jee.n '-'■sudonné
cours
de géométrie
algébrique
PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE

Cours de géométrie algébrique
2

LE MATHÉMATICIEN
SECTION DIRIGÉE l'AR JI1AN-PIERRE KAIIANE

COLLECTION SUP
Cours
de géométrie
algébrique
2 / Précis de géométrie algébrique élémentaire
JEAN DIEUDONNE
Membre As l'Institut
PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANGE

Dépôt légal. — f* édition : 1er trimestre IS)74
© 1S74, Presse». Universitaires de France
Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation
réservés pour tous paya

Introduction
L'exposé historique de la première partie de cet ouvrage
aura pu donner une idée de l'étendue et de la complexité
de la Géométrie algébrique actuelle, et de la somme
considérable de connaissances qu'il est nécessaire de
posséder pour l'aborder. Aussi est-il généralement reconnu
qu'à moins d'être doué d'une rapidité d'esprit
exceptionnelle jointe à une énorme puissance de travail, le débutant
aura intérêt à procéder par étapes avant de se plonger
dans les ouvrages les plus récents. Le Précis de géométrie
algébrique élémentaire qui forme la seconde partie de ce
Cours constitue ce que je considère comme la première de
ces étapes. Je voudrais rapidement exposer les raisons sur
lesquelles se fonde cette opinion.
En premier lieu, l'épithète <c élémentaire » qui figure
dans le titre mérite quelques commentaires. Bien entendu,
il serait absurde de lire cet ouvrage sans avoir jamais
rencontré quelques courbes et surfaces algébriques dans
l'enseignement traditionnel de la prétendue « Géométrie
analytique » {Le. la méthode des coordonnées
cartésiennes); maïs à strictement parler, aucune connaissance
d'Analyse n'est nécessaire ici. Tout repose, d'une part, sur
quelques notions et résultats très élémentaires de Topo-
logie générale; le cliapitre Ier de la Topologie générale de
N-. Bourbaki contient beaucoup plus qu'il n'est nécessaire,
mis à part quelques compléments sur les espaces
irréductibles et les espaces ncethériens, groupés à la fin de ce
volume sous le titre Résultats de Topologie et auxquels il
est référé par la lettre T suivie d'un numéro. Mais surtout

6 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
l'essentiel des connaissances préalables est formé de notions
d'Algèbre; il va sans dire que le lecteur est supposé être
familier avec l'Algèbre linéaire et multilinéaire, base
fondamentale de toutes les mathématiques, et dont les résultats
sont utilisés sans référence. Les autres parties de l'Algèbre
qui sont utilisées appartiennent toutes à VAlgèbre commu-
tative; la plupart se trouvent exposées dans le livre Algebra
de S. Lang (Addison-Wesley, 1965), qui nous sert
d'ouvrage de référence. Rappelons que cet ouvrage, qui prend
l'Algèbre à son début, contient entre autres un exposé de
l'Algèbre linéaire et multilinéaire, ainsi que l'essentiel de
la théorie des corps, et notamment les résultats
fondamentaux de la théorie des extensions algébriques; nous
utilisons ces derniers sans renvoyer pour chacun d'eux à
l'endroit exact du livre de Lang où il est démontré. Par
contre, les autres notions et résultats d'Algèbre commu-
tative dont nous avons à faire usage sont énumérés à la
fin de ce volume sous le titre Résultats d'Algèbre, et nous y
référons par la lettre A suivie d'un numéro. Les
propositions démontrées dans le livre de Lang sont énoncées sans
démonstration avec la référence précise à la preuve donnée
par Lang; pour les autres, nous en indiquons une
démonstration aussi simple que possible.
Si maintenant nous voulons justifier le qualificatif
« élémentaire » appliqué à ce volume, il suffit de dire
qu'il est consacré à la théorie non cohomologique des « variétés
de Serre », et que cette théorie se distingue des
conceptions générales de la Géométrie algébrique par les points
suivants :
1° Les seuls anneaux qui interviennent sont les anneaux
sans élément nilpotent ^ 0, qui sont, soit des algèbres de
type fini sur un corps algébriquement clos fixé une fois pour
toutes, soit des localisés de telles algèbres. Ces hypothèses
entraînent des simplifications considérables (A 35 à A 39)
par rapport à la théorie générale (même limitée aux

INTRODUCTION 7
anneaux ncethériens) et rendent inutiles les parties plus
avancées de l'Algèbre commutative telles que l'étude
approfondie des produits tensoriels et de la notion de
platitude, la théorie des valuations et des complétions et
l'étude générale des anneaux locaux ncethériens.
2° Bien que la « topologie de Zariski » sur les variétés
de Serre soit non séparée, elle est beaucoup moins «
pathologique » que sur les schémas généraux : les points sont
tous fermés, l'ensemble sous-jacent à un produit de variétés
est le produit des ensembles sous-jacents à ces variétés,
les corps résiduels en chaque point sont tous égaux au
corps de base; toutes ces simplifications disparaissent dans
la théorie générale.
3° Aucune notion d'Algèbre homologique n'est utilisée.
4° Les seuls faisceaux qui interviennent sont les
faisceaux de fonctions, dont la conception est si élémentaire
qu'elle mériterait à peine un nom spécial si elle n'était
un cas particulier de la notion générale de faisceau; maïs
elle ne comporte aucune des subtilités (distinction entre
préfaisceau et faisceau, utilisation de la notion abstraite
de limite inductive, obstructions à l'exactitude des
sections) liées à cette notion générale.
Notons en second lieu que la notion de variété de Serre
est celle qui, en Géométrie algébrique moderne, est la
plus proche de la notion classique de variété algébrique
sur le corps des nombres complexes, qu'elle comprend
bien entendu comme cas particulier; elle s'y rattache bien
plus directement que la conception antérieure de Weil
avec son foisonnement de « points » munis de corps tous
différents. Le passage de la topologie classique à celle de
Zariski ne paraît pas un obstacle sérieux au transfert de
T « intuition » que nous pouvons avoir des variétés
classiques, aux variétés définies sur un corps algébriquement
clos quelconque ; et les phénomènes liés à la caractéristique

8 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
non nulle du corps de base n'apparaissent que de façon très
épisodique, dans la seule notion de morphisme séparable.
Il convient enfin de souligner que, sans même franchir
l'étape suivante et aborder la théorie des schémas, les
résultats contenus dans ce volume suffisent à eux seuls pour
entreprendre l'étude des théories suivantes :
1° la théorie cohomologique des variétés de Serre (et
en particulier des variétés classiques), soit sous sa forme
purement algébrique, soit (dans le cas classique) enrichie
par la théorie transcendante des variétés kahlériennes
(cf. vol, 1, VII cl VIII);
2° plus particulièrement, la théorie des courbes
algébriques, où la cohomologîe et l'Analyse sont tout à fait
élémentaires;
3° la théorie de Borel-Chevalley des groupes algébriques
linéaires sur un corps algébriquement clos.
Nous renvoyons à la Bibliographie commentée (à la fin
de ce volume) pour des indications plus précises sur les
ouvrages consacrés à ces théories et la façon de les utiliset,

Table des notations
A(V) anneau des fonctions régulières sur un
ensemble algébrique, ou un ensemble
algébrique abstrait : 1,2-
A(«) comorphisme d'un morphisme u
d'ensembles algébriques : 1,2.
Ap localisé d'un anneau A en un idéal
premier p : A,15.
%x homomorphisme d'évaluation : 1,2.
codinix (Y), codim (Y) codimensîon d'une sous-variété : 4,2.
Der (A, B), Der^ (A, B) modules de dérivations de A dans B : A, 3.
Derj£ ((Px, k)t Der| (A(U), k) : espaces de vecteurs tangents en x : 6, I.
D(/) ouvert principal des x tels que f{x) ¥= 0 :
1,5.
dim (X) dimension d'une variété : 4,2.
e{x) plus grande dimension des composantes
irréductibles de u~1(u(x)) contenant a- :
4,5.
f germe d'une fonction régulière en un
point : 5, I.
& | Z faisceau induit : 2, I.
^"(U), T(U, &) ensemble des sections du faisceau & au-
dessus de U : 2, I.
G„,r(A), G„,r grassmanniennes : 3,5.
Hj,H£ (0=ç ■< n) hypcrplans dans kn + 1 : 3, [.
Hcm^u, (A, k) ensemble d'homomorphismes de A-algê-
bres : 1,2.
Î(M) idéal des fonctions régulières s'annulant
dans M : 1,2 et 1,3.
Mor (V, W) ensemble de morphismes : 1,2.
(¾ faisceau structural sur une prévariété : 2, 2
et 2,3.

10 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
®x,zs ®a: anneau local au poini ïëX : 5, I.
P(() valeur d'un polynôme en ( = ((„ ..., tn) :
l, l.
P„(ft), F,, espace projcctîf : 3, I.
x:kn+l— {0}->P„(A) morpbisrnc canonique : 3,2.
r(a) racine de l'idéal fl : A, U,
R(X) corps des fonctions rationnelles sur une
variété irréductible X : 4, I.
S-1A, c/tf anneau de fractions, élément de cet
anneau : A, 13.
S_1M, mjs module de fractions, élément de ce
module : A, 14.
Spm (A) ensemble des idéaux maximaux de A : 1,2.
Spm (<p) morphisme correspondant à l'homomor-
phisme d'anneaux <p : I, 3-
Ta(X) espace tangent (de Zariski) de X au
point * : 6, I.
Tx{v) application linéaire tangente au point x au
morphisme u : 6, 2.
Ui(0 $i^n) ouvert affine dans P„ : 3, I.
V(û) ensemble des points où s'annulent tous les
Je a ; [, [ et 1,4.
V(/), V(y^, , fr) ensemble des points * où /(x) = 0 (resp.
intersection des V(fi) pour I ^ r$ r) :
4,3.
X U Y somme de prévariétés : 2, 3.
Zq-^"p+q produit intérieur d'un ç-vecteur et d'une
(j>-\- ç)-forme : A, 43.

§ i. Ensembles algébriques
et fonctions régulières (1)
1. Ensembles algébriques
Le corps de base k étant infini, il n'y aura jamais
d'inconvénient à identifier impolynôme P eh\T1} . .., T„]
à n indéterminées (pour n ^ 1) et à coefficients dans kt
à la fonction polynôme
(h, ...,o^P(/i, ...,g
sur l'ensemble produit kn, à valeurs dans k, dont la valeur
en chaque point t — (tlt . . ., tn) (qu'on écrit aussi P(ï))
s'obtient en substituant £,- à Tj dans P pour 1 < j < n.
On dira donc que le polynôme P s'annule en un point
(tlt .. ., tn) ekn si P(fa, . . ., tn) = 0; on dira aussi que
(h s ■ - ■ ? f«) cst alors un zéro du polynôme P.
Définition 1. — On appelle ensemble algébrique une partie
d'un ensemble kn qui est l'ensemble des zéros communs d'une
famille (Pa) de polynômes de k\Tlt ..., T„], autrement dit
l'ensemble des points (¾, . . ., ta) de kn vérifiant un système
d'équations (ou ensemble défini par les équations) .*
(1) PK(^is ■ - •■> Q =0 pour tout indice a.
Il est clair que si une partie V de kn est définie par
le système (1) on obtient la même partie V en
ajoutant au système (1) toutes les équations de la forme
R-(*i» ■■■»*«) = 0» où R =^ £Ç)aPtt est une combinai-
(1) Dans tout ce volume, k désigne un corps algébriquement clos
quelconque-

12 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
son linéaire des Pa à coefficients dans l'anneau de
polynômes A[Ta, ..., T„], aulrement dit un polynôme
quelconque de Yidêal a de k\Tx, ..., T„] engendré par les Pa.
On peut donc, pour étudier les ensembles algébriques, se
borner à ceux définis par un système (1) où les Pa
parcourent tous les polynômes d'un idéal a de A[Ta, , T„] ;
on notera V(a) cet ensemble algébrique, et on va d'abord
étudier l'application ainsi définie :
(2) a \-> V(a)
de l'ensemble des idéaux de k\Tt, ..., T„] sur 1*ensemble
des ensembles algébnques de kn.
Proposition 1. — (i) On a :
V({0})=A», V(é[T„...,TJ) = b.
(ii) La relation a C b entraîne V(a) 3 V(b).
(iii) V(ÇaO = Çv(a,)
pour toute famille (dy) d'idéaux de A[Tj, ..., T„].
(iv) V(ûb) = V(a nb) = V(a) u V(b)
pour deux idéaux d, b.
Les propriétés (i), (ii), (iii) sont évidentes; comme
ûbCanb, on a V(ab) 3 V(o n b) I> V(a) u V(b)
par (ii), et il suffit démontrer que V(a) U V(b) DV(ab),
ou encore que si £ $ V(o) U V(b), on a / $ V(ab) ; or,
dire que t $ V(ct) U V(b) signifie qu'il existe P e c et
Q.6b tels que P(f) ^ 0 et Q,(f) ^ 0; si R=PQeab,
on a alors R(f) ^ 0, donc /^V(ab).
Remarque. — L'anneau /e[Ta, ...,T„] étant nœthé-
rien (A, 32), tout idéal a de cet anneau est de type fini,
donc tout ensemble algébrique V(a) est défini par un
nombre fini d'équations (1).

1 - ENSEMBLES ALGEBRIQUES 13
Exemples. — L'ensemble algébrique V({0}) =kn est
appelé l'espace affine de dimension n (droite affine pour n = 1,
plan affine pour n = 2).
Onsait (A, 37) qu'un idéal maximal m de /e[Tj,.. -,Tn]
est engendré par n polynômes du premier degré Tj — (¾,
T2 — a2, ...,T„—■ cn; l'ensemble algébrique V(tn) est
donc réduit au seul point (alt ..., a^); toute partie finie
de A" est par suite un ensemble algébrique en vertu de
laprop. 1, (iv). Comme tout idéal a ^ k\Tl3 ..., T„] est
contenu dans au moins un idéal maximal (A, 8), on voit
que V(a) n'est vide que pour l'idéal a = h\T1, - -., T„].
En particulier, si P est un polynôme ^ 0 de degré ^ 1,
l'ensemble algébrique défini par P('i, -..,*„) =0 (que
l'on appelle parfois hppersurface) n'est pas vide.
Nous nous proposons en second lieu de déterminer dans
quel cas on a V(o) = V(fe). Pour cela, notons que
pour toute partie M de kn, l'ensemble des polynômes
P ek\Tl7 ..., T„], tels que M soit contenue dans
l'ensemble des zéros de P, est évidemment un idéal i(M) dans
l'anneau k\TXt ..., T„].
Proposition 2. — Pour tout idéal a de h[Tl7 . - -, T„],
on a :
(3) i(V(o)) = t(a)
racine de l'idéal a (A, 11).
Il est clair que l'on a i(V(a)) 3 a. En particulier,
pour tout idéal maximal m de k\Tlt --.,1^, on a
t(V(tn)) =m, car V(tn) n'étant pas vide, t(V(îTt)) ne
peut contenir les constantes ?*= 0. Si maintenant o est
quelconque et P ei(V(a)), pour tout idéal maximal
m 3 a, l'ensemble V(tn) est réduit à un point de V(a),
qui est nécessairement un zéro de P; autrement dit, on
a P € i(V(m)) = TTt pour tout idéal maximal m
contenant a; la proposition résulte de ce que l'intersection de
ces idéaux maximaux est r(a) ((A, 11) et (A, 38)).

14 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Corollaire. — Pour deux idéaux a, b de k[T1, -.., T,,],
la relation V(o) = V(b) équivaut à t(ù) = t(b) et la
relation V(û)CV(b) à r(û) Dr(b).
Cela résulte de la prop. 2 et du fait que V(r(a)) = V(o),
puisque pour tout polynôme Per(a), une puissance Pfc
appartient à o.
Un idéal o est dit radiciel s'il est égal à sa racine ou, ce
qui revient au même, s'il est intersection d'idéaux
premiers ou intersection d'idéaux maximaux ((A, 11) et
(A, 38)); le corollaire précédent montre que
l'application (2), restreinte à l'ensemble £% des idéaux radiciels
de AfTj, -.., T^ est une bijection de 0t sur l'ensemble £#
des ensembles algébriques contenus dans A".
Remarque. — Si CL et b sont deux idéaux radiciels, il en est
de même de a n b, et la bijection (2) transforme donc
l'intersection dans £% en réunion dans je (prop. 1, (iv)).
Par contre, il faut observer que si o et b sont radiciels,
il n'en est pas nécessairement de même de ù. -\- b. Par
exemple, supposons que k ne soit pas de caractéristique 2;
dans /efTjjTa], les polynômes T^ —T2 et Tf-|-T2
sont irréductibles, donc (A, 30) les idéaux principaux
a = (Tf — T2) et b = (Tf + 1g) sont premiers, mais
ù. -\-b n'est pas radiciel, car le polynôme Tj n'est pas
combinaison linéaire de ïf — T2 et Tf -f- T2 à
coefficients dans k[Tls T2], tandis que :
lî^^flî —TJ+icTÎ + T,).
2- Fonctions régulières et morphismes
Notre intuition géométrique conduit par exemple à
l'idée que des ensembles algébriques contenus dans des
espaces affines kn correspondant à des valeurs différentes

1 ~ ENSEMBLES ALGEBRIQUES 15
de n doivent cependant être « identifiés » : le « cercle »
de A2 défini par l'idéal principal (Tf + T|— 1) et le
« cercle » de A3 défini par l'idéal engendré par les
polynômes Tf + T| — 1 et T3 nous apparaissent comme le
« même » cercle. Il s'agit donc de définir une notion
â'isomorpkisme pour les ensembles algébriques. Nous allons
faire plus, en montrant qu'on peut définir une notion de
morpfdsme pour ces ensembles, ce qui en fera une catégorie.
Nous poserons d'abord la définition suivante :
Définition 2. — Etant donné un ensemble algébrique V C kn,
on appelle fonction régulière sur V toute application de V dans A
qui est la restriction à V d'une fonction polynôme sur A". On
note A(V) Vanneau des fonctions régulières sur V.
Si t(V) = a (donc r(a) — a et V = V(a)), deux
polynômes ont même restriction à V si et seulement si
leur différence est dans a, donc A(V) est A-isomorphe à
l'algèbre k[Tlt ..., T„]/û. C'est par suite une k-tdgèbre
réduite (A, \\) de type fini, car en général le nilradical d'une
algèbre quotient k[T1} ..., T„]/aestr(û)/a (A, 11).
Pour toute A-algèbre commutative A, désignons par
Spm (A) l'ensemble des idéaux maximaux de A, par
I-Iomfc.alB (A, A) l'ensemble des A-homomorphismes de
l'algèbre A dans l'algèbre A (appliquant l'élément unité
sur l'élément unité, donc surjeetfs). Pour tout ensemble
algébrique VCA", on a des bijections canoniques ;
(4) Hom^ (A(V), k) ^ Spm (A(V)) ^ V.
La première associe à tout A-homomorphïsme :
son noyau, qui est un idéal maximal de A(V).
Inversement, on sait (A, 37) que tout idéal maximal tnde A(V)
est un A-espace vectoriel de codimension 1, donc
supplémentaire de A. 1 dans A(V) ; c'est par suite le noyau de

16 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
rhomomorphisme unique x a*e A(V) dans k, égal à 0
dans m et à £ pour £.1 eA.l.
La seconde application (4) se définît en notant qu'un
idéal maximal m de A(V) s'écrit îTt'/û., où tn' est un idéal
maximal uniquement déterminé de /e[Tls ..., T„], donc
engendré par n polynômes du premier degré Tx — ax,
T2 ™ c2> ■ ■ ■» T„ — c,, (A, 37) ; on fait correspondre à tn
le point (ûx, %,..., ûj Qui» Par définition de a — i(V)f
appartient à V. Inversement, pour tout point (¾, ..., an)
de V, l'idéal maximal m' de k['I\, ..., T„] engendré par
les Tj- — ai (1 <i< n) contient a, et il correspond
à îTt'/û. le point (alt ..., a^.
On déduit de ces remarques que la bijection réciproque
de la composée Hom^^ (A(V), k) ^ V des bijec-
tions (4) s'écrit :
où Xx e Hom^.ajg (A(V), k) est 1' « homomorphisme
d'évaluation » tel que :
(5) XÂf)=f(x) pour toute /6 A(V).
Les fonctions régulières jouent pour les ensembles
algébriques un rôle analogue à celui que jouent les fonctions
indéfiniment dîfférentiables (resp. analytiques) pour les
variétés différentielles (resp. analytiques). Et de même
que les morphismes de variétés différentielles (resp.
analytiques) « transforment fonctions dîfférentiables (resp.
analytiques) en fonctions dîfférentiables (resp. analytiques) »,
la notion de fonction régulière permet de définir de cette
façon les morphismes d'ensembles algébriques :
Définition 3. — Etant donné deux ensembles algébriques
VC/e", WCAm, on dit qu'une application u de V dans W
est un morphisme d'ensembles algébriques si, pour toute fonction
régulière geA(W), la fonction composée gou est une fonction
régulière sur V.

1 -ENSEMBLES ALGEBRIQUES 17
Il est clair que le composé de deux morphismes est un
morphisme, et nous avons donc bien défini une catégorie ;
rappelons qu'un isomorphisme u : V -> W est par
définition un morphisme bijectif dont l'application réciproque
u~ * : W -> V est aussi un morphisme. La déf. 3 montre
aussitôt que les fonctions régulières sur V sont les morphismes
de V dans la droite affine k.
Un morphisme u : V -> W définit donc une
application :
(6) A(«) :gV+goU
de A(W) dans A (V), qui est évidemment un homomorphisme
de kralgèbres et qu'on appelle le comorphisme de u. Si
v : W -> Z est un second morphisme, il est clair que
A(»oa) =A(u)oA(v).
Notons Mor (V, W) l'ensemble des morphismes de V
dans W.
Proposition 3. — L'application :
u[-+A(u)
est une bijecîion de l'ensemble Mor (V, W) sur l'ensemble
Hom/MU|r (A(W), A(V)) des k-homomorpkismes de A(W)
dans A(V).
Il nous suffira de définir une application :
m : HomA (A(W), A(V)) -> Mor (V, W)
telle que ■
(7) AK9))=T
pour tout homomorphisme <p : A(W) -> A(V) de A-algè-
bres, et :
(8) m(A(u)) = «
pour tout morphisme « : V -> W d'ensembles
algébriques.

18 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
Tout homomorphisme <p : A(W) ~>A(V) deA-algèbres
définit une application :
Hom (<p, 1) : x ■"* X ° T
de Hom (A(V), k) dans Hom (A(W), k), et par suite une
application m(<p) de V dans W et une seule rendant
commutatif le diagramme :
Hom (A(V), k) HomUp-" Hom (A(W), k)
«î «î
V . > W
où les flèches verticales sont les bijections x\-+y^ et
y 1-+¾ définies dans (5), de sorte que l'on a :
(9) X™ww=Xs°9-
L'application »z(<p) ainsi définie est un morphisme
d'ensembles algébriques : il suffit en effet de montrer que
pour toute fonction geA(W), on a :
(10) gom(9)=9(g)
ce qui, en même temps, démontrera (7). Or, d'après (5)
et (9), on a. :
g(m(<p) (*)) = Xmwwfe) = (Xs° ?) fe)
= x^Opte)) = 9(g) (*)
ce qui prouve (10). Pour établir (8), il suffit de montrer
que pour tout * e V, on a :
(11) Xm(A(u))te) = Xufa)"
Or, pour toute fonction g eA(VV), on a, compte tenu
de (9) appliqué à <p = A(«) et de (5) :
X™wi«»tate) = Xx(A(«) (g)) = Xtte° «) = #(«(*)) = X«wfe)
ce qui termine la démonstration.

1 - ENSEMBLES ALGEBRIQUES 19
Corollaire. — Pour qu'un morp/nsme u : V ~> W soit
un isomorp/îisme d'ensembles algébriques, il faut et il suffit que
le comorpkisme A(u) : A(W) ->A(V) soit un isomorpMsme de
h-algèbres.
En effet, dire que a est un ïsomorphisme signifie qu'il
existe un morphisme v : W ~> V tel que v o u = 1 v et
ko» = IWj ce qui, en vertu de la prop. 3, équivaut à
l'existence d'un homomorphisme 9 : A(V) ~> A(W) de
A-algèbres tel que A(«) o 9 = 1A(V) et 9 o A(«) = lArW) -
Exemples de morphismes. —■ 1) Pour l'espace affine kn,
on a A(kn) = k\Tl, ..., TM]. En vertu de la prop. 3, les
morphismes kn ~> km d'ensembles algébriques
correspondent canoniquement aux homomorphismes
9 : ^[Tj, ..., TJ ^k\Tli . .., TM]
de A-algèbres ; or, un tel homomorphisme est entièrement
déterminé par les m polynômes
?(Ti) = Pi(T. T„), Kj«»
et, inversement, la donnée de m polynômes quelconques
de A[Tj, ..., TJ détermine un homomorphisme 9 par
les relations précédentes. Le morphisme m{y) s'obtient
immédiatement, car pour un point x = (¾, .. ., #ï()
de A", on a Xs(Tï") = */ Pour J ^ i ^ "■> donc, par (9),
Xmww('ri) =xi<PCï'j)) PO"*" Uj^m, c'est-à-dire:
(12) m(9)(x) = (P^, ..., *n), ..., J>n(xlt ..., O)
puisque y^ est un homomorphisme.
Par exemple, si n < mt l'application
(#i> ■ -->*«) 1-+ (¾ » ...,^,,0, ..., 0)
de kn dans A** est un morphisme, correspondant à F
homomorphisme surjectif k\TXi ..., TW(] ~> k\Tx, ..., T„]
transformant Tj- en 'Ij- pour 1 < j < n et Tj- en 0 pour
n -\- l ^j ^ m. Si h ^ m, l'application de projection

20 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
(xît . ■.> ■#„) 1-+ (*i> .. >i -*m) deA"surAmestunmoiphisme
correspondant à l'homomorphjsme injectif
^1.....^-^,,...,^
transformant T,- en 'Ij- pour 1 «c j ^ m,
2) Si u : kn ~> A"1 est un morphisme défini par (12),
l'idéal i(u(kn)) de son image dans km est l'ensemble des
polynômes Q,ÇTlt ..., Tm) tels que
QfP^, ...,*,,), • • -, P»(*u • - -, O) = 0
quels que soient les .¾ e A (1 < i < «), ce qui revient
à dire que
Q(P,(T„ ..., T„), ..., P„(T„ ..., TJ) = 0
puisque k est infini; l'ensemble algébrique
W = V(i(u(k«)))
est donc le plus petit dans km contenant l'image u{kn)t et
son anneau de fonctions régulières est isomorphe au
sous-anneau
¢^,,...,1,),...^.(1, TJ]
de k\Tlt . ..,T„]. Mais on notera qu'en général on
a u(kn) & W (cf. § 4, cor. de la prop. 14). Par exemple,
prenons n = m = 2 et considérons le morphisme
On voit aussitôt que le seul polynôme tel que
est 0, donc ici W = k2, mais u(k2) ne contient pas les
points (t, 0) pour t # 0.
3) Soient V un ensemble algébrique dans kn, a = t(V)
son idéal; l'injection canonique j : V —> kn est un mor-

1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 21
phisme, dont par définition (formule (6)), le comor-
pliisme A(J) est l'homornorphisme canonique
k\Tlt .. .,¾ -+k\Tlt ..., TJ/a = A(V)
de restriction à V des fonctions régulières.
4) Pour tout morphisme
u : fo, ..., ^) H+ (Pi(*i» • • ■> *»,)> • • •> Pm(*i> • • •> **))
de A" dans Am, considérons le morphisme graphe de « :
(#l3 ...,^,)H-(*i( • ..,^,, Pi(*i, • ••,*«)> •••»
^toC*!» • ■ ■» *n))
de kn dans A*1"1"*". L'image F1( de ce morphisme est
l'ensemble algébrique (appelé graplie de u) défini par les
équations :
xn+j — Pjte, ...,¾) =0 pour l^j^m.
Le morphisme graphe est un isomorpHûsme de A" sur Tut
l'isomorpbisme réciproque étant le composé prjoi delà
première projection k'l + m-+kn et de l'injection
canonique i : ï\ -+ kn + m.
5) Considérons le morphisme
de k dans ft2. Son image est l'ensemble algébrique C
(« parabole semi-cubique ») défini par l'équation
Jfl Aq U,
car si un point {x17x^ vérifie cette équation, ou bien
Xj = x% — 0 et c'est l'image «(0), ou bien Xj^ 0 et
x2 t£ 0 et le point est l'image u(x2jx1) puisque
(*8/*ï)a = x1 et (^/%)3 = *2-
Ceci montre en même temps que u est un morphisme
bijectif de k sur C; cependant, u n'est pas un isomorpliisme,

22 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
car A(C) = k[T\ T3] (exemple 2) et cette algèbre n'est
pas isomorphe à k['T\ : en effet, c'est un anneau intègre
dont le corps des fractions est A(T), mais il n'est pas
intégralement clos, car T est un entier sur A[Ta, T3]
(vérifiant l'équation X2 — T2 =0) mais n'appartient
pas à A[T2, T*\ (cf. § 5, cor. 4 du th. 1).
6) Supposons que k soit de caractéristique p > 0 ;
alors le morphisme
u : t l-> t*
de la droite affine A dans elle-même est bijeetîf mais n'est
pas un isomorpliisme de A sur elle-même, car le comor-
phisme A («) transforme T en T^ et a donc pour image Afl^]
qui est distinct de A[T].
3. Ensembles algébriques abstraits
Proposition 4. —- Toute h-algèbre réduite de type fini A
est isomorp/w à l'algèbre A(V) des fonctions régulières sur un
ensemble algébrique V.
En effet, soient s1, .. -, sn des générateurs de l'algèbre A.
Il existe un homomorphisme surjectif <p de l'algèbre
k[Tl3 ...,¾ sur A tel que <p(T3-) = s$ pour 1 < j < n;
si a est ion noyau, l'algèbre A est donc isomorphe à
A[Tj, ..., T„]/a. En outre, on a nécessairement r(a) = 0,
sans quoir(a)/û, qui est le nilradîcal de k[Tlt ..., T„]/û,
ne serait pas réduit à 0. On a donc i(V(a)) = a et A est
isomorphe à l'algèbre A(V(a)).
Si A est une A-algèbre de type fini, on a comme dans (4)
une bijection canonique Homfc.alK (A, A) -Pt- Spm (A) ;
pour deux A-algèbres de type fini A, B, et tout A-homo-
morphisme <p : A -> B, il y a donc une application et

1 - ENSEMBLES ALGEBRIQUES 23
une seule Spm (<p) : Spm (B) —> Spm (A) rendant com-
mutatif le diagramme :
Hom(B,A) ^=¾ Hom(A,ft)
«1 «1
Spm^ -ï=s- sPm(A>
où les flèches verticales sont les bijections canoniques; la
définition explicite de Spm (<p) est d'ailleurs immédiate :
pour tout idéal maximal n de B, on a
(13) Spm(ç)(ti)=ç-'(ti)
qui est un idéal maximal de A (A, 37).
Les prop. 3 et 4 et l'existence des bijections
canoniques (4) amènent à « élargir » la catégorie des ensembles
algébriques en la considérant comme sous-catégorie d'une
catégone plus vaste (maïs équivalente), celle des ensembles
algébriques abstraits, qui ne sont plus nécessairement
astreints à être des parties d'un espace affine k\ Les objets
de cette nouvelle catégorie sont les triplets (X, A, Px)
formés d'un ensemble X, d'une A-algèbre A réduite et de
type fini, et d'une bijection px : Spm (A) ^> X; les mor-
phismes (X, A, [3¾) -^- (Y, B, f3y) sont les couples (a, <p)
formés d'une application u : X —> Y et d'un A-homo-
morphisme <p : B ~> A tels que le diagramme
X > Y
Px i] if Pv
soit commutatîf. Le composé de deux morphismes (v3 ty)
et («, <p) est bien entendu (v o «, <p o iJj). Par abus de
notation, on écrira souvent X au lîeu de (X, A, Px), u au

24 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
lieu de (u, <p) et on dira encore que <p est le corrwrphisme du
morphisme u.
Avec cette définition, il est clair que dans la catégorie
des ensembles algébriques abstraits, les ensembles
algébriques définis au n° 1 peuvent être considérés comme
formant une sous-catégorie en identifiant un tel
ensemble V au triplet (V, A(V), pv), pv étant la bijection
canonique définie dans (4), et un morphisme u au couple
(«, A(u)) ", les prop. 3 et 4 montrent que cette sous-catégorie
est équivalente à la catégorie des ensembles algébriques
abstraits. De même, les triplets (Spm (A), A, 1^,^(^), où
A est une A-algèbre réduite de type fini, sont les objets
d'une sous-catégorie de la catégorie des ensembles
algébriques abstraits, dont les morphismes sont les couples
(Spm(<p), <p). Cette sous-catégorie est encore équivalente à
celle de tous les ensembles algébriques abstraits, et aussi
à la duale de la catégorie des A-algèbres réduites et de
type fini.
L'intérêt d'avoir une catégorie équivalente à celle des
ensembles algébriques et contenant suffisamment d'objets
provient de ce qu'on est amené (n° 5) à définir de tels
objets qui n'appartiennent à aucune des deux
sous-catégories précédentes.
On définit de façon évidente les fonctions régulières sur
un ensemble algébrique abstrait (X, A, Px) par transport
de structure : pour tout /eÀ et tout xeX, Px1^) ^
un idéal maximal de A ctf(x) est l'élément de k image
de/par l'homomorphisme canonique Aj^1(x) -»-&. On
peut aussi dire que les fonctions régulières sont les
morphismes X -»-&, et on les identifie évidemment avec
les éléments de A. Pour tout morphisme wrX-^-Y, on
définît encore A (h) : B ~> A comme dans (6) par g h+g o u.
Exemple : identifications de points. — Soient a, b deux points
distincts de l'espace affine kn. Nous allons voir qu'on peut
définir un ensemble algébrique X et un morphisme sur-

1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 25
jectif u : kn ~> X tels que l'image réciproque de tout
point de X n'aît qu'un seul élément, sauf pour un point xG
dont l'image réciproque est {c, b }; on pourra donc dire
que X est obtenu en « identifiant » les deux points a, b
de kn. On prend comme fonctions régulières sur X les
fonctions régulières P &k[TXi ..., T„] sur kn telles que
P(c) = P(b). Elles forment évidemment une sous-algèbre
réduite A de AfTj, ,..,TJ; il s'agit d'abord de voir
que A est de type fini. Par une transformation linéaire, on
peut supposer que a = (0, 0, .. -, 0), b = (1, 0, .. -, 0);
la division euclidienne par" TjfTj— 1) montre alors
aisément que A est engendrée par T^T, — 1), TjfTj — 1),
1} et TjTj- pour 2 ^j < n. Le fait que le morphisme
u — Spm (j)s où j : A ~> k\Tls ..., T„] est l'injection
canonique, a les propriétés voulues résulte de ce que pour
tout point c G kn distinct de c et de è, il y a des
polynômes P tels que P(c) = F(b) et P(c) = 0.
On peut généraliser en « identifiant » de même deux
ensembles algébriques V(ct), V(fe) de kn pourvu qu'en
premier lieu ils Soient isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe
un isomorphîsme 6: k['Tlt.. .jTJ/a-^AfTj, .. .,T„]/b;
on prend alors pour A la sous-algèbre des polynômes P t els
que 6(<p(P)) = <Jj(P), où <p et ^ sont les homomorphismes
canoniques sur A[Tls .,., TJ/a et k\Tl7 ..., TJ/b; U
faut en outre que A soit une A-algèbre de type fini.
4. La topologie de Zariski
Les parties (i), (iii) et (iv) de la prop. 1 montrent que
les ensembles V(ct), où a parcourt l'ensemble des idéaux
de k\Tlf , T„] (ou seulement l'ensemble des idéaux
radicîels en vertu de la prop. 2), sont les ensembles fermés
d'une topologie sur l'espace affine A", dite topologie de
Zariski ou topologie structurale ; on peut encore dire que les
ensembles fermés de cette topologie sont les ensembles
algébriques contenus dans A".

26 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
On notera qu'en général cette topologie est non séparée :
par exemple, pour n — 1, les ensembles V(a) sont
l'ensemble k et toutes les \>axùçs finies de A, et deux ensembles
ouverts non vides de k ont donc toujours une intersection
non vide.
Si maintenant V = V(ct) est un ensemble algébrique
contenu dans A" (avec a = l'(ft)), on appelle encore
topologie de Zarîskî sur V la topologie induite sur V par la
topologie de Zarîskî de kn\ il revient au même, vu la prop. 1,
de dire que les ensembles fermés pour cette topologie sont
les ensembles algébriques V(fe) contenus dans V, fe
parcourant donc l'ensemble des idéaux de k\Tlt ..., T„]
contenant o-
Compte tenu de la correspondance canonique h M- fe/û.
entre ces idéaux et les idéaux de l'anneau
A(V)=*[T1 Tj/a
et des équivalences établies au n° 3, on peut définir
directement la topologie de Zarîskî sur tout ensemble
algébrique abstrait (X, A, Bx) de la façon suivante : on
va la définir sur (Spm (A), A, l&pra(A)) (que l'on note
simplement Spm (A)), et on la transporte à X par la
bijectîon Bx- Dans Spm (A), on considère, pour tout
idéal a de l'anneau A, l'ensemble V((i) des idéaux maximaux
de A contenant a (points où s'annulent toutes les fonctions
régulières /eu); on a encore V({0}) = Spm (A),
V(A) = 0, et les propriétés (iî), (uî) et (iv) de la prop. 1
sont valables dans modification. Pour toute partie M de
Spm (A), l'ensemble t(M) des / € A tels que / e m pour
tout idéal maximal m e M (fonctions régulières s'annu-
lant dans M) est un idéal, et l'on a t(V(û)) = r(ct)
((A, 11) et (A, 38)), donc la relation V(ct) = V(b) est
équivalente à r(a) = l'(ï>), et on obtient tous les
ensembles V(û) en ne considérant que les idéaux û. radicîels.
Ces ensembles Sont par définition les ensembles fermés pour
la topologie de Zarîskî sur Spm (A), Il est immédiat que

1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 27
la relation V(a) DM pour un idéal radîciel a entraîne
a = t(V(û))Ci(M), donc V(a)3V(i(M)); autrement
dît, on a :
(14) V(i(M)) = M
adhérence de M pour la topologie de Zariski.
Pour un idéal radîciel o de A, soit pa la bijection
Spm (A/a) ~> V(a) réciproque de la bijection canonique
m M- m/a; il est clair que (V(ct), A/a, Pc) est un ensemble
algébrique abstrait, que l'on notera simplement V(a) ou
Spm (A/a). La topologie de Zariski sur cet ensemble
est induite par celle de Spm (A), l'injection canonique
V(û) -*■ Spm (A) étant un morphisme dont le comor-
phisme est l'homomorphisme canonique A —> A/a. Les
fonctions régulières Sur V(a) sont les restrictions à V(a) des
fonctions régulières Sur Spm (A).
Proposition 5. — (i) L'ensemble Spm (A) muni de la
topologie de Zariski est un espace nœthêrîen (T, 9) dont tous les
Points sont fermés.
(ii) Pour qu'un idéal radîciel a de A soit tel que V(a) soit
irréductible (T, 2), il faut et il suffit que a soit premier.
(i) Les points de Spm (A) étant les idéaux maximaux
de A, on a V(m) ={lTt} pour un tel idéal, donc {m} est
un ensemble fermé. Si (F„) est une suite décroissante
d'ensembles fermés dans Spm (A), on peut écrire :
F„ = V(c)
où 0,1 est un idéal radîciel, et l'on a nécessairement a„ C ûm
pour n < m (prop. 1 et cor. de la prop. 2), donc la
suite (c) est stationnaire puisque A est ncethérien (A, 32).
(ii) Supposons V(a) irréductible, et soient /, g deux
éléments de A tels que fg e a; on a donc :
V(a) C V(A/g) = V(A/) u V(Ag)

28 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
en vertu de la prop. 1 ; par hypothèse, cela implique
V(a)CV(A/) ou V(û)CV(Ag); mais puisque a est
radîcîel, la relation V(a)CV(A/) implique :
a-t(a)Dt(A/)3/
(cor- de la prop. 2), donc a est premier. Inversement,
si p est un idéal premier et si fe, c sont deux idéaux ra-
diciels tels que V(p) = V(fc) U V(c), on en déduit
p = b ri c (cor. de la prop. 2) ; si l'on avait p ^ fe et
p ^ C» il existerait f eb et g e c n'appartenant pas
à p; mais on aurait fg e b f~\ c = p, ce qui est absurde.
Corollaire 1. — Pour tout idéal a de A, l'ensemble des
composantes irréductibles de V(a) (T, 6) est fini et se compose
des V(pj-), où les pj- (1 ^j < m) sont les éléments minimaux
de ^ensemble des idéaux premiers contenant a.
La première assertion résulte de ee que Spm (A) est
nœthérien (T, 12) et la seconde de la prop. 5. En
particulier :
Corollaire 2- — Les composantes irréductibles de Spm (A)
sont lesV(pj) où les p,- sont les idéaux premiers minimaux de A.
Pour que Spm (A) soit irréductible il faut et il suffit que A soit
intègre.
Exemples. — Comme l'anneau A(kn) = AfTj, ..., TJ
est intègre, l'espace affine kn est irréductible. De plus,
tout polynôme P,£ 0 et non constant dans £[7^, .. .,TJ
s'écrit comme produit de puissances de polynômes
distincts irréductibles Pf* ... P^, et les idéaux premiers
minimaux parmi ceux qui contiennent (P) sont les idéaux
principaux (P;) pour 1 </< r (A, 30). Les
composantes irréductibles de l'hypersurface V((P)) sont donc les
hypersurfaces V((P3-)).
On obtient (en vertu de (T, 2) et (T, 4)) des exemples

1 — ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 29
simples d'ensembles algébriques irréductibles dans kn en
prenant les adhérences des images de morphîsmes km ~> kn
(cf. n° 2, Exemples); on dît que de tels ensembles
algébriques admettent une représentation paramétrique polynomïale.
Proposition 6. — Soient A, B deux kralgèbres réduites de type
fini, <p : B ~> A un h-homomorphistne.
(î) Le morpkisme Spm(<p) : Spm (A) ~> Spm (B) est
une application continue.
(ii) Pour tout idéal b de B, on a :
(15) (Spmfo))-* (V(b)) = V(A9(b))
où A<p(b) est l'idéal de A engendré par <p(b).
(îiî) Pour tout idéal a de A, on a .-
(16) '(Spm(ç))(V(a))=V(ç-'(a)).
Il suffît évidemment de démontrer (15) et (16). Posons
pour .simplifier « — Spm(<p), de sorte que <p est l'homo-
morphisme g]-> gou de B dans A. Dire que u(x) e V(b)
équivaut à dire que g(u(x)) = 0 pour toute fonction g e b,
ou encore que <p(g)(x) = 0; autrement dît, on a /(#) = 0
pour toute fonction f e <p(b) et a fortiori pour tonte
fonction /eA-pfb), d'où (15). Pour prouver (16), on peut
seborneraucasoùctestradicieljCar <p-1(r(û.)) = r(<p-1(û.))
(A, 11). Alors, compte tenu de (14), la formule (16)
résultera de la relation
(17) «p_1(a)-t(a(V(a)))-
Or. dire que g et(«(V(ct))) signifie que g(u(x)) = 0
pour tout x € V(a), ou encore <p(g) (x) = 0 pour tout
x e V(ct), ce qui équivaut par définition à
ç(g)ei(V(ct))-o
puisque a est radiciel; d'où (17).

30 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Corollaire 1, — Pour que Spm(<p) soit un morphisme
dominant (T, 4), il faut et il suffit que <p ; B ~> A soit un
homomorphisme injectvf.
Il suffit d'appliquer (16) en prenant a ={0} qui est
radiciel par hypothèse.
Corollaire 2. — Pour que Spm(<p) soit de la forme j o »,
où v est un isomorphisTne de Spm (A) sur un ensemble algébrique
(fermé) VCSpmfB) et j ; V -> Spm (B) Vinjection
canonique, il faut et il suffit que <p soit surjectif.
Cela résulte aussitôt des définitions et du fait que
si V = V(fe), on a j = Spmftjj), où ^ est l'homo-
morphisme canonique B -* 13/fe.
Remarque. — On aura soin de noter que les fonctions
régulières sur Spm (A) sont continues, mais pour la topo-
logie de Zariski sur la droite affine k, et non la topologîe
discrète.
5, Ouverts principaux
Soit A une ^-algèbre réduite de type fini,/ un élément
de A (fonction régulière sur Spm (A)). On dit que
l'ensemble ouvert
(18) D(jO=Spm(A)-V(A/)
des points x e Spm (A) tels que f(x) ^ 0 est un ouvert
principal de Spm (A). On a :
(19) D(0) = 0, D(l) = Spm (A)
(20) D(fg) = D(/) n Dfe)
(c£ prop, 1),
Pour tout &-hornomorphisme <p ; B ~> A et toute
fonction g e 13, on a :
(21) (Spm(T))^(D(g))=D(Tfe)).

1 — ENSEMBLES ALGEBRIQUES 3 1
Proposition 7. — Les ouverts principaux D(/) pour /eA
forment une base de la îopologie de Zariski sur Spm (A).
En effet, soit V(ct) un fermé de Spm (A), où a est
radiciel, et soit x $ V(a); il suffit de prouver (compte
tenu de (20)) qu'il existe /eA tel que x e D(/) et
D(/)CSpm(A)-~V(ct); cela signifie que/e a etf(x)& 0
et l'existence d'une telle fonction f résulte de ce que
a = t(V(a)) et de l'hypothèse x ç*V(a).
Nous allons voir qu'un ouvert principal D(f) C Spm (A)
peut être considéré de façon canonique comme un ensemble
algébrique abstrait, dont la topologie de Zarisld est la topo-
logîe induite sur D(y) par celle de Spm (A). En premier
lieu, considérons l'anneau Af des applications
(22) *H«M//(«)"
de D(/) dans k, où g est une fonction régulière sur Spm (A)
et n un entier quelconque ^ 0; il est clair que Af est une
A-algèbre de type fini (engendrée par les restrictions à D (f)
des générateurs de A et par la fonction 1//'définie dans
D(/) ) ; en outre, elle est réduite^ comme il résulte du lemme
suivant ;
Lemme 1. — Pourque la fonction (22) soit nulle dans D(/),
il faut et il suffit que g e A soit telle que fg = 0-
En effet, si (22) est nulle dans D(/), comme f(y) ~ 0
dans l'ensemble V(A/), complémentaire de D(/) dans
Spm (A), on a f(y) g{y) = 0 pour tout y € Spm (A),
autrement dit fg = 0. La réciproque est immédiate.
Pour prouver alors que A^est réduite, îl suffit d'observer
que si (g(x)lf(x)n)n = 0 dans D(/), on a g(x) = 0
c'ans *}(/), donc fg = 0, et par suite g(x)jj {x) — 0
dans D(/).

32 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
En particulier, un polynôme P ^ 0 de AjTj, ..., TJ
ne peut être nul dans un ouvert non vîde de l'espace
affine k*.
Proposition 8. — II existe une bijectton canonique p de
Spm (A,) sur D(/) qui est un homéonwrphîsme lorsque ton
munit Df/1) de la topologie induite par la topologîe de Zarîskî
de Spm (A).
On a en effet un homornorphîsme canonique e : A ~> A^
qui, à toute fonction g e A, fait correspondre sa
restriction à. D(/) (on notera que e n'est pas nécessairement
injectîf si/est diviseur de zéro dans A); nous allons voir
que p — Spm(e) : Spm (A^) ~> Spm (A) a pour image
DC/) et répond à la question.
Nous allons d'abord définir un isomorphisme
canonique <p de l'algèbre B = A[T]/(1 —/T)A[T] (T
indéterminée) sur l'anneau A^ : il suffit de définir un A-homo-
morphisme <p0 : A[T] ~> Af par la condition que <p0(T)
est la fonction xl~*ljf(x) définie dans D(/) et %(g)= e(g)
pour g € A, et d'observer qu'alors q^fl —/T) = 0, d'où
l'homomorphisme <p par passage au quotient. Il est clair
que <p est surjectif, l'application (22) étant l'image par <po
de gT". Pour voir que <p est injectîf, on remarque que
tout élément de A^ est de la forme <p0(gT") ; on a vu plus
haut (lemme 1) que, si l'application (22) est nulle dans
D(/),ona/"g=0 dansA,donc gTl = (l—fnTl) gT\
ce qui prouve que g~Plappartient à l'idéal (1 —/T) A[T],
et par suite que son image dans B est nulle.
Ecrivons maintenant A sous la forme k\T1;i ..., TJ/a,
de sorte que Spm (A) est identifié à un ensemble
algébrique VCkn et A = A(V); soît F un polynôme de
A[Tj, ..., Tw] dont/est la restriction à V; si l'on
considère dans k f Tj, ...,TM,T,! + J l'idéal fe engendré par o
et par 1 —TW + 1F, l'algèbre B s'identifie à
A[Tlî...îTttîT,1 + 1]/b=A(W)

1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 33
si W est l'ensemble algébrique défini dans kn+1 par
l'idéal fe. Il est immédiat d'après cette définition que
W est l'ensemble des points (^, ..., xn, xn+1) tels que
(xli - .-,½) e V et 1—xn+1f(x1 , .. ., #n) = 0. Siyest
la restriction à W de la projection
fe, .. -, *„, *n+1) l-> fa, ...,*„)
de A"+1 sur A", on voit aussitôt que u(W) = D(/) et que u
(qui est un morphîsme de W dans V (n° 2)) est une bijec-
tïon de W sur D(/) (W est le graphe de l'application
(xls .. ,,¾) [-> ljf(xls ...,a„) de D(/) dans k). Il reste à
voir que u est un homéomorphisme, et pour cela il suffit
(puisque a est continu (prop. 6)) de montrer que l'image
par u d'un ouvert U de W est un ouvert de D(/). On
peut se borner au cas où U est l'ensemble des
fa, -..»tfn)tf„+i) eW
tels que Pfa, ■■■^A+i) 5* u pour un polynôme P
de AfTj, ..., T„ + 1] (prop. 7); l'ensemble «(U) est alors
l'ensemble des fa, ..., #n) dans D(/) tels que
PC*!, ...,*„, l//fa,...,*n))* 0.
Or, on peut écrire
P(T1; ..., T„, I/F(T„ ..., T„))
= Q(T, TJ/CFfT,, ...,T„))»
pour un entier m > 0, et l'ensemble «(U) est donc aussi
l'ensemble des fa, , %) € D(/) tels que
Qfa, ...,*„)?* 0
d'où la conclusion (prop. 7).
On notera que lorsque A est intègre et / ^ 0, A,
s'identifie au sous-anneau A[l//] du corps des fractions de A,
car la relation fg=0 entraîne alors g = 0, donc
(lemme 1) Phomomorphïsme de A[l//] sur A, qui à gjfn
fait correspondre la fonction (22) est injectif.

