Arithmétique, Algèbre et Géométrie. Classe de Quatrième

IIe leçon. — Plus grand commun diviseur — Plus petit commun multiple
$IVe leçon. — Application aux fractions$
Ve leçon. — Nombres algébriques ou relatifs
VIe leçon. — Addition des nombres algébriques
VIIe leçon. — Soustraction des nombres algébriques
VIIIe leçon. — Produit de nombres algébriques
IXe leçon. — Division des nombres algébriques
XIIIe leçon. — Expressions algébriques — Monômes
XVe leçon. — Multiplication des polynômes
XVIIe leçon. —— Division des monômes et des polynômes — Décomposition en facteurs — Fractions rationnelles
XVIIIe leçon. — Equation du premier degré
XIXe leçon. — Equations se ramenant au premier degré — Systèmes d’équations
IIIe lecon. — Cas d’égalité des triangles
IVe leçon. — Inégalités dans le triangle
VIIe leçon. — Propriétés angulaires des parallèles
VIIIe leçon. — Somme des angles d’un triangle
XIe leçon. — Trapèze — Parallèles équîdistantes
XIIe leçon. — Droites concourantes dans un triangle
XIIIe leçon. — Le cercle — Droite et cercle
XIVe leçon. — Positions relatives de deux cercles
XVIIe leçon. — Quadrilatère inscriptible
XVIIIe leçon. —- Constructions géométriques
XIXe leçon. — Constructions de triangles
XX° leçon. — Tangentes et cercles tangents
LIVRE III : TRAVAUX PRATIQUES ET ASTRONOMIE
Автор: Lebossé C. Hémery C.
Теги: mathematiques algèbre géométrie arithmétique
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Текст
                    C.LEBOSSE
C.HÈMERY
Arithmétique
Algèbre
et
Géométrie
A
CLASSE
ne
QUATRIÈME
FERNAND
NATHAN

ARITHMÉTIQUE
ALGÈBRE
ET
GÉOMÉTRIE

C.
LEBOSSÉ
C.
HÉMERY
Agrégé
de
Mathématiques
Agrégé
de
Mathématiques
Professeur
au
Lycée
Claude
Bernard
Professeur
au
Collège
Lavoisier
ARITHMÉTIQUE
ALGÈBRE
ET
GÉOMÉTRIE
Classe
de
Quatrième
des
Lycées
et
Collèges
PROGRAMMES
DE
I
958
FERNAND
NATHAN,
ÉDITEUR
18,
rue
Monsieur-le-Prince
PARIS
6°
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réservés

COLLECTION
LEBOSSÉ
ET
HÊMERY
Lycées
et
Collèges
6e
Arithmétique
et
Travaux
pratiques
(1
Se
Arithmétique
et
Géométrie
(1
4e
Arithmétique,
Algèbre
et
Géométrie
(1
3e
Algèbre,
Arithmétique
et
Géométrie
(1
2e
A
et
B
Algèbre
et
Géométrie
(1
2e
A’C
MM’
Algèbre
(1
Géométrie
plane
(1
11Ve
A
et
B
Algèbre
et
Géométrie
(1
11’e
A’C
MM’
Algèbre
et
Trigonométrie
(1
Géométrie
dans
l’espace
(1
1re
Technique
Compléments
d’Algèbre
et
Géométrie
descriptive
(1
Mathématiques
Géométrie
(1
Mathématiques
Algèbre
(en
préparation)
(1
Enseignement
technique
(avec
la
collaboration
de
M.
LOUBES)
4e
Arithmétique
et
Algèbre
(1
Géométrie
(1
3e
Arithmétique
et
Algèbre
(1
Géométrie
(1
2e
et
1’:e
Algèbre
(1
le
et
11re
Géométrie
(en
préparation)
Enseignement
court
(Cours
complémentaires)
6e
Arithmétique
et
Travaux
pratiques
(1
5e
Arithmétique
et
Géométrie
(1
4e
Arithmétique,
Algèbre
et
Géométrie
(1
3°
Algèbre
et
Géométrie
(1
vol
.)
vol
vol
.)
vol.)
vol.)
vol
vol
.)
v—ol
.)
vol.)
vol
.)
vol.)
vol
.)
vol.)
vol.)
vol.)
vol.)
vol
.)
vol
.)
vol.)
vol
.)
vol.)
vol.)

PROGRAMME
DU
31
JUILLET
1958
CLASSE
DE
QUATRIÈME
Arithméthuo
Pratique,
sur
des
exemples,
de
la
décomposition
d'un
nombre
entier
en
un
produit
de
nombres
premiers;
pratique
de
la
recherche
du
plus
grand
diviseur
commun
et
du
plus
petit
multiple
commun
de
deux
ou
plusieurs
nombres.
Apph-
cations.
Algèbre
I.
—
Nombres
relatifs
(positifs,
nuls,
négatifs).
Orientation
d’un
segment
(vecteur);
orientation
d’une
droite,
axe;
mesure
algébrique
d’un
segment
orienté
sur
un
axe;
repérage
d’un
point
sur
un
axe
(abscisse).
II.
—
Opérations
élémentaires
sur
les
nombres
relatifs
:
addition
et
sous—
traction,
multiplication
et
division.
Extension
aux
nombres
relatifs
des
ropriétés
fondamentales
établies
pour
les
nombres
arithmétiques
(classe
de
cinqu
ème),
concernant
les
sommes,
les
diﬂé—
rences,
les
produits,
les
puissances
nièmes,
les
quotients,
l’inverse
d’un
nombre
non
nul.
Condition
pour
qu’un
produit
soit
nul.
Déﬁnition
des
exposants
négatifs
et
de
l’exposant
nul.
Comparaison
des
nombres
relatifs,
inégalités.
Inégalités
concernant
la
valeur
absolue
d'une
somme
ou
d’une
diﬁérence.
Formule
de
Chasles
pour
trois
points
situés
sur
un
axe.
Segment
déﬁni
par
les
abscisses
des
deux
points
qui
le
limitent:
mesure
algébrique
de
ce
segment
orienté,
mesure
de
la
longueur
de
ce
segment,
abscisse
du
milieu
de
ce
segment.
III.
—
Notions
de
variable
et
de
correspondance
entre
variables.
Expressions
algébriques
dépendant
d'une
ou
plusieurs
variables;
calcul
de
la
valeur
numérique
d’une
expression
algébrique
pour
des
valeurs
numériques
données
aux
variables.
Monômes
à
une
ou
plusieurs
variables,
multiplication;
addition
de
monômes
semblables.
Polynômes;
forme
réduite.
Polynômes
à
une
variable:
degré;
polynômes
ordonnés;
addition;
multiplication.
Identités
relatives
aux
produits
:
(a:
+
y)’,
(a:
—
y)‘,
(a:
+
y)
(a:
—
y).
IV.
—
Équations
position
du
problème;
signiﬁcation
du
signe
=
dans
ce
problème.
Équation
du
premier
degré
à
une
inconnue
à
coefﬁcients
numériques.
Réso-
lution
de
problèmes
simples
à
l’aide
d’une
telle
équation.
Géométrie
plane
I.
—-—
Rappel
des
déﬁnitions
et
des
résultats
acquis
dans
la
classe
de
cinquième.
II.
—
Inégalités
dans
les
triangles.
Régions
séparées
par
la
médiatrice
d'un
segment.
Comparaison
des
segments
joägrnant
un
point
aux
différents
points
d’une'
droite;
distance
d’un
point
à
une
oit
.

III.
—
Droites
parallèles;
angles
formés
par
deux
parallèles
et
une
sécante.
Angles
a
côté
parallèles.
Somme
des
angles
d’un
triangle,
d’un
polygone
convexe
(angles
intérieurs,
angles
extérieurs).
IV.
Quadrilatères
particuliers;
propriétés
des
angles
du
trapèze;
propriétés
des
angles,
des
côtés,
des
diagonales
du
parallélogramme,
du
rectangle,
du
losange
du
carré;
propriétés
réciproques.
Médiane
relative
à
l’hypoténuse
d’un
triangle
rectangle.
V.
—
Positions
d’un
point
par
rapport
à
un
cercle.
Positions
relatives
d’une
droite
et
d’un
cercle.
Tangente
à
un
cercle.
Comparaison
des
segments
joignant
un
point
aux
diﬂérents
points
d’un
cercle.
Positions
relatives
de
deux
cercles.
Cercles
passant
par
deux
points.
Cercles
tangents
à
deux
droites.
VI.
—
Comparaison
d'un
angle
inscrit
dans
un
cercle
et
de
l’angle
au
centre
interceptant
le
même
arc.
VII.
—
Droites
concourantes
d’un
triangle
:
médianes,
médiatrices,
hauteurs,
bissectrices.
Cercle
circonscrit
à
un
triangle.
Cercles
tangents
à
trois
droites.

ARITHMÉTIQUE
PREMIÈRE
LEÇON
PUISSANCES
l.
Déﬁnition.
—
On
appelle
puissance
d’un
nombre
le
produit
de
plusieurs
facteurs
égaux
à
ce
nombre.
Ainsi:
I?
X
l3
I3
XOI3
s'écrit
13‘
et
se
lit
a
I3
puissance
4».
Le
nombre
entier
4
écrlt
à
droxte
et
au—dessus
de
I3
est
un
exposant.
L'exposant
'une
puissance
indique
le
nombre
des
facteurs
égaux
de
cette
pulssance.
a
X
a
s'écrit
a2_et
se
lit
(t
a
puissançe
2
D
ou
a
au
carré.
a
X
a
X
a
s'écrit
aa_et
se
ht
<<
a
puissance
3
D
ou
a
au
cube.
a
X
a
X
a
X
a
s'écnt
a4
et
se
ht
t<
a
puissance
4»,
etc.
On
convient
que
al
=
a.
2.
Produit
de
puissances
d’un
même
nombre.
—
Le
produit
de
deux
ou
plusieurs
puissances
d’un
même
nombre
est
la
puis-
sance
de
ce
nombre
dont
l’exposant
est
la
somme
des
exposants
des
facteurs.
Ainsi:
54X53=(5><5X5><5)><(5X5X5)
Pour
multiplier
deux
produits,
on
forme
un
produit
conservant
tous
les
facteurs,
donc:
\
54><53=5><5><5><5><5><5><5=57
soit:
54x
53:54+3
De
même:
54X53X5
=57x5=58=54+8+1
Plus
généralement,
m,
n
et
p
désignant
trois
nombres
entiers:
amXan=am+n
amXanXap=am+n+P

8
ARITHMÉTIQUE
3.
Puissance
d’une
puissance.
—
La
puissance
d’une
puissance
d’un
nombre
est
la
puissance
de
ce
nombre
dont
l’exposant
est.
le
produit
des
deux
exposants.
'
EXEMPLE:
(75)4=
75
><
75
><
75
x
75
=
720
soit
:
(75)4
=
75x4
Plus
généralement,
p
et
q
désignant
deux
nombres
entiers:
(ap)q
=
apq
4.
Quotient
exact
de
deux
puissances
d’un
même
nombre.
—
Le
quotient
exact
de
deux
puissances
d’un
même
nombre
est
la
puis-
sance
de
ce
nombre
dont
l’exposant
est
la
différence
des
exposants
des
deux
termes.
L'égalité:
“2
><
ll4=116
montre
que
H4
est
le
quotient
exact
de
Il6
116
par
H2.
Donc:
ﬁé
=
"4:11"—2
Plus
généralement,
si
p
et
q
sont
deux
nombres
entiers
tels
que
p
>
q
:
g—p
=
(ID-q
a5
v
r
.
Notons
que
—
=
l
=
05"”
=
a0;
on
conVIent
que
a0
=
l.
a5
5.
Puissance
d’un
produit.
—
Pour
élever
un
produit
de
facteurs
à
une
puissance,
on
peut
élever
chaque
facteur
du
produit
à
cette
puissance.
EXEMPLE:
(2>
(2>
<7)3=(2><5><7)><(2><5x7)><(2><5><7)
On
forme
un
seul
produit
contenant
tous
les
facteurs:
(2x5><7)3=2><5><7><2><5><7><2><5><7
On
peut
remplacer
plusieurs
facteurs
par
leur
produit
effectué:
(2x5><7)3=(2><2><2)><(5><5><5)><(7><7><7)
soit:
(2X5
><
7)3=
23
><
53
X
73
De
même:
(22
><
33
><
5)4
=
(22)4
><
(33)4
><
54
=
28
><
312
><
54
Plus
généralement
:
(abc)"'
=
ambmcm

PUISSANCES
9
6.
Puissance
d’un
rapport.
—
Pour
élever
un
rapport
à
une
puis-
sance
on
peut
élever
les
deux
termes
de
ce
rapport
à
cette
puis-
sance.
EXEMPLE:
g
symbolise
le
rapport
(ou
quotient
exact)
de
7
par
9
et
:
23_Z
Z
7_7x7x7
G)_9X9X
6—9x9x9
O
7
s
_
73
801|:
.
—
98
,
,
,
g
m
=
ï"
Plus
generalement
.
(b)
bm
7.
Applications.
—
1°
Multiplication
de
produits
:
soit:
A=(43><52><7)><(42x73>
A=(43><52><7)><(42x73>
Nous
obtenons:
A=43><52X7><42><73><
Il
=43><42><52><7><73>
=43><42><52><7><73>
unit:
A=45X52X74XH‘
2°
Quotient
exact
de
produits
:
.
_
25
X
74
><
I3
mut.
A——————23X75XH
On
peut
écrire
ce
rapport:
A=__23><22><74><13
23x74><
7
><
Il
puis
diviser
ses
deux
termes
par
23
><
74.
On
obtient:
A
=
âiï—lî
EXERCHÆB
-
Elfectuer
les
puissances
suivantes:
0
l.
2.7.
o
2.
35.
o
3.
54.
o
4.
43.
o
ü.
103.
o
6.
107.
o
7.
123.
o
8.
174.

l0
o
35.
(2
X
3
x
5)”.
o
37.
(22
X
3
X
5)3.
.48.(2
x3'x7)x(23x3x
5).
.50.(2°x3'x5)x(23x7x11).
ARITHMÉTIQUE
-—
Eﬁectuer
les
produits
suivants:
9.
2‘
x
23.
o
1o.
10‘
><
10.
o
11.
53
X
52.
12.
2‘l
X
25
X
23.
o
13.
7‘
x
73
X
7.
o
14.
105
X
103
X
10.
15.
a5
X
(12.
o
16.
x7
X
x“
o
17.
b8
X
b2.
18.
a4
X
a5
X
a3.
o
19.
x
X
2:7
X
x2.
o
20.
y3
X
y"l
X
y“.
21.
(2493.
o
22.
(103)3.
o
23.
(52)2.
24.
(a5)3.
o
25.
(x7)3.
o
26.
(y25)4.
——
Calculer
les
quotients
suivants:
213
1741
1013
57
27.
2—16.
o
28.
W.
o
29.
102-
o
30.
a15
1,17
x5
1.3
31.
11—60
0
32.
Fin
O
33-
Ei-
O
34.
a;
—
Effectuer
les
puissances
suivantes,
de
deux
façons
différentes:
o
36.
(4
x
7
x
11)3.
.
38.-
(22
x
7
x
13)4.
\
——
Calculer
les
puissances
suivantes
:
5
2
7
2
39.
(12).
.
4o.
(13).
42.
(êÿ.
.
43.
<%>3.
45.
(0,5)4.
o
46.
(1,25)3.
14
2
41.
—
o
'
(25)
11
3
44-
—
'
'
(20)
o
47.
(0,75)5.
—,
Effectuer
les
produits
suivants
:
.49.(52><7><13)x(5><7><112).
.51.(2><5><7)2><(3><4)2.
—
Simpliﬁer
les
quotients
exacts
suivants
:
52_2*5x7='><17
.
.
53_
35x47><13_
23
x
73
x
172
3°
><
4°><
11‘
54“
11=l
x
13
x293
_
55_
1913
'><
3114
x
5
11
x
13!I
x29“.
1912
><
3115
x
2'
.‘ë.

DEUXIÈME
LEÇON
NOMBRES
PREMIERS
8.
Diviseurs
d’un
nombre
entier.
—
La
division
de
105
par
21
se
fait
exactement
car:
105
=
21
X
5.
On
dit
alors
que:
105
est
un
multiple
de
21
ou
que
105
est
divisible
par
21.
21
est
un
diviseur
de
105
ou
que
21
divise
105.
Or
21
est
égal
à
7
X
3,
ce
qui
permet
d'écrire:
105=21><5=7><3><5=7><15.
Par
suite,
7
qui
est
un
diviseur
de
21,
est
aussi
un
diviseur
de
105,
mul-
tiple
de
21.
Inversement
105.
multiple
de
21,
est
aussi
multiple
de
7
divia
seur
de
21.
Donc
:
9.
Théorème.
—
Tout
'diviseur
d’un
nombre
entier
A
divise
aussi
ses
multiples.
Tout
multiple
d’un
nombre
entier
A
est
mul-
tiple
de
chacun
de
ses
diviseurs.
Les
diviseurs
d'un
nombre
s'obtiennent
en
essayant
de
1e
diviser
par
les
dlﬁérents
nombres
entiers
successris.
Amsr
315
admet
pour
lelseurs:
1.
3.
5.
7.
9,
15,
315,
105,
63,
45,
35,
21.
Comme
315
n'est
pas
divisible
par
2,
il
ne
peut
être
divisible
par
un
mul—
tiple
de
2.
11
est
_donc
inutile
d'essayer
les
divisions
par
4,
6,_
8,
etc.
Notons
qu'à
chaque
dmseur
a
s
assoc1e
le
diviseur
complémentaire
b
tel
que:
ab
=
315.
10.
Nombres
premiers.
—
Un
nombre
premier
est
un
nombre
entier
quiﬂn’est
divisible
que
par
lui-même
et
par
l’unité.
13
est
premier,
car
ses
seuls
diviseurs
sont
1
et
13.
25
n'est
pas
premier.
car
il
admet
pour
diviseurs
1,
5
et
25.

l
2
ARITHMÊTIQ
UE
Il.
Table
des
nombres
premiers.
-
Soit
à
établir
la
liste
des
nombres
premiers
inférieurs
à
50.
Écrrvons
les
nombres
entiers
de
l
à
50
et
supprl—
mous
les
nombres
non
premiers.
l
2
3
l
5
ﬁ
7
2’
ﬁ
n
yz
:3
y:
y;
)6
l7
M
l9
zr
Z
23
24
,25
jä
y
,28
29
3l
2%
26
24
25
:6
37
}6'
ï!
äääääi
zzlﬂ4344’25’9647539q
Nous
avons
sUppri‘mé
tous
les
multiples
de
2,
3,
5
et
7.
Le
plus
petit
nombre
à
barrer
ensuite
serait
donc
Il
X
Il
=
12].
Nous
pouvons
en
conclure
que
tous
les
nombres
qui
restent
dans
le
tableau
sont
premlers.
Sorent:
l,
2,
3,
5,
7,
Il,
l3,
I7,
l9,
23,
29,
3l,
37,
4l,
43.
47.
12.
Théorème.
—
Tout
nombre
entier
non
premier
admet
au
moins
un
diviseur
premier.
Soit
le.
nombre
non
premier
3
55].
Son
plus
petit
diviseur,
autre
_que
I2
est
53.
SI
53
admettait
un_d1v13eur
autre
que
l
et
53,
ce
lelseur
serait
auSSI
un
diviseur
de
3
55|
,
1nfér1eur_à_'_53.
Cela
est
1mp0331ble;
53
est
donc
premier.
l3.
Recbnnaître
si
un
nombre
entier
est
premier.
—
Un_
n0mbr_e
entier
qui
n'admet
aucun
leiseur
premier
eât
un
nômbre
premier.
Sont
par
exemple
le
nombre
97.
'
l°
97
n'est
pas
divisible
par
2,
3
ou
5
(règles
de
divisibilité).
2°
97
n'est
pas
divisible
par
7
(quotient:
l3,
reste:
6).
3°
97
n'est
pas
divisible
par
ll
(quotient:
8,
reste:
9).
4°
97
n'est
pas
divisible
par
un
nombre
supérieur
à
Il.
En
effet,
le
quo-
tient
de
97
par
ll
e'St
8.
Si
97
était
divisible
par
l9
nous
auriOns
:
97
=
l9
X
q,
avec
q
au
plus
égal
à
8.
Le
nombre“
97
serait
divisible
par
le
nombre
q,
ce
qui
est
impossrble
d'après
les
premiers
essals.
97
est
donc
un
nombre
premier.
RÈGLE.
—
Pour
reconnaître
si
un
nombre
entier
est
premier,
on
le
divise
par
les
nombres
premiers
successifs.
Si
division
ne
se
fait
exactement
le
nombre
est
premier.
_
On
arrête
tu
diviaiôäô
loräqüè
le
gratifiant
05mn
cet
égal
ou
inférieur
au
diviseur
premier
essayé.

NOMBRES
PREMIERS
13
DÉCOMPOSITION
D’UN
NOMBRE
ENTIER
EN
FACTEURS
PREMIERS
l4.
Théorème.
—
Tout
nombre
entier
non
premier
peut
se
décomposer
en
un
produit
de
facteurs
premiers.
Considérons
1e
nombre
315.
Il
est
divisible
par
3:
315=3><105
Or:105=3><35d’où:
315:3
X
3
X
35
Et,
puisque
35:5
X
7,
3l5=3><3><5><7.
Soit315=32X5X7.
Le
nombre
315
est
décomposé
en
un
produit
de
facteurs
premiers.
La
décomposition
d’un
nombre
en
facteurs
premiers
ne
peut
se
faire
que
d’une
seule
manière.
Ainsi,
nous
aurions
pu
écrire:
315
=
15
X
21.
Comme
15
=
3
X
5
et
21
=
3
X
7,
nous
obtenons:
3I5=3><5><3‘><7=32><5><7.
Nous
retrouvons
la
même
décomposition:
Cette
.opération
est
appelée
factorisation.
Le
nombre
32
X
5
X
7
est
dlt
factorlsé.
15.
Disposition
pratique.
—
La
première
méthode
employée
conduit
à
la
disposition
pratique
suivante:
315
3
360
2
1
400
2
105
3
180
2
700
2
35
5
90
Z
350
2
7
7
45
3
175
5
1
15
3
35
5
5
5
7
7
1
1
315=32X5X7
360=Z3X32X5
1400=Z3X52X7.
On
écrit
à
gauche
d'un
trait
vertical
le
nombre
a
décomposer
et
les
difféu
rents
quotients
Jusqu
à
1
et
à
dr01te
les
différents
leiseurs
premiers
successifs.
REMARQUE.
—
Il
est
évident
que
leOnornbre,premier
1
ne
peut
jouer
le
rôle
de
facteur
premier
dans
la
factorisation
d
un
nombre.
16.
Produit
de
deux
nombres
factorisés.
Soit
à
effectuer
le
produit:
(2Il
X
3‘
X
5’)
X
(2‘
X
32
X
7).
Ce
produit
s'écrit:
23
X
3‘
X
5'
X
2‘
X
3'
X
7.
Soit
(n°
2):
27
X
3°
X
5'
X
7.

I
4
ARITHMÉTIQ
UE
Le
produit
de
deux
nombres
factorisés
contient
tous
les
facteurs
contenus
dans
les
deux
nombres,
chacun
d’eux
étant
affecté
d’un
exposant
égal
à
la
somme
des
exposants
qu’il
a
dans
chacun
des
deux
nombres.
Cette
règle
se
généralise
pour
plusieurs
facteurs
et
permet
de
calculer
o
9
les
puissances
d
un
nombre:
EXEMPLES:
l°
(23x3x52)><(2x34x52)><(32><7)=2‘><37><5‘><7.
2°
(23x
34x
52)2=2°><
38x
54.
3°
(24x
3
><
72)3=212
><
33
><
7“.
l7.
Quotient
exact
de
deux
nombres
factorisés.
—
Considérons
les
nombres
:
27><34><53
et
24x32.
On
peut,
d'après
la
règle
précédente,
écrire:
27
><
34x
53=(24><
32)
><
(23
x
32x
53).
Soit:
(27
><
34
><
53):
(24
><
32)
=
23
><
32
><
53.
Le
quotient
de
deux
nombres
factorisés
contient
les
facteurs
du
dividende,
chacun
d’eux
étant
affecté
d’un
exposant
égal
à
la
différence
des
exposants
qu’il
a
dans
le
dividende
et
le
diviseur.
Nous
voyons
apparaître
la
condition:
Pour
qu’un
nombre
entier
A
soit
divisible
par
un
nombre
entier
B
(ou
soit
multiple
de
B),
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’il
contienne
tous
les
facteurs
premiers
de
B
avec
des
exposants
au2moins
égaux
à
ceux
de
B.
EXERCICES
o
56.
Établir
la
liste
et
le
nombre
des
diviseurs
de
54.
Grouper
par
deux
les
divi-
seurs
dont
le
produit
est
54
et
montrer
qu’il
sufﬁt
de
rechercher
le
plus
petit
nombre
de
chaque
groupe.
—
Reprendre
le
même
problème
pour
les
nombres
:
o
57.
80.
0
58.
108.
0
59.
128.
0
60.
252.
O
61.
34.
0
62.
250.
0
63.
288.
Q
64.
315.
C
65|
36a
.
86.
1000
0
.7.
Q
08.

NOMBRES
PREMIERS
15
——
Reconnaître
si
les
nombres
entiers
suivants
sont
premiers
et
donner
s’il
y
heu
leur
plus
petit
diviseur
premier:
Os
n
o
69.
79.
o
70.
107.
o
71.
143.
0
72.
173.
o
73.
83.
0
74.
149.
o
75.
181.
0
76.
221.
o
77.
89.
o
78.
167.
o
79.
187.
o
80.
241.
o
81.
97.
O
82.179.
o
83.
193.
0
84.
283.
o
85.
Montrer
que
tout
nombre
premier
supérieur
à
5
est
obligatoirement
ter-
miné
par
1,
3,
7
ou
9
——
Décomposer
en
facteurs
premiers
les
nombres
entiers
suivants
:
.
86.
108.
o
87.
144.
o
88.
2520.
o
89.
8000.
a
9o.
84.
.
91.
250.
o
92.
864.
.
93.
5740.
.194.
176.
o
95.
294.
.
96.
7920.
.
97.
1
053.
o"
98.
36
x
42.
o
99.
72
><
77.
o
100.
108
x
75.
.
101.
84
x
25
x
121.
o
102.
36
><
27
><
143.
o
103.
65
><
49
><
24.
.
104.
1082.
o
105.
2523.
o
106.
242
><
333
><
115.
-—
Calculer
les
nombres
:
0107.22X3X7.
0108.2X32X5X7.
.109.23><3x5><11.
0110.32X52x11.
0111.32X7X11x13.
0112.22X73X11X17.
—
Effectuer
en
laissant
les
résultats
sous
forme
décomposée:
.
113.(22x34x5)x(2x3x72).
o
114.
(29
x
34
><
5)
><
(32
x
7
><
113)
><
(5
><
112).
o
115.
(24
x
32
><
7
><
113)2.
o
116.
(2
><
34
><
73
><
112)3.
.
117.
(25
x
32
><
52
x
72):
(23
x
5
x
72).
o
118.
(27
x
32
><
54
><
11):
(27
><
3
x
52).

TROISIÈME
LEÇON
PLUS
GRAND
COMMUN
DIVISEUR
(P.
G.
C.
D.)
18.
Déﬁnitions.
—
On
appelle
diviseur
commun
à
deux
ou
plu-
sieurs
nombres
entiers
tout
nombre
qui
divise
chacun
d’eux.
Pour
obtenir
la
liste
des
diviseurs
communs
à
plusieurs
nombres,
on
peut
établir
la
liste
des
lelseurs
de
chacun
d’eux
et
prendre
les
nombres
communs
à
ces
listes:
EXEMPLE.
-—
Les
diviseurs
des
nombres
30,
45
et
75
sont
respectivement
:
I,
Z,
3,
5,
6,
I0,
I5,
30
I,
3,
5,
9,
I5,
45
I,
3,
5,
I5,
25,
75.
Leurs
diviseurs
communs
sont
I,
3,
5,
I5.
Le
plus
grand
des.
diviseurs
communs
à
plusieurs
nombres
s’appelle
leur
plus
grand
commun
diviseur,
en
abrégé
P
On
voit
ainsi
que
le
P.
C.
C.
D.
de
30,
45
et
75
est
I5.
l9.
Diviseurs
communs
à
deux
nombres
factorisés.
La
condition
de
divisibilité
(nO
I7),
montre
que,
pour
qu’un
nombre
soit
un
diviseur
d’un
nombre
A,
il
faut
et
il
sufﬁt
qu'il
ne
contienne
que
des
facteurs
contenus
dans
A,
chacun
d’eux
étant
affecté
d'un
exposant
au
plus
égal
à
son
exposant
dans
A.
Il
en
résulte
que:
Pour
qu’un
nombre
entier
soit
un
diviseur
commun
à
deux
nombres
entiers
A
et
B,
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’il
ne
contienne
que
des
facteurs
premiers
communs
à
A
et
B,
chacun
d’eux
étant
affecté
d’un
exposant
au
plus
égal
à
son
plus
petit
exposant
dans
A
et
B.
Ainsi
les
nombres:
720
=
24
><
32
><
5
et
I
5I2
=
23
><
33
><
7
admettront
pour
diviseurs
communs:
3,
23:8,
22X3=12,
23X3=24.

PLUS
GRAND
COMMUN
DIVISEUR
l7
Le
plus
grand
des
diviseurs
s'obtient
donc
en
prenant
tous
les
facteurs
communs
et
en
affectant
chacun
d’eux
de
l'exposant
le
plus
grand
posmble.
D'où
:
20.
Règle.
—
Le
P.
G.
C.
D.
de
deux
nombres
entiers
décom-
posés
en
facteurs
premiers
s’obtient
en
faisant
le
produit
des
facteurs
communs
aux
deux
nombres,
chacun
d’eux
étant
affecté
de
son
plus
petit
exposant.
Ainsi
le
P.
C.
C.
D.
de
720=Z4><32><5
et
I5IZ=Z3><33><7
23x
2
2
est
égal
à:
D'autre
part,
nous
voyons
que
les
diviseurs
communs
aux
nombres
720
ct
l
512
ne
contiennent
que
des
facteurs
premiers
contenus
dans
leur
P.
C.
C.
D.
avec
des
exposants
au
plus
égaux
à
ceux
de
ce
P.
G.
C.
D.
Il
en
résulte
que
:
21.
Théorème.
—
Les
diviseurs
communs
à
deux
nombres
entiers
sont
les
diviseurs
de
leur
P.
G.
C.
D.
Ainsi
la
liste
des
diviseurs
communs
à
720
et
I
512
est
la
liste
des
diviseurs
(le
leur
P.
C.
C.
D.:
72.
Soit:
l,
2,
3,
4,
6,
8,
9,
12,
18,
24,
36,
72.
22.
Nombres
premiers
entre
eux.
—
On
appelle
nombres
pre-
miers
entre
eux
deux
nombres
entiers
qui
n’admettent
comme
diviseur
commun
que
le
nombre
1.
Autrement
dit,
leur
P.
G.
C.
D.
est
égal
à
I.
Les
nombres
36
=
22
><
32
et
25
=
52
sont
premiers
entre
eux.
Il
en
est
ainsi
chaque
fois
que
deux
nombres
décomposés
en
facteurs
premiers
m‘
contiennent
pas
de
facteur
commun.
23.
Théorème.
—
Lorsqu’on
divise
deux
nombres
entiers
par
leur
P.
G.
C.
D.,
les
quotients
obtenus
sont
premiers
entre
eux.
Soient
par
exemple
les
nombres:
25
><
32
X
73
et
23
><
34
><
5.
Divisons—les
par
leur
P.
G.
C.
D.
qui
est:
23
X
32.
Les
quotients
sont
wnpcctivement:
22
><
73
et
32
><
5.
Ces
quotients
n'ont
pas
de
facteur
premier
commun.
Ils
sont
donc
premiers
NIth
eux.

l
8
ARITHMÊTIQ
UE
PLUS
PETIT
COMMUN
MULTIPLE
(P.
P.
C.
M.)
24.
Déﬁnitions.
—
On
appelle
multiple
commun
à
deux
ou
plu-
sieurs
nombres
entiers
tout
nombre
multiple
de
chacun
d’eux.
Ainsi
60
est
un
multiple
commun
à
6,
l0
et
l5.
Il
y
a
toujours
une
inﬁnité
de
multiples
communs
à
plusieurs
nombres
(en
particulier
le
produit
de
ces
nombres
et
ses
multiples).
Le
plus
petit
des
multiples
communs
à
plusieurs
nombres
s’appelle
leur
plus
petit
commun
multiple.
En
abrégé
P.
P.
C.
M.
Il
est
facile
de
vériﬁer
que
le
P.
P.
C.
M.
de
6,
10
et
15
est
égal
à
30.
25.
Multiples
communs
‘a
deux
nombres
factorisés.
ll
résulte
immédiatement
de
la
condition
de
divisibilité
(n°
l7)
que:
Pour
qu’un
nombre
entier
soit
un
multiple
commun
à
deux
nombres
entiers
A
et
B,
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’il
contienne
tous
les
facteurs
premiers
contenus
dans
A
et
dans
B,
chacun
d’eux
étant
affecté
d’un
exposant
au
moins
égal
àson
plus
grand
expo-
sant
dans
A
et
B.
Ainsi
les
nombres:
360
=
23
X
32
X
5
et
500
=
22
X
53
admettent
pour
multiples
communs:
23X33><
53:27000,
24X
32X
53X
7:126000.
l_e
plus
petit
des
multiples
communs
s'obtient
donc
en
prenant
seulement
les
{acteurs
contenus
dans
les
deux
nombres
et
en
affectant
chacun
d
eux
de
lexposant
le
plus
petit
posmble.
D
où:
26.
Règle.
—
Le
P.
P.
C.
M.
de
deux
nombres
entiers
décom-
posés
en
facteurs
premiers
s’obtient
en
faisant
le
produit
de
tous
les
facteurs
contenus
dans
les
deux
nombres,
chacun
d’eux
étant
aﬁecté
de
son
plus
grand
exposant.
Ainsi
le
P.
P.
C.
M.
des
nombres
360
et
500
est
égal
à:
23
><
32
><
53:9000.
Nous
voyons
d'autre
part
que
les
multiples
communs
aux
deux
nombres
contiennent
tous
les
facteurs
premiers
de
leur
P.
P.
C.
M.
avec
des
exposants
au
moms
égaux
à
ceux
de
ce
P.
P.
C.
M.
D’où:
27.
Théorème.
——
Les
multiples
communs
à
deux
nombres
entiers
sont
les
multiples
de
leur
P.
P-
C.
M.
Ainsi
les
multiples
communs
à
360
et
à
500
sont
les
multiples
de
leur
P.
P.
C.
M.:
9
000.
Leur
liste
commence
donc
par:
9000,
l8
000,
27
000,
36
000,
etc.

PLUS
PETIT
COMMUN
MULTIPLE
l9
28.
P.
G.
C.
D.
et
P.
P.
C.
M.
de
plusieurs
nombres.
—
Les
conditions
nécessaires
e_t
sufﬁsantes
des
n°3
l9
et
25
“s'étendent
à
plusieurs
nombres.
Il
en
est
par
suite
de
même
des
règles
du
P.
C.
C.
D.
et
du
P.
P.
C.
M
8.11181
que
des
théorèmes
noB
2|
et
27.
EXEMPLE.
—-
Calculer
le
P.
G.
C.
D.
et
le
P.
P.
C.
M.
des
nombres
300,
360
et
480.
Établir
la
liste
de
leurs
diviseurs
communs
et
celle
de
leurs
multiples
communs.
300:22X3X52;
o
I138.
972
et
1
134.
Décomposons
ces
nombres
en
facteurs
premiers‘:
360=23><
32X
5;
Leur
P.
G.
C.
D.
est
égal
à:
22
><
3
><
5
=
60.
Leur
P.
P.
C.
M.
est
égal
à:
25
><
32
><
52:7200.
La
liste
de
leurs
diviseurs
communs
est
la
liste
des
diviseurs
de
60:
l,
2,
3,
4,
5,
6,
lO.
12,
l5,
20,
30,
60.
La
liste
de
leurs
multiples
communs
est
la
liste
des
multiples
cle
7
200:
7
200,
14400,
2|
600,
28
800,
etc.
480:25x3x5.
EXERCICES
—
Calculer
le
P.
G.
C.
D.
des
nombres
suivants:-
119.
168
et
360.
o
120.
252
et
684.
121.
336
et
462.
o
122.
1
840
et
1
260.
123.
18
150
et
23
850.
o
124.
33
390
et
58
800.
125.
315,
819
et
924.
o
126.
252,
693
et
945.
127.
2
520,
3
150,
4410.
o
1.28.
7
560,
10
080
et
12
096.
--
Établir
la
liste
des
diviseurs
communs
aux
nombres:
129.
4
200
et
5
880°
o
1.30.
1
440
et
1
764.
131.
3
780,
4
320
et
5
184.
o
132.
10
584,.
11
520
et
13
104.
-
Calculer
le
P.
P.
C.
M.
et
les
trois
multiples
communs
les
plus
simples
de;
433.
360
et
504.
o
1.34.
252
et
672.
o
136.
720
et
900.
137.
108,
252
et
886.
o
138.
120.
130
et
2'70.

20
ARITHMÉTIQUE
o
139.
1°
Calculer
le
P.
G.
C.
D.
et
P.
P.
C.
M.
des
nombres
576
et
1
080.
2°
Comparer
le
produit
des
deux
résultats
au
produit
des
deux
nombres.
Énoncer
le
résultat
obtenu.
o
140.
1°
Calculer
le
P.
G.
C.
’D.
et
le
P.
P.
C.
M.
des
nombres
99
et
140.
2°
Quel
est
le
P.
P.
C.
M.
de
deux
nombres
premiers
entre
eux?
o
141.
1°
Calculer
le
P.
G.
C.
D.
et
le
P.
P.
C.
M.
des
nombres
144
et
180.
2°
Que
deviennent
les
résultats
précédents
lorsqu’on
multiplie
(ou
lorsqu’on
divise)
les
deux
nombres
par
6?
Généraliser.
o
142.
Démontrer
que,
si
un
nombre
en
divise
deux
autres,
il
divise
leur
somme,
leur
difÏérence
et
le
reste-
de
leur
division.
o
143.
La
division
de
deux
nombres
se
fait
exactement.
Quel
est
leur
P.
G.
C.
D
et
quel
est
leur
P.
P.
C.
M.?
Exemple
:
6
375
et
375.
o
144.
Montrer
que
la
liste
des
diviseurs
communs
à
deux
nombres
est
la
même
que
celle
du
plus
petit
de
ces
nombres
et
du
reste
de
leur
division.
Que
peut-on
dire
des
P.
G.
C.
D.?
APPLICATION.
—
Remplacer
la
recherche
du
P.
G.
C.
D.
de
792
et
240
par
la
recherche
du
P.
G.
C.
D.
de
deux
nombres
plus
simples.
Répéter
cette
opération
aﬁn
d’obtenir
'un
P.
G.
C.
D.
évident.
(Méthode
des
divisions
successives.)
'
o
145.
Utiliser
la
méthode
indiquée
au
numéro
précédent
pour
la
recherche
du
P.
G.
C.
D.
des
nombres
2
021
et
2
679.
o
146.
Trouver
deux
nombres
non
divisibles
l’un
par
l’autre
sachant
que
leur
P.
G.
C.
D.
est
égal
à
336
et
leur
somme
égale
à
2
688.
o
147.
Par
quel
nombre
inférieur
à
100
faut-il
diviser
29
687
et
35
312
pour
obtenir
pour
restes
respectifs
47
et
32.
Quels
sont
alors
les
quotients?
o
148.
En
divisant
809
et
1
024
chacun
par
un
certain
nombre,
on
trouve
le
même
quotient
et
pour
restes
respectifs
27
et
35.
Reconstituer
les
deux
divisions.
o
149.
On
a
planté
des
arbres
également
espacés
sur
le
pourtour
d’un
terrain
triangulaire
dont
les
côtés
mesurent
144
m,
180
m
et
240
m.
Sachant
qu’il
y
a
un
arbre
à
chaque
sommet
et
que
la
distance
de
deux
arbres
consécutifs
est
com—
prise
entre
4
mètres
et
10
mètres,
calculer
le
nombre
d’arbres
plantés.
o
150.
Un
ouvrier
a
touché
pour
trois
mois
successifs
:
462
F,
528
F
et
594
F.
Trouver
son
salaire
journalier
sachant
que
c’est
un
nombre
entier
de
francs
compris
entre
20
F
et
30
F.
Trouver
le
nombre
de
jours
de
travail
eﬁectués
chaque
mois.
o
151.
On
a
fait
carreler
une
pièce
rectangulaire
de
4,20
m
sur
2,24
m.
Sachant
que
les
carreaux
employés
ont
un
côté
compris
entre
10
cm
et
25
cm,
calculer
la
longueur
de
leur
côté
et
leur
nombre.
o
152.
On
veut
partager
en
coupons
d’égale
longueur
quatre
pièces
d’étoﬁe
mesurant
respectivement
17,50
m,
28
mètres,
31,50
m
et
42
mètres.
Trouver
la
plus
grande
longueur
possible
pour
chaque
coupon
et
le
nombre
total
de
ces
coupons.
o
153.
Deux
règles
égales
de
504
mm
de
longueur
sont
graduées
l’une
en
72
parties,
l’autre
en
126
parties.
On
fait
coïncider
leurs
extrémités.
Déterminer
les
traits
de
division
qui
coïncident.
o
154.
Trouver
les
multiples
c'ommnns
in
0,
8
et
10
compris
entre
500
et
1
000.

PLUS
PETIT
COMMUN
MULTIPLE
2]
o
155.
Trouver
les
trois
nombres
les
plus
simples
divisibles
par
les
10
premiers
nombres
entiers.
o
156.
Quel
est
le
plus
petit
nombre
qui
donne
7
pour
reste
quand
on
le
divise
par
l2,
par
15
ou
par
16?
o
157.
Trouver
un
nombre
qui
donne
16
pour
reste
quand
on
le
divise
par
24
ou
par
32,
et
8
pour
reste
lorsqu’on
le
divise
par
20.
o
158.
Trouver
le
plus
petit
nombre
qui,
divisé
par
5,
6
ou
8,
donne
respective-
ment
pour
restes
4,
5
et
7.
o
159.
Deux
cyclistes
roulent
dans
le
même
sens
sur
une
piste.
Le
premier
fait
un
tour
en
1
minute
45
secondes
et
le
second
en
1
minute
36
secondes.
Sachant
qu’ils
sont
partis
ensemble
de
la
ligne
de
départ,
on
demande
après
combien
de
temps
passeront-ils
ensemble
cette
ligne
de
départ.
Combien
de
tours
chacun
d’eux
aura-t—il
eﬂectués?
o
160.
Des
pavés
rectangulaires
qui
ont
12
cm
de
large
et
21
cm
de
long
ont
servi
à
paver
entièrement
une
place
carrée.
Calculer
le
côté
de
cette
place
sachant
qu’il
mesure
un
nombre
entier
de
mètres
compris
entre
_3O
mètres
et
60
mètres.
o
161.
Trois
règles
graduées
de
960
mm
de
long
sont
placées
côte
à
côte
de
façon
que
leurs
extrémités
coïncident.
Les
divisions
ont
pour
longueurs
respectives
10
mm,
12
mm
et
16
mm.
Déterminer
les
traits
de
divisions
qui
coïncident_sur
les
trois
règles.
o
162.
Une
personne
a
acheté
un
certain
nombre
entier
de
mètres
d’étoffe
à
6,50
francs
le
mètre.
Elle
paye
exactement
avec
des
billets
de
10
francs.
Sachant
que
la
dépense
totale
n’excède
pas
200
francs,
trouver
le
nombre
de
mètres
achetés.
o
163.
Un
enfant
compte
ses
timbres-poste
par
12,
par
16
et
par
20.
Il
lui
en
reste
8
à
chaque
fozis.
En
les
comptant
par
13,
il
ne
lui
en
reste
plus.
Combien
posSède-t-il
de
timbres
o
164.
En
Comptant
les
élèves
d’une
école
par
9,
10
ou
12,
il
en
reste
respective-
ment
8,
9
et
11.
En
les
comptant
par
11,
il
n’en
reste
pas.
Trouver
le
nombre
d’élèves
de
l’école.
'
o
165.
Des
autobus
partent
d’un
même
point
dans
quatre
directions
différentes.
Les
départs
se
font
respectivement
dans
chaque
direction
toutes
les
5
minutes,
8
minutes,
12
minutes
et
18
minutes.
Un
départ
simultané
a
lieu
à
7
heures
le
matin.
Quelles
sont
les
heures
des
autres
départs
simultanés
de
la
journée?

QUATRIÈME
’
LEÇON
APPLICATION
AUX
FRACTIONS
29.
Simpliﬁcation
d’une
fraction.
Pour
simpliﬁer
une
fraction,
il
sufﬁt
de
diviser
ses
deux
termes
par
un
de
leurs
diviseurs
communs.
I_2_6_=126:9=151_
189
189:9
21'
Il
est
évident
queOI'on
ne
peut
répéter
indéﬁnirnent
cette
oBération.
Si.
en
particulier,
on
divise
les
deux
termes
d'une
fraction
par
leur
.
G.
C.
on
obtient
une
fraction
qui
a
ses
termes
premiers
entre
eux
(no
23).
Ainsi
I26
et
I89
ont
pour
P.
C.
C.
D.
:
63.
D'où:
I26
I26
:
63
2
189—189:63—3'
Ainsi
:
On
ne
peut
plus
simpliﬁer
la
fractiong
:
elle
est
dite
irréductible.
3
On
appelle
fraction
irréductible
une
fraction
dont
les
termes
sont
premiers
entre
eux.
Nous
admettrons,
sans
démonstration:
qu’il
n'y
a
qu'une
seule
fraction
irréductible
égale
à
une
fraction
donnée,
d
où:
30.
Théorème.
—
Pour
obtenir
la
fraction
irréductible
égale
à
une
fraction
donnée,
il
sufﬁt
de
diviser
ses
termes
par
leur
P.
G.
C.
D.
On
dit
encore
que
la
fraction
ainsi
obtenue
est
réduite
à
sa
plus
simple
expressxon.

APPLICATION
AUX
FRACTIONS
23
31.
Méthode
pratique.
—
La
recherche
d'un
P.
G.
C.
D.
est
parfois
assez
longue.
Lorsque
les
deux
termes
d'une
fraction
admettent
un
divi—
seur
commun
évident,
on
commence
par
diviser
les
deux
termes
de
la
fraction
par
ce
diviseur
commun.
.
.
I4490
EXEMPLE
:
Simpliﬁer
m.
On
obtient
immédiatement
en
divisant
les
termes
par
I0,
puis
par
9
:
I4490
__
I449
__
191
22
770
—
2277
_
253.
La
décomposition
en
facteurs
premiers
donne
:
ä
=
î:
=
%
(fraction
irréductible).
32.
Fractions
égales.
—-
Soit
n
le
P.
C.
C.
D.
des
deux
termes
d'une
fraction
gb-
égale
à"
la
fraction
irréductible
_7-
.
Puisque
M
=
l
la
frac—
Il
bzn
II’
tion
g
s'écrit
:
Lä—E
b
IIXn’
On
-
traduit
ceci
en
disant
que:
Une
fraction
quelconque
a
ses
termes
équimultiples
de
ceux
de
la
fraction
irréductible
égale.
Pour
obtenir
toutes
les
fractions
égales
à
1—713
il
sufﬁt
de
donner
à
n
toutes
les
valeurs
possibles:
_7_
7
><
2
7
><
3
7
><
4
II'
Il
><
2’
Il
><
3’
Il
X
4'"
33.
Règle.
—
Pour
obtenir
une
fraction
quelconque
égale
à
une
fraction
donnée,
il
faut
:
10
Chercher
la
fraction
irréductible
égale.
2°
Multiplier
les
deux
termes
de
cette
fraction
irréductible
par
un
même
nombre
entier.
34.
Application
aux
fractions
décimales.
—
Une
fraction
est
dite
décrmale
lorsque
son
dénommateur
est
une
puissance
de
I0,
soit
I0,
IOO,
I
000.
I0
000,
etc.
I°
Considérons
la
fraction
décimale
324
___
2.2
><
34':
34
I
000
23
X
53
2
><
53
Le
dénominateur
de
la
fraction
irréductible
égale
ne
contient
que
les
fac—
teurs
premiers
2
et
5
et
ne
peut
évidemment
en
contenir
d'autres.
Simpliﬁons
:

24
ARITHMÉTIQUE
2°
Considérons
la
fraction
irréductible
à;
ï
Multiplions
ses
termes
7>
7>
<5=
385
23x53
IOOO'
Nous
pouvons
en
conclure:
Pour
qu’une
fraction
donnée
soit
égale
“à
une
fraction
déci-
male,
il
faut
et
il
suﬁit
que
le
dénominateur
de
la
fraction
irréductible
égale
ne
contienne
pas
[de
facteur
premier
autre
que
2
et
5.
"
par
5.
Nous
obtenons:
35.
Réduction
au
même
dénominateur.
—
Soit
à
réduire
au
même
dénomlnateur
:
n
A
t
2.2
96’
120
e
270'
l°
Simpliﬁons
ces
fractions,
nous
obtenons:
2
1
et
u
48’
40
90.
2°
Le
dénominateur
commun
cherché
est
un
multiple
commun
de
48,
40
et
90.
Calculons
leur
P.
P.
C.
M
48=Z4><3
40=Z3><5
90=2X32X5.
Le
P.
P.
C.
M.
est
donc:
24
><
32
><
5
=
720.
3°
Pour
obtenir
720,
il
nous
faut
multiplier
48
par
l5,
40
par
18
et
90
par
8.
Les
fractions
s’écriront
:
|5><15
7x18
et
Il><8
48
><
15’
40><
18
90
8'
SOit'
7—59
1—29
et
“8—8—3
°
720
720
720
36.
Règle.
—
Pour
réduire
plusieurs
fractions
au
plus
petit
dénominateur
commun
possible,
il
faut
:
1O
Réduire
ces
fractions
à
leur
plus
simple
expression
;
2°
Chercher
le
P.
P.
C.
M.
des.
nouveaux
dénominateurs
;
3°
Multiplier
les
termes
de
chaque
fraction
réduite
par
le
quotient
de
ce
P.
P.
C.
M.
par
son
dénominateur.
L23.
_
je
_7_7_
APPLICATION.
—
Calculer
.
270
'75
+
882.
4l
9
Il
Simpliﬁons
:
9—0
—
“3—;
o

APPLICATION
AUX
FRACTIONS
25
.
,
o
4l
_
9
H_____
Sont
en
decomposant
.
2
X
32
X
5
5
X
7
+
2———X
32
X
7.
Prenons
pour
dénominateur
commun,
le
P.
P.
C.
M.
:
2
><
32
><
5
><
7.
Nous
obtenons
:
4I><7
__
9><2><32
+
II><5
'2x32x5x7
2X32><5><7
2x32x5x7'
Soit.
Æ_Æ
5_5=287—IÔZ+55=I_89=Ê
°
630
630
630
630
630
7'
EXERCICES
——
Simpliﬁer
les
fractions
suivantes:
1
815
2
184
8
613
12
012
166“
2
385’
7
560'
'
167°
9
009’
25
025'
3
339
17
226
6
720
15
120
168'
5
880’
18
810'
'
169“
9
405’
30
576°
5
292
9
360
5
203
43
659
170.
8—10—0,
18144.
.
171.
6
149’
68
607'
507
><
451
.
315
><
693
861
><
396’
924
><
504'
756
><
336
><
2205‘
252
><
924
X
12
096
168
><
462.
252
><
684
"2'
336
><
360’
840
x
1
260'
°
"3'
441
><
1
815
x
3339
174“
588
><
3
150
x
2
385'
'
"5'
——
Effectuer
les
opérations
suivantes
:
176__92+ië___75_
.52
ë_26
189
84
126°
'
"7'
56
+
231
39'
77
80
56
91
9
55
.
_———_——0
.
—
"'_'
178
35
66
105
'
9
52
+84
105
Æ"ﬂ_ÿ
Æ_ﬂ_ë
180.
160
105
77
.
181.
.
192
_
112
273
’18
23
'45
2
1
l
__..__
__
:_.
°
84
(72
115
'
63)
7
168
50
65
3
85
21
35\
182.
——
——
—-—
x—.
183.
____
(
+
>
4
°
153
+
60
225)
X
2
50
100
45
60
3
185.
-——-___—
__.
._.
°
(275
189+1_98)'11
\

26
ARITHMÉTIQUE
5
.
o
186.
Trouver
une
fraction
égale
à
l—Ê
et
dont
la
somme
des
termes
soit
égale
à
325.
44
o
187.
Trouver
une
fraction
égale
à
ñî
et
dont
la
diﬂérence
des
termes
soit
égale
à
357.
_4_0
o
188.
La
somme
de
deux
fractions
dont
l’une
est
les
g
de
l’autre
est
égale
à
21.
Calculer
les
deux
fractions.
192
o
189.
Trouver
une
fraction
égale
à
äô
dont
le
P.
G.
C.
D.
des
termes
soit
égal
à
13.
13
o
190.
Trouver
une
fraction
égale
à
133%
et
dont
le
P.
P.
C.
M.
des
termes
soit
2
100.
o
191.
Trouver
deux
fractions
sachant
que
leur
quotient
est
égal
à
ë
et
que
35
leur
somme
est
égale
à
o
192.
Trouver
deux
fractions
sachant
que
leur
quotient
est
égal
à
l—SZ
et
que
leur
3
différence
est
égale
à
12
o
193.
Trouver
les
tractions
égales
à
ïë—g
et:
1o
Dont
les
termes
soient
inférieurs
à
ceux
de
la
fraction
proposée;
2°
Dont
le
numérateur
soit
inférieur
à
400
et
le
dénominateur
supérieur
à
500;
3°
Dont
la
diﬁérence
des
termes
soit
égale
à
132.
o
194.
Trouver
deux
fractions
ayant
pour
numérateur
1,
dont
les
dénominateurs
sont
deux
nombres
entiers
consécutifs
et
comprenant
entre
elles
la
fraction
5;.
o
195.
Deux
règles
graduées
placées
côte
à
côte
de
façon
que
leurs
origines
coïn-
cident
mesurent
respectivement
1,40
m
et
1,68
m.
La
première
est
partagée
en
48
parties
égales
et
la
seconde
en
32
parties
égales.
Déterminer
par
leurs
numéros
les
traits
des
deux
graduations
qui
coïncident.
o
196.
Deux
pièces
d’étoffe
mesurent
respectivement
23—5
de
mètre
et
11—725
de
mètre.
On
veut
les
découper
en
coupons
d’égale
longueur.
Quelle
est
la
plus
grande
longueur
possible
pour
chacun
de
ces
coupons
et
combien
de
coupons
chacune
de
ces
pièces
fournira-t-elle?
o
197.
Trouver
la
plus
petite
fraction
dont
les
quotients
par
Î—Ë
et
par
Ë—g
soient
des
nombres
entiers.
Comparer
les
termes
de
la
fraction
irréductible
trouvée
au
P.
P.
C.
M.
des
numérateurs
et
au
P.
G.
C.
D.
des
dénominateurs
des
deux
frac—
tions
prOposées.

APPLICATION
AUX
FRACTIONS
27
o
198.
Soient
les
fractions
3—2
et
Trouver
la
plus
grande
fraction
qui
soit
contenue
un
nombre
entier
de
fois
dans
chacune
de
ces
deux
fractions.
Comparer
les
termes
de
la
fraction
trouvée
au
P.
G.
C.
D.
des
numérateurs
et
au
P
P.
C.
M.
des
dénominateurs
des
deux
fractions
proposées.
o
199.
Réduire
la
fraction
äîë
à
sa
plus
simple
expression.
4
Trouver
ensuite
toutes
les
fractions
égales
à
la
fraction
donnée,
et
à
termes
plus
petits.
—
Quel
est
le
nombre
de
ces
fractions?
Déterminer
une
fraction
égale
à
äôâ
et
dont
“le
numérateur
et
le
dénomina-
teur
ont
pour
somme
8
303.
(Bourses.)
o
200.
Calculer
l’excès
de
l’unité
sur
la
fraction
On
ajoute
5
à
chacun
des
deux
termes
de
cette
fraction
(on
remarquera
que
la
diﬂérence
des
deux
termes
ne
change
pas)
:calculer
l’excès
de
l’unité
sur
la
fraction
ainsi
obtenue.
Dire
d’après
cela
si
la
fraction
ﬁ
augmente
ou
diminue
lorsqu’on
ajoute
un
même
nombre
à
ses
deux
termes.
En
employant
un
procédé
analogue,
dire
si
la
fraction
1;
augmente
ou
diminue
lorsqu’on
ajoute
un
même
nombre
à
ses
deux
termes.
(Bourses.)
o
201.
Un
marchand
revend
à
raison
de
9
francs
le
mètre
une
pièce
d’étoffe
qu’il
a
achetée
à
un
prix
inconnu.
Il
vend
une
première
fois
les
ä
de
la
pièce,
une
deuxième
fois
les
Ê
du
reste
et
une
troisième
fois
la
moitié
du
nouveau
reste.
Ces
trois
ventes
ont
déjà
produit
une
somme
égale
au
prix
d’achat
total
de
la
pièce,
augmenté
de
9
francs.
Dans
une
quatrième
vente,
le
marchand
vend
le
reste
de
la
pièce,
et
son
bénéﬁce
total
ont
de
144
francs.
Calculer
la
longueur
de
la
pièce
et
le
prix
d’achat
du
mètre.
(Bourses.)
o
202.
Une
pièce
de
ruban
de
84
mètres
a
été
vendue
à
trois
acheteurs.
Le
pre-
mler
a
eu
les
Ë
de
la
pièce;
le
second
a
eu
une
part
égale
aux
g
de
la
part
vendue
nul
premier;
le
troisième
a
eu
le
reste.
Calculer
la
longueur
du
ruban
vendu
à
chaque
m'.
Icteur.
Le
premier
a
payé
45
francs
par
mètre,
les
deux
autres
ont
payé
70
francs
par
mètre.
Calculer
le
prix
d’achat
de
la
pièce,
sachant
que
le
bénéﬁce
du
marchand
nul.
lo
du
prix
d’achat.
(Bourses)

Q
ALGEBRE
CINQUIÈME
LEÇON
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
ou
RELATIFS
37.
Grandeurs
orientées.
—
Certaines
grandeurs
peuvent
être
mesurées
dans
deux
sens
différents.
Ô
FIG.
1
.
ler
EXEMPLE.
-—
Les
opérations
faites
par
un
commer—
çant
sont
des
recettes
ou
des
dépenses.
L'avoir
de
ce
com—
merçant
n'est
pas
le
même
selon
qu'il
encaisse
l
000
francs
ou
qu'il
dépense
I
000
francs.
Il
est
commode
de
remplacer
le
mot
recette
par
un
signe
(+
par
exemple)
et
le
mot
dépense
par
un
autre
signe
(—
par
exemple).
Le
nombre
(+
I
000)
désigne
ainsi
une
recette
de
l
000
F
et
le
nombre
(-—
I
000)
une
dépense
de
I
000
francs.
2°
EXEMPLE.
—
Le
repérage
des
températures
s'effectue,
à
l'aide
du
thermomètre,
à
partir
de
0,
température
de
la
glace
fondante.
Une
température
de
15°
n'a
de
signiﬁcation
précise
que
si
le
nombre
15°
est
précédé
des
mots
<<
au—
essus
de
0
>>
ou
«
au—dessous
de
0
».
Il
est
commode
de
remplacer
ces
mots
par
les
signes
+
et
—.
On
dit
+
15°
ou
—
I5°
Ces
exemples
justiﬁent
les
déﬁnitions
suivantes
:
38.
Déﬁnitions.
—
On
appelle
nombre
positif
un
nombre
arithmétique
précédé
du
signe
+.
On
appelle
nombre
négatif
un
nombre
arithmétique
précédé
du
signe
—.
L'ensemble
des
nombres
positifs
et
négatifs
constitue
les
nombres
algé-
briques
ou
relatifs.
Exemples:
(+
l2),
(—
l5).

NOMBRES
ALGÊBRIQUES
OU
RELATIFS
29
On
appelle
valeur
absolue
d’un
nombre
algébrique
le
nombre
arithmétique
obtenu
en
supprimant
son
signe.
Le
nombre
(+
12)
a
pour
valeur
absolue
l2.
Ire
.RENEARQUE.
—
La
valeur
absolue
et
le
signe
d'un
nombre
algébrique
sont
liés
lun
à
l'autre
et
ne
peuvent
être
dlSJOlnts;
c’est
pourqu01
on
place
sOuvent
les
nombres
algébriques
entre
parenthèses.
2°
REMARQUE.
—
Un
nombre
algébrique
peut.
être
représenté
par
une
lettre.
son
Signe
est
alors
incorporé
à
la
lettre.
Ainsi
la
lettre
x
peut
aussr
bien
déSIgner
un
nombre
négatif
qu'un
nombre
posmf.
Sa
valeur
absolue
est
représentée
par
le
symbole
suivant:
IxI.
Si
x
désigne
le
nombre
(—12),
on
a:
le
=
lZ.
3f’_REMARQUE..
—
Les
signes
+
et
—
qui
indiquent
qu'un
nombre
est
positif
ou
négatif
ne
sont
pas
des
Signes
d’opérations;
nous
aurions
pu
en
utiliser
d
autres
que
ceux-là.
39.
Nombres
algébriques
égaux
ou
opposés.
1°
Deux
nombres
algébriques
sont
égaux
lorsqu’ils
ont
même
valeur
absolue
et
même
signe.
2°
Deux
nombres
algébriques
sont
opposés
(ou
symétriques)
lorsqu’ils
ont
même
valeur
absolue
et
des
signes
diﬁérents.
Les
nombres
(-I-
0,75)
et
(+
sont
égaux.
On
écrit
:(+
0,75)
=
(+
I’nr
contre
les
nombres
(—
9)
et
(+
9)
sont
opposés.
40.
Vecteur.
Deux
points
A
et
B
déﬁnissent
un
segment
que
l’on
peut
parcourir
dans
.lnux
sens
différents.
SI
on
ch01s1t
sur
le
segment
In
mans
de
parcours
de
vers
B,
on
obtient
un
segment
B
minuté
ou
vecteur
d’ongmefx
et
d’extrémité
B
(ﬁg.
2)
ultra
l'on
symbolise
par
AB
(lire
:
«vecteur
A
B»).
A/
"Il"
2
FIG.
2.
Un
"vecteur—îst
un
segment
de
droite
orienté.
La
symbole
AB
désigne
le
vecteur
d’origine
A
et
d’extrémité
B.
|.u
droite
AB
est
le
support
du
vecteur
AB
et
déﬁnit
sa
direction.
Le
mm
(le
A
à
B
est
le
sens
de
ce
vecteur
et
la
longueur
AB,
le
module
du
w‘c'lmlr.
-—->
——>
Notons
qu'à
un
segment
AB
on
peut
associer
deux
vecteurs
AB
et
BA,
nlv
ncns
opposés,
qu'il
ne
faut
pas
confondre.

30
ALGËBRE
4l.
Axe.
—
Si
on
adopte,
sur
la
droite
x’x
(ﬁg.
3)
le
sens
de
parcours
de
x’
vers
x,
on
obtlent
laxe
x'x:
Un
axe
est
une
droite
orientée,
c’est-à-dire
une
droite
sur
laquelle
on
a
choisi
un
sens
de
parcours
appelé
sens
de
l’axe.
_.
A
une
droite
x'x
don—
.x’
I}
_
.2:
née
correspondent
deux
l;
>
—>
_
axes
x’x
et
xx’
de
sens
FIG.
3.
opposés.
On
appelle
vecteur
uni—
taire
d'un
axe!
tout
vecteur
i
porté
par
cet
axe
ayant
pour
module
l'unité
de
longueur
utilisée,
et
de
même
sens
que
cet
axe.
Notons
qu
un
axe
est
déterminé
lorsque
lon
connaît
un
de
ses
vecteurs
unitaires.
42.
Mesure
algébrique
d’un
vecteur
sur
un
axe.
On
appelle
mesure
algébrique
d’un
vecteur
porté
par
un
axe,
le
nombre
algébrique
dont
la
valeur
absolue
est
le
module
du
vec-
teur
et
dont
le
signe
est
+
ou
—
suivant
que
le
vecteur
et
l’axe
sont
de
même
sens
ou
de
sens
opposés.
Ainsi,
sur
l'axe
x'x,
gradué
en
unités
de
longueur
(ﬁg.
4)
on
voit
que
la
mesure
algébrique
du
vec_tgur
est
(+
3),
celle
du
vecteur
Cf)
est
(—
5)
:
on
écrit:
AB
=
(+
3);
CD
=
(—
5).
x'A
BD
.Lc
a
A
1
Ï
ñ
v
r
rl
Ï
l‘
v
î
l
l
l
I
FIG.
4.
_On
peut
vériﬁer
que
:
AC
=
(+
10);
BC
=
(+
7);
DA
=
(-—
5);
DB
=
(—
2),
etc.
La
mesure
algébrique
de
tout
vecteur
unitaire
d'un
axe
est
(+
l).
Notons
qu’il
faut
éviter
de
confondre
les
trois
symboles
:
è>B
:
segment
ËB
ou
longueur
AB.
AB
:
vecteur
AB
:
élément
géométrique.
AB
:
mesure
algébrique
du
vecteur
AB.
43.
Vecteurs
égaux
ou
opposés
portés
par
un
même
axe.
Deux
vecteurs
de
même
module,
portés
par
un
même
axe,
peuvent
être
de
même
sens
ou
de
sens
opposés.
Ils
sont
égaux
dans
le
premier
cas,
opposés

NOMBRES
ALGÉBRIQUES
OU
RELATIFS
3|
(legs
le
fîcond.
Ainsi
(ﬁg—î)
les
lecteurs
et
sont
égauxÇOn
écrit
:
AB
=
CD.
Par
contre
:
AB
et
EF
sont
opposés.
Deux
vecteurs
égaux
d’un
même
axe
ont
des
mesures
algé-
briques
égales,
tandis
que
deux
vecteurs
opposés
ont
des
mesures
algébriques
opposées.
Ainsi'(ﬁg.
5)
X15,
=
(+
3);
E25:
(+
3),
donc
Â‘Ë:
CT).
A..AB
Ç,.EF,..E
1
_'
l
l
u
r
I‘
.JC’
&v
FIG.
5.
Au
contraire
:
ËIË
=
(-—
3).
_D_ogc
Âîçt
Êîsont
des
nombres
opposés.
_Inversî:;nent
(ﬁg.
4)
on>az
A2:
DC
=
(+
5).
On
en
conclut
que:
>
AD
=
DC,
donc
que
:
AD
et
sont
opposés.
_>
_
Noton_s_
que
les
vecteurs
AB
et
BA
sont
opposés
et
par
suite
si
AB
=
(+
3),
ona:BA=(—3).
'
44:
Repérage
d’un
point
.sur
un
axe.
—
Considérons
un
axe
x’x
et
chomssons
sur
cet
axe
un
pomt
ﬁxe
O,
appelé
origine
(ﬁg.
6)
:
On
appelle
abscisse
du
point
M
s_u>r
un
axe
d’origine
O,
la
mesure
algébrique
x
=
0M
du
vecteur
0M.
1°.
A
tout
point
de
l'axe
correspond
le
nombre
algébrique
égal
à
son
abscise.
AlnSl
:
Q_A_=
(+
3)
:
l'abscisse
du
point
A
est
a
=
(+
3).
0B
=
(—-
Z)
:
l'abscisse
du
point
B
est
b
=
(—
2).
:6
-4
—3
-2
-1
+11
+12
+3
+4
+5
+6
+7
w"
6(—s)'
'
è(—2)'
ô
'
'
Â(+3)'
Mi
'
î
FIG.6.
2°
Inversement,
tout
nombre
algébrique,
on
peut
associer
un
point
de
l'axe
et
un
seul
appelé
image
ou
point
représentatif
de
ce
nombre
:
amsn
au
nombre
négatif
(—
5)
correspond
un
point
C
et
un
seul,
tel
que
ÎË
=
(—
5).
(
ln
l'obtient
en
construisant
le
vecteur
0C
de
module
5,
dans
le
sens
opposé
A
celui
de
l'axe.
Il
en
résulte
que
:
Tout
point
M__
d’un
axe
d’origine
O
est
déterminé
par
son
abscisse
x
=
0M.

32
ALGËBRE
Il
y
a
correspondance
entre
les
différents
nombres
algébriques
et
les
points
un
axe
donné.
Sl
on
gradue
cet
axe
on
obtient
une
échelle
des
nombres
algébriques.
EXERCICES
o
203.
Peut-on
mesurer
à
l’aide
des
nombres
algébriques
les
grandeurs
suivantes
:
fortune
d’une
personne,
gains
d’un
joueur,
vitesse
d’un
mobile
sur
un
axe,
date
d’un
événement
(après
ou
avant
J.-C.)?
o
204.
Placer
sur
un
axe
xy
les
points
suivants
donnés
par
leurs
abscisses,
expri-
mées
en
centimètres:
A
(+
3);
B
g—
22;
C
(—
5);
DE
4).
En
déduire
les
valeurs
de
AB,
AC,
AD,
BC,
BD,
CD.
o
205.
Sur
un
axe
æ’x,
d’origine
O
on
construit
les
points
A
Si
3),
B
(+
11)
et
M
(+
7).
Calculer
les
mesures
algébriques
AB,
AM,
MB
et
0M.
Que
représente
le
point
M
pour
le
segment
AB
et
que
peut
dire
des
vecteurs
MA
et
MB.
o
206.
On
construit
sur
un
axe
x’Oæ
les
points
A
(+
5),
B
(+
9),
C
(—
1)
et
D
(—
5).
Comparer
les
vecteurs
AB
et
DG
ainsi
que
les
vecteurs
AD
et
BC.
Que
représente
le
point
M
(+
2)
pour
chacun
des
segments
AC
et
BD?
o
207.
On
place
sur
un
axe
æy
deux
points
A
et
B
d’abscisses
(+
1)
et
(—
3).
Quelles
sont
les
abscisses
des
points
qui
partagent
le
segment
AB
en
8
parties
égales?
o
208.
Soient
A
et
B
deux
points
d’abscisses
—
2
et
—
5.
QLelle
est
Æbscisse
du
milieu
M
de
AB‘?
Quelle
est
l’abscisse
du
point
N
tel
que
BN=
2
AN?
o
209.
Soit
un
point
A
d’abscisse
+
5;
quelle
est
l’abscisse
du
point
A’
symé—
trique
de
A
par
rapport
à
l’origine
O
des
abscisses?_Soit
de
même
B
d’abscisse
—
1
et
B’
son
symétrique
par
rapport
à
O.
Évaluer
AB
et
A’B'.
o
210.
Dans
l’échelle
d’un
thermomètre
Farenheit
la
division
32
correspond
au
O
centigrade
et
la
division
212
à
100°
centigrades.
1°
A
combien
de
degrés
centigrades
correspond
un
degré
Farenheit?
2°
Trouver
les
températures
centigrades
correspondant
à
+
50
degrés
Farenheit
et
à
+
5
degrés
Farenheit?
o
211.
1°
A
combien
de
degrés
Farenheit
correspond
un
degré
centigrade?
2°
Trouver
la
température
Farenheit
correspondant
à
+
15°
centigrades
et
à
——
15°
centigrades.

SIXIÈME
LEÇON
ADDITION
DE
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
45.
Somme
de
deux
nombres
algébriques.
—
Convenons
d'appeler
gains
positifs
les
sommes
gagnées
par
un
joueur
et
gains
négatifs
celles
qu'il
perd.
S’il
joue
successivement
deux
parties,
leur
ensemble
se
solde
par
un
gain
ou
une
perte
que
nous
appellerons
gain
total
ou
somme
des
deux
autres
:
l°
S'il
gagne
successivement
8
F
et
7
F,
il
gagne
en
déﬁnitive
l5
F;
nous
écrirons
:
(+
8)
+
(+
7)
=
(+
15).
2°
S’il
perd
successivement
8
F
et‘7
F,
il
perd
en
déﬁnitive
l5
F;
nous
c’w-rirons
:
(—
8)
+
(--
7)
=
(—
l5)-
3"
S’il
gagne
12
F
puis
perd
7
F,
il
gagne
en
déﬁnitive
5
F;
nous
écrirons
:
(+12)+(—
7)
=
(+
5)-
4”
S'il
perd
12
F
puis
gagne
7
F,
iljperd
en
déﬁnitive
5
F;
nous
écrirons
:
(—12)+(+
7)
=
(—
5)-
Ces
exemples
justiﬁent
les
déﬁnitions
suivantes:
46.
Déﬁnitions.
l”
La
somme
de
deux
nombres
algébriques
de
même
signe
ut
un
nombre
algébrique
dont
la
valeur
absolue
est
la
somme
du
leurs
valeurs
absolues
et
dont
leqsigne
est
leur
signe
commun.
2U
La
somme
de
deux
nombres
algébriques
de
signes
contraires
mut
un
nombre
algébrique
dont
la
valeur
absolue
est
la
différence
«la
leurs
valeurs
absolues
et
dont
le
signe
est
celui
des
deux
nombres
qui
a
la
plus
grande
valeur
absolue.

34
ALGËBRE
Le
signe
de
la
somme
est
le
signe
+.
On
en
déduit
immédiatement
que
:
1°
La
somme
de
deux
nombres
est
indépendante
de
leur
ordre
:
Ainsi:
'
(—23)+(+
l9)=(+
l9)+(—23)=(—4)
Ia+b=b+a
2°
La
somme
de
Jeux
nombres
opposés
est
le
nombre
0.
La
somme
+
7)
+
(—
7)
a
pour
valeur
absolue
7
—
7
=
0;
le
signe
peut
être
indi
éremment
+
ou
—;
on
écrit
donc:
(+
7)
+
('—
7)
=
0.
3°
Si
l'un
des
nombres
est
0,
leur
somme
est
égale
à
l'autre.
Ainsi:
‘
(—
l3)+0=(—l3)
a
+
=
a.
47.
Somme
(le
plusieurs
nombres
algébriques.
La
somme
de
plusieurs
nombres
algébriques
rangés
dans
un
certain
ordre
est
le
nombre
algébrique
obtenu
en
ajoutant
le
pre-
mier
nombre
au
second,
le
nombre
obtenu
au
troisième,
et
ainsi
de
suite.
La
somme
(+
l3)
+
(—
l5)
+
(—
7)
+
(+
3)
+
(-
l)
se
calcule
en
disant:
+13)+E-—l5)=
—2
—
2g+
—
7):
—-9
—
9
+
+
3
=
—6
‘
ä
—
6)+(—
I
=(——7).
Chacun
des
nombres
est
un
terme
de
la
somme.
Les
ropriétés
des
sommes
de
nombres
algébriques
sont
les
mêmes
que
celles
es
sommes
anthméthues:
nous
nous
contenterons
de
les
vérlﬁer.
48.
lre
Propriété.
—
La
valeur
d’une
somme
est
indépendante
de
l’ordre
de
ses
termes.
L'avoîr
d'un
commerçant
ne
varie
pas,
quel
que
soit
l'ordre
dans
lequel
s'opèrent
ses
recettes
ou
ses
dépenses:
(—1000)+(+
800)
+
(+
700)
+
(—
300)
=
(+
800)
+
(+
700)
+
(—
300)
+
(—
l
000)
=
(+
200)
|a+b+c+d=c+d+b+aL

ADDITION
DES
NOMBRES
ALGÊBRIQUES
35
49.
2e
Propriété.
—
On
ne
change
pas
la
valeur
d’une
somme
de
plusieurs
termes
en
remplaçant
deux
ou
plusieurs
de
ces
termes
par
leur
somme
eﬁectuée.
Ainsi
le
bilan
annuel
d'un
cpmmerçant
peut
se
calculer
en
dressant
d'abord
le
bilan
de
chaque
mons,
puis
en
faisant
leur
somme.
Autres
exemples
:
(—
4.5)+(+
IO)+(—
3)+(+
2,7)=(—
4,5)+(+
7)+(+
2,7)
|a+b+c+d+e=a+(b+c+d)+e|.
En
particulier:
On
peut
dans
une
somme
supprimer
un
groupe
de
termes
dont
la
somme
est
nulle.
(—14)+(—5)+(+
7)
+
(+
5):
(—
l4)
+
(+
7).
Car
les
nombres
(—
5)
et
(+
5)
ont
une
somme
nulle.
Pour
calculer
la
somme
de
plusieurs
nombres
on
peut
calculer
la
somme
des
tîrmes
positifs.
puis
la
somme
des
termes
négatifs,
et
additionner
les
deux
nombres
o
tenus.
(-1000)+(+
800)
+
(+
700)
+
(--300)=
(+
l
500)
+
(-
1&300)=(+
200).
50.
Corollaire.
-
Il
en
résulte
que:
La
valeur
absolue
d'une
somme
de
plusieurs
termes
est
inférieure
au
égale
à
la
somme
des
valeurs
absolues
de
ses
termes.
L'égalité
se
produit
quand
tous
les
termes
ont
même
signe.
51.
3°
Propriété.
—
Pour
ajouter
une
somme,
on
peut
ajouter
successivement
chacun
de
ses
termes.
a+(b+c+d)=a+b+c+d
Car:
a+b+c+d=a+(b+c+d)(Zepropriété).
Ainsi:
(l-47)+[(—")+(+7)+(—9)l=(+47)+(—'")+(+7)+(—9)-
52.
.Convention.
-_-
Nous
conviendrons,
.dans
une
somme
de
nombres
nI
ébriques,
de
supprimer
les
signes
d
addition;
les
termes
s'écrlront
amsx
l
n
suite
l'un
de
l'autre,
accompagnés
de
leurs
Signes
propres.
Exemple:
La
somme
(-
5)
+
(—
4)
+
(+
3)
n'écrit
ainsi
:
—
5
-
4
+
3.
SI
valeur
est:
—9+3-—6.

