Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового Красного Знамени
высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

Г. Д. КАРТАШОВ, О. И. ТЕСКИ Н, О. А. БАРХАТОВА,
С. М. ШВАР ГИ И

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
ПО КУРСУ
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ
НАДЕЖНОСТИ»



Москва

1982
Московское ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции
и органа Трудового Красного Знамени
высшее техническое училище им. Н.Э.Баумана

Г.Д.Карташов, О.И.Тесгин, 0.А.Бархатова, С.М.Швартин

Утверждены
редсоветом МЕГУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАРШИЯ
К ВЫПОЛНЕНИЮ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
ПО КУРСУ

”?ИАТьШТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ”

Под редакцией В.Ф.Бережного

.лоива


Данные методические указания издаются в соответствии с
учебным планом. Рассмотрены и одобрены кафедрой высшей матема-
тики 23.04.82 г., Методической комиссией факультета ОТ и Учеб-
яс-методическим управлением.

Рецензент к.э.н. МЭСИ Данелян Т.Я.

§) Московское высшее техническое училище им. Н.Э.Баумана

Редактор Ю.Н.Хлебинскжй	Корректор 3.U. Царев

Заказах?	Объем2,25 п.л.(2 уч.-изд,*)Тирах 1050 экз.

Неоплатно Подписано в печать г$ 07 План 1982г. Л 121

Типография МВТУ. 107005, Москва, Б-5, 2-я Бауманская, 5
ВВЕДЕНИЕ

Цель настоящих методических указаний помочь студентам
при решении задач по математическим методам в теории надежнос-
ти, включенных в домашнее задание и предлагаемых на зачете

В указания включены четыре раздела курса:

I.	Характеристики надежности элемента.

2.	Расчет надежности новосстанавливаемой системы.

3.	Расчет надежности восстанавливаемой системы,

4.	Статистическое оценивание характеристик надежности.

Каждый раздел состоит из краткого теоретического поясне-
ния, решения типовых примеров и условия задачи домашнего зада-
ния. Каждая задача содержит 30 вариантов. В приложении приво-
дятся таблицы значений нормального распределения, - рас-
пределения и гамма-функции.

§ I.	ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТА

I.I.	Основные понятия

йод изделием в зависимости от поставленной задачи можно
понимать отдельную деталь, кинематическую пару, узел, агрегат,
машину в целом или систему машин.

Работоспособность - состояние изделия, при котором оно
способно выполнять заданные функции, сохраняя значения задан-
ных параметров в пределах, установленных нормативно-техничес-
кой документацией.

Отказ - событие, заключающееся в нарушении работоспособ-
ности изделия.

Надежность - свойство изделия сохранять во времени свою
работоспособность.

Безотказность - свойство изделия непрерывно сохранять ра-
ботоспосбность в течение некоторого периода времени.

долговечность - свойство изделия сохранять работоспособ-^
кость до наступления предельного состояния, т.е. в течение все-
го периода эксплуатации при установленной системе технического
обслуживания и ремонтов.

1.2.	Характеристики надежности левоестанавливаемого элемента

левоестанаъливаемый элемент работает или хранится до на-
ступления отказа, после чего его свойства не восстанавливаются.
Отказ представляет собой случайное событие, время у до воз-
никновения отказа - случайная величина.

Т) Функция распределения отказов F(t) - вероятность того,
что лэмент отказа $ элемента наступит до момента времени t :

F(i)=P($<t).

?) Вероятность безотказной работы P(t) - вероятность то-
го, что за время t изделие не откажет)

P(t) = d-F(t)* P(f>t) .

3)	Средняя наработка на отказ Т :

4)	Плотность вероятностей отказа f(i) :

5)	Интенсивность отказа A(t) - вероятность того, что из-
делие, не отказавшее до момента времени t , не откажет в . э-
слвдующую единицу времени>

Некоторые примеры непрерывных функций распределения вре-
мени безотказной работы приведены в табл. I.

Пример I. Пусть время работы элемента до отказа подчине-
но усеченному нормальному закону с параметрами m =8000 ч,
(f = 2000 ч. Требуется вычич лить количественные характерис-
тики надежности P(t) , f(t) , A(t) » Т ДЛЯ * = 4000 ,
6000 , 8000 , 10000 . Построить графики полученных функций.

Решение. I. Р (I) =

Значение Ф(Н и все доследующие значения функции Лапласа ф(х)
находятся по приложению I.

р (4000) = * ( 8000 ~ 4P.QQ ) = ф (2) = 0,9772 ;
\	2000	/

Р (6000) » ф (I) в 0,8413;

Р (6000) = ф (0) = 0,5;

Р (10000) = ф (-1) » 0,1587,

2. f( t)-  ; • г \ -- ехр [- ~.Т2 | -	—

? Э6-г J (Гф(-И-)
функция распределения времени безотказной работы

Таблица I

Закон распределения

Экспоненциальный л >С, t>C

Зелен
где



*ХР i - f - J;

Фл7)=$(ЖМ^=' **»'
rt*^). >-(*1^) _
5	2000

-	_ 0,054	-5 .

~ 2000 ~ 2000 = 2>I'10 $ ;

4>(~2) _

2000 ~

„,	«>16000-8000.)

5(6000) - y\ gooo )
2000

i>(-1)_ V«) _ °.^2 _	^±.

2000 ~ 2000 ~ 2000	' ч>.

5(9000) «

^(0)
2000

Ot 39S9 -r .

2000 =-20‘/0

/(^ = ^-=«,7 //^ ;

3.

A (t) =

5{il .
P(t) ’

A (4000)= .^..UQOO) _ 2,7 ; ip~5 2,76 • IO"5 4

P (4000)	0,9772	4

4—5

Л (6000) =	ДсL 14,4 • 1 ’"5 4- ;

0,8413	4

A (8000) =	-‘-40,.~ = 40 • IO"5 4- .

0,5	4

-5

A (10000) =	/ 10 = 76 • IO"5 4- .