34 COURS DE GÉOMÎîTRIE ALGÉBRIQUE
Ilest clair que l'injection canonique j : D(/) -> Spm (A)
est un morphisme, dont le comorphïsme est l'homomor-
phisme canonique e : A ~> A^ défini plus haut. Il
convient de noter ici que les fonctions régulières sur D(/)
ne sont pas nécessairement des restrictions de fonctions
régulières sur Spm (A).
6. Produit d'ensembles algébriques
Soient X C km7 Y C kn deux ensembles algébriques ; on
identifiera A(kfn) au sous-anneau ^[Tj, , TBl] de
A(km+n) = k\T17 ..., Tm + 1(] et A(kn) au sous-anneau
kUn+i> -..»T„+„]. Soient a = t(X), b = t(Y) qui sont
des idéaux radiciels, et soit c l'idéal de ^[Tj, . - -, Tm+„]
engendré par a U b- L'ensemble algébrique V(c) dans
#"+" est donc défini par les équations
p(*l *J = o, Q.(*„+1, ■--,*-*„) =o
où P parcourt a et Q parcourt b, et pai' suite
V(c) = X X Y.
L'algèbre A(X X Y) des fonctions régulières Sur X X Y
est donc canoniquement isomorphe à
D'autre part, le produit tensorîel A(X) ®k A(Y) s'identifie
canoniquement à
(k[Tlt ..., T.,]/,!) % (ft[T„„, .. -, Tm+„]/b) ;
mais le produit tensorîel
ALT,, .. ,T,„]®^[T,„+1 Tm+„]
s'identifie canoraquement à k\Tlt - - •iTm+^\a et l'idéal c
peut s'écrire
n®,«*[T„ + 1 T„, + „] + k\Tt, ..., T„] ®kb
une fois qu'on a fait cette identification; la formule
donnant le produit tensorîel de deux quotients (A, 41) montre

1 - ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 35
donc que A(X) ®k A(Y) s'identifie canonïquement à
AfTj, ..., Tm+n]/c. On a donc un £-homomorpbisme
canonique surjecûf :
(23) 9 : A(X) ®k A(Y) ->A(X X Y)
qu'il est d'ailleurs facile d'expliciter, en notant qu'une
fonction régulière/eA(X) (resp. geA(Y)) est la
restriction à X (resp. Y) d'un polynôme PfTj, ,Tm)
(resp. Q.(Tm+j, , Tm+„) ) ; en vertu de ce qui précède,
9(/@ g) est la restriction à X X Y du polynôme
PfTj, ..., Tm) Q.(Tm+1, .. -, Tm+n), autrement dit c'est
la fonction régulière
(24) (x,y) .->/(*) g{y).
Proposition 9, — Vhomomorphisme canonique (23) est un
isomorphisme de A(X) ®k A(Y) sur A(X X Y).
Comme nous savons déjà que <p est surjectif, il suffit
de voir que 9 est injeclif. Raisonnons par l'absurde; soit
h = ^jfi ®gî un élément 5* 0 du noyau de <p, et sup-
»-1
posons que l'expression de h comme somme de termes
/j®g^0 ait un nombre « ^ 1 de termes le plus petit
possible. Comme les fonctions g~ ne sont pas toutes nulles
dans A(Y), il existe y e Y tel que les «éléments g\i,y) ek
ne scient pas tous nuls; paf définition, on a alors
ÊjiM sdy) = 0
pour tout x e X, donc les fonctions j£ (1 ^ î:^ n) sont
linéairement dépendantes (sur £) dans A(X). Supposons par
exemple que ^ = S <V/$ (¾ eA). Alors
3=2
i>=A®gl+ £/j®a= £j§®(s + «,a)

36 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
et on aurait pour h une expression comme somme de
moins de n termes non nuls, ce qui est contradictoire.
Nous identifierons désormais
A(X x Y) et A(X)<8fcA(Y).
Aux ^-homomorphîsmes canoniques pj ;/h>/© 1 et
p2:£Kl©£ de A(X) et A (Y) dans A(X)©ftA(Y)
correspondent les morphismes prj :XxY->X et
pr2 : X X Y-j-Y, projections canoniques. Ces deux
projections font de X X Y un produit au sens catégorique dans
la catégorie des ensembles algébriques, autrement dit :
Proposition 10, — Etant donnés un ensemble algébrique Z
et deux morphismes u : Z ~>X, y : Z -> Y, ^application
w : Z -^-X X Y dêfiniepar w(z) = («(2), î>(#)) est Punique
morphisme tel que u = prj o w, » = pra o w.
En effet, a; est évidemment Punique application ayant
les propriétés voulues et il suffit de voir que c'est un
morpliisme. Or, on sait qu'il existe un unique £-homo-
morphîsme 8:A(X)8^A(Y)->-A(Z) telqueA(w) =60¾
et A(v) = 60 p2, et comme le morphisme w' :Z~>X X Y
tel que A(w') =6 a les mêmes propriétés que wy on
a w' = w.
Corollaire, — Si u : X -^- X', 0 : Y -> Y' jo«f ^tv
morphismes, ^application u X v : [x,y) h» («(^)3 v(y)) est tin
morphisme de X X Y rfûMj X' X Y'-
On a en effet pr1 0 (u X v) = « et pr2 o (« X f) — f.
On aura soin de noter que la topologîe de Zarisld sur
X X Y est en général strictement plus fine que le produit
des topologies de Zariski sur X et Y, Pour la topologîe
produit, les ensembles
(25) D(/®g)=D(/) xDfe)

1 — ENSEMBLES ALGÉBRIQUES 37
(cf, (24)), où/parcourt A(X) et g parcourt A(Y), forment
une base de la topologie; maïs il y a en général des ouverts
de Zariski dans X X Y qui ne contiennent aucun
ensemble (25) non vide. Par exemple, si X = Y = ky les
ensembles (25) non vides sont les complémentaires des
réunions finies d'ensembles de la forme {x} X Y ou
X X {y}', comme k est infini, aucun de ces ensembles
ne peut être contenu dans le complémentaire de la
diagonale de k\ ensemble algébrique défini par ^ — x2 — 0.
Proposition 11, — Si Xa est une partie fermée de X et
Yj une partie fermée de Y, X.x X Y1 est fermé dans X X Y.
En effet, on peut écrire
A(XJ = A(X)/a, A(YJ = A(Y)/b
où a (resp. t>) est un idéa] de A(X) (resp. A(Y)), donc
A(X, x YJ = A(X,) ®6 A(YJ = A(X X Y)/c
où c = A(X)®b +n®A(Y), donc
X,xY, = V(c).

§ 2. Prévariétés et variétés algébriques
1, Faisceaux de fonctions et espaces de Cartan
Soient X un espace topologique, E un ensemble. On
appelle faisceau de fonctions sur X à valeurs dans E, une
application fF : U K^fU) de l'ensemble des ouverts U
de X dans l'ensemble $($(X X E)) telle que :
lo ^"(U) est un ensemble d'applications de U dans E
(identifiées à leurs graphes) ;
2° &î V est un ouvert de X contenu dans U,
l'application /i-»/|V qui à toute fonction /e^fU) fait
correspondre sa restriction à V est une application de
&(U) dans ^(V) ;
3° si (UK) est une famille d'ouverts de X, U leur
réunion, et si/est une application de U dans E telle que
pour tout a, f\Va appartienne à #"(Ua), alors on a
Les éléments de J^fU) s'appellent aussi les sections du
faisceau W au-dessus de l'ouvert U et on écrit TfU, &)
au lieu de ^(U),
Proposition 1. — Soit 33 une base d'ouverts pour X, et
pour tout ensemble W e 23, soit J^fW) un ensemble
d'applications de W dans E ; on suppose que ces ensembles vérifient les
conditions suivantes :
a) Si W' C W sont deux ensembles de 23, pour toute
fonction /e^(W), /|W' e^(W').
b) Si (Wa) est une famille d'ouverts appartenant à 23, dont
la réunion W appartient à 23, et si f est une application de W

2—PRÉVARIÉTÉS ET VARIETES ALGÉBRIQUES 39
dans E telle que f ] WK e ^"(Wtt) pour tout oc, alors on
afe^ÇW),
Il existe alors sur X un faisceau et un seul & de fonctions à
valeurs dans E tel que TÇW1^r) = ^(W) pour tout Weffi.
Tout ouveit U de X est réunion des ouverts W e 23
contenus dans U; si W existe, FfU, J^") doit donc être
rensemble J^'fU) formé des fonctions dont la restriction
à chacun de ces ouverts W appartient à J^fW), d'où
l'unicité de g? s'il existe et le fait que r(W,^) = ^(W)
pour W e 23, en vertu de a) et b). En outre, il est clair
que les J^'fU) vérifient la condition 2° ci-dessus; reste à
voir qu'ils vérifient aussi la condition 3°, La définition
de J^'fU) montre aussitôt qu'il suffit de vérifier que, si
pour un ensemble WCU appartenant à 23, une
application /de W dans E est telle que pour tout a et pour
tout V e23 contenudans UK n W, onaït/]V e^(V),
alors on a nécessairement / e ^(W), Mais comme la
réunion des ensembles de 23 contenus dans un au moins
des Ua ri W est W tout entier,celarésulteencoredeb).
A l'aide de cette notion, nous allons définir une
catégorie dont nous appellerons les objets espaces de H, Cmian
(relatifs à E) ; ce sont les couples (X, &) formés d'un
espace topologique et d'un faisceau de fonctions J^"sur X
à valeurs dans E, Un morphisme d'un espace de Car-
tan (X, &) dans un espace de Cartan (Y, @) est par
définition une application continue u de X dans Y vérifiant
la condition suivante ;
(*) Pour tout ouvertV de Y et toute fonction geffV,^),
la fonction x\-*g(u(x)) définie dans u~1(V) appartient à
r(«->(v),ff).
Il est clair que le composé de deux morphîsmes est un
morphisme, ce qui montre que l'on a bien défini ainsi
une catégorie.

40 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Proposition 2, — Soient (X, ^), (Y, @) deux espaces de
Carton, 23 (resp. 23') une base d'ouverts pour X (resp. Y).
Pour qu'une application u de X dans Y soit un morphisme, il
faut et il suffit que pour tout x € X et tout voisinage V e 23'
de u(x)3 il existe un voisinage U e 23 de x contenu dans u"1(V)
et tel qiie l'image par l'application gM-(go«)|U deF(Vt&)
soit contenue dans FfU, i^").
La condition est évidemment nécessaire. Inversement,
supposons-la vérifiée; elle entraîne tout d'abord que u est
continue. En outre, soit W un ouvert de Y et g e F(W, CS) ;
pour tout x e«~1(W)> il existe un voisinage U^ €23
contenu dans «_1(W) et un voisinage V^) e23' de u(x)
contenant «(U^ et contenu dans Ws tels que la restriction
de gou à UK appartienne à Y{\Jxi^r)y comme la
réunion des U^ est «"1(W)> on voit que ga u appartient
àr(u~1ÇW)} &).
Soient (X, &) un espace de Cartan, Z une partie
quelconque de X, que nous munirons de la topologîe induite
par celle de X. Soit V un ouvert de Z, trace U ri Z d'un
ouvert U de X. Notons J^'fV) l'ensemble des
applications/de V dans E telles que, pour tout x e V, il existe
un voisinage Wa de x dans X tel que / coïncide dans
Wx C\ Z avec une fonction de rCW^, ^). Il résulte
aussitôt de cette définition que J5"' : V h» &' {V) est un
faisceau de fonctions sur Z à valeurs dans E; on dît que
c'est le faisceau induit par W sur Z, ou la restriction de MF
à Z, et on le note J^JZ. On dit que Pespace de Car-
tan (Z,^~]Z) est induit sur Z par (X,^~); la prop. 2
montre que l'injection canonique j : Z ~> X est un mor-
phisme de (Z, SF ] Z) dans (X, &). Pour tout morphïsme
u : (X, &) -+ (Y, @) d'espaces de Cartan, on dit que
Ua j : (Z, & | Z) -> (Y, f^) est la restriction de u à (Z, & \ Z).
Cette définition montre aussitôt que si Z' C Z, alors
#" ] Z' = (^ ] Z) | Z'. Lorsque Z est ouvert dans X,
J^" ] Z est simplement le faîsceau tel que

2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 41
r(u,^]Z) = r(u,^)
pour tout ouvert U C Z.
Si (Za) est un recouvrement ouvert de X, et sî pour
tout oc, ua est un morphïsme de (Za, ^ ] Za) dans (Y, g?)
tel que, pour deux indices quelconques oc, [3, les
restrictions de «a et wpà (Za ri Zp,^"] (ZK ri Zp)) soient égales,
alors il existe un morphisme et un seul u de (X, &)
dans (Y, @) dont la restriction à chaque (Z^J^ZJ
est «a; cela résulte aussitôt de la prop. 2 et du fait que
si 23« est une base d'ouverts de Za, la réunion des 23«
dans ^3(X) est une base d'ouverts de X.
Supposons maintenant que E soit un anneau commutatîf.
de sorte que pour tout ensemble X l'ensemble Ex des
applications de X dans E est muni d'une structure d'anneau
commutatîf (/+ g étant l'application x \->f(x) -\- g(x)y
fg l'application x \-*f(x) g(x), 0 l'application x h» 0 et
1 l'application # h» 1). Nous dirons qu'un espace de
Cartan (X, &) relatif à E est annelê si pour tout ouvert
UCX, r(U,&) est un sous-anneau de Eu; en vertu de
la prop. 1, il suffit qu'il en soit ainsi pour les ouverts d'une
base de la topologie de X. Si VCU sont deux ouverts
de X, Papplicatîon de restriction TfU,^) -> V{V^)
est alors un homomor^ûsme d'anneaux. Si (X, &) et (Y, S?)
sont deux espaces de Cartan annelés (relatifs à E) et
« : (X,^) -^- (Y, <$) un morphîsme d'espaces de Cartan,
l'application g\->gaU de T(V, S?) dans rfrT^V),^) est
un homcmorphisme d'anneaux pour tout ouvert V de Y,
Il est clair que les espaces de Cartan annelés (relatifs
à E) forment une sous-catégorie pleine de la catégorie de
tous les espaces de Cartan relatifs à E, Pour toute partie Z
de X, l'espace de Cartan induit sur Z par un espace de
Cartan annelé (X, &) est encore annelé.

42 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
2. Faisceau structural sur un ensemble algébrique
Soient A une ^-algèbre réduite de type fini, et
X = Spm (A)
muni de la topologie de Zariski. On a vu (§ 1, n° 5) que
lorsque t parcourt A, les ouverts D(t) forment une base
de la topologie de X; nous allons voir qu'il existe un
faisceau de fonctions <3>x sur X, à valeurs dans k, tel que
pour tout (eA, on ait
(1) T(D(0, 0X) = A,;
(X, 6\) sera alors un espace de Cartan annelé (n° 1).
Nous allons d'abord montrer que les A; (t e A)
vérifient (pour la base d'ouverts formée des D(f)) les
conditions a) et b) de la prop. 1. Observons que par
définition (§ 1, n° 5), on a :
(2) B(tn) = B(t) pour tout entier n > 0.
En outre (§ 1, cor. de la prop. 2), la relation
V(As)DV(At)
pour s, t dans A équivaut à t(As)Cx(At) ou, ce qui
revient au même, à s et(At), c'est-à-dire à l'existence
d'un entier n >■ 0 tel que sn ~ ht avec h e A. Compte
tenu de la définition de D(ï) et de (2), on voit que les
ensembles D(s) tels que D($)CD(ï) sont lèsensemb les D(kt),
où h parcourt A. La formule (22) du § 1, n° 5, montre
alors que l'on a :
(3) Au = (At)m
car on peut écrire fl{ht)n={flt^)j{hjt)n pourtoute
fonction /eA, et il est clair que la restriction à T)(ht) de
toute fonction g€At appartient à Aw, ce qui vérifie
la condition a) de la prop. 1.
Pour établir la condition b) de la prop. 1, on peut se

2 — PRKvARIKTÏiS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 43
borner, en vertu de (3), à établir que si (ta) est une famille
quelconque d'élément-s de A telle que les D(£a) forment
un recouvrement de X, alors toute application /: X ~>A
telle que/]D(£a) appartienne à A,a pour tout indice oc,
est une fonction régulière sur X. Par définition (§ 1, n° 5,
formule (22)), pour tout a, il existe un entier »za >■ 0 tel
que t^f eA. Comme X est ncethérien, donc a fortiori
quasi compact (T, 10), il existe un nombre fini
d'éléments taiy que nous noterons simplement t€ (1 < i ^ «),
tels que les 1)(¾) forment déjà un recouvrement de X.
Mais cela signifie aussi que l'inter.section des ensembles
fermés VfA^) est vide, autrement dit (§ 1, prop. 1) qu'il
n'existe aucun idéal maximal de A contenant l'idéal
S Ati} ou encore que S Att = A. Remplaçant les %
£-1 i=-l
par les t\n pour un entier m ^ 1 quelconque, on voit
(compte tenu de (2)) qu'il existe des &eA tels que
(4) S&*T= ••
On peut supposer m choisi de soite que tinfeA pour
1 < i < «, etalorsona/= ( S £^)/= S &(C/) eA,
ce qui achève de prouver notre assertion.
Nous dirons que 0X est le faisceau structural de l'ensemble
algébrique X = Spm (A) ; il est clair que la donnée de
ce faisceau détermine A puisque, par définition, on a
(5) T(X, 0*) = A.
En outre, si B est une seconde ^-algèbre réduite de type
fini et Y = Spm (B), il y a identité' entre morphîsmes de
l'ensemble algébrique X dans l'ensemble algébrique Y
(§ 1, n° 3) et morphîsmes d'espaces atinelés de (X, 0X)
dans (Y, 0Y). En effet, soit u un morphlsme d'espaces

44 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
annelés de (X, 0X) dans (Y, G)Y) ; en vertu de la
condition (*) du n° 1 appliquée à F(Y, @Y) = B, « est un
morphisme d'ensembles algébriques de X dans Y.
Inversement, soient v : X ~> Y un tel morphi&mc, <p : B -*■ A
son comorphisme ; on a vu que pour tout t e B, on a
iri(D(ï)) ^ D(9(f)) (§ 1, n° 5, formule (21)); d'autre
paît, une fonction g e T(D(t), àY) est par définition de
la forme y\-ïh(y)l(t(y))n dans D(ï); la fonction go v
s'écrit par suite
"HiW«))/(([«'=(9(J)[«))/(9(l)(<))"
ce qui montre aussitôt que g\-*gav est un homomor-
phisme de A-algèbres de Bj = V(D(t)3 G)Y) dans
a*» - r(»-i(D(0), ^x) ;
la prop. 2 montre alors que v est un morphisme d'espaces
annelés.
Pour tout ensemble algébrique abstrait X (§ 1, n° 3), qui
est par définition isomorphe à un ensemble algébrique de
la forme Spm (A), on définit de façon évidente le faisceau
structural 6\ par transport de structure, et i] y a encore
identité entre morphismes d'ensembles algébriques et
morphîsmes des espaces annelés correspondants. Les
espaces annelés (X, 0X) correspondant aux ensembles
algébriques abstraits forment donc une sous-catégorie de la
catégorie des espaces annelés (relatifs à k)> équivalente à
celle des ensembles algébriques abstraits. Nous appellerons
variétés algébriques affines sur k (ou simplement variétés
affines) les objets de cetLe sous-catégorie.
3. Prévariétés algébriques
Définition 1. — Une prèvariàè algébrique sur k (ou plus
brièvement une prévariétè) est un espace de Carton an-
tielê (X, 6¾ relatif a k, satisfaisant aux conditions suivantes ;

2 — PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGEBRIQUES 45
1° Vespace X est nœtkérien (T, 9).
2° II existe un recouvrement (Ua) de X tel que chacun des
espaces annelés induits (UK, 0X ] Ua) soit une variété algébrique
affine sur k.
Tout ouvert U d'une prévariété X tel que (U, 0X ]U)
soit une variété affine sera appelé un ouvert affine de X.
11 est clair qu'une variété affine est une prévariété.
Proposition 3. — Une prévariété algébrique X est un
espace topologique dont les ensembles réduits à un point sont
fermés, et qui admet une base d'ouverts formée d'ouverts affines.
La seconde assertion résulte de la définition 1 et de la
propriété analogue pour les variétés affines (§ 1, n° 5,
prop. 7). D'autre part, une partie F de X est fermée si
et seulement si F ri Ua est fermé dans chacun des sous-
espaces ouverts Ua, et par suite la première assertion
résulte aussi de la propriété correspondante pour les
variétés affines (§ 1, n° 4, prop. 5).
Corollaire. — Pour tout ouvert U d'une prévarîété X,
l'espace annelé induit (U, 0X ] U) est une prévariété.
On sait en effet que tout sous-espace d'un espace
ncethérïen est ncethérïen (T, 9) et, d'autre part, si 23 est
une base d'ouverts affines de X, les ensembles de 23
contenus dans U forment une base de U,
Proposition 4, — Pour tout ensemble localement fermé Z
d'une prévarîété X, l'espace annelé induit (Z, 0x|Z) est une
prévariété.
Tout ensemble localement fermé dans X étant ouvert
dans son adhérence, il résulte du cor, de la prop, 3 qu'on
peut se limiter au cas où Z est fermé dans X. Si (UfJ est
un recouvrement de X formé d'ouverts affines il suffit de

46 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
montrer que les espaces annelés (Z ri Ua, 0X\(Z C\ UK))
sont des variétés affines, autrement dit on est ramené au cas
où X = Spm (A) est une variété affine, donc Z = V(a),
où a est un idéal radicîel de A. Soit 9 : A -> A/a l'homo-
morphîsme canonique, de sorte que j = Spm(<p) est
l'injection canonique Z ~> X; lorsque t parcourt A, les
ouverts D(<p(t)) =j~1(B(t)) = D(ï) n Z forment donc
une base d'ouverts de Z. Or, dans D(ï) = Spm (A(),
l'ensemble fermé D(t) C\ Z n'est autre que Vfuj), où
at est l'idéal formé des fonctions x h-* g[x) j[t[x) )" pour
g e a et « entier ^ 0. En effet, il est clair qu'une telle
fonction s'annule dans D(£) C\Z; inversement, si fe A
est telle que f(x) = 0 dans D(ï) n Z, il est clair que la
fonction y\->f{y)t{y) est nulle dans Z, donc tf e a, et
la restriction x\-*f(x) de f à D(ï) peut aussi s'écrire
x h» (f[x)t(x)) ft(x). L'anneau A,/0( est donc formé des
restrictions à Z ri D(t) des fonctions h eAjj il est
immédiat que cet anneau peut aussi s'écrire (A/a) j, où F~ <p (ï),
Le résultat du n° 2 appliqué à l'ensemble algébrique
Z = Spm (A/a)s et la définition d'un faisceau induit
montrent alors que 0Z n'est autre que le faisceau induit 0X ] Z.
On dit que la prévariété (Z, 0X|Z) est une foitf-
prévûriéteôc la prévariété (X, 0X). Lorsqu'on parlera d'une
partie localement fermée Z de X comme d'une prevaniété,
ce sera toujours de la sous-prévariété (Z, 0X\Z) qu'il
sera question.
On définit la catégorie des prévarïéiés sur k en prenant
comme morphismes de prévariétés les morphïsmes
d'espaces de Cartan, de sorte que cette catégorie est une
sous-catégorie pleine de la catégorie des espaces de Cartan
relatifs à k. Autrement dit, un morphisme :
h : (X, 0,0 - (Y, ffy)
de prévaiïétés est une application de X dans Y vérifiant
la condition suivante :

2 - prévAriétés et variétés algébriques 47
(**) Pour tout ouvert affine V de Y et tout x e rT^V),
il existe un ouvert affine U C w-1(V) contenant x et tel que la
restriction de u à U soit un morphisme (f ensembles algébriques
de U dans V.
Un isomorphisme u : (X, (¾ -^- (Y, <3>y) de prévariétés
est donc une application bijective de X dans Y vérifiant
la condition :
(***) Pour tout ïeX, il existe un ouvert affine U
contenant x et tel que la restriction de u à U soit un isomorphisme de U
sur un ouvert affine de Y.
Une application vérifiant (***), mais non
nécessairement bijective, est un morphisme de X dans Y; on dit
que c'est un isomorphisme local de X dans Y.
Remarque. — L'image d'une partie localement fermée
d'une prévariété X par un morphisme u : X -> Y n'est
pas nécessairement localement fermée dans Y; c'est ce
que montre Vexemple (xltx^ h» (x1x2>x^i où l'image
de A2 est le complémentaire dans k2 de l'ensemble des (ï, 0)
pour iyt 0 dans A.
Exemples. — Une application constante u : * l->J,0 d'une
prévariété X dans une prévariété Y est un morphisme;
on est aussitôt ramené par (**) au cas où X = Spm (A)
et Y = Spm (B) sont affines, et si y0 — V(lTt)» on a
u = Spmftp); 9 étant rhomomorphJBrne composé :
b4-a-^a
où x est l'homomorphisme canonique de noyau m, et
k ~> A l'homomorphisme canonique.
Une fonction régulière f sur une prévariété X
(autrement dit, un élément de F(X, 0X)) est un morphisme
de X dans la droite affine k en vertu de (**) et du fait
que la restriction de f à tout ouvert affine U est une
fonction régulière.

48 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Pour tout morphisme de prévariétés :
u : (X, 0X) - (Y, 0Y)
l'application
(6) r(U):r(Y,oY)-*r(x,ox)
qui à toute section g e F(Y, 6\) fait correspondre
go u e r(X, (Px) est évidemment un homomorphisme de
A-algèbrcs, mais en général elle ne détermine plus le
morphisme u (cf. § 3, n° 2). Toutefois, la proposition
suivante généralise la prop. 3 du § 1 :
Proposition 5. — Supposons que Y soit une variété affine.
Alors, pour toute prévarîété X, Vapplication «h» F(«) «f une
bijectlon de Censemble des morphismes de X dans Y rar /Vn-
«Biife Hbmfrate.(r(Y, 0y), T(X, 0X)).
En effet, soit (Ua) un recouvrement de X par des
ouverts affines, et considérons pour tout a l'homomor-
phisme g h» (g o u) ] Ua de £~algèbres de F(Y, 0Y) dans
r(UK, 0X) ; si «K : Ua -^ Y est le morphisme restriction
de « à UK, g h» (go u) ]UH est l'homomorphisme A(«a).
Si «' est un second morphisme de X dans Y, la relation
gou = g ou' pour toute section g e F(Y, @Y) entraîne
donc que les restrictions de u et u' à chaque Ua sont
égales (§ 1, prop. 3), et par suite u — u puisque les Ua
recouvrent X Reste à voir que pour tout
^-homomorphisme 9 : F(Y, 0Y) -> T(X, 6^), ilexisteun morphisme
u : X ^ Y tel que 9 =. F(«). Or, pour tout a,
l'homomorphisme composé T(Y, G>Y) X T(X, 0X) -> T(UH, C\),
où le second homomorphisme est Phomomorphisme de
restriction, est de la forme Afw^), où ua : Ua ->■ Y est un
morphisme (§ 1, prop. 3); il suffit de montrer que pour
deux indices quelconques a, (3, les restrictions de ua et «p
à Ua ri Up sont égales. Mais comme les ouverts affines
forment une base d'ouverts de X, il suffit de voir que
pour tout ouvert affine VCUarïUp, les restrictions

2 - PRÉYARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 49
<le ua et «p à V sont égales. Or, cela résulte du § 1, prop. 3
i-t du Êiit que ces restrictions ont même comorphisme
P(Y, &Y) X T(X, 0X) ~» T(V, c\), où le second homo-
morphisme est l'homomorphisme de restriction.
Corollaire. — Pour qu'un ouvert U dans une prévariété yi
soit un ouvert affine, il faut et il suffit que FfU, 0X) soit une
h-algèbre de type fini et que le morphisme :
u :U->Spm (r(Usc\))
tel que F(y) soit l'application identique de F(U, c\), soit un
isomorphlsme.
Ce critère permet de voir qu'il y a des variétés affines X
dont certains ouverts U ne sont pas des ouverts affines.
Prenons par exemple X = k2 = Spm (^[Tx, T2]) et
montrons que l'ouvert U ==k2— {(0, 0)}, complémentaire
du point (0, 0), n'est pas affine. En effet, U est réunion
des deux ouverts affines Ux = 1)(¾ et U2 = DfTg);
une fonction régulière f dans U a pour restriction à TJX
une fonction régulière qui est nécessairement de la forme
(¾, x2) k P(x1, #2) /4', où Pe A[Ti, TE] est un
polynôme et m un entier ^ 0; on peut évidemment supposer
que P n'est pas divisible par Tx. On a donc :
^/(^,^2)-^1,½) =0
dans Uxj mais le premier membre est défini dans U et
est une fonction continue, donc l'image réciproque de 0
par cette fonction est fermée dans U, et comme Uj est
dense dans U (et même dans X), on a :
*?/(*!, xg) =P(#1,#2)
dans U ; en particulier, si m ^ 1, P(0,.%) = 0 pour
tout xz ^ 0, ce qui est contraire à l'hypothèse que
P n'est pas divisible par Tx. On voit donc que/est néces-

50 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
sairement la restriction à U d'un polynôme, évidemment
unique puisque k est infini. Autrement dit, on a :
rcu.tf^rfx.tfx);
le morphisme u : U ~> Spm (T(X, 6¾) = X tel que
T(u) = id. coïncide dans Ux et U2 avec l'injection
canonique, donc est l'injection canonique U —> X, qui n'est
évidemment pas un isomorphisme.
Remarques. — (i) Soient X une prévariété, U, V deux
ouverts affines de X; alors les ouverts WCU C\ V qui
sont principaux à la fois pour U et V (n° 5) forment une
base d'ouverts dans U C\ V. En effet, tout * e U C\ V
a un système fondamental de voisinages formé des
D(î)CUoV, avec s e A(U). Or, pour chacun de
ces voisinages D(s), il y a un î e A(V) tel que D(ï)
soit un voisinage de x contenu dans D($); si
9 : A(V) -+ A(U)t = A(D(»)
correspond à l'injection canonique D(s) ~> V, on a
aussi D(/) = D(9(/))3 mais <p(t) est de la forme s'fsm
avec s' eA(U); on a donc aussi D(9(ï)) = D(ss') avec
ss' e A(U), ce qui prouve notre assertion.
(ii) Soient X, Y deux prévariétés, et soit Z la somme
des espaces topologiques X, Y (X et Y étant identifiés à
deux ouverts sans point commun dans Z, dont la réunion
est Z). Il est clair qu'on définit sur Z une structure de
prévariété en prenant F(U, &z) = F(U3 6¾ pour tout
ouvert UCX et V(V3 07) = T(V, 6>x) pour tout
ouvert VC Y (prop. 1); on dit que cette prévariété est la
somme des prévaiïétés X, Y, et on la note X 11 Y. Si X
et Y sont affines, il en est de même de X 11 Y et l'on
a A(X 11 Y) = A(X) x A(Y), et X = V({0} x A (Y))
et Y = V(A(X) X {0}) en vertu de la caractérisation
des idéaux maximaux dans un produit d'anneaux (A, 10).

2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 51
4. Produit de puévariétés
Soient X, Y deux prévariétés algébriques sur k; pour
tout ouvert affine U C X et tout ouvert affine V C Y,
nous avons vu que l'ensemble U X V est canoniquement
muni d'une structure de variété affine pour lesquelles les
fonctions régulières sont les fonctions de la forme
où les ft (resp. &) sont des fonctions régulières sur U
(resp. V) (§ ls n° 6). Cela entraîne tout d'abord qu'il
existe sur X x Y une topologïe et une seule qui induit
sur chaque produit U X V d'ouverts affines la topologie
de Zariski correspondanle (qui, rappelons-le, n'est pas en
général la topologïe produit des topologies de Zariski
de U et de V). En effet, pour le prouver, il suffit de
montrer que si U' (resp. V) est un second ouvert affine de X
(resp. Y), alors les topologies induites sur
(U x V) n (U' x V) = (U n U') x(Vn V)
sont les mêmes. Or, soit (x,y) un point de ce produit,
de sorte qu'il existe un ouvert affine U" C U ri U' (resp.
V" C V Pi V') contenant x (resp.y) ; les topologies induites
par les topologies de Zariski de U X V et de U' X V
sur U" x V" sont toutes deux identiques à la topologie
deZariskisur U" X V", cette dernière étant entièrement
déterminée par l'algèbre A(U" X V") = A(U")<>\A(V")
des fonctions régulières sur U" X V", qui est la même,
que l'on considère U" X V" comme ouvert affine dans
U x V ou dans U' X V; les voisinages de (x,y) dans
(U x V) Pi (U' X V) sont donc les mêmes pour les
topologies induites par celle de U x V et par celle de
U' X V'j ce qui prouve notre assertion. On voit en outre
que, pour cette topologie, les ensembles W qui sont des
ouverts affines dans un produit U x V d'ouverts affines3
forment une base d'ouverts, et que les £-algèbres A(W)

52 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
définissent, en vertu de la prop. 2, un faisceau de
fonctions @xxy tel clue l'espace de Cartanaunelé (X X Y, 0Xx y)
vérifie la condition 2° de la déf. 1. Mais il vérifie aussi
la condition 1° puisque X (resp. Y) est réunion d'un
nombre/mî d'ouverts affines U4 (resp. Vj-), donc X x Y
est réunion des sous-espaces ncethériens U^ x V,- en
nombre fini, et par suite est ncethérien (T, 9). Nous avons
ainsi défini sur X x Y une structure de prévariété3 dite
produit des prévariétés X et Y.
Proposition 6. — Soient X, Y deux prévariétés^ Xj
(fesp. Yj) une partie localement fermée de"K (resp. Y). Alors
Xx X Y, est localemerd fermé dans X X Y et la sous-
pnévariété Xi X Y^^ est le produit des sous-prévariétés X1? Yx
respectives de X et Y.
Un ensemble localement fermé d'un espace topologique
étant ouvert dans un sous-espace fermé, on peut se limiter
au cas où Xj et Yx sont tous deux ouverts ou tous deux
fermés. Dans le premier cas, la proposition résulte aussitôt
de la définition du produit. Dans le second cas, on est
ramené à prouver que si U (resp. V) est un ouvert affine
de X (resp. Y)
(UxV)n(X,xY,) = (Un Xj x (V n Yt)
est fermé dans U x V et, en tant que variété affine, est
produit de \J C\'K1 et de V rï Y±; niais ceci n'est autre
que la prop. 11 du § 1, n° 6.
Proposition 7. — Soient X3 Y deux prévariétés.
(i) Les projections prx : X X Y^X,pr2:X X Y -> Y
sont des morphismes.
(ii) Pour tout Xq e X (resp. j>e eY), ^application
j>h» (x0,y) (resp. x h» (x7y0)) est un isomorphisme de Y
(resp. X) sur la sous-prévariélé fermée {x0} X Y (resp.
X X{j>c}) <** X x Y.

2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 53
(iii) Pourtout couple demorpkîsmes u : Z ~> X, v ; Z ~> Y,
F application (u, v) : zh- (u(z)) v(z)) est un morphisme de Z
dans X x Y.
(i v) Pour tout couple de morpkîsmes u : X' ~> X, v : Y' -> Y,
Fapplication uXv : (a/,./) h» («(#*), z>(y)) est un morphisme
de X' X Y' rf<™ X X Y.
(i) Tout point (#,J>) admettant un voisinage ouvert
affine U x V, où U (resp. V) est un voisinage ouvert
affine de x (resp>j>), la restriclion de prx (resp. prg) à
U X V est la première (resp, seconde) projection de ce
produit, d'où la conclusion (§ 1, n° 6) ,
(iii) Pour tout z eZ, il y a un voisinage ouvert
affine U (resp. V) de «(2) (resp. v[z)) dans X (resp. Y)
et un voisinage ouvert affine W de z dans Z tels que
w(W)CU et f(W)CV; la conclusion résulte alors du
§ 1, n° 6, prop. 10.
(iv) On a prx o (u X v) — «, pr2 o (u X v) — v, et il
suffit d'appliquer (iii).
(îî) Comme y\->(xc,y) est une bijection de Y sur
{xc} X Y3 on est encore ramené, en prenant des
voisinages ouverts affines, au cas où X et Y sont affines. Mais
si X = Spm(A), Y = Spm(B) et {*„}=V(m), où
m est un idéal maximal de A, il suffit d'observer que
puisque A/m est isomorphe à k, l'homomorphisme
canonique B -^- (A/m) ®k B est bijectif.
Il résulte en particulier de la prop. 7 que les bijections
canoniques de commutalivité : (x,y) h» (y, x) de X x Y
sur Y X X, et d'associativité : ((x,y), z) h» {x, {y, z))
de (X X Y) X Z sur X X (Y X Z) sont des isomor-
phismes de prévariétés, d'où la définition du produit
Xj X Xa X ... X XJV d'un nombre quelconque de
prévariétés et ses propriétés usuelles.

54 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
Corollaire. — (i) *S¥ X et Y sont non vides, la topologie
de X (resp. Y) est la topologie quotient de celle de X x Y par
la relation pr^ — pr^' (resp. pr22 = pr22').
(ii) Si X et Y sont des préoariétés irréductibles, X X Y est
irréductible.
(i) Il s'agit de voir que si F est une parlie de X telle
que F X Y soit fermé dans X X Y, alors F est fermé
dans X. Mais pour tout y e Y
(F x Y) n (X x {y}) = F x {y}
est fermé dans X x {y}, et la conclu-sion résulte de ce
que x h- (x,y) est un isomorphjsme de X sur X x {y}.
(ii) Soit (x0,y0) un point de X x Y. Comme{xc} x Y
est une sous-prévariété irréductible de X x Y, elle est
contenue dans la composante iiréductible C de X x Y
contenant (x0,y0). Alors, pour tout ^eY, X x {y} est
une Kous-prévariété irréductible de X x Y rencontrant C
au point (x0,y), donc contenue dans C. Cela prouve que
C = X X Y
Remarque. — Nous montrerons plus tard (§ 4, cor. de
la prop. 15) que les projections canoniques prx et pr2 sont
des applications ouvertes.
5. Recollement de prévariétés
Considérons une famille finie (X^) de prévariétés, et
supposons que pour tout couple (a, (3) d'indices, il existe
un ouvert Xap de Xa, un ouvert XPa de Xp et un iso-
morphisme <ppo, de la prévariété induite par Xa sur X^p,
sur la prévariété induite par Xp sur X^, de sorte que les
conditions suivantes soient vérifiées :
I) X^a = Xa el fpaa = lj- pour tout a.
IT) 9pw et 9xp sont des isomoqjhisraes réciproques l'un
de l'autre.

2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 55
III) Pour trois indices quelconques a, (3, y, notons
9p"£ la restriction de <ppK à XaP ri X^; alors <pp"£ est un
isomorphismc de Xap ri X^ sur Xp^ ri XpTS et l'on a
(condition de recollement) :
(7) 9t* s 9¾ ° 9p* •
(On observera que la condition II) est conséquence de I)
et III) lorsqu'on y fait y ~ a.)
On sait alors qu'il existe un espace topologique X ets
pour chaque indice a, un homéomorphisme <]>a de Xa sur
un ouvert 4j«(Xa) de X, de sorte que X soit réunion des
(Jja(Xa), que l'on ait :
WXJ = *B(Xpo) - 4»B(X„) r, 4.p(Xp)
et 9p«(*«) = 4^(4^(¾))
pour tout xa eXap, quels que soient les indices a, (3.
Cela éLant, on peut transporter le faisceau de
fonctions 0-v sur Xa en un faisceau de fonctions^ sur <Jja(Xa)
au moyen de l'homéomorphisme <]>a; cela signifie que
pour tout ouvert U C i]>a(X.a), ^.(U) est l'ensemble des
fonctions z v-> g(ty~ 1(z)), où g parcourt F(iJj~ 1 (U), &XJ.
Nous al Ions voir que les.^, sont les restrictions aux^fXJ
d'un unique faisceau de fonctions <3>x sur X et que (X, 0-^
est une prévariété telle que, pour tout a, tya soit un isomor-
pklsme de la prévariété Xa sur la prévariété induite parX
sur ^(Xa).
Compte tenu de la prop. 1, et du fait que si 23K est une
base d'ouverts de (Jitt(Xft), la réunion 23 des 23« dans *J3(X)
est une base d'ouverts de X, il suffit de montrer que les
restrictions de &a et de ^ à ^(¾ ri tJjp(Xp) sont
égales. Or, pour tout ouvert WC^JXJ ri tJipfXp), on
a ^p1^) = <Pp«(<IJ«1(Jï)) pour tout z e W; les fonctions
de ^p(W) sont les fonctions g o tjjp 17 où g parcourt
Fftjjp 1(W),filx ) ; mais, par hypothèse, les fonctions go çpa
sont alors les fonctions de FftJj^fVV), ^xj* d'où notre

56 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
assertion. Il est clair que X, réunion d'une famille finie
d'espaces nœthériens, est nœthérien (T, 9), et si on prend
pour chaque 23a une base d'ouverts affines de t^fX^),
23 est une base d'ouverts affines pour X, qui est donc bien
une prévariété; le fait que les tya sont des isomorphismcs
de prévariétés résulte de leur définition et de celle de 0X.
On dit que la prévariélé X est obtenue par recollement
des prévariétés Xq. le long des Xap au moyen des 9Pa. On
identifie d'ordinaire les Xa aux prévariétés i]>a(Xa)
induites par X, au moyen des isomorphismes tytt.
6. Variétés Algébriques
Proposition 8. — Pour toute variété affine X, la
diagonale Ax est un ensemble fermé dans X x X. Pour toute
prévariété X, la diagonale Ax est un ensemble localement fermé
dans X x X.
Si X est une variété affine, X X X est un sous-espace
de kn x kn, et Axest la trace sur X X X de la diagonale
de kn\ on est donc ramené, pour la première assertion,
au cas X = knt et dans ce cas la diagonale est l'ensemble
algébrique défini dans k2n par les équations polynomiales
Xj — jh + n = 0 pour l^j^n. La seconde assertion
découle de la première, puisque tout point z e Ax a un
voisinage ouvert dans X X X de la forme U X U, où
U est un ouvert affine de X, et Ax n (U X U) = Au.
Corollaire. — Soient X, Y deux prévariétés (resp. deux
variétés affines), u : X ~> Y un morpkisme. Le graphe Tu de u
est alors localement fermé (resp. fermé) dans X x Y et le
morphisme graphe x h» (x, u(x)) de u est un isomorphisme de X
sur la sous-prévariété Tude X x Y
La première assertion résulte de la prop. 8 et de ce
que Yu est l'image réciproque de AY par le morphisme
(x,y) h-* (u(x), y) de X X Y dans Y X Y. La seconde

2 - PREVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALCEBRIQUES 57
provient de ce que la restriction à Fw de la projection prx
est un morphisme réciproque du morphisme graphe.
Définition 2. — On appelle variété algébrique sur k (ou
plus brièvement variété) toute prévarîété algébrique X sur k
telle que la diagonale Ax soitfermée dans X X X.
La prop. 8 montre qu'une variété affine est une variété
algébrique, ce qui justifie la terminologie adoptée.
Proposition 9. — (i) Toute sous-prévarie'té d'une variété est
une variété.
(ii) Le fjroduit de deux variétés est une variété.
(iii) Soient X une prévariété, Y une variété. Le graphe de tout
morphisme de X dans Y est fermé dans X x Y.
(iv) iSï X est une variété, la diagonale de tout /jroduit X"
est fermée.
SiXestsous-prévariétédeY, Àx est la trace sur X X X
de AY, d'où (i). Si X et Y sont deux variétés, AXxy est,
dans le produit (X X Y) x (X x Y), identifiée au sous-
ensemble Ax X AY dans (X x X) x (Y X Y), d'où (ii).
La preuve de (iii) est la même que celle du cor. de la
prop. 8. Enfin, (iv) résulte de (ii) et (iii), car la diagonale
de X" est le graphe du morphisme x h» (x, x> —, x) de X
dans X""1.
On dit qu'une variété est quasi qfftne bi elle est isomorphe
à une sous-variété d'une variété affine; on a vu (n° 3)
qu'une variété quasi affine n'est pas nécessairement affine.
L'importance de la notion de variété tient au théorème
suivant :
Théorème 1. — iSbïf X une /jrévariété. Les propriétés
suivantes sont équivalentes :
a) X est une variété.
b) Quels que soient les ouverts affines U, V dans X, U n V

58 COURS DE GÉOMÉTRIE ALCÉBRIQUE
est un ouvert affine, et l'algèbre A(U ri V) des fonctions
régulières sur U ri V est engendrée par les fonctions x\-*f(x)g(x)
(x e\J (~\ V), où f (resp. g) parcourt l'algèbre des fonctions
régulières sur U (resp. sur V).
c) Pour tout couple de morpjnsmes u, v d'une prévariété Z
dans X, Vensemble des z e Z tels que u{z) = v[z) est fermé.
Il est immédiat que c) entraîne a), en prenant ;
Z — X X X, u — pr1} v = pr2.
Inversemenl, si a) est vérifiée, l'ensemble des z e Z tels
que «(2) = v(z) est l'image réciproque de la diagonale Ax
par le morphisme (u, v) : z h» (u(z), v(z)) de Z dans
X X X, donc est fermé.
Comme les ensembles ouverts U x V, où U et V sont
des ouverts affines dans X, forment un recouvrement
de X x X, il revient au même de dire que Ax est fermée
dans X X X, ou de dire que (U X V) ri Ax est fermé
dans U X V pour tout couple d'ouverts affines U, V.
Or (cor- de la prop. 8), l'application x H- (x, x) est mi
isomorphisme de la sous-prévariété U ri V de X sur
la sous-prévariété (U X V) fï Ax de la variété affine
U X V; pour que (U X V) ri Ax soit fermé dans
U X V, il est d'abord nécessaire que U ri V soit un
ouvert affine. Inversement, si cette condition est vérifiée,
pour que (U X V) ri Ax soit fermé dans U x V, il
faut et il suffit que le comorphisme A(U x V)->A(Uri V)
du morphisme x k (x, x) de U ri V dans U X V soit
surjectif (§ 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 6) ; d'où l'équivalence
de a) et c), compte tenu du § 1, n° 5, prop. 9.
On applique le plus souvent la propriété c) sous la
forme suivante : si dans une partie E de Z. on a u(z) = v(z),
alors on a aussi u(s) = v(z) dans E (principe de
prolongement des identités).

2 ~ PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRIQUES 59
Remarque. — La preuve du th. 1 montre que pour
que X soit une variété, il suffit que pour un
recouvrement 91 de X formé d'ouverts affines, deux quelconques
des ouverts appartenant à 91 vérifient la condition b).
Exemple. — Soient Xj, Xg deux variétés affines
identiques à la droite affine k, et, pour éviter des confusions,
notons Ot et 02 le point 0 dans Xx et X2 respectivement,
Vt (resp. U2) le complémentaire de Ox dans Xx (resp.
de ô2 dans X2). Recollons ~KX et X2 le long de L^ et U2,
au moyen de l'application identique Uj ~> U2 (n° 5) ;
la prévariété obtenue X est donc réunion de Xj et X2,
identifiés à des ouverts affines; on a X, ri X2 = U,
ouvertaffineidentifiéàUjetUgjet X — U estl'ensemble
des deux points (distincts) O, et Os. On voit aussitôt
que (Xi X Xg) ri Àx s'identifie au complémentaire du
point (0, 0) dans Àw lorsqu'on identifie Xj X Xg à A2,
donc Ax n'est pas fermé dans X x X et X n'est pas
une variété. On observera que cependant l'intersection
de deux ouverts affines de X est toujours un ouvert affinr.
un ouvert affine de X étant nécessairement contenu
dans Xj ou dans Xg.
Proposition 10. — Soient X, Y deux variétés irréductibles.
Tout morphisme u : X —> Y qui est un isomorphisme local est
iiyectif (et par suite un isomorphisme de X sur une sous-
variété ouverte de Y).
Raisonnons par l'absurde en Supposant qu'il existe
deux points distincts x, x' de X tels que u(x) = u{x') ~ y.
Par hypothèse, il y a un ouvert U (resp. U') de X
contenant x (resp. x') tel que la restriction de u à U (resp. U')
soit un isomorphisme de U (resp. U') sur un ouvert V
(resp. V) de Y; soit g (resp. g') l'isomorphisme réciproque
de cette restriction ; g et g' sont donc deux morpliismes de
l'ouvert VnV de Y dans X. Mais UnU' est un

60 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
ouvert non vide de X puisque X est irréductible, donc
k(U ri U') est un ouvert non vide de Y (isomorphe à
U ri U') contenu dans V ri V, et par suite dense dans
V ri V puisque Y est irréductible. On aurait donc deux
morphismes g, g' de V ri V dans X qui coïncident dans
w(U ri U') et seraient tels que g{y) ^ g'(y), ce qui est
absurde puisque X est une variété (th. 1).
Notons enfin les critères simples suivants assurant qu'une
prévariété est une variété.
Proposition 11. — Soit u: X~>Y un morphisme de
prévariétés. Supposons que Y soit une variété et qu'il existe un
recouvrement ouvert (VR) de Y tel que chacun des ouverts u~l (Va)
dans X soit une variété. Alors X est une variété.
Posons Ua = u~l(Va); comme les Va recouvrent X,
il s'agit de prouver que Ax ri (Ua X Up) est fermé
dans Ufl X Up. Considérons le morphisme :
v ~ u X u : (x, x') h» (u(x), u(x'))
de X x X dans Y X Y; par hypothèse Ay n (Va X Vn)
est fermé dans Vtt X Vg, donc v~x(àY C\ (Va X Vp))
est fermé dans Ua X U^; en outre, par définition, on
a v~l(àY n (V„ X Vp))CUa X Ua; plus précisément,
on vérifie aussitôt que l'on a :
Ax r> (UB x UJ =
ir»(AY r, (VB x Vp)) r, (Ax r, (UB x Ua)).
Or, l'hypothèse entraîne que Ax *~i (Ua X Ua) est fermé
dans Ua X Ua, et son intersection avec
ir*(AYn(Va x VB))
est donc fermée dans ce sous-espace de Uff XU,.

2 - PRÉVARIÉTÉS ET VARIÉTÉS ALGÉBRlQtlES 61
Proposition 12. — Si, dans une /jrévariété X, deux points
quelconques apfjartienneni à un ouvert affine de X, alors X est
une variété.
En effet, soient x> y deux points distincts de X, U un
ouvert affine de X contenant * ety. Alors (U X U) ri Àx
est fermé dans U x U, donc son complémentaire dans
U X U est un ouvert dans U X U (et a fortiori dans
X X X) qui contient (x,y) et ne rencontre pas Ax. Cela
prouve que Àx est un ensemble fermé dans X x X.

§ 3- Variétés projectives
et variétés complètes
1. L'espace projectif P„(&)
En Algèbre linéaire élémentaire, V « espace
projectif» P„(&) (ou simplement P„), pour un entier n ^ 0, est
un ensemble que l'on peut définir, soit comme Pensemble
des droites (passant par l'origine) dans l'espace
vectoriel k*1*1, soit comme ensemble quotient de l'ensemble
kn+1— {0} par la relation d'équivalence dont les classes
sont les traces sur cet ensemble des droites de kn+1. Il est
d'usage de désigner les coordonnées d'un point x eA""1-1
(dans les questions faisant intervenir l'espace projectif)
par x0yxlt —, xn; rappelons qu'on appelle coordonnées
homogènes d'un point z de P„(&) les coordonnées x0l ..., xn
d'un point quelconque x ^ 0 de la droite de kn + l
identifiée à z; elles ne son! donc définies qu'à un facteur
scalaire ^ 0 près.
Pour chaque indice i tel que 0 < i < n, les droites
de kn*1 qui ne sont pas contenues dans l'hyperplan Hf
d'équation jç = 0 rencontrent l'hyperplan affine Hj
d'équation :¾ = 1, parallèle à Hf, et l'application qui,
à chacune de ces droites, associe le point où elle
rencontre H£ est une bijectïon de l'ensemble \]î de ces
droites sur HJ; puisque les droites de kn+1 sont par
définition les points de P„(&), on peut donc dire que P„(&)
s'identifie à la réunion de H* et de l'ensemble des « points »
correspondant aux droites contenues dans 1¾ que l'on
a coutume d'appeler « points à l'infini de Hf ».
Il est clair que P„(&) est la réunion des « + 1 ensem-

3 - VARIÉTÉS t-RoJECriVIÏS ET COMPLÈTES 63
bles Ui (0 < i < n) ; pour i ^ j, U^ ri Uj est l'ensemble
des droites passant par les points (x0, ...,^ tels que
xt ^ 0 et Xj ^ 0; une telle droite rencontre Hj au
point {xQJXi, . - .ixi^1jxi, l,-*; + i/#i, '••-.xjxj) et HJ au
point (x0/^s .-.,^-1/-^, Ij-^+i/^j ...,^/¾). On voit
donc qu'en tant qu'ensemble P„(&) peut encore être
décrit de la façon suivante : pour i ^ j> on désigne
par Hy la partie de HJ formée des points
(x0, ...,¾.^ 1,^ + 1, ...,^)
tels que Xj ^ 0, et on désigne par p^ la bijection
(1) (*0, ...,^-x, l,^+i, .-•,*„)
^ (*0/^-, .. ^x^xlxp llxjyXi+1lxjy ..., Xnfa)
de 1¾ sur H^; P„(&) est alors obtenu par recollement des
ensembles HJ (0 < i < n) le long des HJ3- au moyen des bijec-
tions Pji. Pour trois indices distincts i, j, l, U,- ri U^- ri U,
est l'ensemble des droites passant par les points x tels
que Xi ,i 0, Xj ^ 0 et xl ^ 0; les traces de ces droites
sur H£ sont donc les points de HJy ri H&, et pour un
tel point z les traces de la droite correspondante sur H;
et H£ sont respectivement /)#(#) et /4(2) ; il est clair que
Pou a donc pu(z) = Ptj(P^)), autrement dit, si p'/t est
la restriction de/^ à 1¾ ri tijt, on a la relation !
(2) /#=/a°i»8.
Ces propriétés « ensemb listes » de P„(&) vont nous
permettre de définir sur cet ensemble une structure de
variété algébrique sur k par le procédé de « recollement »
du § 2, n° 5. On complétera les définitions précédentes
en prenant H# = H|, et pu égal à. l'application
identique de HJ. Il suffit alors d'observer les faits suivants t
1° H| est une variété affine dans l'espace affine AB + 1,
et HJ; est l'ouvert de HJ défini par la relation x$ ^ 0
(c'est l'ensemble Dfp1)) dans HJ correspondant à la
fonction régulière restriction de pr^ à HJ),

64 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
2° /fy- est un isomorpfiisnte de la variété affine Hy sur H^,
dont risomorphisme réciproque est /j^; cela résulte
aussitôt de ce que P$ pour j 5* t est un morphisme de Hy
dans &M+3, les fonctions x\-^xtjxj pour 0< l ^ n étant
des fonctions régulières dans 1¾ (§ 2, prop. 7).
3° La condition de recollement (§ 2, n° 5) pour les p$
est vérifiée, car ce n'est autre que la relation (2).
On a ainsi défini une prévariété algébrique dont PM(&)
est l'ensemble sous-jacent ; quand nous parlerons désormais
de Vespace projectif cri tant que prévariété algébrique, c'est
de cette structure qu'il s'agira.
Pour chacun des n + ' ouverts affines U^ de PM(K),
l'application qui à tout 2 e U» fait correspondre le point
(xofoi > ' • •» #4-1/¾ )-^+3./¾ > ' ' >>■*»/■*$) ^C A% OÙ (Afl, .. .,*„)
est un système quelconque de coordonnées homogènes
de z, est un isomorpfdsme de Vj sur l'espace affine A", de
sorte que les fonctions régulières sur L^ sont de la forme
où P est un polynôme de &[T0, ..., T,-_x, T{+1,..., T„],
ou encore :
où. R est un polynôme homogène de degré m de
A[T0, ...,1^,...,¾ (m entier arbitraire S* 0).
L'algèbre AfU^) de ces fonctions est donc engendrée
par les #,/¾ (0 < l < n). L'intersection U; n U; pour
j ^ ï correspond par l'isomorphisme précédent à l'ouvert
affine D(TT,-) de kn, de sorte que l'algèbre A(U* n U^)
est engendrée par les fonctions ^/¾ (0 < / < n) et
1/(-^/-¾) = ^¢/¾ sur Ui ri Uj.
Proposition 1. —L'espace prqjectif P„(k) est une variété
algébrique irréductible.
Le fait que P„(&) soît une variété résulte de ce qui
précède et du critère du § 2, n° 6, remarque suivant le th. 1 :

3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 65
le recouvrement (U|) (0 < i < n) est formé d'ouverts
affines tels que Uj ri Uj soit affine, et A(U| ri U^) est
engendrée par les restrictions à U$ ri Uj des fonctions
de A(Uj) et de A(U^). Le fait que P„(A) soit irréductible
résulte de ce que chacun des U$ est irréductible (§ 1, n° 4,
exemple) et de ce que les ouverts U; ri Uj sont non
vides (T, 3).
2. CÔNES ET VARIÉTÉS PROJECTIVES
Nous désignerons par tz : kn+1 —{0}-> P„(A)
l'application canonique faisant correspondre à tout point
(x0, ...,*J 5* (0, ...,0) de kn + l le point de P„(A) de
coordonnées homogènes Xq, .. ., xn. Notons en prejiiier
lieu que 7i est un morfikisme de variétés algébriques : en
effet, kn+1 —{0} est réunion des ouverts affines D(TC)
(0 < i < n) et il suffit de voir que la restriction de 7i à
chaque DfT^) est un morphisme (§ 2, n° 1). Mais D(Tj)
s'identifie canoniquement au produit H* X (A— {0})
(§ 2, n° 4, prop. 6 et 7) et l'image de D(Tf) par 7i est
l'ouvert affine U€ de P„(A) ; lorsqu'on identifie
canoniquement Uj à H? (n° 1), la restriction de 7r à D(Tj)
s'identifie à la première firojection H/ x (A—{0}) ->H}; d'où
notre assertion.
Nous dirons qu'une partie C de A" + 1—{0} est un cône
épointé si la relation x eC entraîne Xx e C pour tout
XeA—{0}, autrement dit si C = 7r~1(7r(C)); nous
dirons que la réunion d'un cône épointé C et de {0} est
un cône pointé dans Atl+1. Si C est un cône épointé fermé
dans A"+1—{0} et non vide, C u{0} est Yadhérence C
de C dans AB+1 et C = C ri (A"+1—{0}), car 0 est
adhérent à D—{0} pour toute droite D de Aw+1 passant
par 0; on peut donc encore dire que les cônes épointés
fennés sont les traces sur A"+1—{0} des cônes pointés
fermés dans A"+*.

