Автор: Мирзахмедов М.А. Рахимкариев А.А.
Теги: математика учебник школьная математика
ISBN: 978-9943-02-092-4
Год: 2009
Текст
a:x-b:c 1%~0,01
Л =3,14159265358979325...
М. А. МИРЗАХМЕДОВ, А. А. РАХИМ КАРИ ЕВ
Учебник
для общеобразовательных школ
Утвержден Министерством народного
образования Республики Узбекистан
Издание третье, переработанное и дополненное
ИЗДАТЕЛЬСКО-ПОЛИГРАФИЧЕСКИЙ
ТВОРЧЕСКИЙ ДОМ ,,O‘QITUVCHI“
ТАШКЕНТ-2009
ББК 22.1 я 72
Дорогой ученик!
Ученые, поэты, государственные деятели, художники нашей Роди-
ны — Узбекистана внесли большой вклад в развитие мировой науки,
образования и культуры. Вы должны продолжить их дело. И на страницах
этой книги нашли отражение достижения наших великих ученых. Они
говорят с вами как живые, гордитесь ими!
Молодость — время приобрети шя знаний! Как говорится в пословице:
«Знания, приобретенные в юности, подобны надписям, высеченным
на камне». Изучение математики требует от вас инициативности,
пытливости, решения задач и упражнений. Если вы хорошо изучите меня,
я стану вам другом!
Успехов вам в этом нелегком труде.
Учебник математики
Условные обозначения:
— тема;
— вопросы и задания;
— более трудные задачи;
— упражнения для выполнения дома;
— исторические сведения;
— проверьте себя.
Издано за счет средств Республиканского целевого книжного фонда для
выдачи в аренду. 32765 экз.
43006020500 - 46 М тем. план — 2009 IV1 353(04) - 2009 © ИПТД „O'qituvchi", перевоз с узбек- ского, 2005 © М. А. Мирзахмедов, А. А. Рахимкариев. Все права защищены. Т., 2005 © ИПТД „O'qituvchi", с изменениями и
ISBN 978-9943-02-092-4 дополнениями, 2009
Повторение материала 5-го класса
В 5-м классе вы познакомились с четырьмя арифметическими
действиями над натуральными и дробными числами. Предлагаем
упражнения для повторения полученных знаний.
1. Запишите числа, представленные в виде суммы разрядных
единиц:
1) 2- 10' + 3- 103 + 7 • 102 + 8 • 10 + 3;
2) 3 • 105 + 7 • 104 + 4 • 103 + 2 • 102 + 1 • 10 + 9;
3) 8- 104 + 3- 102 + 5; 4) 9 • 105 + 6• 103 + 7.
2. Вычислите удобным способом:
1) (38 • 54 + 38 • 42): 24; 4) (88 • 89 - 88 • 69): 440 + 60;
2) 2 416 • 67 + 23 • 2 416; 5) 37 • 436 + 218 • 72 + 108 • 109;
3) 736 • 983 - 736 • 883; 6) 628 • 29 + 314 • 31 - 157 • 78.
3. Выполните действия:
1) 614 • 905 + 2 736 : 76; 3) 812 • 35 - 2 436: (3 732 - 48 • 27);
2) 675 • 803 + 12 544 : 49; 4) 751 031 - 920 • (15 810 : 93 + 133).
4. Поезд, пройдя 364 км за 7 часов, увеличил скорость на 4 км/час
и преодолел оставшееся расстояние за 7 часов. Найдите весь
путь, пройденный поездом.
5. Фермерское хозяйство по плану должно было продать 875 т
картофеля. В сентябре хозяйство продало 684 т, а в октябре —
317 т. На сколько тонн картофеля было продано больше, чем
запланировано?
6. Периметр прямоугольника а мм. Какое из следующих чисел
может равняться числу а, если а — натуральное число:
798, 564, 357, 241, 690, 800, 429, 555?
7. Поставьте вместо звездочек такие цифры, чтобы числа
1) 31*4*; 2) 45*6* делились на 9; 3) 1*2*1; 4) *4*3* делились
на 3 без остатка.
3
8. Не выполняя вычислений, определите, корень какого урав-
нения делится на 9:
1) х: 37 = 270; 3) *+280 = 720; 5)х- 135 = 68;
2) л+ 450 = 830; 4) х - 360 = 540; 6) х: 135 = 107.
9. Остатки от деления двух натуральных чисел на 9 равны.
Делится ли на 9 разность этих чисел? Почему?
10. Число а не делится на 10. Определите, какие из следующих
чисел делятся на 10: 1) а • 100; 2) 8 • 5 • а; 3) 40 + а\ 4) 90 • а.
Найдите значения этих выражений при а = 1 042.
11. Вычислите:
1) НОД (48, 72, 528): 3) НОД (164, 541, 1271);
2) НОК (24, 25, 1200); 4) НОК (120, 360, 420).
~ 4 9 10 33 30
12. Значения каких из следующих дробей: , -z-r,
14 1э Зэ 55 э4
21 45 26 - ч 2 2 5 о D
—, ТТ’ пТ равны 1) у; 2) -; 3) —? Выпишите их по
3 j о 1 У1 / 5 у
отдельности.
13. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно
выехали автомашины марки «Нексия» и «Тико». Скорость
«Нексии» 80 км/ч, а скорость «Тико» составляет | от нее.
Найдите расстояние АВ, если машины встретились через
4 часа.
14. Из пункта А одновременно в противоположных направлениях
выехали две машины. Скорость первой машины составляет j
скорости второй. Найдите расстояние между машинами через
2 ч, если скорость первой машины 60 км/ч.
15. Длина прямоугольника 22 см, а ширина на 4 см меньше.
Найдите плошадь квадрата, периметр которого равен
периметру этого прямоугольника.
4
16. Приведите к общему знаменателю дроби:
п 17 Z1- — — —• -п 11 И 21
12’ 18 и 90’ 13’ 26 и 39’ 15’ 30 И 45’
17. Сравните дроби:
П 15 16. 7 14. 12 13. .. 59 49
1) 17 и 17> 2) 12 и 24, 3) 13 и 14, 4) 60 и 50-
18. Выполните действия:
П 71 э 1 . с 5 * э 12 ох 1 1 э 8 .2.1 1 э 2
О 7з '24 +5й '2Т9 3> *i9 2i5 + 4s :1<8~53
2) 7--2— 5—'2— 4) 7--3- + 3-• 1-- — • —
’ 'з 24-Э19 19’ } 5 3 7 ’7 21'63’
19. Решите уравнение:
D 2)21.(х + 1] = 5; 3) 4|.(2|-х) = 91.
20. Один продавец увеличил цену товара вначале на а затем
2 о
новую цену снизил на —. Второй продавец сразу же снизил
цену того же товара на . У кого выгоднее купить товар?
21. Один продавец увеличил цену товара вначале на , а затем
1 D
новую цену увеличил на —. Второй продавец сразу же снизил
1 1 1 9
пену того же товара на — + — = 7. У кого выгоднее купить товар/
10 15 о
22. Измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина
и высота) выражаются простыми числами. Найдите объем и
полную поверхность этого параллелепипеда, если сумма длин
всех его ребер равна 40 см.
5
Глава 1
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Первоначальные сведения о десятичных дробях
Запись и чтение десятичных дробей
а
ноль цифра
1,035
целая часть
дробная часть
Дроби со знаменателями 10, 100, 1000, ...
17 3 5 7 71 119 343 э 117
То’ То’ эТо’ Too’ Too' Тооо’ 2Тооо
можно записывать без дробной черты. Для этого нужно: записать
целую часть дроби, поставить запятую и выписывать после-
довательно число десятых долей, число сотых долей и т. д.
23 3
— = 2—= 2.3 {читается', две целых три десятых);
^ = 0,71 {читается', ноль целых семьдесят одна сотая).
Обратите внимание на то, что знаменатели этих дробей — степени
числа 10:
10 = 101; 100 = 102; 1000 = 103; ... .
Дроби, знаменателями которых являются степени числа 10,
называются десятичными дробями.
6
7 71
Таким образом, 1— и 1,7; — и 0,71 — различные записи
равных между собою чисел.
Обращение обыкновенной дроби, знаменатель которой является
степенью 10, в десятичную подчиняется следующим правилам:
Правило 1. Если число цифр числителя данной правильной дроби
равно числу нулей ее знаменателя, то пишем 0 целых, ставим справа
от него запятую, а затем справа от запятой записываем числитель
этой дроби:
2_ - л 7- — = 0 12-
10 ’ ’100
173
1000
= 0,173.
Правило 2. Если нулей в знаменателе больше, чем цифр в числителе,
то пишем 0 целых, находим разность между числом нулей знаменателя
и числом цифр числителя и выписываем столько же нулей сразу после
запятой, и числитель дроби:
7
100
21 = 0,07; —
100 ’ ’ 1000
003
1000
= 0,003.
1-м или 2-м правилами:
3—= 3— = 3,05;
100 100 ’ ’
Правило 3. Пишем целую часть смешанного числа, ставим запятую
и пользуемся
7та=7’8;
7
1^ = 1291 = 1 007.
юоо юоо
Правило 4 Обращаем неправильную дробь в смешанное число и
пользуемся 3-м правилом:
11 = 11_ = 18- = 1Л = 119- 1291 = 2—1— = 2-991 = 2 004
10 10 ’ ’ 100 100 ’ ’ 1000 1000 1000
С помощью этих же правил обращаем десятичные дроби в
обыкновенные дроби и смешанные числа:
1) 0,74; 3> °-07 = ^ = ^6; 5> 7’8 = 7^ = 7Г
2) 0,12 = ^; 4)1,007 = 1^; 6) 1.8 = 1± = ^Ц.
Число цифр после запятой в записи десятичной дроби равно числу
нулей знаменателя обыкновенной дроби.
7
2)i- о Какая дробь называется десятичной?
2) Как записываются десятичные дроби? Как они читаются?
3) Объясните на примерах, как обратить десятичную дробь
в обыкновенную.
2. Запишите в виде десятичных дробей и прочитайте:
5_ 10’ 2 — ; 10 3) 9’ 1000’ 247 . , 1000’ 75 1000’ о 23 . 1000 ’
2>ж; 7 1-L- 100’ 4 27 • 4) 2009 . 7 211 919 713
100’ 100’ 10000 ’ 7 10000 ’ 10000 ’ 10000
3. Прочитайте десятичные дроби и запишите их в виде
обыкновенных дробей:
1) 0,7; 0,5; 0,01; 0,95; 2) 2,4; 1,08; 19,01; 991,2008.
4. Сократите дроби и запишите их в виде десятичных
дробей:
п 8. 144. 102. 750. ~ 75 • 45 • 48 16
7 80’ 180’ 340’ 7500’ ' 500’ 900’ 1200’ 40000'
Запишите в виде десятичных дробей (5—10):
511)3:10; 5:10; 126:100; 2)12:10; 108:10; 31:1000
6 п - — —- 21 • зч 3. 7 . 21. 96
°* 7 2’ 4’16’40’ * 50’200’250’500’ 7 5’ 25’ 25’ 125’
Образец'. - = А = 3 '2 =
8 23 23-53
I- п 3434. 96 . 288 416.
" * 7 3400’ 3000’ 14400’ 160’
14_2_• 1 б7 . 1 () I47 . з 7^ .
7100’ 100’ 1000’ 1000’
(Villi-
7 5’ 8’ 20’ 50’ 125’ 200’
11122 = 121 = 0,375-
8 • 125 1000
~ 27 . 72. 117. 121. 77
7 135’ 90’ 936’ 44 ’ 154’
12 . . 8 1 g 14 251
7 Too’1 Too’ 1000’ 1000’ 1000’
21 — 2- 21- 122- 222
27 5 ’ 4 ’ 8 ’ 50 ’ 125 ’ 250 ’
8
16. Запишите в виде обыкновенной дроби:
1) 0,9; 1,7; 0,09; 10,03; 2) 0,038; 6,045; 2,0001; 1,0206.
ЧП< Сократите дроби и запишите их в виде десятичных
дробей:
28. 36. 38 . 96 143 . ~ 216. 78 . 975 . 1515
17 40’ 60’ 190’ 1200’ 11000’ ' 720’ 3000’ 5000’ 15000’
12. Сократите дроби и запишите их в виде десятичных
дробей:
п 48. 75. 26. 43.225. 1717- 792. 2121. 4545
17 60’ 150’ 130’ 215’ 625’ 7 1700’ 720’ 840 ’ 4500’
Разрядные единицы десятичных дробей
Первая цифра после запятой показывает число десятичных долей.
Например, 3,7 составлено из 3 единиц и 7 десятых долей.
Если у десятичной дроби есть вторая и следующие цифры пос-
ле запятой, то вторая цифра после запятой показывает число со-
тых долей, третья цифра — число тысячных долей и т. д.
Пример 1. Запись числа 3,7454 показывает, что 3 единицы
находятся в разряде единиц, 7 единиц — в разряде десятых долей,
4 единицы — в разряде сотых долей, 5 — в разряде тысячных
долей, 4 — в разряде десятитысячных долей:
-I -тис -I 745 о 700 + 40 + 5 а 700 40 5
’ 1000 1000 1000 1000 1000
а 7 4 5
— 3 4~ — 4~------h------.
10 100 1000
9
Разрядные единицы десятичных дробей можно выразить в виде
таблицы следующим образом:
Обыкно- венная (смешан- ная) дробь Десятичая дробь
целая часть дробная часть(доли)
сотни десят- ки едини- цы деся- тые сотые тысяч- ные
7 10 0 5 7
12 — 100 1 2 2 8
юз 1UJ юоо 1 0 3 5 3 6 7
Любую десятичную дробь можно представить в виде суммы ее
разрядных единиц.
тт о п пх п 71 ~ 70 + 1 ~ 70 1 7 1
Пример 2. 2,71 = 2 + —— = 2 + ——— = 2 + —— + —— = 2 + — + —.
н н 100 100 100 100 10 100
Такая запись называется представлением десятичной дроби в
виде суммы разрядных единиц. Напомним, что единица каждого
разряда в 10 раз больше единицы непосредственно следующего за
ней разряда.
(V)13. 1) После единиц какого разряда ставится запятая в записи
десятичной дроби?
ч 2) Как называют разрядные единицы справа от запятой? у
14. Какой разряд занимает цифра 5 в каждом из следующих
чисел:
6,1; 0,45; 3,25; 7,625; 0,3575; 4,6601; 7,0707; 654,2554?
15. Сдвиньте запятую на один разряд влево (вправо) в числах:
24,135; 21,658; 11,83; 61,275; 413,609; 801,0678; 5,607.
16. Выпишите все дроби, целая часть которых равна 8, а
знаменатель — 10.
17. Запишите в виде десятичной дроби:
1Ч ~ 1 9 7 . с 3 8. -54 4 , 3 , 5
+ То + юо + юоо ’ > + То + Тббб ’ > + Too + юоо '
10
; 18. Представьте в виде суммы разрядных единиц:
1)0,83; 2)1,45; 3)4,05; 4) 8,254; 5) 7,1238.
11 19. Длина прямоугольника равна 3,7 м, ширина 2,8 м. Запишите
эти дроби в виде смешанных чисел и найдите:
1) периметр прямоугольника; 2) результат обратите в
десятичную дробь.
2(h) Запишите: 1) в виде суммы разрядных единиц; 2) составьте
таблицу:
3,64; 1,01; 1,995; 10,567; 5,2439; 70,042; 0,2008; 2,009.
2 L) Вместо звездочек впишите такие цифры, чтобы равенства
были верными:
Q Q Э 1 дд
•) = 2) 3)£ = 2,1; 4) — = 0,073.
Сравнение десятичных дробей
1,2 1,6
ч—।—•—1—I—।—•—I—I—I—।—►
1 2
1,14 1,17
—•--1--1-•--h
1,2 < 1,6, так как 2 < 6
1,17 > 1,14, так как 7 > 4
Из двух десятичных дробей больше та, у которой целая часть
больше.
Пример 1. Сравните десятичные дроби 5,7 и 4,9.
Решение. 5>4, следовательно, 5,7 > 4,9.
Из двух десятичных дробей с равными целыми частями больше
та, у которой больше цифра в разряде десятых долей.
Из двух десятичных дробей с равными целыми частями и равными
десятичными долями больше та, у которой больше цифра в разряде
сотых долей.
11
Пример 2. 1) Сравните десятичные дроби: 3,8 и 3,7.
Решение: Так как 3 - 3 и 8 > 7, то 3,8 > 3,7.
2) Сравните десятичные числа: 4,23 и 4,25.
Решение: Так как 4 = 4, 2 = 2 и 3 < 5, то 4,23 < 4,25.
Если к десятичной дроби приписать справа один или несколько
нулей, получится дробь, равная первоначальной.।
П р и м е р 3. 0,8 = 0,80 = 0,800 =..., так как 0,8 = 1 = = ...
Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими
нулями, то их можно отбросить.
Пример 4. 4,7300 = 4,73, так как 4,7300 = 4^^ = 4^1 = 4,73.
Любое натуральное число можно записать в виде десятичной
дроби.
Пример 5. 9 = 9,0 = 9,00 = 9,000=..., так как 9 = 9^ = 9— = ... .
(9) 22. 1) Как сравниваются десятичные дроби?
2) Изменится ли значение десятичной дроби, если приписать к
ней справа один или несколько нулей?
3) Изменится ли значение десятичной дроби, если отбросить
один или несколько нулей, которыми оканчивается десятич-
ч ная дробь??
23. Укажите, какая из двух дробей больше, и запишите в виде
неравенства:
1) 0,8 и 0,79; 3) 8,432 и 8,431; 5) 2,1212 и 2,1213;
2) 1,5 и 1,7; 4) 2,259 и 2,26; 6) 7,0678 и 7,0677.
24. Впишите вместо звездочек такие цифры, чтобы неравенства
были верными:
1) 0,6* > 0,64; 3) 1,2* 5 > 1,261; 5) 0,0071 < 0,007* ;
2) 3,* 7 < 3,49; 4) 6,0909 < 6,* 9; 6) * ,048 > 4,129?
25. Уравняйте число цифр после запятой:
3,04; 3,1415; 2,71828; 1,1825; 0,01; 1,8; 3,2; 4,85.
12
26. Отбросив «лишние» нули, запишите дробь, равную данной:
5,40; 5,04010; 0,0100; 4,01600; 3,01010; 4,12100.
27. Найдите три значения х, удовлетворяющие неравенству:
1)3<х<4; 3)4,5<х<4,6; 5) 0,0171 <х <0,0172;
2) 2,7 < х < 2,8; 4) 4,51 <х< 4,52; 6) 0,3141 <х< 03143.
28. Выпишите все дроби вида l,abc, где а, Ь, с принимают
значения: 1) 2, 3, 4; 2) 0, 1, 6 без повторений. Запишите
их в порядке: а) возрастания; б) убывания.
29. Запишите четыре десятичные дроби большие 6, но мень-
шие 7.
30., Между какими последовательными натуральными числами
заключены следующие дроби? Оформите ответы в виде
двойных неравенств:
3,8; 4,1; 4,01; 10,99; 6,9; 7,05; 14,15; 1,85.
‘ 31Запишите все натуральные числа, заключенные между:
1) 0,8 и 3,4; 3) 4,5 и 7,81; 5) 3,097 и 8,77;
2) 2,2 и 5,9; 4) 10,1 и 14,07; 6) 5,103 и 9,05.
32. Впишите вместо звездочек такие цифры, чтобы неравенства
были верными:
1) 1,* 7 > 1,69; 3) 0,4* 8 > 0,439; 5) * ,905 > 6,99;
2) 4,08 < 4,08*; 4) 0,* 23 < 0,123; 6) 9,004 < 9,0*3?
(33. < Соедините числа знаками «>» или «<». Обоснуйте ответ:.
1) 0,7** и 0,8; 3) ** ,9 и * ,9; 5) ** ,* и *,** ;
2) 95,* и *4,9; 4) * ,05 и ** ,*; 6) * ,* и 1*,** .
Выражение единиц измерения величин
с помощью десятичных дробей
В 4-м и 5-м классах вы познакомились с единицами длины,
массы, площади и объема и соотношениями между ними.
Их удобно записывать в виде десятичных дробей.
13
Де йствител ьно,
1 км = 1 000 м; 1 м = -4— км = 0,001 км;
Единицы 1 м = 10 дм; 1 дм = 1000 1 Л 1 — м = 0,1 м;
длины 1 дм = 10 см; 1 см = дм = 0,1 дм.
Пример 1. Выразите 3 км 625 м в километрах.
Решение. 3км 625 м=3 км+625 м=3 км + ^j^ км =
= 3 км = 3,625 км. Ответ'. 3 км 625 м = 3,625 км.
CD 1 т = 1000 кг, 1 кг= —!— т = 0,001 т; ’ 1000
Единицы массы 1 ц = 100 кг, 1 кг = ^ ц = 0,01 ц.
Пример 2. Выразите 4 т 7 и 68 кг в тоннах.
Решение. 4т 7 ц 68 кг = 4т + 7 ц + 68 кг = 4т + т + т =
700 + 68 л 768 л 768
------- т = 4 т ч------т = 4-------
1000 1000 1000
т = 4,768 т.
Единицы
плошали
1 га =10000 м2; 1 м2=—га = 0,0001 га;
10000
1 сотка =1 ар = 100 м2; 1 м2= 0,01 сотки =0,01 ар;
1 м2 = 100 дм2; 1 дм2 = м2 = 0,01 м2.
Пр и м е р 3. Выразите 4 га 57 ар 89 м2 в гектарах.
Решение. 4 га 57 ар 89 м2 = 4 га + 57 ар + 89 м2 = 4 га + га +
89 л 5700 + 89 . 5789 л „оп
ioooo га = 4га+-[сото-га = 4Тоббо га = 4’5789га-
14
Единицы
объема
1 м3 = 1000 дм3;
1 дм3 - 1000 см3;
1 дм3 = -^ м3 = 0,001 м3.
1 см3 = Жо дм3 = дм’-
Единицы
времени
Пример 4. Выразите 3 м3 27 дм3 в кубических метрах (м3).
Ре ш е н и е. 3 м3 Т1 дм3 = 3 м3 + 27 дм3 = 3 м3 + 27 • 1 дм3 =
= 3м’ + 27-^ом1 = 3м3+^бм3 = 3вм3 = 3>°27м’-
Пример 5. Выразите 4 часа 48 минут в часах:
Решение. Так как 1 ч = 60 мин; 1 мин = ч, то
60
4 ч 48 мин - 4 ч + 48 мин =4 ч + 48 • 1 мин =4 ч +
+ 48'йч=4ч+йч=4ч+Пч = 4йч=4’8 ч-
2) Выразите 40 мин в часах.
Решение. 40 мин =40-1 мин = 40 • ч
60
40 2
— ч = -
60 3
ч.
2
3
гл ,-2
Однако знаменатель дроби j не является степенью
нельзя обратить в конечную десятичную дробь.
Жидкости и емкости сосудов для них обычно измеряют в литрах.
10, т. е. дробь
Единицы
емкости
1
1
1
л = 1 дм3, 1 декалитр - 10 л - 10 дм3,
гектолитр - 10 декалитр =100 дм3.
л = 1 дм3 = 1000 см3, 1 см3 - л = 0,001 л.
Пример 7. Объем чайника 750 см3. Сколько литров
воды вмещается в него?
Решение. 750 см3 = 750-1 см3 = 750- л = л = 0,750 л =
= 0,75 л.
15
®34Г Какие соотношения имеются между единицами:
1) а) длины; б) массы?
Какие соотношения имеются между единицами.
2) а) площади; б) объема? Объясните на примерах.
35. Какую часть составляют:
1) 45 м; 100 м; 1 дм; 1 см от 1 километра;
2) 1 г; 1000 г; 75 кг; 1 ц от 1 тонны?
36. Какую часть составляют:
1) 100 м2; 900 м2; 10 ар; 25 ар от 1 гектара;
2) 10 дм3; 57 дм3; 100 л от 1 м3?
37. Выразите в метрах:
1) 50 см; 2) 10 дм; 3) 3 дм 8 см; 4) 6 дм 45 см 8 мм.
38. Выразите в квадратных метрах:
1) 4 га; 2) 5 дм2; 3) 1 м2 1 дм2; 4) 2 га 50 ар.
39. Выразите в тоннах:
1) 4 т 320 кг; 3) 6 ц 225 кг; 5) 75 ц;
2) 10 т 7 ц 75 кг; 4) 8 ц 75 кг; 6) 78 кг.
40. Выполните действия и запишите результат в виде десятичной
дроби:
1) +3 м2 дм 5 см 3) _6м8дм9см
4 м 5 дм 3 см 3 м 7 дм 6 см
2)+2тЗц85кг 4)_5т7ц90кг
4 т 6 ц 15 кг 2 т 8 ц 96 кг
41. Сколько литров воды вмещает сосуд объемом 1 м3?
42. Выразите в литрах:
1) 4 дм3 400 см3; 2) 1 м3 2 дм3; 3) 150 см3; 4) 4 м3.
43.) Вычислите и запишите результат в виде десятичной дроби:
1) +Зт8ц60кг 3) 4 м 6 дм 9 см 5) + 3 м2 8 дм2
5 т 1 ц 40 кг 2 м 3 дм 4 см 4 м212 дм2
2) 5 кг750г 4) 6 м 3 дм 8 см 6) _ 6 м2 42 дм2
3 кг 250 г 2 м 4 дм 9 см 3 м2 50 дм2.
16
С44-' Запишите в виде десятичной дроби и сравните:
1) 5 кг 685 г и 5 кг 590 г; 3) 3 м2 48 дм2 и 348 дм2;
2) 3 м 50 см и 3 м 65 см; 4) 2 м3 480 дм’ и 2480 дм3.
45. Уравняйте число цифр после запятой:
' 1) 3,8; 3,41; 13,1415; 2,167; 2) 0,5; 2,81; 1,418; 2,1757.
46, Между какими натуральными числами заключена дробь:
1)3,1; 2)4,01; 3)5,96; 4)6,71; 5)99,9; 6)7,01?
47/ 1) Выразите в метрах и дециметрах:
3,58 м; 2,07 м; 5,67 м; 1,2 м; 7,57 м; 6,75 м;
2) Выразите в метрах и дециметрах:
4,8 м; 3,2 м; 5,67 м; 2,98 м; 10,09 м; 7,07 м;
3) Выразите в тоннах и килограммах:
6,008 т; 5,067 т; 6,045 т; 4,35 т; 7,8 т; 3,2 т.
Исторические сведения
Десятичные дроби использовались на-
ряду с шестидесятеричными в практике
научной школы Мухаммада Тарагая
Улугбека (1394—1449). Один из видных
представителей этой школы Гийас ад-
Дин Джамшид аль-Каши (1385—1430)
написал в 1427 г. сочинение «Ключ
арифметики». Этой книгой и ее пере-
водами на латынь пользовались студенты
высших школ Востока и Запада. В этом
сочинении последовательно при-
меняются десятичные дроби, которые
Джамшид аль-Каши ввел впервые в
истории науки и разъяснил их свойства.
2 — Математика. 6 класс
Мирза Улугбек
(1394- 1449)
17
Тест ( 1 ) Проверьте себя!
1. Запишите числа а = 2,304, Ь = 2,034, с= 2,340, d- 2,043 в порядке
возрастания:
A) b<d<a<c С) b < d < с < а
В) a<b<c<d D) d < b < с < а.
2. Запишите числа а = 4,812, £ = 4,821, с = 4,218, d= 4,182 в порядке
убывания:
A) b>a>c>d С) d>c>b>a
В) b> а> d> с D) b> d> с> а.
3. Найдите сумму всех натуральных чисел, удовлетворяющих
неравенству 0,9 < х < 9,5:
А) 40 В) 45 С) 54 D) 50.
4. Найдите все цифры, которые можно вписать вместо звездочки
(*), чтобы неравенство 2,9*4 < 2,938 было верным:
А) 1; 2; 3; 4 В) 0; 1; 2; 3 С) 2; 3 D) 1; 2; 3.
5. Выразите 3 ц 87 кг в тоннах:
А) 3,087 т В) 0,3 т С) 0,387 т D) 3,8 т.
6. Длина земельного участка прямоугольной формы 500 м, а
ширина 400 м. Какой урожай был собран с этого участка, если
с 1 га земли собирали по 45 ц хлопка?
А) 9 т В) 450 ц С) 900 т D) 90 т.
7. Выразите 325 дм2 в квадратных метрах:
А) 3 м2 В) 0,325 м2 С) 32,5 м2 D) 3,25 м2.
8. Нужно заполнить водой бассейн в форме прямоугольного
параллелепипеда с размерами 15 м, 10 м и 2 м. За сколько
времени наполнится бассейн, если за 2 мин из трубы в
бассейн поступает 1 м3 воды?
А) за 10 ч С) за 12 ч
В) за 5 ч D) правильный ответ не приведен.
18
§ 2. Сложение и вычитание десятичных дробей
Сложение десятичных дробей
Пр им ер 1. Найдите сумму десятичных дробей 2,65 и 6,32 .
Решение. 2,65 + 6,32 = 2^ + 6Д = 8^ = 8^ = 8,97.
1 55
4 32
8£ 17
Объяснение. 1) 5 сотых + 2 сотых = 7 сотых. В
сумме в разряде сотых единиц записываем цифру 7.
2) 6 десятых + 3 десятых = 9 десятых. В сумме в
разряде десятых записываем цифру 9. После того как
закончили сложение дробных частей, ставим запятую, которая
находится как раз под верхними запятыми.
Теперь переходим к сложению целых частей.
3) 2 единицы+6 единиц = 8 единиц. В разряде единиц записываем
цифру 8 и получаем ответ'. 8,97.
Пример 2. Найдите сумму десятичных дробей 25,12 и 47,238.
Решение. Уравняем число дробных разрядов:
25,12 = 25,120. Затем вычислим сумму как в первом
примере.
20
172. 38
1/ 72]31 58
Итак, сложение десятичных дробей «столбиком» выполняется
так же, как сложение «столбиком» натуральных чисел.
Пример 3. Найдите сумму: 20,08 + 25.
Решение. 20,08 + 25 = 20 + 0,08 + 25 = (20 + 25) + 0,08 = 45 + 0,08 =
= 45,08. Ответ'. 45,08.
Чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число, нужно
прибавить его к целой части дроби, не меняя дробную часть.
(2)48. 1) Объясните на примерах правило сложения десятичных
дробей.
2) Как сложить десятичную дробь с натуральным числом?
19
49. (Устно.) Вычислите сумму:
1) 6,5+ 4,5; 3) 4,54 + 5,46; 5) 2,508 + 8;
2) 3,6+ 6,4; 4)6,68 + 3,32; 6) 8,065 + 92.
50. Вычислите:
1) 1,18 + 5,32; 3) 12,345 + 13,655; 5) 0,1234+ 1,4321;
2) 4,85 + 3,25; 4) 30,008 + 60,092; 6) 4,0101 + 3,7384.
51. Выполните действия:
1) 23,845 2) 21,068 3) 24,82 4) 57,238
+ 9,057 + 241,932 + 35,758 + 104,72
52. {Старинная задача.) Глубина реки 5,78 м. Столб для
строительства моста забит в дно реки на глубину 2,1 м.
Он возвышается над поверхностью воды на 5,41 м. Какова
высота столба?
53. Пешеход в первый день прошел 12,8 км, во второй день
20,7 км пути, а в третий день на 3,7 км больше, чем в
первый день. Какой путь прошел пешеход за 3 дня?
54. Из села А в село В проводят газопровод. За первую неделю
построили 8,4 км газопровода, за вторую неделю на 2,5 км
больше. После этого осталось построить 11,1 км газопровода.
Найдите расстояние между селами А и В.
55. Назира собрала в саду 15,5 кг винограда, Мухаммад —
20,8 кг. Умид собрал на 3,8 кг больше, чем Назира, а
Отабек собрал на 3,7 кг больше, чем Мухаммад. Сколько
всего винограда собрали дети?
156. Фермерское хозяйство засеяло зерном 50,8 га своего
участка, а бахчевыми на 40,7 га больше. Оставшиеся 9,5 га
отведены под сад. Сколько гектаров земли имеет хозяйство?
(57J) Вычислите:
1) 38,12 + 61,88; 3) 0,705 + 0,295; 5) 13,707 + 6,193;
2) 41,32 + 20,71; 4) 4,672 + 8,328; 6) 22,506 + 33,494.
(58^) Нигора собрала 54,6 кг яблок, а Мамура на 6,9 кг больше.
Сколько килограммов яблок собрали девочки?
20
59. Площадь первой комнаты 20,8 м1 2, площадь второй — на
3,6 м2 больше. Какова площадь двух комнат вместе?
6О.)Вычислите:
1)+14,467 2) 84,057 3)+20,0784 4)+ 0,7896
4,233 32,978 31,2096 9,2113
(6L)Poct Дилорам 1,38 м. А Мухаббат на 0,25 м выше Дилорам.
Каков рост Мухаббат? Выразите результат в метрах,
дециметрах и сантиметрах.
Законы сложения
1. Переместительный закон сложения.
Сложение десятичных дробей подчиняется переместительному
закону сложения: а + b = b + а.
2. Сочетательный закон сложения.
Сложение десятичных дробей подчиняется сочетательному
закону сложения: {а + Ь) + с = а + (Ь + с).
Пр и м е р 1. Вычислите сумму: 4,46 + 2,7 + 5,54.
Решение. 1-й способ. 4,46 + 2,7 + 5,54 = (4,46 + 5,54) + 2,7 =
= 10+2,7= 12,7;
2-й способ. 4,46 + 2,7 + 5,54 = (4,46 + 2,7) + 5,54 = 7,16 + 5,54 = 12,7;
3-й способ. 4,46 + 2,7 + 5,54 = 4,46 + (2,7 + 5,54) = 4,46 + 8,24 = 12,7.
21
Следовательно, (4,46 + 5,54) + 2,7 = (4,46 + 2,7) + 5,54 - 4,46 +
+ (2,7 + 5,54)= 12,7.
Сочетательный закон сложения для любых десятичных дробей
«, b и с записывается в виде
{а + Ь) + с = а + (Ь + с) - (а + с) + b
При вычислении суммы нескольких слагаемых сочетательный
и переместительный законы сложения дают возможность менять
местами слагаемые, группировать их и расставлять скобки
произвольным образом.
©«Г 1) Какие законы сложения десятичных дробей вы знаете?^
2) Сформулируйте переместительный и сочетательный
_______законы сложения. Объясните на примерах._______________
63. Вычислите сумму наиболее простым способом:
1) 31,06 + 13,75 + 2,25; 3) 24,08 + 6,65 + 2,25 + 15,92;
2) 40,375 + 21,38 + 74,62; 4) 68,972 + 10,905 + 23,028.
64. Одна сторона треугольника равна 3 дм 8 см, а вторая длиннее
первой на 1 дм 6 см, третья сторона длиннее второй на 0,8 дм.
Найдите периметр треугольника.
Вб5. Динара на вступительных экзаменах в Университет мировой
экономики и дипломатии набрала следующие баллы: по
узбекскому языку и литературе 39,6 баллов, по
английскому языку на 28,6 больше, а по математике на
1,1 балла больше, чем по узбекскому языку и литературе
и английскому языку вместе. Сколько всего баллов набрала
Динара?
(66?) Вычислите сумму наиболее простым способом:
1) 21,4 + 8,93 + 71,6; 3) 0,8543 + 3,7689 + 1,1457;
2) 84,36 + 11,64 + 46,75; 4) 24,1245 + 5,3755 + 2,045.
(67?) Вычислите значение выражения х + 6,93 при х=0,07; 1,1;
3,07; 0,007; 0,02. При каких значениях х это выражение
принимает: 1) наибольшее; 2) наименьшее значения?
22
(68^) Турист прошел 18,5 км пешком, а на автобусе проехал на
75,8 км больше. После этого ему осталось преодолеть еще
42,7 км пути. Сколько всего километров пути составляет
весь маршрут?
Вычитание десятичных дробей
Пр им ер 1. Найдите разность: 12,47-2,26.
Решение.^,47-2,26= 12^-2^=10^ = 10^=10,21.
Вычитание десятичных дробей можно выполнять в «столбик»,
аналогично вычитанию натуральных чисел.
Объяснение: 1) 7 сотых - 6 сотых = 1 сотая;
цифру 1 пишем в разряде сотых разности;
2) 4 десятых - 2 десятых - 2 десятых; пишем
цифру 2 в разряде десятых разности. Закончено
вычитание дробных частей;
3) запятую в разности ставим перед разрядом десятых, под
запятыми в уменьшаемом и вычитаемом;
4) вычитаем целые части дробей:
2 единицы - 2 единицы = 0 единиц, в разряде единиц разности
пишем 0.
5) 1 десяток - 0 десятков = 1 десяток, в разряде десятков разности
записываем 1. Разность равна 10,21.
Пример 2. Вычислите разность 18,74-7,875.
23
Пример 4. Вычислите: 15,84-12. Решение.
(?)69. 1) Объясните на примерах правило вычитания десятичных
дробей и запишите в тетрадь.
2) Как вычитать натуральные числа из десятичных дробей?
3) Как вычитать десятичные дроби из натуральных чисел?
_______4) Как можно проверить правильность вычитания?
70. (Устно.) Вычислите:
1) 3,5 - 2,5; 3) 0,75 - 0,5; 5) 6,74 - 3,54;
2) 8,7 - 3; 4) 1,83 - 0,03; 6) 7,45 - 4.
71. Найдите разность и проверьте результат двумя способами:
1)9,1-4,3; 3) 14,28 - 5,39; 5) 180 - 71,48;
2) 17,6 - 11,8; 4) 23,5 - 12,473; 6) 0,038 - 0,015.
72. Найдите числовое значение выражения:
1) 23,95 - а, если а = 2,7; 3,42; 1,86; 0,75;
2) />-8,27, если b = 20,375; 15,7409; 10,001.
73. Решите уравнение:
1) 43,7 + х = 43,9; 3) 14 + х = 12,81 + 22,3;
2) х - 56,01 = 43,99; 4) 58 - х = 17,3 + 26,95.
74. Рост Назимы 1,69 м. Она выше Наимы на 0,09 м. А Наима
выше Мохиры на 0,07 м. На сколько сантиметров Назима
выше Мохиры?
75. На складе было 86 т муки. 28,5 т и 23,7 т муки отправили
в магазины. После этого на склад привезли еще 39,5 т
муки. Сколько тонн муки имеется на складе?
24
76. Площадь Ташкентского вилоята 15,6 тыс. км2. Это на
10,6 тыс. км2 больше площади Сырдарьинского вилоята и
на 4,9 тыс. км2 меньше площади Джизакского вилоята. Ка-
кова обшая площадь всех трех вилоятов?
1177. Одна из сторон треугольника меньше другой на 8,29 дм и
больше третьей на 16,2 дм. Найдите периметр треугольника,
если длина самой большой стороны 32,54 дм.
(78?) Найдите разность:
1) 21,94 - 8,72; 3)18,54-9; 5)29-3,14;
2) 94,59 -91,57; 4) 34,76 - 9,567; 6) 15,61- 4,957.
(79?)Вычислите и проверьте результат сложением и вычи-
танием:
1) 82,67 - 41,37; 3) 35,27- 13,702; 5)84,7-51,12;
2)48,29-26,19; 4) 23,275 - 21,792; 6) 100-57,45.
(80?) Решите уравнение:
1) 41,8-х = 12,76; 3) х + 12,54 = 48,3;
2) х - (7,32 + 2,99) = 20,5; 4) х + (12,7 - 5,97) = 8,439.
(81?) Найдите, к какому из двух последовательных натуральных
чисел ближе каждая из дробей и на сколько ближе:
2,01; 3,48; 4,59; 6,75; 8,09; 10,58; 10,95; 10,01.
(82?) На склад доставили вначале 83,7 т, а затем еще 112,5 т
картофеля. После этого на складе оказалось 300 т картофеля.
Сколько картофеля было на складе первоначально?
Упражнения на сложение и вычитание
десятичных дробей
Из пройденного материа-
ла вы знаете, что сложение и
вычитание десятичных дробей
производится аналогично
операциям над натуральными
числами. Это естественно и
удобно.
32 + 18 = 5
736 - 336 = 4
3 + 108 = 408
63 - 27 = 603
42 + 17 = 212
57 - 4 = 17
Куда бы мне поставить запятые?
25
83. Выполните действия:
1) 8,32 - (1,8 + 5,35);
2) 11,89-(6,6 + 4,29);
3) 32,5 - (9,3 - 6,27);
4) 27,3 - (15,1 - 4,82).
84. Выполните действия: а) записав десятичные дроби в виде
обыкновенных; б) обратив обыкновенные дроби в десятичные:
1) 8^ + 21-9,25; 3) 6,8 + 2,2 - 2|;
2) 91-3^+4,25; 4) 5,17- 1,7 -11
Вычислите наиболее простым способом (85—86):
85. 1) 9,52 + 3,19 + 4,48 + 5,81; 2) 37,54 + 15,44 - 27,04 - 4,94.
86. 1) 7,485 - (3,385 - 0,9); 3) (14,73 - 1,73) + 12,55;
2) 8,435 - (1,111 + 6,324); 4) (29,14 + 15,39) - 28,14.
Вычислите, переведя в большие единицы измерения (87—88):
87. 1) 2,3 см + 1,7 дм;
2) 3,7 м - 275 см;
88. 1) 3 кг+ 4 ц- 2,3 ц;
2) 4,3 ц - 2,7 ц + 85,4 кг;
89. Заполните таблицу:
3) 8 дм - 8 см + 18 см;
4) 25 см + 2,5 см - 1,5 дм.
3) 3,5 т - 4,5 ц + 150 кг;
4) 8,7 ц + 2,3 т - 540 кг.
а 25,05 16,72 18,69 42,45 25
b 12,85 10,41 2,83 3,75 10,36
а + Ь 30,65 20,62 18
а-Ь 5,39 6,29 20
90. 1) Одному покупателю продали 18,5 кг сахара, а второму —
на 4,8 кг больше. Третий покупатель купил на 8,4 кг
меньше второго, после этого в мешке осталось 3,3 кг
сахара. Сколько сахара было первоначально?
26
2) Мохира собрала 21,8 кг малины, а Атабек на 2,5 кг
меньше, чем она. Хадича собрала на 3,2 кг меньше, чем
Атабек. Сколько всего малины собрали дети?
91. Я задумал число, прибавил к нему 1,5, вычел из суммы 4,8
и к результату прибавил 9,5. Вычтя из суммы 4,8, я получил
в результате 7,2. Скажите, какое число я задумал.
92. Какие числа нужно поставить вместо знака вопроса?
93. Решите уравнение:
1) (3,543 + 7,357) - (х- 5,1) = 75,83 - (29,81 + 42,02);
2) (35,401 - 17,399) - (7,002 - х) = 68,72 - (44,31 - 22,29).
94. В каждой строке запишите по 3 предшествующих и 3 по-
следующих числа:
1) ... ; ... ; ... ; 5,44; 5,94; 6,44; ... ; ... ; ... ;
2) ... ; ... ; ... ; 7,01; 7,0101; 7,0102; ... ; ... ; ... .
95. Каким из данных чисел 17,4; 20,1; 18; 18,7; 18,8 следует
заменить звездочку (*), чтобы неравенства остались
верными:
1) 18,3 < *+ 4,9 < 23,8; 2) 7,09 < * - 10,9 < 7,9?
96. От бревна длиной 10,8 м отпилили 4 меньших бревна.
Длина первого 0,8 м, а длина каждого следующего на
25 см больше, чем предыдущего. Найдите длину остатка.
97. В банк положили 14 млн 735,8 тыс. сумов. Затем забрали 11 млн
873,5 тыс. сумов. После этого положили еще 28 млн 382,4 тыс.
сумов. В результате в банке оказалось 42 млн 578,9 тыс. сумов.
Сколько денег было в банке первоначально?
27
98. Длина прямоугольника 15,4 см. Ширина на 6,1 см меньше.
Два таких прямоугольника приложили друг к другу
(рис. 1 а). Еще два таких же прямоугольника совместили
большими сторонами (рис. 1 б). Найдите: 1) периметры
полученных прямоугольников; 2) разность между ними
выразите в сантиметрах.
15,4
Рис. 1.
99. Длина первого звена ломаной 2,4 дм. Каждое следующее
звено больше предыдущего на 1,6 дм. Сколько звеньев
у ломаной, если ее длина 28 дм?
|100. Решите уравнение:
1) (35,752 - х) + 4,65 = 42,854 - 21,604;
2) 49,658 - 2,9965 - (35,632 - х) = 69,658.
| 401. Одна сторона треугольника 8,9 см, вторая на 3,2 см
меньше. Какой может быть длина третьей стороны, если
она выражается натуральным числом?
j 102. Найдите значения выражений и сравните их:
1) (5,031+9,36)+ 4,8 ... 5,031+(4,86 + 9,36);
2) 12,37+ (19,08+1,9) ... (12,37+19,09)+1,9.
(Тоз)выполните действия:
1) 6,2-(3,4-2,8); 3) 17-(6,8+ 3,3); 5) (8,9-1,3)+7,4;
2) 8,7-(3,8+1,3); 4) 29-(8,7-5,2); 6) (6,7+ 3,8)-9.
Вычислите наиболее простым способом (104—105):
1047)1) 7,48 + 2,39 + 3,52 + 8,61;
2) 3,85 + 4,43 + 2,15 + 7,57;
3) 24,75-1,35-3,4+ 8,936;
4) 67,201-17,201 + 8,05- 17,05.
28
(105?) 1) 24,94 + 8,674-4,94 + 3,326;
2) 26,419 + 22,695-12,419-8,095.
(106y 1) Периметр прямоугольника равен 45 см. Длина на 2,5 см
больше его ширины. Найдите длину сторон этого пря-
моугольника.
2) Периметр прямоугольника равен 56 см. Ширина на
3 см короче его длины. Найдите длину сторон этого пря-
моугольника.
(ГОл)Найдите числовое значение выражений а + b и а - Ь, если
а = 3,84; 2,0103; 3,812; 4,9057; 7,0048; b = 2,01; 1,0209;
1,98; 1,7984; 0,983.
108?) Скорость катера в стоячей воде 18,5 км/ч. Найдите скорость
катера по течению и против течения реки, если скорость
течения реки 2,8 км/ч.
@)Площадь Бухарского вилоята 39,4 тыс. км2. Площадь
Самаркандского вилоята на 23 тыс. км2 меньше, а площадь
Навоийского вилоята на 71,4 тыс. км2 больше площади Бу-
харского вилоята. Какова общая площадь всех трех ви-
лоятов?
Исторические сведения
Десятичные дроби, четыре арифметических действия над ними
(сложение, вычитание, умножение и деление) и свойства этих
действий, обращение десятичных дробей в обыкновенные и
обратно и использование их в вычислительной практике
приведены в сочинении Гийас ад-Дина Джамшида аль-Каши
«Ключ арифметики».
Целую и дробную части десятичной дроби аль-Каши
записывал чернилами разных цветов, используя вместо
десятичной запятой (,) вертикальную черточку (I).
29
Тест ( 2 )
Проверьте себя!
1. Найдите сумму: 25,74+5,066.
А) 30,806 В) 76,40 С) 30,7466 D) 26,2466.
2. Вычислите: 3,05+4,078. А) 7,0578 В) 7,128 С) 43,83 D) 3,4578.
3. Найдите разность: 2,03-1,203. А) 0,833 В) 1,233 С) 0,827 D) 0,8.
4. Найдите разность: 7-3,481. А) 4,519 В) 67,481 С) 4,481 D) 3,519.
5. Выполните действия: 7,5 - 3,2 + 0,077. А) 4,377 В) 43,77 С) 0,507 D) 10,777.
6. Выполните действия: 11+2,96-0,296. А) 13,666 В) 13,664 С) 13,776 D) 11,96.
7. Вычислите: 18,72+1,31 + 2,77. А) 21,18 В) 20,149 С) 22,8 D) 22,108.
8. Вычислите: 6,28-(2,91+ 1,28). А) 3,91 В) 4,65 С) 7,3 D) 2,09.
9. Решите уравнение: 14-х=3,81+7,12. А) 3,07 В) 4,93 С) 4,07 D) 10,93.
10. Решите уравнение: х- 8 - 4,03 - 3,9. А) 11,64 В) 8,13 С) 5,64 D) 9,93.
11. Высота прямоугольника равна 3,7 см, а ширина меньше
высоты на 1,4 см. Найдите периметр этого прямоугольника.
А) 6 см В) 10,2 см С) 12 см D) 8,8 см.
30
§ 3. Умножение и деление десятичных дробей
на натуральные числа
Задача. Сколько килограммов яблок было в трех ящиках,
если в каждом ящике было по 12,7 кг яблок?
Решение. 1-й способ. 12,7-3= 12^• 3 - • 3 = = 38^ -
= 38,1 (кг). Ответ: 38,1 кг.
2-й способ. Чтобы умножить десятичную дробь 12,7 на 3,
нужно повторить эту дробь слагаемым три раза, то есть:
12,7 3 = 12,7 + 12,7 + 12,7 = 38,1 (кг).
Возможно, вы заметили, что умножение десятичной дроби на
натуральное число аналогично умножению натуральных чисел.
Действительно, произведения: 1) 127-3 = 381 и 12,7-3 = 38,1;
2) 4-826 = 3304 и 4-8,26 = 33,04 различаются только наличием
запятой.
В рассматриваемом случае произведение содержит столько же
знаков после запятой, что и десятичная дробь.
Чтобы
умножить
десятичную
дробь на
натуральное
число,
нужно:
не обращая
внимания
на запятую,
перемно-
жить их как
натураль-
ные числа;
2
определить
число зна-
ков после
запятой в
записи
десятичной
дроби;
отделить в
произведе-
нии столь-
ко же зна-
ков спра-
ва, сколь-
ко их
отделяет
запятая в
дроби.
31
Пр и мер 2. Найдите произведение: 4,54-15.
1) В десятичной дроби (4,54) две цифры
после запятой (десятая и сотая доли).
2)В произведении 454 • 15 = 6810 отсчитаем
справа налево 2 цифры и ставим запятую
перед цифрой 1: 68,10.
Но 68,10 = 68.1. Следовательно, 4,54 • 15 = 68,1.
И в этом случае произведение имеет 2 цифры после запятой
(68.10), но 0 в разряде сотых (так как это последняя цифра) можно
опустить.
(2)по. 1) Вспомните способ умножения натуральных чисел в?|
«столбик». Объясните на примерах.
2) Как умножается десятичная дробь на натуральное число?
3) Как умножается натуральное число на десятичную
__________дробь? Приведите примеры._________________________
111. (Устно.) Назовите результат:
1) 0,5-4; 2) 3,5-2; 3)40,15; 4)0,4-11; 5) 0,7-8.
112. Найдите произведение:
1) 2,85 4; 2)3,01215; 3) 104-2,75: 4) 3,14 101.
113. Вычислите, заменив сумму произведением:
1) 2,4+ 2,4+ 2.4+ 2,4+ 2,4; 2) 3,85 + 3,85 + 3,85 + 3,85.
114. Выполните действия:
1)4,68-5+16,4; 2)58,7-8-4,12; 3) 30,04-3,004 10.
32
115. Решите уравнение:
1) х: 12 = 2,5; 3) х: 12 = 2,81; 5)х:5,5 = 24;
2) х: 8 = 4,5; 4)х: 15 = 3,14; 6) х: 1,25 = 32.
116. Основание прямоугольника 3,2 дм, а высота на 12 см
меньше основания. Найдите периметр и площадь этого
прямоугольника.
117. Миралим купил 8,5 кг яблок, 6,5 кг груш и 4,8 кг ви-
нограда. Килограмм яблок стоил 120 сумов, килограмм
груш 250 сумов, а килограмм винограда 340 сумов. Сколько
денег потрачено на всю покупку?
118. Турист наметил пройти пешком 50 км. В первый день он
прошел 0,4 пути, во второй день 0,4 оставшегося пути.
Сколько километров осталось пройти туристу?
|119. Вычислите:
1) 1,8-3+ 0,9-6 + 0,45 12+ 0,225-24+ 0,1125-48;
2) 3,2- 16- 6,4-8 + 12,8-4- 25,6-2 + 51,2-24,2.
12(h) Найдите произведение:
1) 3,8 -5; 2)0,081-10; 3) 16 -3,025; 4)11,12-11.
J2L) Длина прямоугольника 25 дм, а ширина на 85 см меньше.
Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
122/) Вычислите:
1) 16 - 9,5 + 24 • 6,5; 3) 8,03 - 12 - 3 - 9,5 - 18,92;
2) 12,83 - 9 - 7,85 • 8; 4) 9,51 • 14 - 81,45 + 7 • 12,4.
123?) Какой путь пройдет поезд за: 0,25 часа; 0,3 часа; 0,6 ча-
са; 1,5 часа; 2,25 часа, если скорость поезда 60 км/ч?
Составьте таблицу и заполните ее.
124?) Расстояние между Ташкентом и Бухарой 550 км. Из этих
городов одновременно навстречу друг другу выехали два
автомобиля. Скорость одного из них 68 км/ч, скорость второго
на 10 км/ч больше. Каким будет расстояние между
автомобилями через 2,5 часа?
3— Математика, 6 класс 33
Умножение и деление десятичных дробей на
10, 100, 1000, ...
о-10 = о: 0,1 о: 10 = о-0,1
а 100 = а : 0,01 - а : 100 = а • 0,01
а • 1000 = а : 0,001 СЗ а : 1000 = а 0,001
Уловили закономерность?!
1. Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000, ....
Пример 1. Найдите произведение: 3,14159-10.
Решение. Согласно правилу умножения:
3,14159-10 = 31,41590 = 31,4159.
Чтобы умножить десятичную дробь на некоторую степень числа
10, т. е. на число 10, 100, 1000, ..., нужно:
1 шаг: определить показатель степени числа 10;
2 шаг: перенести запятую у десятичной дроби вправо на столько
знаков, каков показатель степени.
Пр и м е р 2. Найдите произведение: 2,718 • 10000. В этом примере
в десятичной дроби после запятой имеется три цифры, во втором
множителе имеется 4 нуля.
Решение. Число цифр после запятой у дроби 2,718 меньше
числа нулей у степени 10. Чтобы применить правило, уравняем
число цифр после запятой с показателем степени числа 10:
2,718 10000 = 2,7180 10000 = 27180.
3 цифры 4 нуля 4 цифры 4 нуля 4 — 3=1 нуль
Из этого примера можно придти к следующему выводу.
Для того чтобы умножить десятичную дробь, у которой число
цифр после запятой меньше числа нулей множителя 10, 100, 1000,
... , нужно:
34
1 шаг: найти разность между числом нулей множителя и числом
цифр после запятой у десятичной дроби;
2 шаг: опустив запятую в записи десятичной дроби, приписать
к ней справа столько нулей, какова эта разность.
2 . Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000, ... .
Пример 1. Найдите частное: 141,42: 10.
п 1Л1 ЛП 14142 10 14142 1 14142 .. 142
Решение. 141,42:10 = —:у =—•- = —= !4—
= 14,142.
Приходим к следующему выводу:
Чтобы разделить десятичную дробь на числа 10, 100, 1000, ...,
нужно:
1 шаг: определить число нулей в делителе;
2 шаг: перенести запятую у десятичной дроби влево на столько
знаков, сколько нулей в делители.
Пример 2. Найдите частное: 141,42: 10 000.
В этом примере число цифр в целой части делимого 3, а число
нулей в делителе 4. Поэтому перед целой частью десятичного числа
ставится 4-3=1 нуль, то есть мы сдвигаем запятую в десятичной
дроби на 4 единицы влево, пишем недостающий 0 и 0 в целой
части частного:
141,42 : 10000 = 0141,42 : 10000 = 0,014142;
V 1-------------Г “Г I
3 цифры 4 нуля 4 цифры 4 нуля 4 — 3=1 нуль
или: 141,42:10000 = ^.^ = ^ = 0,014142.
Пр имер 3. Найдите произведение: 314,159 • 0,1.
Решение. Так как 0,1 = , то
314,159 0,1 = 314,159 • 1 = = 314,159 : 10 = 31,4159.
35
Умножить десятичную дробь на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... — это
значит разделить ее на 10, 100, 1 000, ... .
Пр и мер 4. Найдите частное: 31,4159:0,1.
Решение. 31,4159:0,1 = 31,4159 :-^ = 31,4159 • 10 = 314,159.
Разделить десятичную дробь на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... — это
значит умножить ее на 10, 100, 1 000, ... .
Таким образом, правило умножения (деления) десятичной дроби
на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... совпадает с правилом деления
(умножения) ее на 10, 100, 1 000, ....
Поэтому 437,25 0,01 =437,25 : 100 = 4,3725;
89,461:0,01 = 89,461 100 = 8946,1.
^9)125. 1) Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000, ...?Л
2) Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000, ...?
3) Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1 000, ...,
если число цифр ее дробной части меньше числа нулей
множителя?
126. Объясните на примерах правило умножения (деления)
десятичной дроби на 0,1, на 0,01, на 0,001, ... .
127. (Устно.) Назовите результат:
1)0,1510; 3)63,41:10; 5) 9,45 100;
2) 15,1 0,1; 4)3,19:0,1; 6) 41,24:0,01.
128. Какое из данных пар чисел больше и во сколько раз?
Объясните. На какое число надо умножить (разделить)
первое число, чтобы получить второе?
1) 42,53 и 425,3; 2) 5,2143 и 52143; 3) 6824 и 68,24.
129. Выполните действия:
1) 34,15 0,1: 0,1-100; 3) 0,001:0,01 -100;
2) 48,32:0,1 0,1-100; 4) 3,003:0,01:100.
36
130. Запишите по три предыдущих и последующих членов
последовательности, определив правило ее составления:
1) ...; ...; ...; 4785; 478,5; 47,85; ...; ...; ...;
2) ...; ...; ...; 5,0128; 50,128; 501,28; ...; ...; .
131. Вычислите:
1)10,8-90; 2) 11,24-20; 3) 1,023-200; 4) 4,0051-7 000.
О бр а з е ц: 18,23 40= 18,23 • 10 • 4=(18,23 • 10) • 4 = 182,3 • 4 = 729,2.
132. Основание прямоугольника равно 45 см. Высота состав-
ляет 0,4 основания. Найдите периметр и площадь пря-
моугольника.
133. а) Выразите в кубических метрах:
1) 6 500 дм3; 2) 8 125 дм3; 3) 10 000 см3; 4) 215 дм3;
б) Выразите в кубических дециметрах:
1) 1,1 м3; 2) 0,05 м3; 3) 0,001 м3; 4) 6,004 м3.
|134. Найдите числовое значение выражения:
1) а -100, при
2) а-0,01, при
(135^) Вычислите:
1) 0,504 -10;
2) 0,504 100;
3) 450,6: 10;
(136) а) Выразите в
1)2 520 га;
б) Выразите
1)2 000 м2;
(137) Вычислите:
1) 0,084 • 1 000;
2) 0,084- 10 000;
а: 0,001; 1,3148; 1,0001; 8,215; 3,25;
а: 100; 0,1; 105,4; 41,4; 380,5; 12,45.
7) 3,42:0,1;
8)3,42:0,01.
4) 450,6:100;
5) 827,5 -0,1;
6) 827,5 -0,01;
квадратных километрах:
2) 6 030 га;
гектарах:
2) 12 354 м2;
4) 625 га;
3) 100 га;
в
3) 1 км2;
4) 0,6 км2.
3) 1540,6 : 1 000;
4) 1540,6 : 10 000;
5) 287,5 - 0,001;
6) 287,5 • 0,0001.
37
(138^) Выполните действия:
1) 78,35-10 +7,835-0,1; 3) 45,63:10-0,1 - 4,563:0,1;
2)94,26:10-94,26-0,1; 4) 134,25 10-0,01+34,25: 10.
11 унГПЬ Умножение десятичной дроби на десятичную
Рассмотрим задачу, приводящую к понятию умножения
десятичной дроби на десятичную.
Задача. Найдите площадь прямоугольника со сторонами
8,3 см и 5,7 см.
Решение. 1-й способ. Площадь прямоугольника со сторонами
а и Ь вычисляется по формуле S' = ab.
Следовательно, для того чтобы решить задачу, нужно найти
произведение десятичных дробей 8,3 и 5,7.
Для этого: — обратим десятичные дроби в обык- новенные: — по правилу умножения обыкновенных дробей имеем: — обратим обыкновенную дробь со " знаменателем 100=102 в десятичную дробь: Следовательно, площадь данного прямоугольника равна: f ... > 7 7 83 57 — ►8,3-5,7 = --- = — ►= 83 ' 57 - 4731 - 10 10 100 — ►= 47,31
5= 8,3 -5,7 = 47,31 (см-)
Ответ: 47,31 см2. Или: __ *sz^- (1 4 1 цифра после запятой (в дробной части); 1 цифра после запятой (в дробной части); /цифры после запятой (в дробной части). 1 = 2)
38
2-й способ. Можно решить задачу по-другому.
Так как 5,7 = 57: 10, то
8,3- 5,7 = 8,3 (57: 10) = (8,3-57): 10 = 473,1 : 10 = 47,31 (см2).
При этом, записав одну из десятичных дробей как частное 57:10,
сведем умножение десятичных дробей к умножению десятичной
дроби на натуральное число.
Правило умножения десятичной дроби на десятичную:
1 шаг: не обращая внимания на запятую, перемножить их как
натуральные числа;
2 шаг: отсчитать в полученном произведении, начиная справа,
столько цифр, сколько их после запятой у обоих десятичных
дробей вместе;
3 шаг: в произведении отделить запятой целую часть.
Пр и мер. Найдите произведение: 2,08-0,027.
один нуль
Из этого можно сделать следующий вывод:
если число цифр в произведении меньше числа цифр, которые
следует отделить запятой, то в дробной части произведения нужно
заменить недостающие цифры нулями;
затем пишем запятую и перед ней нуль — целую часть произ-
ведения.
39
(9)139. 1) Покажите на примерах два способа умножения деся-
тичных дробей.
2) Как найти произведение, если число цифр в произ-
ведении меньше числа цифр, которые следует отделить
ч запятой?,
140. (Устно.) Назовите результат:
1) 0,2 0,5; 2) 2,5 • 0,4; 3) 0,3 • 0,6; 4) 0,5 • 0,5.
141. Найдите произведение:
1)2,25 1,4; 2) 0,03 0,07; 3)3,15 -2,6; 4)0,72 -0,09.
142. Вычислите, обратив десятичную дробь в обыкновенную:
1)41-2,05; 2)2,01-5-1; 3)6 А-2,5; 4)7,15-3±.
X \J X v/V/
143. Найдите произведение, исходя из равенства 7,8 • 8,4 = 65,52:
1)7,8-84; 2)0,78-8,4; 3)0,78-84; 4)78-84.
144. Решите уравнение:
1) 7,05 • 12,4 - х = 28,5; 2) х- 8,3 2,5 = 7,6 • 3,5.
145. Выполните действия:
1) 36,5 • 1,2 - 63,7 - 0,41; 3) 7,005 - 10,4 - 8,04 - 3,05;
2)3,65- 12-6,37-4,1; 4) 62,25 -1,8 + 50,08 -0,05.
146. Длина сада прямоугольной формы 50,4 м, ширина — 0,75 ее
длины. Ширина другого сада 40,5 м, а длина в 1,3 раза больше.
1) Какой сад имеет большую площадь? На сколько?
2) На ограждение какого сада пойдет меньше материала?
147. Найдите числовое значение выражения (заполните таблицу):
А = 12,8 • а + 14,5 • Ь; В= 10,6 • а - 13,2 • Ь, где:
а 4,5 6,3 9,2 10,7 18,4 20,5 24,3
b 2,6 4,5 5,4 7,5 10,3 13,4 16,8
А
В
40
1148. Велосипедист проехал 2,4 ч со скоростью 14,5 км/ч и
2,5 ч со скоростью 12,8 км/ч. Чему равна длина его пути?
(Й9^ Найдите произведение:
1) 3,5 • 2,8; 3) 1,006 • 4,5; 5) 12,25 • 8,46; 7) 1,01-2,01;
2) 6,4-8,5; 4) 4,003-8,6; 6) 11,24-6,25; 8)11,1-3,01.
(150^)Длина прямоугольника 8,5 дм. Ширина составляет 0,7
его длины. Найдите периметр и площадь этого прямо-
угольника.
(151^) Выполните действия:
1) 57,4 • 2,5 + 60,5 • 2,2; 3) 20,05 • 30,4 - 5,65 - 24,04;
2) 40,8 • 3,5 - 20,2 • 4,5; 4) 36,25 • 2,8 + 40,02 • 2,25.
(152^) Решите уравнение:
1) х + 25,4 = 5,04 • 6,05; 3) 2,84- 3,75 -х= 1,25- 1,24;
2) х - 14,25 = 3,42 • 5,05; 4) х - 4,75 -1,06 = 4,02 - 6,45.
Законы умножения десятичных дробей
Умножение десятичных дробей подчиняется тем же законам,
что и умножение обыкновенных дробей.
1. Переместительный закон.
При перемене мест сомножителей произведение не меняется.
Например, 3,4 2,7 = * • ” = * Л = 2,7 • 3,4.
Следовательно, 3,4 2,7 = 2,7 • 3,4.
Вообще, для любых десятичных дробей а и b имеет место
равенство
а - Ь = Ь- а
Это равенство выражает переместительный закон умножения.
41
2. Сочетательный закон.
Задача. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с
измерениями 2,5 дм, 1,2 дм, 3,8 дм.
Решение. Обозначим объем параллелепипеда буквой V. Вы
знаете, что объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями
а, b и с вычисляется по формуле V- а • b • с. Тогда:
1 способ. И= 2,5-1,2 3,8 = (2,5-1,2) 3,8 = 3 3,8= 11,4 (дм3).
2 способ. И= 2,5 1,2 -3,8 = 2,5 (1,2 3,8) = 2,5 -4,56= 11,4 (дм3).
3 способ. И= 2,5-1,2-3,8 = 1,2 (2,5-3,8) = 1,2-9,5= 11,4 (дм3).
Следовательно, (2,5 -1,2) 3,8 = 2,5 (1,2-3,8) = 1,2 (2,5-3,8).
Ответ'. 11,4 дм3.
Приходим к следующему выводу:
если произведение первой и второй десятичной дроби умножить
на третью, получим число, равное результату умножения первой
десятичной дроби на произведение второй и третьей.
Вообще, для любых десятичных дробей «, b и с имеет место
равенство
(а Ь) • с-а (Ь с) = Ь • (а - с)
Это равенство выражает сочетательный закон умножения.
3. Распределительный закон.
Задача. Площадку прямоугольной формы длиной 20,7 м,
шириной 15,8 м окружили забором. Найдите длину забора.
Решение. Длину забора вычислим по формуле
Р= 2 (а + Ь)
1 способ. Р= 2 • (20,7 + 15,8) = 2 - 36,5 = 73 (м).
2 способ. Р=2 • (20,7+15,8) = 2 • 20,7+2 • 15,8 = 41,4+ 31,6 = 73 (м).
В обоих случаях получили один и тот же результат:
2 - 20,7 + 2 • 15,8 = 2 - (20,7 + 15,8).
42
Вообще, для любых десятичных дробей а, Ь и с имеет место
равенство
(а + А) • с - ас + Ьс
(1)
(а - Ь) • с - ас - Ьс, при а> b или а = b (2)
Эти равенства выражают распределительный закон умножения
относительно сложения и вычитания.
Поменяв местами правую и левую части равенств (1) и (2), их
можно переписать в следующем виде:
ас + Ьс = (а + Ь) • с
ас- Ьс -(а- Ь) • с
Говорят, что от произведения (а + Ь) с можно перейти к сумме
ас + Ьс, раскрывая скобки.
Говорят, что от суммы а с+ b с можно перейти к произведению
(а + Ь) • с, вынося общий множитель за скобки.
Законы умножения десятичных дробей позволяют решать
примеры наиболее удобным способом.
Пример 1. 1,25 • 1,3 - 0,8 = (1,25 - 0,8) • 1,3 = 1 • 1,3 = 1,3.
Пример 2. 12,25 8 = (12+ 0,25) • 8= 12 -8 + 0,25 -8 = 96 + 2 = 98.
Пример 3. 63,29 • 3,12 - 13,29 - 3,12 = 3,12 - (63,29 - 13,29) =
= 3,12 - 50 = (3,12 - 100): 2 = 312 : 2 = 156.
§)153. 1) Каким законам подчиняется умножение десятичных
дробей? Можете ли вы записать их в буквенном виде?
2) Что вы понимаете под раскрытием скобок? под
вынесением общего множителя за скобки?
154. Вычислите удобным способом:
1) 8,9 - 2,5 - 4;
2) 3,8 • 0,4 0,25;
3) 8,5 • 3,2 • 2,5; 5) 0,25 • 8,25 • 4;
4) 2,5 • 0,8 • 16,5; 6) 8 • 28,32 • 12,5.
43
155. Вычислите, применяя распределительный закон:
1) 1,52-8,9+1,1 • 1,52; 3) 5,86-9,7 + 0,3-5,86;
2) 0,81 • 38,9 - 28,9 - 0,81; 4) 29,3 • 41,3 - 19,3 • 41,3.
156. Ширина прямоугольника 12,8 см. Длина в 1,25 раза больше.
Найдите периметр и площадь прямоугольника.
157. Найдите числовое значение выражения:
1) 10,97х- 1,27х- 1,7х при х. 0,3; 1,2; 8,05; 21,8;
2) 6,02у + 7,44у - 3,46у при у. 0,4; 1,5; 4,46; 0,045.
158. Вычислите:
1) (8,9-2,7) • 5,6+ 3,8 • 5,6; 2) 7,5-10,2+4,8-5,1-1,8-5,1.
159. Основание прямоугольника увеличили в 1,7 раза, а высоту
уменьшили в 0,3 раза. Как изменилась площадь пря-
моугольника?
160. Задача аль-Каши: «Украшение, изготовленное из золота и
жемчуга, весит 3 мискаля и стоит 24 динара. Сколько золота
и жемчуга ушло на изготовление украшения, если 1 мискаль
золота стоит 5 динаров, а 1 мискаль жемчуга 15 динаров?»
(1бТ) Ребра прямоугольного параллелепипеда, исходящие из
одной вершины (длина, ширина, высота), равны 14,8 см,
7,5 см и 12 см соответственно. Найдите: 1) сумму длин
всех ребер; 2) площадь поверхности; 3) объем парал-
лелепипеда.
(162) Вычислите удобным способом:
1) 12,5 - 0,9 • 4; 3) 0,125 • 24 • 1,6; 5) 0,25 - 39,9 • 4;
2) 3,75 • 6,7 • 8; 4) 12,5 • 16 • 2,5; 6) 10 • 28,98 • 0,1.
(163) Вычислите, применяя распределительный закон:
1) 2,71 - 12,6 + 87,4 - 2,71; 3) 3,08 • 17,9 - 3,08 • 7,9;
2) (29,3-8,5)-17,9-20,8-7,9; 4) 7,5-8,7+2,5 (11,4-2,7).
(164) Тело, весящее на Земле 1 кг, на Луне будет весить 0,16 кг.
Найдите вес тела на Луне, если на Земле оно весит:
1) 1 т; 2) 1 ц; 3) 850 г; 4) 1250 кг.
44
Исторические сведения
Аль-Каши в своем трактате «Ключ арифметики» использует
для умножения десятичных дробей метод «сетки». Вы уже
познакомились с этим методом в 5-м классе. Приведем один
пример из этого сочинения:
«Найдите произведение 25,07 и
14,3». Аль-Каши выполняет
умножение следующим образом
(см. рисунок.):
«Так как число нулей в знаме-
нателях обеих дробей равно трем,
то в произведении три цифры
справа образуют дробную часть,
оставшиеся цифры — целую часть».
Следовательно,
25,07 • 14,3 = 358,501.
358,501
Длина прямоугольника 20,25 дм. Ширина составляет 0,6
его длины. Найдите периметр и площадь прямоугольника.
(Гбб?) Найдите числовое значение выражения:
1) 4,25с + 5,75с при а\ 0,5; 2,3; 36,2; 25,5;
2) 13,73£ - 3,73£> при Ь: 0,1; 0,8; 8,3; 70,1.
Деление десятичной дроби на натуральное
число
Задача. Велосипедист за 3 часа проехал 37,5 км. Сколько
километров пути он проехал за 1 час?
Решение. Для того чтобы найти, какой путь проехал
велосипедист за 1 ч, т. е. его скорость, нужно пройденный им путь
(37,5 км) разделить на время, затраченное на этот путь (3 ч).
45
Выполним деление «уголком» как при делении натуральных
чисел.
Разделим целую часть (37) данного числа
(37,5) на 3: в частном получим 12 и остаток 1.
12 — это целая часть частного. Этим заканч! [вается
деление целой части десятичной дроби. Отделим
ее запятой. Продолжим деление следующим
образом. Раздробим 1 единицу промежуточного
остатка на 10 частей. 1 единица содержит 10 деся-
тых долей: 1 = 10-0,1.
К ним прибавим 5 десят ых делимого:
10 • 0,1 + 0,5 = 10 • 0,1 + 5 • 0,1 = 15 - 0,1.
Получившиеся 15 десятых разделим на 3:
15 -0,1 : 3 = 5 0.1 =0.5.
В частном получим 5 и остаток 0. Таким образом, деление
завершено.
Поэтому 37,5 : 3 = 12,5 (км/ч).
Проверка: 12,5 • 3 = 37,5 (км). Ответ: 12,5 км/ч.
Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется
так же, как деление натуральных чисел. Завершив деление целой
части, отделяем запятой целую часть частного. Промежуточные
остатки от деления раздробляем на десятые, сотые, ... доли и
складываем с десятыми, сотыми, ... долями делимого. Затем
продолжаем процесс деления.
Пример 1. Выполните деление: 2,74 : 25.
2 7 4 0 0 я
2 5 Т (7 ,9
2 4 7J
2 2 5
5
а.
Число 74, составленное из 2-х
последних цифр дроби, не кратно 25.
Для того чтобы оно было кратно 25, в
конце его припишем 2 нуля: 2,74 =
= 2,7400, при этом значение десятич-
ной дроби не изменится.
46
Если целая часть десятичной дроби меньше делителя, то:
1) в частном пишем 0 целых;
2) после него ставим запятую;
3) затем продолжаем деление.
Пример 2. Найдите произведение:
1)1,6 0,5; 2) 3,2 0,25; 3) 4,8 0,125.
Решение. 1) 1,6 0,5 = 1,6 • у = 1,6 : 2 = 0,8; 2) 3,2 • 0,25 =
= 3,2 1 = 3,2 : 4 = 0,8; 3) 4,8 - 0,125 = 4,8 • | = 4,8 : 8 = 0,6.
Для того чтобы умножить число на 0,5; 0,25; 0,125, надо это
число умножить на 2; 4; 8.
©167. Ответьте на вопросы, пояснив ответ на примерах:
1) Как разделить десятичную дробь на натуральное число?
2) Как проверить правильность выполнения деления?
3) В каком случае целая часть частного равна 0?
4) Как умножить число на 0,5; 0,25; 0,125?
\__________________________________________________________/
168. (Устно.) Назовите результат:
1) 2,4:2; 2) 12,6:6; 3) 80,4:4; 4)0,02:2.
169. Найдите частное и выполните проверку:
1) 36,24:3; 2) 80,24:16; 3) 11,726:11; 4) 0,075:5.
170. Решите уравнение:
1) 2.x = 48,4; 3) 5х + 3,42=8,97; 5) 2х - 8,8=3,2-4,5;
2)3у=15,9; 4) 51,3-2х=4,9; 6)7,8-6,3-Зх=1,2-8,4.
171. Пешеход за 2 часа прошел 10,6 км. Сколько километров
пути он прошел за 1 ч? Какой путь он пройдет за 3,5 ч?
172. Площадь прямоугольника 10 дм2, высота 25 см. Найдите
отношение высоты прямоугольника к его основанию.
47
173. 8 шагов дедушки составляют 4,8 м, а 9 шагов его внука —
3,6 м. Для того чтобы обойти сад прямоугольной формы,
дедушка делает 60 шагов. Ширину этого сада внук
проходит за 70 шагов. Найдите периметр и площадь сада.
(174?) Найдите частное и проверьте результат двумя способами:
7) 46,92:46;
8) 36,18:18.
3) 21,3:3; 5) 0,081:27;
4) 81,9:9; 6) 0,625:25;
3 часа проехал 43,5 км. 1) Найдите его скорость.
2) Сколько километров пути проедет всадник за 4,6 ч,
если он будет двигаться с той же
1) 4,8:2;
2) 9,6:3;
(175?; Всадник за
скоростью?
1)6х=63,6; 3)3х+6,12 = 9,63;
2)9у=54,9; 4) 17,5-2х= 7,1;
Выполните действия:
1) 2,7-2,5:5; 3) 14,7-2,8:7;
2) 4,8-3,6:6; 4) 1,46-6,4:16;
5) 4х-3,2 = 8,4-5,6;
6) 5х- 5,2=7,5 -4,3.
5) 0,251,16:4;
6) 0,033-1,3:11.
(178?) Основание прямоугольника 18,6 см. Высота в 2 раза меньше
его основания. Найдите периметр и площадь этого
прямоугольника.
Деление десятичной дроби на десятичную
Задача. В фермерском хозяйстве собрали 70,52 т хлопка с
20,5 га земли. Какой урожай получило хозяйство с 1 га земли?
Решение. Для решения задачи нужно
найти частное 70,52 : 20,5. Умножим делимое
70,52 и делитель 20,5 на 10, тогда делитель
станет натуральным числом: 20,5 • 10 = 205, а
частное, по основному свойству дробей, не
изменится. Теперь найдем частное по правилу
деления десятичной дроби на натуральное
число.
48
Таким образом,
70,52 : 20,5 = (70,52 • 10): (20,5 10) = 705,2 : 205 = 3.44 (т).
Ответ: 3,44 т - 34,4 ц.
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно:
1 шаг: умножить делимое и делитель на такую степень 10,
чтобы делитель стал натуральным числом;
2 шаг: разделить десятичную дробь на натуральное число.
3 шаг: увеличить делимое во столько же раз, сдвинув вправо
запятую на столько же знаков;
4 шаг: разделить десятичную дробь на натуральное число.
(9)179. 1) Объясните на примерах, как разделить десятичную дробь
на десятичную.
2) Объясните, как проверить правильность выполненной
_________операции деления двумя способами?___________________,
180. (Устно.) Назовите результат:
1) 2,4:1,2; 2)0,02:0,01; 3) 6,4:0,8; 4) 7,8:0,6.
181. Выполните деление и проверьте результат двумя способами:
1)12,8:1,6; 2)7,25:2,5; 3) 8:0,025; 4) 9,632:0,32.
182. Решите уравнение:
1)х:5,4 = 6,5; 4) 0,001х = 2,4;
2) 8,7 :х = 2,9; 5) (7,8 :1,3)х = 9,1:1,3;
3) 2,56х = 10,24; 6) х:(6,3 :2,1) = 2,42:1,1.
183. Поезд за 3,5 ч прошел 212,8 км. Найдите его скорость.
Какой путь пройдет поезд за 9,4 ч, двигаясь с той же
скоростью?
184. Заполните таблицу:
X 8,4 2,4 1,08 15.3
У 2.8 3.6 2.5 0,9
ху 32,4 8,4 12,96 30
х'.у 2,1 4,5 7,5 1,4
4— Математика. 6 класс
49
185. 1) Урюк при сушке теряет 0,35 своей массы. Сколько
кураги получится из 300 кг урюка?
2) Сколько урюка нужно взять, чтобы получить 70 кг кураги?
186. Скорость ласточки 96 км/ч. Скорость скворца составляет 0,75
скорости ласточки, а скорость перепелки — 0,7 скорости
ласточки. Сколько метров пролетит скворец за 1 мин?
Сколько метров пролетит перепелка за 1 мин?
187. Вычислите:
1) (48 : 1,2) • (5,6 : 2,8) + (17,5 : 2,5) • (3,6 : 2,4);
2) (64: 1,6) (13 : 5,2) - (10,8 : 3,6) (39,52 : 15,2).
188. Масса 1см3 золота 19,3 г, масса 1см3 платины 21,5 г.
Сравните массы золотого кубика с ребром 2,1 см и
платинового кубика с ребром 2 см. Масса какого кубика
больше? на сколько?
Ц189. Сумма трех чисел 13,875. Если в одном из них сдвинуть
запятую вправо на один разряд, получим второе число, а
если на два разряда — получим третье число. Найдите эти
числа.
|^190. Когда переднее колесо тележки делает 48 оборотов, его
заднее колесо делает 32 оборота. Какой путь пройдет заднее
колесо, если переднее проходит 2,2 м?
(19Т) Выполните деление и проверьте результат двумя способами:
1) 24,72:2,4; 2) 8:0,032; 3) 32,64:3,2; 4) 20,25:13,5.
(192)Решите уравнение:
1) 15,6 2,6; 3) 5,12х = 20,48; 5) 0,405 :х= 1,5;
2) 8,75 : х = 2,5; 4) 0,005х = 4,65; 6) 2,24 : х = 0,14.
(193) Машина прошла за 3,25 часа 228,8 км. Найдите ее скорость.
Какой путь с такой скоростью она проделает за 4,5 часа?
(194) Вычислите:
1) (22,83 + 73,41): 4,8 + 24,48 : (65,41 - 63,01);
2) (24:1,2) (65:1,3) - (7,5:2,5) (2,5:0,1).
50
(J95?) Заполните таблицу:
о (см) 3,8 4,8 8,5 4,5
h (см) 2,5 2,25 6,4 7,2
5= 0,5g h (см2) 19,2 20,25 50,58 36,54
1) Масса изюма, получаемого при сушке винограда,
составляет 0,25 исходной массы винограда. Сколько изюма
получится из 160 кг винограда?
2) Сколько килограммов винограда пойдет на получение
30 кг изюма?
15 >(СД) Среднее арифметическое значение
Задача 1. Ахмад собрал в первый день 180 кг помидоров, а
во второй — 200 кг. Сколько килограммов помидоров собирал Ахмад
в среднем за один день?
Решение .1-й вопрос. Сколько всего килограммов помидоров
собрал Ахмад?
180 + 200 = 380 (кг).
2-й вопрос. Сколько дней он работал?
1 + 1 = 2 (дня).
3-й вопрос. Сколько килограммов помидоров собирал Ахмад
в среднем за один день?
380:2 = 190 (кг).
Ответ: 190 кг.
Для решения задачи сумму 180 + 200 разделили на число
слагаемых, т. е. на 2. В результате было найдено, сколько в среднем
было собрано помидоров за один день.
Результат деления суммы слагаемых на число слагаемых
называется средним арифметическим значением.
Для нахождения среднего арифметического значения данных
чисел нужно их сумму разделить на число слагаемых.
51
Вообще, если даны числа а, Ь, с, то их среднее арифметическое
значение равно
а + b + с
3
Число слагаемых может быть равно 4, 5, к {к — натуральное
число).
На практике используют равнозначные по смыслу выражения
«среднее арифметическое значение», «среднее значение», «в
среднем» и т. д.
Задача 2. Автомобиль двигался 2,6 часа со скоростью
72 км/ч и 3,9 часа со скоростью 78 км/ч. Найдите среднюю ско-
рость движения автомобиля.
Решение.
1-й вопрос. Какой путь проделал автомобиль со скоростью
72 км/ч?
72-2,6 = 187,2 (км).
2-й вопрос. Какой путь проделал автомобиль со скоростью
78 км/ч?
78-3,9 = 304,2 (км).
3-й вопрос. Какова общая длина пути?
187,2 + 304,2 = 491,4 (км).
4-й вопрос. Сколько времени ушло на весь путь?
2,6 + 3,9 = 6,5 (ч).
5-й вопрос. Какова средняя скорость автомобиля?
491,4:6,5 = 75,6 (км/ч).
Ответ: 75,6 км/ч.
Для нахождения всего пути автомобиля было составлено
числовое выражение 72 • 2,6 + 78 • 3,9, средняя скорость движения
равна
72-2,6+78-3,9
2,6+3,9 ’
Мы пользовались известными вам формулами для пути и
скорости при равномерном движении: s = vt и v = -.
52
Задача 3. Автомобиль двигался ч со скоростью V] км/ч и
t2 ч со скоростью v2 км/ч. Найдите среднюю скорость движения.
Решение. Задача аналогична предыдущей. Путь, пройденный
автомобилем, равен s-vi-tl + v2-12. Тогда средняя скорость
движения
L’l + V-> - \
<км/ч>-
(2)
Выражения вида (1) и (2) называются средними взвешенными
значениями.
^7)197. 1) Что называется средним арифметическим значением^
данных чисел и как его находить?
2) Где на числовой оси расположено среднее арифме-
тическое значение данных чисел?
3) Что понимается под средним взвешенным значением?
Приведите примеры ко всем трем случаям.
198. (Устно.) Назовите среднее арифметическое значение:
1) 12 и 8; 3) 10; 20 и 30; 5) 0,45 и 0,55;
2) 30 и 20; 4) 40; 50 и 60; 6) 1,75 и 1,25.
199. Найдите среднее арифметическое значение:
1) 7,52 и 6,48; 3) 0,605; 1,738 и 0,969;
2) 41,58 и 39,22; 4) 3,075; 2,5044 и 4,722.
200. По результатам тестовых испытаний Наргиза получила
100 баллов по родному и 95,6 по иностранному языкам,
96,3 балла — по математике. Найдите ее средний балл.
201. Найдите х, если:
1) среднее арифметическое чисел 7,05 и х равно 8;
2) среднее арифметическое чисел 12 и х равно 13,6.
202. Хамидулла прошел за первый час 6 км, за второй — 5,1 км,
за третий — 4,8 км пути. Найдите его среднюю скорость.
203. Решите уравнение:
1) (12,8+х): 2= 14,5; 3) (4,08+х+5,92): 3 = 4,5;
2) (х-8,3):2 = 4,1; 4) (6,15 + 7,85-х): 3= 1,8.
53
204. 1) Найдите среднее арифметическое чисел 4,48; 7,52 и
8,04.
2) Как изменится среднее арифметическое этих чисел,
если: а) к каждому числу прибавить 1,32; б) от каждого
числа вычесть 2,18?
