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Автор: Dieudonne J.
Теги: mathematiques en français géométrie cours de géométrie manuel de géométrie
Год: 1974
Текст
jee.n '-'■sudonné cours de géométrie algébrique PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE
Cours de géométrie algébrique 2
LE MATHÉMATICIEN SECTION DIRIGÉE l'AR JI1AN-PIERRE KAIIANE
COLLECTION SUP Cours de géométrie algébrique 2 / Précis de géométrie algébrique élémentaire JEAN DIEUDONNE Membre As l'Institut PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANGE
Dépôt légal. — f* édition : 1er trimestre IS)74 © 1S74, Presse». Universitaires de France Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous paya
Introduction L'exposé historique de la première partie de cet ouvrage aura pu donner une idée de l'étendue et de la complexité de la Géométrie algébrique actuelle, et de la somme considérable de connaissances qu'il est nécessaire de posséder pour l'aborder. Aussi est-il généralement reconnu qu'à moins d'être doué d'une rapidité d'esprit exceptionnelle jointe à une énorme puissance de travail, le débutant aura intérêt à procéder par étapes avant de se plonger dans les ouvrages les plus récents. Le Précis de géométrie algébrique élémentaire qui forme la seconde partie de ce Cours constitue ce que je considère comme la première de ces étapes. Je voudrais rapidement exposer les raisons sur lesquelles se fonde cette opinion. En premier lieu, l'épithète <c élémentaire » qui figure dans le titre mérite quelques commentaires. Bien entendu, il serait absurde de lire cet ouvrage sans avoir jamais rencontré quelques courbes et surfaces algébriques dans l'enseignement traditionnel de la prétendue « Géométrie analytique » {Le. la méthode des coordonnées cartésiennes); maïs à strictement parler, aucune connaissance d'Analyse n'est nécessaire ici. Tout repose, d'une part, sur quelques notions et résultats très élémentaires de Topo- logie générale; le cliapitre Ier de la Topologie générale de N-. Bourbaki contient beaucoup plus qu'il n'est nécessaire, mis à part quelques compléments sur les espaces irréductibles et les espaces ncethériens, groupés à la fin de ce volume sous le titre Résultats de Topologie et auxquels il est référé par la lettre T suivie d'un numéro. Mais surtout
6 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE l'essentiel des connaissances préalables est formé de notions d'Algèbre; il va sans dire que le lecteur est supposé être familier avec l'Algèbre linéaire et multilinéaire, base fondamentale de toutes les mathématiques, et dont les résultats sont utilisés sans référence. Les autres parties de l'Algèbre qui sont utilisées appartiennent toutes à VAlgèbre commu- tative; la plupart se trouvent exposées dans le livre Algebra de S. Lang (Addison-Wesley, 1965), qui nous sert d'ouvrage de référence. Rappelons que cet ouvrage, qui prend l'Algèbre à son début, contient entre autres un exposé de l'Algèbre linéaire et multilinéaire, ainsi que l'essentiel de la théorie des corps, et notamment les résultats fondamentaux de la théorie des extensions algébriques; nous utilisons ces derniers sans renvoyer pour chacun d'eux à l'endroit exact du livre de Lang où il est démontré. Par contre, les autres notions et résultats d'Algèbre commu- tative dont nous avons à faire usage sont énumérés à la fin de ce volume sous le titre Résultats d'Algèbre, et nous y référons par la lettre A suivie d'un numéro. Les propositions démontrées dans le livre de Lang sont énoncées sans démonstration avec la référence précise à la preuve donnée par Lang; pour les autres, nous en indiquons une démonstration aussi simple que possible. Si maintenant nous voulons justifier le qualificatif « élémentaire » appliqué à ce volume, il suffit de dire qu'il est consacré à la théorie non cohomologique des « variétés de Serre », et que cette théorie se distingue des conceptions générales de la Géométrie algébrique par les points suivants : 1° Les seuls anneaux qui interviennent sont les anneaux sans élément nilpotent ^ 0, qui sont, soit des algèbres de type fini sur un corps algébriquement clos fixé une fois pour toutes, soit des localisés de telles algèbres. Ces hypothèses entraînent des simplifications considérables (A 35 à A 39) par rapport à la théorie générale (même limitée aux
INTRODUCTION 7 anneaux ncethériens) et rendent inutiles les parties plus avancées de l'Algèbre commutative telles que l'étude approfondie des produits tensoriels et de la notion de platitude, la théorie des valuations et des complétions et l'étude générale des anneaux locaux ncethériens. 2° Bien que la « topologie de Zariski » sur les variétés de Serre soit non séparée, elle est beaucoup moins « pathologique » que sur les schémas généraux : les points sont tous fermés, l'ensemble sous-jacent à un produit de variétés est le produit des ensembles sous-jacents à ces variétés, les corps résiduels en chaque point sont tous égaux au corps de base; toutes ces simplifications disparaissent dans la théorie générale. 3° Aucune notion d'Algèbre homologique n'est utilisée. 4° Les seuls faisceaux qui interviennent sont les faisceaux de fonctions, dont la conception est si élémentaire qu'elle mériterait à peine un nom spécial si elle n'était un cas particulier de la notion générale de faisceau; maïs elle ne comporte aucune des subtilités (distinction entre préfaisceau et faisceau, utilisation de la notion abstraite de limite inductive, obstructions à l'exactitude des sections) liées à cette notion générale. Notons en second lieu que la notion de variété de Serre est celle qui, en Géométrie algébrique moderne, est la plus proche de la notion classique de variété algébrique sur le corps des nombres complexes, qu'elle comprend bien entendu comme cas particulier; elle s'y rattache bien plus directement que la conception antérieure de Weil avec son foisonnement de « points » munis de corps tous différents. Le passage de la topologie classique à celle de Zariski ne paraît pas un obstacle sérieux au transfert de T « intuition » que nous pouvons avoir des variétés classiques, aux variétés définies sur un corps algébriquement clos quelconque ; et les phénomènes liés à la caractéristique
8 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE non nulle du corps de base n'apparaissent que de façon très épisodique, dans la seule notion de morphisme séparable. Il convient enfin de souligner que, sans même franchir l'étape suivante et aborder la théorie des schémas, les résultats contenus dans ce volume suffisent à eux seuls pour entreprendre l'étude des théories suivantes : 1° la théorie cohomologique des variétés de Serre (et en particulier des variétés classiques), soit sous sa forme purement algébrique, soit (dans le cas classique) enrichie par la théorie transcendante des variétés kahlériennes (cf. vol, 1, VII cl VIII); 2° plus particulièrement, la théorie des courbes algébriques, où la cohomologîe et l'Analyse sont tout à fait élémentaires; 3° la théorie de Borel-Chevalley des groupes algébriques linéaires sur un corps algébriquement clos. Nous renvoyons à la Bibliographie commentée (à la fin de ce volume) pour des indications plus précises sur les ouvrages consacrés à ces théories et la façon de les utiliset,
Table des notations A(V) anneau des fonctions régulières sur un ensemble algébrique, ou un ensemble algébrique abstrait : 1,2- A(«) comorphisme d'un morphisme u d'ensembles algébriques : 1,2. Ap localisé d'un anneau A en un idéal premier p : A,15. %x homomorphisme d'évaluation : 1,2. codinix (Y), codim (Y) codimensîon d'une sous-variété : 4,2. Der (A, B), Der^ (A, B) modules de dérivations de A dans B : A, 3. Derj£ ((Px, k)t Der| (A(U), k) : espaces de vecteurs tangents en x : 6, I. D(/) ouvert principal des x tels que f{x) ¥= 0 : 1,5. dim (X) dimension d'une variété : 4,2. e{x) plus grande dimension des composantes irréductibles de u~1(u(x)) contenant a- : 4,5. f germe d'une fonction régulière en un point : 5, I. & | Z faisceau induit : 2, I. ^"(U), T(U, &) ensemble des sections du faisceau & au- dessus de U : 2, I. G„,r(A), G„,r grassmanniennes : 3,5. Hj,H£ (0=ç ■< n) hypcrplans dans kn + 1 : 3, [. Hcm^u, (A, k) ensemble d'homomorphismes de A-algê- bres : 1,2. Î(M) idéal des fonctions régulières s'annulant dans M : 1,2 et 1,3. Mor (V, W) ensemble de morphismes : 1,2. (¾ faisceau structural sur une prévariété : 2, 2 et 2,3.
10 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE ®x,zs ®a: anneau local au poini ïëX : 5, I. P(() valeur d'un polynôme en ( = ((„ ..., tn) : l, l. P„(ft), F,, espace projcctîf : 3, I. x:kn+l— {0}->P„(A) morpbisrnc canonique : 3,2. r(a) racine de l'idéal fl : A, U, R(X) corps des fonctions rationnelles sur une variété irréductible X : 4, I. S-1A, c/tf anneau de fractions, élément de cet anneau : A, 13. S_1M, mjs module de fractions, élément de ce module : A, 14. Spm (A) ensemble des idéaux maximaux de A : 1,2. Spm (<p) morphisme correspondant à l'homomor- phisme d'anneaux <p : I, 3- Ta(X) espace tangent (de Zariski) de X au point * : 6, I. Tx{v) application linéaire tangente au point x au morphisme u : 6, 2. Ui(0 $i^n) ouvert affine dans P„ : 3, I. V(û) ensemble des points où s'annulent tous les Je a ; [, [ et 1,4. V(/), V(y^, , fr) ensemble des points * où /(x) = 0 (resp. intersection des V(fi) pour I ^ r$ r) : 4,3. X U Y somme de prévariétés : 2, 3. Zq-^"p+q produit intérieur d'un ç-vecteur et d'une (j>-\- ç)-forme : A, 43.
§ i. Ensembles algébriques et fonctions régulières (1) 1. Ensembles algébriques Le corps de base k étant infini, il n'y aura jamais d'inconvénient à identifier impolynôme P eh\T1} . .., T„] à n indéterminées (pour n ^ 1) et à coefficients dans kt à la fonction polynôme (h, ...,o^P(/i, ...,g sur l'ensemble produit kn, à valeurs dans k, dont la valeur en chaque point t — (tlt . . ., tn) (qu'on écrit aussi P(ï)) s'obtient en substituant £,- à Tj dans P pour 1 < j < n. On dira donc que le polynôme P s'annule en un point (tlt .. ., tn) ekn si P(fa, . . ., tn) = 0; on dira aussi que (h s ■ - ■ ? f«) cst alors un zéro du polynôme P. Définition 1. — On appelle ensemble algébrique une partie d'un ensemble kn qui est l'ensemble des zéros communs d'une famille (Pa) de polynômes de k\Tlt ..., T„], autrement dit l'ensemble des points (¾, . . ., ta) de kn vérifiant un système d'équations (ou ensemble défini par les équations) .* (1) PK(^is ■ - •■> Q =0 pour tout indice a. Il est clair que si une partie V de kn est définie par le système (1) on obtient la même partie V en ajoutant au système (1) toutes les équations de la forme R-(*i» ■■■»*«) = 0» où R =^ £Ç)aPtt est une combinai- (1) Dans tout ce volume, k désigne un corps algébriquement clos quelconque-
12 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE son linéaire des Pa à coefficients dans l'anneau de polynômes A[Ta, ..., T„], aulrement dit un polynôme quelconque de Yidêal a de k\Tx, ..., T„] engendré par les Pa. On peut donc, pour étudier les ensembles algébriques, se borner à ceux définis par un système (1) où les Pa parcourent tous les polynômes d'un idéal a de A[Ta, , T„] ; on notera V(a) cet ensemble algébrique, et on va d'abord étudier l'application ainsi définie : (2) a \-> V(a) de l'ensemble des idéaux de k\Tt, ..., T„] sur 1*ensemble des ensembles algébnques de kn. Proposition 1. — (i) On a : V({0})=A», V(é[T„...,TJ) = b. (ii) La relation a C b entraîne V(a) 3 V(b). (iii) V(ÇaO = Çv(a,) pour toute famille (dy) d'idéaux de A[Tj, ..., T„]. (iv) V(ûb) = V(a nb) = V(a) u V(b) pour deux idéaux d, b. Les propriétés (i), (ii), (iii) sont évidentes; comme ûbCanb, on a V(ab) 3 V(o n b) I> V(a) u V(b) par (ii), et il suffit démontrer que V(a) U V(b) DV(ab), ou encore que si £ $ V(o) U V(b), on a / $ V(ab) ; or, dire que t $ V(ct) U V(b) signifie qu'il existe P e c et Q.6b tels que P(f) ^ 0 et Q,(f) ^ 0; si R=PQeab, on a alors R(f) ^ 0, donc /^V(ab). Remarque. — L'anneau /e[Ta, ...,T„] étant nœthé- rien (A, 32), tout idéal a de cet anneau est de type fini, donc tout ensemble algébrique V(a) est défini par un nombre fini d'équations (1).
1 - ENSEMBLES ALGEBRIQUES 13 Exemples. — L'ensemble algébrique V({0}) =kn est appelé l'espace affine de dimension n (droite affine pour n = 1, plan affine pour n = 2). Onsait (A, 37) qu'un idéal maximal m de /e[Tj,.. -,Tn] est engendré par n polynômes du premier degré Tj — (¾, T2 — a2, ...,T„—■ cn; l'ensemble algébrique V(tn) est donc réduit au seul point (alt ..., a^); toute partie finie de A" est par suite un ensemble algébrique en vertu de laprop. 1, (iv). Comme tout idéal a ^ k\Tl3 ..., T„] est contenu dans au moins un idéal maximal (A, 8), on voit que V(a) n'est vide que pour l'idéal a = h\T1, - -., T„]. En particulier, si P est un polynôme ^ 0 de degré ^ 1, l'ensemble algébrique défini par P('i, -..,*„) =0 (que l'on appelle parfois hppersurface) n'est pas vide. Nous nous proposons en second lieu de déterminer dans quel cas on a V(o) = V(fe). Pour cela, notons que pour toute partie M de kn, l'ensemble des polynômes P ek\Tl7 ..., T„], tels que M soit contenue dans l'ensemble des zéros de P, est évidemment un idéal i(M) dans l'anneau k\TXt ..., T„]. Proposition 2. — Pour tout idéal a de h[Tl7 . - -, T„], on a : (3) i(V(o)) = t(a) racine de l'idéal a (A, 11). Il est clair que l'on a i(V(a)) 3 a. En particulier, pour tout idéal maximal m de k\Tlt --.,1^, on a t(V(tn)) =m, car V(tn) n'étant pas vide, t(V(îTt)) ne peut contenir les constantes ?*= 0. Si maintenant o est quelconque et P ei(V(a)), pour tout idéal maximal m 3 a, l'ensemble V(tn) est réduit à un point de V(a), qui est nécessairement un zéro de P; autrement dit, on a P € i(V(m)) = TTt pour tout idéal maximal m contenant a; la proposition résulte de ce que l'intersection de ces idéaux maximaux est r(a) ((A, 11) et (A, 38)).
14 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Corollaire. — Pour deux idéaux a, b de k[T1, -.., T,,], la relation V(o) = V(b) équivaut à t(ù) = t(b) et la relation V(û)CV(b) à r(û) Dr(b). Cela résulte de la prop. 2 et du fait que V(r(a)) = V(o), puisque pour tout polynôme Per(a), une puissance Pfc appartient à o. Un idéal o est dit radiciel s'il est égal à sa racine ou, ce qui revient au même, s'il est intersection d'idéaux premiers ou intersection d'idéaux maximaux ((A, 11) et (A, 38)); le corollaire précédent montre que l'application (2), restreinte à l'ensemble £% des idéaux radiciels de AfTj, -.., T^ est une bijection de 0t sur l'ensemble £# des ensembles algébriques contenus dans A". Remarque. — Si CL et b sont deux idéaux radiciels, il en est de même de a n b, et la bijection (2) transforme donc l'intersection dans £% en réunion dans je (prop. 1, (iv)). Par contre, il faut observer que si o et b sont radiciels, il n'en est pas nécessairement de même de ù. -\- b. Par exemple, supposons que k ne soit pas de caractéristique 2; dans /efTjjTa], les polynômes T^ —T2 et Tf-|-T2 sont irréductibles, donc (A, 30) les idéaux principaux a = (Tf — T2) et b = (Tf + 1g) sont premiers, mais ù. -\-b n'est pas radiciel, car le polynôme Tj n'est pas combinaison linéaire de ïf — T2 et Tf -f- T2 à coefficients dans k[Tls T2], tandis que : lî^^flî —TJ+icTÎ + T,). 2- Fonctions régulières et morphismes Notre intuition géométrique conduit par exemple à l'idée que des ensembles algébriques contenus dans des espaces affines kn correspondant à des valeurs différentes
1 ~ ENSEMBLES ALGEBRIQUES 15 de n doivent cependant être « identifiés » : le « cercle » de A2 défini par l'idéal principal (Tf + T|— 1) et le « cercle » de A3 défini par l'idéal engendré par les polynômes Tf + T| — 1 et T3 nous apparaissent comme le « même » cercle. Il s'agit donc de définir une notion â'isomorpkisme pour les ensembles algébriques. Nous allons faire plus, en montrant qu'on peut définir une notion de morpfdsme pour ces ensembles, ce qui en fera une catégorie. Nous poserons d'abord la définition suivante : Définition 2. — Etant donné un ensemble algébrique V C kn, on appelle fonction régulière sur V toute application de V dans A qui est la restriction à V d'une fonction polynôme sur A". On note A(V) Vanneau des fonctions régulières sur V. Si t(V) = a (donc r(a) — a et V = V(a)), deux polynômes ont même restriction à V si et seulement si leur différence est dans a, donc A(V) est A-isomorphe à l'algèbre k[Tlt ..., T„]/û. C'est par suite une k-tdgèbre réduite (A, \\) de type fini, car en général le nilradical d'une algèbre quotient k[T1} ..., T„]/aestr(û)/a (A, 11). Pour toute A-algèbre commutative A, désignons par Spm (A) l'ensemble des idéaux maximaux de A, par I-Iomfc.alB (A, A) l'ensemble des A-homomorphismes de l'algèbre A dans l'algèbre A (appliquant l'élément unité sur l'élément unité, donc surjeetfs). Pour tout ensemble algébrique VCA", on a des bijections canoniques ; (4) Hom^ (A(V), k) ^ Spm (A(V)) ^ V. La première associe à tout A-homomorphïsme : son noyau, qui est un idéal maximal de A(V). Inversement, on sait (A, 37) que tout idéal maximal tnde A(V) est un A-espace vectoriel de codimension 1, donc supplémentaire de A. 1 dans A(V) ; c'est par suite le noyau de
16 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE rhomomorphisme unique x a*e A(V) dans k, égal à 0 dans m et à £ pour £.1 eA.l. La seconde application (4) se définît en notant qu'un idéal maximal m de A(V) s'écrit îTt'/û., où tn' est un idéal maximal uniquement déterminé de /e[Tls ..., T„], donc engendré par n polynômes du premier degré Tx — ax, T2 ™ c2> ■ ■ ■» T„ — c,, (A, 37) ; on fait correspondre à tn le point (ûx, %,..., ûj Qui» Par définition de a — i(V)f appartient à V. Inversement, pour tout point (¾, ..., an) de V, l'idéal maximal m' de k['I\, ..., T„] engendré par les Tj- — ai (1 <i< n) contient a, et il correspond à îTt'/û. le point (alt ..., a^. On déduit de ces remarques que la bijection réciproque de la composée Hom^^ (A(V), k) ^ V des bijec- tions (4) s'écrit : où Xx e Hom^.ajg (A(V), k) est 1' « homomorphisme d'évaluation » tel que : (5) XÂf)=f(x) pour toute /6 A(V). Les fonctions régulières jouent pour les ensembles algébriques un rôle analogue à celui que jouent les fonctions indéfiniment dîfférentiables (resp. analytiques) pour les variétés différentielles (resp. analytiques). Et de même que les morphismes de variétés différentielles (resp. analytiques) « transforment fonctions dîfférentiables (resp. analytiques) en fonctions dîfférentiables (resp. analytiques) », la notion de fonction régulière permet de définir de cette façon les morphismes d'ensembles algébriques : Définition 3. — Etant donné deux ensembles algébriques VC/e", WCAm, on dit qu'une application u de V dans W est un morphisme d'ensembles algébriques si, pour toute fonction régulière geA(W), la fonction composée gou est une fonction régulière sur V.
1 -ENSEMBLES ALGEBRIQUES 17 Il est clair que le composé de deux morphismes est un morphisme, et nous avons donc bien défini une catégorie ; rappelons qu'un isomorphisme u : V -> W est par définition un morphisme bijectif dont l'application réciproque u~ * : W -> V est aussi un morphisme. La déf. 3 montre aussitôt que les fonctions régulières sur V sont les morphismes de V dans la droite affine k. Un morphisme u : V -> W définit donc une application : (6) A(«) :gV+goU de A(W) dans A (V), qui est évidemment un homomorphisme de kralgèbres et qu'on appelle le comorphisme de u. Si v : W -> Z est un second morphisme, il est clair que A(»oa) =A(u)oA(v). Notons Mor (V, W) l'ensemble des morphismes de V dans W. Proposition 3. — L'application : u[-+A(u) est une bijecîion de l'ensemble Mor (V, W) sur l'ensemble Hom/MU|r (A(W), A(V)) des k-homomorpkismes de A(W) dans A(V). Il nous suffira de définir une application : m : HomA (A(W), A(V)) -> Mor (V, W) telle que ■ (7) AK9))=T pour tout homomorphisme <p : A(W) -> A(V) de A-algè- bres, et : (8) m(A(u)) = « pour tout morphisme « : V -> W d'ensembles algébriques.
18 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE Tout homomorphisme <p : A(W) ~>A(V) deA-algèbres définit une application : Hom (<p, 1) : x ■"* X ° T de Hom (A(V), k) dans Hom (A(W), k), et par suite une application m(<p) de V dans W et une seule rendant commutatif le diagramme : Hom (A(V), k) HomUp-" Hom (A(W), k) «î «î V . > W où les flèches verticales sont les bijections x\-+y^ et y 1-+¾ définies dans (5), de sorte que l'on a : (9) X™ww=Xs°9- L'application »z(<p) ainsi définie est un morphisme d'ensembles algébriques : il suffit en effet de montrer que pour toute fonction geA(W), on a : (10) gom(9)=9(g) ce qui, en même temps, démontrera (7). Or, d'après (5) et (9), on a. : g(m(<p) (*)) = Xmwwfe) = (Xs° ?) fe) = x^Opte)) = 9(g) (*) ce qui prouve (10). Pour établir (8), il suffit de montrer que pour tout * e V, on a : (11) Xm(A(u))te) = Xufa)" Or, pour toute fonction g eA(VV), on a, compte tenu de (9) appliqué à <p = A(«) et de (5) : X™wi«»tate) = Xx(A(«) (g)) = Xtte° «) = #(«(*)) = X«wfe) ce qui termine la démonstration.
1 - ENSEMBLES ALGEBRIQUES 19 Corollaire. — Pour qu'un morp/nsme u : V ~> W soit un isomorp/îisme d'ensembles algébriques, il faut et il suffit que le comorpkisme A(u) : A(W) ->A(V) soit un isomorpMsme de h-algèbres. En effet, dire que a est un ïsomorphisme signifie qu'il existe un morphisme v : W ~> V tel que v o u = 1 v et ko» = IWj ce qui, en vertu de la prop. 3, équivaut à l'existence d'un homomorphisme 9 : A(V) ~> A(W) de A-algèbres tel que A(«) o 9 = 1A(V) et 9 o A(«) = lArW) - Exemples de morphismes. —■ 1) Pour l'espace affine kn, on a A(kn) = k\Tl, ..., TM]. En vertu de la prop. 3, les morphismes kn ~> km d'ensembles algébriques correspondent canoniquement aux homomorphismes 9 : ^[Tj, ..., TJ ^k\Tli . .., TM] de A-algèbres ; or, un tel homomorphisme est entièrement déterminé par les m polynômes ?(Ti) = Pi(T. T„), Kj«» et, inversement, la donnée de m polynômes quelconques de A[Tj, ..., TJ détermine un homomorphisme 9 par les relations précédentes. Le morphisme m{y) s'obtient immédiatement, car pour un point x = (¾, .. ., #ï() de A", on a Xs(Tï") = */ Pour J ^ i ^ "■> donc, par (9), Xmww('ri) =xi<PCï'j)) PO"*" Uj^m, c'est-à-dire: (12) m(9)(x) = (P^, ..., *n), ..., J>n(xlt ..., O) puisque y^ est un homomorphisme. Par exemple, si n < mt l'application (#i> ■ -->*«) 1-+ (¾ » ...,^,,0, ..., 0) de kn dans A** est un morphisme, correspondant à F homomorphisme surjectif k\TXi ..., TW(] ~> k\Tx, ..., T„] transformant Tj- en 'Ij- pour 1 < j < n et Tj- en 0 pour n -\- l ^j ^ m. Si h ^ m, l'application de projection
20 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE (xît . ■.> ■#„) 1-+ (*i> .. >i -*m) deA"surAmestunmoiphisme correspondant à l'homomorphjsme injectif ^1.....^-^,,...,^ transformant T,- en 'Ij- pour 1 «c j ^ m, 2) Si u : kn ~> A"1 est un morphisme défini par (12), l'idéal i(u(kn)) de son image dans km est l'ensemble des polynômes Q,ÇTlt ..., Tm) tels que QfP^, ...,*,,), • • -, P»(*u • - -, O) = 0 quels que soient les .¾ e A (1 < i < «), ce qui revient à dire que Q(P,(T„ ..., T„), ..., P„(T„ ..., TJ) = 0 puisque k est infini; l'ensemble algébrique W = V(i(u(k«))) est donc le plus petit dans km contenant l'image u{kn)t et son anneau de fonctions régulières est isomorphe au sous-anneau ¢^,,...,1,),...^.(1, TJ] de k\Tlt . ..,T„]. Mais on notera qu'en général on a u(kn) & W (cf. § 4, cor. de la prop. 14). Par exemple, prenons n = m = 2 et considérons le morphisme On voit aussitôt que le seul polynôme tel que est 0, donc ici W = k2, mais u(k2) ne contient pas les points (t, 0) pour t # 0. 3) Soient V un ensemble algébrique dans kn, a = t(V) son idéal; l'injection canonique j : V —> kn est un mor-
1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 21 phisme, dont par définition (formule (6)), le comor- pliisme A(J) est l'homornorphisme canonique k\Tlt .. .,¾ -+k\Tlt ..., TJ/a = A(V) de restriction à V des fonctions régulières. 4) Pour tout morphisme u : fo, ..., ^) H+ (Pi(*i» • • ■> *»,)> • • •> Pm(*i> • • •> **)) de A" dans Am, considérons le morphisme graphe de « : (#l3 ...,^,)H-(*i( • ..,^,, Pi(*i, • ••,*«)> •••» ^toC*!» • ■ ■» *n)) de kn dans A*1"1"*". L'image F1( de ce morphisme est l'ensemble algébrique (appelé graplie de u) défini par les équations : xn+j — Pjte, ...,¾) =0 pour l^j^m. Le morphisme graphe est un isomorpHûsme de A" sur Tut l'isomorpbisme réciproque étant le composé prjoi delà première projection k'l + m-+kn et de l'injection canonique i : ï\ -+ kn + m. 5) Considérons le morphisme de k dans ft2. Son image est l'ensemble algébrique C (« parabole semi-cubique ») défini par l'équation Jfl Aq U, car si un point {x17x^ vérifie cette équation, ou bien Xj = x% — 0 et c'est l'image «(0), ou bien Xj^ 0 et x2 t£ 0 et le point est l'image u(x2jx1) puisque (*8/*ï)a = x1 et (^/%)3 = *2- Ceci montre en même temps que u est un morphisme bijectif de k sur C; cependant, u n'est pas un isomorpliisme,
22 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE car A(C) = k[T\ T3] (exemple 2) et cette algèbre n'est pas isomorphe à k['T\ : en effet, c'est un anneau intègre dont le corps des fractions est A(T), mais il n'est pas intégralement clos, car T est un entier sur A[Ta, T3] (vérifiant l'équation X2 — T2 =0) mais n'appartient pas à A[T2, T*\ (cf. § 5, cor. 4 du th. 1). 6) Supposons que k soit de caractéristique p > 0 ; alors le morphisme u : t l-> t* de la droite affine A dans elle-même est bijeetîf mais n'est pas un isomorpliisme de A sur elle-même, car le comor- phisme A («) transforme T en T^ et a donc pour image Afl^] qui est distinct de A[T]. 3. Ensembles algébriques abstraits Proposition 4. —- Toute h-algèbre réduite de type fini A est isomorp/w à l'algèbre A(V) des fonctions régulières sur un ensemble algébrique V. En effet, soient s1, .. -, sn des générateurs de l'algèbre A. Il existe un homomorphisme surjectif <p de l'algèbre k[Tl3 ...,¾ sur A tel que <p(T3-) = s$ pour 1 < j < n; si a est ion noyau, l'algèbre A est donc isomorphe à A[Tj, ..., T„]/a. En outre, on a nécessairement r(a) = 0, sans quoir(a)/û, qui est le nilradîcal de k[Tlt ..., T„]/û, ne serait pas réduit à 0. On a donc i(V(a)) = a et A est isomorphe à l'algèbre A(V(a)). Si A est une A-algèbre de type fini, on a comme dans (4) une bijection canonique Homfc.alK (A, A) -Pt- Spm (A) ; pour deux A-algèbres de type fini A, B, et tout A-homo- morphisme <p : A -> B, il y a donc une application et
1 - ENSEMBLES ALGEBRIQUES 23 une seule Spm (<p) : Spm (B) —> Spm (A) rendant com- mutatif le diagramme : Hom(B,A) ^=¾ Hom(A,ft) «1 «1 Spm^ -ï=s- sPm(A> où les flèches verticales sont les bijections canoniques; la définition explicite de Spm (<p) est d'ailleurs immédiate : pour tout idéal maximal n de B, on a (13) Spm(ç)(ti)=ç-'(ti) qui est un idéal maximal de A (A, 37). Les prop. 3 et 4 et l'existence des bijections canoniques (4) amènent à « élargir » la catégorie des ensembles algébriques en la considérant comme sous-catégorie d'une catégone plus vaste (maïs équivalente), celle des ensembles algébriques abstraits, qui ne sont plus nécessairement astreints à être des parties d'un espace affine k\ Les objets de cette nouvelle catégorie sont les triplets (X, A, Px) formés d'un ensemble X, d'une A-algèbre A réduite et de type fini, et d'une bijection px : Spm (A) ^> X; les mor- phismes (X, A, [3¾) -^- (Y, B, f3y) sont les couples (a, <p) formés d'une application u : X —> Y et d'un A-homo- morphisme <p : B ~> A tels que le diagramme X > Y Px i] if Pv soit commutatîf. Le composé de deux morphismes (v3 ty) et («, <p) est bien entendu (v o «, <p o iJj). Par abus de notation, on écrira souvent X au lîeu de (X, A, Px), u au
24 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE lieu de (u, <p) et on dira encore que <p est le corrwrphisme du morphisme u. Avec cette définition, il est clair que dans la catégorie des ensembles algébriques abstraits, les ensembles algébriques définis au n° 1 peuvent être considérés comme formant une sous-catégorie en identifiant un tel ensemble V au triplet (V, A(V), pv), pv étant la bijection canonique définie dans (4), et un morphisme u au couple («, A(u)) ", les prop. 3 et 4 montrent que cette sous-catégorie est équivalente à la catégorie des ensembles algébriques abstraits. De même, les triplets (Spm (A), A, 1^,^(^), où A est une A-algèbre réduite de type fini, sont les objets d'une sous-catégorie de la catégorie des ensembles algébriques abstraits, dont les morphismes sont les couples (Spm(<p), <p). Cette sous-catégorie est encore équivalente à celle de tous les ensembles algébriques abstraits, et aussi à la duale de la catégorie des A-algèbres réduites et de type fini. L'intérêt d'avoir une catégorie équivalente à celle des ensembles algébriques et contenant suffisamment d'objets provient de ce qu'on est amené (n° 5) à définir de tels objets qui n'appartiennent à aucune des deux sous-catégories précédentes. On définit de façon évidente les fonctions régulières sur un ensemble algébrique abstrait (X, A, Px) par transport de structure : pour tout /eÀ et tout xeX, Px1^) ^ un idéal maximal de A ctf(x) est l'élément de k image de/par l'homomorphisme canonique Aj^1(x) -»-&. On peut aussi dire que les fonctions régulières sont les morphismes X -»-&, et on les identifie évidemment avec les éléments de A. Pour tout morphisme wrX-^-Y, on définît encore A (h) : B ~> A comme dans (6) par g h+g o u. Exemple : identifications de points. — Soient a, b deux points distincts de l'espace affine kn. Nous allons voir qu'on peut définir un ensemble algébrique X et un morphisme sur-
1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 25 jectif u : kn ~> X tels que l'image réciproque de tout point de X n'aît qu'un seul élément, sauf pour un point xG dont l'image réciproque est {c, b }; on pourra donc dire que X est obtenu en « identifiant » les deux points a, b de kn. On prend comme fonctions régulières sur X les fonctions régulières P &k[TXi ..., T„] sur kn telles que P(c) = P(b). Elles forment évidemment une sous-algèbre réduite A de AfTj, ,..,TJ; il s'agit d'abord de voir que A est de type fini. Par une transformation linéaire, on peut supposer que a = (0, 0, .. -, 0), b = (1, 0, .. -, 0); la division euclidienne par" TjfTj— 1) montre alors aisément que A est engendrée par T^T, — 1), TjfTj — 1), 1} et TjTj- pour 2 ^j < n. Le fait que le morphisme u — Spm (j)s où j : A ~> k\Tls ..., T„] est l'injection canonique, a les propriétés voulues résulte de ce que pour tout point c G kn distinct de c et de è, il y a des polynômes P tels que P(c) = F(b) et P(c) = 0. On peut généraliser en « identifiant » de même deux ensembles algébriques V(ct), V(fe) de kn pourvu qu'en premier lieu ils Soient isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe un isomorphîsme 6: k['Tlt.. .jTJ/a-^AfTj, .. .,T„]/b; on prend alors pour A la sous-algèbre des polynômes P t els que 6(<p(P)) = <Jj(P), où <p et ^ sont les homomorphismes canoniques sur A[Tls .,., TJ/a et k\Tl7 ..., TJ/b; U faut en outre que A soit une A-algèbre de type fini. 4. La topologie de Zariski Les parties (i), (iii) et (iv) de la prop. 1 montrent que les ensembles V(ct), où a parcourt l'ensemble des idéaux de k\Tlf , T„] (ou seulement l'ensemble des idéaux radicîels en vertu de la prop. 2), sont les ensembles fermés d'une topologie sur l'espace affine A", dite topologie de Zariski ou topologie structurale ; on peut encore dire que les ensembles fermés de cette topologie sont les ensembles algébriques contenus dans A".
26 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE On notera qu'en général cette topologie est non séparée : par exemple, pour n — 1, les ensembles V(a) sont l'ensemble k et toutes les \>axùçs finies de A, et deux ensembles ouverts non vides de k ont donc toujours une intersection non vide. Si maintenant V = V(ct) est un ensemble algébrique contenu dans A" (avec a = l'(ft)), on appelle encore topologie de Zarîskî sur V la topologie induite sur V par la topologie de Zarîskî de kn\ il revient au même, vu la prop. 1, de dire que les ensembles fermés pour cette topologie sont les ensembles algébriques V(fe) contenus dans V, fe parcourant donc l'ensemble des idéaux de k\Tlt ..., T„] contenant o- Compte tenu de la correspondance canonique h M- fe/û. entre ces idéaux et les idéaux de l'anneau A(V)=*[T1 Tj/a et des équivalences établies au n° 3, on peut définir directement la topologie de Zarîskî sur tout ensemble algébrique abstrait (X, A, Bx) de la façon suivante : on va la définir sur (Spm (A), A, l&pra(A)) (que l'on note simplement Spm (A)), et on la transporte à X par la bijectîon Bx- Dans Spm (A), on considère, pour tout idéal a de l'anneau A, l'ensemble V((i) des idéaux maximaux de A contenant a (points où s'annulent toutes les fonctions régulières /eu); on a encore V({0}) = Spm (A), V(A) = 0, et les propriétés (iî), (uî) et (iv) de la prop. 1 sont valables dans modification. Pour toute partie M de Spm (A), l'ensemble t(M) des / € A tels que / e m pour tout idéal maximal m e M (fonctions régulières s'annu- lant dans M) est un idéal, et l'on a t(V(û)) = r(ct) ((A, 11) et (A, 38)), donc la relation V(ct) = V(b) est équivalente à r(a) = l'(ï>), et on obtient tous les ensembles V(û) en ne considérant que les idéaux û. radicîels. Ces ensembles Sont par définition les ensembles fermés pour la topologie de Zarîskî sur Spm (A), Il est immédiat que
1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 27 la relation V(a) DM pour un idéal radîciel a entraîne a = t(V(û))Ci(M), donc V(a)3V(i(M)); autrement dît, on a : (14) V(i(M)) = M adhérence de M pour la topologie de Zariski. Pour un idéal radîciel o de A, soit pa la bijection Spm (A/a) ~> V(a) réciproque de la bijection canonique m M- m/a; il est clair que (V(ct), A/a, Pc) est un ensemble algébrique abstrait, que l'on notera simplement V(a) ou Spm (A/a). La topologie de Zariski sur cet ensemble est induite par celle de Spm (A), l'injection canonique V(û) -*■ Spm (A) étant un morphisme dont le comor- phisme est l'homomorphisme canonique A —> A/a. Les fonctions régulières Sur V(a) sont les restrictions à V(a) des fonctions régulières Sur Spm (A). Proposition 5. — (i) L'ensemble Spm (A) muni de la topologie de Zariski est un espace nœthêrîen (T, 9) dont tous les Points sont fermés. (ii) Pour qu'un idéal radîciel a de A soit tel que V(a) soit irréductible (T, 2), il faut et il suffit que a soit premier. (i) Les points de Spm (A) étant les idéaux maximaux de A, on a V(m) ={lTt} pour un tel idéal, donc {m} est un ensemble fermé. Si (F„) est une suite décroissante d'ensembles fermés dans Spm (A), on peut écrire : F„ = V(c) où 0,1 est un idéal radîciel, et l'on a nécessairement a„ C ûm pour n < m (prop. 1 et cor. de la prop. 2), donc la suite (c) est stationnaire puisque A est ncethérien (A, 32). (ii) Supposons V(a) irréductible, et soient /, g deux éléments de A tels que fg e a; on a donc : V(a) C V(A/g) = V(A/) u V(Ag)
28 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE en vertu de la prop. 1 ; par hypothèse, cela implique V(a)CV(A/) ou V(û)CV(Ag); mais puisque a est radîcîel, la relation V(a)CV(A/) implique : a-t(a)Dt(A/)3/ (cor- de la prop. 2), donc a est premier. Inversement, si p est un idéal premier et si fe, c sont deux idéaux ra- diciels tels que V(p) = V(fc) U V(c), on en déduit p = b ri c (cor. de la prop. 2) ; si l'on avait p ^ fe et p ^ C» il existerait f eb et g e c n'appartenant pas à p; mais on aurait fg e b f~\ c = p, ce qui est absurde. Corollaire 1. — Pour tout idéal a de A, l'ensemble des composantes irréductibles de V(a) (T, 6) est fini et se compose des V(pj-), où les pj- (1 ^j < m) sont les éléments minimaux de ^ensemble des idéaux premiers contenant a. La première assertion résulte de ee que Spm (A) est nœthérien (T, 12) et la seconde de la prop. 5. En particulier : Corollaire 2- — Les composantes irréductibles de Spm (A) sont lesV(pj) où les p,- sont les idéaux premiers minimaux de A. Pour que Spm (A) soit irréductible il faut et il suffit que A soit intègre. Exemples. — Comme l'anneau A(kn) = AfTj, ..., TJ est intègre, l'espace affine kn est irréductible. De plus, tout polynôme P,£ 0 et non constant dans £[7^, .. .,TJ s'écrit comme produit de puissances de polynômes distincts irréductibles Pf* ... P^, et les idéaux premiers minimaux parmi ceux qui contiennent (P) sont les idéaux principaux (P;) pour 1 </< r (A, 30). Les composantes irréductibles de l'hypersurface V((P)) sont donc les hypersurfaces V((P3-)). On obtient (en vertu de (T, 2) et (T, 4)) des exemples
1 — ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 29 simples d'ensembles algébriques irréductibles dans kn en prenant les adhérences des images de morphîsmes km ~> kn (cf. n° 2, Exemples); on dît que de tels ensembles algébriques admettent une représentation paramétrique polynomïale. Proposition 6. — Soient A, B deux kralgèbres réduites de type fini, <p : B ~> A un h-homomorphistne. (î) Le morpkisme Spm(<p) : Spm (A) ~> Spm (B) est une application continue. (ii) Pour tout idéal b de B, on a : (15) (Spmfo))-* (V(b)) = V(A9(b)) où A<p(b) est l'idéal de A engendré par <p(b). (îiî) Pour tout idéal a de A, on a .- (16) '(Spm(ç))(V(a))=V(ç-'(a)). Il suffît évidemment de démontrer (15) et (16). Posons pour .simplifier « — Spm(<p), de sorte que <p est l'homo- morphisme g]-> gou de B dans A. Dire que u(x) e V(b) équivaut à dire que g(u(x)) = 0 pour toute fonction g e b, ou encore que <p(g)(x) = 0; autrement dît, on a /(#) = 0 pour toute fonction f e <p(b) et a fortiori pour tonte fonction /eA-pfb), d'où (15). Pour prouver (16), on peut seborneraucasoùctestradicieljCar <p-1(r(û.)) = r(<p-1(û.)) (A, 11). Alors, compte tenu de (14), la formule (16) résultera de la relation (17) «p_1(a)-t(a(V(a)))- Or. dire que g et(«(V(ct))) signifie que g(u(x)) = 0 pour tout x € V(a), ou encore <p(g) (x) = 0 pour tout x e V(ct), ce qui équivaut par définition à ç(g)ei(V(ct))-o puisque a est radiciel; d'où (17).
30 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Corollaire 1, — Pour que Spm(<p) soit un morphisme dominant (T, 4), il faut et il suffit que <p ; B ~> A soit un homomorphisme injectvf. Il suffit d'appliquer (16) en prenant a ={0} qui est radiciel par hypothèse. Corollaire 2. — Pour que Spm(<p) soit de la forme j o », où v est un isomorphisTne de Spm (A) sur un ensemble algébrique (fermé) VCSpmfB) et j ; V -> Spm (B) Vinjection canonique, il faut et il suffit que <p soit surjectif. Cela résulte aussitôt des définitions et du fait que si V = V(fe), on a j = Spmftjj), où ^ est l'homo- morphisme canonique B -* 13/fe. Remarque. — On aura soin de noter que les fonctions régulières sur Spm (A) sont continues, mais pour la topo- logie de Zariski sur la droite affine k, et non la topologîe discrète. 5, Ouverts principaux Soit A une ^-algèbre réduite de type fini,/ un élément de A (fonction régulière sur Spm (A)). On dit que l'ensemble ouvert (18) D(jO=Spm(A)-V(A/) des points x e Spm (A) tels que f(x) ^ 0 est un ouvert principal de Spm (A). On a : (19) D(0) = 0, D(l) = Spm (A) (20) D(fg) = D(/) n Dfe) (c£ prop, 1), Pour tout &-hornomorphisme <p ; B ~> A et toute fonction g e 13, on a : (21) (Spm(T))^(D(g))=D(Tfe)).
1 — ENSEMBLES ALGEBRIQUES 3 1 Proposition 7. — Les ouverts principaux D(/) pour /eA forment une base de la îopologie de Zariski sur Spm (A). En effet, soit V(ct) un fermé de Spm (A), où a est radiciel, et soit x $ V(a); il suffit de prouver (compte tenu de (20)) qu'il existe /eA tel que x e D(/) et D(/)CSpm(A)-~V(ct); cela signifie que/e a etf(x)& 0 et l'existence d'une telle fonction f résulte de ce que a = t(V(a)) et de l'hypothèse x ç*V(a). Nous allons voir qu'un ouvert principal D(f) C Spm (A) peut être considéré de façon canonique comme un ensemble algébrique abstrait, dont la topologie de Zarisld est la topo- logîe induite sur D(y) par celle de Spm (A). En premier lieu, considérons l'anneau Af des applications (22) *H«M//(«)" de D(/) dans k, où g est une fonction régulière sur Spm (A) et n un entier quelconque ^ 0; il est clair que Af est une A-algèbre de type fini (engendrée par les restrictions à D (f) des générateurs de A et par la fonction 1//'définie dans D(/) ) ; en outre, elle est réduite^ comme il résulte du lemme suivant ; Lemme 1. — Pourque la fonction (22) soit nulle dans D(/), il faut et il suffit que g e A soit telle que fg = 0- En effet, si (22) est nulle dans D(/), comme f(y) ~ 0 dans l'ensemble V(A/), complémentaire de D(/) dans Spm (A), on a f(y) g{y) = 0 pour tout y € Spm (A), autrement dit fg = 0. La réciproque est immédiate. Pour prouver alors que A^est réduite, îl suffit d'observer que si (g(x)lf(x)n)n = 0 dans D(/), on a g(x) = 0 c'ans *}(/), donc fg = 0, et par suite g(x)jj {x) — 0 dans D(/).
32 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE En particulier, un polynôme P ^ 0 de AjTj, ..., TJ ne peut être nul dans un ouvert non vîde de l'espace affine k*. Proposition 8. — II existe une bijectton canonique p de Spm (A,) sur D(/) qui est un homéonwrphîsme lorsque ton munit Df/1) de la topologie induite par la topologîe de Zarîskî de Spm (A). On a en effet un homornorphîsme canonique e : A ~> A^ qui, à toute fonction g e A, fait correspondre sa restriction à. D(/) (on notera que e n'est pas nécessairement injectîf si/est diviseur de zéro dans A); nous allons voir que p — Spm(e) : Spm (A^) ~> Spm (A) a pour image DC/) et répond à la question. Nous allons d'abord définir un isomorphisme canonique <p de l'algèbre B = A[T]/(1 —/T)A[T] (T indéterminée) sur l'anneau A^ : il suffit de définir un A-homo- morphisme <p0 : A[T] ~> Af par la condition que <p0(T) est la fonction xl~*ljf(x) définie dans D(/) et %(g)= e(g) pour g € A, et d'observer qu'alors q^fl —/T) = 0, d'où l'homomorphisme <p par passage au quotient. Il est clair que <p est surjectif, l'application (22) étant l'image par <po de gT". Pour voir que <p est injectîf, on remarque que tout élément de A^ est de la forme <p0(gT") ; on a vu plus haut (lemme 1) que, si l'application (22) est nulle dans D(/),ona/"g=0 dansA,donc gTl = (l—fnTl) gT\ ce qui prouve que g~Plappartient à l'idéal (1 —/T) A[T], et par suite que son image dans B est nulle. Ecrivons maintenant A sous la forme k\T1;i ..., TJ/a, de sorte que Spm (A) est identifié à un ensemble algébrique VCkn et A = A(V); soît F un polynôme de A[Tj, ..., Tw] dont/est la restriction à V; si l'on considère dans k f Tj, ...,TM,T,! + J l'idéal fe engendré par o et par 1 —TW + 1F, l'algèbre B s'identifie à A[Tlî...îTttîT,1 + 1]/b=A(W)
1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 33 si W est l'ensemble algébrique défini dans kn+1 par l'idéal fe. Il est immédiat d'après cette définition que W est l'ensemble des points (^, ..., xn, xn+1) tels que (xli - .-,½) e V et 1—xn+1f(x1 , .. ., #n) = 0. Siyest la restriction à W de la projection fe, .. -, *„, *n+1) l-> fa, ...,*„) de A"+1 sur A", on voit aussitôt que u(W) = D(/) et que u (qui est un morphîsme de W dans V (n° 2)) est une bijec- tïon de W sur D(/) (W est le graphe de l'application (xls .. ,,¾) [-> ljf(xls ...,a„) de D(/) dans k). Il reste à voir que u est un homéomorphisme, et pour cela il suffit (puisque a est continu (prop. 6)) de montrer que l'image par u d'un ouvert U de W est un ouvert de D(/). On peut se borner au cas où U est l'ensemble des fa, -..»tfn)tf„+i) eW tels que Pfa, ■■■^A+i) 5* u pour un polynôme P de AfTj, ..., T„ + 1] (prop. 7); l'ensemble «(U) est alors l'ensemble des fa, ..., #n) dans D(/) tels que PC*!, ...,*„, l//fa,...,*n))* 0. Or, on peut écrire P(T1; ..., T„, I/F(T„ ..., T„)) = Q(T, TJ/CFfT,, ...,T„))» pour un entier m > 0, et l'ensemble «(U) est donc aussi l'ensemble des fa, , %) € D(/) tels que Qfa, ...,*„)?* 0 d'où la conclusion (prop. 7). On notera que lorsque A est intègre et / ^ 0, A, s'identifie au sous-anneau A[l//] du corps des fractions de A, car la relation fg=0 entraîne alors g = 0, donc (lemme 1) Phomomorphïsme de A[l//] sur A, qui à gjfn fait correspondre la fonction (22) est injectif.
34 COURS DE GÉOMÎîTRIE ALGÉBRIQUE Ilest clair que l'injection canonique j : D(/) -> Spm (A) est un morphisme, dont le comorphïsme est l'homomor- phisme canonique e : A ~> A^ défini plus haut. Il convient de noter ici que les fonctions régulières sur D(/) ne sont pas nécessairement des restrictions de fonctions régulières sur Spm (A). 6. Produit d'ensembles algébriques Soient X C km7 Y C kn deux ensembles algébriques ; on identifiera A(kfn) au sous-anneau ^[Tj, , TBl] de A(km+n) = k\T17 ..., Tm + 1(] et A(kn) au sous-anneau kUn+i> -..»T„+„]. Soient a = t(X), b = t(Y) qui sont des idéaux radiciels, et soit c l'idéal de ^[Tj, . - -, Tm+„] engendré par a U b- L'ensemble algébrique V(c) dans #"+" est donc défini par les équations p(*l *J = o, Q.(*„+1, ■--,*-*„) =o où P parcourt a et Q parcourt b, et pai' suite V(c) = X X Y. L'algèbre A(X X Y) des fonctions régulières Sur X X Y est donc canoniquement isomorphe à D'autre part, le produit tensorîel A(X) ®k A(Y) s'identifie canoniquement à (k[Tlt ..., T.,]/,!) % (ft[T„„, .. -, Tm+„]/b) ; mais le produit tensorîel ALT,, .. ,T,„]®^[T,„+1 Tm+„] s'identifie canoraquement à k\Tlt - - •iTm+^\a et l'idéal c peut s'écrire n®,«*[T„ + 1 T„, + „] + k\Tt, ..., T„] ®kb une fois qu'on a fait cette identification; la formule donnant le produit tensorîel de deux quotients (A, 41) montre
1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 35 donc que A(X) ®k A(Y) s'identifie canonïquement à AfTj, ..., Tm+n]/c. On a donc un £-homomorpbisme canonique surjecûf : (23) 9 : A(X) ®k A(Y) ->A(X X Y) qu'il est d'ailleurs facile d'expliciter, en notant qu'une fonction régulière/eA(X) (resp. geA(Y)) est la restriction à X (resp. Y) d'un polynôme PfTj, ,Tm) (resp. Q.(Tm+j, , Tm+„) ) ; en vertu de ce qui précède, 9(/@ g) est la restriction à X X Y du polynôme PfTj, ..., Tm) Q.(Tm+1, .. -, Tm+n), autrement dit c'est la fonction régulière (24) (x,y) .->/(*) g{y). Proposition 9, — Vhomomorphisme canonique (23) est un isomorphisme de A(X) ®k A(Y) sur A(X X Y). Comme nous savons déjà que <p est surjectif, il suffit de voir que 9 est injeclif. Raisonnons par l'absurde; soit h = ^jfi ®gî un élément 5* 0 du noyau de <p, et sup- »-1 posons que l'expression de h comme somme de termes /j®g^0 ait un nombre « ^ 1 de termes le plus petit possible. Comme les fonctions g~ ne sont pas toutes nulles dans A(Y), il existe y e Y tel que les «éléments g\i,y) ek ne scient pas tous nuls; paf définition, on a alors ÊjiM sdy) = 0 pour tout x e X, donc les fonctions j£ (1 ^ î:^ n) sont linéairement dépendantes (sur £) dans A(X). Supposons par exemple que ^ = S <V/$ (¾ eA). Alors 3=2 i>=A®gl+ £/j®a= £j§®(s + «,a)
36 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE et on aurait pour h une expression comme somme de moins de n termes non nuls, ce qui est contradictoire. Nous identifierons désormais A(X x Y) et A(X)<8fcA(Y). Aux ^-homomorphîsmes canoniques pj ;/h>/© 1 et p2:£Kl©£ de A(X) et A (Y) dans A(X)©ftA(Y) correspondent les morphismes prj :XxY->X et pr2 : X X Y-j-Y, projections canoniques. Ces deux projections font de X X Y un produit au sens catégorique dans la catégorie des ensembles algébriques, autrement dit : Proposition 10, — Etant donnés un ensemble algébrique Z et deux morphismes u : Z ~>X, y : Z -> Y, ^application w : Z -^-X X Y dêfiniepar w(z) = («(2), î>(#)) est Punique morphisme tel que u = prj o w, » = pra o w. En effet, a; est évidemment Punique application ayant les propriétés voulues et il suffit de voir que c'est un morpliisme. Or, on sait qu'il existe un unique £-homo- morphîsme 8:A(X)8^A(Y)->-A(Z) telqueA(w) =60¾ et A(v) = 60 p2, et comme le morphisme w' :Z~>X X Y tel que A(w') =6 a les mêmes propriétés que wy on a w' = w. Corollaire, — Si u : X -^- X', 0 : Y -> Y' jo«f ^tv morphismes, ^application u X v : [x,y) h» («(^)3 v(y)) est tin morphisme de X X Y rfûMj X' X Y'- On a en effet pr1 0 (u X v) = « et pr2 o (« X f) — f. On aura soin de noter que la topologîe de Zarisld sur X X Y est en général strictement plus fine que le produit des topologies de Zariski sur X et Y, Pour la topologîe produit, les ensembles (25) D(/®g)=D(/) xDfe)
1 — ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 37 (cf, (24)), où/parcourt A(X) et g parcourt A(Y), forment une base de la topologie; maïs il y a en général des ouverts de Zariski dans X X Y qui ne contiennent aucun ensemble (25) non vide. Par exemple, si X = Y = ky les ensembles (25) non vides sont les complémentaires des réunions finies d'ensembles de la forme {x} X Y ou X X {y}', comme k est infini, aucun de ces ensembles ne peut être contenu dans le complémentaire de la diagonale de k\ ensemble algébrique défini par ^ — x2 — 0. Proposition 11, — Si Xa est une partie fermée de X et Yj une partie fermée de Y, X.x X Y1 est fermé dans X X Y. En effet, on peut écrire A(XJ = A(X)/a, A(YJ = A(Y)/b où a (resp. t>) est un idéa] de A(X) (resp. A(Y)), donc A(X, x YJ = A(X,) ®6 A(YJ = A(X X Y)/c où c = A(X)®b +n®A(Y), donc X,xY, = V(c).
§ 2. Prévariétés et variétés algébriques 1, Faisceaux de fonctions et espaces de Cartan Soient X un espace topologique, E un ensemble. On appelle faisceau de fonctions sur X à valeurs dans E, une application fF : U K^fU) de l'ensemble des ouverts U de X dans l'ensemble $($(X X E)) telle que : lo ^"(U) est un ensemble d'applications de U dans E (identifiées à leurs graphes) ; 2° &î V est un ouvert de X contenu dans U, l'application /i-»/|V qui à toute fonction /e^fU) fait correspondre sa restriction à V est une application de &(U) dans ^(V) ; 3° si (UK) est une famille d'ouverts de X, U leur réunion, et si/est une application de U dans E telle que pour tout a, f\Va appartienne à #"(Ua), alors on a Les éléments de J^fU) s'appellent aussi les sections du faisceau W au-dessus de l'ouvert U et on écrit TfU, &) au lieu de ^(U), Proposition 1. — Soit 33 une base d'ouverts pour X, et pour tout ensemble W e 23, soit J^fW) un ensemble d'applications de W dans E ; on suppose que ces ensembles vérifient les conditions suivantes : a) Si W' C W sont deux ensembles de 23, pour toute fonction /e^(W), /|W' e^(W'). b) Si (Wa) est une famille d'ouverts appartenant à 23, dont la réunion W appartient à 23, et si f est une application de W
2—PRÉVARIÉTÉS ET VARIETES ALGÉBRIQUES 39 dans E telle que f ] WK e ^"(Wtt) pour tout oc, alors on afe^ÇW), Il existe alors sur X un faisceau et un seul & de fonctions à valeurs dans E tel que TÇW1^r) = ^(W) pour tout Weffi. Tout ouveit U de X est réunion des ouverts W e 23 contenus dans U; si W existe, FfU, J^") doit donc être rensemble J^'fU) formé des fonctions dont la restriction à chacun de ces ouverts W appartient à J^fW), d'où l'unicité de g? s'il existe et le fait que r(W,^) = ^(W) pour W e 23, en vertu de a) et b). En outre, il est clair que les J^'fU) vérifient la condition 2° ci-dessus; reste à voir qu'ils vérifient aussi la condition 3°, La définition de J^'fU) montre aussitôt qu'il suffit de vérifier que, si pour un ensemble WCU appartenant à 23, une application /de W dans E est telle que pour tout a et pour tout V e23 contenudans UK n W, onaït/]V e^(V), alors on a nécessairement / e ^(W), Mais comme la réunion des ensembles de 23 contenus dans un au moins des Ua ri W est W tout entier,celarésulteencoredeb). A l'aide de cette notion, nous allons définir une catégorie dont nous appellerons les objets espaces de H, Cmian (relatifs à E) ; ce sont les couples (X, &) formés d'un espace topologique et d'un faisceau de fonctions J^"sur X à valeurs dans E, Un morphisme d'un espace de Car- tan (X, &) dans un espace de Cartan (Y, @) est par définition une application continue u de X dans Y vérifiant la condition suivante ; (*) Pour tout ouvertV de Y et toute fonction geffV,^), la fonction x\-*g(u(x)) définie dans u~1(V) appartient à r(«->(v),ff). Il est clair que le composé de deux morphîsmes est un morphisme, ce qui montre que l'on a bien défini ainsi une catégorie.
40 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Proposition 2, — Soient (X, ^), (Y, @) deux espaces de Carton, 23 (resp. 23') une base d'ouverts pour X (resp. Y). Pour qu'une application u de X dans Y soit un morphisme, il faut et il suffit que pour tout x € X et tout voisinage V e 23' de u(x)3 il existe un voisinage U e 23 de x contenu dans u"1(V) et tel qiie l'image par l'application gM-(go«)|U deF(Vt&) soit contenue dans FfU, i^"). La condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons-la vérifiée; elle entraîne tout d'abord que u est continue. En outre, soit W un ouvert de Y et g e F(W, CS) ; pour tout x e«~1(W)> il existe un voisinage U^ €23 contenu dans «_1(W) et un voisinage V^) e23' de u(x) contenant «(U^ et contenu dans Ws tels que la restriction de gou à UK appartienne à Y{\Jxi^r)y comme la réunion des U^ est «"1(W)> on voit que ga u appartient àr(u~1ÇW)} &). Soient (X, &) un espace de Cartan, Z une partie quelconque de X, que nous munirons de la topologîe induite par celle de X. Soit V un ouvert de Z, trace U ri Z d'un ouvert U de X. Notons J^'fV) l'ensemble des applications/de V dans E telles que, pour tout x e V, il existe un voisinage Wa de x dans X tel que / coïncide dans Wx C\ Z avec une fonction de rCW^, ^). Il résulte aussitôt de cette définition que J5"' : V h» &' {V) est un faisceau de fonctions sur Z à valeurs dans E; on dît que c'est le faisceau induit par W sur Z, ou la restriction de MF à Z, et on le note J^JZ. On dit que Pespace de Car- tan (Z,^~]Z) est induit sur Z par (X,^~); la prop. 2 montre que l'injection canonique j : Z ~> X est un mor- phisme de (Z, SF ] Z) dans (X, &). Pour tout morphïsme u : (X, &) -+ (Y, @) d'espaces de Cartan, on dit que Ua j : (Z, & | Z) -> (Y, f^) est la restriction de u à (Z, & \ Z). Cette définition montre aussitôt que si Z' C Z, alors #" ] Z' = (^ ] Z) | Z'. Lorsque Z est ouvert dans X, J^" ] Z est simplement le faîsceau tel que
2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 41 r(u,^]Z) = r(u,^) pour tout ouvert U C Z. Si (Za) est un recouvrement ouvert de X, et sî pour tout oc, ua est un morphïsme de (Za, ^ ] Za) dans (Y, g?) tel que, pour deux indices quelconques oc, [3, les restrictions de «a et wpà (Za ri Zp,^"] (ZK ri Zp)) soient égales, alors il existe un morphisme et un seul u de (X, &) dans (Y, @) dont la restriction à chaque (Z^J^ZJ est «a; cela résulte aussitôt de la prop. 2 et du fait que si 23« est une base d'ouverts de Za, la réunion des 23« dans ^3(X) est une base d'ouverts de X. Supposons maintenant que E soit un anneau commutatîf. de sorte que pour tout ensemble X l'ensemble Ex des applications de X dans E est muni d'une structure d'anneau commutatîf (/+ g étant l'application x \->f(x) -\- g(x)y fg l'application x \-*f(x) g(x), 0 l'application x h» 0 et 1 l'application # h» 1). Nous dirons qu'un espace de Cartan (X, &) relatif à E est annelê si pour tout ouvert UCX, r(U,&) est un sous-anneau de Eu; en vertu de la prop. 1, il suffit qu'il en soit ainsi pour les ouverts d'une base de la topologie de X. Si VCU sont deux ouverts de X, Papplicatîon de restriction TfU,^) -> V{V^) est alors un homomor^ûsme d'anneaux. Si (X, &) et (Y, S?) sont deux espaces de Cartan annelés (relatifs à E) et « : (X,^) -^- (Y, <$) un morphîsme d'espaces de Cartan, l'application g\->gaU de T(V, S?) dans rfrT^V),^) est un homcmorphisme d'anneaux pour tout ouvert V de Y, Il est clair que les espaces de Cartan annelés (relatifs à E) forment une sous-catégorie pleine de la catégorie de tous les espaces de Cartan relatifs à E, Pour toute partie Z de X, l'espace de Cartan induit sur Z par un espace de Cartan annelé (X, &) est encore annelé.
42 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE 2. Faisceau structural sur un ensemble algébrique Soient A une ^-algèbre réduite de type fini, et X = Spm (A) muni de la topologie de Zariski. On a vu (§ 1, n° 5) que lorsque t parcourt A, les ouverts D(t) forment une base de la topologie de X; nous allons voir qu'il existe un faisceau de fonctions <3>x sur X, à valeurs dans k, tel que pour tout (eA, on ait (1) T(D(0, 0X) = A,; (X, 6\) sera alors un espace de Cartan annelé (n° 1). Nous allons d'abord montrer que les A; (t e A) vérifient (pour la base d'ouverts formée des D(f)) les conditions a) et b) de la prop. 1. Observons que par définition (§ 1, n° 5), on a : (2) B(tn) = B(t) pour tout entier n > 0. En outre (§ 1, cor. de la prop. 2), la relation V(As)DV(At) pour s, t dans A équivaut à t(As)Cx(At) ou, ce qui revient au même, à s et(At), c'est-à-dire à l'existence d'un entier n >■ 0 tel que sn ~ ht avec h e A. Compte tenu de la définition de D(ï) et de (2), on voit que les ensembles D(s) tels que D($)CD(ï) sont lèsensemb les D(kt), où h parcourt A. La formule (22) du § 1, n° 5, montre alors que l'on a : (3) Au = (At)m car on peut écrire fl{ht)n={flt^)j{hjt)n pourtoute fonction /eA, et il est clair que la restriction à T)(ht) de toute fonction g€At appartient à Aw, ce qui vérifie la condition a) de la prop. 1. Pour établir la condition b) de la prop. 1, on peut se
2 — PRKvARIKTÏiS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 43 borner, en vertu de (3), à établir que si (ta) est une famille quelconque d'élément-s de A telle que les D(£a) forment un recouvrement de X, alors toute application /: X ~>A telle que/]D(£a) appartienne à A,a pour tout indice oc, est une fonction régulière sur X. Par définition (§ 1, n° 5, formule (22)), pour tout a, il existe un entier »za >■ 0 tel que t^f eA. Comme X est ncethérien, donc a fortiori quasi compact (T, 10), il existe un nombre fini d'éléments taiy que nous noterons simplement t€ (1 < i ^ «), tels que les 1)(¾) forment déjà un recouvrement de X. Mais cela signifie aussi que l'inter.section des ensembles fermés VfA^) est vide, autrement dit (§ 1, prop. 1) qu'il n'existe aucun idéal maximal de A contenant l'idéal S Ati} ou encore que S Att = A. Remplaçant les % £-1 i=-l par les t\n pour un entier m ^ 1 quelconque, on voit (compte tenu de (2)) qu'il existe des &eA tels que (4) S&*T= •• On peut supposer m choisi de soite que tinfeA pour 1 < i < «, etalorsona/= ( S £^)/= S &(C/) eA, ce qui achève de prouver notre assertion. Nous dirons que 0X est le faisceau structural de l'ensemble algébrique X = Spm (A) ; il est clair que la donnée de ce faisceau détermine A puisque, par définition, on a (5) T(X, 0*) = A. En outre, si B est une seconde ^-algèbre réduite de type fini et Y = Spm (B), il y a identité' entre morphîsmes de l'ensemble algébrique X dans l'ensemble algébrique Y (§ 1, n° 3) et morphîsmes d'espaces atinelés de (X, 0X) dans (Y, 0Y). En effet, soit u un morphlsme d'espaces
44 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE annelés de (X, 0X) dans (Y, G)Y) ; en vertu de la condition (*) du n° 1 appliquée à F(Y, @Y) = B, « est un morphisme d'ensembles algébriques de X dans Y. Inversement, soient v : X ~> Y un tel morphi&mc, <p : B -*■ A son comorphisme ; on a vu que pour tout t e B, on a iri(D(ï)) ^ D(9(f)) (§ 1, n° 5, formule (21)); d'autre paît, une fonction g e T(D(t), àY) est par définition de la forme y\-ïh(y)l(t(y))n dans D(ï); la fonction go v s'écrit par suite "HiW«))/(([«'=(9(J)[«))/(9(l)(<))" ce qui montre aussitôt que g\-*gav est un homomor- phisme de A-algèbres de Bj = V(D(t)3 G)Y) dans a*» - r(»-i(D(0), ^x) ; la prop. 2 montre alors que v est un morphisme d'espaces annelés. Pour tout ensemble algébrique abstrait X (§ 1, n° 3), qui est par définition isomorphe à un ensemble algébrique de la forme Spm (A), on définit de façon évidente le faisceau structural 6\ par transport de structure, et i] y a encore identité entre morphismes d'ensembles algébriques et morphîsmes des espaces annelés correspondants. Les espaces annelés (X, 0X) correspondant aux ensembles algébriques abstraits forment donc une sous-catégorie de la catégorie des espaces annelés (relatifs à k)> équivalente à celle des ensembles algébriques abstraits. Nous appellerons variétés algébriques affines sur k (ou simplement variétés affines) les objets de cetLe sous-catégorie. 3. Prévariétés algébriques Définition 1. — Une prèvariàè algébrique sur k (ou plus brièvement une prévariétè) est un espace de Carton an- tielê (X, 6¾ relatif a k, satisfaisant aux conditions suivantes ;
2 — PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGEBRIQUES 45 1° Vespace X est nœtkérien (T, 9). 2° II existe un recouvrement (Ua) de X tel que chacun des espaces annelés induits (UK, 0X ] Ua) soit une variété algébrique affine sur k. Tout ouvert U d'une prévariété X tel que (U, 0X ]U) soit une variété affine sera appelé un ouvert affine de X. 11 est clair qu'une variété affine est une prévariété. Proposition 3. — Une prévariété algébrique X est un espace topologique dont les ensembles réduits à un point sont fermés, et qui admet une base d'ouverts formée d'ouverts affines. La seconde assertion résulte de la définition 1 et de la propriété analogue pour les variétés affines (§ 1, n° 5, prop. 7). D'autre part, une partie F de X est fermée si et seulement si F ri Ua est fermé dans chacun des sous- espaces ouverts Ua, et par suite la première assertion résulte aussi de la propriété correspondante pour les variétés affines (§ 1, n° 4, prop. 5). Corollaire. — Pour tout ouvert U d'une prévarîété X, l'espace annelé induit (U, 0X ] U) est une prévariété. On sait en effet que tout sous-espace d'un espace ncethérïen est ncethérïen (T, 9) et, d'autre part, si 23 est une base d'ouverts affines de X, les ensembles de 23 contenus dans U forment une base de U, Proposition 4, — Pour tout ensemble localement fermé Z d'une prévarîété X, l'espace annelé induit (Z, 0x|Z) est une prévariété. Tout ensemble localement fermé dans X étant ouvert dans son adhérence, il résulte du cor, de la prop, 3 qu'on peut se limiter au cas où Z est fermé dans X. Si (UfJ est un recouvrement de X formé d'ouverts affines il suffit de
46 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE montrer que les espaces annelés (Z ri Ua, 0X\(Z C\ UK)) sont des variétés affines, autrement dit on est ramené au cas où X = Spm (A) est une variété affine, donc Z = V(a), où a est un idéal radicîel de A. Soit 9 : A -> A/a l'homo- morphîsme canonique, de sorte que j = Spm(<p) est l'injection canonique Z ~> X; lorsque t parcourt A, les ouverts D(<p(t)) =j~1(B(t)) = D(ï) n Z forment donc une base d'ouverts de Z. Or, dans D(ï) = Spm (A(), l'ensemble fermé D(t) C\ Z n'est autre que Vfuj), où at est l'idéal formé des fonctions x h-* g[x) j[t[x) )" pour g e a et « entier ^ 0. En effet, il est clair qu'une telle fonction s'annule dans D(£) C\Z; inversement, si fe A est telle que f(x) = 0 dans D(ï) n Z, il est clair que la fonction y\->f{y)t{y) est nulle dans Z, donc tf e a, et la restriction x\-*f(x) de f à D(ï) peut aussi s'écrire x h» (f[x)t(x)) ft(x). L'anneau A,/0( est donc formé des restrictions à Z ri D(t) des fonctions h eAjj il est immédiat que cet anneau peut aussi s'écrire (A/a) j, où F~ <p (ï), Le résultat du n° 2 appliqué à l'ensemble algébrique Z = Spm (A/a)s et la définition d'un faisceau induit montrent alors que 0Z n'est autre que le faisceau induit 0X ] Z. On dit que la prévariété (Z, 0X|Z) est une foitf- prévûriéteôc la prévariété (X, 0X). Lorsqu'on parlera d'une partie localement fermée Z de X comme d'une prevaniété, ce sera toujours de la sous-prévariété (Z, 0X\Z) qu'il sera question. On définit la catégorie des prévarïéiés sur k en prenant comme morphismes de prévariétés les morphïsmes d'espaces de Cartan, de sorte que cette catégorie est une sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces de Cartan relatifs à k. Autrement dit, un morphisme : h : (X, 0,0 - (Y, ffy) de prévaiïétés est une application de X dans Y vérifiant la condition suivante :
2 - prévAriétés et variétés algébriques 47 (**) Pour tout ouvert affine V de Y et tout x e rT^V), il existe un ouvert affine U C w-1(V) contenant x et tel que la restriction de u à U soit un morphisme (f ensembles algébriques de U dans V. Un isomorphisme u : (X, (¾ -^- (Y, <3>y) de prévariétés est donc une application bijective de X dans Y vérifiant la condition : (***) Pour tout ïeX, il existe un ouvert affine U contenant x et tel que la restriction de u à U soit un isomorphisme de U sur un ouvert affine de Y. Une application vérifiant (***), mais non nécessairement bijective, est un morphisme de X dans Y; on dit que c'est un isomorphisme local de X dans Y. Remarque. — L'image d'une partie localement fermée d'une prévariété X par un morphisme u : X -> Y n'est pas nécessairement localement fermée dans Y; c'est ce que montre Vexemple (xltx^ h» (x1x2>x^i où l'image de A2 est le complémentaire dans k2 de l'ensemble des (ï, 0) pour iyt 0 dans A. Exemples. — Une application constante u : * l->J,0 d'une prévariété X dans une prévariété Y est un morphisme; on est aussitôt ramené par (**) au cas où X = Spm (A) et Y = Spm (B) sont affines, et si y0 — V(lTt)» on a u = Spmftp); 9 étant rhomomorphJBrne composé : b4-a-^a où x est l'homomorphisme canonique de noyau m, et k ~> A l'homomorphisme canonique. Une fonction régulière f sur une prévariété X (autrement dit, un élément de F(X, 0X)) est un morphisme de X dans la droite affine k en vertu de (**) et du fait que la restriction de f à tout ouvert affine U est une fonction régulière.
48 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Pour tout morphisme de prévariétés : u : (X, 0X) - (Y, 0Y) l'application (6) r(U):r(Y,oY)-*r(x,ox) qui à toute section g e F(Y, 6\) fait correspondre go u e r(X, (Px) est évidemment un homomorphisme de A-algèbrcs, mais en général elle ne détermine plus le morphisme u (cf. § 3, n° 2). Toutefois, la proposition suivante généralise la prop. 3 du § 1 : Proposition 5. — Supposons que Y soit une variété affine. Alors, pour toute prévarîété X, Vapplication «h» F(«) «f une bijectlon de Censemble des morphismes de X dans Y rar /Vn- «Biife Hbmfrate.(r(Y, 0y), T(X, 0X)). En effet, soit (Ua) un recouvrement de X par des ouverts affines, et considérons pour tout a l'homomor- phisme g h» (g o u) ] Ua de £~algèbres de F(Y, 0Y) dans r(UK, 0X) ; si «K : Ua -^ Y est le morphisme restriction de « à UK, g h» (go u) ]UH est l'homomorphisme A(«a). Si «' est un second morphisme de X dans Y, la relation gou = g ou' pour toute section g e F(Y, @Y) entraîne donc que les restrictions de u et u' à chaque Ua sont égales (§ 1, prop. 3), et par suite u — u puisque les Ua recouvrent X Reste à voir que pour tout ^-homomorphisme 9 : F(Y, 0Y) -> T(X, 6^), ilexisteun morphisme u : X ^ Y tel que 9 =. F(«). Or, pour tout a, l'homomorphisme composé T(Y, G>Y) X T(X, 0X) -> T(UH, C\), où le second homomorphisme est Phomomorphisme de restriction, est de la forme Afw^), où ua : Ua ->■ Y est un morphisme (§ 1, prop. 3); il suffit de montrer que pour deux indices quelconques a, (3, les restrictions de ua et «p à Ua ri Up sont égales. Mais comme les ouverts affines forment une base d'ouverts de X, il suffit de voir que pour tout ouvert affine VCUarïUp, les restrictions
2 - PRÉYARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 49 <le ua et «p à V sont égales. Or, cela résulte du § 1, prop. 3 i-t du Êiit que ces restrictions ont même comorphisme P(Y, &Y) X T(X, 0X) ~» T(V, c\), où le second homo- morphisme est l'homomorphisme de restriction. Corollaire. — Pour qu'un ouvert U dans une prévariété yi soit un ouvert affine, il faut et il suffit que FfU, 0X) soit une h-algèbre de type fini et que le morphisme : u :U->Spm (r(Usc\)) tel que F(y) soit l'application identique de F(U, c\), soit un isomorphlsme. Ce critère permet de voir qu'il y a des variétés affines X dont certains ouverts U ne sont pas des ouverts affines. Prenons par exemple X = k2 = Spm (^[Tx, T2]) et montrons que l'ouvert U ==k2— {(0, 0)}, complémentaire du point (0, 0), n'est pas affine. En effet, U est réunion des deux ouverts affines Ux = 1)(¾ et U2 = DfTg); une fonction régulière f dans U a pour restriction à TJX une fonction régulière qui est nécessairement de la forme (¾, x2) k P(x1, #2) /4', où Pe A[Ti, TE] est un polynôme et m un entier ^ 0; on peut évidemment supposer que P n'est pas divisible par Tx. On a donc : ^/(^,^2)-^1,½) =0 dans Uxj mais le premier membre est défini dans U et est une fonction continue, donc l'image réciproque de 0 par cette fonction est fermée dans U, et comme Uj est dense dans U (et même dans X), on a : *?/(*!, xg) =P(#1,#2) dans U ; en particulier, si m ^ 1, P(0,.%) = 0 pour tout xz ^ 0, ce qui est contraire à l'hypothèse que P n'est pas divisible par Tx. On voit donc que/est néces-
50 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE sairement la restriction à U d'un polynôme, évidemment unique puisque k est infini. Autrement dit, on a : rcu.tf^rfx.tfx); le morphisme u : U ~> Spm (T(X, 6¾) = X tel que T(u) = id. coïncide dans Ux et U2 avec l'injection canonique, donc est l'injection canonique U —> X, qui n'est évidemment pas un isomorphisme. Remarques. — (i) Soient X une prévariété, U, V deux ouverts affines de X; alors les ouverts WCU C\ V qui sont principaux à la fois pour U et V (n° 5) forment une base d'ouverts dans U C\ V. En effet, tout * e U C\ V a un système fondamental de voisinages formé des D(î)CUoV, avec s e A(U). Or, pour chacun de ces voisinages D(s), il y a un î e A(V) tel que D(ï) soit un voisinage de x contenu dans D($); si 9 : A(V) -+ A(U)t = A(D(») correspond à l'injection canonique D(s) ~> V, on a aussi D(/) = D(9(/))3 mais <p(t) est de la forme s'fsm avec s' eA(U); on a donc aussi D(9(ï)) = D(ss') avec ss' e A(U), ce qui prouve notre assertion. (ii) Soient X, Y deux prévariétés, et soit Z la somme des espaces topologiques X, Y (X et Y étant identifiés à deux ouverts sans point commun dans Z, dont la réunion est Z). Il est clair qu'on définit sur Z une structure de prévariété en prenant F(U, &z) = F(U3 6¾ pour tout ouvert UCX et V(V3 07) = T(V, 6>x) pour tout ouvert VC Y (prop. 1); on dit que cette prévariété est la somme des prévaiïétés X, Y, et on la note X 11 Y. Si X et Y sont affines, il en est de même de X 11 Y et l'on a A(X 11 Y) = A(X) x A(Y), et X = V({0} x A (Y)) et Y = V(A(X) X {0}) en vertu de la caractérisation des idéaux maximaux dans un produit d'anneaux (A, 10).
2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 51 4. Produit de puévariétés Soient X, Y deux prévariétés algébriques sur k; pour tout ouvert affine U C X et tout ouvert affine V C Y, nous avons vu que l'ensemble U X V est canoniquement muni d'une structure de variété affine pour lesquelles les fonctions régulières sont les fonctions de la forme où les ft (resp. &) sont des fonctions régulières sur U (resp. V) (§ ls n° 6). Cela entraîne tout d'abord qu'il existe sur X x Y une topologïe et une seule qui induit sur chaque produit U X V d'ouverts affines la topologie de Zariski correspondanle (qui, rappelons-le, n'est pas en général la topologïe produit des topologies de Zariski de U et de V). En effet, pour le prouver, il suffit de montrer que si U' (resp. V) est un second ouvert affine de X (resp. Y), alors les topologies induites sur (U x V) n (U' x V) = (U n U') x(Vn V) sont les mêmes. Or, soit (x,y) un point de ce produit, de sorte qu'il existe un ouvert affine U" C U ri U' (resp. V" C V Pi V') contenant x (resp.y) ; les topologies induites par les topologies de Zariski de U X V et de U' X V sur U" x V" sont toutes deux identiques à la topologie deZariskisur U" X V", cette dernière étant entièrement déterminée par l'algèbre A(U" X V") = A(U")<>\A(V") des fonctions régulières sur U" X V", qui est la même, que l'on considère U" X V" comme ouvert affine dans U x V ou dans U' X V; les voisinages de (x,y) dans (U x V) Pi (U' X V) sont donc les mêmes pour les topologies induites par celle de U x V et par celle de U' X V'j ce qui prouve notre assertion. On voit en outre que, pour cette topologie, les ensembles W qui sont des ouverts affines dans un produit U x V d'ouverts affines3 forment une base d'ouverts, et que les £-algèbres A(W)
52 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE définissent, en vertu de la prop. 2, un faisceau de fonctions @xxy tel clue l'espace de Cartanaunelé (X X Y, 0Xx y) vérifie la condition 2° de la déf. 1. Mais il vérifie aussi la condition 1° puisque X (resp. Y) est réunion d'un nombre/mî d'ouverts affines U4 (resp. Vj-), donc X x Y est réunion des sous-espaces ncethériens U^ x V,- en nombre fini, et par suite est ncethérien (T, 9). Nous avons ainsi défini sur X x Y une structure de prévariété3 dite produit des prévariétés X et Y. Proposition 6. — Soient X, Y deux prévariétés^ Xj (fesp. Yj) une partie localement fermée de"K (resp. Y). Alors Xx X Y, est localemerd fermé dans X X Y et la sous- pnévariété Xi X Y^^ est le produit des sous-prévariétés X1? Yx respectives de X et Y. Un ensemble localement fermé d'un espace topologique étant ouvert dans un sous-espace fermé, on peut se limiter au cas où Xj et Yx sont tous deux ouverts ou tous deux fermés. Dans le premier cas, la proposition résulte aussitôt de la définition du produit. Dans le second cas, on est ramené à prouver que si U (resp. V) est un ouvert affine de X (resp. Y) (UxV)n(X,xY,) = (Un Xj x (V n Yt) est fermé dans U x V et, en tant que variété affine, est produit de \J C\'K1 et de V rï Y±; niais ceci n'est autre que la prop. 11 du § 1, n° 6. Proposition 7. — Soient X3 Y deux prévariétés. (i) Les projections prx : X X Y^X,pr2:X X Y -> Y sont des morphismes. (ii) Pour tout Xq e X (resp. j>e eY), ^application j>h» (x0,y) (resp. x h» (x7y0)) est un isomorphisme de Y (resp. X) sur la sous-prévariélé fermée {x0} X Y (resp. X X{j>c}) <** X x Y.
2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 53 (iii) Pourtout couple demorpkîsmes u : Z ~> X, v ; Z ~> Y, F application (u, v) : zh- (u(z)) v(z)) est un morphisme de Z dans X x Y. (i v) Pour tout couple de morpkîsmes u : X' ~> X, v : Y' -> Y, Fapplication uXv : (a/,./) h» («(#*), z>(y)) est un morphisme de X' X Y' rf<™ X X Y. (i) Tout point (#,J>) admettant un voisinage ouvert affine U x V, où U (resp. V) est un voisinage ouvert affine de x (resp>j>), la restriclion de prx (resp. prg) à U X V est la première (resp, seconde) projection de ce produit, d'où la conclusion (§ 1, n° 6) , (iii) Pour tout z eZ, il y a un voisinage ouvert affine U (resp. V) de «(2) (resp. v[z)) dans X (resp. Y) et un voisinage ouvert affine W de z dans Z tels que w(W)CU et f(W)CV; la conclusion résulte alors du § 1, n° 6, prop. 10. (iv) On a prx o (u X v) — «, pr2 o (u X v) — v, et il suffit d'appliquer (iii). (îî) Comme y\->(xc,y) est une bijection de Y sur {xc} X Y3 on est encore ramené, en prenant des voisinages ouverts affines, au cas où X et Y sont affines. Mais si X = Spm(A), Y = Spm(B) et {*„}=V(m), où m est un idéal maximal de A, il suffit d'observer que puisque A/m est isomorphe à k, l'homomorphisme canonique B -^- (A/m) ®k B est bijectif. Il résulte en particulier de la prop. 7 que les bijections canoniques de commutalivité : (x,y) h» (y, x) de X x Y sur Y X X, et d'associativité : ((x,y), z) h» {x, {y, z)) de (X X Y) X Z sur X X (Y X Z) sont des isomor- phismes de prévariétés, d'où la définition du produit Xj X Xa X ... X XJV d'un nombre quelconque de prévariétés et ses propriétés usuelles.
54 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE Corollaire. — (i) *S¥ X et Y sont non vides, la topologie de X (resp. Y) est la topologie quotient de celle de X x Y par la relation pr^ — pr^' (resp. pr22 = pr22'). (ii) Si X et Y sont des préoariétés irréductibles, X X Y est irréductible. (i) Il s'agit de voir que si F est une parlie de X telle que F X Y soit fermé dans X X Y, alors F est fermé dans X. Mais pour tout y e Y (F x Y) n (X x {y}) = F x {y} est fermé dans X x {y}, et la conclu-sion résulte de ce que x h- (x,y) est un isomorphjsme de X sur X x {y}. (ii) Soit (x0,y0) un point de X x Y. Comme{xc} x Y est une sous-prévariété irréductible de X x Y, elle est contenue dans la composante iiréductible C de X x Y contenant (x0,y0). Alors, pour tout ^eY, X x {y} est une Kous-prévariété irréductible de X x Y rencontrant C au point (x0,y), donc contenue dans C. Cela prouve que C = X X Y Remarque. — Nous montrerons plus tard (§ 4, cor. de la prop. 15) que les projections canoniques prx et pr2 sont des applications ouvertes. 5. Recollement de prévariétés Considérons une famille finie (X^) de prévariétés, et supposons que pour tout couple (a, (3) d'indices, il existe un ouvert Xap de Xa, un ouvert XPa de Xp et un iso- morphisme <ppo, de la prévariété induite par Xa sur X^p, sur la prévariété induite par Xp sur X^, de sorte que les conditions suivantes soient vérifiées : I) X^a = Xa el fpaa = lj- pour tout a. IT) 9pw et 9xp sont des isomoqjhisraes réciproques l'un de l'autre.
2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 55 III) Pour trois indices quelconques a, (3, y, notons 9p"£ la restriction de <ppK à XaP ri X^; alors <pp"£ est un isomorphismc de Xap ri X^ sur Xp^ ri XpTS et l'on a (condition de recollement) : (7) 9t* s 9¾ ° 9p* • (On observera que la condition II) est conséquence de I) et III) lorsqu'on y fait y ~ a.) On sait alors qu'il existe un espace topologique X ets pour chaque indice a, un homéomorphisme <]>a de Xa sur un ouvert 4j«(Xa) de X, de sorte que X soit réunion des (Jja(Xa), que l'on ait : WXJ = *B(Xpo) - 4»B(X„) r, 4.p(Xp) et 9p«(*«) = 4^(4^(¾)) pour tout xa eXap, quels que soient les indices a, (3. Cela éLant, on peut transporter le faisceau de fonctions 0-v sur Xa en un faisceau de fonctions^ sur <Jja(Xa) au moyen de l'homéomorphisme <]>a; cela signifie que pour tout ouvert U C i]>a(X.a), ^.(U) est l'ensemble des fonctions z v-> g(ty~ 1(z)), où g parcourt F(iJj~ 1 (U), &XJ. Nous al Ions voir que les.^, sont les restrictions aux^fXJ d'un unique faisceau de fonctions <3>x sur X et que (X, 0-^ est une prévariété telle que, pour tout a, tya soit un isomor- pklsme de la prévariété Xa sur la prévariété induite parX sur ^(Xa). Compte tenu de la prop. 1, et du fait que si 23K est une base d'ouverts de (Jitt(Xft), la réunion 23 des 23« dans *J3(X) est une base d'ouverts de X, il suffit de montrer que les restrictions de &a et de ^ à ^(¾ ri tJjp(Xp) sont égales. Or, pour tout ouvert WC^JXJ ri tJipfXp), on a ^p1^) = <Pp«(<IJ«1(Jï)) pour tout z e W; les fonctions de ^p(W) sont les fonctions g o tjjp 17 où g parcourt Fftjjp 1(W),filx ) ; mais, par hypothèse, les fonctions go çpa sont alors les fonctions de FftJj^fVV), ^xj* d'où notre
56 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE assertion. Il est clair que X, réunion d'une famille finie d'espaces nœthériens, est nœthérien (T, 9), et si on prend pour chaque 23a une base d'ouverts affines de t^fX^), 23 est une base d'ouverts affines pour X, qui est donc bien une prévariété; le fait que les tya sont des isomorphismcs de prévariétés résulte de leur définition et de celle de 0X. On dit que la prévariélé X est obtenue par recollement des prévariétés Xq. le long des Xap au moyen des 9Pa. On identifie d'ordinaire les Xa aux prévariétés i]>a(Xa) induites par X, au moyen des isomorphismes tytt. 6. Variétés Algébriques Proposition 8. — Pour toute variété affine X, la diagonale Ax est un ensemble fermé dans X x X. Pour toute prévariété X, la diagonale Ax est un ensemble localement fermé dans X x X. Si X est une variété affine, X X X est un sous-espace de kn x kn, et Axest la trace sur X X X de la diagonale de kn\ on est donc ramené, pour la première assertion, au cas X = knt et dans ce cas la diagonale est l'ensemble algébrique défini dans k2n par les équations polynomiales Xj — jh + n = 0 pour l^j^n. La seconde assertion découle de la première, puisque tout point z e Ax a un voisinage ouvert dans X X X de la forme U X U, où U est un ouvert affine de X, et Ax n (U X U) = Au. Corollaire. — Soient X, Y deux prévariétés (resp. deux variétés affines), u : X ~> Y un morpkisme. Le graphe Tu de u est alors localement fermé (resp. fermé) dans X x Y et le morphisme graphe x h» (x, u(x)) de u est un isomorphisme de X sur la sous-prévariété Tude X x Y La première assertion résulte de la prop. 8 et de ce que Yu est l'image réciproque de AY par le morphisme (x,y) h-* (u(x), y) de X X Y dans Y X Y. La seconde
2 - PREVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALCEBRIQUES 57 provient de ce que la restriction à Fw de la projection prx est un morphisme réciproque du morphisme graphe. Définition 2. — On appelle variété algébrique sur k (ou plus brièvement variété) toute prévarîété algébrique X sur k telle que la diagonale Ax soitfermée dans X X X. La prop. 8 montre qu'une variété affine est une variété algébrique, ce qui justifie la terminologie adoptée. Proposition 9. — (i) Toute sous-prévarie'té d'une variété est une variété. (ii) Le fjroduit de deux variétés est une variété. (iii) Soient X une prévariété, Y une variété. Le graphe de tout morphisme de X dans Y est fermé dans X x Y. (iv) iSï X est une variété, la diagonale de tout /jroduit X" est fermée. SiXestsous-prévariétédeY, Àx est la trace sur X X X de AY, d'où (i). Si X et Y sont deux variétés, AXxy est, dans le produit (X X Y) x (X x Y), identifiée au sous- ensemble Ax X AY dans (X x X) x (Y X Y), d'où (ii). La preuve de (iii) est la même que celle du cor. de la prop. 8. Enfin, (iv) résulte de (ii) et (iii), car la diagonale de X" est le graphe du morphisme x h» (x, x> —, x) de X dans X""1. On dit qu'une variété est quasi qfftne bi elle est isomorphe à une sous-variété d'une variété affine; on a vu (n° 3) qu'une variété quasi affine n'est pas nécessairement affine. L'importance de la notion de variété tient au théorème suivant : Théorème 1. — iSbïf X une /jrévariété. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) X est une variété. b) Quels que soient les ouverts affines U, V dans X, U n V
58 COURS DE GÉOMÉTRIE ALCÉBRIQUE est un ouvert affine, et l'algèbre A(U ri V) des fonctions régulières sur U ri V est engendrée par les fonctions x\-*f(x)g(x) (x e\J (~\ V), où f (resp. g) parcourt l'algèbre des fonctions régulières sur U (resp. sur V). c) Pour tout couple de morpjnsmes u, v d'une prévariété Z dans X, Vensemble des z e Z tels que u{z) = v[z) est fermé. Il est immédiat que c) entraîne a), en prenant ; Z — X X X, u — pr1} v = pr2. Inversemenl, si a) est vérifiée, l'ensemble des z e Z tels que «(2) = v(z) est l'image réciproque de la diagonale Ax par le morphisme (u, v) : z h» (u(z), v(z)) de Z dans X X X, donc est fermé. Comme les ensembles ouverts U x V, où U et V sont des ouverts affines dans X, forment un recouvrement de X x X, il revient au même de dire que Ax est fermée dans X X X, ou de dire que (U X V) ri Ax est fermé dans U X V pour tout couple d'ouverts affines U, V. Or (cor- de la prop. 8), l'application x H- (x, x) est mi isomorphisme de la sous-prévariété U ri V de X sur la sous-prévariété (U X V) fï Ax de la variété affine U X V; pour que (U X V) ri Ax soit fermé dans U X V, il est d'abord nécessaire que U ri V soit un ouvert affine. Inversement, si cette condition est vérifiée, pour que (U X V) ri Ax soit fermé dans U x V, il faut et il suffit que le comorphisme A(U x V)->A(Uri V) du morphisme x k (x, x) de U ri V dans U X V soit surjectif (§ 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 6) ; d'où l'équivalence de a) et c), compte tenu du § 1, n° 5, prop. 9. On applique le plus souvent la propriété c) sous la forme suivante : si dans une partie E de Z. on a u(z) = v(z), alors on a aussi u(s) = v(z) dans E (principe de prolongement des identités).
2 ~ PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 59 Remarque. — La preuve du th. 1 montre que pour que X soit une variété, il suffit que pour un recouvrement 91 de X formé d'ouverts affines, deux quelconques des ouverts appartenant à 91 vérifient la condition b). Exemple. — Soient Xj, Xg deux variétés affines identiques à la droite affine k, et, pour éviter des confusions, notons Ot et 02 le point 0 dans Xx et X2 respectivement, Vt (resp. U2) le complémentaire de Ox dans Xx (resp. de ô2 dans X2). Recollons ~KX et X2 le long de L^ et U2, au moyen de l'application identique Uj ~> U2 (n° 5) ; la prévariété obtenue X est donc réunion de Xj et X2, identifiés à des ouverts affines; on a X, ri X2 = U, ouvertaffineidentifiéàUjetUgjet X — U estl'ensemble des deux points (distincts) O, et Os. On voit aussitôt que (Xi X Xg) ri Àx s'identifie au complémentaire du point (0, 0) dans Àw lorsqu'on identifie Xj X Xg à A2, donc Ax n'est pas fermé dans X x X et X n'est pas une variété. On observera que cependant l'intersection de deux ouverts affines de X est toujours un ouvert affinr. un ouvert affine de X étant nécessairement contenu dans Xj ou dans Xg. Proposition 10. — Soient X, Y deux variétés irréductibles. Tout morphisme u : X —> Y qui est un isomorphisme local est iiyectif (et par suite un isomorphisme de X sur une sous- variété ouverte de Y). Raisonnons par l'absurde en Supposant qu'il existe deux points distincts x, x' de X tels que u(x) = u{x') ~ y. Par hypothèse, il y a un ouvert U (resp. U') de X contenant x (resp. x') tel que la restriction de u à U (resp. U') soit un isomorphisme de U (resp. U') sur un ouvert V (resp. V) de Y; soit g (resp. g') l'isomorphisme réciproque de cette restriction ; g et g' sont donc deux morpliismes de l'ouvert VnV de Y dans X. Mais UnU' est un
60 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE ouvert non vide de X puisque X est irréductible, donc k(U ri U') est un ouvert non vide de Y (isomorphe à U ri U') contenu dans V ri V, et par suite dense dans V ri V puisque Y est irréductible. On aurait donc deux morphismes g, g' de V ri V dans X qui coïncident dans w(U ri U') et seraient tels que g{y) ^ g'(y), ce qui est absurde puisque X est une variété (th. 1). Notons enfin les critères simples suivants assurant qu'une prévariété est une variété. Proposition 11. — Soit u: X~>Y un morphisme de prévariétés. Supposons que Y soit une variété et qu'il existe un recouvrement ouvert (VR) de Y tel que chacun des ouverts u~l (Va) dans X soit une variété. Alors X est une variété. Posons Ua = u~l(Va); comme les Va recouvrent X, il s'agit de prouver que Ax ri (Ua X Up) est fermé dans Ufl X Up. Considérons le morphisme : v ~ u X u : (x, x') h» (u(x), u(x')) de X x X dans Y X Y; par hypothèse Ay n (Va X Vn) est fermé dans Vtt X Vg, donc v~x(àY C\ (Va X Vp)) est fermé dans Ua X U^; en outre, par définition, on a v~l(àY n (V„ X Vp))CUa X Ua; plus précisément, on vérifie aussitôt que l'on a : Ax r> (UB x UJ = ir»(AY r, (VB x Vp)) r, (Ax r, (UB x Ua)). Or, l'hypothèse entraîne que Ax *~i (Ua X Ua) est fermé dans Ua X Ua, et son intersection avec ir*(AYn(Va x VB)) est donc fermée dans ce sous-espace de Uff XU,.
2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRlQtlES 61 Proposition 12. — Si, dans une /jrévariété X, deux points quelconques apfjartienneni à un ouvert affine de X, alors X est une variété. En effet, soient x> y deux points distincts de X, U un ouvert affine de X contenant * ety. Alors (U X U) ri Àx est fermé dans U x U, donc son complémentaire dans U X U est un ouvert dans U X U (et a fortiori dans X X X) qui contient (x,y) et ne rencontre pas Ax. Cela prouve que Àx est un ensemble fermé dans X x X.
§ 3- Variétés projectives et variétés complètes 1. L'espace projectif P„(&) En Algèbre linéaire élémentaire, V « espace projectif» P„(&) (ou simplement P„), pour un entier n ^ 0, est un ensemble que l'on peut définir, soit comme Pensemble des droites (passant par l'origine) dans l'espace vectoriel k*1*1, soit comme ensemble quotient de l'ensemble kn+1— {0} par la relation d'équivalence dont les classes sont les traces sur cet ensemble des droites de kn+1. Il est d'usage de désigner les coordonnées d'un point x eA""1-1 (dans les questions faisant intervenir l'espace projectif) par x0yxlt —, xn; rappelons qu'on appelle coordonnées homogènes d'un point z de P„(&) les coordonnées x0l ..., xn d'un point quelconque x ^ 0 de la droite de kn + l identifiée à z; elles ne son! donc définies qu'à un facteur scalaire ^ 0 près. Pour chaque indice i tel que 0 < i < n, les droites de kn*1 qui ne sont pas contenues dans l'hyperplan Hf d'équation jç = 0 rencontrent l'hyperplan affine Hj d'équation :¾ = 1, parallèle à Hf, et l'application qui, à chacune de ces droites, associe le point où elle rencontre H£ est une bijectïon de l'ensemble \]î de ces droites sur HJ; puisque les droites de kn+1 sont par définition les points de P„(&), on peut donc dire que P„(&) s'identifie à la réunion de H* et de l'ensemble des « points » correspondant aux droites contenues dans 1¾ que l'on a coutume d'appeler « points à l'infini de Hf ». Il est clair que P„(&) est la réunion des « + 1 ensem-
3 - VARIÉTÉS t-RoJECriVIÏS ET COMPLÈTES 63 bles Ui (0 < i < n) ; pour i ^ j, U^ ri Uj est l'ensemble des droites passant par les points (x0, ...,^ tels que xt ^ 0 et Xj ^ 0; une telle droite rencontre Hj au point {xQJXi, . - .ixi^1jxi, l,-*; + i/#i, '••-.xjxj) et HJ au point (x0/^s .-.,^-1/-^, Ij-^+i/^j ...,^/¾). On voit donc qu'en tant qu'ensemble P„(&) peut encore être décrit de la façon suivante : pour i ^ j> on désigne par Hy la partie de HJ formée des points (x0, ...,¾.^ 1,^ + 1, ...,^) tels que Xj ^ 0, et on désigne par p^ la bijection (1) (*0, ...,^-x, l,^+i, .-•,*„) ^ (*0/^-, .. ^x^xlxp llxjyXi+1lxjy ..., Xnfa) de 1¾ sur H^; P„(&) est alors obtenu par recollement des ensembles HJ (0 < i < n) le long des HJ3- au moyen des bijec- tions Pji. Pour trois indices distincts i, j, l, U,- ri U^- ri U, est l'ensemble des droites passant par les points x tels que Xi ,i 0, Xj ^ 0 et xl ^ 0; les traces de ces droites sur H£ sont donc les points de HJy ri H&, et pour un tel point z les traces de la droite correspondante sur H; et H£ sont respectivement /)#(#) et /4(2) ; il est clair que Pou a donc pu(z) = Ptj(P^)), autrement dit, si p'/t est la restriction de/^ à 1¾ ri tijt, on a la relation ! (2) /#=/a°i»8. Ces propriétés « ensemb listes » de P„(&) vont nous permettre de définir sur cet ensemble une structure de variété algébrique sur k par le procédé de « recollement » du § 2, n° 5. On complétera les définitions précédentes en prenant H# = H|, et pu égal à. l'application identique de HJ. Il suffit alors d'observer les faits suivants t 1° H| est une variété affine dans l'espace affine AB + 1, et HJ; est l'ouvert de HJ défini par la relation x$ ^ 0 (c'est l'ensemble Dfp1)) dans HJ correspondant à la fonction régulière restriction de pr^ à HJ),
64 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 2° /fy- est un isomorpfiisnte de la variété affine Hy sur H^, dont risomorphisme réciproque est /j^; cela résulte aussitôt de ce que P$ pour j 5* t est un morphisme de Hy dans &M+3, les fonctions x\-^xtjxj pour 0< l ^ n étant des fonctions régulières dans 1¾ (§ 2, prop. 7). 3° La condition de recollement (§ 2, n° 5) pour les p$ est vérifiée, car ce n'est autre que la relation (2). On a ainsi défini une prévariété algébrique dont PM(&) est l'ensemble sous-jacent ; quand nous parlerons désormais de Vespace projectif cri tant que prévariété algébrique, c'est de cette structure qu'il s'agira. Pour chacun des n + ' ouverts affines U^ de PM(K), l'application qui à tout 2 e U» fait correspondre le point (xofoi > ' • •» #4-1/¾ )-^+3./¾ > ' ' >>■*»/■*$) ^C A% OÙ (Afl, .. .,*„) est un système quelconque de coordonnées homogènes de z, est un isomorpfdsme de Vj sur l'espace affine A", de sorte que les fonctions régulières sur L^ sont de la forme où P est un polynôme de &[T0, ..., T,-_x, T{+1,..., T„], ou encore : où. R est un polynôme homogène de degré m de A[T0, ...,1^,...,¾ (m entier arbitraire S* 0). L'algèbre AfU^) de ces fonctions est donc engendrée par les #,/¾ (0 < l < n). L'intersection U; n U; pour j ^ ï correspond par l'isomorphisme précédent à l'ouvert affine D(TT,-) de kn, de sorte que l'algèbre A(U* n U^) est engendrée par les fonctions ^/¾ (0 < / < n) et 1/(-^/-¾) = ^¢/¾ sur Ui ri Uj. Proposition 1. —L'espace prqjectif P„(k) est une variété algébrique irréductible. Le fait que P„(&) soît une variété résulte de ce qui précède et du critère du § 2, n° 6, remarque suivant le th. 1 :
3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 65 le recouvrement (U|) (0 < i < n) est formé d'ouverts affines tels que Uj ri Uj soit affine, et A(U| ri U^) est engendrée par les restrictions à U$ ri Uj des fonctions de A(Uj) et de A(U^). Le fait que P„(A) soit irréductible résulte de ce que chacun des U$ est irréductible (§ 1, n° 4, exemple) et de ce que les ouverts U; ri Uj sont non vides (T, 3). 2. CÔNES ET VARIÉTÉS PROJECTIVES Nous désignerons par tz : kn+1 —{0}-> P„(A) l'application canonique faisant correspondre à tout point (x0, ...,*J 5* (0, ...,0) de kn + l le point de P„(A) de coordonnées homogènes Xq, .. ., xn. Notons en prejiiier lieu que 7i est un morfikisme de variétés algébriques : en effet, kn+1 —{0} est réunion des ouverts affines D(TC) (0 < i < n) et il suffit de voir que la restriction de 7i à chaque DfT^) est un morphisme (§ 2, n° 1). Mais D(Tj) s'identifie canoniquement au produit H* X (A— {0}) (§ 2, n° 4, prop. 6 et 7) et l'image de D(Tf) par 7i est l'ouvert affine U€ de P„(A) ; lorsqu'on identifie canoniquement Uj à H? (n° 1), la restriction de 7r à D(Tj) s'identifie à la première firojection H/ x (A—{0}) ->H}; d'où notre assertion. Nous dirons qu'une partie C de A" + 1—{0} est un cône épointé si la relation x eC entraîne Xx e C pour tout XeA—{0}, autrement dit si C = 7r~1(7r(C)); nous dirons que la réunion d'un cône épointé C et de {0} est un cône pointé dans Atl+1. Si C est un cône épointé fermé dans A"+1—{0} et non vide, C u{0} est Yadhérence C de C dans AB+1 et C = C ri (A"+1—{0}), car 0 est adhérent à D—{0} pour toute droite D de Aw+1 passant par 0; on peut donc encore dire que les cônes épointés fennés sont les traces sur A"+1—{0} des cônes pointés fermés dans A"+*.
66 COURS DE CÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Or, si C0 est un cône pointé icrmé dans knvxt l'idéal radiciel n = {(CQ de l'algèbre k[T0, ..., T„] est gradué: en effet, si P c n, la relation P(r0l ..., ^,) = 0 doit entraîner \3(Xx0t ..., Xa„) = 0 pour tout X e k, donc toute composante homogène de P doit s'annuler dans C0, autrement dit appartenir à (t. Inversement, pour tout idéal gradué a 5* A[T0, ..., Tw], l'ensemble fermé V(ft) C&*1*1 est évidemment un cône pointé; comme le seul idéal maximal gradué de £[T0> ..., T„] est l'idéal maximal îTI0 engendré par les n -|- 1 monômes T0, Tj, ..., Tn, on voit que pour un idéal gradué a ¥> A[T0, ..., T„], V(o) est réduit à 0 si et seulement si ï(n) = T110. En d'autres termes, les cônes pointés ^ {0} correspondent biunî- voquement aux idéaux radicielsgradués a de A[T0, ..., T„] ne contenant pas XWq, par l'application canonique a h» V(n). Cette description permet de caractérise! les parties fermées de Pj,(Â). Proposition 2. — Les parties fermées de Yn(k) correspondent biunwoquement aux cônes épointés fermés de kn+1—{0} par VaPfAication Ch+7r(C). En outre, C ri 7r-1(Ui) est isomorphe au produit (tt(C) n Vi) X (A—{0}) pour 0< i^ n. Il est clair que si F est une partie fermée de P„(A), 7r_1(F) est un cône époinlé fermé. Inversement, si C est un cône épointé fermé, et si on identifie 7r~3(U^) = D(Tf) àU;x (A —{0}), CriTc-^U,) s'identifie à (tt(C) nu() x (A—{0}) et par suite tt(C) f~\ \Ji est fermé dans U; (§ 2, n° 4, cor. de la prop. 7) pour 0 < * < n, donc 7r(C) est fermé dans PW(A). On voit donc que toute sous-variété fermée de P„(A) est définie par un système d'équations : (3) Vs(xo,...,xr)=0 entre les coordonnées homogènes de ses points, les Pc étant des polynômes homogènes de /t[T0, ..., T„]; une sons-
3 - VARIÉTÉS PROJECTIVE5 ET COMPLETES 67 variété définie par une seule équation P(^0 ,...,#„)= 0 où P est un polynôme homogène non constant, est encore appelée hjpcrswfacc, et hyperplan si P est de degré 1 ; un hyperplan de P„(ft) est donc de la forme te (H—{0})> où II est un hyperplan de kni x passant par 0; par exemple, le complémentaire de \J% dans P„(&) est l'iiyperplan 7r(H° —{0}) = Hi, dit « hyperplan à l'infini de U; ». Si C = V(o) —{0} est un cône époînté fermé de /■**+!—{0} ,où n est un idéal gradué de &[T0,.. .,T„], on dit encore que la sous-variété fermée X ■— te(C) de P„(&) est définie par Vidèal gradué o; sa trace sur Uj (identifié canoniquement à kn) est la sous-variété fermée V(di), où (¾ est l'idéal de A[T0 T^jJ^ T„] engendré par les polynômes P(T0,. . .,1^, l,TUlJ.. .,T„) obtenus par substitution de 1 à Tj dans les polynômes Peu. Inversement, si Z = V(fe) est une sous-variété fermée de Uj (ce dernier étant identifié comme ci-dessus à kv, et o étant donc un idéal de /e[T0, .. • » Tj-i » T*+i » * ■ -jT,,]) son adhérence Z dans P„(&) est la plus petite sous-variété fermée de PW(Â) contenant Z, et est donc égale à te(C) avec C = V(tt) —{0}, où tt est l'idéal gradué de A[T0, ..., T„] engendré par les polynômes obtenus en rendant homogènes les polynômes de fe ; cela signifie qu'à tout polynôme Ç) e fe, de degré r> on fait correspondre le polynôme homogène TfQ(T„/r,., ...Tj.^.T^,^, ...,T„rrt). Il est clair que Z = Z ri U* ; inversement, si X est une sous-varïété fermée irréductible de P„(&) non contenue dans le complémentaire H^ de \Ji) l'ensemble Z ~ X H Uj est ouvert non vide dans X, donc dense dans X (T, 1), autrement dit X — Z. Corollaire 1. — (ï) La lopologie de ^ariski de Pj,(&) est la lopologie quotient de la typologie de k" + 1 — {0} par la
68 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIÇjUE relation d'équivalence -k{x) = t:(x') et tt est une application ouverte. (il) Pour qu'une application u de P„(&) dans une prêvariêtè X soit un morphisme, il fout et il suffit que u o tc soit un morphisme de h*1*1 — {0} dans X. (i) La prop. 2 montre que les parties fermées de P„(£) sont les images canoniques des parties fermées de An+1 —-{ 0 } saturées pour la relation d'équivalence t:(x) — tt(x'). Le fait que 7r soit ouverte résulte de ce que pour saturer un ouvert U de&"+1— {0}, il faut prendre la réunion des XU où X parcourt k—{0}; mais comme xv-^Xx estunauto- morphisme de la variété kn+1—{0}, on obtient bien pour saturé de U un ensemble ouvert. (ii) La condition est évidemment nécessaire. Inversement, supposons-la vérifiée; il suffit de montrer que la restriction de « à chaque ouvert Uj (0 < i < «) est un morphisme de Uj dans X. Par hypothèse et compte tenu de ce que 1¾ est affine, pour tout x e 7r"1(Ui), il y a un voisinage ouvert affine Vdeu(7r(^)) dansXet un polynôme Q.eA[T0, ...,T„] tels que Q(*) * 0, tt(7n(D(Q))) C V et que pour toute fonction régulière f sur V, la fonction y y->f(u(r;(y))) soit régulière clans D(Q,) riTc"1^). Mais comme yy-ï'ky est un automorphisme de ttT^Uj) pour X ^ 0 dansA, et tt(Xj) = tc(j>), lafonction y \-*f(u(Tz(y))) se prolonge en une fonction régulière dans 7t-l(7t(D(Q.)) n U;) invariante par tout automorphisme y h» "ky de cet ouvert ; comme 7r(D(Q_)) est ouvert dans P^fA) par (i), on voit qu'on peut, en remplaçant 7r(D(Ç))) par un voisinage ouvert affine de 7r(#) contenu dans 7r(D(Ç))) ri Uj, supposer que Q, est un polynôme homogène. Alors la fonction y\-*f{u{Tc{y))) dans D(Q) s'écrit
3 ~ VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 69 pour un polynôme P; mais si l'on écrit que la valeur de cette fonction ne change pas en remplaçant y par Aj>, on voit aussitôt que P doit aussi être homogène. La définition des fonctions régulières dans U| montre alors que la restriction de u à tt(D(Q)) est un morphisme, cequi achève la démonstration. Exemple. — Cherchons à caractériser les morphismes u de P„(A) dans un autre espace projectif Pm(&) ; v = u o tt est donc un morphisme de kn+1—{0} dans Pm(&). Notons 2„, ..., zm\es coordonnées homogènes des points dePm(&), et soit Vj l'ouvert affine de Pm(&) défini par Zj ^ 0. Pour tout indice i (0 < i «c n) et tout x e7r_1(UJ, v(x) appartient à un V,-; l'ouvert 7r"1(Uc) ri v~JÇVj) est donc un voisinage de x} invariant par les automorphismes _yh+Ay» et contenant par suite un voisinage ouvert Wa de x, défini par Q(yo> • ••jJ'm) 5*0, où Q,est un polynôme homogène. Identifions canoniquement Vs à &* (n° 1); les coordonnées de v(y) pour y e W^ sont des fonctions régulières, invariantes par les automorphismes y h» Xy. On peut donc (§ 1, n° 5), en remplaçant au besoin Q, par une de ses puissances, écrire Pj.iW/QW. -.P.W/QW) pour y e Wz, les Pt et Q, étant des polynômes homogènes de même degré. Posant Pj = Ç), on voit finalement que si te' : km+1 —{0}-^- PW,(A) est l'application canonique, on peut écrire (4) «NjO) =rf{u>{>)) pour y € Wj., avec (5) w(j.)=(P0(j.),...,P„W) les Pj (0 < £ < m) étant des fmlynêmes homogènes de même degré non tous nuls, que l'on peut évidemment supposer
70 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE sans facteur commun de degré > 0. Si on opère de même pour un second peint x', on voit, en tenant compte de ce que #1 + 1 _{0} est irréductible (T, 3), que W^. n Wx est un ouvert non vide, donc, en multipliant au besoin les P^- par un facteur scalaire ^ 0, on peut supposer que l'on a aussi la formule (4) dans Wz avec les mêmes polynômes P(. Par suite, on a (4) dans &+1 —{0} tout entier; en outre, par construction, les polynômes P, ne s'annulent simultanément en aucun point de A"11—{0}. Inversement, pour tout système de m + 1 polynômes homogènes de même degré P0, ..., Pm de ft[T0, . . ., T„], ayant la propriété précédente, les formules (4) et (5) définissent un morpkîsme de Pj,(#) dans Pm(&), en vertu du cor. de la prop. 2. En particulier, toute bijection linéaire de A*'41 sur lui- même définit par passage au quotieni un automorphisme de la variété PÎ((Â) (autrement dit le groupe firqjectifPGL„(/f) est un groupe d'automorphLsmes de la variété P^fA))- On observera que la condition imposée aux Pt est très restrictive : nous verrons plus loin (§ 4, n° 3) qu'elle entraîne en particulier que pour m < n les P( doivent âlre des constantes. Notons déjà qu'elle entraîne que les seules fonctions régulières sur P,((&) sont les constantes (cf. n° 3) : en effet, une telle fonctionnes! un morphisme de Pn(k) dans la droite affine ÂC Pj(&), donc, si x0y , x,t sont des coordonnées homogènes de z e Pn(A), il doit exister deux polynômes homogènes de même degré P, Ç) tels que /M = P(*o. ---,^,,)/0.(¾. ■ •■,*,,) polir tout * 6 P„(/:), îlWc: 0,(.¾, • ■ ■» xu) ^ 0 pour (a'0, ..,,.ï() ^ (0, ....fi); mais en vertu du ihc'orènu' fies zéros ^À, 37), 1rs seuls polynômes linmogènes OilVil11' cette propriété sunt les constantes, donc y est ronstaiiie. Avec les notai ions précédentes, identifions h" (rc-sp. A11'1) à. l'ouvert U0 (resp. V„) et cherchons k tjucUV condition un morphisme u de tF dans h?n se prolonge en un morphîsine de PM(/f) dans P„/#) (néccssaixicmcnt unique, puisque c'est
3 - VAKIÉTÉS PIIOJECTIVES ET COMPLETES 71 un prolongement par continuité de u et que Pn(k) est une variété (§ 2, n° 6, th. 1)). On a (§ 1, n° 2) : ufe, . ..,*„) = (0.1^¾, ■ ..,*„)> -. ^Q^i, -■ ■>**)) oii les (¾ (1 < / < »z) sont des polynômes; si r est le plus grand des degrés des Qj, le prolongement de u (s'il existe) est nécessairement le morphisme (x0, xt, . ,,, xn) h» (*5, «g QjC*,^ , .. ■, *„/*<,), - • ■ > et la condition d'existence de ce prolongement est donc que les polynômes homogènes de degré r en xx, ...,¾ formés des termes de degré r dans chacun des Qj ne s'annulent pas simultanément dans kn. Corollaire 2. — Pour qu'une sous-variété ~K de PM(&) soil irréductible, il faut et il suffit que 7r_1(X) soil une sous-variélé irréductible de t?*\ La condition est évidemment suffisante, puisque iz{tTxÇK)) = X- Elle est nécessaire en vertu du cor. I (i) et de (T, 5), les fibres t:~1(x) étant isomorphes à k—{0}, donc irréductibles. Définition \. ~— On appelle variétéprojeclive une variété algébrique isomorphe à une sous-variété fermée d'un espace projecéf P„(&). Une variété algébrique isomorphe à une sous-variété (non nécessairement fermée) d'un P/((&) est dite quasi projeclive. Toute variété affine ou quasi affine est quasi projeclive. Proposition 3. — Dans une variété pwjective X, deux/joints quelconques appartiennent à un même ouvert affine. 11 suffit de le prouver pour X = P5l(&), toute sous- variété fermée d'une variété affine étant affine (§ 1, n° 4).
72 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE Si x,y sont deux points distincts de P„(A) (ce qui implique n ^ 1 ), il existe dans k*1 +1 un hyperplan passant par 0 et ne contenant aucune des droites{0}W7r"1(^),{0}W7r"1(j'), et on peut, par une transformation linéaire, supposer que cet hyperplan est un H?; alors x et y appartiennent à l'ouvert affine U^. 3. Variétés complètes Les propriétés les plus importantes des variétés projec- tives proviennent de ce qu'elles sont, comme nous allons le voir, des cas particuliers d'une catégorie de variétés dites variétés complètes, qui jouent en Géométrie algébrique élémentaire un rôle très comparable à celui tenu par les variétés compactes en Géométrie différentielle ou en Géométrie analytique. Définition 2. — On dit qu'une variété algébrique X est complète si, /jour toute variété algébrique Y, la projection pr2 : X X Y -> Y est une abdication fermée (pour les topo- logies de Zariski). Si, dans cette définition, on remplace les mots « variété algébrique » par « espace topologique », on retrouve une des définitions des espaces compacts. La droite affine k n'est pas complète : en effet, dans k X k = A2, l'ensemble défini par l'équation xxx% = 1 est fermé, mais sa seconde projection est k — { 0 }, qui n'est pas fermé dans k. Proposition 4. — (i) Une sous-variété fermée d'une variété complète est complète. (ii) Le produit de deux variétés complètes est une variété complète. (iii) Soient X une variété complète, y ; X -> Y un morphisme de X dans une variété quelconque Y. Alors w(X) est un ensemble fermé dans Y et une sous-variété complète de Y.
3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLETES 73 (i) Soient X une variété complète, Y une sous-variété lermée de X. Pour toute variété Z, Y X Z est une sous- variété fermée de X X Z et toute partie fermée de Y X Z est donc fermée dans X X Z*, la restriction à Y X Z de pr2 : X X Z -> Z est donc une application fermée par I lypothèse. (ii) Soient X, Y deux variétés complètes, Z une variété quelconque. Si F est une partie fermée de (X x Y) X Z = X X (Y X Z) sa projection F'dans Y X Z est fermée, et la projection F" de F' dans Z est fermée; la conclusion résulte de ce que F" est aussi la projection de F dans Z. (iii) Comme Y est une variété, le graphe Vu de u est fermé dans X x Y (§ 2, n° 6, prop. 9), donc w(X)3 projection de r„ dans Y, est fermé dans Y puisque X est complète. Soit maintenant Z une variété quelconque; il s'agit de voir que si F est un fermé dans w(X) X Z3 sa projection F' dans Z est fermée. Considérons le produit X X Y X Z et notons [)¾ et pr33 les projections sur X X Z et Y X Z respectivement ; alors la restriction de pr13 à Yu X Z est un isomorphisme sur X x Z (§2, n° 63 cor. de la prop. 8). Posons F" = pr^fF) n (Tu X Z); comme «(X) est fermé dans Y et F fermé dans u(X) X Z, F est fermé dans Y X Z3 donc F" fermé dans Yu X Z, et par suite pr13(F") est fermé dans X X Z; mais F'3 projection de F dans Z, est aussi la projection de pr13(F") dans Z; puisque X est complète, F' est doïic fermé dans Z. Corollaire. —- Toute variété affine complète est uit ensemble fini. Il suffît de prouver qu'une variété affine connexe X est réduite à un seul point, et pour cela il suffit de montrer que l'anneau A(X) des fonctions régulières est égal à A,
74 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE autrement dit que toute fonction régulière f sur X est constante. Ot /(X) est une sous-variété fermée connexe complète de la droite affine k en vertu de la prop. 43 (iiï), et ne peut par suite être égale qu'à k ou à un seul point; mais comme la droite affine k n'est pas complète, seule la seconde alternative est possible. Théorème 1. — Toute variété pryeclive est complète. En vertu de la prop. 4, (i)3 il suffit de prouver que tout espace projectif Pn(k) est une variété complète. Soit donc Y une variété quelconque et montrons que pour toute partie fermée Z C PÏ((A) X Y, pr2(Z) est fermé dans Y. Il suffit évidemment de prouver que, pour tout ouvert affine V de Y, pr2(Z) n V est fermé dans V, ou encore que pr2 (Z n pi'g I(V)) est fermé dans V. Comme Z n prg 1(V) est fermé dans Pn(k) x V, on voit qu'on peut se borner au cas où Y est affine, soit Y = Spm(A). Avec les notations des numéros précédents, PM(£) X Y est alors réunion des ouverts affines W^ =^ X Y (0 < i < «), et Pon a : A(W4) = *(T„, •. -, Tj-j, Ti+„ ..., T„] (¾A = A[T0,...,Ti_1,TitIJ...,T„]. Il s'agit de prouver que pouf tout y0 $pr2(Z), il existe une fonction régulière /eA sur Y telle que y§ e D(/) et ^(/) n Pra(Z) = 0i comme / peut être considérée comme fonction régulière sur chaque W;, il suffira de voir que l'on peut trouver/de sorte que f(z) = 0 pour z e Z n Wi et pour tout it et f(y0) ^ 0. Nous allons considérer l'idéal a engendré par les polynômes homogènes de A[T0, ..., Ta] tels que, pour tout indire * (0 < ï < «) : MM^N*® ■ • ■ te-iW(l~u fc-n/*)0"**1' .. (*,fa)" )
3 — VARIÉTÉS PROJECTTVES ET COMPLETE* 75 pour tout point (y3t) e Z3 de projections y eY et £ e Uj, t ayant pour coordonnées homogènes Xq, .. ,3xn (avec Xi ^ 0). Il est clair que o est un idéal gradué de B = A[T0 ,...3 Tw], et nous désignerons par cr le A-module des polynômes homogènes de degré r appartenant à o. Le problème sera résolu si nous pouvons trouver un /eA et un entier N tels que f(y0) ^ 0 cl (7) /.TfeaN pour 0 < i < «. Désignons par 13,, le A-module des polynômes homogènes de degré r dans B3 et par lit l'idéal maxùnal t({j>0}) de A. Les conditions imposées à/ pourront être vérifiées si nous prouvons que pour un entier N, on a (8) BN = oH + m.BH. En effet, le lemme de Nakayama (A. 40)3 appliqué au A-module de type fini Bk/ûjo prouvera l'existence d'un / e A — îiî tel que /. Bw C %, donc on aura à la fois f(yo) 5* 0 et les conditions (7). Tout revient par suite à démontrer (8) pour un N assez grand. Nous utiliserons le lernmc suivant : Lemme 1. — >SÏ g e t(Z ri Wf) dans A[T„,...,^-.,., 1^,...,¾ il exista tm entier r et un polynôme h e % tels que (9) g(T0, . ,TM,TiHJ...,TJ = A(T„ TM.l,Tj(1 TJ. Pour tout enlîei'ç au moins égal au degré cloç,lafraclion rai ion ncllr T? g{T0/Tt, . r T(. J\\, T- , 3 fi ';, ..., T„/T;) esl un polynôme hr«niogeue Â'eB... Montrons que h = Ts/(' répond à la question; il s'agit de prouver que lorsqu'on remplace i par un indice j quelconque (avec 0 < j < ») la relation (6) est vérifiée dans Z C\ W^-. Cela est clair par définition de g pour j ^ i; si j ^ i3 la
76 COURS DU GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE relation (6) est encore vérifiée par h' dans Z n Wj C\ Wc, et par T,** = h dans Z n W3- n (Ht X Y), complémentaire de Z n W3- n W^ dans Z n W,-; d'où le lemme. Cela étant, il est clair que ZnWf et U$ x {j>0} sont des ensembles fermés sans point commun dans l'ouvert affine W, = U; X Y. Comme W X {.%}) = m.AITo, • - -, T€_la Tl+1, ...,TJ on conclut du§ 1, prop. 1, qu'il existe gi e t(Z n Wf), des éléments & eA[T0, ..., T,_ls Ti+1, ..., TJ et des éléments 7¾ e m ( 1 < £ < .¾) tels que (10) 1 -s + Smafi, i d'où, en multipliant par une puissance de T; d'exposant assez grand et utilisant le lemme 1, l'existence d3un entier N$ tel que pour N^ Nis il y ait un polynôme ht e oN et des polynômes ku e B^ (dépendant de N) tels que (11) TT-MTo, ...,TJ -fS%Afl(T0, .... T„), i Ceci ayant lieu pour 0 < i < «, on voit qu'il suffit de prendre N > (n f- 1) sup 1¾ pour avoir la relation (8). C.Q.F.D. Remarques. — 1) Si X et Y sont deux variétés complètes, un morphïsme u : X -> Y peut fort bien être bijectif et biconliml sans être un isomorphisme (au contraire de ce qui se passe pour les espaces compacts). Par exemple, soit u le morphïsme de PjfA) dans P2(£) tel que tf((*i»*i)) = (*o»*i>*L*ï); si Y est la sous-variété fermée de P2(&) image de «, u est bijecrif et bicontînu quand on le considère comme mor- phisme de Pj(£) dans Y, maïs n'est pas un isomorphisme
3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 77 (§ 1, n° % Exemple 5). De même, si k est de caractéristique p > 0, le morphisme (*b» *i) h» (x$ txf) de PjfA) dans lui-même est bijectif et biconlinu, mais n'est pas un ïsomorphîsmc (§ 1, n° 23 Exemple 6). 2) Le th. 1 est une forme qualitative de ce que l'on peut appeler le résultat fondamental de la « théorie de l'élimination » : considérons r polynômes Pft T.;D, «J (Ki«0 en n + m + 1 indéterminées, dont chacun est homogène en T0, , Tm, et considérons le système d'équations (12) P,-(»o.....V.Ji.....jJ=0 qui définit une sous-variété fermée X de P„(&) X km; alors (th. 1), le sous-ensemble pr2(X)CAM est un ensemble algébrique dans A*', autrement dît, il existe un nombre fini de polynômes R^fUj, ..., Um) ( 1 < k < g) tels que, pour un point (ylt ,ym) e&m, l'existence d'un système (x0, 3 #n), solution de (12) et formé de Xj non tous nuls est équivalente au système d'équations (13) 1^,...,^)=0 pour l<A<ç. Classiquement^ on dît que le système (13) a été obtenu en « éliminant » les x-3 (0 < j ^ n) du système ( 12). 3) On peut donner des exemples de variétés complètes qui ne sont pas des Variétés projectives. 4. Applications : I. Morpiusmes de Segre et de Veronese Proposition 5. — Le produit de deux variétés projectives est une variété projecîive. Il suffit évidemment de montrer que le produit PM(A) x Pm(A) est isomorphe à une sous-varîété fermée
78 tours de géomiîtrik Ai.cfrBRiqur. d'un PN(&). Nous allons en fait définir an isomoiphismc (dît morphisme de Segre) de Vn{k) X P„,(£) sur une sous- variété fermée de P„™+„+Iii(A). ^ un point (2;^)eP„(/c) ï P„((/>) nous ferons correspondre le point s(z3 z') eP(M+i)(„H1)-iC*) ayant pour coordonnées liomogèncs_j(i) ^ les (« -f- 1 ) (m -\- 1 ) éléments x^ x'j pour 0 < î < «, 0 < J < m, ou (xti 3 , xH) est un système de coordonnées homogènes de z et (xq} ..., x'm) un système de coordonnées homogènes de s". Il est clair que ce point ne dépend que de z et z' et non des systèmes de coordonnées homogènes de ces points. Désignons comme ci-dessus par \J. (resp. 1¾ l'ouvert affine de P„(£) (resp. PJff(A)) défini par x{ ^ 0 (resp. x'j t£ 0). Alors la restnctîon de j à t^ s* U^ est un morphisme de cet ouvert aÏÏiue (identifié à kti+m) dans l'ouvert affine W^- de PMm+*+m(A) défini par _y(î(J-) ^ 0 (et identifié à k"m+n + m) (§ 1, n° 2), donc s est bien un morphisme de PB(ft) X Pm(k) dans P„wl+K+m(A) (§ 2, n° 1). Comme PM(A) X Pm(A) est une variété complète (th. 1 et prop. 4), son image par le morphisme de Segre est une sous-variété fermée S de Pim+n+m(k) (prop.4). Reste à montrer que s est un isomorphume de Pjk) X Pm{k) *ur S. En effet, si (z, z') est tel que ^eUj (resp. .s' e U^), les x(*ft ne peuvent être tous nuls pour 0 < h < z?i (resp. les *i*j- ne peuvent être îous nuls pour 0 < / < «), alors qu'ils sont tous nuls si z ¢'U^ (resp. -s'^Uj); ceci prouve que J"1(Wy) = U{ X U; et que, non seulement la restriction de s à chaque U; X Uj est un morphisme injeeljf (donc que s lui-même est injectif), mais encore que l'application t de Wy dans U* X VJ qui à tout point de coordonnées homogènes y^ ftj fait correspondre le point (z} z') où z (resp. s') a pour coordonnées homogènes les _y(ï(J-j pour 0 < £ < h (resp. les j^( h) pour 0 < h < m) est un morphisme (§ 1, n° 2) tel que î{s[z, z')) — (z, z) dans U; X Vi.aQ..F.D.
3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLETES 79 Exemple. — Si m = « = 1, l'image de Pj x P1 dans Ps par le morphïsme de Segre n'est autre que la qmdrïqiie d'équation x^x^ — xxX% = 0. Remarque. — Soient ir :AM + 1— {0}->P)((A) les morphïsmes canoniques, et soit p = tz X 7r', qui est un morphïsme de E=(#*+1 — {0}) X (k™*1 — {0}) sur PM(A) X Pm(A). On montre comme au n° 2 que les parties fermées de P(I(A) X Pm(£) sont les ensembles F tels que P~ \F) soit invariant par toutes les applications (xt x') h» (hxt V x') pour }X ^ 0 et fermé dans E; j& est une application ouverte, et pour que F soit: irréductible, il faut et il suffit que/r 1(F) le soit. Ceci se généralise aussitôt à un produit d'un nombre firû quelconque d'espaces projcctïGs. Considérons maintenant, pour un entier à > 0, l'ensemble I des multiindîœs a;ma(î) (0 < i < «) tels que | a j = S oc(t) = d, qui a (w £ •'J éléments. Soit J un ensemble fini de N^ (njd) éléments contenant I. Il résulte du n° 2 qu'on définit un morphïsme v de PM(&) dans PN. ,(ft) en faisant correspondre à un point 'à de coordonnées homogènes x0),..ixnt le point v{z) de PN_ x{k) dont un système de coordonnées homogènes est formé des xa = FI -ï"(i> pour a G 1, et de polynômes j = 0 homogènes de degré d, Pa(a-0, . . ., xn) pour k ej — I ; il est clair en effet que les x" ne peuvent être simultanément nuls que si les x$ sont tous nuls, puisqu'il y a en particulier parmi les xa les puissances xj pour 0<j^ «. Comme Pn(k) est complète, l'image V de PM(£) par le
80 COURS DE GEOMETRIE ALGEBRIQUE morphisme v est une sous-variété fermée de P^.^k) (th. 1 et prop. 4); montrons que v est un isomorphisme de P„(£) sur V. En effet, pour 0 < i ^ «, désignons par p. le multiindicc tel que $$) — d, &i(j) — 0 pour j ^ z, et par W{ l'ouvert affine de PN„x(A) formé des points dont la coordonnée^, dans un système de coordonnées homogènes est ?£ 0. Il est clair que ¢(1¾ C W* et que si z $\]{i on a v(z) ^Wj, donc &~1(Wi) = U^. En outre, soit w l'application de Wj dans P„(&) qui, à un point de coordonnées homogènesyh {h ej), fait correspondre le point de PM(A) de coordonnées homogènes yyj (0 ^ j < «), où y. = P| et, poui* j ?£ z, y, est le multîindice tel que y4(i) ~ d— 1, Y,-(i) = 1 et -ft(A) = 0 pour h ^ z et h ^ j; il est elair que «j est un morphisme de W$ dans U,- et que w(v(z)) = z pour tout z eU,-, ce qui établit notre assertion. Lorsque J = I (donc N = (ngà))t on dit que v est le morphisme de Veronese de degré d. Exemple. — L'image de PjfA) dans Ptf(A) par le morphisme de Veronese de degré d, est appelée la courbe projective rationnelle normale de degré d- Proposition 6. —5ÏP(T0, ..., Tn) est un polynôme homogène de degré d> 0 (forn1 A[T'U, ..., T„], l'ensemble D+(P) des points de Pn(k) dont les coordonnées homogènes sont telles que P(^j, ...,½) 41 0 (autrement dit, le complémentaire d'une hypersurlace) est un ouvert affine. Posons N = (naà)> et considérons le morphisme v de P„(A) dans PN(&) défini par le procédé ci-dessus, avec v(z) ~ ((**%£!» ^(xo> * * '3 ■*«))* L'ensemble DN + 1 des points de PN(&) dont la dernière coordonnée est ^ 0 est un ouvert affine (n° 1), donc son intersection avec l'image V de & est un ouvert affine de V, cette intersection
3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 81 étant fermée dans DN + x. Mais DN + j n V est l'image de D+(P) par l'îsomorplûsme v de P„(&) sur V, d'où la proposition. 5. Applications : II. Grassmanniennes Soit I\ l'espace vectoriel A (&w) des r-vecteurs sur l'espace vectoriel kn; sï (e»)i^»^n est la base canonique de A", la base canonique de Er est par définition formée des N = (J?) /■-vecteurs % = eît a cia A ... A eîf., pour toute partie H de{ 1,2, ..., «}formée de r nombres za <C î2 <C — <C îr; on a Ea = kn. On sait (A, 44) qu'un y-vecteur ^ = ^½¾ H de coordonnées %eA est pur (ou décomposable), c'est-à- dire de la forme x1Ax2A...Axr, où les x$ sont des vecteurs de kn, si et seulement si les % vérifient les relations de Grassmann : (14) G„((*h)) = 0, Uv»;. où les Gv sont des polynômes homogènes du second degré à N indéterminées. Ces équations définissent donc dans PN_ x(&) une sons-variété fermée qu'on appelle grassmannienne d'indues «, r sur k et que l'on note Gnir(&). On sait que deux r-vecteurs purs non nuls z — Xj a x2 a ... A xr et z' = *j a ^2 A * • • A ■*£ s011' ^^ Çlue 2' = Az avec X € k si et seulement si les sous-espaecs de kn de dimension r, engendrés respectivement par les xs et par les *J- (1 < j < r), sont égaux-, aussi dit-on encore que Gnif{k) est la grass- marinieiine des sous-espaces vectoriels de dimension r de k*1 (ou, ce qui revient au même, des variétés linéaires projectives de dimension r-— 1 de Pn_j(Â)). En particulier G„.i(*) = P..-iW- Identifions un système de r vecteurs xLy , xr de A" à la matrice X = (x$) sur A, à « lignes et r colonnes, dont la j-ième colonne est le vecteur X,-= (*ç)i^î^b; si z = Xj A x2 a ... A xr, la coordonnée % de 2 est le mineur det(J$TH) de X, où XR désigne la matrice carrée
82 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE formée des lignes de X d'indice i e H, rangées par ordre croissant; dire que 2 et z' = x\ A ... a x'r cori-espondent aii même point de Gn,r(k) équivaut à dire que x,, ..., xr d'une part, x[, .. .txr de l'autre engendrent le même sous-espace de dimension ;■, ou encore qu'il existe une matrice inversible T d'ordre r telle que les matrices X, X' identifiées à ces deux systèmes de r vecteurs soient telles que X' = XT\ on a alors X^ = Xn T pour toute partie H à r éléments de { 1, 2, .,., «}. Soît LrC (/?')* l'ensemble des systèmes (xlf .. ,yxr) de r vecteurs de kn linéairement indépendants, ou, ce qui revient au même, l'ensemble des matrices AT de type («, r) et de rangr; pour chacune de ces matrices, il y a (au moins) une partie H de r éléments de { 1, 2, , «} telle que detfA^) ^ 0; nous désignerons par 1^ la partie de Lr définie par la relation det(Ay ^ 0 de sorte que 1^ est un ouvert affine (principal) de &'lr, et Lr est la réunion des N = (") ouverts LH. Il est clair que Xl-> (det(ATH)) est un morpkisme de Lr dans /fN— {0}, d'où par composition avec la projection k^—{0}-> PN„j(A) unmorpkisme canonique suijectîf u : L,. -> GB( T{k). Soit l^r la partie de LH formée des matrices X e LH telles que ATH = / (matrice unité d'ordre r) ; pour toute matrice X eLji, la matrice X' = XX^1 appartient à Ljj, et on a u{X) — u(X'). L'ensemble Lq- est par définition formé des matrices X = (x^) telles que, si *i < 22 <C - - - <C zr est la suite strictement croissante des éléments de FI, on a xihth = 1 pour 1 < h < 7", a^( j — 0 pour j 5* z/|3 les autres ,Xy étant arbitraires dans k; la projection de L/( sur le produit des facteurs k dans A"'- correspondant aux (z,j) tels que t ^ H est donc un isomorpkîsme de la sous-variété linéaire affine L^ de kw sur l'espace affine Ar["~r*. Montrons que la restriction à Lq- de u est un isomoTpkisme de Ljj sur un ouvert affine UH (fc GM| r{k) (qui est donc isomorphe à ff^n~r)). Il est clair en effet que UH est l'intersection de GKi r{k) et de l'ouvert affine VH
3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 83 formé des points de P>r-a(&) dont la coordonnée homogène d'indice H est ^ 0, et que «"^(Ye) = Ln. D'autre part, pour i $ H et 1 :¾ h ^ i, désignons par H,-A l'ensemble (H — {ih}) u{z}: on voit aussitôt que dct(Aira) = %,xih (où eift = dr 1 ne dépend que des indices z, A) pour toute matrice X &Ujt. Considérons alors le morphisme» de VH dans Lg qui à tout % de coordonnées homogènes {z3) (J parcourant l'ensemble des parties à r éléments de [ 1, 2, ...,«}) fait correspondre le point de Ljj dont les coordonnées xih pour i $ H et 1 ^ h ^ r -sont les éléments £^%¾¾1^ îl est cla"lr *lue '>on a v(u(%)) = ^ pour toute matrice X e L^, d'où notre assertion. Proposition 6. — La grassmamûenne G„,, est une variété irréductible. Comme tout ouvert affine \3K de Gnt, est isomorphe à kHn~T\ donc irréductible, il suffit de montrer (T, 3) que pour deux parties H, J de { 1, 2, ...,«} à r éléments, Uir n U:, ^ 0. Ov, si HnJ ^{^, ...,0¾} H-(H nj) ={&,...,&_.} J~(HnJ)«{Yl,...,Y,_#} on vérifie aussitôt que si l'on prend x$ = ett. pour 1 < j < s, xSi.j = Cp. + eT. pour 1 < j < r — s, la matrice correspondante X appartient à Ljj n Lj, donc a(A')eU„nUJ; Rappelons qu'il existe un isomurphisme canonique <p de l'espace vectoriel 5^= A(EX) sur E*_r = A (Ej) tel que, si zeE, est un /--vecteur pur ^ 0 correspondant à un sous-espace F de dimension r dans Ej — A", cp(js) est un (a — r)-vecteur pur correspondant à l'orthogonal F0 de F dans le dual Ej (A, 43). Par passage aux quotients, on en déduit un isomorphlsme (dit canonique) de la grass- mannienneGHi},(/f) sur la grassmannienne Gn^H_r(k).
§ 4- Théorie de la dimension 1. Fonctions rationnelles et appltcations rationnelles Soit X une variété irréductible; tout ouvert non vide U de X est alors dense dans X (T, 1). Lemme 1, — Soient U, V deux ouverts ?wn vides de X, « : U -> Y, v : V -> Y rf«w mcrphismes dans une variété Y. S'il existe un ouvert non vide WCUnV dans lequel u et v coïncident, alors u et v coïncident dans UnV. En effet, W est dense dans X, et a fortiori dans UnV; il suffit donc d'appliquer le th. 1 du § 2, n° 6. Il résulte aussitôt de ce lemme que si U est un ouvert non vide de X et w un morphisme de U dans une variété Y, il existe un plus grand ouvert U03U tel que u se prolonge en un morphisme u0 de U0 dans Y; il -suffit en effet de prendre pour U0 la réunion de tous les ouverts de X où « se prolonge en un moiphismc dans Y. Par abus de langage, on dit qu'un morphisme « : U -> Y d'un ouvert non vide U C X dans une variété Y est une application rationnelle de X dans Y s'il est non prolongeable en un morphisme d'un ouvert contenant .strictement U dans Y; U estappelé le domaine de définition de l'application rationnelle u. Un morphisme de X dans Y est donc une application ratioimcllcpartout définie-, tout morphisme d'un ouvert non vide de X dans Y se prolonge d'une seule manière en une application rationnelle de X dans Y,
4 - THÉORIE DE LA DIMENSION 85 Nous dirons qu'une applications rationnelle de X dans la droite affine k est une fonction rationnelle sur X : une telle fonction est donc le prolongement maximal d'une fonction régulière sur un ouvert ?wn vide U de X. Exemples. — Si f et g sont deux fonctions régulières sur X, g n'étant pas identiquement nulle, l'ensemble des »eX où g(x) ^ 0 est un ouvert non vide U de X, et x ^f[x)jg(x) estrégulière dans U, car elle est régulière dans tout ouvert affine contenu dans U (§ 1, n° 5); elle se prolonge donc en fonction rationnelle sur X. Mais si par exemple X est complète, on n'obtient ainsi que des fonctions constantes (§ 3, n° 3), alors que sur toute variété irréductible non réduite à un point, il y a des fonctions rationnelles non constantes : il suffit en effet de prendre dans X un ouvert affine V non vide, dont l'anneau A(V) n'est donc pas réduit à k\ les fonctions de A(V) se prolongent en des fonctions rationnelles sur X. Considérons m -|- 1 polynômes homogènes de même degré P0, Pj, —,PM dans A[T0, —, T„], non tous nuls, mais qui ne sont soumis à aucune autre condition; l'ensemble des points z e P„(A) dont les coordonnées homogènes sont telles que Pi(#0, —, *'„) 5* 0 pour un indice l au moins est un ouvert non vide U dans Ph(A), et l'application u qui à tout z € U fait correspondre le point de coordonnées homogènes (P0(%, - - -, 4), - - -, Pm(*0, - - •> xr)) dans Pm(A) estun morpMsme deUdans Pm(&), sa restriction à chacun des ouverts UnUj (0 <ç î ^ ») étant un mor- phîsme en vertu de la définition des fonctions régulières dans \Ji, Ce morphisme se prolonge donc en une application rationnelle de P„(A) dans Pm(k) (cC § 3, n°2). On peut définir canoniquement sur l'ensemble R(X) des fonctions rationnelles sur X une structure de corps commutât if En effet, comme l'intersection des domaines de définition de deux fonctions rationnelles y, g n'est pas
B6 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE vide, il y a une seule fonction rationnelle dont la restriction à cette intersection estlafonctionrégulïère Xh*f{x) -f- g(x) fiesp. x \-*f{x)g(x))\ on la désigne par /-f- g (resp. fg). D'autre part, .si/est une fonction rationnelle non identiquement nulle, l'ensemble V des points x e X où/est définie et non nulle est un ensemble ouvert dans X et non vide; la fonction x\-+ l[f(x) définie dans V est régulière, car elle est régulière dans tout ouvert affine contenu dans V (§ 1, n° 5); on désigne par 1//l'unique fonction rationnelle dont la restriction à V est x i-> llf{x). Il finit vérifier que ces définitions donnent bien sur R^X) une .structure de corps (où 0 et 1 sont respectivement les fonctions constantes prenant les valeur-s 0 et 1); par exemple pour monlrcr que (f-\-g) -\- h =f -\- (g -\- k), on observe que l'intersection des domaines de défini tionde/,£,/r n'est pas vide et que, dans cette intersection, les fonctions rationnelles /-|- (g -\- h) et (f-[-g) -\-h coïncident par définition. De même, pour vérifier que f.{\jf) = 1, on observe que dans l'ensemble ouvert non vide ohf{x) csl définie et ^0, la fonction rationnelle/.( 1//) coïncide avec la constante 1. Nous laissons au lecteur les autres vérifications. Remarque. — En un point xeX où une fonction rationnelle/ n'estpas définie, il se peut que 1//= g soit définie; on a alors nécessairement g(.?) = 0, sans quoi /— \jg serait définie dans un voisinage de a. On dît alors que x est un pôle de/. Par exemple, dans A2, la fonction rationnelle A'a/^j n'est pas définie pour xx = 0; les points (0, x2) avec A'a ^ 0 sont des pôles de la fonction, mais (0, 0) n'est pas mi prie, (on dît parfois que c'est un point d^indètermhial'wn). Proposition 1. — Soit X une variété h réductible. Pour faut ouvert affale U dans X, l'anneau A(U) des fonctions régulières sur U est intègre et l'application canonique de A(U) dam R(X) qui, à toute fonction régulière .n(r U, fait correspondre Punique
4 - THÉORIE DE LA DIMENSION 87 fonction rationnelle qu\ la prolonge est injective et se prolonge en un isomorphisme du corps des fractions de A(U) sur R(X). L'injectîvité de l'application A(U) -> R(X) résulte aussitôt du lemme 1. Il suffit donc de montrer que son unique prolongement au corps des fractions de A(U) est surjectif. Or, si A est une fonction rationnelle sur X, îl existe un ouvert affine D(g)CU (avec g eA(U)) tel que la restriction de A à D(g) soit une fonction régulière, donc (§ 1, nD5) delaforme x\->f{x) j(g(x))m avec/eA(U); si / et "g sont les uniques fonctions rationnelles sur X qui prolongent/et g respectivement, on a donc h=fjgmi ce qui prouve la proposition* On identifiera désormais le corps des fractions de A(U) à R(X)> Remarque, — En particulier, si X — Spm (A) est une variété affine > toute fonction rationnelle sur X peut s'écrire ffg, où/ et g sont régulières dans X; on a vu plus haut que cela ne s'étend pas aux variétés algébriques quelconques, en particulier aux variétés complètes,. On oliservera que si X est affine, et h une fonction rationnelle sur X, il peut n'exister aucun, couple de fonctions régulières/, g sur X telles que h *=fjg et que D(g) soit le domaine de définition de h (en d'autres termes, ce dernier est toujours strictement plus grand que D(g) pour tous les choix possibles de/ g vérifiant h =//^)- On en a un exemple en prenant pour X le cône pointé dans k* d'équation .*, a4 — x0 xs = 0, qui est irréductible ; en effet, l'image de X — {0} dans P3(&) est la quadrique affine isomorphe à P](£) X Pi(£) (§ 3, n° 4), donc est irréductible, et la conclusion résulte du § 3, n° 2, coi\ 2 de la prop, 2, Cela étant, dans l'ouvert D(#2) n D(#4) *= i>(x2x4) de X, les deux fonctions rationnelles x^x^ et .%3/x4 sont définies et égales, donc restrictions d'une même fonction rationnelle h
88 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE dont le domaine de définition U contient D(x2) U D(^4), La fonction h n'est pas régulière dans X tout entier car, s'il en était ainsi, x2h serait régulière et s'annulerait pour .K2 = 0 et Xj, ~ 1, ce qui est absurde puisque x2h et x± sont égales dans D(x2x^> donc devraient être égales partout dans X„ Si le domaine de définition de h était de la forme D(g), son complémentaire V(g) devrait donc être contenu dans le plan Z C X de A4 défini par x2 = 0, x4 = 0- Comme Z est irréductible, il résulte du th. 1 ci-dessous que l'on aurait V(g) = Z, Mais alors la restriction de g au plan Z'CX de A4 défini par Xj, — 0, #3 = 0 serait une fonction régulière dont Pensemble des zéros serait réduit à (0, 0, 0,0), ce qui est absurde (§ 2, ^ 3). On notera que, toutefois, si A est un anneau fadoriel, tout quotient fjg de deux éléments de A (avec g ^ 0) peut s'écrirejyg0 ohf0 et g0 n'ont pas de facteur irréductible commun, et f0 et g0 sont déterminés à un facteur inversible près; pour toute autre expression f^gx de fjg, ona/3 = kf0i gj = hg0 pour un AeA> Alors le domaine de définition de fjg est D(g0), car il est clair que ^/g0 est définie dans cet ouvert, et sif]g était définie en un point x $ D(g0), elle s'écrirait fjfgj avec gjix) ^ 0, ce qui est absurde puisque g, = hg0 pour un A € A et que g0(x) = 0, L'exemple donné ci-dessus donne donc un exemple d'anneau A(X) non factorieL Soient X, Y deux variétés irréductibles, u ; X -> Y un morphïsme dominant* Pour tout ouvert affine non vide VCY, ilexistedoncutiouvertaffinenonvide UC«"a(V), et «(U) est dense dans V par hypothèse, La restriction U -> V de « a donc un comorphisme tnjectif <p:A(V)->A(U) (§ 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 6), qui se prolonge par suite en un homomerphisme (nécessairement injecfif) de corps
4-THÉORIE L>E LA DIMENSION 89 6 ; R(Y) -> R(X) en vertu de la prop, U Si V est un second ouvert affine non vide de Y, U' un second ouvert affine non vide de X contenu dans «"^(V), le comorphîsme tp'; A(V') —> A(U') se prolonge en le même homo- morphîsme de corps 6 ; en effet, en remplaçant au besoin V par un ouvert affine non vide V" C V ri V' et U' par un ouvert affine non vide contenu dans U ri U' ri zT-^V"), on peut se berner au cas où V C V et U' C U, et alors i] est clair que tp' prolonge tp„ On dira encore (si aucune confusion n'en résulte) que l'homomorphîsme 6 : R(Y) -> R(X) est le comorphîsme (de corps) correspondant à «. Définition 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -> Y un morphisme dominant. On dit que u est un morphisme birationnel si le comorphîsme de corps R(Y) -> R(X) correspondant au est un isomorphisme. On notera qu'un morphisme birationnel peut n'être ni injectif ni surjectif; même s'il est bijeetîf et bicontinu, ce n'est pas nécessairement un isomorphisme (cf. § 5, cor. 4 du th. 1). Enfin, un morphisme de variétés irréductibles peut être bijeetîf et bicontinu sans être birationnel. Exemples, (i) L'exemple {xx, x2) h» (x1x2, x2)> morphisme du plan affine k2 dans lui-même (§ 1, n° 2, exemple 2) est birationnel, car &(T,, T2) = Â(T,T2, T2), maïs n'est pas surjectif et n'est pas non plus injectif, tous les points (xl90) ayant pour image (0, 0). (ii) L'exemple 5 du § 1, n° 2, considéré comme morphisme de Asur C, est birationnel (car AfT3, T3) = A(T)), bijectif et hicontinu, mais n'est pas un isomorphisme. L'exemple 6 du § 1, n° 2, est bijectif et bicontinu, mais n'est pas birationnel, puisque le comorphîsme k(Tp) ->A(T) n'est pas bijectif.
90 COURS DE GÉOMÉTRIE ALCEBllIQUE (in) Eclatements. — Considérons le morphisme canonique 7t:An+1 — (0}->P„(A) (§3,n°2),etsongrc^r7l, qui est une sous-variété du produit kn+1 X P„(A). L'adhérence de E^ dans ce produit est une sous-varié Lé fermée E de kn + l x P„(A), qu'on dît obtenue par éclatement du Point 0 de #* + 1; E^ est l'image réciproque de l'ouveiL kn+l — {0} par la restriction p : E ->kn+1 de la première projection, et on sait que la restriction de p à E^ est un ïsomorphisme de En sur kn + 1 — {0} (§2. cor. de la prop. 8), donc E est irréductible et p est un morphisme bi- rationmlde E sur kn+i. Mais j&_1(0) cstégalà{0}x P,((A) : en effet, si D est la droite d'origine 0 dans A'14"3 passant, par un point x^O, j&"1(D — {0}) est formé des poinLs Q\z, tx(z)) de k*1*1 x P„(fe), où X ^ 0 dans k; il est clair que le point (0, 7t(z)) est adhérent à cet ensemble. Remarque. — Le corps des fonctions rationnelles R(X) d'une variéLé irréductible est évidemment une extension de type fini du corps A. Inversement, soit K une exiension de type fini de k; si^/j, .. *,fn est un sysLème généraLeui* de K, il est clair que K esL le corps des fractions de la A-algèbre A = ty.fi, - - -jj^L eL ccLLe dernière est une A-algèbre iiiLègrc de type uni. Il existe donc une variété affine irréductible XCA*1 Lelle que A(X) soiL isomorphe à A, donc R(X) isomorphe à K. On dit qu'une variété irréductible Y lelle que R(Y) soit isomorphe à K est un modèle du corps K. On voit donc qu'il existe toujours un modèle affine XCA*1 de K; si l'on identifie km à un ouvert de Pm(A) (§ 3, n° 1), Vadhérence X de X dans Pm(k) est une variéié projrrûvc qui rsL îhiskî un modèle rie K. 2. La notion de dimension Définition 3. - Soit X une variété irréductible sur A. On appelle dimension de X et on note dim (X) le degré de transcendance air A du corps R(X) des fonctions rationnelles nir X.
4-TIIÉORIK Ut; IA DIMENSION 91 Pour tout ouvert affine non vide UCX, il résulte de la prop. 1 que dim(X) est égale au degré de transcendance sur A du corps des fractions R(U) de l'anneau A (U) ; comme A(U) est une A-algèbre de type fini, R(U) est une extension de type fini de A, donc dim(X) est un entier fini ^ 0; de façon plus précise, si A(U) est cngendié par n éléments, on a dim (X) < n. Exemples. — L'espace affine A" a pour corps des fonctions rationnelles A (T,, —,T9(),donc dim (A*1) =« (cequi justifie l'appellation d' « espace affine de dimension n »). Comme A" s'identifie à un ouvert affine partout dense de l'espace projectif P„(A), on a aussi dim(Pm(A)) =«; plus généralement, comme la grassmannienne Gfl]I.(A) contient un ouvert partout dense isomorphe à Ar("~r>, on a dim (Gnir(k)) ==»■(«— r). Les seules variétés irréductibles de dimension 0 sont les variétés réduites à un point. Les variétés irréductibles de dimension 1 (resp. 2) sont encore appelées courbes algébriques (resp. surfaces algébriques) sur k. Si X est une variété non vide quelconque sur A, on appelle encore dimension de X et on note dim(X) la plus grande des dimensions des composantes irréductibles de X ; on dit que X est pure si toutesses composantes irréductibles ont la même dimension. Les seules variétés de dimension 0 sont donc les ensembles finis non vides. Proposition 2- — Soient X une variété «réductible, Y une sous-variété non vide de X. Alors dim(Y) < dim(X), et la relation diin(Y) -- dimfX) équivaut à dire que Y est un ouvert non vide de X. 11 est l lair que si Y est un ouvert non vide de X, il existe mi ouvert affine U ^ 0 contenu dans Y, donc din,(Y) = dini(X).
92 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Cela montre en premier lieu qu'on peut, en remplaçant Y par Y, se borner au cas où Yest/crm^dans Xet irréductible^ pour tout ouvert affine non vide UCX rencontrant Y, U C\ Y est alors un ouvert affine non vide dans Y, donc dim(U ri Y) = dîm(Y) ; puisque Y Pi U est fermé dans U eL dim(U) ~ dim(X), on est ramené au cas où X = Spm(A) est affine, donc Y — Spm(A/p), où p est un idéal premier de l'algèbre intègre A. Si Y ^ X, on a donc p ^ {0}; si dim(X) = «, il s'agit de voir que le corps des fractions de l'anneau intègre A/p a un degré de transcendance <C « sur k. Supposons le contraire; il existerait alors dans A « élémenLs flt .. .tfn dont les images f$ dans A/p seraient algébriquement indépendantes sur k. Soît alors g ^ 0 dans p ; les « -f 1 éléments g, flt .. .,f„ ne pouvant être algébriquement indépendants sur k, il exisLerait un polynôme P e&[T(l, Tj, .... T„] non nul et tel que P(g,./i, -. .,X) — 0 dans A. Comme A est tin anneau intègre, on pcuL, en considérant la décomposition de P en produit de polynômes irréductibles, supposer P irréductible. Alors P ne pourrait être divisible par" T0 que si P = XT0 avec X ^ 0 dans k. mais comme g ^ 0, cette hypothèse est absurde. Le polynôme P(0, Tlt . -., T„) est donc non nul, et comme les images canoniques de g, fti . . .,Xdans A/p sont 0,_/i, .. .>fni on aurait P(0,/I;1 .. .,X) ~ 0 contrairement à l'hypothèse. C.Q.F.D. Si Y est une sous-variéLé fermée irréductible d'une variété irréductible X, on appelle codimensîon de Y dans X et on note codimx(Y), ou simplement Codim(Y), la différence diin (X) —dirn (Y) ^ 0; larelation codîmx(Y) = 0 équivaut donc à Y = X. Remarque. — Soient Xj, ..., X,„ les composantes irréductibles d'une varieLé X. tl résulte de la prop. 2 et de
4 - THÉORIE DE LA DIMENSION 93 (T, 8) que chaque intersection X, f~ï X^ pour i ^ j est de codimension ^ 1 dans X, et dans X^. Proposition 3. — Si "KetY sont deux variétés irréductibles, dim(X X Y) = dim(X) + dim(Y). On sait que X X Y est irréductible (§ 2, n° 4, cor. de la prop. 7) ; si U (resp. V) est un ouvert affine non vide dans X (resp. Y), l'ouvert affine U X V dans X X Y est non vide, et il suffît donc de prouver la proposition lorsque X = Spm(A) et Y — Spm(B) sont affines. Soient m = diin(X), n = dim(Y); alors A (resp. B) contient une sous-algèbre Aq (resp. B„) isomorphe à Arjj, ..., Tm] (resp. k[Vi, .. ., U„]), et A (resp. B) est engendré par un nombre fini d'élémenis fl3 .. .,fT (resp. gii ■ ■ ■ > ëe) algébriquessur le corps des fractions E0 (resp. F0) de A0 (resp. B0) (A, 35). Comme A(XxY) = A ©^ B, ccue algèbre contient le produit tensoriel A^, ©fc B0, isomorphe à k[Tt, .. . s Tm, Uj, .. ., U„], dont le corps des fractions L0 a donc un degré de transcendance égal à m -f- n sur &. En outre, le corps des fractions L de A ©A B est PexLension de L0 engendrée par./^, ... yfr 3 gt, ..., gB, qui sont algébriques sur L^,; donc le degré de transcendance de L sur k est m -f- n. C.Q.F.D. Corollaire. — Pour toute variété irréductible fermée X de Pn(k), en a dimCrc-^X)) = dim(X) + 1. Cela résulte de la prop. 3 et du fait que si X C\ Uj ^ 0, n-^X n Ut) est isomorphe à (X n 1¾ X (k — {0}) (§ 3, prop. 2). 3. Le théorème des idéaux principaux Soient X une variété irréductible et feVÇX, c\) une fonctionrégulièresurX; nous désignerons encore par V(f)
94 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALOEBRIQUE la sous-variété fermée de X formée des x e X tels que J[x) ^ 0, Si /= 0, il est clair que V(f) = X. D'autre part, pour que V(/) smt vide, il fauL ci U suffit que/soiL inversible dans l'anneau VfX, ^)- En cifet, la condition est évidemment sullisautc; i avènement, ni V(/) = 0, pour toutouvertalriuc UCX, la fonction régulière y |U est telle que V(/|U) — 0, donc /]U ne peut appartenir à aucun idéal maximal de FfU, (Px) eL admet par suite un inverse gu dans cet anneau. En outre, il est clair que pour deux ouverts affines U, V, les restrictions degjj etgv à U ri V sont égales, érantinverses de /| (U ri V). Il y a par suite une section g de F(X, 0X) telle que g I Û = gv pour tout ouvert affine U, et on a évidemment fg = 1. Théorème 1 (théorème des idéaux principaux de Krull). — Soient X une variété irréductible, f une fonction régulière sur X, qui n'est ni 0 ni inversible. Alors \7{f) est une sous-variété pure non vide de X, de dimension dim(X) — 1. Soit Y0 une composante irréductible de V(/). Comme X est nosthérien, V(/) n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles et il exisLe un point j|eY0 n'appartenant à aucune autre composante irréductible de \7{f)i la réunion de ces composantes étant fermée dans X, on voit qu'il y a un ouvert, non vide U de X tel que U r\ \{f) = U ri Y0 soit irréductible. Remplaçant U par un voisinage ouverL affine dej> contenu dans U, on voit finalement qu'on est ramené à prouver le Lhéorème lorsque X = Spm(A) esL affine, A intègre, /eA non nul ni inversible, et où p = r(A/) csl un idéal premier (§ 1, n° 1, prop. 2). Il s'agit de prouver que si L est le corps des fractions de A et a un degré de transcendance sur k égal à «, le corps des fractions L^, de A/p a un degré de transcendance égal à « — 1. En verLu du lemme de normalisation (A, 35), il existe dans A n éléments gl> ..., gn formant une base de traiis*
4 - THEORIE, DF. LA DIMENSION 95 cendancedeLsurAettelsquesil'onposc B—Afg,,. . .,£„] (isomorphe à l'algèbre de polynômes A [Tu ■■•jT^), A est un B-module. de type fini, Soit E le corps des fractions de B (isomorphe à Afl^, .. .,TK)); L est une extension algébrique finie de E. Posons f0 = Nj^fy); comme B est intégralement clos, ou sait alors que l'idéal premier p rï B de B est égal à r(B/J,) (A, 26). Il est clair que A/p est un (B/(p ri B))-module de type fini; si E0 est le corps des fractions de B/(p ri B), L^ est donc une extension algébrique finie de E0> et par suite a même degré de transcendance suï A que E0. On est donc ramené à prouver que E0 a un degré de transcendance égal à « — 1 sur A. Or, comme l'anneau B estfiactoriel (A, 30), les idéaux premiers minimaux parmi ceux contenant fi0 Sont les idéaux B^-, où les hj sont les facteurs irréductibles de fi0 (A, 30) ; t'fë/ô) ne Peut Par su'Le étre premier que si fi = /ij-f1, où /¾ e B est iri'éductible, et alors p rï B = B/;0. Finalement, on doit prouver que si P est un polynôme irréductible de A[Ta, ..., TOT], le coips des fractions de l'anneau intègre A[T:L, ..., T„]/(P) a un degré de transcendance sur k égal à «— 1 (autrement dil> le cas parlicuUer du th. 1 pour X = A"), Mais il y a alors « — 1 des Tj-, par exemple T2, .,.,T„ tels que P et T2, ..., T„ forment une base de transcendance de k(Tly ..., T„) sur A (A, 1); on voit alors aussitôt que les classes de T2, ...,T„ dans ^Hi, ■ ■ -»TB]/(P) sont algébriquement indépendantes sur A; comme Ta est algébrique sur k(P, T2, .. ., T^), cela achève la démonstration. Remarque. — On peut encore énoncer le th. 1 sans Supposer que fi est non inversible; l'énoncé est alors valable eu supprimant la conclusion que V(y) est non vide, en se souvenant qu'un ensemble irréductible est non vide par définition, et par suite que l'on peut dire que l'ensemble vide a une dimension arbitraire, puisqu'il n'a pas de composantes irréductibles.
96 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Corollaire. — Soit X une sous-variétéfermée irréductible de PK(A) de dimension > 0. Pour tout polynôme homogène non constant PeA[T0, ...,¾ Vhypersurface V(P) définie par P(#0 ,xlt . .., xn) = 0 rencontre X ,• si elle ne contient pas X, V(P) ri X est une sous-variété pure de codîmension 1 dans X. Si C=7r"1(X), Cestîrréductîbleetdediinension5t 2, et P s'annule au point 0 de C, donc la restriction de P à C n'est pas inversible; l'ensemble C des points de C où P s'annule est un cône poinLé qui, en vertu du th. 1, est une variété pure de dimension ^ dim(X) ^ 1. L'intersection C ri (kn + * — {0}) n'est donc pas vide et 7r(C) = V(P) ri X est une sous-variété pure non vide, de codîmension 1 dans X (§ 3, prop. 2) si X n'est pas contenue dans V(P). Le th. 1 admet une réciproque : Proposition 4. — Soient X une variété irréductible■> Z une sous-variété irréductible fermée de X de codîmension 1. (i) II existe un ouvert affine U de X tel que Z ri U ^ 0 et une fonction f régulière sur U, non identiquement nulle et ^annulant dans ZOU. (ii) Pour tout ouvert U ri? X rencontrant Z et toute fonction f régulière sur XJt non identiquement nulle et s*annulant dans Z ri U, ZnU estunecomposanteirréductibledelasous-variéte',V(f)de\J. (i) Comme Z n'est pas vide, il y a un ouvert affine U = Spm(A) rencontrant Z, et ona alors Z ri U = V(a), où a est un idéal radiciel ^ {0} de A (en vertu de la prop. 2); toute fonction f € CL autre que 0 répond alors à la question. (iï) Si W est la composante irréductible de V(/) contenant Z ri U, on a, en vertu de la prop. 2, dim (U) > dim (W) ^ dim (Z n U) = dïm (U) — 1 ce qui n'est possible que si W = Z H U (proP- 2).
4 - THÉORIE L>E LA DIMENSION 97 Corollaire. — Dans une variété irréductible X, toute sous- variété fermée irréductible maximale dans l'ensemble des sous- variétés fermées irréductibles distinctes de X est de codîmension 1, et réciproquement. Toute sous-variété fermée irréductible ZjtX de X est contenue dans une sous-variété fermée irréductible de codîmension 1. Si Z est une sous-variété fermée irréductible de X, distincte de X, pour tout ouvert affine U = Spm (A) rencontrant Z, ZnU est irréductible dans U et distincte de U, donc ZnU = V(p), où p ^ {0} est un idéal premier de A. Si f ^ 0 est un élément de p, on a donc ZOU CV(/) et par suite ZoU est contenu dans une composante irréductible Y de V(y), de dimension dim(X) — 1. Comme Z = ZnU (T, 7), on a ZCY, et Y est une sous-vanété fermée irréductible de X de codîmension 1. Le fait que toute sous-variété fermée irréductible de X de codîmension 1 soit maximale résulte de la prop. 2. Remarque. — Sous les hypothèses de la prop. 4, on peuL se demander si, pour tout point x e Z, il existe un ouvert UCX contenant x et une fonction y régulière sur U tels que ZOU soit non seulement une composante irréductible de V(jf), mais même égale à V(f). L'exemple donné au n° 1, Remarque, montre qu'il n'en esL rien; avec les notations de cet exemple, il suffit de considérer le point (0, 0, 0, 0) de Z (sommet du cône X) et de noter qu'aucune fonction g régulière dans un voisinage de ce point dans le plan Z' ne peut avoir ce point pour unique zéro (par exemple en vertu du th. 1). On a cependant la proposition suivante : Proposition 5. — Soit X une variété affine irréductible, dont Panneau A(X) des fonctions régulières soit factoriel. Alors
98 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE toute sous-wriétèfermée Z de~K}pure et de dimension dim (X) — 1, est dé la forme V(jf) pour une fonction f e A(X). En effet, soient Z,, ..., Z, les composanLes irréductibles de Z, qui sont donc des variétés irréductibles fermées, de codimension 1 ; chacun des idéaux premiers t(Z,-) — p.j est donc minimal dans l'ensemble des idéaux premiers 5* {0} de A(X) (cor. de la prop. 4), et par suite (A, 30) est un idéal principal (jQ, oiifj est irréductible dans A(X) ; il est clair alors que Z = V(/), où f—ffi...fr (§ 1, prop. 1). Corollaire. — Toute sous~varîété fermée Z de P^fA), pure et de dimension «—1, est définie par une seule équation ^(x0 ,xX7 ...,¾) =0 entre les coordonnées homogènes de ses points^ ou P est un polynôme homogène ^ Odek [T0. Ti, ..., Tw] (autrement dit Z est une hypersurface). En effeL, C = tT HZ) (notations du § 3, n° 2) est un cône époïnté fermé dans kn + 1 —{0}, irréductible et de dimension n; C est alors un cône pointé fermé dans A*14*1, irréductible et de dimension «, et il suffit de lui appliquer la prop. 5, puisque A(kn*1) ^= k[T0,Tlt --.,T„] est faetorfel (A, 30). Proposition 6. — ta dimension d'une variété irréductible X est le nombre maximal ifélêntents Z,- dans une suite strictement croissante (1) ZiCZgC ... czr de sous-variêlés fermées irréductibles de X, distinctes de X. Si dïm(X) = n ^ 1, l'existence d'une suite (1) avec r = n résulte du corollaire de la prop. 4, appliqué par récurrence sur n. Inversement, pour toute suite (1), on a dim (Z,) < n— 1, et le fait que r < n résulte par récurrence sur « de la prop. 2.
4 - THÉORIE DE LA DIMENSION 99 Proposition 7. — Soient X une variété irréductible, /1,/2, ,fr des éléments de TfX, c\), et soit V(/„ ...,/,) -Vf/,) nV(/2) n ... flV|/J; c/o^, j&o«? fowfe composante irréductible Z ûfe Vf/,, .. .,/.), o« g codimx(Z) < r. Raisonnons par récurrence sur r, le cas r = 1 étant conséquence du th. 1. La sous-variété fermée Z, étant irréducLible et contenue dans la sous-varîété fermée V(.A, ■ ■ -»./r-i)» est conLenuc dans une composante irréductible Z' de cette sous-variété; on a alors zcz'nvtficvLf, /j et comme Z est une composante irréductible de V(/,, ,/), Z est aussi une composante irréductible de Z' (~\ V(j£). En vertu de l'hypothèse de récurrence, on a cod!mx(Z') < r— 1. Si la restriction de /, à Z' esL 0, on a Z = Z'. Sinon, il résulte du th. 1 que dim(Z) = dim(Z') — 1, donc codimx(Z) < r. Corollaire 1. — Soit X une sous-variété fermée irréductible de P71(A) ; pour tout système de r polynômes homogènes non constants Plt ..., Pr de A[T0, Tj, ..., T„], toute composante irréductible Z de l'ensemble VfPj, ..., Pr) des points de X dont les coordonnées homogènes annulent Pj , ..., Pr est de coAimen- sion < r dans X- Si de plus dim(X) ^ r, V(Pt, -. -, Pr) nyest pas vide. La première assertion résulte de la prop. 7 appliquée au cône tz" *(X) ; la seconde provient aussitôt par récurrence du corollaire du th. 1. Corollaire 2. — Soient X et Y deux sous-variétés irréductibles de kn (ou de Pn(k)) ; pour tonte composante irréductible Z de XOY, on a dïm(Z) » dim(X) -f dhn(Y) — n.
100 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE En effet, supposons par exemple que X et Y soient des sous-variétés de kn; X O Y est alors isomorphe à la sous- variété (XxY)OA de k2n, où A esL la diagonale (§ 2, cor. de la prop. 8); mais An(XxY) est la sous-variété de X x Y définie par l'annulation des restrictions à X x Y des « fonctions régulières Xj— *n+J- (1 ^ j ^ n) sur k2n ; la conclusion résulte donc de la prop. 7 puisque dim (X X Y) = dim X -h dim Y (prop. 3). Lorsque X et Y sont des sous-variétés de P„(&), il suffit de considérer un ouvert de P„(A) contenant un point de Z et isomorphe à kn, et ses intersections avec X et Y, pour- être ramené au cas précédent. Remarques. — 1) Sous les conditions de la prop. 7, les diverses composantes irréductibles de Vf^, —,fr) n'ont pas nécessairement la même dimension, et peuvent avoir toutes une codimension <C r. On a un exemple du premier cas en considérant une hyperquadrique X de dimension 4 dans P6(A), et en prenant pour V(/j) et V(/2) les intersections de X avec deux hyperplans distincts de P6(&) contenant un même plan (isotrope) contenu dans X. 2) Le corollaire de la prop. 7 montre en particulier que pour r <C n polynômes homogènes quelconques P1} P(, de A[T„, , Tfl], il y a toujours des points de P„(A) dont les coordonnées homogènes annulent à la fois tous les Pj; cela prouve que les seuls morphismes de P„(A) dans Pm(A) pour m < « sont les applications constantes. Proposition 8. — Soient X = Spm(A) une variété affine irréductible, Z une sous-variétè fermée irréductible de X, de codimension r. Il existe alors r éléments fx, ..., fr de A tels que Z soit une composante irréductible de "V(fi, —,.£)- La proposition a déjà été démontrée pour r = 1 (prop. 4). Supposons r > 1 ; alors Z n'est pas maximale
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 101 dans l'ensemble des sous-variétés fermées irréductibles de X (cor. de la prop. 4), donc il existe une sous-variété fermée irréductible Z1 de codîmension 1 telle que Z C Zt. Procédant par récurrence, on obtient une suite strictement décroissanLe Z1DZ2D...DZr = Z où chaque Zj est une sous-variété fermée irréductible de codîmension j dans X. Nous allons prouver un énoncé un peu plus précis que celui de la prop. 8 : il existe r éléments^, .. mfff de A tels que pour chaque s < r, Zs soit une composante irréductible de V(j^, .. .,/B) et en outre que V(fx, —,fs) soit une variété pure (ayant donc toutes ses composantes irréductibles de codîmension s). Procédons par récurrence sur r, l'assertion rêsultanL de la prop. 4 et du th. 1 pour r = 1. L'hypothèse de récurrence entraîne l'existence d'éléments^, ,fT _ x de A tels que toutes les composantes irréductibles Ylt , Y„, de V(fi, —ifr-i) soient de codîmension r— 1, et que Z, -1 ™ Yj. Comme dim (Z) < dim (YA pour chaque indice/, Z ne peut contenir Yj (prop. 2), et par suite aucun des idéaux premiers t(Yj) ne peut contenir l'idéal premier t(Z); on en conclut (A, 12) que t(Z) n'est pas non plus contenu dam la réunion des t(Y3-), autrement diL il existe fr e t(Z) n'appartenant à aucun des t(Yj). Soit Y' une composante irréductible de : v(/„ ...,/,) =vUi, .-.,/,.,) nvii); Y' est donc une composante irréductible de l'une des sous-variétés Y3- n V(fr) (T, 7) ; en vertu du choix defr, la restriction de fT à Yj n'est pas identiquement nulle, donc (th. 1), on a dim(Y') = dïmfY,-) — 1 = dim(Z). Mais comme ZC V(/,, .. -,.£) P3^ le choix de fri Z est contenu dans une des composantes irréductibles Y' de VC/ii - ■ -sjfc)> et en vertu de ce qui précède on a nécessairement Z = Y' (prop. 2).
102 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE Corollaire. — Soit X une sous-variété fermée irréductible de Pj,(A)- Pour toute sous-variété fermée irréductible Z de X, de codimension r dans X, il existe r polynômes homogènes non constants Pj, —, Pr de k [T0, Tx, . .., Tfî] tels que Z soit une composante irréductible de X f~i V(Pi, , Pr)- Les Zj- étant définis comme dans la prop. 8, on prouve par récurrence sur r TexisLence de polynômes Pj, ..., Pr tels que pour chaque s < r, Zs soit une composante irréductible de XO V(P,, ..., PB) et en outre que X C\ V(P|, ..., Ps) soit une variété pure. Le raisonne- menL par récurrence esL le même que dans la prop. 8 en considérant les idéaux premiers gradués t(7r"1(Y,')) et tCTrVZJJdansfcJTo, ..., TK] et utilisant (A, 12). Exemple. — Dans P3(A), toute courbe irréductible fermée C est une composante irréductible de l'intersection de deux surfaces fermées (on ignore si C peut toujours être la seule composante irréductible d'une telle intersection) . PnoPOsrnON 9. — Soit X une sous-variéléfermée de Pn(k)t de dimension r <n. Alors il existe une variété linéaire projec- tivehde'Pn(k)t de dimension n — r—1, telle que L f~i X = 0. Raisonnons par récurrence sur r. Pour r — 0, X est unensemblefinietonsait (A, 42) qu'ilexisLeunhyperplan projectif dans PM(A) ne contenant aucun point de cet ensemble. Supposons r > 0, et soient X|, —, X,,, les composantes irréductibles de X, qui sont donc toutes de dimension < r. L'intersection L,- de toutes les variétés linéaires projectives contenant X, est la plus petite variété linéaire projeclive contenant Xy. Il existe un hyperplan projectif H ne contenant aucune des variétés linéaires non vides Lj- distinctes de P„(&) (A, 42); par suite, H ne contient aucune des composantes irréductibles Xj de X,
4 ~ THÉORIE DE LA DIMENSION 103 et H f~i Xj estparsuîteunesous-varïété pure decodimen- sïon 1 dans X,- pour chaque j (éventuellement vide). En vertu de Phypothèse de récuiTence, il existe dans H une variété linéaire projective L de dimension : (B _ 1) __ (r _ 1) _ 1 = „ _ r _ 1 ne rencontrant pas H f~i X. C.Q..F.D. 4. MûRPHÏSMES FINIS ET FACTORISATIONS Définition 4. - Etant donné deux variétés X, Y, on dit qu'un morphisme u : X ~> Y est fini s'il existe un recouvrement (Ua) de Y par des ouverts affines tels que pour chaque a, u~ l (Ua) soit un ouvert affine de X et que le comorphisme A(Ura) -^-AfiT^Ua)) dumorphisme u~x(1}a) -> U« restriction de u fasse de A(«"1(UK)) un A(UK) -module de type fini. Cette condition signifie aussi que Afa^fU^)) est une A(Ua)-algèbre engendrée par un nombre fini d'éléments dont chacun est entier sur A(Ua) (A, 16), On notera que la définition n'exclut pas le cas où, pouf certains Ua non vides, u~ 1(Ua) serait vide. Proposition 10.— Soient X = Spm(A), Y = Spm(B) deux variétés affines, tp : B —> A un k-homomorphismei u — Spm(tp) : X -> Y le morp/dsme correspondant. (i) Si cpfaït de A un ^-module de type fini, u est un morphisme fini et pour tout ouvert U de Y, le morphisme a^fU) ~> U restriction de a est fini, (ii) Inversement, si u est un morphisme fini, tp fait de A un B-moahle de type fini. (i) Il est clair que u est fini par définîiïon; pour prouver qu'il en est de même de a"1(U) ~>U, ilsuffiLdeseborner au cas où U = D(g), où £eB, desorteque a_,(U) = D(h) avec h=ep(g) (§ 1, n° 5, formule (21)), Soient^
104 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE (l$i$m) des éléments de A engendrant A comme B-module; tout élément /eA peut donc s'écrire î i où les t4 € B. Les fonctions régulières sur D(A) étant de la forme x{->f(x)jk(x)n s'écrivent donc : *h»S(%(«(*))te(«M)")./ïM, ce qui montre que les restrictions des fo à D(A) engendrent l'anneau A(D(h)) en tant que A(D(g))-module, (ii) Compte tenu de (i), il existe un recouvrement de Y par un nombre fini d'ouverts de la forme D($) (Kf $D) où gi eB, tels que, pour /¾ — tp(,&), l'anneau AA; soit un Bff;-module de type fini; désignons par (fijI^T1) tin système de générateurs de ce Bffi~module (avec fij eA). En multipliant les foj par des puissances de /¾, on peut supposer tous les m^ égaux à un même entier m, Montrons alors que les j^- engendrent le B-module A. En effet, pour tout /eA, la restriction de f à D(^) s'écrÎL par hypothèse liitpihj) fijl^t» et P21" suite» i dans A, on a f^f= Zi<f>(hj)fi3> Comme les D(gJ") forment un recouvremenL de Spm(B), il y a des st e B tels que 1 =2¾^ comme qpfogr)/ = Jùyihhàfn» on » s obtient f = S tpf3* ti}) fa » ce qui achève la démonstration. Proposition 11, — Soit u ! X ~>Y un morpfrisme fini. (i) U application u est formée. (ii) Pour tout jieY, l'ensemble u~x{y) est fini. (i) Soit (U«) un recouvrement de Y par des ouverts affines Lels que pour tout oc, w"1(Ua) soit un ouvert affine de X et que la restriction «~ 1(U«) -> Utt soit un mor-
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 105 phisme fini. Pour toute partie fermée F de X, on a «(F) OUtt = «(F n «~I(Ua))> et comme il suffit de prouver que «(F) f~i Ua est fermé dans Ua pour tout oc, on est ramené au cas où X ~ Spm(A) et Y = Spm(B) sont affines et a = Spm(ip), où tp : B —> A fait de À un B-moduIe de type fini. Soit alors Z — V(a) un ensemble fermé dans X, et poscins b=<p_I(a); les points de «(Z) sont les idéaux maximaux tp~ ^-fîït), où fit parcourt l'ensemble des idéaux maximaux de A ccntenant a. Mais B/b s'identifie à un sous-anneau de A/a, et A/a est évidemment un (B/fc)-module de type fini; on sait alors (A, 19) que tout idéal maximal Tl' de B/b est contenu dans un idéal maximal m'de A/a; si Ton écrit n' = Tt/b, trt' = tn/a, où n (resp. m) est un idéal maximal de B (resp. A), cela entraîne que n™tp-I(tTt), donc «(Z) = V(b) est fermé dans Spm(B). (ii) Il est clair qu'on est encore ramené au cas où X = Spm(A) et Y~ Spm(B) sont affines, et on peut évidemment se borner au cas où y e«(X); d'après (î), on a «(X) ™ V(b), où b — Ker(tp); on sait (A, 19) que, puisque A3B/b est un (B/b)-module de type fini, il n'y a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux de A contenant un idéal maximal de B/b, d'où la proposition. Remarque. — Un morphîsme fini surjectif n'est pas nécessairement ouvert (cf. n° 5, exemple 2). Proposition 12. — (i) Pour toute sous-variété fermée Z a? une variété X, f infection canonique Z ~> X est un morphîsme fini. (ii) Le composé de deux morpkismes finis est un morpfiisme fini. (iii) Soit v : X -> Y un morphîsme fini tel que vÇK) C Z, où Z est une sous-variété fermée de Y. Alors le morphîsme u : X ~> Z tel que v — j o «, où j : Z ~> Y est Vinfection canonique, est fini.
106 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE (îv) Si «j : Xj, ~> Yj et «2 : X2 -*■ Ya sont des morphîsmes JiniS) il en est de même de «j x u2 : X^ x Xg ~> Y1 x Y2. (î) Pour tout ouvert affine UCX, UOZ est lui ouvert affine dans Z et est fermé dans U, donc on est ramené au cas où X — Spm(A) et Z = V(a), où a est un idéal radîciel de A; il est clair alors que A/a est un A-module monogène. (îî) Soient « : X ~> Y, a : Y ~> Z deux morphismes finis, et soit (Ua) (resp. (Vp)) un recouvremenL de Y (resp. Z) par des ouverts affines tels que les morphismes y_I(Uft) ~>Uft et f'^fVp) -> Vp soient finis. En vertu de la prop. 11, v(u(K)) est fermé dans Z; pour tout z¢v(u('K))> soit V2 un voisinage ouvert affine de z ne rencontrant pas v(u(K)). Si au contraire z et>(«(X)), ona ^ = &(«(#)) pourun x eX, «(#) appartient à un Ura et ^ à un Vp. En vertu de la prop. 10, il existe un voisinage ouvert affine VB de £ = »(«(#)), contenu dans Vp, tel que iT'CVg) soit affine et contenu dans Ua,«-I(f~3(VE)) affine, et en outre que les morphismes u~ l(V~ I(VS)) ~> v~ I(VJ et f~ I(V2) ->VZ soient finis (cf. § 2, n° 3, Remarque (i)). Il sufFiL donc de prouver l'assertion (îî) lorsque X=Spm(A), Y=Spm(B) et Z = Spm(C) sont affines; mais alors, comme B est un C-module de type fini et A un B-module de type fini, A est un C-module de type fini. (ïïi) Pour tout z € Z il y a un voisinage ouvert affine V£ de z dans Y tel que fc,_,(V£) ~ «_1(Z fï V£) soit affine cl que le morphisme v~1(Vz) ~>V3 restriction de v soit fini. Comme Z O V£ est un voisinage ouvert affine de z dans Z, on voit qu'on est ramené au cas où X — Spm(A) et Y = Spm(B) sont affines; alors Z = SpmfB/fe) pour un idéal b de B, et par hypothèse le morphisme composé B ~> B/b ~> A fait de A un B-module de type fini; mais alors A est aussi un (B/b)-module de type fini.
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 107 (îv) Comme les produits \1 x V2 d'ouverLs affines VjC Yj eL V2C Y2 forment un recouvrement ouvert affine de Yj X Y2, on est ramené au cas où les Y^ — Spm(B^) et Xi — SpmfAJ (i = 1, 2) sont affines. Mais si A^ est un B^-module de type fini pour i = 1, 2, il est clair que Aj © Ag est un (Bj © B2)-module de type fini. Corollaire 1. — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X ~> Y un morphisme fini dominant. (i) Le morphisme u est surjectif, et R(X) est une extension algébrique finie de R(Y) (donc dim (X) — dim (Y)). (ii) Uimage par u de toute partie rare de X est une partie rare de Y. (î) Comme w(X) est dense dans Y et fermé, on a r*(X) = Y. En outre, si U est un ouvert affine non vide de Y tel que a-1(U) soit un ouvert affine de X, AfzT^U)) est un A(U)-module de type fini, donc engendre par un nombre fini d'éléments entiers sur A(U), et a fortiori algébriques sur le corps des fractions R(Y) de A(U) ; comme R(X) est le corps engendré par ces éléments, il esL une extension algébrique finie de R(Y). (ii) Soit F un ensemble fermé rare dans X; il suffit de prouver que, pour Loute composanLe irréductible Z de F, «(Z) est rare dans Y. Or, la restriction Z ~>«(Z) de u est un morphisme fini surjectif, donc on a : dïm(«(Z)) = dim(Z) < dim(X) ^ dim(Y) ce qui prouve que «(Z) esL rare dans Y (prop- 2). Corollaire 2. — Soit u : X ~>Y un morphisme fini. Si Y est une variété complète, X est mie. variété complète. Soit Z une variéLé quelconque; la projection pr^ZxX^Z
108 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE se factorise en Z x X i^> Z x Y -¾ Z, où la seconde flèche est une application fermée par hypothèse; comme 1 X « est un morphisme fini, c'est aussi une application, fermée, d'où la conclusion. Exemples. — 1 ) Le morphisme t h» (ïa, fs) de k dans k2 (§ 1, n° 2, Exemple 5) et le morphisme t h» tm (m entier arbitraire) de k dans k sont finis. 2) L'injection canonique u "-&— {0} ~>& ri! est pas un morphisme fini (bien qu'étant injectif) puisque k—{0} n'est pas fermé dans k (cf. § 5, n° 4). Le lemme de normalisation (A, 35) entraîne l'existence dcfactorîsatîons des morphismes, permettant pour de nombreuses propriétés de se ramener aux morphismes finis^ comme nous le verrons dans la suie de ce paragraphe et aux §§ 5 et 6. Proposition 13. — Pour toute variété affine X de dimension n il existe un morphisme fini surjectif u : X —> #'. En effet, si X = Spm(A), le lemme de normalisation montre que dans l'anneau intègre A il existe une sous- A-algèbre B isomorphe à k[Tlt , T,J et telle que A soit un B-module de type fini; u est le morphisme correspondant: à l'homomorphîsme injectif B —>A. Lorsque X est irréductible, on notera qu'on peut même supposer que le comorphisme AfTj, >.--, Tn) ~>R(X) correspondant à u fait de R(X) une extension finie sépa- rable du corps k(Jlt ..., TM) (A, 35). Proposition 14. — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -> Y un morphisme dominant. Il existe alors un entier m ^ 0, un ouvert affine non vide VCY et uti recouvrement (^j)i^i^r de tr 1(V) par des ouverts affines tels que la
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 109 restriction Uj de u à chaque Uj-, considérée comme morphisme de Uj- dans V, se factorise en u34v x #,i5v où V: est un morphisme Jïni surjectif. Soit V0 un ouvert affine non vide dans Y; comme u est dominant, «_1(V0) est un ouvert non vide de X, et est par suite réunion d'un nombre fini d'ouverts affines non vides U^ (1 <i<r)> commettes! dominant, les «(Uj) sont denses dans V0. Posons LJJ = Spm(A3-), V0 = Spm(B), de sorte que chaque A^ est intègre et rhomomorphisme B ~> Aj înjectif (§ 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 6). On sait alors (A, 39) qu'il existe un élément & ^ 0 de B et un sous-anneau Cj de A,- contenant B, tels que Cy soit isomorphe à B[Tj, ..., TJ = B ©fc k\T±, -.-,¾ et que Aj^l/^] soit un C|[l/^]-module de type fini. Prenons s = stsZt ..., sr; comme q[lW=B[l/î]®kA[T1>...,T„,], on répond à la question en prenant V = Spm(B[l/s]) = D(j) et U, =- SpmfA^l/s]), le inorpliisme Vj correspondant à l'injection Corollaire (Chevalley). — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X ~> Y un morphisme dominant. Alors «(X) contient un ouvert non vide de Y. Proposition 15 (Chevalley). — Pour tout morphisme u : X ~> Y de variétés, et foute partie constructible (T, 13) C de X, u (C) est une partie constructible de Y. Si Xj (1 <J< r) sont les composantes irréductibles de X, C ri Xj est une partie constructible de X,- (T, 14)
110 COURS DF. CÉOMÊTRIE ALGKBRlQUI et «(C), réunion des «(C ri X;), sera constructible si chacun des «(C ri X,-) l'est. On peut donc se borner au cas où X est irréductible; si n = dim (X), on va raisonner par récurrence sur «, la proposition étant évidente pour n = 0. Comme C est un espace nœthérien, donc réunion de ses composantes irréductibles en nombre fini, et que ces dernières sont fermées dans C, donc constructibles dans X (T, 14), on peut se borner en outre au cas où C est irréductible; C est alors une sous-variété fermée irréductible deX;si C ^ X, dim (C) <n (prop- 2); en considérant la restriction de M à C et utilisant le fait que C est constructible dans C et l'hypothèse de récurrence, on voit que «(G) est constructible dans Y. On est donc ramené à prouver la proposition lorsque C = X. Alors «(C)C«(X)C«(X) et en considérant u comme morphisme de X dans u(X), il suffit de montrer que «(C) est constructible dans w(X), autrement dit on peut se borner au cas où Y est irréductible et u dominant. Comme C est constructible et dense dans X, C contient un ouvert non vide U de X (T, 15), et la restriction de u à U est encore un morphisme dominant. Donc (cor. de la prop. 14), w(U) C «(C) contient un ouvert non vide V de Y et on peut écrire : «(C) ^VuafCntt-ifY-V)). Mais jT1(V—V) est une sous-variété fermée de X distincte de X (u étant dominant et Y—V rare dans Y] ; comme Crïu_1(Y—V) est constructible dans «-1(Y—V), l'ensemble «(CniT1(Y — V)) est constructible dans Y par l'hypothèse de récurrence, ce qui termine la démonstration.
4 - THÉORIE DE LA DIMENSION l 11 5. Dimension des fibkes d'un morphisme Théorème 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,, u : X —> Y un morphisme dominant. (i) On a dim(X) ^ dini(Y). (ii) Pour toute sous-variété fermée irréductible W de Y et toute composante irréductible Z de u~ 1(W) dominant W, on a : (2) dïm(Z) ^ dinifW) + (dim(X) — dira(Y)). (îîi) II existe un ouvert partout dense V de Y tel que-, pour toute sous-varié té fermée irréductibleXV deY telle que W f~ïV ^ 0, il existe au moins une composante irréductible de «_1(W) qui domine W, et pour chacune de ces composantes Z, on a : (3) dim(Z) = dini(W) + (dim(X) — dim(Y)). On notera que les relations (2) et (3) s'écrivent respectivement : (4) codïnv,(W)(Z) < codimY(W), (5) codïnv-nwjfZ) — codimY(W). Prouvons d'abord le lemme suivant, qui est un cas particulier du th. 2 : Lemme 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X —> Y un morphisme fini surfectif Pour toute sous-variété fermée irréductible W de Y, il y a au moins une composante irréductible de u~1(W) qui domine W, et pour chacune de ces composantes Z, on a dïm(Z) = dïm(W). En effet, on a w(iT1(W)) = W puisque « est surjectif, donc, si Zj, ...,7^ sont les composantes irréductibles de u~ '(W), chacun des u(Z^) est fermé dans Y (prop. 11) et connue leur réunion est W (qui est irréduclible), on a a(Z,-) = W pour unj au moins (T, 1). La restriction
1 12 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE de « à chacune des composantes irréductibles Z de tt"1(W) telles que «(Z) — VV, considérée comme morphisme de Z dans W, est un morphïsme fini surfectif (prop. 12), donc on est ramené à prouver que dim(X) = dim(Y), ce qui résulte du cor. 1 de la prop. 12. Abordons le cas général; il résulte de la prop. 14 (ou simplement de l'existence de l'homomorphisme R(Y) ->R(X)) que dim(X) ^ dim(Y); en outre, si m — dim (X) —dim (Y), on peut déterminer V et les U^ de façon à satisfaire aux conditions de la prop. 14. Pour toute sous-variété irréductible W de Y telle que Wn V^ 0, (W ri V) x km est une sous-variété irréductible fermée de V X km de dimension dim (W) + »z, et iT1(WriV) est réunion des vjl((W ri V) x km) (1 < j < r). Le lemme 2, appliqué à chaque Vj, montre qu'il y a au moins une composante irréductible de »J1((WriV) X h™) qui domine W et que toutes ces composantes sont de dimension dim(W) -\-m. Celaprouvel'existence de composantes irréductibles de «_1(VV) dominant W; en outre, si Z est une de ces composantes, un au moins des ensembles Z ri U3 est dense dans Z et domine (W ri V) X #", donc est de dimension dim (W) + m, ce qui achève de démontrer (iii). Reste à prouver (ii). Remplaçant Y par un ouvert affine V rencontrant W, et X par tTl(V)i on peut se borner au cas où Y est affine. Si codïmy(W) ~ s, il existe alors s fonctions régulières/j, ...,^ sur Y telles que W soit une composante irréductible de V(flt .. .,^) (prop. 8). Posons ^ =sf-ou, fonction régulière sur X; si Z est une composante irréductible de W 1(W) dominant W, on a a fortiori Z C Vfgj, -.-,&,). Montrons que Z est une composante irréductible de V(gli . . ..£„). En effet, soit Z' une composante irréductible de V(gl, --.,¾) contenant Z. Alors on a W =â(ZJCa(Z')CV(/lJ --.,/e). Maïs comme W est une composante irréductible de
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 113 Vf/j, ,j^), on a nécessairement w(Z')CW, donc ZCZ'C «_1(W); puisque par définition Z est une composante irréductible de w~~ 1(W), on a nécessairement Z = Z'. Il suffit alors d'appliquer la prop. 7 pour obtenir (4). Corollaire 1. — Soient X, Y deux variétés irréductiblest u : X ~> Y un morphîsme dominant. Pour tout y e «(X), toute composante irréductible de u~x{y) a une dimension 5t dïm(X) — dim(Y), et il existe un ouvert non vide VCY tel que pour tout y e V, toute composante irréductible de u~ x (y) soit de dimension égale à dim(X) — dim(Y). Corollaire 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X ~> Y un morphîsme dominant birationnel. Alors il existe un ouvert non vide VCY tel que la restriction ir'fV)->V de u soit un isomorphisme. Remplaçant Y par un ouvert affine non vide V0CY et Xparir ,(V0),onpeutdîabordsupposerque Y= Spm(B) est affine. Soit UCX un ouvert affine non vide de X, de sorte que w(U) est dense dans Y; si W = «(X— U), toute composante irréductible de W a une dimension <C dïm(Y) : en effet, toute composante irréductible de X— U a une dimension < dim(X) =s dim(Y) (prop, 2) et il suffit d'appliquer le th. 2. Il y a donc un g e B tel que B(g) n W = 0 (prop. 2), autrement dit tr1(D(g)) C U; si U = Spm(A) et/ = £o«eA, ona iTl(V(g)) =*&(/). Remplaçant Y par D(g) et X par D(f), on est doncramené au cas où X = Spm(A) et Y = Spm(B) sont affines, A et B étant intègres et le comorphisme ep : B ~> A étant ïnjectïf et se prolongeant en un isomorphisme du corps des Exactions de B sur celui de A. Ecrivons A = k\all .. -, am]3 où les oj sont des éléments de A; le corps des fractions de A étant identifié à celui de B, il existe un élément s ^ 0 deB et des éléments bx, —, bm de B tels que ay = tyjs pour
114 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 1 <J< m. MaisalorsB[l/jJ s'identifieà A[1/j], etilsufHt de prendre V ~ Dfs) pour répondre à la question. Exemples. — 1) Considérons dans kz le cône X d'équation xt #B — (x\ -f- x%) = 0, et soit u la restriction à X de la projection [xXi #2, xs) H- (xly x&) de ks sur A2 = Y; u est un morphïsnie dominant biratîonnel, car ft(T„ T£ (T,2 + Tl)Tr ') = ft(T„, T2), et dans le cor. 2 du th. 2 on peut prendre U = D(Tj). Mais la droite W = VfTj) d'équation Xj ™ 0 dans Â2 est telle que u"'(W) soit la génératrice « verticale » x^ ■=. x% = 0 du cône X; aucune composante irréductible de u~1(W) ne domine donc W, et dimfK-ïfW)) > 0 = dim(X) — dim(Y); d'ailleurs on a aussi iT1(W) =«"1((0, 0)), cequimontre que dans le cor. 1, on peut avoir dim(a- »(>)) > dïm(X) — dira(Y). 2) Prenons X = A2 (k de caractéristique ?£ 2) et considérons le morphisme u : (/,, ^) h» (^— 1, tt(tï— 1), /2) de X dans A3; on voit aisément que l'image «(X) = Y est le cylindre d'équation *f — x\ — x\ = 0 dans kz, et que k, considéré comme morphisme de X sur Ys est Jïra. Soit W l'image dans Y du morphisme f i-> (t2— 1, f(/2— l)s f) de A dans Y, qui est irréductible de dimension 1 ; on vérifie aussitôt que iT 1(W) a deux composantes irréduc- tiblesj lsune À, diagonale de A2, et l'autre réduite à un seul point ( ls — 1 ) ; cette dernière ne domine donc pas W et a une dimension <C dfm(W), On notera que l'image par u de l'ouvert A2 — A est réunion de Y—W et du point (0,0, 1) e W, donc n'est pas un ensemble ouvert dans Y, Remarque. — Nous verrons plus loin (§ 5, n° 3, cor. de la prop. 4) que dans le th. 2 on peut prendre l'ouvert V
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 115 assez petit pour que toutes les composantes irréductibles de w"1(W) dominent W dès que Wn V^ 0. Proposition 15 (Chevalley). — Soient Xs Y deux variétés irréductibles, u : X -> Y un morphisme quelconque. Pour tout »eX, soit e(x) la plus grande des dimensions des composantes irréductibles de la fibre u~ \u{x) ) qui contiennent x. Alors l'application x i-> e(x) de X dans l'espace discret N est semi-continue supérieurement (autrement dît, pour tout entier n ^ 0S l'ensemble S„(«) des x e~K tels que e(x) ^ n est fermé). En remplaçant au besoin Y par la sous-variété «(Y), on peut se borner au cas où u est dominant. Posons alors r = dim (X) — dim (Y) ^ 0, et raisonnons par récurrence sur dim (Y) ; la proposition est évidente si Y est réduite à un point, car S„(îi) est alors la réunion des composantes irréductibles de X de dimension ^ n. Envertuducor.l duth.2spour n < r, ona S„(u) = X. Si, au contraire, n > r, il résulte du th. 2 qu'il y a un ouvert non vide VCY tel que Sn(«)CX — «-1(V). Notons W1,...,Wa les composantes irréductibles de Y—V, qui sont toutes de dimension <dim(Y) (prop.2); soient Z^- les composantes irréductibles de «_1(W*) (1 <i < m^), et soit 1¾ : Z$ -^-W^ la restriction de u. En vertu de Phypothèse de récurrence, les ensembles S„(ity) sont fermés dans Zy , donc dans X ; mais pour tout x eX—u~x(V) chaque composante irréductible de «_1(«(.k)) contenant x est contenue dans un des Z^-, donc est une des composantes irréductibles de 1¾^¾^)). Cela prouve que S„(u) est la réunion des S„(Hjj), donc est fermé dans X. Corollaire. — Si X, Y sont deux variétés quelconques, les projections prx : X X Y ^- X et pr2 ; X X Y -^- Y sont des applications ouvertes.
116 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Montrons d'abord qu'on peut se ramener au cas où X et Y sont irréductibles. En effet, si Xls ..., Xm sont les composantes irréductibles de X, et U un ouvert de XxYj pour voir que pr-^U) est ouvert dans X il suffit de montrer que X; C\ pr-^U) = prx(U C\ (X, x Y)) est ouvert dans X; pour chaque i. Supposant alors X irréductible, et désignant par Yls , Y„ les composantes irréductibles de Y, on a pr^U) = U prx(U n(Xx Y,)), et il suffit donc de prouver que prj/U ri (X x Y^)) est ouvert dans X pour tout^". Etant ainsi ramené au cas où X et Y sont irréductibles; soit n = dim(Y) ; il faut prouver que l'ensemble F = X — p^ifU) est fermé dans X, Si x e F, on a prî'M={*}xY> donc pour z e pr^1(x), il y a une seule composante irréductible de prjT^pr^*)) n ((X X Y) — U), qui est {x} x Y et est donc de dimension n. Si au contraire x $ F, prjf'C*) ri U est non vïdej donc les composantes irréductibles de ((X X Y) — U) ri prjf'O*) sont toutes de dimension < n (prop. 2). En d'autres termes, l'ensemble F x Y=prjf,(F) est Pensemble des points z de la variété (X X Y) —U tels que e{z) ^ n (pour le morphisrne restriction de prx) ; cet ensemble est fermé par la prop. 15j et il en est donc de même de F (§ 2, n° 4, cor. de la prop. 7). 6. Correspondances Etant donné deux variétés X, Y, on appelle correspondance (resp. correspondance irréductible) entre X et Y une sous-variété (resp. une sotis-variété irréductible) C de la variété produit X x Y. On dit que xeX et y e Y sont homologues pour C si (x,y) eC; pour tout xe~K l'ensemble C(x) des y eY tels que (x,y') eC est une sous-variété de Y, savoir pr2(Cn({x} X Y)) (§2, n°4,
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 117 prop. 7); de même pour tout jieY, Pensenible C_1(j>) des x' eX telsque (x'yy) eC est une sous-variété de X; si C est fermée dans X X Ys C(x) est fermé dans Y et C~1(y) fermé dans X. Si de plus X et Y sont eomplètesj pj-jfC) est une sous-variété fermée de X et pr2(C) une sous-variété fermée de Y; en général, on peut seulement dire que pi"j(C) (resp. pr2(C)) contient un ouvert non vide de la sous-variëté prjfC) (resp. pr2(C)). Le th. 2 entraîne le « principe de décompte des constantes » : Proposition 16. — Supposons la correspondance C irréductible. Soient ax — dim (prjfC)), a2 = dim (pr2(C)). Il existe un ouvert non vide Uj de prx(C) contenu dans prjfC), et un ouvert non vide U2 de pr2(C) contenu dans pr2(C) tels que pour tout x eUj, les composantes irréductibles de C(x) aient toutes une même dimension b2, que pour tout y e U2 , les composantes irréductibles de C~l (y) aient toutes une même dimension bx, et que Von ait : (6) a, -f bz = a2 -f bx. Il suffit d'appliquer le théorème précité, d'une part, au morphisme C-> prx(C) restriction de prls d'autre part, au morphisme C -> pr2(C) restriction de pr2, la valeur commune des deux membres de (6) étant dim(C). On aura soin de noter que C peut être irréductible sans que C(x) ni C_1(_y) ne le soient. Maïs inversement on a l'important critère suivant : Proposition 17. — Supposons que pour tout x appartenant à un ouvert non vide \J1 de pr^C) contenu dans pr-^C), C(x) soit irréductible. Alors il existe un ouvert non vide VXC XJX tel que C C\ prjf^Vt) soit irréductible. Si de plus "KetY sont des variétés complètes, que C est fermée dans X x Y, et que pour tout x epr-^C), C(x) est irré-
118 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE ductible et a une ditrwnsion indépendante de x, alors C est irréductible. Pour simplifier, on peut supposer prx(C) = X (en remplaçant éventuellement X par pr-^C)). Montrons que parmi les composantes irréductibles de C, une seule peut être dominante pour le morphisme C -> X restriction de prx. Sinon (Tj 8), il y aurait dans C deux ouverts non vides W, W sans point commun et tels que pr^W) et pi"i(W) soient denses dans X; comme chacun de ces derniers ensembles contient un ouvert dense dans Xs leur intersection n'est pas vide. Mais si xepr-^W) ri pf^VV), les intersections C(x) n W et C(x) n W seraient deux ouverts non vides et sans point commun dans la variété irréductible C(x)s ce qui est absurde. La réunion des premières projections des composantes irréductibles non dominantes de C est alors un ensemble F rare dans X; l'ouvert V-l ~ \JX C\ (X — F) de X répond alors à la question car Criprfï(V,) est ouvert non vide dans Tunique composante irréductible de C dominant X. Supposons maintenant de plus X et Y complètes et C fermée dans X X Y (de sorte que pr-^C) est fermé dans X) et que la dimension de C(x) soit constante. Si Ton pose C — Cnprf 1(V1), on a C'CC et pr-^C) est fermé dans X et contient Vls donc pr^C) = pr,(C). Il résulte du cor. 1 delà prop. 5 ques pour tout x e pr-^C), les composantes irréductibles de C(x) ont toutes une dimension au moins égale à celle de C(x); comme elles* sont contenues dans C(x), on en conclut que C = C, donc C est irréductible. Exemples. — 1) Soit O une courbe fermée irréductible dans l'espace affine k% qui n'est contenue dans aucun plan. Nous allons voir qu'il existe dans kz — C un ensemble ouvert non vide U tel que, par tout point x de U, il passe
4-THÉORIE DE LA DIMENSION 119 au moins une droïterencontrant C en deux points distincts. Pour le montrer, considérons d'une part la variété X = (C x C) —Ac des couples (y, z) de points distincts de C, et d'autre part la variété Y = k3; soit F l'ensemble des points ((ys z)s x) de X X Y tels que les trois points x,yy z de kz soient en ligne droite; il est clair que c'est une sous-variété de X X Y (définie par les équations obtenues en égalant à 0 les mineurs d'ordre 2 de la matrice /*i — yx x2 —y2 Xs — yz\ \X1 Zx X% Z2 Xs 2g/ Pour cette correspondance F entre X et Y, il est clair que F((j>, z)) est la droite joignant y et z, donc (prop. 17) pour un ouvert non vide VdeX, F' = F ri pr1'I(V) est irréductible. Il est clair en outre que pour cette correspondance F ona ûj = 2 et b2= la donc a2 < 3 en vertu de (5) ; il s'agit de montrer que l'on a nécessairement a2 = 3. Dans le cas contraires S — pr^r") serait une surface irréductible dans k3; si (y, z) eV, la réunion des droites joignant y (resp. z) aux points de C distincts dey (resp. z) et d'un nombre fini d'autres points serait un ouvert non vide W (resp. W) de S. On aurait alors une droite joignant y à un point /eC distinct de y et zs telle que, pour une infinité de points s de cette droite, la droite joignant z et s serait contenue dans W ; le plan contenant^ z et /rencontrerait donc C en une infinité de points, ce qui est absurde. 2) Soit V une variété projectïve irréductible contenue dans P„(/é) et de dimension r- Considérons la variété projectïve X = (GB+liïl)'hl des systèmes de r + 1 hyperplans projectifs de Ph(Â) (de sorce que X s'identifie à la variété produit (Pn(ft))r + 1), et, dans le produit X X V, l'ensemble C des systèmes ((/^, —, ^ + i)s x) formés de r -f- 1 hyperplans et d'un point xeV appartenant à.
120 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE chacun d'eux. Il est immédiat que C est une correspondance fermée entre X et V, et on voit sans peine ques pour tout xeV, C" H*) est une sous-variété irréductible de X (par dualitéj elleest isomorphe à (kn~1)r+1). Comme X et V sont complètes, C est irréductible et, pour cette correspondance, on a évidemment a2 = r et b1~(n — l)(r + 1). D'autre part, l'ensemble UC X formé des systèmes de r + 1 hyperplans dont les équations sont linéairement indépendantes est un ouvert non vide dans X; en outres pour tout point de V, il existe un système de r -[- 1 hyperplans passant par ce points d'équations iïnéairement indépendantes, et tels que Pinterseetion de V et de ces hyperplans soit finie, en vertu du § 3, prop. 7. On en conclut que Ton a b2 = 0S donc : 0^(11-1)^+ 1) +r = a(r+ 1)—1 en d'autres termes prj(C) est une hypersurface irréductible fermée dans (Pn(k))T + 1) donc définie par une équation : où (£|j,)0 ^i^„ est un système de coordonnées homogènes del'hyperplanA,- (l^/^^+l) et F un polynôme homogène par rapport à chacun des r + 1 systèmes (£[fl), et déterminé à un facteur constant près (§ 3, n° 2, Remarque, et § 4, n° 3, prop. 5). On dit que le système des coefficients de F (déterminé à un facteur près) est un système de coordonnées de Chow de V.
§ 5- Points normaux et normalisation 1. Anneaux locaux d'une variété Soient X une variété, x un point de X- Nous allons considérer l'ensemble des fondions régulières dans un voisinage ouvert (variable) de x, et nous définirons dans cet ensemble la relation d'équivalence suivante : nous dirons que /e T(U, @K) et g e T(V, 0K) (où U et V sont des voisinages ouverts de x) sont équivalentes s'il existe un voisinage ouvert WC U ri V de x tels que f et g coïncident dans W. Il est immédiat que cette relation (que nous noterons f~ g) est bien une relation d'équivalence et que les relations f\~ gi et f2 ~ g2 entraînent que toute fonction égale à fx -\-f2 {? cap. fif2) dans un voisinage de x o\ifx ctf% sont définies, est équivalente à toute fonction égale è. g1 -f- g2 (resp. gt g2) dans un voisinage de x où gj et g% sont définies. On peut donc définir la somme et le produit de classes d'équivalence pour la relation précédente, et pour ces lois de composition, Pensemble, noté 0œ (ou^x.a;)» de ces classes d'équivalence, est un anneau commuta tiÇ dont les éléments sont encore appelés germes de fonctions régulières au point x. Pour tout voisinage ouvert U de x, UyaunA-homomorphismecanonique r(U,0x) -^-0a faisant correspondre à ehaquefonelion régulière/ e V(U, Gy.) son germe/dans 0^.. Pour toutes les fonctions y ayant un même germe/ au point #, il est clair que les éléments f(x) ek sont tous égaux; on dit encore que cet élément de k est la valeur au point x du germe/, et on la notej^.*).
122 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE L'anneau 0X est un anneau local, dont l'unique idéal maximal mx est formé des germes des fonctions régulières nulles au point x : il suffit en effet (puisque {0} est fermé dans k) d'observer que si une fonction régulière / e T(U, $x) est telle que f{x) ^ 0, il y a un voisinage VC U de x tel que f(y) 5*0 dans V; la fonction 1 //"est donc définie et régulière dans V(§ 1, n°5) et son germe au point x est l'inverse de f. On dit que G)x est Panneau local de X au point x. L'anneau local G)x est nœîhérien : en effetj soient U un voisinage ouvert affine de xs et <p : A(U) -= A -> 0X l'homomorphisme canonique. Montrons que pour tout idéal C\.COxf a est égal à l'idéal engendré par <p(<p~'H Cl)) ■ en effet, si fe û, /est le germe d'une fonction régulière sur un voisinage affine VC U de x, qu'on peut supposer de la forme D(A) ; alors f = g jhm, où ^eA; comme g ~fkm, ona gea, donc geç'^c), et / ~ T^)^m- Si alors (¾) est une suite croissante d'idéaux de 0xa la suite des idéaux <p-I(ûn) de A est croissante, donc stationnaire puisque A est nœthêrien, ce qui entraîne que la suite des <p(<p-1(cO) ^ stationnaire, et par suite aussi celle des ci». On notera par contre qu'en général 0X tfesl pas une k-aïgèbre de type Jim. Par exemple, si X = k, x = 0, 0X est isomorphe à l'anneau des fractions rationnelles Q./P e k(T) telles que P(0) ?*= 0, et aucune partie finie de cet anneau ne peut l'engendrer : en effet, un ensemble fini de polynômes de A[TJ n'a qu'un nombre fini de zéros, et si F(T) e k\T] est un polynôme dont les zéros ne sont pas dans cet ensemble Z, 1/F ne peut être égal à une fraction rationnelle dont le dénominateur a tous ses zéros dans Z. Soient îc.X^Yun morphisme de variétés, x un point de X; pour toute fonction régulière g e T(V, 0y), où V est un voisinage ouvert de u(x), go u est une fonction régulière dans l'ouvert «_1( V) ; si gx, g2 sont deux fonctions
5-POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 123 régulières coïncidant dans un voisinage de u{x), g\° u et g2° u coïncident dans un voisinage de xs d'où une application ux : gi-> (g c u)~ de (Py.tiix) dans ^x.»s qui est évidemment un homomorphisme de Â-algèbres. C'est en fait un homomorphisme locaL car si g appartient à l'idéal maximal de fPy^^j^est legerme d'unefonctïonrëgulièreg telle que g{u(x)) — 0, donc (gou)~ appartient à l'idéal maximal de ^x.»* On notera que l'homomorphisme ux : "g)-* {g ° u)~ est entièrement détermine par ses valeurs pour les germes de fonctions régulières appartenant à un anneau fixe A=A(U), car tout élément de 0X peut s'écrire//A, où/ et h sont régulières dans U et k(x) ^ 0. L'anneau local d'une variété en un point détermine un voisinage de ce point dans la variété à un isomorphisme près. De façon précise : Proposthon 1. — Soient X, Y deux variétés, x un point de~Kfy un point de Y tels que les k-algèbres 0-^ x et 0Yt v soient isomorphes. Alors : (i) // existe un voisinage ouvert U de x dans X, un voisinage ouvert V de y dans Y et un isomorphisme u : U ->■ V de U sur V tel que u(x) = y. (ii) Soient Uj un voisinage ouvert de x dans X, Vj un voisinage ouvert dey dans Y, u\ : Uj -*■ Vj un isomorphisme tel que les deux isomorphismes ux, (¾)¾ de @\mV sur 0^mie déduits de u et Uy soient identiques. Alors il existe un voisinage U2 de x contenu dans U ri XJy dans lequel u et u\ coïncident. Soient U0 — Spm (A), V0 ■= Spm (B) des voisinages ouverts affines de x et y respectivement dans X et Y. Nous allons prouver plus généralement le lemme suivant : Lemme 1, — Soit <p : &Y,V ->■ ^x.* tai h-homomorphisme local. H existe alors un voisinage ouvert affine U C U0 de x, un voisinage ouvert affine VCV0 de y elunmorphisme u : U -> V
124 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE tels que u(x) — y et que <p soit Phomomorphisme local ux déduit de «. Si de plus \JX C U0 est un second voisinage ouvert affine dex, VXC V0 un second voisinage ouvert affine dey, ux : Ux-s- Vx un morphisme tel que Ui(x) =y et que <p soit Vhomomorphisme local déduit de tty, alors uelii^ coïncident dans un voisinage de x. En effet, soient Als .. .s im des générateurs <3e la A-algèbre B, et a : k[Tx, ..., Tm] -> B le A-homomor- phisme transformant T^- en bj pour 1 < j < m. Soit iv : B -> @YtV 1*homomorphisme canonique, et considérons rhomomorphisme composé P : ft|Tx, ..., Tm] i B -S- 0y.„ X e^.. Soit ci le noyau de fî; il admet un système fini de générateurs 0^(1^, .. .,Tm) (l</<0* D'autre part, chacun des éléments <p(£„(Éj)) est le germe d'une fonction régulière au point x-, qui peut donc s'écrire ajjs, où les a} et s sont dans A et s(x) ^= 0. Posons QiT./T,,, ..., TJTo) = P,(T„, T„ ..., TJ/TJ pour 1 < / < r, T0 étant une nouvelle indéterminée, les Pj des polynômes homogènes de même degré h. Par hypothèse les fonctions régulières sont nulles dans un voisinage de #, donc il existe un élément / e A tel que t(x) ^ 0 et Pt(/$, ta1} . ..s tam) = 0 dans A pour 1 < / < r. Considérons alors le A-homo- morphisme p de k]T?x, ..., Tm] dans Ais qui transforme chaque T,- en tOjjls (1 < j < m) ; l'image de o par cet homomorphisme est 0, et afortiori il en est ainsi de l'image par p de or 1(0) ; donc p se factorise en ^^.....TJ-S-B^A^.
5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 125 où y est un k-homomorphîsme tel que y(^) = toj/tf; il est clair que si 4, est l'homomorphîsme canonique ^ = r(D(tt), 0X) -*■ ^x.«» le diagramme B -^. A,s 4 1'- «V, -V ^ est commutatif; si u = Spmfy) : D(/j) -> V0 est le morphisme correspondant, cela montre que l'image réciproque par y de l'idéal maximal i({#}) = i^Hm^) de Ata est hH^v) — U{.y})i autrement dit u(^) =_y. Le mor- phisme « est donc bien tel que <p soit l'homomorphisme local déduit de k. Supposons maintenant que <p soit aussi déduit du morphisme u1:\J1-^'Vl. En remplaçant au besoin U, \]x par un ouvert affine contenu dans U fiUls et V, Vj par un ouvert affine contenu dans V n Vls on peut supposer que U = Ux = U0, V = V1 = V0. Si u = Spm(Y), t/j = Spm^), les images de bj (1 <j< m) par Y et Yj sont deux fonctions régulières dans un voisinage de x ayant même germe; il y a donc un élément s e A tel que s(x) ^ 0 et que les restrictions de y(bj) et de Yi(^j) à l'ouvert D(j) soient égales, pour 1 ^j < m. Par suite les restrictions de u et % à D(j) sont identiques. Ce lemme étant établi, supposons que <p : 0Ys/ -> $x.œ soit unisomorphisme, et soit iJj l'isornorphismeréciproque; il y a alors (lemme 1) un voisinage ouvert affine U de xy un voisinage ouvert affine V de ys un morphisme u de U dans un voisinage ouvert de y et un morphisme & de V dans un voisinage ouvert de x tels que <p et ¢) soient respectivement les isomorphismes déduits de u et v. Alorss en restreignant U, on peut supposer que w(U) C V, et v o u est un morphisme de U dans
126 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE un voisinage ouvert de x, tel que l'homomorphismc local de 0Xi1î correspondant soit l'identité; cela signifie (lemme 1) que vou coïncide avec l'application identique sur un voisinage assez petit de x. Procédant de même pour u o p, on voit qu'il existe un voisinage ouvert affine Uj de x et un voisinage ouvert affine Vj dej> tels que u (restreint à Ux) soit un isomorphisme de Ux sur V1 et » (restreint à Vt) fisomorphisme réciproque, Quant à l'assertion (ii) de la prop. 1, c'est un cas particulier du lemme 1, 2. Anneaux locaux d'une variété irréductible Soit X une variété irréductible. Toute fonction régulière dans un voisinage d'un point x se prolonge alors d'une seule manière en une fonction rationnelle sur Xj définie au point x, et deux fonctions régulières ayant même germe en* se prolongent en la même fonction rationnelle ( § 4, n° 1 ), L'anneau local Gx s'identifie donc au sous-anneau du corps des fonctions rationnelles R(X) formé des fondions rationnelles définies au point x; on peut donc définir les anneaux de fonctions régulières r(U, 0X) dans un ouvert U de X par la relation : (i) nv, ehd = n^,. Soit U = Spm(A) un voisinage ouvert afline de x; toute fonction rationnelle sur X définie au point x peut s'écrire, dans un voisinage de x contenu dans U, sous la forme fjg, oùf g sont dans A et g(x) ^ 0, autrement dit g $m, où TTt est l'idéal maximal !({.*}) de A. L'anneau local Q% s'identifie donc avec l'anneau Am, localisé de A en l'idéal maximal m de A, et l'idéal maximal mx de 0X avec l'idéal maximal TttA,,, de A,,, (A, 14). Propositïon2. — SoWKunevariété.Pourqù'unpoint *eX appartienne à une seule composante irréductible de X, il foui et il suffit que Vanneau local Og. soit intègre.
5 ■ POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 127 Si x n'appartient qu'a une seule composante irréductible Z de X, il existe un voisinage ouvert affine U de x contenu dans Z et ne rencontrant aucune autre composante irréductible de X (T, 8) ; comme ^x.* = <Pu.*» <Px.se est un anneau intègre. Inversement, supposons que x appartienne à deux au moins des composantes irréductibles de X. En remplaçant X par un voisinage ouvert affine de X, on peut se borner au cas où X = Spm(A) est affine; soient pt, . . ., pr les idéaux premiers minimaux de A, de sorte que les Z3- = V(p,-) sont les composantes irréductibles de X (§ 1, n°4,cor. 1 delaprop. 5). On peut supposer que # e Zj rï Z2; il y a un ouvert affine non vide U-l (resp. U2) contenu (donedense) dans Z1 (resp. Z2) et ne rencontrant aucun Zj pour j ^ 1 (resp. j & 2) ; par suite il y a une fonction régulière ^ (resp.^) sur X, nulle dans les Z^ d'indice j ^ 1 (resp. j ^ 2) mais non identiquement nulle dans Zj (resp. Z2) ; les germes de fx et /2 au point x sont donc ^ 0, mais on a fxf% = 0 dans A, donc 0X n'est pas intègre- 3. Variétés normales et normalisées d'une variété Soit X une variété irréductible; pour tout xeX, l'anneau local 0X de X en ce point contient un anneau r(U, 0X) où U est un voisinage ouvert affine de x, donc le corps des fractions de 0X est le corps des fonctions rationnelles R(X). On dit que le point x e X est normal si l'anneau local 0X est intégralement dos; on dit que X est une variété normale si tous les points de X sont normaux. Il est clair qu'une variété est normale si et seulement si elle admet un recouvrement ouvert formé de sous-variétés normales. Proposition 3- — Pour qu'une variété affine irréductible X = Spm(A) soit normale, il faut et il suffit que A soit intégralement clos.
128 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE En effet, on sait que si A est intégralement clos, il en est de même de tous ses localisés Ap aux idéaux premiers de A (A, 17); inversement, en vertu de la formule (1), A est l'intersection des anneaux locaux 0X, donc est intégralement clos si chacun des 0œ l'est (A, 17). Exemples, — L'espace affine k*1 est normal (A, 30) ; il en est donc de même de Pn(&)> qui admet un recouvrement par des ouverts U^ isomorphes à kn (§ 3, n° 1). Lorsque l'entier m n'est pas multiple de la caractéristique de A, l'hypersurface de kn définie par l'équation : < — P(*l7 ...,*„_!) =0 où P est un polynôme sans facteur multiple dans k\Tlt . ..,T„_J, est normale (A, 31). Corollaire. — Dans toute variété irréductible X, l'ensemble des points normaux contient un ouvert non vide de X. On peut se borner au cas où X = Spm(A) est affine; soit alors A' la clôture intégrale de A; on sait (A, 36) que A' est unA-module de type fini; soit X' = Spm(A') ; le morphisme u : X' -> X égal à Spm(oc), où oc : A -> A' est l'injection canonique, est birationnel par définition, donc il existe un ouvert non vide U C X tel que la restriction «_1(U) -*■ U de « soit un isomorphisme (§ 4, cor. 2 du th. 2); d'où le corollaire puisque X' est normal en vertu de la prop. 3. Proposition 4. — Soient X une variété irréductible, Y une variété irréductible normale, u : X -> Y un morphisme fini sur- jectift Pour tout x e X et toute sous-variété irréductible W de Y contenant u(x), il existe une composante irréductible de a"x(W) contenant x et dominant W. En effet, il y a un voisinage ouvert affine V de u(x) tel que U = w"1(V) soit un voisinage ouvert affine de xt
5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 129 et on peut donc se ramener an cas où X = Spm(A) et Y = Spm(B) sont affines, A étant intègre, BCA intégralement clos et A un B-raodule de type fini. Alors t(YV) = p est un idéal premier de B, contenu dans l'idéal maximal \l = i({u(x)}), et l'idéal maximal îTt=i({#}) de A est tel que m fi B = n; on sait alors (A, 25) qu'il existeunidéalpremierqde Atelque qCîTt et q rïB = p, et on a donc * e V(q) et «(V(q)) = W; a fortiori la composante irréductible de «-1(W) qui contient V(q) domine W et contient x. Corollaire, — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -*■ Y un morphisme dominant. Il existe alors un ouvert non vide VC Y qui est une variété normale, telle que, pour tout y e V, tout x e u~x(y) et toute sous-variété irréductible W de Y contenant y, il existe une composante irréductible de u" \ W) contenant x et dominant W, Utilisons la prop, 14 du § 4; en vertu de la prop. 3, on peut supposer que l'ouvert V de la prop, 14 du § 4 est normal; comme x appartient à l'un des U,-, on peut se borner au cas où X = U,-; en outre V X km est une variété normale, ayant pour algèbre de fonctions régu- Hères A(V) ©^[T^ ..., TM] = A^fT,, .. „ Tm], qui est intégralement clos si A(V) l'est (A. 18). On a alors a-1(W) riUj = tiJ1(W x &'")> et comme Vj est un morphisme fini surjectif, on peut lui appliquer la prop, 4, d'où le corollaire. Proposition 5. — Soient X une variété irréductible, L une extension algébriquefinie du corps R(X) des fonctions rationnelles sur X. // existe une variété normale Y, dont le corps de fonctions rationnelles R(Y) est isomorphe à L, et un morphisme fini surjectif u : Y -> X tels qu'il y ail un recouvrement (Ua) de X par des ouverts affines pour lesquels F ouvert u~ 1(Ua) soit, affine et ail pour anneau de fondions régulières la fermeture intégrale
130 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE de A(Ua) dans R(Y). En outre, si Yx et ux sont une variété irréductible et un morphisme fini Yj. -> X ayant les mêmes propriétés, il existe un isomorpkisme et un seul v : Y -*■ Y, tel que u = 1¾ o v. Considérons d'abord le cas où X = Spm(A) est affine; on répond alors à la question en prenant Y = Spm(B), où B est la fermeture intégrale de A dans le corps L et u = Spm(<p), où <p est l'injection canonique de A clans B; on sait en effet (A, 36) que B est un A-module de type fini. Notons alors que pour toute fonction régulière non nulle /eA, l'anneau des fondions régulières sur a~1(D(/)) =D(<p(/)), égalàBf l/<p(/)], est la fermeture intégrale dans L de l'anneau A. = A[1//] de D(/) (A, 17). Considérons maintenant le cas général, et soit (Ua) un recouvrement cl e X par des ouverts affines ; pour chaque oc, soit Va = Spm(Ba)j où Ba est la fermeture intégrale dans L de l'anneau A^ = A(Ua) des fonctions régulières sur Ua; soit «ft = Spm(<pK), où <pa : Aa -> Ba est l'injection canonique. On sait que Ua fiUp est un ouvert affine non vide; soit Aa(i = A(Ua C\ Up) ; si Ba(i est la fermeture intégrale de AHp clans L, les ouverts «~l(U„ C\ Up) et M^1(Uot ri Up) s'identifient canoniquement tous deux à Spin(BafJ) : en effet, si TCUarïUp est un ouvert principal dans chacun des deux ouverts affines UK, Up (§ 2, n° 3), donc aussi dans l'ouvert affine Utt C\ Up, les anneaux AfïÇ^T)) et A(Wp1(T)) sont tous deux identiques à Bap[I//], si /€Aœp est tel que T = D(/), et la conclusion résulte de ce que les ouverts T principaux* dans Ua et Up forment une base d'ouverts de Ua ri Up. On peut donc définir Y par recollement (ici trivial) des Va le long de leurs intersections V„ f~\ Vp = Spm(BKp), et le morphisme u : Y -> X est celui qui coïncide avec ua dans chaque Va, Comme X est une variété et que chaque Va = «^1(Ua) est une variété, Y est une variété (§ 2, n° 6,
5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 131 prop. 11) ; en outre chaque Va est irréductible et les intersections Va ri Vp sont toutes non vides, donc Y est irréductible (T, 3). Euûn, pour prouver l'unicité de Y, on peut identifier R(YX) à L; alors, si (UjJ est un second recouvrement de X par des ouverts affines, les ouverts TC Ua ri U'x qui sont principaux dans Utt et dans U^ forment une base d'ouverts dans Ua f"ï U^, et on conclut comme plus haut que Yx = Y. La variété normale Y définie (à isomorphisme unique près) par la prop. 5 est dite normalisée de X dans le corps L ; dans le cas où l'on prend L = R(X) on dit simplement que Y est la normalisée de X; le morphisme Y -> X est alors trirationnel. Corollaire, — Si X est une variété irréductible complète, sa normalisée Y dans une extensionfime L de R(X) est complète. Cela résulte de ce que le morphisme Y -*■ X est fini (§ 4, n° 4, cor. 2 de la prop. 12). On peut montrer que si X est une variété projective, il en est de même de Y. Exemples, — 1) Soit X la courbe de Pa(fc) définie par l'équation homogène x\ — xQ jk| = 0 (« cubique à point de rebroussement »). Sa normalisée est X' =* ï*i(A) pour le morphisme u : ('oj'iJ^Coî'o'iï'i)) qui est non seulement fini et surjectif, mais bijeclif et bicontinu ; en effet, X est réunion de deux* ouverts affines V0 et V2, intersections de X et des ouverts affilies de P2(&) définis respectivement par xQ ^ 0 et x2 ^ 0; larestriction tTl(VQ) -> V0 de u s'identifie au morphisme /1-> (/2, /3) de k sur V0, et A[TJ est la clôture intégrale de A[T3, T3] = A(V0), Tétant entier sur &[T2]. Quant à la restriction «-1(V2) -> V2 de u, c'est un isomorphisme, car elle s'identifie au morphisme / h» (/, /3) de k sur V2.
132 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE 2) Soit X la courbe de P2(&) définie par l'équation homogène xQ{x\— xf)—a-J = 0 (« cubique à point double »). Sa normalisée s'identifie encore à Pj^A) pour lemorphïsme u '. (/0,M K (/*• 'o('î—'o)»'i('i—'*))• En effet, avec les mêmes notations que dans l'exemple 1, la restriction u~x{W^ -^ V0 de « s'identifie au morphisme /1-> (/2 — 1, /(/2 — 1)) de k sur V0, et A[T] est encore la clôture intégrale de k\T" — 1] ; d'autre part, la restriction «""1(V2) ->■ V2 de u est un isomorphisme, car elle s'identifie au morphisme / h» (f2/(l—/2), /) de k—{ 1, — 1} sur V2. On notera qu'ici u~\x) est réduit à un point sauf lorsque x est le point (1, 0, 0)3 où w"1(a;) comporte 2 points (1, 1) et (1,— 1). On peut former des exemples analogues (« courbe de degré n avec un point multiple d'ordre « — 1 ») Xj où le morphisme « : X' -* X de la normalisée de X sur X est tel que la fibre u" l(x) soit réduite à un seul point sauf pour un point ^0, où W1(xû) est un ensemble de n points. Nous allons voir qu'un morphisme fini u : X -> Y (où X et Y sont irréductibles) ne peut se comporter de cette façon lorsque l'on suppose Y normale ; Proposition 6. — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -> Y un morphisme fini surjectif. Supposons Y normale; alors, pourtout y eY', lenombre de pointsde F'ensemblefini u~\y) est au plus égal au degré sêparable [R(X) : R(Y)], = n sur R(Y) de Vextension finie R(X) de, R(Y). En outre, il existe un ouvert non vide VCY tel que «"-""(V) soit isomorphe à la normalisée de V dans le corps R(X), et que u" \ y) ait exactement n points pour tout y e V. En effet, soit V un voisinage ouvert affilie d'un point ysY tel que«"I(V) soit un ouvert affine; alors le nombre de points de u~1(y) est le nombre d'idéaux maximaux de B = A(«"I(V)) dont l'intersection avec A = A(V) est l'idéal maximal m = !({>•}) i la première assertion
5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 133 résulte donc de (A, 22). Pour prouver la seconde on peut évidemment se borner au cas où Y = Spm(A) et X ~ Spm(B) sont affines. Soit L la plus grande extension séparable de R(Y) contenue dans R(X), de sorte que L = R(Y)(£), où l'on peut supposer que b e B, et [L ; R(Y)] = «; soit F(T) =* Tft + fliT"1 + ...+¾ le polynôme minimal de b (où les ^ e A puisque A est intégralement clos), et soit d e A le discriminant de F, qui est ^ 0; si on remplace Y par l'ouvert D(d), et X par w""I(D(rf)), on peut" supposer que d est inversible clans A ," on sait alors (A, 23) que 1, b, ..., #"~1 forment une base de la fermeture intégrale A' de A dans le corps L, en tant que A-moclule; si Y' = Spm(A'), y se factorise en X->Y'->Y, et v~\y) a exactement n points pour tout j-eY (A, 24). D'autre part, on a R(Y') = L, de sorte que R(X) est une extension radicîelle de R(Y'). On sait alors (A, 20) que w est bijectif; en outre, il y a dans X un ouvert non vide U qui est une sous-variété normale', comme «(X — U) est fermé et rare dans Y (§ 4, cor. 1 de la prop. 12), il existe un ouvert affine non vide V de Y ne rencontrant pas «(X — U), tel que u" I(V) soit affine et contenu dans U; comme la variété affine w*I(V) est normale et que R(X) est son corps de fonctions rationnelles, l'anneau A(«~1(V)) est la fermeture intégrale deA(V) dansR(X). C.Q.F.D. On notera que même si Y = #", il y aura en général des points jieY tels que u~1(y) ait mains de n points : ilsuffit de prendre Y = k, Xétant la parabole ^¾—$ = 0 dansA2etwlaprojectionpr2;ona n = 2, mais pr.T^OJJrïX est réduit au point (0, 0), 4. Le théorème principal de Zariski Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -^ Y un morphisme. Supposons qu'il existe un point x eX. et un voisinage ouvert U de x dans X tel que la restriction de u
134 COURS L>E CÉGMVTRIE ALGÉBRIQUJ-. à U soit un isomorphisme de U sur un ouvert V = u(lJ) de Y. On peut évidemment supposer U affine, et on voit déjà que l'hypothèse entraîne que le morphisme u est birattonnet. En outre, il est clair que l'intersection de U et de la fibre u~ 1(u(x)) est réduite au point x, autrement dit x est isolé dans sa fibre u~ 1(u(x)). Nous allons voir qu'à un morphisme fini près cette dernière propriété caractérise la situation envisagée : Théorème 1 (théorème principal de Zariski). —Soient X, Y deux variétés irréductibles\ u : X ->- Y un morphisme dominant. Supposons qu'il existe xeX qui soit isolé dans sa fibre u~ l(«(*))- Alors dim (X) = dim (Y) (de sorte que R(X) est une extenslonfinie de R(Y)), et il existe un voisinage ouvert V de u(x) dans Y et un voisinage ouvert UC«-1(V) de x dans X tels que la restriction U -> V de u se factorise en U —> V —> V, où v est un morphisme fini surjcct'f et j un isomorplûsme de U sur un ouvert de V. Si déplus X est normale, on peut prendre V = Y et Vr égale à la normalisée de Y dans ROC). Notons qu'un point isolé dans une variété algébrique est nécessairement une compnsanle irréductible de cette variété; le fait que clim(X) = diin(Y) résulte donc de l'hypothèse et du § 4, cor. 1 du th. 2. La question étant locale, on peut évidemment supposer que Y = Spm(A) et X = Spm(B) soient affines, A et B étant des anneaux intègres tels que ACB, et le corps des fractions L de B étant une extension finie du corps des fractions K de A. Désignons par A' la fermeture intégrale de A dans B: lorsque B est intégralement clos, A' eM égal à la fcimcaurr intégrale A" de A dans le corps L; en général, A' est seulement contenu dans A"; mais comme A" est un A-module de type fini (A, 36) et que A est un anneau neethérien, Ar est aussi un A-module de type fini, donc une /f-algèbre intègre de type fini; Y' = Spm(A') est par suite une
5- POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 135 variété irréductible et le morphisme v : Y' -> Y correspondant à l'injection A -> A' est Jim; la factorisation A -> A' ~> B de l'injection canonique donne par suite une factorisation X -> Y' -*■ Y de u; comme tv~1(w(x))Cu 1(u(x)), x est isolé dans sa fibre W1(w(x)) pour le morphisme w. Or, cela signifie que si Tt est l'idéal maximal i({a}) dans B, m l'idéal maximal i{{w(x)}) = n C\ A' dans A', il n'y a aucun idéal premier qC B, contenu dans n et distinct de n, tel que q n A' — m. En effet, les idéaux premiers qCB minimaux parmi ceux tels que q f~ï A' = rit, correspondent aux composantes irréductibles V(q) de la sous-variété fermée iv~ 1(w(x)) de X, et la propriété précédente exprime que { x} est une composante irréductible de w~ 1(w(x))r Compte tenu de la prop. 1, on voit donc que le th. 1 sera conséquence de la proposition suivante : Proposition 7. — Soient A, B, C trois k-algèbres intègres de type fini, telles que ACCCB, que B soit entier sur C, que A soit intégralemeitf fermé dans B, et enfin que le corps des fractions de B soit une extensîonfinie de celui de A. Alors, si n C B est un idéal maximal tel que n soit minimal parmi les idéaux premiers q de B tels que qr~ïA = TtrïA~m, Phomo morphisme canonique A,„ ->- B^ est bijectif On appliquera en effet cette proposition en remplaçant A par A' et C par B (avec les notations antérieures). Pour prouver la prop. 7, notons que C est une A-algèbre de type fini,.soit C=A[/j, ...,/^. Si m—l, lerésul- tal a été prouvé dans (A, 29). On raisonne alors par récurrence sur m. Soit IV la fermeture intégrale de AfJ'j, ... vX,. ,J dans B; B' est une ^-algèbre de type fini ; comme CC B'Qj^] C lî, B est entier sur B'[^,(] et B' est intégralement fermé dans B par définition; en outre le corps des fractions de B est évidemment une extension finie de celui de B'. Posons n* = 11 ri B', de sorte que l'idéal maxi-
136 COURS DE CÊOMÊTRLE ALGÉBRrQUIÏ mal n' de B' est tel que n'rïA = îirïA = Trt; en outre, comme le point x e Spm(B) correspondant à n est isolé dans sa fibre pour le morphisme u : Spm(B) —> Spm(A), et que ce dernier se factorise en Spm(B) 4- Spm(B') -X Spm(A) x est aussi isolé dans sa fibre W1(w(x)) pour le morphisme w. On peut donc appliquer la prop. 7 à B'C B'[jk,] CB, et l'homomorphisme canonique B(r->B„ estbijectif; autrement dit (prop. 1), «jestunisomorphisme d'un voisinage de x dans Spm(B) sur un voisinage de w(x) dans Spm(B'), etl'hypothèse que x est isolé dans u~1(u(x)) entiaîne que w(x) est isolé dans sa fibre v~1(v(w(x))) pour le morphisme v. Mais alors on peut appliquer la prop. 7 à A C Afj'i, ..., fm „ J C B', en vertu de l'hypothèse de récurrence, et on voit que le morphisme Am —>B„, est bijecrif. C.Q,.F.D. Corollaire 1. — Soient X, Y deux variétés irréductibles, a : X —> Y un morphisme dominant. Les conditions suivantes sont équivalentes : a) X est normale et tout point teX est isolé dans sa fibre a^1(a(A')). b) Le corps R(X) est une extension finie de R(Y), et le morphisme a se factorise en u : X ~> Y' ~> Y, où Y' est la normalisée de Y dans le corps R(X) (v étant donc un rnor- phisme/ïm), etj un isomorphisme de X sur un ouvert de Y', Il existe alors un ouvert non vide V C Y qui est une. variété normale, telle que pour tout y eV, u~l(y) &ti un nombre de points égal à [R(X) : R(Y)]fl. Il est évident que b) entraîne a), et la dernière assertion est conséquence de la prop. 6 et du corollaire de la prop. 3. Pour prouver que a) entraîne b), notons que, d'après le th. 1, pour tout x eX, il y a un voisinage ouvert
5 ~ POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 137 affine U de x tel que la restriction u f U se factorise en U~>Y'~»-Y, où Y' est la normalisée de Y dans le corps R(X), etjjj un isomorphisme de U sur un ouvert de Y'. Montrons que pour un second voisinage ouvert U' de x»jv etiu' coïncident dans un voisinage de x, ce qui entraînera l'existence d'un morphisme j ; X —> Y' coïncidant avec jv dans chaque ouvert affine U considéré. Or, il y a un voisinage ouvert affine U" de x contenu dans U nU' et tel que «(U") soit contenu dans un ouvert affine V de Y. Si A = A(V) et B = A(U"), B étant intégralement clos, les restrictions à U" de jv et jv. correspondent toutes deux à l'injection A' ->- B, où A' est la fermeture intégrale de A dans R(X), d'où notre assertion. H reste à remarquer que puisque X et Y' sont des variétés irréductibles, et que j est un isomorphisme local, j est un isomorphisme de X sur un ouvert de Y' (§ 2, n° 6, prop. 10). Il résulte de ce corollaire que si les conditions a) et b) sont vérifiées etsi de plus X estconiplète, alors Y est complète et X est canoniquement isomorphe à la normalisée Y' deYdansR(X). Corollaire 2. — Soient X une variété irréductible, Y une variété irréductible normale, u : X ~> Y un morphisme bira- tionnel, tel que tout point de X soit isolé dans safibre W1(u(x)), Alors u est un isomorphisme de X sur un ouvert de Y j si de plus X est complète, u est un isomorphisme de X sur Y. Si X' est la normalisée de X, le morphisme composé X'~>X~»-Y, où v est le morphisme (fini) canonique, a les mêmes propriétés que u. Comme Y est sa propre normalisée dans le corps R(X') = R(X) = R(Y) par hypothèse, u o v est un isomorphisme de X' sur un ouvert de Y (cor, 1), ce qui prouve aussitôt que X' = X et que u est un isomorphisme de X sur un ouvert de Y.
138 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Si X est complète, «(X) est aussi fermé dans Y, donc égal à Y. Remarque. — On aura soin de se souvenir que X et Y peuvent être toutes deux normales et le morphisme u birationnel sans que toutes les fibres de u soient finies; c'est ce que montre déjà l'exemple I du § 4, n° 5, car le cône d'équation xvx%— (x\ -f- x%) = 0 est une variété normale (n° 3, Exemples) (cf. aussi § 6, n° 3). Corollaire 3. — Soient X, Y deux variétés irréductibles normales, u : X ~> Y un morphisme tel que pour tout y e Y, u"1(y) ait un nombre fini de points indépendant dey. Alors uest un morphisme fini qui se factorise en X —> Y' —> Y, où Y' est la normalisée de Y dans R(X) etj un isomorphisme de X sur Y'. On peut en effet appliquer le cor. 1, et il suffit de montrer que j(X) = Y'. Or, soit n le nombre de points de «"'■(.y) pour tout y €Y; comme X n'est pas vide, n > 0, donc «(X) = Y; s'il y avait un point y' e Y' n'appartenant pas àj(X), l'ensemble fini v~ 1(v(y')) aurait au moins n-\- 1 points distincts; mais Y'—i(X) est fermé et rare dans Y', donc v(Y' —i(X)) est fermé et rare dans Y, et si V est l'ouvert complémentaire, on a v~1(V)CjQC) et v~ 1(y) adonc rzpointspour y e V; on aboutit ainsi à une contradiction avec la prop. 6, Corollaire 4. — Soient X une variété irréductible, Y une variété irréductible normale, u : X -* Y un morphisme bijec- tif. Alors : (i) R(X) est une extension radiciclle de R(Y), et si X' est la normalisée de X, le morphisme composé X' —> X —> Y est bijectifet bicontinu. (ii) Si Y est complète, X est complète. (iii) Si X est affine, Y est affine.
5 ■- POINTS NORMAUX HT NORMALISATION 139 Si w : X' ~> Y est le morphisme composé u ° v, les fibres w~1(y) sont évidemment finies; eu outre il y a un ouvert V C Y tel que u~ l(V) soit normal dans X (cor. de la prop. 3); pour y eV, w~1(y) est donc réduit à un seul point; il résulte alors de la prop, 6 que [R(X): R(Y)]fi = 1 et w est un morphisme fini bijeciif en vertu du cor. 3; il est donc bicontinn puisque c'est une application fermée. En outre, X' s'identifie & la normalisée Y' de Y dans R(X) en vertu du cor. 3. On en déduit aussitôt que si Y est complète, il en est de même de X, puisque Y' = X' est complète (cor. de la prop. 5) et le morphisme v : X' ~> X sm'jectif (§ 3, prop. 4), Supposons maintenant que X = Spm (A) soit affine; alors X' — Spm (A') est aussi affine, A' étant la clôture intégrale de A, Le corps R(Y) étant identifié à un sous- corpsdeR(X), posons B = A'nR(Y); lecorpsR(Y) estle corps des fractions de B ; en effet, si /gR(Y) C R(X') = R(X) on peut écrire / = gjh avec g, h dans A', Comme R(X) est une extension radicielle de R(Y), il existe une puissance q de l'exposant caractéristique de h relie que 4'eA'nR(Y)^Bi alors f= gkq " V**, etgk^1^^ appartient à la fois à A' et à R(Y), donc à B, ce qui établit notre assertion; en outre, il estclair que B est intégralement clos. L'homoniorphisme canonique /h/ohi de F(Y, 0Y) dans T(X', t^x') = A' est la restriction de l'injection canonique R(Y) -j-R(X') — R(X). Montrons que l'image de cet homomorphisme est l'anneau B; elle est évidemment contenue dans B; inversement, soit g e B, et considérons un ouvert affine V C Y, dont l'image réciproque w" 1(V) cm un nuveri affine de X'; alors r(ry""1(V), 0X,) est la fcrmetui-e intégrale dans R(X') = R(X) de r(V, C\), et comme ce dernier anneau est intégralement clos, on a r(ît'~J(V), c\.) n R(Y) = T(V, C\); autrement dit, la restriction de la fonction régulière g à ru~J(V) s'écrit fv o w. où /v e P(V, 6\), et comme w est bijeetif, il est
140 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE clair que si V est un second ouvert affine de Y dont l'image réciproque hT^V) est affine, les restrictions de/v £tfv. à V C\ V* sontégales; on en conclut que les/Y sont les restrictions d'une section /eF(Y, c\) telle que fo w ~ g. Soit <p : B -> T(Y, 6¾ l'isomorphisme réciproque de l'ïsomorphisme canonique précédent, et soit r = Spm(<p) ; Y -> Spm(B) ; le morphisme composé X'—> Y—> Spm(B) correspond à l'injection canonique B ~> A', et comme A' est la fermeture intégrale de B dans R(X') = R(X), row est un morphisme fini sur- jectif, donc a fortiori les fibres de r sont finies et r est surjectïf. Mais comiïie r est un morphisme biratîoiinel et que Spm(B) est normale, le cor. 2 montre que r est un isomorpkisme de Y sur Spm (B), et Y est donc affine. Remarque. — Les conclusions du cor. 4 ne sont plus valables lorsqu'on nesupposeplus Y normale. Par exemplepre- nons pour Yla cubique à point double x0(x£—x%)—xï — u dans P2(A) («° 3, exemple 2) ; on a vu que sa normalisée Y' s'identifie à Pj(Â) ; prenons pour X le complémentaire du point (1,1) dans P^k), qui est un ouvert affine isomorphe à h; la. restriction à X du morphisme canonique Y' ~> Y est alors bîjective, mais X est affilie alors que Y est complète. Corollaire 5. — Soient X une variété irréductible, Y une variété irréductible normale, u : X ~> Y unmorp/iisme dominant. Si x eX est isolé dans sa fibre u~\u(x)), l'image par u de tout voisinage de x dans X est un voisinage de u(x) dans Y. En particulier, si tous les points de X sont isolés dans leur fibre, u est une application ouverte. On peut tout d'abord se borner au cas où X est aussi normale. En effet, si X' est la normalisée de X et v : X' ~> X le morphisme canonique, tout point x' e X' tel que v(xr) = * est Isolé dans sa fibre w~1(w(x')) poui* le mor-
5 - points Normaux et normalisation 141 phisme iw = « o p; si U est un voisinage de x, v" -"-(U) est un voisinage de ■*', et si l'on prouve que w(v~ -"-(U)) est un voisinage de u(x), la proposition sera établie. Supposons donc X normale ; il y a alors, en vertu du th. 1, un voisinage ouvert V de u(x) dans Y et un voisinage U0 de x dans X tel que « [ U0 : U0 -^- V se factorise en U0 -> V -> V, où V est la normalisée de V dans R(X), et j un isomor- phisme de U„ sur un ouvert de V. On voit donc qu'on, peut se borner au cas où X = Y' est la normalisée de Y dans une extension finie de R(Y). Soit alors U un voisinage ouvert de x dans X; on a «(U) = Y— T, où T est l'ensemble des y eY tels que «~J(^)CX— U, et il .suffit de montrer que u(x) n'est pas adhérent à T. Supposons le contraire;^ serait alors adhérent à une composante irréductible T0 de T; W = T0 est donc une sous-variété irréductible fermée de Y contenant u(x). En vertu de la prop. 4, il existerait donc une composante irréductible Z de a-:l(W) contenant x et telle que y(Z) = W. Mais pour tout ouvert S dans Z contenant x, «(S) contient un ouvert non vide de W (§ 4, cor. de la prop. 14), donc «(S) rencontre T0, et par suite S rencontre a~ 1(T0), autrement dit x est adhérent à u~ 1(TQ) C X — U, ce qui est absurde puisque U est un voisinage de x. Proposition 7 (Chevalley). — Soient X une variété irréductible, Y une variété irréductible normale, u *. X -> Y un morphisme dominant ; posons r = dim(X) — dîm(Y). Soit x un point de X tel que les composantes irréductibles de la fibre u"1(u(x)) gui contiennent x soient toutes de dimension r. Alors l'image par u de tout voisinage de x dans X est un voisinage de u(x) dans Y. En remplaçant Y par un voisinage ouvert affine de u(x) et X par un voisinage ouvert affine U C u" 1(V) de x, la restriction U —> V de « vérifie les mêmes hypothèses
142 COURS DE GÉOMÉTRIF ALGEBRIQUE que u (car l'intersection de U et d'une composante irréductible de w-1(a(x)) est dense dans cette composante). On peut donc se liornei* au cas où Y = Spm(A) et X = Spm(B) sont afiincs, B une algèbre intègre: et A C B, A étant intégralement clos; il suffit de montra* que «(X) est un voisinage de u(x) dans Y. Posons m = t({«(A")})> de sorte que la fibre «"^(«(s)) estla sous-variété fermée V(tnB) de X, et si a = r(tïtB), l'algèbre des fonctions régulières sur u~ """(«(a")) est B/û. Comme on peut supposer (en remplaçant X par un ouvert plus petit) que toutes les composantes irréductibles de u~1(u(x)) sont de dimension r, le lemme de normalisation (A, 35) montre qu'il existe une sous-A-algèbre C de B/0, engendrée par r éléments s,, ...,¾. algébriquement indépendants (donc isomorphe à A[Tj, ..., T,]) et telle que B/û. soit un G-module de type fini. Soit /^ (1 <j < r) un élément de B dont l'image dans B/û est ^, et considérons le A-homomor- phisme <p : AfTj, ..., T,] ~> B tel que <p(Tj) = tj pour 1 <i^ i' L'injection canonique A ~> B se factorise alors en A -> A[Tj, . .., Tr] ~> B, d'où une factoi"isation correspondante du morphïsme u:X->YxAr^Y. Si l'on pose W = pr",~ 1(u(x)) = {u(x)} x f?, on a «" *(«(*)) = f_I(W), et comme W — Spm(C), la restriction «_1(«(^)) -> W de v est un morphisme fini surjectif' en particulier, tout point de ic\u{x)) est isolé dans sa fibre pour le morphisme v. Or, l'ensemble des points x' e X qui sont isolés dans leur fibre v~\v{x')) est un ouvert S de X (§4, prop. 15), qui contient u~ 1(u(x)). D'autre part Y X kr est par hypothèse une variété normale, donc (cor. 5 du th. 1) la restriction v | S : S ~> V x kr est une application ouverte. Maïs prj : Y X kr -> Y est aussi une application ouverte (§ 4, cor. de la prop. 15), donc «(S) est ouvert dans Y; a fortiori «(X) est un voisinage de u(x) dans Y. C.Q,.F,D.
5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 143 Corollaire, — Soient X une variété irréductible, Y une va- riâé irréductible normale, u : X -> Y un morphisme dominant. Si les composantes irréductibles de toute fibre non vide u~ \y) (y e Y) ont une dimension égale à dîin(X) — dîm(Y), u est une application ouverte. Proposition 8 (Chevalley). — Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X ->- Y un morphisme dominant. Si fest une fonction régulière sur X constante sur chacune des fibres u~ 1(y) {y eY), alors f (élément de R(X),I est radiciel sur R(Y). Considérons le morphisme v = (w,/) de X dans le produit Y X A; larestrictionde p^ : Y X k -> Y kv(K) est alors une application injective puisque, par hypothèse, si u(x') ~u(x), on a aussi /(*') ~f(x). Il existe un ensemble W C f(X) qui est ouvert et dense dans v(X) (§ 4) cor. de la prop. 14) ; si w est la restriction de prx à W, w est donc un morphisme injectifet dominant de la variété irréductible W dans Y. En remplaçant W par un ouvert non vide dense dans W, on peut en outre supposer que Vf est normale (cor. delaprop. 3); w(W) contient un ouvert non vide V de Y (§ 4, cor. de la prop. 14), et en remplaçant V par un ouvert plus petit, on peut supposer la variété V normale (cor. de la prop. 3) ; enfin, remplaçant W par w" 1(V), on peutsupposer que w : W -^ V est bijectif. Mais alors (cor. 4 du tli. 1), R(W) est une extension radicielle de R(Y) ; en particulier, si g : W -*- k est la restriction à W de pr2 : Y X k ~> k, g est une fonction régulière sur W, donc il y a une puissance q de l'exposant caractéristique de R(Y) telle que h = g9 eR(Y), ce qui signifie que (f(x))Q — h(u(x)) pour tout x€o-1(W); mais d~ 1(W) est un ouvert non vide de X, donc partout dense, et comme X est une variété on a (f(x))q = h(u(x)) pour tout x eX (§ 2, th. 1), autrementdît fq — h, /est donc radiciel sur R(Y). C.Q..F.D.
§ 6. Points simples et morphismes séparable3 1. Espace tangent en un point d'une variété Considérons en premier lieu une sous-variété fermée X de l'espace affine kn, contenant l'origine. Si a = t(X), idéal radieiel de k\Tlt *.., TJ, on a P(0) =0 pour tout n gp polynôme P e o- Posons Pa) = £ T3 ^=r(0) pour i=i vis tout polynôme P de A[Tl3 .. -, T„] (« partie linéaire » de P), et soit û(1> l'idéal de A[Tl3 .. -, TJ engendré par les polynômes pi1) lorsque P parcourt Cl', on notera que si (Pa) est un système générateur de o, (P^") est un système générateur de o'1), car on a (20.«Pa)fI) = SQ.aOW1' pour toute famille (Q^) de polynômes. Nous dirons que le sous-espace vectoriel V(o,1)) de &S1 est Vespace tangent à X au point 0; si r est le rang de l'ensemble des formes linéaires P'1' pour P e a, la dimension de V(a(1)) est « — r, puisque ce sous-espace est défini par le système d'équations linéaires PW(/) = 0 pour P € a. Soit A = A(X) = ft[Ti, - - -, Tn]/a l'algèbre des fonctions régulières sur X; si 11 est l'idéal maximal de &[Tt, ..., TM] correspondant à l'origine, engendré par les polynômes Tlf ...,Tn, l'idéal maximal de A correspondant à l'origine est Ttt = n/û* L'algèbre des fonctions régulières sur l'espace tangent V(a(1>) est AW = k\Tlt .... TJ/aW, et V(aW) s'identifie canoni- quement à l'ensemble Homft_al?.(A(1>, A) (§ 1, n° 2).
6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 145 D'autre paît, Ttt/Ttt2 est un A-espace vectoriel; montrons qu'il existe une bijeclion canonique ( 1 ) Hon^ veDt. (m/m2, A) 3- Honv^. (AN, A). En effet, on a m/m2 = n/(ît2 + a), et comme P — Pi1' € it2 pour tout polynôme P € a, on a aussi Tti/mE = n/(n2 + a(1)). Soit (1^, ..., hr} une base du A-espace vectoriel formé des pt11 pour P € a; il existe donc n—r indéterminées T^, ...,Tin r formant avec L^, ..., L,. une base de l'espace vectoriel des polynômes homogènes de degré 1 sur A; le sous-espace E ayant pour base Tit, ..., Tt _ est aussi un supplémentaire de Tta -f- fi'1' dans Tt, et il est immédiat que A^ s'identifie canoniquement àA[T,j ,.. • ,T^ _r]; tout homomorphisme X : A(1J -> A de A-algèbres est donc entièrement déterminé par ses valeurs x(T{|t) = ah pour 1 < h < n— r, qui sont des éléments arbitraires de A; mais ces valeurs déterminent uniquement un homomorphisme d'espace vectoriel nf(\P -f- û'1') -> A, donc un élément de Hoi%Mp. vect. (ïtt/tn2, A), ce qui définit l'isomorphisme canonique (1). Soit maintenant Aq l'anneau local de X au point 0, et soit ln0 son idéal maximal; l'application canonique m ~> Tito qui, à une fonction régulière de A, nulle au point 0, associe son germe au point 0 (§ 5, nD 1) définit unisomorphisme m/m2-Pt-ïttn/m2, de A-cspaces vectoriels, car il résulte aussi tôt des définitions que le germe de f e m ne peut appartenir à ïïl% que si/est équivalente à une fonction de XW\ Compte tenu de (1), on a donc défini un isomorpkîsme canonique de k-espaces vectoriels (2) V(cial-) ~> Honv^.v,rt.(m„/mg, k). Nous pouvons maintenant définir de façon générale l'espace tangent (ou espace tangent de Zarîski) en un point x
146 COURS UE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE d'une variété quelconque X : si m,, est l'idéal maximal de l'anneau local 0X de X au point x, cet espace vectoriel sur A, noté TK(X), est par définition le ducd de l'espace vectoriel XWxfïW%., espace des formes linéaires sur Ttt^/TIt^. A un élément X de Ta(X) on peut associer canonique- ment l'application L} : 0x^>-k qui, dans 11¾., est la composée X(lx~+X(lxfTW*~+k de X et de l'application canonique, et qui est 0 dans A. 1 (on rappelle que 0X, en tant que A-espace vectoriel, est somme directe de A. 1 et de 11¾.). On vérifie immédiatement que pour deux germes j", g de 0X, on a : (3) £*(/£) =f{x)L>.G) + «(*)£»(/). Inversement, soit L une application A-linéaire de 0X dansA telle que l'on ait, pour deux germes quelconques/, 'g de GXi (4) H/g) ~f(xWÏ) +g(*W). Si on prend pour/ et g*le germe de la fonction constante 1, on obtient Z(l) =0, etsionprend/et^dansïtt,,, on a f(x) = £( x) = 0, donc Z(/ g) = 0; la restriction de L à ntsse factorise donc en 11¾. -^- Ttlœ/ïtt| -> A, oùXest une forme linéaire, et on a L = L^. On peut donc identifier l'espace tangent Tœ(X) à l'espace vectoriel Dei^t^g,, A) des formes linéaires sur 0X vérifiant (4), qu'on appelle encore vecteurs tangents à X au point x. Soit U un voisinage ouvert affine de x dans X, et soit L eDer{:(0e, A). Pour toute fonction régulière /gA(U), posons Lv(f) = L(f); il est clair que pour deux fonctions/, g de A(U)., on a : (5) AiCfe) -f(x)Lv(g) + g(x)Lv(f).
6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 147 Inversement, soit M : A(U) ~> k une forme linéaire sur A(U) telle que, pour deux fonctions quelconques/, g deA(U),onait : (6) M{fg) =f(x)M(g) + g(x)M(f) ; il existe alors une et une seule forme L e Der£(0œ> &) telle que Lv = M, En effet, notons d'abord que si g eA(U) est telle que g; ~ 0, on a nécessairement M(g) = 0, car l'hypothèse entraîne l'existence d'une fonction /eA(U) telle que /(*) ^ 0 et fg = 0 (§ 1, nD 5, lemine 1); si l'on, écrit que M(fg) = 0, on déduit aussitôt de (6) que M(g) = 0. Cela prouve l'unicité de L; pour établir son existence, on remarque que tout germe k e 0X est le germe d'une fonction de la forme gjf définie dans D(/), où /eA(U) est telle que /(*) ^ 0; on pose alors (7) Z(A) = (/(*))" W(g) - g(x)(f(x)r*M(f) et on montre d'abord que cet élément de A ne dépend bien que du germe h, en notant que siffi sont deux fonctions de A(U) telles que /(*) ^ 0 et f^x) ^ 0, et g, gt deux fonctions de A(U) telles que g^ — gtf soit nulle dans un voisinage de a:, on a M{gft — gif) — 0, etutili- sant (6) et (7), On vérifie ensuite immédiatement que L satisfait à (4), et on a évidemment Lv = M, On peut donc encore identifier canoniquement T^fX) à l'espace vectoriel Der|:(A(U), k) des formes linéaires sur A(U) vérifiant (6), On posera, pour L eTx(X) et /-eA(U), </,Z>~<£z>==Z(/). 2- APPLICATION LINÉAIRE TANGENTE A UN MORPHI5ME Soient X, Y deux variétés, u : X ~> Y un morphisme, x un point de X. On déduit de k un homomorphisme local ur : 0y,mc*) ~> @x.v et comme i^fm^)) C mv, on a
148 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE aussi «iB(îttJi(p,))Cïtt|, donc on déduit de ux une application k-Unêaire u0' : îlt^^/m^, -^- Xtijrï{%. Par définition, l'application linéaire tangente à u au point x est l'application (8) Tz(u):Tx(X)-+TM(Y) transposée de tF. Une définition équivalente (compte tenu du n° 1) est la suivante : soient V un voisinage ouvert affine de u(x) dans Y, U un voisinage ouvert affine de x dans X tel que u(V) C V- Alors pour tout vecteur langent L €Ta.(X), le vecteur tangent T^wJ.Z de T^fY) est défini par la condition (9) <g,T».Z> = <go„,Z> pour toute fonction g gA(V). Il est immédiat que si v : Y -> Z est un morphisme, on a : (10) T>o„)=T„w(»)oT». Proposition 1. — Si X est une sous-variété d'une variété Y, et j : X ~> Y Finjection canonique, VappHcation linéaire tangente Tz(j) est injectivepour tout x e X, En effet, on peut se borner au cas où Y = Spm(A) est affine, et X = Spm(A/o)., où a est un idéal de A, Pour tout x e X, l'idéal maximal correspondant à x dans A/o est m = îl/Cij si n est l'idéal maximal correspondant à x dans A; l'application canonique n/Tt2—>îtt/m2 est surjective, donc sa transposée TX{J) est injective. L'espace tangent TX(X) s'identifie donc dans ce cas à un sous-espace de l'espace tangent TK(Y) ; lorsque Y = kn et x est l'origine, on retrouve la définition V(Ci(1') de l'espace tangent à X donnée au début du n° 1, Proposition 2. — Soient X, Y deux variétés, (x,y) un point de X X Y. Si j:Xx{y}->XxY et j';{*} X Y->X X Y
6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARAlîLES 149 sont les injections canoniques, l'application (L, IJ) K Tb,„)U).£ + Ttat)U').L' estime bijecticn de Tfe )(X X {y}) X T|aï)({x} X Y) sur Tla„)(X X Y). On se ramène aussitôt au cas où X ^Spm^rT-!, .. ,TJ/(l) et Y = Spm(A[Tm4-i, ...,Tm+B]/b) (û et b étant radiciels) et (x,y) est l'origine de &m+"; comme l'idéal radicîel c définissant X X Y est engendré par a U b dans A[T15 ..., Tm+M] (§ 1, prop. 9), d1' est engendré par a'1' KJ b'1', donc le sous-espace V(c'1') s'identifie cauoniquement au produit V(a'1') X V(t)'1'). 3, Points simples Proposition 3. — (i) Pour tout point x d'une variété X, la dimension de l'espace tangent T^fX) est au moins égale à la dimension de toute composante irréductible de X contenant x. (ii) Si X = Spm(A) est une variété affine irréductible de dimension n, x un point de X tel que dimft TK(X) = n, ,/i» ' ' '>,fn des éléments de A appartenant à Vidéal maximal Tlt = t({#}) de A et dont lesclassesmod, ïttz forment une base sur k de l'espace vectoriel m/îttE, alors fl7 9fn sont algébriquement indépendants sur k (et forment par suite une base de transcendance sur k du corps des fonctions rationnelles R(X)^. Compte tenu de la prop. 1, il suffit de prouver (i) lorsque X est irréductible et, comme la question est locale, on peut en outre supposer X = Spm(A) affine. Il suffit de montrer que si fl} ,, .,fr sont des éléments de îtt et si r <C n, les classes des j£ mod. m2 ne peuvent engendrer m/m2- En effet, s'il en était ainsi, le lemme de Nakayama (À, 40) montrerait qu'il existerait un g e m tel que (1 + g) m soit l'idéal engendré par f^, ,fr dans A.
150 COURS 1>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Considérons alors le morphisme « :y \-*(fi(y)> •. •j./iO)) de X dans kr; ona 1-f g(x) = 1 puisque g e m, donc U résulte des définitions que dans l'ouvert D(l -|-g)deX, le seul point de w_1(0) est x; autrement dit, x est isolé dans sa fibre u~l(u(x))t ce qui entraîne dîm (X) < dim (kr) ~ r pai' le § 4, coi'. 1 du th. 2; on a donc obtenu une contradiction. Le même raisonnement prouve (ii) : on considère cette fois le morphisme u :y[-*- (fi(y), j/«0')) deXdansA"; sifi, -. .,fn n'étaient pas algébriquement indépendants, «(X) serait une variété de dimension < n— 1, et on conclurait comme ci-dessus que dîm(X)^«— 1, ce qui est absurde. Définition 1, — Soit X une variété irréductible de dimension n. On dit qu'un point x e X est simple si l'espace tangent TjgfX) est de dimension «, Une variété irréductible est dite sans singularité ou non singulière si tous ses points sont simples. Exemples, — La définition donnée au début du n° 1 pour l'espace tangent en un point d'une variété affine montre que l'espace affine A" est une variété nonsingulière; il en est donc de même de toute variété irréductible localement isomorphe à un espace affine, par exemple les espaces projectîfsP(J(&), lesgrassmanniennes Gnir(k) et les produits de telles variétés, La variété irréductible E obtenue en faisant éclater l'origine de A"+1(§ 4, n° 1) est non singulière. En effet, avec les notations du § 3, noa 1 et 2, il suffit de voir que tout point de {0} x P„(A) appartenant à un des ensembles { 0} X U; est simple dans É. Mais l'ouvert de E, intersection de E et de l'ouvert 7r_1(iy xU; de kn + 1 X P„(/s) est isomorphe à l'ensemble des points de Hj X (A—{u}) X H] de la forme (x, X, x) (§ 3, n° 2), donc à fr X (A — {0}), d'où notre assertion.
6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 151 On aura soin de noter qu'une variété non singulière n'est pas en général localement isomorphe à un espace affine en aucun de ses points; c'est ce que montre déjà la théorie des courbes algébriques, La démonstration de la prop. 3 montre que si x est un point simple de X, il existe «fonctions/}, .. .,Jn régulières dans un voisinage de x engendrant l'idéal maximal îtt^ de 0xi en outre la sons-algèbre A[/15 .. •>/„] <^e @x est isomorphe à k\Tt, ..., T,J et est dense dans 0S pour la topologie ïtta-adique. Un système de n fonctions de cette nature est appelé un système de paramètres uniformisants an point x. Théorème 1. — L'ensemble des points simples d'une variété irréductible X est ouvert et partout dense dans X. Onpeutévidemmentseborneraucasoù X = Spm (À) est affine; écrivons A = k\Tlf , TN]/Ci où a est un idéal radiciel; si (Pa) est un système générateur fini de û, les points simples de XCA^ sont les points x e X où la matrice ( -?=—■ (x) } est de rang N — « (si n = dim(X)) ; en un tel point, il y a donc un mineur A d'ordre N — n de la matrice ( ■—* j qui n'est pas nul, et par suite il y a un voisinage U de x dans AN où A(_>>) ^ 0, En tout point jgXOUj la matrice ( —~ (y) J a donc un rang ^ N — n ; maïs il résulte de la prop. 3 que ce rang ne peut être >N—n, donc les points de XflU sont simples. Il reste à montrer que l'ensemble des points simples de X est non vide. Le corps des fractions L = R(X) de A étant séparable sur le corps algébriquement clos A, le lemme de normalisation (A, 35) montre qu'il existe une base de transcendance séparante (^, ...,¾.) de L formée
152 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE d'éléments de A et telle que A soit fini sur B = A[fa, ,.,, fj, de sorte que si Y = Srjm(B)(= kn), on a un morphisme fini surjectif y : X -> Y, Si E = R(Y) = k(tlt . -., tn), L est une extension finie séparable de E, donc engendrée par un élément f € A, et comme B est intégralement clos, le polynôme minimal dey est de la forme 0>(T) = T" -f S &T"1"' avec les gj eB 3--1 et 0>'(T) ^mT"1-1^- S (m— j) g5Tm~J"1 n'est pas j —1 identiquement nul; le discriminant d de fl> est donc un élément de B (polynôme en f15 ...,^) non nul. Considérons alors dans Y l'ouvert non vide D(</) ; soit y e D(d) et x un point de X tel que u(x) =y; nous allons voir que x est simple. Pourcela, nous allons voir que « 4-1 formes linéaires Llt ..,, L,l + 1 de Derjï(A, A) sont nécessairement linéairement dépendantes. Qr, de la relation : on déduit, pour tout indice i : 3 = 1 4- 2/^^)^^)=0 j=i (en notant que puisque g$ eB, on a gj(#) = gj(y) par définition), Orf(x) est racine du polynôme de k\T] t»+ Sa(;)T*J 3-1 dont le discriminant est </(_>') ^ 0; l'élément ¢ = 1^-^)+ S (m— j)gj(y)fm~§"1(x) 3 = 1
6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 1 53 de k est donc ^ 0, Mais il est clair que les restrictions des /ç à B sont des éléments de DerjJ(B, A), donc ces n 4- 1 formes linéaires sont linéairement dépendantes, autrement dit il existe des <x$ e/i non tous nuls tels que S 00(1¾(A) = 0 pour toute fonction h eB; maïs alors i = l n + l si + l ona c{ S cf^m/)) =0 et comme c^ 0, S <H^iif) ^ 0- i=l i=l m- 1 Comme tout élément de A est de la forme fT1 S A^y* —« fc = 0 avec Afc eB (A, 36), on voit aussitôt que l'on a : ïi + i M + l et comme S o^L^tf) = 0, on en tire tn-i J(j) SajA(û) =0, ce qui achève la démonstration. Les anneaux locaux Ox des points simples sont dits réguliers; on peut montrer qu'ils sont factonels, et a fortiori intégralement cIor (A, 30), Par contre, un point normal d'une variété n'est pas nécessairement simple, comme le montre l'exemple du sommet du cône d'équation x\ -f- x\ — x\ ™ 0 dans kz (§5, n°3). 4. MoRPHISMES SÉPARABLES Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -> Y un morphisme dominant, de sorte que le comorphîsme correspondant R(Y) ~> R(X) des corps de fonctions rationnelles est injeetîf. On dit que u est sêparable si ce comor- phisme fait de R(X) une extension sêparable de R(Y).
154 COURS DE GÉOMÉTRIE AIXÉlïRIOUE Théorème 2, — Soient X, Y deux variétés irrêàictibles^ u : X -> Y un morphisme dominant* Pour que u soit séparable, U faut et U suffit qu'il existe un point simple x de X tel que y — u(x) soit simple et que l'application linéaire tangente Ts(k) : TX(X) -> Ttf(Y) soit surjective. a) La condition est nécessaire. Posons m = dîm(Y), n = dîm(X). Comme R(Y) est séparable sur k, il existe m A-dérivations D; (1 < i < m) de R(Y) dans lui-même et m éléments b{ (1 < i < m) de K(Y) tels que D^-) = B{] (indice de Kronecïcer) (A, 6). Le corps R(X) étant extension séparablc de R(Y) par hypothèse, de degré de transcendance n — m, les Dj se prolongent en des /^-dérivations de R(X) (A, 6) encore notées D^. L'ensemble des y € Y où les ^ sont toutes définies est ouvert non vide dans Y, donc contient un ouvert non vide dont tous les points sont simples ; remplaçant Y par cet ouvert, on peut donc supposer que Y = Spm(B) est affine sans singularité et que les b- eB; procédant de même pour X, on peut supposer que X — Spm (A) est affine sans singularité. Comme A est une ^-algèbre de type fini, en multipliant les D3- (1 < j' ^ m) par des éléments de A et leb ^ par des éléments de /i, on peut supposer que Dj(A) C A pour 1 < j < m. Soit alors x un point de X, et soit y = u(x) ; les m formes linéaires ^■=êl->(DJg)(j.) (l«j«m) sont définies dans l'anneau local @v et on a L^bj) = Sy-; comme il est clair que les L-} sont des vecteurs tangents à Y au point yt l'hypothèse que y esi simple entraîne que les Lj forment une base de l'espace vectoriel langent TfJY), Mais comme les 1), oui été prolnugee:» à C)T, les sont définies dans CJX et prolongent les Lj\ autrement dît, on a Ty(u),L'j = Li pour 1 ^ j < th, ce qui montre que Tx(u) est surjectif.
G - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÏJPARABLES 155 b) La condition est suffisante. L'hypothèse entraîne que l'application Â-Iinéaîre i^ : u\/m^ ^ TU^/lît! cstinjectïvei si^, ■ > '> g,n sont des paramètres uniformisants de Y au point y3 on peut donc les compléter par n—m fonctions /ij • • -»/«-m de &* de sorte que Si,- '>fi». /u • • -,/«-™ soit un système de paramètres uniformisants de X au point x. Il s'agît de montrer que n — m -f- 1 R(Y)-dériva- Linns Dfc de R(X) dans lui-même sont linéairement dépendantes sur R(X) (A, 7). Enlesmultipiiantpar des éléments non nuls de R(X), on peut supposer que l'on a Y>k{O^Q 0fi pour tout k\ il est clair alors que I\-(îTt£) C m^T1, autrement dit T\ (restreinte à 0^ est continue pour la tojxîlogie TTtj.-adique (A, 34). Considérons les restrictions des T>k à la A-algèbre k [g-,, • • •, g^\\Ji, ■• .),/»-m]î comme elles s'annulent dans k[gl} ■••,gm\ il résulte des propriétés des algèbres de polynômes qu'il y a « — m -f- 1 éléments ck e 0X « -1» +1 non tous nuls et tels que la dérivation £ ck Dk soit nulle *-i dans k[giS ■ - -, g,n,.fi, •••i.fn-m]- ^a1' continuité, cette dérivation est nulle dans Qx (la topologïe Tîte-adique étant séparée (A, 34)), ce qui termine la démonstration. Remarques. — Si k est de caractéristique 0, tout mor- phisme dominant est évidemment séparable (A, 1), et le critère du th, 2 est sans intérêt. D'une façon générale, les propriétés de l'application linéaire tangente à un mor- pliïsme sont loin d'entraîner des conséquences aussi fortes que dans la théorie des variétés différentielles ou analytiques; il n'y a pas d'analogue du théorème des fonctions implicites : u : X --■=<- Y peut être un movphisme domi- nanLi-et y = u{x) étant simples et 'i\(u) unîsomorphisrtic de Tj(X) sur T^Y) pans qu'il y ait un voisinage U de x tel que la restriction de « à U soit un isomorphisme de V Sur uii voisinage dej (même en supposant que «~ *(_>') est réduit au point x). On en a un exemple en prenant pour X le complémentaire du point ( 1, — 1 ) dans la parabole
156 COURS UE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE x% — x\ = 0 de k2, pour « la restriction à X de la seconde projection et pour x le point (1, 1). On a toutefois le résultat particulier suivant : Proposition 4. — Soient u : X ~> Y un morphisme fini de variétés irréductibles, x un point simple de~K tel que u~1(u(x)) soit réduit au point x ; sî Ta(u) '■ T^fX) -> T^fY) est injectif, il existe un voisinage ouvert V <fc J te/ ç«« /« restriction de u au"1 (V) Joif «n isomorpfàsme sur une sous-variété fermée de V. On peut évidemment supposer que Y = Spm(A) et X — Spm(B) sont affines, B étant une A-algèbre finie (§ 4, n° 4). Soient tn et Tt les idéaux maximaux de A et B correspondant respectivement à y et x', l'hypothèse sur Tx(u) signifie que l'application linéaire m/m2 -> n/Tta est surjective; l'application composée m -> m/m2 -^- n/n2 transforme donc unsystème générateur dem en un système générateur de tt/tt2, ce qui implique n = Btp(m) -f îî2. Or, l'hypothèse entraîne que n est le seul idéal premier de B contenant Btp(m) (cf. §5, n° 4), donc n/Btp(m) est le nilradical de B/Btp(m) (A, 11 ) et il existe donc un entier k>0 telque tt?(CBtp(m) (A,32). Comme n— Btp(m) + tt'( pour tout k, on en conclut que Btp(m) = u> et on a donc Btp(m) + tp(A) = B. Cela entraîne que (B/tp(A)) ©A (A/m) = 0, et comme B/tp(A) est un A-module de type fini, il résulte du lemme de Nalcayama quel'ona /B = tp(A) pourunélément f$Vft.. Mais alors rhomomorphisrne tp7 : Aj.-^-B,^, est sutjectîf, donc «est un isomorphisme de l'ouvert Dftp(/)) de X sur une sous- variété fermée de D(jf)C Y.
Résultats d'algèbre Sauf mention expresse du contraire, les anneaux et corps considérés dans ce qui suit sont supposés commutatifs. Rappelons qiicpar définition un anneau admet un élément unité, et qu'un homomorphisme d'anneaux transforme élément unité en élément unité; un sous-anneau d'un anneau A contient l'élément unité de A. I. — Théorie des corps. Dérivations (A, 1) Soient k un corps, K une extension de k de type fini. Le nombre maximum d'éléments de K algébriquement indépendants sur k est appelé le degré de transcendance de K sur k. Si S est un système fini de générateurs de K, LC S une partie de S formée d'éléments algébriquement indépendants sur k, il existe une partie B 3 L de S formée d'éléments algébriquement indépendants sur k, dont le nombre d'éléments est égal au degré de transcendance de K sur k, telle que K soit une extension algébrique finie de k(B) (ce dernier sous-corps étant isomorphe à A(Tj, ..., Tâ) si d est le degré de transcendance de K sur k). On dît que B est une base de transcendance de K sur k (Lang, p. 254). On dit que K est une extension sêparable de k s'il existe une base de transcendance B de K sur k telle que K soît une extension algébrique sêparable de &(B). On dit alors que B est une base de transcendance séparante (Lang, p. 264). Si k est parfait, toute extension de k est sêparable. Si k
158 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE est de caractéristique 0, toute base de transcendance d'une extension de k est séparante (Lang, p. 265). (A, 2) Soient K une extension de h de type fini, E une extension de K de type fini, B une base de transcendance de K sur k, B' une base de transcendance de E sur K. Alors BuE' est une base de transcendance de E sur h (Lang, p. 270). (A, 3) Soient B un anneau, A un sous-anneau de B. Une dérivation de A dans B est une application D : A -> B telle que D(* +j>) = D(*) + D(j>) et D(xy) = * D(j) + y D(x). On déduit de là que D(1) = 0, D(af) = nx11'1 D(x) pour Tout xeA et « entier > 0 et DfaT1) = —a"~2D(a") pour x e A inversible; pour tout b e B, x\-*b D(a-) est une dérivation et l'ensemble Der(A, B) des dérivations de A dans B est un B-module. L'ensemble des x e A tels que D(x) = 0 est un sous-anneau de A; pour tout sous- anneau C de A, l'ensemble des dérivations de A dans B nulles dans C (dites C-dérivatîons) est un sous-B-module Derç(A, B) de Der(A, B). Si KC E sont deux corps, A un sous-anneau de K dont K est le corps des fractions, toute dérivation de A dans E se prolonge d'une seule manière en une dérivation de K dans E. (A, 4) Soient KCECF trois corps de caractéristique p > 0. Toute K-dérivation de E dans F est nulle dans le sous-corps K(EP) de E. Si E est une extension de type fini de K, E est une extension algébrique finie de K(EJ)) de degré/»''; r est appelé le degré d'imperfection de E sur K, et ona E = K(EP)[*(, .. „4 où xj £!£(£>>)[>,, • ..,¾. J et xf eKfE*)!*,, ..., *,-~i] ^e sorte cluc Ie polynôme minimal de aj sur K(Ep)[jïj, . ..^.Jest Tff—xf (Lang, p. 186). On dit alors que x1} ..., xr forment une p-base de E sur K. Les monômes xv = xllx$* ... xX' avec 0 < v,- <C p pour 1 < j < r forment une base de E
RÉSULTATS d'aLGEBRE 159 commeK(Ep)-espace vectoriel. Il exister K-dérivations D$ ( 1 < j < r) de E dans 1T, telles que Dj(xk) = &jfc (indice de Rroncclcer), et les D, formrm une base du F-espace vectoriel Derx(E, F). (A, 5) Avec les notations précédentes, supposons que F soit extension algébrique finie de E. Comme une base de F sur E est aussi une base de I* sur E>, on a : [K(ï*) : K(E")] < [F : E]. Comme on a : [F : E] [E : K(E*)] = [F : K(E*)] [K(Fp) :K(E»)] on en déduit que [E : K(E*)] < [F ; K(F*)]. Supposons en particulier que F soit une extension de K de type fini, et E = K(B), où B est une base de transcendance de F sur K. On a alors : [E : K(EP)] = [K(B) : K(B*)] = p* si d est le degré de transcendance de F sur K. Ce qui précède montre donc que l'on a rf< dimp DerK(F. F). (A, 6) Soit E une extension séparable de K, de type fini, et soit d son degré de transcendance sur K; on a alors â — dimE DerK(E, E), et toute />-base de E sur K est une base de transcendance séparante de E sur K (Lang, p. 269). Si E est une extension séparable de K, toute dérivation de K se prolonge en une dérivation de E (Lang, p. 267). (A, 7) Inversement, soit E une extension de K de type fini et de degré de transcendance à = dîmE DerK(E, E) ; alors E est séparable sur K. En effet, soit B une base de transcendance de E sur K, et soit F la plus grande extension séparable de K(B) dans E, de sorte que B est une />~base de F sur K et E une extension radicielle de F. Il suffira de considérer le cas où E= F(#), [E : F] = p, et de prouver que E est encore séparable sur K. L'hypothèse, jointe à (A, 5) et (A, 6), entraîne que [K^E*) : K(Fp)] = p,
160 COURS UE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE autrement dit A"0 — xv n'appartient pas à K(F'J)j il y a par suite une p-hase B' de F sur K formée de x0 et de d—1 autres éléments Xj (1 ^j^d—1), etFestencore une extension algébrique séparable de K(B'). Considérons alors l'ensemble Bt ~{x, xlt ..., xd_1}; il est clair que Bj est une base de transcendance de E sui' K. Comme F est extensionséparabledeK(B'),ona K(B')(FP) *= F (Lang, p. 266)j a fortiori on a K(B,) (E^) 3 F et par ailleurs K(Bj) contient x, donc K(Bj) (E*) DF(*) = E, ce qui prouve que E est extension séparable de K(Bj) (loc, cit.). II, — Idéaux premiers et idéaux maximaux (A, 8) Un idéal p d'un anneau A est dit premier (resp. maximal) si A/p est un anneau intègre (resp, un corps), ceqtùentraînepardéfinition p ^ A. Toutidéalmaxîmal est premier. Tout idéal o ^ A est contenu dans au moins un idéal maximal (Lang, p. 62). Si fi est un idéal de A, p un. idéal premier de A contenant a, l'ensemble des idéaux premiers CJ tels que 0 C CJ C p est inductif pour la relation D, donc a un élément, minimal. (A, 9) Si f : A -> B est un homomorphisme d'anneaux et C) un idéal premier de B,/_1(q) est un idéal premier de A, Si B = Aja, où a est un idéal de A, les idéaux premiers (resp, maximaux) de B sont les idéaux de la forme p/n, où p est premier (resp. maximal) dans A (Lang, p, 63). (A, 10) Si A, B sont deux anneaux, tout idéal C de A X B est de la forme fi X b où fi (resp. fe) est un idéal de A (resp. B) égal à prt c (resp. pr2 c), car si (x,y) e c, C contient aussi (1, 0)(x,y) = (x, 0) et (0, 1 )(#,_>•) = (0,j). Les idéaux premiers (resp. maximaux) de A x B sont donc ceux de l'une des formes p X B, A X q, où p est un idéal premier (resp. maximal) de A et q un idéal premier (resp, maximal) de B.
RÉSULTATS D5 ALGÈBRE 161 (A, 11) Le nilradical d'un anneau A est l'idéal tt de A formé des éléments nilpotents de A; il est égal à l'intersection des idéaux premiers de A. La racine r(ci) d'un idéal a de  est l'idéal formé des * e A dont une puissance appartient à Ci; c'est aussi l'idéal tel que r(ci)/û soit le nilradical de A/a (Lang, p. 148). Un anneau est dit réduit si son nilradical est (0), Si f ; A —> B est un homomorphisme d'anneaux et b un idéal de B, on a x(f~1(b))=f~1(x(b))l car la relation (f(x))n eb est équivalente à f(x)n et), ou encore à V e/-»(b). (Â, 12) Soient plt ..., pr des idéaux premiers d'un anneau A. Si un idéal a de A n'est contenu dans aucun des fy, il existe un z ç a qui n'appartient à aucun des pj. On raisonne parrécurrencesur r, la propriété étant triviale pour r=sl. Supposons d'abord qu'il existe un indice J tel que o fi p$ soit contenu dans la réunion E des p d'indice i ^ j\ il n'est pas possible que ciCE, sans quoi, par l'hypothèse de récurrence, on aurait ciC pi pour un i ^ j; si on prend x $ a non contenu dans E, on a aussi x $ pj en vertu de l'hypothèse, donc x n'appartient à aucun des ph. On peut donc (par l'hypothèse de récurrence) supposer que pour chaque indice j il existe yj ea C\ pj tel que y$ $ pt pour i ^ j. Considérons alors l'élément z =y^ + Il _>ï, où k est un indice quelconque. On a évidemment z e ci; pour j ^ k, on a y$ e p,-, donc II yi e py, mais comme yk $ p$, on a z $ pj. D'autre part, comme >>,- $ pk pour î ^ k, on a aussi Il yi $ Pk puisque pk est premier; maïs comme yk e ph, on a encore z$Pk* ce qui prouve la proposition. Supposons l'anneau A gradué, et les idéaux ci et pj (1 < j < r) gradués. Alors on peut ajouter à l'énoncé précédent que l'élément z e a n'appartenant à aucun des pj est homogène. En effet, il suffit de reprendre le raisonnement
162 COURS J1F, GKOMKTUIK ALC.l'llîRIOUE pat' récurrence qui précède. Si on p^-C E, il est clair que l'on peut prendre x e a non dans E et" homogène. Sinon, on peut prendre tous lesjjy homogènes ; comme pour un idéal premier p, les relations t e p et tn e p sonl équivalentes» on peut remplacer les^ par des puissances de ces éléments homogènes, et supposer donc que yh et H fc sont homogènes et de même degré; z est bien alors homogène, III. — Localisation et anneaux locaux (A, 13) Soient A un anneau, S une partie multiplicatïve- ment stable de A. Dans l'ensemble A x S, on définit une relation d'équivalence en prenant (a, s) et (a\ s') équivalents s'il existe s" eS tel que s" {a' s — as') = 0. L'ensemble quotient est noté S-1 A et la classe d'équivalence de («, s) notée ajs. L'ensemble S-1 A est muni d'une structure d'anneau pour laquelle (ajs) -f* («*//) ~ (as' -[- a' j)/(j/) et (ajs)(djs') = (aa')j(ss')t l'élément unité étant 1/1, L'application i& : a\-> a/1 est un homomorphisme (dit canonique) de A dans S_1A et les éléments de %(S) sont inversibles dans S~ 1A. Si A est intègre et si S ne contient pas 0, S"1 A s'identifie à un sous-anneau du corps des fractions de A, contenant A (Lang, p, 69), (A, 14) Si M est un A-module, on peut définir le S~ * A- module S*1 M par la même méthode que ci-dessus, ou poser S^M = M©AS_1A; l'élément m® (Ifs) s'écrit aussi mjs. Si N est un sous-module de M, S" *N s'identifie àunsous-moduledeS"1M,etS~1M/S~1NàS^1(M/N). En particulier, si a est un idéal de A, S-1 a est un idéal de S" * A, qu'on peut aussi écrire Ci(S~ * A) lorsqu'on considère S"1A comme un A-module au moyen de £s, L'application p' h» £g 1(p') est une bijection de l'ensemble des idéaux premiers de S-1 A sur l'ensemble des idéaux premiers de A ne rencontrant pas S, et si p = ïg^p'), on
Rl'M'l.TATS n'AIoLïSRE 1G3 a p' = S"1 p et (S_1A)/p' s'identifie à (/(S))^A/p), où / ; A ~> A/p est l'iiomomorphisme canonique (Laxxg, p. 149). Si n est le nilradiral de A, S l tt est le nilradical de S"1 A, car la relation (xfs)H = 0 entraîne l'existence de s' e S tel que s'x" ~ 0, d'où (j'.v)" = 0, autrement dit j'x e tt et par suite ,v/j € S_1îî, (A, 15) On dit qu'un anneau A est local s'il ne possède qu'un seul idéal maximal, qui est alors le plus grand idéal ^ A, Si A et B sont deux anneaux locaux, d'idéaux maximaux m et n, un liomomorphisme u ; A ~> B est dit local si «(m) C n, ft>ur tout anneau A et tout idéal premier p de A, ou note Ap l'anneau S-1 Aoù S = A — p; c'est un anneau local dont l'unique idéal maximal est pAp (Lang, p. 69), Si nCp, l'anneau A^/dA^ s'identifie canoniquement à (A/fl)p/a. Soit S une partie multiplicative de A, Si q' est un idéal premier de S"1 A, et q—î'sKcj')» l'anneau local A^ s'identifie canoniquement à (S_1A){].. IV, — Entiers algébriques (A, 16) Soient A un anneau, B une A-algèbre; on dit que B est une A-algèbre/ime si B est un A-module de type fini. On dit qu'un élément xeB est entier sur A si la sous-algèbre A[,v] de B est finie, ce qui équivaut à dire que ,v vérifie une relation de la forme xm -f- atxm~± -\- ,,, -\- am = 0 où les aj e A (Lang, p. 237), On dit que B est entière sur A si tous les éléments de B sont entiers sur A; toute A-algèbre finie est entière et, inversement, une A-algèbre entière et de type fini est finie (Lang, p, 239), Si C est une B-algèbre, et si C est entière sur A, C est aussi entière sur B, Inversement, si B est entière sur A et C entière sur B, C est entière sur A (Lang, p. 239),
164 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÏOBRIQUE (A, 17) Si B est une A-algèbre, l'ensemble A' des éléments de B entiers sur A est un sous-anneau de B, dit fermeture intégrale de A dans B, En particulier, si A est intègre et K son corps des fractions, l'ensemble des éléments de K entiers sur A est appelé la clôture intégrale de A, Un anneau intègre est dit intégralement clos s'il est égal à sa clôture intégrale. Toute intersection d'anneaux intégralement clos (contenus dans un même anneau intègre) est un anneau intégralement clos. Si A est intégralement clos, K son corps des fractions, et si E est une extension algébrique finie de K, pour tout élément x e E entier sur A, les coefficients du polynôme minimal de x sur K (en particulier la trace et la norme de x sur K) appaitiennent à A (Lang, p, 240), Si B est entière sur A et si S est une partie multiplicative de A, S" * B est une S"1A algèbre entière. Si A est intégralement clos et 0 $ S, S" l A est intégralement clos (Lang, p. 241); le même raisonnement montre qu'en général si C est une A-algèbre, S une partie multiplicative de A et B la fermeture intégrale de A dans C, S"J B est la fermeture intégrale de S"1A dans S"l C, (A, 18) Soient A un anneau intègre intégralement clos, K son corps des fractions. Si If, G sont deux polynômes unitaires de K[T] tels que le produit FG appartienne à A[T], alors ]? et G appartiennent à A[T], En effet, on peut écrire F(T) = 11 (T — o^ G(T) = 11 (T — p.) *=1 i*=l r où les cq et fy appartiennent à une clôture algébrique de K; l'hypothèse entraîne que les 0¾ et fy sont entiers sur A; les fonctions symétriques élémentaires des 0¾ (resp, des (¾) sont aussi des entiers sur A et, comme ce sont des éléments de K par hypothèse, ils appartiennent à A, On déduit de là que l'anneau intègre A[T] des polynômes sur A est intégralement clos. En effet, soit P un élément du corps des fractions K(T) de A[T] qui
RÉSULTATS D'ALGEBRE 165 soit entier sur A[T] ; il est a fortiori entier sur K[T], et comme ce dernier est un anneau principal, donc intégralement clos (Lang, p. 240), on voit déjà que Ton a nécessairement P e K[T], Par hypothèse, il y a un polynôme Q.(X) = X™ -{- F1Xm~i .{- ,, . -f- Fm, avec les F,- eA[T], tels que Q.(P(T)) ==0. Soit r un entier plus grand que le degré de P, et posons P^T) = P(T) — T"; alors — Pt est unitaire et Pt est racine de Q(X + T) *= X» + ... + Ck à coefficients dans A[T] ; on a : Gw(T) = Q,Cr) *= T™ -f- F^T) Tfr»-ïï -f- .. + Fm(T), donc G>ft est unitaire pour r assez grand. Comme -PiW-1+ --.+0,.0=.0^ le second facteur du premier membre est aussî alors un polynôme unitaire de K[T] ; comme les coefficients de Gm ont dans A, il en est de même de ceux de — Pt, donc PeA[T], (A, 19) Soit A un sous-anneau d'un anneau B; on dit qu'un idéal b de B est au-dessus d'un idéal a de A si b fï A = a. Supposons que B soit entier sur A ; alors pour totit idéal premier p de A, il existe au inoins un idéal premier ^P de B au-dessus de p ; si p est maximal, tout idéal premier de B au-dessus de p est maximal ; inversement, pour tout idéal maximal 9JÏ de B, 9JÏ n A est maximal (Langs p, 243 : <( théorème de montée »). Supposons de plus que B soit une A-a\gbbrcfïme; alors, pour tout idéal maximal m de A, le nombre d'idéaux maximaux de B au-dessus de Tlî est fini. En effet, il est clair que ce nombre est le nombre d'idéaux maximaux de B/mB; par récurrence sur le nombre de générateurs du A-module B, on peut se borner au cas où B = A [a], où x est entier sur A; si K est le corps A/m, B/îîîB est donc de la forme K[f], où t est racine d'un polynôme
166 COI'RS Dl:, GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE unitaire JF e K|T] ; par suite, si 3? = F^"1... F»' est la décomposition de F en facteurs irréductibles, B/llîB est isomorphe à un quotient du produit des K-algèbres K[T]/(FfJ') (Lang, p. 64). Or, si P est un polynôme lUiitaire irréductible de Kf f], K[T]/(Pm) a pour nîlradîcal l'idéal 9Î — fP)/(P'1) et .son quotient par 9Î est le corps K[T]/(P), doricSR est l'unique idéal maximal de K[T]/(Pm). On en conclut que le nombre d'idéaux maximaux de B/llîB est au plus r (A, 10), (A. 20) Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, supposé de caractéristique p > 0, Soient E une extension radicielle de K, B 3 A un sous- anneau de E entier sur A, Alors, pour tout idéal premier p de A, il existe un seul idéal premier S$ de B au-dessus de p, et cet idéal est formé des x e B tels que xp'" e p pour un entier m assez grand. En effet, l'existence de S$ résulte de (As 19); si x e Sfi, on a xp™ e K pour un entier m, donc xv™ € A puisque A est intégralement clos, et par suite *p"1 € A ri Sfi = p ; inversement, si x eR est tel que xi'"1 e pC *]BS on a x e s$ puisque Sfi est premier. (A, 21) Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des Parlions, N une px tension galoisienne finie de K, rû son groupe de Galoiss B la fermeture intégrale de A dans N, Si $ et JQ sont deux idéaux premiers de B au-dessus d'un même idéal premier p de A, il existe a e 5? tel que c(S$) = JQ (Lang, p. 244). (A, 22) Soient A un anneau intégralement clos, K sou corps des fractions, L une extension algébrique finie de K, B 3 A un sous-aimeau de L entier sur A, Alors, pour tout Méal premier p de A, le nombre des idéaux premiers de B ,iu-dessusde pestau plus égal a.u degré séparable [L ; K]s, En effet, si L' est la plus grande extension séparable de K contpnue clans L* de sorte que [L/ ; K] = [L : K]s, et si B' ^= B n t.', B cit entier sur Jï' et il suffit de montrer,
RÉSULTATS d'aLGEBRE 167 en vertu de (As 20), que le nombre d'idéaux premiers de B' au-dessus de p est au plus [L' : K]. On peut donc se borner au cas où L est séparablc sur K; soient alors N l'extension galoisienne de K engendrée par L, *& son groupe de Galois,,^f lesous-gronpe de ^laissant invariants les éléments de L. Tout idéal premier de B au-dessus de p est de la forme ^prïB, où Sfi est unidéal premier, au-dessus de p, de la fermeture intégrale C de A dan* N. Si JQ est un second idéal premier de C au-dessus de ps il est de la forme o(^S) ( A, 21 ), et la relation offl) n B = a' (^) n B signifie (par (A, 21)) que l'on a a(S$) = t(g'(S$)), où t eM*. L'ensemble des pe^ tels que p(*]B) = ^ est un sous-groupc 5?z de 5?, et on voit donc que l'ensemble des idéaux premiers de B au-dessus de p est en correspondance bîunivoque avec l'ensemble des doubles classes de 5? pour les sous-groupes M* et S?zs c'est-à-dire les classes d'équivalence pour la relation a = tc' p avec t eJ^ et p €^2 entre a et o'; le nombre de ces classes est au plus égal au nombre des classes à droite de & suivant Jf, c'est-à- dire à (S? :JT) = [L : K] par la théorie de Galois (Lang, p. 194). (A, 23) Soient A xin anneau intégralement clos, K son corps des fractions, L une extension finie séparablc de K, et posons [L : K] = n. Soit B un sous-anneau de L entier sur A et tel que L soit le corps des fractions de B; comme L est séparable sur K, il est engendré par un élément de L, qu'on peut supposer (après multiplication par un élément de A) être un élément b eB; si F(T) = T1 -f- flj T"- l + ... - an est le polynôme minimal de b sur K* on a a; e A pour 1 < j < n puisque A est intégralement clos. Soient b( (1 < i < n, b2 — b) les conjugués de b dans une clôture algébrique de L, qui sont tous distincts, etsoit A= V(éls ...sé,()= H (h—-b,) le déterminant de Vandermonde des ^-, de sorte que ti = À2 est le discriminant de ]? (Lang, p. 134). Supposons
168 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE que d soit inversible dans A; alors { 1, b, ..., b*1'1} (qui est une base de L sur K) est aussi une base de B sur A, et B est égal à la fermeture algébrique de A dans L. En effet, supposons que x eh soit entier sur A; on peut n-l écrire x = £ ahbn avec ah eK; mais si on désigne ft-0 n-l par Xi les conjugués de x (Uj<«), ona^= S ahb\ d'où, par les formules de Cramer, ah = AA/A, où Ah e L est entier sur A puisque les x^ et b le sont; comme ah = A A/(/(2 et que rf est inversible dans A, «A est aussi entier sur A, donc eAeA puisque A est intégralement clos, et cela prouve nos assertions. (A, 24) Sous les mêmes hypothèses que dans (A, 23), soit maintenant m un idéal maximal de A, k le corps résiduel A/m; notant â la classe dans k de a € A, le polynôme 1?(T) = Tn + fljT*-1 -h ... + û„ de A[T] apour discriminant d ^ 0 dans A; supposons que les racines (distinctes) ax, ..., an de ï? appartiennent à A (ce qui est par exemple le cas si k est algébriquement clos). La formule d'interpolation de Lagraiige montre l'existence de polynômes Q,,(T) e A[T] de degré < « — 1 tels que, pour tout polynôme P €^[1], avec Q,{(oc;) = 0 pour i ^ j. En vertu de (A, 23), si b est l'image de b dans B/mB = B©A(A/7iî), les éléments 1, b, ..., i**"1 forment une base de B/TIîB sur k; comme P(î) = S P^JQ^ï), il en est de même des éléments i- I ei — Q.î(^)j ct on a c(cj = Sy-^. On conclut que B/mB est isomorphe à la somme directe des corps k.e^ = B/rlt^,
RÉSULTATS d'ALGEBRE 169 où trti est l'image réciproque de S h.e;, de sorte que les nt; sont les n idéaux maximaux de B au-dessus de lit. (A, 25) Soient A un anneau intégralement clos, K son corps des fractions, L une extension algébrique finie de K, B C L un anneau entier sur A. Alors, si p C q sont deux idéaux premiers de A, q'CB un idéal premier au-dessus de q, il existe un idéal premier p' C B au-dessus de p et tel que p' C q' (« théorème de descente »). Pour le voir, supposons d'abord que L soit une extension galoisienne de K et B la fermeture intégrale de A dans L. Il existe un idéal premier px de B au-dessus de p, et un idéal premier qt de B au-dessus de q et contenant pj (il suffit d'appliquer le théorème de montée (A, 19) aux anneaux A/p et B/pB). En vertu de (A, 21) il existe un K-automorphisme c de L tel que o(q,) = q'; alors p' = a(p1) répond à la question. Si, en second lieu, L est séparable sur K., on considère l'extension galoisienne N de K engendrée par L et la fermeture intégrale C de A dans N. Soit q" un idéal premier de C au-dessus de q' (donc au-dessus de q); il y a un idéal premier p" de C au-dessus de p et contenu dans q" ; donc p' = p" C\ B répond à la question. Enfin, si L est quelconque, E la plus grande extension séparable de K contenue dans L, et B0 = B ri E, qô = q' n Bq , il existe un idéal premier pp de B0 au-dessus de p et contenu dans q^j il résulte alors de (A, 20) que l'unique idéal premier de B au-dessus de pô est contenu dans q' et répond donc à la question. (A, 26) Soient B un anneau intègre, AC B un anneau intégralement clos tel que B soit une A-algèbre finie, K et E les corps des fractions de A et B respectivement* Soit/un élément de B tel que la racine p = r(B/) soit un idéal premier. Alors, /0 = NEyK(/) appartient à A et on a pnA= ï(A/0). En effet, soit T'" -f- a1Tm~l -f- .. + am le polynôme
170 COURS Dl;, GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE minimal de/sur K, dont les coefficients appartiennent à A, puisque A est intégralement clos. On a donc f0 = û$( pour un entier k >■ 0, d'où /0 e A; en outre, on a /0+/(^^^+^^/^+---+^^-1)^ donc f0 € p C\ A, et par suite t(Af0) C p ri A. Inversement, si u € p ri A, on a u e ï(B/), donc il existe un entier n tel que î^" = vf avec # e B; on en déduit que .'«■■" = NmM=NœWNw(/)EAf0, d'où m er(A/£,), ce qui achève la démonstration. V. CONDUCTEUR ET THÉORÈME PRINCIPAL DE ZarISKI (Aj 27) Soient B un anneau, A un sous-anneau de B; l'annulateur du A-module B/A est un idéal fCA appelé le conducteur de B dans A; c'est aussi le plus grand idéal de A qui soit aussi un idéal de B. Si B est une A-algèbre finie, pour toute partie multiplicative S de A, S-1 f est le conducteur de S"1B dans S^1A, car si ajs eS-1A est tel que, pour un système générateur (jç) de B comme A-module (1 < i < ri), on ait (fl/j)(Jï/l) e S~1A) cela signifie que pour cliaque i il existe k e S tel que t^ayi eA; posant t = ti .../,, e S, on a {ta) y^ eA pour tout i, donc ta e f} et n/j eS"]f; la réciproque est immédiate. Sous les mêmes hypothèses, soit p un idéal premier de A m contenant pas f; alors on a Ap = Bp;i car le conducteur de Bjj dans Av est fp par ce qui précède; niais fp = Av puisque par hypothèse ily a unélément s eA -p dansf, donc 1 = sjs e f p. (A, 28) Soient B un anneau intègre, A un sous-anneau de B, tel que, pour un élément #eB, B soit entier sur A[x]. I) Supposons en outre que A soit intégralement fermé clans B et qu'il existe un polynôme unitaire ]? e A[T7] tel que B]f(.v) C A[x] (autrement dit F(.v) appartient au conducteur" de B dans A[a']). Alors on a A\x\ ^-- B. Considérons eneffet un clément quclcnnqur b & B. Par
RESULTATS D'ALGÈBRE 171 hypothèse, il existe un polynôme G € A[T] tel que bl(x) = G(x). Par division euclidienne, on peut écrire G = QF-|- R avecQ.RdansAfl] et deg (R) < deg (F); sî l'on pose y s= b — Ç>(.r), on a donc y$(x) = R(.v); il suffira de montrer que cette condition entraîne y e A[x]. On peut évidemment supposer y ^ 0. La relation Ffa) = K(x)ly, jointe au fait que deg (R) < deg (F), entraîne que .v est entier sur A' = \ | - ■ mais_y étant entier put A [a], est aussi entier sur A'. Or, dire que y vérifie une équation y™ -f- a[ym"1 -\- ... + 0^ = 0 avec les flj eA' = A 1-1 cnLraîne que y est entier sur A. Mais comme jeB et que A est intégralement fermé dans Bj on a bien y e AC A[x'\. II) Supposons en second lieu que x soit transcendant sur le corps des frac lions de A. Alors, pour tout idéal maximal îî de Bj il existe un idéal premier q C 11, distinct de îî et tel que 11 ri A — q ri A. Posous 111 = ît ri A et distinguons deux cas : a) Supposons A intégralement clos, et soit X = ît ri A[*]; alors x est maximal dans A[x\ (A, 19) et contient l'îdcal mA[*]. Comme l'anneau A[A']/mA[.r] est isomorphe à l'anneau de polynômes (A/tiî)[T] et que ce dernier n'est jamais un corps, on a t ^ TIîA[.r]. Comme A [a] est intégralement clos (A, 18), il résulte de (A, 25) que îî contient un idéal premier q 5* n au-dessus de nîA[.v], donc au-dessus de m. b) Dans le cas gênerai, soient A' la clôture intégrale de A, B' celle de B, de sorte que B' est entier sur A'[x] et x transcendant sur le corps des fractions de A'. Soit îî' un idéal premier de B' au-dessus de ît; ît' est maximal
172 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE dans B' (A, 19); si m' = n' C\ A', il existe en vertu de a) un idéal premier q' C îî', distinct de n' et tel que q' ri A' = m'; en vertu de (A, 19), q = q' n B ne peut être maximal, donc q ^ ît et q Pi A = trt. III) Supposons de nouveau que A soit intégralement fermé dans B, et qu'il existe un idéal maximal n de B tel que n soit minimal parmi les idéaux premiers q de B tels que q C\ A = îî C\ A. Alors : (i) Pour tout idéal premier q C îî de B, la classe de x modulo q est algébrique sur le corps des fractions de A/(q n A). (ii) L'idéal îî ne contient pas le conducteur f de B dans A [a]. Posons iiî = Tt C\ A et p = q C\ A; soient A± = A/p, B, = B/q, nx ™ n/q et rrtj — m/p. Si x± est la classe de x modulo q, B, est entier sur A^.^ et îîj est minimal parmi les idéaux premiers de B-, au-dessus de Tiî,; il résulte alors de II) que xx est nécessairement algébrique sur le corps des frac lions de A± . Prouvons (ii) en raisonnant par l'absurde. Soit q un idéal premier de B, contenu dans n et minimal parmi ceux contenus dans tt et contenant f (A, 8), et soit p = qfiA. L'anneau Bp est entier sur Ap[.t] et Ap est intégralement fermé dans Bp (A, 17); Av est un anneau local d'idéal maximal pAp et l'idéal qp de B^ est premier et tel que qp n Ap = pAp (A, 14); en outre fp est le conducteur de B,, dans Ap[x\ (A, 27). En vertu de (i), la classe xt de x mod. q est algébrique sur le corps des fractions k = Ap/pAp de A/p; il en est donc de même de tout élément de Bu/qp puisque Bp est entier sur Av[.v]. Mais une A-algèbre intègre dont tout élément est algébrique sur k est nécessairement un corps, donc l'idéal qv est un idéal maximal de Br, qui par ailleurs est aussi minimal parmi les idéaux premiers de Bp contenant fv.
RÉSULTATS D'ALGÈBRE 173 Quitte à remplacer A et B par Ap et Bp, on peut donc se borner au cas où n est aussi minimal parmi ceux qui contiennent f; n/f est par suite un idéal premier minimal de B/f, donc (A, 14) (lî/f)n/f est le plus petit idéal premier dans (B/f ),^, donc est le nilradical de cet anneau (A, 11). Comme la classe de x modulo n est algébrique sur k, il existe y e A — llî C B — n et un polynôme unitaire F eA[T] tels que yF(x) en; écrivant que la classeyF(x) dcyF(x) dans B/f a une image nilpotente dans (B/f),^, on voit qu'il existe z eB—rt et un entier h >■ 0 tels que zyh(y(x))h e f, autrement dit (]?(>:))A^'BC A[*]. Appliquant le résultat de I) en remplaçant B par l'anneau Afxjfjej^B] et utilisant le fait que F' est unitaire, on obtient la relation zj^RC A [a], autrement dit zy* e f C n. Mais cela est absurde puisque z$W & y $ lî. (A, 29) Les résultats de (A, 28) vont nous permettre de prouver la proposition suivante, préliminaire au théorème principal de Zariski : Soient B un anneau intègrej A un sous-anneau de B, intégralement formé dans B ; on suppose en outre qu'il existe x e B tel que B soit fini sur A[x]. Soit n un idéal maximal de B, qui est minimal parmi les idéaux premiers q de B au-dessus de m = lî C\ A- alors on a An — Bm = 1^ . Notons que A,rt est intégralement fermé dans B1T1 (A, 17), que Bm est fini sur A,n[jr] et que it,,t est un idéal maximal de B,u au-dessus de 7ltAm, qui est minimal parmi les idéaux premiers de Bm au-dessus de mA^ (A, 14). On peut donc se borner au cas où A est un anneau local d'idéal maximal m, et B = B,u. Comme lî ne contient pas le conducteur de B dans A[x\ (A, 28, III), il résulte de (A, 27) que B = A[#]r, où x = lî ri A\x\; comme ï est maximal dans A[a] (A, 19) on a n =rA[^]t, et il revient au même de dire que lî est minimal parmi
171 fJOURS 1JJÏ Gl'"OMlVrRlF. AIOKBRIQUE les idéaux premiers de B au-dessus de m, ou que X est minimal parmi les idéaux premiers de A[V| au-dessus de nt- Compte tenu de (A, 2fi, III), il suffit donc de prouver la proposition suivante : Soil B un anneau intègre cuatcuaiU un anneau local A d'idéal maximal in et .soit 11 mi idéal maximal de B au-dessus de 11t. Supposons que A soit intégralement fermé dans B, et que B = A[.vJ, où la classe de x mod. n est algébrique sur le corps k = A/m. Alors on a nécessairement B = A. Soit k = A/m le corps résiduel de A; par hypothèse, il existe un polynôme unitaire non constant FeA[T] tel que F(a-)€ThA[a-]. Il suffira de prouver que y= 1 -f-F(#) appartientà A; en efîet.vsera alors entier sur A, doue x eA par hypothèse et B = A. Montrons d'abord que la classej» de>>dans A[j;]/TIlAf_y] est inversible dans cet anneau. En effet, dans le cas contraire^ appartiendrait à un idéal maximal de A[_y]/TnA[_y], et comme A[.v]/mA[.¥] est entier sur A[_y]/mA[_y], la classe de y dans A[*]/thA[jt] appartiendrai t aussi à un idéal maximal de cet anneau (A, 19) ; mais cela est absurde car la classe dey dans A[#]/îttA[ï] est 1 par définition. Comme y est algébrique sur k, il vérifie une équation J^ + ^-iJ*'1* ... +^,=0 de plus petit degré, avec c,- e k; en outre, comme y est inversible, on a nécessairement 1¾ ^ 0. Si fl,- e A est un élément de la classe aj, on a donc : ûo -f- «i.y + ■ ■ ■ +y =/¾ + Piy + ■ + Pnf1 pour des éléments /¾ eillj il existe par suite un 2 e A[^>] tel que yz ~ a0 — pQ ; mais comme a0 — p0 $ m, c0 — /¾ est inversible dans A, donc y est inversible dans A\y] (et a fortiori dans B) ; or, cela entraîne que \jy est entier sur A, et comme A est intégralement fermé dans B, 1/j eA. Mais on ne peut avoir \fy e m, sans quoi on en déduirait
RÉSULTATS D'ALGÈBRE 175 1 emB contrairement à l'hypothèse. On en conclut quel/j est inversible dans A, d'où y e A, terminant la démonstration. VI. — Anneaux factoriels (A, 30) -Dans un anneau intègre A, un élément non inversible p ^ 0 est dit irréductible s'il n'est pas produit de deux éléments non inversibles de A. -Deux éléments irréductibles sont dits associés s'ils diffèrent par un facteur inversible. Un système de représentants irréductibles de A est un ensemble P d'éléments irréductibles tel que tout élément irréductible soit associé à un élément unique de P. On dit que A est factoriet si tout élément c^O de A s'écrit d'une seule manière (1) a = u n />v(p) où u est inversible et les \(p) des entiers ^ 0, nuls sauf un nombre fini d'entre eux. JDans un anneau factoriel, les idéaux principaux (p) pour /> €P sont alors premiers, et dans la décomposition (1), les idéaux premiers (p) tels que v (p) > 0 sont les idéaux premiers minimaux parmi ceux qui contiennent (a) (Lang, p. 70-72). Un anneau factoriel est intégralement clos (Lang, p. 240). Si A est factoriel, il en est de même de l'anneau de polynômes A[T] ; en particulier, pour tout corps k, l'anneau de polynômes k[Tlt ..., TfJ est factoriel (Lang, p. 127). (A, 31) Soient A un anneau factoriel, K son corps des fractions, m un entier non divisible par la caractéristique de K; on suppose en outre que A contient les racines m-ièmes de l'unité. Si a eA est non mvei'sîble et n'a aucun (acteur irréductible multiple, on sait (Lang, p. 221) que le polynôme Tm—a est irréductible dans K[T]. Alors l'anneau B = A[T]/(Tm—a) est intégralement clos. En effet, E = K[T]/(Tm— a) est une extension de degré m de K, qui est évidemment le corps des fractions de B ; soit t
1 76 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRlQULï la classe de T dans E, de sorte que { 1, f, —, t™"1} est une base de E sur K (et de B sur A). Si z e E est entier sur B, on peut écrire z = £ ct-ff avec q e K, et si oï est une racine primitive jn-ième de l'unité, les conjugués de z m-l sur K sont donnés par z* = £ ct w*J" t* (0 < j < m — 1 ) ; comme oï e A} les formules de Cramer montrent que les éléments c{ f sont aussi entiers sur A, donc (¾ ï*)m = cf é est entier sur A pour 0 < î < m— 1, donc dans A puisque A est intégralement clos. Si l'on avait q $ A, un facteur irréductible p du dénominateur de q devrait donc être tel quepm divise a*, ce qui contredit l'hypothèse que a n'a pas de facteur irréductible multiple, puisque i < m — 1. Comme t e B, on a z e B. VII. —• Anneaux ncethérïens (A, 32) Un anneau A est dit nœthérien s'il vérifie les conditions équivalentes suivantes : (i) tout idéal de A est lin A-module de type fini; (ii) toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire (Lang, p. 142). Tout quotient et tout produit fini d'anneaux ncethérïens sont ncethérïens. Si A est nœthérien, il en est de même de S"1 A pour toute partie multiplicative de A (Lang, p. 144). Si A est nœthérien, il en est de même de tout anneau de polynômes A[Tj, ..., T„]; toute A-algebre de type fini est donc nœthérienne (Lang, p. 145). Le nilradical d'un anneau nœthdrien est nilpotent, étant engendré par un nombre fini d'éléments nilpotents. (A. 33) Si A est un anneau nœthérien et M un A-module de type fini, alors tout sous-module N de M est de type fini (Lang, p. 144). (A, 34) Soit A un anneau local nœthérien, et soit m son idéal maximal. Alors l'intersection des puissances mn pour
liÉSULTATS D'ALGÈBRE 177 tous les entiers n >■ 0 est réduite à 0 (Lang, p. 155). Il en résulte que les m" forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie métrisable sur A} dite topologie rtl-aâiçue; dire qu'une suite (xn) d'éléments de A converge vers x € A signifie donc que pour tout entier k >■ 0, il existe n0 tel que les images de x et j^ dans A/mfc soient les mêmes pour tout n ^ n0. VIII. — Algèbres de type fini SUR UN CORPS ALGÉBRIQUEMENT CLOS (Aj 35) (lemme de normalisation de E. Nœther). Soient k un corps, A une A-algèbre intègre de type fini, et soit K. son corps des fractions. Si K a un degré de transcendance r sur k} il existe un système générateur zlt —, zm de A tel que %m-r + i, ■ - -j zm forment une base de transcendance de K sur k et que A soit entier sur ^[^»_r+i, - - -} -¾] (Lang, p. 260)- Si de plus K est séparabte sur A, on peut .supposer que V-r + u ■ • •> zm forment une base de transcendance séparante de K sur A. En effet, la méthode de Lang (loc. cit.) consiste à partir d'un système générateur xlt , zm de A, où l'on peut évidemment- supposer que Xftt - r +1, . -. ) xm forment une base de transcendance séparante. On modifie ensuite les x^ d'indice j > 1 en prenant yj = xj — xf où à est un entier assez grand; x± est alors entier sur k[y2> - - *>>w] et on poursuit le raisonnement par récurrence. Or} si l'on prend à multiple de la caractéristique/) (supposée > 0) de A} le critère de (A, 6) montre quejm_r+1, .. .tym est encore une base de transcendance séparante, d'où la conclusion. (Aj 36) Soient A un corps, A une A-algèbre intègre de type fini, K son corps des fractions, L une extension algébrique finie de K; alors la fermeture intégrale B de A dans L est un A-module de type fini (et par suite une A-algèbre intègre de type fini). Comme L est une extension
178 COURS DF, GÉOMÉTRIIS ALGlÏBRlQUE radicielle d'une extension séparable de K, on peut se borner à considérer le cas où L est séparable sur K et le cas où L est radicielle sur K. De plus, en vertu de (A, 35)} il y a une sous-algèbre C de A isomorphe à une algèbre de polynômes A[T1} ..., T„] et telle que A soit entière sur C ■ B est aussi évidemment la femieture intégrale de C dans L, et comme K est extension algébrique finie du corps des fractions kÇTj, ..., Tn) de C, on voit qu'on peut se borner au cas ou A = k\T±, ...} T(î]. Supposons d'abord L séparable sur K} donc engendré par un élément b eB} de polynôme minimal F(T) :=1^ + ^1^-1 + ... +¾. avec a,-e A (puisqu'on peut supposer que A est intégralement clos (Aj 30)). Le raisonnement de (A, 23) montre alors que B est un sous-A-module du A-module libre ayant pour base les $fd (0 < j < m —■ 1 ), ou d e A est le discriminant de F. Comme A est nœthérien, B est un A-module de type fini (A, 33). Supposons en second Heu que A =k\Tlt ...,T„], donc K = kÇT1 j ... j T„) et que L soit une extension radicielle de degré fini de K; L est donc engendré par une famillc finie C%)i^ï^»» d'éléments tels que j^€kÇT1} ...,T„) pour une même puissance q de l'exposant caractéristique dek. Soient <£ (1 *£j^r) les coefficients des numérateurs et dénominateurs des fractions rationnelles enT15 ..., T„ égales auxjf (l^î'^m). Si k'~k{t!f*>—} i^T"), oliles tff1 sont pris dans une clôture algébrique de L, L est contenu dans l'extension L' = k'ÇTf', ..., T|p), et B est contenu dans la fermeture intégrale B' de A dans L'. Or} comme k' est algébrique sur k, C = k'[T1} ..., T,J est entier sur A, et comme ^'[TJ"1, ..., TJf*] est intégralement clos (A, 30)) on voit que cet anneau est la fermeture intégrale de C dans L'} donc aussi celle de A, autrement dit B' = k'[Tf\ ■ - -, T£"*]. °f> i] est clair que B' est un C'-module de type finij et comme k' est un A-module
résultats d'alcluri 179 de lype fini, C est un A-module de type fini; puisque A est nœthérien, BCB' est aussi un A-module de type fini. Dans toute ta suite de cette section, k désigne un corps algébriquement clos. (A, 37) (théorème des zéros de Hîlbert). Tout idéal maximal Ttî de l'anneau de polynômes A — A[Tj, ...} T„] est de la forme (Tj— (¾) + — ~V (Tn— c«)j °" ^es °j sont des éléments de k. En effet, il suffit de montrer que le corps K = A/m est algébrique sur k, car alors J'homo- morphisme k ~> k\T±} ..., Tn]/î1l est bijectif, et par suite T3'= (¾- +m,- avec a3- ek cl m,- em pour 1 ^j^n; m contient les Tj—a^, et comme l'idéal £ (T,-—c,-) 3-1 est évidemment maximal, il sera égal à m. Or} si r est le degré de transcendance de K sur A, il existe un sous- anneau S — k[ylt .. .,Jv] de K avec les jj algébriquement indépendants, tel que K soit entier sur S (A, 35). Cela entraîne que S est un corps, car si a e S et a ^ 0, on a a'1 € K, donc il y a une relation de la forme (a-1)"1 -[- ^ffl"1)"'"1 "l~ - - - -h *» — 0, ce qui s'écrit a'1 — — (b± -\- ab% -\- ... -f- dm"1bn) e S. Mais un anneau de polynômes k[T1} ...} TJ ne peut être un corps que si r = 0. Il résulte de ce théorème que pour toute A-algèbre A de type fini, tout idéal maximal m est unkyperplan de A} puisque si A —k[Tlt ...,Tsl]/a) on a m = Vl'ja, où m' est un idéal maximal de &|Ti > • • • > ^»J> Si maintenant A et B sont deux /f-algèbres de type fini) p : A ~>B un homomorphisme de A-algèbres} pour tout idéal maximal n de B, p_1(Tl) est un idéal ^ A (puisque p(l) = 1) et est un hyperplan comme image réciproque d'un hyperplan; c'est par suite un idéal maximal de A. (A, 38) Soit A une A-algèbre de type fini; tout idéal premier p est alors intersection d'idéaux maximaux. En
180 COURS DIE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE remplaçant AparA/p, onpeiitsebornerau cas où rj = (0)} donc A est intègre. Il suffira de voir que pour tout x ^ 0 dans Aj il y a un A-homomorphisme f : A —> k tel que f{x) ?£ 0, car Ker(/) = ni sera un idéal maximal ne contenant pas x. Or, soit K le corps des fractions de A, et soit B = A I - , qui est une A-algcbre de type fini non réduite à 0; U y a par suite un idéal maximal ît ^ B dans Bj et un ft-homomorphisme g : B —> k de noyau n (A, 37); on a alors g(*)g|-J = l, d'où g(x) ^ 0, et il suffit de prendre pour/ la restriction de g à A. (Aj 39) Soient B une ft-algèbre intégre de type fini, ACB une sous-A-algcbre de type fini Alors iJ existe s^O dans A et une sous-algèbre C = A[j>1} .. .>y^\ de B engendrée par des éléments jj algébriquement indépendants sur k, tels que B I - I soit entière sur C I - I. En effet, soient K le corps des fractions de A, tOK le corps des fractions de B; KBC L est une K-algèbre de type fini, donc il existe des éléments a'd ..., A^deB, algébriquement indépendants sur K et tels que KB soit entier sur K[*!, ..., xr] (A, 35). On a B = A|>,, ...,¾] où les % vérifient des relations où les P^sont des polynômes de KfTj, ..., T^]. Il existe s ^ 0 dans A tel que les produits par s des x$ et des coefficients des PM soient dans A, et (en remplaçant au besoin s par une de ses puissances) on a alors : «P' + 'sQmCj'., ...,jvH' = 0 ft=I
RÉSULTATS D*ALGEBRE 181 où yi = s.Xj et les Q^ sont des polynômes de A^, ...,Tr]; on en conclut que les z[ = szt sont entiers sur C = A[j>lT .. .,_yr], et les u> sont évidemment algébriquement indépendants sur k> A fortiori \e& zi = z^js sont entiers sur C -, donc B - est entier sur C IX. — Compléments d'algèbre linéaire ET MULT1L1NÊAIRE (A, 40) Soient A un anneau, M un A-module de type fini, et a un idéal de A tel que M = oM. Il existe alors un élément f e 1 -f- a de A qui annule M (lemme de Nakayama). En effet, si 7¾, . ..,%estun système générateur de M, on peut écrire ny = S a^mi avec a^ e a pour tout j\ Les formules de Cramer montrent que det(Sy-— a-) annule tous les mhi et cet élément est bien de la forme 1 -\-f avec f e 0. (A, 41) Si E et F sont deux A-modules, E' un sous- module de E et F' un sous-module de F, l'exactitude du foncteur (E, F)i->E®AF en E et F (Lang, p. 416) entraîne que (E/E') ©A(F/F') est canoniquement isomorphe à (E©AF)/(Im(E'©AF) -h- Im (E0AF')) (on rappelle que Im(E' ©AF), image de E' ©AF dans E<S)AFj n'est pas nécessairement isomorphe â E'©AF). En particulier, si B et C sont deux A-algcbres, b un idéal de B et c un idéal de C, (B/b)©A(C/c) est une A-algêbre isomorpheà (B©AC)/(Im (b©AC) -f- Im (B©Ac)). (A, 42) Soient k un corps infini, E un espace vectoriel sur k de dimension finie, LL, ..., hr un nombre fini de sous-espaces vectoriels de E distincts de{0}; alors il existe dans E un hyperplan H qui ne contient aucun des Lj. 3-
182 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRlOUK En effet, par dualité, cela revient à montrer que E ne peut être réunion finie de Lj ^ Ej remplaçant chaque Lj par un hyperplan le contenantj d'équation jj(x) = 0, tout revient à prouver que le produite/a ...^der formes linéaires non nulles sur E ne peut être identiquement mil, Prenant iine base dans E, cela revient à remarquer qu'un polynôme en n indéterminées à coefficients non nu Is dans k ue peut s'annuler identiquement dans A", (A, 43) Soient k un corps, E un espace vectoriel sur k de dimension n, E* l'espace duah L'algèbre extérieure A E et l'algèbre extérieure A E* sont alors eanoniquement en dualité (Langj p. 436); si («éJj^î^ji est une base de E} on pose % = «^ A e1a A ■ ■, !\ q pour toute partie H — {^, *s, • • •, ip} de I ={1,2, .. .,b}, où les 4sont rangés par ordre croissant, et les en forment une base de AE< On a de même une base (¾) de AE* à partir de la base («*) duale de fô)) et les bases. (en) et (¾) sonl duales l'une de l'autre. Soft zq un élément de A E; pour/» tel que p -f q < «, considérons l'application linéaire Ji v + * pi' !>îj>^ 2ç °-c A E dans A Ej sa transposée est une /i + o t tf application linéaire de A E dans A E", notée ult.VQ\->zq j«;„ et appelée produit intérieur par £ç; on vérifie que fK J «I = 0 si K £ L, ou ç>KJj est ± 1, En particulier on a uni; application linéaire <p lîhïjfj qui est une bijection de A E sur A E transformant A E en A E pour 0 < p < n} et qui est multipliée par un facteur scalaire ^ Olorsqu'on change la base de E, Si Z est un /)-vccteur dccomposablc, V» le
RÉSULTATS D'ALGEBRE 183 sous-espace de E de dimension/) correspondant à z (A, 44), <p(z) est un (« —j&)-vecteur décomposable sur E*, et V¥(8) n'est autre que l'orthogonal de Va dans E*. (A„ 44) Les notations étant celles de (A, 43), pour tout p /►-vecteur zp e A E, il y a un plus petit sous-espace M de E tel que 2 eAM. Onpeutledéterminerde la façon suivante : échangeant les rôles de E et E* dans (A, 43), on définit le produit intérieur iia J zp pour q<p comme un (p — ç)-vecteur dans A E; M est alors engendré par sp-1 t les vecteurs up_t J zp lorsque Kj,_, parcourt A E . En effet) en prenant une base de E contenant une base de M eL utilisant les formules (1) de (A, 43)} on voit aussitôt que i/j,-i J^eM. Inversement, montrons que pour tout sous-espace M'C M de codimcnsion 1. il n'est pas pos- p-i , sible que l'on ait «p., Jï„eM' pour tout uv^1e A E. En effet) soit ,ïéM n'appartenant pas à M'; prenant une base de M formée d'une base de M' et de x, on peut écrire zp = z'p-±- xn z'J_ 1, où z'v e A M' et z'v'_ 1 e A M', et la définition de M entraîne z'^_ v ^ 0. Il existe alors u*e -1 tel Çiue <! zv-1 > u*v -1 y — ^ ^ 0 eL on déduit des formules ( 1) de (A} 43) que Ton a up _ 2 J zv = ± Xx -\- x' avec x' e M'} ce qui prouve notre assertion, (Aj 45) Les nolations étant celles de (A, 44)} on voit aussitôt, en prenant une base de E contenant une base de M) que Ton a : (2) *pa («;_, J^)=0 pour ïoi# Kp_i€ A E si et seulement si M est de dimension p, c'est-à-dire si zv est décomposable, autrement dit de la forme ïj/i^A ..-/1^ où les Xj sont linéairement indépendante et constituent une base de M; ou note alors
184 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Vj, le sous-espace M. Les relations (2), où on prend pour • ï_1 • wa> -1 fes (A— l)-vecteurs d'une base de A E , sont appelées les relations de Grassnumn et caractérisent les /j-vecteurs p décomposables dans A E. De même, soit ^ un ç-vecteur décomposable pour Ç > P'> pour que l'on ait V„ C Vj , il faut et il suffit que l'on ait : (3) <A (i4_! J ^) =0 pour lés (p — l)-vecteurs uv _ 1 d'une base de A E .
Résultats de topologie T. — Espaces et ensembles irréductibles (T, 1 ) Un espace topologique X est dit irréductible s'il est non vide et s'il n'est pas réunion d'un nombre fini d'ensembles fermés distincts de X. Par dualité cela revient à dire qu'une intersection finie d'ouverts non vides n'est jamais vide, ou que tout ouvert non vide est partout dense, ou encore que tout ouvert est connexe. Il est clair qu'un espace de Hausdorfi'non vide X ne peut être irréductible que s'il est réduit à un point. (T, 2) Une partie J d'un espace topologique X est dite irréductible si elle est non vide et si le sous-espace J de X. est irréductible; il revient au même de dire que si J rt»i contenue dans une réunion finie d'ensembles fermés ]■', (1 < i < ri), il y a un indice i tel que JC F;, ou encon- quesiU, V sont deux ensembles ouverts tels que UnJ^ o et V nj ?£ 0, alors U C\ V nj & 0. Si J est irréductible, il en est de même de son adhérence J, car pour un ouvert U de X} les relations UnJ/ 0 et UnJ^s sont équivalentes. (T, 3) Si X est un espace irréductible, tout ouvert non vide U dans X est aussi irréductible, car si VCU est non vide et ouvert dans U, V est ouvert dans X, donc dense dans X, et a fortiori dans U. Inversement, soient X un espace topologique, (Ua) 1111 recouvrement de X par des ouverts irréductibles tels qur
186 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Ua H Up ^ 0 pour tout couple d'indices; alors X est. irréductible. En effet, soit V un ouvert non vide de X; il existe un indice y tel que VnlJ^ 0, donc V n Uy est dense dans Uy; pour tout indice oc, Uy n Ua est ouvert non vide dans Uy, donc V n Uy n Ua ?£ 0 ; a fortiori, tout ouvert non vide dans Uw rencontre V, et comme les Ua recouvrent X, cela montre que V est dense dans X. (T, 4) Soient X, Y deux espaces topologiques, f : X —> Y une application continue; alors, pour toute partie irréductible J de X,/(J) est irréductible dans Y. En effet, si U, V sont deux ouverts de Y tels que U n/(J) /0 et Vn/CJ) 960, on a Jn/-i(U)# 0, J ri/-*(V) ?ê 0, donc J n/^ju n V) = J n /"-'(U) n/^fV) ^ 0, d'où On dit qu'une application continue f : X —>■ Y est dominante sifQC) est dense dans Y. Si y est dominante et X irréductible, Y est donc irréductible. (T, 5) Soit f : X -> Y une application continue ouverte et supposons que pour tout je Y, f~l(y) soit irréductible. Alors, si Y est irréductible, X est irréductible. En effet, soient U, Vdeux ouverts non vides de X;/"(U) et/(V) sont des ouverts non vides de Y, donc ont un point communj; alors, dans l'espace irréductible f~1(y)i U t~\f~1(y) et V i~^f~i(y) sont des ouverts non vides, donc ont un point commun, et afortiori U n V ^ 0. (T, 6) Une partie irréductible d'un espace topologique non vide X qui est maximale dans l'ensemble des parties irréductibles de X est appelée une composante irréductible de X ; elle est fermée dans X en verlu de (T, 2). En vertu du théorème de Zom. toute partie irréduclïble de X est contenue dans une composante irréductible ; en effet, si (Jw) est un ensemble de parties ijïéductibles de X, totalement ordonné par inclusion, et si U, V sont deux parties
RÉSULTATS DE TOPOLOGIE 187 ouvertes de X rencontrant J = UJai ^ exi&Le deux indices oc, [3 tels que U n Ja ^ 0 et V n Jp 5* 0, donc ily a aussi un indice y tel que l'on ait à la fois U nJT ?t 0 et V n Jy ^ 0, d'où UfiVriJ^e par hypothèse, et a fortiori U n V n J 5* 0. Un espace irréductible étant connexe (T, 1), toute composante connexe d'un espace X est réunion de composantes irréductibles de X- Mais fl convient de noter que deux composantes irréductibles distinctes de X peuvent avoir des points communs. (T, 7) Soient X un espace topologiquej U un ouvert non vide de X. L'application Z m-Z n U est une bijection de l'ensemble des parties irréductibles fermées de X rencontrant U, sur l'ensemble des parties irréductibles de U, fermées dans U; la bijection réciproque est J •—> J. En effet, si J est fermée dans U et irréductible, J est irréductible dans X (T, 2) et l'on a J=JnU; inversemeni, si Z est fermée et irréductible dans X et ni Z rencontre L, Z n U est un ouvert non vide de Z, donc dense dans Z et irréductible, et l'on a Z = ZnU. En particulier, C m- C n U est une bijection de l'ensemble des composantes irréductibles de X rencontrant U, sur l'ensembl<- des composantes irréductibles de U. (T, 8) Soit X un espace topologique n'ayant qu'un nomlare fini de composantes irréductibles distinctes X,- (1 < i < n). Pour tout indice i, soit Ut-le complémentaire- dé la réunion des Xj- pour j ^ i', on a Ut- ^ 0, sans quoi X;serait contenu dans la réunion des Xj pour j ^ î", donr contenu clans l'un d'eux et par suite égal par définition ù l'un d'eux, contrairement à l'hypothèse. L'ensemble U, est donc ouvert dans X, irréductible et dense dans X, ; la réunion des Uj (qui sont deux à deux disjoints) est demi* dans X, et les X( r\ Xy sont rares dans X. Si de plus X isi
188 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE un sous-espace d'un espace Y, les composantes irréductibles de X sont les X,- : en effet, chaque Xj est irréductible (T, 2) et X est réunion des X^; d'autre part, toute partie irréductible J de X est contenue dans la réunion des X,, donc dans l'un d'eux; enfin, X,- ne peut être contenu dans X,-, puisque Xj- n'est pas contenu dans X,-. II, — Espaces nœthériens (T, 9) Soit X un espace topologique; les propriétés suivantes sont équivalentes : (Nr) Toute suite infinie décroissante de parties fermées de X est stationnaire. (Nn) Toute suite infinie croissante de parties ouvertes de X est stationnaire. (NIIr) Tout ensemble non vide $ de parties fermées de X possède un élément minimal. (NIV) Tout ensemble non vide 53 de parties ouvertes de X possède un élément maximal. (Nn) et (NIV) se déduisent par dualité de (N^) et (Nm) respectivement) et leur sont donc équivalentes. (Nj) implique (N1It), car si $ n'avait pas d'élément minimal, on définirait par récurrence une suite infinie strictement décroissante d'élémenis de $, contredisant (Nr). Inversement (NriI) implique (N[), car si (F,,) est une suite infinie décroissante de parties fermées de X, l'ensemble des F„ admet un élément minimal Fm , donc Fn = Fm pour « ^ m. On dit qu'un espace topologique X est nœthérien s'il vérifie les propriétés équivalentes précédentes. Un espace de Hausdorff nœthérien est nécessairement fini. Tout sous-espace Y d'un espace nœthérien X est nœthérien, car si (F,j) est nne suite croissante de parties fermées de Y, les adhérences F„ dans X forment une suite
RÉSULTATS DE TOPOLOGIE 189 croissante départies fermées; par hypothèse on a F„ = F„+1 à partir d'un certain rang, d'où F, = F,lnY = F„1nY = F„I. Inversement., soient X un espace topologique, (Yj)-^^ un recouvrement fini de X par des sous-espaces nœthé- riens; alors X est nœthérien, car si (F„) est une suite croissante de parties fermées de X, pour chaque i il existe 7¾ tel que F,, n Y; = Ffl + x n Y; pour n 5= 7¾ ; on en conclut que Fn = F„ + 1 pour n ^ max(rç). (T, 10) Un espace nœthérien X est quasi compact. En effet, si (Ua) est un recouvrement ouvert de X, l'ensemble des réunions finies des Ua possède un élément maximal V = UKd vj Ufti \J ... \J U^; cet ensemble est nécessairement égal à X, sans quoi il existerait un Up non contenu dans V, et VuUp serait une réunion finie d'ensembles de (Ua) contenant strictement V. Inversement, soit X un espace dans lequel tout sous- espace ouvert soit quasi compact; alors X est nœthérien, car si (U„) est une suite croissante d'ouverts de X, la réunion V des UM est quasi compacte, donc doit être réunion d'un nombre fini des Uw, ce qui implique que la suite (U„) est stationnaire. (T, 11) Soit P une propriété des parties fermées d'un espace nœthérien X; supposons que toute partie fermée F de X telle que toute partie fermée F' C F distincte de F ait la propriété P possède aussi la propriété P. Alors toute partie fermée de X a la proprié té P (principe de récurrence nœthérienne). En effet, dans le cas contraire l'ensemble 331 des parties fermées de X n'ayant pas la propriété P serait non vide, et aurait par suite un élément minimal F. Mais comme toute partie fermée F' de F distincte de F a la propriété P, il en serait de même de F, ce qui est contradictoire.
190 COURS DR OKOMl'lTUIE AI.Cl'BUKWF. (T, 12) Un espace ncethérien X n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles. Il suflit de le voir pai récurrence nœthériemie (T, 11), en montrant que sa tout sous-espace ferme Y^X n'a qu'un nombre fini de composantes irréductibles, il en est de ruénio de X. Or, ou bien X est irréductible, ou bien il est réunion de de»x sous-espaces fermés Y, Z distincts de X; par hypothèse, ces deux sous-espaces sont réunions finies de sous-espaces fermés irréductibles, donc X est réunion finie de sous- espaces fermés irréductibles F^ (1 < i < «). Ceux des F^ qui sont maximaux dans l'ensemble des F; sont alors des composantes irréductibles de X : en effet, si G est un ensemble fermé contenant un de ces ensembles maximaux et qui en est distinct, G est réunion des Ft- n G et aucun de ces derniers ne peut être égal à G, donc G ne peut être irréductible. III. — Ensembles constructibles (T, 13) Soit X un espace topologique, et considérons les parties $C ^P(X) telles que tout ouvert appartienne à $, que le complémentaire d'une partie Ze| appartienne à JÇ et que toute réunion finie d'ensembles de £f appartienne à $; P3-1" exemple, ^S(X) est une telle partie de ^P(X). L'intersection (£ de toutes les parties $ ayant les propriétés précédentes possède encore ces propriétés; c'est donc la plus petite de ces parties $, et on dit que les ensembles appartenant à (£ sont les ensembles constructibles dansX. Une définition équivalente est la suivante : (£ est l'ensemble des réumonsjïnies d'ensembles de la forme U n F, où U est ouvert et F fermé dans X. U est clair en effet que l'ensemble (¾ de ces réunions finies est contenu dans (£. Il suffit de montrer que le complémentaire d'un ensemble (J (U,- n F-) de (£0 appartient encore à (£0.
UK.SIH.TATS DE TOPOI.OOIE 191 Or, sil'nnpose X Uj = Ft', X — Ff ~ U4', le complémentaire de U (U£nFÉ) est fi (F.'uU,') et est donc réunion des ensembles Y, r\ Y3 n . . n Y„ , où chaque Yj- est égal à JFt' ou à Uf; la conclusion résulte de ce que toute intersection finie d'ensembles fermés (resp. ouverts) est un ensemble fermé (resp. ouvert). (T, 14) Si X est un espace topologique et Y un sous- espace de X, il résulte aussitôt de cette seconde définition que si C est une partie constructible de X, C n Y est une partie constructible de Y- Inversement, si Y est un sous- espace fermé de X et C une partie constructible de Y, C est aussi une partie constructible de X : il suffit de remarquer que si U' et F' sont respectivement une partie ouverte et une parlie fermée de Y, F' est fermé dans X et on a U' = UfiY, où U est ouvert dans X ; on a donc U' n F' = U n F', d'où notre assertion. (T, 15) Soit C une partie constructible de X, et supposons que C soit irréductible. Alors i] existe une partie non vide V de C qui est ouverte dans C. En effet, on a par hypothèse C = |J (U^ n Ff), où les Uf sont ouverts et les Ft- fermés dans X et on peut supposer les U^ n F$ non vides. On en tire que CC (J F^, et comme C est irréductible, on a CC F,- pour un indice j au moins; on a par suite Uj n F,- — U;- n C, et cet ouvert non vide de C est contenu dans C.
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE Tome Premier II. Pour une vue d'ensemble du développement de la mathématique grecque, voir : [I] T. Hkath, A kidory vf Greek mathematics, 2 vol., Oxford (Cla- rendon Press), 1921. Une question controversée concerne l'interprétation qu'on peut donner de certaines méthodes algébriques de Diopbante j bien qu'aucune notion géométrique n'y soit mentionnée, on peut y voir comme en filigrane des procédés donnant une représentation paramétrique rationnelle de courbes unicursales simples. Pour le texte de Dïo- phante, voir : [2] T. Heath, Diophantus of Atexandria, 2nd éd., New York (Dover), 1964. III. L'ouvrage de base pour l'histoire du développement de la Géométrie algébrique de 1630 à la fin du xixe siècle est le Berichî de Brill et M. Noether : [3] A. Brill und M. Noether, Die Entwicklung der Théorie dcr algebraisclien Functionen ïn altérer und neiierer Zeït, yahresber. der Deutsche MaGi. Verein., t. lll (1892-1893), p. 111-566. 111, 6. L'histoire de I' « élimination » est retracée dans : [4] E. Netto, Rationale Funktïonen mehrerer Verànderlicliei), Enzykl. der math. Wiss., 1 B I *;, p. 255-282 (1894). 111, 9 et 10. Pour plus de détails sur les courbes algébriques planes, consulter : [5] G. Kohn und G. Loria, Spezïelle ebene algebraïscbe Kurvcn, Enzykl. der Math. Wiss. 111 C 5, a) et b), p. 457-634 (1908-1914). J. DIEUDONNË, 2 "
194 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE [6] G. Loria, Spezïette atgebraische tint! transzendcnte cbene Ktirven : 1. Die algebraischen Kurven (2te Aufl.), Leipzig-Berlin (Teubncr), [910. IV. Outre [3], on consultera avec profit, pour cette période : [7] G. Fano, Gcgensata von synthetischer und analytïschcr Géométrie in seiner historisclirn Entwïcldung ïm XIX. Jahrliundcrt, Enzykt. der math. Wiss., lll AR4a), p. 221-280 (1907). [8] E. Kôtter, Die Entwïckclung der synthetischen Géométrie von Monge bis auf Staudt (1847), Jahresber. der Deutsche Math. Verein., t. V (1901), p. [-476. IV, 2. Voir : f9] G. Desargues, Œuvres, t. 1 (éd. Poudra), Paris, 1864. IV, 5. Pour un exposé détaille, voir [8] et : [10] F. Dingeldey, Kegelschnitle und Kegel&clinittsystcme, Enzykt. der math. Wiss., Hl C [, p. [-160 (1903). [II] O. Staude, Flàchen 2. Ordnung und ihre Système und Durch- dringungskurven, Enzykt. der math. Wiss., III C 2, p. 161-256 (1904). [12] P. Wood, The twisted cubïc, Cambridge tracts n° 14, Cambridge University Press, 1913. IV, 6. Un excellent aperçu d'ensemble de la Géométrie algébrique « classique», donnant le maximum d'informations sous le plus petit volume, est : [13] J. G. Semple and L. RoTir, Introduction to ulgebraic geomdry, Oxford (Clarendon Press), 1949. Pour plus de détails, voir [5], [6], [8] ainsi que : [14] K. Rohn und L. Berzolari, Algebraïsclie Raumkurven und abwïckclbare Flaclicn, Enzykt. der math. Wiss., I [I C 9, p. 1229- [436 (1926). [15] W. F. Meyer, Spezielle algebraïsclie Flachen, Enzykt. der math. Wiss., HIC 10, p. 1437-1779 (1930). [16] G. Loria, Curve sghembe speziati algebriche e transcendent!, 2 vol., Bologna (Zaniencllî), 1925. [17] R. Hudson, Kummer's quartïc surface, Cambridge University Press, 1905.
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 195 [18] C. Jessop, Qjmrtîc surfaces with singtttar points, Cambridge Unï- vcrsïty Press, [916. [19] A. Henderson, The 27 Unes upon thc cubic surface, Cambridge tracts n° 13, 1911. Pour une généralisation de la théorie des droites situées sur une surface cubique, voir : [20] B. L. van der Waerden, Zur algebraischen Géométrie II : Die geraden Linien auf den Hyperflâclien des PM, Math. Annr, t. CVUI (1933), p. 253-259. IV, 7. Pour un exposé moderne et une généralisation des formules de Ptticker, voir : [21] W. Pojil, Differential geometry of higher order, Topology, I (1962), p. 169-211. IV, 9. Pour l'histoire de la géométrie projeclïvc n-dimensïonnelle, voir : [22] C. Segre, Mehrdimensionale Riiume, EnzyH. der math. Wiss., III C 7, p. 769-972 (1912). Pour la « géométrie des droites » : [2¾ K. Ziniïlur, Algebraische Lïnïcngeometrie, Enzykt. der tnath- Wûs., HIC 8, p. 973-1228 (1921). [24] C. Jéssop, A treatise on the Une comptex, Cambridge Unïversity Press, [903, L'étude la plus complète des grassmanniennes se trouve aux vol. I et II de : [25] W. Hodge and D. Pedoe, Metiiods o/ atgebraic geometry, 3 vol., Cambridge Unïversity Press, 1953-1954. Pour l'évolution de l'idée de « coordonnées » au xixe siècle, on pourra consulter : [26] E. MuLt,ER, Die Yerscliicdcn.cn Koordïuatensvstcme, Enzykl. der mat!t. Wiss., III AB 7, p. 596-770 (1910). Le lien entre une courbe gauche et le complexe des droites la rencontrant est introduit dans : [27] A. Cayley, On a new analylïcal représentation of curves in spacc (Cott. Papers, t. IV, p. 446-455 et 490-494).
196 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE IV, 10. Pour un exposé de la théorie des invariants au xixc siècle, voir : [28] W. F. Meyer, Bericht liber den gegenwârtïgen Stand der Invarïantentheorïe, Jahresber. der Deutsche math. Verein., t. I (1890-1891), p. 79-292. Des présentations plus modernes sont données dans : [29] H. Weyl, The classical groups, Princeton Univ. Press, [939. [30] J. Dieutjonné and J. Carrell, Invariant theory, cld and new, New York and London (Académie Press), 1971. IV, 11. Un exposé d'ensemble des travaux sur les transformations et correspondances en Géométrie algébrique au xixe siècle est fourni par : [31] L. Behzolari, Algebraïsche Transformatïonen und Korres- pondenzen, Enzykl. der math. Wïss., III C [ [, p. [ 78 [-22 [8 ( 1932). IV, 13. Pour un exposé des idées de Chasles, avec de nombreux exemples, voir : [32] T. Liïmoyne, Les lieux géométriques..., Paris (Vuibert), 1923. La théorie de Chasles est présentée de façon rigoureuse par : [33] B. L. van der Waerden, Zur algebraïschen Géométrie XV : Losung des Charakterïschenproblems flir Kcgelschnittc, Math. Ann., t. CXV (1938), p. 645-655. V. Outre [3], on trouvera des exposés classiques de la théorie de Riemann dans : [34] B. Riemann, Gesammelte mathemathehe Werfce, 2e éd., Leipzig (Teubner), [892. [35] E. Picard, Traité d'Analyse, vol. II, 3e éd., Paris (Cauthier- ViHars), [925. [36] P. Appell et E. Coursât, Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales, vol. I (2e éd.), Paris (Gauthier-Villars), 1929. V, 3 et 4. Voir : [37] N. H. Abel, Œuvres, 2 vol., éd. Sylow et Lie, Christiania, [881. V, 6. Voir : [38] E. Galoïs, Ecrits et mémoires mathématiquest éd. R. Bourgne et J.-P. Azra, Piiris (Gauthier-Villars), [962, p. 181.
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 197 V, 8. L'ouvrage classique de H. Wey! est : [39] H. Weyl, Die Idée der Riemannschen flâche, Leipzig (Tcubner), [913 (3. Auflagc, Leipzig (Tcubner), 1955). Pour un exposé moderne, voir l'excellent livre de S. Lang : [40] S. Lang, Introduction to atgebraic and obeUan fonctions, Readïng (Addïson-Wesley), [972. VI, 2. Voir [3] et : [41] L, Kronecker, Werke, t. II, p. 237-387, Leipzig (Teubncr), [897. [42] E. Labkeh, Zur Théorie der Moduln und Idéale, Math.. Ann., t. LX (1905), p. 20-116. [43] F. S. Macaulay, On the résolution of a gtven modular System ïnto piïmary Systems ïncludïng some propertïes of Hilbcrt numbers, MaGu Ann.t t, LXXIV (1913), p. 66-121, [44] C. Landsbero, Algebraische Gebilde • arithmetische Théorie algebraïscher Grossen, Enzykl. der math, Wiss,y I B I cj, I C 5, p. 283-319 (1904), VI, 3, Voir î [45] R. Dedekind, Cesammelte mathematische Werke, t, I, p. 238-350, Braunschweïg (Vieweg), 1932, Le mémoire de Dedekind-Weber est développé dans : [46] K. Hensel und C, Landsbercï, Théorie der algebraischen Funk- tionen einer Varîabeln und Uire Anwendung auf algebraische Kurven und abetsche Intégrale, Leipzig (Teubncr), 1902. Pour des exposés modernes, voir [40] ainsi que : [47] C. Chevalley, Introduction to the theory of algebraic fonctions qf ane variable, A,M,S. Math. Survcys, VI, New York, 1951. [48] J,-P, Serre, Groupes algébriques et corps de classes, Paris (Hermann), 1959. [49] W, Fulton, Atgebraic curves, New York-Amsterdam (Benjamin), 1969, VI, 16. Pour des exposés classiques de \& théorie des courbes algébriques, voir [3], [13] ainsi que ;
198 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE [50] L. Berzolari, Allgemeïne Théorie der hoheren cbenen algo braischen Kurven, Enzykt. der math. Wiss.t HI C 4, p. 313-455 (1906). [51] J. Cooudgiî, A treatise on algebraic plane curves, New York (Dover). [52] L. Godeaux, Introduction à ta géométrie supérieure (2G éd.), Liège (Ed, Sciences et Lettres), 1946. [53] L. Godeaux, Géométrie algébrique, 2 vol,, Paris (Masson), 1948. VI, [9. Voir : [54] L, Kkonecker, Wetke, t. II, p. [93-236, Leipzig (Teubner), 1897, VI, 24. Voir [13], VI, 27, Pour 1rs cas particuliers de la théorie des « mndules » étudiés au xixe siècle, voir [3]. VI, 30. L'ouvrage classique est : [55] E. Picard et G, Simart, Théorie des fonctwns algébriques de deux variables indépendantes^ vol., Paris (Gauthier-ViUars), [897-1906. Aussi bien la théorie transcendante des surfaces algébriques que celle des systèmes linéaires de l'école italienne sont décrites exhaustivement dans : [56] O. Zabjski, Algebraic surfaces, Erg. der Math., Bd. III, Heft 5, Berlin (Springer), 1935 ; 2e éd„ Berlin-Heidelberg-Ncw York (Sprïnger), 1970. La seconde édition contient d'importants Appendices, rédigés par S, Abliyankar, J. Lîpman cl D. Mumford, interprétant en termes modernes les résultais cités par Zariski et indiquant comment ils ont été complétés ou développés jusqu'en 1970. VI, 31. Voir [56], chap. I, ainsi que : [57] O. Zariski, Local uniformization on algebraic varicties, Ann. ofMath., 41 (1940), p. 852-896.
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 199 VI, 32. Voir : [58] R. Walker, Réduction of ihe singularises of an algebraic surface, Atm. of Math., 36 (1935), p. 336-365. [59] O. Zarkki, Sïmplified proof for the resolution of the singularises of a surface, Ann. of Math., 43 (1942), p. 583-593. VI. 33. Voir [[3]. VI, 36. Voir : [60] S. LarscHiirz, Topologj, New York (A.M.S. Coll. Publ. n° 12), 1930. [61] S. LiafscHETZ, Setected Papcrs, New York (Chclsea), 1971. VI, 37. Une preuve de la triangulabililë des variétés algébriques se trouve dans : [62] B. L. van der Waerden, EinfiÛmmg in die elgebraische Géométrie, Berlin (Springer), 1939. Les résultais de Lefschetz sur la topologie des variétés algébriques sont décrits dans [61] et : [63] S. Lijfscheïz, L'Anatysis situs et la Géométrie eitgêbriqite. Pans (Cauthier-Villars), 1924. Les démonstrations, parfois sommaires, de cet ouvrage sont développées en détail dans : [64] A. Wai-lace, Homology theory on algebraic varîeties, London-New York-Parîs-Los Angeles (Pergamon), 1958- Voir aussi [56], cliap. VI. VI, 39. Voir [[3], [56], [61], [63], ainsi que : [65] L. Berzolaki, Algebraische Traoslbrmationen und Korres- pondenzen,Enzykl. dermath. H'ÏJi-.IIIC [l,p. [781-2218(1932). Vl, 43. Pour un exposé classique des résultats de l'école italienne sur la théorie des surfaces algébriques, voir avant tout [56], ainsi Q«c t1^. [53], [55], et : [66] C. Castelnuovo und F. Enriques, Crundeigenschaften der algebraischaiFIachcn,£kç)ift/.(fcrmfltf!. Wiss., III C 6a),p.635- 673 ([908).
200 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE [67] G. Castelnuovo und F. Enriques, Die algebraischen Flacben vom Gesïchtspunkte der birationalen Transformatïonen aus, Enzykl. der math. Wiss., III C 6 *;, p. 674-767 (1914). [68] F, Sëveri, Vorlesungen iiber ctgebrcische Géométrie, Leipzig (Teub- ner), 192 [. Pour les résultats correspondants pour les variétés algébriques projectïves de dimension ^ 3, voir : [69] L. Rotii, Âlgebraiç threefolds, Erg. der math., Ncue Folge, Heft 6, Berlin-Heidelberg-New York (Springer), 1955. VI, 47. Voir : [70] F. Enriques, Sui sïstemï contïnui di curve appartenenii ad una superficie algebrica, Comm. Math. Hetv.t [5 ([943), p, 227-237. [71] F. Severi, Intorno ai sîsteinî continui di curve sopra una superficie algebrica, Comm. Math. Helv.t 15 (1943), p, 238-248. VI, 50, Voir [13], [53], ainsi que ; [72] L, Godeaux, Les transformations biratîonnettes du plan (2e éd.), Mém, des Sci. math., n° t22, Paris (Gauthier-Villars), [953. [73] L, Godeaux, Les transformations biratianneltes de ^espace, Mém, des Sci. math,, n° 67, Paris (Gauthier-Villars), [934. [74] H. Hudson, Cremona transformations in plane andspace, Cambridge University Press, [927, VI, 53. Pour une étude moderne des surfaces de Del Pezzo (sur un corps parfait de caractéristique quelconque), voir : [75] Ju, Manin, Rational surfaces over perièct fields (en russe, avec résumé anglais), Publ. math. IM.E.S., n° 30 (1966), p. 55-113. VI, 57. Pour une étude moderne des transformations de Cre- raona, voir ; [76] M. Demazure, Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Creinona, Ann. Ec. Norm. Sup., (4), 3 (1970), p, 507- 588, [77] A. HmscHowiTZ, Le groupe de Cremona d'après Demazuie, Sim, Bourbakî, Exposé 413, Lecture Notes in math,, n° 317, p. 261-276, Berlin-Heidelberg-New York (Springer), 1973.
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 201 VI, 58. Voir [73], et pour les involutions sur une surface : [78] L. Codeaux, Théorie des involutions cycliques appartenant à une surface algébrique et applications, Roma (Cremonese), 1963. VII, 3. Voir : [79] C. de Rham, Variétés âîfférenttables, Paris (Hermann), [955, VII, 4- Voir [79] ainsi que : [80] W. Hodge, The tkeoty and applications of harmonie intégrais,2e éd., Cambridge Universîty Press, 1952. [8[] A. Weil, Variétés kâhlériennes, Paris (Hermann), [958, [82] M, Baldassari, Algebruic varieties, Erg. der Math., Ncue Folge, Heft [2, BerBn-Côttingen-Heîdelberg (Springer), [956. VII, II. Le premier livre (chronologiquement) traitant de la Géométrie algébrique pvojective sur un corps quelconque est [62]. Dans le même esprit sont écrits [25] ainsi que : [83] S, Liîfschetz, Algebraic geometry, Princeton Universîty Press, 1953, [84] O. Zariskï, Introduction to the theory of algebraic surfaces, Lect. Notes in Math., n° 83, Berlin-Heidelberg-New York (Springer), 1969; pour les courbes algébriques, [47], [49] et : [85] R. Walker, Algebraic curves, Princeton University Press, 1950 ; et pour les surfaces algébriques : [86] H, Jung, Einftihrmg in die Théorie der algebraischm Funktionen j&vcier Verànderlicher, Berlin (Akad. Verlag), [951. Il faut noter que dans [85] et [86] on se limite aux corps de base de caractéristique 0. VII, 12. Le mémoire de F. K. Schmidt est : [87] F. K. Scsimïdt, Analytische Zahlentheorie in KÔrpern der Charakteristilf. P, Math. ^ci(JcAr., 33 (1931), p. 1-32. VII, [5, Voir [41], [42] et [43], ainsi que : [88] E. Noether, Idealtheorie in Ringbereiclien, Math. Ann., 83 (1921), p. 24-66.
202 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE VII, 16. Voir [3] et '. [89] D. Hilbert, Gesammelte Abkandtungen, vol. Il, Berlin (Springer), 1933. VII, 21, Voir ; [90] H. Zeuthen, Abzahlende Methoden, EnzykL der math. Wiss., III C 3, p, 257-312 (1905), [91] H. Schubert, Kalkûl der abztihlende Géométrie, Leipzig (Teubner), 1879, De nombreux exemples du calcul de Schubert sont développés dans [13]. Pour un exposé moderne des questions relatives à ce calcul, voir [62], [95] et ; [92] S. Kleiman and D. Laksov, Schubert Calciilus, Amer, math, Monthly, 79 (1972), p. I06I-I082. VII, 24. Voir [62] et : [93] F. Severi, Sul principio délia conservazione del numéro, Rend. Cire. Mat. Palermo, 33 (1912), p. 313-327. VII, 25. Voir [62], [25], et, pour le point de vue de Wcîl, [82] ainsi que : [94] A. Weil, Foundations nf algebraic geometry, New York (A.M.S. Coll. Pub[. n° 29), [946. [95] P. Samuel, Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique, Erg. der Math., Neuc Folge, Heft 4, Berlîn-Heîdelbcrg-New York (Springer), 1955. [96] S. Lang, Introduction to algebraic geometry, New York (Inter- scïence), I9.r>8. VII, 29. Pour les définitions de Chevalley et Samuel, voir [95] et : [97] C. Chevallev, Intersections of algebraic and algebroid varic- ties, Trans. Amer. Math. Soc, 57 ([945), p. [-85. [98] P. Samuel, La notion de multiplicité en algèbre et en géométrie algébrique, J. de Math., (9), 30 (1951), p- (59-274. VII, 30. L'exemple de Grobner est donné dans : [99] W. Grobner, Aîoderne algebraische Géométrie, Wien-Innsbriïck (Springer), [949, p. [80.
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 203 Pour la définition de Serre, voir : [100] J.-P. Serre, Algèbre locale. Multiplicités, Lect. Notes in Math., n° II, Berhn-Heîdelberg-New York (Sprînger), 1965. VII, 31. Voir [62], [82], [95] ainsi que : [101] W. L. Chow und B. L. van der Waerden, Zur algebraischen Géométrie, IX, Math. Ann., 113 (1937), p. 692-704. VII, 32. Voir [95] ainsi que : [102] Séminaire C. Chevaixey, 2e année : Anneaux de Ckow et applications, Paris (Secr. math., II, rue P.-Curîe), 1958. VII, 34. Voir : [103] A. Haenack, TJeber die Vieltlieiligkeit der ebenen algebraischen Curven, Math. Ann., 10 ([876), p. [89-198. [104] D. Hilbert, Gesammelte Abhandltmgen,vol. II, Berlin (Sprînger), 1933. [105] I. Petrowbkv, On the topology of real plane algebraic curves, Ann. ofMath., 39 (1938), p. 189-209. VII, 35. Voir : [106] H.Poincaré, Œuvres, t. V, p. 438-548, Paris (Gauthier- Villars), 1950. [107] S. Lang, Diophanûne Geometry, New York-London (Inter- srience), [962. VII, 44. Voir [59], [57], et, pour les variétés de dimension 3 : [108] O. Zariski, Réduction of ihc singularises of an algebraic 3-dimensionaI variety, Ann. of Math., 45 (1944), p. 472-542. VII, 47. Voir : [109] E. Artïn, Cotteeted Papers, p. I-V4. Readîng (Addison-Wesley), 1965. VII, 48. Voir [87]. VII, 49. Voir : [110] H. Hasse, Cbct die Rieinannsche Vermutung in Funktïonen- kôrpern, C. r. du Congrès international des Mathê}nathiens, Oslo, 1936, t. I. p. 189-206.
204 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE VII, 51. Voir : [HI] A. Weil, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Paris (Hcrmann), 1948. [H2] A.Weil, Onsomeexponentialsuins,./3™;. Nat.Acad.Sci. U.S.A.t 34 (1948), p. 204-207. VII, 52. Voir [55], [56], [63] et [82]. VII, 53. Voir : [113] T. Matsusaka, The criterîa foralgcbraic équivalence and the torsion group, Amer. J. of Math., 79 (1957), p. 53-66. [114] A. Néron, La théorie de la base pour [es diviseurs sur les variétés algébriques, Coll. Géom. alg. Liège (1952), p. [I9-[27. [115] A. Mattuck and J. Tate, On the incquaKty of Castelmiovo- Severi, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22 (1958), p. 295-299. [116] A. Grothendieck, Sur une note de Mattuck-Tate, J. reine undang. Malk., 200 (1958), p. 208-215. VII, 54. Voir [3], [40] ainsi que : [117] A. Robert, Ettiptic curves, Lect. Notes in math., nP 326, Betïin- Heidelberg-New York (Springer), 1973. VII, 56. Voir [40], [91] ainsi que : [I[8] A. Weil, On Picard varieties, Amer. J. of Math., 74 (1952), p. 865-894. [119] P. Grutiths, Some results on algcbraîc cycles on algcbraic manifblds, Alge.braic Ceometry (Bombay Colloquium, 1968), Oxford TJnîversîty Press, [969. VII, 60. Voir : [120] A. WëiL, Variétés abstiennes et courbes algébriques, Paris (Her- rnann), [948. [121] S. Lang, Ahelian varieties, New York (Interscîence), 1959. [122] D. Mumford, Abelian varieties, Oxford TJnîversîty Press, [970. Ce dernier ouvrage traite aussi de la théorie « transcendante » des variétés abéliennes sur C.
BIBIJOGRAPHIE COMMENTÉE 205 VII, 62. Voir [82] ainsi que : [123] A. Weil, On the projectîve embedding of Abelîan varieties, Algfibraic geometry and topofogy (Lefschetz Symposium, 1954), Princeton Unîversity Press, 1957. VIII. Les premiers mémoires de J. Leray sont les suivants : [124] J. Leray, L'anneau spectral ei l'anneau filtré d'homologîe d'un espace localement compact, J. de Math., (9), 29 (1950), p. [-139. [125] J. Leray, L'homologie d'un espace fibre dont la fibre est connexe, J. de Malk., (9), 29 ([950), p. 169-213. Pour un exposé concis et clair des notions d'espace fibre et de faisceau, voir avant tout : f 126] F. Hjrzebruch, Topologicat methods in algthrau geometry, Erg. der Math., Neue Folge, Heft 9 (3ft éd.), Berlin-Heidelberg. New York (Springer), 1966. VIII, I. Voir [56], chap. IV. VIII, 4. Voir : [127] A. Weil, F3>re spaces in algebraïcgeometry, Notes by A. Waiaace, mimeogr., Unîversity of Chicago, 1949. VIII, 6. Voir : [128] K. Kodaira, The theorem of Rîemann-Roch on compact analytic surfaces, Amr. J. of Math., 73 (I95[), p. 813-875. [129] K. Kodaira, The theorem of Rîemann-Rocli for adjoint Systems on threedimensional varieties, Ann. of Math., 56 ( [952), p. 298-342. Pour la formule (8) de Severî, voir [69]. VIII, [I. Voir [126] et [82], ainsi que : [130] P. Dolbeault, Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes, C. r. Acaâ. Sri., 236 (1953), p. 175-177. [131] J.-P. Serre, Un théorème de dualité, Comm. Malk. Helv., 29 ([955), p. 9-26.
206 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE VIII, 13. Voir [126], [82], ainsi que : [132] M. Eger, Les systèmes canoniques d'ime variété" algébrique à plusieurs dimensions, Ann. Et. Ncrm. Sup., (3), 60 (1943), p. 143-172. [133] J. A. Todd, The arïthmctical invariants of algebraic loci. Proc. London Math. Soc, (2), 43 ([937), p. 190-225. [134] E. Vesentini, Classi caratteristiche c varietà covarianti d'im- mersîonc, Rend. Accad. Lincei. (8), 16 (1954), p. 199-204. VIII, 14. Voir [126], [82], ['article de Graueit dans [163] et : [135] K. Kodaira, On Kahlcr varictics of restricted type, Ann. of Malk., 60 (1954), p. 28-48. VIII, 17. Voir [82], [56], Appendix to chap. IV, ainsi que : [[36] D. Mumford, Lectures on curves on an algebraic surface, Ann. of Math. Studies, nc 59, Princeton University Press, 1966. V[II, 19. Voir : [137] J.-P. Serre, Faisceaux algébriques cohérents (généralement cité FAC), Ann. of Math., 61 ([955). p. IÎJ7-278. V[II, 23. Voir : [138] A. BokeI, et J.-P. Serre, Le théorème de Ricinann-Rocli (d'après Crothendicrk), Bull. Soc. Math. France, 86 (1958), p. 97-136. [139] G. Washnitzer, Géométrie syzygies, Amer. J. of Math., 81 (1959), p. [71-248. [140] Séminaire H. Cartan-L. Schwartz, [963-1964, Théorème d'Atlyah-Singer stir l'indice d'un opérateur différentiel elliptique, Paris (Secr. math., H, me P.-Curie), 1965. [141] R. Palais, Seminar on tke Atîyah-Singer index theorem, Ann. of Math. Studies, n° 57, Princeton University Press, 1965. VIII, 24. Voir : [142] J.-P. Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique (généralementcité CAGA), Ann. Inst. Fouricr, 6 ([9,"»"i), p. 1-42. V|I|, 25. Les deux livres fondamentaux Mir les groupes algébriques linéaires sur un corps algébriquement clos sont :
BIBLIOGRAPHIE COMMENTEE 207 [143] Séminaire C. Chevalley, 1956-1958, Classification des groupes de Lie algébriques (généralement cité BIBLE), 2 vol., Paris (Secr. math., 11, rue P.-Curie), [958. [144] A. Borel, Linear atgebraic groups (notes taken by H. Bass), Amsterdam-New York (Benjamin), 1969. Les généralisations aux corps de base non algébriquement clos et aux « sehémas en groupes » sont exposées dans ; [145] A. Borel et J. Trrs, Croupes réductîfs, Publ. math. deri.H.E.S., n° 27 (1965), p. 55-148, et Compléments..., ibid., n° 4[ ([972), p. 253-276. [146] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie 1962-1964 (SCA 3), dirigé par M. Demazure et A. Crothendieck : Schémas en groupes, 3 vol., Lect. Notes in Math., noa 151, 152, [53, Bcrlin-Heidelberg-New York (Springer), 1970. VIII, 26. Les définitions et théorèmes les plus élémentaires de la théorie des sehémas sont donnés dans [136] et : [147] D. Muiukord, Introduction to atgebrak geometry (Preliminary version of first 3 cliapters), Harvard Untverstty, mimeogr., s.d. Pour un résumé allant un peu plus loin, maïs sans beaucoup de démonstrations, voir : [148] J. Dieudonné, Algebraic geometry, Advanees in math., 3 (1969), p. 233-321. [[49] J. Dieudonné, Fondements de la géométrie algébrique moderne, Advanees in math., 3 (1969), p. 322-413. La théorie est développée en détail dans [146] et : [150] A. GîtOTHENDlECK, Eléments de Géométrie algébrique rédigés avec la collaboration de J. Dieudonné (généralement cité EGA), chap. I-lV, Publ. math, de fl.H.E.S., n« 4, 8, 1[, [7, 20, 24, 28, 32 (1960-1967). [151] A. Grothendieck et J. Dieuidonné, Eléments de Géométrie algê- Értyi«,chap. I (2e éd.), Berlin-Heidelberg-New York (Springer), 1971. [152] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie 1960- [ 961 (SCA 1), dirigé par A. Grothendieck : Revêtements étales et Groupe fondamental, Lect. Notes in Matli., n° 224, Berfm- Heidelberg-New York (Springer), 1971.
208 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE [153] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie [962 (SGA 2), par A. Grothendieck : Cohomoîogie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefscketz locaux et globaux, Amsterdam (North Holland), (968. [154] Séminaire de Géométrie algéblique du Bots-Marie, 1963-1964 (SGA 4), dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Vër- dier : Théorie des Topos et cohomoîogie étale des schémas, 3 vol., Lecture Notes in Math., n°" 269, 270, 305, Berlin-Hefdelberg- New York (Spriiiger), [972-1973. [155] R. Hartshorne, Residues and duatity, Lectures Notes of a seminar on the veork of A. Grothendieck given at Harvard in [965-1964, Lecture Notes in Math., n° 20, Berlin-Heidelberg- New York (Springer), 1966. [156] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA 6), dirigé par P. Berthelot, A. Grothendieck et L. Illusie : Théorie des mtersections et théorème de Riemann-Roch, Lecture Notes in Math., n° 225, Berhn-Heidelberg-Ncw York (Spriiiger), [971. [157] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie [967-1969 (SGA 7 I), dirigé par A. Grothiindieck : Groupes de mono- dromie en Géométrie algébrique, Leeture Notes in Math., n° 288, Berlin-Heldelberg-New York (Springer), 1972. [158] A. GrothenidiECK, Fondements de la Géométrie algébrique (extraits du Sém. Bcttfbakî 1957-1962), Paris (Sccr. math., 11, rue P.-Curie), 1962. VIII, 41. Voir : [159] J.-P. Serre, Exemples de variétés projectives en caractéristique p non relevables en caractéristique 0, Proc. Nat. Acad. Sci. U,S.A., 47 (1961), p. 108-109. VIII, 43. Voir [136] et [158]. VIII, 45. Voir [102], exposé 1 : J.-P. Serre, Espaces fibres algébriques. VIII, 48. Voir [154], et pour un exposé plus élémentaire : [160] M. Artin, Grothendieck Topologies, Harvard University, mi- meogr., 1962.
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 209 VIII, 47. Voir : [161] D. Knutson, Atgehraîc spaces, Lect. Notes in Math., n° 203, Bcrlin-Heidelberg-Nevv York (Springcr), 1971. IX, I. Pour les questions mentionnées dans ce chapitre, et beaucoup d'autres, on consultera avec profit les exposés suivants du Séminaire Bourbaki : 75, 93, 106, 114, [29, 141, 145, 151, [54, 155, 164, 167, 168, 204, 227, 228, 243, 250, 256, 267, 274, 279, 283, 286, 287, 290, 294, 297, 301, 306, 3[6, 320, 338, 344, 352, 354, 363, 365, 376, 380, 385, 389, 396, 402, 409, 414, 417, 423, 427. Voir aussi les « Lecture Notes in Mathematics », n0B 15, 41, 79, 100, 119, 156, [69, 176, 208, 239, 264, 283, 302. Il y a beaucoup d'articles concernant ces questions dans les Actes des derniers Congrès internationaux des mathématiciens : [162] Proceedings of the International Congress of mathcmaticians (Cambridge, 1958), ed.J. A.Todd, Cambridge University Press, 1960. [163] Proceedings of the International Congress of matkematîcians (Stock- hetm, 1962), Uppsala (Almqvist and Wiksells), 1963. [164] Actes du Congres international des mathématiciens (Nice, 1970), Paris (Gauthier-Villars), 1971, vol. I et II. Voir surtout les récents Colloques et Symposia de Géométrie algébrique : [165] Atgebraic geometry and topotogy (A symposium in honor of S. Lefs- chetz), Princeton University Press, 1957. [166] Arithmetîc algebraic geometry (Purdue, 1963), New York (Harper and Row), 1965. [167] Dix exposes sur ta cohomologie des schémas, Amsterdam-London (North Holland), 1968. [168] Global Anatysis (Papers in honor cf K. Kodaira), Princeton University Press, 1969. [169] Algebraic Geometry, Bombay Cottcqtàum, 1968, Oxford University Press, 1969. [170] Atgebraic Geometry, Osto, 1970 (éd. F. Ookt), Groningen (Wolters-Noordhoff), 1972. IX, 2. Pour les résultats antérieurs à 1939, voir [56], chap. I. La tbéorie des courbes avec singularités est exposée dans : [171] J.-P. Serre, (Jroupes algébriques et corps de classes, Paris (Her- mann), 1959.
210 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Voir aussi : [172] F. Oort, Redttcibte and multiple algebraic cttrves, Assen (Van Gorcum), 1961. Pour les travaux de Hironaka, voir [166] et [170]. Les mémoires de J. Lipman et D. Mumford sont : [173] J. Lipman, Rational singularities with applications to algebraic surfaces and unique factorization, Publ. math, de fI.H.E.S.t n° 36 (1969). [174] D. Mumford, The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterïon for siniplïcity, Publ. math. de t'I.H.E.S., n° 9 (1961). Pour les travaux de Zariski, voir ; [175] O. Zariski, Studies in equisinguUrity, 111 : Saturation of local rings and equisingularity, Amer. Joum. of Maïh.t 90 (1968), p. 961-1023. IX, 3, Voir Séminaire Bourbaki, n° 320 et n° 344, des articles de Hironaka dans [163] et [170], ainsi que son mémoire fondamental : [176] H. Hironaka, Resolution of singularises of an algebraic variety over a field of cbaracteristic acro, Ami. of Math,, 79 (1964), p. 109-326. Le mémoire de Hironaka sur Ia« désingularisation » des cycles est : [177] H. Hikonaka, Smoolhing of algebraic cycles of small dimensions, Amer. Jonm. of Math., 90 (1968), p. 1-54, Le théorème d'Abhyankar est démontré dans : [178] S. Abhyankar, Résolution of singularises of emhedded atgebraïc surfaces, New York-London (Académie Press), 1966, IX, 4. Voir Séminaire Bourbaki, n° 146, et ', [179] 1. ShaHarevich, Lectures on minimal models and birationat transformations of 2-d\menslonat scketnes, Tata lnst, offund, Research, Bombay (mimeogr,), 1966. IX, 5. Voir [179] et : [180] O, Zariski, Introduction to the probtem of minimal models in the theory of algebraic surfaces, Publ, Malh, Soc. Japan, n° 4, Tokyo, 1958,
BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 211 [181] O, Zariski, Tlie problcm of minimal models în the theory of algcbnùc surfaces, Amer. Journ. cf Math., 80 (1958), p, 146- 184. [182] 1, Shaïarevjcïï et al., Algcbraïc surfaces, Proc, StekJov Inst. of Math., n° 75, Arner. Math, Soc, 1967, [183] A, Néron, Modèles minimaux des variétés abélîennes sur les corps locaux et globaux, Pubt. math. de^I.H.E.S., n° 21 (1964), IX, 6, Voir [182], ainsi que : [184] K, Kddaira, On the slruclurc of complex analytic surfaces, Amer. Journ. cf Math., 90 (1968), p. 1048-1065, [185] E, Bombierj, The phiricanonîcal map of a complex surface, in Severat complex variables, 1 (Maryland, 1970), p, 35-87, Lect, Notes in Math,, n° 155, Berlin-Heidelberg-New York (Sprin- ger), 1970. [186] E, Bombieri, Canonîcal moclels of surfaces of gênerai type, Pubt. math, de FI.H.E.S., n° 42 (1973), p. 171-220. Voir aussi l'article de Moïshczon dans [164] IX, 8, Voir Séminaire lïourbaki, n° 301, Pour l'exemple de Nagata, voir [179], p, 119 ; pour l'exemple d'Hironaka, voir ; [187] H, Hibonaka, An examplo of a non-kahltriao déformation, Ann. cf Math., 75 (1962), p, 190-208, IX, 10, Le résultat de M, Knencr esl prouvé dans : [188] M, Kneser, Uber dîe Darstelliing algebraischen Raumkurven als Durchschnitte von Flachen, Archîv der Math., 11 (i960), p, 157-158, L'exemple de H.iris.hornc est développe dans : [189] R. Hartshorne, Complète intersections and connectedness, Amer. Journ. of Math., 84 (1962), p, 497-508, IX, 11, Voir Séminaire Bourbaki, n° 402, IX, 12, Voir Séminaire Bourbaki, nOB 168 et 277, ainsi que : [190] Séminaire IL CartAn, 1960-1961, Familles d'espaces complexes et fondements de la Gécmttrie anatytiqtie, Paris (Secr, math,, 11, rue P.-Cnrie), 1962,
212 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE IX, 13, Voir l'article de Mumford dans [170], ainsi que : [191] D, Mumford, Géométrie invariant theory. Erg, dcr Math,, Nene Folge, Hefl 34, Berl'm-Heidclberg-New York (Springer), 1965, [192] P, Deligne and D, Mumford, The irreducibility of tlie sjrace of curves of gîven genus, Publ. math, de l'LH.E.S-, n° 36 (1969), p, 75-109, IX, 14. Vcir Séminaire Bourbaki, n<"» 129, 136, 167, 216 et 389, IX, 16. Voir [56], Appendice au chap. Vil, et [136], IX, 17, Voir Séminaire Bourbaki, n° 39, et : [193] A, Weil, Number of solutions of équations in finîte fields, Butt, Amer, Math, Soc, 55 (1949), p, 497-508, IX, 18. Voir Séminaire Bourbaki, n°B 279 et 423, l'article de Kle'unan dans [167], et [154] ; poui les travaux de Dwork et Katz, voir l'article de Katz dans [164], ainsi que le Séminaire Bourbaki, n°B [98 et 409, et ; [194] B. Dwork, Oji the ratïonality of the zêta fonction of an alge- braic variety, Amer, jfourn. of Math., 82 (i960), p. 631-648, IX, 20. Voir [152] et ['Appendice au chap. Vl de [56]. IX, 21. Voir [55] et [63]. IX, 22. Voir Séminaire Bourbaki, n° 376, [119], les articles de Kleiman et Lieberman dans [170], ainsi que : [195] D. Lieberman, Higher Picard varîeties, Amer. Journ. of Math., 90 (1968), p. 1165-1199. Tome 2 Le lecteur désireux d'îipprofondir l'étude de l'Algèbre commu- tative pourra se reporter aux deux ouvrages suivants : [196] P, Samuel and O. Zarikki, Commutative. atgebra, 2 vol., Toronto- New York-London (Van Nostrand), 1958; [197] N, Bourbaki, Algèbre commtdative, ebap. 1 à Vil, Paris (Her- mann), 1961-65 ; ainsi qu'au « Chapitre 0» de EGA [151] et à [100].
INDEX TERMINOLOGIQUE Les références 1, VIII, 17 correspondent an tome premier (VIII étant le numéro du chapitre, 1? celui de la section) ; les références 2, a, b, correspondent au tome 2 [a étant le numéro du paiagraphe, b celui de la section). Adjoint d'un système linéaire, 1, VIII, 17. Adjointe d'une courbe algébrique, i,V, 15 et i, VI, 23. Algèbre entière, algèbre finie, 2, A, 16. Anneau de Dedeejntj, 1, VI, 5. Anneau dThomoIogie, 1, VI, 36. Anneau d'une valuation discrète, J, VI, 10. Anneau iactoriel, 2, A, 30. Anneau Intégralement clos, 1, Vil, 43 et 2, A, [7. Anneau local, 1, Vil, 39, 8, 5, 1 et 2, A, 15. Anneau nœthérïen, 2, A, 32. Anneau réduit, 2, A, 11. Anneau régulier, i, Vil, 41 et 2, 6,3. Application dominante ; 2, T, 4. Application linéaire tangente à un morphisme, 2, 6, 2. Application rationnelle, 2, 4, I. Application trivialisant un fibre vectoriel, J, VIII, 2. ^j-base, 2, A, 4. Base de transcendance, 2, A, I. Base de transcendance séparante, 2, A, 1. Bord d'une chaîne, 1, VI, 36. Branche d'une courbe algébrique en un point singulier, 1, lll, 5. Branche à l'infini d'une courbe algébrique, 1, lll, 5. Caractéristique d'EuLKR-PoiNCAKÊ, 1, VIII, 5 et 1, VIII, 12. Caractéristiques de Chasles, 1, IV, 13. Centre d'une projection, J, VI, 24. Chaîne, 1, VI, 30. Cîssoïde de Dioclès, 1, II, 4. Classe canonique, i, VI, 13. Classe de diviseurs, 1, VI, 9. Classe d'une courbe algébrique plane, 1, IV, 7. Classes de Chuïn, 1, VI11,5 et J, VIII, 22. Clôture intégrale, 2, A, 17. Codimension, 2, 4, 2. Comorphisme, 2, I, 2 et 2, 4, 1. Complété formel d'un schéma le long d'une partie fermée, 1, VIII, 39. Coinplélion d'un anneau local, 1, Vil, H 6. Complexe de droites, 1, IV, 9. Composante irréductible, 2, T, 6. Composante propre d'une intersection, i, VU, 27. Conchoïde de NicoiiànE, J, II, 4. Condition de recollement de prè- variëiës, 2,2, 5. Conducteur, 2, A, 27. Cône épointé, cône pointé, 2, 3,2. Congruence de droites, 1, IV, 9. Coordonnées de Chow, 1, IV, 9, i, Vil, 31 et 2,4,6. Coordonnées homogènes, 2,3,1.
214 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Coips de définition d'une variété, d'une conespondance. d'un cycle, i, VII, 36. Corps de fonctions rationnelles, J, V, 14, i, VII, 37 cl 2,-1,1. Correspondance, correspondance irréductible, 1, Vil, 24 et 2,4,6. Correspondance de ÎROBFiiitJS, 1, VII, 51. Correspondance entre courbes, ?, VI, 39 et i, VII, 50. Correspondance (n, m), 1, IV, |2. Correspondance rationnelle, 1, VI, 42. Courbe algébrique sur un corps, 2, 4,2. Courbe canonique, i, VI, 26. Courbe exceptionnelle, /, VI, 58 cl 1, IX, 4. Courbe fondamentale d'une transformation de Criîmona, 1, VI, 50. Courbe hypeielliptique, 1, VI, 15. Courbe normale, 1, VI, 29 cl 2,3, 4. Courbe polaire, 1, III, 7. Courbe rationnelle, courbe nnicur- sale, J, VI, 29. Critère de multiplicité nn, 7, VU, 28. Critère de Serril pour les schémas affines, î, VIII, 29. Cycle, «-cycle, cycle homogène (en Topologie algébrique), 1, VI, 36. Cycle, r-cycle (en Géométrie algébrique « abstraite »), 1, Vil, 28. Cycles algébriquement équivalents, i, VU, 32. Cycles homologues, liomologique- nient équivalent?, 1, VI, 36. Cycles numériquement équivalents, i, VII, 21. Défaut d'un diviseur sur une hyper- surface, 1, VIII, 18. Degré d'une courbe algébrique, 1, 111,2. Degré de transcendance, 2, A, 1. Degré d'imperfection, 2, A, 4. Degré d'un diviseur sur une ronrhr, 1, VI, 6. Degré d'un 0-cycle, 1, VI, 36. Dérivation, C-dérivation, ", A. 3. Différentielle extérieure d'une p- forme différentielle, J, Vil, 2. Différentielle holomorplje, différentielle de première espèce sur une courbe, 1, VI, 13. Différentielle méromorphe sur une courbe, î, VI, 12. Différentielle méromorphe sur une variété, 1, VI, 44. Dimension d'un anneau local, J, VII, 39. Dimension d'un cycle, J, VI, 36. Dimension d'une variété, J, VI, 2 et 2,4, 2. Dimensions complémentaires, J, VI, 36. Discriminant d'un corps, J, VI, 19. Diviseur sur une courbe, 1, VI, 6. Diviseur sur nne variété, J, VI, 43, 1, VIII, 3 et J, IX, 8. Diviseur ample, j, IX, 9. Diviseur canonique i, VI, 13 et 1, VI, 44. Diviseur de ramification, J, VI, 10. Diviseur positif (ou effectif), 1, VI, 6 et 1, VI, 43. Diviseur principal, J, VI, 8 et 1, VI, 43. Diviseurs linéairement équivalents, J,VI,9 et J,VI,43. Domaine de définition d'une application rationnellt:, 2, 4,1. Domaine universel, 1, VII, 36. Droite affine, 2,1, 1. dsz licrmitîen, 1, Vil, 6. Dual d'un tore complexe, i, VU, 56. Duplication du cube. î, II, 3. éclatement, 2, 4, 1. Mlémtait irréductible dans un anneau, 2, A, 30. Ensemble algébrique, 2, 1, 1. Ensemble algébrique abstrait, 2, 1,3. Ensemble constructible, 2, T, 13. lùisenible irréductible, 2, T, 2. Entier (algébrique) sur un anneau, 1, VI, 5, 1, Vil, 43 et 2, A, 16. Entiers laertn aires de Wkierstraks, 1, VI, 15.
INDEX TERMINOLOGIQUE 215 Equation différentielle de Picard- Fucus, 1, VI, 35. Equivalence rationnelle de cycles, Espace 'affine, 1, VII, 14, i, Vlïl, 34 et 2, 1, 1. Espace algébrique (de M. Aktin), J, VIII, 47. Espace annelé, J, VIII, 19 et 2,2, 1. Espace de cohomologie, 1, VU, 3 Espace de H. Cautan, 2, 2, ]. Espace de Cartan induit, 2, 2, 1. Espace irréductible, 2,'T, 1. Espace nosiliérien, 2, T, 9. Espace projectif, 1, Vil, 14 et 2, 3, 1. Espace tangent (de Zariski), g, 6, 1. Extension séparable, 2, A, 1. Faisceau, J, VIII, 7 et 1, VIII, 19. Faisceau d'anneaux, faisceau structural, 1, VIII, 7 et J.VHI, 19. Faisceau de fonctions, 1, VIII, 7 et 2, 2, 1. Faisceau de fonctions induit, Bt 2, ]. Faisceau inversible, 1, IX, 8. Faisceau gratte-ciel, J, VIII, 9. Faisceau structural sur Spm (A), 2,2,2. Fermeture intégrale d'un airneau, 2, A, 17. Fibre des /-covecteurs tangents, J, VIII, 2. Fïbré principal, 1, VIII, 45. Fibre tangent, 1, VIII, 2. Fibre vectoriel, fibre vectoriel holo- morale, 1, VIII, 2. Folium de Descartes, 1, III, 10. Fonction elliptique, 1, VII, 57. Fonction harmonique, i, VII, 4, Fonction holomorplie (de Zari&ki), J, Vil, 46. Fonction L (de E. Artin), i, VII, 61 et J, IX, 19. Fonction normale (de H, Poin- CARÈ), J, VI, 48. Fonction rationnelle, 2,4, 1. Fonction régulière, 2, 1,2 et 2, 2, 3. Fonction thêta, 1, VII, 54. Fonction zêta, J, VII, 48 et J, IX, 17. Forme associée à une sous-variété, i, Vil, 31. Forme normale d'une matrice de RtEMANN, 1, VII, 54. /.forme de type (r, js), 1, VII, 5. /-forme différentielle, J, VII, 2. /■forme différent ïelle fermée, 1, VII, 3- /-forine harmonique, 1, Vil, 4. /•forme holomorphc (ou de première espèce), 1, Vil, 9. formule de Ijïfschetz, i, IX, 17. l'onnules de Plïïckee, 1, IV, 7. Genre d'une courbe algébrique, d'une surface de Rhzmann, J, V, 12 et J,VI, 11. Geore arithmétique (ou virtuel) d'une courbe, j, VI, 18. Genre arithmétique, J, VI, 46, 1, VII, 17 et i, VIII, 12, Genre géométrique, 1, VI, 46. Genre linéaire, J, VI, 47 et 1, VIII, 16. Géométric birationnelle, i, V, 14. Géométrie énuinèrative, J, IV, 13 et J, VU, 21. Gcrine de fonction tçgulière, 2,5, 1. Grassmannienne, i, VIII, 43 et 2, 3,5. Groupe algébrique linéaire, 1, VIII, 26. Groupe de cohomologie à valeurs dans un faisceau, J, VIII, 11, J, VIII, 21 et 1, VIII, 4a Groupe d'homologic, i, VI, 36. Groupe fondamental d'un schéma, J, IX, 2a HIppopède d'EunoxE, 1, II, 6. Homomorpliisme local, 2, A, 15, Hyperplan projectif, 2, 3, 2. Hypersurfkce, 2, 1, 1 et 2, 3, 2, Idéal im-dessus d'un autre, 2, A, lft Idéal maximal, 2, A, 8. Idéal premier, 2, A, 8, Idéal primaire, 1, VII, 16, Idéal radlciel, 2, 1, 1, Intégrale abélienne, 1, V, 3. Intégrale de première, seconde,
ÉTRIE ALGÉBRIQUE 216 COURS DE troisième espèce sur une courbe algébrique, 1, V, 12. Intégrale double de première es- pèce, 1, VI, 46. Intégrale double de seconde espèce, MX 21. Intégrale elliptique, 1, V, 2, Intégrale ultraelbp tique, î, V, 4, Invariant absolu, invariant relatif, 1, VI, 32. Inversion des intégrales ultraellïp- tîques, 1, V, 5. Involutîon de Bertini, 1, VI, 57, Iiivolutîon de De Jonquières, i, VI, 57. Involutîon de Geiker, 1, VI, 53. Involutîon d'ordre N, 1, VI, 50. Irrégularité d'une surface algébrique, 1, VI, 48, Isogènie, 1, VII, 56. Isomorphisme canonique de G,t r 6»r G,kM-„ 2,3, 5. * Isomorphisme local, 2, 2, 3. Jacobierme, i, VII, 57. Lemmed'ENRiçjuES-SKVERi.J, VIII, 17. Lemme de Nakayama, 2, A, 40, Lemme de normalisation, 2, A, 35, Lemniscatc de Bernoullt, 1,111, ]0, Lieu d'un point. 1, Vil, 39. Limaçon de Pascal, 1, III, 10. Méthode de Picard, 1, VI, 35, Modèle canonique, 1, VI, 26. Modèle d'un corps, 2,4, 1. Modèle minimal, modèle relativement minimal, 1, IX, 5, Module de Tatf, î, VII, 61, Modules d'une courbe algébrique, J, V, 15 et J, VI, 27, Morpliismc bîrationnel, 2, 4, 1. Morphisinc d'ensembles algébriques, 2, 1, 2 et 2, 1, 3. Morphisme d'espaces de Cartan, 2, 2, 1, Morphisme de prévarîctés, J, VIII, 25 et 2, 2, 3. Morphisme de schémas, i, VH1,31. Morphisme de Segrb, 2,3, 4. Morpbîsme de Vkkonese, 2, 3,4, Morphisme étale, 1, VIII, 34. Morphisme fini, 2,4,4, Morph'sme lisse, 1, VIII, 34t Morphisme plat, 1, VIII, 34, Morphisme propre, 1, VI11, 40. Morphisme séparable, 2, 6, 4, Multiplication complexe, i, VII, 57, Multiplicité d'intersection, J, IV, 8 et 1, Vil, 28. Nilradical, g, A, 11, Nombre de Betti, 1, VI, 3a Nombre de coïncidences de deux correspondances, i,VI,41. Nombre d'intersections de deux cycles, i, vi, 3a Normalisée d'rtne variété, i, Vil, 44 et 2,5, 3- Ouvert affine, 2, 2, 3. Ouvert principal, 2, 1, 5, Ovale de Casshji, j, III. 10. Paradoxe de Craiiek, i, III, 8. Paramètres rtnhorinïsairtp, 2, 6, 3. Plan affine, 2, 1, 1, Plongeaient tricanonique, 1, VI, 26. Plurigcnre, 1, VI, 47 et 1, VIII, 16. Point absolument simple, 1, Vil, 42, Point à valeurs dans un schéma, J, Vil, 25 et J, VU1, 42. Poml de ramification, Mv,8 et i, vi, la Point de rebroussement, J, lll, 5 et 1, IV, 7, Point de WiiiERSTRABS, 1, VI, 15, Point d'inflexion, î, 111,4, Point d'indétermination, 2,4, 1. l'oint générique, J, VII, 26 et i, VIII, 30. Point hyperellipliquc, 1, VI, 15, Point multiple ordinaire d'une courbe, i,VI, 17, Point normal, 1, VII, 43 et 2, 5, 3. Point simple, 1,VU, 41 et 2,6,3, Point singulier, 1, lll, 5. Points cycliques, j, IV, 3.
INDEX TERMINOLOGIQUE 217 Points homologues dans une correspondance, 2,4,6. Pomts multiples infiniment voîsïns, ï, VI, 21. Points unis d'une correspondance, i, IV, 12. Pôle d'une fonction rationnelle, i, VI, 10 et 2,4,1, Polygone de Newton, 1, III, 5, Polynôme de IIh.iif.rt, 1, VII, 17, Polynôme de I-Iilbert-Samuel, J, VU, 29, Polynôme de Todd, 1, VIII, 13. Polynôme s'anmilanl dans un ensemble, 2, 1, 1, Position générale (pointa ou variétés en), 1, VII, 19, Prcvariétc (algébrique) sur A, 2, 2, 3- Princîpe de conservation du nombre, i, VU, 21, Principe de correspondance de Chasles, J,IV, 12, Principe de décompte des constantes, 2, 4, 6. Principe de dégénérescence, i, VII, 46. Principe de récurrence nosthérienne, 2, T, 11, Produit de prêvarîétês, 2, 2, 4, Produit de variétés projectîves, J, IV, 9. Produit d'intersection de chaînes, 1, VI, 3a Produit intérieur, 2, A, 43. Projection dans un espace projectif, i, VI, 24, Quadratrice d'Hii'FiAS, J, II, 4, Racine d'un idéal, 2, A, \\. Recollement de piêvariètcs, g, 2, 5, Réduction d'une variété module un idéal, i, VIII, 37, Relations de Grassmann, g, A, 45. Représentation paramétrique, 1, III, 3, Représentation paramétrique poly nomiale, 2, 1, 4. Représentation plane d'une surface rationnelle, 1} VI, 51, Réseau homalcïdal de courbes planes, i, VI, 55. t Résolution des singularités, 1, VI, 18, i,Vl,32, J, VII, 44 et 1, IX, 3. Restriction d'un faisceau de fonctions, 2, 2, 1, Restriction d'un morphisme d'espaces de Cartan, 2, 2, 1, Résidus, i, IX, 21, Schéma, 1, VIII, 28, S-schéma, 1, VIII, 31, Schéma affine, 1, VI11, 28. Schéma de IIilbeut, 1, VIII, 43. Schéma de Picard, 1, Vnl, 43, Schéma des modules d'une courbe, 1.1X, 13. Schéma formel, J, VIII, 39, Schéma local, I, VIII, 33, Schéma projectif, 1, Vlll, 43. Schéma représentant un foncteur, J, VIII, 42. Sections d'un faisceau, 1, VIII, 8. Scctîous d'un faisceau de fonctions, J, VIII, 7 et 2,2, 1. Sections d'un fibre, J, VIII, 2. Sections forinelles d'un faisceau, j i, VIII, 39, Série canonique sur une courbe, i, VI, 23. i Série caractéristique d'une courbe sur une surface, 1, VIII, 17, Série complète, 1, VI, 22. ' Série composée, j, VI, 25, Série linéaire sur une courbe, de degré m et de dimension r, 1, VI, 23, Série simple, J,VI,25, H-simplexe singulier, 1, VI, 30. Singularité ordinaire d'une surface, i, VI, 33. Somme de prevariétes, 2, 2, 3, Somme de séries linéaires, i, VI, 23, Somme directe de fibres vectoriels, î, VIII, 5. Sous-prévariété, 2, 2f 3, Sous-variété projective définie par un idéal gradué, 2, 3, 2, Spécialisation d'un point, i, VII, 25 et J, VIII, 30.
218 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE Spécialisation d'un cycle, i, Vil, 32. Spectre d'un anneau, I, VIII, 28, Spïriques de Perseus, J, 11,5. Support d'un diviseur, J, VI, G. Surabondance d'un système linéaire, ^ VI11,6. Surface algébrique sur un corps, 2,4,2. Surface de Del Pf.zzo, 1, VI, 53, Surface de Kummcr, 1, IX, 7, Surface de Riemann, 1, V, 8, Surface de Segbe, î, VI, 53, Surface de Steiher, 1, VI, 54, Surface de Veronkse, i, VI, 54, Sur&ce rationnelle, J, VI, 49. Système continu de courbes sur une snrface,i, VII, 31. Système linéaire de sous-variétés de codîmension 1, J, VI, 45, Tangente à une courbe, Z, III, 4. Théorème d'ABEL, Jt V, 3. Théorèmc de Bërtjni sur les points singuliers des courbes d'un système linéaire, i, VI, 50. Théorème de Bisktuu sur les transformations de Cremona mvolu- tives, J,Vl, 57, Théorème de Bezout, 1, III, 6, 1, IV, 8 et i, VII, 20. Théorème de Castelnuovo sur les surfaces rationnelles, î} VI, 49, Théorème de Castelnuovo sur les courbes exceptionnelles, lt IX, 4. Théorème dc Castelnuovo sur le défaut, J, VIII, 17. 'ITiéorème de Cliffor», 13 VI, 14. 'ITiéorème de connexîté (Zariski), i, VII, 46. Théorème dTîNiiipuES sur l'irrégularité, 1, VIII, 17. Théorème dc fermeture de Pon- CELET, i, IV, 12, Théorème de Kronecker-Castel- nuovo, 1, VI, 54. Théorème de la base finie (IIil- bert), 1, VII, 16. 'ITiéorème de Ûhotu, i, VI, 42. Théorème de M, Nœtiier sur les systèmes linéaires de courbes planes, J, VII, 16. Théorème dc M. Nœther sur les intersections complètes, 1, VII, 53. Théorème de Nœtiieh-Castili.- nuovo, 1, VI, 56. Théorème de Pascal, 1, IV, 6. Théorème de rêdiictibilité complète (Poingaré), J, VII, 56. Théorème dc Riemann, 1, VI, 7, Théorème de Riemann-Roch, i, VI, 14, J,VIII,l3et J,VIII,23. Théorème de Saimon, 1, IV, 6, TTiéorcme de Schwarz-Kusin, i, VI, 42. Théorème de Seidenberg, J, VII, 43, Théorème des idéaux principaux (Kruil), 2,4,2. Théorème des fcéros (Hubert), J, VII, 16 et 2,A,3'A Théorème de Weber, 1, VI, 42, Théorème principal de Zariski, J, VII, 44 et 2, 5, 4. Topologîe de Zarbki, ï, VII, 46 et 2, 1, 4. Topologie étale, i, VlH, 46. Topologie m-adique, g, A, 34. Topologie structurale, 2,1,4, Tore complexe, i, VII, 55. Tores îsogencs, i, VII, 56. Transformation birationnelle, 1, IV, 11. Transformai ion de Cremdna, /, VI, 55. Transformation de De Jonouikres, i, VI, 56. Transformation quadratique, J, IV, 11. Uniformisante, 1, VI, 10. Valeur en un point, i, VI, 10. Valuatîon (générale), 1, VII, 44. Valuation discrète, 1, VI, 4. Variété abéliennc, 1, VII, 55. Variété absolument irréductible, J, VII, 37, Vaiiété affine, 1, VIII, 20 et 2,2, 2, Variété algébrique, 1, VII, 38, J, VIII, 19 et 2, 2, 6.
INDEX TERMINOLOGIQUE 219 Variété iitialy tique ment iiréduo tiblc en un point, /, VII, 46, Variété complète, 1, Vil, 38 et 2, 3,3. Variété d'Albanie*:, i, VII, 59 el i, VII, 62. Variété délmie sur un corps kt A-variété, J, VII, 36. Variété de Picard, J, VII, 59 et I, VII, 62. Variété" différentielle, 1, VII, 1. Variété holomorphe, 1, VII, 5. Variété irréductible, 1, VI, 2 et Z, VII, 26. Variété kahlérienne, 1, VII, 6. Variété normale, 1, VII, 43 et 2,5,3. Vaiiété non singulière, variété sans singularité, 2, 6, 3. S'ariété projectîve, i, IV, 9 et Variété pure, 2,4, 2, Variété quasi affine, 2, 2, 6. Variété quasi projective, 2, 3, 2. Vaiiétc uni rationnelle, ï, IX, 11. Vecteur tangent, 2,6,1. Voisinages d'ordre supérieur d'iin point multiple, 1,VI,21.
TABLE DES MATIÈRES Inïboduction ....... 5 Table des notations .,..,,..,....,, ,.... 9 § 1. Ensembles algébriques et fondions régulières.,, , ., 11 1. Ensembles algébriques ,, 11 2. Fonctions régulières et morphUmes , _, , 14 3. Ensembles algébriques abstraits .........,.,....,, 22 4. La topologie de Z uïsti .,,, ,,, 25 5. Ouverts principaux ,, ,., , , 30 G. Produit d'ensembles algébriques .. 34 § 2. Prévariêtis et variétés algébriques .' 36 1. Faisceaux de fonctions et espaces de Caitan 38 2. Faisceau structural sur un ensemble algébrique 42 3. Prévariétés algébriques 44 4. Produit de prévïiriétés 51 5. Recollement de prêvariétés 54 6. Variétés algébriques 56 § 3. Variétés projectives et variétés complètes 62 1. L'espace projectif Pt,(A:) 62 2. Cônes et variétés projectives 65 3. Variétés complètes 72 4. Applications : I. Morphismes de Segre et de Veronesc .. 77 5. Applications : II. Grassmannienncs 81 § 4. Tklorie de la dimension 84 1. Fonctions rationnelles et applications rationnelles 84 2. La notion de dimension 90 3. Le théorème des idéaux principaux ï)3 4. Morphismes finis et factorisations . ... 109 5. Dimension des fibres d'un morphisme 1 H 6. Correspondances . 116 § 5. Points normaux et normalisation 121 1. Anneaux locaux d'une variété , 121 2. Anneaux locaux d'une variété irréductible 12(i 3- Variétés normales et normalisée d'une variété 127 4. Ije théorème principal de Zariski 1.-I1
222 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE § 6. Points simples et morphismes sêparables 144 1, Espace tangent en un point d'une varietc 144 2, Application linéaire tangeiitc à un mOrpliisnif 147 3, Points simples , 149 4, Morphismes séparables 153 Résultais d'algèbre 157 I, Théorie des corps. Dérivatioiis , 157 II, Idéaux premiers et idéaux maximaux ,. 160 III, Localisation et anneaux locaux . . 162 IV. Entiers algébriques 163 V. Conducteur et théorème principal de Zariski 170 VI. Anneaux factorïels ,, 175 VII. Anneaux nœthériens 176 VIII. Algébres de type fini sur un corps algébriquement clos ... 177 IX, Compléments d'algèbre linéaire et muliilinéajre 181 Résultats de topologie 185 I, Espaces et ensembles irréductibles 185 II, Espaces nœthériens 188 III, Ensembles constructibles .... 190 Bibliographie commentée 193 Index terminologique ... 2l3
1074. — Imprimerie dee FresNrs TriiivcraiLaîrcB de Traitée. —■ Vendôme (R-juce) ËDIT. N" 32B91 imiimmé en fkance TMP. N° 23925
SUP SECTION if LE MATHÉMATICIEN » Jean-LoufB KRIVINE Théorie axiomatique des ensembles Jesn-Plerre SERRE Cours d'arithmétique Roger TEMAM Analyse numérique Louis COMTET Analyse comblnatolre — I Louis COMTET Analyse comblnatolre — II Gérard LETAC Problèmes de probabilité André GRAMAIN Topologle des surfaces Serge DUBUC Géométrie plane André BLANCHARD Les corps non commutatifs Jean DIEUDCNNÉ Cours de géométrie algébrique 1 — Aperçu historique sur le développement de la géométrie algébrique Jean DlEUDONNÉ Cours de géométrie algébrique 2 — Précis de géométrie algébrique élémentaire
4RSK»~ ~ ^gEÊÊBSffigMBÊBÊÊk Ce volume est le premier ouvrage en langue française donnant un exposé didactique complet, avec démonstrations détaillées, de ce qu'on peut appeler la partie « élémentaire » de la Géométrie algébrique moderne, c'est-à-dire la théorie non cohomologique des variétés algébriques sur un corps algébriquement clos k. La différence essentielle avec le point de vue « classique » est que l'Analyse n'intervient à aucun moment ; l'Algèbre ccmmutative est le seul outil employé, et il faut souligner que seules les notions les plus simples de cette vaste théorie sont nécessaires à ce niveau Mais bien entendu les résultats démontrés dans ce vciunie comprennent comme cas particulier la partie de la th'.orie classique des variétés algébriques profectives complexes qui ne fait pas intervenir la notion de « nombre d'intersection ». L'avantage du point de vue adopté est que les théorèmes obtenus sont valables sans hypothèse sur la carectéristique du corps k, et permettent donc l'accès immédiat £ la théorie des groupes linéaires algébriques, dont l'importance dans toutes les parties des mathématiques ne cesse de croUi"). En outre, on peut espérer qu'une bonne familiarité avec les concepts « élémentaires » développés dans ce livre facilitera la tâche des lecteurs désireux d'aller plus avant et de s'attaquer à ce qui forme maintenant le cœur de la Géométrie algébrique, la théorie des schémas 22224011/1 74