66 COURS DE CÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Or, si C0 est un cône pointé icrmé dans knvxt l'idéal
radiciel n = {(CQ de l'algèbre k[T0, ..., T„] est gradué:
en effet, si P c n, la relation P(r0l ..., ^,) = 0 doit
entraîner \3(Xx0t ..., Xa„) = 0 pour tout X e k, donc
toute composante homogène de P doit s'annuler dans C0,
autrement dit appartenir à (t. Inversement, pour tout
idéal gradué a 5* A[T0, ..., Tw], l'ensemble fermé
V(ft) C&*1*1 est évidemment un cône pointé; comme le seul
idéal maximal gradué de £[T0> ..., T„] est l'idéal
maximal îTI0 engendré par les n -|- 1 monômes T0, Tj, ..., Tn,
on voit que pour un idéal gradué a ¥> A[T0, ..., T„],
V(o) est réduit à 0 si et seulement si ï(n) = T110. En
d'autres termes, les cônes pointés ^ {0} correspondent biunî-
voquement aux idéaux radicielsgradués a de A[T0, ..., T„]
ne contenant pas XWq, par l'application canonique a h» V(n).
Cette description permet de caractérise! les parties
fermées de Pj,(Â).
Proposition 2. — Les parties fermées de Yn(k) correspondent
biunwoquement aux cônes épointés fermés de kn+1—{0} par
VaPfAication Ch+7r(C). En outre, C ri 7r-1(Ui) est
isomorphe au produit (tt(C) n Vi) X (A—{0}) pour 0< i^ n.
Il est clair que si F est une partie fermée de P„(A),
7r_1(F) est un cône époinlé fermé. Inversement, si C est
un cône épointé fermé, et si on identifie 7r~3(U^) = D(Tf)
àU;x (A —{0}), CriTc-^U,) s'identifie à
(tt(C) nu() x (A—{0})
et par suite tt(C) f~\ \Ji est fermé dans U; (§ 2, n° 4, cor. de
la prop. 7) pour 0 < * < n, donc 7r(C) est fermé dans PW(A).
On voit donc que toute sous-variété fermée de P„(A) est
définie par un système d'équations :
(3) Vs(xo,...,xr)=0
entre les coordonnées homogènes de ses points, les Pc étant
des polynômes homogènes de /t[T0, ..., T„]; une sons-

3 - VARIÉTÉS PROJECTIVE5 ET COMPLETES 67
variété définie par une seule équation P(^0 ,...,#„)= 0
où P est un polynôme homogène non constant, est encore
appelée hjpcrswfacc, et hyperplan si P est de degré 1 ; un
hyperplan de P„(ft) est donc de la forme te (H—{0})> où
II est un hyperplan de kni x passant par 0; par exemple,
le complémentaire de \J% dans P„(&) est l'iiyperplan
7r(H° —{0}) = Hi, dit « hyperplan à l'infini de U; ».
Si C = V(o) —{0} est un cône époînté fermé de
/■**+!—{0} ,où n est un idéal gradué de &[T0,.. .,T„], on
dit encore que la sous-variété fermée X ■— te(C) de P„(&)
est définie par Vidèal gradué o; sa trace sur Uj (identifié
canoniquement à kn) est la sous-variété fermée V(di), où
(¾ est l'idéal de A[T0 T^jJ^ T„] engendré
par les polynômes P(T0,. . .,1^, l,TUlJ.. .,T„)
obtenus par substitution de 1 à Tj dans les polynômes Peu.
Inversement, si Z = V(fe) est une sous-variété fermée
de Uj (ce dernier étant identifié comme ci-dessus à kv,
et o étant donc un idéal de /e[T0, .. • » Tj-i » T*+i » * ■ -jT,,])
son adhérence Z dans P„(&) est la plus petite sous-variété
fermée de PW(Â) contenant Z, et est donc égale à te(C)
avec C = V(tt) —{0}, où tt est l'idéal gradué de
A[T0, ..., T„] engendré par les polynômes obtenus en
rendant homogènes les polynômes de fe ; cela signifie qu'à
tout polynôme Ç) e fe, de degré r> on fait
correspondre le polynôme homogène
TfQ(T„/r,., ...Tj.^.T^,^, ...,T„rrt).
Il est clair que Z = Z ri U* ; inversement, si X est
une sous-varïété fermée irréductible de P„(&) non
contenue dans le complémentaire H^ de \Ji) l'ensemble
Z ~ X H Uj est ouvert non vide dans X, donc dense
dans X (T, 1), autrement dit X — Z.
Corollaire 1. — (ï) La lopologie de ^ariski de Pj,(&) est
la lopologie quotient de la typologie de k" + 1 — {0} par la

68 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIÇjUE
relation d'équivalence -k{x) = t:(x') et tt est une application
ouverte.
(il) Pour qu'une application u de P„(&) dans une prêvariêtè X
soit un morphisme, il fout et il suffit que u o tc soit un morphisme
de h*1*1 — {0} dans X.
(i) La prop. 2 montre que les parties fermées de P„(£)
sont les images canoniques des parties fermées de An+1 —-{ 0 }
saturées pour la relation d'équivalence t:(x) — tt(x'). Le
fait que 7r soit ouverte résulte de ce que pour saturer un
ouvert U de&"+1— {0}, il faut prendre la réunion des XU
où X parcourt k—{0}; mais comme xv-^Xx estunauto-
morphisme de la variété kn+1—{0}, on obtient bien pour
saturé de U un ensemble ouvert.
(ii) La condition est évidemment nécessaire.
Inversement, supposons-la vérifiée; il suffit de montrer que la
restriction de « à chaque ouvert Uj (0 < i < «) est un
morphisme de Uj dans X. Par hypothèse et compte tenu
de ce que 1¾ est affine, pour tout x e 7r"1(Ui), il y a un
voisinage ouvert affine Vdeu(7r(^)) dansXet un polynôme
Q.eA[T0, ...,T„] tels que Q(*) * 0, tt(7n(D(Q))) C V
et que pour toute fonction régulière f sur V, la fonction
y y->f(u(r;(y))) soit régulière clans D(Q,) riTc"1^). Mais
comme yy-ï'ky est un automorphisme de ttT^Uj) pour
X ^ 0 dansA, et tt(Xj) = tc(j>), lafonction y \-*f(u(Tz(y)))
se prolonge en une fonction régulière dans
7t-l(7t(D(Q.)) n U;)
invariante par tout automorphisme y h» "ky de cet ouvert ;
comme 7r(D(Q_)) est ouvert dans P^fA) par (i), on voit
qu'on peut, en remplaçant 7r(D(Ç))) par un voisinage
ouvert affine de 7r(#) contenu dans 7r(D(Ç))) ri Uj,
supposer que Q, est un polynôme homogène. Alors la fonction
y\-*f{u{Tc{y))) dans D(Q) s'écrit

3 ~ VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 69
pour un polynôme P; mais si l'on écrit que la valeur de
cette fonction ne change pas en remplaçant y par Aj>, on
voit aussitôt que P doit aussi être homogène. La définition
des fonctions régulières dans U| montre alors que la
restriction de u à tt(D(Q)) est un morphisme, cequi achève
la démonstration.
Exemple. — Cherchons à caractériser les morphismes u
de P„(A) dans un autre espace projectif Pm(&) ; v = u o tt
est donc un morphisme de kn+1—{0} dans Pm(&). Notons
2„, ..., zm\es coordonnées homogènes des points dePm(&),
et soit Vj l'ouvert affine de Pm(&) défini par Zj ^ 0.
Pour tout indice i (0 < i «c n) et tout x e7r_1(UJ,
v(x) appartient à un V,-; l'ouvert 7r"1(Uc) ri v~JÇVj) est
donc un voisinage de x} invariant par les automorphismes
_yh+Ay» et contenant par suite un voisinage ouvert Wa
de x, défini par Q(yo> • ••jJ'm) 5*0, où Q,est un polynôme
homogène. Identifions canoniquement Vs à &* (n° 1); les
coordonnées de v(y) pour y e W^ sont des fonctions
régulières, invariantes par les automorphismes y h» Xy. On peut
donc (§ 1, n° 5), en remplaçant au besoin Q, par une de
ses puissances, écrire
Pj.iW/QW. -.P.W/QW)
pour y e Wz, les Pt et Q, étant des polynômes homogènes
de même degré. Posant Pj = Ç), on voit finalement que
si te' : km+1 —{0}-^- PW,(A) est l'application canonique,
on peut écrire
(4) «NjO) =rf{u>{>))
pour y € Wj., avec
(5) w(j.)=(P0(j.),...,P„W)
les Pj (0 < £ < m) étant des fmlynêmes homogènes de même
degré non tous nuls, que l'on peut évidemment supposer

70 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
sans facteur commun de degré > 0. Si on opère de même pour
un second peint x', on voit, en tenant compte de ce que
#1 + 1 _{0} est irréductible (T, 3), que W^. n Wx est un
ouvert non vide, donc, en multipliant au besoin les P^- par
un facteur scalaire ^ 0, on peut supposer que l'on a aussi
la formule (4) dans Wz avec les mêmes polynômes P(. Par
suite, on a (4) dans &+1 —{0} tout entier; en outre, par
construction, les polynômes P, ne s'annulent simultanément
en aucun point de A"11—{0}. Inversement, pour tout
système de m + 1 polynômes homogènes de même degré
P0, ..., Pm de ft[T0, . . ., T„], ayant la propriété
précédente, les formules (4) et (5) définissent un morpkîsme
de Pj,(#) dans Pm(&), en vertu du cor. de la prop. 2.
En particulier, toute bijection linéaire de A*'41 sur lui-
même définit par passage au quotieni un automorphisme de
la variété PÎ((Â) (autrement dit le groupe firqjectifPGL„(/f)
est un groupe d'automorphLsmes de la variété P^fA))-
On observera que la condition imposée aux Pt est très
restrictive : nous verrons plus loin (§ 4, n° 3) qu'elle entraîne
en particulier que pour m < n les P( doivent âlre des
constantes. Notons déjà qu'elle entraîne que les seules
fonctions régulières sur P,((&) sont les constantes (cf. n° 3) : en
effet, une telle fonctionnes! un morphisme de Pn(k) dans
la droite affine ÂC Pj(&), donc, si x0y , x,t sont des
coordonnées homogènes de z e Pn(A), il doit exister
deux polynômes homogènes de même degré P, Ç) tels que
/M = P(*o. ---,^,,)/0.(¾. ■ •■,*,,)
polir tout * 6 P„(/:), îlWc: 0,(.¾, • ■ ■» xu) ^ 0 pour
(a'0, ..,,.ï() ^ (0, ....fi); mais en vertu du ihc'orènu'
fies zéros ^À, 37), 1rs seuls polynômes linmogènes OilVil11'
cette propriété sunt les constantes, donc y est ronstaiiie.
Avec les notai ions précédentes, identifions h" (rc-sp. A11'1)
à. l'ouvert U0 (resp. V„) et cherchons k tjucUV condition
un morphisme u de tF dans h?n se prolonge en un morphîsine
de PM(/f) dans P„/#) (néccssaixicmcnt unique, puisque c'est

3 - VAKIÉTÉS PIIOJECTIVES ET COMPLETES 71
un prolongement par continuité de u et que Pn(k) est une
variété (§ 2, n° 6, th. 1)). On a (§ 1, n° 2) :
ufe, . ..,*„) = (0.1^¾, ■ ..,*„)> -. ^Q^i, -■ ■>**))
oii les (¾ (1 < / < »z) sont des polynômes; si r est le plus
grand des degrés des Qj, le prolongement de u (s'il existe)
est nécessairement le morphisme
(x0, xt, . ,,, xn) h» (*5, «g QjC*,^ , .. ■, *„/*<,), - • ■ >
et la condition d'existence de ce prolongement est donc
que les polynômes homogènes de degré r en xx, ...,¾
formés des termes de degré r dans chacun des Qj ne
s'annulent pas simultanément dans kn.
Corollaire 2. — Pour qu'une sous-variété ~K de PM(&) soil
irréductible, il faut et il suffit que 7r_1(X) soil une sous-variélé
irréductible de t?*\
La condition est évidemment suffisante, puisque
iz{tTxÇK)) = X- Elle est nécessaire en vertu du cor. I (i)
et de (T, 5), les fibres t:~1(x) étant isomorphes à k—{0},
donc irréductibles.
Définition \. ~— On appelle variétéprojeclive une variété
algébrique isomorphe à une sous-variété fermée d'un espace
projecéf P„(&).
Une variété algébrique isomorphe à une sous-variété
(non nécessairement fermée) d'un P/((&) est dite quasi
projeclive. Toute variété affine ou quasi affine est quasi
projeclive.
Proposition 3. — Dans une variété pwjective X, deux/joints
quelconques appartiennent à un même ouvert affine.
11 suffit de le prouver pour X = P5l(&), toute sous-
variété fermée d'une variété affine étant affine (§ 1, n° 4).

72 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
Si x,y sont deux points distincts de P„(A) (ce qui implique
n ^ 1 ), il existe dans k*1 +1 un hyperplan passant par 0 et
ne contenant aucune des droites{0}W7r"1(^),{0}W7r"1(j'),
et on peut, par une transformation linéaire, supposer que
cet hyperplan est un H?; alors x et y appartiennent à
l'ouvert affine U^.
3. Variétés complètes
Les propriétés les plus importantes des variétés projec-
tives proviennent de ce qu'elles sont, comme nous allons
le voir, des cas particuliers d'une catégorie de variétés
dites variétés complètes, qui jouent en Géométrie algébrique
élémentaire un rôle très comparable à celui tenu par les
variétés compactes en Géométrie différentielle ou en
Géométrie analytique.
Définition 2. — On dit qu'une variété algébrique X est
complète si, /jour toute variété algébrique Y, la projection
pr2 : X X Y -> Y est une abdication fermée (pour les topo-
logies de Zariski).
Si, dans cette définition, on remplace les mots « variété
algébrique » par « espace topologique », on retrouve une
des définitions des espaces compacts.
La droite affine k n'est pas complète : en effet, dans
k X k = A2, l'ensemble défini par l'équation xxx% = 1
est fermé, mais sa seconde projection est k — { 0 }, qui
n'est pas fermé dans k.
Proposition 4. — (i) Une sous-variété fermée d'une variété
complète est complète.
(ii) Le produit de deux variétés complètes est une variété
complète.
(iii) Soient X une variété complète, y ; X -> Y un morphisme
de X dans une variété quelconque Y. Alors w(X) est un ensemble
fermé dans Y et une sous-variété complète de Y.

3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLETES 73
(i) Soient X une variété complète, Y une sous-variété
lermée de X. Pour toute variété Z, Y X Z est une sous-
variété fermée de X X Z et toute partie fermée de Y X Z
est donc fermée dans X X Z*, la restriction à Y X Z
de pr2 : X X Z -> Z est donc une application fermée par
I lypothèse.
(ii) Soient X, Y deux variétés complètes, Z une variété
quelconque. Si F est une partie fermée de
(X x Y) X Z = X X (Y X Z)
sa projection F'dans Y X Z est fermée, et la projection F"
de F' dans Z est fermée; la conclusion résulte de ce que
F" est aussi la projection de F dans Z.
(iii) Comme Y est une variété, le graphe Vu de u est
fermé dans X x Y (§ 2, n° 6, prop. 9), donc w(X)3
projection de r„ dans Y, est fermé dans Y puisque X est
complète. Soit maintenant Z une variété quelconque; il
s'agit de voir que si F est un fermé dans w(X) X Z3 sa
projection F' dans Z est fermée. Considérons le produit
X X Y X Z et notons [)¾ et pr33 les projections sur
X X Z et Y X Z respectivement ; alors la restriction de
pr13 à Yu X Z est un isomorphisme sur X x Z (§2, n° 63
cor. de la prop. 8). Posons F" = pr^fF) n (Tu X Z);
comme «(X) est fermé dans Y et F fermé dans u(X) X Z,
F est fermé dans Y X Z3 donc F" fermé dans Yu X Z,
et par suite pr13(F") est fermé dans X X Z; mais F'3
projection de F dans Z, est aussi la projection de pr13(F")
dans Z; puisque X est complète, F' est doïic fermé dans Z.
Corollaire. —- Toute variété affine complète est uit ensemble
fini.
Il suffît de prouver qu'une variété affine connexe X est
réduite à un seul point, et pour cela il suffit de montrer
que l'anneau A(X) des fonctions régulières est égal à A,

74 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
autrement dit que toute fonction régulière f sur X est
constante. Ot /(X) est une sous-variété fermée connexe
complète de la droite affine k en vertu de la prop. 43 (iiï),
et ne peut par suite être égale qu'à k ou à un seul point;
mais comme la droite affine k n'est pas complète, seule
la seconde alternative est possible.
Théorème 1. — Toute variété pryeclive est complète.
En vertu de la prop. 4, (i)3 il suffit de prouver que tout
espace projectif Pn(k) est une variété complète. Soit donc
Y une variété quelconque et montrons que pour toute
partie fermée Z C PÏ((A) X Y, pr2(Z) est fermé dans Y.
Il suffit évidemment de prouver que, pour tout ouvert
affine V de Y, pr2(Z) n V est fermé dans V, ou encore
que pr2 (Z n pi'g I(V)) est fermé dans V. Comme
Z n prg 1(V) est fermé dans Pn(k) x V, on voit qu'on
peut se borner au cas où Y est affine, soit Y = Spm(A).
Avec les notations des numéros précédents, PM(£) X Y est
alors réunion des ouverts affines W^ =^ X Y (0 < i < «),
et Pon a :
A(W4) = *(T„, •. -, Tj-j, Ti+„ ..., T„] (¾A
= A[T0,...,Ti_1,TitIJ...,T„].
Il s'agit de prouver que pouf tout y0 $pr2(Z), il existe
une fonction régulière /eA sur Y telle que y§ e D(/)
et ^(/) n Pra(Z) = 0i comme / peut être considérée
comme fonction régulière sur chaque W;, il suffira de
voir que l'on peut trouver/de sorte que f(z) = 0 pour
z e Z n Wi et pour tout it et f(y0) ^ 0. Nous allons
considérer l'idéal a engendré par les polynômes homogènes
de A[T0, ..., Ta] tels que, pour tout indire * (0 < ï < «) :
MM^N*® ■ • ■ te-iW(l~u fc-n/*)0"**1' .. (*,fa)"
)

3 — VARIÉTÉS PROJECTTVES ET COMPLETE* 75
pour tout point (y3t) e Z3 de projections y eY et
£ e Uj, t ayant pour coordonnées homogènes Xq, .. ,3xn
(avec Xi ^ 0). Il est clair que o est un idéal gradué de
B = A[T0 ,...3 Tw], et nous désignerons par cr le
A-module des polynômes homogènes de degré r appartenant
à o. Le problème sera résolu si nous pouvons trouver
un /eA et un entier N tels que f(y0) ^ 0 cl
(7) /.TfeaN pour 0 < i < «.
Désignons par 13,, le A-module des polynômes
homogènes de degré r dans B3 et par lit l'idéal maxùnal t({j>0})
de A. Les conditions imposées à/ pourront être vérifiées
si nous prouvons que pour un entier N, on a
(8) BN = oH + m.BH.
En effet, le lemme de Nakayama (A. 40)3 appliqué au
A-module de type fini Bk/ûjo prouvera l'existence d'un
/ e A — îiî tel que /. Bw C %, donc on aura à la fois
f(yo) 5* 0 et les conditions (7). Tout revient par suite à
démontrer (8) pour un N assez grand.
Nous utiliserons le lernmc suivant :
Lemme 1. — >SÏ g e t(Z ri Wf) dans
A[T„,...,^-.,., 1^,...,¾
il exista tm entier r et un polynôme h e % tels que
(9) g(T0, . ,TM,TiHJ...,TJ
= A(T„ TM.l,Tj(1 TJ.
Pour tout enlîei'ç au moins égal au degré cloç,lafraclion
rai ion ncllr T? g{T0/Tt, . r T(. J\\, T- , 3 fi ';, ..., T„/T;)
esl un polynôme hr«niogeue Â'eB... Montrons que
h = Ts/(' répond à la question; il s'agit de prouver que
lorsqu'on remplace i par un indice j quelconque (avec
0 < j < ») la relation (6) est vérifiée dans Z C\ W^-. Cela
est clair par définition de g pour j ^ i; si j ^ i3 la

76 COURS DU GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
relation (6) est encore vérifiée par h' dans Z n Wj C\ Wc,
et par T,** = h dans Z n W3- n (Ht X Y),
complémentaire de Z n W3- n W^ dans Z n W,-; d'où le
lemme.
Cela étant, il est clair que ZnWf et U$ x {j>0} sont
des ensembles fermés sans point commun dans l'ouvert
affine W, = U; X Y. Comme
W X {.%}) = m.AITo, • - -, T€_la Tl+1, ...,TJ
on conclut du§ 1, prop. 1, qu'il existe gi e t(Z n Wf), des
éléments & eA[T0, ..., T,_ls Ti+1, ..., TJ et des
éléments 7¾ e m ( 1 < £ < .¾) tels que
(10) 1 -s + Smafi,
i
d'où, en multipliant par une puissance de T; d'exposant
assez grand et utilisant le lemme 1, l'existence d3un
entier N$ tel que pour N^ Nis il y ait un polynôme
ht e oN et des polynômes ku e B^ (dépendant de N)
tels que
(11) TT-MTo, ...,TJ -fS%Afl(T0, .... T„),
i
Ceci ayant lieu pour 0 < i < «, on voit qu'il suffit de
prendre N > (n f- 1) sup 1¾ pour avoir la relation (8).
C.Q.F.D.
Remarques. — 1) Si X et Y sont deux variétés complètes,
un morphïsme u : X -> Y peut fort bien être bijectif et
biconliml sans être un isomorphisme (au contraire de ce
qui se passe pour les espaces compacts). Par exemple,
soit u le morphïsme de PjfA) dans P2(£) tel que
tf((*i»*i)) = (*o»*i>*L*ï);
si Y est la sous-variété fermée de P2(&) image de «, u est
bijecrif et bicontînu quand on le considère comme mor-
phisme de Pj(£) dans Y, maïs n'est pas un isomorphisme

3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 77
(§ 1, n° % Exemple 5). De même, si k est de
caractéristique p > 0, le morphisme (*b» *i) h» (x$ txf) de PjfA)
dans lui-même est bijectif et biconlinu, mais n'est pas un
ïsomorphîsmc (§ 1, n° 23 Exemple 6).
2) Le th. 1 est une forme qualitative de ce que l'on peut
appeler le résultat fondamental de la « théorie de
l'élimination » : considérons r polynômes
Pft T.;D, «J (Ki«0
en n + m + 1 indéterminées, dont chacun est homogène
en T0, , Tm, et considérons le système d'équations
(12) P,-(»o.....V.Ji.....jJ=0
qui définit une sous-variété fermée X de P„(&) X km;
alors (th. 1), le sous-ensemble pr2(X)CAM est un ensemble
algébrique dans A*', autrement dît, il existe un nombre
fini de polynômes R^fUj, ..., Um) ( 1 < k < g) tels que,
pour un point (ylt ,ym) e&m, l'existence d'un
système (x0, 3 #n), solution de (12) et formé de Xj non tous
nuls est équivalente au système d'équations
(13) 1^,...,^)=0 pour l<A<ç.
Classiquement^ on dît que le système (13) a été obtenu
en « éliminant » les x-3 (0 < j ^ n) du système ( 12).
3) On peut donner des exemples de variétés complètes
qui ne sont pas des Variétés projectives.
4. Applications :
I. Morpiusmes de Segre et de Veronese
Proposition 5. — Le produit de deux variétés projectives est
une variété projecîive.
Il suffit évidemment de montrer que le produit
PM(A) x Pm(A) est isomorphe à une sous-varîété fermée

78 tours de géomiîtrik Ai.cfrBRiqur.
d'un PN(&). Nous allons en fait définir an isomoiphismc
(dît morphisme de Segre) de Vn{k) X P„,(£) sur une sous-
variété fermée de P„™+„+Iii(A). ^ un point
(2;^)eP„(/c) ï P„((/>)
nous ferons correspondre le point s(z3 z') eP(M+i)(„H1)-iC*)
ayant pour coordonnées liomogèncs_j(i) ^ les (« -f- 1 ) (m -\- 1 )
éléments x^ x'j pour 0 < î < «, 0 < J < m, ou (xti 3 , xH)
est un système de coordonnées homogènes de z et
(xq} ..., x'm) un système de coordonnées homogènes de s".
Il est clair que ce point ne dépend que de z et z' et non
des systèmes de coordonnées homogènes de ces points.
Désignons comme ci-dessus par \J. (resp. 1¾ l'ouvert
affine de P„(£) (resp. PJff(A)) défini par x{ ^ 0 (resp.
x'j t£ 0). Alors la restnctîon de j à t^ s* U^ est un
morphisme de cet ouvert aÏÏiue (identifié à kti+m) dans
l'ouvert affine W^- de PMm+*+m(A) défini par _y(î(J-) ^ 0
(et identifié à k"m+n + m) (§ 1, n° 2), donc s est bien un
morphisme de PB(ft) X Pm(k) dans P„wl+K+m(A) (§ 2, n° 1).
Comme PM(A) X Pm(A) est une variété complète (th. 1
et prop. 4), son image par le morphisme de Segre est une
sous-variété fermée S de Pim+n+m(k) (prop.4). Reste à
montrer que s est un isomorphume de Pjk) X Pm{k) *ur S. En
effet, si (z, z') est tel que ^eUj (resp. .s' e U^), les
x(*ft ne peuvent être tous nuls pour 0 < h < z?i (resp. les
*i*j- ne peuvent être îous nuls pour 0 < / < «), alors
qu'ils sont tous nuls si z ¢'U^ (resp. -s'^Uj); ceci
prouve que J"1(Wy) = U{ X U; et que, non seulement
la restriction de s à chaque U; X Uj est un morphisme
injeeljf (donc que s lui-même est injectif), mais encore que
l'application t de Wy dans U* X VJ qui à tout point
de coordonnées homogènes y^ ftj fait correspondre le
point (z} z') où z (resp. s') a pour coordonnées homogènes
les _y(ï(J-j pour 0 < £ < h (resp. les j^( h) pour 0 < h < m)
est un morphisme (§ 1, n° 2) tel que î{s[z, z')) — (z, z)
dans U; X Vi.aQ..F.D.

3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLETES 79
Exemple. — Si m = « = 1, l'image de Pj x P1
dans Ps par le morphïsme de Segre n'est autre que la
qmdrïqiie d'équation x^x^ — xxX% = 0.
Remarque. — Soient
ir :AM + 1— {0}->P)((A)
les morphïsmes canoniques, et soit p = tz X 7r', qui est
un morphïsme de E=(#*+1 — {0}) X (k™*1 — {0}) sur
PM(A) X Pm(A). On montre comme au n° 2 que les parties
fermées de P(I(A) X Pm(£) sont les ensembles F tels que
P~ \F) soit invariant par toutes les applications
(xt x') h» (hxt V x') pour }X ^ 0
et fermé dans E; j& est une application ouverte, et pour
que F soit: irréductible, il faut et il suffit que/r 1(F) le soit.
Ceci se généralise aussitôt à un produit d'un nombre
firû quelconque d'espaces projcctïGs.
Considérons maintenant, pour un entier à > 0,
l'ensemble I des multiindîœs a;ma(î) (0 < i < «) tels
que | a j = S oc(t) = d, qui a (w £ •'J éléments. Soit J un
ensemble fini de N^ (njd) éléments contenant I. Il
résulte du n° 2 qu'on définit un morphïsme v de PM(&)
dans PN. ,(ft) en faisant correspondre à un point 'à de
coordonnées homogènes x0),..ixnt le point v{z) de
PN_ x{k) dont un système de coordonnées homogènes est
formé des xa = FI -ï"(i> pour a G 1, et de polynômes
j = 0
homogènes de degré d, Pa(a-0, . . ., xn) pour k ej — I ;
il est clair en effet que les x" ne peuvent être simultanément
nuls que si les x$ sont tous nuls, puisqu'il y a en
particulier parmi les xa les puissances xj pour 0<j^ «.
Comme Pn(k) est complète, l'image V de PM(£) par le

80 COURS DE GEOMETRIE ALGEBRIQUE
morphisme v est une sous-variété fermée de P^.^k) (th. 1 et
prop. 4); montrons que v est un isomorphisme de P„(£)
sur V. En effet, pour 0 < i ^ «, désignons par p. le
multiindicc tel que $$) — d, &i(j) — 0 pour j ^ z, et
par W{ l'ouvert affine de PN„x(A) formé des points dont
la coordonnée^, dans un système de coordonnées
homogènes est ?£ 0. Il est clair que ¢(1¾ C W* et que si z $\]{i
on a v(z) ^Wj, donc &~1(Wi) = U^. En outre, soit w
l'application de Wj dans P„(&) qui, à un point de
coordonnées homogènesyh {h ej), fait correspondre le point
de PM(A) de coordonnées homogènes yyj (0 ^ j < «),
où y. = P| et, poui* j ?£ z, y, est le multîindice tel
que y4(i) ~ d— 1, Y,-(i) = 1 et -ft(A) = 0 pour h ^ z
et h ^ j; il est elair que «j est un morphisme de W$
dans U,- et que w(v(z)) = z pour tout z eU,-, ce qui
établit notre assertion.
Lorsque J = I (donc N = (ngà))t on dit que v est
le morphisme de Veronese de degré d.
Exemple. — L'image de PjfA) dans Ptf(A) par le
morphisme de Veronese de degré d,
est appelée la courbe projective rationnelle normale de degré d-
Proposition 6. —5ÏP(T0, ..., Tn) est un polynôme
homogène de degré d> 0 (forn1 A[T'U, ..., T„], l'ensemble D+(P)
des points de Pn(k) dont les coordonnées homogènes sont telles
que P(^j, ...,½) 41 0 (autrement dit, le
complémentaire d'une hypersurlace) est un ouvert affine.
Posons N = (naà)> et considérons le morphisme v
de P„(A) dans PN(&) défini par le procédé ci-dessus, avec
v(z) ~ ((**%£!» ^(xo> * * '3 ■*«))* L'ensemble DN + 1 des
points de PN(&) dont la dernière coordonnée est ^ 0 est
un ouvert affine (n° 1), donc son intersection avec
l'image V de & est un ouvert affine de V, cette intersection

3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 81
étant fermée dans DN + x. Mais DN + j n V est l'image
de D+(P) par l'îsomorplûsme v de P„(&) sur V, d'où la
proposition.
5. Applications : II. Grassmanniennes
Soit I\ l'espace vectoriel A (&w) des r-vecteurs sur l'espace
vectoriel kn; sï (e»)i^»^n est la base canonique de A", la
base canonique de Er est par définition formée des N = (J?)
/■-vecteurs % = eît a cia A ... A eîf., pour toute partie H
de{ 1,2, ..., «}formée de r nombres za <C î2 <C — <C îr;
on a Ea = kn. On sait (A, 44) qu'un y-vecteur ^ = ^½¾
H
de coordonnées %eA est pur (ou décomposable), c'est-à-
dire de la forme x1Ax2A...Axr, où les x$ sont des
vecteurs de kn, si et seulement si les % vérifient les relations
de Grassmann :
(14) G„((*h)) = 0, Uv»;.
où les Gv sont des polynômes homogènes du second degré à
N indéterminées. Ces équations définissent donc dans
PN_ x(&) une sons-variété fermée qu'on appelle grassmannienne
d'indues «, r sur k et que l'on note Gnir(&). On sait que
deux r-vecteurs purs non nuls z — Xj a x2 a ... A xr et
z' = *j a ^2 A * • • A ■*£ s011' ^^ Çlue 2' = Az avec X € k
si et seulement si les sous-espaecs de kn de dimension r,
engendrés respectivement par les xs et par les *J- (1 < j < r),
sont égaux-, aussi dit-on encore que Gnif{k) est la grass-
marinieiine des sous-espaces vectoriels de dimension r de k*1
(ou, ce qui revient au même, des variétés linéaires projectives
de dimension r-— 1 de Pn_j(Â)). En particulier
G„.i(*) = P..-iW-
Identifions un système de r vecteurs xLy , xr de A" à
la matrice X = (x$) sur A, à « lignes et r colonnes, dont
la j-ième colonne est le vecteur X,-= (*ç)i^î^b; si
z = Xj A x2 a ... A xr, la coordonnée % de 2 est le
mineur det(J$TH) de X, où XR désigne la matrice carrée

82 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
formée des lignes de X d'indice i e H, rangées par ordre
croissant; dire que 2 et z' = x\ A ... a x'r cori-espondent
aii même point de Gn,r(k) équivaut à dire que x,, ..., xr
d'une part, x[, .. .txr de l'autre engendrent le même
sous-espace de dimension ;■, ou encore qu'il existe une
matrice inversible T d'ordre r telle que les matrices X, X'
identifiées à ces deux systèmes de r vecteurs soient telles
que X' = XT\ on a alors X^ = Xn T pour toute
partie H à r éléments de { 1, 2, .,., «}.
Soît LrC (/?')* l'ensemble des systèmes (xlf .. ,yxr)
de r vecteurs de kn linéairement indépendants, ou, ce qui
revient au même, l'ensemble des matrices AT de type («, r)
et de rangr; pour chacune de ces matrices, il y a (au moins)
une partie H de r éléments de { 1, 2, , «} telle que
detfA^) ^ 0; nous désignerons par 1^ la partie de Lr
définie par la relation det(Ay ^ 0 de sorte que 1^ est
un ouvert affine (principal) de &'lr, et Lr est la réunion
des N = (") ouverts LH. Il est clair que Xl-> (det(ATH))
est un morpkisme de Lr dans /fN— {0}, d'où par
composition avec la projection k^—{0}-> PN„j(A) unmorpkisme
canonique suijectîf u : L,. -> GB( T{k).
Soit l^r la partie de LH formée des matrices X e LH
telles que ATH = / (matrice unité d'ordre r) ; pour toute
matrice X eLji, la matrice X' = XX^1 appartient
à Ljj, et on a u{X) — u(X'). L'ensemble Lq- est par
définition formé des matrices X = (x^) telles que, si
*i < 22 <C - - - <C zr est la suite strictement croissante des
éléments de FI, on a xihth = 1 pour 1 < h < 7", a^( j — 0
pour j 5* z/|3 les autres ,Xy étant arbitraires dans k; la
projection de L/( sur le produit des facteurs k dans A"'-
correspondant aux (z,j) tels que t ^ H est donc un
isomorpkîsme de la sous-variété linéaire affine L^ de kw sur
l'espace affine Ar["~r*. Montrons que la restriction à Lq- de u
est un isomoTpkisme de Ljj sur un ouvert affine UH (fc GM| r{k)
(qui est donc isomorphe à ff^n~r)). Il est clair en effet
que UH est l'intersection de GKi r{k) et de l'ouvert affine VH

3 - VARIÉTÉS PROJECTIVES ET COMPLÈTES 83
formé des points de P>r-a(&) dont la coordonnée homogène
d'indice H est ^ 0, et que «"^(Ye) = Ln. D'autre part,
pour i $ H et 1 :¾ h ^ i, désignons par H,-A l'ensemble
(H — {ih}) u{z}: on voit aussitôt que dct(Aira) = %,xih
(où eift = dr 1 ne dépend que des indices z, A) pour toute
matrice X &Ujt. Considérons alors le morphisme» de VH
dans Lg qui à tout % de coordonnées homogènes {z3)
(J parcourant l'ensemble des parties à r éléments de
[ 1, 2, ...,«}) fait correspondre le point de Ljj dont les
coordonnées xih pour i $ H et 1 ^ h ^ r -sont les
éléments £^%¾¾1^ îl est cla"lr *lue '>on a v(u(%)) = ^
pour toute matrice X e L^, d'où notre assertion.
Proposition 6. — La grassmamûenne G„,, est une variété
irréductible.
Comme tout ouvert affine \3K de Gnt, est isomorphe
à kHn~T\ donc irréductible, il suffit de montrer (T, 3) que
pour deux parties H, J de { 1, 2, ...,«} à r éléments,
Uir n U:, ^ 0. Ov, si
HnJ ^{^, ...,0¾}
H-(H nj) ={&,...,&_.}
J~(HnJ)«{Yl,...,Y,_#}
on vérifie aussitôt que si l'on prend x$ = ett. pour
1 < j < s, xSi.j = Cp. + eT. pour 1 < j < r — s, la
matrice correspondante X appartient à Ljj n Lj, donc
a(A')eU„nUJ;
Rappelons qu'il existe un isomurphisme canonique <p
de l'espace vectoriel 5^= A(EX) sur E*_r = A (Ej)
tel que, si zeE, est un /--vecteur pur ^ 0 correspondant
à un sous-espace F de dimension r dans Ej — A", cp(js) est
un (a — r)-vecteur pur correspondant à l'orthogonal F0
de F dans le dual Ej (A, 43). Par passage aux quotients,
on en déduit un isomorphlsme (dit canonique) de la grass-
mannienneGHi},(/f) sur la grassmannienne Gn^H_r(k).

§ 4- Théorie de la dimension
1. Fonctions rationnelles
et appltcations rationnelles
Soit X une variété irréductible; tout ouvert non vide U
de X est alors dense dans X (T, 1).
Lemme 1, — Soient U, V deux ouverts ?wn vides de X,
« : U -> Y, v : V -> Y rf«w mcrphismes dans une variété Y.
S'il existe un ouvert non vide WCUnV dans lequel u et
v coïncident, alors u et v coïncident dans UnV.
En effet, W est dense dans X, et a fortiori dans UnV;
il suffit donc d'appliquer le th. 1 du § 2, n° 6.
Il résulte aussitôt de ce lemme que si U est un ouvert
non vide de X et w un morphisme de U dans une variété Y,
il existe un plus grand ouvert U03U tel que u se prolonge
en un morphisme u0 de U0 dans Y; il -suffit en effet de
prendre pour U0 la réunion de tous les ouverts de X
où « se prolonge en un moiphismc dans Y.
Par abus de langage, on dit qu'un morphisme « : U -> Y
d'un ouvert non vide U C X dans une variété Y est une
application rationnelle de X dans Y s'il est non prolongeable
en un morphisme d'un ouvert contenant .strictement U
dans Y; U estappelé le domaine de définition de l'application
rationnelle u. Un morphisme de X dans Y est donc une
application ratioimcllcpartout définie-, tout morphisme d'un
ouvert non vide de X dans Y se prolonge d'une seule
manière en une application rationnelle de X dans Y,

4 - THÉORIE DE LA DIMENSION
85
Nous dirons qu'une applications rationnelle de X dans
la droite affine k est une fonction rationnelle sur X : une telle
fonction est donc le prolongement maximal d'une fonction
régulière sur un ouvert ?wn vide U de X.
Exemples. — Si f et g sont deux fonctions régulières
sur X, g n'étant pas identiquement nulle, l'ensemble
des »eX où g(x) ^ 0 est un ouvert non vide U de X,
et x ^f[x)jg(x) estrégulière dans U, car elle est régulière
dans tout ouvert affine contenu dans U (§ 1, n° 5); elle
se prolonge donc en fonction rationnelle sur X. Mais si
par exemple X est complète, on n'obtient ainsi que des
fonctions constantes (§ 3, n° 3), alors que sur toute variété
irréductible non réduite à un point, il y a des fonctions
rationnelles non constantes : il suffit en effet de prendre
dans X un ouvert affine V non vide, dont l'anneau A(V)
n'est donc pas réduit à k\ les fonctions de A(V) se
prolongent en des fonctions rationnelles sur X.
Considérons m -|- 1 polynômes homogènes de même
degré P0, Pj, —,PM dans A[T0, —, T„], non tous nuls,
mais qui ne sont soumis à aucune autre condition;
l'ensemble des points z e P„(A) dont les coordonnées
homogènes sont telles que Pi(#0, —, *'„) 5* 0 pour un indice l au
moins est un ouvert non vide U dans Ph(A), et
l'application u qui à tout z € U fait correspondre le point de
coordonnées homogènes (P0(%, - - -, 4), - - -, Pm(*0, - - •> xr))
dans Pm(A) estun morpMsme deUdans Pm(&), sa restriction
à chacun des ouverts UnUj (0 <ç î ^ ») étant un mor-
phîsme en vertu de la définition des fonctions régulières
dans \Ji, Ce morphisme se prolonge donc en une
application rationnelle de P„(A) dans Pm(k) (cC § 3, n°2).
On peut définir canoniquement sur l'ensemble R(X)
des fonctions rationnelles sur X une structure de corps
commutât if En effet, comme l'intersection des domaines
de définition de deux fonctions rationnelles y, g n'est pas

B6 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
vide, il y a une seule fonction rationnelle dont la restriction
à cette intersection estlafonctionrégulïère Xh*f{x) -f- g(x)
fiesp. x \-*f{x)g(x))\ on la désigne par /-f- g (resp. fg).
D'autre part, .si/est une fonction rationnelle non
identiquement nulle, l'ensemble V des points x e X où/est
définie et non nulle est un ensemble ouvert dans X et
non vide; la fonction x\-+ l[f(x) définie dans V est
régulière, car elle est régulière dans tout ouvert affine contenu
dans V (§ 1, n° 5); on désigne par 1//l'unique fonction
rationnelle dont la restriction à V est x i-> llf{x). Il finit
vérifier que ces définitions donnent bien sur R^X) une
.structure de corps (où 0 et 1 sont respectivement les
fonctions constantes prenant les valeur-s 0 et 1); par exemple
pour monlrcr que (f-\-g) -\- h =f -\- (g -\- k), on
observe que l'intersection des domaines de défini tionde/,£,/r
n'est pas vide et que, dans cette intersection, les fonctions
rationnelles /-|- (g -\- h) et (f-[-g) -\-h coïncident par
définition. De même, pour vérifier que f.{\jf) = 1, on
observe que dans l'ensemble ouvert non vide ohf{x) csl
définie et ^0, la fonction rationnelle/.( 1//) coïncide
avec la constante 1. Nous laissons au lecteur les autres
vérifications.
Remarque. — En un point xeX où une fonction
rationnelle/ n'estpas définie, il se peut que 1//= g soit définie;
on a alors nécessairement g(.?) = 0, sans quoi /— \jg
serait définie dans un voisinage de a. On dît alors que x est
un pôle de/. Par exemple, dans A2, la fonction rationnelle
A'a/^j n'est pas définie pour xx = 0; les points (0, x2) avec
A'a ^ 0 sont des pôles de la fonction, mais (0, 0) n'est pas
mi prie, (on dît parfois que c'est un point d^indètermhial'wn).
Proposition 1. — Soit X une variété h réductible. Pour faut
ouvert affale U dans X, l'anneau A(U) des fonctions régulières
sur U est intègre et l'application canonique de A(U) dam R(X)
qui, à toute fonction régulière .n(r U, fait correspondre Punique

4 - THÉORIE DE LA DIMENSION 87
fonction rationnelle qu\ la prolonge est injective et se prolonge en
un isomorphisme du corps des fractions de A(U) sur R(X).
L'injectîvité de l'application A(U) -> R(X) résulte
aussitôt du lemme 1. Il suffit donc de montrer que son
unique prolongement au corps des fractions de A(U) est
surjectif. Or, si A est une fonction rationnelle sur X, îl
existe un ouvert affine D(g)CU (avec g eA(U)) tel
que la restriction de A à D(g) soit une fonction régulière,
donc (§ 1, nD5) delaforme x\->f{x) j(g(x))m avec/eA(U);
si / et "g sont les uniques fonctions rationnelles sur X qui
prolongent/et g respectivement, on a donc h=fjgmi ce
qui prouve la proposition*
On identifiera désormais le corps des fractions de A(U)
à R(X)>
Remarque, — En particulier, si X — Spm (A) est une
variété affine > toute fonction rationnelle sur X peut
s'écrire ffg, où/ et g sont régulières dans X; on a vu plus
haut que cela ne s'étend pas aux variétés algébriques
quelconques, en particulier aux variétés complètes,. On
oliservera que si X est affine, et h une fonction rationnelle
sur X, il peut n'exister aucun, couple de fonctions
régulières/, g sur X telles que h *=fjg et que D(g) soit le
domaine de définition de h (en d'autres termes, ce dernier
est toujours strictement plus grand que D(g) pour tous les
choix possibles de/ g vérifiant h =//^)-
On en a un exemple en prenant pour X le cône
pointé dans k* d'équation .*, a4 — x0 xs = 0, qui est
irréductible ; en effet, l'image de X — {0} dans P3(&)
est la quadrique affine isomorphe à P](£) X Pi(£) (§ 3,
n° 4), donc est irréductible, et la conclusion résulte
du § 3, n° 2, coi\ 2 de la prop, 2, Cela étant, dans
l'ouvert D(#2) n D(#4) *= i>(x2x4) de X, les deux
fonctions rationnelles x^x^ et .%3/x4 sont définies et égales,
donc restrictions d'une même fonction rationnelle h

88 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
dont le domaine de définition U contient D(x2) U D(^4),
La fonction h n'est pas régulière dans X tout entier
car, s'il en était ainsi, x2h serait régulière et s'annulerait
pour .K2 = 0 et Xj, ~ 1, ce qui est absurde puisque x2h
et x± sont égales dans D(x2x^> donc devraient être
égales partout dans X„ Si le domaine de définition
de h était de la forme D(g), son complémentaire V(g)
devrait donc être contenu dans le plan Z C X de A4 défini
par x2 = 0, x4 = 0- Comme Z est irréductible, il résulte
du th. 1 ci-dessous que l'on aurait V(g) = Z, Mais alors
la restriction de g au plan Z'CX de A4 défini par Xj, — 0,
#3 = 0 serait une fonction régulière dont Pensemble des
zéros serait réduit à (0, 0, 0,0), ce qui est absurde
(§ 2, ^ 3).
On notera que, toutefois, si A est un anneau fadoriel,
tout quotient fjg de deux éléments de A (avec g ^ 0)
peut s'écrirejyg0 ohf0 et g0 n'ont pas de facteur
irréductible commun, et f0 et g0 sont déterminés à un facteur
inversible près; pour toute autre expression f^gx de fjg,
ona/3 = kf0i gj = hg0 pour un AeA> Alors le domaine
de définition de fjg est D(g0), car il est clair que ^/g0 est
définie dans cet ouvert, et sif]g était définie en un point
x $ D(g0), elle s'écrirait fjfgj avec gjix) ^ 0, ce qui est
absurde puisque g, = hg0 pour un A € A et que g0(x) = 0,
L'exemple donné ci-dessus donne donc un exemple
d'anneau A(X) non factorieL
Soient X, Y deux variétés irréductibles, u ; X -> Y un
morphïsme dominant* Pour tout ouvert affine non vide
VCY, ilexistedoncutiouvertaffinenonvide UC«"a(V),
et «(U) est dense dans V par hypothèse, La restriction
U -> V de « a donc un comorphisme tnjectif
<p:A(V)->A(U)
(§ 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 6), qui se prolonge par suite
en un homomerphisme (nécessairement injecfif) de corps

4-THÉORIE L>E LA DIMENSION 89
6 ; R(Y) -> R(X) en vertu de la prop, U Si V est un
second ouvert affine non vide de Y, U' un second ouvert
affine non vide de X contenu dans «"^(V), le
comorphîsme tp'; A(V') —> A(U') se prolonge en le même homo-
morphîsme de corps 6 ; en effet, en remplaçant au besoin
V par un ouvert affine non vide V" C V ri V' et U' par
un ouvert affine non vide contenu dans U ri U' ri zT-^V"),
on peut se berner au cas où V C V et U' C U, et alors
i] est clair que tp' prolonge tp„
On dira encore (si aucune confusion n'en résulte) que
l'homomorphîsme 6 : R(Y) -> R(X) est le comorphîsme
(de corps) correspondant à «.
Définition 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
u : X -> Y un morphisme dominant. On dit que u est un
morphisme birationnel si le comorphîsme de corps R(Y) -> R(X)
correspondant au est un isomorphisme.
On notera qu'un morphisme birationnel peut n'être ni
injectif ni surjectif; même s'il est bijeetîf et bicontinu, ce
n'est pas nécessairement un isomorphisme (cf. § 5, cor. 4
du th. 1). Enfin, un morphisme de variétés irréductibles
peut être bijeetîf et bicontinu sans être birationnel.
Exemples, (i) L'exemple {xx, x2) h» (x1x2, x2)>
morphisme du plan affine k2 dans lui-même (§ 1, n° 2,
exemple 2) est birationnel, car &(T,, T2) = Â(T,T2, T2),
maïs n'est pas surjectif et n'est pas non plus injectif, tous
les points (xl90) ayant pour image (0, 0).
(ii) L'exemple 5 du § 1, n° 2, considéré comme
morphisme de Asur C, est birationnel (car AfT3, T3) = A(T)),
bijectif et hicontinu, mais n'est pas un isomorphisme.
L'exemple 6 du § 1, n° 2, est bijectif et bicontinu, mais n'est
pas birationnel, puisque le comorphîsme k(Tp) ->A(T)
n'est pas bijectif.

90 COURS DE GÉOMÉTRIE ALCEBllIQUE
(in) Eclatements. — Considérons le morphisme
canonique 7t:An+1 — (0}->P„(A) (§3,n°2),etsongrc^r7l,
qui est une sous-variété du produit kn+1 X P„(A).
L'adhérence de E^ dans ce produit est une sous-varié Lé fermée E
de kn + l x P„(A), qu'on dît obtenue par éclatement du
Point 0 de #* + 1; E^ est l'image réciproque de l'ouveiL
kn+l — {0} par la restriction p : E ->kn+1 de la première
projection, et on sait que la restriction de p à E^ est un
ïsomorphisme de En sur kn + 1 — {0} (§2. cor. de la
prop. 8), donc E est irréductible et p est un morphisme bi-
rationmlde E sur kn+i. Mais j&_1(0) cstégalà{0}x P,((A) :
en effet, si D est la droite d'origine 0 dans A'14"3 passant,
par un point x^O, j&"1(D — {0}) est formé des poinLs
Q\z, tx(z)) de k*1*1 x P„(fe), où X ^ 0 dans k; il est clair
que le point (0, 7t(z)) est adhérent à cet ensemble.
Remarque. — Le corps des fonctions rationnelles R(X)
d'une variéLé irréductible est évidemment une extension
de type fini du corps A. Inversement, soit K une exiension
de type fini de k; si^/j, .. *,fn est un sysLème généraLeui*
de K, il est clair que K esL le corps des fractions de la
A-algèbre A = ty.fi, - - -jj^L eL ccLLe dernière est une
A-algèbre iiiLègrc de type uni. Il existe donc une variété
affine irréductible XCA*1 Lelle que A(X) soiL isomorphe
à A, donc R(X) isomorphe à K. On dit qu'une variété
irréductible Y lelle que R(Y) soit isomorphe à K est un
modèle du corps K. On voit donc qu'il existe toujours un
modèle affine XCA*1 de K; si l'on identifie km à un
ouvert de Pm(A) (§ 3, n° 1), Vadhérence X de X dans Pm(k)
est une variéié projrrûvc qui rsL îhiskî un modèle rie K.
2. La notion de dimension
Définition 3. - Soit X une variété irréductible sur A. On
appelle dimension de X et on note dim (X) le degré de
transcendance air A du corps R(X) des fonctions rationnelles nir X.

