/
Автор: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Суворова С.Б. Нешков К.И.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика 8 класс
ISBN: 978-5-09-015964-7
Год: 2007
Текст
____
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
свойства степени с целым показателем
т • ап = а
m+n
(ab)
n = an-bn
т • пП
m-n
n
m n
ьп
(тип- целые числа, а * О, b * 0)
!*! ! — 1 L-L ИЦЦШИ ИМ1И1И LI ИГ 1 _
СВОЙСТВА арифметического квадратного корня
О, b >0
ь Vb
О, b>0
ФОРМУЛА КОРНЕИ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
D = Ь2-4ас
-b±VD
ЛГЕБРА
УЧЕБНИК
ДЛЯ 8 КЛАССА
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
Под редакцией С. А. ТЕЛЯКОВСКОГО
Рекомендовано Министерством
образования и науки Российской Федерации
15-е издание, доработанное
Глава I
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
Глава II
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
Глава III
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава IV
НЕРАВЕНСТВА
Глава V
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
Москва
«Просвещение»
2007
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
А45
Авторы:
Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк,
К. И. Нешков, С. Б. Суворова
Условные обозначения
— текст, который нужно запомнить
— материал, который важно знать
► — начало решения задачи
j — окончание решения задачи
• — начало обоснования утверждения или вывода формулы
О — окончание обоснования или вывода
11. — задание обязательного уровня
19.] — задание повышенной трудности
— упражнения для повторения
Алгебра : учеб, для 8 кл. общеобразоват. учреждений /
А45 [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суво-
рова]; под ред. С. А. Теляковского. — 15-е изд., дораб. — М. :
Просвещение, 2007. — 271 с.: ил. — ISBN 978-5-09-015964-7.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
ISBN 978-5-09-015964-7
© Издательство «Просвещение», 1989
© Издательство «Просвещение», 2007,
с изменениями
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2007
Все права защищены
a;
Г лава I
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
§ 1
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА
1. Рациональные выражения
В курсе алгебры 7 класса мы занимались преобразованиями це-
лых выражений, т. е. выражений, составленных из чисел и перемен-
ных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а так-
же деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются
выражения
7а2Ь, т3 + п3, (х - у)(х2 + у2),
2х;9.
В отличие от них выражения
4 _ Ъ х + у
2а + 1 ’ х2 ~ Зху + у2 *
п 5 о
3 тг + 1
помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат де-
ление на выражение с переменными. Такие выражения называют
дробными выражениями.
Целые и дробные выражения называют рациональными выра-
жениями.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих
в него переменных, так как для нахождения значения целого выра-
жения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных мо-
жет не иметь смысла. Например, выражение 10+ — не имеет смысла
а
при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
У
х - у
смысл. Выражение х +
имеет смысл при тех значениях х и г/,
когда х Ф у.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл,
называют допустимыми значениями переменных.
Выражение вида — называется, как известно, дробью.
b
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют
рациональной дробью.
Примерами рациональных дробей служат дроби
5 & - 3 хгу 3
а ’ 10 ’ х2 - ху ч- у2 * т2 - п2 *
В рациональной дроби допустимыми являются те значения перемен-
ных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби
5
а(а - 9) *
► Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обра-
щается в нуль, нужно решить уравнение а (а - 9) = 0.
Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допус-
тимыми значениями переменной а являются все числа, кроме
0 и 9. <1
(х — 2)2 — 25
Пример 2. При каком значении х значение дроби -------------рав-
2х + 6
но нулю?
а
► Дробь — равна нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и Ъ 0.
„ * (х - 2)2 - 25 ( „2
Числитель дроби---------— равен нулю, если (х - 2г = 25, т. е.
2х + 6
х - 2 = 5 или х — 2 = —5. Итак, числитель дроби равен нулю при
х = 7 и х = -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если
х -3. Значит, данная дробь равна нулю при х = 7. <
ИСААК НЬЮТОН (1643—1727) — английский физик, ме-
ханик, математик и астроном. Сформулировал основные
законы классической механики, открыл закон всемир-
ного тяготения, разработал, независимо от Лейбница,
основы математического анализа.
Глава I
Рациональные дроби
Какие из выражений — а2Ь, (х — у)2 — 4хг/, --
3 т — 3
8
2 _i_ ,f2 ’
2 2cib 2
------, (с + З)2 + — являются целыми, какие — дробными?
12 с
2.
Из рациональных выражений 7х2 - 2ху,
<7
° о
—- — 8 выпишите те, которые являются:
— т2--п2
а) целыми выражениями;
б) дробными выражениями.
3. Найдите значение дроби ~—- при у = 3; 1; -5;
” 4
4. Найдите значение дроби:
. а - 8 _ „
а) ----- при а = -2; б)
2а + 5
Ъ2 + 6
2Ь
при Ь = 3.
к Л (а + Ь)2 - 1
5. Чему равно значение дроби-------=—-— при:
12 , „ b
— , а(а - Ь) -
Ь За
-1,6; 100.
а) а = -3, b = -1;
б) а = 1|, Ь = 0,5?
6. Заполните таблицу:
X -13 -5 -0,2 0 1 17 сл со I to 7
х + 5 х-З
7. а) Из формулы v = - выразите: переменную я через v и t; пере-
t
менную t через я и и.
б) Из формулы р - — выразите переменную V через р и т.
8. Из городов А и В, расстояние между которыми я км, вышли
в одно и то же время навстречу друг другу два поезда. Первый
шел со скоростью км/ч, а второй — со скоростью v2 км/ч. Че-
рез t ч они встретились. Выразите переменную t через я, 14 и и2.
Найдите значение Л если известно, что:
а) я = 250, 14 = 60, v2 — 40;
б) я = 310, = 75, и2 = 80.
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
9. Составьте дробь:
а) числитель которой — произведение переменных х и у, а зна-
менатель — их сумма;
б) числитель которой — разность переменных а и Ь, а знамена-
тель — их произведение.
10, При каких
выражение:
значениях переменной имеет смысл рациональное
б)
а 4- 10
а(а - 1)
-1?
11. Укажите допустимые значения
\ 2 о \ б
а) х -8х + 9; в) —-—;
fil 1 \ X2 - 8
J 6х - 3’ Г) 4х(х + 1)’
переменной в выражении:
12.
Найдите допустимые значения переменной в выражении:
13. Найдите область определения функции:
х — 3
14. При каком значении переменной значение дроби ------ равно:
а) 1; б) 0; в) -1; г) 3? 5
15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:
16. Определите знак дроби — , если известно, что:
Ъ
а) а > 0 и & > 0; в) а < 0 и Ь > 0;
б) а > 0 и & < 0; г) а < 0 и 6 < 0,
17.
Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:
положительно;
(а - I)2
а2 + 10
неотрицательно;
б) —z---отрицательно;
у2 + 4
в)
(Ь - З)2
-Ь2- 1
неположительно.
Глава I
Рациональные дроби
6
18.
При каком значении а принимает наибольшее значение дробь:
ч 4 . «ч 10 9
а) а2+ 5’ б)(а-3)2 + 1?
119.
значении Ь принимает наименьшее значение дробь:
При каком
(ft - 2)2 + 16
20. Чему равно наибольшее значение дроби —«------------? Выбе-
4xz 4- 9 + у* + 4xi/
рите верный ответ.
1. Равно 0 2. Равно 1 3. Равно 2 4. Равно 3
21. Преобразуйте в многочлен:
а) (2а + 3)(2а - 3); г) (6 + 0,5)2;
б) (у - 5Ь)(у + 56); д) (а - 2х)2;
в) (0,8х + у)(у - 0,8х); е) (ab - I)2.
22. Разложите на множители:
а) х2 - 25; в) а2 -6а + 9; д) а3-8;
б) 16-е2; г) х2 + 8х + 16; е) fe3 + 27.
2. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей
Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следую-
щее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на
одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится.
Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, Ь и с верно pa-
fl ас
венство — — —.
b Ьс
Докажем, что это равенство верно не только при натуральных,
но и при любых других значениях а, & и с, при которых знаменатель
отличен от нуля, т. е. при b Ф 0 и с * 0.
а а
• Пусть — = т. Тогда по определению частного а = Ьт. Умножим
Ъ
обе части этого равенства на с:
ас — (Ьт)с.
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
На основании сочетательного и переместительного свойств ум-
ножения имеем:
ас = (Ьс)т.
Так как Ъс 0, то по определению частного
ас
Ьс
Значит,
—. О
Ъс
Мы показали, что для любых числовых значений переменных
а, Ь и с, где Ь Ф О и с 0, верно равенство
а ас
Ъ Ьс
(1)
Равенство (1) сохраняет силу и в том случае, когда под буквами
а, Ъ и с понимают многочлены, причем Ъ и с — ненулевые многочле-
ны, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.
Равенство (1) выражает основное свойство рациональной дроби:
иы* .'Лж'ЛКл гм... .ич* «ми» vmm< «шмг ммм мммг «изд» мьт лцмм. «м. wm *«*» nr»w »«<а iiI.h мгх
» если числитель и знаменатель рациональной дроби умно- \
I жить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится j
I равная ей дробь.
few- :-mv**.* r**.<u гчМаь «ядо -йвмгхг .ггХж vw»-’ «Ч** »г**Л
Например,
х + 2 __ (х + 2)(х + у)
х - 3 (х - 3)(х + у) ’
Это равенство верно при всех допустимых значениях перемен-
ных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тож-
дествами мы называли равенства, верные при всех значениях пере-
менных. Теперь мы расширяем понятие тождества.
<ГЛ“<wt iWTjll—
| Определение. Тождеством называется равенство, |
1 верное при всех допустимых значениях входящих в него |
| переменных. |
jonerjitrijm-- j in j fr'i'inic^ чч ry-crr.T-~Tir пп'.-^ги'п-пи-гг?т.~*»^г~г~-ьг ivt. “ • j.?i .ГТ —1Г1Т.Г|^т.та1|г mni vtirn-T-wi—
Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять
приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей.
Приведем примеры.
Глава I
Рациональные дроби
8 I
Пример 1. Приведем дробь
2х
к знаменателю З5у3.
► Так как З5у3 — 7у-5у2, то, умножив числитель и знаменатель
у
дроби — на 5у2, получим:
7у
2х __ 2х • 5у2 _ lOxt/2
7у 7у-5у2 35г/3
Множитель 5у2 называют дополнительным множителем к чис-
лителю и знаменателю дроби
2х
Ту'
Пример 2. Приведем дробь ----------к знаменателю х- 2у.
2у - х
► Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим
на -1:
5 _ 5 - (-1) _ -5
2у - х (2у - х) • (-1) х - 2у ’
Дробь-------можно заменить тождественно равным выражени-
х - 2у
5
ем--------, поставив знак «минус» перед дробью и изменив
х - 2у
знак в числителе:
Вообще
Bit СЭГЧ* 4MW ««44» > i4MM ЯЫГЯй* «ЯММ .-Ль-МЛ ГК»**-5 v
I если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дро- |
I би и знак перед дробью, то получим выражение, тождест- ।
| венно равное данному. ;
V* е'ЛМл* «МИ* т&а. мад .<«**** Я»м«* мвгаж шпага ейоМм 4м>««чг «асы**. ж**₽>г *****
— 9
Пример 3. Сократим дробь-----------------.
аЬ + ЗЪ
> Разложим числитель и знаменатель дроби на множители:
а2 - 9 _ (а + 3)(а - 3)
ab + ЗЬ Ь(а 4- 3)
Сократим полученную дробь на общий множитель а 4- 3:
(а + 3)(а - 3) _ а - 3
Ъ(а 4- 3) ” Ъ
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
Итак,
а2 - 9 _ а - 3
ab + 3b b
Пример 4. Построим график
х2 - 16
функции у = --------
ZX — о
► Область определения функции
х2 - 16
и =---------множество всех
чисел, кроме числа 4. Сократим
х2 - 16
в
2х - 8 '
дробь
х2 - 16 _ (х — 4)(х + 4) _ х + 4
2х - 8 ~ 2(х - 4) “ 2
Графиком функции у = ——— является прямая, а графиком
х2 - 16 „
функции у =---------та же прямая, но с «выколотой» точкой
2х — 8
(4; 4) (рис. 1). <J
23. Укажите общий множитель числителя и знаменателя и сократи-
те дробь:
. 2х 15х . 6а . 7аЬ . ~2ху . 8х2у2
Т » б) , В) , г) > Д/ к 2 ’ л х •
Зх 25у 24а 21Ъс 5х2у 24ху
24. Сократите дробь:
. Юхг 6ab2 . 2ау3 ~6p2q . 24агс2 . 63хгу3
а) Т7— *> б) в> г> Тз ; д> ---------• е> хо"б 4 ♦
15уг 9bc2 -4ab -2q Збас 42х°у*
25.
Представьте частное в виде дроби и сократите ее:
а) 4а2Ъ3 : (2а4Ь2);
б) Зху2 : (6х3у3);
в) 24p4g4 : (48р2д2);
г) 36/n2n : (18/пп);
д) -32Ь5с : (12&4с2);
е) -бах : (-18ах).
26. Сократите дробь:
"" . 4а2 7 х2у ч 56m2n5
д Xi ~2 ’ В) Ок 5~ ’
бас 21ху^ 35тпп°
25р4д
100pV
Глава I
i________
______ Рациональные дроби
I
10
27. Найдите значение выражения:
81в ф 8125
а> 1612 ’ °) 2733 ’
28. Сократите дробь:
а{Ъ ~ 2). «1 3(х+ 4).
’ 5(*-2)’ ' с(х + 4)’
ab(y + 3) .
а2Ь(у + 3);
15а (а - Ь)
20b (а - Ь)'
29. Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и со-
кратите ее:
За + 12* . 2а - 4 а - ЗЬ
&) с Z ’ В' J 2 о й ’
ОаЬ 3(а — 2) аг — За*
15* - 20с . 5х(у + 2) . Зх2 + 15ху
б) 77Т ’ г) Т----То-’ е) ГТ •
10* Оу + 12 х + Оу
30.
Сократите дробь:
а)
у2 - 16 .
Зу + 12 ’
в)
(с + 2)2
7с2 + 14с’
Ocd — 18с .
(d - З)2 ’
а2 + 10а + 25 _
Д) а2 - 25 :
е) У--9—.
’ у2 -Оу + 9
5х ~ 15У.
' х2 - Эу2 ’
31. Сократите дробь:
к а2 - ab + *2 „ а3 - *3
32.
Найдите значение дроби:
а)
15а2 - ЮаЬ
ЗаЬ - 2*2
при а = -2, * = -0,1;
б)
9с2 - 4d2 2,1
прис= S' d=2'
в)
г)
0х2 + 12ху 2
---- ? при х = -,
5ху + 10ir 3
х2 + бху + 9у2
4х2 + 12ху ПРИ Х =
у = -0,4;
-0,2, у = -0,6.
33. Сократите дробь:
х2 - 4х + 4 ф Зу2 + 24у ф
й) х2-2х ; °' у2 + 16у + 64
в)
а2 + а + 11
а3 - 1
г)
5 + 2
*3 + 8’
34. Представьте частное в виде дроби и сократите ее:
а) (9х2 - у2): (Зх + у); в) (х2 + 2х + 4): (х3 - 8);
б) (2а* - а): (4*2 - 4* + 1); г) (1 + а3): (1 + а).
§ 1. Рациональные дроби и их свойства <
35.
Сократите дробь:
б)
8а + 4Ь
2аЪ + Ь2 - 2ad - bd ’
. а2 + 2ас + с2
Г) “.
а£ + ас - ах - сх
36.
Постройте график функции:
, х2 - 25 „ х3 - 9х
б) у =
37.
Какой из графиков, изображенных на рисунке 2, является гра-
(1 — х)2
фиком функции у = ----?
х - 1
Из выражений
38.
У -У
а) тождественно равны дроби
— выпишите те, которые:
У
2 - 9
б) противоположны дроби —.
У
Глава I
Рациональные дроби
12
39. Упростите выражение:
.) в)
е)
40.
б)
(а - Ь)2 .
(Ь - а)2 ’
. а - Ь
I/ ТГ TjT’
(6 - ay
(а + Ь?
(-а - Ь)2 ’
Сократите дробь:
а(х - 2у)
Ь(2у - х) ’
г)
5х(х - у)
х3(у - х) ’
За - 36
12b - ab ’
Д)
е)
7b - 14b2
42b2- 21b’
25 - а2 .
За - 15’
3 - Зх
х2 — 2х + 1 ’
. 8Ь2 - 8а2
Ж а2 - 2аЬ + Ь2 ’
з) (Ь ~ 2)3
} (2 — Ь)2 "
Сократите дробь:
. ах + bx - ay - by .
bx - by
ab - 3b - 2а + 6
15- 5а
42. Упростите выражение:
. х6 + X4 _ у6 - у8 ч Ь7 - &10 с6 - с4
а X4 + х2 ’ 6 у4 - и2 ’ В ь5 - Ь2 ’ Г) с3 - с2 ’
43. Найдите значение выражения:
а8 4- а5 1 — Ь8
а) - - при а = б) -°—при Ъ = -0,1.
а? + а2 2 Ь - Ь
Сократите дробь:
(2а - 2Ь)2 (Зс + 9</)\
а) -----7—> б) ------7 >
- у-
(10х 4- 5z/)2
46.
Сократите дробь (п — натуральное число):
Г72п + 1 >
б) ---------------------------—
' 100-7
Докажите, что значение дроби не зависит
ральное число:
Зп + 2 - Зп
пл + 9 . о» 1
от
и, где п — нату-
3S
5 • 2п
п - 1
16« + 1 _ 2" + 4
< J -в \
47. Приведите к знаменателю 24а362 следующие дроби:
5^ 7а 1 2
8а3 9 ЗЬ2 9 2аЬ9 а2Ь2 ’
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
13
48. Представьте выражение 2а + Ь в виде дроби со знаменателе»!
равным:
а) Ь; б) 5; в) За; г) 2а - 6.
49. Приведите дробь:
а) —к знаменателю (а — Ь)2;
а - Ь
б) —-— к знаменателю х2 - а2;
х — а
в) ----к знаменателю 10 - а;
а - 10
г) —-— к знаменателю 4 - р2.
р-2
|50. Решите уравнение:
а) -5х = 16; в) ^-х = 4; д) 0,6х = 3;
о
б) 2х = г) 4х = -2; е) -0,7х = 5.
5
|51. Разложите на множители:
I а) 5Ьс - 5с; г) 5у-5х + у2-ху; ж) у2 -2у + 1;
| б) 10п + 15п2; д) а2-9; з) а3+ 64;
| в) 8ab + 12Ьс; е) х2 + 10х + 25; и) Ь3-1.
52. Расположите выражения
^:6, -^0,1, ~(-7)
16 16 16
о
; в порядке возрастания их значении.
Контрольные вопросы
2
3
Приведите примеры целых выражений; дробных выражений.
Какую дробь называют рациональной? Приведите пример.
Дайте определение тождества. Приведите пример.
Сформулируйте и докажите основное свойство дроби.
Сформулируйте правило об изменении знака перед дробью.
""I
I
Глава I
Рациональные дроби
14
I
СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ
3. Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями
При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменате-
лями складывают их числители, а знаменатель оставляют преж-
ним. Например:
2 3 2 + 35
7 + 7 ~ 7 ~ 7 ’
Таким же образом складывают
с одинаковыми знаменателями:
любые рациональные дроби
а b
с с
где а, Ъ и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.
Это равенство выражает правило сложения рациональных дро-
бей с одинаковыми знаменателями:
***»’- *-Ч*<5* . »!<> .1 - V-C .--ЛА' м-»,г.
• чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаме-
; нателями, надо сложить их числители, а знаменатель оста-
1 вить тем же.
ЛД1А >й*&М -**э*ч*- 2Л’*»*Л JIWW JV/ л’ ЛО' RAJ5V -амг'Ч. -V.***- -XXV. •'.'•X/V v < -
Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сло-
жению:
a b _ а - b
с с с
J Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одина-
; ковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби
вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить
i тем же.
Пример 1.
Сложим дроби
За - 7Ь
15аЬ
2а + 2Ъ
\5аЬ
и
За - 7Ь 2а + 2Ь _ За - 7Ь + 2а + 2Ь _ 5а - 5Ъ __ 5(а - b) _ а - Ъ
15ab + 15ab ~ 15ab ~ 15ab ~ 15аЬ ” ЗаЬ ’
i
§ 2. Сумма и разность дробей I
Пример 2. Вычтем из дроби
а2 + 9 - 6а
---- дробь -------
5а - 15 5а -
а2 + 9 6а _ а2 + 9 - 6а __ (а - З)2 _ а - 3
* 5а - 15 ~ 5а - 15 ~ 5а - 15 “ 5 (а - 3) “ 5 ’
Пример 3. Упростим выражение
х2 - 3 2 2х - 1
х2 + 2х х2 + 2х х2 4- 2х ’
► Здесь удобно сложение и вычитание дробей выполнять не после
довательно, а совместно:
х2 - 3 2 _ 2х - 1 _ х2 - 3 + 2 - (2х - 1) _
х2 + 2х х2 4- 2х х2 + 2х х2 + 2х
_ х2 - 1 - 2х 4- 1 _ х2 - 2х _ х(х - 2) __ х - 2
х2 4- 2х х2 + 2х х(х + 2) х + 2 ’
ример 4. Сложим дроби -----и----—.
2х - а а - 2х
► Знаменатели дробей являются противоположными выражения-
ми. Изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой
дробью. Получим
6х _ 6х
а - 2х 2х - а *
Теперь можно применить правило вычитания дробей с одинако-
выми знаменателями:
2х - а а - 2х
За 6х _ За - 6х _ -3(2х - а)
2х - а 2х - а 2х - а 2х - а
53. Выполните сложение или вычитание:
54. Представьте в виде дроби:
. т т-р х 7г/- 13 2у + 3
а) Б-----о ; -------;
2р 2р Юг/ Юг/
а + b а - 2Ь
б) —---------—
о о
8с 4- 25 5 - 2с
6с 6с
1
I
Глава I
Рациональные дроби
16
Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби:
б)
2х - Зу Hi/ - 2х
4ху 4ху
5а + b5 5а- 7Ь5 .
Sb Sb 9
а - 2 2а +5 3 - а
8а 8а 8а
11а - 2Ь 2а - ЗЪ а - Ъ
4а 4а 4а
56. Упростите выражение:
х 17 - 12х 10-х
а) -------+------:
5с — 2d 3d d - 5с .
4с 4с 4с
12р — 1 1-Зр
Зр2 Зр2 ’
‘2а 1 - 6а 13 - 8а
е)-----------------+------------
7 Ь b Ъ
57. Упростите выражение:
16 х2 За - 1 ЗЬ - 1
а) х-4" х-4; В) а2-Ь2 а2-Ь2'9
б)
а + 5
9
г)
х - 3 11
х2 - 64 + х2 - 64 ’
2а + b 2Ь - 5а .
(а - д)2 + (а - Ь? 9
13х + бу Их + 4у
(X + у)2 (х + у)2
58. Докажите, что:
(а + 6)2 (а - bf
а) выражение----------------тождественно равно 4;
ab ab
(а + б)2 (а - bf
б) выражение -?---=- + —=--=- тождественно равно 2.
а2 + б2 а£ + Ь6
59. Найдите значение выражения:
п2 43 7
а) — +------ при а = 10,25;
а — о а — о
9fe - 1 66-10 , _ „
б) Та—7 - Т2—гГ п₽и Ъ = 3>5-
Ьг - 9 б2 - 9
60.
Найдите значение выражения
а2 - 126 Заб - 4а
~2--------2-П₽И а = ~0’8’
а2 - Заб а2 — Заб
6 = -1,75.
61.
Нет ли в задаче лишних данных?
Упростите выражение:
5р 10q
2q - р + р - 2q’
Д)
е)
а2 +16 8а
а - 4 + 4 - а ’
х2 + 9 у2 вху
х - Зу Зу - х
§ 2. Сумма и разность дробей
I 17
62.
Выполните сложение или вычитание дробей:
оч 10Р 3_Р .
в)
2
б)
5b
а
За - b
а 3
Д) ^Г9 + 9^?’
V у2, , 1
b — а ’
2а - Ь Ь - 2а ’
63. Докажите, что при всех допустимых значениях х значение вы-
ражения не зависит от х:
ч Зх + 5 7х + 3 „ 5х + 1 х + 17
а)-------(------; б)--------f-------.
' 2х - 1 1 - 2х ' 5х - 20 20 - 5х
64. Упростите выражение:
х2_______25 х2 + 25 10х
й (х - 5)2 (5 - х)2 ’ (х — 5)3 + (5 — х)3 ’
65.
Преобразуйте выражение:
ч х2 8(х - 2)
В) 2 1 д 2 1 д ’
X -16 XZ - 16
66.
Пользуясь тождеством
суммы дробей:
64 - 2ab ( 2аЬ - а2
(а - в)2 + (8 - а)2 ‘
а
с
представьте дробь в виде
67.
б)
2ху
вау
Представьте дробь в виде суммы или разности дробей:
в)
2а
а2 - ЗаЬ
2
68. Представьте дробь----------в виде суммы двучлена и дроби.
п
Выясните, при каких натуральных п данная дробь принимает
натуральные значения.
ГА7С1 T-г (т - 1)(7П + 1) - 10
69J При каких целых значениях т дробь ----------------- прини-
т
мает целые значения?
Решите уравнение:
а) 3(5х - 4) - 8х = 4х + 9;
б) 19х - 8 (х - 3) = 66 ~ Зх;
в) 0,2(0,7х - 5) + 0,02 = 1,4(х - 1,6);
г) 2,7(0,1х + 3,2) + 0,6(1,3 - х) = 16,02.
Глава !
Рациональные дроби
18
п
71. Разложите на множители:
а) 8х4 - 16х3у; г) 18Ь2 - 98а2; ж) ab + 8а + 9Ь + 72;
б) 16ху5 + 1Оу2; д) х3-125; з) 6т - 12 - 2п + тп.
в) 8а2 - 50г/2; е) г/3+ 8;
72. Укажите допустимые значения переменной в выражении:
. За 2у 5х 7а
2а + 25 5 ' эТу2 ; В) Зх(х + 12) ’ Т) (а + 1)(а - 4) *
4. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями
Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаме-
нателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей
с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к
общему знаменателю.
Пример 1. Сложим дроби * и-----.
4ab баЬ
► Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее
простым общим знаменателем является одночлен 12а3&4. Коэф-
фициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному
коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взя-
та с наибольшим показателем, с которым она входит в знамена-
тели дробей. Дополнительные множители к числителям и зна-
менателям этих дробей соответственно равны ЗЬ3 и 2а2.
Имеем
х 5 _ х * 3d3 4- 5 • 2а2 ЗЬ?х + 10а2
4a?b + баЬ4 “ 12а3Ь4 12а364
Пример 2. Преобразуем разность ---------------7.
сг + ab ab + о
► Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каж-
дой дроби на множители:
а 4- 3 b — 3 _ а 4- 3 b ~ 3
а2 + ab ab + Ъ2 а (а 4- Ь) Ъ(а + Ъ) *
Простейшим общим знаменателем служит выражение ab (а 4- Ь).
Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих
дробей соответственно равны b и а.
§ 2. Сумма и разность дробей
i 19
Имеем
а + 3 6—3 __ а + 3 b — 3
а2 + ab ab + Ъ2 а(а + 6) Ь(а + 6)
(а + 3)b - (b - 3)а _ ab + 3b - ab + За _ 3(а + 6) _ 3
ab(a + b) ab(a + 6) ab(a + b) ab ’
Преобразование рационального выражения, которое является
суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преоб-
разованию суммы или разности дробей.
Пример 3.
Упростим выражение а - 1 -
► Представим выражение а - 1 в виде дроби со знаменателем 1
и выполним вычитание дробей:
. а2 - 3 а - 1 а2 - 3 (а - 1)(а + 1) - (а2 - 3)
а — 1-------=-------------= --------------------—
а + 1 1 а + 1 а+ 1
_ а2 - 1 - а2 + 3 _ 2
а + 1 а + 1
73. Представьте в виде дроби:
cd 3 2
4 12’ Г) 2х Зх’
8г/ 4г/ ’
17 г/ 25г/
24с 36с'
74.
Выполните сложение
оЧ 5г/ - 3 t у + 2
Ьу 4у
Зх + 5 х — 3 '
> 35х + 21х ’
или
в)
г)
вычитание:
Ь +2 Зе - 5 в
156 45с ’
86 + у бу + b
406 ЗОу
75. Преобразуйте в дробь выражение:
ч 15а - b а - 4Ь _ 7х + 4 Зх - 1
а) —Го-----п 5 б> -о------------а---•
12а 9а Sy бу
76. Выполните сложение или вычитание:
д)
е)
2а "36 4а - 56 .
a2b + ab2 9
х - 2у 2у - х
ху2 х2у
Глава I
Рациональные дроби
20
77.
Представьте в виде дроби:
4х3 6х2 9
1 - &2 2&3 - 1 #
* ЗаЬ + Gab2 ’
6х5
78.
79.
80.
81.
82.
83.
2
5аб
Зх6 ’
Преобразуйте в дробь выражение:
Ь - а + с - Ь с - а
ab Ьс ас ’
ЗаЬ + 2Ъ2 а + 2Ь - 2Ь
ab а Ь
аЬ ас
б) 2^-
а
Ьс 9
аЬ - а а2 - Ь2
Ь аЬ
Выполните вычитание
дробей:
ху
6>
зь
хг
Ъ — 2а
За
3m - п
2„3 ’
2п - т
Зт2п 2тп2
Преобразуйте в дробь выражение:
а2 ч
д) —
а
У
в) За -
2
а
Преобразуйте в дробь выражение:
2
Представьте в виде
. - а Ъ
дроби:
4а -
3
б)
12-—
а
а - 2
2 '
а - 3
Упростите выражение:
6) --2- —
Д)
2х - у х + -
4 + 12
6а - 4Ь
- 2.
(а - Ъ)2
ж) ----о----
2а
2Ь
§ 2. Сумма и разность дробей
21
84.
Представьте в виде
дроби:
2а + Г
2а
2а- 1
а а
а + 2 а - 2 ’
Р_____Р_
Зр-1 1 + Зр*
85. Преобразуйте в дробь выражение:
. Зх 2у ч 3 2
В) к/ \ л( . В) , >
5(х + у) 3(х + у) ах — ay by — Ьх
а2 Ь2 . 13с 12b
б) ez L\ Л/ >Л ’
5 (а - о) 4(а - о) bm - on сп - ст
86.
Выполните сложение
2х + 1 Зх - 2 ’
или вычитание дробей:
а а
В 5х - 10 + 6х - 12’
5b Ъ
Г) 12а - 36 48 - 16а *
87. Докажите, что при всех допустимых значениях у значение вы-
ражения не зависит от ух
а) 5^ + 3 _ 4. б) Иу+ 13 15у + 17
? 2у + 2 Зу + 3 ’ ' Зу - 3 4 - 4г/ *
88. Упростите выражение:
al — + - • 61 — - — - 4у
ах - х2 х - а9 2у2 - by b - 2у *
89. Упростите выражение:
. 1 1 1_______________________________1
а а2 + ab + ab + b2 * b2 - ab ab - а2*
90.
Преобразуйте
а) 1-
-
в дробь выражение:
п2
в) т - п 4----;
т + п
б)
а - Ъ
91. Выполните вычитание дробей:
ч О2 + За_________а_. у__________Зу______
ab - 5Ь + 8а - 40 Ъ + 8 ’ Зх - 2 бху + Эх — 4у — 6 ’
92.
Выполните сложение или вычитание дробей:
ч с Ъ2 -ЗЬс а-ьЗ 1
» 4" <2 2 ’ 2 1 2 *
Ь - с - cL 0й - 1 аг 4- а
Глава
Рациональные дроби
22
93. Преобразуйте в дробь
Ь-6 2
а) 4 - Ь2 + 2Ь - Ъ2 '
b _ 15b - 25а
db - 5а2 Ъ2 - 25а2
выражение:
. х - 12а 4а
В х2 - 16а2 4ах - х2 ’
v а - ЗОу______Юу
а2 - 100у2 Юау - а2 ’
94.
Упростите выражение:
4-х2 х + 1 л
16-х2 х + 49
(а + Ъ)2 (а - Ь)2 .
а2 + ab + а2 - ab 9
х2 - 4 х2 + 4х + 4
5х - 10 5х + 10
95. Упростите выражение и найдите его значение при х = -1,5:
х + 1 х + 2 • х + 2 14-х
~ ^19 х2 + Зх “ ^9 ’
96. Представьте в виде дроби:
4 3 12
а у + 2 у - 2* у2 - 49
g. а 3 а2
а — 6 а+6 36 - а2 9
X2 X + у
(х - у)2 2х - 2у 9
b а + Ъ
(а - b)2 b2 - ab ’
97. Преобразуйте в дробь выражение:
2а + Ъ 16а 2а - Ъ
a 2а2 - ab 4а2 - Ь2 2а2 + ab9
61 1 2 . 1 .
} (а-3)2 а2-9 (а ч-З)2 ’
. х - 2 6х 1
В х2 + 2х + 4 х8 - 8 + х - 2 ’
2а2 4- 7а 4- 3 _ 1 - 2а _ 3
а3-1 а2 + а + 1 а—1*
98. Упростите выражение:
1______1________2а
a а - 4b а+ 4b 16b2 - а2 ’
11а2
_ I _ I _ •
2Ъ -2а 2b + 2а a2b - ba ’
99. Докажите, что тождественно равны выражения:
§ 2. Сумма и разность дробей
23
iioo:
Докажите, что при любых допустимых значениях переменной
значение выражения:
3 х 3 jc2 ~~ 14 х *4“ 16
а)----------------------1- 2х является положительным числом;
х + 2 xz - 4
101.
является отрицательным числом.
Учащимся
х2 + 7х - 25
х - 5
была
в виде
поставлена задача: «Представить дробь
суммы целого выражения и дроби». Были
получены ответы:
7х
12х - 25
102.
Укажите неверный ответ.
Докажите тождество
Используя это тождество, упростите выражение
1
(х + 1)(х 4- 2)
1 1
(х + 2)(х + 3) (х + 3)(х + 4) ‘
103. Две речные пристани А и В расположены на расстоянии s км друг
от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в сто-
ячей воде равна и км/ч. Сколь-
ко времени t (ч) потребуется ка-
теру на путь от А до В и обратно,
если скорость течения реки рав-
на 5 км/ч? Найдите t при:
a) s = 50, v = 25;
б) s = 105, и = 40.
104. Туристы прошли 8 км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое
больший путь по проселочной дороге. Сколько времени t (ч) за-
тратили туристы, если известно, что по проселочной дороге они
шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите
t при s = 10, v = 6.
105. Функция задана формулой у = ----. Найдите значение функ-
3
ции при х, равном -2; 0; 16. При каком х значение функции
равно 3; 0; -9?
Глава I
Рациональные дроби
24
п
106. Постройте графики функций у = — 4х + 1иг/ = 2х-3и найдите
координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без по-
строения графиков. Сравните полученные ответы.
107. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т.
Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из вто-
рой, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во вто-
рой. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?
Контрольные вопросы
1
2
3
Сформулируйте правило сложения дробей с одинаковыми знаме-
нателями.
Сформулируйте правило вычитания дробей с одинаковыми зна-
менателями.
Как выполняют сложение и вычитание дробей с разными знамена-
телями?
ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ
5. Умножение дробей.
Возведение дроби в степень
При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно
их числители и их знаменатели и первое произведение записывают
в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например:
2 4 2*48
3 * 5 “ 3- 5 “ Тб*
Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:
а с _ ас
b'd~ bd'
где а, &, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые
многочлены. Это равенство выражает правило умножения рацио-
нальных дробей:
•I.H W» VWkMlW -"«ww» WXW* JV**. Пе&Лг-. wtaAi
j чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их
1 числители и перемножить их знаменатели и первое произве-
! дение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.
£
Зр». 'ЛОЛ* • -yw . *.х-**г •«’АЛ* MCrt&n wrcf .V4*. V
§ 3. Произведение и частное дробей
Пример 1. Умножим дробь
462
66
на дробь -х-*
(Г
► Воспользуемся правилом умножения дробей:
а3 66 _ а3 • 66 _ За
462 а2 462 - а2 26 ’
Пример 2. Умножим дробь -~—р на дробь —.
т тг - 4
► Имеем
рт + 2р рт2 __ р(т + 2) • рт2 р2т
т т2 - 4 т - (т - 2)(/п + 2) т - 2 *
Пример 3. Представим произведение
в виде рацио-
нальной дроби.
► Имеем
Пример 4. Умножим дробь--------на многочлен х2 - а2.
х - а
► При умножении дроби на многочлен этот многочлен записывают
в виде дроби и затем применяют правило умножения дробей:
х + а . 2 + а х2 - а2 _ (х + а)(х - а)(х + а)
• (х а ) • ~
х — а х - а 1 х - а
Правило умножения дробей распространяется на произведение
трех и более рациональных дробей. Например:
а с т __ ас т __ аст
6 d п bd п bdn
Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной
дроби в степень.
Рассмотрим выражение
являющееся
п-й степенью
рациональной дроби — и докажем, что
Глава I
Рациональные дроби
26
По определению степени имеем
( \п
a J _ а а а
Ъ ь' ' ъ\
п раз
Применяя правило умножения рациональных дробей и опреде-
ление степени, получим
п раз
а а а _ аа • • а __ ап
ъ'ь'"''ъ~ ъъ -... • ъ ъ*'
'---------' ----v--.
Л Раз л раз
Следовательно,
Из доказанного тождества следует правило возведения рацио-
нальной дроби в степень:
ЪОУЛ т. 'V •.Ti-.'S 'J» -s 'JH A-V-Pi’ -»p*-A - •
* чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень
I числитель и знаменатель и первый результат записать
в числителе, а второй — в знаменателе дроби.
»wv« маним. вм**л Mv. эсаг'ч:' . vjw.r г.- -' г*»*.-- -.v# •»<-
Пример 5. Возведем дробь
2а2
в третью степень.
► Воспользуемся правилом возведения в степень:
2а2 V (2а2)3 _ 8а6
VJ ~ (Ь4)3 ~
Упражнения
ШшМашшМММв
108. Выполните умножение:
ч 5 25 5а 7
п О ’ б' О 1Л ’
За 3 оу 10
109. Представьте в виде дроби:
— Зх 10 2,5 4а3
а) 4у ' Зх2 5 б) 2а2 ‘ 5Ь2 5
Ь2 5 ч 18 с3
— -; г) — • —.
10 Ь с4 24
Чпл 1
в) —- • 8Ь2; г) 14аЬ • „.
’ 245 21&3
110. Выполните умножение:
. 12 х3 8с2 1
^0 t 1 о ’ б) .« к л 2 ’
5х 12а 15/п 4cz § *
11а4 125 4п2 9т
6 а5 ’ Г Зт2 2
§ 3. Произведение и частное дробей I
!
27
111. Преобразуйте в дробь выражение:
26
5a3
•10a
112. Упростите выражение:
48х5 7у2
а) Wr16^;
. 18m3 22n4 .
lira3 9m2
72x4
25y5
35ax2 8ab
12Ь2г/ ’ 2 lx.г/ ‘
113.
Выполните умножение:
. Юх2у2 27а3
а)—
fil 2zn3
7 З5а362
13х . о
4т
114.
115.
116.
117.
7a2b
6m
9
3a2b2 ’
Упростите выражение:
. 2а2Ь Зх2у бах .
а Зху 4ab2 15b2 9
Возведите в
a)
Возведите в
х \ 2а
а) «2^3 ’
Представьте
6)
6т3п2
З5р3
49п4
™5_3
5m4 p2
42n6
степень:
За
б)
4
2
Ют
5
9а3
2b2
степень:
За2Ь3
s4
б)
9
Зтп3
2
2У3
в виде дроби:
/ _ л х 5
10m2
„2 „
з
Ь3с2
2
За3
118. Зная, что а--= 2, найдите
а
119. Выполните умножение:
х2 - ху у2
2 25
значение выражения а+ —.
аг
б)
Ь2
т — п
тп
9 ’
2тп
_ •
тп - т2 ’
4аЬ ах + Ъх л
2аЪ ’
2т
nb ~ па
5ху
сх + dx
та — mb
Зп2
ах - ау
1
Глава I
Рациональные дроби
28
I
120. Выполните умножение:
а) (За-15b)-
аг - 256^
б) (х2-4)--^;
(х + 2г
в> ЗйЬг»*2-4^
г> - »2)-
121.
Представьте в виде дроби:
а) Ху—
„2 । „3
+- а2
2»г2
б)
6а
2
2х - 2
Зах
122.
Упростите выражение:
X У2 - 16 5у
1 Юхг/ ’ Зу + 12 ’
б)
Ъ - а
а
ЗаЬ
а2-Ь2'
123. Представьте в виде дроби:
а2 - 1 1а-7Ъ. (х + З)2 х2-4,
а а - b а2 + а В 2х-4 Зх + 9 ’
Ъ2 + 2bc 5Ь + 15 (5 - у)2 у2 - 36
} Ъ + 3 ‘ Ъ2 - 4с2 ' Г' 2у + 12 ’ 2у - 10 ’
124. Найдите значение выражения:
ч 5тпп — т 16т2 - п2
а)-----------------, если т —
4m + п 5и - 1
(х + 2)2 2х + 6 __
б) —-------2—-, если х = 0,5;
Зх + 9 х - 4
125.
Выполните умножение:
. а2 - Ь2 2а - 6
Н а2 - За Ъ2 + 2аЬ + а2 ’
б)
bx + ЗЬ
х2- 25
25 - 10х + х2
ах + За
126. Представьте в виде дроби:
. тх2 - ту2 Зт + 12
а) ----------г----------5
2т + 8 ту + тх
ах + ау х2 - ху t
х2 - 2ху + у2 7х 4- Чу 9
в)
г)
127. Упростите выражение:
х2 - 10х + 25 х2 - 16 .
а) Зх + 12 2х - 10 ’
_ 1 - а2 а2 + 4аЪ + 4&2
б)--------------------;
4а + 86 3 - За
в)
г)
у2 - 25 Зу + 18 ф
у2 + 12у + 36 ’ 2у + 10 ’
Ь3 + 8 2Ь + 3
1852 + 27b ' b2 - 2b + 4 ’
§ 3. Произведение и частное дробей
29
128/ Докажите, что если дробь — является квадратом дроби, г.
о
и произведение ab можно представить в виде квадрата некот«
рого выражения.
п
129. Упростите выражение:
а2 - 4ас + ЗЪс а + ЗЬ а + 2с
а2 - ab + Ьс - ас Ь - а а — с
130. Первые 30 км велосипедист ехал со скоростью v км/ч, а ос-
тальные 17 км — со скоростью, на 2 км/ч большей. Сколько
времени t (ч) затратил велосипедист на весь путь? Найдите t,
если: a) v — 15; б) v = 18.
131. Выразите х через а и Ь:
х
а) Зх + b = а-, в) — + 1 = Ь;
а
б) Ь - 7х = а - &; г) b - = а.
6. Деление дробей
При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на
дробь, обратную второй. Например:
3 2 3 5 _ 15
8 ’ 5 ~ 8'2 “ 16’
Так же поступают при делении любых рациональных дробей:
а . с _ a d
b'd~b'~c*
где а, Ь, с и d — некоторые многочлены, причем Ь, с и d — ненуле-
вые многочлены.
Это равенство выражает правило деления рациональных дробей'.
Г**' **•*•. iiifi шамм ь —w лажа аыж «мйн «наш «м» та «м кця arw. вааъ Wia* о* дм» лз-
* i
• чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь I
> умножить на дробь, обратную второй. I
W I г-н. ««. МИ »* Ми .... И. ... ... Жг»1 ММ» 4'1 I МН «И >|. МП .М М. ЯНН . И. ня* М. ГМ. ЯНг- Тян дн*. .*> 1
Глава I
Рациональные дроби
30
Пример 1» Разделим дробь на дробь
Ь6 b
► Воспользуемся правилом деления дробей:
7а2 ф 14а _ 7а2 b _ а
'W ' ~1Г ~ l^ AAa ~ 2b2'
х_р X Ч" 1
Пример 2. Разделим дробь--------на дробь ----.
х х + 2
► Имеем
Пример 3. Разделим дробь-------на многочлен а + 3.
Зу
► При делении дроби на многочлен этот многочлен записывают
в виде дроби и затем применяют правило деления дробей:
а2-9 z а2-9 а+3 а2-9 1 а-3
----: (а + 3) =----:-------------------= -----.
Зу Зу 1 Зу а + 3 Зу
132, Выполните деление:
5m . 15m2 . а2 л ab
би ’ 8 ’ 12b ’ 36 ’
14 7х . Зх 1
J Эх*'' 2У2'9 Г) 10^: 5^;
д) : (22х2);
. nrr о 18а4
е) 27а3 : —;
ч 18 с“ /о 2^
ж) —- : (9czd);
la
з) 35х51/: —.
133.
Упростите выражение:
6х2 . Зх
5у ’ 10г/3’
10xzy /
21a2b}
18а2Ь2
5cd
ЭаЬ*
5c2d4 j
б> 21d2 ‘ 7d ’
134. Выполните деление:
6х2 в X
а m3n * Зтп2 9
35х2у 7 ху
§ 3. Произведение и частное дробей
31
135. Представьте в виде дроби:
Зх2 . 9х3 5у . 7р4 t Зр
а 5г/3 ’ 2у2 Зх ’ 10g3 14р2 * 4g4
136. Упростите выражение:
11т4 5т . 11п3 . 8х3 . 4х4 , 7х
а 6п2 6п3 ' 12m3 ’ 7У3 * 49г/2 * у2
137. Выполните деление:
т2 - 3m e 3m.
а) 8х2 : 87;
. 5 а2 а3
6b3 ад -72 ;
бах 8ах
- • — •
т2 - 2m ’ 3m - 6 ’
. а2 - ЗаЬ
д) ——— : (7а - 21&);
би
е) (х2-4у2):---------
X
ч ZO ь\2 4а3 “ а&2
ж) (2а - 6)2 :---------;
\ <лг\ 1 к \ ~ 3")2
з) (Ют - 15п):-------------.
138. Представьте выражение в виде дроби и сократите ее:
а) (х + Зу): (х2 - 9у2);
б) (а2 - баб + 9&2): (а2 - 962);
в) (х2 - 49у2): (49у2 + 14ху + х2);
г) (т - 4п)2 : (32п2 - 2т2).
139. Выполните действие:
х2 - ху . 2х
а) 9г/2 а/
2а3 - а2Ь 2а - b
збд2 :
в) (т2- 16n2): -3— —
тп
9р^ - 1 . 1- Зр
pq - 2q " Зр - 6 ’
140. Найдите значение выражения:
а) —---— : (2х - 2), если х = 2,5; -1;
х + 3
/О . еы 2а2~8Ь2
б) (За + 6&):----—, если а = 26, Ъ = -12.
а + b
141.
Выполните деление:
а)
Зх 4- 6г/
х2 - у2
5х + 10г/
х2 - 2ху + у2 ’
а2 + 4а + 4 4 - а2
• _______
16 - Ь4 4 + Ь2'
Глава I
Рациональные дроби
32
142. Упростите выражение:
ч а2 + ах + х2 а3 - х3 ар2 - 9а р + 3
а) х-1 :VTT; 6)
143. Из формулы — + - = - выразите:
а о с
а) переменную с через переменные а и 6;
б) переменную Ъ через переменные а и с.
п
144. Выполните действия:
2Ъ 5 4&2 + 9 .
2Ъ + 3 ~ 3- 2Ь 4£2 - 9 ’
с + 6Ь 2Ь Ъ
ас + 2bc - 6аЬ - За2 а2 + 2аЬ ас - За2
145. От пристани против течения реки отправилась моторная лодка,
собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 мин после вы-
хода лодки у нее испортился мотор, и лодку течением реки че-
рез 3 ч принесло обратно к пристани. Какова скорость течения
реки?
146. Из формулы у — — выразите:
а) переменную с через а, Ь и у;
б) переменную а через &, с и у.
147. В каких координатных четвертях расположен график функции
у = kx, если k > 0? если k < 0?
7. Преобразование рациональных выражений
_ fx-y2y^zoo9.
Рациональное выражение-----1----: (х- Зу ) представ-
\х + у X - у J
ляет собой частное от деления суммы рациональных дробей на
многочлен. Деление на х2- Зу2 можно заменить умножением на
дробь „ *—~. Поэтому преобразование данного выражения сводит-
х2 - Зуг
х - у 2у
ся к сложению дробей --, --- и умножению результата на
х + у х - у
дробь —--Вообще преобразование любого рационального выра-
х2 - Зу2
§ 3. Произведение и частное дробей
33
жения можно свести к сложению, вычитанию, умножению или
лению рациональных дробей.
Из правил действий с дробями следует, что сумму, разнос
произведение и частное рациональных дробей всегда можно предс
вить в виде рациональной дроби. Значит, и всякое рациональное :
ражение можно представить в виде рациональной дроби.
Пример 1. Преобразуем в рациональную дробь выражение
► Сначала выполним умножение дробей, затем полученный ]
зультат вычтем из многочлена х +1:
1) 1 *2 ~ 4 _ (х ~ 2><х + 2) _ * - 2
х + 2 х (х + 2) х х ’
Запись можно вести иначе:
Пример 2. Представим выражение
b а
а2 - ab ab - Ь2
а2Ъ 4- ab2
а2 4- Ь2
в виде рациональной дроби.
► Сначала сложим дроби, заключенные в скобки, затем найден-
о а2Ь 4- ab2
ныи результат умножим на дробь —5—-5— и, наконец, к полу-
ют 4- Ъ4
ченному произведению прибавим 1:
_ Ъ а _ Ь а _ Ъ2 + а2
а2 - ab^ ab - b2 а(а - b) + b(a - b) ab(a - Ъ) ’
Ь2 4- а2 а2Ь 4- аЪ2 _ (а2 4- Ь2) • ab(a + Ь) __ а 4- Ъ .
ab(a - Ь) а2 + b2 ab(a - Ъ) • (а2 4- b2) а - b’
а - b а - b а - b'
Глава I
Рациональные дроби
34
I
I
х_ _ У_
Пример 3. Представим выражение —--------в виде рациональной
—+ —-2
У х
дроби.
► Преобразование можно вести по-разному. Можно представить
в виде рациональных дробей отдельно числитель и знаменатель,
а затем разделить первый результат на второй. А можно умно-
жить числитель и знаменатель на ху9 воспользовавшись основ-
ным свойством дроби:
х2 - у2
х2 + у2 - 2ху
(х - у)(х + у) _ х + у
(х - у)2 х — у’
Пример 4. Пешеход отправился из поселка А на станцию В со
скоростью pj км/ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оста-
вил дома необходимые документы, и возвратился обратно в по-
селок со скоростью v2 км/ч. Взяв документы, он снова пошел на
станцию со скоростью v3 км/ч. Выясните, какой была средняя
скорость пешехода на всем пройденном им пути.
► Пусть расстояние АВ равно s км. Тогда на путь от А до В пеше-
S D Л S
ход затратил сначала — ч, на путь от В до А----ч, а на повтор-
ц v2
ное прохождение пути от А до В------— ч. На весь путь пешеход
Чз
8 S S —, Л _
затратил----1---1--ч. За это время он прошел 3s км. Теперь
V2 V3
можно найти среднюю скорость рср пешехода на всем пройден-
ном им пути:
= 3s
^СР 8 8 S ’
Pl V2 Pg
Сократив данную дробь
^ср
на s, найдем, что
3
Pi р2 р3
§ 3. Произведение и частное дробей
Мы получили формулу для вычисления средней скорости, ecj
известны скорости р15 и2, из на каждом из трех участков одинаковс
длины.
Из полученного равенства видно, что средняя скорость дв]
жения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей и
v2 и и3. Она вычисляется по более сложной формуле, которую назь
вают формулой среднего гармонического трех чисел.
Аналогично средняя скорость движения на двух участках пут
одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармоническс
го двух чисел:
где Vj и и2 — скорости на этих участках.
Средняя скорость движения на четырех участках пути одинако
вой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четы
рех чисел:
у2
Уз и4
где и2, v4 — скорости на этих участках.
Вообще если мы имеем некоторый ряд положительных чи-
сел а19 а2, ... , ап9 то среднее гармоническое этого ряда вы-
числяется по формуле
^2
Эту формулу иногда записывают в другом виде:
1 1
Из этой записи видно, что величина, обратная среднему гармо-
ническому нескольких положительных чисел, равна среднему ариф-
метическому чисел, им обратных.
'и
1
Глава I
Рациональные дроби
36
148. Выполните действия:
b3 а + b в
’ За + b ’
Ьу х2 - ху
х2 5у
149. Выполните действия:
150. Упростите выражение:
(2т + 1 2m-1^1 4т
а) I 2т-1 ~ 2m 4-1 ) ‘ Ют- 5 ’
х - З"
X + 3 ;
151. Выполните действия:
б)
X2 + у2
х2 - 25z/2 *
152. Выполните действия:
а2 - 25 1 а 4- 5 .
а а 4- 3 а2 4- 5а а2 - За ’
1 - 2х X2 4- Зх . 3 4- X
2х 4- 1 + 4х2 - 1 ’ 4х 4- 2 ’
Ъ - с ab - Ъ2 а2 - с2
_____ _ _ - •
а + b а2 - ас а2 - Ь2'
а2 - 4 ' а2 - 2а 2 - у
х2 - 9 ху + Зу х - 3 ’
153. Упростите выражение:
а) (а2+2а + 1)-
§ 3. Произведение и частное дробей
37
154. Выполните действия:
155. Упростите выражение:
f х - 2у 1 х + 2у (х + 2г/)2
чх2 + 2ху х2 - 4у2 (2у - х)2 , 4у2
156. Представьте в виде дроби:
. х + 2 Зх — 3 3
а х2 - 2х + 1 х2-4 х - 2 ’
а - 2 ( а а2+ 4
' 4а2 + 16а +’ 16 ’ \2а - 4 ” 2а2 - 8
1577] При каком значении а выражение
(0,5 (а - I)2 - 18)
\а- 7
принимает наименьшее значение? Найдите это значение.
