
2) cosa + cos(^- + al + cos(^--a) = 0 .
369.
sin2a + sin5a-sin3a o .
1) --------------5---= 2 sin a ;
cos a +1 - 2 sin 2a
sin a+sin 3a+sin 5a+sin 7a , ~
2) ---------=------=-----=- = ctg a.
cos a - cos 3a+cos 5a-cos 7a
370.
371.
Записать в виде произведения:
1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°; 2) cos ~ + Cos + cos .
tt	,	, Q sin(a + B)
Доказать тождество tg a + tgp =---5---—
1) tg 267° + tg 93°;
-------я- и вычислить:
cos a • cos p
2) tgf^ + tg^.
372.
Разложить на множители:
1)1- cos a + sin a;
2)	1 - 2 cos a + cos 2a;
3)	1 + sin a - cos a - tg a;
4)	1 + sin a + cos a + tg a.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ V
373. Пусть 0 < a < ^. Определить четверть, в которой лежит точ-
£
ка, полученная поворотом точки Р(1; 0) на угол:
1) 77-а; 2) а-л; 3) Д^-а; 4) £+а; 5) а--£; 6) л-а.
Z	Z	л	А
374. Найти значение синуса и косинуса угла:
1) Зл;	3)3,5л;	5)л£,/ге2;
2) 4л;	4) | л;	6) (2/г + 1)л, k е Z .
л
148
375.	Вычислить:
1)	sin Зя-cos ;
2)	cos О - cos Зя + cos 3,5я;
3)	зшя/г + сов2яй, где k — целое число;
.х (2Л + 1)я . (4Л + 1)л	,
4)	cos-——sin-——где к — целое число.
376.	Найти:
1)	cos а, если sin а = ^и-|<а<я;
о А
2)	tg а, если cosa = и я < а <	;
3
3)	sin а, если tga = 2^2 и 0 < а <
4)	sin а, если ctg а = V2 и я < а <	.
377.	Доказать тождество:
1)	5sin3 2a + tg a cos a + 5 cos2a = 5 + sin a;
2)	ctg a sin a - 2 cos2a - 2 sin2a = cos a - 2;
3) ---^-5— = 3cos2 a;
1 + tg2 a
4) ----^-5— = 5 sin2 a.
1 + ctg'1 a
378. Упростить выражение:
1)2sin(-a)cosI £ - a) - 2cos(-a)sin- a
2) 3sinfa-a)cos(^-a
\	I
+ 3sin2
(
1
l+ctg2(-a)
3) (1 - tg(-a))(l - tgfa + a)) cos2 a; 4) (1 + tg2(-a))
379. Упростить выражение и найти его числовое значение:
1) sin^R-aj + sin^w + a
если cosa = --
4
2) cosj^ + a) + cos|^-a
\ Л /	\ Z
если sin а = 4.
380. Вычислить:
1) 2 sin75°cos75°; 2) cos275° - sin275°; 3) sinl5°; 4) sin75°.
149
Проверьте себя!
1.	Вычислить cosa, tga, sin2a, если sina = t и 5 < а < л.
2.	Найти значение выражения:
1)	4 cos(- ^) - tg + 2 sin(- - cos л;
2)	cos 150°;	3) sin ;	4) tg ;	5) cos1 2 £ - sin2 .
О	о	о	о
3.	(Задача аль-Каши.) Доказать: sin3a = 3sina - 4sin3a.
4.	Доказать тождество:
1)	3 - cos2a - sin2a = 2;	2) 1 - sina cos a ctga = sin2a.
5.	Упростить выражение:
1)	sin(a - P) - sin^ - a) sin(-P);
2)	sin2a + cos2a; 3) tgGc - а)сов(л - a) + вн1(4л + a).
381. Упростить выражение:
1) со52(л-а)-совд2-а
2) 2 sin
^-ajcos^-a
cos2 (2л + a) - sin2 (a + 2л).
7Г	*
2 cos(a + 2л) cos(— a)
2
2 sin(n-a) sin^-aj
sin2 ^a-^j-sin2 (а-л)
Вычислить (382—383).
382. 1) sin	2) tg2'5lL;
6	4
383. 1) cos sin
4	4
2) sin^-tgi^;
О	О
384. Сравнить числа.
1) sin 3 и cos 4;
3) ctg^j^; 4) cos-^1^.
3) 3cos 3660° + sin (-1560°);
4) cos (-945°) + tg 1035°.
2) cos 0 и sin 5.
150
385. Определить знак числа:
1) sin 3,5 tg 3,5;
2) cos 5,01 sin 0,73;
386. Вычислить:
1)	sin-jjcos^ + sin-^cos^;
О О	о о
2)	sin 165°;
8)*";
cos 15
4) sinl cos2 tg3.
4) sin^;
5) 1 - 2 sin2195°;
3)	sin 105°;	6) 2 cos1 2 -1.
О
387.	Упростить выражение:
1)	(1 + tg(-a)Xl-«Лй-a»-; 2)	+ *St2>
7	cos(-a) ’ 7 cosa + sm(-a)	sina
388.	Дано: sin a = и £ < a < л . Вычислить значения cos a, tg a
О
ctg a, sin 2a, cos 2a .
Упростить выражение (389—391).
оол	ч •	• ч	sina+sin2a 389. 1) cos3a sina - sm3a cosa;	2) 	x—.
’	’ l + cosa + cos2a
390 1) ^i£2cr-sin2acos2a .	gx cos 2a+sin 2a cos 2a
4 cos a	2 sin2 a -1
2 cos2 2a	(cos a-sin a)2
2-7 sin 4a cos 4a + sin 4a ’	7 sin2acos2a-cos2a '
2	„-2 „
391. 1) , S- * - sin(rc - x) ;	3) 4S n—— - sin(l, 5л + x); 7 1-sinx	’	7 1 + cosx
2	• 2
2) cos _x_ + cos(l, 5л + x);	4)  sin	+ cos (3л - x). J. + sm x	i cos x
392.
Вычислить:
1) tg(a + P), если tg a = и tg 0 = 2,4;
2) ctg(a + 0), если ctg a = 4 и ctg p = -1.
О
393.
Упростить выражение:
1) 2 sinte + 2a) sin(£ - 2a);
\4	/	\4	/
2) 2cos(? + 2a)cos(5 - 2a
\4	/	\4	<
151
2 ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ V
1.	Найти радианную меру угла 153°.
А)	А) В) С) 17я; D) Т;	Е)1?'
2.	Найти градусную меру угла 0,65л.
А) 11,7°; В) 117°; С) 116°; D) 118°;	Е) 117,5°.
3.	Какое цроизведение отрицательно?
A) cos314°sinl47°;	D) sinl70°ctg250°;
В) tg200°ctg201°;	Е) cos215°tg315°.
С) cosl63°cos295°;
4.	Какое произведение положительно?
A)	sin2cos2sinlsinl°;	D) coslO°coslOcosll°cosVii;
В)	tg8°ctg8ctgl0°ctg>/i0 ; Е) tg7,5° • tg7,5 • ctg3°ctg3.
C)	sin9°sin9cos9°cos9;
5.	Найти все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0) для
« 1)
того, чтобы попасть в точку —; - .
Л £ /
А) 30° + л/?, k е Z; C)J + nfe ,/?е Z; E)^ + 2nk,keZ.
V	6
В) - 6 + л/?, k e Z; D) 2л + itk, ke Z;
6. Найти координаты точки, в которую попадет точка (1; 0) пос-
5тс
ле поворота на угол — + 2л/?, k е Z .
А) (0; 1); В) (0; -1); С) (1; 0); D) (-1; 0); Е) (0; |).
7. Записать числа в порядке возрастания: а = sin 1,57; & = cos 1,58;
с = sin 3.
А) а < с < Ь;	С) с < a <b;	Е) а < b < с.
В) Ь < с < a-,	D) Ь < а < с;
152
9. Вычислить
A) cos40°;
10. Вычислить
8.	Записать числа в порядке убывания: а = cos 2; & = cos 2°;
с = sin 2; d = sin 2°.
A)	a > c > d > b;	D) c > d > b > a;
B)	d > c > b > a;	E) d > a > b > c.
C)	b > c > d > a;
sin 136° • cos 46°- sin 46° • cos 224°
sinllO°- cos40° - sin20°-cos50°
B) 0,5; C) sin44°; D) 2; E) -2.
sin 10° • cos 130°- sin 10° • cos 220°
sin!53°- cos 147°-sin27°• cos33° *
	A) sin80°; В) -1;	С) —;	D)	; ' 2	2	E) 1.
11.	Вычислить cos(-225°) + sin675° + tg(-1035°).		
	A) 1;	В) -1;	С)л/2;	D)	E) 2
12.	Найти tg2a lO<a<^j	, если sina = 0,6.	
	A) 3,42;	В) з|;	7	7 С) — ;	D) —-; 1 24 ’	'	24 ’	E) 0,96.
13.	Найти sin 2a, если tg a	= л/б.	
	A)	B)-^; u	о	С)^;	D) л/5; о	e>4-
14.	Найти cos 2a, если tg a	= >/7 .	
15.	4	4 A) ±;	B)~; о	о Упростить выражение	<Ч; (п cos — a \2	) sin(n+a)	E)-ll.
16.	A) 2 + 2;	В)1;	С)0,5;	D) til sin 2a+sin(n-a)cos a	E) -1.
	Упростить выражение	sin(n-a)	
153
A) 3 cosa; В) isina; C) -sina; D) icosa; E) 3sin2a.
О	о
4 • 4
4 sin a	i-
17.	Вычислить ' . о-“---> если tga = V7 .
5 sin a+15cos a
A) 0,59; B) 0,49; C) -0,49; D) 0,2; E) A.
18.	Найти sin4 a + cos4 a, если cos a + sin a = i.
О
Al	81 .	Ri f7f.	n49.	Г)1	-i—•	Fl 2
A)	49*	B)"Ur	С)8*’	}	49	’	Е)Й*
19.	Вычислить sin 100° cos 440° + sin 800° cos 460°.
A)	В) 1;	C)-l;	D)	0;	E) .
20.
Упростить
sin 3a cos 3a
sin a cos a
A) sinacosa; B) -2sin4a; C) sin4a; D) 2cos2a; E) 4cos2a.
21.	Найти sin(a + 0), если sina и sin0 — корни квадратного уравне-
ния 8x2 - 6x + 1 — 0, a, 0 — углы в первой четверти.
.. i/3(l +1/5).
}	8
_ i/3(4-1/5)	i/3(4+ i/5)
О й ; Е) -
i/2(4+ 1/5)	i/3(4+ 1/5)
В> 16	*	16
22.	Найти cos(a + 0), если cos а и cos 0 — корни квадратного урав-
нения 6х2 - 5х + 1 = 0, а, 0 — углы в первой четверти.
l+21/б	l-21/б	21/6-1	l-21/б
? Н) —-—;	С) ~	; D)
А)Л1^.	С)^; D)	В) |.
23.	Решить уравнение 2(x + i/2) = cos|^-2a |+2sin|^ + a | sin(7t-a).
А)	В) 1/2; С)-1/2 ; D) 2i/2;	E)-2i/2.
24.	Найти tg(a + 0), если tg а и tg 0 — корни квадратного уравне-
ния х2 - 7х + 12 = 0:
7	г-	7	>!з
А) 1;	В)—;	С)^;	D)"??; Е) - —.
£ J.	£ £
154
Исторические задачи
Задачи Абу Райхана Веруни.
1.	Из некоторой точки А верхнего
края колодца, имеющего форму
цилиндра, его дно видно под уг-
лом а, а из точки В, расположен-
ной на продолжении стенки колод-
ца, (рис. 72) — под углом 0. Най-
ти глубину колодца, если АВ = а.
Д а н о : Z CAD = a, Z ABD = 0,
АВ = а.
Найти: АС.
2.	Из точки А минарет виден под уг-
лом а, из точки В под углом 0
(рис. 73). Найти высоту минаре-
та, если АВ = а.
Дан о :ZCAD=a, ZABD=fi, АВ=а.
Найти: CD = ?
Задача аль-Каши.
3.	Доказать, что для любого угла а
верно равенство
sin(45° + —) = /l±sina.
\	2/ V 2
Задача алъ-Бузджани.
4.	Доказать, что для любых а и 0 верно равенство
*•_________________
sin(a - 0) = /sin2 а - sin2 а  sin2 0 - /sin2 0 - sin2 а • sin2 0 .
155
Исторические сведения
Выдающиеся средневековые уче-
ные Мухаммед аль-Хорезми, Ахмад
аль-Фергани, Абу Райхан Веруни,
Улугбек, аль-Каши, Али Кушчи внес-
ли большой вклад в развитие мате-
матики и, в частности, тригонометрии.
Определение координат светил на не-
бесной сфере, наблюдение за движе-
нием планет, предсказание солнеч-
ных и лунных затмений требовало со-
ставления астрономических (в част-
ности, тригонометрических) таблиц,
„	„ , которые на арабском Востоке назы-
Мирзо Улугбек	г „
(1394-1449) вались Зиджами .
Составленные ими руководства,
переведенные на латынь и другие ев-
ропейские языки, оказали большое влияние на развитие
математики и астрономии в средневековой Европе.
В "Каноне Масуда" Абу Райхана Веруни имеются со-
ставленные с точностью до 10-8 таблицы синусов с интерва-
лом в 1°.
Наиболее точным для своего времени считался зидж
Улугбека — «Гураганский зидж». В нем имелись состав-
ленные с точностью до 1010 таблицы синусов с интервалом
в 1 минуту, таблицы тангенсов от 0° до 45° с интервалом
в 1 минуту и от 46° до 90° с интервалом в 5 минут.
В "Трактате о хорде и синусе” аль-Каши вычислен sin 1°
с 17 верными знаками после запятой:
sinl° = 0,017452406437283512...
Аль-Каши в своем "Трактате об окружности" получил
приближенное значение для 2л, полагая, что длина окруж-
ности радиуса 1 есть среднее арифметическое периметров
правильных вписанного и описанного 3 • 2п-угольников, где
п -- 28:
2л = 6,2831853071795865...
156
Глава VI прогрессии
§ 30
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Рассмотрим следующую задачу.
Задача. Готовясь к экзамену, ученик запланировал каждый
день решать по 5 тестовых задач. Как изменяется каждый день чис-
ло решенных им задач?
Число запланированных задач изменяется каждый день следую-
щим образом:
1-й день 2-й день 3-й день 4-й день
5	10	15	20	...
Получаем в результате следующую последовательность:
5,10,15,20,25,..	..
Обозначим через ап число задач, которые надо решить в n-й день.
Например:
= 5, а2 = 10, а3 = 15,....
Полученные числа образуют числовую последовательность
а1»аз’аз» —’аи...
В этой последовательности каждый член, начиная со второго, равен
предыдущему, сложенному с одним и тем же числом 5.Такую пос-
ледовательность называют арифметической прогрессией.
О Определение. Числовая последовательность аг, а2,...,
ап,... называется арифметической прогрессией, если для
всех натуральных чисел п выполняется равенство
an+l = an + d,
где d — некоторое число.
157
Из этой формулы следует, что ап+1 - an = d. Число d называют
разностью арифметической прогрессии.
Примеры.
1)	Натуральный ряд чисел 1, 2, 3, 4 п,... является арифмети-
ческой прогрессией. Разность этой прогрессии d= 1.
2)	Последовательность целых отрицательных чисел -1,—2,-3,...,
-п, ... — арифметическая прогрессия с разностью d — -l.
3)	Последовательность 3, 3, 3, ..., 3, ... — арифметическая про-
грессия с разностью d - 0.
Задача 1. Доказать, что последовательность, заданная форму-
лой ап= 1,5 + Зтг, является арифметической прогрессией.
Д Требуется доказать, что разность аи + 1-аи одна и та же для
всех п (не зависит от п).
Запишем (п+ 1)-й член этой последовательности:
ап+1 = 1,5 + 3(71 + 1).
Поэтому
ап+1 - ап= 1,5 + 3(тг + 1)-(1,5 + Зтг) = 3.
Следовательно, разность ап+1-ап не зависит от п. А
По определению арифметической прогрессии ап + 1 = а + d,
an-i = an~d’ откУДа
_ an-i + an+i п>1.
11	2
е Таким образом, каждый член арифметической прогрессии,
начиная со второго, равен среднему арифметическому двух
соседних с ним членов. Этим объясняется название «ариф-
метическая» прогрессия.
Отметим, что если a1nd заданы, то остальные члены арифмети-
ческой прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле
аи+1 = ап + d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых
членов прогрессии, однако, например, для а]00 уже потребуется мно-
го вычислений. Обычно для этого используется формула тг-го члена.
По определению арифметической прогрессии
а2 = at + d; a3-a2 + d = a1 + 2d;
ai = a3 + d = al + 3d -и т. д.
158
о
Вообще
nn = n1 + (n-l)d,
(1)
так как n-й член арифметической прогрессии получается из
первого члена прибавлением (п - 1) раз числа d.
Формулу (1) называют формулой п-го члена арифметической
прогрессии.
Задача 2. Найти сотый член арифметической прогрессии, если
аг = -6 и d = 4 .
Д По формуле (1) имеем п100=~6 + (100-1) • 4= 390. А
Задача 3. Число 99 является членом арифметической про-
грессии 3, 5, 7, 9,... . Найти номер э^ого члена.
Д Пусть п — искомый номер. Так как а1=3 и d =2, то по форму-
ле ап = аг + (n - l)d имеем 99 - 3 + (п - 1) • 2. Поэтому 99 = 3 + 2п - 2;
98 = 2п, п = 49.
Ответ: п = 49. А
Задача 4. В арифметической прогрессии а8 = 130 и а12 = 166.
Найти формулу п-го члена.
Д Используя формулу (1), находим:
a=a. + 7d, а =а, + lid.
о 1	1Z 1
Подставив данные значения ag и п12, получим систему уравнений
относительно и d:
ax+7d = 130,
ах + lid = 166.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
4d = 36, d = 9.
Следовательно, аг = 130 - 7d = 130 - 63 = 67.
Запишем формулу п-го члена:
ап = 67 + 9(п - 1) = 67 + 9п - 9 = 58 + 9п.
Ответ: а =9п + 58. А
п
159
Задача 5. На стороне угла откла-
дываются от его вершины равные отрез-
ки. Через их концы проводятся парал-
лельные прямые (рис. 74). Доказать, что
длины а1, а2, а3,... отрезков этих прямых,
заключенных между сторонами угла, об-
разуют арифметическую прогрессию.
Д В трапеции с основаниями ап и
ап+1 средняя линия равна ап. Поэтому
ап-1 + ап + 1
—	9
Отсюда 2ап=ап 1+ап+1, или ап+1-ап=а-ап .
Так как разность между каждым членом последовательности и
предшествующим ему членом одна и та же, то эта последователь-
ность — арифметическая прогрессия. А
Уп ражнени я
394.	(Устно.) Назвать первый член и разность арифметической про-
грессии:
1)	6, 8, 10, ...;	3) 25, 21, 17,...;
2)	7, 9, 11,...;	4) -12, -9, -6,....
395.	Записать первые пять членов арифметической прогрессии,
если:
1)а1 = 2и(/ = 5;	2) а1 = -3 и d-2.
396.	Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го чле-
на, является арифметической прогрессией:
l)an = 3-4n;	3)ап = 3(п + 1);
2) ап = -5 + 2п;	4) ап - 2 (3 - п).
397.	В арифметической прогрессии найти:
1)	а,,., если а = 2, d = 3;	3) а,_, если а, = 3, d = -2;
2)	а20, если ^ = 3, d = 4;	4) аи, если =-2, d = -4.
160
398.	Записать формулу n-го члена арифметической прогрессии:
1)1, 6, 11, 16,	3)-4, -6, -8,-10,...;
2)	25, 21, 17,13,...;	4) 1, -4, -9, -14,....
399.	Число -22 является членом арифметической прогрессии 44,
38, 32,.... Найти номер этого члена.
400.	Является ли число 12 членом арифметической прогрессии
18,-15,-12,...?
401.	Число -59 является членом арифметической прогрессии 1,
-5 ... . Найти его номер. Является ли число -46 членом этой
прогрессии?