4-TIIÉORIK Ut; IA DIMENSION 91
Pour tout ouvert affine non vide UCX, il résulte de
la prop. 1 que dim(X) est égale au degré de
transcendance sur A du corps des fractions R(U) de l'anneau A (U) ;
comme A(U) est une A-algèbre de type fini, R(U) est une
extension de type fini de A, donc dim(X) est un entier
fini ^ 0; de façon plus précise, si A(U) est cngendié par
n éléments, on a dim (X) < n.
Exemples. — L'espace affine A" a pour corps des
fonctions rationnelles A (T,, —,T9(),donc dim (A*1) =« (cequi
justifie l'appellation d' « espace affine de dimension n »).
Comme A" s'identifie à un ouvert affine partout dense de
l'espace projectif P„(A), on a aussi dim(Pm(A)) =«; plus
généralement, comme la grassmannienne Gfl]I.(A) contient
un ouvert partout dense isomorphe à Ar("~r>, on a
dim (Gnir(k)) ==»■(«— r). Les seules variétés irréductibles
de dimension 0 sont les variétés réduites à un point. Les
variétés irréductibles de dimension 1 (resp. 2) sont encore
appelées courbes algébriques (resp. surfaces algébriques) sur k.
Si X est une variété non vide quelconque sur A, on
appelle encore dimension de X et on note dim(X) la plus
grande des dimensions des composantes irréductibles de X ;
on dit que X est pure si toutesses composantes irréductibles
ont la même dimension. Les seules variétés de dimension 0
sont donc les ensembles finis non vides.
Proposition 2- — Soient X une variété «réductible, Y une
sous-variété non vide de X. Alors dim(Y) < dim(X), et la
relation diin(Y) -- dimfX) équivaut à dire que Y est un
ouvert non vide de X.
11 est l lair que si Y est un ouvert non vide de X, il existe
mi ouvert affine U ^ 0 contenu dans Y, donc
din,(Y) = dini(X).

92 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Cela montre en premier lieu qu'on peut, en remplaçant Y
par Y, se borner au cas où Yest/crm^dans Xet irréductible^
pour tout ouvert affine non vide UCX rencontrant Y,
U C\ Y est alors un ouvert affine non vide dans Y, donc
dim(U ri Y) = dîm(Y) ; puisque Y Pi U est fermé
dans U eL dim(U) ~ dim(X), on est ramené au cas
où X = Spm(A) est affine, donc Y — Spm(A/p), où
p est un idéal premier de l'algèbre intègre A. Si Y ^ X,
on a donc p ^ {0}; si dim(X) = «, il s'agit de voir
que le corps des fractions de l'anneau intègre A/p a un
degré de transcendance <C « sur k. Supposons le contraire;
il existerait alors dans A « élémenLs flt .. .tfn dont les
images f$ dans A/p seraient algébriquement
indépendantes sur k. Soît alors g ^ 0 dans p ; les « -f 1 éléments g,
flt .. .,f„ ne pouvant être algébriquement indépendants
sur k, il exisLerait un polynôme P e&[T(l, Tj, .... T„]
non nul et tel que P(g,./i, -. .,X) — 0 dans A. Comme
A est tin anneau intègre, on pcuL, en considérant la
décomposition de P en produit de polynômes irréductibles,
supposer P irréductible. Alors P ne pourrait être divisible
par" T0 que si P = XT0 avec X ^ 0 dans k. mais comme
g ^ 0, cette hypothèse est absurde. Le polynôme
P(0, Tlt . -., T„) est donc non nul, et comme les images
canoniques de g, fti . . .,Xdans A/p sont 0,_/i, .. .>fni on
aurait P(0,/I;1 .. .,X) ~ 0 contrairement à l'hypothèse.
C.Q.F.D.
Si Y est une sous-variéLé fermée irréductible d'une
variété irréductible X, on appelle codimensîon de Y dans X
et on note codimx(Y), ou simplement Codim(Y), la
différence diin (X) —dirn (Y) ^ 0; larelation codîmx(Y) = 0
équivaut donc à Y = X.
Remarque. — Soient Xj, ..., X,„ les composantes
irréductibles d'une varieLé X. tl résulte de la prop. 2 et de

4 - THÉORIE DE LA DIMENSION
93
(T, 8) que chaque intersection X, f~ï X^ pour i ^ j est
de codimension ^ 1 dans X, et dans X^.
Proposition 3. — Si "KetY sont deux variétés irréductibles,
dim(X X Y) = dim(X) + dim(Y).
On sait que X X Y est irréductible (§ 2, n° 4, cor. de
la prop. 7) ; si U (resp. V) est un ouvert affine non vide
dans X (resp. Y), l'ouvert affine U X V dans X X Y
est non vide, et il suffît donc de prouver la proposition
lorsque X = Spm(A) et Y — Spm(B) sont affines.
Soient m = diin(X), n = dim(Y); alors A (resp. B)
contient une sous-algèbre Aq (resp. B„) isomorphe à
Arjj, ..., Tm] (resp. k[Vi, .. ., U„]), et A (resp. B) est
engendré par un nombre fini d'élémenis fl3 .. .,fT (resp.
gii ■ ■ ■ > ëe) algébriquessur le corps des fractions E0 (resp. F0)
de A0 (resp. B0) (A, 35). Comme A(XxY) = A ©^ B,
ccue algèbre contient le produit tensoriel A^, ©fc B0,
isomorphe à k[Tt, .. . s Tm, Uj, .. ., U„], dont le corps des
fractions L0 a donc un degré de transcendance égal à
m -f- n sur &. En outre, le corps des fractions L de A ©A B
est PexLension de L0 engendrée par./^, ... yfr 3 gt, ..., gB,
qui sont algébriques sur L^,; donc le degré de
transcendance de L sur k est m -f- n. C.Q.F.D.
Corollaire. — Pour toute variété irréductible fermée X de
Pn(k), en a dimCrc-^X)) = dim(X) + 1.
Cela résulte de la prop. 3 et du fait que si X C\ Uj ^ 0,
n-^X n Ut) est isomorphe à (X n 1¾ X (k — {0})
(§ 3, prop. 2).
3. Le théorème des idéaux principaux
Soient X une variété irréductible et feVÇX, c\) une
fonctionrégulièresurX; nous désignerons encore par V(f)

94 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALOEBRIQUE
la sous-variété fermée de X formée des x e X tels que
J[x) ^ 0, Si /= 0, il est clair que V(f) = X. D'autre
part, pour que V(/) smt vide, il fauL ci U suffit que/soiL
inversible dans l'anneau VfX, ^)- En cifet, la condition
est évidemment sullisautc; i avènement, ni V(/) = 0,
pour toutouvertalriuc UCX, la fonction régulière y |U
est telle que V(/|U) — 0, donc /]U ne peut
appartenir à aucun idéal maximal de FfU, (Px) eL admet par
suite un inverse gu dans cet anneau. En outre, il est clair
que pour deux ouverts affines U, V, les restrictions degjj
etgv à U ri V sont égales, érantinverses de /| (U ri V).
Il y a par suite une section g de F(X, 0X) telle que
g I Û = gv pour tout ouvert affine U, et on a
évidemment fg = 1.
Théorème 1 (théorème des idéaux principaux de
Krull). — Soient X une variété irréductible, f une fonction
régulière sur X, qui n'est ni 0 ni inversible. Alors \7{f) est une
sous-variété pure non vide de X, de dimension dim(X) — 1.
Soit Y0 une composante irréductible de V(/). Comme
X est nosthérien, V(/) n'a qu'un nombre fini de
composantes irréductibles et il exisLe un point j|eY0
n'appartenant à aucune autre composante irréductible de \7{f)i
la réunion de ces composantes étant fermée dans X, on
voit qu'il y a un ouvert, non vide U de X tel que
U r\ \{f) = U ri Y0 soit irréductible. Remplaçant U
par un voisinage ouverL affine dej> contenu dans U, on
voit finalement qu'on est ramené à prouver le Lhéorème
lorsque X = Spm(A) esL affine, A intègre, /eA non
nul ni inversible, et où p = r(A/) csl un idéal premier
(§ 1, n° 1, prop. 2). Il s'agit de prouver que si L est le
corps des fractions de A et a un degré de transcendance
sur k égal à «, le corps des fractions L^, de A/p a un degré
de transcendance égal à « — 1.
En verLu du lemme de normalisation (A, 35), il existe
dans A n éléments gl> ..., gn formant une base de traiis*

4 - THEORIE, DF. LA DIMENSION 95
cendancedeLsurAettelsquesil'onposc B—Afg,,. . .,£„]
(isomorphe à l'algèbre de polynômes A [Tu ■■•jT^),
A est un B-module. de type fini, Soit E le corps des fractions
de B (isomorphe à Afl^, .. .,TK)); L est une extension
algébrique finie de E. Posons f0 = Nj^fy); comme B est
intégralement clos, ou sait alors que l'idéal premier p rï B
de B est égal à r(B/J,) (A, 26). Il est clair que A/p est
un (B/(p ri B))-module de type fini; si E0 est le corps des
fractions de B/(p ri B), L^ est donc une extension
algébrique finie de E0> et par suite a même degré de
transcendance suï A que E0. On est donc ramené à prouver que
E0 a un degré de transcendance égal à « — 1 sur A. Or,
comme l'anneau B estfiactoriel (A, 30), les idéaux premiers
minimaux parmi ceux contenant fi0 Sont les idéaux B^-,
où les hj sont les facteurs irréductibles de fi0 (A, 30) ;
t'fë/ô) ne Peut Par su'Le étre premier que si fi = /ij-f1,
où /¾ e B est iri'éductible, et alors p rï B = B/;0.
Finalement, on doit prouver que si P est un polynôme
irréductible de A[Ta, ..., TOT], le coips des fractions de l'anneau
intègre A[T:L, ..., T„]/(P) a un degré de transcendance
sur k égal à «— 1 (autrement dil> le cas parlicuUer du
th. 1 pour X = A"), Mais il y a alors « — 1 des Tj-, par
exemple T2, .,.,T„ tels que P et T2, ..., T„ forment une
base de transcendance de k(Tly ..., T„) sur A (A, 1); on
voit alors aussitôt que les classes de T2, ...,T„ dans
^Hi, ■ ■ -»TB]/(P) sont algébriquement indépendantes
sur A; comme Ta est algébrique sur k(P, T2, .. ., T^), cela
achève la démonstration.
Remarque. — On peut encore énoncer le th. 1 sans
Supposer que fi est non inversible; l'énoncé est alors
valable eu supprimant la conclusion que V(y) est non
vide, en se souvenant qu'un ensemble irréductible est non
vide par définition, et par suite que l'on peut dire que
l'ensemble vide a une dimension arbitraire, puisqu'il n'a
pas de composantes irréductibles.

96 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Corollaire. — Soit X une sous-variétéfermée irréductible
de PK(A) de dimension > 0. Pour tout polynôme homogène non
constant PeA[T0, ...,¾ Vhypersurface V(P) définie par
P(#0 ,xlt . .., xn) = 0 rencontre X ,• si elle ne contient pas X,
V(P) ri X est une sous-variété pure de codîmension 1 dans X.
Si C=7r"1(X), Cestîrréductîbleetdediinension5t 2,
et P s'annule au point 0 de C, donc la restriction de P
à C n'est pas inversible; l'ensemble C des points de C
où P s'annule est un cône poinLé qui, en vertu du th. 1,
est une variété pure de dimension ^ dim(X) ^ 1.
L'intersection C ri (kn + * — {0}) n'est donc pas vide et
7r(C) = V(P) ri X est une sous-variété pure non vide,
de codîmension 1 dans X (§ 3, prop. 2) si X n'est pas
contenue dans V(P).
Le th. 1 admet une réciproque :
Proposition 4. — Soient X une variété irréductible■> Z une
sous-variété irréductible fermée de X de codîmension 1.
(i) II existe un ouvert affine U de X tel que Z ri U ^ 0
et une fonction f régulière sur U, non identiquement nulle et
^annulant dans ZOU.
(ii) Pour tout ouvert U ri? X rencontrant Z et toute fonction f
régulière sur XJt non identiquement nulle et s*annulant dans Z ri U,
ZnU estunecomposanteirréductibledelasous-variéte',V(f)de\J.
(i) Comme Z n'est pas vide, il y a un ouvert affine
U = Spm(A) rencontrant Z, et ona alors Z ri U = V(a),
où a est un idéal radiciel ^ {0} de A (en vertu de la
prop. 2); toute fonction f € CL autre que 0 répond alors
à la question.
(iï) Si W est la composante irréductible de V(/)
contenant Z ri U, on a, en vertu de la prop. 2,
dim (U) > dim (W) ^ dim (Z n U) = dïm (U) — 1
ce qui n'est possible que si W = Z H U (proP- 2).

4 - THÉORIE L>E LA DIMENSION 97
Corollaire. — Dans une variété irréductible X, toute sous-
variété fermée irréductible maximale dans l'ensemble des sous-
variétés fermées irréductibles distinctes de X est de codîmension 1,
et réciproquement. Toute sous-variété fermée irréductible ZjtX
de X est contenue dans une sous-variété fermée irréductible de
codîmension 1.
Si Z est une sous-variété fermée irréductible de X,
distincte de X, pour tout ouvert affine U = Spm (A)
rencontrant Z, ZnU est irréductible dans U et distincte
de U, donc ZnU = V(p), où p ^ {0} est un idéal
premier de A. Si f ^ 0 est un élément de p, on a donc
ZOU CV(/) et par suite ZoU est contenu dans une
composante irréductible Y de V(y), de dimension
dim(X) — 1. Comme Z = ZnU (T, 7), on a ZCY,
et Y est une sous-vanété fermée irréductible de X de
codîmension 1. Le fait que toute sous-variété fermée
irréductible de X de codîmension 1 soit maximale résulte
de la prop. 2.
Remarque. — Sous les hypothèses de la prop. 4, on peuL
se demander si, pour tout point x e Z, il existe un
ouvert UCX contenant x et une fonction y régulière
sur U tels que ZOU soit non seulement une composante
irréductible de V(jf), mais même égale à V(f). L'exemple
donné au n° 1, Remarque, montre qu'il n'en esL rien;
avec les notations de cet exemple, il suffit de considérer
le point (0, 0, 0, 0) de Z (sommet du cône X) et de noter
qu'aucune fonction g régulière dans un voisinage de ce
point dans le plan Z' ne peut avoir ce point pour unique
zéro (par exemple en vertu du th. 1).
On a cependant la proposition suivante :
Proposition 5. — Soit X une variété affine irréductible,
dont Panneau A(X) des fonctions régulières soit factoriel. Alors

98 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
toute sous-wriétèfermée Z de~K}pure et de dimension dim (X) — 1,
est dé la forme V(jf) pour une fonction f e A(X).
En effet, soient Z,, ..., Z, les composanLes irréductibles
de Z, qui sont donc des variétés irréductibles fermées, de
codimension 1 ; chacun des idéaux premiers t(Z,-) — p.j
est donc minimal dans l'ensemble des idéaux premiers
5* {0} de A(X) (cor. de la prop. 4), et par suite (A, 30)
est un idéal principal (jQ, oiifj est irréductible dans A(X) ;
il est clair alors que Z = V(/), où f—ffi...fr
(§ 1, prop. 1).
Corollaire. — Toute sous~varîété fermée Z de P^fA), pure
et de dimension «—1, est définie par une seule équation
^(x0 ,xX7 ...,¾) =0 entre les coordonnées homogènes de ses
points^ ou P est un polynôme homogène ^ Odek [T0. Ti, ..., Tw]
(autrement dit Z est une hypersurface).
En effeL, C = tT HZ) (notations du § 3, n° 2) est un
cône époïnté fermé dans kn + 1 —{0}, irréductible et de
dimension n; C est alors un cône pointé fermé dans A*14*1,
irréductible et de dimension «, et il suffit de lui appliquer
la prop. 5, puisque A(kn*1) ^= k[T0,Tlt --.,T„] est
faetorfel (A, 30).
Proposition 6. — ta dimension d'une variété irréductible X
est le nombre maximal ifélêntents Z,- dans une suite strictement
croissante
(1) ZiCZgC ... czr
de sous-variêlés fermées irréductibles de X, distinctes de X.
Si dïm(X) = n ^ 1, l'existence d'une suite (1) avec
r = n résulte du corollaire de la prop. 4, appliqué par
récurrence sur n. Inversement, pour toute suite (1), on
a dim (Z,) < n— 1, et le fait que r < n résulte par
récurrence sur « de la prop. 2.

4 - THÉORIE DE LA DIMENSION 99
Proposition 7. — Soient X une variété irréductible,
/1,/2, ,fr des éléments de TfX, c\), et soit
V(/„ ...,/,) -Vf/,) nV(/2) n ... flV|/J;
c/o^, j&o«? fowfe composante irréductible Z ûfe Vf/,, .. .,/.),
o« g codimx(Z) < r.
Raisonnons par récurrence sur r, le cas r = 1 étant
conséquence du th. 1. La sous-variété fermée Z, étant
irréducLible et contenue dans la sous-varîété fermée
V(.A, ■ ■ -»./r-i)» est conLenuc dans une composante
irréductible Z' de cette sous-variété; on a alors
zcz'nvtficvLf, /j
et comme Z est une composante irréductible de
V(/,, ,/), Z est aussi une composante irréductible
de Z' (~\ V(j£). En vertu de l'hypothèse de récurrence,
on a cod!mx(Z') < r— 1. Si la restriction de /, à Z'
esL 0, on a Z = Z'. Sinon, il résulte du th. 1 que
dim(Z) = dim(Z') — 1, donc codimx(Z) < r.
Corollaire 1. — Soit X une sous-variété fermée
irréductible de P71(A) ; pour tout système de r polynômes homogènes non
constants Plt ..., Pr de A[T0, Tj, ..., T„], toute composante
irréductible Z de l'ensemble VfPj, ..., Pr) des points de X dont
les coordonnées homogènes annulent Pj , ..., Pr est de coAimen-
sion < r dans X- Si de plus dim(X) ^ r, V(Pt, -. -, Pr)
nyest pas vide.
La première assertion résulte de la prop. 7 appliquée au
cône tz" *(X) ; la seconde provient aussitôt par récurrence
du corollaire du th. 1.
Corollaire 2. — Soient X et Y deux sous-variétés
irréductibles de kn (ou de Pn(k)) ; pour tonte composante irréductible Z
de XOY, on a
dïm(Z) » dim(X) -f dhn(Y) — n.

100 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
En effet, supposons par exemple que X et Y soient des
sous-variétés de kn; X O Y est alors isomorphe à la sous-
variété (XxY)OA de k2n, où A esL la diagonale
(§ 2, cor. de la prop. 8); mais An(XxY) est la
sous-variété de X x Y définie par l'annulation des
restrictions à X x Y des « fonctions régulières Xj— *n+J-
(1 ^ j ^ n) sur k2n ; la conclusion résulte donc de la prop. 7
puisque dim (X X Y) = dim X -h dim Y (prop. 3).
Lorsque X et Y sont des sous-variétés de P„(&), il suffit
de considérer un ouvert de P„(A) contenant un point de Z
et isomorphe à kn, et ses intersections avec X et Y, pour-
être ramené au cas précédent.
Remarques. — 1) Sous les conditions de la prop. 7, les
diverses composantes irréductibles de Vf^, —,fr) n'ont
pas nécessairement la même dimension, et peuvent avoir
toutes une codimension <C r. On a un exemple du premier
cas en considérant une hyperquadrique X de dimension 4
dans P6(A), et en prenant pour V(/j) et V(/2) les
intersections de X avec deux hyperplans distincts de P6(&)
contenant un même plan (isotrope) contenu dans X.
2) Le corollaire de la prop. 7 montre en particulier
que pour r <C n polynômes homogènes quelconques
P1} P(, de A[T„, , Tfl], il y a toujours des points
de P„(A) dont les coordonnées homogènes annulent à la
fois tous les Pj; cela prouve que les seuls morphismes
de P„(A) dans Pm(A) pour m < « sont les applications
constantes.
Proposition 8. — Soient X = Spm(A) une variété
affine irréductible, Z une sous-variétè fermée irréductible de X,
de codimension r. Il existe alors r éléments fx, ..., fr de A tels
que Z soit une composante irréductible de "V(fi, —,.£)-
La proposition a déjà été démontrée pour r = 1
(prop. 4). Supposons r > 1 ; alors Z n'est pas maximale

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 101
dans l'ensemble des sous-variétés fermées irréductibles
de X (cor. de la prop. 4), donc il existe une sous-variété
fermée irréductible Z1 de codîmension 1 telle que Z C Zt.
Procédant par récurrence, on obtient une suite strictement
décroissanLe
Z1DZ2D...DZr = Z
où chaque Zj est une sous-variété fermée irréductible de
codîmension j dans X. Nous allons prouver un énoncé
un peu plus précis que celui de la prop. 8 : il existe r
éléments^, .. mfff de A tels que pour chaque s < r, Zs soit
une composante irréductible de V(j^, .. .,/B) et en outre
que V(fx, —,fs) soit une variété pure (ayant donc toutes
ses composantes irréductibles de codîmension s).
Procédons par récurrence sur r, l'assertion rêsultanL de
la prop. 4 et du th. 1 pour r = 1. L'hypothèse de
récurrence entraîne l'existence d'éléments^, ,fT _ x de A
tels que toutes les composantes irréductibles Ylt , Y„,
de V(fi, —ifr-i) soient de codîmension r— 1, et que
Z, -1 ™ Yj. Comme dim (Z) < dim (YA pour chaque
indice/, Z ne peut contenir Yj (prop. 2), et par suite
aucun des idéaux premiers t(Yj) ne peut contenir l'idéal
premier t(Z); on en conclut (A, 12) que t(Z) n'est pas
non plus contenu dam la réunion des t(Y3-), autrement diL
il existe fr e t(Z) n'appartenant à aucun des t(Yj).
Soit Y' une composante irréductible de :
v(/„ ...,/,) =vUi, .-.,/,.,) nvii);
Y' est donc une composante irréductible de l'une des
sous-variétés Y3- n V(fr) (T, 7) ; en vertu du choix defr,
la restriction de fT à Yj n'est pas identiquement nulle,
donc (th. 1), on a dim(Y') = dïmfY,-) — 1 = dim(Z).
Mais comme ZC V(/,, .. -,.£) P3^ le choix de fri Z est
contenu dans une des composantes irréductibles Y' de
VC/ii - ■ -sjfc)> et en vertu de ce qui précède on a
nécessairement Z = Y' (prop. 2).

102 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
Corollaire. — Soit X une sous-variété fermée irréductible
de Pj,(A)- Pour toute sous-variété fermée irréductible Z de X,
de codimension r dans X, il existe r polynômes homogènes non
constants Pj, —, Pr de k [T0, Tx, . .., Tfî] tels que Z soit une
composante irréductible de X f~i V(Pi, , Pr)-
Les Zj- étant définis comme dans la prop. 8, on prouve
par récurrence sur r TexisLence de polynômes Pj, ..., Pr
tels que pour chaque s < r, Zs soit une composante
irréductible de XO V(P,, ..., PB) et en outre que
X C\ V(P|, ..., Ps) soit une variété pure. Le raisonne-
menL par récurrence esL le même que dans la prop. 8
en considérant les idéaux premiers gradués t(7r"1(Y,')) et
tCTrVZJJdansfcJTo, ..., TK] et utilisant (A, 12).
Exemple. — Dans P3(A), toute courbe irréductible
fermée C est une composante irréductible de l'intersection
de deux surfaces fermées (on ignore si C peut toujours
être la seule composante irréductible d'une telle
intersection) .
PnoPOsrnON 9. — Soit X une sous-variéléfermée de Pn(k)t
de dimension r <n. Alors il existe une variété linéaire projec-
tivehde'Pn(k)t de dimension n — r—1, telle que L f~i X = 0.
Raisonnons par récurrence sur r. Pour r — 0, X est
unensemblefinietonsait (A, 42) qu'ilexisLeunhyperplan
projectif dans PM(A) ne contenant aucun point de cet
ensemble. Supposons r > 0, et soient X|, —, X,,, les
composantes irréductibles de X, qui sont donc toutes de
dimension < r. L'intersection L,- de toutes les variétés
linéaires projectives contenant X, est la plus petite variété
linéaire projeclive contenant Xy. Il existe un hyperplan
projectif H ne contenant aucune des variétés linéaires non
vides Lj- distinctes de P„(&) (A, 42); par suite, H ne
contient aucune des composantes irréductibles Xj de X,

4 ~ THÉORIE DE LA DIMENSION 103
et H f~i Xj estparsuîteunesous-varïété pure decodimen-
sïon 1 dans X,- pour chaque j (éventuellement vide). En
vertu de Phypothèse de récuiTence, il existe dans H une
variété linéaire projective L de dimension :
(B _ 1) __ (r _ 1) _ 1 = „ _ r _ 1
ne rencontrant pas H f~i X. C.Q..F.D.
4. MûRPHÏSMES FINIS ET FACTORISATIONS
Définition 4. - Etant donné deux variétés X, Y, on dit
qu'un morphisme u : X ~> Y est fini s'il existe un
recouvrement (Ua) de Y par des ouverts affines tels que pour chaque a,
u~ l (Ua) soit un ouvert affine de X et que le comorphisme
A(Ura) -^-AfiT^Ua)) dumorphisme u~x(1}a) -> U«
restriction de u fasse de A(«"1(UK)) un A(UK) -module de type fini.
Cette condition signifie aussi que Afa^fU^)) est une
A(Ua)-algèbre engendrée par un nombre fini d'éléments
dont chacun est entier sur A(Ua) (A, 16), On notera que
la définition n'exclut pas le cas où, pouf certains Ua non
vides, u~ 1(Ua) serait vide.
Proposition 10.— Soient X = Spm(A), Y = Spm(B)
deux variétés affines, tp : B —> A un k-homomorphismei
u — Spm(tp) : X -> Y le morp/dsme correspondant.
(i) Si cpfaït de A un ^-module de type fini, u est un morphisme
fini et pour tout ouvert U de Y, le morphisme a^fU) ~> U
restriction de a est fini,
(ii) Inversement, si u est un morphisme fini, tp fait de A
un B-moahle de type fini.
(i) Il est clair que u est fini par définîiïon; pour prouver
qu'il en est de même de a"1(U) ~>U, ilsuffiLdeseborner
au cas où U = D(g), où £eB, desorteque a_,(U) = D(h)
avec h=ep(g) (§ 1, n° 5, formule (21)), Soient^

104 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
(l$i$m) des éléments de A engendrant A comme
B-module; tout élément /eA peut donc s'écrire î
i
où les t4 € B. Les fonctions régulières sur D(A) étant de
la forme x{->f(x)jk(x)n s'écrivent donc :
*h»S(%(«(*))te(«M)")./ïM,
ce qui montre que les restrictions des fo à D(A) engendrent
l'anneau A(D(h)) en tant que A(D(g))-module,
(ii) Compte tenu de (i), il existe un recouvrement
de Y par un nombre fini d'ouverts de la forme D($)
(Kf $D) où gi eB, tels que, pour /¾ — tp(,&),
l'anneau AA; soit un Bff;-module de type fini; désignons par
(fijI^T1) tin système de générateurs de ce Bffi~module
(avec fij eA). En multipliant les foj par des puissances
de /¾, on peut supposer tous les m^ égaux à un même
entier m, Montrons alors que les j^- engendrent le
B-module A. En effet, pour tout /eA, la restriction de f
à D(^) s'écrÎL par hypothèse liitpihj) fijl^t» et P21" suite»
i
dans A, on a f^f= Zi<f>(hj)fi3> Comme les D(gJ")
forment un recouvremenL de Spm(B), il y a des st e B tels
que 1 =2¾^ comme qpfogr)/ = Jùyihhàfn» on
» s
obtient f = S tpf3* ti}) fa » ce qui achève la démonstration.
Proposition 11, — Soit u ! X ~>Y un morpfrisme fini.
(i) U application u est formée.
(ii) Pour tout jieY, l'ensemble u~x{y) est fini.
(i) Soit (U«) un recouvrement de Y par des ouverts
affines Lels que pour tout oc, w"1(Ua) soit un ouvert affine
de X et que la restriction «~ 1(U«) -> Utt soit un mor-

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 105
phisme fini. Pour toute partie fermée F de X, on a
«(F) OUtt = «(F n «~I(Ua))> et comme il suffit de
prouver que «(F) f~i Ua est fermé dans Ua pour tout oc, on
est ramené au cas où X ~ Spm(A) et Y = Spm(B)
sont affines et a = Spm(ip), où tp : B —> A fait de À
un B-moduIe de type fini. Soit alors Z — V(a) un
ensemble fermé dans X, et poscins b=<p_I(a); les points
de «(Z) sont les idéaux maximaux tp~ ^-fîït), où fit parcourt
l'ensemble des idéaux maximaux de A ccntenant a. Mais
B/b s'identifie à un sous-anneau de A/a, et A/a est
évidemment un (B/fc)-module de type fini; on sait alors (A, 19)
que tout idéal maximal Tl' de B/b est contenu dans un
idéal maximal m'de A/a; si Ton écrit n' = Tt/b, trt' = tn/a,
où n (resp. m) est un idéal maximal de B (resp. A), cela
entraîne que n™tp-I(tTt), donc «(Z) = V(b) est fermé
dans Spm(B).
(ii) Il est clair qu'on est encore ramené au cas où
X = Spm(A) et Y~ Spm(B) sont affines, et on peut
évidemment se borner au cas où y e«(X); d'après (î),
on a «(X) ™ V(b), où b — Ker(tp); on sait (A, 19)
que, puisque A3B/b est un (B/b)-module de type fini,
il n'y a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux de A
contenant un idéal maximal de B/b, d'où la proposition.
Remarque. — Un morphîsme fini surjectif n'est pas
nécessairement ouvert (cf. n° 5, exemple 2).
Proposition 12. — (i) Pour toute sous-variété fermée Z
a? une variété X, f infection canonique Z ~> X est un morphîsme
fini.
(ii) Le composé de deux morpkismes finis est un morpfiisme
fini.
(iii) Soit v : X -> Y un morphîsme fini tel que vÇK) C Z,
où Z est une sous-variété fermée de Y. Alors le morphîsme
u : X ~> Z tel que v — j o «, où j : Z ~> Y est Vinfection
canonique, est fini.

106 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
(îv) Si «j : Xj, ~> Yj et «2 : X2 -*■ Ya sont des morphîsmes
JiniS) il en est de même de «j x u2 : X^ x Xg ~> Y1 x Y2.
(î) Pour tout ouvert affine UCX, UOZ est lui
ouvert affine dans Z et est fermé dans U, donc on est
ramené au cas où X — Spm(A) et Z = V(a), où a est
un idéal radîciel de A; il est clair alors que A/a est un
A-module monogène.
(îî) Soient « : X ~> Y, a : Y ~> Z deux morphismes
finis, et soit (Ua) (resp. (Vp)) un recouvremenL de Y
(resp. Z) par des ouverts affines tels que les morphismes
y_I(Uft) ~>Uft et f'^fVp) -> Vp soient finis. En vertu
de la prop. 11, v(u(K)) est fermé dans Z; pour tout
z¢v(u('K))> soit V2 un voisinage ouvert affine de z ne
rencontrant pas v(u(K)). Si au contraire z et>(«(X)),
ona ^ = &(«(#)) pourun x eX, «(#) appartient à un Ura
et ^ à un Vp. En vertu de la prop. 10, il existe un voisinage
ouvert affine VB de £ = »(«(#)), contenu dans Vp, tel que
iT'CVg) soit affine et contenu dans Ua,«-I(f~3(VE)) affine,
et en outre que les morphismes u~ l(V~ I(VS)) ~> v~ I(VJ
et f~ I(V2) ->VZ soient finis (cf. § 2, n° 3, Remarque (i)).
Il sufFiL donc de prouver l'assertion (îî) lorsque
X=Spm(A), Y=Spm(B) et Z = Spm(C)
sont affines; mais alors, comme B est un C-module de
type fini et A un B-module de type fini, A est un C-module
de type fini.
(ïïi) Pour tout z € Z il y a un voisinage ouvert affine V£
de z dans Y tel que fc,_,(V£) ~ «_1(Z fï V£) soit affine cl
que le morphisme v~1(Vz) ~>V3 restriction de v soit fini.
Comme Z O V£ est un voisinage ouvert affine de z
dans Z, on voit qu'on est ramené au cas où X — Spm(A)
et Y = Spm(B) sont affines; alors Z = SpmfB/fe)
pour un idéal b de B, et par hypothèse le morphisme
composé B ~> B/b ~> A fait de A un B-module de type
fini; mais alors A est aussi un (B/b)-module de type fini.

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 107
(îv) Comme les produits \1 x V2 d'ouverLs affines
VjC Yj eL V2C Y2 forment un recouvrement ouvert affine
de Yj X Y2, on est ramené au cas où les Y^ — Spm(B^)
et Xi — SpmfAJ (i = 1, 2) sont affines. Mais si A^ est
un B^-module de type fini pour i = 1, 2, il est clair
que Aj © Ag est un (Bj © B2)-module de type fini.
Corollaire 1. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
u : X ~> Y un morphisme fini dominant.
(i) Le morphisme u est surjectif, et R(X) est une extension
algébrique finie de R(Y) (donc dim (X) — dim (Y)).
(ii) Uimage par u de toute partie rare de X est une partie
rare de Y.
(î) Comme w(X) est dense dans Y et fermé, on a
r*(X) = Y. En outre, si U est un ouvert affine non vide
de Y tel que a-1(U) soit un ouvert affine de X, AfzT^U))
est un A(U)-module de type fini, donc engendre par un
nombre fini d'éléments entiers sur A(U), et a fortiori
algébriques sur le corps des fractions R(Y) de A(U) ; comme
R(X) est le corps engendré par ces éléments, il esL une
extension algébrique finie de R(Y).
(ii) Soit F un ensemble fermé rare dans X; il suffit de
prouver que, pour Loute composanLe irréductible Z de F,
«(Z) est rare dans Y. Or, la restriction Z ~>«(Z) de u
est un morphisme fini surjectif, donc on a :
dïm(«(Z)) = dim(Z) < dim(X) ^ dim(Y)
ce qui prouve que «(Z) esL rare dans Y (prop- 2).
Corollaire 2. — Soit u : X ~>Y un morphisme fini.
Si Y est une variété complète, X est mie. variété complète.
Soit Z une variéLé quelconque; la projection
pr^ZxX^Z

108 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
se factorise en Z x X i^> Z x Y -¾ Z, où la seconde
flèche est une application fermée par hypothèse; comme
1 X « est un morphisme fini, c'est aussi une application,
fermée, d'où la conclusion.
Exemples. — 1 ) Le morphisme t h» (ïa, fs) de k dans k2
(§ 1, n° 2, Exemple 5) et le morphisme t h» tm (m entier
arbitraire) de k dans k sont finis.
2) L'injection canonique u "-&— {0} ~>& ri! est pas un
morphisme fini (bien qu'étant injectif) puisque k—{0}
n'est pas fermé dans k (cf. § 5, n° 4).
Le lemme de normalisation (A, 35) entraîne l'existence
dcfactorîsatîons des morphismes, permettant pour de
nombreuses propriétés de se ramener aux morphismes finis^
comme nous le verrons dans la suie de ce paragraphe
et aux §§ 5 et 6.
Proposition 13. — Pour toute variété affine X de dimension n
il existe un morphisme fini surjectif u : X —> #'.
En effet, si X = Spm(A), le lemme de normalisation
montre que dans l'anneau intègre A il existe une sous-
A-algèbre B isomorphe à k[Tlt , T,J et telle que A soit
un B-module de type fini; u est le morphisme
correspondant: à l'homomorphîsme injectif B —>A.
Lorsque X est irréductible, on notera qu'on peut même
supposer que le comorphisme AfTj, >.--, Tn) ~>R(X)
correspondant à u fait de R(X) une extension finie sépa-
rable du corps k(Jlt ..., TM) (A, 35).
Proposition 14. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
u : X -> Y un morphisme dominant. Il existe alors un entier
m ^ 0, un ouvert affine non vide VCY et uti
recouvrement (^j)i^i^r de tr 1(V) par des ouverts affines tels que la

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 109
restriction Uj de u à chaque Uj-, considérée comme morphisme
de Uj- dans V, se factorise en
u34v x #,i5v
où V: est un morphisme Jïni surjectif.
Soit V0 un ouvert affine non vide dans Y; comme u est
dominant, «_1(V0) est un ouvert non vide de X, et est
par suite réunion d'un nombre fini d'ouverts affines non
vides U^ (1 <i<r)> commettes! dominant, les «(Uj) sont
denses dans V0. Posons LJJ = Spm(A3-), V0 = Spm(B),
de sorte que chaque A^ est intègre et rhomomorphisme
B ~> Aj înjectif (§ 1, n° 4, cor. 2 de la prop. 6). On sait
alors (A, 39) qu'il existe un élément & ^ 0 de B et un
sous-anneau Cj de A,- contenant B, tels que Cy soit
isomorphe à B[Tj, ..., TJ = B ©fc k\T±, -.-,¾ et que
Aj^l/^] soit un C|[l/^]-module de type fini. Prenons
s = stsZt ..., sr; comme
q[lW=B[l/î]®kA[T1>...,T„,],
on répond à la question en prenant
V = Spm(B[l/s]) = D(j) et U, =- SpmfA^l/s]),
le inorpliisme Vj correspondant à l'injection
Corollaire (Chevalley). — Soient X, Y deux variétés
irréductibles, u : X ~> Y un morphisme dominant. Alors «(X)
contient un ouvert non vide de Y.
Proposition 15 (Chevalley). — Pour tout morphisme
u : X ~> Y de variétés, et foute partie constructible (T, 13) C
de X, u (C) est une partie constructible de Y.
Si Xj (1 <J< r) sont les composantes irréductibles
de X, C ri Xj est une partie constructible de X,- (T, 14)

110 COURS DF. CÉOMÊTRIE ALGKBRlQUI
et «(C), réunion des «(C ri X;), sera constructible si
chacun des «(C ri X,-) l'est. On peut donc se borner au
cas où X est irréductible; si n = dim (X), on va raisonner
par récurrence sur «, la proposition étant évidente pour
n = 0. Comme C est un espace nœthérien, donc réunion
de ses composantes irréductibles en nombre fini, et que
ces dernières sont fermées dans C, donc constructibles
dans X (T, 14), on peut se borner en outre au cas où C est
irréductible; C est alors une sous-variété fermée irréductible
deX;si C ^ X, dim (C) <n (prop- 2); en considérant
la restriction de M à C et utilisant le fait que C est
constructible dans C et l'hypothèse de récurrence, on voit que
«(G) est constructible dans Y. On est donc ramené à
prouver la proposition lorsque C = X. Alors
«(C)C«(X)C«(X)
et en considérant u comme morphisme de X dans u(X),
il suffit de montrer que «(C) est constructible dans w(X),
autrement dit on peut se borner au cas où Y est irréductible
et u dominant. Comme C est constructible et dense dans X,
C contient un ouvert non vide U de X (T, 15), et la
restriction de u à U est encore un morphisme dominant.
Donc (cor. de la prop. 14), w(U) C «(C) contient un
ouvert non vide V de Y et on peut écrire :
«(C) ^VuafCntt-ifY-V)).
Mais jT1(V—V) est une sous-variété fermée de X
distincte de X (u étant dominant et Y—V rare
dans Y] ; comme Crïu_1(Y—V) est constructible dans
«-1(Y—V), l'ensemble «(CniT1(Y — V)) est
constructible dans Y par l'hypothèse de récurrence, ce qui
termine la démonstration.

4 - THÉORIE DE LA DIMENSION l 11
5. Dimension des fibkes d'un morphisme
Théorème 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,,
u : X —> Y un morphisme dominant.
(i) On a dim(X) ^ dini(Y).
(ii) Pour toute sous-variété fermée irréductible W de Y et
toute composante irréductible Z de u~ 1(W) dominant W, on a :
(2) dïm(Z) ^ dinifW) + (dim(X) — dira(Y)).
(îîi) II existe un ouvert partout dense V de Y tel que-, pour
toute sous-varié té fermée irréductibleXV deY telle que W f~ïV ^ 0,
il existe au moins une composante irréductible de «_1(W) qui
domine W, et pour chacune de ces composantes Z, on a :
(3) dim(Z) = dini(W) + (dim(X) — dim(Y)).
On notera que les relations (2) et (3) s'écrivent
respectivement :
(4) codïnv,(W)(Z) < codimY(W),
(5) codïnv-nwjfZ) — codimY(W).
Prouvons d'abord le lemme suivant, qui est un cas
particulier du th. 2 :
Lemme 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
u : X —> Y un morphisme fini surfectif Pour toute sous-variété
fermée irréductible W de Y, il y a au moins une composante
irréductible de u~1(W) qui domine W, et pour chacune de ces
composantes Z, on a dïm(Z) = dïm(W).
En effet, on a w(iT1(W)) = W puisque « est surjectif,
donc, si Zj, ...,7^ sont les composantes irréductibles
de u~ '(W), chacun des u(Z^) est fermé dans Y (prop. 11)
et connue leur réunion est W (qui est irréduclible), on
a a(Z,-) = W pour unj au moins (T, 1). La restriction

1 12 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
de « à chacune des composantes irréductibles Z de tt"1(W)
telles que «(Z) — VV, considérée comme morphisme
de Z dans W, est un morphïsme fini surfectif (prop. 12),
donc on est ramené à prouver que dim(X) = dim(Y),
ce qui résulte du cor. 1 de la prop. 12.
Abordons le cas général; il résulte de la prop. 14
(ou simplement de l'existence de l'homomorphisme
R(Y) ->R(X)) que dim(X) ^ dim(Y); en outre, si
m — dim (X) —dim (Y), on peut déterminer V et les U^ de
façon à satisfaire aux conditions de la prop. 14. Pour toute
sous-variété irréductible W de Y telle que Wn V^ 0,
(W ri V) x km est une sous-variété irréductible fermée
de V X km de dimension dim (W) + »z, et iT1(WriV)
est réunion des vjl((W ri V) x km) (1 < j < r). Le
lemme 2, appliqué à chaque Vj, montre qu'il y a au moins
une composante irréductible de »J1((WriV) X h™) qui
domine W et que toutes ces composantes sont de
dimension dim(W) -\-m. Celaprouvel'existence de composantes
irréductibles de «_1(VV) dominant W; en outre, si Z est
une de ces composantes, un au moins des ensembles
Z ri U3 est dense dans Z et domine (W ri V) X #",
donc est de dimension dim (W) + m, ce qui achève de
démontrer (iii).
Reste à prouver (ii). Remplaçant Y par un ouvert
affine V rencontrant W, et X par tTl(V)i on peut se
borner au cas où Y est affine. Si codïmy(W) ~ s, il existe
alors s fonctions régulières/j, ...,^ sur Y telles que W soit
une composante irréductible de V(flt .. .,^) (prop. 8).
Posons ^ =sf-ou, fonction régulière sur X; si Z est
une composante irréductible de W 1(W) dominant W, on
a a fortiori Z C Vfgj, -.-,&,). Montrons que Z est une
composante irréductible de V(gli . . ..£„). En effet, soit Z'
une composante irréductible de V(gl, --.,¾)
contenant Z. Alors on a W =â(ZJCa(Z')CV(/lJ --.,/e).
Maïs comme W est une composante irréductible de

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 113
Vf/j, ,j^), on a nécessairement w(Z')CW, donc
ZCZ'C «_1(W); puisque par définition Z est une
composante irréductible de w~~ 1(W), on a nécessairement Z = Z'.
Il suffit alors d'appliquer la prop. 7 pour obtenir (4).
Corollaire 1. — Soient X, Y deux variétés irréductiblest
u : X ~> Y un morphîsme dominant. Pour tout y e «(X),
toute composante irréductible de u~x{y) a une dimension
5t dïm(X) — dim(Y), et il existe un ouvert non vide VCY
tel que pour tout y e V, toute composante irréductible de u~ x (y)
soit de dimension égale à dim(X) — dim(Y).
Corollaire 2. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
u : X ~> Y un morphîsme dominant birationnel. Alors il existe
un ouvert non vide VCY tel que la restriction ir'fV)->V
de u soit un isomorphisme.
Remplaçant Y par un ouvert affine non vide V0CY et
Xparir ,(V0),onpeutdîabordsupposerque Y= Spm(B)
est affine. Soit UCX un ouvert affine non vide de X,
de sorte que w(U) est dense dans Y; si W = «(X— U),
toute composante irréductible de W a une dimension
<C dïm(Y) : en effet, toute composante irréductible de
X— U a une dimension < dim(X) =s dim(Y) (prop, 2)
et il suffit d'appliquer le th. 2. Il y a donc un g e B tel que
B(g) n W = 0 (prop. 2), autrement dit tr1(D(g)) C U;
si U = Spm(A) et/ = £o«eA, ona iTl(V(g)) =*&(/).
Remplaçant Y par D(g) et X par D(f), on est doncramené
au cas où X = Spm(A) et Y = Spm(B) sont affines,
A et B étant intègres et le comorphisme ep : B ~> A étant
ïnjectïf et se prolongeant en un isomorphisme du corps des
Exactions de B sur celui de A. Ecrivons A = k\all .. -, am]3
où les oj sont des éléments de A; le corps des fractions de A
étant identifié à celui de B, il existe un élément s ^ 0 deB
et des éléments bx, —, bm de B tels que ay = tyjs pour

114 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
1 <J< m. MaisalorsB[l/jJ s'identifieà A[1/j], etilsufHt
de prendre V ~ Dfs) pour répondre à la question.
Exemples. — 1) Considérons dans kz le cône X
d'équation xt #B — (x\ -f- x%) = 0, et soit u la restriction à X de
la projection [xXi #2, xs) H- (xly x&) de ks sur A2 = Y;
u est un morphïsnie dominant biratîonnel, car
ft(T„ T£ (T,2 + Tl)Tr ') = ft(T„, T2),
et dans le cor. 2 du th. 2 on peut prendre U = D(Tj).
Mais la droite W = VfTj) d'équation Xj ™ 0 dans Â2
est telle que u"'(W) soit la génératrice « verticale »
x^ ■=. x% = 0 du cône X; aucune composante irréductible
de u~1(W) ne domine donc W, et
dimfK-ïfW)) > 0 = dim(X) — dim(Y);
d'ailleurs on a aussi iT1(W) =«"1((0, 0)), cequimontre
que dans le cor. 1, on peut avoir
dim(a- »(>)) > dïm(X) — dira(Y).
2) Prenons X = A2 (k de caractéristique ?£ 2) et
considérons le morphisme u : (/,, ^) h» (^— 1, tt(tï— 1), /2)
de X dans A3; on voit aisément que l'image «(X) = Y est
le cylindre d'équation *f — x\ — x\ = 0 dans kz, et que k,
considéré comme morphisme de X sur Ys est Jïra. Soit W
l'image dans Y du morphisme f i-> (t2— 1, f(/2— l)s f)
de A dans Y, qui est irréductible de dimension 1 ; on
vérifie aussitôt que iT 1(W) a deux composantes irréduc-
tiblesj lsune À, diagonale de A2, et l'autre réduite à un
seul point ( ls — 1 ) ; cette dernière ne domine donc pas W
et a une dimension <C dfm(W),
On notera que l'image par u de l'ouvert A2 — A est
réunion de Y—W et du point (0,0, 1) e W, donc n'est
pas un ensemble ouvert dans Y,
Remarque. — Nous verrons plus loin (§ 5, n° 3, cor. de
la prop. 4) que dans le th. 2 on peut prendre l'ouvert V

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 115
assez petit pour que toutes les composantes irréductibles
de w"1(W) dominent W dès que Wn V^ 0.
Proposition 15 (Chevalley). — Soient Xs Y deux variétés
irréductibles, u : X -> Y un morphisme quelconque. Pour tout
»eX, soit e(x) la plus grande des dimensions des composantes
irréductibles de la fibre u~ \u{x) ) qui contiennent x. Alors
l'application x i-> e(x) de X dans l'espace discret N est semi-continue
supérieurement (autrement dît, pour tout entier n ^ 0S
l'ensemble S„(«) des x e~K tels que e(x) ^ n est fermé).
En remplaçant au besoin Y par la sous-variété «(Y),
on peut se borner au cas où u est dominant. Posons alors
r = dim (X) — dim (Y) ^ 0, et raisonnons par récurrence
sur dim (Y) ; la proposition est évidente si Y est réduite à
un point, car S„(îi) est alors la réunion des composantes
irréductibles de X de dimension ^ n.
Envertuducor.l duth.2spour n < r, ona S„(u) = X.
Si, au contraire, n > r, il résulte du th. 2 qu'il y a un
ouvert non vide VCY tel que Sn(«)CX — «-1(V).
Notons W1,...,Wa les composantes irréductibles de
Y—V, qui sont toutes de dimension <dim(Y) (prop.2);
soient Z^- les composantes irréductibles de «_1(W*)
(1 <i < m^), et soit 1¾ : Z$ -^-W^ la restriction de u.
En vertu de Phypothèse de récurrence, les
ensembles S„(ity) sont fermés dans Zy , donc dans X ; mais pour
tout x eX—u~x(V) chaque composante irréductible
de «_1(«(.k)) contenant x est contenue dans un des Z^-,
donc est une des composantes irréductibles de 1¾^¾^)).
Cela prouve que S„(u) est la réunion des S„(Hjj), donc est
fermé dans X.
Corollaire. — Si X, Y sont deux variétés quelconques, les
projections prx : X X Y ^- X et pr2 ; X X Y -^- Y sont
des applications ouvertes.

116 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Montrons d'abord qu'on peut se ramener au cas où
X et Y sont irréductibles. En effet, si Xls ..., Xm sont
les composantes irréductibles de X, et U un ouvert de
XxYj pour voir que pr-^U) est ouvert dans X il suffit
de montrer que X; C\ pr-^U) = prx(U C\ (X, x Y)) est
ouvert dans X; pour chaque i. Supposant alors X
irréductible, et désignant par Yls , Y„ les composantes
irréductibles de Y, on a pr^U) = U prx(U n(Xx Y,)),
et il suffit donc de prouver que prj/U ri (X x Y^)) est
ouvert dans X pour tout^".
Etant ainsi ramené au cas où X et Y sont irréductibles;
soit n = dim(Y) ; il faut prouver que l'ensemble
F = X — p^ifU) est fermé dans X, Si x e F, on a
prî'M={*}xY>
donc pour z e pr^1(x), il y a une seule composante
irréductible de prjT^pr^*)) n ((X X Y) — U), qui est
{x} x Y et est donc de dimension n. Si au contraire
x $ F, prjf'C*) ri U est non vïdej donc les composantes
irréductibles de ((X X Y) — U) ri prjf'O*) sont toutes
de dimension < n (prop. 2). En d'autres termes,
l'ensemble F x Y=prjf,(F) est Pensemble des points z de
la variété (X X Y) —U tels que e{z) ^ n (pour le
morphisrne restriction de prx) ; cet ensemble est fermé par
la prop. 15j et il en est donc de même de F (§ 2, n° 4,
cor. de la prop. 7).
6. Correspondances
Etant donné deux variétés X, Y, on appelle
correspondance (resp. correspondance irréductible) entre X et Y une
sous-variété (resp. une sotis-variété irréductible) C de la variété
produit X x Y. On dit que xeX et y e Y sont
homologues pour C si (x,y) eC; pour tout xe~K
l'ensemble C(x) des y eY tels que (x,y') eC est une
sous-variété de Y, savoir pr2(Cn({x} X Y)) (§2, n°4,

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 117
prop. 7); de même pour tout jieY, Pensenible C_1(j>)
des x' eX telsque (x'yy) eC est une sous-variété de X;
si C est fermée dans X X Ys C(x) est fermé dans Y et
C~1(y) fermé dans X. Si de plus X et Y sont eomplètesj
pj-jfC) est une sous-variété fermée de X et pr2(C) une
sous-variété fermée de Y; en général, on peut seulement
dire que pi"j(C) (resp. pr2(C)) contient un ouvert non
vide de la sous-variëté prjfC) (resp. pr2(C)). Le th. 2
entraîne le « principe de décompte des constantes » :
Proposition 16. — Supposons la correspondance C
irréductible. Soient ax — dim (prjfC)), a2 = dim (pr2(C)). Il
existe un ouvert non vide Uj de prx(C) contenu dans prjfC), et
un ouvert non vide U2 de pr2(C) contenu dans pr2(C) tels que
pour tout x eUj, les composantes irréductibles de C(x) aient
toutes une même dimension b2, que pour tout y e U2 , les
composantes irréductibles de C~l (y) aient toutes une même dimension bx,
et que Von ait :
(6) a, -f bz = a2 -f bx.
Il suffit d'appliquer le théorème précité, d'une part,
au morphisme C-> prx(C) restriction de prls d'autre
part, au morphisme C -> pr2(C) restriction de pr2, la
valeur commune des deux membres de (6) étant dim(C).
On aura soin de noter que C peut être irréductible sans
que C(x) ni C_1(_y) ne le soient. Maïs inversement on a
l'important critère suivant :
Proposition 17. — Supposons que pour tout x appartenant
à un ouvert non vide \J1 de pr^C) contenu dans pr-^C),
C(x) soit irréductible. Alors il existe un ouvert non vide VXC XJX
tel que C C\ prjf^Vt) soit irréductible.
Si de plus "KetY sont des variétés complètes, que C est fermée
dans X x Y, et que pour tout x epr-^C), C(x) est irré-

118 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
ductible et a une ditrwnsion indépendante de x, alors C est
irréductible.
Pour simplifier, on peut supposer prx(C) = X (en
remplaçant éventuellement X par pr-^C)). Montrons que
parmi les composantes irréductibles de C, une seule peut
être dominante pour le morphisme C -> X restriction
de prx. Sinon (Tj 8), il y aurait dans C deux ouverts
non vides W, W sans point commun et tels que pr^W)
et pi"i(W) soient denses dans X; comme chacun de ces
derniers ensembles contient un ouvert dense dans Xs leur
intersection n'est pas vide. Mais si xepr-^W) ri pf^VV),
les intersections C(x) n W et C(x) n W seraient deux
ouverts non vides et sans point commun dans la variété
irréductible C(x)s ce qui est absurde. La réunion des
premières projections des composantes irréductibles non
dominantes de C est alors un ensemble F rare dans X;
l'ouvert V-l ~ \JX C\ (X — F) de X répond alors à la
question car Criprfï(V,) est ouvert non vide dans
Tunique composante irréductible de C dominant X.
Supposons maintenant de plus X et Y complètes et
C fermée dans X X Y (de sorte que pr-^C) est fermé
dans X) et que la dimension de C(x) soit constante. Si
Ton pose C — Cnprf 1(V1), on a C'CC et pr-^C) est
fermé dans X et contient Vls donc pr^C) = pr,(C).
Il résulte du cor. 1 delà prop. 5 ques pour tout x e pr-^C),
les composantes irréductibles de C(x) ont toutes une
dimension au moins égale à celle de C(x); comme elles*
sont contenues dans C(x), on en conclut que C = C,
donc C est irréductible.
Exemples. — 1) Soit O une courbe fermée irréductible
dans l'espace affine k% qui n'est contenue dans aucun plan.
Nous allons voir qu'il existe dans kz — C un ensemble
ouvert non vide U tel que, par tout point x de U, il passe

4-THÉORIE DE LA DIMENSION 119
au moins une droïterencontrant C en deux points distincts.
Pour le montrer, considérons d'une part la variété
X = (C x C) —Ac des couples (y, z) de points
distincts de C, et d'autre part la variété Y = k3; soit F
l'ensemble des points ((ys z)s x) de X X Y tels que les
trois points x,yy z de kz soient en ligne droite; il est clair
que c'est une sous-variété de X X Y (définie par les
équations obtenues en égalant à 0 les mineurs d'ordre 2
de la matrice
/*i — yx x2 —y2 Xs — yz\
\X1 Zx X% Z2 Xs 2g/
Pour cette correspondance F entre X et Y, il est clair
que F((j>, z)) est la droite joignant y et z, donc (prop. 17)
pour un ouvert non vide VdeX, F' = F ri pr1'I(V) est
irréductible. Il est clair en outre que pour cette
correspondance F ona ûj = 2 et b2= la donc a2 < 3 en
vertu de (5) ; il s'agit de montrer que l'on a nécessairement
a2 = 3. Dans le cas contraires S — pr^r") serait une
surface irréductible dans k3; si (y, z) eV, la réunion des
droites joignant y (resp. z) aux points de C distincts dey
(resp. z) et d'un nombre fini d'autres points serait un
ouvert non vide W (resp. W) de S. On aurait alors une
droite joignant y à un point /eC distinct de y et zs telle
que, pour une infinité de points s de cette droite, la droite
joignant z et s serait contenue dans W ; le plan
contenant^ z et /rencontrerait donc C en une infinité de points,
ce qui est absurde.
2) Soit V une variété projectïve irréductible contenue
dans P„(/é) et de dimension r- Considérons la variété
projectïve X = (GB+liïl)'hl des systèmes de r + 1 hyperplans
projectifs de Ph(Â) (de sorce que X s'identifie à la variété
produit (Pn(ft))r + 1), et, dans le produit X X V,
l'ensemble C des systèmes ((/^, —, ^ + i)s x) formés de
r -f- 1 hyperplans et d'un point xeV appartenant à.