158. При каком значении Ь выражение -------------— ---— прини-
(0,5£? 4" 9) + (0,55 — 9)^
мает наибольшее значение? Найдите это значение.
159. Докажите тождество:
а) 2Р~ У _ 1 . (р _ = 1.
РЧ Р + Ч кЧ Р) ч'
а + b а - b _ b Ъ2 - ab
2(а - b) 2(а + b) а - b а2 - Ь2
160-
Докажите тождество:
1,2х2 - ху _ 20х
а) 0,36х2 - 0,25г/2 ~ 6х + 5г/ 5
б)
4,5а + 4х 50
0,81а2 - 0,64х2 9а - 8х ’
Глава I
Рациональные дроби
38
161
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения не зависит от значений входящих в него
переменных:
ч ( 2аЪ
а) bri
2а
б)
х3 - ху2
v2 . , ,2
162. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения
У
2 ^2 „2
является натуральным числом.
163. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:
164.
165.
Упростите
выражение:
2а - Ъ 1
b + 1
б> 2а + Ь
b
в виде отношения многочленов
ab Ъс ас
дробь:
Представьте
б)
166. Выполните
подстановку
и упростите полученное выражение:
167.
х — a ab
----, если х — ----;
х - b а + b
Выполните подстановку и
а)
а + b
----, если а =
а - b
б)
а - Ъ
если х — ----.
а + Ъ
упростите полученное выражение:
а — b
а + Ъ
с
+ 3
б)
ах bx ab
, если х = .
а + х b - х-----------а - b
§ 3. Произведение и частное дробей
39
168. Найдите значение выражения:
а^_ fe2
.49 2,1
а) ---— приа=~, Ь = ~~;
а b 3 2
12 18
0,2а - b
б) —-----при а = -8, Ь =
СТ"
--ь2
25
[169.] При каких значениях х имеет смысл выражение:
170. Найдите среднее гармоническое чисел:
а) 3, 5; б) 2, 4, 8; в) 5, 10, 15, 20.
171. Из пункта А в пункт В автобус ехал со скоростью 90 км/ч. 1
обратном пути из-за ненастной погоды он снизил скорость
60 км/ч. Какова средняя скорость автобуса на всем пути слел
вания?
172. Мастер может выполнить заказ на изготовление деталей за 4
а его ученик — за 6 ч. За какое время они смогут выполни'
два заказа, работая совместно?
173. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошел на ль
жах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью 9 км/ч, з;
тем со скоростью 12 км/ч и, наконец, со скоростью 10 км/*
Какова была средняя скорость лыжника на всем пути?
4 i
|174. Найдите координаты точек пересечения с осью х и осью у гра
фика функции: а) у - — х - 2; б) у = -0,4х 4- 2. Постройте гра
* 2
\ фик этой функции.
|175. Напишите уравнение прямой: а) проходящей через точк^
(0; 4) и параллельной прямой у = Зх; б) проходящей через на-
чало координат и параллельной прямой у = —х - 8.
а 2
ч
5176. Изобразите схематически график функции, заданной форму-
; лой вида у = kx + Ъ, если:
a) k > 0, Ь > 0; в) k < 0, Ъ < 0;
I б) k < 0, Ь > 0; г) k = 0, Ъ > 0.
1177. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если
I меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то пе-
риметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Най-
I дите стороны данного прямоугольника.
Глава I
Рациональные дроби
40
Ц78. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу
| с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый
I поезд вышел на час раньше пассажирского и идет со скоростью
J 110 км/ч. Через сколько часов он встретится с пассажирским
? поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч?
8. Функция у - — и ее график
Пусть площадь прямоугольника, длина которого х см, а ширина
у см, равна 24 см2. Тогда зависимость у от х выражается формулой
24
У = — -
х
В этой задаче переменные х и у принимали лишь положитель-
ные значения. В дальнейшем мы будем рассматривать функции, за-
даваемые формулой вида у = —, в которой переменные х и у могут
эс
принимать как положительные, так и отрицательные значения,
причем k * 0. Такие функции называют обратными пропорциональ-
ностями.
• Определение. Обратной пропорциональностью на- ft
зывается функция, которую можно задавать формулой ft
вида I/ = —, где х — независимая переменная и к — не рав-
ное нулю число.
Областью определения функции у = — является множество всех
х k
чисел, отличных от нуля. Это следует из того, что выражение —
имеет смысл при всех х * 0.
Рассмотрим свойство обратной пропорциональности. Пусть хг
и х2 — значения аргумента (хг ^0, х2 * 0), а у1 и у2 — соответ-
ствующие им значения функции. Так как k * 0, то ух * 0 и у2 0.
Из формулы у = — следует, что х1у1 = k и х2у2 = k и потому верна
пропорция — = —, т. е. отношение двух произвольных значений
*2 У1
аргумента равно обратному отношению соответствующих значе
ний функции. С этим связано название функции — обратная про-
порциональность.
§ 3. Произведение и частное дробей
41
В повседневной жизни мы часто встречаемся со случаями, когда
зависимость между переменными является обратной пропорцио-
нальностью.
Приведем примеры.
Пример 1. Время t (ч), которое автомобиль, двигаясь со ско-
ростью v км/ч, затрачивает на путь, равный 450 км, вычисля-
, , 450 , _
ется по формуле t = —т. е. зависимость t от v является обрат-
ной пропорциональностью.
Пр им е Р 2. Масса т (кг) муки, которую можно купить на 85 р.
по цене р р. за килограмм, вычисляется по формуле т = —,
т. е. зависимость т от р является обратной пропорциональ-
ностью.
12
Построим график функции у = —. Для этого найдем значе-
ния у, соответствующие некоторым положительным значениям
и противоположным им отрицательным значениям х:
X 1,5 2 3 4 5 6 8 12
У 12 8 6 4 3 2,4 2 1,5 1
X -1 -1,5 -2 -3 -4 -5 -6 -8 -12
У -12 -8 -6 -4 -3 -2,4 -2 -1,5 -1
Рис. 3
Отметим в координатной плоскости
точки, координаты которых помещены
в таблице (рис. 3).
Выясним некоторые особенности гра-
12 m
фика функции у = —. Так как число нуль
не входит в область определения функ-
ции, то на графике нет точки с абсцис-
сой 0, т. е. график не пересекает ось у.
Так как ни при каком х значение у не
равно нулю, то график не пересекает
ось х. Положительным значениям х со-
ответствуют положительные значения у.
Чем больше положительное значение х,
тем меньше соответствующее значение у.
Например, если х = 10, то у = 1,2; если
х = 100, то у — 0,12; если х = 1000, то
Глава I
Рациональные дроби
у = 0,012. Значит, чем больше положи-
тельная абсцисса точки графика, тем
ближе эта точка к оси абсцисс. Для до-
статочно больших значений х это рас-
стояние может стать как угодно малым.
Чем ближе положительная абсцисса точ-
ки графика к нулю, тем больше ордина-
та этой точки. Например, если х = 0,03,
то у = 400; если х = 0,0001, то у = 120 000.
12
График функции у = — показан на
рисунке 4. Он состоит из двух ветвей,
симметричных относительно начала коор-
динат. Одна из этих ветвей расположена
в первой координатной четверти, а дру-
гая — в третьей. Такой же вид имеет
график функции у = — при любом k > 0.
ос
На рисунке 5 построен график
. 12 ~
функции у = ——. Он так же, как и гра-
, 12
фик функции у = —, представляет со-
ОС
бой кривую, состоящую из двух ветвей,
симметричных относительно начала ко-
ординат. Однако в отличие от графика
функции у = — одна из них лежит во
второй, а другая — в четвертой коорди-
натной четверти.
График функции у = — при любом
ОС
k < 0 имеет такой же вид, что и график
, 12
функции у = ——.
Рис. 4
Рис. 5
Я:?*/* ivCh,' *>.•*> члчл simw /ааЛЧ.
t Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональ- }
I ности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух
? ветвей.
• r«VA’u - •*».« v v <y.rv г^'Гт *.«глг -otar* at***.- • -..гл-.- •-v-c- ..>v*w .•л*'4*
ХвА&шшша
8
179. Функция задана формулой у = —. Заполните таблицу.
X ~4 -0,25 2 5 16
У -4 0,4
§ 3. Произведение и частное дробей
i
।
120
180. Обратная пропорциональность задана формулой у =------
полните таблицу.
X -1200 -600 75 120 1000
У -0,5 -1 0,4 1
181. Двигаясь со скоростью v км/ч, поезд проходит расстояние ме-
жду городами А и В, равное 600 км, за t ч. Запишите формулу,
выражающую зависимость: а) и от t; б) t от и.
182. Обратная пропорциональность задана формулой у = . Най-
дите значение функции, соответствующее значению аргумента,
равному 100; 1000; 0,1; 0,02. Определите, принадлежит ли гра-
фику этой функции точка А (-0,05; -200), В (-0,1; 100),
С (400; 0,025), D (500; -0,02).
183. Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональ-
ность. Задайте ее формулой, зная, что значению аргумента, рав-
ному 2, соответствует значение функции, равное 12.
184, На рисунке 6 построен график функции, заданной формулой
g
у = —. Найдите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 2; 4; -1;
-4; -5;
б) значение х, которому соответствует значение у, равное -4;
-2; 8.
—8
185. Постройте график функции, заданной формулой у = —. Най-
дите по графику:
а) значение у, соответствующее значению х, равному 4; 2,5;
1,5; -1; -2,5;
б) значение х, которому соответствует значение г/, равное
8; -2.
186. Постройте график функции у = — и, используя его, решите
уравнение:
187. Решите графически уравнение:
а) - = х2; б) - = х3.
'И________
Рациональные дроби
Глава I
Рис. 6
Рис. 7
1188.| Используя графические представления, выясните, сколько ре-
шений имеет уравнение:
а) £ = х2, где k > О; в) = х3, где k > 0;
Л» «А/
б) — = х2, где k < 0; г) — = х3, где k < О.
189. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см
и Ъ см и высотой 20 см имеет объем, равный 120 см3. Выразите
формулой зависимость Ъ от а. Является ли эта зависимость
обратной пропорциональностью? Какова область определения
этой функции? Постройте график.
190.
Задайте формулой обратную пропорциональность, зная, что ее
график проходит через точку:
а) А (8; 0,125); б) В\ U
3 5
в) С (-25; -0,2).
191. На рисунке 7 построен график зависимости времени, затрачи-
ваемого на путь из пункта А в пункт В, от скорости движения.
С помощью графика ответьте на вопросы:
а) Сколько времени потребуется на путь из А в В при скорости
движения 80 км/ч? 25 км/ч? 40 км/ч?
б) С какой скоростью надо двигаться, чтобы добраться из
пункта А в пункт В за 1 ч? за 4 ч? за 8 ч? за 16 ч?
в) Каково расстояние между пунктами А и В?
§ 3. Произведение и частное дробей
i 45
192. Определите знак числа Л, зная,
, k
что график функции у — — распо-
ОС
ложен:
а) в первой и третьей координат-
ных четвертях;
б) во второй и четвертой коорди-
натных четвертях.
193. На рисунке 8 построен график од-
ной из следующих функций:
Рис. 8
Укажите эту функцию.
194. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение дроби не зависит от значений этих переменных:
5(х - у)2 (Зх - бу)2
а> (Зу - Зх)2 ’ ’ 4(2у - х)2 ’
195. Упростите выражение
( 3________________________1 _ 12 А л х + 7
ч х + 2 х - 2 4- х2 J ' х - 2
196. Из формулы ~ ~ выразите:
а) х через у и z; б) г через х и у.
Контрольные вопросы
1
2
3
4
5
Сформулируйте правило умножения дробей.
Сформулируйте правило возведения дроби в степень.
Сформулируйте правило деления дробей.
Какая функция называется обратной пропорциональностью?
В каких координатных четвертях расположен график функции
у = — при к > 0? при к < О?
Глава I
Рациональные дроби
46
Для тех, кто хочет знать больше
9. Представление дроби
в виде суммы дробей
Сумму двух рациональных дробей, как известно, всегда можно
представить в виде несократимой дроби, у которой числитель и зна-
менатель — многочлены с переменными или числа (в частности,
число 1). Обратная задача — представление дроби в виде суммы
двух дробей — неопределенная.
4х2 — 16х + 1
Так, например, дробь ------—5----- можно представить в виде
4xz
суммы (или разности) двух слагаемых разными способами:
4х2 — 16х 4- 1 _ 4х2 - 16х 1 _ 4х(х -4) 1 _ х - 4 1 *
4х2 4х2 4х2 4х2 4х2 х 4х2 ’
4х2 - 16х + 1 _ 4х2 1 - 16х _ 1 1 - 16х
4х2 4х2 4х2 4х2
4х2 - 16х + 1 _ 4х2 + 1 16х _ 4х2 +1 4
4х2 4х2 4х2 4х2 х
Вообще задача представления дроби в виде суммы дробей допус-
кает сколь угодно много решений. Действительно, если требуется
представить дробь — в виде суммы двух дробей, то в качестве одного
b
с
из слагаемых можно взять произвольную дробь —. Тогда вторая
d
„ ~ ас ad - Ъс
дробь будет равна разности — - —, т. е. равна дроби ———.
о d bd
Для представления дроби в виде суммы дробей можно восполь-
зоваться методом неопределенных коэффициентов. Разъясним на
примере, в чем состоит этот метод.
Пример 1. Представим дробь ------------— в виде суммы дробей
(х - 3)(х + 4)
со знаменателями х - 3 и х + 4.
► Допустим, что
(х - 3)(х +4) х - 3 х + 4*
Сложим дроби в правой части равенства:
а b _ а(х + 4) + Ь(х - 3) _ (а + Ь)х + (4а - ЗЬ)
х~- 3 + х+4 “ (х - 3)(х + 4) ~ (х - 3)(х + 4)
Для тех, кто хочет знать больше j
47
Получаем, что
7х _ (а + Ь)х + (4а - 36)
(х - 3)(х + 4) ~ (х - 3)(х + 4)
Это равенство будет тождеством, если а + b = 7 и 4а - ЗЬ = 0.
Решив систему уравнений
а + b = 7,
4а - 36 = 0,
найдем, что а = 3, Ъ — 4.
Следовательно,
7х
(х - 3)(х + 4)
Приведем теперь примеры задач, при решении которых ис-
пользуется представление дроби в виде суммы целого выражения
и дроби.
Пример 2. Найдем все пары целых чисел, удовлетворяющие урав-
нению х — ху + Зу = 5.
► Выразим из уравнения переменную х через у:
г» - 3l/ - 5
Выделив из дроби-------целую часть, получим
У - 1
У - 1 У ~ 1’
Значение дроби----является целым числом, тогда и только то-
У - 1
гда, когда у - 1 = -2, у - 1 = -1, у - 1 - 1, у - 1 - 2. Отсюда
у = -1; 0; 2; 3. Вычисляя соответствующее значение х, получаем
искомые пары целых чисел: (4; -1), (5; 0), (1; 2), (2; 3). <3
Пример 3. Найдем, при каких значениях п значение дроби
л2 — 2п - 10
-------------является целым числом.
п - 5
Представим дробь
п2 - 2л - 10
л - 5
в виде суммы многочлена и дроби.
Для этого многочлен п2 - 2п— 10 разделим на двучлен п - 5. Де-
ление выполним уголком аналогично тому, как выполняется де-
ление натуральных чисел.
Глава I
Рациональные дроби
48
п2 - 2п - 10
п2 - 5п
п - 5
п + 3
Зп - 10
Зп - 15
В результате получаем, что частное равно п + 3, а остаток ра-
вен 5.
Значит,
п2 - 2п - 10 = (п - 5)(п + 3) + 5.
Отсюда
п2 - 2п - 10
п — 5
Значение двучлена п 4- 3 при любом целом п является целым
числом.
о 5
Значение дроби---является целым числом тогда и только то-
п-5
гда, когда п- 5 равно 1, —1, 5 или -5.
Значит, дробь
и2 - 2п - 10
п - 5
принимает целые значения при п,
равном 0, 4, 6 и 10. <0
j 197.1 При каких значениях а и Ь равенство
6х _ а b
(х - 1)(х + 2) х — 1 х - 2
является тождеством?
198. Представьте дробь ----------
(х 4- 4)(х - 2)
знаменателями х 4- 4 и х - 2.
в виде суммы двух дробей со
199. Представьте дробь —5---в виде суммы двух дробей со знамена-
xz - 1
телями х — 1 и х 4-1.
200.
Выясните, при каких целых а дробь
а2 - 4а + 1
а - 2
принимает це-
лые значения, и найдите эти значения.
Для тех, кто хочет знать больше
[201] Зная, что т — целое число, найдите целые значения дроби:
ч т2 - 6m + 10 (т - 4)2
а) -------; б) --------------—.
тп — 3 тп - 2
[202.1 Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:
а) 5х + у - ху = 2; б) ху - х + у = 8.
203J Найдите все точки графика функции у =
с целочис-
ленными координатами.
|204.] Докажите, что при любом целом а, отличном от нуля, значение
5а2 + 6
дроби —-----не является целым числом.
az 4- 1
[205.] Найдите все пары натуральных чисел а и &,
сумма обратных им чисел равна —.
[206.1 Найдите значение дроби
Зх2 - ху 4- би2
------5----—, если
У2
если известно, что
У
[207.] Зная, что а-*-- = 11, найдите значение дроби
а
(а - 3d)2
Ъ2
Дополнительные упражнения к главе I
208.
К параграфу 1
Найдите значение дроби:
. 51+ 172 372 + 111
а) Т»': б) —
209. Расстояние между городами А и В равно 600 км. Первый поезд
вышел из А в В и шел со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вы-
шел из В в А на 3 ч позже, чем первый из А, и шел со скоро-
стью v км/ч. Поезда встретились через t ч после выхода перво-
го поезда. Выразите v через t. Найдите скорость v при t = 7;
при t = 6.
210. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
Глава I
Рациональные дроби
50
211. Составьте какую-либо дробь с переменной х, которая имеет
смысл при всех значениях переменной, кроме:
а ) х = 2; в) х — -3 и х — 3;
б ) х — О и х = 3; г) х = — — и х =
7 ’ 2 2
212. Укажите область определения функции:
213. Сократите дробь:
а)
а 00а
б)
аОаО
101
214. Сократите дробь:
(За - Зс)2 . Sy8- 1 .
} 9а2-9с2’ ' у - 4г/3 ’
_ (а2 - 9J2 5а2 - ЗаЬ
} (3 - а)3 5 Г) а2 - 0,36Ь2 ‘
215. Сократите дробь:
а2 - 4а + 4
а а2 4- ab - 2а - 2Ь9
в)
г)
а2 + 4аЬ + 4Ь2 .
а3 4- 8b3
27Х3 - у3
18х2 4- Ъху 4- 2у2 ’
216. Выполните сокращение:
Ь14 - Ь1 + 1 х(у - z)~ у(х - г)
а) Ь21 + 1 ; х(у-z)2~y(x-z)29
х33 - 1 а(Ь 4- I)2 -Ь(а 4- I)2
х33 4- х22 4- х119 Г а(Ь 4- 1) - Ь(а + 1)
х2 “ 2у2
217. Докажите, что если в дроби —5------- переменные х и у заме-
Зу2 4- 5хг/
нить соответственно на kx и kyy где k =£ 0, то получится дробь,
тождественно равная первоначальной.
218. Известно, что а - Ъ = 9. Найдите значение дроби:
ч 36 108 ч (5а - 5Ь)2 ч а2 4- аЬ 4- Ъ2
а) 1---б) 77----------в> ----------’ г> -----------Тз—*
(а - Ь)2 (Ь - а)2 45 а6 - Ъ6
219.-Докажите, что если — = -
----- b с
то а — Ъ - с.
Дополнительные упражнения к главе I
i 51
К параграфу 2
220. Упростите выражение:
а2 Ъ2
а2 - Ъ2 + Ъ2 - а2 *
х2 - 2х 2у - у2
у2 - х2'
221. Докажите, что тождественно равно многочлену выражение:
(а + х)2 2а + 2х Ь2 - 9с2 2(Ь - Зс)
а + х - 2 а + х - 2 ’ Г)6+Зс-2 + 2- 6-Зс’
[222.1 Докажите, что если правильная обыкновенная дробь — несо-
b
кратима, то дробь, дополняющая ее до единицы, также несо-
кратима.
223. При каких натуральных п является натуральным числом зна-
чение выражения:
ч п + 6 _ 5п - 12 36 - п2 о
а) ---; б) --------; в) -----2—?
п п тг
224. Найдите значение выражения, зная, что — = 5:
а) И4; б) в) г)
У у X X
225. Зная, что — 3, найдите значение выражения:
У
226. Выполните сложение или вычитание дробей:
3d2 -56-1 56-3. 1 + с с3 + г/4 .
а b2y * by 9 В с3 у4 c2ys
б)
227. Представьте в виде дроби:
ч х - у ч ab + ас + Ьс
а) х + у + ——; в) а----—-----;
4 а + b + с
б) т + п -
Глава I
Рациональные дроби
228. Упростите выражение:
ч тп + 1 тп - 1 _ х + 4а а - 4х
а)------1------; б)-----------------.
т + п т — п За + Зх За-Зх
229. Упростите выражение:
2t/2 - у _ 2у^_у_____1 . 6а_________8
, 1 , 1,1’ ’ 2,25а2 — 0,64 6а - 3,2'
У -У + 4 У2 + У+ 4 У2 - 4
230.1 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных
значение выражения равно нулю:
1 1 1
(а - b)(b - с) + (с - а)(а - Ь) + (Ь - с)(с - а) *
231. Упростите выражение:
5 1 4*/-18.
а у - 3 + у + 3 у2 -9
„ 2а 5 4а2 + 9
б)--------1--------------"
7 2а + 3 3 - 2а 4а2 - 9 ’
4т 2т + 1 2т - 1 .
4т2 - 1 6 т - 3 + 4т + 2 ’
232.
Докажите, что тождественно
равны выражения
ах 4- by Ъх — ау а2 + Ь2
(а - д)(х + у) (а + Ь)(х + у)™ а2 -Ъ2'
233.
Упростите выражение:
а(а - Ь)(а - с) b(b - с)(Ь - а) с(с - а)(с - Ь)
х2 и2
б)---------------+-------£-------
(х - у)(х -г) (у - х)(у - z)
г2
(г - х)(г - у) ‘
234.
Представьте дробь в виде суммы или разности целого выраже-
ния и дроби:
в)
а2 + 7а + 2
а + 6
г)
ЗЬ2 -105-1
Ъ-3
235.
тождественно равны выражения:
При каком значении а
Дополнительные упражнения к главе I
236.
Представьте дробь в виде суммы или разности целого выраже-
ния и дроби:
ч 5х -2х
а) ---б) ---------;
2х
237.
При каких целых п значение дроби является целым числом:
а)
5п2 + 2п + 3
______ •
п
в)
Зп
п + 2’
г)
7п
п — 4
ЙЧ (П - З)2 ,
б) ----------;
?
L238;
Найдите такие значения а и
дество:
5х _ а д
(х - 2)(х + 3) ~ х- 2 + х + 3 9
5х + 31 а b
' (х - 5)(х + 2) ” х - 5 х + 2*
при которых выполняется тож-
К параграфу 3
239. Упростите выражение:
а2 + ах + ab + Ъх а2 - ах - bx + ab .
а2 - ах - ab + bx а2 + ах - bx - ab*
х2 - bx + ах - ab * х2 + bx + ах + ab
х2 + bx - ах - ab х2 - bx - ах + ab'
24O.i
Докажите, что
2
жения —
тп
т
если т*п, 0 и 0, то значение выра-
1 т2 + п2
не зависит от значении пере-
п------(т- п¥
менных.
[241J Докажите, что при любом целом а и дробном х значение выра-
жения
является четным числом.
242.1 Докажите, что при любом значении х, большем 2, значение вы-
ражения
является отрицательным числом.
Глава I
Рациональные дроби
54
243, Упростите выражение:
ч , ab (а + Ъ ,
a) ab +----------а - Ъ ;
а + b\a-Ъ )
б) +4-;
\х£ + ху ) х - у х + у
Г 1 2 1 'l 4а1 2 * * + 4аЬ + Ь2 .
В) Ц2а - fe)2 + 4°2 -Ъ2 + (2а + Ь)2 ) ’ 16а
244.
Упростите выражение:
245. Докажите тождество
1 6g 2 _ 1 f р2 + 4g2 j
p-2q + 4q2-p2 р + 2q 2р I р2 - 4g2 +
246.
Одно из тождеств, приведенных знаменитым математиком
XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
а (а3 + 2Ь3)
а3 - Ь3
Докажите его.
247.
Докажите, что при всех допустимых значениях
значение выражения
переменных
3 2 л ъ. . ,2
2° ~ 2а& + 36b
1 2 1 а2 , I г.
4а - 96 4а + 2Ь
не зависит от а и Ь.
248.| Представьте в виде рациональной дроби:
t
Дополнительные упражнения к главе I
I
55
249. । При каких значениях х имеет смысл выражение:
а) б) --------?
Зх 1
х2 - 4 1 1
х
250. Автомобиль проехал от пункта А до пункта В. До пункта С, на-
ходящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч,
а далее из С в В — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю
скорость автомобиля на всем пути следования.
251. Три вязальщицы получили одинаковые заказы на изготовле-
ние салфеток. Первая из них может выполнить заказ за 8 ч,
вторая — за 9 ч, а их ученица — за 12 ч. Они объединили за-
казы и стали выполнять их совместно. Через сколько часов ра-
бота была закончена?
1252.| Докажите, что если z является средним гармоническим поло-
жительных чисел а и 6, причем а Ф Ъ, то верно равенство
1
z - а
z - b
253. Известно, что точка Р(-9; 18) принадлежит графику функции,
заданной формулой вида у = —. Найдите значение k.
254.
Принадлежит ли графику функции у —
1
— точка:
а) А (40; 0,025);
в) С 0,016;
б) В(0,03125; 32); г) В(0,125; 0,8)?
255. Известно, что график функции у — —
проходит через точку
А (10; 2,4). Проходит ли график этой функции через точку:
а) В(1; 24); б) С
в) D (-2; 12)?
[256J Найдите область определения функции и постройте ее график:
36 . 16
a) V ~ (х + I)2 - (х - I)2 ’ У ~ (2 - х)2 - (2 + х)2 ’
18 - 12х 6
б) у = —— --------------;
хг — Зх 3 — х
Зх(х + 1) - Зх2 + 15
х(х + 5)
Глава I
Рациональные дроби
56
257.1 Постройте график функции:
258 . Докажите, что функция, заданная формулой у = —, является
5х
обратной пропорциональностью, и укажите коэффициент об-
ратной пропорциональности.
£59.
Изобразите схематически график функции:
260 .! При каких значениях k и Ь гипербола у = — и прямая у = kx + b
проходят через точку:
а) Р(2; 1); б) Q(-2; 3);
в) Я(-1; 1)?
2617] Могут ли графики функций У — — и у = ах+ Ь пересекаться:
а) только в одной точке;
б) только в двух точках;
в) в трех точках?
262.1 Могут ли графики функций у = —
и у = ах + Ь пересекаться
в двух точках, лежащих:
а) в одной четверти;
б) в первой и второй четвертях;
в) в первой и третьей четвертях?
Дополнительные упражнения к главе I
57
Глава II
КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
§4
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
10. Рациональные числа
В курсе математики мы встречались с различными числами.
Числа 1, 2, 3, которые употребляются при счете, называются на-
туральными числами. Они образуют множество натуральных чисел.
Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль со-
ставляют множество целых чисел. Кроме целых, нам известны дроб-
ные числа (положительные и отрицательные). Целые и дробные чис-
ла составляют множество рациональных чисел.
Множество натуральных чисел обычно обозначают буквой N (от
первой буквы латинского слова naturalis — естественный, природ-
ный), множество целых чисел — буквой Z (от первой буквы немец-
кого слова Zahl — число), множество рациональных чисел — бук-
вой Q (от первой буквы французского слова qutient — отношение).
Для того чтобы записать, что какое-либо число принадлежит рас-
сматриваемому множеству, используют знак 6. Например, утвержде-
ние, что число 2 является натуральным (или что число 2 принадле-
жит множеству натуральных чисел), можно записать так: 2 е N.
Число -2 не является натуральным; это можно записать с помощью
знака ё: -2 ё N.
Если каждый элемент множества В является элементом мно-
жества А, то множество В называют подмножеством множества А.
Это записывается так: Вс А (читают: В подмножество множест-
ва А).
Любое натуральное число является целым числом. Поэтому
множество натуральных чисел является подмножеством множества
целых чисел: N с Z. Точно так же множество целых чисел есть под-
множество множества рациональных чисел: Z с Q.
Глава II
Квадратные корни
58
* Всякое рациональное число, как целое, так и дробное, мож-
i „ т
; но представить в виде дроби —, где т — целое число, ап —
‘ п
s натуральное. Одно и то же рациональное число можно пред-
I ставить в таком виде разными способами.
'14,'/. /Г'МЛ'Г S-’.WS.Z *• v-r>r..-. »4 Ч?Л1=Ь.- •-*’*Й*< ФТ.-.К’ -» >i« -•
Например,
1 _ 2 _ 5 _ 40 _ -7 _ -14 _ -28
2 “ 4 ~ 10 " 80 ’ ’ ~ 10 “ 20 “ ^10 ’
_ 5 10 20
5 = — = — — —.
12 4
«-*Я' 5*U»r.-?T ~№М«
.Kw»tz*» **?.<>• >**--*. г^-..>Л
t Среди дробей, с помощью которых записывается данное ра-
* циональное число, всегда можно указать дробь с наимень-
i шим знаменателем. Эта дробь несократима. Для целых чи- \
I сел такая дробь имеет знаменатель, равный 1.
S ’
£< Xft’TwS btW W.vr- лглъа *-y*v v*4v^r .«лллчл; -.-v»*? » * ~v УМ*»; J- ^-v-. v-м
Термин «рациональное число» произошел от латинского слова
ratio, что в переводе означает «отношение» (частное).
Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде
десятичных дробей.
Представим в виде десятичной дроби число —. Для этого разде-
о
лим числитель дроби на ее знаменатель. Получим:
1 8___
10 0,125
~ 8_
20
16
40
40
0
Таким образом,
| = 0,125.
8
Точно так же можно показать,
что = 0,4; 1^- = 1,15;
э
--= -0,025.
40
§ 4. Действительные числа
59
37______
0,216216
Применим теперь этот способ обращения обыкновенной дроби
8 _
в десятичную к числу —. Делим числитель на знаменатель:
OI
8
80
74
60
37
230
222
80
"74
60
37
_230
222
Первым остатком, полученным при делении, является само число 8.
Второй остаток равен 6, третий равен 23. Затем опять получили в ос-
татке 8. Продолжая деление, мы, как и раньше, приписываем к ос-
таткам нули. Поэтому следующим остатком снова будет 6, потом по-
лучим остаток, равный 23, опять остаток, равный 8, и т. д. Сколько
бы мы ни продолжали деление, мы не получим в остатке 0. Значит,
g
деление никогда не закончится. Говорят, что дробь — обращается
в бесконечную десятичную дробь 0,216216...:
— = 0,216216... .
37
Так как при делении числителя 8 на знаменатель 37 последова-
тельно повторяются остатки 8, 6 и 23, то в частном в одном и том же
порядке будут повторяться три цифры: 2, 1, 6. Бесконечные деся-
тичные дроби такого вида называют периодическими. Повторяю-
щаяся группа цифр составляет период дроби. При записи периоди-
ческих десятичных дробей период пишут один раз, заключая его
в круглые скобки:
— = 0,(216).
О I
Эта запись читается так: нуль целых, двести шестнадцать в периоде.
Число — также записывается в виде бесконечной десятичной
дроби: = 0,5833
пятьдесят восемь сотых, три в периоде.
= 0,58(3). Эта запись читается: нуль целых,
Глава II
Квадратные корни
60 I
Точно так же можно показать, что 5—= 5,1(6),------= —0,(45).
6 11
Вообще каждое дробное число можно представить либо в виде
десятичной дроби (конечной десятичной дроби), либо в виде беско-
нечной десятичной периодической дроби.
Любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно
записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби, при-
писав справа в качестве десятичных знаков бесконечную последова-
тельность нулей. Например:
2,5 = 2,5000... ; -3 = -3,000... .
Таким образом,
j каждое рациональное число может быть представлено
:: в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Верно и обратное утверждение:
; каждая бесконечная десятичная периодическая дробь пред-
ставляет некоторое рациональное число.
Например, 0,(3)= 2,(36)= 2 —; 0,0(945)= —. Эти равенства
3 11 74
легко проверить, выполнив деление.
Разные бесконечные десятичные периодические дроби представ-
ляют разные рациональные числа. Исключением являются дроби
с периодом 9, которые считают другой записью дробей с периодом 0:
0,(9) = 0,999... = 1,000... = 1;
16,1(9) = 16,1999... = 16,2000... = 16,2.
Бесконечные десятичные дроби с периодом 9 заменяют дробями
с периодом 0. Заметим, что при обращении обыкновенной дроби
в десятичную не может получиться дробь с периодом 9.
263. Какие из чисел -100; -14,5; -2; —; 0; 10; 15; 20— являются:
"И| 3 6
а) натуральными; б) целыми; в) рациональными?
264. Верно ли, что:
а) —4 е АГ; -4 е Z; -4 е Q;
б) 5,6 ё АГ; 5,6 g Z; 5,6 g Q;
в) 28 е 7V; 28 е Z; 28 е Q?
§ 4. Действительные числа !
265. Представьте в виде отношения целого числа к натуральному
2 1
несколькими способами числа 1 — ; 0,3; -3 — ; -27; 0.
5 4
266.
Представьте в виде дроби с наименьшим натуральным знамена-
_ . Л Л Л „ 1 2
телем числа
36; -45; 4,2; -0,8; 15
267. Представьте в виде бесконечной десятичной дроби число:
а) о»’ в) “7к’ -17; и) -17К;
6 1 1а 40
5 . 20 . __ OQ . 3 _ 7
б) -; г) ——; е) 10,28; з) —; к) 2 — .
268.
Сравните рациональные числа:
а) 0,013 и 0,1004; г) J и 0,375;
О
б) 24 и 0,003;
в) —3,24 и -3,42;
д) -1,174 и -1^-;
40
ч 10 11
е) — и —;
7 11 12
ж) -2,005 и -2,04;
з) -1^ и-1,75;
и) 0,437 и —.
16
269. Укажите какое-либо число, которое:
х 1 1 1 1
а) больше но меньше —; б) больше —, но меньше —.
8 7 6 5
270. Укажите несколько чисел, заключенных между:
а) 10 и 10,1; б) -0,001 и 0; в) -1001 и -1000; г) | и -.
3 3
271. Назовите пять чисел, заключенных между числами:
а) 1,3 и 1,4; б) 5 и 5^; в) -10 000 и -1000; г) и --.
272. Упростите выражение:
273. Докажите, что:
а) квадрат четного числа есть число четное;
б) квадрат нечетного числа есть число нечетное.
Глава II
Квадратные корни
62
п
274. Найдите:
а) |х |, если х = 10; 0,3; 0; -2,7; —9;
б) х, если |х | = 6; 3,2; 0.
275. Запишите без знака модуля выражение:
а) | а |, где а > 0; б) | с |, где с < 0; в) 12Ь |, где b < 0.
11. Иррациональные числа
Пусть точка О — начальная точка координатной прямой и ОЕ —
единичный отрезок. С помощью отрезка ОЕ можно измерить длину
любого отрезка.
Измерим, например, длину отрезка ОБ (рис. 9). Отрезок ОЕ
укладывается в отрезке ОБ два раза, и при этом получается оста-
ток СВ, который меньше единичного отрезка. Значит, число 2 есть
приближенное значение (с недостатком) длины отрезка ОБ с точно-
стью до 1:
ОБ ~ 2.
О
Рис. 9
Чтобы получить более точный результат, разделим единичный
отрезок ОЕ на 10 равных частей (рис. 10). Десятая часть отрезка ОЕ
укладывается в остатке СВ три раза. При этом получается новый ос-
таток DB, меньший десятой части отрезка ОЕ. Число 2,3 есть при-
ближенное значение (с недостатком) длины отрезка ОБ с точностью
до 0,1:
ОБ - 2,3.
Рис. 10
Продолжая процесс измерения, мы будем использовать сотую,
тысячную и т. д. доли единичного отрезка и получать приближен-
ные значения длины отрезка ОБ (с недостатком) с точностью до
0,01, 0,001 и т. д.
В процессе десятичного измерения могут представиться два слу-
чая: либо на каком-то шаге не получится остатка, либо остатки бу-
дут получаться на каждом шаге.
§ 4. Действительные числа
В первом случае результатом измерения окажется натуральное
число или десятичная дробь, во втором случае — бесконечная деся-
тичная дробь. Так как всякое натуральное число и всякую десятич-
ную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то
можно считать, что результатом десятичного измерения длины от-
резка всегда является бесконечная десятичная дробь.
7
Пример 1. Пусть отрезок ОС равен — единичного отрезка. При де-
4
сятичном измерении его длины получим число 1,75, т. е. ту же
десятичную дробь, что и при делении 7 на 4. Результат измере-
ния можно записать в виде бесконечной десятичной периодиче-
ской дроби 1,75000... .
g
Пример 2. Пусть отрезок OF равен — единичного отрезка. При де-
сятичном измерении его длины, как и при делении 8 на 3, по-
лучится бесконечная десятичная периодическая дробь 2,666... .
Пример 3. Пусть отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной
которого служит единичный отрезок (рис. 11). Построим на диа-
гонали единичного квадрата новый квадрат (рис. 12). Из ри-
сунка 12 видно, что площадь этого квадрата в два раза больше
площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как от-
резок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК
равна числу, квадрат которого равен 2.
При десятичном измерении отрезка ОК получится бесконечная
десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясня-
ется тем, что
КШЯЪ ft JW> МВаХ4г
< ?
| среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат кото- |
j рого равен 2. ।
.imw» у» ш»- иит*. .«хм» Ju»'> ешчмд «ий’вь
Рис. 11
Глава II
Квадратные корни
64
Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является ра-
циональным. Тогда
кратимои дроби —,
/ \2
= 2, то
это число можно представить в виде несо-
где т — целое число, п — натуральное.
—z- = 2 и т2 = 2п2. Число 2п2 четное, значит,
пг
Так как
т
п
и равное ему число тп2 четное. Но тогда и само число т является
четным (если бы число т было нечетным, то и число т2 было бы
нечетным). Поэтому число т можно представить в виде т = 2fe,
где k — целое число. Подставим 2k вместо т в равенство
т2 — 2п2. Получим: (2k)2 = 2n2, 4fc2= 2n2, 2k2 = п2.
Число 2k2 четное, значит, число п2 тоже четное. Тогда и число п
является четным, т. е. числитель и знаменатель дроби — — чис-
ла четные. Это противоречит тому, что дробь “ несократима.
Значит, неверно предположение, что число, квадрат которого
равен 2, является рациональным. О
Итак, десятичное измерение длин отрезков каждой точке коор-
динатной прямой, лежащей справа от начальной точки О, ставит
в соответствие положительную бесконечную десятичную дробь. На-
оборот, взяв произвольную положительную бесконечную десятич-
ную дробь, мы можем найти на координатной прямой справа от
точки О единственную точку А, такую, что длина отрезка О А выра-
жается этой дробью.
Если к положительным бесконечным десятичным дробям
присоединить противоположные им числа и число нуль, то
получим множество чисел, которые называют действитель-
ными числами.
Каждому действительному числу соответствует единственная
точка координатной прямой, и каждой точке координатной прямой
соответствует единственное действительное число. Говорят, что ме-
жду множеством действительных чисел и множеством точек коорди-
натной прямой существует взаимно однозначное соответствие.
Множество действительных чисел принято обозначать буквой R
(от первой буквы латинского слова realis — реальный, существую-
щий в действительности).
Если А(хг) и В(х2) — две точки координатной прямой, то рас-
стояние между этими точками, т. е. длину отрезка АВ, можно найти
по формуле
АВ = | х2 х^ |.
§ 4. Действительные числа
65
Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическим!
и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дро
би представляют рациональные числа. Каждое такое число можнс
т
записать в виде отношения —, где т — целое число, ап — нату
ральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби представ
ляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррацио
налъными числами (приставка «ир» означает «отрицание»). Ирра-
числа нельзя „вить в виде от—я еде
т — целое число, ап — натуральное. Таким образом,
множество действительных чисел состоит из рациональных
и иррациональных чисел.
Приведем примеры иррациональных чисел:
3,010010001... (единицы разделяются последовательно одним,
двумя, тремя и т. д. нулями);
—5,020022000222... (число нулей и число двоек каждый раз уве-
личивается на единицу).
Иррациональным числом является число я, выражающее отно-
шение длины окружности к диаметру:
71 = 3,1415926... .
Действительные числа, записанные с помощью бесконечных де-
сятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные
десятичные дроби.
Сравним, например, числа 2,36366... и 2,37011... . В этих поло-
жительных бесконечных десятичных дробях совпадают целые части
и цифры десятых, а в разряде сотых у первой дроби число единиц
меньше, чем у второй. Поэтому
2,36366... < 2,37011.
Сравним числа 0,253... и -0,149... . Первое из этих чисел поло-
жительное, а второе — отрицательное. Поэтому
0,253... > -0,149... .
Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать
и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причем дей-
ствия над действительными числами обладают теми же свойствами,
что и действия над рациональными числами. При выполнении дей-
ствий над действительными числами в практических задачах их за-
меняют приближенными значениями. Повышая точность, с которой
берутся приближенные значения, получают более точное значение
результата.
Глава II
Квадратные корни
66
Пр и мер 1. Найдем приближенное значение суммы чисел а и Ь,
где а - —, b = 1,7132... .
3
► Возьмем приближенные значения слагаемых с точностью до 0,1:
а ~ 0,3, b ~ 1,7. Получим:
а + Ь ~ 0,3 4-1,7 = 2,0.
Если взять приближенные значения слагаемых с точностью до
0,01, т. е. а ~ 0,33 и b ~ 1,71, то получим:
а + Ъ ~ 0,33 + 1,71 = 2,04. !
Пример 2. Найдем длину окружности, радиус г которой ра-
вен 5 м.
► Длина окружности I вычисляется по формуле I = 2лг. Взяв
л — 3,14, получим
Z-2 -3,14 -5= 31,4 (м). !
276. Приведите пример:
а) рационального числа; б) иррационального числа.
277. Верно ли, что:
а) каждое рациональное число является действительным;
б) каждое действительное число является рациональным;
в) каждое иррациональное число является действительным;
г) каждое действительное число является иррациональным?
278. Среди чисел 0; 0,25; -2,(3); 0,818118111... (число еди-
ниц, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается
на одну); 4,2(51); 217; л укажите рациональные и иррацио-
нальные.
КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС (1815—1897) — немецкий мате-
матик, почетный член Петербургской Академии наук.
Имеет многочисленные труды по математическому
анализу и другим разделам математики.
§4. Действительные числа
67
279. Верно ли, что:
а) 7,16 g N; 7,16 g Z; 7,16 g Q; 7,16 g Л;
б) 409 g N; 409 g Z; 409 g Q; 409 g R;
в) n g N; n g Z; n g Q;
280. Сравните:
a) 7,653... и 7,563...;
6) 0,123... и 0,114...;
281. Какое из чисел больше:
а) 1,(56) или 1,56;
б) -4,(45) или -4,45;
в) 1— или 1,6668;
3
282. Сравните числа:
а) 9,835... и 9,847...;
б) -1,(27) и -1,272;
П G jR?
в) -48,075... и -48,275...;
г) -1,444... и -1,456... .
г) —0,228 или ——;
22
д) п или 3,1415;
е) 3,(14) или л?
в) 2у и 2,142;
г) 1,(375) и 1|.
О
283. Найдите расстояние между точками М и К координатной пря-
мой, если:
284. Какая из точек С или D координатной прямой ближе к точ-
ке М, если:
а) С (4,514), D (-1,9368...), М (1,304);
б) С (-2,4815...), D (11,454), М (4,586).
285. Расположите в порядке возрастания числа
4,62; 3,(3); -2,75...; -2,63... .
286. Расположите в порядке убывания числа
1,371...; 2,065; 2,056...; 1,(37); -0,078... .
287. Какие целые числа расположены между числами:
а) -3,168... и 2,734...; б) -5,106... и -1,484...?
288. Найдите приближенное значение выражения а + Ь, где
а = 1,0539... и b = 2,0610..., округлив предварительно а и Ь:
а) до десятых; б) до сотых; в) до тысячных.
Глава II
Квадратные корни
289. Найдите приближенное значение выражения а - 6, где
а = 59,678... и Ь = 43,123..., округлив предварительно а и Ь:
а) до десятых; б) до сотых.
290. Найдите приближенное значение длины окружности, радиус
которой равен 4,5 см (число л округлите до сотых).
291. Найдите приближенное значение площади круга, радиус кото-
рого равен 10 м (число л округлите до сотых).
Г292.] Является ли рациональным или иррациональным числом сум-
ма а + Ъ, где а — 1,323223222... (группы цифр, состоящие из
одной, двух, трех двоек и т. д., разделяются тройками) и
ft = 2,313113111... (группы цифр, состоящие из одной, двух,
трех единиц и т. д., разделяются тройками)?
’293.] Известно, что а2, &2, а - а и Ь — рациональные числа
и а Ф Ь. Каким числом, рациональным или иррациональным,
является сумма а + Ь?
1294. Упростите
'а + Ъ а
а + b
Ъ
а + Ъ
Ь а + Ъ
^295. Найдите значение выражения 12х - 8 | при х = —2,5; 0; 4; 5; 9,5.
I А
;296. Известно, что график функции у = — проходит через точку
i А (4; -0,5). Найдите k и постройте этот график.
i
;297. При каких значениях а и Ъ графики функций у = х + Ь и
\ у = ах - 2Ь пересекаются в точке (3; 1)?
Контрольные вопросы
В Какие числа образуют множество действительных чисел?
Какие действительные числа можно и какие нельзя представить
в виде отношения целого числа к натуральному?
Приведите пример бесконечной десятичной дроби, которая явля-
ется: а) рациональным числом; б) иррациональным числом.
69
§ 5
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
12. Квадратные корни.
Арифметический квадратный корень
Пусть площадь квадрата равна 64 см2. Чему равна длина сторо
ны этого квадрата?
Обозначим длину стороны квадрата (в сантиметрах) буквой х.
Тогда площадь квадрата будет х2 см2. По условию площадь равна
64 см2, значит, х2= 64.
Корнями уравнения х2- 64 являются числа: 8 и -8. Действи-
тельно, 82= 64 и (~8)2= 64. Так как длина не может выражаться от-
рицательным числом, то условию задачи удовлетворяет только один
из корней — число 8. Итак, длина стороны квадрата равна 8 см.
Корни уравнения х2= 64, т. е. числа, квадраты которых рав-
ны 64, называют квадратными корнями из числа 64.
Определение. Квадратным корнем из числа а назы- |
вают число, квадрат которого равен а. |
к
Число 8 — неотрицательный корень уравнения х2 = 64 — назы-
вают арифметическим квадратным корнем из 64. Иначе говоря,
арифметический квадратный корень из 64 — это неотрицательное
число, квадрат которого равен 64.
Определение. Арифметическим квадратным кор- г
нем из числа а называется неотрицательное число, квадрат |
которого равен а. г
Арифметический квадратный корень из числа а обозначают Та.
Знак д/~ называют знаком арифметического квадратного корня или
знаком радикала (от латинского слова radex — корень). Выражение,
стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением.
Запись 4а читают: квадратный корень из а (слово «арифметиче-
ский» при чтении опускают).
Приведем примеры нахождения (или, как говорят иначе, извле-
чения) арифметических квадратных корней:
V4 — 2, так как 2 — число неотрицательное и 22= 4;
у/1,21 = 1,1, так как 1,1 — число неотрицательное и 1,12= 1,21;
Vo = О, так как 0 — число неотрицательное и 02= 0.
i_
Глава II
Квадро г ные корни
70
Вообще
4а = &, если выполняются два условия:
1) Ъ 0; 2) Ь2= а.
При а < 0 выражение 4а не имеет смысла.
Действительно, квадрат любого числа есть число неотрицательное.
Например, не имеют смысла выражения V—25; у/-3,7.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что
при любом а, при котором выражение 4а имеет смысл, вер-
но равенство
(4а)2 = а.
298. Докажите, что:
а) число 5 есть арифметический квадратный корень из 25;
б) число 0,3 есть арифметический квадратный корень из 0,09;
в) число —7 не является арифметическим квадратным корнем
из 49;
г) число 0,6 не является арифметическим квадратным корнем
из 3,6.
299. Докажите, что:
a) 7121 = 11; б) 7169 = 13; в) у/1^44 = 1,2; г) 7о,49 = 0,7.
300.
301.
302.
Найдите значение корня:
a) V81; в) V1600; д) ^0,04;
б) 736; г) 710 000; е) ^0,81;
Вычислите:
а) 7900; б) 76^01; в) 70^4; г) R
Найдите значение выражения:
а) 41 + & при а = 33, Ь — -8; а = 0,65, Ь = 0,16;
б) 73х — 5 при х = 23; 1,83;
в) х+л/х при х = 0; 0,01; 0,36; 0,64; 1; 25; 100; 3600.
§ 5. Арифметический квадратный корень
71
303. Найдите значение выражения:
г~ г~
a) Vx + д/У при х = — , у = 0,36;
б) 74 - 2а при а = 2; -22,5.
304. Найдите значение выражения:
а) д/0^09 + д/0^25; в) 3>/9-16; д) 0,17400 + 0,271600;
б) 70’04 - л/0Д)Т; г) -7^0^36+ 5,4; е) | ^/^Зб + | л/ЭОО.
о О
305. Найдите значение выражения:
а) 0,6>/36; д) -д/О.ООЗб + ^0,0025;
б) -2,5^25; е) y/Ofil - д/0,0001;
в) Тмэ + л/одб; ж) |v°>81 -1;
г) д/0Д4 - y/0fi4; з) 4 - Юд/оЖ
306. Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, найдите:
а) л/225, V169, л/324, л/361;
б) у11А4, л/^24, -v/^56, 7^25;
в) 4576, 41764, -/3721, V7396;
г) 77^29» д/13,69, ^56,25, 777,44.
307. Укажите натуральные значения и, при которых является нату-
ральным числом значение выражения: а) 711 - и; б) 725 - и.
3O8. j Какая из точек — А или В — координатной прямой ближе
к точке с координатой нуль, если:
а) А (715,21), В (-416);
б) а(л^
V 9
309. Имеет ли смысл выражение:
а) 7100; в) -4100;
б) 7-100; г) 7(-Ю)2;
310. Найдите число, арифметический квадратный корень из которо-
го равен 0; 1; 3; 10; 0,6.
311.
Найдите значение переменной
а) Тх = 4; в) 2Тх = 0;
б) Тх = 0,5; г) 4Тх = 1;
х, при котором:
д) Тх - 8 - 0;
е) З4х -2 = 0.
Глава II
Квадратные корни
72
312. Существует ли значение переменной х, при котором:
a) jx - 0,1; б) 7х = -10; в) 4х +1 = 0; г) 4х -3=0?
313. При каком значении переменной х верно равенство:
а) 4х = 11; в) 4х = -20; д) 5 - 4х - 0;
б) 1(Ь/х = 3; г) %4х -1 = 0; е) 2 + 4х = 0?
314.
Найдите значение переменной х, при котором верно равенство:
а) ^3 + 5x = 7;
б) 71- 14 = 11;
Найдите натуральные значения п, при которых значение выра-
жения Jn2 4- 39 является двузначным числом.
|316. Постройте на миллиметровой бумаге график функции у = х2
i для значений х от -3 до 3. С помощью графика найдите:
j а) значение у, соответствующее х = -2,5; 1,7;
| б) значения х, которым соответствует значение у, равное 5; 7,5;
| в) квадрат числа -1,4; 2,8;
| г) числа, квадраты которых равны 2,5; 9.
317. Найдите значение выражения l,5x3i/2- 6,2хг/, если х= 1,25, у = 4.
$318. Запишите без знака модуля:
| а) |а2|; б) |а3|,гдеа>0; в) |а3|, где а < 0.
13. Уравнение х2= а
Рассмотрим уравнение х2= а, где а — произвольное число. В за-
висимости от числа а при решении этого уравнения возможны три
случая.
Если а < 0, то уравнение х2= а корней не имеет. Действитель-
но, не существует числа, квадрат которого был бы равен отрицатель-
ному числу.
Если а — 0, то уравнение имеет единственный корень, равный
нулю, так как существует единственное число 0, квадрат которого
равен нулю.
Если а > 0, то уравнение имеет два корня. Чтобы убедиться
в этом, обратимся к графику функции у = х2 (рис. 13). Прямая у = а
§ 5. Арифметический квадратный корень
73
Рис. 13
Рис. 14
при а > 0 пересекает параболу у = х2 в двух точках. Обозначим абс-
циссы точек пересечения хг и х2. Тогда х2 = а и xf = а, значит, чис-
ла хг и х2 — корни уравнения х2 = а. Так как х2 есть положительное
число, квадрат которого равен а, то х2 является арифметическим
квадратным корнем из а, т. е. х2 = 4а. Так как х1 есть число, проти-
воположное х2, то х1 = -4а.