36
ALGÈBRE
EXERCICES
—
Effectuer
les
additions
suivantes
:
o
212.
(+
3)
+
(—
5)
+
(+
7).
213.
(+
13)
+
(+
17)
+
(+
15).
o
214.
(———
17)
+
(+
14)
+
(—
41).
o
215.
(+
3)+
(——
3)
+
(+
5)
+
(—
5).
216.
(—
15)
+
(——
30)
+
(——
40).
o
217.
(——
100)
+
(+
75)
+
(+
25).
—
Eﬁectuer
les
additions
suivantes
:
<—
à)
+
ç—
â)
+
(+
2).
\
.
220.
(—
0,75)
+
(+
4)
+
<——
22
(-â)+(+â)+<—ä-
.(+
â)
+(—ä-’\
+(+
223.
(—
4,51)
+
<——
il)
+
7‘).
p
.
222.
(—
12)
+
(——
11,57)
+
(+
9,87).
5
_ïô
—
Effectuer
les
additions
suivantes:
3
7
5
0224.—13+15—-7—9+1.
0225.+4_'3+12+1
1
1
4
5
7
7
7
0228.+7—9—11+0,75.
0229.—4—ë'1'ë'
—
Effectuer
les
opérations
suivantes
:
.o
230.
(+
7—8
+
4)
+
(—9—13—1)
+
(+
4——5—7).
o
231.
[(—
3)
+
(——
7)
+
(—
1)1+[(—
5)
+
(——
9)
+
(+
4)].
13
3
5
4
.
232.
(œî—ñ
+
28)
+
<7—3).
0
233-
[(+
5
—
0,7)
+
(+
4
—
0,3)1
+
[(—-
13
-
4,7)
+
(—
3)].
o
234.
Placer
sur
un
axe
les
points
suivants
dont
les
abscisses
sont
données
en
centimètres
A
(—
3);
B
(—
1);
C
(+
1);
D
(+
2)
et
E
(+
5).
Vériﬁer
les
égalités
:
ÂË
=ÎB
+
ËË
ÂË
=Kñ
+
ñî:
KË=ÎB+B—C+Œ
Æ=ÂT3+BË+EË
KË=ÎB+ËÎI+EÎD+BÎ1
KË=K5+Ë3+ËE+EË

SEPTIÈME
LEÇON
SOUSTRACTION
DES
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
53.
Déﬁnition.
—
On
appelle
différence
de
deux
nombres
algé-
briques,
le
nombre
qu’il
faut
ajouter
au
second
pour
obtenir
le
premier.
Comme
en
arithmétique,
on
peut
écrire
indifféremment:
la—b=x|
ou
la=b+xl
Ainsi:
(+I7)—(+l.4)=(+3)
car
(+14)+(+3)=(+Î7)
(—'
lÔ)——(—I8)=(+2)
car
(—18)+(+2)=(—16)
(—
7)—(—
4)=(—3)
car
(—'
4)+(—3)=(—
7).
54.
Règle.
—
Pour
retrancher
un
nombre
algébrique,
on
ajoute
non
opposé.
En
effet,
soit
x
la
valeur
inconnue
de
la
différence
(—-
7)
--
(—-
4);
l'égalité
(—
7)
—
('—
4)
=
x
mlraîne
la
suivante
:
x
+
(-
4)
=
(—-
7).
Ajoutons
(+
4)
aux
deux
nombres
égaux
x
+
(—
4)
et
—
7;
nous
obte—
"uns
encore
deux
nombres
égaux:
x+(—4)+(+4)=(—-7)+(+4)
nu
(no
x
=
(—'
+
Ainsi:
(—
7)
——
(—
4)
=
(——-
7)
+
(+
4).
Au
lieu
de
retrancher
(—-
4),
nous
pouvons
ajouter
(+
4).
La
soustraction
d'un
nombre
algébrique
peut
être
remplacée
par
l’addition
.Iu
nombre
opposé.

38
ALGËBRE
EXEMPLES:
(—-
10)
—
(+
Il)
=
(—
IO)
+
(—
Il)
=
(—
21)
(+4)—(—9)=
(+4)
+(+
9)=
(-I-
l3).
La
soustraction
se
ramenant
à
une
addition,
il
en
résulte
que:
La
valeur
absolue
d'une
diﬂérence
est
égale
à
la
somme
des
valeurs
absolues
de
ses
termes
ou
à
leur
diﬂérence.
_55.
Conventions.
—
l°
La
règle
de
la
soustraction
conduit
à
la
convention
suivante
:
Le
symbole
—
a
désigne
l’opposé
du
nombre
algébrique
a.
Ainsi,
soit
:
a
=
+
2,
nous
écrirons
—-
(+
2)
=
--
2
soit:
a=
-—7,
12113
écirgns—(—7)=
+7.
Les
mesures
algébriques
AB
etJâA
(ﬁg.
5)
sont
deux
nombres
opposés.
On
peut
donc
écrire
:
BA
=
—
AB.
2°
La
différence
(-l-
l5)
-—
(+
7)
est
égale
à
la
somme
(+
l5)
+
(—-
7)
que
nous
écrirons
(n0
52)
:
+
l5
—
7
=
+
8.
Le
symbole
-|-
l5
-
7
a
donc
deux
signiﬁcations:
addition
des
nombres
+
l5
et
—
7
ou
soustraction
des
nombres
positifs
+
l5
et
+
7.
Ce
symbole
conduit
à
la
soustraction
arithmé—
tique
l5
-—
7
=
8,
compte
tenu
de
la
convention
suivante
que
nous
adopterons:
Tout
nombre
positif
peut
être
remplacé
par
sa
valeur
absolaz.
On
écrit
indifféremment
+
Il
ou
H,
+
â
ou
56.
Sommes
algébriques.
-—
On
appelle
somme
algébrique
une
suite
de
nombres
algébriques
séparés
par
les
signes
+
ou
—.
Chacun
de
ces
nombres
est
un
terme
de
la
somme.
EXEMPLE:
La
somme
algébrique
(—3)+(—5)—<—g):(+;)+<+7>
se
calcule
en
disant:
(—3)
+
—
8)—E—6)=——2
E—2)—
+4)=-—6
—6)+(+7)=+l.
Cette
somme
peut
encore
s'écrire
(règle
de
la
soustraction):
(—3)
+(—5)
+(+
6)
+(—4)
+(+
7)
ou
(n°52):
-3—5+6—4+7
(dans
cette
suite
chaque
terme
3,
5,
6,
etc.,
peut
être
assimilé
à
un
nombre
positif).
La
règle
de
la
suppression
des
parenthèses
dans
une
somme
algébrique
en
résulte
+
devant
+
se
remplace
par
+
+
(+
7)
a
donné
+
7
—
devant
—
se
remplace
par
+
-
—-
6)
a
donné
+
6
+
devant
--
se
remplace
par
-
+
-5;
a
donné
—
5
—
devant
+
se
remplace
par
-—
—(+
4
a
donné
—4.

SOUSTRACTION
DES
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
39
57.
Propriétés
des
sommes
algébriques.
Toute
somme
algébrique
peut
donc
s'écrire
sous
forme
d'un
ensemble
de
nombres
arithmétiques
séparés
par
les
Signes
+.
ou
-—,
c'est-àndire
sous
forme
d
une
somme
généralisée
de
nombres
arithmétiques,
avec
cette
seule
diffé-
rence
que
le
premier
terme
peut
être
précédé
du
Signe
—.
Il
est
donc
naturel
d'admettre
que
les
propriétés
de
ces
sommes
s'appliquent
ici:
1°
La
valeur
d’une
somme
algébrique
peut
s’obtenir
en
calcu-
lant
la
somme
des
termes
précédés
du
signe
+,
puis
la
somme
des
termes
précédés
du
signe
—,
et
en
ajoutant
les
nombres
algé-
briques
obtenus.
—5+4+8—IO+
l
=
I3—I5=(+
l3)—(+
l5)=—2.I
2°
La
valeur
d’une
somme
algébrique
est
indépendante
de
l’ordre
de
ses
termes.
0,5—4+9—7=
—4+9—7+0,5.
Remarquer
que
le
ler
terme
0,5
n'étant
précédé
d’aucun
signe
on
suppose
qu’il
est
précédé
d'un
signe
+.
30
Pour
ajouter
une
somme
algébrique
on
peut
supprimer
les
parenthèses
précédées
du
signe
+,
sans
changer
aucun
signe.
—
12
+(——0,5
+3—4)=—
12—05
+3—4
7+(7—8+Î)=7+7—8+1.
En
général
Ia+(b—c+cl)=a+b—c+d.l
4°
Pour
retrancher
une
somme
algébrique
on
peut
supprimer
les
parenthèses
précédées
du
signe
——,
à
condition
de
changer
les
signes
qui
précèdent
chaque
terme
placé
entre
ces
parenthèses.
—7——(—8—12+4)=——7+8+
12—4
—-
10——(5
—-3
+
I)=—
10—5
+3——
l.
En
général
Ia—(b—c+d)=a—-b+c—d.]
5°
Il
résulte
du
n0
49
que:
La
valeur
absolue
d'une
somme
algébrique
est
inférieure
ou
égale
à
la
somme
des
valeurs
absolues
de
ses
termes.
58.
Principes
relatifs
aux
égalités.
l°
Si
deux
nombres
a
et
b
sont
égaux,
il
en
est
de
même
des
nombres
a+c
et
b+c
ou
des
nombres
a—c
et
b—c.
Donc:
On
peut
ajouter
un
même
nombre
aux
deux
membres
d’une
égalité.
2°Sil'on
a:
a=b
et
c=d
onaaussi
a+c=b+d
et
a—c=b—d
Donc:
On
peut
ajouter
ou
retrancher
des
égalités
membre
à
membre.

40
ALGËBRE
3°
Considérons
l'égalité
a
-
I)
=
c
+
d.
(l)
Ajoutons
le
nombre
(b
—-
d)
aux
deux
membres;
nous
obtenons
:
(a—b)+(b—d)=
(C+d)+(b—J)
ou:
a—b+b—d=c+d+b—d
soit:
a—cl=c+b.
(2)
Le
terme
d
qui
ﬁgurait
dans
le
second
membre
de
l’égalité
(l)
aVec
le
signe
+
ﬁgure
dans
le
premier
membre
de
l’égalité
(2)
avec
le
signe
—;
le
terme
b
qui
ﬁgurait
dans
le
premier
membre
de
(I)
aVec
le
signe
--
ﬁgure
dans
le
second
membre
de
(2)
avec
le
Signe
+.
Donc
:
Dans
une
égalité
on
peut
faire
passer
un
terme
d’un
membre
dans
l’autre,
à
condition
de
changer
le
signe
qui
le
précède.
Cette
opération
qui
est
appelée
transposition
s'énonce
simplement
:
Tout
terme
qui
change
de
membre
change
de
signe.
EXERCICES
-———
Calculer
les
différences
:
.
235.
(—15)—(4—13).
o
236.
(+
4,5)—-(+
5,49).
.
237.
(+ä)_<+
l
99K].
.
238.
(+
12)—(+
9).
.
239.
(—3,9)—(—
7,4).
o
240.
(_:Î)—(_—
.
241.
(+
5)-——(+
17).
o
242.
(—13,75)-—(—-4,01).
.
243.
———
Calculer
la
valeur
des
sommes
algébriques
suivantes
:
n
244.
(—
10)
+
(——
15)
—
(——
30)
+
(+
7)
--——
(+
12).
'
245-
(—
7)
-—
(-
9)
—-
(+
17)
+
(—
41)
+
(+
1).
.ç
o
246.
(+
49)
—
(——
63)
—|—
(—
3)
—
(+
4).
—
Calculer
la
valeur
des
sommes
algébriques
suivantes
:
o
247.
(—
0,7)
——
(——
0,9)
+
(——
13,5)
——
(+
4).
248.
+
ë)
——
('+
—
(——
1).
2
4,
,
.
249.
(9—
+
—
i——
+
(—
1)
—-
(+
0,5).
——
Calculer
la
valeur
des
sommes
algébriques
suivantes
:
o
250.
7—10
+
14—13—21
+
3.
251.
0,75
+
4,7
—
0,7
—
0,5
——
1.
2
3
5
5
.252.â_4+12
6
3.

o
tl
ù
so
US
TRACTION
DES
NOMBRES
ALGÊBRIQUES
41'
—
Effectuer
les
opérations
suivantes:
253.
(5—3+7—1)+(—9+4—1)—(——3—7+2).
254.
(—14+7—3)+(5—-7—8)—(—5+4+10).
1;>-(-ä+â-2>+(-1+ä)-
—
Effectuer
les
opérations
suivantes
:
256.
[(5
—
9)
+
(3
—
5)]
—
[(7
+
3
—
5)
—
(7
——
10)].
257.
[12
—
(14
——
5
+
O,75)]
+
[—_15
+
(3,25
—
2)].
2
4
’
’4
\
'7
‘
'
258'
[1
_
*
3)]
—
—
1)
_
+
——
Supprimer
les
parenthèses
et
les
crochets
dans
les
expressions
suivantes:
259.
(a—b
+
c)——(d—e——f)
+
(b—a).
260.
[(a
-—
b)
———
(a
—
5)]
+
[b
—
7
——
(a
--—
3)].
261.
[12
—
(a
—
b)
+
6]
—
[15
+
(b
—
a
——
13)].
262.
.Quel
est
l’accroissement
de
la
température
indiquée
par
un
“thermomètre
ut
passe
de
+
70'
à
+
13°,
ou
de
——
3°
à
+
1°,
ou
de
——
5°
à
---——
7°,
ou
de
+
3°
-——
1°?
»—
Quels
sont.
les
intervalles
des
temps
séparant
les
dates
suivantes?
263.
+2h15mnet+11h45mn.
o
264.—21112mnet—‘lh17mn.
265.
+3h51mnet+
7h17mn.
o
266.
——3h.10mnet—-1h5mn.
267.—7h14mnet+8h16mn.
o
268.
—13h45mnet
+51151mn.
269.—4h17mn51set+12h17mn47s.

A
HUITIÈME
LLEÇON
PRODUITS
DE
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
59.
_Produit
de
deux
facteurs.
—
Lorsqu'un
mobile
M
décrit
une
droite
à
la
Vitesse
de
v
mètres
à
la
seconde,
la
distance
x
parcourue
en
t
secondes
est
donnée
par
la
formule
:
x
=-
vt.
Supposons
que
le
mobile
se
déplace
sur
un
axe
x'x.
Nous
désignerons
par
v
la
mesure
algébrique
du
vecteur
parcouru
en
une
seconde.
Nous
appeu
lerons
temps
zéro
l'instant
où
le
mobile
passe
en
O
et
nous
affecterons
du
signe
+
les
temps
postérieurs
au
temps
t
=
0
et
du
SÎŒ—
les
temps
anté-
rieurs.
Voyons
à
quelles
conditions
l'abscisse
x
=
0M
du
point
M
au
temps
t,
reste
donnée,
par
la
formule
:
x
=
vt.
Temps
—4
—3
—2
-1
0
+1
+2
+3
l
+4
Abscisses—12
-9
-6
-3
Q
+3
+6
+9
+12
J;
x'
B(-l2)
'
‘
ô
'î'f
'ñ"
'
AÎ+i2)’
FIG.
7.
ler
cas.
La
vitesse
v
est
positive.
—
Si
v
=
+
3
m/s
le
point
M
(ﬁg.
7)
se
déplace
dans
le
sens
de
l'axe
x’x
et
parcourt
3
m
X
4
=
l2
m
en
4
secondes.
Au
temps
t
=
+
4,
le
point
mobile
M
sera
en
A
(x
=
-l-
l2)
et
la
formule
vt
='
x
conduit
à
écrire:
|
(+
3)
><
(+
4)
=
(+
12)
|
Au
temps
t=
--
4,
le
mobile
M
était
en
B
(x
=
—
l2)
et
l'on
doit
alors
écrire
:
i
(+
3)
><
(—-
4)
=
(—
12)
|
2°
cas.
La
vitesse
v
est
négative.
Si
v
=
-
3
m/s
le
point
M
(ﬁg,
8)
se
déplace
dans
le
sens
xx'
et
parcourt
encore
l2
m
en
4
secondes.
Au
temps
t
=
+
4
le
mobile
M
sera
en
B
(x
=
—-
l2)
et
la
formule
vt
=
x
conduit
à
écrire:
|
(—
3)
><
(+
4)
=
(—
12)
|

PRODUITS
DE
NOMBRES
ALGÊBRIQUES
43
Au
temps
t
=
-——
4
le
mobile
M
était
en
A
(x
=
+
12)
et
l'on
est
amené
àécrire:
|(——3)><(—4)=(+
12)]
Temps
+4
+3
+2
+1
0
—1
—2
-3
-4
à
Abscisses
-12
-9
-6
{.54
Ç
+3
+6
+9
+12
.1;
x'
ËHz)
ñ
'
0'"
ô
'
'
'
A'olzî
FIG.
8.
Nous
sommes
ainsi
conduits
aux
déﬁnitions
suivantes:
60.
Déﬁnition.
——
Le
produit
de
deux
nombres
dgébriques
est
un
nombre
algébrique
dont
la
valeur
absolue
est
le
produit
des
valeurs
absolues
des
deux
facteurs;
son
signe
est
+
si
les
deux
facteurs
sont
de
même
signe,
—
s’ils
sont
de
signes
contraires.
Le
signe
de
la
_multiplication
est
le
signe
><
.
On
le
supprime
ou
on
le
rem-
place
par
un
pomt
devant
une
lettre
ou
une
parenthèse:
4
X
x
s’écrit
4x,
a
><
b
s'écrit
ab
ou
al)
La
règle
des
signes
résulte
de
ces
déﬁnitions:
+
par
+
donne
+
—
par
—
donne
+
+
par
—
donne
—
-
par
+
donne
—
61.
Remarques.
l0
Si
l’un
des
facteurs
est
nul,
le
produit
est
nul:
a
X
,0
=
0
«I
récxproquement,
_si
un
produit
de
deux
facteurs
est
nul,
lun
des
facteurs
au
nmins
est
nul,
car
31
aucun
d'eux
n’était
nul,
le
produit
ne
le
serait
pas.
2"
Le
produit
de
deux
facteurs
est
indépendant
de
leur
ordre
:
(—5)
(-l-
7)=(+
7)
(—5)
05:50.
l”
Si
l'on
change
le
signe
d'un
facteur
on
change
le
signe
du
produit:
(—4)
(+
7)=
-—28
et
(—4)
(—7):
+28.
4”
Si
l'on
change
le
signe
des
deux
facteurs,
le
produit
ne
change
pas
:
(—
4)
(+
7).
=
(.—
28)
et
(+
4)
(—
7)
=
(—
23).
’3"
Multiplication
par
l
et
par
(—
l):
(+9)
(—|—'l)
=(+
9)
en
général
a
X
(+
l)
=a
(+
9)
(—
l)
_—.-..(——9)
en
général
a><
==-.—
a.

44
ALGËBRE
62.
Produit
de
plusieurs
facteurs.
On
appelle
produit
de
plusieurs
nombres
algébriques
rangés
dans
un
certain
ordre
le
nombre
algébrique
obtenu
en
multipliant
le
premier
facteur
par
le
deuxième,
le
nombre
obtenu
par
le
troi-
sième
et
ainsi
de
suite.
Ainsi
le
produit
:
(—-
3)
(—
4)
(+
5)
(—
l)
se
calcule
en
disant
:
(—3)
(—4)
=
+12;
(+12)
<+
5)
=
+
60;
(+
60)
(—1):
—60.
Il
en
résulte
que
la
valeur
absolue
du
produit
est
le
produit
des
valeurs
absolues
des
facteurs.
D'autre
part,
dans
le
calcul
des
produits
successifs,
le
produit
change
de
signe
quand
on
rencontre
un
facteur
négatif;
il
ne
change
pas
de
signe
quand
on
rencontre
un
facteur
positif.
Seul,
le
nombre
des
facteurs
négatifs
importe
donc
pour
prévoir
le
signe
du
produit
cherché:
Règle.
—
Le
produit
est
positif
si
le
nombre
des
facteurs
négatifs
est
pair
ou
zéro.
Le
produit
est
négatif
si
le
nombre
des
facteurs
négatifs
est
impair.
‘
EXEMPLES:
(—
3)
(+
2)
(—-
5)
(—
4)
(—
l)
=
+
120
(—
3)
(—
2)
(-
5)
(—
4)
(—
l)
=
-120.
Il
en
résulte
que
la
valeur
du
produit
est
indépendante
de
l'ordre
des
facteurs.
et
que
:
Pour
qu’un
produit
de
plusieurs
facteurs
soit
nul,
il
faut
et
il
sufﬁt
que
l’un
au
moins
des
facteurs
du
produit
soit
nul.
63.
Propriétés
des
produits.
-
Ce
sont
les
mêmes
que
celles
des
pro-
duits
de
nombres
arithmétiques.
1°
Pour
multiplier
une
somme
algébrique
par
un
nombre
(ou
un
nombre
par
une
somme
algébrique)
on
peut
multiplier
chaque
terme
de
la
somme
par
ce
nombre
et
ajouter
les
produits
obtenus.
Vériﬁonsule
sur
les
exemples
suivants:
(+7+5)
(—2)=(-——I4)+(—-IO)=—I4—lO=—Z4
(—13
+8)
(—3)=(+39)+(——24)=39—24=
l5
(—3+4—5)
(—4):
+IZ—16+20=
16.
En
général
l
(a
—b_
x
=_
ax
-—,bx
+
61.]
2°
Pour
multiplier
deux
sommes
algébriques
on
peut
multi-
lier
chaque
terme
de
l’une
par
chaque
terme
de
l’autre
et
ajouter
ﬁs
produits
obtenus.

PRODUITS
DES
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
45
EXEMPLE:
(—5+7—l
_..3+4)=
(+15)+(—-21)+(+3)+(—20)+(+28)+(—4)=
l5—-—2|
+3—-—20+28——4=
l.
En
général
I
(a—b+c)
(ci—e):ad—bd+cd—ae+be—ce.]
3°
On
ne
change
pas
la
valeur
d’un
produit
de
facteurs
en
rem-
plaçant
deux
ou
plusieurs
d’entre
eux
par
leur
produit
effectué.
EXEMPLES:
(—
3)
(-
7)
(+
IO)
(—
l)
=
(—
3)
(—
70)
(—
I)
abc
e
=
a
bcd)
e.
4°
Pour
multiplier
un
produit
de
facteurs
par
un
nombre
il
sufﬁt
de
multiplier
l’un
des"
facteurs
du
produit
par
ce
nombre.
EXEMPLES:
[(—-
2)
(+
4)
(-
9)]
(-
25)
=
(-
2)
(—-
100)
(—
9)
5a
X
—
=
-—3
a
—
IZab
X
(—
l)
=
+
IZab.
50
Pour
multiplier
un
nombre
par
un
produit
de
facteurs
on
multiplie
ce
nombre
par
le
premier
facteur
du
produit,
puis
le
résultat
obtenu
par
le
second
facteur
et
ainsi
de
suite
jusqu’à
épuisement
des
facteurs
du
produit.
EXEMPLES:
(—
3)
[(-
5)
(+
l)
(-
4)]
=
(—
3)
(-
5)
(+
l)
(—
4)
(—
><
xyz
=
—
5xyz.
6°
Pour
multiplier
entre
eux
deux
produits
de
facteurs
on
forme
un
seul
produit
contenant
tous
les
facteurs.
EXEMPLES
:
[(—'
2)
(+
l)
(—
3)]
[(+
7)
(—
9)
(+
6);
=
(—
2)
(+
l)
(—
3)
(+
7)
(—
9)
(+
6
(—
3xy)
(+
7ab)
=
—
Zlabxy.
64.
Priorité
du
signe
><
dans
une
suite
d’opérations.
l‘"
EXEMPLE:
Envisageons
la
somme
de
produits
suivante:
(—31,27)
+<—:1>,
+<—:1>,
—<+
2)
L210)-
On
doit
d'abord
eﬂectuer
les
produits,
ce
qui
donne:
(+ZI)+(—4)—(—20)=
+2]
—4+20=
+37.
2°
EXEMPLE
:
(x
—
y)
(c
—
d)
—
W.
Eﬂectuons
les
produits
no
63)
(cx—cy—dx
+
dy)
—-(ax+ay
+
bx
+
by).
Supprimons
les
parenthèses
(11°
57)
cxw—cyrwdx-J—dymaxaway—mbx-mby.

46
.
285.
(4—5+7—9-—1)(—-3).
ALGÈBRE
EXERCICES
——
Eﬂectuer
:
270.
(+
17)
(—
13).
.
271.
(+
(+
0
272.
(—
0,7)
(+
2&3
11
4
°
2&5
9
5
'
—
Effectuer:
279-
(—
3)
(+
7)
(—
5)
(—
4)-
'
230-
(+
1,7)
(—
2,5)
(—
3)
(—
1.9)-
281.
(—1)(+1)(—1)(+1)(—1)(-—1)..
282.
(—
(+
3)
(—
3P3E3
5F%tÔ-Æ)
2
4
8
'
2
11
8
(
15
—
Calculer
de
deux
façons
diﬂérentes
les
produits
suivants
:
e
286.
(+
12
—
17
——
9)
(+
7).
.
288.
(——
13
+
11,7
+
12,5)
(—
4,7).
o
290.
(—Ê’+g+Î—ä)
(4.
1)
11
.
(—
(—
0,5).
.
278.
(+
0,7)
(—
3).
273.
(—
14)
(—
11).
e
274.
<—
276.
(+
12)
(+
4).
o
277.
(+
283.
(+
.
284.
(+
287.
(—
12
+
0,7)
(+
0,5).
1
2
3
289.
(——
2
+
3
+
5)
(—-
4).
—
Calculer
de
deux
façons
différentes
les
produits
suivants:
291.(—5+12——7)(5—7).
3
4
3
293.
(+
5
+
14
—
13)
(—
7
——
2).
e
284.
(—
295.
(—
3,5
+
2,7
+
4,9)
(0,75
——
1)..
296.
<—
——
1)
(Ë
fi).
2
.
282.
(5
—
E)
(:7-
_
ﬁ).
5
171—)
9
27
5
11
12
12
——
Eﬂectuer
le
plus
rapidement
possible
les
opérations
suivantes:
o
297.
(5
——
3
+
2)
(12
—
9)
+
(15
—
17)
(7
—
10).
o
298.
(7
——
17)
(10
——
12)
——
(15
——
17)
(——
14
+
11).
o
299.
(2,5
+
0,7)
(7,9
—
8)
—
0,5
(11
——
8).
’2
3
z
4
_
1
_
.
300.
(ä
+
5—1)(1—9>+
5(17
3)
.
301.
[(5
-—
11)
—-
(17
——
14)]
[12
—
(14
——
11)]
+
13
(17
——
12).
.
302.
[14-——
(0,7—1)]
[0,5
+
——3)]
—
[12
—
(2,4
+
4,1)}
[(1,7
+
2,3)
__
1].
o
303.
La
vitesse
d’un
moint
mobile
sur
un
axe
est
+
4
cm
par
seconde
et
ce
mobile
passe
au
point
O,
origine
des
abscisses,
au
temps
t
=
O.
Quelles
sont
les
abscisses
de
ce
point
aux
temps
+
3
et
+
7.
Quelle
est
la
valeur
algébrique
du
vecteur
joignant
les
2
positions
de
ce
point
aux
temps
considérés?
Même
question
si
0
la
vitesse
est
—
4
cm
par
seconde.
30‘.
An
temps
+
5
l’absolue
d’un
mobile
est
——
16
cm,
au
tempe
--
3
eue
est
+
8.
Quelle
est
la
vitesse
de
ce
mobile
sachant
qu’il
est
anime
d’un
mouve-
ment
uniforme?

NEUVIÈME
LEÇON
DIVISION
DES
NOMBRES
ALGÊBRIQUES
65.
Déﬁnition.
—
On
appelle
quotient
exact
de
a
par
b
le
nombre
algébrique
x
dont
le
produit
par
b
est
égal
à
a.
=
x
,
ce
qui
signiﬁe
a
=
bx.
I
Le
symbole
î
se
nomme
fraction
algébrique
ou
rapport
des
nombres
On
écrit
azb=x
ou
Œlh
a
et
b;
a
est
le
numérateur,
b
Ie
dénominateur.
a
et
b
sont
les
deux
termes
du
rapport.
+
'88
EXEMPLES:
n
=
+7
car
(+4)
(+
7)=
+28
——28_
__
:Î—+7
car
(—4)
(+7)———28
È—z—Ë=—7
car
(—4)
(—7)=+28
ËÊ=—7
car
(+4)
(—7)=——28.
Il
en
résulte
la
règle
suivante:
Règle.
—
Le
quotient
exact
de
deux
nombres
algébriques
ut
un
nombre
algébrique
dont
la
valeur
absolue
est
le
quotient
exact
des
valeurs
absolues
du
dividende
et
du
diviseur
et
dont
le
signe
est
+
si
ces
deux
nombres
ont
même
signe,
—-
s’ils
sont
de
s
gnes
contraires.

48
ALGËBRE
66.
Remarques.
l°
La
division
d’un
nombre
non
nul
par
Û
est
impossible.
Si
l'on
avait
a:
0
=
x,
on
aurait
a=
0
X
x,
donc
a
=
0.
2°
Le
quotient
de
l
par
un
nombre
algébrique
est
l'inverse
de
ce
nombre.
I
_1
5
4
+
3'
L'inverse
de
(—
5)
est:
L'inverse
de
(+
est
:
+1
'l
.Nw—UI
Il
3°
Diviser
un
nombre
par
a
c’est
le
multiplier
par
l’inverse
de
a.
Ainsi
:
=
—%
=
(+
7)
(-—
or
-
à
est
l’inverse
de
-
9
+
â
X
â
=
(—
(—
â),or
-
â-
est
l'inverse
de—
g,
Toute
division
est
ainsi
remplacée
par
une
multiplication.
I
i
I
||+
mlàwimxoxr
En
général
:
=
a
><
bd]—
Q
b
67.
Quotient
d’une
somme
algébrique
par
un
nombre.
Cherchons
le
quotient
de
(-
5
+
7
-—
8)
par
—3;
nous
avons:
_*_5
i2
:Ê
_—3+—3
—3°
Donc:
Pour
diviser
une
somme
algébrique
par
un
nombre
on
peut
diviser
chaque
terme
de
la
somme
algébrique
par
ce
nombreﬁet
ajouter
les
quotients
obtenus.
.
_;-_èi:=g_ë+s,
x
x
x
x
En
général
:

DIVISION
DES
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
4‘.
68.
Applications
aux
égalités.
1°
Si
deux
nombres
a
et
b
sont
égaux,
on
obtient
encore
deux
nombre:
égaux
en
multipliant
ou
en
lelsant
a
et
b
par
un
même
nombre
c.
L’égalité
a
=
b
entraîne
les
suivantes:
2
c
ac
=
bc
=
Ê
(c
différent
de
zéro).
On
peut
multiplier
les
deux
membres
d’une
égalité
par
ut
même
inombre.
On
peut
diviser
les
deux
membres
d’une
égalit4
par
un
même
nombre
différent
de
zéro.
.En
particulier,
on
peut
changer
de
signe
chacun
des
deux
membres
(multi
phcatlon
par
—
l)
:
—
x
=
5
donne
x
=
--
5.
2°
Les
égalités
a
=
b
et
c
=
d
entraînent
les
deux
suivantes
:
ac=
bd
Gin
91|
3"
On
peut
multiplier
ou
diviser
membre
à
membre
deux
égalités
.PROPRIÉTÉS
DES
RAPPORTS
69.
Propriété
fondamentale.
—
On
ne
change
pas
la
valeur
d’u;
rapport
en
multipliant
ou
en
divisant
ses
deux
termes
par
u;
même
nombre.
En
effet
soit
x
la
valeur
du
quotient
g.
On
a
(n°
65):
b
a
=
bx.
Multiplions
les
deux
membres
de
cette
égalité
par
n
:
an
=
bxn
ou
(n°
63)
:
an
=
(bn)x
9L1_
donc
:
b
—
x
et
n

50
ALGËBRE
Les
rapports
peuvent
être
simpliﬁés
:
+2
.
0,36_3_6__9_.
__â=__2.
—5a
:_a
EÆWUK
4
«m
Iæ’
_é
-—ÿ
æb
ü
3
Ils
peuvent
être
réduits
au
même
dénominateur
:
.
9
9
.
e_ÿ
e_Æ
EXEMPLES.
betd
ona.
b—bd
et
d—bd
:_7€ti_5
on“
_—_=::_Zy
et
:F_5=+5x_
x
y
x
xy
y
xy
70.
Somme
algébrique
de
rapports.
—
On
réduit
les
rapports
au
même
dénominateur;
on'
calcule
la
somme
algébrique
des
numérateurs
obtenus
et
on
conserve
le
dénominateur
commun.
EXEMPLES
:
10
L+_3)
LTÂ+Ë__Ï)_(—21)_(—IO)+L—_U
o—æ‘ï+n
(+æñ—c+æ)
H3»
c+%)
zhw—FW+FD.
(+35)
209+L4=g+ä_g=giï:&
x
y
xy
xy
xy
xy
7l.
Produit
de
rapports.
——
On
multiplie
les
numérateurs
entre
eux
et
les
dénominateurs
entre
eux.
p
tÿxtﬂxﬁﬁ=FDFÆHD.
(+5)
(+7)
(—3)
(+5)(+7)(-3)’
c
e_ace
o
2
_
___ﬁ
2
bXdX;
La
72.
Quotient
de
deux
rapports.
—
On
multiplie
le
rapport
divi-
dende
par
l’inverse
du
rapport
diviseur.
p
tÿl+®=tÿxkﬂgk4M40
c+ew—n>
H4)
H-o
(+ec+®
4=a
2°
ë:—=ZXC
c

DIVISION
DES
NOMBRES
ALGÉBRIQUES
5l
EXERCICES
—
Eﬁectuer
les
divisions
suivantes
z
305.
(+
56)
:
(+
7).
308.
(—
360)
:
(+
12).
311.
(+
221)
:
(—
17).
o
306.
(—
56)
:
(—
8).
o
309.
(+
105)
2
(—
7).
o
o
312.
(—
286)
:
(—
11).
307.
(+
64)
:
(—
16).
310.
(—
286)
:
(—
13).
313.
(+
96)
:
(+
8).
—
Eﬂectuer
les
divisions
suivantes
:
314.
(+
15)
:
(——
o
315.
(—
7,5)
:
(—
o
316.
(—
1)
:
(+
317.
<—
Ê)
:
(+
1,4).
o
318.
<+
Ê):
(—
o
319.
(——
<+
320.
(+
1):<+
o
321.<—
5%):
<—-—
.
—
Eﬂectuer
les
divisions
suivantes
:
322.
(+
â>=<-
mn—
V
O
323.
—12+4—72.
.
324.
+35—75+25.
.
325.
—12+144—108
4
5
—
12
°
326_
.
327_
.
328_
“‘11
+
10—7’8_
—
2
—
11
5
—
Simpliﬁer
les
rapports
suivants
et
trouver
leur
valeur
z
—
63
—
308
273
329.
70
.
o
330.
_484.
o
331.
468.
48
—
169
—
365
332.
_96.
o
333.
__26
.
o
334.
___
146.
«
Effectuer
les
Opérations
suivantes
:
3+â—â
335.
.
o
336.
.
5+2_2
2_ë_ë
5
3
2
4
1_ë_è
7
9
——
3
—
0,5
—
0,75
837.1_ëm7.
0338.
g—ë
.
8
ÎS
3
4

52
ALGÈBRE
——
Eﬂectuer
les
opérations
suivantes:
_æ&—s+5—6
4—3+1
mä—r
2+7—1
2—3—1
w
1
2
5
1
7
.3405_äxë+äx_ë+1
'ë_1
_é
ë
°
4
5
2
—
Effectuer
les
opérations
suivantes:
1_1
.341.äï+
111———3—1.
.342.3————%.
5—2
4—7
_7+ä
1+:z
1
1
3
1
1
1—3+
1
5
ä
ë
1+5
.
—
.
44.
.
0343
l—_1+l__2
03
1—l_
.
1
3
5
8
16
3
1
1+5
—
Le
nombre
x
prend
toutes
les
valeurs
entières
de
—
5
à
+
10.
Dresser
le
tableau
de
correspondance
entre
x
et
y
dans
les
cas
suivants
:
.345.y=3—;+1.
.346.y=—32‘”+4.
.
347.y
;=ZËËÏ-—-4.
o
348.y
==IÊ;Ë-—-1o
.349.y=2æ;'3.
o350.y=::3ï—+-1.
.
351.
y
=3xz_7.
o
352.
y
=:5—“;——3.

DIXIÈME
LEÇON
RELATION
DE
CHASLES
73.
Théorème.
—
Lorsque
trois_po_ig_ts
643,
C
sont
alignés
sur
un
axe,
les
mesures
algébriques
AB,
BC
et
AC
vériﬁent
la
relation
:
Æ+ÎE=ÂE
Cette
relation
fondamentale
est
connue
sous
le
nom
de
relation
de
Chasles
(mathématicien
français
1793-1880).
Observons
qu
11
emste
31x
cas
de
ﬁgure
possibles
(ﬁg.
9)
:
A
B
C
®
:
J.
a
B
C
A
B
A
C
®
:
:
:
©
:-
i
:
V
<9
>
o
un
v
V
V
FIG.
9.
Démontrons
par
exemple
la
relation
dans
le
2°
cas
de
ﬁgure,
où
le
point
C
nnt
entre
B
et
A,
donc
:
BC
+
CA
=
BA.
Or
les
vecteurs
B—ë,
C—Â
et
BÂ
ayant
le
même
sens
que
l'axe,
cette
relation
est
identique
à
:
Bt+
(Î—À—=Ê—Ao-u
B'C“——7îc_—=——ÂB
(n°
43).
Soit
en
transposant
:
Â—Ë
+
Ëë
m

54
ALGËBRE
Ainsi
(ﬁg._1_0)
:
ÂÉ
:5:
7);
Ë:
(+
4)
et
Âê
=
(—
3).
L’égalité
:
AB
+
BC
=
AC
est
vériﬁée
car
:
(-
7)
+
(+
4)
='(-
3).
P
.
.
.
9
a
.
6
N
t4
P
.x"
'
'
'
ñ‘
'
'îï
.22"
'
'
È
FIG.
10.
FIG.
11.
74.
Remarques...
—
1°
Il
_f_aut
trois.égalités
arithmétiques
pour
traduire
selon
le
cas
de
ﬁgure
la
posmon
relative
de
trms
pomts
alignés
:
AB+BC=AC,
AB—BC=AC
et
BC—AB=AC.
Au
contraire
:
La
relation
de
Chasles
est
générale
et
indépendante
du
sens
de
l’axe.
On
peut
bien
souvent
se
dispenser
de
préciser
le
sens
de
cet
axe.
2°
Pour
éc-_1j_re
la
relation
__en_tre
trois
points
alignés
quelconques
M,
N
et
P
on
écrit:
MP
=
MN
+
NP,
en
intercalant
la
lettre
N
entre
les
lettres
M
et
P
qui
ﬁgurent
au
premier
membre
(ﬁg.
Il).
75.
Mesure
ralgébrique
d’un
vecteur
porté
par
un
axe.
—
La
mesure
algébrique
d’un
vecteur
sur
un
axe
est
égale
à
l’abscisse
de
son
extrémité,
diminuée
de
l’abscisse
de
son
origine.
CODSÎdéI‘QË
sur
un
aire
x'x
d'origine
O
(ﬁg.
12
et
I3)
les
points
A
et
B
d'abscisses
0A
=ﬂa
et
OB
La_relati_ol
de
Chasles
appliquée
aux
trois
points
0,
A
et
B
s'écrit
:
0A
+
AB
=
0B.
Soit:ÂPÏ=-—O_Ë—-Œ
ou:
Â—I—3=b—a
9
A
.
.
J3
54
9
.
.
A
+2'_':s’
-1"""+z’
FIG.
12.
FIG.
13.
On
vériﬁe
ainsi
que
:
Fig.
12
:a:('+2);b=(—|—5);
ïä=(+5)—(+2)
=
(+
3).
Fig.
13za=(+4);b=(——»l);
AB=(——l)——(+4)
=(__
5).

RELATION
DE
CHASLES
55
EXEMPLE.
—
L'échelle
du
thermomètre
(ﬁg.
Î)
peut
être
assimilée
à
un
axe.
La
variation
de
température
entre
deux
instants
donnés
est
la
différence
:
température
ﬁnale
—
température
initiale.
Si
le
thermomètre
indique
+
9°
à
midi
et
—
3°
à
minuit
le
même
jour,
la
température
a
subi
dans
cet
inter-
valle
une
variation
égale
à
:
(-
3°)
-—
(+
9°)
=
—
12°.
76.
Longueur
d’un
segment.
—
La
longueur
d’un
segment
porté
par
un
axe
est
la
valeur
absolue
de
la
différence
des
abscisses
de
ses
extrémités.
Erigffet,
on
sait
(n°
42)
que
la
valeur
absolue
de
la
mesure
algébrique
AB
(ou
BA)
n'est
autre
que
la
mesur_e_du
segm_e_r_1t
AB
à
l’aide
de
l'unité
de
lon-
gueur
aäptée.
Donc
:
AB
=
l
AB
I
=
I
BA
I.
Or
:
BA
=
a
—
b.
On
obtient
donc
:
IAB=|a——bl|
On
vériﬁe
ainsi
que
(ﬁg.
12)
:
AB
=
=
l
(+
5)
--
(+
2)
I
et
(ﬁg.
l3)
:
AB
=
5
=
I
(—
l)
—
(+
4)
I.
No_t_o_ns
qï
cette
formule
s'écrit
quelque
uoit
le
point
P
de
l'axe
:
AB
=
I
PA
—
PB
l.
77.
Abscisse
duîmilieu
d’un
segment.
—
Le
milieund’un'segment
porté
par
un
axe
a
pour
abscisse
la
demi-somme
des
abscisses
des
extrémités
de
ce
segment.
Soit
M
(x)
le
milieu
du
segment
AB
d'extrémités
A
(a)
et
B
(b)
de
l'axe
.
ê
U
.
B
a
A
9
J
Ü.
m
5
A)
r
+i
+2.
'
+3
r
-’l
I
43;}!
i
i
+4
l,
Fm.
141
FIG.
15.
—_>
—
.r’x_(ﬁg.ﬂ_et
l5).
LeiïecteuriAMïMîïv
étant
égaux
on
peut
écrire
(n°
43)
:
AM
=
MB
soit
0M
—
0A
=
OBÂ
—
0M
ou
en
transposant
:
;!()M=O_.A+5Ë
soit;
0—:
(__A-+—BÎ
ou
x20”.
Ainsi
(ﬁg.
14)
:ôÂ
=
(+
2);
61E
.—_
(+
6)
et
6191?:
(+
4)
=
ﬁlL-Zttj—Ji)
°l(ﬁH-l5)=Ô—Â=(-'l);ÔË=(+4)etŒ=(+Ë)=(—Î)Ë(+
4),

56
ALGÈBRE
EXERCICES
-——
Vériﬁer
la
relation
ÂÎ
=
A_B
+
B6,
les
points
A,
B
et
C
appartenant
à
un
axe
xy,
dans
les
cas
suivants:
o
353.
Les
abscisses
des
points
A,
o
354.
Les
abscisses
des
points
A,
o
355.
Les
abscisses
des
points
A,
o
356.
Les
abscisses
des
points
A,
o
357.
Les
abscisses
des
points
A,
o
358.
Les
abscisses
des
points
A,
C
sont
0,
+
3,
+
5
(en
centimètres)
CsontO,—-——2,—4
Csont0,+7,+2
C
C
V
v
sont
O,
——
5,
—
3
Sont
O,
+
2,
——
3
,
C
sont
0,
—
3,
+
2.
,
U
wwwpuww
.—.
—
Soit
un
axe
xy,
O
l’origine
des
abscisses,
vériﬁer
la
relationÂ—B
.=
OB
et
déterminer
la
longueur
AB
dans
les
cas
suivants:
o
359.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
+
3,
+
5.
o
360.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
—
2,
—
o
361.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
-+
7,
+
o
362.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
——
5,
—
o
363.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
+
2,
——
o
364.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
—
3,
+
Neveu-ce
—
Soient
A
Æ
B
deux
points
d’un
axe,
M
le
milieu
de
AB;
vériﬁer
la
relation
ÔÎ’I
_
W
dans
les
cas
suivants
:
o
365.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
+
5
et
+
9.
o
366.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
——
5
et
+
9.
o
367.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
——
5
et
—
9.
o
368.
Les
abscisses
de
A
et
B
sont
—
9
et
+
5.
o
369.
Soient
sur
11Laxe
algues
points
A,
B,
C,
D
d’abscisses
+
2,
+
4,
—
1,
——
3.
Vériﬁer
la
relation
AD
=
AB
+
BC
+
CD;
en
est-il
ainsi,
quelle
que
soit
la
dis-
position
des
points
A,
B,
C
et
D?
o
370.
Soient
4
points
A,
B,
C,
D
sur
un
axe.
Démontrer
la
relation
:
A_B
+
B_c'
+
C—D
+
D_A
=
0.
o
371.
Calculer
le
nombre
d’années
qui
s’est
écoulé
entre
les
dates
suivantes:
51
ans
avant
J.-C.
et
800
ans
après
J.-C.
Généraliser
avec
les
années
a
et
b.
(Tenir
compte
du
fait
qu’il
n’y
a
pas
d’année
zéro.)
o
372.
Soient
A
et
B
d’abscisses
+
4
et
—-
3.
Déterminer
les
abscisses
des
points
C
et
D
qui
partagent
AB
en
3
parties
égales.
Généraliser
en
désignant
par
a
l’abscisse
de
A
et
par
b
celle
de
B.
o
373.
Soient
A,
B,
C
et
D
quatre
points
d’un
axe
dont
les
abscisses
sont
+
2,
——
3,
—-
1,
+
4.
Vériﬁer
la
relation
z
D_A.B_C
+
bic—A
+
D_c.AT3
=
o.
E];
eCst-ilääoujours
ainsi
lorsqu’on
désigne
par
a,
b,
c,
d
les
abscisses
des
points
‘A’
’
9

ONZIÈME
LEÇON
PUISSANCES
78.
Déﬁnition.
—
On
appelle
puissance
d’un
nombre
algébrique
le
produit
de
plusieurs
facteurs
égaux
à
ce
nombre.
Ainsi
:
(—
7)
(—
7)
(—-
7)
(—
7)
s'écrit
(—-
7)4
et
se
lit
<<
—
7
puissance
4
».‘
En
fgénéral
le
symbole
a",
se
lit
(<
a
puissance
n
>>
et
représente
le
produit
(le
n
acteurs
égaux
au
nombre
algébrique
a.
l
a"
=
a.a
.
.
.
.
.
.a
I
(n
facteurs)
Le
nombre
entier
n_
est
l'exposant
de
la
puissance.
Notons
que
:
a1
==
a.
C'est
le
nombre
a
lui-même.
az‘est
le
carré
de
a
et
se
lit
«a
au
carré»
ou
«a
deux».
a3
est
le
cube
de
a
et
se
lit
«
a
au
cube»
ou
«
a
trois
D.
D'après
la
règle
relative
au
signe
d’un
produit
de:
facteurs:(n°
62)
on
voit
que
t
.10
Toute
puissance
d’un
nombre
positif
est
unùnombre
positif.
.20
Toute
puissance
d’un
nombre
négatif
est
positive
si
l’expo-
nant
est
pair,
négative
si
l’exposant
est
impair.
Ainsi:
(+
3)5
=
+
35
=
+
Z43;
(—
3)5
=
—
35
=
—
243;
(+
3)“:
+
36:
+729;(—*3)6=
+
36:
+
729.
(—
a)"
=
a"
si
n
est
pair
et
(—
a)"
=
—
a"
si
n
est
impair.
En
particulier
:
Un
carré
est
toujours
positif,
tandis
que
le
cube
d’un
nombre
donné
est
du
signe
de
ce
nombre.
(I‘5)2=(—5)2=+25;(+5)“=
+53:
+
I25;(—5)3=—53=—
125

58
ALGËBRE
79.
Puissance
d’un
produit.
On
a
:
(abc)3
=
(abc)
(abc)
(abc)
=
abc.
abc.
abc.
=
a3b3c3.
En
général
:
l
(abc)’"
=
ambmcﬂ.
Pour
élever
un
produit
de
facteurs
à
une
puissance,
on
peut
élever
chaque
facteur
de
ce
produit
à
cette
puissance.
Ainsi:
[(—
3)
(+
2)
(—
7)]z
=
(—
3)2
(+
2V
(—
7)”.
De
même
:
(7
xy)?’
=
73x3y3.
80.
Puissance
d’un
rapport.
Ona-
(9)4=(9)(Q)(g)(9)=a>
(9)4=(9)(Q)(g)(9)=a>
(9)4=(9)(Q)(g)(9)=a>
.
b
b
b
b
b
b
><
b
><
b
x
b
b
'
1
.
g
m
=
2—":
En
gênera]
.
(b)
6m
.
Pour
élever
un
rapport
à
une
puissance
on
peut
élever
les
deux
termes
de
ce
rapport
à
cette
puissance.
n.
Lu!
aimai
ä)2.__.9_x3
AlnSl
.
[(_
3)
(__I
3)2
9
et
zy
45,2.
u;
81.
Produit
de
plusieurs
puissances
d’un
même
nombre.
On
a:
aa
><
a2
==
(a.a.a}
><
(a.a)
=
a.a.a.a.a.
=
a5
=
03”.
Demême:
03
X02
>
>
Xa7=05+7=c112=a3+2+7.
En
général:
Lam
X
a"
X
aP
=
am+n+P
Le
produit
de
plusieurs
puissances
d’un
même
nombre
est
une
puissance
de
ce
nombre
dont
l’exposant
est
la
somme
des
ïexpo-
sants
des
facteurs.
Ainsi
:
(—
2)4
X
(—
2)8
=
(—
2)7;
32
><
34
><
35
=
32+4+5
=
3".
82.
Puissance
d’une
puissance.
(ag‘=a3>
(ag‘=a3>
(ag‘=a3>
(ag‘=a3>
Donc:(a3)4=a3x4.

PUISSANCES
59
La
puissance
d’une
puissance
d’un
nombre
est
une
puissance
de
ce
nombre
dont
l’exposant
est
le
produit
des
deux
exposants.
En
général:
mm)"
=
a'm'
i.
Ainsi:
[(—
5>213
=
(--
5P;
[(76315
=
[7615
=
73°.
83.
Quotient
de
deux
puissances
d’un
même
nombre.
L’égalité
a8
=
05
X
a3
.
.
a
ontrame
la
sulvante
:
-
=
a8
=
08—5.
Q
Le
quotient
de
deux
puissances
d’un
même
nombre
est
une
puissance
de
ce
nombre
dont
l’exposant
est
la
différence
des
expo-
sants
du
dividende
et
du
diviseur.
m
.\
0
'—
En
général
:
g—
=
am_P
.
Amsn
:
ap
(_
5)4.
5)3
=
(—
84.
Exposant
nul.
Exposants
négatifs.
La
formule
précédente
suppose
m
>
p.
Voyons
comment
on
peut
l'inter—
préter
pour
m
=
p
ou
m
<
p.
am
.
.
,
.
.
l0
2,;
=
+
Î
et
cecx
quel
que
sclt
a
i
0.
Or
l
apphcatlon
de
la
formule
am
du
n°
83
donne
:
——m
=
a'"_’"
=
0°.
Donc
:
a°
=
+
I
-
a
-
-
Toute
puissance
d’exposant
zéro
est
égale
à
+
l.
4
4
a
I
.
,.
2”
-9
=
-f—
=
-
.
Or
la
formule
du
n°
33
condmt
à
écrlre
:
a
a
.05
05
4
9
o
0
I
9
"(1*-
a4—9
=
0—5.
C
est
pourquon
on
convxent
de
poser
:
(1—5
=
j;
et
d
une
u
a
façon
générale
:
a—m
=
J-
°
am
Le
symbole
c"m
représente
l’inverse
de
am.
On
pourra
vériﬁer
que
toutes.
les
formules
ci—dessus
(nos
79
à
83)
sont
valables
avec
des
exposants
négatlfs.
AmSI
:
as.a“.a‘
=
05"8“
=
a“:
(a'”)‘
==
11"".

60
ALGËBRE
85.
Racine
carrée
d’un
nombre
algébrique.
On
appelle
racine
carrée
d’un
nombre
algébrique
A
tout
nombre
x
dont
le
carré
est
égal
d
A.
Si
x2
=
A,
le
nombre
x
est
racine
carrée
de
A.
Or,
x2
est
un
nombre
positif
(n0
79);
il
en
est
donc
de
même
de
A.
Ainsi
:
Un
nombre
négatif
n’a
pas
de
racine
carrée.
l__.e_s
égalités
(+
5)2
=
25
et
(—
5)2
=
25
montrent
que
le
nombre
posmf
+
25
a
deux
racines
carrées
opposées.
De
même:
Tout
nombre
positif
a
deux
racines
carrées
qui
sont
deux
nombres
opposés.
On
écrit:
+5Î
+
ou
et:
—5=—\/Ë.
Le
symbole
\/
s'appelle
un
radical
et
se
lit:
«
racine
carrée
de
».
Par
suite
\/
A
désigne
la
racine
carrée
arithmétique
ou
la
racine
carrée
positive
du
nombre
posmf
EXERCICES
o
374.
Calculer
les
puissances
d’exposant
2,
3,
4,
5
des
nombres
suivants:
(+
1);
(+
3);
(+
5);
(--
2);
(-
4);
(-
5)-
.
375.
Calculer:
(—
11)3;
(+
9)2;
(—
10)5;
(+
7)4;
(—
13)4.
o
376.
Calculer:
(—ä)‘;
(——â)5;
(+592;
54—233;
(+1,4)‘“’;
(—0,25)?
o
377.
Calculer:
(äweï:
[<-ä)2]2[<—2>2]3-
—
Calculer
:
|
378-
[(——
1)
(+
2)
(—
3)]2-
°
379-
[(+
1)
(—
3)
(—
5)]3-
.
380.
[(+
2)
(——
2)
(—
3)]2.
o
381.
<—
(——
.
382.
[(——
5)
(—
(+
o
383.
[(—
0,5)
(+
0,75)
(+
A—i/

PUISSANCES
6|
384.
Calculer
:
.
4*«2
4
2
(—
5)?
:
<-—
5)3;
(+
0,01?
=
(+
0,01);
(—
5
=(——
-
2
3
2‘6
3.
e.
_
2.
__
3.
_
.
_
.
4
.4,
(
2,5)
.(
2,5),
(3)
385.
Calculer
la
valeur
de
x4
——
x3
+
x2
—
ac
+
1.
1°
pourx
:3;
2°pouræ
=—2;
3°poura:
:513;
4°pourx=—-ä-o
386.
Calculer
la
valeur
de
x3
—
3
x2
+
5
a:
—
7.
1°pouræ=4;
2°pourx=—1;
3°pourx=â;
4°pouræ=—äw
387
C'l
1
1
1
d
x——3_1
.
acuer
avaeur
est32+
1.
1°
pouræ=1;
2°pourœ=——1;
3°pouræ=î;
4°pourx=——î.
388.
Calculer
la
valeur
de
a4
—
4
aab
+
6
aﬁb2
——
4
ab3
+
b4.
1°
poura=
+
2et
b]=—-3;
2°poura=—âetb
=—-ä.
389.
Calculer
la
valeur
de
Æ-
—
U
x2+y2
æ+y'
1°
poura:
=1ety
=—2;
2°pouræ
=——âety=
+â-
o
390.
Soient
3
points
A,
B,
C
d’abscisses
+
2,
—
1,
—
3,
sur
un
axe
où
0
est
l’origine
des
abscisses.
Vériﬁer
la
relation:
ÜÂSËE
+
ŒMÎÂ
+
ÎÎŒÆ
+
ÆÆTCEK
=
0.
o
391.
Sur
un
axe
où
O
est
l’origine
des
abscisses,
sont
placés
trois
points
A,
B,
M
d’abscisses
+
3,
——
3,
+
1.
Vériﬁer
les
relations:
LÎÂM—B
=ﬁ62—6Â2.
MA”
+
M132
=
2M—03
+
26K”.
MA”
—
MB'
=
2
Âîaﬁﬁ.

!
DOUZIÈME
LEÇON
l
HNÉGALITÊS
85.
Déﬁnitions.
—-—-
On
dit
qu’un
nombre
a
est
plus
grand
qu’un
nombre
b
si
ta
différence
a
——
b
est
un
nombre
positif.
On
écrit:
a>l>
ou
b<
a.
Si
Ïa
différence
a
--
Ï)
est
positive,
la
différence
b
-—
a
est
négative
car
les
’
o
o
,
9
nombres
a
--
b
et.
b
--
a
sont
opposes.
AmSI,
un
nombre
b
est
plus
petit
qu
un
nombre
a
si
la
diﬂérence
b—
a
est
négative.
a
>
b
et
b
-<
a
sont
des
inégalités.
Ce
qui
est
écrit
à
gauche
du
signe
>
ou
<
est
le
premier
membre,
ce
qui
est
écrit
à
droite
est
le
second
membre.
Il
résulte
de
la
déﬁnition,
que:
1°
Tout
nombre
positif
est
plus
grand
que
zéro.
(+7)——O=+7.
Donc:+7>0.
Pour
écrire
que
a
est
positif,
on
écrit:
a>
0.
2°
Tout
nombre
négatif
est
plus
petit
que
zéro.
Ü—(--3)=+3.
Donc:0>—3ou—-—3<Ü.
Pour
écrire
que
a
est
négatif,
on
écrit:
a
<
0.
3°
Tout
nombre
positif
est
supérieur
à
tout
nombre
négatif.
(+l)—-(--9)=l+9=+ÎÛ.
Doncz+l>'—-9.
1’401
De
cieux
nombres
positifs,
le
plus
grand
est
celui
qui
a
Ïa
plus
grande
valeur
a
so
ne.
(+Î5)“(+12)=Î5-12=+3.
Donc:
-‘r'
Ë5>+12.
65°]
De
cieux
nominres
négatifs
le
plus
grand
est
celui
qui
a
la
plus
petite
valeur
a
so
ne.
("5)m(-"—-8)x-5+8==+3.
Donc:(-5)>(-—8).
REMARQUE.
-
Les
inégalités
a
>
b
et
c
>
d
sont
dites
de
même
sens;
les
mégahtés
a
>
la
et
c
<
J,
de
sens
contraires
(<-
au
heu
de
>).

I
NËGALI
TES
63
37.
Interprétation
graphique
d’une
inégalité,
--'
Considérons
sur
un
axe
x
x
le
pomt
A
d
absmsse
a
7—“
---
2
et
le
point
B
d'abscisse
b
='—'=
+
3.
Lmégahté
-—
2
<
i}
c'est—àudire
a
<
b
ou
15-"-
a
>
0
exprime
que
ia>mesure
algébrique
AB
=
b
--
a
est
positive.
Elle
montre
que
ie
vecteur
ABe
le
même
sens
que
l'axe
x'x,
donc
que
le
point
B
appartient
à
ia
demi—
dronte
Ax.
On
voit
de
même
que
tout
point
M
(x)
se
piace
sur
la
demiﬂdroite
Àx'
Ma)
O
M
(ac)
B(b)
,‘
-
.L
A
1&4
î
a
.
x
-4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4
5
6
J?
FIG.16.
si
x
<
—-
2,
sur
le
segment
AB
si
--
2
<
x
<
3,
sur
in
demiuciroite
Bx
S!
x
>
3.
_
Réciproquernent
tout
point
du
segment
AB
a
une
abscisse
comprise
entre
—
2
et
+
3,
tout
pomt
de
la
demiudrmte
Ax'
a
une
absusse
Inférieure
à
--
2
et
tout
pomt
de
5x
une
absmsse
supérieure
à
+
3.
Lorsque
le
point
mobile
M
décrit
l’axe,
son
abscisse
x
augmente
ou
croît
31
ce
pomt
se
déplace
dans
le
sens
x’x.
Elle
«iimmiie
décroît
si
ce
,
pomt
se
déplace
dans
le
sens
xx’.
88.
Théorème
I.
—
On
peut
ajouter
ou
retrancher
un
même
nombre
aux
deux
membres
d’une
inégalité.
Soit
a
>
b,
c'est-à-dire
:
a
—-
b
>
0.
Or,
la
difiérence
(a
+
c)
——
(b
+
c)
est
égale
à
a
m
6
(11°
56),
donc
:
(a+c)-(I>+c)>0.
Soit:
a+c>b+c.
On
peut
donc
ajouter
le
nombre
c
(ou
retrancher
le
nombre
n—
c)
aux
deux
membres
de
l’inégalité
a
>
b.
EXEMPLE.
—-
Soit
l’inégalité:
x
+
5
>
———
y
—-—
'2’.
Ajoutons
le
nombre
y
—5
aux
cieux
membres.
(x+s)+(y—s)>
(-‘—y-—7)
+.(y—5)
soit:
x+y>--7—5.
Les
termes
'--
y
et
+
5
ont
ainsi
changé
de
membre
et
sont
devenus
+
y
et
—-5.
Donc;
Dans
une
inégalité
on
peut
faire
passer
un
terme
d’un
membre
dans
l'autre
à
condition
de
changer
le
signe
qui
le
précède.
Cette
opération
analogue
à
l'opération
sur
les
égalités
(n0
58,
3°)
est
appelée
transposiiion
et
s’énonce
de
même
:
Tout
terme
qui
change
de
membre
change
de
signe.

64
ALGÈBRE
89.
Théorème
Il.
—
On
peut
ajouter
membre
à
membre
des
inégalités
de
même
sens.
Les
inégalités
a
>
b;
c
>
d;
e
>
f
sont
de
même
sens
(même
signe
>).
Elles
signiﬁent
que
les
nombres
(a
—
b),
(c
—_d),
(e
—
sont
positifs;
la
somme
de
ces
trms
nombres
est
elle-même
posmve;
donc:
(a—b)-+(c—d)+(e—f)>0
ou
(n°57):
a—b+c—d+e—
>0
soit:
(a+c+e)—-(b+d+
)>0
ce
quientraîne:
“a+c+e>b+d+f.
On
peut
remarquer
que
le
théorème
subsiste
si
l'une
des
inégalités
est
remplacée
par
une
égalité:
Si
l'on
a:
a>b;
c=d;
e>f
on
a
aussi:
a+c+e>b+d+f.
.90.
Théorème
III.
—
10
On
peut
multiplier
ou‘Îdiviser
les
deux
membres
d’une
inégalité
par
un
même
nombre
positif
en
conser-
vant
le
sens
de
cette
inégalité.
2°
On
peut
multiplier
ou
diviser
les
deux
membres
d’une‘iné-
galité
par
un
même
nombre
négatif
à
condition
de
changer
le
sens
de
l’inégalité.
l0
Soit:
a>b
ce
qui
signifie:
a—b>0.
I
Multiplions
le
nombre
positif
a
-—
b
par
un
nombre
positif
m;
le
produit
m
(a
—
b)
est
positif.
Donc:
m(a—b)>0
ou
ma—mb>0
Soit:ma>fnb.
I
a
>
b
I
entraîne
l
ma
>
ml)
I
pour
m
>
0.
EXEMPLES:
Soit
-—
7
>
—-
8,
Iîultiplions
les
deux
membres
par
-I-
2.
Nous
obtenons
:
-
>
—
16
Soit
de
même:
+%>—-ä.
Multiplions
les
deux
membres
par
+
6.
Nous
obtenons:
+
10
>
—
2|
.
2°
Soit
:
a
>
b
ce
qui
signiﬁe
a
—
b
>
0.
Multiplions
le
nombre
positif
a
—
b
par
le
nombre
négatif
m;
le
produit
m
(a—
b)
est
négatif.
Donc:
m(a—-b)<0
ou
ma—mb<0.
Soit:ma
Soit:ma
Soit:ma
entraîne
pour
m
<
0.
EXEMPLES:
Soit
l’inégalité:
f2
<
Multiplions
les
deux
membres
par
—
4.
Nous
obtenons:
x
>
—
2.

INÉGALITÉS
65
Soit
de
même:
-—
x
<
—
5.
l
Multiplions
les
deux
membres
de
l'inégalité
par
—
l.
Nous
obtenons:
x
>
5.
REMARQUE.
—_
Multiplier
les
deux
membres
d'une
inégalité
par
—
l
revient
à
changer
de
Signe
ses
deux
membres
(n0
69).
'
Donc
:
Si
l’on
change
le
signe
des
deux
membres
d’une
inégalité,
il
faut
aussi
en
'changer
le
sens.
o
CC
EXERCICES
——
Comparer
les
nombres
algébriques
suivants:
392.+2et—5;
+îet—î;
+3et0;
Oet
9.
393.
+
7
et
+
6;
—
5
et—
9;
—3
etL—3,5;
—O,54et——O,57.
3.
2.
_ë
_ë.
_
_lZ.
_
_1_5
394.
+4et+3,
5et
7,
3et
3,
5et
2.
E._
_9.
_E
__12.
3_.4
35
395.
+2,54et+
8,
1,3et
7,
__12
et
13,
+43
et+44.
396.
Quels
sont
les
nombres
a:
qui
vériﬁent
à
la
fois
les
deux
inégalités
suivantes:
<
3
et
:c
<
—
1?
Interprétation
graphique
:
Comparer
la
position
sur
un
axe,
du
point
M
d’abscisse
a:
par
rapport
aux
points
d’abscisses
+
3
et
—
1.
o
397.
Quels
sont
les
nombres
a:
qui
vériﬁent
à
la
fois
les
deux
inégalités
a:
<
——
1
et
x
>
—
5‘?
Interprétation
graphique.
o
398.
Existe—t—il
des
nombres
x
qui
’Vériﬁent
à
la
fois
les
deux
inégalités
a:
>
0
et
x»
<
2?
Interprétation
graphique.
1°
La
double
inégalité
—-Ë
<
a:
<
+
2o
L’une
ou
l’autre
des
inégalités
x
>
ä
ou
a:
<
Â-?
399.
Quels
sont
les
nombres'x
qui
vériﬁent
à
la
fois:
1°
La
double
inégalité
2
<
a:
<
6?
2°
L’une
des
inégalités
x
<
3
ou
a:
>
5?
Interprétation
graphique.
400.
Existe-t-il
des
nombres
a:
qui
vériﬁent
à
la
fois:
10
La
double
inégalité
——
3
<
a:
<
—
1?
2°
L’une
ou
l’autre
des
inégalités
a:
<
—
4
ou
a:
>
0?
Interprétation
graphique.
401.
Quels
sont
les
nombres
x
qui
vériﬁent
à
la
fois
les
inégalités
suivantes:
>
0;
x
<
5;
æ
<
3
et
a:
>
2?
Interprétation
graphique.
402.
Quels
sont
les
nombres
:1:
qui
vériﬁent
à
la
fois:
2
3?
.
12
Interprétation
graphique.

TREIZIÈME
LEÇON
EXPRESSIONS
ALGÉBRIQUES
9l.
Variable.
—
On
appelle
variable
toute
quantité
qui
peut
prendre
diverses
valeurs.
L’âge
d'une
personne,
la
distance
parcourue
par
une
auto,
la
température
de
latmospbère
au
cours
d
une
Journée
sont
des
variables.
Il
est
commode
de
représenter
ces
variables
par
des
lettres.
92.
Correspondance
entre
variables.
Si
la
largeur
x
d'un
terrain
rectangulaire
varie
de
20
m
à
30
m
et
si
le
demi-périmètre
de
ce
terrain
mesure
100
m,
sa
longueur
est
une
variable
y
telle
que
:
y=
100—1;
(I)
A
une
largeur
x
comprise
entre
20
m
et
30
m,
correspond
une
longueur
y
comprise
entre
80
m
et
70
m
et
donnée
par
la
formule
(î).
De
même
la
longueur
x
d'ùne
pièce
d’étoffe
et
son
prix
y,
le
prix
du
mètre
étant
donné,
sont
des
variables
correspondantes;
la
distance
d
parcourue
par
une
auto
qui
roule
à
80
km/h
et
le
temps
t
pendant
lequel
elle
a
roulé,
sont
des
variables
correspondantes,
etc.
93.
Expression
algébrique.
—
C’est
un
ensemble
de
nombres
donnés
et
de
variables
sur
lesquels
sont
indiquées
des
opérations
à
eﬂ‘ectuer.
2__
.____._
EXEMPLEszy=Zax2—3bx
u=:_â
v=a—-\/62—c2.
y,
u
et
v
sont
des
expressions
algébriques.
Ce
sont
ellesîmêmes
des
variables
dont
la
valeur
dépend
des
valeurs
attribuées
aux
variables
ﬁgurant
dans
chacune
d'elles.

EXPRESSIONS
ALGÊBRIQUES
67
Une
expression
algébrique
est
rationnelle
quand
elle
ne
contient
pas
de
lettres
sous
un
radical.
Slnon
elle
est
irrationnelle.
Une
expression
rationnelle
est
entière
si
elle
ne
contient
pas
de
dénomi-
nateur
littéral.
Dans
le
cas
contraire
elle
est
fractionnaire.
â
a2
-—
b
V3
est
une
expression
entière.
x-I-_l
x+3
est
une
fraction
rationnelle.
2x
+
\/x2
+
7
est
une
expression
irrationnelle.
94.
Valeurs
numériques
d’une
expression
algébrique.
La,
valeur
numérique
d’une
expression
algébrique,
pour
un
ensemble
de
valeurs
attribuées
aux
lettres
qui
y
ﬁgurent,
s
obtient
en
remplaçant
chaque
lettre
par
sa
valeur
et
en
effectuant
les
opérations
indiquées.
Ainsi
pour
a
=
+
4
et
b
=
—5,
l'expression
Mg?)
a
pour
valeur
numérique
:
2X4
4+5:24
3
.
On
dit
que
l’expression
est
déﬁnie
pour
a
=
+
4
et
b
=
—
5.
Parfois
il
est
impossible
de
calculer
la
valeur
numérique
d'une
expression.
Ainsi
pour
x
=
+
l,
les
expressions
1
et
\/x
—
2
n'ont
pas
de
valeur
numérique
:
elles
ne
sont
pas
déﬁnies
pour
x
=
+
l.
Dans
ce
qui
suit
nous
supposerons
toujours
que
les
expressrons
enVIsagées
sont
déﬁnies.
)(Lorsque
deux
expressions
ont
même
valeur
numérique,
quelles
que
soient
les
valeurs
attribuées
aux
variables,
elles
sont
équi-
valentes.
(a
+
b)x
et
ax
+
6x
sont
deux
expressions
équivalentes.
95.
Calcul
algébrique.
'
Le
calcul
algébrique
a
pour
but
la
transfor-
mation
des
expressrons
algébriques
en
expressrons
équivalentes.
Simpliﬁer
ou
réduire
une
expression,
c'est
l’écrire
sous
une
forme
équivalente
plus
Simple,
et
par
conséquent
plus
facrle
à
calculer
numériquement.

68
ALGËBRË
MONÔMES
96.
Déﬁnition.
—
Un
monôme
est
une
expression
algébrique
dans
laquelle
les
seules
opérations
à
eﬁectuer
sur
les
variables
sont
des
multiplications
ou
des
élévations
à
une
puissance.
Ainsi:
ga2b3x,
—
a2
(—
4)b2
(—
c),
(2
+
a2
x
(—
y)
sont
des
monômes.
La
valeur
numérique
d’un
monôme
peut
toujours
se
calculer,
quelles
que
sorent
les
valeurs
attribuées
aux
varlables.
Pour
a
=
—2,
b
=
+
3,
x
=
—
l
le
monôme
ä
a2b3x
a
pour
valeur
numérique
:
gx(—.2)2><(+3)3><(—l)=—-ä><4><27>
gx(—.2)2><(+3)3><(—l)=—-ä><4><27>
97.
Réduction
d’un
monôme.
—
Soit
le
monôme
:
(—
4)
a2b2
a
63x2.
,Nous
pouvons
modiﬁer
l'ordre
des
facteurs,
puis
remplacer
plusieurs
d
entre
eux
par
leur
produit
effectué.
Nous
obtenons:
(—
4)
X
a2a.bzb3.x2
puis
____;.‘
a?»
55
x2
Le
monôme
a
été
réduit:
a"'b5x2
est
la
partie
littérale
du
monôme.
—Ê—;
est
le
coefﬁcient
numérique
du
monôme.
,
(Il
faut
éviter
de
confondre,
dans
un
monôme
réduit,
le
coefﬁcient
avec
lexposant
de
lune
des
lettres.)
Le
coefﬁcient
numérique
n’est
pas
toujours
apparent:
a3x3y
a
pour
coefﬁcient
+
l.
—
azby
a
pour
coefﬁcient
—-
l.

EXPRESSIONS
ALGÊBRIQ
UES
69
98.
Monômes
identiques.
—-
Lorsque
deux
.
monômes
sont
équiva-
lents,
ils
ont
même
forme
rédu1te.
On
dlt
alors
qu
llS
sont
identiques;
llS
ont
même
partie
littérale
et
même
coefﬁcœnt.
Ainsi
les
monômes
:
(—
2)
a
l)
(-l—
b3x2
et
a
_(+
4)
62
(-
b2x2
I
'
\
2
ne
redulsent
tous
deux
a:
--
â
ab4x2.
Ils
sont
identiques.
99.
Monômes
semblables.
—
Deux
monômes
sont
semblables
lorsqu’ils
ont
la
même
partie
littérale.
Ainsi
:
l5
aabzc,
-—
7
a3b2c
et
â
a362c.
sont
des
monômes
semblables.
100.
Somme
algébrique
de
monômes
semblables.
——
Considérons
In
somme
algébrique
de
plusieurs
monômes
semblables:
4
02x3y
a2x3y
+2
a2x3y.
Cette
somme
est
le
développement
du
produit
équivalent
(nO
63):
(4
—â
+
â)
azxay
obtenu
en
mettant
entre
les
parenthèses
la
somme
des
coefﬁcients.
La
somme
algébrique
proposée
est
donc
égale
au
monôme:
2
a2x3y.
4
La
somme
algébrique
de
plusieurs
monômes
semblables
est
un
monôme
semblable
à
ces
monômes
dont
le
coefﬁcient
est
égal
d
la
somme
algébrique
des
coefﬁcients
des
monômes
considérés.
La
réduction
d'une
somme
de
monômes
semblables
se
ramène
donc
à
celle.
des
coefﬁcxents.
Ml.
Degré
d’un
monôme.
On
appelle
degré
d’un
monôme
par
rapport
à
une
lettre
l’expo-
sant
de
cette
lettre
dans
le
monôme.
-8
3
degré
en
x;
alf’"x2
est
du
premier
degré
en
a,
du
quatrième
degré
en
b
et
du
second

70
ALGËBRE
On
appelle
degré
d’un
monôme
par
rapport
à
plusieurs
lettres
la
somme
des
degrés
par
rapport
à
chacune
de
ces
lettres.
galæ‘l‘x2
est
du
cinquième
degré
(1+
4)
en
a
et
b-
du
troisième
degré
É]
+
2)
en
a
et
x
du
septième
degré
I
+
4
+
2)
en
a,
b
et
x.
EXERCICES
—
Calculer
la
valeur
numérique
de
0403.3a2—2a+5
poura=+4,——2et—.1.
0404.3æ2—5x+7
pourœ=+3,+5et——3.
0405.4x3—12x2—4x+7
pouras=+5,———3et+ä.
2
__
o
0406.2:2î—ëlä—b+3—%—7
pourx=+3,——2et+5.
7
—
3
æ
2
(a:
———
2)
5
407.
—
=
,
——
.
o
12
+
3
+4
pouræ
+4
+2et
3
0408.(Œ2+1)2-—x4—2Œ2
pourœ=—1,+äet—â.
o
409.
(a'4‘+1)(a2—1)+4a2
poura——3,+3et—lâ.
2
_
2
2
0410.(x+y)‘
xyœ
+y)
pourx=—5ety=+2.
.411.—‘ﬁ:—a—b——
poura=+7etb=—2.
a2
—
2
ab
+
b2
o
41.2.
Vériﬁer
que,
pour
a
=
—
5
et
b
=
+
3,
les
expressions
suivantes
ont
même
valeur
numérique
:
a
_
2
ÿ_+_b_3
2
_
b
a
ab+b,
a+b
et
(a+b)
3a.
o
413.
Même
exercice
pour
a
=
+
4
et
b
=
——
l
avec
les
expressions
:
4
4
_
2
2
.(a
+
b)"(a——b),
(a2—b2)
(a
+
b)
et
a
+2
b2“
b.
o
4’14.
Peut-on
calculer
pour
a
=
+
5
et
b
=
-—
2
la
valeur
numérique
de
l’expres-
sion.
a3+2ab——3b3
a
(a
—
1)
——
5
b2'
.
,
.
_
3a“3
+
5b”
o
415.
Même
exercice
pour
a
=
1
et
b
=
+
2
avec
l
expressron
.
————————
4a3—
b9°

EXPRESSIONS
ALGÉBRIQ
UES
7l
——-
Réduire
les
monômes
suivants
et
calculer
leurs
valeurs
numériques
:
o416.<—ä—>a2æx(—3y)><<+ä>
poura=—3,x=+2,y=——1.
o417.xyX<—ä—>x3xäa2
poura=+5,æ=——2,y=+3.
2
2
3
a
2
2
_
_
_
1418.—ÿa
X
——Z
xy
x
—5
ax
poura—+3,5,æ—+3,y—-—2.
I
3
2
2
2
4
_
_
_
0419.(———g
XG
bœX(——:c)
poura——4,b———1,æ——2
8
2
5
225
_
l
-_
_ë
0420.43:
x(—3y)X<—-ë
axy
poura——2,:L—+4,y—2-
—
Eﬂectuer
les
sommes
de
monômes
suivantes:
2
1
3
5
o
421.
3ax—2aæ+4ax—6aæ.
o
422.
—
Ê
azbæ
+
:11
azbœ
—
ä
azbçc
+
îlo
asz.
o
423.
—
â
a2b3x
+
â
azbsx
—
:51
a2b3x.
o
424.
a2b3æ4y
—ä
a2b3x4y
+
î
a2b3x4y.
o
425.
Dire
quels
sont
les
degrés
des
monômes
suivants:
2
——
ä
azx,
Î
ab3x2,
—
a4b5y,
——
g
a°x3y2.
1°
Par
rapport
à
la
lettre
æ,
puis
par
rapport
à
y.
2°
Par
rapport
à
l’ensemble
des
lettres
:v
et
y,
puis
par
rapport
à
l’ensemble
(les
lettres
a,
b,
a:
et
y.