120 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
chacun d'eux. Il est immédiat que C est une
correspondance fermée entre X et V, et on voit sans peine ques pour
tout xeV, C" H*) est une sous-variété irréductible
de X (par dualitéj elleest isomorphe à (kn~1)r+1). Comme
X et V sont complètes, C est irréductible et, pour
cette correspondance, on a évidemment a2 = r et
b1~(n — l)(r + 1). D'autre part, l'ensemble UC X
formé des systèmes de r + 1 hyperplans dont les équations
sont linéairement indépendantes est un ouvert non vide
dans X; en outres pour tout point de V, il existe un système
de r -[- 1 hyperplans passant par ce points d'équations
iïnéairement indépendantes, et tels que Pinterseetion de V
et de ces hyperplans soit finie, en vertu du § 3, prop. 7.
On en conclut que Ton a b2 = 0S donc :
0^(11-1)^+ 1) +r = a(r+ 1)—1
en d'autres termes prj(C) est une hypersurface irréductible
fermée dans (Pn(k))T + 1) donc définie par une équation :
où (£|j,)0 ^i^„ est un système de coordonnées homogènes
del'hyperplanA,- (l^/^^+l) et F un polynôme
homogène par rapport à chacun des r + 1 systèmes (£[fl), et
déterminé à un facteur constant près (§ 3, n° 2, Remarque,
et § 4, n° 3, prop. 5). On dit que le système des coefficients
de F (déterminé à un facteur près) est un système de
coordonnées de Chow de V.

§ 5- Points normaux et normalisation
1. Anneaux locaux d'une variété
Soient X une variété, x un point de X- Nous allons
considérer l'ensemble des fondions régulières dans un voisinage
ouvert (variable) de x, et nous définirons dans cet ensemble
la relation d'équivalence suivante : nous dirons que
/e T(U, @K) et g e T(V, 0K) (où U et V sont des
voisinages ouverts de x) sont équivalentes s'il existe un
voisinage ouvert WC U ri V de x tels que f et g coïncident
dans W. Il est immédiat que cette relation (que nous
noterons f~ g) est bien une relation d'équivalence et
que les relations f\~ gi et f2 ~ g2 entraînent que toute
fonction égale à fx -\-f2 {? cap. fif2) dans un voisinage
de x o\ifx ctf% sont définies, est équivalente à toute fonction
égale è. g1 -f- g2 (resp. gt g2) dans un voisinage de x où gj
et g% sont définies. On peut donc définir la somme et le
produit de classes d'équivalence pour la relation
précédente, et pour ces lois de composition, Pensemble, noté 0œ
(ou^x.a;)» de ces classes d'équivalence, est un anneau
commuta tiÇ dont les éléments sont encore appelés germes de
fonctions régulières au point x. Pour tout voisinage ouvert U de x,
UyaunA-homomorphismecanonique r(U,0x) -^-0a
faisant correspondre à ehaquefonelion régulière/ e V(U, Gy.)
son germe/dans 0^..
Pour toutes les fonctions y ayant un même germe/ au
point #, il est clair que les éléments f(x) ek sont tous
égaux; on dit encore que cet élément de k est la valeur
au point x du germe/, et on la notej^.*).

122 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
L'anneau 0X est un anneau local, dont l'unique idéal
maximal mx est formé des germes des fonctions
régulières nulles au point x : il suffit en effet (puisque {0}
est fermé dans k) d'observer que si une fonction
régulière / e T(U, $x) est telle que f{x) ^ 0, il y a un
voisinage VC U de x tel que f(y) 5*0 dans V; la
fonction 1 //"est donc définie et régulière dans V(§ 1, n°5) et son
germe au point x est l'inverse de f. On dit que G)x est
Panneau local de X au point x. L'anneau local G)x est nœîhérien :
en effetj soient U un voisinage ouvert affine de xs et
<p : A(U) -= A -> 0X l'homomorphisme canonique.
Montrons que pour tout idéal C\.COxf a est égal à l'idéal
engendré par <p(<p~'H Cl)) ■ en effet, si fe û, /est le germe
d'une fonction régulière sur un voisinage affine VC U
de x, qu'on peut supposer de la forme D(A) ; alors f = g jhm,
où ^eA; comme g ~fkm, ona gea, donc geç'^c),
et / ~ T^)^m- Si alors (¾) est une suite croissante
d'idéaux de 0xa la suite des idéaux <p-I(ûn) de A est
croissante, donc stationnaire puisque A est nœthêrien, ce
qui entraîne que la suite des <p(<p-1(cO) ^ stationnaire,
et par suite aussi celle des ci».
On notera par contre qu'en général 0X tfesl pas une
k-aïgèbre de type Jim. Par exemple, si X = k, x = 0, 0X est
isomorphe à l'anneau des fractions rationnelles Q./P e k(T)
telles que P(0) ?*= 0, et aucune partie finie de cet anneau
ne peut l'engendrer : en effet, un ensemble fini de
polynômes de A[TJ n'a qu'un nombre fini de zéros, et si
F(T) e k\T] est un polynôme dont les zéros ne sont pas
dans cet ensemble Z, 1/F ne peut être égal à une fraction
rationnelle dont le dénominateur a tous ses zéros dans Z.
Soient îc.X^Yun morphisme de variétés, x un point
de X; pour toute fonction régulière g e T(V, 0y), où
V est un voisinage ouvert de u(x), go u est une fonction
régulière dans l'ouvert «_1( V) ; si gx, g2 sont deux fonctions

5-POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 123
régulières coïncidant dans un voisinage de u{x), g\° u
et g2° u coïncident dans un voisinage de xs d'où une
application ux : gi-> (g c u)~ de (Py.tiix) dans ^x.»s qui est
évidemment un homomorphisme de Â-algèbres. C'est en
fait un homomorphisme locaL car si g appartient à l'idéal
maximal de fPy^^j^est legerme d'unefonctïonrëgulièreg
telle que g{u(x)) — 0, donc (gou)~ appartient à l'idéal
maximal de ^x.»*
On notera que l'homomorphisme ux : "g)-* {g ° u)~ est
entièrement détermine par ses valeurs pour les germes
de fonctions régulières appartenant à un anneau fixe
A=A(U), car tout élément de 0X peut s'écrire//A,
où/ et h sont régulières dans U et k(x) ^ 0.
L'anneau local d'une variété en un point détermine un
voisinage de ce point dans la variété à un isomorphisme près.
De façon précise :
Proposthon 1. — Soient X, Y deux variétés, x un point
de~Kfy un point de Y tels que les k-algèbres 0-^ x et 0Yt v soient
isomorphes. Alors :
(i) // existe un voisinage ouvert U de x dans X, un voisinage
ouvert V de y dans Y et un isomorphisme u : U ->■ V de U
sur V tel que u(x) = y.
(ii) Soient Uj un voisinage ouvert de x dans X, Vj un voisinage
ouvert dey dans Y, u\ : Uj -*■ Vj un isomorphisme tel que les
deux isomorphismes ux, (¾)¾ de @\mV sur 0^mie déduits de u
et Uy soient identiques. Alors il existe un voisinage U2 de x contenu
dans U ri XJy dans lequel u et u\ coïncident.
Soient U0 — Spm (A), V0 ■= Spm (B) des voisinages
ouverts affines de x et y respectivement dans X et Y. Nous
allons prouver plus généralement le lemme suivant :
Lemme 1, — Soit <p : &Y,V ->■ ^x.* tai h-homomorphisme
local. H existe alors un voisinage ouvert affine U C U0 de x, un
voisinage ouvert affine VCV0 de y elunmorphisme u : U -> V

124 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
tels que u(x) — y et que <p soit Phomomorphisme local ux déduit
de «. Si de plus \JX C U0 est un second voisinage ouvert affine
dex, VXC V0 un second voisinage ouvert affine dey, ux : Ux-s- Vx
un morphisme tel que Ui(x) =y et que <p soit Vhomomorphisme
local déduit de tty, alors uelii^ coïncident dans un voisinage de x.
En effet, soient Als .. .s im des générateurs <3e la
A-algèbre B, et a : k[Tx, ..., Tm] -> B le A-homomor-
phisme transformant T^- en bj pour 1 < j < m. Soit
iv : B -> @YtV 1*homomorphisme canonique, et
considérons rhomomorphisme composé
P : ft|Tx, ..., Tm] i B -S- 0y.„ X e^..
Soit ci le noyau de fî; il admet un système fini de
générateurs 0^(1^, .. .,Tm) (l</<0* D'autre part, chacun
des éléments <p(£„(Éj)) est le germe d'une fonction régulière
au point x-, qui peut donc s'écrire ajjs, où les a} et s sont
dans A et s(x) ^= 0. Posons
QiT./T,,, ..., TJTo) = P,(T„, T„ ..., TJ/TJ
pour 1 < / < r, T0 étant une nouvelle indéterminée,
les Pj des polynômes homogènes de même degré h. Par
hypothèse les fonctions régulières
sont nulles dans un voisinage de #, donc il existe un
élément / e A tel que t(x) ^ 0 et Pt(/$, ta1} . ..s tam) = 0
dans A pour 1 < / < r. Considérons alors le A-homo-
morphisme p de k]T?x, ..., Tm] dans Ais qui transforme
chaque T,- en tOjjls (1 < j < m) ; l'image de o par cet
homomorphisme est 0, et afortiori il en est ainsi de l'image
par p de or 1(0) ; donc p se factorise en
^^.....TJ-S-B^A^.

5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 125
où y est un k-homomorphîsme tel que y(^) = toj/tf;
il est clair que si 4, est l'homomorphîsme canonique
^ = r(D(tt), 0X) -*■ ^x.«» le diagramme
B -^. A,s
4 1'-
«V, -V ^
est commutatif; si u = Spmfy) : D(/j) -> V0 est le
morphisme correspondant, cela montre que l'image réciproque
par y de l'idéal maximal i({#}) = i^Hm^) de Ata est
hH^v) — U{.y})i autrement dit u(^) =_y. Le mor-
phisme « est donc bien tel que <p soit l'homomorphisme
local déduit de k.
Supposons maintenant que <p soit aussi déduit du
morphisme u1:\J1-^'Vl. En remplaçant au besoin
U, \]x par un ouvert affine contenu dans U fiUls et
V, Vj par un ouvert affine contenu dans V n Vls on
peut supposer que U = Ux = U0, V = V1 = V0. Si
u = Spm(Y), t/j = Spm^), les images de bj (1 <j< m)
par Y et Yj sont deux fonctions régulières dans un voisinage
de x ayant même germe; il y a donc un élément s e A
tel que s(x) ^ 0 et que les restrictions de y(bj) et de
Yi(^j) à l'ouvert D(j) soient égales, pour 1 ^j < m. Par
suite les restrictions de u et % à D(j) sont identiques.
Ce lemme étant établi, supposons que <p : 0Ys/ -> $x.œ
soit unisomorphisme, et soit iJj l'isornorphismeréciproque;
il y a alors (lemme 1) un voisinage ouvert affine U de xy
un voisinage ouvert affine V de ys un morphisme u
de U dans un voisinage ouvert de y et un
morphisme & de V dans un voisinage ouvert de x tels que <p
et ¢) soient respectivement les isomorphismes déduits
de u et v. Alorss en restreignant U, on peut supposer
que w(U) C V, et v o u est un morphisme de U dans

126 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
un voisinage ouvert de x, tel que l'homomorphismc
local de 0Xi1î correspondant soit l'identité; cela signifie
(lemme 1) que vou coïncide avec l'application identique
sur un voisinage assez petit de x. Procédant de même
pour u o p, on voit qu'il existe un voisinage ouvert affine
Uj de x et un voisinage ouvert affine Vj dej> tels que u
(restreint à Ux) soit un isomorphisme de Ux sur V1 et
» (restreint à Vt) fisomorphisme réciproque, Quant à
l'assertion (ii) de la prop. 1, c'est un cas particulier du
lemme 1,
2. Anneaux locaux d'une variété irréductible
Soit X une variété irréductible. Toute fonction régulière
dans un voisinage d'un point x se prolonge alors d'une
seule manière en une fonction rationnelle sur Xj définie au
point x, et deux fonctions régulières ayant même germe
en* se prolongent en la même fonction rationnelle ( § 4, n° 1 ),
L'anneau local Gx s'identifie donc au sous-anneau du corps
des fonctions rationnelles R(X) formé des fondions rationnelles
définies au point x; on peut donc définir les anneaux de
fonctions régulières r(U, 0X) dans un ouvert U de X
par la relation :
(i) nv, ehd = n^,.
Soit U = Spm(A) un voisinage ouvert afline de x; toute
fonction rationnelle sur X définie au point x peut s'écrire,
dans un voisinage de x contenu dans U, sous la forme fjg,
oùf g sont dans A et g(x) ^ 0, autrement dit g $m,
où TTt est l'idéal maximal !({.*}) de A. L'anneau local Q%
s'identifie donc avec l'anneau Am, localisé de A en l'idéal
maximal m de A, et l'idéal maximal mx de 0X avec l'idéal
maximal TttA,,, de A,,, (A, 14).
Propositïon2. — SoWKunevariété.Pourqù'unpoint *eX
appartienne à une seule composante irréductible de X, il foui et
il suffit que Vanneau local Og. soit intègre.

5 ■ POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 127
Si x n'appartient qu'a une seule composante
irréductible Z de X, il existe un voisinage ouvert affine U de x
contenu dans Z et ne rencontrant aucune autre
composante irréductible de X (T, 8) ; comme ^x.* = <Pu.*»
<Px.se est un anneau intègre. Inversement, supposons que
x appartienne à deux au moins des composantes
irréductibles de X. En remplaçant X par un voisinage ouvert
affine de X, on peut se borner au cas où X = Spm(A)
est affine; soient pt, . . ., pr les idéaux premiers minimaux
de A, de sorte que les Z3- = V(p,-) sont les composantes
irréductibles de X (§ 1, n°4,cor. 1 delaprop. 5). On peut
supposer que # e Zj rï Z2; il y a un ouvert affine non
vide U-l (resp. U2) contenu (donedense) dans Z1 (resp. Z2)
et ne rencontrant aucun Zj pour j ^ 1 (resp. j & 2) ;
par suite il y a une fonction régulière ^ (resp.^) sur X,
nulle dans les Z^ d'indice j ^ 1 (resp. j ^ 2) mais non
identiquement nulle dans Zj (resp. Z2) ; les germes de fx
et /2 au point x sont donc ^ 0, mais on a fxf% = 0
dans A, donc 0X n'est pas intègre-
3. Variétés normales et normalisées d'une variété
Soit X une variété irréductible; pour tout xeX,
l'anneau local 0X de X en ce point contient un
anneau r(U, 0X) où U est un voisinage ouvert affine de x,
donc le corps des fractions de 0X est le corps des fonctions
rationnelles R(X). On dit que le point x e X est normal
si l'anneau local 0X est intégralement dos; on dit que X est
une variété normale si tous les points de X sont normaux.
Il est clair qu'une variété est normale si et seulement si
elle admet un recouvrement ouvert formé de sous-variétés
normales.
Proposition 3- — Pour qu'une variété affine irréductible
X = Spm(A) soit normale, il faut et il suffit que A soit
intégralement clos.

128 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
En effet, on sait que si A est intégralement clos, il en est
de même de tous ses localisés Ap aux idéaux premiers
de A (A, 17); inversement, en vertu de la formule (1),
A est l'intersection des anneaux locaux 0X, donc est
intégralement clos si chacun des 0œ l'est (A, 17).
Exemples, — L'espace affine k*1 est normal (A, 30) ;
il en est donc de même de Pn(&)> qui admet un
recouvrement par des ouverts U^ isomorphes à kn (§ 3, n° 1).
Lorsque l'entier m n'est pas multiple de la
caractéristique de A, l'hypersurface de kn définie par l'équation :
< — P(*l7 ...,*„_!) =0
où P est un polynôme sans facteur multiple dans
k\Tlt . ..,T„_J, est normale (A, 31).
Corollaire. — Dans toute variété irréductible X, l'ensemble
des points normaux contient un ouvert non vide de X.
On peut se borner au cas où X = Spm(A) est affine;
soit alors A' la clôture intégrale de A; on sait (A, 36)
que A' est unA-module de type fini; soit X' = Spm(A') ;
le morphisme u : X' -> X égal à Spm(oc), où oc : A -> A'
est l'injection canonique, est birationnel par définition,
donc il existe un ouvert non vide U C X tel que la
restriction «_1(U) -*■ U de « soit un isomorphisme (§ 4,
cor. 2 du th. 2); d'où le corollaire puisque X' est normal
en vertu de la prop. 3.
Proposition 4. — Soient X une variété irréductible, Y une
variété irréductible normale, u : X -> Y un morphisme fini sur-
jectift Pour tout x e X et toute sous-variété irréductible W de Y
contenant u(x), il existe une composante irréductible de a"x(W)
contenant x et dominant W.
En effet, il y a un voisinage ouvert affine V de u(x) tel
que U = w"1(V) soit un voisinage ouvert affine de xt

5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 129
et on peut donc se ramener an cas où X = Spm(A)
et Y = Spm(B) sont affines, A étant intègre, BCA
intégralement clos et A un B-raodule de type fini. Alors
t(YV) = p est un idéal premier de B, contenu dans l'idéal
maximal \l = i({u(x)}), et l'idéal maximal îTt=i({#})
de A est tel que m fi B = n; on sait alors (A, 25) qu'il
existeunidéalpremierqde Atelque qCîTt et q rïB = p,
et on a donc * e V(q) et «(V(q)) = W; a fortiori la
composante irréductible de «-1(W) qui contient V(q)
domine W et contient x.
Corollaire, — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
u : X -*■ Y un morphisme dominant. Il existe alors un ouvert
non vide VC Y qui est une variété normale, telle que, pour
tout y e V, tout x e u~x(y) et toute sous-variété
irréductible W de Y contenant y, il existe une composante irréductible
de u" \ W) contenant x et dominant W,
Utilisons la prop, 14 du § 4; en vertu de la prop. 3, on
peut supposer que l'ouvert V de la prop, 14 du § 4 est
normal; comme x appartient à l'un des U,-, on peut se
borner au cas où X = U,-; en outre V X km est une
variété normale, ayant pour algèbre de fonctions régu-
Hères A(V) ©^[T^ ..., TM] = A^fT,, .. „ Tm], qui
est intégralement clos si A(V) l'est (A. 18). On a alors
a-1(W) riUj = tiJ1(W x &'")> et comme Vj est un
morphisme fini surjectif, on peut lui appliquer la prop, 4,
d'où le corollaire.
Proposition 5. — Soient X une variété irréductible, L une
extension algébriquefinie du corps R(X) des fonctions rationnelles
sur X. // existe une variété normale Y, dont le corps de fonctions
rationnelles R(Y) est isomorphe à L, et un morphisme fini
surjectif u : Y -> X tels qu'il y ail un recouvrement (Ua) de X
par des ouverts affines pour lesquels F ouvert u~ 1(Ua) soit, affine
et ail pour anneau de fondions régulières la fermeture intégrale

130 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
de A(Ua) dans R(Y). En outre, si Yx et ux sont une variété
irréductible et un morphisme fini Yj. -> X ayant les mêmes
propriétés, il existe un isomorpkisme et un seul v : Y -*■ Y, tel
que u = 1¾ o v.
Considérons d'abord le cas où X = Spm(A) est affine;
on répond alors à la question en prenant Y = Spm(B),
où B est la fermeture intégrale de A dans le corps L
et u = Spm(<p), où <p est l'injection canonique de A
clans B; on sait en effet (A, 36) que B est un A-module
de type fini. Notons alors que pour toute fonction
régulière non nulle /eA, l'anneau des fondions régulières
sur a~1(D(/)) =D(<p(/)), égalàBf l/<p(/)], est la
fermeture intégrale dans L de l'anneau A. = A[1//] de D(/)
(A, 17).
Considérons maintenant le cas général, et soit (Ua) un
recouvrement cl e X par des ouverts affines ; pour chaque oc,
soit Va = Spm(Ba)j où Ba est la fermeture intégrale
dans L de l'anneau A^ = A(Ua) des fonctions régulières
sur Ua; soit «ft = Spm(<pK), où <pa : Aa -> Ba est
l'injection canonique. On sait que Ua fiUp est un ouvert affine
non vide; soit Aa(i = A(Ua C\ Up) ; si Ba(i est la fermeture
intégrale de AHp clans L, les ouverts «~l(U„ C\ Up) et
M^1(Uot ri Up) s'identifient canoniquement tous deux à
Spin(BafJ) : en effet, si TCUarïUp est un ouvert
principal dans chacun des deux ouverts affines UK, Up
(§ 2, n° 3), donc aussi dans l'ouvert affine Utt C\ Up, les
anneaux AfïÇ^T)) et A(Wp1(T)) sont tous deux
identiques à Bap[I//], si /€Aœp est tel que T = D(/), et la
conclusion résulte de ce que les ouverts T principaux*
dans Ua et Up forment une base d'ouverts de Ua ri Up.
On peut donc définir Y par recollement (ici trivial) des Va
le long de leurs intersections V„ f~\ Vp = Spm(BKp), et
le morphisme u : Y -> X est celui qui coïncide avec ua
dans chaque Va, Comme X est une variété et que chaque
Va = «^1(Ua) est une variété, Y est une variété (§ 2, n° 6,

5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 131
prop. 11) ; en outre chaque Va est irréductible et les
intersections Va ri Vp sont toutes non vides, donc Y est
irréductible (T, 3). Euûn, pour prouver l'unicité de Y, on
peut identifier R(YX) à L; alors, si (UjJ est un second
recouvrement de X par des ouverts affines, les ouverts
TC Ua ri U'x qui sont principaux dans Utt et dans U^
forment une base d'ouverts dans Ua f"ï U^, et on conclut
comme plus haut que Yx = Y.
La variété normale Y définie (à isomorphisme unique
près) par la prop. 5 est dite normalisée de X dans le corps L ;
dans le cas où l'on prend L = R(X) on dit simplement
que Y est la normalisée de X; le morphisme Y -> X est
alors trirationnel.
Corollaire, — Si X est une variété irréductible complète,
sa normalisée Y dans une extensionfime L de R(X) est complète.
Cela résulte de ce que le morphisme Y -*■ X est fini
(§ 4, n° 4, cor. 2 de la prop. 12).
On peut montrer que si X est une variété projective, il
en est de même de Y.
Exemples, — 1) Soit X la courbe de Pa(fc) définie par
l'équation homogène x\ — xQ jk| = 0 (« cubique à point
de rebroussement »). Sa normalisée est X' =* ï*i(A) pour
le morphisme u : ('oj'iJ^Coî'o'iï'i)) qui est non
seulement fini et surjectif, mais bijeclif et bicontinu ; en effet,
X est réunion de deux* ouverts affines V0 et V2,
intersections de X et des ouverts affilies de P2(&) définis
respectivement par xQ ^ 0 et x2 ^ 0; larestriction tTl(VQ) -> V0
de u s'identifie au morphisme /1-> (/2, /3) de k sur V0, et
A[TJ est la clôture intégrale de A[T3, T3] = A(V0), Tétant
entier sur &[T2]. Quant à la restriction «-1(V2) -> V2
de u, c'est un isomorphisme, car elle s'identifie au
morphisme / h» (/, /3) de k sur V2.

132 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
2) Soit X la courbe de P2(&) définie par l'équation
homogène xQ{x\— xf)—a-J = 0 (« cubique à point
double »). Sa normalisée s'identifie encore à Pj^A) pour
lemorphïsme u '. (/0,M K (/*• 'o('î—'o)»'i('i—'*))• En
effet, avec les mêmes notations que dans l'exemple 1, la
restriction u~x{W^ -^ V0 de « s'identifie au morphisme
/1-> (/2 — 1, /(/2 — 1)) de k sur V0, et A[T] est encore la
clôture intégrale de k\T" — 1] ; d'autre part, la
restriction «""1(V2) ->■ V2 de u est un isomorphisme, car
elle s'identifie au morphisme / h» (f2/(l—/2), /) de
k—{ 1, — 1} sur V2. On notera qu'ici u~\x) est réduit
à un point sauf lorsque x est le point (1, 0, 0)3 où w"1(a;)
comporte 2 points (1, 1) et (1,— 1).
On peut former des exemples analogues (« courbe de
degré n avec un point multiple d'ordre « — 1 ») Xj où
le morphisme « : X' -* X de la normalisée de X sur X
est tel que la fibre u" l(x) soit réduite à un seul point sauf
pour un point ^0, où W1(xû) est un ensemble de n points.
Nous allons voir qu'un morphisme fini u : X -> Y (où
X et Y sont irréductibles) ne peut se comporter de cette
façon lorsque l'on suppose Y normale ;
Proposition 6. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
u : X -> Y un morphisme fini surjectif. Supposons Y normale;
alors, pourtout y eY', lenombre de pointsde F'ensemblefini u~\y)
est au plus égal au degré sêparable [R(X) : R(Y)], = n
sur R(Y) de Vextension finie R(X) de, R(Y). En outre, il existe
un ouvert non vide VCY tel que «"-""(V) soit isomorphe à la
normalisée de V dans le corps R(X), et que u" \ y) ait exactement
n points pour tout y e V.
En effet, soit V un voisinage ouvert affilie d'un point
ysY tel que«"I(V) soit un ouvert affine; alors le nombre
de points de u~1(y) est le nombre d'idéaux maximaux
de B = A(«"I(V)) dont l'intersection avec A = A(V)
est l'idéal maximal m = !({>•}) i la première assertion

5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 133
résulte donc de (A, 22). Pour prouver la seconde on peut
évidemment se borner au cas où Y = Spm(A) et
X ~ Spm(B) sont affines. Soit L la plus grande extension
séparable de R(Y) contenue dans R(X), de sorte que
L = R(Y)(£), où l'on peut supposer que b e B, et
[L ; R(Y)] = «; soit F(T) =* Tft + fliT"1 + ...+¾
le polynôme minimal de b (où les ^ e A puisque A est
intégralement clos), et soit d e A le discriminant de F,
qui est ^ 0; si on remplace Y par l'ouvert D(d), et X
par w""I(D(rf)), on peut" supposer que d est inversible clans A ,"
on sait alors (A, 23) que 1, b, ..., #"~1 forment une base
de la fermeture intégrale A' de A dans le corps L, en tant
que A-moclule; si Y' = Spm(A'), y se factorise en
X->Y'->Y, et v~\y) a exactement n points pour
tout j-eY (A, 24). D'autre part, on a R(Y') = L, de
sorte que R(X) est une extension radicîelle de R(Y'). On
sait alors (A, 20) que w est bijectif; en outre, il y a dans X
un ouvert non vide U qui est une sous-variété normale',
comme «(X — U) est fermé et rare dans Y (§ 4, cor. 1
de la prop. 12), il existe un ouvert affine non vide V de Y
ne rencontrant pas «(X — U), tel que u" I(V) soit affine
et contenu dans U; comme la variété affine w*I(V) est
normale et que R(X) est son corps de fonctions
rationnelles, l'anneau A(«~1(V)) est la fermeture intégrale
deA(V) dansR(X). C.Q.F.D.
On notera que même si Y = #", il y aura en général
des points jieY tels que u~1(y) ait mains de n points :
ilsuffit de prendre Y = k, Xétant la parabole ^¾—$ = 0
dansA2etwlaprojectionpr2;ona n = 2, mais pr.T^OJJrïX
est réduit au point (0, 0),
4. Le théorème principal de Zariski
Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -^ Y un
morphisme. Supposons qu'il existe un point x eX. et un
voisinage ouvert U de x dans X tel que la restriction de u

134 COURS L>E CÉGMVTRIE ALGÉBRIQUJ-.
à U soit un isomorphisme de U sur un ouvert V = u(lJ)
de Y. On peut évidemment supposer U affine, et on voit
déjà que l'hypothèse entraîne que le morphisme u est
birattonnet. En outre, il est clair que l'intersection de U
et de la fibre u~ 1(u(x)) est réduite au point x, autrement
dit x est isolé dans sa fibre u~ 1(u(x)).
Nous allons voir qu'à un morphisme fini près cette
dernière propriété caractérise la situation envisagée :
Théorème 1 (théorème principal de Zariski). —Soient
X, Y deux variétés irréductibles\ u : X ->- Y un morphisme
dominant. Supposons qu'il existe xeX qui soit isolé dans sa
fibre u~ l(«(*))- Alors dim (X) = dim (Y) (de sorte que
R(X) est une extenslonfinie de R(Y)), et il existe un voisinage
ouvert V de u(x) dans Y et un voisinage ouvert UC«-1(V) de x
dans X tels que la restriction U -> V de u se factorise en
U —> V —> V, où v est un morphisme fini surjcct'f et j un
isomorplûsme de U sur un ouvert de V. Si déplus X est normale,
on peut prendre V = Y et Vr égale à la normalisée de Y
dans ROC).
Notons qu'un point isolé dans une variété algébrique
est nécessairement une compnsanle irréductible de cette
variété; le fait que clim(X) = diin(Y) résulte donc de
l'hypothèse et du § 4, cor. 1 du th. 2. La question étant
locale, on peut évidemment supposer que Y = Spm(A)
et X = Spm(B) soient affines, A et B étant des anneaux
intègres tels que ACB, et le corps des fractions L de B
étant une extension finie du corps des fractions K de A.
Désignons par A' la fermeture intégrale de A dans B:
lorsque B est intégralement clos, A' eM égal à la fcimcaurr
intégrale A" de A dans le corps L; en général, A' est
seulement contenu dans A"; mais comme A" est un A-module
de type fini (A, 36) et que A est un anneau neethérien,
Ar est aussi un A-module de type fini, donc une /f-algèbre
intègre de type fini; Y' = Spm(A') est par suite une

5- POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 135
variété irréductible et le morphisme v : Y' -> Y
correspondant à l'injection A -> A' est Jim; la
factorisation A -> A' ~> B de l'injection canonique donne par
suite une factorisation X -> Y' -*■ Y de u; comme
tv~1(w(x))Cu 1(u(x)), x est isolé dans sa fibre W1(w(x))
pour le morphisme w. Or, cela signifie que si Tt est
l'idéal maximal i({a}) dans B, m l'idéal maximal
i{{w(x)}) = n C\ A' dans A', il n'y a aucun idéal premier
qC B, contenu dans n et distinct de n, tel que q n A' — m.
En effet, les idéaux premiers qCB minimaux parmi ceux
tels que q f~ï A' = rit, correspondent aux composantes
irréductibles V(q) de la sous-variété fermée iv~ 1(w(x))
de X, et la propriété précédente exprime que { x} est une
composante irréductible de w~ 1(w(x))r Compte tenu de
la prop. 1, on voit donc que le th. 1 sera conséquence
de la proposition suivante :
Proposition 7. — Soient A, B, C trois k-algèbres intègres
de type fini, telles que ACCCB, que B soit entier sur C,
que A soit intégralemeitf fermé dans B, et enfin que le corps des
fractions de B soit une extensîonfinie de celui de A. Alors, si n C B
est un idéal maximal tel que n soit minimal parmi les idéaux
premiers q de B tels que qr~ïA = TtrïA~m, Phomo
morphisme canonique A,„ ->- B^ est bijectif
On appliquera en effet cette proposition en remplaçant
A par A' et C par B (avec les notations antérieures).
Pour prouver la prop. 7, notons que C est une A-algèbre
de type fini,.soit C=A[/j, ...,/^. Si m—l, lerésul-
tal a été prouvé dans (A, 29). On raisonne alors par
récurrence sur m. Soit IV la fermeture intégrale de
AfJ'j, ... vX,. ,J dans B; B' est une ^-algèbre de type fini ;
comme CC B'Qj^] C lî, B est entier sur B'[^,(] et B' est
intégralement fermé dans B par définition; en outre le corps
des fractions de B est évidemment une extension finie de
celui de B'. Posons n* = 11 ri B', de sorte que l'idéal maxi-

136 COURS DE CÊOMÊTRLE ALGÉBRrQUIÏ
mal n' de B' est tel que n'rïA = îirïA = Trt; en outre,
comme le point x e Spm(B) correspondant à n est isolé
dans sa fibre pour le morphisme u : Spm(B) —> Spm(A),
et que ce dernier se factorise en
Spm(B) 4- Spm(B') -X Spm(A)
x est aussi isolé dans sa fibre W1(w(x)) pour le
morphisme w. On peut donc appliquer la prop. 7 à
B'C B'[jk,] CB, et l'homomorphisme canonique B(r->B„
estbijectif; autrement dit (prop. 1), «jestunisomorphisme
d'un voisinage de x dans Spm(B) sur un voisinage de w(x)
dans Spm(B'), etl'hypothèse que x est isolé dans u~1(u(x))
entiaîne que w(x) est isolé dans sa fibre v~1(v(w(x))) pour
le morphisme v. Mais alors on peut appliquer la prop. 7
à A C Afj'i, ..., fm „ J C B', en vertu de l'hypothèse de
récurrence, et on voit que le morphisme Am —>B„, est
bijecrif. C.Q,.F.D.
Corollaire 1. — Soient X, Y deux variétés irréductibles,
a : X —> Y un morphisme dominant. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
a) X est normale et tout point teX est isolé dans sa
fibre a^1(a(A')).
b) Le corps R(X) est une extension finie de R(Y), et le
morphisme a se factorise en u : X ~> Y' ~> Y, où Y' est la
normalisée de Y dans le corps R(X) (v étant donc un rnor-
phisme/ïm), etj un isomorphisme de X sur un ouvert de Y',
Il existe alors un ouvert non vide V C Y qui est une. variété
normale, telle que pour tout y eV, u~l(y) &ti un nombre de
points égal à [R(X) : R(Y)]fl.
Il est évident que b) entraîne a), et la dernière assertion
est conséquence de la prop. 6 et du corollaire de la prop. 3.
Pour prouver que a) entraîne b), notons que, d'après
le th. 1, pour tout x eX, il y a un voisinage ouvert

5 ~ POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 137
affine U de x tel que la restriction u f U se factorise en
U~>Y'~»-Y, où Y' est la normalisée de Y dans le
corps R(X), etjjj un isomorphisme de U sur un ouvert
de Y'. Montrons que pour un second voisinage ouvert U'
de x»jv etiu' coïncident dans un voisinage de x, ce qui
entraînera l'existence d'un morphisme j ; X —> Y'
coïncidant avec jv dans chaque ouvert affine U considéré.
Or, il y a un voisinage ouvert affine U" de x contenu
dans U nU' et tel que «(U") soit contenu dans un
ouvert affine V de Y. Si A = A(V) et B = A(U"),
B étant intégralement clos, les restrictions à U" de jv
et jv. correspondent toutes deux à l'injection A' ->- B,
où A' est la fermeture intégrale de A dans R(X), d'où
notre assertion. H reste à remarquer que puisque X et Y'
sont des variétés irréductibles, et que j est un isomorphisme
local, j est un isomorphisme de X sur un ouvert de Y'
(§ 2, n° 6, prop. 10).
Il résulte de ce corollaire que si les conditions a) et b)
sont vérifiées etsi de plus X estconiplète, alors Y est complète
et X est canoniquement isomorphe à la normalisée Y'
deYdansR(X).
Corollaire 2. — Soient X une variété irréductible, Y une
variété irréductible normale, u : X ~> Y un morphisme bira-
tionnel, tel que tout point de X soit isolé dans safibre W1(u(x)),
Alors u est un isomorphisme de X sur un ouvert de Y j si de
plus X est complète, u est un isomorphisme de X sur Y.
Si X' est la normalisée de X, le morphisme composé
X'~>X~»-Y, où v est le morphisme (fini) canonique,
a les mêmes propriétés que u. Comme Y est sa propre
normalisée dans le corps R(X') = R(X) = R(Y) par
hypothèse, u o v est un isomorphisme de X' sur un
ouvert de Y (cor, 1), ce qui prouve aussitôt que X' = X
et que u est un isomorphisme de X sur un ouvert de Y.

138 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Si X est complète, «(X) est aussi fermé dans Y, donc
égal à Y.
Remarque. — On aura soin de se souvenir que X et Y
peuvent être toutes deux normales et le morphisme u
birationnel sans que toutes les fibres de u soient finies;
c'est ce que montre déjà l'exemple I du § 4, n° 5, car le
cône d'équation xvx%— (x\ -f- x%) = 0 est une variété
normale (n° 3, Exemples) (cf. aussi § 6, n° 3).
Corollaire 3. — Soient X, Y deux variétés irréductibles
normales, u : X ~> Y un morphisme tel que pour tout y e Y,
u"1(y) ait un nombre fini de points indépendant dey. Alors uest
un morphisme fini qui se factorise en X —> Y' —> Y, où Y' est
la normalisée de Y dans R(X) etj un isomorphisme de X sur Y'.
On peut en effet appliquer le cor. 1, et il suffit de
montrer que j(X) = Y'. Or, soit n le nombre de points
de «"'■(.y) pour tout y €Y; comme X n'est pas vide,
n > 0, donc «(X) = Y; s'il y avait un point y' e Y'
n'appartenant pas àj(X), l'ensemble fini v~ 1(v(y')) aurait
au moins n-\- 1 points distincts; mais Y'—i(X) est
fermé et rare dans Y', donc v(Y' —i(X)) est fermé et rare
dans Y, et si V est l'ouvert complémentaire, on a
v~1(V)CjQC) et v~ 1(y) adonc rzpointspour y e V; on
aboutit ainsi à une contradiction avec la prop. 6,
Corollaire 4. — Soient X une variété irréductible, Y une
variété irréductible normale, u : X -* Y un morphisme bijec-
tif. Alors :
(i) R(X) est une extension radiciclle de R(Y), et si X' est la
normalisée de X, le morphisme composé X' —> X —> Y est
bijectifet bicontinu.
(ii) Si Y est complète, X est complète.
(iii) Si X est affine, Y est affine.

5 ■- POINTS NORMAUX HT NORMALISATION 139
Si w : X' ~> Y est le morphisme composé u ° v, les
fibres w~1(y) sont évidemment finies; eu outre il y a un
ouvert V C Y tel que u~ l(V) soit normal dans X (cor. de
la prop. 3); pour y eV, w~1(y) est donc réduit à un seul
point; il résulte alors de la prop, 6 que [R(X): R(Y)]fi = 1
et w est un morphisme fini bijeciif en vertu du cor. 3;
il est donc bicontinn puisque c'est une application fermée.
En outre, X' s'identifie & la normalisée Y' de Y dans R(X)
en vertu du cor. 3. On en déduit aussitôt que si Y est
complète, il en est de même de X, puisque Y' = X' est
complète (cor. de la prop. 5) et le morphisme v : X' ~> X
sm'jectif (§ 3, prop. 4),
Supposons maintenant que X = Spm (A) soit affine;
alors X' — Spm (A') est aussi affine, A' étant la clôture
intégrale de A, Le corps R(Y) étant identifié à un sous-
corpsdeR(X), posons B = A'nR(Y); lecorpsR(Y) estle
corps des fractions de B ; en effet, si /gR(Y) C R(X') = R(X)
on peut écrire / = gjh avec g, h dans A', Comme R(X)
est une extension radicielle de R(Y), il existe une
puissance q de l'exposant caractéristique de h relie que
4'eA'nR(Y)^Bi alors f= gkq " V**, etgk^1^^
appartient à la fois à A' et à R(Y), donc à B, ce qui établit
notre assertion; en outre, il estclair que B est intégralement
clos.
L'homoniorphisme canonique /h/ohi de F(Y, 0Y)
dans T(X', t^x') = A' est la restriction de l'injection
canonique R(Y) -j-R(X') — R(X). Montrons que l'image de
cet homomorphisme est l'anneau B; elle est évidemment
contenue dans B; inversement, soit g e B, et considérons
un ouvert affine V C Y, dont l'image réciproque w" 1(V)
cm un nuveri affine de X'; alors r(ry""1(V), 0X,) est la
fcrmetui-e intégrale dans R(X') = R(X) de r(V, C\),
et comme ce dernier anneau est intégralement clos, on a
r(ît'~J(V), c\.) n R(Y) = T(V, C\); autrement dit, la
restriction de la fonction régulière g à ru~J(V) s'écrit
fv o w. où /v e P(V, 6\), et comme w est bijeetif, il est

140 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
clair que si V est un second ouvert affine de Y dont
l'image réciproque hT^V) est affine, les restrictions de/v
£tfv. à V C\ V* sontégales; on en conclut que les/Y sont
les restrictions d'une section /eF(Y, c\) telle que
fo w ~ g. Soit <p : B -> T(Y, 6¾ l'isomorphisme
réciproque de l'ïsomorphisme canonique précédent, et soit
r = Spm(<p) ; Y -> Spm(B) ; le morphisme composé
X'—> Y—> Spm(B) correspond à l'injection canonique
B ~> A', et comme A' est la fermeture intégrale de B
dans R(X') = R(X), row est un morphisme fini sur-
jectif, donc a fortiori les fibres de r sont finies et r est
surjectïf. Mais comiïie r est un morphisme biratîoiinel et
que Spm(B) est normale, le cor. 2 montre que r est un
isomorpkisme de Y sur Spm (B), et Y est donc affine.
Remarque. — Les conclusions du cor. 4 ne sont plus
valables lorsqu'on nesupposeplus Y normale. Par exemplepre-
nons pour Yla cubique à point double x0(x£—x%)—xï — u
dans P2(A) («° 3, exemple 2) ; on a vu que sa normalisée Y'
s'identifie à Pj(Â) ; prenons pour X le complémentaire du
point (1,1) dans P^k), qui est un ouvert affine isomorphe
à h; la. restriction à X du morphisme canonique Y' ~> Y
est alors bîjective, mais X est affilie alors que Y est
complète.
Corollaire 5. — Soient X une variété irréductible, Y une
variété irréductible normale, u : X ~> Y unmorp/iisme dominant.
Si x eX est isolé dans sa fibre u~\u(x)), l'image par u de
tout voisinage de x dans X est un voisinage de u(x) dans Y. En
particulier, si tous les points de X sont isolés dans leur fibre,
u est une application ouverte.
On peut tout d'abord se borner au cas où X est aussi
normale. En effet, si X' est la normalisée de X et v : X' ~> X
le morphisme canonique, tout point x' e X' tel que
v(xr) = * est Isolé dans sa fibre w~1(w(x')) poui* le mor-

5 - points Normaux et normalisation 141
phisme iw = « o p; si U est un voisinage de x, v" -"-(U) est
un voisinage de ■*', et si l'on prouve que w(v~ -"-(U)) est un
voisinage de u(x), la proposition sera établie. Supposons
donc X normale ; il y a alors, en vertu du th. 1, un voisinage
ouvert V de u(x) dans Y et un voisinage U0 de x dans X
tel que « [ U0 : U0 -^- V se factorise en U0 -> V -> V,
où V est la normalisée de V dans R(X), et j un isomor-
phisme de U„ sur un ouvert de V. On voit donc qu'on,
peut se borner au cas où X = Y' est la normalisée de Y
dans une extension finie de R(Y). Soit alors U un voisinage
ouvert de x dans X; on a «(U) = Y— T, où T est
l'ensemble des y eY tels que «~J(^)CX— U, et il
.suffit de montrer que u(x) n'est pas adhérent à T.
Supposons le contraire;^ serait alors adhérent à une composante
irréductible T0 de T; W = T0 est donc une sous-variété
irréductible fermée de Y contenant u(x). En vertu de
la prop. 4, il existerait donc une composante
irréductible Z de a-:l(W) contenant x et telle que y(Z) = W.
Mais pour tout ouvert S dans Z contenant x, «(S) contient
un ouvert non vide de W (§ 4, cor. de la prop. 14), donc
«(S) rencontre T0, et par suite S rencontre a~ 1(T0),
autrement dit x est adhérent à u~ 1(TQ) C X — U, ce qui est
absurde puisque U est un voisinage de x.
Proposition 7 (Chevalley). — Soient X une variété
irréductible, Y une variété irréductible normale, u *. X -> Y un
morphisme dominant ; posons r = dim(X) — dîm(Y). Soit x
un point de X tel que les composantes irréductibles de la fibre
u"1(u(x)) gui contiennent x soient toutes de dimension r. Alors
l'image par u de tout voisinage de x dans X est un voisinage
de u(x) dans Y.
En remplaçant Y par un voisinage ouvert affine de u(x)
et X par un voisinage ouvert affine U C u" 1(V) de x, la
restriction U —> V de « vérifie les mêmes hypothèses

142 COURS DE GÉOMÉTRIF ALGEBRIQUE
que u (car l'intersection de U et d'une composante
irréductible de w-1(a(x)) est dense dans cette composante).
On peut donc se liornei* au cas où Y = Spm(A) et
X = Spm(B) sont afiincs, B une algèbre intègre: et A C B,
A étant intégralement clos; il suffit de montra* que «(X)
est un voisinage de u(x) dans Y. Posons m = t({«(A")})> de
sorte que la fibre «"^(«(s)) estla sous-variété fermée V(tnB)
de X, et si a = r(tïtB), l'algèbre des fonctions régulières
sur u~ """(«(a")) est B/û. Comme on peut supposer (en
remplaçant X par un ouvert plus petit) que toutes les
composantes irréductibles de u~1(u(x)) sont de dimension r, le
lemme de normalisation (A, 35) montre qu'il existe une
sous-A-algèbre C de B/0, engendrée par r éléments
s,, ...,¾. algébriquement indépendants (donc isomorphe
à A[Tj, ..., T,]) et telle que B/û. soit un G-module de
type fini. Soit /^ (1 <j < r) un élément de B dont
l'image dans B/û est ^, et considérons le A-homomor-
phisme <p : AfTj, ..., T,] ~> B tel que <p(Tj) = tj pour
1 <i^ i' L'injection canonique A ~> B se factorise alors
en A -> A[Tj, . .., Tr] ~> B, d'où une factoi"isation
correspondante du morphïsme u:X->YxAr^Y. Si l'on
pose W = pr",~ 1(u(x)) = {u(x)} x f?, on a
«" *(«(*)) = f_I(W),
et comme W — Spm(C), la restriction «_1(«(^)) -> W
de v est un morphisme fini surjectif' en particulier, tout
point de ic\u{x)) est isolé dans sa fibre pour le
morphisme v. Or, l'ensemble des points x' e X qui sont isolés
dans leur fibre v~\v{x')) est un ouvert S de X (§4, prop. 15),
qui contient u~ 1(u(x)). D'autre part Y X kr est par
hypothèse une variété normale, donc (cor. 5 du th. 1) la
restriction v | S : S ~> V x kr est une application ouverte. Maïs
prj : Y X kr -> Y est aussi une application ouverte (§ 4,
cor. de la prop. 15), donc «(S) est ouvert dans Y; a fortiori
«(X) est un voisinage de u(x) dans Y. C.Q,.F,D.

5 - POINTS NORMAUX ET NORMALISATION 143
Corollaire, — Soient X une variété irréductible, Y une va-
riâé irréductible normale, u : X -> Y un morphisme dominant. Si
les composantes irréductibles de toute fibre non vide u~ \y) (y e Y)
ont une dimension égale à dîin(X) — dîm(Y), u est une
application ouverte.
Proposition 8 (Chevalley). — Soient X, Y deux variétés
irréductibles, u : X ->- Y un morphisme dominant. Si fest une
fonction régulière sur X constante sur chacune des fibres u~ 1(y)
{y eY), alors f (élément de R(X),I est radiciel sur R(Y).
Considérons le morphisme v = (w,/) de X dans le
produit Y X A; larestrictionde p^ : Y X k -> Y kv(K)
est alors une application injective puisque, par hypothèse,
si u(x') ~u(x), on a aussi /(*') ~f(x). Il existe un
ensemble W C f(X) qui est ouvert et dense dans v(X)
(§ 4) cor. de la prop. 14) ; si w est la restriction de prx à W,
w est donc un morphisme injectifet dominant de la variété
irréductible W dans Y. En remplaçant W par un ouvert
non vide dense dans W, on peut en outre supposer que
Vf est normale (cor. delaprop. 3); w(W) contient un ouvert
non vide V de Y (§ 4, cor. de la prop. 14), et en
remplaçant V par un ouvert plus petit, on peut supposer la
variété V normale (cor. de la prop. 3) ; enfin, remplaçant W
par w" 1(V), on peutsupposer que w : W -^ V est bijectif.
Mais alors (cor. 4 du tli. 1), R(W) est une extension
radicielle de R(Y) ; en particulier, si g : W -*- k est la
restriction à W de pr2 : Y X k ~> k, g est une fonction
régulière sur W, donc il y a une puissance q de l'exposant
caractéristique de R(Y) telle que h = g9 eR(Y), ce qui
signifie que (f(x))Q — h(u(x)) pour tout x€o-1(W);
mais d~ 1(W) est un ouvert non vide de X, donc partout
dense, et comme X est une variété on a (f(x))q = h(u(x))
pour tout x eX (§ 2, th. 1), autrementdît fq — h, /est
donc radiciel sur R(Y). C.Q..F.D.

§ 6. Points simples
et morphismes séparable3
1. Espace tangent en un point d'une variété
Considérons en premier lieu une sous-variété fermée X
de l'espace affine kn, contenant l'origine. Si a = t(X),
idéal radieiel de k\Tlt *.., TJ, on a P(0) =0 pour tout
n gp
polynôme P e o- Posons Pa) = £ T3 ^=r(0) pour
i=i vis
tout polynôme P de A[Tl3 .. -, T„] (« partie linéaire »
de P), et soit û(1> l'idéal de A[Tl3 .. -, TJ engendré par
les polynômes pi1) lorsque P parcourt Cl', on notera que
si (Pa) est un système générateur de o, (P^") est un système
générateur de o'1), car on a (20.«Pa)fI) = SQ.aOW1'
pour toute famille (Q^) de polynômes. Nous dirons que
le sous-espace vectoriel V(o,1)) de &S1 est Vespace tangent à X
au point 0; si r est le rang de l'ensemble des formes
linéaires P'1' pour P e a, la dimension de V(a(1)) est « — r,
puisque ce sous-espace est défini par le système d'équations
linéaires PW(/) = 0 pour P € a.
Soit A = A(X) = ft[Ti, - - -, Tn]/a l'algèbre des
fonctions régulières sur X; si 11 est l'idéal maximal
de &[Tt, ..., TM] correspondant à l'origine, engendré
par les polynômes Tlf ...,Tn, l'idéal maximal de A
correspondant à l'origine est Ttt = n/û* L'algèbre
des fonctions régulières sur l'espace tangent V(a(1>) est
AW = k\Tlt .... TJ/aW, et V(aW) s'identifie canoni-
quement à l'ensemble Homft_al?.(A(1>, A) (§ 1, n° 2).

6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 145
D'autre paît, Ttt/Ttt2 est un A-espace vectoriel; montrons
qu'il existe une bijeclion canonique
( 1 ) Hon^ veDt. (m/m2, A) 3- Honv^. (AN, A).
En effet, on a m/m2 = n/(ît2 + a), et comme
P — Pi1' € it2 pour tout polynôme P € a, on a aussi
Tti/mE = n/(n2 + a(1)). Soit (1^, ..., hr} une base du
A-espace vectoriel formé des pt11 pour P € a; il existe
donc n—r indéterminées T^, ...,Tin r formant avec
L^, ..., L,. une base de l'espace vectoriel des polynômes
homogènes de degré 1 sur A; le sous-espace E ayant pour
base Tit, ..., Tt _ est aussi un supplémentaire de
Tta -f- fi'1' dans Tt, et il est immédiat que A^ s'identifie
canoniquement àA[T,j ,.. • ,T^ _r]; tout homomorphisme
X : A(1J -> A de A-algèbres est donc entièrement
déterminé par ses valeurs x(T{|t) = ah pour 1 < h < n— r,
qui sont des éléments arbitraires de A; mais ces valeurs
déterminent uniquement un homomorphisme d'espace
vectoriel nf(\P -f- û'1') -> A, donc un élément de
Hoi%Mp. vect. (ïtt/tn2, A), ce qui définit l'isomorphisme
canonique (1).
Soit maintenant Aq l'anneau local de X au point 0,
et soit ln0 son idéal maximal; l'application canonique
m ~> Tito qui, à une fonction régulière de A, nulle au
point 0, associe son germe au point 0 (§ 5, nD 1) définit
unisomorphisme m/m2-Pt-ïttn/m2, de A-cspaces vectoriels,
car il résulte aussi tôt des définitions que le germe de f e m
ne peut appartenir à ïïl% que si/est équivalente à une
fonction de XW\ Compte tenu de (1), on a donc défini un
isomorpkîsme canonique de k-espaces vectoriels
(2) V(cial-) ~> Honv^.v,rt.(m„/mg, k).
Nous pouvons maintenant définir de façon générale
l'espace tangent (ou espace tangent de Zarîski) en un point x

146 COURS UE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
d'une variété quelconque X : si m,, est l'idéal maximal de
l'anneau local 0X de X au point x, cet espace vectoriel
sur A, noté TK(X), est par définition le ducd de l'espace
vectoriel XWxfïW%., espace des formes linéaires sur Ttt^/TIt^.
A un élément X de Ta(X) on peut associer canonique-
ment l'application L} : 0x^>-k qui, dans 11¾., est la
composée X(lx~+X(lxfTW*~+k de X et de l'application
canonique, et qui est 0 dans A. 1 (on rappelle que 0X, en tant
que A-espace vectoriel, est somme directe de A. 1 et de 11¾.).
On vérifie immédiatement que pour deux germes j", g
de 0X, on a :
(3) £*(/£) =f{x)L>.G) + «(*)£»(/).
Inversement, soit L une application A-linéaire de 0X
dansA telle que l'on ait, pour deux germes quelconques/, 'g
de GXi
(4) H/g) ~f(xWÏ) +g(*W).
Si on prend pour/ et g*le germe de la fonction
constante 1, on obtient Z(l) =0, etsionprend/et^dansïtt,,,
on a f(x) = £( x) = 0, donc Z(/ g) = 0; la restriction
de L à ntsse factorise donc en 11¾. -^- Ttlœ/ïtt| -> A, oùXest
une forme linéaire, et on a L = L^. On peut donc
identifier l'espace tangent Tœ(X) à l'espace vectoriel
Dei^t^g,, A) des formes linéaires sur 0X vérifiant (4), qu'on
appelle encore vecteurs tangents à X au point x.
Soit U un voisinage ouvert affine de x dans X, et soit
L eDer{:(0e, A). Pour toute fonction régulière /gA(U),
posons Lv(f) = L(f); il est clair que pour deux
fonctions/, g de A(U)., on a :
(5) AiCfe) -f(x)Lv(g) + g(x)Lv(f).

6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 147
Inversement, soit M : A(U) ~> k une forme linéaire
sur A(U) telle que, pour deux fonctions quelconques/, g
deA(U),onait :
(6) M{fg) =f(x)M(g) + g(x)M(f) ;
il existe alors une et une seule forme L e Der£(0œ> &)
telle que Lv = M, En effet, notons d'abord que si
g eA(U) est telle que g; ~ 0, on a nécessairement
M(g) = 0, car l'hypothèse entraîne l'existence d'une
fonction /eA(U) telle que /(*) ^ 0 et fg = 0 (§ 1,
nD 5, lemine 1); si l'on, écrit que M(fg) = 0, on déduit
aussitôt de (6) que M(g) = 0. Cela prouve l'unicité de L;
pour établir son existence, on remarque que tout germe
k e 0X est le germe d'une fonction de la forme gjf définie
dans D(/), où /eA(U) est telle que /(*) ^ 0; on
pose alors
(7) Z(A) = (/(*))" W(g) - g(x)(f(x)r*M(f)
et on montre d'abord que cet élément de A ne dépend
bien que du germe h, en notant que siffi sont deux
fonctions de A(U) telles que /(*) ^ 0 et f^x) ^ 0, et g, gt
deux fonctions de A(U) telles que g^ — gtf soit nulle
dans un voisinage de a:, on a M{gft — gif) — 0, etutili-
sant (6) et (7), On vérifie ensuite immédiatement que L
satisfait à (4), et on a évidemment Lv = M,
On peut donc encore identifier canoniquement T^fX)
à l'espace vectoriel Der|:(A(U), k) des formes linéaires
sur A(U) vérifiant (6), On posera, pour L eTx(X) et
/-eA(U), </,Z>~<£z>==Z(/).
2- APPLICATION LINÉAIRE TANGENTE A UN MORPHI5ME
Soient X, Y deux variétés, u : X ~> Y un morphisme,
x un point de X. On déduit de k un homomorphisme
local ur : 0y,mc*) ~> @x.v et comme i^fm^)) C mv, on a

148 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
aussi «iB(îttJi(p,))Cïtt|, donc on déduit de ux une application
k-Unêaire u0' : îlt^^/m^, -^- Xtijrï{%. Par définition,
l'application linéaire tangente à u au point x est l'application
(8) Tz(u):Tx(X)-+TM(Y)
transposée de tF. Une définition équivalente (compte tenu
du n° 1) est la suivante : soient V un voisinage ouvert
affine de u(x) dans Y, U un voisinage ouvert affine de x
dans X tel que u(V) C V- Alors pour tout vecteur
langent L €Ta.(X), le vecteur tangent T^wJ.Z de T^fY)
est défini par la condition
(9) <g,T».Z> = <go„,Z>
pour toute fonction g gA(V).
Il est immédiat que si v : Y -> Z est un morphisme,
on a :
(10) T>o„)=T„w(»)oT».
Proposition 1. — Si X est une sous-variété d'une variété Y,
et j : X ~> Y Finjection canonique, VappHcation linéaire
tangente Tz(j) est injectivepour tout x e X,
En effet, on peut se borner au cas où Y = Spm(A)
est affine, et X = Spm(A/o)., où a est un idéal de A,
Pour tout x e X, l'idéal maximal correspondant à x
dans A/o est m = îl/Cij si n est l'idéal maximal
correspondant à x dans A; l'application canonique n/Tt2—>îtt/m2
est surjective, donc sa transposée TX{J) est injective.
L'espace tangent TX(X) s'identifie donc dans ce cas à
un sous-espace de l'espace tangent TK(Y) ; lorsque Y = kn
et x est l'origine, on retrouve la définition V(Ci(1') de
l'espace tangent à X donnée au début du n° 1,
Proposition 2. — Soient X, Y deux variétés, (x,y) un
point de X X Y. Si
j:Xx{y}->XxY et j';{*} X Y->X X Y

6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARAlîLES 149
sont les injections canoniques, l'application
(L, IJ) K Tb,„)U).£ + Ttat)U').L'
estime bijecticn de Tfe )(X X {y}) X T|aï)({x} X Y) sur
Tla„)(X X Y).
On se ramène aussitôt au cas où
X ^Spm^rT-!, .. ,TJ/(l)
et Y = Spm(A[Tm4-i, ...,Tm+B]/b)
(û et b étant radiciels) et (x,y) est l'origine de &m+";
comme l'idéal radicîel c définissant X X Y est engendré
par a U b dans A[T15 ..., Tm+M] (§ 1, prop. 9), d1' est
engendré par a'1' KJ b'1', donc le sous-espace V(c'1')
s'identifie cauoniquement au produit V(a'1') X V(t)'1').
3, Points simples
Proposition 3. — (i) Pour tout point x d'une variété X,
la dimension de l'espace tangent T^fX) est au moins égale à la
dimension de toute composante irréductible de X contenant x.
(ii) Si X = Spm(A) est une variété affine irréductible de
dimension n, x un point de X tel que dimft TK(X) = n,
,/i» ' ' '>,fn des éléments de A appartenant à Vidéal maximal
Tlt = t({#}) de A et dont lesclassesmod, ïttz forment une base
sur k de l'espace vectoriel m/îttE, alors fl7 9fn sont
algébriquement indépendants sur k (et forment par suite une base de
transcendance sur k du corps des fonctions rationnelles R(X)^.
Compte tenu de la prop. 1, il suffit de prouver (i)
lorsque X est irréductible et, comme la question est locale,
on peut en outre supposer X = Spm(A) affine. Il suffit
de montrer que si fl} ,, .,fr sont des éléments de îtt et
si r <C n, les classes des j£ mod. m2 ne peuvent
engendrer m/m2- En effet, s'il en était ainsi, le lemme de
Nakayama (À, 40) montrerait qu'il existerait un g e m tel
que (1 + g) m soit l'idéal engendré par f^, ,fr dans A.

150 COURS 1>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Considérons alors le morphisme « :y \-*(fi(y)> •. •j./iO))
de X dans kr; ona 1-f g(x) = 1 puisque g e m, donc
U résulte des définitions que dans l'ouvert D(l -|-g)deX,
le seul point de w_1(0) est x; autrement dit, x est isolé dans sa
fibre u~l(u(x))t ce qui entraîne dîm (X) < dim (kr) ~ r
pai' le § 4, coi'. 1 du th. 2; on a donc obtenu une
contradiction.
Le même raisonnement prouve (ii) : on considère cette
fois le morphisme u :y[-*- (fi(y), j/«0')) deXdansA";
sifi, -. .,fn n'étaient pas algébriquement indépendants,
«(X) serait une variété de dimension < n— 1, et on
conclurait comme ci-dessus que dîm(X)^«— 1, ce
qui est absurde.
Définition 1, — Soit X une variété irréductible de
dimension n. On dit qu'un point x e X est simple si l'espace
tangent TjgfX) est de dimension «,
Une variété irréductible est dite sans singularité ou non
singulière si tous ses points sont simples.
Exemples, — La définition donnée au début du n° 1
pour l'espace tangent en un point d'une variété affine
montre que l'espace affine A" est une variété nonsingulière;
il en est donc de même de toute variété irréductible
localement isomorphe à un espace affine, par exemple les
espaces projectîfsP(J(&), lesgrassmanniennes Gnir(k) et les
produits de telles variétés,
La variété irréductible E obtenue en faisant éclater
l'origine de A"+1(§ 4, n° 1) est non singulière. En effet, avec
les notations du § 3, noa 1 et 2, il suffit de voir que tout
point de {0} x P„(A) appartenant à un des ensembles
{ 0} X U; est simple dans É. Mais l'ouvert de E,
intersection de E et de l'ouvert 7r_1(iy xU; de kn + 1 X P„(/s) est
isomorphe à l'ensemble des points de Hj X (A—{u}) X H]
de la forme (x, X, x) (§ 3, n° 2), donc à fr X (A — {0}),
d'où notre assertion.

6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 151
On aura soin de noter qu'une variété non singulière
n'est pas en général localement isomorphe à un espace
affine en aucun de ses points; c'est ce que montre déjà la
théorie des courbes algébriques,
La démonstration de la prop. 3 montre que si x est un
point simple de X, il existe «fonctions/}, .. .,Jn régulières
dans un voisinage de x engendrant l'idéal maximal îtt^
de 0xi en outre la sons-algèbre A[/15 .. •>/„] <^e @x est
isomorphe à k\Tt, ..., T,J et est dense dans 0S pour la
topologie ïtta-adique. Un système de n fonctions de cette
nature est appelé un système de paramètres uniformisants
an point x.
Théorème 1. — L'ensemble des points simples d'une variété
irréductible X est ouvert et partout dense dans X.
Onpeutévidemmentseborneraucasoù X = Spm (À)
est affine; écrivons A = k\Tlf , TN]/Ci où a est un
idéal radiciel; si (Pa) est un système générateur fini de û,
les points simples de XCA^ sont les points x e X où la
matrice ( -?=—■ (x) } est de rang N — « (si n = dim(X)) ;
en un tel point, il y a donc un mineur A d'ordre N — n
de la matrice ( ■—* j qui n'est pas nul, et par suite il y a
un voisinage U de x dans AN où A(_>>) ^ 0, En tout
point jgXOUj la matrice ( —~ (y) J a donc un
rang ^ N — n ; maïs il résulte de la prop. 3 que ce rang
ne peut être >N—n, donc les points de XflU sont
simples.
Il reste à montrer que l'ensemble des points simples
de X est non vide. Le corps des fractions L = R(X) de A
étant séparable sur le corps algébriquement clos A, le
lemme de normalisation (A, 35) montre qu'il existe une
base de transcendance séparante (^, ...,¾.) de L formée

152 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
d'éléments de A et telle que A soit fini sur B = A[fa, ,.,, fj,
de sorte que si Y = Srjm(B)(= kn), on a un morphisme
fini surjectif y : X -> Y, Si E = R(Y) = k(tlt . -., tn),
L est une extension finie séparable de E, donc engendrée
par un élément f € A, et comme B est intégralement clos,
le polynôme minimal dey est de la forme
0>(T) = T" -f S &T"1"' avec les gj eB
3--1
et 0>'(T) ^mT"1-1^- S (m— j) g5Tm~J"1 n'est pas
j —1
identiquement nul; le discriminant d de fl> est donc un
élément de B (polynôme en f15 ...,^) non nul.
Considérons alors dans Y l'ouvert non vide D(</) ; soit y e D(d)
et x un point de X tel que u(x) =y; nous allons voir
que x est simple. Pourcela, nous allons voir que « 4-1 formes
linéaires Llt ..,, L,l + 1 de Derjï(A, A) sont nécessairement
linéairement dépendantes. Qr, de la relation :
on déduit, pour tout indice i :
3 = 1
4- 2/^^)^^)=0
j=i
(en notant que puisque g$ eB, on a gj(#) = gj(y) par
définition), Orf(x) est racine du polynôme de k\T]
t»+ Sa(;)T*J
3-1
dont le discriminant est </(_>') ^ 0; l'élément
¢ = 1^-^)+ S (m— j)gj(y)fm~§"1(x)
3 = 1

6 - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÉPARABLES 1 53
de k est donc ^ 0, Mais il est clair que les restrictions
des /ç à B sont des éléments de DerjJ(B, A), donc ces
n 4- 1 formes linéaires sont linéairement dépendantes,
autrement dit il existe des <x$ e/i non tous nuls tels que
S 00(1¾(A) = 0 pour toute fonction h eB; maïs alors
i = l n + l si + l
ona c{ S cf^m/)) =0 et comme c^ 0, S <H^iif) ^ 0-
i=l i=l
m- 1
Comme tout élément de A est de la forme fT1 S A^y* —«
fc = 0
avec Afc eB (A, 36), on voit aussitôt que l'on a :
ïi + i
M + l
et comme S o^L^tf) = 0, on en tire
tn-i
J(j) SajA(û) =0,
ce qui achève la démonstration.
Les anneaux locaux Ox des points simples sont dits
réguliers; on peut montrer qu'ils sont factonels, et a fortiori
intégralement cIor (A, 30),
Par contre, un point normal d'une variété n'est pas
nécessairement simple, comme le montre l'exemple du
sommet du cône d'équation x\ -f- x\ — x\ ™ 0 dans kz
(§5, n°3).
4. MoRPHISMES SÉPARABLES
Soient X, Y deux variétés irréductibles, u : X -> Y un
morphisme dominant, de sorte que le comorphîsme
correspondant R(Y) ~> R(X) des corps de fonctions
rationnelles est injeetîf. On dit que u est sêparable si ce comor-
phisme fait de R(X) une extension sêparable de R(Y).

154 COURS DE GÉOMÉTRIE AIXÉlïRIOUE
Théorème 2, — Soient X, Y deux variétés irrêàictibles^
u : X -> Y un morphisme dominant* Pour que u soit séparable,
U faut et U suffit qu'il existe un point simple x de X tel que
y — u(x) soit simple et que l'application linéaire tangente
Ts(k) : TX(X) -> Ttf(Y) soit surjective.
a) La condition est nécessaire. Posons m = dîm(Y),
n = dîm(X). Comme R(Y) est séparable sur k, il existe
m A-dérivations D; (1 < i < m) de R(Y) dans lui-même
et m éléments b{ (1 < i < m) de K(Y) tels que D^-) = B{]
(indice de Kronecïcer) (A, 6). Le corps R(X) étant
extension séparablc de R(Y) par hypothèse, de degré de
transcendance n — m, les Dj se prolongent en des
/^-dérivations de R(X) (A, 6) encore notées D^. L'ensemble
des y € Y où les ^ sont toutes définies est ouvert non vide
dans Y, donc contient un ouvert non vide dont tous les
points sont simples ; remplaçant Y par cet ouvert, on peut
donc supposer que Y = Spm(B) est affine sans
singularité et que les b- eB; procédant de même pour X, on
peut supposer que X — Spm (A) est affine sans
singularité. Comme A est une ^-algèbre de type fini, en multipliant
les D3- (1 < j' ^ m) par des éléments de A et leb ^ par
des éléments de /i, on peut supposer que Dj(A) C A pour
1 < j < m. Soit alors x un point de X, et soit y = u(x) ;
les m formes linéaires
^■=êl->(DJg)(j.) (l«j«m)
sont définies dans l'anneau local @v et on a L^bj) = Sy-;
comme il est clair que les L-} sont des vecteurs tangents à Y
au point yt l'hypothèse que y esi simple entraîne que
les Lj forment une base de l'espace vectoriel langent TfJY),
Mais comme les 1), oui été prolnugee:» à C)T, les
sont définies dans CJX et prolongent les Lj\ autrement dît,
on a Ty(u),L'j = Li pour 1 ^ j < th, ce qui montre
que Tx(u) est surjectif.

G - POINTS SIMPLES ET MORPHISMES SÏJPARABLES 155
b) La condition est suffisante. L'hypothèse entraîne que
l'application Â-Iinéaîre i^ : u\/m^ ^ TU^/lît! cstinjectïvei
si^, ■ > '> g,n sont des paramètres uniformisants de Y au
point y3 on peut donc les compléter par n—m fonctions
/ij • • -»/«-m de &* de sorte que Si,- '>fi». /u • • -,/«-™
soit un système de paramètres uniformisants de X au
point x. Il s'agît de montrer que n — m -f- 1 R(Y)-dériva-
Linns Dfc de R(X) dans lui-même sont linéairement
dépendantes sur R(X) (A, 7). Enlesmultipiiantpar des éléments
non nuls de R(X), on peut supposer que l'on a Y>k{O^Q 0fi
pour tout k\ il est clair alors que I\-(îTt£) C m^T1,
autrement dit T\ (restreinte à 0^ est continue pour la tojxîlogie
TTtj.-adique (A, 34). Considérons les restrictions des T>k à la
A-algèbre k [g-,, • • •, g^\\Ji, ■• .),/»-m]î comme elles
s'annulent dans k[gl} ■••,gm\ il résulte des propriétés des
algèbres de polynômes qu'il y a « — m -f- 1 éléments ck e 0X
« -1» +1
non tous nuls et tels que la dérivation £ ck Dk soit nulle
*-i
dans k[giS ■ - -, g,n,.fi, •••i.fn-m]- ^a1' continuité, cette
dérivation est nulle dans Qx (la topologïe Tîte-adique étant
séparée (A, 34)), ce qui termine la démonstration.
Remarques. — Si k est de caractéristique 0, tout mor-
phisme dominant est évidemment séparable (A, 1), et le
critère du th, 2 est sans intérêt. D'une façon générale, les
propriétés de l'application linéaire tangente à un mor-
pliïsme sont loin d'entraîner des conséquences aussi fortes
que dans la théorie des variétés différentielles ou
analytiques; il n'y a pas d'analogue du théorème des fonctions
implicites : u : X --■=<- Y peut être un movphisme domi-
nanLi-et y = u{x) étant simples et 'i\(u) unîsomorphisrtic
de Tj(X) sur T^Y) pans qu'il y ait un voisinage U de x
tel que la restriction de « à U soit un isomorphisme de V
Sur uii voisinage dej (même en supposant que «~ *(_>') est
réduit au point x). On en a un exemple en prenant pour X
le complémentaire du point ( 1, — 1 ) dans la parabole

156 COURS UE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
x% — x\ = 0 de k2, pour « la restriction à X de la seconde
projection et pour x le point (1, 1).
On a toutefois le résultat particulier suivant :
Proposition 4. — Soient u : X ~> Y un morphisme fini
de variétés irréductibles, x un point simple de~K tel que u~1(u(x))
soit réduit au point x ; sî Ta(u) '■ T^fX) -> T^fY) est injectif,
il existe un voisinage ouvert V <fc J te/ ç«« /« restriction de u
au"1 (V) Joif «n isomorpfàsme sur une sous-variété fermée de V.
On peut évidemment supposer que Y = Spm(A) et
X — Spm(B) sont affines, B étant une A-algèbre finie
(§ 4, n° 4). Soient tn et Tt les idéaux maximaux de A et B
correspondant respectivement à y et x', l'hypothèse sur
Tx(u) signifie que l'application linéaire m/m2 -> n/Tta est
surjective; l'application composée m -> m/m2 -^- n/n2
transforme donc unsystème générateur dem en un système
générateur de tt/tt2, ce qui implique n = Btp(m) -f îî2.
Or, l'hypothèse entraîne que n est le seul idéal premier
de B contenant Btp(m) (cf. §5, n° 4), donc n/Btp(m) est
le nilradical de B/Btp(m) (A, 11 ) et il existe donc un entier
k>0 telque tt?(CBtp(m) (A,32). Comme n— Btp(m) + tt'(
pour tout k, on en conclut que Btp(m) = u> et
on a donc Btp(m) + tp(A) = B. Cela entraîne que
(B/tp(A)) ©A (A/m) = 0, et comme B/tp(A) est un
A-module de type fini, il résulte du lemme de Nalcayama
quel'ona /B = tp(A) pourunélément f$Vft.. Mais alors
rhomomorphisrne tp7 : Aj.-^-B,^, est sutjectîf, donc «est
un isomorphisme de l'ouvert Dftp(/)) de X sur une sous-
variété fermée de D(jf)C Y.

Résultats d'algèbre
Sauf mention expresse du contraire, les anneaux et
corps considérés dans ce qui suit sont supposés commutatifs.
Rappelons qiicpar définition un anneau admet un élément
unité, et qu'un homomorphisme d'anneaux transforme
élément unité en élément unité; un sous-anneau d'un
anneau A contient l'élément unité de A.
I. — Théorie des corps. Dérivations
(A, 1) Soient k un corps, K une extension de k de type
fini. Le nombre maximum d'éléments de K algébriquement
indépendants sur k est appelé le degré de transcendance de K
sur k. Si S est un système fini de générateurs de K, LC S
une partie de S formée d'éléments algébriquement
indépendants sur k, il existe une partie B 3 L de S formée
d'éléments algébriquement indépendants sur k, dont le
nombre d'éléments est égal au degré de transcendance
de K sur k, telle que K soit une extension algébrique
finie de k(B) (ce dernier sous-corps étant isomorphe à
A(Tj, ..., Tâ) si d est le degré de transcendance de K
sur k). On dît que B est une base de transcendance de K sur k
(Lang, p. 254).
On dit que K est une extension sêparable de k s'il existe
une base de transcendance B de K sur k telle que K soît
une extension algébrique sêparable de &(B). On dit alors
que B est une base de transcendance séparante (Lang,
p. 264).
Si k est parfait, toute extension de k est sêparable. Si k

158 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
est de caractéristique 0, toute base de transcendance d'une
extension de k est séparante (Lang, p. 265).
(A, 2) Soient K une extension de h de type fini, E une
extension de K de type fini, B une base de transcendance
de K sur k, B' une base de transcendance de E sur K.
Alors BuE' est une base de transcendance de E sur h
(Lang, p. 270).
(A, 3) Soient B un anneau, A un sous-anneau de B. Une
dérivation de A dans B est une application D : A -> B telle
que D(* +j>) = D(*) + D(j>) et D(xy) = * D(j) + y D(x).
On déduit de là que D(1) = 0, D(af) = nx11'1 D(x) pour
Tout xeA et « entier > 0 et DfaT1) = —a"~2D(a")
pour x e A inversible; pour tout b e B, x\-*b D(a-) est
une dérivation et l'ensemble Der(A, B) des dérivations
de A dans B est un B-module. L'ensemble des x e A tels
que D(x) = 0 est un sous-anneau de A; pour tout sous-
anneau C de A, l'ensemble des dérivations de A dans B
nulles dans C (dites C-dérivatîons) est un sous-B-module
Derç(A, B) de Der(A, B).
Si KC E sont deux corps, A un sous-anneau de K
dont K est le corps des fractions, toute dérivation de A
dans E se prolonge d'une seule manière en une dérivation
de K dans E.
(A, 4) Soient KCECF trois corps de caractéristique
p > 0. Toute K-dérivation de E dans F est nulle dans
le sous-corps K(EP) de E. Si E est une extension de type
fini de K, E est une extension algébrique finie de K(EJ))
de degré/»''; r est appelé le degré d'imperfection de E sur K, et
ona E = K(EP)[*(, .. „4 où xj £!£(£>>)[>,, • ..,¾. J
et xf eKfE*)!*,, ..., *,-~i] ^e sorte cluc Ie polynôme
minimal de aj sur K(Ep)[jïj, . ..^.Jest Tff—xf (Lang,
p. 186). On dit alors que x1} ..., xr forment une p-base
de E sur K. Les monômes xv = xllx$* ... xX' avec
0 < v,- <C p pour 1 < j < r forment une base de E

RÉSULTATS d'aLGEBRE 159
commeK(Ep)-espace vectoriel. Il exister K-dérivations D$
( 1 < j < r) de E dans 1T, telles que Dj(xk) = &jfc (indice
de Rroncclcer), et les D, formrm une base du F-espace
vectoriel Derx(E, F).
(A, 5) Avec les notations précédentes, supposons que F
soit extension algébrique finie de E. Comme une base de F
sur E est aussi une base de I* sur E>, on a :
[K(ï*) : K(E")] < [F : E].
Comme on a :
[F : E] [E : K(E*)] = [F : K(E*)] [K(Fp) :K(E»)]
on en déduit que [E : K(E*)] < [F ; K(F*)].
Supposons en particulier que F soit une extension de K
de type fini, et E = K(B), où B est une base de
transcendance de F sur K. On a alors :
[E : K(EP)] = [K(B) : K(B*)] = p*
si d est le degré de transcendance de F sur K. Ce qui
précède montre donc que l'on a rf< dimp DerK(F. F).
(A, 6) Soit E une extension séparable de K, de type fini,
et soit d son degré de transcendance sur K; on a alors
â — dimE DerK(E, E), et toute />-base de E sur K est une
base de transcendance séparante de E sur K (Lang, p. 269).
Si E est une extension séparable de K, toute dérivation
de K se prolonge en une dérivation de E (Lang, p. 267).
(A, 7) Inversement, soit E une extension de K de type
fini et de degré de transcendance à = dîmE DerK(E, E) ;
alors E est séparable sur K. En effet, soit B une base de
transcendance de E sur K, et soit F la plus grande
extension séparable de K(B) dans E, de sorte que B est une
/>~base de F sur K et E une extension radicielle de F. Il
suffira de considérer le cas où E= F(#), [E : F] = p, et
de prouver que E est encore séparable sur K. L'hypothèse,
jointe à (A, 5) et (A, 6), entraîne que [K^E*) : K(Fp)] = p,

160 COURS UE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
autrement dit A"0 — xv n'appartient pas à K(F'J)j il y a
par suite une p-hase B' de F sur K formée de x0 et de
d—1 autres éléments Xj (1 ^j^d—1), etFestencore
une extension algébrique séparable de K(B'). Considérons
alors l'ensemble Bt ~{x, xlt ..., xd_1}; il est clair que
Bj est une base de transcendance de E sui' K. Comme F est
extensionséparabledeK(B'),ona K(B')(FP) *= F (Lang,
p. 266)j a fortiori on a K(B,) (E^) 3 F et par ailleurs
K(Bj) contient x, donc K(Bj) (E*) DF(*) = E, ce qui
prouve que E est extension séparable de K(Bj) (loc, cit.).
II, — Idéaux premiers et idéaux maximaux
(A, 8) Un idéal p d'un anneau A est dit premier (resp.
maximal) si A/p est un anneau intègre (resp, un corps),
ceqtùentraînepardéfinition p ^ A. Toutidéalmaxîmal
est premier. Tout idéal o ^ A est contenu dans au moins
un idéal maximal (Lang, p. 62). Si fi est un idéal de A,
p un. idéal premier de A contenant a, l'ensemble des
idéaux premiers CJ tels que 0 C CJ C p est inductif pour
la relation D, donc a un élément, minimal.
(A, 9) Si f : A -> B est un homomorphisme d'anneaux
et C) un idéal premier de B,/_1(q) est un idéal premier
de A, Si B = Aja, où a est un idéal de A, les idéaux
premiers (resp, maximaux) de B sont les idéaux de la
forme p/n, où p est premier (resp. maximal) dans A
(Lang, p, 63).
(A, 10) Si A, B sont deux anneaux, tout idéal C de A X B
est de la forme fi X b où fi (resp. fe) est un idéal de A
(resp. B) égal à prt c (resp. pr2 c), car si (x,y) e c, C contient
aussi (1, 0)(x,y) = (x, 0) et (0, 1 )(#,_>•) = (0,j). Les
idéaux premiers (resp. maximaux) de A x B sont donc
ceux de l'une des formes p X B, A X q, où p est un
idéal premier (resp. maximal) de A et q un idéal premier
(resp, maximal) de B.

RÉSULTATS D5 ALGÈBRE
161
(A, 11) Le nilradical d'un anneau A est l'idéal tt de A
formé des éléments nilpotents de A; il est égal à
l'intersection des idéaux premiers de A. La racine r(ci) d'un
idéal a de  est l'idéal formé des * e A dont une puissance
appartient à Ci; c'est aussi l'idéal tel que r(ci)/û soit le
nilradical de A/a (Lang, p. 148). Un anneau est dit réduit
si son nilradical est (0),
Si f ; A —> B est un homomorphisme d'anneaux et b un
idéal de B, on a x(f~1(b))=f~1(x(b))l car la relation
(f(x))n eb est équivalente à f(x)n et), ou encore à
V e/-»(b).
(Â, 12) Soient plt ..., pr des idéaux premiers d'un
anneau A. Si un idéal a de A n'est contenu dans aucun
des fy, il existe un z ç a qui n'appartient à aucun des pj.
On raisonne parrécurrencesur r, la propriété étant triviale
pour r=sl. Supposons d'abord qu'il existe un indice J
tel que o fi p$ soit contenu dans la réunion E des p
d'indice i ^ j\ il n'est pas possible que ciCE, sans quoi,
par l'hypothèse de récurrence, on aurait ciC pi pour
un i ^ j; si on prend x $ a non contenu dans E, on a
aussi x $ pj en vertu de l'hypothèse, donc x n'appartient
à aucun des ph. On peut donc (par l'hypothèse de
récurrence) supposer que pour chaque indice j il existe
yj ea C\ pj tel que y$ $ pt pour i ^ j. Considérons alors
l'élément z =y^ + Il _>ï, où k est un indice quelconque.
On a évidemment z e ci; pour j ^ k, on a y$ e p,-,
donc II yi e py, mais comme yk $ p$, on a z $ pj.
D'autre part, comme >>,- $ pk pour î ^ k, on a aussi
Il yi $ Pk puisque pk est premier; maïs comme yk e ph,
on a encore z$Pk* ce qui prouve la proposition.
Supposons l'anneau A gradué, et les idéaux ci et pj
(1 < j < r) gradués. Alors on peut ajouter à l'énoncé
précédent que l'élément z e a n'appartenant à aucun des pj
est homogène. En effet, il suffit de reprendre le raisonnement

162 COURS J1F, GKOMKTUIK ALC.l'llîRIOUE
pat' récurrence qui précède. Si on p^-C E, il est clair
que l'on peut prendre x e a non dans E et" homogène.
Sinon, on peut prendre tous lesjjy homogènes ; comme pour
un idéal premier p, les relations t e p et tn e p sonl
équivalentes» on peut remplacer les^ par des puissances
de ces éléments homogènes, et supposer donc que yh
et H fc sont homogènes et de même degré; z est bien
alors homogène,
III. — Localisation et anneaux locaux
(A, 13) Soient A un anneau, S une partie multiplicatïve-
ment stable de A. Dans l'ensemble A x S, on définit une
relation d'équivalence en prenant (a, s) et (a\ s')
équivalents s'il existe s" eS tel que s" {a' s — as') = 0.
L'ensemble quotient est noté S-1 A et la classe d'équivalence de
(«, s) notée ajs. L'ensemble S-1 A est muni d'une structure
d'anneau pour laquelle (ajs) -f* («*//) ~ (as' -[- a' j)/(j/)
et (ajs)(djs') = (aa')j(ss')t l'élément unité étant 1/1,
L'application i& : a\-> a/1 est un homomorphisme (dit
canonique) de A dans S_1A et les éléments de %(S) sont
inversibles dans S~ 1A. Si A est intègre et si S ne contient
pas 0, S"1 A s'identifie à un sous-anneau du corps des
fractions de A, contenant A (Lang, p, 69),
(A, 14) Si M est un A-module, on peut définir le S~ * A-
module S*1 M par la même méthode que ci-dessus, ou
poser S^M = M©AS_1A; l'élément m® (Ifs) s'écrit
aussi mjs. Si N est un sous-module de M, S" *N s'identifie
àunsous-moduledeS"1M,etS~1M/S~1NàS^1(M/N).
En particulier, si a est un idéal de A, S-1 a est un idéal
de S" * A, qu'on peut aussi écrire Ci(S~ * A) lorsqu'on
considère S"1A comme un A-module au moyen de £s,
L'application p' h» £g 1(p') est une bijection de l'ensemble des
idéaux premiers de S-1 A sur l'ensemble des idéaux
premiers de A ne rencontrant pas S, et si p = ïg^p'), on

Rl'M'l.TATS n'AIoLïSRE
1G3
a p' = S"1 p et (S_1A)/p' s'identifie à (/(S))^A/p),
où / ; A ~> A/p est l'iiomomorphisme canonique (Laxxg,
p. 149).
Si n est le nilradiral de A, S l tt est le nilradical de S"1 A,
car la relation (xfs)H = 0 entraîne l'existence de s' e S
tel que s'x" ~ 0, d'où (j'.v)" = 0, autrement dit j'x e tt
et par suite ,v/j € S_1îî,
(A, 15) On dit qu'un anneau A est local s'il ne possède
qu'un seul idéal maximal, qui est alors le plus grand
idéal ^ A, Si A et B sont deux anneaux locaux, d'idéaux
maximaux m et n, un liomomorphisme u ; A ~> B est dit
local si «(m) C n, ft>ur tout anneau A et tout idéal
premier p de A, ou note Ap l'anneau S-1 Aoù S = A — p;
c'est un anneau local dont l'unique idéal maximal
est pAp (Lang, p. 69), Si nCp, l'anneau A^/dA^
s'identifie canoniquement à (A/fl)p/a.
Soit S une partie multiplicative de A, Si q' est un idéal
premier de S"1 A, et q—î'sKcj')» l'anneau local A^
s'identifie canoniquement à (S_1A){]..
IV, — Entiers algébriques
(A, 16) Soient A un anneau, B une A-algèbre; on dit que
B est une A-algèbre/ime si B est un A-module de type fini.
On dit qu'un élément xeB est entier sur A si la
sous-algèbre A[,v] de B est finie, ce qui équivaut à dire que ,v vérifie
une relation de la forme xm -f- atxm~± -\- ,,, -\- am = 0 où
les aj e A (Lang, p. 237), On dit que B est entière sur A
si tous les éléments de B sont entiers sur A; toute A-algèbre
finie est entière et, inversement, une A-algèbre entière et
de type fini est finie (Lang, p, 239),
Si C est une B-algèbre, et si C est entière sur A, C est
aussi entière sur B, Inversement, si B est entière sur A
et C entière sur B, C est entière sur A (Lang, p. 239),

164 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÏOBRIQUE
(A, 17) Si B est une A-algèbre, l'ensemble A' des
éléments de B entiers sur A est un sous-anneau de B, dit
fermeture intégrale de A dans B, En particulier, si A est intègre
et K son corps des fractions, l'ensemble des éléments de
K entiers sur A est appelé la clôture intégrale de A, Un
anneau intègre est dit intégralement clos s'il est égal à sa
clôture intégrale. Toute intersection d'anneaux
intégralement clos (contenus dans un même anneau intègre) est
un anneau intégralement clos. Si A est intégralement clos,
K son corps des fractions, et si E est une extension
algébrique finie de K, pour tout élément x e E entier sur A,
les coefficients du polynôme minimal de x sur K (en
particulier la trace et la norme de x sur K) appaitiennent
à A (Lang, p, 240),
Si B est entière sur A et si S est une partie multiplicative
de A, S" * B est une S"1A algèbre entière. Si A est
intégralement clos et 0 $ S, S" l A est intégralement clos (Lang,
p. 241); le même raisonnement montre qu'en général
si C est une A-algèbre, S une partie multiplicative de A
et B la fermeture intégrale de A dans C, S"J B est la
fermeture intégrale de S"1A dans S"l C,
(A, 18) Soient A un anneau intègre intégralement clos,
K son corps des fractions. Si If, G sont deux polynômes
unitaires de K[T] tels que le produit FG appartienne
à A[T], alors ]? et G appartiennent à A[T], En effet, on
peut écrire F(T) = 11 (T — o^ G(T) = 11 (T — p.)
*=1 i*=l r
où les cq et fy appartiennent à une clôture algébrique de K;
l'hypothèse entraîne que les 0¾ et fy sont entiers sur A;
les fonctions symétriques élémentaires des 0¾ (resp, des (¾)
sont aussi des entiers sur A et, comme ce sont des éléments
de K par hypothèse, ils appartiennent à A,
On déduit de là que l'anneau intègre A[T] des
polynômes sur A est intégralement clos. En effet, soit P
un élément du corps des fractions K(T) de A[T] qui

RÉSULTATS D'ALGEBRE
165
soit entier sur A[T] ; il est a fortiori entier sur K[T],
et comme ce dernier est un anneau principal, donc
intégralement clos (Lang, p. 240), on voit déjà que Ton
a nécessairement P e K[T], Par hypothèse, il y a un
polynôme Q.(X) = X™ -{- F1Xm~i .{- ,, . -f- Fm, avec
les F,- eA[T], tels que Q.(P(T)) ==0. Soit r un entier plus
grand que le degré de P, et posons P^T) = P(T) — T";
alors — Pt est unitaire et Pt est racine de
Q(X + T) *= X» + ... + Ck
à coefficients dans A[T] ; on a :
Gw(T) = Q,Cr) *= T™ -f- F^T) Tfr»-ïï -f- .. + Fm(T),
donc G>ft est unitaire pour r assez grand. Comme
-PiW-1+ --.+0,.0=.0^
le second facteur du premier membre est aussî alors un
polynôme unitaire de K[T] ; comme les coefficients de Gm
ont dans A, il en est de même de ceux de — Pt, donc
PeA[T],
(A, 19) Soit A un sous-anneau d'un anneau B; on dit
qu'un idéal b de B est au-dessus d'un idéal a de A si
b fï A = a. Supposons que B soit entier sur A ; alors pour
totit idéal premier p de A, il existe au inoins un idéal
premier ^P de B au-dessus de p ; si p est maximal, tout idéal
premier de B au-dessus de p est maximal ; inversement,
pour tout idéal maximal 9JÏ de B, 9JÏ n A est maximal
(Langs p, 243 : <( théorème de montée »).
Supposons de plus que B soit une A-a\gbbrcfïme; alors,
pour tout idéal maximal m de A, le nombre d'idéaux
maximaux de B au-dessus de Tlî est fini. En effet, il est
clair que ce nombre est le nombre d'idéaux maximaux
de B/mB; par récurrence sur le nombre de générateurs
du A-module B, on peut se borner au cas où B = A [a],
où x est entier sur A; si K est le corps A/m, B/îîîB est
donc de la forme K[f], où t est racine d'un polynôme

166 COI'RS Dl:, GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
unitaire JF e K|T] ; par suite, si 3? = F^"1... F»' est la
décomposition de F en facteurs irréductibles, B/llîB est
isomorphe à un quotient du produit des K-algèbres
K[T]/(FfJ') (Lang, p. 64). Or, si P est un polynôme
lUiitaire irréductible de Kf f], K[T]/(Pm) a pour nîlradîcal
l'idéal 9Î — fP)/(P'1) et .son quotient par 9Î est le corps
K[T]/(P), doricSR est l'unique idéal maximal de K[T]/(Pm).
On en conclut que le nombre d'idéaux maximaux de B/llîB
est au plus r (A, 10),
(A. 20) Soient A un anneau intégralement clos, K son
corps des fractions, supposé de caractéristique p > 0,
Soient E une extension radicielle de K, B 3 A un sous-
anneau de E entier sur A, Alors, pour tout idéal premier p
de A, il existe un seul idéal premier S$ de B au-dessus de p,
et cet idéal est formé des x e B tels que xp'" e p pour
un entier m assez grand. En effet, l'existence de S$ résulte
de (As 19); si x e Sfi, on a xp™ e K pour un entier m,
donc xv™ € A puisque A est intégralement clos, et par
suite *p"1 € A ri Sfi = p ; inversement, si x eR est tel
que xi'"1 e pC *]BS on a x e s$ puisque Sfi est premier.
(A, 21) Soient A un anneau intégralement clos, K son
corps des Parlions, N une px tension galoisienne finie de K,
rû son groupe de Galoiss B la fermeture intégrale de A
dans N, Si $ et JQ sont deux idéaux premiers de B
au-dessus d'un même idéal premier p de A, il existe a e 5?
tel que c(S$) = JQ (Lang, p. 244).
(A, 22) Soient A un anneau intégralement clos, K sou corps
des fractions, L une extension algébrique finie de K,
B 3 A un sous-aimeau de L entier sur A, Alors, pour tout
Méal premier p de A, le nombre des idéaux premiers de B
,iu-dessusde pestau plus égal a.u degré séparable [L ; K]s,
En effet, si L' est la plus grande extension séparable de K
contpnue clans L* de sorte que [L/ ; K] = [L : K]s, et
si B' ^= B n t.', B cit entier sur Jï' et il suffit de montrer,

RÉSULTATS d'aLGEBRE 167
en vertu de (As 20), que le nombre d'idéaux premiers
de B' au-dessus de p est au plus [L' : K]. On peut donc
se borner au cas où L est séparablc sur K; soient alors
N l'extension galoisienne de K engendrée par L, *& son
groupe de Galois,,^f lesous-gronpe de ^laissant invariants
les éléments de L. Tout idéal premier de B au-dessus de p
est de la forme ^prïB, où Sfi est unidéal premier, au-dessus
de p, de la fermeture intégrale C de A dan* N. Si JQ est
un second idéal premier de C au-dessus de ps il est de la
forme o(^S) ( A, 21 ), et la relation offl) n B = a' (^) n B
signifie (par (A, 21)) que l'on a a(S$) = t(g'(S$)), où
t eM*. L'ensemble des pe^ tels que p(*]B) = ^ est un
sous-groupc 5?z de 5?, et on voit donc que l'ensemble des
idéaux premiers de B au-dessus de p est en correspondance
bîunivoque avec l'ensemble des doubles classes de 5? pour
les sous-groupes M* et S?zs c'est-à-dire les classes
d'équivalence pour la relation a = tc' p avec t eJ^ et p €^2
entre a et o'; le nombre de ces classes est au plus égal
au nombre des classes à droite de & suivant Jf, c'est-à-
dire à (S? :JT) = [L : K] par la théorie de Galois
(Lang, p. 194).
(A, 23) Soient A xin anneau intégralement clos, K son
corps des fractions, L une extension finie séparablc
de K, et posons [L : K] = n. Soit B un sous-anneau
de L entier sur A et tel que L soit le corps des fractions
de B; comme L est séparable sur K, il est engendré par
un élément de L, qu'on peut supposer (après
multiplication par un élément de A) être un élément b eB;
si F(T) = T1 -f- flj T"- l + ... - an est le polynôme
minimal de b sur K* on a a; e A pour 1 < j < n puisque
A est intégralement clos. Soient b( (1 < i < n, b2 — b)
les conjugués de b dans une clôture algébrique de L, qui
sont tous distincts, etsoit A= V(éls ...sé,()= H (h—-b,)
le déterminant de Vandermonde des ^-, de sorte que
ti = À2 est le discriminant de ]? (Lang, p. 134). Supposons

168 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
que d soit inversible dans A; alors { 1, b, ..., b*1'1} (qui
est une base de L sur K) est aussi une base de B sur A,
et B est égal à la fermeture algébrique de A dans L.
En effet, supposons que x eh soit entier sur A; on peut
n-l
écrire x = £ ahbn avec ah eK; mais si on désigne
ft-0 n-l
par Xi les conjugués de x (Uj<«), ona^= S ahb\
d'où, par les formules de Cramer, ah = AA/A, où
Ah e L est entier sur A puisque les x^ et b le sont; comme
ah = A A/(/(2 et que rf est inversible dans A, «A est aussi
entier sur A, donc eAeA puisque A est intégralement
clos, et cela prouve nos assertions.
(A, 24) Sous les mêmes hypothèses que dans (A, 23),
soit maintenant m un idéal maximal de A, k le corps
résiduel A/m; notant â la classe dans k de a € A, le
polynôme 1?(T) = Tn + fljT*-1 -h ... + û„ de A[T] apour
discriminant d ^ 0 dans A; supposons que les racines
(distinctes) ax, ..., an de ï? appartiennent à A (ce qui est
par exemple le cas si k est algébriquement clos). La
formule d'interpolation de Lagraiige montre l'existence
de polynômes Q,,(T) e A[T] de degré < « — 1 tels que,
pour tout polynôme P €^[1],
avec Q,{(oc;) = 0 pour i ^ j. En vertu de (A, 23), si b est
l'image de b dans B/mB = B©A(A/7iî), les éléments
1, b, ..., i**"1 forment une base de B/TIîB sur k; comme
P(î) = S P^JQ^ï), il en est de même des éléments
i- I
ei — Q.î(^)j ct on a c(cj = Sy-^. On conclut que B/mB
est isomorphe à la somme directe des corps k.e^ = B/rlt^,

RÉSULTATS d'ALGEBRE
169
où trti est l'image réciproque de S h.e;, de sorte que
les nt; sont les n idéaux maximaux de B au-dessus de lit.
(A, 25) Soient A un anneau intégralement clos, K son
corps des fractions, L une extension algébrique finie de K,
B C L un anneau entier sur A. Alors, si p C q sont deux
idéaux premiers de A, q'CB un idéal premier au-dessus
de q, il existe un idéal premier p' C B au-dessus de p et
tel que p' C q' (« théorème de descente »). Pour le voir,
supposons d'abord que L soit une extension galoisienne
de K et B la fermeture intégrale de A dans L. Il existe
un idéal premier px de B au-dessus de p, et un idéal
premier qt de B au-dessus de q et contenant pj (il suffit
d'appliquer le théorème de montée (A, 19) aux
anneaux A/p et B/pB). En vertu de (A, 21) il existe un
K-automorphisme c de L tel que o(q,) = q'; alors
p' = a(p1) répond à la question. Si, en second lieu, L est
séparable sur K., on considère l'extension galoisienne N
de K engendrée par L et la fermeture intégrale C de A
dans N. Soit q" un idéal premier de C au-dessus de q'
(donc au-dessus de q); il y a un idéal premier p" de C
au-dessus de p et contenu dans q" ; donc p' = p" C\ B
répond à la question. Enfin, si L est quelconque, E la
plus grande extension séparable de K contenue dans L,
et B0 = B ri E, qô = q' n Bq , il existe un idéal
premier pp de B0 au-dessus de p et contenu dans q^j il résulte
alors de (A, 20) que l'unique idéal premier de B au-dessus
de pô est contenu dans q' et répond donc à la question.
(A, 26) Soient B un anneau intègre, AC B un anneau
intégralement clos tel que B soit une A-algèbre finie,
K et E les corps des fractions de A et B respectivement*
Soit/un élément de B tel que la racine p = r(B/) soit
un idéal premier. Alors, /0 = NEyK(/) appartient à A
et on a pnA= ï(A/0).
En effet, soit T'" -f- a1Tm~l -f- .. + am le polynôme

170 COURS Dl;, GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
minimal de/sur K, dont les coefficients appartiennent
à A, puisque A est intégralement clos. On a donc f0 = û$(
pour un entier k >■ 0, d'où /0 e A; en outre, on a
/0+/(^^^+^^/^+---+^^-1)^
donc f0 € p C\ A, et par suite t(Af0) C p ri A.
Inversement, si u € p ri A, on a u e ï(B/), donc il existe un
entier n tel que î^" = vf avec # e B; on en déduit
que .'«■■" = NmM=NœWNw(/)EAf0, d'où
m er(A/£,), ce qui achève la démonstration.
V. CONDUCTEUR ET THÉORÈME PRINCIPAL DE ZarISKI
(Aj 27) Soient B un anneau, A un sous-anneau de B;
l'annulateur du A-module B/A est un idéal fCA appelé
le conducteur de B dans A; c'est aussi le plus grand idéal
de A qui soit aussi un idéal de B. Si B est une A-algèbre
finie, pour toute partie multiplicative S de A, S-1 f est le
conducteur de S"1B dans S^1A, car si ajs eS-1A est
tel que, pour un système générateur (jç) de B comme
A-module (1 < i < ri), on ait (fl/j)(Jï/l) e S~1A) cela
signifie que pour cliaque i il existe k e S tel que t^ayi eA;
posant t = ti .../,, e S, on a {ta) y^ eA pour tout i,
donc ta e f} et n/j eS"]f; la réciproque est immédiate.
Sous les mêmes hypothèses, soit p un idéal premier de A
m contenant pas f; alors on a Ap = Bp;i car le conducteur
de Bjj dans Av est fp par ce qui précède; niais fp = Av
puisque par hypothèse ily a unélément s eA -p dansf,
donc 1 = sjs e f p.
(A, 28) Soient B un anneau intègre, A un sous-anneau
de B, tel que, pour un élément #eB, B soit entier sur A[x].
I) Supposons en outre que A soit intégralement fermé
clans B et qu'il existe un polynôme unitaire ]? e A[T7]
tel que B]f(.v) C A[x] (autrement dit F(.v) appartient
au conducteur" de B dans A[a']). Alors on a A\x\ ^-- B.
Considérons eneffet un clément quclcnnqur b & B. Par

RESULTATS D'ALGÈBRE 171
hypothèse, il existe un polynôme G € A[T] tel que
bl(x) = G(x). Par division euclidienne, on peut écrire
G = QF-|- R avecQ.RdansAfl] et deg (R) < deg (F);
sî l'on pose y s= b — Ç>(.r), on a donc y$(x) = R(.v); il
suffira de montrer que cette condition entraîne y e A[x].
On peut évidemment supposer y ^ 0. La relation
Ffa) = K(x)ly, jointe au fait que deg (R) < deg (F),
entraîne que .v est entier sur A' = \ | - ■ mais_y étant
entier put A [a], est aussi entier sur A'. Or, dire que y
vérifie une équation y™ -f- a[ym"1 -\- ... + 0^ = 0 avec
les flj eA' = A 1-1 cnLraîne que y est entier sur A.
Mais comme jeB et que A est intégralement fermé
dans Bj on a bien y e AC A[x'\.
II) Supposons en second lieu que x soit transcendant sur
le corps des frac lions de A. Alors, pour tout idéal
maximal îî de Bj il existe un idéal premier q C 11, distinct
de îî et tel que 11 ri A — q ri A.
Posous 111 = ît ri A et distinguons deux cas :
a) Supposons A intégralement clos, et soit
X = ît ri A[*];
alors x est maximal dans A[x\ (A, 19) et contient
l'îdcal mA[*]. Comme l'anneau A[A']/mA[.r] est
isomorphe à l'anneau de polynômes (A/tiî)[T] et que ce
dernier n'est jamais un corps, on a t ^ TIîA[.r]. Comme
A [a] est intégralement clos (A, 18), il résulte de (A, 25)
que îî contient un idéal premier q 5* n au-dessus
de nîA[.v], donc au-dessus de m.
b) Dans le cas gênerai, soient A' la clôture intégrale
de A, B' celle de B, de sorte que B' est entier sur A'[x]
et x transcendant sur le corps des fractions de A'. Soit
îî' un idéal premier de B' au-dessus de ît; ît' est maximal

172 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
dans B' (A, 19); si m' = n' C\ A', il existe en vertu
de a) un idéal premier q' C îî', distinct de n' et tel
que q' ri A' = m'; en vertu de (A, 19), q = q' n B ne
peut être maximal, donc q ^ ît et q Pi A = trt.
III) Supposons de nouveau que A soit intégralement
fermé dans B, et qu'il existe un idéal maximal n de B
tel que n soit minimal parmi les idéaux premiers q de B
tels que q C\ A = îî C\ A. Alors :
(i) Pour tout idéal premier q C îî de B, la classe
de x modulo q est algébrique sur le corps des fractions
de A/(q n A).
(ii) L'idéal îî ne contient pas le conducteur f de B
dans A [a].
Posons iiî = Tt C\ A et p = q C\ A; soient A± = A/p,
B, = B/q, nx ™ n/q et rrtj — m/p. Si x± est la classe
de x modulo q, B, est entier sur A^.^ et îîj est minimal
parmi les idéaux premiers de B-, au-dessus de Tiî,; il
résulte alors de II) que xx est nécessairement algébrique
sur le corps des frac lions de A± .
Prouvons (ii) en raisonnant par l'absurde. Soit q un
idéal premier de B, contenu dans n et minimal parmi
ceux contenus dans tt et contenant f (A, 8), et soit
p = qfiA. L'anneau Bp est entier sur Ap[.t] et Ap est
intégralement fermé dans Bp (A, 17); Av est un anneau
local d'idéal maximal pAp et l'idéal qp de B^ est premier
et tel que qp n Ap = pAp (A, 14); en outre fp est le
conducteur de B,, dans Ap[x\ (A, 27). En vertu de (i),
la classe xt de x mod. q est algébrique sur le corps des
fractions k = Ap/pAp de A/p; il en est donc de même
de tout élément de Bu/qp puisque Bp est entier sur Av[.v].
Mais une A-algèbre intègre dont tout élément est
algébrique sur k est nécessairement un corps, donc l'idéal qv
est un idéal maximal de Br, qui par ailleurs est aussi
minimal parmi les idéaux premiers de Bp contenant fv.

RÉSULTATS D'ALGÈBRE
173
Quitte à remplacer A et B par Ap et Bp, on peut donc
se borner au cas où n est aussi minimal parmi ceux
qui contiennent f; n/f est par suite un idéal premier
minimal de B/f, donc (A, 14) (lî/f)n/f est le plus petit
idéal premier dans (B/f ),^, donc est le nilradical de
cet anneau (A, 11). Comme la classe de x modulo n
est algébrique sur k, il existe y e A — llî C B — n
et un polynôme unitaire F eA[T] tels que yF(x) en;
écrivant que la classeyF(x) dcyF(x) dans B/f a une image
nilpotente dans (B/f),^, on voit qu'il existe z eB—rt
et un entier h >■ 0 tels que zyh(y(x))h e f, autrement
dit (]?(>:))A^'BC A[*]. Appliquant le résultat de I) en
remplaçant B par l'anneau Afxjfjej^B] et utilisant le fait
que F' est unitaire, on obtient la relation zj^RC A [a],
autrement dit zy* e f C n. Mais cela est absurde puisque
z$W & y $ lî.
(A, 29) Les résultats de (A, 28) vont nous permettre de
prouver la proposition suivante, préliminaire au théorème
principal de Zariski :
Soient B un anneau intègrej A un sous-anneau de B,
intégralement formé dans B ; on suppose en outre qu'il
existe x e B tel que B soit fini sur A[x]. Soit n un idéal
maximal de B, qui est minimal parmi les idéaux
premiers q de B au-dessus de m = lî C\ A- alors on a
An — Bm = 1^ .
Notons que A,rt est intégralement fermé dans B1T1 (A, 17),
que Bm est fini sur A,n[jr] et que it,,t est un idéal maximal
de B,u au-dessus de 7ltAm, qui est minimal parmi les
idéaux premiers de Bm au-dessus de mA^ (A, 14). On
peut donc se borner au cas où A est un anneau local
d'idéal maximal m, et B = B,u. Comme lî ne contient
pas le conducteur de B dans A[x\ (A, 28, III), il résulte
de (A, 27) que B = A[#]r, où x = lî ri A\x\; comme
ï est maximal dans A[a] (A, 19) on a n =rA[^]t, et
il revient au même de dire que lî est minimal parmi

171 fJOURS 1JJÏ Gl'"OMlVrRlF. AIOKBRIQUE
les idéaux premiers de B au-dessus de m, ou que X est
minimal parmi les idéaux premiers de A[V| au-dessus
de nt- Compte tenu de (A, 2fi, III), il suffit donc de
prouver la proposition suivante :
Soil B un anneau intègre cuatcuaiU un anneau local A
d'idéal maximal in et .soit 11 mi idéal maximal de B
au-dessus de 11t. Supposons que A soit intégralement
fermé dans B, et que B = A[.vJ, où la classe de x mod. n
est algébrique sur le corps k = A/m. Alors on a
nécessairement B = A.
Soit k = A/m le corps résiduel de A; par hypothèse,
il existe un polynôme unitaire non constant FeA[T] tel
que F(a-)€ThA[a-]. Il suffira de prouver que y= 1 -f-F(#)
appartientà A; en efîet.vsera alors entier sur A, doue x eA
par hypothèse et B = A. Montrons d'abord que la
classej» de>>dans A[j;]/TIlAf_y] est inversible dans cet anneau.
En effet, dans le cas contraire^ appartiendrait à un idéal
maximal de A[_y]/TnA[_y], et comme A[.v]/mA[.¥] est entier
sur A[_y]/mA[_y], la classe de y dans A[*]/thA[jt]
appartiendrai t aussi à un idéal maximal de cet anneau (A, 19) ; mais
cela est absurde car la classe dey dans A[#]/îttA[ï] est 1
par définition.
Comme y est algébrique sur k, il vérifie une équation
J^ + ^-iJ*'1* ... +^,=0
de plus petit degré, avec c,- e k; en outre, comme y est
inversible, on a nécessairement 1¾ ^ 0. Si fl,- e A est un
élément de la classe aj, on a donc :
ûo -f- «i.y + ■ ■ ■ +y =/¾ + Piy + ■ + Pnf1
pour des éléments /¾ eillj il existe par suite un 2 e A[^>]
tel que yz ~ a0 — pQ ; mais comme a0 — p0 $ m, c0 — /¾
est inversible dans A, donc y est inversible dans A\y] (et
a fortiori dans B) ; or, cela entraîne que \jy est entier sur A,
et comme A est intégralement fermé dans B, 1/j eA.
Mais on ne peut avoir \fy e m, sans quoi on en déduirait

RÉSULTATS D'ALGÈBRE
175
1 emB contrairement à l'hypothèse. On en conclut quel/j
est inversible dans A, d'où y e A, terminant la
démonstration.
VI. — Anneaux factoriels
(A, 30) -Dans un anneau intègre A, un élément non
inversible p ^ 0 est dit irréductible s'il n'est pas produit
de deux éléments non inversibles de A. -Deux éléments
irréductibles sont dits associés s'ils diffèrent par un facteur
inversible. Un système de représentants irréductibles de A
est un ensemble P d'éléments irréductibles tel que tout
élément irréductible soit associé à un élément unique de P.
On dit que A est factoriet si tout élément c^O de A
s'écrit d'une seule manière
(1) a = u n />v(p)
où u est inversible et les \(p) des entiers ^ 0, nuls sauf un
nombre fini d'entre eux. JDans un anneau factoriel, les
idéaux principaux (p) pour /> €P sont alors premiers,
et dans la décomposition (1), les idéaux premiers (p) tels
que v (p) > 0 sont les idéaux premiers minimaux parmi
ceux qui contiennent (a) (Lang, p. 70-72). Un anneau
factoriel est intégralement clos (Lang, p. 240). Si A est
factoriel, il en est de même de l'anneau de polynômes A[T] ;
en particulier, pour tout corps k, l'anneau de
polynômes k[Tlt ..., TfJ est factoriel (Lang, p. 127).
(A, 31) Soient A un anneau factoriel, K son corps des
fractions, m un entier non divisible par la caractéristique
de K; on suppose en outre que A contient les racines
m-ièmes de l'unité. Si a eA est non mvei'sîble et n'a aucun
(acteur irréductible multiple, on sait (Lang, p. 221) que
le polynôme Tm—a est irréductible dans K[T]. Alors
l'anneau B = A[T]/(Tm—a) est intégralement clos. En
effet, E = K[T]/(Tm— a) est une extension de degré m
de K, qui est évidemment le corps des fractions de B ; soit t

1 76 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRlQULï
la classe de T dans E, de sorte que { 1, f, —, t™"1} est
une base de E sur K (et de B sur A). Si z e E est entier
sur B, on peut écrire z = £ ct-ff avec q e K, et si oï est
une racine primitive jn-ième de l'unité, les conjugués de z
m-l
sur K sont donnés par z* = £ ct w*J" t* (0 < j < m — 1 ) ;
comme oï e A} les formules de Cramer montrent que les
éléments c{ f sont aussi entiers sur A, donc (¾ ï*)m = cf é
est entier sur A pour 0 < î < m— 1, donc dans A puisque
A est intégralement clos. Si l'on avait q $ A, un facteur
irréductible p du dénominateur de q devrait donc être tel
quepm divise a*, ce qui contredit l'hypothèse que a n'a pas
de facteur irréductible multiple, puisque i < m — 1.
Comme t e B, on a z e B.
VII. —• Anneaux ncethérïens
(A, 32) Un anneau A est dit nœthérien s'il vérifie les
conditions équivalentes suivantes : (i) tout idéal de A est
lin A-module de type fini; (ii) toute suite croissante
d'idéaux de A est stationnaire (Lang, p. 142). Tout
quotient et tout produit fini d'anneaux ncethérïens sont
ncethérïens. Si A est nœthérien, il en est de même de S"1 A
pour toute partie multiplicative de A (Lang, p. 144).
Si A est nœthérien, il en est de même de tout anneau de
polynômes A[Tj, ..., T„]; toute A-algebre de type fini
est donc nœthérienne (Lang, p. 145). Le nilradical d'un
anneau nœthdrien est nilpotent, étant engendré par un
nombre fini d'éléments nilpotents.
(A. 33) Si A est un anneau nœthérien et M un A-module
de type fini, alors tout sous-module N de M est de type
fini (Lang, p. 144).
(A, 34) Soit A un anneau local nœthérien, et soit m son
idéal maximal. Alors l'intersection des puissances mn pour

liÉSULTATS D'ALGÈBRE 177
tous les entiers n >■ 0 est réduite à 0 (Lang, p. 155). Il
en résulte que les m" forment un système fondamental de
voisinages de 0 pour une topologie métrisable sur A} dite
topologie rtl-aâiçue; dire qu'une suite (xn) d'éléments de A
converge vers x € A signifie donc que pour tout entier
k >■ 0, il existe n0 tel que les images de x et j^ dans A/mfc
soient les mêmes pour tout n ^ n0.
VIII. — Algèbres de type fini
SUR UN CORPS ALGÉBRIQUEMENT CLOS
(Aj 35) (lemme de normalisation de E. Nœther). Soient
k un corps, A une A-algèbre intègre de type fini, et soit K.
son corps des fractions. Si K a un degré de transcendance r
sur k} il existe un système générateur zlt —, zm de A tel
que %m-r + i, ■ - -j zm forment une base de transcendance
de K sur k et que A soit entier sur ^[^»_r+i, - - -} -¾]
(Lang, p. 260)- Si de plus K est séparabte sur A, on peut
.supposer que V-r + u ■ • •> zm forment une base de
transcendance séparante de K sur A. En effet, la méthode de
Lang (loc. cit.) consiste à partir d'un système générateur
xlt , zm de A, où l'on peut évidemment- supposer que
Xftt - r +1, . -. ) xm forment une base de transcendance
séparante. On modifie ensuite les x^ d'indice j > 1 en
prenant yj = xj — xf où à est un entier assez grand;
x± est alors entier sur k[y2> - - *>>w] et on poursuit le
raisonnement par récurrence. Or} si l'on prend à multiple de
la caractéristique/) (supposée > 0) de A} le critère de (A, 6)
montre quejm_r+1, .. .tym est encore une base de
transcendance séparante, d'où la conclusion.
(Aj 36) Soient A un corps, A une A-algèbre intègre de
type fini, K son corps des fractions, L une extension
algébrique finie de K; alors la fermeture intégrale B de A
dans L est un A-module de type fini (et par suite une
A-algèbre intègre de type fini). Comme L est une extension

178 COURS DF, GÉOMÉTRIIS ALGlÏBRlQUE
radicielle d'une extension séparable de K, on peut se
borner à considérer le cas où L est séparable sur K et le
cas où L est radicielle sur K. De plus, en vertu de (A, 35)}
il y a une sous-algèbre C de A isomorphe à une algèbre
de polynômes A[T1} ..., T„] et telle que A soit entière
sur C ■ B est aussi évidemment la femieture intégrale de C
dans L, et comme K est extension algébrique finie du
corps des fractions kÇTj, ..., Tn) de C, on voit qu'on peut
se borner au cas ou A = k\T±, ...} T(î].
Supposons d'abord L séparable sur K} donc engendré
par un élément b eB} de polynôme minimal
F(T) :=1^ + ^1^-1 + ... +¾. avec a,-e A
(puisqu'on peut supposer que A est intégralement clos
(Aj 30)). Le raisonnement de (A, 23) montre alors que
B est un sous-A-module du A-module libre ayant pour base
les $fd (0 < j < m —■ 1 ), ou d e A est le discriminant
de F. Comme A est nœthérien, B est un A-module de
type fini (A, 33).
Supposons en second Heu que A =k\Tlt ...,T„], donc
K = kÇT1 j ... j T„) et que L soit une extension radicielle
de degré fini de K; L est donc engendré par une famillc
finie C%)i^ï^»» d'éléments tels que j^€kÇT1} ...,T„)
pour une même puissance q de l'exposant caractéristique
dek. Soient <£ (1 *£j^r) les coefficients des numérateurs
et dénominateurs des fractions rationnelles enT15 ..., T„
égales auxjf (l^î'^m). Si k'~k{t!f*>—} i^T"), oliles
tff1 sont pris dans une clôture algébrique de L, L est
contenu dans l'extension L' = k'ÇTf', ..., T|p), et B est
contenu dans la fermeture intégrale B' de A dans L'. Or}
comme k' est algébrique sur k, C = k'[T1} ..., T,J est
entier sur A, et comme ^'[TJ"1, ..., TJf*] est
intégralement clos (A, 30)) on voit que cet anneau est la fermeture
intégrale de C dans L'} donc aussi celle de A, autrement
dit B' = k'[Tf\ ■ - -, T£"*]. °f> i] est clair que B' est
un C'-module de type finij et comme k' est un A-module

résultats d'alcluri 179
de lype fini, C est un A-module de type fini; puisque A est
nœthérien, BCB' est aussi un A-module de type fini.
Dans toute ta suite de cette section, k désigne un corps
algébriquement clos.
(A, 37) (théorème des zéros de Hîlbert). Tout idéal
maximal Ttî de l'anneau de polynômes A — A[Tj, ...} T„]
est de la forme (Tj— (¾) + — ~V (Tn— c«)j °" ^es °j
sont des éléments de k. En effet, il suffit de montrer que
le corps K = A/m est algébrique sur k, car alors J'homo-
morphisme k ~> k\T±} ..., Tn]/î1l est bijectif, et par
suite T3'= (¾- +m,- avec a3- ek cl m,- em pour 1 ^j^n;
m contient les Tj—a^, et comme l'idéal £ (T,-—c,-)
3-1
est évidemment maximal, il sera égal à m. Or} si r est le
degré de transcendance de K sur A, il existe un sous-
anneau S — k[ylt .. .,Jv] de K avec les jj
algébriquement indépendants, tel que K soit entier sur S (A, 35).
Cela entraîne que S est un corps, car si a e S et a ^ 0,
on a a'1 € K, donc il y a une relation de la forme
(a-1)"1 -[- ^ffl"1)"'"1 "l~ - - - -h *» — 0, ce qui s'écrit
a'1 — — (b± -\- ab% -\- ... -f- dm"1bn) e S. Mais un
anneau de polynômes k[T1} ...} TJ ne peut être un corps
que si r = 0.
Il résulte de ce théorème que pour toute A-algèbre A
de type fini, tout idéal maximal m est unkyperplan de A}
puisque si A —k[Tlt ...,Tsl]/a) on a m = Vl'ja, où m'
est un idéal maximal de &|Ti > • • • > ^»J>
Si maintenant A et B sont deux /f-algèbres de type fini)
p : A ~>B un homomorphisme de A-algèbres} pour tout
idéal maximal n de B, p_1(Tl) est un idéal ^ A (puisque
p(l) = 1) et est un hyperplan comme image réciproque
d'un hyperplan; c'est par suite un idéal maximal de A.
(A, 38) Soit A une A-algèbre de type fini; tout idéal
premier p est alors intersection d'idéaux maximaux. En

180 COURS DIE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
remplaçant AparA/p, onpeiitsebornerau cas où rj = (0)}
donc A est intègre. Il suffira de voir que pour tout x ^ 0
dans Aj il y a un A-homomorphisme f : A —> k tel que
f{x) ?£ 0, car Ker(/) = ni sera un idéal maximal ne
contenant pas x. Or, soit K le corps des fractions de A,
et soit B = A I - , qui est une A-algcbre de type fini non
réduite à 0; U y a par suite un idéal maximal ît ^ B
dans Bj et un ft-homomorphisme g : B —> k de noyau n
(A, 37); on a alors g(*)g|-J = l, d'où g(x) ^ 0, et
il suffit de prendre pour/ la restriction de g à A.
(Aj 39) Soient B une ft-algèbre intégre de type fini,
ACB une sous-A-algcbre de type fini Alors iJ existe s^O
dans A et une sous-algèbre C = A[j>1} .. .>y^\ de B
engendrée par des éléments jj algébriquement
indépendants sur k, tels que B I - I soit entière sur C I - I. En effet,
soient K le corps des fractions de A, tOK le corps des
fractions de B; KBC L est une K-algèbre de type fini,
donc il existe des éléments a'd ..., A^deB, algébriquement
indépendants sur K et tels que KB soit entier sur
K[*!, ..., xr] (A, 35). On a B = A|>,, ...,¾] où les %
vérifient des relations
où les P^sont des polynômes de KfTj, ..., T^]. Il existe
s ^ 0 dans A tel que les produits par s des x$ et des
coefficients des PM soient dans A, et (en remplaçant au
besoin s par une de ses puissances) on a alors :
«P' + 'sQmCj'., ...,jvH' = 0
ft=I

RÉSULTATS D*ALGEBRE 181
où yi = s.Xj et les Q^ sont des polynômes de
A^, ...,Tr]; on en conclut que les z[ = szt sont
entiers sur C = A[j>lT .. .,_yr], et les u> sont évidemment
algébriquement indépendants sur k> A fortiori \e& zi = z^js
sont entiers sur C -, donc B - est entier sur C
IX. — Compléments d'algèbre linéaire
ET MULT1L1NÊAIRE
(A, 40) Soient A un anneau, M un A-module de type
fini, et a un idéal de A tel que M = oM. Il existe alors
un élément f e 1 -f- a de A qui annule M (lemme de
Nakayama). En effet, si 7¾, . ..,%estun système
générateur de M, on peut écrire ny = S a^mi avec a^ e a
pour tout j\ Les formules de Cramer montrent que
det(Sy-— a-) annule tous les mhi et cet élément est bien
de la forme 1 -\-f avec f e 0.
(A, 41) Si E et F sont deux A-modules, E' un sous-
module de E et F' un sous-module de F, l'exactitude du
foncteur (E, F)i->E®AF en E et F (Lang, p. 416)
entraîne que (E/E') ©A(F/F') est canoniquement
isomorphe à (E©AF)/(Im(E'©AF) -h- Im (E0AF')) (on
rappelle que Im(E' ©AF), image de E' ©AF dans
E<S)AFj n'est pas nécessairement isomorphe â E'©AF).
En particulier, si B et C sont deux A-algcbres, b un idéal
de B et c un idéal de C, (B/b)©A(C/c) est une A-algêbre
isomorpheà (B©AC)/(Im (b©AC) -f- Im (B©Ac)).
(A, 42) Soient k un corps infini, E un espace vectoriel
sur k de dimension finie, LL, ..., hr un nombre fini de
sous-espaces vectoriels de E distincts de{0}; alors il existe
dans E un hyperplan H qui ne contient aucun des Lj.
3-

182 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRlOUK
En effet, par dualité, cela revient à montrer que E ne
peut être réunion finie de Lj ^ Ej remplaçant chaque Lj
par un hyperplan le contenantj d'équation jj(x) = 0,
tout revient à prouver que le produite/a ...^der formes
linéaires non nulles sur E ne peut être identiquement mil,
Prenant iine base dans E, cela revient à remarquer qu'un
polynôme en n indéterminées à coefficients non nu Is dans k
ue peut s'annuler identiquement dans A",
(A, 43) Soient k un corps, E un espace vectoriel sur k
de dimension n, E* l'espace duah L'algèbre extérieure A E
et l'algèbre extérieure A E* sont alors eanoniquement en
dualité (Langj p. 436); si («éJj^î^ji est une base de E}
on pose % = «^ A e1a A ■ ■, !\ q pour toute partie
H — {^, *s, • • •, ip} de I ={1,2, .. .,b}, où les 4sont
rangés par ordre croissant, et les en forment une base
de AE< On a de même une base (¾) de AE* à partir de
la base («*) duale de fô)) et les bases. (en) et (¾) sonl
duales l'une de l'autre. Soft zq un élément de A E; pour/»
tel que p -f q < «, considérons l'application linéaire
Ji v + *
pi' !>îj>^ 2ç °-c A E dans A Ej sa transposée est une
/i + o t tf
application linéaire de A E dans A E", notée
ult.VQ\->zq j«;„
et appelée produit intérieur par £ç; on vérifie que
fK J «I = 0 si K £ L,
ou ç>KJj est ± 1, En particulier on a uni; application
linéaire <p lîhïjfj qui est une bijection de A E sur
A E transformant A E en A E pour 0 < p < n} et qui
est multipliée par un facteur scalaire ^ Olorsqu'on change
la base de E, Si Z est un /)-vccteur dccomposablc, V» le

RÉSULTATS D'ALGEBRE 183
sous-espace de E de dimension/) correspondant à z (A, 44),
<p(z) est un (« —j&)-vecteur décomposable sur E*, et V¥(8)
n'est autre que l'orthogonal de Va dans E*.
(A„ 44) Les notations étant celles de (A, 43), pour tout
p
/►-vecteur zp e A E, il y a un plus petit sous-espace M
de E tel que 2 eAM. Onpeutledéterminerde la façon
suivante : échangeant les rôles de E et E* dans (A, 43),
on définit le produit intérieur iia J zp pour q<p comme
un (p — ç)-vecteur dans A E; M est alors engendré par
sp-1 t
les vecteurs up_t J zp lorsque Kj,_, parcourt A E . En
effet) en prenant une base de E contenant une base de M
eL utilisant les formules (1) de (A, 43)} on voit aussitôt
que i/j,-i J^eM. Inversement, montrons que pour tout
sous-espace M'C M de codimcnsion 1. il n'est pas pos-
p-i ,
sible que l'on ait «p., Jï„eM' pour tout uv^1e A E.
En effet) soit ,ïéM n'appartenant pas à M'; prenant
une base de M formée d'une base de M' et de x, on peut
écrire zp = z'p-±- xn z'J_ 1, où z'v e A M' et z'v'_ 1 e A M',
et la définition de M entraîne z'^_ v ^ 0. Il existe alors
u*e -1 tel Çiue <! zv-1 > u*v -1 y — ^ ^ 0 eL on déduit des
formules ( 1) de (A} 43) que Ton a up _ 2 J zv = ± Xx -\- x'
avec x' e M'} ce qui prouve notre assertion,
(Aj 45) Les nolations étant celles de (A, 44)} on voit
aussitôt, en prenant une base de E contenant une base
de M) que Ton a :
(2) *pa («;_, J^)=0
pour ïoi# Kp_i€ A E si et seulement si M est de
dimension p, c'est-à-dire si zv est décomposable, autrement dit de
la forme ïj/i^A ..-/1^ où les Xj sont linéairement
indépendante et constituent une base de M; ou note alors

184 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Vj, le sous-espace M. Les relations (2), où on prend pour
• ï_1 •
wa> -1 fes (A— l)-vecteurs d'une base de A E , sont
appelées les relations de Grassnumn et caractérisent les /j-vecteurs
p
décomposables dans A E.
De même, soit ^ un ç-vecteur décomposable pour
Ç > P'> pour que l'on ait V„ C Vj , il faut et il suffit
que l'on ait :
(3) <A (i4_! J ^) =0
pour lés (p — l)-vecteurs uv _ 1 d'une base de A E .

Résultats de topologie
T. — Espaces et ensembles irréductibles
(T, 1 ) Un espace topologique X est dit irréductible s'il est
non vide et s'il n'est pas réunion d'un nombre fini
d'ensembles fermés distincts de X. Par dualité cela revient à
dire qu'une intersection finie d'ouverts non vides n'est
jamais vide, ou que tout ouvert non vide est partout dense,
ou encore que tout ouvert est connexe. Il est clair qu'un
espace de Hausdorfi'non vide X ne peut être irréductible
que s'il est réduit à un point.
(T, 2) Une partie J d'un espace topologique X est dite
irréductible si elle est non vide et si le sous-espace J de X.
est irréductible; il revient au même de dire que si J rt»i
contenue dans une réunion finie d'ensembles fermés ]■',
(1 < i < ri), il y a un indice i tel que JC F;, ou encon-
quesiU, V sont deux ensembles ouverts tels que UnJ^ o
et V nj ?£ 0, alors U C\ V nj & 0. Si J est
irréductible, il en est de même de son adhérence J, car pour un
ouvert U de X} les relations UnJ/ 0 et UnJ^s
sont équivalentes.
(T, 3) Si X est un espace irréductible, tout ouvert non
vide U dans X est aussi irréductible, car si VCU est
non vide et ouvert dans U, V est ouvert dans X, donc
dense dans X, et a fortiori dans U.
Inversement, soient X un espace topologique, (Ua) 1111
recouvrement de X par des ouverts irréductibles tels qur

186 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Ua H Up ^ 0 pour tout couple d'indices; alors X est.
irréductible. En effet, soit V un ouvert non vide de X;
il existe un indice y tel que VnlJ^ 0, donc V n Uy
est dense dans Uy; pour tout indice oc, Uy n Ua est
ouvert non vide dans Uy, donc V n Uy n Ua ?£ 0 ; a
fortiori, tout ouvert non vide dans Uw rencontre V, et
comme les Ua recouvrent X, cela montre que V est
dense dans X.
(T, 4) Soient X, Y deux espaces topologiques, f : X —> Y
une application continue; alors, pour toute partie
irréductible J de X,/(J) est irréductible dans Y. En effet,
si U, V sont deux ouverts de Y tels que U n/(J) /0 et
Vn/CJ) 960, on a Jn/-i(U)# 0, J ri/-*(V) ?ê 0,
donc J n/^ju n V) = J n /"-'(U) n/^fV) ^ 0, d'où
On dit qu'une application continue f : X —>■ Y est
dominante sifQC) est dense dans Y. Si y est dominante et
X irréductible, Y est donc irréductible.
(T, 5) Soit f : X -> Y une application continue ouverte
et supposons que pour tout je Y, f~l(y) soit irréductible.
Alors, si Y est irréductible, X est irréductible. En effet,
soient U, Vdeux ouverts non vides de X;/"(U) et/(V) sont
des ouverts non vides de Y, donc ont un point communj;
alors, dans l'espace irréductible f~1(y)i U t~\f~1(y) et
V i~^f~i(y) sont des ouverts non vides, donc ont un point
commun, et afortiori U n V ^ 0.
(T, 6) Une partie irréductible d'un espace topologique
non vide X qui est maximale dans l'ensemble des parties
irréductibles de X est appelée une composante irréductible
de X ; elle est fermée dans X en verlu de (T, 2). En vertu
du théorème de Zom. toute partie irréduclïble de X est
contenue dans une composante irréductible ; en effet,
si (Jw) est un ensemble de parties ijïéductibles de X,
totalement ordonné par inclusion, et si U, V sont deux parties

RÉSULTATS DE TOPOLOGIE 187
ouvertes de X rencontrant J = UJai ^ exi&Le deux
indices oc, [3 tels que U n Ja ^ 0 et V n Jp 5* 0, donc
ily a aussi un indice y tel que l'on ait à la fois U nJT ?t 0
et V n Jy ^ 0, d'où UfiVriJ^e par hypothèse,
et a fortiori U n V n J 5* 0.
Un espace irréductible étant connexe (T, 1), toute
composante connexe d'un espace X est réunion de
composantes irréductibles de X- Mais fl convient de noter que
deux composantes irréductibles distinctes de X peuvent
avoir des points communs.
(T, 7) Soient X un espace topologiquej U un ouvert non
vide de X. L'application Z m-Z n U est une bijection de
l'ensemble des parties irréductibles fermées de X
rencontrant U, sur l'ensemble des parties irréductibles de U,
fermées dans U; la bijection réciproque est J •—> J. En
effet, si J est fermée dans U et irréductible, J est
irréductible dans X (T, 2) et l'on a J=JnU; inversemeni,
si Z est fermée et irréductible dans X et ni Z rencontre L,
Z n U est un ouvert non vide de Z, donc dense dans Z et
irréductible, et l'on a Z = ZnU. En particulier,
C m- C n U est une bijection de l'ensemble des
composantes irréductibles de X rencontrant U, sur l'ensembl<-
des composantes irréductibles de U.
(T, 8) Soit X un espace topologique n'ayant qu'un
nomlare fini de composantes irréductibles distinctes X,-
(1 < i < n). Pour tout indice i, soit Ut-le complémentaire-
dé la réunion des Xj- pour j ^ i', on a Ut- ^ 0, sans quoi
X;serait contenu dans la réunion des Xj pour j ^ î", donr
contenu clans l'un d'eux et par suite égal par définition ù
l'un d'eux, contrairement à l'hypothèse. L'ensemble U,
est donc ouvert dans X, irréductible et dense dans X, ;
la réunion des Uj (qui sont deux à deux disjoints) est demi*
dans X, et les X( r\ Xy sont rares dans X. Si de plus X isi

188 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
un sous-espace d'un espace Y, les composantes
irréductibles de X sont les X,- : en effet, chaque Xj est irréductible
(T, 2) et X est réunion des X^; d'autre part, toute partie
irréductible J de X est contenue dans la réunion des X,,
donc dans l'un d'eux; enfin, X,- ne peut être contenu
dans X,-, puisque Xj- n'est pas contenu dans X,-.
II, — Espaces nœthériens
(T, 9) Soit X un espace topologique; les propriétés
suivantes sont équivalentes :
(Nr) Toute suite infinie décroissante de parties fermées
de X est stationnaire.
(Nn) Toute suite infinie croissante de parties ouvertes
de X est stationnaire.
(NIIr) Tout ensemble non vide $ de parties fermées
de X possède un élément minimal.
(NIV) Tout ensemble non vide 53 de parties ouvertes
de X possède un élément maximal.
(Nn) et (NIV) se déduisent par dualité de (N^) et
(Nm) respectivement) et leur sont donc équivalentes.
(Nj) implique (N1It), car si $ n'avait pas d'élément
minimal, on définirait par récurrence une suite infinie
strictement décroissante d'élémenis de $,
contredisant (Nr). Inversement (NriI) implique (N[), car si
(F,,) est une suite infinie décroissante de parties fermées
de X, l'ensemble des F„ admet un élément minimal Fm ,
donc Fn = Fm pour « ^ m.
On dit qu'un espace topologique X est nœthérien s'il
vérifie les propriétés équivalentes précédentes.
Un espace de Hausdorff nœthérien est nécessairement
fini. Tout sous-espace Y d'un espace nœthérien X est
nœthérien, car si (F,j) est nne suite croissante de parties
fermées de Y, les adhérences F„ dans X forment une suite

RÉSULTATS DE TOPOLOGIE
189
croissante départies fermées; par hypothèse on a F„ = F„+1
à partir d'un certain rang, d'où
F, = F,lnY = F„1nY = F„I.
Inversement., soient X un espace topologique, (Yj)-^^
un recouvrement fini de X par des sous-espaces nœthé-
riens; alors X est nœthérien, car si (F„) est une suite
croissante de parties fermées de X, pour chaque i il existe 7¾
tel que F,, n Y; = Ffl + x n Y; pour n 5= 7¾ ; on en
conclut que Fn = F„ + 1 pour n ^ max(rç).
(T, 10) Un espace nœthérien X est quasi compact. En
effet, si (Ua) est un recouvrement ouvert de X, l'ensemble
des réunions finies des Ua possède un élément maximal
V = UKd vj Ufti \J ... \J U^; cet ensemble est
nécessairement égal à X, sans quoi il existerait un Up non
contenu dans V, et VuUp serait une réunion finie
d'ensembles de (Ua) contenant strictement V.
Inversement, soit X un espace dans lequel tout sous-
espace ouvert soit quasi compact; alors X est nœthérien,
car si (U„) est une suite croissante d'ouverts de X, la
réunion V des UM est quasi compacte, donc doit être
réunion d'un nombre fini des Uw, ce qui implique que la
suite (U„) est stationnaire.
(T, 11) Soit P une propriété des parties fermées d'un
espace nœthérien X; supposons que toute partie fermée F
de X telle que toute partie fermée F' C F distincte de F ait
la propriété P possède aussi la propriété P. Alors toute
partie fermée de X a la proprié té P (principe de récurrence
nœthérienne). En effet, dans le cas contraire l'ensemble 331
des parties fermées de X n'ayant pas la propriété P serait
non vide, et aurait par suite un élément minimal F. Mais
comme toute partie fermée F' de F distincte de F a la
propriété P, il en serait de même de F, ce qui est
contradictoire.

190 COURS DR OKOMl'lTUIE AI.Cl'BUKWF.
(T, 12) Un espace ncethérien X n'a qu'un nombre fini
de composantes irréductibles. Il suflit de le voir pai
récurrence nœthériemie (T, 11), en montrant que sa tout
sous-espace ferme Y^X n'a qu'un nombre fini de
composantes irréductibles, il en est de ruénio de X. Or,
ou bien X est irréductible, ou bien il est réunion de de»x
sous-espaces fermés Y, Z distincts de X; par hypothèse,
ces deux sous-espaces sont réunions finies de sous-espaces
fermés irréductibles, donc X est réunion finie de sous-
espaces fermés irréductibles F^ (1 < i < «). Ceux des F^
qui sont maximaux dans l'ensemble des F; sont alors des
composantes irréductibles de X : en effet, si G est un
ensemble fermé contenant un de ces ensembles maximaux
et qui en est distinct, G est réunion des Ft- n G et aucun
de ces derniers ne peut être égal à G, donc G ne peut être
irréductible.
III. — Ensembles constructibles
(T, 13) Soit X un espace topologique, et considérons
les parties $C ^P(X) telles que tout ouvert appartienne
à $, que le complémentaire d'une partie Ze|
appartienne à JÇ et que toute réunion finie d'ensembles de £f
appartienne à $; P3-1" exemple, ^S(X) est une telle partie
de ^P(X). L'intersection (£ de toutes les parties $ ayant
les propriétés précédentes possède encore ces propriétés;
c'est donc la plus petite de ces parties $, et on dit que les
ensembles appartenant à (£ sont les ensembles constructibles
dansX.
Une définition équivalente est la suivante : (£ est
l'ensemble des réumonsjïnies d'ensembles de la forme U n F,
où U est ouvert et F fermé dans X. U est clair en effet
que l'ensemble (¾ de ces réunions finies est contenu
dans (£. Il suffit de montrer que le complémentaire d'un
ensemble (J (U,- n F-) de (£0 appartient encore à (£0.

UK.SIH.TATS DE TOPOI.OOIE 191
Or, sil'nnpose X Uj = Ft', X — Ff ~ U4', le
complémentaire de U (U£nFÉ) est fi (F.'uU,') et est donc
réunion des ensembles Y, r\ Y3 n . . n Y„ , où chaque
Yj- est égal à JFt' ou à Uf; la conclusion résulte de ce que
toute intersection finie d'ensembles fermés (resp. ouverts)
est un ensemble fermé (resp. ouvert).
(T, 14) Si X est un espace topologique et Y un sous-
espace de X, il résulte aussitôt de cette seconde définition
que si C est une partie constructible de X, C n Y est une
partie constructible de Y- Inversement, si Y est un sous-
espace fermé de X et C une partie constructible de Y,
C est aussi une partie constructible de X : il suffit de
remarquer que si U' et F' sont respectivement une partie
ouverte et une parlie fermée de Y, F' est fermé dans X et
on a U' = UfiY, où U est ouvert dans X ; on a donc
U' n F' = U n F', d'où notre assertion.
(T, 15) Soit C une partie constructible de X, et
supposons que C soit irréductible. Alors i] existe une partie non
vide V de C qui est ouverte dans C. En effet, on a par
hypothèse C = |J (U^ n Ff), où les Uf sont ouverts et
les Ft- fermés dans X et on peut supposer les U^ n F$ non
vides. On en tire que CC (J F^, et comme C est
irréductible, on a CC F,- pour un indice j au moins; on a
par suite Uj n F,- — U;- n C, et cet ouvert non vide de C
est contenu dans C.

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE
Tome Premier
II. Pour une vue d'ensemble du développement de la
mathématique grecque, voir :
[I] T. Hkath, A kidory vf Greek mathematics, 2 vol., Oxford (Cla-
rendon Press), 1921.
Une question controversée concerne l'interprétation qu'on peut
donner de certaines méthodes algébriques de Diopbante j bien
qu'aucune notion géométrique n'y soit mentionnée, on peut y voir comme
en filigrane des procédés donnant une représentation paramétrique
rationnelle de courbes unicursales simples. Pour le texte de Dïo-
phante, voir :
[2] T. Heath, Diophantus of Atexandria, 2nd éd., New York
(Dover), 1964.
III. L'ouvrage de base pour l'histoire du développement de la
Géométrie algébrique de 1630 à la fin du xixe siècle est le Berichî
de Brill et M. Noether :
[3] A. Brill und M. Noether, Die Entwicklung der Théorie dcr
algebraisclien Functionen ïn altérer und neiierer Zeït, yahresber.
der Deutsche MaGi. Verein., t. lll (1892-1893), p. 111-566.
111, 6. L'histoire de I' « élimination » est retracée dans :
[4] E. Netto, Rationale Funktïonen mehrerer Verànderlicliei),
Enzykl. der math. Wiss., 1 B I *;, p. 255-282 (1894).
111, 9 et 10. Pour plus de détails sur les courbes algébriques
planes, consulter :
[5] G. Kohn und G. Loria, Spezïelle ebene algebraïscbe Kurvcn,
Enzykl. der Math. Wiss. 111 C 5, a) et b), p. 457-634 (1908-1914).
J. DIEUDONNË, 2 "

194 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
[6] G. Loria, Spezïette atgebraische tint! transzendcnte cbene Ktirven :
1. Die algebraischen Kurven (2te Aufl.), Leipzig-Berlin (Teubncr),
[910.
IV. Outre [3], on consultera avec profit, pour cette période :
[7] G. Fano, Gcgensata von synthetischer und analytïschcr
Géométrie in seiner historisclirn Entwïcldung ïm XIX. Jahrliundcrt,
Enzykt. der math. Wiss., lll AR4a), p. 221-280 (1907).
[8] E. Kôtter, Die Entwïckclung der synthetischen Géométrie von
Monge bis auf Staudt (1847), Jahresber. der Deutsche Math.
Verein., t. V (1901), p. [-476.
IV, 2. Voir :
f9] G. Desargues, Œuvres, t. 1 (éd. Poudra), Paris, 1864.
IV, 5. Pour un exposé détaille, voir [8] et :
[10] F. Dingeldey, Kegelschnitle und Kegel&clinittsystcme, Enzykt.
der math. Wiss., Hl C [, p. [-160 (1903).
[II] O. Staude, Flàchen 2. Ordnung und ihre Système und Durch-
dringungskurven, Enzykt. der math. Wiss., III C 2, p. 161-256
(1904).
[12] P. Wood, The twisted cubïc, Cambridge tracts n° 14, Cambridge
University Press, 1913.
IV, 6. Un excellent aperçu d'ensemble de la Géométrie algébrique
« classique», donnant le maximum d'informations sous le plus petit
volume, est :
[13] J. G. Semple and L. RoTir, Introduction to ulgebraic geomdry,
Oxford (Clarendon Press), 1949.
Pour plus de détails, voir [5], [6], [8] ainsi que :
[14] K. Rohn und L. Berzolari, Algebraïsclie Raumkurven und
abwïckclbare Flaclicn, Enzykt. der math. Wiss., I [I C 9, p. 1229-
[436 (1926).
[15] W. F. Meyer, Spezielle algebraïsclie Flachen, Enzykt. der math.
Wiss., HIC 10, p. 1437-1779 (1930).
[16] G. Loria, Curve sghembe speziati algebriche e transcendent!, 2 vol.,
Bologna (Zaniencllî), 1925.
[17] R. Hudson, Kummer's quartïc surface, Cambridge University
Press, 1905.

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 195
[18] C. Jessop, Qjmrtîc surfaces with singtttar points, Cambridge Unï-
vcrsïty Press, [916.
[19] A. Henderson, The 27 Unes upon thc cubic surface, Cambridge
tracts n° 13, 1911.
Pour une généralisation de la théorie des droites situées sur une
surface cubique, voir :
[20] B. L. van der Waerden, Zur algebraischen Géométrie II :
Die geraden Linien auf den Hyperflâclien des PM, Math. Annr,
t. CVUI (1933), p. 253-259.
IV, 7. Pour un exposé moderne et une généralisation des formules
de Ptticker, voir :
[21] W. Pojil, Differential geometry of higher order, Topology, I
(1962), p. 169-211.
IV, 9. Pour l'histoire de la géométrie projeclïvc n-dimensïonnelle,
voir :
[22] C. Segre, Mehrdimensionale Riiume, EnzyH. der math. Wiss.,
III C 7, p. 769-972 (1912).
Pour la « géométrie des droites » :
[2¾ K. Ziniïlur, Algebraische Lïnïcngeometrie, Enzykt. der tnath-
Wûs., HIC 8, p. 973-1228 (1921).
[24] C. Jéssop, A treatise on the Une comptex, Cambridge Unïversity
Press, [903,
L'étude la plus complète des grassmanniennes se trouve aux
vol. I et II de :
[25] W. Hodge and D. Pedoe, Metiiods o/ atgebraic geometry, 3 vol.,
Cambridge Unïversity Press, 1953-1954.
Pour l'évolution de l'idée de « coordonnées » au xixe siècle, on
pourra consulter :
[26] E. MuLt,ER, Die Yerscliicdcn.cn Koordïuatensvstcme, Enzykl. der
mat!t. Wiss., III AB 7, p. 596-770 (1910).
Le lien entre une courbe gauche et le complexe des droites la
rencontrant est introduit dans :
[27] A. Cayley, On a new analylïcal représentation of curves in
spacc (Cott. Papers, t. IV, p. 446-455 et 490-494).

196 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
IV, 10. Pour un exposé de la théorie des invariants au xixc siècle,
voir :
[28] W. F. Meyer, Bericht liber den gegenwârtïgen Stand der
Invarïantentheorïe, Jahresber. der Deutsche math. Verein., t. I
(1890-1891), p. 79-292.
Des présentations plus modernes sont données dans :
[29] H. Weyl, The classical groups, Princeton Univ. Press, [939.
[30] J. Dieutjonné and J. Carrell, Invariant theory, cld and new,
New York and London (Académie Press), 1971.
IV, 11. Un exposé d'ensemble des travaux sur les transformations
et correspondances en Géométrie algébrique au xixe siècle est
fourni par :
[31] L. Behzolari, Algebraïsche Transformatïonen und Korres-
pondenzen, Enzykl. der math. Wïss., III C [ [, p. [ 78 [-22 [8 ( 1932).
IV, 13. Pour un exposé des idées de Chasles, avec de nombreux
exemples, voir :
[32] T. Liïmoyne, Les lieux géométriques..., Paris (Vuibert), 1923.
La théorie de Chasles est présentée de façon rigoureuse par :
[33] B. L. van der Waerden, Zur algebraïschen Géométrie XV :
Losung des Charakterïschenproblems flir Kcgelschnittc, Math.
Ann., t. CXV (1938), p. 645-655.
V. Outre [3], on trouvera des exposés classiques de la théorie de
Riemann dans :
[34] B. Riemann, Gesammelte mathemathehe Werfce, 2e éd., Leipzig
(Teubner), [892.
[35] E. Picard, Traité d'Analyse, vol. II, 3e éd., Paris (Cauthier-
ViHars), [925.
[36] P. Appell et E. Coursât, Théorie des fonctions algébriques et de
leurs intégrales, vol. I (2e éd.), Paris (Gauthier-Villars), 1929.
V, 3 et 4. Voir :
[37] N. H. Abel, Œuvres, 2 vol., éd. Sylow et Lie, Christiania, [881.
V, 6. Voir :
[38] E. Galoïs, Ecrits et mémoires mathématiquest éd. R. Bourgne
et J.-P. Azra, Piiris (Gauthier-Villars), [962, p. 181.

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE
197
V, 8. L'ouvrage classique de H. Wey! est :
[39] H. Weyl, Die Idée der Riemannschen flâche, Leipzig (Tcubner),
[913 (3. Auflagc, Leipzig (Tcubner), 1955).
Pour un exposé moderne, voir l'excellent livre de S. Lang :
[40] S. Lang, Introduction to atgebraic and obeUan fonctions, Readïng
(Addïson-Wesley), [972.
VI, 2. Voir [3] et :
[41] L, Kronecker, Werke, t. II, p. 237-387, Leipzig (Teubncr),
[897.
[42] E. Labkeh, Zur Théorie der Moduln und Idéale, Math.. Ann.,
t. LX (1905), p. 20-116.
[43] F. S. Macaulay, On the résolution of a gtven modular System
ïnto piïmary Systems ïncludïng some propertïes of Hilbcrt
numbers, MaGu Ann.t t, LXXIV (1913), p. 66-121,
[44] C. Landsbero, Algebraische Gebilde • arithmetische Théorie
algebraïscher Grossen, Enzykl. der math, Wiss,y I B I cj, I C 5,
p. 283-319 (1904),
VI, 3, Voir î
[45] R. Dedekind, Cesammelte mathematische Werke, t, I, p. 238-350,
Braunschweïg (Vieweg), 1932,
Le mémoire de Dedekind-Weber est développé dans :
[46] K. Hensel und C, Landsbercï, Théorie der algebraischen Funk-
tionen einer Varîabeln und Uire Anwendung auf algebraische Kurven
und abetsche Intégrale, Leipzig (Teubncr), 1902.
Pour des exposés modernes, voir [40] ainsi que :
[47] C. Chevalley, Introduction to the theory of algebraic fonctions qf
ane variable, A,M,S. Math. Survcys, VI, New York, 1951.
[48] J,-P, Serre, Groupes algébriques et corps de classes, Paris (Hermann),
1959.
[49] W, Fulton, Atgebraic curves, New York-Amsterdam (Benjamin),
1969,
VI, 16. Pour des exposés classiques de \& théorie des courbes
algébriques, voir [3], [13] ainsi que ;

198 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGEBRIQUE
[50] L. Berzolari, Allgemeïne Théorie der hoheren cbenen algo
braischen Kurven, Enzykt. der math. Wiss.t HI C 4, p. 313-455
(1906).
[51] J. Cooudgiî, A treatise on algebraic plane curves, New York
(Dover).
[52] L. Godeaux, Introduction à ta géométrie supérieure (2G éd.), Liège
(Ed, Sciences et Lettres), 1946.
[53] L. Godeaux, Géométrie algébrique, 2 vol,, Paris (Masson), 1948.
VI, [9. Voir :
[54] L, Kkonecker, Wetke, t. II, p. [93-236, Leipzig (Teubner),
1897,
VI, 24. Voir [13],
VI, 27, Pour 1rs cas particuliers de la théorie des « mndules »
étudiés au xixe siècle, voir [3].
VI, 30. L'ouvrage classique est :
[55] E. Picard et G, Simart, Théorie des fonctwns algébriques de deux
variables indépendantes^ vol., Paris (Gauthier-ViUars), [897-1906.
Aussi bien la théorie transcendante des surfaces algébriques que
celle des systèmes linéaires de l'école italienne sont décrites
exhaustivement dans :
[56] O. Zabjski, Algebraic surfaces, Erg. der Math., Bd. III, Heft 5,
Berlin (Springer), 1935 ; 2e éd„ Berlin-Heidelberg-Ncw York
(Sprïnger), 1970.
La seconde édition contient d'importants Appendices, rédigés
par S, Abliyankar, J. Lîpman cl D. Mumford, interprétant en termes
modernes les résultais cités par Zariski et indiquant comment ils
ont été complétés ou développés jusqu'en 1970.
VI, 31. Voir [56], chap. I, ainsi que :
[57] O. Zariski, Local uniformization on algebraic varicties, Ann.
ofMath., 41 (1940), p. 852-896.

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 199
VI, 32. Voir :
[58] R. Walker, Réduction of ihe singularises of an algebraic
surface, Atm. of Math., 36 (1935), p. 336-365.
[59] O. Zarkki, Sïmplified proof for the resolution of the
singularises of a surface, Ann. of Math., 43 (1942), p. 583-593.
VI. 33. Voir [[3].
VI, 36. Voir :
[60] S. LarscHiirz, Topologj, New York (A.M.S. Coll. Publ. n° 12),
1930.
[61] S. LiafscHETZ, Setected Papcrs, New York (Chclsea), 1971.
VI, 37. Une preuve de la triangulabililë des variétés algébriques
se trouve dans :
[62] B. L. van der Waerden, EinfiÛmmg in die elgebraische Géométrie,
Berlin (Springer), 1939.
Les résultais de Lefschetz sur la topologie des variétés algébriques
sont décrits dans [61] et :
[63] S. Lijfscheïz, L'Anatysis situs et la Géométrie eitgêbriqite. Pans
(Cauthier-Villars), 1924.
Les démonstrations, parfois sommaires, de cet ouvrage sont
développées en détail dans :
[64] A. Wai-lace, Homology theory on algebraic varîeties, London-New
York-Parîs-Los Angeles (Pergamon), 1958-
Voir aussi [56], cliap. VI.
VI, 39. Voir [[3], [56], [61], [63], ainsi que :
[65] L. Berzolaki, Algebraische Traoslbrmationen und Korres-
pondenzen,Enzykl. dermath. H'ÏJi-.IIIC [l,p. [781-2218(1932).
Vl, 43. Pour un exposé classique des résultats de l'école italienne
sur la théorie des surfaces algébriques, voir avant tout [56], ainsi
Q«c t1^. [53], [55], et :
[66] C. Castelnuovo und F. Enriques, Crundeigenschaften der
algebraischaiFIachcn,£kç)ift/.(fcrmfltf!. Wiss., III C 6a),p.635-
673 ([908).

200 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
[67] G. Castelnuovo und F. Enriques, Die algebraischen Flacben
vom Gesïchtspunkte der birationalen Transformatïonen aus,
Enzykl. der math. Wiss., III C 6 *;, p. 674-767 (1914).
[68] F, Sëveri, Vorlesungen iiber ctgebrcische Géométrie, Leipzig (Teub-
ner), 192 [.
Pour les résultats correspondants pour les variétés algébriques
projectïves de dimension ^ 3, voir :
[69] L. Rotii, Âlgebraiç threefolds, Erg. der math., Ncue Folge,
Heft 6, Berlin-Heidelberg-New York (Springer), 1955.
VI, 47. Voir :
[70] F. Enriques, Sui sïstemï contïnui di curve appartenenii ad una
superficie algebrica, Comm. Math. Hetv.t [5 ([943), p, 227-237.
[71] F. Severi, Intorno ai sîsteinî continui di curve sopra una
superficie algebrica, Comm. Math. Helv.t 15 (1943), p, 238-248.
VI, 50, Voir [13], [53], ainsi que ;
[72] L, Godeaux, Les transformations biratîonnettes du plan (2e éd.),
Mém, des Sci. math., n° t22, Paris (Gauthier-Villars), [953.
[73] L, Godeaux, Les transformations biratianneltes de ^espace, Mém, des
Sci. math,, n° 67, Paris (Gauthier-Villars), [934.
[74] H. Hudson, Cremona transformations in plane andspace, Cambridge
University Press, [927,
VI, 53. Pour une étude moderne des surfaces de Del Pezzo (sur
un corps parfait de caractéristique quelconque), voir :
[75] Ju, Manin, Rational surfaces over perièct fields (en russe, avec
résumé anglais), Publ. math. IM.E.S., n° 30 (1966), p. 55-113.
VI, 57. Pour une étude moderne des transformations de Cre-
raona, voir ;
[76] M. Demazure, Sous-groupes algébriques de rang maximum du
groupe de Creinona, Ann. Ec. Norm. Sup., (4), 3 (1970), p, 507-
588,
[77] A. HmscHowiTZ, Le groupe de Cremona d'après Demazuie,
Sim, Bourbakî, Exposé 413, Lecture Notes in math,, n° 317,
p. 261-276, Berlin-Heidelberg-New York (Springer), 1973.