Например, уравнение х2 — 49 имеет корни = -л/49 и х2 — д/49,
е. Xj — -7 и х2 = 7. Уравнение х2 =
Уравнение х2 = 2 имеет корни хт
6,25 имеет корни х1 = -д/б,25 и
Уравнение х2 = ~ имеет корни
2
3’
= -42 и х2 — 42. Эти корни яв-
ляются иррациональными числами, так как не существует рацио-
нального числа, квадрат которого равен 2. С помощью графика
функции у = х2 легко найти приближенные значения этих корней:
42 ~ 1,4 и -42 ~ -1,4 (рис. 14). Уравнения х2 =3, х2 = 5, х2 = 6,5
имеют соответственно корни — 4з и 4з, —4& и V5, — д/б,5 и ^/б, 5. Эти
корни также являются иррациональными числами.
Мы видим, что при любом а О уравнение х2 — а имеет неотри-
цательный корень 4а, иными словами, какое бы число а 0 мы ни
взяли, найдется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Это означает, что
выражение 4а имеет смысл при любом а > О.
Глава II
Квадратные корни
74
упражнения
319» Имеет ли корни уравнение:
а) х2 = 81; б) х2 = 18; в)
320. Решите уравнение:
а) х2 = 36; в) х2 = 121;
б) х2 = 0,49; г) х2 = 11;
х2 = 0; г) х2 = -25?
д) X2 = 8;
е) х2 = 2,5.
321. Решите уравнение и с помощью графика функции у = х2 най-
дите приближенные значения его корней:
а) х2 = 3; б) х2 = 5; в) х2 = 4,5; г) х2 — 8,5.
322. Решите уравнение:
а) 80 +у2 = 81; в)20-д2=-5; д)^а2=10;
б) 19 +с2 =10; г) Зх2 = 1,47; е) -5у2= 1,8.
323. Найдите корни уравнения:
а) 16 + х2 = 0; в) 0,5х2 = 30; д) х3 - Зх = 0;
б) 0,Зх2 = 0,027; г) -5х2 = е) х3 - Их = 0.
324. Решите уравнение:
а) (х - З)2 = 25; б) (х + 4)2 = 9;
в) (х - 6)2 = 7;
г) (х + 2)2 = 6.
325. Имеет ли смысл выражение ^/8 - 5х при х = -3,4; 0; 1,2;
1,6; 2,4?
326. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
a) зТа; б) -5у/х; в) 78с; г) 7-Ю6?
327. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
а) у[2х; б) V-х?
328. Найдите квадрат числа: 725;
Д; №
781; 72;
73;
-74; Тб; -Тб;
329. Найдите значение выражения:
a) (V7)2; в) -2714 • 714;
б) (-Т26)2; Г) (ЗТ5)2;
д) 0,5(-Т8)2;
е) (-2Т15)2;
§ 5. Арифметический квадратный корень
75
330. Вычислите:
а) 0,49+ 2 (ТСЙ)2;
б) (ЗЛ1)2 - V6400;
в) (2л/б)2 + (-3>/2)2;
-0,1(л/120)2 -
331. Вычислите:
а) (2 - Тб)2 + 4Тб;
б) (5 + ТЗ)2 - 10л/3;
в) (2- Тб)2 + (2 +Тб)2;
г) (5 + ТЗ)2 + (5 - л/З)2.
2
332. Найдите значение выражения:
а) 2Тб-(->/б); в) ТМ4 - 2(Тб^6)2;
б) -(ЗТб)2; г) (O,1V7O)2+ ТМ9.
333. Найдите значение выражения — при х = -8; -5; 1; 7; 128.
х
ТТ 1Х1
Чему равно значение выражения —если:
х
а) х > 0; б) х < О?
334. Найдите значение выражения:
а) ----при х — -0,5; б) ---------при х = -0,4.
1+ - 1+ -Дг
х . 1
335. Изобразите схематически в одной и той же системе координат
графики функций у = — и у = 10х. Имеют ли эти графики об-
щие точки и если имеют, то сколько?
14. Нахождение приближенных значений
квадратного корня
Рассмотрим, как можно находить приближенные значения
арифметического квадратного корня.
Найдем, например, приближенное значение у[2 с тремя знаками
после запятой.
Глава II
Квадратные корни
76
Г
1,6
1,8
1
1,7
2
Рис. 15
Так как I2 меньше 2, а 22 больше 2, то число 42 заключено меж-
ду целыми числами 1 и 2 (рис. 15, а). Значит, десятичная запись
числа V2 начинается так:
V2 = 1, ... .
Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить
в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3; ... , пока не получим чис-
ло, большее двух. Имеем
1,12 = 1,21; 1,22 = 1,44;
1,42= 1,96; 1,52 =
Так как 1,42 меньше 2, а 1,52 больше 2,
1,32= 1,69;
2,25.
то число 42 больше 1,4, но
меньше 1,5 (рис. 15, 0). Значит,
V2 = 1,4... .
Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить
в квадрат десятичные дроби 1,41; 1,42; ... . Так как 1,412 = 1,9881,
а 1,422 = 2,0164, то число д/2 больше 1,41 и меньше 1,42 (рис. 15, в).
Значит,
42 = 1,41... .
Продолжая этот процесс, найдем, что десятичная запись числа
42 начинается так: 1,414... . Поэтому
42 ~ 1,414.
Рассмотренный прием позволяет извлекать арифметический
квадратный корень из числа с любой точностью. В практических
расчетах для нахождения приближенных значений квадратных кор-
§ 5. Арифметический квадратный корень
77
ней используют специальные таблицы или вычислительную тех-
нику.
Для извлечения квадратных корней с помощью калькулято-
ра используют клавишу, на которой помещен знак Чтобы
извлечь корень из некоторого числа, нужно ввести это число в каль-
кулятор и затем нажать
ние корня.
клавишу
. На экране высветится значе-
Пример 1. Найдем ^/42,5.
► Введем в калькулятор число 42,5 и нажмем клавишу со зна-
ком д/”. На экране высветится число 6,5192024 — приближен-
ное значение д/42,5. Полученный результат округляют до требуе-
мого числа знаков. Округлим, например, результат до сотых,
получим
742,5 ~ 6,52. <
Упражне
НИЯ
336. Подберите два последовательных целых числа, между которы-
ми заключено число: ___________ _________ _________
а) 727; б) 740; в) 7120; г) 7^2; Д) 7М-
337. Найдите цифры разрядов единиц, десятых, сотых в десятичной
записи иррационального числа л/б.
338. С помощью калькулятора вычислите значение выражения:
a) л/х при х = 16; 0,25; 3; 245; 0,37;
б) у/х + 4 при х = 8,5; 14,1; 0,2549.
339. Сравните числа:
a) V5 и 2; б) V7 и 3;
в) 719 и 721.
340.1 Имеет ли смысл выражение:
а) 775-3; б) 74-712?
341. Площадь квадрата равна 18 см2. Найдите с помощью кальку-
лятора его сторону с точностью до 0,1 см.
342. Какой записью выражения удобнее пользоваться для вычисле-
ния его значения на калькуляторе:
а) у](а + Ь) с или ^с(а + &); б) а + 4b или 4b + а?
Глава II
Квадратные корни
78
343. Представьте выражение в удобном для вычисления на каль-
куляторе виде и найдите его значение (ответ округлите до
сотых):___________________
а) 748,5-7,3 + 39,6-7,3; б) 8,567 + 754.
344. Найдите с помощью калькулятора (ответ округлите до сотых):
а) 6+717; в) 710 + 715; д) 73-4 • 4,9;
б) 12-734; г) 762-748; е) 6,5 + 37^8-
345. Длина стороны а8 правильного восьмиугольника, вписанного
в круг радиуса /?, вычисляется по формуле as = Ry) 2 - 42. Най-
дите а8 с помощью калькулятора (с точностью до 0,1), если:
a) R = 9,4 см; б) R = 10,5 см.
346. Свободно падающее тело в безвоздушном пространстве прохо-
. . [2s -
rwt s см за t с, где t = J—, g — ускорение свободного падения,
V £
g ~ 10 м/с2. Пользуясь калькулятором, вычислите t с точно-
стью до 0,1 с, если:
a) s ~ 175; б) s = 225.
347. Время t (с) полного колебания маятника вычис-
ляется по формуле t = 2к J—, где I (см) — длина
У ё"
маятника, g ~ 10 м/с2, л ~ 3,14. Найдите с по-
мощью калькулятора t с точностью до 0,1 с,
если I равно:
а) 22; б) 126.
348. Решите уравнение и найдите с помощью каль-
кулятора приближенные значения его корней
(ответ округлите до сотых):
а) х2 = 30; в)(х-3)2 = 12;
б) 7х2 = 10; г) (х + I)2 = 8.
’349.
Вычислите:
а) 37ОД6 - 0,17225;
б) 0,27900 + 1,8?-;
в) 0,371,21 • 7400;
г) 5: 70,25 • 70,81.
§ 5. Арифметический квадратный корень
79
350. Найдите значение выражения х + |х |, если х = 7; 10; 0; -3; -8.
Упростите выражение х + |х |, если: а) х 0; б) х < 0.
351. Сократите дробь:
. 4а2 - 20а + 25 9х2 + 4у2 - 12ху
а) --9* Л 2---’ б> ------А 2- пТ
25 - 4а 4у* - 9х
15. Функция у = Vx и ее график
Пусть длина стороны квадрата равна а см, а его площадь равна
S см2. Каждому значению длины а стороны квадрата соответствует
единственное значение его площади S. Зависимость площади квад-
Рис. 16
рата от длины его стороны выражается
формулой S = а2, где а 0. Наоборот, для
каждого значения площади квадрата S
можно указать соответствующее ему един-
ственное значение длины стороны а. Зави-
симость длины стороны квадрата от его
площади выражается формулой а =
Формулами S — а2, где а 0, и а = Vs за-
даются функциональные зависимости ме-
жду одними и теми же переменными,
однако в первом случае независимой пере-
менной является длина а стороны квадра-
та, а во втором — площадь S.
Если в каждом случае обозначить не-
зависимую переменную буквой х, а зави-
симую переменную буквой I/, то получим
формулы
у = х2, где х > 0, и у = >/х.
Мы знаем, что графиком функции
у = х2, где х 0, является часть парабо-
лы — ее правая ветвь (рис. 16|. Построим
теперь график функции у = 4х.
Так как выражение Vx имеет смысл
при х > 0, то областью определения функ-
ции у = 4х служит множество неотрица-
тельных чисел.
Составим таблицу значений функции
у = у/х (приближенные значения у для
Глава II
Квадратные корни
80
значений х, не являющихся квадратами целых чисел, можно найти
с помощью калькулятора).
X 0 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9
У 0 0,7 J 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
Построим в координатной плоскости точки, координаты кото-
рых указаны в таблице. Проведя от начала координат через эти точ-
ки плавную линию, получим график функции у = Jx (рис. 17).
Рис. 17
Сформулируем некоторые свойства функции у - 4х.
1. Если х - О, то у = О, поэтому начало координат принадле-
жит графику функции.
2. Если х > О, то у > О; график расположен в первой коорди-
натной четверти.
3. Большему значению аргумента соответствует большее
значение функции; график функции идет вверх.
Например: ^/2,6 > ^/1,5; Тб > >/з.
График функции у = Vx, как и график функции у = х2, где х > О,
представляет собой ветвь параболы. Это следует из того, что эти гра-
фики симметричны относительно прямой у — х (рис. 18). Доказа-
тельство симметрии графиков основано на том, что точки с коорди-
натами (а; Ь) и (&; а) симметричны относительно прямой у = х.
• Пусть точка М (а; Ь) принадлежит графику функции у — х2, где
х О. Тогда верно равенство Ь = а2. По условию а — неотрица-
f
§ 5. Арифметический квадратный корень
81
1
I
Рис. 18
тельное число, поэтому а = 4b. Зна-
чит, при подстановке координат точки
N (&; а) в формулу у = 4х получается
верное равенство, т. е. точка N (&; а)
принадлежит графику функции у — 4х.
Верно и обратное: если некоторая точка
принадлежит второму графику, то точ-
ка, у которой координатами являются те
же числа, но взятые в другом порядке,
принадлежит первому графику.
Таким образом, каждой точке М(а; Ъ)
графика функции у — х2, где х > О, соот-
ветствует точка N(&; а) графика функ-
ции у — 4х и наоборот. Так как точки
М(а; Ь) и N(Ь; а) симметричны относительно прямой у = х, то
и сами графики симметричны относительно этой прямой. О
352. Площадь круга может быть вычислена по формуле S = яг2, где
nd2
г — радиус круга, или по формуле S = ---, где а — диаметр
4
круга. Задайте формулой зависимость:
а) г от S; б) d от S.
353. Задайте формулой зависимость:
а) площади поверхности куба S от длины его ребра а;
б) длины ребра куба а от площади его поверхности S.
354. Площадь поверхности шара радиуса R вычисляется по формуле
S = 4я/?2. Задайте формулой зависимость R от S.
355. Пользуясь графиком функции у = л/х, найдите:
а) значение 4х при х — 2,5; 5,5; 8,4;
б) значение х, которому соответствует -Ух = 1,2; 1,7; 2,5.
356. С помощью графика функции у = Vx найдите:
а) значение функции при х = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2;
б) значение аргумента, которому соответствует значение
у = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3.
357. Принадлежит ли графику функции у = 4х точка А (64; 8)? точ-
ка В(10 ООО; 100)? точка С (-81; 9)? точка D(25; -5)?
Глава II
Квадратные корни
358. Пересекает ли график функции у = 4х прямая:
а) у = 1; б) у = 10; в) у = 100; г) у = -100?
Если пересекает, то в какой точке?
359?] Докажите, что графики функций у = 4х и у = х + 0,5 не имеют
J общих точек.
360.] Имеют ли общие точки графики функций:
а) у = 4х иу = х; в) у=>[хиу = х + 10;
б) у = у/х и у = 1000;
г) у = 4х vi у = -х + 1,5?
При положительном ответе укажите координаты этих точек.
|361.| Какой из графиков линейных функций не пересекает графика
функции у = 7х?
1. у = -х + 2
2. у = -х + 0,1
3. у = -х
4. у = —х — 0,1
362. Решите графически уравнение:
Г~ Г~ 4
а) Ух = 6 - х; б) ух = —.
X
363.
Что больше:
a) Ло или V1T;
б) 7ОД2 или л/0Д5;
в) л/бО или л/бО;
г) 7 или -х/бО;
д) ТбО или 8;
е) 42 или 1,4?
364. Сравните числа:
а) 427 и V28; в)
б) ТГз И г)
Д)
365.
Расположите в порядке возрастания числа:
а) 7^3, л/Ю,4 и </19,5; в) 0,5, и
б) 718, 712 и 4; г) ТбД, -ДУ и 1.
366.
Найдите значение выражения:
а) 0,57121 + 370,81;
б) 7144-7900 -7^01;
в) 7400 - (4Т6Д02;
/ гг\2 ___________
г) -3Ji -1070,64.
§ 5. Арифметический квадратный корень
83
п
367. Имеет ли смысл выражение:
a) б) (V-9)2; в) -4tf; г)
368. Решите уравнения:
а) х2 = 11 и 4х = 11; б) 2х2 = и 24х = ~.
Контрольные вопросы
1
2
3
4
Сформулируйте определение арифметического квадратного кор-
ня. При каких значениях а выражение 4а имеет смысл?
Имеет ли уравнение х2- а корни при а>0, а = 0, а < 0 и если
имеет, то сколько?
Покажите на примере, как извлекается квадратный корень с по-
мощью калькулятора.
Какова область определения функции у = -Тх? Как расположен
график этой функции в координатной плоскости?
§ 6
СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО
КВАДРАТНОГО КОРНЯ
16. Квадратный корень из произведения
и дроби
Сравним значения выражений -781 • 4 и 4&1 • 44:
781-4 = Т324 = 18, 431 • 44 - 9 • 2 = 18.
Мы видим, что 781 • 4 = V81 • 44. Аналогичным свойством обла-
дает корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.
ТЕОРЕМА 1
Если а > О и b >
О, то 4ab = 4a • 4b.
Каждое из выражений 4a • 4b и 4ab имеет смысл, так как а > 0 и
Ь О. Покажем, что выполняются два условия;
1) 4a • 4ъ > 0; 2) (4a- 4b)2 = ab.
Глава II
Квадратные корни
84
Так как выражения 4а и 4b принимают лишь неотрицательные
значения, то произведение 4а • 4b неотрицательно.
Используя свойство степени произведения, получим
(4а • 4b)2 = (4а)2 • (4b)2 = аЪ.
Мы показали, что условия 1 и 2 выполняются. Значит, по опре-
делению арифметического квадратного корня при любых неот-
рицательных значениях а и Ь верно равенство
4аЬ -
4ь.
Доказанная теорема распространяется на случай, когда число
множителей под знаком корня больше двух._
Например, если а 0, & > 0, с > О, то y/abc = 4а • 4b • 4с. Дейст-
вительно, 4abc = 4аЬ}с = 'fab • 4с = 4а • 4b • 4с.
Таким образом, арифметический квадратный корень обладает
следующим свойством:
корень из произведения неотрицательных множителей ра-
вен произведению корней из этих множителей.
Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из
дроби.
ТЕОРЕМА 2
Если а > 0 и Ь > 0, то
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре-
мы 1. Проведите доказательство самостоятельно.
Итак, справедливо еще одно свойство арифметического квадрат-
ного корня:
корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаме-
натель положителен, равен корню из числителя, деленному
на корень из знаменателя.
Пример 1. Найдем значение выражения 764 0,04.
► Воспользуемся теоремой о корне из произведения:
764 • 0,04 = Тб4 • Т0,04 = 8 • 0,2 = 1,6. <!
Свойства арифметического квадратного корня
85
Пример 2. Вычислим значение выражения 732 * 98.
► Представим подкоренное выражение в виде произведения мно-
жителей, каждый из которых является квадратом целого числа,
и применим теорему о корне из произведения:
у/32 • 98 - 7(16-2).(49-2) = 716-49-4 = 4 - 7 - 2 = 56. <1
Пример 3. Найдем значение выражения
► По теореме о корне из дроби имеем
36
169
36 _ V36 _ 6
169 “ 7169 ” 13 ’
Поменяв в тождествах
местами их ле-
вые и правые части, получим
Этими тождествами пользуются при умножении и делении
арифметических квадратных корней.
Пример 4. Найдем значение произведения 720 • Тб.
► Имеем 720 • Тб = Т20- 5 = 7100 = 10. <1
Пример 5. Найдем значение частного
Имеем
780
369. Найдите значение выражения:
a) 7100-49; в) 764-121;
i б) 781 • 400; г) 7144-0,25;
д) 70,01 • 169;
е) ^2,25 • 0,04.
370. Вычислите значение корня:
I__________
_______Квадратные корни
I
I
Глава II
86
I
371. Найдите значение корня:
a) 781 • 900; б) 70,36-49;
в)
г)
372.
Найдите значение выражения:
а) 79-64-0,25;
16
49
196
9 ’
б) 71,21 • 0,09 • 0,0001;
373. Найдите значение корня:
а) 70,04-81-25; б) 70,09-16-0,04; в) Jl 1 ± г) - 21
V 9 25 V144 4
374. Вычислите значение корня:
a) 7810-40; в) >/72-32;
б) 710• 250; г) 78-98;
д) 750-18; ж) 790 6,4;
е) 723 14,4; з) 716,9-0,4.
375. Найдите значение выражения:_______
а) 775-48; б) 745 • 80; в) 74,9- 360; г) 7160-6,4.
376. Вычислите значение выражения:
а) 7132- 122; в) 73132- 3122;
б) 782+62; г) 71222 - 222;
377. Извлеките корень:
а) 7172- 82; в) 7»22- 182;
б) 7з2+42; г) 7Й7^ 1082;
д) 745,82 - 44,22;
е) 721,82 - 18,22.
378. Представьте выражение в виде произведения корней:
a) 715; б) 721;
в) л/Та;
г) fee.
379. Представьте выражение в виде частного корней:
380.
Докажите, что при любом неотрицательном а:
а) Ю-Е
7 V100
— JlOOa.
10 v
381.
Укажите натуральные значения п, при которых у]п2 - 75 явля-
ется натуральным числом.
§ 6. Свойства арифметического квадратного корня
87
382. Используя приближенное равенство V75 ~ 8,7, найдите прибли-
женное значение выражения:
a) V7500; б) д/750 ООО; в) д/о/75; г) д/0,0075.
383. Используя свойства квадратного корня, найдите с помощью
таблицы квадратов, помещенной на форзаце учебника, значе-
ние выражения: __________________ ____________ ________________
а) ^/57 600; в) 7152 100; д) д/20,25; ж) 7«,0484;
б) д/230 400; г) JL29 600; е) ^9,61; з) ^/6,3364.
384. Найдите значение выражения:
а) ^/44 100; б) 7435 600; в) ,/0,0729; г) 715,21.
385.
Найдите значение произведения:
a) д/2 • л/8; в) V28 * V7; д)
б) 727-73; г) Т2-Т32; е)
713-752;
ТбЗ-Т7;
386.
значение частного:
Найдите
б)
23
/2300 ’
г)
/12 500
/500
ж) 75О-74Д
387. Найдите значение выражения:
. /999
ж) • t -
а) 710-740;
в) 7162 -72;
Д)
б) 712 • 73;
е)
7110 -ТМ;
Л -7^2;
¥ 5
388. Значение выражения V2 • д/з с помощью калькулятора можно
вычислить двумя способами: найти значения у/2 и V3 и резуль-
таты перемножить или заменить произведение л/2 • V3 выражени-
ем и затем найти его значение. Каким из этих способов удоб-
нее пользоваться? Выполните вычисления.
389. Найдите значение выражения у1х2, если х = -4; —3; 0; 9; 20.
При каких значениях х выражение у/х2 имеет смысл?
390. Представьте в виде квадрата некоторого выражения:
1 л6
а) а4; б) а6; в) а18; г) —; д) а2&8; е) —.
Глава II
Квадратные корни
88
Решите уравнение:
2х х + 18 оо , х
а)------------- 23 + —;
’ 5 6 30
Основанием прямоугольного параллелепипеда является квад-
рат со стороной а см, высота параллелепипеда равна b см, а его
объем равен V см3. Выразите переменную а через b и V.
17. Квадратный корень из степени
Найдем значение выражения Vx2 при х = 5 и при х = — 6:
= V25 = 5, 7(-6)2 = ^36 = 6.
В каждом из рассмотренных примеров корень из квадрата числа
равен модулю этого числа:
52 = |5|, ^-б)2 = !-6|.
ТЕОРЕМА
При любом значении х верно равенство
(1)
• Рассмотрим два случая: х > 0 и х < 0. Если х > 0, то по определе-
нию арифметического квадратного корня Jx2 = х. Если х < 0, то
—х > 0, поэтому л/х2” — у)(—х)2 = —х. Мы знаем, что | х | — х, если
х > 0, и | х | = —х, если х < 0. Значит, при любом х значение выра-
жения у/х2 совпадает со значением выражения | х |. О
Равенство (1) является тождеством. Это тождество применяется
при извлечении квадратного корня из степени с четным показате-
лем. Чтобы извлечь корень из степени с четным показателем, доста-
точно представить подкоренное выражение в виде квадрата некото-
рого выражения и воспользоваться тождеством (1).
Пример 1* Упростим выражение va16.
► Представим степень а16 в виде (а8)2 и воспользуемся тождест-
вом (1): у/а16 = у](а3)2 = | а81.
Так как а8 0 при любом а, то |а8| = а8. Итак, д/а16 = а8. <1
§ 6. Свойства арифметического квадратного корня
i
89
Пример 2. Преобразуем выражение ух10, где х < 0.
► Представим х10 в виде (х5)2, получим
4х™ = = Iх5 I.
Так как х < 0, то х5< 0, поэтому |х5 | = -х5.
Значит, при х < 0
л/х10 = —х5.
Пример 3. Найдем значение выражения д/893 025.
► Представим число 893 025 в виде произведения простых множи-
телей, получим
^893 025 = ^З6 • 52 • 72 = 4з? Тб2 • Т?2 =
= 7(33)2 •5•7 = З3•35 = 27•35 = 945. <
Пример 4. Упростим выражение 7(V7 -12)2 + 77.
► Имеем д/(77 - 12)2 + 41 = 177 - 121 + 77 = 12 - 77
393. Вычислите:
а) 7(О,1)2;
б) 7(-ол)2;
в) 7(-°’8)2;
г) 7(1Д)2;
Д) 7(-19)2;
е) Т242";
ж) 27(-23)2;
з) 5Т522;
и) 0,2Т(-61)2.
394. Найдите значение выражения:
а) д/х2" при х = 22; -35; -1^; 0;
б) 2у[о? при а = -7; 12;
в) 0,1^ при у = -15; 27.
395. Замените выражение тождественно равным:
а) ТрЪ б) 7^; в) г) -0,2д/х^; д) yj25a2.
396.
Упростите выражение:
а) yla2, если а > 0;
б) д/n2, если п < 0;
в) зТс2 , если с > 0;
г) -sJy2, если у > 0;
д) уЗбх2, если х 0;
е) -уРУ2* если у < 0;
ж) -5л/4х2, если х 0;
з) 0,5л/16а2, если а < 0.
Глава II
Квадратные корни
90
397.1 Упростите выражение yja2 ~ 4а + 4, зная, что:
а) 0 а < 2;
б) а > 2.
1398.1 Упростите выражение yj9 - &4х + х и
при х, равном:
а) 2,89; б) 82,81.
найдите его значение
399. Верно ли равенство:
б) л/9-4л/5 =
2- Тб?
|40бГ| Упростите выражение:
а) л/7 + 4ТЗ; б) Тб - 2Тб.
401. Найдите значение корня:
а) Т24; в) Тг8;
б) Тз7; г) 7108;
402. Вычислите:
a) 71F; в) 7(-3)8;
б) 7F; г) 7(6)4;
д) a/hF;
е)
д) >/28-32;
е) 7з4 • 56;
ж) л/34 • 52;
з) л/26 • 74.
ж) V72 • 28;
з) 7з6 -54.
403. Извлеките корень, представив подкоренное выражение в виде
произведения простых множителей:____________ ______________
а) ^20 736; б) 750 625; в) 728 224; г) ^680 625.
404. Вычислите:
а) 72304; б) 718 225; в) 7254 016.
405. На рисунке 19 изображены
* графики функций у = 2х + 2,
X
у = - 3 и у - ~2х + 2. Для
каждой функции укажите ее
график.
406.
$
Объем цилиндра вычисляет-
ся по формуле V = nR2H,
где R — радиус основания,
Н — высота цилиндра. Вы-
разите переменную R через
V и Н.
Рис. 19
§ 6. Свойства арифметического квадратного корня
91
Контрольные вопросы
у|| Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из про-
изведения.
Сформулируйте и докажите теорему о квадратном корне из дроби.
Докажите тождество Ух2” = | х |.
gjl Покажите на примере выражения -Уа’2, как извлекается квад-
Йк ратный корень из степени с четным показателем.
ЕН ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ
АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ
18. Вынесение множителя за знак корня.
Внесение множителя под знак корня
Сравним значения выражений -УбО и 6^2. Чтобы решить эту за-
дачу, преобразуем -УбО. Представим число 50 в виде произведения
25 • 2 и применим теорему о корне из произведения. Получим
УбО = У25- 2 = -У25 • -У2 =
б/2.
Так как 5-У2 < 6л/2, то -УбО < бУ2.
При решении задачи мы заменили V50 произведением чисел 5
и -У2. Такое преобразование называют вынесением множителя за
знак корня.
Значения выражений -УбО и 6-У2 можно сравнить иначе, предста-
вив произведение 6<2 в виде^арифметического квадратного корня.
Для этого число 6 заменим -УЗб и выполним умножение корней.
Получим
бУ2 = >/36-V2 = V72.
Так как 50 < 72, то -УбО < -У72. Значит,
УбО < 6>/2.
При решении задачи вторым способом мы заменили &У2 вы-
ражением -У72. Такое преобразование называют внесением множи-
теля под знак корня.
П
Глава II
Квадратные корни
92
Пример 1. Вынесем множитель за знак корня в выражении Va7.
► Выражение То7 имеет смысл лишь при а 0, так как если а < О,
то а7 < О. Представим подкоренное выражение а7 в виде произве-
дения а6 • а, в котором множитель а6 является степенью с чет-
ным показателем. Тогда
а =
a3Ja. <1
Пример 2. Внесем множитель под знак корня в выражении -4д/х.
► Отрицательный множитель -4 нельзя представить в виде ариф-
метического квадратного корня и поэтому множитель -4 нель-
зя внести под знак корня. Однако выражение -4д/х можно пре-
образовать, внеся под знак корня положительный множитель 4:
-4у/х = -1 • 4д/х - -1 • V16 • 4х = -y/lQx. <1
Пример 3. Внесем множитель под знак корня в выражении а^2.
► Множитель а может быть любым числом (положительным, ну-
лем или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:
407. Вынесите множитель за знак корня:
a) V12; в) V80; д) V125;
б) V18; г) л/48; е) л/108;
ж) л/363;
з) л/845.
408. Вынесите множитель за знак корня и упростите полученное
выражение:
а) |>/24; в) -|Л47; д) 0,1-^20 000;
б) J>/45; г) --л/275; е) -0,05^28 800.
3 5
409. Вынесите множитель за знак корня:
a ) V20; в) л/200; д) 0,2^75; ж) -0,125>/192;
б ) л/98; г) л/160; е) 0,7л/300; з) -|л/450.
О
§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня
93
410. Внесите множитель под знак корня:
а) 7-У10; б) 5л/3; в) 6л/х; г) lojy; д) 3^2а; е) 5fib.
411.1 Какое из выражений не имеет смысла?________
1. V2V17 - 4 2. л/2л/2 - V7 3. 7бч/з - 7д/2
4. д/вл/з - 14
412. Представьте выражение в виде арифметического квадратного
корня_или выражения, ему противоположного:
а) зД; в) |Л8; д) бК
V 3 3 V 5
б) 2& г) -10^0^2; е) -fax.
413. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или
выражением, ему противоположным:
а) 2 fa в) -7л/3; д)
3
б) 5-у/у; г) -6у[2а; е) -0,1^/200 с.
414. Сравните значения выражений:
а) Зл/З и л/12; б) V20 и 3^5;
в) 5-^4 и 4-Уб;
г) 2^5 и Зл/2.
415. Сравните значения выражений:
а) |л/351 и 1/188; в) л/24 и -fal6;
3 2 3
б) | /б4 и /150; г)^/72и7./|.
о о 3 V 3
416.
Расположите
а) Зд/З, 2л/б,
б) 6v2, V58,
в порядке возрастания числа:
/29, 4/2;
з/7, 2/14.
417. Сравните:
а) 2-fi и 7/2;
б) 3/120 и 2/270;
418. Упростите выражение
f 2х + 1 2х - - 1 А х2 - 9
I х2 - Зх х2 + Зх ) 7х
Глава II
Квадратные корни
94
419. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели
144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трех
дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на
12 книг больше, чем в первый, а в третий — — числа книг, пе-
реплетенных в первый и во второй дни вместе?
>420. Решите уравнение:
4х - 1 7 _ 5 - х .
* а' 12 + 4 9 ’
2х - 9 2(5х + 3) 1
' ' 6 15 — 2 ’
19. Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни
Мы рассмотрели ряд тождественных преобразований выраже-
ний, содержащих квадратные корни. К ним относятся преобразова-
ния корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление
корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя
под знак корня. Рассмотрим другие примеры тождественных преоб-
разований выражений, содержащих квадратные корни.
Пример 1. Упростим выражение - ^20 a + 4745а.
► Вынесем за знак корня в выражении 720а число 2, а в выраже-
нии число 3. Получим
З7ба - 720а + 4745а = 3^5a - 2у[5а + 1275а =
= 7ба(3 - 2 + 12) = 137ба. <1
Заменив сумму зТба - 275а + 12у[5а выражением 13д/5а, мы вы-
полнили приведение подобных слагаемых. Запись можно вести ко-
роче, не выписывая промежуточный результат.
х2 — 3
Пример 2. Сократим дробь------—.
х + 7з
► Так как 3 = (л/З)2, то числитель данной дроби можно представить
в виде разности квадратов двух выражений. Поэтому
х2 - 3 х2 - (73)2 (х + 73)(х - 7з) /х „
-----=------—- =--------—------ х - V3.
х + уЗ х + >/3 х + уЗ
§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня
95
Пример 3. Преобразуем дробь — так, чтобы знаменатель не со-
V2
держал квадратного корня.
► Умножив числитель и знаменатель дроби на УЙ, получим
Мы заменили дробь —— тождественно равной дробью--, не со-
УЙ 2
держащей в знаменателе знака корня. В таких случаях говорят, что
мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.
Пример 4. Найдем с помощью калькулятора приближенное зна-
4- зТб
чение выражения ——----с двумя знаками после запятой.
Уб - 1
► Вычисления будут проще, если предварительно освободиться
от иррациональности в знаменателе дроби. Для этого умно-
жим числитель и знаменатель данной дроби на сумму Уб + 1. По-
лучим
4- зУб _ (4 - зУб)(Уб + 1) _ 4Уб - З(Уб)2 + 4- зУб _
Уб - 1 (Уб - 1)(Уб + 1) (Уб)2 - 1
Уб - 3 • 6 + 4 Уб -14
“ 6-1 ” 5 '
Проведя вычисления, найдем, что
-2,31.
421. Упростите выражение:
a) 775 + 748 - л/300;
б) зТв - 750 + 2718;
в) 7242 - 7200 + 78;
422. Упростите выражение:
а) + 718р ’
б) 7160с + 2740с - з7Э0с;
в) 5727m - 4748m — 2712m;
г) 775 - 0,17300 - 727;
д) 798 - 772 + 0,578.
г)
Д)
е)
754 - 724 + 7150;
372 + 732 - 7200;
2772 - 750 - 278.
Глава ~г
Квадратные корни
423.
Выполните действия, используя формулы сокращенного умно-
жения:
а) (x + Jy)(x- Jy);
б) (4а- Vb)(Va + Vb);
в) (411 - 3)(7Й + 3);
г) (410 + 47) (47 - 410);
д) (4а + 4b)2;
е) (4т - 4п)2;
ж) (42 + З)2;
з) (45 - 42)2.
424. Выполните действия:
а) (245 + 1) (245-1);
б) (547 - 413) (413 + 547);
в) (Зл/2 - 243)(243 + зТ2);
г) (1 + з7б)2;
д) (243 - 7)2;
е) (2л/10 - 42)2.
425. Выполните действия:
а) (74 + 77 + 74 - 77)2;
б) (7б + 2>/б - 7б - 2V6)2.
426. Преобразуйте выражение:
а) (4х +1) (4х - 1); д) (547 - 13)(547 +13);
б) (4х - 4а)(4х + 4а); е) (242 + ЗТЗ)(2Т2 - 343);
в) (4т + 42)2; ж) (6 - 42)2 + зТ32;
г) (43 - Тх)2; з) (42 + 718)2 - 30.
427. Разложите на множители, используя формулу разности квад-
ратов:
а) х2 — 7; в) 4а2- 3; д) у - 3, где у^О;
б) 5 - с2; г) 11 - 16&2; е) х - у, где х > 0 и у > 0.
428.
Разложите на
а) 3 + 73;
б) 10 - 2710;
в) 4х + х;
множители выражение:
г) а - 5у/а; ж) V14-V7;
д) 4а - yf2a; з) д/ЗЗ + V22.
е) у/Зт + у/5т;
429. Сократите дробь:
Д)
е)
а - b
Г~ /— ’
V& + у/а
2у[х -
4х - 9у
§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня
4 Алгебра 8 кл.
97
431.
432.
430. Сократите дробь:
Освободитесь
Освободитесь
433. Освободитесь
от иррациональности
ж)
в знаменателе дроби:
5
2л/3 ’
з)
и)
8
зТ2 ;
5-^2
от иррациональности
в) —р-; Д)
5 ус
в знаменателе
дроби:
3
4У15
от иррациональности в знаменателе дроби:
434. Докажите, что значение выражения:
х 1 1
а) ——--------—----есть число рациональное;
3V3 - 4 3V3 + 4
1 1
б) есть число иррациональное.
5 - 2л/б 5 + 2V6
435. Найдите с помощью калькулятора приближенное значение вы-
ражения с точностью до 0,01:
KlAb U М I • «ЫН корни
Глава U
98
436.
Освободитесь
от иррациональности в знаменателе дроби:
437. Докажите, что:
438. Докажите, что числа 2 - >/3 и 2 + V3 являются взаимно обрат-
ными, а числа 2л/б - 5 и ——-------противоположными.
2V6 + 5
439. Среди чисел 15д/3 - 4>/2, 6 - V12, VSO - 5л/3, V75 - 4у[б, —--,
2V3 - 6
1
--------- есть пара взаимно обратных чисел и пара противо-
V675 - д/32
положных чисел. Найдите эти пары.
9 —
440. Упростите выражение------
4х
—----------2 и найдите его зна-
х* + 6х + 9
441.
чение при х = -2,5.
Решите уравнение:
^2£_£^=2,5
6 4
442. Площадь кольца вычисляется
по формуле S = Tt(R2- г2), где
j R — радиус внешнего круга,
I аг — радиус внутреннего кру-
га. Выразите R через S и г.
ч
*443. Напишите для каждой пря-
| мой, изображенной на рисун-
I ке 20, уравнение, графиком ко-
* торого является эта прямая.
Рис. 20
§ 7. Применение свойств арифметическою квадратого корня
99
Контрольные вопросы
ЯР----------------- Г-
На примере выражения 3va покажите, как можно внести множи-
’ тель под знак корня.
.J На примере выражения v8a покажите, как можно вынести множи-
тель за знак корня.
.. „11
На примере выражении — и ——— покажите, как можно осво-
Va •у а + yib
водиться от иррациональности в знаменателе дроби.
Для тех, кто хочет знать больше
20. Преобразование двойных радикалов
Сторона а5 правильного пятиугольника, вписанного в круг ра-
диуса /?, вычисляется по формуле а5 = — Ry/lO - 2д/б. Выражение
V10 - 2^5, входящее в эту формулу, имеет вид уа + Ьл/ё, где а, 6, с —
некоторые рациональные числа. Выражение такого вида называют
двойным радикалом.
В преобразованиях выражений, содержащих двойные радика-
лы, стремятся освободиться от внешнего радикала. Это нетрудно
сделать, когда выражение, стоящее под знаком радикала, можно
представить в виде квадрата суммы или квадрата разности.
Пример 1. Освободимся от внешнего радикала в выражении
^41- 12>/5.
► Попытаемся представить выражение 41 — 12^5 в виде квадрата
разности двух выражений. Для этого 12^5 будем рассматривать
как удвоенное произведение двух выражений, а 41 как сумму
их квадратов. Выражение 12-Уб можно представить, например,
как 2 • 6 • д/б или как 2 • 3 • 2д/б. Проверка убеждает нас, что
именно в первом случае сумма квадратов множителей 6 и Тб
равна 41. Значит,
V41 - 12-х/б = 7з6-2-6 >/5 + 5 = J(6- д/б)2 = 16- д/б| = 6- д/б. <
Пр и м е Р 2. Освободимся от внешнего радикала в выражении
д/б1 + 28д/3.
Покажем, как можно решить эту задачу, используя метод не-
определенных коэффициентов.
Глава II
Квадратные корни
100
пусть vol + zbvo = а + ovo, где а и о — некоторые числа.
Тогда (а + 6>/3)2 = 61 + 28л/3 и а + &V3 0. Значит,
Отсюда
ab = 14.
I а* + 3d2 = 61,
[2аЬ = 28,
Выпишем все пары целых чисел (а; &), для которых ab = 14:
Из этих пар выберем те, которые удовлетворяют условиям
Нетрудно убедиться, что такая пара единственная — это пара
(7; 2). Значит,
В тех случаях, когда а 0, Ъ 0 и разность а2 - Ъ равна квад-
рату рационального числа, освободиться от внешнего радикала в вы-
ражении у)а ± у/b можно с помощью формулы двойного радикала:
2
2
В правой части этой формулы записано неотрицательное число.
Покажем, что его квадрат равен а + 4b\
2
2
Пример 3. Освободимся от внешнего радикала в выражении
757^/2024.
► По формуле двойного радикала имеем
57 - 7б72 - 2024 _
2 “
= V46 - Л1-
V 2
^57-^2024 =
57 + V1225
2
V572 - 2024
2
57 -
Для тех, кто хочет знать больше
101
Освобождение от внешнего радикала используется в преоб-
разованиях выражений с переменными, содержащих двойные ради-
калы.
Пример 4.
Упростим выражение
2а - 2у]а2 - 4 + 7а - 2, где а > 2.
► Представим в двойном радикале подкоренное выражение в виде
(а + 2) - 2у]а2 - 4 + (а - 2).
Получим
= 1л/а + 2 - 7а - 21 + 7а - 2 = 4а + 2 - 4а - 2 + 4а- 2 - 7а + 2. •
Упражнения
444. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное
выражение в виде квадрата:
а) >/б + 2>/5; б) 711-477.
445. Найдите значение
выражения:
б) ^27 -54& +42.
446. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двой-
ного радикала:
а) 7б5+ 7216; б) д/вб - 75460.
447. Упростите выражение, вычислив предварительно значение а2,
если:
а) а - 711 + 785 - 711-785;
б) а = л/7 + 4>/3 + V7- 4-УЗ.
448. Является ли рациональным или иррациональным числом зна-
чение выражения:
a) 713 + 4л/з - 713 - 4>/3;
б) 719 - 2<34 + 719 + 2V34?
Глава I
корни
102
:449.1 Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
|450.^ Найдите значение выражения:
[451.1 Докажите, что верно равенство:
а) 710+V24 + Лб +V60 = V2 + 7з + V5;
б) д/э + V12 - л/20 - л/бб = 1 + 7з - Тб.
'452.1 Упростите выражение:
453. Освободитесь от внешнего радикала в выражении:
a) yja + 24а ~ 1, если а > 1;
б) ^а + b + 1 + 240+1) - yja + b + 1 - 2л/а +Т, если а + Ь > 1.
Дополнительные упражнения к главе II
К параграфу 4
454. Известно, что числа а и b натуральные. Является ли натураль-
ным число:
а) а + Ь; б) а - Ь; в) ab; г) -?
b
455. Известно, что числа а и Ъ целые. Является ли целым число:
а) а + &; б) а - Ь\ в) ab; г) — (Ь Ф 0)?
Ь
456. Известно, что числа а и Ь рациональные. Является ли рацио-
нальным число:
а) а + Ь* б) а - Ь; в) ab; г) - (Ь Ф 0)?
Ъ
Дополнительные упражнения к главе II
103
457. Докажите, что если числа х и у четные, то четным будет число:
а) х - у; б) ху; в) Зх + у.
458. Известно, что числа х и у нечетные. Будет ли четным или
нечетным числом:
а) сумма х + у;
б) разность х - у;
в) произведение ху?
459. Назовите:
а)
б)
в)
пять положительных чисел, меньших 0,002;
пять отрицательных чисел, больших
_ 1 1
пять чисел, больших — и меньших -.
3 2
460. Представьте в виде
дроби число:
ч 23 ч 11
а) в)
64 13
7 . ч 1 .
> 25’ Г) 27 ’
бесконечной десятичной периодической
ч 23
ж| 30
. 12
461. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, за-
ключенных между числами 10 и 10,1.
462. Известно, что число а рациональное, а число b иррациональ-
ное. Будет ли рациональным или иррациональным число:
а) а + Ь; б) а - Ъ?
К параграфу 5
463. Найдите значение выражения:
а) 0,3-7289; в) J— - 1; д) 2^0,0121 4- V100.
V 49
б) -4ТОЛН; r)^=U-^L;
V256 V64
464. Найдите значение выражения:
a) y/bx - 10 при х = 2; 2,2; 5,2; 22;
б) у/б - 2у при у = 1; -1,5; -15; -37,5;
в) 3 + при х = 0; 1; 16; 0,25;
3 - Vx
г) у]2а - b при а — 0, 6 = 0; при а = 4, Ъ = 7.
Глава II
Квадратные корни
104
465. Решите уравнение:
д) 1 + ^2х = 10.
466. Решите уравнение VI + yj2 + Vx = 2.
467. Может ли:
а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным
числом;
б) произведение рационального и иррационального чисел быть
рациональным числом?
468. Приведите пример уравнения вида х2= а, которое:
а) имеет два рациональных корня;
б) имеет два иррациональных корня;
в) не имеет корней.
469. Укажите допустимые значения переменной х в выражении:
а) 4х^; в) yjx2 +1; д) д/-х2;
б) 4x4 г) ^/(4 - х)2; е) 4-х2.
470. При каких значениях а и Ь имеет смысл выражение:
а) 4аЬ', б) yj-ab', в) 4а2Ь; г) у]а2Ь2; д) V— об2?
471.
472.
При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
4 1
а) б) , ---; в) -=?—?
Найдите значение выражения:
а) 7ОД6 + (2д/0Д)2; г) (3л/3)2 + (-З/З)2;
б) (0,2л/10)2 + 0,5/16; д) (5д/2)2 - (2/б)2;
в) /144 - 0,5 (л/12)2; е) (-З/б)2 - 3(/б)2.
473. Расстояние между двумя точками координатной плоскости
А(Хр yj и В(х2; у2) вычисляется по формуле
d = ^(xj - х2)2 + (i/i - t/2)2 •
Вычислите расстояние между точками А (-3,5; 4,3) и В (7,8; 0,4)
с помощью калькулятора.
Дополнительные упражнения к главе II
105
474. Сравните числа:
а) у/Т^5 и -/Лб;
б) Тод и у/0,01;
в) и ТО;
ж) Тт и 2,6;
з) 3,2 и То»8;
и) ТМЗ и 1,1.
475. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь
при различных значениях Ъ уравнение:
a) + б) 4х = -х + Ъ.
К параграфу 6
476. Вычислите:_______
а) Т196-0,81 0,36;
б)
V io У
в) ТО,87 • 49 + 0,82 • 49;
г) Т1»44 1,21-1,44 0,4.
477. Найдите значение
. /1652 - 1242
а) л---------------;
N 164
б) I 98
' V1762 - 1122’
корня:___________
I 1492 - 762 .
В) у4572- 3842’
. /145,52 - ЭбТбб) 7
Г) у 193,52 - 31,52’
478. Вычислите:
а) 15Т20• 0,1Т45;
б) 0,зТ10 • 0,2715 • 0,5-Тб;
875
0,4ТО ’
г) VOf
J 5712 •
479. Известно, что а < 0 и & < 0. Представьте выражение:
a) Jab в виде произведения корней;
б) в виде частного корней.
480. Найдите значение выражения (если оно имеет смысл):
а) Т(-12)2; в) Т-102; д) Т-(~15)2;
б) -Т102; г) -Т(-И)2; е) -Т(-25)2.
Глава II
Квадратные корни
106
481. Вычислите:
а)
б) -27104;
в) -зТб4;
г) 0,172™;
д) О,17(-3)8;
е) ЮО^/ОД10;
ж) -7(-2)12;
з) 2,&7(-0Д)4.
482. Найдите значеншэ_выражения:
а) 7?; г) Т258; ж) 7750 • 270;
б) ТэД Д) 78-162; з) 7194 • 776.
в) 716*; е) 796-486;
483. При каких значениях х верно равенство л/х2 = (7^)2?
484. При каких значениях переменной
верноравенство:
д) То44 = -а7;
е) 7b® = Ь4?
485. Постройте график функции, заданной формулой:
486. Постройте график функции у = J\x
487. Преобразуйте выражение:
а) 7а4&4;
б) 7&бс8, где 5^0;
в) 716х4«/12;
г) 7o,25p2i/6, где р > 0, у 0;
Д)
е)
ж)
з)
16а12
£>1°
где Ъ > 0;
4х2
-Т-, где X < 0, у < О;
У
где с < О, а > 0.
488, Докажите, что при любом натуральном п значение выражения
у!п(п + 1)(п + 2)(п + 3) + 1 является натуральным числом.
489. Упростите выражение:________
а) 7("«)2; б) 7(-а)2 (-5)4.
Дополни !ельньи- унинжнспи» к гл-дд? II
107
К параграфу 7
490. Вынесите множитель за знак корня:
а) 0,5г/60а2; в) ОД-ДбОх3; д) aV18a26;
б) 2,1Л/300х4; г) 0,27225а5; е) -т^48ат4.
491. Сравните числа:
а) 0,2>/200 и 10л/8; в) 0,57108 и 9л/3;
б) 7j|| и 0,8>/50; г) j ТбЗ и 4,5>/28.
492. Расположите в порядке возрастания числа:
a) -V72, л/30 и 7^2; в) 87^2, и -V250;
3 5
б) 5J-, 417 и - л/б2; г) 12Тб?5, и - V160.
V 2 2 4
493.
Выполните умножение:
а) 4х {4а - 4b); д)
б) {4х + 4у)4х; е)
{4х + 7у)(2л/х - 4у)'>
{4а - 4b){34a + 24b);
в) 4аЬ {4а + 4b);
г) {4т - 4п)4тп;
ж) {24а + 4b){34a - 24b);
з) (4-Ух - 4%х){4х ~ 42^).
494. Упростите выражение:
а) (1 — 4х){1 + 4х + х);
б) {4а +2){а- 24а +4);
в) {4т — 4п){т + п + 4тп);
г) {х + 4у){х2+у - х4у).
495. Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности вы-
ражение :_________
а) х - 4у!х - 1 +3; б) у 4- 2^у 4- 2 + 3.
496. Докажите, что:
а) 7б + 4л/2 = 2 + 42;
б) 7з>/3 +19 = л/З + 4.
497. Найдите значение выражения:
а) х2- 6 при х = 1 4- V5; в) х2- 4x4-3 при х = 2 4- 73;
/— 3 + ^/2
б) х2- 6х при х = 3 — V3; г) х2— 3x4-5 при х — ------.
498. Докажите, что значения выражений
77 + 4л/з + ^7-443 и 77 + 4л/з • 77-4^3
являются натуральными числами.
Глава II
Квадратные корни
108
499.
Докажите, что значение выражения есть число рациональное:
ч 1 1 1 1
а) ——-------= ; б) ........-=• +-----7^.
зЛ - 4 зЛ +4 5 + 2 Л 5 - 2 Л
500. Найдите значение выражения:
11—2>/30 11+2л/30’
а)
в)
г)
501. Найдите значение
дроби
х2 - Зху + у2
при х = 3 + Тб и
502.
Сократите дробь:
~ yjv
X + у + 2
503.
Сократите дробь:
V70 - Тзо
а) Лб-ЛГ
б)
Л - Ло
в)
2-У10 — 5
4- Ло ’
504.
от иррациональности
в знаменателе дроби:
505.
Освободитесь
У + .
bjy
д)
2V3 - 3
иррациональности
в знаменателе дроби:
Освободитесь от
1 — 2л/х 4- 4х
Дополнительные упражнения к главе II
109
508.
506. Освободитесь
от иррациональности в числителе дроби:
иррациональности в знаменателе дроби:
507., Освободитесь от
При каком значении х дробь
значение?
х - 2
принимает наибольшее
509. Упростите выражение:
a) 15j| - >/160; в)
б) >/135 + Юд/оУб; г)
6J11 - V27;
V о
0,5^24 +10.
510. Упростите выражение:
511. Докажите, что значение выражения
л/д + 49 - 14л/б + 7b + 49 + 14>/д
при 0 b 49 не зависит от &.
Глава II
Квадратные корни
110
§ 8
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ
21. Неполные квадратные уравнения
Каждое из уравнений
-х2 + 6х + 1,4 = 0, 8х2- 7х = О, х2- - = О
9
имеет вид ах2+Ьх + с = О, где х — переменная, а, & и с — числа.
В первом уравнении а = -1, Ъ = 6 и с = 1,4, во втором а = 8, Ь = -7 и
4
с = О, в третьем а = 1, 6 = 0 и с = —. Такие уравнения называют
квадратными уравнениями.
Определение. Квадратным уравнением называется
уравнение вида ах2 + Ьх + с = 0, где х — переменная, а, Ь
и с — некоторые числа, причем а*0.
Числа а, Ь и с — коэффициенты квадратного уравнения. Число
а называют первым коэффициентом, число Ь — вторым коэффици-
ентом и число с — свободным членом.
В каждом из уравнений вида ах2 + Ьх + с = 0, где а Ф 0, наиболь-
шая степень переменной х — квадрат. Отсюда и название: квадрат-
ное уравнение.
Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнени-
ем второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй
степени.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х2 равен 1,
называют приведенным квадратным уравнением. Например, при-
веденными квадратными уравнениями являются уравнения
х2 - Их + 30 = 0, х2 - 6х = 0, х2 ~ 8 = 0.
§ 8 Квадратное ;.ч
Если в квадратном уравнении ах2 + Ьх + с = 0 хотя бы один из
коэффициентов Ь или с равен нулю, то такое уравнение называют
неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2х2 + 7 = 0,
Зх2 — 10х = 0 и -4х2 =0 — неполные квадратные уравнения. В пер-
вом из них b = 0, во втором с = 0, в третьем Ъ = 0 и с = 0.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
1) ах2 + с = 0, где с Ф 0;
2) ах2 + Ъх = 0, где b * О;
3) ах2 = 0.
Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.
Пример 1. Решим уравнение -Зх2+15 = 0.
► Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разде-
лим обе части получившегося уравнения на -3:
-Зх2 = -15,
х2 = 5.
Отсюда
х = V5 или х = -V5.
Ответ: хт =
х2 = -V5. О
Пример 2. Решим уравнение 4х2 + 3=0.