QUATORZIÈME
LEÇON
POLYNÔMES
102.
Déﬁnition.
—
Un
polynôme
est
une
somme
algébrique
de
plusieurs
monômes.
Chacun
de
ces
monômes
constitue
un
‘
terme
du
polynôme.
EXEMPLES
:
3a2b
-—-
ab2
——
a3
+
4
b3
2x—x3
+5—gx2.
Lorsqu’un
polynôme,
contient
seulement
deux
termes,
on
l'appelle
un
o
A
,0
I
0
,
°
A
bmome.
S
Il
contient
trms
termes,
c-est
un
trmome.
2x3
—5x
est
un
binôme.
4x2
—
3x
+
5
est
un
trinôme.
La
voleur
numérique
d’un
polynôme
s’obtient
en
faisant
la
somme
des
valeurs
numériques
de
chacun
de
ses
termes:
Ainsi
pour:
x
=
—-2
le
trinôme
2x2
—3x
+
l
est
égal
à:
2
(—2)2———3
(—2)+l=8+6+l=l5.
103.
Réduction
d’un
polynôme.
—
Considérons
le
polynôme.
7x3
+8x—3
+4x—2x3—5x
+2.
Croupons
les
termes
semblables
et
remplaçons
chacun
de
ces
groupes
par
le
monôme
équivalent.
Nous
obtenons:
7x3—2x3+8x+4x—5x—3
+2
ou:
(7—2)x3+(8+4—5)x+(—3+2).
Soit
ﬁnalement
:
5
x3
+
7x
-
l.
Le
polynôme
ainsi
obtenu;
est
équivalent
au
polynôme
proposé
et
ne
contient
plus
de
termes
semblables.
On
dlt
que
le
polynôme
a
été
réduit
ou
que
l'on
a
fait
la
réduction
des
termes
semblables.

POLYNOMES
73
104.
Polynômes
identiques.
--
Lorsque
deux
polynômes
se
composent,
après
réduction,
des
mêmes
termes,
on
dlt
qu’ils
sont
identiques.
Les
polynômes:
—3+x2—-5x
et
—5x—3+x2
sont
deux
polynômes
identiques.
On
passe
de
l'un
à
l'autre
en
modiﬁant
l'ordre
des
termes.
On
démontre
que
deux
polynômes
équivalents
sont
identiques.
105.
Degré
d’un
polynôme.
—
Levdegré
d’un
polynôme
réduit,
par
rapport
à
une
lettre‘f
(ou
à
plusieurs
lettres),
est
le
degré
du
monôme
de
plus
haut
degré
par
rapport
à
cette
lettre
(ou
à
ces
lettres).
x
2x—3
+
4x2
est
du
second
degré
en
x.
x‘iy3
--
3x4y5
-
ny4
est
de
degré
6
en
x,
de
degré
5
en
y
et
de
degré
9
en
x
et
y.
Contrairement
à
ce
qui
se
passe
pour
un
monôme
le
degré
par
rapport
deux
lettres
n’est
pas
obligatoirement
la
somme
des
degrés'
par
rapport
chacune
de
ces
lettres.
Lorsque
tous
les
termes
d'un
polynôme
ont
même
degré
par
rapport
plusieurs
lettres
on
dit
que
le
polynôme
est
homogène
par
rapport
à
ces
lettres.
2x3
—
4.1ry2
+
x2y
est
un
trinôme
homogène
du
troisième
degré
en
x
et
y.
93’
93’
m;
106.
Polynômes
ordonnés.
—
Considérons
un
polynôme
à
une
seule
variable,
c
est-à-dlre
contenant
une
seule
lettre:
3x2
—
2x
—I-
4
-—
5x3.
O
Il
est
logique
d’écrire
les
termes
de'ce.
polynôme
de
façon
que
leurs
degrés
aillent
smt
en
augmentant
son
en
dlmmuant.
4—2x+3x2—-5x3
ou
——5x3+3x2—-2x+4.
Dans
le
premier
cas
le
polynôme
est
ordonné
par
rapport
aux
puissances
Croissantes
(le
x
et
dans
le
deux1ème
cas
il
est
ordonné
par
rapport
aux
puis—
sances
décroissantes
de
x.
Un
tel
polynôme
est
complet
s'il
y
ﬁgure
un
terme
de
chaque
degré.
Le
polynôme
mcomplet
du
3e
degré
Jç3
—
2x
+
l
peut
d’allleurs
s'écrire:
x3+0x2—-2x+l
ou
x3+°—2x+l
en
remplaçant
le
terme
manquant
en
x2
par
0x2
ou
par
un
point.
Un
polynôme
à
plusieurs
variables
peut
être
ordonné
par
rapport
à
l'une
de
ces
variables.
d
x2y
-
3xy
+
4x
—
2
est
ordonné
par
rapport
aux
puissances
décroissantes
e
x.

74
ALGÈBRE
2x3
'—
3.xzy
—
4xy2
+
y3
est
un
polynôme
homogène
du
3e
degré
en
x
et
y
ordonné
Simultanément
par.
rapport
aux
puissances
décrmssantes
de
x
et
par
rapport
aux
puissances
crmssantes
de
y_.
107.
Somme
de
polynômes.
—
Soit
à
additionner
les
polynômes:
02
+5a—7b,
602+3b—2
et
—4a2+5b_—-3.
La
somme
de
ces
polynômes
s’écrit
:
(a2
+
5a—7b)
+
(602
+3b—2)
+
(—4az
+
512—3).
Cette
expression
a,
quelles
que
soient
les
valeurs
numériques
données
aux
lettres,
même
valeur
que
le
polynôme
obtenu
en
supprlmant
les
paren-
thèses
(n°
57).
a2+5a—7b+6a’+3b—2——4a’+5b—3.
La
somme
de
plusieurs
polynômes
est
équivalente
au
polynôme
formé
par
tous
les
termes
de
ces
polynômes.
Nous
pouvons
d'ailleurs,
clans
l'exemple
envisagé,
réduire
le
résultat:
nous
obtenons
:
302+5a+b-5.
108.
Différence
de
deux
polynômes.
La
différence
des
polynômes
3a2
+
6a
—
7b
et
2a2
-—
4a
-—
3b
s'écrit
:
(3a2
+
6a
—
7b)
—
(2a2
—-
4a
—
3b).
Cette
expression
a
même
valeur
numérique
que
le
polynôme
obtenu
en
suppnmant
les
parenthèses
(n°
57).
3a2+6a—7b—-2a2
+4a
+36.
Par
suite
ce
résultat
est
équivalent
à
la
somme:
(3a2
+
6a
-—
7b)
+
(-
202
+
4a
+
3b).
D'où
la
règle:
Pour
retrancher
un
polynôme
il
sufﬁt
d’ajouter
le
polynôme
symétrique
obtenu
en
changeant
les
signes
de
chacun
de
ses
termes.
Une
somme
algébrique
de
polynômes
se
ramène
ainsi
à
une
suite
d'addia
tions.
109.
Somme
algébrique
de
polynômes
à
une
variable.
l1
est
bon
dans
ce
cas
d'ordonner
ces
polynômes
et
de
les
compléter
s'il
y
a
heu.
On
peut
alors
les
disposer,
comme
pour
une
addition
numérique,
l'un

POLYNOMES
75
film-dessous
de
l'autre.
en
faisant
correspondre
verticalement
les
termes
sem—
)
ables
:
EXEMPLE.
—
Soient
les
polynômes
:
/\=2—5x+4x’3
B=—8x+4x2+6
C=-—2x3+3+x2+2x.
Pour
calculer
la
somme
algébrique
S
=
A
—
B
+
C
on
écrit:
A
=
+
4x3
0
—
5x
+
2
—-B=
0
—-4x2
+8x
—6
C=—2x3
+
x2
+2x
+3
S=
2x3
—3x2
+5.:
—l
La
réduction
des
termes
semblables
est
immédiate
et
on
obtient
un
résultat
ordonné.
EXERCICES
—
Réduire
et
ordonner
les
polynômes
suivants:
_ë
Ë
__
a
E_ËI
n
.426.
2x+4x
333+6
2:1:+5+4a:.
a
o427.ëæ3+æy+y'—2æy+î——êœ'.
2
3
2
2
3
1
2
2__
__
2
_
_
__
2
0428.41:
3a
5a+3a
5a
15a.
o
429,43x2-1—Ê—âx—2æ3—Êæ3+4—2x2+7x.
0,430.4æ2—g+-Ëx——
[0101
x2+âx3—5+äx3+7—2æ.
2b+
à
.
431.
azb
+3
a3
—
4
au;2
+
b3
——
b3
+
2
ab2.
[C
ICI
[le'l
o\
432.
Soient
les
deux
polynômes
:
A
=
3
æ?
—
7
x3
—
2
a:
+
2.
B
=4x
—6:I:2
+
5æ3—2.
Calculer
A
+
B.
Vérifier
en
calculant
les
valeurs
numériques
de
A,
B
et
A
+
B
pour
a:
==
2.
o
433.
Mêmes
données
que
pour
l’exercice
précédent:
Former
A
—
B.
Vériﬁer
pour
æ
—
3.

76
ALGËBRE
—
Réduire
les
expressions
suivantes:
434.
——5:c4+
3—êœ3)
+
(_gx3—2x)_(7æ9—Ëx
+
5x4).
o
3
5
435.
(12æ3+2Œ2—5æ+
13)+(3x+5—4æ3)—(5x3—8+2x2).
436.
(a3—3a2b+
3ab2—b3)
+
(a3
+
3a2b
+
3ab2+
b3)—(6
ab2—3a3).
—
Effectuer:
437.
(33—5)
+
[2x—5—(3x—2y
+
4)—(4x—3y—9)].
438.
(2œ—5y+
7)—[(3:c+2y—3)—(4x+4y—2)]—[2x—(3
y
+
4)].
439.
[cc—2g
+
5)—(.3x
+
2g
+
7>1—[(2x
+
3>—(4y—2)1.
440.
Soient
les
polynômes:
A=3x2—4x+5
B=2x9+5x—4
C=4æ2—x+3.
FormerlespolynômeszA+B+C,A+B—C,A—B+Cet—A+B+C.
441.
Soient
les
polynômes
:
A=5a*‘——3ab+7b2
B=.6a2—8ab+9b2
C=4a2——3ab—7b9.
Formerles
polynômeszA—B—C,
—A—B+Cet—A+B—C.
442.
Soient
les
polynômes:
=
2
:135
—
3
x2
+
4
a:
R=4æ5—2æ3+3x——1
S
Former
les
polynômes
:
(P+Q)*—(R+S),
P—Q—R+S.
(P—Q)+(R-S)

QUINZIÈME
LEÇON
MULTIPLICATION
DES
MONÔMES
ET
DES
POLYNOMES
110.
Produit
de
deux
monômes.
—
Soient
les
monômes:
A:
â
ax3y2
et
B=-42a4x5.
Le
produit
de
ces
deux
monômes
s'écrit:
A.B.
=
ax3y2)
><
(—
Za4x5).
Or
pour
multiplier
deux
produits,
nous
pouvons
former
le
produit
unique
contenant
tous
les
facteurs
de
ces
deux
produits
(n0
63).
Nous
obtenons:
A.B.
=
È
a.x3.y2
(—
2)
a4.x5.
Soit
en
réduisant:
Aa=—gùv.
D'où
la
règle:
Le
produit
de
deux
monômes
est
un
monôme
dont
:
1°
le
coefﬁcient
est
le
produit
des
coefﬁcients
de
chacun
des
facteurs,
20
la
partie
littérale
est
formée
des
lettres
contenues
dans
les
deux
monômes,
chacune
d’entre
elles
ayant
pour
exposant
la
nomme
de
ses
exposants
dans
chacun
des
facteurs.
Remarquons
que
cette
règle
s'étend
immédiatement
au
produit
de
plusieurs
monômes
:
EXEMPLE
:
azxay)
x
(—ä
ay‘)
><
(2
x5112)
=
—â
><
ê
><
2
a’xay-ay‘-x5y'
—
Ë
aaxsy".

78
ALGËBRE
111.
Carré
d’un
monôme.
--
Soit
le
monôme
—-â
ax‘y”.
Nous
obtenons
immédiatement
:
(-â
WÏ
=
(-
â
s‘y“)
><
(-%
m‘y”)
__._
_
a
ast.
a:
il
asxsys_
(
3)
9
_
Pour
obtenir
le
carré
d'un
monôme,
il
sufﬁt
de
prendre
le
carré
du
coefﬁ—
c1ent
et
de
doubler
l'exposant
de
chaque
lettre.
On
obtiendrait
de
même
le
cube
du
monôme
précédent:
(—
â
w)“
——-
<—
ê)”
=
112.
Produit
d’un
polynôme
par
un
monôme.
—
Soit
à
effectuer
le
produit
:
(azx3
—
5x
+
3a)
(—-
Z
03x).
En
supposant
les
d'iflérents
termes
remplacés
par
des
valeurs
numérigues,
nous
avons
à
multiplier
une
somme
par
un
nombre
(11°
63).
(Je
produit
est
donc
équivalent
au
polynôme:
(a’xa)
(—-
2
03x)
+
(—
5x)
(--
Zasx)
+
(3a)
(——
203x).
Soit
:
—
205x4
+
IÛa’äc2
——
604x.
113.
Produit
de
deux
polynômes.
-—
Soit
à
calculer:
(3x2
—-
2x
+
y)
(3x
—-
y).
En
supposant
les
termes
(les
deux
polynômes
remplacés
par
des
valeurs
numériques,
nous
avons
à
effectuer
le
produit
de
deux
sommes
(n0
63),
et
nous
voyons
que
ce
prodult
a
même
valeur
numérique
que
le
polynôme:
(3x2)
(3x)
+
(—
2x)
(3x)
+
(y)
(3x)
+
(3x2)
(-
y)
+
(—-
2x)
(—
y)
+
(y)
(—'
y).
Soit
:
9x3
—-
6x2
+
3xy
--
3x29:
+
ny
——
y2
ou
:
-—
3x2?
+
5ry
-—
652
-—
yz.
114.
Produit
de
deux
polynômes
à
une
seule
variable.
Soient
les
polynômes
:
A=3x3—2+5x
B:-
2x2—4x+3.
Pour
effectuer
leur
produit,
on
les
écrit
en
les
ordonnant
l'un
au-dessous
de
l'autre
et
on
calcule
les
produits
partiels
du
premier
par
chacun
des
termes
du
second
en
disposant
les
résultats
comme
pour
l’addition
(11°
109).

MULTIPLICATION
DES
POLYNOMES
79
A=3x3
-
+
5x
—2
B:
212
——
4x___+
3
A
X
2x2
=
6x5
o
+
uoxa
:252“
A
X
(.—
4x)
=
'_
l2x4
o
20x2
+
8x
A
X
3
z
9x3
'
+
l5x
—6
A
X
B
=
6x5
--12x4
+1913
-—24x2
+23x
—6.
,
On
obtient
immédiatement
le
résultat
réduit
et
ordonné.
Remarquons
Ëautre
part
que
le
degré
du
produit
est
la
somme
des
degrés
de
chacun
des
acteurs.
115.
Produit
de
plusieurs
polynômes.
——
Soit
à
effectuer
le
produit
des
trms
polynômes
suivants:
À=3x2—-l;
B=2x+l;
C=4x2—2x+l.
On
calcule:
A.B=(3x2-—l)
(2x
-l-
l)==6x3+3x2—2x—l.
Puis:
A.B.C.
=
(6x3
+3x2—2x—
l)‘(4x2—2x
+1).
Soit:
A.B.C=24x5—8x3+3x2—l.
.Le
produit
est
d’ailleurs
indépendant
de
l'ordre
des
facteurs
et
o_n
peut
par
su1te
remplacer
deux
quelconques
des
polynômes
par
leur
produit
effectué.
Le
degré
du
prodult
est
la
somme
des
degrés
de
chacun
des
facteurs.
116.
Carré,
cube
d’un
polynôme.
——
Soit
le
polynôme:
2x
—
y.
(2x
——
y)2
=
(2x
—
y)
(2x
—-
y)
=
4x2
-—
ny
—
ny
+
yz.
Soit
:
(2x
--
y)2
=
4x2
—
4xy
+
y2.
Nous
obtenons
de
même
:
(2x
-
y)3
=
(2x
—-
y)2
(2x
-
y)
=
(4x2
—
4xy
+
yz)
(2x
—
y)
=
8x3
--
8x2y
+
ny2
--
4x2y
+
4xy2
—
Soit
:
(2x
--
y)3
=
8x3
-—
l2x2y
+
6xy2
-
y3.
117.
Exemple
de
calcul.
pratique.
—
Soit
à
calculer
l'expression
:
A=3
(2x—3)
(3x
+2)——Z
(x+4)
(4x—3)
+9x
(4—x).
Cette
expression
est
une
somme
de
produits.
Il
faut
calculer
d’abord
chacun
de
ces
produits:
3
(2x—3)
(3x+2)=
(6x—9)
(3x+2)=
l8x2—l5x—18
-—2
(x
+4)
(4x—3)
=
(—2x—-8)
(4x—3)=
—
8x2—26x
+24
9x
(4
—
x)
=
36x
-—
9x2.
L’expression
A
est
donc
égale
à
:
18x2—
l5
x—18—8x2—26x
+24
-l-36x—9.7c2
Soit:
A=x2—5x+6.

80
ALGËBRE
EXERCICES
——
Effectuer
les
produits
suivants:
443.
(3
a2b3)
(Ë
ab5).
o
444.
(Ë
a3b2c>
(——
-3-
abc4>.
3
5
4
y
445.
a2xy3>
(—
g
a3y4).
o
446.
(—
â
x2
)
_
Z
2
__
3
2)
Â
a)
_
Ê
2>2
__
2
449.
<
2
ax
y
<
15
b
xy
(21
abx
.
o
450.
<
3
:cy
(
4
a:
y).
À42)_2
23)
'_1_424)
:12)3(_ë>
<
abx<
7aœy
<
5bxy
.o452.<5xy
‘
4xy.
-—
Calculer
les
expressions
suivantes:
2
2
5
3
3
3
453.
(—
5
ab3>
.
o
454.
(ä
a2b3x4)
.
o
455.
(——
ë
a4b3y2>
.
7
l
2
9
2
6
3
456.
a3b5x3)
.
o
457.
(—
z
a4b2æ5)
.
o
458.
(—
Ë
aœ4y5>
.
——
Eiïectuer
les
produits
suivants:
46
O
ë2__ë
__éza)
ë2ê_>_4
5)
459.
<2ab
4ab,+3a>(
3ab
.
aœ
+2bx
4c
<
5aba:
.
4
461.
azx
——
3ay
—
4by>
(4a3x2y).
o
462.
<——äæ5
+
(—239134).
463.
(2æ—3y)(4œ—2).
o464.(2a+3b)(———4a+6b).
465.(——4œ+3y+1)(y——3).
o466.(—2a+3b—5)(a——b).
467.
(2
:63
-—
3
y2
+
5)
(332
—
y).
o
468.
(4
a3
—
5
b4
+
ab)
(a2
—
b).
469.
(5æy
+
3x—2y)(2x—y).
o
470;
(—3æy
+
4x—2y)(a:
+
5).
471.
(14
a2b
+
5
a2
—
b)
(a2
—
2
b).
o
472.
(7
a3b—4
b2
+
2a3)
(2
a3
+
4122).
473.
Soient
les
polynômes:
A
=
—
2
x2
+
3
æ
+
5
ct
B
=
x2
—
a:
—l—
3.
1°
Calculer
le
produit
A.B.
2°
Vériﬁer,
pour
a:
=
—
3
en
calculant
les
valeurs
numériques
de
A,
B
et
du
produit
A.B.

o
474
MULTIPLICATION
DES
POLYNOMES
:A=.’c2-—3x+2.
.
Soit
le
polynôme
81
1°
Calculer
le
carré,
puis
le
cube
de
ce
polynôme.
2°
Vériﬁer
pour
x
dcs
résultats
trouvés.
—
4,
en
calculant
les
valeurs
numériques
du
polynôme
et
——
Effectuer
les
produits
suivants,
réduire
et
ordonner
les
résultats:
475
477
479
481
483
.(2œ—7)(—3æ+2).
o
.
(5x3—2x)(3x—4x2).
.<—2æ+â>(4x+3).
.
(7x4—2x3+4æ2)(3x2—5).
.
(2x2—4+2x)(x2+5——2x).
——
Calculer
les
expressions
suivantes
:
0.485.
(2x+3)
(3x+2)
(as—4)._
o
o
487.
(3
x2
-——
1)
(a:
+
1)
(a:
——
1).
o
o
489.
(2
:02
+
3
a:
—
4)2.
0
o
491.
(7
a:
——
5)3.
o
476.
(4
x5
+
7—2x3)(x3—2x).
478.
(2x—
7x2
+
5x3)
(31:—
5æ2
+
8).
ë
_ë
2
3'_
2
480.
(33:
2x
+5)(4œ
5x
+7).
482.
(2
:132
—
4
:133)
(:1:2
——
2
x).
ë
3_
l
Z
3_2
2)
484.
(4x
2œ+2)
(2x
3ac+x
.
486.
(5x—1)(2x+
3)(7+4:c).
___92
2__
(a:
5)
(5
x
1)
(5x
+
3).
490.
(4
333—73:
+
2x2
+
5)2.
492.
(x2
—
a;
+
2)3.
488
.
—
Développer
et
réduire
les
expressions
suivantes
:
494.
495
.
496.
497.
498
.
499
.
500
.
2
3
493.
5(3
a2—'—4b3)——[9
(2
az—b3)—2(a2—5
123)].
3a2(2b——1)—[2a2(5b—3)——2b(3a2+1)].
(2a+5b)(3a——2b)——(2a—1)(3a+2b)—(a—2b)(5b——1).
(2x—3y><5x—2y)—<3x—2y)(2æ+1>—(5x—y)(3y+1).
(axé—b)(ax2—2b)+3b(ax2—b)+
b(b——1).
(œ—1)(æ—2)(x—3)+6(x—1)(x———2)+7(:c—1).
(x2
+
.112)
(ms—112)
(as—y)
+
avycv3
+
.113)-
—x2y<2x2—=ä)—2x2(2æ2—1)+
(ma—ä)
<1—g>
(2x2—1).

|
SEIZIÈME
LEÇON
l
IDENTITÉS
REMARQUABLES
118.
Déﬁnition.
—-
Une
identité
est
l’égalité
de
deux
expressions
algébriques
équivalentes.
Une
identité
est
donc
vériﬁée
quelles
que
soient
les
valeurs
attribuées
aux.
9
0
’
a
o
’
lettres.
Ces
lettres
pourront
d
allleurs
representer
Indiﬁeremment
des
nombres
ou
des
expressmns
algébriques.
119.
Carré
de
la
somme
de
deux
termes.
——
Soit
à
calculer
(a
+
b)‘3
:
(a+bz=(a+b)
(a+b)=a2+ab+ba+b2.
En
réduisant
nous
obtenons
l’identité
:
{(a+b)2=a2+2ab+b2|.
(1)
APPLICATIONS.
——
1°
Calculer
(3x
+
5)2.
Remplaçons
dans
l’identité
(Î)
a
par
3x
et
b
par
5,
nous
obtenons
:
(3x+5)2=(3x)2+2
><
3x
><
5
+5°=9x2+3ox+25
2°
(2x2
+
3y)2
=
(2x2)2
+
2
><
2x2
><
3g
-'r-
(3y)2
=
4x4
+
12x254
+
9142;
3°
(ä-axz
+âby>2
=
(ê
«2)2
+
2
(ê
«2)
(îby)
+
(36-102
4
9
=
a2x4
+
â-
abxzy
+
Ë
bzyz.
120.
Carré
de
la
différence
de
deux
termes.
(a—b)2=
(a—b)
(a—b)=
aznab—ba
+
[72
Soit
=
|
(a
—
192
=
.12
—
Zab
+
62
|.
(2)

IDEN
T1
TÊS
REMARQUABLES
83
Remarquons
que
cette
identité
est
une
conséquence
de
l'identité
ll
sufﬁt
de
remplacer
+
b
par
'—-b
et
par
suite
+
Zab
par
—2ab.
Le
terme
+
b”
ne
change
pas
car
(—
b)2
=
+
62.
EXEMPLES.
—
l°
Calculer
(2x
—3)’.
Remplaçons
dans
l'identité
(2)
a
par
2x
et
b
par
3,
nous
obtenons:
(2x—3)3==
(2102—2
><
2x
X
3
+3’=4x’-—
l2x+9.
b
Ce
résgltat
s'obtient
aussi
en
remplaçant
dans
l'identité
(l).
a
par
2x
et
par
—
:
'
(2:;-3'=(2x)3+2x2x><(—3)+(—-3)'=4x’—l2x+9
’
__Z
_
’_
2
Z
Z
'
20
(39
5y3)—(3x’)
2X3x><5y3+(5y”)
=9x4—152x2y3+ï45y°.
121.
Produit
de
la
somme
de
deux
nombres
par
leur
différence.
Soit
à
calculer
(a
+
b)
(a
—
b)
nous
obtenons:
(a+l>)
(cl—b):
az+ab—
ab—b’.
Soit
en
réduisant
:
l(a+b)(a—b)=a’—b’
EXEMPLES
:
l0
(2x
+5)
(2x—5)=
(2x)2—-5’=
4x3—25
20
42
2
2
2
_
2
2
2
a
(“+äy)(4“—äy)*(4”)
—(äy)
=
W
..
g
122.
Autres
identités.
—
Les
identités
suivantes
pourront
être
vériﬁées
h
litre
d'exerc1ces:
(a-+b+'c2=a2+bz+c2+26c+2ca+Zab
(a
+
b)3
=
a3
-l-
3a25
+
3062
+
b3
(a
—-
b)3
=
a3
—-
3a2b
+
3a62
--
b3
(0+6)
(az—ab
+52):
034—53.
(a—b)
(a2
+ab
+152):
a3—b3.
(x+a)
(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
ll
suth
d'effectuer
les
calculs
indiqués
dans
le
premier
membre
pour
ulttﬂllll‘
le
second.
Signalons
aussi
les
identités
suivantes
qui
sont
des
consé-
qucnces
des
identités
(l)
et
(a
+
l3)a
+
(a
--
b)2
==_2
(a’
+
52)
(a
+
b)”
—
(a
--
b)’
=:4ab.

84
ALGËBRE
123.
Sommes
de
plusieurs
termes.
l0
Soit
à
calculer
:
(2x
—3y
+5)2.
Si
on
ne
veut
pas
employer
la
première
identité
du
n°
122
on
peut
écrire
(2x
--
3y
+
5)2
=
[(Zx
—
3y)
+
5]2
=
(2x
—
3g)2
+
IO
(2x
-—
3y)
‘I-
25.
Soit:
(2x
-—
3y
+
5)2
=
4x2
—
ley
+
9y2
+
20x
-—
30g
+
25
2°
Soit
à
calculer
:
(2a
+
5b
+
3)
(2a
+
5b
—
3)
Ce
produit
est
égal
à:
[(Za
+
55)
+
3]
[(2a
+
5b)
—
3]
=
(2a
+
5b)2
—
32
Soit:
(Za
+
5b
+
3)
(20
+
5b
—
3)
=
4a2
+
20ab
-I—
2562
—
9.
124.
Applications
au
calcul
mental.
1°
Carré
d’un
nombre
terminé
par
1
ou
9.
(4l)2=(40+l)2=(40)2+2><
40+12=1600+80+l=1681
(29)2=
(30—l)2=(30)2—2
><
30+
12:
900—60+
l
=
841.
'20
Carré
d’un
nombre
terminé
par
5.
—
Soit
d
le
nombre
des
dizaines.
Le
nombre
considéré
s'écrit:
lOd
+
5.
(lOd+5)2=
(10.1)2
+
2
><
5
><
104+
52:
100.12
+1004+
25.
=
100d
(d+
1)
+
25
Soit
=
[(10.1
+
5)2
=
d
(d
+
l)
centaines
+
25
unités
J.
On
voit
ainsi
que:
752
=
7
><
8
centaines
+
25
=
5
625
1252
=
12
X
l3
centaines
+
25
=
l5
625.
30
Produit
de
deux
nombres
différents.
32
><
28=
(30+2)
(30—2):=
900—
4=
896
28
><
22=(25
+3)
(25—3):
625—
9=
616
57
><
43
=
(50
+7)
(50—7)=
2500—49:
245|.

IDENTITÉS
REMARQUABLES
85
EXERCICES
—
Vériﬁer
les
identités
suivantes:
501.
502
.
503
.
504
.
505
.
506
.
507
.
508
.
509
.
510
.
5’11
.
â(a+b)2+-;—(a——b)2
=a2+b2.
<“
Ë
'ÎŸ—
(a?
’32
=
ab'
(a—b)
(a3
+
azb
+
ab2
+
b3)
=a4—b4.
(a
+
b)
(as—azb
+
ab2—b3)
=a4—b4.
(œ2+:c+1)(:c2——x+1)
=x4+x2+1.
(aa'
+
bb')2
+
(ab’—a'b)2
=
(a2
+
b2)(a’2
+
b”).
(x—1)(œ+1)(x2+1)
=(x——1)(æ3+æ=+x+1)=x4—1.
a(b——c)+
b(c—a)+c(a—b)
=0.
a(bz—cy)+
b(cx—az)+c(ay—bx)
=0.
(x+y)3—3æy(x+y)
=x3+y3.
(æ+y)3+2(=v3+y3)
=3(æ+y)(x2+y’)-
——
Utiliser
les
identités
classiques
pour
développer
les
produits
suivants
:
512.
2
2_._ë
2.
2
ë)
514.(5x
4y>(5x
+4y.
5’16.
-518.
3
3
2
2
(Ex
_5y2>_
.
513.
il.
5
2
3)2
(3x
+5y
.
223_l
4>223
l
4).
(Ban:
2by
(3aa:
+2by
2
4
2
4
<3x—5y—1>
<3æ+5y+1>.
2
o
519.
(ëx—äy+z).
2
o
515.
\
(3x+4y+5)(3œ+4y+5).
o
5'17.
(3x+4y—2z)2.
—
Développer
et
réduire
les
expressions
suivantes:
520
.
521.
.
522.
523
.
524.
525
.
(a+b)(a+œ)(b+æ)—a(b+x)2——b(a+æ)3.
bc(b—c)+ca(c——a)+ab(a——b)+(b—c)(c—a)(a——b).
(a
+
b+
0)[(a—b)'
+
(b—C)’
+
(0-—
‘0']-
(b—0)(Œ—a)'+(c*-a)(Œ—b)'+(a—b)(æ—c)'o
(a+b)'+(b+0)'+(c+a)'—(a+b+c)'o
a'(a—b)(a—-c)+
bI(b—c)(b—a)+cI'(c—a)(c—b).

DIX-SEPTIÈME
LEÇON
I
DIVISION
DES
MONÔMES
ET
DES
POLYNÔMES
125.
Déﬁnitions.
—-
Le
quotient
exact
de
deux
monômes
ou
polynômes
A
et
B
s'indique
par
l'expression
—
appelée
fraction
rationnelle.
B
Lorsqu'une
fraction
rationnelle
Ê
se
réduit
à
un
monôme
ou
à
un
polynôme
on
dit
que
le
polynôme
(ou
monôme)
A
est
divisible
par
le
polynôme
(ou
monôme)
B.
EXEMPLE
I.
—
L'égalité
:
3
a‘xay
=
Zaaxy
X
â
ax’
montre
que
le
quotient
de
3a‘x‘y
par
2
aaxy
est
le
monôme
32-
ax'.
Nous
pouvons
écrire:
4
s
3a‘x3y:
Zany
ou
êzîâ-y
==
ä
axzo
EXEMPLE
II.
--
L'égalité
:
6a3x2y
—
5a3x“
+
2a‘x2y
=
Zazxz.
(3g
-—
â
x2
+
ay)
permet
d'écrire
:
6
3
2
——
5a3
4
+
2
4x2
5
axy
203;
a
y=3y_ëx2+ay_
EXEMPLE
III.
—
L’égalité:
6x3+3x2+8x
+4:
(2x+
I)
(3x2+4)
montre
de
même
que:
6x3+3x2+8x+4_
2x+l
—3x’+4.
Le
quotient
de
deux
polynômes
est
parfois
un
polynôme
ou
un
monôme.

DIVISION
DES
MONOMES
ET
DES
POLYNOMES
87
DÉCOMPOSITION
EN
FACTEURS
126.
Déﬁnition.
—
Un
polynôme
étant
donné,
il
est
souvent
utile
de
pouvoir
l'écrire
sous
forme
d'un
produit
de
facteurs
(monômes
et
polynômes).
Ainsi
l'expression
:
Zazx
+
4ab
peut
s’écrire
:
2a2x
+
4ab
=
2a
(ax
+
26).
_
Cette
opération
est
appelée
décomposition
en
un
produit
de
facteurs
ou
plus
Simplement
factorisation
du
polynôme
donné.
127.
Mise
en
facteur
d’un
monôme
dans
un
polynôme.
—
Consi—
dérons
le
polynôme:
'
603x2y
—
5a3x4
+
2a4x2y.
Tous
les
termes
sont
divisibles
par
axz.
Nous
pouvons
donc
écrire:
6a3x2y
—-
5a3x4
+
Za4x2y
=
ax2.
(6a2y
—
5a2x2
+
2a3y).
On
dit
que
le
monôme
a):2
a
été
mis
en
facteur
commun
ou
factorisé
dans
le
polynôme.
De
cet
exemple,
résulte
la
règle
suivante:
Le
monôme
de
plus
haut
degré
possible
pouvant
être
mis
en
facteur
dans
un
polynôme
est
formé
des
lettres
communes
à
tous
les
termes
du
polynôme,
chacune
d’entre
elles
étant
affectée
de
son
plus
petit
exposant.
Le
coefﬁcient
de
ce
monôme
est
d’ailleurs
arbitraire.
Ainsi
dans
l'exemple
précédent
nous
pouvons
mettre
-
3a3x2
en
facteur:
6a3x2y
—
5a3x4
+
2&ny
=
—
3a3x2.
(—-
Zy
+
â
x2
--
â
ay).
128.
Autres
procédés
de
factorisation
d’un
polynôme.
Il
n’v
a
pas
de
procédé
général
applicable
à
tous
les
cas
pour
mettre
une
expressmn
_en
facteur
dans
un
polynôme.
Les
procédés
les
plus
employés
sont
les
suivants
:
1°
Utilisation
des
identités
remarquables.
4x2—
l2x2+
9
?
(2x)2—2
><
2x
><
3
+32:
(2x—3)2
==x2—52=(x+5)
(x—5
x
—
3
25a2x4
—
462
=
(5
ax2)2
-—-
(2(2)2
=
(5a):2
+
26)
(5
ax2
-—
2b).
20
Groupement
des
termes
ayant
un
facteur
commun.
ax+by+ay+bx=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)
(x+y)
x2—-ax+bx—ab=x
(x—a)+b
(x—a)=(x—a)
(x+b)
a
(x2+l)+x
(a2+l)=ax2+a2x+a+x=ax
(a+x)+(a+x)
=(ax+l)
(a+x).

88
ALGÈBRE
3°
Utilisation
successive
des
méthodes
précédentes.
a2
+172---c2
+206:—
(a2
+201)
+b2)—c2=
(a
+
[2)2—-c2
=(a+b+c)
(a-l-b—c)
x2—
12x
+20:
(x2—
12x
+36)—
lô=
(x---6)2—-42
=
(x—6
+4)
(x—6—4)=
(x—Z)
(x—
IO).
REMARQUE.
-—
Pour
décomposer
un
polynôme,
il
faut
toujours
commencer
par
la
mise
en
facteur
du
monôme
de
plus
haut
degré
possible,
puls
essayer
ensu1te
l’une
des
méthodes
précédentes.
FRACTIONS
RATIONNELLES
129.
Déﬁnition.
—
On
appelle
fraction
rationnelle
une
fraction
dont
les
deux
termes
sont
des
monômes
ou
des
polynômes.
l
.
3x._-
.
2&2
xz'
2x
+3'
3x2—5x
sont
des
fractions
rationnelles.
La
valeur
numérique
d'une
fraction
rationnelle
est
le
quotient
de
la
valeur
du
numérateur
par
celle
du
dénominateur.
Par
sulte,
une
fraction
ration—
nelle
ne
peut
se
calculer
lorsque
la
valeur
du
dénominateur
est
nulle.
Ainsi
(nO
125):
.
.
o
2x
‘I
AmSI,
la
fraction
n
a
pas
de
sens
pour
x
=
5.
x
——
5
Dans
ce
qui
suit,
nous
ne
considérons
que
les
valeurs
des
lettres
pour
lesquelles
les
fractions
enVISagées
sont
déﬁnles.
130.
Propriétés.
—
Nous
admettrons
que
toutes
les
propriétés
des
rap-
ports
numériques
(n°5
70
à
73)
sont
valables
pour
les
fractions
rationnelles.
Les
règles
de
simpliﬁcation,
réduction
au
même
dénominateur,
et
celles
des
opérations
subsistent
donc.
131.
Simpliﬁcation
d’une
fraction
rationnelle.
-—
On
décompose
ses
termes
en
facteurs
puls
on
lelse
ces
deux
termes
par
leurs
facteurs
communs:
EXEMPLES:
Io
Zgäyf‘
2:
203
âges?
1.:
âge?
3x35;2
3x2
><
xy2
3x2
20
3x2—6x_
3x
(x—Z)
_
3x
x2—4
_(x+2)
(x—2)_x+2
3x2—27___3(x+3)
(ac—3):
___
30
x+3
x+3
3(x
3).

DIVISION
DES
MONOMES
ET
DES
POLYNOMES
89
On
voit,
d’après
le
dernier
exemple,
qu’une
fraction
rationnelle
se
réduit
parfors
à
un
polynôme.
132.
Réduction
au
même
dénominateur.
——
On
choisit
comme
déno—
minateur
commun
un
multiple
commun
à
tous
les
dénominateurs:
EXEMPLES:
_5
.
.
4_x_
3x
—
I,
'°
14’
21
et
6
.
.
i.
4_x
3x
——
I
.
5°“
'
2.7’
3.7
et
2.3
On
peut
prendre
pour
dénominateur
commun
le
produit
2
><
3
><
7
=
42.
l_5__
ÿ;
t
7(3x—I_)
On
obtient
:
42’
42
e
42
ÿ
_
6x
l
_
2°
xs’
2(x+l)
et
xz-I-x
Simpliﬁons
d'abord
ces
fractions:
l
3x
et
l
_
x
’
x
+
l
x
(x
+
l)
Nous
pouvons
prendre
comme
dénominateur
commun
le
produit
:
x
(x
+
l).
Nous
obtenons
a1n31
:
x+l
3x2
et
l
_
x(x+l)
x(x+l)
x(x+l)
Il_y
a
toujours
avantage
à
obtenir
le
dénominateur
de
plus
faible
degré
possrble.
133.
Somme
algébrique
de
fractions
rationnelles.
—
On
réduit
les
fractions
données
au
même
dénominateur.
La
somme
a
pour
numérateur
la
somme
algébrique
des
numérateurs
obtenus
et
pour
dénominateur
le
déno-
minateur
commun
:
.
.2
__ac
sac—I
EXEMPLES.
1°
Effectuer.
l
4
2|
+
6
Nous
obtenons
successivement:
_5___4_x
3x—-l
__
5.3
2.4x
7.f3x-—l)
2.7
3.7
2.3
2.3.7
2.3.7
2.3.7
l5—8x-l-2l
x—7_
l3x+8
2.3.7
_
42
'
2°
Effectuer
:
{à
+

90
ALGÈBRË
Nous
obtenons
de
même:
l
3x
l
_
__
3x2
l
x
+
x
+
I
.—
x
(x
+
Î)
z:—
x
(x
+
+
x
(x_ÀF—_I—)
_
=x+l+3x2—l
=
3x2+x
=x(3x+l)=3x+l'
x(x+l)
x(x-I-l)
x(x+l)
x+l
134.
Multiplication
et
division
des
fractions
rationnelles.
--—-
On
applique
les
règles
des
no‘3
72
et
73:
EXEMPLES:
o
g
ail
M@_mae+4bww
'
2><
6
Xa2—1_2><6(a2—l)
_4azfa+l)=
4a2(a+l)
__
a2
_
—12(a2—I)
12(a—l)(a+l)—3(a-—l)
20
x2
_x+2=
x2
>
>
x2(x-I)
x2—l'x—l
xg—l
x+2
(xz—l)(x+2)
x2(x—-l)
x
=e+nemne+æ=e+ne+ﬂ
EXERCICES
——
Calculer
les
quotients
de:
526.
—-Ê
a4235y2
par
ax3y2.
o
527.
ï;
(1‘1chñ
par
—
Ê
abzc3.
l‘OIU‘
_.Œ527
1223
529—1326
.
__ê
22
0528.
7aazy
par
21axy.
o
.
20axy
par
4aœy.
o
'_530.
3
a‘5x4y3
par
——
Ê
a4x2y3.
o
531.
——
â—
:133y5z2
par
9—41
x3y2z,
—
Effectuer
la
division
de:
o
532.
14
a5—21
a3
+
3a2
par
gaz.
o
533.
7
(13:02
—
4
a2x
+
8
a2œ4
par
—
3
azx.
o
534.
—
—13Ê
azba;3
+
l;
ab3cL'4
—
5
aba:2
par
abxz.
_21
l
o
535.
a2b3œ2y3
+
ä
a3bœ4y
——
’7
(12mg2
par
_—
azbæy.
——
Mettre
en
facteur
le
monôme
de
plus
haut
degré
possible
dans
les
polynômes
:
o
536.
'5'
1:6
-——
7
:123
—
4
565
+
2
CE2.
o
537.
2
(1351:2
——
4
axa
+
7::a2xs‘
r
.
o
538.
—
(12b3a:2
a3bx4
+
a'1b2œ3.
e
539.
âazb3x2y34+
asbx4y2
__
70129694.
l
D‘IŒ
C:

DIVISION
DES
MONOMES
ET
DES
POLYNOMES
9l
—
Décomposer
en
un
produit
de
facteurs
les
expressions
suivantes:
,,
540.
—
.æ
"
2
t.
542.
v
—
Simpliﬁer
:
o
554.
»o
557.
o
560.
3y2
__
5
xzyz
+
xyg
—5—
a3x2
——-
.5
a3y2.
25
a2x4y2
——
4
bzyz.
(2:1:
+
3)2—4(2æ
+
3).
(332—5)2
+
(3x—5)
(2x
+
3).
a(œ2+1)—x(a2+1).
_
(a2+b2—10)2
———
(a2-—-—b2———8)2.
(9544.
b
546.
o
548.
,‘o
550.
"o
552.
o
541.
e
a
o
o
e
Ut
ñ.‘
{D
——
2
a3b2æ
n
3
a3bœ3
{ÇM
1:3
—
a:
'
—
Calculer
les
expressions
suivantes
:
.
563.
o
565.
o
567.-—-——-——
o
569.
o
571.
2(2œ—-—1)___3x+
1
ü
14
2a
a(a—1)
a
___2_33__
x+1
xz—l'
2__1'
o
568.
o
570.
——-
Simpliﬁer
les
expressions
suivantes:
o
573.‘
o
575.
o
577.
o
579.
3
a
a2
___
b2.
o
574.
o
578.
o
566.
o
572.
o
576.-
18
abx2
——
12
abx
+
2
ab.
‘3
25
_*_
2b2___a2b
2_
4a“;
3
y
V.
(2x—3)2—(3x—5)2.
.
(5:1:2
+
3x—2)2——(4x2—3x—2)2.
.
(a2
+
b2
——
2)2
—
(2
ab
—
2)2.
-
6119(2:2
+
.112)
+
œy
(et2
+
b2).
.
(4
a3
+
b2
—
9
02)2
—
16
a2b2.
232
.556_!0_a_x_u_.
‘—4a4x3y
6x2—4ax
'
9aœ—6a2°
.562_æ*‘+2___g_t_1
133—1
'
«2+2
4æ+1
5+1
“5_"
15
M
3
2
1
2
2a+1—2a—1+4a2——1
"c
2
2
Î—1——+—Î—x3——1
33—2
—
1
1
5+2x—x+2+5
1
50—2
2
x+3x<æ+1
ac
_
5
'
æ”
(a:+3)(œ+
1)
1
4
az—b2
(13——abxan><
5
°

DIX-HUITIÈME
LEÇON
EQUATION
DU
PREMIER
DEGRÉ
A
UNE
INCONNUE
135.
Déﬁnitions.
—
On
appelle
équation
une
égalité
qui
n’est
vériﬁée
que
par
certaines
valeurs
attribuées
aux
lettres
qu’elle
contient.
Ces
lettres
sont
les
inconnues
de
l'équatlon.
ler
EXEMPLE.
L’égalité
:
3x
—
7
=
8
est
une
équation
_à
une
inconnue.
Les
deux
membres
ne
sont
égaux
que
si
on
attribue
à
cette
inconnue
la
valeur
x
=
5.
Cette
valeur
s'appelle
la
racine
de
l’équation.
2e
EXEMPLE.
L’égalité
:
2x
—
3y
=
7
est
une
équation
à
cieux
inconnues;
les
deux
membres
sont
égaux
si
on
attribue
à
x
la
valeur
2
et
à
y
la
valeur
-—
l.
Le
système
de
valeurs
x
=
2,
y
=
—
l
est
une
solution
de
I
équation.
En
général:
On
appelle
racine
d’une
équation
à
une
inconnue
toute
valeur
de
cette
inconnue
pour
laquelle
l’équation
devient
une
égalité
numérique.
On
appelle
solution
d’une
équation
à
plusieurs
inconnues
tout
système
de
valeurs
attribuées
à
ces
inconnues,
pour
lequel
l’équa-
tion
devient
une
égalité
numérique.
Résoudre
une
équation,
c'est
en
trouver
les
racines
ou
les
solutions.
Nous
utiliserons
à
cet
effet
les
théorèmes
sur
les
égalités
N°3
58
et
69.
136.
Théorème.
I.
—
On
peut
ajouter
ou
retrancher
une
même
expression
aux
deux
membres
d’une
équation.
De
l’équation:
3x+7-—x2=28—x2—-2x
on
peut
déduire
la
suivante,
en
ajoutant
l'expression
x2
+
2
x
aux
deux
membres
:
5
4x
+
7
=
28.

ËQUA
TION
DU
PREMIER
DEGRÉ
A
UNE
INCONNUE
93
Ire
APPLiCATION.
—
Dans
une
équation
on
peut
faire
passer
un
terme
d’un
membre
dans
l’autre,
à
condition
de
changer
le
signe
qui
le
précède.
Soit
l'équation
:
3
x
+
7
=
28
--
2
x.
(l)
Ajoutons
2
x
-—
7
aux
deux
membres:
3
x+7+2
x—7=28—Z
x+2
x—7.
Soit:
3x+2x=28—7
(2)
Les
termes
——
2
x
et
+
7
de
l’équation
(l)
ont
changé
de
membre
et
sont
devenus
+
2
x
et
—-
7
dans
l'équation
Cette
opération
se
nomme
trans-
posmon.
2e
APPLICATION.
—
DEGRÉ
D’UNE
ÉQUATION
ENTIÈRE.
Si
les
deux
membres
d’une
équation
sont
des
polynômes,
on
dit
que
l’équation
est
entière.
En
faisant
passer
tous
les
termes
dans
le
ler
membre,
l'autre
se
réduit
a
zéro.
Le
degré,
par
rapport
à
l’ensemble
des
inconnues
du
polynôme
amsn
obtenu
dans
le
Ier
membre,
est
le
degré
de
l’équation.
Ainsi
:
3x
+
7
=
0
est
du
premier
degré
4x2
—
5
x
—
l
=
0
est
du
second
degré
5x
—-
4
y
+
7
=
0
est
du
premier
degré
xy
-|—
3x
—-
4y
—
l
=
0
est
du
second
degré.
137.
Théorème
II.
—
On
peut
ajouter
ou
retrancher
des
équa-
tions
membre
à
membre.
Ainsi
des
équations:
5
x—Z
y
=
3
x
+
2
y
=
5
on
peut
déduire
la
suivante:
(5
x—Zly)+(x+2y)=8
soit
:
6
x
=
8.
138.
Théorème
III.
—
On
peut
multiplier
ou
diviser
les
deux
membres
d’une
équation
par
un
même
nombre
diﬁérent
de
zéro.
x
-|—
5
x
-—
3
_
x
4
6
—
3
(l)
on
peut,
en
multipliant
les
deux
membres
par
12,
déduire
la
suivante:
3(x+5)—2(x—3)=4x
(2)
Ainsi,
de
l'équation:

94
ALGËBRË
Ire
APPLICATION.
—
On
peut
supprimer
les
dénominateurs
d’une
équation
en
multipliant
ses
termes
par
un
multiple
commun
des
dénominateurs.
_
L‘exemple
précédent
montre
en
effet
qu’on
passe
de
l'équation
(I)
à
l'équa-
tion
(2)
en
multipliant
les
termes
de
la
première
par
12,
multiple
commun
de3,4et6
2e
APPLICATION.
—
On
peut
simpliﬁer
une
équation
en
divisant
ses
termes
par
un
même
nombre
différent
de
zéro.
Soit:
25x—20=I5x+l0.
Divisons
les
deux
membres
par
5:
5
x—4=3
x+2.
139..
Remarques.
--
1°
Lorsqu'on
multiplie
les
deux.
membres
d’une
équation
par
une
expressmn
qu1
contient
l’mconnue,
l
équation
obtenue
peut
admettre
des
racmes
qu1
ne
vériﬁent
pas
l’équation
primitlve.
Soit
l'équation
:
3
x
——
2
=
0.
(l)
Multiplions
les
deux
membres
par
x
-—
I
:
(3
x—Z)
(x—l)=0.
(2)
On
Vériﬁe
que
x
=
I
est
racine
de
l'équation
(2),
mais
pas
de
l'équation
2°
Lorsqu’on
divise
les
deux
membres
d'une
équation
par
une
expression
0
a
,0
’
’
o
o
o
o
o
o
qu1
contient
lmconnue,
lequation
primitive
peut
admettre
des
racmes
qu1
ne
vériﬁent
pas
la
nouvelle
équation
obtenue.
Soit
l'équation
:
x2
—
5
x
=
3
x.
(I)
Divisons
les
deux
membres
par
x:
x
—
5
=
3.
(Ï)
On
vériﬁe
que
x
=
0
est
racine
de
l’équation
(I),
mais
pas
de
l’équation
140.
Résolution
de
l’équation
entière
du
premier
degré
‘a
une
inconnue.
Ier
EXEMPLE.
-
Soit
à
résoudre
l'équation:
3
(x+4)—-5
(x—Z)=
4
(3
x—
I)
+82.
Réduisons
chaque
membre;
nous
obtenons:
3
x+
12—5
x+10=12
x—4+82
soit:
—2x+22=12x+78.

ËQUATION
DU
PREMIER
DEGRÉ
A
UNE
INCONNUE
95
Faisons
passer
les
termes
qui'contiennent
x
dans
le
premier
membre,
les
termes
indépendants
de
x
dans
le
deux1ème
(théorème
I):
—2
x—IZ
x=——22+78.
ou
:
—
I4
x
=
56.
Divisons
les
deux
membres
par
-—-
l4
(théorème
HI):
=
soit
x
=
—
4.
L'équation
proposée
ne
peut
avoir
pour
racine
que
x
=
—4.
Vériﬁcation:
3
(—4
+4)——5
(—4—2)=4
(—
12—
I)
+82
ou
:
+
30
=
+
30.
Donc:
x
=
--4
est
racine
de
l’équation
proposée.
'
3_ï:_4.
_
E
_
i,
2e
EXEMPLE.
SOIt
.
5
—
3
l5
Multiplions
les
deux
membres
par
15
(théorème
HI).
3
(3x—4)=5x—4
soit:
9x—|2=5x—-4
ou
(théorème
I)
:
9x
—-
5x
=
12
-—-
4
soit:
4x
=
8_
Divisons
les
deux
membres
par
4,
on
voit
que:
x=â=2.
UIIN
Il
Sic»
,
.
.
_
L
___
_
_
_
Veriﬁcation
.
5
——
3
15
ou
141.
La
marche
à
suivre
est
donc
la
suivante:
10
Supprimer
_les
dénominateurs
(s'il
y
a
lieu)
en
multipliant
chaque
terme
par
un
multiple
commun
des
dénominateurs.
20
Réduire
les
deux
membres
de
l'équation
obtenue.
30
Faire
passer
dans
un
membre
les
termes
qui
contiennent
l’inconnue
et
dans
l’autre
membre
les
termes
qui
ne
la
contiennent
pas.
40
Pour
obtenir
la
racine
,
diviser
le
terme
connu
par
le
coefﬁ-
cient
de
l’inconnue.
50
Vériﬁer
que
le
nombre
ainsi
trouvé
est
racine
de
l’équation.

96
ALGÈBRE
EXERCICES
-—
Quel
est
le
degré
des
équations
suivantes?
581.
(433—1)2
=(2x
+
3)2.
582.
2:c(:z:+5)—(:c——3)2
=0.
583.
(2x—1)2+(x+3)2—5(x+7)(x—7)
=8.
584.
(x+1)3+2(x—1)3+x3—3x(x+1)(œ—1)
:0.
———
Résoudre
les
équations
suivantes:
585
.
586
.
587.
588
.
589
.
590
.
5(2x—3)—4(5x—7)
=19—2(æ+11).
4(a:+3)—7œ+17
=8(5x—1)+166.
17—14(x+1)=13—-4(æ+1)——5(æ—3).
5œ+3,5+(3x—4)
=7x—3(x—0,5).
7(4x+3)——4(:c—1)=15(x+0,75)+7.
17æ+15(:c——1)
—1—14(3æ+1).
—
Résoudre
les
équations
suivantes-
(æ—1)2+(æ+3)2
=2(x—2)(x+1>+38.
5(æ2—2æ—1)+2(3œ—2)
=5(œ+1)2.
(9x+1)(:c—2)
=(3:c+4)(3æ—5).
7(3—2x)—5œ(2œ——1)=(5x+3)(3—2:c).
(3x—1)2—(2x+3)2+7
=(2æ+1)(2x——1)+x(x+7).
(x+2)3+(œ—2)3+(x
+1)3
3(x+1)(x—2)(æ+2).
591
.
592.
593.
594
.
595
.
596
.
—
Résoudre
les
équations
suivantes:
5
7a:_
g
597.2:c+3——4
—x
4.
x

ÉQUATION
DU
PREMIER
DEGRÉ
A
UNE
INCONNUE
97
æ
333—1
3—:1:
3gœ+3_)
1
5x+9
7x——9
607.————
—
:1.
.
—=
——
°
5
6
+
4
(
°
608
4
+2
3
4
233—7
x+11
2x—3
33—3
4x+3
6
.
=—
.
—,
=
—1
.
09
5
+
2
4
o
610
3
6
4
7
V
——3
735—5
x+19
5x+1
x—l
4(2x—Ë
11.
0x
—'
=
.
_
-—-
=
_
6
4
9
6
'
612
8
3
9
293—1
5x+2
8x+2
32—11
5æ—3
3x—1
1
.
-—
=
.
-——
=
.._.
0
6
3
3
,_
æ+13
o
614
5
7
2
4
2x—7__æ—5_x—9
5x+7_3æ+5_4x+9_œ—9_
615.
9
6
—
8
.
o
616
4
8
__
5
3
617_5x+6_3œ+1=x+16.
.
618
4x+7
æ—5=2x:|—14
2x—7_
7
4
5
5
6
3
9
——
Résoudre
les
équations
suivantes
:
619_(œ_—_1Mx_i_5)_(x+2)(œ+5)
=(œ—1)(a:+2)
4
.
620
.
621
622
623
.
624
625
3
12
(:z:+12
(x—2Hæ—3}_(5x—1)(x——4)
2_8
3
+
2
—
6
+
3'
(3œ+1)@æ—1)_(x-5Mx+1)-(9x—1)(x+3)+ë
'
9
2
’
18
9'
(4x+7)2__(5x——1)2
_(8x——3)(3x+4)—79œ
.
4
_
.
7
5
3
(x
—
(æ
+
0,75)
=
(x
+
4,5)
(a:
+
1,5)
——
56
145
3
C
___(3x+1)(3œ—1)——œ(œ+1).
15
.(3œ—Ê)
(5512+
:15(a:——1)(œ+1)+1—75.

DIX-NEUVIÈME
LEÇON
ÉQUATIONS
QUI
SE
RAMENE‘NT
AU
PREMIER
DEGRÉ
142.
Le
premier
membre
est
un
produit
de
facteurs
du
premier
degré,
le
second
est
nul.
Ier
EXEMPLE.
Résoudre
l’équation:
(x—I)
(3
x+
I)
(x—2)=0.
On
sait
que:
pour
qu’un
produit:l
de
facteurs
soit
nul,
il
faut
et
il
sufﬁt
que
l'un
des
facteurs
soit
nul.
L'équation
donnée
peut
donc
se
décomposer
en
trms
autres
:
x
—
I
=
0
dont
la
racine
est
x
=
I
3
x
+
I
=
0
dont
la
racine
est
x
=
—%
x
-—
2
=
0
dont
la
racine
est
x
=
2.
L'équation
proposée
admet
3
racines
:
x
=
I
;
x
=
—
à
;
x
=
2.
2°
EXEMPLE.
Résoudre
l'équation:
5
x2
+
7
x
=
0.
Mettons
x
en
facteur
commun
dans
le
ler
membre:
nous
obtenons
3
x
(5
x
+
7)
=
0
x
=
0
racine
x
=
0.
qui
se
décompose
en
:
5
x
+
7
=
O
racine
x
____
_
5
L'équation
proposée
admet
deux
racines:
x
=
O
et
x
==
3°
EXEMPLE.
Résoudre
l’équation:
x3
—
x
=
0.
Elle
s'éCrit
:
x
(“x2
—
I)
=
0
9g;
x(x+l')(x—I)=O

ÊQUATIONS
DU
PREMIER
DEGRÉ
99
x
=
0
racine
x
=
0
équation
qui
se
décompose
en
:
x
+
l
=
0
racine
x
=
—
I
x—I=0.
racine
x=l.
L'équation
proposée
admet
3
racines:
x
=
0;
x
=
—
I;
x
=
l.
D'une
façon
générale
:
L’équation
A.B.C
=
0
(où
A,
B,
C,
désignent
des
facteurs
du
ler
degré)
admet
pour
racines
celles
des
équations
A
=
0;
B
=
0;
143.
Équations
où
l’inconnue
ﬁgure
au
dénominateur.
EXEMPLE.
Résoudre
l'équation:
2x
x+ln
x
Elle
n'a
de
sens
que
si
les
valeurs
numériques
des
fractions
2x
et
x
+
l
allai)
existent,
ce
qui
impose
(n°
67)
les
deux
conditions:
x+
I
#0
soit
x;É-—I
et
xÿfo.
Réduisons
les
deux
membres
au
dénominateur
commun
x
(x
+
I)
2x2
+3(x—I)(x+l)=5xfx+lè_
x(x+l)
x(x+l)
x(x+l)
Nous
pouvons
multiplier
les
deux
membres
par
x
(x
+
l)
(n°
138).
Nous
obtenons
:
2x2+3
(x—l)
(x+
l)=5x
(x+l)
soit:
2x2+3
(x2—1)=5x2+5x
5x2
—
3
=
5x2
+
5x.
Retranchons
5x2
aux
deux
membres
(n°
I36);
nous
avons
i
-
3
=
5x
3
soit:
x=—--
5
Les
conditions
x
ï
0;
x
i
—
I
sont
satisfaites;
l'équation
proposée
a
pour
racme:
3
x=—-
5
ce
qu'il
est
facile
de
vériﬁer.
La
règle
suivante
en
résulte:
Les
racines
de
l’équation
A
=
0
(où
A
symbolise
une
fraction
B
B
ratiognelle)
sont
les
racines
de
l’équation
A
=
0
qui
n’annulent
pas

100
ALGËBRE
144.
Retpafquç.
Il
.peut
arriver
qu'une
équation
n’ait
pas
de
racines
ou
qu
elle
en
ait
une
inﬁnité.
Dans
le
premier
cas,
on
dit
qu'elle
est
impossible,
dans
le
second
qu
elle
est
indéterminée:
EXEMPLE
I.
—
L’équation
:
3x
—
5
=
2
(x
-—
l)
+
x
s'écrit:3x—5=3x——2
ou:
3x—3x=5—2
ce
qui
donne
:
0x
=
3
soit:
0
_=
3
donc
impossibilité.
EXEMPLE
Il.
—
L’équation
:
(x
+
2)2
-—
(x
-
2)2
=
8
x
s’écrit:
x2+4
x—l—4—x2-I—4
x—4=8
x
ce
qui
donne:
8
x=8
x
ou:
8
x—8
x=0
soit
:
0
x
=
0.
Ceci
est
vrai
quel
que
soit
x,
donc
indétermination.
SYSTÈMES
D’ÉQUATIONS
DU
PREMIER
DEGRÉ
145.
Équation
à
deux
inconnues.
—
Considérons
l'équation
du
pre-
mier
degré
à
deux
inconnues:
3x
+
4y
=
5.
On
peut
vériﬁer
qu’elle
admet
pour
solutions
(n0
135):
x=-l,y=+2.
x=+l,y=%
x=+3,
y=—I,
etc.
Une
équation
à
plusieurs
inconnues
admet
une
inﬁnité
de
solu-
.tions.
A
146.
Système
de
deux
équations
à
deux
inconnues.
——
Considé—
rons
les
deux
équations
du
premier
degré
à
deux
inconnues:
2x—5y=—IZ;
3x+4y=5.
Leur
association
constitue
un
système
de
deux
équations
à
deux
inconnues.
Résoudre
ce
système,
c’est
trouver
les
solutions
com-
munes
aux
deux
équations
qui
le
composent.
A
cet
efiet,
on
forme
à
partir
du
système
donné
une
équation
contenant
.
ç
o
o
A
g
p
9
une
seule
inconnue;
il
faut
donc
faire
disparaitre
ou
éliminer
lautre.
Nous
utiliserons
pour
cela
deux
méthodes:

ÉQUATIONS
DU
PREMIER
DEGRÉ
10]
147.
Élimination
par
substitution.
—
Considérons
le
système
:
I
3x
+
4y
=
5
(I)
2x-—-5y=—12.
(2)
Dans
l'équation
(l),
calculons
y
comme
si
x
était
connu:
__
5
—
3x
Dans
l'équation
(2),
remplaçons
y
par
cette
valeur;
nous
obtenons
:
2x—5(5—ÎË)=—12.
(4)
,
L'équation
(4)
contient
la
seule
inconnue
x.
Résolvons-la;
pour
cela
multi—
plions
ses
deux
membres
par
4.
On
obtient:
8x—5
(5
—3x)=—48
8x—25+
l5x=—-48
Donc:
23x=-—-23
soit:
x=-—l.
Portons
x
=
—-
l
dans
l’équation
(3);
nous
avons
:
y
=
5T”
=
2.
On
peut
vériﬁer
que
le
système
(I)
admet
la
solution
à
x
=
—
l
;
y
=
2
La
méthode
de
substitution
consiste
donc
à
calculer
l’une
des
inconnues
dans
l’une
des
équations
puis,
dans
l’autre
équation,
à
substituer
à
cette
inconnue
la
valeur
ainsi
trouvée.
On
réussit
ainsi
à
éliminer
une
inconnue.
148.
Élimination
par
addition.
—
Soit
le
système
:
9x
+
Zy
=
l7
(l)
6x
+
5y
=
—
7.
(2)
Les
coefﬁcients
de
y
sont
+
2
et
+
5.
Aﬁn
de
les
rendre
opposés,
multi—
plions
les
membres
de
l'équation
(l)
par
+
5
et
ceux
de
l’équation
(2)
par
—2
(n0
l38),
puis
additionnons
membre
à
membre
(n0
l37):
45x
+
IÛy
=
85
—
l2x
—
lÛy
=
l4
On
obtient
:
33x
=
99
ce
qui
donne
:
x
4—:
3.
Portons
x
=
3
dans
l'équation
(l)
:
27
+
2y
=
l7
soit
z
y
=
—
5.
Il
est
facile
de
vériﬁer
que
le
système
admet
pour
solution
:
x
=
3
;
y
=
‘-
5.

102
ALGÈBRE
Remarguons
que
la
valeur
de
y_peut
aussi
se
calculer
en
éliminant
x
entre
les
équations
(I)
et
_Les
coefﬁcœnts
de
x
étant
9
et
6,
les
multlpllcateurs
6
et
—
9
peuvent
être
Slmpllﬁés
et
ramenés
à
2
et
—-3.
18x
+
4y
=
34
—
18x
—
I5y
=
2|
—Hy=55
soity=--5.
La
méthode
d’addition
consiste
donc
à
multiplier
les
deux
membres
de
chaque
équation
par
des
nombres
choisis
de
telle
sorte
que
les
coefﬁcients
d’une
des
inconnues
deviennent
des
nombres
opposés.
L'une
des
inconnues
s'élimine
alors
par
addition.
EXERCICES
——
Résoudre
les
équations:
o
626.
(æ—1)(x
+
2)
(su—3)
=0.
o
627.
(x—3)(x——4)
(x—5)
=,0.
o
628.
(223+
1)(:1:+1)(4æ——3)=0.
o
629.
(227+
1)(x
+
4)(3x
+
1)
:0.
o
630.
x(5x+1)(4æ—3)(3æ—4)=:0.
o
631.
5æ(3x——7)
=O.
.632.x2—3æ=0.
0633.5æ2+8x=0.
2
0634.4æ2—7—:33:-=0.
0635.%+œ=0.
3x2
_
_5æ2_3_._'r_
0636.-—
5
+œ—0.
0637.
—7
4
——0.
o
638.x(a:+1)=x+1.
o
639.
(4æ—1)(x—3)
=(x——3)(5:c+2).
o
640.(x+3)(x—5)+(æ+3)(3a:—4)
=0.
o
641.
5(æ+1)(x+2)(æ——3)
=4(æ+1)(x+2)(x—4).
o
642.
(œ+5)(4x—1)+:c2—25
=O.
o
643.
(x+4)(5æ+9)——x2+16
=0.
0644.æ2—9=0.
0645.5x2—125=0.
o
646.
4x2—49
=0.
o
647.
xz—IOO
=0.
.
648.
æa
=
81.
.
649.
9
x2
=
64.
o
650.
(æ
+
1)2—(.?.:1:—5)2
=
O.
o
651.
(2x
+
7)2——(4:r—9)2
=
0.
.
652.
(5
a:
+
1)2
=
(æ—
1)2.
o
653.
(3
a:
+
1)2
=
(æ
——
4)2.
o
654.
4(æ
+
1)2——9(:c—1)2
=
0.
o
655.
(a:
+
7)2—81(:1:—5)2
=
0.
o
656.
5
x3
—
5
a:
=
O.
o
657.
(56+
1)(œ——1)2——(æ+
1)(x——2)2=0.
.
658.
3
2:3
——
12
a:
=
0.
o
659.
(3x+
1)(x——I3)2=(3x
+
1)(2x—5)2.
0660.7x3—175x=0.
o661.(x+5)(3a:+2)2=æ2(æ+5).

EQUATIONS
DU
PREMIER
DEGRÉ
l03
423+?
12x+5
5x—1
5x—7
662.
=
_
_____
=____
°
x—l
3x+4
'663
3x+2
3æ—1
1032—3
2
2(3—7æ2
1
664.
——
e
=—«.
.
=—.
°
x—l
3
°
665
1
+51:
2
a:+5
œ—5
20
x+4
23—4
24
666.
————
=—————.
7.
—
=
.
.
x—5
x_+5
æ2—25
.66
x—4
:c+4
x2—16
7
4
3
9
8
1
668.
=
.
6
.
—
=
.
.
x—5
x+1+x—2
.
69:1:
x+1+x—1
o
670
(av—3)2
=
3:3
t
o
671
(x—4)2
=
æs
'
x+6°
'
x+8°
o
672.
4æ+5_‘x+4,5
___5x+1.
O
673-
5œ+9_3_:1_:
=10x—1_8_
œ+2
3(œ+1)
x+1
14
7
14(x—1)
.
674.
4x2—2x+3=7œ2—3x+5.
.
6.75.
4a:
+
1
=
a:
+
2
O
423—3
7x——5
œ+2
4x+1
8x+5
3x+1
2x
1+æ—î—3
.
-—
=——.
677.
——————
=
,
'676
12
433—12
3
°
1_
æ
3
‘
æ+3
——
Résoudre
les
équations
en
:c
suivantes:
0678.5:c=m+1.
0679.(m2+1)x=4m-—5.
o
680._(m—1)æ
=
a.
o
681.
ax—bæ
=
cx
+
5.
.682.mx+25=m2—5x.
0683.m(x+2)=x+a+2.
o
684.
Déterminer
m
pour
que
l’équation:
5
352—2
(m—
1)
a:
+
m—3
=
0
soit
vériﬁée
pour
a:
=
0;
pour
a:
=
——
1;
pour
a:
=
+
1.
o
685.
Peut—on
déterminer
m
pour
que
l’équation:
m1:
'+
(m
—
1)
a:
:1;
soit
vériﬁée
pour
a:
=
0;
pouræ
=
+
5;
pourx
=
—
5?
—
Résoudre
les
systèmes:
5x+3y=19.
{—5æ+y=10.
{———11x+13y=24_
'
686'
É
2a:
+
9g
=31.‘
687'
x+3y
=—18.°
688'
13æ+11y=—2.
4g;_3y=_10_
5
7x+13y=—39.
g
10x—49y=—48.
°
689'
ï
293+
5y
=8.
‘
690'
t
5x—11y
:33.
°
69"
15x+17y
=
109.
13æ+21y
=
123.
g
7x
+
36g
=37.
î
22x—12y=2.
'
692'
Ê
15x—35y=—95.
'
693'
9x+108y=171.
'
694-
33x—15y=——3.
5E_H=2_
345+ÊH=2,3.
Ë_2_Ll=6.
.
695,
3x
4
.
696.
4
à;
o
697.
x7
y
3
—
=18.
—
=O,8.
—
=
\
5
+y
.x
5
2+3
9
r”
.
7:1:
æ
1
L
—0
5x+1,2y=2,7.
2
4
3
6
,
698.
î
’
o
699.
.
700.
u
x—4,5y=—7,5-
Êx+5—«‘l=4
“’___H+
=l
i
11
5
60

104
ALGËBRE
-——
Résoudre
les
systèmes
:
o
701.
o
703.
o
705.
o
707.
o
709.
o
711.
o
713.
î
5
’W
W
w
W
«A,
5(x+2y)—3(æ—y)
=
99.
x—By
=7æ—4y—17.
3(y—5)+2(œ—3)
=0.
7(œ—4)——3(x
+
y—1)=14.
2:1:—5y_3:z:——7y=_55
3
y=2x.
11
4x—5y+1
+
3y—52
=
7
2
5x+9y+6_x+y=16_
5
3
æ+y=7x—5ÿ+3œ—6
2
6
12
'
æ+6y
x—2y
=
4.
2.
7
+
31:5
t1-
__‘
5
+
11
—x+y
12.
x_+_5
ELËJ=4
5
7
'
x+2__æ+1_
8
{1—3
y+1—(y+1)'(y—3)'
2
5
——16.
702.
704.
706.
708.
710.
712.
714.
/'\,'\_/\
M
com:lpnc
c:Iî—à.
M
W
w
/w\
8
(5'c
+
1)2
+
(y—
2)C
a:2+y2
:1
AA
ce
++
égto
N
l
A
a
l
à:
N
H
(æz
—
1)
—
(ac
—
2)2.
=
(a:
+
3)2——
(x—
3)2.

'
VINGTIÈME
LEÇON
'
PROBLÈMES
D’ALGÈBRE
149.
Problème.
—
Quel
nombre
entier
faut-il
ajouter
à
la
fois
aux
deux
termes
de
la
fraction
Ê
pour
obtenir
une
fraction
égale
.
2
a
--
?
3
Désignons
par
x
le
nombre
entier
et
positif
inconnu.
Nous
avons
'-
â—+—x
=
'
5
+
x
3
9'
0
'
o
\
,
.
Llnconnue
satisfait
a
cette
equatlon.
Réciproquement,
toute
racine
entière
et
positive
de
cette
équation
est
une
solution
du
problème.
Nous
avons,
en
réduisant
au
dénominateur
3
(5
+
x):
3(3
+x)=
2(5+x).
3(5-I-x)
3(5+x)
Nous
pouvons
supprimer
le
dénominateur
commun:
3
(3+x)=2
(5+x)
mit:
9+3x=10+2x
ou:
3x-'—2x=IO—-9
x=l.
Cette
racine
est
la
solution
du
problème.
3+I_4
2
Vériﬁcation
:
-
=
—°
5+l—6
3

l
06
ALGËBRE
150.
Problème.
—
21
livres
sont
empilés
les
uns
sur
les
autres;
la
hauteur
de
la
pile
atteint
81
cm.
Certains
de
ces
livres
ont
une
épaisseur
de
5
cm;
les
autres
une
épaisseur
de
3
cm.
Trouver
le
nombre
de
livres
de
chaque
sorte.
Désignons
par
x
le
nombre
des
livres
de
5
cm
d'épaisseur;
par
y
le
nombre
des
lIvres
de
3
cm
d'épalsseur.
Le
nombre
total
des
hvres
est
2|.
Donc:
x+y=2l
ou
y=2|—x.
(I)
Les
livres
de
5
cm
d'épaisseur
ont,
en
centimètres,
une
épaisseur
totale
5x;
les
hvres
de
3
cm
d'épalsseur
ont,
en
centlmètres,
une
épaIsseur
totale
3y
ou
3
(2]
—x).
La
hauteur
totale
de
la
plle
est
81
cm.
Donc:
5x+3
(2|—x)=81.
(2)
Réciproquement,
t’oute
racine
entière
de
cette
équation
convient
au
pro—
blème
pourvu
que
lon
alt
x
posxtIf
et
y
posrtlf,
sclt
d
après
(I)
x
<
2].
Résolvons
l'équation
(2)
:
5x
+
63
—
3x
=
8]
ou:
2x=18
soit:
x=9
et
y=ZI—8=IZ.
VÉRIFICATION:
12
+
9
=
2]
(5
cm
X
9)
+
(3
cm
X
IZ)=
8]
cm.
151.
Problème.
—
Les
fortunes
de
trois
personnes
sont
propor-
tionnelles
aux
nombres
2,
3
et
5.
En
additionnant
le
triple
de
la
première,
le
double
de
la
seconde
et
la
troisième,
on
trouve
5
100
F.
Quelles
sont
ces
fortunes?
Désignons
par
x
la
fortune
de_1a
Ire,
par
y
celle
de
la
2",
par
z
celle
de
la
3°.
Ces
fortunes
sont
proportIonnelles
aux
nombres
2,
3
et
5,
selt:
E
=
H
=
ë
l
2
3
5‘
()
Désignons
par
r
la
valeur
commune
de
ces
rapports;
nous
avons:
x=2r;
y=3
r;
z=5
r.
Additionnons
le.triple
de
la
Ire,
soit
6r,
le
double
de
la
seconde,
soit
6r,
et
la
trOISIème,
SOlt
5r.
Nous
trouvons:
6r+
6r+
5r=
5100,
soit:
I7r=
5100
_
5
IOO_
et.
r—
——]7
——
300.

PROBLÈMES
D’ALGËBRE
107
La
Ire
fortune
est
300
F
><
2
=
600
F;
la
seconde
300
F
><
3
=
900
F;
la
troisième
300
F
><
5
=
I
500
F.
La
vériﬁcation
est
immédiate.
152.
Remarques
générales.
--
Des
exemples
précédents
il
résulte
que
la
solution
algébrlque
d'un
problème
comporte:
1°
le
choix
(le
l’inconnue.
--
choix
doit
entraîner
la
solution
du
pro-
blème
dès
_que
l_mconnue
est
déterminée.
Dans
le
cas
où
le
problème
com-
porte’
plumeurs
inconnues,
il
faut:
'
-—
Ou
bien
exprimer
ces
inconnues
à
partir
de
l’une
d'entre
elles.
Ainsi
le
problème
du
n°
l50
comporte
deux
inconnues
et
nous
avons
exprimé
l'une
y
à
partir
de
l'autre
x,
à
l'aide
de
l'équation
y
=
2l
—x.
—
Ou
bien
exprimer
toutes
ces
inconnues
à
l’aide
d'une
inconnue
auxi-
liaire.
Ainsi
le
problème
n°
l5]
comporte
3
inconnues
et
nous
les
avons
exprignées
à
l'aide
deîl'inconnue
auxiliaire
r
sous
la
forme
x
=
2
r,
y
=
3
r,
z
=
r.
2°
la
mise
en
équation.
--Elle
consiste
àtraduire
l'énoncé
par
une
égalité
où
entrent
les
données
et
l'inconnue.
Il
faut
aussi
se
demander
quelles
sont
les
conditions
pour
que
toute
racine
deäl'équation
obtenue
soit
une
solution
du
problème.
3°
la
résolution
de
l’équation
obtenue.
—
Ç'est
la
partie
purement
algébriqueÎdu
problème.
On
vériﬁe
ensmte
sn
la
racme
trouvée
satisfait
aux
condltlons
imposées
Cl-deSSUS.
153.
Interprétation
d’une
solution
négative.
—
Un
père
a
43
ans.
Son
ﬁls
23
ans.
Dans
combien
d’années
l’âge
du
père
sera-t-il
le
double
de
l’âge
du
ﬁls?
Soit
x
le
nombre
d'années
demandé;
l'âge
du
père
devient
43
+
x,
celui
(lu
ﬁls
devient
23
+
x.
Il
faut
donc:
43
+x=2
(23
+x).
Réciproquement,
toute
racine
positive
de
cette
équation
est
une
solution
(lu
problème.
On
obtient:
43+
x=46+2x
43-—4
=2x-—x
noit:
x=—3.
Le
problème
est
impossible.
Cependant
on
peut
interpréter
la
réponse
de
In
façon
suivante.
Ajouter
(—3)
années
à
l’âge
du
ère
et
à
l'âge
du
ﬁls,
c'est
leur
retrancher
3
ans.
La
réponse
:
3
ans
satis
ait
au
problème
si
l'on
convient
d'en
modiﬁer
ainsi
l'énoncé
:
Il
y
a
combien
d'années
l'âge
du
père
{lait-il
le
double
de
l'âge
du
ﬁls?

108
ALGËBRE
EXERCICES
o
715.
Trouver
3
nombres
entiers
consécutifs
dont
la
somme
est
égale
à
57.
o
716.
La
somme
de
5
nombres
impairs
consécutifs
est
85.
Quels
sont
ces
nombres?
o
717.
Un
père
a
29
ans;
son
ﬁls
a
5
ans;
dans
combien
d’an-nées
l’âge
du
père
sera—t—il
le
triple
de
l’âge
du
ﬁls?
o
718.
Un
père
a
41
ans;
ses
trois
enfants
sont
âgés
de
7,
9
et
13
ans.
Dans
combien
d’années
l’âge
du
père
sera-t—il
la
somme
des
âges
de
ses
3
enfants?
o
719.
Trouver
un
nombre
dont
la
somme
des
quotients
par
5,
7
et
9
soit
égale
à
429.
o
720.
En
retranchant
5
aux
ä
d’un
nombre
on
trouve
le
même
résultat
qu’en
ajoutant
2
aux
Ê
de
ce
nombre.
Quel
est
ce
nombre?
o
721.
Trouver
un
nombre
dont
le
carré
augmente
de
189
quand
on
augmente
ce
nombre
de
7.
o
722.
Quel
nombre
faut-il
ajouter
aux
deux
termes
de
la
fraction
i773
pour
qu’elle
devienne
égale
à
â?
0-723.
Quel
nombre
faut—il
retrancher
aux
deux
termes
de
la
fraction
g
pour
obtenir
une
fraction
égale
à
g?
o
724.
Quel
nombre
faut:
il
ajouter
aux
deux
termes
de
la
fraction
g
et
retrancher
aux
deux
termes
de
la
fraction
â
pour
obtenir
deux
fractions
égales?
o
725.
Une
personne
diSpose
de
2
heures
pour
effectuer
une
promenade.
Elle
part
en
tramway
à
la
vitesse
moyenne
de
12
km
à
l’heure
et
revient
à
pied,
à
la
vitesse
moyenne
de
4
km
à
l’heure.
A
quelle
distance
du
point
de
départ
devra—
t-elle
quitter
le
tramway?
o
726.
Un
épicier
achète
un
certain
nombre
de
bouteilles
de
Vin
pour
225
francs.
En
vendant
la
bouteille
1,65
franc
il
gagnerait
autant
que
ce
qu’il
perdrait
s’il
la
vendait
1,35
franc.
Quel
est
le
nombre
des
bouteilles
de
vin?
o
727.
Un
capital
est
lacé
à
6
%
pendant
18
mois.
S’il
était
placé
à
5
%
pen-
dant
deux
ans,
les
int
rêts
augmenteraient
de
450
francs.
Quel
est
ce
capital?
o
728.
Deux
capitaux
dont
l’un
est
les
Ê
de
l’autre
sont
placés
pendant
18
mois
au
même
.taux
5
%.
La
somme
totale
ainsi
obtenue,
capitaux
et
intérêts
réunis,
est
90
300
francs.
Quels
sont
ces
deux
capitaux?
9
729.
Pour
se
rendre
à
son
travail
un
employé
parcourt
les
Ê
de
la
distance
totale
en
autobus
à
la
vitesse
moyenne
de
20
km
à
l’heure,
et
le
reste
à
pied
à
la
vitesse
moyenne
de
5
km
à
l’heure.
Sachant
qu’il
met
21
minutes
pour
se
rendre
à
son
travail,
quelle
distance
totale
parcourt-il?

PROBLÈMES
D’ALGÈBRE
IO9
o
730.
A
quelle
heure
entre
2
heures
et
3
heures
les
aiguilles
d’une
montre
sont—
elles
exactement
l’une
sur
l’autre?
A
quelle
heure
font-elles
un
angle
droit?
o
731.
Une
automobile
parcourt
207
km
en
2
h
45
m.
Elle
perd
les
Ê
de
sa
vitesse
dans
la
traversée
des
agglomérations
dont
la
longueur
totale
est
27
km.
Quelle
est
la
vitesse
moyenne,
sur
route,
de
cette
automobile?
o
732.
Deux
automobiles
partent
à
la
même
heure
d’une
ville
A
pour
une
ville
B,
la
première
avec
une
vitesse
moyenne
de
80
km
à
l’heure,
la
seconde
avec
une
vitesse
moyenne
de
60
km
à
l’heure.
Sachant
que
les
heures
d’arrivée
sont
15
h
45
mn
et
16
h
15
mn,
trouver
la
distance
des
villes
A
et
B.
o
733.
Une
somme
est
partagée
entre
plusieurs
personnes
de
la
façon
suivante
:
la
première
a
100
francs
{plus
le
z
du
reste,
la
seconde
a
200
francs
plus
le
-1-
du
nouveau
reste
et
ainsi
de
suite.
Il
se
trouve
que
toutes
les
parts
sont
égales.
Quelle
est
la
somme
partagée?
Quelle
est
la
valeur
d’une
part
et
le
nombre
de
parts?
o
734.
Une
personne
a
placé
les
Ë
d’un
capital
à
5
%
et
le
reste
à
4,50
%.
La
première
partie
rapporte
en
18
mois
360
francs
de
plus
que
la
seconde
en
un
an.
Quel
est
le
capital
total?
o
735.
Un
fil
d’or
et
de
cuivre
pesant
83
grammes
subit
quand
on
le
plonge
dans
l’eau
une
perte
de
poids
de
7
grammes.
Quelles
sont
les
quantités
d’or
et
de
cuivre
contenues
dans
ce
ﬁl
sachant
que
les
densités
de
l’or
et
du
cuivre
sont
19,5
et
8,8?
o
736.
Un
mètre
de
drap
coûte
7,20
francs
de
plus
qu’un
mètre
de
toile.
Sachant
que
10
m
de
drap
et
12
m
de
toile
coûtent
ensemble
256,80
francs,
trouver
le
prix
du
mètre
de'
chaque
étoffe.
o
737.
Une
fermière
vend
3
canards
et
4
poulets
pour
75
francs.
Sachant
qu’un
canard
et
un
poulet
valent
ensemble
21
francs,
trouver
le
prix
d’un
canard
et
celui
d’un
poulet.
o
738.
Deux
ouvriers
gagnent
ensemble
57
francs
par
jour.
En
un
mois,
le
pre-
mier
a
travaillé
24
jours
et
le
second
20
jours.
Ils
ont
reçu
ensemble
1
260,‘
francs.
Quel
est
le
prix
du
salaire
journalier
de
chacun
d’eux?
o
739.
Un
commerçant
a
vendu
5
m
de
toile
et
10
m
de
drap
pour
195
francs.
Une
seconde
fois,
il
a
vendu
27m
de
toile
et
23
m
de
drap
pour
obtenir
619
francs.
Quel
est
le
prix
du
mètre
de
chaque
étoffe?
f
o
740.
Un
bateau
fait
sur
un
fleuve
le
service
entre
deux
localités
A
et
B.
Cette
dernière
est
située
à
25
km
200
en
aval
de
A.
La
vitesse
du
courant
est
de
3-
km
à
l’heure
et
elle
s’ajoute
ou
se
retranche
à
la
vitesse
horaire
du
bateau
=._suivant
qu’il
descend
ou
remonte
le
courant.
La
durée
du
trajet
de
A
à
B
est
les
Ê
de
celle
du
retour.
1°
Trouver
la
vitesse
horaire
propre
du
bateau.
2°
Calculer
le
retard
dû
au
courant
sur
la
durée
du
trajet
aller
et
retour.
o
741.
Un
marchand
a
vendu
une
pièce
de
drap
pou-r
1
224
francs,
une
pièce
de
soie
pour
714
francs
et
une
pièce
de
toile
pour
510
francs.
La
longueur
de
la
pièce
de
drap
surpasse
de
3
mètres
celle
de
la
pièce
de
soie
et
est
inférieure
de
6
mètres
à
celle
de
la
pièce
de
toile.
Sachant
qu’un
mètre
de
drap
coûte
autant
qu’un
mètre
de
soie
et
un
mètre
de
toile
réunis
:
1°
Trouver
la
longueur
de
chacune
des
3
pièces.
2°
Trouver
le
prix
du
mètre
de
chaque
étoffe.

EXERCICES
DE
RÉVISION
Calcul
algébrique
o__742._Qn
donne
31L
un
axe
quatre
points
A,
B,
C,
D.
Démontrer
la
relation:
AC+BD=AD+BC.
o
743.
Soient
sur
un
axe
deux
points
A
et
B
d’abscisses
a
et
b.
Calculer
les
abscisses
des
points
M
et
N
qui
partagent
AB
en
3
parties
égales.
o
744.
On
donne
sur
un
axe
trois
points
A,
B
et
C
d’abscisses
a,
b
et
c.
Trouver
l’abscisse
du
point
G
tel
que:
ÔÎ
+
€157
+
EE
=
0.
o
745.
Soient
sur
un
axe
4
points,
A,
B,
C.
et
D.
Démontrer
la
relation
:
AB.CD
+
BC.AD
+
CA.BD
:-
0.
o
746.
On
donne
sur
un
axe
3
points,
A,
B
et
M.
On
désigne
par
O
le
milieu
de
AB.
Démontrer
les
relations
:
——
——
——
—4
—-
——
X5!
l°MA+MB—2M0.
2°MA.MB—MO'—T.
o
747.
Soient
2
points
A
et
B
d’un
axe,
O
le
milieu
de
AB
et
M
un
point
quelconque
de
l’axe.
Démontrer
les
relations:
__
___
____
"—Î
__
_
__
__
1°
MA'+NH3'
=2MO'+-AÎB.
2°
MA'—MB'
—2AB.OM.
—
Eﬂeetuer
les
produits
suivants:
e
748.
a2x3y2)
bxzy“)
(-—
10
azbsx‘yz).
o
749.
(2x
+
3)
(x—5)(3x
+
1).
e
750.
(2æ3—3æ2+4æ)(4æ2+6x+8).
o
751.
(2æ—3y)2(x—y+1).
—
Calculer
les
expressions
suivantes:
752.
æ(x
+
1)
(a:
+
2)—3(Œ—2)(33
+
2)
+
2017—6).
753.
(2a:
+
3y)(2y—-1)—(2x—y)(5x—1)+(2m—3y)(5æ
+
211).
754.
(5x+3y)(3x——2y)+(5x+2y)(3y+1)—(5x—2y)(3a=+1).
755.
(aœ—y)(aœ—2y)+3y(ax—y+1)—y(8y+3).
——
Établir
les
identités
suivantes:
o
756.
(a+b—c)"+(cI—b+c)2
=2a8+2(b_c)2_
e
757.
(a+b+c)'—(a—b—c)'
—4a(b+c)_

EXERCICES
DE
RÉVISION
l
Il
753.
(a
+
b)3
+
(a—
b)”
=
2
a
(a3
+
3
b2).
o
.759.
(ab
+
1)2
+
(a
——
b)”
=
(a3
+
1)
(b2
+
1).
.
760.
(ab
+
1)2
-—
(a
+
b)“
=
(a2
-—
1)
(b2
—
1).
—
Décomposer
en
un
produit
de
facteurs
les'
expressions
suivantes:
761.
12
aab
—
3
b3.
o
762.
48
:zz’3y2
——
27
y‘.
763.æ2+6œ+9.
0764.3x2—30x+75.
765.
(2
a:
+
3)”
—
49.
o
766..
x2
—
10
x
+
21.
767.
(2
a
—
b)“
—-
a3.
o
768.
(2
a
+
b)2
——
(a
+
2
b)”.
769.
(a2:
+
1)2
—
(a:
+
a)”.
o
'770.
(ax
+
b)2
+
(bx
—
a)2.
—
Simpliﬁer
les
expressions
suivantes:
-
3——
2
3
+2b)"—(a+2b)2
771.(“+b———°.
.(
a
.
o
(a
+
c)2
_b2
o
772
(la—(J2
æ2—2œ+1
4x9—9
773.
——————.
74.
.
.
x2—1
.7
4æ3+8æ—21
a+1
a—1
4a
2
1
2b
775.—
—
.
.
—
'
a—1+a+1
a2—1
'776
2a+b
2a—b
4a2—b2
x2
1
2:1:
x+1
2
æ—l
777.
—
.
.
—————
.
.
x—1+æ+1
œil—1
.778
x-
x2+2x
x+2
x+1__
x
a—b+
2b
o'
779.
—i—‘”+1.
.
780.
b
a+b.
1_1_
x
a+b__
2b
'1+a:
a
a+b
o
781..
Soit
les
rapports
égaux
511,.
=
511,
=
Démontrer
que
chacun
de
ces
rap-
-
_5a—3b+2c
ports
est
égal
à.5a,_3b,
+
26,.
o
782.
Soit
l’égalité%
=
9.
Démontrer
que
=
d
c2
+
dz
cd'
o
783.
Démontrer
que
si
a,
b,
c,
d,
vériﬁent
la
relation
(ad
+
bc)3
=
4
abcd,
ces
4
nombres
vériﬁent
l’égalité
ad
=
bc.
o
784.
Démontrer
que
si
(a2
+
b2)
(c2
+
dz)
=
(ac
+
bd)”,
les
4
nombres
a,
b,
c
et
d
vériﬁent
l’égalité
ad
=
bc.
a2
+
b3
ab
Équations
du
1er
degré
-——
Résoudre
les
équations
suivantes:
x—l
4(2x—3)_5x+1
x+5
æ+9=2x+7
n
785.
————3
+
9
——
8
.
o
786..
———6
+
8
9
.
533—9
7x—5
3x—143
1333—16
x—32_295—a:

I
12
ALGËBRE
.
789.
3x1—8——2+2x4—5—9=:c;|63.
.
790_
4x7î7l—9_5x1—|:112=11œ2;—28_
o
791.
#—%3=ä.
o
792.
x—Ï—È—l=3—‘ŸË.
.793_5x4—7+3x8—5=9æ5—4.
.794.4xg—1+3x2—1=10x7+63.
o
795.
æ;_3_œ—1—523=431—;x.
.
.796.
13x21—34__3x5—6—7=19—2:17œi
—
Résoudre
les
équations
suivantes
:
"
.
797.
3x7_1+2::â=6x1ï
5.
.
798.
2—2(;:z)=1
+4ix.
.799.æ33+x_4_5=xl4.
.800.Ê:ïä=2(2î_3)+â.
'
801“
Æ—äiâz—ïïî'
'
802'
2(3x5+2)_2x1+3=3}è"1—m—Ï5'
-—
Résoudre
les
équations
suivantes:
.803.(2x-—3)(4x——12)=0.
.804.x(x—7)(3x_2)=0.
.
805.
xz—(4œ
+
5)2
=
o.
.
8062.
(2x—3)2—(x
+
(5)2
=
0;
.807'3——42x+x—î—3=2x1î)|—3'
.808'x—Ë10+x——5-20=xî20‘
—
Résoudre
les
équations
suivantes
où
le
nombre
m
est
supposé
connu
:
8x—5m_5x—11m
:78—x
.809.
7
5
35
.0810.m(œ—m)=æ—1.
o
811.
î’æ—E)JE"—"—3(
—1)_2x—1’g+3..
812.
x+
m2
+
1'
=m(x+
2).
813.
Soit
l’équation
:
5œ—m_4x
+
m
__
7(3œ+4)
3
5
1'4
dans
laquelle
m
est
en
nombre
connu.
1o
Résoudre
cette
équation.
2°
Déterminer
m
de
façon
que
a:
=
1.
3°
Calculer
les
valeurs
de
m
pour
lesquelles
x
>
3.
Problèmes
du
1er
degré
o
814.
La
somme
de
deux
nombres.
est
324.
En
ajoutant
26
à=
chacun
d’eux,
l’un
devient
triple
de
l’autre.
Quels
sont
ces
deux
nombres?
o
815.
La
différence
de
deux
nombres
est
1'
032.
Le
quotient
entier
de
ces
deux
nombres
est
13
et
le
reste
de
leur
division
48.
Quels
sont
ces
deux
nombres?

\
EXERCICES
DE
RÉVISION
113
o
816.
Deux
cyclistes
partent
en
même
temps
de
deux
villes
A
et
B
distantes
de
200
km
et
vont
à
la
rencontre
l’un
de
l’autre.
Ils
se
rencontrent
au
bout
de
4
heures.
Si
le
cycliste
qui
part
de
A
était
parti
une
demi—heure
avant
l’autre,
la
rencontre
aurait
eu
lieu
3
h
48
mn
après
le
départ
du
deuxième
cycliste.
QUelle
est
la
vitesse
de
chacun
d’eux?
o
817.
Un
train
a
mis
36
secondes
à
passer
devant
un
observateur
immobile.
Sa
longueur
est
300
m.
Quelle
est
sa
vitesse?
Un
second
train
met
24
secondes
pour
croiser
le
premier
et
passe
devant
l’observateur
immobile
en
18
Secondes.
Trouver
la
longueur
et
1a
vitesse
du
second
train.
o
818.
Deux
cyclistes
sont
séparés
par
une
distance
de
54
km.
S’ils
allaient
à
la
rencontre
l’un
de
l’autre
ils
se
rencontreraient
au
bout
de
1
heure.
S’ils
allaient
dans
le
même
sens,
ils
se
rejoindraient
au
bout
de
9
heures.
Quelle
est
la
vitesse
de
chaque
cycliste?
o
819.
Deux
capitaux
ont
pour
somme
3
000
francs.
L’un
est
placé
à
6
%
et
l’autre
à
5
%.
La
somme
de
leurs
intérêts
annuels
est
162
francs.
Quelle
est
la
valeur
de
chaque
capital.
o
820.
Deux
lingots
d’or
sont
l’un
au
titre
de
0,95,
l’autre
au
titre
de
0,8.
On
les
fond
ensemble
en
ajoutant
3
kg
d’or
pur.
Le
lingot
ainsi
obtenu
est
au
titre
de
0,906
et
pèse
37,5
kg.
Quel
est
le
poids
respectif
des
lingots
primitifs?
o
821.
On
veut
obtenir
450
g
d’un
alliage
d’or
au
titre
de
0,83
en
fondant
des
lingots
aux
titres
respectifs
de
0,8
et
0,9.
Quels
doivent
être
les
poids
de
ces
deux
lingots?
o
822.
Un
épicier
achète
100
kg
de
café,
une
partie
à
9,60
francs
le
kilogramme,
l’autre
a
11,20
francs
le
kilogramme.
Il
revend
le
tout
pour
1
209,60
francs
avec
un
bénéﬁce
de
20
%
sur
le
prix
d’achat.
Quels
sont
les
poids
respectifs
de
chaque
qualité
de
café?
o
823.
Un
terrain
rectangulaire
a
414
m
de
périmètre.
Si
la
longueur
augmentait
du
de
sa
valeur
et
si
la
largeur
diminuait
du
de
la
sienne,
le
périmètre
aug-
menterait
de
26
m.
Quelles
sont
les
dimensions
de
ce
terrain?
“o
824.
La
longueur
d’un
rectangle
est
supérieure
à
sa
largeur
de
21
m.
Si
on
augmentait
ses
dimensions
de
4
'm,
la
surface
augmenterait
de
492
m2.
Trouver
les
dimensions
de
ce
rectangle.
o
825.
Deux
capitaux
sont
tels
que
le
second
surpasse
de
2
300
francs
les
â
du
remier.
En
les
plaçant
à
3,6
%,
le
premier
pendant
7
mois,
le
second
pendant
mois,
l’intérêt
du
premier
dépasse
de
207,30
francs
l’intérêt
du
second.
Calculer
les
deux
capitaux.
u
826.
Deux
villes
A
et
B
sont
distantes
de
600
km.
La
tonne
de
charbon
coûte
120
francs
en
A
et
144
francs
en
B;
et
le
transport
coûte
0,15
franc
par
tonne
et
par
kilomètre.
Trouver
le
point
situé
entre
A
et
B
où
le
charbon
revient
au
même
prix,
soit
qu’il
vienne
de
A,
soit
qu’il
vienne
de
B.
o
827.
Une
somme
de
2
170
francs
est
partagée
entre
2
personnes.
La
1re
ayant
r
t
'
dépensé
les
â
de
sa
part
et
la
2e
les
Ë
de
la
sienne,
il
leur
reste
la
même
somme
Trouver
les
deux
parts.
o
828.
Deux
cyclistes
partent
en
même
temps
de
deux
villes
A
et
B
et
vont
à
la
rencontre
l’un
de
l’autre.
Celui
qui
part
de
A
fait
6
km
à
l’heure
de
plus
que
l’autre
et
s’arrête
â
d’heure
après
chaque
heure
de
marche.
L’autre,
qui
part
de
B,
n’a
qu’un
seul
arrêt
de
12
minutes.
Les
cyclistes
se
rencontrent
au
bout
de
5
heures
au
milieu
de
AB.
Trouver
la
distance
AB
et
la
vitesse
de
chaque
cycliste.

l
l4
ALGËBRE
o
829.
Partager
une
somme
de
41
340
francs
proportionnellement
aux
trois
nombres
11,13
et
15.
o
830.
Les
fortunes
de
3
personnes
sont
proportionnelles
aux
nombres
2,
3
et
4.
En
additionnant
la
première,
le
double
de
la
seconde
et
le
triple
de
la
troisième,
on
trouve
1
000
francs.
Quels
sont
ces
trois
fortunes?
o
831.
Un
cultivateur
a
vendu
2
880
francs
sa
récolte
de
blé
et
1
440
francs
sa
récolte
d’avoine.
Le
poids
du
blé
surpasse
de
16
quintaux
celui
de
l’avoine.
Sachant
que
le
prix
du
quintal
de
blé
est
les
g
de
celui
du
quintal
d’avoine:
1°
Trouver
les
quantités
vendues
de
chacune
des
deux
céréales.
2°
Quel
est
le
prix
du
quintal
de
chacune
d’elles.
o
832.
Un
automobiliste
part
à
8
h
40
d’une
ville
A
et
se
rend
à
une
ville
B
située
à
39
km
de
A.
Au
retour
il
fait
un
détour
de
21
km,
mais
sa
vitesse
horaire
surpasse
de
10
km
sa
vitesse
à
l’aller,
si
bien
que
la
durée
du
trajet
retour
est
égale
aux
â
de
la
durée
du
trajet
aller.
1°
Calculer
la
vitesse
de
l’automobiliste
à
l’aller
et
au
retour.
2°
Il
s’est
arrêté
1
h
26
mn
en
B.
Quelle
est
l’heure
de
son
retour
en
A?
"o
833.
Un
chemisier
a
acheté
deux
lots
de
chemises
identiques.
Il
vend
le
pre-
mier
lot
pour
576
francs
en
réalisant
un
bénéﬁce
de
2,40
francs
par
unité.
Il
vend
une
partie
du
deuxième
lot
pour
180
francs
avec
un
bénéﬁce
de
3
francs
et
le
reste
pour
252
francs
avec
un
bénéﬁce
de
2
francs
par
chemise.
Sachant
que
le
nombre
de
chemises
du
deuxième
lot
est
les
î
de
celui
du
premier
lot:
1°
Trouver
le
prix
d’achat
d’une
chemise.
2°
Trouver
le
nombre
de
chemises
vendues
à
chaque
fois.
o
834.
Un
cycliste
effectue
un
trajet
comprenant
36
km
de
terrain
plat,
24
km
de
montées
et
48
km
de
descentes..
Dans
les
montées
sa
vitesse
horaire
moyenne
diminue
de
12
km
et
en
descente
elle
augmente
de
15
km.
Sachant
que
la
durée
du
trajet
en
terrain
plat
est
le
tiers
de
la
durée
totale
du
trajet
:
1°
Trouver
la
vitesse
horaire
du
cycliste
en
terrain
plat.
2°
Quelle
est
la
durée
totale
du
trajet
et
la
vitesse
moyenne
réalisée.
o
835.
Un
automobiliste
part
à
8
h
20
d’une
localité
A
pour
une
ville
B
située
à
192
km
de
A
et
où
il
doit
arriver
à
une
heure
déterminée.
Il
calcule
la
vitesse
horaire
moyenne
qu’il
doit
réaliser,
mais
arrivé
à
mi-route,
il
s’aperçoit
que
sa
vitesse
horaire
a
été
inférieure
de
12
km
à
la
vitesse
prévue.
Il
accélère
son
allure
et
arrive
à
l’heure
ﬁxée,
en
effectuant
dans
la
deuxième
partie
du
parcours
une
Vitesse
horaire
supérieure
de
18
km
à
la
vitesse
prévue.
1°
Calculer
la
vitesse
moyenne
réalisée
sur
le
parcours
entier,
puis
l’heure
d’arrivée.
2°
Quel
était
à
mi-route
le
retard
de
l’automobiliste?

GÊOMÉTRIE

I
GËOMETRIE
PREMIÈRE
LEÇON
RAPPEL
DE
DÉFINITIONS
1.
Droite.
—
Segments
de
droite.
—
Deux
points
donnés
A
et
B
déﬁnissent
une
droite
(image
d'un
ﬁl
ﬁn
tendu).
La
droite
AB
(ﬁg.
l),
que
l'on
peut
prolonger
indéﬁniment,
partage
le
plan
en
deux
régions
appelées
demi-plans.
La
portion
de
la
droite
xy
comprise
entre
A
et
B
est
le
segment
AB.
Les
prolongements
de
ce
segment
sont
les
demi-droites
Ax
et
By.
Deux
segments
de
droite
sont
égaux
s'ilssont
superposables.
Le
milieu
O
du
seg—
ment
AB
est
le
point
qui
le
divise
en
deux
segments
égaux
:
0A
=
0B
=
ë
AB.
x
A
Q
l3
5/
à
l3
Ç
r
FIG.
1.
FIG.
2.
Si
B
est
un
point
du
segment
AC
(ﬁg.
2),
ce
dernier
est
la
somme
des
seg—
ments
AB
et
BC.
On
écrit:
AC:
AB
+
BC
et
l'on
a:
AB
<
AC
ou
AC
>
AB.
La
.
longueur
d'un
segment
AB
est
aussi
appelée
distance
des
points
A
et
B.
2.
Angles.
—
Les
demi-droites
0A
et
OB
sont
les
côtés
de
l'angle
saillant
AOB
(ﬁg.
3)
et
le
point
0
est
le
sommet
de
cet
angle.
Un
angle
délimite
deux
portions
de
plan,
l'une
(I)
intérieure,
l'autre
(Il)
extérieure
à
l'angle.
Deux
angles
sont
égaux
si
on
peut
les
superposer.
Les
angles
AOB
et
BOC,
de
même
sommet
et
situés
de
part
et
d'autre
de
leur
côté
commun
OB
sont
dits
a/JjËents
4).
L'angle
AOC
est
la
0
somme
de
ces
deux
angles:
ﬁ
+
B
=
AOC
et
KO\B
<

IIB
GÉOMÉTRIE
La
bissectrice
0M
de
l'angle
AOB
(ﬁg.
5)
est
la
demi-droite
qui
partage
cet
angle
en
deux
angles
adjacents
égaux:
m:
W:
à
B
C
B
0
(D
B
Blssectrice
M
50mm“
Intérieur
0
0
Extérieur
A
A
A
FIG.
3.
FIG.
4.
FIG.
5.
L'angle
plat
AOB
(ﬁg.
6)
a
ses
côtés
alignés.
Sa
bissectrice
OC
le
partage
en
deux
angles
droits
:
û
=
B/O\C
=
ID.
On
dit
que
la
demi-droite
0C
est
perpendiculaire
à
AB.
Tous
les
angles
plats
étant
égaux,
il
en
est
de
même
de
tous
les
angles
droits.
c
c:
B
.c
1°
90°
i
i
A
0
B
0
0
A
FIG.
6.
FIG.
7.
FIG.
8.
L'angle
droit
se
divise
en
90°,
chaque
degré
en
60'
et
chaque
minute
en
60
'.
Donc:
ID
=
90°
et
un
angle
plat
vaut
20
=
180°.
Un
angle
saillant
est
aigu
s'il
est
inférieur
à
ID
(ﬁg.
7),
obtus
s'ilîest
supérieur
à
ID
(ﬁg.
8).
3.
Angles
associés.
—
1°
Deux
angles
complémentaires
(ﬁg.
9)
ont
pour
somme
un
angle
droit
(ID
ou
90°).
Deux
angles
supplémentaires
(ﬁg.
10)
ont
pour
somme
un
angle
plat
(2D
ou
180°).
Deux
angles
donnés
sont
égaux
lorsqu’ils
ont
soit
le
même
complément,
soit
le
même
supplément.
2°
Soient
0M
et
ON
les
bissectrices
des
/d&1x
arglei
adjacents
supplé-
mentaires
AOB
et
BOC
(ﬁg.
10).
L'égalité
AOB
+
BOC
=
180°
entraîne:
àîgîg+àäôî=90°donœñ0î=90ï
Les
bissectrices
de
deux
angles
adjacents
supplémentaires
sont
perpendiculaires.

RAPPEL
DE
DÉFINITIONS
H9
3°
Deux
angles
AOB
et
À'OB'
Il)
sont
opposés
par
le
sommet
lorsque
les
côtés
de
l'un_sont
les
prolongements
des
côtés
de
l'autre.
Ces
deux
angles
sont
égaux
car
Ils
ont
tous
deux
pour
supplément
l'angle
AOB'.
C
B
A
B'
0
A
A
C
B
A'
FIG.
9.
FIG.
10.
FIG.
11
4.
Droites
perpendiculaires.
—
Deux
droites
AB
et
CD
sont
perpen-
diculaires
(ou
rectangulaires)
s1
les
quatre
angles
qu'elles_forment
en
O
sont
drorts
(ﬁg.
12).
ll
sufﬁt
pour
cela
que
l’un
d'entre
eux
sort
droit.
Les
bissectrices
des
quatre
angles
déterminés
par
deux
droites
concou—
rantes
(ﬁg.
I3)
forment
deux
drortes
perpendiculaires
(n°
3,
2°).
C
A
:N
B'
M“
f“
M
____
__'
_____P1'
r
À
A
Û
B
.1:
H
y
0
B
:N'
A'
Mu"
FIG.
12.
FIG.
13.
FIG.
14.
Par
un
point
donné
M
on
peut
mener,
à
une
droite
xy,
une
per-
pendiculaire
et
une
seule.
C’est
la
droite
MH
qui
'oint
M
au
point
M'
qui
coïncide
avec
M
lorsqu'on
plie
la
ﬁgure
suivant
xy
l4).
Les
angles
MHx
et
M'Hx
étant
à
la
fois
égaux
et
supplémentaires
sont
tous
deux
droits,
tandis
que
les
angles
égaux
MNx
et
M'Nx
sont
aigus
comme
moitiés
de
l'angle
saillant
MNM'.
Le
point
H
est
le
pied
de
la
per-
pendiculaire
MH
ou
projection
de
M
sur
la
droite
xy.
La
longueur
y
MH
est
la
distance
du
point
M
à
'
la
droite
xy.
Provisoirement
nous
construirons
les
perpendiculaires
à
l'aide
de
l'équerre
l5).

l
20
GÉOMÉ
TRIE
5.
Cercle.
--'*
Le
cercle
est
une
courbe
plane
fermée
dont
tous
les
points
sont
à
une
même
distance
d'un
point
donné
appelé
centre
(ﬁg.
16).
On
le
trace
à
l'aide
du
compas.
Le
segment
0M
=
R
est
un
rayon
du
cercle
O
(R).
Tout
point
N
situé
sur
un
rayon
(ﬁg.
17)
est
dit
intérieur
au
cercle
et
la
dis-
tance
ON
=
d
vériﬁe
la
relation
:
d
<
R.
Tout
point
P
situé
sur
le
prolon-
Rayon
Diamètre
FIG.
17.
gement
d’un
rayon
est
dit
extérieur
et
vériﬁe:
(l
>
R.
Par
suite
seuls
les
pomts
du
cercle
vérlﬁent:
(l
=
R.
Le
cercle
O
(R)
est
la
ﬁgure
formée
par
l’ensemble
des
points
du
plan
dont
la
distance
au
point
O
est
égale
à
R.
Dans
un
cercle
donné
(ﬁg.
16)
la
mesure.
d'un
arc
AB
est
pr0portionnelle
à
la
mesure
de
l’angle
au
centre
AOB
qui
l'intercepte.
Cec1
permet
d’adopter
pour
unité
d
arc,
celui
qu1
correspond
à
l’unité
d'angle
au
centre,
31
bien
que
:
La
mesure
en
degrés
d’un
arc
de
cercle
est
la
même
que
celle
de
l’angle
au
centre
correspondant.
Il
y
a
360°
dans
le
cercle,
180°
dans
un
demi—cercle
de
diamètre
CD
(ﬁg.
16).
6.
Polygone.
-—
Un
polygone
est
une
ligne
brisée
fermée.
Le
polygone
ABCDE
(ﬁg.
18)
est
convexe
car
il
est
tout
entier
situé
d'un
même
côté
de
l’une
quelconque
des
droites
obtenues
en
prolongeant
l’un
de
ses
côtés.
E
L'angle
saillant
EAB
est
dit
intérieur.
Son
supplément
BAx
est
dit
extérieur
au
polygone.
Les
principaux
polygones
sont
1e
triangle
(3
côtés),
le
quadrilatère
(4
côtés),
le
pentagone
_
.
(5
côtés),
l'hexagone
(6
côtés),
l'octogone
D
C
(8
côtés),
etc.
FIG.
18.
Angle
extérieur
Angle
interleur

RAPPEL
DE
DÉFINITIONS
12]
7.
Triangle.
-—
Un
triangle.
ABC
a
six
éléments.
——
Ce
sont
les
mesures
A,
B,
C
de
ses
angles
intérieurs
et
les
mesures
:
BC
=
a,
CA
=
b
et
AB
=
c
de
ses
côtés.
Dans
le
triangle
ABC
(ﬁg.
l9):
,
La
hauteur
Al'l
est
la
perpendiculaire
menée
de
A
au
côté
BC.
La
médiane
AM
est
le
segment
joignant
le
sommet
A
au
milieu
M
du
côté
BC.
La
médiatrice
Mx
est
la
médiatrice
du
côté
BC
c'est-à—dire
la
perpendicu—
laire
au
côté
BC
en
son
milieu
_
A
.1
Q)
.5
s
a
ë
:o
I
ë
J
B
M
H
C
FIG.
19.
Laobissectrice
intérieure
AD
(ﬁg.
20)
est
la
bissectrice
de
l'angle
intérieur
A.
La
bissectrice
extérieure
AE
est
la
bissectrice
de
l’angle
extérieur
CAx.
Les
bissectrices
intérieure
et
extérieure
relatives
au
même
sommet
sont
rectan-
guIaires.
Cela
résulte
du
n°
3,
2°.
8.
Syinétrie
par
rapport
à
un
point.
—
Deux
points
M
et
M’
sont
symétriques
par
rapport
au
point
O
si
'ce
point
est
le
milieu
du
segment
MM’.
Un
centre
de
symétrie
O
étant
donné
(ﬁg.
2l),
on
peut
construire
le
point
M'
symetrique,
par
rapport
à
O,
de
chaque
point
M
d'une
ﬁgure
F
en
prolon-
geant
M0
d'une
longueur:
OM’
=
M0.
M’
"
ﬁ
Æâ’,
N
,
_
_
57%
,_
'
'
î
J
'
FIG.
22.
FIG.
23.
La
ﬁgure
F'
ainsi
obtenue
est
symétrique
de
la
ﬁgure
F
par
rapport
au
point
O.
Calquons
la
ﬁgure
.F
sur
un
transparent
ﬁxé
en
Û
par
une
pointe.
Nous
pouvons
encore
par
glissement,
faire
tourner
ce
transparent
autour
du
point
O,

122
GÉOMÉ
TRIE
de
façon
à
amener
le
point
A
sur
son
homologue
À'.
Les
angles
AOM
et
A’OM'
étant
égaux
(opposés
par
le
sommet),
le
calque
de
l'angle
AOM
coïncide
alors
avec
A'OM’
et
comme
OM'
=
0M,
le
calque
de
M
coïncide
avec
M'.
La
ﬁgure
F
se
superpose
donc
par
glissement
à
la
ﬁgure
F
'.
Ces
deux
ﬁgures
sont
dites
directement
égales:
Deux
ﬁgures
symétriques
par
rapport
à
un
point
O
sont
direc-
tement
égales.
Une
ﬁgure
donnée
admet
un
centre
de
symétrie
O
si
elle
coïncide
avec
elle-
même
dans
la
symétrie
de
centre
Û.
Il
en
est
ainsi
des
lettres
de
l'alphabet
:
N,
S,
Z
(ﬁg.
22)
ou
de
certains
objets
(cartes
à
jouer,
dominos)
que
l'on
peut
retourner
bout
pour
bout
sans
en
modiﬁer
l'apparence
(ﬁg.
23).
9.
Symétrie
par
rapport
à
une
droite.
—
Deux
points
M
et
M’
sont.
symétriques
par
ra
port
à
la
droite
xy
si
cette;
droite
est
la
médiatrice
du
segment
M’.
'Un
axe
de
symétrie
xy
étant
donné
(ﬁg._24)
on
peut
construire
le
symé-
trique
M',_
parOrapport
à
xy,
de
chaque
pomt
M
d'une
ﬁgure
F
en
menant
la
perpendiculaire
MH
à
xy
et
en
la
prolongeant
d'une
longueur
:
HM'
=
MH.
v
FIG.
24.
Fia.g25.
FIG.
26.
La
figure
F'
ainsi
obtenue
est
symétrique
Je
la
ﬁgure
F
par
rapport
à
la
droite
xy.
Plions
la
feuille
de
papier
suivant
xy.
Les
angles
droits
MHx
et
M'Hx
se
recouvrent
et
comme
HM
=
HM',
les
points
M
et
M'
coïncident.
La
ﬁgure
F
se
superpose
donc
par
retournement
à
la
ﬁgure
F'.
Ces
deux
ﬁgures
sont
dites
inversement
égales.
Deux
figures
symétriques
par
rapport
à
une
droite
xy
sont
inversement
égales.
Une
ﬁgure
donnée
admet
un
axe
de
symétrie
A.
si,
lorsqu'on
plie
cette
ﬁgure
suivant
la
dr01te
A,
les
deux
parties
se
recouvrent.
Il
en
est
a1ns1
de

RAPPEL
DE
DÉFINITIONS
123
certaines
lettres
de
l'alphabet
:A,
B,
H
(ﬁg.
Z5),
de
la
plupart
des
motifs
de
décoration
(ﬁg.
26).
La
bissectrice
d'un
angle
est
un
axe
de
symétrie
de
cet
angle
(ﬁg.
5)
et
tout
diamètre
est
un
axe
de
symétrie
pour
le
cercle
(ﬁg.
16).
EXERCICES
o
1.
On
considère
sur
une
droite
xy
trois
points
O,
A,
B
dans
cet
ordre
et
on
cons-
truit
le
milieu
M
de
AB.
Soit
0A
=
a
et
OB
=
b.
1°
Calculer
à
partir
de
a
et
b
les
longueurs
AM,
MB
et
OM.
2°
Comment
faut-il
modiﬁer
les
résultats
si
O
est
entre
A
et
M.
.v’
ﬁn
o
2.
Soit
B3
un
point
du
segmentAC.
On
désigne
par
M
le
milieu
de
AB,
par
N
celui
de
BC
et
on
pose
AB
=
a
et
BC
=
b.
1°
Calculer
à
partir
de
a
et
b
la
longueur
MN.
2°
Soit
P
le
milieu
de
AC.
Calculer
MP
et
PN.
o
3.
Deux
angles
AOB
et
BOC
sont
adjacents
et
OM
est
la
bissectrice
de
l’angle
BOC.
A
A
1°
Construire
la
ﬁgure
sachant
que
AOB
=
48°
et
AOC
=
112°.
Calculer
la
mesure
de
l’angle
AOM.
2°
Si
oc
et
(3
désignent
les
mesures
des
angles
AOB
et
AOC,
montrer
que
l’on
a
.
A
1
toujours
:
AOM
=
ë
(a
+
B).
o
4.
Soient
0M
et
ON
les
bissectrices
de
deux
angles
adjacents
AOB
et
AOC.
1°
Construire
la
ﬁgure
pour
AOB
=
64°
et
AOC
=
108°.
2°
Calculer
la
mesure
de
l’angle
MON.
Comparer
le
résultat
à
la
mesure
de
BOC.
3°
Énoncer
un
théorème
donnant
la
mesure
de
l’angle
des
bissectricesde
deux
angles
adjacents
de
mesures
on
et
B
,o
5.
On
construit
un
angle
AOB
de
72°,
puis
les
angles
droits
AOA’
et
BOB’
adjacents
au
premier.
1°
Calculer
la
mesure
de
l’angle
A’OB’.
Comment
sont
les
deux
angles
AOB
et
A’
OB’
?
2°
Montrer
que
les
bissectrices
OM
et
ON
des
angles
AOB
et
A’
OB’
sont
alignées.
3°
Calculer
l’angle
des
bissectrices
des
angles
droits
AOA’
et
BOB’.
o
6.
Soit
un
angle
AOB
de
54°.
On
construit
les
angles
droits
AOA’
et
BOB’
non
adjacents
à
l’angle
AOB.
-
1°
Montrer
que
les
angles
AOB
et
A’OB’
sont
supplémentaires
et
qu’ils
ont
même
bissectrice
OM.
2°
Démontrer
que
les
angles
AOB’
et
A’
OB
sont
égaux.
Calculer
l’angle
de
leurs
bissectrices.
o
7.
On
construit
trois
angles
successivement
adjacents
AOC
=
48°,
COD
=
72°
et
DOB
=
34°.
Puis
on
trace
les
demi-droites
OM,
ON,
OP
et
OQ
bissectrices
des
angles
AOC,
AOD,
BOC
et
BOD.
1°
Calculer
les
angles
MON
et
POQ
et
comparer
leur
valeur
à
celle
de
l’angle
_2°
Montrer
que
les
angles
MOQ
et
NOP
ont
même
bissectrice.

124
GËoMËTRIË
o
8.
On
considère
sur
u‘n
cercle
les
arcs
consécutifs
îB
=
90°,
BC
=
68°
et
613
=
90°.
1°
Calculer
la
mesure
de
l’arc
DA
qui
termi/nâ
le
cercle.
A
2°
Construire
au
rapporteur
le
milieu
M
de
BC
et
le
milieu
N
de
DA.
3°
On
plie
la
figure
suivant
la
droite
MN.
Qu’en
déduisez-vous
pour
le
dia-
mètre
MN
et
les
cordes
BC
et'
DA‘I
o
9.
Soient
I
et
J
deux
points
d’une
droite
xy
et
A
et
B
deux
points
extérieurs
situés
d’un
même
côté
de
cette
droite.
Les
cercles
de
centre
I
et
J
passant
par
A
se
recoupent
en
A’,
les
cercles
de
centre
I
et
J
passant
par
B
se
recoupent
en
B’.
1°
Montrer
sur
si
on
plie
la
ﬁgure
suivant
xy,
le
point
A
Vient
en
A’
et
B
en
B’.
2°
Montrer
que
xy
est
médiatrice
de
AA’
ainsi
que
de
BB’.
3°
La
droite
AB’
c'oupe
xy
en
M.
Montrer
que
A'
M
et
B
sont
alignés.
o
10.
Construire
d’un
même
côté
d’une
droite
xy
un
polygone
F
de
six
à
huit
âôtés
présentant
un
angle
rentrant,
puis
le
polygone
F’,
symétrique
de
F
par
rapport
xy.
2°
Vériﬁer
que?
les
prolongements
de
deux
côtés
homologues
BC
et
B’C’
par
exemple
se
coupent
sur
æy
en
un
même
point
I.
Comparer
les
angles
BIa:
et
B’Ix.
o
11.
Soit
un
contour
polygonal
ABCDEA’
situé
d’un
même
côté
de
la
droite
AA’
et
présentant
un
angle
rentrant
en
C
ou
D.
On
désigne
par
O
le
milieu
de
AA’.
1o
Construire
le
contour
A’B’C’D’E’A
symétrique
du
précédent
par
rapport
au
point
O.
Comparer
les
angles
BC’D
et
B’CD’
ainsi
que
BC’
et
B’C.
2°
Les
segments
BC’
et
CD’
se
coupent
en
M.
Soit
M’
le
symétrique
de
M
par
rapport
à
O.
Démontrer
que
M’
se
trouve
à
la
fois
sur
CB’
et
sur
DC’.
o
12.
On
considère
un
angle
droit
AOB
et
on
dessine
une
ligne
F,
brisée
ou
compre-
nant
des
arcs
de
courbes,
joignant
A
à
B
soit
AMNPQB.
1°
Construire
la
ﬁgure
F1
et“
la
ﬁgure
F.
symétrique
de
F
par
rapport
à
OA
et
à
OB.
Puis
la
ﬁgure
F2
symétrique
de
F
par
rapport
à
O.
2°
Montrer
que
F2
et
F1
sont
symétriques
par
rapport
à
la
droite
0B,
tandis
que
F2
et
F3
sont
symétriques
par
rapport
à
OA
et
que
F1
et
F3
sont
symétriques
par
rapport
à
O.
3°
Quels
sont
les
éléments
de
symétrie
(centre
et
axes)
de
la
ﬁgure
totale
formée
par
F,
F1,
F3
et
F..

DEUXIÈME
LEÇON
TRIANGLE
ISOCÈLE
10.
Déﬁnition.
—
Un
triangle
isocèle
est
un
triangle
qui
a
deux
côtés
égaux.
On
obtient
un
triangle
isocèle
ABC
en
coupant
les
côtés
d'un
.angle
xÀy
par
un
arc
de
cercle
de
centre
(ﬁg.
27).
Le
côté
BC_est
la
base
et
le
sommet
opposé
A
est
le
sommet
pr1nc1pal
ou
sommet
du
triangle
Isocèle.
Il.
Théorème.
—
Dans
tout
triangle
isocèle
les
angles
adjacents
à
la
base
sont
égaux.
Soit
A'B'C’
le
calque
du
triangle
isocèle
ABC
(ﬁg.
27).
Retournons
ce
calque
et
fai-
sons
coïncider
l'angle
y'A'x'
avec
son
égal
xAy.
Comme
A’C’
=
AC
=
AB
=
A'B',
le
point
C'
vient
en
B
et
de
même
le
point
B'
vient
en
C.
L’angle
C’,
calque
de
l'angle
C
du
triangle
ABC
coïncide
avec
l’angle
B.
On
a
donc
_.
.
V-..
.
_._.-
v—---->__.._/—-
à
A'
C'
‘5'
,\
g
A
B
=
C.
FIG.
27.
12.
Réciproque.
—
Tout
triangle
qui
a
deux
angles
égaux
est
isocèle.
Soit
ABC
un
triangle
dans
lequel
les
angles
B
et
C
sont
égaux
(ﬁg.
28).
Retournons
le
calque
B'A'C'
de
ce
triangle,
puis
amenons
B'
en
Cet
C'
en
B.
L’angle
C'B'A'
étant
égal
à
l’angle
CBA
donc
à
l’angle
BCA,
le
côté
B'A'
rendra
la
direction
de
CA.
De
même
le
côté
C'A'
prendra
la
direction
de
A.
Le
point
A’
vient
à
la
fois
sur
CA
et
sur
BA,
c'estnà-dire
en
A.
Le
seg-
ment
A’B'
calque
de
AB
coïncide
avec
AC.
Donc
:
AB
=
AC.
Notons
que
:
Les
angles
égaux
d'un
triangle
isocèle
sont
opposés
aux
côtés
égaux.

l
26
GÊOMÉ
TRIE
13.
Autres
énoncés.
—
Les
deux
théorèmes
précédents
sont
dits
réci—
proques
car
l’hypothèse
de
l'un
constitue
la
conclusmn
de
lautre:
THÉORÈME
DIRECT:
Hypothèse
AB
=
AC
—>
Conclusion
:
Ê
=
THÉORÈME
RÉCIPROQUE:
Hypothèse
B
=
C
—>
Conclusion
:
AB
=
AC.
On
énonce
simultanément
ces
deux
théorèmes
en
disant
que:
Pour
qu’un
triangle
soit
isocèle
il
faut
et
il
sufﬁt
que
ce
triangle
ait
deux
angles
égaux.
L'égalité
de
deux
angles
permet,
aussi
bien
que
l’égalité
de
deux
côtés,
de
reconnaître
un
triangle
isocèle.
On
dit
que:
L’égalité
de
deux
angles
est
une
propriété
caractéristique
du
triangle
isocèle.
En
_
général
une
propriété
caractéristique
d'une
ﬁgure
donnée
est
une
propnété
équivalente
à
la
déﬁnition
de
cette
ﬁgure.
rrw’î’ﬁ‘i
A
A
A
l
‘
;
r‘l
_.
B
C
j
C'
B,
B
I
C
W___.J
FIG.
28.
FIG.
29.
.14.
Théorème.
—
Dans
tout
triangle
isocèle
la
médiane
issue
du
sommet
est
également
bissectrice
intérieure,
hauteur,
média-
trice
et
axe
de
symétrie
du
triangle.
Soit
AI
la
médiane
relative
à
la
base
du
triangle
isocèle
ABC
(ﬁg.
29).
Lorsqu'on
retourne
le
triangle
ABC
sur
lui-même,
comme
au
n°
l
I
,
le
calque
l'
du
point
I
milieu
de
BC
revient
en
I.
Le
calque
du
triangle
ÀIB
vient
coïn—
cider
BEC
le
ËËngle
AIC.
Donc:
l°
IAB
=
IAC.
La
médiane
Al
est
donc
bissectrice
intérieure
de
l'angle
A.
2°
=
ÂIÎ:
=
ID
car
ces
deux
angles
sont
à
la
fois
égaux
et
supplé—
mentalres.
Donc
AI
est
hauteur
et
médiatrice
de
BC.
3°
Lorsqu'on
plie
le
triangle
ABC,
suivant
la
droite
Al,
le
point
B
vient
en
C
et
les
triangles
AIB
et
AIC
se
superposent.
La
droite
AI
est
donc
un
axe
de
symétrie
du
triangle
(n0
9).
Et
l'on
vort
que:
Dans
un
triangle
isocèle
la
médiatrice
de
la
base
passe
par
le
sommet
opposé.

TRIANGLE
ISOCËLE
127
APPLICATIONS
15.
Triangle
équilatéral.
—
Un
triangle
équilatéral
est
un
triangle
qui
a
ses
trois
côtés
égaux.
On
obtient
un
triangle
équilatéral
de
côté
BC
en
prenant
le
point
A
à
l'intersection
de
deux
arcs
de
cercle
de
rayon
BC
et
de
centres
respectifs
B
et
C
(ﬁg.
30).
Ce
triangle
est
““sA
I”.
un
triangle
isocèle
quel
que
soit
le
côté
considéré
comme
base,
ce
qui
entraîne
l’égalité
des
trois
angles
A,
B
et
C.
Réciproquement,
si
un
triangle
ABC
a
ses
trois
angles
égaux,
il
est
de
même
isocèle
de
trois
façons
différentes
(n0
l2),
ce
qui
entraîne
l'égalité
de
ses
trois
côtés
:
I”
l
Un
triangle
équilatéral
a
ses
trois
angles
égaux.
Réciproquement
tout
triangle
qui
a
Fm
30_
ses
trois
angles
égaux
est
équilatéral.
L'égalité
des
trois
angles
est
une
propriété
caractéristique
du
triangle
équi-
latéral.
W16.
Médiatrice
d’un
segment.
—
Soit
xx’
la
médiatrice
du
segment
AB,
c'est—à-dlre
la
perpendiculaire
à
ce
segment
en
son
m1l1eu
H
(ﬁg.
3l).
l0
Si
le
point
M
est
situé
sur
xx',
les
segments
MA
et
MB,
symétriques
par
rapport
à
la
droxte
xx'
sont
égaux
(n0
9).
Donc:
MA
=
MB.
2°
Si
un
point
M
est
équidistant
de
A
et
B,
on
a
:
MA
=
MB.
Le
triangle
MAB
est
isocèle
et
sa
médiane
lVlH
est
la
médiatrice
de
la
base
AB
(n0
l4).
Donc
le
point
M
appartient
à
la
droite
xx'.
Pour
qu’un
point
soit
équidistant
des
extrémités
d’un
segment
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’il
appartienne
à
la
médiatrice
de
ce
segment.
x
C
_M
r—rÿr
r
Il
‘
A
H
B
,1
,1
B
A
D
.20
FIG.
31.
FIG.
32.
_
l._.es
points
de
la_
médiatrice
du
segment
AB
ont
pour
propriété
caracté-
ristique
d’être
équldistants
des
extrémités
A
et
B
de
ce
segment.

l
28
GËOMÉ
TRI
E
17.
Triangle
rectangle.
--—
Un
triangle
rectangle
est
un
triangle
qui
a
un
angle
droit.
Le
côté
opposé
à
l’angle
droit
est
i’hypoténuse
Prolongeons
le
côté
BA
du
triangle
rectangle
ABC
d’une
longueur
AD
égale
à
BA
(fig.
32).
Le
côté
CA
est
la
médiatrice
du
segment
BD
et
par
suite
(n0
l6):
CB
-'—*—‘-
CD.
Le
triangle
BCD
est
isocèle
et
les
deux
triangles
rec-r
tangles
ÀBC
et
ACD
sont
superposables
(nO
l4).
On
peut
toujours
considérer
un
triangle
rectangle
comme
élan!
la
moitié
d'un
triangle
isocèle.
'18.
Théorème.
—
Dans
tout
triangle
rectangle
les
angles
adjw-
cents
à
l’hypoténuse
sont
des
angles
aigus.
Dans
le
triangle
isocèle
BCD
(ﬁg.
32),
la
droite
CA
est
bissectrice
de
l'angle
saillant
BÇD.
Par
SUltC
langle
BCA,
mortié
d
un
angle
inférieur
à
2D
est
donc
lniéneur
à
lb.
C
est
un
angle
aigu.
On
peut
faire
une
démonstration
analogue
pour
l’angle
ABC
en
prolongeant
CA
d’une
longueur
égale.
19.
Corollaire.
—
Les
angîes
adjacents
à
la
base
d’un
triangle
isocèle
sont
des
angles
aigus
égaux.
ll
en
est
ainsi
(les
angles
B
et
C
(lu
triangle
isocèle
ABC
de
base
BC
(ﬁg.
29,;-
car
ce
sont
des
angles
algus
cles
triangles
rectangles
égaux
AlB
et
ÀIC.
EXERCICES
o“.
13.
Soit
un
triangle
isocèle
ABC
(le
sommet
A.
On
prolonge
13A
d’une
lou
gueur
AD
:1'3A.
10
Montrer
que
le
triangle
ACD
est
isocèle.
20
Montrer
que
l’un
(les
angles
du
triangle
BCD
est
égal
à
la
somme
des
(leu-
autres.
3°
Si
dans
un
triangle
ARC,
l’angle
A
est
égal
a
la
somme
des
angles
P.
el,
montrer
que
la
médiane
A31
est
égale
a
la
moitie
du
côte
13(1.
o
14.
On
construit
un
cercle
(le
centre
O
et
deux
diamètres
AC
et
BD.
1°
Démontrer"
que
le
quadrilatère
AISCD
a
ses
quatre
angles
égaux.
2°
Quels
sont
les
axes
de
symétrie
de
ce
quadrilatère?
En
déduire
l’égalité
a;
Al}
et
CD
ainsi
que
de
AD
et
BC.
o
15.
Dans
un.
triangle
quelconque
ABC,
la
bissectrice
extérieure
de
l’angle
coupe
en
D
1e
prolongement
(la:
du
côté
13C.
On
prolonge
BA
d’une
longuetr
AE
AC.
1°
Que
représente
la
droite
DA
pour
le
segment
CE,
pour
le
triangle
BDlËÎ‘
2°
Calculer
la
mesure
de
l’angle
BED
sachant
que:
ACB
=
84°.
a
16.
On
prolonge
d’une
même
longueur
et
dans
le
même
sens
de
parcours,
».
trois
côtés
(l’un
triangle;
équilatéral
ABC.
On
obtient
les
points.
A’
sur
le
prolo-r:
gemen't
de
13C,
B’
sur
celui
de
ÇA
et
C’
sur
celui
de
AB.
1°
Montrer
que“
l’on
peut
par
glissement
amener
le
calque
de
la
figure
obtenu:-
ABCA’B’C’
sur
BCAB’C’A’
ou
sur
(JAI-SC’A’B".
“.20
En
déduire
que
les
trois
triangles
A’l'l’Ç,
B’C’A
et
C’A’B
sont.
directemen-2
égaux.
Quelle
est
la
nature
du
triangle
A’B’G"?

TRIANGLE
ISOCËLE
129
o
17.
Soit
un
quadrilatère
conVexe
ABCD
dans
lequel
Al}
=-
BC
et
BAD
=—-
BCD.
1°
Montrer
que
les
angles
DAC
et
DCA
sont
égaux.
Comparer
DA
et
DC.
2°
Que
représente
BD
pour
le
segment
AC
et
pour
les
angles
ABC
et
ADC?
o
18.
Démontrer
que
si
dans
un
triangle
ABC
l’une
des
conditions
suivantes
est
remplie,
le
triangle
est
isocèle.
1°
La
hauteur
AH
est
en
même
temps
bissectrice
de
l’angle
A.
20
La
hauteur
AH
est
en
même
temps
médiane
relative
à
BC.
3°
La
médiatrice
de
BC
passe
par
le
sommet
A.
o
19.
Soit
un
triangle
ABC
dans
lequel
la
médiane
AM
est
bissectrice
de
l’angle
intérieur
A.
On
prolonge
AM
d’une
longueur
MD
=
AM.
1°
Montrer
que
les
triangles
MAB
et
MDC
sont
symétriques
par
rapport
à
M.
En
déduire
que
les
angles
MAB
et
MDC
sont
égaux
ainsi
que
les
segments
AB
et
DC.
2°
Nature
du
triangle
CAD?
Comparer
AB
et
AC.
3°
Énoncer
le
théorème
qui
en
résulte.
o
20.
Dans
un
triangle
isocèle
ABC
de
base
BC
on
mène
la
médiane
BM.
Soit
N
le
milieu
de
AB
et.
G
le
point
de
rencontre
de
BM
avec
la
hauteur
AH.
1°
On
retourne
le
triangle
ABC
sur
lui-même
en
amenant
B’
calque
de
B
en
C
et
C’
calque
de
C
en
B.
Où
viennent
les
calques
M’
et
N’
de
M
et
de
N.
2°
Montrer
que
les
points
C,
G,
N
sont
alignés
et
que
les
triangles
GBC
et
GMN
sont
isocèles.
Comparer
BM
et
CN.
3°
Que
représente
AH
pour
le
segment
MN?
o
21.
On
considère
un
triangle
isocèle
ABC.
La
bissectrice
intérieure
de
l’angle
B
coupe
le
côté
AC
en
D
et
la
hauteur
AH
en
I
1°
Nature
du
triangle
IBC?
Montrer
que
CI
est
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
C.
2°
La
bissectrice
CI
coupe
le
côté
AB
en
E.
Montrer
que
le
symétrique
de
D
par
rapport
à
la
droite
AH
est.
le
point
E.
Comparer
AD
et
AE,
puis
ID
et
IE.
3°
Démontrer
que
BD
=
CE.
o
22.
On
considère
un
triangle
AHB
rectangle
en
H.
1°
On
suppose
que
AB
=
2
HB.
Démontrer
que
l’angle
aigu
B
est
double
de
l’angle
aigu
A
(prolonger
BH
de
HC
=
BH).
2°
On
suppose
que
par
hypothèse
l’angle
B
soit
le
double
de
l’angle
A.
Démontrer
que
l’on
a:
AB
=
2
HB.
o
23.
1°
Construire
un
quadrilatère
convexe
dans
lequel
les
trois
angles
D,
A
«l:
B
sont
égaux
à
100°
et
les
côtés
AB
et
AD
égaux
à
20
mm.
2°
Démontrer
que
le
triangle
BCD
est
isocèle
et
comparer
CB
et
CD.
3°
Que
représente
la
droite
AC
pour
le
segment
BD
et
pour
les
angles
DAB
et
BCD?
o
24.
On
considère
un
angle
aigu
ny
et
un
point
intérieur
A.
1°
Construire
les
symétriques
B
et
C
du
point
A
par
rapport
à
0x}
et
Oy.
Montrer
que
les
points
A,
B,
C
sont
sur
un
cercle
de
centre
O.
2°
On
mène
la
droite
BC
qui
coupe
0x
en
M
et
Oy
en
N.
Comparer
les
angles
UBC
et
OCB,
puis
montrer
que
AO
est
la
bissectrice
de
l’angle
MAN.
3°
Soit
D
le
symétrique
de
C
par
rapport
à
0x.
Démontrer
que
les
trois
points
A,
M,
D
sont
alignés.

TROISIÈME
LEÇON
CAS
D’ÉGALITÉ
DES
TRIANGLES‘
20.
Triangles
égaux.
—
Deux
triangles
sont
égaux
s’ils
sont
superposables.
La
superposition
de
deux
triangles
égaux
peut
s'effectuer
par
simple
glis-
sement
du
calque
de
l’un
des
triangles,
ou
après
retournement
préalable
de
ce
calque.
Lorsque
deux
triangles
ABC
et
A'B’C’
sont
égaux,
leurs
six
élé—
ments
sont
égaux
deux
à
deux
et
vériﬁent
les
relations
:
A=A'
;
B=B'
;
C=C’
BC
=
B'C';
CA
=
C'A';
AB
=
A'B'.
Il
existe
des
théorèmes
permettant
d'éviter
la
superposition
de
deux
triangles
pour
en
établir
l'égalité.
Ces
théorèmes
connus
sous
le
nom
de
cas
d’égalité
ne
font
intervenir
que
trois
relations
convenablement
choisies
parmi
les
six
précédentes.
21.
1er
cas.
-—
Lorsque
deux
triangles
ont
un
côté
égal
adjacent
à
deux
angles
respectivement
égaux,
ils
sont
égaux.
Soient
ABC
et
A’B'C’
deux
triangles
(ﬁg.
34)
tels
que,
par
hypothèse:
FIG.
34.
BC=
B’C’;
Ê:
Ê;
ê:
ê'.
Transportons
le
calque
du
triangle
A’B'C'
et
faisons
coïncider
B'C'
avec

CAS
D'ÊGALITÉ
DES
TRIANGLES
I3]
son
égal
BC‘en
amenant
B'
en
B,
C'
en
C
et
A'
du
même
côté
de
BC
que
le
point
A.
L'angle
C'B'x'
coïncide
alors
avec
son
égal
CBx
et
de
même
l'angle
B'
'y'
coïncide
avec
son
égal
BCy.
Le
point
A'
se
lace
donc
à
la
fois
sur
Bx
et
Cy,
soit
au
point
A.
Les
deux
triangles
coïncident;
ils
sont
donc
égaux.
22.
2°
cas.
—
Lorsque
deux
triangles
ont
un
angle
égal
compris
entre
deux
côtés
respectivement
égaux,
ils
sont
égaux.
Soient
ABC
et
A'B'C'
deux
A
x,
B’
l
A'
triangles
35)
tels
que,
par
'
hypothèse:
Â
=
Â’;
AB
=
A'B';
AC
=
A'C'.
Faisons
coïncider
l'angle
x'A'y'
B/
C
avec
son
égal
xAy
en
amenant
A'x'
1/1
1/
/y’
sur
A1
et
A'y'
sur
Ay.
Comme
F
35
A'B'
=
AB,
le
point
B'
se
place
en
IG'
'
B
et
puisque
A'C'
=
AC,
le
point
C'
se
place
en
C.
Les
deux
triangles
coïncident;
ils
sont
donc
égaux.
23.
3°
cas.
—
Lorsque
deux
triangles
ont
leurs
trois
côtés
respec-
tivement
égaux
ils
sont
égaux.
Soient
ABC
et
A’B'C’
deux
triangles
(ﬁg.
36)
tels
que,
par
hypothèse:
BC
=
B'C’;
CA
=
C'A';
AB
=
A’B'.
Transportons
le
calque
du
triangle
A'B'C’
en
amenant
B’
en
B,
Cà'
e61:
C
et
A'
du
côîé
opposé
par
rapport
à
a
droite
BC.
Le
point
B
est
alors
équidistant
de
A
et
A'
et
le
point
C
également.
Les
points
B
et
C
sont
donc
sur
la
média-
trice
de
AA'
(n°
l6).
Cette
'
médiatrice
est
la
droite
BC,
axe
de
symétrie
de
chacun
des
triangles
isocèles
ABA'
et
ACA’.
FIG.
36.
En
pliant
la
ﬁgure
ABA'C
suivant
BC
le
point
A’
vient
c-n
A
et
les
deux
triangles
ABC
et
A'B'C’
coïncident.
Ils
sont
égaux.

132
GÊOMÉTRIE
ÉGALITÉ
DES
TRIANGLES
RECTANGLES
24.
ler
cas.
—
Lorsque
deux
triangles
rectangles
ont
l’hypo-
ténuse
égale
et
un
angle
aigu
égal,
ils
sont
égaux.
Soient
ABC
et
A’B'C'
deux
triangles
rectangles
en
AAet
ê:
tels
que:
BC
=
B’C’
et
C
=
C’
(ﬁg.
37).
Complétons
les
triangles
isocèles
BCD
et
B’C'D'.
comme
cela
a
été
expliqué
au
n°
l7
en
prolon—
geant
BA
d'une
longueur
égale
AD
et
B'A'
d'une
longueur
égale
A'D'
Les
deux
triangles
isocèles
BCD
et
B'C'D'
ont:
v
ÆE=Œ5CR=
09'
FIG._
37.
=
B’C’D’
=
2G,).
Ces
deux
triangles
sont
donc
égaux
d’après
le
29
cas
des
triangles
quelconques
(no
22)
et
leur
superpo—
sition
entraîne
celle
de
leurs
moitiés
ABC
et
A'B'C’.
25.
2e
cas.
—
Lorsque
deux
triangles
rectangles
ont
l’hÿpoté-
nuse
égale
et
un
côté
de
l’angle
droit
égal,
ils
sont
égaux.
Soient
ABC
et
A’B’C’
deux
c
c'
B'
triangles
rectangles
en
A
et
A'
tels
_
que
:
.BC
=
B'C’
et
AB
=
A'B'
(ﬁg.
38).
Complétons
comme
ci—
essus
les
deux
triangles
isocèles
BCD
et
B'C’D'.
Ces
deux
tri-
angles
ont:
BC
=
B'C’
=
CD
=
C'D’
et
BD
=
B’D’
(ZAB
ou
2A’B’).
B
Ils
sont
égaux
d'après
le
3°
cas
FIG.
38.
d’égalité
des
triangles
quelconques
(11°
23)
et
leur
superposition
entraîne
celle
de
leurs
moitiés
ABC
et
A'B'C'.
26.
Remarque.
—-
Les
cinq
théorèmes
précédents
sont
les
cas
d’égalité
classiques.
Il
en
existe
d'autres
(cf.
exercice
n°
25),
mais
leur
utilité,
ainsi
que
celle
du
l“
cas
des
triangles
rectangles,
disparaît
après
l'étude
de
la
somme
des
angles
d'un
triangle.
Montrons
ainsi
que
:

CAS
D’ÉGALITË
DES
TRIANGLES
133
Lorsque
deux
triangles
rectangles
ont
un
côté
de
l’angle
droit
égal
opposé
à
un
angle
aigu
égal,
ils
sont
égaux.
Supposons
(ﬁg.
39)
que
les
tri—
i4
C'
angles
ABC
et
A’B'C’
rectangles
en
.
ê
etA
A'
aient:
AC
=
A’C’
et
B
=
B'.
Transportons
le
calque
du
triangle
A'B'C’
de
façon
que
A'
vienne
en
A,
C’
en
C
et
B’
en
D
sur
le
prolongement
de
BA.Le
triangle
BCD,
ainsi
obtenu
a
ses
angles
B
et
D
égaux.
Il
est
donc
isocèle
B
(n°
l2)
et
la
hauteur
CA
le
partage
Fm,
39,
en
deux
triangles
rectangles
égaux.
Le
triangle
ABC,
égal
au
triangle
ADC,
est
donc
égal
au
triangle
A'B'C’.
APPLICATIONS
27.
Utilisation
des
cas
d’égalité
des
triangles.
—
1°
Les
cas
d'éga-
lité
des
triangles
permettent
de
démontrer
l'égalité
de
deux
triangles
sans
avoir
à
en
vériﬁer
la
superposition.
Ne
pas
oublier
que
les
cas
d'égalité
rela—
tifs
aux
triangles
quelconques
peuvent
s'appliquer
à
des
triangles
rectangles.
2°
Les
cas
d'égalité
supposent
l'égalité
de
trois
éléments
(dont
au
moins
un
côté).
lls
permettent
de
conclure
à
l'égalité
des
trois
autres
éléments.
Pour
démontrer
l’égalité
de
deux
angles
(ou
de
deux
segments)
il
sufﬁt
d’établir
l’égalité
de
deux
triangles
comprenant
ces
angles
(ou
ces
segments
comme
côtés).
3°
Lorsque
deux
triangles
sont
égaux
il
faut
énoncer
les
sommets
correspondants
dans
le
même
ordre.
Ces
sommets
sont
dits
homologues.
A
D
F
Si
les
triangles
ABC
et
DEF
sont
égaux
éﬁg.
40),
on
l
peut
écrire
l
DEF.
Les
angles
et
les
côtés
2
homologues
se
correspondent
2
3
ainsl
verticalement
et
on
peut
écrire,
sans
même
regarder
la
B
C
ﬁgure
:
FIG.
40.
/\
/'\
/\
/\
/\
A=D.
B=.E,
C=F;
BC=EF;
CA=FD
et
AB=DE.
A
deux
angles
égaux
sont
opposés
des
côtés
égaux
et
récipro-
quement.
A
A
Ainsi
les
côtés
égaux
DE
et
AB
sont
opposés
aux
angles
égaux
E
et
C.

134
GÉOMÉ
TRIE
28.
Théorème.
—
Lorsque
sur
deux
ﬁgures
égales,
on
eﬂectue
les
mêmes
constructions,
les
éléments
homologues
ainsi
construits
sont
égaux.
Tout
se
passe,
en
effet,
comme
si
on
avait
fait
une
seule
construction
sur
la
ﬁgure
umque
obtenue
en
superposant
ces
deux
ﬁgures.
Amsu
Lorsque
deux
triangles
sont
égaux
les
hauteurs,
les
médianes,
les
bissectrices
homologues
sont
respectivement
égales.
_Il_
est
d'ailleurs
possible,
dans
chaque
cas,
d'en
faire
la
démonstration
en
utilisant
un
cas
d'égalité
des
triangles.
29.
Bissectrîce
d’un
angle.
-—
Pour
qu’un
point
intérieur
soit
équidistant
des
côtés
d’un
angle
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’il
appartienne
à
la
bissectrice
de
cet
angle.
Considérons
un
angle
xOy
et
un
point
M
situé
à
l'intérieur
de
cet
angle
(ﬁg.
4l).
Menons
les
perpendiculaires
MA
et
MB
aux
côtés
de
cet
angle:
l°
Si
MA
=
MB,
les
deux
triangles
rectangles
OMA
et
OMB
qui
ont
même
hypoténuse
0M
et
un
côté
de
l'angle
droit
égal
sont
égaux
(2e
cas
des
triangles
rectangles).
Les
angles
homologues
MÛA
et
MOB
sont
égaux,
ce
qui
montre
que
0M
est
la
bissectrice
de
l'angle
xOy.
I)
cr
I
A
,
M
“r
y
A
B.
1
M
'
o
2
u,
O
A
M
a
B
J'
B
y
a
'
w
FIG.
41.
FIG.
42.
2°
Réciproquement
si
le
point
M
appartient
à
la
bissectrice
de
l'angle
xOy,
les
deux
triangles
rectangles
OMA
et
OMB
ont
même
hypoténuse
0M
et
un
angle
aigu
égal:
m
=MCÎ1
lls
sont
égaux
(ler
cas
des
triangles
rectangles)
et
par
suite:
MA
=
MB.
30..Corollaire.
——
Pour
qu’un
point
soit
équidistant
de
deux
droites
concourantes
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’il
soit
situé
sur
l’une
des
deux
droites
perpendiculaires,
bissectrices
des
quatre
angles
déﬁnis
par
ces
deux
droites.
Rappelons
que
(n°
4),
les
bissectrices
des
quatre
angles
formés
par
deux
drortes
concourantes
constituent
deux
drortes
perpendiculaires
(ﬁg.
42).

CAS
D'ÊGALITÊ
DES
TRIANGLES
135
EXERCICES
.
25.
Deux
triangles
ABC
et
A’B’C’
ont
AB
—
A’B’,
ﬁ
—
13,6
-
6'.
On
mène
les
hauteurs
AH
et
A’H’.
1°
Comparer
les
triangles
rectangles
ABH
et
A’B’H'.
Conséquences?
2°
Comparer
les
triangles
ACH
et
A’C’H’,
puis
les
triangles
ABC
et
A'B'C’.
3°
Énoncer
le
cas
d’égalité
non
classique
correspondant.
o
26.
Comparer
deux
triangles
isocèles
dans
chacun
des
cas
suivants
:
1°
Les
bases
sont
égales
et
les
angles
au
sommet
égaux.
2°
Les
hauteurs
relatives
à
la
base
sont
égales
ainsi
que
les
angles
à
la
base.
3°
Énoncer
les
cas
d’égalité
correSpondants.
27.
1°
Dans
un
triangle
ABC
on
prolonge
la
médiane
AM
d’une
lon
eur
O
MD
==
AM.
Comparer
les
triangles
BMD
et
CMA,
puis
évaluer
les
côt
s
du
triangle
ABD
par
rapport
aux
côtés
AB,
AC
et
à
la
médiane
AM.
2°
Comparer
deux
triangles
ABC
et
A’B’C’
ayant
deux
côtés
respectivement
égaux
ainsi
que
la
médiane
relative
au
troisième.
Énoncer
le
cas
d’égalité.
/
28.
Deux
triangles
ABC
et
A’B’C’
ont
un
côté
égal
BC
-=
B’C’
ainsi
que
les
hauteurs
AH
et
A’H’
et
les
médianes
AM
et
A’M’.
1°
Comparer
les
triangles
AMH
et
A’M’H’.
2°
On
superpose
ces
deux
triangles.
En
déduire
l’égalité
des
triangles
ABC
et
A’B’C’
et
énoncer
le‘
cas
d’égalité
correspondant.
o,
29.
Démontrer
que
dans
un
triangle
isocèle
ABC
de
base
BC.
1°
Les
médianes
relatives
aux
côtés
égaux
sont
égales.
2°
Les
bissectrices
intérieures
des
angles
B
et
C
sont
égales.
3°
Les
hauteurs
BH
et
CK
sont
égales.
Étudier
la
réciproque.
o
30.
On
prend
sur
les
côtés
d’un
angle
:cAy
deux
points
B
et
C
(AB
7b
AC).
La
bissectrice
de
xAy
et
la
médiatrice
de
BC
se
coupent
en
D.
1o
Comparer
DB
et
DC
puis
les
distances
DE
et
DF
aux
côtés
de
:uAy.
2°
Comparer
les
triangles
DBE
et
DCF,
puis
les
angles
BDC
et
EDF.
3°
Montrer
que
BE
et
FC
sont
égaux
à
la
demi-différence
de
AB
et
AC.
o
314T
Soit
un
triangle
isocèle
ABC,
dans
lequel
la
base
BC
est
inférieure
aux
c
t
s
égaux
AB
et
AC.
On
prolonge
AB
et
BC
de
longueurs
BD
et
CE
égales
à
la
différence
AB
——
BC.
1°
Montrer
que
BE
=-
AC.
Puis
comparer
les
triangles
ACE
et
EBD.
/'\
1
/\
/\
2°
Montrer
que
ADE
—
ä
(AED
+
BAC).
o
32.
Soient
deux
points
A
et
B
équidistants
d’une
même
droite
xy.
On
désigne
par
M
et
N
les
pieds
des
perpendiculaires
menées
de
A
et
B
sur
æy
et
par
O,
le
milieu
.de
MN.
1°
Comparer
les
triangles
OAM
et
OBN.
Conséquences?
2°
On
suppose
que
A
et
B
soient
de
part
et
d’autre
de
xy.
Montrer
que
O
milieu
de
MN
est
le
milieu
de
AB.
3°
On
suppose
A
et
B
du
même
côté
de
asy.
Montrer
que
la
médiatrice
de
AB
est
la
médiatrice
de
MN.

'
136
GÉOMÉTRIE
o
33.
On
considère
un
triangle
isocèle
ABC
dans
lequel
la
médiatrice
du
côté
AC
coupe
le
prolongement
de
la
base
BC
au
point
D.
On
joint
DA
que
l’on
prolonge
d’une
longueur
AE
=
BD.
1°
Montrer
que
le
triangle
DAC
est
isocèle.
Conséquences?
2°
Comparer
les
triangles
ABD
et
CAE.
Que
peut-on
dire
du
‘triangle
CDE?
o
34.
La
médiatrice
du
côté
AB
du
triangle
isocèle
ABC
coupe
la
base
BC
(ou
son
prolongement)
en
D.
Le
cercle
de
centre
B
passant
par
D
recoupe
AD
en
E.
1°
Montrer
que
les
triangles
DAB
et
BDE
sont
isocèles.
Comparer
les
longueurs
AD
et
BE
puis
les
angles
ACD
et
BAE
ainsi
que
les
angles
ADC
et
BEA.
2°
En
utilisant
le
résultat
de
l’exercice
25
démontrer
l’égalité
des
triangles
ACD
et
BEA
puis,
que
AE
=
CD.
.
35.
1°
Deux
triangles
ABC
et
A’B’C’
ont
AB
=
A’B’,
Ê
+
Ê’
=
2D
et
Ê
=
6'.
Montrer
que
les
hauteurs
AH
et
A’H’
sont
égales,
puis,
que
AC
=
A’C’.
2°
Réciproquement,
si
AB
=
A’B’,
AC
=
A’C’
et
Ë
+
Ë'
=
2D,
les
angles
C
et
C’
des
deux
triangles
sont
égaux
(on
pourra
amener
A’B’C’
sur
ABC
de
telle
sorte
que
A’B’
coïncide
avec
AB
et
que
C’
Vienne
sur
le
prolongement
de
CA).
o
36.
Soit
un
triangle
isocèle
ABC
de
base
BC.
On
construit
une
demi-droite
B3:
intérieure
à
l’angle
ABC,
et
une
demi-droite
Cy
extérieure
à
l’angle
ACB
de
telle
sorte
que
les
angles
ABa:
et
ACy
soient
égaux.
Aæ
et
By
se
coupent
en
M.
1°
Soient
H
et
K
les
pieds
des
perpendiculaires
menées
de
A
a
Ba:
et
à
Cy.
Comparer
les
triangles
ABH
et
ACK,
puis
les
segments
AH
et
AK.
2°
Établir
que
la
droite
AM
est
bissectrice
extérieure
du
triangle
BMC.
o
37.
Les
bissectrices
intérieures
des
angles
B
et
C
du
triangle
ABC
se
coupent
en
l,
tandis
que
leurs
bissectrices
extérieures
se
coupent
en
J.
1°
Montrer
que
I
et
J
sont
équidistants
des
3
droites
BC,
CA
et
AB.
2°
Démontrer
que
les
trois
points
A,
I,
J
sont
alignés.
o
38.
Dans
un
quadrilatère
convexe
ABCD
on
a:
AB
=
AD
et
B
+
=
2D
.
On
prolonge
CB
d’une
longueur
BE
=
CD.
1°
Comparer
les
triangles
ABE
et
ADC.
Nature
du
triangle
ACE.
2°
Démontrer
que
CA
est
bissectrice
intérieure
de
l’angle
C
du
quadrilatère.
o
39.
On
considèile
un
triangle
ABC
dans
lequel
AB
>
AC.
La
médiatrice
de
BC
coupe
en
M
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
A.
Le
point
M
se
projette
en
H
sur
AB
et
en
K
sur
le
prolongement
de
AC.
1°
Comparer
les
triangles
rectanglles
MBH
et
MCK,
puis
les
triangles
rectangles
AMH
et
AMK.
Démontrer
que
A
=
AK
et
BH
=
CK.
2o
En
déduire
que:
AH
=
ä-
(AB
+
AC)
et
BH
=
à
(AB
——
AC).
o
40.
Dans
le
triangle
ABC
tel
que
AB
<
AC,
la
médiatrice
de
BC
coupe
en
D
le
côté
AC,
en
I
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
A
et
en
J
la
bissectrice
extérieure.
1°
Montrer
que
le
triangle
DBC
est
isocèle.
Que
représente
la
droite
IJ
pour
l’angle
en
D
du
triangle
ADB?
2°
Montrer
que
chacun
des
points
I
et
J
est
équidistant
des
trois
droites
AB,
AD
et
BD
puis
que
B1
et
BJ
sont
bissectrices
intérieure
et
extérieure
de
l’angle
ABD.
3°
Démontrer
que
les
angles
ABJ
et
ACJ
sont
égaux
tandis
que
les
angles
ABI
et
ACl
sont
supplémentaires.

IMQUATRIÈME
LEÇON
INÉGALITÉS
DANS
LE
TRIANGLE
3l.
Théorème
préliminaire.
——
Dans
tout
triangle
un
côté
opposé
à
un
angle
droit
ou
obtus
est
supérieur
à
chacun
des
deux
autres
côtés
du
triangle.
Considérons
un
triangle
ABC
(ﬁg.
43)
dans
lequel
on
a
par
hypothèse:
A
2
ID
et
sclt
Cx
le
prolongement
du
côté
BC.
Portons,
sur
la
demi—drmte
Bx,
une
longueur
BD
=
BA.
Le
triangle
BAD
est
un
triangle
Isocèle
de
base
AD
dont
l’angle
à
la
base
BAD
est
aigu.
Par
suite
ËAÎ)
<ËÈ.
La
"droite
AD
est
dont
intérieure
à
l'angle
BAC
et
par
suite
.BC
>
BD.
Donc
BC
>
BA.
On
démontrerait
de
même
que
BC
est
supérieur
à
CA.
FIG.
43.
FIG.
44.
32.
Théorème.
—
Dans
tout
triangle
un
côté
quelconque
est
inférieur
à
la
somme
des
deux
autres.
Supposons
que
dans
le
triangle
ABC
(ﬁg.
44)
les
côtés
BC
=
a,
CA
=
b
et
AB
==
c
soient
tels
que
:
a
>
b
>
c.
Soit
D
le
point
du
côté
BC
tel
que
BD
=
BA
=
c.
On
obtient
:
DC=
BC—BD=
a—c.
Le
triangle
BAD
étant‘
isocèle
l'angle
à
la‘base
ADB
est
aigu
et
son
sup—
plément
ADC
est
obtus.
Dans
le
triangle
ADC,
on
obtient.
d'après
le
théo-
rème
précédent
:
DC
<
AC,c'est-à—dIre
a
—
c
<
b
ou,
en
ajoutant
c
aux
deux
membres
de
cette
inégalité,
on
obtient
:
l
a
<
b
+
c
Le
théorème
est
évident
pour
les
côtés
b
et
c
car
les
inégalités
b
<
a
etc
<
a
entraînent
à
fortIorI
:
b
<
a
+
c
et
c
<
a
+
b.

I
38
GÉOMÉ
TRIE
33.
Corollaire.
—
Dans
tout
triangle
un
côté
quelconque
est
supérieur
à
la
différence
des
deux
autres.
Supposons
que
dans
le
triangle
ABC
on
ait:
a
>
b
>
c.
D'après
le
théorème
précédent,
on
a
:
a
+
c
>
b.
Retranchons
c
aux
deux
membres
de
cette
inégalité;
nous
obtenons
:
.
De
même,
en
retranchant
c
ou
b
aux
deux
membres
de
l'inégalité
b
+
c
>
a,
nous
obtenons
:
b>a—c
et
c>a-b.
En
déﬁnitive
on
voit
que:
34.
Résumé.
—
Dans
tout
triangle
un
côté
quelconque
est
compris
entre
la
somme
et
la
différence
des
deux
autres.
Ib—c
Ib—c
35.
Théorème.
—
Lorsqu’un
triangle
a
deux
angles
inégaux,
les
côtés
opposés
à
ces
angles
sont
inégaux
et
au
plus
grand
angle
est
opposé
le
plus
grand
côté.
C
Hypothèse
:
Â
>
Ê
>
ê
J;
Conclusion
:
a
>
b
>
c
°
Soit
un
trianglîABg
(ﬁg.
45)
dans
lequel
on
a
par
hypothèse
:
A
>
B
>
C.
Construisons,
à
l'intérieur
de
l'angle
BAC,
un
angle
BAx
égal
à
l'angle
ABC,
ce
qui
est
possible
d'a
rès
l’hypothèse.
La
demi—droite
A1
coupe
le
côté
Bëen
A
B
D.
Le
triangle
DAB
ayant
deùx
angles
égaux
est
FIG“
45.
isocèle
et
DA
=
DB.
Or
dans
le
triangle
ACD,
nous
avons
(no
32)
:
AC
<
CD
+
DA,
soit
AC
<
CD
+
DB.
On
obtient
donc
AC
<
CB,
c'est-vèzdireAb
<
a
ou
a
>
b.“
On
démontrerait
de
même
que:
B
>
C
entraîne:
b
>
c.

INÉGALITÉS
DANS
LE
TRIANGLE
139
36.
Réciproque.
—
Lorsqu’un
triangle
a
deux
côtés
inégaux
les
angles
opposés
à
ces
côtés
sont
inégaux
et
au
plus
grand
côté
est
opposé
le
plus
grand
angle.
A
Hypothèse
:
a
>
/b\
>
/c\
Conclusion
:
A
>
B
>
C
'
Soit
un
triangle
ABC
(ﬁg.
46)
dans
lequel
on
a
par
hypothèse
:
a
>
b
>
c.
L'hypothèse
a
>
b
ne
peut
correspondre
à
A
<
B
qui
entraîne
a
<
b
d'après
le
théorème
\
précédent,
ni
à
A
=
B
qui
entraîne:
a=
b
B
C
(n°
Il).
Seule
la
conclusion
:
A
>
B
est
com—
F16,
46.
patible
avec
l'hypothèse
a
>
b.
On
verrait
de
même
que
l'hypothèse
b
>
c
exige
B
>
C.
Il
en
résulte
que:
37.
Résumé.
——
Dans
tout
triangle
les
angles
et
les
côtés:
opposés
à
ces
angles
sont
dans
le
même
ordre
de
grandeur.
Les
deux
groupes
d'inégalités
suivants
sont
conséquences
l'un
de
l'autre
:
Â>Ê>Ê
a>b>c.
APPLICATIONS
38.
Théorème.
—
Dans
tout
triangle
rectangle
l’hypoténuse
est
supérieure
à
chacun
des
côtés
de
l’angle
droit.
a
Cç
théorème
qui
est
contenu
dans
le
théorème
préliminaire
(n0
3l)
résulte
aussn
du
fait
que
dans
le
triangle
ABC
rectangle
en
A
on
a
:
A
>
B
ce
qui
entraîne:
BC
>
CA
(n0
35).
39.
Théorème.
—
Un
segment
de
droite
est
plus
court
que
toute
ligne
brisée
de
mêmes
extrémités.
Soient
un
segment
AB
et
une
ligne
brisée
C
ACDEB
(ﬁg.
47).
Menons
ÀD
et
AE.
Nous
pouvons
écrire
:
AB
<
AE
+
EB
AE
<
AD
+
DE
AD
<
AC
+
CD.
Additionnons
membre
à
membre
ces
iné—
galités,
puis
supprimons
les
termes
AE
et
communs
aux
deux
membres
du
résul-
tat.
Il
reste
:
F‘G'
‘7'
AB
AB
Le
segment
AB
est
plus
court
que
le
périmètre
de
la
ligne
brisée
ACDEB.
>
ml

MG
GÊOMÉ
TRIE
40.
Corollaire.
-—-
Une
ligne
brisée
convexe
est
plus
courte
que
toute
ligne
brisée
enveloppante
de
mêmes
extrémités.
Considérons
(ﬁg.
48)
une
ligne
brisée
convexe
ABCD,
c’est-à-dire
tout
entière
située
d'un
même
côté
de
l'une
(les
droites
ÀB,
BC
et
CD.
Soit
(l'autre
part
une
ligne
brisée
enveloppante
quelconque
ÀEFGD
qui
coupe
en
H
le
prolongement
de
AB
et
en
l
le
prolongement
de
BC
La
ligne
ABCD
est
plus
courte
que
la
ligne
ÀBÎD
car
elles
ont
en
commun
la
partie
ABC
et
CD
est
plus
court
que
A
D
Cl
+
ID.
FIG.
48,
K
On
verrait
de
même
que
la
ligne
ABlD
est
plus
courte
que
la
ligne
AHFGD
et
que
cette
dernière
est
elle-même
plus
courte
que
la
ligne
AEFCD.
On
obtient
donc:
ABCD
<
ABID
<
AHFGD
<
AEFGD.
Ce
qui
entraîne
:
ABCD
<
AEFCD.
EXERCICES
o
4'1.
On
donne
un
point
M
intérieur
au.
triangle
ABC.
1°
Montrer
que
MA
+
MB
est
compris
entre
AB
et
CA
+
CB.
2°
En
déduire
que
MA
+
MB
+
MG
est
compris
entre
le
demi—périmètre
et
le
périmètre
du
triangle.
o
42.
Soit
O
le
point
d’intersection
des
diagonales
du
quadrilatère
convexe
ABCD.
1°
Montrer
que
chaque
diagonale
est
inférieure
au
demi-périmètre
du
quadri»
latère.
2-0
Montrer
que
AC
+
BD
est
supérieure
à
chacune
des
sommes
AB
+
CD
et
AD
—i—
BC.
3°
En
déduire
que
la
somme
des
diagonales
est
comprise
entre
le
demi-périmètre
et
le
périmètre
du
quadrilatère.
o
43.
Démontrer
que
la
médiane
AM
d’un
triangle
ABC
est
comprise
entre
la
demi—différence
et
la
demi—somme
des
côtés
AB
et
AC
(on
prolongera
AM
d’une
longueur
égale
à
elle—même).
o
4e.
Soit
un
point
A
et
un
cercle
O.
Le
diamètre
passant
par
A
coupe
le
cercle
en
B
et
G.
Soit
M
un
point
quelconque
du
cercle.
1°
Comparer
AM
à
la
somme
et
à
la
diﬁérenee
de
ÛA
et
2°
Montrer
que
AM
est
compris
entre
A8
et
AU.

INÉGALITÉS
DANS
LE
TRIANGLE
l4]
o
45.
Deux
points
A
et
B
sont
d’un
même
côté
de
la
droite
xy.
1°
Trouver
sur
cette
droite
un
point
P,
tel
que
la
somme
PA
+
PB,
soit
la
plus
petite
possible
(utiliser
A’
symétrique
de
A
par
rapport
à
æy).
2°
Que
représente
xy
pour
l’angle
APB?
3°
Montrer
que
lorsque
le
point
M
décrit
la
droite
:ry
la
somme
MA
+
MB
augmente
en
même
temps
que
PM.
o
46.
Deux
points
A
et
B
sont
de
part
et
d’autre
de
asy.
1°
Trouver
sur
cette
droite
un
point
P,
tel
que
la
différence
entre
PA
et
PB
soit
la
plus
grande
possible
(utiliser
A’
symétrique
de
A
par
rapport
à
xy).
2°
Que
représente
:cy
pour
l’angle
APB?
o
47.
On
donne
un
angle
æOy
inférieur
à
60°
et
deux
points
A
et
B
intérieurs
à
cet
angle.
Trouver
un
point
M
sur
0x
et
un
point
N
sur
Oy
de
façon
que
le
péri-
mètre
de
la
ligne
brisée
AMNB
soit
le
plus
petit
possible
(utiliser
les
symétriques
A’
de
A
par
rapport
à
0x
et
B'
de
B
par
rapport
à
Oy).
o
48.
On
considère
un
triangle
ABC
et
la
bissectrice
extérieure
de
l’angle
A.
1°
Montrer
que
le
symétrique
C’
de
C
par
rapport
à
cette
bissectrice
se
trouve
sur
BA
et
que
AC’
=
AC
'
2°
Démontrer
que
pour
tout
point
M
de
la
bissectrice
on
a:
MB+MC
>AB+AC.
o
49.
On
considère
un
triangle
ABC
et
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
A.
1°
Montrer
que
le
symétrique
C’
de
C
par
rapport
à
cette
bissectrice
est
sur
AB
et
que
AC’
=
AC.
2°
Démontrer
que
pour
tout
point
M
de
la
bissectrice
on
a:
MB
—
MC
<
AB
——
AC.
o
50.
Dans
un
triangle
ABC,
on
prolonge
la
médiane
CM
d’une
weur
MD
=
CM_
1°
Comparer
les
triangles
MBC
et
MAD
et
montrer
que
BAD
=
ÀÎ3\C.
2°
Soit
BAa:
l’angle
extérieur
en
A
au
triangle
ABC.
Démontrer
que
BÀÎ:
>
À/BÎ;
et
en
déduire
le
théorème:
Dans
tout
triangle,
un
angle
extérieur
est
supérieur
à
tout
angle
intérieur
non
adjacent.
o
51.
On
considère
deux
triangles
ABC
et
A’B’C’
tels
que
BC
=
B’C’
et
B
=
Ë’_
On
superpose
ces
deux
triangles
en
amenant
B’
en
B,
C’
en
C
et
A’
sur
la
demj-
droite
BA.
1°
En
utilisant
le
théorème
établi
à
l’exercice
précédent
démontrer
que
l’une
des
inégalités
AB
>
A’B’,
C
>
C’
et
A
<
A'
entraîne
les
deux
autres.
2°
Qu’arrive-t-il
si
A
=
A’
‘2
En
déduire
le
cas
d’égalité
non
classique:
Lorsque
deux
triangles
ont
deux
angles
homologues
respectivement
égaux
et
le
côté
opposé
à
l’un
d’eux
égal,
ils
sont
égaux.
o
52.
Soit
un
triangle
ABC
dans
llequel
AB
<
AC.
On
prolonge
la
médiane
AM
d’une
longueur
MD
=
AM.
1°
Comparer
les
triangles
MCA
et
MDB.
Conséquences?
2°
En
déduire
que:
à
(AC
——-
AB)
<
AM
<
à
(AB
+
AC).
Comparer
la
somme
des
médiane:
au
périmètre
du
triangle.
3°
Démontrer
que
l’an
e
MAC
est
inférieur
à
l'angle
MAB
et
(En
la
bluectrlce
Antérieure
de
l’angle
BA
est
située
à
l’intérieur
de
l’angle
MA
.

CINQUIÈME
LEÇON
PERPENDICULAIRE
ET
OBLIQUES
41.
Déﬁnitions.
—
Rappelons
que.
d'un
point
A
situé
hors
d'une
droite
_xy
(ﬁg.
50),
on
peut
mener
une
perpendiculaire
AH
et
une
seule
à
cette
drorte
(n°
2).
Tout
autre
segment
tel
que
AB
est
oblique
par
rapport
xy.
‘
42.
Théorème.
—
Si
d’un
point
situé
hors
d’une
droite
on
mène
à
cette
droite
la
perpendiculaire
et
diverses
obliques
:
1°
La
perpendiculaire
est
plus
courte
que
toute
oblique.
2°
Deux
obliques
qui
s’écartent
également
du
pied
de
la
perpen-
diculaire
sont
égales.
Réciproquement
deux
obliques
égales
s’écartent
également
du
pied
de
la
perpendiculaire.
.A
A
A
"î
l
\
"l
“1
,r
H
B
5/
.r
C
H
B
ÿ
4”
C
H
B
D
5’
FIG.
50.
FIG.
51.
FIG.
52.
3°
Si
deux
obliques
s’écartent
inégalement
du
pied
de
la
perpen-
diculaire,
celle
qui
s’en
écarte
le
plus
est
la
plus
longue.
Récipro-
quement
si
deux
obliques
sont
inégales,
c’est
la
plus
longue
qui
s’écarte
le
plus
du
pied
de
la
perpendiculaire.
l°
Soient
AH
la
perpendiculaire
et
AB
une
oblique
quelconque
menées
du
point
extérieur
A
à
la
droite
xy
(ﬁg.
50).
Dans
le
triangle
AHB
rectangle
en
H
le
côté
de
l'angle
droit
AH
est
plus
court
que
l'hypoténuse
AB
(n°
38).
2°
Considérons
deux
obliques
AB
et
AC
(ﬁg.
5l)
telles
que
HB
=
HC.
La
droite
AH
est
la
médiatrice
du
segment
BC,
donc
(n°
l6):
AB
=
AC.
Récipr
uement,
si
ar
hy
othèse
les
obliques
AB
et
AC
sont
égales,
le
triangle
C
est
isocè
e
et
la
auteur
AH
est
médiatrice
de
la
base
BC
(n°
l4).
Donc
:
HB
-=
HC.

PERPENDICULAIRE
ET
OBLIQUES
l43
3°
Considérons
deux
obliques
distinctes
AB
et
AD
situées
d'un
même
côté
de
la
droite
AH
(ﬁg.
52)
et
telles
que
I'IB
<
HD.
Dans
le
triangle
ABD
l'angle
ABD,
extérieur
au
triangle
rectangle
AHB,
est
obtus,
tandis
que
l/Zanglî
ADB,
intérieur
au
triangle
rectangle
AHD,
est
aigu.
On
a
donc:
B
>
D,
ce
qui
entraîne
(n°
35):
AD
>
AB.
La
conclusion
est
valable
pour
les
obliques
AC
et
AD
car
si
HC
<
HD.
on
remplace
l’oblique
AC
par
l’oblique
AB
qui
lui
est
égale
et
la
conclusion
AD
>
AB
donne
AD
>
AC.
Réciproquement
supposons
que
les
obliques
AB
et
AC
soient
telles
que
D
>
AB.
On
ne
peut
avoir
HD
<
HB
car
cela
entraînerait
AD
<
AB.
ni
HD
=
HB
car
cela
entraînerait
AD
=
AB.
ce
qui
est
contraire
à
l’hypo—
thèse.
Seule
la
conclusion
HD
>
HB
est
compatible
avec
l'hypothèse.
43.
Distance
:d’un
point
à
une
droite.
—
Nous
savons
(n°
4)
que
la
longueur
AH
est
la
distance
du
point
A
à
la
droite
xy.
On
voit
que:
La
distance
d'un
point
à
une
droite
est
la
plus
courte
distance
de
ce
point
à
un
point
quelconque
de
la
droite.
RÉGIONS
SÉPARÉES
PAR
UNE
MÉDIATRICE
44.
Théorème.
—
Pour
que
dans
un
triangle
MAB
on
ait
MA
<
MB,
il
aut
et
il
sufﬁt
que
le
point
M
soit
du
même
côté
que
le
point
par
rapport
à
la
médiatrice
du
segment
AB.
Considérons
un
segment
AB
et
la
méu
a;
diatrice
xy
de
ce
segment
(ﬁg.
53).
Cette
droite
xy
divise
le
plan
en
deux
demi-plans
Œ
M
ŒD
I
et
Il
contenant
l'un
le
point
A,
l'autre
le
point
B.
/
C
1°
Supposons
que
le
point
M
appar-
tienne
à
la
région
I
qui
contient
le
point
A.
,
1’
Les
points
M
et
B
étant
de
part
et
d'autre
06’—
————————————
——
Elle
la
droite
xy
le
segènent
MB
coupe
l(ÇÎtte
A
B
r01te
en
un
pomt;
compris
entre
et
B.
Par
suite
(n°
l6)
on
a:
CA
=
CB.
Dans
MA
MA
MA
v
MB
MB
MB
le
triangle
MAC
le
côté
MA
est
inférieur
’J
à
la
somme
des
deux
autres
(n°
32)
donc
:
FIG.
53.
MA
<
MC
+
CA
=
MC
+
CB.
C'est-à—
dire:
MA
<
MB.
On
démontrerait
de
même
que
pour
tout
point
de
la
région
Il
qui
contient
B
on
a
par
contre:
MB
<
MA.
2°
Si
on
a
par
hypothèse
MA
<
MB,
le
point
M
ne
peut
se
trouver
dans
la
région
Il
qui
exige
MA
>
MB,
ni
sur
xy
car
cela
entraîne
MA
=
MB.
Le
point
M
se
trouve
donc
dans
la
région
I
qui
contient
le
point
A.

144
GÊOMÉTRIE
TRIANGLES
AYANT
DEUX
COTÉS
ÉGAUX
45.
Théorème.
—
Lorsque
deux
triangles
ont
un
angle.
inégal
compris
entre
deux
côtés
respectivement
égaux,
leurs
trozsœmes
côtés
sont
inégaux
et
au
plus
grand
angle
est
opposé
le
plus
grand
côté.
A,
Hypothèse
:
AB
=
A'B'
AC
=
A'C'
Â
>
A’
Conclusion
:
BC
>
B’C’
FIG.
54.
Considérons
/(\ﬁg.
5/4)
deux
triangles
ABC
et
A'B'C’
tels
que
:
AB
'-=
A'B’;
AC
=
A'C’
et
A
>
A'.
Transportons
le
triangle
A’B'C'
sur
le
triangle
ABC
de
façon
que
le
point
A’
vienne
en
A,
B'
en
B
et
que
C'
vienne
en
D
à
l'intéw
rieur
de
l’angle
BAC
ce
qui
est
possible
puisque
cet
angle
est
supérieur
à
l'angle
B'A'C’.
On
a
donc:
BD
=
B'C'
et
AD
=
A'C’
=
AC.
Menons
la
bissectrice
de
l'angle
CAD.
Cette
bissectrice,
située
à
l'intérieur
de
l’angle
AC,
coupe
BC
en
un
point
E
situé
entre
B
et
C.
Cette
bissectrice
est
d'autre
part
médiatrice
de
la
base
CD
du
triangle
isocèle
ADC,
donc:
ED
=
Eci
Et
comme
dans
le
triangle
BDE
on
a:
BD
<
BE
+
ED
on
peut
écrire;
B’C’
<
BE
+
EC
c’est
dire
:
B’C’
<
BC.
46.
Réciproque.
—
Lorsque
deux
triangles
ont
deux
côtés
respectivement
égaux
et
leurs
troisièmes
côtés
inégaux,
les
angles
opposés
à
ces
côtés
sont
inégaux
et
au
plus
grand
côté
est
opposé
le
plus
grand
angle.
Supposons
que
les
triangles
ABC
et
A'B'C'
aient
AB
=—'
A'B';
AC
=
A'C'
et
BC
>
B’C’.
On
ne
peut
avoir
A
<
A',
car
d’après
le
n°
45
cela
entraînerait
BC
<
B'C’,
ni
A
=
A'
car
les
deux
triangles
seraient
égaux
(2e
cas)
et
l'on
aurait
BC.
=
B'C'.
Seule
la
conclusion
A
>
A'
est
compatible
avec
l'hypon
thèse.

PERPENDIC
ULAIRE
ET
OBLIQ
UE5
145
EXERCICES
n
53.
On
considère
un
quadrilatère
convexe
ABCD
dans
leque
lles
angles
C
et
D
;ont
droits
:
1°
Comparer
AD
à
AC
puis
AC
à
AB
+
BC.
2°
En
déduire
que:
AD
<
AB
+
BC.
n
54.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A.
La
bissectrice
intérieure
de
l’angle
B
:oupe
AC
en
D
et
on
mène
DE
perpendiculaire
en
E
à
BC.
1°
Comparer
AD
et
DE
puis
DE
et
DC.
2°
En
déduire
l’inégalité:
AD
<
DC.
o
55.
On
considère
un
triangle
ABC
dans
lequel
on
mène
la
hauteur
AH:
1°
Comparer
AH
à
AB
puis
à
AC
et
montrer
que:
2AH
<
AB
+
AC.
2°
En,
déduire
que
la
somme
des
hauteurs
est
inférieure
au
périmètre
du
triangle
ABC.
o
56.
Soit
un
triangle
ABC
dans
lequel
on
a:
AB
<
AC.
Soit
AM
la
médiane
issue
de
A.
,
/\
/'\
,/_\__
/"\\.‘
1°
Démontrer
que:
AMB
<
AMC
et
que
AMB
<
1D
<
AMC.
2°
En
déduire
que
la
hauteur
AH
est
du
même
côté
que
AB
par
rapport
à
AM.
o
57.
On
mène
la
bissectrice
Oz
de
l’angleœOy
et
on
porte
deux
longueurs
égales
OA
sur
0x,
0B
sur
Oy.
1°
Que
représente
Oz
pour
le
segment
AB?
2°
Montrer
que
pour
tout
point
M
intérieur
à
l’angle
æOz
on
a:
MA
<
MB.
o
58.
Deux
triangles
isocèles
OAB
et
OA’B’
sont
tels
que
OA
=
OB
——-
OA’
=
OB’.
Soient
H
et
H’
les
milieux
des
bases
AB
et
A’B'.
1°
On
suppose
:
AOB
<
A’O’B’.
Comparer
AB
et
A’B’,
puis
AH
et
A’H'.
2°
On
suppose:
AH
<
A’H’.
Comparer
les
angles
AOB
et
A’O’B’.
3°
En
déduire
que
:
Si
deux
triangles
rectangles
ont
même
hypote’nuse
les
côte’s
de
l’angle
droit
sont
dans
le
même
ordre
de
grandeur
que
les
angles
opposés.
o
59.
Deux
triangles
rectangles
ABC
et
A’BC
sont
situés
du
même
côté
de
leur
hypoténuse
commune
BC.
On
suppose
BCA
<
BCA’,
si
bien
que
la
droite
CA
coupe
le
côté
BA’
en
un
point.
D
situé
entre
B
et
A’.
1°
Montrer
que
l’angle
CDB
est
obtus,
extérieur
au
triangle
rectangle
BAD
et
que
D
se
trouve
également
entre
A
et
C.
2°
En
déduire
que:
BA
<
BA’,
CA
>
CA’
et
>
Étudier
les
réciproques,
o
60.
D’un
point
A
on
mène
la
perpendiculaire
AH
et.
les
obliques
AB
et
AC
à
la
droite
æy.
'
,
.
,
.
.
.._
A
_/'\\
1°
Démontrer
que
l’une
des
egahtes:
HB
HC,
AB
=—-
AC,
HAB
=
HAC,
.-/'\
.——’\»\
et
HBA
HCA.
entraîne
les
trois
autres.
2°
En
supposant
B
et
C
d’un
même
côté
de
H
et,
en
utilisant
le
théorème
établi
à
l’exercice
50,
démontrer
que
l’une
des
inégalités
HB
<
HC,
AB
<1
AC,
HAË
<
ÎÏAC‘
et
H'BA“
>
HCÂ‘
entraîne
les
trois
autres.

l46
GÉOMÉTRIE
o
61.
On
considère
un
angle
xOy
et
sa
bissectrice
Oz.
Soit
M
un
point
quelconque
intérieur
à
l’angle
1:02,
N
et
P
ses
symétriques
par
rapport
à
On:
et
Oy,
A
et
B
ses
projections
sur
0x
et
Oy.
1°
Comparer
les
triangles
isocèles
MON
et
MOP
et
en
déduire
que
MA
<
MB.
2°
Étudier
réciproquement
la
région
où
se
trouve
le
point
Mintérieur
à
l’angle
æOy
si
on
a'par
hypothèse
MA
<
NIB.
o
62.
On
considère
deux
droites
AA’
et
BB’
se
coupant
en
O
et
les
bissectrices
Oa:
et
Oy
des
angles
AOB
et
AOB’,
Ox’
et
Oy'
des
angles
A’OB’
et
A’OB.
Démontrer
en
utilisant
les
résultats
de
l’exercice
58
(ou
61)
que:
1°
Tout
point
M
situé
à
l’intérieur
de
l’un
des
angles
droits
xOy
ou
x'Oy'
est
plus
près
de
la
droite
AA’
que
de
la
droite
BB'.
2°
Étudier
et
énoncer
la
réciproque
de
cette
propriété.

SIXIÈME
LEÇON
DROITES
PARALLÈLES
47.
Déﬁnitions.
-
Rappelons
que
deux
droites
distinctes
d'un
plan
ont
au
plus
un
pomt
commun,
car
51
elles
en
ont
deux
elles
sont
confondues
(no
l).
Deux
droites
D
et
D'
qui
ont
un
seul
point
commun
sont
dites
sécantes
ou
concourantes.
On
dit
encore
que
la
droite
D
coupe
la
droite
D'.
On
appelle
droites
parallèles,
deux
droites
d’un
même
plan
qui
n’ont
aucun
point
commun.
.
Lorsque
deux
droites
D
et
D'
sont
parallèles
on
écrit
en
abrégé:
D
Il
D'.
Le
théorème
suirant
donne
un
moyen
de
construire
deux
droites
paral—
lèles
et
prouve
l'exlstence
de
telles
drortes.
48.
Théorème.
—
Lorsque
deux
droites
distinctes
sont
perpen-
diculaires
à
une
même
troisième,
elles
sont
parallèles.
D1
D2
Hypothèse
B,
Conclusion
:
D
I
I
D'
Si
les
droites
D
et
D',
perpendiculaires
r
_
à
la
droite
xy,
étaient
concourantes
(ﬁg.
55)
x
A
B
y
on
pourrait,
par
leur
pomt
commun,
mener
deux
perpendiculaires
à
la
drmte
xy,
ce
qui
FIG,
55,
est
impossible
(nO
Les
droites
D
et
D'
n'ont
'
onc
pas
de
point
commun
et
sont
parallèles.
49.
Théorème.
—
Par
un
point
extérieur
d
une
droite,
on
peut
mener
une
parallèle
à
cette
droite.

148
GÉOMÉ
TRIE
Soit
à
mener
par
le
point
A
une
paral—
A
c
lèle
à
la
droite
xy
(ﬁg.
56).
Traçons
une
:
-
perpendiculaire
quelconque
Bz
à
la
droite
xy
puis
la
perpendiculaire
AC
à
la
droite
Ëz.
Les
droätes
lA_C
et
zig
étant
toutîs
eux
perpen
icu
aires
à
z
sont
para
-
'
'
'
lèles
(no
48).
æ
B
9
FIG.
56.
50.
Postulat
d’Euclide.
—
Par
un
point
extérieur
à
une
droite
on
ne
peut
mener
qu’une
seule
parallèle
à
cette
droite.
ll
est
impossible
de
démontrer
que
la
parallèle
construite
comme
ciudessus
est
la
seule
que
l'on
puisse
mener
par
le
point
A
à
la
droite
xy
(par
exemple
en
déplaçant
le
point
B).
Cette
propriété
uniquement
vériﬁée
par
l'expé-
rience
constitue
un
postulat,
mis
en
évidence
par
le
géomètre
grec
Euclide
(IIIe
siècle
av.
J.-C.).
51.
Corollaire
I.
—
Deux
droites
parallèles
à
une
troisième
sont
parallèles
entre
elles.
D:
DQ
\
D1
D3
Hypothèse
D2
Il
D3
D5
Conclusion
:
D1
ll
D2
FIG.
57.
En
eflet
si
D1
et
D2
étaient
concourantes
(ﬁg.
57),
on
pourrait
par
leur
point
commun
mener
deux
parallèles
à
D3,
ce
qui
est
impossible
d'après
le
postulat
d'Euclide.
Les
droites
D1
et
D2
n'ont
donc
pas
de
point
commun
et
sont
donc
parallèles.
On
dit
que
les
trois
droites
sont
parallèles.
52.
Corollaire
Il.
—
Lorsque
deux
droites
sont
parallèles,
toute
droite
qui
coupe
l’une
coupe
l’autre.
A
D1
A
/
D1
ll
D2
Hypothèse
A
coupe
D1
Conclusion
:
A
coupe
D2
D2
FIG.
58.
Soient
D1
et
D3
deux
droites
parallèles
et
une
troisième
droite
A
qui
coupe
D;
en
A
(ﬁg.
58).
La
droite
Dl
est
la
seule
droite
parallèle
à
D,
pas...
ment
par
A.
La
droite
A
n'étant
pas
parallèle
à
D1
coupe
donc
Dl.

DROI
TES
PARALLÈLES
149
53.
Corollaire
III.
—
Lorsque
deux
droites
sont
parallèles,
toute
perpendiculaire
à
l’une
est
perpendiculaire
à
l’autre.
a
A
o1
A
_l
Hypothèse
[ADI
D
Conclusion
:
A
.L
D2
2
B
FIG.
59.
Soient
D1
et
D2
deux
droites
parallèles
et
A
la
perpendiculaire
en
à
la
droite
D1
(ﬁg.
59).
La
droite
A
rencontre
D
,
par
suite,
elle
rencontre
D2
au
point
B.
Si
nous
menons
par
B
la
perpendiculaire
à
la
droite
A,
nous
obtenons
une
droite
parallèle
à
D1
(n°
48)
et
par
conséquent
confondue
avec
D2.
54.
Déﬁnitions
:
l°
Direction
d’une
droite.
—
Lorsque
deux
ou
plusieurs
droites
sont
parallèles,
on
dit
qu'elles
ont
même
direction.
2°
Segments,
demi-droites
parallèles.
—
Deux
segments
de
droites
ou
deux
demi-drmtes
sont
parallèles
s1
les
droites
illimitées
qui
les
contiennent
sont
D
parallèles.
ïJ
3°
Bande.
—
On
appelle
bande
E
la
portion
de
plan
comprise
entre
51
deux
droites
parallèles.
A
H.
D.
Les
deux
parallèles
D
et
D'
(ﬁg.
Fm,
60,
déﬁnissent
la
bande
(D,
D').
Les
drOItes
D‘et
D’
sont
les
côtés
ou
bords
de
bande.
La
portion
de
plan
comprise
entre
D
et
D'
est
l'intérieur
de
la
bande.
EXERCICES
o
63.
Démontrer
qu’une
perpendiculaire
A2:
et
une
oblique
By
à
une
même
droite
AB
sont
concourantes.
e
64.
Démontrer
que,
Il
deux
droite!
A
et
A'
sont
respectivement
perpendi-
salaires
a
deux
droite:
parallèles
D'
et
D’.
elles
Ion:
parallèles
entre
elles.

150
GÉOMÊTRIE
o
65.
Démontrer
que,
si
deux
droites
Aœ
et
By
sont
respectivement
perpendicul-
laires
aux
côtés
d’un
angle
saillant
AOB,
elles
sont
concourantes.
o
66.
Soit
un
triangle
isocèle
ABC
de
base
BC.
1°
Montrer
que
la
bissectrice
extérieure
de
l’angle
A
est
parallèle
à
la
base
BC.
2°
La
réciproque
est—elle
vraie?
La
démontrer.
o
67.
Soient
AB
et
CD
deux
diamètres
d’un
cercle
O.
1°
Comparer
les
directions
de
AC
et
de
BD
avec
celle
de
la
bissectrice
de
l’angle
AOC.
2°
Que
peut—on
en
conclure
pour
AC
et
BD?
o
68.
Soit
un
angle
xOy.
Du
point
O
comme
centre
on
trace
un
premier
cercle
qui
coupe
Oæ
en
A
et
Oy
en
B,
puis
un
second
cercle
qui
coupe
Ox
en
C
et
Oy
en
D.
1°
Comparer
les
directions
de
AB
et
de
CD
avec
celle
de
la
bissectrice
de
l’angle
xOy.
2°
En
déduire
que
AB
et
CD
sont
parallèles.
o
69.
On
considère
sur
un
cercle
O
quatre
points
ABCD
disposés
dans
cet
ordre
et
tels
que
les
arcs
AB
et
CD
soient
égaux.
1°
Montrer
que
les
angles
AOD
et
BOC
ont
même
bissectrice.
2°
Comparer
les
directions
de
AD
et
de
BC.
o
70.
D’un
point
intérieur
M
on
mène
les
perpendiculaires
MA
et
MB
aux
côtés
de
l’angle
droit
æOy.
1°
Montrer
que
MA
et
Oy
sont
parallèles
et
qu’il
en
est
de
même
de
MB
et
0x.
2°
Quelle
est
la
valeur
de
l’angle
AMB?
o
71..
On
considère
un
point
M
pris
sur
un
demi—cercle
de
diamètre
AB
et
de
centre
O.
On
mène
les
perpendiculaires
OH
à
MA
et
0K
à
MB.
1°
Montrer
que
l’angle
HOK
est
droit.
Comparer
les
directions
de
OH
et
de
MB
ainsi
que
celles
de
0K
et
de
MA.
2°
Évaluer
l’angle
AMB
et
montrer
que
les
angles
MAB
et
MBA
sont
complé-
mentaires.
o
72.
Soit
un
quadrilatère
ABCD
dans
lequel
les
diagonales
AC
et
BD
ont
même
milieu
O.
On
mène
les
perpendiculaires
OH
à
AB
et
0K
à
CD.
1°
Comparer
les
triangles
OAB
et
OCD,
puis
les
triangles
OAH
et
OCK.
Consé-
quences?
e
2°
Comment
sont
disposés
les
points
O,
H
et
K?
En
déduire
que
AB
et
CD
sont
parallèles.
En
est-il
de
même
de
AD
et
BC.?
o
73.
Étant
donné
une
droite
xy
et
un
point
extérieur
O,
on
mène
la
perpen—
diculaire
OH
et
l’oblique
0M
à
la
droite
æy
puis
on
construit
H’
et
M’
symétriques
de
H
et
M
par
rapport
à
O.
1°
Comparer
les
triangles
OHM
et
OH’M’.
Conséquences?
2°
Que
peut-on
dire
des
directions
HM
et
H’M’?
En
déduire
que:
Deux
droites
symétriques
l’une
de
l’autre
par
rapport
à
un
point
sont
parallèles.
3°
En
déduire
une
construction
de
la
parallèle
menée
par
A
à
la
droite
xy.
o
74.
On
considère
deux
parallèles
D
et
D’
perpendiculaires
en
A
et
A’
au
seg-
ment
AA’
dont
on
désigne
par
O
le
milieu.
1°
Démontrer
que
la
médiatrice
æy
du
segment
AA’
est
un
axe
de
symétrie
de
la
bande
(D,
D’).
t
21;,Établir
que
:cy
est
médiatrice
de
tout
segment
HH'
perpendiculaire
a
D
e
.
3°
En
déduire
que
tout
point
Ide
:cy
est
un
centre
de
symétrie
des
deux
droites
D
et
D’
et
qu’il
est
équidistant
de
ces
deux
droites.

SEPTIÈME
LEÇON
PROPRIÉTÉS
ANGULAIRES
DES
PARALLÈLES
55.
Déﬁnitions.
—
Lorsque
l'on
coupe
deux
droites
D1
et
D2
par
une
sécante
AB
on
forme
huit
angles
(ﬁg.
6|).
On
appelle:
1°
Angles
attentes-internes
deux
angles
Situés
de
part
_et
d'autre
de
la
sécante,
D1
A
1
2
entre
les
deux
drontes
et
non
adjacents:
A
.
A3
et
B1
sont
alternes-internes.
2°
Angles
correspondants
deux
angles
situés
d'un.
même
côté
de
la
sécante,
non
2
adjacents,
l
un
entre
les
deux
drortes,
l'autre
2
4
3
B
à
l'extérieur
:
A1
et
B1
sont
correspondants.
F
61
‘IG.
.
3°
Angles
intérieurs
d’un
même
côté
_
deux
angles
Situés
d'un
même
côté
de
la
sécante
entre
les
deux
drmtes:
A4
et
B]
sont
intérieurs
d'un
même
côté.
56.
Théorème.
——
Lorsque
deux
droites
parallèles
sont
coupées
par
une
sécante
:
’
1°
Deux
angles
alternes-internes
sont
égaux;
2°
Deux
angles
correspondants
sont
égaux.
3°
Deux
angles
intérieurs
d’un
même
côté
sont
supplémen-
taires.
1°
Soient
CD
et
EF
deux
droites
parallèles
coupées
par
la
sécante
AB
(ﬁg.
62).
Par
le
milieu
O
de
AB
menons
la
perpendiculaire
HK
aux
deux
parallèles
et
considérons
les
triangles
rectangles
OAH
et
OBK.
Ils
ont
l’hipp-
/'\
-\
ténuse
égale
0A
=
OB
par
construction,
et
un
angle
aigu
égal
AQH
=_
BOK
comme
Opposés
par
le
sommet.
Ils
sont
égaux
d'après
le
le:
cas
d
égalitédes
triangles
rectangles
(11°
24).
Les
angles
aigus
OAC
et
OBF
sont
donc
égaux.
_

152
GEOMÉTRIE
2°
Reportons-nous
à
la
ﬁgure
63.
Nous
venons
de
démontrer
que
A4
=_
B2.
Or
les
quatre
angles
formés
en
A
sont
deux
à
deux
égaux
ou
supplémentaires,
ainsi
que
les
quatre
angles
formés
en
B.
On
vort
donc
qu
1l
en
est
de
meme
D
C
7%?
D
[As
C
72
F
E
4%4‘
F
FIG.
62.
FIG.
63.
de
ces
huit
angles
:
A3
=
B1,
A1
=
B1,
A4
+
Bl
=
2D,
etc.
ce
qui
achève
la
démonstration
du
théorème.
57.
Réciproque.
—
Pour
que
deux
droites
soient
parallèles
il
sufﬁt
qu’elles
forment
avec
une
sécante
:
1°
Soit
deux
angles
altemes-internes
égaux;
2°
Soit
deux
angles
correspondants
égaux;
3°
Soit
deux
angles
intérieurs
d’un
même
côté
supplémentaires.
L'une
de
ces
hypothèses
entraîne
entre
les
huit
angles
formés
en
A
et
B
les
mêmes
relations
que
dans
le
théorème
direct.
Supposons
donc
(ﬁg.
62)
que
la
u
A
’lf
sécante
AB
forme
avec
les
deux
droites
CD
et
EF
des
angles
alternes—internes
CAB
et
FBA
égaux.
Menons
par
le
milieu
O
de
AB,
la
perpendiculaire
OH
à
CD.
Elle
coupe
EF
en
K
et
les
triangles
OAH
et
OBK
ont
:
0A
=
0B,
æ
ÎOÎI
=
ËÔÎ
et
(îAî'l
=
lls
FIG.
64.
sont
égaux
(ler
cas
des
triangles
quel-
conques)
et
(Îlî
=
OT<Ë
=
ID.
Les
droites
CD
et
EF,
perpendiculaires
à
HK,
sont
parallèles.
3
.9
58.
Application
au
tracé
des
parallèles.
—
Soit
à
mener
par
le
point
A
la
parallèle
à
la
droite
xy
(ﬁg.
ll
sufﬁt
de
mener
une
sécante
AB
et
de
construire
en
A
l'angle
BAv
égal
à
l'angle
ABx.
D'après
la
réciproque
précédente
la
droite
av
est
parallèle
à
xy.

PROPRIÉTÉS
ANGULAIRES
DES
PARALLÈLES
153
EMPLOI
DE
L'ÉQUERRE.
--
Lorsqu'une
,équerre
glisse
contre
une
règle
ﬁxe
deux
positions
d'un
même
côté
de
léquerre
sont
parallèles,
car
elles
forment
des
angles
correspondants
égaux
avec
le
bord
de
la
règle
65).
Il
sufﬁt
de
placer
un
bord
de
l'équerre
sur
x_y.puis
,d'apgliquer
la
règle
contre
l'équerre
et
de
faire
alors
glisser
celle-c1
Jusqu
en
pour
pouv01r
tracer
la
parallèle
cherchée.
FIG.
65.
FIG.
66.
59.
Application
au
tracé
d’une
perpendiculaire.
—
Soit
à
mener,
par
le
point
A.
la
perpendiculaire
à
xy
Plaçons
l'un
des
côtés
de
l’angle
droit
de
l'équerre
suivant
xy
(position
l)
et
appliquons
la
règle
contre
le
côté
hypoténuse.
Faisons
alors
glisser
l'équerre
de
façon
que
le
deuxième
côté
de
l'angle
droit
vienne
en
A
Ce
côté
initialement
perpendiculaire
à
xy
est
resté
parallèle
à
lui-même
et
permet
de
mener
la
perpendiculaire
AH
(tracé
des
dessinateurs).
Ce
tracé
est
préférable
à
celui
du
n°
4
(ﬁg:
l5)
car
on
obtient
le
prolonge-
ment
de
AH
et
une
bien
meilleure
détermination
du
pomt
H.
ANGLES
A
COTÉS
PARALLÈLES
OU
PERPENDICULAIRES
60.
Déﬁnition.
—
Deux
demi-droites
ou
deux
segments
parallèles
AM
et
BN
sont
de
même
sens
s'ils
sont
situés
d
un
même
côté
de
la
droite
AB.
Ils
sont
de
sens
contraires
s'ils
sont
Situés
de
part
et
d'autre
de
la
drorte
AB.
6ÏÏThéorème.
—
10
Lorsque
deux
angles
ont
leurs
côtés
paral-
lèles
et
de
même
sens,
ils
sont
égaux.
2°
Lorsque
deux
angles
ont
leurs
côtés
parallèles
et
de
sens
contraires,
ils
sont
égaux.

154
GËOMÊ
TRIE
3°
Lorsque
deux
angles
ont
deux
côtés
parallèles
et
de
même
sens
et
les
deux
autres
parallèles
et
de
sens
contraires,
ils
sont
supplémentaires.
Par
le
point
B,
menons
les
parallèles
u'u
et
v'v
aux
côtés
de
l'angle
xAy
M
v
A
C
.2;
5'
Va
u’
v!
:0.
V
FIG.
67.
(ﬁg.
67).
Les
demi-droites
Ax
et
Bv
ou
leurs
prolongements
se
coupent
en
C.
Î°
Les
angles
xAy
et
qu
à
côtés
parallèles
et
de
même
sens
sont
sépa-
rément
égaux
à
l'angle
va
comme
correspondants.
Ils
sont
donc
égaux.
2°
Les
angles
xAy
et
u'Bv'
à
côtés
parallèles
et
de
sens
contraires
sont
aussi
égaux
car
les
angles
u'Bv'
\et
qu
sont
égaux
comme
opposés
par
le
sommet.
3°
Les
angles
xAy
et
u'Bv
ont
deux
côtés
parallèles
et
de
même
sens
et
deux
côtés
parallèles
et
de
sens
contraires.
Ils
sont
supplémentaires,
car
l'angleu'Bv
étant
le
supplément
de
l'angle
qu
est
aussi
celui
de
l'angle
xAy.
62.
Théorème.
-—
Lorsque
deux
angles
ont
leurs
côtés
respec-
tivement
perpendiculaires,
ils
sont
égaux
ou
supplémentaires.
Ils
sont
égaux
s’ils
sont
tous
deux
aigus
ou
tous
deux
obtus.
Ils
sont
supplémentaires
si
l’un
est
aigu
et
l’autre
obtus.
Considérons
deux
angles
xAy
et
qu
à
côtés
respectivement
per-
pendiculaires
(ﬁg.
68),
construi—
sons
l’angle
droit
xAx'
non
adja»
cent
à
xAy
et
l'angle
droit
yAy’
adjacent
à
xAy.
Les
angles
xAy
et
x'Ay'
ont
le
même
complément
yAx'
:
ils
sont
donc
égaux.
D'autre
part
Ax'
et
Bu
perpendiculaires
à
Ax
sont
parallèles
et,
de
même
Ay'
et
BU
perpendiculaires
à
Ay
sont
paral-
y!
x'
u
U”
A
55
B
FIG.
68.
lèles.
Les
angles
x'Ay’
et
qu
sont
donc
égaux
ou
supplémentaires
et,
par
suite,
Il
en
est
de
même
de
xAy
et
de
qu.
La
deuxième
partie
du
théorème
résulte
du
fait
que
deux
angles
aigus
(ou
obtus)
ne
peuvent
être
qu'égaux
tandis
qu'un
angle
aigu
et
un
angle
obtus
ne
peuvent
être
que
supplémentaires.

PROPRIÉTÉS
ANG
ULAIRES
DES
PARALLÈLES
155
EXERCICES
o
75.
Démontrer
que
pour
que
deux
droites
soient
concourantes,
il
sufﬁt:
1°
Que
l’une
soit
perpendiculaire
et
l’autre
oblique
par
rapport
à
une
troisième.
2°
Qu’elles
soient
perpendiculaires
aux
côtés
d’un
angle
saillant.
o
76.
Étant
données
deux
parallèles
coupées
par
une
sécante,
montrer
que:
1°
Les
bissectrices
de
deux
angles
alternes
internes
ou
correspondants
sont
parallèles.
12°
Les
bissectrices
de
deux
angles
intérieurs
d’un
même
côté
sont
perpendi-
cu
aires.
3°
Énoncer
les
réciproques
de
ces
propriétés
et
les
démontrer.
o
77.
Sur
les
côtés
d’un
angle
de
sommet
O
on
porte
deux
longueurs
égales
OA
=
OB.
Puis
extérieurement
à
cet
angle
on
construit
deux
angles
égaux
0A3:
et'OBy
et
on
porte
sur
A1:
et
By
deux
longueurs
égales
AC
=
BD.
1°
Comparer
les
triangles
OACet
OBD.
2°
Montrer
que
les
angles
AOB
et
COD
ont
même
bissectrice.
3°
Comparer
les
directions
de
AB
et
CD.
o
78.
On
considère
deux
angles
adjacents
supplémentaires
AOB
et
BOC
et
leurs
bissgctricesNOx
et
Oy.
Par
le
point
B
on
mène
la
parallèle
à
AC
qui
coupe
0:1:
en
M
et
y
en
1°
Comparer
MB
et
OB;
puis
NB
et
OB.
2°
Que
représente
le
point
B
pour
le
segment
MN‘I
o
79.
Par
le
point
de
rencontre
I
des
bissectrices
intérieures
des
angles
B
et
C
du
triangle
ABC,
on
mène
la
parallèle
à
BC,
qui
coupe
AB
en
D
et
AC
en
E.
1°
Comparer
DB
et
DI
puis
EC
et
EI.
_
2°
Montrer
que
DE
=
BD
+
CE.
o
80.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A.
Sur
la
perpendiculaire
en
C
à
AC
on
porte
des
segments
CD
et
CE
égaux
à
BC.
1°
Comparer
les
directions
de
AB
et
DE.
2°
Que
représentent
BD
et
BE
pour
l’angle
B?
o
81.
Soit
un
triangle
ABC.
On
mène
les
bissectrices
intérieures
des
angles
B
et
C
qui
coupent
en
D
et
E
la
parallèle
menée
par
A
à
BC.
1°
Comparer
AD
et
AB,
puis
de
même
AE
et
AC.
2°
Montrer
que
DE
=
AB
+
AC.
3°
Reprendre
le
problème
avec
les
bissectrices
extérieures
des
angles
B
et
C.
o
82.
Soit
un
triangle
ABC.
On
mène
par
le
milieu
D
de
BC
la
perpendiculaire
à
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
A.
Cette
perpendiculaire
coupe
AB
en
Eet
AC
en
F.
EF
coupe
la
parallèle
menée
par
B
à
AC
en
G
1°
Montrer
que
les
triangles
AEF
et
BEG
sont
isocèles.
2°
Comparer
les
triangles
DBG
et
DCF.
3°
Démontrer
l’égalité
des
segments
BE
et
CF.

HU'T'ËME.
LEÇQNJ
SOMME
DES
ANGLES
D’UN
TRIANGLE
63.
Théorème.
—
La
somme
des
angles
d’un
triangle
est
égale
à
deux
droits
(2D
ou
180°).
A
Hypothèse
:
A,
B,
C
sont
les
angles
du
triangle
ABC.
Conclusion
:
A+B+_C=2°-...
B
w
.
C
v
D
FIG.
69.
Soit
un
triangle
ABC
(ﬁg.
69).
Prolongeons
BC
jusqu'en
D
et
menons
CE
parallèle
à
BA
et
de
même
sens
que
BA.
L'angle
A
du
triangle
ABC
est
égal
à
l'angle
ACE
comme
alterne—interne.
L'angle
B
du
triangle
ABC
est
égal
à
l’angle
ECD
comme
correspondant.
On
voit
que
la
somme
des
trois
angles
du
triangle
est
égale
à
la
somme
des
trois
angles
formés
en
C.
On
a
onc:
Â+Ë+Ô=ZD=180°.
64.
Corollaire
I.
—
Un
angle
extérieur
à
un
triangle
est
égal
à
la
somme
des
angles
intérieurs
non
adjacents
à
cet
angle.
Il
résulte
en
effet
de
la
démonstration
précédente
(ﬁg.
69)
que:
Â
+
Ê
=
KCÈ
+
ËCÎ)
=
ÂÎÎ).
C'est-à-dire
que
la
somme
des
deux
angles
intérieurs
A
et
B
est
égale
à
l'angle
extérieur
relatif
au
sommet
C.

SOMME
DES
ANGLES
D’UN
TRIANGLE
157
65.
Corollaire
II.
-—
La
somme
de
deux
angles
d’un
triangle
est
inférieure
à
deux
droits.
Il
en
résulte
qu'un_
triangle
ne
_peut
avoir
plus
d_’un
angle
droit
ou
d’un
angle
obtus.
Il
a
toujours
au
moms
deux
angles
aigus.
APPLICATIONS
66.
Théorème
I.
—
Les
angles
aigus
d’un
triangle
rectangle
sont
complémentaires.
A
Si
l'angle
A
du
triangle
ABC
est
un
angle
droit
(ﬁg.
70),
il
en
résulte
:
B
+
C
=
lD.
En
particulier
(ﬁg.
7l):
Pour
qu'un
triangle
soit
un
triangle
rectangle
isocèle,
il
faut
et
il
suﬁït
qu’il
ait
deux
angles
égaux
à
45°.
67.
Théorème
H.
———
Chacun
des
angles
d’un
triangle
équilatéral
vaut
60°.
Leur
valeur
commune
est
en
effet
l80°:
3
=
60°
(ﬁg.
72).
Il
en
résulte
aisément
que:
l°
Un
triangle
isocèle
qui
a
un
angle
de
60°,
est
équilatéral.
Ceci,
que
ce
soit
l'angle
au
sommet
ou
l’un
(les
angles
à
la
base
qui
soit
égal
à
60°.
B
C
350
45°
55
45°
C
A
B
A
B
FIG.
70.
FIG.
71.
FIG.
72.
2°
Lorsqu’un
triangle
rectangle
a
un
angle
de
60°
(ou
de
30°)
l'un
des
côtés
cle
l'angle
droit
est
égal
à
la
moitié
de
l'hypoténuse.
Dans
le
triangle
ABH
rectangle
en
H
(ﬁg.
72),
on
a
Ë
=
60°
et
Â
=
30°,
le
triangle
ABH
est
la
moitié
du
triangle
équilatéral
ABC
et
le
côté
HB
opposé
à
l'angle
(le
30°
est
égal
à
la
moitié
(le
l’hypoténuse
AB.

158
GÉOMÉ
TRIE
68.
Théorème
III.
—
Lorsque
deux
triangles
ont
deux
angles
respectivement
égaux,
leurs
trois
angles
sont
égaux.
Cela
résulte
du
fait
que
le
troisième
angle
de
chaque
triangle
est
le
supplé—
ment
de
la
somme
des
deux
premiers.
Par
suite:
Lorsque
deux
triangles
ont
un
côté
égal
et
deux
angles
homo-
logues
respectivement
égaux
ils
sont
égaux.
Ce
théorème
_qui
constitue
une
extension
du_
ler
cas
d'égalité
(n°
2|)
permet
de
ne
plus
utiliser
le
ler
cas
d'égalité
des
tnangles
rectangles
(n°
24)
ou
le
cas
non
clasmque
(n°
26).
SOMME
DES
ANGLES
D’UN
POLYGONE
69.
Théorème.
—
La
somme
des
angles
d’un
quadrilatère
convexe
est
égale
à
quatre
droits.
Soit
le
quadrilatère
convexe
ABCD
(ﬁg.
73).
Menons
la
diagonale
AC.
La
somme
des
angles
du
quadrilatère
est
égale
à
la
somme
des
angles
des
deux
triangles
ABC
et
CDA.
Comme
il
y
a
deux
droits
par
triangle,
on
a
donc
:
Â+Ë+ê+ñ=w.
D
.L
B
FIG.
73.
FIG.
74.
70.
Théorème.
—
La
somme
des
angles
intérieurs
d’un
poly-
gone
convexe
est
égale
à
autant
d’angles
plats
que
ce
polygone
a
de
côtés
moins
deux.
Soit
un
polygone
convexe
ABCDEF
(ﬁg.
74)
et
désignons
par
n
le
nombre
de
ses
côtés.
En
menant
les
diagonales
issues
de
A,
nous
décomposons
le
polygone
en
autant
de
triangles
qu'il
a
de
côtés
autres
que
AB
et
AF,
soit
onc
en
(n-Z)
triangles.
La
somme
S
des
angles
du
polygone
est
égale
à
celle
des
angles
de
tous
ces
triangles
et
par
suite
à
(n-Z)
angles
plats.
mm:
IS=pxm—D=ML4M.

SOMME
DES
ANGLES
D'UN
TRIANGLE
159
7l.
Corollaire.
—
La
somme
des
angles
extérieurs
de
tout
polygone
convexe
est
égale
à
quatre
droits.
La
somme
de
l'angle
intérieur
et
de
l'angle
extérieur
relatifs
à
chacun
des
n
som—
mets
est
2D
(ﬁg.
75).
La
somme
des
angles,
tant
intérieurs
qu’extérieurs,
est
donc
égale
à
ZnD.
Cette
somme
surpasse
de
4D
la
somme
des
seuls
angles
intérieurs
égale
à
ZnD—4D.
La
somme
des
angles
exté-
{ÎCÏSS
est
donc,
dans
tous
les
cas,
égale
a
.
EXERCICES
o
83.
Soient
deux
triangles
ABC
et
A’B’C’
ayant
leurs
côtés
respectivement
parallèles.
B'C’
coupe
les
droites
AB
et
AC
en
D
et
E.
1°
[comparer
les
angles
des
triangles
ABC
et
ADE,
puis
ceux
des
triangles
ADE
et
A
B
C
.
2°
Énoncer
la
propriété
qui
en
résulte
pour
deux
triangles
qui
ont
leurs
côtés
parallèles.
o
84.
Soient
deux
demi—droites
Ax
et
By
situées
d’un
même
côté
de
la
droite
AB
et
Ax’
et
By"'les_
demi-droites
opposées.
On
suppose
BAa:
+
ABy
<
2°.
1°
Montrer
que
les
droites
:c’x
et
y’y
sont
concourantes
et
que
les
demi-droites
Ax'
et
By'
n’ont
pas
de
point
commun.
2°
En
déduire
que
Aa:
et
By
se
coupent
en
un
point
C
et
énoncer
la
condition
pour
que
deux
demi—droites
aient
un
point
commun.
o
85.
Soit
un
triangle
ABC.
On
désigne
par
A,
B
et
C
les
valeurs
reSpectives
des
angles
du
triangle.
1°
Évaluer
en
fonction
de
B
et
C
l’angle
de
la
hauteur
AA’
et
de
la
bissectrice
intérieure
AD.
2°
Évaluer
en
fonction
de
A,
l’angle
BIC
des
bissectrices
intérieures
des
angles
B
et
C.
3°
Évaluer
en
fonction
de
A,
l’angle
BHC
des
hauteurs
issues
de
B
et
C.
Application
numérique:
B
=.
57°,
C
=
75°.
o
86.
Soit
un
triangle
ABC
dans
lequel
AC
>
AB.
On
mène
la
bissectrice
de
l’angle
A
qui
coupe
BC
en
D
puis
la
perpendiculaire
BE
à
AD.
Évaluer
en
fonction
des
angles
B
et
C
du
triangle:
1°
Les
angles
ADB
et
ADC.
2°
Les
angles
ABE
et
EBD.
/'\
Application
numérique:
B
=
68°,
’ô
=
54°.
o
87.
Dans
un
triangle
ABC
la
bissectrice
de
Il’angle
B
coupe
en
I
la
hauteur
issue
de
A
et
en
D
la
perpendiculaire
en
A
à
AB.
1°
Évaluer
en
fonction
de
B
du
triangle
les
angles
IAB,
AID
et
ADI.
2°
Comparer
les
segments
AI
et
AD.

l
60
GÉOMÊ
TRIE
o
88.
On
considère
un
cercle
0
et
un
diamètre
:L‘y
de
ce
cercle.
D’un
point
M
de
ce
cercle
tel
que:
angle
yOM
<
45°,
on
mène
MH
perpendiculaire
à
xy
et
on
construit
le
point
A
de
xy
tel
que
HA
=
OH.
La
droite
AM
recoupe
le
cercle
en
.
1°
Montrer
que
les
triangles
MOA
et
OMB
sont
isocèles.
2°
Calculer
les
angles
OBM
et
BOx
en
fonction
de
l’angle
OAB.
o
89.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A.
On
prolonge
CB
d’une
longueur
BD
=
BA
et
sur
la
perpendiculaire
en
C
à
BC,
on
porte
du
côté
de
A
une
longueur
CE
=
CA.
1°
Calculer
en
fonction
de
B
les
angles
BAD,
ACE
et
CAE.
2°
Évaluer
l’angle
DAE
et
montrer
que
D,
A
et
E
sont
alignés.
o
90.
Soit
un
triangle
rectangle
isocèle
ABC.
Par
le
sommet
A
de
l’angle
droit,
on
mène,
extérieurement
au
triangle,
une
droite
xy,
puis
les
perpendiculaires
BM
et
CN
à
xy,
ainsi
que
la
hauteur
AH
du
triangle
ABC..
1°
Montrer
que
HA
=
HB
=
HC.
2°
Comparer
les
triangles
AMB
et
CNA.
Que
représente
MN
pour
BM
et
CN?
3°
Comparer
les
triangles
HBM
et
HAN
et
démontrer
que
le
triangle
MHN
est
rectangle
isocèle.
o
91.
On
mène
la
hauteur
AH
issue
du
sommet
de
l’angle
droit
d’un
triangle
rectangle
ABC,
puis
les
bissectrices
intérieures
des
angles
BAH
et
CAH
qui
coupent
l’hypoténuse
en
D
et
E.
1°
Évaluer
la
valeur
de
l’angle
DAE.
2°
Montrer
que
les
triangles
BAE
et
CAD
sont
isocèles.
3°
Comparer
DE
à
la
longueur
AB
+
AC
—
BC.
o
92.
Soit
un
triangle
ABC.
On
prolonge
BC
de
deux
longueurs
BD
=
BA
et
CE
=
CA.
1°
Que
représente
DE
pour
le
triangle
ABC?
2°
Calculer
les
angles
D
et
E
du
triangle
ADE
en
fonction
des
angles
B
et
C.
3°
Comparer
deux
triangles
ayant
leurs
angles
respectivement
égaux
et
même
périmètre.
o
93.
Dans
un
triangle
ABC
l’angle
aigu
B
est
le
double
de
l’angle
C.
La
média-
trice
de
AC
coupe
BC
en
D.
1°
Montrer
que
AD
partage
ABC
en
deux
triangles
isocèles.
2°
Comparer
l’angle
extérieur
A
à
l’angle
C
dans
le
triangle
ABC.
o
94.
Dans
un
triangle
ABC,
l’angle
B
est
triple
de
l’angle
C.
La
médiatrice
de
BC
coupe
CA
en
D.
1°
Montrer
que
BD
partage
ABC
en
deux
triangles
isocèles.
_.
2°
Comparer
l’angle
extérieur
A
à
l’angle
C
dans
le
triangle‘
ABC.

NEUVIÈME
LEÇON
PARALLÉLOGRAMME
72.
Déﬁnition.
—
Le
parallélogramme
est
un
quadrilatère
dont
les
côtés
sont
parallèles
deux
à
deux.
-
DZ
C
/
On
obtient
un
parallélogramme
en
coupant
deux
parallèles
par
deux
sécantes
parallèles
entre
elles
(ﬁg.
76).
Le
quadrilatère
ABCD
obtenu
est
convexe,
car
il
est
tout
entier
situé
d'un
même
côté
de
l'une
des
quatre
/
7
dr01tes
précédentes.
PROPRIÉTÉ
DES
ANGLES
73.
Théorème.
—
Dans
tout
parallélogramme
:
1°
Deux
angles
consécutifs
sont
supplémentaires;
20
Deux
angles
opposés
sont
égaux.
Dans
le
parallélogramme
ABCD
(ﬁg.
76)
les
deux
angles
consécutifs
A
et
B
occupent
la
position
d'intérieurs
d'un
même
côté
de
la
sécante
AB
pour
les
parallèles
AD
et
BC.
Ils
sont
donc
supplémentaires
(n°
56).
Les_
deux
angles
opposés
A
et
C
ont
leurs
côtés
parallèles
et
de
sens
contraires.
Ils
sont
donc
égaux
(n°
6l).
74.
Théorème.
—
Lorsqu’un
quadrilatère
convexe
Ba
ses
angles
opposés
égaux
deux
à
deux,
c’est
un
parallélogramme.
Si
dans/le
quadrilatère
ABCD
(ﬁg.
76)
nous
avons
/Â
=
ê
et
Ê
=
Û
la
somme
A
+
B
vaut
la
moitié
de
la
îomm/e
des
quatre
angles.
Cette
somme
étant
égale
à
4D
(n°
69)
nous
avons
:
A
+
B
=
2D.
Les
angles
A
et
B
accu.
ALGÈBRE
ET
GÉOMÉTRIE
—
QUATRIÈME
LYCÉES
COLLÈGES
5

162
GÉOMÉ
TRIE
pant
la
position
d'intérieurs
d'un
même
côté
de
la
sécante
AB
pour
les
drmtes
AD
et
BC,
ces
drortes
so/nt
donc
parallèles
(n°
57).
ÏÎ
On
démontrerait
devmême
que
A
+
D
=
ZD
et
que
AB
et
CD
sont
paral-
lèles.
Le
quadrilatère
ABCD
est
donc
un
parallélogramme.
PROPRIÉTÉ
DES
côrEs
75.
Théorème.
—
Dans
tout
parallélogramme
les
côtés
opposés
sont
égaux
deux
à
deux.
Soit
un
parallélogramme
ABCD
(ﬁg.
77).
Menons
la
diagonale
AC
et
compa/rpns
les
triangles
ABC
et
CDA.
lls
ont
le
côté
AC
en
commun
A1
=
C1
comme
alternés-internes
et
de
même
C2
=
A2.
lls
sont
donc
égaux
(ler
cas)
et
par
suite:
AB
=
CD
et
AD
=
BC.
A
B
A
_
a
FIG.
77.
FIG.
78.
76.
Réciproque
I.
—
Lorsqu’un
quadrilatère
convexe
a
deux
côtés
à
la
fois
égaux
et
parallèles,
c’est
un
parallélogramme.
Supposons
que
le
quadrilatère
ABCD
(ﬁg.
78)
ait
les
côtés
AB
et
CD
égaux
et
parallèles.
Les
deux
triangles
êBC
et
CDA
ont
le
côté
AC
commun.
AB
=
CD
(par
hypothèse)
et
A1
=
C1
comme
alterna-internes.
Ils
sont
donc
égaux
(2°
cas).
Les
angles
alternes-internes
A2
et
C2
Osont
par
suite
égaux
et
les
côtés
AD
et
BC
sont
parallèles
(n°
57).
Le
quadrilatère
est
donc
un
parallélogramme.
,
.
-
.
Cette
réciproque
permet
de
construire
facrlement
un
parallélogramme
sur
du
papier
réglé
ou
quadrillé.
77.
Réciproque
Il.
——-
Lorsqu’un
quadrilatère
convexe
a
ses
côtés
opposés
égaux
deux
à
deux,
c’est
un
parallélogramme.
Supposons
que
le
quadrilatère
ABCD
77)
ait
AB
'_—=.CD
et
AD
=
BC.
Les
triangles
ABC
et
CDA
ont
deux
côtés
égaux
et
le
tronsrèAme
A9
commun.
Ils
sont
donc
égaux
(3°
cas).
Les
angles
alternes—intern/es
A1
Aet
C1
sont
par
suite
égaux
et
AB
et
CD
sont
parallèles.
De
même.
C2
=
A2
et
par
suite
AD
et
BC
sont
parallèles.
Le
quadrilatère
est
donc
un
parallélogramme.

PARALLËLOGRAMME
I
63
PROPRIÉTÉ
DES
DIAGONALES
78.
Théorème.
—
Dans
tout
parallélogramme
les
diagonales
se
coupent
en
leur
milieu,
centre
du
parallélogramme.
Soit
O
le
point
de
rencontre
des
diagonales
du
parallélogramme
ABCD
79).
AB
étant
parallèle
et
égal
à
CD,
les
triangles
OAB
et
OCD
\A
B/
ont
AB
=
CD,
/Â
=
Ô
comme
alternés—internes
et
de
même
B
=
D.
lls
sont
donc
égaux
et
par
suite
0A
=
OC
et
OB
=
0D.
Le
point
0,
milieu
de
chacune
des
diagonales,
est
un
centre
de
symétrie
du
parallélo-
gramme.
On
l'appelle
centre
du
paral—
D
C\
ä
Iélogramme.
FIG.
79.
79.
Réciproque.
—
Lorsque
les
diagonales
d’un
quadrilatère
se
coupent
en
leur
milieu,
ce
quadrilatère
est
un
parallélogramme.
Supposons
que
le
quadrilatère
ABCD
(ﬁg.
79)
ait
été
obtenu
en
portant
sur
deux
droites
se
coupant
en
O,
des
segments
0A
=
OC
sur
la
première
et
OB
=
0D
sur
la
seconde.
Les
angles
AOB
et
COD
étant
égaux
comme
opposés
par
le
sommet,
les
deux
triangles
OAB
et
OCD
sont
égaux
(2°
cas).
Les
angles
alternes—internes
OAB
et
OCD
sont
donc
égaux
et
par
suite
les
côtés
AB
et
CD
sont
à
la
fois
égaux
et
parallèles.
Le
quadrilatère
ABCD
est
donc
un
parallélogramme
(n°
76).
'
80.
Corollaire.
—
Deuxî
droites
symétriques
par
rapport
à
un
point
sont
parallèles.
Si
C
et
D
sont
les
symétriques
de
A
et
B
par
rap
ort
au
point
O
le
quadri—
latère
ABCD
est
un
parallélogramme
de
centre
.
Donc
AB
et
CD
sont
parallèles.
APPLICATIONS
81.
Reconnaître
un
parallélogramme.
—
L'étude
précédente
montre
qu'un
quadrilatère
convexe
est
un
parallélogramme
s'il
possède
l'une
quel—
conque
des
propriétés
caractéristiques
suivantes:
l°
Ses
côtés
opposés
sont
parallèles
deux
à
deux.
2°
Ses
angles
opposés
sont
égaux
deux
à
deux.
3°
Deux
de
ses
côtés
sont
à
la
fois
égaux
et
parallèles.
4°
Ses
côtés
opposés
sont
égaux
deux
à
deux.
5°
Ses
diagonales
se
coupent
en
leur
milieu.

l64
GEOME
TRIE
82.
Généralisation.
—«-
Les
portions
de
parallèles
comprises
entre
deux
parallèles
sont
égales.
Les
segments
parallèles
ÀA',
BB'
et
CC’
compris
entre
les
parallèles
D
A
B
C
D
A
D
_.
s
e?
-
ç
A’
B'
C'
D'
A'
D'
FIC.
80.
FIG.
81.
et
D’
(ﬁg.
80)
sont
égaux
comme
côtés
opposés
des
parallélogrammes
tels
que
ABB’A’.
83.
Distance
de
deux
parallèles.
--
En
particulier
si
les
segments
égaux
sont
perpendiculaires
aux
deux
parallèles
D
et
D’
(ﬁg.
8l),
on
Voir.
que
tous
les
points
de
l’une
sont
à
la
même
distance
de.
l’autre.
D'où
la
déﬁnition
:
On
appelle
distance
de
deux
parallèles
la
longueur
du
segmem‘;
qu’elles
découpent
sur
une
perpendiculaire
commune
quelconque"
Cette
distance
d
7::
AA',
est
la
largeur
de
la
bande
(D,
D')
déﬁnie
par
les
parallèles
D
et
D'.
EXERCICES
e
95.
Soit
un
parallélogramme
ABCD.
Par
le
sommet
A
on
mène
la
parallèle
ù
la
diagonale
BD
qui
coupe
en
E
et
en
F
les
prolongements
de
CB
et
CD.
10
Comparer
les
côtés
et
les
angles
du
triangle
CEF
à
ceux
du
triangle
ABD,
2°
Que
représentent
A,
B
et
D
pour
les
segments
EF,
EC
et
FC?
a
96.
On
mène
deux
segments
AB
et
CD
parallèles,
égaux
et
de
même
sens
puis,
de
même,
deux
autres
segments
AE
et
CF
parallèles,'égaux
et
de
même
sens.
1°
Comparer
les
segments
BD
et
EF
en
grandeur
et
en
direction.
2°
Comparer
de
même
les
segments
BE
et
DF.
o
97.
On
mène
deux
segments
AB
et
C-D
parallèles,
égaux
et
de
sens
contraires?
puis
les
segments
AE
et
CF
parallèles,
égaux
et
de
sens
contraires.
1°
Montrer
que
les
segments
BD
et
EF
ont
même
milieu.
2°
Comparer
les
segments
B152
et
DF
en
grandeur
et
en
direction.
o
98.
Soient
M
et
N
les
milieux
des
côtés
AD
et
BC
du
parallélogramme
ABCl'îs
de
centre
O.
1°
Montrer
que
MN
est
parallèle
et
égal
à
AB
et
(32L).
L30
Montrer
que
le
centre
(Î)
du
parallélogramme
est.
le
milieu
de
MN.
3°
Que
peul-on
(lire
des
distances
de
MN
aux
côtés
A18
et.
DC?

PARALLÉLOGRAMME
l
65
o
99.
Dans
un
"triangle
ABC
on
mène
par
un
point
E
de
AC
les
parallèles
à
AB
et
BC
qui
coupent
BC
en
D
et
AB
en
F.
On
suppose
que
.AE
=
BF.
1°
Quelle
est
la
nature
du
triangle
AED‘?
2°t
QFue
représente
AD
pour
le
triangle
ABC?
En
déduire
la
construction
du
pom
4.
o
"100.
Soit
un
triangle
ABC.
Les
hauteurs
issues
de
[i5
et
C
se
coupent
en
il.
()n
mène
les
perpendiculaires
en
B
à
AB
et
en
C
à
AC
:
elles
se
coupent
en
D.
1°
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
BI-ICD?
d
2°
Que
représente
pour
HD
le
milieu
M
de
BC?
o
101.
D’un
point
D
de
la
base
BC
d’un
triangle
ABC
on
mène
les
parallèles
nuitcôtés
AB
et
AC.
Elles
coupent
respectivement
en
E
et
F
la
parallèle
à
BC
menée
par
le
point
A.
1°
Comparer
les
triangles
ABC
et
DEF.
2°
Comparer
les
segments
CE
et
BF
en
grandeur
et
en
direction.
3°
La
ﬁgure
obtenue
admet—elle
un
centre
de
symétrie?
o
102.
D’un
point
M
de
la
base
BC
d’un
triangle
isocèle
ABC,
on
mène
les
paral—
lèles
aux
côtés
AB
et
AC.
Elles
coupent
ces
côtés
en
N
et
P.
1°
Comparer
la
somme
MN
+
MP
au
côté
AB.
2°
Que
peut—on
dire
du
périmètre
du
quadrilatère
APMN
lorsque
M
décrit
le
segment
BC?
3°
Si
M
est
sur
le
prolongement
de
BC,
que
représente
AB
pour
MN
et
MP‘?
o
103.
Soit
un
triangle
isocèle
ABC.
D’un
point
M
de
la
base
on
mène
les
perpen-
diculaires
MI-I
et
MK
aux
côtés
AB
et
AC.
MK
rencontre
en
I
la
parallèle
a
AC
menée
par
B.
1°
Comparer
les
triangles
M'IB
et
MHB.
Conséquences?
2°
Montrer
que
la
somme
MH
+
MK
est
indépendante
du
point
M.
Comparer
sa
valeur
à
la
hauteur
BD
du
triangle.
3°
Comment
modiﬁer
le
2°
si
le
point
M
est
sur
le
prolongement
de
BC.
o
104.
Par
un
point
M
intérieur
à
un
triangle
équilatéral
ABC,
on
mène
les
parala
lôles
DE
à
BC,
FG
à
CA
et
HI
à
AB.
1°
Comparer
les
segments
déterminés
sur
les
trois
côtés
du
triangle.
2°
Comparer
la
somme
DE
+
FG
+
HI
à
l’un
des
côtés
du
triangle.
3°
Comparer
la
somme
des
distances
du
point
M
aux
trois
côtés
du
triangle
ù
la
hauteur
de
ce
triangle.

DIXIÈME
LEÇON
RECTANGLE
84.
Déﬁnition.
—
Un
rectangle
est
un
parallélogramme
qui
a
un
angle
drolt.
On
obtient
un
rectangle
ABCD
en
coupant
deux
parallèles
par
deux
sécantes
perpendiculaires
à
ces
parallèles
(ﬁg.
82).
ll
en
résulte
(no
73)
que
:
Les
quatre
angles
d’un
rectangle
sont
droits.
D
C
D
C
Fig.
82.
FIG.
83.
85.
Théorème.
—
Tout
quadrilatère
qui
a
ses
angles
droits
est
un
rectangle.
Deux
côtés
Opposés
sont
en
effet
parallèles
car
ils
sont
perpendiculaires
à
cliacun
des
deux
autres.
Comme
dans
tout
parallélogramme
les
côtés
opposés
d
un
rectangle
sont
égaux
et
les
diagonales
se
coupent
en
leur
milieu.
86.
Théorème.
—
Les
diagonales
d’un
reﬁtqngle
sont
égales.
Les
deux
triangles
ABC
et
BAD
(ﬁg.
83)
ont
ABC
=
BAD
=
lD,
le
côté
AB
commun
et
BC
=
AD
comme
côtés
opposés
du
rectangle.
Ils
sont
égaux
(2e
cas)
et“
par
suite
AC
=
BD.
87.
Réciproque.
—
Lorsqu’un
parallélogramme
a
ses
diago-
nales
égales,
c’est
un
rectangle.
Les
deux
triangles
ABC
et
BAD
(ﬁg.
83)
ont
alors
AB
en
commun.

REC
TANGLE
l67
BC
=
AD
et
AC
=
BD
par
hypothèse.
Ils
sont
égaux
(3°
cas).
Les
angles
A
et
B
du
,arallélogramme
sont
donc
égaux.
Comme
ils
sont
supplémentaires,
chacun
eux
vaut
un
drort.
88.
Cercle
circonscrit,
axef'
de
symétrie
du
rectangle.
Les
diagonales
d'un
rectangle
étant
égales,
le
milieu
de
ces
diagonales
est
équldlstant
des
quatre
sommets
(ﬁg.
84),
et
par
suite
ll
est
le
centre
d'un
cercle
passant
par
les
quatre
sommets
:
c'est
le
cercle
circonscrit
au
rectangle.
A
A
B
A
B
0
x’_______
_'O_
a;
i
l
C
D
V
D
C
W
FIG.
84.
FIG.
85.
Les
quatre
triangles
tels
que
AOD
sont
isocèles
(ﬁg.
85).
La
droite
x'x
bissectrice
de
AOD
et
BOC
est
donc
médiatrice
de
AD
et
BC.
De
même
y'y
est
médiatrice
de
AB
et
CD.
ll
en
résulte
que
x'x
et
y'y
sont
deux
axes
de
symétrie
du
rectangle.
89.
Théorème.
——
Les
extrémités
de
deux
diamètres
d’un
cercle
sont
les
sommets
d’un
rectangle.
Les
égalités
0A
=
OC,
OB
=
0D
et
AC
=
BD
montrent
que
l'on
obtient
un
parallélogramme
(no
79)
qui
a
ses
diagonales
égales
(no
87).
PROPRIÉTÉ
CARACTÉRISTIQUE
DU
TRIANGLE
RECTANGLE
90.
Théorème.
—
Dans
tout
triangle
rectangle
la
médiane
issue
du
sommet
de
l’angle
droit
est
égale
C
D
à
la
moitié
de
l’hypoténuse.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A
M
(ﬁg.
86).
Prolongeons
la
médiane
AM
d'une
longueur
égale
MD'.
Le
quadrilatère
ABD'C
cst
un
parallélogramme
car
ses
diagonales
ont
même
milieu
(no
78)
et
un
rectangle
puisque
l’angle
BAC
est
droit.
La
demi-
A
B
diagonale
AM
est
donc
la
moitié
de
BC.
FIG.
86.

I68
GÉOMÉ
TRIE
91.
Réciproque.
—
Lorsqu’une
médiane
d’un
triangle
est
égale
à
la
moitié
du
côté
correspondant,
ce
triangle
est
rectangle.
La
construction
précédente
donne
un
parallélogramme
qui
a
des
diagow
nales
égales,
c'est-à-dlre
un
rectangle
(n0
87).
92.
Cercle
circonscrit
au
triangle
rectangle.
—
Il
en
résulte
que
A
FIG.
87.
(ﬁg.
86)
Le
cercle
ayant
pour
diamètre
l’hypoténuse
d’un
triangle
rec-
tangle
passe
par
le
sommet
de
l’angle
droit.
Ce
cercle
est
le
cercle
circonscrit
au
trlangle
rectangle.
Réelproque-
ment
z
Lorsqu’on
joint
un
point
d’un
cercle
aux
extrémités
d’un
dia-
mètre,
on
obtient
un
angle
droit.
_
Les
points
A
d’un
cercle
de
diamètre
BC
ont
pour
propriété
caractérisu
thueîd
être
tels
que
langle
BAC
48011:
droit
(ﬁg.
87).
LOSANGE
{Î
93.
Déﬁnition.
—
Un
losange
est
un
parallélogramme
qui
a
deux
côtés
consécutifs
égaux.
Il
en
résulte
(n°
75),
que:
Les
quatre
côtés
d’un
losange
sont
égaux.
Réciproquement
:
94.
Théorème.
—
Tout
quadri-
latère
convexe
qui
a
ses
quatre
côtés
égaux
est
un
losange.
Car
ses
côtés
opposés
étant
égauxz
c'est
un
parallélogramme
(n°
77)
qui
a
deux
côtés
consécutifs
égaux.
On
en
déduit
que
l'on
obtient
un
losange
ABCD
en
prenant
B
et
D
sur
un
arc
de
centre
A
et
le
point
C
à
l’intersection
de
deux
cercles
de
même
rayon
de
centres
B
et
D
(ﬁg.
88).
FIG.

RECTANGLE
169.
Comme
dans
tout
parallélogramme
les
angles
opposés
d'un
losange
sont
égaux
et
les
diagonales
se
coupent
en
leur
milieu.
95'.
Théorème.
—
Les
diagonales
d’un
losange
sont
perpendi-
culaires
et
bissectrices
des
angles
A
du
losange.
Soit
un
losange
ABCD
de
centre
O
ä
(ﬁg.
89).
Dans
le
triangle
isocèle
DAB,
D
B
la
médiane
A0
est
également
hauteur
0
‘“
et
bissectrice
de
l'angle
A.
Donc
A_C
est
perpendiculaire
à
BD
et
bissectrice
des
angles
A
et
C
du
C
losange.
FIG_
89_
96.
Réciproque
I.
—
Lorsqu’un
parallélogramme
a
ses
diago-
nales
perpendiculaires
c’est
un
losange.
Les
diagonales
_duiqiparallélogramme
ABCD
sel—coupant
_en
leur
milieu,
sont
alors
médiatrices
l'une
de
l'autre.
Le
pomt
A
est
équidistant
de
B
et
D
(n°
16)
et
par
suite
AB
=
AD.
97.
Réciproque
II.
—
Lorsqu’une
diagonale
ïd’un
parallélo-
gramme
est
bissectrice
de
l’un
de
ses
angles,
ce
parallélogramme
est
un
losange.
D
C
Si
dans
le
parallélogramme
ABCD
(ﬁg.
90),
la
diagonale
AC
est\
hisse/c-
trice/de
l’angle
A,
nous
avons
A1
=
A2.
Or
A2
est
égal
à
C2,
comme
alterne-
interne
et
'
par
suite
A1
=
Le:
A
B
triangle
ABC
ayant
delëi
angles
égaux
Fia.
90.
est
isocèle
et
AB
=
.
98.
Axes
de
symétrie
du
losange.
—
Les
diagonales
d'un
losange
sont
des
axes
de
symétrie
du
losange.
En
effet
les
diagonales
du
losange
ABCD
ﬁg.
89)
sont
médiatrices
l’une
de
l’autre.
En
pliant
le
losange
suivant
la
iagonale
BD
par
exemple,
les
deux
parties
ABD
et
CBD
coïncident.

l
70
GÉOMÉ
TRIE
CARRÉ
99.
Déﬁnition.
—
Le
carré
est
un
rectangle
qui
a
deux
côtés
consécutifs
égaux
(lou
uriz
)lo-
sange
qui
a
un
ang
e
dro
t
.
D
/\
c
.
.
On
obtient
un
carré
en
construl-
sant
un
parallélogramme
ABCD
dont
un
angle
DAB
est
droit
et
dont
les
0
deux
côtés
consécutifs
AB
et
AD
sont
égaux.
Il
est
plus
rapide
(ﬁg.
9l)
de
prendre
pour
sommets
les
extré—
mités
de
deux
diamètres
rectangu—
45°
laires
d’un
cercle.
Le
rectangle
ainsi
obtenu
(n°
89)
a
ses
côtés
égaux.
A
B
\+/
Le
carré
possède
toutes
les
pro—
priétés
du
rectangle
et
du
losange:
FIG.
91.
100.
Théorème.
—
Dans
un
carré,
les
quatre
côtés
sont
égaux,
les
quatre
angles
sont
droits
et
les
diagonales
sont
égales,
perpen-
diculaires
et
bissectrices
des
angles
du
carré.
L'angle
formé
par
un
côté
et
une
diagonale
est
donc
égal
à
45°,
et
le
centre
du
carré
est
le
centre
du
cercle
circonscrit
au
carré
(ﬁg.
9l).
Le
carré
possède
quatre
axes
de
symétrie
:
les
médiatrices
des
côtés
opposés,
comme
dans
un
rectangle
et
les
diagonales,
comme
dans
un
losange.
EXERCICES
o
105.
Deux
cercles
inégaux
de
centres
O
et
0’
passent
par
deux
points
A
et
B.
Or’ramène
les
diamètres
AOC
et
AO'D.
1°
Évaluer
les
angles
ABC
et
ABD.
2°
Comment
sont
diSposés
les
points
B,
C
et
D?
o
106.
Soit
un
triangle
ABC.
On
mène
la
hauteur
AH
et
on
joint
les
milieux
M
et
N
des
côtés
AB
et
AC.
1°
Comparer
les
triangles
AMN
et
HMN
et
montrer
que
MN
est
médiatrice
de
AH.
2°
On
mène
les
hauteurs
MI
et
NJ
des
triangles
MBH
et
NCH.
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
MNJ
I?
3°
Comparer
MN
et
BC
en
grandeur
et
en
direction.

RECTANGLE
l7]
o
107.
Deux
droites
parallèles
x’x
et
y’
y
sont
coupées
en
A
et
B
par
une
sécante.
Les
bissectrices
des
angles
intérieurs
formés
en
A
et
B
se
coupent
en
M
et
N.
1°
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
AMBN?
Comparer
AB
et
MN.
2°
Montrer
que
MN
est
parallèle
à
x’x
et
y’
y
et
équidistant
de
ces
2
droites.
mène
les
bissectrices
intérieures
des
angles
A
et
B
d’un
parallélo-
gramme
ABCD
tel
que
AB
<
AD.
Ces
bissectrices
coupent
BC
et
AD
en
E
et
F
et
se
coupent
en
M.
‘
A
1°
QIÂËle
est
la
nature
du
quadrilatère
ABEF?
Comparer
EC
à
la
différence
2°
Les
bissectrices
des
angles
C
et
D
se
coupent
en
N.
Comparer
les
triangles
EMF
et
CND.
3°
Comparer
MN,
en
grandeur
et
en
direction,
aux
côtés
du
parallélogramme.
o
109.
Avec
un
même
rayon
on
trace
des
arcs
de
cercles
de
centres
A
et
B
se
coupant
en
I.
Puis
on
trace
le
cercle
de
centre
I
passant
par
A
et
B,
et
les
dia—
mètres
AE
et
BF
de
ce
cercle.
AF
et
BE
coupent
respectivement
en
D
et
C
les
deux
premiers
arcs.
1°
Montrer
que
les
angles
ABE
et
BAF
sont
droits.
2°
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
ABCD?
.
3°
Comment
faut-il
choisir
le
rayon
initial
pour
obtenir
un
carré?
o
110.
Soit
un
cercle
de
diamètre
BC
et
un
point
A
de
ce
cercle.
On
désigne
par
I
et
J
les
intersections
du
demi-cercle
BAC
avec
les
médiatrices
de
AC
et
AB.
1°
Comparer
les
directions
de
ces
médiatrices
et
des
côtés
de
l’angle
A.
2°
Que
représentent
BI
et
CJ
pour
le
triangle
ABC?
3°
I’
et
J
’
étant
diamétralement
opposés
à
I
et
J,
que
représentent
de
même
BI’
et
CJ'?
o
111.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A.
On
mène
la
médiane
AM
et
la
hau—
teur
AH
(on
supposera
H
entre
B
et
M).
1°
Comparer
les
angles
BAH
et
ACB
à
l’angle
ABC.
Conséquence?
/\
/'\
/\
A
2°
Comparer
ensuite
BAH
et
CAM
et
montrer
que
BAC
et
HAM
ont
même
bissectrice.
.
y
o
112.
,Un
triangle
ABC
a
ses
sommets
sur
le
cercle
de
diamètre
BC.
Soit
D
l’inter-
section
du
demi-cercle
qui
ne
contient
pas
A
avec
la
médiatrice
de
BC.
On
mène
DE
et
DF
perpendiculaires
à
AB
et
AC.
1°
Comparer
les
segments
DB
et
DC
et
les
angles
BDE
et
CDF.
2°
Comparer
les
triangles
BDE
et
CDF
Conséquences
pour
DE
et
DF?
3°
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
AEDF?
Montrer
que
AD
est
bissec—
trice
de
l’angle
BAC.
o
113.
Dans
un
triangle
ABC
rectangle
en
A,
la
médiatrice
de
BC
coupe
AC
en
D.
Soit
E
le
point
symétrique
de
D
par
rapport
à
A.
1°
Comparer
les
angles
E
et
C
du
triangle
EBC.
2°
La
médiane
AM
du
triangle
ABC
coupe
BE
en
F.
Comparer
EF
et
EA.
3°
Comparer
les
segments
BF
et
AC.

ONZIÈME
LEÇON
TRAPÈZE
101.
Déﬁnition.
—
Un
trapèze
est
un
quadrilatère
convexe
qui
a
deux
côtés
parallèles.
Les
côtés
parallèles
d'un
trapèze
(ﬁg.
92)
sont
les
bases.
Les
côtés
non
parallèles
sont
les
côtés
obliques.
La
dis-
D
C
tance
des
deux
bases
est
la
hauteur
du
trapèze.
Un
parallélogramme
'est
un
traﬂ
pèze
particulier
dont
les
bases:sont
égales.
L.
Deux
angles
adjacents
à
un
même
côté
oblique
sont
supplémentaires.
Cette
condition
est
sufﬁsante
pour
A
B
qu'un
quadrilatère
convexe
SOlt
un
tra—
FIG.
92.
pèze
(n°
57).
102.
Trapèzes
particuliers.
1°
Un
trapèze
rectangle
a
un
côté
perpendiculaire
aux
bases.
ll
a
donc
deux
angles
droits
consécutifs
(ﬁg.
93)
et
cette
propriété
est
sufﬁsante
pour_Lqu'un
quadrilatère
convexe
son
un
trapèze
rectangle.
D
C
D
C
.1
A
B
A
FIG.
93.
FIG.
94.
-n
—_r---—-—-
I
Ë
l
l
ri.
E
2°
Un
trapèze
isocèle
a
des
côtés
non
parallèles
égaux.
On
obtient
un
trapèze
isocèle
en
prolon
eant
la
base
EF
d’un
rectan
le
CDEF
de
deux
longueurs
égales
EA
=
F
B
.
94
.
Le
d
t
.
l
D
A
et
CFB
étant
égaux
(2.
c”)
on
a
bien
A
ﬁg:
Bè.
8
eux
nang
es

TRAPËZE
173
103.
Théorème.
—
Pour
qu’un
trapèze
soit
isocèle
il
faut
et
il
sufﬁt
que
les
angles
adjacents
à
D
c
une
même
base
soient
égaux.
Dans
le
trapèze
ABCD
(ﬁg.
95)
ter-—
minons
le
parallélogramme
BCDE.
Nous
avons
BC
=
ED
et
ﬁc
=
KEÏ)
comme
correspondants.
ç
l°
L'égalité
des
côtés
AD
et
BC
A
E
B
entraîne
celle
de
AD
et
ED.
Le
FIG.
95.
triangle
DAE
est
isocèle
et
par
suite
/\
/\
/'\
/\
/\
BAD
=
AED
=
ABC.
Les
angles
A
et
B
du
trapèze
sont
donc
égaux.
Il
en
est
de
même
de
leurs
suppléments
C
et
D.
/'\
/\
/\
2°
L’égalité
des
angles
A
et
B
(ou
C
et
D)
du
trapèze
entraîne
celle
de
DAE
et
Le
triangle
DAE
est
donc
isocèle.
Le
côté
AD
est
égal
à
ED
et
par
suite
à
BC.
'
104.
Axe
de
symétrie;
cercle
circonscrit
au
trapèze
isocèle.
Prolongeons
les
côtés
non
parallèles
du
trapèze
ABCD
jusqu’en
M
(ﬁg.
96).
Les
triangles
MAB
et
MCD
ont
des
angles
à
la
base
égaux
:
ils
sont
isocèles.
La
bissectrice
de
l'angle
M
est
médiatrice
de
AB
et
de
CD
et
par
suite
axe
de
symétrie
du
trapèze
isocèle.
FIG.
96.
FIG.
97.
La
médiatrice
du
côté
obli
ue
BC
coupe
cet
axe
en
un
point
O
(ﬁg.
97).
Par
suite
(n°
l6)
0A
=
OB,
B
=
OC
et
OC
=
0D.
Le
point
O
est
donc
équidistant
des
quatre
sommets.
C’est
donc
le
centre
d’un
cercle
circonscrit
en
trapèze
isocèle.

l
74
GÉOMÊ
TRIE
PARALLÈLES
ÉQUIDISTANTES
105.
Théorème.
—-
Lorsque
des
parallèles
déterminent
des
seg-
ments
égaux
sur
une
première
sécante,
elles
déterminent
des
ségments
correspondants
égaux
sur
toute
autre
sécante.
A
A’
Soient
deux
segments
égaux
AB
et
CD
déterminés
par
des
,
parallèles
sur
la
sécante
A
A
I
(ﬁg.
98).
Pour
comparer
les
seg—
ments
correspondants
A’B'
et
C'D'
détermmés
sur
A',
rempla—
B,
J
çons-les
par
les
segments
paral-
B
E
lèles
AE
et
CF.
Nous
avons
AE
=
A'B'
et
CF
=
C'D'
I
comme
côtés
opposés
de
paral-
C
C
K
lélogrammes.
Les
deux
triangles
ABE
et
CDF
ont
AB=
CD,
les
angles
A
et
C
égaux
comme
’
L
D
F
correspondants
et
de
même
B
=
D.
lls
sont
donc
égaux
I
\
(I‘Îr
cas).
AE
et
CF
sont
par
Fm.
98,
SUlte
égaux,
let
par
conséquent:
A’B’
=
C’D
106.
Parallèles
équidistantes.
—
Si
tous
les
segments
consécutifs
déter-
minés
sur
la
première
sécante
sont
égaux,
il
en
est
de
même
des
segments
déterminés
sur
une
sécante
rpendiculaire
à
ces
parallèles
qui
sont
donc
équidistantes.
Il
en
estuainsi
es
lignes
d'une
feuille
de
papier
réglé
ou
de
celles
d'un
guide-lignes.
REMARQUE.
—-
La
propriété
précédente
montre
que
les
bandes
consécutives
déﬁnies
par
des
parallèles
équidistantes
sont
égales
et
déterminent
des
segments
égaux
sur
toute
sécante.
/
APPLICATIONS
107.
Partage
d’un
segment
en
parties
égales.
Soit
à
partager
un
segment
AB
en
cinq
parties
égales
(ﬁg.
99).
Portons
à
partir
de
A,
sur
une
demi-droite
auxiliaire
Ax.
cin
segments
consécutifs
égaux.
Joignons
l'extrémité
C
du
dernier
au
point
et
par
les
points
de
division
de
AC
menons
les
parallèles
à
BC.
Ces
parallèles
sont
équidistantes.
Elles
partagent
donc
AB
en
cinq
segments
égaux.

TRAPÈZE
l
75
On
peut
aussi
reporter
AB
sur
le
bord
d:une
bande_
de
papier
et
placer
cette
bande
sur
du
papier
réglé
de
façon
à
intercaler
cmq
mterlrgnes
entre
A
et
B
(ﬁg.
100).
L
/
/
/
/
/
A
B
[B
f
A
FIG.
99.
FIG.
100..
108.
Droites
des
milieux
des
côtés
dans
un
triangle.
——
Le
seg-
ment
qui
joint
les
milieux
de
deux
côtés
d’un
triangle
est
paral-
lèle
au
troisième
côté
et
égal
à
sa
moitié.
Soient
un
triangle
ABC
et
M,
N
et
P
les
milieux
des
côtés
ÀB,
AC
et
BC
(ﬁg.
10|).
Par
M
menons
la
parallèle
à
BC.
D’après
la
construction
précédente,
cette
parallèle
passe
par
N.
Autrement
dit
MN
est
parallèle
à
BC.
De
même,
NP
est
parallèle
à
AB.
Dans
le
parallélogramme
MNPB,
nous
avons
MN
=
BP,
soit
MN
=
BC.
A
A
B
B
pr
‘
c
D
‘
C
FIG.
101.
FIG.
102.
109.
Base
moyenne
d’un
trapèze.
—
Le
segment
qui
joint
les
milieux
des
côtés
non
parallèles
d’un
trapèze
est
parallèle
aux
bases
et
égal
à
leur
demi-somme.
Menons
dans
le
trapèze
ABCD,
la
parallèle
aux
bases
passant
par
le
milieu
M
de
AD
(ﬁg.
l02).
Elle
passe
par
le
milieu
P’de
AC
et
le
milieu
N
de
BC.
Autrement
dit
MN
est
parallèle
aux
bases.

l
76
GÊOMÉ
TRIE
D'autre
part,
d'après
le
théorème
précédent
MP
=
à
DC
et
PN
=
12-
AB.
1
1
AB
+
CD_
Par
suite
MN
=
MP
+
PN
=
2
AB
+
-2-
CD,
soit
MN
=
2
Le
segment
MN
est
appelé
base
moyenne
du
trapèze.
EXERCICES
o
113.
Soient,
dans
un
cercle
de
centre
O,
deux
arcs
égaux
et
de
même
sens
AB
et
C
.
1°
Montrer
que
les
angles
AOD
et
BOC
ont
même
bissectrice.
Comparer
les
directions
de
AD
et
BC.
AB2(‘3’DC‘Ïomparer
les
triangles
AOB
et
COD.
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
o
115.
Soit
un
trapèze
isocèle
ABCD
de
bases
AB
et
CD.
1°
Comparer
les
triangles
ABC
et
BAD.
Conséquences?
2°
Montrer
que
les
diagonales
AC
et
BD
sont
égales
et
qu’elles
forment
des
angles
égaux
avec
chacune
des
bases
et
avec
les
côtés
non
parallèles.
o
116.
Dans
un
trapèze
rectangle
la
base
AB
est
double
de
CD
et
égale
au
côté
oblique
BC.
1°
Montrer
que
AC
=
BC.
Quelle
est
la
nature
du
triangle
ABC?
2°
Évaluer
les
angles
du
trapèze.
o
117.
Dans
un
trapèze
isocèle
ABCD,
la
petite
base
CD
est
égale
aux}
côtés
non
parallèles
AD
et
BC.
'
1°
Montrer
que
la
diagonale
AC
est
bissectrice
de
l’angle
A.
2°
Calculer
les
angles
du
trapèze
en
supposant
AC
=
AB.
3°
Même
calcul
en
supposant
AC
perpendiculaire
à
BC.
o
118.
Dans
le
quadrilatère
convexe
ABCD
les
côtés
AB
et
CD
sont
parallèles
et
les
côtés
AD
et
BC
sont
égaux.
0
1
mène
les
segments
AE
et
BF
perpendicu-
laires
à
CD.
1o
Comparer
les
triangles
ADE
et
BCF.
2°
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
ABCD
suivant
que
CF
et
DE
sont
de
même
sens
ou
de
sens
contraires?
o
119.
Soit
un
triangle
ABC.
01
désigne
par
M
le
milieu
de
BC
et
par
D
et
E
les
points
qui
divisent
AB
en
trois
segments
égaux:
AD,
DE
et
EB.
Le
segment
DC
coupe
AM
en
I.
1°
Comparer
EM
et
DC
puis
DI
et
EM.
2°
Que
représente
le
point
I
pour
le
segment
AM
et
pour
le
segment
DC?
o
120.
Soient
ABC
un
triangle
et
DE
le
segment
qui
joint
les
milieux
des
côtés
AB
et
AC.
Montrer
que
la
médiane
AM
du
triangle
ABC
'et
le
segment
ED
se
coupent
en
leur.
milieu.

o
121.
Soient
M
et
N
les
milieux
des
côtés-BC
et
AB
d’un
triangle
ABC.
On
mène
par
C
et
M
les
perpendiculaires
à
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
A.
Ces
perpen-
diculaires
coupent
AB
en
D
et
P.
1°
Montrer
que
ADC
est
isocèle
et
que
AD
=
AC.
2°
Montrer
que
AP
=
ê-B—ÈAQ
et
comparer
NP
et
AC.
o
122.
Soient
D]
et
D,
deux
parallèles
coupées
en
A
et
B
par
une
sécante.
Soit
O
le
milieu
de
AB.
On
mène
les
bissectrices
de
chacun
des
angles
formés
en
A
et
B.
1°
Montrer
que
ces
bissectrices
se
coupent
en
M
et
N
sur
la
parallèle
à
D1
et
D2
équidistante
de
ces
deux
droites.
2°
Montrer
que
O
est
le
milieu
de
MN
et
que
OM
=
ON
=
o
123.
Dans
un
parallélogramme
on
mène
les
bissectrices
intérieures
(ou
exté-
rieures).
1°
Montrer
qu’elles
forment
un
rectangle.
2°
Utiliser
les
résultats
de
l’exercice
précédent
pour
comparer
la
longueur
et
la
direction
de
ses
diagonales
aux
côtés
du
parallélogramme.
3°
Dans
quel
cas
obtient-on
un
carré?
o
124.
On
joint
les
milieux
des
côtés
consécutifs
d’un
quadrilatère
ABCD.
1°
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
MNPQ
obtenu?
Comparer
la
longueur
et
la
direction
de
ses
côtés
à
celles
des
diagonales
AC
et
BD.
2°
A
quelles
conditions
obtient—on
un
rectangle,
un
losange
ou
un
carré?
3°
Montrer
que
le
segment
RS
qui
joint
les
milieux
de
AC
et
BD
a
même
milieu
que
les
segments
MP
et
NQ.
o
125.
Soit
un
trapèze
ABCD.
On
désigne
par
M
et
N
les
milieux
des
côtés
non
parallèles,
P
et
Q
les
milieux
des
bases
et
R
et
S
les
milieux
des
diagonales.
1°
Montrer
que
RS
est
porté
par
la
base
moyenne
MN,
qu’il
a
même
milieu
qu’elle
et
que
RS
est
égal
à
la
demi-différence
des
bases.
2°
On
suppose
le
trapèze
isocèle.
Montrer
que
les
deux
quadrilatères
MPNQ
et
PRQS
sont
des
losanges.
o
126.
Soit
un
quadrilatère
qui
admet
un
axe
de
symétrie.
1°
Montrer
que
si
deux
sommets
consécutifs
sont
symétriques,
ce
quadrilatère
est
un
trapèze
isocèle
convexe
ou
croisé.
2°
Montrer
que
si
deux
sommets
opposés
sont
symétriques,
la
diagonale
qui
joint
ces
deux
sommets
admet
l’autre
diagonale
pour
médiatrice.
Étudier
les
formes
possibles
de
ce
quadrilatère
convexe
(cerf—volant)
ou
concave
(fer
de
lance).

DOUZIÈME
LEÇON
|
DROITES
CONCOURANTES
DANS
UN
TRIANGLE
110.
Théorème.
—
Lorsque
deux
droites
sont
respectivement
perpendiculaires
à
deux
droites
concourantes,
elles
sont
elles-
mêmes
concourantes.
Soient
les
droites
x'x
et
y'y
perpendiculaires
aux
côtés
de
l'angle
BAC
(ﬁg.
103).
Ces
droites
ne
peuvent
être
parallèles
sans
que
les
trois
points
A,
B
et
C
soient
sur
une
même
droite
perpendiculaire
à
leur
direction
commune.
Comme
ce
n'est
pas
le
cas,
x’x
et
y’y
sont
concourantes.
Fm.
103.
Fm.
104.
111.
Théorème.
—
Pour
que
deux
demi-droites
soient
concou-
rantes,
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’elles
forment,
avec
la
droite
qui
joint
leurs
origines,
deux
angles
intérieurs
d’un
même
côté
ayant
une
somme
inférieure
à
deux
droits.
Soient
x'x
et
y'y
deux
droites
coupées
par
la
sécante
âB
(ﬁg.
104).
l0
Si
Ax
et
By
se
coupent
en
C,
nous
avons
:
A1
+
B1
<
2D
(n0
65).
2°
Si
nous
supposons
:
A1
+
B1
2D,
les
deux
droites
x'x
et
y'y
ne
sont
pas
parallèles
(n0
57)
et
sont
par
sulte
concourantes.
Comme
la
somme
des
angles
intérieurs
en
A
et
B
est
égale
à
4D,
nous
avons
:
A2
+
B2
>
2D.
Les
demi-droites
Ax'
et
By'
ne
peuvent
se
couper
d'après
le
1°.
Ce
sont
donc
Ax
et
By
qui
sont
concourantes.

DROITES
CONCOURANTES
DANS
UN
TRIANGLE
179
112.
Médiatrices.
—
Les
trois
médiatrices
d’un
triangle
sont
concourantes
en
un
point
O
équidistant
des
trois
sommets
du
triangle.
A
Considérons
dans
le
triangle
ABC
(ﬁg.
l05),
les
médiatrices
des
côtés
A13
et
AC.
Ces
médiatrices
sont
perpendi-
culaires
aux
côtés
de
l'angle
A
et
se
coupent
donc
en
un
point
(n0
HO).
Ce
point,
étant
sur
la
médiatrice
de
AB,
est
équidistant
de
A
et
B
(n
016)
et
par
suite
0A
=
OB.
Étant
sur
la
médiatrice
de
AC,
il
est
équidistant
de
A
et
C
et
0A
=
0C.
Il
en
résulte
que
QA
=
OB
=
OC.
Le
point
O
étant
équidlstant
de
B
et
C
est
sur
la
médiatrice
de
BC
qui
passe
donc
par
O.
.
FIG.
105.
t
I
I
I
I
'
’
O
p
t)
l
Le
point
de
concours
O,
équidistant
des
trois
sommets,
est
le
centre
d'un
cercle
circonscrit
au
triangle
ABC
(cercle
ABC).
113.
Hauteurs.
—
Les
trois
hauteurs.
d’un
triangle
sont
concou-
rantes
en
un
point
H
appelé
orthocentre
du
triangle.
Menons
par
les
trois
sommets
du
triangle
ABC,
les
arallèles
aux
côtés
opposés
106).
Nous
obtenons
un
triangle
DEF.
Dans
les
parallélogrammes
BCAF
et
BCEA
nous
avons
BC
=
FA
et
BC
=
AE.
Donc
F
A
=
AE.
La
hauteur
AA'
per—
pendiculaire
à
BC
est
perpendi-
culaire
au
segmenÂÂarallèle
EF
en
son
milieu:
'
est
donc
médiatrice
de
EF.
On
démontrerait
de
même
que
FIG.
106.
BB'
et
CC'
sont
les
médiatrices
de
FD
et
de
DE.
Les
hauteurs
du
triangle
ABC
sont
médiatrices
du
triangle
DEF.
Elles
sont
donc
concou-
tantes
en
un
point
H,
centre
du
cercle
DEF
(n°
HZ).
REMARQUE.
—
Notons
que
l'un
äuelconque
des
quatre
ints
_A,
B,
C
et
H
est
l'orthocentre
du
triangle
ont
les
sommets
sont
es
trons
autres.
Ainsi
A
est
l'orthocentre
du
triangle
BHC.

l
80
GÉOMÉ
TRIE
114.
Médianes.
—
Les
trois
médianes
d’un
triangle
sont
concou-
rantes
en
un
point
G
situé
au
tiers
de
chacune
d’elles
à
partir
du
côté
correspondant
et
appelé
centre
de
gravité
du
triangle.
Considérons,
dans
le
triangle
ABC,
les
médianes
ÀM
et
BN
(ﬁg.
l07).
Les
points
A
et
M
étant
de
part
et
d'autre
de
BN,
ces
deux
médianes
se
coupent
en
un
point
G
situé
entre
A
et
M
et
par
suite
à
l'intérieur
du
triangle.
Le
segment
MN
est
parallèle
à
BA
et
égal
à
sa
moitié
(n0
l08).
Le
segment
DE
qui
joint
les
milieux
D
et
E
de
GA
et
GB
est
lui
aussi
parallèle
à
BA
et
égal
à
sa
moitié.
Les
segments
NM
et
DE
sont
donc
égaux
et
parallèles
et
le
quadrilatère
MNDE
est
un
parallélogramme
de
centre
C
(no
8l).
Il
en
résulte
que
:
MG
=
ci)
=
DA.
A
P
B
La
'médiane
BN
coupe
donc
AM
au
FIG“
107'
point
C
situé
au
tiers
de
AM
à
partir
de
_
M.
Il
en
est
de
même
de
la
médiane
CP,
qui
passe
donc
aussi
par
G.
Le
segment
NC
est
le
tiers
de
NB
et
le
seg-
ment
PC
est
le
tiers
de
PC.
115.
Bissectrices
intérieures.
—
Les
trois
bissectrices
intérieures
d’un
triangle
sont
concourantes
en
un
point
I
équidistant
des
trois
côtés
du
triangle.
Considérons
dans
le
triangle
ABC,
les
bissectrices
intérieures
BB'
et
CC'
(ﬁg.
108).
Les
points
B
et
B'
étant
de
part
et
d'autre
de
CC',
ces
deux
bissectrices
se
rencontrent
en
un
point
l
situé,
entre
B
et
B',
à
l'inté-
rieur
du
triangle.
Le
point
l
étant
sur
la
bissectrice
de
l'angle
B
est
équidistant
de
BC
et
BA,
d’où
ID=
IF
(n°
29).
Étant
sur
la
bissectrice
de
l'angle
C,
il
est
équidistant
de
CB
et
CA
et
ID
=
1E.
Il
en
résulte
que
ID
=
lE
=
IF.
Le
point
l
étant
équidistant
de
AB
et
AC
se
trouve
sur
la
bissectrice
inté-
FIG.
108.
rieure
de
l'angle
A.
Nous
verrons
que
le
point
l
a!
le
centre
du
cercle
inscrit
dans
le
triangle
ABC
(cercle
DEF).

DROITES
CONCOURANTES
DANS
UN
TRIANGLE
18|
116.
Bissectrices
extérieures.
—
Les
bissectrices
extérieures
de
deux
angles
d’un
triangle
et
la
bissectrice
intérieure
du
troisième
angle
sont
concourantes.
Considérons
dans
le
triangle
ABC
(ﬁg.
109),
les
bissectrices
Bu
et
Cv
des
angles
extérieurs
xBC
et
yCB.
Les
angles
31
et
C1
formés
avec
BC
sont
aigus,
car
ce
sont
des
moitiés
d'angles
saillants.
Leur
somme
est
donc
infé—
rieure
à
2D.
Les
demi-droites
Bu
et
Cv
se
coupent
par
suite
en
un
point
J
(n°
lll)
de
la
portion
du
plan
xBCy
intérieure
à
l'angle
xAy.
En
raisonnant
comme
précédemment,
nous
voyons
que
ce
point
J
est
équidistant
de
la
droite
BC
et
des
demi-droites
Ax
et
Ay.
Il
se
trouve
sur
la
bissectrice
intérieure
de
l'angle
A
(n°
29).
FIG.
109.
FIG.
110.
Le
point
J
est
appelé
centre
du
cercle
ex-inscrit
dans
l’angle
A
du
triangle
ABC.
Nous
obtiendrons
de
même
les
points
K
et
L
sur
les
bissectrices
intérieures
des
angles
B
et
C.
Il
existe
ainsi
quatre
points
I,
J,
K
et
L
équidistants
des
trois
côtés
du
triangle
(ﬁg.
HO).
Remarquons
l'un
de
ces
quatre
points
est
l'orthocentre
(n°
H3)
du
triangle
ayant
pour
sommets
les
trois
autres.
Ainsi
le
point
l
est
l'orthocentre
du
triangle
JKL,
car
la
bissectrice
intérieure
et
la
bissectrice
extérieure
issues
d'un
même
sommet
étant
perpendiculaires,
on
voit
que
I]
par
exemple
est
la
hauteur
issue
de
J
dansJe
triangle
JKL.
117.
Application.
—
Construire
la
bissectrice
de
l'angle
formé
par
Jeux
droites
que
l'on
ne
peut
prolonger
jusqu'à
leur
point
de
remontre.

l
82
GÉOMÊ
TRIE
Soit
à
construire
la
bissectrice
de
l'angle
formé
par
les
,deux
droites
x'x
et
y'y
1,1
l)
que
ion
ne
peut
pro-
longer
Jusqu
à
leur
pomt
de
rencontre
A.
Menons
une
sécante
BC.
puis
les
bissectrices
des
angles
x'BC
et
y'CB.
Ces
bissectrices
se
coupent
en
I
point
de
concours
des
bissectrices
intérieures
du
triangle
ABC.
Le
point
I
appar-
‘
tient
à
la
bissectrice
cherchée.
'
Les
bissectrices
des
angles
xBC
et
yCB
sont
les
bissectrices
extérieures
en
B
et
C
du
triangle
ABC.
Elles
se
coupent
en
un
point
J
de
la
bissectrice
Fm.
111.
cherchée
qui
est
donc
la
droite
I
EXERCICES
o
127.
Dans
un
triangle
ABC
le
cercle
de
diamètre
BC
recoupe
les
côtés
AC
et
AB
et
E
et
F.
1°
Évaluer
les
angles
BEC
et
CFB.
2°
BE
et
CF
se
coupent
en
H.
Montrer
que
AH
est
perpendiculaire
à
BC.
o
128.
Soit
un
cercle
de
centre
0.
On
considère
les
milieux
M,
N
et
P
des
cordes
BC,
CA
et
AB.
1°
Quel
est
l’orthocentre
du
triangle
MNP?
2°
Montrer
que
les
deux
triangles
ABC
et
MNP
ont
même
centre
de
gravité.
o
129.
Soit
un
parallélogramme
ABCD
et
un
point
M
extérieur.
1°
Montrer
que
les
triangles
MAC
et
MBD
sont
en
commun
la
médiane
issue
de
M
2°
.Que
peut-on
dire
de
leurs
centres
de
gravité?
o
130.
Trois
cercles
égaux
passent
par
un
même
point
A
et
se
recoupent
en
l;
C
et
D.
Soient
M,
N
et
P
les
points
diamétralement
opposés
à
A.
1°
Montrer
que
B,
C
et
D
sont
les
milieux
des
côtés
du
triangle
MNP.
2°
Que
représente
le
point
A
pour
chacun
des
triangles
MNP
et
BCD?
3°
Comparer
le
cercle
circonscrit
à
BCD
aux
trois
cercles
initiaux.
o
131.
Soit
un
triangle
ABC
dont
les
sommets
sont
sur
un
cercle
de
centre
().
On
appelle
D
le
point
diamétralement
opposé
au
point
A,
H
l’orthocentre
de
Alu:
et
G
son
centre
de
gravité.
1°
Montrer
que
les
segments
BC
et
HD
ont
même
milieu.
2°
Montrer
que
les
triangles
ABC
et
AHD
ont
la
médiane
issue
de
A
commune.
En
déduire
que
G
est
le
centre
de
gravité
de
AHD.
3°
Quelle
est
la
position
du
point
G
par
rapport
à
H
et
0?

DROITES
CONCOURANTES
DANS
UN
TRIANGLE
183
o
132.
Soit
un
trian
e
ABC
dont
l’orthocentre
est
H.
On
désigne
par
M,
N
et
P
les
milieux
des
côtés
C,
CA
et
AB,
par
D,
E
et
F
les
milieux
de
HA,
HB
et
HC.
.110
Montrer
que
les
trois
segments
MD,
NE
et
PF
sont
égaux
et
ont
même
m1
leu.
2°
On
trace
le
cercle
de
diamètre
MD.
Montrer
qu’il
passe
par
le
pied
A’
de
la
hauteur
issue
de
A.
3°
Compter
les
points
remarquables
situés
sur
le
cercle
précédent.
(Cercle
des
neuf
points
du
triangle.)
o
133.
Soit
un
quadrilatère
convexe
ABCD
dans
lequel
Â\
=
6
=
1°
et
Ë
>
1°.
On
construit
les
symétriques
de
AC
par
rapport
à
AB
et
BC
qui
se
coupent
en
E.
1°
Montrer
que
BD
est
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
AEC.
2°
AB
et
CD
se
coupent
en
F
et
AD
et
BC
se
coupent
en
G.
Montrer
que
FG
est
perpendiculaire
en
E
à
BD.
o
134.
Soit
D
le
pied
de
la
hauteur
issue
de
A
dans
le
triangle
ABC.
On
prend
les
sEymétriques
M
et
N
de
D
par
rapport
à
AB
et
AC.
MN
coupe
AB
en
F
et
AC
en
.
1°
Que
représentent
AB',
AC
et
AD
pour
le
triangle
DEF?
2°
Montrer
que
AD,
BE
et
CF
sont
concourantes.
Que
représente
le
point
de
concours
pour
chacun
de
ces
triangles
ABC
et
DEF?
o
135.
On
prolonge
la
médiane
AM
d’un
triangle
ABC
d’une
longueur
MD
égale
au
tiers
de
AM.
Soit
d’autre
part
G,
le
centre
de
gravité
de
ABC.
1°
Comparer
les
côtés
du
triangle
BGD
aux
médianes
du
triangle
ABC.
2°
Comparer
les
médianes
du
triangle
BGD
aux
côtés
du
triangle
ABC.
o
136.
Soit
un
quadrilatère
convexe
ABCD.
On
désigne
par
M
et
N
les
milieux
de
AB
et
de
CD,
par
G
le
centre
de
gravité
de
ABC,
et
par
E
le
milieu
de
DG.
1°
Comparer
EN
à
CG
et
à
MG.
2°
Quelle
est
la
position
du
milieu
I
de
MN
par
rapport
à
D
et
à
G?
3°
Y
a-t-il
d’autres
segments
analogues
à
MN
ou
DG
passant
par
I?
o
137.
On
prolonge
la
base
BC
du
triangle
ABC
de
deux
longueurs
BM
==
BA
et
CN
=
CA.
Les
bissectrices
des
angles
ABM
et
ACN
se
coupent
en
J.
1°
Montrer
que
les
segments
J
M
et
J
N
sont
les
symétriques
de
JA
par
rapport
à
JB
et
JC.
Nature
du
triangle
JMN?
2°
Démontrer
l’égalité
des
angles
BAJ
et
CAJ
et
retrouver
ainsi
le
théorème
relatif
aux
bissectrices
extérieures
d’un
triangle
(n°
116).
o
138.
On
considère
un
triangle
ABC
et
un
point
intérieur
M
tel
que
l’angle
MAB
=
a
soit
supérieur
à
l’angle
MAC
=
(3.
On
construit
les
symétriques
P,
Q,
R
du
point
M
par
rapport
à
BC,
CA
et
AB.
1°
Montrer
que
la
médiatrice
de
QR
passe
par
A,
fait
avec
AB
un
angle
BAJ:
égal
à
[3
et
avec
AC
un
angle
CAŒ
=
a.
2°
Montrer
que
les
médiatrices
Ax,
By
et
Cz
de
QR,
RP
et
PQ
sont
concou—
runtes
en
un
point
M'
associé
à
M.
3°
Construire
M’
sans
utiliser
P,
Q
et
R.
Quel
est
l’associé
de
M’?

TREIZIÈME
LEÇON
LE
CERCLE
118.
Rappel.
—
Le
cercle
est
une
courbe
plane
formée
par
l’en-
semble
des
points
du
plan
situés
à
une
même
distance
d’un
point
appelé
centre.
Si
le
point
M
appartient
au
cercle
(R)
(ﬁg.
l
l2)
il
en
est
de
même
de
son
symétrique
M'
par
rapport
à
un
diamètre
quelconque
AB.
Donc
(n°
9):
Tout
diamètre
d’un
cercle
est
un
axe
de
symétrie
de
ce
cercle.
Sur
toute
demi-droite
0x
il
existe
un
point
A
du
cercle
O
(R)
et
un
seul.
Le
cercle
est
donc
une
courbe
fermée
qui
divise
le
plan
en
deux
régions:
l'une
intérieure
qui
contient
le
centre
0,
l'autre
extérieure
(ﬁg.
H3).
On
ne
peut
joindre
un
point_intérieur
N
à
un
point
extérieur
P
sans
couper
le
cercle.
FIG.
112.
FIG.
113.
119.
Théorème.
—
Un
point
donné
est
intérieur
ou
extérieur
à
un
cercle
suivant
que
sa
distance
au
centre
est
inférieure
ou
supé-
rieure
au
rayon
de
ce
cercle.
l°
Si
le
point
N
est
intérieur
(ﬁg.
l
l3),
il
se
trouve
sur
un
rayon
0A
entre
O
et
A
donc:
ON
<
0A
=
R.
Inversement
si
par
hypothèse
:
ON
<
R,
le
point
N
est
sur
un
rayon
0A,
donc
à
l'intérieur
du
cercle.

LE
CERCLE
185
2°
Si
le
point
P
est
extérieur,
il
se
trouve
sur
_le
prolongement
du
rayon
OB
et
on
a:
OP
>
0B
=
R.
Récrproquement
31
OP
R,
le
pomt
P
se
place
sur
le
prolongement
d'un
rayon
OB,
donc
à
l’extérieur
du
cercle.
120.
Positions
relatives
d’un
cercle
et
d’un
point.
———
En
désignant
par
0M
=
d
la
distance
d'un
point
quelconque
M
au
centre
du
cercle
de
centre
Û
et
de
rayon
R,
on
peut
donc
dresser
le
tableau
:
d
<
R:
Point
intérieur
au
cercle.
d
=
R:
Point
sur
le
cercle.
d
>
R:
Point
extérieur
au
cercle.
121.
Détermination
d’un
cercle.
—
Un
cercle
est
déterminé
lorsque
l’on
connaît
outre
son
centre
O,
soit
son
rayon
R
:
cercle
0(R),
soit
un
point
A
de
cercle
:
cercle
O
(0A).
Il
en
est
de
même
si
on
connaît
un
diamètre
AB
de
ce
cercle,
car
le
centre
O
est
le
milieu
de
AB.
1°
Il
existe
une
inﬁnité
de
cercles
passant
par
deux
points
donnés
.
Le
centre
O
d'un
cercle
passant
par
A
et
B,
est
un
point
arbitraire
de
la
médiatrice
de
AB
(no
l6)
etgson
rayon
R
=ÇÈOA
=
OB
(ﬁg.
ll4).
C
FIG.
11-4.
FIG.
115.
20
Par
trois
points
non
alignés
il
passe
un
cercle
et
un
seul.
Pour
qu’un
point
O
soit
le
centre
d'un
cercle
passant
par
trois
points
donnés
A,
B
et
C
il
faut
que
l'on
ait
0A
=
OB
=
OC.
Si
les
trois
points
ne
sont
pas
alignés
(ﬁg.
ll5),
les
médiatrices
du
triangle
ABC
sont
concou—
rantes
(n0
llZ)
en
un
oint
unique
et
il
existe
un
cercle
et
un
seul
passant
par
A,
B
et
C.
C'est
e
cercle
circonscrit
au
triangle
ABC
(ou
cercle
ABC).
30
Par
trois
points
alignés
on
ne
peut
faire
passer
aucun
cercle.
Si
les
points
A,
B,
C
sont
alignés,
les
médiatrices
de
AB,
BC,
CA
sont
parallèles
et
il
n'existe
pas
de
point
O
équidistant
de
A,
B
et
C.

I
86
GEOMÉ
TRIE
122.
Corollaires.
—
On
déduit
de
l'étude
précédente
que:
1°
Un
cercle
et
une
droite
ont
au
plus
deux
points
communs.
Il
n'existe
pas
de
cercle
passant
par
trois
points
alignés.
2°
Deux
ceçles
distincts
ont
au
plus
deux
points
communs.
S’il
en
avaient
trois,
les
deux
cercles
seraient
confondus.
POSITIONS
RELATIVES
D’UNE
DROITE
ET
D’UN
CERCLE
123.
Déﬁnitions.
—-
Une
droite
est
dite
sécante
à
un
cercle
lorsqu’elle
le
coupe
en
deux
points,
tangente
au
cercle
si
elle
a
un
point
commun
unique
avec
ce
cercle,
extérieure
si
tous
ses
points
sont
extérieurs
au
cercle.
La
position
d'une
droite
xy
ar
rapport
au
cercle
donné
de
centre
O_et
de
rayon
R
est
déterminée
.par
a_
posmon
du
pied
H
de
la
perpendiculaire
menée
du
pomt
O
à
xy,
c
est
dire
par
la
distance
OH
=
d.
124.
Théorème.
—
Une
droite
est
sécante,
tangente
ou
extérieure
à
un
cercle
suivant
que
sa
distance
d
au
centre
du
cercle
est
infé-
rieure,
égale
ou
supérieure
au
rayon
R
de
ce
cercle.
Ier
CAS:
d
<
R.
Le
pied
H
de
Ia
perpendiculaire
menée
de
O
à
xy
est
/
_
n
.2:
AWB
y
J:
M
H
y
x
M
H
y
FIG.
116.
FIG.
117.
FIG.‘118.
intérieur
au
cercle
I
I6).
Lorsqu'un
point
M
parcourt
la
demi-droite
Hx
Ia
longueur
de
I'oblique
0M
augmente
en
partant
de
la
valeur
cl
<
R,
jusqu'à
une
valeur
aussi
grande
qu'on
Ie
désire.
Il
existe
donc
un
point
A
de
cette
demi-droite
et
un
seul,
tel
que
0A
=
R.
Ce
point
est
commun
au
cercle
et
à
la
droite
xy.
Il
en
existe
un
second
B
sur
Hy
tel
que
HA
=
HB
(n°
42)
et
ne
peut
en
exister
d'autre
(n°
IZZ).
La
droite
xy
est
une
sécante
au
cercle.
2°
CAS
:
d
=
Le
point
H
de
xy
est
sur
le
cercle
(ﬁg.
II7).
Tout
autre
pomt
M
de
xy
distinct
de
H
est
tel
que
0M
>
OHL(n°
42),
donc
0M
>
R.

LE
CERCLE
187
Le
point
M
est
extérieur
au
cercle.
La
droite
xy
n'a
donc
que
le
seul
point
H
commun
avec
le
cercle.
Elle
est
tangente
au
cercle.
Le
point
H
est
appelé
point
de
contact
de
la
tangente
xy.
3e
CAS
:
d
>
R.
Le
point
H
est
extérieur
au
cercle
(ﬁg.
"8).
Il
en
est
de
même
de
tout
autre
point
M
de
xy
car
0M
>
0H
donc
0M
>
R.
La
droite
xy
est
extérieure
au
cercle.
125.
Résumé.
—
Nous
avons
'envisagé
toutesÎles
hypothèses
possibles
sur
d
et
R
et
obtenu
les
résultats
suivants
:
d
<
R:
Droite
sécante
au
cercle.
d
=
R:
Droite
tangente
au
cercle.
d
>
R:
Droite
extérieure
au
cercle.
Chacune
des
relations
entre
d
et
R
de
ce
tableau,
caractérise
la
position
relative
correspondante
de
la
drorte
et
du
cercle.
Ainsi,
lorsqu'une
droite
est
sécante
à
un
cercle
on
a
obligatoirement
d
<
R.
l._.a
lecture
du
tableau
montre
en
effet,
que
l'on
ne
peut
ayonr.
d
=
R
ou
d
>
smon
la
drorte
serait
tangente
ou
extérieure.
En
particulier
:
126.
Théorème.
—
Pour]
qu’une
droite
soit
tangente
à
un
cercle
il
faut
et
il
sufﬁt
qu’elle
soit
perpendiculaire
à
un
rayon
en
son
extrémité.
C'est
_la
condition
pour
laquelle
la
distance
OH
=
R
H7),
propriété
caractéristique
de
la
tangente.
EXERCICES
o
139.
Soit
un
triangle
ABC.
Les
perpendiculaires
en
B
à
AB
et
en
C
à
AC
se
coupent
en
D.
Montrer
que
le
centre
O
du
cercle
ABC
est
le
milieu
de
AD.
o
140.
Démontrer
que
les
quatre
sommets
d’un
quadrilatère
convexe
ou
croisé
ABCD
tel
que
ABC
=
CDA
=
1D
déterminent
un
cercle
unique.
Préciser
son
centre
O.
o
141.
Soit
un
parallélogramme
ABCD.
Démontrer
que.
les
deux
cercles
ABC
et
CDA
sont
égaux
et
qu’il
en
est
de
même
des
cercles
DAB
et
BCD.
o
142.
On
désigne
par
H
l’orthocentre
du
triangle
ABC.
On
achève
le
parallélo—
gramme
BACD.
1°
Démontrer
que
le
cercle
HBG
passe
par
D.
2°
Comparer
les
deux
cercles
ABG
et
HBC.

l
88
GÉOMÉ
TRIE
143.
Soient
M,
N,
P
les
milieux
des
côtés
BC,
CA,
AB
du
triangle
ABC.
1°
Comparer
les
cercles
ANP,
BPM
et
CMN.
2°
Montrer
que
ces
trois
cercles
passent
par
le
centre
0
du
cercle
ABC.
o
144.
Construire
un
cercle
de
rayon
R
=
3
cm,
tangent
à
une
droite
:ry
en
un
point
A
de
cette
droite.
o
145.
Construire
un
cercle
de
centre
donné,
tangent
à
une
droite
donnée.
o
146.
Construire
un
cercle,
tangent
à
une
droite
donnée
en
un
point
donné
A,
sachant
que
son
centre
est
sur
une
droite
donnée
(ou
sur
un
cercle
donné).
{a
147.
Construire
une
tangente
à
un
cercle,
parallèle
à
une
direction
donnée.
o
148.
Soit
un
triangle
ABC,
rectangle
en
A;
l’angle
C
vaut
60°;
l’hypoténuse
mesure
10
cm.
1°
Quel
doit
être
le
rayon
d'un
cercle
de
centre
C
pour
que
ce
cercle
soit
tangent
à
AB
ou
pour
qu’il
coupe
AB?
2°
Entre
quelles
valeurs
doit
être
compris
le
rayon
du
cercle
pour
qu’il
coupe
les
deux
autres
côtés
du
triangle?
o
149.
1°
Soit
un
triangle
isocèle
ABC,
de
base
BC
et
de
hauteur
AH.
Entre
quelles
valeurs
doit
être
compris
le
rayon
d’un
cercle
de
centre
A
pour
qu’il
coupe
le
côté
BC
(et
non
ses
prolongements)?
2°
Même
question
lorsque
le
triangle
ABC
est
un
triangle
quelconque
dans
lequel
AB
>
AC
et
les
deux
angles
B
et
C
aigus.
o
150.
Soit
un
cercle
et
une
droite
extérieure
D.
Le
diamètre
perpendiculaire
à
D
coupe
le
cercle
en
A
et
B
et
la
droite
D
en
H.
Montrer
que
la
distance
d’un
point
quelconque
M
du
cercle
à
la
droite
D
est
comprise
entre
AH
et
BH
(mener
MN
perpendiculaire
en
N
à
AB).
o
151.
Sur
les
tangentes
en
A
et
B
à
un
cercle
de
centre
O,
on
porte
deux
lon-
gueurs
égales
AA’
et
BB’.
1°
Comparer
les
triangles
OAA’
et
OBB’
puis
les
longueurs
OA’
et
OB’.
2°
Les
droites
AA’
et
BB’
se
coupent
en
P.
Comparer
PA
et
PB.
o
152.
Les
tangentes
en
A
et
B
à
un
cercle
de
centre
O
se
coupent
en
M.
1°
Comparer
les
triangles
OAM
et
OBM.
Conséquences
pour
les
longueurs
MA
et
MB?
Propriétés
de
la
droite
0M?
2°
Montrer
que
le
cercle
de
diamètre
OM
passe
par
A
et
B.
o
153.
Sur
la
tangente
en
M
à
un
cercle
de
centre
O
on
porte
deux
longueurs
égales
MAPet
MB.
Les
cercles
de
centres
A
et
B
passant
par
M
recoupent
le
cercle
O
en
N
et
.
1°
Comparer
les
triangles
OMA,
OMB,
ONA
et
OPB.
Conséquences?
2°
Démontrer
que
AN
et
BP
se
coupent
en
C
sur
0M
et
que
CN
==
CP.
o
154.
Soit
un
cercle
de
centre
0
et
un
diamètre
AB.
Une
tangente
en
un
point
M
quelconque
coupe
les
tangentes
en
A
et
B,
en
deux
points
C
et
D.
1°
Comparer
les
triangles
AOC
et
MOC
puis
BOD
et
MOD.
Conséquences?
2°
Démontrer
que
CD
=
AC
+
BD
puis
que
le
triangle
COD
est
rectangle.

QUATORZIÈME
LEÇON
|
POSITIONS
RELATIVES
DE
DEUX
CERCLES
127.
Distances
d’un
point
donné
aux
différents
points
d’un
cercle.
Considérons
un
cercle
de
centre
O
et
de
rayon
R.
Soit
d'autre
part
un
point
donné
0'
teI
que
00'
=
d,
situé
sur
le
diamètre
AB
soit
au-deIà
cIe
A
(ﬁg.
I
I9)
soit
entre
O
et
A
(ﬁg.
IZO).
Le
segment
Û'A
est
la
différence
entre
00'
et
0A,
donc
O'A
=
I
d
—
R
I,
tandis
que
O'B
=
O'O
+
OB
=
d
+
R.
Montrons
que
:
Lorsqu’un
Æoint
M
parcourt
de
A
à
B,
l’un
des
demi-cercles
de
diamètre
B
le
segment
O’M
croît
de
la
valeur
.O’A
=
l
d
—
R
l
à
la
valeur
O’B
=
d
+
R
et
prend
une
fois
et
une
seule
toute
valeur
intermédiaire.
FIG.
119.
FIG.
120.
Soient
M
et
M'
deux
positions
du
point
Me
tel/Ie/sEœ
ÂÎÜ
<
.
Les
deux
triangles
MOO'
et
M'OO'
ont:
MOO'
<
M'OO',
0M
=
OM'
et
00'
en
commun.
Donc
(n0
45)
on
a:
O'M
<
O'M'.
Le
segment
O'M
va
donc
en
croissant
depuis
la
valeur
O'A
jusqu'à
Ia
valeur
O'B
et
ne
peut
reprendre
deux
fois
Ia
même
valeur.
Par
suite:
Ild—RI
Ild—RI

I
90
GÉOMÊ
TRIE
128.
Figure
formée
par
deux
cercles.
—
La
ﬁgure
formée'par'deux
cercles
est
déterminée
par
la
distance
des
centres
O
et
0'
et
par
leurs
rayons
R
et
R'.
Nous
poserons
00'
=
d
et
nous
supposerons
R
>
R'.
Tout
diamètre
d'un
cercle
étant
un
axe
de
symétrie
de
ce
cercle,
on
voit
que:
La
ﬁgure
formée
par
deux
cercles
admet
pour
axe
de
symétrie,
la
droite
des
centres
00’.
Deux
cercles_
distincts
ont
au
plus
deux
points
communs
(no
122).
Le
nombre
des
pomts
communs_à
deux
cercles
ne
peut
donc
être
que
deux,
un
ou
zéro.
tudions
ces
tr01s
cas.
129.
Cercles
sécants.
—
Lorsque
deux
cercles
distincts
ont
un
point
commun
en
dehors
de
la
droite
des
centres,
ils
en
ont
un
second
symétrique
du
premier
par
rapport
à
cette
droite.
Les
deux
cercles
sont
dits
sécants.
Si
les
cercles
O
et
0'
ont
en
com-
mun
le
point
A
(ﬁg.
12|),
ils
passent
tous
deux
par
le
point
B
symétrique
de
A
par
rapport
à
la
droite
00'.
lls
ne
peuvent
avoir
d'autre
point
commun
sans
être
confondus
(n0
122).
Le
segment
AB
est
appelé
corde
commune
aux
deux
cercles.
ll
résulte
des
propriétés
de
la
symétrie
(n0
9)
que
la
droite
00'
est
la
médiatrice
FIG-
121-
du
segment
AB
et
la
bissectrice
des
angles
AOB
et
AO'B.
Dans
le
triangle
AÛO',
de
côtés
00'
=
d,
0A:
R
et
O'A
=
R',
on
peut
écrire,
d'après
le
théorème
n°
34:
|R—R
|R—R
|R—R
_
On
peut
d'autre
part_conclure
que
si
deux
cercles
ont
un
seul
point
commun
Il
est
sntué
sur
la
dr01te
des
centres.
130.
Cercles
tangents.
—
Lorsque
deux
cercles
distincts
on
un
point
commun
situé
sur
la
droite
des
centres,
ils
ont
même
tan-
gente
en
ce
point
et
n’ont
pas
d’autre
point
commun.
Les
deux
cercles
sont
dits
tangents.
'
Le
point
commun
À
peut
être
situé
entre
O
et
0'
(ﬁg.
122)
ou
au-delà
de
0'
(ﬁg.
'23).
La
droite
TT'
perpendiculaire
en
A
à
00’
est
tangente
à
chacun
des
deux
cercles
et
constitue
leur
tangente
commune
en

POSITIONS
RELATIVES
DE
DEUX
CERCLES
l9l
j
Les
deux
cercles
ne
peuvent
avoir
un
second
point
commun
B
en
dehors
de
00'
sinon
ils
en
auraient
un
troisième
B'
symétrique
de
B
par
rapport
à
00'
et
seraient
confondus.
Ils
ne
peuvent
avoir
un
autre
point
commun
sur
00'
car
ils
auraient
même
diamètre
et
seraient
encore
confondus.
Le
point
commun
unique
A
est
le
point
de
contact
des
deux
cercles.
l°
Si
0
et
0'
sont
de
part
et
d'autre
de
A
(ﬁg.
122),
les
deux
cercles
sont
tangents
extérieurement
et
l'on
a
:
00'
=
0A
+
O'A,
donc:
ld=R+R’|.
On
peut
voir
(n°
127)
que
tout
_point
M
autre
que
A,
du
cercle
O
est
tel
que
O'M
>
d
—
R
=
R'.
Il
est
Situé
à
l'extérieur
du
cercle
0'
De
même
\
tout
point
M'
du
cercle
0'
est
situé
a
l’extérieur
du
cercle
O,
car:
OM’>d—R’=R.
FIG.
122.
FIG.
123.
2°
Si
O
et
0'
sont
d'un
même
côté
de
A,
les
deux
cercles
sont
tangents
intérieurement
et
l'on
a:
00'
=
0A
,—
O’A,
donc:
J
ld=R—R’
Qn
peut
voir
cette
fois
que
tout
point
M’
distinct
de
A,
du
cercle
0’
est
à
lmtérieur
du
cercle
O
car
OM'
<
R'
+
d
=
R.
'f13l.
Cercles
extérieurs
-
Cercles
intérieurs.
—
On
ne
peut
joindre
un
point
intérieur
à
un
point
extérieur
d'un
cercle
sans
le
couper
(n°
120).
Il
en
résulte
que
si
deux
cercles
n'ont
pas
de
point
commun,
l'un
d'eux
est
situé
tout
entier
soit
dans
la
région
intérieure,
soit
dans
la
région
extérieure
à
l'autre.
1°
Deux
cercles
sont
dits
extérieurs
si
tous
les
points
de
chacun
d’eux
sont
extérieurs
à
l’autre.
2°
Deux
cercles
sont
dits
intérieurs
si
tous
les
points
de
l’un
des
cercles
sont
intérieurs
à
l’autre.

192
GÉOMÉ
TRIE
Dans
le
premier
cas
(ﬁg.
124)
on
a:
00’
=
0A
+
AA'
+
A'O'
soit:
d=
R+R'+AA’
donc
Id>
R+m.
Dans
le
second
cas
(ﬁg.
l25)
on
a:
00'
=
OA—
O'A'
—AA'
soit:
d:
R—R’—AA’
donc
|d<
R—R’
l.
_
A
FIG.
124.
FIG.
5.
En
particulier
si
d
=
O,
les
cercles
sont
dits
concentriques.
132.
Conclusion.
—
Nous
avons
étudié
toutes
les
positions
relatives
possibles
de
deux
cercles
donnés.
Nous
pouvons
dresser
le
tableau
:
Cercles
extérieurs
:
cl
>
R
+
R'
Cercles
tangents
extérieurement
:
d
=
R
+
R'
Cercles
sécants
:
R
—
R'
<
d
<
R
+
R'
Cercles
tangents
intérieurement
:
(l
=
R
—
R'
Cercles
intérieurs
:
d
<
R
—
R'
133.
Réciproques.
—
Chacune
des
relations
trouvées
est
carac-
téristique
de
la
position
correspondante
des
cercles
O
et
0’.
On
peut
le
démontrer
directement
en
utilisant
le
théorème
du
n°
127
(voir
exercices
no“
l7]
et
172).
Mais
il
est
plus
simple
de
raisonner
par
élimination.
Si
par
exemple
d
=
R
+
R',
la
lecture
du
tableau
montre
que
les
deux
cercles
ne
peuvent
être
ni
extérieurs,
ni
sécants,
ni
intérieurs
ou
tangents
extérieurement.
Ils
sont
donc
tangents
extérieurement.
De
même,
on
voit
que:
.Pour
que
deux
cercles
soient
sécants
il
faut
et
il
sufﬁt
que
la
distance
de
leurs
centres
soit
comprise
entre
la
somme
et"
la
diﬁ'é-
rence
de
leurs
rayons.
Notons
que
deux
cercles
égaux
distincts,
R
=
R',
ne
peuvent
être
qu’ex—
térieurs,
tangents
extérieurement
ou
sécants.
Ces
positions
étant
réalisées
si
R
est
inférieur,
égal
ou
supérieur
à
ë.

POSITIONS
RELATIVES
DE
DEUX
CERCLES
193
EXERCICES
Déterminer
la
position
relative
des
cercles
O
et
0’
de
rayons
R
et
R’,
tels
que
00’
=
d
dans
les
cas
suivants:
o
155.
d=
7
Cm
Rm
6
cm
R’
=
5
cm
o
156.
d
=41
mm
R
=57
mm
R’
=
16
mm
o
157.
d
=
12
cm
R
=-
4,5
cm
R’
=
3,7
cm
.158.
d=2cm
R=9
cm
R’==6
cm
o
159.
d
=
25
mm
R
=
13
mm
R’
=
12
mm
o
160.
=32
mm
R
=25
mm
R’
=20
mm
o
161.
A
quelle
condition
deux
cercles
de
même
rayon
R
=
5
cm
sont—ils
sécants?
o
162.
Construire
un
cercle
de
rayon
donné,
tangent
à
un
cercle
donné
en
un
point
donné.
o
163.
Construire
un
cercle
tangent
à
un
cercle
donné
en
un
point
donné
sachant
que
son
centre
est
sur
une
droite
donnée
(ou
sur
un
cercle
donné).
o
164.
On
connaît
les
points
communs
à
deux
cercles
et
leurs
rayons.
Construire
ces
cercles.
o
165.
Construire
un
cercle
de
rayon
donné,
passant
par
un
point
donné
et
tan-
gent
à
un
cercle
donné.
o
166.
Deux
cercles
0
et
0’
sont
tangents
en
A;
une
droite
passant
par
A
coupe
ces
cercles
en
B
et
B’.
Montrer
que
les
rayons
0B
et
O’B’
sont
parallèles
(on
exa-
minera
le
cas
des
cercles
tangents
extérieurement
et
tangents
intérieurement).
o
167.
Deux
cercles
sécants
se
coupent
en
A
et
B.
Par
A
on
mène
la
parallèle
à
la
droite
des
centres
00’;
soient
C
et
D
les
intersections
avec
les
cercles.
1°
Montrer
que
B,
O
et
C.
sont
alignés
de
même
que
B,
0’
et
D.
2°
Montrer
que
CD
==
2
OO’.
o
168.
Construire
un
cercle
tangent
à
un
cercle
O
en
un
point
donné
A
et
passant‘
par
un
point
donné
B
o
169.
Soit
un
cercle
O,
de
rayon
5
cm
et
une
droite
xy
dont
la
distance
à
O
est
7
cm.
Construire
un
cercle
de
rayon
3
cm
tangent
à
la
droite
xy
et
au
cercle
0.
o
170.
Construire
un
cercle
de
3
cm
de
rayon
tangent
à
deux
cercles
donnés
0
et
0'
de
rayons
R
=
5
cm
et
R’
=
4
cm
sachant
que
OO’
=
10
cm_
o
171.
Deux
cercles
O
et
0’
de
rayons
R
et
R’
sont
tels
que
00’
=
d
>
R
+
R'.
Démontrer
que
tout
point
M
de
chacun
de
ces
cercles
est
extérieur
à
l’autre
cercle.
Conclusion?
o
172.
Soient
deux
cercles
0(R)
et
O’(R’)
vériﬁant
la
relation
:
00’
=
d
<
R—
R’.
1o
Montrer
que
tout
point
M
du
cercle
O
est
extérieur
au
cercle
0’.
2°
Montrer
que
tout
point
M’
du
cercle
O’
est
intérieur
au
cercle
O.
o
173.
On
considère
deux
cercles
O
et
0’
de
rayons
R
et
R’
tels
que
00’
=
d
ct
soit
a
une
longueur
donnée.
1°
A
quelle
condition
le
cercle
de
centre
O
et
de
rayon
R
+
a
et
1e
cercle
de
centre
O’
et
de
rayon
R’
+
a
que
l’on
construit
sont-ils
sécants
en
I
et
J
?'
2°
On
trace
les
cercles
de
centres
I
et
J
et
de
rayon
a.
Quelle
osition
occu
e
t-°
par
rapport
aux
cercles
initiaux
0(R)
et
O’(R’)?
p
p
n
Ils
o
174.
Reprendre
l’exercice
précédent
en
supposant
que
l’on
construit
soit
1
cercle
O
(R
—
a)
avec
le
cercle
O’
(R’
+
a),
soit
les
cercles
0
(R
—-—
a)
et
O’
(R'
—
a)?
ALGÈBRE
ET
GÉOMÉTRIE
——
QUATRIÈME
LYCÉES
COLLÈGES
7

QUINZIÈME
LEÇON
CORDES
D’UN
CERCLE
134.
Théorème.
—
Le
diamètre
perpendiculaire
à
une
corde
passe
par
le
milieu
de
cette
corde
et
par
les
milieux
des
arcs
qu’elle
sous-tend.
Soit
MN
le
diamètre
perpendiculaire
en
H
à
la
corde
ÀB
d'un
cercle
de
centre
O
(ﬁg.
126).
La
droite
OH
est
la
hauteur
du
triangle
isocèle
OAB.
Elle
est
donc
la
médiane
relative
à
la
base
AB
ainsi
que
la
bissectrice
de
l'angle
AOB
(n0
l4).
On
en
déduit
que:
HA=HB;
m=ñcîæ
Ixîcîx=1îoîa
et
par
suite
puisque
des
angles
au
centre
égaux
interceptent
des
arcs
égaux
:
A
ŒÂ=Œ
et
NX=NB.
>
I
y:
Œ
O
O4
FIG.
126.
FIG.
127.
Le
point
H
est
le
milieu
de
la
corde
AB
et
les
points
M
et
N
sont
les
milieux
es
deux
arcs
sous-tendus
par
AB.
On
v01t
d'ailleurs
que
A
et
B
se
corres—
.
,
A
/—\
pondent
dans
la
syrnârie
d
faxe
MN.
Il
en
est
de
même
des
arcs
MA
et
MB
ainsi
que
des
arcs
NA
et
NB.

CORDES
D'UN
CERCLE
195
135.
Corollaire.
—
Sur
un
cercle
donné
deux
sécantes
parallèles
interceptent
entre
elles
des
arcs
égaux.
Soient
AB
et
CD
deux
cordes
parallèles
(ﬁg.
l27)
et
MN
le
diamètre
perpen—
diculaire
à
ces
deux
cordes.
Les
égalités
Î/ÎA
=
Î/IÈ
et
Î/IE
=
ﬁl?)
donnent
par
différence
:
ME
—
m
=
K/l—B
—
MË,
soit
:
Ces
deux
arcs
se
correspondent
d'ailleurs
dans
la
symétrie
d'axe
MN.
REMARQUE.
—
Ce
corollaire
reste_vrai
si
l’une
des
cordes
CD
est
remplacée
par
la
tangente
parallèle
dont
le
pomt
de
contact
est
M
ou
N.
On
peut
donc
1re
que:
Le
point
de
contact
d’une
tangente
parallèle
à
une
corde
est
le
milieu
de
l'arc
compris
entre
cette
tangente
et
cette
corde.
CORDES
ET
ARCS
SOUS-TENDUS
136.
Convention.
—
Une
corde
AB
sous—tend
deux
arcs.
Dans
le
théo-
\
I
I
C
.
’
C
,
.
reme
qu1
SUlt
a1n31
que
dans
sa
recnproque,
nous
nenv13agerons
que
des
arcs
inférieurs
ou
au
plus
égaux
à
un
demi-cercle.
137.
Théorème.
—
Dans
un
même
cercle
ou
dans
deux
cercles
égaux
:
10
Deux
arcs
égaux
sont
sous-tendus
par
deux
cordes
égales.
20
Deux
arcs
inégaux
sont
sous-tendus
par
des
cordes
inégales
et
le
plus
grand
arc
est
sous-tendu
par
la
plus
grande
corde.
l0.
Soient
Â—Ë
et
Âîî’
deux
arcs
égaux
du
cercle
O
(ﬁg.
l28).
Les
triangles
isocèles
OAB
et
OA'B'
ont:
XCÏB=
ŒB',
0A:
ÛÀ'
et
OB
=
OB'.
lls
sont
égaux
(2e
cas)
et
AB
=
A'B'.
Fm.
123.
Fm.
129.
2°
Soient
ÂË
et
(Î)
deux
arcs
du
cercle
O
tels
que
ÂÈ
<
ÔB
(ﬁg.
l29).
Les
triangles
isocèles
ÛAB
et
ÛCD
ont:
Â/Œ
<
Œî),
0A
=
0C
et
OB
==
0D.
lls
sont
inégaux
et
(n0
45)
:
AB
<
CD.

l96
GËOMÊTRIE
138.
Réciproque.
—
Dans
un
même
cercle
ou
dans
deux
cercles
égaux
:
1°
Deux
cordes
égales
sous-tendent
des
arcs
égaux.
2°
Deux
cordes
inégales
sous-tendent
des
arcs
inégaux
et
la
plus
grande
corde
sous-tend
le
plus
grand
arc.
l0
En
effetz
si
les
cordes
AB
et
A'B’
sont
égales,
les
arcs
AB
et
A'B'
ne
peuvent
être
Inégaux
car
les
cordes
AB
et
A'B'
seraient
mégales.
Donc
les
arcs
AB
et
A'B'
sont
égaux.
2°
Si
la_corde
CD_
est
plus
grande
que
la
corde
AB,
l'arc
CD
ne
peut
être
égal
m
être
inférleur
à
l'arc
AB,
car
on
aurait
d’après
le
théorème
pré-
cédent
:
CD
=
AB
ou
CD
<
AB.
Donc
:
615
>
CORDES
ET
DISTANCES
AU
CENTRE
139.
Théorème.
—
Dans
un
même
cercle
ou
dans
deux
cercles
égaux
:
10-
Deux
cordes
égales
sont
équidistantes
du
centre.
2°
Deux
cordes
inégales
sont
inégalement
distantes
du
centre
et
la
plus
grande
est
la
plus
proche
du
centre.
l°
Si
les
cordes
AB
et
A'B'
du
cercle
O,
sont
égales
(ﬁg.
130),
les
deux
triangles
isocèles
ÛAB
et
OA'B'
Ont
leurs
trois
côtés
respectivement
égaux.
Ils
sont
donc
égaux
(3e
cas)
et
les
hauteurs
correspondantes
OH
et
OH’
sont
égales.
FIG.
130.
FIG.
131.
2°
Si
la
corde
CD
est
plus
grande
que
la
corde
AB
(ﬁg.
13]),
l'arc
CD
est
plus
grand
que
l'arc
AB.
Nous
pouvons
donc
transporter
l'arc
AB
en
CE
dOeraçmôI-que
le
point
E
soit
sur
l'arc
CD.
On
a
CE
=
AB
et
par
suite

CORDES
D'UN
CERCLE
l97
Ôr
les
points
O
et
E
sont
de
part
et
d'autre
de
CD
et
il
en
est
de
même
des
pomts
O
et
M.
La
dr01te
CD
coupe
donc
le
segment
0M
en
I.
La
perpen—
diculaire
0K
à
CD
étant
lus
courte
que
l'oblique
Ol,
elle-même
inférieure
à
0M,
on
obtient
donc
5K
<
0M,
c'estnà-dire
0K
<
OH.
140.
Réciproque.
—
Dans
un
même
cercle
ou
dans
deux
cercles
égaux
:
1°
Deux
cordes
équidistantes
du
centre
sont
égales.
2°
Deux
cordes
inégalement
distantes
du
centre
sont
inégales
et
la
plus
proche
du
centre
est
la
plus
grande.
l°
En
effet
si
les
cordes
AB
et_
A'B'
(ﬁg.
I302
sont
équidistantesdu
centre,
elles
ne
peuvent
être
inégales
smon
elles
seraient
inégalement
distantes
du
centre.
On
a
donc
AB
=
'B'.
2°
Si
0K
<
OH
(ﬁg.
131)
la
corde
CD
ne
peut
être
ni
égale,
ni
inférieure
à
la
corde
AB
sans
quoi
on
aurait
0K
=
OH
ou
0K
_>
OH.
Donc
CD
>
AB.
EXERCICES
o
1755
Soit
un
cercle
O
et
un
diamètre
AB.
On
mène,
par
A
et
B,
deux
cordes
parallèles
AC
et
BD.
1°
Comparer
les
longueurs
des
cordes
AC
et
BD
ainsi
que
AD
et
BC.
2°
Montrer
que
C,
O
et
D
sont
en
ligne
droite.
o
'176.
Deux
cordes
AB
et
CD
d’un
même
cercle
sont
parallèles.
Comparer
les
cordes
AC
et
BD,
puis
les
cordes
AD
et
BC.
"x
o
177.
Soit
une
corde
AB
dans
un
cercle
O.
Comparer
AB
à
la
somme
0A
+
0B.
En
déduire
que
toute
corde
est
inférieure
à
un
diamètre.
o
178.
'Par
un
point
A,
intérieur
à
un'
cercle
O,
on
mène
la
corde
BC
perpendi-
culaire
au
diamètre
passant
par
A
et
une
corde
quelconque
MN.
1°
Comparer
les
distances
de
O
à
ces
deux
cordes.
2°
Quelle
est
la
plus
petite
corde
passant
par
A?
Quelle
est
la
plus
grande?
3°
Montrer
que
les
milieux
de
toutes
les
cordes
passant
par
A
sont
sur
un
cercle
de
diamètre
0A.
o
179.
Une
sécante
coupe
deux
cercles
concentriques,
le
premier
en
A
et
B,
le
second
en
A’
et
B’.
1°
Comparer
les
segments
AA’
et
BB’.
2°
Étudier
le
cas
où
la
sécante
est
tangente
à
l'un
des
cercles.
o
180.
On
mène
dans
un
cercle
les
diamètres
AB
et
CD,
puis
les
cordes
AM
paral-
lèle
à
CD
et
CN
parallèle
à
AB.
Comparer
les
cordes
BD,
DM
et
BN
d’une
part
et
les
cordes
AM
et
CN
d’autre
part.
o
181.
Soit
un
cercle
de
centre
O,
de
rayon
5
cm.
On
considère
toutes
les
cordes
(le
ce
cercle
dont
la
longueur
est
6
cm.
1°
Montrer
que
les
milieux
de
toutes
ces
cordes
sont
sur
un
cercle
de
centre
O,
dont
on
construira
le
rayon.
2°
Montrer
que
toute
corde
ayant
son
milieu
sur
ce
cercle
a
pour
longueur
6
cm.
3°
Par
un
point
A,
construire
une
sécante
qui
coupe
le
cercle
donné
en
deux
points
B
et
C,
tels
que
BC
a:
6
cm.

193
GÉOMÊTRIE
o
182.
Soit
un
cercle
0
et
une
corde
AB.
Par
deux
points
A'
et
B’
de
cette
corde,
équidistants
du
milieu
de
AB,
on
construit
les
perpendiculaires
à
AB,
qui
coupent
le
cercle
en
C,
D
et
en
E,
F.
1°
Démontrer
que
les
cordes
CD
et
EF
sont
égales.
2°
Quelle
est
la
nature
du
quadrilatère
ECDF?
o
183.
Deux
cercles
de
centres
O
et
0’
se
coupent
en
A
et
B;
par
A
on
construit
une
sécante
qui
coupe
les
cercles
en
C
et
D;
soit
M
le
milieu
de
AC,
N
le
milieu
de
AD
et
I
le
milieu
de
MN
1°
Montrer
que
la
perpendiculaire
en
I
à
CD
coupe
00’
en
son
milieu
K.
2°
Construire
la
sécante
CD
de
façon
que
A
en
soit
le
milieu
(montrer
que
le
milieu
de
MN
est
alors
en
A).
o
184.
Soient
A
et
B
les
points
communs
à
deux
cercles
sécants
0
et
0'.
Une
droite
passant
par
A
coupe
les
cercles
en
C
et
D.
1°
Soient
M
et
N
les
pieds
des
perpendiculaires
menées
de
O
et
0’
à
la
droite
CD.
Démontrer
que
MN
==
Î
(on
envisagera
le
cas
où
A
est
entre
C
et
D
et
le
cas
où
A
est
extérieur
à
CD).
2°
Construire
la
droite
CD
de
façon
que
CD
ait
une
longueur
donnée
2
l.
Mon-
trer
qu’en
général
il
existe
deux
droites
répondant
à
la
question
et
qu’elles
font
.des
angles
égaux
avec
AB.
o
185.
Démontrer
que
si
les
arcs
BC
ct
DA
sont
égaux
et
de
même
sens:
1°
Le
quadrilatère
ABCD
est
un
trapèze
isocèle.
Comparer
AC
et
BD.
2°
Démontrer
que
les
angles
BAC
et
BDC
sont
égaux.
o
186.
Soient
I
et
J
les
milieux
des
deux
arcs
d’extrémités
A
et
B
d’un
cercle
et
M
un
point
de
l’arc
BJ.
La
parallèle
à
MI,
menée
par
A,
recoupe
le
cercle
en
C.
1°
Natures
des
quadrilatères
MIAC
et
MBIC?
2°
Comparer
l’angle
MIC
à
chacun
des
angles
IMA
et
IMB
et
démontrer
que
MI
et
MJ
sont
les
bissectrices
intérieure
et
extérieure
de
l’angle
AMB.
o
187.
Dans
un
cercle
de
diamètre
BC,
on
prolonge
une
corde
BA
d’une
longueur
AD
telle
que
AD
=
BA,
et
on
prolonge
la
corde
BE,
perpendiculaire
à
BA,
d’une
longueur
EF
telle
que
EF
=
BE.
1°
Démontrer
que
le
triangle
BCD
est
isocèle,
que
le
triangle
BCF
est
aussi
isocèle
et
calculer
l’angle
ACE.
2°
Démontrer
que
les
trois
points
D,
C,
F
sont
en
ligne
droite
3°
Dans
le
cas
où
la
corde
BA
fait
un
angle
de
45°
avec
le
diamètre
BC,
préciser
la
position
de
la
droite
DF.
o
188.
Dans
un
triangle
ABC
de
hauteur
AH,
la
droite
qui
joint
les
milieux
M
de
AB
et
N
de
AC
coupe
en
D
et
E
le
cercle
de
diamètre
AB
et
en
F
et
G
le
cercle
diamètre
AC.
1°
Démontrer
que
BD
et
BE
sont
les
bissectrices
de
l’angle
B
tandis
que
Cl"
et
CG
sont
les
bissectrices
de
l’angle
C
du
triangle
ABC.
2°
Montrer
que
les
quatre
points
D,
E,
F,
G
sont
les
pieds
des
perpendiculaircu
menées
de
A
aux
bissectrices
des
angles
B
et
C
du
triangle
ABC.
'

SEIZIÈME
LEÇON
ANGLE
INSCRIT
141.
Déﬁnition.
—
On
appelle
angle
inscrit
dans
un
cercle,
l’angle
formé
par
deux
cordes
issues
d’un
même
point
de
ce
cercle.
Ainsi
l'angle
BAC
(ﬁg.
132,
133
et
.134)
est
inscrit
dans
le
cercle
O.
L'arc
BC
compris
entre
les
côtés
de
l'angle
Inscrit
est
l'arc
intercepté
par
cet
angle.
FIG.
132.
FIG.
133.
FIG.
134.’
L'angle
au
centre
BOC
qui
intercepte
le
même
arc
est
l’angle
au
centre
correspondant
à
l'angle
inscrit
BAC.
Cet
angle
au
centre
peut
être
saillant,
plat
ou
rentrant
suivant
que
l'arc
intercepté
est
inférieur,
égal
ou
supérieur
à
un
demi—cercle.
Le
théorème
suivant
permet
de
déduire
la
valeur
de
l'angle
inscrit
de
celle
de
l'angle
au
centre
correspondant.
142.
Théorème
fondamental.
—
Tout
angle
inscrit
dans
un
cercle
est
égal
à
la
moitié
de
l’angle
au
centre
correspondant.
La
démonstration
exige
plusieurs
cas
de
ﬁgure:
ler
CAS.
Un
des
côtés
de
l'angle
inscrit
est
un
diamètre.
-
Supposons
(ﬁg.
135)
que
le
côté
AC
de
l'angle
inscrit
soit
un
diamètre
du
cercle
O.
Le
triangle
OAB

200
GÉOMÉ
TRIE
est
isocèle
et
Â
=
L'angle
au
centre/B\0C
est
l'angle
extérieur
en
O
du
triangle
isocèle
OAB.
Donc
(n0
64)
:
BOC
=
A
+
B
=
2
A.
Soit
:
=
2
2e
CAS.
Le
centre
du
cercle
est
intérieur
à
l'angle
inscrit.
-—
Le
diamètre
AD
(ﬁg.
l36)
partage
l'angle
inscrit
BAC
en
deux
angles
inscrits
BAD
et
DAC
dont
le
côté
AD
est
un
diamètre.
D'a
rès
le
ler
cas,
on
eut
écrire:
p
p
B/Oî)
=
2
ÊAÈ
et
D/O\C
=
2
Soit
par
addition:
BOD+ÜO\C=2(ËÀÎ)+IÎAÎZ)
donc:
BÔE=2
W3.
A
A
A
0
B
C
D
0
B
C
C
D
FIG.
135.
FIG.
136.
FIG.
137.
3e
CAS.
Le
centre
du
cercle
est
extérieur
à
l’angle
inscrit.
--
Le
diamètre
AD
(ﬁg.
137)
est
extérieur
à
l'angle
inscrit
BAC.
D
après
le
let
cas
:
'
6&3:
2
ÜÆ
et
ÜO\C=
2
soit
par
différence:
[ÎCÎES—ÙOC=2(IÎÏB—‘IÎAÎ)
donczB/C)\C=2ÉŒ.
Dans
tous
les
cas
on
voit
q_ue
l'angle
au
centre
BOC
est
le
double
de
l’angle
inscrit
BAC.
Donc
l'angle
lnSCI‘lt
BAC
est
la
m01t1é
de
l’angle
au
centre
correspondant
BOC.
143.
Autre
énoncé.
——
L’angle
inscrit
a
même
mesure
(en
degrés
ou
en
grades)
que
la
moitié
de
l’arc
qu’il
intercepte.
Ceci
résulte
du
fait
que
l'angle
au
centre
correspondant
à
même
mesure
,que
l'arc
intercepté.
Celle
de
langle
lnSCI'lt
en
est
donc
la
m01t1é.
144.
Angle
inscrit
formé
par
une
corde
et
une
tangente.
—--
L'angle
formé
par
la
corde
AB
et
la
demi-droite
Ax
tangente
en
A
au
cercle
(')
est
un
angle
inscrit
particulier
(ﬁg.
l38).
L'arc
intercepté
est
ll'arc
Alll
situé
à
l'intérieur
de
cet
angle
et
l’angle
au
centre
correspondant
est
l'anglv.
AOB
qui
intercepte
le
même
arc.

ANGLE
INSCRIT
20|
145.
Théorème.
—
L’angle
inscrit
formé
par
une
tangente
et
une
corde
issue
du
point
de
contact
est
égal
à
la
moitié
de
l’angle
au
centre
correspondant.
Menons
OI
bissectrice
de
l’angle
au
centre
AOB
et
hauteur
du
triangle
isocèle
OAB
(ﬁg.
l38).
La
tangente
Ax
étant
perpendicu-
laire
au
rayon
0A,
les
angles
aigus
BAx
et
IOÀ
ont
leurs
côtés
respectivement
perpen—
diculaires.
Ils
sont
égaux
(n0
62)
et
l'angle
BAx
est
égal
à
la
moitié
de
l'angle
saillant
AOB
De
même
l'angle
obtus
BAx'
est
égal
à
A
l’angle
JOA,
c'est-à-dire
à
la
moitié
de
l'angle
rentrant
AOB
qui
intercepte
le
même
arc.
.1:
Autrement
dit
:
FIG.
138.
L'angle
formé
par
une
tangente
et
la
corde
issue
du
point
de
contact
est
égal
a‘
l'angle
inscrit
qui
intercepte
le
même
arc.
146.
Corollaires.
—-
10
Lorsque
deux
angles
inscrits
dans
le
même
cercle
interceptent
le
même
arc
ou
deux
arcs
égaux,
ils
sont
égaux.
Ainsi
(ﬁg.
139):
A/M\B
=
m
=
=
à
2°
Lorsque
deux
angles
égaux
sont
inscrits
dans
le
même
cercle,
ils
interceptent
des
arcs
égaux.
ASi
=ŒÎ
(ﬁg.
140)
les
arcs
et
(If)
ont
même
mesure
et
FIG.
140.
FIG.
141.
3°
Deux
angles
inscrits
qui
interceptent
les
deux
arcs
sous-
tendus
par
une
même
corde
sont
supplémentaires.
Les
deux
angles
inscrits
AMB
et
ANB
(ﬁg.
139)
interceptent
deux
arcs
dont
la
somme
vaut
360°.
Les
mesures
de
ces
deux
angles
ont
pour
somme
180°.

202
GÉOMÊ
TRIE
147.
Théorème.
—
Tout
angle
inscrit
dans
un
demi-cercle
est
droit
et
réciproquement
tout
angle
droit
inscrit
intercepte
un
demi-cercle.
En
effet
pour
que
l'angle
AMB
soit
droit,
il
faut
et
il
sufﬁt
que
l'angle
AOB
son
un
angle
plat
(ﬁg.
14]),
.donc
que
la
corde
AB
sclt
un
diamètre.
On
retrouve
la
propriété
déjà
établie
par
une
autre
voie
(n°
92).
148.
Bissectrices
d’un
angle
inscrit.
—
La
bissectrice
intérieure
d’un
angle
inscrit
passe
par
le
milieu
de
l’arc
intercepté,
tandis
que
la
bissectrice
extérieure
passe
par
le
milieu
de
l’arc
non
intercepté.
Soit
un
angle
inscrit
AMB
(ﬁg.
142).
Menons
le
diamètre
perpendiculaire
à
la
corde
AB.
Il
passe
par
les
milieux
I
et
J
des
deux
arcs
d'extrémités
A
et
B
(n°
l34).
Etïgalité/I/Â=/I—Ë
entraîne
(n°
146,
1°):
IMA=
IMB.
La
droite
MI
est
donc
la
bissectrice
intérieure
de
l'angle
AMB.
D'autre
part,
l'angle
1M],
inscrit
dans
un
demi-cercle,
est
droit.
Donc
M]
est
la
i
bissectrice
extérieure
de
l'angle
AMB
FIG.
142.
(n0
3).
EXERCICES
o
189.
Sur
un
cercle
on
porte
des
arcs
consécutifs
AB,
BC,
CD,
DE
et
EF
mesurant
respectivement
40°,
60°,
80°,
70°
et
50°.
Calculer
les
angles
du
polygone
ABCDEl".
o
190.
1°
Démontrer
que
si
les
trois
angles
d’un
triangle
sont
aigus
le
centre
du
cercle
circonscrit
est
à
l’intérieur
du
triangle.
Réciproque?
2°
Si
le
triangle
a
un
angle
obtus
le
centre
est
extérieur
au
triangle.
Réciproque?
o
191.
Soit
0
le
centre
du
cercle
circonscrit
au
triangle
ABC.
Sachant
que
B
=
(54"
et
C
=
48°,
calculer
l’angle
A
et
les
angles
OBC,
OAC
et
OAB.
o
192.
Deux
cercles
égaux
se
coupent
en
A
et
B.
Une
sécante
passant
par
A
coupe
le
premier
en
C
le
second
en
D.
Comparer
les
segments
BD
et
BC.
o
193.
Soient
AB
et
CD
deux
diamètres
rectangulaires
du
cercle
O.
La
tangenln
en
un
point
M
de
l’arc
AC
coupe
la
droite
CD
en
P.
1°
Comparer
les
angles
MPO,
MOA
et
MBA.
2°
Démontrer
que
l’angle
MPO
est
la
différence
des
angles
MBD
et
MBC.

ANGLE
INSCRIT
203
e
194.
Deux
cercles
O
et
0’
sont
tangents
en
A
à
la
droite
æy.
On
mène
par
A
deux
sécantes
qui
coupent
le
premier
cercle
en
B
et
C,
le
second
en
B’
et
C’.
1°
Comparer
les
angles
CBA
et
C’B’A
aux
angles
CAa:
et
CAy.
2°
Montrer
que
BC
et
B’
C’
sont
parallèles
et
qu’il
en
est
de
même
des
tangentes
en
B
et
en
B’
aux
deux
cercles.
e
195.
Deux
sécantes
BB’
et
CC’
à
un
cercle
O
se
coupent
en
un
point
inté-
rieur
A.
Démontrer
que
l’angle
BAC
est
égal
à
la
somme
des
angles
inscrits
qui
interceptent
les
arcs
BC
et
B’C’.
(Joindre
BC’).
e
196.
Deux
sécantes
BB’
et
CC’
à
un
même
cercle
se
coupent
en
un
point
exté-
rîelglâé'Démontrer
que
l’angle
BAC
est
égal
a
diﬁérence
des
angles
inscrits
BB’C
e
0
q;
197.
Sur
un
cercle
de
centre
0
on
construit
des
arcs
consécutifs
AB,
BC,
CD
mesurant
respectivement
30°,
80°
et
90°.
ABI‘ËDCalculer
les
angles
formés
par
les
côtés
et
les
diagonales
du
quadrilatère
2°
En
déduire
les
angles
aigus
formés
par
les
droites
AB
et
CD,
AD
et
BC,
AC
et
BD.
e
198.
On
considère
un
triangle
ABC
dans
lequel
l’angle
aigu
B
est
supérieur
à
C.
Soit
0
le
centre
du
cercle
circonscrit
et
AA
la
hauteur
issue
de
A.
1°
Évaluer
à
partir
de
B
les
angles
AOC,
OAC
et
BAA’
et
montrer
que
la
bissec—
trice
intérieure
de
l’angle
BAC
est
aussi
celle
de
l’angle
OAA’.
2°
Démontrer
que
l’angle
A'AO
est
la
différence
des
angles
B
et
C.
e
199.
On
donne
un
triangle
équilatéral
ABC.
Soit
M
un
point
quelconque
de
l’arc
BC
du
cercle
ABC
et
P
le
point
du
segment
MA
tel
que
MP
=
MB.
1°
Démontrer
que
le
triangle
MBP
est
équilatéral.
Conséquences.
2°
Comparer
les
deux
triangles
BPA
et
BMC,
puis
montrer
que
MA
==
MB
+
MC.
o
200.
Dans
le
triangle
isocèle
OAB
de
sommet
0
les
cercles
de
diamètres
0A
et
0B
coupent
respectivement
0B
en
C
et
0A
en
D.
Ils
coupent
d’autre
part
une
droite
passant
par
O
en
E
et
F.
1°l
Comparer
les
angles
EOA
et
DOF,
puis
les
arcs
EA
et
DF
dans
les
deux
0ere
es.
2°
Montrer
que
AE
—
DF
et
que
de
même:
BF
=
CE
et
BD
:-
AC.
3°
Démontrer
que
les
triangles
ACE
et
DBF
sont
égaux.

DIX-SEPTIÈME
LEÇON
QUADRILATÈRE
INSCRIPTIBLE
149.
Poly
ones
înscriptibles.
—
Un
polygone
(P)
est
inscrit
dans
un
cercle
(
lorsque
tous
ses
sommets
appartiennent
à
ce
cercle.
Le
cercle
(
)
est
circonscrit
au
polygone
(P).
Le
polygone
(P)
peut
être
convexe
(ﬁg.
‘43),
croisé
(ﬁg.
144)
ou
étoilé
145).
Ainsi
le
cercle
ABC
est
circonscrit
au
triangle
ABC
(n°
HZ).
FIG.
143.
FIG.
144.
FIG.
145.
Pour
qu'un
polygone
donné
soit
inscriptible
dans
un
cercle,
il
faut
que
le
cercle
déﬁni
par
trois
quelconques
de
ses
sommets
contienne
tous
les
autres
sommets.
Ainsi
pour
qu’un
quadrilatère
ABCD
soit
inscriptible
il
faut
et
il
sufﬁt
que
le
cercle
ABC
contienne
le
point
D.
ce
qui
n'a
pas
lieu
pour
un
quadrilatère
quelconque.
Nous
avons
déjà
vu
que
le
rectangle
(n°
88).
le
carré
et
le
trapèze
isocèle
(n°
104)
sont
inscriptibles,
et
comment
on
en
détermine
le
centre
du
cercle
circonscrit.
QUADRILATÈRE
CROISE
150.
Théorème.
—
Dans
un
quadrilatère
croisé
inscriptible
dans
un
cercle
les
angles
opposés
sont
égaux.
Si
le
quadrilatère
croisé
ABCD
est
inscrit
dans
un
cercle
Û
(ﬁg.
146)
,
les
deux
sommets
A
et
C
sontod'un
même
côté
de
la
droite
BD
et
appa‘r—
tiennent
au
même
arc
d'extrémités
B
et
D.
Les
deux
angles
inscrits
BAD

QUADRILA
T
ÈRE
INSCRIP
T
IBLE
205
et
làCD
interceptent
le
même
arc.
Ils
sont
donc
égaux,
soit:
=
ËCÏ)
ouA=C
et
de
même:
B=D.
FIG.
146.
FIG.
147.
151.
Réciproque.
—
Lorsqu’un
quadrilatère
croisé
a
deux
angles
opposés
égaux,
ce
quadrilatère
est
inscriptible.
Suppoæni
que
le
quadrilatère
croisé
ABCD
ait
ses
angles
A
et
C
égaux
:
BAD
=
BCD.
Traçons
le
cercle
ABC
(ﬁg.
l47).
Ce
cercle
coupe
les
demi—
droites
Ax
et
Cy
contenant
D
d'un
même
côté
de
AC.
Si'le
cercle
ABC
ne
passalt
pas
par
D,
les
pomts
d'mtersectlons
E
et
F
seraient
distincts.
Les
A
angles
inscrits
égaux
BAD
et
BCD
intercepteralent
des
arcs
de
même
sens
BE
et
/B\F
diflérents.
Ceci
est
impossible
(nO
146)
et
le
cercle
ABC
passe
obliga—
toirement
par
D.
Le
quadrilatère
ABCD
est
inscriptible.
QUADRILATÈRE
CONVEXE
152.
Théorème.
—
Dans
un
quadrilatère
convexe
inscriptible
dans
un
cercle,
les
angles
opposés
sont
supplémentaires.
Si
le
quadrilatère
convexe
ABCD
est
ins—
crit
dans
un
cercle
O
(ﬁg.
l48),
les
deux
sommets
A
et
C
sont
de
part
et
d'autre
de
la
droite
BD.
L'angle
inscrit
BAD
intercepte
A
l'arc
BCD
et
l’angle
inscrit
BCD
intercepte
l’arc
BAD.
La
somme
des
deux
angles
insu
crlts
a
même
mesure,
en
degrés,
que
la
demla
A
A
s/qr_n\me
de:
arcs
BAD
et
BCD,
comme:
BAD
+
BCD
‘=
360°”on
obtient
:
BÎD‘
+
BCD
=
180°.
FIG.
14s.
Les
angles
A
et
C
du
quadrilatère
sont
supplémentaires.
Il
en
est
de
même
des
angles
B
et
D.

206
GÉOMÉ
TRIE
153.
Réciproque.
—
Lorsqu’un
quadrilatère
convexe
a
deux
angles
opposés
supplémentaires,
ce
quadrilatère
est
inscriptible.
Su
posons
que
le
quadrilatère
convexe
ABCB
ait
ses
angles
A
et
C
supplémentaires
l49).
Traçons
le
cercle
BCD
et
soit
C'
un
point
quelconque
de
l'arc
BD
qui
ne
contient
pas
C.
Le
quadrilatère
convexe
BCDC’
est
inscrit
dans
le
cercle.
On
peut
donc
écrire
(n°
152
°
ËAÎD+B/CI\D=ZD
et
Ëcî)+BEB=2D
Donc:
D'après
le
n°
l5]
on
voit
que
le
quadrila—
tère
croisé
ABC'D
qui
a
deux
angles
opposés
égaux
est
inscriptible.
Le
int
A
appartient
au
cercle
BC’D,
c'est-à—dire
au
cercle
BCD.
Le
quadri-
lilîère
ABCD
est
inscriptible.
FIG.
149.
APPLICATIONS
154.
Théorème.
-—
Tout
quadrilatère
ABCD
convexe
ou
croisé
qui
a
deux
angles
opposés
A
et
C
égaux
à
un
droit
est
inscriptible
dans
le
cercle
de
diamètre
BD.
Cette
propriété
résulte
du
n°
92.
On
peut
également
dire
que
ce
quadri-
latère
est
Inscriptible
d'après
le
n°
l5]
s’il
est
croisé
(ﬁg.
150),
d'après
le
FIG.
150.
FIG.
151.
r1°
l53
s'il
est
comïexe
l5l).
Dans
les
deux
cas
l'angle
droit
inscrit
BAD
Intercepte
un
demi-cercle
et
les
pomts
B
et
D
sont
dlamétralement
opposés
sur
le
cercle
ABCD.

QUA
DRILA
TËRE
INSCRIP
TIBLE
207
155.
Propriété
caractéristique
des
points
d’un
arc
de
cercle.
—
Considérons
deux
points
ﬁxes
A
et
B
et
un
angle
donné
de
mesure
oc.
Cons—
truisons
un
triangle
APB
dans
lequel
l'angle
APB
soit
égal
à
on
(ﬁg.
152).
ll
suth
pour
cela
de
mener
dans
e
demi-plan
(I)
limité
par
la
droite
AB,
d/elä
demﬁdloites
Ax
et
By
telles
que
:
BAx
+
ABy
=
2D
-—
oc.
Elles
se
coupent
en
P
(no
lll).
1°
Construisons
dans
le
demi-plan
(I)
un
autre
point
quelconque
M
tel
que
l'angle
AMB
soit
égal
à
0L.
Si
pïexerælî
<
P/ÀË
on
a:
MBA
>
PBA
et
on
voit
que
les
deux
segments
AM
et
BP
se
coupent.
Le
quadrilatère
croisé
PAMB
ayant
deux
angles
opposés
égaux
est
inscrlptible
FIG_
152.
(no
l5l).
Donc:
Pigmt
point
M
du
demivplan
(I)
tel
que
KIWB
=
oc
appartient
à
l'arc
de
cercle
2°
.Si
M'
est
un
autre
point
quelconque
de
l'arc
APB,
les
deux
angles
inscrits
AM'B
et
APB
sont
égaux
et
par
suite:
Tout
point
M'
de
l'arc
de
cercle
APB
est
tel
que
=
oc.
On
en
conclut
que:
Les
points
de
l’arc
APB
ont
our
propriété
caractéristique
d’être
les
sommets
des
angles
MB
égaux
à
oc,
situés
dans
le
demi-plan
(I).
L'arc
APB
est
appelé
arc
d'extrémités
A
et
B
capable
de
l'angle
on.
156.
Remarques.
—
lO
Dans
le
demi-plan
(Il)
il
y
a
un
second
arc
AB
capable
de
l'angle
oc.
ll
est
symétrique
du
précédent
par
rapport
à
la
droite
AB.
En
particulier
l'arc
ANB
qui
complète
le
cercle
APB
est,
dans
le
demi-plan
(Il),
(capalb515)de
l'angle
2D
—
ce,
car
les
angles
ANB
et
APB
sont
supplémentaires
n°
.
2°
Le
cercle
de
diamètre
AB
est
formé
des
deux
arcs
d'extrémités
A
et
B
capables
de
l'angle
oc
=
l
droit
(nO
l53
ou
n°
93).

208
GÊOMÊ
TRIE
EXERCICES
o
201.
Un
quadrilatère
convexe
ABCD
est
inscrit
dans
un
cercle
O.
L’angle
B
est
triple
de
l’angle
D
et
la
corde
BD
est
égale
au
rayon
du
cercle.
Calculer
les
angles
du
quadrilatère.
o
202.
Un
quadrilatère
convexe
ABCD
est
inscrit
dans
un
cercle
0.
La
diago-
nale
DB
est
un
diamètre
et
la
diagonale
AC
est
égale
au
rayon.
Calculer
les
angles
du
quadrilatère.
(o
203.
Inscrire
dans
un
cercle
de
centre
O,
un
quadrilatère
convexe
ABCD
dont
la
diagonale
AC
est
médiatrice
du
rayon
OB
et
l’angle
AOD
égal
à
135°.
Calculer
les
angles
du
quadrilatère
ABCD,
ainsi
que
les
angles
des
quadrilatères
croisés
ABDC
et
ACBD.
o
204.
A
quelle
condition
un
trapèze,
un
parallélogramme
ou
un
losange
est—il
inscriptible
dans
un
cercle?
(o
205.
Soit
un
cercle
de
diamètre
AD
=
2R.
On
trace
les
ares
de
cercle
de
centres
A
et
D
et
de
rayon
R
coupant
l’un
des
demi—cercles
AD
en
B
et
C,
l’autre
et
F
et
E.
1°
Calculer
les
angles
et
les
côtés
de
l’hexagone
convexe
ABCDEF.
2°
Calculer
les
angles
de
l’hexagone
croisé
AEBDFC.
o
206.
Par
le
milieu
M
d’un
arc
AB
on
construit
la
tangente
xy
et
deux
cordes
MD
et
ME
qui
coupent
la
corde
AB
en
F
et
G.
Démontrer
que
le
quadrilatère
DEGF
est
inscriptible.
\o
207.
Soit
un
triangle
ABC;
les
deux
hauteurs
BB’
et
CC'
se
coupent
en
H:
on
construit
le
symétrique
H’
de
H
par
rapport
à
BC.
1°
Démontrer
que
le
quadrilatère
ABH’C
est
inscriptible.
2°
Comparer
le
cercle
circonscrit
au
triangle
ABC
(ou
H'BC)
à
chacun
des
cercles
BHC,
CHA
et
AHB.
o
208.
Soit
un
triangle
ABC,
les
trois
hauteurs
AD,
BE,
CF
et
H
leur
point
commun.
'
1°
Que
peut-011
dire
des
quadrilatères
HDBF,
HDCE
et
BECF?
2°
Comparer
les
angles
HDF,
EBF,
ECF
et
HDE,
puis
les
angles
BDF
et
CDE.
3°
Montrer
que
les
hauteurs
et
les
côtés
du
triangle
ABC
sont
les
bissectrices
intérieures
et
extérieures
du
triangle
DEF.
o
209.
Un
triangle
ABC
est
inscrit
dans
un
cercle
O.
On
mène
le
diamètre
AD
et
la
hauteur
AH
qui
coupe
le
cercle
en
E.
On
suppose
B
>
C.
1°
Montrer
que
BC
et
DE
sont
parallèles.
Comparer
les
angles
CAD
et
BAE,
puis
montrer
que
les
angles
BAC
et
DAE
ont
mêmes
bissectrices.
2°
Comparer
les
angles
ABC
et
ADC,
puis
en
dédUire,
en
fonction
de
B,
la
valeur
des
angles
CAD
et
BAE.
o
210.
On
désigne
par
H
l’orthocentre
du
triangle
ABC,
par
M
le
milieu
de
BC,
par
D
le
point
diamétralement
opposé
à
A
sur
le
cercle
ABC
et
par
E
le
point
où
la
hauteur
AH
recoupe
ce
cercle.
1°
Comparer
les
directions
de
BH
et
DC
ainsi
que
les
directions
de
CH
et
DB.
Nature
du
quadrilatère
BHCD?
Quel
est
son
centre?
2°
Nature
du
triangle
HDE?
Quelle
est
la
médiatrice
de
HE?
En
déduire
que
le
cercle
circonscrit
à
un
triangle
contient
les
symétriques
de
l’orthocentre
de
ce
triangle
par
rapport
à
un
côté
ou
par
rapport
au
milieu
de
ce
côté.

QUADRILA
TËRE
INSCRIPTIBLE
209
o
211.
Dans
le
triangle
ABC
les
hauteurs
BB’
et
CC’
recoupent
le
cercle
cir—
conscrit
O
en
E
et
F.
1°
Nature
du
quadrilatère
BB’C’C?
Comparer
les
directions
de
B'C’
et
de
EF.
2°
Comparer
la
direction
EF
à
celle
de
la
tangente
A23,
et
démontrer
que
B’C’
et
EF
sont
perpendiculaires
au
rayon
A0
du
cercle
ABC.
3°
Démontrer
que
B’C’
=
ä
EF.
o
212.
Les
hauteurs
BH
et
CH
du
triangle
ABC
coupent
le
diamètre
AD
du
cercle
circonscrit
en
N
et
P.
On
mène
la
tangente
An:
à
ce
cercle
et
on
suppose
B
>
C.
1°
Montrer
que
les
angles
aigus
BAas,
BCA,
AHN
et
APH
sont
égaux.
2°
Quelle
est
la
tangente
en
H
au
cercle
HPN?
o
213.
Deux
cercles
0
et
0’
sont
sécants
en
A
et
B
et
une
sécante
passant
par
B
coupe
l’un
en
M
l’autre
en
M’.
Les
tangentes
en
M
et
M’
se
coupent
en
N
et
les
rayons
0M
et
O’M’
en
P.
1°
Montrer
que
le
quadrilatère
NMPM'
est
inscriptible
et
qu’il
en
est
de
même
du
quadrilatère
NMAM’.
Démontrer
que
l’angle
PAN
est
droit.
2°
Comparer
les
angles
des
deux
triangles
AOO’
et
AMM’.
Que
peut.on
dire
du
quadrilatère
OAO’P?
o
214.
Soit
F
un
point
du
segment
AB
et
M
un
point
du
cercle
de
diamètre
AB,
La
perpendiculaire
en
M
à
FM
coupe
en
P
et
Q
les
tangentes
Aa:
et
By
au
cercle,
'10
Nature
des
quadrilatères
APMF
et
BQMF.
Conséquences
angulaires?
2°
Montrer
que
les
angles
APF
et
BQF
sont
complémentaires
et
qu’il
en
est
de
même
des
angles
AFP
et
BFQ.
3°
Quelle
est
la
valeur
de
l’angle
PFQ.
o
215.
ÊL
considère
un
quadrilatère
croisé
AIBM
dans
lequel
IA
=-
IB
et
AIB
=
AMB.
1°
Montrer
que
les
distances
IH
et
IK
du
point
I
aux
droites
AM
et
BM
sont
égales
en
comparant
les
triangles
IAH
et
IBK.
Que
représente
MI
pour
l’angle
AMB?
2°
Les
perpendiculaires
en
A
à
IA
et
en
B
à
IB,
se
coupent
en
J.
Montrer
que
MJ
est
bissectrice
intérieure
de
l’angle
AMB.
3°
En
déduire
que
les
points
A,
B,
M
appartiennent
tous
trois
au
cercle
de
diamètre
IJ.

DIX-HUITIÈME
LEÇON
CONSTRUCTIONS
GÉOMÉTRIQUES
157.
Déﬁnition.
—
On
donne
le
nom
de
construction
géométrique
à
toute
construction
effectuée
à
l'aide
de
la
règle
et
du
compas,
à
l'exclusion
de
tout
autre
instrument
(équerre,
rapporteur,
double
décimètre,
calque,
etc.).
Dans
une
construction
géométrique,
on
se
sert
du
compas,
pour‘
construire
un
segment
égal
à
un
segment
donné.
158.
Çonstruire
la
médiatrice
d’un
segment.
Soit
à
construire
la
médiatrice
du
segment_AB
153).
Il
sufﬁt
de
déterminer
deux
pomts
M
et
N
de
cetteËmédiatnce,
sort
(no
16)
deux
points
équidistants
de
A
et
de
B.
\
.
l'
4
\\
Il
\\\\
I/II
IN
)'\
Il
\\
I,’
\\\
I,
\
l,
\
p
\
o
\
L
!
L
,
\\
Il
’4\
\
I
I
\
\\
’I
0’
l
I
/Ï\N
F
î
.’
\
A
0
B
FIG.
153.
FIG.
154.
CONSTRUCTION.
—
Tracer
de
A
et
B
comme
centres
deux
cercles
de
même
rayon.
Si
ce
rayon
dépasse
la
moitié
du
segment
AB
(n0
133)
les
deux
cercles
se
coupent
en
deux
pomts
M
et
N.
La
droite
MN
est
la
médiatrice
du
segment
AB.
159.
Remarques.
--
l°
Cette
construction
permet
de
construire
géomé—
triquement
le
milieu
O
d’un
segment
et
de
partager
ce
segment
en
deux
parties
égales.

CONSTRUCTIONS
GÉOMÉ
T
RIQUES
2l
l
2°
Si
la
droite
AB
est
trop
près
du
bord
de
la
feuille,
on
construit
les
pomts
M
et
N
d'un
même
côté
de
AB
en
prenant
deux
rayons
dlﬂérents
(ﬁg.
l54).
3°
Qn
peut.
ainsi
déterminer
géométriquernent
le
centre
du
cercle
cir-
conscrit
au
triangle
(n°
HZ)
ou
au
trapèze
Isocèle
(n°
104).
160.
Mener
par
un
point
la
perpendiculaire
à
une
droite.
1°
Soit
à
construire
la
rpendiculaire
en
O
à
la
droite
xy
(ﬁg.
155).
Il
nous
sufﬁt
de
construire
eux
points
A
et
B
de
xy
tels
que
0A
=
OB.
La
médiatrice
du
segment
ÀB
sera
la
perpendiculaire
cherchée.
x
l/
0
,}L\M
u
I
\
’
\
l
\
l
\
I
\
\
/
l
[—
if
\\
j
1/
æ
A\
o
IIB
y
x
A\\
H
/,/B
y
\
/
\‘—--———-’
\
1
\
/
/
\\
,’
\\
//'
AKN
,‘kO
’//
\\\
l/
\\\\
FIG.
155.
FIG.
156.
CONSTRUCïION.
—
Tracer
un
cercle
de
centre
0
qui
coupe
xy
en
A
et
B,
puis
construlre
la
médiatrice
de
AB
(n°
158).
2°
Soit
à
mener,
par
le
(point
extérieur
O,
la
perpendiculaire
0H
à
la
droite
xy
(ﬁg.
156).
Il
sufﬁt
e
construire
sur
xy,
deux
points
A
et
B
tels
que
H
A
=
I—IB,
donc
(n°
42)
tels
que
0A
=
0B.
La
médiatrice
du
segment
AB
sera
la
perpendiculaire
cherchée.
CONSTRUC't‘ION.
—.Tracer
un_
cercle
de
centre
O
qui
coupe
xy
en
A
et
B,
puis
construire
ensuite
la
médiatrlce
de
AB
(n°
'58).
Il
sufﬁt
d’en
déter-
miner
un
second
pomt
0'
drstmct
de
O.
161.
Remarques.
—-
I°
Cette
deuxième
construction
permet
de
cons-
truire
la
projection
H
du
point
O
sur
Jçy
sans
utiliser
l'équerre
et
de
déterminer
la
dlstance
du
pomt
O
à
la
drorte
xy.
2°
Si
on
conserve
le
rayon
0A
pour
construire
le
point
0',
le
quadrilatère
OAO'B
est
un
losange
et
le
pomt
0'
est
le
Symétrique
du
point
O
par
rapport
à
xy,

212
GÉOMÉTRIE
162.
Construire
la
bissectrice
d’un
angle.
—-
Soit
l'angle
xOy
(ﬁg.
157).
Si
nous
construisons
un
triangle
isocèle
OAB
dont
les
côtés
égaux
0A
et
0B
soient
portés
par
les
demi-droites
0x
et
Oy,
la
médiatrice
de
AB
sera
la
bissectrice
cherchée
(no
14).
CONSTRUCTION.
-—
Tracer
un
cercle
de
centre
Û
qui
coupe
les
côtés
de
l'angle
en
A
et
B.
Construire
ensuite
la
médiatrice
de
AB
(n0
158).
Il
sufﬁt
d'en
déterminer
un
second
point
M
distinct
de
O.
La
droite
0M
est
bissec—
trice
de
l'angle
AOB.
0
Fm.
157.
FIG.
158.
163.
Construire
un
angle
égal
à
un
angle
donné.
—
Soit
à
cons-
truire
géométriquement
un
angle
égal
à
xOy
(ﬁg.
158).
Donnons-nous
l'un
des
côtés
de
l'angle
cherché,
soit
O'x'.
Nous
allons
construire
deux
triangles
isocèles
égaux,
dont
l'un
contienne
l'angle
O
et
l'autre
l'angle
0'
cherché.
CONSTRUCTION.
—
Traçons
deux
cercles
de
centre
0
et
0'
et
de
même
rayon.
Le
premier
coupe
les
côtés
de
l'angle
xOy
en
A
et
B;
le
second
coupe
O'x'
en
A'.
Avec
A'
comme
centre,
traçons
un
arc
de
cercle
de
rayon
égalà
AB
coupant
le
cercle
de
centre
0'
en
B’.
Les
deux
triangles
OAB,
O'A'B’
sont
égaux
d'après
le
3°
cas
d'égalité
des
triangles.
Donc
les
angles
AOB
et
A’O'B'
sont
égaux.
164.
Construire
une
parallèle.
-
Soit
à
mener
par
le
point
donné
A
1
la
parallèle
à
la
droite
xy
(ﬁg.
159).
D
De
A
comme
centre,
tracer
un
arc
de
\
cercle
coupant
xy
en
B.
De
B
comme
\
centre,
avec
le
même
rayon,
tracer
\
,
l'arc
AC.
Puis
avec
CA
comme
rayon
x
I
et
de
B
comme
centre.
tracer
un
arc
\
Il
qui
coupe
le
premier
arc
tracé
en
D.
f\\_/
La
droite
AD
est
parallèle
à
xy,
car,
si
nous
menons
AB,
les
angles
ABC
et
BAD
sont
égaux
d’après
la
cons-
FIG.
159.
truction
étudiée
au
n°
163.
-
A/
II‘Ÿ\
l
l
1
1
\l
l\
I
\\
l
la
‘-\-\
\
\\
ce

CONSTRUCTIONS
GÉOMÊTRIQUES
2l3
165.
Construire
le
dernier
sommet
d’un
parallélogramme.
Soient
A,
B
et
C
trois
sommets
consécutifs
d'un
parallélogramme
(ﬁg.
l60).
Le
quatrième
sommet
D
se
trouve
à
\
l'intersection
de
deux
arcs
de
cercle
b
___,,»“\
intérieurs
à
l'angle
ABC:
le
premier
de
A
,,,
”
__\\
|[)
centre
A
et
de
rayon
BC,
le
second
de
A"
Î\\
centre
C
et
de
rayon
AB.
Le
quadrila—
I
Ï"
tère
convexe
obtenu
ayant
ses
côtés
o,
1'
z,
opposés
égaux
est
un
parallélogramme
07/
(n°
77).
1’
à
/
REMARQUE.
—
Cette
construction
peut
B
c
être
utilisée
pour
mener
par
le
point
A
'
la
parallèle
AD
au
segment
BC.
FIG.
160.
166.
Construction
d’un
angle
droit.
-
Soit
une
demi-droite
A:
(ﬁg.
l6l).
Pour
construire
l'angle
dr01t
xAy,
la
construction
suivante
est
préférable
à
celle
du
no
160
lorsqu'on
ne
peut
pas
prolonger
A):
au—delà
de
À.
Du
point"
O
comme
centre,
tracer
le
cercle
passant
par
A
et
coupant
Ax
en
B,
puis
mener
le
diamètre
BC.
L'angle
BAC
étant
inscrit
dans
un
demi-
cercle
(n°
l47)
est
l'angle
droit
cherché.
y
’
æ
a
-
-
\
\
x
/
l
\
\
\
C/
L\
\\
/
\\
\
I
\
\
\
'I
\
\
\
0
\l
l
'K
l
l.
\
\
l
\
\
\
'
\
\\
R
Il
\
\
V
A
\
/B
J:
\
\
\
I
I
I
FIG.
161.
167.
Construction
d'angles
remarquables.
--
l°
Construisons
avec
un
côté
0A
quelconque
un
triangle
équilatéral
OAB
(n°
l5).
L'angle
AOB
vaut
60°
(n°
66)
et
sa
bissectrice
0M
le
partage
en
deux
angles
AOM
et
MOB
de
30°.
Les
suppléments
de
ces
angles
valent
respectivement
l20°
et
I500.
\2°
Pour
obtenir
un
angle
de
45°,
il
sufﬁt
de
mener
la
bissectrice
d'un
angle
droit
ou
de
construire
un
triangle
rectangle
isocèle
(n°
65).
Le
supplément
d’un
angle
de
45°
donne
un
angle
de
l35°.
3°
On
peut
obtenir
géométriquement
tout
angle
multiple
de
15°.
Ainsi
75°
=
45°
+
30°;
105°
=
60°
+
45°,
etc.

2l
4
GÊOMÉ
TRIE
EXERCICES
o
216.
Construire
le
centre
du
cercle
circonscrit
a
un
triangle
ABC.
On
examinera
les;
3
I:ztas
suivants:
1°
les
3
angles
sont
aigus;
2°
l’angle
A
est
droit;
3°
l’angle
A
es
o
us.
o
217.
Construire
un
cercle
passant
par
deux
points
donnés
sachant
que
son
centre
appartient
à
une
droite
donnée
(ou
à
un
cercle
donné).
o
218.
Est-il
possible
de
construire
un
cercle
passant
par
4
point
donnés?
Construire
tous
les
cercles
contenant
trois
de
ces
points.
o
219.
Construire
les
hauteurs
d’un
triangle.
Examiner
les
cas
suivants:
les
3
angles
sont
aigus,
un
angle
est
droit,
un
angle
est
obtus.
o
220.
Partager
un
segment
en
2.
4,
8
parties
égales.
Prendre
les
5/16
d’un
segment.
é.
221.
Partager
un
angle
en
4,
8
angles
égaux.
Diviser
un
cercle
en
4,
8
arcs
gaux.
o
222.
Partager
un
angle
plat
en
3,
6,
12
parties
égales.
Diviser
un
cercle
en
3,
6,
12
ou
24
arcs
égaux.
o
223.
Construire
un
angle
(ou
un
arc)
de
15°,
de
75°,
105°
et
165°.
Diviser
un
cercle
en
arcs
de
15°_:chacun.
o
224.
Soient
D,
E,
F
les
symétriques
d’un
point
M
intérieur
à
un
triangle
ABC
par
rapport
aux
côtés
BC,
CA
et
AB.
1°
Que
représente
A
pour
le
cercle
MEF?
Propriété
analogue
des
points
B
et
C?
En
déduire
une
construction
au
compas
à
l’aide
de
trois
cercles,
des
points
D,
E,
F.
2°
Les
médiatrices
du
triangle
DEF
se
coupent
en
P.
Montrer
que
AP
est
la
bissectrice
de
l’angle
EAF.
Sachant
que
=
16°
et
m
=
45°
trouver
la
valeur
de
l’angle
CAP.
La
comparer
à
celle
'de
l’angle
BAM.
o
225.
Dans
un
triangle
ABC
les
médiatrices
des
côtés
AB
et
AC
se
coupent
en
un
point
O
de
BC.
On
désigne
par
M
et
N
les
milieux
de
AB
et
AC.
1°
Montrer
que
O
est
le
milieu
de
BC
et
que
le
cercle
de
diamètre
BC
passe
par
A.
2°
Quelle
est
la
nature
destriangles
ABC
et
MON,
du
quadrilatère
OMAN?
Construire
le
cercle
circonscrit
à
OMAN.
Quelle
position
occupe-t-il
par
rapport
au
cercle
ABC?
o
226.
Les
médiatrices
des
côtés
AB
et
AC
du
triangle
ABC
se
coupent
en
O
à
l’intérieur
de
l’angle
BAC.
Comparer
la
somme
des
angles
B
et
C
du
triangle
ABC
à
la
somme
des
angles
ABO
et
ACO
puis
à
l’angle
A
du
triangle
suivant
que
le
point
O
est:
1°
intérieur
au
triangle;
2°
sur
le
côté
BC;
3°
extérieur
au
triangle.
a
227.
Dans
un
quadrilatère
ABCD
les
médiatrices
des
segments
AB,
AC
et
AD
se
coupent
en
un
même
point
O.
Construire
un
tel
quadrilatère
ABCD.
1°
Montrer
que
les
quatre
points
A,
B,
C,
D,
sont
sur
un
même
cercle
de
centre
0.
2°
Montrer
que
les
médiatrices
du
triangle
BCD
se
coupent
en
O.

CONSTRUCTIONS
GÉOMÉTRIQUES
215
o
228.
On
considère
un
quadrilatère
convexe
ABCD
dans
lequel
la
médiatrice
de
AB
est
également
la
médiatrice
de
CD.
Soit
O
le
point
où
cette
médiatrice
coupe
la
médiatrice
de
BC.
1°
Construire
un
tel
quadrilatère
et
quelle
est
sa
nature?
2°
Montrer
que
les
4
points
A,
B,
C,
D
sont
situés
sur
un
même
cercle
de
centre
O.
3°
Démontrer
que
les
médiatrices
de
AD,
AC
et
BD
passent
également
par
O.
o
229.
On
se
donne
une
ﬁgure
F
et
deux
points
ﬁxes
I
et
J.
Par
chaque
point
M
de
11a]I
tigure
F,
construire
les
deux
cercles
de
centres
reSpectifs
I
et
J
qui
se
recoupent
en
.
1°
Que
représente
M’
pour
le
point
correspondant
M?
2°
Montrer
que
la
ﬁgure
F’,
ensemble
des
points
M’,
est
superposable
à
la
ﬁgure
F.
o
230.
On
se
donne
un
arc
de
cercle
AA’
de
centre
O
et
une
ﬁgure
F.
1°
Par
chaque
point
M
de
la
ﬁgure
F,
construire
l’angle
MOm
égal
à
l’angle
AOA’
et
de
même
sens
puis
porter
sur
Om
une
longueur
OM’
=
OM.
2°
Montrer
que
la
ﬁgure
F’,
formée
par
l’ensemble
des
points
M’,
est
directement
égale
à
la
figure
F
(cf.
n°
8).
o
231.
1°
Construire
trois
cercles
de
même
rayon
passant
par
un
même
point
D
et
se
coupant
deux
à
deux
en
A,
B,
C
tels
que
D
soit
intérieur
au
triangle
ABC.
2°
Soient
M,
N
et
P
les
points
diamétralement
opposés
à
D
sur
les
cercles
BCD,
CAD
et
ABD.
Que
représente
le
point
D
pour
chacun
des
triangles
MNP,
ABC
et
A’B’C’?
(On
désigne
par
A’,
B’,
C’
les
pieds
des
hauteurs
du
triangle
ABC).
o
232.
Construire
le
cercle
circonscrit
à
un
trapèze
isocèle
ABCD
de
bases
AB
et
CD.
On
désigne
par
I
le
point
commun
aux
diagonales
AC
et
BD
et
par
J
le
point
de
rencontre
des
droites
AD
et
BC.
1°
Montrer
que
l’angle
BAC
est
la
moitié
de
chacun
des
angles
BOC
et
BIC.
Conséquence
pour
le
quadrilatère
OBlC.
2°
Montrer
que
l’angle
ABC
est
la
moitié
de
l’angle
AOC
ainsi
que
du
supplé-
ment
de
l’angle
AJC.
Conséquence
pour
le
quadrilatère
OAJC?
3°
Construire
les
cercles
BOIC,
AOID,
AOJC
et
BOJD.
o
233.
On
considère
deux
segments
égaux
AB
et
CD
dont
les
prolongements
se
coupent
en
I
et
on
construit
les
médiatrices
de
AC
et
de
BD
qui
se
coupent
en
O.
1°
Comparer
les
triangles
OAB
et
OCD.
Conséquences
pour
les
angles
OAI
et
OCI
ainsi
que
pour
les
angles
OBI
et
ODI.
2°
Nature
des
quadrilatères
AOIC
et
BOID?
3°
Un
cercle
quelconque
passant
par
O
et
I
recoupe
la
droite
AB
en
M,
la
droite
CD
en
P.
Comparer
les
segments
AM
et
CP,
ainsi
que
les
segments
BM
et
DP.

DlX-NEUVIÈME
LEÇON
CONSTRUCTIONS
DE
TRIANGLES
168.
On
connaît
un
côté
et
les
deux
angles
adjacents.
—
Les
données
sont
BC
=
a
et
les
angles
B
et
C.
Construisons
(ﬁg.
I63)
un
segment
BC
=
a
puis,
l'angle
CBx
égal
à
l'angle
B
donné
(n°
163).
Enﬁn
du
même
côté
de
BC
que
'angle
CBx,
construisons
l'angle
BCy
égal
à
l'angle
C
donné.
Si
B
+
C
est
inférieur
à
2D,
les
demi—
clrmtes
Bx
et
Cy
se
coupent
en
un
point
A
(n°
lll).
+—
—
4
+_---—
w—
FIG.
163.
FIG.
164.
Le
triangle
ABC
ainsi
obtenu
est
la
solution
cherchée.
To'ut
autre
triangle
réponclant
à
la
question
est
égal
au
triangle
ABC,
d
après
le
Ier
cas
d'égalité
des
triangles
quelconques
(n°
2|).
169.
On
connaît
deux
côtés
et
l’angle
qu’ils
forment.
—
Les
données
sont
l'angle
saillant
A,
les
côtés
AC
=
b
et
AB
=
c.
Construisons
(ﬁg.
164)
un
angle
xAy
'égal
à
l'angle
A
donné
(n°
163).
Portons
sur
Ax
un
segment
AB
=
c
et
sur
Ay
un
segment
AC
=
b.
Le
triangle
ABC
ainsi
obtenu
est
le
triangle
demandé.
Tout
autre
triangle
répondant
à
la
question
est
égal
au
triangle
ABC
d’après
le
Ze
cas
d’égalité
(n°
22).

CONSTRUCTIONS
DE
TRIANGLES
217
170.
On
connaît
les
trois
côtés.
—
Les
données
sont:
BC
=
a,
CA
=
b
et
AB
=
c.
Nous
supposerons
a
>
b
>
c.
Construisons
un
segment
BC
=
a
(ﬁg.
165).
Le
sommet
A
appartient
alors
au
cercle
de
centre
B
et
de
rayon
c
ainsi
qu'au
cercle
de
centre
C
et
de
rayon
b.
Soit
A
un
de
leurs
points
d'intersection.
Le
triangle
ABC
est
la
solution
cherchée.
Tout
autre
triangle
répondant
à
la
question
est
égal
au
triangle
ABC
d’après
le
3e
cas
d'égalité
(n0
23).
DISCUSSION.
—-
Pour
que
la
construction
soit
possible
il
faut
et
il
sufﬁt
que
les
cercles
B
et
C
scient
sécants,
ce
qui
nécessrte
(no
133)
b
—-
c
<
a
<
I)
+
c.
Comme
a
est
supérieur
à
b,
donc
à
b
—-
c,
il
reste
à
vériﬁer:
a
<
b
+
c
Pour
que
trois
segments
puissent
être
les
côtés
d’un
triangle
il
faut
et
il
sufﬁt
que
le
plus
grand
d’entre
eux
soit
inférieur
à
la
somme
des
deux
autres.
FIG.
165.
FIG.
166.
.
171.
Triangles
rectangles.
——
On
peut
toujours
ramener
la
construc-
tion
(l'un
triangle
rectangle
à
celle
de
l'un
des
triangles
isocèles
dont
Il
est
la
m01t1é
(n0
l7).
Mais
Il
faut
parfms
opérer
directement.
172.
On
connaît
l’hypoténuse
et
un
angle
aigu.
—
Les
données
sont:
A
=
ID,
BC
=
a
et
l’angle
aigu
B.
Construisons
un
angle
xBy
=
B
(ﬁg.
166).
Sur
le
côté
By,
portons
BC
=
a
et
par
C,
menons
la
perpendiculaire
CA
à
Bx.
Le
triangle
ABC
répond
à
la
question
et
toute
autre
solution
conduit
à
un
triangle
égal
d'après
le
ler
cas
d'égalité
des
triangles
rectangles
(n0
24).

2|
8
GÉOMÉ
TRIE
173.
On
connaît
l’hypoténuse
et
un
côté
de
l’angle
droit.
—
Les
données
sont
:
A
=
ID,
BC
=
a
et
AC
=
b.
1O
Construisons
un
angle
droit
xAy
(ﬁg.
167).
Sur
Ay
portons
AC
=
b
et
de
C_com_me
centre,
traçons
u_n
cercle
de
rayon
a.
Si
a
>
b,
ce
cercle
coupe
la
demi-drmte
Ax
en
B.
Le
triangle
ABC
répond
à
la
question.
FIG.
167.
FIG.
168.
2°
Construisons
le
segment
BC
=
a
(ﬁg.
168).
Le
sommet
A
appartient
à
un
demi-cercle
de
diamètre
BC
(n°
147).
Traçons
un
arc
de
cercle
de
centre
C,
de
rayon
b
et
qui
coupe
le
demi-cercle
en
A.
Le
triangle
ABC
rectangle
en
A,
répond
à
la
question.
Quelle
que
soit
la
manière
d'opérer
les
triangles
rectangles
ABC
obtenus
sont
égaux,
d'après
le
2e
cas
d'égallté
des
triangles
rectangles
(no
25).
174.
Construction
de
parallélogrammes.
—
La
construction
d'un
b
parallélogramme
ABCD
de
centre
g
—:
O
dont
on
connaît
trois
données
a
se
ramène
en
général
à
la
cons-
‘r
_
H
truction
d'un
triangle
ABC
(ou
à
OAB)
et
il
sufﬁt
ensuite
d'ache-
ver
le
parallélogramme
(n°
l65).
,
x
EXEMPLE:
———
Données
:
AB
=
a,
'
BC
=
b
et
la
hauteur
AH
=
h.
On
construit
d'abord
le
triangle
rectangle
ABH
(ﬁg.
169)
dont
on
connaît
l'h
poténuse
AB
=
a
et
z
le
côté
Ali-l:
h
(n°
173).
On
l
peut
alors
déterminer
le
sommet
b
1C
C
et
achever
le
parallélogramme
FIG.
169.
ABCD
(n°
165).

CONSTRUCTIONS
DE
TRIANGLES
219
On
peut
ainsi
construire
un
rectangle
de
dimensions
connues
a
et
b
(ﬁg.
170),
un
carré
de
côté
a
(ﬁg.
l7l),
un
losange
dont
on
connaît
le
côté
a
et
la
diagonale
AC
=
d.
un
.1
l>
B
b
:c
FIG.
170.
F1G.
171.
175.
Trapèze
dont
on
connaît
les
quatre
côtés.
—-
COnsidérons
172),
un
trapèze
ABCD
de
bases
AB
et
CD
et
terminons
le
parallélogramme
BCDE.
Nous
obtenons
:
I
BE
=
CD
et
ED
=
BC.
Connaissant
les
longueurs
B=a,
CD=b,
BC=c
et
DA
=
d,
nous
construirons
le
segment
AB
=
a,
sur
lequel
nous
porterons
BE
=
b.
Le
point
D
est
à
l'intersection
des
cercles
de
centre
A,
rayon
d
et
de
centre
E,
rayon
c.
Il
sufﬁt
alors
de
terminer
le
'parallélou
gramme
DEBC
(n°
l65).
Puisque
AE
=
a
—
br
la
construction
est
possible
31
:
E:
a
B
FIG.
172.
lc—JI
lc—JI
lc—JI

220
CÉOMÉTRIË
EXERCICES
—
Construire
un
triangle
rectangle
connaissant:
o
234.
Un
côté
de
l’angle
droit
et
un
angle
aigu.
o
235.
Un
côté
de
l’angle
droit
et
la
hauteur
relative
à
i’hypoténuse.
o
236.
L’hypoténuse
et
la
hauteur
relative
à
l’hypoténuse.
o
237.
La
médiane
et
la
hauteur
relatives
à
l’hypoténuse.
o
238.
L’hypoténuse
et
la
somme
des
côtés
de
l’angle
droit
(soient
AB
et
AC
les
côtés
de
l’angle
droit,
prolonger
CA
d’une
longueur
AD
=
AB,
construire
le
triangle
BDC).
o
239.
L’hypoténuse
et
la
différence
des
côtés
de
l’angle
droit
(soient
AB
et
AC
les
côtés
de
l’angle
droit,
porter
sur
AC
une
longueur
AD
=
AB,
construire
le
triangle
BDC).
o
240.
Un
angle
aigu
et
la
somme
des
côtés
de
l’angle
droit.
o
241.
Un
angle
aigu
et
la
différence
des
côtés
de
l’angle
droit.
——
Construire
un
triangle
isocèle
connaissant:
o
242.
L’angle
au
sommet
et
la
hauteur
relative
à
la
base.
o
243.
La
longueur
des
côtés
égaux
et
la
hauteur
relative
à
la
base.
o
244.
L’angle
à
la
base
et
la
hauteur
relative
à
la
base.
o
245.
La
base
et
la
hauteur
relative
à
la
base.
o
246.
La
base
et
le
rayon
du
cercle
circonscrit.
—
Construire
un
triangle
connaissant:
o
247.
Deux
côtés
et
la
médiane
relative
à
l’un
d’eux.
o
248.
Deux
côtés
et
la
médiane
relative
au
troisième
(prolonger
cette
médiane
d’une
longueur
égale
à
elle-même).
o
249.
Un
côté
et
les
médianes
relatives
aux
deux
autres.
o
250.
Un
côté,
la
médiane
relative
à
ce
côté
et
une
autre
médiane.
o
251.
Les
trois
médianes
(soit
AM
l’une
d’elles,
G
leur
point
commun,
prolonger
GM
d’une
longueur
égale
à
lui—même,
étudier
la
ﬁgure
obtenue).
o
252.
Deux
côtés
et
l’angle
opposé
à
l’un
d’eux.
o
253.
Un
côté,
un
angle
adjacent
à
ce
côté
et
la
somme
des
deux
autres
côtés
(ou
leur
différence).
o
254.
Un
côté,
l’angle
opposé
à
ce
côté
et
la
somme
des
deux
autres
côtés
(ou
leur
différence).
On
mettra
en
évidence
la
somme
ou
la
différence
donnée,
on
étu-
diera
la
figure
obtenue.
o
255.
Un
côté,
un
angle
adjacent
à
ce
côté,
et
la
hauteur
issue
du
sommet
de
cet
angle.
'

CONSTRUCTIONS
DE
TRIANGLES
22|
b
256.
Deux
côtés
et
la
hauteur
relative
à
l’un
d’eux.
o
257.
Un
côté,
un
angle
adjacent
à
ce
côté
et
la
hauteur
relatiVe
à
ce
côté.
o
258.
Deux
côtés
et
la
hauteur
relative
au
troisième.
o
2159.
Un
angle,
la
hauteur
et
1a
bissectrice
intérieure
issues
du
sommet
de
cet
ang
e.
o
260.
Un
côté,
un
angle
adjacent
à
ce
côté
et
le
rayon
du
cercle
circonscrit.
o
261.
Deux
côtés
et
le
rayon
du
cercle
circonscrit.
—
Construire
un
parallélogramme
connaissant:
o
262.
Un
côté,
et
les
deux
diagonales.
o
263.
Un
côté,
un
angle
et
une
diagonale.
o
264.
La
longueur
des
côtés
et
une
hauteur.
——
Construire
un
rectangle
connaissant:
o
265.
Un
côté
et
la
diagonale.
o
266-.
Le
plus
grand
côté
et
l’angle
des
diagonales.
o
267.
La
diagonale
et
le
périmètre
(voir
exercice
n°
238).
268.
OPn
proäonge
le
côté
BC
=
a
du
triangle
ABC,
de
BD
=
BA
=
c
et
de
O
CE
=
C
1o
Comparer
les
angles
D
et
E
du
triangle
ADE
aux
angles
B
et
C
du
triangle
BC
2°
Construire
le
triangle
ABC
connaissant
ses
angles
et
son
périmètre
2
p.
o
269.
Reprendre
le
problème
précédent
en
portant
CE
dans
le
sens
CB
et
cons-
truire
le
triangle
ABC
connaissant
2
(p
—
b)
ou
2
(p
——
c).
o
270.
Dans
un
quadrilatère
ABCD
(convexe,
concave
ou
croisé)
on
mène
les
segments
AF
et
CE
parallèles
à
BD,
égaux
à
BD
et
de
même
sens
que
BD.
Montrer
que
dans
la
ﬁgure
ACEFD,
on
retrouve
tout
angle
ou
tout
se
ment
du
quadrila-
tère
ABCD
et
de
ses
diagonales
(y
compris
l’angle
de
deux
cotés
opposés).
—
Construire
(cf.
ex.
n°
2'70)
un
quadrilatère
connaissant
ses
diagonales,
leur
angle
et
en
outre:
o
271.
Deux
côtés
consécutifs
ou
deux
côtés
opposés.
o
272.
Un
côté
et
l’angle
formé
avec
une
diagonale.
o
273.
Un
côté
et
un-
angle
adjacent
à
ce
côté.
o
274.
Un
côté
et
un
angle,
non
adjacent
à
ce
côté,
égal
à
1
droit.
o
275.
Deux
angles
consécutifs
ou
deux
angles
opposés,
égaux
à
1
droit.

VINGTIÈME
LEÇON
TANGENTES
ET
CERCLES
TANGENTS
176.
Rappel.
—
Une
droite
est
tangente
à
un
cercle
lorsqu’elle
est
perpendiculaire
à
“un
rayon
en
son
extrémité.
Inversement
le
cercle
est
dit
tangent
à
la
droite.
177.
,Tangentes
parallèles
à
une
direction
donnée.
-—
Pour
que
la
tangente
AT
au
cercle
O
soit
parallèle
à
la
droite
donnée
xy
(ﬁg.
l73),
1l
faut
et
1l
sufﬁt
que
le
rayon
0A
SOlt
perpend1cula1re
à
xy.
CONSTRUCTION.
-—
Mener
le
diamètre
AA'
du
cercle
O
perpendiculaire
à.xy.
Par
A
et
A',
mener
les_
parallèles
AT
et
A'T'
à
la
drmte
xy
(ou
les
perpen-
dlculaxres
en
A
et
A'
au
diamètre
AA').
Le
problème
est
toujours
posmble
:
Il
y
a
toujours
Jeux
tangentes
à
un
cercle,
parallèles
à
une
droite
donnée.
FIG.
173.
FIG.
174.
178.
Tangentes
issues
d’un
point
donné.
—
Soit
un
cercle
de
'centre
O,
de
rayon
R
(ﬁg.
l74)
et
un
point
donné
M
tel
que
0M
=
d.
Toute
droite
MA
tangente
en
A
au
cercle
O
est
perpendiculaire
en
A
à
0A
et
le
point
A
appa
——
tient
au
cercle
de
diamètre
0M
(n0
92).

TANGENTES
ET
CERCLES
TANGENTS
223
CONSTRUCTION.
—
Tracer
le_
cercle
de
diamètre
0M:
Si
ce
cercle
coupe
le.cercle
O
en
A
et
B,
les
drortes
MA
et
MB,
respectivement
perpendicu-
laires
en
A
à
0A
et
en
B
à
OB
sont
tangentes
au
cercle
0.
DISCUSSION.
—
ler
CAS.
d
>
R.
Le
point
M
est
extérieur
au
cercle
Û.
Le
cercle
de
diamètre
0M,
qui
passe
par
le
point
intérieur
O
et
le
point
extérieur
M,
coupe
donc
le
cercle
O
en
deux
points
A
et
B
symétriques
par
rap
ort
à
la
droite
des
centres
0M.
On
en
déduit
que:
MA
=
B;
ÔMA=CﬁlîBet
Par
un
point
extérieur
on
peut
mener
deux
tangentes
à
un
cercle.
Ces
tangentes
sont
égales
et
le
diamètre
passant
par
leur
point
commun
est
bissectrice
de
leur
angle.
_
29_CAS.
d
=
R.
Le
cercle
O
et
le
cercle
de
diamètre
0M
sont
tangents
intérieurement
en
M.
Le
problème
admet
une
seule
solution
:
la
tangente
en
M
au
cercle
O.
3e
CAS.
d
<
R.
Le
cercle
de
diamètre
0M
étant
intérieur
au
cercle
O,
le
problème
n'admet
pas
de
solution.
179.
Tangentes
communes
extérieures.
—
Soient
deux
cercles
O
et
0'
de
rayons
R
et
R'
(R
>
R')
(ﬁg.
l75).
Il
s'agit
de
construire
une
droite
tangente
en
A
au
premier
et
en
A'
au
second
de
façon
que
O
et
0'
soient
d'un
même
côté
de
AA’.
La
droite
AA'
est
une
tangente
commune
extérieure
aux
deux
cercles.
Les
rayons
0A
et
O'A’
sont
perpendiculaires
à
AA’.
Ache-
vons
le
rectangle
AA'O'C:
ÛC=
OA—CA=
OA—O'A’=
R—R'.
Le
cercle
de
centre
O
et
de
rayon
R
-—
R'
est
tangent
en
C
à
O'C.
CONSTRUCTION.
—
Mener
la
tan-
gente
Û'C
au
cercle
de
centre
O
et
de
rayon
R
—
R',
puis
OC
qui
coupe
le
cercle
O
donné
en
A
et
achever
le
rectangle
ACO'A'.
La
construction
de
O'C
nécessite
(n°
l78)
que
:
00'
>
R
—
R',
c'est-à-
dire
que
les
cercles
0
et
0'
soient
exté-
rieurs,
tangen
ts
extérieurement
ou
sécan
ts.
e
problème
admet
alors
deux
solu-
tions
AA'
et
BB'
symétriques
par
rapport
à
00'.
-
'
Si
00'
=
R
—
R'.
Les
deux
cercles
FIG.
175-
sont
langents
intérieurement
:
une
seule
solution,
la
tangente
au
point
de
contact
(n°
l30).

224
GÊOMÉ
TRIE
180.
Tangentes
communes
intérieures.
—
Soient
deux
cercles
O
et
0'
(ﬁg.
l76).
Il
s'agit
cette
fois
de
construire
une
tangente
ÀA'
telle
que
O
et
0'
soient
de
part
et
d'autre
de
AA'.
La
droite
AA'
est
une
tangente
commune
intérieure.
Construisons
encore
le
rectangle
AA'O'C:
OC:
OA-l-A'O’:
R-l—R’.
La
droite
O'C
est
tangente
en
C
au
cercle
de
centre
O
et
de
rayon
R
+
R'.
CONSTRUCTION.
—
Mener
la
tan-
gente
O'C
au
cercle
de
centre
O
et
de
rayon
R
+
R',
puis
OC
qui
coupe
le
cercle
O
donné
en
A
et
achever
le
rectangle
ACO'A'.
Il
FIG.
176.
faut
que
l’on
ait
00'
>
R
+
R',
donc
que
les
cercles
O
et
0'
soient
extérieurs
:
Deux
solutions
AA'
et
BB'
symétriques
par
rapport
à
00
Si
00'
=
R
+
R'
les
cercles
sont
tangents
extérieurement
:
une
solution,
la
tangente
au
point
de
contact
(n0
l30).
181.
Cercles
tangents
à
deux
droites.
--
Pour
qu'un
point
O
soit
le
centre
d'un
cercle
tangent
à
deux
drortes
x'x
et
y'y
(ﬁg.
l77)
il
.faut
et
il
FIG.
177.
FIG.
178.
sufﬁt
u'il
soit
équidistant
de
x'x
et
de
y'y,
c'est-à-dire
qu'il
appartienne
à
l'une
es
deux
bissectrices
des
angles
formés
par
les
deux
droites
(n0
30).

TANGENTES
ET
CERCLES
TANGENTS
225
Si
_on
se
donne
le
point
_A
de
contact
sur
y'y,
leo
problème
aclmet
deux
solutions:
01
et
02
sont
Situés
sur
la
perpendiculaire
en
A
à
y
y.
182.
Cercles
tangents
à
trois
droites.
-—
Pour
obtenir
le
centre
d'un
cercle
tangent.
aux
trois
droites
AB,
BC
et
ÇA
(ﬁg.
l78)
ll
sufﬁt
de
construire
un
pomt
équidlstant
des
trois
côtés
du
triangle
ABC.
Ce
problème
admet
quatre
solutions
:
les
points
de
concours
l,
J,
K,
L
des
bissectrices
intérieures
et
extérieures
du
triangle
ABC
(no
H5).
On
obtient
ainsi
4
cercles
tangents
aux
trois
côtés
d'un
triangle.
_183.
_Cerçle
inscrit
dans
un
triangle.
—
Le
point,
de
concours
I_des
bissectrices
intérieures
du
triangle
ABC
est
le
centre
d
un
cercle
intérieur
au
triangle
et
tangent
aux
trois
côtés
:
c'est
le
cercle
inscrit
(ﬁg.
l79).
Posons:
BC=a
CA=b,
AB=c
et
a+b+c=2
p
en
désia—
gnant
par
p,
le
demi-périmètre
du
triangle.
On
voit
(ﬁg.
179),
_que.
chacun
des
segments
AE,
BD,
DC
est
contenu
deux
fors
dans
le
périmètre
du
triangle.
Donc
:
p=AE+BD+DC=AE+a.
Soit:
rAE=AF=p—al
et
de
même:
BD=BF=p-—b
et
CD=CE=p—c.
1
t
I
\
\\J(
:
‘Q
'
|
I
'
'
Q.
V'
g
.
l
P
!
BI,
D
a
i0
AL
p
c
JE’
FIG.
179.
FIG.
180.
184.
Cercles
ex-inscrits
dans
le
triangle.
—
Le
point
de
concours
J
des
bissectrices
extérieures
des
angles
B
et
C
du
triangle
ABC
(ﬁg.
ISO)
est
le
centre
d'un
cercle
tangent
aux
trois
côtés,
situé
à
l'extérieur
du
triangle,
mais
à
l’intérieur
de
l'angle
A:
C'est
le
cercle
ex-inscrit
dans
l'angle
A
du
triangle
ABC.
Les
égalités
BD'
=
BF'
et
CD’
=
CE'
montrent
(ﬁg.
180)
que
le-
péri-
mètre
du
triangle
est
égal
à
(AB
+
BF’)
+
(AC
+
CE’)
=
AE’
+
AF’
=
2
AE’.