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE
201
VI, 58. Voir [73], et pour les involutions sur une surface :
[78] L. Codeaux, Théorie des involutions cycliques appartenant à une
surface algébrique et applications, Roma (Cremonese), 1963.
VII, 3. Voir :
[79] C. de Rham, Variétés âîfférenttables, Paris (Hermann), [955,
VII, 4- Voir [79] ainsi que :
[80] W. Hodge, The tkeoty and applications of harmonie intégrais,2e éd.,
Cambridge Universîty Press, 1952.
[8[] A. Weil, Variétés kâhlériennes, Paris (Hermann), [958,
[82] M, Baldassari, Algebruic varieties, Erg. der Math., Ncue Folge,
Heft [2, BerBn-Côttingen-Heîdelberg (Springer), [956.
VII, II. Le premier livre (chronologiquement) traitant de la
Géométrie algébrique pvojective sur un corps quelconque est [62]. Dans
le même esprit sont écrits [25] ainsi que :
[83] S, Liîfschetz, Algebraic geometry, Princeton Universîty Press,
1953,
[84] O. Zariskï, Introduction to the theory of algebraic surfaces, Lect.
Notes in Math., n° 83, Berlin-Heidelberg-New York (Springer),
1969;
pour les courbes algébriques, [47], [49] et :
[85] R. Walker, Algebraic curves, Princeton University Press, 1950 ;
et pour les surfaces algébriques :
[86] H, Jung, Einftihrmg in die Théorie der algebraischm Funktionen
j&vcier Verànderlicher, Berlin (Akad. Verlag), [951.
Il faut noter que dans [85] et [86] on se limite aux corps de base
de caractéristique 0.
VII, 12. Le mémoire de F. K. Schmidt est :
[87] F. K. Scsimïdt, Analytische Zahlentheorie in KÔrpern der
Charakteristilf. P, Math. ^ci(JcAr., 33 (1931), p. 1-32.
VII, [5, Voir [41], [42] et [43], ainsi que :
[88] E. Noether, Idealtheorie in Ringbereiclien, Math. Ann., 83
(1921), p. 24-66.

202 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
VII, 16. Voir [3] et '.
[89] D. Hilbert, Gesammelte Abkandtungen, vol. Il, Berlin (Springer),
1933.
VII, 21, Voir ;
[90] H. Zeuthen, Abzahlende Methoden, EnzykL der math. Wiss.,
III C 3, p, 257-312 (1905),
[91] H. Schubert, Kalkûl der abztihlende Géométrie, Leipzig (Teubner),
1879,
De nombreux exemples du calcul de Schubert sont développés
dans [13]. Pour un exposé moderne des questions relatives à ce
calcul, voir [62], [95] et ;
[92] S. Kleiman and D. Laksov, Schubert Calciilus, Amer, math,
Monthly, 79 (1972), p. I06I-I082.
VII, 24. Voir [62] et :
[93] F. Severi, Sul principio délia conservazione del numéro, Rend.
Cire. Mat. Palermo, 33 (1912), p. 313-327.
VII, 25. Voir [62], [25], et, pour le point de vue de Wcîl, [82]
ainsi que :
[94] A. Weil, Foundations nf algebraic geometry, New York (A.M.S.
Coll. Pub[. n° 29), [946.
[95] P. Samuel, Méthodes d'algèbre abstraite en géométrie algébrique, Erg.
der Math., Neuc Folge, Heft 4, Berlîn-Heîdelbcrg-New York
(Springer), 1955.
[96] S. Lang, Introduction to algebraic geometry, New York (Inter-
scïence), I9.r>8.
VII, 29. Pour les définitions de Chevalley et Samuel, voir [95] et :
[97] C. Chevallev, Intersections of algebraic and algebroid varic-
ties, Trans. Amer. Math. Soc, 57 ([945), p. [-85.
[98] P. Samuel, La notion de multiplicité en algèbre et en
géométrie algébrique, J. de Math., (9), 30 (1951), p- (59-274.
VII, 30. L'exemple de Grobner est donné dans :
[99] W. Grobner, Aîoderne algebraische Géométrie, Wien-Innsbriïck
(Springer), [949, p. [80.

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE
203
Pour la définition de Serre, voir :
[100] J.-P. Serre, Algèbre locale. Multiplicités, Lect. Notes in Math.,
n° II, Berhn-Heîdelberg-New York (Sprînger), 1965.
VII, 31. Voir [62], [82], [95] ainsi que :
[101] W. L. Chow und B. L. van der Waerden, Zur algebraischen
Géométrie, IX, Math. Ann., 113 (1937), p. 692-704.
VII, 32. Voir [95] ainsi que :
[102] Séminaire C. Chevaixey, 2e année : Anneaux de Ckow et
applications, Paris (Secr. math., II, rue P.-Curîe), 1958.
VII, 34. Voir :
[103] A. Haenack, TJeber die Vieltlieiligkeit der ebenen
algebraischen Curven, Math. Ann., 10 ([876), p. [89-198.
[104] D. Hilbert, Gesammelte Abhandltmgen,vol. II, Berlin (Sprînger),
1933.
[105] I. Petrowbkv, On the topology of real plane algebraic curves,
Ann. ofMath., 39 (1938), p. 189-209.
VII, 35. Voir :
[106] H.Poincaré, Œuvres, t. V, p. 438-548, Paris (Gauthier- Villars),
1950.
[107] S. Lang, Diophanûne Geometry, New York-London (Inter-
srience), [962.
VII, 44. Voir [59], [57], et, pour les variétés de dimension 3 :
[108] O. Zariski, Réduction of ihc singularises of an algebraic
3-dimensionaI variety, Ann. of Math., 45 (1944), p. 472-542.
VII, 47. Voir :
[109] E. Artïn, Cotteeted Papers, p. I-V4. Readîng (Addison-Wesley),
1965.
VII, 48. Voir [87].
VII, 49. Voir :
[110] H. Hasse, Cbct die Rieinannsche Vermutung in Funktïonen-
kôrpern, C. r. du Congrès international des Mathê}nathiens, Oslo,
1936, t. I. p. 189-206.

204 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
VII, 51. Voir :
[HI] A. Weil, Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent,
Paris (Hcrmann), 1948.
[H2] A.Weil, Onsomeexponentialsuins,./3™;. Nat.Acad.Sci. U.S.A.t
34 (1948), p. 204-207.
VII, 52. Voir [55], [56], [63] et [82].
VII, 53. Voir :
[113] T. Matsusaka, The criterîa foralgcbraic équivalence and the
torsion group, Amer. J. of Math., 79 (1957), p. 53-66.
[114] A. Néron, La théorie de la base pour [es diviseurs sur les
variétés algébriques, Coll. Géom. alg. Liège (1952), p. [I9-[27.
[115] A. Mattuck and J. Tate, On the incquaKty of Castelmiovo-
Severi, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22 (1958), p. 295-299.
[116] A. Grothendieck, Sur une note de Mattuck-Tate, J. reine
undang. Malk., 200 (1958), p. 208-215.
VII, 54. Voir [3], [40] ainsi que :
[117] A. Robert, Ettiptic curves, Lect. Notes in math., nP 326, Betïin-
Heidelberg-New York (Springer), 1973.
VII, 56. Voir [40], [91] ainsi que :
[I[8] A. Weil, On Picard varieties, Amer. J. of Math., 74 (1952),
p. 865-894.
[119] P. Grutiths, Some results on algcbraîc cycles on algcbraic
manifblds, Alge.braic Ceometry (Bombay Colloquium, 1968),
Oxford TJnîversîty Press, [969.
VII, 60. Voir :
[120] A. WëiL, Variétés abstiennes et courbes algébriques, Paris (Her-
rnann), [948.
[121] S. Lang, Ahelian varieties, New York (Interscîence), 1959.
[122] D. Mumford, Abelian varieties, Oxford TJnîversîty Press, [970.
Ce dernier ouvrage traite aussi de la théorie « transcendante »
des variétés abéliennes sur C.

BIBIJOGRAPHIE COMMENTÉE 205
VII, 62. Voir [82] ainsi que :
[123] A. Weil, On the projectîve embedding of Abelîan varieties,
Algfibraic geometry and topofogy (Lefschetz Symposium, 1954),
Princeton Unîversity Press, 1957.
VIII. Les premiers mémoires de J. Leray sont les suivants :
[124] J. Leray, L'anneau spectral ei l'anneau filtré d'homologîe
d'un espace localement compact, J. de Math., (9), 29 (1950),
p. [-139.
[125] J. Leray, L'homologie d'un espace fibre dont la fibre est
connexe, J. de Malk., (9), 29 ([950), p. 169-213.
Pour un exposé concis et clair des notions d'espace fibre et de
faisceau, voir avant tout :
f 126] F. Hjrzebruch, Topologicat methods in algthrau geometry, Erg.
der Math., Neue Folge, Heft 9 (3ft éd.), Berlin-Heidelberg.
New York (Springer), 1966.
VIII, I. Voir [56], chap. IV.
VIII, 4. Voir :
[127] A. Weil, F3>re spaces in algebraïcgeometry, Notes by A. Waiaace,
mimeogr., Unîversity of Chicago, 1949.
VIII, 6. Voir :
[128] K. Kodaira, The theorem of Rîemann-Roch on compact
analytic surfaces, Amr. J. of Math., 73 (I95[), p. 813-875.
[129] K. Kodaira, The theorem of Rîemann-Rocli for adjoint
Systems on threedimensional varieties, Ann. of Math., 56 ( [952),
p. 298-342.
Pour la formule (8) de Severî, voir [69].
VIII, [I. Voir [126] et [82], ainsi que :
[130] P. Dolbeault, Sur la cohomologie des variétés analytiques
complexes, C. r. Acaâ. Sri., 236 (1953), p. 175-177.
[131] J.-P. Serre, Un théorème de dualité, Comm. Malk. Helv., 29
([955), p. 9-26.

206 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
VIII, 13. Voir [126], [82], ainsi que :
[132] M. Eger, Les systèmes canoniques d'ime variété" algébrique
à plusieurs dimensions, Ann. Et. Ncrm. Sup., (3), 60 (1943),
p. 143-172.
[133] J. A. Todd, The arïthmctical invariants of algebraic loci.
Proc. London Math. Soc, (2), 43 ([937), p. 190-225.
[134] E. Vesentini, Classi caratteristiche c varietà covarianti d'im-
mersîonc, Rend. Accad. Lincei. (8), 16 (1954), p. 199-204.
VIII, 14. Voir [126], [82], ['article de Graueit dans [163] et :
[135] K. Kodaira, On Kahlcr varictics of restricted type, Ann. of
Malk., 60 (1954), p. 28-48.
VIII, 17. Voir [82], [56], Appendix to chap. IV, ainsi que :
[[36] D. Mumford, Lectures on curves on an algebraic surface, Ann. of
Math. Studies, nc 59, Princeton University Press, 1966.
V[II, 19. Voir :
[137] J.-P. Serre, Faisceaux algébriques cohérents (généralement
cité FAC), Ann. of Math., 61 ([955). p. IÎJ7-278.
V[II, 23. Voir :
[138] A. BokeI, et J.-P. Serre, Le théorème de Ricinann-Rocli
(d'après Crothendicrk), Bull. Soc. Math. France, 86 (1958),
p. 97-136.
[139] G. Washnitzer, Géométrie syzygies, Amer. J. of Math., 81
(1959), p. [71-248.
[140] Séminaire H. Cartan-L. Schwartz, [963-1964, Théorème
d'Atlyah-Singer stir l'indice d'un opérateur différentiel elliptique, Paris
(Secr. math., H, me P.-Curie), 1965.
[141] R. Palais, Seminar on tke Atîyah-Singer index theorem, Ann. of
Math. Studies, n° 57, Princeton University Press, 1965.
VIII, 24. Voir :
[142] J.-P. Serre, Géométrie algébrique et géométrie analytique
(généralementcité CAGA), Ann. Inst. Fouricr, 6 ([9,"»"i), p. 1-42.
V|I|, 25. Les deux livres fondamentaux Mir les groupes algébriques
linéaires sur un corps algébriquement clos sont :

BIBLIOGRAPHIE COMMENTEE
207
[143] Séminaire C. Chevalley, 1956-1958, Classification des groupes
de Lie algébriques (généralement cité BIBLE), 2 vol., Paris
(Secr. math., 11, rue P.-Curie), [958.
[144] A. Borel, Linear atgebraic groups (notes taken by H. Bass),
Amsterdam-New York (Benjamin), 1969.
Les généralisations aux corps de base non algébriquement clos et
aux « sehémas en groupes » sont exposées dans ;
[145] A. Borel et J. Trrs, Croupes réductîfs, Publ. math. deri.H.E.S.,
n° 27 (1965), p. 55-148, et Compléments..., ibid., n° 4[ ([972),
p. 253-276.
[146] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie 1962-1964
(SCA 3), dirigé par M. Demazure et A. Crothendieck :
Schémas en groupes, 3 vol., Lect. Notes in Math., noa 151, 152,
[53, Bcrlin-Heidelberg-New York (Springer), 1970.
VIII, 26. Les définitions et théorèmes les plus élémentaires de la
théorie des sehémas sont donnés dans [136] et :
[147] D. Muiukord, Introduction to atgebrak geometry (Preliminary
version of first 3 cliapters), Harvard Untverstty, mimeogr., s.d.
Pour un résumé allant un peu plus loin, maïs sans beaucoup de
démonstrations, voir :
[148] J. Dieudonné, Algebraic geometry, Advanees in math., 3 (1969),
p. 233-321.
[[49] J. Dieudonné, Fondements de la géométrie algébrique
moderne, Advanees in math., 3 (1969), p. 322-413.
La théorie est développée en détail dans [146] et :
[150] A. GîtOTHENDlECK, Eléments de Géométrie algébrique rédigés avec
la collaboration de J. Dieudonné (généralement cité EGA),
chap. I-lV, Publ. math, de fl.H.E.S., n« 4, 8, 1[, [7, 20, 24,
28, 32 (1960-1967).
[151] A. Grothendieck et J. Dieuidonné, Eléments de Géométrie algê-
Értyi«,chap. I (2e éd.), Berlin-Heidelberg-New York (Springer),
1971.
[152] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie 1960- [ 961
(SCA 1), dirigé par A. Grothendieck : Revêtements étales et
Groupe fondamental, Lect. Notes in Matli., n° 224, Berfm-
Heidelberg-New York (Springer), 1971.

208 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
[153] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie [962
(SGA 2), par A. Grothendieck : Cohomoîogie locale des
faisceaux cohérents et théorèmes de Lefscketz locaux et globaux, Amsterdam
(North Holland), (968.
[154] Séminaire de Géométrie algéblique du Bots-Marie, 1963-1964
(SGA 4), dirigé par M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Vër-
dier : Théorie des Topos et cohomoîogie étale des schémas, 3 vol.,
Lecture Notes in Math., n°" 269, 270, 305, Berlin-Hefdelberg-
New York (Spriiiger), [972-1973.
[155] R. Hartshorne, Residues and duatity, Lectures Notes of a
seminar on the veork of A. Grothendieck given at Harvard
in [965-1964, Lecture Notes in Math., n° 20, Berlin-Heidelberg-
New York (Springer), 1966.
[156] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie (SGA 6),
dirigé par P. Berthelot, A. Grothendieck et L. Illusie :
Théorie des mtersections et théorème de Riemann-Roch, Lecture Notes
in Math., n° 225, Berhn-Heidelberg-Ncw York (Spriiiger),
[971.
[157] Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie [967-1969
(SGA 7 I), dirigé par A. Grothiindieck : Groupes de mono-
dromie en Géométrie algébrique, Leeture Notes in Math., n° 288,
Berlin-Heldelberg-New York (Springer), 1972.
[158] A. GrothenidiECK, Fondements de la Géométrie algébrique
(extraits du Sém. Bcttfbakî 1957-1962), Paris (Sccr. math., 11,
rue P.-Curie), 1962.
VIII, 41. Voir :
[159] J.-P. Serre, Exemples de variétés projectives en
caractéristique p non relevables en caractéristique 0, Proc. Nat. Acad.
Sci. U,S.A., 47 (1961), p. 108-109.
VIII, 43. Voir [136] et [158].
VIII, 45. Voir [102], exposé 1 : J.-P. Serre, Espaces fibres
algébriques.
VIII, 48. Voir [154], et pour un exposé plus élémentaire :
[160] M. Artin, Grothendieck Topologies, Harvard University, mi-
meogr., 1962.

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE
209
VIII, 47. Voir :
[161] D. Knutson, Atgehraîc spaces, Lect. Notes in Math., n° 203,
Bcrlin-Heidelberg-Nevv York (Springcr), 1971.
IX, I. Pour les questions mentionnées dans ce chapitre, et
beaucoup d'autres, on consultera avec profit les exposés suivants du
Séminaire Bourbaki : 75, 93, 106, 114, [29, 141, 145, 151, [54, 155,
164, 167, 168, 204, 227, 228, 243, 250, 256, 267, 274, 279, 283, 286,
287, 290, 294, 297, 301, 306, 3[6, 320, 338, 344, 352, 354, 363, 365,
376, 380, 385, 389, 396, 402, 409, 414, 417, 423, 427.
Voir aussi les « Lecture Notes in Mathematics », n0B 15, 41, 79,
100, 119, 156, [69, 176, 208, 239, 264, 283, 302.
Il y a beaucoup d'articles concernant ces questions dans les Actes
des derniers Congrès internationaux des mathématiciens :
[162] Proceedings of the International Congress of mathcmaticians
(Cambridge, 1958), ed.J. A.Todd, Cambridge University Press, 1960.
[163] Proceedings of the International Congress of matkematîcians (Stock-
hetm, 1962), Uppsala (Almqvist and Wiksells), 1963.
[164] Actes du Congres international des mathématiciens (Nice, 1970),
Paris (Gauthier-Villars), 1971, vol. I et II.
Voir surtout les récents Colloques et Symposia de Géométrie
algébrique :
[165] Atgebraic geometry and topotogy (A symposium in honor of S. Lefs-
chetz), Princeton University Press, 1957.
[166] Arithmetîc algebraic geometry (Purdue, 1963), New York (Harper
and Row), 1965.
[167] Dix exposes sur ta cohomologie des schémas, Amsterdam-London
(North Holland), 1968.
[168] Global Anatysis (Papers in honor cf K. Kodaira), Princeton
University Press, 1969.
[169] Algebraic Geometry, Bombay Cottcqtàum, 1968, Oxford University
Press, 1969.
[170] Atgebraic Geometry, Osto, 1970 (éd. F. Ookt), Groningen
(Wolters-Noordhoff), 1972.
IX, 2. Pour les résultats antérieurs à 1939, voir [56], chap. I.
La tbéorie des courbes avec singularités est exposée dans :
[171] J.-P. Serre, (Jroupes algébriques et corps de classes, Paris (Her-
mann), 1959.

210 COURS L>E GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Voir aussi :
[172] F. Oort, Redttcibte and multiple algebraic cttrves, Assen (Van
Gorcum), 1961.
Pour les travaux de Hironaka, voir [166] et [170]. Les mémoires
de J. Lipman et D. Mumford sont :
[173] J. Lipman, Rational singularities with applications to algebraic
surfaces and unique factorization, Publ. math, de fI.H.E.S.t
n° 36 (1969).
[174] D. Mumford, The topology of normal singularities of an
algebraic surface and a criterïon for siniplïcity, Publ. math.
de t'I.H.E.S., n° 9 (1961).
Pour les travaux de Zariski, voir ;
[175] O. Zariski, Studies in equisinguUrity, 111 : Saturation of
local rings and equisingularity, Amer. Joum. of Maïh.t 90
(1968), p. 961-1023.
IX, 3, Voir Séminaire Bourbaki, n° 320 et n° 344, des articles de
Hironaka dans [163] et [170], ainsi que son mémoire fondamental :
[176] H. Hironaka, Resolution of singularises of an algebraic
variety over a field of cbaracteristic acro, Ami. of Math,, 79
(1964), p. 109-326.
Le mémoire de Hironaka sur Ia« désingularisation » des cycles est :
[177] H. Hikonaka, Smoolhing of algebraic cycles of small
dimensions, Amer. Jonm. of Math., 90 (1968), p. 1-54,
Le théorème d'Abhyankar est démontré dans :
[178] S. Abhyankar, Résolution of singularises of emhedded atgebraïc
surfaces, New York-London (Académie Press), 1966,
IX, 4. Voir Séminaire Bourbaki, n° 146, et ',
[179] 1. ShaHarevich, Lectures on minimal models and birationat
transformations of 2-d\menslonat scketnes, Tata lnst, offund, Research,
Bombay (mimeogr,), 1966.
IX, 5. Voir [179] et :
[180] O, Zariski, Introduction to the probtem of minimal models in the
theory of algebraic surfaces, Publ, Malh, Soc. Japan, n° 4, Tokyo,
1958,

BIBLIOGRAPHIE COMMENTÉE 211
[181] O, Zariski, Tlie problcm of minimal models în the theory
of algcbnùc surfaces, Amer. Journ. cf Math., 80 (1958), p, 146-
184.
[182] 1, Shaïarevjcïï et al., Algcbraïc surfaces, Proc, StekJov Inst.
of Math., n° 75, Arner. Math, Soc, 1967,
[183] A, Néron, Modèles minimaux des variétés abélîennes sur les
corps locaux et globaux, Pubt. math. de^I.H.E.S., n° 21 (1964),
IX, 6, Voir [182], ainsi que :
[184] K, Kddaira, On the slruclurc of complex analytic surfaces,
Amer. Journ. cf Math., 90 (1968), p. 1048-1065,
[185] E, Bombierj, The phiricanonîcal map of a complex surface,
in Severat complex variables, 1 (Maryland, 1970), p, 35-87, Lect,
Notes in Math,, n° 155, Berlin-Heidelberg-New York (Sprin-
ger), 1970.
[186] E, Bombieri, Canonîcal moclels of surfaces of gênerai type,
Pubt. math, de FI.H.E.S., n° 42 (1973), p. 171-220.
Voir aussi l'article de Moïshczon dans [164]
IX, 8, Voir Séminaire lïourbaki, n° 301, Pour l'exemple de
Nagata, voir [179], p, 119 ; pour l'exemple d'Hironaka, voir ;
[187] H, Hibonaka, An examplo of a non-kahltriao déformation,
Ann. cf Math., 75 (1962), p, 190-208,
IX, 10, Le résultat de M, Knencr esl prouvé dans :
[188] M, Kneser, Uber dîe Darstelliing algebraischen Raumkurven
als Durchschnitte von Flachen, Archîv der Math., 11 (i960),
p, 157-158,
L'exemple de H.iris.hornc est développe dans :
[189] R. Hartshorne, Complète intersections and connectedness,
Amer. Journ. of Math., 84 (1962), p, 497-508,
IX, 11, Voir Séminaire Bourbaki, n° 402,
IX, 12, Voir Séminaire Bourbaki, nOB 168 et 277, ainsi que :
[190] Séminaire IL CartAn, 1960-1961, Familles d'espaces complexes
et fondements de la Gécmttrie anatytiqtie, Paris (Secr, math,,
11, rue P.-Cnrie), 1962,

212 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
IX, 13, Voir l'article de Mumford dans [170], ainsi que :
[191] D, Mumford, Géométrie invariant theory. Erg, dcr Math,, Nene
Folge, Hefl 34, Berl'm-Heidclberg-New York (Springer), 1965,
[192] P, Deligne and D, Mumford, The irreducibility of tlie sjrace
of curves of gîven genus, Publ. math, de l'LH.E.S-, n° 36 (1969),
p, 75-109,
IX, 14. Vcir Séminaire Bourbaki, n<"» 129, 136, 167, 216 et 389,
IX, 16. Voir [56], Appendice au chap. Vil, et [136],
IX, 17, Voir Séminaire Bourbaki, n° 39, et :
[193] A, Weil, Number of solutions of équations in finîte fields,
Butt, Amer, Math, Soc, 55 (1949), p, 497-508,
IX, 18. Voir Séminaire Bourbaki, n°B 279 et 423, l'article de
Kle'unan dans [167], et [154] ; poui les travaux de Dwork et Katz,
voir l'article de Katz dans [164], ainsi que le Séminaire Bourbaki,
n°B [98 et 409, et ;
[194] B. Dwork, Oji the ratïonality of the zêta fonction of an alge-
braic variety, Amer, jfourn. of Math., 82 (i960), p. 631-648,
IX, 20. Voir [152] et ['Appendice au chap. Vl de [56].
IX, 21. Voir [55] et [63].
IX, 22. Voir Séminaire Bourbaki, n° 376, [119], les articles de
Kleiman et Lieberman dans [170], ainsi que :
[195] D. Lieberman, Higher Picard varîeties, Amer. Journ. of Math.,
90 (1968), p. 1165-1199.
Tome 2
Le lecteur désireux d'îipprofondir l'étude de l'Algèbre commu-
tative pourra se reporter aux deux ouvrages suivants :
[196] P, Samuel and O. Zarikki, Commutative. atgebra, 2 vol., Toronto-
New York-London (Van Nostrand), 1958;
[197] N, Bourbaki, Algèbre commtdative, ebap. 1 à Vil, Paris (Her-
mann), 1961-65 ;
ainsi qu'au « Chapitre 0» de EGA [151] et à [100].

INDEX TERMINOLOGIQUE
Les références 1, VIII, 17 correspondent an tome premier (VIII étant le
numéro du chapitre, 1? celui de la section) ; les références 2, a, b,
correspondent au tome 2 [a étant le numéro du paiagraphe, b celui de la
section).
Adjoint d'un système linéaire, 1,
VIII, 17.
Adjointe d'une courbe algébrique,
i,V, 15 et i, VI, 23.
Algèbre entière, algèbre finie, 2,
A, 16.
Anneau de Dedeejntj, 1, VI, 5.
Anneau dThomoIogie, 1, VI, 36.
Anneau d'une valuation discrète,
J, VI, 10.
Anneau iactoriel, 2, A, 30.
Anneau Intégralement clos, 1, Vil,
43 et 2, A, [7.
Anneau local, 1, Vil, 39, 8, 5, 1
et 2, A, 15.
Anneau nœthérïen, 2, A, 32.
Anneau réduit, 2, A, 11.
Anneau régulier, i, Vil, 41 et 2,
6,3.
Application dominante ; 2, T, 4.
Application linéaire tangente à un
morphisme, 2, 6, 2.
Application rationnelle, 2, 4, I.
Application trivialisant un fibre
vectoriel, J, VIII, 2.
^j-base, 2, A, 4.
Base de transcendance, 2, A, I.
Base de transcendance séparante,
2, A, 1.
Bord d'une chaîne, 1, VI, 36.
Branche d'une courbe algébrique
en un point singulier, 1, lll, 5.
Branche à l'infini d'une courbe
algébrique, 1, lll, 5.
Caractéristique d'EuLKR-PoiNCAKÊ,
1, VIII, 5 et 1, VIII, 12.
Caractéristiques de Chasles, 1, IV,
13.
Centre d'une projection, J, VI, 24.
Chaîne, 1, VI, 30.
Cîssoïde de Dioclès, 1, II, 4.
Classe canonique, i, VI, 13.
Classe de diviseurs, 1, VI, 9.
Classe d'une courbe algébrique
plane, 1, IV, 7.
Classes de Chuïn, 1, VI11,5 et
J, VIII, 22.
Clôture intégrale, 2, A, 17.
Codimension, 2, 4, 2.
Comorphisme, 2, I, 2 et 2, 4, 1.
Complété formel d'un schéma le
long d'une partie fermée, 1,
VIII, 39.
Coinplélion d'un anneau local, 1,
Vil, H 6.
Complexe de droites, 1, IV, 9.
Composante irréductible, 2, T, 6.
Composante propre d'une
intersection, i, VU, 27.
Conchoïde de NicoiiànE, J, II, 4.
Condition de recollement de prè-
variëiës, 2,2, 5.
Conducteur, 2, A, 27.
Cône épointé, cône pointé, 2,
3,2.
Congruence de droites, 1, IV, 9.
Coordonnées de Chow, 1, IV, 9,
i, Vil, 31 et 2,4,6.
Coordonnées homogènes, 2,3,1.

214 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Coips de définition d'une variété,
d'une conespondance. d'un
cycle, i, VII, 36.
Corps de fonctions rationnelles, J,
V, 14, i, VII, 37 cl 2,-1,1.
Correspondance, correspondance
irréductible, 1, Vil, 24 et 2,4,6.
Correspondance de ÎROBFiiitJS, 1,
VII, 51.
Correspondance entre courbes, ?,
VI, 39 et i, VII, 50.
Correspondance (n, m), 1, IV, |2.
Correspondance rationnelle, 1, VI,
42.
Courbe algébrique sur un corps,
2, 4,2.
Courbe canonique, i, VI, 26.
Courbe exceptionnelle, /, VI, 58 cl
1, IX, 4.
Courbe fondamentale d'une
transformation de Criîmona, 1, VI, 50.
Courbe hypeielliptique, 1, VI, 15.
Courbe normale, 1, VI, 29 cl 2,3, 4.
Courbe polaire, 1, III, 7.
Courbe rationnelle, courbe nnicur-
sale, J, VI, 29.
Critère de multiplicité nn, 7, VU,
28.
Critère de Serril pour les schémas
affines, î, VIII, 29.
Cycle, «-cycle, cycle homogène (en
Topologie algébrique), 1, VI, 36.
Cycle, r-cycle (en Géométrie
algébrique « abstraite »), 1, Vil, 28.
Cycles algébriquement équivalents,
i, VU, 32.
Cycles homologues, liomologique-
nient équivalent?, 1, VI, 36.
Cycles numériquement équivalents,
i, VII, 21.
Défaut d'un diviseur sur une hyper-
surface, 1, VIII, 18.
Degré d'une courbe algébrique, 1,
111,2.
Degré de transcendance, 2, A, 1.
Degré d'imperfection, 2, A, 4.
Degré d'un diviseur sur une ronrhr,
1, VI, 6.
Degré d'un 0-cycle, 1, VI, 36.
Dérivation, C-dérivation, ", A. 3.
Différentielle extérieure d'une p-
forme différentielle, J, Vil, 2.
Différentielle holomorplje,
différentielle de première espèce sur une
courbe, 1, VI, 13.
Différentielle méromorphe sur une
courbe, î, VI, 12.
Différentielle méromorphe sur une
variété, 1, VI, 44.
Dimension d'un anneau local, J,
VII, 39.
Dimension d'un cycle, J, VI, 36.
Dimension d'une variété, J, VI, 2
et 2,4, 2.
Dimensions complémentaires, J, VI,
36.
Discriminant d'un corps, J, VI, 19.
Diviseur sur une courbe, 1, VI, 6.
Diviseur sur nne variété, J, VI, 43,
1, VIII, 3 et J, IX, 8.
Diviseur ample, j, IX, 9.
Diviseur canonique i, VI, 13 et
1, VI, 44.
Diviseur de ramification, J, VI, 10.
Diviseur positif (ou effectif), 1, VI,
6 et 1, VI, 43.
Diviseur principal, J, VI, 8 et 1,
VI, 43.
Diviseurs linéairement équivalents,
J,VI,9 et J,VI,43.
Domaine de définition d'une
application rationnellt:, 2, 4,1.
Domaine universel, 1, VII, 36.
Droite affine, 2,1, 1.
dsz licrmitîen, 1, Vil, 6.
Dual d'un tore complexe, i, VU,
56.
Duplication du cube. î, II, 3.
éclatement, 2, 4, 1.
Mlémtait irréductible dans un
anneau, 2, A, 30.
Ensemble algébrique, 2, 1, 1.
Ensemble algébrique abstrait, 2,
1,3.
Ensemble constructible, 2, T, 13.
lùisenible irréductible, 2, T, 2.
Entier (algébrique) sur un anneau,
1, VI, 5, 1, Vil, 43 et 2, A, 16.
Entiers laertn aires de Wkierstraks,
1, VI, 15.

INDEX TERMINOLOGIQUE
215
Equation différentielle de Picard-
Fucus, 1, VI, 35.
Equivalence rationnelle de cycles,
Espace 'affine, 1, VII, 14, i, Vlïl,
34 et 2, 1, 1.
Espace algébrique (de M. Aktin),
J, VIII, 47.
Espace annelé, J, VIII, 19 et 2,2, 1.
Espace de cohomologie, 1, VU, 3
Espace de H. Cautan, 2, 2, ].
Espace de Cartan induit, 2, 2, 1.
Espace irréductible, 2,'T, 1.
Espace nosiliérien, 2, T, 9.
Espace projectif, 1, Vil, 14 et 2,
3, 1.
Espace tangent (de Zariski), g, 6, 1.
Extension séparable, 2, A, 1.
Faisceau, J, VIII, 7 et 1, VIII, 19.
Faisceau d'anneaux, faisceau
structural, 1, VIII, 7 et J.VHI, 19.
Faisceau de fonctions, 1, VIII, 7
et 2, 2, 1.
Faisceau de fonctions induit, Bt 2, ].
Faisceau inversible, 1, IX, 8.
Faisceau gratte-ciel, J, VIII, 9.
Faisceau structural sur Spm (A),
2,2,2.
Fermeture intégrale d'un airneau,
2, A, 17.
Fibre des /-covecteurs tangents,
J, VIII, 2.
Fïbré principal, 1, VIII, 45.
Fibre tangent, 1, VIII, 2.
Fibre vectoriel, fibre vectoriel holo-
morale, 1, VIII, 2.
Folium de Descartes, 1, III, 10.
Fonction elliptique, 1, VII, 57.
Fonction harmonique, i, VII, 4,
Fonction holomorplie (de Zari&ki),
J, Vil, 46.
Fonction L (de E. Artin), i, VII,
61 et J, IX, 19.
Fonction normale (de H, Poin-
CARÈ), J, VI, 48.
Fonction rationnelle, 2,4, 1.
Fonction régulière, 2, 1,2 et 2, 2, 3.
Fonction thêta, 1, VII, 54.
Fonction zêta, J, VII, 48 et J, IX,
17.
Forme associée à une sous-variété,
i, Vil, 31.
Forme normale d'une matrice de
RtEMANN, 1, VII, 54.
/.forme de type (r, js), 1, VII, 5.
/-forme différentielle, J, VII, 2.
/■forme différent ïelle fermée, 1,
VII, 3-
/-forine harmonique, 1, Vil, 4.
/•forme holomorphc (ou de
première espèce), 1, Vil, 9.
formule de Ijïfschetz, i, IX, 17.
l'onnules de Plïïckee, 1, IV, 7.
Genre d'une courbe algébrique,
d'une surface de Rhzmann, J, V,
12 et J,VI, 11.
Geore arithmétique (ou virtuel)
d'une courbe, j, VI, 18.
Genre arithmétique, J, VI, 46, 1,
VII, 17 et i, VIII, 12,
Genre géométrique, 1, VI, 46.
Genre linéaire, J, VI, 47 et 1,
VIII, 16.
Géométric birationnelle, i, V, 14.
Géométrie énuinèrative, J, IV, 13
et J, VU, 21.
Gcrine de fonction tçgulière, 2,5, 1.
Grassmannienne, i, VIII, 43 et 2,
3,5.
Groupe algébrique linéaire, 1,
VIII, 26.
Groupe de cohomologie à valeurs
dans un faisceau, J, VIII, 11,
J, VIII, 21 et 1, VIII, 4a
Groupe d'homologic, i, VI, 36.
Groupe fondamental d'un schéma,
J, IX, 2a
HIppopède d'EunoxE, 1, II, 6.
Homomorpliisme local, 2, A, 15,
Hyperplan projectif, 2, 3, 2.
Hypersurfkce, 2, 1, 1 et 2, 3, 2,
Idéal im-dessus d'un autre, 2, A, lft
Idéal maximal, 2, A, 8.
Idéal premier, 2, A, 8,
Idéal primaire, 1, VII, 16,
Idéal radlciel, 2, 1, 1,
Intégrale abélienne, 1, V, 3.
Intégrale de première, seconde,

ÉTRIE ALGÉBRIQUE
216 COURS DE
troisième espèce sur une courbe
algébrique, 1, V, 12.
Intégrale double de première es-
pèce, 1, VI, 46.
Intégrale double de seconde espèce,
MX 21.
Intégrale elliptique, 1, V, 2,
Intégrale ultraelbp tique, î, V, 4,
Invariant absolu, invariant relatif,
1, VI, 32.
Inversion des intégrales ultraellïp-
tîques, 1, V, 5.
Involutîon de Bertini, 1, VI, 57,
Iiivolutîon de De Jonquières, i,
VI, 57.
Involutîon de Geiker, 1, VI, 53.
Involutîon d'ordre N, 1, VI, 50.
Irrégularité d'une surface
algébrique, 1, VI, 48,
Isogènie, 1, VII, 56.
Isomorphisme canonique de G,t r
6»r G,kM-„ 2,3, 5. *
Isomorphisme local, 2, 2, 3.
Jacobierme, i, VII, 57.
Lemmed'ENRiçjuES-SKVERi.J, VIII,
17.
Lemme de Nakayama, 2, A, 40,
Lemme de normalisation, 2, A, 35,
Lemniscatc de Bernoullt, 1,111, ]0,
Lieu d'un point. 1, Vil, 39.
Limaçon de Pascal, 1, III, 10.
Méthode de Picard, 1, VI, 35,
Modèle canonique, 1, VI, 26.
Modèle d'un corps, 2,4, 1.
Modèle minimal, modèle
relativement minimal, 1, IX, 5,
Module de Tatf, î, VII, 61,
Modules d'une courbe algébrique,
J, V, 15 et J, VI, 27,
Morpliismc bîrationnel, 2, 4, 1.
Morphisinc d'ensembles
algébriques, 2, 1, 2 et 2, 1, 3.
Morphisme d'espaces de Cartan,
2, 2, 1,
Morphisme de prévarîctés, J, VIII,
25 et 2, 2, 3.
Morphisme de schémas, i, VH1,31.
Morphisme de Segrb, 2,3, 4.
Morpbîsme de Vkkonese, 2, 3,4,
Morphisme étale, 1, VIII, 34.
Morphisme fini, 2,4,4,
Morph'sme lisse, 1, VIII, 34t
Morphisme plat, 1, VIII, 34,
Morphisme propre, 1, VI11, 40.
Morphisme séparable, 2, 6, 4,
Multiplication complexe, i, VII,
57,
Multiplicité d'intersection, J, IV, 8
et 1, Vil, 28.
Nilradical, g, A, 11,
Nombre de Betti, 1, VI, 3a
Nombre de coïncidences de deux
correspondances, i,VI,41.
Nombre d'intersections de deux
cycles, i, vi, 3a
Normalisée d'rtne variété, i, Vil, 44
et 2,5, 3-
Ouvert affine, 2, 2, 3.
Ouvert principal, 2, 1, 5,
Ovale de Casshji, j, III. 10.
Paradoxe de Craiiek, i, III, 8.
Paramètres rtnhorinïsairtp, 2, 6, 3.
Plan affine, 2, 1, 1,
Plongeaient tricanonique, 1, VI, 26.
Plurigcnre, 1, VI, 47 et 1, VIII, 16.
Point absolument simple, 1, Vil,
42,
Point à valeurs dans un schéma,
J, Vil, 25 et J, VU1, 42.
Poml de ramification, Mv,8 et
i, vi, la
Point de rebroussement, J, lll, 5
et 1, IV, 7,
Point de WiiiERSTRABS, 1, VI, 15,
Point d'inflexion, î, 111,4,
Point d'indétermination, 2,4, 1.
l'oint générique, J, VII, 26 et i,
VIII, 30.
Point hyperellipliquc, 1, VI, 15,
Point multiple ordinaire d'une
courbe, i,VI, 17,
Point normal, 1, VII, 43 et 2, 5, 3.
Point simple, 1,VU, 41 et 2,6,3,
Point singulier, 1, lll, 5.
Points cycliques, j, IV, 3.

INDEX TERMINOLOGIQUE
217
Points homologues dans une
correspondance, 2,4,6.
Pomts multiples infiniment voîsïns,
ï, VI, 21.
Points unis d'une correspondance,
i, IV, 12.
Pôle d'une fonction rationnelle, i,
VI, 10 et 2,4,1,
Polygone de Newton, 1, III, 5,
Polynôme de IIh.iif.rt, 1, VII, 17,
Polynôme de I-Iilbert-Samuel, J,
VU, 29,
Polynôme de Todd, 1, VIII, 13.
Polynôme s'anmilanl dans un
ensemble, 2, 1, 1,
Position générale (pointa ou
variétés en), 1, VII, 19,
Prcvariétc (algébrique) sur A, 2, 2, 3-
Princîpe de conservation du
nombre, i, VU, 21,
Principe de correspondance de
Chasles, J,IV, 12,
Principe de décompte des
constantes, 2, 4, 6.
Principe de dégénérescence, i, VII,
46.
Principe de récurrence nosthérienne,
2, T, 11,
Produit de prêvarîétês, 2, 2, 4,
Produit de variétés projectîves, J,
IV, 9.
Produit d'intersection de chaînes,
1, VI, 3a
Produit intérieur, 2, A, 43.
Projection dans un espace projectif,
i, VI, 24,
Quadratrice d'Hii'FiAS, J, II, 4,
Racine d'un idéal, 2, A, \\.
Recollement de piêvariètcs, g, 2, 5,
Réduction d'une variété module un
idéal, i, VIII, 37,
Relations de Grassmann, g, A, 45.
Représentation paramétrique, 1,
III, 3,
Représentation paramétrique poly
nomiale, 2, 1, 4.
Représentation plane d'une surface
rationnelle, 1} VI, 51,
Réseau homalcïdal de courbes
planes, i, VI, 55. t
Résolution des singularités, 1, VI,
18, i,Vl,32, J, VII, 44 et 1,
IX, 3.
Restriction d'un faisceau de
fonctions, 2, 2, 1,
Restriction d'un morphisme
d'espaces de Cartan, 2, 2, 1,
Résidus, i, IX, 21,
Schéma, 1, VIII, 28,
S-schéma, 1, VIII, 31,
Schéma affine, 1, VI11, 28.
Schéma de IIilbeut, 1, VIII, 43.
Schéma de Picard, 1, Vnl, 43,
Schéma des modules d'une courbe,
1.1X, 13.
Schéma formel, J, VIII, 39,
Schéma local, I, VIII, 33,
Schéma projectif, 1, Vlll, 43.
Schéma représentant un foncteur,
J, VIII, 42.
Sections d'un faisceau, 1, VIII, 8.
Scctîous d'un faisceau de fonctions,
J, VIII, 7 et 2,2, 1.
Sections d'un fibre, J, VIII, 2.
Sections forinelles d'un faisceau,
j i, VIII, 39,
Série canonique sur une courbe,
i, VI, 23.
i Série caractéristique d'une courbe
sur une surface, 1, VIII, 17,
Série complète, 1, VI, 22.
' Série composée, j, VI, 25,
Série linéaire sur une courbe, de
degré m et de dimension r, 1, VI,
23,
Série simple, J,VI,25,
H-simplexe singulier, 1, VI, 30.
Singularité ordinaire d'une surface,
i, VI, 33.
Somme de prevariétes, 2, 2, 3,
Somme de séries linéaires, i, VI, 23,
Somme directe de fibres vectoriels,
î, VIII, 5.
Sous-prévariété, 2, 2f 3,
Sous-variété projective définie par
un idéal gradué, 2, 3, 2,
Spécialisation d'un point, i, VII,
25 et J, VIII, 30.

218 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Spécialisation d'un cycle, i, Vil, 32.
Spectre d'un anneau, I, VIII, 28,
Spïriques de Perseus, J, 11,5.
Support d'un diviseur, J, VI, G.
Surabondance d'un système linéaire,
^ VI11,6.
Surface algébrique sur un corps,
2,4,2.
Surface de Del Pf.zzo, 1, VI, 53,
Surface de Kummcr, 1, IX, 7,
Surface de Riemann, 1, V, 8,
Surface de Segbe, î, VI, 53,
Surface de Steiher, 1, VI, 54,
Surface de Veronkse, i, VI, 54,
Sur&ce rationnelle, J, VI, 49.
Système continu de courbes sur une
snrface,i, VII, 31.
Système linéaire de sous-variétés de
codîmension 1, J, VI, 45,
Tangente à une courbe, Z, III, 4.
Théorème d'ABEL, Jt V, 3.
Théorèmc de Bërtjni sur les points
singuliers des courbes d'un
système linéaire, i, VI, 50.
Théorème de Bisktuu sur les
transformations de Cremona mvolu-
tives, J,Vl, 57,
Théorème de Bezout, 1, III, 6,
1, IV, 8 et i, VII, 20.
Théorème de Castelnuovo sur les
surfaces rationnelles, î} VI, 49,
Théorème de Castelnuovo sur les
courbes exceptionnelles, lt IX, 4.
Théorème dc Castelnuovo sur le
défaut, J, VIII, 17.
'ITiéorème de Cliffor», 13 VI, 14.
'ITiéorème de connexîté (Zariski),
i, VII, 46.
Théorème dTîNiiipuES sur
l'irrégularité, 1, VIII, 17.
Théorème dc fermeture de Pon-
CELET, i, IV, 12,
Théorème de Kronecker-Castel-
nuovo, 1, VI, 54.
Théorème de la base finie (IIil-
bert), 1, VII, 16.
'ITiéorème de Ûhotu, i, VI, 42.
Théorème de M, Nœtiier sur les
systèmes linéaires de courbes
planes, J, VII, 16.
Théorème dc M. Nœther sur les
intersections complètes, 1, VII,
53.
Théorème de Nœtiieh-Castili.-
nuovo, 1, VI, 56.
Théorème de Pascal, 1, IV, 6.
Théorème de rêdiictibilité complète
(Poingaré), J, VII, 56.
Théorème dc Riemann, 1, VI, 7,
Théorème de Riemann-Roch, i,
VI, 14, J,VIII,l3et J,VIII,23.
Théorème de Saimon, 1, IV, 6,
TTiéorcme de Schwarz-Kusin, i,
VI, 42.
Théorème de Seidenberg, J, VII,
43,
Théorème des idéaux principaux
(Kruil), 2,4,2.
Théorème des fcéros (Hubert), J,
VII, 16 et 2,A,3'A
Théorème de Weber, 1, VI, 42,
Théorème principal de Zariski, J,
VII, 44 et 2, 5, 4.
Topologîe de Zarbki, ï, VII, 46
et 2, 1, 4.
Topologie étale, i, VlH, 46.
Topologie m-adique, g, A, 34.
Topologie structurale, 2,1,4,
Tore complexe, i, VII, 55.
Tores îsogencs, i, VII, 56.
Transformation birationnelle, 1,
IV, 11.
Transformai ion de Cremdna, /,
VI, 55.
Transformation de De Jonouikres,
i, VI, 56.
Transformation quadratique, J, IV,
11.
Uniformisante, 1, VI, 10.
Valeur en un point, i, VI, 10.
Valuatîon (générale), 1, VII, 44.
Valuation discrète, 1, VI, 4.
Variété abéliennc, 1, VII, 55.
Variété absolument irréductible,
J, VII, 37,
Vaiiété affine, 1, VIII, 20 et 2,2, 2,
Variété algébrique, 1, VII, 38, J,
VIII, 19 et 2, 2, 6.

INDEX TERMINOLOGIQUE
219
Variété iitialy tique ment iiréduo
tiblc en un point, /, VII, 46,
Variété complète, 1, Vil, 38 et
2, 3,3.
Variété d'Albanie*:, i, VII, 59 el
i, VII, 62.
Variété délmie sur un corps kt
A-variété, J, VII, 36.
Variété de Picard, J, VII, 59 et
I, VII, 62.
Variété" différentielle, 1, VII, 1.
Variété holomorphe, 1, VII, 5.
Variété irréductible, 1, VI, 2 et
Z, VII, 26.
Variété kahlérienne, 1, VII, 6.
Variété normale, 1, VII, 43 et
2,5,3.
Vaiiété non singulière, variété sans
singularité, 2, 6, 3.
S'ariété projectîve, i, IV, 9 et
Variété pure, 2,4, 2,
Variété quasi affine, 2, 2, 6.
Variété quasi projective, 2, 3, 2.
Vaiiétc uni rationnelle, ï, IX, 11.
Vecteur tangent, 2,6,1.
Voisinages d'ordre supérieur d'iin
point multiple, 1,VI,21.

TABLE DES MATIÈRES
Inïboduction ....... 5
Table des notations .,..,,..,....,, ,.... 9
§ 1. Ensembles algébriques et fondions régulières.,, , ., 11
1. Ensembles algébriques ,, 11
2. Fonctions régulières et morphUmes , _, , 14
3. Ensembles algébriques abstraits .........,.,....,, 22
4. La topologie de Z uïsti .,,, ,,, 25
5. Ouverts principaux ,, ,., , , 30
G. Produit d'ensembles algébriques .. 34
§ 2. Prévariêtis et variétés algébriques .' 36
1. Faisceaux de fonctions et espaces de Caitan 38
2. Faisceau structural sur un ensemble algébrique 42
3. Prévariétés algébriques 44
4. Produit de prévïiriétés 51
5. Recollement de prêvariétés 54
6. Variétés algébriques 56
§ 3. Variétés projectives et variétés complètes 62
1. L'espace projectif Pt,(A:) 62
2. Cônes et variétés projectives 65
3. Variétés complètes 72
4. Applications : I. Morphismes de Segre et de Veronesc .. 77
5. Applications : II. Grassmannienncs 81
§ 4. Tklorie de la dimension 84
1. Fonctions rationnelles et applications rationnelles 84
2. La notion de dimension 90
3. Le théorème des idéaux principaux ï)3
4. Morphismes finis et factorisations . ... 109
5. Dimension des fibres d'un morphisme 1 H
6. Correspondances . 116
§ 5. Points normaux et normalisation 121
1. Anneaux locaux d'une variété , 121
2. Anneaux locaux d'une variété irréductible 12(i
3- Variétés normales et normalisée d'une variété 127
4. Ije théorème principal de Zariski 1.-I1

222 COURS DE GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
§ 6. Points simples et morphismes sêparables 144
1, Espace tangent en un point d'une varietc 144
2, Application linéaire tangeiitc à un mOrpliisnif 147
3, Points simples , 149
4, Morphismes séparables 153
Résultais d'algèbre 157
I, Théorie des corps. Dérivatioiis , 157
II, Idéaux premiers et idéaux maximaux ,. 160
III, Localisation et anneaux locaux . . 162
IV. Entiers algébriques 163
V. Conducteur et théorème principal de Zariski 170
VI. Anneaux factorïels ,, 175
VII. Anneaux nœthériens 176
VIII. Algébres de type fini sur un corps algébriquement clos ... 177
IX, Compléments d'algèbre linéaire et muliilinéajre 181
Résultats de topologie 185
I, Espaces et ensembles irréductibles 185
II, Espaces nœthériens 188
III, Ensembles constructibles .... 190
Bibliographie commentée 193
Index terminologique ... 2l3

1074. — Imprimerie dee FresNrs TriiivcraiLaîrcB de Traitée. —■ Vendôme (R-juce)
ËDIT. N" 32B91 imiimmé en fkance TMP. N° 23925

SUP
SECTION if LE MATHÉMATICIEN »
Jean-LoufB KRIVINE
Théorie axiomatique des ensembles
Jesn-Plerre SERRE
Cours d'arithmétique
Roger TEMAM
Analyse numérique
Louis COMTET
Analyse comblnatolre — I
Louis COMTET
Analyse comblnatolre — II
Gérard LETAC
Problèmes de probabilité
André GRAMAIN
Topologle des surfaces
Serge DUBUC
Géométrie plane
André BLANCHARD
Les corps non commutatifs
Jean DIEUDCNNÉ
Cours de géométrie algébrique
1 — Aperçu historique sur le développement
de la géométrie algébrique
Jean DlEUDONNÉ
Cours de géométrie algébrique
2 — Précis de géométrie algébrique élémentaire

4RSK»~ ~ ^gEÊÊBSffigMBÊBÊÊk
Ce volume est le premier ouvrage en langue française
donnant un exposé didactique complet, avec démonstrations
détaillées, de ce qu'on peut appeler la partie « élémentaire »
de la Géométrie algébrique moderne, c'est-à-dire la théorie
non cohomologique des variétés algébriques sur un corps
algébriquement clos k. La différence essentielle avec le point
de vue « classique » est que l'Analyse n'intervient à aucun
moment ; l'Algèbre ccmmutative est le seul outil employé, et
il faut souligner que seules les notions les plus simples de
cette vaste théorie sont nécessaires à ce niveau Mais bien
entendu les résultats démontrés dans ce vciunie comprennent
comme cas particulier la partie de la th'.orie classique des
variétés algébriques profectives complexes qui ne fait pas
intervenir la notion de « nombre d'intersection ». L'avantage du
point de vue adopté est que les théorèmes obtenus sont
valables sans hypothèse sur la carectéristique du corps k,
et permettent donc l'accès immédiat £ la théorie des groupes
linéaires algébriques, dont l'importance dans toutes les parties
des mathématiques ne cesse de croUi"). En outre, on peut
espérer qu'une bonne familiarité avec les concepts «
élémentaires » développés dans ce livre facilitera la tâche des lecteurs
désireux d'aller plus avant et de s'attaquer à ce qui forme
maintenant le cœur de la Géométrie algébrique, la théorie des
schémas
22224011/1 74