► Перенесем свободный член в правую часть уравнения и обе час-
ти получившегося уравнения разделим на 4:
4х2 = -3,
Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом,
то получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно,
не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х2 + 3=0.
Ответ: корней нет. <!
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида
ах2 + с = 0 при с Ф 0 переносят его свободный член в правую часть
и делят обе части уравнения на а. Получают уравнение
равносильное уравнению ах2 + с = 0.
с
Так как с Ф 0, то — 0.
а
Глава III
Квадратные уравнения
112
Если — >0, то уравнение имеет два корня:
а
Если — < 0, то уравнение не имеет корней.
а
Пример 3. Решим уравнение 4х2 + 9х = 0.
► Разложим левую часть уравнения на множители:
х(4х + 9) = 0.
Отсюда
х = 0 или 4х + 9 = 0.
Решим уравнение 4х + 9 = 0:
4х = -9,
О т в е т: хг = 0, х2 = -2 —. <3
Вообще для решения неполного квадратного уравнения вида
ах2 + Ьх = 0 при Ь Ф 0 раскладывают его левую часть на множители
и получают уравнение
х(ах + &) = 0.
Произведение х (ах 4- &) равно нулю тогда и только тогда, когда
хотя бы один из множителей равен нулю:
х = 0 или ах+ Ь = 0.
Решая уравнение ах + Ь = 0, в котором а Ф 0, находим
ах = -6,
b
х = —.
а
Следовательно, произведение х(ах + Ь) обращается в нуль при
х = 0 и при х = —. Корнями уравнения ах2 + Ьх = 0 являются числа
Значит, неполное квадратное уравнение вида ах2 + Ьх = 0 при
Ь 0 всегда имеет два корня.
Неполное квадратное уравнение вида ах2 = 0 равносильно урав-
нению х2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.
г
§ 8. Квадратное уравнение и его корни !
113
Упражнения
512. Является ли квадратным уравнение:
а) 3,7х2 - 5х +1 = 0; в) 2,1х2 + 2х - | = 0;
б) 48х2 - х3 - 9 = 0; г) 1 - 12х = 0;
д) 7х2 - 13 = 0;
е) -х2 = 0?
513. Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты:
а) 5х2 - 9х + 4 = 0; г) х2 + 5х = 0;
б) х2 + Зх - 10 = 0; д) 6х2 - 30 = 0;
в) -х2 - 8х 4-1 = 0; е) 9х2 = 0.
Какие из данных уравнений являются приведенными квадрат-
ными уравнениями?
514. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различ-
ных видов.
515. Найдите корни уравнения:
а) 4х2 - 9 = 0; в) -0,1х2 + 10=0; д) би2 + 24 = 0;
б) -х2 + 3 = 0; г) у2 - | = 0; е) Зтп2 - 1 = 0.
<7
516. Решите уравнение и укажите приближенные значения корней
с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором):
а) 2х2 -17 = 0; б) 3f2 - 7,2 = 0; в) -р2 + 12,6 = 0.
517. Решите уравнение:
а) Зх2 - 4х = 0;
б) -5х2 + 6х = 0;
в) 10х2 + 7х = 0;
г) 4а2 - За = 0;
д) 6z2 - z = 0;
е) 2у + у2 = 0.
518. Решите уравнение:
а) 2х2 + Зх = 0;
б) Зх2 - 2 = 0;
в) 5иг - 4и = 0;
г) 7а - 14а2 = 0;
д) 1 - 4 у 2 = 0;
е) 2х2 - 6 = О.
519.
Какое из данных
корней?
1. х2 - 19 = 0 2.
неполных квадратных уравнений не имеет
х2 + 19 = О 3. х2 - 19х =0 4. х2 + 19х = 0
520. При каких значениях а уравнение (а - 2)х2 + 15х + а2 - 4 = 0
является неполным квадратным уравнением? Выберите вер-
ный ответ.
1. а = -1 2. а = 1 3. а — -2 4. а = 2
521. Решите уравнение:
а) 4х2 -3x4-7 = 2х2 + х 4- 7;
б) -5у2 + 8у + 8 = 8у + 3;
в) 10 - Зх2 = х2 +10 - х;
г) 1 - 2у + Зу2 = у2 - 2у +1.
i
Глава III
Квадратные уравнения
114
522.
Найдите корни уравнения:
а)
б)
(х + 3)(х - 4) = -12;
в) Зх(2х + 3) = 2х(х + 4,5) + 2;
г) (х- 1)(х + 1)= 2(х2 - 3).
523. Решите уравнение:
а) х2 - 5 = (х + 5)(2х - 1);
б) 2х - (х +1)2 = Зх2 - 6;
в) 6а2 - (а + 2)2 = -4(а - 4);
г) (5i/ ч- 2)(z/ - 3) = -13(2 4- г/).
524. Произведение двух последовательных целых чисел в 1,5 раза
больше квадрата меньшего из них. Найдите эти числа.
525. Теннисный корт представляет собой прямоугольную прощадку,
длина которой вдвое больше ширины, а площадь равна 800 м2.
Найдите длину и ширину корта.
526. Если от квадрата отрезать треугольник площадью 59 см2, то
площадь оставшейся части будет равна 85 см2. Найдите сторо-
ну квадрата.
527. Две группы туристов отправились одновременно из одного
пункта — одна на север со скоростью 4 км/ч, а другая на запад
со скоростью 5 км/ч. Через какое время расстояние между ту-
ристами окажется равным 16 км?
528. Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле з = —-,
22
где t (с) — время, g ~ 10 м/с2, s (м) — пройденный путь. Через
сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты
глубиной 80 м?
529. Ширина земельного участка, имею-
щего форму прямоугольника, состав-
ляет 75% его длины, а его площадь
равна 4800 м2. Найдите длину изгоро-
ди, ограждающей этот участок.
[530 Телевизор имеет плоский экран пря-
моугольной формы. В паспорте к те-
левизору указано, что длина экрана
относится к ширине как 4 : 3, а диаго-
наль равна 25 дюймам. Найдите дли-
ну и ширину экрана в дюймах; в сан-
тиметрах (1 дюйм = 2,54 см).
§ 8. Квадратное уравнение? и его корни
115
531. В каких координатных четвертях расположен график
функции:
а) у = (1 - Т2)х; б) у = (V.35 - 5,7)х?
9 + 6х + х2 г~
532. Найдите значение выражения ---------+ у/х при х = 0,36
х + 3
и при х = 49.
22. Формула корней квадратного уравнения
Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в кото-
рых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны
от нуля.
Начнем с примера. Решим уравнение
7х2 - 6х — 1 — 0.
Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное
ему приведенное квадратное уравнение
6
Выделим из трехчлена х2 - у х - у квадрат двучлена. Для этого
6 2 о 3 а
— х представим в виде х* - 2 • — х, прибавим к ней вы-
разность х2 —
3
и
ражение
вычтем его. Получим
= 0.
Отсюда
Глава III
Квадратные уравнения
116
Следовательно,
или
или
или
X = 1.
3 _ [16
7 V 49 ’
3 4
Уравнение имеет два корня: — и
1.
Способ, с помощью которого мы решили уравнение, называют
выделением квадрата двучлена.
Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают
иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают
формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любо-
го квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение
ах2 + Ьх + с = 0.
(1)
Разделив обе его части на а, получим равносильное ему приве-
денное квадратное уравнение
а а
Преобразуем это уравнение, используя преобразования, анало-
гичные тем, которые применялись в рассмотренном примере:
(2)
Уравнение (2) равносильно уравнению (1). Число его корней
Ъ2 - 4ас _ Л . 2
зависит от знака дроби------. Так как а Ф О, то 4сг — положитель-
4а2
ное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком ее числи-
теля, т. е. выражения Ъ2 — 4ас. Это выражение называют дискрими-
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
117
нантом квадратного уравнения ах2 + Ьх + с=0 («дискриминант»
по-латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т. е.
D = Ь2 - 4ас.
Запишем уравнение (2) в виде
( а)2-
Л+ 2а) ~ 4а2 ’
Рассмотрим теперь различные возможные случаи в зависимости
от значения D.
1) Если D > О, то
Таким образом, в этом случае уравнение (1) имеет два корня:
Принята следующая краткая запись:
— Ь ± у/D 2 л
х =--------, где D = Ь* - 4ас,
2а
(I)
которую называют формулой корней квадратного уравнения.
2) Если D = 0, то уравнение (2) примет вид:
2а
= 0.
Отсюда
Х + 2а ~ °’
- __L
2а ’
В этом случае уравнение (1) имеет один корень--.
2а
Формулой корней квадратного уравнения можно пользоваться
и в этом случае. Действительно, приР = 0 формула (I) принимает вид
2а
Глава III
Квадратные уравнения
118
откуда
2а
3) Если D < 0, то значение дроби-- отрицательно и поэтому
уравнение
4а2
4а2
а следовательно, и уравнение (1) не имеют корней.
Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта
квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один ко-
рень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).
При решении квадратного уравнения по формуле (I) целесо-
образно поступать следующим образом:
1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;
2) если дискриминант положителен или равен нулю, то вос-
пользоваться формулой корней, если дискриминант отрица-
телен, то записать, что корней нет.
Пример 1. Решим уравнение 12х2 + 7х + 1 - 0.
► Найдем дискриминант:
D= 72-4-12-1 = 1, D > 0.
Применим формулу корней квадратного уравнения:
24
-7 ± 1
Ответ: Xi = —, х9 — —
1 3 4
Пример 2. Решим уравнение х2 - 12х + 36 = 0.
► Имеем
D = (-12)2-4-1-36 = 0,
_ 12 ± л/О
2
12 ± 0
~2
Ответ: 6. <1
§ 8. Квадратное уравнение и ею корни
119
Пример 3. Решим уравнение 7х2 - 25х + 23 = О.
► Имеем
D = (~25)2 - 4 • 7 • 23 = 625 - 644, D < 0.
Ответ: корней нет. !
Из формулы (I) можно получить другую формулу, которой удоб-
но пользоваться при решении квадратных уравнений с четным вто-
рым коэффициентом.
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + 2kx + с = 0.
Найдем его дискриминант: D — 4k2 — 4ас = 4(fe2 - ас).
Очевидно, что число корней уравнения зависит от знака выра-
жения k2 — ас. Обозначим это выражение через Dx.
Если D1 0, то по формуле корней квадратного уравнения по-
лучим
-2k±J4D^ -2k±2Jl\ -k±Jl\
2а 2а а
т. е. х =-----—, где Dx = k* - ас.
а
Значит, если квадратное уравнение имеет вид
ах2 + 2kx + с = 0,
то при > 0 его корни могут быть найдены по формуле
где Д = fe2 “ ас.
(П)
Если Z>!< 0, то уравнение корней не имеет.
Пример 4. Решим уравнение 9х2 - 14х + 5=0.
> Имеем £>! = (-7)2 -9-5=4,
Упражнения
533. Вычислите дискриминант квадратного уравнения и укажите
число его корней:
а) 2х2 + Зх + 1 = 0; в) 9х2 + 6х + 1 = 0;
б) 2х2 + х + 2 = 0; г) х2 + 5х - 6 = 0.
Глава III
Квадратные уравнения
120
534.
535.
Решите уравнение:
а) Зх2 - 7х +4 = 0;
б) 5х2 - Зх + 3 = 0;
в) Зх2 - 13х +14 = 0;
г) 2у2 - 9у +10 = 0;
д) 5у2 - бу + 1 = 0;
е) 4х2+х- 33= 0;
ж) у2 - 10у - 24= 0;
з) р2 + р - 90 = 0.
Решите уравнение:
а) 14х2 - 5х - 1 = 0;
б) -у2 + Зу + 5 = 0;
в) 2х2 + х + 67 = 0;
г) 1-18р + 81р2 = 0;
д) —Пу + у2-152 = 0;
е) 18 + Зх2 - х = 0.
536. Найдите корни уравнения:
а) 5х2 - Их + 2 = 0; г) 35х2 + 2х - 1 = 0;
б) 2р2 + 7р - 30 = 0; д) 2у2 - у - 5 = 0;
в) 9у2 - ЗОу + 25 = 0; е) 16х2 - 8х + 1 = 0.
537. При каких значениях х:
а) трехчлен х2 - Их + 31 принимает значение, равное 1;
б) значения многочленов х2 — 5х - 3 и 2х - 5 равны;
в) двучлен 7х +1 равен трехчлену Зх2 - 2х +1;
г) трехчлен -2х2 + 5х + 6 равен двучлену 4х2 + 5х?
538. При каких значениях х принимают равные значения:
а) двучлены х2 - 6х и 5х - 18;
б) трехчлены Зх2 - 4х + 3 и х2 + х + 1?
539. Решите уравнение, используя формулу (II):
а) Зх2 - 14х +16 = 0;
б) 5х2 - 16х + 3 = 0;
в) х2 + 2х - 80 = 0;
г) х2 - 22х - 23 = 0;
д) 4х2 - 36х + 77 = 0;
е) 15у2 - 22у -37 = 0;
ж) 7z2 - 20г + 14 = 0;
з) у2 - 10у - 25= 0.
540.
Решите уравнение:
а) 8х2 — 14х + 5=0;
б) 12х2 + 16х - 3 = 0;
в) 4х2 + 4х +1 = 0;
г) х2 - 8х - 84 = 0;
д) х2 + 6х - 19 = 0;
е) 5х2 + 26х - 24 = 0;
ж) х2 - 34х + 289 = 0;
з) Зх2 + 32х + 80 = 0.
541.
Решите уравнение:
а) 2х2 - 5х - 3 = 0;
б) Зх2 - 8х + 5 = 0;
в) 5х2 + 9х + 4 = 0;
г) 36у2 - 12у + 1 = 0;
д) 3t2 - 3t +1 = 0;
е) х2 + 9х - 22 = 0;
ж) у2 - 12у + 32 = 0;
з) ЮОх2 - 160х + 63 = 0.
§ 8 Квадратное уравнение и ею корни
121
542.
Решите уравнение:
а) 5х2 = 9х + 2;
б) —х2 = 5х - 14;
в) 6х + 9 = х2;
г) z — 5 = z2 - 25;
д) у2 = 52у - 576;
е) 15р2 - 30= 22у + 7;
эк) 25р2 = Юр - 1;
з) 299х2 + ЮОх = 500 - Ю1х2.
543.
Решите уравнение:
а) 25 = 26х - х2;
б) Зх2 = 10 - 29х;
в) у2 = 4р + 96;
г) Зр2 + 3 = Юр;
д) х2 - 20х = 20х + 100;
е) 25х2 - 13х = Юх2 - 7.
544. Найдите корни уравнения:
а) (2х - 3)(5х + 1) = 2х + |;
б) (Зх - 1)(х + 3) = х(1 + 6х);
545. Решите уравнение:
а) (х + 4)2 = Зх + 40;
б) (2х- 3)2= Их - 19;
546. Найдите корни уравнения:
а) 3(х + 4)2 = Юх + 32;
б) 15х2 +17 = 15(х + 1)2;
547. Решите уравнение:
х'^ — 1
а)-------Их = 11; в)
2
в) (х-1)(х + 1)=2 5х-ю|
г) —х(х + 7) = (х - 2)(х + 2).
в) (х + I)2 = 7918 - 2х;
г) (х + 2)2 = 3131 - 2х.
в) (х +1)2 = (2х - I)2;
г) (х - 2)2 + 48 = (2 - Зх)2.
4х2 - 1
----- х(10х- 9);
548, Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значе-
ния в виде десятичных дробей с точностью до 0,01:
а) 5х2 - х - 1 = 0; в) 3 (у2 - 2) - у = 0;
б) 2х2 + 7х + 4 - 0; г) у2 + 8 (у - 1) - 3.
549. Решите уравнение х2 = 0,5х + 3 сначала графически, а затем
с помощью формулы корней.
550. Найдите корни уравнения и укажите их приближенные значе-
ния в виде десятичных дробей с точностью до 0,01 (воспользуй-
тесь калькулятором):
а) х2 - 8х + 9 = 0; б) 2у2 - 8у + 5 = 0.
Глава III
Квадратные уравнения
122
551. Решите уравнение:
а) 0,7х2 = 1,3х + 2;
б) 7 = 0,4у + 0,2у2;
в) х2 — 1,6х - 0,36 = 0;
г) z2 - 2z + 2,91 = О;
д) 0,2у2 - Юг/ +125 = 0;
е) i х2 + 2х - 9 = 0.
552. При каких значениях х верно равенство:
а)|х2=2х-7; б) х2 +1,2 = 2,6х; в) 4х2 = 7х + 7,5?
553. Существует ли такое значение а, при котором верно равенство
(если существует, то найдите его):
а) За + 0,6 = 9а2 + 0,36; б) 0,4а + 1,2 = 0,16а2 + 1,44?
1554^] Решите уравнения:
а) х2 - 5х + 6 = 0 и 6х2 - 5х + 1 = 0;
б) 2х2 - 13х + 6 = 0 и 6х2 - 13х + 2 = 0.
Какое предположение о соотношении корней уравнений
ах2 + Ьх + с = 0 и сх2 + Ьх + а = 0 вы можете высказать? Прове-
дите доказательство.
[555.; Существует ли такое значение а, при котором уравнение
х2 - ах + а - 4 = 0
а) не имеет корней; б) имеет один корень; в) имеет два корня?
556. Найдите значение выражения:
2а- 1
а-------
а
-------- при а = -
1- а
За
557. Упростите выражение:
a) (V21 + у/14 - 2>/35)~ + >/20;
б) (>/б + >/з - Лб)(>/5 - >/3) + >/75.
558. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересече-
ния графиков линейных функций:
а) г/=7х-1иг/ = 2х; б) у = Зх - 11 и у — 4.
§ 8. Квадратное уравнение и его корни I
123
23. Решение задач
с помощью квадратных уравнений
Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помо-
щью квадратных уравнений.
Задача 1. Найдем катеты прямоугольного треугольника, если из-
вестно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза
равна 20 см.
► Пусть меньший катет равен х см. Тогда больший катет равен
(х + 4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов, т. е.
х2 + (х + 4)2 = 202.
Упростим это уравнение:
х2 + х2 + 8х + 16 = 400,
2х2 + 8х - 384 = 0,
х2 + 4х - 192 = 0.
Решив полученное квадратное уравнение, найдем, что
хг = -16, х2 = 12.
По смыслу задачи значение х должно быть положительным чис-
лом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т. е.
число 12.
Ответ: 12 см, 16 см. <]
Задача 2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью
40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?
► Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивле-
ние воздуха, то высота h (м), на которой брошенное вертикально
вверх тело окажется через t (с), может быть найдена по формуле
gt2
h = уо*- ~5->
4Ы
где vQ (м/с) — начальная скорость, g — ускорение свободного
падения, приближенно равное 10 м/с2.
Подставив значения h и v0 в формулу, получим
60 = 40t - 5t2.
Отсюда
5t2 - 40f + 60 = 0,
t2-8t + 12= 0.
Глава ill
Квадратные уравнения
124
Решив полученное квадратное
уравнение, найдем, что = 2,
t2 — 6.
На рисунке 21 дан график зави-
симости h от t, где h = 4СИ — 5t2.
Из графика видно, что тело,
брошенное вертикально вверх,
в течение первых 4 с поднима-
ется вверх до высоты 80 м, а за-
тем начинает падать. На высоте
60 м от земли оно оказывается
дважды: через 2 с и через 6 с
после бросания.
Условию задачи удовлетворяют
оба найденных корня. Значит,
ответ на вопрос задачи таков:
на высоте 60 м тело окажется
через 2 с и через 6 с. 1
Рис. 21
Хойдж^ения
559, Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6
больше другого, равно 187. Найдите эти числа.
560, Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см
больше ширины, а площадь равна 60 см2.
561. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна
сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести из-
городью. Определите длину изгороди, если известно, что пло-
щадь участка равна 1200 м2.
562. Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны,
если площадь прямоугольника равна 210 м2.
563. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно,
что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна
60 см2.
564. Произведение двух последовательных натуральных чисел боль-
ше их суммы на 109. Найдите эти числа.
565. Площадь доски прямоугольной формы равна 4500 см2. Доску
распилили на две части, одна из которых представляет собой
квадрат, а другая — прямоугольник. Найдите сторону полу-
чившегося квадрата, если длина отпиленного прямоугольника
равна 120 см.
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
125
566. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух
сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине
листа. Площадь оставшейся части равна 80 см2. Найдите ши-
рину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения,
и для каждого случая сделайте чертеж (в масштабе 1:2).
567. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см мень-
ше гипотенузы, а другой — на 6 см меньше гипотенузы. Най-
дите гипотенузу.
568. В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколь-
ко рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места?
569. Старинная задача. Стая обезьян забавляется. Восьмая часть
их в квадрате резвится в лесу. Остальные двенадцать кричат на
вершине холма. Скажи мне, сколько всего обезьян?
570. Старинная задача. Квадрат пятой части обезьян, уменьшен-
ной на 3, спрятался в гроте. Одна обезьяна, влезшая на дерево,
была видна. Сколько было обезьян?
571. Число диагоналей р выпуклого многоугольника вычисляется
п(п - 3)
по формуле р —---- - , где п — число сторон. В каком выпук-
лом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?
572. При розыгрыше первенства школы по футболу было сыграно
36 матчей, причем каждая команда сыграла с каждой по одно-
му разу. Сколько команд участвовало в розыгрыше?
573. В шахматном турнире было сыграно 45 партий. Определите
число участников турнира, если известно, что каждый участ-
ник сыграл с каждым по одной партии.
574. От прямоугольного листа картона, длина которого равна 60 см,
а ширина — 40 см, отрезали по углам равные квадраты и из ос-
тавшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону
квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна
800 см2.
575. Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов
которых равна 869.
Глава III
Квадратные уравнения
126
576.
Сократите дробь:
8а3 - 27
а 9 - 12а + 4а2 ’
ах - 2х - 4а + 8
За - 6 - ах + 2х *
577. Найдите значение выражения:
{4а + 4b)2 - b
24ab +26+1
при а = 5, Ь = 2.
578. Решите уравнение:
579. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересече-
ния графика функции у = 13х- 2,6 с осью х и осью у.
24. Теорема Виета
Приведенное квадратное уравнение х2 - 7х +10 — 0 имеет корни
2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим,
что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противо-
положным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Докажем, что таким свойством обладает любое приведенное квад-
ратное уравнение, имеющее корни.
ТЕОРЕМА
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна вто-
рому коэффициенту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену.
• Рассмотрим приведенное квадратное уравнение. Обозначим вто-
рой коэффициент буквой р9 а свободный член буквой q:
х2 + рх + q — 0.
Дискриминант этого уравнения D равен р2 — Aq.
Пусть D > 0. Тогда это уравнение имеет два корня:
§ 8. Квадратное уравнение и его корни j
127
Итак,
Найдем сумму и произведение корней:
-р - -р + 4d _ (-р)2 - (УР)2 _ Р2 ~ (Р2 - 4g) __ 4g _
2 2 ” 4 ” 4 ~ ~4~ ~ Q'
+ х2 = -р, х^ х2 = q.
Теорема доказана. О
При D = 0 квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 имеет один ко-
рень. Если условиться считать, что при D = 0 квадратное уравнение
имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае. Это
следует из того, что при D = 0 корни уравнения также можно вычис-
лять по формуле
Доказанная теорема называется теоремой Виета по имени зна-
менитого французского математика Франсуа Виета.
Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведе-
ние корней произвольного квадратного уравнения через его коэффи-
циенты.
Пусть квадратное уравнение ах2 + Ьх + с = 0 имеет корни хг и х2.
Равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид
По теореме Виета
Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:
ТЕОРЕМА
Если числа тип таковы, что их сумма равна -р, а произведе-
ние равно а, то эти числа являются корнями уравнения
х2 + рх + q = 0.
По условию m + п = -р, а тп = q. Значит, уравнение
х2 + рх + q = 0 можно записать в виде
х2 - (т + п) х + тп = 0.
]
(__________
Квадратные уравнения
Глава III
128
Подставив вместо х число тп, получим:
m2 - (т + п) тп + тп = тп2 - тп2 - тпп + тпп = О.
Значит, число тп является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число п также является кор-
нем уравнения. О
Рассмотрим примеры применения теоремы Виета и теоремы, об-
ратной теореме Виета.
Пример 1. Найдем сумму и произведение корней уравнения
ное квадратное уравнение х2 -
► Дискриминант D — 25-4-3*2 = 1 — положительное число. Зна-
чит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведен-
5 2
— х Ч— — 0. Значит, сумма корней
3 3
уравнения Зх2 - 5х + 2 = 0 равна —, а произведение равно —.
О о
По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, пра-
вильно ли найдены корни квадратного уравнения.
Приме Р 2. Решим уравнение х2 + Зх - 40 = 0 и выполним провер-
ку по теореме, обратной теореме Виета.
► Найдем дискриминант:
D - З2 + 4 • 40 = 169.
По формуле корней квадратного уравнения получаем
-3 ± V169 -3±13
X = -------, X — ---~--.
Отсюда
хх = -8, х2 = 5.
ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603) — французский матема-
тик, ввел систему алгебраических символов, разрабо-
тал основы элементарной алгебры. Он был одним из
первых, кто числа стал обозначать буквами, что суще-
ственно развило теорию уравнений.
5 Алгебра 8 кл.
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
129
Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравне-
нии х2 + Зх — 40 = О коэффициент р равен 3, а свободный член q
равен -40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произ-
ведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Вие-
та, эти числа являются корнями уравнения х2 + Зх — 40 = 0. 0
Пример 3. Найдем подбором корни уравнения
х2 - х - 12 = 0.
► Дискриминант D = 1 - 4 • 1 (-12) — положительное число. Пусть
хг и х2 — корни уравнения. Тогда
Xi + х2= 1 и Xj • х2 = -12.
Если хг и х2 — целые числа, то они являются делителями чис-
ла -12. Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетруд-
но догадаться, что xt — -3 и х2 - 4. <1
580. Найдите сумму и произведение корней уравнения:
а) х2 - 37х + 27 = 0; д) 2х2 - 9х - 10 = 0;
б) у2 + 411/ - 371 = 0; е) 5х2 + 12х + 7 = 0;
в) х2 - 210х = 0; ж) -г2 + 2 = 0;
г) у2 - 19 = 0; з) Зх2 - 10 = 0.
581. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной
теореме Виета:
а) х2 - 2х - 9 = 0; в) 2х2 + 7х - 6 = 0;
б) Зх2 - 4х - 4 = 0; г) 2х2 + 9х + 8 = 0.
582.
Найдите корни уравнения и выполните проверку по теореме,
обратной теореме Виета:
а) х2 - 15х - 16 - 0;
б) х2 - 6х - 11 - 0;
в) 12х2 - 4х - 1 = 0;
г) х2 - 6 = 0;
д) 5х2 - 18х = 0;
е) 2х2 -41 = 0.
583. Найдите подбором корни уравнения:
а) х2 - 9х + 20 = 0; в) х2 + х - 56 = 0;
б) х2 + Их -12=0; г) х2 - 19х + 88 = 0.
584. Найдите подбором корни уравнения:
а) х2 + 16х + 63 = 0; б) х2 + 2х - 48 = 0.
585. В уравнении х2 + рх - 35 = 0 один из корней равен 7. Найдите
другой корень и коэффициент р.
Глава III
Квадратные уравнения
130
586. Один из корней уравнения х2 - 13х 4- q — 0 равен 12,5. Найдите
другой корень и коэффициент q.
587. Один из корней уравнения 5х2 + Ьх + 24 — 0 равен 8. Найдите
другой корень и коэффициент &.
588. Один из корней уравнения 10х2 - ЗЗх 4- с = 0 равен 5,3. Найди-
те другой корень и коэффициент с.
589. Разность корней квадратного уравнения х2 - 12х + q = 0 рав-
на 2. Найдите q.
590. Разность корней квадратного уравнения х2 + х + с = 0 равна 6.
Найдите с.
591.1 Разность квадратов корней квадратного уравнения x2 + 2x + q= 0
равна 12. Найдите q.
j592.1 Известно, что сумма квадратов корней уравнения х2 — Зх + а = 0
равна 65. Найдите а.
593. Докажите, что уравнение не может иметь корни одинаковых
знаков:
а) Зх2 + 113х -7 = 0; б) 5х2 - 291х - 16 = 0.
594. Не решая уравнения, выясните, имеет ли оно корни, и если
имеет, то определите
а) х2 + 7х - 1 = 0;
б) х2 - 7х -I-1 = 0;
в) 5х2 + 17x4-16 = 0;
их знаки:
г) 19х2 - 23х + 5 = 0;
д) 2х2 + 573х + 11 = 0;
е) Их2 - 9х 4-7 - 5\/2 = 0.
595.
Выясните, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то каковы
их знаки:
а) х2 - 18х + 17 = 0;
б) х2 - 2х - 1 = 0;
в) х2 - 15х 4- 56 - 0;
г) 5х2 - х - 108 = 0;
д) х2 - -Убх 4-1 = 0;
е) л/Зх2- 12х- 7-Уз = 0.
п
596. При каких значениях х
а) (Зх 4-1)2 =3x4-1;
б) (Зх 4-1)2 = 3(х4-1);
в) (Зх 4-1)2 = (2х - 5)2;
верно равенство:
г) (Зх 4-4)2 = 4(х4-3);
д) 4(х 4- З)2 = (2х + 6)2;
е) (6х + З)2 = (х - 4)2?
597. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15,
а гипотенуза равна 6,8 м. Найдите площадь треугольника.
§ 8. Квадратное уравнение и его корни
131
598.
Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному
из катетов равно
13
12’
другой катет равен 15 см. Найдите пери-
метр треугольника.
599. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что одна из
них на 14 см больше другой, а диагональ прямоугольника рав-
на 34 см.
Контрольные вопросы
Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько
йЖ корней может иметь квадратное уравнение?
ЖЖ Напишите формулу корней квадратного уравнения.
Ж Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором вто-
ЖЖ рой коэффициент является четным числом.
Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма
и произведение корней квадратного уравнения ах2 + Ьх + с= О?
Ji Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.
§9
ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
25. Решение дробных рациональных уравнений
В уравнениях
2х + 5 = 3(8-х),
5
х----= -Зх + 19,
х
2х+1
х - 4 х - 9
левая и правая части являются рациональными выражениями. Та-
кие уравнения называют рациональными уравнениями. Рациональ-
ное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми
выражениями, называют целым. Рациональное уравнение, в кото-
ром левая или правая часть является дробным выражением, называ-
ют дробным. Так, уравнение 2х + 5= 3(8 —х) целое, а уравнения
5 х _ 4 х___9
х---= -3x4-19 и------=------дробные рациональные.
х 2х 4- 1 х
Пример 1. Решим целое уравнение
2х
Глава III
Квадратные уравнения
132
► Умножим обе части уравнения на наименьший общий знамена-
тель входящих в него дробей, т. е. на число 6. Получим уравне-
ние, равносильное данному, не содержащее дробей:
3(х ~ 1) + 4х = 5х.
Решив его, найдем, что х = 1,5. <3
Приме Р 2. Решим дробное рациональное уравнение
х - 3
х - 5
х + 5
х(х - 5) ’
(1)
► По аналогии с предыдущим примером умножим обе части урав-
нения на общий знаменатель дробей, т. е. на выражение х(х — 5).
Получим целое уравнение
х(х - 3) + х - 5 = х + 5.
(2)
Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем
уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно ис-
ходному, так как мы умножили обе его части не на число, от-
личное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, кото-
рое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень
уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1).
Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение
х2 - Зх - 10 = 0.
Его корни — числа -2 и 5.
Проверим, являются ли числа -2 и 5 корнями уравнения (1).
При х = -2 общий знаменатель х(х- 5) не обращается в нуль.
Значит, число -2 — корень уравнения (1).
При х = 5 общий знаменатель обращается в нуль и выражения
——- и —Х + теряют смысл. Поэтому число 5 не является кор-
яг - 5 х(х - 5)
нем уравнения (1).
Итак, корнем уравнения (1) служит только число —2. <
Вообще при решении дробных рациональных уравнений це-
лесообразно поступать следующим образом:
1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль
общий знаменатель.
§ 9. Дробные рациональные уравнения
133
Пр им ер 3. Решим уравнение ---------------
х 4 х 2х
тх 2 1 4 - X
Имеем----------------------— --------.
(х - 2)(х + 2) х(х -2) х(х + 2)
Общий знаменатель дробей х(х - 2)(х + 2).
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей,
получим
2х - (х 4- 2) = (4 - х)(х - 2).
Отсюда
2х — х — 2 = 4х - х2 - 8 + 2х,
х2 - 5х + 6 = О,
Если х = 2, то х(х — 2)(х + 2) = О; если х = 3, то х(х — 2)(х + 2) Ф 0.
Значит, корнем исходного уравнения является число 3.
Ответ: 3. <]
600.
Найдите корни уравнения:
9
У У
у2 - бу _
5 - у'
ж)
2
б)
с2 - 4
2х2
5х — 6'
х2 - 4 ’
д)
2х - 1
У
5 - Зх
9
——i = 0.
3 - 2х
601.
Решите уравнение:
^^-4=0:
а)
Д) - =
б)
12
2
4х 2х
2~ ~
х2 - 4
4х
10
2х - 3
Зх - 2
2х
ж) ------------
7 10х - 5
ч 4х3 - 9х Л
з) ------ = 0.
0;
Глава III
Квадратные уравнения
134
602. Найдите корни уравнения:
у2 _ 4(3 - 2у).
У2 ~ Ьу у(6 - у) ’
х - 2 х + 3
____•
х + 2 х - 4’
ж) х + 2 =
15
_ •
4х + 1’
603.
х2 - 5 _ 7х + 10
х - 1 ” 9
Решите уравнение:
604. При каком значении х:
а) значение функции у =
б) значение функции у =
2х - 1
----— равно
х + 6
5; -3; О; 2;
х2 + х - 2
равно -10; 0; -5?
605. Найдите корни уравнения:
5х + 7 _ 2х + 21 2
х - 2 х + 2 3 *
ч 1у - 3 1 5
в) -----2 =----7 “ —<---77;
у-у у-1 у(у-1)
606.
Найдите значение переменной г/, при котором:
а)
сумма дробей
2у - 13
2у + 5
5у+ 13
бу + 4
равна 2;
б)
разность дробей
и
4 — бу
Зу - 1
равна 8;
. у + 1 10
в) сумма дробей----и------равна их произведению;
у - 5 у + 5
г) разность дробей —-— и —-— равна их произведению,
у - 4 у + 2
§ 9. Дробные рациональные уравнения
I 135
607. Решите уравнение:
608. Решите уравнение:
10 х _ 3
(х - 5)(х + 1) + х + 1 х - 5 ’
б) 17__________1_= х
J (х - 3)(х + 4) х —3 х+ 4’
1 4 1 + 1 = П-
В}(х + 1)2 (х-1)2 х2-1 ’
4 1 _ 4
9х2- 1 + Зх2 х 9х2- 6х + 1 ’
609. Найдите корни уравнения:
ч 21 16 6
а)---7 = ----7---’
х + 1 х - 2 х
б. 2 1 = 5
У2-Зу У - 3 у3 - 9у ’
____18_________1 _ 6
В 4х2 +4х+1 2х2 - х 4х2 - 1 ’
610/ Решите уравнение:
10- х2
611. Решите графически уравнение:
\ 6 6 „
а) — — х; б) — = —х + 6.
612. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь
уравнение — — ах + Ъ, где а и b — некоторые числа. Для каждо-
го случая укажите, каким условиям должны удовлетворять
числа а и Ь.
Глава III
Квадратные уравнения
136
613. Найдите значение выражения х2 — 2ху 4- у2 при х = 3 + д/б,
У~ 3-Тб.
614. Принадлежат ли графику функции у = х2 + 2х + 5 точки
А(1,5; 7,25), В (-3,2; 9)иС(ТЗ-1; 7)?
615. Упростите выражение:
616.
Сравните с нулем значение выражения:
ЗаЬ
где а > О, Ъ < 0;
б)
5а3&2
где а
< О, Ъ < О.
26. Решение задач с помощью
рациональных уравнений
Решение многих задач приводит к дробным рациональным
уравнениям.
Задача 1. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км
против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лод-
ки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?
► Пусть х км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость
лодки по течению (х + 3)км/ч, а против течения (х-3)км/ч.
По течению реки 25 км лодка прошла за-----ч, а против тече-
х + 3
_ г»
ния 3 км — за-----ч. Значит, время, затраченное на весь путь,
равно
25
ч. По условию задачи на весь путь лодка
затратила 2 ч. Следовательно,
25 3
Решив это уравнение, найдем его корни: хт — 2 и х2 = 12.
По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть
больше скорости течения. Этому условию удовлетворяет второй
корень — число 12 и не удовлетворяет первый.
Ответ: 12 км/ч. <
§ 9. Дробные рациональные уравнения
137
Задача 2. К сплаву меди и цинка, содержащему 10 кг цинка,
добавили 20 кг цинка. В результате содержание меди в спла-
ве уменьшилось на 25%. Какова была первоначальная масса
сплава?
► Пусть первоначальная масса сплава была равна х кг. Тогда меди
х — 10
в нем было (х - 10) кг и она составляла----100% от массы
х
сплава. Масса нового сплава, полученного после добавления
20 кг цинка, оказалась равной (х + 20) кг, а медь в нем составила
х~ 10 • 100%.
х + 20
По условию задачи содержание меди уменьшилось на 25%. Сле-
довательно,
х — 10 х — 10
-—— . 100% - -—— • 100% = 25%.
х х + 20
Отсюда
(х - 10) *4 _ (х - 10) 4
х х + 20
Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня: х± = 20
и х2 = 40. Оба корня удовлетворяют условию задачи.
Ответ: 20 кг или 40 кг. <1
617. Знаменатель обыкновенной дроби больше ее числителя на 3.
Если к числителю этой дроби прибавить 7, а к знаменате-
лю — 5, то она увеличится на —. Найдите эту дробь.
618. Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км,
выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была
на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришел
к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого
автомобиля.
619. Один из лыжников прошел расстояние в 20 км на 20 мин быст-
рее, чем другой. Найдите скорость каждого лыжника, зная,
что один из них двигался со скоростью, на 2 км/ч большей,
чем другой.
620. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города
в другой. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второ-
го, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч
раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная,
что расстояние между городами равно 560 км.
Глава III
Квадратные уравнения
138
621. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 ч, поезд на перегоне
в 720 км увеличил скорость, с которой шел по расписанию, на
10 км/ч. Какова скорость поезда по расписанию?
622. В прошлом году в фермерском хозяйстве собрали 192 ц пшени-
цы. В этом году благодаря использованию новых технологий
удалось повысить урожайность пшеницы на 2 ц с гектара. В ре-
зультате такой же урожай собрали с площади, на 0,4 га мень-
шей. Какова была урожайность пшеницы в хозяйстве в про-
шлом году?
623. На молодежном карнавале Андрей купил билеты лотереи «На-
дежда» на 240 р. Если бы он потратил эти деньги на билеты
лотереи «Удача», то смог бы купить на 4 билета больше, так
как они были на 5 р. дешевле. Сколько стоил билет лотереи
«Надежда»?
624. Предприниматель приобрел акции одинаковой стоимости на
110 000 р. Если бы он отложил покупку на год, то сумел бы
приобрести на эту сумму на 20 акций меньше, так как цена од-
ной акции данного вида возросла за этот год на 50 р. Сколько
акций приобрел предприниматель?
625. Старинная задача. Несколько человек обедали вместе и по
счету должны были уплатить 175 шиллингов. Оказалось, что у
двоих не было при себе денег. Поэтому каждому из остальных
пришлось уплатить на 10 шиллингов больше, чем приходилось
на его долю. Сколько человек обедало?
626. Сотрудники отдела решили совместно приобрести холодиль-
ник за 7200 р. Однако трое отказались участвовать в покупке,
и остальным пришлось уплатить на 200 р. больше, чем предпо-
лагалось. Сколько сотрудников работает в отделе?
627. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру
15 км, затратив на путь по озеру на 1 ч больше, чем на путь по
реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите
скорость лодки при движении по озеру.
628. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, про-
шла по течению реки 35 км, а против течения 25 км. По тече-
нию она шла столько же времени, сколько против течения. Ка-
кова скорость течения реки?
629. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел
36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь
путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.
630. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате кон-
центрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите пер-
воначальную массу раствора, если известно, что в нем содержа-
лось 30 г соли.
§ 9. Дробные рациональные уравнения
139
631. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как
к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором
содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было
в сплаве?
632. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончи-
ли за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану
отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому кра-
ну для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?
633. Два автомата разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин неко-
торое количество деталей. За какое время это количество дета-
лей мог бы изготовить первый автомат, если известно, что ему
для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму автомату?
i634.J Велосипедист проехал из поселка до
стоянной скоростью, а возвращался
большей. Какова была первоначаль-
ная скорость велосипедиста, если из-
вестно, что средняя скорость на всем
пути следования составляла 12 км/ч?
i635.' Мотоциклист половину пути проехал
с некоторой постоянной скоростью,
а затем снизил скорость на 20 км/ч.
Какова была скорость мотоциклиста
на первой половине пути, если из-
вестно, что средняя скорость на всем
пути составила 37,5 км/ч?
станции с некоторой по-
со скоростью на 5 км/ч
636. Докажите, что:
а) --------+----------= 22;
11+2V30 11-2-УЗО
б)
= 18.
637. Найдите значение выражения:
а) ХУ при х = 5 + 2л/б, у = 5 - 2^6;
х + у
б) х. + V ПрИ х = д/11 + >/з, у = V1T - д/з.
ху
638. Найдите значение д, при котором разность корней уравнения
х2 - 10х + <7=0 равна 6.
• 639. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:
Глава III
Квадратные уравнения
140
Контрольные вопросы
|рз| Приведите пример целого уравнения и пример дробного рацио-
нального уравнения.
Объясните на примере, как решают дробное рациональное урав-
нение.
Для тех, кто хочет знать больше
27. Уравнения с параметром
Каждое из уравнений
7х = 5, -Зх — 5, Ох = 5
имеет вид ах = 5, где а — некоторое число.
Первое уравнение, в котором а = 7, имеет корень —. Второе урав-
нение, в котором а = -3, имеет корень —. Третье уравнение, в кото-
ром а = 0, не имеет корней.
Вообще, уравнение вида ах = 5 при а Ф 0 имеет единственный
корень -, а при а = 0 не имеет корней.
а
Рассматривая уравнение ах = 5, мы придавали буквам а и х
различный смысл, считая, что буквой х обозначено неизвестное чис-
ло, а буквой а — некоторое фиксированное число. В таких случаях
говорят, что а является параметром, а ах =5 — уравнение с пара-
метром.
Для уравнения ах = 5 мы выяснили, что при любом значении
параметра а, не равном нулю, корень уравнения можно найти по
формуле х = —, а при а = О это уравнение корней не имеет. В таких
а
случаях говорят, что мы решили уравнение с параметром.
Вообще решить уравнение с параметром — это значит пока-
зать, каким образом для любого значения параметра можно найти
соответствующее множество корней уравнения, если корни сущест-
вуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решим уравнение
Ьх-Зх=Ь3 -ЗЬ2 +4&-12
с параметром 6.
Для тех, кто хочет знать больше
141
► Вынесем в левой части уравнения множитель х за скобки. По-
лучим
(6 - 3)х = Ь3 - 3ft2 + 4Ь~ 12.
Мы имеем линейное уравнение, число корней которого зависит
от того, отличен ли от нуля коэффициент при х или равен нулю.
Если Ь - 3 7^ 0, т. е. Ь & 3, то уравнение имеет единственный ко-
рень
Ь3 - 3 b2 + 46-12
Разложив числитель дроби на множители, получим, что
r _ (6 ~ 3)(fr2 + 4)
b-3
Отсюда
х = b2 4- 4.
Если b - 3 = 0, т. е. Ъ = 3, то уравнение принимает вид Ох = 0.
В этом случае любое число является корнем уравнения.
Итак, мы нашли, что при 6^3 уравнение имеет единствен-
ный корень Ь2 4- 4, а при 6=3 любое число является корнем
уравнения. <]
Пример 2. Решим уравнение
ах2 4- (а2 - 1)х 4- (а - I)2 = 0
с параметром а.
► Данное уравнение при а = 0 является линейным, а при а * 0 —
квадратным. Рассмотрим каждый из этих случаев.
Если а = 0, то данное уравнение обращается в линейное уравне-
ние —х 4-1=0, которое имеет единственный корень х = 1.
Пусть а Ф 0. Тогда мы имеем квадратное уравнение
ах2 4- {а2 - 1)х - (а - I)2 = 0.
Найдем его дискриминант:
D = (а2 - I)2 - 4а(а - I)2 = (а - 1)2((а +1)2 - 4а) = (а - I)4.
Так как D 0 при любом значении а, то это уравнение при лю-
бом а имеет корни.
Если а = 1, то D = 0, и это уравнение имеет единственный ко-
рень. Найти его можно, подставив в уравнение вместо а число 1.
Получим х2 = 0. Отсюда х = 0.
Глава III
Квадратные уравнения
142 I
Если а # 1, то D > 0, и уравнение имеет два корня:
1 - а2 - (а - I)2 -2а2 4- 2а
= --= 1 - а,
2а------------------2а
_ 1 - а2 4 (а - I)2 _ -2а 4- 2 _ 1- а
%2 2 а 2 а а
Итак, мы нашли, что данное уравнение имеет корень 1 при
а - 0, корень 0 при а = 1, корни 1 - а и-при а Ф 0 и а 1. <
а
640. Какие случаи надо выделить при решении уравнения с пара-
метром Ьх + 2х = ЗЬ + 6? Найдите корни уравнения в каждом
из этих случаев.
641. Решите относительно у уравнение:
а) РУ “ Р - 1 = 0; б) ру - Зу - 4р + 12 = 0.
642 ) Решите уравнение с параметром а:
ах - 2х = а3 - 2а2 - 9а + 18.
[643.] Решите уравнение с параметром 6:
2х2 - 4х + Ъ — 0.
[644J Решите относительно х уравнение:
а) х2 - Бах + 4а2 = 0; б) Зх2 - Юах + За2 = 0.
[645.1 При каких значениях
уравнение:
а) Зх2 + tx 4- 3 = 0;
б) 2х2 - tx 4- 50 = 0;
параметра t имеет единственный корень
в)
г)
tx2 - 6х 4-1 = 0;
tx2 4- х - 2 = 0?
646.| Выясните, при каких значениях параметра а сумма квадратов
корней уравнения
х2 - ах + а - 3 = 0
принимает наименьшее значение, и найдите это значение.
647?] Решите относительно х уравнение
(а - 1)х2 4- 2ах 4- а 4-1 = 0.
[64871 Решите уравнение с параметром k:
х2 - (4k + 1)х 4- 2(2k2 4- k - 3) = 0.
649.
Выясните, при каких значениях параметра Ъ равна 7 сумма
корней уравнения
у2 - (2Ь- 1)у + Ъ2 - Ь- 2= 0.
Для тех, кто хочет знать больше
Дополнительные упражнения к главе III
К параграфу 8
650. Решите уравнение:
а) (х + 2)2 + (х - З)2 = 13;
б) (Зх - 5)2 - (2х + I)2 = 24;
в) (х - 4)(х2 + 4х + 16) + 28 = х2(х - 25);
г) (2х + 1)(4х2 - 2х + 1) - 1 = 1,6х2(5х - 2).
651. Решите относительно х уравнение:
а) х2 = а; б) х2 = а2; в) х2 + 46 = 0;
г) х2 + 9Ь2 = 0.
652. Докажите, что при любом значении переменной значение вы-
ражения положительно:
а) а2 + 4а + 11; в) тп2-4лп + 51;
_ х2 - 2х + 7 ч р2 - 6р + 18
б) ---То----; г)-----------•
19 /г + 1
653. Используя выделение квадрата двучлена:
а) докажите, что наименьшим значением выражения
х2 - 8х + 27 является число 11;
б) найдите наименьшее значение выражения а2 - 4а + 20.
654. Решите уравнение:
а) 4х2 + 7х + 3 = 0;
б) х2 + х - 56 = 0;
в) х2 - х - 56 0;
г) 5х2 - 18х + 16=0;
д) 8х2 + х - 75 = 0;
е) Зх2-11х-14 = 0;
ж) Зх2 + Их - 34 = 0;
з) х2 - х - 1 = 0.
655. При каких значениях х
а) (5х + 3)2= 5(х + 3);
б) (Зх +10)2 = 3(х + 10);
в) (Зх - 8)2 = Зх2 - 8х;
г) (4х + 5)2 = 5х2 + 4х;
верно равенство:
д) (5х + З)2 = 5х + 3;
е) (5х + З)2 = (Зх + 5)2;
ж) (4х + 5)2 = 4(х + 5)2;
з) (2х + 10)2= 4(х + 5)2?
656. Решите уравнение и выполните проверку:
а) х2 - 2х - 5 = 0; г) 5г/2 — 7у + 1 = 0;
б) х2 + 4х + 1 = 0; д) 2г/2 + 11г/ + 10 = 0;
в) Зу2 - 4г/ - 2 = 0; е) 4х2 - 9х - 2 — 0.
657. Найдите приближенные значения корней уравнения в виде де-
сятичных дробей с точностью до 0,01:
а) х2 - 2х - 2 - 0; в) Зх2 - 7х + 3 = 0;
б) х2 + 5х + 3 = 0; г) 5х2 + 31х + 20 = 0.
Глава III
Квадратные уравнения
144
658. Выясните, при каких значениях переменной:
а) трехчлен а2 + 7а + 6 и двучлен а +1 принимают равные зна-
чения;
б) трехчлены Зх2 - х +1 и 2х2 + 5х — 4 принимают равные зна-
чения.
Найдите эти значения.
659. При каком значении а один из корней уравнения ах2 - Зх - 5 = О
равен 1? Найдите, чему равен при этом значении а второй
корень.
660. Найдите пять последовательных целых чисел, если известно,
что сумма квадратов трех первых чисел равна сумме квадратов
двух последних.
661. Найдите три последовательных четных числа, если известно,
что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третье-
го числа.
662. Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел
больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.
663. Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей
квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямо-
угольника, равна 116 см2. Найдите стороны прямоугольника.
664. Фотографическая карточка размером 12 х 18 см наклеена на
лист так, что получилась рамка одинаковой ширины. Опреде-
лите ширину рамки, если известно, что фотокарточка вместе с
рамкой занимает площадь 280 см2.
665. Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окруже-
на дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова.
Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина ко-
торого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если
известно, что его площадь равна 3,25 м2.
1б66?| Старинная задача. Некто купил лошадь и спустя некоторое
время продал ее за 24 пистоля. При этом он потерял столько
процентов, сколько стоила сама лошадь. Спрашивается: за ка-
кую сумму он ее купил?
[667.] Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в 2 раза мень-
ше его длины. Высота ящика 0,5 м. Найдите объем ящика,
если известно, что площадь его дна на 1,08 м2 меньше площади
боковых стенок.
668. Имеется лист картона прямоугольной формы, длина которого
в 1,5 раза больше его ширины. Из него можно изготовить от-
крытую коробку объемом 6080 см3, вырезав по углам картона
квадраты со стороной 8 см. Найдите размеры — длину и шири-
ну листа картона.
Дополнительные упражнения к главе III
145
j669.| Разность кубов двух последовательных натуральных чисел рав-
на 919. Найдите эти числа.
!67О.] Разность кубов двух последовательных нечетных натуральных
чисел равна 866. Найдите эти числа.
671. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной
теореме Виета:
а) х2 - 5л/2х +12 = О; в) у2 - бу 4- 7 = 0;
б) х2 + 2>/Зх - 72 = О; г) р2 - Юр + 7 = 0.
672.
Найдите Ь и решите уравнение:
а) 2х2 + Ьх - 10 = 0, если оно имеет корень 5;
б) Зх2 + Ьх + 24 = 0, если оно имеет корень 3;
в) (Ь - 1) 30 - (Ь + 1)х = 72, если оно имеет корень 3;
(Ь - 5) х2 - (Ъ - 2) х 4- Ь = 0, если оно имеет корень —.
673. Докажите, что уравнение 7х2 + Ьх — 23 = 0 при любых значени-
ях b имеет один положительный и один отрицательный корень.
674. Докажите, что уравнение 12х2 4- 70х + а2 + 1 = 0 при любых зна-
чениях а не имеет положительных корней.
675. Докажите, что если сумма коэффициентов квадратного уравне-
ния ах2 + Ьх + с = 0 равна нулю, то один из корней уравнения
равен 1. Используя это свойство, решите уравнение:
а) 2х2 - 41х + 39 = 0; б) 17х2 + 243х - 260 = 0.
676. Разность корней уравнения Зх2 4- Ьх 4-10 = 0 равна 4 — .
дите 6.
Най-
677. Один из корней уравнения 5х2 - 12х 4- с = 0 в 3 раза больше
другого. Найдите с.
i678.J Частное корней уравнения 4х2 4- Ьх - 27 = 0 равно -3. Най-
дите Ь.
679.] Квадрат разности корней уравнения х2 4- рх4- 90 = 0 равен 81.
Найдите р.
680. Разность квадратов корней уравнения 2х2 — 5х 4- с = 0 равна
0,25. Найдите с.
681.1 Один из корней уравнения 4х2 4- Ьх 4- с = 0 равен 0,5, а дру-
гой — свободному члену. Найдите Ь и <?.
682.] Известно, что коэффициенты Ь и с уравнения х2 4- Ьх 4- с = 0, где
с Ф 0, являются его корнями. Найдите Ь и с.
683.1 Выразите через р и q сумму квадратов корней уравнения
х2 4- рх + q~ 0.
Глава III
Квадратные уравнения
146
684. | Известно, что сумма квадратов корней уравнения х2 - 15х + q— О
равна 153. Найдите д.