226
GÊOMÉ
TRIE
Donc:
|
AE’
=
AF’
=
pJ
et
par
suite:
BD'=BF'=p-c
et
CD'=CE'=p—b.
185.
Raccordements.
—
Raccorder
par
un
arc
de
cercle,
deux
droites
ou
arcs
de
cercle
donnés,
revient
à
construire
un
cercle
qui
leur
soit
tangent.
On
ne
garde
de
la
ﬁgure
qu'une
ligne
courbe,
continue
sans
point
anguleux.
l°
La
ﬁgure
l8l
montre
le
raccordement
de
deux
droites
xx'
et
yg'
par
un
arc
de
cercle
de
rayon
R
donné.
Le
centre
0
de
cet
_arc
se
trouve
à
l
inter-
section
des
parallèles
aux
deux
drmtes
menées
à
la
distance
R
de
chacune.
FIG.
181.
FIG.
182.
2°
L'ovale
de
la
ﬁgure
l82
a
été
obtenue
en
raccordant
deux
cercles
de
rayon
R
tels
que
00'
=
2
R,
par
des
arcs
AA'
et
BB'
de
rayon
3ÀR.
Les
centres
01
et
02
de
ces
arcs,
tangents
intérieurement
aux
cercles
donnés,
sont
situés
sur
les
cercles
de
centres
O
et
0',
de
rayon
3
R
—
R
=
2
R
(n°
l32).
La
cons-
truction
s'achève
sans
difﬁculté.
EXERCICES
—
Construire
un
triangle
connaissant
:
o
276.
Le
cercle
inscrit
ou
un
cercle
ex-inscrit)
et
les
points
où
il
touche
les
3
côtés
du
triangle.
o
277.
Le
cercle
inscrit
(ou
le
cercle
ex—inscrlt
dans
l’angle
A),
la
position
du
sommet
A,
et
la
direction
du
côté
BC.
o
278.
Le
cercle
inscrit
(ou
un
cercle
ex-inscrit)
et
la
direction
des
trois
côtés
lou
les
3
angles).

TANGENTES
ET
CERCLES
TANGENTS
227
o
279.
Deux
angles
et
le
rayon
du
cercle
inscrit
(ou
d’un
cercle
ex-inscrit).
i.
280.
Un
angle,
la
hauteur
issue
du
sommet
de
cet
angle
et
le
rayon
du
cercle
nscrit.
o
281.
Un
côté,
un
angle
adjacent
à
ce
côté
et
le
rayon
du
cercle
inscrit.
o
282.
Un
angle,
le
rayon
du
cercle
inscrit,
et
le
rayon
du
cercle
ex-inscrit
dans
l’angle
donné.
—
Construire
un
losange
connaissant:
o
283.
Le
côté
et
le
rayon
du
cercle
inscrit.
o
284.
Un
angle
et
le
rayon
du
cercle
inscrit.
o
285.
Une
diagonale
et
le
rayon
du
cercle
inscrit.
o
286.
Soit
un
triangle
ABC;
le
cercle
ex-inscrit
dans
l’angle
A
touche
BC
en
A’,
AB
en
C’
et
AC
en
B'.
1°
Comparer
les
segments
AB’
et
AC’.
2°
Comparer
les
segments
BA’
et
BC’
puis
les
segments
CA’
et
CB'.
3°
Montrer
que
AC’
+
AB'
est
égal
au
périmètre
du
triangle
ABC.
o
287.
Soient
deux
cercles
O
et
0’
tangents
extérieurement
en
A
et
BB’
une
tangente
commune
extérieure
qui
touche
les
cercles
en
B
et
B’;
soit,
enﬁn,
I
le
point
où
la
tangente
commune
en
A
aux
deux
cercles
coupe
BB’.
Démontrer
que
I
est
le
milieu
de
BB'.
2°
Démontrer
que
le
triangle
BAB'
est
rectangle.
3°
Démontrer
que
le
triangle
OIO’
est
rectangle.
4°
Démontrer
que
BB’
est
tangent
en
I
au
cercle
de
diamètre
00'.
y—a
O
o
288.
Construire
un
cercle
de
rayon
R
donné
passant
par
un
point
A
donné
:
1°
Tangent
à
une
droite
xy
donnée.
2°
Tangent
intérieurement
ou
extérieurement
à
un
cercle
donné.
o
289.
Construire
un
cercle
de
rayon
R
donné:
1°
Tangent
à
deux
droites
données.
2°
Tangent
à
une
droite
donnée
et
tangent
soit
intérieurement
soit
extérieu-
rement
à
un
cercle
donné.
o
290.
Construire
un
cercle
o)
de
rayon
donné
r
tangent
à
deux
cercles
donnés
O
et
0’.
(Huit
solutions
au
maximum.)
o
291.
1°
Démontrer
que
si
un
cercle
co
est
tangent
en
A
au
cercle
donné
0,
en
B
à
la
droite
donnée
xy,
la
droite
AB
recoupe
le
cercle
O
en
l’une
des
extrémités
du
diamètre
IJ
perpendiculaire
à
xy.
2°
Construire
le
cercle
co
connaissant
A,
puis
connaissant
B.
o
292.
On
considère
un
cercle
a)
tangent
en
A
au
cercle
donné
0,
en
B
au
cercle
donné
0’.
à
1°
Démontrer
que
la
droite
AB
recoupe
le
cercle
0’
sur
le
diamètre
IJ
parallèle
0A.
2°
Construire
le
cercle
o)
connaissant
le
point
de
contact
A.
o
293.
Raccorder
deux
cercles
donnés
par
un
cercle
de
rayon
r
donné
dont
le
genre
du
contact
est
précisé
(Ex.
n°
290).

228
GÉOMÉ
TRIE
o
294.
Raccorder
une
droite
et
un
cercle
donnés
par
un
cercle
de
rayon
r
donné
ou
dont
l’un
des
points
de
contact
est
donné
(n°
291).
o
295.
Raccorder
deux
cercles
par
un
cercle
dont
l’un
des
points
de
contact
est
donné
(n°
292).
o
296.
Raccorder
deux
demi-droites
parallèles
et
de
sens
contraires
Aa:
et
By
par
deux
arcs
égaux,
tangents
en
O
milieu
de
AB
et
touchant
A3:
en
A,
By
en
B.
o
297.
Raccorder
par
deux
arcs
de
cercle,
deux
demi-droites
parallèles
et
de
même
sens
Aœ
et
By
distantes
de
31'.
En
supposant
BAa:
aigu,
le
premier
cercle
âarlägent
en
A
à
Ax
sera
de
rayon
r
et
le
second,
tangent
au
premier,
sera
tangent
y
en
B.
o
298.
Deux
cercles
0
et
0’
de
rayon
R
=
00’
se
coupent
en
I
et
J.
Raccorder
ces
deux
cercles
par
deux
arcs
AA
et
BB’
de
rayon
2R
et
de
centres
I
et
J.
La
courbe
fermée
ABB’A
obtenue
est
:l’ovale
à
4
centres-
o
299.
On
considère
deux
droites
x’x
et
y’
y
qu’on
ne
peut
prolonger
jusqu’à
leur
point
de
rencontre
A
et
une
sécante
BC
1o
Construire
deux
cercles
de
centres
I
et
J
tangents
à
BC
en
D
et
D’,
à
x’æ
en
F
et
F’
et
à
y’y
en
E
et
E’.
2°
OnposezBD
=BF
=-Tx;CD
=
CE
=
y;BD’
=BF’
=
uetCD’
=
CE’
==
v.
Démontrer
que
l’on
a:
x
=
v
et
y
=
u,
BC
=
EE’
=
FF’
et
que
BC
et
DD’
ont
même
milieu
M.
3°
Peut-on
établir
cette
dernière
propriété
en
considérant
le
quadrilatère
BICJ
inscriptible
dans
le
cercle
de
diamètre
IJ
et
de
centre
K?
o
300.
Une
tangente
à
un
cercle
0
en
un
point
variable
M
coupe
en
A
et
B
deux
tangentes
ﬁxes
Px
et
Qy
à
ce
cercle.
Soit
M’
le
point
diamétralement
opposé
à
1°
Démontrer
que
les
angles
AOB
et
PM'
Q
sont
égaux
à
la
moitié
de
l’angle
POQ.
En
déduire
que
l’angle
AOB
reste
constant
lorsque
M’
décrit
l’un
des
arcs
d’extrémités
P
et
Q.
2°
Démontrer
que
si
un
quadrilatère
convexe
ABCD
est
circonscrit
à
un
cercle
de
centre
0,
on
peut
écrire
les
égalités:
Œ+<ïobœlï<Ë+1ÎŒ—2v;
AB+CD—BC-+DA.

PROBLÈMES
DE
RÉVISION
o
301.
D’un
point
M
de
la
base
BC
d’un
triangle
isocèle
ABC,
on
mène
les
perpen-
diculaires
MD
et
ME
aux
côtés
égaux
AB
et
AC.
Montrer
que
la
somme
des
seg—
ments
MD
et
ME
est
égale
à
une
hauteur
du
triangle
ABC.
Dans
le
cas
où
M
est
à
l’extérieur
de.
BC,
comment
modiﬁer
l’énoncé?
o
302.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A
et
sa
hauteur
AH;
on
mène
les
bissec-
trices
ADèlet
AE
des
angles
BAH
et
HAC.
Montrer
que
les
triangles
ABE
et
ACD
sont
isoc
es.
o
303.
Montrer
que
si,
à
partir
de
deux
sommets
opposés
d’un
carré,
on
porte
sur
les
côtés
de
ce
carré
une
même
longueur,
en
joignant
les
points
obtenus,
on
forme
un
rectangle
dont
le
périmètre
est
constant,
quelle
que
soit
la
longueur
commune
des
segments
portés
sur
les
côtés
du
carré.
o
304.
Démontrer
qu’en
joignant
les
pieds
des
perpendiculaires
menées
du
centre
sur
les
côtés
d’un
losange,
on
forme
un
rectangle.
o
305.
Sur
les
côtés
AB
et
BC
d’un
carré
ABCD,
on
porte
deux
longueurs
égales
AM
et
BN.
Montrer
que
les
droites
AN
et
DM
sont
perpendiculaires.
o
306.
Dans
un
triangle
ABC,
l’angle
aigu
B
est
double
de
l’angle
C,
on
mène
la
hauteur
AH
et
on
prolonge
AB
d’une
longueur
BE
=
BH.
On
joint
EH
qui
coupe
AC
en
D.
Montrer
que
les
triangles
DAH
et
DHC
sont
isocèles
et
que
AB
=
HC
—
HB.
o
307.
Montrer
que
dans
un
triangle
quelconque,
l’angle
formé
par
la
bissec-
trice
de
l’angle
A
et
la
hauteur
issue
de
A
est
égal
à
la
demi-diﬁérence
des
angles
B
et
C.
o
308.
Établir
que
dans
un
triangle
rectangle,
la
bissectrice
de
l’angle
droit
est
aussi
bissectrice
de
l’angle
formé
par
la
hauteur
et
la
médiane
relatives
à
l’hypo—
ténuse.
o
309.
Soit
un
trapèze
isocèle
ABCD
de
base
AD
tel
que
AB
=
BC
=
CD.
Montrer
que
les
diagonales
AC
et
DB
sont
bissectrices
des
angles
A
et
D.
Construire
ce
trapèze
connaissant
AD
et
l’angle
A.
o
310.
On
désigne
par
I
le
point
de
rencontre
des
bissectrices
intérieures
d’un
triangle
ABC.
On
mène
par
I
les
parallèles
aux
côtés
AB
et
AC
qui
coupent
BC
en
D
et
E.
Comparer
le
périmètre
du
triangle
IDE
à
la
longueur
BC
et
ses
angles
à
ceux
du
triangle
ABC.
o
311.
Établir
que
l’angle
des
bissectrices
de
deux
angles
opposés
d’un
quadri-
latère
convexe
est
égal
à
la
demi-diﬂérence
des
deux
autres
angles
du
quadrilatère.
o
312.
Démontrer
que
les
bissectrices
des
angles
d’un
parallélogramme
forment
un
rectangle
et
que
les
diagonales
de
ce
rectangle
sont
parallèles
aux
côtés
du
parallélogramme.

230
GÊOMÉTRIË
o
313.
Soit
un
triangle
ABC
et
les
deux
bissectrices
de
l’angle
A.
Du
point
B
on
mène
les
perpendiculaires
BD
et
BE
à
ces
bissectrices.
Que
peut—on
dire
du
quadri-
latère
ADBE?
En
déduire
que
DE
et
AC
sont
parallèles.
On
construit
de
même
les
perpendiculaires
BD'
et
BE’
aux
deux
bissectrices
de
C.
Que
peut-on
dire
des
quatre
points
D,
E,
D’,
E'?
o
314.
Dans
un
triangle
ABC
on
mène
la
médiane
AM;
on
joint
B
au
milieu
0
de
AM,
B0
coupe
AC
en
E;
enﬁn
on
prolonge
B0
d’une
longueur
OF
=
B0.
Prouver
que
les
quadrilatères
AFMB
et
AFCM
sont
des
parallélogrammes.
En
déduire
que
E
est
au
tiers
de
AC
à
partir
de
A.
o
315.
On
donne
un
triangle
ABC
rectangle
en
A
et
sa
hauteur
AD.
On
construit
le
symétrique
E
de
D
par
rapport
à
AB
et
le
symétrique
F
de
D
par
rapport
à
AC.
Montrer
que
les
points
E,
A,
F
sont
en
ligne
droite.
o
316.
Soient
deux‘
droites
perpendiculaires
m’a:
et
y’y
et
O
leur
point
commun.
Sur
0a:
et
Oy
on
porte
0A
=
OA’;
sur
Oæ’
et
Oy’
on
porte
0B
=
OB’,
on
cons-
truit
la
hauteur
OH
du
triangle
OA’B
et
la
médiane
OM
du
triangle
OAB’.
Montrer
que
les
trois
points
M,
O
et
H
sont
en
ligne
droite.
o
317.
Soit
un
cercle
de
centre
O
et
un
diamètre
AB
de
ce
cerle.
On
mène
par
A
et
B
deux
cordes
parallèles
AA’
et
BB’.
Montrer
que
les
trois
points
A',
O
et
B’
sont
en
ligne
droite.
o
318.
Un
trapèze
ABCD
est.
inscriptible
dans
un
cercle
de
diamètre
AB.
Montrer
que
deux
des
angles
du
triangle
ADC
ont
pour
diﬁérence
90°.
o
319.
Soit
un
quadrilatère
ABCD:
les
droites
qui
joignent
les
milieux
des
côtés
opposés
se
coupent
en
I;
soient
E
et
F
les
milieux
des
diagonales
AC
et
BD.
Montrer
que
les
trois
points
E,
I
et
F
sont
en
ligne
droite.
o
320.
Soient
deux
droites
perpendiculaires
D
et
D’
un
point
A
sur
D
et
un
point
B
sur
D’,
on
joint
un
point
C
de
D’
au
point
A;
montrer
que
la
perpendi-
culaire
menée
de
B
à
AC,
la
perpendiculaire
menée
de
C
à
AB
et
la
droite
D
sont
concourantes.
o
321.
Construire,
par
un
point
A,
une
droite
équidistante
de
deux
points
donnés
llîletàc
démontrera
que
cette
droite
coupe
BC
en
son
milieu,
ou
bien
est
paral-
e
à
o
322.
Construire
un
triangle
connaissant
un
côté
et
deux
hauteurs
(deux
cas).
o
323.
Construire
un
triangle
connaissant
les
angles
B
et
C
et
le
périmètre
du
triangle
(prolonger
CB
d’une
longueur
BD
=
BA,
prolonger
BC
d’une
longueur
CE
=
CA,
puis
étudier
le
triangle
ADE).
o
324.
Construire
un
triangle
isocèle
connaissant
le
rayon
du
cercle
circonscrit
et
la
hauteur
relative
à
la
base.
o
325.
Soit
un
angle
xOy.
Construire
une
droite
parallèle
à
une
direction
donnée
qui
coupe
les
deux
côtés
de
l’angle
en,
deux
points
A
et
B
tels
que
AB
ait
une
lon-
gueur
donnée
(mener
par
O
un
segment
OC
parallèle
à
la
direction
donnée
et
tel
que
OC
==
AB,
étudier
la
ﬁgure
OCBA).
o
326.
Construire
un
parallélogramme
connaissant
ses
diagonales
et
leur
angle.
o
327.
Construire
un
trapèze
isocèle
connaissant
le
rayon
du
cercle
circonscrit
et
la
longueur
des
bases.
o
328.
Construire
un
triangle
connaissant
le
rayon
du
cercle
circonscrit,
un
côté
et
la
hauteur
relative
à
ce
côté.

PROBLÈMES
DE
RÉVISION
23|
o
329.
Étant
donné
un
angle
:cOy
et
un
point
A
intérieur
à
cet
angle,
mener
paf
A
lânelâlëoite
qui
coupe
les
côtés
de
l’angle
en
B
et
C
de
façon
que
A
soit
le
m1
leu
e
.
o
330.
Construire
un
trapèze
rectangle
connaissant
les
bases
et
le
côté
non
perpen-
diculaire
aux
bases.
o
331.
Étant
donné
un
angle
xOy
et
un
point
A
construire
un
trian
e
is
è
dont
la
base
passe
par
A
et
dont
xOy
soit
l’angle
au
sommet.
g]
oc
le
o
332.
Soit
un
triangle
isocèle
ABC,
de
base
BC.
1°
D’un
oint
M
de
BC
on
mène
les
er
endiculaires
MD
égaux.
Mon’ïrer
que
MD
+
ME
a
une
valelur
I(Jaonstante
quelle
que:
9.131?
Ignäosîfi'ä:
de
M
sur
BC.
2°
Dans
les
mêmes
conditions,
montrer
que
AD
+
AE
a
une
valeur
constante.
3°
'Le
point
M
étant
pris
sur
le
prolongement
de
BC,
montrer
que
MD
—
ME
a
une
valeur
constante.
o
333.
On
se
donne
un
angle
æOy
et
on
porte
sur
0x
et
sur
O
deux
1
et
ON
dont
la
somme
a
une
valeur
donnée
2
l
=
20
cm_
y
ongueurs
0M
1°
Soit
M’
le
point
de
Oy
tel
que
OM’
=.
0M_
Montrer
e
le
mm
I
reste
ﬁxe
quand
les
points
M
et
N
se
déplacent
sur
0x
(ä!
Oy.
eu
I
de
NM
2°
Construire
le
centre
du
cercle
circonscrit
au
trian
le
MNM’.
M
ce
point
reste
ﬁxe
lorsque
M
et
N
varient
sur
0:1:
et
Ogy,
Outre?
que
o
334.
On
considère
un
triangle
isocèle
ABC
(AB
-=
AC);
M
est
le
milieu
de
BC
Sur
AB
on
construit
le
carré
ABDE,
sur
AC
le
carré
ACFG,
on
‘oi
t
'
°
et
G
et
E
au
point
G.
Démontrer:
J
n
Maux
pomts
E
10
Que
ME
=
MG
et
que
la
perpendiculaire
MN
menée
de
M
à
E
(N
est
le
pied
de
cette
perpendiculaire
sur
EG).
G
passe
par
A
2°
Que
les
triangles
ABM,
AEN
sont
égaux
et
que
:
EG
-
2
AM
et
BG
-=
2
AN.
o
335.
Soit
un
trian
le
isocèle
ABC,
de
base
B
.
-
des
angles
B
et
C
coäpent
les
côtés
opposés
en
BC’
e%eâ’.bisseCtﬂœs
intérieures
1°
Démontrer
que
les
segments
BC’,
B’C
et
B’C’
sont
égaux.
2°
Le
résultat
subsiste-t-il
lorsqu’on
remplace
les
bissectrices
intérieures
ar
les
bissectrices
extérieures?
p
o
336.
Soient
sulràäne
droitebzy
trois
segmelnts
égaux
et
consécutitsAB
=
Bc
=
CD
On
construit
sur
comme
ase
un
triang
e
isocèle
BCE
AE
cou
e
l
diculaire
menée
par
D
à
la
droite
xy.
’
p
en
F
la
perpen
1°
Comparer
les
segments
AE
et
EF.
2°
Que
peut-on
dire
des
deux
segments
BE
et
CF?
o
337.
On
considère
un
demi-cercle
de
centre
O,
de
diamètre
AB.
S
diamètre,
on
décrit
un
demi—cercle
de
centre
0’,
intérieur
au
premliärégrf
0111111132:
par
A
une
sécante
qui
coupe
les
deux
demi-cercles
en
M
et
N.
1°
1‘(Ïîomparer
les
deux
triangles
AON
et
MON.
En
déduire
que
N
est
le
milieu
de
A
.
2°
Que
peut-on
dire
des
deux
tangentes
en
M
et
en
N
aux
deux
demi-cercles?
o
338.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A'
et
sa
hauteur
AH°
et
C
les
tangentes
BD
et
CE
au
cercle
de
centre
A
et
de
rayon,mène
de
B
1°
Montrer
que
les
points
D,
A
et
E
sont
en
ligne
droite
et
ue
l
s
et
CE
sont
parallèles.
q
e
tangentes
BD
20
Montrer
que
le
cercle
de
diamètre
BC
est
tangent
en
A
à
DE!

232
GÊOMÉ
TRIE
o
339.
Dans
un
cercle
de
centre
O
on
mène
une
corde
CD
et
deux
rayons
OA
et
OB.
Le
rayon
OA
coupe
CD
en
E
et
le
rayon
0B
coupe
CD
en
F
de
manière
que
CE
=
EF
=
FD.
1°
Comparer
les
triangles
OEC
et
OFD?
2°
Que
peut-on
dire
du
triangle
OEF
et
des
droites
AB
et
CD?
o
340.
On
considère
un
carré
ABCD
de
côté
a.
De
B
vers
C
on
porte
sur
BC
un
segment
BM
=
b
<
a,
et
on
prolonge
CD
à
partir
de
D
d’une
longueur
DN
=
BM.
Soit
O
le
milieu
de
MN.
1°
Comparer
les
triangles
ADN
et
ABM.
2°
Montrer
que
le
triangle
MAN
est.
rectangle.
3°
Montrer
que
le
triangle
AOC
est
isocèle.
o
341.
Soit
un
triangle
ABC
rectangle
en
A
et
la
hauteur
AH.
On
porte
sur
HC
un
segment
HD
=
BH.
On
joint
AD
et
on
mène
de
C
la
perpendiculaire
CE
à
AD.
1°
Comparer
les
triangles
ABH
et
ADH
et
les
angles
HCA
et
HCE.
2°
Mglntrer
que
le
quadrilatère
AHEC
est
inscriptible
et
que
le
triangle
AHE
est
isoc
e.
o
342.
On
considère
un
demi-cercle
O
de
diamètre
AB;
on
trace
la
corde
AC
faisant
avec
AB
un
angle
de
30°.
1°
Montrer
que
le
triangle
OBC
est
équilatéral.
2°
Soit
I
le
centre
du
cercle
circonscrit
au
triangle
AOC.
Montrer
que
le
quadri-
latère
AICO
est
un
losange.
En
déduire
une
construction
simple
du
point
I
et
la
valeur
du
rayon
du
cercle
circonscrit
au
triangle
AOC.
o
343..
Soit
un
cercle
O
de
diamètre
AB
et
une
corde
AC;
les
tangentes
en
B
et
C
se
coupent
en
D.
1°
Démontrer
que
OD
est
parallèle
à
AC.
2°
Construire
la
ﬁgure
sachant
que
AB
-—
3
cm
et
que
l’angle
BAC
—
45°.
o
344.
On
considère
un
triangle
ABC
dans
lequel:
B
—
C
=
90°.
1°
Soit
AA’
le
diamètre
passant
par
A
du
cercle
circonscrit
à
ce
triangle.
Comparer
les
deux
angles
CBA’
et
BA’A
à
l’angle
C
du
triangle.
2°
En
déduire
que
les
droites
AA’
et
BC
sont
parallèles.
3°
Montrer
que
la
tangente
en
A
au
cercle
circonscrit
est
la
hauteur
AH
du
triangle
et
que
l’on
a
CAH
=
ABH.
o
345.
On
se
donne
un
point
A
intérieur
à
un
angle
xOy:
11‘;I
grouver
un
point
M
sur
On:
et
un
point
N
sur
Oy
tels
que
A
soit
le
milieu
de
.
2°
Construire
un
triangle
isocèle
de
sommet
O,
dont
la
base
PQ
passe
par
le
point
A.
3°
Dans
quel
cas
les
droites
MN
et
PQ
sont-elles
confondues?
o
346.
Soit
un
rectan
le
ABCD
tel
ue
AB
=
aet
AD
=
b.
n
’
longueur
BF
=
a
et
ËD
d’une
lonqgueur
DE
=
b.
O
prOlongeAB
d
une
1°
Comparer
les
triangles
FBC
et
CDE?
2°
Que
peut-on
dire
des
trois
points
F,
C
et
E?
3°
Comment
choisir
a
et
b
pour
que
AC
soit
perpendiculaire
à
FE?
o.
347.
On
considère
un
cercle
de
diamètre
AB;
on
mène
une
corde
AC“
et
on-
la
prolonge
d’une
longueur
CD
=
AC.
1°
Montrer
que
le
triangle
ABD
est
isocèle.
2°
Soit
AE
la
corde
perpendiculaire
à
AC;
on
la
prolonge
de
EF
=
AE.
Démon.-
trer
que
les
points
D,
B,
F
sont
en
ligne
droite.

PROBLÈMES
DE
RÉVISION
233
d
3°
éMontrer
que
le
cercle
circonscrit
au
triangle
DAF
est
tangent
en
A
au
cercle
onn
.
4°
Quelle
valeur
faut-il
donner
à
l’angle
BAC
pour
que
DF
soit
tangent
en
B
au
cercle
donné?
o
348.
Soit
un
angle
æOy
et
un
point
ﬁxe
A
sur
la
bissectrice
de
cet
angle.
Un
cercle
passant
par
0
et
A
coupe
les
côtés
de
l’angle
en
M
et
N.
1°
Montrer
que
la
médiatrice
‘de
MN
passe
par
A.
2°
Un
second
cercle
passant
par
O
et
A
coupe
les
côtés
de
l’angle
en
M’
et
N’.
Comparer
les
triangles
MAM’
et
NAN’.
En
déduire
que
MM’
=
NN’.
o
349.
Dans
un
triangle
ABC
on
désigne
par
I
le
centre
du
cercle
inscrit
et
par
J
le
centre
du
cercle
ex-inscrit
dans
l’angle
A.
1°
Montrer
que
-AI
coupe
le
cercle
ABC
en
un
point
M
milieu
de
l’arc
BC.
2°
Évaluer
les
angles
MBI
et
BIM
par
rapport
aux
angles
du
triangle
ABC.
En
déduire
que
le
triangle
IBM
est
isocèle.
3°
Comparer
les
angles
MBJ
et
BJ
I.
En
déduire
que
le
point
M
est
le
centre
d’un
cercle
passant
par
les
quatre
points
B,
I,
C
et
J.
o
350.
Dans
un
triangle
isocèle
ABC
un
angle
à
la
base
est
double
de
l’angle
au
sommet
A.
1°
Calculer
en
degrés
les
trois
angles
du
triangle.
2°
Soit
BD
la
bissectrice
de
B.
Comparer
les
segments
AD,
BD
et
BC.
3°
On
prolonge
BD
d’une
longueur
DE
=
BD.
Que
peut-on
dire
de
l’angle
BAE?
o
35’1.O
Dans
un
triangle
ABC,
l’angle
C'
vaut
40°,
l’angle
A
vaut
60°
et
l’angle
B
vaut
8
°.
1°
On
mène
la
hauteur
AD
et
on
prolonge
AB
d’une
longueur
BE
=
BD.
La
droite
ED
coupe
AC
en
F.
Montrer
que
les
triangles
BDE,
FDC
et
FDA
sont
isocèles
et
calculer
leurs
angles.
2°
Montrer
que
FA
-=
FD
—
FC
et
que
AB
—
DC
—
DB.
o
352.
On
donne
un
angle
:cOy
et
un
point
A
de
sa
bissectrice.
Par
le
point
B
milieu
de
0A,
on
mène
la
perpendiculaire
à
OA
qui
coupe
0x
en
C
et
Oy
en
D.
1°
Montrer
que
le
quadrilatère
ODAC
est
un
losange.
2°
Quelle
valeur
faut-il
donner
à
:cOy
pour
que
ce
quadrilatère
soit
un
carré?
o
353.
Soit
un
trapèze
rectangle
ABCD
où
BC
est
perpendiculaire
aux
bases
AB
et
CD.
1°
Montrer
que
la
médiatrice
de
BC
coupe
AD
en
son
milieu
O.
2°
Le
point
H
étant
le
milieu
de
BC.
démontrer
l’égalité:
AB
+
DC
=
2
0H.
o
354.
Dans
un
triangle
ABC
la
bissectrice
intérieure
de
B
coupe
AC
en
D
et
on
mène
par
D
la‘
parallèle
à
BC
qui
coupe
AB
en
E
1°
Démontrer
que
le
triangle
BDE
est
isocèle.
2°
Quelle
relation
doit
exister
entre
les
angles
B
et
C
du
triangle
donné
pour
qu’on
ait
DC
=
BD?
Démontrer
que
DE
est
alors
bissectrice
de
ADB.
o
355.
On
donne
un
triangle
ABC
dans
lequel
on
suppose
AB
<
AC,
on
trace
le
cercle
circonscrit;
la
bissectrice
intérieure
de
l’angle
A
coupe
ce
cercle
en
M
et
BC
en
D;
la
tangente
en
A
coupe
BC
en
I.
1°
Démontrer
l’égalitéﬁ
==
Montrer
que
le
triangle
ADI
est
isocèle.
2°
La
bissectrice
extérieure
de
A
coupe
BC
en
E.
Montrer
que
I
est
le
milieu
de
DE.

234
GÊOMÉTRIE
0
356.
On
considère
un
cercle
O
et
une
corde
AB
égale
au
côté
du
triangle
équi—
latéral
inscrit
à
ce
cercle.
D’un
point
C
de
l’arc
AB
inférieur
à
un
demi-cercle
on
décrit
un
cercle
tangent
à
AB;
les
tangentes
à
ce
cercle
menées
de
A
et
B
se
coupent
en
M
/\
/'\
1°
Calculer
en
degrés
la
valeur
de
la
somme
CAB
+
CBA.
2°
Calculer
la
valeur
de
l’angle
AMB.
o
357.
Soit
un
demi-cercle
de
diamètre
AB;
sur
une
corde
AC
on
porte
AD
=
CB;
sur
la
tangente
en
A,
on
porte
AE
=
1°
Comparer
les
triangles
ADE
et
ABC.
2°
Montrer
que
le
cercle
de
diamètre
AE
passe
par
D.
o
358.
On
donne
un
demi—cercle
de
diamètre
AB;
sur
un
rayon
OC
on
porte
0D
a
CH,
où
on
désigne
par
H
la
projection
de
C
sur
le
diamètre
AB
et
par
OE
le
rayon
perpendiculaire
à
AB.
1°
Comparer
les
triangles
OCH
et
ODE.
2°
Montrer
que
le
cercle
de
diamètre
0E
passe
par
D.
o
359.
Soit
un
cercle
O
de
diamètre
MN;
par
un
point
A
de
ce
diamètre,
on
mène
la
tangente
AB
au
cercle,
puis
la
bissectrice
de
l’angle
BAO.
La
perpendiculaire
menée
de
O
à
cette
bissectrice
la
coupe
en
P
et
la
tangente
AB
en
C.
1°
Montrer
que
le
triangle
OAC
est
isocèle.
2°
é.Vlontrer
que
la
hauteur
issue
de
C
dans
ce
triangle
est
égale
au
rayon
du
cercle
donn
.
3°
En
déduire
la
distance
du
point
P
au
diamètre
o
360.
1°
Montrer
que,
dans
un
quadrilatère
convexe
ABCD,
l’angle
des
bissec—
trices
de
deux
angles
consécutifs
est
égal
à
la
demi-somme
des
deux
autres
angles.
2°
En
déduire
que
les
bissectrices
des
angles
consécutifs
d’un
quadrilatère
convexe
sont
les
côtés
successifs
d’un
quadrilatère
inscriptible.
o
361.
Soit
un
quadrilatère
ABCD
inscriptible
dans
un
cercle
O;
on
désigne
par
E
et
F
les
milieux
des
côtés
opposés
AB
et
CD
et
par
G
et
H
les
milieux
des
côtés
BC
et
AD.
1°
Montrer
que
EF
et
GH
se
coupent
en
leur
milieu.
2°
On
mène
EE’
perpendiculaire
à
DC
et
FF'
perpendiculaire
à
AB.
Ces
deux
perpendiculaires
se
coupent
en
P.
Montrer
que
le
quadrilatère
OEPF
est
un
parallélogramme.
3°
On
mène
de
même
GG’
perpendiculaire
à
AD
et
HH'
.perpendiculaire
à
BC.
Montrer
que
ces
deux
perpendiculaires
se
coupent
en
P
o
362.
On
considère
un
cercle
0
de
rayon
R.
D’un
point
A
on
mène
les
deux
tangentes
AB
et
AC
à
ce
cercle.
1°
Montrer
que
le
centre
du
cercle
inscrit
au
triangle
ABC
est
sur
le
cercle
O.
2°
Montrer
que
le
centre
du
cercle
circonscrit
au
même
triangle
est
au
milieu
de
OA;
évaluer
par
rapport
à
R
sa
distance
aux
tangentes
AB
et
AC.
3°
Montrer
que
l’orthocentre
H
du
triangle
ABC
est
la
symétrique
de
O
par
rapport
à
la
corde
BC.
o
363.
On
construit
dans
un
cercle
O
une
corde
AB
médiatrice
d’un
rayon.
On
joint
un
point
M
de
l’arc
AB,
supérieur
à
un
demi-cercle,
aux
points
A
et
B,
puis
on
porte
sur
MA
une
longueur
MC
=
MB.
1°
Montrer
que
le
triangle
MBC
est
équilatéral.
2°
Par
M
on
mène
la
parallèle
à
BC
qui
coupe
le
cercle
en
P.
Évaluer
l’angle
AMP.
En
déduire
que
P
reste
ﬁxe
si
M
décrit
l’arc
AB.
3°
Montrer
que
le
triangle
PAR
est
équilatéral.

TRAVAUX
PRATIQUES
ET
ASTRONOMIE

TRAVAUX
PRATIQUES
Révision
et
compléments.
—
Il
sera
utile
de
reprendre
quelques
exercices
pratiques
des
classes
antérieures
de
façon
à
rappeler
et
préciser,
au
besoin,
les
notions
fondamentales
indispensables
en
classe
de
quatrième.
Signalons
en
particulier:
Les
opérations
sur
les
nombres
entiers
et
la
notion
de
divisibilité.
Les
propriétés
des
nombres
fractionnaires
et
les
opérations
sur
ces
nombres.
La
mesure
des
angles
et
des
arcs
et
les
opérations
sur
ces
mesures.
d
Les
mesures
d’aires
et
de
volumes
et
l'utilisation
des
formules
correspon-
antes.
Arithmétique.
1.
Construire
la
liste
des
nombres
premiers
de
1
à
200.
2.
Reconnaître
si
un
nombre
donné
est
premier.
Exemples
:
83;
97;
157;
211;
331;
479;
571;
1033;
2819;
3617.
3.
Décomposition
d’un
nombre
en
produit
de
facteurs
premiers.
Exemples
:
828;
1722;
2490;
3659;
4096;
5670;
6000;
7530;
8436;
9999;
12450;
14175;
17280;
75300;
84360;
688800.
4.
Décomposer
360
en
produit
de‘
facteurs
premiers.
Établir
la
liste
des
24
diviseurs
de
360.
Vériﬁer
que
24
s’obtient
en
augmentant
d’une
unité
chacun
des
exposants
des
facteurs
premiers
de
360
et
en
faisant
le
produit
des
nombres
obtenus.
Énoncer
la
règle.
La
vériﬁer
sur
d’autres
exemples.
'
5.
Calculer
le
PGCD
de
deux
ou
plusieurs
nombres.
Vériﬁer
que
les
quotients
de
deux
nombres
par
leur
PGCD
sont
premiers
entre
eux.
Établir
la
liste
des
divi-
seurs
communs
aux
nombres
donnés
:
120
et
240;
504
et
396;
792
et
1512;
3600
et
4200;
68,
170
et
850;
38,
190
et
266;
253,
1512
et
12224.
6.
Dresser
la
liste
des
nombres
inférieurs
à
100
et
premiers
avec
100.
Reprendre
le
même
exercice
pour
les
nombres
:
36;
60;
84;
96;
105;
120;
126;
135;
144
et
150.
-

238
TRAVAUX
PRATIQUES
7.
Calculer
le
PPCM
de
deux
nombres
donnés.
Vériﬁer
qu’il
est
égal
au
quotient
du
produit
de
ces
nombres
par
leur
PGCD.
Exemples:
36
et
60;
42
et
210;
192
et
240;
70
et
175.
8.
Trouver
les
multiples
communs
inférieurs
à
10
000
des
nombres
suivants:
36,
54
et
72;
84,
126
et
168;
60,
90
et
135.
9.
Simpliﬁcation
de
fractions.
Exemples:
gﬂ)
,
192
_
792
_
4
096
_
1
512_
720
’
1
008
’
3
024
’
5
760
’
2
O24
10.
Réduction
de
fractions
au
plus
petit
dénominateur
commun.
Exemples!
617.
111251.
222.
1912.
25
°t
45’
20,10
°t
120’
8'9et
18’
75
°t
90
9451
4_5.,
_1_7_.
.5.
21.,
Æ.
1:16.371.
68'
170
850’
38'
190
266
’
253
1
512
Algèbre.
11.
Opérations
sur
les
nombres
algébriques.
12.
Calcul
de
valeurs
numériques
de
monômes
et
polynômes.
13.
Résolution
d’équations
du
premier
degré.
14.
Vériﬁcation
et
utilisation
de
la
formule
de
Chasles.
15.
Notion
de
variable
et
de
correspondance
entre
deux
variables.
On
pourra
à
cet
effet
reprendre
l’étude
des
graphiques
portant
sur
des
grandeurs
correspon-
dantes
positives
(p.
219
et
220
du
Cours
de
5°).
16.
Établir
géométriquement
le
développement
de
(a
+
b
+
c)
(m
+
n).
Pour
cela
(ﬁg.
1)
construire
un
rectangle
de
base
a
+
b
+
c
et
de
hauteur
m
+
n.
Ce
rectangle
se
partage
en
six
autres
d’aires
respectives
am,
an,
bm,
bn,
cm
et
cn.
2
Q
an
6/2
cn
'°
“b
à
l
E
am
b/n
cm
G
a?
ab
l
a
_
b
k
A
c
A
a
;
‘
b
FIG.
1.
FIG.
2.
17.
Construire
un
carré
de
côté
(a
+
b)
(ﬁg.
2)
et
montrer
que
l’on
eut,
par
des
parallèles
aux
côtés,
découper
ce
carré
de
iaçon
à
obtenir
un
carré
e
côté
a,
un
carré
de
côté
b
et
deux
rectangles
de
dimensions
a
et
b.
En
déduire
l’identité
:
(a+b)'—a'+b'+2ab.

Ï
TRAVAUX
PRATIQUES
239
p
18.
Découper
dans
une
feuille
de
papier
un
carré
de
côté
(a
—
b)
et
deux
rec—
tangles
de
dimensmns
a
et
b.
Montrer
que
l’on
peut
juxtaposer
ces
trois
surfaces
3)
de
façon
à
obtenir
deux
carrés
juxtaposés
de
côtés
respectifs
a
et
b.
En
u1re
que
:
(a—b)'+2ab=a’+b'
ou
(a—b)3=a’+l)’—2ab.
7k
.
Q
E’faM/(a-b)
è
la
ﬁl"
-
06
G
G
,
6‘
te
.3
a5
r
b
‘
a-b
‘
b
“
a—â
x
A
ä
FIG.
FIG.
4.
19.
Montrerïque
dans
un
carré
deTcôté
a
(ﬁg.
4)
on
peut
découper
un
carré
.de
côté
b
et
deux
trapèzes
rectangles
de
bases
a
et
b
et
de
hauteur
(a
—
b).
En
déduire
l’identité
:
aa—b3=(a+
b)(a—b).
Géométrie.
20.
Construire
la
ﬁgure
F'
symétrique
d’une
ﬁgure
donnée
F
par
rapport
à
une
droite
donnée
A
ou
par
rapport
à
un
point
donné
O.
Vériﬁer
l’égalité
de
deux
angles
ou
de
deux
segments
homologues.
Constater
que
deux
ﬁgures
F
et
F',
directement
égales,
se
superposent
lorsqu’un
segment
AB
de
la
ﬁgure
F
coïncide
avec
son
homologue
A'B’,
de
la
ﬁgure
F’.
En
est—il
de
même
lorsque
les
ﬁgures
F
et
F’
sont
inversement
égales?
21.
Vériﬁer
la
propriété
caractéristique
de
tout
point
M
de
la
médiatrice
xy
d’un
segment
AB,
à
savoir
MA
=
MB,
de
tout
point
M
de
l’une
des
régions
limi-
tées
par
æy
c’est-à—dire
MA
<
MB
dans
le
demi-plan
contenant
A
et
MB
<
MA
dans
le
demi-plan
contenant
B.
22.
Découper
un
triangle
quelconque.
Mesurer
ses
angles
et
ses
côtés.
Vériﬁer
que
tout
côté
est
compris
entre
la
somme
et
la
différence
des
deux
autres,
que
les
angles
sont
dans
le
même
ordre
de
grandeur
que
les
côtés
opposés.
23.
Vériﬁer
à
l’aide
du
rapporteur
les
propriétés
des
angles
formés
par
deux
parallèles
et
une
sécante,
des
angles
à
côtés
parallèles
ou
perpendiculaires.
Construire
deux
triangles
ABC
et
A'B’C’,
dont
les
côtés
homologues
BC
et
B’C',
CA
et
C’A’,
AB
et
A’B'
sont
respectivement
parallèles.
Constater
que
les
angles
homologues
[sont
toujours
respectivement
égaux.
En
est—il
de
même
lorsque
les
côtés
du
premier
triangle
sont
respectivement
perpendiculaires
à
ceux
du
second?

240
TRAVAUX
PRATIQUES
'
'
’
'
'
leur
“3’724.
Mesurer
les
an.
es
intérieurs
d
un
triangle
et
vériﬁer
la
valeur
de
somme.
Reprendre
l’eälercice
pour
un
quadrilatère
ou
un
polygone
convexe
quel-
conque.
.
’
Mesurer
de
même
la
somme
desangles
extérieurs
d’un
triangle
ou
d
un
polygone
convexe.
'
'
be
entre
25.
Décou
er
un
triangle
ABC
dont
le
pied
de
la
hauteur
AH
tom
I
B
et
C
(ﬁg.
5)?
Plier
la
ﬁgure
en
amenant
successwement
A,
puis
B
et
C
en
H.
Conis-
tater
que
les
trois
angles
du
triangle
ABC
s’additionnent
en
H
pour
former
un
ang
e
plat.
FIG.
6.
26.
Découper
les
angles
extérieurs
d’un
polygone
convexe
(ﬁg.
6).
Assembler
les
différents
angles
de
façon
à
obtenir
leur
somme
et
vériﬁer
qu’elle
est
égale
à
4
droits.
27.
Vériﬁer
les
propriétés
des
quadrilatères
usuels
:
parallélogramme,
rectangle,
losange,
carré:
on
vériﬁera
les
propriétés
des
angles,
des
côtés,
des
diagonales,
les
éléments
de
symétrie.
28.
Partage
d’un
segment
en
plusieurs
parties
égales.
S’entraîner
à
effectuer
cette
opération
à
l’aide
des
lignes
d’un
cahier.
29.
Vériﬁer
les
propriétés
des
droites
remarquables
concourantes
dans
un
triangle:
médiatrices,
hauteurs,
médianes,
bissectrices
intérieures
et
extérieures.
30.
Vériﬁer
que
dans
un
triangle
ABC,
le
centre
de
gravité
G
est
situé
sur
le
segment
OH
joignant
le
point
de
concours
des
médiatrices
à
l’orthocentre,
au
tiers
de
ce
segment
à
partir
de
O.
31.
Vériﬁer
les
propriétés
des
angles
au
centre,
des
arcs,
des
cordes
et
de
leurs
distances
au
centre.
Etablir
le
graphique
de
la
longueur
d’une
corde
en
fonction
de
la
mesure
de
l’arc
sous—tendu,
ou
de
la
distance
au
centre
de
cette
corde.
32.
Vériﬁer
les
positions
relatives.
de
cercles
à
l’aide
de
deux
disques
O
et
O'
de
rayons
différents
R
et
R’
en
faisant
décroître
la
distance
OO’.
Retrouver
ainsi
les
conclusions
énoncées
dans
le
cours.
33.
Vériﬁer
à
l’aide
du
rapporteur
la
propriété
fondamentale
de
l’angle
inscrit
et
la
propriété
des
angles
opposés
d’un
quadrilatère
inscrit
dans
un
cercle,
convexe
ou
croisé.
34.
Découper
un
angle
æMy
et
déplacer
cet
angle
dans
le
plan
en
faisant
passer
le
côté
Ma:
par
le
point
ﬁxe
A,
le
côté
My
par
le
point
ﬁxe
B.
Repérer
chaque
position
de
M
et
déterminer
la
ligne
formée
par
l’ensemble
des
positions
de
M.
(Arc
de
cercle
d’extrémités
A
et
B).

TRA
VAUX
PRATIQUES
24]
Tracés
géométriques.
—
Le
cours
de
géométrie
sera
mieux
compris
s’il
est
accompagné
de
réalisations
effectives
de
figures.
Les
élèves
auront
en
particulier
intérêt
à
exécuter
les
constructions
rassemblées
dans
les
leçons
18,
19
et
20
du
cours
de
géométrie.
35.
Constructions
fondamentales
(médiatrices,
perpendiculaires,
bissectrice).
36.
Angle
égal
à
un
angle
donné,
parallèle,
angle
droit,
angles
remarquables.
37.
Construction
de
triangles
connaissant
trois
éléments
(n°
168
à
173).
38.
Construction
de
parallélogrammes,
rectangle,
losange,
trapèze.
39.
Droites
concourantes
dans
un
triangle.
40.
Tangentes
à
un
cercle
parallèles
à
une
direction
donnée,
issues
d’un
point
donné,
tangentes
communes
extérieures
et
intérieures
à
deux
cercles.
41.
Cercles
circonscrits
à
un
triangle,
à
un
rectangle,
à
un
carré,
à
un
trapèze
isocèle
ou
à
un
quadrilatère
inscriptible.
42.
Cercles
tangents
aux
trois
côtés
d’un
triangle.
,43.
Raccordements
à
l’aide
d’un
cercle
de
rayon
donné
de
deux
droites,
d’une
droite
et
d’un
cercle,
de
deux
cercles.
Ovale
à
quatre
centres.

COMPLÉMENTS
D’ASTRONOMIE
COORDONNÉES
ÉQUATORIALES
l.
Rappel.
—
Les
étoiles
dessinent
dans
le
ciel
des
constellations
de
forme
invariable
comme
si
elles
étaient
ﬁxées
sur
une
sphère
immense,
la
sphère
céleste,
dont
la
terre
serait
le
centre.
Pour
un
observateur
terrestre
qui
assiste
au
mouvement
diurne
des
étoiles,
tout
se
passe
comme
si
la
sphère
céleste
tournait
régulièrement
autour
d'un
de
ses
diamètres
PP'
à
raison
d'un
tour
en
23
h
56
mn
(jour
sidéral).
La
droite
PP'
est
l'axe
du
monde
et
le
grand
cercle
de
la
sphère
céleste
qui
a
pour
axe
PP'
est
l’équateur
céleste
(ﬁg.
7).
Ce
dernier
partage
la
sphère
céleste
en
deux
parties:
l'hémisphère
boréal
qui
contient
le
pôle
céleste
Nord
P
et
l'hémisphère
austral
qui
contient
le
pôle
céleste
Sud
P'.
FIG.
7.
FIG.
8.
Les
astres
tels
que
le
soleil,
la
lune,
et
les
planètes
se
déplacent
lentement
parmi
les
étoiles.
En
particulier
le
soleil
décrit,
en
un
an,
un
grand
cercle
de
la
sphère
céleste,
l'écliptique,
dont
le
plan
est
incliné
de
23°
27'
sur
celui
de
l'équateur.
On
appelle
point
vernal
ou
point
y,
le
point
où
le
soleil
traverse
l'équateur
céleste
en
passant
de
l'hémisphère
austral
à
l'hémisphère
boréal
(équinoxe
de
printemps).

COORDONNÉES
ËQUA
TORIALES
243
2.
Coordonnées
équatoriales
d’un
astre.
—
Pour
repérer
la
position
d'un
astre
sur
la
sphère
céleste,
on
utilise
deux
mesures
angulaires
analogues
à
la
longitude
et
la
latitude
terrestres.
A
cet
effet
(ﬁg.
8),
on
appelle
cercle
horaire
d'un
astre
A
le
demi-grand
cercle
PAP',
de
diamètre
PP'
et
pas-
sant
par
l'astre
A.
Ce
cercle
coupe
l'équateur
céleste
en
A'.
10
L’ascension
droite
de
l’astre
A
est
la
mesure
a
de
l’arc
y
A'
de
l’équateur
céleste
compris
entre
le
point
vernal
et
le
cercle
horaire
de
l’astre.
Cet
arc
se
compte
de
0
à
360°,
de
Y
vers
A',
dans
le
sens
direct
autour
de
P'P,
c'est-à-dire
de
la
droite
vers
la
gauche,
pour
un
observateur
placé
le
long
de
P'P,
la
tête
vers
le
pôle
boréal
P.
L'ascension
droite
se
compte
aussi
fréquemment
de
0
à
24
heures:
1
heure
corres
ondant
à
15°
et
par
suite
une
minute
(mn)
à
15'
et
une
seconde
(s)
à
1
”.
Ainsi:
9
h
34
mn
42
s
valent
:
9°
34’
42”
><
15
=
143o
40'
30'.
215o
49’
45”
valent:
215
h
49
mn
45
s
:
15
=
14
h
23
mn
19
s.
2°
La
déclinaison
de
l’astre
A
est
la
mesure
8
de
l’arc
A'A
de
son
cercle
horaireîcompris
entre
l’équateur
et
cet
astre.
Cet
arc
se
compte
.en
partant
de
l'équateur
de
0
à
90°,
positivement
vers
le
pôle
Nord
P,
négativement
vers
le
pôle
Sud
P'.
On
utilise
parfois
son
complément
algébrique,
appelé
distance
polaire,
c'est-à-dire
la
mesure
de
l'arc
PA
—
L'ascension
droite
et
la
déclinaison
sont
les
coordonnées
équatoriales
de
l'astre
A.
Elles
permettent
l'établissement.
des
cartes
ou
des
globes
célestes.
Voici
un
tableau
des
coordonnées
des
principales
étoiles:
Étoiles
oc
8
Étoiles
a
8
Étoile
Polaire.
.
1
h
55
mn
+
89°
4’
Régulus
(Lion).
10
h
06
mn
+
120
10'
oc
Grande
Ourse
11
h
01
mn
+
61°
58’
Épi
(la
Vierge).
13
h
23
mn
—
10°
57'
oc
Cassiopée
.
.
.
O
h
38
mn
+
58°
55'
Antarès
(Scor-
Capella
(Cocher)
5
h
14
mn
+
45°
57’
pion)
.
.
.
.
.
.
.
16
h
27
mn
—
260
20'
Betelgeuse
Véga
(la
Lyre).
18h35mn+
38°
45'
(Orion)
.
.
.
.
.
5
h
53
mn
+
7°
24'
Altaîr
(Aigle)
.
19
h
49
mn
+
8°
46'
Slrius
.
.
.
.
.
.
.
.
6
h
43
mn
——
16°
40’
a:
Pégase
.
.
.
.
.
23
h
03
mn
+
14°
59'
3.
Mesure
de
la
déclinaison.
—
A
l'instant
où
un
astre
A
traverse
1e
plan
méridien
de
l'observateur,
son
cercle
horaire
est
confondu
avec
le
cercle
méridien
et
sa
déclinaison
3
est
l'angle
QOA
(ﬁg.
9).
Si
désigne
la
latitude
terrestre
de
l'observateur,
c'est-à-dire
la
hauteur
du
ôle
P,
on
voit
que
l'angle
SOQ
=
90°
—
(p.
En
mesurant
l'angle
50A
auteur
de
l'astre
A
/'\
ou
son
supplément
si
A
est
situé
entre
Z
et
P)
.
on
obtient
8
_—_.
SOA
—

244
ASTRONOMIE
4.
Mesure
de
l’ascension
droite.
—
Du
fait
de
la
rotation
diurne
de
la
sphère
céleste,
l'arc
“Y
Q
de
l'équateur
céleste,
compris
entre
le
point
ver-
nal
Y
et
le
plan
du
méridien
augmente
de
360°
(ou
de
24
heures)
par
jour
sidéral
(23
h
56
mn).
On
peut
aisé——
ment
régler
une
horloge
de
façon
qu'elle
indique
0
heure
(ou
24
heures)
à
chaque
passage
du
point
vernal
au
méridien.
L'heure
indiquée
par
cette
horloge
(heure
sidérale
du
lieu)
n'est
autre
que
la
mesure
en
heures
de
l’arc
YQ,
c'est—à-dire
l'ascension
droite
de
tout
astre
A
situé
à
cet
instant
dans
le
plan
du
méridien.
L’ascension
droite
d’une
étoile
est
l’heure
sidérale
à
laquelle
elle
traverse
le
méridien.
Ceci
est
également
valable
pour
tout
autre
astre
se
déplaçant
sur
la
sphère
céleste,
mais
seulement
à
l'instant
de
son
passage
au
méridien.
REMARQUE.
—
Pour
régler
une
horloge
sidérale,
on
ne
peut
évidemment
pas
se
servir
du
point
Y
qui
n’est
pas
apparent
dans
le
ciel.
On
utilise
pour
cela
une
étoile
E
de
coordonnées
connues
en
faisant
marquer,
à
l’horloge
sidérale,
l’ascen-
sion
droite
de
cette
étoile
au
moment
de
son
passage
au
méridien.
Ainsi
une
horloge
sidérale
bien
réglée
doit
marquer
6
h
43
mn
au
moment.
du
passage
de
Sirius.
TRAVAUX
PRATIQUES
44.
Détermination
du
plan
méridien
local
et
de
la
hauteur
du
pôle
(livre
de
cinquième,
p.
236
et
237).
Matérialiser
le
plan
du
méridien
à
l’aide
de
deux
ﬁls
à
plomb.
On
peut
ainsi
repérer,
à
une
minute
près,
l’instant
où
une
étoile
traverse
le
plan
du
méridien.
45.
Mesurer
la
hauteur
méridienne
d’une
étoile.
En
déduire,
connaissant
votre
latitude
(p,
la
déclinaison
(ou
la
distance
polaire)
de
cette
étoile.
Vériﬁer
sur
une
carte
céleste.
46.
Régler
une
pendulette
ou
un
réveil-matin
de
façon
à
en
faire
une
pendule
sidérale.
On
commencera
par
la
faire
avancer
de
4
minutes
par
jour
et
on
la
règlera
ensuite
sur
une
étoile
d’ascension
droite
connue,
située
de
préférence
au
voisi—
nage
de
l’équateur.
47.
Utiliser
la
pendule
sidérale
obtenue
comme
ci-dessus
pour
déterminer
l’ascension
droite
de
différentes
étoiles.
Vériﬁer
vos
résultats
sur
une
carte
céleste.
48.
Mesurer
à
intervalles
réguliers
les
coordonnées
équatoriales
du
soleil,
de
la
lune
ou
d’une
grosse
planète
(Vénus,
Mars,
Jupiter).
Reporter
les
positions
de
cet
astre
saur
une
carte
céleste
et
tracer
sa
trajectoire.

LE
SYSTÈME
SOLAIRE
5.
Description
sommaire.
—
Le
système
solaire
est
l'ensemble
astro-
nomique
auquel
appartient
la
terre.
Il
comprend
le
soleil,
la
lune
et
les
pla—
nètes,
c'estnà-dire
les
astres
qui
semblent
se
déplacer
sur
la
sphère
céleste.
es
anciens
connaissaient
les
cinq
planètes
visibles
à
l'œil
nu:
Mercure,
Vénus,
Mars,
Jupiter
et
Saturne.
Depuis
on
a
découvert
trois
planètes
impor—
tantes
:çUranus
(l
78|),
Neptune
(1846)
et
Pluton
(l
930),
et
plus
de
l
500
petites
planètes
amSI
que
les
satellites
des
grosses
planètes.
Dans
son
mouvement
apparent
sur
la
sphère
céleste,
.le
soleil
décrit
en
un
an
un
grand
cercle,
l'écliptique,
dont
le
plan
est
incliné
de
23°
27'
sur
celui
de
l'équateur.
La
lune
décrit
en
27
jours
8
heures
un
grand
cercle
incliné
de
5°
sur
l'écliptique.
Les
planètes
se
déplacent
égale—
ment
toutes
au
voisinage
de
l'écliptique
dans
la
zone
appelée
zodiaque.
Mais
leurs
trajectoires
sont
bien
plus
compliquées.
Si
leur
pro-
gression
générale
s'effectue
comme
celle
du
soleil
et
de
la
lune,
dans
le
sens
direct,
leur
mouvement
devient
rétrograde
à
certaines
épou
ques
de
l'année.
On
voit
ainsi
(ﬁg.
10)
la
boucle
dé-
crite,
sur
la
sphère
céleste,
par
Vénus
au
cOurs
de
l'année
I959.
11“
FIG.
10.
1e‘juil.
L’explication
du
mouvement
apparent
des
planètes,
après
avoir_
été
long-
temps
recherchée
par
les
Anc1ens,
ne
fut
découverte
que
par
Copermc
(l
543)..
et
précisée
ensuite
par
Képler
(1609).

246
ASTRONOMIE
6.
Mouvement
réel
des
planètes.
l°
Les
étoiles
sont
immobiles
et_
c'est
la
rotation
de
la
terre
_sur
elle-même,
en
un
Jour
sidéral,
qui
donne
l'impression
du
mouvement
diurne
apparent.
/
Pôle
céleste
Nord
22sepL
FIG.
11.
’J‘Inf
l
\.
2°
Le
soleil
est
ﬁxe
au‘;
centre
du
système
solaire.
La
terre
(ﬁg.
Il)
et
les
diﬂérentes
planètes
tournent
autour
du
Soleil
en
décrivant
des
orbites
presque
circulaires
(en
réalité,
ce
sont
des
ellipses
peu
aplaties).
Les
plans
de
ces
orbites
sont
voisins
du
plan
de
l'orbite
terrestre
ou
plan
de
l'éclip-
tique.
Pour
un
observateur
debout
sur
ce
plan,
la
tête
vers
le
pôle
céleste
Nord,
le
mouvement
des
planètes
autour
du
soleil
s'effectue
dans
le
sens
direct
(sens
inverse
de
celui
des
aiguilles
d'une
montre).
3°
La
lune
tourne
autour
de
la
terre
en
l'accompagnant
dans
son
mouve—
ment
autour
du
soleil
:
la
lune
est
un
satellite
de
la
terre.
—
Les
planètes
tournent
sur
elles—mêmes
dans
le
sens
direct
et
plusieurs
possèdent
des
satellites.
Les
quatre
plus
gros
satellites
de
Jupiter
et
les
anneaux
de
Saturne
(formés
d'innombrables
petits
satellites)
sont
visibles
avec
un
faible
d
grossissement.
Si
on
mesure
la
distance
angulaire
SÛP
du
soleil
et
de
la
planète
P
l
Unité
(ﬁg.
12)
au
moment
où
l'angle
OSP
est
Queue)
Sœole”)
drmt
(quadrature),
o_n
peut
construire
le
FIG.
12.
tnangle
OPS
et
obtenir
la
distance
d
=
SP
en
prenant
OS
pour
unité.
Si
d'autre
part
T
désigne
la
durée
de
révolution
de
la
planète
P
autour
du
soleil
on
obtient:
p(planète)
Mercure
.
.
.
.
[d
=
0,39
T
=
88
jours
Jupiter
.
.
.
.
d
=
5,2
T
=
12
ans
Nénus
.
.
.
.
.
.
.
0,72
225
j.
Saturne
.
.
.
,
9,55
29
ans
La
Terre
.
.
.
t1
1
an
Uranus
.
.
.
.
19,2
84
ans
[1,52
1,9
an
Neptune
.
.
.
30
165
ans
1,8
à
5
2
à
11
anl
Pluton
40
249
ans

LE
SYSTÈME
SOLAIRE
247
Les
valeurs
de
d
sont
des
valeurs
moyennes.
Elles
montrent
que
les
orbites
des
dlﬁérentesîplanètes
ont
la
dlSpOSlthD
de
la
ﬁgure
l3.
“i.”
'q-
.
.
-.
Pluton
FIG.
13.
7.
Parallaxe
horizontale
d’une
planète.
—
C'est
l'angle
p
sous
lequel
un
observateur
placé
sur
une
planète
P
verrait
le
rayon
terrestre
0A
=
R
(ﬁg.
l4).
Cet
angle
s'obtient
en
repérant,
de
deux
observatoires
terrestres
assez
éloignés,
la
position
apparente
de
la
planète
sur
la
sphère
céleste.
Il
permet
de
calculer
la
distance
de
cette
planète.
En
effet
si
le
petit
angle
p
est
exprimé
en
secondes,
le
segment
0A
est
assimilable
à
un
arc
de
p”
sur
le
cercle
de
centre
P
et
de
rayon
OP
=
d.
Donc:
_
_
27tpr
-,
_362>
_362>
OA—R—360X3600
sort.
d————————2np
.
EXEMPLE.
—
La
parallaxe
moyenne
du
soleil
est
8,8”.
La
formule
précé—
dente
donne
d
=
23
450
R
soit
environ
l50000
000
km.
Planète
FIG.
14.
FIG.
15.
8.
Diamètre
apparent
d’une
planète.
—
C'est
l'angle
2
oc
sous
lequel
un
observateur
terrestre
voit
le
diamètre
de
cette
planète
(ﬁg.
l5).
Or
le
rayon
r
de
cette
planète
est
assimilable
à
un
arc
de
oc”
sur
le
cercle
de
rayon
0P
=
d.
Comme
le
rayon
terrestre
R
correspond
à
un
arc
de
p”
sur
le
même
oc
cercle,
on
obtient
par
une
règle
de
trois
:
r
=
p
EXEMPLE.
—
Le
demi-diamètre
apparent
du
soleil
est
oc
—
l6'
=
960”
et
sa
parallaxe
8,8".
Le
rayon
du
soleil
est
donc:
r
=
96808R
=
l09
R.

248
ASTRONOMIE
9.
Comètes.
—
Les
comètes
sont
des
astres
temporaires
qui
se
présentent
sous
la
forme
d'un
noyau
brillant
entouré
d'une
chevelure
difuse
souvent
prolongée,
du
côté
opposé
au
soleil,
par
une
queue
extrêmement
ténue.
Les
orbites
des
comètes
(dans
la
partie
voisine
du
soleil
où
elles
sont
visibles)
ressemblent
à
des
arcs
diellipses
très
allongées
(paraboles)
dont
les
plans
diffèrent
très
nettement
de
celui
de
l'écliptique
(ﬁg.
I6).
Certaines
comètes
sont
périodiques.
La
plus
belle
d'entreelles
est
la
comète
de
Halley
qui
réapparaît
tous
les
75
ou
76
ans
(sans
doute
délà
en
466
av.
J
Elle
est
apparue
en
I759,
1835
et
I910.
Sa
prochaine
apparition
est
prévue
pour
l985.
Le
nombre
des
comètes
circulant
dans
l'espace
doit
être
considérable
car
on
en
observe
de
nouvelles
chaque
année.
Mais
les
grandes
comètes,
visibles
à
l’œil
nu,
sont
assez
rares.
Leur
apparition
ne
manque
jamais
de
frapper
l'imagination
p0pulaire
qui
leur
attribue
une
inﬂuence
sur
les
événements
en
cours.
Ainsi
la
belle
comète
de
18H
fut,
d'après
les
vignerons,
la
cause
Ëe
la
qualité
exceptionnelle
du
vin
récolté
au
courant
de
l'année
(Vin
de
la
omète
.
_,;.;'€;;ï"'
Météorites
310.
Météores.
--
Les
météores,
vulgairement
appelés
étoiles
ﬁlantes,
sont
dus
au
passage
à
proximité
de
la
terre
de
corpuscules
solides
appelés
météorites.
Du
fait
de
leur
très
grande
vitesse,
ils
s'échauffent
par
frottement
dans
la
haute
atmosphère
et
brûlent
d'un
vif
éclat
avant
de
disparaître.
Les
débris
qui
retombent
sur
le
sol
sont
appelés
aérolithes.
Leur
poids
varie
de
quelques
grammes
à
plusieurs
kilogrammes.
Ils
sont
de
nature
pierreuse
avec
souvent
une
forte
teneur
en
fer
et
en
nickel.
Les
rencontres
de
la
terre
avec
des
essaims
de
météorites
gravitant
autour
du
soleil
(ﬁg.
l7)
provoquent
périodiquement
des
averses
abondantes
de
météores:
9-40
août
et
l3-l4
novembre
en
particulier.
Il
peut
arriver
qu'un_gros
météorite
atteigne
la
terre
avant
d'être
complè—
tement
désmtégré.
Celui
qui
explosa
en_
I908
au-dessus
de
la
Sibérie
détruisit
la
forêt
sur
une
zone
de
50
km
de
diamètre.

LE
SYSTÈME
SOLAIRE
249
TRAVAUX
PRATIQUES
49.
Soit
T
la
durée
de
révolution
d’une
planète
exprimée
en
années
et
d
sa
dis—
tance
au
soleil
exprimée
avec
la
distance
Terre-Soleil
pour
unité.
Comparertpour
chaque
planète
les
deux
nombres
T2
et
da
(3°
loi
de
Képler).
50.
La
parallaxe
de
la
lune
est
égale
à
57'
lorsque
son
diamètre
apparent
est
égal
à
31’.
Déterminer
son
rayon
et
sa
distance
en
fonction
du
rayonJerrestre
R.
51.
La
parallaxe
de
la
lune
varie
mensuellement
entre
54'
et
61'
30
".
En
déduire
les
variations
correspondantes
de
la
distance
de
la
lune
à
la
terre.
52.
Calculer
les
rayons
de
diverses
planètes
connaissant
leur
demi—diamètre
apparent
maximum
au
moment
où
elles
sont
le
plus
près
de
la
terre:
Mercure
:
6,3’
Saturne
:
10,3"
Vénus
:
33,4"
Uranus
:
2’
Mars
:
13'
Neptune
:
1,1”
Jupiter:
24,9"
Pluton
:
0,2”.
53.
Compter,
aux
environs
du
13
novembre
ou
du
9
août,
le
nombre
de
météores
(étoiles
ﬁlantes)
qui
vous
apparaîtront
dans
le
ciel
pendant
un
temps
déterminé
(1/4
d’heure)
un
soir,
puis
le
lendemain
matin
avant
1e
jour.
Constater
que
l’on
en
voit
environ
deux
fois
plus
le
matin
que
le
soir.

ÉCLIPSES
Il.
Déﬁnitionst
—
Il
î:
a
éclipse
de
soleil
lorsque
la
lune
vient
s'inter—
poser
entre
le
Soleil
et
la
erre.
ll
s'ensuit
une
baisse
notable
de
la
lumière
solaire,
qui
peut
être
complète
pendant
quelques
minutes.
Il
y
a
éclipse
de
lune
lorsque
la
terre
porte
ombre
sur
la
pleine
lune,
la
ren-
ant
ainsi
invisible
aux
observateurs
terrestres.
On
explique
la
formation
deséclipses
par
la
considération
des
zones
d'ombre
qui
accompagnent
chaque
planète.
12.
Cône
d’ombre
et
pénombre.
—
Représentons
par
deux
cercles
extérieurs
S
et
P
les
contours
d'un
soleil
et
d'une
planète
(ﬁg.
l8).
Les
tan-—
gentes
communes
extérieures
à
ces
deux
cercles
se
coupent
en
O
et
les
tan—
gentes
communes
intérieures
en
0'.
En
faisant
tourner
la
ﬁgure
autour
de
la
droite
SP,
ces
tangentes
engendrent
deux
cônes
de
sommets
O
etïO'
qui,
en
arrière
de
la
planète,
limitent
trois
régions.
FIG.
18.
La
région
(I)
est
le
cône
d'ombre
de
la
planète.
En
tout
point
de
cette
région
le
soleil
est
invisible
(ﬁg.
l9).
Les
régions
(Il)
etË(III)
sont
dites
de
pénombre.
Le
soleil
y
est
en
partie
visible,
sous
forme
échancrée
(ﬁg.
20)
dans
la
région
(III),
et
sous
forme
annulaire
(ﬁg.
2])
dans
la
région
(Il).

ÊCLIPSES
251
13.
Eclipses
de
soleil.
—
Si
la
planète
P
est
la
lune,
la
longueur
P0
de
son
cône
d'ombre
est
environ
58
fois
le
rayon
terrestre
R.
Comme
la
dis-
tance
de
la
lune
à
la
terre
varie
annuellement
entre
55
et
66
R,
il
arrive
qu'un
point
donné
M
de
la
terre
traverse
l'une
des
régions
ci—dessus.
Il
y
a
éclipse
partielle
en
M
(ﬁg.
20)
si
ce
point
ne
traverse
que
la
région
(Ill).
L'éclipse
devient
totale
(ﬁg.
l9)
lorsque
le
point
M
pénètre
dans
la
région
(l),
annu-
laire
(ﬁg.
2l)
s'il
pénètre
dans
la
région
(Il).
,Couronne
solaire
FIG.
19.
FIG.
20.
FIG.
21.
Une
éclipse
totale
de
soleil
ne
peut
être
observée
que
dans
une
zone
de
250
km
de
large
au
plus
et
pendant
moins
de
8
minutes.
Mais
cette
éclipse
peut
être
vue
partiellement
dans
une
zone
de
7
000
km
de
large
durant
une
heure
ou
deux.
14.
Eclipses
de
lune.
—
Le
cône
d'ombre
de
la
terre
a
une
longueur
d'environ
2l7
R.
La
lune,
dont
la
distance
moyenne
à
la
terre
est
de
60
R,
peut
donc
pénétrer
dans
le
cône
en
tra-
versant
une
zone
de
pénombre
(ﬁg.
22).
Il
y
a
éclipse
de
lune
par
la
pénombre
si
la
lune
pénètre
seulement
dans
la
zone
de
pénombre
(l
et
2).
Cette
éclipse
est
peu
apparente
car
seul
l'éclat
de
la
lune
est
diminué.
Il
y
a
éclipse
partielle,
si
la
lune
pénètre
en
partie
dans
la
zone
d'ombre
(3)
et
éclipse
totale
si
elle
y
pénètre
en
entier
(4).
Une
éclipse
de
lune
est
visible
de
tout
l'hémisphère
terrestre
qui
fait
face
à
la
lune.
Sa
durée
maximum
est
de
6
heures
dont
Z
heures
pour
l'éclipse
totale.
l5.
Périodicité
et
intérêt
des
éclipses.
—
Les
écli
ses
se
reproduisent
ﬁdèlement
tous
les
l8
ans
ll
jours.
Cette
période
(
aros
des
Chalde’ens)
comportant
28
éclipses
totales
et
l5
éclipses
partielles
de
soleil.
on
peut
déterminer
à
l'avance
l'heure
exacte
et
le
lieu
de
visibilité
des
éclipses.
Les
astronomes
ont
ainsi
la
possibilité
d'en
effectuer
l'examen
dans
les
condi—
tions
les
plus
favorables
(étude
de
la
couronne
solaire
en
particulier).

ÎÊË
ASTRONOMIE
Signalons
que
les
éclipses
des
satellites
de
Jupiter
ont
pu
être
utilisées
comme
signaux
horaires
pour
les
déterminations
de
longitude
et
qu'elles
ont
permis
la
première
mesure
de
la
vitesse
de
la
lumière
en
1676.
(Cf.
exercrce
58).
NOTA.
——
Une
éclipse
de
soleil
sera
observable
en
France
le
15
février
1961.
Elle
sera‘totale
aux
environs
de
7
h
35
mn
dans
une
zone
limitée
au
Nord
par
la
ligne
Sables-d’OIOnne-Modane,
au
Sud
par
la
ligne
Arcachon-Saint-Tropez.
Elle
sera
visible
partiellement
dans
le
reste
du
pays
du
lever
du
soleil
jusqu’à
8
h
45
mn
env1ron.
TRAVAUX
PRATIQUES
54.
Examen
d’une
éclipse
de
soleil
prévue
à
l’almanach.
Se
munir
à
cet
effet
de
verres
teintés
(ou
fumés
à
la
bougie)
permettant
de
suivre
les
différentes
phases
de
l’éclipse.
(Exemple
:
2
octobre
1959
de
11
h
à
13
h.)
55.
Examen
d’une
éclipse
de
lune
totale
ou
partielle.
56.
A
l’aide
d’un
globe
lumineux
de
20
cm,
d’une
boule
de
5
cm
et
d’une
balle
de
ping—pong,
reproduire
le
mécanisme
des
éclipses
de
soleil
et
de
lune.
57.
Une
éclipse
d’un
satellite
de
Jupiter
est
vue
en
un
lieu
A
à
11
h
24
mn
17
s
(heure
locale)
et
à
18
h
35
mn
43
s
à
Greenwich.
Déterminer
la
longitude
de
A.
FIG.
23.
58.
Lorsque
la
terre
passe
de
la
position
T1
à
la
position
T,
(ﬁg.
23),
on
constate
un
retard
de
16
mn
40
s
sur
l’heure
prévue
des
éclipses
du
premier
satellite
de
Jupiter,
dû
au
temps
mis
par
la
lumière
pour
parcourir
la
distance
Tng.
Pouvez-
vous
en
déduire
la
vitesse
à
la
seconde
de
la
lumière?

TABLE
DES
MATIÈRES
ARITHMÉTIQUE
ET
ALGÈBRE
ire
leçon.
-—
Puissances
.
.
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.
.
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.
.
.
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.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
7
lle
leçon.
-—
Nombres
premiers
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
11
llle
leçon.
——
Plus
grand
commun
diviseur
—
Plus
petit
commun
multiple..
16
lVe
leçon.
—
Application
aux
fractions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
22
Ve
leçon.
—
Nombres
algébriques
ou
relatifs
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
28
Vle
leçon.
—
Addition
des
nombres
algébriques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
33
Vlle
leçon.
—
Soustraction
des
nombres
algébriques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
37
Vllle
leçon.
—
Produit
de
nombres
algébriques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
42
IXe
leçon.
—
Division
des
nombres
algébriques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
47
Xe
leçon.
—
Relation
de
Chasles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
53
Xle
leçon.
—
Puissances
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
57
Xlle
leçon.
—
Inégalités
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
62
Xllle
leçon.
—
Expressions
algébriques
—
Monômes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
66
XlVe
leçon.
—
Polynômes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
72
XVe
leçon.
—
Multiplication
des
polynômes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
77
XVIe
leçon.
—
Identités
remarquables
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
82
XVIIe
leçon.
——
Division
des
monômes
et
des
polynômes
—
Décomposition
en
facteurs
—
Fractions
rationnelles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
87
XVllle
leçon.
—
Equation
du
premier
degré
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
92
XIXe
eçon.
—
Equations
se
ramenant
au
premier
degré
—
Systèmes
d’équa-
tions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
98
XXe
leçon.
—
Problèmes
d’algèbre
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
105
—
Exercices
de
révision
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
110
GÉOMÉTRlE
lre
leçon.
—
Rappel
de
déﬁnitions
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
117
Ile
leçon.
-—
Triangle
isocèle
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
125
llle
leçon.
—
Cas
d’égalité
des
triangles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
130
|V°
leçon.
—
Inégalités
dans
le
triangle.........................
137

254
TABLE
DES
MATIÈRES
Vo
leçon.
—
Perpendiculaire
et
obliques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
142
Vle
leçon.
-—
Droites
parallèles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
147
Vlle
leçon.
—
Propriétés
angulaires
des
parallèles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
151
Ville
leçon.
—
Somme
des
angles
d’un
triangle
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
156
IX°
leçon.
—
Parallélogramme
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
161
Xe
leçon.
—
Rectangle
—
Losange
—
Carré
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
166
XIe
leçon.
—
Trapèze
—
Parallèles
équidistantes
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
172
Xlie
leçon.
—
Droites
concourantes
dans
un
triangle
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
178
Xllle
leçon.
—
Le
cercle
—
Droite
et
cercle
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
184
XlVe
leçon.
—
Positions
relatives
de
deux
cercles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
189
XVe
leçon.
—
Cordes
d’un
cercle
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
194
XV|°
leçon.
—
Angle
inscrit
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
199
XVile
leçon.
—
Quadrilatère
inscriptible
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
204
XVl|l°
leçon.
—-
Constructions
géométriques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
210
XIX°
leçon.
—
Constructions
de
triangles
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
216
XX°
leçon.
—
Tangentes
et
cercles
tangents
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
222
-—
Problèmes
de
révision
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
229
TRAVAUX
PRATIQUES
ET
ASTRONOMIE
—
Travaux
pratiques
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
237
—
Coordonnées
équatoriales
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
242
-—
Le
système
solaire
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
245
—
Eclipses
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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250

Librairie
Fernand
Nathan
Imprimé
en
France
pal-13
L’Imprimerie
Moderne,
Montrouge
(Seine)