0,1587	4

4. Построим графики зависимости

надежности от времени

полученных характеристик

г
_	оо	о«»	(i. ~ т)2

 °' Т= J	jt

С	*

Упростим и сделаем з .мену переменных:

6' /21Г ф ' /7 •	= V	’ ПОЛУЧИМ

Т = Лх б / ( б V г т) ехр / -	} =

"%

Пример 2. Время безотказной работы гироскопического уст-
ройства с шарикоподшипниками в осях ротора гироскопа подчиня-
ется закону Вейбулла с параметрами v<- = х,5, Л = 10~4 1/ч,
а время его работы t - 100 ч. Требуется вычислить количест-
венные характеристики надежности такого устройства P(t) t
Jr (i z > Л (t) f Г •

Решение. P( t) - ез:р i - Л ] t

P(1OC)-	{-Ilf4- 100^1 - 0,9 ,

eipi-^6i]  +(100)* 1p-1,6- iOlPoj

Значение гамма-пункции Г (%) находим по приложению 2:
Г (1,07) = 0,9033, тс”да

•р=:	0,413 ч.

10

1.3.	Домашнее задание?. Задача I

Вре.м..-1 расоты издед/гч до отказа'подчинено определенному
закону распределения с известными Писамётрами. Требуется вы-
"	'	7
числить количественные характеристики надежности изделия и по-
строить графики зависимости этих характеристик от времени. Ис-
ход' ше данные по вариантам приведет; в табл. 2.

х 2. РАСЧЕТ НАДШЮСТИ IIEBOCCTAIIAWllIBAEi.lOH СИСТЕМЕ

2.1.	Основные понятия

Сложная система представляет собой объект, предназначенный
для bi волнения заданных функций, который может быть расчленен
на элементы; каждый из этих.элементов также выполняет определен-
ные функции и находится вс взаимодействии с другими элементами
системы. Система - любое устройство, состоящее из частей (.эле-*
ментов), надежность которых задана.

элемент системы представляет собой составную часть сложной
системы, которая может характеризоваться самоетоятелънкми нуд-
ными и выходными параметрами. Элемент - любое устройство, на-
дежность которого изучается независимо от надежности составляю-
щих его частей.

Предполагаем, что элементы отказывают независимо друг от
друга, т.е. отказ любой группы элементов не изменяет надежности
других элементов.

В данном параграфе рассматриваем работу системы до её пер-
вого отказа, т.е. невосстанавливаемую систему. В этом случае
надежность системы полностью определяется функцией Р(t), ко-
торая равна вероятности безотказной работы системы в течение
времени t . Пусть система состоит из п элементов, фунш!,ии
распределения безотказной работы которых Рд('£) , t - I» 2,
и • Задача систоит в том, чтобы выразить вероятность
безотказной работы системы P(t) через вероятности безотказной
работы её элементов. При расчете данную систему предсг..лвляют в
надо структурной

Структурная схт НАДатети (ССН) - это представление
данной системы й вида структурной схема, где элементы, отказ
КЛЗДЗМ КЗ которых приводит к отказу всей системы, изобрахаит-
бн соединениыии последовательно; если же отказ только всех эле-
ментов приводит к отказу систеии, то такие элементы изобразит-
ся соединенкмчи параллельно.

На рис. т доказана.разница между конструктивной и струк-
турной схемами на примере двух Ф^ьтров гидросистемы, ко'. wue

В
Вари-	Закен распреде- ления	Пара
т	2	
I	Усеченный	т =2000 ч
	нормальный	
2		m s=8000 ч
3		it) =8000 ч
4		т =6000 ч
5		Ги =6000 ч
6	Нормальный	m =1000 ч
7		гл =1000 ч
8 '		•г? =1500 ч
9		т =1500 Ч
10		m =1200 Ч
II	Вейбулла	dt = 2,6
к		ск = 2,6
13		d = 1,5
14		d = 1,5
15		= 0,7

CD
метры	Время ? ч	Требуется вычислить
	t-f	^2	
3	4	5
б =1000 ч  и =3000 ч б =4000 ч б =2000 ч  6 =4000 ч	4000 6000 8000 10000	PM, JU),  A(i), Т
6 = 500 ч б = 800 ч б = 500 ч б = 800 ч  6 = 600 ч	500	1000 1500 2500	P(t), f(i), ла)> т
II	И	II	II	II  О	Ж  О	О	ж	*	*  *	•	о	ю	о  ОО	1 »	СП  Ж Ж	СО ж ,  	  Хи.  xi-	100	150 200	250	PM, SM, лм, т
Продолен ше ?абл. ’2

I		2	3	4	5
16 * Экспоненциальный		а = 2 ю-5 1/ч  Л = 2,5 I0-5 1/ч  Л = 3 1СГ5 1/ч  Л = 2,5 1СГ4 1/ч д = 5 I0"4	1/ч	500	1000 2000 4000	pw, аа), т
17  18  19  20				
21  22  24  25	Редея	б = 500 ч б = 1000 Ч  б = 1500 ч б = 2000 ч б = 2500 ч	500	1000 1500 2000	ра), /а), АМ, т
26  27  -28 2  30	Гадма-распредвление	%	я.	SL	9k	9k  II	II	II	II	II  <J	05	СЛ	tO	СО  X)  II	II	II	II	II  Ы	to	М	ы  сл	Д	(	сл	сл  ы	Q	О	ы	ы  °| 1 ь °. °| *£|	|Х$	4000 S000 8000 IOCOC 	/Н). т
для повышения надежности системы могут быть установлены после-
довательно или параллельно. Вид ССН зависит от причины отказа.

2.2.	Расчет надежности невосстанавливаемой системы

2.2.1.	Последовательнов^соединвние элементов в ССН

Для безотказной работы
системы (рис. 2) в течение
времени t нужно, чтобы
каждый элемент работал без-

Рис. 2

отказно в течение этого вре-
мени. Так как отказы элемен-

тов являются событиями независимыми, то вероятность безотказ-
ной работы системы	и

P(t) ~-Е\(±)-р2а)...	= П'Рга)-	<2.d

Если элементы обладают одинаковой надежностью, то формула
принимает вид	п

P(t) -PL (t).

Система, состоящая из элементов высокой надежности, может об-
ладать низкой надежностью за счет наличия большого числа эле-
ментов .