6857] Квадрат разности корней уравнения х2 + рх + 405 = 0 равен 144.
Найдите р.
686. Известно, что х1 и х2 — корни уравнения Зх2 + 2х + k = 0, при-
чем 2хг = -Зх2. Найдите k.
687. Известно, что хг и х2 — корни уравнения х2 - 8х + k = 0, при-
чем Зхх 4- 4х2 = 29. Найдите k.
6887] Зная, что уравнение х2 + px + q — 0 имеет корни хг и х2, со-
ставьте квадратное уравнение, имеющее корни:
a) 3х1 и Зх2; б) хг + 2 и х2 + 2.
689. | Известно, что уравнение х2 + рх + д = 0 имеет корни хх и х2. Со-
ставьте квадратное уравнение, корнями которого являются
Xi Xg
числа — и —.
Хо X.
691.
692.
К параграфу 9
690. Решите уравнение:
Найдите координаты точек пересечения с осью х графика
функции, заданной формулой:
(х - 4)(3х - 15)
х3 - 7х2 + 12х
х - 3
При каком значении х:
а) значение функции у =
5х -7
х2 + 1
равно -6; 0; 0,8; 0,56;
б) значение функции у =
равно 1,5; 3; 7?
Дополнительные упражнения к главе III
147
693. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
694. Решите графически уравнение:
а) Лт = 1,5х - 2; б) |Д- = х2.
И Hl
695. Решите уравнение:
2х + 1 3(2х - 1) 8
& 2х - 1 7(2х + 1) + 1 - 4х2 ~ ’
бч У__________1 , 3 _
' У2 - 9 у2 + Зу бу + 2у2
2у — 1 8 _ 2у + 1
В 14у2 + 7у + 12у2 - 3 “ бу2 - Зу ’
3 1 _ 3
х2 - 9 9 - 6х + х2 2х2 4- 6х ’
9х + 12_________1 _ 1
Я х3 - 64 х2 + 4х + 16 х - 4 ’
е) -I_________L_ = - ;
8г/3 ч- 1 2у + 1 4у2 - 2у + 1
32 1 = 1 4
Ж х3 - 2х2 - х + 2 + (х - 1)(х - 2) х 4- 1 ’
3(х - 4) * 2(х2 + 3) + х3 - 4х2 4- Зх - 12
696. Найдите корни уравнения:
697. Найдите значения переменной у, при которых:
а) сумма дробей----- и —-— равна их произведению;
У + 1 У ~ 2
~ 2 6
б) сумма дробей----- и-----равна их частному;
У - 3 у + 3
„ у 4- 12 у
в) разность дробей-----и------равна их произведению.
У - 4 у + 4
Глава III
Ккидрагиш' уравнения
148
698. На перегоне в 600 км после прохождения — пути поезд был за-
4
держан на 1 ч 30 мин. Чтобы прийти на конечную станцию во-
время, машинист увеличил скорость поезда на 15 км/ч. Сколь-
ко времени поезд был в пути?
699. Туристы совершили три перехода в 12,5 км, 18 км и 14 км,
причем скорость на первом переходе была на 1 км/ч меньше
скорости на втором переходе и на столько же больше скорости
на третьем. На третий переход они затратили на 30 мин боль-
ше, чем на второй. Сколько времени заняли все переходы?
700. Автомобиль прошел с некоторой постоянной скоростью путь от
А до В длиной 240 км. Возвращаясь обратно, он прошел полови-
ну пути с той же скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч.
В результате на обратный путь было затрачено на — ч меньше,
5
чем на путь от А до В. С какой скоростью шел автомобиль из А в В?
701.
Расстояние от А до В, равное 400 км, поезд прошел с некото-
рой постоянной скоростью; — обратного пути из В в А он шел
5
с той же скоростью, а потом уменьшил скорость на 20 км/ч.
Найдите скорость поезда на последнем участке, если на всю до-
рогу было затрачено 11ч.
702. Турист проехал на моторной лодке вверх по реке 25 км, а об-
ратно спустился на плоту. В лодке он плыл на 10 ч меньше,
чем на плоту. Найдите скорость течения, если скорость лодки
в стоячей воде 12 км/ч.
703. Моторная лодка прошла 35 км вверх по реке и на 18 км подня-
лась по ее притоку, затратив на весь путь 8 ч. Скорость тече-
ния в реке на 1 км/ч меньше скорости течения в ее притоке.
Найдите скорость течения в реке, если скорость лодки в стоя-
чей воде 10 км/ч.
704. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через
5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот,
пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если
катер шел быстрее его на 12 км/ч?
[705.| Рыболов отправился на лодке от пункта N вверх по реке. Про-
плыв 6 км, он бросил весла, и через 4 ч 30 мин после
отправления из N течение снова отнесло его к пункту N. Зная,
что скорость лодки в стоячей воде 90 м/мин, найдите скорость
течения реки.
706. Через 2 ч 40 мин после отправления плота от пристани А вниз
по течению реки навстречу ему от пристани В отошел катер.
Встреча произошла в 27 км от В. Найдите скорость плота, если
скорость катера в стоячей воде 12 км/ч и расстояние от А до В
равно 44 км.
Дополнительные упражнения к главе III
149
707. Теплоход отправился от пристани А до пристани В9 расстояние
между которыми 225 км. Через 1,5 ч после отправления он был
задержан на - ч и, чтобы прийти вовремя, увеличил скорость на
10 км/ч. Найдите первоначальную скорость теплохода.
708. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км,
вышли одновременно два автомобиля. Первый из них ехал все
3
время с постоянной скоростью. Второй автомобиль первые — ч
4
ехал с той же скоростью, затем сделал остановку на 15 мин, по-
сле этого увеличил скорость на 5 км/ч и прибыл в В вместе
с первым. Найдите скорость первого автомобиля.
709. Автобус проехал расстояние между пунктами А и В, равное
400 км, с некоторой постоянной скоростью. Возвращаясь об-
ратно, он 2 ч ехал с той же скоростью, а затем увеличил ско-
рость на 10 км/ч и возвратился в пункт А, затратив на обрат-
ный путь на 20 мин меньше, чем на путь из А в В. Сколько
времени затратил автобус на обратный путь?
710. Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном
пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем умень-
шил ее на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на
30 мин больше. Найдите расстояние между городами.
711. J Из двух городов А и В выходят одновременно два автомобиля
и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из
А, на 10 км/ч меньше скорости другого автомобиля. Если бы
первый автомобиль вышел из А на 4—ч раньше второго, то
2
встреча произошла бы в 150 км от В. Найдите расстояние меж-
ду городами А и В.
712. ] Расстояние от пристани М до пристани N по течению реки ка-
тер проходит за 6 ч. Однажды, не дойдя 40 км до пристани А,
катер повернул назад и возвратился к пристани М, затратив на
весь путь 9 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если
скорость течения реки равна 2 км/ч.
713. Мотоциклист проехал расстояние от пункта М до пункта N за
5 ч. На обратном пути он первые 36 км ехал с той же скоро-
стью, а остальную часть пути — со скоростью, на 3 км/ч боль-
шей. С какой скоростью ехал мотоциклист первоначально,
если на обратный путь он затратил на 15 мин меньше, чем на
путь из М в N?
714. Отец и сын прошли 240 м, при этом отец сделал на 100 шагов
меньше, чем сын. Найдите длину шага каждого из них, если
шаг отца длиннее шага сына на 20 см.
Глава III
Квадратные уравнения
150
715. Первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая
за тот же срок — на 25% меньше. Первая мастерская шила
в день на 10 костюмов больше, чем вторая, и выполнила
задание за 2 дня до намеченного срока. Сколько костюмов
в день шила вторая мастерская, если ей для выполнения зада-
ния понадобилось дополнительно 2 дня?
716. Бригада рабочих должна была за определенный срок изгото-
вить 768 пылесосов. Первые 5 дней бригада выполняла еже-
дневно установленную норму, а затем каждый день изготовля-
ла на 6 пылесосов больше, чем намечалось, поэтому уже за
день до срока было изготовлено 844 пылесоса. Сколько пылесо-
сов в день должна была изготовлять бригада по плану?
717. Масса двух сплавов меди и олова равна 60 кг. Первый сплав со-
держит 6 кг меди, а второй — 3,6 кг меди. Найдите массу каж-
дого сплава, если известно, что содержание меди в первом
сплаве на 15% больше, чем во втором.
718. Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили
с 13 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизи-
лось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?
719. За 4 дня совместной работы двумя тракторами было вспахано
~ поля. За сколько дней можно было бы вспахать все поле каж-
дым трактором, если первым его можно вспахать на 5 дней бы-
стрее, чем вторым?
720. | Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля
на 9 дней быстрее, чем один первый комбайн, и на 4 дня быст-
рее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может
собрать весь хлопок?
721. | Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на
9 ч больше времени, чем при наполнении через первую и вто-
рую трубы, и на 7 ч меньше, чем через одну вторую трубу. За
сколько часов наполнится бассейн через обе трубы?
722. | Два слесаря получили заказ. Сначала 1 ч работал первый сле-
сарь, затем 4 ч они работали вместе. В результате было выпол-
нено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каж-
дый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч
больше, чем второму?
723. | При совместной работе двух копировальных машин можно
снять ксерокопию с рукописи за 6 мин. Если сначала снять
ксерокопию с половины рукописи одной машиной, а затем
с оставшейся части — другой машиной, то вся работа будет за-
кончена через 12,5 мин. За какое время можно снять ксероко-
пию с рукописи каждой машиной в отдельности?
Дополнительные упражнения к главе III
; 151
Глава IV
НЕРАВЕНСТВА
НОД ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА
28. Числовые неравенства
Мы можем сравнить любые числа а и Ь и результат сравне-
ния записать в виде равенства или неравенства, используя знаки
= , <, >. Для произвольных чисел а и Ъ выполняется одно и только
одно из соотношений: а = Ъ9 а < Ь, а > Ь>
Рассмотрим примеры.
5 4
1. Сравним обыкновенные дроби — и —. Для этого приведем их
к общему знаменателю:
5 _ 35 4 _ 32
8 “ 56’ 7 ~ 56’
Так как 35 > 32, то — > у.
2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675. Цифры в раз-
рядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных
в первой дроби стоит цифра 4, а во второй — цифра 5. Так как 4 < 5,
то 3,6748 < 3,675.
9
3. Сравним обыкновенную дробь — и десятичную дробь 0,45.
9 9
Обратив дробь — в десятичную, получим, что —
= 0,45
4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого
числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго,
т. е. -15 > -23.
В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот
или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ срав-
Глава IV
Неравенс. - вн
152
нения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том,
что составляют разность чисел и выясняют, является ли она поло-
жительным числом, отрицательным числом или нулем. Этот способ
сравнения чисел основан на следующем определении:
Определение. Число а больше числа Ь, если раз- |
ность а - Ъ — положительное число; число а меньше чис- |
ла 6, если разность а - Ь — отрицательное число. |
Заметим, что если разность а - Ь
равна нулю, то числа а и Ъ равны. о О
На координатной прямой боль- >
шее число изображается точкой, ле-
жащей правее, а меньшее — точкой,
лежащей левее. Действительно, пусть с < о
а иЬ — некоторые числа. Обозначим tT+c b
разность а - Ь буквой с. Так как
а - Ь = с, то а = Ь + с. Если с — поло- ?ис- 22
жительное число, то точка с коорди-
натой b -I- с лежит правее точки с координатой &, а если с — отрица-
тельное число, то левее (рис. 22). Значит, если а > 6, то точка с
координатой а лежит правее точки с координатой Ь, а если
а < Ъ — левее.
Покажем, как приведенное определение используется при реше-
нии задач.
Пример 1. Докажем, что при любых значениях переменной а вер-
но неравенство
► Составим разность левой и правой частей неравенства и преобра-
зуем ее:
(а - 3)(а -5) -(а- 4)2 = а2 - За - 5а + 15 - а2 + 8а - 16 = -1.
При любом а рассматриваемая разность отрицательна и, следо-
вательно, верно неравенство (а - 3)(а — 5) < (а - 4)2.
Пример
число
число
2. Пусть а и Ь — положительные числа. Как известно,
а + Ъ _ ,
--- называется средним арифметическим чисел а и о,
2
/—г z
y/ab — средним геометрическим, число---------средним
а Ъ
гармоническим. Докажем, что среднее арифметическое, среднее
§ 10. Числовые неиавенсл на и
153
геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел
а и Ъ связаны следующим соотношением:
2
► Докажем сначала, что 4аЬ . Преобразуем разность левой
а Ъ
и правой частей этого неравенства:
г—г 2 п-г 2ab a4ab + b4ab - 2ab
ylab-------- y/ab------=----------------—
11 a + b a + b
a b
_ 4ab(a + b - 24ab) _ 4ab (4a - 4bY
a + b a + b
При a > 0 и b > О рассматриваемая разность неотрицательна и,
следовательно, верно неравенство
4аЬ .
1 1
а b
Рассмотрим теперь разность 4аЬ--—
2
24ab - а - b (4а - 4b)2
2 ~ 2
При а > 0 и b > 0 составленная разность либо является отрица-
тельным числом, либо равна нулю и, значит, верно неравенство
—-
2
Итак, мы доказали, что если а > О и Ъ > 0, то
2
1 1
- + -
а b
а + Ъ
' •
2
аЬ
724. Сравните числа а и &, если:
а) а - b - -0,001; б) а - Ъ = 0; в) а - Ь — 4,3.
725. Известно, что а < Ь. Может ли разность а - Ъ выражаться чис-
лом 3,72? -5? 0?
Глава IV
Неравенства
154
726. Даны выражения За (а 4- 6) и (За + 6) (а + 4). Сравните их значе-
ния при а — -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение
первого выражения меньше значения второго.
727. Даны выражения 4b(b + 1) и (2Ъ + 7)(2& - 8). Сравните их значе-
ния при Ь = -3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом
значении Ъ значение первого выражения больше, чем значение
второго?
728. Докажите, что при любом значении переменной верно неравен-
ство:
а) 3(а 4-1) 4-а < 4(2 4-а); в) (а - 2)2 > а (а - 4);
б) (7р - 1)(7р + 1) < 49р2; г) (2а + 3)(2а + 1) > 4а(а + 2).
729. Докажите неравенство:
а) 2&2 - 6Ь 4-1 > 26(& - 3); в) р(р 4- 7) > 7р - 1;
б) (с + 2)(с + 6) < (с + 3)(с + 5); г) 8у (Зу - 10) < (5у - 8)2.
730. Верно ли при любом х неравенство:
а) 4х(х 4- 0,25) > (2х + 3)(2х - 3);
б) (5х - 1)(5х + 1) < 25х2 + 2;
в) (Зх + 8)2 > Зх(х + 16);
г) (7 + 2х)(7 - 2х) < 49 - х(4х + 1)?
731. Докажите неравенство:
а) а (а + b) > ab;
б) т2 - тп 4- п2 тп;
в) 2Ьс Ь2 4- с2;
г) а (а - Ь) Ь (а - Ь).
732. Докажите, что при любом а верно неравенство:
а) 10а2 - 5а 4-1 > а2 + а; б) а2 - а 50а2 - 15а + 1.
733. Докажите, что при а > 0 верно неравенство-----2^2-------—.
а 2
734. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа,
ему обратного, не меньше чем 2.
735. Докажите неравенство:
736. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:
а) а2 - &а 4-14 > 0; б) Ъ2 + 70 > 16Ь.
737. Выберите из данных неравенств такое, которое не является
верным при любом значении а.
1. а2>2а-3 2. а2 4-6 > 4а 3. 4а-4 < а2 4. 8а - 70 < а2
।
§ 10. Числовые неравенства и их свойства ; .
155
738. Докажите, что если а и Ъ — положительные числа и а2 > 62, то
а > Ь. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
а) 7б + 7з и 7?+ 72; в) Тб - 2 и д/б - 73;
б) 7з+ 2 и л/б + i; г) Ло - 41 и 4ii - 4в.
739. Докажите, что при а 0 и Ь > 0 верно неравенство
а + Ъ < 1а2 + Ъ2
2 V 2 ’
740. Что больше: а3 + Ъ3
жительные числа?
или ab (а + &), если а и Ь — неравные поло-
741. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k.
Сравните произведение крайних членов получившейся после-
довательности чисел с произведением средних ее членов.
i742.l Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из поселка
на станцию. Коля шел со скоростью 5 км/ч, а Миша первую по-
ловину пути шел со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля,
а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей,
чем Коля. Кто из них первым пришел на станцию?
i
743
Найдите значение дроби
при х = -
744. Сократите дробь:
х2 - Юх + 25. 4х2 - 12х + 9
35 - 7х * (3 - 2х)2
745.
Решите уравнение:
а) - = 2 - -А-; б)
29. Свойства числовых неравенств
Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.
ТЕОРЕМА 1
Если а > Ь9 то b < а; если а < 6, то b > а.
Действительно, если разность а - b — положительное число, то
разность Ъ - а — отрицательное число, и наоборот. О
Глава IV
Неравенства
156
ТЕОРЕМА 2
Если а < Ъ и Ь < с, то а < с.
• Докажем, что разность а - с — отрицательное число. Прибавим
к этой разности числа Ь и — b и сгруппируем слагаемые:
а-с = a-c + b- b = (а-b) + (b-с).
По условию а < Ъ и Ь < с. Поэтому
слагаемые а — Ь и Ъ - с — отри-
цательные числа. Значит, и их
сумма является отрицательным
числом. Следовательно, а < с.
Аналогично доказывается, что
если а > Ь и Ь > с, то а > с.
Геометрическая иллюстрация этих
свойств дана на рисунке 23.
•
с Ь
Рис. 23
ТЕОРЕМА 3
Если а < Ь и с — любое число, то а 4- с < & 4- с.
• Преобразуем разность (а + с) - (Ь 4- с):
(а 4- с) - (Ь 4- с) - а - 6.
По условию а < Ь, поэтому а — b — отрицательное число. Зна-
чит, и разность (а 4- &) - (Ь 4- с) отрицательна. Следовательно,
а 4- с < Ь 4- с. О
Итак,
если к обеим частям верного неравенства прибавить одно
и то же число, то получится верное неравенство.
АРХИМЕД (287—212 до н. э.) — древнегреческий ма-
тематик, физик и механик. Разработал новые матема-
тические методы, в частности указал способ, позво-
ляющий записать любое сколь угодно большое число.
Дал образцы применения математики к задачам есте-
ствознания и техники.
§ 10 Числовые нрравенсih.j и w своиг!ва
157
ТЕОРЕМА 4
Если а < Ь и с — положительное число, то ас < Ьс. Если а < Ь
ис — отрицательное число, то ас > Ь с.
Представим разность ас - Ъс в виде произведения:
ас - Ьс = с (а - Ь).
Так как а < Ь, то а - Ь — отрицательное число. Если с > 0, то
произведение с(а-Ь) отрицательно, и, следовательно, ас < Ьс.
Если с < 0, то произведение с (а - Ь) положительно, и, следова-
тельно, ас > Ьс. О
Так как деление можно заменить умножением на число, обрат-
ное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деле-
ния. Итак,
вйи » T'l*» -wvJMr ЛЛ** ii* ьмдм *-<**a; WAMW» - wVhh: Мло/- мЛй.-w jiwmb. ллча .лулл .г*"*. rj
J
5 если обе части верного неравенства умножить или разделить {
I на одно и то же положительное число, то получится верное {
I неравенство; ।
? если обе части верного неравенства умножить или разделить «
| на одно и то же отрицательное число и изменить знак нера- ’
t венства на противоположный, то получится верное нера- ’
I венство. I
> J
.v mv: WAI/М r-YCtav. -гг>чча. ***/* .*> О»* > МИМ «мм» •*» w W i щи 'амО«> V» ъ * -мХил- Л
СЛЕДСТВИЕ
Если а и Ь — положительные числа и а < Ь, то — >
а Ъ
• Разделим обе части неравенства а < Ъ на положительное чис-
, а Ь _ * 11 1 1 п
ло аЬ: — < —. Сократив дроби, получим, что - <—,т. е. — > - . О
ab ab Ъ а а Ь
Приведем пример использования рассмотренных свойств нера-
венств.
Пример. Оценим периметр равностороннего треугольника со сто-
роной а мм, если известно, что 54,2 < а < 54,3.
► Периметр равностороннего треугольника со стороной а вычисля-
ется по формуле Р - За. Умножим на 3 обе части каждого из не-
равенств 54,2 < а и а < 54,Зи запишем результат в виде двойно-
го неравенства:
54,2 - 3 < За < 54,3 • 3, 162,6 < За < 162,9.
Значит, периметр Р данного треугольника больше 162,6 мм, но
меньше 162,9 мм. <1
Глава IV
Неравенства
158
746. Начертите координатную прямую и покажите, где примерно
расположены на ней точки, имеющие координаты a, b, с, d
и е, если а < 6, с > b, с < d9 а > е.
747. Пусть тп, п, р и q — некоторые числа, причем т > р, п > т9
п < q. Сравните, если это возможно, числа р и п, р и q, q и т.
При сравнении чисел воспользуйтесь координатной прямой.
748. Известно, что а < 6. Сравните, если возможно, а и 6 +1, а - 3
иЬ, а~ 5 и & + 2, а + 4 и b - 1.
749. Какими числами (положительными, отрицательными) являют-
ся а и 6, если известно, что верны неравенства:
а)о-3>й-3и&>4; в) 7а>7ЬиЬ> —;
2
б) а-8>Ь-8 иа < -12; г) -2а > —2Ь и Ъ < -^?
о
750. Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство,
которое получится, если:
а) к обеим частям неравенства 18 > -7 прибавить число -5;
число 2,7; число 7;
б) из обеих частей неравенства 5 > -3 вычесть число 2; чис-
ло 12; число -5;
в) обе части неравенства -9 < 21 умножить на 2; на -1; на -—;
о
г) обе части неравенства 15 > -6 разделить на 3; на -3; на -1.
751. Известно, что а < Ь. Используя свойства неравенств, запишите
верное неравенство, которое получится, если:
а) к обеим частям этого неравенства прибавить число 4;
б) из обеих частей этого неравенства вычесть число 5;
в) обе части этого неравенства умножить на 8;
г) обе части этого неравенства разделить на —;
д) обе части этого неравенства умножить на -4,8;
е) обе части этого неравенства разделить на -1.
752.
Известно, что а < Ь. Поставьте вместо звездочки знак < или
так, чтобы получилось верное неравенство:
а ) -12,7а * -12,76; в) 0,07а * 0,076;
а b ч а Ъ
б ) — * —; г) — * —.
7 3 3 2 2
753. Каков знак числа а, если известно, что:
а) 5а < 2а; б) 7а > За; в) -За < За; г) -12а > -2а?
।
§ 10. Числовые неравенства и их свойства :
159
754. Известно, что с > d. Объясните, на основании каких свойств
можно утверждать, что верно неравенство:
а) -7с < -7d; г) 0,01с - 0,7 > 0,01d - 0,7;
755. Известно, что а, &, с и d — положительные числа, причем
а > 6, d < Ь9 с > а. Расположите в порядке возрастания числа
1111
а’ Ь9 с9 d
;756.| Зная, что а — отрицательное число, расположите в порядке
возрастания числа:
2а, а7з, а(л/з - V2), -aV7, За.
757. Известно, что 3 < а < 4. Оцените значение выражения:
a) 5a; б) -а; в) а + 2; г) 5-а; д) 0,2а 4-3.
758. Зная, что 5 < х < 8, оцените значение выражения:
а) 6х; б) -10х; в) х - 5; г) Зх 4- 2.
759. Пользуясь тем, что 1,4 < V2 < 1,5, оцените значение выражения:
а) V2 + 1; б) V2 - 1; в) 2 - V2.
760. Пользуясь тем, что 2,2 < V5 < 2,3, оцените значение выражения:
а) д/б + 2; б) 3 - V5.
761. а) Оцените периметр квадрата со стороной а см, если
5,1 а 5,2.
б) Оцените длину стороны квадрата, зная, что периметр квад-
рата равен Р см, если 15,6 Р С 15,8.
762. Оцените значение выражения —, если:
У
а) 5 < у < 8; б) 0,125 < у < 0,25.
?763. Найдите значение многочлена х2 - 4х + 1 при х = —; -3; 2 - >/з.
4
1764. Решите уравнение:
Глава IV
Неравенства
160
30. Сложение и умножение
числовых неравенств
Рассмотрим теперь, как выполняется сложение и умножение
числовых неравенств.
ТЕОРЕМА 5
Если a<bnc<d, то а + с <Ъ + d.
• Прибавив к обеим частям неравенства а < Ь число с, получим
а + с < Ь + с. Прибавив к обеим частям неравенства с < d число &,
получим Ъ + с < Ь -I- d. Из неравенств а + с <Ь + с и b + с < b + d
следует, что а + с < Ь + d. С
Теорема справедлива и в случае почленного сложения более чем
двух неравенств.
Таким образом,
если почленно сложить верные неравенства одного знака, то
получится верное неравенство.
ТЕОРЕМА 6
Если а < Ъ и с < d, где а, Ь, с и d — положительные числа, то
ас < bd.
Умножив обе части неравенства а < Ь на положительное число с,
получим ас < Ъс. Умножив обе части неравенства с < d на по-
ложительное число &, получим be < bd. Из неравенств ас < Ьс и
be < bd следует, что ас < bd. О
Теорема справедлива и для почленного умножения более чем
двух неравенств указанного вида.
Таким образом,
если почленно перемножить верные неравенства одного зна-
ка, левые и правые части которых — положительные числа,
то получится верное неравенство.
Заметим, что если в неравенствах а < b и с < d среди чисел а, й, с
и d имеются отрицательные, то неравенство ас < bd может оказать-
ся неверным. Так, перемножив почленно верные неравенства — 1 < 2
и -3 < 1, получим неравенство 3 < 2, которое не является верным.
6 Алгебра 8 кл.
§ 10. Числовые неравенстве! и их свойства
161
jСЛЕДСТВИЕ
Если числа а и Ъ положительны и а < Ь9 то ап < Ьп, где и — на-
туральное число.
• Перемножив почленно п верных неравенств а < Ь, в которых
а и Ь — положительные числа, получим верное неравенство
ап < Ьп.
Доказанные свойства используются для оценки суммы, разно-
сти, произведения и частного.
Пусть, например, известно, что 15 < х < 16 и 2 < у < 3. Тре-
буется оценить сумму х + у9 разность х - у9 произведение ху и част-
х
ное —.
У
1. Оценим сумму х + у.
Применив теорему о почленном сложении неравенств к неравен-
ствам 15 < х и 2 < у, а затем к неравенствам х<16иу<3, получим
17 < х + у и х + у < 19. Результат можно записать в виде двойного
неравенства 17 < х + у < 19. Запись обычно ведут короче:
15 < х < 16
2<у <3
17 < х + у <19
2. Оценим разность х - у.
Для этого представим разность х - у в виде суммы х + (-у). Снача-
ла оценим выражение -у. Так как 2 < у < 3, то -2 > -у > -3, т. е.
-3 < -у < -2. Применим теперь теорему о почленном сложении нера-
венств:
15 < х < 16
-3 <-у < —2
12 < х - у < 14
3. Оценим произведение ху.
Так как каждое из чисел х и у заключено между положи-
тельными числами, то они также являются положительными чис-
лами. Применив теорему о почленном умножении неравенств, по-
лучим
15 < х < 16
2<у <3
30 < ху < 48
Глава IV
Неравенс!на
162
4. Оценим частное —.
У
х 1
Для этого представим частное — в виде произведения х • —. Сна-
У У
чала оценим выражение Так как 2 < у < 3, то - > — > —, т. е.
У 2 у 3
< —. По теореме о почленном умножении
неравенств имеем
15 < х < 16
111
3 <у< 2
У
765. Сложите почленно неравенства:
а) 12 > -5 и 9 > 7; б) -2,5 < -0,7 и -6,5 < -1,3.
766. Перемножьте почленно неравенства:
а) 5 > 2 и 4 > 3; б) 8 < 10 и
767. Верно ли для положительных чисел а и Ь, что:
а) если а > Ь, то а2 > Ь2; б) если а2 > Ь2, то а > Ъ?
768. Пусть 3<а<4и4<6<5. Оцените:
а) а+ 6; б) а - Ь; в) ab\ г)
b
769. Зная, что 6 < х < 7 и 10 < г/ < 12, оцените:
а) х + у; б) у - х; в) ху; г) —.
770. Пользуясь тем, что 1,4 < V2 < 1,5 и 1,7 < V3 < 1,8, оцените:
a) V2 + V3; б) л/з - V2.
771. Пользуясь тем, что 2,2 < V5 < 2,3 и 2,4 < л/б < 2,5, оцените:
а) >/б + V5; б) >/б - V5.
772. Известны границы длин основания а и боковой стороны b рав-
нобедренного треугольника, выраженные в миллиметрах:
26 а 28 и 41 Ь 43.
Оцените периметр этого треугольника.
§ 10. Числовые неравенства и их свойства
163
773. Измеряя длину а и ширину b прямоугольника (в см), нашли,
что 5,4 < а < 5,5 и 3,6 < Ъ < 3,7.
Оцените: а) периметр прямоугольника; б) площадь прямо-
угольника.
774. Известны границы длины а и ширины Ъ (в м) комнаты прямо-
угольной формы:
7,5^ а 7,6 и 5,4 Ъ 5,5.
Подойдет ли это помещение для библиотеки, для которой тре-
буется комната площадью не менее 40 м2?
775. Пусть аир — углы треугольника. Известно, что
58° а 59°, 102° р 103°.
Оцените величину третьего угла.
776. Используя соотношение между средним арифметическим и
средним геометрическим положительных чисел, докажите, что
при а^О, & ^0, с>0 верно неравенство:
а) (а 4- Ь)(Ь + с)(а + с) > 8аЪс;
(а + 1)(*+ 1)(а + с)(* + с) .
б) ---------—---------> abc.
16
777. Докажите, что сумма длин двух противоположных сторон
выпуклого четырехугольника меньше суммы длин его диаго-
налей.
778. Докажите, что сумма длин медиан треугольника больше его по-
лу периметра, но меньше периметра.
779. Лист жести имеет форму квадрата. После того как от него отре-
зали полосу шириной 5 дм, площадь оставшейся части листа
стала равной 6 дм2. Каковы размеры первоначального листа
жести?
780. Упростите выражение
( 8х + х . Г 4-Зхл
16 - 9х2 + Зх - 4 J ’ ( 4+ Зх;
781. Докажите, что:
а) 9а + — ^ 6 при а > 0;
а
б) 256 + 7
о
-10 при b < 0.
Глава IV
Неравенства
164
31. Погрешность и точность приближения
По графику функции у = х2 нашли приближенные значения
этой функции при х = 1,5 и х = 2,1:
если х = 1,5, то у ~ 2,3;
если х = 2,1, то у ~ 4,4.
По формуле у = х2 можно найти точные значения этой функ-
ции:
если х = 1,5, то у = 1,52 = 2,25;
если х = 2,1, то у = 2,12 = 4,41.
Приближенное значение отличается от точного значения в пер-
вом случае на 0,05, а во втором на 0,01, так как:
2,3 - 2,25 = 0,05; 4,41 - 4,4 = 0,01.
Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от
точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т. е. найти мо-
дуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль раз-
ности называют абсолютной погрешностью.
Определение. Абсолютной погрешностью прибли- |
женного значения называют модуль разности точного I
и приближенного значений. I
Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность прибли-
женного значения, равного 2,3, есть 0,05, а абсолютная погрешность
приближенного значения, равного 4,4, есть 0,01:
| 2,25-2,3 | = |-0,05 | = 0,05;
| 4,41 -4,4 | = 0,01.
Найти абсолютную погрешность
не всегда возможно. Пусть, напри- А_________________________________________&
мер, при измерении длины отрезка nrnii|iiii|iiii|uii|iiH|iiiipiii|iiii|iiiHiin|'
АВ, изображенного на рисунке 24, 0 1 2 3 4 5
получен результат: _________________________________
АВ ~ 4,3 см.
Рис. 24
Мы не можем найти абсолютную погрешность приближенного
значения, так как не знаем точного значения длины отрезка АВ.
В подобных случаях важно указать такое число, больше которого
абсолютная погрешность быть не может. В рассматриваемом приме-
ре в качестве такого числа можно взять число 0,1. В самом деле,
цена деления линейки 0,1 см, и поэтому абсолютная погрешность
приближенного значения, равного 4,3, не больше чем 0,1, т. е.
| АВ -4,3 |^0,1.
§ 10. Числовые неравенства и их свойства
165
Говорят, что число 4,3 есть приближенное значе-
ние длины отрезка АВ (в сантиметрах) с точностью
до 0,1.
Вообще, если х ~ а и абсолютная погрешность
этого приближенного значения не превосходит неко-
торого числа Л, то число а называют приближенным
значением х с точностью до h. Пишут:
х ~ а с точностью до Л.
Используют также такую запись:
х = а ± h.
Запись х = а ± h означает, что точное значение
переменной х заключено между числами а - h и а -I- й,
т. е.
а-й^х^а + й.
Например, на рулоне обоев написано, что его
длина равна 18 ± 0,3 м. Значит, если I — истинное
значение длины рулона (в метрах), то
18 - 0,3 С 1^ 18 + 0,3, т. е. 17,7 I 18,3.
Точность приближенного значения зависит от
многих причин. В частности, если приближенное зна-
чение получено в процессе измерения, его точность
зависит от прибора, с помощью которого выполня-
лось измерение. Например, на медицинском термометре деления на-
несены через 0,1°. Это дает возможность измерять температуру с
точностью до 0,1°. Комнатный термометр, на котором деления нане-
сены через 1°, позволяет измерять температуру с точностью до 1°.
На торговых весах, у которых цена деления шкалы 5 г, можно взве-
шивать с точностью до 5 г.
Для оценки качества измерения можно использовать относи-
тельную погрешность приближенного значения.
Определение. Относительной погрешностью при-
ближенного значения называется отношение абсолютной •;
погрешности к модулю приближенного значения.
........ ,х.... 5^
Относительную погрешность принято выражать в процентах.
В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного
значения неизвестна, а известна только его точность, ограничивают-
ся оценкой относительной погрешности.
Рассмотрим такой пример. При измерении (в сантиметрах) тол-
щины b стекла и длины I книжной полки получили такие результаты:
Ь = 0,4 ±0,1;
I = 100,0 ± 0,1.
. Глава IV
UL_.___* • iC»_____.
Неравенова
166
В первом случае относительная погрешность не превосходит
• 100%, т. е. 25%, а во втором не превосходит * 100%, т. е.
0,1%. Говорят, что в первом случае измерение выполнено с отно-
сительной точностью до 25%, а во втором — с относительной точ-
ностью до 0,1%. Качество второго измерения намного выше, чем
первого.
782. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найди-
те абсолютную погрешность каждого из приближенных зна-
чений.
783. Найдите абсолютную погрешность приближенного значения,
полученного в результате округления:
а) числа 9,87 до единиц; в) числа 0,453 до десятых;
б) числа 124 до десятков; г) числа 0,198 до сотых.
784.
При выполнении вычислений дробь — заменили десятичной
дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого прибли-
жения?
785. В каких границах заключено число у, если:
a) г/= 6,5 ±0,1; б) г/=1,27 ±0,2.
786. На упаковке простокваши написано, что ее надо хранить при
температуре 4 ± 2 °C. В каких границах заключено значение
температуры t °C, допустимое для хранения?
787. На упаковке товара указано, что его масса равна 420 г ± 3%.
В каких границах заключена масса а г этого товара?
788. На коробке конфет указано, что она должна храниться при
температуре 16 ± 3 °C. Удовлетворяет ли этому условию темпе-
ратура воздуха, равная:
а) 18°; б) 21°; в) 14,5°; г) 12,5°?
789. Определяя массу мешка картофеля с точностью до 1 кг, нашли,
что она равна 32 кг. Может ли масса этого мешка, измеренная
с точностью до 0,1 кг, оказаться равной:
а) 31,4; б) 32,5; в) 33,2; г) 30,7?
790. Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспорти-
ра. Какова точность полученного результата?
791. При измерении длины стержня пользовались линейкой с мил-
лиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления
§ 10. Числовые неравенства и их свойства
167
0,1 мм) и микрометром (цена деления 0,01 мм). При этом были
получены результаты: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Каким инст-
рументом выполнено каждое из указанных измерений и какую
точность дает каждый инструмент?
792. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную по-
грешность приближения, полученного при округлении.
793. Выполняя лабораторную работу по определению плотности же-
леза, ученик получил результат 7,6 г/см3. Вычислите относи-
тельную погрешность экспериментального результата (таблич-
ное значение плотности железа равно 7,8 г/см3).
794. Поверхность Земли равна 510,2 млн км2 (с точностью до
0,1 млн км2). Оцените относительную погрешность приближен-
ного значения.
795. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от
Земли до Луны I. Получили d « 0,15 мм с точностью до 0,01 мм
и I ~ 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество из-
мерений, оценив относительные погрешности.
796. Сравнивая с нулем значения выражений, ученик получил сле-
дующие результаты:
1. Зл/2 - V7 > 0 3. 4^7 - 9-72 < 0
2. &73-Зл/б>0 4. 7-711 - 6-712 < 0
При этом он допустил ошибку. Найдите ее и исправьте.
797. Докажите неравенство:
а) 6а(а +1) < (За + 1)(2а + 1) + а;
б) (2р - 1)(2р + 1) + 3(р +1) > (4р + 3)р.
798. Разность корней уравнения х2 - 8х + q = 0 равна 16. Найдите q.
Контрольные вопросы
Сформулируйте теоремы, выражающие основные свойства число-
вых неравенств, и докажите их.
Сформулируйте и докажите теоремы о почленном сложении
и умножении неравенств.
Что называется абсолютной погрешностью приближенного зна-
чения? Объясните смысл записи х = а ± h.
Что называется относительной погрешностью приближенного
значения?
Глава IV
- - - г - —
Неравенства
168
§ 11
НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
И ИХ СИСТЕМЫ
32. Пересечение и объединение множеств
Пусть А — множество натуральных делителей числа 12, а В —
множество натуральных делителей числа 18. Зададим множества А
и В путем перечисления элементов:
А = {1, 2, 3, 4, 6, 12},
В = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Обозначим буквой С множество общих делителей чисел 12 и 18,
т. е. общих элементов множеств А и В. Получим, что
С = {1, 2, 3, 6}.
Говорят, что множество С является пересечением множеств А
и В, и пишут: А А В = С.
Вообще
пересечением двух множеств называют множество, состоя- |
щее из всех общих элементов этих множеств. t
Соотношение между множества-
ми А, В и С можно проиллюстриро-
вать с помощью специальных схем,
называемых кругами Эйлера. На ри-
сунке 25 множества А и В избражены
кругами. Фигура, образовавшаяся при
пересечении кругов, закрашенная на
рисунке, изображает множество С.
Заметим, что если некоторые
множества X и Y не имеют общих
элементов, то говорят, что пересече-
нием этих множеств является пус-
тое множество, которое обозначают
знаком 0, и используют такую за-
пись: X A Y = 0.
Рис. 25
Введем теперь понятие объединения множеств. Вернемся к рас-
смотренному примеру множеств натуральных делителей чисел 12
и 18. Пусть D — множество, которому принадлежат все элементы
множества А и все элементы множества В. Для того чтобы задать
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
169
множество D путем перечисления эле-
ментов, выпишем сначала все элементы
множества А, а затем те элементы мно-
жества В, которые не принадлежат
множеству А. Получим
D= {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18}.
Говорят, что множество D является
объединением множеств А и В, и пи-
шут: D = A U В.
Вообще
объединением двух множеств называют множество, состоя-
щее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из
этих множеств.
На рисунке 26 с помощью кругов Эйлера показано соотношение
между множествами А, В и D. Фигура, закрашенная на рисунке,
изображает множество D.
Упражнения
799. Известно, что X — множество простых чисел, не превосходя-
щих 20, а У — множество двузначных чисел, не превосходя-
щих 20. Задайте множества X и У перечислением элементов
и найдите их пересечение и объединение.
800. Задайте путем перечисления элементов множество А двузнач-
ных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел,
и множества В двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересе-
чение и объединение этих множеств.
801. Найдите пересечение и объединение:
а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243
и 6321;
б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия»
и «география».
802. Пусть А — множество квадратов натуральных чисел, В — мно-
жество кубов натуральных чисел. Принадлежит ли:
а) пересечению множеств А и В число 1; 4; 64;
б) объединению множеств А и В число 16; 27; 64?
803. На рисунке 27 изображены отрезки АВ и CD, Какая фигура
является: ф е ф
а) пересечением этих отрезков; А С В D
б) объединением этих отрезков? рис 27
Глава IV
Неравенства
170
804. Множеством каких фигур является пересечение:
а) множества прямоугольников и множества ромбов;
б) множества равнобедренных треугольников и множества
прямоугольных треугольников?
805. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение ме-
жду множеством N натуральных чисел, множеством Z целых
чисел, множеством Q рациональных чисел. Найдите пересече-
ние и объединение:
а) множества натуральных и множества целых чисел;
б) множества целых и множества рациональных чисел;
в) множества рациональных и множества иррациональных
чисел.
806. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение ме-
жду множеством чисел, кратных 4, и множеством чисел, крат-
ных 3. Какое множество изображает общая часть этих кругов?
807. Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение ме-
жду множествами А и В, где А — множество целых чисел,
кратных 6, В — множество целых чисел, кратных 12. Какое
множество является:
а) пересечением множеств А и В;
б) объединением множеств А и В?
808. Найдите пересечение и объединение множеств X и Y, если:
а) X — множество простых чисел, У — множество составных
чисел;
б) X — множество целых чисел, кратных 5, У — множество
целых чисел, кратных 15.
809. Термометр показывает температуру с точностью до 1 °C. Изме-
ряя им температуру воздуха, нашли, что она равна 16 °C. С ка-
кой относительной точностью выполнено измерение?
|в10. Решите уравнение
| i 1 _ 6 “ х 1
2 - х “ Зх2 - 12 х - 2 ’
811. В одном фермерском хозяйстве благодаря применению новых
технологий удалось получить гречихи на 2 ц с гектара больше,
чем в другом. В результате оказалось, что в первом хозяйстве
i собрали 180 ц гречихи, а во втором только 160 ц, хотя во вто-
। ром хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше. Како-
I ва была урожайность гречихи в каждом хозяйстве?
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
171
33. Числовые промежутки
Пусть а и Ь — некоторые числа, причем а < &. Отметим на коор-
динатной прямой точки с координатами а и Ь (рис. 28). Если точка
расположена между ними, то ей соответствует число х, которое
больше а и меньше Ь. Верно и обратное: если число х больше а
и меньше Ь, то оно изображается точкой, лежащей между точками
с координатами а и Ъ. Множество всех чисел, удовлетворяющих
а
Рис. 28
условию а х Ь, изображается на
координатной прямой отрезком, огра-
ниченным точками с координатами а
и Ь (рис. 29). Это множество называ-
ют числовым отрезком или просто
отрезком и обозначают так: [а; 6] (чи-
тают: отрезок от а до Ь).
Множество чисел, удовлетворяю-
щее условию а < х < Ь9 называют ин-
тервалом и обозначают так: (а; Ъ)
(читают: интервал от а до Ь). На ри-
сунке 30 это множество показано
штриховкой. Светлые кружки озна-
чают, что числа а и & не принадлежат
Рис. 29
о /. . . /. . 7 г /Z^ZZ. . • ZZZ. ZZZZZZz/Z. О J
a b
Рис. 30
< ...... а Ь
Рис. 31
а ь
Рис. 32
Рис. 33
а
Рис. 34
4л./. ZZZ.'iZZ.Z.ZZZг . . <
а
Рис. 35
а
Рис. 36
этому множеству.
Множества чисел х, для которых
выполняются двойные неравенства
а х < Ь или а < х 6, называют по-
луинтервалами и обозначают соот-
ветственно [а; &) и (а; &] (читают: по-
луинтервал от а до &, включая а;
полуинтервал от а до Ь, включая Ь).
Эти полуинтервалы изображены на
рисунках 31 и 32.
Числовые отрезки, интервалы и
полуинтервалы называют числовыми
промежутками.
Приведем другие примеры чи-
словых промежутков.
Множество чисел, удовлетворяю-
щих неравенству х а, изображается
лучом с началом в точке а, располо-
женным вправо от нее (рис. 33). Это
множество называют числовым лу-
чом и обозначают так: [а; +оо) (чита-
ют: числовой луч от а до плюс беско-
нечности).
Множество чисел, удовлетворяю-
щих условию х > а9 изображается тем
Глава IV
Неравенства
172
же лучом, исключая точку а (рис. 34). Его называют открытым чи-
словым лучом и обозначают так: (а; +оо) (читают: открытый число-
вой луч от а до плюс бесконечности).
На рисунках 35 и 36 изображены множества чисел х, для кото-
рых выполняются неравенства х а и х < а. Эти множества обоз-
начают соответственно (-оо; а] и (-оо; а) (читают: числовой луч от
минус бесконечности до а; открытый числовой луч от минус беско-
нечности до а).
Множество действительных чисел изображается всей коорди-
натной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают так:
(—оо; +оо).
Обозначения числовых промежутков, их названия и изображе-
ние на координатной прямой показаны в таблице.
Неравенство, задающее числовой промежуток Обозначение и название числового промежутка Изображение число- вого промежутка на координатной прямой
а х b [a; dj — числовой отрезок а Ъ
а< х < Ъ (а; Ь) — интервал о-*» 6 а Ъ
х < Ъ [а; Ь) — полуинтервал а Ъ
а < х b (а; fe] — полуинтервал а Ъ
х > а [а; +оо) — числовой луч а
х > а (а; + оо) — открытый числовой луч о. /- ......с... а
х а (-оо; а] — числовой луч —♦ >- а
х < а (-оо; а) — открытый числовой луч —^-6 >- а
Выясним, какое множество является пересечением и какое объ-
единением некоторых числовых промежутков.
Пример 1. Найдем пересечение и объединение числовых проме-
жутков [1; 5] и [3; 7] (рис. 37).
> Имеем
[1; 5] П [3; 7] = [3; 5];
[1; 5] U [3; 7] = [1; 7]. <
Рис. 37
§11. Неравенства с одной переменной и их емс гемы
173
Рис. 38
14 7
Рис. 39
Рис. 40
Пример 2. Найдем пересечение и
объединение числовых промежут-
ков [-4; +оо) и [3; +оо) (рис. 38).
► Имеем
[—4; +оо) Л [3; +оо) = [3; +оо);
[-4; +оо) U [3; +оо) = [-4; +оо), <]
Заметим, что если числовые про-
межутки не имеют общих элемен-
тов, то их пересечением является
пустое множество. Например,
[1; 4] Л [7; +оо) = 0 (рис. 39).
Следует иметь также в виду, что объединение числовых проме-
жутков не всегда представляет собой числовой промежуток. Напри-
мер, множество [0; 4] U [6; 10] не является числовым промежутком
(рис. 40).
Упражнения
812. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:
а) [-2; 4]; в) [0; 5]; д) (3; +оо); ж) (-оо; 4];
б) (-3; 3); г) (-4; 0); е) [2; +оо); з) (-сю; ~1).
813. Назовите промежутки, изображенные на рисунке 41, и обо-
значьте их.
б) г)
Г:z' - V' Z - > нУм / <, Zfr, /✓////
-1 4
Рис. 41
814. Изобразите на координатной прямой промежуток и назовите его:
а) (3; 7); б) [1; 6]; в) (-сю; 5); г) [12; +оо).
815. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовле-
творяющих неравенству:
а) х -2; б) х С 3; в) х > 8; г) х < -5.
816. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовле-
творяющих двойному неравенству:
а) -1,5 х 4; в) -5 х -3^;
б) -2 < х < 1,3; г) 2 < х 6,1.
Глава IV
L - -- - -_ J- - -
Неравенства
174
817. а) Принадлежит ли интервалу (-4; 6,5) число: -3; -5; 5; 6,5;
-3,9; -4,1?
б) Принадлежит ли отрезку [—8; -5] число: —9; —8; -5,5; —5; -6;
-7,5?
818. Какие из чисел -1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 принадлежат про-
межутку:
а) [-1,5; 6,5]; б) (3; +оо); в) (-<ю; -1]?
819. Принадлежит ли интервалу (1,5; 2,4) число:
820.
Укажите все дроби вида —,
54
где a g N, принадлежащие проме-
жутку
1
9
1
6
821. Какие целые числа принадлежат промежутку:
а) (-4; 3); б) [-3; 5]?
822. Какие целые числа принадлежат промежутку:
а) [0; 8]; б) (-3; 3); в) (-5; 2); г) (-4; 9]?
823. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:
а) [-12; -9]; б) [-1; 17); в) (-оо; 31]; г) (-оо; 8).
824. Принадлежит ли промежутку (-оо; 2) число 1,98? Укажите
два числа, большие 1,98, принадлежащие этому промежутку.
Можно ли найти наибольшее число, принадлежащее этому
промежутку? Существует ли в этом промежутке наименьшее
число?
825. Используя координатную прямую, найдите пересечение проме-
жутков:
а) (1; 8) и (5; 10); в) (5; +оо) и (7; +оо);
б) [-4; 4] и [-6; 6]; г) (-оо; 10) и (-оо; 6).
826. Сколько целых чисел принадлежит пересечению интервалов
(-3,9; 2) и (-4,3; 1)? Выберите верный ответ:
1. Три 2. Четыре 3. Пять 4. Шесть
827. Покажите штриховкой на координатной прямой объединение
промежутков:
а) [-7; 0] и [-3; 5]; в) (-оо; 4) и (10; +оо);
б) (-4; 1) и (10; 12); г) [3; +оо) и (8; +оо).
§11. Неравенства с одной переменной и ил сисюмы
175
828. Используя координатную прямую, найдите пересечение и объ-
единение промежутков:
а) (-3; +оо) и (4; +оо); в) (-оо; 6) и (-оо; 9);
б) (-оо; 2) и [0; +оо); г) [1; 5] и [0; 8].
829.
Упростите выражение:
а - х Д2 ~ Ь2
+ х а2
а) -----— ; б) —----------
2а2Ь2
ах
830. Докажите неравенство а2 + 5 > 2а.
831. Пассажир проехал в поезде 120 км и вернулся с обратным поез-
дом, проходящим в час на 5 км больше. Определите скорость
каждого поезда, если известно, что на обратный путь он затра-
тил на 20 мин меньше.
2 х_
832. При каком х значение функции, заданной формулой у =-—,
равно -1? Х ~
34. Решение неравенств с одной переменной
Неравенство 5х- 11 > 3 при одних значениях переменной х об-
ращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Напри-
мер, если вместо х подставить число 4, то получится верное нера-
венство 5*4-11 >3, а если подставить число 2, то получится
неравенство 5- 2 — 11 > 3, которое не является верным. Говорят, что
число 4 является решением неравенства 5х— 11 > 3 или удовлетво-
ряет этому неравенству. Нетрудно проверить, что решениями нера-
венства являются, например, числа 100, 180, 1000. Числа 2; 0,5; -5
не являются решениями этого неравенства.
Определение. Решением неравенства с одной пере- |
менной называется значение переменной, которое обращает |
его в верное числовое неравенство. f
Решить неравенство — значит найти все его решения или дока-
зать, что решений нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются рав-
носильными. Неравенства, не имеющие решений, также считают
равносильными.
Глава IV
Неравенства
176
При решении неравенств используются следующие свойства:
1) Если из одной части неравенства перенести в другую сла-
гаемое с противоположным знаком, то получится равно-
сильное ему неравенство.
2) Если обе части неравенства умножить или разделить на
одно и то же положительное число, то получится равносиль-
ное ему неравенство;
если обе части неравенства умножить или разделить на одно
и то же отрицательное число, изменив при этом знак нера-
венства на противоположный, то получится равносильное
ему неравенство.
Например, неравенство
18 + 6х > О
равносильно неравенству
6х > -18
(1)
(2)
а неравенство 6х > -18 равносильно неравенству х > -3.
Указанные свойства неравенств можно доказать, опираясь на
свойства числовых неравенств.
Докажем, например, что равносильны неравенства (1) и (2).
Пусть некоторое число а является решением неравенства (1), т. е.
обращает его в верное числовое неравенство 18 + 6а > 0. Прибавив
к обеим частям этого неравенства число -18, получим верное нера-
венство 18 4- 6а - 18 > 0 - 18, т. е. 6а > -18, а это означает, что число
а является решением неравенства (2).
Мы показали, что каждое решение неравенства (1) является ре-
шением неравенства (2). Аналогично доказывается, что каждое ре-
шение неравенства (2) служит решением неравенства (1). Таким
образом, неравенства (1) и (2) имеют одни и те же решения, т. е.
являются равносильными.
Подобными рассуждениями устанавливается справедливость обо-
их свойств неравенств в общем виде.
Приведем примеры решения неравенств.
Пример 1. Решим неравенство 16х > 13х + 45.
► Перенесем слагаемое 13х с противоположным знаком в левую
часть неравенства:
16х - 13х > 45.
Приведем подобные члены:
Зх > 45.
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
177
^yzzzzzzz zz /zz z zz zz<////z z/z <z«/««//////fr
15
Рис. 42
Разделим обе части неравенства
на 3:
х> 15.
Множество решений неравенства состоит из всех чисел, боль-
ших 15. Это множество представляет собой открытый числовой
луч (15; +оо), изображенный на рисунке 42.
Ответ можно записать в виде числового промежутка (15; ч-оо)
или в виде неравенства х > 15, задающего этот промежуток. О
Пример 2. Решим неравенство 15х - 23 (х 4-1) > 2х 4-11.
► Раскроем скобки в левой части неравенства:
15х- 23х- 23 > 2х + 11.