402.	Найти разность арифметической прогрессии, если:
l)Oj = 7, а1в = 67;	2) ^ = -4, а8 = 0.
403.	Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а},
если:
1)ав = 12;	2)а7 = -4.
404.	Найти первый член арифметической прогрессии, если:
l)d = -3, а =20;	2) а =-10, а =-5,5.
405.	Найти формулу n-го члена арифметической прогрессии, если:
1)	а3 = 13, ав = 22;	2) а2 = -Ч, а7= 18.
406.	При каких п члены арифметической прогрессии 15,13,11,...
отрицательны?
407.	В арифметической прогрессии =-10, d = 0,5. При каких п
выполняется неравенство ап < 2?
408.	Найти девятый член и разность арифметической прогрессии,
если:
1)	а8= 126, а10= 146;	3) а8 = -7, а10 = 3;
2)	а8 = -64, а10 = -50;	4) а8 = 0,5, а10=-2,5.
409.	Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в
каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в преды-
дущую. Какое расстояние будет пройдено падающим телом
за пятую секунду?
И — Алгебра, 9 класс	161
410.	Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и
увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день
на 10 мин. Сколько дней следует принимать воздушные ван-
ны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной
продолжительности 1 час 45 мин.?
411.	Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо
равенство а +а=а , + а. , .Найти а,„ + ак, если а„ + а = 30.
412.	Доказать, что для арифметической прогрессии справедливо
равенство а = °n+ft +а"~* . Найти	если а,„+а =120.
*	п	2	w
§31
СУММА п ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Задача 1. Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100.
Д Запишем эту сумму двумя способами:
S=l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
8=100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Сложим почленно эти равенства:
28 = 101 + 101 + 101 +... + 101
100 слагаемых
Поэтому 2S = 101 • 100, откуда S = 101 • 50 = 5050. А
Рассмотрим теперь произвольную арифметическую прогрессию
а1» аг’ ’ ап’ ••• •
Пусть Sn — сумма п первых членов этой прогрессии:
S = а, + а„ + ... + а ,+а .
п 1	2	п-1 п
Теорема. Сумма п первых членов арифметической
прогрессии равна
8„=^п-	(К
162
О Запишем Sn двумя способами:
S = а, + о„ + ... + а .+ а ,
п	1	2	п-1	п’
S = а + а +... +а+а.
п	п	п-1	2	1
По определению арифметической прогрессии эти равенства можно
записать так:
Sn =	+ d) +	+ 2d) +... +	+ (и — l)d),	(2)
Sn = ап + (ап -d) + (ап - 2d) +... + (ап - (и - l)d).	(3)
Сложим почленно равенства (2) и (3):
2S„ = (аг + ап) + (аг + ап) +... + (аг + ап)
п слагаемых
Следовательно, 28п=(а1 +ап) п, откуда Sn = — п  Ф
Zj
Задача 2. Найти сумму первых п натуральных чисел.
Д Последовательность
1,2,3,4,5,6, ..., п, ...
является арифметической прогрессией с разностью d — 1. Так как
а± = 1 и ап = п , по формуле (1) находим:
Sn = l + 2 + 3 + ... + n = i±^-n.
2
Итак,
1 + 2 + 3 + .., + п = ”(га + 1). Д
Zj
Задача 3. Найти сумму 38 + 35 + 32 +... +(-7), если известно,
что ее слагаемые являются последовательными членами арифмети-
ческой прогрессии.
Д По условию ах - 38, d = -3, ап = -7. Применяя формулу ап = аг +
+ (n- l)d, получаем -7 = 38 + (и -1)(-3), откуда и = 16.
По формуле (1) находим:
S16 =^ 16 = 248. Л
Задача 4*. Сколько нужно взять последовательных натураль-
ных чисел, начиная с 1, чтобы их сумма была равна 153?
163
Д Натуральный ряд чисел — арифметическая прогрессия с раз-
ностью d = 1. По условию ах = 1, Sn = 153. Формулу суммы п первых
членов преобразуем так:
а _ai+an „ _ ai + ai+(n-l)d 2aj + (n-l)d
Ьп----2~п-----------2------П-------2----П‘
Используя данные, получаем уравнение с неизвестным п:
153 = 2 1+(”~1).1 п ,
д
откуда
306 - 2п + (и - 1)п, п2 + п - 306 - 0.
Решая это уравнение, найдем:
-1±71 + 1224	-1±35	„ _ io „ -17
«1,2 =---\------= —2~ ’ Л1 ~-18’ л2 “17-
Число слагаемых не может быть отрицательным, поэтому и=17. А
Упражнения
413.	Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии,
если:
1)	а1 = 1, ап = 20, п = 50;	3) а1 = -1, ап--40, п = 20;
2)а=1,а =200, п- 100;	4) a = 2, а =100, и = 50.
414.	Найти сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно.
415.	Найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 133 включительно.
416.	Найти сумму двенадцати первых членов арифметической про-
грессии, если:
l)a=-5, d = 0,5;	2)a1=|,d = -3.
Xu
417.	Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии:
1)	9; 13; 17; ... , если п = 11;
2)	-16; -10; -4; ... , если и = 12.
418.	Найти сумму, если ее слагаемые — последовательные члены
арифметической прогрессии:
1)	3 + 6 + 9 + ... + 273;	2) 90 + 80 +70+...+ (-60).
164
419.	Найти сумму всех двузначных чисел; сумму всех трехзнач-
ных чисел.
420.	Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена.
Найти S50, если:
1)ап = Зп + 5;	2)ап = 7 + 2и.
421.	Сколько нужно взять последовательных натуральных чисел,
начиная с 3, чтобы их сумма была равна 75?
422.	Найти ап и d арифметической прогрессии, у которой:
1)	а =10, и =14, S =1050;
2)	а, =21, и=10, Slo=9O|.
о	О
423.	Найти и d арифметической прогрессии, у которой:
1)о7 = 21, 87 = 205;	2)au = 92, 8П = 22.
424.	При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как
показано на рисунке 75. Сколько бревен находится в одной
кладке, если в ее основании положено 12 бревен?
В арифметической прогрессии а3 + а9 = 8. Найдите 811.
Найти первый член и разность арифметической прогрессии,
если S = 65 и 81П = 230.
Доказать, что для арифметической прогрессии выполняется
равенство S12 = 3(Sg - S4).
425.
426.
427.
Рис. 75
165
§32
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. По-
строим треугольник, вершинами которого являются середины сто-
рон данного треугольника (рис. 76). По свой-
ству средней линии треугольника сторона
второго треугольника равна 2 см. Продол-
жая аналогичные построения, получим тре-
угольники со сторонами 1, см и т. д.
Запишем последовательность длин сторон
этих треугольников:
Рис. 76
4 о 1 — — ~
ч, z, 1, 2, 4, 8
В этой последовательности каждый ее
член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно
и то же число ±. Такие последовательности называют геометричес-
кими прогрессиями.
Определение. Числовая последовательность
Ь3.......................
называется геометрической прогрессией, если для всех
натуральных п выполняется равенство
Ь , = Ь q,
п+1	п**
где Ъп* 0, q — некоторое число, не равное нулю.
Из этой формулы следует, что &”+1 = q. Число q называется зна-
менателем геометрической прогрессии.
Примеры.
1) 2, 8, 32,128, ... — геометрическая прогрессия со знаменате-
лем 9=4;
166
4 8
9 ’ 27
2)14
... — геометрическая прогрессия со знаменателем
3)	, 1, -12,144,... — геометрическая прогрессия со знамена-
JL/j
телем </= -12;
4) 7, 7, 7, 7,... — геометрическая прогрессия со знаменателем q= 1.
Задача 1. Доказать, что последовательность, заданная форму-
лой Ьп= 72п, является геометрической прогрессией.
Д Отметим, что b = 72" Ф 0 при всех п. Требуется доказать, что
&п+1
частное —-— одно и то же число для всех п (не зависит от и).
Получаем п
у2(п + 1)	у2и+2
Ьп	г^2п	т^2п
= 49,
т. е. частное
Ьп + 1
Ьп
не зависит от п. А
По определению геометрической прогрессии
Ьп + 1 =Ъп(1,ЪпЛ = ^-,
q
откуда
Ьп =Ьп_гЬп + 1, п>1.
О
Если все члены геометрической прогрессии положительны,
то Ьп = ^bn_1bn+11 т. е. каждый член геометрической прогрес-
сии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух
соседних с ним членов. Этим объясняется название «геомет-
рическая» прогрессия.
Отметим, что если Ьг и q заданы, то остальные члены геометри-
ческой прогрессии можно вычислить по рекуррентной формуле
bn+i = &nQ. Однако для больших п это трудоемко. Обычно пользуют-
ся формулой п-го члена.
По определению геометрической прогрессии
ь2=ъ& ъз=b2<i=М2; &4=ъ&=ь^3 и т- д-
167
о
Вообще
(1)
Ь =b,qn~\
так как n-й член геометрической прогрессии получается из первого
члена умножением (и - 1) раз на число q.
Формулу (1) называют формулой п-го члена геметрической про-
грессии.
Задача 2. Найти седьмой член геометрической прогрессии, если
= 81 и q = |.
Д По формуле (1) имеем:
Задача 3. Число 486 является членом геометрической про-
грессии 2, 6, 18,.... Найти номер этого члена.
Д Пусть п — искомый номер. Так как Ьг = 2, q= 3, то по формуле
Ьп = byqn~1 имеем:
486 = 2 • З" 1, 243 = 3»-1, 35 = 3nl,
откуда п-1 = 5, п = 6. А
Задача 4. В геометрической прогрессии &6 = 96 и &g = 384. Най-
ти формулу п-члена.
Д По формуле Ъп = имеем Ь(. = b^f, bB = btq7. Подставив
данные значения &6 и &g, получим: 96 = Ь1</5, 384 = &1д7. Разделив вто-
рое из этих равенств на первое, получим:
384
96 hq*'
откуда 4 = Q2, или q2 = 4. Из последнего равенства находим q = 2 или
q = -2.
Чтобы найти первый член прогрессии, воспользуемся равенством
96 = brq5.
1) При q = 2 находим:
96=&1-25, 96 = &х-32, &!= 3.
168
Если = 3 и q=2, то формула п- го
члена имеет вид:
b = -3 -2"-1.
п
2) При q = -2 находим:
96= &Z-2)5, 96 = ^(-32), &=-3.
Если bj = -3 и д=-2, то формула п-го
члена имеет вид:
&п=-3 • (-2)"-1.
Ответ: & =3- 2"-1 или
п
Ъ=-3(-2у-\ ▲
Задача 5.В окружность вписан квадрат, а в него вписана вто-
рая окружность. Во вторую окружность вписан второй квадрат, а в
него — третья окружность и т. д. (рис. 77). Доказать, что радиусы
окружностей образуют геометрическую прогрессию.
Д Пусть гп — радиус n-ой окружности. Тогда по теореме Пифа-
гора
-2	2	_ 2
'п + 1 ' гп + 1 гп г
откуда
2	12	„	1 „
гп+1 ,т. е. rn+1 =-1=гп.
Значит, последовательность радиусов окружностей образует гео-
метрическую прогрессию со знаменателем -!=•. А
Упражнения
428.	(Устно.) Назвать первый член и знаменатель геометрической
прогрессии:
1)8,16,32,...;	3)4, 2,1,...;
2)	-10, 20, -40,...;	4) -50, 10, -2,....
429.	Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если:
1)	Ь1 = 12, <7 = 2;	2) &1 = -3, д = -4.
169
430.	Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го чле-
на, является геометрической прогрессией:
1)	;	4)Ь„=^1_.
431.	Для геометрической прогрессии вычислить:
1)	Ь4, если Ьг = 3 и q -10;
2)	Ь7, если Ьг = 4 и q = |;
3)	Ь5, если Ьг = 1 и q = -2;
3)	66, если Ьг = -3 и q = -1.
432.	Записать формулу n-го члена геометрической прогрессии:
1)4,12,36,...;	3) 4,-1, 1,...;
2)	3, 1, 1,...;	4) 3,-4,^,....
о	о
433.	Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрес-
сии:
1)	6,12, 24,..., 192,...;
2)	4,12, 36,..., 324,...;
3)	625,125,25,...,
4)	-1,2,-4, ...,128,....
434.	Найти знаменатель геометрической прогрессии, если:
1)6, =2, Ь5 = 162;	3)61=-128, 67 = -2;
2)61 = 3,Ь4=81;	4) 6,-250, 64--2.
435.	Дана геометрическая прогрессия 2, 6, 18,...:
1)	вычислить восьмой член этой прогрессии;
2)	найти номер члена последовательности, равного 162.
436.	Найти седьмой член и знаменатель геометрической прогрес-
сии с положительными членами, если:
1)68=|,Ьв=81;	2)66 = 9, Ь8=3.
437.	Найти пятый и первый члены геометрической прогрессии,
если:
1)	Ь4 = 5, Ь6 = 20;	2) 64 = 9, 66 = 4.
170
438.	Вкладчик 2 января 2005 г. внес в сберегательный банк 30 000
сумов. Какой станет сумма его вклада на 2 января 2008, если
Сбербанк начисляет ежегодно 5 % от суммы вклада?
439.	Дан квадрат со стороной 4 см. Середины его сторон являются
вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квад-
рата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Дока-
зать, что последовательность площадей этих квадратов явля-
ется геометрической прогрессией. Найти площадь седьмого
квадрата.
§33
СУММА П ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Задача 1. Найти сумму:
S = l + 3 + 3* 2 + 33 + 34 + 35.	(1)
Д Умножим обе части равенства на 3:
38 = 3 + З2 + З3 + З4 + З5 + З6.	(2)
Перепишем равенства (1) и (2) так:
S=l+(3 + 32 + 33 + 34 + 35).
3S = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + 36.
Выражения, стоящие в скобках, одинаковы. Поэтому, вычитая из
нижнего равенства верхнее, получаем:
3S-S = 36-1, 2S = 36-1,
S = £=l= 728=1 =364.Д
Л л
Рассмотрим теперь произвольную геометрическую прогрессию
bYq,..., brqn,..., знаменатель которой q * 1.
Пусть S — сумма п первых членов этой прогрессии:
sn=6i+M+M2+™+M"_1-	(3)
О
Теорема. Сумма п первых членов геометрической про-
грессии со знаменателем д#1 равна'.
_М1-9П)
1—q
(4)
171
О Умножим обе части равенства (3) на q:
<lSn = bi(l+b^+bif+-+blqn.	(5)
Перепишем равенства (3) и (5),выделив в них одинаковые слагае-
мые:
Sn = &1 + (&19+ М2+ - +
gSn = (Ь^+ Ь$2+ b2qs+...+ Ь^п1) + btqn.
Выражения, стоящие в скобках, равны. Поэтому, вычитая из вер-
хнего равенства нижнее, получаем:
S -qS = b -b qn.
Отсюда
S,(l-9)=b,(l-9-), S„=^p.
Заметим, что если q-1, то
Sn=bl+b1+... + b1=b1n, т. е. Sn = fe1n.
п слагаемых
Задача 2. Найти сумму первых пяти членов геометрической
прогрессии 6, 2, |,....
О
Д В этой прогрессии Ь2 = 6, q = |. По формуле (4) находим:
q I - I 243/ _ 6-242-3 _ 242 а
5 t_l	2	2-243	27
3	3
Задача 3. В геометрической прогрессии со знаменателем q = |
сумма первых шести членов равна 252. Найти первый член этой
прогрессии.
*i(l—V)
Д Воспользуемся формулой (4): 252 = —-—. Отсюда
1-1
252 = 2&l(1--M, 252 =	=128. ▲
\ 04/
172
Задача 4. Сумма п первых членов геометрической прогрессии
равна -93. Первый член этой прогрессии равен -3, а знаменатель q
равен 2. Найти п.
Д Используя формулу (4), получаем:
93 = =3(1-22).
1-2
Отсюда -31 = 1-2", 2" = 32, 2" =25, п = 5. А
Задача 5. Последовательность 5,15, 45,..., 1215,... — геомет-
рическая прогрессия. Найти сумму 5 + 15 + +45 + ... + 1215.
Д В этой прогрессии Ьг = 5, q = 3, Ьп = 1215. Формулу суммы п
первых членов преобразуем так:
с = &1(1-д") _	= h-bn4 =
п 1-q	1-q	1-q	q-1
Используя условие задачи, находим:
Sn = 1211 35 = .3645-5 = 182о. А
о—1	Z
Упражнения
440. Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии,
если:
1) &i=i,Q=2, п=6;
2)b1=-2,q = l,n = 5;
3)	6 =1, 9 =-1, п = 4;
О
Найти сумму семи первых членов геометрической прогрес-
4)	^=-5, д = -|, « = 5;
5)	6, = 6, 9=1, п = 200;
6)	Ьг = -4:, 9=1, п= 100.
441.
сии:
1)	5, 10, 20, ...;	2) 2, 6, 18, ....
442.	В геометрической прогрессии найти:
1)	&,и Ь7, если 9 = 2, 87=635;
2)	Ьг и 68, если Ь2 = - 2, S8 = 85 .
173
443.	В геометрической прогрессии найти число п членов, если:
1)8= 189,	ь4 = з,	q = 2;
2) S = 635,	Ъг = 5,	q = 2;
3) S = 170,	Ьг = 256,	q = -l. 4	2
4) S =-99, ' п	7	Ь4 = -9,	q = -2.
444. В геометрической прогрессии найти:
1)	п и Ьп, если Ь4 = 7, q = 3, Sn = 847;
2)	п и Ьп, если Ь1-8, q-2, Sn = 4088;
3)	п и q, если Ь1 = 2, Ьп= 1458, Sn = 2186;
4)	п и q, если b. = 1, b = 2401, S = 2801.
445.	Найти сумму чисел, если ее слагаемые являются последова-
тельными членами геометрической прогрессии:
1)	1 + 2 + 4 + ... +128;	3) -1 + 2 - 4 + ... + 128;
2)	1 + 3 + 9 +... + 243;	4) 5 - 15 + 45 - ... + 405.
446.	В геометрической прогрессии найти 65и S4, если:
1)	Ь2 = 15, Ь3 = 25;	2) Ь2 = 14, Ь4 = 686, q > 0 .
447.	Геометрическая прогрессия задана формулой п-го члена:
1)	Ъ =3-2" ', найти 8.;
2)	Ьп = -2(|) , найти 86.
448.
Доказать тождество:
(х-l)(xn-1 + xn-2 + ... + 1) = х"-1,
где п — натуральное число, большее 1.
449.
450.
В геометрической прогрессии найти:
1) Ьг и q, если Ь3 = 135, S3 = 195;
2) b3 и q, если = 12, S3 = 372.
В геометрической прогрессии найти:
1)	q, если 6=1 и 6„ + Ь. = 90;
1	О 0
174
2)	q, если b2 = 3 и b4 + b6 = 60;
3)	S10, если b4 - b3 -15 и b2 - b4 = 30;
4)	S , если 6,-6, = 24 и & -к = 624.
'	5	о 1	5	1
§34
БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩАЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Рассмотрим квадраты, изображенные на рисунке 78. Сторона
первого квадрата равна 1, сторона второго равна 4 , сторона третье-
го — ~2 и т. д. Таким образом, стороны квадрата образуют геомет-
2 1
рическую прогрессию со знаменателем 5
1, 1, -L -Ц ...,	...	/п
’ 2 22 23	2"1	С1)
Площади этих квадратов образуют геометрическую прогрессию
со знаменателем 4-:
4
1 1 1 1 1
’ 4’ 42’ 4з’	4П-1 ’
(2)
Из рисунка 78 видно, что стороны квадратов и их площади с
возрастанием номера п становятся все меньше, приближаясь к нулю.
Поэтому прогрессии (1) и (2) называются бесконечно убывающими.
Отметим, что у рассматриваемых прогрессий знаменатели меньше
единицы.
Рассмотрим теперь геометрическую
прогрессию:
1,	,.... ^~1)П -, ... (3)
3 з2 з3 з"-1
Знаменатель этой прогрессии q = -1,
о
аеечленыб^!, b2 = b3 = 1, 64 =
о	У	<
ИТ. д.