2.2.2.	Параллельное_совйинвние элементов в ССН

Отказ системы (рис. 3) наступает
лишь тогда, когда отказывают все входя-
щие в систему элементы. Так как отказы
элементов являются событиями независимы-
ми, то вероятность совместного появления

всех отказов имеет вид	г

Гtt) - СС 5 cj... F„{t) - Ip P(i)
Или можно записать вероятность безотказной работы системы так:
и

№ i-f(t)	/-Pz ад .	(2.2)

При параллельном соединении элементов вероятность безотказной
работы системы повышается; это дает возможность создавать на-
дежные системы из ненадежных элементов, применяя резервирова-
ние, т.е. создавая дублирование ненадежных элементов.

Если в ССН имеет место параллельное и последовательное
соединение элементов, следует проводить расчет последователь-
но, применяя соответствующие формулы.

2.3.	Примеры

Пример I. Система состоит из четырех элементов (рис. 4)
о экспоненциальным распределением времени безотказной работы.
Интенсивности отказов элементов имеют значения Я£= 5-1СГ^/ч;
Яав9'1(Г51/ч; ЛЭ=3-ПГ$ l/ч; Д^=4‘10~5 I/ч. ССН системы за-
дана. Определить вероятность безотказной работа системы при
t « 360 ч.

Решение. По формуле (2.1) имеем
г — ГП	(1)

5°	sexp{-(A±+*ll+jti')t} =

ри0 4	* eacp/-(5+Pr3)-«rQ} = ex/5j-/7K>ij

Ри)(360)- exp (-ft•(о’*3бо}~

‘ q ЭЧО1 •	-у

Вычислим Д (36б) = ехр {-ёхРр^’,С ‘3tO}-O,9SSl-
Осталось воспользоваться формулой (2.2):

Р(9:Щ1-РшМ]\.Р-Рч «)];
P(360)-i-(1~O,9ii0l)(i-0,9S57)=O> 9992.

Поимао 2. Задана ССН системы (рис. 5), состоящей из шес-
ти элементов, я вероятности безотказной работы элементов на
некотором интервале времени:

Pt* 0,9 5i P3*P3*0,S5; Р^Р^Р^О.73’.

Определить вероятность безотказной работы системы за то же

Где. 5

Решение По формуле (2.2) для
одинаковых элементов имеем
£>(1)~ 1-(1- Рх )2 = 1-(1-0,85)2а
х 0,9775;
P(1)= I - (I - Рч )3 = I - (I-0.75)3 = 0,9843.

По формуле (2.1)

p(3)e jp.pro =0,95*0,9775=0,9286.

Находим вероятность безотказной работы системы РМ по фопму-
ле (2.2):

Р(±)^£-в'Р(2))(^^ I - (1-0,9286)(1-0,9843) = 0,9%8.

2.4.	Домашнее задание. Задача 2

Система состоит из элементов ctt* , I =1,2,3,4,5. Вид
ССН (структурной схемы надежности) задан. Определить вероятность
безотказной работы системы Pit) при , если извест и за-
коны распределения вероятности безотказной работы элементов и
знечения их параметров. Вероятность безотказной работы элемен-
тов &4~ач подчинена экспоненциальному закону. Значения пара-
метров	= 1»2,3,4 и остальные исходные данные

приведены в табл. 3.

Исходные данные задачи 2	Таблица 3

Вари-
ант

Закон распределения времени
безотказной работы элемента
и значения его параметров

Для элементов Для элемента

I

Вейбулла
с/. = 1,8,

Л.=0,2-(0г^-

э	>fec.

Вейбулла
oZ = 3,

f
Продолжение табл, 3

I		2			3	4	5
4	Иль -J			Лу =Л2 ’^з~2Л ’ ^у*36	Усеченный нормальный  ГП =15 мес.,6-2	12
5	>  «мм	го4з-СЭ^1 р^э	«—•		^J.~^2~ Щ) ’ ^A4=h)	Войбулла .Х= 2,7, ^-0,2-Ю „<ес	10 '
6	I т А  |	1 о»			" Зб'	Усеченный нормальный m=I6 мес., d=3	12
7		1	1  1	1и> |м  i гЧ А 1111  ж		л'*л^ю' Л1 = Л;>' 20	Вейбулла  <Л= 2,	10
8		_Р6	£	Л,>* 36	Усеченный нормальный т=14 мес.» 1»5	12
9	4М	±  -•У		Af-^z =	'  Ль'л^'	Вейбулла о< = 2, ^0,2-Ю2^	10
10	1 r^h * гЧЗН	гми<1_-1|Мв*  Д	|~			Лч ~^~4O ' Аг-Лз^	Вейбулла  <<= 2, Дг=б' VtO2	10
II ’	*о 2р 4—^2		•  г	Л< =	>  ^'зё	Усеченный нормальный г/)=13 мес., 6=1	12

Id

о
Вейбулла

= 2,2,

Усеченный
нормальный
п? -16 мео., S' =3

Экспонен-
циальный

20 нес.

16

Вейбулла

</= 1,5,

Ь---0,2-Юг

12

10

17

Усеченный
нормальный

уп =15 мес

Вейбулла

Нсс.
Вейбулла

19

20

21

22

23

12

нес.

12

нормальный

12

Вейбулла

10

30

Вейбулла

10

Усеченный

10

нормальный

12

Усеченный
нормальный
гл =15 мес»,

Усеченный

'36

2 - Ю

20

пес.

Вейоулла


I	2								3	4	5
26	f  2			5°			ж.		Л<= ^е~2о'	Усеченный нормальный . m =15 мес.,6 =4	10
27		1			3	$			Л < ~ Л 2 ~ ’ ^3"^4~36	Экспонен- циальный , =-L J_ ЛУ 36 мес.	12
		2			Ч						

Вейбулла
= 2,

Усеченный
нормальный

ш =15 мес.,6" =3

30

Экспонен-
циальный

Лг=е?4’ /чё<.

12

§

3. РАСЧЕТ НАД



КОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМОЙ СИСТЕМЫ

В НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ СЛУЧАЯХ

3.1.	Основные понятия

При расчетах надежности восстанавливаемой системы прини-
мается марковская модель поведения системы во времени. Это оз-
начает, что в любой момент времени t поведение системы опи-
сывается марковским случайным процессом V(t) , имеющим смысл
числа отказавших к моменту t элементов системы, УН) =0,1,
.... >7 , С, .

Значения УН) = 0,1,2, ...,и определяют номера состоя-
ний, в которых может находиться система. Переход системы и?
состояния L в состояние 6 + I за время т означает, что
к моменту t в системе было с отказавших элементов и за
вр~мя т отказал ещё один элемент. Для восстанавливаемой сис-
темы возможны и обратные переходы - из состояния с + I за не-
которое время 'г' в состояние Z , что означает восстановле-
ние одного элемента за время .

Особенность марковского процесса состоит в том, что его
поведение после момента времени i зависит только от его сос-
тояния в момент t и не зависит от поведения до этого момен-
та времени. Говорят, что "будущее состояние марковского процес-
са не зависит от прошлого”. Если известно, что момент t
то вероятность перехода к моменту t + т в любое состояние j
( J - 0,1....... >7 ) R; f полностью определит поведение

системы в момент t + Z .

Функция P^d>t*z) называется переходной вероятностью и
зависит, вообще говоря, от двух аргументов: t и z . Марков-
ский процесс называется однородным во времени, если переходная
вероятность его зависит лишь от г и не меняется с изменени-
ем t , т.е. Ру(^,±^)=	. Мы ограничиваемся рас-

смотрением лишь таких процессов.

Вместо переходных вероятностей P^j(^) можно рассматри-
вать интенсивности перехода Л-j , определяемые соотношением
л,-=О/т PyL**),

откуда при малых	’***	Дг.	(3.1)

Интенсивность переходов имеет смысл среднего чис-
ла переходов из с в за единицу времени. Для однородного
марковского процесса интенсивность перехода Л/: не зависит от
времени.

В каждый момент времени / система с какой-то вероят-
ностью P;(t) находится в состоянии^ i , т.е. Pi (t) =
« Р [ У (*)л t ] , причем ясно, ^то

Если вероятности Pc (i) определены в любой момент време-
ни , то легко определить основной показатель надежности
восстанавливаемой системы, называемый коэффициентом готовнос-
ти . Показатель Кг(±) представляет собой вероятность
нахождения системы в момент t в работоспособном состоянии
и определяется в виде
где - номер последнего состояния работоспособности систе-
мы (предполагается, что состояния 0,1,2,..., Щ являются
состояниями работоспособности).

Для определения вероятностей Р; М нужно в общем случав
решить систему дифференциальных уравнений (Колмогорова А.Н.)
при заданных начальных условиях. Составление такой системы мож-
но легко сформулировать на основе понятия графа состояний сис-
темы, который считается заданным, если проделаны следующие one

рации:

I)	каждое состояние системы изображено некоторой фигурой
(чаще всего кругом) о указанием номера состояния;

2)	все фигуры (круги) соединены стрелками, поясняющими
допустимые перехода системы;

3)	над стрелками указываются интенсивности прягчх перехо-
дов Л/ и обратных переходов, L = 0,1, ..., j

Для рассматриваемого нами случая (когда номер состояния
системы определяется числом её отказавших элементов/' граф сос-
тоянии будет иметь вид, представленный на рис. 6,

. (nJ

-/*1	/*г

Рис. 6

Здесь Л; - интенсивность прямого перехода из с -го состояния
в	- интенсивность обратного перехода из i -го

состояния в (за счет восстало.ления отказов).

Определив граф состояний системы (на основе ана;./за её

процесса функционирования), можно сразу составить си /гему ис-

комых д

ТгйПГ

ференциальных уравнений, используя нижеследующее пра

вило.

3.2.	Правило составления системы по графу состояний

Для каждого состояния l ( I- 0,1,..., п ) уравнение
определяется так:	t

I)	в левой части уравнения должна стоять производная P^fy
от искомой вероятности Pc(t) ;

2)	в правой части уравнения нужно написать сумму вероят-
ностей всех состояний» из которых возможен переход в сос-
тояние, предварительно умножив их соответственно на интенсив-
ности этих переходов, и вычесть вероятности Р/ (t) , умножив на
сумму интенсивностей перехода из i -го состояния во все другие
(допустимые)»

Для графа на рис. 6 это правило дает следующую систему:

Ро Ct) Pi Ct) -	(t) >

.	(3.2)

Pn Pn-i «) Ct),
которую нужно дополнить начальными условиями	Р;

( I = 0, 6=0,1,..., И ) и уравнением	= i

Обычно наибольший интерес представляет’поведение системы
в установившемся (стационарном) режиме, который наступает при
больших значениях t и при котором вероятности	,

t=0, ..., и , не зависят от t .В этом случае задача су-
щественно упрощается, так как в силу того, что P'(t) = 0, сис-
тем: (3.2) переходит в систему алгебраических линейных уравне-

(3.3)

Решение этой системы нетрудно выписать в явном виде (в
том случае, когда граф состояний имеет вид, представленный
на рио. 6)

Л» 1	(3.4)

где G0*iy Gi = —•" Лс'1 ,
В других случаях, когда граф состояний системы отличен от гра-
фа на рис. 6, правило составлений уравнений остается прежним,
но решать систему (3.2) нужно каждый раз заново.

3.3.	Типовые случаи, представленные в вариантах задачи 3
домашнего задания

3.3.1.	По следователь но е_сое^ш е дат равно надежных элементов
Пусть система сост ит из и последовательно соединенных
элементов, каждый из которых имеет интенсивность отказов д
Интенсивность восстановления одного ремонтного органа равна,
20
всего X ремонтных органов ( х £ и ) 9 причем каждый из них
действует независимо от другого, так что интенсивность к ре-
монтных органов равна ку ( ± ± к ± z ), Требуется определить
стационарный коэффициент готовности системы кг ,

Составим граф состояний системы. Он буде^ совпадать с гра-
фом на рис. 6, но интенсивности А; иу- можно выразить через

Л и у следующим образом:

Ло = h Л , так как в состояние I система переходит при
отказе любого из п элементов;

Л/ =( и -I) Д , так как в состоянии I могут отказать

Л£

ни

е> и -I элементов;

Ал-1 = Л. * интенсивность отказов последнего из неот-

казавших элементов

У1 = у	9 так как I отказавший элемент восстанавлива-

ется одним ремонтным органом;

= 2^ , так как 2 отказавших элемента восстанавли-
ваются двумя ремонтными органами независимо (если х^ 2);

| ку ,пока к< X,

= I чу j если

После этого по формуле (3.4) определяем » К =1,п , а
следовательно, и Ро : ₽с « I, 8± » 3*- = ЛЛ. ,	»

Ло Ay	Аг	t

к 	=	' ' 1 '	» • • • ,

(П-КН))*
ку*	’ * с 1

к__yt.yWW К 1 д ’

Так как элементы в систааг образуют последовательную ССН, то

рабочим состоянием системы является лишь состояние "О"; зна-
чит, Кг-Рс или» с учетом (3.4),
г и «1*1

Например, при n »3, X » 2, Л =0,01 I/ч, у =0,1’' I/ч :
3.3.2.	Параллельное^оеданение иавнонал^жных элементов

Пусть система состоит из и элементов, соединенных па-
раллельно в ССН, причем для работы системы необходимо m ис-
правных элементов ( men). Каждый элемент имеет интенсив-
ность отказов Л , имеется х ремонтных органов ( х^п ),
работающих независимо друг от друга о интенсивностью • Оп-
ределить Кг •

Для определения значения Кг заметим, что рабочими состо-
яниями системы будут: 0,1,2,..., п-m (так как т элемен-
тов долкны быть исправны, а остальные п~т могут отказать).
Следовательно,	n-m

Все величины Р* определяются по формуле (3.4), причем
и определяются так же, как и в предыдущем случае с
г следовательяой ССН.

А. Интенсивности отказов элементов не изменяются при от-
казе отдельных элементов. В этом случае интенсивности прямых
переходов и обратных ft определяется совершенно анало-
гично структуре с последовательным соединением элементов.

Б. Интенсивности отказов элементов меняются при отказе
некоторых элементов (из-за возрастающей нагрузки) по известно-
му закону (указанному в примечании условия задачи 3). В этом
случае изменяется лишь вид интенсивности прямых переходов сле-
дующим образом:

ЯО=ПЛ,	Т.д.

3.3.3.	Разнон^ежные элементы

Граф состояний уже не будет вытянутым в одну цепочку, а
следовательно, и формула (3.4), определяющая ,Рс-Р •) становит-
сл неверной. Поэтому в соответствии с общим правилом нужно
составить граф переходов, затем по нему выписать систему ли-
нейных алгебраических уравнений (относительно Рг ) и найти
её решение одним из общих методов.

Для вариантов с I по 17 требуется дополнительно к нахож-
дению показателя Кг для случая	п , соста-

вить граф переходов г соответствующую систему уравнений, не
решая её.
Рис. 7	Рис. 8

Пример I. Пусть система (рис. 7) состоит из и =3 эле-
ментов о последовательной ОСН. Граф состояний будет алеть вид,
представленный на рис. 8. Состояния имеют следующий вид:
О - все элементы исправны;	3 - отказал лишь третий;

I	- отказал один из первых двух;	4 - отказал третий и один

2	- отказал второй из первых двух; из nePBLX Двух;

5 - отказали все элементы.
Соответствующая система алгебраических уравнений выглядит так:

'	-( Р'+гГУРо +S* (£>1+Р,3) ;

О- + *2ХРО i-^Рг -

О- ~(2^< +Л") Р2 + Л'Р1 + 2/< Рг •

] 0= - (у** + 2Х}	* й"Ро * 2ft Р^ \

О- -{2^ + Г)Рч +2ХРз+'2/< Р*
0 =	tpft >

I * Pz * А * Pi, * A =i .

Решать данную систему нужно общими методами (например,
методом Гаусса). При указанной ССН показатель кг-Рс , так как
лишь состояние ’’О” является рабочим.

Для параллельных ССН изменения касаются лишь способа оп-
ределения Кг : кг-£2*'	, где, ка : и раньше, иэ определя-

ет число элементов, необходимых для работы системы.

3.4. Домаигее задание. Задача 3

Задана ССН системы, число элементов в ней и =/ 5. интен-
сивности 0ТГ130В каждого элемента Л и интенсивное 'и восста-
новления одним ремонтником fi , а также число реыонгш:г.ов
2 , работающих независимо друг от друга (табл. 4). Опреде-
лит» стационарное значение коэффициента готовности к. систе-
мы. Для вариантов с I по 17 с учетом данных примечанш (табл.4)
дополнительно составить граф переходов и ура.ьденля Кс.^огорч.ва,
считая» что из п = 5 элементов четыре имеют одинаковую 'нтен-
сивноеть Л , а пятый л0 , причем Л о / Л .
Исходные данные задачи 3

Тай

4

Вариант Jr	Вид ССН	А-  -характеристики элементов, 1/ч	Число ремонтников Y и их интенсив- ность восстановле- ния ух , 1/ч	Число элемен- тов, необхо- димых для ра- боты системы	Примечание
I	2	3	4	5	6
I	Последовательная	Аг=л=о,^, <-’=7?		т-S'	Л’> 6
о	п	Г?	1=2		).;=!, i^4\ ^^e = <?,ZT
3	и	г*	*=3	m = 5~	* 4»
4	л	»»	г =4	т= у	^2~Ло = ^/3"
5	п	н	т-5  н		
б	Параллельная	ч	ъ-!  It	rn-1	^i=A>ifi;As-=^o=q<S'
<	н  1	г>	г =2	т= 1	ift;
8	н  1							1=3	in-f	Яг=Я» Z/З;
1	2	3	4	
9	Параллельная	Ъ} *1*0,01, i=ts	4 = tf> ,	
10	я	Я	4*1	и
II	я	я	1*2	я
	я .	я	Х'З	я
13	я  •	я	г=*	я
14	я	я	г=1	и
15	я	я	г =2	я
16	.я	я	1*3	и
17	я	я	l*h	я
Ir	9  ki	9	1*1	с и
19	я	я	1*2	я
Продолжение табл. 4

	5	6
e,L	1	4?2; ^K>--0,i5
	to-2	Лух/Ъ=<? &
	ип = 2  •	;4-4t5t*;
		«»
	m-2	/);=Л, i>2; ^ = ^=4’/5"
	m=3	Яг=л,£^; Лж=Л®’<?/г
	m-3	^•-,1,	/у-Яс^/З-
	w =3	Л=Я>4>з;Лз;=Ле"£?<Г
	/7) s3	
	, m=l	,если нет отказа;  ,если есть I от- л< л каз;  д.гд^если есть 2 от- с	казн
	m -i	
I	*C		
'	j	Параллельная	^;-=l=C',Oi, i=<J	*y - 4^
21	n	ft	•z=>
	w	n	tcJ
::3	Л	n	J
kJ 4	n	»»	T= •
J--L- I  1  i		tt	
; !  1 !	H		Z=1
“"I  !	li	H	**	4-
< f t  • ' : i  1	”  J	ft	_ '
i  ’.; i  •	i  i	n	n	'y z '
r i *	n	n	z=^
л	5	6
		
1	tn-1	
	tn~-2	
2	”	hi-2	<
? »’	^-2	у. = Я , если нет
Г	”	th-2	отказа;  1,	если есть	I  Ai	отказ;  д	если есть	2  отказа
tf	tn = 3	
?		
} ♦♦		
'1		
-	rr> =3	
*

§ 4. СТАГПСТЛЧЕСКОВ оЦе'ИЯВАЫИЕ ХАРАКТКРИСТ1П( НАДОКНОСТИ

Рассмотрим два типовых случая оценивания показателей на-
дежности изделия по результатам его испытаний.

I. Предполагается, что состояние работоспособности изде-
лия можно записать в виде с7< х или 'х^в ,
где т - случа!шая величина, характеризующая значение опреде-
ляющего параметра изделия’на заданный момент времени ;

с/ и В - заданные ограничения (соответственно нижнее и верх-
нее) на значение х

Предполагается, что случайная величина х на момент to
имеет нормальный закон распределения с параметрамич и б •
вероятность безотказной работы изделия к моменту можно

определить в виде

ограничении ,
ограничении хс 8 ;

- функция Лапласа.'3

(4.1)

(4.2)

В выражении (4.1) параметры уй и 6 неизвестны. Поэтому для
их оценки, а потом и для оценки самого показателя надежности

P(t0) нужно провести испытания изделий, в ходе которых заме-
рять фактические значения х на момент времени £© . Пусть

по результатам испытаний и образцов получены п выборочно :
значений X *• ?< ,** 9 ••• 9 2» . Тогда по известным

из математической статистики правил м обработки результатов на-

блюдений можно найти наилучшие точечные оценки параме г. ов
и f по форг ’лам

=: т - ~	,	(4.3)

Гг= X- z. iT.-x)2,	.(4.4)

На основании этих данных нужно вычислить точечную оценку Р
показателя Р- P(to) и его интервальную оценку в вид* нижней
доверительной границы (ИДГ) уровня %- , где ' - з
данная доверительная вероятность. Точечная оценка определяет-
ся до формуле а а

Р = f ( fi) ,	(4.5)
где

НДГ уровня

при ограничении
при ограничении



;

в .

(4.6)



где 2	- табличное значение нормального закона распределе

ния уровня у' (табл. 5).

Таблица 5

	• ♦ •	0,9	0,95	0,99
	• ♦ •	1,28	1,65	I

Пример I. Пусть условие работоспособности изделия имеет
вид 2,5 < э? ; известны результаты И ® II измерений пара-
метра х на момент to (табл. 6).

Таблица 6

L	I	2	3	4	5	6	7	8	9	10	II
'^1	3,4	4,2	5,0	6,1	6,8	7,1	7,6	8,0	8,9	9,6	10,8

Требуется определить оценки р и Р^ с уровнем доверия =
=0,9.

Решение,. По формулам (4.3) и (4.4) определяем оценки па-

раметров уи и б" :

уЗ ж 7,1; л б = 2,28.

Определяем £ «	= 1,9ь и

гг = 1,28 из табл. 5 при = 0,9.

По формулам (4.5)и (4.6) находим на
ции Лапласа (приложение I) значения р

табличное значение

основе таблиц функ-

и ~<г :



РАЯ* ~ <>28 НГ	32 )= $ 9066

Предполагается, что наработка до отказа изделия г под-

чиняется экспоненциальному закону распределения с неизвестным
параметром	♦ где Т имеет смысл средней наработ-

ки до отказа. Тогда вероятность безотказной работы изделия за
время t0	j.

Р<4>) = ехр {-Мо}-ехр{- —}	(4,7)

Предполагается далее, что испытания п образцов изде-
лий проводятся по од ".ому из планов;

• план [	(J, Т J означает, что на испытания ставят п
образцов, отказавшие образцы не заменяют ( U ) и испытания
продолжаются до назначенного времени Т ; в результате испы-
тана!: фиксируются наработки d отказавших образцов 'ey ,

Гг . .... гс/ , ( d ± п );

- план ( г?, Сг, z .7 означает, что на исаыть ия ставят п
образцов и истления продолжаются до появления Z отказов,
причем отказавшие образцы не заменяются и фиксируются наработ-
ки до отказов г г , z2 ,	.

На основе результатов испытаний требуется определить то-
чечную оценку д и верхнюю доверительную границу СВДГ)
уровня для параметра л . Если Л и Лнайдены, то
оценки р и Р^ показателя Р - Р(1&) ояредиЛ'ЮТся в виде
р - ехр {-л

Для определения оценок д' и

нужно лрндваритель' с вкчис-

лить суммарную наработку образцов, прошвдших испытан jit-

Р< с L *' (n~d) I1 пои плане
w г

£ гс ♦ fn-zjz'’ при плане

I "1 С	Р —

-После этого определяются А и :

(7/	Г г

/\	75	при плане (

~	~~	при плане L

— ( X । <’ ( э J <• 2 ) при плане
7” / Д- к (2г) при ллгче

[ п . ''r. TJ
[ п, и, zj

и, Т ] ,

V, Z ] ,

[ nt U. Т],

I V.7-],

(4.10)

(4.II)

(4.12)

где - таблишюе значение “хи-квадрат" распре де., кия
уровня р с р? с тапе ням*’ свобода, определяемое по . ;-илохе-

НИЮ 3<л .

Пример 2. Пусть известно, что наработка до отказ', изделия
подчиняется экспоненциальному закону распре деления. 2-яштанля

П - 6 образцов проводились по плану [ п, Ut Т ] , г;е Г «=
10 tc ; в результате испытаний были зафиксированы следующие

наработки до отказов:

^=2,6 К.	iotc.

Опреде.стгь оценки р и с уровней доверия С,9.

Решение. p(t0) = exf>[-A j Ht)-exp [- ф 4 j ;
*Г =	2 2 '

$ = £Tt- +(n-d)T• (2,e	/с) tc^etc,

Ъ03-2чб. tc ^o,s(e^ 92 tc Ю,Ь "G,i'’
P=exp{~ = e^p	C‘,9

4.1. Домашнее .задание. Задача 4

Определить точечную оценку Р(К) и нижнюю доверительную
границу P^(tc) с заданной довери;зльной вероятностью У"
для вероятности безотказной работы изделия fVtJaa требуемое
время tQ Исходными данными являются результаты испытаний
п образцов по одному из планов испытаний.

Для вариантов с I по 18 условие работоспособности изделия
на момент to имеет вид:

ас (варианты 1-9) или
в (варианты 10-18),

где х - определяющий параметр изделия, распределенный по

нормальному закону с неизвестными параметрами и & ;

а или в - ограничения на х

Результаты измерений параметра х в момент tc. заданы

в табл. 7 и 8. Значения а , в ,	.

результатами измерений указаны в табл. 9.

и номер таблицы с

Таблица 7

7

7,0

Таблица 8
Таблица 9

и  варианта	Значение	Значение  6	Номер таб- лицы	
I	з.о		5	0,9
2	2,8		5	0,8
3	2,6		5	0,9
4	2,4		5	0,8
5	2,7		6	0,9
6	2,5		6	0,8
?	2,3		6	0,9
8	2,1		6	0.8
9	1,9		О	0,9 ,
IC		7,6	5	0.8
II		7,8	5	0,9 ‘
12		8,0	5	0,8
13		8,2	5	0,9
14		8,4	5	0,8
15		9,5	6	0.9
16		9,7	6	0,8
17		9.9	6	0,9
18		10,1	1 6	0.8

Для вариантов с 19 до 30 предполагается» что ш.^ботка
изделия до отказа подчиняется экспоненциальному закону рас-
пределения	exp {-	, где Т - неизвестный

параметр распределения, имеющий смысл среднего значе<^ля вара-
бс ,ки до отказа. Для этих вариантов исходными данным;' являют-
ся результаты испытаний п образцов по плану [ nt Ut"Th 1
(варианты 19-24) или по плану [ nt Lr, Z ] (варианты 25-30.1,
представленные в виде наработок ft- до отказа. 3 качестве
промежуточного результата в вариантах с 19 до 30 нуль допол-
нительно указать значение точечной оценки Т и ПДГ Т ~ уров-
ня )г для показателя Т . Исходны с чашше приседе ни в

табл. 10.

Таблица 10

Вари- ант №	План испытаний	Значения		Значения наработок до отказа
		И		
19		5	Т„ =1и	=5,2,	=•..•>, 4
20		5	Т„ =10	=5,8, ti =5,2, ^5=8,4.
21		5	Г„ =10	Л =4,6,	=и,3, ^=6,7,
				=8,1.
22	%	10	Г„ =5	А =3,2, <гг =4,6.
23		10	Г„ =5	£<=3,6, Ъ =4,2, Ь =4,7.
24		10	Г„=5	"^1 -"2,3, ii =2,8, =ij,o,
				=4,5.
25	[г?. и, Z ]	5	т =1	Л =5,4
26		8	L =1	Л =4,3
27		10	7 =1	t< =3,6
28		5	1 =2	-5,6, ti =6,2
29		8	Z =2	t1 -4,0, t2 -4,2
30		10	г	ft =4,6, it --=5,2
Приложения

I. Значения нормальной функции распределения

	ф(.1)	JL	ф(х)			X	
L.UG	0,8413	1,31	0,9049	1,62	0,9474	1,93	0,9732
1,01	0,8438	1,32	0,9066	1,63	0,9484	1,94	0,9738
1,02	0,8361	1,33	0,9082	1,64	0,9495	1,95	0,9744
1,03	0,8485	1,34	0,9099	1,65	0,9505	1,96	0,9750
1,04	0,3508	1,35	0,9115	1,66	0,9515	!/>'	0,9759
1,05	0,8531	1,36	0,9131	1,67	0,9525	1,98	0,9761
1,06	0,8554	1,37	0,9147	1,68	0,9535	I.9S	0,9767
1,07	0,857?	1,38	0,9162	1,69	0,9545	2,00 -	0,9772
1,08	0,8599	1,39	0,9177	1,70	0,9554	2,0/	0,9783
1,09	0,8621	1,40	0,9192	I 71	0,9564	2,04	0,9793
1,10	0,8643	- 1,41	0,0207	1,72	0,9573	2,06	0,9803
1,11	0,8665	1,42	0,0222	1,73	0,9582	2/Ч	0,9812
1,12	0,8686	1,43	0,9236	1,74	0,9591	2,10	0,9821
1,13	0,8708	1,44	0,9251	1,75	0,9599	2,12	0,9830
1,14	0,8729	1,45	0,9265	1,76	0,9608	2,1-	0,9838
1,15	0,8749	1,46	0,9279	1,77	0,9616	2,16	0,9846
1,16	0,8770	1,47	0,9292	1,78	0,9625	2,18	0,9854
1Д7	0,8790	1,48	0,9306	1,79	0,9633	2,20	0,9861
1,18	0,8810	1,49	0,9316	1,80	0,9641	2,22	0,9868
1,19	0,8830	1,50	0,9332’	1,8Л	0,9649	2,24	р,9875
1,20	0,8849	1,51	0,9345	1,82	0,9656	2,26	<. 0,9881
1,21	0,8869	1,52	0/357	1,83	0,9664	2,28	0,9887
1,22	0,8883	1,53	0,9370	1,84	0,9671	2,	0,9893
1,23	0,8907	1,54	0,9382	1,85	0,9685	2,32	0,9898
1,24	0,8925	1,55	0,9394	1,86	0,9686	2,34	0,9904
1,25	0,8944	1,56	0,9406	1,87	0,9693	2,36;.	0,9909
1,26	0,8962	1,57	0,9418	1,88	0,9699	2,38	0,9913
1,27	0,8980	1,58	0,9429	1,69	0,9706	2,40 '	.. 0,9918
1,28	0,8997	1,59	0,9441	1,90	0,9713	2,42 '	0,9*. 2
1,29	0,9015	1,60	0,9452.	1,91	0,9719	2,44	0,9927
1,30	0,9032	1,61	0,9463	1,92	0,9?2б	2,46 .	0,9931

о
X	ф(Х)	X	Ф(Х)	X	Ф IX;	X	ф(Х)
2,48	0,9934	2,62	0,9956	2,76	0,9971	2,98	0,9'381
2,50	0,9938	2,64	0,9959	2,78	0,9973	2,32	0,9982
2,52	0,9941	2,66	0,9961	2,80	0,9974	2,'Ji	и,Л84
2,54	0,9945	2,68	0,9963	2, 2	0,9976	2,9 ?	0,398о
2,56	0,9948	2,70	0,9965	2,8.4	0,9977	2,98	0,9366
2,58	0,9951	3,72	0,9967	2,86	0,9979	3,1.0	и , .. ч. O'? J
2,60	0,9953	2,74	0,9969	2,88	0,9980		

2* Гамма-функция - J t* 1 e
G

Для больших значении аргумента Г(х) вычисляется при помощи

формулы

Г(х) - (х-i)П*~1) =(?-фХ'2) Г\х 'V-

Пример: Г (4,7)=3,7.2,7-1,7 0,9086 = 15,43.

Значения га:.!ма-*рункции Г i*;

X	Г(х)	X	Г(х)	Z	Г{х)	1	Г/х)
1,00	1,000	1,41	0,9968	1,55	0,8583	1,69	U,9с6g
1,10	0,9514	1,42	0,8864	1,56	U,b3’JC	1,70	t., 3L8G
1,20	0,9182	1,43	0,8860	X , О (	с,89с 5	1,71	v, 9 Юи
1,30	0,8975	1,44	0,6858	1,5ь	и,8914	1,72	^,9126
1,31	0,8960	1,45	0,6657	1,59	0,8924	1,73	и,9147
1,32	0,8946	1,46	0,8856	1,60	и,ЬЭЗз	1,7 4	0,9168
1,33	0,8934	1,47	0,8856'	1,61	и,8947	1,75	0,9191
1,34	0,6922	1,48	0,8857	1,С2	и,895з	’ f ♦ ''  19	0,9214
1,35	0,8912	1,49	0,8^59	1,63	с,8з?.;	1« ’ '	, 0 Юс
1,36	0,6982	X, Ov	0,8862	1,64	1 , ЬЗС’.	1., 7 £	
1,37	0,8893	1,51	0,8о66	:,Сэ		Г Т1 .	-,32о8
1,38	С,88Ь5	1,52	0,8с7С	I,	">	< I. ' т Г- •  •и,	f	4» •	• V.»	i *,«'4 Г Z
1.39	0,88’79	1,53	С\ M—G  , V- V  w’	«г* ж ,7 /	1,зОЗЗ	*	 иГТЬ.
1,40	0,8573	1,54	с,8682		C,90dv	У	
3. Значения "хи-квадрат** распределения в зависимочти от
числа стененеИ свободы и? и вероятности <*-

т	qC					
	0,975	0,95	0,9	0,1	0,05	0,025
I	0,001	0,004	0,016	2,706	3,841	5,024
2	0,051	0,103	0,211	4,605	5,991	7,378
3	0,216	0,352	1,584	6,251	7,815	9,348
4	0,484	0,711	1,064	7,779	9,488	II,14
5	0,631	1,145	1,610	9,236	11,07	12,83
G	1,237	1,635	2,204	10,64	12,	14,45
7	1,690	2,167	2,833	12,02	14,07	16,01 .
8	2,180	2,733	3,490	13,36	15,51	•7,53
9	2,700	3,325	4,168	14,68	16,92	. 19,02
10	3,247	3,940	4,865	15,98	18,31	"4,48
11	3,816	,4,575	5,578	17,27	19,67	21,92
12	4,404	5,226	6,304	18,55	21,03	, 23,34
13	5,010	5,892	7,042	19,81	22,36	24,73
14	5,630	6,571	7,790	21,06	23,68	26,12
15	6,260	7,261	8,547	22,31	24,99	• 27,49
16	6,910	7,962	9,312	23,54	26,29	28,84
17	7,564	8,672	10,085	24,77	27,59	30,19
18	8,231	9,390	10,865	25,99	28,87	31,53
19	8,907	10,12	11,65	27,20	30,14	32,85
20	9,590	10,35	12,44	2H.4I	31,41	34 Т7
21	10,28	11,59	13,24	29,61	32,67	.5,48
	10,98	12,34	F,04	30,81	33,92	36,78
23	11,69	13,09	14,85	32,00	35,17	38,07
24	12,40	13,85	15,66	33,19	36,41	U,36
25	13,12	14,61	16,47	34,38	37,65	40,65
ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................

§ I.	Характеристики надежности элемента ................3

§ 2.	Расчет надежности невосстанавливаемой системы .... 8

§ 3.	Расчет надежности восстанавливаемой системы
в некоторых типовых случаях .......................... 17

§ 4.	Статистическое оценивание характеристик
надежности.........................................../.. 27

Приложения.............................................33