Перенесем с противоположными знаками слагаемое 2х из пра-
вой части неравенства в левую, а слагаемое -23 из левой части
в правую и приведем подобные члены:
15х - 23х - 2х > 11 + 23,
-10х > 34.
Разделим обе части на -10, при этом изменим знак неравенства
на противоположный:
х <-3,4.
z«/z;/-zzzzzzzzzzzzz/z//zz/-^
-3,4
Рис. 43
Множество решений данного нера-
венства представляет собой откры-
тый числовой луч (-оо; —3,4), изобра-
женный на рисунке 43.
Ответ: (-оо; —3,4). <]
Пример 3.
Решим неравенство — - —
О 4
2.
► Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаме-
натель дробей, входящих в неравенство, т. е. на 6. Получим
£.6-^.6<26,
3 2
2х - Зх < 12.
Отсюда
-х < 12,
х > -12.
Ответ: (-12; +оо). <]
Глава IV
Неравенства
178
В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли задан-
ное неравенство равносильным ему неравенством вида ах > Ь
или ах < Ь, где а и Ь — некоторые числа. Неравенства тако-
го вида называют линейными неравенствами с одной пере-
менной.
В приведенных примерах мы получали линейные неравенства,
в которых коэффициент при переменной не равен нулю. Может слу-
читься, что при решении неравенства мы придем к линейному нера-
венству вида 0 • х > Ь или 0 • х < Ь. Неравенство такого вида, а значит,
и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений,
либо их решением является любое число.
Пример 4. Решим неравенство
2(х + 8) - 5х < 4 - Зх.
► Имеем
2х 4-16 - 5х < 4 - Зх,
2х - 5х 4- Зх < 4 - 16.
Приведем подобные члены в левой части неравенства и запишем
результат в виде 0 • х:
О - х < -12.
Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом
значении х оно обращается в числовое неравенство 0 < -12, не
являющееся верным. Значит, не имеет решений и равносильное
ему заданное неравенство.
Ответ: решений нет. <|
833. Является ли решением неравенства 5у > 2(у - 1) 4- 6 значение у.
равное:
а) 8; б) -2; в) 1,5; г) 2?
834. Укажите два каких-либо решения неравенства 2х < х + 7.
835. Решите неравенство и изобразите множество его решений на
координатной прямой:
а) х 4- 8 > 0; в) х 4-1,5 0;
б) х - 7 < 0; г) х - 0,4 > 0.
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
179
836. Решите неравенство:
---- а) Зх > 15; д) 12j/ < 1,8;
б) —4х < -16; е) 27fc > 12;
в) —х 1; ж) —6х>1,5;
г) Hi/ 33;
з) 15х =$ 0;
и)
к)
л)
м)
0,5i/ > -4;
2,5а > 0;
о
837.
Решите неравенство и изобразите
координатной прямой:
а) 2х<17; д) ЗОх > 40;
б) 5х > -3; е) -15х < -27;
в) -12х < -48; ж) -4х > -1;
г) —х < -7,5; з) 10х < -24;
множество его решений на
и) |х < 2;
О
к) — х < 0;
3
л) 0,02х > -0,6;
м) -1,8х 36.
838. Решите неравенство 5х +1 > 11. Укажите три каких-нибудь ре-
шения этого неравенства.
839.
4
Решите неравенство Зх — 2 < 6. Является ли решением этого не-
4 4
равенства число: 4; 2 — ; 2 — ?
840. Решите неравенство:
а) 7х-2,4 <0,4; д) 17-х>10-6х;
б) 1 - 5у > 3; е) 30+ 5х 18 - 7х;
в) 2х - 17 -27; ж) 64 - бу 1 - у;
г) 2 - За 1; з) 8 + 5у 21 + бу.
841. Решите неравенство и изобразите множество его решений на
координатной прямой:
а) Их - 2 < 9; д) Зу - 1 > -1 + бу;
б) 2 - Зу > -4; е) 0,2х - 2 < 7 - 0,8х;
в) 17 - х И; ж) 6b - 1 < 12 + 7&;
г) 2 - 12х > -1; з) 16х - 34 > х +1.
842. а) При каких значениях х двучлен 2х - 1 принимает положи-
тельные значения?
б) При каких значениях у двучлен 21 - Зу принимает отрица-
тельные значения?
в) При каких значениях с двучлен 5 - Зс принимает значения,
большие 80?
843. а) При каких значениях а значения двучлена 2а - 1 меньше
’ значений двучлена 7 - 1,2а?
б) При каких значениях р значения двучлена 1,5р- 1 больше
значений двучлена 1 + 1,1р?
Глава IV
Неравенства
180
844. Решите неравенство:
а) 5(х - 1) + 7 1 - 3(х + 2);
б) 4(а + 8)- 7(а-1)<12;
в) 4(6 - 1,5) - 1,2 > 66-1;
г) 1,7 - 3(1 - т) < —(тп - 1,9);
845. Решите неравенство:
а) 4(2 - Зх) - (5 - х) > 11 - х;
б) 2(3- г)- 3(2 + z) z;
в) 1 > 1,5(4- 2а) + 0,5(2 - 6а);
д) 4х > 12(3х - 1) - 16(х + 1);
е) а + 2 < 5(2а + 8) +13(4 - а);
ж) бу - (у + 8) - 3(2 - у) < 2.
г) 2,5(2 - у) - 1,5(у - 4) < 3 - у;
д) х - 2 > 4,7 (х - 2) - 2,7 (х - 1);
е) 3,2 (а - 6) — 1,2а < 3(а - 8).
846. Решите неравенство и покажите на координатной прямой мно-
жество его решений:
а) а (а - 4) — а2 > 12 — 6а; в) 5у2 - 5у (у + 4) 100;
б) (2х - 1) 2х - 5х < 4х2 - х; г) 6а (а - 1) - 2а (За - 2) < 6.
847. Решите неравенство:
а) 0,2х2 — 0,2(х - 6)(х + 6) > 3,6х;
б) (2х - 5)2 - 0,5х < (2х - 1)(2х +1) - 15;
в) (12х - 1)(3х +1) < 1 + (6х + 2)2;
г) (4у - I)2 > (2у + 3) (8у - 1).
848. Решите неравенство:
а) 46 (1 - 36) - (6 - 1262) < 43;
б) 3у2-2у-3у(у-6)> -2;
в) 2р(5р + 2) - р(10р + 3) «5 14;
г) а (а — 1) - (а2 + а) < 34.
849. Решите неравенство:
850. Решите неравенство:
851.
При каких
а) значения дроби
. Зу - 7
Дроби - ;
значениях у:
7 — 2у
6
больше соответствующих значений
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
181
4,5 -2у
о) значения дроби-------меньше соответствующих значении
5
с 2- Зу
Дроби ;
в) значения двучлена 5у - 1 больше соответствующих значе-
нии дроби —~;
4
г) значения дроби ——— меньше соответствующих значении
-L
двучлена 1 - бу?
852. Решите неравенство:
. х х „ х х п ч 2х ,
a)2+i<6; д)т-х«1;
б) J » 2; г) у + 2 > 3; е) — - 2х < О.
7 2 3 * 2 4
853, Решите неравенство и покажите на координатной прямой мно-
жество его решений:
13х -1 х х . о
а) -----< 4х; в)-------^2;
7 2 ’ 4 5
_ 5 - 2а _ ч 2и у ч
6)—_>2а;
864.
Решите неравенство:
855.
Решите неравенство:
ч 2а - 1 За - 3
2у + 3
сумма
2.
856.
а) При каких
жительна?
б) При каких
отрицательна?
значениях а
2а - 1
дробей —-—
поло-
а * - 3&" 1
значениях b разность дробей —-— и
Глава IV
Неравенства
182
857.
в) Зх + 7 > 5(х + 2) - (2х + 1);
Решите неравенство:
а) 31(2х + 1)- 12х > 50х;
г)
12х - 1
3
< 4х - 3.
858. При каких значениях х функция, заданная формулой у = 2х +13,
принимает положительные значения? отрицательные значения?
859. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
а) ^2х - 4; в) Л1Ц?Р; д) V 3(l 5х);
V 25
б) ^4 - 6а; г) J7 е) ^-(6- х)?
V о
!860>| Найдите область определения функции:
861. Найдите:
а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству
1,6-(3-2i/) <5;
б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству
8(6- у) <24,2- 7у.
862. При каких натуральных значениях п:
а) разность (2 - 2п) - (5п - 27) положительна;
б) сумма (-27,1 + Зп) + (7,1 + 5п) отрицательна?
863.1 Найдите
не имеет
множество значений а, при которых уравнение
(а + 5)х2 + 4х - 20 = 0
корней.
864j Найдите множество значений й, при которых уравнение
(й- 4)х2 +16х- 24= 0
имеет два корня.
865. Длина стороны прямоугольника 6 см. Какой должна быть дли-
на другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был мень-
ше периметра квадрата со стороной 4 см?
866. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ши-
рина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы
его объем был меньше объема куба с ребром 9 дм?
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
183
867.; Одна из переплетных мастерских берет по 48 р. за книгу и еще
140 р. за оформление заказа, а другая — по 56 р. за книгу и 90 р.
за оформление заказа. Укажите наименьшее число книг, при
котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской.
868.) За денежный почтовый перевод до 1000 р. в некотором городе
берется плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель
имеет 800 р. Укажите наибольшее целое число рублей, которое
он может перевести.
•B69J Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и
должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через 3 ч.
На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость те-
чения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч?
870. Найдите значение дроби
871. Решите уравнение:
х2 ~ 4 х х - 4
а) ~в-----2 = —;
при х = 1 — д/З.
X2 4- X - 5
х - 1
872.
Решите графически уравнение — =
873. Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась
обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость
лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки
равна 3 км/ч.
35. Решение систем неравенств
с одной переменной
Задача. Турист вышел с турбазы по направлению к станции, рас-
положенной на расстоянии 20 км. Если турист увеличит ско-
рость на 1 км/ч, то за 4 ч он пройдет расстояние, большее
20 км. Если он уменьшит скорость на 1 км/ч, то даже за 5 ч не
успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?
> Пусть скорость туриста равна х км/ч. Если турист будет идти со
скоростью (х + 1) км/ч, то за 4 ч он пройдет 4(х +1) км. По усло-
вию задачи 4 (х 4-1) > 20. Если турист будет идти со скоростью
(х - 1) км/ч, то за 5 ч он пройдет 5(х - 1) км. По условию задачи
5(х - 1) < 20.
Требуется найти те значения х, при которых верно как неравен-
ство 4(х + 1)>20, так и неравенство 5(х-1)<20, т. е. найти
Глава IV
Неравенства
184
общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что
надо решить систему неравенств, и используют запись
|4(х + 1) > 20,
|5(х- 1)< 20.
Заменив каждое неравенство системы равносильным ему нера-
венством, получим систему
Значит, значение х должно удовлетворять условию 4 < х < 5.
Ответ: скорость туриста больше 4 км/ч, но меньше 5 км/ч.
Определение. Решением системы неравенств с одной
переменной называется значение переменной, при котором
верно каждое из неравенств системы. |
Решить систему — значит найти все ее решения или доказать,
что решений нет.
Пример 1. Решим систему неравенств
6,
-13.
► Имеем
2х> 7,
-Зх > -18.
Отсюда
Решениями системы являются значения х, удовлетворяющие
каждому из неравенств х > 3,5 и х < 6. Изобразив на координат-
ной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству
х > 3,5, и множество чисел, удовлетворяющих неравенству х < 6
(рис. 44), найдем, что оба неравенства верны при 3,5<х<6.
Множеством решений системы является интервал (3,5; 6).
Ответ можно записать в виде
интервала (3,5; 6) или в виде
двойного неравенства 3,5 < х < 6,
задающего этот интервал.
3,5 6
Рис. 44
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
I 185
Приме Р 2. Решим систему неравенств
Зх - 2 > 25,
1 - х < О.
► Имеем
Зх > 27,
-х < -1
Изобразим на координатной прямой
Рис. 45
множества решении каждого из по-
лученных неравенств (рис. 45). Оба
неравенства верны при х > 9. Ответ
можно записать в виде неравенства
х > 9 или в виде открытого числового луча (9; +оо), задаваемого
этим неравенством. <1
Пример 3. Решим систему неравенств
2 - х > О,
0,2х- 1 < 0.
► Имеем
-х > -2,
0,2х < 1;
Рис. 46
Используя координатную прямую,
найдем общие решения неравенств
х < 2 и х < 5, т. е. пересечение мно-
жеств их решений (рис. 46). Мы ви-
дим, что пересечение этих множеств
состоит из чисел, удовлетворяющих условию х < 2, т. е. пред-
ставляет собой открытый числовой луч (-оо; 2).
Ответ: (-оо; 2). <1
Пример 4. Решим систему неравенств
/1-5х>11,
|бх-18 >0.
Глава IV
Неравенства
186
► Имеем
-5х > 10,
6х > 18;
(х < -2,
1 х > 3.
Используя координатную пря- -------qV/x/Z/ZZ/zZ^////^
мую (рис. 47), найдем, что мно- -2 з
жество чисел, удовлетворяющих
неравенству х < —2, и множество Рис‘
чисел, удовлетворяющих нера-
венству х > 3, не имеют общих элементов, т. е. их пересечение
пусто. Данная система неравенств не имеет решений.
Ответ: решений нет. <1
Пример 5. Решим двойное неравенство
-1 < 3 + 2х < 3.
► Двойное неравенство представляет собой иную запись системы
неравенств
Решив ее, найдем, что оба неравенства верны при
-2 < х < 0.
В этом примере запись удобно вести так:
-1 < 3 + 2х < 3,
-4 < 2х < 0,
-2 < х < 0.
Ответ: (-2; 0). <1
874. Является ли число 3 решением системы неравенств:
а) (6х - 1 > х, б) J 7х < 5х + 7, в) J 5х + 4 < 20,
14х - 32 < Зх; | Зх - 1 > 5 - х; 13 - 2х > -1?
875. Какие из чисел
неравенств
-2, 0, 5, 6 являются решениями системы
Зх - 22 < 0,
2х - 1 > 3?
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
187
876.
Решите систему неравенств:
a) J х > 17, в) | х > О,
[х > 12; (х < 6;
б) I х < 1,
I х < 5;
877.
Решите систему
а) (2х — 12 > О,
[Зх > 9;
б) (4у < -4,
15-у > О;
неравенств:
в) J Зх — 10 < О,
\2х > 0;
г) f бу > 42,
14у + 12 < 0.
878. Решите систему неравенств и укажите несколько чисел, яв-
ляющихся ее решениями:
a) J х — 0,8 >0, в) [1 > Зх,
1-5х<10; |5х-1>0;
б)
О,
0;
г)
10х < 2,
х > 0,1.
879.
Решите систему неравенств:
б)
0,7х- 2,1 < О,
>1;
в) J 0,Зх > 4,
10,2х +1 < 6;
г)
-х- 10 < О,
6
Зх 1-.
3
880.
Решите систему неравенств:
а) |0,6х + 7,2 > О,
[ 5,2 > 2,6х;
б)
О,
в) 10,2х<3,
1 1
I 77 % > О»
I 6
Глава IV
Неравенства
188
881. Решите систему неравенств:
б) J 5х + 6 х, г)
|3х +12 х + 17;
17х-2>12х-1,
3 - 9х < 1 - х;
25 - 6х 4 + х,
Зх + 7,7 > 1 + 4х.
882. Решите систему неравенств:
а) (57-7х>Зх-2, в)
(22х - 1 < 2х + 47;
б) (1-12у <Зу + 1, г)
[2- бу > 4 + 4z/;
102- 73г > 2z + 2,
81 + llz > 1 + z;
ь
6 + 6,2x > 12 - l,8x,
2 - x 3,5 - 2x.
883. Укажите допустимые
а) д/з — 2x + Vl - x;
б) 4x - -^Зх - 1;
значения переменной:
в) л/б - х - ^/Зх - 9;
г) у{2х + 2 + д/б - 4х.
884. Найдите область определения функции:
. х - 2 6
а) У = -=-- 7=’ 6) у = ---f---
Jx + 6 - у]2х - 5 -J2x - 1 - у/х + 1
885. Решите систему неравенств:
a) J5(х - 2) - х > 2, в) J 7х + 3 5(х — 4) +1,
(1-3(х-1)<-2; |4х + 1 < 43- 3(7+ х);
б) 12у-(у-4) <6, г) |3(2 - Зр) - 2(3 - 2р) > р,
[у > 3(2у - 1) +18; [6 < р2 - р(р - 8).
886.
Решите систему неравенств:
а) I 2(х - 1) - 3(х - 2) < х,
[6х — 3 < 17 - (х- 5);
б)
3,3 - 3(1,2 - 5х) > 0,6(10х + 1),
1,6 - 4,5(4х - 1) < 2х + 26,1;
в)
5,8(1- а)- 1,8(6- а) < 5,
8-4(2- 5а) > -(5а+ 6);
г)
х(х - 1) - (х2 - 10) < 1 - 6х,
3,5-(х - 1,5) < 6-4х.
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
189
887. Решите систему неравенств и укажите все целые числа, кото-
рые являются ее решениями:
а) (3 - 2а < 13, в) f 2 - бу < 14,
[ба < 17; [1 < 21- 5«/;
б) [12- 6x^0, г) (3-4х<15,
| Зх + 1 25 - х; [ 1 - 2х > 0.
888. Найдите целые решения системы неравенств:
a) f у > 0, в) (6 - 4& > О,
[7,2-z/ > 4; [3&-1>0;
б) 112а - 37 > 0, г) J 3 — 18х < О,
16а 42; [ 0,2 - 0,1х > 0.
889. Решите систему неравенств:
а) 12,5а - 0,5(8 - а) < а + 1,6,
[1,5 (2а - 1) — 2а < а + 2,9;
б) J 0,7(5а + 1) -0,5(1 + а) < За,
[2а -(а -1,7) >6,7.
890. Решите систему
неравенств:
2х - - 1;
3
г) [ 2р - > 4,
э
891. Решите систему неравенств:
892. Решите двойное неравенство:
а) -3 < 2х - 1 < 3; в) 2 < 6 - 2у < 5;
б) -12 < 5 - х < 17; г) -1 < 5у + 4 < 19.
л
Глава IV
Неравенства
190
I
893. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющие-
ся его решениями:
а) -6,5 20,5; в) -2 < 0;
Z о
-1 4 tz v Л ~ 1 Зу . ~
б) —1 < - 5; г) —2,5 1,5.
о Л
894. Решите двойное неравенство:
а) -1 < 15х + 14 < 44; в) -1,2 < 1 - 2у < 2,4;
б ) -1 < 1; г) -2 < 4х ~ 1 < 0.
7 3 ' 3
895. а) При каких у значения двучлена Зу - 5 принадлежат проме-
жутку (-1; 1)? 5 — 2Ь
б) При каких b значения дроби —-— принадлежат проме-
жутку [-2; 1]?
896. При каких значениях а уравнение
х2 + 2ах + а2 — 4 = 0
имеет два корня, принадлежащие промежутку (-6; 6)?
897.1 При каких значениях b уравнение
х2 - 6Ьх + 952 - 16 = 0
имеет два отрицательных корня?
898. Решите систему неравенств:
Решите систему неравенств:
т > 9,
• т > 10,
т < 12;
q < 6,
899.
б) 2х - 1 < х + 3,
* 5х - 1 > 6 - 2х,
900.
х - 4 < 8,
2х + 5 < 13,
0.
Решите систему
а) (3-2а<13,
а - 1 > 0,
5а - 35 < 0;
неравенств:
б) [6-4а <2,
’ 6 - а > 2,
За - 1 < 8.
§11. Неравенства с одной переменной и их системы
I
I
191
901.
Укажите допустимые значения переменной:
в)
4х
х - 11
7(3х - 2)2
902. Найдите все натуральные значения п, при которых значение
9п2 + 12п + 12
дроби ------------- — натуральное число.
903. а) Выразите переменную h через S и а, если S = — ah.
2
б) Выразите переменную р через s и тп, если — = 0,5m.
. nt2 _
в) Выразите переменную t через s и а, если з = —- и t > 0.
904. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору,
и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С ка-
кой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути,
если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч
меньшей, чем по ровной местности?
Контрольные вопросы
Wjt Что называется пересечением двух множеств? объединением
двух множеств?
Изобразите на координатной прямой числовые промежутки раз-
iSj личного вида, назовите и обозначьте их.
Что называется решением неравенства? Является ли решением
неравенства Зх - 11 > 1 число 5; число 2? Что значит решить нера-
|||| венство?
Что называется решением системы неравенств? Является ли ре-
Ш 2х + 1 > 3,
шением системы неравенств < число 3? число 5? Что
Ж [Зх < 10
значит решить систему неравенств?
Для тех, кто хочет знать больше
36. Доказательство неравенств
Один из приемов доказательства неравенств состоит в том, что
составляют разность левой и правой частей неравенства и показыва-
ют, что она сохраняет знак при любых указанных значениях пере-
менных. Этот прием вам уже приходилось применять в простых слу-
чаях. Покажем его применение на более сложном примере.
Неравенства
192
Пример 1. Докажем, что
2л/а +1 > 4а 4- л/а 4- 2 при а 0.
► Составим разность левой и правой частей неравенства и преобра-
зуем ее:
2у/а + 1 - 4а - у/а + 2 = (у/а 4-1 - 4а) 4- (у!а 4-1 - Va 4- 2).
Для того чтобы оценить составленную разность, каждое из вы-
ражений, записанных в скобках, представим в виде дроби со
знаменателем 1 и освободимся от иррациональности в ее числи-
теле. Получим
Так как функция у = 4х является возрастающей, то знамена-
тель первой дроби меньше, чем знаменатель второй, т. е. первая
дробь больше второй. Следовательно, разность дробей является
положительной. Заданное неравенство доказано. <1
Еще один прием доказательства неравенств состоит в том, чтобы
показать, что данное неравенство следует из других неравенств,
справедливость которых известна.
Пример 2. Докажем, что
(а2 + bc)(b2 + ас)(с2 + ab) > 8а2Ъ2с2, если а > 0, Ь > 0, с > 0.
► Из соотношения между средним арифметическим и средним гео-
метрическим двух положительных чисел следует, что при ука-
занных значениях переменных
— > *Jb2ac
Перемножив эти неравенства, получим, что
7 Алгебра 8 кл.
Для тех, кто хочет знать больше
193
Отсюда
(а2 + bc)(b2 + ас)(с2 + ab) > 8а2Ь2с2.
Неравенство доказано.
В отдельных случаях удается доказать неравенство, используя
некоторые очевидные соотношения. В качестве таких очевидных со-
отношений могут быть взяты, например, такие: (1 + а)2 > 1 4- 2а при
любом а, не равном нулю, —— < - при с > 0, Vx + 2 > Vx +1 при
с + 1 с
х > -1 и т. п.
Пример 3.
Докажем, что двойное неравенство
верно при любом х > 1.
► Заменим разности л/х +1 - 4х и Vx - л/х - 1 соответственно рав-
1 1
ными им дробями ------------- и —----- Тогда данное не-
у/х + 1 + Vx у!х + у)х - 1
равенство примет вид
Неравенство доказано.
Пример 4. Докажем, что при любом натуральном п > 1 верно не-
равенство
1 1 1 1 1
n + 1 п + 2 ’ * 2п - 1 2п 2 ’
► Очевидно, что при любом натуральном п > 1 верны следующие
неравенства:
1 1 1 1 1 1
Ti+l 2п9 п + 2 2п9 2п - 1 2п'
Глава IV
Неравенс * ва
194
Складывая почленно эти неравенства и прибавляя к левой
1 *
и правой частям полученного неравенства по —, будем иметь
2п
п раз
Отсюда
1
71+1
+ 2п - 1
Неравенство доказано. <5
905. Докажите неравенство:
а) а2 + Ь2 4- 4 > 2 (а + b + 1);
б) 4а2 + Ь2 > 4(а + Ь - 2).
906.1 Докажите, что если
х > 0 и у > 0, то:
907.1 Докажите, что при а > О и Ь > О верно неравенство:
а) (а + b)(ab + 16) > 8аЬ; б) (а2 + 4&)(4Ь + 25) > 60аЬ.
908.1 Докажите, что:
а + b b+c t а + с
а)------1-----1---6, если а > О, Ъ > 0, с > 0;
с а Ъ
б) (1 + а)(1 + &)(1 + с) > 24, если а > О, & > О, с > О и аЪс = 9.
[909.1 Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чи-
сел не превосходит полусуммы их кубов.
[910.1 Докажите, что
д/(а + с)(& + d) > Jab + Jed,
если а > О, Ь > 0, с > 0, d > 0.
911.1 Докажите, что при а
> 0, & > 0, с > 0 верно неравенство
3
а + Ъ + с
1 t 1 ( 1
а + Ъ Ь + с с + а'
Для тех, кто хочет знать больше
195
j912?| Докажите, что если х + у + z = 1, то
V4x + 1 + ^4i/ + l + 74г+ 1 < 5.
1913. j Докажите, что при любом а, большем 1, верно неравенство
1914?! Велосипедист рассчитал, с какой
скоростью он должен ехать из посел-
ка в город и обратно, чтобы, пробыв в
городе полчаса, вернуться в поселок
к намеченному сроку. Однако на
пути из поселка в город он ехал со
скоростью, на 2 км/ч меньшей наме-
ченной, а спустя полчаса возвращал-
ся из города в поселок со скоростью,
на 2 км/ч большей намеченной. Успел
ли велосипедист вернуться в поселок
к назначенному сроку?
Дополнительные упражнения к главе IV
К параграфу 10
915. Докажите неравенство:
а) (бу - 1)(у + 2) < (Зу + 4)(2у + 1);
б) (Зу - 1)(2у +1) > (2у - 1)(2 + Зу).
916. Докажите неравенство:
а) (х + I)2 4х; в) 4(х + 2) < (х + З)2 - 2х;
б) (3b + I)2 > 6&; г) 1 + (т + 2)2 > 3(2т - 1).
917.
Верно ли неравенство:
б) 4^6 + 2 > 2л/з + 4>/2 ?
918. Докажите неравенство:
а) а2 + Ь2 + 2 2 (а + Ь); б) а2 + Ъ2 + с2 + 5 > 2 (а -и Ъ + с).
9_19?( Докажите, что при а > 3 значение выражения
- 3
+ 3 а - 3 J а
отрицательно.
I
Глава IV
Неравенства
196
920.1 Докажите, что при у
> 1 значение выражения
У2 + з 2
У - 1 У
положительно.
[921. | В каком случае катер затратит больше времени: если он прой-
дет 20 км по течению реки и 20 км против течения или если он
пройдет 40 км в стоячей воде?
922.] Велосипедисты Смирнов и Антонов отправились одновременно
из поселка в город и, пробыв в городе одинаковое время, верну-
лись в поселок. Смирнов в город и обратно ехал со скоростью
15 км/ч, а Антонов в город ехал со скоростью, на 1 км/ч боль-
шей, чем Смирнов, а возвращался со скоростью, на 1 км/ч
меньшей, чем Смирнов. Кто из велосипедистов вернулся в по-
селок раньше?
923.
Докажите, что полупериметр треугольника больше длины каж-
дой из его сторон.
924.] Сравните площадь квадрата с площадью произвольного прямо-
угольника, имеющего тот же периметр.
925. | Используя выделение из трехчлена квадрата двучлена, дока-
жите неравенство:
ab + Ь2 > 0.
верно неравенство:
а) а2 + ab + Ъ2 0; б) а2 -
926. Докажите, что при а > 0 и b > 0
а) (а+ &)[! +А) >4; б) £ +
I a b J
927.1 Используя соотношение между средним арифметическим и
средним геометрическим двух положительных чисел, докажи-
те, что при а > 0, b > 0, с > 0 верно неравенство:
а) ас + - > 2-Jab;
с
928.
Старинная задача (из книги «„Начала" Евклида»). Докажите,
что если а — наибольшее число в пропорции — = —, где а, &, с,
b d
d — положительные числа, то верно неравенство а + d > b + с.
г
Дополнительные упражнения к главе IV |
197
929, Известно, что 12 у 16, Оцените значение выражения:
а) —0,5г/; б) 42 - 2у; в) -4-2.
У
930. Оцените значение выражения:
а) а + 2Ь, если 0 < а < 1 и -3 < Ь < -2;
б) — а - &, если 7 < а < 10 и 14 < Ь < 15.
2
931. Оцените длину средней линии треугольника АВС, которая па-
раллельна стороне АВ, если 10,4 < АВ < 10,5.
932. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями а см
и с см, если 3,4 < а 3,5 и 6,2 с 6,3.
К параграфу 11
933. Принадлежит ли промежутку [8; 41) число 40,9? Можно ли
указать число, большее чем 40,9, принадлежащее этому проме-
жутку?
Существует ли в промежутке [8; 41) наибольшее число? наи-
меньшее число?
934. Принадлежит ли промежутку (7; 17] число 7,01? Можно ли
указать число, меньшее чем 7,01, принадлежащее этому про-
межутку?
Существует ли в промежутке (7; 17] наименьшее число? наи-
большее число?
935. Укажите, если это возможно, наименьшее и наибольшее числа,
принадлежащие промежутку:
а) [12; 37]; б) [8; 13); в) (И; 14); г) [3; 19).
936. Верно ли, что:
а) (-5; 5) М (—3; 2) = (-3; 2);
б) (4; 11) U (0; 6) = (4; 6);
в) (-оо; 4) U (1; 4-оо)=(-оо; 4-оо);
г) (-оо; 2) П (-2; +оо) = (-2; 2)?
937. Найдите пересечение и объединение:
а) множества целых чисел и множества положительных чисел;
б) множества простых чисел и множества нечетных натураль-
ных чисел.
938. Является ли число V19 решением неравенства х < 5? Укажите
какое-нибудь число, большее V19, удовлетворяющее этому не-
равенству.
939. Является ли число V1T решением неравенства х > 3? Укажите
какое-либо число, меньшее л/IT, удовлетворяющее этому нера-
венству.
Глава IV
Неравенова
198
940. Решите неравенство:
а) 0,01(1 - Зх) > 0,02х + 3,01;
б) 12(1 - 12х) + ЮОх > 36 - 49х;
в) (О,бу - 1) - О,2(3у +1) < 5у - 4;
г) |(6х + 4)-|(12х-5)< 4-6х;
д) (За + 1)(а - 1) - За2 > 6а + 7;
е) 15х2 - (5х - 2)(3х + 1) < 7х - 8.
941.
При каких значениях
6) ski
2
0;
а верно неравенство:
1- 5а
8
1- 2а
4~
5а г
942. Решите неравенство:
. х - 0,5 х - 0,25 х-0,125
а) —
2
943. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству:
а) 3(5 - 4х) + 2(14 + х) > О; б) (х + 1)(х - 1) - (х2 - Зх) 14.
944.
При каких значениях х:
а) значение дроби
Зх - 8
12
больше соответствующего значения
дроби
X + 1
б) значение дроби
меньше соответствующего значения
2х + 3 9
дроби —-— ?
6
3
945. Решите неравенство:
а) 2(4у - 1) - 5у < Зу + 5;
б) 6(1 - у) - 8(3у + 1) + ЗОу >-5.
946. Найдите, при каких значениях а уравнение имеет положи-
тельный корень:
а) Зх = 9а; в) х - 8 = За +1;
б) х + 2 = а; г) 2х - 3 = а + 4.
947. Найдите, при каких значениях Ъ уравнение имеет отрица-
тельный корень:
а) 10х = 36; в) Зх - 1 — b + 2;
б) х - 4 = 6; г) Зх - 3 = 56 - 2.
Дополнительные упражнения к главе IV
199
948.
При каких значениях т
а) \2т - 161 = 2т - 16;
112 - 6м| =
7 12 - 6т
верно равенство:
в) | т + 6| — “7П - 6
|10т-35| =
7 10m - 35
949. Найдите промежутки, в которых функция z/ = -6x + 12 при-
нимает положительные значения; отрицательные значения.
Ответ проиллюстрируйте на графике.
950. Со склада вывозят болванки: железные массой по 500 кг и мед-
ные массой по 200 кг. На грузовик, который может везти не
более 4 т, погрузили 12 болванок. Сколько среди них может
быть железных болванок?
951. С турбазы в город, отстоящий на расстояние 24 км, вышел пер-
вый турист со скоростью 4 км/ч. Спустя 2 ч вслед за ним от-
правился второй турист. С какой скоростью должен идти вто-
рой турист, чтобы догнать первого до его прихода в город?
952. От деревни до фермы 20 км, а от фермы до станции 40 км
(рис. 48). С фермы по направлению к станции выехал велоси-
педист со скоростью 12 км/ч. Одновременно из деревни на
станцию через ферму по той же дороге отправился мотоцик-
лист. С какой скоростью должен ехать мотоциклист, чтобы
догнать велосипедиста до его приезда на станцию?
20 км
40 км
Л
Деревня
Ферма
Станция
Рис. 48
953.
Основание равнобедренного треугольника равно 20 см, а его пе-
риметр не превосходит 46 см. Какова длина боковой стороны
треугольника, если известно, что она выражается целым чис-
лом сантиметров?
954.
Решите систему неравенств:
а) |0,Зх — 1 < х + 0,4, г)
(2 - Зх < 5х + 1;
б) (2,5х - 0,12 > 0,6х + 0,07, д)
[1 - 2х > -х - 4;
|3(х - 2)(х + 2) - Зх2 < х,
[бх - 4 > 4 - 5х;
((х - 4) (5х - 1) - 5х2 > х +1
1 Зх - 0,4 < 2х - 0,6;
Глава IV
Неравенства
200
955. Найдите целые решения системы неравенств:
a) J 6х (х - 1) - Зх (2х - 1) < х,
10,5х - 3,7 < 0,2х - 0,7;
б) 10,7х - 3(0,2х +1) 0,5х + 1,
10,3(1 - х) + 0,8х > х + 5,3;
в)
г)
|(3х- 2) + |(12х + 1) > 0,
|(14х-21) + |(9х -6)<0;
0,2(5х - 1) + |(3х +1) < х + 5,8,
956. Решите двойное неравенство:
а) -9 < Зх < 18; в) 3 5х - 1 4;
б) 1 < 2х~ 1 <2; г) 0 1.
’ 2 3
957.
выражения 2х — 4 принадлежит
а) При каких х значение
интервалу (-1; 5)?
б) При каких х значение дроби ~ принадлежит числовому
отрезку [0; 5]?
в) При каких х значения функции у =
интервалу (-1; 1)?
х 4- 8 принадлежат
г) При каких х значения функции у = -2,5х + 6 принадлежат
числовому отрезку [ 6; —2]?
958. Найдите положительные значения у, удовлетворяющие си-
стеме неравенств:
а) Г3(у - 1)-Чу + 8) < 5(у + 5),
11,2(1 + 5у) - 0,2 < 5(1 - Зу) - Зу;
б) (15(у — 4) - 14(у - 3) < у (у - 9) - у2,
| 5 - у 2 - у
—У > 14------
( 3 6
в) ((2у - 1) (Зу + 2) - бу (у - 4) < 48,
8 4
I
Дополнительные упражнения к главе IV !
i
201
959. Найдите отрицательные значения г/, удовлетворяющие системе
неравенств:
б) l(i/ + 6)(5 —у) + у(у - 1) > О,
10,3г/ (Юг/ + 20) - Зу2 + 30 > 0.
[960.J При каких значениях а уравнение
х2 - 4ах + 4а2 - 25 = О
имеет два корня, каждый из которых больше 2?
i961.| При каких значениях b уравнение
х2 - (2b — 2)x + b2 - 2Ь = О
имеет два корня, принадлежащие интервалу (-5; 5)?
962. Если туристы будут проходить в день на 5 км больше, то они
пройдут за 6 дней расстояние, большее 90 км. Если же они бу-
дут проходить в день на 5 км меньше, то за 8 дней они пройдут
расстояние, меньшее 90 км. Сколько километров в день прохо-
дят туристы?
963?] Первую половину пути поезд прошел со скоростью 60 км/ч,
а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость поезда
во второй половине пути, если известно, что его средняя ско-
рость на всем участке не превышала 72 км/ч?
Глава IV
Неравенства
202
А
Глава V
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ
a
ПОКАЗАТЕЛЕМ.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
§12
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
И ЕЕ СВОЙСТВА
37. Определение степени
с целым отрицательным показателем
В справочной литературе можно найти сведения о том, что мас-
са Солнца равна 1,985-1033 г, а масса атома водорода равна
1,674 • 10-24 г. Запись 1033 означает произведение тридцати трех
множителей, каждый из которых равен 10. А каков смысл записи
Ю-24?
Выпишем последовательно степени числа 10 с показателями 0,
1, 2 и т. д. Получим строку
10°, 101, 102, 103, ... . (1)
В этой строке каждое число меньше следующего за ним в 10 раз.
Продолжая строку (1) по тому же закону влево, перед числом 10°
следует написать число —
перед
числом —- — число
ю1
= —т, перед числом —г
100 102 к 102
число —
103
и т.
д. Получим
1^' 1^’ ЙР ’ 10°’10'-1<)2’ 10'"............... (2)
В строке (2) справа от числа 10° показатель каждой степени на 1
меньше показателя следующей за ней степени. Распространяя этот
203
закон на числа, стоящие слева от числа 10°, их записывают в виде
степени числа 10 с отрицательным показателем. Вместо
10 вместо —-
10^
пишут 10 3
пишут 10 2, вместо
10"3, 10‘2, 101, 10°, 101, 102, 103, ... .
пишут
Получают
Итак, 10 1 означает —10 2 означает —т-, 10 3 означает —г
101 102 103
и т. д. Такое соглашение принимается для степеней с любыми осно-
ваниями, отличными от нуля.
- t- - • «о • Л ' .?-Г -и. - ап/ • V Izar 'isn*.* hbr *чДх-»,ь>,/•> <l—l, ;
Определение. Если а Ф 0 и n — целое отрицательное К
число, то « г
ап——.
а п г
Пользуясь этим определением, найдем, что
- Иг к Л-*<5Л <ь Жм*» MJUl AuQLW гММКг WI ММI* «rtpi-Ж * • HWH >1МДВ
Выражению О71 при целом отрицательном п (так же как ।
и при и = 0) не приписывают никакого значения; это ’
выражение не имеет смысла. ?
.4-».Г’А-ЗМПЛ «жими «ммм мы»м«> »a®4U'. КЖУ wt—af йога* »—»г л-м-^ лакмъ Н»> 4WW
Напомним, что при натуральном п это выражение имеет смысл
и его значение равно нулю.
Вернемся к примеру, рассмотренному в начале пункта. Теперь
мы знаем, что запись 1,674-10~24 г, выражающая массу атома водо-
рода, означает
1,674 • 10"24г = 1,674 • -4г г = 1>674:1024 г = 0,000.. .01674 г.
1024 ----v---
24 нуля
964. Замените степень с целым отрицательным показателем дробью:
а) 10-6; б) 9-2; в) а-1; г) х-20; д) (а&)-3; е) (а + Ь) 4.
965. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
204
966, Представьте числа:
а) 8, 4, 2, 1, -, — и — в виде степени с основанием 2;
2 4 8
б) —, —, 1, 5, 25, 125 в виде степени с основанием 5.
125 25 5
967.
Представьте числа:
. _1_ 1 1 1
81’ 27’ 9’ 3
—, 1, 3, 9, 27, 81 в виде степени с основанием 3;
б) 100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 в виде степени с основа-
нием 10.
968. Вычислите:
а) 4"2;
б) (-3)3;
в) (-1)-9;
и) 0,0Г2;
к) 1Д25-1.
969. Найдите значение выражения:
a) -IO"4; в) (-0,8)-2; д) -(~2)"3;
б) -0,2 3; г) (-0,5Г5; е) -(-З)"2.
970. Вычислите:
---- ( зГ2
а) (-4)-3; в) -- ; д) -0,4 4;
\ 4 у
971. Сравните с нулем значение степени:
а) 9 5; б) 2,6 4; в) (-7,1у6; г) (-3,9)’3.
972. Верно ли, что:
а) если а > 0 и п — целое число, то ап > 0;
б) если а < 0 и п — четное отрицательное число, то ап > 0;
в) если а < 0 и п — нечетное отрицательное число, то ап < 0?
973. Найдите значение выражения если:
а) х = -7, р = -2; в) х - 2, р - -6;
б) х = 8, р = -1; г) х = -9, р = 0.
974. Какое значение принимает выражение — хр, если:
а) х - -1, р - -2; в) х = 2, р = -1;
б) х = 0,5, р = -2; г) х = 0,5, р = -5? *
§ 12.
Степень с целым показателем и ее свойства
<
I
I
I
205
975. Найдите значения выражений хп и х’л, если:
2
а) х = —, п= -2; б) х = -1,5, п = 3.
о
976. Найдите значение выражения:
( 1 fl''
а) 8-4"3; г) 10- -j J ж) 0,5’2 + Л
б) -2-10-5; д) З2 + 4-1; з) 0,3° + ОД4.
в) 18 (-9)-1; е) 2-з - (-2Г4;
977. Вычислите:
а) 6-12"1; в) б"1 - S’2;
б) -4-8-2; г)
(1А 1
Д) 12- ± ;
о J
е) 25 + 0,1-2.
978. Представьте выражение в виде дроби, не содержащей степени
с отрицательным показателем:
а) Зх’5; в) 5аЬ~7; д) x~rc~s; ж) 2(х+г/)-4;
б) х“4у; г) 5(а&)-7; е) -9yz~8; з) 10х-1 (х - у)~2.
979.
Представьте в виде
2а8
„5 ’
й) ^2’
Ьл
а5
7&3
произведения дробь:
ч 1 х 2а
д) -уу; ж) -----у;
х2ул {а - 2p
(а + Ь)2 . (с + Ь)5
’ b4c4 ’ J 2(а - Ь)4 ’
980. Представьте в виде дроби выражение:
а) а~2+Ь~2‘, в) (а + Ь"1)(а-1 - &);
б) ху~г + ху~2; г) (х - 2у~1)(х~1 + 2у).
981. Преобразуйте в дробь выражение:
а) (а-1+&-1)(а + Ь)"1; б) (а - Ь)~2 (а~2 - Ь~2).
982. Найдите множество значений х, на котором функция у = (х - 2)-1
принимает: а) положительные значения; б) отрицательные
значения.
|983.
г
<
1
|984.
$
гг (п~ 7 Г
При каких натуральных п дробь-------принимает натураль-
п
ные значения?
Найдите коэффициент обратной пропорциональности, зная,
что ее график проходит через точку:
а) А (1,5; 8); б) В (0,04; -25).
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
206
38. Свойства степени с целым показателем
Известные вам свойства степени с натуральным показателем
справедливы и для степени с любым целым показателем (нужно
только предполагать, что основание степени не равно нулю).
Для каждого а Ф 0 и любых целых т и п
ат *ап = ат + п,
ат. ап^ ат-п9
(ат)п= атп;
(1)
(2)
(3)
для каждых а Ф О, b Ф 0 и любого целого п
(аЪ)п = апЬп,
(4)
(5)
Эти свойства можно доказать, опираясь на определение степени
с целым отрицательным показателем и свойства степени с натураль-
ным показателем.
Докажем, например, справедливость свойства (1) (основного свой-
ства степени) для случая, когда показатели степеней — целые отри-
цательные числа. Иначе говоря, докажем, что если k и р — нату-
ральные числа и а Ф 0, то а~k * а~р — a~k~ р.
Имеем
a~h -а~р= -4- — = —-— = -4- = = a~k~ р.
ak ар ak * ар ak+ р
Заменяя степени a k и а р дробями —г- и — и дробь ——— степенью
а“ ар а*+ р
a-(k + р), мы воспользовались определением степени с целым отрица-
тельным показателем. Заменяя произведение akap степенью ak+p,
мы использовали основное свойство степени с натуральным показа-
телем.
Из свойств степени вытекает, что действия над степенями с це-
лыми показателями выполняются по тем же правилам, что и дейст-
вия над степенями с натуральными показателями.
Пример 1. Преобразуем произведение а 17 • а21.
► При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание
оставляют тем же, а показатели степеней складывают. Имеем
а21= а-17+21= а4в
§ 12 Степень с целым показателем и ее свойства
207
Пример 2. Преобразуем частное b2 : &5.
► При делении степеней с одинаковыми основаниями основание
оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычита-
ют показатель степени делителя.
Имеем
Ь2 : 65 = Ъ2 ~ 5 = Ь~3. <
Для степеней с натуральными и нулевым показателями мы мог-
ли применять правило деления степеней с одинаковыми основания-
ми в том случае, когда показатель степени делимого был не меньше
показателя степени делителя. Теперь, после введения степеней с це-
лыми показателями, это ограничение снимается: показатели степе-
ней делимого и делителя могут быть любыми целыми числами.
Пример 3. Упростим выражение (2а3Ь 5) 2.
► Сначала применим свойство (4), а затем свойство (3).
Имеем
(2а3Ь~5)~2 = 2~2 • (а3)-2(6^5) 2 = “а-6610. <
4
986.
Вычислите:
985. Найдите значение
а) 3~4-36;
б) 24 • 2-3;
в) 108 • 10"5 • 10-6;
ж) (2-4)'1;
з) (52)"2 • 53;
и) 3-4 (3"2)-4.
д) (2-2)-3;
е) (ОД"3)1.
987. Докажите, что степени любого отличного от нуля числа с про-
тивоположными показателями взаимно обратны.
Докажите, что
при любом целом п9 а * 0 и Ъ 0.
988.
989. Вычислите:
в) 0,012;
д) 0,002 *;
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
208
990. Представьте выражение в виде степени с основанием 3 и найди-
те его значение:
а) 27 • З4; б) (З1)5 • 812; в) 9"2: З 6; г) 813 : (9'2)3.
991. Представьте выражение в виде степени с основанием 2 и найди-
те его значение:
а) ~210; б) 32 (2-4)2; В) 81 • 43; г) 45-16~2.
16
992. Представьте выражение, в котором т — целое число, в виде
степени с основанием 5:
а) 5т • 5т +1 • 51 “ т; б) (5т)2 • (5~3)т; в) 625 : 54т ~ 2.
993. Вычислите:
а) 8-2*43; г) 125"4: 25~5;
9-21
б) 9-6-275; Д)
д-2 . R*6
В) 10°: 10-3; е)
994. Найдите значение выражения:
а) 125-1 • 252; в)(62)6:614;
б) 16-3 • 46; г) 12°: (121)2;
ж)
з)
д)
3-]0 • 98
(-3)2 ;
5-5 • 2510
1253
(23)5 •
995.
Зная, что т — целое число, сократите дробь:
х 25т 6т
а) —з---б) ---------;------г.
7 ^2т - 1 ’ 7 pm - 1 . gm + 1
996. Представьте какими-либо тремя способами выражение х
в виде произведения степеней.
997. Представьте выражение а12, где а * 0, в виде степени;
а) с основанием а4; б) с основанием а-6.
998. Представьте в виде степени с основанием х частное:
а) х10:х12;
б) х°: х-э;
в) хп ~ 1 : х~8, где п — целое число;
г) х6 : хп + 2, где п — целое число.
г
§ 12. Степень с целым показателем и ее свойства i
I
I
209
999. Упростите выражение:
а) 1,5аЬ 3-6а 2Ь;
б) т~2п4 • 8т3гг2;
в) 0,6 c2d4 • ^c-2d'4;
г) 3,2х 4у 5-^ху;
д) |р lq я • j p2q~h
е) 3|a5b-18-0,6a-W
1000. Найдите значение выражения:
а ) 0,2а-2Ь4 • 5а3&-3 при а = -0,125, Ь = 8;
б ) — а-1&-5 • 81а2Ь4 при а - —, Ь = —.
7 27 к 7 14
1001. Упростите выражение и найдите его значение:
a) 1,6х-1у12 • 5х3у-11 при х - -0,2, у = 0,7;
б) ~х-3у3 • 30х3у-4 при х = 127, у =
1002.
Представьте степень в виде произведения:
а) (а т) 2; в) (0,5а 365) 12;
д)
-з
б) (х3у г)2; г) (-2?п5п 3)2;
е) (-0,5х 3у4)3.
1003. Преобразуйте в
а) (6а б)
произведение:
/3 Л “ 2
; в)
\4 j
г) (-о,3х-5г/4)-2.
1004. Представьте в виде степени произведения выражение:
а) 0,0001х4; в) 0,0081а8Ь12;
б) 32у~5; г) 10пх~2пу3п, где п — целое число.
1005. Упростите выражение:
12х-5 у 5х-1у3 9х6
а) 'зб^у : в) 3~ F7’
63о2 18b2 ч IGp 'q2 25р6
б)--------г ; г) ------------2-------г-.
2Ь 5 7а 7 5 64<7-8
♦
1006. Преобразуйте выражение:
. 13х 2 а12 . р 15с
а>----------on -3> в) 2'—2’
у 39х 3 Зс 2 р 2
5а5 7Ь~'А . 26х17 у
б) F7 ’ 25а ’ Г) у~8 ' 13х25 '
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
>10
1007. Упростите выражение:
-з \
а) (0,25х'4г/-3)2 •
б)
4z/2 )
\ -з
с 4
10а5Ь2
2
a~2b3
62
-2
• (5asbc2)~2;
2
1008. Преобразуйте выражение:
а
а)
б) 4а7& 1 •
• 12хг/5;
(2а-2&3)2 *
ab
Т
2х2
• (х 1у)3.
3
10(59.1 Известно,
ЧТО х1 И X;
6. Найдите
— корни уравнения 8х2-6х + п=0и
п.
2
11010. Решите уравнение:
2х - 7 Зх + 2 _
------+------= 7.
| х + 1 х - 1
11011. Найдите область определения функции:
1 1 АХ 1
। а) у = j—।; б) у = - . - .
j |х| - X |х| + X
f __
|1012Г| Сократите дробь z=-, зная, что Ь = а + с.
I abc
39. Стандартный вид числа
В науке и технике встречаются как очень большие, так и очень
малые положительные числа. Например, большим числом выража-
ется объем Земли — 1 083 000 000 000 км3, а малым — диаметр мо-
лекулы воды, который равен 0,0000000003 м.
В обычном десятичном виде большие и малые числа неудобно
читать и записывать, неудобно выполнять над ними какие-либо дей-
ствия. В таком случае полезным оказывается представление числа
в виде а • 10л, где п — целое число. Например:
125 000 = 0,125 • 106; 0,0031 = 3,1 • 10 3;
0,237 = 23,7-10 2.
§12. Степень с целым показателем и ее свойства
211
Представим каждое из чисел 1 083 000 000 000 и 0,0000000003
в виде произведения числа, заключенного между единицей и де-
сятью, и соответствующей степени числа 10:
1 083 000 000 000 = 1,083 • 1012;
0,0000000003 = 3 • 10“10.
Говорят, что мы записали числа 1083 000 000 000 и
0,0000000003 в стандартном виде. В таком виде можно предста-
вить любое положительное число.
Стандартным видом числа а называют его запись в виде
а • 10п, где 1 < а < 10 и и — целое число. Число п называется
порядком числа а.
s’/'А» -Д’ Г.*7*- • —Н --**• , • 1 VW. V »W
Например, порядок числа, выражающего объем Земли в кубиче-
ских километрах, равен 12, а порядок числа, выражающего диаметр
молекулы воды в метрах, равен -10.
Порядок числа дает представление о том, насколько велико
или мало это число. Так, если порядок числа а равен 3, то это озна-
чает, что 1000 а 10 000. Если порядок числа а равен —2, то
0,01 а < 0,1. Большой положительный порядок показывает, что
число очень велико. Большой по модулю отрицательный порядок
показывает, что число очень мало.
Пример 1. Представим в стандартном виде число а = 4 350 000.
► В числе а поставим запятую так, чтобы в целой части оказалась
одна цифра. В результате получим 4,35. Отделив запятой
6 цифр справа, мы уменьшили число а в 106 раз. Поэтому а
больше числа 4,35 в 106 раз. Отсюда
а = 4,35 106. <1
Пример 2. Представим в стандартном виде число а = 0,000508.
► В числе а переставим запятую так, чтобы в целой части оказа-
лась одна отличная от нуля цифра. В результате получится
5,08. Переставив запятую на четыре знака вправо, мы увеличи-
ли число а в 104 раз. Поэтому число а меньше числа 5,08 в 104
раз. Отсюда
• а = 5,08 :104 = 5,08 • = 5,08 • 10“4. <
104
1013. Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:
а) 1,2-10»; в) 2,7-10~3; д) 4,42 • 105;
б) 3,6-103; г) 6,3 -10-1; е) 9,28 Ю’4.
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
>12
1014. Запишите в стандартном виде число:
а) 52 000 000; в) 675 000 000; д) 0,00281;
б) 2 180 000; г) 40,44; е) 0,0000035.
1015. Запишите в стандартном виде:
а) 45 103; б) 117 Ю5; в) 0,74 Ю6; г) 0,06 • 105.
1016. Представьте число в стандартном виде:
а) 1024 000; в) 21,56; д) 0,000004; ж) 508 • 10"7;
б) 6 000 000; г) 0,85; е) 0,000282; з) 0,042 102
1017. Масса Земли приближенно равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т,
а масса атома водорода 0,0000000000000000000017 г. Запи-
шите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.
1018. Выразите:
а) 3,8 • 103 т в граммах;
б) 1,7 * 10"4 км в сантиметрах;
1019. Представьте:
а) 2,85 • 108 см в километрах;
б) 4,6 10”2 м в миллиметрах;
1020. Выполните умножение:
а) (3,25 • 102) • (1,4 • 103);
в) 8,62-10'1 кг в тоннах;
г) 5,24 • 105 см в метрах.
в) 6,75 ♦ 1010 г в тоннах;
г) 1,9 • 10~2 т в килограммах.
б) (4,4 • 10-3) • (5,2 • 104).