205. Скорость моторной лодки вниз по течению реки 15,6 км/ч, а
против течения — 11,2 км/ч. Найдите скорость лодки в
стоячей воде и скорость течения реки.
206. Бабушка Манзура купила два вида конфет: карамель с
начинкой 3,5 кг по 560 сумов за килограмм, леденцы 4,5 кт
по 480 сумов за килограмм. Найдите среднюю цену
килограмма конфет.
|207. Среднее арифметическое четырех чисел равно 12,6. Каждое
из чисел, кроме первого, больше предыдущего на 2,4.
Найдите отношение наибольшего из чисел к наименьшему.
1208. Пешеход прогуливался со скоростью 6 км/ч, а возвра-
щался домой со скоростью 4 км/ч. С какой средней
скоростью прогуливался пешеход?
(209) Найдите среднее арифметическое следующих чисел:
1) 25 и 10; 3) 5,2 и 4,6; 5) 1,078 и 6,25;
2) 35 и 38; 4) 8,4 и 7,5; 6) 3,129 и 1,071.
(210) Найдите среднее арифметическое чисел:
1) 2,6; 3,7 и 3,3; 3) 3,75; 2.67 и 7,92;
2) 9,4; 2,4 и 1,4; 4) 4,02; 3,54 и 6,99.
(2Ц)>Среднее арифметическое четырех чисел равно 16,4. Найдите
| суммы этих чисел.
(212) Комбайн убрал в первый день пшеницу с площади 7,2 га,
во второй — 6,9 га, а в третий день — 7,8 га. Сколько
гектаров убирал комбайн в среднем за день?
(2ГЗ) 1) Одно число больше второго на 7,8. Их среднее
арифметическое равно 8,9. Найдите эти числа.
54
2) Одно число меньше второго на 3,2. Их среднее
арифметическое равно 5,4. Найдите эти числа.
zl£) Поезд шел 2,4 ч со скоростью 75 км/ч и 3,6 ч со скоростью
70 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда.
^15) Самолет летел 1,6 ч со скоростью 800 км/ч и 2,4 ч со
скоростью 750 км/ч. Найдите среднюю скорость самолета.
Упражнения на четыре арифметических
действия над десятичными дробями
Выполните действия (216—217):
216. 1) 1,5:6 8:5 +5,3-3,8; 3) 1,5-7:0,3-5 + 0,2-25,2;
2) (9:4,5-2,2 + 4,6):0,9; 4) 0,8-0,48:0,8 + 9,52-2,09.
217. 1) 5,36+5,7:0,3-1,6-1,6:16; 3) (7,2-4,5+7,6-1,23): 0,1;
2) (49,2:1,2+9) 0,9-1,85; 4) (0,8* 2+0,36):0,5-1,031.
218. Сумма двух чисел 4,18, а их разность равна 2,06. Найдите
эти числа.
219. Сумма двух чисел равна 366,22. Если одно из них увеличить
на 16,26, то получится число, равное второму. Найдите это
число.
220. Среднее арифметическое десяти чисел равно 13,66. Какое
число нужно добавить к этим числам, чтобы их среднее
арифметическое стало равным 17,99?
221. Периметр прямоугольника равен 29,8 дм. Найдите его
площадь, если его длина на 3,1дм больше ширины.
Решите уравнение (222—223):
222. 1) 24,95х -26,05 = 8,88; 3) 26,16х + 24,08 = 89,48;
2) 13,064х -11,449 = 648,283; 4) 6х - 16,99= 29639-0,01.
223. 1) (2,14 - 0,Зх) • 1,3 = 11,44 • 0,1; 3) 2,42х-0,605 = 4,235:1,4;
2) (186,02-9,6х) :0,01 =4010; 4) 18,318:0,2=7,1х+17,04.
55
224. Из двух пунктов, расстояние между которыми 34,3 км,
одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода.
Скорость первого пешехода 5,6 км/ч, скорость второго
составляет 0,75 скорости первого. 1) Через сколько часов
они встретятся? 2) Какое расстояние будет между ними
через 1,5 ч?
225. Первое из трех чисел равно 36,8 и составляет 0,16 суммы
этих чисел, а второе составляет 0,35 этой суммы. Найдите
второе и третье числа.
226. Велосипедист проехал 0.28 намеченного пути. Оставшийся
путь на 8,8 км больше пройденного. Какой путь осталось
проехать велосипедисту?
227. Турист прошел намеченный путь за 4,2 ч. В течение 2-х часов
он шел со скоростью 5,23 км/ч, а оставшийся путь он прошел
со скоростью 4,6 км/ч. Найдите среднюю скорость туриста.
228. Периметр прямоугольника 25,6 см, а его ширина на 2,4 см
меньше длины. Найдите площадь этого прямоугольника.
229. Забиха задумала число. Сначала она уменьшила его на 13,14,
затем увеличила результат в 24 раза, а к полученному
произведению прибавила 3,28. В результате получилось 100.
Найдите задуманное число.
|230. Из Марджанбулака и Ташкента одновременно навстречу
друг другу выехали два автомобиля и встретились через 1,6 ч.
Первая машина двигалась со скоростью 65 км/ч, скорость
второй была на 7,5 км/ч больше. Найдите расстояние между
городами.
Выполните действия (231—233):
(231)1) 2,76:0,4+90-0,03-4,5; 3) (4,9 + 51-0,1-2,2):0,5;
2) 0,25 0,08:0,01-1,5;
4) (4,9+5,1) 0,1-0,18:0,2.
(232)1) (7,2-4,5 + 7,6-3,123): 0,1;
2) 8:0,25+0,7 (15,43-11,43):0,2.
56
ое
(233) 1) 91,16 - (13,20021 + 12,06279): 4,01;
2) (6,8 : 17 + 17 : 6,8) 8,7 - 17,25 : 15.
(234) Решите уравнение:
1) (41,184 - 7,2х): 0,01 = 86,4; 2) 56 : (30,08 - 6,4х) = 17,5.
(235) Найдите значение выражения:
1) 3,5х :0,7, при х=0,01; 1,6; 4,8; 12,2; 20; 32;
2) 2,3у: 1,15, при у =0,1; 3,5; 4,12; 10; 15; 20,4.
(236) Сумма двух чисел равна 1,68. Одно из них в 3,2 больше
второго. Найдите большее из этих чисел.
(237) Расстояние между двумя пунктами 77,7 км. Из них одно-
временно навстречу друг другу выехали велосипедист и
мотоциклист. Скорость велосипедиста 18,5 км/ч, скорость
мотоциклиста в 1,8 раза больше. Через какое время они
встретятся?
(238) На сколько увеличится произведение твух чисел, если первое
из них увеличить в 1,5 раза, а второе в 2,2 раза?
(239) Скорость автомобиля, выехавшего из Ташкента в Карши,
50 км/ч, а скорость автомобиля, выехавшего на 2 часа рань-
ше из Карши в Ташкент, в 1,35 раза больше. Найдите
расстояние между городами, если автомобили встретились
через 3,6 ч.
Округление десятичных дробей
Из курса математики 5-го класса зы знаете, что значит округлить
данное натуральное число. Округлить данное число — это значит
заменить число его приближенным значением.
На практике приходится округлять десятичные дроби. Например,
если масса купленного в магазине растительного масла составляет
1,98 кг, то, округлив, можно сказать, что мы купили 2 кг масла.
Если при округлении десятичной дроби сохраняют цифру
некоторого разряда, отбрасывая следующие за ней, то говорят, что
57
полученное число является приближенным значением данной
десятичной дроби.
Запомните правила округления десятичных дробей:
1-е правило. Если отбрасываемая цифра меньше 5, то цифра,
стоящая слева от нее, сохраняется без изменения.
2-е правило. Если отбрасываемая цифра больше или равна 5,
то цифра, стоящая слева от нее, увеличивается на 1.
Пример. Округлите число 36,8364: 1) до десятых; 2) до сотых.
Решение. 1) Цифра 0, отбрасываемая при округлении числа
36,8364 до десятых, меньше 5, следовательно, по первому правилу
цифра 8, стоящая справа от нее, сохраняется без изменений. Таким
образом, 36,8364 = 36,8. Можно ли записать это число, приписав к
нему справа отброшенный нуль? Ведь 36,8364 = 36,8. Нет, нельзя,
потому что в этом случае оказалось бы, что округление производится
до сотых, а не до десятых.
2) При округлении дроби 36,8364 до сотых отбрасываемая цифра
равна 6, поэтому, согласно второму правилу, цифра 0, стоящая
слева от нее, при округлении увеличивается на 1. Таким образом,
36,8364 = 36,84.
@240. 1) Что значит округлить число? Знаете ли вы правила
округления десятичных дробей? Объясните на примерах, в
чем они заключаются.
2) Имеется ли разница между округлением десятичных
дробей и натуральных чисел?
241. Округлите числа:
1) до единиц: 402,72; 82,95; 49,27; 99,62; 25,45;
2) до десятых: 1,081; 0,467; 9,827; 0,963; 5,309.
242. Округлите до километров:
1) 324,43 км; 3) 172,67 км;
2) 39,72 км; 4) 58,48 км;
5) 999,91 км;
6) 999,29 км.
58
243. Округлите до центнеров:
1) 3 т 5 ц 75 кг; 3) 7 ц 98 кг;
2) 1 т 8 ц 36 кг; 4) 5 ц 25 кг;
|244. До какого разряда округлены числа:
1) 3,752 - 3,8; 2) 5,2824 -5,28;
5) 4657 кг;
6) 5803 кг.
3) 2,7639=2,764?
245) Найдите приближенное значение массы в килограммах:
25781 г; 30925 г; 26340 г; 1938 г; 825 г; 959 г.
246) Найдите приближенное значение расстояния в метрах:
665 см; 722 см; 959 см; 929 см; 95 см; 65 см; 225 см.
247) Округлите десятичные дроби:
1) до десятых: 4,75; 0,87; 2,32; 1,34; 0,95;
2) до сотых: 2,923; 0,874; 2,996; 6,746.
Обращение обыкновенных дробей в десятичные.
Понятие о периодической дроби
1. Обращение обыкновенной дроби в десятичную.
з
Пример 1. Обратите 1- в десятичную дробь.
D .3.32.6 . z-
Решение. 1-- 1 —— - 1— = 1,6.
5 5-2 10
7
Пр и м е р 2. Обратите дробь — в десятичную.
1-й способ. 25 • 4 = 100
7 _ 7-4
25 “ 25 4
28
100
0,28.
2-й способ.
Разделим 7 на 25:
Ответ'. 0,28.
59
не удастся остановить процесс деления: в остатке
зсе время будет повторяться 2, а в частном 6. Подчеркнем это,
поставив многоточие (...).
Итак, ответим на вопрос: «Как обратить обыкновенную дробь в
десятичную?»:
— сократим дробь на общий множитель, отличный от 1, если
он существует;
— разложим знаменатель в произведение простых множителей.
Ести эти простые множители исчерпываются деятелями числа
10, т. е. двойками или пятерками, то обыкновенная дробь обращается
в конечную десятичную дробь (примеры 1, 2).
Если же среди простых множителей знаменателя имеются
отличные от 2 или 5, то обратить обыкновенную дробь в конечную
десятичную дробь не удастся (пример 3).
Для того чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную:
1-й шаг: если знаменатель дроби разлагается только в произ-
ведение 2 или 5, то, умножая числитель и знаменатель дроби на
соответствующие множители, получим в знаменателе некоторую
степень числа 10;
2-й шаг: так как значение дроби при этом не меняется, то в
результате обыкновенная дробь будет обращена в конечную
десятичную дробь.
2. Понятие о периодической десятичной дроби.
Частное от деления, полученное в примере 3, записанное в
виде бесконечной десятичной дроби 0,666..., называется бесконечной
периодической десятичной дробью. Ее записывают в виде 0, (6) и
читают эту запись: ноль целых 6 в периоде. Число 6 называют периодом
дроби.
60
Таким образом,
- = 0,666 ... = 0,(6).
3
Обыкновенная дробь и бесконечная периодическая
десятичная дробь 0,(6) — два различных представления одного и
того же числа.
Равенство (*) — это представление числа | в виде перио-
дической дроби 0,(6) и обратно.
Пример 4. Представьте дроби в виде десятичных дробей
Решение.
= 0,0707... = 0.(07) - ноль
целых (07) в периоде.
Читается: 0 целых в
периоде 07.
целых (50) в периоде.
Читается: 0 целых в
периоде 50.
Вывод из примеров 3 и 4 оставлен для учеников.
Бесконечная десятичная дробь, составленная из одной или
нескольких цифр, повторяющихся в определенном порядке,
называется бесконечной периодической десятичной дробью.
Повторяющаяся группа цифр называется ее периодом.
61
7 11
Пример 5. Обратите обыкновенную дробь в десятичную: j; тт '> ту
6 * 3
Решение. 6 = 2-3; 15 = 3-5; 12 = 2-2-3.
Так как в разложении знаменателей этих дробей
на простые множители есть 3, то знаменатель
нельзя представить в виде степени 10. В этом
случае обыкновенная дробь обращается в
периодическую. Например,
7 = 0,8333... = 0,8(3) — периодическая дробь
6
с периодом 3.
В примерах 3 и 4 период начинается сразу после запятой, а в
примере 5 — не сразу, обратите внимание, что между запятой и
периодом есть другая цифра.
Если в периодической дроби период начинается сразу после
запятой, то такая дробь называется чистой периодической дробью‘ч
Если между запятой и периодом есть одна или несколько цифр,
то она называется смешанной периодической дробью.
Из рассмотренных выше примеров приходим к следующему
выводу:
если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые
множители не участвуют числа 2 и 5, то такая дробь обращается
в чистую периодическую дробь; если же в разложении знаменателя
вместе с другими простыми множителями участвуют 2 или 5, то
такая дробь обращается в смешанную периодическую дробь.
(9)248. 1) В каких случаях обыкновенная дробь обращается в:
а) конечную десятичную дробь? б) не обращается в
такую дробь? Объясните на примерах.
2) Какая дробь называется периодической? Что назы-
вается периодом дроби?
3) Какая дробь называется чистой (смешанной) перио-
дической дробью?
4) В каких случаях обыкновенную дробь можно обратить
в: а) чистую периодическую дробь; б) смешанную перио-
.дическую дробь? Объясните на примерах.
62
249. (Устно.) Какие из следующих дробей обращаются в
конечные, какие— в бесконечные десятичные дроби:
1)|; 2)|; 3)1; 4)|; 5)|; 6)1; 7) И; 8) 11?
250. Запишите периодические дроби, указав период в скобках:
1) 0,555...; 2)1,171717...; 3) 2,01777...; 4)7,11212....
251. Запишите в виде бесконечной дроби:
1) 0,(7); 3) 1,1(2); 5) 2,01(31); 7) 0,15(61);
2) 0,(6); 4) 3,2(3); 6) 4,04(25); 8) 0,32(04).
252. Разделив столбиком числитель на знаменатель, представьте
обыкновенные дроби в виде периодических дробей и
определите, чему равен их период:
п 2. _ 3. _8_. .. 14. . 125. , В_
О 9 » 9 > 3) 99 , ' 99 ’ 999 > w 999 •
Сделайте вывод и запишите его в тетрадь.
253. Воспользовавшись примером 252, представьте обыкновенные
дроби в виде периодических дробей и определите, чему
равен их период:
П !• 6. J_. ..83. сч 140. м 163
О 9< 2) 9, 3) 99, ) 99, ) 999’ 6> 999 •
Сделайте вывод и запишите его в тетрадь.
254. Укажите несколько конечных дробей, заключенных между
данными числами:
1)21и2|; 2)Аи|; 3) 1| и 11; 4) 1 и
255. На основании выводов, сделанных при решении примеров
252 и 253, обратите данные периодические дроби в
обыкновенные и, если возможно, то сократите:
1) 0,(1); 2) 0,(3); 3) 0,(13); 4) 0,(08); 5)0,(101).
Образец: 1) 0,(7) = 1 2) 0,(06) = ^ = !; 3) 0,(40)=^.
63
256. Запишите в виде периодической дроби:
1) 8; 15; 42; 100; 150; 2) 0,25; 1,41; 3,48; 5,06; 6,75;
3) 4,251; 3,756; 8,125; 10,347; 3,128; 7,035.
Образец-. I) 48 = 48,00... = 48,(0); 1000 = 1000,00... = 1000,(0);
2) 2,76 = 2,76000... = 2,76(0); 3) 7,325 = 7,32500... = 7,325(0).
257. Файзулла на 0,(2) всех денег купил мороженое, а на 0,(5)
книгу. После этого у него осталось 200 сумов. Сколько де-
нег было у него вначале?
(Указание-, воспользуйтесь равенствами 0,(2) = , 0,(5) = |).
9 9
I 258. Вычислите удобным способом
2.(7) + 4,(3) + 7,(6)
7,(3) + 4,(7) + 2.(6) ’
7,(05) + 8,(21) + 1,(18) .
9.(21) + 2,(05) + 5,(18) ’
9.(4) + 7,(2) + 8,(5)
5,(2) + 13,(5) + 6,(4) ’
(Указание-. воспользуйтесь представлением а.(Ь) = а + 0,(6),
где а и b — цифры; а, b ф 0: 9).
|259. Сравните и запишите в виде равенства или неравенства:
3) 4,8 и 4,(8);
4) 1 и 0,(45);
4)
1.(14) + 8,(21) + 5.(07)
9.(21) + 2.(07) + 3.(14) ‘
5) 1 и 0,(076923);
6) 11 и 1,41(6).
1) 3| и 3,(34);
2) 1 и 0,8(2);
О
(260?) Определите, какие из дробей являются конечными, а
какие — бесконечными десятичными дробями, и рас-
пределите их в две группы:
()|; 2)|1; 3)11; 4) Д; 5)1; 6)11.
(261^)Запишите периодические дроби, заключив период в скобки:
1) 0,333...; 2) 5,1919...; 3) 1,10888...; 4) 6,2404040... .
(262?)Запишите в виде бесконечных дробей:
I) 0,(8); 2) 0,(45); 3) 1,(18)- 4) 2,9(09); 5) 2,2(67).
64
263j) Запишите в виде периодических дробей:
1) 1; 9; 10; 169; 2) 0,41; 0,75; 2,83; 3) 1,234; 4,432; 7,067.
264?) Разделив уголком числитель на знаменатель, запишите в
виде периодических дробей:
П Я. эх 35. 350. ..12. <-.25. ,.27. 7. 28
О 9 , 2) 99, 3) 999’ ) 13’ 5> 18’ 6) 52’ 7) 33’
265р Сколько денег было у Нафисы, если после покупки на
0,(6) своих денег тетрадки и на 0,(2) — карандаша у нее
осталось 50 сумов?
266.) Вычислите удобным способом:
7,(2) + 3,(4) + 6 (7) 2,(01) + 3,(04) + 4,(07)
3,(7) + 7,(4) + 6,(2) ’ 3,(07) + 1,(01) + 5,(04) '
Треугольники, их периметры, виды
1. Треугольник. С треугольниками и их периметрами вы уже
знакомы. Фиксируем на плоскости три точки А, В, С (рис. 2а, б).
Соединим точки А, В, С отрезками АВ, АС, ВС (рис. 3).
а)
А В (
Этот случай не
рассматривается.
б)
Рис. 2.
Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек А, В
и С, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков АВ, ВС, АС,
попарно соединяющих эти точки. Он обозначается LABC.
5— Математика, 6 класс
65
Точки А, В и С называются вершинами треугольника, а отрезки
АВ, ВС, АС — его сторонами (рис. 3).
Каждая сторона треуголь-
ника меньше суммы двух
других его сторон, но больше
их разности.
АС - ВС < С АВ < : АС + ВС.
АВ- ВС < : ас < ' АВ + ВС.
АВ- АС < : ВС< ' АВ + АС.
2. Виды треугольников. Сумма градусных мер углов произвольного
треугольника равна 180° (см. рис. 3):
АА + АВ+ АС= 180°.
В зависимости от величин углов различают треугольники
следующих трех видов: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные
(таблица 1).
Таблица 1
Углы треугольника Название треугольника Вид (рисунок)
Все углы острые Остроугольный
Один из углов прямой Прямоугольный
Олин из углов тупой Тупоугольный
В зависимости от длин сторон треугольники подразделяются на:
равносторонние {правильные), равнобедренные, разносторонние
(таблица 2).
66
Таблица 2
Стороны треугольников Название треугольника Вил (рисунок)
Все стороны равны: АВ=ВС = АС Равносторонний (правильный) В Ж
Две стороны равны между собой: АВ = ВС Равнобедренный в С
Дчины всех сторон различны: АВ* ВС* АС Разносторонний В А С
Если ААВС равнобедренный, например, АВ=ВС, то сто-
рона АС называется его основанием, а АВ и ВС — боковыми
сторонами.
3. Периметр треугольника. Периметром треугольника назы-
вается сумма длин всех его сторон. На рисунке 3 у !\АВС
периметр Р - АВ + ВС + АС.
@267. 1) Какая фигура называется треугольником?
2) Что называется периметром треугольника?
3) Как связаны между собой стороны треугольника?
4) Как различаются треугольники: а) в зависимости от
величины углов; б) в зависимости от длин сторон? На-
чертите соответствующие чертежи.
268. Найдите величины углов треугольника, если: 1) все углы
равны между собой; 2) один угол 120°, а оставшиеся равны
между собой. Какие это треугольники?
67
269. Существует ли треугольник со следующими сторонами?
Обоснуйте свой ответ
1) 1,3 дм; 2,7 дм; 45 см; 3) 20 см; 2 дм; 200 мм;
2) 0,8 дм; 10 см; 0,2 дм; 4) 4 см; 0,5 дм; 0,6 дм.
270. Один из углов треугольника равен 40°. Второй угол больше
него в 2,5 раза. Найдите третий угол треугольника. Каким
будет этот треугольник?
271. Заполните таблицу и определите вид треугольника
(а, Ь, с — длины сторон треугольника):
а b с Периметр Вид треугольника
2,5 см 3,2 см 8,7 см
1,4 дм 1,6 дм 5,2 дм
25 см 2,5 дм 75 см
1,7 дм 17 см 5,8 дм
272. 1) Длина одной стороны треугольника 6,5 см, длина
второй а см, а третьей — b см. Составьте выражение для
вычисления периметра треугольника.
2) Найдите периметр треугольника, если:
а) а = 5,8 см; b = 4,6 см; б) а - 7,3 см; b = 8,2 см.
273. Существует ли треугольник, один из углов которого равен
сумме двух других его углов? Назовите вид треугольника.
274. 1) Длина стороны правильного треугольника равна 5,8 см.
Найдите его периметр.
2) Периметр правильного треугольника равен 73,5 см.
Найдите длину его стороны.
275. Существует ли треугольник, два угла которого: 1) тупые;
2) прямые? Обоснуйте свой ответ.
176?) Основание равнобедренного треугольника 21,3 см, а боковая
сторона 26,2 см. Найдите его периметр.
68
(277^)Длина одной из сторон треугольника 8,9 см. Вторая сторона
меньше нее на 1,8 см, а третья на 3,6 см больше. Найдите
периметр этого треугольника.
(278^) Один из углов треугольника равен 72°, другой угол в
2 раза меньше него. Найдите углы этого треугольника и
определите его вид.
(279^) Существует ли треугольник, один угол которого прямой, а
другой тупой? Обоснуйте свой ответ.
20
Упражнения на четыре действия над
обыкновенными и десятичными дробями
Выполните действия (280—281):
280. 1)^70^-691-]: 91: 0,001;
I оО 24 ) 12
2)
’ \ 6 15 7/ \ 8 ' 18/ 25 ’
3) 0,4 + 0,1/11-1 + 0,45];
I о 13 J
4) (26,4-41-4§.51): 31.
281. 1) 2,25-^11-7,5^-81:31; 3) (s,625 -11-з]1:1|;
2) (41-7,2-2,25:111:1,18; 4) (12 - 1з1 ++ 1:2 if-1,5* 2.
У f J \о2 3 3 о/
282. Три тракториста вспахали 400 га земли. Один из них вспахал
20
0,355 его площади, а второй в 1— раза меньше. Сколько
гектаров земли вспахал третий тракторист?
283. Велосипедист за 6,5 ч преодолел путь от Джизака до
Самарканда. В первые два часа он ехал со скоростью
13,5 км/ч, а в оставшееся время со скоростью 14 км/ч.
Найдите расстояние между Джизаком и Самаркандом.
69
Решите уравнение (284—285):
284. 1) 2х - 2| = 3,6 +2) 4х-0,8 = з| + 0,2.
285. 1) (Зх-11^1,35 = 2,7; 2) 4,44%-0,84 = 8,4:21.
286. 1) Ширина прямоугольника 10,2 см, а длина больше ширины
в 1 - раза. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
2) Ширина прямоугольника 15,5 см, а длина составляет
0,8 его ширины. Найдите периметр и ширину этого
прямоугольника.
Выполните действия (287—288):
287. 1) ^3,55-2^:51 + 2,55:1,7; 3) 3,3 • 1-1 + 2,4 : з|-2^;
1 j J 3 11 7 6
2> (5’5: '7-5Т-,п}4|-3’52: 4)1,15.4?-4,4:11 + 51.
эвв п 1,95 • 0,48:6,25 3 (0,19 + 3,2): 22,6
288‘ » (2.03-1,25) 0,4:2,4 ’ 2> 67 : 4,05 + 0.75 . ? '
6
289. Точка С делит отрезок АВ так, что длина АС равна 8,82 см,
а длина СВ составляет 1 длины АС. Найдите длину отрез-
ка АВ.
Найдите значение выражения (290—291):
290. 1) х:7А + 141:у, При х = 22,25; _р = 11А;
2) 7-1: а + 13§-:Ь, при а = 3,8; b = 1|.
о у у
291. 1) 3-1:а-/>:5|, при а = 1,125; 6 = 21;
16 7 7
2) 2у: а + 3,375: Ь, при а = 2,8; b = 5^1.
70
292. Решите уравнение:
1>^-4та = ,Р 2)1|у + 22 = 101; 3)!х + 7| = 101.
Выполните действия (293—295):
293. 1) f[16|-13^-5|l: (28-8,25)-2,5;
2) (11,875 - 2^): 9| -0,75+ 11: 2|.
294. 1) fl7,5-3f|: 16,6+ Г1,5 + 1Л: 1| •
к J к о J э о
2) 1,92:0,4-6,4-^|-Ц-4|: 6,4^.
295. 1) 19,2;1|-Г2-1 + з11з1-0,45 ;
296. В первом вагоне товарного поезда груза в 1| раза меньше,
чем во втором. Если выгрузить из второго вагона 2,9 т, а в
первый вагон загрузить 12,1 т груза, то оба вагона будут
загружены одинаково. Сколько груза в каждом вагоне?
297. Разность двух чисел равна 52. Найдите эти числа, если
2
0,45 большего числа равно — меньшего.
2
298. Автобус прошел за первый час - своего пути, за второй
час 0,4 своего пути, а за третий час — оставшиеся 44 км.
Найдите длину маршрута автобуса.
71
299. В 6"л,> и 6<в>> классах 65 учащихся. В 6<А” число девочек
составляет 0,5 общего числа учащихся, а в 6<в>> — 0,8 этого
числа. Сколько детей учится в каждом классе, если девочек
в обоих классах поровну?
|300. Ломаная линия состоит из трех звеньев. Длина первого звена
Л Л 4
4,4 см и составляет — длины второго, длина третьего равна
8 .. „
— длины второго. Найдите длину ломаной линии.
|301. Расстояние между Чирчиком и Ташкентом 32 км. Это
расстояние велосипедист преодолел за 3 часа. В первый
час он проехал 0,4 всего пути, во второй час — ос-
тавшегося пути. Сколько километров он проехал за третий
час?
Выполните действия (302—303):
30231)
2)
0,33: 0,75+ (25-21,4) -11;
(23,76:5,4 + 2|:А):5 +
7
3) 3:1- +
8
( 5 43 3
3^-1 —
9 45 J
: 6,6;
4)
:А + 3:3,75.
(303)1)
1,836:1,02 +1,35 *з1
3)(58,5:7|-28,8:411з1;
2)
5,12:6,4 + 1,8:21
4) Гз,5-4,2-11:1|\4|.
304?) Три столяра за выполненную ими работу получили 54 500
сумов. Первый заработал | того, что получил второй, а
третий в 1,4 раза больше второго. Сколько денег заработал
каждый столяр?
72
о*
(105} Найдите числовое значение выражений: 1) 2а+Ь:2^ при
а = 7,25, b = 16у; 2) х : 2^ -у : 2| при х= 8,4, у= 5-|.
(106) Периметр равнобедренного треугольника, | которого
составляет основание, равен 32,4 см. Найдите стороны
треугольника.
(307} Легковая машина «Тико» проехала за первый час 0,4, за
второй час у всего пути, а за третий час оставшиеся 64 км.
Какой путь проделала машина за 3 часа?
(308} Велосипедист проехал 65 км за 5,2 ч. За какое время
преодолеет велосипедист этот путь, если он увеличит свою
2
скорость в 1,2 раза? Уменьшит ее в 1- раза?
(309} Длина прямоугольника 16,5 дм, ширина в раза меньше
нее. Найдите периметр и площадь прямоугольника.
(310} Разность двух чисел равна 14,6. 0,045 первого числа равны
1 и -
- второго. Найдите эти числа.
6
(5ТТ} Сумма трех чисел равна 30,2. Первое число больше второго
в 1| раза, а третье больше второго в 2,2 раза. Найдите
О
эти числа.
^312} Первое число равно 91. Второе число меньше первого в 3,5
т 5
раза. Третье число составляет - от суммы первого и второго
6
чисел. Найдите сумму этих чисел.
73
Тест Q3J
Проверьте себя!
1. Вычислите: 36,81:4,5-2,5.
А) 11,45 В) 21,15 С) 23,15 D) 214,5 Е) 20,45.
2. Вычислите: 6,12-3,5: 1,8.
А) 11,9 В) 119 С) 1,19 D) 14,9 Е) 13,6.
3. Вычислите: (3,91-2,13)-4,5.
А) 8,01 В) 80,1 С) 79,11 D) 80,11 Е) 8,11.
4. Вычислите: 4,028 : 0,19 + 2,4 • 1,5.
А) 34,8 В) 24,8 С) 21,2 D) 36,1 Е) 24,08.
5. Длина прямоугольника 3,8 см, ширина меньше длины на
1,3 см. Найдите площадь этого прямоугольника.
А) 3,25 см2 В) 4,84 см2 С) 9,5 см2 D) 8,5 см2 Е) 95 см2.
6. Вычислите: 32,8 - 0,7 • (37,08 : 3,6 + 2,05 • 1,4).
А) 2,357 В) 31,981 С) 23,619 D) 23,581 Е) 33,571.
7. Вычислите: 40,3 • 17 - 40,3 • 15 + 20,4 - 17 - 20,4 15.
А) 120,14 В) 80,7 С) 40,8 8. Вычислите: (8,4+ 2,1)-4,2-14,4:2,4. D) 80,6 Е) 121,4.
А) 50,1 В) 44,1 С) 37,11 9. Вычислите: (12,6+ 2,73): 4,2-8,75-3,4. D) 38,1 Е) 48,1.
А) 32,11 В) 31,11 С) 23,5 D) 29,75 Е) 32,1.
10. Площадь поля в форме прямоугольника равна 40,5 м2. Найдите
длину поля, если его ширина равна 72 дм.
А) 56,25 дм В) 5,625 дм С) 50,75 дм D) 54,25 дм.
11. Длина прямоугольника равна 8,3 см, периметр равен 31 см.
Найдите его площадь.
А) 5,97 см2 В) 59,76 см2 С) 69,76 см2 D) 70,73 см2.
74
12. Площадь прямоугольника равна 30,25 см2, ширина равна
6,05 см. Найдите его периметр.
А) 11,05 см В) 23,75 см С) 20,8 см
D) 20,11 см Е) 22,1 см.
13. Расстояние между городами А и В 520 км. Из этих городов
одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля.
Скорость первого 75 км/ч, скорость второго 80 км/ч. Каким
будет расстояние между ними через 2,4 часа?
А) 372 км В) 148 км С) 158 км
D) 155 км Е) 248 км.
14. Водитель, проехав 0,65 пути, определил, что это расстояние
на 30 км больше половины пути. Какое расстояние отделяет
машину от пункта назначения?
А) 19,5 км В) 60 км С) 130 км D) 200 км Е) 70 км.
15. Пешеход шел 2,5 ч со скоростью 4 км/ч и 1,5 ч со скоростью
6 км/ч. Найдите его среднюю скорость.
А) 4,5 км/ч В) 4,75 км/ч С) 5 км/ч
D) 9 км/ч Е)10 км/ч.
16. Среднее арифметическое трех чисел равно 12,5. Когда к ним
добавили еще одно число, среднее арифметическое стало
равным 13,2. Найдите добавленное число.
А) 15,3 В) 14,6 С) 13,3 D) 12,85 Е) 37,5.
17. Вычислите: 34,92 : 3,6 + 49,32 : 0,9 - 141 • 0,14.
А) 60,5 В) 59,75 С) 62,5 D) 59,5 Е) 61,15.
18. Вычислите: 23,94 : 1,8 - 18,72 : 7,2 + 51 • 0,38.
А) 3,94 В) 4,15 С) 13,45 D) 12,7 Е) 10,7.
19. Вычислите: 3,2 • ^21: 3,2 - 3^ + 9,6.
А) 11 В) 1| С) 3| °) 2± Е) 21.
75
Длина окружности и площадь круга
1. Длина окружности. С понятием окружности и круга вы
познакомились в 5-м классе. Проделайте следующий опыт: вырежьте
из картона два кружка с различными радиусами (например, 1 см и
2 см). Обозначьте на окружности кружка некоторую точку. Приставив
этот кружок к точке 0 линейки, отметьте на ней точку А. Затем вращайте
кружок вдоль линейки, повернув его на полный оборот. Точку на
линейке, на которую придется отмеченная ранее точка окружности,
обозначьте буквой В. Длина полученного отрезка АВ приближенно
равна длине окружности. Выполните те же действия со вторым кружком
(рис. 4).
Теперь разделите полученную длину окружности на ее диаметр
(J=2r). Если вы аккуратно произведете эти действия, для обеих
окружностей это отношение будет заключено между числами 3,1
и 3,2.
Отношение длины окружности к ее диаметру обозначается
греческой буквой л. Если обозначить длину окружности буквой С,
ее радиус — г, а диаметр — d, то С: d- л, т. е. С : (2г) - л. Откуда
С = л • d, или С = 2лг.
Длина окружности равна произведению ее диаметра на
число п.
76
Число л — постоянное число, не зависящее от радиуса окружности.
тс можно выразить в виде бесконечной непериодической
десятичной дроби. В обсерватории Улугбека число л вычислили с
17 знаками после запятой:
п = 3,14159265358979325... .
Этот результат приведен в сочинении аль-Каши «Трактат об
окружности».
На практике полагают, что л = 3,14 точно (иногда считают, что
л = 3,1416, или л = ^).
Задача 1. Радиус окружности равен 3 см. Найдите ее длину.
Решение. По формуле с - 2лг находим: С ~ 2-3,14-3 =
= 18,84 (см).
Ответе с точностью до сотых С = 18,84 см.
Задача 2. Длина окружности 12,56 см. Найдите ее радиус.
Решение. Из формулы С = 2лг находим:
r= С: (2л) = 12,56: (2 - 3,14) = 2 (см).
Ответ', с точностью до сотых г = 2см.
2. Площадь окружности. Обозначим площадь круга буквой 5.
Площадь круга вычисляют по формуле S = лг2.
Таким образом, площадь круга
равна произведению площади
квадрата со стороной г и числа л
(рис. 5).
Задача 1. Радиус круга равен 1 см.
Найдите его площадь.
Решение. По формуле 5= л г2,
5 = л • I2 = л (см2).
Ответ'. 5= л см2.
77
Задача 2. Площадь круга равна 12,56 см2. Найдите его радиус.
Решение. По формуле 5=лг2 при 5= 12,56, л = 3,14 находим
из равенства 12,56 = 3,14 • г2, что г2 = 4. Квадрат какого числа равен
4? Ясно, что г-2 (см). Ответ'. г=2 см.
(9)313. 1) Что называется окружностью? кругом? Чем они
различаются и в чем похожи?
2) Что вы понимаете под длиной окружности? По какой
формуле вычисляется длина окружности? Приведите
примеры.
ч 3) Знаете ли вы формулу для площади круга??
Считайте для простоты, что п = 3,14.
314. Найдите длину окружности с диаметром 4 дм; 50 см;
0,01 м; 100 см; 200 мм.
315. Найдите длину окружности с радиусом 0,5 см; 5 дм;
20 см; 0,4 м; 40 мм.
316. Чему равен радиус окружности, длина которой равна 31,4 см;
56,52 дм; 0,628 м; 2,512 м?
317. Радиус окружности увеличили на 3 дм. На сколько увеличится
длина этой окружности?
318. Сколько раз повернется вокруг своей оси на расстоянии
301,44 дм колесо, диаметр которого равен 2,4 дм?
319. Колесо повернулось вокруг оси 440 раз на расстоянии 2763,2 м.
Найдите радиус этого колеса.
320. Найдите площадь круга, радиус которого равен: 1) 5,5 см;
2) 10,8 дм. Полученный результат округлите до сотых.
321. Найдите площадь круга, диаметр которого равен: 1) 3,6 дм;
2) 19,4 м. Результат округлите до единиц.
322. Пройдет ли через кольцо, изготовленное из проволоки
длиной 81 см, баскетбольный мяч, диаметр которого 26 см?
А если длина проволоки равна 85 см?
323. Как изменится площадь круга, если его радиус увеличить в
1,2 раза?
78
1324. Чему равна длина окружности круга с площадью:
1) 36л см2; 2) 16л дм2; 3) 81л дм2?
|325. Сторона квадрата равна 4 см (рис. 6). Найдите площади
закрашенных частей и сравните их. Сделайте вывод.
326. Радиус большего круга (рис. 7) 1,3 дм, площадь закрашен-
ной части 1,44 л дм2. Найдите радиус меньшего круга.
Рис. 6
(527^)а) Найдите длину окружности, радиус которой равен:
1) 3,6 см; 2) 24 дм. Результат округлите до единиц.
б) Найдите длину окружности, диаметр которой равен:
1) 5,8 дм; 2) 42 см. Результат округлите до единиц.
(128?) Диаметр колеса равен 68 см. Какое расстояние пройдет
колесо, повернувшись вокруг оси 100 раз?
(129?) Чему равна длина окружности круга с площадью:
^"1) 25 л дм2; 2) 314 см2?
(130?) Площадь круга 314 см2. Найдите диаметр этого круга.
(11Т?)Чему равна длина окружности круга с площадью 50,24 см2?
Результат округлите до десятых.
(332?) Радиус одной окружности равен 10 см, радиус второй
составляет 0,8 радиуса первой. На сколько длина первой
окружности больше длины второй?
79
Исторические сведения
Вычисление числа л с возможно большей точностью всегда
интересовало ученых. Приведем краткую таблицу приближенных
значений числа л:
Имя ученого Век Город или страна Десятичное приближение числа л Число точных знаков после запятой
Архимед III в.дон. э Сиракузы 3,14285; 3,14084 2
Витрувий I в. до н. э Рим 3,12500 1
Птолемей II в. н. э Александрия 3,14166 3
Чжан Хен II в. Др. Китай 3,16214 1
Ариабхата V в. Др. Индия 3,14159 3
Цзу Чун-чжи V в.Др. Китай 3,14160 3
Брахмагуптг VII в. Др. Индия 3,14234; 3,1428 2
Мухаммед ибн Муса аль-Хорезми VIII в. Хорезм 3,14285; 3,14160 22 . 62832 7 ’ 20000 3
Абу Наср аль-Фараби IX в. Фараб 3,14285; 3,14084 2
Леонардо да Винчи XIII в. Италия 3,14183 3
Бхаскара XII в. Индия 3,14160 3
Гийас ад- Дин Джам- шид аль-Каши XV в. Кашан 3,14159265358979325 17
Франсуа Виет XVI в. Франция 3,1415926535 10
Впервые в истории математики значение л с высокой
точностью получил и записал в виде десятичной дроби наш
соотечественник аль-Каши.
80
;ст Q4J Проверьте себя!
1. Периметр правильного треугольника 28,8 см. Найдите сторону
треугольника.
А) 9,6 см В) 9,16 см
С) 8,6 см D) 9,06 см Е) 8,16 см.
2. Периметр равнобедренного треугольника 43,4 см, длина боковой
стороны 15,5 см. Найдите основание этого треугольника.
А) 40,1 см В) 12,4 см
С) 13,4 см D) 13,3 см Е) 27,9 см.
3. Периметр треугольника 27,8 см. Одна его сторона больше второй
на 3,5 см и больше третьей на 2,7 см. Найдите длину большей
стороны треугольника.
А) 18,8 см В) 11,7 см
С) 15,3 см D) 12,5 см Е) 9 см.
4. Один из углов треугольника 40°, второй больше него в 1,5 раза.
Найдите величину третьего угла треугольника.
А) 85° В) 110° С) 90° D) 60° Е) 80°.
5. Один из углов треугольника больше второго в 2 раза и меньше
третьего в 6 раз. Найдите величину наименьшего угла этого
треугольника.
А) 20° В) 30° С) 25° D) 40° Е) 35°.
6. Радиус окружности 3 см. Найдите длину этой окружности.
А) 18,624 см В) 18,84 см
С) 18,64 см D) 18,74 см Е) 19,84 см.
7. Длина окружности 25,12 см. Найдите радиус этой окружности.
А) 6,28 см В) 3,5 см
С) 4 см D) 3,14 см Е) 4,6 см.
8. Найдите площадь круга радиуса 3 см (принять л = 3,14).
А) 28,026 см2 В) 27,126 см2
С) 27,26 см2 D) 27,936 см2 Е) 28,26 см2.
Где 6— Математика, 6 класс & 1
§ 4. Отношение и пропорция
Понятие об отношении
Вы знаете, что для того чтобы узнать, во сколько раз одно
число больше (меньше) второго или какую часть первое число
составляет от второго, нужно первое число разделить на второе.
Например, равенство 36 : 9 = 4 показывает, что число 36 в
4 раза больше числа 9. Равенство 44 = 4 показывает, что число 15
60 4
составляет - часть числа 60.
4
36:9 называют отношением чисел 36 и 9 (15 и 60). Числа 36
и 9 (15 и 60) называются членами отношения.
Вообще, дробь где А и л не равны 0, называется отношением
чисел к и л, а сами числа Лил — членами отношения.
12
Например, — можно рассматривать как отношение чисел 12 и
1о
ю 2 7 ,-„27
18, а —: — — отношение дробей - и -.
3 6 3 6
Вообще, отношение двух чисел можно записать в виде
к: л = q, или к _ = q
п
В этой записи: к — предшествующий, п — последующий члены
отношения.
Отношение обладает следующими свойствами.
82
1. Отношение не изменится, если оба члена отношения умно-
жить (разделить) на одно и то же, отличное от нуля, число р\
к:п = (к-р):(пр), или £ =
Пример 1. 3 : 6 = (3 • 5): (6 • 5), или т = т—т = ™ = к-
г х z оо-Э 31) 2
2. Если = q, то предыдущий член отношения
к = п- q.
Пример 2. Из равенства — = | следует 6 = 18 • |, отсюда
18 3 3
6 = 6.
3. Если = q, то последующий член отношения
п = к: q.
8 1 1
Пример 3. Из равенства — = - следует, что 16 = 8: - ; т. е.
16 2 2
16= 16.
§)333. 1) Что понимается под отношением двух чисел? 4i
2) Назовите члены отношения. Приведите примеры.
3) Сформулируйте свойства отношений. Приведите
ч примеры.,
334. Найдите отношения:
1)3к|; 2) 11 к 22; 3) £ к “
У 1/00
335. Замените отношение дробей отношением целых чисел:
1) з1:Н; Ц:|; 2) 0,12:0,36; 2,5:1,5; 0,7:3,5.
Образец'.
з2-71 = — • — - - 1 - 1 • 2
83
336. Запишите отношение в виде дроби и, если можно,
сократите ее:
1) 18:72; 2) 14:28; 3)10:13; 4)10:15; 5) 13:26; 6)23:69.
337. Найдите неизвестный член отношения:
1) х:з| = 4; 3) Ц:х = |; 5) х:0,8 = 2±;
2)x:3y = li; 4) 12,5: х = 2,5; 6) 4,95:х = 2,25.
338. У Иззата из 30 бросков баскетбольного мяча в корзину
28 были успешными. А у Сунната из 36 бросков успешными
были 34. Чей результат лучше?
339. Из 500 семян проросли 460. Определите всхожесть семян.
Указание. Под всхожестью семян понимают отношение
числа проросших семян. Например, если из 400 семян
380
проросли 380 семян, то всхожесть составляет — = 0,95.
Всхожесть обычно выражают в процентах. 0,95 = 95%. Это
значит, что в среднем из 100 семян прорастают 95.
340) Запишите отношение в виде дроби и, если можно, сократите
ее:
36 : 27; 128 : 192; 49 : 35; 119 : 63; 60 : 108; 25 : 65.
341) Замените отношение дробей отношением целых чисел:
1) :2±; 41:2|; 2) 0,24: 0,72; 0,125 : 0,25.
’ 63 27 13 13’ 3 6 ’ ' ’ ’ ’
,342) Найдите неизвестный член отношения:
1) х:| = 8|; 2)72:х=9; 3)8,4:х=7.
543)Длина одного прямоугольника 12 см и ширина 8 см, а
другого 24 см и 16 см соответственно. Найдите отношение:
1) их периметров; 2) их площадей.
84
По основному свойству дроби отношение | можно записать в
4 8 z 4 12 4 16. э
следующем виде: - = — (или - = —; - - —). Здесь записано
Л 1 V/ л .Л
равенство двух отношений.
Это равенство читается так: «отношение 4 к 5 равно отношению
8 к 10» или «4 относится к 5 как 8 относится к 10».
Равенство двух отношений называется пропорцией.
Равенство | есть пропорция. Ее можно также записать
в виде 4 : 5 - 8 : 10. Отсюда следует 4 • 10 = 5 • 8, т. е. 40 = 40. Числа
5 и 8 называют средними членами пропорции, числа 4 и 10 —
крайними членами пропорции.
Вообще, для пропорции а: b = с: d (или - - -) имеет место
Ь а
равенство a - d-b - с. Обратно, если а, Ь, с и d неравные 0 числа,
для которых имеет место равенство а • d = b • с, то числа а, Ь, си d
образуют пропорцию у = 4-
Ь и
85
средние члены
a:b = с:d
a-d - b- с
крайние члены
Произведение крайних
членов пропорции равно
произведению средних чле-
нов пропорции.
Пример 1. В пропорции 3:5 = 9:15 числа 3 и 15 — крайние
члены пропорции, числа 5 и 9 — средние. Произведение крайних
членов равно 3 • 15 - 45; произведение средних членов равно
5-9 = 45; 45 = 45, т. е. произведение крайних членов пропорции
равно произведению средних.
Пример 2. Образуют ли пропорцию числа 8, 7, 14, 16?
Решение. Из данных чисел можно составить пропорцию
7 = 77, так как 7 • 16 = 8 • 14.
О 16
Ответ', да, образуют.
Пример 3. Образуют ли пропорцию числа 1, 2, 3, 4?
Решение. Из данных чисел нельзя составить пропорцию, так
как 1 • 3 * 2 • 4, 1 • 4 # 2 • 3, 1 • 2 * 3 • 4.
Ответ', из чисел 1, 2, 3, 4 пропорцию составить нельзя.
х "2.
Пр и м е р 4. Найдите неизвестный член пропорции: — = -.
6 3
Решение. Из основного свойства пропорции Зх = 6 • 2, Зх = 12,
х= 4.
Ответ', х = 4.
Нахождение неизвестного члела пропорции обычно называют
решением пропорции.
©344. 1) Что называется пропорцией? Приведите примеры.
Укажите в примерах средние и крайние члены пропорции.
2) Сформулируйте основное свойство пропорции и объ-
ясните его на примерах.
3) Что понимается под решением пропорции?
86
345. С помощью
являются ли
1)2 = 12-
7 4 20’
346. Можно ли из
10 40
» Т и 36;
основного свойства пропорции проверьте
следующие равенства пропорциями:
2)11 = 21- 3)^ = -2-
7 3 8 ’ 7 о,1 0,02’
двух отношений составить
8 13 1,3 5
2) 3 й у; 3)тиё;
8,4 _ 10,5
7 4 “ 5 ’
пропорцию:
4)^и^?
’ 13 26
347. Составьте 4 пропорции, если их отношения равны 1) 3;
2) 0,5; 3) 4)
Образец. Например, отношения пропорций
45:9 = 50:10; 55:11 = 75:15; 0,5 : 0,1 = 3,5 : 0,7;
8,5: 1,7 = 2,5:0,5 и т. д. равно 5. Можно составить
бесчисленное множество таких пропорций, пользуясь
основным свойством дроби.
348. Пеше.' од прошел 14 км за 3,5 часа. За какое вре ня пешеход
пройдет 8 км, если будет двшаться с той же скоростью?
349. Крайние члены пропорции равны 28 и 10. Один из средних
членов пропорции равен 35. Найдите неизвестный член
пропорции.
350. Найдите неизвестный член пропорции:
1) х: 18 = 68: 17; 3)28:х=7:9; 5) 60: 15 = х: 2;
2) 18:5 = 72:х; 4) х: 9 = 35: 15; 6)55:х=5:3.
351. Составьте все возможные пропорции, используя равенства:
1)7-18 = 21-6; 3)3,5-6=1,4-15;
2) 11-20 = 5 -44; 4) 6 • 21 = 14 9.
352. Решите уравнение:
., Зх _ 9 . 8 _ 24 . д, 18 _ 2х . .. 25 _ 15
7 Т “ 20 ’ 7 1х ~ 35 ’ 7 52 “ ТЗ’ 7 44 “ 4х ‘
353. Площади оснований двух прямоугольных параллелепипедов
равны. Высота одного из них 6 см, а объем 72 см3. Найдите
объем второго параллелепипеда, если его высота равна 7,2 см.
87
354. Найдите неизвестный член пропорции:
D 1Р:1| = 5|:2±; 2) = .
355. Составьте две пропорции, произведение крайних членов
которых равно 36. Сколько таких пропорций можно
составить? Объясните ответ и сделайте вывод.
356. Составьте две пропорции, произведение средних членов
которых равно 42. Сколько таких пропорций можно
составить? Объясните ответ и сделайте вывод.
Решите уравнение: (357—358):
357 1) * ~ 3 = Z • 2) —— = - • 3) - = * ~ 4 • 4) — = 28 -
; 15 3’ >х + 1 5’ ^з 12 ’ ;22 Зх + 4
_со п ? 2 3 1 9 х + 3 5 + х 7
358. в й = 2)27^1 = 4- 3>2 = —; 4)—= 2-
|359. Какое число нужно добавить к числам 4, 12 и 20, чтобы
из них можно было составить пропорцию? Сколько
решений имеет задача?
(360) Можно ли составить пропорцию из следующих отношений:
1) 9 : 24 и 3 : 8; 3) 1 :9 и 4 : 36;
2) 12:22 и 11 :6; 4) 18:21 и 6: 7?
(361?) Пешеход прошел 10,5 км за 3 часа. Сколько километров
пройдет пешеход за 4,5 часа, двигаясь с той же скоростью?
(362) Средние члены пропорции равны 63 и 54, а один из крайних
равен 35. Найдите второй крайний член пропорции.
(363) Найдите неизвестный член пропорции:
1)х:36 = 7:35; 3)9:х=27:4; 5)18:4 = х:12;
2) 36 : 27 = 3,75 : х; 4) 38:4 = 57:х; 6) 19 : х = 23 : 76.
(364?) Можно ли составить пропорцию из следующих отношений:
1) 26, 39, 6, 9; 3) 8, 16, 19, 36; 5) 8, 14, 4, 7;
2) 12, 24, 4, 8; 4) 14, 27, 7, 9; 6) 4, 6, 14, 21 ?
88
(365?) Составьте пропорцию, пользуясь равенством:
1)6-32= 2-96; 2)4.30=10-12; 3)1,25-16 = 2-10.
(j66?) Решите уравнение:
п Зх = 21. э\Ц_2_- Ti 8 = 4х. да 6=_5_. 16 = 4_
J 8 4’ 7х ~ 35 ’ V 5 15’ ’ 3 2х ’ ' 5х 25’
Прямо пропорциональные величины
Простейшими отношениями величин являются прямая и
обратная пропорциональные зависимости.
Объясним на примерах понятие прямой пропорциональной
зависимости.
Задача 1. За 1 час автомобиль проходит 70 км. Сколько
километров пройдет автомобиль за 1,5; 2; 3; 4; 4,5; 6; 7,5; 8 часов,
двигаясь с той же скоростью?
Запишем решение задачи в виде следующей таблицы:
Время (ч) 1 1,5 2 3 4 4,5 6 7,5 8
Скорость (км/ч) 70 70 70 70 70 70 70 70 70
Пройденный путь (км) 70 105 140 210 280 315 420 525 560
Проанализировав таблицу, приходим к следующим выводам:
1-й вывод: путь, пройденный с данной скоростью, увели-
чивается во столько же раз, во сколько увеличивается время.
За 1,5 часа автомобиль прошел 105 км. Увеличим время движения
в два раза: 1,5 • 2 = 3 (ч). Тогда путь также увеличится в два раза:
210: 105 = 2.
2-й вывод: скорость (отношение пройденного пути к
затраченному времени) остается неизменной.
70 = 105 = 140 _ _ 560 _ 7Q
1 1,5 “ 2 “ " “ 8 ’
89
Если при увеличении (уменьшении) некоторой величины в к раз
вторая величина также увеличивается (уменьшается) в к раз, то
такие величины называются прямо пропорциональными.
Если х и у прямо пропорциональные величины, то соотношение
между ними задается формулой = к, или у = к • х, и к называется
коэффициентом пропорциональности, к — натуральное число или дробь.
Напоминание. Обычно одинаково направленные (JT) величины
связаны прямой пропорциональностью.
Задача 2. ЗаЗм ткани заплатили 2 700 сумов. Сколько стоит
8 м этой ткани?
Решение. Решим задачу, составив пропорцию.
3 м ----- 2 700 с/мов (3 м соответствуют 2 700 сумам)
|8 м------хсумов ф (8 м соответствуют х сумам)
Составим пропорцию: — - (или 3:8 = 2 700: х).
8 х
По основному свойству пропорции имеем:
Зх = 2 700 • 8, откуда х = 2 700 -8:3 = 900 -8 = 7 200 (кумам).
Ответ'. 8 м ткани стоят 7200 сумов.
Задача 3. Представьте 48 в виде суммы чисел, прямо
пропорциональных числам 5 и 11. (Иначе говоря, следует разделить
48 на части в отношении 5:11.)
Решение. Обозначим одно из чисел через х, тогда второе
бу ает 48 - х . По условию задачи имеем пропорцию х: (48 - х) =
= 5 : 11. Тогда по основному свойству пропорции: 11х= 5 • (48 - х),
т. е. 11х = 240 - 5х, 16х= 240, х= 15. Тогда второе число равно
48 - 15 = 33.
Ответ'. 15 и 33.
Задача 4. Представьте число а в виде суммы чисел, прямо
пропорциональных числам к и п (разделите а в отношении к: п).
90
Решение. Задача решается по следующей схеме:
1) сложим числа к и п : к+ п;
2) разделим число а на к+ п: т^-;
rv “г Л7
3) полученное частное вначале умножим на к, а затем на л:
К', --л.
к-г п-------к + п
ак ап
Отношение чисел т------и т~~ равно отношению к: п
К + П Ktil
ак ан .
~----------к\п_
к+п к+п
Задача о разбиении числа а на 3, 4 части, пропорциональные
данным 3, 4, ... , решается аналогично.
Задача 5. Разделите число 72 на три части, прямо пропор-
циональные числам 3, 7, 8.
Можно сказагв и так: разделите число 72 в отношении 3:7:8.
Решение. 1) 3 + 7 + 8 = 18; 2) 72 :18 = 4; 3) 4 • 3 = 12; 4 -7 =
= 28; 4 • 8 = 32, следовательно, 72 = 12 + 28 + 32. Ответ: 12,28; 32.
При этом 12 : 28 : 32 = 3 : 7 : 8.
(9)367. 1) Что называется прямо пропорциональными величи-
нами? Приведите примеры.
2) Какие зависимости между величинами вы знаете?
3) Существует ли зависимость между вашим возрас-
том и:
а) вашим ростом; б) вашим весом?
Будет ли она прямо пропорциональной?
368. Автомобиль «Тико» расходует на 100 км пути 5,8 л горючего.
На какое расстояние хватит 11,6 л горючего?
91
369. Скорость машины 60 км/ч. Какой путь она пройдет за 2,5 ч,
за 3,2 ч, за 4 ч, за 4,3 ч?
370. Найдите площадь квадрата со стороной: 1) 5 см; 2) 8 см;
3) 15 см. Являются ли сторона квадрата и его площадь
прямо пропорциональными величинами? Почему?
371. 2 кг винограда сорта хусайни продали за 600 сумов. Сколько
будут стоить 3 кг; 4,5 кг; 6 кг винограда этого сорта?
372. В какой из следующих таблиц величины а и b связаны прямой
пропорциональной зависимостью:
а 1 2 3 4 5
b 4 8 12 16 20
а 30 15 6 3 0,3
b 10 5 2 1 1
373. Для изготовления детали используют сплав золота и серебра
в отношении 5 : 8. Найдите массу сплава, если масса золота
20 г.
374. Масса 15 см3 меди 133,5 г. Сколько будет весить 22 см3 меди?
375. Автомобиль «Матиз» движется со скоростью 80 км/ч.
Заполните таблицу, где t — время, 5 — пройденный за это
время путь.
г(ч) 0,2 1,2 2,4 3 3,5 4
V (км/ч) 80 80 80 80 80 80
5 (КМ)
376. В 1 кг морской воды содержится 40 г соли. Сколько соли
содержится в 2,5 кг; 3 кг; 0,5 кг морской воды?
377. От медной проволоки длиной 35 м и массой 840 отрезали
кусок длиной 24,5 м. Чему равна масса оставше! ося куска?
378. Разбейте число 84 в отношении: 1) 5:16; 2) 8 : 13;
3) 11 : 10; 4) 2: 19; 5) 17:4; 6) 1:6.
92
379. Чтобы не опоздать на поезд, пешеход должен пройти 7 км
пути до станции за 1,5 часа. Первые 2,1км он прошел за
27 мин. Успеет ли он на поезд, двигаясь с той же скоростью?
380. Веревку разрезали на части в отношении 5:7: 13. Длина
самой длиной части веревки больше самой короткой на
2 м 88 см. Найдите длины всех частей веревки.
381. Турист прошел расстояние из города А в город В, со-
ставляющее 105 км, за 3 дня. Пути, пройденные им за
каждый из трех дней, пропорциональны числам 7; 6; 8.
Сколько километров он прошел за каждый день?
382. Разделите число 120 в отношении 1) 4 : 5 : 3; 2) 15 : 16 : 9.
383. Разделите число 798 на три части, прямо пропорциональные
2 3 4
числам - и -.
3’4 5
384. На изготовление 27 водопроводных кранов требуется 7,56 кг
меди. Сколько кранов можно изготовить из 19,6 кг меди?
385. В 6 А классе число девочек относится к числу мальчиков
как 5 к 7. Какое из данных чисел 35, 36 и 28 соответствует
истинному числу учащихся 6<А” класса?
386) Мастер сделал | частей работы за з| часа. За сколько
времени мастер выполнит —части работы?
387) Из 6 кг сахарной свеклы получают 0,6 кг сахара. Сколько
сахара можно получить из 1,5 т сахарной свеклы?
388) В какой из следующих таблиц величины а и b связаны прямой
пропорциональной зависимостью:
а 2 4 6 8 10
b 8 16 24 32 40
а 60 30 15 12 10
b 10 5 2,5 2 0,1
389))Веревка разрезана на части в отношении 2:4: 10. Длина
самой маленькой из частей меньше самой большой на
2 м 40 см. Найдите длину каждой части веревки.
93
необходимых для посевной площади 225 га?
сторон треугольника пропорциональны числам 6;
а его периметр равен 220 см. Найдите длины
треугольника.
(39(h) На поле площадью в 1 га требуется 190 кг посевных семян
пшеницы. На сколько больше тонн семян потребуется на
посевную площадь в 320 га по сравнению с количеством
семян,
'.$91} Длины
8; 11,
сторон
($92} Стороны прямоугольника относятся как 3 :4. Длина большей
стороны равна 16 см. Найдите периметр и площадь
прямоугол ьника.
часа 3 км пути. За какое время она
3 о
пройдет — км?
Обратно пропорциональные величины
Существует еще одна зависимость между величинами —
обратно пропорциональная зависимость. Познакомимся с нею.
Задача 1. Расстояние между двумя городами 540 км. С какой
скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы преодолеть это
расстояние за 4,5 ч; 5 ч; 6 ч; 8 ч; 9 ч; 10 ч; 12 ч?
Решение задачи приведем в виде таблицы:
Расстояние (км) 540 540 540 540 540 540 540
Время (ч) 4,5 5 6 8 9 10 12
Скорость (км/ч) 120 108 90 67,5 60 54 45
Изучив таблицу, приходим к следующим выводам:
1) во сколько раз увеличится время, во столько раз уменьшится
скорость;
Для того чтобы пройти 540 км за 4,5 часа, скорость автомобиля
должна составлять 120 км/ч. Увеличим время прохождения пути в
2 раза: 4,5 • 2 = 9.
94
Если теперь автомобиль пройдет путь 540 км за 9 ч, то его скорость
должна составлять 540 : 9 = 60 (км/ч), т. е. скорость должна
уменьшиться также в 2 раза;
2) произведение времени на скорость остается неизменным и
равным 540 км.
Действительно:
4,5 • 120 = 5 • 108 = 6 • 90 = 8 • 67,5 = ... = 12 • 45 = 540 (км).
Если при увеличении (уменьшении) одной величины в к раз
(к > 0) связанная с ней вторая величина уменьшится (увеличится)
в к раз, то эти величины связаны обратной пропорциональной
зависимостью.
Если х и у обратно пропорциональные величины, то связь
между ними определяется с помощью формулы х • у = к, здесь
к — коэффициент обратной пропорциональности, к — натуральное
или дробное число.
Задача 2. Для перевозки некоторого груза требуется 10
3-тонных грузовиков. Сколько для этой цели потребуется 5-тонных
грузовиков?
Решение. Решим задачу составлением пропорции:
3 т----- 10м (10 3-тонных машин)
Ф 5 т---х (х 5-тонных машин).
Количество автомашин и их грузоподъемность — обратно
пропорциональные величины.
Составим пропорцию:
I = (или 3 : 5 = х: 10).
Тогда 5х = 3 10, х - 3 • 10:5 = 6 (машин).
Ответ', потребуется шесть 5-тонных машин.
Напоминание. Обычно обратная пропорциональная зависимость
между величинами обозначается значком (XT).
| Задача 3. Представьте число а в виде суммы чисел, обратно
пропорциональных числам кип.
95
Решение. Разделить число а обратно пропорционально числам к
ип~ это значит разделить число а прямо пропорционально числам
11 11,
- и т. е. в отношении - : -- п: к.
к п к п
Правило для этого следующее:
1) вычисляют к + л;
2) делят а на к + п: ;
а , „ ап ак
3) умножают -— вначале на п, затем на к. Числа — и —
7 J к+п ’ к + п к + п
обратно пропорциональны числам кип:
ап ак .
— = п: к.
к+п к+п
Ответ:
ап ак
к+п' к+п'
Задача представления числа а в виде суммы чисел, обратно
пропорциональных 3-м, 4-м, ... числам, решается аналогично.
Задача 4. Представьте число 36 в виде суммы чисел, обратно
пропорциональных числам 2, 3, 7.
Решение. 1) 2 + 3 + 7= 12; 2)36:12 = 3; 3)3-7 = 21;
3 • 3 = 9; 3 2 = 6.
Следовательно, 36 = 21 + 9 + 6. При этом числа 21, 9, 6
обратно пропорциональны числам 7, 3, 2; 21:9:6 = 7:3:2.
Ответ: 21; 9; 6.
(9)394.1) Какие величины называются обратно пропорциональными?
2) Как разделить число на части, обратно пропорциональ-
ч ные двум числам? Объясните на примерах.у
395. Поезд, двигаясь со средней скоростью 60 км/ч, прошел путь
между двумя городами за 8 ч. С какой средней скоростью должен
двигаться поезд, чтобы пройти этот путь за 10 ч?
396. Путник шел 3,2 ч со скоростью 4,5 км/ч. С какой скоростью
нужно идти путнику, чтобы пройти тот же путь за 2,4 ч?
96
397. х и у — обратно пропорциональные величины. Найдите
коэффициент пропорциональности и заполните таблицу.
X 10 25 8 2,5 20 0,5
У 40 8 25 32
398. 10 рабочих закончили отделку квартиры за 18 дней. За
сколько дней выполнили ту же работу 15 рабочих,
работающих с той же производительностью?
399. Разделите числа 1) 63; 2) 72 на две части, обратно пропор-
циональные числам 1) 5 и 4; 2) 3 и 5 соответственно.
400. Расстояние между Ташкентом и Самаркандом 354 км. С какой
скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы пройти этот
путь за 6 ч, 7,5 ч, 8 ч?
401. Разделите числа 1) 77; 2) 56 на четыре числа, обратно
пропорциональные числам 1) 1, 2, 3 и 5; 2) 1, 4, 5 и 6
соответственно.
402. Автомобиль, двигавшийся со скоростью 56 км/ч, прошел
путь между Ташкентом и Бухарой за 11 ч. Сколько времени
понадобится автомобилю на тот же путь, если он увеличит
скорость на 21 км/ч?
403. Разделите число 540 на части: 1) прямо пропорциональные;
2) обратно пропорциональные числам 4; 5 и 9.
404. Решите уравнение:
1) 3,6 : 2,4 - 9 : х;
2) 2,8: 0,7 = х:8;
3) 6,3 :х = 2,1 : 1,5;
405. Три числа относятся
4) 2,7 :х = 1,2: 0,8;
5) х:8,4 = 3,5: 2,1;
6) 6,4: 1,6 = 4,8 :х.
как 2:3:8, а их сумма равна 67,6.
Найдите разность между наибольшим и наименьшим из
этих чисел.
406. Расстояние между Ташкентом и Гулистаном 118 км. С
какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы
пройти этот путь за 1) 2 ч; 2) 2,5 ч?
©• 7— Математика, 6 класс
97
407.
Велосипедист ехал 5 ч со скоростью 12 км/ч. С какой
скоростью должен ехать велосипедист, чтобы преодолеть
тот же путь за: 1)4 ч; 2) 3 ч?
12 рабочих выполнили некоторую работу за 8 ч. Сколько
рабочих нужно для того, чтобы выполнить эту работу за 6 ч?
8 рабочих выполнили работу за 6 дней. За сколько дней
выполнят эту работу 12 рабочих, работая с той же произво-
дительностью?
(41CL) Пешеход, двигаясь со скоростью 3,6 км/ч, прошел весь
путь за 2,5 ч. Сколько времени он потратит на дорогу, двигаясь
со скоростью 5 км/ч?
(^117)1) Разделите число 22,4 на две части, обратно пропорцио-
нальные числам 4 и 10; 2) разделите число 36,8 на две
части, обратно пропорциональные числам 3 и 5.
(412)) Для перевозки груза машине грузоподъемностью 7,5 т
потребовалось 12 рейсов. Сколько рейсов потребуется машине
грузоподъемностью 9 т для перевозки того же груза?
(413) Расстояние между Ташкентом и Наманганом 432 км. С какой
скоростью должна двигаться машина, чтобы пройти этот
путь за: 1) 6 ч; 2) 8 ч; 3) 9 ч?
(4Т4)Выход волокна при переработке Ют хлопка составляет 2,4 т.
Сколько хлопка нужно переработать, чтобы получить 6 т волокна?
Масштаб
На карте расстояние АВ равно
95 см. А на местности?
Расстояние между Ташкентом
и Термезом 700 км. Каким
будет это расстояние на карте?
98
Вы знакомы с понятием масштаба из курса географии. По-
знакомимся с ним подробнее.
Масштабы используются не только в географии, но и при
составлении чертежей деталей и планов строительных работ.
Длина произвольного отрезка на чертеже и соответствующая
ему действительная длина — прямо пропорциональные ве-
личины.
Масштаб — это число, показывающее, во сколько раз единица
измерения на чертеже больше (меньше) единицы измерения в
реальности.
Масштаб на чертежах и картах записывают в виде М 1 : 100,
М 1 : 1 000, .... Запись М 1: 1 000 означает, что расстояние на
чертеже в 1 000 раз меньше действительного расстояния.
Для того чтобы крупным планом изобразить мелкие предметы,
используются масштабы 10 : 1; 100: 1;.... Такой масштаб показывает,
что размеры изображения на чертеже в 10 раз, 100 раз, ... больше
размеров самих предметов.
Задача 1. Масштаб чертежа 1:400. На чертеже размеры игровой
площадки 50 см на 40 см. Каковы ее истинные размеры?
Решение. Пусть истинная длина площадки х см. Составим
пропорцию: 50 : х = 1 :400, откуда х = 50 400 = 20 000 (см) = 200 (м).
Пусть истинная ширина площадки у см. Тогда 40: у = 1 :400,
т. е. у = 40 • 400 = 16 000 (см) = 160 (м).
Ответ: длина площадки 200 м, ширина 160 м.
Задачу можно решить более коротким путем. Из определения
масштаба следует, что для определения истинных размеров надо
размеры на плане увеличить в 400 раз:
50 • 400 = 20 000 (см) = 200 (м); 40 • 400 = 16 000 (см) = 160 (м).
Задача 2. На чертеже виноградник, длина которого 360 м, а
ширина 240 м, изображен в форме прямоугольника с масштабом
1: 1 200. Каковы измерения виноградника на чертеже?
99
Решение. Истинные размеры виноградника в 1200 раз больше,
чем на чертеже.
„ 360 м 3 м
Поэтому длина виноградника на чертеже 1200 = ~[о~
300см 240м 2м 200см
= —= 30см;’ ширина 7200 =1о =-|о- = 20см-
Ответ. Измерения виноградника на чертеже 30 см на 20 см.
Задачу можно было решить и составлением пропорции.
Обозначим на чертеже длину основания прямоугольника через
хсм. Составим пропорцию согласно условию задачи, при этом следует
принять во внимание, что 360 м = 36 000 см, так как на чертеже
расстояния измерены в сантиметрах:
х: 36 000 = 1: 1200, откуда 1200х = 36 000, т. е. х = 30 (см).
Если обозначить длину высоты прямоугольника через у, то
у: 24 000 = 1: 1200, откуда 1200у - 24 000, у = 20 (см).
Задача 3. Величина насекомого на рисунке 5 см. Истинная
величина составляет ± см. Во сколько раз увеличено изобра-
жение насекомого по сравнению с реальностью?
Решение. 5:^ = 5-20 = 100 (раз). Следовательно, масштаб
рисунка 100: 1. Таким образом, для того чтобы найти истинный
размер насекомого, соответствующий размер на чертеже надо
разделить на 100.
Ответ: увеличено в 100 раз.
(9)415. 1) Что вы понимаете под масштабом? Приведите примеры.
2) Какие вы знаете задачи, связанные с масштабом? Вы
поняли, как решались 4 задачи, данные в тексте?
3) В чем разница между масштабами 1:1,1: 100, 1 : 1000,
... и масштабами 10: 1, 100: 1, 1000: 1, ... ?
100
416. Расстояние между пунктами Л и В на местности 30 км.
Каким будет расстояние АВ на карте с масштабом
1 : 500 000?
417. С какой скоростью двигался мотоциклист, преодолевший
за 2 ч 40 мин расстояние, которое на карте с масштабом
1 : 1 500 000 изображается отрезком длины 12,8 см?
418. Скорость поезда 60 км/ч. За какое время поезд покроет
расстояние, которое на карте с масштабом 1:2 500 000
изображается отрезком длины 16 см?
419. Расстояние между двумя пунктами на карте равно 6,5 см, в
действительности же 13 км. Найдите масштаб карты.
420. На рисунке 8 изображены земельные участки прямоугольной
формы. Выполнив необходимые измерения, найдите
периметр и площадь земельных участков.
а)
Рис. 8.
М 1 : 5000
б) ---------------
421. Каким будет истинное расстояние между городами А и В,
если с масштабом 1 : 3 000 000 отрезок АВ имеет длину
3,4 см?
422. Каким будет расстояние между двумя городами на карте с
масштабом 1 : 1 000 000, если истинное расстояние между
ними равно 400 км?
423. На чертеже с масштабом 1 : 3 длина прямоугольника 6 см,
ширина — 4,8 см. Какими будут измерения того же
прямоугольника на чертеже с масштабами 1: 12; 1 : 18?
424. Расстояние между двумя городами 400 км. Каким будет это
расстояние на карте с масштабом 1: 2 000 000?
101
425. Расстоянию 2,7 см на карте соответствуют 54 км на мест-
ности. Найдите расстояние между двумя городами, если на
карте расстояние между ними 12,6 см.
426. На плане стороны комнаты прямоугольной формы 5 см и
3 см. Найдите измерения комнаты, если масштаб плана
1 : 300.
427. Пользуясь картой Узбекистана, найдите расстояние между
центром вашего вилоята и различными его пунктами.
428. Насекомое на рисунке имеет размер 6 см. Его действительный
размер 0,1 см. Каков масштаб рисунка?
429. Длина и ширина хлопкового поля прямоугольной формы
на плане с масштабом 1 : 20 000 4,5 см и 3,2 см со-
ответственно.
Какой урожай планируют получить с этого поля, если
плановая урожайность 45 ц хлопка с 1 га?
430. Два корабля, плывущих навстречу друг другу, разделяет
расстояние 33 км. Когда встретятся корабли, если скорость
одного из них на 10 км/ч больше скорости второго и их
скорости относятся как 5 : 6?
31.Длина реки Сырдарьи 2137 км. Округлите ее до сотен. Какой
будет приближенная длина реки на карте с масштабом
1 : 2 500 000?
432?)Расстояние по карте между пунктами А и В 7,2 см, в
действительности же 360 км. Найдите масштаб карты.
433?)Расстояние между Ташкентом и Термезом 708 км. Найдите,
каким оно будет на карте с масштабом 1: 2 000 000?
434^)Расстояние по карте между пунктами А и В равно 5 см.
Найдите масштаб карты, если истинное расстояние между
ними:
1) 25 км; 2) 30 км; 3) 40 км; 4) 45 км; 5) 50 км.
435. (Начертите треугольники со сторонами: 1) 5 м, 4 м и 4,5 м;
2) 2,8 м, 2,8 м и 3 м в масштабе 1:200.
102
(43£) Стороны прямоугольного поля с площадью 50 га изобра-
жены на плане отрезками 25 см и 20 см. В каком масштабе
выполнен план поля?
icv (^5) Проверьте себя!
1. Какие отношения составляют пропорцию?
1) 26 : 5,2 и 39 : 7,8; 3) 10,5 : 3 и 31,5 : 9;
2) 7,5 : 2,5 и 2,5 : 1,5; 4) 1 : 2 и 1,6: 3,5.
А) 1; 3 В) 1; 2 С) 3; 4 D) 2; 4 Е) 1; 4.
2. Найдите неизвестный член пропорции: 22,5 : х - 45 : 6.
А) 2,5 В) 6 С) 3 D) 4,5 Е) 4.
3. Пешеход идет со скоростью 4 км/ч. Сколько километров пройдет
пешеход за 2,5 ч, двигаясь с той же скоростью?
А) 9,4 км В) 8,6 км
С) 10 км D) 11 км Е) 8,25 км.
4. Автомобиль двигался 3 ч 20 мин со скоростью 72 км. С какой
скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы пройти тот
же путь за 2 ч 40 мин?
А) 96 км/ч В) 82 км/ч С) 100 км/ч
D) 85 км/ч Е) 90 км/ч.
5. Сена на сеновале хватит четырем баранам на 12 дней. На
сколько дней хватит этого корма трем баранам?
А) 9 дней В) 20 дней
С) 10 дней D) 18 дней Е) 15 дней.
6. Расстояние между двумя городами 480 км. Масштаб карты
1: 1 000 000. Каким будет расстояние между городами на карте?
А) 4,8 см В) 24 см С) 96 см D) 48 см Е) 50 см.
7. Измерения сада прямоугольной формы на плане с масштабом
1:200 составляют 50 см и 60 см. Найдите площадь сада.
А) 5 га В) 0,6 га С) 6 га D) 1 га Е) 1,2 га.
103
Исторические сведения
Абу Райхан Беруни
(973-1048)
Пропорция от лат. proportio — «соразмерность»
имеет тот же смысл.
Великий древнегреческий ученый Евклид в
своих «Началах» посвятил пропорции достаточно
много страниц текста. Евклид выводит из
пропорции a.b=c:d так называемые производ-
ные пропорции'.
b: а = d: с; а: с= b: d;(a + b): b= (с + d): d;
(a — b) : b = (с — d): d, a : (a — b) = с : (с — d).
Правило нахождения неизвестного члена
пропорции а : Ь = с:х носит название «правила
трех величин». Это правило приведено в одном
из сочинений великого ученого Абу Райхана
Беруни (973—1048). Беруни распространяет это правило на 5,7 и даже
15,17 величин. Он известен своими работами в области математики,
геодезии и других наук.
Приведем одну из задач Беруни.
Задача Беруни. Сколько прибыли принесут 8 дирхемов за 3 месяца,
если 10 дирхемов приносят за 2 месяца 5 дирхемов прибыли?
Решение. Обозначим искомую прибыль через х. По «правилу пяти
величин» можно написать:
в левом столбце приведены данные задачи. В правом столбце
собраны искомая величина х и связанные с ней величины. Из 6
данных величин известны 5 (отсюда и название «правило
пяти величин»). Составим отношение изданных во второй
10 2 „
и третьей строке и найдем их произведение: — • -. По
О 3
5
данным третьего столбца составим отношение — .
г, 10 2 5 „
Приравняем их: — • - = —. Отсюда х — 6 (дирхемов).
о 3 X
Ответ: 6 дирхемов прибыли.
104
О*
§ 5. Проценты
Понятие о процентах и промилле
1. Понятие о процентах.
1 процент — это одна сотая часть любой величины.
Для того чтобы найти один процент данной величины, надо
разделить ее на 100.
«Процент» имеет смысл одной сотой доли (от лат. pro centum — на
сто). Вместо слова «процент» используют значок «%». Например,
12% — читают: «двенадцать процентов».
Можно по-другому записать определение процента:
i% = JL =o,oi.
Пример. 1) Найдите 1 % от = 1,2.
2 ) Найдите 1 % от 10 м: = 0,1 м = 1 дм.
При вычислениях удобно использовать проценты в виде
десятичных дробей.
105
Для того чтобы записать процент в виде десятичной дроби,
нужно число, стоящее перед знаком процента, разделить на 100
(или умножить на 0,01).
Например: 1) 5% = 5: 100 = 5 • 0,01 = 0,05;
2) 50% = 50 : 100 = 50 • 0,01 = 0,5;
3) 100% = 100 : 100 = 100 0,01 = 1.
Для того чтобы записать число в виде процента, нужно ум-
ножить это число на 100 (или разделить на 0,01) и приписать
рядом знак %.
Например: 1) 0,1 =0,1 • 100% = 10%;2) 1 = 1- 100% = 100%.
Следующей таблицей удобно пользоваться при решении задач
на проценты:
Обыкновен- ная дробь Десятичная дробь Соответствую- щий процент Обыкновен- ная дробь Десятичная дробь Соответствую- щий процент
1 100 0,01 1% 2 5 0,4 40%
1 20 0,05 5% 2 0,5 50%
1 10 0,1 10% 3 4 0,75 75%
£ 5 0,2 20% 4 5 0,8 80%
2 4 0,25 25% 2 10 0,9 90%
8 0,125 12,5% 19 20 0,95 95%
3 10 0,3 30% Т<=” 1,0 (= 1) 100%
106
Понятием процента пользуются в хозяйственных, финансовых,
экономических и статистических расчетах.
2. Понятие промилле.
1 промилле — это одна тысячная часть любой величины.
Для того чтобы найти промилле данной величины, надо
разделить эту величину на 1000.
Промилле обозначается знаком %о. Таким образом,
1%”= i =0,001.
1000
Значит, 1% = 0,01 = 10 • 0,001 = 10 • 1%о = 10%о.
Промилле имеет смысл одной тысячной доли (от лат. pro
mille — на тысячу).
Понятием промилле пользуются при расчетах составов смесей,
растворов и т. д., приготовлении лекарств.
(9) 437. 1) Что называется процентом?
2) Как записывается число в виде процента?
3) Как записывается процент в виде десятичной дроби9
____________4) Что называется промилле? Чему равно 1 %о ?__
438. (Устно.) Найдите 1 % от 150; 300; 45; 6; 3,4; 25,5;
1050.
439. Найдите 1 % от 24,7; 93,9; 6,7; 0,85; 40,1; 354,4; 450,2.
2
440. Чему равен 1 % от суммы чисел 13,7; 24 — и 42,8?
441. При перевозке кирпича ломается 1 %. Сколько останется
целых кирпичей при перевозке 15 000 штук?
442. Найдите 1 % от произведения чисел 1) 3,8 и 8,5; 2) 6,4 и 7,5.
Вычислите с помощью таблицы на странице 106 (443—
446, 451-454):
443. 1) 52 от 25%; 3) 60 от 30%;
2) 140 от 10%; 4) 280 от 10%.
107
444. С молока снимают 10 % сливок. Сколько сливок снимут
с 30 кг молока? с 45 кг молока?
445. Сколько миллилитров от 2,3 л; 4 л; 0,5 л воды составляют:
1) 1 %о; 2) 10 %о?
446. Файзулла-ака получил премию 72 000 сумов. На 40 % этой
суммы он купил детям подарки. Сколько денег от премии
у него осталось?
447. Масса лекарства 50 г. Оно составлено из 4 компонентов,
массы которых относятся как 1: 2 : 3 :4. Сколько граммов
и сколько процентов массы лекарства приходится на каж-
дый компонент?
448. 1 % от пройденного автомобилем пути составляет 6 км.
Какой путь проделал автомобиль?
.^49j Найдите 1% от 50 м; 250 дм; 200 мм; 30 кг; 76 ц; 5 т; 50 мм.
-,'50, Найдите 1% от суммы, разности, произведения и частного
чисел 25,6 и 10,5.
,451. У Абдулхай-ота было 40 000 сумов. 20 % этих денег он
потратил на подарки внукам, а 10% от остальных — на
лекарства. Сколько денег у него осталось?
452^, У Бахром-ака было 85 000 сумов. На 10 % этих денег он
купил сыну тетради, а на оставшиеся деньги — одежду.
Сколько стоила одежда?
453, В школе 1 200 учащихся. Из них 25% учатся только на отлично.
Сколько таких учащихся в школе?
(454J) Найдите 20% от среднего значения чисел 4,5; 5,9; 26,8; 7,4.
Нахождение процента от данного числа
Задача 1. В банк положили 36 000 сумов. Банк платит по
вкладу 24 % годовых. Какую прибыль получит вкладчик через год?
Решение Л-й способ. Решим задачу составлением пропорции.
108
Так как 36 000 сумов — вклад, принимаемый за 100 %, х —
процент по вкладу, равный 24 %, то для нахождения его денеж-
ного выражения составим пропорцию. Имеем
36 000 --- 100% (вложенная сумма 100 %)
I х --------24% I (из нее 24 % х)
Откуда, вследствие прямой пропорциональной зависимости
между вкладом и процентом по вкладу: 36 000 : х= 100 : 24, т. е.
36 000 _ НЮ цо ОСНОВНОМу свойству пропорции, ЮОх = 36 000-24,
х = 8640 (сумов).
2-й способ. Выразим 24 % в виде десятичной дроби: 24% = 0,24.
Тогда часть вклада, составляющая 0,24 от 36 000:
36 000 • 0,24 = 360 • 24 = 8 640.
Ответ: 8 640 сумов.
Задача нахождения процента от данного числа — это задача
нахождения части от числа. Задача 1 сводится, таким образом, к
нахождению 0,24 от 36 000.
Задача 2. Найдите р % числа а.
Решение. р% соответствует десятичная дробь —. Тогда —
частей числа а равны
а
100 Р
Для того чтобы найти процент данного числа, надо это число
умножить на десятичную дробь, соответствующую этому проценту.
Q) 455. 1) Как находить процент от даного числа? Объясните
на примерах.
2) Чему равны 100 % от данного числа?
109
456. Выход волокна из хлопка-сырца — 30%. Сколько волокна
можно получить при переработке 100 т хлопка-сырца?
457. (Устно.) Найдите числа:
1) 300 от 40%;
2) 280 от 25 %;
3) 250 от 20 %;
4) 500 от 30 %;
5) 420 от 10 %;
6) 1 000 от 60 %.
458. За два дня заасфальтировали 8 км дороги. За первый
день — 40 %. Сколько километров заасфальтировали за второй
день?
459. Площадь территории Республики Узбекистан 448,9 тыс. км2.
Горы и предгорья составляют 20% этой площади. Сколько
квадратных километров приходится на горы и предгорья?
460. Длина стороны AD прямоугольника ABCD равна 10,8 дм.
Длина стороны АВ составляет 75 % от длины стороны AD.
Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
461. Масса крови взрослого человека составляет в среднем 7,5 %
его массы. Какова масса крови взрослого человека с весом
70 кг? С весом 90 кг?
462. Во всех шестых классах школы 180 учащихся. В I четверти
число отличников составило 20 % от этого числа. Во
II четверти число отличников увеличилось на 4 человека.
Сколько учащихся закончило первое полугодие на
отлично?
463. Из Ташкента и Намангана, расстояние между которыми
равно 432 км, одновременно навстречу друг другу выехали
две автомашины. Скорость первой автомашины 60 км/ч,
скорость второй составляет 80 % скорости первой. Через
какое время автомашины встретятся?
|464. Среднее арифметическое двух чисел равно 25,6. Первое
число составляет 60 % второго. Найдите эти числа.
465. От рулона ткани отрезали 30 %, а затем еще 40 % от
оставшейся ткани. Сколько процентов ткани осталось от
всего рулона?
НО
466. У Фархада было 2400 сумов. 25 % этих денег он потратил
на мороженое, а на 75 % оставшихся денег купил тетрадь.
Сколько денег осталось у Фархада?
^67^)Вычислите: 1) 32% от 96; 3) 16% от 4,5;
2) 45% от 840; 4) 55% от 69,6.
Мбв^За три отреза ткани заплатили 24 000 сумов. За первый
отрез заплатили 30% всех денег. Второй отрез дороже
третьего на 5120 сумов. Сколько стоил каждый отрез
ткани?
(469^1 При сушке чайного листа получают 4,2 % чая. Сколько чая
получится в результате сушки 1) 350 кг; 2) 460 кг; 3) 500 кг;
4) 750 кг чайного листа?
(47(b) В школе 1 200 учащихся, 49 % из них — мальчики. Сколько
мальчиков учится в школе?
(471) Среднее арифметическое двух чисел равно 15,6. Найдите
эти числа, если первое число составляет 30 % от второго.
(472J Длина стороны AD прямоугольника ABCD равна 30 см. Длина
стороны АВ составляет 60 % от длины стороны AD. Найдите
периметр и площадь этого прямоугольника.
^73^)Площадь территории Бухарского вилоята 40,3 тыс. км2.
90 % этой площади приходится на пустыню Кызылкум.
Найдите площадь пустыни.
Нахождение числа по данному проценту
Задача 1. Динара купила за 150 сумов мороженое. Это
составило 30 % ее денег. Сколько денег было у Динары?
Решение. Надо найти число, 30 % которого составляют
150 сумов.
1-й способ. 1. Найдем 1 % денег Динары:
150 .
— = 5 (сумов).
111
2. Тогда общая сумма денег у Динары составляет 100 %:
5 • 100 = 500 (сумов).
Ответ'. 500 сумов.
Действия, выполненные в этапах 1 и 2, можно записать
следующим числовым выражением: 150:30 • 100. Его числовое
значение равно 500.
2-й способ. Задачу можно решить составлением пропорции.
Примем общую сумму денег за х. Тогда
150 ----- 30%
,, х----- 100%. ,,
Так как рассматриваются прямо пропорциональные величины,
150 30
можно записать, что — = —.
х 100
По основному свойству пропорции:
30х= 150 - 100, х= 150 • 100 : 30 = 500 (сумов).
Задача 2. Найдите число, q% которого равны Ь.
Решение. 1) Найдем 1% числа Ь:
ч
2) Теперь для нахождения числа умножим на 100:
ч
| 100-
Для того чтобы найти число по данному его проценту, надо
разделить это число на десятичную дробь, равную этому проценту.
V)474. 1) Как найти число по его проценту?
2) Чему равно число, 1% которого составляет: 1; 0,01?
475. (Устно.) Найдите число в соответствии с данным его
процентом:
1) 3% которого равны 75; 3) 130% которого равны 520;
2) 45% которого равны 135; 4) 150% которого равны 900.
476. Найдите число, 7% которого равны 14; 1,4; 0,21; 210;
0,35; 7; 28; 42; 6,3; 0,56.
112
477. Угилой купила ткани на 9 000 сумов, что составило 45 %
ее денег. Сколько денег было у Угилой?
478. Какое число больше и насколько:
1) Число, 20 % которого равны 48, или число, 18 % которого
равны 36?
2) Число, 16 % которого равны 3,2, или число, 22 % которого
равны 8,8?
479. 55 % учащихся 6 А" класса — девочки. Мальчиков на 4 меньше.
Сколько учеников в классе?
480. 70 % длины прямоугольника составляют 28 см. Ширина
составляет 80 % его длины. Найдите периметр и площадь
этого прямоугольника.
481. Велосипедист проехал 54 км, что составляет 45 % всего пути.
Сколько километров осталось ему проехать?
482. Длина отрезка АВ 14 см, что составляет 35 % отрезка CD.
Чему равна длина суммы этих отрезков?
483. Длина автомобильной дороги из Джизака до центра
Пахтаабадского района 27 км. Это составляет 15 %
расстояния между Джизаком и Ташкентом. Найдите
расстояние между этими городами.
484. 12 учащихся шестого класса приняли участие в школьных
соревнованиях по шахматам. Это число составляет
15 % общего числа учеников этого класса. Сколько учеников
учится в 6 классе?
485. Если из числа а вычесть 80 % от этого числа, останется 80.
Найдите это число.
2 1
486. Сумма чисел 3 - и 2 - составляет 59 % неизвестного числа.
Найдите это число.
487. Турист проплыл на лодке 8 км пути. Путь, пройденный
туристом пешком, составляет 80 % пути, который он
проплыл на лодке. Сколько километров прошел турист
пешком?
8— Математика, 6 класс
113
488. В фермерском хозяйстве скосили пшеницу за 2 дня,
причем во второй день убрали урожай с плошали на 8 га
большей, чем в первый день. Найдите площадь поля,
если в первый день убрали урожай с 40 % площади.
489. В фермерском хозяйстве в первый день посеяли хлопок на
45 %, а во второй день на 35 % посевной площади. После
этого осталось 80 га площади под посев хлопка. Какую
площадь отвели в хозяйстве под посев хлопка?
490. Найдите число, 1) 12 % которого равны 24 % от 70;
2) 38 % которого равны 12 % от 30.
491. Цена изделия была повышена на 20 %. Через некоторое
время новую цену снизили на 15 %. На сколько процентов
последняя цена больше первоначальной?
^92^) Сколько хлопка понадобится для получения 180 т волок-
на, если выход волокна из хлопка-сырца равен 30 %? А для
получения 270 т волокна?
)493^) После снижения цены на 15 % метр ткани стоит 4080 су-
мов. Какова первоначальная цена одного метра ткани?
(^94^> После двукратного повышения цен
составила 2904 сума. Какой была
изделия?
(495^) 55 % учащихся школы — девочки.
на 10 % цена изделия
первоначальная цена
Девочек больше, чем
мальчиков на 180 человек. Сколько всего учащихся в школе?
496.) Продав изделие по 372 сума, фирма понесла 7 % убытка.
По какой цене предполагалось продавать изделие?
(^97^)Турист прошел 32 % всего пути, после чего до середины
пути ему осталось пройти 7,2 км. Найдите длину всего пути.
(^98L) Сумма чисел 15,6 и 11,2 составляет 33,5 % неизвестного
числа. Найдите это неизвестное число.
114
Процентное отношение двух чисел
Задача 1. Из 35 учащихся класса 21 ученик посещает различные
кружки. Какой процент учащихся занят в кружках?
Решение. Примем общее число учащихся в классе за 100 %.
Пусть х% учащихся заняты в кружках. Тогда, исходя из прямой
пропорциональной зависимости
35 ---- 100%
>'21-----х%,
35 100
приходим к пропорции: — = —.
По основному свойству пропорции:
35х = 21 • 100, х = 21 - 100 : 35 = 60 (%).
Ответ: 60 %.
Приходим к следующему выводу:
Процентным отношением двух чисел называется отношение
этих чисел, выраженное в процентах.
Процентное отношение двух чисел показывает, какую часть в
процентах одно число составляет от другого.
Для того чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно:
1 шаг: первое число разделить на второе;
2 шаг: умножить частное на 100 и поставить рядом знак %.
Задача 2. Найдите процентное отношение числа к от числа п.
Решение. Если обозначить процентное отношение этих чисел
через х, то, согласно правилу,
х = --100%.
п
115
© 499. 1) Что называется процентным отношением двух чисел?
2) Что показывает процентное отношение двух чисел?
_________3) Как найти процентное отношение двух чисел?_____,
500. Найдите процентное отношение чисел:
1) 36 к 75; 3) 1,2 к 4,8;
2) 4,5 к 9; 4) 5 к 1,25.
501. Площадь сада 40 га. 16 га отведено под яблони. Найдите,
какую часть сада в процентах отвели под яблони.
502. Площадь дома 104 м2, а площадь гостиной — 13 м2. Сколько
процентов составляет гостиная от площади дома?
503. Из доставленных в магазин 200 лампочек 196 оказались
исправными, а оставшиеся — негодными. Сколько про-
центов составляют негодные лампочки от общего числа?
504. Из 900 семян не взошли 36. Найдите процент всхожести
семян.
505. На сколько процентов 1) 128 больше 64? 2) 168 больше
84? 3) 105 больше 35? 4) 4,5 больше 1,5?
506. После снижения цены ткань, продававшаяся по 1600 су-
мов, стала стоить 1440 сумов. На сколько процентов сни-
жена цена 1 м ткани?
507. Из 20 т неочищенного риса выходит 15 т шлифованного
риса. Найдите процент выхода риса.
508. В 6<А,> классе 16 мальчиков, а девочек на 8 больше. Какую
часть в процентах от всех учащихся составляют девочки? На
сколько процентов мальчиков меньше, чем девочек?
509. Мухаббат прочла 240 страниц из книги объемом 320 стра-
ниц. Какую часть книги в процентах прочла Мухаббат?
3
510. Продали - количества сахара, привезенного в магазин.
Сколько процентов сахара осталось?
(51Т^Из 32 кг сливы остается после сушки 12,8 кг чернослива.
Какой процент чернослива получается после сушки сливы?
116
-? На
4
(512)) Из посаженных 650 саженцев яблони принялись 624, а
остальные высохли. Сколько процентов приходится на
высохшие саженцы от принявшихся?
*513)) 20 % первого числа равно 1,5, 26 % второго — 7,8. Сколько
процентов составляет второе число от первого?
514, 1) На сколько процентов число 25 меньше числа 50? На
сколько процентов число 50 больше числа 25?
2) На сколько процентов число | меньше числа
о
1 с- 19
сколько процентов число - больше числа -:
(515)) В школьной библиотеке 56 000 книг. Из них 35 000 —
учебники, остальные относятся к художественной лите-
ратуре. Какую часть книг библиотеки в процентах со-
ставляют учебники? На сколько процентов учебников
больше, чем остальных книг?
^516) Предприятие изготовило за день 750 изделий вместо за-
планированных 600. На сколько процентов повысилась
производительность труда?
517,1 Из 600 кг зерна на мельнице получили 480 кг муки. Сколько
процентов муки получают из зерна?
(518) Фермер засеял 360 га посевной площади хлопком, а 120 га
засеял рисом. Сколько процентов составляет площадь, засеянная
рисом, от площади, засеянной хлопком? А от всей площади?
(519) Продано 0,375 привезенной со склада муки. Выразите в
процентах, сколько муки было продано и на сколько
процентов муки осталось больше, чем было продано.
Диаграммы
Для получения наглядных представлений о числах, сведениях,
полученных в результате измерений разных величин, таблиц,
составленных из них, в практической работе используются диаграммы.
Диаграммы бывают трех видов: круговая, линейная, столбчатая.
117
1. Круговые диаграммы.
Рассмотрим задачу 1. Результаты письменной работы по
математике в 6 классе представлены в следующей таблице:
Оценки «5» «4» «3» «2»
Число учеников 6 11 17 2
Представим эти сведения в виде круговой диаграммы.
Решение. В классе всего 6 + 11 + 17 + 2 - 36 учеников. Так как
полный угол равен 360°, то одному учащемуся сответствует централь-
ный угол 360°: 36 = 10°. В этом случае на 6 учеников приходится 60°,
на 11 учеников — 110°, на 17 учеников — 170° и на 2 ученика —20°.
Начертив круг некоторого радиуса, строим 4 части (сектора) с
соответствующими центральными углами 60°, 110°, 170° и 20° (рис. 9).
Обычно секторы раскрашивают в разные цвета или по-разному
заштриховывают. Представление сведений в подобном виде
называется круговой диаграммой.
Сведения, представленные в виде процентов, также можно
представить в виде круговой диаграммы.
Задача 2. 40 % учеников 6 класса — мальчики, 60 % — девочки.
Изобразите эти сведения на круговой диаграмме.
Решение. 360°: 100 40 = 144°, 360°: 100 • 60 = 216°.
Таким образом, сектор с центральным углом 144° соответствует
числу мальчиков, а сектор с центральным углом 216° — числу
девочек этого класса (рис. 10).
118
2. Линейная диаграмма.
Сведения, относящиеся к задаче 1, можно представить и в виде
линейной диаграммы.
Сопоставим числу учеников, получивших оценки «5», «4», «3»,
«2», отрезки, состоящие из 6, 11, 17, 2 клеток (рис. 11). Получим
искомую линейную диаграмму.
Одна клетка
соответствует
одному
ученику
Рис. 11
Число учеников
3. Столбчатая диаграмма.
Задачу 1 можно проиллюстрировать и с помощью столбчатой
диаграммы.
Начертим прямоугольники с основанием 1 и высотами 6, 11,
17, 2 единиц, площадь каждого прямоугольника соответствует числу
учащихся, получивших данную оценку (рис. 12). Полученная
диаграмма называется столбчатой диаграммой.
Рис. 12
119
@520. Поясните на примерах:
1) Какие виды диаграмм вы знаете?
2) Что такое круговая диаграмма?
3) Что такое линейная диаграмма?
4) Что такое столбчатая диаграмма?,
При решении задач постройте круговую, линейную и
столбчатую диаграммы (521—523):
521. Земная атмосфера состоит из 78 % азота, 21 % кислорода,
на долю других газов приходится 1 %.
522. В составе дюралюминия («авиационного» материала) 95 %
алюминия, 4 % меди, 0,5 % марганца и 0,5 % магния.
523. В составе зубных коронок на золото приходится 58 %, на
серебро 14 %, на медь 28 %.
524. Доходы продуктового магазина представлены на столбчатой
диаграмме (рис. 13).
1) Какой день принес наибольший доход?
2) Какой день принес наименьший доход?
3) Каков недельный доход магазина?
Дни недели
Рис. 13
120
525. В спортивных секциях занимаются 72 ученика. Из них
15 учеников увлекаются шахматами; 20 — курашем; 10 —
боксом; 8 — настольным теннисом, а остальные футболом.
Постройте соответствующую круговую диаграмму.
526. Ученики 6<<А>, 6<Б>> и 6<в>> классов посадили в школьном саду
перед праздником Навруз 26 яблонь, 16 урючин и 12 пер-
сиковых деревьев. Постройте соответствующую столбчатую
диаграмму в масштабе «1 саженец — 5 мм».
527. На территории Ферганской долины расположены вилояты:
Андижанский с площадью 4,2 тыс. км2, Ферганский —
6,7 тыс. км2, Наманганский — 7,4 тыс. км2. Постройте со-
ответствующую столбчатую диаграмму в масштабе 1 тыс. км2 —
1 см. Основания столбцов — I см.
528. На круговой диаграмме приведены сведения о посещаемости
кружков учениками 6-го класса (рис. 14). Используя
диаграмму, найдите, сколько процентов учеников зани-
маются в других кружках.
Спортивные
игры
Научные
кружки
Другие
кружки
Рис. 14
Музыкальный
кружок
529. Учебный год, состоящий из 34 недель, делится по чет-
вертям следующим образом: I четверть — 9 недель, II чет-
верть — 7 недель, III четверть — 10 недель, IV четверть —
8 недель. Постройте соответствующую столбчатую ди-
аграмму в масштабе «1 неделя — 0,5 см». Основания
столбцов — 1 см.
121
530. В таблице отражена ежедневная деловая активность ученика:
Вид активности Школа Отдых Подготов- ка уроков Пита- ние Другие активности Сон
Потрачен- ное время 7 1 3 1 4 8
Представьте ее в виде круговой и столбчатой диаграмм.
531. Составьте круговую и столбчатую диаграммы, соответству-
ющие числу мальчиков и девочек вашего класса.
532. Футбольная команда «Пахтакор» в играх чемпионата по
футболу забила 36 голов. Сколько процентов от этого числа
составляют 9 голов, забитых ведущим игроком этой
команды?
533. Круговая диаграмма (рис. 15) составлена в соответствии с
ответами на вопрос: «Какое из следующих занятий нравится
тебе больше всего: чтение книг, просмотр телепередач,
занятия спортом или прогулки?» При этом каждый ученик
выбирал только один ответ.
Занятие
физической
культурой
Просмотр
телепередач
Чтение
книг
Прогулка
Рис. 15
1) Какому занятию соответствует наибольший сектор
диаграммы? наименьший сектор?
2) Сколько процентов учеников предпочитают занятия
спортом?
3) Сколько процентов учеников выбирают прогулки?
122
Тест ( 6
Проверьте себя!
1. Найдите 15 % от 420.
А) 63 В) 36 С) 65 D) 144 Е) 52.
2. Найдите число, 21 % которого равен 840.
А) 210 В) 4 000 С) 3 760 D) 1621 Е) 2600.
3. Сложите 12 % от 360 и число, 10 % которого равны 14.
А) 57,2 В) 572 С) 183,2 D) 18,32 Е) 193,2.
4. Найдите разность 60 % числа 480 и числа, 40 % которого равны 76.
А) 15,2 В) 108 С) 96 D) 98 Е) 198.
5. Цену товара повысили на 15 %. Через некоторое время новую
цену понизили на 15 %. Сколько стоит теперь товар, который
стоил первоначально 3600 сумов?
А) 4 100 сумов В) 4 635 сумов С) 3 600 сумов
D) 4 715 сумов Е) 3 485 сумов.
6. Найдите произведение 20 % числа 180 и числа, 12 % которого
равны 24.
А) 720 В) 7200 С) 3888 D) 3600 Е) 2160.
7. Цену товара понизили на 20 %. Через некоторое время новую
цену повысили на 20 %. Сколько стоит теперь товар, который
первоначально стоил 4000 сумов?
А) 3 840 сумов В) 3 200 сумов С) 4800 сумов
D) 4 000 сумов Е) правильный ответ не приведен.
8. Турист, пройдя 36 % намеченного пути, обнаружил, что от
середины пути его отделяет 7 км. Какой путь наметил пройти
турист?
А) 350 км В) 70 км
С) 175 км D) 87,5 км Е) 185 км.
9. Найдите процентное отношение чисел 16 и 80.
А) 25% В) 5% С) 16% D) 80% Е) 20 %.
123
Глава II
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 6. Положительные и отрицательные числа.
Целые числа
32.
Понятие о положительных и отрицательных числах
Мы изучали до этого времени натуральные числа, обыкно-
венные и десятичные дроби. На числовой (координатной) полу-
оси эти числа были расположены справа от начала отсчета. Начало
отсчета — точка О соответствует числу нуль (0).
Вы знаете, что из двух чисел больше то, которое расположено
правее. Таким образом, натуральные числа, обыкновенные и
десятичные дроби — это числа, большие нуля.
положительные
числа
Числа, большие нуля, называ-
ются положительными (рис. 16).
Рис. 16.
Все положительные числа на
числовом луче располагаются
справа от нуля.
Однако при решении многих практических задач ощущается
необходимость обобщения понятия числа.
Задача 1. Когда телеведущая, объявляющая прогноз погоды,
сообщает, что «температура воздуха будет меняться в пределах
от 2 градусов мороза до 3 градусов тепла», то на телеэкране
появляется надпись от -2° до +3° (« ° » — символ градуса).
Вы видели и знаете, как устроен прибор для измерения
температур — термометр (рис. 17).
Выше числа 0 расположены числа 1, 2, 3, ... , а ниже числа -1,
-2, -3, ... . Запись -1 читается «минус 1».
124
Если верхний край окрашенной жидкости
остановится на отметке «-2», то это будет
означать температуру 2 градуса мороза.
Пример 2. На картах: а) перед числом,
показывающим, на сколько ниже уровня
моря находится точка, ставится знак «—»;
б) перед числом, показывающим, на сколь-
ко выше уровня моря находится точка,
ставится знак «+». Например, самая глубо-
кая точка Каспийского моря находится ниже
уровня моря —1 025 м, самая высокая точка
перевала Камчик находится выше уровня
моря +2 262 м.
Если поставить знак минус (-) перед положительным числом,
то получится отрицательное число.
Числа -1, -2, -3, ... и числа - 0,3; ~з|; -1,8 — это
отрицательные числа.
Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным.
Отрицательные числа можно использовать не только для
обозначения глубины моря, океана, но также и для указания ве-
личины долга, степени убытка и т. д.
(2) 534. 1)Какие числа называются: а) положительными; б) отри-
цательными? 2) Может ли быть отрицательным количе-
ч ство вещей?,
535. Уровень воды в канале меняется на а см/ч и в данный
момент находится на отметке 0. Каким будет уровень воды
через b ч, начиная с этого момента?
Каким будет уровень воды в канале при 1) а = 4, b = 2;
2) а = - 4, b = 1; 3) а = 5, b = -3; 4) а = -3, b = -2?
536. Чарвакское водохранилище находится на высоте 892 м
над уровнем моря, перевал Камчик — на высоте 2 262 м
125
над уровнем моря. На сколько перевал Камчик выше
Чарвакского водохранилища?
537. Замените многоточия знаками « +» или «—»
Город Высота над уров- нем моря Средняя темпе- ратура января, °C Средняя темпера- тура в июне-июле, °C
Маргилан 475 м = ... 3,5 °C холода = ... 25 °C—26 °C тепла = ...
Наманган 450 м - ... 2,3 °C холода - ... 26,3 °C тепла = ...
Навои 347 м = ... 0,4 °C тепла = ... 28,3 °C тепла - ...
Джизак 460 м = ... 1,5 °C холода = ... 28,5 °C тепла = ...
Самарканд 695 м = ... 0,2 °C тепла = ... 25,9 °C тепла = ...
538. Температура воздуха днем +12 °C. Вечером температура
опустилась до 7 °C, а утром поднялась на 4 °C. Какова была
температура утром?
539. В таблицу вместо многоточия запишите слова, подходящие
по смыслу:
Предложение Слова, подходящие по смыслу
Температура поднялась на -7 °C. Температура на 7 °C ... .
После дождя уровень воды в реке изменился на—12 см. После дождя уровень воды в реке ... на 12 см.
Хасан взял у Хусана 100 сумов. Хасан ... 100 сумов у Хусана.
Товар продали с доходом 50 сумов. Товар продали с ... 50 сумов.
Прибыль составила 0 сумов. При продаже не было ....
I 540. Убайдулле сейчас а лет. Через сколько лет ему будет
21 год? Запишите буквенное значение, необходимое для
решения задачи, и объясните смысл ответа при:
1) а = 5; 2) а = 12; 3) а = 5,5; 4) а = 15.
126
54 С) Самая высокая точка Узбекистана (4 688 м) — одна из
вершин Гиссарского хребта в Сурхандарьинском вилояте,
самая низкая точка находится ниже уровня моря на 12 м
(Мингбулакская впадина). Найдите разность высот.
(§42р Начертите термометр и отметьте на нем температуры:
+12 °C, -3,5 °C, + 1°С, -8 °C, +5,5 °C, +9 °C, +5 °C.
>543^) В автобус на одной остановке сели а пассажиров, а на
другой остановке вышли b пассажиров. Запишите, как
изменилось число пассажиров автобуса. 1) а = 5, b = 3;
2) а - 10, b = 12; 3) а - 7, b - 1; 4) а = 4, b - 9. Объясните
смысл ответа.
544. У Дильмурода есть а сумов, и он должен b сумов. Сколько
денег у него останется после уплаты долга? Вычислите
при:
1) а = 5000, b = 3600; 2) а = 2500, b = 2500;
3) а = 4000, b - 6000. Объясните ответ.
Изображение положительных и
отрицательных чисел на числовой оси
Начертив прямую линию, за положительное направление на
ней примем направление слева направо. Положительное направление
указывается стрелкой. Выберем на этой прямой некоторую точку О.
Эта точка соответствует числу 0. Точку О будем называть началом
отсчета. Выберем некоторый отрезок в качестве единичного.
Таким образом, на прямой:
1-й шаг: выбирается начало отсчета; 2-й шаг: направление;
3-й шаг: единичный отрезок. Такая прямая линия называется
координатной осью (числовой прямой).
Начало отсчета — точка О разбивает прямую на два луча. Луч,
направленный от нуля вправо, называется положительной
координатной полуосью. Луч, направленный от нуля влево, —
отрицательной координатной полуосью (рис. 18).
127
отрицательная координатная полуось О положительная координатная полуось
------------1--О----1------------►
-1 0 1
Рис. 18.
Положительные числа на координатной оси располагаются
справа от начала отсчета — точки О, отрицательные числа — слева
от начала отсчета О. На координатной оси точка О разделяет
положительные и отрицательные числа.
Так как точке О соответствует число 0, говорят, что координата
точки О равна 0, и пишут О (0).
На рисунке 19 точке А соответствует число 3, точке В — число
- 4, т. е. точка А имеет координату 3, точка В имеет координату - 4;
это записывают так: Л(3), 2? (-4).
В О А
---•-----1----1---1----1----1----1 •----1-----►
-4 -3 -2 -1 0 1 2-3 4
Рис. 19.
На координатной оси координатой точки называют соответ-
ствующее этой точке число.
Задача 1. Обозначьте на координатной оси точку, соот-
ветствующую числу 5.
Иначе говоря, требуется найти точку, координата которой
равна 5.
Решение Лак как 5 — положительное число, от начала отсчета —
точки О откладываем единичный отрезок вправо 5 раз (рис. 20).
При этом точка, соответствующая правому концу последнего
единичного отрезка, будет искомой точкой.
О О
—I----1---1------1---1-----•-► —•-----1----1---1--►
0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 0
Рис. 20. Рис. 21.
128
Задача 2. Найдите на координатной оси точку с коорди-
натой -3.
Так как число -3 отрицательное, от начала отсчета — точки О
откладываем единичный отрезок влево 3 раза. При этом точка,
соответствующая левому концу последнего единичного отрезка,
будет искомой точкой (рис. 21).
(?) 545. 1) Что вы понимаете под координатной осью?
2) Что нужно сделать д ля того, чтобы превратить прямую
линию в координатную ось?
3) Где расположены на координатной оси положительные
числа? Отрицательные числа? Покажите на чертеже.
4) Что вы понимаете под координатой точки?
546. Найдите координаты точек А, В, С, D и Е, изображенных
на рисунке 22.
А В COD Е
—•----1 • I---1---•---1--•---1---•---1---►
-5-4-3-2-10 1 2 3 4
Рис. 22
547. Отметьте на координатной оси точку А (-6). Обозначьте:
1) точку В, расположенную справа от точки А на рас-
стоянии 5 единиц; 2) точку С, расположенную слева от
точки А на расстоянии 4 единиц. Найдите координаты
точек В и С.
548. Найдите координаты точек, полученных переносом точки
А(3): 1) на +2 единицы; 2) на -3 единицы; 3) на 0 еди-
ниц.
549. На числовой оси отметьте точки, соответствующие числам:
1) -4 и 4; 2) 2,5 и -2,5; 3) -2 и 2; 4) 3 и -3. Как
расположены точки, соответствующие каждой паре чисел?
550. Отметьте следующие точки, лежащие от точки О : 1) Л —
на 2 см 5 мм влево; 2) В — на 3 см 7 мм вправо; 3) С —
на 4 см 3 мм влево; 4) D — на 5 см 5 мм вправо.
9 — Математика. 6 класс
129
551. Точка а отмечена на координатной оси (рис. 23). Эта точка
положительная или отрицательная?
а) О —• а 0 1 Ь) о 1 • • ► 0 1 а
Рис. 23.
552. Отметьте на координатной оси по три точки, лежащие:
1) справа от числа 3; 3) слева от числа -2;
2) справа от числа -0,5; 4) слева от числа 0.
^553) Найдите координаты точек А, В, С, D и Е на координат-
ной оси.
А В С OD Е
—•-> I • I-1—•—I-1-1 • I-►
-4-3-2-10 1 2 3 4
Рис. 24.
.554/Точка А лежит справа на 4 единицы от начала отсчета О,
а точка В лежит слева на 5 клеток. Где находятся точки
С и D относительно начала отсчета О (рис. 25)?
ВС О —• 1 • 1 1 1 1 1 1— -5 0 Рис. 25. (555^) Отметьте точки А (2), В (—3,5), ... на коорди натной оси, используя данные из таблицы A D —• • ► 4 ▲ ▲ -1 "4 0-0 0- 0
Точки А В С D Е F Р Q
Коорди- наты 2 -3,5 4 . -2 -1 3 -5 5
--1 556р Положительным или отрицательным будет число Ь, изображенное на рис. 26? а> Ф Рис. 26.
130
Множество целых чисел. Противоположные числа
1. Множество целых чисел. Мы уже познакомились с изо-
бражением чисел 0,1,2,... и -1,-2,-3, ... на координатной оси
(рис. 27).
... -3-2-10 1 2 3
Рис. 27.
Числовой ряд ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... называется
множеством целых чисел.
Числа 1, 2, 3. ..., расположенные на числовой оси справа от
точки 0, называются натуральными, или целыми положительными
числами.
Числа -1, -2, -3,..., расположенные на числовой оси слева от
точки 0, называются целыми отрицательными числами.
Множество {... , -2, -1,0, 1,2, ...} называют множеством целых
чисел и обозначают Z: Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }.
Таким образом, множество целых чисел состоит из всех
натуральных чисел, всех целых отрицательных чисел и нуля.
2. Противоположные числа. Рассмотрим на координатной оси
два числа, расположенные на одинаковом расстоянии от начала
отсчета (рис. 28). Пусть координата точки А равна 4, координата
точки В равна -4: А (4), В (-4). Точка А расположена от начала
отсчета на 4 единицы справа, а точка В — на 4 единицы слева.
Числа 4 и -4 отличаются друг от друга только знаком.
В(—4) О А(4)
4 единицы слева 4 единицы
справа
Рис. 28.
131
Два числа, отличающиеся друг от друга только знаком, назы-
ваются противоположными.
Таким образом, числа 4 и - 4 — противоположные. Аналогич-
но, противоположными будут числа 3 и -3; 2 и -2; 1 и -1 и т. д.
Для каждого числа на координатной оси существует един-
ственное противоположное ему число.
Чтобы получить число, противоположное данному, нужно
поставить перед ним знак «-».
Например, число -2 противоположно числу 2; число
-(-7) - 7 противоположно числу -7.
Вообще, число -к является противоположным числу к.
Число 0 противоположно самому себе: 0 = -0 = +0.
7) 557. 1) Что такое ряд целых чисел? Что такое множество
целых чисел?
2) Какие числа называются противоположными? Как на
координатной оси расположены противоположные числа?
3) Сколько существует чисел, противоположных дан-
ному? Какое число противоположно числу' ноль?
558. Существует ли в множестве целых чисел: 1) наибольшее
число; 2) наименьшее число? Объясните почему.
559. На рисунке 29 числа -5 и а — противоположные числа.
Чему равно число а? Нарисуйте в тетради числовую ось
и отметьте на ней числа 0; 2; -2; 3; -3.
О
—•---------------------1--------------------•---►
-5 0 а
Рис. 29.
132
560. Заполните таблицу:
Заданное число Противоположное ему число Заданное число П ротивополож- ное ему число
а -а -а -а
-4,4 -Р1,4) = 4,4 +5,5
+ 167 -(+167) = -167 -30,5
+1994 -2006
561. Противоположны ли числа 1) 7 и -7; 2) +5 и 5;
3) -8 и 8; 4) 6 и -6? Объясните ответ.
562. 1) Сколько целых чисел на числовой оси расположено
между числами -12,6 и 12,6?
2) Сколько целых чисел на числовой оси расположено между
числами - о и о? (о - натуральное число).
563. Найдите число: а) противоположное; б) обратное значе-
нию выражения:
1) 1,3 • 4,8 + 7,3 - 5,2; 3) 4,2 • 3,5 + 0,84 : 0,2;
2) 5,2 9,8 - 3,8 • 5,2; 4) 16,4 15,3 - 16,4 5,3.
564. Найдите целые решения неравенства, используя числовую
ось:
1) 12,8 < х < 19,1; 2)-5,2 < х < 4,7; 3)-9<х<-2.
Зб^Из чисел: -43; -6,8; -17; 36,3; 0; -8,9; -4; 13,7; -50;
43; -123; 400 выпишите: 1) целые положительные; 2) це-
лые отрицательные; 3) дробные положительные; 4) дроб-
ные отрицательные числа.
566) Запишите координаты точек А, В, С, D, Е, F, Р и Q,
изображенных на рисунке 30.
ABC DO Е F Р Q
—•--1—•—I—•—।---1--1—•—«--•--j—•—।----•-1—•—।-►
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Рис. 30.
133
567.^ Какое из равенств верное:
1) -(-7) = 7; 3) +9,8 = -(+9,8);
2)-(+9) = -9; 4) -(+11) = -11;
568о Заполните таблицу:
5) -8 = -(+8);
6) -(-32) = 32?
а -4,5 -7,2 -4 0,28 67
-а 0,8 -24 _ 24 25 -180 19 23
569?Какие числа нужно вписать вместо точек, чтобы равенство
было верным:
1) -(...) = -76; 3) -(...) = 24; 5) -(...) = -91;
2) -(...) = 8,9; 4) -(...) = -0,3; 6) -(...) = 9,7 ?
Модуль числа
Модулем числа называется расстояние от точки, соответст-
вующей этому числу на координатной оси, до начала отсчета.
На рисунке 31 координата точки А равна 4, она расположена
на 4 единицы справа от начала отсчета. Длина отрезка ОА, т. е.
расстояние от начала отсчета О до точки А, соответствующей числу
4 на числовой оси, равно 4: 04=4. Следовательно, по определению,
модуль числа 4 равен 4.
Координата точки В на том же рисунке равна -3, и она
расположена на 3 единицы слева от начала отсчета. Длина отрезка
ОВ, т. е. расстояние от начала отсчета до точки В, соответствующей
числу -3 на числовой оси, равно 3: ОВ = 3.
,—2—,------,---4Ф—►
-3*^ -2 -1 12 3^/4
3 единицы 4 единицы
Рис. 31.
134
Следовательно, по определению модуль числа -3 равен 3.
Модуль числа называется также абсолютной величиной числа.
Модуль числа а обозначается а .Таким образом, 141 = 4, |- 31 - 3.
Модуль положительного числа равен самому этому числу.
Например, |5| = 5; |7| = 7; |100| = 100: 10,1 ] = 0,1;
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему
положительному числу._____________________________________
Например, |-8| = 8; |-15| = 15; |-10| = 10; |-0,011 = 0,01.
Модуль числа 0 равен 0: 101 = 0.
Модули взаимно противоположных чисел равны.
Например, |-61 = |+61 = 6; |-1| = |+1 =1.
Из рисунка 28: ОВ= 04=4, т. е. |-4 = |+4| = 4.
(2)570. 1) Что называется модулем числа?
2) Каким будет модуль положительного числа? отрица-
_______тельного числа? Чему равен модуль числа 0?____________,
571. Запишите в виде равенств модули следующих чисел и
прочитайте полученный результат:
1) -6; 44; -150; 75; -78; 2) -5,2; 3,9; -1|; -0,45.
572. Найдите расстояние от начала отсчета точки О до точки:
1) А(4); 2) В(-7); 3) С^-2^; 4) л(-4|) .
Решите уравнение (573—574):
573. 1) | х — 8 | = 0; 2)|-х| = 9; 3)|х|-4 = 0; 4)|х|=-16.
574. 1) —х = 3,14; 2) -х = -3,14;
3) -18,09 = -х; 4) -18,09 = х.
135
575. Существуют ли числа, модули которых равны 4,6; -23; 47;
0; 2,8; -15; -3j ? Если да, выпишите их.
576. Найдите -а и | а |, если: а - -3,05; 10,5; -0,73; 55.
577. Вычислите:
1) |-15 | + |-20 |-|-3 |-|-5 |; 3) |-19 1-1-211 + 4-1-5 |;
2) |-32| + |-32| : |-8|-М|; 4) |-241 + 7 • |-3 | - |-25 |.
578. Допишите равенства, если известно, что а, Ь, с — поло-
жительные числа; х, у, z — отрицательные числа:
I а | = ...; | b | = ...; |с| = ...; | х| = ...; |у! = ...; |z|= ... .
579^ Найдите модули чисел, ответ запишите в виде равенств:
3 14
1) -52; 43; -35; -100; -65; 2) -9,8; 5,7; -4-;------; -6,7.
7 29
сумму:
1) |-6 | + | 191; 3) |-5,6| + |-5,9|; 5) | 32,11 - |-22,11;
2) | -8,7 | - | -3,7 |; 4) | 191 - | -811; 6) | -0,7 | - | -0,7 |.
^81?) Хасан задумал числа. Модули задуманных им чисел равны
модулям следующих чисел:
1) -32,2; 2) 0,73; 3) 0; 4) -2009; 5) 0,5; 6) 1,05
Найдите задуманные числа.
(582?)Найдите значение выражения: |х|: 5, при х=-40,5; 9,5; 7,2.
Сравнение целых чисел
36
Из двух целых чисел больше то, которое правее.
Из двух чисел ряда целых чисел больше то, которое находится
правее.
Например, 2 > 1, 1 > 0, 0 > -1, -1 > -2, -3 > -6, так как в ряду
целых чисел ... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... число 2
находится правее числа 1, 1 правее 0, 0 правее -1, -1 правее -2,
-3 правее -6 (рис. 30).
136
ОФ
Вообще, если число к больше числа п, это записывается так:
к > п или п < к.
Из приведенных выше правил сравнения целых чисел следует:
1) любое положительное число больше: а) 0; б) больше любого
отрицательного числа;
2) любое отрицательное число меньше 0.
На числовой оси из двух отрицательных чисел левее находится
то, модуль которого больше. Таким образом,
из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого
меньше.
Например, так как |- 3| < |- 5|, то -3 > -5.
Высказывания а положительно и а > 0, а отрицательно и а < 0
равносильны.
(2)583. 1) Как сравниваются целые числа?
2) Как символически записать, что число положительно
или отрицательно?
3) Существует ли: а) наибольшее отрицательное число;
б) наименьшее отрицательное число?
4) Существует ли наименьшее целое число? Наибольшее
целое число?
5) Какие числа больше нуля? Какие числа меньше нуля?^
584. Расположите следующие числа:
1) -8; 6; -9; 0; 7; -11; 2) -3; 8; 0; -22; 12; 5
а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания.
585. Существуют ли целые числа:
1) большие 3 и меньшие 6;
2) меньшие 4 и большие -3;
3) большие 1 и большие 10;
4) меньшие 0 и меньшие -4?
586. Запишите четыре последовательных целых числа, большее
из которых равно: 1) 8; 2) -5; 3) 0; 4) 3.
137
587. Между какими последовательными целыми числами нахо-
дятся числа? Ответ запишите в виде двойного неравенства:
1) 0; 2) -32; 3) 1991; 4) -2008; 5) 2009; 6) -2017.
588. Сравните числа и соедините их знаком неравенства:
1) -12 и 0; 2) -6 и 1; 3) -3 и -5; 4) 500 и -500.
589. Какая из двух точек лежит на числовой оси левее:
1) Л(-4) и 5(0); 2) С(22) и ZXH); 3) Е(-6) и Е(-1)?
590. Сравните значения выражений:
1) Н3| + М | и 143 | - М |; 2) |- 541 +1 151 и |-541 -1 -15 |.
591. При каких значениях а верны равенства:
__ 1) \а\ = а; 2) |а| = -а?
.592^ Расположите следующие числа:
1) -4; 10; -5; 3; -7; 9; -10; 2) -6; 6; 0; -11; 19; -14; 18
а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания.
593.) Запишите четыре последовательных целых числа, наи-
меньшее из которых равно: 1) 5; 2) -2; 3) -4; 4) 2.
594.)Между какими последовательными целыми числами
находятся числа:
1) 1441; 2) -95; 3) 99; 4) -2007; 5) 203; 6) -189?
^95?) Запишите наименьшее целое: 1) двухзначное; 2) трех-
значное; 3) четырехзначное; 4) пятизначное число.
|~37^>^Э| Сложение целых чисел
1. Сложение чисел с одинаковыми знаками.
Пример I. Найдите сумму (-3) + (-5).
Решение. Ясно, -3 < 0, |-5| = 5.
..., -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, ...
I______________I t
5 чисел
Отсчитаем в ряду целых чисел 5 чисел, лежащих левее -3.
Отсчет закончится на -8, таким образом, (-3)+ (-5)= -8.
138
Этот процесс можно показать на числовой оси (рис. 32).
Обозначим на числовой оси точку с координатой -3. Отложим,
начиная с этой точки, в направлении, противоположном
направлению оси, 5 единичных отрезков. Придем к точке с
координатой -8, значит, (-3) + (-5) - -8.
влево от -3 откладываем 5 раз единичный отрезок
I---------------1 0
—I--•--1---1--1--1--•--1--1--1--h
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2-10 1
Рис. 32.
Сделаем вывод:
Для того чтобы сложить два целых числа с разными знаками:
1-й шаг: складываем их модули;
2-й шаг: перед суммой ставим общий знак.
Сумма положительных чисел — положительное число, сумма
отрицательных чисел — отрицательное число.
2. Сложение чисел с разными знаками.
Пр им ер 2. Найдите сумму (-4) + (+6).
Решение. Очевидно, что +6 > 0 и |+ 6| = 6 .
В числовом ряду отсчитаем от -4 вправо 6 чисел. Отсчет
завершится на +2, таким образом, (-4) + (+6) = +2 = 2.
..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1 I________________1
6 чисел
В этом примере модуль положительного слагаемого был больше,
поэтому сумма оказалась положительной.
Предоставляем вам самим разобраться с процессом сложения
этих чисел на числовой оси на примере (-4) + (+6).
При этом единичный отрезок нужно отложить от точки с
координатой -4 в направлении оси 6 раз.
139
Пр и мер 3. Найдите сумму (+2) + (-5).
Решение. Так как -5 < 0 и |- 5 = 5, отсчитаем от 2 влево
5 чисел. Отсчет закончится на (-3), значит, (+2) + (-5) - - 3.
-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
t______________I 1
5 чисел
В примере 3 модуль отрицательного числа был больше, поэтому
и результат сложения оказался отрицательным.
Сделаем вывод, опираясь на результаты примеров 2 и 3:
для того чтобы сложить два числа с разными знаками, модули
которых не равны:
1-й шаг: вычитаем из большего модуля меньший;
2-й шаг: ставим перед разностью знак числа с большим модулем.
Пр и м е р 4. Найдите сумму (+5) + (-5).
Решение', так как -5<0и |-5| = 5, отсчитаем в ряду целых
чисел
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, ...
t___________I 1
5 чисел
от числа 5 влево пять целых чисел. Отсчет закончится на числе 0.
Таким образом, (+5) + (-5) = 0.
Сделаем вывод:
сумма взаимно противоположных чисел равна 0.
Вообще, для любого целого числа п сумма
п + (—л) = 0.
При этом для любого целого числа
л + 0 = л, 0 + л = л.
140
Сложение целых чисел подчиняется переместительному и
сочетательному законам.
В этом можно убедиться, рассмотрев числовую ось или ряд целых
чисел.
^9)596. 1) Сформулируйте правила сложения чисел с: а) одина-''
ковыми; б) разными знаками. Объясните на числовой оси.
2) Чему равна сумма взаимно противоположных чисел?
3) Чему равна сумма целого числа и нуля?
597. Выполните сложение:
1) (+3) + (-3); 4) (-4) + (-6); 7) (+18) + (-17);
2) (-10) + (+10); 5) (-9) + (+9); 8) (+1) + (-6);
3) (+5) + (-3); 6) (+7) + (-11); 9) (-12) + (+5).
598. Когда сумма двух чисел (объясните на примерах):
1) будет всегда: а) положительной; б) отрицательной?
2) будет: а) положительной; б) отрицательной?
599. Запишите каждое из данных чисел, если это возможно, в
виде суммы: а) двух отрицательных чисел; б) положи-
тельного и отрицательного числа: -2; -8; -15; -100; 150;
1991; 50; -789.
Образец-. 1) -28 = (-8) + (-20) = (-21) + (-7) = ... .
2) -2 = (-3) + (+1) = (+43) + (-45) =... .
600. Заполните таблицу:
Значение числового выражения Сумма положи- тельных Сумма отрица- тельных Числовое значение слагаемого
20 + (-13) + (-7) + 10 30 -20 10
25 + (-18) + 3 + (-15)
-40+ 48 +(-15)+ 12
-17 +(-20)+ 10+ 14
-175 + 75 + (-100) + 50
141
601. Найдите сумму:
1) (-7) + (-8) + (+7) + (+7); 3) (-8) + (-6) + (-4) + (+28);
2) (-1) + (+2) + (+1) + (-2); 4) (+19)-(-20)-(+39) +(-5).
Напоминание! Обычно знак плюс перед положительными
числами опускается.
Если первое слагаемое — отрицательное число, его заключать
в скобки не обязательно.
Например, вместо -8 + (+4) пишут -8 + 4 ; вместо (-31)+ (-9)
пишут -31 + (-9).
602. Заполните таблицу:
к 5 -1 -80 -17 81 40 -23 -31 -25 33 -46
п -5 0 -20 -23 -82 -50 22 -39 -24 -43 -4
к + п 0 -1
1603. Найдите числовое значение выражения:
1) (-11) +(-9) и-(11+9); 3) -((-17)+ 3) и 17-7;
2) (-7) +(-5) и -(7 + 5); 4) -((-32) + 12) и 32 - 12.
(604} Замените * знаками >,<, = :
1) -100+ 100*0; 3) 51 + (-54)*0; 5) 7 + (-8) + (-7) * 0;
_ 2) -90 + 99*0; 4) 27 + (-69)*0; 6)12 +(-10)+ (-!)*0.
605} Найдите сумму:
1) 23 + (-21); 3) (-23) + (-17); 5) (-75) + 70;
2) (-43) + 40; 4) (-4) + (-26); 6) 78 + (-70).
606} Найдите, следуя образцу:
1) -202 + (-198); 3) -38 + (-162); 5) -279 + (-586);
2) -338 + (-62); 4) -75 + (-125); 6)-729+(-731).
Образец: -875 + (-936) = -(875 + 936) = -1811.
(607} Сложите числа:
1) -23, -7, +28; 3) -71, 0, -29; 5) -30, -27, +50;
2)+18, -22, +13; 4) -83, -17, 100; 6) -65, +15, -40.
142
38 yfl-Ц) Вычитание целых чисел
Разностью двух чисел называется такое число, которое в сумме
с вычитаемым дает уменьшаемое.
Это определение, которое вам уже знакомо, остается в силе и
для целых чисел.
Разность двух чисел к и п — это такое число т, которое в
сумме с числом п равно числу к:
т + п = к.
Пр и мер: 12-(-4)= 16, так как 16 +(-4)= 12, с другой стороны,
сумма чисел 12 + (+4) =16.
Приходим к выводу:
для того чтобы найти разность двух чисел, надо к уменьшаемому
прибавить число, противоположное вычитаемому:
к — п = к + (— л).
Действительно, [к + (-л)] + п - к + [(-л) + п] = к + 0 = к.
Разность двух целых чисел — целое число.
Примеры: 1) (-20) - (+3) - (-20) + (-3) = -23;
2) 19 - (-10) = 19 + (+10) = 29.
Выясним на примерах, как находить разность двух целых чисел
на числовой оси.
Пример 1. Найдите разность 5-8.
Отметим на числовой оси точку, соответствующую числу 5. От
этой точки отложим вправо 8 единичных отрезков. Левый конец
последнего единичного отрезка совпадет с точкой, соответствующей
числу —3. Итак, 5 - 8 = -3. Ответ: -3.
143
откладываем единичный отрезок влево от точки 5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Рис. 33.
Пр и м е р 2. Найдите разность -2 - (-3).
Решение. Так как -(-3) = 3 , то -2-(-3) = -2 + 3 = 1 (рис. 34).
3 единицы вправо
2 единицы влево
-3-2-1 0 1 2
-2 - (-3) = -2 + 3=1
-10 123
-2 - (-3) =-2+ 3 = 3- 2= 1
или
Рис. 34.
Ответ'. 1.
Пр и мер 3. Найдите расстояние между точками А (1) и В (6).
Решение. Расстояние между двумя точками на числовой оси
равно длине отрезка, соединяющего эти точки. Следовательно, в
этой задаче требуется найти длину отрезка АВ.
Предположим, что, отложив единичный отрезок п раз вправо
от точки А (1), придем в точку В(6). В этом случае 1 + п - 6, откуда
п = 6- 1, п — 5. Таким образом, отложив единичный отрезок 5 раз
вправо от точки /4(1), придем в точку 5(6), т. е. АВ - 5 (рис. 35). В
нашем примере В правый конец отрезка АВ, т. е. точка В имеет
координату 6, левый конец — точка А имеет координату 1. Тогда
/45=6-1=5. Ответ: 5.
AD 5(6)
5 единиц
Рис. 35.
Приходим к выводу:
Расстояние между двумя точками на числовой оси равно модулю
разности координат этих точек.
144
(9)608. 1) Что называется разностью двух целых чисел?
2) По какому правилу находят разность?
3) Как найти длину отрезка на числовой оси?
609. Замените вычитание сложением и вычислите:
1)-84-16; 2) -16-14; 3)-36 - (-30); 4) -80 - (-80).
Образец : -17 - 8 = (-17) + (-8) = -(17 + 8) = -25.
610. Замените вычитание сложением и вычислите:
1) 30 - (-5); 2) -70 - (-60); 3) 90 - (-10); 4) -83 - (-23).
611. Замените * соответствующими числами:
1) 15 - * = 0; 2)16-* = -1; 3)-5-* = 0; 4)*-(-3) = 4.
612. Заполните таблицу:
к 15 -20 8 12 0 1 -31 -17 -12 37 -40
п 20 -10 -3 15 -1 -2 0 -17 24 -3 -50
к - п -5 И
613. Выполните действия:
1) -9 + (-28) - (-27); 3) -16 - (-30) + (-30);
2) 20-(-9)-9; 4)-12 - 8 + (-10).
614. Найдите расстояние между двумя точками на числовой
оси:
1) А(-2), 5(2); С(0), £>(4); Е(3), 5(5); М(-3), 0(0);
2) Д-4), Д-1); Д-1), (2(1); M(-5), N(-2); S(-5), Д-1).
Начертите необходимый чертеж.
615. Замените вычитаемое противоположным ему числом и
сложите:
1) 28 - (-1); 3) (-63) - (-42); 5) (-35) - (-85);
2)30 - (-5); 4) (-19) - (-11); 6) (-34) - (-34).
Образец: (-25) - (-35) = (-25) + (+35) = 10.
10 — Математика. 6 класс
145
616. Вычислите:
1) -13 - (-7) + (-7); 3) 72 - (-12) - 104;
2) -3 + (-8) - (-13); 4) -15 - (-14) + (-24).
617. Вычислите, следуя образцу:
1) -374 - (-352); 3) -958 - (-838); 5) -120 - (-280);
2) -474 - (-364); 4) -381 - (-470); 6) -480 - (-370).
Образец: -874 - (-461) =-874 + 461 =-(874 - 461) =-413.
618. Запишите сумму без скобок и вычислите:
1) (-45) + (-55); 3) 51 + (-11); 5) (-35)+(-45 + 10);
2) (-54) + (-16); 4) 72 + (-22); 6) -35 + (-25 + 75).
Образец : (-16) + (-24) --16 - 24 = -40.
| 619. Решите уравнение:
1) аг+10 = 3; 3) -1-х = -10; 5)-5 + х = -30;
2)—1—х=—1; 4) х+17 = 0; 6) х- 23 = -43.
Образец: 48 - х- -18; х= 48 - (-18); х- 48 + 18; х= 66.
(620^) Выполните вычитание:
1) 89 - 99; 3) 713 - 843; 5) 2009 - 2010;
2) 108 - 228; 4) 100 - 200; 6) 782 - 982.
(^21^) Замените вычитание сложением и вычислите:
1) -17-43; 2) -69-41; 3)-150 - 50; 4)-160-40.
(622^) Заполните таблицу:
к 3 -15 -20 -5 25 38 52 -45 -47 80
п 7 -8 10 15 29 48 68 15 -33 95
к - п -4
.623^ Решите уравнение:
1)30-х = 42; 3)62-х = -1; 5)-18-х=0;
2)х-0 = -19; 4)82-х=-18; 6)-10-х=10.
624?) Вычислите:
1) (15 - 30) - (10 - 20); 3) (1 - 19) - (31 - 41);
2) (40-70)-(15-45); 4) (-45+ 10) - (-8 - 0).
146
Умножение целых чисел
1. Для того чтобы перемножить два числа с одинаковыми знаками,
нужно найти произведение их модулей и перед результатом поставить
знак плюс.
Пример 1. Найдите произведение (-8) • (-6).
Решение .Так как|-8| = 8, |- 6| = 6 , то, согласно правилу,
(-8) • (-6) =+(8 • 6) =+48 = 48. Ответ 48.
2. Для того чтобы перемножить два числа с разными знаками,
нужно найти произведение их модулей и перед результатом
поставить знак минус.
Пример 2. Найдите произведение 12 • (-3).
Решение. Так как| 121 = 12, |-3| = 3, то, согласно правилу,
12 • (-3) - -(12 • 3) = -36. Ответ'. -36
3. Произведение произвольного целого числа и числа 0 равно 0:
п 0 = 0; 0 • п = 0.
Например, (+5) • 0 = 0; 0 (+5) = 0; (-3) • 0 = 0; 0 (-3) = 0.
4. Если умножить произвольное целое число п на -1, получится
число, противоположное числу л:
п •(-!) = -л; (-1)-л = -л.
Например, (-1) • 8 - - 8; (-6) • (-1) - + 6 = 6.
Для целых чисел, так же как и для натуральных, можно ввести
понятие степени.
Пример 3. Найдите произведение (-2) • (-2) ( 2).
Решение. —2 = (—1) 2; (-2) • (-2) • (-2) =
= (-1) - 2 - (-1) - 2 - (-1) - 2 = (-1) - (-1) (-1) - 2’ = -8.
Ответ: -8.
147
Вообще, произведение к {к — натуральное число) множителей,
каждый из которых равен п, называется к-й степенью числа п и
обозначается :
к
п = п-п-...-п,
к раз
5. По определению, первая степень числа п равна самому п:
л1 = п.
Например, (-10)' = -10, (-2,5)' = -2,5, (+16)' = 16.
@ 625. 1) Как найти произведение двух чисел: а) одного знака;
б) разных знаков? Объясните на примерах.
2) Чему равно произведение целого числа на нуль?
3) Что вы понимаете под четвертой степенью числа —3?
4) Что изменится в результате умножения числа на — 1?
5) Чему равна первая степень числа?
626. Заполните таблицу:
к 15 -4 -5 -4 18 27 -15 19 -13 -1 1
п 8 -3 8 12 -6 -3 -12 -8 7 -1 -1
к • п 120 12
627. Найдите неизвестный множитель:
1)-Зх=60; 4) х • (-25) = -75; 7) -Зх - 15 =-45;
2)-5х=25; 5) х • (-12) =-36; 8)-Зх+15 = 45;
3)Зх = -42; 6) х • (-2,5) = -10; 9)2х+18 = -22.
628. Заполните таблицу:
к -1 -8 10 3 1 -7 10 -5 12 -9 25
т -2 3 -2 5 -10 2 5 —4 11 -5 -10
п -3 5 4 -1 -8 -3 -2 -8 -4 -10 -8
к - т п -6
148
629. Найдите числовое значение выражения:
1) -7 • 8 - (-10) - (-2); 3) -7 (-5) - (-16) (-3);
2) 3 • (-9) - 4 • (-5); 4)-15 4 - 20 • 9 • (-1).
630. Заполните таблицу:
X -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
631. Определите знак степени:
1) (-1)10; 2) (—I)7; 3)(-3)8; 4)(-2)7; 5)(-1)2009.
Сделайте вывод и запишите его в тетрадь.
|б32. Вычислите:
1) (-1)13 - (-1)15 + (-1)17; 3) (-2)3 - (-3)3 + (-3)2;
2) (-1)6 - (-1)8 - (-1)4; 4) (-1)2 + (-1)5 + (-1)4.
(633) Найдите произведение:
1)(-8) (-5); 2) (-11) (-12); 3) 7 (-28); 4) 10 (-81).
Вычислите (634—635):
@)1) 4 - 7 - (—2); 3) 27 (-1) (-3); 5) (-7) • (-10) • (-5);
2) -1 (-2) 8; 4) (-3) • 9 • (-10); 6) (-3) • (-1) • (-4).
635) 1) (-28) (-5) -7-8; 3) -15 • (-22) - (-3) • (-24);
2) (-29) • 3 - (-10) • 12; 4) -31 (-11) - (-14) • (-12).
149
>36?) Заполните таблицу:
к -4 3 -3 3 -8 8 -8 8 -4 10
п -10 10 10 -10 -12 -12 12 12 -5 -7 0
к п
<^37?)Найлите неизвестное число:
1) (-1)х = -30; 3)-х+7 = -10;
2)(-1)х=30; 4)-х+7=10:
5) -2х + 24 = -20;
6) -2.x - 24 = -20.
Законы умножения
Умножение целых чисел подчиняется переместительному и
сочетательному законам так же, как и умножение натуральных чисел.
Вообще, для произво льных целых т и п верны равенства
т • п = п • т и (Л • т) • п = к • (т • и)
Например,(-3) • (-6) = +(3 • 6) = +(6 3) - (-6) (-3).
((+5) - (-2)) - (-8) = (-(5 2)) - (-8)) = +(5 • 2) • 8 = +(5 • (2 • 8)) =
= (+5) • ((-2) • (-8)), т.е. ((+5) • (-2)) • (-8) = (+5) • ((-2) • (-8)).
Для произвольных к, т, п верно равенство
(к + т)п = кп + т-п
Это равенство выражает распределительный закон умножения
относительно сложения.
Например, ((-4) + (-3)) • (-6) = (- (4 + 3)) • (-6) = (4 + 3) • 6 = 4 • 6 +
+ 3 • 6 = (-4) • (-6) + (-3) (-6).
Распределительный закон справедлив и для нескольких
слагаемых.
Пример 1. Покажите, что
(4 + (-7) + (-3)) (-2) = 4 • (-2) + (-7) • (-2) + (-3) • (-2).
15Э
Решение. Действительно, (4 + (-7) + (-3)) • (-2) = (4 - 10) (-2) =
= (-6) (-2) = 12.
4 • (-2) + (-7) • (-2) + (-3) (-2) = -8 + 14 + 6 = 6 + 6 = 12.
12 - 12, таким образом, данное равенство верно.
Ответ', равенство верно.
Переход от произведения (к + т) п к сумме кт + тп называется
раскрытием скобок.
Переход от суммы к • п + т • п к произведению {к + т) п
называется вынесением общего множителя за скобки.
Пример 2. Найдите сумму (-79) • (-85) + (-79) • 75.
Решение. Вынесем за скобки общий множитель (-79):
(-79) • (-85) + (-79) • 75 = (-79) • (-85 + 75) = (-79) • (-10) = 790.
Ответ: 790.
@638. 1) Знаете ли вы переместительный и сочетательный^
законы умножения? Что вы понимаете под распреде-
лительным законом умножения? Приведите примеры.
2) Что вы понимаете под раскрытием скобок, под вы-
несением общего множителя за скобки? Объясните на
ч примерах.
639. Найдите произведение. Сделайте проверку, используя
переместительный закон:
1) -15 • (-4); 2)-25 (-9); 3)-94 - 2; 4)-100-6.
640. Найдите удобным способом, пользуясь сочетательным законом:
1) -25 28 • (-4); 3) 18 • (-25) • 5 • (-4); 5) -75 • (-9) • 4;
2) 125 • (-49) • 8; 4) -25 • (-23) • (-8); 6) 80 • (-7) • 5.
641. Вычислите, вынеся общий множитель за скобки:
1) 48 (-7) + 24 14; 3) 48 - (-54) - 38 • (-54);
2) 12 • (-9) - 6 8; 4) 125-(-3) +250-2.
|б42. Вынесите за скобки общий множитель: а) со знаком «+»;
б) со знаком «-» и вычислите.
1) -45 19 - 45 • 21; 2) -59 • 39 + 39 • 49.
151
643j Вычислите удобным способом:
1)-25 • (-18) • 4; 3)-2-3-9-5; 5)-4 11-75;
2) 8 • (-5) -7-2; 4) -125 -13-8; 6) -13 • 5 • 80.
о44?) Запишите произведение в виде суммы и вычислите:
1) 4 • (6 + (-14)); 3) -3 - (-15 - (-7)); 5) (38 - 49) • (-11);
2) 5 (10-25); 4) 10 • (-17 - (-8)); 6) (27-39) • (-12).
645j Вынесите общий множитель за скобки и вычислите:
1) 25 • 16 - 25 • 14;
2) 63 45 - 63 25;
3) -73 • 57 + (-72) (-27);
4) -38 12 - 38 - (-22).
41
Деление целых чисел
Пусть к и п целые числа, отличные от нуля, и | к | делится на
| п | без остатка.
1. Деление целых чисел одного знака.
Для того чтобы разделить одно целое число на другое целое с
тем же знаком, делят друг на друга их модули.
Пример 1. Найдите частное (-28): (-4) .
Решение. Так как |- 28| = 28 и |- 4| = 4, то, согласно правилу,
(-28): (-4) = +(28 :4) = +7 = 7.
Ответ: 7.
2. Деление целых чисел разных знаков.
Для того чтобы разделить целые числа разных знаков, нужно
разделить их модули и перед частным поставить знак минус.
152
©•
Пример 2. Найдите частное (-18): 3.
Решение. Так как |-18| = 18, |3| = 3, то, согласно правилу,
(-18): 3 = - (18 : 3) = -6.
Ответ: -6.
Результат деления 0 на любое целое число п, отличное от нуля,
равен нулю:
О: и = 0.
Например, 0 : (-8) = 0; 0 : 7 = 0.
На нуль делить нельзя! «X 0
Например, записи вида (-6): 0, 3:0 лишены смысла!
(9) 646. 1) Знаете ли вы правила деления целых чисел: а) одного
знака; б) разных знаков?
2) Можно ли разделить 0 на любое целое число, отличное
от 0?
3) Можно ли делить произвольное целое число на 0?
647. Выполните деление. Проверьте результат умножением.
1) 84: (-4); 2) -75 : 3; 3) -48 : (-6); 4)-36 : (-4).
648. Найдите неизвестное число:
1) 25х- = -100; 2)-х:3 = -5; 3) 5х + 70 = -40 : 8.
649. Вычислите:
1) (-8 + 10 - 7): (-5); 3) (-90 - 40 - 20): 15;
2) (-37 + 15 - 24): 2; 4) (-96 - 48 - 72): 12.
650. Найдите числовое значение выражения:
1) (-48) • (-9): (-8) • (-3); 3) (-49) • 8 : (-7) 4;
2) (-42) • (-14): (-7) • 4; 4) (-125) • 15 : (-25) - (-3).
153
651. Заполните таблицу:
к -1 1 -1 15 20 -28 -32 -45 -72 18 -24
п 1 -1 -1 -3 -4 -7 8 -15 4 -2 6
к+п 0
к- п -2
к - п -1
к : п -1
652. Разделите, пользуясь результатом 864:48 = 18:
1)-864:18; 2)-48 18; 3) 864 : (-48); 4) 864: (-18).
653. Запишите следующие числа в виде частных (отношений):
1; 5; -10; -3: -7; -15; 18; 40; 0; -12; 5; -40.
Образец: 1) 8 = -у = у = ...;
~ , -18 18 -12
2)“6=—
654. Выполните действия:
1) (-85): (-17) + (-42) • (-3) - (-96): 24;
2) (-70): (-2) - (-84) : 4 + 63 : (-9).
655. Заполните таблицу:
к 6 18 -12 -15 9 21 27 -45 48 -3
п -4 -16 -8 -20 14 36 30 22 -24 -2
к:(-3) + л: (-2)
|б56. Выполните деление:
1)-Ю0:25; 3) -56 : (-8); 5) 99 : (-3); 7)-78 : (-6);
2) 75 : (-25); 4) 56 : (-8); 6) -93 : 3; 8) -78 : 6.
(657) Вычислите:
1) -54 : (-3) - 52; 3) (89 - 69): 2; 5) -48 : (12 - 6);
2) 54 : (-3) + 52; 4) (9 - 39): (-2); 6) -48 : (6 - 9).
154
.658?) Заполните таблицу:
• -144 -720 -2160 -1080 648 792 2376 -1188
-3
-6
18
36
(659?) Вычислите, используя результат 420:28 = 15:
1) -420 : (-15); 3) -420 : (-28); 5) (-15) • (-28);
2) -420 : 15; 4) -420 : 28; 6) (-15) • 28.
@60?) Решите уравнение:
1) 3 • (-х) + 51 =6-12; 3) 5 • (-х) + 10 =-75;
2) -3.x - 21 = 81 - 84; 4) -5х - 10 = 75.
Раскрытие скобок и заключение в скобки
Введение отрицательных чисел позволяет записывать выраже-
ния -8-3; 18 - 5; -3 + 8 - 9 в виде сумм. Действительно,
-8 - 3 = (-8) + (-3); 18-5=18 + (-5); -3 + 8 - 9 = (-3) + 8 + (-9).
Произведение любого числа л на 1 равно самому этому числу п:
п • 1 = 1 п = п.
Так как +1 = 1, то выражение -3 + 8-9 можно записать так:
-3 + 8 - 9 = (+1) • (-3) + (+1) • 8 + (+1) • (-9) = (+1) • (-3 + 8 - 9) =
= +1 (-3 + 8-9) = +(-3 + 8 -9).
Таким образом, +(-3 + 8 - 9) = -3 + 8 - 9.
Слагаемые в левой части этого равенства заключены в скобки.
В правой части равенства скобок нет, они опущены. В этом случае
говорят о раскрытии скобок. Обратите внимание: знаки слагаемых
оставлены без изменений.
155
Если сумма заключена в скобки и перед скобкой стоит знак
плюс, то при раскрытии скобок знаки слагаемых не меняются.
Например, +(-10 + 8 - 12) = -10 + 8-12.
Если перед скобками, в которые заключена сумма, поставлен
знак плюс, то все слагаемые в скобках сохраняют свои знаки.
Например, -13 + 8 - 2 - +(-13 + 8 - 2).
Распределительный закон и равенство -п = (-1) • п позволяют
раскрывать скобки, перед которыми стоит знак минус.
Примеры: 1) -(3 - 9) = (-1) (3 - 9) = (-1) • 3 + (-1) • (-9) = -3 + 9;
2) -(18 - 5) = (-1) • (18 - 5) = (-1) 18 + (-1) • (-5) = -18 + 5.
Сделаем вывод:
Если перед скобками, в которые заключена сумма, стоит
знак минус, то при раскрытии скобок все слагаемые суммы меняют
свои знаки на противоположные.
Например, -(-7 + 8-14) = 7- 8 + 14.
Если сумму заключают в скобки, поставив перед скобками знак
минус, то все знаки всех слагаемых суммы следует поменять на
противоположные.
Например, 11 - 18 + 16 - 23 = -(-11 + 18 - 16 + 23).
© 661. 1) Что вы понимаете под раскрытием скобок?
2) Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс?
3) Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус?
4) Если сумму заключают в скобки, поставив перед
скобками знак минус, следует ли изменить знаки перед
слагаемыми? А если перед скобками поставлен знак плюс?^
662. Вычислите:
1) -(83 + 51) + 51; 3) + (-23 - 510) + 23;
2)-(79 - 19) - 19; 4) - (-31+40)+ 40.
156
Напоминание! Обычно перед скобками знак плюс не пи-
шется, но при раскрытии скобок его учитывают.
663. Раскройте скобки и вычислите:
1) +(65 + 35 - 101); 3)-(8-9 + 3-7-68);
2)-(65 + 53 -38); 4)-(8 • 12-4 • 9-56).
664. Замените многоточия соответствующим выражением:
1) -86 + 75 = (...); 3) -76 + 26 = (...); 5) -18 + 43 = (...);
2) -86 + 75 = -(...); 4) -76 + 26 = -(...); 6) -18-43=-(.-.)-
Образец: -40 + 23 = -(40 - 23); -40 + 23 = (-40 + 23).
665. Заключите в скобки первые два слагаемых, поставив перед
скобками: а) знак «+»; б) знак «-»:
1) 65 + 94 - 45 - 23; 3) 617 + 313 - 514 - 722;
2)-97+ 83-42+120; 4) -397 + 248 - 324 + 201.
666. Раскройте скобки и вычислите:
1) (219 + 511) - (-89 + 219); 3) (218 - 425) - (18 - 435);
2) (625 + 139) - (325 + 139); 4) -(29 + 109) - (378 - 78).
667. Вычислите, раскрывая, если удобно, скобки:
1) 283 - (283 + 7); 3) -96 + (86 + 207);
2) -159 - (-159 - 24); 4) 951 + (137 - 941).
668. Замените знак «?» соответствующим числом:
1)
669. Вычислите, раскрыв скобки:
1) (20-(-6))-(15-(-12)); 3) -(-65)-(-55-39)-(-34);
2) -29-(18-74)-(74-19); 4)-48-(-22)-(-34-(-3)).
670. Вычислите удобным способом:
1) 18-52-18 37-18 • 13; 3) 21 • 74 + 21 • 11-85• 10;
2) 42-31-38-42+21-16; 4)-128-39+78-32+64-61.
157
[671. Впишите в кружочки соответствующие числа:
Составьте выражения, соответствующие выполненным дейст-
виям.
Вычислите, раскрыв скобки (672—673):
(@)1)+(84- 208 + 25);
2) -(403-270-123);
3) -(45-69-21);
4) -(284-49-244).
673) 1) (119 + 141) - (-59 + 119);
2) (325 + 229) - (125 + 129);
@)1) +(86 - 98)+ 42;
2) -(59 - 69) - 29:
3) (228 - 215) - (28 - 315);
4) -(82 + 98)-(186 - 86).
3) +(-38 - 410) + 38;
4) -(-101 + 53)+ 53.
675)Замените знак «?» соответствующим числом:
,676)Вычислите удобным способом:
1) (-6+14)+ (-28 + 3) (-2);
2) (38 - 58) • (-1) + (27 - 48) (-3).
158
Упражнения на четыре действия над
_______целыми числами_________
Выполните действия (677—680):
677. 1) (-36 + 4) • (-3) + (-2) • (-25 + 20);
2) (229 - 199) • (-7) + (-35 + 20) • (-2).
678. 1) (-288): (-24) + (-32) (-7) - (-28) • 5;
2) -108 : 36 - 13 • (-4) + 27 (-3).
679. 1) (68 - 98): (27 - 21) + (88 - 98) (-2):
2) -(-41 - 79): (-24) + 108 : (-6) • 4.
680. Координаты точек А, В, С, D, Е, F числовой прямой
указаны на рисунке 36.
С F А О Е В D
—•-----1---•--1--»---1---1-•--1---1---1 ♦ ।---•—►
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Рис. 36.
Найдите длины следующих отрезков:
1) OD 2) FA; 3) FE; 4) BD; 5) СВ; 6) АВ.
681. При каких значениях к; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2 и 3
равенства:
1) к • (к + 1) - 12; 2) к • {к - 1) = 2 будут верными?
682. Заполните таблицу:
к 9 12 15 -21 36 -24 -48 -30 -9 -15
п -42 -9 18 -24 27 24 30 45 -3 21
-2 к + (-»): 3
683. Вычислите удобным способом:
1) -15-37 + 14-37- 19-37 + 17 -37;
2) 26 • 45 - 45 • 27 + 31 - 45 - 30 • 45.
159
J684. Вычислите:
1) 76 (-45): 90 - (-92);
2) 84 (-28): 49 - (-62);
(^85^) Вычислите:
1) (-21 - 59) • (50 - 62);
2) (36 -(-17)) (-59 + 39);
3) -91 - (-50 + 13);
4) 87 - (-27 - 54).
3) (-34-19) (-7-(-13));
4) (-47 + 90) • (-15 - (-16)).
^86j) Раскройте скобки и вычислите:
1) 246 - (46 + 48); 3) 350 + (47 - 340);
2) -95 - (33 - 75); 4) 327 - (127 - 99).
687^) Вычислите расстояние АВ между точками А и В, коор-
динаты которых даны ниже. Сделайте чертеж.
А -5 0 -8 -4 6 -7 -9 -3 -1 -1
В 3 4 -1 0 10 7 -6 -2 0 1
АВ 8
688J Вычислите:
1) -625 : (-25) + (-25) 6 - (-84): 7;
2) 785 : (-5) • 4 - (-68 + 32): (-6);
3) 144: (-4) • 3 - (-79 + 23): (-7).
Перпендикулярные прямые.
Параллельные прямые
1. Перпендикулярные прямые. Из курса математики 5-го класса
вы знакомы с понятием угла, развернутого и прямого углов.
На рисунке 37 прямые а и b пересекаются под прямым углом.
В этом случае прямые а и b называются взаимно перпендику-
лярными прямыми.
Перпендикулярность прямых а и b обозначается а± b (или Ы. а).
160
Читается: прямые а и Ь взаимно перпендикулярны.
а
а
______И_______
ь --------------------------------
ь
Рис. 37. Рис. 38.
Отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых, называются
перпендикулярными отрезками. Например, смежные стороны пря-
моугольника или квадрата — перпендикулярные отрезки.
2. Параллельные прямые. Две прямые, которые лежат в одной
плоскости и не пересекаются, называются параллельными прямыми
(рис. 38).
Параллельность прямых а и b обозначается а || b (или b || а).
Читается: прямые а и b параллельны.
Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются
параллельными отрезками.
Противоположные стороны прямоугольника и квадрата —
параллельные отрезки.
(9) 689. 1) Какие прямые называются перпендикулярными?
2) Какие прямые называются параллельными? Покажите
_______на рисунке.______________________________________
690. Найдите в классе или дома примеры перпендикулярных
или параллельных отрезков.
691. Начертите прямоугольник и квадрат. Обозначьте их. Назо-
вите их:
1) взаимно перпендикулярные стороны;
2) параллельные стороны. Запишите в тетрадь.
692. Начертите некоторую прямую /. Отметьте на ней точки А
и В. При помощи транспортира или чертежного угольника
проведите через точки А и В прямые, перпендикулярные
прямой /. Что можно сказать об этих прямых?
11— Математика, 6 класс
161
693. Объясните, как на рисунке 39 с помощью чертежного
угольника проведен перпендикуляр через точку А прямой /.
694. Прямые а и b взаимно перпендикулярны (рис. 40). Они
пересекаются в точке О. СО 1а. Измерьте отрезки АС,
ОС, ВС, DC. Какой отрезок самый короткий? Какой
отрезок самый длинный? Какой вывод можно сделать?
695. Начертите окружность с радиусом 3 см. Проведите два
взаимно перпендикулярных диаметра. На сколько частей
разобьется окружность?
|б96. На рисунке 41 через точки А, В, С и D проведите прямые,
перпендикулярные прямым а и Ь.
(697^) Начертите правильный треугольник. Из его вершин
опустите перпендикулярные отрезки на его стороны и
найдите их длины. Сделайте выводы.
(^98?) Объясните, руководствуясь рисунком 42, как можно через
точку А, не лежащую на прямой /, провести прямую,
параллельную прямой /.
162
окружность с радиусом 3 см. Проведите два
взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. Из
концов каждого диаметра проведите до пересечения
отрезки, параллельные другому диаметру. Най, гите периметр
и площадь получившейся фигуры.
45
Координатная плоскость. Графики
1. Координатная плоскость. Проведем через некоторую точ-
ку О плоскости две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу.
Примем точку О за начало отсчета на каждой оси, выбрав на
каждой оси равные единичные отрезки. Положительное на-
правление на оси Ох выбирается идущим слева направо, а на
оси Оу идущим снизу вверх (рис. 43). Говорят, что в этом случае
на плоскости определена прямоугольная система координат хОу.
Она называется декартовой прямоугольной системой координат
по имени французского математика Декарта, который впервые
рассмотрел ее.
Ось Ох называется осью абсцисс, ось Оу — осью ординат.
Плоскость, на которой введена декартова координатная система,
называется координатной плоскостью.
Пусть точка А — произвольная точка, лежащая на координатной
плоскости. Опустим из точки А перпендикуляры на оси Ох и Оу.
Они пересекают оси Ох и Оу в точках В и С (рис. 44).
Га
>1(4; 3)
Рис. 43.
2 3
Рис. 44.
163
У><
II
четверть
(-;+) г
ш
четверть
I
четверть
(+; +)
н------►
1 IV х
четверть
(+;-)
Рис. 45.
этом случае пишут А (4;
Пусть длина отрезка ОВ равна х,
длина отрезка ОС равна у. Число х на-
зывается абсциссой точки А, число у
называется ординатой точки А.
Пару чисел х и у называют коор-
динатами точки А и обозначают А
(х; у). При этом на первом месте
пишут абсциссу, на втором — ор-
динату.
На рисунке 44 абсцисса х точки А
равна 4: х = 4, а ордината у = 3. В
3).
Таким образом, 1) в координатной плоскости каждой точке А
сопоставляется пара чисел (х; у); 2) произвольной паре чисел
(х; у) сопоставляется точка А, имеющая эти координаты; 3) ес-
ли хф у, то точки, имеющие координаты (х; у) и (у; х), являются
различными точками плоскости. Начало координат — точка О
имеет координаты (0,0): О (0; 0). Произвольная точка В оси Ох
имеет координаты (х; 0): В (х; 0); произвольная точка С оси Оу
имеет координаты (0; у): С(0; у).
Оси Охи Оу делят плоскость на четыре угла, которые называются
координатными четвертями (или координатными углами).
Координатные четверти изображены на рисунке 45.
Имеют место следующие зависимости:
для координат (х; у) точки I четверти х > 0; у > 0;
для координат (х; у) точки II четверти х < 0; у > 0;
для координат (х; у) точки III четверти х< 0; у < 0;
для координат (х; у) точки IV четверти х > 0; у < 0.
Знаки координат в четвертях I — IV символически изображены
на рисунке 45.
164
Для всех точек оси абсцисс Ох ординаты равны 0: у - 0.
Для всех точек оси ординат Оу абсциссы равны 0: х = 0.
2. Графики. График — это линия, выражающая зависимость между
величинами. На графике зависимость между величинами видна более
отчетливо.
В следующей таблице дано изменение температуры каждые два
часа в течение суток:
Время (в часах), t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Температура (в градусах), Т -1 -3 -2 0 1 3 6 8 7 5 2 0 -3
Для того чтобы изобразить график зависимости между временем
и температурой:
1) обозначим в системе координат ЮТ точки (/; Г);
2) соединим точки отрезками.
В результате получаем график зависимости между временем и
температурой (рис. 46).
Рис. 46.
165
Графики могут быть и криволи-
нейными. Например, график зави-
симости: 1) вашего веса; 2) роста от
вашего возраста является криволи-
нейным (рис. 47).
Анализируя графики, можно сде-
> лать различные выводы. Например,
географии график, называемый «ро-
зой ветров», можно сделать вывод о
Рис. 47.
направлении ветров в некоторой точке поверхности Земли и о
продолжительности этих погодных условий.
В географии также рассматриваются координатные системы. Вы
познакомились с понятием масштаба, нулевого меридиана, парал-
лелями и меридианами, географической широтой и долготой.
Географическая широта и долгота некоторой точки на земной
поверхности называются ее географическими координатами. И
обратно, каждой паре соответствующим образом подобранных
величин соответствует единственная точка на поверхности Земли. В
этой прямоугольной координатной системе широта и долгота играют
роль абсциссы и ординаты точки.
@700. 1) Как вводится на плоскости прямоугольная система^!
координат? Начертите соответствующий чертеж.
2) Что такое абсцисса и ордината точки? Что вы понимаете
под координатами некоторой точки плоскости?
3) Как определяются координатные углы (четверти)? Как
определяются знаки координат точки по четвертям?
_______4) Что такое график?_____________________________,
701. 1) Где расположены точки с абсциссой, равной 0?
2) Где расположены точки с ординатой, равной 0?
702. В каких четвертях расположены точки с отрицательными
абсциссами? С отрицательными ординатами?
703. Найдите координаты точки пересечения отрезков АВ и
CD, если: 1) А(-3; 4), В(2; -1), С(-2; 0), D(4; 3);
2) Л(-1; 1), Д1; 2), С(-3; 0), D(2; 1).
166
704. Запишите координаты точек, изображенных на рисунке 48.
Назовите их абсциссы и ординаты.
705. Постройте четырехугольник с вершинами: 1) (1; 1),
(-1; 1), (-1; -1), (1; -1); 2) (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0;
-1). Какой это четырехугольник? Почему?
706. Начертите окружность с центром в начале координат и
радиусом 2 см. Выпишите координаты точек пересечения
этой окружности с осями Ох. Оу.
707. Начертите прямую, проходящую через точки (-3; 4) и (2;
-1). В каких четвертях расположена эта прямая?
708. 1) Начертите прямую, проходящую через две четверти.
2) Может ли прямая лежать только на одной четверти?
709. 1 кг винограда стоит 250 сумов. Ниже приведена таблица
зависимости стоимости от массы купленного винограда.
Постройте соответствующий график.
Виноград, х (кг) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Стоимость, у (сум.) 0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000 2250 2500
Указание. По оси Ох отложите массы купленного ви-
нограда, а по оси Оу соответствующие им стоимости. Последо-
вательно соедините отмеченные точки (х; у) прямой линией.
167
(710^) Начертите по две прямые, расположенные в:
1) I, II и III четвертях; 3) II, III и IV четвертях;
2) I, II и IV четвертях; 4) I, III и IV четвертях.
(ТП^Отметьте на координатной плоскости точки Л(-3; 0),
2?(-3; 2), С(1; -1). 1) Лежат ли они на одной прямой?
2) Найдите координаты середины отрезка АВ.
(712^ Начертите на координатной плоскости треугольник с вер-
шинами А (2; 2), В (2; 0), 0(0; 0) и определите его вид.
713. В каких четвертях расположена прямая, проходящая через
точки: 1) А(1; 1), В (2; 2); 2) С(-1; -1), О (-2; -2);
3) £(-3; 4), F(2; -1)? Начертите соответствующий чертеж.
J14) Вес ребенка от рождения до 13 лет меняется следующим
образом:
Возраст ре- бенка (лет) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Вес (кг) 3,4 9 12 13,5 14,5 16 17 18,5 20,5 22,5 24,5 27 30 34
Постройте график зависимости веса ребенка от его
возраста, пользуясь таблицей. По оси Ох откладывайте
возраст (0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 13), а по оси Оу — его вес.
715. Поезд вышел в путь в 1.00 и двигался в течение 3 ч со
скоростью 60 км/ч. Затем стоял на станции 1 ч и продол-
жил движение в течение 4 ч со скоростью 70 км/ч. На-
чертите график зависимости расстояния от времени.
Проверьте себя
1. Найдите сумму: (-51 + 40) + (-78 + 47).
А) 42 В) -42 С) -11 D) -31
2. Найдите сумму: (200 + (-206)) + (46 + (-51)).
А) -9 В) -11 С) -20 D) 20
Е) 52.
Е) И.
©•
168
3. Найдите сумму: 89 - (-61) + (-170).
А) 70 В) -90 С) -111 D) -20 Е) 20.
4. Выполните действия: (-13 + 11) - (-4 + 7).
А) 5 В) -2 С) -3 D) 3 Е) -5
5. Выполните действия: -29 - (88 - 98).
А) 19 В) -19 С) -10 D) -39 Е) -67
6. Выполните действия: -108 - (-41 - 53).
А) -47 В) -35 С) -14 D) 14 Е) -54.
7. Выполните умножение: (-25) • 3 • 4.
А) 75 В) 100 С) -100 D) -300 Е) 300.
8. Выполните умножение: 125 • (-5) • 8.
А) -5000 В) 5000 С) -625 D) 1000 Е) -4000
9. Выполните действия: (-8) • 5 + (-3) • 6 - (-28).
А) 30 В) -30 С) -584 D) 86 Е) -86.
10. Выполните действия:(-69 + 44): (-5).
А) -3 В) -5 С) 5 D) 3 Е) 10,6
11. Выполните деление: (-128): (-4): (-8): 2.
А) -4 В) -128 С) 2 D) -2 Е) 32.
12. Выполните действия: (-15) • 4 + (-48): (-3) - 150: (-6).
А) -44 В) 44 С) 69 D) 19 Е) -19.
13. Выполните действия: (-12) • 5 + (-54): 3 - (-84): (-14).
А) -84 В) -78 С) 90 D) -24 Е) 84.
14. Вычислите: (-3)3: (-3)2 + (-2)3: (-1)4 - (-1)8: (- I)7-
А) 10 В) -10 С) -11 D) 12 Е) -12.
15. Вычислите: -72 • 18 + 36 • 16 + 36 • (-4). А) -720 В) 864 С) -864 D) -144 16. Вычислите: (54 • (-25) + 44 • 25) : 50. Е) -576
А) 150 В) -3 С) 5 D) -5 17. Вычислите: (28 • (-12) - 28 • (-2)): 14. Е) -150
А) -40 В) 280 С) -280 D) 20 Е) -20.
169
Исторические сведения
Отрицательные числа использовались при расчетах с древнейших
времен. Отрицательные числа назывались при расчетах «долгом»,
положительные — «вещью». «Если к долгу прибавится долг, то и в
результате получится долг», — писал китайский ученый третьего века
до н.э. Джан Сан. Для того чтобы различать на письме положительные
и отрицательные числа, их писали чернилами разных цветов. Действия
над отрицательными числами встречаются у древнегреческого ученого
Диофанта, у индийского ученого Брахматупты (598—660). В нашем
отечестве понятия «положительного числа» и «отрицательного числа»
появились в трактате соратника Улугбека, известного ученого его
научной школы Али Кушчи. Он пишет в своем сочинении: «Надо
знать, что каждое число может быть или положительным, или отри-
цательным».
Определив действия над числами, Али Кушчи сформулировал
следующие правила:
(+а) • (-Л) = —ab; (~a) • (+Л) = -ab; (-а) • (-Л) = +ab.
На числовой оси располагать отрицательные числа впервые стали
А. Жерар (1595-1632) и Р. Декарт (1596-1650).
§ 7. Сложение и вычитание рациональных чисел
Рациональные числа
В 5-м и 6-м классах вы познакомились с четырьмя ариф-
метическими действиями не только с натуральными и целыми
числами, но и с обыкновенными и десятичными дробями. Было
введено понятие положительного и отрицательного числа и
определены действия над ними.
Сумма и произведение натуральных чисел — натуральное число.
Но разность и частное натуральных чисел может не быть натуральным
числом. Над целыми числами можно производить сложение,
170
вычитание и умножение, получая в результате снова целое число.
Но отношение двух целых чисел не обязательно будет целым числом.
Например, отношения —Д, не являются целыми числами.
4 -6 12
Тем не менее во многих задачах ощущается необходимость в
действиях над подобными числами.
Пусть к и п — целые числа и п Ф 0.
Числа, которые можно записать в виде называются
рациональными числами.
тт 2 -6 3 -19 100 12
Например, —, —, —, —, — — рациональные числа.
Так как произвольное целое число к можно записать в виде у = к,
то произвольное целое число является рациональным числом.
Изученные в 5-м классе обыкновенные дроби и смешанные
числа также являются рациональными числами.
Мы знаем, что конечные и бесконечные периодические
десятичные дроби также можно представить в виде у. Такие
десятичные дроби также являются рациональными числами. Если
перед положительной дробью поставить знак «-», получится
отрицательная дробь.
it 2 15 8
Например, - - - — отрицательные дроби.
0 — рациональное число, так как его можно представить в виде
о = 5.
п
Вообще, 1) если к и « — целые числа одного знака, то у —
положительное рациональное число; 2) если к и п — целые числа
к
разных знаков, то — — отрицательное рациональное число.
Так как рациональное число является обыкновенной дробью,
то оно обладает всеми свойствами дробей.
171
— £
В частности, числитель и знаменатель рационального числа
можно: 1) умножить на любое целое число; 2) разделить на
соответствующее целое число, отличное от нуля. Полученная в
результате дробь равна исходной.
Примеры: 1) $ = 5 , при этом
-6 -6: (-2) 3 з -6
40 = 40Д4) = 5’ ЗНаЧИТ’ 5 = 40 •
-18 -18:9 -2 -2 -2-9 -18 -2 -18
2) ^7 = ^74 ПРИ этом у= — = — ; значит, - = —.
Приходим к выводу:
1-е следствие: если числитель и знаменатель дроби умно-
жить на некоторое число, отличное от нуля, то в результате
получится дробь, равная исходной;
2-е следствие: если числитель и знаменатель дроби раз-
делить на их общий делитель (т.е. сократить дробь), то в результате
получится дробь, равная исходной.
2 _ 2 (-1) -2. -5 _ -5 •(-!)_ 5
Примеры. 1) _7 -y.f-D 7 , 2) 7 _7. (-1) 7-
Мы видим, что дробь с отрицательным знаменателем всегда
можно привести к виду дроби, знаменатель которой — натуральное
число. Таким образом, любое рациональное число можно представить
в виде дроби -, где числитель к — целое число, а знаменатель п —
натуральное число.
Поэтому знак «-», стоящий перед дробью, обычно относят к
числителю. Например,
4
7
7 ‘
172
1) В результате каких действий над натуральными числами^
получится снова натуральное число? Приведите примеры.
2) В результате каких действий над целыми числами
получится снова целое число? Приведите примеры.
3) Обязательно ли в результате вычитания, деления нату-
ральных чисел получится снова натуральное число? Всегда
ли при делении целых чисел получится снова целое число?
Приведите примеры.
4) Что такое рациональное число? Приведите примеры.
717. Напишите к каждому из следующих рациональных чисел
по 3 равных ему рациональных числа:
!) 15, 2) 3)^, 4) -jj, 5) т, 6) 7) —, 8) -зу.
718. Запишите следующие числа в виде обыкновенных дробей:
1)-3;-7;-9; 12;-I; 1; 2) з|;-2^;-sj;-li; lol; 1’
719. Представьте знаменатели следующих чисел в виде на-
туральных чисел:
-2. 4_. 3 J_. J_. 12, 10. -9. 10
Z5’ T9’ Lio’ Д’ Д’ Д’ Д’ Z3’ ту-
720. Когда рациональное число -: 1) будет положительным?
2) будет отрицательным? 3) будет равно нулю? Докажите
на примерах.
721. Какие из следующих рациональных чисел равны между со-
бой? Выпишите их:
_8. -3 . -5. _1_. 0. £. -2. 10. 9_, 24_
9’ До’ Т’ ^2’ з’ Д’ Д’ Zg’ эд’ Д7 ’
722. Какие из следующих рациональных чисел положительные?
Какие равны нулю? Какие отрицательные? Выпишите их
по отдельности:
_5_. А- 1- А- А- А- А- ~35- _f_A\
-7’ 8 ’ 3’ -9’ -3’ 5 ’ -2’ 6 ’ [ п) 1)'
173
723. Напишите числа, противоположные данным числам:
-2. 14 . -4. _ _ . -7. 7 . -5. 1 . ..
-3’ -15’ 5 ’ 3’ 2’ °’ -5’ 2>’ 12 ’ 9 ’ -1 ’
724. Какие из рациональных чисел являются натуральными?
Выпишите их по отдельности:
6. -6. -6. 6 1. 12. -81. -100. 100. 4. -4, -1. 3
2’ ^2’ Т’ —2 Т’ Т’ ^27’ -4 ’ Т’ 3’ ^3’ Т’
725. При каких значениях х равенства будут верными:
1) — = - 2) — = — 3) — = — •
' 5 5’ 7 6 12 ’ ' 5 10’
(726} Сократите и запишите в виде дроби с
знаменателем
4) 9
-9 с *
положительным
-8 . 4 7 11 . -36. 63 . 54 . 49 . -84. -87
ZJ4’ Tjo’ ^28’ ^12Т’ 48 ’ -45’ -72’ -35 ’ 105 ’ -58'
727?) Сравните числа и результаты запишите в виде неравенств:
1) 45 и 41; 2) -30 и -20; 3) -5 и 0; 4) -4 и -9.
Сравнение рациональных чисел
Вы знаете, как сравниваются две произвольные положительные
дроби. Вам известно, что две дроби можно всегда представить в
виде дробей с натуральными знаменателями, т.е. со знаменателями,
являющимися натуральными числами.
Если равны числители двух дробей, знаменатели которых
равны их общему знаменателю, то эти дроби равны.
Например, дроби — и — равны, так как знаменатели этих
4 4
дробей — одно и то же натуральное число, а числители равны
-3 -3
между собой: -3 = -3. Следовательно, — - .
Та из двух дробей с одинаковыми натуральными знаменателями
больше, у которой больше числитель.
174
Например, , так как их знаменатели равны и -5 > -7.
16 16
Сравнение двух дробей, знаменатели которых — одинаковые
натуральные числа, сводится к сравнению целых чисел.
Для сравнения дробей с разными знаменателями их приводят к
дробям, знаменатели которых — одинаковые натуральные числа.
7 -5
Пример. Сравните дроби — и — .
—9 о
Решение: 7 _ 7-(-8) -56 -5 _ -5 9 -45 = -уу и так как
-9 (-9) (-8) 72 ’ 8 8-9
45 > -56, то у -5 . -5 < ? (или ? > "7 \ л 7 . —). Ответ: <-5 4 8 ’
Выводы, сделанные в результате сравнения целых чисел,
остаются верными и для рациональных чисел. Следовательно,
1) любое положительное рациональное число больше нуля;
2) любое отрицательное рациональное число меньше нуля;
3) положительное рациональное число больше любого отрица-
тельного рационального числа.
728. 1) Как сравнить две дроби, знаменатели которых: а) равные
натуральные числа; б) различные натуральные числа?
729. 1) Пусть число а больше 1,5. Обязательно ли а >0?
2) Пусть число b меньше 3. Обязательно ли b < 0 ?
Обоснуйте ответ.
730. Запишите координаты точек А, В, С, D и Е в порядке
возрастания (рис. 49).
Е D О С В А
----1—•—I-•----1-----1--1----1 • I---•---1---1 • I---►
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Рис. 49.
175
731. Какая из дробей больше (используйте знак >):
1Ч -15 -16 . -23 13 „
1) 19 или 19 ,2) 20 или _20.
732. Какая из дробей меньше (используйте знак <):
-5 2 1 8 о
1) т или —; 2) - или
733. Сравните числа:
1) 3,7 и 3,69; 3) 0,3 и -5,6; 5) -3,3 и -3;
2) -2,1 и 1,2; 4) -0,8 и 1; 6) -5 и -5,23.
734. Расположите числа: а) в порядке возрастания; б) в по-
рядке убывания:
9,7; -9,8; -8,3; 12,3; 0; -0,4; 13; -4.
735. Найдите наибольшее и наименьшее из следующих чисел.
Какое из этих чисел имеет наибольший модуль и какое
имеет наименьший:
1 2 4
-2,7; 9; -2±; 0; 4±; -0,9; -2,9; -1 ?
736. Расположите следующие числа в порядке: а) возрастания;
б) убывания их модулей:
7 3 S 1
-7; 3,01; -1Ц; -13; -4,7; ЗЛ; -1; -2,1.
737. Подставьте вместо многоточия одно из чисел, для которого
верно двойное неравенство:
1) -2,9 <...<- 1,5; 2) -0,94 < ... < 2,01.
738. Выпишите целые числа, расположенные между числами:
1) -4,5 и -1,9; 2) -2,9 и 0,7; 3) -7,4 и -1,2.
739. Между какими последовательными целыми числами рас-
положены числа:-1,7; 3,01; -7,07; 8|; 3,9; -4-^; 0,9?
о 1U
Ответы запишите в виде двойных неравенств.
176
740. Сравните значения выражений и
сравнения с помощью знаков >, <,
запишите результаты
1) | 5,3 I - 141 и | 5,3 | - |-41;
3) 2j+i и 2|
4
5
741. Не вписывая вместо звездочек цифры, сравните числа и
поставьте соответствующий знак неравенства:
1) -1,6** и -1,4**; 3) -**,46 и -*,*8*;
2) -* * * и 0; 4) л —**}9*.
|742. Замените звездочки числами, сохранив смысл неравенств:
1) -7,23 > -7,*2; 3) -3,*54 > -3,721;
2) -1,053 > -1,0*1; 4) -2,741 < -2,7*2.
(743) Для каждого из чисел найдите наибольшее из меньших и
наименьшее из больших его целых чисел:
? 4
1)-6; 2)-|; 3)1,1; 4)-2±; 5)-3,7; 6)7,9.
J44) 1) Пусть число с больше -0,5. Обязательно ли с > 0?
Ответ обосновать.
2) Пусть число d меньше -3. Обязательно ли d < 0? Ответ
обосновать.
74^) На числовой оси, взяв за единичный отрезок 1 см,
отметьте числа и сравните их. Результаты сравнений
запишите в виде неравенств:
1) -2,5 и 4; 2) -1
(746) Сравните числа:
1) -2,41 и 0,82;
18 т 9 .
> 19 И 10’
(747) Запишите числа
5,9; -2,6; 0; -0,7; -6; -7,8;
и 0,5;
3) -3,5 и -2,5; 4) -3,4 и -2.
и 4,31;
5) -6 и -6,03;
6) -2,5 и -2|.
4
3) 4,33
4> ч
порядке: 1) возрастания; 2) убывания:
11,4; -12; 9; -1,9.
и -1;
в
12 — Математика, 6 класс
177
48
Сложение рациональных чисел
Вы уже знаете, что каждое рациональное число можно записать
в виде дроби , знаменатель которой — натуральное число, а
числитель — целое.
В таком случае над рациональными числами удобно производить
действия.
1. Сложение рациональных чисел.
гт 1 IT - -4-7
Пример 1. Найдите сумму — + —.
Решение. Так как знаменатель у дробей общий, складываем
числители по правилу сложения целых чисел:
Пр им ер 2. Найдите сумму-^+|.
о о
Решение Лак. как знаменатель у дробей общий, складываем
числители по правилу сложения целых чисел:
. 6-26-24
Аналогично: —+— = —— = —.
7 7 7 7
Пример 3. Найдите сумму +[ -].
5 -5 5 + (-5) О
Решение. 75+ -75 =Т5 + Н = —Г?— = 74 = так как сумма
взаимно противоположных чисел равна 0. Вообще, сумма взаимно
противоположных рациональных чисел равна 0:
A. A. k к 0 л л
— +—= =—= 0. Ответ. 0.
пп п п
178
2. Сложение дробей с разными знаменателями.
Для того чтобы сложить дроби с разными знаменатетями, их
надо привести к общему натуральному знаменателю.
3 9
Пример 4. Найдите сумму - - + —.
Решение. Приведем дроби к общему натуральному зна-
менателю:
3 _ (-3) 14 _ -42
5 “ 5-14 70 ’
9 _ 9 (-5) -45
44 “ -14 • (-5) “ "7(Г
Тогда
3 9 _-42 -45 -42-45
5 + Ч4-Т0+“70- 70
87 .17 .17
7б = -,70- Ответ- ^ТО-
3 ( 9 \
Пример 5. Найдите сумму - +1 - — .
Решение. 15 ~ 18 = _. Ответ'.
4 10 20 20 20
„ к Р
Вообще, если - и — — рациональные числа в стандартном виде,
то их общий знаменатель — это, например, произведение nq
к р _ к q + п р
п q nq
Таким образом, сложение рациональных чисел стандартного ви-
да сводится к сложению целых чисел.
Ясно, что это правило относится и к десятичным дробям, так-
же являющимся рациональными числами.
Например, -2,8 + (-1,75) = -(2,80 + 1,75) = -4,55.
Действительно, можно, при желании, записать эти дроби в
виде обыкновенных дробей, приведя их к общему знаменателю:
-2,8 + (-1,75) = -2,80 + (-1,75) = + - -4,55.
179
(9)748. 1) Как складываются дроби: а) с одинаковыми зна-
менателями; б) с разными знаменателями? Объясните.
2) Как складываются десятичные дроби одного знака
(разных знаков)?
3) В чем сходство (различие) в сложении целых и дробных
чисел? Объясните на примерах.
Найдите сумму (749—751):
1Ч 5 ( 3\ 7,3. 8 1. .. 27 J 7
749. О м+^ 7J, 2) 20 + 5> 3) _15 + 5’ 4) 52+[ 13/
П 1 2 -4 ,11 -3 -7 10 ± Л
75 0.1) _5 + _15> 2) 9+_36, 3) 10 + 30, 4) 63+^ 9J-
1Ч 4 -5 -1 5 4 , 3 2 ,2
751. О 9 +2) —+ —, 3) —+ —, 4) Z21 + 7'
2
752. Найдите значение выражения о + — пРи:
D а = 4; 2) а = ±; 3) «=-1Ь 4) а~-%.
753. Вычислите:
1) -1,27 + (-5,73); 3) -12,78 + (-7,69); 5) -132,6 + (-7,9);
2) 45,3 + 47,85; 4) -0,58 + (-3,42); 6) 8,51 + (-478).
754. Замените многоточия соответствующими числами:
1)-8,3+ ... = -9,8; 2)-4,6 + ... = 0; 3)-10,6+ ...=-6,7.
755. Замените звездочки знаками «+» или «-» так, чтобы равенства
были верными:
1) (М3) + (*76) = -33; 3) (*3,5) + (*7,3) = -3,8;
2) (47) + (*9) = 8; 4) (*7,8) + (*4,2) = -12.
756. Сколько целых чисел заключено между числами -15,7 и
6,5? Выпишите их и найдите их сумму.
180
757. Решите уравнение:
1) -а = 2,7 + 6,45; 3) -а = -8,9 + 13,2; 5)-5,7+х= 8,7;
2) 34,4 + у =-29,2; 4) 15,9 +у = -7,1; 6) 5,8-х= 10,18.
758. Уровень воды в реке в понедельник определялся отметкой
-3,3 см, во вторник — +3,5 см, в среду — (-1,5) см.
Найдите изменения уровня воды за три дня.
759. Как изменится число, если прибавить к нему: 1) положи-
тельное число; 2) отрицательное число?
760. Вычислите:
1) -0,58 + (-3,42); 3) -7,88 + (-13,32); 5) -32,4 + (-67,5);
2) -8,43 + (-1,57); 4) -34,33 + 45,33; 6) 47,75 + 25,05.
761. Какие из следующих неравенств верны, а какие неверны?
( Почему? Объясните причины.)
1) 23,7 + (-34,2) < 0; 3) -11,7 + (-4,3) > 0;
2) -6,8 + (-34,2) > 0; 4) -5,54 + 65,4 > 0?
762. Первое число равно 52,8, второе число в 2,5 раза больше
первого. Третье число составляет 40% разности первого и
второго. Найдите среднее арифметическое этих чисел.
| 763. В кассе имеется 50 000 сумов. Кассир следующим образом
описал операции по выдаче и сбору денег:
-14000 сумов; -10000 сумов; +2500 сумов; +5000 сумов;
-6300 сумов; -4000 сумов; +2000 сумов; -500сумов;
+1200 сумов; -3000 сумов.
Сколько денег осталось в кассе?
Выполните сложение (764-765):
/£774,,. -11 -8. пч 4 7 . 4 . -7 ..13 3
) 19 + 19 ’ ) 7П+ТР 3>-11+11’ 4) 20 + -20 ’
3)-± + 1; 4)-1 + 1.
181
(766?) Замените звездочки знаками «+» или «-» так, чтобы ра-
венства были верными:
1) (М,5) + (*5,5) = -10;
3) (*3,6) + (*7,3) = -3,7;
2) (-54) + (*32) = 22;
^6 л) Решите уравнение:
1) -х = -9,07 + 4,37;
2) -х = 19,3 + (-4,9);
3) -х = (-7,8) + 2,8;
4) (*5,8) + (*2,4) = -3,4?
4) —у = -5,4 + 21,6;
5) -у = 2,2 + (-5,56);
6) -у = (-3,2) + 4,09.
Выполните сложение (768-769):
<768?>1) -7,5 + (-10.8); 3) -12,18 + 8,43;
2) -65,4 + (-34,6); 4) 3,7 + (-1,89);
'769. 1) -4,75 + (-7,65); 3) -80,4 + (-19,6);
2) -7,56 + (-5,67); 4) 43,7 + Н8,8);
5) -3,7 + (-1,89);
6) -92,52 + 38,93.
5) -2,72 + 8,28;
6) 9,43 + (-5,63).
Законы сложения рациональных чисел
Сложение рациональных чисел, как и сложение целых чисел,
десятичных дробей, положительных обыкновенных дробей под-
чиняется 1) переместительному; 2) сочетательному законам.
Пример 1. + — = -f 1 + —
8 12 8 12
1 + 1
12 8
12
= Г2+Т-Значит, ^ + ^
-7 -1
12 + 8 ’
Вообще, для любых рациональных чисел и имеет место
равенство
А +_р = Р + А
п q q п
Это равенство выражает переместительный закон сложения
рациональных чисел.
182
Пример 2. Выполните сложение:
( 5А ( 14 А 7_ '
Решение. 1) “б + -Т5 +8--
5/53 2/7 _ -212+105 _ -107 .
30 + 8 120 “ ’120' ’
' 7 = 25+28
+ 8 " 30
7
8
(_5) f_14\7-f_5Kf-8/14 ,5/7Vf_5Y -И2+Ю5
[ б] + [ 15 J 8 ( 6J + [ 15 + 8 ]“( 6]+ 120
Г 5А -7 _ Р°/5 100+7 _ 107
6 1+ 120 ” 6 + 120 ” 120 “ 120 •
47 к 7
Значит,
5А ( мл 7 г п /Умл 7А
6А 15Л8 I 6J Ц 15Г 8?
(Ф) 770. 1) Какие законы сложения целых чисел, десятичных
дробей и положительных обыкновенных дробей вы
знаете? 2) Сформулируйте: а) переместительный; б) соче-
тательный законы сложения. Объясните на примерах.
771. Проверьте справедливость равенства а + b = b + а при
1)о = -27,3, b = - 12,5; 2) а = -54,8, b = 65,9.
Вычислите удобным способом (772—773):
772. 1) 14,3 + 41,2 + 15,7 - 6,2; 3) -25,9 - 13,4 - 24,1 - 16,6;
4 3 _5__J___8_
23 +10 + 13 23 13
4)-3|+(-2’)+з’+(-3’].
773. 1) 4,4 + (-2,3) + 2,5 + (-1,7); 2) 0,4 + (-4,1) + (-3,4) + (-5,9).
774. Заполните таблицу:
а 17,3 -4,7 -8,6 3,3 8,6 -9,6 0
b -18,3 -2,4 5,7 -4,5 -7,3
а + b 8,2 28,4 3,4 -4,5
183
775. Вычислите удобным способом:
1) 47 + (-50) + (-42) + 53 + (-8);
2) 54 + (-74) + (-26) + 46 + (-7,9);
3) -18,3 + 25,9 + (-11,7) + 24,1 + 17,2;
4) 42,5 + (-24,5) + (-32,3) + 23,3 + (-9).
776. Найдите сумму:
1) 1,1 + (- 2,3) + 3,9; 3) 4,1 + ( - 7,2) + ( - 6,8);
2) -2,6 + ( - 7,4) + 5,3; 4) (- 11,3) + 8,5 + ( - 3,2).
Вычитание рациональных чисел
Вычитание рациональных чисел определяется так же, как
вычитание целых чисел. Чтобы вычислить разность - - рацио-
нальных чисел, нужно к уменьшаемому прибавить вычитаемое
р
-, взятое с противоположным знаком, т. е.
к р к ( рА
----— — I---в
П q п { 9)
1. Вычитание дробей с одинаковыми натуральными знаменателями.
n I и • -з (-4)
Пример 1. Найдите разность
D -3 (-4) -34-3 + 41 , .
Решение. - +т.к. -(-4) = +4.
Ответ'.
Так как знаменатели дробей одинаковы, находим разность
числителей по правилу вычитания целых чисел, а знаменатель
оставляем прежним.
2. Вычитание дробей с разными знаменателями.
Чтобы найти разность двух дробей с разными знаменателями,
нужно, приведя их к общему знаменателю, воспользоваться
предыдущим правилом.
184 Оф
Пр и м е р 2. Найдите разность - А.
Решение. ~7_ 4 _ '/~7 . 3/4_-7 +12 = 5 = 1 Ответ:
15 -5 15 5 15 15 3 3
Вообще, для любых рациональных чисел ~ И
к_Р =к д- п р
п q nq
Вычитание рациональных чисел выполняется как вычитание
целых чисел после приведения их к общему натуральному зна-
менателю.
(Ф) 777. 1) Как найти разность целых чисел?
2) Как найти разность двух дробей: а) с одинаковыми
знаменателями; б) с разными знаменателями? Объясните
на примерах.
Найдите разность (778—779):
•> 2) 11 _5 • 24 8 ’ З'к _н_10- ' 19 19 ’ 4> 7 13 14
780. Первое число 2) -1-1; ’ 8 3’ равно 141 О 3) 1-1- второе число на 4) 3 _ 4 4 7 ' меньше
первого и на больше третьего. Найдите сумму этих
трех чисел.
Выполните вычитание (781—783):
781. 1) 36 - (-7,91); 3) -20 - (-2,5); 5) 23 - 41,8;
2) 7,8 - (-7,8); 4) -38 - 14,7; 6) -8,1 - (-8,1).
782. 1) 12|-19|; 2)35|-39|; 3) 3-±_911; 4)471-49^.
783.1) 181-211; 2) 271-30|; 3)1б1-111; 4) 351-381.
185
Вычислите удобным способом (784—785):
784. 1) 7^-Гз^-5^;
28 28 13 J
785. 1)
2) ^2-7^-(-2,8).
2> 16тН3й-'4>
Решите уравнение (786—787):
786. 1) 2,4- х= 5,8; 3) 8,9 + у = 2,6; 5)х+6,7 = -9;
2) у - 6,2 = -7,8; 4) 8,9 - у = 2,6; 6) х + 6,7 = 9.
787. 1) 12,34 - (4,34 - х) = -5,2; 3) 45,7 - (4,3 + х) = -56,6;
2) 6,8 - (у - 13,4) = 40,5; 4) 80,5 - (х - 19,5) = 44,6.
788. Начертите прямоугольник ABCD с вершинами А (-4; -3),
В (-4; 2), С (3; 2), D (3; -3). Найдите периметр и
площадь этого прямоугольника.
789. Обозначьте на числовой прямой точки А (-9), В (-5) и
С (7). Найдите длины отрезков АВ, ВС, АС.
790. Заполните таблицу и сравните результаты. Сделайте вывод:
а 3,7 10,9 -7,5 -8,3 -7,6 0 8,8
b 8,5 -5,2 4,7 -1,9 -7,2 -9,3 -5,4
а-Ь 4,3 -2,5
Ь —а
Выполните вычитание (791-793):
(791)1) 3,8 - (-1,2); 3)-6,9 - (-3,7); 5) 4,75 - (-1,09);
2) -4,89 - 5,11; 4) 8,4 - 5,9; 6) 3,63 - (-6,37).
(792^1) — - — • 2) • 3) —4) —- —
’ 30 10’ ’ 12 12’ } 18 9’ ’ 90 90 ‘
(*793)1) —2) ---• 3) — - — • 4) — --
U 15 9 ’ ’ 4 7 ’ 7 16 12’ 7 10 3’
186
<794) Решите уравнение:
1) х- 15 = 16;
2) у - 9,4 = -59,4;
3) 8,4 + у = 6,4;
4) -6,7 + х = 6,7;
5) 17,1-х=15,9;
6) у-2,4 = -4,2.
Вычислите (795—796):
791) 1) -5,2 - 52;
2) -7,7 - (-54);
<796)1) 12,3 - (-2,8);
2) 8,9 - 10,23;
3) 4,8 - 12;
4) 9,8 - (-2,9);
3) -76 - (-87,4);
4) -9,01 - (+2,2);
5) 23 - 34,5;
6) 0,8 - (-14).
5) 69 - 80,8;
6) 7,2 - 8,34.
Тест
Проверьте себя!
1. Запишите числа в 2 порядке убывания: а = --, *=-0,7, с = -|. 0
А) а > b > с В) а> с> b С) о Ь> а
D) b > с > а Е) с> а> Ь.
2. Вычислите: - ( 15 )'
-9 _ -9 41 _ -41 9
А> Л7 В) 60 С) "бО D) 180 Е’ 60-
_ 7 11 3. Вычислите: •И-
1 1 -9 _ 11 _ -9
А» 18 В> 30 С) 30 D> -18 18 •
. „ 3 1
4. Решите уравнение: х + - = - -.
о о
-2 4 А» 8 В» 16 С) - — 7 16 D> 1 Б) - j.
со -4-5 5. Вычислите: — - —.
111 9 -13
А> 6 В» -6 С» 27 °’ ~Т1 Е> ЛГ-
187
6. Вычислите: +
ЛЧ 11 пл 1
42 В) 3 3
D> ’ll
Е)
-11
24 •
§ 8. Умножение и деление рациональных чисел
Умножение рациональных чисел
Правило умножения рациональных чисел и — аналогично
правилу умножения положительных дробей и целых чисел.
2
Пример 1. Найдите произведение
-1
6)
5 А = (-2) (-5) = 5 _ 1 5 _ 5
б)~ 3 ’ 6 ~ 3 Хз ~ 3 3 ~ 9’
2
Решение.
п
Ответ:
Сделаем вывод:
Произведение отличных от нуля рациональных чисел ~ и одного
знака — положительное число.
Пр и м е р 2. Найдите произведение - у * •
п 5 14
Решение --•—
2 __2
7 з'
„ 2
Ответ: -j.
Произведение отличных от нуля рациональных чисел и
разных знаков — отрицательное число.
Вообще, для любых рациональных чисел и
п q
к р к р
n q
188
Например, *-1 = 1.* = *; - - (-1) = (-1) •- = *-0 = 0*=0.
п п п п п п п п
Каким будет знак произведения двух рациональных чисел,
можно определить по правилу знаков:
к п р q а 1 ft |чз
+ + +
— — +
+ — —
— + —
(9)797. 1) Каков знак произведения рациональных чисел:
а) одного знака; б) разных знаков? Покажите на при-
мерах.
2) Сможете ли вы написать таблицу знаков для про-
изведения рациональных чисел?
Выполните умножение (798—803):
798. 1) _2 4. 5 7’ 2) ' 5 1 7 7 — I't 1 СП । Ull W 4Н 5 ‘9*
799. 1) 2 7 9'8’ 3) 15 г__5_' к 21, 4>-П 3 22’
800. 1) -2-5- 7 ’ 2> 7Н); 3) -А ’ 25 • (-4); 4) -3 7 50
801. 1) -2--4- 6 ’ 2) 3) -б|- (-5); 4)-5^. 35.
802. 1) -21.А- 5 12 ’ 2) 2 /-6-Г ' 20 ( 3; ; 3) ~5| •1 _2_) 25
803. 1) -41.1А 8 5’ 2)14f-24T / 1 2о , ; 3) -2—- 19 (-2тИ-
189
804. Длина прямоугольника 0,7 дм, а ширина меньше длины
на -. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
805. Заполните таблицу:
X 4 -2,4 4 -'н 0,8 -0,32 24 25
1 ОО| LZ1 *
Выполните действия (806-807):
Т]806. 1)
2) -4,5-2|-6,9-^-1^;
1807. 1) 2|.р|)-4|рГ
2) 2,8/-Ц]-2|.(-1,б);
3)
4)
1 И 1 5 .2
1 20 +1Я’45 ’
20
4)
5)
6)
7!
Вычислите (808—810):
х—х ( ЗА2 ( 2 А2 ( 1 А3 ( 1 А2
<808jl)f-^J 2) f-y) ; 3)(-Ц1; 4)(‘2т1;
.Дшч,, 3 1, 9 ( II). ,, 7 ( 3), 8 15
.*£9)1) 4’5, 2) |gJ, 3) 20^ 5j, 4) 25’|7-
@)1)-2^А; 2)-5|(-1); 3) -4|-2§; 4)3U-2|1.
\8П^) Ширина прямоугольника равна б| см, длина в 1| раза
больше. Найдите периметр и площадь прямоугольника.
190
Законы умножения рациональных чисел
Умножение рациональных чисел подчиняется тем же законам,
что и умножение целых чисел, обыкновенных и десятичных дробей:
переместительному, сочетательному и распределительному законам.
1. Переместительный закон умножения.
Пример 1.
(-0,25)
(-4) (-1) _ (-4) (-1) _ (-1) (-4)
5 4 5-4 4’5
= (-0,25) ‘(yj, таким образом, (-^-(-0,25) - (-0,25) •
Сделаем вывод:
от перемены мест сомножителей произведение не меняется.
Вообще, для любых рациональных чисел и
к р _ р к
п q q п
Это равенство выражает переместительный закон умножения.
2. Сочетательный закон умножения.
Пример 2. Убедитесь в том, что | -1.
Решение. Найдем произведение двумя способами.
1-й способ.
п -
3)
( ‘Z 5 Y| 2
2-й способ.
-2
3-7
2
2Т
2
21 '
191
3. Распределительный закон умножения.
( ( 1Y) ( 2 А
Пример 3. Вычислите: 3,2 + -1 - • I - - I.
Решение. I-й способ. 1) 3,2 +^-= 3,2 -1,2 = 2;
п f 2^ п 2 4 4
2) 2-1--1 =-2--=Ответ: — .
2-й способ. 3,2 +
16 2 6 2 -32 12 -32+12 20 4 4
= "У 3 + 5'3 = У + Ts = -is- = “Is = “3- Ответ:
Итак,
Эти равенства выражают распределительные законы относительно
сложения и вычитания.
Раскрытие скобок и заключение в скобки производятся по тем
же правилам, что и для целых чисел (см. тему 42).
( 7 2 3
Пример 4. Раскройте скобки: +1 “ § + 5 “ 4
Решение. Отсутствие знака перед скобкой означает, что
перед скобкой стоит знак плюс, следовательно, знаки слагаемых
_ ( 7 2 3"| 7 2 3
при раскрытии скобок сохраняются: + - у + у - = -у + у -у.
(I 4 1
Пример 5. Раскройте скобки: -1 - у + -
Решение. Знак минус перед скобками означает, что знаки
слагаемых при раскрытии скобок изменяются на противоположные:
_М_4 П = _1
|Д 5 + 2) 3 + 5 2 ‘
192
(9) 812. 1) Какие законы умножения рациональных чисел вы
знаете?
2) Объясните на примерах правила раскрытия скобок.
Вычислите, используя сочетательный закон (813—814):
ЯП П 1 ^8 ( 3 Y). -5 f 10) 11 .
813. l)---^--jj, 3) 9 7 5J, 5) 7-j nJ.-,
2) 21.(-±).16; 4) 6) -1(-3) A.
814. 1) 3) i.(-|).21; 5)
2)-^ (-8){-l^; 4) -2.б|(-П; 6) (-84)14 2.
11 \// о ' \ ' 1 I -J J -J J
Вычислите, пользуясь распределительным законом
(815-817):
815. 1) -0,9 4,6-4,1 0,9;
2) 7,6 • 6,9 - 7,6 • (-3,1);
,, 3 5 ( 4) 5
816.1) +
2) Г-0,3-1Я(-6);
817. 1) (-4,7)+ 2(-1,3);
2) i-(-3,4) + (-l,6)-1;
3) -8,9 43 + 57 • (-8,9);
4) 6,2 • 8,4 - 8,4 - (-3,8).
3) -A.A-l.f-AY
’ 9 4 4 9J’
4) -12^-0,5-2±y
3) - A. 16,32-A. (-3,32)
4) A (-3,7) +(-5,3) A
Вычислите удобным способом (818—821):
Математика, 6 класс
O« 13-
2) -АА-(-1Ш-Л]
7 12 9 ( 1} ( 15J'
2) -3,6-А.[-^.(_2,2).
11 ( 4 )
193
2) -7,2 • 39 + 39 • (-2,8); 4) -8,3 -71 + 29 (-8,3).
(822?. Раскройте скобки и найдите значение выражения:
1) -6,73 + (4,7 - 8,27); 3) -5,58 - (-6,58 - 3,6);
2) -1,9 + (-9,1 + 2,3); 4) -3,31 - (-5,31 + 3,2).
Деление рациональных чисел
Напомним, как найти по данному произведению и одному из
сомножителей другой сомножитель:
Найти частное от деления некоторого числа а на отличное от
нуля число Ь — это значит найти число х, удовлетворяющее
уравнению Ьх = а.
Правило деления рациональных чисел аналогично правилу
деления обыкновенных дробей и целых чисел.
Для любых рациональных чисел и
к . р _ к q
п ' q пр
Подчеркнем, что на 0 делить нельзя!
-3 12
Пр им ер 1. Найдите частное -у: — .
„ -3 12
Решение. у • 25
5
= ~т. Ответ:
!-« 4 4
5
4 •
194
Пример 2. Найдите частное - Z : | - Z1,.
о 16
„ 1 .{ 2П_(-7) (-16) _ ‘Л - 1^<2 _ 2 2
Решение.Ответ: р
Из примеров видно:
1) частное от деления двух чисел с разными знаками
отрицательно;
2) частное от деления двух чисел с одинаковыми знаками
положительно.
Так же, как и для натуральных чисел, для целых т и /, / * О,
. / т
т : / = — .
_ „ , т / т 1 т \ т
Действительно, т: I = — = л—т ~ т •
Таким образом, дробь (рациональное число) -у можно
рассматривать как отношение числителя т к знаменателю /.
Например, -3:4 = —5 : (-7) = -у.
Какой знак следует приписать отношению двух рациональных
чисел можно, определить исходя из правила знаков.
к п £ q к . р и X-
+ + +
— — +
+ — —
— + —
Обратите внимание, что знак результата умножения и деления
рациональных чисел один и тот же.
Пример 3. Найдите число, обратное числу
Решение. Напомним, что числа а и Ь, отличные от нуля,
называются взаимно обратными, если a - b- 1.
195
Предположим, что существует число х, обратное Тогда
--х= 1. Умножим обе части этого равенства на “5 ,
= 1откуда х = Ответ: -|.
Уравнениех= 1 можно также решить следующим образом:
-5х = 7, х = 7 : (-5), х = - |.
Обратите внимание, что число, обратное данному числу,
получают, поменяв местами его числитель и знаменатель.
Вообще, число, обратное рациональному числу, будет числом
, так как - ^ = 1, где кип целые числа, причем к ф 0, п ф 0.
К п К
Пр и м е р 4. Выполните деление:
I 4J I 8Г
9 / 3)9 8 W-Ж1 3 _ 3
16 [ 8,1 16 (-3) 216 2‘ Ответ: 2’
v) 823. 1) По какому правилу делят рациональные числа?
2) Число какого знака получается в частном при делении
чисел: а) одного знака; б) разных знаков?
3) На какое число делить нельзя?
Выполните деление (824-827):
824. 1) -34,5 : (-5); 3) -6,3 : 7; 5) -22,5 : (-7,5);
3/9). .. 4.8. 2 Г 4 Л
2) 7\ 14J’ 9'15’ 6) 55’^ nJ-
825. 1) - А : (-4); 2) - з1: (-8); 3) 18 : (-
Z1 J I j
196
826. 1) -Ц:(-2у]; 2)-Ц:2|; 3> ’п:[“65
827. 1)2)-Д:31; 3)
О I 1z 1 ЭЛ о / I /J
Вычислите (828—830):
828 D Г— -(——11Т——+f- —• 2) 1—(-1—l’f—1—1
8Z8. 1) |^29 29 8 [ 32 J) ’ 116 \ *4 /
и’- Ч> 2> -3Н:Н)'Н}
8з°- >> 2) (з7-21):(-й)-
831. Расстояние между Термезом и Ташкентом 708 км. Авто-
бус, вышедший из Ташкента, преодолел это расстояние
за 14^ часа. На обратном пути он двигался со
скоростью 52 км/ч. Когда скорость автобуса была большей
и на сколько?
832. Заполните таблицу:
X -1,5 -0,8 0
У 0,5 -1,6 -8,5
X • у
х:у
-9 -8,7 0,45 -1
1,8 0,6 -0,9 10
833. Решите уравнение:
1) ^х = -з|; 3) -51х=-1; 5) 2^ = -4;
2>'^^ = -4; 4 *>^=^; 6)l|x = -8:lj.
834J Выполните деление:
1) -1,5 : (-0,3); 3) -22,5 : 0,45; 5) -12,24 : (-1.8);
2) 24,8 : (-0,8); 4) -7,28 : 0,08; 6) -25,25 : (-2,5).
197
835) Заполните таблицу:
X -2,5 _ 5 6 2 1,25 0,5 NJ LZ> | hJ 5 10
х:(-5)
10 :х
Выполните деление (836—838):
@)1)-Д:(-6); 2)3|:^-5|Ь 3) -7:4|; 4)-2^:1±.
+4\ 33 J’ 23\ 21 J’ 3' 35 '[ 65f
(S38J1) -кГ-АЪ 2) -2.5:(-1Л; 3) (-2,6)/-Д').
(839)) Расстояние между городами Ташкент и Карши 558 км.
Автобус выехал из Ташкента и преодолел это расстояние
за 101 часа. Когда скорость автобуса была больше и на
сколько, если на пути из Карши в Ташкент автобус ехал
со скоростью 62 км/ч?
Коэффициент. Приведение подобных членов
Пр и м е р 1. Упростите выражение 5 • а - ут j • b-1.
Решение. Говоря об упрощении выражения, имеют в виду,
что надо выполнить все действия и записать полученное выраже-
ние по возможности более кратко.
Для того чтобы упростить данное в примере 1 выражение:
1-й шаг: нужно сгруппировать все числовые сомножители и
найти их произведение;
2-й шаг: нужно сгруппировать все буквенные множители (здесь
а и Ь);
3-й шаг: произведение чисел записать перед буквами.
198
Таким образом,
5 о-(-4) •4-7 = ^^-±J-7Y(a *) = -2-O-*.
28
Ответ: -— а-Ь.
Найденное выражение выглядит гораздо проще исходного.
Числовой множитель, стоящий перед буквенным, называется
коэффициентом.
В выражении - — -а-b число ----коэффициент.
В выражении а коэффициент равен 1, так как 1 * а = а.
В выражении —а коэффициент равен —1, так как — 1 • а =— а.
Обычно для сокращения записи:
1) коэффициент 1 не пишут;
2) вместо коэффициента —1 пишут просто знак «-»;
3) в произведении не пишут знак умножения « » между
коэффициентом и буквой и между буквенными сомножителями.
Например, вместо 1 • а b • (-1) • d пишут - abd, то есть 1 • а b х
х (-1) • d = -abd.
Пример 2. Упростите выражение 8а - 6а - 4а .
Решение. Это выражение можно записать в виде суммы:
8а - 6а - 4а = 8а + (- 6а) + (- 4а),
называя его члены слагаемыми.
В этом примере слагаемые 8а, -6а, -4а отличаются друг от
друга только коэффициентами. Такие слагаемые называются
подобными членами.
Согласно распределительному закону, общий множитель а можно
вынести за скобки:
8а - 6а - 4а = (8 - 6 - 4)а = -2а.
Ответ: - 2а.
Таким образом, данное выражение 8а-6а-4а удалось заменить
равным ему простым выражением. Для этого:
199
1-й шаг: сложили коэффициенты при подобных членах;
2-й шаг: результат умножили на произведение букв.
Подобное упрощение буквенного выражения называется при-
ведением подобных членов.
(9)840. При ответах на вопросы приводите примеры.
1) Что вы имеете в виду, говоря об упрощении выражения?
2) Что называется коэффициентом?
3) Чем заменяются коэффициенты 1 или —1?
4) Ставится ли между буквами знак умножения (« • »)?
5) Что понимается под приведением свободных членов? у
841. Упростите выражение:
1) -2,5 • ab (-8); 3) -1,8 х - (-у) (-5);
2) 1,3х-4,2х+5,3; 4) 3^d + 2-^d-6,2d.
842. Запишите выражение без скобок:
1) 6 (-2а) - 5Ь; 3) -9 (-Ь) + 4 • (-с);
2) -8 (-х) - 3 (-у); 4) -х (-3,2) + у • (-7).
843. Найдите числовое значение выражения:
а) -0,4я, при 1) а = -0,08; 2) -1,5; 3) -4; 4) 0,05;
б) 1,2b, при 1) b= 11; 2)-2|; 3)-1|; 4)-0,04.
844. Скорость поезда 60 км/ч. Найдите расстояние, пройденное
им за t часов. Какой путь пройдет поезд за t- |; 1,4; 3;
3,5; бЬ 7,2 часа?
6
845. Велосипедист ехал 3 часа со скоростью v км/ч. Какое
расстояние он проехал за это время? Найдите его при
v = 10,5; 12; 15.
846. Найдите числовое значение выражения:
3 1 I . с 1 д Л 1
1) - а + 1-- b, при а= -5- и Ь = -4-;
8 3 3 6
2 3 т I , I
2) -ух---у, при х = -3- и у= -1-.
200
0
2) -0,24 (- 0,5у) (-10) =-1,2.
3) у: (-3,5) = 4: 1,4;
4) 7,8: 1,3 = -3,9: у.
5) —1,6ху • (—0,5);
6) 0,18а (-10b).
Решите уравнение (847—848):
1847. 1) 0,9 (-4х) (-0,5) = -6,3;
|848. 1) 8,4 :х= 5,7: 7,6;
2) -2,4 : 2,3 =х: 6,9;
(849) Найдите коэффициент выражения:
-2,1а; 5,5b; -9с; -1,8с/; -4}-х;
3 о
(850) Упростите выражение, выделив его коэффициент:
1) -0,1а (-10b); 3) -0,7с • 0,4J;
2) 1,2а (-Ь) 0,5с; 4) 5cd (-0,2);
Раскройте скобки и приведите подобные члены (851—853):
(851)) 1) -(-7а + 5) - 4,5а + 2,8;
2) -8(с - 3) + 9с;
(852) 1) 3(а - 1) - 2(4 - 2а) - а;
2) -(1 - с) - 1,1с;
(£53) 1) -(5 - 0,1х) + 1,9х- 1,3;
2) -6z-(3 + 2z);
3) (ЗЬ - 2) • (-5) + 4;
4) (2,4х- 1) - (-0,5) - 0,5х.
3) 0,4(Ь-5)- 1,4 + Ь;
4) -1,7у- 6(9 + 0,7у).
3) -7,1у- 2(2 - 3,55у);
4) -2,4у - 3(4 + 1,2у).
Решение уравнений
Вы знакомы с понятиями уравнения, решения уравнения,
корнем уравнения из курса 5-го класса. Рассмотрим пример
составления уравнения.
Задача 1. Одна из сторон треугольника меньше другой на
3 см и больше третьей на 2 см. Найдите длины сторон треугольника,
если периметр треугольника равен 52 см.
Решение. Обозначим длину стороны треугольника через х.
Тогда длина второй стороны (х + 3), длина третьей — (х- 2). Согласно
условию:
х + (х + 3) + (х - 2) = 52.
Упростив это выражение, приходим к уравнению Зх + 1 = 52,
где х — неизвестное число.
201
Выражения Зх, 1, 52 называются членами уравнения. Члены
уравнения 1 и 52, не содержащие х, называются свободными членами.
Это уравнение решается так.
1) Прибавим к обеим частям уравнения Зх + 1 - 52 число -1:
Зх+ 1 + (-1) - 52 + (-1), откуда Зх-52-1. Приходим к уравнению
Зх=51.
2) Разделим обе части уравнения Зх- 51 на 3:
Зх: 3 = 51 : 3, откуда х = 17 (см).
Тогда стороны треугольника равны 17 см, 20 см, 15 см.
Проверка: 20 - 3 = 17, 15 + 2 = 17, 17 + 20 + 15 = 52.
Ответ: 17см, 20см, 15см.
Сделаем вывод:
1-е свойство. Любой член уравнения можно переносить из одной
стороны уравнения в другую, изменив ее знак на противоположный.
2-е свойство. Обе части уравнения можно умножить на любое,
отличное от 0, число.
Эти свойства называются основными свойствами уравнения.
Задача 2. Решите уравнение 5(- 2х + 3) - 10 - 4х.
Этапы решения этого уравнения следующие:
1) раскроем скобки: -10х+ 15 = 10 - 4х;
2) члены, содержащие неизвестное число х, перенесем в
правую сторону уравнения, свободные члены — в левую. Получим:
-10х + 4х = 10 - 15;
3) приведем подобные члены: -6х = -5;
4) делим обе части равенства на 6:
- 6х: (- 6) - - 5 : (- 6), откуда х - |.
Проверка.
1) 5- (-2-1 + 3) = -^ + 15 = ^
\ 6 / 3 3
(левая часть);
2) Ю - 2 4 — = 10 - — - — (правая часть).
63 3 3
Ответ:
и
202
@854. 1) Что вы понимаете под решением уравнения? Что
называется корнем уравнения?
2) Знаете ли вы основные свойства уравнений?
Решите уравнение (855—857):
855. 1) 4х+3 = х-9; 3)42-х=2х+9; 5) 7х + 3 = Зх + 27;
2)2х- 19 = 8-х; 4)3х-7 = 2х+3; 6)20 + Зх = 4-х.
856. 1) 5(х + 4) = 9х+ 12;
2) 8 - 5(4 - Зх) = 18;
857. 1) 0,25х+ 0,4х= 7 - 0,35х;
2) 4(2,5 - х) - 4,5 = 12,5 ;
3) 6-х=3(х- 2);
4) 17-х=4(2-х).
3) 0,Зх-0,8х + 5 =х-4;
4) 2,5х + 9,5 = 3 - х.
858. Какое из чисел 1; 2; -1; 3; 0,5 будет корнем уравнения
4(2х + 3) = 7(х + 2)?
Решите задачи различными способами (составлением
уравнения; арифметическим способом) (859—867):
859. Сумма двух последовательных натуральных чисел равна
821. Найдите эти числа.
860. Сумма двух последовательных нечетных натуральных чисел
равна 452. Найдите эти числа.
861. Одно число больше второго на 30. 10 % первого числа
составляют 15 % второго. Найдите эти числа.
862. Одно число меньше второго на 60. 20% первого числа на 4
меньше 10 % второго. Найдите эти числа.
863. Муяссар задумала число. Умножила его на 5, результат раз-
делила на 4, вычла из частного 10. Частное от деления 30 %
полученной разности на 3 равно 8. Найдите задуманное число.
864. В трех шкафах 253 книги. В первом шкафу на 11 книг
больше, чем во втором и на 6 меньше, чем в третьем.
Сколько книг в каждом из шкафов?
203
865. Сумма трех чисел равна 270. Эти числа относятся как 3:2:4.
Найдите эти числа.
866. Сумма длин смежных сторон прямоугольника равна 52 см.
Длина больше ширины в 1,6 раза. Найдите длину и ширину
прямоугольника.
|867. (Задача аль-Хорезми) Если вычесть из числа его треть и его
четверть, получится 8. Найдите это число.
Решите уравнение (868—870):
868)1) х+2 = -х + 14; 3) 45-2х=Зх+5;
2)2х-3=х+1; 4) 9х - 32 = 2 + 5х;
5) 4х-7 = 2х-3;
6) 8х-3 = х + 11.
£69) 1) 7х + 14 = 35;
2) 2х:9 = 4;
@)1) 5(х- 1) + 7 = 3(х + 1)+ 1;
2) 2(х + 1) + 3 = 3(х- 1) + 6;
871) Какое из чисел -3;
уравнений:
-2; 0;
3) ^х:7 = 8;
4) Зх - 16 = 20.
3) 3(4-х) + 1 = 2(3-х) + 6;
4) 7(5-х) + 2 = 5(6-х)+ 1.
1; 2 будет корнем следующих
1) 6х+7 = 3х+10; 3)2х+7 = 6х-1; 5)8х-5 = Зх-5;
2)5х+7=х-1; 4)2х-7 = 4х+3; 6)5х+3 = 6х+1?
£72) Одно число меньше второго на 10. 20 % первого числа на
2 больше 15 % второго. Найдите эти числа.
Упражнения ..а четыре арифметических
действия над рациональными числами
Выполните действия (873-875):
873. 1) (1,25-j-1,25-2.4^4,25;
2) 0,1 + 0,9.['5-2,5 + |'];
3) -Г5,25.Ц-(-|1);
4) 2,75-(-1|\з,5-|.
204
874. 1) М-3? + 1±1:0,8 + 0,4; 3) -2у0,з): 2|-2,5.
2) fll-l,05-3p|-(-2,6); 4) (1-Ц-Од): Ц + 1,2.
875. 1) 1|.5 + 0,9:1,8; 3>1Z.J;
2> (гР^^гг1’05^-3’ 4)(0-25-Ч}0’4-Ц4
876. Муборак-опа купила на | часть своих денег рубашку
з , з
сыну, на — оставшихся денег туфли, а на - остатка —
школьные принадлежности. После этого у нее осталось
3 840 сумов. Сколько денег было у нее первоначально?
877. Сумма двух чисел равна 7,19, разность между большим и
меньшим числами равна 5,31. Найдите эти числа.
878. Длина прямоугольника 5,6 дм. Ширина составляет 75% от
длины. Найдите площадь этого прямоугольника.
Выполните действия (879—881):
879. 1) (93,5 • 0,14 - 1,83 : 6,1 - 14,21): 15 : (-0,5);
2) (-3,264 + 276,736 : (-9,2) 4,2): (-14,4) - 0,4.
880. 1) (1,4409 :0,9 - 5): (0,14 - 4,2 1,2);
2) (29,1 - 44,1) • 7,2 - 14,14: 7.
881. 1) (-53 2,1 • 0,3 0,01 : 0,63 + 0,653): 0,2;
2) 8,51: (-3,7) + (-1,84): (-0,8): 5,3 + 0,7.
882. Первое из пяти чисел равно -2,5, каждое следующее
больше предыдущего на 0,5. Найдите произведение этих
чисел.
205
g
883. Среднее арифметическое двух чисел равно -2-. Первое
число составляет j второго. Найдите эти числа.
О
884. Среднее арифметическое трех чисел -6,5. Среднее
арифметическое двух других чисел равно 8. Найдите среднее
арифметическое этих пяти чисел.
885. Среднее арифметическое трех чисел - 12,4. Найдите третье
число, если два из них равны -17,5 и -9,3.
886. Одно число больше второго на 50. Среднее арифметическое
этих чисел 10,4. Найдите большее из них.
^887. В хозяйстве первоначально планировали посеять весь хлопок
за 14 дней. Засевая ежедневно на 20 га больше за-
планированного, посев завершили за 10 дней. Сколько
гектаров засевалось ежедневно?
^888. В первом элеваторе было в 1,7 раза больше зерна, чем во
втором. После того, как в первый элеватор доставили
134 т, а во второй —540 т пшеницы, количество пшеницы
в обоих элеваторах стало одинаковым. Сколько пшеницы
было в каждом элеваторе первоначально?
889. Среднее арифметическое четырех чисел -7,2. Первое число
равно 6,9, второе в три раза меньше первого, третье
число равно — 11,2. Найдите четвертое число.
890. Сумма двух чисел 36,4. Первое число больше второго на
42,3. Найдите эти числа.
Решите уравнение (891—893):
891. 1) (4,059 - 10,881): 0,9 - 0,2;
2) (0,3 15,8-3,8 • 2,3): 0,2-24.
892. 1) (-8,6 0,8 - 4,3) (-20) - 4,5;
2) -5,08 12,5 - 5,6 • (-3,5) + 15,8.
893. 1) 28,2 + (-6,3) 5 - (-37,2): (-4,2);
2) -15,6 : (3,9 - 3,5) + (-7,2): 0,9.
206
Исторические сведения
Мухаммад ибн Муса
аль-Хорезми
Уравнение вида ах + b = 0 называ-
ется линейным уравнением. Линейные
уравнения и квадратные уравнения,
которые вы будете изучать в дальней-
шем, рассматривал наш соотечествен-
ник Мухаммад аль-Хорезми в своей
книге «Краткие сведения об алгебре и
аль-мукабале». Это сочинение поло-
жило начало современной алгебре. Оно
было переведено на латынь и в течение
многих лет использовалось в качестве
учебника в учебных заведениях Востока
и Запада. Слово «алгебра» появилось в
результате передачи латинскими буквами термина «аль-джебр».
С XIV в. началось развитие алгебраической науки, осново-
положником которой стал аль-Хорезми.
Утверждая важное значение математики в решении при-
кладных задач, аль-Хорезми пишет: «... я написал «Краткую
книгу об алгебре и аль-мукабале», включающую в себя
сведения о простых и сложных проблемах арифметики, потому
что при разделе наследства, написании завещаний, разделе
имущества и при решении правовых вопросов, в торговле и
при заключении всевозможных сделок, а также при измерении
земли, прокладывании каналов, в инженерном деле и других
подобных делах эти знания необходимы людям».
Термин «аль-джебр» переводится как восполнение. Смысл
этой операции заключается в том, что если в уравнении
имеются отрицательные числа, они переносятся в другую
сторону уравнения с противоположным знаком, отчего она
«восполняется». Смысл операции «аль-мукабала» (противо-
поставление) заключается в приведении подобных членов,
207
взаимном уничтожении равных членов уравнения, находя-
щихся в обеих частях уравнения.
Пр и м е р 1. Применим способ аль-Хорезми для решения
уравнения 4х — 15 = 6 — 2х. По правилу «аль-джебр», перенесем
—2х из правой части в левую, а —15 из левой части в правую,
поменяв знаки на противоположные: 4х + 2х = 6 + 15, приведя
подобные члены, получим 6х = 21. Тогда, х = 21 : 6, х = 3,5.
Ответ: 3,5.
Пример 2. Решите уравнение 5(х — 1) — 10 = 4(х — 2)
способом аль-Хорезми.
Решение. Раскроем скобки: 5х — 5 — 10 = 4х — 8. Запишем
уравнение так: х + 4х—5 — 2 — 8 = 4х — 8.
По правилу «аль-мукабалы», члены 4х, — 8 в обеих час-
тях уравнения взаимно уничтожаются. Получаем уравнение
х — 5 — 2 = 0. Откуда по правилу «аль-джебр» х = 5 + 2, х = 7.
Ответ: х = 7.
.Тест^9у Проверьте себя!
1. Найдите произведение: 3,9 • (-0,5) • ].
А) 0,65 В) -0,65 С) 0,6 D) -0,6 2. Вычислите: 72,09 : (-9) + (-3,2) • 5. Е) 1,3.
А) -240 В) -2,401 С) 2,401 D) 24,01 3. Решите уравнение: 3(х + 1) - 5(х + 1) + 4. А) 2 В) -2 С) 1 D) -1 4. Решите уравнение: -2х + 3 - Зх + 8. Е) -24,01. Е) 3.
А) 1 В) -1 С) 0 D) 2 Е) -3.
208
5. Выполните действия: 9,6 • (-0,8) -90,72 : (-1,8) - (-7,2) • (-3) .
А) 35,8 В) -2,58 С) 2,58 D) 21,12 Е) -25,8.
6. Приметр прямоугольника равен 74 см. Длина больше ширины
на 4 см. Найдите длину и ширину прямоугольника.
А) 20 см; 17,6 см В) 19 см; 20,4 см С) 27 см; 18,4 см
D) 19,4 см; 18 см Е) 19,2 см; 17,8 см.
7. Сумма двух чисел равна 140. 8 % первого составляют 6 %
второго числа. Найдите эти числа.
А) 60; 80 В) 75; 65 С) 50; 90 D) 70; 70 Е) 40; 100.
8. Сумма двух чисел равна 140, а их разность 60. Найдите эти
числа.
А) 70; 70 В) 110; 30 С) 90; 50 D) 70; 70 Е) 80; 60.
9. На одной полке книг в 3 раза больше, чем на другой. Сколько
книг на каждой полке, если на обеих полках 108 книг?
А) 60; 48 В) 75; 33 С) 28; 80 D) 72; 36 Е) 81; 27.
Решение текстовых задач в курсе математики
6-го класса
1. Решение задач алгебраическим методом.
Вы уже знаете два способа решения задач: алгебраический способ
и арифметический способ. Первый из них рассматривался в трудах
классиков нашей науки уже в VIII в. нашей эры.
Преимущество алгебраического метода заключается в том, что
он позволяет решение разных по содержанию задач свести к
решению однотипных уравнений. В таких уравнениях участвуют
параметры (буквы), придавая которым определенные значения
находим, в качестве частных случаев, решение многих задач.
Продемонстрируем сказанное на примере решения задачи из
сочинения «Ключ арифметики» Гийяс ад-Дина аль-Каши.
14- Математика. 6 класс
209
Задача. Вес изделия, изготовленного из золота и жемчуга,
составляет 3 золотника, а стоимость — 24 динара. Сколько золотников
золота и жемчуга содержится в изделии, если золотник золота
стоит 5 динаров, а золотник жемчуга — 15 динаров?
Решение. Аль-Каши пишет, что «для решения задачи способом
«аль-джебр — аль-мукабала» вес, например, жемчуга в изделии
называем «вещью» (на современном языке «неизвестной х»). Тогда
вес золота в изделии будет «три минус вещь» (3 - х)».
Какова стоимость жемчуга в изделии? 15х.
Какова стоимость золота в изделии? 5 • (3 - х).
Затем ученый для нахождения х составляет (в современных
обозначениях) следующее уравнение:
15х + 5 (3 - х) = 24.
Это уравнение полностью отражает смысл задачи. Решим
его:
15х + 15 - 5х = 24; 10х = 24 - 15, 10х = 9,
х = 9 : 10, х = 0,9 (мискаль).
Тогда 3 - х = 3 - 0,9 = 2,1 (мискаль).
Проверка. 1) 0,9 + 2,1 = 3 (мискаль) — вес изделия;
2) 0,9 15 = 13,5 (динара);
3) 2,1 • 5 - 10,5 (динара); 4) 13,5 + 10,5 = 24 (динара) — цена
изделия.
Ответ, к изделии 2,1 мискаля золота и 0,9 мискаля жемчуга.
2. Решение задачи арифметическим способом.
Для решения задачи этим способом уравнение не составляется.
При этом способе к каждой задаче подходят особо и связь между
заданными в задаче величинами устанавливается при помощи
рассуждений и направляющих вопросов.
210
Аль-Каши предлагает для решения приведенной выше задачи
два арифметических способа. Приведем один из них.
Решение. 1-й вопрос. Какова была бы стоимость изделия,
если бы оно состояло только из жемчуга?
15 -3 = 45 (динаров).
2-й вопрос. Сколько динаров составляет разница между
стоимостью изделия из золота и жемчуга и изделия, изготовленного
только из золота?
45-24 = 21 (динар).
3-й вопрос. Какова разница между стоимостью одного
золотника жемчуга и одного золотника золота?
15 - 5 = 10 (динаров).
4-й вопрос. Сколько золота в изделии?
21 : 10 = 2,1 (мискаля).
5-й вопрос. Сколько жемчуга в изделии?
3-2,1 =0,9 (мискаля).
Ответ: в изделии 2,1 мискаля золота и 0,9 мискаля жемчуга.
Следующие задачи решите двумя способами: алгебраическим и
арифметическим (задавая вопросы, рассуждая и делая пред-
положения).
894. В кассе имеется 142 000 сумов купюрами номиналом
200 сумов и 500 сумов, всего 350 купюр. Сколько купюр
каждого номинала есть в кассе?
(895^) Несколько ребят решили в складчину купить футбольный
мяч. Если каждый из них вложит по 500 сумов, то для
покупки мяча не хватит 500 сумов. Если каждый вложит
по 800 сумов, то 1000 сумов останется. Сколько было
детей?
211
3. Еще об одном способе решения задачи.
Есть еще один, достойный внимания, способ решения задачи.
Этот способ известен с давних времен и приведен в «Ключе
арифметики» аль-Каши. Этот способ можно назвать способом
«обращения действий и их порядка». Решим задачу этим спосо-
бом.
Задача. Я задумал число, увеличил его в 5 раз и к произ-
ведению прибавил 15, результат разделил на 13. К 0,95 от частного
прибавил 7, получилось 26. Найдите задуманное число.
Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться
чертежом. В первой строке (рис. 50) записаны условия задачи, во
второй строке записаны действия, обратные тем, которые записаны
в первой строке; при этом в кружочке записаны результаты действий.
В кружочке, стоящем под первым кружком первой строки, записан
ответ задачи.
Рис. 50.
896. Абдулла задумал число, умножил его на 10, произведение
разделил на 15, из результата вычел 19. К 60% полу-
ченного числа прибавил 2,2 и получил 10. Найдите за-
думанное число.
897. {Задача аль-Каши.) Удвоив задуманное число, прибавили
к полученному числу 1. Сумму уйножили на 3, прибавили
212
к произведению 2. Затем полученное число умножили на
4 и к произведению прибавили 3, получилось 95. Найдите
задуманное число.
898) Ученик задумал число. Если его умножить на 12, прибавить
к произведению 69 и разделить полученное число на 9,
то в частном получится 41. Какое число задумал ученик?
4. Задачи, относящиеся к отношениям и пропорциям.
899. Масса лекарства 120 г. Оно состоит из 3 компонентов.
Компоненты смешаны в отношении 5:4:3. Сколько
граммов каждого компонента входит в состав лекарства?
5Ьо) Мастер работал с двумя учениками и заработал 400 000.
Эта сумма должна быть поделена между учениками и
мастером в отношении 2:3:5. Сколько денег получит
каждый из них?
901. Для пяти овец на 7 дней необходимо 105 кг корма.
Сколько корма потребуется для девяти овец на 8 дней?
5. Задачи на сохранение части.
902. В двух мешках 120 кг риса. 0,3 количества риса в первом
мешке в 1,125 раза больше 0,4 количества риса во втором
мешке. Сколько риса в каждом мешке?
903. Турист прошел 0,7 части пути. Сколько километров осталось
ему пройти до места назначения, если он прошел на 30 км
больше половины пути?
904. Сумма трех чисел равна 169,83. Если в одном из чисел
сдвинуть запятую на 1 разряд влево, то получится меньшее
из чисел. Если же сдвинуть запятую на 1 разряд вправо,
то получится большее число. Найдите эти числа.
90х) Разность двух чисел равна 2,5. Одно из них в 2,5 раза
больше второго. Найдите эти числа.
213
6. Задачи на проценты.
906. Фермер взял кредит в банке сроком на 1 год. Через год
он должен вернуть эти деньги банку, заплатив 10% годовых
за кредит. Сколько сумов фермер должен вернуть банку
через год?
^07^)Длину основания прямоугольника уменьшили на 10 см, а
высоту увеличили на 3%. В результате площадь прямо-
угольника увеличилась по сравнению с первоначальной
на 5%. Найдите основание нового прямоугольника.
7. Задачи про среднее арифметическое.
908. Среднее арифметическое нескольких чисел равно 25. Если
к этим числам добавить число 75, их среднее ариф-
метическое будет равно 35. Сколько чисел было перво-
начально?
909. Среднее арифметическое четырех чисел равно 10,4. Если
к этим четырем числам добавить еще одно число, то их
среднее арифметическое будет равно 11. Найдите
добавленное число.
^И(к)Дедушке Абдулхаку 90 лет, среднее арифметическое
возрастов всех его внуков равно 24. Если возраст дедушки
добавить к возрастам всех его внуков, то их среднее
арифметическое будет равно 26. Сколько внуков у дедушки?
8. Задачи на движение.
911. Автомобиль выехал из Ташкента в Самарканд. Пройдя
0,4 пути с намеченной скоростью, водитель увеличил ее
на 20% и прибыл в Самарканд на 20 мин раньше
намеченного. За сколько времени прошел автомобиль все
расстояние от Ташкента до Самарканда?
912. Из города А одновременно в противоположных направ-
лениях вышли два поезда. Скорость первого поезда 50 км/ч,
скорость второго на 20% больше. Каким будет расстояние
между поездами через 2,5 ч после начала движения?
214
(913д) Из двух кишлаков, расстояние между которыми 38 км,
навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Скорость
первого велосипедиста 13 км/ч, а второго — 12 км/ч. Через
сколько часов расстояние между велосипедистами будет
равно 13 км?
9. Задачи на работу.
Задача. Запланированную работу 15 рабочих могут выпол-
нить за 12 дней. Через 4 дня после начала работы на пятый день
на помощь к ним пришли еще пять рабочих. За сколько дней
была закончена оставшаяся часть работы?
Решение. Указанную работу примем за 1.
1) Если 15 человек выполнят работу за 15 дней, то 1 человек
выполнит ее за 12 • 15 = 180 дней;
2) 4: 12 = - , т.е. за 4 дня выполняется | работы.
1 2
3) Останется невыполненной 1 - - = - части всей работы.
4) Общее число рабочих на пятый день равно 15 + 5 = 20.
5) Если один человек выполнит работу за 180 дней, то 20
человек выполнят ее за 180 : 20 = 9 дней.
6) Если 20 человек выполнят задание за 9 дней, то оставшиеся
\ работы будут выполнены за 3Х- Д = 6 дней.
3 /5 ।
Ответ: 6 дней.
914. 10 человек могут выполнить всю работу за 8 дней. На
третий день к ним присоединились еще несколько рабочих,
и остаток работы был выполнен за 4 дня. Сколько рабочих
пришли на помощь?
915. Бассейн наполняется одной трубой за 5 часов, а второй
трубой за 8 часов. Какую часть объема бассейна наполнят
за 1 час две трубы, подавая воду одновременно?
(916 ) Один тракторист вспашет поле за 10 дней, второй то же
поле — за 12 дней, а третий — за 15 дней. За сколько дней
выполнят работу 3 тракториста, работая вместе?
215
Повторение пройденного материала
в 6 классе
Вычислите (917—918):
917. 1) 28,3-2,5 + 21,7-2,5;
2) 34,6 3,5 + 35,4 • 3,5;
918. 1) 2,8 (2,3 + 1,2);
2) 4,5-(1,8 + 3,4);
3) (12,8 - 3,4)-3,5;
3) 25,7-71,3 + 25,7-28,7;
4) 70,4-21,6 + 70,4-28,4.
4) (21,2 - 3,8)-2,5;
5) (6,3 - 2,8) • 4,6;
6) (4,9 + 6,6)- 1,4.
919. Поезд прошел 3 ч 20 мин со скоростью 72 км/ч и 2 ч 15 мин
со скоростью 60 км/ч. Чему равен весь пройденный путь?
920. Всадник проскакал 3 ч со скоростью 16,5 км/ч и 2 ч со
скоростью 14,5 км/ч. Найдите его среднюю скорость.
921. Найдите х, если среднее арифметическое чисел 18,6; 15,9
и х равно 17,1.
922. Найдите радиус окружности, если ее длина равна:
1) 25,12 см; 2) 50,24 см; 3) 9,42 см. Примите л = 3,14.
923. Выполните действия:
1) (8,28 : 1,8 + 3,42 : 3,6): 2,5 - (2,88 : 0,4 - 14,4 : 3,6) • 0,25;
2) (97,2 - 9,27): 4,5 + (20,16 + 21,6): 3,6 - 81,9:7,2-0,5.
924. Выполните действия:
1) 10,26:0,9 + 6,25-0,8 - 6: 2у;
2) 8,4+(2|Л):2|+9.б(14).
925. Периметр треугольника равен 25 см. Найдите длины сторон
треугольника, если они относятся как 1:2:2. Определите
вид треугольника.
216 <>•
926. Выполните действия:
1) 38 • (-3 + (-7)) + (-12): 3 - (-8);
2) (-28 + 24): (-2) • 6 - (-48): (-16) + (-10).
927. Решите уравнение:
1) 2х + Зх + 17 = 3,5 2; 3) 5(2х + 3) = 3(3х + 8);
2) 6х - Зх-27= 1,5-4; 4) 2(х - 6) = 3(1 - х).
928. У Динары 50 купюр достоинством по 100 и 200 сумов
на общую сумму 8000 сумов. Сколько купюр по 100
сумов и сколько купюр по 200 сумов имеется у Динары?
929. Сумма двух чисел равна 61. Одно из них умножили на 4,
а второе на 5. Сумма новых чисел равна 280. Найдите эти
числа.
930. Автомобиль марки «Матиз» проехал за первый час | на-
3
меченного пути, за второй час — $ пути, а в третий час—
оставшиеся 48 км. Какой путь проделал «Матиз» за 3 часа?
931. Вычислите удобным способом:
1) 28,4-3,1 - 2,5-28,4 + 0,6-21,6;
2) 3,8 • 9,6 + 3,5 • 9,6 - 6,8 • 19,2;
3) 52,8-7,4 + 1,1-52,8 - 8,5- 12,8;
4) 9,8 • 40,8 - 20,2 • 4,9 - 4,7 • 20,2.
932. Первому покупателю продали 30% имеющейся в магазине
ткани, 40% оставшейся ткани — второму покупателю, а
25% оставшейся после этого ткани — третьему. Сколько
осталось процентов от первоначального запаса ткани?
933. Найдите число х, если среднее арифметическое четырех
чисел 20,3; 18,7; 41,8 и х равно 26,5.
934. Когда у Муяссар спросили: «Сколько тебе лет?», она
ответила: «Через четыре года мне будет вдвое больше лет,
чем было 4 года тому назад». Сколько сейчас лет девочке?
217
ОТВЕТЫ
6. 1) 0,25; 0,75; 0,1875; 0,075. 7. 1) 1,01; 2) 0,125. 16. 8,1; 8,2;..., 8,9. 19. 13 м.
24. 1) 5. 6. 7. 8, 9; 3) 6. 7. 8. 9; 6) 5. 6, 7. 8, 9. 28. 1,234; 1,243; 1,324; 1,342;
1,423; 1,432. 31. 1) 1, 2, 3; 5) 4, 5, 6, 7, 8. 32. 1) 7, 8, 9; 5) 7, 8, 9. 33. 1) 0,7*** <
< 0,8; 3) **,9 > *,9; 5) **,* >*,**. 40. 4) 2,894 т. 41. 1000 л. 42. 1) 4,4 л. 52. 13,29 м.
55. 80,1 кг. 56. 151,8 га. 64. 15,4 дм. 65. 216,7 бад. 67. 1)х=3,07 при 10;
2) х = 0.007 при 6.937. 74. 16 см 76.41.1 тыс. кв. км. 77. 71,52 дм. 80. 2) 30.81;
4) 1,709. 88. 1) 1,73 ц; 3) 3.2 т. 90. 1) 60 кг; 2) 57,2 кг. 96. 6,1 м. 98. 1) 80,2 см.
68 см; 2) 12,2 см. 99. 5 звеньев. 100. 1) 19,152; 2) 58,6285. 101. х=4. 5. 6. 7. 8.
9, 10, 11, 12, 13, 14. 108. 21,3 км/час, 15,7 км/час. 118. 18 км. 119. 2) 27.
124.185 км. 130. 1) Каждый член последовательности меньше предыдущего
в 10 раз: 4785000; 478500; 47850; 4785; 478,5; 47,85; 4,785; 0,4785; 0,04785.
133. а) 2) 8,125 м3; 3) 0,01 м3; 4) 0,215 м3. 136. б) 1) 0,2 га; 4) 60 га.
138. 1) 861,35; 3) 0. 144. 1) 58,92. 145. 1) 17,683; 3) 48,33. 146. 1) Площадь
второго сада больше на 27.205 м2; 2) На ограждение для первого сада
материала нужно меньше. 148. 66,8 км. 151. 1) 276,6; 2) 51,9; 4) 191,545.
152. 2) 31.521; 3) 9,1. 159. Больше на 0,19 ah. 160. 2,1 мискаля золота, 0,9
мискаля жемчуга. 161. 3) 1387,5 см3. 164. 1) 160 кг; 3) 0,136 кг. 165. 64,8 дм,
246.0375 дм2. 172. 5 : 8. 173. 128 м; 10,08 соток. 176. 4) 5,2; 6) 7,49. 178. 55,8 см.
172, 98 см2. 183. 60,8 км/час; 571,52 км. 188. Масса золотого куба больше на
6,7373 г. 189. 0,125; 1,25; 12,5. 190. 3,3 м. 193. 70,4 км/час; 116,8 км 196. 1) 40 кг;
2) 120 кг. 200. 97,3 балла. 203. 3) 3,5. 207. 1,8. 208. 4,8 км/час. 213. 1) 12,8: 5.
215. 770 км/час. 218. 1.06 и 3.12. 221.528.63 дм2. 222. 1) 1,4; 2)5,5. 223. 1)4,2;
2) 15,2; 3) 1,5: 4) 10,5. 226. 20 км. 227. 4,9 км/час. 228. 39.52 см2. 230. 220 км.
233.1) 84.86.234.1) 5.6:2) 4.2.237. Через 1,5 ч. 242. 3) 172.67 км, т.е. приближенно
173 км. 243. 6) Приближенно 58 ц. 252. 1) 0,(2); 3) 0,(08); 6) 0,(013).
254.3) 1,(5) <х< 1,58(3); х= 1,56; 1.57; 1,571; 1,58;.... 258. 1.259.2) | >0.8(2).
266. 1. 269. 1) Нет, т. к. 1,3 дм + 2,7 дм = 4 дм < 4.5 дм. 272. 2) б) 22 см.
273. Прямоугольный треугольник. 275. Нет. т.к. сумма всех углов треугольника
равна 180°. 280.4) 25,05.281.4) 70.282.156 га. 284.1) 3287.3) 3 . 293.1) 2,5;
2) 0,75. 295. 1) 9. 296. В 1-м вагоне 45 т, во 2- м вагоне 60 т. 297. 160; 108.
299. 36 и 32. 300. 21,5 см. 301. 6,4 км. 302. 1) 4,64; 4) 2,12. 303. 1) 7; 3) 6. 306.9 см,
9 см, 14.4см. 309. 54 дм; 173,25 дм2. 312. 22. 314. 2) 18.84дм. 322. Не пройдет.
323. Площадь круга возрастет в 1,44 раза. 324. Площадь окрашенной
218
поверхности равна 3,44 см2, т.е. разности площадей квадрата и круга. 326. 0,5 дм.
328. 213,52 м. 335. 1) 9: 2; 4: 1; 2: 1. 337. 6) 2,2. 341. 1) 9:7; 1 : 2; 26 : 17.
348. За 2 часа. 353. 86,4 см’. 354. 1) 2,5. 356. Бесконечно много. 357. 1) 13; 4) 28.
361. 15,75 км. 364. 1) Да. возможно, т.к. 26 • 9 = 39 • 6. 373. 32 г. 383. 240; 270;
288. 384. 70 шт. 391. 48 см, 64 см, 88 см. 396. 6 км/час. 403. 1) 120; 150;
270. 404. 1) х = 6; 3) х = 4,5. 408. 16 рабочих. 409. За 4 дня. 412. 10 рейсов.
421. 102 км. 430. Через 0,3 часа. 431. 84 см. 432.1 : 500 000.440.0,809.448.600 км.
454. 2,23. 464. 19,2; 32.465.42 %. 466.450 сум. 471. 24; 7,2.483. 180 км. 485.400.
486. 10. 491. На 2% . 497. 40 км. 501. 40%. 507. 75%. 511. На 40%. 516. На 25%.
539. 1) Температура понизилась на 7°. 540. а + х = 21. 544. Осталось (а - Ь)
сумов. 1) 1400 сум. 546. Л(-5), Д(-3,5), С(-1), Д(1), £(3). 552. а) а < 0; б) а >0.
554. Точка С находится на 3 единицы слева, а точка D — на 5 единиц
справа от начала отсчета. 556. а) b < 0; б) b >0. 561. 2) +5 и 5 — не
противоположные числа; 3)-8 и 8 противоположные числа. 562. 1) 25 целых
чисел, 2) (2а- 1) целых чисел. 564. 1) 13, 14; 15; 16; 17; 18; 19. 569. 3) —24; 5) +91.
573. 4) Уравнение не имеет решений. 585. 2) Да; -2; -1; 0; 1; 2; 3. 586. 4) 0; 1;
2; 3. 596. 1) -99; 2) - 999. 601. 1) -1; 4) -5. 604. б) 12 + (-10) + (-!)> 0.
т. к. 12 + (-10) + (-1) = 1 > 0. 609. 3) -6; 4) 0. 610. 2) -10. 613. 3) -16.
614. 1) АВ= 4. 627. 6) х = 4. 629. 4) 120. 632. 2) -1. 640. 6) -2800. 641. 2) -156;
3) -540. 649. 1) 1. 659. 1) 28; 6) -420. 660. 2) х = -6. 669. 4) 5. 670. 4) 1408.
683. 1) -111: 2) 0.684. 2) 14,4) 168. 695. На 4 части. 703. 1) (0; 1). 706. (2.0); (-2; 0);
(0: 2); (0; -2). 735. Число 9 имеет наибольший модуль, число 0 —
наименьший. 741. 4) -*,*** > -**,9*. т.к. модуль числа в левой части
неравенства меньше модуля числа в правой части. 742. 4) 0; 1; 2; 3. 754. 1) -1,5;
3) 3.9. 755. 2) (+17) + (-9) - 8. 761. 1) Верно, т.к. 23,7 + (-34.2) =-10,5 < 0. 762. 72.16.
763. В конце дня осталось 22 900 сумов. 772. 3) -80. 775. 1) 0; 3) 37,2. 780. 38 .
О
34 103
784. 1) 9 — . 785. 2) 14 —. 787. 1) -13,2; 3) 6,6. 804. 2 дм; 0,21 дм2. 807. 1) -3. 814.
2) -8. 816. 1) 2) 11,8. 819. 1) -0,6. 828. 1) -Ц-. 831. На обратном
о 33
пути скорость автобуса была больше на 4 км/час. 833. 6) -3. 837. 1) 0,375.
846. 2) 2. 847. 2) у = 1. 848. 4) у = -0,65. 850. 5) 0,8ху. 852. 3) 1,46- 3.4.
857. 3) х = 6. 863. 72. 864. В 1- м шкафу— 86, во 2- м — 75. 3- м — 92 книги.
876.21000 сум. 877. - 0,94 и -6,25. 881. 1) 0*615. 888.986 т, 580 т. 895. 5.903.45 км.
904. 1.53; 15,3; 153. 910. 32.911. 4,5 час. 912. 275 км. 917. 1) 125. 928. 20 и 30.
929. 25; 36. 930. 210 км. 934. 15 лет.
219
ОГЛАВЛЕНИЕ
Повторение материала 5-го класса.........................3
ГЛАВА I. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
§ 1. Первоначальные сведения о десятичных дробях
Тема 1. Запись и чтение десятичных дробей..............6
Тема 2. Разрядные единицы десятичных дробей.........9
Тема 3. Сравнение десятичных дробей.................. 11
Тема 4. Выражение единиц измерения с помощью
десятичных дробей............................ 13
Тест 1. Проверьте себя'............................. 18
§ 2. Сложение и вычитание десятичных дробей
Тема 5. Сложение десятичных дробей.................. 19
Тема 6. Законы сложения..............................21
Тема 7. Вычитание десятичных дробей..................23
Тема 8. Упражнения на сложение и вычитание
десятичных дробей....................................25
Тест 2. Проверьте себя'..............................30
§ 3. Умножение и деление десятичных дробей
Тема 9. Умножение десятичных дробей
на н атуральные числа........................31
Тема 10. Умножение и деление десятичных
дробей на 10, 100, 1000..................... 34
Тема 11. Умножение десятичной дроби
на д есятичную...............................38
Тема 12. Законы умножения десятичных дробей...........41
Тема 13. Деление десятичной дроби
на н атуральное число........................45
Тема 14. Деление десятичной дроби на
деся тичную..................................48
Тема 15. Среднее арифметическое значение..............51
220
Тема 16. Упражнения на четыре арифметических действия
над десятичными дробями.............................55
Тема 17. Округление десятичных дробей................57
Тема 18. Обращение обыкновенных дробей в десятичные
Понятие о периодической дроби.......................59
Тема 19. Треугольники, их периметры, виды............65
Тема 20. Упражнения на четыре действия над
обыкновенными и десятичными дробями.................69
Тест 3. Проверьте себя ! ...........................74
Тема 21. Длина окружности и площадь круга............76
Тест 4. Проверьте себя !............................81
§ 4. Отношение и пропорция
Тема 22. Понятие об отношении........................82
Тема 23. Пропорции. Основное свойство пропорции......85
Тема 24. Прямо пропорциональные величины.............89
Тема 25. Обратно пропорциональные величины...........94
Тема 26. Масштаб.....................................98
Тест 5. Проверьте себя !.......................... 103
§ 5. Проценты
Тема 27. Понятие о процентах и промилле............ 105
Тема 28. Нахождение процента отданного числа....... 108
Тема 29. Нахождение числа по данному проценту...... 111
Тема 30. Процентное отношение двух чисел............ 115
Тема 31. Диаграммы................................. 117
Тест 6. Проверьте себя!........................... 123
ГЛАВА II. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 6. Положительные и отрицательные числа. Целые числа
Тема 32. Понятие о положительных и
отрицательных числах.............................. 124
Тема 33. Изображение положительных и
отрицательных чисел на числовой оси...... 127
Тема 34. Множество целых чисел. Противоположные числа ..131
Тема 35. Модуль числа.............................. 134
Тема 36. Сравнение целых чисел..................... 136
Тема 37. Сложение целых чисел...................... 138
221
Тема 38. Вычитание целых чисел........................143
Тема 39. Умножение целых чисел........................147
Тема 40. Законы умножения.............................150
Тема 41. Деление целых чисел..........................152
Тема 42. Раскрытие скобок и заключение в скобки.......155
Тема 43. Упражнения на четыре действия
над целыми числами.......................... 159
Тема 44. Перпендикулярные прямые.
Параллельные прямые..........................160
Тема 45. Координатная плоскость. Графики..............163
Тест 7. Проверьте себя !.............................168
§ 7. Сложение и вычитание рациональных чисел
Тема 46. Рациональные числа...........................170
Тема 47. Сравнение рациональных чисел.................174
Тема 48. Сложение рациональных чисел..................178
Тема 49. Законы сложения рациональных чисел...........182
Тема 50. Вычитание рациональных чисел.................184
Тест 8. Проверьте себя !...............................187
§ 8. Умножение и деление рациональных чисел
Тема 51. Умножение рациональных чисел..................188
Тема 52. Законы умножения рациональных чисел...........191
Тема 53. Деление рациональных чисел....................194
Тема 54. Коэффициент. Приведение подобных членов........198
Тема 55. Решение уравнений.............................201
Тема 56. Упражнения на четыре арифметических действия
над рациональными числами....................204
Тест 9. Проверьте себя !.............................208
Тема 57. Решение текстовых задач в курсе математики
6-го класса...........................................210
Повторение пройденного материала в 6 классе............216
Ответы .............................................218
222
22.1
М54
Мирзахмедов М. А., Рахимкариев А. А.
Математика: Учебник для 6 классов общеобразова-
тельных школ / М. А. Мирзахмедов, А. А Рахимкариев.З-е
переработ изд. — Т.: ИПТД «O'qituvchi», 2009. — 224 с.
I. Соавтор.
ББК22.1я72
MIRFAZIL ABDULXAKOVUCH MIRZAXMEDOV,
ABDUVAXOB ABDURAXMANOVICH RAXIMKARIYEV
MATEMATIKA
Umumta’Iim maktablarining 6- sinfi uchun darslik
(rus tilida)
Издание третье, переработанное и дополненное
Издательско-полиграфический
творческий дом «O‘qituvchi»
Ташкент — 2009
Перевод с узбекского Юсуповой Гульнары Эскендеровны
Редактор Г. И. Александрова
Худ. редактор Т. Каноатов
Технический редактор Т. Грешникова
Компьютерная верстка Ф. Хасанова
Корректоры Л. Бабаева, О. Вульф
Подписано в печать с оригинала-макета 2.06.2009. Формат 70х90'/|6.
Кегль 12 н/шп. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Усл. п. л. 16,38. Изд. л. 12,0. Обший тираж 36394. Заказ №62.
Издательско-полиграфический творческий дом «O'qituvchi» Узбекского агентства
по печати и информации. Ташкент, 129, ул. Навои, 30. //Ташкент, массив
Юнусабад, ул. Мурадова, дом 1.
Договор № 14—61—09.
МПТЕМПТИКП
' Л- ' ’ • ” '
Свободная продажа запрещен^
РЦКФ
© ИПТД ,,O‘qituvchi“
100206 Ташкент ул Мурллова. I
Тед.: (*49871) 224-04-12
Е mail: mf^oqiiiiv Jnaiz
V» еb -.1 te: ww-QQilUYChi.m