С возрастанием номера п члены
этой прогрессии приближаются к нулю.
Прогрессию (3) также называют беско-
нечно убывающей. Отметим, что модуль
ее знаменателя меньше единицы: | q |< 1.
Рис. 78
175
О|
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убыва-
ющей, если модуль ее знаменателя меньше единицы.
Задача 1. Доказать, что геометрическая прогрессия, заданная
формулой n-го члена Ьп = —, является бесконечно убывающей.
5"
Д По условию |откуда q =	= f • Так как
|g| < 1, то данная геометрическая прогрессия является бесконечно
убывающей. А
На рисунке 79 изображен квадрат со стороной 1. Отметим штри-
ховкой его половину, затем половину оставшейся части и т. д. Пло-
щади заштрихованных прямоугольников образуют бесконечно убы-
вающую геометрическую прогрессию:
1 1 1 1 1
2’ 4’ 8’ 16’ 32’	’
Если заштриховать все получающиеся таким образом прямо-
угольники, то штриховкой покроется весь квадрат. Естественно счи-
тать, что сумма площадей всех заштрихованных прямоугольников
равна 1, т. е.
2 4 8 16 32
... = 1.
В левой части этого равенства стоит сумма бесконечного числа
слагаемых. Рассмотрим сумму первых п слагаемых:
По формуле суммы п членов геомет-
рической прогрессии имеем:
Если п неограниченно возрастает,
то — как угодно близко приближается
2
к нулю (стремится к нулю).
176
В этом случае пишут:
——> 0 при п —> оо
2"
(читается: «± стремится к нулю при п, стремящемся к бесконечно-
сти»), или Иш— = 0 (читается: «предел последовательности Ц- при
п->~ 2"	2
п, стремящемся к бесконечности равен О»).
Вообще, если для последовательности аг,а2,... ,ап,... , (сокра-
щенно обозначают {ап}) существует число а такое, что при п~> °°
модуль разности - а| —» О, то говорят, что число а является пре-
делом последовательности {а } и пишут lim ап - а.
"	п->~
2
2”
Поэтому бесконечную сумму + к + А +	••• счи-
2	4 о 16 о2
тают равной 1.
Рассмотрим теперь любую бесконечно убывающую геометричес-
кую прогрессию:
6Р brq, Ьгд2,..., \qn~l,..., где |g| < 1.
Суммой бесконечно убывающей геометрической прогресии
называют число, к которому стремится сумма ее первых п
членов при п —> °°.
Воспользуемся формулой Sn =
. Перепишем ее так:
1-9
Sn
=	ап
1-д 1-9q
(4)
Так как < 1, то qn —> 0, если п неограниченно возрастает. По-
этому • qn
стремится к нулю при п —> °°. В формуле (4) первое
слагаемое не зависит от п. Следовательно, Sn стремится к числу
Л_
1-9
при п —> °°.
12 — Алгебра, 9 класс
177
о
Таким образом, сумма S бесконечно убывающей геометри-
ческой прогрессии равна
S = ^-.
1-g
(5)
В частности, при Ьг = 1 получаем S =	. Это равенство
обычно записывают так:
l + 5 + g2 + ... + qn 1
1-9 •
Подчеркнем, что равенство (5) и это равенство справедливы толь-
ко при | q | < 1.
Задача 2. Найти сумму бесконечно убывающей геометричес-
кой прогрессии 1, -1, yL, -JL.....
Д Так как t>i = ~, Ь2 = то q = =2- = —и поформуле S =
Л	О	о	х Q
получим: S =
2= 3
( П 8
Задача 3. Найти сумму бесконечно убывающей геометричес-
кой прогрессии, если 63=-1, q =
7’
л	й '13-1
ZX Применяя формулу Ьп=Ь^п 1 при п=3, получаем -1 = • I ± I ,
-1 =	, откуда 6, =-49.
По формуле (5) находим сумму S:
= ^ = -571. А
1 7
Задача 4. Пользуясь формулой (5), записать бесконечную пе-
риодическую дробь а = 0,(15) = 0,151515... в виде обыкновенной
дроби.
Д Составим следующую последовательность приближенных зна-
чений данной бесконечной дроби:
178
= & ^^•1515 = Т(Й + Гоо-
а3 = 0,151515 =	+ -Дг.
3	100 1002 юо3
Запись приближений показывает, что данную периодическую
дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей гео-
метрической прогресии:
а = -15-+ -Ю_ + _15_ + ...
100 ЮО2 юо3
15
По формуле (5) получим: а = Ю0. ~	= JL . А
1	1 УУ ОО
100
Упражнения
451.	Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконеч-
но убывающей:
1)1, |, 1,	3)-81,-27,-9,...;
4)—16,-8,-4....
452.	Выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконеч-
но убывающей, если:
1)Ь1 = 40, 62=-20;	3) 67=-30, Ь( = 15;
2)6,=12, ^=1;	4)Ь5=-9, h,=-X.
453.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии:
1)1,	3)-25,-5,-1,...;
о V
2) 6, 1, 1, ...;	4) -7, -1, -1, ... .
о	7
454.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии, если:
1)9 = |.&1=|;	3) q = 1, 65 =
Z	О	О	О1
2)Q = -|,61=9;	4) g = -|, &4 =-1.
О	О
179
455.	Является ли последовательность бесконечно убывающей геомет-
рической прогрессией, если она задана формулой п- го члена:
1)	t»n = 3 • (-2)";	3)&n=2-(-Jp1;
(1 \П-1
4) ?
456.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии:
1)12, 4,	2)100,-10,1,....
О
457.	Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии, если:
1)9 = i’^ = u:	=
458.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
равна 150. Найти:
1)	если q - |; 2) q, если Ьг - 75.
На куб со стороной а поставили куб со стороной , на него
куб со стороной £, затем куб со стороной f и т. д. (рис. 80).
Найти высоту получившейся фигуры.
459.
Рис. 80
180
460.
461.
|В угол, равный 60°, последовательно вписаны окружности, ка-
сающиеся друг друга (рис. 81). Радиус первой окружности ра-
вен Rv Найти радиусы остальных окружностей R2, R,3,..., Rn,...
и показать, что они образуют бесконечно убывающую геомет-
рическую прогрессию. Доказать, что сумма R} + 2 (R2+R3+ ...+
+ Rn + ...) равна расстоянию от центра первой окружности до
вершины угла.
Записать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде
обыкновенной дроби:
1)	0,(5); 2) 0,(9); 3) 0,(12); 4) 0,2(3).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
462.	Найти разность арифметической прогресии и записать ее чет-
вертый и пятый члены:
1	) 4, 4|, 4|, ...;	3) 1, 1 + 7з, 1+2V3, ...;
3	3
2	) 3|, 3, 21, ...;	4) V2, V2-3, V2-6, ... .
л	2
463.	Доказать, что последовательность, заданная формулой п—го
члена ап~-2(1-п), является арифметической прогрессией.
464.	В арифметической прогрессии вычислить:
1)	а., если а =6, d = 1;	2) а„, еслиах = -31, d = -1.
465.	Найти сумму двадцати первых членов арифметической про-
грессии, если:
1)	at = -l, а2 = 1;	2) аг = 3, а2=-3.
466.	Найти сумму п первых членов арифметической прогрессии,
если:
1)	а^=-2, а=-60, п= 10;	2) ах = |, ап = 2б|, п=11.
467.	Найти сумму, если ее слагаемые — последовательные члены
арифметической прогрессии:
1)	-38 + (-33) + (-28) + ... +12; 2) -17 + (-14) + (-11)+... +13.
181
468.	Найти знаменатель геометрической прогрессии и записать ее
четвертый и пятый члены:
1)3, 1 , |,	3) 3, 7з, 1, ...;
О
2) 1, -1 i ...;	4) 5, -572, 10, ... .
4 о 1о
469.	Записать формулу n-го члена геометрической прогрессии:
1)-2,4,-8,...;	2)	1, -2, ... .
470.	В геометрической прогрессии найти Ьп, если :
1)^ = 2, q = 2, п = 6;	2)	= |, д = 5, п = 4.
О
471.	Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии,
если:
1)	bi =^, g = -4, п = 5;	3)	bt = 10, q = l, n = 6;
2)	bx = 2, q = -i, n = 10;	4)	^ = 5, g=-l, n = 9.
472.	Найти сумму n членов геометрической прогрессии:
1)	128,64, 31,..., п=6;	3)|, к ...,п=5;
2)	162,54,18, ...,п=5;	4)	|, 1, ...,п = 4.
4 л о
473.	Доказать, что данная геометрическая прогрессия является бес-
конечно убывающей, и найти ее сумму:
1)	—	21 -1 — - —
2»	4’8	’	J Х’ 4’	16.....
474.	Найти разность арифметической прогрессии, если at=2±
и «8 = 23|.
Zu
475.	Записать первые пять членов арифметической прогрессии,
если:
1)	аг = 5, а3=15;	2)а3 = 8, а5 = 2.
476.	Между числами -10 и 5 вставить число так, чтобы получи-
лись 3 последовательных члена арифметической прогрессии.
182
Проверьте себя!
1.	В арифметической прогрессии аг = 2, d = -3. Найти а10 и
сумму первых десяти ее членов.
2.	В геометрической прогрессии Ьг = 4, q = |. Найти &6 и сум-
му первых шести ее членов.
3.	Доказать, что последовательность 1, |,	... является
бесконечно убывающей геометрической прогрессией, и найти
сумму ее членов.
477.	Найти девятнадцатый и первый члены арифметической про-
грессии, если:
i)	а13=28, а20 = 38;	2) а18=-6, а20 = 6.
478.	При каком значении х являются последовательными члена-
ми геометрической прогрессии числа:
1)	Зх, ,2х-1;	2) Зх2, 2, Их ?
479.	Показать, что следующие числа являются тремя последова-
тельными членами арифметической прогрессии:
1)	sin(a+Р), sin a cos Р, sin(a - Р);	3) cos2a, cos2a, 1;
2)	cos (a+ P), cos a cos P, cos (a - P); 4) sin5a, sin3a cos2a, sina.
480.	Сколько нужно взять последовательных нечетных натураль-
ных чисел, начиная с 5, чтобы их сумма была равна 252?
481.	Найти ап и d арифметической прогрессии, у которой:
1)	аг=40, п = 20, S20=-40;	2) ar = |, п=16, S16 = -101.
482.	Для геометрической прогрессии вычислить:
1)	69, если Ьг = 4 и q=-l;	2) 6„, если 6Х = 1 и q= Js .
483.	Найти пятый член геометрической прогрессии, если:
1)	Ь2 = 1,6, =16;	3)»2=4,ь4 =1;
2)Ь„=-8,»,=-81;	4)6,=-!,6.=-^.
183
484.	Между числами 4 и 9 вставить положительное число так, что-
бы получилось 3 последовательных члена геометрической про-
грессии.
485.	Является ли последовательность бесконечно убывающей гео-
метрической прогрессией, если:
1)&=5"+1; 2)Ь = (-4)п+2;	3) b =1° ;	4) Ъп =—
486.	Показать, что геометрическая прогрессия является бесконеч-
но убывающей, если:
1)	Ь =-81, S =162;	3)b, + b =130, Ь -Ь =120;
2)	b =33, S =67;	4) &,+ &д = 68, 6,- &д = 60.
'	£	Z 4	Z 4
487.	Отдыхающий, следуя совету врача, загорал в первый день 5
мин., а в каждый последующий день увеличивал время пре-
бывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его
пребывания на солнце будет равно 40 мин., если он начал
загорать в среду?
Найти первый член и разность арифметической прогрессии,
если а, + а, + а., = 15 и а, а9 а„ = 80.
1 Л о	1 Z о
Найти первый член и разность арифметической прогрессии,
если + о2 + а3 = 0 и af +а£ +а$ = 50.
488.
489.
490.
Часы бьют 1 раз, когда показывают полбвину очередного часа,
и каждый час столько раз, каково время от 1 до 12. Сколько
раз часы пробьют за сутки?
V ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ VI
1.	В арифметической прогрессии а1 = 3, d = -2. Найти SW1.
А)-9797; В)-9798; С)-7979; D)-2009; Е) -9697.
2.	В арифметической прогрессии d = 4, S5() = 5000. Найти аг.
А)-2;	В) 2;	С) 100;	D) 1250;	Е) 5.
3.	В арифметической прогрессии = 1, <8101 = 151. Найти d .
А) 4;	В) 2;	С) 3;	D) 3,5;	Е) 5.
184
4.	В арифметической прогрессии а2 + а9 = 20. Найти S10.
А) 90; В) 110; С) 200; D) 100; Е) определить нельзя.
5.	Найти 6-й член последовательности натуральных чисел, даю-
щих при делении на 8 остаток 7.
А) 74;	В) 55; С) 39;	D) 63; Е) 47.
6.	Найти номер члена прогрессии 1, 8,15, 22,..., равного 701.
А) 101;	В) 100; С) 102; D) 99;	Е) не является членом
прогрессии.
7.	Найти номер, начиная с которого члены прогрессии 1002, 999,
996, ...будут отрицательными числами.
А) 335; В) 336; С) 337; D) 334; Е) 330.
8.	В арифметической прогрессии а2 + ав = 44, а5~аг = 20. Найти
aioo"
А) 507; В) 495; С) 502; D) 595; Е) 520.
9.	В арифметической прогрессии аг = 7, d = 5, Sn = 25450. Найти п.
А) 99;	В) 101; С) 10; D) 100; Е) 590.
10.	В арифметической прогрессии а12 + а15 = 20. Найти S26.
А) 540;	В) 270; С) 520; D) 130; Е) 260.
11.	Поместить между числами 1 и 11 таких 99 чисел, которые
вместе с данными образуют арифметическую прогрессию. Най-
ти для этой прогрессии S50.
А)172|; В) 495; С) 300; D) 178; Е) 345.
12.	Найти номер, начиная с которого члены прогрессии с
= -20,7, d = 1,8 будут положительными числами.
А) 18; В) 13; С) 12; D) 15; Е) 17.
13.	В последовательности чисел, кратных 7, найти номер члена,
равного 385.
А) 12;	В) 11; С) 10; D) 55; Е) 56.
14.	В геометрической прогрессии Ьг = 2, q = 3. Найти <86.
А) 1458; В) 729; С) 364; D) 728; Е) правильный ответ не
приведен.
185
15.	В геометрической прогрессии q = |, 8 = 360. Найти Ьг.
А)63|; В) 81; С) 121|; D) 243; Е) 240.
О	о
16.	В геометрической прогрессии S4 = 10 f , 85 = 42 f . Найти q.
О	о
А) 4; В) 2; С) 8; D) J ; Е) V2 .
17.	В геометрической прогрессии 6 членов. Сумма первых трех
равна членов 26. Сумма следующих 3 членов — 702. Найти
знаменатель прогрессии.
А) 4; В) 3; С) 1;	D)2V3; Е)
18.	В бесконечной убывающей геометрической прогрессии = 1,
S = 64. Найти q.
19.	В геометрической прогрессии q = ^-,Ъ1= 2 - -»/3. Найти S.
Л
А)2 + 7з;В)3; С) 2^3; D) 2; Е) 7з.
О
Исторические задачи
1.	Задача Беру ни. Доказать, что в геометрической прогрес-
сии с положительными членами: &^+1 =	• b2k+1, если число
членов нечетно;^ • bk+1 = b1-b2k, если число членов четно.
2.	Задача из папируса Ахмеса (2000 лет до н. э.). Распреде-
лить 10 мер зерна между 10 крестьянами так, чтобы каж-
дый следующий получал зерна на | больше, чем преды-
дущий.
Исторические сведения
В своей книге «Памятники минувших поколений» Абу Рай-
хан Веруни в задаче об изобретении шахмат вычисляет сумму
первых 64 членов прогрессии с = 1 и знаменателем q = 2.
Он показывает, что если вычесть из числа, соответствующе-
го Л-клетке доски число 1, разность будет равна сумме чи-
сел, соответствующих всем клеткам, предшествующим /г-й,
т. е. доказывает, что qk - 1 = 1 + q + q2 + ... + qh
186
УПРАЖНЕНИЯ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 9 КЛАССА
491.
Построить график функции:
1) у = х2 + 6х + 9;
4) у - х2 + Зх -1;	7) у - (х - 2)(х + 5);
492.
8) г/ = (х + -|(х + 4).
I 8 /
2) у = х2
2
3) у = х2 -12х 4-4;
(Устно.) Используя график функции у = ах2 + Ьх + с, устано-
вить ее свойства (рис. 82).
5) у = х2 + х;
6) у = х2 - х;
493.
4)	у = 3 + 2х - х2;
5)	у - -4х2 - 4х;
6)	у = 12х - 4х2 - 9.
Построить график функции и установить ее свойства:
1)	у = -2х2 - 8х - 8;
2)	у = Зх2 + 12х +16;
3)	у = 2х2 - 12х + 19;
494.	На одной координатной плоскости построить график функ-
ции:
.4	1	2	12
1)	У = %х ™У = ~зх ;
2)	у = Зх2 и у = Зх2 - 2;
3) у = ~х2 и j/ = -|(x + 3)2;
4) у = 2х2 и у = 2(х - 5)2 + 3.
Решить неравенство (495—499).
495.	1) (х - 5)(х + 3) > 0;
2) (х + 15)(х + 4) < 0;
3) (х - 7)(х +11) < 0;
4) (х - 12)(х -13) > 0.
187
496. 1) х2 + Зх > 0;	3) х2-16<0;
2) х2 - Ху/5 < 0;	4) х2- 3 > 0.
497. 1) х2-8х + 7>0;	4) 5х2 +9,5х-1<0;
2) х2 + Зх - 54 < 0;	5) -х2 - Зх + 4 > 0;
3) - х2 + 0,5х -1 > 0; 2	6) -8х2 +17х-2 <0.
498. 1) х2 - 6х + 9 > 0;	4) -х2 +4х + 12 > 0; 3
2) х2 + 24х +144 < 0;	5) 4х2 - 4х +1 > 0;
3) - х2 - 4х + 8 < 0; 2 499. 1) х2 - 10х + 30 < 0;	6) 5х2 + 2х + - < 0. 5 4) 2х2 - 4х +13 > 0;
2)-х2 + х -1 < 0; 3) х2 + 4х + 5 < 0;	5) 4х2-9х + 7 <0; 6) -11 + 8х-2х2 <0.
Решить методом интервалов неравенство (500—502):
500. 1) (х + 3)(х - 4) > 0;	3) (х - 2,3)(х + 3,7) < 0;
21 1 х - - |(х + 0,7) < 0; 7 1 2)	4) (х + 2Хх -1) < 0;
501. 1) (х + 2)(х -1) > 0;	3) (х + 2)(х -1)2 > 0;
2) (х + 2)(х -1)2 < 0;	4) (2 - х)(х + Зх2) > 0.
502.!) ^.0; 2) х - 2	3) <х~1Хх~1'2) < 0; ’	X 2х	п 4) (3+х)(1-х) <
503. Площадь трапеции больше 19,22 см2. Ее средняя линия в два
раза больше высоты. Найти среднюю линию и высоту трапе-
ции.
504. С самолета, находящегося на высоте, большей 320 м, геоло-
гам был сброшен груз. За какое время груз долетит до земли?
Ускорение свободного падения = 10 м/с2.
188
505.	Сторона параллелограмма на 2 см больше высоты, опущен-
ной на эту сторону. Найти длину этой стороны, если площадь
параллелограмма больше 15 см1 2.
506.	Решить методом интервалов неравенство:
1)	(х + 2)(х + 5)(х - IX* + 4) > 0;
2)	(х + 1ХЗх2 + 2)(х - 2)(х + 7) < 0;
3)	>
’ Зх+1 х+3
1-Зх 1+Зх > 12
1+Зх + Зх-1 " 1-9х2
507.	Найти коэффициенты pw.q квадратного трехчлена х2+рх + q,
если этот трехчлен при х = 0 принимает значение, равное -14,
а при х = -2 принимает значение -20.
508.	Найти р- q, если парабола у — х2 + рх + q:
12
1)	пересекает ось абсцисс в точках х = --их = -;
2)	касается оси абсцисс в точке х = -7 ;
3)	пересекает ось абсцисс в точке х = 2 и ось ординат в точке
у = -1.
509.	Записать уравнение параболы, если известно, что она пересе-
кает ось абсцисс в точке х = 5, а ее вершиной является точка
^2—; 10-1
(4	8)
510.	Зеркало отражателя телескопа (реф-
лектора) имеет в осевом сечении вид
параболы (рис. 83). Написать уравне-
ние этой параболы.
511.	Найти коэффициенты квадратичной
функции у = ах2+Ьх + с, если ее график
проходит через точки:
1)	А (-1; 0), В (3; 0) и С (0; -6);
2)	К (-2; 0), L (1; 0), М (0; 2).
512.	Доказать, что для любых неотрицательных чисел а и b спра-
ведливо неравенство:
1) а2 + Ь2 < (а + Ь)2;
3) а3 + Ь3 > a2b + ab2;
2) а3 + Ъ3 < (а + &)3;
4) (а + Ь}3 < 4(аа + Ъ3).
189
513. Доказать, что для любых положительных чисел а, Ь, с спра-
ведливо неравенство:
а Ъ 1) 7 + 7 + Ь с	С а	>3;	3)	а3+Ь3+с3 ,	>a+b+се 3	’
				а2+Ь2+с2	
2)—+~ ’а Ъ	+	— > а + Ь + с; с	4)	а	Ъ 4 Ь + с с + а	а + Ь 2 ’
514. Построить график функции:
1)	y = Jx?;
2)	у =1 х -11;
3)	у = >1х2 -6х + 9;
4)	у = Jx? + 4х + 4;
5)	у = 7(х-1)2+л/(х + 1)2;
6)	у = >/х2 -4х + 4+ |х + 2|.
515. Найти действительные корни уравнения:
1) х2-1 х |-2 = О;	3)|х2-х|=2;	5)|х2-2|=2;
2) х2-4 | х |+3 = О;	4)]х2+х|=1;	6) | х2 - 26 |= 10.
516. Извлечь корень:
2>Д 3>’Ж’“*0; 4)®-у>0-
517. Упростить выражение:
1) (Зл/20+7л/15-л/5):>/5;	3)2^|+Тб-3^|;
2) (^7-^4 +^/бб): ^/7;	4) 7^Г| - л/f + 0,5>/343.
518. Сравнить значения выражений:
2) (2ijo^5)0,3 и (27о^5)0,37.
519. Упростить выражение:
. -2	2
3)(16а"4)4;	4) (27b-6)3.
190
520.	Вынести множитель из-под знака корня:
1)	у/9агЬ, где а < О, b > О;
2)	Т25а2&8, где а > О, Ь > 0;
3)	Тва8&5, где а < О, b < О;
4)	<J121asbs, где а < О, Ь < О.
521.	Внести множитель под знак корня:
1)	хТб, где х > О;	3) -аТз, где а > О;
2)	хТз, где х < 0;	4) -аТб, где а < О.
522.	Вычислить:
1)	Т1000 (О,ООО1)0’25 +(0,027)3 • 7,1° -f—Т ;
I13 )
’_ + (6,25Я:Мо.
\ 4 /	| 1
h
523.	Найти значение выражения:
1)
1 11
”1 Т
a2_ft2
а - b
1 1
а-2а2Ь2 +Ь
----------, при а = 3, Ь = 12;
а
2)
т-п
при т = 5, п = 20.
524.
Решить уравнение:
п
1) х2 = 2;
525.
526.
_1 £
2) х2 = 3;	3) х3 = 8;	4) х2 = О.
25
Выяснить, принадлежит ли графику функции у =----точка:
1) А (Тб; - бТб;	2) В(-бТ2; бч/2) .
Выяснить, принадлежит ли графику функции у = Т1-2х точка:
1) С —
4 2
2)	1.
I	I
191
527.	Найти область определения функции:
1)	у = V-х2 - Зх + 10;	3) у -	;
\ 6 - X
п\ л 1х-7	.	12х +15
2)	у = ? ——;	4) у = 6--
V 3 - 2х	V 6
528.	Построить график функции:
1)	у = х2 + 6х +10;	3) У = -?
X
2)	у = -х2-7х-6;	4)у = --;
X
Выяснить по графику: промежутки возрастания и убывания
функции; является ли функция четной или нечетной.
529.	Указать несколько углов поворота, при котором точка Р (1; 0)
перемещается в точку:
1)	А (0; 1);	2) В) (0; -1); 3) С) (-1; 0);	4) D) (1; 0) .
2 sin— + cos— - tg—
530.	Вычислить-----4-------3-3_ .
ctg— - sin— - 2cos—
6	6	4
531.	Выяснить, положительно или отрицательно число:
1)	sin -sin— cos	2) sinacos(7t + a)tga, 0<a<
5	5	6
532.	Дано: sina = 0,6, sinp = -0,28, 0<a<^,7t<p<
a
Вычислить: 1) cos(a-p); 2) sin(a + p).
533. Разложить на множители:
1)	sin2a-2sina;	3) cosa-sin2a;
2)	sina+sin^;	4) 1 - sin2a - cos2 a.
.	a 8	. ос „
534. Вычислить sina, cosa, tga, если cos- = и sin2 < °'
535. Вычислить n-й член и сумму п первых членов арифметичес-
кой прогрессии, если:
to I
192
1) fltj = 10, d = 6, n = 23;
3) at = 0, d = -2, n = 7;
2) ft = 42, d = i, n = 12;	4) a, = i, d = n = 18 .
/	>	2’	7	3	3
536.	Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии,
если а, = 2, а = 120, п — 20.
1	п
537.	Доказать, что последовательность, n-й член которой равен
1—2п	,	»	„
ап =----, является арифметической прогрессией.
3
538.	В геометрической прогрессии найти:
1)	Ь4, если bf = 5 и q = -10 ; 2) bp если Ь4 = -5000 и q = -10.
539.	Вычислить n-й член и сумму п первых членов геометричес-
кой прогрессии, если:
1)	1\= 3, q = 2, п = 5;	3) = 8, q = |, п = 4;
2)ЬХ = 1,9 = 5, п = 4;	4) b, = 1, q = -3, п = 5.
540.	Найти сумму п первых членов геометрической прогрессии,
если q = 2, п = 6.
541. Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрес-
сии:
1) 6,4,—, .
з
2) 5, -1, i
5
3) 1, -
4
4)	-,
2	4
5) & 1, —, ...;
2
6)	-1, - —
5
1
16
1
>
8
542. Вынести множитель из-под знака корня:
1) V20a4b, где a < 0, Ь>0;	3) -^(a-l)2, гдеа<1;
2) $8а3Ь*, где а < 0, Ь>0;	4) ^(3 + а)2, гдеа>-3.
543. Упростить выражение:
_ 7(а-Ь)2	.
1)		---где а > Ь;
а-Ь
ГЛ 1
< 1+-+"Т
3)	5 . ,гдех > 0;
V^+x+l
7(а-&)2
2) ------, где Ъ > а;
а-Ь
L 1 1
\1+-+Т
4) -	, где х < 0.
13 — Алгебра, 9 класс
193
544.	Какое из равенств является верным:
>/7-4л/3 = 2 - \[% или >/7-4^ = 73-2?
545.	Исключить иррациональность из знаменателя:
1
3)
4) -г^—г
V5 + V5
546.	Упростить выражение:
2)
-Jab \[а а2 + 4
(а + 2) \1сГ1Ь2 а2 - 4
3)
4)
а — Ь
ГТ
а4 + а2Ь4
a2
а4 + а4
а-Ь
а* + Ь4
(в 1&)2
a — b
Jab
va va
b + -Tab b -\[i
Ь - а
3
а — Ь
547.
Выяснить, возрастает или убывает функция у =
жутке х > О?
4
— напроме-
X
548.
Найти область определения функции:
1
3) y"x2-2V2x+2;
1)	У = л/(х - 2Х* - 3);
5) У =
(х-1)х
х+5
2)	у = vx -6х;
4)	У = ~г---2--’
2V3x-x2+3
6) у =
х2-9
х2-2х
3
549.	Построить график функции и установить по графику ее ос-
новные свойства:
1)	» =	3)№^;	5) у = 4^-3;
2)«' = Л;	4)» = ^;	6)j, = ?/2^7.
£л X	X
550.	Решить уравнение:
1)	х/х-2 = 4;	3) >/2х +1 = у/х-1; 5) ^6х-х2 = х;
2)	л/х + 3 = 8;	4) ^х2 +12 = х ;	6) \/3-х = ч/1 + Зх .
194
551.	Упростить выражение:
tg* 2a
l+ctg2a
ctg2a
552.	Упростить выражение:
3)
ctga + ctg P
о	9
4) (tga + ctga) - (tga - ctga) .
1Л
a-
4
1)
I 3
sin a-----л - sin(n + a)
2
2
tg(n + a)(cos(a + 2л) + sin(a - 2л))
2) sin(x - 2n)cos(^ - xj + tg(n - x)tg(|n + x
553. Решить уравнение:
1)1- cosx - 2sin^ = 0;	2) 1 + cos2x + 2cosx = 0.
554. Доказать тождество:
ц tg(a-P) + tgP _ cos(a+P)_	sin (a+P) + sin (a~P) _
tg (a+P)-tg P cos (a~P) ’	cos (a+P) + cos (a-P)
555. Доказать тождество:
1)1 + sina = 2cos2 (- -	2) 1 - sina = 2sin2 (- - -
\4 2/	\4 2
556. Внутренние углы треугольника являются тремя последователь-
ными членами арифметической прогрессии с разностью ®.
Найти эти углы.
5	65
557. В арифметической прогрессии	a3a4 = —. Найти сум-
му первых 17 членов прогрессии.
558. Найти первые 4 члена геометрической прогрессии, если вто-
рой член прогрессии меньше первого на 35, а третий член
больше четвертого на 560.
559. В геометрической прогрессии найти bt и Ъ5, если д = 3, S6 =
= 1820.
560. Сумма бесконечной убывающей прогрессии равна , а второй
член равен -т>. Найти третий член прогрессии.
195
561. Сумма трех последовательных членов арифметической про-
грессии равна 39. Если из первого числа вычесть 4, из второ-
го 5, а из третьего 2, то полученные числа будут тремя после-
довательными членами геометрической прогрессии. Найти эти
числа.
Упростить выражение (562—563).
562.
2) >/4 + л/7.
aV-Л'1
—-----5---«8&3
a ~3b~2-b sfl-2
564.
Построить график функции:
1)а=и;
Q
4) у = х2 - 3 | х | -4.
565.
Вычислить sina и cosa, если tg^ = -2,4.
566.
Доказать тождество:
ч ч	/	2л\
1) cos a-----=
’	\	3/
2) cos
/ , 4л
= cos a + —
\ з ,
567.
Найти четыре числа, обладающие следующими тремя свой-
ствами:
а)	сумма первого и четвертого чисел равна 11, а второго и
третьего равна 2;
б)	первое, второе и третье числа являются последовательны-
ми членами арифметической прогрессии;
в)	второе, третье и четвертое числа являются последователь-
ными членами геометрической прогрессии.
568.
Пусть Sn — сумма первых
грессии. Доказать, что:
п членов арифметической про-
1) Sn+3 = 3Sn+2 -3Sn+1 +Sn; 2) Ssn = 3(S2n -Sn).
196
УПРАЖНЕНИЯ
ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 7-9 КЛАССОВ
1. Числа и алгебраические преобразования
Вычислить (569—570).
569. 1) (5,4  1,2 - 3,7 : 0,8) (3,14 + 0,86): 0,25;
2) (20,88 : 18 + 45 : 0,36): (19,59 + 11,95);
3)
--7- ; 15—;
71	6	3
.. 7 _ о 11	9 5
4) — • 9 + 8 ------F — • —
' 36	32 10 18
570.	1) Гз—+20,241-2,15 +(5,1625-241-;
««и. +7	25	)	\	16/5
2)	0,364 :4 + Л: 0,125 + 2,5 0,8;
25	16
13,25	-2 |.б,25 (5,5-3- 1:5	12—+1—1:27,7
I 4/	1’4/.	I 20 16J
4	3’	(	2	1^7"
(2-0,75):- (-2-0,8)-1-	1,75 --1,75 1- :—
5	4	у	3	8 J 12
571.	Найти неизвестный член пропорции:
1)	х : 7 = 9:3;	4) gl : 14^ = х : 0,75;
2)	125 : 25 = 35 : х;	5)	= И ;
6—	’
6	4	1
3)	144 : X = 36 : 3;	6) 0,3 : х = - : 3-.
9	3
572.	Найти р процентов от числа а, если:
1)	а = 400, р = 27;	3) а	= 2500, р = 0,2;
2)	а = 2,5, р = 120 ;	4) а	= 4,5,р = 2,5.
573.	Найти число, если р процентов от него равны Ь:
1)р = 23, Ь = 690;	3)р= 125, Ь = 3,75;
2)р = 3,2, b = 9,6;	4)р	= 0,6, Ь = 21,6.
574.	Какой процент составляет число а от числа Ь:
1)	а = 24, Ь = 120;	3) а = 650, Ъ = 13;
2)	а = 4,5, b = 90;	4) а = 0,08, р = 0,48 ?
197
575. Выполнить действия:
1) f-3a3b)(-2ab2)(-5a3b7);	3) (~5ab4cf 	;
/9	/ 1	\2
2) 35а5Ь4с : (7аЬ3с);	4) --а4Ь3с2 : -ia2bc3 .
\ 3	/	\ 3	/
576.	Записать выражение в виде многочлена стандартного вида:
1)	(х - 6)(5 + х) - х2(х2 - 5х + 1);
2)	(х + 7)(5 — х) - х2(х3 + 2х - 1);
3) (Ь - За)2 + 8
577.	Найти числовое значение выражения:
1)	а3 - Ьа2 при а = -0,6, b = 9,4;
2)	аЬ2 + Ь3 при а = 10,7, Ь = -0,7;
3)	(т - 5)(2т - 3) - 2т(т - 4) при т = |;
5
4)	(За - 2)(а - 4) - За(а - 2) при а = |.
578.	Выполнить действия:
1)	(—15х5 + 10х4 - 25х3): (-5х2) - 3(х - 3)(х2 + Зх + 9);
2)	(9а2Ь3 - 12а4Ь4) : За2Ъ - Ь2 • (2 + За2Ь).
Разложить на множители (579—583).
579.	1) 1-^;	2)^-1;	3) а2 - Ъ4;	4) Ъ4 - 9.
580.	1) 1 - а +	3) 49а2 - 14а + 1;
2)	0,25b2 + b + 1;	4) 1 + 18b + 81b2.
581.	1) у2 - ху - у + х;	3)	За2 + ЗаЬ + а + Ь;
2)	а2 - ах - х + а;	4)	5а2 - бах - 7а + 7х.
582.	1) 6m4n + 12m3n + 3m2n;	3)	а2 - 2ab + b2 - р2;
2)	2а5Ь - 4а4Ь + 2а3Ь;	4)	а4 + 2а2Ь2 + Ь4 - 4а2Ь2.
198
583. 1) х2 + Зх - 28;
2) 2х2 - 12х + 18;
584. Сократить дробь:
1 ч 4-&2	„ч	5а2 -ЮаЬ
f4b^;	'	ab-2b2	;
9	) fe2~9 .	4)	.
7	3&2-9i> ’	'	4х2~28х</	’
3)	2х2 - 5х + 3;
4)	х2 + х - 2.
5)	2-* ;	7)	;
х2—16	2х2-Зх-2
х2-х-20	2х2+х-3
' х2-25 ’	' 2х2+7х+6 *
Упростить выражение (585—589 888-1>^:^ =	4>(Й^ _ 9а2 6а2	5а 2) —т : “Г i	5)	’ 8а& т8 тъ	’ 23b2 (4а\2 Ь\	( 25а4 3)W7 8S’	6)b^j 586.1)^4-2^;	3) ’ а+3	а2-9 а2+12 а+3	.ч	4х(х-1)+1 1-2х ’	7)	4-х2	’ х-2 ’ 7&	х2-4(х-1) 2-х 5а8 ’	х-1	* !—х2 • I ~21с 10а8&3 ’ а+1	х+1	
	2	2 2 > а -ах а -х 3-а	3-Ь	
а — 4 а—z	ab~a b - 587. 1) -L + -®--^-.;	3) (- + --2) a-b a+b a2-b2	\Ь а / 21 42 । 8 . 7 .	дл М 1_J_ 4а2—9 2а+3 3—2а ’	\а b ab : Л- ХЛ-		-а2 ' ab; |а&. >
а+6 _ 1	(а+2)2
а2-4 а2-4 а, *
2
4)	- а +1.
KRQ 11	ь2	1 2аЬ	Ь
	a2-2ab 1	{а2-4Ь2	а+2Ь/’
	( ху	У 1	|. Зу
	I 2	2	2х-2у	1 х -у
Г 2ху у Y у2 .
' ^-Эу2 х-Зу )’ x2+Sxy ’
/2а+1	2а-1\ 10а-5
' \2а-1	2а+1) 4а
199
590. Упростить выражение и найти его числовое значение:
1)
а+1^ 6 _а+3
а-1 а2-1 а + 1
при а = -9;
2)
Ь+5
Ь+2
3	&+1
&2-4 Ъ—2
при b = -8;
3)
а-2
а—3
а -6а+10
а2-9
2
о+3
. 1
при а = -1- ;
4)
Ь+1
6-4
2
591
592.
&z + 9
&2-16 6+4
Вычислить:
-З’2 :3 s:
Сократить дробь:
О + л/3
а2-3
2)
при
Ь = 4|.
2) (-6)° • 81'2 • 273 .
х-у/2
х2-2
Вычислить (593—595).
1) (б-Зл/5)(б + 3>/5);
3)^
У4+3
3) (Зл/5-2л/20)>/5;
4)-^.
х—1
2) (л/5-1)(>/5+1);
4) (1 - л/3)2 -ь (1 4-л/3Г .
594. 1) 4л/3->/з(Лб->/з);
2) 6>/2->/2(>/2+л/36);
3)	у/48-у/27-iy/12 ;
2
4)	л/50-л/32-1Л8;
3
5)	(>/2 + з)2 - 3>/8 ;
6)	(2-л/з)2 +2V12 .
595. 1) W4 + V7 + х/4-л/т)2;
2) (7з-л/5 ->/з + л/5)2 J
з) —г-------г ;
5-V5 5 + V5
1	1
4)-----г= +----7=-
7 + 4V3 7-4V3
200
596. Упростить:
n 1 1 .
* 3-4я + 3+42 ’
б-л/З б+л/з ’
m 3~^ , 3+42
* 3+42 3-72 ’
4)	p.
’ V3-V2 V3 + V2
597. Записать число в стандартном виде:
1)0,00061;	2)555;
Вычислить (598—599).
598.1)<“^£<;
28 (1)
3) 250000;	4) -А_.
'	2500
599. 1) 5/8,753 -8,752 -7,25;
2) 0,625-6,752-3,252 0,625
j3,52+7-2,75 + 2,752
600. Упростить выражение при х > 0, у > 0:
1) 5
2)7^;
3) ^27х3/ ;	4) </хБу10 .
601. Упростить выражение:
1)
г 1 1 11''
a2-fe2 2a2fe2
1 1 a-b
la2+ft2 J
1 1
a-2a2fe2 +i).
a+b ’
1
f 1	1 >
2m2 _ 4m2
'	- A 1
1 a2 a2
~1	~1 ~I *
a^+a a*+l; a^-1
m+2m2 +1
I
2m2
2. Уравнения
Решить уравнение (602—614).
602. 1) 8(3x - 7) - 3(8 - x) - 5(2x + 1);
2) 10(2x - 1) - 9(x - 2) + 4(5x + 8) = 71;
3) 3 + x(5 - x) = (2 - x)(x + 3);
4) 7 - x(3 + x) = (x + 2)(5 - x).
201
603.	.. , 5х—7	х+2	_		14—х 3x4-1 о
	11		 2 : 7	6	7	3)			 3; 4	5
	4х—8	3+2х _ о '	3	5	’	4)	2х-5	6x4-1 _ g 4	8
604.	П 4	- 9 .	3)	_А. + ^ = -2; 5—х 54-х
	3(х+2)	8х+11’ 21	1	-	3	•		
		4)	х4-3 х _ g х-3	Х4-3
	3(х-1)	2(х4-6) ’		
605.	1) х(х - 1) = 0;	3)	х^2х-^(4 + Зх) = 0
	2) (х + 2)(х - 3) = 0; ;	4)	(х—5)(х4-1) _ Q х24-1
606. 1) х2 + Зх = 0;
2)	5х - х2 = 0;
3)	4х 4- 5х2 = 0;
4)	-6х2 - х = 0;
607. 1) 2х2 + х - 10 = 0;
608. 1) 7х2 - 13х - 2 = 0;
609. 1) (Зх + 4)2 + 3(х - 2) = 46;
2)	2(1 - 1,5х) + 2(х - 2)2 = 1;
5)	2х2 - 32 = 0;
2
6)	2-^- = 0;
7)	(f)'-l = 0;
8)	х2 - 8 = 0.
2) 2х2 - х - 3 = 0;
2) 4х2 - 17х - 15 = 0.
3) (5х - ЗХх + 2) - (х + 4)2 =0;
4)х(11-6х)-20 + (2х-5)2 = 0.
ею. 1)|х| = 1; £	3) |3-х| = 2;	5) |2,5-х|4-3 = 5;
2) |х-1| = 4;	4) |3х|-3х = б;	6) |3,7 + х|-2 = 6;
611. 1)	-6 = 5х;	3)	X	Х—1 ч s— + — = 1; х2—16	х+4
2) л!__£!^ = 4; х—2 х—2	4)	12~ + = 1 . (х4-6)2	Х+6
202
612. 1) х4 - 17х2 +16 = 0;
2) х4 - 37х2 + 36 = 0;
3) 2х4 - 5х2 - 12 = 0;
4) х4 - Зх2 -4 = 0.
613. 1) -7x4-1 -5 = 0;	3) -75-х -1 = х;	5) 7х - \/2х + 2 = 5х;
2) 6-7x4-3 =0;	4) 34-7х-5=х-4; 6) 12х-7бх-4=11х.
614. 1) 2х1 = 64;	2) 31х = 27;	3) 3х8 = 27;	4) 72х~1 = 49.
615. Решить уравнение графическим способом:
1)	х3 = Зх + 2;
2)	х3 = -х - 2;
3)	- = 6-х;
X
4)	х-1 = 2х - 1;
5) у!х = —-;
4
6) 7х = 6 - X .
Решить систему уравнений (616—618).
616.
1)
2)
617.
1)
X 4- у = 12,
х-у = 2;
х + у = 10.
У - X = 4;
2х _ Зу _ 9
3	4
i х 4- i у = 5;
.2	4У
3)
4)
2х4-3у = 11,
2х - у = 7;
Зх 4- 5у - 21,
6х + 5у = 27;
5)
6)
Зх 4- 5у = 4,
2х~у = 7;
4х - Зу = 1,
Зх 4- у = -9.
[|(Х4-П) = 1(у + 13) + 2,
5х = Зу 4- 8;
2)
Гз 2 о
7X"s« = 2’
—х +—у = 12—;
L4	6
i(x4-3y) = |(x4-2y),
4) j4	3
х 4- 5у = 12.
618.
х - у = 7.
ху = 18;
3)
X + у = 2,
ху = -15:
5)
х2 + у2 =13,
ху = 6;
2)
X -у = 2,
ху = 15;
4)
X 4- у = -5
ху = -36;
6)
х2 4- у2 = 41,
ху = 20.
203
3. Неравенства
Решить неравенство (619—620).
619. 1) Зх-7<4(х + 2);	3) 1,5(х-4) + 2,5х < х + 6;
2) 7-6х > i(9x-l);	4) 1,4(х + 5) + 1,6х>9 + х.
620. 1)	3)^zl + ±tl>7;	5)х + ^>3;
О Z	И о	v
2)±ti_±zl>l;	4)^Z±_^±<1;	6)x + —<3.
5	4	4	5	4
621. Решить систему неравенств:
1)
х + 5 > 5х - 3,
2х - 5 < 0;
3)
5х -1 < 7 + х,
-0,2х > 1;
2)
2х + 3 > 0,
<
х-7< 4х-1;
4)
Зх - 2 > 10 - х,
-0,5х < 1.
622. Найти все натуральные решения неравенства:

х+5 х—5
2) --- >-----+ X
7	2	4
623. Найти все целые числа, удовлетворяющие системе неравенств:
	2(х +1) < 8 - х,	'	2у-13	„ Зу + -^->2,
1)	3)1 -5х-9<6;	
у-1 у-3 у-2
2	4 ” 3 У
2)
3(х -1) > х - 7,
-4х + 7>-5;
624. Найти все целые отрицательные числа, удовлетворяющие си-
стеме неравенств
Зх—2 о 1 2х-Г Зх+2
4	2	3	6
2х-5 Зх—1	3-х	2х—1
—3	2~ ~5	4~'
204
625.	Решить квадратное неравенство:
1)	х2 - Зх + 2 > 0;	4)	-х2 + Зх - 1 > 0;
2)	х2 - 2х - 3 < 0;	5)	3 + 4х + 8х2 < 0;
3)	х2 - 7х + 12 > 0; 6) х - х2 - 1 > 0;
626.	Решить неравенство:
7) 2х2 - х - 1 < 0;
8) Зх2 + х - 4 > 0.
1)|х|>|; 2) |х-1|<21; 3) |х - 1| > 3; 4) |х - 1| < 2.
5	3
627.	Решить методом интервалов неравенство:
1)	(х	- 1)(х 4- 3) > 0;	4) х(х - 8)(х - 7) > 0;
2)	(х	+ 4)(х - 2) < 0;	5) (х-1)(х2-|) > 0;
3)	(х	4- 1,5)(х — 2)х >	0;	6) (х + 3)(х2 --) < 0.
628.	Сравнить числа:
1)	5>/2 и 7;	3) 1О>/И и 11V10 ;	5) З^/з и 2</10 ;
2)	9 и 4yf5 ;	4) 5д/б и 6л/б ;	6) 2^3 и
4.	Задачи на составление уравнений
629.	Сумма двух чисел равна 120, а их разность равна 5. Найти
эти числа.
630.	На путь по течению реки катер затратил 3 ч, а на обратный
путь 4,5 ч. Найти скорость течения реки, если скорость кате-
ра относительно воды равна 25 км/ч.
631.	Моторная лодка прошла путь от А до В по течению реки за
2,4 ч, а обратный путь за 4 ч. Найти скорость течения реки,
если известно, что скорость моторной лодки относительно воды
равна 16 км/ч.
632.	Катер проплыл 15 км вниз по течению реки за 1 ч и вернулся
на ту же пристань, потратив на обратный путь 1,5 ч. Найти
скорость катера относительно воды и скорость течения реки.
633.	Периметр равнобедренного треугольника равен 5,4 дм. Боко-
вая сторона длиннее основания в 13 раз. Найдите длины сто-
рон треугольника.
634.	Скорость трамвая новой конструкции на 5 км/ч больше, чем
скорость прежнего трамвая, поэтому он проходит маршрут в
205
20 км на 12 мин. быстрее, чем трамвай старой конструкции.
За какое время новый трамвай проходит этот маршрут?
635.	Некоторую часть дня автобус работает в режиме экспресса.
При этом его рейсовая скорость увеличивается на 8 км/ч, а
время, затраченное на маршрут в 16 км, сокращается на 4 мин.
За какое время автобус проходит этот маршрут в режиме экс-
пресса?
636.	Одно фермерское хозяйство собрало со своего участка 875 ц
пшеницы, а другое с участка, меньшего на 2 га, — 920 ц пше-
ницы. Сколько центнеров пшеницы собрало каждое хозяй-
ство с 1 га, если известно, что во втором хозяйстве с 1 га
собрали на 5 ц пшеницы больше, чем в первом?
637.	При одновременной работе двух насосов пруд был очищен за
2 ч 55 мин. За сколько времени мог бы очистить пруд каж-
дый насос, работая отдельно, если один из них может эту ра-
боту выполнить на 2 ч быстрее другого?
5. Функции и графики
638.	Выяснить, принадлежит ли точка А графику данной функ-
ции; найти координаты точек пересечения графика этой функ-
ции с осями координат и значение функции при х = — 2:
1)	у = 3 - 0,5х, А (4; 1);	3) у = 2,5х - 5, А (1,5; -1,25);
2)	У = | х - 4 , А (6; -1);	4) у = -1,5х + 6, А (4,5; -0,5).
£
639.	Построить графики функций (в одной координатной плоско-
сти):
1)	у = Зх, у = -Зх;	3) у = х - 2, у = х + 2;
2)	У = |х, У = -|х;	4)у = -х-2, у = 2-х.
Q4Q. Построить график функции:
1)у = х2+2|;	3) у = (х + 2,5)2-|;	5) у = х2 + 2х - 3;
/	1 \2
2)	у = (X - -j ;	4) у = х2 - 4х + 5;	6) у = -х2 - Зх + 4.
641.	Найти координаты вершины параболы:
1)	у = х2 - 8х +16;	3) у = х2 + 4х - 3;
2)	у = х2 - 10х + 15;	4) у = 2х2 - 5х + 3.
206
642.	Найти наибольшее или наименьшее значение функции:
1)	у = х2 - 7х - 10;	3) у = х2 - х - 6;
2)	у = -х2 + 8х + 7;	4) у = 4 - Зх - х2.
643.	Построить в одной координатной плоскости графики двух дан-
ных функций и определить, при каких значениях х равны
значения этих функций:
1)	у = х2 - 4 и у = Зх; 2) у = (х + З)2 + 1 и у = -х.
644.	Построить эскиз графика и перечислить свойства функции:
1)	У = х4;	2) у = х5;	3)!/ = -^-;	4)!/ = ^-.
645.	Сравнить значения выражений:
Ц^ЗиД;	2)Д|нД|.
646.	Построить график функции и найти значения х, при которых
у = 0, у > 0, у < 0:
1)	у = 2х2 - 3;	3) у = 2(х - I)2;	5) у = 2(х - З)2 + 1;
2)	у = -2х2 +1;	4) у = 2(х + 2)2;	6) у = -3(х - I)2 + 5.
6. Элементы тригонометрии
647. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0),
чтобы получить точку с координатами:
648. Упростить выражение:
l + tg2a
1 + ctg2a ’
649. Доказать тождество:
2) (1 + tgoc)(l + ctgoc) - -—---------
sin a cos a
1)
l-(sina+cosa)2
sinacosa-ctga
= 2tg2a;
tga-sinacosa _ 1 , 2
Л) -----------5---Q tg ОС
(sin a-cos a) -1	&
Упростить выражение (650—651).
650. 1) sin2(a + 8л) + cos(a + 10л); 2) cos2(a + 6л) + cos2(a - 4л).
651.
l-2sin2a sin 2a
sin 2a	2cos2a-l
„J sin 2a sinacos(n-a)
2(1-2 cos2a) l-2sin2a
207
= sinx + cosx.
oun TT_	VUH X sill X
652.	Доказать тождество---------------
1-sinx 1+cosx
653.	Вычислить:
1)	sin2a, если cosa = и < a < n;
1 3 2
2)	cos2a, если sin a = - .
3
654.	Найти значение выражения:
1)	cos765° - sin750° - cosl035°; 2) sin^ + cos 690° - cos^.
3	3
655.	Найти значение выражения, если tga = 2:
sin2a+sinacosa	2-sin2a
i)	—2—----------;	2) ----2~.
cos a+3cos asm a	3 + cos a
656. Известно, что tga + ctga = 3. Найти tg2a + ctg2a.
657. Упростить выражение:
cosa+sina , (n
------:----tg —+ a
cosa-sma ^4
2)
1-sin 2a
l+sin2a
658. Упростить выражение
sin 2a+cos 2a+2 sin2a
sin(-a)-sin(2,5n+a)
7. Прогрессии
659.	Найти разность арифметической прогрессии, если а = 7, а„ = -5.
660.	Найти первый член арифметической прогрессии, если а10 = 4,
d = 0,5.
661.	Вычислить первый член и сумму п первых членов арифмети-
ческой прогрессии, если:
1)а = 459, d = 10, п = 45; 2) а - 121, d = -5, п = 17.
662.	Найти номер п, если в арифметической прогрессии ах = -2,
ar = -6, a = -40.
663.	Найти сумму десяти первых членов последовательности, за-
данной формулой Ьп+А = “V и условием = 1024.
208
664.	В геометрической прогрессии найти:
1)	п, если Ь4 = 5, q = -10 и Ъп = -5000;
2)	q, если Ьа = 16 и &6 = 2;
3)	bv если &3 = 16 и &6 = 2
4)	Ь7, если Ь3 = 16 и b6 = 1.
665.	Найти сумму чисел 3 + 6 + 12 + ... + 96, если ее слагаемые
являются последовательными членами геометрической про-
грессии.
666.	Вычислить первый член и разность арифметической прогрес-
сии, если:
1)	Оз = 25, Цо = -3;	3) а, + а, = 4, а, + Оц = -8;
2)	а4 = 10, ц = 19;	4)	+ а4 = 16, ц • = 28;
667.	Найти десятый член арифметической прогрессии, если:
1)а9=-5иап = 7; 2) а9 + ап =-10; 3) а9 + а10 + ап= 12.
668.	Найти первый член и разность арифметической прогрессии,
у которой S7 = -35 и S42 = -1680.
669.	Является ли геометрической прогрессией последовательность,
заданная формулой n-го члена:
1)	Ь = -З2"; 2) Ь = 23";	3) Ьп =	4) Ьп = —?
’ »	’	' п ’	' П 2п	П
670.	Вычислить знаменатель геометрической прогрессии, если:
1)	Ъ. = 12, S, = 372;	2) & = 1, S = 157.
1	«3	1	о
671.	Найти первый член, знаменатель и формулу n-го члена гео-
, 1 . 1
метрической прогрессии, если ц = -- и о4 =	.
£	(£
672.	Найти четвертый член и знаменатель геометрической про-
грессии, если &3=-6 и &5=-24.
673.	Между числами 1 и 27 вставить три числа так, чтобы получи-
3
лось пять последовательных членов геометрической прогрессии.
674.	В геометрической прогрессии найти:
1)	Ь4 и &5, если g = 3, S3 = 484;
2)	и q, если Ь., = 0,024, S = 0,504.
675.	Вычислить первый член и знаменатель прогрессии, если:
1)	Ь, + Ь = 20, Ь + &ч = 60;	2) + Ъ = 60, + b = 51.
' I £	Z й	1	£	А О
14 — Алгебра, 9 класс	209
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
ПО КУРСУ АЛГЕБРЫ 7-9 КЛАССОВ
Числа и числовые выражения
1.	Число. Множество натуральных чисел: 1, 2, 3 ... .
Множество целых чисел: 0; ±1; ±2; ±3; ... .
Множество рациональных чисел — числа вида , где т — це-
3	2
лое число, п — натуральное число. Например, числа 2; --— ра-
О	(
циональные числа.
Рациональные числа можно представить в виде конечной деся-
тичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби.
Например, т = 0,4; - = -0,333 - -0, (3).
О	о
Множество иррациональных чисел — множество бесконечных
непериодических десятичных дробей.
Например, 0,1001000100001... — иррациональное число.
Иррациональными числами являются также числа ^2, л/з, >/б.
Множество действительных чисел — рациональные и ирра-
циональные числа.
2.	Числовые промежутки —отрезки, интервалы и полу-
интервалы, лучи.
Отрезок [а; Ь] — множество чисел х, удовлетворяющих неравен-
ствам а < х < Ь, где а < Ь. Например, отрезок [2; 5] — это множество
чисел х, удовлетворяющих неравенствам 2 < х < 5.
Интервал (а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих нера-
венствам а < х < Ъ, где а < Ь. Например, интервал (-2; 3) - это
множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам -2 < х < 3.
Полуинтервал [а; Ь) — множество чисел х, удовлетворяющих
неравенствам а < х < Ь; полуинтервал (а; Ь] — множество чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < х<Ь. Например, полуинтервал
[3; 8) — множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам 3 < х < 8.
(-4; 2] — множество чисел х таких, что -4 < х < 2.
Луч — множество чисел, удовлетворяющих неравенству х > а,
или х <а, или х > а, или х < а. Например, луч х > 5 — множество
чисел х, не меньших 5.
210
3.	Модуль числа а (обозначается | а |) определяется фор-
мулой
. . а, если а > О,
Ы=
-а, если а < О.
Геометрически | а | — расстояние от точки 0 до точки, изобража-
ющей число а; | а - Ь | — расстояние между точками аиЬ.
Для любого числа а выполняется неравенство | а | > 0, причем
| а | — О только при а = О.
Неравенству | х | < а, где а > 0, удовлетворяют числа х из отрезка
[-а; а], т. е. такие числа х, что —а<х<а.
Неравенству | х | < а, где а > О, удовлетворяют все числа х из ин-
тервала (-а; а), т. е. такие числа х, что —а < х < а.
Неравенству | х | > а, где а > 0, удовлетворяют все числа х < -а и
числа х>а.
Неравенству | х | > а, где а > О, удовлетворяют все числа х < — а и
числа х > а.
4.	Числовое выражение — запись, состоящая из чисел,
соединенных знаками действий.
Например, 1,2 • (-3) - 9:0,5 — числовое выражение.
Значение числового выражения — число, полученное в резуль-
тате выполнения действий, указанных в этом выражении. Напри-
мер, число -21,6 — значение выражения 1,2 • (—3) — 9 : 0,5.
5.	Порядок выполнения действий.
Действия первой ступени — сложение и вычитание.
Действия второй ступени — умножение и деление.
Действие третей ступени — возведение в степень.
1)	Если выражение не содержит скобок, то сначала выполняют
действия третьей ступени, затем действия второй ступени и, наконец,
действия первой ступени; при этом действия одной и той же ступе-
ни выполняются в том порядке, в котором они записаны.
2)	Если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все
действия над числами, заключенными в скобках, а затем все осталь-
ные действия; при этом выполнение действий над числами в скоб-
ках и вне скобок производится в порядке, указанном в п. 1.
3)	Если вычисляется значение дробного выражения, то выполня-
ются действия в числителе дроби и в знаменателе и первый резуль-
тат делится на второй.
211
4)	Если выражение содержит скобки, заключенные внутри дру-
гих скобок, то сначала выполняют действия во внутренних скобках.
6. Стандартный вид числа—запись числа в виде а • 10",
где 1 < | а | <10, п — целое число, а — мантисса числа, п — порядок
числа. Например, 345,4 = 3,454 • 102,0,003 = 3 • 10 н, -0,12 = -1,2 • КГ1.
7.Погрешность приближения.
Абсолютная погрешность приближения — модуль разности
между точным значением величины и ее приближенным значени-
ем. Если а — приближенное значение, ах — точное, то абсолютная
погрешность равна | х - а |.
Запись х = а ± h означает, что абсолютная погрешность прибли-
жения не превосходит А, т. е. |х - а|<h, или a -h<x<a + h. При
этом говорят, что х равно а с точностью до h. Например, запись-
л = 3,14 ± 0,01 означает, что | л - 3,14 | < 0,01, т. е. число л равно 3,14
с точностью до 0,01.
При округлении положительного числа с недостатком с
точностью до 10“" сохраняются п первых знаков после запятой, а
последующие отбрасываются. Например, при округлении числа
17,2397 с недостатком до тысячных, т. е. до 10 н, получаем 17,239,
до сотых — 17,23, до десятых — 17,2.
При округлении положительного числа с избытком с точнос-
тью до 10“" n-й знак после запятой увеличивается на единицу, а все
последующие отбрасываются. Например, при округлении числа
2,5143 с избытком до тысячных получаем 2,515, до сотых — 2,52,
до десятых — 2,6.
Погрешность округления в обоих случаях не превосходит 10“".
Округление с наименьшей погрешностью: если первая отбра-
сываемая цифра данного числа меньше 5, то округляют с недостат-
ком, а если эта цифра больше или равна 5, то округляют с избытком.
Например, при округлении числа 8,351 до сотых получаем 8,35, а
при округлении до десятых — 8,4.
Запись х ~ а означает, что число а является приближенным зна-
чением числа х. Например, \/2 ~ 1,4.
Относительная погрешность — частное от деления абсолют-
ной погрешности на модуль приближенного значения величины. Если
х — точное значение, а — приближенное, то относительная погреш-
]х-а|
ность равна ут- .
212
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.
Например, если точное значение величины равно 1,95, а приближен-
ное значение равно 2, то относительная погрешность приближения
равна
= М5| = 0,25 или 2,5%.
|2|	|2|
Алгебраические выражения
8. Алгебраическое выражение — выражение, состоя-
щее из чисел и букв, соединенных знаками действий. Примеры ал-
гебраических выражений:
2(тп + п); За 4- 2ab -1; (а - Ь)2;	.
z
Значение алгебраического выражения — число, полученное в
результате вычислений после замены в этом выражении букв чис-
лами. Например, числовое значение выражения За + 2ab - 1 при
а = 2 и b = 3 равно 3-2 + 2- 2*3-1 = 17.
9. Алгебраическая сумма — запись, состоящая из несколь-
ких алгебраических выражений, соединенных знаками «+» или «—».
Правила раскрытия скобок.
1) Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраи-
ческая сумма, заключенная в скобки, то скобки можно опустить, со-
хранив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы, на-
пример: .
14 + (7 - 23 + 21) = 14 + 7 - 23 + 21,
а + (Ь- с-d) = a + b- c-d.
2) Если из алгебраического выражения вычитается алгебраи-
ческая сумма, заключенная в скобки, то скобки можно опустить, из-
менив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на про-
тивоположный, например,
14 - (7 - 23 + 21) = 14 - 7 + 23 - 21,
а -(Ь- с-d) = a- b + c + d.
10. Одночлен — алгебраическое выражение, представляющее
собой произведение числовых и буквенных множителей.
Примеры одночленов: 3ab; -2ab2c3; a2; a; 0,6xj/5j/2; -t4.
213
Например, числовыми множителями одночлена За2(0,4) • Ь(-5)с3
являются 3; 0,4; -5, а буквенными — а2, Ъ, с3.
Одночлен стандартного вида — одночлен, который содержит
только один числовой множитель, стоящий на первом месте, и сте-
пени с различными буквенными основаниями.
Чтобы записать одночлен в стандартном виде, нужно перемно-
жить все его числовые множители и поставить их произведение на
первое место, затем произведения всех одинаковых буквенных мно-
жителей записать в виде степеней.
Коэффициент одночлена — числовой множитель одночлена, за-
писанного в стандартном виде.
Например, коэффициент одночлена - аос равен -, коэффициент
одночлена -7а3Ь равен -7, коэффициент одночлена а2Ьс равен 1, ко-
эффициент одночлена -ab2 равен-1.
11. Многочлен — алгебраическая сумма нескольких одно-
членов.
Примеры многочленов: 4аЬ2с3 — одночлен, 2аЪ - ЗЪс — двучлен,
4аЬ + Зас - Ьс — трехчлен.
Члены многочлена — одночлены, из которых состоит много-
член. Например, членами многочлена 2аЪ2 - За2с + 7Ьс - 4Ьс явля-
ются одночлены 2аЪ'~, -За2с, 7bc, -4Ьс.
Подобные члены — одночлены, отличающиеся только коэффи-
циентами, или одинаковые одночлены.
Приведение подобных членов — упрощение многочлена, при ко-
тором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется од-
ним одночленом, например:
2аЪ - 4Ьс + ас + ЗаЬ + Ьс = 5аЬ - ЗЪс + ас.
Стандартный вид многочлена — запись многочлена, в которой
все члены записаны в стандартном виде и среди них нет подобных.
Действия над одночленами и многочленами.
1)	Чтобы записать алгебраическую сумму нескольких многочле-
нов в виде многочлена стандартного вида, нужно раскрыть скобки и
привести подобные члены, например:
(2а2Ь - ЗЪс) 4- (а2Ь + 5&с) - (За2& - Ьс) =
= 2а2Ь - ЗЪс + а2Ь + бЬс - За2Ь + Ьс = ЗЪс.
214
2)	Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член
многочлена умножить на этот одночлен и полученные произведения
сложить, например:
(2аЬ - 3&с)(4ас) = (2а6)(4ас) + (-3&с)(4ас) = 8a2bc - 12abc2.
3)	Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить
каждый член одного многочлена на каждый член другого многочле-
на и полученные произведения сложить, например:
(5а - 2b)(3a + 4Ь) = (5а)(3а) + (5а)(4&) +
+(-2&)(За) + (-2b)(4&) = 15а2 + 14аЬ - 8Ь2.
4)	Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член
многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты
сложить, например:
(4а3&2 - 12а2&3) : (2аЬ) = (4а362): (2аЬ) + (~12а2Ь3) : (2ab) = 2a2b - Gab2.
12. Формулы сокращенного умножения.
1)	(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ 4- Ь2;
2)	(а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2;
3)	(а + Ъ)3 = а3 + За2Ь + ЗЬ2а + Ь3 = а3 + 8аЬ(а + Ь) + Ь3;
4)	(а - b)3 - а3 - 3a2b + ЗаЬ2 - Ь3 = а3 - 8ab(a -b)-b3;
5)	а2 - Ь2 = (а + &)(а - 6);
6)	а3 +Ъ3 = (а 4- &)(а2 -ab + b2);
7)	а3 - Ь3 = (а - Ь)(а2 +ab + b2).
13.	Разложение многочлена на множители — пред-
ставление многочлена в виде произведения двух или нескольких мно-
гочленов, например, 4х2 - 9 у2 = (2х 4- Зг/)(2х - Зу).
При разложении многочлена на множители используются следу-
ющие способы.
1)	Вынесение общего множителя за скобку, например.*
Зах + Gay = За(х + 2у).
2)	Способ группировки, например:
а3 - 2а2 - 2а + 4 = (а3 - 2а2) - (2а - 4) =
= а2(а-2)-2(а-2) = (а-2)(а2 -2).
215
3)	Применение формул сокращенного умножения, например:
Эх2 - — у2 = (Зх + - i/)(3x - i у)-,
16	4	4
27х3 + 8/ = (Зх + 2у2 )(9х2 - бху2 + 4у4 );
z2 - 14z + 49 = (z - 7)2.
Разложение квадратного трехчлена на множители — пред-
ставление его в виде ах2 + Ьх + с = а(х - хг)(х - х2), где хг и х2—
корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с — 0, например:
2х2 + Зх - 2 = 2| х--|(х + 2).
I	2 )
14.	Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаме-
натель которой — алгебраические выражения.
Примеры алгебраических дробей: а +~, ——Предполагает-
с а+1
ся, что буквы, употребляемые в записи алгебраической дроби, могут
принимать только такие значения, при которых знаменатель этой
дроби не равен нулю.
Основное свойство дроби: при умножении числителя и знаме-
нателя дроби на одно и то же алгебраическое выражение получает-
ся равная ей дробь, например:
а-b (а- Ъ)(а - Ъ) _ (.а- Ь)2
а + Ь (а + Ь)(а - Ь) а2 - Ь2
Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраи-
ческую дробь на общий множитель числителя и знаменателя, на-
пример:	2 ,	.	...
х - 1 _ (х - 1)(х + 1)	_ X + 1
х3 - 1 (х - 1)(х2 + Х + 1) х2 + х + 1 '
Сложение и вычитание алгебраических дробей проводятся по
тем же правилам, которые применяются для числовых дробей.
Для нахождения алгебраической суммы двух или нескольких
дробей эти дроби приводят к общему знаменателю и используют
правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.
Например, общий знаменатель дробей — и —- равен а2Ь2, по-
1 _ 1 _ Ь ' а _ Ь + а	а ь ab
этому 2 + 2 ~ 2,2 + 2,2 ~ 2,2 ‘
а Ь ab а Ь а Ь а Ь
216
Умножение и деление алгебраических дробей проводятся по
тем же правилам, которые применяются для числовых дробей, на-
2а Ь2 2ab2 1 , х2 - у2 х + у (х2 - у2)  4х 2(х - у)
пример:-------=------= - Ь,---— :   =  -----—----= ———.
ЗЬ 4а ЗЬ • 4а 6 2ху 4х 2ху(х + у) У
15.	Тождество — равенство, справедливое при любых допус-
тимых значениях входящих в него букв. Например, тождествами
являются равенства:
а2 - Ь2 = (а - b)(a + b),	sin2 а + cos2 а = 1, -—- = а + 1.
11	а -1
Степени и корни
16.	Степень числа а с натуральным показателем п,
большим 1, — произведение п множителей, равных а , т. е.
а" = а а-... а.
п раз
Например, 23 = 2 • 2  2, т5 = ттттт .
5 раз
В записи степени ап число а — основание степени, п — показа-
тель степени. Например, в записи степени 23 число 2 — основание
степени, число 3 — показатель степени.
Первая степень числа — само число: а1= а. Например,
Действие возведения в степень — нахождение степени числа.
Основные свойства степени:
1)	При умножении степеней с равными основаниями основание
остается прежним, а показатели степеней складываются:
ап • ат = ап+т;
2)	при делении степеней с одинаковыми основаниями основание
остается прежним, а показатели степеней вычитаются:
ап : ат = апт:
3)	при возведении степени в степень основание остается прежним,
а показатели степеней перемножаются:
(ап)т = апт;
217
4)	при возведении произведения в степень в эту степень возво-
дится каждый множитель:
(а  Ь)п = ап  Ьп;
5)	при возведении дроби в степень в эту степень возводятся чис-
литель и знаменатель:
(\п п
а _ а
ь)
17.	Квадратный корень из числа а — такое число,
квадрат которого равен а. Например, 6 — квадратный корень из
числа 36; число -6 также квадратный корень из числа 36.
Извлечение квадратного корня — действие нахождения квад-
ратного корня. Извлечь квадратный корень можно только из нео-
трицательного числа.
Арифметический квадратный корень из числа а — неотрица-
тельное число, квадрат которого равен а. Это число обозначается
так: 4а. Например, V16 = 4, V144 =12.
Выражение 4а имеет смысл только для а >0, при этом
4а > 0, (4а)2 - а.
Свойства квадратных корней:
1)4аЬ =4а-4ь , если а>0, &>0. Например,
л/28224 = >/144 196 = >/144 >/196 =12 14 = 168 .
2)
если а > 0, Ь
169 _ 13
^225	15 ’
3)	у]а2п = ап, если а>0, п — натуральное число. Например,
44 = З3 = 27 .
Эти свойства используются при преобразовании выражений, со-
держащих квадратные корни. Основные из этих преобразований —
вынесение множителя из-под знака корня:
y]a2b = a4b , если а>0, Ь>0 ;
и внесение множителя под знак корня:
a4b = \1а2Ь , если а>0, Ь>0.
218
Уравнения
18.	Уравнение с одним неизвестным — равенство, содержа-
щее неизвестное число, обозначенное буквой.
Пример уравнения: 2х + 3 = Зх + 2, где х — неизвестное число,
которое нужно найти.
Корень уравнения — значение неизвестного, при котором урав-
нение обращается в верное равенство. Например, число 3 — корень
уравнения х + 1 = 7 - х, так как 3 + 1 = 7 - 3.
Решить уравнение — это значит найти все его корни или уста-
новить, что их нет.
Основные свойства уравнений.
1)	Любой член уравнения можно перенести из одной части в
другую, изменив его знак на противоположный.
2)	Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно
и то же число, не равное нулю.
19.	Квадратное уравнение — уравнение ах2 + Ьх + с = О,
где а, Ь и с — заданные числа, причем а#0, х — неизвестное число.
Коэффициенты квадратного уравнения называют так: а —
первый или старший коэффициент, Ь — второй коэффициент, с —
свободный член.
Примеры квадратных уравнений: 2х2 - х - 1 = 0, Зх2 + 7х = 0.
Неполное квадратное уравнение — квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов Ь или с
равен нулю.
Примеры неполных квадратных уравнений: х2 = 0, 5х2 + 4 = 0,
8х2 + х = 0.
Формула корней квадратного уравнения: х12 =
Ъ ± у1ь2 — 4ас
2а
Например, квадратное уравнение Зх2 + 5х — 2 = 0 имеет два кор-
-5 ± ^25 + 24	-5 ± 7	1	о
ня: xlj2 =----= —т— , т. е. «1 = -, х2 = -2.
об	О
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида
х2 + рх + q = 0.
Формула корней приведенного квадратного уравнения:
•*1,2 —
219
Например, корни уравнения х2 - 6х - 7 = О таковы:
х12 = 3 ± л/9 + 7 = 3 ± 4, т. е. х1 = 7, х2 = -1.
Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного урав-
нения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным
знаком, а их произведение равно свободному члену.
Таким образом, если хг и х2 — корни уравнения х2 + рх + q = О,
то х1 + х2 = -р, хг • х2 = q.
Теорема, обратная теореме Виета. Если числа р, q, хр х2 тако-
вы, что х. + х, = -р, х,х„ = q, то х. и х, — корни уравнения
х2 +рх + q = 0.
20.	Система двух уравнений с двумя неизвест-
ными — два уравнения с двумя неизвестными х и у, рассматривае-
мые совместно.
Пример системы уравнений с двумя неизвестными:
Зх - у = 5,	х - 2у = 7,
2х + у - 7;	х2 - 4у2 = -35.
Решение системы — пара чисел х, у, которые при подстановке в
эту систему обращают каждое ее уравнение в верное равенство.
Например, решением системы
х= 1, у = 2.
4х - у = 2,
5х + у = 7
является пара чисел
Решить систему — это значит найти все ее решения или уста-
новить, что их нет.
При решении систем уравнений применяются следующие спосо-
бы’.
1)	Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения одно из
неизвестных выражают через другое и подставляют в другое урав-
нение системы.
2)	Способ алгебраического сложения. Уравняв модули коэффи-
циентов при одном из неизвестных системы
Л\Х + 1\у — (j,
а2х + Ь2у = с2,
по-
членным сложением или вычитанием уравнений системы исклю-
чают это неизвестное.
220
3)	Графический способ.
Строят графики уравнений системы и находят координаты точ-
ки их пересечения.
Неравенства
21.Числовые неравенства.
Неравенство а>Ъ означает, что разность а - b положительна.
Неравенство а<Ъ означает, что разность а - Ь отрицательна.
Если а > Ь, то Ь < а.
Неравенство — два числовых или алгебраических выражения,
соединенные знаком > или < .
Примеры неравенств: 4 > 7 - 5; 2а + Ь < а2 + Ь2.
Для любых двух чисел а и & только одно из следующих трех
соотношений является верным: а > Ь, а = Ь, а < Ь.
Основные свойства числовых неравенств:
1)	Если а > Ь и Ь > с, то а > с.
2)	Если прибавить к обеим частям неравенства или вычесть из
них одно и то же число, то знак неравенства не изменится: если а
> Ь, то а + с>Ь + сиа — Ob — с для любого с.
Любое число можно перенести из одной части неравенства в дру-
гую, изменив знак переносимого числа на противоположный.
3)	Обе части неравенства можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю, тогда, если это число положи-
тельно, то знак неравенства не меняется, а если это число отрица-
тельно, то знак неравенства меняется на противоположный: если а
> Ь, то
а b	л
ас > Ьс и — > -, если с > О,
с с
, а b	л
ас < Ьс и — < -, если с < О.
с с
Сложение неравенств. Неравенства одинакового знака можно
складывать, при этом получается неравенство того же знака: если
a>b w.c> d, то а + с > b + d.
Например:
4 >3,5	2,3 <3,5
+-2>-5	+-4<-3
2 >-1,5	-1,7 <0,5
221
Умножение неравенств. Неравенства одинакового знака, у ко-
торых левые и правые части положительны, можно перемножать,
при этом получается неравенство того же знака: если а > Ь, с > d и
a, b,c,d — положительные числа, то ас > bd.
Например,
2,4 >2,1	1,7 <2,3
х 4 >3 х 2<3
9,6 >6,3	3,4 <6,9*
Если а > b и а, b — положительные числа, то а2 > Ь2, а3 > Ъ3
и вообще при любом натуральном п выполняется неравенство
ап > Ь". Например, 62 > 52, 63 > 53, 612 > 512.
Строгие неравенства — неравенства со знаками > (больше) и <
(меньше). Например, 5 > 3, х < 1.
Нестрогие неравенства — неравенства со знаками > (больше
или равно) и < (меньше или равно). Например, а2 + b2 > 2аЬ, х < 3.
Нестрогое неравенство а > b означает, что а > b или а = Ь.
Свойства нестрогих неравенств такие же, как и свойства стро-
гих неравенств. При этом в свойствах строгих неравенств противо-
положными считаются знаки > и < , а в свойствах нестрогих нера-
венств — знаки > и < .
Среднее арифметическое двух чисел а и & — число а % .
Среднее геометрическое двух положительных чисел а и b —
число Jab. Если а > О, b > 0, то	> Tab .
2
22.	Неравенство с одним неизвестным — это нера-
венство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.
Примеры неравенств первой степени с одним неизвестным:
Зх + 4<5х-2;	х -1 >	.
3	4
Решение неравенства с одним неизвестным — значение неиз-
вестного, при котором данное неравенство обращается в верное чис-
ловое неравенство.
Например, число 3 является решением неравенства х + 1 > 2 - х,
так как 3 + 1 > 2 - 3.
Решить неравенство — это значит найти все ее решения или
установить, что их нет.
222
Основные свойства неравенств с одним неизвестным.
1)	Любой член неравенства можно перенести из одной части
неравенства в другую, изменив его знак на противоположный, при
этом знак неравенства не меняется.
2)	Обе части неравенства можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю: если это число положительно, то
знак неравенства не меняется, а если это число отрицательно, то
знак неравенства меняется на противоположный.
Система неравенств с одним неизвестным — это несколько
неравенств, содержащих одно и то же неизвестное число и рассмат-
риваемых совместно.
Решение системы неравенств — то значение неизвестного, при
котором все неравенства системы обращаются в верные числовые
неравенства.
Решить систему неравенств — это значит найти все ее реше-
ния или установить, что их нет.
Функции и графики
23.	Функция. Если каждому значению х из некоторого мно-
жества чисел поставлено в соответствие число у, то говорят, что на
этом множестве задана функция у(х). При .этом х называют неза-
висимой переменной (или аргументом), ay — зависимой пере-
менной (или функцией).
Область определения функции — множество всех значений, Ко-
торые может принимать ее аргумент.
Если функция задана формулой, то считают, что ее область опре-
деления — множество значений аргумента, при которых эта форму-
ла имеет смысл. Например, функция у = >/х - 2 определена при х >2.
Функция у(х) называется возрастающей на промежутке, если
большему значению аргумента соответствует большее значение фун-
кции, т. е. для любых хр х2, принадлежащих этому промежутку, из
неравенства х2 > хр следует неравенство у(х2) > y(xf). Например,
функция у = х3 возрастает на всей числовой прямой; функция у = х2
возрастает на промежутке х >0.
Функция у(х) называется убывающей на промежутке, если боль-
шему значению аргумента соответствует меньшее значение функ-
223
ции, т. е. для любых хр х2, принадлежащих этому промежутку, из
неравенства х2 > х1 следует неравенство у(х2) < y(xt) . Например,
функция у = -2х убывает на всей числовой оси; функция у = х2
убывает на промежутке х < 0; функция у = — убывает на промежут-
ках х < 0 и х > 0.
График функции у(х) — множество всех точек координатной
плоскости с координатами (х; у(х)).
Четная функция — функция у(х), обладающая свойством
у(~х) = у(х) для любого х из области ее определения. Например,
функция у = х4 — четная функция.
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция — функция у(х), обладающая свойством
у(—х) = —у(х) для любого х из области ее определения. Например,
у = х3 — нечетная функция.
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат.
24.	Линейная функция — функция вида у = kx + Ь, где
Л и & — данные числа.
График линейной функции у = kx + b — прямая. При Ь = 0
функция принимает вид у = kx, ее график проходит через начало
координат.
25.	Прямая пропорциональная зависимость —
зависимость, выражаемая формулой у = kx, где k > 0, х > 0.
Обратная пропорциональная зависимость — зависимость, вы-
ражаемая формулой у = — , где k > 0, х > 0, k — коэффициент про-
порциональности.
26.	Функция у = ~ (k*Q) определена при х Ф 0, принимает
все действительные значения, кроме нуля.
Если k > 0, то функция у = — (например, у = —, у = — )'•
а)	принимает положительные значения при х > 0 и отрицатель-
ные при х < 0;
б)	убывает на промежутках х < 0 и х > 0 .
k	1
Если k < 0, то функция у = — (например, У = ~~,
2	1.	х
У = ~х’ У = ~^-
а)	принимает положительные значения при х < 0 и отрицатель-
ные при х > 0 ;
б)	возрастает на промежутках х < 0 и х > 0.
224
ОТВЕТЫ
2. 2) хг = О, х2=1; 4) нет таких действительных значений х, при которых
3	3
значение данной функции равно -5. 3. 2) xt = 1, х2 = -1; 4) х1 = О, х2 = .
4.2) О; 4) 1. 5. 2) Нулей нет; 4) х1 = |, х2 = i ; 6) нулей нет; 8) х = 1. 6. 2)р = 3,
q = -4; 4) р = -2, q = -15. 7. х12 - ±2. 9. В и С. 12. 2) (>/5; 5), (->/5; 5);
4) (О; О), (2; 4); 6) (1; 1). 13. 2) Да. 14. 2) Да; 4) нет; 16. 1) х < -3, х > 3;
2) -5 < х < 5; 3) х < -4, х > 4; 4) -6 < х < 6. 20. 2) (-3; -4,5), (2; -2). 21. 2) Да;
4) нет. 22.1) Возрастающая; 2) возрастающая; 3) убывающая; 4) не является
ни возрастающей, ни убывающей. 23. 3 м/с2. 26. 2) (О; 5); 4) | т?; А-6) (0,5; О).
\ ь -Io /
27. 2) х = —2; 4) х = 2; 6) х = |. 28. 2) Нет; 4) нет. 29. 2) (1; О), (0,5; О),
(О; -1); 4) (О; О), [|; 0^. 30. у = х2 - 2х + 3. 32. 2) k = -10. 34. 1) у = 2(х - З)2;
2) у = 2х2 + 4; 3) у = 2(х + 2)2 - 1; 4) у = 2(х - 1,5)2 + 3,5. 35. 2) (Ц;т);
4)	36.	2) (1; О), (-5; О), (О; 10); 4) (О; 14). 40. 7,5+7,5. 41. 5 и 5.
42. Сторона, параллельная стене, 6 м; другие стороны по 3 м. 43. Нет.
44. 2) При х = 1 значение у = — 5 — наименьшее значение; 4) при х = 1
значение у = -2 — наименьшее значение. 45. 1) а > О, b > О, с > О; 2) а < О,
Ь > О, с < О. 46. 1) через 5 сек. наибольшая высота равна 130 м; 2) (5 + л/26) с.
47. 2) хг = 2, х2 = 0,5; 4) ни при каких действительных х не пересекаются.
48. 2) (1; 1), (2; 4); 4) (-5; 18). 49. 2) х < -6, х > 6. 50. 2) (5; О), (-2; О),
(О; 10); 4) (1; О), [-у;0], (О; -1). 51. 2) (-1; 4); 4) (~|;1); 6)
2
53. 2) Наибольшее значение равно 4; 4) наименьшее значение равно 3^.
54. 150 м и 150 м. 55. 200 м и 400 м. 56. 2) р — 1, q = О. 57. 2) р = -4, q = 3.
58. 1) xt = 2, х2 = -5; 2) хг = О, х2 = 1, х3 = 2. 59. 1) а = 1, b = -2, с = О;
2) а = 1, b = -2, с = 4; 2) а = -2, b = 8, с = -6. 61. 2) Зх2 - х - 1 > О;
4) 2х2 + х - 5 < О. 63. 2) 3 < х < 11; 4) х < -7, х > -1. 64. 4) х < -3, х > 3;
4) х < О, х > 2. 65. 2) -2 < х < 1; 2) х < -3, х > 1; 6) х < -7, х > i .
О
15 — Алгебра, 9 класс
225
66. 2) х = i; 4) x < —4, x > 2. 69. Положительные значения на промежутках
О
х < —3, х > 2, отрицательные значения на интервале — 3 < х < 2. 71. 2) х < — 1,
х>4; 4) -1 < х < 4. 72. 2) х < -1, х > 2; 4) х<-0,25; х> 1. 73. 2) х = 7; 4) ре-
О
шений нет; 6) х — любое действительное число. 74. 2) Решений нет; 4) решений
нет; 6) х — любое действительное число. 75. 2) х < —77, х > >/7; 4) х < -2,
х > О; 6) х < -5, х > 3; 8) -2 < х < 1. 77. 2) х <	, х > |; 4) -1 < х < 4;
6) х — любое действительное число; 8) х = -3. 78. 2) х — любое действительное
число; 4) х *	; 6)	< х < О; 8) решений нет. 79. 2) Решений нет; 4) -0,5
< х < 3; 6) х — любое действительное число. 80. 2) х = 1; 4) х — любое
действительное число. 82. -6 < г < 2. 84. 2) -5 < х < 8; 4) х < -5, х > 3^.
85. 2) х < 0, х > 9; 4) -3 < х < 0; 6) х < -1, х > 3. 86. 2)	<	х < 0, х> ;
4) -2 < х < 2, х > 5. 87. 2) -7 < х < 7; 4) -4 < х < 4, х > 4; 6) х = -2; 2 < х < 5.
88. 2) -3 < х < 4; 2) -3,5 < х < 7; 6) -2 < х < -1, х > 3. 89. 2) х < 0,5, х > 1;
4) х < - , 0 < х < i, х > |. 90. 2) -4 < х < -2, х > 3; 4) -3 < х < -1, 4 < х < 5.
о	А	о
91. 2) х < -2, 2 < х < 6; 2) х < -3, -1 < х < 2, х > 4. 92. 2) -715 < х < -3,
0 < х < 715.93. 1) -8 < х < -1; 2) х < -5, х > 2; 3) -1 < х < -^; 4) х < -4,
о	»
-4 < х < g , х > 4. 94. 2) х < 2, х > 4; 4) х < 3, х > 4. 95. 2) х < -6, х > 6;
4)	< х < ^. 96. 2)	< х < ; 4) х < 0. 98. 2) х * -5; 4) х * --| ; 6) х * 4.
4	4	A	A	&	А
99. 2) Решений нет; 4) решений нет; 6) решений нет. 100. 2) х < -1, 1 < х < 4;
4) х < -|, 4 < х < 7; 6) х < -|, 1 < х < 2. 101. 2) -1 < х < 5; 4) -5 < х < 2;
А	А
6) х < — -s, х> о . 102. 2) х — любое действительное число; 4) решений нет;
о а
1	12
6) 2 < х < 1; 8) х — любое действительное число. 103. 2) х < , х > 3; 4) х = & ;
6) решений нет. 104. 2) х < -7з;	< х < -Тз ; 4) х < -4, -1 < х < 1, х > 1.
105. 2) -1 < х <	< х < 2; 4) -i < х < -i, -1 < х < 2. 106. Не мень-
ше 12 км/ч. 108. 2) х < -3, -2 < х < 1, х > 3; 2) -3 < х < 2, -1 < х < 1;
3) -72 < х < -1, 1 < х < 72; 4) х < -2, -7з < х < 7з, х > 2. 109. 2) 32; 4) 0.
110. 2) (if; 4) U)2. 112. 2) 2Г3; 4) а-9. 113. 2)	4) 32; 6)	* .
\5/	\а/	Ы	1оУ
226
114. 2) —; 4) -875. 116. 2)	4)	6)	117. 2) -125; 4) *
’ 16	’	’ (х+уУ * ' b4 be4	17
118. 2) 0,0016; 4)	. 119. 2) fe8; 4) b 28. 120. 2) a8b4; 4) 3 4a 12. 121. 2) m12n15;
4) -64x lsz/3z e. 122. 2)	. 123. 2) 2,7-10n; 4) l,25-108. 124. 2) 5.08610-8;
4) l,6-10-3. 125. 0,003. 126. 1011. 127. 0,0001 мм. 128. 2) as, ±. 129. 2) 0.
130. 2) b - a. 132. 2) 2; 4) 15. 133. 2) 81; 4) -L. 134. 2) -1; 4) -4; 6) -8.
1	2
135. 2) x = - g ; 4)	= -2, x2 = 2. 136. 2) x — любое число; 4) 3 < x < 2.
137. 2) 5; 4) -11; 6) ± 138. 2) 2; 4) 4 Тб  139. 1) x-2; 2) (3 - x)3 при
oU
x < 3, (x - З)3 при X > 3. 140. 3974. 141. 2) 36^4; 4) 20. 142. 2) 33; 4) 7.
143. 2) 0,2; 4) 2. 144. 2) 50; 4) 16. 145. 2) a2b3; 4) a2b3. 146. 2) 3ab; 4) f.
147. 2) |; 4) J. 148. 2) J; 4) 2; 6) 4. 149. 2) 3x; 4) 2^. 150. 2) |; 4) j.
151. 2) 4>/2 ; 4) 5. 152. 2) y2; 4) a8be; 6) 3a. 153. 2) |; 4) |; 6) 4. 154. 2)	;
xu	xu	U
4) J; 6) a2b. 155. 2) 6; 4) |; 6) 4. 156. 2) a&c; 4) 2xy. 157. 2) 3x; 4) 0. 158. 2) 7;
4) 1. 162. 2) 3; 4) 27; 6) -£=. 163. 2) 5; 4) i; 6) |. 164. 2) 49; 4) 125.
165. 2) 121; 4) 150. 166. 2) 3; 4) 2,7. 167. 2) b; 4) a; 6) 1. 168. 2) a2b.
1 1
1	11/-,	a3-b3
169. 2) 1. 170. 2) 3. 171. 2) b2 ; 4) a+b; 6) a4 + b4; 8) >lc -1. 172. 2) у ;
!	a3+b3
4) 2-x/b . 173. 2) 2y; 4) 2^/b . 174. 2) 2^/b ; 4)	. 176. 2)	4 < (0,41)’4;
\ Лхи/
4> (n)= (n)•177- 2>x -3; 4>x -2; 6> 1 - i 178- Й-1!)’x Й-1!)’•
179. 2) x - £; 4) у = 5. 180. 2) x - 2,6; 4) x = 4. 181. 2) x = -1; 4) x = 1.
2	«5
182. 2) 6; 4) -3. 183. 2) -3; 4) ™ 184. 2) 51; 4) 0,04; 6) -0,1. 185. 2) 1000.
227
186. 2) Vx ; 4) , 1	.187. 2) x = -1; 4) x = 1.188. 2)	4) -609^ • 189. 2) x —
•Jx2-!/2	16	27
11 11
любое число; 4) x<2, x>3; 6) 0<x<2, x>3. 190. 2) a+1; 4) a3 + b3; 6) a2 -b2.
191. 2) у - 1 при x = 2; y = 5 при х = 0их=4; </ = 10 при х = -1 и х = 5; у = 17
при х = -2 и х = 6. 192. 1) у(-2) = -1, г/(0) = -5, у(|) = -11. у(3) = 4; 2) у = -3
прих = — i; у = -2 при х=-1; у = 13 при х - |; у = 19 при х = . 194. 2) х< 2,
х>5; 4)-2<х<3. 195. 1) </(-3) = 3, z/(-l) = 1, z/(l) = -l, z/(3) = -l; 2) y = -2 при
x=2; y = 0 при x = 0 и x = 4; y = 2 при x = — 2 и x = 6; у = 4 при x = -4 и x = 8.
196. 3) x * -1; 4) -1 < x < 1, x > 4; 5) -5 < x < 1, x > 2; 6) x > 0. 197. 2) Да;
4) да. 203. 2) x = 16; 4) x = ^; 6) * =	205- 2) x = 32; 4) x = 8. 208. 2) Не-
четная; 4) не является ни четной, ни нечетной. 209. 2) Нечетная; 4) нечетная;
6) не является ни четной, ни нечетной. 218. 2) х = 0. 219. 2) (-1; 0).
220. 2) у = 1 при х = -4; 4) у < 1 при х < 0 и х > 2.222. 2) (-2; 4) и (2; -4);
4) (-4; -2) и (1; 3). 228. 2) х < 3; 4) у < 5; 6) х < -5, х > 5. 229. Ребро куба
больше 7 дм. 232. 2) х=10; 4) х = 5. 233. 2) х = 2; 4) х = 2; х = —7. 234. 2) х = 4;
4) х = 0,2. 235. х = |. 236. 2) х>-3; 4) х<2; 6) х<1, х>7. 238. 2) х = -2;
4) Xj = 1; х2 = 3. 239. 2) х = 2,25. 240. 2) х = 1; 4) х = 5. 241. 2) х = 4.
242. 2) 2 < х < 3; 4) 1 < х < 2; 6) х > 1. 243. 2) х * |; 4) х — любое число.
248. 2) (--!=; -Л),	4) (-1; -1); (1; 1). 249. 2) х > 2; 4) х <-2.
250. 2) х = 16; 4) хг = х2 =	6) х = -1. 251. 2) х — любое число;
4) 2<х< 11; 6) х<-7,-3 <х<-1, х>3. 252. 2) Убывает; 4) убывает. 253. 2) Не-
четная; 4) не является ни четной, ни нечетной. 255. 2) — 2<х<^.
256. 2) х,=-1, х2 = 7; 4) х = 81; 6) х = 3, х = 7. 257. 1) х < -1, х > 9; 2) -1< х < 0,
3<х<4; 3) | <х<6; 4)х>4. 258. 2) ^;4) ^;6)	; 8)	259. 2) 20°;
о	3 о 4о 9
4) 135°; 6) (122Г; 8) (324f . 260. 2) 4,71; 4) 2,09. 261. 2) 2л < 6,7;
\ л /	\ 5л /
4)	< 4,8; 6) -	< -Л0.263. 0,4 м. 264. 2 рад. 265. ~ см2. 266. 2 рад.
267. 2) (-1; 0); 4) (0; -1); 6) (1; 0). 269. 2) Вторая; 4) четвертая; 6) вторая.
270. 2) (0; 1); 4) (-1; 0); 6) (0; 1). 271. 2) 2лЛ, k = 0, ±1, ±2, ...;
228
4) ^ + 2лЛ, k = 0, ±1, ±2, .... 272. 2) Вторая; 4) четвертая. 273. 2) х = 1,8л,
й=4;4) х = |л,А=3; 6) х = |П, k=2.276.2)(О; 1); 4)(О;-1). 276. 2) ^ + 2лЛ,
Л=0, ±1, ±2, ...; 4) ^ + 2лЛ,*=О,±1,±2, ....277.2) -J;4) -1; 6) -1; 8)	.
279. 2) -1; 4) -1; 6) 1. 280. 2) О; 4) -1. 281. 2)	; 4)
282.2) х = | + лЛ,А=0,±1,±2,...; 4) х = | + 2лЛ, *=0, ±1,±2.284.2)
4) 1^. 285. 2) х = л + 2лЛ, Л = 0, ±1, ±2, ...; 4) х = л+2лЛ, А = 0, ±1, ±2, ...;
6)	х = |Лл, Л = 0, ±1. ±2, .... 286. 2) х = 2лЛ-1, k = 0, ±1, ±2, ...; 4) x-kn-1,
k=0, ±1, ±2,...; 6) х =	+1, fc=0, ±1, ±2,.... 287.2) Вторая; 4) вторая; 6) вто-
рая. 288. 2) Плюс; 4) плюс; 6) плюс. 289. 2) Минус; 4) плюс; 6) минус.
290. 2) Плюс, плюс; 4) минус, минус; 6) минус, минус; 8) плюс, плюс.
291. 2) sinacO, cosa>О, tgacO, ctgacO; 4) sina>О, cosa>0, tga>0, ctga>0.
292. 2) sinS > 0, cosS < 0, tg3 < 0; 4) sin(-l,3) < 0, cos(-l,3) > 0, tg(-l,3) < 0.
293.2) Минус; 4) плюс; 6) плюс; 8) минус. 294. Знаки чисел sin а и cos а совпа-
дают, если 0 < a < £ или л < a < —; числа sina и cosa имеют противо-
положные знаки, если < (X < Л или < (X < 2л. 296. 2) Минус; 4) плюс.
296.2) cos 1,3>cos 2,3. 297.2) х = | + kit, fc=0, ±1, ±2,...; 4) х=л+2Лл, k=0, ±1,
±2...... 298. 2) Во второй. 299.	300. 2) cosa = -|, tga =;
*	’	е	1-cosa	5	3
4) cosa--^, tga = -|=, ctga = ^; 6) sina = --l=, cosa = -^=.
301. 2) Могут; 4) не могут. 302. 2) He могут. 303. cosa = ^, tga = ^^.
304.	305. cosa = ±|. 306. 2) sina = ±jl. 307. 2) |; 4) 2. 308. 1) -|;
2)	. 309.1) x =nfe, fe=0, ±1, ±2,...; 2) x = -1 + 2л£, fe=0, ±1, ±2,...; 3) х=2лА,
fe-0, ±1,±2, ...;4)х=| + лА,* = 0, ±1,±2,.... 311. 2) 0; 4)l+sina. 312.2)3;
4) 4. 316. 2)	317.	318.	319. 1) x = itk, k = 0, ±1, ±2, ...;
2) x = 5 + 2nk, k=0, ±1, ±2,.... 320. 2) |; 4) -3. 321. 2) 2cosa; 4) 2. 323. 2) 2.
2	d
324. 2)-2coea. 325. 2) -|; 4)	326. 2) ^=; 4)-l. 327. 2) ^^.328. 2)cos30;
4) -1. 329. -sina sinp. 330. 2) &; 4) 1. 331. 2)-?+^ . 332. 2) -sina cos p;
£	о
229
4) sin a cos B. 333. cos(a + p) = ||; cos(a - p) =	. 334. -	. 335. 2) 0;
OU	OU	DO
4) tga tgp. 338. 2)	4) f. 339. 2)	; 4) -1. 340. 2) g. 341. 2)
Z	&	vZ	ZD	Z£>
342. 2) i sin 2a; 4) 1. 343. 2) 2ctga; 4) ctg2a. 345. 2) |. 347. 2)	; 4)	.
z	У	v z	z
348. 2) cos6a; 4)	. 350.	. 351. 2) 7з . 352. 2) 0; 4) 0; 6) -1. 353. 2) 4*;
4)	6) ~7з- 354’ 2) 72; 4) " Л'	2) -2; 4) 2’ 6) 'fe- 356- 2) “'/2;
4) -1. 357. 2) cos2a. 358. 2)	4)	6)	359. 2) 1; 4) -_1_.
’	’	6	2	4	’	’ cosa
362. x = % + 2nk,k=0,±l,±2, ...;4)x=n+2nk,k=0,±l,±2,....363.2) VisinP;
4) sin2a. 364. 2) 0; 4)	6)	365. 2) 4sin(£ - ^)cos(-^+ §) ;
4) 2sin(j + |)cos(j-j). 367. 2) 2sina. 370. 2) 2V3singsin|. 371. 2) 0.
372. 2) 2 cos a(cos a - 1) ; 4) (sin a + cos a)  (1 +	• 373. 2) Третья;
4) вторая; 6) вторая. 374. 2) 0; 1; 4) 1; 0; 6) 0; -1. 375. 2) 2; 4) -1. 376. 2)	;
4) - 4=. 378. 2) 3; 4) tg2a. 379. 2) -1.380. 2) -	; 4) ^(^+1). 381. 2) sin2a;
vo	о	z	4
4) tg2a. 382. 2) 1; 4)	383. 2) -~; 4) -1-^. 384. 2) cos0>sin5.
385. 2) Плюс; 4) плюс. 386. 2)	; 4)	; 6) -	. 387. 2) —.
388. cosa = -|; tga = -^;
0	z
ctga =—; sin2a = -Ax5; cos2a =-i
v5	9	9
389. 2) tga. 390. 2) -rV; 4)--------. 391. 2) 1; 4) 1. 392. 2) -7. 393. 2) cos4a.
SIH 401	COSZOt
395. 2) -3, -1, 1, 3, 5. 397. 2) 79; 4) -42. 398. 2) an =29 -4n; 4) an =6 -5n.
399. 12. 400. Да, n = 11. 401. n = 11 , нет. 402. 2) 0,5. 403. 2) —13. 404. 2) —100.
405. 2) an = 5n - 17. 406. n > 9. 407. n < 25. 408. 2) a9 = -57, d = 7; 4) a9 = -1,
d =-15; 409. 44,1 m. 410. 10 дней. 411. 30. 412. 60. 413. 2) 10050; 4) 2550.
414. 4850. 415. 4489. 416. 2) -192. 417. 2) 204,. 418. 2) 240. 419. 4905;
494550. 420. 2) 2900. 421. 10. 422. 2) a10 = 15|, d = |. 423. 2)	=-88,
d = 18. 424. 78 бревен. 425. 44. 426. a, =5, d =4. 429. 2) -3, 12, -48,192, -768.
431. 2) i; 4) x. 432. 2) bn = 3 • (J)”"1; 4) bn = 3  (- J)"’1. 433. 2) 5; 4) 8.
434. 2) 3; 4) -|. 435. &8 =2374, n = 5. 436. b7=S-J3, 9 = ^- 437. &6 =6,
&j=30^ или &6 = —6, &j=—30^. 438. 65910 сумев. 439. 0,25 см2.
230
440. 2) -21; 4)	6) -400. 441. 2) 2186. 442. 2) b,=-l, b8 = 128.
443. 2) и=7; 4) и = 5. 444. 2) и=9, btJ = 2048; 4) n = 4, q = 7. 445. 2) 364; 4) 305.
446. 2) b, = 4802,	= 800. 447. -1|1. 449. 2) q = 5, b = 300 или q = -6,
b3 = 432. 450. 2) q = 2 или q = -2; 4) SB = 781 или SB = 521. 452. 2) Да; 4) да.
453. 2) 7,2; 4) -8|. 454. 2)	4) |. 455. 2) Нет; 4) да. 456. 90|2.
457.	2) 6 + 4л/3. 458. 2) |; 459. 2а. 460. Rn = ^ Вг. 461. 2) 1; 4)
462. 2) d = -|,a4=2, a5 = l|;4)d=-3, a4 = 72-9, a5 = 72-12.464. -5|.
465. 2) -1080. 466. 143. 467. 2) -22. 468. 2) g = -|, b4 =-j^, b5 =
4) q =—V2, b4 = -1072,65 =20.469. 2) bn = -0,5  (-2)nl. 470.2) bn =
471. 2) S10 = l^; 4) Sg =5. 472. 2) 242; 4) ||. 473. -±. 474. 24 £.
475. 2) 14, 11, 8, 5, 2. 476.	477. 2) aw = 0, a4 =-108. 478. 2) x4=|;
4)	x= -4. 480. 14. 481. 2)	=-l|, d = -^-. 482. 2) 27. 483. 2) -27;
4)	± i. 484. 6. 485. 2) Нет; 4) да. 487. В среду. 488. ах = 8 , d=-3 или аг = 2,
d = 3. 489. at = 5, d = -5 или ax = -5, d = 5. 490. 180 раз. 495. 2) -15 < x < - 4;
4) x < 12, x > 13; 496. 2) 0 < x < Тб; 4) x <	; x > Js . 497. 2) -9 < x
< 6; 4) -2 < x < 0,1; 6) x <	, x 2. 498. 2) x = -12; 4) x — любое
действительное число; 6) нет решений. 499. 2) х — любое действительное число;
4) х — любое действительное число; 6) 2) х — любое действительное число.
500. 2) -0,7 < х < |; 2) -2 < х < 1. 501. 2) х <-2, х = 1; 4) х <	, 0 < х < 2.
502. 2) -0,5 < х < 2; 4) -3 < х < 0, х > 1. 503. Высота больше 3,1 см, средняя
линия больше 6,2 см. 504. Больше 8 с. 505. Больше 5 см. 506. 2) х < -7,
-1 < х< 2; 4) -1 < х < х > i . 507. р = 5, q = -14. 508. 2) р = 14, q = 49.
О	о
509. у = -2х2 + Их - 5. 510. i/ = ^x2. 511. 2) а = -1, b = -1, с = 2.
512. Указание. 1) Обозначая ^- = А3, ~ = В3, — = С3 и учитывая равенство
оса
АВС=1, запишите данное неравенство в виде А3 + В3 + С3 > ЗАВС , которое
преобразуйте к виду (А + В + С)(А2 + В2 + С2 - АВ - АС - ВС) > 0 . Неравенство
(А2 + В2 + + С2 > АВ + АС + ВС получается сложением неравенств А2 + В2 > 2АВ,
231
A2 + С2 > 2AC, В2 + С2 > 2ВС ; 2) сложите неравенства для среднего
.	Ьс ас ~ _	ас , ab ~	_
арифметического и среднего	геометрического: — + -^-> 2с,	— + — >2а	,
S 2Ь; 3) вычтите из левой части неравенства правую и числитель полученной
дроби запишите в виде: (а +	Ъ\а - Ъ)2 + (Ь + с)(Ь - с)2 + (а	+ с)(а -	с)2.
515. 1) х12 = ±2; 2) х12 = ±1,	х3 >4 = ±3; 3) х, = -1, х2 = 2; 4)	х1>2 =	;
5)	х2 - О, х2 3 = ±2; 6) х12 = ±4, х34 = ±6. 516. 2) 21; 4)	. 517. 2) 3 - $2 ;
4)	6у/7 . 518. 2) (2х/а5)°’3<(2х/а5)0,37. 519. 2) 4х ; 4) 9Ь4. 520. 2) 5ab4b;
4) llaby/ab . 521. 2) -л/зх* ; 4) Тба7 . 522. 2) -в|. 523. 2)-1|. 524. 2) х = |;
4) х = 0. 525. 2) Нет. 526. 2) Нет. 527. 2) 1,5 < х < 7; 4) х > -7,5; 6) 0 < х < 2,
х > 2. 530. -1. 531. 2) Отрицательно. 532. 2) -0,8. 533. 2) 2 sin cos
4) sina(sma - 2cosa). 534. sina =	, cosa =	_ттгг • 535. 2) a,„ =
= 47,5, S12 = 537; 4) a18 = 111, S18 = 108. 536.1220. 538.2) \ = 5. 539. 2) b4 = 125,
S4 = 156; 4) b5 = 81, S5 = 61. 540. 15J. 541. 2) 41; 4) 1; 6) -|(1 + V5).
542. 2) 2ab4b ; 4) a + 3. 543. 2) -1; 4) -1. 544. Первое. 545. 2)	.
x	a -b
4) 0,1(5 - >/5)л/5 + >/5.546. 2) ~; 4) 4a + 4b . 547. Убывает. 548. 2) x < 0,
x>6; 4)х* >/з ; 6) x<-3, 0 < x < 2, x>3. 550. 2)x = 61; 4) x = 0,5; 6) xt = 0,
x. = -3, x4 = 2. 551. 2) -4--; 4) 4. 552. 2) cos2x. 553. 2) x = ^ + nn,
cos a
x = n + 2nn, neZ. 556.	557. 39|. 558. 7, -28, 112, -448 или
О о Z	d
-и|;-4б|;-18б|;-74б1 559. b, = 5, bR - 405. 560. 1. 561. 8, 13, 18
О	О	О	О	АО	у
л/З+л/7	1+х/7
или 20, 13, 6. 562. 1)^-7--;2)—563. 1) 1-Va; 2) а5+ b2.
565. sina = cosa = -Ш. 567.10, 4, -2, 1 или --, 1,1,
1оУ	1оУ	4 4 4	4
232
Упражнения
для повторения курса алгебры 8—9 классов
569. 2) 4; 4) 4|. 570. 2) 5,8; 4) --L. 571. 2) х = 7; 4) х - 0,5; 6)х = 2,25.
572. 2) 3; 4) 0,1125. 573. 2) 300; 4) 3600. 574. 2) 5%; 4) 1б|%. 575. 2) 5а45;
4) 4а857. 576. 2) 35 - 2х - 2х3- х6; 4) 8а2 + 452 + 36а + 36. 577. 2) 4,9; 4) 2.
578. 2) Ь2 - Ча2&. 579. 2)	4) (5 - л/зХ& + л/зМЬ2 + 3). 580. 2) (| + 1) ;
4) (1 + 95)2. 581. 2) (а + 1)(а - х); 4) (а - х)(5а - 7). 582. 2) 2a3b(a - I)2;
4) (а - Ь)2(а + Ь)2. 583. 2) 2(х - З)2; 4) (х - 1)(х + 2). 584. 2)	; 4) ~;
х+4	х-1	3 о Зе2 16-5а
6)	8)	585’ 2) im ; 4>	6>	8> +	- 2). 586. 2) jrj;
ЗЬ-а2	1	2	1	х
4)	587‘ 2) 2а+3’ 4) Ь + а - 1- 588- 2)	4) —г. 589. 3) -;
4) 9~тт • 590. 2) -0,25; 4) 1^. 591. 2) 3. 592. 2) —Ц-;4)-Д-. 593. 2) 4;
zo+1	10	x+V2 Vx-1
4) 8. 594. 2) -2; 4) О; 6) 7. 595. 2) 2; 4) 14. 596. 2)	4) 6^2. 597. 2) 2- 10 s;
4) 1,2 IO3. 598. 2) 1,25. 599. 2) 3,5. 600. 2) -x2i/e; 4) ху2. 601. 2) -1;
4) l + 7m. 602. 2) х = 1; 4) х = -0,5. 603. 2) х = 12^; 4) х = -13,5.
604. 2) х = 3; 4) х = -9. 605. 2) хх = -2, х2 = 3; 4) xt = 5, х2 = -1.
606. 2) xt = О, х2 = 5; 4) хг = О, х2=-~; 6) х12 = ±2; 8) х12=±2у/2.
607. 2) хх = -1, х2 = 1,5. 608. 2) х, =5, х2 = -J. 609. 2) х, = 1, х2 = 4,5;
4) хг = -5, х2 = 0,5. 610. 2) хг = -3, х2 = 5; 4) х = -1; 6) хх = 4,3, х2 = -11,7.
611. 2) х = 3; 4) х - -4. 612. 2) хх2 = ±1, х34 = ±6. 613. 2) х = 33 4) х = 9;
6) Х1 = 1, х2 = 4. 614. 2) х = —2; 4) х = 1,5. 615. 2) х = -1; 4) х, = 1, х2 = -0,5;
6) х = 4. 616. 2) (3; 7); 4) (2; 3); 6) (-2; -3). 617. 2) (14; 10); 4) (2; 2).
618. 2) (5; 3), (-3; -5); 4) (4; -9), (-9; 4); 6) (4; 5), (-4; -5), (5; 4), (-5; -4).
619. 2) х < |^; 4) х > 1. 620. 2) х < 1; 4) х < з|; 6) х < 2. 621. 2) х > 1,5;
4) х> 3. 622. 2) 1; 2; 3; 4. 623. 2) -1; О; 1; 2; 4) -1; О; 1; 2; 3. 624. -4; - 3;
-2; - 1. 625. 2) -1 < х < 3; 4)	< х < 3+^ ; 6) решений нет; 8) х < -li ,
х > 1. 626. 2) -11<х<з1; 4) -1 < х < 3. 627. 1) -4 < х < 2; 4) О < х < 7,
О	о
233
х > 8; 6) х < -3, -0,5 < х < 0,5. 628. 2) 9 > 4^5 ; 4) 5>/б < 6л/б ;
6) 2^3<>/2 -</5. 629. 62,5 и 57,5. 630. 5 км/ч. 631. 4 км/ч. 632. 12,5
км/ч, 2,5 км/ч. 633. 26 см, 2см. 634. 48 мин. 635. 20 мин. 636. 35 ц, 40 ц.
637. 5 ч, 7 ч. 638. 2) Да; (0; -4), (8; 0), у(-2) = -5; 4) нет; (0; 6), (4; 0),
у(-2) = 9. 641. 2) (5; -10); 4) (|; -1). 642. 2) 23; 4) б|. 643. 2) х1 ~ -2,
х2 = -5. 645.	• 647. 2)	+ 2лп , п g Z; 4)	+ 2пп, neZ. 648. 2.
650. 2) 2 cos2 а. 651. -tg 2а. 653. 2) . 654. 2) 0,5. 655. 2) |. 656. 7. 657. 1) 0;
2) 0. 658. -sina - cosa. 659. -2. 660. -0,5. 661. 2) а, = 201, S17 = 2737.
662. n = 39. 663. 682. 664. 2) 0,5; 4) 1. 665. 189. 666. 2) a, = 1, d = 3;
4) ax = 2, d = 3 или = 14, d = - 3; 671. bn = 3^-ij или bn = -3^ij
672.	= 12, q = -2 или b4 = -12, q = 2. 673. |; 1; 3; 9; 27 или |; -1;
3; -9; 27. 674. 2) bt = 0,384, q = 0,25 или bt = 0,6, q = -0,2.
675. 2) Ьг = 37,5, q = 0,6 или bj = 48, q = 0,25.
Ответы к заданиям «Проверь себя»
Глава I. 1. Рис. 84. 2. хг = 0, х2 = 2. 3. у > 0 при -1 < х < 1; у < 0 при х < -1,
х > 1. 4. Функция возрастает при х > 0; функция убывает при х < 0.5. (3; 0);
рис. 85.
Глава II. 1. 1) —1 < х < 4; 2) х — любое действительное число; 3) решений
нет; 4) х = -10. 2. х > 1; -2 < х < 0.
Глава III. 1. 1) 8|; 2) 16. 2. 8,6 • 103; 7,8 • 10 s; 6,708 • 101; 1,1 • 106.
3. 1) 6; 2) {у + х)ху. 4. а4; 27. 5. (0,78)3 >(0,67)3; (3,09)’3 <(3,08)’3.
234
Глава IV . 1. 1) х * 1; 2) -3 < х < 3. 2. а) 1) у « 1,4; 2) у = 3; 3) у = -2,5;
4) у = 8; б) 1) х = 9; 2) х = 2; 3) х = — |; 4) х = >/3 ; в) у(х) > О при: 1) х > О;
2) х > О; 3) х < О; 4) х > 0; у (х) < О при: 1) нет таких промежутков; 2) х < О;
3) х > 0; 4) х < 0; г) функция возрастает при: 1) х > О; 2) таких промежутков
нет; 3) х > 0, х < 0; 4) х g R; функция убывает при: 1) таких промежутков
нет; 2) х > О, х < 0; 3) нет промежутков; 4) нет промежутков. 3. 1)Четная;
2) нечетная. 4. 1) х = 28; 2) х = 1.
Глава V. 1. сова = -Л, tga = —sin2a =	2. 1) 1; 2)	3)
О	О	ZD	z
4) ->/з ; 5)	. 5. 1) sina cos Р; 2) сов2 а; 3) 2sina.
Глава VI. 1. a10 = -25, S10 = -115. 2. b6 = j , S6 = 7 j. 3. q = |, S = 1,5.
Ответы к тестовым заданиям
Глава I
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е
Глава II
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е
Глава III
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е
Глава IV
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е
Глава V
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D
Глава VI
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D	Е	А	В	С	D
235
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аргумент 76
Арифметический корень п-й
степени 53
Вершина параболы 8
Гипербола 90
График функции 11
Единичная окружность 109
Квадратичная функция 5, 16
Квадратное неравенство 29
Квадратный корень 53
Корень 5
Кубический корень 53
Метод интервалов 38
Нули квадратичной функции 6
Область определения 76
Ось симметрии параболы 8
Парабола 7
Поворот 109
Прогрессия
—	арифметическая 157
—	разность 158
—	сумма п первых членов 162
—	геометрическая 166
—	знаменатель 167
—	бесконечно убывающая 176
Степень
—	с иррациональным показателем 81
—	с нулевым показателем 48
—	с отрицательным показателем 48
Сумма и разность косинусов 146
Сумма и разность синусов 146
Тождество 128
—	тригонометрическое 124
Угла:
—	косинус 115
—	синус 115
—	радианная мера 106
—	тангенс 117
Фокус параболы 9
Формулы приведения 141
Функция 76
—	периодическая 143
—	степенная 76
—	четная 85
—	убывающая 82
—	нечетная 87
—	тригонометрическая 119
—	возрастающая 82
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абу Райхан Беруни 75, 104, 124,
155,156, 186
Абул Вафа аль Бузджани 155
Аль Каши 52, 75, 150,186
Лейбниц Г. В. 104
Мирза Улугбек 156
Ньютон И. 75
Эйлер Л. (1707-1783) 75
236
ОГЛАВЛЕНИЕ
Повторение курса алгебры 7-8 классов..................................3
Г л а в а I. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
§ 1.	Определение квадратичной функции................................5
§ 2.	Функция у = х2.................................................................. 7
§ 3.	Функция у = ах2 .............................................................. 10
§ 4.	Функция у = ах2 + Ьх + с ................................................. 14
§ 5.	Построение графика квадратичной функции....................... 18
Упражнения к главе I.................................................24
Тестовые задания к главе I..................................................... 26
Г л а в а II. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 6.	Квадратное неравенство и его решение.......................... 29
§ 7.	Решение квадратного неравенства с помощью графика
квадратичной функции................................................. 33
§ 8.	Метод интервалов.............................................. 38
Упражнения к главе II............................................................ 43
Тестовые задания к главе II..........................................45
Глава III. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
§ 9.	Степень с целым показателем................................... 48
§ 10.	Арифметический корень натуральной степени.................... 53
§11.	Свойства арифметического корня............................... 56
§12.	Степень с рациональным показателем............................60
§13.	Возведение в степень числового неравенства....................66
Упражнения к главе III.............................................. 70
Тестовые задания к главе III........................................ 72
Глава IV. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
§14.	Область определения функции.................................. 76
§15.	Возрастание и убывание функции................................80
§16.	Четность и нечетность функции ................................86
k
§17.	Функция у = - ................................................90
§18.	Неравенства и уравнения, содержащие степень...................94
Упражнения к главе IV ...................................................... 98
Тестовые задания к главе IV........................................ 101
237
Г л а в a V. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 19.	Радианная мера угла....................................105
§ 20.	Поворот точки вокруг начала координат..................109
§21.	Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
угла.........................................................115
§ 22.	Знаки синуса, косинуса и тангенса .....................121
§23.	Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом
одного и того же угла.......................................124
§ 24.	Тригонометрические тождества...........................128
§ 25.	Синус, косинус, тангенс и котангенс углов а и -а........ 131
§ 26.	Формулы сложения.......................................133
§ 27.	Синус и косинус двойного угла..........................138
§ 28.	Формулы приведения.....................................140
§ 29.	Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов ...145
Упражнения к главе V.........................................148
Тестовые задания к главе V...................................152
Глава VI. ПРОГРЕССИИ
§ 30.	Арифметическая прогрессия..............................157
§ 31.	Сумма п первых членов арифметической прогрессии........162
§ 32.	Геометрическая прогрессия..............................166
§33.	Сумма п первых членов геометрической прогрессии........171
§ 34.	Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ........175
Упражнения к главе VI .......................................................... 181
Тестовые задания к главе VI..................................184
Упражнения для повторения курса алгебры 9 класса ............ 187
Упражнения для повторения курса алгебры 7-9 классов .........197
Краткие теоретические сведения по курсу алгебры
7-9 классов..................................................210
Ответы.....................................................  225
Предметный указатель.........................................236
Именной указатель............................................236
238
Свободная продажа запрещена