1021. Какой путь пройдет свет за
2,8 • 106 с (скорость света равна
3 • 105 км/с)?
1022. Масса Земли 6,0 ♦ 1024 кг, а мас-
са Марса 6,4 • 1023 кг. Что боль-
ше: масса Земли или масса
Марса — и во сколько раз? Ре-
зультат округлите до десятых.
1023. Масса Юпитера 1,90-1027 кг,
а масса Венеры 4,87-1024 кг.
Что меньше: масса Юпитера
или масса Венеры — и во
сколько раз? Результат округ-
лите до единиц.
1024. Плотность железа 7,8 • 103 кг/м3.
Найдите массу железной пли-
ты, длина которой 1,2 м, ши-
рина 6*10-1м и толщина
2,5-10“1 м.
§12. Степень с целым показателем и ее свойства
213
1025. Найдите значение выражения
(2- >/3)77 + 4>/з.
1026. При каком значении т сумма корней уравнения
Зх2 - 18х + т - О
равна произведению этих корней?
1027. Найдите целые отрицательные значения х, которые являются
решением неравенства
Контрольные вопросы
ХМ Сформулируйте определение степени с целым отрицательным
показателем.
Сформулируйте свойства произведения и частного степеней
.ЦЦ с одинаковыми основаниями и целыми показателями.
Как возвести степень в степень?
jiO Как возвести произведение и частное в степень?
Какую запись числа называют его стандартным видом?
Покажите на примере, как представить число в стандартном виде.
§ 13
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
40. Сбор и группировка
статистических данных
Для изучения различных общественных и социально-эконо-
мических явлений, а также некоторых процессов, происходящих
в природе, проводятся специальные статистические исследования.
Всякое статистическое исследование начинается с целенаправленно-
го сбора информации об изучаемом явлении или процессе. Этот этап
называется этапом статистического наблюдения.
Для обобщения и систематизации данных, полученных в ре-
зультате статистического наблюдения, их по какому-либо признаку
разбивают на группы и результаты группировки сводят в таблицы.
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
Рассмотрим такой пример. Администрация школы решила про-
верить математическую подготовку восьмиклассников. С этой целью
был составлен тест, содержащий 9 заданий. Работу выполняли
40 учащихся школы. При проверке каждой работы учитель отмечал
число верно выполненных заданий. В результате был составлен та-
кой ряд чисел:
6, 5, 4, 0, 4, 5, 7, 9, 1, 6, 8, 7, 9, 5, 8, 6, 7, 2, 5, 7,
б, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 7, 7, 4, 3, 5, 9, 6, 7, 8, 6, 9, 8.
Для того чтобы удобно было анализировать полученные данные,
упорядочим этот ряд:
0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, б, 6, 6, 6, 6,
7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9.
Представим полученные данные в виде таблицы, в которой для
каждого числа верно выполненных заданий, записанного в верхней
строке, укажем в нижней строке количество появлений этого числа
в ряду, т. е. частоту.
Число верно выполненных заданий 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Частота 1 1 1 2 5 6 8 7 5 4
Такую таблицу называют таблицей частот.
В рассмотренном примере сумма частот равна общему числу
проверяемых работ, т. е. 40.
Вообще, если результат исследования представлен в виде табли-
цы частот, то сумма частот равна общему числу данных в ряду.
При проведении статистического исследования после сбора и
группировки данных переходят к их анализу, используя для этого
различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются
такие известные вам статистические характеристики, как среднее
арифметическое, мода, медиана, размах.
Проанализируем результаты проведенной проверки работ уча-
щихся.
Чтобы найти среднее арифметическое, надо общее число верно
выполненных заданий разделить на число учащихся, т. е. 40. Полу-
чаем
0’1+1-1+2’1+3-2+4«5 + 5-6+6-8+7-7 + 8-5 + 9-4
40
232
Чо”
= 5,8.
Значит, в среднем учащиеся выполнили по 5,8 заданий, т. е.
примерно две трети общего объема работы.
§ 13. Элементы статистики i
215
Наибольшее число верно выполненных учащимися заданий рав-
но 9, а наименьшее равно 0. Значит, размах рассматриваемого ряда
данных равен 9-0=9, т. е. различие в числе верно выполненных
заданий достаточно велико. Из таблицы видно, что чаще всего встре-
чаются работы, в которых верно выполнено 6 заданий, т. е. мода
ряда равна 6.
Найдем медиану ряда. Так как в ряду всего 40 чисел, то медиа-
на равна среднему арифметическому 20-го и 21-го членов соответст-
вующего упорядоченного ряда. Для того чтобы определить, в какие
группы попадают эти члены, будем последовательно суммировать
частоты и сравнивать суммы с числами 20 и 21. Найдем, что 1 + 1 +
+ 1+ 2 + 5 + 6=16,1+1+1+2+5+6+8= 24, т. е. 20-й и 21-й члены
ряда попадают в ту группу, которую составляют учащиеся, верно
выполнившие 6 заданий. Значит, медиана ряда равна (6 + 6): 2 = 6.
В рассмотренном примере для анализа результатов выполнения
учащимися теста была составлена таблица частот. Иногда составля-
ют таблицу, в которой для каждого данного указывается не частота,
а отношение частоты к общему числу данных в ряду. Это отноше-
ние, выраженное в процентах, называют относительной частотой,
а саму таблицу — таблицей относительных частот.
В нашем примере общая численность данных — это число уча-
щихся, писавших работу, т. е. 40. Таблица относительных частот
выглядит следующим образом:
Число верно выполненных заданий 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Относительная частота, % 2,5 2,5 2,5 5 12,5 15 20 17,5 12,5 10
Нетрудно убедиться, что сумма относительных частот составля-
ет 100%.
Вообще, если по результатам исследования составлена таблица
относительных частот, то сумма относительных частот равна 100%.
Заметим, что если в ряду имеется большое число данных и оди-
наковые значения встречаются редко, то таблицы частот или отно-
сительных частот теряют наглядность и становятся излишне гро-
моздкими. В таких случаях для анализа данных строят интерваль-
ный ряд. Для этого разность между наибольшим и наименьшим
значениями делят на несколько равных частей (примерно 5—10) и,
округляя полученный результат, определяют длину интервала. За
начало первого интервала часто выбирают наименьшее данное или
ближайшее к нему целое число, его не превосходящее. Для каждого
интервала указывают число данных, попадающих в этот интервал,
или выраженное в процентах отношение этого числа к общей чис-
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
>16
ленности данных. При этом граничное число обычно считают отно-
сящимся к последующему интервалу.
Пусть, например, на партии из 50 электроламп изучали продол-
жительность их горения (в часах). По результатам составили такую
таблицу:
Продолжительность горения, ч Частота
До 200 1
200—400 3
400—600 5
600—800 9
800—1000 16
1000—1200 9
1200—1400 5
1400—1600 2
Пользуясь составленной таблицей, найдем среднюю продолжи-
тельность горения. Для этого составим новую таблицу частот, заме-
нив каждый интервал числом, которое является его серединой.
Продолжительность горения, ч Частота
100 1
300 3
500 5
700 9
900 16
1100 9
1300 5
1500 2
Для получения ряда данных найдем среднее арифметическое:
(100-1 + 300- 3 + 500- 5+ 700- 9 + 900-16 + 1100- 9 + 1300- 5 +
+ 1500- 2): 50 ~ 870 (с точностью до десятков).
Значит, средняя продолжительность горения электроламп при-
элиженно равна 870 ч.
В рассмотренном в начале пункта примере были проанализиро-
ваны результаты выполнения теста восьмиклассниками одной шко-
лы. Тот же тест можно было бы использовать для более широкой
проверки математической подготовки учащихся, например предло-
жить его восьмиклассникам всех школ города или региона. Заме-
гим, что организация такой проверки связана с серьезными трудно-
§ 13. Элементы статистики
217
стями по пересылке текстов заданий в школы, сбору и проверке
работ учащихся, обработке полученных результатов. Вообще прове-
дение любого массового исследования требует больших организаци-
онных усилий и финансовых затрат. Например, перепись населения
страны связана с подготовкой разнообразной документации, выделе-
нием и инструктажем переписчиков, сбором информации, обработ-
кой собранных сведений.
В тех случаях, когда бывает сложно или даже невозможно про-
вести сплошное исследование, его заменяют выборочным. При выбо-
рочном исследовании из всей изучаемой совокупности данных, на-
зываемой генеральной совокупностью, выбирается определенная ее
часть, т. е. составляется выборочная совокупность (выборка), кото-
рая подвергается исследованию. При этом выборка должна быть
представительной, или, как говорят, репрезентативной, т. е. дос-
таточной по объему и отражающей характерные особенности иссле-
дуемой генеральной совокупности.
Пусть, например, в ходе кампании по выборам мэра в городе со
стотысячным населением хотят узнать, кто из кандидатов имеет
наибольшие шансы на успех. Для этого проводят опрос, например,
полутора тысяч избирателей, в ходе которого выясняется, за кого
они собираются голосовать. При этом нельзя опрашивать только мо-
лодых избирателей или только пенсионеров, так как это может при-
вести к неправильным выводам. Необходимо, чтобы среди опраши-
ваемых было примерно одинаковое число мужчин и женщин. Кроме
того, должны быть представлены люди с разным социальным поло-
жением и образованием.
Выборочное исследование проводят также и тогда, когда прове-
дение сплошного исследования связано с порчей или уничтожением
продукции. Например, при исследовании продолжительности горе-
ния партии электроламп, выпущенных заводом, невозможно прове-
рить всю партию, так как это привело бы просто к ее уничтожению.
1028. На выборах мэра города будут баллотироваться три канди-
дата: Алексеев, Иванов, Карпов (обозначим их буквами А,
И, К). Проводя опрос 50 избирателей, выяснили, за кого из
кандидатов они собираются голосовать. Получили следующие
данные:
И, А, И, И, К, К, И, И, И, А, К, А, А, А, К, К, И, К, А, А, И,
К, И, И, К, И, К, А, И, И, И, А, И, И, К, И, А, И, К, К, И, К,
А, И, И, И, А, А, К, И.
Представьте эти данные в виде таблицы частот. Достаточно ли
этих данных, чтобы сделать вывод о предстоящих результатах
голосования?
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
218
Г
1029. В ходе опроса 40 учащихся школы было выяснено, сколько
времени (с точностью до 0,5 ч) в неделю они затрачивают на
занятия в кружках и спортивных секциях. Получили следую-
щие данные:
5, 1,5, 0, 2,5,
1, 0, 0, 2, 2,5, 3,5,
4, 5, 3,5, 2,5, 0, 1,5, 4,5, 3, 3, 5,
3,5, 4, 3,5, 3
9
4, 3,5, 2, 5, 4, 2, 2,5, 0, 0, 3.
Представьте этот ряд данных в виде таблицы частот.
1030. Учащимся восьмых классов школ некоторого города была
предложена контрольная работа по алгебре, содержащая 6 за-
даний. При подведении итогов составили таблицу, в которой
указали число учащихся, верно выполнивших одно, два, три
и т. д. задания.
Число выполненных заданий Число учащихся
0 —
1 27
2 53
3 87
4 223
5 146
6 89
Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу относительных
частот (с точностью до 1%).
1031. При проверке 70 работ по русскому языку отмечали число ор-
фографических ошибок, допущенных учащимися. Получен-
ный ряд данных представили в виде таблицы частот.
Число ошибок 0 1 2 3 4 5 6
Частота 4 6 15 26 12 4 3
Каково наибольшее различие в числе допущенных ошибок?
Какое число ошибок является типичным для данной группы
учащихся? Какие статистические характеристики были ис-
пользованы при ответе на поставленные вопросы?
L032. Ряд данных о количестве акций одинаковой стоимости, при-
обретенных сотрудниками лаборатории, представлен в виде
таблицы частот.
§ 13. Элементы оагистики
219
Число акций Частота
2 20
5 12
10 7
25 4
100 2
Найдите для этого ряда данных среднее арифметическое, раз-
мах и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?
1033. При изучении качества продукции, выпущенной цехом, опре-
деляли число бракованных деталей в каждом из 50 произволь-
ным образом выбранных ящиков с одинаковым числом дета-
лей. Получили такую таблицу:
Число бракованных деталей 0 1 2 3 4
Число ящиков 8 22 13 5 2
Найдите среднее арифметическое, размах и моду полученного
ряда данных. Что характеризует каждый из этих показателей?
1034. Определяя степень засоренности цветочных семян, выясняли,
сколько семян сорных растений содержится в каждом из
100 произвольным образом выбранных пакетов с одинаковым
числом семян. Получили такую таблицу:
Число семян сорных растений 0 "1 2 3 4 5 6 7 8 9
Число пакетов 3 16 26 17 18 10 3 5 1 1
Для полученного ряда данных найдите среднее арифметиче-
ское и моду. Что характеризует каждый из этих показателей?
1035. При изучении учебной нагрузки учащихся попросили 24 вось-
миклассников указать время (с точностью до 1 мин), которое
они затратили в определенный день на выполнение домашне-
го задания по алгебре. Получили следующие данные:
27, 25, 31, 32, 34, 16, 18, 39,
26, 34, 32, 29, 19, 15, 37, 36,
31, 29, 28, 15, 31, 34, 22, 28.
Представьте полученные данные в виде интервального ряда
с интервалами длиной 5 мин.
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
220
1036. Имеются следующие данные о среднесуточной переработке са-
хара (в тыс. ц) заводами сахарной промышленности некоторо-
го региона:
Суточная переработка сахара, тыс. ц 12—15 15—18 18—21
Число заводов 4 6 3
Заменяя каждый интервал его серединой, найдите, сколько
сахара в среднем перерабатывал в сутки завод региона.
1037. Является ли выборка представительной, если при изучении
времени, которое затрачивают на выполнение уроков восьми-
классники:
а) опрашивали только девочек;
б) опрос проводили только по четвергам;
в) опрашивали только учащихся гимназий и лицеев?
1038. В ходе опроса предстоит определить, строительству каких
культурных и спортивных сооружений отдают предпочтение
жители района. Какие категории жителей должны быть
включены, на ваш взгляд, в составляемую выборку?
1039.1 Найдите сумму квадратов корней уравнения х2 + 12х + 30 = 0.
1040. Решите систему неравенств
0,5(2 - х) - 1,5х < 6х - 1,
1,3(2 + х) + 0,7х < Зх + 2,4.
1041. Упростите выражение
2л/5 (V2 - V5) - (V5 + л/2)2.
41. Наглядное представление
статистической информации
Для наглядного представления данных, полученных в результа-
ге статистического исследования, широко используются различные
шособы их изображения.
Одним из хорошо известных вам способов наглядного представ-
тения ряда данных является построение столбчатой диаграммы.
§ 13. Элементы статистики j
221
Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллю-
стрировать динамику изменения данных во времени или распределе-
ние данных, полученных в результате статистического исследования.
В таблице показан расход электроэнергии (с точностью до
5 кВт • ч) некоторой семьей в течение года.
Месяц I П III IV V VI VII VIII IX XI XII
Расход элек- троэнергии, кВт • ч 110 100 110 85 70 65 10 70 90 100 100 105
Соответствующая столбчатая диаграмма построена на рисун-
ке 49. Она состоит из 12 прямоугольников, расположенных на оди-
наковом расстоянии друг от друга. Равные основания прямоуголь-
ников выбирают произвольно, а высота каждого из них равна (при
выбранном масштабе) расходу электроэнергии в указанном месяце.
Если в ходе статистического исследования проведена группиров-
ка одинаковых данных и для каждой группы указана соответствую-
щая частота (или относительная частота), то каждая группа изобра-
жается на столбчатой диаграмме прямоугольником, высота которого
при выбранном масштабе равна соответствующей частоте (или отно-
сительной частоте).
Для наглядного изображения соотношения между частями ис-
следуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы.
Если результат статистического исследования представлен в
виде таблицы относительных частот, то для построения круговой
диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы кото-
рых пропорциональны относительным частотам, определенным для
каждой группы данных.
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
222
I
Построим, например, круговую диаграмму, иллюстрирующую
распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, представленное
5 следующей таблице:
Разряд Относительная частота, %
3 12
4 42
5 29
6 17
Так как 360° : 100 = 3,6°, то одному проценту соответствует цен-
ральный угол, равный 3,6°. Учитывая это, определим для каждой
руппы соответствующий центральный угол:
3,6° • 12 = 43,2°, 3,6° • 42 = 151,2°,
3,6° • 29 = 104,4°, 3,6° • 17 = 61,2°.
Разбив круг на секторы, получим кру-
овую диаграмму, изображенную на ри-
унке 50.
Заметим, что круговая диаграмма со-
раняет свою наглядность и выразитель-
ость лишь при небольшом числе частей
эвокупности. В противном случае ее при-
енение малоэффективно.
Динамику изменения статистических
тнных во времени часто иллюстрируют с
рмощью полигона. Для построения поли-
ша отмечают в координатной плоскости
эчки, абсциссами которых служат мо-
энты времени, а ординатами — соответ-
вующие им статистические данные. Со-
чинив последовательно эти точки отрезками, получают ломаную,
эторую называют полигоном.
Имеются, например, следующие данные о производстве заводом
)иборов в первом полугодии 2006 г. (по месяцам):
Месяц J II III IV V VI
Число приборов, тыс. шт. 2,3 2,2 2,5 2,6 2,8 1,9
Полигон, иллюстрирующий производство заводом приборов
первом полугодии 2006 г., построен на рисунке 51 (см. с. 224).
Полигоны используют также для наглядного изображения рас-
еделения данных, полученных в результате статистического ис-
едования.
§13. Элементы статистики
223
I
F
Рис. 52
t
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
224
Если данные представлены в виде таблицы частот или относи-
тельных частот, то для построения полигона отмечают в координат-
ной плоскости точки, абсциссами которых служат статистические
данные, а ординатами — их частоты или относительные частоты.
Соединив последовательно эти точки отрезками, получают полигон
распределения данных.
Интервальные ряды данных изображают с помощью гисто-
грамм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, со-
ставленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого
прямоугольника равно длине интервала, а высота — частоте или от-
носительной частоте. Таким образом, в гистограмме, в отличие от
обычной столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выби-
раются не произвольно, а строго определены длиной интервала.
Построим, например, гистограмму для интервального ряда, ха-
рактеризующего продолжительность горения 50 электроламп, вос-
пользовавшись таблицей, приведенной на с. 217. Пусть единица
на горизонтальной оси соответствует продолжительности горения
в 200 ч, а единица на вертикальной оси — частоте, равной 1. Гисто-
грамма представляет собой фигуру, составленную из восьми сомкну-
тых прямоугольников (рис. 52). Сумма высот прямоугольников рав-
на общей численности исследуемой совокупности, т. е. 50.
1042. По четвертным оценкам по геометрии учащиеся одного класса
распределились следующим образом:
«5» — 4 ученика,
«4» — 10 учеников,
«3» — 18 учеников,
«2» — 2 ученика.
Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую распре-
деление учащихся по четвертным оценкам по геометрии.
L043. Изучая профессиональный состав рабочих механического
цеха, составили таблицу:
Профессия Число рабочих
Наладчик 4
Револьверщик 2
Сверловщик 1
Слесарь 8
Строгальщик 3
Токарь 12
Фрезеровщик 5
Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую профес-
сиональный состав рабочих этого цеха.
§ 13. Элементы статистики
; 225
1044. В фермерском хозяйстве площади, отведенные под посевы зер-
новых, распределены следующим образом:
пшеница — 63%, овес — 16%, просо — 12%, гречиха — 9%.
Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распреде-
ление площадей, отведенных под зерновые.
1045. В результате статистического исследования были получены
следующие данные о распределении пассажиропотока в мос-
ковском авиаузле в 2003 году:
Внуково — 12%, Домодедово — 40%, Шереметьево — 48%.
Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распреде-
ление пассажиропотока.
1046. В таблице показано распределение 43 хозяйств района по уро-
жайности зерновых в некотором году.
Урожайность, ц/га Число хозяйств
18 3
19 9
20 13
21 11
22 7
Постройте полигон распределения хозяйств по урожайности
зерновых.
1047. При изучении распределения семей, проживающих в доме, по
количеству членов семьи была составлена таблица, в которой
для каждой семьи с одинаковым числом членов указана отно-
сительная частота.
Количество членов семьи Относительная частота, %
1 2 3 4 5 и более 10 18 35 26 11
Пользуясь данной таблицей, постройте полигон относительных
частот.
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
226
1048. В таблице приведены значения среднемесячных температур
воздуха (в градусах Цельсия) в городе за год.
Месяц I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Среднемесячная температура, °C -16 -10 -6 4 8 16 22 19 10 6 -3 -11
Постройте полигон, иллюстрирующий изменения среднеме-
сячных температур за год.
1049. На рисунке 53 построен полигон, иллюстрирующий производ-
ство растительного масла в России в 1992 и 1993 гг. (по квар-
талам). Пользуясь рисунком:
а) охарактеризуйте динамику изменения производства расти-
тельного масла в 1992 и 1993 гг.;
б) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда про-
изошло наибольшее падение производства растительного масла;
в) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда
произошел наибольший прирост производства растительного
масла.
13. Эпеметы софистики
007
1050. В таблице показано, сколько курток изготовила мастерская за
каждый квартал 2004 и 2005 гг.
Год 2004 2005
Квартал I II III IV I II III IV
Число курток 780 625 645 810 850 760 720 910
Постройте полигон, иллюстрирующий выработку мастерской
в 2004 и в 2005 гг. (по кварталам).
Используя построенный полигон:
а) охарактеризуйте динамику изменения производства кур-
ток в 2004 и 2005 гг. (по кварталам);
б) укажите два квартала, следующие друг за другом, когда
произошло наибольшее увеличение выработки.
1051. На рисунке 54 построены полигоны, иллюстрирующие прода-
жу магазином в течение недели компьютеров (сплошная ли-
ния) и телевизоров (пунктирная линия). Укажите два дня,
следующие друг за другом, когда:
Число проданных изделий ' * 1 1 — 1 — * > 1 _ 80-
/ /
/ !
/
60- Г' (
/
— Г
40- / /
Z*
20-
-
пн 1 ВТ 1 ср ЧТ 1 пт 1— сб i ВС 1 День недели i 1 1
Рис. 54
’28
i
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
а) число проданных телевизоров возросло больше, чем число
проданных компьютеров;
б) число проданных телевизоров возросло, а число проданных
компьютеров уменьшилось;
в) число проданных компьютеров возросло, а число продан-
ных телевизоров осталось тем же.
1052. На основе опроса была составлена следующая таблица распре-
деления учащихся по времени, которое они затратили в опре-
деленный учебный день на просмотр телепередач:
Время, ч Частота
0—1 12
1—2 24
2—3 8
3—4 5
- -- , -1
Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.
1053. В таблице показано распределение призывников района по
росту.
Рост, см Частота
155—160 6
160—165 10
165—170 28
170—175 36
175—180 48
180—185 26
185—190 16
190—195 8
Постройте гистограмму, характеризующую распределение
призывников по росту.
1054. На гистограмме (см. рис. 55 на с. 230) представлены данные
о распределении рабочих цеха по возрастным группам. Поль-
зуясь гистограммой, найдите:
а) число рабочих цеха в возрасте от 18 до 23 лет;
б) возрастную группу, к которой относится наибольшее число
рабочих;
в) общее число рабочих цеха.
§ 13. Элементы статистики \
Частота
Рис. 55
1055. В оздоровительном лагере были получены следующие данные
о весе 30 мальчиков (с точностью до 0,1 кг):
21,8, 29,3, 30,2, 20,6, 23,8,
29,5, 28,6, 20,8, 28,4, 30,7,
23,9, 25,0, 25,5, 28,2, 22,5,
21,4, 24,5, 24,8, 29,6, 31,3,
26,3, 26,8, 23,2, 27,5, 28,8,
23,6, 22,8, 30,3, 23,5, 27,3.
Используя эти данные, заполните таблицы (перечертив их
в тетрадь).
Вес, кг Частота
20—22 22—24 24—26 26—28 28—30 30—32
Вес, кг Частота
20—23 23—26 26—29 29—32
По данным этих таблиц постройте на разных рисунках в од-
ном и том же масштабе две гистограммы. Что общего у этих
гистограмм и чем они различаются?
Глава V
Степень с; целым показателем. Элементы слалислики
230
1056. Наблюдая за работой бригады токарей, установили, сколько
времени тратили они на обработку одной детали. Обобщая по-
лученные данные, составили таблицу:
Время, мин Число токарей
10—12 2
12—14 6
14—16 11
16—18 7
18—20 5
Пользуясь таблицей, постройте гистограмму, характеризую-
щую распределение токарей бригады по времени, затрачивае-
мому на обработку одной детали.
1057.
Докажите тождество:
х + у
х2у - у2х
1058. Найдите значение выражения
при а = -1,2.
1059. Решите систему неравенств
х + 1 х < х 1-х
( 10 6 " 10 + 30 ’
х х + 5 х х- 5
3 12~ < 4 24~
1060. Сравните значения выражений:
а) 5л/2 + З7б и Зл/7 + >/45; б) 6>/2 - 2^7 и 4^3- >/28.
L061. Сравните числа:
а) 0,987-1 и 1; б) 1,074“* и 1.
§13. Элементы статистики
Контрольные вопросы
Объясните на примере, как по таблице частот находят среднее
арифметическое, размах и моду.
Какие способы наглядного представления статистической инфор-
мации вам известны? Объясните, в чем состоит каждый из этих
к'Ш способов.
й Что называется гистограммой? Как изображается на гистограмме
общий объем исследуемой совокупности?
Для тех, кто хочет знать больше
42. Функции у = х 1 и у - х 2 и их свойства
Функции, которые можно задать формулой вида у = хп, где х —
независимая переменная и п — целое число, называют степенными
функциями с целым показателем.
Со степенными функциями у = х2 и у = х3 вы познакомились
в курсе алгебры 7 класса. Вам знакома также степенная функция
у = х, которая является частным случаем прямой пропорционально-
сти у = kx (при k = 1).
Рассмотрим теперь функции у = х"1 и у = х-2, выясним свойст-
ва этих функций и особенности
Рис. 56
их графиков. Отметим сразу, что об-
ластью определения каждой из
этих функций является множест-
во действительных чисел, кроме
нуля.
Перечислим свойства функ-
ции у = х~1 и особенности ее гра-
фика.
1. Если х > О, то у > О; если
х < О, то у < О.
Это следует из формулы
у = х-1: значения х и у одного
знака.
Так как х~1 — то графиком
х
функции является гипербола, рас-
положенная в первой и третьей
четвертях координатной плоско-
сти (рис. 56).
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
232
2. Противоположным значениям аргумента соответствуют про-
тивоположные значения функции.
Действительно, если х0 и -х0 — значения аргумента, то соответ-
ствующие им значения функции хох и (-х0)-1 также являются про-
тивоположными числами, так как х0 = — и (-х0) =----.
Хо Хд
Если точка М (х0; г/0) принадлежит графику функции, то точка
М' (-х0; —уо) также принадлежит графику этой функции. Значит,
каждой точке М (х0; z/0) графика соответствует точка М'(-х0; — г/о)
того же графика. Точки, имеющие противоположные абсциссы и
противоположные ординаты, симметричны относительно начала ко-
ординат. Следовательно, график функции у — х1 симметричен отно-
сительно начала координат.
3. Если значения аргумента при х > О неограниченно возраста-
ют (х +оо), то соответствующие им значения функции убывают,
г. е. стремятся к нулю (у —> 0). Если значения аргумента при х > О
убывают, т. е. стремятся к нулю (х —► 0), то соответствующие зна-
чения функции неограниченно возрастают (у —> +оо). Если х < 0 и
с —► -оо, то z/ —► 0; если х<0их—>0, то г/ —> -оо.
Таким образом, точки графика, удаляясь от оси у вправо или
злево, все ближе приближаются к оси х, а удаляясь от оси х вверх
1ли вниз, все ближе приближаются к оси у.
Отметим еще одно свойство функции у = х~ Ч
4. Значения аргумента и соответствующие им значения функ-
ции являются взаимно обратными числами.
Действительно, при любых значениях аргумента х верно равен-
:тво ху = 1. А это означает, что значения х и у являются взаимно об-
етными числами.
Если точка М (а; &) принадлежит графику данной функции, то
очка М' (&; а) также принадлежит графику этой функции. Точки
Л (а; Ъ) и М' (&; а) симметричны относительно прямой у = х. Зна-
:ит, график функции у — х 1 симметричен относительно прямой
Выясним теперь свойства функции у = х 2 и особенности ее
рафика.
1. При любом значении аргумента значения функции — поло-
жительные числа.
Это следует из того, что х-2 > 0 при любом х 0. Значит, график
»ункции у — х 2 расположен выше оси х.
2. Любым противоположным значениям аргумента соответст-
ует одно и то же значение функции.
Действительно, если х0 и -х0 — значения аргумента, то х0 2 и
-х0)-2 — соответствующие им значения функции, но х0-2 — (-х0)-2.
।
Для тех, кто хочет знать больше •
I 233
Отсюда следует, что каждой точке М (х0; г/0) графика функции
соответствует точка M'(-x0; z/0) того же графика. Значит, график
функции у — х 2 симметричен относительно оси у.
3. Если х +оо или х -+ -со, то у —► О; если х —> О, то у —> +оо.
Действительно, если | х | неограниченно возрастает (|х| —> +оо),
то | х~2| убывает, оставаясь положительным числом, т. е. у стремится
к нулю. Если |jc| > 0, то х~2 неограниченно возрастает, т. е.
х~2 * +оо
Основываясь на этих свойствах, можно построить график функ-
ции у = х~2.
Вычислим значения у для некоторых положительных значений
аргумента.
X 1 3 2 1 2 3 4
У 9 4 1 1 4 1 9 1 16
Рис. 57
Построим в координатной
плоскости точки, координаты ко-
торых помещены в таблице. Со-
единив эти точки плавной не-
прерывной линией, получим одну
ветвь графика функции. Вторую
ветвь, расположенную во второй
координатной четверти, построим
симметрично первой относительно
оси у. График функции у = х-2
изображен на рисунке 57.
Упражнения
1062.] Известно, что точки А а;
247
и В (843; Ь) принадлежат ги-
перболе у = х Ч Найдите а и Ъ.
i 1Q63J Постройте в одной системе координат графики функций у — х
и у = х’1. Выясните, при каких значениях аргумента верны
равенство х = х-1 и неравенства х > х-1 и х < х~г в случае,
если:
а) х > 0; б) х < 0.
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
234
1064.; Докажите, что прямая у = —х + 1, где I — некоторое положи-
тельное число, и гипербола у = х-1:
а) имеют две общие точки, если I > 2;
б) имеют одну общую точку, если I = 2;
в) не имеют общих точек, если I < 2.
1065.^ Постройте график функции
х, если х 0,
х-1, если х > 0.
Найдите:
а) значение г/, если х = -2; 2;
б) значение х, при котором у = -4; 4.
L066.- Постройте график функции у = \х 1|. Как расположен этот
график относительно оси y*i
.067. Постройте в одной системе координат графики функций
у = х \ где х > 0, и у = х-2, где х > 0. Сравните значения х-1 и
х-2, если:
а) 0 < х < 1; б) х > 1.
068.: Известно, что точки А
2601
и В (0,0625; Ь) принадлежат
графику функции у = х 2. Найдите а и Ь.
069J Расположите в порядке возрастания числа Xq, х0, Xq, х0\ х02,
зная, что:
а) 0<х0<1; б) х0 > 1.
070< Постройте график функции
х 2, если —2 х < —1,
* х2, если -1 х 1,
х 2, если 1 < х 2.
Сколько общих точек имеет этот график с прямой у = а в слу-
чае, когда:
а) а — 2; б) а = 1; в) а = —; г) а — 0?
2
Дня гех, кю хочет знать больше
235
[1071.] Дана функция
если х <
4х, если С х < —,
2 2
х \ если х
Сколько корней имеет уравнение:
а) у = 2; б) у = в) у = 0; г) у = -3?
О
Дополнительные упражнения к главе V
К параграфу 12
1072. Вычислите: . . _2
а) -0,25-2.100; в) 0,2 4 -(-1,6); д)з|- § -0,5;
о О j
б) 0,01 • (-0,5)-3; г) 0,1-’+ 1,1°; е) -4~1-5 + 2,52.
1073. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степе-
ней с отрицательными показателями:
ч ат 2 (а + Ь)Ъ 2а~гЪ2
а1Ь ’ > & !(а- &)’ В) (а + Ьу2 '
1074. Представьте в виде дроби выражение:
а) ху'2 - х~2у\ в) тп(п - т)~2 - п(т - и)-1;
1075.
Упростите выражение:
ч х 1 + Z/1 _ ab1 - а~гЬ
а) -----б) -----------------—
(х 4- и)2 а 1 b 1
1076. Представьте выражение в
(п — целое число):
а) 100"; б) 0,1-100"+ 3;
виде степени с основанием 10
в) 0,01" 102“ 2п.
1077. Упростите выражение (п — целое число):
25" 6"
g2n -1 ’ ' 2п - 1. зл + 1
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы статистики
236
1078.1 Докажите, что значение выражения (т — целое число) не за-
висит от тп:
21™
6™ . 10m + 1
б) -у- —---г.
22™ • 15 " 1
L079. Представьте выражение х 2 + х 1 ч- х в виде произведения
двух множителей, один из которых равен:
а) х; б) х’1; в) х~2.
L080. В выражении а 6 + а 4 вынесите за скобки множитель:
а) а"4; б) а"6.
.081. Упростите выражение:
082. Докажите, что при любом целом п верно равенство:
а) 2п + 2п = 2Л +1; б) 2 ♦ Зл + 3" = Зл + Ч
083.
Сократите дробь (и — целое число):
Зл + I _ Зп 2п + 2~п
1) ---------; б) ---------------.
7 2 ' 4Л + 1
Э84.
Докажите, что выражение принимает одно и то же значение
при любых целых значениях
gm в Зп - 1 _ -- 1 , Зл
а) ------------------;
' 2т • 3"
gn + 1 „ 2Л _ 2 । ^л - 2 £Л - 1
в) --------15ГГЙ--------!
переменных:
5™4П
' кт - 2o2n .1 кт o2n
Зл
21л
t + 1 | Злул
>85*1 Корни хг и х2 уравнения их2 - 5х +1 = 0 связаны соотношени-
-2
ем хх
= 13. Найдите и.
‘86. Выразите время в секундах и запишите полученное число
в стандартном виде:
а) 1 ч; б) 1 сутки; в) 1 год; г) 1 век.
87. Выполните действия над числами, записанными в стандарт-
ном виде:
а) (3,4 • 1015) • (7 • 1012); в) (9,6 • 1012): (3,2 -10“15);
б) (8,1 • IO'23) • (2 • 1021); г) (4,08 • 1011): (5,1 • 10~7).
58. Расстояние от Земли до звезды а Центавра равно 2,07 105
астрономическим единицам (астрономической единицей на-
зывается расстояние от Земли до Солнца, которое равно
1,495 • 108 км). Выразите это расстояние в километрах.
i
Дополнительные упражнения к главе V |
237
1089. В 1 ккал
в 1 Дж?
содержится 4,2 • 103 Дж» Сколько килокалорий
1090. В таблице даны обозначения кратных и дольных приставок
и соответствующие им множители.
Приставка Кратность Обозначение Приставка Кратность Обозначение
мега 106 М Деци ю1 Д
кило 103 к санти 10“2 С
гекто ю2 г милли 10'1 м
дека 101 да микро 10’6 мк
Используя таблицу, выразите:
а) 2,5-102 Мт в тоннах;
б) 3,1 • 1О10 мг в килограммах;
в) 1,5-10“ 2 гл в литрах;
г) 7 • 10 7 м в микрометрах;
д) 8,4-10 4 ккал в калориях.
1091. Масса Земли 6,0-1021 т, а масса Луны 7,35-1019 т. На сколько
тонн масса Земли больше массы Луны?
К параграфу 13
1092. Работники телевидения решили провести опрос зрителей, что-
бы выяснить, каким телевизионным передачам в вечерние
часы они отдают предпочтение. Какие категории зрителей
должны быть включены, на ваш взгляд, в составляемую вы-
борку?
1093. В таблице частот, характеризующей распределение членов ар-
тели по числу изготовленных изделий, одно число оказалось
стертым.
Число изделий Частота
12
13 3
14 —
15 6
16 2
Восстановите его, зная, что в среднем члены артели изготови-
ли по 14,2 изделия.
I
Глава V
Степень с целым показа гелем. Элементы статистики
238
1094. Проведя учет бракованных деталей в контрольной партии
ящиков, составили таблицу, в которой два числа оказались
стертыми.
Число бракованных деталей Число ящиков
0 12
28
2 —
3 —
4 7
5 2
Восстановите их, зная, что ящиков с двумя бракованными де-
талями оказалось вдвое больше, чем ящиков с тремя брако-
ванными деталями, а в среднем в каждом ящике было по
1,85 бракованных деталей.
Для рассматриваемого ряда данных укажите моду.
Чему равен размах этого ряда данных?
1095. Проведя подсчет числа орфографических ошибок, допущен-
ных учащимися, составили таблицу частот, в которой три
числа оказались стертыми.
Число ошибок Частота
0 4
"1
2
3 —
4 7
5 4
Восстановите их, зная, что среднее из этих чисел на 4 больше
предыдущего и на 3 меньше последующего, а в среднем уча-
щиеся допустили по 2,5 ошибки.
Для рассматриваемого ряда данных укажите моду.
Чему равен размах этого ряда данных?
.096. По данным таблицы распределения призывников по росту,
представленной в упражнении 1053, составьте новую таблицу
с интервалом в 10 см.
Дополнительные упражнения к главе V
239
1097. Имеются следующие данные о годовых удоях молока на мо-
лочной ферме:
Годовой удой молока, л Число коров
до 1000 2
1000—2000 8
2000—3000 23
3000—4000 13
4000—5000 2
Заменив каждый интервал его серединой, найдите средний го-
довой удой молока от одной коровы на этой ферме.
1098. В ходе статистического исследования были опрошены 80 уча-
щихся, которых попросили указать время (в минутах), за-
траченное на дорогу от дома до школы. По результатам ис-
следования были составлены два интервальных ряда: один
с интервалом длиной 5 мин, другой с интервалом длиной
10 мин. Для каждого интервального ряда построили гисто-
грамму. Чем различаются эти гистограммы и что у них общего?
L
Глава V
Степень с целым показателем. Элементы с!а!истики
240
I
ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
1О99.| Сократите дробь:
х4 + а2х2 + а4 . 8ап + 2 4- ап ~ 1
а х3 + а3 ’ 16ап + 4 + 4ап + 2 + ап
Решите систему уравнений:
'x + j/ + z + u = 5,
y + z + u + t?=l,
<z + u + v + x~29
u + v + x + i/ = O,
v + x + i/ + z = 4.
L1OL] Докажите, что уравнение x4 - 5x3 - 4x2 - 7x + 4 = 0 не имеет
отрицательных корней»
[Ю2?
Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключен-
5 5
ную между дробями — и —.
ПОЗ»] Какой цифрой оканчивается сумма 5435 4- 2821?
1104»| Решите уравнение х2 - 2х + у2 — 4у 4- 5 = 0.
2 1
105.1 Найдите корни уравнения х2 - 2х-4—- 13 = 0.
---- X х
гюв:
ют:
Найдите все двузначные числа где b > а, при которых зна-
ab
чение дроби----равно целому числу»
а 4- b
Найдите три различные обыкновенные дроби вида —, сум-
X 4- 1
ма которых равна натуральному числу.
Задачи повышенной трудности
9Д1
nos:
Найдите целые значения х, при которых функция
у = ^20 + 2^91 + 6х — х2 - ^20 - 2^91 + Gx - х2
принимает целые значения.
|1109.| Найдите все целые значения функции
у = J12 + 2д/35 + 2х - х2 - 712 " 2735 + 2х - х2 ,
которые она принимает при целых х.
ШО.
Представьте многочлен х8 + х4 +1 в виде произведения четы-
рех многочленов ненулевой степени.
1111.1 Упростите выражение
. Укажите допус-
тимые значения переменных.
1112.1 Функция и от х задана формулой у =------, где ad - Ьс * 0.
----- сх 4- d
Пусть значениям аргумента х19 х2, х3 и х4 соответствуют зна-
чения функции у19 у2, Уз и у4. Докажите, что
Уз - . У4 - У1 = Х3~ Х1 . Х4~ Х1
Уз-Уг У4 - У2 Х3~ Х2 ’ Х4~ Х2
1113.] Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие
уравнению х2 - у2 = 69.
1114.| Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел
вида а + ъ42, где а и Ь — рациональные числа, могут быть
представлены в таком же виде.
[1115?] Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения
(х + Ул/2)(х — z/V2) = 1. Покажите, что существует бесконечно
много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих это-
му уравнению.
1116.] При каком значении т сумма квадратов корней уравнения
х2 + х 4- т — 0 равна 13?
1117.| Решите уравнение (х2 - а2)2 — 4ах + 1 относительно х.
1118. Найдите наименьшее значение выражения
(а - 1)(а - 2)(а - 5)(а - 6) + 9.
Задачи повышенной трудности
242
1119.1 Сумма квадратов корней уравнения х2 + рх + 1 = 0 равна 254.
Найдите коэффициент р.
1120.| При каком значении а сумма квадратов корней уравнения
х2 + (а - 1)х - 2а = 0 равна 9?
1121.
Докажите, что при любом натуральном п, большем 2, корни
уравнения х + — = п — иррациональные числа.
х
1122.| Докажите, что функция у = ух2 + 2^2х + 2 + ух2 - 2л/2х + 2,
где -42 х V2, линейная.
1123.J Из города М в город N вышел автобус со скоростью 40 км/ч.
Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легко-
вую автомашину. Эта машина доехала до города М, через
15 мин выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км
от города N. Найдите расстояние между городами М и N, если
скорость легковой автомашины 50 км/ч.
П24^ Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м
с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал
первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки
и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии
от конца дорожки он встретил первого мальчика, если извест-
но, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого
мальчика?
1125.1 Расстояние между пристанями А и В теплоход проходит по
течению за 5 ч, а против течения за 6 ч. За сколько часов про-
плывает по течению это расстояние плот?
1126.| Катер прошел по течению 90 км за некоторое время. За то же
время он прошел бы против течения 70 км. Какое расстояние
за это время проплывет плот?
1127.1 Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вы-
ехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта В.
Прибыв в пункты А и В, они повернули обратно. Вторая
встреча произошла в 18 км от пункта А. Найдите расстояние
между пунктами А и В.
1128.| Из АвВиизВвА выехали одновременно два мотоциклиста.
Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй при-
был в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути
каждый мотоциклист?
1129.| Из АвВиизВвА выехали одновременно два автомобиля и
встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришел в В на
1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго
автомобиля больше скорости первого?
Задачи повышенной трудности
243
rjL13CL] Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывез-
ти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет пер-
вый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то
будет затрачено на 7 — ч больше, чем при одновременной рабо-
3
те обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду ка-
ждый самосвал?
[1131«| Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому
слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того
как оба слесаря выполнили половину задания, работу при-
шлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому зада-
ние было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу
они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить
задание каждый слесарь?
|1132.| Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа
десятков. Произведение этого числа на число, записанное
теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите
данное число.
[~1133.| Найдите члены пропорции хг : х2 = х3 : х4, в которой первый
член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвертого.
Сумма квадратов всех членов равна 793.
1134.| Из города по двум взаимно перпендикулярным дорогам вы-
шли в разное время два пешехода. Скорость первого пешехода
4 км/ч, а второго 5 км/ч. Сейчас первый находится в 7 км от
города, а второй — в 10 км. Через сколько часов расстояние
между пешеходами будет равно 25 км?
1135.
1136.
1137?
Докажите, что если а + с = 2Ь и 2bd — с(b + d), причем b Ф 0 и
1 zx ас
а Ф 0, то — = —.
Ь d
Постройте график функции, заданной формулой у =--------.
Постройте график функции,
a) i/ = |x + 2| + |x- 2 |; б)
заданной формулой:
у = |х + 11 - |х- 11.
1138.
Иза
Постройте график функции, заданной формулой у = х + —.
X
_ , _ Зх + 1
Пересекает ли график функции у =------прямую:
х
а) х = 0; б) у - 0; в) х = 3; г) у = 3?
1140.
Постройте график функции:
2х + 3 „ 12
б)
4 - 5х
_ •
х — 4*
6
Задачи повышенной трудности
>44
1141.1 Докажите, что графиком уравнения ху - 2х + Зу - 6 = 0 явля-
ется пара пересекающихся прямых.
П42?
Докажите, что графиком уравнения (у — 2) (у + 3) = 0 является
пара параллельных прямых.
пззд
Постройте график уравнения:
а) ху + 3х = 0;
б) (х-у)(у-5) = 0;
в) (ху - 6) (у - 3) = 0;
г) (х - у)2 + (х - I)2 = 0;
д) х2 - 4 = 0;
е) у2 - 9 = 0.
Докажите, что если числа а, Ь
Ъ + с * 0, с + а & 0, то при
и с таковы, что а + b Ф 0,
а - Ъ
с - а
2 = ------
с + а
верно равенство (1 + х)(1 + у) (1 + z) = (1 - х)(1 - у) (1 - г).
msg На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из кото-
рых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки про-
ведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если
известно, что всего проведено 45 прямых?
1Ж
Докажите тождество
/а2 ч- 6аЬ + 25д2
V а - 2>/аЬ + 56
- 4Ь = 4а + 4ъ.
Задачи повышенной трудности
245
ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
О дробях
Простейшими дробями пользовались еще в древности (2 тыс.
лет до н. э.). Так, древние вавилоняне имели специальные обозначе-
112
ния для дробей —, -, —. В Древнем Египте пользовались единичны-
2 3 3
ми дробями, т. е. дробями вида —, где п — натуральное число. Если
в результате измерения получалось число —, то его записывали
8
+ -. Такой способ представле-
в виде суммы единичных дробей: —I—
2 4
ния дробей был удобен в практическом отношении. Например, при
решении задачи «Разделить 7 хлебов поровну между восемью лица-
ми» этот способ подсказывал, что нужно иметь 8 половинок, 8 чет-
вертинок и 8 осьмушек, т. е. 4 хлеба нужно разрезать пополам,
2 хлеба — на четвертушки и один хлеб — на осьмушки и распреде-
лить доли между лицами.
Одновременно с единичными дробями появились и системати-
ческие дроби, т. е. дроби, у которых числителями могут быть
любые числа, а знаменателями — степени определенного числа
(например, десяти, двенадцати, шестидесяти). Шестидесятерич-
ные дроби использовались вплоть до XVII в. До сих пор единицы
времени выражаются в шестидесятеричной системе: 1 минута =
часа. Систематическими дробями явля-
— часа, 1 секунда — —г
60 602
ются и десятичные дроби.
Дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут
быть любыми натуральными числами, появляются в некоторых
сочинениях древнегреческого ученого Архимеда (287—212 гг.
до н. э.). Древние греки практически умели производить все дейст-
вия над обыкновенными дробями. Однако современной записи
Исторические сведения
246
дробей с помощью черты не было. Такая запись дроби была вве-
дена лишь в 1202 г. итальянским математиком Л. Фибоначчи
(1180—1240) в его произведении «Книга абака». До этого дроби
выражали словесно, применяли особую запись, в которой около чис-
ла, обозначающего знаменатель дроби, справа ставился штрих,
использовались и другие способы записи. Долгое время дроби не на-
зывали числами. Иногда их называли «ломаными числами». Только
в XVIII в. дроби стали воспринимать как числа. Этому способство-
вал выход в 1707 г. книги английского ученого И. Ньютона
(1643—1727) «Всеобщая арифметика», в которой дроби не только
признаются равноправными числами, но и происходит расширение
понятия дроби как частного от деления одного выражения на дру-
гое. В этой книге, в частности, говорится: «Запись одной из двух ве-
личин под другой, ниже которой между ними проведена черта, обо-
возни-
значает частное или же величину, возникающую при делении
- гг в
верхней величины на нижнюю. Так, — означает величину
кающую при делении 6 на 2... — — величину, возникающую при де-
лении 5 на 8... — есть величина, возникающая при делении а на &...
b
ab - bb _
----- означает величину, получающуюся при делении ab — bb на
а 4- х
а 4-х, и т. д. Величины такого рода называются дробями».
О действительных числах
Понятие числа зародилось в глубокой древности. На протя-
жении веков это понятие подвергалось расширению и обобщению.
Необходимость выполнять измерения привела к положительным
рациональным числам. Решение уравнений привело к появлению
отрицательных чисел. Однако долгое время их считали «фиктивны-
ми» и истолковывали как «долг», как «недостачу». Правила дейст-
вий над положительными и отрицательными числами длительное
время рассматривались лишь для случаев сложения и вычитания.
Например, индийские математики VII в. так формулировали эти
правила: «Сумма двух имуществ есть имущество, сумма двух долгов
есть долг, сумма имущества и долга равна их разности». Лишь
в XVII в. с использованием метода координат, введенного Декартом
и Ферма, отрицательные числа были признаны в качестве равно-
правных с положительными.
Целые и дробные числа являются рациональными числами. Эти
числа удобны для вычислений: сумма, разность, произведение и ча-
стное (при условии, что делитель отличен от нуля) двух рациональ-
ных чисел являются рациональным числом. Рациональные числа
Исторические сведения
247
обладают свойством плотности, поэтому всякий отрезок можно с лю-
бой степенью точности измерить отрезком, принятым за единицу,
и его долями и выразить результат измерения рациональным чис-
лом. Поэтому рациональные числа долгое время вполне обеспечива-
ли (и обеспечивают до сих пор) практические потребности людей.
Тем не менее задача измерения величин привела к появлению но-
вых, иррациональных чисел. Еще в Древней Греции в школе Пи-
фагора (VI в. до н. э.) было доказано, что нельзя выразить рацио-
нальным числом диагональ квадрата, если за единицу измерения
принять его сторону. Такие отрезки, как диагональ квадрата и его
сторона, назвали несоизмеримыми. В дальнейшем (V—IV вв. до н. э.)
древнегреческими математиками была доказана иррациональность
у/п для любого натурального п, не являющегося точным квадратом.
Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, а позднее
и Европы пользовались иррациональными величинами. Однако дол-
гое время не признавали их за равноправные числа. Их призна-
нию способствовало появление «Геометрии» Декарта. На коорди-
натной прямой каждое рациональное или иррациональное число
изображается точкой, и, наоборот, каждой точке координатной пря-
мой соответствует некоторое рациональное или иррациональное,
т. е. действительное, число. С введением иррациональных чисел все
«просветы» на координатной прямой оказались заполненными.
Имея в виду это свойство, говорят, что множество действительных
чисел (в отличие от множества рациональных чисел) является
непрерывным.
Любое действительное число можно представить в виде беско-
нечной десятичной дроби (периодической или непериодической).
В XVIII в. Л. Эйлер (1707—1783) и И. Ламберт (1728—1777) пока-
зали, что всякая бесконечная периодическая десятичная дробь
является рациональным числом. Непериодическая бесконечная
десятичная дробь представляет иррациональное число. Построение
действительных чисел на основе бесконечных десятичных дробей
было дано немецким математиком К. Вейерштрассом (1815—1897).
Другие подходы к изложению теории действительного числа были
предложены немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831—1916)
и Г. Кантором (1845—1918).
О квадратных корнях
С давних пор наряду с отысканием площади квадрата по извест-
ной длине его стороны приходилось решать и обратную задачу: «Ка-
кой должна быть сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась а? »
Такую задачу умели решать еще 4 тыс. лет назад вавилонские уче-
ные. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней
из чисел.
Исторические сведения
248
I
Вавилоняне использовали метод приближенного извлечения
квадратного корня, который состоял в следующем. Пусть а — неко-
торое число (имеется в виду натуральное число), не являющееся
полным квадратом. Представим а в виде суммы Ъ2 + с, где с доста-
точно мало по сравнению с fe2. Тогда
Ja = y/b2 + с ~ b
Например, если а = 112, то л/112 = д/102 4-12 ~ 10 + — = 10,6.
Проверка показывает, что 10,62 = 112,36.
Указанный метод извлечения квадратного корня подробно опи-
сан древнегреческим ученым Героном Александрийским (I в. н. э.).
В эпоху Возрождения европейские математики обозначали ко-
рень латинским словом Radix (корень), а затем сокращенно буквой
R (отсюда произошел термин «радикал», которым принято называть
знак корня). Некоторые немецкие математики XV в. для обозначе-
ния квадратного корня пользовались точкой. Эту точку ставили пе-
ред числом, из которого нужно извлечь корень. Позднее вместо точ-
ки стали ставить ромбик ♦, впоследствии знак v и над выражением,
из которого извлекается корень, проводили черту. Затем знак v
и черту стали соединять. Такие записи встречаются в «Геометрии»
Декарта и «Всеобщей арифметике» Ньютона. Современная запись
корня появилась в книге «Руководство алгебры» французского мате-
матика М. Ролля (1652—1719).
О квадратных уравнениях
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квад-
ратных уравнений (х2 ± х = а) умели решать вавилоняне (около
2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствуют найденные клинопис-
ные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды
квадратных уравнений могли решать древнегреческие математики,
сводя их решение к геометрическим построениям. Приемы решения
уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрий-
ский (III в.). В дошедших до нас 6 из 13 книг «Арифметика» со-
держатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как
надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида
ах - b или ах2 = &. Способ решения полных квадратных уравне-
ний Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохра-
нились.
Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду
ах2 + Ьх — с, где а > 0, дал индийский ученый Брахмагупта (VII в.).
В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик
аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ах2 = Ъх,
Исторические сведения
249
ax2 - с, ax2 4- с = Ьх, ах2 + Ьх = с, Ьх + с = ах2 (буквами о, & и с обо-
значены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел
тогда не признавали) и отыскивает только положительные корни.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных
к виду х2 -I- Ьх = с, было сформулировано немецким математиком
М. Штифелем (1487—1567). Выводом формулы решения квадрат-
ных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверж-
дение он высказывал лишь для положительных корней (отри-
цательных чисел он не признавал). После трудов нидерландского
математика А. Жирара (1595—1632), а также Декарта и Нью-
тона способ решения квадратных уравнений принял современ-
ный вид.
Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от
его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591 г. Для квад-
ратного уравнения теорема Виета в современных обозначениях
выглядела так: корнями уравнения (а + Ъ)х — х2 = ab являются числа
а и Ь.
О неравенствах
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства
возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать
различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже
древние греки. Архимед, занимаясь вычислением длины окружно-
сти, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диа-
метру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но
больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал
границы числа л:
Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Нача-
ла» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое
двух положительных чисел не больше их среднего арифметического,
т. е. что верно неравенство Jab ----- . В «Математическом собра-
нии» Паппа Александрийского (III в.) доказывается, что если — > Д-
Ь а
(а, 6, с и d — положительные числа), то ad > Ьс.
Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в
большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современ-
ные знаки неравенств появились лишь в XVII—XVIII вв. Знаки
< и > ввел английский математик Т. Гарриот (1560—1621), знаки
и > — французский математик П. Буге (1698—1758).
I Исторические сведения
250
I
СВЕДЕНИЯ ИЗ КУРСА
АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА
Выражения и их преобразования
1, Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1,
называют произведение п множителей, каждый из которых ра-
вен а:
ап = а • а *... • а.
'-------V----
и раз
Степенью числа а с показателем 1 называют само число а:
а1 = а.
Степень числа а Ф 0 с показателем 0 равна 1:
а0 = 1.
2. Свойства степеней с натуральными показателями:
а) ат-ап = ат + п.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основа-
ние оставляют прежним, а показатели складывают.
б) ат : ап = ат~ п, где а #= О, т п.
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание
оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают
показатель степени делителя.
в) (ат)п = атп.
При возведении степени в степень основание оставляют преж-
ним, а показатели перемножают.
г) (ab)n = апЬп.
При возведении в степень произведения возводят в эту степень
каждый множитель и результаты перемножают.
Сведения из курса алгебры 7 класса
251
3. Одночленами называют произведения чисел, переменных
и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. На-
пример, 5а2х, -За2Ъ3, 4, х, z/5 — одночлены.
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех
переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена
-8а2&4 равна 6.
4. Многочленом называют сумму одночленов. Например,
Зх5 - 4х2 +1, 7а3Ъ - ab2 + ab + 6 — многочлены. Одночлены счита-
ют многочленами, состоящими из одного члена.
Степенью многочлена стандартного вида называют наиболь-
шую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень
многочлена 5x3z/ + Зх2?/5 + ху равна степени одночлена Зх2?/6, т. е.
равна 7.
Степенью произвольного многочлена называют степень тождест-
венно равного ему многочлена стандартного вида.
5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия
скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно
опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скоб-
ки. Например,
(ЗаЬ + 5с2) + (аЬ - с2) = ЗаЬ 4- 5с2 4- аЪ - с2 = 4аЬ + 4с2.
При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия
скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно
опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скоб-
ки. Например,
(6х2 - у) - (2х2 - Зу) = 6х2 ~ у - 2х2 + Зу = 4х2 4- 7у.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот
одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения
сложить. Например,
а2 (ЗаЬ - 63 4-1) = За3Ь - а2Ъ3 4- а2.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член
одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и
полученные произведения сложить. Например,
(5х - 1)(3х + 2) = 15х2 - Зх + Юх - 2 = 15х2 + 7х - 2.
6. Формулы сокращенного умножения:
а) (а + Ь)2 = а2 + 2аЪ + &2.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выра-
жения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений,
плюс квадрат второго выражения.
Сведения из курса алгебры 7 класса
252
б) (а - b)2 = а2 - 2аЬ 4- Ь2.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого вы-
ражения минус удвоенное произведение первого и второго выраже-
ний, плюс квадрат второго выражения.
в) (а 4- &)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 4- Ь3.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения
плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на вто-
рое плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат
второго плюс куб второго выражения.
г) (а - Ь)3 = а3 - За2Ь 4- ЗаЬ2 - &3.
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения
минус утроенное произведение квадрата первого выражения на вто-
рое плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат
второго минус куб второго выражения.
д) (а - Ь)(а + Ь) = а2 - Ь2.
Произведение разности двух выражений и их суммы равно раз-
ности квадратов этих выражений.
е) а3 4- &3 = (а 4- Ь)(а2 - аЬ + Ь2).
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих
выражений и неполного квадрата их разности.
ж) а3 - 63 = (а - Ь)(а2 4- ab + Ь2).
Разность кубов двух выражений равна произведению разности
этих выражений и неполного квадрата их суммы.
7. Разложением многочлена на множители называют представ-
ление многочлена в виде произведения многочленов.
Для разложения многочленов на множители применяют вынесе-
ние общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращен-
ного умножения. Например, многочлен 5х3 - х2у можно разложить
на множители, вынеся за скобки х2: 5х3 - х2у = х2(5х- «/). Много-
член Зх - Зу - ах 4- ау можно разложить на множители, используя
способ группировки:
Зх - Зу - ах 4- ау = (Зх - Зу) - (ах - ау) =
= 3(х- у)- а(х- у) = (х- у)(3~ а).
Многочлен а4 - 25х2 можно разложить на множители, используя
формулу разности квадратов двух выражений:
а4 - 25х2 = (а2)2 - (5х)2 = (а2 - 5х)(а2 4- 5х).
Иногда многочлен удается разложить на множители, применив
последовательно несколько способов.
Сведения из курса алгебры 7 класса
253
Уравнения
8. Корнем уравнения с одной переменной называют значение
переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.
Например, число 8 — корень уравнения Зх +1 = 5х - 15, так как
верно равенство 3-8 + 1= 5-8-15.
Решить уравнение с одной переменной — значит найти все его
корни или доказать, что корней нет.
9. Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же
корни, называют равносильными. Например, уравнения х2=25
и (х + 5) (х - 5) = 0 равносильны. Каждое из них имеет два корня: —5 и 5.
Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
При решении уравнений с одной переменной используются сле-
дующие свойства:
если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую,
изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то
же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное
данному.
10. Линейным уравнением с одной переменной называют урав-
нение вида ах = &, где х — переменная, а и Ь — числа.
Если а * О, то уравнение ах = Ъ имеет единственный корень —.
л а
2
Например, уравнение 7х = 2 имеет корень —.
Если а = О и Ъ Ф 0, то уравнение ах = & не имеет корней. Напри-
мер, уравнение О - х = 7 не имеет корней.
Если а = О и Ъ = 0, то корнем уравнения ах = Ь является любое
число.
11. Решением уравнения с двумя переменными называют пару
значений переменных, обращающую это уравнение в верное ра-
венство. Например, пара чисел х = -1, у = 4 — решение уравнения
5х + Зу = 7.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же реше-
ния, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными,
не имеющие решений, также считают равносильными.
В уравнении с двумя переменными можно переносить слагае-
мые из одной части в другую, изменяя их знаки, и обе части уравне-
ния можно умножать или делить на одно и то же число, не равное
нулю. При этом получаются уравнения, равносильные исходному.
12. Линейным уравнением с двумя переменными называют
уравнение вида ах + Ьу = с, где х и у — переменные, а, Ь и с — числа.
13. Графиком уравнения с двумя переменными называют мно-
жество точек координатной плоскости, координаты которых явля-
ются решениями этого уравнения.
Сведения из курса алгебры 7 класса
254
Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в кото-
ром хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю,
является прямая.
14. Решением системы уравнений с двумя переменными назы-
вают пару значений переменных, обращающую каждое уравнение
системы в верное равенство. Например, пара чисел х = 7, у = -1 —
(х 4- у = 6,
решение системы < так как является верным каждое из
I 2х у = 16,
равенств 7 4- (-1) = 6 и 2 • 7 - (-1) =15.
Решить систему уравнений — значит найти все ее решения или
доказать, что решений нет.
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те
же решения, называют равносильными. Системы, не имеющие ре-
шений, также считают равносильными.
15. Для решения систем линейных уравнений с двумя перемен-
ными используются способ подстановки, способ сложения, графиче-
ский способ.
Функции
16. Функциональная зависимость, или функция, — это такая
зависимость между двумя переменными, при которой каждому зна-
чению независимой переменной соответствует единственное значе-
ние зависимой переменной.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о за-
висимой переменной говорят, что она является функцией этого аргу-
мента. Все значения, которые принимает независимая переменная,
образуют область определения функции.
Графиком функции называют множество всех точек координат-
ной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ор-
динаты — соответствующим значениям функции.
17. Линейной функцией называют функцию, которую можно
задать формулой вида у = kx 4- b, где х — независимая переменная,
k и Ь — числа.
Графиком линейной функции у = kx 4- Ъ является прямая. Чис-
ло k называют угловым коэффициентом прямой, являющейся гра-
фиком функции у = kx 4- b.
Если k Ф 0, то график функции у = kx + b пересекает ось х; если
О и Ь Ф 0, то прямая — график функции у = kx + &, параллельна
оси х; если k = 0 и b = 0, то график функции совпадает с осью х.
Графики двух линейных функций пересекаются, если их угло-
вые коэффициенты различны, и параллельны, если их угловые ко-
эффициенты одинаковы.
Сведения из курса алгебры 7 класса
255
Линейную функцию, задаваемую формулой у = kx при k Ф О, на-
зывают прямой пропорциональностью.
График прямой пропорциональности есть прямая, проходящая
через начало координат. При k > 0 график расположен в первой
и третьей координатных четвертях, а при k < 0 — во второй и чет-
вертой координатных четвертях.
18. График функции у = х2 — парабола. Этот график проходит
через начало координат и расположен в первой и второй координат-
ных четвертях. Он симметричен относительно оси у.
График функции у = х* проходит через начало координат и рас-
положен в первой и третьей координатных четвертях. Он симметри-
чен относительно начала координат.
Статистические характеристики
Средним арифметическим ряда чисел называют частное от деле-
ния суммы этих чисел на число слагаемых.
Модой ряда чисел называют число, которое встречается в дан-
ном ряду чаще других.
Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды со-
всем.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом чле-
нов называют число, записанное посередине, а медианой упорядо-
ченного ряда чисел с четным числом членов называют среднее ариф-
метическое двух чисел, записанных посередине.
Например, медиана ряда чисел
17, 21, 27, 29, 32, 37, 41
равна 29, а медиана ряда чисел
28, 43, 54, 56, 58, 62
равна 55.
Медианой произвольного ряда чисел называют медиану соответ-
ствующего упорядоченного ряда.
Размахом ряда чисел называют разность между наибольшим
и наименьшим из этих чисел.
Сведения из курса алгебры 7 класса
256
предметный указатель
Абсолютная погрешность 165
Внесение множителя под знак
корня 92
Выборка 218
Вынесение множителя за знак кор-
ня 92
Выражение дробное 3
— рациональное 3
— целое 3
Генеральная совокупность 218
Гипербола 43
Гистограмма 225
Двойной радикал ЮО
Дискриминант квадратного урав-
нения 118
Дополнительный множитель 9
Допустимые значения перемен-
ных 4
Дробь бесконечная десятичная 60
-------непериодическая 66
-------периодическая 60
— рациональная 4
Интервал 172
Интервальный ряд 216
Корень квадратный 70
----арифметический 70
Ненулевой многочлен 8
Неравенства равносильные 176
Неравенство линейное с одной пе-
ременной 179
Обратная пропорциональность 41
Объединение множеств 170
Основное свойство дроби 8
Относительная погрешность 166
Пересечение множеств 169
Период десятичной дроби 60
Подкоренное выражение 70
Подмножество 58
Полигон 223
Полуинтервал 172
Пустое множество 169
Порядок числа 212
Решение неравенства 176
— системы неравенств 185
Среднее арифметическое 153
— гармоническое 36
— геометрическое 153
Стандартный вид числа 212
Степень с целым показателем 204
Теорема Виета 127
----обратная 128
Тождество 8
Уравнение дробное рациональное
132
— квадратное 111
----неполное 112
----приведенное 111
— с параметром 141
— целое 132
Формула корней квадратного урав-
нения 116
Формула среднего гармоническо-
го 36
Число действительное 65
— иррациональное 66
— рациональное 58
Числовой луч 172
— отрезок 172
— промежуток 172
Предметный указатель
257
ОТВЕТЫ
Глава 1
4. а) -10; б) 2,5. 8. t - —-—; а) 2,5 ч; б) 2 ч. 12. д) Все числа, кроме 6 и -6;
4- v2
е) все числа, кроме 0 и -7. 18. а) При а = 0; б) при а = 3. 19. При Ь = 0;
б) при Ь = 2. 25. а) б)-А-; в)^-; г) 2m; е)|. 27. а) 1;
а2 2х*и 2 Зе 3
о пп . а + 46 36 - 4с .2 . 5х .1 . „ ОЛ . у - 4 5
б) 3. 29. а) ; б) ———; в) -; г) —; д) е) Зх. 30. а) ; б)-—
2аЬ 2Ь 3 6а 3 х + За
в)^А; г)-Д-; д)А_|; e)^i|. 31.a)A_; 6)a2 + ab + bz. 32. a) 100;
7c d-3 a - 5 у -3 а + b
б) 1,5. 33. a) AzA; 6) в) г) —А—7. 34. a) Зх - у; 6) -A—;
x z/ + 8 a -1 bz - 2b+ 4 2b-1
в) A_; г)1-а + а2. 35. a) ; б) -A-; в) ^-A; r) . 39. a) -1; 6) 1;
x-2 7 b-d xiy a-x
в) & - а; r)
. 8a + 8b
; ж) —----
з)Ь-2. 41. a)AA; б) АД 42. a) x2; б)-/; в)-ft6; rj^+c2. 43. a)
b 5 8
6) 0,01. 44. a) 4а- 46; б) 9c + 27d; в) 9x + 1-^; г) %Х~У • 50. a) -3,2;
5 50x 4~ 25y
6) 0,1; в) 12; r) -0,5; д) 5. 56. a) 27 ~13*; 6) 15p 2 ; в) ^A; r) 2p~llg;
x Зр* у op
Д)--;е)А. 59. a) 16,25; 6) 6. 61. a) АЦ; б) A±A в) 2; г)-5; д)а-4;
c b у - 1 с - 3
е)х-3у. 62. а) А£_; б) 5; в) 1; г)-1; д) —Ц-; е) у + 1. 64. а) А±А
р-q а + 3 х-5
65. а)
Зу2 - 4Ь2
68. При п — 1, 2, 3, 6. 70. а) 7; б) 3; в) 1; г) -20.
8 - а
74. б) А ; Г)
'15 ' 1206р
__ . 41а + 136 9х + 16 „а . 4а2 - ЗаЬ - 3d2
75. а) ——-------; б) ——-----. 76. д)
36а 24i/
а2Ь2
х2-ху-2у2 т ч2х2-3 ЛЧ2&-1 ч5а2-6 .Ь2х-2Ь
—•77-a)~i2^;6Wi 15»-; гу~ы~
78. в) 0; г) i.
Ответы
258
79. а) б)^-^;в)-
yz ЗаЬ
х Ь2+с2 ч2а + ЗЬ+3
з)------.81. в)
2Ь
. аЬ-b2 оо ч
е)-----. 83. а)
4
2+q2 .Зт2-2п2 йп . Ь .
ТЗ 1 Г> д 2 2 ' 80- Д> е>
paqa 6т£п2 а
. Ь2 + 55- 1 о„ . а-6
г)----------. 82. в)----
b 6
6т2п2
—; ж)------
2р 2а
41а - 5 . 5Ь - За
б)
84. д)
а2 -
г) 23Ь—. 88. а)
48а - 144
8а
9р
;б)
12
ог» ч рх-Зр 8ах + 2аи
8в' a Д~2-- О’ б)“2-------%~2’ 1
6х^ - х - 2 х£ - ху - 2у2
2у -Ь ол ч 1 _ 1 „ ч х2 - 6х
---.89. а) —; б)—-.90. д) —
и--аЬ аЬ х - 3
91. а)----—------; б)--------------
(а-5)(5+8) (2у + 3)(3х - 2)
-х Ь — 5а
б) 7—=~2‘у
ab + 5аг
х — 4а
92. а)
г) 0. 95. а)
97. а)----
A.
15’ 27’
36
; б)
юз.г = -^-;
и2 - 25
8а2
111. в)—;
т
114. а)
4Ь
м m2
б) —7
; б)-^-
а* - а
. . 94. а) 6,а + 8 ; б)
а2 + 10ai/ а3 - 4а
1 Q -v.2 1 ,,
а — 10у
96. а)
2 ’
. 93. а)
15
11а
ЗОх - 60
2
а2 - 1
2-Ь
7;
J а — 6
2х - 4
-2^5 в) 2
х2 - 16
2(х-у)2’ Г'b(b-af
98. а)-А-; б) |
1 а - 4Ь Ь
10 мин; б) 5 ч 20 мин. 104. t = 6 ч 40 мин
v(v - 2)
113. в)
Зп
на \ 4а4Ь2 ,
’ В 9т2п6 ’
) 2g2& + 6afe2.121. а) —
а - ЗЬ аху
^i/2-lh/ + 30
112. в)---
15ху
п3
115, в) —-—?
r 1000m3
10а2х
9Ьу2
81а6
4Ь4 ’
ЗаЬ
27хв
о, ,9
... ч 1000m6 ч Ь6с4
SV~;r)64^'118-
6)4. 122. a)^;6)—*
х 6х а + Ъ
. 1 2
14. 120. в)
123. в)
6 4
.2а- 2Ь Ьх - 5Ь а- 4Ь .ол чо О1
—, —. 125. а) —z------; б)--------. 129.------. 130. а) 3 ч; б) 2 ч 31 мин
9 21 от + ао ах + 5а а — Ъ
131. а) х =
---; б) х =
3
2Ь а; в) х = ab-a; г) х = 105- 10а. 134. в)
3mpd
. 450х3
г) —
аЬ
. 6а- 35
ж) —-т---
136. .) |£; 6)
- ' 1Ж-
9 . а
im;
137. в)
z 44
; б) 139. Г) -
. 140. а) —
-1; б) 0,42. 142. а)
2ар -6а , . ab
б) ---<.... . 143, а) с =---
б) Ь=
144. а) 2 ; б) -
25-3 ас-За2
145. 2 км/ч. 148. а) б) —л
у т1
+ Ъ?
ь2
Ответы
259
г) О. 149. а) б) В) -а; г) х. 150. а) б) —151. а) 6;
2х - 1 у +1 2т + 1 х - 3
б) 10. 152. a) б) в) г) 2а + ^У . 153. а) |±"; б) 1,5х;
9 — а 4х£ —1 а ах — За 1 - а
а
в)
; г) у - 5.154. a) 1; б) а; в) х2 + 1; г) —т. 155. а) 2х2+ 2ху;
156.а)—;б)—-—. 157.Приа=1; 36. 158. При 5=0; 1. 163. в) —21 ;
1-х 4а + 8 2 У2
\л чх-1 -1 чх34-г/3 xab+bc + ac Х2х-а ^а-Ъ+Зс
г) 4. 164. а)--; б) 1; в) • % ; г)---. 165. а) --; б)-------;
х + 1 х-уй а 4- д 4- с 2х + а а + Ь- с
в)-+—; г)А. 166. а) &)-. 167. а)-; 6)а + Ъ. 168. а) 3; б)-1.
у — х х + у b£ b х
170. а) 3,75; б)3у; в) 9,6. 171. 72 км/ч. 172.4,8 ч. 173. «10,2 км/ч.
175. &)у = Зх + 4; б) у = х. 177.12 см и 32 см. 178. Через 4 ч. 190. а) у= — ;
2 х
б) у = в) у = —. 195. —-—. 197. а ~ 6, b = 12. 200. При а, равном -1, 1,
х х х + 7
3, 5. 201. а) —2; 2; б) -9; -8; О; 1. 205. а = 8 и Ъ = 56; а = 14 и Ъ = 14; а = 56
и & = 8. 206. 30. 207. 7 —. 209. v = 60(10 **; 45 км/ч; 80 км/ч. 210. д) Все
л — с
числа, кроме —3 и 3; е) все числа. 214. а)----
2-- . 215. а)
5а + 35
—б) 2х у. 216. а)
б)
2
ху - г2 ’
У
г) 1-аЪ. 218. а) —; б) 1-; в) 45; г) -. 223. а) При п =
1, 2, 3, 6; б) при п = 3
4, 6, 12; в) при п = 1, 2, 3. 224. а) 6; б) 4; в) 0,2;
(х2 -
4р2_____.
,2\2 ’
229. а) —
. 6а2 + 3
Д)—з—Г
аА - 1
20 oqi . 2у + 30 ,, 8 ч 2т +1
: 6,IS7^' 231-а)Т^Г; Я)й„.-Г
2*~2!/ 233. а)—\ “
xz 4- хи 4-и аЪс
; б) 1. 235. а) При а = -6;
б) при а = 5; в) при а = 6; г) при а = 7. 237. а) При п — ±1, ± 3; б) при
п = ±1, ±3; ±9; в)прип=-8, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 4. 238. а) а = 2, Ъ = 3;
б) а = 8, 5 = 3.239. a) б) 243. а)-^; б)-ху; в) ° ;
(а - ЬУ (х + ЬУ а-b (2а - ЬУ
,(с+2У о. . ч 2 2 0^0 Ч X- 2 а3 4- X3 ч X 4- 1 ч , -
7--^2 • 244- а) х ~ У ; б) 248> а>--; б) “1-з ; в) й-Г) х + 1.
(с - 2У у - z а6 - хА 2x4-1
250. ~68,6 км/ч. 251. —9,4 ч.
Ответы
260
Глава II
267. в) 0,(142857); г) -2,(2); д) -0,5(3); и) -1,075(0). 272. а) -Ц-;б) - 1
а + Ъ (х + 1г
288. а) 3,2; б) 3,11; в) 3,115. 289. а) 16,6; б) 16,56. 290. 28,26 см.
291. 314 м2. 294. —. 304. д) 10; е) 6,2. 305. д) -0,01; е) 0,09; ж) -0,7; з) 3.
ь
308. а) Точка А; б) точка В. 314. а) При х = 9,2; б) при х = 13,5; в) при
х = 1,5. 322. г) -0,7 и 0,7; д) -V40 и V40; е) корней нет. 323. а) Корней
нет; б) -0,3 и 0,3; в) —ТбО и л/бО; г) корней нет; д) 0, ->/з и л/З; е) 0, -V1T
и V11. 324. а)-2 и 8; б)-7 и -1; b)6-V7 и 6 + V7; г)-2-л/б и -2 + л/б.
330. а) 1,29; б) 19; в) 42; г) -17. 331. а) 9; б) 28; в) 18; г) 56. 332. а) -12;
б) -45; в) 0; г) 2. 334. а) -3; б) 3. 337. Тб = 2,44.... 341. 4,2 см. 342. а) 7(а + Ь)с;
6) Тб + а. 344. а) 10,12; б) 6,17; в) 7,04; г) 0,95; д) 4,08; е) 14,88. 348. а) -5,48
и 5,48; б) -1,20 и 1,20; в) -0,46 и 6,46; г) -3,83 и 1,83. 349. а) -0,3; б) 6,6;
в) 6,6; г) 9. 351. а) —-2а; б) 2у ~ Зх . 366. а) 8,2; б) 36; в) 12; г) -5.
5 + 2а 2у + Зх
372. а) 12; 6)0,0033; в) 1—; г)3-. 373. а) 9; 6)0,24; в)—; г)1-.
27 2 15 8
374. а) 180; 6) 50; в) 48; г) 28; д) 30; е) 6; ж) 24; з) 2,6. 375. а) 60; 6) 60;
в) 42; г) 32. 376. д) 12; е) 12. 377. д) 6; е) 383. д) 4,5; е) 3,1; ж) 0,22;
з) 0,58. 384. в) 0,27; г) 3,9. 385. ж) 15; з) 2. 392. а) 130; 6) 7. 396. в) Зе;
г) -5у; д) -6х; е) Зу; ж) -10х; з) -2а. 401. ж) 45; з) 392. 402. д) 48; е) 1125;
ж) 112; з) 675. 403. а) 144; 6) 225; в) 168; г) 825. 404. а) 48; 6) 135; в) 504.
2 + х
418.-----. 419. В первый день переплели 36 книг, во второй — 48 книг,
в третий — 60 книг. 420. а) -2,5; 6) -7,2. 421. 6) 7 72; в) 342; г) 73; д) 242.
422. д) -372; е) зТ2. 424. в) 6; е) 42 - вТб. 425. а) 14; 6) 8. 426. д) 6; е) -19;
ж) 38; з) 2. 429. в)---—; е)-----i----. 430. д) . е) . 440. 20.
4х + 2 2-Гх + 3-jy 42 &
441. а)-1; 6)8-. 444. а) Тб+ 1; 6)41-2. 445. а) 3; 6)5. 446. а)Тб4+1;
8
6) Тб5 - 721. 447. а) 710; 6) 4. 449. 6) 450. 1. 452. а) -42; 6) 1.
453. а)^а-1 + 1; 6)2. 460. в)0,(846153); г)0,(037); д)0,0(571428); е)-0,3(18);
ж) 0,7(6); з)0,2(18). 463. г)1;д)10,22. 465.6) А; д) 40,5. 466. 49. 471. а) При
8 3
х > О; б) при х > 0; в) при х > 0, кроме х = 1. 476. в) 9,1; г) 1,08.
477. а) 8,5; 6) -^;в) 1^;г) ^.478. а) 45; 6) 0,9; в) 100; г) 0,04. 481. г) 3,2;
9о 2У loo
Ответы
261
д) 8,1; е) 0,001; ж)-64; з) 0,025. 487. г)-0,5ру3; е)^=-; ж)^|; з)-£-.
Ь5 у3 За
490. а) |а|Т15; б) 21х2л/3; в) 0,5хл/бх; г) За2-Та; д)За|а|>/2&; е)-4т343а.
493. б) х + -/ху; г) т4п — п4т; е) За - -Jab — 2b; з) 6х - 5x42. 494. в) т4т — п4п;
г) JC3 + у/у. 497. в) 2; г) 31. 501. 2. 502. a) х + 4ху + у; б)------±_____;
4 а - у/ab + b
в) 42 - Vx; г) /_1 = . 503. а) 42; б) Д; в) Д; г) Д; д) 43; е) 410 - 43 - 1.
4а + V3 42 42 42
х-у
б)
27 - а4а
9 - а
в)
г)
cftbjb - 8
а2Ь- 4
506. а)
лч ч 49-а у, тп-1 .2+V2-V6
б) —f=--; в)-----г; г)--==—. 507. а)--------; б)
azylb-ab 343 + ava mnvmn-1 4
У5-Зл/з+2У15+4
22
508. При х = 0. 509. а) -410; б) 5415; в) 43; г) З.бТб. 510. а) --; б) 4аЪ(а - 6).
Глава III
X
518. а) 0; -1,5; б)-|>/б; |>/б; в) 0; ±; г) 0; 1; д) е)-43;4з.
О О о 2 2 2
521. а) 0; 2; б) -1; 1; в) 0; А; г) 0. 522. а) 0; 1; б) -±4б; |л/б; в) -±42; ±42;
4 Ci и Li и
525. 40 м и 20 м. 526. 12 см. 527. ~ 2,5 ч. 528. * 4 с. 529. 280 м. 530. 20
и 15 дюймов; ~ 50,8 см и ~ 38,1 см. Указание. Обозначьте стороны пря-
моугольника через 4х и Зх. 532. 3,96; 59. 534. а) 1; 1 —; б) 0,6; 1; в) 2; 2 — ;
3’
о 114— J9Q
г) 2; 2,5; д) 0,2; 1; е) -3; 2^; ж) -2; 12; з) -10; 9. 535. а) ±;б) -
4 7 2 2
3+729
2
в) корней нет; г) —; д) —8; 19; е) корней нет. 536. а) 0,2; 2;
б)-6; 2,5; в)1|; г)-|; ±; д)
о 5 7
А _ 7 - Til
х = 6; б) при х =-----и х =
1-441 1+441
4 ’ 4
; е) —. 537. а) При х = 5 и
------; в) при х = 0 и х = 3; г) при х = -1 и
х = 1. 538. а) При х = 2 и х = 9; б) при х = 0,5 и х = 2. 539. а) 2; 2 — ;
б) 0,2; 3; в) -10; 8; г) -1; 23; д) 3,5; 5,5; е) -1; 2^-; ж) --
15 7 7
з)5-5>/2; 5 + 5>/2; 540. а) 1|; б) -1|; в)-|; г)-6; 14; д)-3-2>/7;
2 4 2 о 2
Ответы
262
-3 + 2л/7; е) -6; 0,8; ж) 17; з) -б|; -4. 541. а) 3; б) 1; 1|; в) -1; -0,8;
О А о
г) i; д) корней нет; е) -11; 2; ж) 4; 8; з) 0,7; 0,9. 542. а) -0,2; 2; б) -7; 2;
6
в)3-Зл/2; Зч-Зл/2; г)-4; 5; д) 16; 36; е)-1;2^; ж)|; з) -11; 1.
15 5 4
543. а) 1; 25; б) -10; 1; в) -8; 12; г) 1; 3; д) 20- 10-J5; 20+10^5; е) корней
3 ___ 3
нет. 544. а)-0,2; 1,7; б) 7 ~ —; 7 + в) 5-Тб; 5+Тб; г)-4; 0,5.
6 6
545. а) -8; 3; б) 1|; 4; в) -91; 87; г) -59; 53. 546. а) -2-; -2; б) —; в) 0; 2;
4 3 15
г)-2; 3. 547. а)-1; 23; б) 2; 2~; в) 1; г)-5;-3. 548. a) jq ~-0,36,
х2 ~ 0,56; б) хх * -2,78, х2 ® -0,72; в) уг « -1,26, у2 « 1,59; г) уг « -9,20,
у2 » 1,20. 550. а) 1,35, х2~ 6,65; б) уг ~ 0,78, у2 ~ 3,22. 551. а) -1; 2^;
б) -7; 5; в) -0,2; 1,8; г) корней нет; д) 25; е) -9; 3. 552. а) 7; б) 0,6; 2;
3 1
в) —-; 2 — . 555. а) Не существует; б) не существует; в) а — любое число.
4 2
556. 7,5. 557. а) Тз + Т2; б) 2 + зТб. 560. 32 см. 561. 140 м. 563. 8 см, 15 см.
564. 11 и 12. 565. 30 см. 566. 5 см или 8 см. 567. 15 см. 568. 26 рядов.
569. 16 или 48 обезьян. 570. 50 обезьян. 571. В десятиугольнике. 572. 9 ко-
манд. 573. 10 участников. 574. 10 см. 575. 16, 17, 18 или -18, -17, -16.
576. б) 577.1. 578. а) 0; 6; б)-1-;0. 585.-5; р = -2. 586.0,5;
3-х 4
q = 6,25. 587. 0,6; 6= -43. 588. -2; с = -106. 589. 35. 590. -8,75. 592. -28.
596. а) 0; ——; б) —
3 3 3
в) -6; 0,8; г) -2; —; д) при любом х; е) -1 ; .
597. 9,6 мг. 598. 90 см. 599. 16 см и 30 см. 600. г) 1; д) -27; -1; е) -0,2;
ж) -0,5; 1; з) 1; и) 0; 1. 601. а) -12,5; б) 3; 4; в) 6; г) -1; 3,5; д) -2; 11;
е) 0; -8; ж) 1; 1,5; з) 0; 1,5. 602. в) г) 1; 10; д) -1; 1; е) 1; 2; ж) -з1; 1;
11 4
605. а) 6; б) -3; -; в) корней нет; г) 5; д) -6; 6; е) -4; 4. 606. а) 2; б) 1;
в)-11; г) 6. 607. а)-3; б) -1|;0; в) 3; г)-3; 3; д)9; 13; е)1-; 2-. 608. а) 1; 7;
3_________________________ __ 3 3
«М /77 1. /П .5-717 5+Т17 . 1 , „ -1-Тб -1+V5
б)1-Т14; 1+714; в)--------; ------; г)--; 1. 609. б)---;-------;
4 4 V 4W £
в) 7 10 ; ~ +10 • 610‘ а) & б) -3; 3‘ 615-а>^; 617-|-
618. 60 км/ч и 40 км/ч. 619. 12 км/ч и 10 км/ч. 620. 80 км/ч и 70 км/ч.
Ответы
263
621. 80 км/ч. 622. 30 ц с гектара. 623. 20 р. 624. 220 акций. 625. 7 человек.
626. 12 человек. 627. 6 км/ч или 5 км/ч. 628. 2,5 км/ч. 629. 2 км/ч.
630. 500 г. 631. 60 г. 632. 15 ч и 10 ч. 633. 7 ч. 634. 10 км/ч. 635. 50 км/ч.
637. а) 0,1; б) 3,5. 638. 16. 642. При а = 2 х — любое число; при а #= 2
х = а2-9. 643. ~ при b < 2; 1 при Ь=2; корней нет при Ъ >2.
2
644. а) 4а и а при а 0; 0 при а = 0; б) За и — при а Ф 0; 0 при а = 0.
3
645. а) 6 и -6; б) 20 и -20; в) 0 и 9; г) 0 и -i. 646. 5 при а = 1. 647. -1 при
8
а = 1; -1 и при а # 1. 648. 2k - 2, 2k + 3. 649. 6= 4. 650. a) 0; 1; б) 0; 6,8;
1- а
в)-1,2; 1,2; г) 0. 654. a) -1; Ц; б)-8; 7; в)-7; 8; г) 1,6; 2; д)-з|;3;
е)-1;4|; ж)-5|;2; з)±^; 1^. 655. а)-1,2; 0,2; б)-4|;-1|;
2 3 3 2
в) 2 — ; 4; г)-2 — ; -1; д) --; е)-1; 1; ж)-2,5; 2,5; з) при любом х.
3 11 5 5
660. 10, 11, 12, 13, 14 или -2, -1, 0, 1, 2. 661.-2, 0, 2 или 6, 8, 10.
662. 7 и 8. 663. 4 см и 10 см. 664. 1 см. 665. 0,25 м. 666. 60 или 40 писто-
лей. 667. 0,36 м3 или 0,81 м3. 668. 54 см и 36 см. 669. 18 и 17. 670. 13 и 11.
671. а) 2 <2; 3<2; б) -6л/з; 4>/з; в) 3 - V2; 3 + V2; г) 5 - 3V2; 5 + 3^2.678. b = ±12.
679. 21 или -21. 680. с = 3,12. 681. Ь = -2, с = 0. 682. Ь = 1, с = -2. 684. 36.
685. 42 или -42. 688. а) х2 + Зрх 4- 9q = 0; б) х2 + (р - 4)х + (q - 2р 4- 4) = 0.
689.<7X2-(p-2g)x + g = 0. 690. а) И; 13; б)-14; 5; в)-3; 7; г)-5; 4--,
___________________________________________________________ 3
\ -1 о \ •* \ К О \ ° \ >/77 5 4" ^77
д) 12; е) корней нет; ж) -5; 3; з) корней нет. 695. а)-----; --------;
4 4
б) -1,5; 1; в) корней нет; г) 9; д) 0; е) -i; ж) 2- л/35; 2 4- V35; з) 0; -1,5.
о
696. а) |; 1; б) 0,4; 0,5. 698. 10 ч. 699. 9 ч. 700. 50 км/ч. 701. 60 км/ч.
702. 2 км/ч. 703. 3 км/ч. 704. 3 км/ч. 705. 2,4 км/ч или 3 км/ч. 706. 3 км/ч.
707. 50 км/ч. 708. 40 км/ч. 709. 4 ч 40 мин. 710. 160 км или 200 км.
711. 450 км. 712. 18 км/ч. 713. 48 км/ч или 9 км/ч. 714. 60 см и 80 см.
715. 10 костюмов. 716. 32 пылесоса. 717. 24 кг и 36 кг. 718. 25 кг или
12 кг. 719. 15 дней и 10 дней. 720. 15 дней и 10 дней. 721. 12 ч. 722. 25 ч
и 20 ч. 723. 15 мин и 10 мин.
Глава IV
739. Указание. Сравните квадраты левой и правой частей неравенства.
742. Коля. 743. 3 —.744. а) ^;б) 1. 745. а) 1; 5; б) 0,3; 2. 763. —; 22; 0.
15 7 16
764. а) -1; 1; б) 2; в) -6; 3; г) -1; 5. 779. 6 х 6 дм. 780. -. 783. а) 0,13; б) 4;
Ответы
264
в) 0,047; г) 0,002. 787. 407,4 С о 432,6. 792. ~ 1%. 798. q = -48. 803. а) От-
2
резок СВ; б) отрезок AD. 807. а) Множество В; б) множество А. 810. —3; —.
811. 12 ц и 10 ц. 823. а) -9; б) 16; в) 31; г) 7. 825. а) (5; 8); б) [-4; 4];
в) (7; +оо); г) (-оо; 6). 829. а) Д-; б) —831. 40 км/ч; 45 км/ч. 832. -.
х2 2а4 4
836. а) (5; +оо); б) (4; +оо); в) (-оо; -1]; г) (-оо; 3]; д) (-оо; 0,15); е) +оо
ж) (—оо; -0,25); з) (-оо; 0]; и) (-8; +оо); к) (0; +оо); л) (18; +оо); м) (7; +оо).
837. а) (-оо; 8,5);
б) [-0,6; +оо);
в) (4; +оо); г) (7,5; +оо);
д)Г1|; +оо);
\ О /
е) (1,8; +оо); ж) -со;
з) (-оо; -2,4]; и) (-оо;
12); к) (0; +оо); л) [-30; +оо);
м) [-20; +оо). 840. а) (-оо; 0,4); б) (-оо; -0,4); в) [-5; +оо);
д) (-1,4; +оо); е) (-оо; -1]; ж) (-оо; 12,6]; з) [-13; +оо). 841. а) (-оо; 1);
б) (-оо; 2); в) [6; +оо); г) (-оо; 11; д) (-оо; 0); е) (-оо; 9); ж) (-13; +оо);
v 47
з)
. 842. а) При х
—; б) при у > 7; в) при с < -25. 843. а) При
2
а < 2,5; б) при р
5.844. а)
—оо
;б) (9; +оо); в) (-оо; -3,1]; г) (-оо; 0,8];
д)
—оо; 1— ; е) (-оо; 22,5); ж) (—оо; 2]. 845. б) [0; +оо); в) (1; +оо); г) 2 — ; +оо
47 3
д) (-оо; 4,7]; е) [4,8; +оо). 846. а) (6; +оо); б) (0; +оо); в) (-со; -5]; г)(-3;+оо).
847. а) (-оо; 2); б) (2; +оо);
в) (-0,4; +оо);
-оо; — 848. а)
15 I
—оо; 14— I;
3J
б)
8’
; 14]; г) (-17; +оо). 849. а) (2,5; +оо); б) (-оо; 6); в) [0; +оо);
—оо:
3
д) [14; +оо); е) (-оо; 20,5). 851. а) При у < 3;б) при
У > 75 в) при у >
3
17
; г) при у < 0,1. 852. а) (-оо; 6); б)
1|; +оо\в)(-оо; 12);
г)(2;+оо); д) -1^; +оо ]; е) (0; +оо). 853. а) (-со; 0,2); б)(-оо;0,5]; в)(-оо;40];
г) (-оо; -10]. 854. б)
2
—оо; —
13
в) [1,5; +оо); г) (-оо; 3,5]; д) (-оо; -10); е) (9; +оо).
855. a) f —оо; — |;б) [-5; +оо); в) (-оо; -0,6]; г) f -со; -3—1.856. а) При а > 0,7;
\ 6 7 16 7
Ответы
9АА
б) при b < 3. 857. а) х — любое число; б), в), г) решений нет. 859. а) При
2 1
х > 2; б) при а < —; в) при а > —; г) при а 1,4; д) при х 0,2; е) при х 6.
860. а) (-оо; -8) U (-8; 0,5]. 861. а) 3; б) 24. 862. а) 1; 2; 3; 4; б) 1; 2.
863. (-оо; -5,2). 864.
4 U (4; +оо). 865. Меньше 2 см. 866. Меньше
12,15 дм. 867. 7 книг. 868. 755 р. 869. Не более 26- км. 870. 3. 871. а) 1; 4;
б) 0; 1. 873. 12 км/ч. 877. а) (6; +оо); б) (-оо; -1); в) 0; 3— ; г) решений
зг
нет. 878. а) (0,8; +оо); б) [2; 4]; в)
f; г) (0,1; 0,2). 879. а) [2; 2,5];
О о)
4
-оо; — . 880. а) (-12; 2]; б) решений нет;
-3). 881. а) (-1; 0,8); б) (-оо; -1,5]; в)
882. а) (-оо; 2,4); б) решений нет; в) —8; 1— ; г) [1,5; +оо). 883. а) (-оо; 1];
3 )’
б)
U (2; +оо). 885. а) (3; +оо); б) (-оо; -3); в) [-11; 3]; г) решений нет.
886. а) Г2; Зу); б) (0,1; +со); в) (-0,24; +оо); г) (-оо; -1,8). 887. а) -4, -3, -2,
-1, 0, 1, 2, 3; б) 2, 3, 4, 5, 6; в) -1, 0, 1, 2, 3; г) -2, -1, 0. 888. а) 0, 1, 2, 3;
б) 4, 5, 6, 7; в) 1; г) 1. 889. а) (-оо; 2,8); б) решений нет. 890. а) (-оо; 6);
б) (1; 15); в) [0,6; 5]; г) (2; 16]. 891. а)
13’
; 9 ; б) (-2; -1); в) решений нет;
2
г) — ;2 .892. а) (-1; 2); б) (-12; 17); в) (0,5; 2); г) (-1; 3). 893. а)
2
3
2 . 894. а) [-1; 2); б) [3; 9]; в) (-0,7; 1,1);
3
897.5<-1—. 899.а)(-оо; 2); б) (1; 4). 900. а) (1; 7); б) (1; 3). 901. а) х^0,48;
3
б) х > 2,2; в) х ф —.902. 1, 2, 3, 4, 6, 12. 904. 10 км/ч и 15 км/ч. 907. Ука-
3
з а н и е. Можно воспользоваться соотношением между средним арифметиче-
ским и средним геометрическим двух положительных чисел. 910. Указа-
ние. Сравните квадраты левой и правой частей неравенства. 912. Указа-
ние. Воспользуйтесь соотношениями вида ^4х + 1 ^4x4-1+ 4х2 = 12х + 1|.
913. Указание. Можно воспользоваться тем, что Va 4- 1 - Va- 1 > Va + 1 -
Ответы
266
— 4а при а > 1. 914. Не успел. 922. Смирнов. 930. а) -6 < а + 2Ь < —3; б) —11,5 <
-9. 931. 5,2 <
— <5,25.932. 4,8 <
« 4,9. 940. а) (-оо; -60);
&
б) (4,8; +оо); в) (0,56; +оо);
—оо: —
16
; д) (-оо;
941. а) (-оо; -115); 6) (0,2; +оо); в) (-оо; 15); г) (-оо; 1,4). 942. а) (-оо; 0,325);
б) (-1; +оо). 943. а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 3, 4, 5. 944. а) Таких значений нет;
б) при любом значении х. 945. а) (—оо; +оо); б) (-оо; +оо). 946. а) При а > 0;
б) при а > 2; в) при а > -3; г) при а > -7. 947. а) При b < 0; б) при Ь < -4;
в) при Ь < -3; г) при Ъ < -0,2. 948. а) При тп > 8; б) при т < 2; в) при /п -6;
г) при т < 3,5. 950. а) Не более 5. 951. Более 6 км/ч. 952. Более 18 км/ч.
954. а)
+оо ; б) (0,1; 5); в) решений нет; г) (0,8;
4-оо); д) (-оо; -0,2);
е)( 1-^-; +оо\ 955. а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; б)-10; в) 1; г) 2, 3, 4, 5.
956. а) (-3; 6); б) (1,5; 2,5). 957. а) При 1,5 < х < 4,5; б) при 5 < х < 15.
958. а) | 0; i ]; б) положительных решений нет. 959. а) (-1; 0); б) (-5; 0).
960. а > 3,5. 961. -3 < Ъ < 5. 962. Более 10 км, но менее 16-i км. 963. Более
4
60 км/ч, но не более 90 км/ч.
Глава V
970. г) д) -39-^; е) 977. а) |; б) -А; в) г) А; д) 6; е) 125.
04 1о 25 2 Io Io Io
пол .1-а2Ь2 х 2х2у2 - Зху - 2 ч 1 а 4- b поо чЛ
980. в)----—; г)------*------2---. 981. а) —; б) ----------. 982. а) (2; 4-оо);
ab ху ab (гЪ (Ъ - а)
б) (-оо; 2). 983. При п = 1 и п = 49. 986. б) 3; г) 25; е) 0,001. 991. а) 64; б)
О
в) 8; г) 4. 993. а) 1; 6)27; в) 1000; г)—; д) 2; е) 1; ж) 81; з) 15 625.
25
994. а) 5; б) 1; в) А; г) 144; д) |; е) -1.995. а) 5; б) |. 998. а) х~2-, б) х5;
в) хп + 7; г) х4 - ". 1000. а) -1; б) 6. 1001. а) 0,224; б) 125. 1005. a) -x4j/7;
3
б) 81аЬ7; в) 15x5i/5; г) — р5д10. 1006. а) — ху11; б) ~а4Ь4; в) 5с3р3; г) 2х~8у9.
4 3 5
1007. а) 4х; б) ЗЬ; в) 4а4Ь2с4; г) -x~2y&z. 1008. а) 27х3р; б) 20а6Ь“2; в) 4a~wb12;
3
r)|x-5jA 1009. n=l. 1010.-4; 2. 1011. а) (-00; 0); б) (0; +оо). 1012.-р
1020. а) 4,55 • 105; б) 2,288 • 102.1024.1,404 • 103 кг. 1025. 1. 1026. При т= 18.
Ответы
267
1027. -3, -2, -1. 1032. ~ 10 акций; 98 акций; 2 акции. 1034. ~ 3; 2. 1039.84.
1040.(0,25; +оо). 1041.-17. 1058.-0,36. 1059. [0,5; 15). 1068. а) а = 51,
Ъ= 256. 1069. а) х§, х0, х£, Xq1, Xq2; б) Xg2, Хд1, х§, х0, х^. 1070. а) Общих
точек нет; б) две точки; в) четыре точки; г) одна точка. 1071. а) Один; б) два;
в) один; г) не имеет корней. 1072. а) -1600; б) —0,08; в) -1000; г) 11; д) 7;
е) 5. 1074. а) б) в) - г) 1075. а) —7;
хуг xz (т - пр хгуг ху + хуг
б) - (а + &). 1081. а) х17; б) а12. 1083. а) 3"; б) 2 п. 1085. п ~ 6. 1087. а) 2,38 • 104;
б) 1,62 • IO'1; в) 3 • 103; г) ~ 8,67 • 1017.
Задачи повышенной трудности
1099. а) ^.+^с±-д2 ; б) - -2а-+ *-. 1100. х = 2, у = 1, г = 3, и = -1, v = -2.
х + а 4а* 4- 2а£ + а
1102. —. 1103. Цифрой 2. 1104. х = 1, у = 2. 1105. |(-3± >/б), -(5+ >/21).
21 2 2
12 5
1106. 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48. 1107. —, —, —. Указание. Докажите, чтосум-
2 3 6
ма этих дробей больше 1, но меньше 3, т. е. равна 2. 1108. -7, -6, -3, 2, 4, 9,
12, 13. 1109. О, 2, 4. 1110. (х2 + х + 1)(х2 - х + 1)(х2 + х>/з + 1)(х2 - хТз + 1).
( О + q
1111. ( I , где р и q — целые числа, причем р * 0, q * 0, |р| Ф 1, |^| Ф 1.
1113. х = 35, у - 34 или х=13, у = 10. 1115. Указание. Возведите обе
части уравнения (х + г/>/2)(х — Ул/2) = 1 в n-ю степень (и g 2V). 1116. При
т = -6. 1117. х, = а - 1, *2 = 0+1. 1118. 5 при а = |(7 ± V17). 1119. р = -16
или р = 16. 1120. При а = 2. 1123. 160 км. 1124. 10 м. 1125. 60 ч.
1126. 10 км. 1127. 72 км. 1128. 4,5 ч или 3,6 ч. 1129. В 1,2 раза. ИЗО. За
12 ч и 15 ч. 1131. За 28 ч и 21 ч. 1132. 41. 1133. хх = 18, *2= 12, л^= 15,
х4 = 10 или х1=—12, х2=-18, Xg=-10, х4=-15. 1134. Через 2ч.
1145. 10 точек.
Ответы
268
'' '^бнИДЫиЬ
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
§ 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА............... 3
1. Рациональные выражения....................... —
2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей... 7
§ 2. СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ....................... 15
3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми
знаменателями................................... —
4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 19
§ 3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ ДРОБЕЙ ................ 25
5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. —
6. Деление дробей.............................. 30
7. Преобразование рациональных выражений....... 33
k
8. Функция у = — и ее график................... 41
х
Для тех, кто хочет знать больше
9. Представление дроби в виде суммы дробей......... 47
Дополнительные упражнения к главе I................ 50
ГЛАВА II. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.......................... 58
10. Рациональные числа.......................... —
11. Иррациональные числа....................... 63
§ 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ.............. 70
12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень —
13. Уравнение х2 = а........................... 73
14. Нахождение приближенных значений квадратного корня 76
15. Функция у = Vx и ее график ................ 80
§ 6. СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ 84
16. Квадратный корень из произведения и дроби ....... —
17. Квадратный корень из степени............... 89
Оглавление
2AQ
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ АРИФМЕТИЧЕСКОГО
КВАДРАТНОГО КОРНЯ .................................... 92
18. Вынесение множителя за знак корня. Внесение
множителя под знак корня....................... —
19. Преобразование выражений, содержащих квадратные
корни............................................. 95
Для тех, кто хочет знать больше
20. Преобразование двойных радикалов.................. 100
Дополнительные упражнения к главе II.................. 103
ГЛАВА III. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 8. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ................ 111
21. Неполные квадратные уравнения.................. —
22. Формула корней квадратного уравнения......... 116
23. Решение задач с помощью квадратных уравнений .... 124
24. Теорема Виета................................ 127
§ 9. ДРОБНЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.................. 132
25. Решение дробных рациональных уравнений......... —
26. Решение задач с помощью рациональных уравнений. . . 137
Для тех, кто хочет знать больше
27. Уравнения с параметром....................... 141
Дополнительные упражнения к главе III ............... 144
ГЛАВА IV. НЕРАВЕНСТВА
§ 10. ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ СВОЙСТВА............. 152
28. Числовые неравенства......................... 152
29. Свойства числовых неравенств................. 156
30. Сложение и умножение числовых неравенств..... 161
31. Погрешность и точность приближения........... 165
§ 11. НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИХ СИСТЕМЫ 169
32. Пересечение и объединение множеств............. —
33. Числовые промежутки.......................... 172
34. Решение неравенств с одной переменной........ 176
35. Решение систем неравенств с одной переменной. 184
Для тех, кто хочет знать больше
36. Доказательство неравенств........................ 192
Дополнительные упражнения к главе IV................. 196
Оглавление
270
ГЛАВА V. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ
§ 12. СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ СВОЙСТВА 203
37. Определение степени с целым отрицательным
показателем........................................ —
38. Свойства степени с целым показателем......... 207
39. Стандартный вид числа........................ 211
§ 13. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ........................... 214
40. Сбор и группировка статистических данных....... —
41. Наглядное представление статистической информации 221
Для тех, кто хочет знать больше
42. Функции у = х-1 и у = х~2 и их свойства...... 232
Дополнительные упражнения к главе V................. 236
Задачи повышенной трудности ............................ 241
Исторические сведения................................... 246
Сведения из курса алгебры 7 класса...................... 251
Предметный указатель.................................... 257
Ответы.................................................. 258
Оглавление
271
Учебное издание
Макарычев Юрий Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
Нешков Константин Иванович
Суворова Светлана Борисовна
АЛГЕБРА
УЧЕБНИК ДЛЯ 8 КЛАССА
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Т. Г. Войлокова
Младшие редакторы Е. А. Андреенкова, С. В. Дубова
Художники В. А. Коршунов, В, В. Костин
Художественный редактор О. П, Богомолова
Компьютерная графика К. В. Солоненко
Технический редактор А. Г. Хуторовская
Корректор Н. И. Князева
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93 — 953000. Изд. лиц.
Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с диапозитивов 17.05.07. Формат 70 х 90 Vie*
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 13,77 + 0,45 форз.
Доп. тираж 50000 экз. Заказ № 3828.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, г. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Тверской ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат
детской литературы им. 50-летия СССР». 170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, 46.
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 99
ЕДИНИЦЫ
ДЕСЯТКИ
0 1 2 3 4
1 100 121 144 169 196
2 400 441 484 529 576
3 900 961 1024 1089 1156
4 1600 1681 1764 1849 1936
5 2500 2601 2704
6 3600 3721 3844
7 4900 5041 5184
8 6400 6561 6724
9 8100 8281 8464
———————_——___________*-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ГРАФИК ФУНКЦИИ у = — , к > О
ГРАФИК ФУНКЦИИ у = — , к < О
X
& ISBN 978-5-09-015964-7 9 mill Щ1в1 ? y=V« ^♦*ь*+<=0,а*в ° / « S a .Л ; ® ПРОСВЕЩЕНИЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО