БАЛЛИСТИЧЕСКАЯ
РАКЕТА
НА ТВЕРДОМ
ТОПЛИВЕПод редакцией доктора технических наук
профессора А. М. СИНКЖОВАОрдена Трудового Красного Знамени
ВОЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ОБОРОНЫ СССР
МОСКВА — 1972
«теБ20УДК. 621.455.001.Коллектив авторовЬ20	Баллистическая ракета на твердом топливе. М., Воен¬издат, 1972 г.512 стр.В книге на основании материалов, опубликованных в открытой отечественной
и зарубежной печати, сформулированы задачи баллистического проектирования
ракет на твердом топливе. Приведены типичные конструктивные схемы управ¬
ляемых баллистических ракет с двигателями на твердом топливе и методы рас¬
чета элементов их траекторий применительно к задачам баллистического про-
ектирования. Освещены приближенные методы и дано понятие о точных мето¬
дах баллистического проектирования.Рассмотрены особенности прочностного расчета ракет с РДТТ. Даны крат¬
кие сведения о физико-механических характеристиках твердых топлив. Изло¬
жены методы расчета корпуса и заряда ракет с РДТТ на прочность от дейст-
ння нагрузок, возникающих в процессе их хранения, транспортировки, работы
двигателя на траектории и при внешнем температурном воздействии.Рассмотрены вопросы надежности ракет с РДТТ и ее статистической оцен¬
ки, а также вопросы, связанные с испытанием конструкции ракет с РДТТ,
Даны методы оценки надежности отдельных систем ракеты.Большинство методов расчета иллюстрируется цифровыми примерами. Если
примеры не заимствованы из иностранной литературы, то в них используются
произвольно взятые величины, не связанные с конкретными изделиями.Книга может быть использована в качестве пособия для инженеров, рабо-
цнощих в области ракетной техники, а также для слушателей высших учебных
«и ведений,М2-4101-726Т6
ВВЕДЕНИЕСовременную эпоху часто называют веком реактивной техники.
< нмые яркие и впечатляющие достижения второй половины
XX пека связаны с ракетной техникой и началом освоения кос¬
моса. 4 октября 1957 года в CGCP был запущен первый в мире
искусственный спутник Земли, а 12 апреля 1961 года первый в
мире летчик-космонавт Ю. А. Гагарин облетел на космическом ко-
рнбле «Восток» земной шар. Вслед за этим была создана целая
серия обитаемых и автоматических космических кораблей, с по-
мшцыо которых были проведены многочисленные научные иссле-
домания. Но ракета это не только средство, позволившее человеку
проникнуть в космос, но и прежде всего грозное боевое оружие.В своем отчетном докладе XXIV съезду КПСС Генеральный
секретарь ЦК Л. И. Брежнев с удовлетворением отметил, что Со¬
ме i с кне Вооруженные Силы в настоящее время оснащены новей¬
шей боевой техникой самого высокого класса, что на основе по¬
следних достижений науки и техники разработаны и выпускаются
мтп ие новые виды современного вооружения.Эта высокая оценка полностью относится и к ракетному во¬
оружению Советской Армии, представленному широким классом
рикст с двигателями как на жидком, так и на твердом топливе.Ракеты с двигателями на твердом топливе, в качестве которого
и период Отечественной войны и сразу же после ее окончания
применялись баллиститные пороха, долгое время использовались
км к тактическое оружие.Появление смесевого твердого топлива и совершенствование
юхнологии его производства позволило расширить область приме¬
нения ракет на твердом топливе, и в настоящее время они приме¬
няются практически во всех видах вооружения.По сравнению с ракетами на жидком топливе ракеты с РДТТ
пп. и дают высокой надежностью и постоянной готовностью к пу¬
ску, простотой и компактностью устройства, относительной просто¬
ни! эксплуатации и связанной с этим простотой наземного обору¬
дования и обслуживания, возможностью длительного хранения в
окончательно снаряженном виде, возможностью обеспечения высо¬
кой тяговооруженности и т. д.Недостатками ракет с РДТТ являются: существенная зависи¬
мость характеристик двигателя от начальной температуры заряда,
большая чувствительность по сравнению с ракетами с ЖРД к тем¬
пературно-влажностному воздействию внешней среды, сложность
решения задач, связанных с обеспечением управления и много¬
кратным запуском двигателя.Г3
Однако несмотря на отмеченные недостатки ракет с двигате¬
лями па твердом топливе область применения их непрерывно рас¬
ширяется.13 одной книге невозможно осветить все особенности проектиро¬
вания ракет с РДТТ различных классов, поэтому авторы ограни¬
чили себя вопросами, связанными с проектированием управляемых
многоступенчатых баллистических ракет класса «земля — земля»
с зарядами твердого топлива, прочно скрепленными с камерой
сгорания. Цель книги — помочь читателю глубже изучить физиче¬
ские процессы и условия работы, сопровождающие эксплуатацию
ракет с РДТТ, ознакомить с теоретическими основами функциони¬
рования ракеты в целом и отдельных ее частей и агрегатов, сооб¬
щить сведения, дающие возможность правильно предвидеть пер¬
спективные пути развития ракет на твердом топливе.В трех разделах книги на основании материалов, опубликован¬
ных в открытой отечественной, а также зарубежной печати, сфор¬
мулированы задачи баллистического проектирования ракет на
твердом топливе, приведены типичные конструктивные схемы упра¬
вляемых баллистических ракет с РДТТ и методы расчета элемен¬
тов их траекторий применительно к задачам баллистического про¬
ектирования. Освещены приближенные методы и дано понятие о
точных методах баллистического проектирования. Приведены зави¬
симости, позволяющие определять основные статические и динами¬
ческие нагрузки, действующие на ракету с РДТТ в различных ус¬
ловиях эксплуатации. Подробно рассмотрены особенности прочно¬
стного расчета ракет с РДТТ. Даны краткие сведения о физико-
механических характеристиках твердых топлив и материалов, при¬
меняемых для изготовления элементов конструкции ракет с РДТТ;
приведены их критерии прочности. Изложены методы расчета кор¬
пуса и заряда ракет с РДТТ на прочность в процессе их хранения,
транспортировки, работы двигателя на траектории и при внешнем
температурном воздействии. Освещены вопросы, связанные с опре¬
делением динамических характеристик ракет на твердом топливе.Рассмотрены вопросы надежности ракет с РДТТ и ее статисти¬
ческой оценки, а также вопросы, связанные с испытанием кон¬
струкции ракет с РДТТ. Даны методы оценки надежности отдель¬
ных систем ракеты. Большинство методоз расчета иллюстрируется
цифровыми примерами. Если примеры не заимствованы из ино¬
странной литературы, то в них используются произвольно взятые
величины, не связанные с конкретными изделиями.Работа по написанию книги распределилась следующим обра¬
зом: введение, а также главы 6—11 написаны профессором докто¬
ром технических наук А. М. Синю ков ым, главы 1, 3, 5 и 15 —
профессором доктором технических наук Д. И. Волковым, гла¬
вы 2,4 — доцентом кандидатом технических наук А. И. Львовым,
главы 12—14 — доцентом кандидатом технических наук А. М. Ши ш-
кевичем. Общее редактирование книги осуществлено А, М. Си¬
ню к о в ы м.
РАЗДЕЛ IБАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАКЕТ
НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕГлава 1ЗАДАЧИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ РАКЕТЫ$ 1.1. ТРЕБОВАНИЯ, ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К УПРАВЛЯЕМЫМ
БАЛЛИСТИЧЕСКИМ РАКЕТАМ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕ,
РАКЕТНЫМ КОМПЛЕКСАМ И СИСТЕМАМУправляемая баллистическая ракета (УБР) с ракетными дви-
I п Ii'.'DIMh на твердом топливе (РДТТ) является оружием, предна-
иш'н'ниым для поражения важных целей, удаленных на большие
I'm с тяиия.Дли проведения проверок и пуска ракеты, а также для ее за¬
мш I i.i от воздействия противника до пуска оборудуются специаль¬
ные сооружения, создается комплект проверочно-пусковой аппара-
I у|>i.i н наземного оборудования. Эти элементы вместе с ракетой
и.. 1.1 и. ч я ют ракетный комплекс (РК).I'листа является изделием одноразового применения, в то время
МК псе остальные элементы РК, как правило, могут использовать-
|<| дли проведения нескольких пусков. Боевые свойства УБР с
I'M IT но многом определяются и зависят от состава и характери-
■ Iмм место РК.Ракетный комплекс должен отвечать требованиям, которые
определяют его боевые возможности и свойства. Эти требования
пн многом предопределяют также и характеристики ракеты.Одним из основных требований, предъявляемых к РК и ракете,
и ичиг гея обеспечение определенного интервала дальностей пуска.
| (Лично различают максимальную Lmax и минимальную Lmin даль-
миегм, па которые может быть доставлена головная часть ракетыI	шдапной точностью. Требуемая максимальная дальность пуска
hi мпспт от местоположения стартовых позиций РК и удаления их
hi мп.шожных театров военных действий. Максимальная дальность
II,* к л при заданной массе головной части во многом предопреде¬
лит г габариты и массу ракеты. Ясно, что чем больше требуемая
минимальная дальность пуска, тем тяжелее, сложнее и дороже
ринита. Поэтому оказывается невыгодным обеспечивать большойб
интервал дальностей пусков одним типом ракет, а целесообразнее
создавать РК с максимальной дальностью, например, 8000—
12 000 км, 2000—5000 км и т. п. [26], [31].Баллистические ракеты, имеющие максимальные дальности пу¬
сков свыше 8000 км, называются межконтинентальными (МКР),
а ракеты, имеющие дальности пусков 2000—5000 км,— ракетами
средней дальности (БРСД).Дальность пуска ракеты определенного типа существенно зави¬
сит от массы головной части, поэтому при пусках однотипных ра¬
кет с различными по массе головными частями может быть обес¬
печено поражение целей в весьма широком диапазоне дально¬
стей.Следующим по важности требованием, предъявляемым к РК и
ракете, является обеспечение определенного могущества головной
части. Головные части современных ракет с РДТТ содержат ядер-
ный заряд, который воздействует по цели образующимися при
взрыве ударной волной, световым и радиоактивным излучением,
а также проникающей радиацией. Могущество головной части,
или ядерного заряда, характеризуется величиной тротилового экви¬
валента <7, т. е. массой заряда тротила, действие которого по цели
эквивалентно действию ядерного заряда. При использовании опре¬
деленного расщепляющегося материала величина тротилового-
эквивалента в первую очередь зависит от массы заряда, головной
части, а также совершенства конструкции заряда и взрыватель-
ных устройств. Современные МКР и БРСД с РДТТ могут нести
заряды с тротиловыми эквивалентами от сотен килотонн до не¬
скольких мегатонн [31].Действие головной части по цели зависит не только от могуще¬
ства заряда, но и от точности его доставки. Поэтому следующим
важным требованием, предъявляемым к РК и ракете, является
обеспечение малого (не более заданного) рассеивания точки па¬
дения головной части (эпицентра взрыва).Ракета и ее головная часть в полете отклоняются от расчетной
траектории, проходящей через точку старта и точку прицеливания
(цель), в результате отклонения от расчетных значений характе¬
ристик ракеты и внешней среды, в которой она движется. Кроме
того, и расчетная траектория определяется с некоторыми ошиб¬
ками из-за неточного знания координат цели и стартовой позиции,
а также из-за погрешностей вычислений. Это тоже приводит к уве¬
личению рассеивания точки падения головной части. Система
управления ракетой уменьшает отклонения головной части от рас¬
четной траектории. Баллистические ракеты с РДТТ могут иметь
автономную или комбинированную систему управления. При ис¬
пользовании комбинированной системы управления в районе стар¬
товой позиции необходимо иметь специальные посты радиоуправ¬
ления, что усложняет ракетный комплекс и ограничивает возмож¬
ности перенацеливания ракет. Кроме того, линии радиоуправления
'могут подвергаться воздействию помех, создаваемых против-
%
MIHniM, Однако применение радиоуправления повышает точностьlit I Mill.Рнссеивание точки падения головной части относительно точки
Прицеливания для БР практически подчиняется нормальному кру¬
пному закону, поэтому может определяться средним квадратиче¬
ским отклонением а. Для современных МКР и БРСД с РДТТ при
м. no .mi. ггавании автономных систем управления достигнута точ¬
но, и, пусков, характеризуемая величиной о=0,6—1,2 км. В ближай¬
шие 14)ды предполагается уменьшить рассеивание этих ракет, до-
ftiiiHiiin'i. значений о = 0,3—0,7 км [31].•	чсдующим важным требованием, предъявляемым к РК и ра-
m не, имляется обеспечение высокой надежности ракеты в полете.
Поскольку ракета — изделие одноразового применения, не восста-
НИ'И.'Иншемое в полете, ее надежность определяется безотказно-
»I i.io действия на траектории. Безотказность ракеты количествен¬
но \мрактеризуется вероятностью Р безотказной работы ракеты
ш мреми пуска и полета. Обычно сокращенно эту величину также
нм H.IHIIIOT надежностью ракеты в полете. Вероятность Р можно
рассматривать как отношение количества ракет, которые после их
МИускл доставят с допустимым отклонением головные части в
рмГюи цели, к общему числу готовых к пуску ракет. Эта характе-		к а зависит от совершенства конструкции и технологии про-и ни> 1с гна ракет, степени отработанности всего РК, а также от
Y' '|"1шй п длительности его эксплуатации до проведения пуска.
iHMciiiM также, что надежность ракеты в полете характеризует•	noli, гио совокупности РК данного типа, так как одна ракета мо-
iiti I и,ми потерпеть отказ на траектории, или успешно доставить		иную часть в район цели. Опыт пусков МКР и БРСД с РДТТНммнынает, что для хорошо отработанных РК величина Р колеб-
ми I с н м пределах 0,85—0,95 [31].I' сопременным РК предъявляется требование высокой надеж-
..... .к преодоления ПРО противника. Возможность более или менее
v. н. ншшч) вхождения головной частью в район цели определяется
ни I о п.ко качеством ПРО, но и конструктивными особенностями
|н||ц'П.1, а также видом ее траектории. Количественно эта возмож¬
но* п. характеризуется вероятностью РПР0 «епоражения головной
•ни in системой ПРО противника. Вероятность Рпро может рас¬
ами фннаться как отношение количества головных частей, достиг¬
ши'. района целей с допустимыми отклонениями при наличии
ПИО, к общему числу головных частей, которые выполнили бы эту
MAH'iy при отсутствии системы ПРО. Эта вероятность так же,
то. н рассмотренная выше величина Р, является характеристикой
ннижуиности однотипных РК, используемых против целей, при-
иршич определенной системой ПРО.Рассмотренные выше требования, предъявляемые к РК, явля¬
ть м I ребоваииями и к основным характеристикам ракеты. Суще-
имуни еще не менее важные требования к РК, которые опреде¬
лит i уже не столько свойства ракеты, сколько возможности ее7
боевого использования в составе комплекса, а также 'необходимые
для этого затраты сил и средств.Одним из таких требований является обеспечение высокой бое¬
вой готовности РК. Введенный в строй РК, включающий ракету
с РДТТ, может эксплуатироваться в течение нескольких лет, од¬
нако в результате естественных процессов старения его характери¬
стики со временем могут заметно ухудшиться. Поэтому через
определенное время целесообразно проводить регламентные рабо¬
ты, в ходе которых проверять характеристики РК и устранять об¬
наруженные неисправности. При проведении регламентных работ
РК может 'некоторое время находиться в таком состоянии, при ко¬
тором пуск ракеты невозможен. Чем больше общее время экс¬
плуатации РК и чем меньше время, занимаемое регламентными
работами, тем -выше его боевая готовность. Количественно боевая
готовность РК оценивается коэффициентом боевой готовности Кг-
Эта величина может быть определена как отношение времени на¬
хождения РК в состоянии готовности к пуску к полному времени
его эксплуатации. Коэффициент Кг зависит от совершенства кон¬
струкции, технологии изготовления, принятых условий эксплуата¬
ции всех элементов РК, а также от количества обслуживающего
персонала и его обученности. Для современных РК, включающих
МКР и БРСД с РДТТ, может быть достигнута весьма высокая
степень боевой готовности [31]. Интересно отметить, что при ис¬
пользовании подводного флота для запуска твердотопливных ра¬
кет коэффициент боевой готовности существенно снижается, так
как требуется значительное время на обслуживание ракетоносцев
в портах или базах, а общее время эксплуатации ракет с РДТТ на
подводных лодках сокращается [31].При боевом использовании ракет иногда возможны такие ме¬
теорологические условия (сильный ветер, повышенная влажность,
грозовые разряды и т. п.), которые могут помешать проведе¬
нию у-спешнош пуска. Поэтому к РК предъявляется требование
обеспечения пусков ракет при любых метеорологических
условиях. Ограничение возможности проведения пусков по ка¬
ким-либо метеорологическим условиям, естественно, снижает
боевую готовность комплекса, в результате коэффициент Кх
уменьшается.Естественно, что РК должны быть надежно защищены от воз¬
действия противника. Для выполнения этого требования МКР и
БРСД с РДТТ, как правило, помещаются в шахтные сооружения,
имеющие мощную защиту от воздействия ядерного взрыва.
Остальные элементы РК, обеспечивающие управление пуском ра¬
кеты, также должны быть защищены от воздействия поражаю¬
щих факторов ядерного взрыва. Стартовые позиции ракет целесо¬
образно располагать на таком удалении одна от другой, чтобы
одним ядерным взрывом не могли быть выведены из строя не¬
сколько РК. Обычно защищенность от основного поражающего
фактора количествен,но оценивают способностью сооружения вы¬
держивать определенные избыточные давления Арф во фронте8
ударной волны. В настоящее время стартовые сооружения проек¬
там-1 гак, чтобы они могли выдержать избыточные давления от
Нискольких единиц до сотен бар. Такая высокая защищенность РК
rtivmei их практически неуязвимыми для противника. Однако су-
ш* < myer и другое направление в обеспечении защиты комплекса
ill упреждающего удара. Если пуск ракеты может быть проведен
й короткие сроки, может возникнуть ситуация, в которой головные
•пи in ракет противника не смогут воспрепятствовать нанесению
hiмпного удара. При использовании современных разведыватель¬
ный средств головные части ракет противника могут быть обна¬
ружены за 3—10 мин до момента их падения [31]. Этого времени
ИОЖст оказаться достаточно для принятия решения, подготовки к
Пуску н пуска собственных ракет. Таким образом, сокращение вре¬
мени, необходимого на проведение запуска ракеты, является также
|Цоео0разным средством защиты РК от ракетно-ядерных ударов
		ммика.1ищищенность РК от воздействия противника количественно
<Шспинается вероятностью Рж непоражения его до пуска и во время
м у< iwi Эта характеристика определяет так называемую живучесть
Комплекса. Величина Рж зависит не только от характеристики РК,
Но II от принципов его боевого применения. При нанесении упреж-
/ыюшего удара /,ж=1, а при проведении ответного удара Рщ<^1.1'неемотренные выше требования, предъявляемые к РК и ра-
ЩМе, определяют их боевые качества. Однако одни и те же боевые
щмможиости РК могут быть достигнуты затратой большего или
Менмисго количества сил, средств и времени. Поэтому необходимо
in пошить РК и ракеты, обеспечивающие решение боевых задач
при минимальных (ограниченных) затратах средств и времени.
Jin требование к РК и ракете является не менее важным, чем		мотренные ранее. Действительно, если создание ракетной си-II	ем и (совокупности однотипных РК) с определенными боевымиI	nolle | нами потребует таких ассигнований, которые не могут быть
иынелепы для этой цели, или для этого потребуется весьма дли-
Hvii.itoe время, то возникнет необходимость в пересмотре или кор-!шктропке всей программы вооружения. Следует заметить, что
|й пеегда уменьшение стоимости только ракеты способствует со-
к рн щеп ню общих затрат. В суммарной стоимости производства РК
4йIриI ы на производство ракеты с РДТТ обычно не превышают
|h	а расходы на эксплуатацию РК в течение ряда лет мо-t у | м несколько раз превосходить стоимость его производства [31].При разработке проекта комплекса и ракеты с РДТТ могут
предусматриваться различные меры, позволяющие сократить рае-
iiMiM H i создание и эксплуатацию системы. Так, при проектирова¬
нии следует добиваться высокой степени автоматизации работ по
нот |юлю за состоянием ракеты, подготовки и проведению ее пу-I	ни Простота обслуживания и автоматизация комплекса позво-
rtwhif режо сократить количество персонала, необходимого для
mhi ihи о применения ракеты, а значит, и существенно уменьшить
но плунтационые расходы. Кроме того, простота обслуживания9
комплекса положительно сказывается на степени его боевой го¬
товности, а также на надежности ракеты в полете. Для уменьше¬
ния затрат на производство при разработке агрегатов, машин и
систем РК необходимо обеспечивать высокую технологичность и
ремонтопригодность конструкций, возможность использования не¬
дефицитных и обязательно отечественных материалов, а также
добиваться унификации аналогичных элементов как в комплексе
данного типа, так и в различных ракетных системах, принимаемых
на вооружение. Правильная организация процесса опытной отра¬
ботки, тщательное планирование объема и программ испытаний
также способствуют существенному уменьшению затрат средств и
времени, необходимых на создание ракетной системы.§ 1.2. КРИТЕРИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ И ЭКОНОМИЧНОСТИ
ПРИМЕНЕНИЯ УБР С РДТТКачество РК характеризуется его эффективностью, т. е. пригод¬
ностью к выполнению определенных боевых задач. Количествен¬
ными мерами эффективности являются критерии эффективно¬
сти РК-Чтобы оценить в среднем качество вновь создаваемого РК,
нужно рассчитать его эффективность при пусках по типовым це¬
лям, предполагая, что их обстрел ведется определенным образом.
Для комплексов, включающих УБР с РДТТ, можно рассматривать
два случая:—	проведение N\ независимых пусков по одной цели;—	пуски N ракет по г одинаковым целям.В первом случае в качестве критерия эффективности прини¬
мают вероятность W выполнения боевой задачи при N\ независи¬
мых пусках [25], [26], [80], [99]:PJ<tPPnpoPsW,)N\	(1.1)где Р3—условная вероятность того, что при РжКтРРпро = 1 про¬
изойдет взрыв боевого заряда головной части мощно¬
стью не менее заданной;W\—критерий эффективности выполнения боевой задачи при
одном пуске и при РтКгРРПр0Р3 = 1.Заметим, что вероятности Кг, Р, РпР0 также являются услов¬
ными и определяются соответственно при Рт = 1, РтКг=1 иРЖКгР= 1-При стрельбе по малой (точечной) цели в качестве крите¬
рия W\ принимают вероятность поражения цели, а при стрельбе
по крупной (площадной)—математическое ожидание пораженной
части цели. При выводе зависимости для критерия эффективно¬
сти Wi обычно принимают следующие допущения:—	плотность распределения отклонения эпицентра взрыва ог
точки прицеливания нормальная с математическим ожиданием,
равным нулю, и средним квадратическим отклонением о;—	цель является кругом радиусом У?я<[2а;10
•	• плотность распределения цели равномерная;•	мощность всех взрывов одинаковая.При этих допущениях .К2а2 + 0,5/Й(1.2)| н' R— радиус зоны поражения, зависящий от защищенности целиII	могущества (тротилового эквивалента) головной части.Для случая стрельбы по малой цели критерий Wi является ве¬
рни гностью поражения цели и в выражении (1.2) принимают
А'м 0, а при стрельбе по крупной цели реличина W\ является ма¬
гматическим ожиданием пораженной части цели и 0</?ц <^2а.Подставляя выражение (1.2) в выражение (1.1), получимU7 = 1 — 1 — РЖ/СГРР,ПРО'1 — ехрК2о2 -f 0,5/?ц \(1.3)li том случае, когда проводится пуск N ракет по г малым це-
iiiM, в качестве критерия эффективности РК принимается матема-
нрнчжое ожидание М числа пораженных целей при оптимальном
рт'пределении ракет по целям, планируемом заранее и не изме-
инрмом в процессе пусков. В условиях сформулированных выше
попущений [26]::г{(1-(1-Рж/СгРРПР0^^1) J(1.4)УИ:-E{4-)}P^,PPnraP,W,))\,N\	Ni nr /:(—j —целая часть числа —.При N^r, что обычно выполняется, с ошибкой 0—4,0% зна¬
чите М может быть определено по следующей зависимости:М=гN1-(1 -РжКтРРтоР^) '
Отсюда средняя доля числа пораженных целей
М(1.5)N. = Мср = 1-(1-РжДгРРпроР3Г1) г.	(1.6)X	дг.Чаметим, что при обозначении Л^= — выражения (1.1) и11	II) совпадают. Бели величина Mcv средней доли пораженных
целей задана, можно найти число ракет, необходимое для пора¬
жении г целей. На основании зависимостей (1.2) и (1.6) эта ве¬
тчина определяется известным выражениемг In (1 — Мср)N--(( 1.~ Rl 111п{(1 - РжКгРРпроР3 (1 - ехр(1.7)11
Величину N можно рассматривать как критерий эффективно¬
сти РК, так же, как и параметры W или Afcp, поскольку N и Мер
однозначно связаны выражением (1.7).Анализ формул (1.3) и (1.7) показывает, что критерии эффек¬
тивности численно характеризуют совокупность следующих важ¬
нейших боевы^ свойств создаваемого РК:—	могущество головной части ракеты;—	точность пусков или рассеивание эпицентров взрыва заряда;—	надежность ракеты в полете;—	надежность преодоления головной частью системы ПРО;—	боевую готовность;—	защищенность от воздействия противника.Более общим критерием, характеризующим совершенство РК,
является величина Сг суммарных затрат на создание и эксплуата¬
цию ракетной системы, способной поразить г типовых целей. Ве¬
личина Сг является суммой затрат СПр на разработку проекта си¬
стемы, затрат Си на опытную обработку элементов ракеты и РК,
затрат Cjv на производство и введение в строй Л/ комплексов, а
также затрат C3N на эксплуатацию ,/V комплексов в течение Гэлет,
т. е.Сг = Спр + Си -f- CN -j- CaN.	(1.8)На основании выражения (1.8) нетрудно определить среднююСг	„стоимость —- поражения одной цели или среднюю стоимостьСг	„пуска одной ракеты данной ракетной системы.Затраты С!Л- на производство и введение в строй одного (или
первого) РК складываются из стоимости С1р производства ракеты
(без головной части), стоимости Cir4 головной части, а также
стоимости С]к оборудования и строительства остальных элементов
РК (шахты или пусковой установки, наземного оборудования,
средств связи, коммуникаций и т. д.), т. е.С,ш = С>1р + С1гч + С,1к-	(1-9)Для РК, включающих МКР и БРСД с РДТТ, стоимость ракеты I
так же, как и стоимость головной части, составляет 15—25% за¬
трат на производство всего комплекса [31].Затраты на производство и введение в строй всей ракетной
системы существенно зависят не только от величины Сш, но и от
объема производства (количества РК). Обычно для определения i
стоимости СЛ- партии продукции объемом в N единиц используют
зависимостьNCn — C\n 2^ °’	(1-10)1где а = 0,2-ь0,3 — коэффициент, учитывающий уменьшение сред¬
них затрат на единицу продукции при увеличении объема партии.12
Затраты на эксплуатацию ракетной системы, как правило, про¬
порциональны стоимости ее производства и зависят от сроков экс¬
плуатации. Чаще всего величину этих затрат определяют по за-ИНГИМО'СТИC,n = C\3NCnT„	(1.11)i;ie CJ9/V = 0,05-4-0,20 —коэффициент, характеризующий отноше¬
ние затрат на эксплуатацию ракетной системы в течение одного
тдп к затратам на ее производство.Затраты на опытную отработку РК складываются из стоимо-
CIH Сс. и стендовых испытаний элементов ракеты и комплекса, а
иноке стоимости Сл.„ летных испытаний РК, т. е.Си = Сс. и-j-Сл>	(1-12)Стендовые и летные испытания являются в основном разру¬
шающими, поэтому большую часть затрат на их проведение со-
епииляет стоимость производства самих изделий. Начальные и те¬
кущие затраты, связанные с проведением испытаний, также опре¬
деляются объемом производства специального оборудования и ко¬
личеством испытываемых изделий. Поэтому по аналогии с выра¬
жением (1.10) можно записатьк "iо-*3)г-i ]-iПС,н = С1л2/Л	(1.14)1-11710 k —число элементов ракеты и РК, испытываемых на стен¬
дах;Си—стоимость первого стендового испытания /-го элемента
ракеты или РК;
nt —количество стендовых испытаний l-то элемента;С]л—стоимость первого летного испытания РК;
п — количество летных испытаний.В связи с тем что при проведении летных испытаний многие
•Iцементы РК (кроме ракеты) могут использоваться многократно,
иеличина Ciл меньше стоимости Сш производства первого РК.
Обычно принимаютСи — (0,2 — 0,7) C1N.	(1.15)Затраты Спр на научно-исследовательские работы и разработку
проекта (без проведения стендовых и летных испытаний) мало
1ИИИСЯТ от количества комплексов, входящих в систему, и, как
привило, составляют несколько процентов величины общих за-
грпт Сг.Таким образом, на ©еновании выражений (1.8) —(1.14) в пред¬
положении, что каждый РК используется однократно, можно по¬
лучить окончательную зависимость для определения величины
суммарных затрат на поражение г типовых целей:U	ni	пс,~спр + ^сиtj	°+1-1 j=1N+ (Qp + ^1гч + С1к) 2-^' ° (^ + C'UNTB).	(1-16)j-1Сравнивая выражения (1.3), (1.7) и (1.16), нетрудно заметить,
Что экономический критерий Сг является более общим, чем кри¬
терии эффективности W или N, так как в нем учитывается не
только средняя эффективность каждого РК, но и целый ряд до¬
полнительных факторов. В критерии Сг, по существу, количест¬
венно выражаются все требования, предъявляемые к РК, с опре¬
деленным интервалом дальностей пусшв.Следовательно, минимальная и максимальная дальности пу¬
сков определяют область, в которой могут решаться фиксирован¬
ные боевые задачи с эффективностью, характеризуемой критерия¬
ми W или N. Экономический критерий Сг определяет свойства
ракетной системы с РК и ракетами данного типа, способной ре¬
шать фиксированные боевые задачи с заданной эффективностью
при минимальных затратах на ее создание и эксплуатацию.§ 1.3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СОЗДАНИЯ УБР С РДТТРазвитие науки и техники, изменение и совершенствование
принципов и тактики использования ракетного оружия, разработ¬
ка вероятным противником новых образцов вооружения, старение
существующей военной техники—все эти факторы приводят к не¬
обходимости создания новых типов РК, в том числе и включаю¬
щих УБР с РДТТ. Проектирование ракет неразрывно связано со
всем процессом создания РК и является его важнейшей составной
частью. Процесс создания РК обычно деляг «а ряд этапов:—	разработку тактико-технического задания (ТТЗ);—выполнение аванпроекта (проектных разработок);—	эскизное проектирование;—	стендовые испытания основных систем ракеты, агрегатов и
машин РК;—	полигонные испытания;—	серийное производство и введение в строй.Обычно первые три этапа объединяются понятием «проектиро¬
вание РК», а следующие два — «опытная отработка РК». Рассмо¬
трим подробнее содержание работ, проводимых на каждом этапе.На основании исследования принципов ведения боевых дей¬
ствий, состава собственного вооружения и вооружения вероятного
противника и материальных возможностей устанавливается
потребность в новой ракетной системе и разрабатывает
тактико-технические требования (ТТТ) к ее основному звену —14
ракетному комплексу (основные ТТТ, предъявляемые к РК, были
рассмотрены в § 1.1). В соответствии с установленными ТТТ раз¬
рабатывают ТТЗ на создание нового типа РК. В задании наряду
с ТТТ обычно указывают принципы боевого использования РК,
по примерный состав и основные характеристики. На этом этапе
определяют: интервал дальностей пусков, могущество головной
части, допустимое рассеивание точки падения, вид топлива и прин¬
ципиальную схему двигателей, тип и принцип действия системы
управления, компоновочную схему ракеты и ее примерную стар-
mnyio массу, защищенность комплекса от воздействия противника,
нремя, необходимое для пуска ракеты, и другие данные.ТТЗ выдается головной фирме, отвечающей за создание всего
|*К. Эта фирма обычно разрабатывает конструкцию ракеты, а в
качестве субподрядчиков привлекает фирмы, проектирующие ком¬
плекс наземного оборудования, стартовые сооружения, РДТТ, си¬
стему управления. Распределение заказов между фирмами может
осуществляться и непосредственно правительственными органами.
Для подготовки технических заданий на проектирование РДТТ,
системы управления и элементов РК головная фирма ведет
проектные разработки, в ходе которых конкретизируются основ¬
ные характеристики ракеты.'На этом этапе также могут проводиться исследования и испы-
гапия, позволяющие подтвердить возможность использования но-
мых принципов, закладываемых в конструкции, и технические ре¬
шения. Полученные результаты объединяются в аванпроект.
И разработке аванпроекта на конкурсных условиях могут при¬
нимать участие несколько фирм, претендующих на получение за¬
каза. Военное ведомство, отвечающее за создание ракетной си¬
стемы, анализирует представленные аванпроекты и принимает наи¬
более рациональный вариант.После уточнения заданий головная и смежные фирмы присту¬
пают к эскизному проектированию ракеты, РДТТ, системы управ¬
ления и всех элементов РК. На этом этапе разрабатываются кон¬
струкции узлов, агрегатов и систем, подготавливаются рабочие
чертежи и технические условия на изготовление опытных образ¬
цов, составляются соответствующие технические описания. В ходе
■к-кизного проектирования производятся необходимые расчеты, а
также испытания моделей и опытных образцов агрегатов и си¬
стем, позволяющие подтвердить их работоспособность и устано-
пить возможность выполнения требований ТТЗ. Как правило, эс¬
кизные проекты ракеты (ее основных систем) и элементов РК в
порядке экспертизы контролируются и корректируются заказ¬
чиком.После одобрения эскизных проектов система управления раке¬
той и РДТТ подвергаются стендовым испытаниям. В ходе стендо-
мых испытаний в систему управления и РДТТ вносятся изменения,
позволяющие улучшить характеристики опытных образцов, а так¬
же существенно повысить их надежность. Следует заметить, что
иногда стендовые испытания, в ходе которых отрабатываются15
конструкции систем, проводятся еще при эскизном проектирова¬
нии, поэтому эти этапы бывает трудно разграничить.Заключительные серии испытаний РДТТ и системы управления
носят приемо-сдаточный характер, а их организация, условия про¬
ведения и полученные результаты тщательно контролируются за¬
казчиком. После получения удовлетворительных результатов этих
испытаний приступают к стендовым испытаниям всей ракеты или
ее отдельных ступеней. Этот этап, по существу, определяет степень
готовности ракеты к полигонным испытаниям. Для МКР и БРСД
с РДТТ, летные испытания который обходятся весьма дорого, этап
стендовых испытаний является решающим для обеспечения успеха
всей опытной отработки РК- До начала полигонных испытаний
проводится также опытная отработка остальных агрегатов, систем
и машин РК. При этом предварительно подготавливается эксплуа¬
тационная документация на ракету и комплекс. Этап стендовых
испытаний завершается принятием разработчиками и заказчиком
совместного решения о готовности комплекса к полигонным испы¬
таниям.В процессе полигонных испытаний определяется степень соот¬
ветствия характеристик РК требованиям ТТЗ, окончательно уста¬
навливаются режимы его эксплуатации и принимается решениео	принятии на вооружение. На полигоне опытные образцы ракеты
и элементов РК впервые испытываются совместно. В ходе назем¬
ной отработки путем внесения необходимых частных изменений в
конструкцию, технологию производства и режимы эксплуатации
обеспечивается работоспособность всех агрегатов и систем при
транспортировке, установке ракеты и подготовке ее к пуску. При
этом выявляются и устраняются недостатки в конструкции от¬
дельных узлов ракеты, наземного оборудования и стартовых со¬
оружений. Впервые в реальных условиях оцениваются удобство и
безопасность эксплуатации РК, отрабатываются технологические
графики подготовки ракеты к пуску и устанавливаются соответ¬
ствующие нормы времени.После завершения этих работ приступают к летным испыта¬
ниям РК. На первом этапе, который называют летно-конструктор-
скими испытаниями (ЛКИ), выявляются и устраняются дефекты
комплекса, которые не были замечены при стендовых испытаниях
и наземной отработке. Наличие таких дефектов естественно, так
как только при опытных пусках ракеты агрегаты и системы ком¬
плекса впервые совместно работают в реальных условиях пуска
и полета. В ходе ЛКИ в основном завершается отработка кон¬
струкций ракеты и элементов РК- В этот же период могут прово¬
диться специальные транспортировочные испытания ракеты на
штатных транспортных средствах, а также испытания РК в тяже¬
лых климатических условиях (при низких и высоких температу¬
рах, повышенной влажности воздуха, сильном ветре и т. п.). Такие
испытания, как правило, завершаются пуском ракеты. При поло¬
жительных результатах ЛКИ проводится заключительная серия
пусков (зачетные летные испытания), которая носит приемо-сда¬16
точный характер. По данным эксплуатации на полигоне опытных
|»к окончательно отрабатываются режимы их боевого использо-
1Н1НИЯ. Вся опытная информация, накопленная в ходе полигонных
испытаний, тщательно контролируется заказчиком, что позволяет
уточнить реальные характеристики нового РК и вынести решение
об отклонении или принятии его на вооружение.После успешного окончания полигонных испытаний органи¬
зуется серийное производство ракет.§ 1.4. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ УБР С РДТТЗадачи, возникающие при проектировании и опытной отработке
твердотопливной ракеты, определяются задачами создания всей
системы. Используя рассмотренные в § 1.2 критерии, характери¬
зующие свойства РК, можно в общем виде сформулировать эти
задачи и наметить последовательность их решения.На основании анализа целей, для поражения которых создает¬
ся ракетная система, могут быть установлены их количество г и
основные осредненные (типичные) параметры (защищенность, ха¬
рактеризуемая величиной Арф; размеры, определяемые радиу¬
сом Ru,\ требуемая степень поражения, оцениваемая параметра¬
ми W или МСр). При определенных значениях перечисленных выше
характеристик в общем виде задача создания ракетной системы
может быть сформулирована следующим образом: разработать и
ввести в строй в приемлемые сроки такую ракетную систему, ко¬
торая при минимальных затратах на ее проектирование, опытную
отработку, производство и эксплуатацию в течение заданного вре¬
мени обеспечивала бы в определенном интервале дальностей пора¬
жение г типовых целей.При ограниченных средствах, выделяемых на разработку ракет¬
ной системы, задача может формулироваться несколько по-иному:
создать в приемлемые сроки такую ракетную систему, которая
при фиксированных затратах на ее проектирование, опытную от¬
работку, производство и эксплуатацию в течение заданного вре¬
мени обеспечивала бы в определенном интервале дальностей по¬
ражение максимального числа типовых целей.Решение обеих задач приводит к созданию оптимальных ракет¬
ных систем. В первом случае при заданном количестве типовых
целей характеристики системы и процесс ее отработки оптимизи¬
руются по экономическому критерию с учетом ограничения на вре¬
мя введения в строй. Во втором случае оптимизация проводится
по количеству поражаемых типовых целей при ограничениях на
средства и сроки, необходимые для создания системы. В обоих
случаях предполагается, что интервал дальностей пусков известен,
хотя, строго говоря, он также может быть связан с общими затра¬
тами.Приведенные ранее выражения для критериев РК позволяют в
первом приближении формализовать названциа_вщие задачи, т. е.
найти математические модели, связывающие .©еновнъй^.арактери-17
стики системы и процесса ее отработки с ограничениями и крите¬
риями, по которым проводится оптимизация. При этом решение
задач сводится к поиску таких оптимальных значений параметров
системы и процесса ее создания, при которых обращаются в мини¬
мум или максимум целевые функции (критерии оптимизации).
Как правило, в таких задачах целевые функции и функции огра¬
ничений являются нелинейными, поэтому рассматриваемые задачи
сводятся к нелинейным задачам математического программирова¬
ния, методы решения которых еще недостаточно разработаны [98].
Однако основная сложность этих задач заключается не столько
в нахождении математического метода их решения, сколько в их
постановке и формализации (построении математической модели,
определяющей целевую функцию и функции ограничений через
искомые параметры). Поясним это на примере постановки первой
задачи.На основании анализа целей должны быть заданы величины г,
Мер, Арф. При этом количество РК, необходимых для поражения
г целей, в соответствии с выражением (1.7) является известной
функцией ряда параметров:N = N[PX, Кг, Р, РПРО, Ра, д, о).	(1.17)На основании выражений (1.8), (1.10), (1.11) и (1.16) целе¬
вая функция, характеризующая суммарные затраты на разработ¬
ку, производство и эксплуатацию ракетной системы в течение
определенного времени Тэ, зависит от следующих величин:С г= С, [Спр, Сс, и, Сл> и, СШ) Cl3N, N (Рж, Кг,Р, РпР0. Рз, Я, °)]-	0-18)Минимум функции (1.18) должен быть найден при выполнении
ограничений:^max^asW	0-19)(^т1п)зад’	0-20)Т {Т„р, Тс.ю Т,.л, Гс.Т)<Г8ад,	(1.21)где(^тах)зад и (£тт)зад — заданные значения максимальной и
минимальной дальностей пусков;Тпр, Тс. и, Тл. и, Тс. т — продолжительности проектирования, стен¬
довых испытаний, летных испытаний и введения в строй ракетной
системы;Т и Гзад — текущий и предельно допустимый сроки создания
ракетной системы.Выражения (1.18) — (1.21) в общем виде определяют постав¬
ленную задачу, но, чтобы перейти к ее решению, необходимо уста¬
новить аналитические функциональные зависимости между иско¬
мыми аргументами целевой функции (1.18) и функций ограниче¬
ний (1.19) — (1.21). Этот этап и является самым трудным. Пара¬
метры, формирующие целевую функцию и функции ограничений,
весьма сложно зависят друг от друга.18
Так, например, увеличение объема стендовых испытаний может
Привести к сокращению периода летной отработки. Увеличение
числа стендовых и летных испытаний повышает надежность ракет
и полете, но при этом растут затраты Сс.и, Сл.и и продолжитель¬
ность отработки (величины Тси, Т’л.и). Увеличение затрат на
проектирование Спр, по-видимому, может привести к снижению
пират на опытную отработку РК, а также повысить надежность
ракеты в полете. Высокая автоматизация и увеличение сроков
эксплуатации РК увеличивают стоимость его производства С\к,
однако повышают коэффициент боевой готовности Кг. Уменьшение
риосеивания точки падения обычно достигается путем усложнения
системы управления, в результате чего стоимость ракеты увеличи-
нается, однако уменьшение рассеивания позволяет уменьшить тре¬
буемое количество РК и т. д.При решении конкретной задачи обычно возникают дополни¬
тельные ограничения, например, связанные с возможностями опыт¬
ного и серийного производства, поступлением ассигнований в опре¬
деленные сроки и т. п. Кроме того, ряд исходных данных и коэф¬
фициентов, входящих в целевую функцию и функции ограничений,
бывают известны недостоверно (являются случайными величина¬
ми). Следовательно, сложный процесс создания системы описы-
нается лишь приближенно, но и такую модель чаще всего прихо¬
дится дополнительно огрублять, чтобы использовать известные ма¬
тематические методы решения задачи. Так, линеаризация целевой
функции и функций ограничений позволяет для решения исполь¬
зовать методы линейного программирования [98]. Поэтому разра¬
ботчиков в первую очередь интересуют не столько оптимальные
значения основных параметров системы и процесса ее создания,
которые обращают в минимум полученную при ряде допущений
целевую функцию, сколько интервалы, в которых изменение этих
параметров слабо сказывается на суммарных затратах. Решение
рассмотренных выше задач дает возможность установить разум¬
ные области изменения определяющих характеристик ракеты, ос¬
новных элементов РК, а также наметить примерные программы
стендовых и летных испытаний.Таким образом, в результате оптимизации параметров ракет¬
ной системы и процесса ее создания устанавливаются исходные
данные для проектирования и опытной отработки ракеты. К ним
относятся величины: Lm]n, Lmax, q, а, Р, Рпро, Кг- Кроме того, опре¬
деляются требуемые значения срока эксплуатации ракеты, вре¬
мени, необходимого для проведения пуска, защищенности ракеты
от ядерного взрыва. В качестве исходных данных часто задаются
масса головной части, предельно допустимые значения стартовой
массы и габаритов ракеты. Могут быть также назначены сроки и
средства, отпускаемые на проектирование и опытную отработку
ракеты, и примерные объемы (продолжительность) стендовых и
летных испытаний.Этот перечень исходных данных, естественно, является ориен¬
тировочным, так как при создании каждой ракетной системы19
всегда имеются особенности, накладывающие дополнительные
ограничения и условия на совокупность требуемых характеристик
ракеты.При перечисленных выше входных данных в задачу проекти¬
рования входит разработка такой конструкции ракеты, которая
после опытной отработки удовлетворяла бы заданным требова¬
ниям и могла бы быть создана в установленные сроки при мини¬
мальных затратах.В процессе проектирования ракеты решаются следующие част¬
ные задачи:—	выбираются вид топлива, принципиальная схема РДТТ и
системы управления, конструктивно-компоновочная схема ракеты,
конструкционные материалы;—	определяются вид траектории полета и программа движе¬
ния ракеты;—	рассчитываются приближенные массовые, тяговые, аэроди¬
намические и геометрические характеристики ракеты, обеспечи¬
вающей доставку головной части заданной массы на требуемую
максимальную дальность;—	разрабатывается конструкция отсеков ракеты, РДТТ, систе¬
мы управления, вспомогательных механизмов и систем;—	определяются нагрузки, действующие на конструкцию ра¬
кеты при различных режимах эксплуатации;—	проводятся расчеты на прочность основных элементов кон¬
струкции ракеты;—	анализируется движение ракеты (определяются летно-техни¬
ческие характеристики, оценивается управляемость ракеты, рас¬
считывается рассеивание точки падения);—	рассчитывается надежность ракеты в полете;—	оцениваются возможности ракеты по преодолению систем
ПРО противника;—	разрабатывается технология производства опытных образ¬
цов;—	устанавливаются примерные объемы и программы стендо¬
вых и летных испытаний;—	определяются режимы эксплуатации ракеты и предвари¬
тельно отрабатывается эксплуатационная документация;—	проводится экономический анализ проектирования, опытной
отработки, производства и эксплуатации ракеты в составе РК.Все эти вопросы рассматриваются головной фирмой, отвечаю¬
щей за разработку ракеты, в тесном контакте с фирмами, создаю¬
щими РДТТ, систему управления, наземное оборудование и стар¬
товые сооружения. Все перечисленные выше задачи решаются при
эскизном проектировании ракеты, а некоторые предварительно —
как в аванпроекте, так и при разработке ТТЗ на РК. Детальное
изложение методов решения всех поставленных задач невозможно
в одной книге, поэтому в следующих главах отражены лишь уз¬
ловые вопросы, обычно решаемые специалистами — разработчи¬
ками конструкции УБР с РДТТ.
Глава 2КОНСТРУКТИВНЫЕ СХЕМЫ УПРАВЛЯЕМЫХ
БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ С РДТТ§ 2.1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ТВЕРДЫХ ТОПЛИВАХТвердым топливом в ракетной технике называют вещества или
смеси, обладающие достаточно большим запасом химической энер¬
гии и способные при горении быстро превращаться в сильно на¬
гретые газообразные продукты.Твердые топлива должны гореть в камере сгорания по опре¬
деленному закону и с требуемой скоростью. Это обеспечивается
их химическим составом, физическими характеристиками, механи¬
ческой прочностью и формой заряда.По своему химическому составу твердые топлива весьма разно¬
образны. Их основными компонентами являются окислительные
и горючие элементы, которые могут находиться или в химически
связанном состоянии или в виде механической смеси. Кроме ос¬
новных компонентов в состав твердого топлива входят еще спе¬
циальные добавки: технологические, стабилизирующие и т. п.В настоящее время в РДТТ используют топлива двух типов:
нитроцеллюлозные и смесевые. Нитроцеллюлозные топлива пред¬
ставляют собой однородные твердые системы, состоящие из нитро¬
целлюлозы, пластификатора (нитроглицерин, нитродигликоль
и др.) и добавок (стабилизаторы химической стойкости, катали¬
заторы, стабилизаторы горения, ингибиторы и различные техноло¬
гические добавки).Заряды из нитроцеллюлозных топлив изготовляются методом
проходного прессования топливной массы, т. е. путем продавлива-
ния ее через специальную форму, называемую матрицей. При
прессовании пластическая топливная масса желатинизируется, т.е.
уплотняется и превращается в твердое вещество, которое после
прессования разрезается на части (шашки) требуемой длины. Не¬
достатком такого метода изготовления зарядов является невоз¬
можность получения шашки диаметром более 1 м. Так как при
больших габаритах заряда плотность топлива по объему получает¬
ся неодинаковой, возможно образование раковин и рыхлостей, на¬
рушающих нормальное горение заряда.21
Нитроцеллюлозные топлиза создают небольшую удельную тягу,
составляющую 200—215 сек и имеют высокое значение критиче¬
ского давления (30—60 бар), т. е. давления, при котором топливо
горит устойчиво и с полным выделением энергии. Указанные не¬
достатки исключают возможность использования нитроцеллюлоз-
ных топлив для создания межконтинентальных ракет с РДТТ.
В связи с этим в настоящее время проводятся широкие исследо¬
вания по разработке и применению смесевых твердых топлив.Смесевые твердые топлива представляют собой неоднородные
(гетерогенные) системы — механические смеси окислителя и горю¬
чего. В качестве окислителя в современных ракетных топливах ис¬
пользуются, как правило, неорганические соли азотной и хлорной
кислот (перхлорат калия, перхлорат аммония, нитрат калия и др.).
Размеры частиц 50—300 мкм. Наиболее широко применяются пер¬
хлораты, так как они стабильнее нитратов и содержат больше
активного кислорода.В качестве горючесвязующего материала используются в ос¬
новном жидкие или легкоплавкие вещества (смолы, каучуки, кау¬
чукоподобные вещества), способные затвердевать и полимеризо-
ваться при изготовлении зарядов, придавая им необходимые ме¬
ханические свойства.Заряды из смесевото топлива могут изготовляться проходным
прессованием, как и при изготовлении зарядов из нитроцеллюлоз-
ных топлив, а также заливкой топливной массы непосредственно
в камеру сгорания или в специальную изложницу. Литьевая тех¬
нология изготовления зарядов практически не ограничивает их
размеров. В настоящее время изготавливаются заряды диаметром
до 6 м, а в дальнейшем предусматривается изготовление зарядов
диаметром до 9 м. Топливная масса получается смешением раз¬
мельченных твердых компонентов с жидким горючим [31].По сравнению с нитроцеллюлозными смесевые твердые топли¬
ва обладают рядом преимуществ. Они имеют удельную тягу 220—
245 сек, которую можно повысить до 250—260 сек за счет освое¬
ния более совершенных компонентов. Кроме того, смесевые топ¬
лива характеризуются относительно высокой удельной плотностью
(1,7—2,0 103 кг/м3), меньшей зависимостью скорости горения от
температуры и способностью к нормальному горению при низких
давлениях (критическое давление равно 10—20 бар). В омесевом
топливе определенной рецептуры можно в широком диапазоне
(50—70%) изменять скорость горения только за счет дисперсности
окислителя без изменения энергетики.В целях увеличения удельной тяги топлива в его состав.вво¬
дят металлы с высокой теплотой сгорания. Наиболее широкое
применение находит порошкообразный алюминий. Однако при
больших количествах алюминия происходит неполное его окисле¬
ние, и в продуктах сгорания остаются твердые частицы. Это при¬
водит к заметному снижению удельной тяги. Более эффективны¬
ми добавками могут служить бериллий и его соединения, но их
использование затрудняется токсичностью продуктов сгорания.22
Очень важной характеристикой твердого топлива является ско¬
рость его горения, определяемая химическим составом, количест¬
вом и свойствами добавок, а также структурой компонентов.
Кроме того, на скорость горения существенно влияют такие внеш¬
ние факторы, как давление в камере сгорания, температура за¬
ряда, скорость обтекания поверхности горения продуктами сго¬
рания.С некоторым приближением считают, что перечисленные выше
факторы оказывают независимое влияние на скорость горения.
При этом допущении зависимость между скоростью горения и раз¬
личными факторами имеет следующий вид:u = ulf1(pK) f2(t3)fa(w),	(2.1)где и{ —скорость горения при стандартных условиях;f\ (Рк) — функция, зависящая от давления в камере сгорания;
/2 (t3) — функция, зависящая от температуры заряда;
fa(w) — функция, зависящая от скорости потока газов в ка¬
мере сгорания.Все функции и скорость горения и\ в правой части выражения
(2.1) определяются опытным путем.Наиболее существенное влияние на изменение скорости горе¬
ния топлива оказывает давление в камере сгорания. Как правило,
скорость горения всех топлив с ростом давления увеличивается.
Зависимость скорости горения твердого топлива от давления при¬
нято называть законом горения. Наибольшее распространение в
настоящее время получили степенной и линейные законы, которые
выражаются зависимостями:и = щр4-,	(2.2)и — а + Ьр,	(2.3)где v—показатель степени, изменяющийся для существующих
топлив в пределах 0,05—0,85;
а и b—коэффициенты, зависящие от состава топлива, его на¬
чальной температуры и некоторых других параметров
и определяемые для каждого топлива опытным путем.
Степенной закон горения хо¬
рошо согласуется с экспери¬
ментальными данными при дав¬
лениях в камере сгорания до
30—80 бар. С ростом давле¬
ния кривая переходит в пря¬
мую линию и хорошо описы¬
вается линейным законом, ко¬
торый может применяться в
диапазоне давлений от 30—80
до 200—300 бар. На рис. 2.1
показана графическая зависи¬
мость скорости горения от дав¬
ления в камере сгорания.и, мм/сек
16" ~Рис. 2.1. Зависимость скорости горения
от давления в камере сгорания4023
Скорость горения большинства твердых топлив в значительной
мере зависит от начальной температуры заряда, причем с увели¬
чением температуры скорость горения тоже растет. При расчетах
обычно используется следующая эмпирическая зависимость для
определения скорости горения при любой температуре:и -и	В	(2-4)UT — UN	.где В — физико-механическая константа, являющаяся индиви¬
дуальной характеристикой топлива и изменяющаяся
для существующих топлив в пределах от 200 до 500 [3];
uN — скорость горения при нормальной температуре;Т —температура заряда, для которой определяется скорость
горения;TN — нормальная температура.Зависимость скорости горения от температуры заряда является
отрицательным свойством топлива, приводящим к увеличению
стартового веса ракеты. В связи с тем что ракеты должны быть
пригодны для применения в широком диапазоне температур, кон¬
структор вынужден рассчитывать прочность корпуса двигателя на
максимальную температуру, когда скорость горения и, следова¬
тельно, давление в камере сгорания будут максимальными. Таким
образом, в большинстве случаев этот дополнительный запас проч¬
ности приводит к увеличению ее стартового веса. Чтобы умень¬
шить влияние скорости горения, приходится создавать специаль¬
ные условия, позволяющие поддерживать температуру заряда в
узком диапазоне, т. е. осуществлять термостатирование ракеты с
РДТТ.Изменение скорости газового потока параллельно поверхности
горения заряда также влияет на скорость горения. Опытные дан¬
ные показывают, что с увеличением скорости газового потока ско¬
рость горения тоже увеличивается, причем начало увеличения ско¬
рости горения наблюдается при скорости потока около 100 м/сек.
Ускоренное горение топлива под воздействием потока продуктов
сгорания называют эрозией, а наименьшую скорость потока газов,
при которой начинается эрозия,— пороговой скоростью. При боль¬
ших скоростях потока газов скорость горения может возрастать в1,5—2 раза.Приближенно скорость горения при эрозионном горении можно
выразить следующей зависимостью:и = и0[1 + k9(w — да,)],	(2.5)где и0 — нормальная скорость горения без обтекания;кэ—эрозионный коэффициент, зависящий от скорости газо¬
вого потока и давления в камере сгорания; при увели¬
чении скорости газового потока эрозионный коэффи¬
циент уменьшается, например, при да = 200 м/сек k3 =
= 0,00245 сек/м, а при да = 350 м/сек = 0,00214 сек/м\
с увеличением давления эрозионный коэффициент уве¬
личивается;24
w — средняя скорость газового потока, параллельного по¬
верхности горения заряда;
w3 — пороговая скорость горения.На рис. 2.2 показана экспериментальная зависимость эрозион¬
ного отношения и/и0 от скорости газового потока для одного из
смесевых топлив.Опытным путем установлено, что эрозионное горение свойст¬
венно лишь началу горения и быстро прекращается, так как сво-Рис. 2.2. Экспериментальная зави¬
симость эрозионного отношения
от скорости газового потокабодное сечение по мере горения быстро увеличивается, а скорость
потока падает.Таким образом, при определении скорости горения топлива не¬
обходимо учитывать все перечисленные факторы. Для используе¬
мых в настоящее время смесевых топлив на основе перхлората
аммония реальная скорость горения может изменяться в пределах2,5—25 мм/сек [12].§ 2.2. ФОРМЫ ЗАРЯДОВ ТВЕРДОГО ТОПЛИВАОсновные параметры ракетного двигателя на твердом топли¬
ве—тяга и время работы — определяются главным образом фор¬
мой и размерами заряда. Заряды твердого топлива могут иметь
различные геометрические формы, однако они могут быть исполь¬
зованы только при обеспечении постоянства поверхности горения
заряда, требуемой поверхности горения заряда, защиты конструк¬
ции двигателя от воздействия продуктов сгорания, большого зна¬
чения коэффициента заполнения камеры двигателя топливом и
механической прочности заряда.Постоянство поверхности горения
зарядаНаиболее эффективно топливо используется при постоянной
тяге двигателя. Для двигателя, работающего при постоянных дав¬
лениях в камере сгорания, на срезе сопла и окружающей среды,25
тяга однозначно определяется поверхностью горения заряда 5.
Большие изменения поверхности горения (тяги РДТТ) могут при¬
вести к созданию дополнительных перегрузок и возмущений, вред¬
но сказывающихся на работе конструкции и системы управления
ракеты.Постоянство поверхности горения заряда S или требуемое ее
изменение достигается применением соответствующих форм заря¬
дов и бронированием (покрытием негорючим термостойким мате¬
риалом) определенных частей заряда.Обеспечение требуемой поверхности
(времени) горения зарядаКак уже отмечалось в § 2.1, скорость горения топлива зависит
в основном от давления в камере сгорания и температуры топли¬
ва. При оптимальных значениях этих параметров и заданной массе
заряда приход газов однозначно определяется временем работы
двигателя, так как. т3 = Su?1tK,	(2.6)где' тз—масса заряда;и —скорость горения топлива;рт — плотность топлива;tr — полное время работы РДТТ.Таким образом, необходимая тяга (время работы) двигателя
должна обеспечиваться соответствующей формой заряда,гЗащита конструкции двигателя
от воздействия продуктов сгоранияДля РДТТ, работающих в течение нескольких десятков секунд,
тепловая защита имеет очень важное значение, так как при по¬
вышенных температурах снижаются прочностные характеристики
конструкции. Обеспечение заданной прочности конструкции приво¬
дит к увеличению стартовой массы ракеты. Желательно, чтобы
форма заряда и его бронировка способствовали уменьшению на¬
грева корпуса РДТТ.Коэффициент заполнения камеры
двигателя топливомПод коэффициентом заполнения камеры двигателя топливом $
понимают отношение объема топлива к объему камеры двига¬
теля WK\*	=	(2.7)9*WK	4 ’Это требование направлено на улучшение массовых характери¬
стик двигателя. Чем больше коэффициент заполнения, тем мень¬
ше относительная масса конструкции двигателя, а следовательно,26
и стартовая масса ракеты. Однако увеличение коэффициента за¬
полнения не может осуществляться произвольно, так как оно огра¬
ничено условиями устойчивости работы двигателя. Коэффициент
заполнения растет при уменьшении диаметра канала заряда, что
приводит к увеличению скорости горения за счет эрозии и появле¬
нию пика давления. Таким образом, выигрыш от роста коэффи¬
циента £ может быть сведен к нулю увеличением толщины стенки
камеры. Поэтому решение должно быть оптимальным и соответ¬
ствовать скорости потока, незначительно превышающей порого¬
вую. Кроме того, необходимо иметь в виду, что площадь для про¬
хода газов в начальный момент работы двигателя на торце за¬
ряда, обращенном к соплу, должна быть больше площади крити¬
ческого сечения сопла.Механическая прочность зарядаЗаряд должен быть прочным при эксплуатации, при транспор¬
тировке и в полете. Прочность заряда в значительной степени
определяется механическими свойствами твердого топлива, а так¬
же формой и конструкцией заряда. Форма заряда должна выби¬
раться такой, чтобы в топливе возникали минимальные напряже¬
ния при охлаждении заряда после полимеризации, а также при
хранении при различных температурах.Существующие смесевые твердые топлива склонны к ползуче¬
сти, поэтому фо‘рма и конструкция заряда должны обеспечивать
длительное хранение ракеты без существенного изменения геоме¬
трических размеров заряда.Возможные формы зарядовДля ракет стратегического назначения, требующих длительного
времени работы двигателей, как правило, используются моноблоч¬
ные заряды. Заряды-моноблоки могут быть разнообразны по своей
форме, однако не все они отвечают приведенным выше требова¬
ниям. В связи с этим рассмотрим только такие формы зарядов,
которые могут быть использованы в ракетах стратегического на¬
значения.Заряд торцового горенияЗаряд торцового горения (рис. 2.3, а) представляет собой наи¬
более простой по устройству заряд с коэффициентом заполнения
камеры сгорания топливом, близким к единице. Он изготовлен в
виде цилиндрической шашки без канала, бронированной по всей
поверхности, за исключением то!рца, обращенного к соплу. Такой
заряд имеет хорошую прочность, обеспечивает технологичность
изготовления, но плохо обеспечивает защиту стенок камеры сго¬
рания от нагрева. Основным его недостатком является незначи¬
тельная поверхность горения, которая не позволяет при сущест¬27
вующих скоростях горения топлива получить большое значение
тяги двигателя. Чтобы использовать торцовый заряд в двигателях
стратегических ракет, необходимо скорость горения топлив увели¬
чить в 10—15 раз.В целях некоторого увеличения поверхности горения торцового
заряда торец может быть выполнен не плоским, а в виде кониче¬
ской выемки (рис. 2.3,6). Однако по мере горения заряда конус
превращается в сферическую поверхность с уменьшающейся кри-шшшшшт♦тАТо?А%7«а	оРис. 2.3. Заряды торцового горения:а — с плоским торцом; б — торец с кониче¬
ской выемкойвизной (на рис. 2.3,6 показана пунктиром), в результате чего по¬
верхность горения не остается постоянной.Существенным недостатком заряда торцовой формы являет¬
ся значительное перемещение центра масс двигателя при выгора¬
нии топлива, что усложняет работу системы управления.Заряд трубчатой формыЗаряды трубчатой формы (рис. 2.4) могут быть с постоянной
поверхностью горения (рис. 2.4, а), когда горение происходит по
наружной и внутренней поверхностям, а торцы заряда имеют бро¬
нировку, и с переменной по¬
верхностью горения (рис.
2.4,6), когда наружная по¬
верхность бронирована, а го¬
рение происходит по вну¬
тренней поверхности и с
торцов.Постоянство суммарной
поверхности горения заряда
с бронированными торца¬
ми обеспечивается автома-6Рис. 2.4. Заряды трубчатой формы:о — с бронированными торцами; б — о бро¬
нированной наружной поверхностьютически, так как изменения
поверхности горения канала
и наружной поверхности оди¬
наковы, но первая возра¬
стает, а вторая убывает.
Действительно, начальная
поверхность горения So=
= n(Di+dH) L, а текущая,28
когда толщина сгоревшего слоя заряда равна е (рис. 2.4,а), выра¬
жается следующей зависимостью:5 = те [(Д, — 2ё) + (dK + 2е) ] L = те (D3 + rfK) L = const. (2.8)Текущая поверхность горения заряда, имеющего бронирован¬
ную наружную поверхность (рис. 2.4,6), определяется следующим
выражением:5 = те (L — 2ut) (dK + 2ut) + -J- [D* - (с?к + 2и02] • (2.9)На рис. 2.5 показаны графики изменения текущей поверхности
горения для зарядов с относительной длиной (L) 1,5, 2,0 и 3,0.п‘0,3—I-0,2-0Z0,25 0,5 0,75 1,0 2utВз'йя	■1,5	Л-2,0	1-3,0Рис. 2.5. Графики изменения текущей поверх¬
ности горения зарядовИз графиков видно,- что увеличение удлинения заряда приво¬
дит к более резкому изменению поверхности горения во время ра¬
боты двигателя. Подбирая соотношения между длиной заряда и
диаметром внутреннего канала, можно получить поверхность го¬
рения, близкую к постоянной, но ® этом 'Случае шашка оказывает¬
ся короткой, длиной примерно 1,5 D3. Для получения необходимой
по величине тяги заряд должен составляться из нескольких ша¬
шек.Телескопический зарядТелескопический заряд (рис. 2.6) состоит из цилиндрической
одноканальной (наружной) шашки 1, внутри которой размещает¬
ся цилиндрическая бесканальная (внутренняя) шашка 2. Наруж¬
ная поверхность шашки 1 и торцы обеих шашек бронируются, а
горение происходит только по внутреннему кольцевому каналу,29
что обеспечивает строгое постоянство поверхности горения при
одинаковой длине шашек. Чтобы поверхность горения оставалась
постоянной в течение всего времени работы двигателя, обе шашки
должны сгорать одновременно, т. е. толщина их горящих сводов
должна быть одинаковой. Это условие для телескопического за¬
ряда имеет следующий вид:D3 — dK~d1 — d(. — 2еи	(2.10)где d0 — диаметр стержня./ 2 А 3 4	А'ААРис. 2.6. Телескопический заряд:/ — наружная шашка; 2 — внутренняя шашка; 3 — сухари;4 — стерженьНесмотря на простоту в изготовлении, идеальное постоянство
поверхности горения и надежную защиту стенок камеры сгорания
от воздействия горячих газов, телескопический заряд в ракетах
с РДТТ встречается очень редко, так как для крепления централь¬
ной шашки необходима специальная арматура, обеспечивающая
ее надежное центрирование в процессе работы двигателя и пред¬
отвращающая прогиб во время хранения. Эти задачи могут вы¬
полнять сухари 3 из того же топлива и металлический стержень 4,
расположенный по оси центральной шашки.Цилиндрические заряды с фигурным
каналомВ настоящее время существует большое количество зарядов
внутреннего горения с фигурным сечением канала. Основные из
них показаны на рис. 2.7. Большое распространение нашли заряды
со звездообразным каналом, боковая поверхность которых и один
или оба торца бронируются. Заряд-звездка хорошо защищает
отенки камеры сгорания от воздействия горячих газов в течение
всего времени работы двигателя и имеет приемлемый коэффициент
заполнения камеры сгорания топливом. Изготовление такого за¬
ряда может быть выполнено методом заливки в пресс-форму или
непосредственно в камеру сгорания.Сложная конфигурация внутреннего канала и сопряжение по¬
верхностей под острыми углами вызывают концентрацию напря¬
жений в процессе изготовления заряда и при изменении темпера¬
туры во время эксплуатации, поэтому острые углы во внутреннем
канале должны быть округлены.30
В зависимости от величины угла в вершине луча заряд-звездка
может быть прогрессивным, дегреосивным и с постоянной поверх¬
ностью горения. В табл. 2.1 приведены значения углов, при ко¬
торых поверхность горения будет постоянной [3].Таблица 2.1Числолучей45678910Угол—16,48°—4,55°3,50°9,50°14,50°18,40°22,10°Отрицательные значения углов при четырех и пяти лучах пока¬
зывают, что сечение канала становится крестообразным
(рис, 2.7,в). Если углы в заряде будут больше приведенных в таб-а	ОРис. 2.7. Заряды с фигурным каналом:
а — звездообразный канал; б — колесообразный ка¬
нал; в — крестообразный каналлице, то горение будет прогрессивным. Меньшие углы по сравне¬
нию с табличными значениями соответствуют дегрессивному горе¬
нию.Звездообразная форма заряда обеспечивает постоянство по¬
верхности горения только при сгорании основной массы топлива.
Однако около 5—15% массы заряда составляет дегрессивно дого¬
рающие остатки, что влечет за собой резкое падение давления в
камере сгорания и может привести к затуханию заряда. Выклю¬
чение же двигателя в момент начала дегрессивного догорания за¬
ряда приводит к тому, что 5—15% топлива не используется. Для
устранения этого недостатка в больших двигателях иногда уста¬
навливают несколько (по числу лучей звезды) треугольных вста¬
вок из пенопласта, которые заменяют дегрессивно догорающую
часть заряда. Это уменьшает массу «остаточного» топлива при
небольшом увеличении пассивной массы ракеты.Щелевой зарядЩелевой заряд представляет собой бронированную по наруж¬
ной поверхности цилиндрическую шашку с центральным каналом
и продольными щелями, число которых и относительная длина31
могут быть различными (рис. 2.8). Наружная поверхность и торцы
обычно бронируются.Горение происходит по поверхностям канала и щелей. Характер
изменения общей поверхности горения заряда зависит от соотно¬
шения его частей. При соответствующем выборе длины щелей
можно получить почти постоянное значение поверхности горения
в течение всего времени работы двигателя. Строгого постоянства
получить нельзя, так как изменение поверхности на щелевой иА-АРис. 2.8. Щелевой зарядцилиндрическом частях во време¬
ни происходит по-разному — ли¬
нейно и нелинейно. Число щелей
и их глубина существенно влияют
на суммарную поверхность горе¬
ния. Расчеты показывают, что при
длине зарядов L = (1,5 -*- 6) 03 мож¬
но обеспечить требуемую вели¬
чину и малые изменения поверх¬
ности горения при четырех щелях
одинаковой глубины. Такой заряд
при правильном выборе параметров обеспечивает изменение по¬
верхности горения в пределах ±3,5—7% при достаточной ее
величине.Условие приближенного постоянства поверхности горения мо¬
жет быть получено, если положить равными начальную S0 и ко¬
нечную SK поверхности горения.Исходя из геометрии заряда, можно записатьS0 = t,cIkL + nh0 (D, — dK) + 0,5пЬй (Ц, — dK)где h0—начальная длина щели;
п—число щелей;Ь0 — начальная ширина щелей.В процессе горения заряда с бронированными торцами длина
цилиндрической части уменьшается вследствие внедрения в нее
щелей. В конце горения она будет равнаLK = L0-h0-0,5{D3-dK).	(2.12)Щелевой участок к этому моменту полностью сгорает, поэтому
поверхность горения определяется следующей зависимостью:SK = *Ds[£o-Ao-0,5(A-fi?K)].	(2.13)При равенстве поверхностей горения в начале и конце работы
двигателя на основании выражений (2.11) и (2.13) получим зна¬
чение начальной длины щелей (членами, содержащими nb0, пре¬
небрегаем) :nb0h0,(2.11)0,5 (D3-dK) (2Lq — Db)
яD3 + п (D3 — dK)(2.14)Ширина щелей зависит от расположения заряда в двигателе.
При расположении заряда щелями к соплу она должна быть до¬
статочно большой, чтобы скорость потока газов на сопловом торце32
заряда не превышала допустимого значения. При расположении за¬
ряда щелями к переднему днищу их ширина определяется техно-
§ логическими факторами и составляет около двух процентов диа¬
метра заряда.В щелевом заряде должно быть выполнено условие одновре¬
менности сгорания его частей, поэтому необходимо, чтобы на ще¬
левом и цилиндрическом участках толщина горящих сводов была
одинаковой.Достоинствами щелевого заряда являются простота устройства
и изготовления, а также достаточно большая относительная тол¬
щина горящего свода, что делает его пригодным для крупнога¬
баритных двигателей с длительным временем работы.Эти достоинства несколько снижаются недостаточной защитой
; стенок камеры сгорания от нагрева на участках щелей, особенно
при расположении заряда щелями к сопловому блоку.§ 2.3. КОНСТРУКЦИИ ДВИГАТЕЛЕЙ НА ТВЕРДОМ ТОПЛИВЕКонструктивная схема двигателя во многом определяется фор¬
мой заряда и способом его размещения в камере сгорания. Воз¬
можны два способа размещения заряда:—	заряд свободно вставляют g камеру, а затем закрепляют в
ней для исключения перемещений о^гасительно корпуса;—	топливо под давлением заливают в камеру двигателя, где
оно затвердевает, образуя скрепленный с корпусом заряд.Первый способ размещения применим для зарядов, изготов-
f ленных из нитроцеллюлозных и смесевых топлие, а второй — толь¬
ко для зарядов из смесевых топлив.РДТТ со скрепленным зарядом (рис. 2.9) имеет более простую
схему, при этом на наружной поверхности заряда полностью отсут-Рис. 2.9. РДТТ со скрепленным зарядом:
(/«-воспламенитель; 2 — переднее днище; 3 — корпус; 4 — за¬
ряд; 5 — сопловой блокствует бронировка, а корпус двигателя хорошо защищается от на¬
грева самим топливом. Такая схема двигателя приводит к суще¬
ственному уменьшению массы теплозащиты.Свободный заряд 6 (рис. 2.10) крепится в корпусе с помощью
кольца 3 с перфорацией и герметизирующего кольца 8 так, что2—57333
при работе двигателя между корпусом и зарядом образуется за¬
стойная зона 5. В этой зоне нет протока газов и, следовательно,
эрозии стенок корпуса, а также уменьшается теплообмен с корпу¬
сом. При такой схеме РДТТ заряд должен иметь бронировку 7,
а внутренняя поверхность корпуса двигателя должна быть полно¬
стью покрыта ■ теплоизоляцией. Все это приводит к утяжелению
двигателя. Однако возможность быстрой замены заряда делаёт
иногда целесообразным применение свободных зарядов для ракетРис. 2.10. РДТТ с вкладным зарядом:/ — воспламенитель; 2 — переднее днище; 3 — кольцо с перфо¬
рацией; 4 — корпус; 5 — застойная зона; 6 — заряд; 7 — брони¬
ровка заряда; 8 — герметизирующее кольцо; 9 — сопловой блокс РДТТ. Коэффициент а, представляющий собой отношение массы
конструкции двигателя к массе топлива, для таких РДТТ полу¬
чается хуже: 0,1—0,12 — для скрепленных зарядов; 0,13—0,15 —
для свободных (нескрепденных) зарядов.Небольшая разница значений коэффициента а объясняется
тем, что для существующих смесевых топлив заряды имеют недо¬
статочные прочностные характеристики и для скрепленных заря¬
дов необходимо ограничивать толщину горящего свода, чтобы они
не разрушались и не отслаивались от корпуса при эксплуатации
и работе двигателя. С увеличением давления в камере сгорания и
относительной длины заряда относительная величина внутреннего
канала (отношение внутреннего диаметра заряда к наружному)
тоже увеличивается, что влечет за собой увеличение коэффициен¬
та а. В перспективе возможно снижение коэффициента а до зна¬
чений 0,05—0,08, что позволит существенно снизить стартовую
массу ракеты с РДТТ.Для тяжелых ракет целесообразно создавать секционные РДТТ
(рис. 2.11), позволяющие получать необходимую тягу путем на¬
бора требуемого количества секций. Сборка секций может произ¬
водиться на стартовой позиции, что существенно облегчает транс¬
портировку таких двигателей, так как секции могут транспортиро¬
ваться отдельно. Кроме того, в такой конструкции РДТТ можно
предусмотреть путем соответствующего подбора диаметра вну¬
треннего канала заряда и длины секции уменьшение тяги по мере
выгорания заряда с той целью, чтобы перегрузки не превышали
допустимых значений, обусловленных обеспечением прочности
верхних ступеней ракеты.34
Конструктивно все рассмотренные выше схемы РДТТ состоят
И* следующих основных элементов (рис. 2.9): корпуса 3, перед¬
него днища 2, заряда 4 и соплового блока 5. Кроме того, двига¬
тель включает три системы: воспламенения, выключения и управ¬
ления вектором тяги по направлению. Корпус, переднее днище и
сопловой блок образуют камеру сгорания, внутри которой разме¬
тнется и сгорает заряд твердого топлива. Камера сгорания дол-
mn;i иметь достаточную механическую прочность при внутреннем
дцнлении 50—80 бар и тем¬
пературе продуктов сгора¬
нии 2500—3500° К. В то же
прсмн конструкция камеры
сгорания должна быть про¬
стой, технологичной и иметь
небольшую массу.Механическая прочность
кимеры сгорания обеспечи-
ииется выбором соответст¬
вующих материалов, необ¬
ходимой толщиной стенок
п рациональной схемой конструкции. Прочность при высоких
температурах достигается покрытием внутренней поверхности ка-
меры слоем теплозащитного покрытия. Для предохранения кор¬
пуса от аэродинамического нагрева теплозащитное покрытие мо¬
жет наноситься и на наружную поверхность.В целях обеспечения герметичности внутреннего объема при
хранении в сопла двигателя вставляются специальные заглушки,
которые выбрасываются давлением продуктов сгорания в начале
роботы двигателя.Корпус двигателя представляет собой, как правило, тонкостен¬
ную оболочку с двумя стыковочными шпангоутами, к которым кре¬
пится переднее днище и сопловой блок. С внутренней стороны на
корпус наносится теплозащита, представляющая собой прорези-
нсиную асботкань. В незащищенных местах толщина теплозащиты
Может достигать 15 мм. Наружная поверхность корпуса также
покрывается тонким слоем теплозащиты для предохранения кор¬
пуса от аэродинамического нагрева.Наиболее перспективным материалом для наружной теплоза¬
щиты является листовая пробка. При толщине пробковой изоля¬
ции около 1,5 мм аэродинамический нагрев корпуса практически
отсутствует. При этом существенно уменьшается масса конструк¬
ции, упрощается производство и повышается надежность.Для изготовления корпусов камер сгорания широко использу¬
ются высокопрочные легированные стали, титановые сплавы и
сплавы на основе алюминия. Более легкая конструкция полу¬
чается при изготовлении корпуса из стеклотекстолита. Однако в
настоящее время хорошо отработана технология стеклотекстоли-
miibix корпусов только небольших диаметров. Кроме того, стекло¬
текстолитовые корпуса имеют достаточно большой разброс меха-/274	5Рис. 2.11. Секционный РДТТ:/ — воспламенитель; 2— заряд; 3 — бронировка;
4 — корпус; 5 — сопло3*35
нических характеристик материала, что требует повышения коэф¬
фициентов запаса прочности. Совершенствование технологии из¬
готовления стеклотекстолитовых корпусов приведет к уменьшению
разброса механических характеристик и позволит изготовлять
корпуса больших диаметров.Днища камеры сгорания, как правило, металлические. Иногда
используют днища из стеклопластика, изготовленные как одно це¬
лое с корпусом.Днища выполняются в виде сферических, эллиптических или
торосферических тонкостенных оболочек. Критериями при выборе
оптимального профиля днища для определенной конструкции кор¬
пуса являются: минимальный вес, максимальный внутренний
объем,- минимальная высота и стоимость.Полусферическая форма днища обеспечивает наилучшие ха¬
рактеристики отношения массы днища к внутреннему объему, од¬
нако высота днища этой формы наибольшая. Эллиптическое дни¬
ще не имеет малых радиусов кривизны в периферийной части, ха¬
рактерных для торосферического днища, однако в области соеди¬
нения днища с цилиндрической обечайкой корпуса возникают вы¬
сокие местные изгибные напряжения. Кроме того, при определен¬
ных соотношениях полуосей эллипсоида тангенциальные силы в
днище становятся сжимающими и могут привести к потере устой¬
чивости оболочки. Торосферическое днище состоит из сравнительно
низкого сферического купола и тороидальной периферийной части.
К недостаткам днища торосферической формы относятся резкие
изменения кривизны, приводящие к появлению местных изгибных
напряжений, и большие значения напряжений в тороидальной
части днища в связи с малым радиусом кривизны оболочки.
Эллиптические и торосферические профили обеспечивают мень-*
шую по сравнению с полусферическим высоту днища.Соединение днища с корпусом должно быть герметично и на¬
дежно передавать нагрузки от днища цилиндрической части ка¬
меры сгорания. Наиболее простым и надежным способом соеди¬
нения днища с корпусом является сварка, однако она может быть
применена только тогда, когда допускается в конструкции двига¬
теля неразъемное соединение. Для крепления днища к металли¬
ческому корпусу широко применяются болтовые и резьбовые со¬
единения (рис. 2.12). Однако необходимо иметь в виду, что резь¬
бовые соединения могут использоваться только для небольших
диаметров. При изготовлении корпуса РДТТ из стеклопластика
также могут использоваться болтовые и резьбовые соединения.Воспламенительное устройство включает пиропатрон, создаю¬
щий первоначальный импульс пламени, и воспламенитель, предна¬
значенный для непосредственного воспламенения заряда.Необходимым условием нормального воспламенения заряда (без
последующего затухания) является определенный запас тепла в
прогретом поверхностном слое и повышение давления в камере
сгорания до критического значения, исключающего неполное горе¬
ние. В настоящее время наибольшее распространение получили36
иоепламенители из дымного пороха, обладающие хорошей воспла¬
меняющей способностью.Воспламенитель состоит из корпуса 2 (рис. 2.13) и крышки 1,
Герметично завальцованной на корпус. Внутри размещается вос¬
пламенительный состав 4 из крупнозернистого дымного пороха.
М крышке и корпусе имеются окна 3, закрытые легкопрожигае-Рис. 2.12. Способы соединения днищ с кор¬
пусом:а — болтовое соединение; б — резьбовое соединение;
1 — днище; 2 — прокладка; 3 — корпус РДТТ; 4 —
болтмим материалом. В двигателе обычно устанавливают один вос¬
пламенитель на переднем днище. Для воспламенения зарядов
большой длины иногда предусматриваются два воспламенителя,
расположенные на разных концах заряда. Масса воспламенителя
изменяется в зависимости от размеров и массы заряда.В последние годы наблюдается тенденция увеличения размеров
проектируемых РДТТ, при этом увеличение массы воспламенителя
обычной схемы не может обеспечить надежного воспламенения
заряда. Для таких двигателей разрабатывается более сложная си¬
стема воспламенения «двигатель в двигателе» (рис. 2.14). В каче¬
стве воспламенителя используется небольшой двигатель, разме¬
щаемый на переднем днище основного РДТТ. При запуске двига-Рис. 2.13. Воспламенитель?
/—крышка; 2 — корпус; 5 —окна;
4 — воспламенительный составРис. 2.14. Система воспламенения «дви¬
гатель в двигателе»:/ — воспламенитель; 2 — заряд; 3 — сопло-
распылитель; 4 — основной заряд37
теля сначала происходит воспламенение заряда 2 от воспламе¬
нителя 1 из дымного пороха, а затем выбрасываемыми через соп¬
ло-распылитель 3 продуктами сгорания воспламеняется основной
заряд 4. Заряд 2, как правило, изготавливается из того же топли¬
ва, что и основной заряд. Надежность воспламенения основного
заряда обеспечивается более длительным воздействием на его по¬
верхность горения продуктов сгорания заряда 2.Сопловой блок представляет собой сферическое или эллипти¬
ческое днище, на котором закреплены сопла. В зависимости от га¬
баритов и компоновочной схемы двигателя сопловой блок может
быть односопловым или многосопловым.Сопловой блок работает в очень жестких температурных усло¬
виях и подвергается сильному эрозионному воздействию продуктов
сгорания. В связи с этим в сопловых блоках применяются раз¬
личные методы тепловой защиты его конструктивных элементов и
разнообразные теплоизоляционные материалы. Толщина теплоизо¬
ляции днища соплового блока может достигать 70 мм. В целях
уменьшения массы теплозащиты ее иногда выполняют в виде тол¬
стого слоя медленно горящего топлива, которое участвует в соз¬
дании тяги двигателя и одновременно защищает стенки днища от
нагрева.На рис. 2.15 показана одна из возможных схем устройства
сопла. Сопловое днище, к которому крепится сопло, состоит из
корпуса 1 и тепловой защиты 2. Критическое сечение сопла обра-Рис. 2.15. Сопло:/ — корпус; 2 — тепловая защита; 3 — вкладыш; 4 — кольцо;5 —гайка; 6 — раструб соплазует специальный графитовый вкладыш. 3, так как это сечение
в сопле является наиболее тедлонапряженным. Для больших
РДТТ вкладыши выполняются в виде нескольких секций, что сни¬
жает термические напряжения в них. Вкладыш фиксируется в осе¬
вом направлении кольцом 4, ставится на специальном клею и под¬
жимается гайкой 5 к раструбу 6 сопла. Все стыки заполняются
эрозионностойкой обмазкой.Внутренняя поверхность раструба покрывается тонким слоем
теплоизоляции (окись алюминия), наносимым способом напыле¬
ния. Раструб сонла может быть изготовлен также из стеклотек¬
столита. В этом случае не требуется нанесение слоя тецлоизоля-38
ими, так как стеклотекстолит является хорошим теплозащитным
материалом.; Для предотвращения эрозионного увеличения диаметра кри-
пиеского сечения сопла вкладыши могут быть охлаждаемыми.
Па рис. 2.16 и 2.17 показаны возможные схемы охлаждаемых
икладышей и оопел. При охлаждении вкладыша путем испарения
серебра (рис. 2.16) к графитовому основанию 1 приклеивается
нольфрамовый вкладыш 2, внутри которого помещается пористый
иольфрам 3, пропитанный серебром.При нагреве вкладыша тепло расходуется на испарение сереб¬
ра. Образующиеся пары серебра истекают через отверстие 4. Вме-
гто серебра может быть использована медь.На рис. 2.17 показана возможная схема охлаждения сопла с
помощью натрия, размещаемого в резервуаре 3. При повышении
температуры натрий испаряется и истекает через отверстия 2. Та¬
кое сопло испытывалось при температуре газа около 3700° К. Ис¬
пытания показали возможность использования натрия для охла¬
ждения сопел РДТТ даже при более высокой температуре газа.Наилучшие результаты дает комбинированная система охла¬
ждения с помощью частичного уноса массы вкладыша и его охла-
i ждения за счет испарения металла. В условиях еще более высоких
температур длительную безэрозионную работу вкладышей можно
обеспечить при принудительной (под давлением) подаче жидкого
металла через поры в области критичеокого сечения.Сопла могут крепиться к днищу жестко или с помощью шар¬
нирного соединения, позволяющего использовать их для управле¬
ния полетом ракеты.Как известно, общее движение ракеты можно представить в
пиде суммы двух движений: движения ее центра масс и вращения
относительно центра масс. В соответствии с этим и задача управ¬
ления полетом может быть разделена на две части:Рис. 2.16. Охлаждаемый вкладыш:1 — основание; 2 — вкладыш; 3 — пори¬
стый вольфрам; 4 — отверстиеРис. 2.17. Охлаждаемое
сопло:1 — корпус; 2 — отверстие;
3 — резервуар; 4 — сопло§ 2.4. ОРГАНЫ УПРАВЛЕНИЯ РАКЕТ С РДТТ39
—	управление движением центра масс, т. е. изменение вели¬
чины и направления вектора скорости полета;—	управление вращательным движением относительно центра
масс.Для изменения величины и направления вектора скорости по¬
лета по требуемому закону на активном участке траектории нуж¬
но иметь возможность изменять величину и направление равно¬
действующей всех сил, приложенных к ракете, т. е. изменять
управляющие силы.Для осуществления поворота корпуса необходимо приложить
к ракете соответствующие моменты относительно центра масс, ко¬
торые обычно называют управляющими моментами. На ракетах
с РДТТ эти задачи выполняются одними и теми же органами
управления.По принципу действия органы управления ракет с РДТТ мо¬
гут быть аэродинамическими и газодинамическими.В качестве аэродинамических органов управления на практике
используются только воздушные рули, которые просты по кон¬
струкции, надежны в употреблении, имеют небольшую массу, соз¬
дают малое лобовое сопротивление и требуют малой мощности
приводов. Их эффективность почти линейно зависит от угла откло¬
нения. Однако они имеют ограниченное применение, так как их
управляющие усилия зависят от скоростного напора встречного
потока воздуха. При работе двигателя первой ступени скорость
ракеты еще мала и, несмотря на большую плотность воздуха, ско¬
ростной напор недостаточен для создания требуемых управляю¬
щих усилий. На больших же высотах плотность воздуха настоль¬
ко мала, что даже при больших скоростях не удается при прием¬
лемых размерах воздушных рулей обеопечить управление полетом
ракеты. Таким образом, на ракетах с РДТТ воздушные рули ра¬
ционально использовать только на второй ступени.Наибольшее распространение на ракетах с РДТТ получили
газодинамические органы управления, к которым относятся управ¬
ляющие двигатели, поворотные сопла, разрезные сопла, дефлек¬
торы или сопловые насадки и системы с вводом жидкости или
газа в закритичеокую часть сопла.Управляющие двигатели представляют собой малогабаритные
РДТТ, устанавливаемые на шарнирных опорах, обеспечивающих
их поворот в одной плоскости. Для управления по углам тангажа,
рыскания и крена на ракете необходимо устанавливать четыре
управляющих двигателя. Кроме управления полетом управляю¬
щие двигатели, установленные на последней ступени ракеты, мо¬
гут использоваться для создания конечной ступени тяги перед от¬
делением боевой части.Основным достоинством управляющих двигателей является про¬
стота их устройства, а также отсутствие подвижных частей, под¬
вергающихся воздействию потока продуктов горения. Кроме того,
они имеют высокую надежность и небольшие шарнирные моменты.40
В качестве недостатков необходимо отметить увеличение стар¬
товой массы ракеты за счет увеличения массы конструкции.Поворотное сопло (рис. 2.18) используется, как правило, в дви¬
гателях с четырехсопловым блоком. Оно имеет две цапфы 2, рас¬
положенные перпендикулярно оси ракеты и позволяющие пово¬
рачивать сверхзвуковой раструб сопла 5 вместе с вкладышем 3на некоторый угол. Для предотвращения прорыва газов шарнир¬
ное соединение имеет уплотнение 4.Поворот потока газов в поворотном сопле производится в до¬
звуковой части, поэтому шарнирные моменты, необходимые для
поворота и фиксирования сопла в рабочем положении, невелики.Рис. 2.19. Поворотное сопло, частично уто¬
пленное в корпусе»/ — корпус РДТТ; г —сопловой блок; 3 — шарнир¬
ное уплотнение; 4 — поворотное сопло; 5 — рулевая
машинаОсновную трудность при отработке такого сопла вызывает воз¬
действие высоких давлений и температур на шарнирное соедине¬
ние.В случае использования односоплового двигателя перспектив¬
ным является поворотное сопло, частично (на 30—40% длины)
утопленное в корпусе. Схема такого сопла изображена на рис. 2.19.
Испытания двигателя с частично утопленным соплом показали,
что;Рис. 2.18. Поворотное сопло:/ — неподвижная часть соплового блока; 2 — цапфа;
3 —вкладыш; 4 — уплотнение; 5 — поворотное сопло41
—	при одинаковой общей длине с двигателем с четырехсопло¬
вым блоком двигатель с частично утопленным соплом имеет более
длинный корпус и, следовательно, может быть снаряжен большим
количеством топлива;—	наличие одного сопла вместо четырех уменьшает потери,
обусловленные турбулентными завихрениями при входе в сопло¬
вой блок;—	шарнирное соединение частично утопленного сопла в мень¬
шей степени подвержено воздействию истекающих газов, чем шар¬
нирные соединения неутепленных сопел;—	двигатель с одним соплом имеет большую надежность, кон¬
струкция его более проста;—	для обеспечения одинакового управляющего момента в дви¬
гателе с одним соплом требуется отклонение сопла на меньший
угол (при одинаковой суммарной тяге).Наряду с указанными достоинствами конструкция с одним соп¬
лом имеет недостаток, заключающийся в том, что она требует
установки дополнительных органов управления по крену.Дефлекторы (рис. 2.20, а) представляют собой кольца, распо¬
ложенные в области среза сопла двигателя и отклоняемые отно¬
сительно двух взаимно перпендикулярных осей. Так как дефлек¬
тор вступает в контакт со струей только при отклонении от ней¬
трального положения, обгорание его незначительно.Рис. 2.20. а — схема действия дефлектора;
б — схема действия соплового насадкаПо сравнению с газовыми рулями дефлекторы обладают мень¬
шей эффективностью. Кроме того, зависимость управляющего мо¬
мента от угла отклонения дефлектора нелинейная, что усложняет
работу, системы управления.Разновидностью дефлекторов являются сопловые насадки
(рис. 2.20,6). Они более эффективны, но при отклонении таких
насадков возникают большие шарнирные моменты.Ввод жидкости или газа в закритическую часть сопла осно¬
ван на создании несимметричного поля давлений в сопле
(рис. 2.21), образующегося за косым скачком уплотнения. Вели¬
чина управляющей силы зависит при прочих равных условиях от
свойств и параметров вводимого компонента, К инжектируемой
жидкости предъявляются следующие требования: низкая удельная
теплоемкость в жидкой и паровой фазах, низкая температура ки-42J
Скачокпения и теплота испарения, высокая теплота реакции или экзо¬
термического разложения, низкий молекулярный вес продуктов
сгорания или разложения и достаточно высокая плотность. Хо¬
рошими характеристиками откло¬
нения струи газов обладают че-
тырехокись азота, хотя она и
не увеличивает заметно тягу,' и
фреон.На рис. 2.22 показана экспе¬
риментальная зависимость отно¬
сительной величины управляю¬
щей силы от относительного рас¬
хода инжектируемой жидкости
(отношение секундных расходов
жидкости и твердого топлива).Эксперименты проводились для
зарядов полиуретанового топлива,
содержащего 17,7% А1, с удель¬
ным импульсом 237 сек [76].Наименьшую массу имеют системы управления с инжекцией
горячего газа, отбираемого перед критическим сечением сопла.
Наименьший эффект создает введение нейтральной жидкости, при-Рбок
Росп
0,100,08Q06OfiU0.02Рис. 2.21. Схема вдува газа в закри-
тическую часть сопла2\*<$0^\\К.£22г*'35'^Ч1^0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 ОД 0,Щ 0.16 0,18 02>и гпопяРис. 2.22. Экспериментальная зависимость
* относительной величины управляющей силы
от относительного расхода инжектируемой
жидкости:1 — четырехокись азота (одно отверстие); 2 — фреон
(три параллельных отверстия); 5 —фреон (одно от¬
верстие): 4 — фреон (три радиальных отверстия)чем ее использование требует наличия на борту ракеты дополни¬
тельных емкостей, в результате чего увеличивается стартовая мас¬
са ракеты.§ 2.5. КОНСТРУКТИВНО-КОМПОНОВОЧНЫЕ СХЕМЫ РАКЕТ С РДТТКонструктивная схема ракеты с РДТТ существенно отличается
от конструктивной схемы ракеты с ЖРД. Основной ее особенно¬
стью является то, что корпус ракеты с РДТТ одновременно слу¬43
жит и корпусом двигателя, внутри которого размещается твердое
топливо. Конструкция ракет с РДТТ проще, имеет очень мало или
совсем не имеет подвижных узлов и сложных коммуникаций (тур-
бонасосные агрегаты, клапаны, трубопроводы для подачи компо¬
нентов топлива и др.). Простота конструкции, сравнительно низ¬
кая стоимость отработки-двигателей и высокая надежность их дей¬
ствия обеспечивают широкое использование РДТТ в ракетах са¬
мого различного назначения, а также для ряда вспомогательных
целей (ускорители, тормозные двигатели и др.).Ракеты с РДТТ могут быть одноступенчатыми или многосту¬
пенчатыми. В связи с тем что существующие смесевые твердые
топлива не могут обеспечить большие значения удельной тяги, при
одной и той же дальности полета ракеты с РДТТ всегда имеют
больше ступеней, чем ракеты с ЖРД.В многоступенчатых ракетах с РДТТ возможны следующие
схемы расположения ступеней и двигателей:—	пакетная с параллельным расположением ступеней;—	моноблочная с последовательным расположением ступеней;—	комбинированная, к которой можно отнести смешанное рас¬
положение ступеней, а также пакетное расположение двигателей
в ступенях моноблочной схемы.Пакетная схема по своим массовым характеристикам является
самой несовершенной, так как при прочих равных условиях ее
стартовая масса больше стартовой массы ракеты, выполненной по
моноблочной схеме. Это объясняется тем, что при пакетной схеме
необходимо иметь дополнительные узлы крепления боковых бло¬
ков. Масса этих узлов зависит от последовательности работы дви¬
гателей. Если «а первом участке полета включаются только дви¬
гатели боковых блоков, то узлы крепления воспринимают очень
большие нагрузки и масса их увеличивается. Если же двигатели
всех блоков включить одновременно, а после отделения боковых
блоков двигатель центрального блока будет продолжать работать
в течение некоторого времени, то стартовая масса существенно
возрастет за счет нерационального использования центрального
блока. Таким образом, при любой последовательности включения
двигателей стартовая масса пакетной схемы ракеты больше
стартовой массы ракеты, выполненной по моноблочной
схеме.Однако в некоторых случаях целесообразно применять пакет¬
ную схему, что позволяет использовать для создания ракеты с
большой тягой уже отработанные РДТТ и может значительно со¬
кратить время и затраты на отработку ракеты. Кроме того, пакет¬
ная схема необходима при использовании ракет с РДТТ в каче¬
стве носителей для вывода на орбиту тяжелых космических аппа¬
ратов. В этом случае она может применяться и как ускоритель
для ракет с ЖРД-На рис. 2.23 показана одна из возможных схем ступени ра¬
кеты с параллельным расположением РДТТ. Ступень представ¬
ляет собой связку из семи двигателей 5, скрепленных шпангоута¬44
ми 1. К шпангоутам крепится обшивка 2. На корпусе устан^3'
лены лопасти стабилизатора 3.Главными недостатками всех пакетных схем являются их ме^ь"
шая надежность, трудность управления и сложность узла соч^е"
нения, включающего механическую, электрическую и газовую с#я'
зи двигателей, входящих в пакет. Необходимость газовой св#зи
между двигателями обусловлена тем, что в настоящее время **етРис. 2.23. Пакетная схема ступени:1 — шпангоут; 2 — обшивка; 3 — стабилизатор; 4 — бандаж; 5 — двигательотработанных систем регулирования тяги двигателей, работак7щих
на твердом топливе, что может приводить к разнотягу, превьп*1310"
щему допустимый, который еще можно ликвидировать при: П0‘
мощи органов управления.При пакетной схеме ракеты сложной является и система^ Раз'
деления ступеней, т. е. отделения боковых блоков. Для это** с„и'
стемы необходимо иметь такие устройства, которые отводил*'1 оы
боковые блоки в сторону от центрального и предотвращали б*"1 их
столкновение в момент разделения.45
Наиболее совершенной является моноблочная схема ракеты, в
которой все ступени расположены последовательно (рис. 2.24).
Каждая ступень такой ракеты, за исключением последней, со¬
стоит из трех основных отсеков: переходника, корпуса двигателя
(ракеты) и хвостового отсека. Последняя ступень дополнительно12	3	4	5^ /_ _г—			/ • - ■3		3"Рис. 2.24. Схема трехступенчатой ракеты с последовательным
соединением ступеней:1 — боевая часть; 2 — приборный отсек; 3, 4, 5 — ступениимеет в своем составе приборный отсек и боевую часть. Меха¬
низмы крепления и разделения ступеней отличаются простотой
конструкции и небольшими габаритами. Как правило, при после¬
довательном расположении ступеней используется огневой способ
разделения ступеней, при котором двигатели следующих ступенейвключаются до разделения ступеней.
В связи с этим переходники, соеди¬
няющие ступени, должны обеспечи¬
вать свободный выход газов от вклю¬
ченного двигателя верхней ступени.
Конструкция переходника в этом
случае может представлять собой
открытую ферму (рис. 2.25). Ферма
представляет собой сварную кон¬
струкцию стальных труб 3, соединен¬
ных в единую конструкцию перед¬
ним 2 и задним 5 силовыми пояса¬
ми. Трубы привариваются к патруб¬
кам передних 1 и задйих 4 опор,
с помощью которых ферма крепит¬
ся к соседним отсекам. Задние опо¬
ры имеют отверстия для болтов и
направляющих штырей, которыми
ферма крепится к фланцу двига¬
теля. Передние опоры образуют
поверхность для стыковки фермы
с хвостовым отсеком следующей
ступени. На них установлены на¬
правляющие штыри и имеются от¬
верстия под быстроразъемные узлы
соединения ступеней.Кроме открытой фермы могут использоваться закрытые пере¬
ходники, выход газов из которых обеспечивается через специаль¬
ные окна. Принципиальная схема закрытого переходника пока¬Рис. 2.25. Ферма:1 — передняя опора; 2 — передний
силовой пояс; 3 — труба; 4 — зад¬
няя опора; 5 — задний силовой пояс46
за.на на рис. 2.26. Переходник представляет собой цилиндриче¬
ский клепаный отсек, состоящий из обшивки 2, стрингеров 3 и
шпангоутов 4. Соединение с еА сед ни ми ОТС^ками обеспечивается
с помощью стыковочных шпангоутов 1 я 6. Для обеспечения вы¬
хода газов при 'включении двигателя верхней ступени в обшивке
предусмотрены окна 5. Количество окон и их размеры определя¬
ются суммарной площадью отверстий, обеспечивающей свободный
выход газов.Переходники для крепления боевых
частей представляют собой, как пра¬
вило, усеченные конусы, состоящие из
обшивки, подкрепленной силовым набо¬
ром. Они обеспечивают силовую
связь между корпусом ракеты и боевой
частью.Приборный отсек служит для разме¬
щения приборов системы управления.Располагается он между боевой частью
и двигателем последней ступени. Его
основными элементами являются цилин¬
дрическая или коническая обшивка и
продольный и поперечный силовые набо¬
ры. Внутри приборного отсека имеется
рама, на которой крепятся приборы си¬
стемы управления. Вместе с тем рама служит силовым элементом
отсека. Обычно рама изготавливается из жестких профилей дву¬
таврового или корытообразного сечения и усиливается подкосами
и растяжками. Малые деформации рамы способствуют неизменно¬
сти ориентации приборов (в первую очередь гироскопических) от¬
носительно осей и плоскостей стабилизации ракеты. Аппаратура
в приборном отсеке устанавливается так, чтобы была обеспечена
минимальная ее вибрация.Для доступа к приборам в обшивке приборного отсека обычно
делают несколько люков, закрываемых крышками с герметизирую¬
щими прокладками.Хвостовые отсеки служат для размещения сопловых блоков, ру¬
левых машин и части приборов системы управления, а также за¬
щиты их от воздействия высокой температуры и давления газов
во время полета ракеты. Кроме того, хвостовые отсеки являются
силовыми элементами корпуса ракеты, воспринимающими нагруз¬
ки как на пусковом устройстве, так и в полете.В овязи с тем что ступени ракеты с РДТТ обычно имеют раз¬
личные диаметры, хвостовые отсеки имеют форму усеченного ко¬
нуса. Могут встречаться и цилиндрические хвостовые отсеки. Кон¬
структивно хвостовой отсек может представлять собой тонкостен¬
ную обблочку, подкрепленную силовым набором, или изготавли¬
ваться в виде открытой фермы.Для ступеней, совершающих полет в безвоздушном простран¬
стве, целесообразно предусматривать сбрасываемые хвостовые ог-47Рис. 2.26. Схема закрытого
переходника:/, 4, 6 — шпангоуты; 2 — об¬
шивка; 3 —стрингер; 5 — окна
секи, что позволяет существенно уменьшить стартовую массу ра¬
кеты. Конструктивно сбрасываемый хвостозой отсек может со¬
стоять из нескольких панелей, скрепленных между собой быстро¬
разъемными замками. При сбросе хвостового отсека с ракеты па¬
нели разбрасываются в стороны. В принципе сброс панелей хвосто¬
вого отсека возможен и путем подрыва детонирующих шнуров,
расположенных в местах разделения отсека на панели [76].Боевые части ракет с РДТТ, как правило, отличаются неболь¬
шими габаритами и массой. Наряду с обычными коническими
боевыми частями на ракетах с РДТТ широко используются ци-
линдро-конические. В цилиндрической части боевой заряд и аппа¬
ратура размещаются так же хоршо, как и в конической, но слой
теплозащитного покрытия существенно уменьшается.Для ракет с большими дальностями полета боевые части дол¬
жны иметь наконечник со сферическим притуплением (рис. 2.24),
обеспечивающим уменьшение аэродинамического нагрева корпуса.
Однако такая форма наконечника приводит к существенному аэро¬
динамическому сопротивлению на активном участке траектории.Конструктивно-компоновочные схемы ракеты с РДТТ кроме
рассмотренных выше элементов включают системы разделения
ступеней и отделения боевой части.Система разделения ступеней предназначена для прочного со¬
единения ступеней ео время полета и надежного их разделения
в требуемый момент.При последовательном расположении ступени крепятся обычно
разрывными болтами или какими-либо другими быстроразъемны¬
ми соединениями.Для разделения ступеней ракет с РДТТ, как правило, исполь¬
зуется огневой способ, при котором разделение ступеней произво¬
дят после выгорания всего топлива в двигателе работающей сту¬
пени. Такой способ существенно упрощает систему разделения.
В этом случае нет необходимости иметь в отделяемых ступенях
устройства, обеспечивающие выключение двигателей. Использова¬
ние огневого способа разделения ступеней в ракетах с РДТТ воз¬
можно потому, что для запуска двигателя следующей ступени не
требуется наличие перегрузок.Включение двигателя следующей ступени может производиться
одновременно с подачей команды на подрыв разрывных болтов,
соединяющих ступени, так как время выхода на режим РДТТ
всего 0,1—0,2 сек и нет необходимости иметь специальные органы
управления, включаемые до разделения ступеней, поскольку за
такое малое время полет ракеты не нарушается.Команда на разделение ступеней поступает от датчика, фикси¬
рующего окончание работы двигателя по спаду давления в камере
сгорания или перегрузок, действующих на ракету.Процесс разделения ступеней ракет с РДТТ может быть пред¬
ставлен в такой последовательности. Когда в работающем двига¬
теле основная масса топлива выгорела и происходит догорание
остатков заряда, давление в камере сгорания падает. При умень¬48
шении давления до заданного значения, фиксируемого датчиком
давления, система управления выдает команду на подрыв разрыв¬
ных болтов, соединяющих ступени, и на включение двигателя сле¬
дующей ступени, тяга которого быстро растет. Так как механиче¬
ская связь между ступенями нарушена, то благодаря работе
двигателя следующая ступень быстро отделяется. Кроме того,
разделению ступеней способствуют торможение отделяемой сту¬
пени давлением газов, истекающих из сопел работающего двигателя
следующей ступени, и сопротивление окружающей атмосферы.При использовании на отделяемой ступени пакетной схемы
двигателя разделение ступеней должно производиться до полного
выгорания топлива, так как одновременное выгорание топлива во
всех двигателях осуществить невозможно. В связи с этим на таких
двигателях обязательно должна предусматриваться система вы¬
ключения двигателей. В остальном процесс разделения может
оставаться таким же, как и при моноблочных двигателях.Система отделения боевой части обеспечивает надежное креп¬
ление боевой части к корпусу и ее отделение в заданный момент.Устройства, обеспечивающие крепление боевой части к корпу¬
су, как правило, включают разрывные болты и направляющие
штыри или какие-либо другие быстроразъемные соединения.Отделение боевой части должно производиться по команде от
системы управления при достижении ракетой заданной скорости
полета. В связи с этим на двигателе последней ступени обязатель¬
но должна предусматриваться система выключения двигателя. Вы¬
ключение двигателя может быть осуществлено гашением заряда
или обеспечением суммарной равнодействующей тяги, равной
нулю,— так называемое «обнуление» тяги.Гашение заряда является наиболее простым способом, основан¬
ным на резком спаде давления в камере сгорания или введении
в нее какого-либо охладителя в распыленном виде. Однако эти
способы выключения двигателя на практике широкого использо¬
вания не находят, так как в первом случае для надежного гаше¬
ния заряда требуется очень большая скорость спада давления,
которую трудно обеспечить, а во втором случае требуется на борту
ракеты наличие специального охладителя, что приводит к уве¬
личению массы ракеты.Широкое применение в реальных конструкциях РДТТ нашел
способ выключения двигателя путем уравновешивания тяги ос¬
новных сопел или даже создание некоторой отрицательной тяги,
используемой для торможения корпуса ракеты при отделении бое¬
вой части.Уравновешивание тяги двигателя обычно осуществляется с по¬
мощью сопел противотяги (рис. 2.27), устанавливаемых на перед¬
нем днище. При работе двигателя сопло противотяги закрыто
крышкой /, которая крепится к фланцу 4 днища болтами 3. Вну¬
тренняя поверхность крышки защищена от воздействия высокой
температуры продуктов сгорания теплозащитой 6. На внешней
поверхности фланца крышки имеется кольцевая канавка, в кото¬49
рую укладывается кольцевой детонирующий шнур 2. Крышка
имеет резьбовую втулку 5 для установки электродетонатора 7,
обеспечивающего подрыв в требуемый момент йрбмёни детони¬
рующего шнура 2, что приводит к разрушению перемычки крышки
и вскрытию проходного сечения сопла противотяги.Выключение двигателя происходит
следующим образом. По команде от си¬
стемы управления на электродетонатор 7
подается напряжение. От взрывного им¬
пульса электродетонатора детонирует
кольцевой детонирующий шнур 2, отчего
разрушается перемычка крышки сопла
противотяги. Под действием давления га¬
зов крышка отбрасывается и вскрывает¬
ся проходное сечение крышки 1, при
истечении газов через которое создается
тяга, противоположная тяге основных
сопел двигателя. Количество сопел про¬
тивотяги может быть различное. Пло¬
щадь их критических сечений опреде¬
ляется из условия, чтобы суммарная
тяга с учетом угла наклона сопел была
равна тяге основных сопел или несколь¬
ко превышала ее. Реально площадь крит
тических сечений сопел противотяги
несколько превышает площадь критиче¬
ских сечений основных сопел. Однако
при их открытии давление в камере
сгорания падает нерезко, гашения заряда
не происходит и двигатель выходит на новый режим работы (при
меньшем давлении в камере сгорания).Таким образом, при создании отрицательной тяги соплами
противотяги обеспечивается отделение боевой части от корпуса
ракеты за счет работы основного двигателя.§ 2.6. ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ РАКЕТ С РДТТОдним из направлений перспективного развития ракет с РДТТ
является уменьшение их стартовой массы и габаритов. С этой
целью основное внимание обращается на создание смесевых твер¬
дых топлив, обеспечивающих большую удельную тягу, и умень¬
шение массы конструкции ракеты.Создание новых высокоэффективных твердых ракетных топлив
идет по пути замены всех основных его составляющих более эф¬
фективными.Среди перспективных окислителей рассматриваются перхлорат
нитрония N02C10.i, хлорнокислый гидроксиламин NH20HHC104,
гексанитроэтан C2(N02)6 и другие. Однако эти окислители явля¬
ются нестабильными, взрывоопасными и плохо совмещаются ссу-2 3 4 5Рис. 2.27. Сопло противо¬
тяги:/—крышка сопла; 2 — детони¬
рующий шнур; 3 — болт; 4 —
фланец днища; 5 —втулка;
6 — теплозащита; 7 — электро¬
детонатор50
шествующими горючими связками. Наиболее подходящими горю¬
чими для указанных окислителей являются фторуглеводородные
связки, обладающие высокой механической прочностью и эластич¬
ностью. Газообразные продукты сгорания—соединения фтора с
металлами — имеют более высокую энтальпию на единицу массы
топлива, чем соединения кислорода с металлами. Однако отно¬
сительное содержание углерода в них меньше, чем в углеводород¬
ных горючих.В настоящее время применение мощных окислителей пока ус¬
пеха не имеет. В то же время в создании новых горючих отмеча¬
ются заметные сдвиги. В частности, удалось использовать при соз¬
дании зарядов твердых топлив такие фторполимеры, как тефлон
и витон с обычными добавками алюминия. Температура горения
такого топлива около 3900° К [118].Наиболее прогрессивным в настоящее время представляется
использование бериллия как очень эффективной замены порошко¬
образного алюминия. Твердые топлива с добавками бериллия мо¬
гут иметь удельную тягу около 290 сек, в то время как твердые
топлива с алюминием — только 267 сек (рк/Рл = 70 : 1).Расчетные удельные тяги для перспективных топлив приведены
в табл. 2.2. [118].Таблица 2.2ГорючееОкислительПерепаддавленияУдельная
тяга, сек10% углеводородного горючего
+20%Ве70% NH4C10470127610% углеводородного горючего
+7% Li + 13% Be70% NH.CIO,70129015% углеводородного горючего
+7% А1 + Be70% NH4C10<68127815% углеводородного горючего
+7% Mg + Be70% NH*C10,68127815% углеводородного горючего
+7% Na + Be70% NH4C10,681275Из таблицы видно, что удельная тяга 290 сек может быть до¬
стигнута при добавке бериллия с литием, так как у хлорида лития
теплота образования выше теплоты образования хлорида берил¬
лия. Кроме металлического бериллия в качестве добавки к твер¬
дым топливам могут быть использованы гидрид бериллия ВеН2,
боргидрид бериллия Ве(ВН4)2, диметилбериллий Ве(СН3)2, дифе-
нилбериллий Ве(С6Н5)2 и другие. Однако нельзя утверждать, что
добавка бериллия дает результаты, подтверждающие термодина¬
мические расчеты, так как высокие температуры кипения и плав¬
ления окисла бериллия (примерно 4370 и 2820° К соответственно)
будут приводить к конденсации окисла еще в камере сгорания.
В этом случае возможны большие потери из-за неравновесности51
истечения продуктов сгорания, и ожидаемого прироста удельной
тяги можно не получить [108].Основным препятствием для экспериментального исследования
и практического применения твердых топлив с добавками берил¬
лия является токсичность продуктов сгорания. Соединения берил¬
лия—сильные яды, поражающие органы дыхания. Острое отрав¬
ление происходит при концентрации 10—1000 мкг бериллия на
1 м3 воздуха, а хроническое — уже при 0,01—0,1 мкг бериллия на1	м3 воздуха. Попадание растворимых соединений бериллия на
кожу вызывает тяжелые кожные заболевания. Кроме того, стои¬
мость порошкообразного металлического бериллия очень высока
(1400—-1500 долларов за килограмм).Несмотря на указанные недостатки, высокая эффективность
твердых ракетных топлив, содержащих бериллий, очевидна и
оправдывает большие затраты на их разработку. Об этом свиде¬
тельствуют масштабы проводимых исследований [108].Уменьшение массы конструкции достигается применением вы¬
сокопрочных материалов. Для получения высоких значений пре¬
делов прочности среднелегированных и высоколегированных ста¬
лей применяется плавка в вакууме, при этом сохраняется доста¬
точно высокая пластичность.На практике найдут широкое применение мартенситностарею-
щие стали, мартенситное превращение в которых происходит за
счет никеля (содержание никеля в этих сталях достигает 18%)
[135, 140].Основные характеристики экспериментальных мартенситноста-
реющих сталей 350 и 375 приведены в табл. 2.3.Таблица 2.3Характеристики материалаСталь 350Сталь 375Предел прочности чв, н/м?244-107'264-1О7Предел текучести с0>2, н/мг210-107262-1О7Относительное сужение, %4018Относительное удлинение, о/085Твердость по Роквеллу5860Кроме высокопрочных сталей широкое применение найдут стек¬
лопластики, обладающие большей удельной прочностью по срав¬
нению со сталями. Использование этих материалов для изготов¬
ления корпусов РДТТ позволит в недалеком будущем получить
значение коэффициента конструкции двигателя в пределах
0,05—0,06.52
Для уменьшения стартовой массы ракеты большое значение
имеет снижение массы боевых частей и приборов системы управ¬
ления. В перспективе можно ожидать использование очень легких
боевых частей. Использование новейших схем приборов системы
управления приведет к уменьшению их массы до нескольких де¬
сятков килограммов.Таким образом, можно ожидать, что в перспективе ракеты на
твердом топливе будут иметь существенно меньшую стартовую
массу, обеспечивая при этом межконтинентальную дальность
полета.
Глава 3ТРАЕКТОРИЯ ПОЛЕТА РАКЕТЫ§ 3.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ НА АКТИВНОМ
УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИТраектория полета делится на два участка: активный (АУТ) и
пассивный (ПУТ). На АУТ ракета с головной частью совершает
управляемый полет при работающих двигателях, на ПУТ головная
часть ракеты, отделившаяся от последней ступени, движется как
свободно брошенное тело. Для многоступенчатых ракет разли¬
чают первый, второй и т. д. активные участки траектории, на кото-,
рых работают соответственно двигатели первой, второй и т. д.
ступеней.При описании полета ракеты обычно вводят понятия невозму¬
щенного (требуемого) и возмущенного движения. Невозмущенное
движение соответствует идеализированным условиям полета, т. е.
таким, когда характеристики ракеты, ее двигателей и системы
управления, а также внешней среды, в которой происходит дви¬
жение, являются номинальными (требуемыми). В реальных усло¬
виях ракета совершает возмущенное движение, так как ее харак¬
теристики и действующие на нее силы несколько отличаются от
номинальных значений.Описание невозмущенного движения позволяет найти номиналь¬
ные летно-технические характеристики ракеты, и в частности даль¬
ности пусков, а также определить расчетные нагрузки, действую¬
щие на ракету в полете.Зная характеристики возмущенного движения ракеты, можно
определить рассеивание точки падения, а также предельные зна¬
чения нагрузок. В этой главе будут рассмотрены уравнения толь¬
ко невозмущенного движения ракеты на активном и пассивном
участках траектории.В настоящее время имеется обширная литература, посвящен¬
ная аналитическому описанию движения баллистических ракет,
например, [6], [25], [71], [100], поэтому в данном разделе рассма¬
триваются лишь такие системы уравнений и методики их решения,
которые обычно используются на этапе проектирования. Кроме
того, при изложении этого материала учитывается специфика по¬
лета МКР и БРСД с РДТТ.54
Перед те.м как составить уравнения движения ракеты, получим
зависимости для действующих на нее сил. На АУТ ракета дви¬
жется под действием силы тяжести, силы тяти, управляющих и
аэродинамических сил.Сила тяжести представляет собой равнодействующую силы
земного притяжения и силы инерции переносного движения, воз¬
никающей в результате вращения Земли вокруг своей оси. Лет¬
но-технические характеристики ракеты, определенные с учетом
вращения Земли, существенно зависят от положения точки старта
и направления стрельбы. Поскольку для вновь создаваемого РК
не всегда представляется возможным заранее установить район
стартовых позиций и направление стрельбы, то при проектирова¬
нии обычно рассчитывают невозмущенное движение ракеты, пред¬
полагая, что Земля неподвижна. Для учета возможных отклоне¬
ний траектории за счет вращения Земли определяют соответст¬
вующие поправки как функции координат точки старта и азимута
стрельбы.Если не учитывать вращение Земли, то сила тяжести соответ¬
ствует силе земного притяжения, которая обусловлена действием
всемирного закона- тяготения. Земля представляет собой довольно
сложное тело с произвольным распределением массы. Однако для
баллистических расчетов на стадии проектирования Землю обыч¬
но представляют в виде шара, имеющего одинаковую плотность в
равноудаленных от центра точках, т. е. в виде тела так называе¬
мой сферической структуры. При сделанных допущениях ускоре¬
ние силы тяжести в произвольной точке траектории, удаленной
от центра Земли на расстояние r=R+h (рис. 3.1), определяется
выражениемR2	R?ё ~ ёо ra ~ ёо (ft _|_ )	(3-1)где £„=9,81 м/сек2 — ускорение силы земного притяжения на по¬
верхности Земли;/? = 6371 км — радиус Земли;h—высота над поверхностью Земли.Для БР с РДТТ высота первого АУТ, как правило, не превы¬
шает 30—50 км. Если в этих условиях принятьё^ёо,	(3.2)то максимальная ошибка в определении ускорения силы тяжести
составит 1,0—1,5%. Поэтому допущение (3.2) можно использо¬
вать при приближенном расчете траектории первого АУТ твердо¬
топливных ракет.При определении параметров невозмущенного движения ракеты
атмосфера Земли рассматривается как находящийся в состоянии
равновесия идеальный газ, имеющий следующие характеристики:
давлениеp(h)=pNn{h),	(3.3)65
где pN = 1013,25 мбар—давление на поверхности Земли;■к (h) ~	табличная функция [100] (см. таблицу 1Pnв приложении);температуру288,15— 6,511 • 10—3Л	при 0 < Л < 11000; j216,66	при 11000 < Л < 25000; IТ (Л) = 216,66 + 2,76098 (Л — 25000) при 25000 < Л < 46000; (3.4)274.00	при 46000 < h < 54000;274.00	—3,49544-10-3 (Л —54000) при 54000 < Л < 80000,где T(h) выражается в °К; h — в м\
скорости звукаa (h) = 20,05 УТЩ,	(3.5)где T(h) выражается в °К; a (h)—в м/сек,Если считать атмосферу неподвижной и не учитывать вращение
Земли, то невозмущенное движение ракеты является плоскопарал¬
лельным, или сокращенно плоским. Это означает, что вся траекто¬
рия полета лежит в одной плоскости, называемой обычно плоско¬
стью стрельбы.Сила тяги двигателя, или сокращенно тяга, выражается изве¬
стной зависимостьюР (h, t) = m (t) g0Pyjl = m (0 g0Pyf. n — FapNn (h) ■= /я(0«Ь^уД.п[1 -Руд. п -Руд о■Руд. п■к (И)(3.6)56
где m{t)—секундный массовый расход топлива (модуль произ¬
водной массы ракеты по времени полета t)\Яуд — удельная тяга двигателя при произвольном наруж¬
ном давлении;Яуд. п—удельная тяга двигателя в пустоте;Рудо — удельная тяга двигателя на Земле (при p(h)=pN)\Fa — суммарная площадь выходных сечений сопел двига¬
теля.Масса ракеты в произвольный момент полета определяется вы¬
ражениемт (t) — т0 — | т (t) dt,	(3.7)огде т0 — стартовая масса ракеты, т. е. масса ракеты в момент на¬
чала ее движения.Равнодействующая всех аэродинамических сил, действующих
на ракету в полете, обычно раскладывается на две составляющие
(рис: 3.1):силу лобового сопротивленияX = 0,5kpNT: (h) MV^m,	(3.8)где k—показатель адиабаты воздуха;'М = —	число Маха (V—скорость центра масс ракеты);сх — коэффициент лобового сопротивления;FM — площадь миделя;
подъемную силуУ — 0,5kpNiz (h) M.2CyFu,	(3.9)где cv—коэффициент подъемной силы.Обе составляющие приложены к центру давления ракеты, сила
лобового сопротивления направлена противоположно вектору ско¬
рости центра масс ракеты, а подъемная сила—перпендикулярно
к нему в плоскости стрельбы.Коэффициент лобового сопротивления ракеты зависит, как пра¬
вило, от числа Маха, высоты полета и угла атаки а, т. е. угла ме¬
жду вектором скорости и продольной осью ракеты. На рис. 3.1
отмечено положительное направление отсчета угла а. Таким об¬
разом,сх = сх(М, h, а).	(3.10)Коэффициент подъемной силы пропорционален углу атаки (при
а<^10-*-20°) и зависит от числа Маха. Поэтому можно записатьсу — Су (М) я,	(3.11)где с“ (М) — производная коэффициента подъемной силы по углу
атаки, зависящая от величины М.В баллистической ракете с РДТТ управляющая сила создается
за счет отклонения вектора тяги на некоторый угол от продольной
оси ракеты. Чаще всего в качестве органов управления исполь¬
зуются поворотные сопла.57
Обычно РДТТ имеет четыре симметрично расположенных соп¬
ла, каждая пара из которых отклоняется в одной плоскости
(рис. 3.2). Однако в общем случае по некоторым причинам осьсимметрии органов управления
может быть отклонена на произ¬
вольный угол у от плоскости ста¬
билизации ракеты I—III, кото¬
рая при невозмущенном движе¬
нии лежит в плоскости стрельбы.
Тогда при отклонении сопел 2 и 4
на одинаковый угол 82,4 обра¬
зуется управляющая сила, кото¬
рая дает составляющую У ip2,4,
обеспечивающую разворот раке¬
ты относительно центра масс в
плоскости стрельбы. Для компен¬
сации возникающей при этом бо¬
ковой составляющей Zlp2,4 сопла1	и 3 могут быть отклонены наРис. 3.2. Управляющие силы	одинаковый угол 81,3. Тогда сум¬марная от поворота четырех со¬
пел составляющая управляющей силы в плоскости стрельбы опре¬
деляется выражениемYlp = cos уЯ- 0,5 (sin 82 4 + sin8u).	(3.12)Поскольку углы отклонения сопел при невозмущенном движе¬
нии обычно не превосходят 5—7°, то в соответствии с выраже¬
нием (3.12) можно записатьY]p ж cos 7Р ■ 0,5 (&и + 8j ,8) = КЬР8,	(3.13)где Кь = cos y;8 = 0,5 (82 4 -f 8li3).Если угол y = 0, т0 ПРИ невозмущенном движении ракеты8l,3 = 0 иK,p = 0,5P82i4.	(3.14)Для описания движения ракеты вводят следующие прямоуголь¬
ные системы координат в плоскости стрельбы (рис. 3.1):—	геоцентрическую Х0О0у0 с началом в центре Земли и осью
о0х0, направленной перпендикулярно продольной оси ракеты в мо¬
мент старта;—	стартовую хоу с началом 'В точке старта и осью ох, на¬
правленной параллельно оси о0хо;—	скоростную xvsyv с началом в центре масс ракеты и осью
sxv, направленной вдоль вектора скорости центра масс;—	связанную x\sy\ с началом в центре масс ракеты « осью5Хь
направленной вдоль продольной оси ракеты.Далее будет также использована полярная система координат
с началом в точке Оо, угловой координатой гь отсчитываемой от
оси о0у0, и радиусом г.58
При невозмущенном движении ракеты углы а и 8 не превы¬
шают 3—10°, что позволяет ввести дополнительное допущение:sin а ж а;
sin 8 ж 8:cos а ж 1; •	(3.15)cos 8 ж 1;
sin а sin 8ж0,На основании выражений (3.1), (3.8) — (3.11), (3.13) и (3.15)
можно записать уравнения движения центра масс ракеты на АУТ
в проекциях на оси скоростной системы координат:m 4г=р о) - °’5^ w<м-h'*)--	тёо {R f-jji sin fr,	(3.16)mV4r=p wа+М2/Г«а++ АГ6я (A) 8 - TOg0 (/? cos &,	(3.17)где 9 — угол наклона вектора скорости к местному горизонту
(рис. 3.1).Кроме того, можно получить уравнения для координат центра
масс:	_~jjr — V sin в;	(3.18)(£+.A)-g-=Kcos&.	<3'19)В соответствии с принятыми обозначениями можно записать
следующее кинематическое соотношение:» = т) + <р — а,	(3.20)где tp — угол наклона оси ракеты к стартовому горизонту (угол
тангажа).Невозмущенное движение ракеты вокруг центра масс характе¬
ризуется весьма малыми угловыми ускорениями и скоростями (не
более 0,6—1,7 град/сек [6]). При этих условиях движение ракеты
вокруг собственного центра масс с идеальной системой управле¬
ния, коэффициент усиления которой равен бесконечности, прибли¬
женно описывается соотношением, называемым балансировочной
зависимостью. Эта зависимость находится из условия равенства
моментов сил относительно центра масс ракеты:, 0,5kpN% (Л) MV„ (дг1ц — x1s) (с“ + сх)	/о П1чK,P(h) (xlp-xls)	а>где ДС1Д, дгц, Xip — расстояния по оси ракеты от носка головной
части до центра давления, центра масс и точки приложения управ¬
ляющей силы.59
Заметим, что при а>0 угол отклонения органов управления
имеет знак минус. Этим условием определяется положительное
направление отсчета угла S.Таким образом, для определения параметров движения ракеты
на АУТ необходимо решать систему, включающую уравнения
(3.16) — (3.21); при этом наряду с другими исходными данными
должна быть известна функция сp(t). При принятом допущении об
идеальности системы управления эта функция совпадает с зада¬
ваемой программой изменения угла тангажа <рПр(0> т- е-(3.22)Методика выбора программы изменения угла тангажа рассма¬
тривается ниже. С 'учетом выражений (3.16) — (3.22) после оче¬
видных преобразований запишем искомую систему уравнений в
следующем виде:dV 1 [р W W (М- h> *) 'R2 . “1~£° (R + ну sin&J;dtdddt{{/>(*) + 0,5kpNu (A) №FU [с; (M) - [с; (M) ++ с* (M, h, *)]xln x\s'ip —dh~dfR2go_	V (R + Ay-COSi);— Ksin»;V cost)dr\~dt ~ R + h ’(3.23)8 = 4 + Tnp — a;tm = m0— jоНеизвестные V, 9, h, tj и а определяются интегрированием си¬
стемы (3.23) при:t — 0; V0 = 0; &0 = -f; h0 = 0; y)0 = 0.	(3.24)Решение системы дифференциальных уравнений (3.23) на
ЭЦВМ не представляет особого труда. Используя метод Рунге-
Кутта [41], с шагом Д/ = 0,5-т-2,0 сек, который обеспечивает прием¬
лемую точность расчетов на ЭЦВМ, можно за несколько ми¬
нут машинного времени определить параметры движения БР с
РДТТ на всем АУТ,60
При высотах более 80 км аэродинамические силы практически
не действуют на ракету (тг(/г)~0, см. табл. 1 приложения). В этом
случае система (3.23) существенно упростится:df\ 	 V cos 3~dt ~ R + h ’о = у) + <рПр —(3.25)* tоНаконец, в некоторых приближенных проектных расчетах не
учитывают изменение угла атаки, полагая, что на-АУТ а(/)=0.
При этом имеет смысл использовать допущение (3.2), а также не
учитывать кривизну Земли (rj(t) =0) и считать секундный расход
топлива постоянным на каждой ступени. Тогда система (3.23)
принимает видТаким образом, для определения параметров движения ракеты
на АУТ необходимо интегрировать одну из полученных выше си¬
стем дифференциальных уравнений при начальных условиях типа
(3.24). При этом также должны быть известны для каждой субра-§ 3.2. ПРОГРАММА ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ НА АКТИВНОМ
УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИЧтобы рассчитать параметры движения ракеты, необходимо
в первую очередь знать программное (закладываемое в систему
управления) изменение угла тангажа, а также изменение тяги
двигателей каждой ступени в пустоте. По существу функции cpnp(t)
и Рц(() предопределяют траекторию полета ракеты и, следова¬
тельно, ее основные летно-технические характеристики. Именно по¬
этому целесообразно искать оптимальную программу движения
ракеты.dVdt	— [P(h) — 0t5kpNn (h) cx (M, h) -m0 — mt ~— £oSin?„p];(3.26)4r=v/sin'PnP.61
К программе могут быть предъявлены различные требования.
Так, программа движения должна обеспечивать:—	максимальную дальность пусков или минимальную старто¬
вую массу ракеты при заданной дальности пусков;—	минимальное (или допустимое) рассеивание точки падения;—	вертикальный старт ракеты;—	допустимые перегрузки, действующие на ракету на АУТ;—	допустимые перегрузки и температуры нагрева головной ча¬
сти на ПУТ;—	техническое осуществление программного движения при пу¬
сках ракеты на дальности от минимальной до максимальной и т.д.Обычно при выборе программ в качестве критерия оптималь¬
ности используют первое требование, а все остальные играют роль
ограничений. Заметим, что величина стартовой массы ракеты при
заданной дальности или дальность пусков при заданной стартовой
массе не являются, строго говоря, наилучшими критериями для
выбора характеристик РК и ракетной системы (см. § 1.1). Однако
характеристики ракеты, при которых обеспечиваются минималь¬
ные затраты на создание и эксплуатацию ракетной системы с за¬
данными боевыми свойствами, обычно близки к характеристикам
ракеты с минимальной стартовой массой и заданными дальностью
и рассеиванием точки падения. Поэтому такие частные критерии
оптимальности, как стартовая масса или дальность пусков, ши¬
роко используются при решении ряда задач проектирования.На основании этих соображений можно сформулировать за¬
дачу выбора программы движения ракеты следующим образом:
найти такие функции <рПр(0 и Pn{t), при которых обеспечивается
максимальная дальность пусков и выполняются перечисленные
выше требования (ограничения).Строгое решение такой задачи возможно, но связано с боль¬
шими математическими трудностями. Кроме того, при постановке
задачи достаточно сложно обосновать численные значения огра¬
ничений (допустимые рассеивание, перегрузки, температуры на¬
грева головной части и т. д.), поэтому на стадии проектирования
ракеты раздельно решаются еще более частные задачи оптимиза¬
ции программы изменения угла тангажа и программы изменения
тяги. Каждая из этих задач решается приближенно, с учетом на¬
копленного опыта по созданию подобных баллистических
ракет,Известно, что при прочих неизменных условиях максимальная
дальность пуска достигается в том случае, если тяга двигателя
в пустоте остается постоянной в течение всего времени его рабо¬
ты. Оптимальная величина тяги г-й субракеты определяется опти¬
мальным значением коэффициента тяговооруженности(3.27)где т01 — стартовая масса l-й субракеты?—	начальная тяга i-й субракеты.62
Обычно различают коэффициенты тяговооруженности на зем¬
ле Хо и в пустоте Хп:(3.28)где Ли — тяга на земле i-й субракеты.Таким образом, выбор программы изменения тяги заключается
в определении оптимальных значений коэффициентов тяговоору-
женности на каждой ступени. Решение этой задачи подробно рас¬
сматривается в гл. 4, поэтому остановимся только на выборе опти¬
мальной программы изменения угла тангажа.Начальное значение угла тангажа определяется требованием
обеспечить вертикальный старт ракеты. При таком виде старта на
ракету в начале траектории действуют сравнительно небольшие
возмущения. Продолжительность ta вертикального полета опреде¬
ляется временем, необходимым для выхода ракеты из шахты, пе¬
рехода двигателя на режим номинальной тяги и разгона ракеты
до скорости Va = 20-r-40 м/сек, так как при такой скорости ракета
уже становится хорошо управляемой и с этого момента можно
начинать ее разворот на цель. Для МКР и БРСД с РДТТ при
оптимальной тяговооруженности скорость Va достигается за ta =
= 2-т- 5 сек. Естественно, при вертикальном невозмущенном полете
выполняется условиеТ = 8 = у (0<*<<„),	(3.29)где 6 — угол наклона вектора скорости к стартовому горизонту
(рис. 3.1).Дальность ПУТ, как это будет показано далее, существенно
зависит от угла 8ь, под которым направлен вектор скорости Уь ра¬
кеты в момент tk отделения головной части. Нетрудно показать,
что существует такая величина угла 0&, при которой дальность
ПУТ максимальна (но, строго говоря, не максимальна дальность
пуока). Величина оптимального в этом смысле угла 0& полностью
определяется дальностью пуска. Так, с увеличением дальности ве¬
личина 8ft монотонно уменьшается (табл. 3.1).Таблица 3.1^тах'10-8- КМ246810120*, град393530262318РтЗаметим, что при дальностях полета более 9000—10 000 км
дальнейшее уменьшение угла 0/, приводит к увеличению дальности63
пассивного участка траектории, однако при этом резко возрастает
рассеивание точки падения. В связи с этим для МКР с РДТТ
целесообразно иметь О,. 25° или существенно повышать точ¬
ность системы управления.Таким образом, задача выбора программы тангажа сужается.
Необходимо найти оптимальное изменение угла ср на интерва-11 71
ле га, (ft от значения -тр доfk — + aft>	(3.30)где a* = 3-ь7°—угол атаки в конце АУТ (первое значение харак¬
терно для средних дальностей пусков, а второе — для межконти¬
нентальных пусков).В результате решения вариационной задачи можно показать,
что если ракета движется в пустоте, то максимальная дальность
пуска обеспечивается при условии <р(/)= const. Исходя из этого
обычно программа угла тангажа для МКР и БРСД с РДТТ со¬
ставляется так, чтобы выполнялось условие?(0 = <Р* ПРИ А (0^40 ч-60 км.Кроме того, для уменьшения рассеивания в зависимости от осо¬
бенностей системы управления желательно обеспечивать постоян¬
ный угол наклона вектора скорости к стартовому горизонту или
угол танжага на всем интервале возможного времени выключения
двигателя при стрельбе на дальности от Lmin до Lmах. По задан¬
ной минимальной дальности пуска можно приближенно найти со¬
ответствующую ей скорость Vftmin(imin) (см. § 3.3). В качестве
времени окончания разворота ракеты tv принимается минимальное
значение среди найденных по двум названным выше условиям,Т. 0?(0=?* при	(3-31)h (/р1) = 40-4-60 к ж,V (tfi) — Vk min (imin),где *p = min(*pl, /р2).Для двух- и трехступенчатых ракет с РДТТ время tp несколько
больше времени thi полета на первом активном участке (рис. 3.3).
Таким образом, разворот БРСД и МКР с РДТТ до требуемого
угла срh происходит на первом и частично на втором АУТ. Из выра¬
жения (3.31) видно, что для выбора программы тангажа необхо¬
димо хотя бы в первом приближении знать функции V(t) и h(t).
Методика предварительного расчета изменения скорости и высоты
центра масс ракеты на АУТ приводится в § 3.4.Далее остается установить оптимальную программу изменения
угла <p(t) на участке разворота ta, tv.Разворот ракеты может быть осуществлен за счет сил, прило¬
женных к ее центру масс. В начале участка разворота сила тя¬
жести направлена почти по продольной оси ракеты, поэтому по¬
ворот вектора скорости в этот период происходит в основном под64
действием отрицательной подъемной силы. Для ее Создания необ¬
ходимо отклонять ось ракеты от вектора скорости, добиваясь от¬
рицательного угла атаки. Однако при скоростях полета, близких
к звуковым (0,8 < М 1,3), желательно иметь углы атаки,
близкие к нулю, так как при этих скоростях резко меняются аэро¬
динамические характеристики и, следовательно, ухудшаются усло¬
вия управления ракетой. При сверхзвуковых скоростях на высо¬
тах до 40-г 50 км также нежелательны большие углы атаки, так
как при этом возрастает аэродинамическое сопротивление ракеты
и уменьшается дальность пуска. Следовательно, до достижения
ракетой скорости и высоты, отвечающих М = 0,8, необходимо по¬
лучить такие значения угла тангажа, при которых уже дальней-Рис. 3.3. Программа изменения угла тангажаший разворот будет осуществляться за счет только составляющей
силы тяжести при а = 0. На конечном участке программы для обес¬
печения постоянного угла ср*. необходимо создавать такие положи¬
тельные углы атаки, которые позволили бы компенсировать нор¬
мальную к вектору скорости составляющую силы тяжести проти¬
воположно направленной составляющей тяги Psina.Таким образом, для получения программы угла тангажа нуж¬
но рассчитать не только программное изменение угла 0, но и угла
атаки. Для МКР и БРСД с РДТТ программа изменения угла 0 на
интервале ta, tp может быть представлена параболойМО ~f - 2 (f - »«) -^ + (-Г - Ч) (-££У (3.32)(*в<*<*р).Для расчета программного значения угла атаки аПр(0 необхо¬
димо найти время tъ, при котором М=0,8 и аПр = 0. В соответствии
с выражениями (3.5) и (3.8) имеем следующее уравнение для
определения величины tb:V(th)	= 0,8.	(3.33)20,05 VT\h (tb)}(f.e, град3—57365
Для решения этого уравнения могут быть использованы при¬
ближенные графики V (t) и h(t), а также зависимость (3.4).Программное изменение угла атаки на интервале ta, tb чаще
всего описывается зависимостью (рис. 3.3)«пр (0 = sin2 [*t _ ta ^- и] ,	(3.34)Vгде a = 0,125 ч- 0,250—коэффициент, характеризующий несим¬
метричность функции апр(0;
am = 2-f-7° — максимальный угол атаки.Варьируя значениями ат, вычисляют функцию аПр(0 и интегри¬
руют второе уравнение системы (3.23). При этом часто пренебре¬
гают действием управляющих сил, кривизной Земли, а также ис¬
пользуют допущение (3.2). В этих условиях имеем-Ж = Ш [Р W + °'5кр^ W WF*cy ^М)] “ f cos 6- (3'35)При интегрировании этого уравнения используются известные при¬
ближенные функции V (t) и h(t). Полученные решения позволяют
сравнить реальные значения 6пр(0 с приближенной программой
(3.32) и откорректировать программы изменения угла атаки и
угла 0.При нулевом угле атаки изменение угла 0 на интервале /&, iv
может быть найдено также интегрированием уравнения (3.35), ко¬
торое в этом случае существенно упрощается:-f-^-fcos0-	(3.36)Поскольку V(/) является известной функцией времени, то уравне¬
ние (3.36) является дифференциальным уравнением с разделяю¬
щимися переменными, которое легко интегрируется:1^=-£Лт£г	<3-37>%	*ьРешение этого уравнения имеет вид [39]1п '« (т + 4) =*« (т + тг) - * /тт ■ (3'38)‘ьНайденную из выражения (3.38) функцию 6 (/) можно сравнить
с приближенной программой (3.32). При корректировке програм¬
мы, в принципе, на участке разворота со сверхзвуковыми скоро¬
стями (М 1,3) можно ввести апр (£) ф 0.Используя балансировочную зависимость (3.21), по максималь¬
ному значению ат программного угла атаки можно рассчитать
максимальный угол отклонения органов управления. Этот угол не
должен превышать половины предельно допустимого отклонения
сопел РДТТ, чтобы всегда имелась возможность дополнительно
компенсировать действие возмущений. Отклонение оси ракеты от66
вектора скорости при малой плотности воздуха (на втором и тре¬
тьем АУТ) достигается обычно при незначительных углах 8.Для определения аПр(0 на интервале tp, tk может быть исполь¬
зована система (3.25). Если известны приближенные функции V(I)
и h(t), то эта система существенно упрощается, принимая вид:rf» 	ft__g_cos а ^dt (Wo _ mt) V v (R + Щ1.ч г »'12dv) V cos(3.39)dt R + h •
b = у) -f <pft — a.При выборе программ для БРСД с РДТТ можно пренебрегать
кривизной Земли (принимать т](/)=0), а также использовать до¬
пущение (3.2). В этом случае система (3.39) после преобразований
сводится к одному дифференциальному уравнениюУ7+ *“•(*-)■ (3-40>Характерные программы изменения углов a(t), <p(t) и 0(0 для
двух- и трехступенчатых ракет с РДТТ приведены на рис. 3.3.В заключение следует заметить, что рассмотренные выше про¬
граммы изменения угла тангажа являются типичными, но не един¬
ственно возможными для ракет с РДТТ. Выбор программы обычно
тесно увязывается с возможностями системы управления обеспе¬
чить приемлемую точность пусков при стрельбе во всем диапазоне
дальностей. При этом чаще всего подготавливается набор про¬
грамм тангажа для различных дальностей. Кроме того, в реаль¬
ных программах могут быть некоторые отклонения от рекомендо¬
ванных выше функций аПр(0- Так, для обеспечения достаточно
быстрого разворота ракеты часто и на интервале tb, tp создаются
отрицательные углы атаки. В этом случае условие а = 0 выдержи¬
вается только на участках с околозвуковой • скоростью полета и
при разделении ступеней. Однако при всем многообразии возмож¬
ных программ тангажа для их построения могут быть использо¬
ваны рассмотренные выше последовательность расчета и зависи¬
мости.§ 3.3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГОЛОВНОЙ ЧАСТИ РАКЕТЫ
НА ПАССИВНОМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИПолет головной части ракеты на пассивном участке /СЦ проте¬
кает в практически безвоздушном пространстве (рис. 3.4), за ис¬
ключением сравнительно небольшого атмосферного участка /’’Ц.
При расчете полной дальности пуска можно пренебречь действием
атмосферы и на участке £Ц, так как при этом ошибка в дальности
будет мала. Однако для определения нагрузок, действующих на
юловную часть, необходимо рассчитывать последний участок тра¬
ектории с учетом действия аэродинамических сил и. переменной
плотности воздуха.3*67
Для определения параметров движения головной части на ПУТ
может быть использована система (3.25), которая при дополни¬
тельных условиях Pa(t)=0 и m(t)=mr4 принимает вид:Интегрирование такой системы на ЭЦВМ может быть прове¬
дено методом Рунге-Кутта с достаточно крупным шагом At =
= 20-*-60 сек, при этом должны использоваться следующие началь¬
ные условия:при t = 0 (или tk) V0 = Vk, &о = К — По = *!*• (3.42)
Система (3.41) описывает движение материальной точки в цен¬
тральном поле тяготения. Это движение в полярных координатах г,
т], введенных в § 3.1 (рис. 3.1 и 3.4), определяется двумя уравне¬
ниями [6], [71]:_ =	Ч	sin а-dt	тгч (R+ Л) * 11 ’(3.41)di\ V cos J)
~dt R+ h •EРис. 3.4. К определению дальности пуска ракетыdt ) ~ г* ’(3.43)68
Интегрирование системы (3.43) дает уравнение траектории, ко¬
торое является уравнением конического сечения:(3.44)Р1	—ecos (•<] — к]£) ’где р — фокальный параметр конического сечения;
е — эксцентриситет конического сечения;Г1е — угол, определяющий положение фокальной оси.При значениях е<\ уравнение (3.44) описывает эллипс, в од¬
ном из фокусов которого находится центр Земли о0 (рис. 3.4).Эллиптические траектории характерны для баллистических ра¬
кет. При е = 0 уравнение (3.44) определяет круговую орбиту спут¬
ника Земли, при е=1 — параболу, ветви которой уходят в беско¬
нечность, а при е> 1 — гиперболу с ветвями, также уходящими в
бесконечность.Входящие в уравнение (3.44) константы р, е и г)я определяются
начальными условиями свободного полета: Vh, /"а, 9а. Для практи¬
ческих расчетов удобно ввести параметрV2r	/о лсч» = ЙЯГ-	(3-«)Его значение для начала пассивного участка (точка К\
рис. 3.4) в соответствии с зависимостью (3.45) определяется вы¬
ражением(3.46)С учетом этих обозначений можно получить следующие выра¬
жения для констант уравнения (3.44):Р = r,yk cos Пк-	(3.47)e = V(l — vft)2cos29ft + sin2 »A;	(3.48)Для расчета параметров движения в любой точке траектории
обычно предлагается такая последовательность [6].Задаваясь значением угла rj, нетрудно определить высоту по¬
летаА(Ч)=-г	p-t	X~R.	(3.50)4 и 1—ecos(v] —4 'Скорость полета определяется выражениемV- Vk+зг^Ьптг-тптг)' (3'51)а угол наклона вектора скорости к местному горизонту находится
из формулым'=1т|гси'‘-	(3-52)69
Для того чтобы представить параметры движения в виде функ¬
ций времени полета, используется зависимостьt =1К/ 1arc cos —goR'21 —V*V+ tg — tg 0 . (3.53)При расчете времени полета на пассивном участке необходимо1 —Vзнак выражения sinarccos—-— принимать противоположнымзнаку sin (т) — yjje) .Поскольку в вершине траектории у] = у]е и &в = 0, то в соответ¬
ствии с выражениями (3.44) — (3.53) получим:h.-R\Vp.rpk1(2 — Vft) Vk cosO<. .
l+earc cos -1Vk (2 —N*)sin f>bГ(2- ч)(3.54)(3.55)(3.56)Используя приведенные выше зависимости, можно решить ряд
практических задач, возникающих при проектировании БР:—	определить требуемую скорость в конце АУТ по заданной
дальности пассивного участка /п и координатам lk, hh (рис. 3.4);—	найти оптимальный (обеспечивающий наибольшую даль¬
ность 1п) угол—	рассчитать полную дальность пуска.Для расчета полной дальности L обычно используют такую по¬
следовательность вычислений:V\rka = 2R(\+tgnk)-{2R + hk)4k-,b = bfi tg f>ft;С = 'A;irr rln _ ь + V b2 + ac.2	~	a	’(3.57)Ai — mK-Заметим, что вычисление всех параметров движения при ис¬
пользовании эллиптического уравнения (3.44) проводится по ко¬
нечным формулам. Однако при большом объеме вычислений целе¬
сообразнее интегрировать на ЭЦВМ систему дифференциальных
уравнений (3.41).70
Невозмущенное движение головной части при нулевом угле
атаки на атмосферном участке происходит под действием силы
тяжести и силы лобового аэродинамического сопротивленияХг; = 0,5сд.гч (М, h) kpN* (К) МФиГЧ,	(3.58)где схГЧ (М,Л) и Fur4 — коэффициент лобового сопротивления
и площадь миделя головной части.Поскольку действие атмосферы практически сказывается лишь
при высотах менее 80 км, при расчетах следует использовать до-Рис. 3.5. Движение боевой части
на конечном участке траекториипущение (3.2), а также не стоит учитывать кривизну Земли. По¬
этому при описании движения головной части на конечном участке
траектории можно ввести прямоугольную систему координат loFh
(рис. 3.5). С учетом сделанных замечаний и в соответствии с зави¬
симостями (3.23) и (3.58) окончательно получим следующую си¬
стему дифференциальных уравнений, описывающих движение го¬
ловной части на конечном участке траектории:dVdt+ g0 sin 8;(3.59)_ СД-ГЧ(M, h) kpN* (Л) M*FUГЧ	= —cos »/'dt V LUb ’d h	* r • л— =|i = Vcos9.Система (3.59) обычно интегрируется на ЭЦВМ методом Рунге-
Кутта с шагом Л^ = 0,5 + 4,0 сек до Л = 0 при следующих начальных
условиях:при t = 0 (или tP) V0=VF] h0 = hp = 80 км; /„ = 0 (или /р).»0 = 1)р.	(3.60)71
Скорость VF и угол в соответствий с выражениями	(3.51) и
(3.52) определяются выражениями:^ = / +	(3'61)cos ъ" “ 1§тШ“s “■	<3-62)Если известно отличное от нуля программное изменение угла
атаки головной части, то система (3.59) может быть дополнена
членами, учитывающими действие подъемной силы.§ 3.4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СКОРОСТИ
И КООРДИНАТ ЦЕНТРА МАСС РАКЕТЫ НА АКТИВНОМ
УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИДля проведения баллистических расчетов, в том числе для вы¬
бора программы изменения угла тангажа (см. § 3.2), необходимо
хотя бы приближенно определить скорость и координаты центра
масс ракеты на всем АУТ. Для решения этой задачи обычно ис¬
пользуют уравнения (3.16) и (3.18). При интегрировании этих
уравнений удобнее перейти к другому независимому аргументу.
В баллистических расчетах часто применяют так называемый
коэффициент наполнения субракеты топливом Для i-й субракеты
текущее значение коэффициента наполнения в момент U с начала
работы двигателя i-Pi ступени определяется выражением<3'63>где rrii и m0i — секундный расход топлива и стартовая масса i-й
субракеты.Конечное значение коэффициента наполнения для момента tu
в соответствии с выражением (3.63) имеет вид“рз/^ • ( -64)где шРэ1 — рабочий запас топлива в г-й ступени.В соответствии с зависимостями (3.6), (3.28), (3.63) и (3.64)
можно записать выражения, связывающие текущие и конечные
времена полета на первом, втором и третьем АУТ с коэффициен¬
тами наполнения топливом субракет:h — PlPW<Ai; hi — HTsl^ynOl^Oli
= Рг^уц п2^п2> = Р'А’2^уд П2^п2>
ПЗ^-ПЗ! = ^АЗ^удпЗ^пЗ’(3.65)72
Уравнение (3.16) после преобразований с учетом выражений
(3.6) и (3.65) может быть представлено в видеПервый член выражения (3.67) представляет собой «идеаль¬
ную» скорость полета Уид, определяемую по формуле К. Э. Циол¬
ковского. Второй член характеризует потери в скорости ДКР за
счет действия противодавления воздуха. Третий член учитывает
потери в скорости AFх за счет сопротивления воздуха. Четвертый
член определяет потери в скорости AVg за счет действия силы тя¬
жести. Таким образом, можно записать«Идеальная» скорость полета легко вычисляется, а определение
остальных трех членов вызывает некоторые трудности.Для МКР и БРСД с РДТТ на первом АУТ приращениедля типовых программ движения, как показывают расчеты, прак¬
тически зависит только от величины jj.i [25]. На рис. 3.6 приведен
график величиныТаким образом, текущее значение величины ДУР( на первом
ЛУТ определяется выражениемV — V„A — AVp — AVх — AVg.(3.68)»0,15,(3.69)а интеграло(3.70)оA^pl (Руд011 Ih) — Руд01^р1 (lAl)-(3.71)73
0.40,30.20.1
ОРис.Осредненная функция Ix\ (p-i) при эталонном значении Рщ~
= 25 000 кг/м2 представлена на рис. 3.7. На основании выражений
(3.66) и (3.72) можно записатьWxl (Рыи |M= -Т—	(3-73),	—	 *М1^oi V sin^jiгде Pmi — действительная поперечная нагрузка первой субракеты.В соответствии с соображениями, изложенными в § 3.2, в каче¬
стве первого приближения можно считатьНа основании выражений (3.66) и (3.68) имеем14g\ — ^oi^Vaoi^o [ (тГнГл) s*n	(3-74)о74h3.6. График функции
/pi (Hi)Рис. 3.7. График функции ((^i)Величина потерь в скорости за счет сопротивления воздуха, строго
говоря, зависит от многих параметров, однако многочисленные
расчеты типовых траекторий первого АУТ МКР и БРСД с РДТТ
показали, что величина3 		{j-iГ ,п \ Ksin2«*> kpNtfs\Pym Г Ct (М, Л) т: (h) W
1Х1\Ини р.,)—	2Яя	Jопрактически зависит только от параметров РМ\ и р,| [25].JXj, м/сек'0р1, м/сек20,5
Расчеты типовых траектории первого АУТ для МКР и БРСД
с РДТТ показали, что комплекс!Ai)=^oj	(3-75)озависит практически только от величины 9^ и ^ [25]. На рис. 3.8
показан график lgl (Э&ьр-О-
Таким образом, имеем01» ^уд01» !Ai) = ^01^уд01^1 (hu lh). (3.76)Рис. 3.8. График функций /г. (|Ч, »м)Окончательно с учетом зависимостей (3.68), (3.71), (3.73) и(3.76)	получим выражение для текущей скорости центра масс ра¬
кеты на первом АУТ=^удтЦ. (H-i) - Яу101/р1 Ы	7f Ы ^ -Х0! j/'sin2^*,- КРут'ех (V I*i),	(3-77)где Ц1 (Рч) === In 	табличная функция [100] (см. табл. 2 вприложении).Следовательно, для определения скорости полета на первом
ЛУТ необходимо знать следующие параметры ракеты: ^удои^удп1! [*А1> ^01> ^мЬ ^А1-75
Координаты первого активного участка могут быть получены
численным интегрированием. На основании зависимостей (3.18),
(3.19), (3.28) и (3.65) после преобразований получим выражения
для определения высоты и дальности:В подынтегральную функцию можно легко ввести 9i(;ii), исполь¬
зовав программу 0np(O~M*i) (3.32) и соотношение |ii = p.i(/i)
(3.65). Для приближенного определения параметров второго и
третьего активных участков можно полагать, что разворот ракеты
закончен и полет происходит в безвоздушном пространстве при ну¬
левом угле атаки. Тогда система уравнений движения (3.25) с
учетом зависимости (3.65) принимает вид:В результате интегрирования системы (3.80) получим следую¬
щие расчетные зависимости для второго АУТ:V2 (;х2) = -f- g0Pyan2 [Ц.! (^2)	sinгде Ц12(р) =ц+ (1 — jj.) In (1 — ц)—табличная функция [25] (см.
табл. 2 в приложении).Аналогичными зависимостями определяются параметры движе¬
ния на третьем активном участке траектории, если ракета имеет
три ступени.Чтобы избежать численного интегрирования выражений (3.78)
и (3.79), можно приближенно представить скорость полета ракеты
в видеВыражение (3.82) отличается от зависимости (3.77) тем, что
в нем потери в скорости AVpi и AVzi приближенно учтены заменойи	о(3.80)К (^2) —	Sin	^12(3.81)h — Ki +	cos ^*1 [~^12 —^1 —g0PyAOlUl (^l) K\PynO\^gl (\ь l^i)-	(3.82)76
b Нервом ЧЛейё йеЛйчйны Pym на РУт- На оснований формул
(3.82) и (3.78) после преобразований можно записатьг 14	Нhi^goKiPlУД01rij Uj (но sin Mh -~Ч lt\ (&*1, h) sin Mh • (3.83)LO	° 0В соответствии с выражением (3.75) при g - h — 1 после оче¬
видных преобразований зависимость (3.83) принимает видуд01ф>	OV, ft)(3.84)гдеpiФ1 (ft> 9i) = J Ui (ft) sin Mft-Для принятой программы изменения 8i(im) функция Ф1 зависит
от величин pi и 8*1. Графики функции Ф^цьдм) приведены наРис. 3.9. Графики функций Ф](ць 9ai)рис. 3.9 [25]. Дальность конца первого активного участка траек¬
тории можно приближенно определить по следующей зависимости:к\ = ААь	(3.85)где ki — коэффициент, зависящий от величины 8/ц.С уменьшением дальности полета увеличивается угол 8ai (см.
табл. 3.1) и уменьшается величина коэффициента kt. Для МКР с
РДТТ при принятой выше программе 8(0 можно принимать £* =
==1,6-т-1,8, причем меньшее значение коэффициента соответствует
и меньшей дальности полета.
Глава 4ВЕСОВОЙ АНАЛИЗ И ПРОЕКТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
РАКЕТ С РДТТ§ 4.1. ВЕСОВОЙ АНАЛИЗ РАКЕТ С РДТТОдним из этапов баллистического проектирования, как было
указано в гл. 2, является весовой анализ, предусматривающий
установление взаимосвязи между стартовым весом (массой) ра¬
кеты, ее проектными параметрами и относительными весами топ¬
лива в ступенях jjLftf. Кроме того, весовой анализ позволяет устано¬
вить зависимости, связывающие вес ступеней ракеты с парамет¬
рами их двигательных установок, а также провести анализ влия¬
ния каждого из проектных параметров на стартовый вес ракеты,
т. е. выбрать в конечном счете оптималвные значения проектных
параметров, обеспечивающих минимальный стартовый вес ракеты
при заданных значениях дальности и полезной нагрузки.Стартовая масса ракеты с РДТТ в общем случае может быть
представлена следующей зависимостью:Пты ^пн ~"Ь (^дв/ ftlnepl + ^хв/ тоуi -j- Шзг), (4.1)
1=1где тпн — масса полезной нагрузки, включающая в себя массы
боевой части, приборного отсека и размещенных в нем
приборов системы управления;
тив1 — масса двигателя i-й ступени;
тпер1 — масса переходника г-й ступени;/ихв/ — масса хвостового отсека г-й ступени;
отоу/ — масса исполнительных органов управления и силовых
приводов г-й ступени;
шз1 — масса заряда топлива г-й ступени;
п — число ступеней.Начальную массу г-й субракеты, под которой понимают часть
ракеты, продолжающую полет на активном участке траектории по¬
сле отделения отработавшей ступени, можно определить по зави¬
симости	'	*mtil = moi+j + тЛВ1 + тпер1 /ихвг + тоу i + шзи (4.2)78
где moi+i — начальная масса (г + 1)-й субракеты. Для последней
ступени ракеты в зависимости (4.2) вместо Щг+\ подставляется
масса полезной нагрузки твн-Масса боевой части при проектировании ракеты обычно за¬
дается. Включение в полезную нагрузку массы приборов управле¬
ния и приборных отсеков объясняется тем, что ее можно считать
назначаемой либо выбираемой независимо от стартовой массы ра¬
кеты. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать массу полезной
нагрузки как известную величину.В массу хвостового отсека mXBi принято включать массы при¬
боров управления ступени и бортовой кабельной сети. В первом
приближении можно принять, что массы хвостовых отсеков, пере¬
ходников и органов управления г-й ступени пропорциональны на¬
чальной массе г-й субракеты:mXBi + moyi + /ипер/ = {rnxai + rnoyl + mnepi) mol, (4.3)где rtixBi, trinepi, moyi—безразмерные коэффициенты, определяемые
как среднестатистические данные по аналогичным образцам и их
конструкторским проработкам.Для краткости дальнейших записей обозначимmXBl + mnepi + moyt==N,.	(4.4)Массу конструкции двигательной установки г-й ступени m№i
принято выражать через массу заряда этой ступени шн и коэффи1
циент конструкции двигателя аДВг:=	(4.5)Массу топлива г-й ступени в общем случае можно представить
в видешз/ — шРзг + шг/ + “дг + “до/.	(4.6)где <орз/ — рабочий запас топлива г-й ступени;—	гарантийный запас топлива г-й ступени;
сод/ — достартовый расход топлива г-й ступени;Шдо; — масса дегрессивно догорающих остатков топлива.Все ступени ракет с РДТТ, кроме последней, обычно работают
до полного выгорания топлива, так как для включения двигателя
следующей ступени не требуется наличия перегрузок. Поэтому эти
ступени не имеют гарантийных запасов. Двигатель последней сту¬
пени, выключаемый по команде от автомата управления дально¬
стью, должен иметь гарантийный запас топлива, обеспечивающий
достижение максимальной дальности в любых условиях полета.Достартовый расход представляет собой массу топлива, сго¬
рающего после срабатывания воспламенителя до достижения тяги,
равной весу ракеты, или до разделения ступеней.Масса дегрессивно догорающих остатков топлива для рабочего
процесса РДТТ считается потерянной. Наличие дегрессивных
остатков обусловливается формой заряда или его разносводностью
(эллипсность заряда, конусность канала, эксцентриситет внутрен¬
него канала относительно диаметра ракетного двигателя и др.).7?
Рассмотренные выше слагаемые существенно отличаются друг
от друга по величине. Время выхода на режим РДТТ составляет
от нескольких сотых до десятых долей секунды, поэтому достарто-
вый расход содi представляет собой ничтожно малую величину, ко¬
торой можно пренебречь. Более значительными являются массы
дегрессивно догорающих остатков и гарантийных запасов топлива,
однако и они составляют относительно небольшую Долю рабочего
запаса топлива. Большие остатки дегрессивно догорающего топ¬
лива образуются при звездчатом сечении канала, однако для
устранения этого недостатка в больших двигателях устанавливают
несколько (по числу лучей звезды) треугольных вставок из пено¬
пласта, которые заменяют дегрессивно догорающую часть заряда
[63]. Это уменьшает массу «остаточного» топлива при небольшом
увеличении пассивной массы ракеты. В связи с этим на стадии
баллистического проектирования величина дегрессивно догораю¬
щих остатков и гарантийных запасов топлива может быть учтена
некоторым поправочным коэффициентом kmi, выбираемым на
основании обработки статистических данных образцов ракет, близ¬
ких к проектируемой. Полный расчет гарантийных запасов топлива
приведен в гл. 5. Учитывая указанные замечания, можно записать®« =	(4.7)Выражение (4.5) с учетом уравнения (4.7) перепишется сле¬
дующим образом:mABi —	(4.8)Используя принятые обозначения, весовое уравнение для суб¬
ракеты (4.2) можно записать в следующем виде:Щ, = woi+1 + 1 + ka. (1 + адвг) а)рзг.	(4.9)Введя коэффициент наполнения ракеты топливом(4Л°)после преобразования окончательно получимWpf-nО	-г “дв. 	 (1 А!j) m0j тон i	i r)\к‘ ~ kmi (1 + адв1-) т01 •	( • )Используя зависимость (4.11), можем записать выражения для оп¬
ределения стартовой массы, например для двухступенчатой ракетыm°l = [1 - Nt - ка1 (1 + адв1) ц*,] [1 - N,-kw2 (1 + адв2) Ws] *^4-13)
или для трехступенчатой ракеты«01 =		"'пи	[1—VVi—(1 +«ДВ1) (A*i] [1—Af2—*0,2 (1 +адвг) 1^*2] [1“^8—£щ3 (1 +адвз)|А£з]'(4.14)т(4.11)
Из зависимостей (4.13) и (4.14) вытекает, что при заданной
массе полезной нагрузки стартовая масса ракеты определяется
четырьмя коэффициентами: Nh kal, цАг и адв/. Коэффициен¬
ты Ni и kmi имеют небольшой разброс и их можно брать по имею¬
щимся статистическим данным. Коэффициент наполнения субра¬
кеты топливом [ш определяется из баллистического расчета как
функция требуемой дальности полета (см. гл. 5).Основную сложность при проектировании ракет с РДТТ пред¬
ставляет определение коэффициента конструкции двигателя адв<.
Попытки получить средние значения аДВг по статистическим дан¬
ным не приводят к положительным результатам, так как эти зна¬
чения во многом зависят от используемых конструкционных мате¬
риалов, а также от форм зарядов и способов их размещения в ка¬
мере сгорания. Кроме того, параметры двигателя непосредственно
связаны с параметрами проектируемой ракеты.Рис. 4.1. Схема двигателя на твердом топливе:1 — воспламенитель; 2 — переднее днище; 3 — корпус; 4 — щелевой заряд; 5 —
теплозащита; 6 — бронировка; 7 — сопловой блокПоскольку схемы РДТТ всех ступеней практически одинаковы,
то для определения коэффициента адвг- рассмотрим типовой двига¬
тель, включающий в себя все необходимые элементы (рис. 4.1).
В самом общем случае такими элементами являются: цилиндриче¬
ский корпус 3 с днищем 2 и сопловым блоком 7, теплозащитное
покрытие 5 корпуса двигателя и заряда, бронирующее покрытие 6
на отдельных частях заряда, а также слой герметика, скрепляю¬
щий заряд со стенками корпуса.Общая масса конструкции двигателя может быть записана сле¬
дующим образом:где /Яц—масса цилиндрической части корпуса;
тла—масса днища корпуса двигателя;
тсб— масса соплового блока;—масса теплозащиты;
тбр—масса бронирующего покрытия;
tnr— масса слоя герметика./«дв — «ц + отд„ + т.сб + т„ + щ р + тп (4.15)Ы
С учетом выражения (4.15) зависимость (4.5) принимает видата + тли + тсб + тТЗ + т6р + тТ(4.16)'ДВОпределим все составляющие, входящие в зависимость (4.16).
Масса цилиндрической части корпуса определяется на стадии бал¬
листического проектирования из условия нагружения ее макси¬
мальным внутренним давлением. При проведении проверочных
расчетов толщина оболочки уточняется с учетом действия вну¬
тренних и внешних нагрузок. Рассматривая цилиндрический кор¬
пус как тонкостенную трубу, можем записать выражение для тол¬
щины оболочкигде рк — давление в камере сгорания РДТТ;D — диаметр двигателя;°ь — предел прочности материала оболочки;/—коэффициент безопасности.В связи с тем что оболочки РДТТ изготавливаются из высоко¬
прочных материалов и их толщина составляет незначительную
долю диаметра двигателя, массу цилиндрической части можно
определить по следующей формуле:та = *£>8црц£/„	(4.18)где рц — плотность материала цилиндрической части корпуса;
kt—коэффициент, учитывающий различие длин заряда и ци¬
линдрической части камеры сгорания;/3 — длина заряда твердого топлива.Подставляя в зависимость (4.18) значение толщины оболочкииз выражения (4.17) и относительную длину заряда /3 > окон¬
чательно получимКак было указано в гл. 2, днища РДТТ могут быть сфериче¬
ские, эллиптические и торосферические. В общем случае масса
одного днища может быть выражена следующей зависимостью:где 5'дн1 — площадь срединной поверхности днища;8ин1 — толщина стенки днища;Рдн1 — плотность материала днища.Пренебрегая размерами вырезов, площадь днищ определяется
следующими зависимостями:•— для сферического днища, выполненного в виде сегмента:(4.19)(4.20)•?дн1 = ^-(£3 + 4Л3),(4.21)82
Где h — высота днища;D — диаметр цилиндрической части корпуса РДТТ;—	для эллиптического днища, выполненного в виде Поло¬
вины эллипсоида вращения с произвольным соотношением полу¬
осей:ЛДН1InD + У LP — 462
D — J/D2-. 462 ) ’где b — малая полуось эллипсоида вращения;(4.22)Рис. 4.2. Схема торосферического днища и схема нагруженияшпангоута—	для торосферического днища (рис. 4.2,а), меридиан кото¬
рого состоит из дуги окружности ABC с радиусом и двух дуг
окружности СД и АЕ с радиусом /?2;$ял — 2тг j /% (1 — cos <р) + R2D п (\ 2 cos '"2■?)}, (4.23)где ср — угол между осью двигателя и радиусом, проведенным в
точку сопряжения двух окружностей, выраженный в радианах.Толщина днищ в первом приближении может быть определена
из условия обеспечения прочности днища без учета концентрации
напряжений в местах отверстий и патрубков.Так, толщина сферического днища по зависимостям безмомент-
пой теории оболочек* _ /Рк(£>2 + 4Л2) ^	. ^4 24^дн116Л<7,ыгде рк — давление в камере сгорания РДТТ;D — диаметр цилиндрической части двигателя;А —высота днища;предел прочности материала при температуре нагрева
днища t.■‘bt83
Для определения толщины эЛЛИПШескоге днища можно Ис¬
пользовать зависимость [47]:(4.25)где k3 — коэффициент, зависящий от отношения т=*-^\Ь,где -j- и b — полуоси эллипса.График значений коэффициента кэ приведен на рис. 4.3. Тол¬
щина торосферического днища определяется по следующему вы¬
ражению:8дн1=*с4^,	(4-26)где — радиус сферической части днища;kc — коэффициент, зависящий от отношения радиуса торовой
части днища R2 к Ri.Рис. 4.3. График зависимости коэффи¬
циента к3 от соотношения полуосей
эллипсоидаГрафик для определения коэффициента kc приведен на рис. 4.4.
Таким образом, используя зависимости (4.20) — (4.26), имеем все
необходимые данные для определения массы днищ РДТТ.Для определения массы шпангоутов необходимо знать их пло¬
щади поперечных сечений, определяемые из условия обеспечения
требуемой прочности и устойчивости конструкции.На шпангоут действует погонная сжимающая нагрузка q
(рис. 4.2,6), зависящая от геометрических параметров днища и
давления в камере сгорания:\ т	/Рк#Сфq — cos <р = —g— cosгде /?сф — радиус сферического днища;<Р — угол между касательной к сфере в месте стыка со шпан¬
гоутом и перпендикуляром к оси двигателя.84
От действия сил q ё шпангоуте возникают напряженияашп “ Р Iг шпгде R—радиус шпангоута (двигателя);Ршп — площадь поперечного сечения шпангоута.Из последних двух соотношений получим требуемую площадь
поперечного сечения шпангоутаqR __ /РкЯсфК/•'шп :°доп2адопCOS ср.(4.27)Рис. 4.4. График зависимости коэффициента kc от соотно¬
шения радиусов тора и сферы в торосферическом днищеЗная площадь поперечного сечения шпангоута, легко найдем
его массу. Аналогичным образом можно определить площадь по¬
перечного сечения шпангоута и при других формах днищ.Внутренняя поверхность корпуса РДТТ покрывается слоем теп¬
лозащиты, предотвращающим воздействие на нее горячих газов.
Толщина этого слоя зависит от конструкции двигателя и теплофи¬
зических характеристик принятого материала покрытия. В двига¬
телях со скрепленным зарядом толщина этого слоя невелика и в
существующих ракетах с РДТТ составляет несколько миллимет¬
ров. Однако при большом диаметре и большом времени работы
двигателя она может достигать значительной величины (до 10—
15 мм [75]).При использовании щелевых зарядов, скрепленных с корпусом,
участки внутренней поверхности цилиндрического корпуса в районе
щелей вступают в контакт с горячими газами с начала горения
заряда. По мере сгорания заряда эти участки увеличиваются.
В связи с этим данная часть внутренней поверхности нуждается в
усиленной тепловой защите, толщина которой может доходить до
нескольких десятков миллиметров. Кроме того, на величину тол¬
щины теплозащитного покрытия влияют температура продуктов85
сгораний, наличие твердых частиц в продуктах сгорания, а также
химически агрессивные компоненты, находящиеся в продуктах сго¬
рания.Приняв толщину теплозащитного покрытия постоянной и рав¬
ной некоторому среднему значению, массу его можно рассчитать
по формулам (4.18) и (4.20), подставляя в них соответствующие
значения параметров теплозащитного покрытия.Толщина теплозащитного покрытия, входящая в указанные
выше зависимости, может быть рассчитана с использованием гра¬
фиков рис. 4.5 и следующих соотношений:„ __ (а8п ~Ь ^п) ~?мСм^м ~Ь ^пТп^п^п .	/л OQ\“ТпСп*5	’	’„ /'о Тлоп
° = Т0-Та ’(4-30>где Ym, См- К—плотность, удельная теплоемкость и толщина
материала стенки корпуса или днища РДТТ(ум в кг/ж3; См в	; 8м в м);Тп> Сп, оп —то же, для теплозащитного покрытия;а — коэффициент теплоотдачи от газа к покрытию в
дж
SVC’Хп — коэффициент теплопроводности покрытия в
дж
мч° С ’Т0 — температура продуктов сгорания в РДТТ в °С;Тн — начальная температура корпуса РДТТ в °С;Т'доп — допустимая температура нагрева корпуса РДТТ
в 0 С;х — время работы двигателя в ч;F0 — функция, определяемая из графика (рис. 4.5).Расчет толщины теплозащитного покрытия ведется методом
последовательных приближений в следующем порядке.1.	Задаемся некоторым значением толщины покрытия и по за¬
висимости (4.28) рассчитываем параметр р..2.	По заданной допустимой температуре нагрева корпуса
РДТТ по зависимости (4.29) находим параметр 0.3.	Войдя в график (рис. 4.5), по значениям [л и 0 определяем
величину параметра F0.4.	По формуле (4.30) рассчитываем толщину теплозащитного
покрытия в первом приближении и принимаем его в качестве ис¬
ходного для расчета во втором приближении.Далее все расчеты по пп. 2, 3, 4 повторяются, и так до получе¬
ния требуемой точности расчета. Обычно бывает достаточно двух¬(4.29)86
трех приближений. Подробно данный метод расчета изложен в
работе [69].При использовании аблирующих покрытий, которые обычно
применяются для защиты от нагрева сопловых блоков, толщина
их может быть рассчитана следующим образом [69].0Рис. 4.5. Графики функций для определения толщины теплозащит¬
ного покрытияЛинейная скорость абляции с требуемой для инженерной прак¬
тики точностью может быть рассчитана по зависимости
где <710 — суммарный тепловой поток, подводимый к поверхности
аблирующего покрытия;Qs — удельная теплота абляции, отнесенная к 1 кг аблирую¬
щего материала;Ts — температура начала абляции материала покрытия;—	коэффициент, принимаемый в расчетах для используе¬
мых теплозащитных покрытий равным 0,4—0,5;X— коэффициент, учитывающий полноту газообразования;
/0 — удельная энтальпия газа на внешней границе погранич¬
ного слоя;
fs — удельная энтальпия газа у стенки.Толщина аудировавшего слоя за время работы двигателяТ®абл ~ j"0в случае постоянной скорости абляции^абл ~ мпх>где х — время работы двигателя.Необходимая толщина аблирующего покрытия определяется из
условия&п = §абл + 80с>где 8ос — толщина остаточного слоя, при котором температура кор¬
пуса двигателя не превышает допустимой.Если скорость абляции постоянная, то толщина остаточного
слоя может быть рассчитана по следующей формуле:<4-3»где а — коэффициент температуропроводности.При эскизном баллистическом проектировании можно восполь¬
зоваться приближенной эмпирической зависимостью для опреде¬
ления суммарной массы теплозащиты и скрепляющего слоя в дви¬
гателях со скрепленными с корпусами зарядами. В связи с тем что
масса теплозащиты и скрепляющего слоя зависит в основном от
температуры и состава продуктов сгорания, размеров двигателя и
времени его работы, появляется возможность выразить эту массу
через суммарный импульс двигателя, объединяющий все указан¬
ные выше параметры. На основании статистической обработки дан¬
ных по существующим двигателям ракет с РДТТ масса теплоза¬
щиты и скрепляющего слоя может быть выражена следующей при¬
ближенной зависимостью:тп = £ХС/Р,	(4.32)где /р — суммарный импульс тяги при расчетном режиме работы
двигателя;kTQ — статистический коэффициент, принимаемый равным
(1,0 4-2,5)-10-*-^-.88\
В зависимости (4.32) суммарный импульс необходимо под*
ставлять в н • сек, тогда получим массу теплозащиты и скрепляю¬
щего слоя, выраженную в килограммах.Сопловые блоки всех ступеней имеют одно или четыре сопла.
Массу каждого сопла также можно представить в виде суммы
масс несущей оболочки и тепло¬
изоляционного покрытия.Поскольку сопла нагружают¬
ся низкими давлениями продук¬
тов сгорания и защищены от воз¬
действия высоких температур, то	U^*|
толщина несущей оболочки обыч¬
но выбирается из конструктивных Рис- 4-6- Элементы профиля сопля
соображений, т. е. из условияобеспечения требуемой жесткости и необходимости крепления к
ней органов управления вектором тяги. Если полагать толщину
несущей оболочки в рассматриваемом сечении сопла пропорцио¬
нальной диаметру этого сечения, то ее масса может быть выра¬
жена зависимостью1с	1стск — j рKTzDbKdl — тсрк | DbKdl.	(4.33)о	_ оСогласно рис. 4.6 выражение (4.33) можно переписать в сле¬
дующем виде:°а«ск = тсРк j DbK I ctg P I dD.	(4.34)ДвхПри заданном профиле сопла и при фиксированном отношении
диаметра среза сопла Da к диаметру критического сечения £>кр в
работе [100] предлагается массу сопла выражать через диаметр
критического сечения и коэффициент пропорциональности kCK:^ск == АсАр ,ИЛИ= kCKF'Jt»	(4-35)где FKp — площадь критического сечения.В связи с тем что тяга двигателя пропорциональна площади
критического сечения, масса оболочки сопла может быть выра¬
жена зависимостьюmCK = kCKP>l\	(4.36)Внутренняя поверхность сопел РДТТ с большим временем ра¬
боты всегда покрывается слоем теплозащиты. В качестве теплоза¬
щитных материалов могут использоваться различные пластики
пли прорезиненные ткани. В области критического сечения, яв¬
ляющегося наиболее теплонапряженным, обычно устанавливается89
Ькладыш йз тугоплавкого эрозионностойкого материала (графит,
молибден, вольфрам и др.). В первом приближении можно счи¬
тать, что толщина теплозащиты пропорциональна времени работы
двигателя. В этом случае масса теплозащиты выражается зависи¬
мостьюWc3 = TCp3 j Dkjz I ctg ft I (ID.	(4.37) ,Проведя преобразования, аналогичные преобразованиям при
расчете массы оболочки сопла, получимЩ, = йе/'крТ	(4.38)илиmc3 = kc3Pz = kcJp.	(4,39)Суммарную массу одного сопла получаем из зависимостей (4.36)
и (4.39)тс = kCKPVl + kjp.	(4.40)Для двигателей, имеющих большое время работы, второй член
может быть определяющим, поэтому некоторые авторы [12], [61]
считают, 41-0 масса сопла приблизительно пропорциональна пол¬
ному импульсу тяги, выраженному в н-сек, т. е.m^kjp.	(4.41)Так, Ж. Вандеркенкхове [12] на основе анализа существующих кон¬
струкций РДТТ, принимая данное допущение, предлагает прини-
свкмать fec = 2,5-10-5 —■ . Другие авторы [61] .анализируя более но¬
вые конструкции РДТТ, считают этот коэффициент завышенным исекпредлагают принимать его равным (0,8ч-1,2) • 10~5 ——.Зависимости (4.36) и (4.39) получены из условия заданного
Daотношения	и, строго говоря, справедливы только для гео-икрметрически подобных сопел. При других значениях этого отноше¬
ния необходимо учитывать и изменение коэффициентов kCK и kc3.
Если известны коэффициенты для какого-либо отношения диамет¬
ров, то для других отношений приращение значений коэффициен¬
тов может быть рассчитано следующим образом. Приращение
массы несущей оболочки сопла при увеличении площади выход¬
ного сечения можно представить как= рАд£,	(4.42)где AS — приращение поверхности сопла, соответствующее прира¬
щению площади выходного сечения \Fa.В свою очередьД5 = ДFa ctg ра - FкрД (^) ctg L ■	(4.43)где j3a — средний угол конусности сопла вблизи его среза.90
Подставляя значение AS из выражения (4.43) в зависимость(4.42), получимАШск = Р A Ctg Ра^крА .	(4.44)Из выражения (4.35) приращение этой же массыЛтск = ДkCKF'J>.	(4.45)Приравнивая правые части выражений (4.44) и (4.45), получимМск_£кк^Д/М.	(44б)гкр	Ч кр/Проведя аналогичные вычисления для приращения массы теп¬
ловой защиты сопла, получимА^сз = P»V Ctg Ра^крД (j^j	(4.47)иA^c, = Ps^ctgM(^).	(4.48)Наконец, определим массу заряда, которую можно выразить
зависимостью= Рт -j- <pe/sD5,	Л	(4.49)где рх—плотность топлива;<р— коэффициент, учитывающий различие площадей камерыFK ( . 0 8П + 8Ц \
и миделя ракеты ©= jr- = ( 1 — 2 ^— );е—коэффициент заполнения площади поперечного сеченияркамеры зарядом е = — (FT — площадь поперечного се-ГКчения заряда).Если заряд состоит из участков с существенно различными зна¬
чениями коэффициента е (например, щелевой заряд), то в зависи¬
мость (4.49) следует подставлять приведенное значение этого коэф¬
фициента, определяемого по формуле	 £1^! + е2^2ПР ~ /1 + *2 *где Sj и s2 — значения е для отдельных участков, заряда;1Х и 12 — длины этих участков.Для сокращения записи выражение (4.49) для массы заряда
перепишем следующим образом:ш S = <1>/SDS,	(4.50)где ф = ^-Ртфе.Таким образом, подставляя в зависимость (4.16) значения масс
отдельных элементов двигателя, рассчитываемых по выражениям91
(4.19), (4.20), (4.41) и (4.49), найдем значение коэффи¬
циента «дВ.Коэффициент конструкции двигателя оказывает большое влия¬
ние на стартовую массу ракеты. В свою очередь он зависит от тя-
ювых параметров, характеристик применяемых конструкционных
и теплозащитных материалов, а также от конструкции отдельных
элементов РДТТ. С увеличением размеров двигателя значение
коэффициента адв, как правило, уменьшается.Основными направлениями дальнейшего снижения коэффи¬
циента аДв являются:—	уменьшение рабочего давления в двигателе;—	применение топлив с малой зависимостью скорости горения
от температуры заряда;—	поддержание постоянной температуры заряда путем термо-
статирования либо применения регулируемых сопел с целью под¬
держания постоянного давления в камере сгорания независимо от
скорости горения топлива;—	изготовление корпуса двигателя из материалов с большой
удельной прочностью;—	увеличение коэффициента заполнения камеры сгорания топ¬
ливом.Однако указанные направления не всегда могут быть приме¬
нены на практике, так как задача уменьшения коэффициента кон¬
струкции двигателя должна решаться при условии обеспечения
требуемой дальности полета ракеты и заданной массы полезной
нагрузки.В заключение отметим, что, используя полученное значение
коэффициента конструкции двигателя, по зависимостям (4.12) и
(4.13) можем определить стартовую массу двухступенчатой или
трехступеичатой ракеты с РДТТ.Используя выражения (4.7) и (4.50), зависимость (4.9) для
определения массы г-й субракеты в окончательном виде можно за¬
писать следующим образом:т0, = moi+l + Nttrio, + (1 + а„,) ■	(4.51)Полученная зависимость в дальнейшем будет использована для
оценки влияния различных параметров на массы субракет и на
стартовую массу ракеты в целом.§ 4.2. ПРОЕКТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ РАКЕТ С РДТТМаксимальная скорость ракеты в конце активного участка тра¬
ектории, а следовательно, и максимальная дальность полета при
принятой программе движения зависят от следующих параметров
(см. § 3.4):—	числа ступеней ракеты п\—	коэффициентов наполнения субракет топливом—	удельных тяг двигателей ступеней Руд»;92
—	начальных тяговооруженностей субракет, характеризую¬
щихся коэффициентами Х<;—	поперечной нагрузки ракеты РмьТаким образом, максимальная дальность полета баллистиче¬
ской ракеты может быть представлена в виде функцииL - / (ц«, Руы, К Pul), i= 1, 2,..., п.	(4.52)Удельная тяга РДТТ зависит от состава топлива, конструкции
двигателя и величины давлений в камере сгорания рк и в выходном
сечении сопла ра. При выбранном топливе и принятой конструк¬
ции двигателя удельная тяга однозначно определяется давлениями
рк и ра, поэтому выражение (4.52) можно переписать в видеL =»/({*«, Pki, Pah h, Pul), i = 1. 2,..., П. (4.53)
При проектировании ракет с РДТТ относительные массы топ¬
лива субракет цм обычно выражают через коэффициент наполне¬
ния топливом первой субракеты \±k\ следующим образом:Н*8- = *2^*2 = *lWkl,П-1 = Х1Х2 • ■ •гдеПараметр х характеризует соотношение масс смежных субракет
и выбирается из условия обеспечения минимальной стартовой
массы ракеты при заданных значениях массы полезной нагрузки
и дальности пуска ракеты.Заменяя в выражении (4.53) р./» его функциональной зависимо¬
стью из системы (4.54), дальность полета ракеты можно предста¬
вить в виде следующей функции:£=/( t*M. V-1> P*i, Pai,h, Pul),	(4.55)Для дальнейших преобразований функцию (4.55) целесооб¬
разно представить в виде обратной функции коэффициента цы:*1—1,Рк1, Pal, ^l, Pul) , t — 1) 2, ..., п. (4.56)
Анализируя зависимости (4.14), (4.16) и (4.49), можно заме¬
тить, что стартовая масса ракеты с РДТТ является функцией сле¬
дующих параметров:^01 ~ /l (^пн> V'kh Рк1, Pal, ^з/> %1, Рт/) , £ — 1, 2, . . . , П.Используя систему зависимостей (4.54) и подставляя в послед¬
нее выражение вместо рм его функциональную зависимость, стар¬
товую массу ракеты можно записать в следующем виде:m0l — fl [тпп> L, x,_ji Pki, Pai, ^h Pyi], hh uh Рт/)> i ~ 1)2, П. (4.57)(4.54)93
Исходя из определения коэффициента тяговооруженности суб¬
ракеты и используя выражение (4.50), можем записать) 	 moiKo 	 тЫ	(л сго\Pi “ Руд/И/PriS ’	^ ^где S — поверхность горения заряда, зависящая от его геометри¬
ческих размеров.Таким образом, коэффициент тяговооруженности субракет с
РДТТ является функцией т0;, Яудг, «г, ртг и /Зг, т. е. параметров,
которые уже входят в функциональную зависимость (4.57), и по¬
этому Xj из этого выражения можно исключить.Наконец, рассмотрим поперечную нагрузку на мидель PM. Из
самого определения следует, чтоРи4т01M1 ~ nD\Подставляя значение диаметра D\ из выражения (4.50), полу-<4-5э>ЧИМР - — ii		7С	kiСледовательно, начальная поперечная нагрузка может быть
исключена из выражения (4.57), поскольку она определяется со¬
четанием других параметров, входящих в это выражение. С учетом
указанных замечаний стартовая масса ракет с РДТТ может быть
окончательно представлена в виде следующей функциональной
зависимости:Л*01=/з(«пн» L, \_vPKt,Pai, hi, Иi, Pxi), i =1.2	п. (4.60)Параметры ракеты, которые при заданных максимальной даль¬
ности полета L, массе полезной нагрузки тпа, а также при выбран¬
ных топливе, конструктивной схеме и материалах для изготовле¬
ния ракеты позволяют однозначно определить массовые, габарит¬
ные и тяговые характеристики ракеты, принято называть проект¬
ными параметрами.Для ракет с РДТТ такими параметрами являютсяЯ, xi, PkIi Pai> hit (^Рт)/> 2 = 1, 2, . . . , Я.Остальные параметры, необходимые при проектировании ра¬
кеты, определяют по уравнениям связи. Следовательно, при задан¬
ных значениях дальности пуска L и массы полезной нагрузки тпн
проектные параметры однозначно определяют стартовую массу
ракеты, а также ее тяговые и геометрические характеристики.Правильный выбор проектных параметров целиком определяет
в дальнейшем основные характеристики и боевые возможности
проектируемой ракеты. Однако одна и та же дальность полета ра¬
кеты может быть достигнута при различных сочетаниях проектных
параметров. Изменение сочетания проектных параметров в свою
очередь влечет за собой изменение стартовой массы и геометриче¬94
ских характеристик ракеты. Кроме того, изменение числа ступеней,
стартовой массы и размеров ракеты требует изменения характе¬
ристик других элементов ракетного комплекса: транспортных
средств, установщиков, перегрузочных устройств, шахтных соору¬
жений и т. д. Поэтому выбор наиболее рациональной комбинации
проектных параметров, в наибольшей степени удовлетворяющих
тактико-техническому заданию на проектирование ракеты, являет¬
ся одной из главных задач проектирования.Задачу по отысканию сочетания проектных параметров, обес¬
печивающего наиболее приемлемый вариант ракеты, называют за¬
дачей оптимизации проектных параметров ракеты.Однако необходимо иметь в виду, что в общем случае оптими¬
зация проектных параметров ракеты требует учета их влияния на
характеристики не только проектируемой ракеты, но и на свойства
всего ракетного комплекса. Так, например, выбор числа ступеней
практически невозможен без анализа характеристик всего ракет¬
ного комплекса. Что же касается остальных проектных парамет¬
ров, то их оптимизация в первом приближении может быть прове¬
дена на основе анализа характеристик только самой ракеты.§ 4.3. ВЫБОР ЧИСЛА СТУПЕНЕЙ РАКЕТЫ С РДТТОптимальное число ступеней ракет с РДТТ при пусках на раз¬
личные дальности может быть определено на основании анализа
их баллистических возможностей. Как известно, полная дальность
полета ракеты выражается через скорость в конце активного
участка траектории следующей приближенной зависимостью [25]:£ = (1,04 -4- 1,07) 222,4 arctg ■ — 	 . (4.61)‘5’8V 62,5— vlДля удобства дальнейшего анализа примем приближенное выра¬
жение для определения скорости в конце активного участка траек¬
торииПVK = g0^ Рулп/ In - ДКк,	(4.62)i = 1	vгде Рулп1—удельная тяга двигателя г-й ступени в пустоте;AVK — суммарные потери скорости, обусловленные дей¬
ствием сил земного притяжения, сопротивлением воз¬
духа, а также отклонением значения удельной тяги
двигателя каждой ступени от ее значения в пустоте.На основании многочисленных экспериментальных данных и
результатов расчетов известно, что при оптимальных программах
движения ракеты на активном участке траектории суммарные по¬
тери для стратегических ракет с РДТТ не превышают 20%-В связи
с этим качественный анализ выбора числа ступеней можно прове-
ети без учета указанных выше потерь.95
Рассмотрим кратко баллистические возможности одноступенча¬
тых ракет. Анализируя зависимости (4.61) и (4.62), видим, что
скорость в конце активного участка траектории, а следовательно,
и дальность полета одноступенчатой ракеты могут быть сущест¬
венно увеличены только за счет увеличения значений удельной тяги
двигателя и коэффициента [«, т. е. относительного запаса топлива
в ракете. Влияние этих параметров на скорость VK различно: ско¬
рость Ук пропорциональна удельной тяге, а от коэффициента р.й
зависит более сложно. Расчеты показывают, что если при измене¬
нии Рудп на 1% скорость также изменяется на 1%. то изменение
[ih на 1 % (при малых значениях р.*) приводит к изменению скоро¬
сти менее, чем на 1%. При больших значениях рь изменение р.* на
1 % сказывается на изменение скорости VK более существенно, чем
изменение на тот же 1% удельной тяги Рудп- Таким образом, для
увеличения скорости в конце активного участка траектории одно¬
ступенчатой ракеты в первую очередь необходимо увеличивать
удельную тягу двигателя, так как это дает больший выигрыш в
дальности полета. Однако на современном этапе развития ракет¬
ной техники достичь больших значений Рут пока не удается. Ве¬
личина удельной тяги зависит от энергетических возможностей
применяемого топлива и совершенства конструкции двигателя. Для
существующих в настоящее время ракет с РДТТ удельная тяга
ограничена значениями РуДЦ «280-7-290 сек.Величина относительного запаса топлива зависит от приро¬
ды топлива, свойств конструкционных материалов, совершенства
двигателя и ракеты в целом, системы управления и массы полез¬
ной нагрузки.Исходя из зависимости (4.12), связь между р* и основными па¬
раметрами одноступенчатой ракеты записывается в следующем
виде;. <463)В приведенной зависимости коэффициенты N и адв характери¬
зуют весовое совершенство конструкции ракеты. Очевидно, что для
увеличения р* коэффициенты N и адв следует уменьшать. Их умень¬
шение может достигаться следующими путями:—	применением более качественных конструкционных материа¬
лов, используемых для изготовления несущих элементов ракеты;—	выбором рациональных форм и силовых схем отсеков и пе¬
реходников;—	совершенствованием методов прочностных расчетов и испы¬
таний ракет;—	выбором рациональных форм и размеров зарядов твердого
топлива;—	применением более качественных теплоизоляционных и теп¬
лозащитных материалов.Кроме того, при оценке величины р.* большое значение имеет
второе слагаемое. Масса полезной нагрузки включает в себя массы96
боевой части и аппаратуры управления. Масса боевой части при
заданном тротиловом эквиваленте может быть уменьшена путем
применения более совершенной формы боевой части, а также в
результате применения конструкционных материалов с высокой
удельной прочностью и высокоэффективных теплозащитных мате¬
риалов.Таким образом, на каждом этапе развития ракетной техники
увеличение относительного запаса топлива в ракете, а следова¬
тельно, и дальности полета может быть достигнуто в первую оче¬
редь изменением стартовой массы и габаритов ракеты, а также
уменьшением массы полезной нагрузки.Используя зависимость (4.63), можно выявить влияние массы
полезной нагрузки на относительный запас топлива в ракете. На
рис. 4.7 показан характер изменения коэффициента |л* в зависимо-Рис. 4.7. Графики зависимости относительного
запаса топлива от относительной полезной на¬
грузкисти от отношения стартовой массы ракеты к массе полезной на¬
грузки. Расчеты проведены при условии изменения в выражении
(4.63) только массы полезной нагрузки и оставления постоянными
всех остальные величин. Характер кривых показывает, что с уве¬
личением отношения т° коэффициент и & монотонно возрастает,тпнприближаясь в бесконечности к своему пределу, равному первому
члену выражения (4.63). Однако изменение коэффициента р.& про¬
исходит весьма неравномерно. При малых значениях отношения
стартовой массы к массе полезной нагрузки, т. е. при небольших
стартовых массах ракеты или больших массах полезной нагрузки,
коэффициент [лй изменяется очень существенно. При больших зна¬
чениях стартовых масс ракет и небольших массах полезной на¬
грузки коэффициент [is изменяется очень медленно, плавно при¬
ближаясь к своему пределу. Замедление изменения ps наступает
тем быстрее, чем больше стартовая масса ракеты при переменных
значениях массы полезной нагрузки, и тем медленнее, чем меньше
масса полезной нагрузки при изменении стартовой массы ракеты.Расчеты показывают, что характер изменения дальности в за¬4-57397
висимости от соотношения, масс ракеты и полезной нагрузки такой
же, как и для коэффициента р.*. Существенный прирост дальности'происходит только до-^5- = 40-г-50. Дальнейшее увеличение стар¬
елитовой массь; ракеты (при постоянной массе полезной нагрузки)
слабо влияет как на увеличение \\h, так и на увеличение дальности
полета.Таким образом, при существующих смесевых твердых топливах
и используемых массах боевых частей одноступенчатые ракеты мо¬
гут быть использованы на дальностях до 2000 км. Однако для обес¬
печения предельных дальностей полета необходимо использовать
очень легкие боевые части и аппаратуру управления, а- также со¬
вершенную схему РДТТ с небольшими значениями коэффициента
конструкции двигателя адв.Значительно проще решается задача обеспечения больших
дальностей полета путем применения составных (многоступенча¬
тых) ракет, у которых отработавшие двигатели отбрасываются и
не тратится энергия для их дальнейшего разгона. Вследствие этого
многоступенчатая ракета при одной и той же стартовой массе мо¬
жет развить значительно большую скорость в конце активного
участка, а следовательно, и дальность полета, чем одноступенча¬
тая. Поясним эту мысль примером.Рассмотрим одноступенчатую и двухступенчатую ракеты с одинаковой
стартовой массой moi = 30 т. Для одноступенчатой ракеты примем рабочий запас
топлива шт=26 т и РуДП=265 сек. Коэффициент наполнения ракеты топливомц* = = 2Q- = 0,867.По зависимости (4.62) скорость в конце активного уча¬
стка траектории без учета потерь будет равнаУ к = goPynn !n	= 9,81 ■ 265 In j _ q 867 = 5300 м/сек.Стартовую массу двухступенчатой ракеты представим следующим образом:
масса первой ступени mi=10 т и запас топлива в ней 8,5 г; удельную тягу
двигателей на обеих ступенях- оставим такой же, как и для одноступенчатой ра¬
кеты РудП = 265 сек. Общее количество рабочего запаса топлива уменьшено на
0,5 т в связи с тем, что масса конструкции двухступенчатой ракеты увеличи¬
вается в результате появления второго двигателя.(*>! 17 п	«2 8,5 посВ этом случае ?kt = — = w = 0,567; ц*2 = — = = 0,85.Скорость в конце активного участка будет равна= go РуЛи Ш	== 9,81 -265 In (1_0i567) (j — o,85) = 712° M,°eK'Таким образом, прирост скорости за счет использования двухступенчатой
ракеты получили равным 1820 м/сек. Следовательно, двухступенчатые ракеты
могут обеспечить достижение значительно большей дальности, чем одноступен¬
чатые при одной и той же стартовой массе, или одна и та же дальность может
быть достигнута двухступенчатой ракетой со значительно меньшей стартовой
массой.Число ступеней ракеты необходимо выбирать с учетом влияния
числа ступеней на стартовую массу и размеры ракеты, на надеж-98
иоеть ракеты при боевом использовании и на ее эксплуатационные
(нойства, а также с учетом влияния на стоимость ракеты и всего
ракетного комплекса в целом.При проектировании ракеты с РДТТ топливо, масса полезной
нагрузки и предельная дальность обычно задаются. Если же ра¬
кета проектируется для поражения какой-либо заданной цели, то
и н этом случае массу полезной нагрузки можно считать извест¬
ной, так как она определяется из условия требуемой вероятности
поражения заданной цели.В первую очередь установим влияние числа ступеней на стар-
товую массу ракеты. Для этой цели рассмотрим графики (рис. 4.8
н 1.9) зависимости дальности L от числа ступеней п и отношениястартовой массы ракеты к массе полезной нагрузки	притпн|>п (личных значениях удельной тяги и коэффициента адв.Рис. 4.8. Графики зависимости дальности полета от относительной
массы полезной нагрузки при адв = 0,08Анализируя указанные выше графики, видим, что межконти¬
нентальные дальности полета могут быть достигнуты трех- и че-
I ырехступенчатыми ракетами. При условии снижения коэффициен¬
та адв ДО 0,08 и меньше эти дальности могут быть достигнуты и
двухступенчатыми ракетами, однако их стартовая масса будет зна¬
чительно больше стартовой массы трехступенчатой ракеты. Что же
касается стартовых масс трех- и четырехступенчатых ракет, то при
одной и той же дальности разница между ними получается неболь¬
шой.Влияние числа ступеней на другие параметры ракеты можно
охарактеризовать следующим образом. С увеличением числа сту¬
пеней надежность уменьшается, так как увеличивается число дви¬4*99
гателей и других элементов, отказ или неправильное функциони¬
рование которых приводит к уменьшению надежности ракеты в
целом. С возрастанием числа ступеней увеличивается трудоемкость
изготовления ракеты, а также усложняются отработка и испытания
двигателей. Это все приводит и к увеличению стоимости ракеты.
Однако увеличение числа ступеней приводит к уменьшению стар¬
товой массы ракеты и ее габаритов, что влечет за собой уменьше¬
ние массы и габаритов подъемно-транспортного оборудования и
пусковых устройств (шахт или подвижных пусковых установок),
а следовательно, и их стоимости.cc=0J4
Условные обозначения	Рудп=260с™Руд п=290секРнс. 4.9. Г рафики зависимости дальности полета от относительной массы
полезной нагрузки при аДЕ = 0,14Кроме того, при выборе числа ступеней необходимо учитывать
ограничения, которые могут накладываться на массу и габариты
ракеты условиями транспортировки, так как ракеты с РДТТ транс¬
портируются со снаряженными двигателями. При заданной даль¬
ности пуска указанные ограничения можно выполнить только пу¬
тем ограничения массы полезной нагрузки. Зависимость стартовой
массы ракеты от массы полезной нагрузки можно выявить на осно¬
вании анализа весового уравнения (4.13) для двухступенчатой ра¬
кеты :т —	Hhm	W01 [1 — АГ, —*el (1	[l-^-iWt + “два) t*»*] ■Статистические данные показывают, что коэффициенты Nh
kai и аДвг очень мало изменяются в зависимости от масс субра¬
кет, поэтому можно считать зависимость от01 от тпв чисто линей¬
ной. Более точная зависимость тох от тШ1 должна определяться с
учетом влияния массы полезной нагрузки на прочность отсеков100
корпуса ракеты, так как при изменении массы полезной нагрузки
меняются инерционные нагрузки в полете.Учитывая влияние всех рассмотренных выше факторов, можно
сделать вывод, что при проектировании ракеты необходимо выби¬
рать минимально возможное число ступеней, обеспечивающее при-
I млемую ее стартовую массу при заданной дальности- пуска. При
itom элементарными расчетами можно показать, что для межкон-
I ипентальных ракет масса полезной нагрузки не должна превы¬
шать 1 г, а у ракет средней дальности — 2,5 т при условии сохра¬
нения стартовой массы ракеты в пределах 50 г. Указанный выбор
числа ступеней подтверждается практикой проектирования. Так,
например, американские ракеты средней дальности «Поларис» вы¬
полнены двухступенчатыми, а межконтинентальные ракеты «Ми¬
нитмен»— трехступенчатыми. Если бы в указанных ракетах уве¬
личить число ступеней еще на одну, то их стартовая масса умень¬
шилась бы на 5—20%, однако из-за ухудшения других парамет¬
ров это делать нецелесообразно.§ 4.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО СООТНОШЕНИЯ
МАСС СТУПЕНЕЙДля правильного распределения масс по ступеням ракеты не¬
обходимо знать влияние этого распределения на стартовую массу
н габариты ракеты при заданной дальности пуска. Кроме того, не¬
обходимо учитывать также влияние распределения масс по ступе¬
ням на трудоемкость опытной отработки и стоимость ракеты.Распределение масс по ступеням наиболее удобно характери¬
зовать соотношениями между коэффициентами наполнения субра¬
кет топливом [ihi- Зная зависимость стартовой массы ракеты от
(того соотношения, можно найти оптимальные соотношения, отве¬
чающие минимуму стартовой массы ракеты, а также оценить изме¬
нение стартовой массы при отклонении ее в ту или другую сторону
от оптимального соотношения. Оптимальное по стартовой массе
соотношение между коэффициентами цм субракет в первую оче¬
редь зависит от массы полезной нагрузки, дальности полета,
удельной тяги двигателей, а также от совершенства конструкции
двигателей. Качественные закономерности соотношения масс сту¬
пеней таковы:—	с увеличением дальности полета ракеты оптимальные отно¬
сительные массы верхних ступеней уменьшаются;—	с увеличением массы полезной нагрузки оптимальные отно¬
сительные массы верхних ступеней увеличиваются;—	увеличение удельных тяг двигателей верхних ступеней вле¬
чет за собой увеличение масс этих ступеней, так как в них более
эффективно используется топливо, и- наоборот, применение на пер-
иой ступени топлива, обеспечивающего более высокую удельную
I иI у, приводит к уменьшению относительной массы верхних сту¬
пеней;101
—	уменьшение коэффициентов конструкции любой ступени при¬
водит к увеличению ее относительной м-ассы;—	зависимость стартовой массы ракеты от соотношения масс
ступеней имеет в районе оптимума пологий характер, что позво¬
ляет по конструктивным соображениям отходить от него с незна¬
чительным увеличением стартовой массы.Уменьшение стартовой массы ракеты достигается не только
выбором оптимального соотношения масс ступеней, но и правиль¬
ным распределением массы конструкции ракеты по ступеням. Для
подтверждения этого положения на рис. 4.10 приведены графикиРис. 4.10. Зависимость частной производной массы кон¬
струкции ступеней по массе полезной нагрузки от иде¬
альной скорости:1, 2, 3, 4 —первая, вторая, третья и четвертая ступени соот¬
ветственноИзменения частной производной пассивной массы каждой ступени
трех- и четырехступенчатых ракет по массе полезной нагрузки в
зависимости от скорости в конце активного участка траектории,
рассчитанной по формуле Циолковского. Коэффициент наполнения
топливом каждой ступени принимался равным 0,9; удельная тяга
первой ступени 260 сек, а всех остальных ступеней 280 сек [93]. Из
анализа графиков можно сделать вывод, что особое внимание не¬
обходимо обращать на выбор оптимальных характеристик послед¬
них ступеней ракет, для которых даже небольшое уменьшение
массы конструкции приводит к существенному улучшению харак¬
теристик всей ракеты и уменьшению ее стоимости. Так, при сохра¬
нении стартовой массы ракеты для каждой дальности пуска изме¬
нение массы полезной нагрузки требует соответствующего измене*102
пня массы конструкции ракеты, причем величина изменения массы
конструкции существенно зависит от требуемой дальности пуска
(скорости в конце активного участка траектории) и от того, на ка¬
кой ступени производится изменение массы. Например, из рис. 4.10
видно, что изменение массы полезной нагрузки на 1 кг эквива¬
лентно изменению массы конструкции последней ступени тоже на
I кг независимо от требуемой скорости в конце активного участка
траектории или изменению массы конструкции первой ступени че-
I ырехступенчатой ракеты в пределах от 18 до 1000 кг в зависимо¬
сти от требуемой скорости в конце активного участка траектории.Стоимость ракеты при принятых конструкционных материалах
н выбранном топливе пропорциональна ее массе, поэтому оптими-
лацию соотношения масс ступеней достаточно провести из условия
обеспечения минимальной стартовой массы ракеты. Для этого вос¬
пользуемся методом, предложенным в работе [25], и поясним его■	Iа примере двухступенчатой ракеты.При исследованиях будем считать заданными массу полезной
нагрузки и дальность полета или скорость в конце активного
участка траектории, а также топливо на обеих ступенях.Стартовая масса двухступенчатой ракеты выражается зависи¬
мостью (4.13)т 		тпн	01 [1 — Nx — kaX (1 + aABi) [А*,] [1 — jV2 £ш2 П + “двг) [**2] 'Приближенное выражение скорости в конце активного участка
траектории представим в видеК = - go Рулог [In (1 ~ (**,) + *oi Лн sin cP] ~go РуцпЧ [In (1 ^*2) + *п2 l*ft2 ®1П &2 cp]i	(4.64)где X01 — коэффициент тяговооруженности первой ступени на
земле;Яп2 — коэффициент тяговооруженности второй ступени в пу¬
стоте;sin &,• ср — среднеинтегральное значение sin 9 для г-го участка тра¬
ектории.В выражении (4.64) не учитываются потери скорости первой
ступени из-за сопротивления атмосферы, так как предполагается,
что они компенсируются приростом скорости за счет высотной до¬
бавки удельной тяги, а для второй ступени сопротивлением воздуха
вообще можно пренебречь.Минимум стартовой массы при заданной полезной нагрузке бу¬
дет соответствовать максимуму функции<7 — In —1,woi	„которая в развернутом виде согласно выражению (4.13) записы¬
вается как? = ln[l — Wj—Ав1(1 + «„Ори] ++ In [1 — N2 — kUi2 (1 + ядв2)	(4.65)103
Таким образом, требуется найти такое соотношение между рц
и |лй.2, которое обеспечит максимум функции q. С точки зрения ма¬
тематики задачу можно свести к отысканию максимума вспомога¬
тельной функции видаГ = +	(4.66)где А — неопределенный множитель Лагранжа;Ф — функция, представляющая собой дополнительно наложен¬
ную связь.В качестве дополнительной связи используется разность между
требуемой скоростью в конце активного участка траектории Укз и
ее значением, рассчитанным по зависимости (4.64), т. е.Ф ^ ^кз + So Руд 01 [1п (1 ftil) + ^oi P-ai sin ср] ++ So Руяп2 [In 0 + Хп2 V-k2 sin ^2 ср]-	(4.67) #Следовательно, для рассматриваемой двухступенчатой ракеты
функция F записывается следующим образом:F = In [1 — TV, — kml (1 -j- адв j) (Afclj -)-
+ In [1 — N2 — кш2 (1 + адв 2) fe] ++ -M VKS + g0 Руд 01 [In (1 [*й1) + X01 sin cp] ++ So Py.in 2 [In (1 — ц*2) + xn2 |xKsin »2 cp] }•	(4.68)Входящие в выражение (4.68) коэффициенты тяговооруженно¬
сти следует считать известными, так как они не являются проект¬
ными параметрами и получаются расчетным путем на основе опти¬
мизации относительной длины заряда и скорости горения топлива
(см. § 4.6).Условие максимума функции F определяется путем решения
системы уравнений Эйлера:£-0, <-.1,2.	(4.69)Если принять в выражении (4.68) коэффициенты Nu kal и
аДвг независимыми от [лы, то система уравнений Эйлера принимает
вид	feml П + аДВ|)	1 — Nt — (1 + адв1) "Г"+ ^ go Руд 01 ( - Х01 sin »1 ср) = 0;*ш2 0 + “двг)1 Mt	(1 + адвг) V-къ+ ^ So РуАП 2 ( j 	Хп2 Sin ®2 ср) =Исключая из системы уравнений (4.70) неопределенный множи¬
тель Лагранжа Л, получим в окончательном виде следующее соот¬
ношение104(4.70)
о1	(Г+ад^) I1 - - Ki 0 t адвО 4 (г=^ - V sin »! cp) -
= *ffl2 (1+ адв ,) 11 - N> ~ (1 + аДВ 2) Ы Xx (r^; ~X"2 sin &2 cp) ■(4.71)Для определения значений и цк2 к выражению (4.71) добав¬
ляется зависимость (4.64). Кроме того, необходимо знать все
коэффициенты, входящие в выражение (4.71), удельные тяги дви-I	;i гелей и значения sin Эгер- Однако и в этом случае выразить
и |1А2 аналитически не представляется возможным. Наиболее при-
гмлемым является графо-аналитический метод решения задачи, с
помощью которого расчет проводится в такой последовательности.—		—-—1 1
1 11 I
1 11 1
11РкгНкгН-кРис. 4.11.Графики функций
fi (|Ш>Рис. 4.12. График зависимости
(i-u,)Каждый член равенства (4.71) представляет собой функцию
только одного параметра [ш, поэтому, задаваясь рядом последо¬
вательных значений [ikt, предварительно строятся графики функ¬
ций fi([ih\) и /2(р-Аг) (рис. 4.11). Используя построенные графики,
для каждого значения функций при их равенстве находим соотно¬
шение между tifei и [ik2*Для определения численных значений p.Ai и необходимо
воспользоваться выражением (4.64), по которому находится ско¬
рость VK в конце активного участка траектории. Задаваясь раз¬
личными значениями \ihi и снимая с графиков (рис. 4.11) соответ¬
ствующие им значения р.л2, по формуле (4.64) строим график за¬
висимости скорости в конце активного участка VK только в функ¬
ции [лй! (рис. 4.12).Имея подготовленные графики (рис. 4.11 ц 4.12), проводится
окончательный расчет масс ступеней ракеты. Зная требуемую ско¬
рость ракеты в конце активного участка траектории 1/Кз, из гра¬
фика Vk=I/k (р.ы) находится значение р.АЬ а по его значению из
г рафика fi—fi ([ш) определяется значение рм, обеспечивающие
оптимальное соотношение масс ступеней.105
Массы субракет при известных значения^ определяются по
зависимостям (4.11):		отпн	.02 ~ +»де2)^2 ’* (472)
01	J _yVl	(1 +.„,)!»*, •Таким образом, поставленная задача решена и определены зна¬
чения масс субракет, обеспечивающие минимальную стартовую
массу ракеты при заданной дальности пуска.Приведенный выше метод оптимизации соотношения масс сту¬
пеней удобен тем, что его легко распространить на любое число
ступеней. В этом случае соотношение (4.71) принимает вид*Ш1(1+адВ.) I1 ~ ~ kml ^ + Ядв ^ ^ (l — m-aj ~ Х°‘ Sln °р) =х (г~7^7 ~ хпi sin Ср) , i = 2, 3,..., п.	(4.73)Добавляя к нему выражение (4.64), получаем необходимую си¬
стему уравнений, из которых определяются значения (ш. Решение
системы уравнений проводится в той же последовательности, что
и для двухступенчатой ракеты, графо-аналитическим методом.Кроме изложенного выше графо-аналитического метода для
оптимизации соотношения масс ступеней может быть применен ме¬
тод прямого дифференцирования. Не рассматривая его подробно,
отметим основные принципы решения поставленной задачи.Как указывалось в § 4.2, коэффициенты наполнения субракет
топливом можно выразить через коэффициент наполнения топли¬
вом первой субракеты цы следующим образом:= *i*a Ии-	(4.74)Для определения скорости в конце активного участка вместо фор¬
мулы (4.64) используется зависимость^*з ~ёйРуд сР In j _ пр	(4.75)гдеРуд cp —средняя удельная тяга, определяемая по зависимостир	1 ( РУД01 + РУДП1 . у р \'уд ср — n I	2	12 " 1) ’п — число ступеней ракеты;106
Д1/А —суммарные потери скорости за счет действия силы
притяжения Земли, аэродинамического сопротивления
и изменения удельной тяги с высотой; на основании
статистических данных можно принять(к\—коэффициент потерь скорости, принимаемый для межконти¬
нентальных ракет равным kv = 1,10 -ъ 1,25 [25]);
рмФ — приведенный коэффициент наполнения ракеты топливом.
Разрешая уравнение (4.75) относительно рлПр, получимТаким образом, при заданной дальности пуска (требуемой ско¬
рости в конце активного участка траектории) phnp является также
заданной величиной, поэтому, используя выражение для опреде¬
ления скорости многоступенчатой ракеты и учитывая зависимость
(/1.74), можем записать1 — Р*пР = (1 — МО — хМ.---(1 — xix2---V-iM- (4-77)Выражение (4.77) используется для определения рм через из-
ьестное значение ,р>шр и неизвестные коэффициенты х,. Подставляя
полученное выражение [ш в формулу для определения стартовой
массы л-ступенчатой ракетыполучим зависимость, в которой переменными будут только коэф¬
фициенты соотношения масс ступеней п.нулю, получим систему из п— 1 уравнений для определения п—1
неизвестных (хь *2, ..*n-i), соответствующих минимальному зна¬
чению стартовой массы ракеты.Зная значения п, по зависимости (4.74) определяются р*,-, под¬
ставляя которые в выражение (4.78), найдем массы отдельных
субракет и стартовую массу всей ракеты.Метод прямого дифференцирования хорошо применять для
оптимизации соотношения масс ступеней с небольшим числом суб¬
ракет (п <3). При п>3 выражение для ры (4.77) получается
громоздким, что приводит к серьезному возрастанию трудоемкости
расчетов. Особенно целесообразным является использование дан¬
ного метода для оптимизации соотношения масс ступеней двухсту¬
пенчатой ракеты, так как в этом случае выражение (4.78) будет
содержать только одно неизвестное ху.Расчеты показывают, что для межконтинентальных ракет сЦ<з + kVk — kv VKS;(4.76)П(4.78)Далее, беря частные производные	и приравнивая их107
РДТТ, имеющих на всех ступенях одинаковое топливо, оптималь¬
ное соотношение между рм находится в следующих пределах:
(1.0-Ы,05) |*м = (1,0-г-1,1) ^i.	(4.79)Такая небольшая разница даежду оптимальными значениями
коэффициентов наполнения субракет топливом объясняется тем,
что одновременно с ростом удельной тяги на верхних ступенях
увеличиваются их коэффициенты конструкции двигателя аДв;, т. е.
происходит ухудшение массовых характеристик, сводящих к мини¬
муму влияние увеличения Яудщ-.В связи с указанными замечаниями при предварительных рас¬
четах можно приниматьftil = I1*?= ЬЧз-В этом случае целесообразно пойти на дальнейшие упрощения
и принять, что все коэффициенты, входящие в выражение (4.78),
постоянны для всех ступеней, и из выражения (4.78) получить сле¬
дующие отношения масс субракет:тпн ___ Щп ___ __ т0Ъ ___ ^02	/ Л ОА\Щ п т0п-1	т02 т01'	\ • )Зная массу полезной нагрузки и стартовую массу ракеты, можем
определить оптимальную (при принятых допущениях) массу суб¬
ракет.Так, для двухступенчатой ракеты масса второй субракеты бу¬
дет равна		т02 = У тан • т01.	(4.81)Для трухступенчатой ракеты массы второй и третьей субракет на¬
ходятся по зависимостям:3 	От02 = Утт • П1201;з	«03= У т1н • т01 ■При большем количестве ступеней массы субракет определяются
аналогичным образом.§ 4.5. ВЫБОР ДАВЛЕНИЙ В КАМЕРАХ СГОРАНИЯ
И НА СРЕЗЕ СОПЛА ДВИГАТЕЛЕЙДавление в камерах сгорания и на срезе сопла РДТТ должно
выбираться из условия обеспечения максимальной дальности по¬
лета при заданной стартовой массе ракеты или из условия обес¬
печения минимальной стартовой массы ракеты при заданной даль¬
ности пуска.1.	Выбор давления в камере сгоранияКак известно, удельная тяга двигателя определяется по фор¬
муле+ <4-83>108
Где wa — скорость истечения газов из сопла//г — 1 ~|V11ф
эг|
[ 	т — секундный массовый расход топлива;
ра — давление на срезе сопла;
рн — давление окружающей среды;«Pj — коэффициент потерь.Все параметры, входящие в зависимость (4.83), за исключением
wa, не зависят от давления в камере сгорания. Скорость истеченияI	азов из сопла с повышением давления в камере сгорания постоян¬
но растет, так как уменьшается отношение —. Следовательно,Ркс точки зрения увеличения удельной тяги давление в камере сго¬
рания рк должно быть возможно большим. Однако установлено,
что удельная тяга для условий р
поверхности Земли существен-
но зависит от давления в ка¬
мере сгорания до рк<70 бар
и практически не зависит от
давления при рк> 120-н 150 бар.При расчетном режиме ра¬
боты двигателя (ра = ра) у по¬
верхности Земли по данным,
приведенным в работе [15],
зависимость удельной тяги от
давления в камере сгорания
может быть представлена гра¬
фиком (рис. 4.13). Из графика
видно, что кривая начинает
плавно приближаться к неко¬
торому пределу, ограничивающему увеличение Руд с ростом давле¬
ния в камере сгорания. Следовательно, для существенного повы¬
шения значения удельной тяги давление в камере сгорания целесо¬
образно увеличивать в пределах до 70 бар.Масса конструкции двигателя еще в большей степени зависит
от давления в камере сгорания, чем удельная тяга. С повышением
давления в прямой пропорциональности растет толщина стенки,
а следовательно, и масса конструкции двигателя. Это в свою оче¬
редь влечет за собой увеличение коэффициента конструкции дви¬
гателя адв и согласно зависимостям (4.11) и (4.12) приводит к уве¬
личению стартовой массы ракеты при обеспечении заданной даль¬
ности пуска или к уменьшению дальности пуска при фиксирован¬
ной стартовой массе ракеты.Кроме того, величина рабочего давления в камере сгорания
оказывает существенное влияние на толщину теплозащиты двига¬109
теля, так как коэффициент теплоотдачи пропорционален [69].
Учитывая, что время горения заряда изменяется пропорционально—	, где, как правило, v<0,8, общее количество тепла, передавае¬
мого к внутренней поверхности камеры сгорания, с увеличением
давления возрастает. Следовательно, с увеличением давления
в камере сгорания будет возрастать и масса требуемой тепло¬
защиты.Таким образом, противоречивое влияние (с точки зрения уве¬
личения дальности пуска) рабочего давления на удельную тягу имассу конструкции двигателям/сек30002800КЗ• 0 -230 Ю7^2G00.	d0= 1Э0Ю7обусловливает существование
оптимального значения рабо¬
чего давления, обеспечивающе¬
го минимальную стартовую
массу ракеты.Оптимальное давление це¬
лесообразно выбирать для
каждой ступени отдельно, ис¬
ходя из условия обеспечения
максимального прироста ско¬
рости за счет работы двигате¬
ля этой ступени. Оптимизация
давления в камере сгорания
может быть осуществлена од¬
ним из методов, изложенных в
предыдущем параграфе, т. е.
методом неопределенных мно¬
жителей Лагранжа или мето¬
дом прямого дифференциро¬
вания. Однако оба указанных
метода требуют большого объ¬
ема вычислений, поэтому вы¬
бор оптимального давления в
камере сгорания целесообраз¬
но производить применительно
к конкретной схеме двигатель¬
ной установки с заданными для нее характеристиками топлива, ма¬
териалов и других проектных параметров путем проведения пря¬
мых расчетов.В качестве примера на рис. 4.14 приведены графики изменения
приращений скорости по ступеням трехступенчатой ракеты в зави¬
симости от давления в их камерах сгорания. Расчеты проводились
при условии сохранения постоянными стартовой массы ракеты и
масс отдельных ступеней. Оценка влияния прочностных свойств
материалов, из которых изготовлены двигатели, производилась
путем введения в расчет различных пределов прочности сталей:
аь— 190 • 107 н/м* И а, = 230-107 н/м*.2400то2000Рк'НРис. 4.14. Зависимость приращения ско¬
рости по ступеням от давления в их
камерах сгорания110
В качестве других исходных данных были приняты:Руд п1 = 260 сек\ Рул п2 = 265 сек\ Яуд пз = 270 сек\
Раг = °.7 бар; /?а2 = 0,25 бар\ paS = 0,2 бар.Диализ графиков (рис. 4.14) свидетельствует о том, что действи-
юльно существует оптимальное значение давлений для каждой
ступени, обеспечивающее максимальное приращение скорости при
постоянной стартовой массе ракеты. При изменении значений
\дольной тяги, относительной длины зарядов, свойств топлива и
конструкционных материалов двигателя приращение скорости по
ступеням изменяется, однако перемещение оптимального значения
/>„ происходит незначительно.При тех же исходных данных была рассчитана и зависимость
( гартовой массы ракеты от давления в камерах сгорания ступеней
(рис. 4.15). Характер графиков показывает, что оптимизация по
скорости и по стартовой массе приводит практически к одним и
тем же давлениям рк.Таким образом, на основании приведенных расчетов, а также
исследований других авторов можно показать, что давления в ка¬
мерах сгорания, отвечающие минимальной стартовой массе ракеты,
находятся в следующих пределах:для первых ступеней pKi = 40-r-70 бар\
для вторых ступеней рк2 = 30-*-60 бар\
для третьих ступеней ркз = 30-=-50 бар.Уменьшение давления в камерах сгорания двигателей верхних
ступеней объясняется существенным увеличением перерасширения
их сопел.Необходимо также иметь в виду, что изменение давления в ка¬
мере сгорания влечет за собой изменение скорости горения топ¬
лива, а следовательно, изменение тяги двигателя и тяговооружен¬
ности субракеты. В связи с тем что для каждой ступени ракеты
существует оптимальная тяговооруженность, то при выборе давле¬
ния рк следует его согласовывать с получающейся тяговооружен-
ностью.Кроме того, необходимо учитывать влияние давления в камере
сгорания па стоимость двигателя. В качестве примера на рис. 4.16м01,тРис. 4.15. Зависимость старто¬
вой массы ракеты от давления
в камере сгорания РДТТ
ступеней111
показаны кривые изменения стоимости двигателя в зависимости
от давления в камере сгорания при использовании конструкцион¬
ных материалов с различной прочностью. При повышении прочно¬
сти оптимум смещается в сторону больших давлений. Следует,
однако, иметь в виду, что общая стоимость ракеты в меньшей сте¬
пени зависит от уровня прочности материалов, так как использо¬
вание материалов с очень высоким уровнем прочности может при¬
вести к увеличению стоимости благодаря более частым разруше¬
ниям корпусвв при контрольных испытаниях (высокопрочные ста¬
ли очень чувствительны к наличию микротрещин и других незна¬
чительных внешних дефектов: царапин, надрезов, задиров и др.).§ •
§
Sig 3;ft'
5 Оби5.85.65.45.2
5,04.84.64.44.24 	X\153 /0 t/м** ■
	'Г"%\\%. ... „.17\176J0^1020304050pK,fapДавление в камереРис. 4.16. Зависимость стоимости двигателя
от давления в камере сгорания для различ¬
ных конструкционных материалов f93"|
	кривая минимума стоимостиТаким образом, на выбор давления в камере сгорания оказы¬
вают влияние многие рассмотренные выше факторы, однако за¬
дача выбора давления рщ существенно облегчается тем, что в
районах оптимальных значений соответствующие зависимости
имеют пологий характер, поэтому небольшое отклонение давления
от его оптимального значения несущественно сказывается на изме¬
нении стартовой массы ракеты., ■2.	Выбор давления на срезе соплаДавление на срезе сопла необходимо выбирать исходя из усло¬
вия обеспечения максимальной дальности полета ракеты при за¬
данной ее стартовой массе. Как известно из теории двигателей,
удельная тяга двигателя достигает максимальной величины при
расчетном режиме истечения, т. е. когда давление на срезе сопла
равно давлению окружающей среды. Однако во время полета ра¬
кеты одновременно с изменением высоты меняется атмосферное
давление, следовательно, режим истечения продуктов сгорания из112
I	мила значительно отклоняется от расчетного. Достижение макси-
Мйлмю возможного значения импульса тяги/= J P(t)dtоПри сгорании имеющегося в двигателе топлива принципиально воз¬
можно лишь при условии создания регулируемых сопел, обеспечи-
имющих равенство давлений в выходном сечении и атмосферного
м гсчение всего времени работы двигателя.Сопла с регулируемыми размерами создать очень трудно, по¬
этому на всех ракетах устанавливаются двигатели, сопла которых
имеют постоянную площадь выходного сечения. Площадь сечения
Выбирают в соответствии с диапазоном изменения атмосферного
нмиления за время работы двигателя. Если сопло работает в рас¬
четном режиме при включении двигателя, то при увеличении высоты
Полета оно будет работать в режиме недорасширения, и наоборот,■	I . in сопло двигателя рассчитано для безвоздушного пространства,
to на небольших высотах оно будет работать в режиме перерасши-
рения. Как в первом, так и во втором случае потери удельной тяги
будут существенны.Чтобы правильно выбрать давление на срезе сопла ра, оценим
ею влияние на различные параметры ракеты. При заданном дав¬
лении в камере сгорания рк уменьшение давления ра достигается
и результате увеличения площади выходного сечения сопла, т. е.
\моиьшение ра сопровождается увеличением размеров, а следова-
имьно, и массы соплового блока и хвостового отсека, что приводит
и конечном счете к увеличению коэффициента конструкции двига-
Iели адв и уменьшению дальности полета ракеты.С другой стороны, уменьшение давления ра в двигателях, рабо-
111Ю1ЦИХ на больших высотах, приводит к более эффективному ис¬
пользованию топлива за счет повышения среднеинтегрального зна¬
чения удельной тяги1	>кРул ср = 77 f РуЛ (0 dt	(4.84)ои полного импульса тяги двигателя[к1=^ P(t)dt = PyдСр^ошрз-	(4.85)оДля двигателей верхних ступеней, работающих практически в
безвоздушном пространстве, ^удср и / с уменьшением ра растут
непрерывно.Таким образом, приходим к выводу, что при уменьшении дав¬
лении ра масса конструкции ракеты увеличивается, уменьшая даль¬
ность полета, и увеличивается удельная тяга, увеличивая дальность
полета ракеты. Следовательно, существуют вполне определенныеИЗ
значения pai, при которых обеспечивается максимальная дальность
полета при заданной стартовой массе ракеты.Оптимальные значения pai можно приближенно определить
аналитическим путем, используя методы неопределенных множите¬
лей Лагранжа или прямого дифференцирования. В качестве исход¬
ного уравнения используется выражение для определения скорости
ракеты в конце активного участка траектории (4.64), в котором
удельная тяга каждой ступени Рущ и коэффициент наполнения
субракет топливом должны быть представлены в виде функции
давления на срезе сопла. Однако аналитическое решение является
достаточно громоздким и не может учитывать конструктивные осо¬
бенности проектируемой ракеты. В связи с этим более приемлемы¬
ми для обоснования выбора давлений ра% являются прямые рас¬
четы. В этом с-лучае рассчитываются параметры ракеты при раз¬
личных значениях рк и ра и строятся графики m0i=/i (Рк,Ра) при
заданных дальности полета Lшах И МЗСС6 ПОЛ63НОЙ НЯГруЗКИ ftlmu
либо графики Z-max=/2 (рк^ра) при raoi = const и mnfI = const. Имея
указанные выше графики, для каждой ступени ракеты можно вы¬
брать наивыгод.нейшие значения давлений на срезе сопла.Анализ параметров ракет с РДТТ показывает, что оптимальные
значения давле ния ра зависят в большой степени от диапазона
высот работы двигателя и находятся в пределах:
для первых ступеней раi = 0,50-f-0,80 бар\
для вторых ступеней ра2 = 0,20-^0,35 бар\
для третьих ступеней раз=0,10-н0,25 бар.Следует также иметь в виду, что зависимость Lmax = Lmax (ра) при
постоянных то, и тпн в районах оптимумов pai имеет пологий ха¬
рактер, поэтому' небольшое отклонение от оптимального значения
Pai не приводит к существенному изменению дальности полета ра¬
кеты. Это очень важно для верхних ступеней ракет, где предельно
возможное перерасширение сопел двигателей ограничивается ве¬
личиной диаметров ступеней, особенно если устанавливаются по¬
воротные сопла , используемые для управления полетом ракеты.§ 4.6. ВЫБОР ФОРМЫ И ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ДЛИНЫ ЗАРЯДА.ОПТИМИЗАЦИЯ СКОРОСТИ ГОРЕНИЯ ТОПЛИВАФорму и относительную длину заряда, а также скорость горе¬
ния топлива необходимо выбирать с учетом их влияния на тяго-
вооруженность ракеты. Хотя тяговооруженность и не является
проектным пара метром, однако величина ее для каждой субракеты
должна находиться в допустимых пределах.С увеличением тяговооруженности уменьшаются времена ра¬
боты двигателей ступеней и общее время полета на активном
участке траекто рии. При неизменной программе движения ракеты
это приводит к существенному снижению гравитационных потерь
скорости и повышению за счет этого скорости ракеты в конце
активного участка траектории. С другой стороны, увеличение тяго¬
вооруженности влечет за собой увеличение потерь скорости, вы-И4
эываемых сопротивлением воздуха, а также рост осевых и по¬
перечных перегрузок и аэродинамических нагрузок, действующих
на ракету на активном участке траектории. Кроме того, величина
тяговооруженности первой ступени должна быть такой, чтобы со¬
ответствующее ей время работы двигателя позволило развернуть
ракету по тангажу на заданный угол при допустимых углах атаки,
так как большие углы атаки вызывают рост аэродинамических на¬
грузок и требуют повышения мощности органов управления, а сле¬
довательно, и увеличения их геометрических размеров и массы.Анализ влияния тяговооруженности на дальность полета ра¬
кеты показывает, что оптимальные значения коэффициентов тяго¬
вооруженности Хг должны находиться в следующих пределах:—	для двухступенчатых ракет Х01 = 0,4-*-0,5; Хпг = 0,2н-0,3;—	для трехступенчатых межконтинентальных ракет—	0,4 -4-0,5; Хп2 = 0,2 4-0,3; X„s = 0,15 4-0,20.Значительное увеличение оптимальных значений коэффициен¬
тов тяговооруженности для первых ступеней объясняется тем, что N
на первом активном участке производится разворот ракеты по углу
тангажа, что вызывает большие поперечные перегрузки и аэроди¬
намические нагрузки.Приведенные значения X i опт получены при условии, что пере¬
грузки ракеты не ограничиваются нормальной работой приборов
системы управления и прочностью зарядов твердого топлива. За¬
метим, что реальный выбор тяговооруженности ступеней ракет с
РДТТ может существенно определяться этими дополнительными
факторами. Так, предельно допустимые значения перегрузок, при
которых приборы системы управления работают еще достаточно
точно, обычно не превосходят пх= 15-7-25. Кроме того, осевые пе¬
регрузки ракеты могут ограничиваться механической прочностью
топлива и скрепления заряда со стенкой двигателя. В связи с ука¬
занными замечаниями для верхних ступеней ракет обычно прини¬
мают Xni ^>0,2ч-0,3.Обеспечение той или иной тяговооруженности возможно только
при определенном сочетании свойств топлива (скорости горения ы,
плотности рт, удельной тяги Рул) с формой заряда и относительной
его длиной. Это следует из формулы тяги РДТТРп ~ Руцп м ^Рт ёо-	(4.86)Существенное изменение поверхности горения S достигается
только путем использования различных форм заряда, так как отно¬
сительные длины зарядов всегда ограничены и их изменение при¬
водит к изменению поверхности горения обычно не более чем на
15—25%. При одинаковых же размерах двигателя замена заряда
со звездчатым каналом зарядом со щелями может привести к из¬
менению поверхности горения почти вдвое. Аналогичным образом
изменяется и тяговооруженность. Кроме того, наиболее приемле¬
мым способом изменения тяговооруженности является изменение
свойств топлива, и прежде всего изменение его плотности рт и
скорости горения и.115
Таким образом, варьируя формой заряда, его относительной
длиной и свойствами топлива, можно добиться сохранения тяго¬
вооруженности в требуемых пределах. Однако, как это следует из
§ 4.1, эти же параметры влияют и на массу конструкции ракеты.
Это позволяет сделать вывод о том, что ракеты с РДТТ могут
обладать хорошими характеристиками только при определенных
сочетаниях свойств топлива, а также форм и относительных длин
зарядов.Форма заряда должна выбираться в первую очередь из условия
получения минимального значения коэффициента конструкции дви¬
гателя адв*. С этой точки зрения наиболее приемлемым был бы за¬
ряд с торцовым горением, обеспечивающий максимально возмож¬
ную плотность заряжания. Однако недостатки, присущие этому
заряду, не позволяют использовать его в баллистических ракетах
прежде всего потому, что по мере выгорания топлива обнажается
внутренняя стенка камеры сгорания и для защиты ее от воздей¬
ствия горячих газов требуется достаточно толстый слой теплоза¬
щиты. Кроме того, эта форма заряда не позволяет обеспечить тре¬
буемую тяговооруженность ракеты. Как показывают расчеты, для
получения коэффициента тяговооруженности в пределах Х =
= 0,2 ч-0,5 необходимо иметь топливо со скоростью горения 40—
100 мм!сек. В настоящее время получить такую скорость горения
не представляется возможным. В связи с этим выбор форм зарядов
весьма ограничен. На практике находят наибольшее применение
две формы зарядов: со звездообразным каналом и щелевой заряд.
По плотности заряжания обе эти формы мало отличаются друг от
друга, однако щелевой заряд при одной и той же плотности заря¬
жания позволяет обеспечить значительно большую поверхность
горения. Что же касается других форм зарядов, то они находят
небольшое применение в баллистических ракетах. Форма заряда
окончательно выбирается с учетом оптимальных значений удлине¬
ния заряда и скорости его горения при условии обеспечения тре¬
буемого значения тяговооруженности.Относительная длина заряда /3 должна выбираться в первую
очередь из условия обеспечения минимального значения коэффи¬
циента конструкции двигателя адв при выполнении ряда других
ограничений, т. е. из условия обеспечения максимальной дальности
пуска ракеты при заданной ее стартовой массе. Влияние же 73 на
изменение поверхности горения S можно не рассматривать, так как
требуемое значение S всегда может быть обеспечено соответ¬
ствующей формой заряда.Изменение коэффициента адв при изменении 13 объясняется сле¬
дующим образом. При сохранении постоянными давления в камере
сгорания рк и диаметра двигателя D увеличение 1а приводит к уве¬
личению длины цилиндрической части двигателя. Все остальные
элементы двигателя остаются неизменными. Следовательно, масса
конструкции двигателя изменяется пропорционально его длине.
Изменение массы заряда происходит непропорционально длине,116
так как при увеличении длины заряда необходимо увеличивать и
диаметр внутреннего канала для обеспечения устойчивого горения
топлива в момент запуска двигателя. Поэтому существует опти¬
мальная относительная длина заряда, при которой коэффициент
конструкции двигателя получается минимальным.При изменении давления в камере сгорания относительная
длина заряда, отвечающая минимальному значению адв, также из¬
меняется, причем при увеличении давления рк минимальное значе¬
ние «дв смещается в сторону больших удлинений зарядов.Наконец, отметим, что использование различных конструкцион¬
ных материалов влияет на величину коэффициента адв, однако при
постоянном значении рк оптимум адв практически соответствует
одному и тому же значению удлинения заряда.Таким образом, оптимальное значение /3 должно выбираться в
каждом конкретном случае с учетом величины давления в камере
сгорания и рассмотренных выше ограничений. Однако все преды¬
дущие рассуждения были проведены без учета влияния скорости
горения топлива. Если считать, что форма заряда задана и не мо¬
жет быть изменена в процессе проектирования ракеты, то при
изменении скорости горения топлива относительную длину заряда
также необходимо изменять, так как требуется всегда обеспечить
оптимальное значение тяговооруженности. Таким образом, относи¬
тельная длина заряда будет дополнительно определяться скоро¬
стью горения топлива и и его плотностью рт.В этих условиях параметр мрт в свою очередь может оказывать
существенное влияние на коэффициент конструкции двигателя. По¬
скольку плотность существующих смесевых твердых топлив изме¬
няется в узких пределах (рт = 1700-ь2000 кг/м3), то основное влия¬
ние на изменение параметра ирт оказывает скорость горения топ¬
лива.Зависимость коэффициента адв от скорости горения топлива и
объясняется тем, что при постоянных значениях диаметра двига¬
теля, формы заряда и его длины увеличение скорости горения топ¬
лива приводит к уменьшению времени работы двигателя, а следо¬
вательно, к уменьшению толщины теплозащиты и бронирующего
покрытия. С другой стороны, это приводит к изменению тяги дви¬
гателя и размеров соплового блока, а также к увеличению внутрен¬
него диаметра заряда с целью обеспечения устойчивой работы дви¬
гателя в момент его запуска. Если тяга двигателя и время его ра¬
боты заданы, то с увеличением скорости горения необходимо уве¬
личивать диаметр двигателя и уменьшать его длину. В результате
оказывается, что существует оптимальное значение параметра ырт,
обеспечивающее минимальное значение коэффициента адв.На рис. 4.17 приведены графики зависимости коэффициента адв
от параметра ирт и относительной длины при жестко заданной
форме заряда. Анализ графиков показывает, что с уменьшением
относительной длины заряда оптимальное значение адв смещается
в сторону меньших значений параметра ирт, а также увеличивается
численное значение оптимального адв- Таким образом, можно подо¬117
брать такие значения ирт и /3, которые обеспечат минимум аДп
(рис. 4.18).Однако, как указывалось выше, Т3 и ирт необходимо выбирать
с учетом обеспечения требуемой тяговооруженности. Для этого
запишем зависимость тяговооруженности от указанных параметровgo m0i+inoi+iPi	Si и] рт/ Руд,- [1 - Ni - кы (1 + адв i) мг] - (4-87)где ksi — коэффициент, определяемый формой заряда двигателя
г-й ступени.адв0,70.030,080.07Г3=2ь=,тнуh4к\-/дII ‘vSAСЛ;"С/(а.пJmis—4 Й8 12 16 20 24кгиРт’м*секРис. 4.17. Зависимость коэффициента
адв от параметра ырт и относитель¬
ной длины заряда [251ир,-^-гт м'сснРис. 4.18. Области распределения
оптимальных значений I, и ирт f25]Выразим поверхность горения S зависимостьюSi = kJ3iDJ	(488)Подставив выражение (4.88) в зависимость (4.87), окончатель¬но получимв0<+1ksihl ui?Ti Pyil [l Mi — (1 + “дв.) fJ./f/j(4.89)Анализируя зависимость (4.89), можно найти такие сочетания
1з и «рт, при которых обеспечивается требуемое значение тягово¬
оруженности для каждой субракеты. Конкретные методы выбора
параметров X, и l3i с учетом возможности некоторого изменения
формы заряда будут рассмотрены в гл. 5.Для приближенных расчетов можно рекомендовать следующие
значения относительной длины зарядов:118
для первой ступени k\ =4-4-5;
для второй ступени /32 = 2,5-J-3,5;
для третьей ступени /з3= 1,5 ч- 2,5.Минимальные значения коэффициентов адв; при таких удлинениях
шрядов получаются примерно при следующих скоростях горения
ЮПЛИва:для первой ступени их = 7ч-8 мм/сек;
для второй ступени ы2 = 7,5ч-10 мм/сек-,
для третьей ступени «3 = 8,5-4-10,5 мм/сек.Следовательно, применяемые твердые топлива должны обладать
> lie только высокой энергетикой, достаточной прочностью, стойко¬
стью и технологичностью, но и вполне определенными диапазонамиI	коростей горения. Только в этом случае возможно создание опти-
мильных вариантов ракет, обеспечивающих при заданных значе¬
ниях максимальной дальности полета и массы полезной нагрузки
минимальную стартовую массу.
Глава 5МЕТОДЫ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
РАКЕТ С РДТТ§ 5.1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯБаллистическое проектирование, являющееся частью процесса
проектирования ракеты, представляет собой одну из частных за¬
дач, решаемых в целях создания оптимальной ракетной системы.
При этом предполагается, что выбрана конструктивная схема ра¬
кеты, тип системы управления, программа движения на АУТ, а
также установлены масса полезной нагрузки (масса головной ча¬
сти) и требуемый интервал дальностей или максимальная даль¬
ность пусков.Под баллистическим проектированием обычно понимают нахо¬
ждение основных массовых, геометрических и тяговых характери¬
стик ракеты, при которых обеспечивается заданный интервал даль¬
ностей пусков. Таким образом, для проведения баллистического
проектирования в первую очередь необходимо иметь зависимости,
связывающие баллистические возможности ракеты с ее массовыми,
геометрическими и тяговыми характеристиками. Приближенное
описание и анализ таких связей были даны в гл. 3 и 4.Для баллистического проектирования необходимо также вы¬
брать критерий, определяющий совершенство принимаемого ва¬
рианта ракеты. Исходя из задач, решаемых всей ракетной систе¬
мой, критериями оптимальности того или иного варианта ракеты
(набора ее основных характеристик) в общем случае должны яв¬
ляться суммарные затраты Сг (1.18) при заданном уровне крите¬
рия эффективности или эффективность поражения целей при огра¬
ниченных ассигнованиях. Другими словами, при баллистическом
проектировании нужно найти такие массовые, геометрические и
тяговые характеристики ракеты, при которых обеспечивается тре¬
буемый интервал дальностей пусков, а общие расходы на проекти¬
рование, опытную отработку, производство и эксплуатацию всей
ракетной системы минимальны.В настоящее время еще недостаточно полно изучены и анали-120
тически описаны связи между расходами на создание и эксплуа¬
тацию ракетной системы и характеристиками ракеты. Так, напри¬
мер, на стадии выполнения аванпроекта, когда ведется баллисти¬
ческое проектирование, трудно представить и достаточно полно
описать влияние массы или габаритов ракеты на затраты по ее
стендовой и летной отработке, а также на эксплуатационные рас¬
ходы при использовании создаваемой ракетной системы. Однако
качественно ясно, что увеличение диаметра и длины ракеты суще¬
ственно повышает стоимость строительства стартовой позиции
(например, шахтного сооружения) или затраты на подвижную
пусковую установку; с увеличением стартовой массы ракеты возра¬
стают также расходы на необходимое наземное оборудование и т. д.Указанные выше неформализованные, качественные соображе¬
ния не позволяют выразить функцию Сг через какие-либо пара¬
метры ракеты, и поэтому в настоящее время в качестве критерия
оптимальности при баллистическом проектировании ракеты с
РДТТ обычно используют величину ее стартовой массы т01- Несо¬
вершенство критерия минимума стартовой массы в какой-то мере
учитывается введением целого ряда дополнительных ограничений
на параметры ракеты (например, на ее общую длину, диаметрыII	т. п.).С учетом этих соображений задачу баллистического проектиро¬
вания ракеты предварительно можно сформулировать следующим
образом: найти такие массовые, геометрические и тяговые харак¬
теристики ракеты, при которых обеспечивается заданная макси¬
мальная дальность пусков и выполняются другие ограничения, а ее
стартовая масса минимальна.Для того чтобы конкретизировать эту достаточно общую поста¬
новку задачи, вначале рассмотрим подробнее уже известные из
гл. 3 зависимости, связывающие дальность полета с параметрами
ракеты.Из выражений (3.57) видно, что дальность полета ракеты яв¬
ляется функцией четырех параметровL = L(Vk, »*, hk, 4).	(5.1)При выбранной типовой (оптимальной) программе движения
па АУТ, метод выбора которой был рассмотрен в § 3.2, дальность
полета практически определяется только скоростью Vk и коорди¬
натами hk, lk конца АУТ. В соответствии с приближенными выра¬
жениями (3.77), (3.81), (3.84) и (3.85) скорость и координаты
конца АУТ в свою очередь зависят от параметров субракет, то есть
с учетом зависимости (5.1) можно записать^ ^ (Л* ^уд01> ^удп/1 А/i Рчм).	(5-2)Нетрудно заметить, что при выбранной программе движения
ракеты и ее аэродинамических характеристиках для более строгого
определения дальности полета можно использовать рассмотренные
и гл. 3 системы дифференциальных уравнений, при этом дальность
полета также практически определяется приведенными парамет¬121
рами субракет. Таким образом, применение приближенных мето¬
дов расчета скорости и координат конца АУТ и определение по
ним дальности в данном случае связано лишь с желанием исполь¬
зовать конечные соотношения.Выражение (5.2) связывает с параметрами ракеты одно из
важнейших ограничений(5-3)являющееся условием обеспечения дальности полета не менее за¬
данной Lmax-Теперь остановимся на связях функции т0\ с характеристиками
проектируемой ракеты. На основании зависимости (4.14) можно
записать«*oi = -	^	•	(5.4)П [1 — Ni —*ш;(1 + «дв /) fj-ft/]Таким образом, критериальная функция при заданной полезной
нагрузке зависит от параметров адв; и (ш, то естьт0j = т01 (адв I, Ры).	(5.5)В § 4.1 были приведены общие зависимости для определения
составляющих коэффициента конструкции двигателя адв; поста¬
раемся получить приближенные рабочие формулы, связывающие
коэффициент конструкции двигателя с параметрами субракет.В соответствии с выражениями (4.5), (4.15) и (4.32) имеем"'ц + ^дн + тсб + /птс	,гадв =	^	•	(5.6)Для дальнейших преобразований по аналогии с зависимостью(4.50)	массу заряда удобнее представить в виде<57)где Ф» — <Р«-На основании выражения (4.19) массу цилиндрической части
корпуса двигателя можно определить какт = *h£«'taD*t	(5.8)где а„ = — —характеристика удельной прочности материала ци-
Puлиндрической части корпуса;
аьч—предел прочности материала;
рц—плотность материала.Рассмотрим выражение для массы тдн двух днищ двигателя^дн ~ ^дн 1 ^дн 1 Ран 1 + "^дн 2 ^дн 2 Рдн 2 ^шг? 1 "Ь ®шп 2' (5-9)
где SAHj, Ътр Рдн/ — площадь и толщина стенки, а также плот¬
ность материала /-го днища;
тшп) — масса шпангоута /-го днища.122
При баллистическом проектировании можно считать, что оба
пнища имеют одинаковые характеристики. В этом случае на осно-
иппин зависимости (5.9) имеем«ДН == ^ (^'ДН ^ДН Рдн «Шп)"	(5.10)Если оба днища сферические, то в соответствии с выражениями
(1.21) и (4.24) можно записатьs„ 8,„ P.. ° f <D! + W> '“Р№?Л W) Рд.' (5-4)ДН ‘где одн = оь< — предел прочности материала при температуре на¬
грева днищ.Эта зависимость после преобразований может быть представ¬
лена в видес	/дм Рк жD'3 (l + Л2)2‘-'дн °дн Рдн — 	8	оГ~>	(5л2)стдн■ ле	- _5д... т__2лдн~^' о •Масса шпангоута сферического днища может быть определена
но зависимости®ШП ==	РшГП	(5.13)где Fmn и рШп—площадь поперечного сечения и плотность мате¬
риала шпангоута.На основании выражений (4.27) и (5.13)ГПшп =	рсф cos ср,	(5.14)где оьшп — предел прочности материала шпангоута.Из геометрических соображенийRcф cos ® = РСф — А;(Рсф-А)2+^ = ^сф.(5.15)На основании зависимостей (5.15)Рсф cos ср = (д- - а).	(5.16)Подставляя выражение (5.16) в зависимость (5.14), после пре¬
образований получим окончательное выражение для массы шпан¬
гоута сферического днища. /шпРк . т^ъ. А_ /	h\	(5 jИз зависимости (5.17) следует^ что при А->- 0 масса шпангоута
неограниченно возрастает, а при Л-»-1 масса стремится к нулю.Используя выражения (5.10), (5.12) и (5.14), полагая днища
и шпангоуты изготовленными из одного материала, а также при¬123
нимая коэффициенты запаса fm—fum, получим формулу для расче¬
та массы двух одинаковых сферических днищ двигателя/днйс кD3 ,	/Г 104тдн = —	гА,	(5Л8)сдни 3 + Л4где **—ir-Значения функции kh (h) приведены в табл. 5.1, а график этой
функции дан на рис. 5.1.Таблица Б.1h0.10,20,30,40,50,60,70,80,91,0kh7,503,752,501,891,531,301,161 ,061.021,00Из таблицы и рисунка видно, что с уменьшением относительной
высоты днища существенно возрастает вес шпангоута и толщина
днища, что приводит к увеличению общей массы тдн при некото¬
ром уменьшении площади 5ДН.Аналогичные формулы, в принципе, можно получить и для днищ
другой формы.При проведении баллистических расчетов целесообразно массы
соплового блока, а также теплозащитного и скрепляющего покры¬
тия определять в соответствии с обобщенными выражениями(4.32)	и (4.41):
Полный импульс расчетной тяги /р можно представить очевид¬
ной зависимостью/р=“зРурд,	(5.20)где РРД — удельная тяга двигателя при расчетном режиме.Для определения значений удельных тяг РДТТ, работающих на
смесевых топливах, могут быть использованы следующие зависи¬
мости [25]:ft-1ру.»=р;.+fjr(-s-)*'	<5-21>где Рст—газовая постоянная продуктов сгорания;Т—температура горения;
k—показатель адиабаты.Величину температуры горения для смесевых твердых топлив
можно найти по -эмпирической зависимости:Г = ГСт + Ь0 (рк — /?ст);	(5.22)(300(3° К < 7’ст < 3500° К),где £0=1,12Г град! ,0 ’ L бар J ’7СТ—стандартная температура горения, определяемая по ре¬
зультатам термодинамических расчетов;
рст — стандартное давление в камере сгорания (обычно
40 бар).Удельная тяга на земле определяется выражением^УДО = ^уд П - (Руд „ - РУРД) ^ ,	(5.23)где /7дг= 1,01 бар.Расчетная удельная тяга, входящая в выражения (5.20), (5.21)
и (5.23), может быть определена по эмпирической зависимости= руд ст +bt + Ьъ рк - ь,р\ - ЬчРа + bspl (5.24)где Р"|ст—приведенная стандартная удельная тяга, рассчитаннаяпри рк = рст и Pci = Pn;Ь, = 19,4 [сек]-, Ьл = 0,76 [Ц]; 4, = 0,003 [J|];Приведенная стандартная тяга зависит от содержания алюми¬
ния в топливе и рассчитывается по эмпирической формулер%„ = руя ст [1 - [bi + b2 а0 + bsa20)],	(5.25)где Руд ст — стандартная удельная тяга, определяемая термоди¬
намическим расчетом при рк—рст и pa=PN]
а0 — содержание алюминия в топливе, выраженное в весо¬
вых процентах;Ь1~4,3 [сек}\ £2 = 0,17 [сек\, #> = 0,09 [сек].125
Выражения (5.6) — (5.8), (5.18) — (5.25) позволяют связать ве¬
личину коэффициента конструкции двигателя с некоторыми пара¬
метрами ракеты. После преобразований можно записатьадв I: Щг +	i) руд / (а<» /'./)• (5-26)Рт<°ц/	Рт< ®дн 1 Vmi 1з/	удКак и следовало ожидать, относительная масса цилиндрической
части корпуса двигателя прямо пропорциональна давлению в ка¬
мере, относительная масса днищ двигателя прямо пропорцио¬
нальна давлению в камере и обратно пропорциональна удлинению
заряда, а относительные массы соплового блока и теплоскрепляю¬
щего покрытия прямо пропорциональны расчетной удельной тяге
двигателя. Из выражения (5.26) следует, что с увеличением удли¬
нения заряда lai коэффициент конструкции двигателя монотонно
уменьшается, однако реально параметры /3,- существенно ограни¬
чиваются рядом условий, о чем будет сказано ниже.Выражение (5.26) для коэффициента конструкции двигателя
является приближенным, однако на стадии проектных разработок
и при проведении баллистического проектирования, когда еще
окончательно не выбраны конструкция и технология производства
двигателя, усложнять эти зависимости нецелесообразно. На сле¬
дующем этапе проектирования, после детальной разработки кон¬
струкции каждого элемента, величина адв может быть определена
более строго по весовой сводке двигателя.Таким образом, коэффициент конструкции двигателя является
функцией параметров рк, /3, ра, то естьадв ®дв [Рк, Ра)-	(5-27)В соответствии с выражениями (5.5) и (5.27) можно считать,
что стартовая масса ракеты зависит от четырех параметров каж¬
дой субракеты, то естьт01 = OToi [p,t, U Pai> Р-кг),	(5.28)Для дальнейшего уточнения постановки задачи оптимизации
характеристик ракеты необходимо связать аргументы критериаль¬
ной функции (5.28) с параметрами функции ограничений (5.2) и(5.3). Если бы удалось выразить аргументы Рт и Xi, входящие до¬
полнительно в функцию ограничений (5.2), через параметры суб¬
ракет, от которых зависит стартовая масса т0ь то задача поиска
минимума критериальной функции при ограничениях (5.2), (5.3)
существенно бы упростилась.Коэффициент тяговооруженности субракеты непосредственно
зависит от размера поверхности горения, определяемой принятой
формой заряда. В связи с тем что к форме заряда предъявляется
довольно много противоречивых требований, практически исполь¬
зуются лишь цилиндрические заряды с фигурным каналом и щеле¬
вые заряды (см. § 2.2). Среднюю поверхность горения таких заря¬126
дов в соответствии с выражением (4.88)_можно представить в виде
следующей зависимости от параметров 13 и D:S — k j3 D2.	(5.29)Для принятой формы заряда коэффициент ks является постоян¬
ной величиной, однако на практике всегда можно несколько видо¬
изменить поверхность горения. Так, например, в щелевом заряде
можно варьировать длину и глубину щелей, не покрывать брони¬
рующим составом некоторую часть торца, делать специальные фи-
|урные выемки на торцевой поверхности, несколько изменять по
длине диаметр центрального канала и т. п. За счет таких вариа¬
ций формы величина средней поверхности горения заряда может
отклоняться на ± (20-ь-30)%. При этом обычно удается разбросы
текущей поверхности горения в процессе работы двигателя огра¬
ничить сравнительно небольшими значениями.При баллистическом проектировании ракеты в качестве основ¬
ной формы (будем называть ее базовой) можно принять заряд с
цилиндрическим каналом и четырьмя одинаковыми щелями, обра¬
щенными к соплу, бронированный по наружной цилиндрической
поверхности и переднему торцу. По сравнению со щелевым заря¬
дом, описанным в гл. 2, такая форма имеет некоторые преимуще¬
ства: несколько увеличивается поверхность горения, что выгодно
при существующих скоростях горения топлив; уменьшается длина
щелей, что увеличивает прочность заряда; уменьшается масса бро¬
нирующего состава.Длина щелей /щ такого базового заряда может быть найдена
из условия равенства поверхностей горения в начале и конце ра¬
боты двигателя. Расчеты показывают, что относительная длинащелей /щ = практически линейно зависит от удлинения заряда/щ = 0,37/,-0,30.	(5.30)Средняя интегральная площадь горения такого заряда с ошиб¬
кой не более 0,5—1,0% выражается довольно простой зависимо¬
стью5 = 2 I, D2.	(5.31)Таким образом, для базового заряда коэффициент формы ks0 =
~2. В соответствии со сказанным выше о возможностях некоторого
отступления от базовой формы заряда при баллистическом проек¬
тировании ракеты можно считать, что коэффициент формы заряда
лежит в пределах(5.32)Для описанного выше щелевого заряда ksn = 1J+ 1,8 и k3B =
=2,22,3.Естественно, что масса заряда также зависит от его формы.
При использовании выражения (5.7) величина коэффициента
определяется выбранной базовой формой заряда, а отклонения от127
нее практически не изменяют массу заряда. Для рассмотренного
выше базового щелевого заряда величина коэффициента суще¬
ственно зависит от начального диаметра d внутреннего канала. I
Этот параметр в относительно коротких зарядах крупных двигате¬
лей определяется условиями прочности и зависит поэтому от спо¬
соба крепления заряда в корпусе. Для зарядов, заливаемых непо¬
средственно в корпус двигателя или скрепляемых с корпусом спе¬
циальными составами, относительный начальный диаметр канала^~~D ле?кит в следующих пределах:5 = 0,18 4-0,28.	(5.33)Массу базового заряда можно также рассчитать по зависимостисо, = -f p/3D* -&j фи,	(5.34)где D3 — наружный диаметр заряда;фщ — коэффициент, учитывающий уменьшение массы заряда
за счет щелей.На основании выражений (5.7) и (5.34) запишем=	(5-35)Расчеты показывают, что коэффициент фщ практически не из¬
меняется при некоторых отступлениях от базовой формы заряда и
может быть принят равным 0,95. Поэтому с учетом рекомендации(5.33)	получим интервал возможных значений коэффициента
массы заряда<!»„ = 0,84 4-0,92.	(5.36)Таким образом, выбранная базовая форма заряда, способ его
крепления в корпусе и связанное с ним допустимое значение d
определяют величину и интервал (но не постоянную величину)
возможных значений коэффициента ks. В принципе, аналогичные
выражения можно получить и для других форм зарядов.Приведенные выше соображения позволяют теперь связать
коэффициенты тяговооруженности субракет Хг, входящие в функ¬
цию ограничений, с параметрами ракеты. На основании зависимо¬
стей (4.89), (2.2) и (5.7) можно записатьх — (т°‘ У/з (Vl°'‘ Уз/ Рт 1/ \kui ^klДля принятой базовой формы заряда величина коэффициента
тяговооруженности может быть несколько изменена за счет вариа¬
ций коэффициентом ks в пределах, определяемых условием (5.32),
поэтому желательно наряду с параметрами pKt, pat, l-м и найти
такие значения kSi, отвечающие ограничению (5.32), при которых
стартовая масса ракеты минимальна. При конкретном же проек-(5.37)128
шровапии заряда необходимо внести такие изменения в базовую
форму, при которых может быть обеспечен требуемый коэффи¬
циент kai.Следовательно, при выбранных конструктивной схеме, базовой
форме заряда и марке топлива для каждой субракеты параметры
f>Ki, Pai, hi, v-hi и ksi однозначно определяют коэффициенты тяго-
вооруженности X,-. Совместный анализ выражений (5.37), (5.26) и(5.4)	показывает, что коэффициент начальной тяговооруженностиракеты обратно пропорционален величине т/Т~, то есть с увели-' з!чением удлинения заряда несколько уменьшается коэффициент
аДв< и, следовательно, стартовая масса субракеты, однако суммарно
это приводит, к уменьшению коэффициента X,- Таким образом,
оптимальное значение 73{ несколько ограничивается баллистиче¬
скими возможностями ракеты за счет влияния коэффициента тяго¬
вооруженности на дальность полета, однако практически решаю¬
щим ограничением на величины удлинений зарядов БРСД и МКР
с РДТТ является стремление разработчика получить приемлемую
общую длину ракеты.Для уменьшения габаритов, веса и стоимости стартовых соору¬
жений, наземного и транспортного оборудования желательно полу¬
чить длину ракеты /р не более заданного значения. Поэтому чаще
на суммарное удлинение зарядов двигателей может быть наложено
дополнительное ограничение видаI hi D(	(5.38)i-iгде — допустимая суммарная длина зарядов ракеты.На основании выражений (4.7), (4.10) и (5.34) после преобра¬
зований можно получить зависимость для определения диаметров'
ступеней ракетыD, = /	У1'.	(5.39)4 РтI Фш/ 1з1Выполнение ограничения (5.38), как правило, при прочих оди¬
наковых условиях, приводит к некоторому увеличению стартовой
массы ракеты, однако при этом учитывается в некоторой мере
влияние ряда факторов, не входящих в критерий минимума стар¬
товой массы ракеты. Кроме того, величины 1а\ и Xoi могут ограни¬
чиваться допустимой скоростью разворота ракеты на первом АУТ
и связанной с ней поперечной перегрузкой. Ограничение по скоро¬
сти разворота можно представить, например, в виде4—7	5	штр>	(5.40)01 H*i Рул 01 ^ тр	V ’где сотр — средняя допустимая скорость разворота ракеты.5-573129
Для верхней ступени ракеты интервал оптимальных значений
Хпп ограничивается допускаемыми осевыми перегрузками и приня¬
той формой заряда. Это ограничение может быть представлено в
очевидной формеОднако ограничения (5.32) и (5.38) обычно значительно силь¬
нее сужают интервал возможных оптимальных значений Xi, чем
условия (5.40) и (5.41), связанные с допустимыми поперечными и
осевыми перегрузками.В соответствии с выражением (4.59) и (5.7) после преобразо¬
ваний можно найти зависимость между коэффициентом Рт и па¬
раметрами ракеты в видеИз формул (5.42) и (5.28) видно, что и этот параметр функции
ограничений (5.2), (5.3) полностью определяется величинами pKi,Полученные выше зависимости позволяют перейти к математи¬
ческой постановке задачи оптимизации проектных параметров ра¬
кеты или задачи баллистического проектирования. На основании
выражений (3.57), (3.77), (3.81), (3.84), (3.85), (4.89), (5.21) —
(5.26), (5.32), (5.37) — (5.42) можно записать критериальную функ¬
цию и функции ограничений:з(5.42)PaiI 1зг> JJ-fei-171 	 		.т01 1 — — Лщ(. (1 + адв 1) Uhl ’(5.43)(i =1,2,..., п)”1U Tсо/ ГГ/ '-'ДН I Т(о/ *3/+ (kQi + &тс 1) РуЯ I;^уд / — Л’Д ст / [1 — [Ь\ + ^2 а01 + ^ <)1+ ^ + Ььрх1 - bCip2Ki - b4pai + bspl~,__ 2/цpKi	/дн Рк1 khli	— ,	i	- . - ГЫ l Тш1 Рт/ <*дн / Ф(о/ hi(5.44)(5.45)(5.46)(5.47)(5.48)(5.49)(5.50)Гl У СТ / 4" Ь0 (РК1 Рст)'L — I R't]u;, __ Ь + У Ь* + ДС,
2 ~	a130
а = 2/?(1 + tg2 Oft) — (2R+hk) vft;
^ =v* ^ tg »ft;
с = vftAft;V* (/? + A*)v„К	d-D2	Ig0R2Vft/ = £o ^уд nl Ц1 (l^Al) ^уд 01 ^pl (Pil)' p ^01 Рул 01 Igl (^*> l^Al) +IX\ (t^fcl) PHiA0, У sin2 Яi;I+ 2^° ^учп J W1 ~ ^nyPfty sin &*];J-2 V^A1 =SoPyn 01 ^01 [Ф1 (l*ftb 8/г) ~ "Т^Г ^01 I\l (&ft. P'ftl)];К = A« + 2 £о*п;Яуд „j sin h \ Y-V-1 ^ +2	L *0^уДП у+ Uu (Hj) ~ 4- Х"У sin & J ’nlh = kt hkX -f ^^О^пу^удп j cos &A Xj-2. goPy д n;+11,12 ~ "2" x"y ^ °os &*];УД ny3D 	 I / 4/n01/Pti /31 ФшЛ2.Ры1~ V —'/.xi = Ap^/3i- 0-s) ' #,.»/ P'fei '
h =7з/ PtJ/ H’fti ksi UU P^Pуд Ix0/ при i = 1;Xnl при i = 2, 3,..., n
Pyl0l при г== 1,/Эуд/ 1 Яудп/ при i = 2, 3, ..., га;А1 ^уд 01 Т(5.51)(5.52)(5.53)(5.54)4(5.55)(5.56)(5.57)(5.58)(5.59)(5.60)(5.61)(5.62)
131
(5.63)(5.64)(5.65)(5.66)В представленную выше систему уравнений входят переменные
Ркг, рай Li, \ш, k,i, а также следующие группы констант:—	характеристики конструктивной схемы ракеты:^Оп = ^лн> /ц> /дн» ац/> стдн h khi, kch kTC j, (5.67)—	характеристики топлива:^уд стЬ йог, ^CTii Рст b ^i’ Pxi» ^ I п—	параметры, определяющие форму заряда:н, As/в,—	баллистические характеристики:^/г, Ul (l^i), ^pl (l*ftl)> ЛдС1 (t^ftl)»fgl (®А> ^1 (t^Al) ^ft), Ul2 (lA«)» ^l>—	величины ограничений:WTp, nx\ тр, ^21 ^"max»—	прочие константы:^0 ^8» Рчт, Pni go, i те-Алгоритм (5.43) — (5.66) содержит нелинейную критериальную
функцию и нелинейные функции ограничений, зависящие от 5п
параметров. Эти функции представлены в виде последовательно
определяемых алгебраических выражений.Сформулируем задачи, которые могут быть решены на основа¬
нии этого алгоритма.Если заданы все шесть групп констант, можно найти такие зна¬
чения параметров субракет pKt, pai, la и рн и kSi, при которых вели¬
чина m01 минимальна и выполняются неравенства (5.62) — (5.66).
Следует заметить, что решение такой задачи связано с серьезными
вычислительными трудностями. Так, для трехступенчатой ракеты
задача сводится к поиску минимума нелинейной функции пятна¬
дцати параметров при нелинейных функциях ограничений.Для пояснения структуры алгоритма (5.43) — (5.66) рассмотрим
один из возможных методов решения такой задачи на ЭЦВМ.Датчиками случайных чисел задается /-й набор значений ркц,Ран, hij, [ihij, ksij (/= 1, 2	v). На практике удобно использоватьслучайные числа, равномерно распределенные на интервале (0; 1).
Выбрав предварительно заведомо широкий интервал возможных
оптимальных значений каждого параметра, нетрудно найти его
случайную равномерно распределенную на этом интервале реали-(5.68)(5.69)(5.70)(5.71)(5.72)i-i132
НЦИЮ' Например, для давления в камере РДТТ можно принять
ИМИ риал Ркгн <Рк/ < Piub, для которого рк!Н=10 бар и /?К.В =
Ш* |00 бар. При этом случайная j-я реализация давления в камере
Принимает видРк1 j ~ РкЫ “Ь Xj {pKiB PkIh)>>#Д9 X] — реализация случайного числа, равномерно распределен¬
ии! о па интервале (0; 1).При выбранных таким образом значениях ркц, Рац, ha, P-kij,
km рассчитывается величина стартовой массы тoij и проверяется
И1.111(1Л11епие ограничений (5.62) — (5.66). Если эти неравенства
Мвепечиваются, значение т0ц сравнивается с минимальной полу¬
ченной из всех предыдущих проб величиной то\- Если найденное
вничоние m0]j оказывается меньше, оно вместе с соответствующими
Величинами оптимизируемых параметров отправляется в память
Мишины. После того как будет проделано достаточно большое
Число проб (во всяком случае не менее нескольких тысяч), опре¬
деляется такой набор оптимизируемых параметров, при котором
лишение m0i было бы минимальным.Рассмотренный метод решения задачи требует большого объ-
■ Mil вычислений, поэтому он может быть рекомендован лишь в том
случае, когда известны достаточно узкие интервалы возможных	пмальных значений искомых параметров субракет. Однако егообсуждение позволяет уяснить особенности решения задачи.Для оптимизации параметров рКг, Pai, р.ы, hi, ksi могут приме¬
ти 1.ся хорошо известные методы нелинейного программирова¬
ния [98].Алгоритм (5.43) — (5.66) может быть также использован для
( р.чмнения баллистических возможностей применения топлив и
форм зарядов. Задавая наборы констант второй группы (5.68),
| пш нетствующие различным маркам топлива, можно определить
ппик: топлива или их отдельные характеристики (например, коэф¬
фициент в законе скорости горения), при которых стартовая масса
ракеты данной конструктивной схемы будет минимальна. Задавая
нибор констант третьей группы (5.69), нетрудно установить влия¬
ние формы заряда при принятой марке топлива на величину кри¬
минальной функции т0\. Полученные в результате решения этих
|мдач данные об оптимальных (в смысле минимума стартовой
миесы) _марках топлива, формах заряда и значениях параметров
I'ui, I’ai, hi, р.йг, ksi позволяют принять окончательные решения при
рн.чработке аванпроекта ракеты с РДТТ.11роанализируем подробнее полученный выше алгоритм
(П.43) — (5.66) задачи оптимизации параметров ракеты. Нетрудно
ям метить, что оптимальные значения давления в камере рщ и на
| реле сопла pai определяются в основном противоречивым влия¬
нием параметров P$Ai(pKt> Pai) на критериальную функцию т01
и функцию ограничений L. Так, с увеличением давления в камере
пшрастает удельная тяга двигателя (5.45) и увеличивается коэф¬133
фициент конструкции двигателя (5.44). Аналогичные изменения
происходят с уменьшением давлений на срезе сопла раг-С увеличением параметров /3; несколько уменьшаются значения
коэффициентов аДВг и X*. При уменьшении величин аДВг стартовая
масса ракеты уменьшается. Значительное уменьшение параметра
Xoi может привести и к увеличению стартовой массы в результате
роста потерь в скорости на аэродинамическое сопротивление
(5.55).Величины коэффициентов тяговооруженности или параметров
ksi верхних субракет во многом определяются ограничениями(5.62)	— (5.65), о чем было сказано выше.При решении задачи в первом приближении можно принимать
значения коэффициентов kai равными базовым значениям kso;, т. е.
предполагать, что форма заряда зафиксирована. В этом случае
снимаются ограничения (5.62) — (5.65), величины ksoi задаются как
входные данные и полученные при таких условиях значения X*
сравниваются с возможными оптимальными интервалами (см.
§ 4.6), определенными при отсутствии каких-либо ограничений на
форму заряда. Такое решение задачи заключается, по существу,
в замене более строгих ограничений (5.62) —(5.65) ограничениями
на интервалы приемлемых значений Xf, при которых потери в ско¬
рости полета близки к минимальным. Получение же таких значе¬
ний X, при проектировании двигателя может быть обеспечено сме¬
ной формы заряда или характеристик.топлива.Оптимальные значения параметров p.hi практически опреде¬
ляются ограничением (5.66) на требуемую дальность полета, хотя
критериальная функция т0] несколько изменяется и в зависимости
от величин отношений коэффициентов наполнений субракет.§ 5.2. ПРИБЛИЖЕННОЕ БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕРАКЕТЫЗадачей приближенного баллистического проектирования яв¬
ляется расчет основных тяговых, массовых и геометрических ха¬
рактеристик ракеты при выбранных проектных параметрах. При
приближенном баллистическом проектировании предполагается,
что интервалы оптимальных значений проектных параметров уже
известны, например, из решения задачи по алгоритму § 5.1 или в
результате накопленного опыта создания подобных ракет. Таким
образом, при приближенном баллистическом проектировании так¬
же могут быть использованы зависимости (5.43) — (5.66), однако
в этом случае наряду с константами (5.67)—(5.72) предпола¬
гаются известными параметры pKi, pai, T3i, ksi (Х{) и задача заклю¬
чается в последовательном определении тяговых, массовых и гео¬
метрических характеристик ракеты. При этом обычно вводят до¬
полнительное условие134(5.73)
НЮ позволяет при заданных значениях рщ, раг, ki, kS{ (X,) свести
ишачу баллистического проектирования, по существу, к поиску
1 ййого значения рь при котором с определенной точностью выпол-
инпси условие L = Lmax- Такая задача может быть достаточно про-
ми решена путем последовательных приближений.Рнссмотрим одну из возможных методик расчета, основанную
нм использовании основных зависимостей алгоритма (5.43) — (5.66)
и некоторых дополнительных упрощающих предположениях. Ис-
Аидными данными являются:
величина Lmax;• - характеристики конструктивной схемы ракеты (5.67);-- характеристики топлива (5.68); параметры (5.69), опреде-		 форму зарядов; баллистические характеристики (5.70);значения проектных параметров.Последовательность расчета определяется следующими опера-
нинми.Определяем требуемую скорость ККтр в конце АУТ
ни тданной величине Lmax.При типовых программах движения на АУТ для расчета вели¬
чины Иктр можно рекомендовать эмпирические зависимости:^"тах130 VL- при imax<4000 км;КТр4,2 V*12000 км,(5.74)ктр при 4000 км < Z,nfдр V'ktp имеет размерность км/сек.выражения (5.74) дают предельные относительные ошибки
(I I Г») % при расчете дальности полета и (0,2 + 3,0) % — при опре-
/пмепии скорости Кктр. Ориентировочные значения 1/ктр для неко-
11*111.1 \ характерных дальностей пусков приведены в табл. 5.2.Таблица 5.2^■щах’ КЛ120004000600080001000012 000I' KTpi м/сек390055506150660069507300Определяем удельные тяги двигателей Яурд
/' I, Руд„1 по зависимостям (5.45) —(5.48).Р ас считываем параметр ра.II соответствии с выражениями (4.76) и (5.73) величина р.* мо-
/м г быть определена по зависимостям:IVР =“уд срехрУД 01/ V У^ктр 'j _\	ng0 Руд Ср/ ’+ р.удпi-2уд п ill(5.75)ни- kv= 1,10-4-1,18 — коэффициент, учитывающий суммарные по-
и рп в скорости на АУТ.135
Определяем коэффициенты конструкций дви¬
гателей аДвг по формуле (5.44).Рассчитываем стартовые массы субракет и
диаметры ступеней по выражениям (5.43) и (5.61), а так¬
же определяем массы ш3г зарядов, массы тдв,- конструкций двига¬
телей, массы тконг конструкций ступеней, массы mt ступеней,
массы о)Гг гарантийных запасов и параметр Р„ц по следующим за¬
висимостям:w3l — т01 \ьк1 kmi]тт'■ а»дв iкон I == ^i Щ*шг/= 0)зг (Аш1. — 1);4Отт
Ал = Tt/j?(5.76))Выбираем коэффициенты начальной тяго-
вооруженности Xi или коэффициенты ksi.Нижние и верхние значения коэффициентов тяговооруженности,
обеспечиваемые при верхних ksiB и нижних &st-H значениях коэффи¬
циента формы заряда, могут быть определены по формуле (5.60).
Найденные таким путем интервалы возможных значений коэффи¬
циентов тяговооруженности позволяют выбрать конкретные значе¬
ния Xi и соответствующие им kSi, которые удовлетворяют требова¬
ниям:0,4<Х01<0,5;0,2<Хп2<0,3;0,15<Хпз<0,20.(5.77)В том случае, когда при принятых характеристиках топлива и
базовой форме заряда не удается выполнить условия (5.77), расчет
повторяется при других исходных данных (5.68) и (5.69).Требуемые значения Xi могут быть получены также и путем
изменения параметров pKi, pai, Li, однако это приводит, как пра¬
вило, к дополнительному увеличению стартовой массы ракеты.Рассчитываем полную дальность полета по за¬
висимостям (5.49) — (5.58) и производим проверку требованияL = Ljnax-При выполнении условияL-L„;о,оз(5.78)расчет можно считать законченным, а в случае большего рассогла¬
сования выбирается новое значение и проводится следующее
приближение.136
Для определения поправки Д[л& можно получить зависимость■V,, - - IV- - Ж (L~ '•»..) “ - Ж. <5'79)|д<’ / - номер выполненного приближения.И соответствии с выражениями (5.74) и (5.75) нетрудно найти
|виисимостьdy-k т6L max '■V-kj4 пIn1(1 -ып'Па рис. 5.2 приведены графики функции
И трехступенчатых ракет.(5.80)
для двух-ИкРис. 5.2. Графики функции LmixПроиллюстрируем эту методику примером расчета массовых,
Iгпмггрическйх и тяговых характеристик двух вариантов трехсту-
ишчатой гипотетической ракеты с РДТТ.Исходные данныеМаксимальная дальность полета Lmax— 11 000 км.Характеристики конструктивной схемы ракеты:f 750 кг;111 = \ 1250 кг;N, = 0.01; N2 = 0,02; Ы3 = 0,03; kmX = km2 = 1,0; ka3 = 1,015.Предполагается, что на всех ступенях ракеты используются:
иди паковое топливо; щелевые заряды одинаковой формы; двига-ii.ni со сферическими днищами, имеющими одинаковую относи¬137п = 3; /п03
тельную высоту и выполненные из одного материала; материал
цилиндрических частей корпусов двигателей одинаков:/ц- 1.25; Ан = 1.40; 5Ц = 2.82-10»	\ ^дн = 1.54-№	;kh = 1,3; kc = 0,9-10~4 сек\ kTC = 1.1 -10-4 сек.Характеристики топлива:Рудст = 248 сек- а0 = 16,9; Гст = 3114° К; Rcr = 334 [	;* - ,-21:" -1>2'10" [-5-] • ”■ - «ЬЗЫ > ’ - °'4-Характеристика заряда:=	= 1*7; £sB = 2,3.Проектйые параметры:ркj = 50	рк2 = 45 (Тар;	/>кз = 35 бар,ра1 = 0,75 бар, рм — 0,25 бар, раз = 0,20 бар,l3i —4,1;	/За = 2,8;	/33 = 2,5.Расчет массовых геометрических и тяговых характеристик ракеты1.	В соответствии с зависимостью (5.74) имеем\7	л f ^"max	11000 _ .	Tien /”ктр = I / ■ = V "42 =7,15 км/сек = 7150 м/сек.2.	На основании выражения (5.45) и исходных данных опреде¬
ляем величины расчетных удельных тяг:PyAi = ЯУДСТ[1-(4,3 + 0,17-16,9 + 0,009-16,92)-10-21 + 19.4 ++ 0.76pKi — 0.003— 0,70pai + 25р^ ;рРд1 = 235,4 сек\ рРд2 = 255,6 сек\ рРд3 = 253,3 сек.В соответствии с зависимостью (5.47) определяем температуру
в камерах сгорания:7; =3114+ 1,12 (pKi — 40);Г, = 3125° К; Тг = 3120° К; 7'а = 3108° К.Удельные тяги в пустоте определяются по формуле (5.46):ft-iо1 уд;1,21-1поел , 334-3125 ( 0,75 \"Х2Г
Удп1 = ' + 9,812 • 235,4 \ 50 ) - 257,3 сек,Рун па = 272,5 сек\Руд пз = 271,7 сек.Удельная тяга двигателя первой ступени на земле определяется
зависимостью (5.48):Рут = Рут - (Руй„1 - Р*л1) ~ = 257(,3 - 257.3 - 235,4) = 227,8 сек.
138
3.	Средняя удельная тяга двигателей ракеты рассчитывается
tin выражению (5.75):Руд Ср = 4- ( 227,8 2 257’3 + 272'5 + 271 ’7 ) = 262'2 СвК-Пн основании формулы (5.75), принимая fey = 1,12, получим/ 1,12-7150 ^I** = 1 - ехр 3,Э|81,262 2 ) = 0,645.'1. В соответствии с выражением (5.44) и исходными данными
имеем2-1,25-50	1,4-1,3-50“Дв1 - i,72-10-3-0,9-2,82-106 + 1,72-10-3 0,9-1,54• 10«-4,1 ++ (0,9 + 1,1)• 10~4-235,4'= 0,0850; адв2 = 0,0891; адвз = 0,0814.Г). В соответствии с исходными данными и зависимостями
(,'> 13), (5.61), (5.76) рассчитываем массовые и геометрические ха¬
рактеристики ракеты. Результаты расчетов для двух вариантов
I т чены в табл. 5.3.Таблица 5.3ПараметрРазмерность1 вариантII варианттт - 750 кгтпн — 1250. кг«03кг26804790/и02кг968017 280«01кг33 34059 540шрззкг17333098(Оркг2646tl)32кг624911 150W31кг21 50038 397^ДВЗкг141252^ДВ2кг557994^Д81кг18263260,WKOH3кг'80144WKOH2кг194346^KOHlкг334603Щкг19803540т окг700012 490т\кг23 66042 260D3см83,0101D2см122,5148,5D,см162,5197,0Ям.Vкг/м216 00019 5500. По зависимости (5.60) и исходным данным найдем пределы
тменения коэффициентов формы заряда k3u необходимые для вы¬
пи,тения условий (5.77):ь		moi8o	S/H(B) = Ру' •Результаты расчетов для двух вариантов ракет сведены в
I нГ>. | 5.4.139
Таблица 5.4ВариантПринятые значения^ si и^si в*1*siI«пн = 750 кг11,461,830.411,7821,562.340.261,8031.742,320,191,83II«пн —1250 кг11,772.220,412,1621,902.860.262,1932.112.810,192,22Из табл. 5.4 видно, что для принятого топлива допустимые от¬
клонения коэффициентов ksi от величины ks0 = 2 позволяют полу¬
чить требуемые значения коэффициента тяговооруженности и сле¬
довательно, в данном случае нет необходимости использовать для
субракет разные топлива и изменять тип базовой формы заряда.В соответствии с выбранными значениями X; находим время
работы каждого двигателя по зависимости thi = \iy.kiPym:
tki = 0,41 -0,645-227,8 = 60,3 сек;
tki = 0,26-0,645-272,5 = 45,7 сек;
tk3 = 0,19-0,645-271,7 = 33,3 сек.7. По формулам (5.49) — (5.58) производим проверочный
расчет дальности полета ракеты I варианта.По графикам рис. 3.6—3.9 и табл. 2 приложения при [л.й = 0,645
и 8/i = 25° находим значения баллистических характеристик:Ц, Ы = 1,0365; /р1 (,л*) = 0,385 Г-2^] ; (м) = 23 [-^] ;
rgl (H-ft. »*) = 4,23	; Ф, (I**, в*) = 0,162; Ц12 (,**) = 0,278; kL = 1,65.Определяем параметры конца АУТ:VA1 = 9,81-257,3-1,0365 —227,8-0,385	^— 0,41 -227,8-4,23 =6	10 иии0,41 V sin2 25°= 1975 м/сек;Кй2 = 1975 + 9,81 -272,5 (1,0365 — 0,26-0,645-sin 25°) = 4555 м/сек;Vk% = 4555 + 9,81-271,7 (1,0365 — 0,19-0,645-sin25°) = 7180 м/сек;hkl = 9,81 -227.82-0,41 ^0.162 — 2,(j812 0,41-4,23-j = 26000 м;140
fhk = 26000 + 9,81 -0,26 -272,52 sin 25° (^jo^645 + 0,278 -
_JL 0,645^.0,26-sin 25°) + 9,81-0,19-271,72 sin 25° (^^ ++ 0,278 —— 0,6452-0,19-sin 25°^ = 26000 + 60000 + 80000 = 166000 л;lk = 1,65-26000 + 9,81 • 0,26-272,52 cos 25°	+ 0,278~—1- 0.6452-0,26-cos 25° ) + 9,81-0,19-271,72 cos 25°	+ 0,278-
	i- 0,6452-0,19 cos 25°^ = 43000 + 129000 + 171000 = 343000 м.Находим полную дальность полета:71802 (6370 + 166) -103
Vfe~ 9,81-63702-108= 0,845;а = 2-6370-103 (1 + tg225°) — (2-6370 + 166) 103-0,845 = 4600-103 м\
Ь = 0,845• 6370 tg 25° = 2510-103 м\ с = 0,845-166-Ю3 = 140-103 м;7]Ц 2510-103 + J/2510M06 + 4600-140-106 _ , 10
tg 2 ""	4600-Ю3% = 96,5° = 1,68; L = 343-103 + 6370-103-1,68 st 11050-103 м.
Проверяем выполнение условия (5.78):11050— 11000
11000: 0,0045.Полу.ченное рассогласование невелико.Для второго варианта ракеты аналогичным расчетом получена
олная дальностьL ~ 11230-103 м.Поскольку и в этом случае рассогласование по дальности со-
гавляет около 0,02, то расчет может быть закончен после первого
фиближения.§ 5.3. ГАРАНТИРОВАННАЯ ДАЛЬНОСТЬ ПУСКА И РАСЧЕТ
ГАРАНТИЙНЫХ ЗАПАСОВ ТОПЛИВАНа ракету в полете действуют возмущения, вызываемые изме¬
нениями состояния атмосферы, отклонениями аэродинамических
мфактеристик ракеты, погрешностями производства ракеты, ошиб¬
ки ын системы управления, отклонениями -характеристик топлива,
Изменениями параметров двигателей. Это приводит к тому, что в
момент полного выгорания топлива скорость и координаты центра
Мисс, а следовательно, и дальность пуска могут существенно отли¬
чится от расчетных значений. По этой причине при работе двига¬
телей последней ступени до полного выгорания топлива рассеива¬
ние точек падения боевых частей весьма велико.Чтобы уменьшить рассеивание при стрельбе на максимальные
лплыюсти, необходимо выключать двигатели последней ступени
ракеты по командам системы управления. При этом отделение го¬141
ловной части происходит при определенном значении функции
управления дальностью, учитывающей совместное влияние коор¬
динат и составляющих вектора скорости центра масс ракеты на
дальность пуска.Малые отклонения функции управления дальностью приводят
и к малому рассеиванию точек падения.Та максимальная дальность полета, которая обеспечивается
при выключении двигателей последней ступени ракеты по коман¬
дам системы управления с вероятностью, близкой к единице, на¬
зывается гарантированной дальностью.Гарантированной дальности полета соответствует гарантирован¬
ное значение функции управления дальностью.Известно, что дальность полета в связи с вращением Земли за¬
висит от азимута пуска. Поэтому и гарантированная дальность по¬
лета будет отличаться при различных направлениях пусков.Для того чтобы при стрельбе на максимальную дальность с ве¬
роятностью, близкой к единице, двигатель был выключен по коман¬
дам системы управления, на борту последней ступени нужно иметь
сверх расчетных запасов топлива дополнительные. Эти запасы бу¬
дут израсходованы полностью лишь в том случае, если все случай¬
ные возмущения, действующие на ракету в полете, будут умень¬
шать дальность полета. При другом совокупном влиянии возмуще¬
ний дополнительные запасы сгорают частично или остаются пол¬
ностью на борту в момент выключения двигателя ракеты.Минимальные запасы топлива (сверх расчетных), которые с
вероятностью, близкой к единице, обеспечивают выключение дви¬
гателя по командам системы управления при возмущенном полете
ракеты, называют гарантийными запасами топлива.Гарантийные запасы увеличивают пассивную массу ракеты, по¬
этому нужно стремиться уменьшить их величину.Известно, что часть топлива сгорает до отрыва ракеты от пус¬
ковой установки (разделения ступеней) и не используется для раз¬
гона конструкции. Эту часть топлива называют достартовым рас¬
ходом.Таким образом, в соответствии с выражением (4.6) масса за¬
ряда топлива включает следующие составные части:+ шг + “а + “до-	(5.81)Достартовые расходы топлива зависят от скорости выхода
двигателя на режим, а для верхних ступеней ракеты — и от приня¬
той схемы разделения блоков. Достартовые расходы топлива в ра¬
кетах с РДТТ значительно меньше, чем в ракетах с ЖРД, так как
твердотопливные двигатели быстрее выходят на режим.При проектировании ракеты возникают задачи определениямасс рабочего запаса шр3г и коэффициентов	. В процессеже испытаний ракеты определяется гарантированная дальность
полета при принятых массах шэ; топлива.Рассмотрим методику расчета гарантийных запасов топлива.142
Величина гарантийных запасов топлива зависит от способа
выключения двигателя и точности работы системы управления.Запишем первое уравнение системы (3.23) в видеdV . P(h)-X{V,h)	п ооч—+g-0sin»-	лрщ	.	(5.82)Левая часть уравнения (5.82) носит название кажущегося уско¬
рения ракеты и обозначается^=4г+£08 in».	(5.83)Проинтегрировав выражение (5.83), получим формулу для ка¬
жущейся скорости ракеты:tW=V+ Чg0 sin Иdt.	(5.84)dПутем интегрирования кажущегося ускорения система управ¬
ления полетом измеряет кажущуюся скорость ракеты.Двигатели промежуточных ступеней ракет с ЖРД обычно вы¬
ключаются по достижении заданного значения кажущейся скоро¬
сти ракеты W, измеряемой в направлении продольной оси ракеты.
И ракетах с РДТТ двигатели промежуточных ступеней, как пра-
инло, работают до полного выгорания топлива и для промежуточ¬
ных ступеней (шг = 0). Естественно, что при этом каждая следую¬
щая ступень начинает работать при дополнительных случайных
11л «бросах начальной скорости и координат. Это, с одной стороны,
приводит к необходимости иметь увеличенные гарантийные запасы
им последней ступени, но с другой — упрощает процесс выключения
л.питателей промежуточных ступеней.Выключение двигателей по достижении ракетой заданного зна¬
чения функции управления дальностью обеспечивает меньшее рас¬
сеивание, чем при выключении по величине W. Однако для расчета
шрантийных запасов топлива на стадий'проектирования, когда ве¬
личины некоторых возмущений известны еще недостаточно точно,
можно считать, что выключение двигателя последней ступени про-
и июдится при достижении ракетой заданного значения W.Для плоского кажущегося движения центра масс ракеты, пре¬
небрегая углами атаки, можно записатьVF P„-FapNn(h)-X
■ 1^— *ft • (5'85)Интегрируя выражение (5.85) в пределах от 0 до fa, получимЖ^-Р 1п т° Г Xdt Г FaPN- (/г) dt
So ~ удп «. ■- “рз J ft («„ - mt) J ft («, - mt) •143
В соответствии с уравнением (5.86), вводя новые обозначения,
можно записать(5.87)g0(m0 — mt) ’XdtоиРассмотрим случайные отклонения величины Т, которые возни¬
кают из-за случайных изменений удельной тяги в пустоте, старто¬
вой массы, массы рабочего запаса топлива, а также величин Тх и
Th- Отклонения величины Тх в основном вызваны отклонениями
аэродинамических характеристик ракеты и в меньшей степени со¬
стоянием атмосферы, а величины Тн в основном атмосферными
возмущениями (действием ветра, изменением давления и плотно¬
сти). Отклонения в стартовой массе и секундном расходе топлива
влияют на величины случайных отклонений Тх и Th, поэтому
обычно полагают, что отклонения ЬТ х и 8Th независимы и появ¬
ляются лишь на активном участке траектории первой ступени ра¬
кеты.Итак, имеем функциональную связь:Линеаризуя функцию Г относительно' случайных отклонений
аргументов с учетом выражения (5.87), получимРассмотрим подробнее, из каких составляющих складываются
отклонения 8шрз и Ьш0.Для стартовой массы ракеты справедливо выражениегде 8<о3 и 8сод— случайные отклонения массы заряда и достарто-
вого расхода топлива;Ьтк—случайное отклонение конечной массы субракеты.Т — 7 (РуЯП, шрз1 то, 7 xi Th).(5.88)Щ = тпк + си, — а>д.Переходя в зависимости (5.89) к отклонениям, получим
8/ге0 = 8 тк + 8со, — 8и>д,(5.89)(5.90)144
Па основании уравнения (5.81) можно записать
8о)р, = 8ю, — 8шд0 — 8шд — 8(ог,(5.91)8шг — случайное значение гарантийных запасов топлива.При определении гарантийных запасов топлива можно прене¬
бречь разбросами масс соДо и сод как величинами второго порядка
Милости, т. е. можно считать 8содо=8шд = 0.Поэтому, подставляя выражения (5.90) и (5.91) в выражение(5.88), после преобразований получим87’ = -ЬТХ - ЬТh + In ^ 8Рудп ++ ^£1	8ш -	8шк) .^ Щ \ 3 1— Г 1 — VКроме рассмотренных выше причин появления случайных от¬
ношений величины Т следует учитывать еще два вида случайных
Отклонений этого параметра:—	случайные отклонения ЬТц, вызванные разбросом импульсов
последействия тяги двигателей всех ступеней, участвовавших в
рйзгоне данной субракеты;—	случайные отклонения 87'““, вызванные инструментальны¬
ми ошибками измерения кажущегося ускорения системой управ¬
ления.Для t-й ступени ракеты случайное отклонение величины ЬТц,
пы танное разбросом импульсов последействия тяги, определяется
ипшсимостью8Г"=2]-^ <5-93>
i-1ГДС 8/,—случайное отклонение импульса последействия тяги
/-й ступени;mKJ — масса ракеты в конце /-го активного участка.Наконец, необходимо отметить, что в величину 87< случайного
отклонения кажущейся скорости l-й ступени входят отклонения 87’ь
ft ..., bTi-\, так как двигатели всех промежуточных ступеней ра-
Пог/мот до полного выгорания топлива.С учетом всех сделанных замечаний можно записать для по-
< илпей ступени ракеты следующее выражение:8Тп = 87\ + 87^ + ... + 8ГЛ_1 +)>Т™ + ЬТп - ЬТХ - bTh +МП	ЬРт„ + ^ (to. -	К, -	.(5.94)(5.92)Дгигатель последней ступени должен выключаться так, чтобы
исполнялось условиеЬТп = 0.	(5-95^
Тогда из уравнения (5.94) найдемК, - {ЬТХ + 8Г2 + ... + ЬГ+ 8Г”« + 8Г/Я -*удпп 4—	Ь'ГХ — ЬТ h + In yz~[JLftn ЬРУЪпд) + (1 — ^я) 8со»« ~ РкпЪткп. (5.96)В уравнении (5.96) случайное значение гарантийных запасов
топлива на последней ступени ракеты 8сиГп является линейной
функцией ряда случайных параметров. Считая все эти случайные
параметры независимыми и нормально распределенными, найдем
предельное отклонение гарантийных запасов топлива, т. е. собст¬
венно гарантийные запасы топлива на последней ступени ракеты:= У	[д71 + А7| + ... + ДГп_, + (ДГ-)2 ++ + АГХп + дг», +(ln Д/»уд„)*] ++ (1-^я)2Д< + !^<,	(5.97)где ДTh ДГ"11, ДТГп, АТХп, ДГЛл, ДЯудп„, Ашзп, Дткя — предельные
отклонения соответствующих случайных параметров.Рассмотрим принцип определения величин ДГ,, входящих в
формулу (5.97). Так как двигатели промежуточных ступеней рабо¬
тают до полного выгорания топлива, то гарантийные запасы на
этих ступенях отсутствуют. Поэтому по аналогии с выражением
(5.94) можно записать8Г, == 8Г„-ЬТХ1 -ЪТи + In	8РуШ ++ (698>Выражение для предельного отклонения величины Г* в этом
случае имеет вид -дг, = У ЬЦ + ДГ|, + ЬЦ, + (in AP^f ++^Н+НЬд<)- <и9>Таким образом, гарантийные запасы топлива на последней
ступени ракеты определяются по зависимости (5.97), но входящие
р это выражение величины АГь ДГ2> • • •, A?n-i предварительно на¬
ходятся по формуле (5.99).Рассмотрим подробнее предельные отклонения случайных па¬
раметров, входящих в формулы (5.97) и (5.99).Инструментальная ошибка 8ГИН определения величины Т вы¬
зывается погрешностями системы управления, возникающими при
расчете функции управления дальностью. Величина предельного146
Отклонения для последней ступени практически не сказывается
НИ величине гарантийных запасов топлива, так как= 0,0002 -4- 0,0005.	(5.100)Отклонение ЗГл вызывается в основном действием ветра и от¬
клонением давления воздуха на первом активном участке траек-
Нфнп. При расчетах обычно считают^1 = 0,14-0,2.	(5.101)Отклонение ЬТХ вызывается отклонением аэродинамических ха¬
рактеристик ракеты от номинальных значений. При расчетах при¬
нимают= 0,15 4-0,20.	(5.102)хОтклонение 8?Уопределяется выражением (5.93). При расчетах
ислпчины гарантийных запасов топлива можно приниматьМ', Д/Tg0mK'(5.103)ГДе Д/— предельное отклонение импульса последействия тяги, из-
Mi’i'iTioe из расчета или испытаний двигателя.Отклонение 8ЯуДП вызывается случайными изменениями энерге¬
тических характеристик топлива, а также условий его сгорания в
/ишгателе и истечения продуктов сгорания. В расчетах принимаютД Р-рг^- — 0,01 — 0,02.	(5.104)'удпОтклонение 5шк вызывается рассеиванием масс элементов кон¬
струкции ракеты, а также масс зарядов топлива последующих
I |упеней. Если известны предельные отклонения масс конструкции
\»1к(ш каждой ступени и масс топлива Дш3, то, считая эти случай-iii.ii' факторы независимыми и имеющими нормальный закон рас¬
пределения, можно найти предельное отклонение конечной массы
I Л субракеты/П	П2д<н;+ 2 н* <5-105)*	j-i	J-1+1Обычно в расчетах принимают.^•i = 0,005-f- 0,015.	(5.106)mKOHОтклонение §w3 вызывается случайными отклонениями о.т номи¬
нальных значений плотности топлива и геометрических размеров
шрида. Для крупных моноблочных двигателей== 0,005 -4- 0,010.	(5.107)147
Рассмотрим возможности расчета величин шд и соДо, входящих
в выражение (5.81).По определению масса достартовых расходов может быть
представлена зависимостьюto	toсод= | m{t) dt — А | pK(t) dt,	(5.108)о	огде t0— время отрыва ракеты от пускового устройства;А — коэффициент секундного расхода топлива.Та-ким образом, если известна функция изменения давления в
камере pK(t), то найти величину шд нетрудно. Значение t0 для
первой ступени можно определить из уравненияPoiVo) = m0lg0.	(5.109)На стадии проектирования для ракеты с РДТТ обычно прини¬
маютt0 = 0,1 -f- 0,3 сек.	(5Д10)Приближенно величину шД1 достартового расхода на первой
ступени можно определить по зависимости_ (51П)“з! “31	^мЯуДСпН'Й!где тх —секундный расход топлива на расчетном режиме;
у] =0,34-0,5—коэффициент, учитывающий уменьшение секунд¬
ного расхода на интервале (0, to) по сравнению с
номинальным.Достартовые расходы топлива для верхних ступеней ракет с
РДТТ при баллистическом проектировании можно не учитывать.Величина дегрессивно догорающих остатков топлива зависит
от формы заряда, а также от схемы разделения ступеней. В круп¬
ных РДТТ применяются такие заряды, у которых основная горя¬
щая. Поверхность образуется внутренним каналом. Из-за техноло¬
гических погрешностей при изготовлении зарядов толщина горя¬
щего свода в одном и том же поперечном сечении получается не¬
одинаковой. Наличие разнородности приводит к тому, что часть
топлива догорает дегрессивно, при этом падает давление в дви¬
гателе и возникают большие разбросы тяги. Кроме того, при де-
греесивном догорании часть корпуса двигателя, которая до этого
защищалась от воздействия высоких температур слоем топлива,
омывается горячими газами. Это может вызвать прогар и разру¬
шение камеры. Отсюда ясно, что двигатель нижней ступени дол¬
жен быть отброшен в начальный период спада тяги, тогда остат¬
ки топлива не будут участвовать в разгоне верхней ступени.Сохраняя в определенных пределах постоянство поверхности
горения, щелевой заряд (см. § 5.1), можно спроектировать так, что
догорание топлива в районе щелей будет заканчиваться несколько
раньше, чем догорание основной части, имеющей форму цилин¬
дрической шашки с внутренним каналом.148
IПри условии что отделение нижней ступени ракеты, имеющей
Щелевой заряд, будет происходить в момент, когда коэффициент
Осевой перегрузки упадет до величины 0,30,8, при баллистиче¬
ском проектировании можно принять—	= 0,0005 0,0025.	(5.112)0>3Естественно, что для последней ступени ракеты дегресоивно до¬
горающие остатки топлива не должны учитываться в величине
коэффициента kwn.Проиллюстрируем методику расчета коэффициента kmi примером. Исход¬
ные данные для расчета коэффициентов kmi трехступенчатой ракеты, имеющей
моноблочные двигатели со щелевыми зарядами, приведены в табл. 5.5.Таблица 5.5* '^-^__^гираметр^Г1секТХ1сектмсекрУДП 1
сек“рз 1
кг"‘о 1
кгmkiкг1317,011,84,126938 60060 00021 4000,6432467,010,70,826911 10016 7505 6500,6623758,0002692 8203 9801 1600,709Для первой ступени на основании выражения (5.111), приняв Pynpi =
м 0,87ЯуД|11; I = 0,4; Х01 = 0,4 и t0 = 0,2 сек, получим относительную величину
достартовых расходов^£1 =	’-9'4	~ 0 0013шз1 “ 0,4 •0,87-269-0,643 ~ 'На основании рекомендации (5.112) принимаем для первой и второй сту¬
пенейВ этом случае имеемШД01 _ .
“з!k — 1 _L ^	= 1,0028; /гт, = 1,0015. 'ш1	<„ 3, Ш31Для определения гарантийных запасов топлива на третьей ступени в соот-
Имствии с рекомендациями (5.100) — (5.108) определим предельные отклонения
возмущающих факторов.Предельные отклонения Д/’^, = 0,27^:ДТхх = 0,2-11,8 = 2,360 сек-,АТх2 = 0,2-10,7 = 2,140 сек;^хз^-
Предельные отклонения ДTh — 0,\Т^ДГЛ1 = 0,1-4.1 = 0,410 сек,ДГЛ2 = 0,1 -0,8 = 0,080 сек;А7-аз = 0.Предельные отклонения Д-Рудп = 0,01Рудп = 0,01 -269 = 2,69 сек для всех
ступеней.149= 0,0015.<■>32
Предельные отклонения Дш3 = 0,01 м3 % 0,01 мрз:Дыз1 = 0,01 -38600 = 386 кг\Дш32 = 0,01-11100 = 111 кг\Дш33 = 0,01 -2820 % 28 кг.Предельные отклонения Д тк:Д/пК1 = 0,008тк1 = 0,008-21400% 171 кг\Дотк2 = 0,009отк2 = 0,009- 5650% 51 дг;Дшкз = 0,010откз = 0,010- 1160% 12 кг.В соответствии с выражением (5.99), принимая ДTfi = 0, определим вели¬
чины ДTt и ДТ2:ЛГ' = l/i36'+o.4i-+(|» ^ Щ‘ + (S)' [зю,+(г?таз' |71Я *% 4,32 сек.ir° - V2-|4!+0^ + ('■!=«'»!' + (nio)%4,38 сек.На основании зависимости (5.97), принимая Д7“н = 0 и ATfn = 0, опре¬
делим массу гарантийных запасов“r = Y (^)T4,322 + 4.382+(lnj—^2,69)' + (1-0,709)228Н0.709П22 j%%34 кг.Следовательно, для третьей ступени имеемkm3 = 1 -f 2320 ~ 1-0121.§ 5.4. РАССЕИВАНИЕ ТОЧЕК ПАДЕНИЯ ГОЛОВНОЙ ЧАСТИ РАКЕТЫТочность доставки ракетой головной части к цели одна из
важнейших характеристик создаваемой ракетной системы. Как
следует из выражений (1.7) и (1.3), требуемое число пусковых
установок, входящих в систему, или эффективность поражения
каждой цели непосредственно зависят от параметров рассеивания
точки падения головной части.Рассеивание головных частей может быть определено расчет¬
ным или опытным путем. Естественно, что в процессе проектиро¬
вания ракеты возможно. применение только расчетных методов, а
при ее опытной отработке из-за большой стоимости летных испы¬
таний целесообразно сочетать расчетные методы определения
рассеивания с экспериментальным контролем некоторых характе¬
ристик.Многочисленные исследования показывают, что двухмерный за¬
кон распределения отклонения точки падения головной части от
цели, если не учитывать рассеивание точки взрыва головной части
по высоте, достаточно близок к нормальному. Поэтому на стадии
проектирования точность доставки головных частей характери¬
зуют средними квадратическими отклонениями точки падения от[1112 +0,662-5171-0,662150
ноли по дальности aL и по направлению az. Поскольку на прак¬
тике выполняется условие0,5 <-^<2,0,	_	(5.113)то для расчетов критериев эффективности (1.2), (1.3) и (1.7) с
достаточной точностью можно использовать характеристику при¬
веденного кругового нормального распределения (приведенное
среднее квадратическое отклонение точки падения головной части
пт цели):о	ж -j- {pL + az).	(5.114)Этот параметр полностью определяет плотность	вероятности1(г) случайной положительной величины г, равной	расстояниюмежду' точкой падения и выбранной в площади цели	точкой при¬
целиванияf(r) = ~exр (—■£,).’	(5.115)Приведенная выше плотность вероятности формируется дейст¬
вием большого количества случайных факторов, которые могут
быть условно разделены на группы:—	ошибки геодезической подготовки стартовой позиции;—	ошибки в определении координат точки прицеливания;—	ошибки подготовки и ввода полетного задания в систему
управления ракетой;—	ошибки прицеливания ракеты;—	рассеивание траектории полета под действием возмущений
на активном участке;—	рассеивание траектории полета под действием возмущений
на пассивном участке.Первые четыре группы ошибок не связаны с полетом ракеты и
поэтому их часто не учитывают при оценке рассеивания точки па-
чения. Однако лишь только полное рассеивание, вызываемое
всеми перечисленными выше группами факторов, определяет эф¬
фективность действия ракеты по цели.Приближенно можно считать, что каждая из шести групп воз¬
мущений характеризуется независимыми между собой нормаль¬
ными распределениями со средними квадратическими отклонения¬
ми в дальности ои и направлении ozi- Полагая, что полное рас¬
сеивание точки падения возникает как результат воздействия ше-
етн групп возмущений, можно записать:116)= У 2 °ы :
1-12°l I-г 1-1(5.151
Рассмотрим подробнее каждую группу факторов.При геодезическом обеспечении стартовой позиции определя¬
ются две координаты, высота точки старта и азимут основного
направления, относительно которого проводится прицеливание
ракеты. Ошибки в определении координат точки старта могут
быть непосредственно включены как составляющие вы и ozi в выра¬
жения (5.116). Погрешности в определении высоты точки старта
целесообразнее учесть вместе с ошибками расчета полетного за¬
дания, а погрешность привязки на местности основного направ¬
ления стрельбы — с ошибками прицеливания. Координаты точки
старта могут содержать случайную и систематическую ошибки
для данной позиции. При оценке эффективности всей ракетной
системы в величинах вы и ozi, естественно, должны быть учтены
обе составляющие ошибки определения координат. Величины
параметров вы и ozi зависят от наличия вблизи района стар¬
товых позиций сигналов триангуляционной сети, а также от
точности проведения работ. Поэтому, в принципе, может быть
обеспечена достаточно высокая точность привязки, характеризуе¬
мая, например, значениями aLi~czi<10—50 м.Аналогично ошибки в определении координат точки прицелива¬
ния могут быть включены в выражения (5.116) составляющими вь2,
oz2, а ошибки в определении высоты цели учтены вместе с ошиб¬
ками расчета высоты точки старта. Величины вь2, ez2 существенно
зависят от способа установления координат цели и в лучшем слу¬
чае могут быть примерно равными значениям вы, ozi-Ошибки в подготовке исходных данных и введения полетного
задания возникают:—	в результате использования расчетных зависимостей, в ко¬
торых условия полета ракеты учитываются с какой-то конечной
точностью;—	в результате погрешностей расчета и перевода исходных
данных в соответствующие команды, взодимые в систему управ¬
ления;—	в результате ошибок при передаче этих команд на борт
ракеты.Для того чтобы определить величины оьз и огз, характеризую¬
щие влияние указанных факторов на рассеивание точки падения,
обычно проводится анализ точности расчетов: проверяется точ¬
ность системы уравнений, описывающих управляемый полет ра¬
кеты, анализируется полнота учета возможных гравитационных
аномалий, а также оцениваются ошибки, которые могут быть до¬
пущены при кодировании и введении полетного задания. Выби¬
раются такие методы подготовки исходных данных и передачи их
на борт ракеты, при которых величины <л.з и огз практически не
сказываются на характеристиках полного рассеивания aL и oz-
Так, если eL = ez=l КМ, ТО при оьз = агз = 0,1 —0,2 КМ ошибки
третьей группы увеличивают полное рассеивание на 0,5ч-2,0%, а
при больших значениях въ и az влияние таких ошибок практически
ничтожно мало. Следует заметить, что уменьшение средних ква¬152
дратических отклонений аьз, агз связано в основном с совершен¬
ствованием расчетных методов, и поэтому до известных пределов
достигается сравнительно просто.Влияние следующих трех групп ошибок на рассеивание точки па¬
дения может быть определено путем анализа возмущенного дви¬
жения ракеты на активном и пассивном участках траектории.
Рассеивание, возникающее в результате действия возмущений на
ЛУТ, обычно делят на отклонения, вызываемые инструменталь¬
ными и методическими ошибками системы управления. Такое де¬
ление ошибок тесно связано с методом управления дальностью
полета ракеты. Для получения заданной дальности пуска двига¬
тели последней ступени, как известно, выключаются в тот момент,
когда измеряемая на борту ракеты функция управления Lu дости¬
гает заданного (введенного с полетным заданием) значения LTр,
т. е. в момент th, когдаМ^в,*к) = £,р,	<5Л17>где Wa — вектор измеряемых на борту ракеты параметров.Если бы система управления обеспечивала возможность непо¬
средственного измерения параметров V, 9, h, I и точного определе¬
ния по измеренным значениям величины дальности L (-например,
интегрированием систем уравнений (3.23), (3.57) и (3.59), то рас¬
сеивание точки падения вызывалось бы только ошибками измере¬
ния этих параметров, т. е. инструментальными ошибками системы
управления. Однако на борту ракеты, как правило, измеряются
не величины V, 9, h, I, а кажущиеся ускорения в проекциях на
оси координат, образованные гироскопическими приборами, или
на некоторые отсчитываемые от них направления. Для определе¬
ния момента th в полете на борту ракеты проводится интегриро¬
вание измеренных значений Wa и по упрощенным выражениям
(например, в виде ряда, включающего только первые члены) рас¬
считываются значения функции[wa, , которые сравниваются
с заданной величиной LTp.Замена функции L (V, Ь, h, I) функцией управления La [Wa, t)
приводит к дополнительному рассеиванию точки падения из-за
так называемых методических ошибок системы управления. Сле¬
дует заметить, что эти ошибки возникают лишь при отклонении
траектории от расчетного значения, т. е. в результате действия
ннешних по отношению к системе управления возмущений. Если
же текущая траектория совпадает с расчетной, то методические
ошибки системы управления отсутствуют. Соответсвенно и влия¬
ние внешних возмущений на рассеивание существенно уменьшает¬
ся при совершенствовании метода управления, что позволяет рас¬
ширить допуски на ряд параметров ракеты и упростить техноло¬
гию ее изготовления. При идеально точной функции управления
действия любых внешних возмущений вообще не должны вызы¬
вать рассеивания траектории.153
Таким образом, инструментальные ошибки- определяются по¬
грешностями используемых в системе управления приборов, а ме¬
тодические— принятым методом (функцией) управления дально¬
стью и действующими на ракету в полете возмущениями. Поэтому
для уменьшения доли рассеивания в результате методических
ошибок необходимо в первую очередь совершенствовать метод
управления дальностью полета.В связи с рассмотренным выше делением источников рассеива¬
ния, можно записать:где а£и, о7и и а/М) с7м — соответствующие средние квадратиче¬
ские отклонения точки падения в результате инструментальных и
методических ошибок системы управления.Наибольшее^влияние на рассеивание точки падения оказывают
следующие инструментальные ошибки:—	погрешности измерения функции управления;—	уходы гироскопических приборов;—	погрешности задания программных значений угла тангажа;—	погрешности следящих систем нормальной и боковой ста¬
билизации центра масс ракеты;—	погрешности систем приведения гироприборов в исходное
положение и т. д.Следовательно, рассеивание точки падения возникает в основ¬
ном из-за начального и текущего отклонений осей системы ко¬
ординат, образуемой гироскопическими приборами, а также из-за
ошибок в определении функции управления и задания программы
движения.Нетрудно заметить, что ошибки прицеливания ракеты явля¬
ются ничем иным, как дополнительными начальными отклонения¬
ми осей гироскопической системы координат от истинных значе¬
ний. Поэтому оценка их влияния на рассеивание точки падения
может быть проведена одновременно с определением рассеивания
в результате действия инструментальных ошибок системы управ¬
ления. Рассеивание точки падения, вызываемое ошибками прице¬
ливания, составляет обычно 10—30% величины отклонений в ре¬
зультате инструментальных ошибок, т. е.Методические ошибки системы управления вызываются дейст¬
вием следующих основных возмущений:—	отклонениями от расчетных значений функций тяги и се¬
кундного расхода (или тяги и удельной тяги) РДТТ;—	разбросами масс конструкции и зарядов топлива на каждой
ступени ракеты;(5.118)154
—	отклонениями аэродинамических характеристик ракеты от
расчетных значений;—	случайными изменениями функций плотности, температуры
и давления воздуха, а также действием на ракету ветра;—	наличием эксцентриситетов приложения к ракете тяги и
Аэродинамических сил.Рассмотрим расчетные методы определения рассеивания точек
иадения в результате ошибок прицеливания, а также возмущений,
действующих на активном и пассивном участках траектории.Возмущенный полет ракеты на активном участке можно опи¬
сать системой дифференциальных уравнений, учитывающих:—	пространственное движение центра масс;■— пространственное движение относительно центра масс;—	процесс управления ракетой.Возмущения, действующие на ракету, могут быть представле¬
ны в виде случайных функций т)(0> которые с помощью конеч¬
ных канонических разложений сводятся к неслучайным функ¬
циям ф,-(t) и случайным центрированным величинам r\i [73]:кn(t) + 2»]|<М*)»
i-iI ле т.ц (t)—математическое ожидание случайной функции т](/).Составление модели возмущенного движения ракеты возможно
лишь в том случае, когда известны конкретные конструктивные
схемы системы управления и ракеты, а также статистические ха¬
рактеристики действующих на них возмущений. В общем виде,
если не учитывать малые скорости и ускорения движения ракеты
относительно центра масс, эта система уравнений может быть
представлена следующим образом:V = х> т> ~Р> С, А А, П, Т, t, у]);
Wa = f„(V, х, m, Р, С, 7, А, П, Г, t, ч); (5-120)_ J{V, х, m, Р, С, 1, А, П, Т, t, п) =0,
где V, х — векторы скорости и координат центра масс;Р— вектор тяги и управляющей силы;С — вектор аэродинамических коэффициентов;I—вектор параметров, определяющих точки приложе-_ ния аэродинамических и управляющих сил;А—вектор параметров, характеризующих метод управ¬
ления дальностью полета и работу систем стабили-
зации;П—вектор параметров, характеризующих действие силы_ тяжести;Т — вектор параметров, определяющих состояние атмо¬
сферы;у] — вектор случайных центрированных величин, характе¬
ризующих возмущения;155
<?v — вектор-функция, описывающая движение центра масс
и относительно центра масс;<Рк7 — вектор-функция, описывающая работу автомата
управления дальностью, а также систем стабили¬
зации;Ф—вектор-функция, описывающая кинематические соот¬
ношения между параметрами.Решения системы (5.120) определяют параметры конца АУТ V/,,
Эй, hh, lh и th, которые являются случайными величинами, так как
в правых частях уравнений содержатся возмущения т]. Стохасти¬
ческий характер аргумента 4 объясняется тем, что момент выклю¬
чения двигателя верхней ступени определяется моментом совпаде¬
ния случайной, измеряемой на борту ракеты функции Z,„ [wa, t'j
и заданного значения LTp (5.117).Наиболее полно случайные решения Vk, hk, lk, tk могут
быть представлены законами распределения, однако для практи¬
ческих расчетов обычно бывает достаточно определить математи¬
ческие ожидания и дисперсии этих решений. Если для конца АУТ
найдены средние квадратические отклонения ov, аа, аЛ> аь ct па¬
раметров Vk, hk, lk, tk, вызываемые действием возмущений но
время управляемого полета ракеты, то нетрудно рассчитать и со¬
ответствующие средние квадратические отклонения точки паде¬
ния. Так можно записать:V+ (ж°*) +	+ (lFa<) • (5.121)В формуле (5.121) учитывается лишь линейная часть функции
L — L(Vk, hk, 4> tk), а также предполагается, что случай¬
ные параметры АУТ независимы. Входящие в выражение (5.121)
частные производные определяются для расчетной траектории и
номинального значения 4- На этапе проектирования ракеты такие
допущения могут быть приняты.Для определения искомых дисперсий параметров конца АУТ
необходимо выбрать метод решения системы нелинейных диффе¬
ренциальных уравнений, содержащих случайные величины, а так¬
же найти исходные статистические данные. Наиболее общим при¬
емом решения поставленной задачи является использование ме¬
тода статистических испытаний (метода Монте-Карло [21, 105]).
Этот метод позволяет найти не только числовые характеристики
искомых случайных параметров, но и их законы распределения,
если известны законы входных возмущений. Для решения задачи
методом Монте-Карло необходимо провести в зависимости от тре¬
буемой точности от нескольких десятков до нескольких сот инте¬
грирований системы (5.120) при выдаваемых датчиками случай¬
ных чисел значениях возмущений yji, т]2	т)т, образующих век¬
тор т). Полученные при каждом /-м интегрировании значения Vhj,
®hj, h-k-p Ikji h] могут в дальнейшем обрабатываться как ре¬
зультаты независимых испытаний, что позволяет найти искомые
1S6
■оценки средних квадратических отклонений этих параметров. Ре¬
шение такой задачи хорошо реализуется на ЭЦВМ в том случае,
если удается все возмущения представить в виде некоррелирован¬
ных или слабо коррелированных случайных величин. Поэтому вы¬
бор входных возмущений и их аналитическое описание играют
существенную роль. Недостатком метода Монте-Карло является
то, что при его применении трудно уловить влияние отдельных
нозмущающих факторов на рассеивание точки падения.Если нужно определить только математические ожидания и
дисперсии решений системы (5.120), может быть также использо-
мап метод Б. Г. Доступова [25, 73]. Так как отклонения траектории
полета от номинальной всегда формируются большим числом не-
анвисимых возмущений, среди которых нет заметно превалирую¬
щих, то в соответствии с центральной предельной теоремой тео¬
рии вероятностей можно считать законы распределений параме¬
тров движения близкими к нормальным. В этом случае математи¬
ческие ожидания и дисперсии полностью определяют искомые ре¬
шения. Метод Б. Г. Доступова при числе случайных некоррелиро¬
ванных величин ir)i, т]2, ..., т]т менее 30—50 дает существенную
жономию машинного времени по сравнению с методом статисти¬
ческих испытаний. К достоинствам метода можно также отнести
возможность проследить влияние каждого возмущающего факто¬
ра па отклонения решений ^сходной системы уравнений. Кроме
того, для задания вектора rj нет нужды обращаться к специаль¬
ным подпрограммам выработки случайных чисел.Практически метод можег быть реализован лишь в том слу¬
чае, если входные возмущения -уц, т\2, rjm представлены в виде
некоррелированных случайных величин. Заметим, что такое пред¬
ставление при описании возмущенного движения ракеты возмож¬
но, при этом решение задачи сводится к (т + З)-кратному интегри¬
рованию системы (5.120). Обычно такой объем вычислительной
работы может быть выполнен в течение нескольких часов при ис¬
пользовании универсальных ЭЦВМ.При интегрировании системы (5.120) каждая случайная вели¬
чина inj задается неслучайным числом ^ в порядке, указанном в
табл. 5.6.Таблица 5.6I Юм ар интегри¬
рования SУсловия интегрирования4iъ^т— 1’Iт1Si0002000т—1’о’0S/n— 1'o'т00• • • •ъs,nт+1*1S2....Sm—1ит+2-5.	?2—Sin—1—s тт+З0000157
Значения неслучайных чисел определяются зависимостьюгде 0</е<;3 — произвольное число;Математическое ожидание и дисперсия любого искомого ре¬
шения Vk, hk, lk) tk, которые для общности обозначим симво¬
лом I/, находятся по конечным формулам:стемы (5.120).Таким образом, рассмотренные методы поиска стохастических
решений нелинейных динамических систем позволяют определить
средние квадратические отклонения параметров конца АУТ, в ко¬
торых могут быть учтены ошибки прицеливания, инструменталь¬
ные ошибки системы управления и действие внешних для систе¬
мы управления возмущений.Рассмотренный выше метод позволяет легко учесть влияние
каждого возмущающего фактора на рассеивание точки падения.
Такой же подход может быть использован при определении рас¬
сеивания точки падения под воздействием возмущений, действую¬
щих на ПУТ.Основными возмущениями на пассивном участке полета яв¬
ляются:—	дополнительные случайные приращения скорости, сообщае¬
мые головной части при действии импульса последствия тяги дви¬
гателя последней ступени и нестабильной работе системы отде¬
ления;—	отклонения аэродинамических характеристик головной части
от расчетных значений;—	эксцентриситет приложения аэродинамической силы;—	случайные колебания головной части относительно центра
масс;—	отклонения температуры, плотности и давления воздуха от
расчетных значений, а также действие ветра;—	нерасчетный унос массы теплозащитного покрытия головной
части.Oj — среднее квадратическое отклонение случайной ве¬
личины У(5.122)где Vvj—решение I/, полученное при s-a интегрировании си-158
Среднее квадратическое отклонениеоОТд точки падения подаль-*	Мости или направлению, вызываемое только разбросами прираще-
мии скорости головной части в момент отделения, приближенно
Можно определить по следующей зависимости:Где af — среднее квадратическое отклонение суммарного случай¬
ного импульса последействия тяги;
одк—среднее квадратическое отклонение случайного прира¬
щения скорости при работе системы отделения.Поскольку действие всех остальных возмущений начинается на
нисходящем атмосферном участке траектории, то для расчета рас-
м'миания точки падения можно рассматривать возмущенное дви¬
жение головной части лишь на высотах ниже 100—80 км. Для опи¬
сании движения центра масс целесообразно использовать систему
урнинений (3.59), однако она должна быть дополнена уравнения¬
ми, описывающими движение относительно центра масс. Это свя-
ншо с тем, что под воздействием возмущений, полученных в мо¬
мент отделения, головная часть в безвоздушном пространстве хао-
миески вращается, входя в плотные слои атмосферы с практически
любым углом атаки. На атмосферном участке траектории враще¬
ние головной части переходит в затухающие колебания. Такой ха-
I > и к I ер движения приводит к существенным отклонениям точки
имдения, так как изменяются аэродинамические силы, действую¬
щие на головную часть. Эти разбросы увеличиваются также из-за
мПствия ветра и при смещении центров давления и масс от про-
И1Л1.НОЙ оси головной части.Следует заметить, что система уравнений, описывающих движе¬
ние головной части на нисходящем атмосферном участке траекто¬
рии, оказывается существенно проще, чем система уравнений
(ft.120), кроме того, в ней содержится меньшее количество случай¬
ных величин, описывающих возмущения. Поэтому при использова¬
нии рассмотренного выше метода нетрудно в результате 10—
*’() интегрирований найти искомые величины средних квадратиче¬
ских отклонений в дальности аьп и направлении azn из-за действия
жпмущений на нисходящем ПУТ.В соответствии с выражением (5.123) характеристики рассеи-
шишя точки падения при действии всех возмущений на ПУТ опре¬
деляются зависимостями:Средние квадратические отклонения точки падения, возникаю¬
щие в результате ошибок прицеливания и действия возмущений на
мктипом и пассивном участках траектории, могут быть найдены
'•писанным выше методом и в другой последовательности. В ре¬2(5.123)= У °|отд + °|п •(5.124)159
зультате решения системы уравнений (5.120) могут быть рассчи¬
таны средние квадратические отклонения <у, о6, аА, <зь о/, в кото¬
рых будет учтено влияние ошибок прицеливания, методических и
инструментальных ошибок системы управления. Суммируя под
корнем квадратным эти отклонения с соответствующими отклоне¬
ниями, вызываемыми нестабильностью процесса отделения голов¬
ной части, можно найти характеристики случайных начальных
условий полета головной части на ПУТ. Определяя рассеивание
точки падения в результате действия возмущений на нисходящем
атмосферном участке траектории при таких случайных начальных
условиях, можно сразу же получить величины средних квадрати¬
ческих отклонений в дальности и направлении, вызванные ошиб¬
ками прицеливания и действием всех возмущений на активном и
пассивном участках траектории.Рассеивание точки падения в результате действия возмущений
на АУТ существенно зависит от вида траектории. Классическая
траектория полета баллистической ракеты обычно позволяет полу¬
чить такую величину угла 9ft (или 0й), при котором дальность пас¬
сивного участка при прочих равных условиях максимальна. Зна¬
чения таких углов в зависимости от дальности полета приведены
в табл. 3.1. Однако с увеличением дальности и уменьшением вели-
q	dL dLчины 9ft существенно возрастают частные производные -jy , -щ-,dL—j-, аналитические выражения для которых могут быть полученыиз выражений (3.57). В соответствии с зависимостью (5.121) это
означает, что действие одних и тех же возмущений, приводящее к
одинаковым отклонениям параметров конца АУТ, вызывает раз¬
личные отклонения точки падения, причем с уменьшением угла 9/,
рассеивание точки падения заметно возрастает. На рис. 5.3 пока¬
заны графики изменения производной в зависимости от вели¬
чины 9ft. Пунктиром на графиках соединены оптимальные для
каждой дальности значения угла 9&. Производная , как из¬
вестно, определяет основную часть рассеивания по дальности. Сле¬
дует также заметить, что отклонение в любую сторону от опти¬
мального значения угла 9ft несколько увеличивает частную произ¬
водную -jsp, что требует для обеспечения прежнего рассеиванияповышения точности задания на борту ракеты угла 9ft. Таким об¬
разом, при уменьшении угла 9ft рассеивание ракеты будет заметно
возрастать, хотя ее конструкция и система управления останутся
прежними. Однако при уменьшении величины 9й уменьшается и
время, в течение которого системой ПРО может быть обнаружена
приближающаяся к цели головная часть. Поэтому можно предпо¬
лагать, что уменьшение угла 9ft повышает вероятность РПР0 пре¬
одоления головной частью системы ПРО и снижает эффективность
поражения цели W\ (о) (1.3). Кроме того, при отходе от оптималь¬но
гпых (в смысле дальности ПУТ) значений 9* при прочих равных
условиях несколько возрастает стартовая масса ракеты. Все эти
соображения позволяют расширить понятие оптимальности вели¬
чины дл и сформулировать новые условия, определяющие ее выбор.Остановимся более подробно на описании некоторых возмуще¬
ний, которые связаны непосредственно с конструкцией твердотоп¬
ливной ракеты и являются источниками методической ошибки си-Рис. 5.3. Графики функции (вй)dL км секW	
астемы управления. Принципиальной особенностью обычно приме¬
няемых РДТТ является отсутствие в них регуляторов тяги, что
приводит к увеличению разбросов выходных параметров двигателя
(тяги, секундного расхода и давления в камере).Тяга и удельная тяга в пустоте, а также секундный расход
массы топлива РДТТ могут быть представлены следующими зави¬
симостями:Рп = ВРю(5.125)Р = —
удп Ag0 ’где А и В— случайные коэффициенты расхода и тяги двигателя.В соответствии с зависимостями (2.2), (4.89) и (5.125) можно
написатьSlhPl?T = АРк,С—573161
откуда получимо	= ( Su' V-v-Рк { A J ’1Г)	D (	^ 1 — V-* т•П = В(^)^;	(5-126)V	1m = /~1-v(S«i)I-v.Выражения (5.126) позволяют проанализировать основные при¬
чины разбросов выходных параметров РДТТ. Линеаризуя зависи¬
мости (5.126) относительно отклонений параметров, получим:/ SS _±А 8иЛ
U А + uj’I	1 f*S ЪиЛ.+ 1 — V I, S + «! У ’	(5.127)ЪРПв ^V1РпЬт1 — V8Лт1 —v Л^удпьв8ЛР ~~'удпвл •Анализ выражений (5.127) показывает, что разбросы тяги и се¬
кундного расхода зависят от рассеивания скорости горения заряда.
Из-за трудностей технологического порядка относительные сред¬
ние квадратические отклонения коэффициентов скоростей горения
зарядов даже одной партии могут достигать 0,5—1,5%, а относи¬
тельные средние квадратические отклонения средних для партии
коэффициентов скоростей горения—1—2%. Это значит, что в со¬
вокупности ракет, заряды которых изготавливались из различных
партий топлива, могут возникать предельные разбросы величины
коэффициента скорости горения:^ = -^^34-7%,Щ	«1где ои\ — среднее квадратическое отклонение величины и,.Такие разбросы скорости горения возможны при постоянной
температуре заряда. Однако известно, что коэффициент и, также
весьма сильно зависит от начальной температуры заряда t30. Так,
для смесевых топлив изменение начальной температуры на Г при¬
водит к изменению скорости горения на 0,5—1,0%, т. е.= 0,005 ч- 0,010 [град-Ц.Поэтому при боевом использовании ракет с РДТТ необходимо
обеспечивать сравнительно небольшие изменения температуры за¬
рядов (например, в пределах fclO” при хранении ракеты в шахте).
Следует также заметить,' что большие перепады температур умень¬
шают гарантийный срок хранения твердотопливной ракеты.162
Таким образом, из-за отклонения начальной температуры за¬
ряда на ±10° может возникнуть дополнительное предельное отно¬
сительное отклонение скорости горения на 5—10%.Рассмотренные выше возмущения приводят к тому, что тяга,
секундный расход и время работы двигателя ракеты могут иметь
предельные относительные отклонения от расчетных значений до
8+12%. Для компенсации возникающих при этом больших мето¬
дических ошибок обычно используют более полные, чем в ракетах
с ЖРД, функции управления дальностью. В связи с повышенными
методическими ошибками систем управления величины аьм, аш,
о/,п и aZM, azii, °z6 для твердотопливных ракет имеют один порядок.В заключение рассмотрим пример распределения требований
к иеличинам аы, аьм, аьи, оьб исходя из заданного значения суммар¬
ного среднего квадратического отклонения oL точки падения го¬
ловной части по дальности.Пусть заданы требуемые значения aL — 1 км и oL =2,5 км. Предполо¬
жим, что точность определения координат стартовой позиции и точки прице-
лшшния характеризуется величинами <г j = в 2 = 0,35 км, а точность подготов¬
ки и ввода полетного задания — <г 3 = 0,15 км. Тогда доля рассеивания в ре-
п.чмате ошибок прицеливания и действия возмущений в полете соответственноI	оставит|/I2 — 0.352 — 0,3 о2 — 0.152 = 0,86 кж,У 2,52 _ о,352 — 0,352 — 0,152 = 2,44 км.Примем о/м =	и cLi = °’2®Ли, тогда при vL — 1 км получимl/ (Щ2 _ плп~ _ "te ~ V 1* + р + Р + 0.22 ~ КМII	п %0,1 км.h ли = 2,5 км, то при тех же условиях получим2	442	'р + р + р + о,22 ~ 1,40 КМII	п % 0,28 км.Hi этих иллюстраций видно, насколько жесткие требования должны быть
предъявлены к точности системы управления ракеты с РДТТ. Так, в условиях
Примера при инструментальной и методической ошибках, приводящих к пре-
п.ному отклонению в дальности Д1И = ALU = 2.7<т^я = 1,3 км, суммарное
иршельное отклонение составит ДА = ± 2,7 км, а при ДL„ = ALU = 2,7 aLa =
т 3,8 км соответственно ДL = ±7,3 км.С*
РАЗ ДЕЛ II
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ РАКЕТ С РДТТГлава 6ОСОБЕННОСТИ ПРОЧНОСТНОГО РАСЧЕТА РАКЕТС РДТТ§ 6.1. РАСЧЕТНЫЕ СЛУЧАИОдной из основных задач проектирования ракет на твердом
топливе является обеспечение прочности элементов ракеты. Для
успешного ее решения необходимо применять методы, позволяю¬
щие исследовать взаимосвязь конструкции с зарядом и выяснить
напряженно-деформированное состояние заряда в различных усло¬
виях эксплуатации, ибо целость заряда, в конечном счете, и опре¬
деляет возможность дальнейшего использования ракеты с РДТТ.Как уже указывалось выше, в существующих РДТТ исполь¬
зуются два способа размещения заряда в камере сгорания:—	заряд свободно вставляют в камеру, а затем закрепляют в
ней для исключения перемещений относительно корпуса;—	топливо под давлением заливают в камеру двигателя, где
оно затвердевает, образуя скрепленный с корпусом заряд.Заметим, что ракета с двигателем, в котором заряд скреплен со
стенками камеры, имеет лучшие массовые характеристики, чем ра¬
кета с двигателями со вставными (свободными) зарядами, именно
этот тип заряда надо считать наиболее перспективным для крупно¬
габаритных ракет на твердом топливе.Как и для любой машины, работающей в сложных условиях,
при расчете на прочность ракеты на твердом топливе необходимо
учитывать все опасные случаи нагружения как конструкции в це¬
лом, так и отдельных ее узлов.Наиболее существенными рабочими нагрузками, действующими
на ракету в различных условиях ее эксплуатации, являются:—	весовые статические и инерционные нагрузки;—	вибрации:—	избыточное давление в камере сгорания;—	аэродинамические силы и моменты, распределенные по не¬
сущим поверхностям и корпусу;—	эффекты аэроупругости (флаттер);—	нагрузки от органов управления, механизмов разделения
ступеней и отделения головной части и т. п.164
Для многих узлов и деталей ракет, например корпусов, а также
для зарядов всех типов при расчете на прочность необходимо учи¬
ни иать внешнее температурное воздействие, а для скрепленных
дирядов— и изменение температурных условий в процессе после-
нолимеризационного охлаждения.Расчет на прочность элементов ракеты с двигателем на твер¬
дом топливе с учетом высокого температурного воздействия связан
с большими трудностями, которые объясняются тем, что кроме са¬
мого факта возникновения температурных напряжений, обуслов¬
ленных неравномерностью температурного поля, необходимо еще
учитывать изменение механических характеристик материала,тем¬
пературная зависимость которых в ряде случаев оказывается
очень сложной.Поскольку режимы работы ракеты с РДТТ так же, как и внеш¬
ние условия при эксплуатации, для каждого типа ракет раз¬
личны, невозможно установить для них единые расчетные
случаи.Ниже рассмотрены расчетные случаи применительно к ракетам
, рдтт, имеющим скрепленный заряд, причем они выбирались
юлько по заряду как наиболее слабому звену системы заряд —
корпус РДТТ.Для всех типов зарядов деформации или прогибы так же, как и
напряжения под действием нагрузок в различных условиях экс¬
плуатации, не должны превышать допустимых величин. Для каж¬
дой формы и способа крепления зарядов параметр, определяющий
работоспособность конструкции, будет своим, зависящим как от
конструктивных факторов и условий работы, так и от физико-меха¬
нических свойств топлива и материала оболочки.Поскольку твердое топливо под действием приложенных к нему
I ил обнаруживает в определенных условиях свойство ползучести,I.	е. способность деформироваться во времени без увеличения на¬
пряжений, в прочностных расчетах необходимо учитывать реоло-
шческие свойства топлива, т. е. явления ползучести и релаксации.
Необходимо иметь в виду, что с целью снижения температурных
деформаций скрепленных зарядов целесообразно, чтобы коэффи¬
циенты линейного расширения топлива и оболочки камеры сгора¬
нии были близкими друг к другу. К сожалению, коэффициенты ли-
нейного расширения существующих твердых топлив и конструк¬
ционных материалов отличаются друг от друга на порядок и не
могут обеспечить снижение температурных деформаций до желае¬
мого предела. Это вызывает необходимость термостатирования за-
рнда, что усложняет эксплуатацию ракеты с РДТТ. Создание ме¬
жду оболочкой и зарядом промежуточных слоев из высокоэластич¬
ных или пористых материалов не решает проблемы.Реальными мерами по увеличению прочности скрепленных за-
рндов в настоящее время являются:—	полимеризация и скрепление зарядов с камерой без подо-
ipena или с незначительным подогревом;—	улучшение эластических свойств самого твердого топлива.165
Определение величины температурных диапазонов, в пределах
которых можно обеспечить безопасную эксплуатацию ракеты с кон¬
кретным твердым топливом, является одной из основных задач
прочностного расчета.Рассматривая.условия эксплуатации ракеты по этапам и груп¬
пируя эти условия по классам нагрузок, действующих преимуще¬
ственно на каждом этапе, можно в качестве основных расчетных
случаев выделить:—	изменение температурных условий в процессе изготовления
и дальнейшей эксплуатации двигателя;—	длительное хранение ракет в горизонтальном и вертикаль¬
ном положениях в стабильных температурных условиях;—	транспортировку ракеты в термостатированном контейнере
или вагоне;—	работу двигателя на траектории в условиях аэродинамиче¬
ского воздействия на корпус ракеты.Для собственно корпуса ракеты последний расчетный случай
является, как правило, определяющим.Удовлетворительное решение задач прочности для элементов
корпуса может быть найдено в пределах теории малых упруго-пла¬
стических деформаций. Более или менее точное решение прочност¬
ной задачи для заряда твердого топлива невозможно без привле¬
чения одной из теорий ползучести.Выбору теории ползучести ^должен предшествовать анализ экс¬
периментальных данных по поведению материалов в различных
условиях нагружения.Ниже сообщаются краткие сведения по физико-механическим
свойствам конструкционных материалов и твердых топлив, позво¬
ляющие правильно решать поставленные задачи.§ 6.2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИХ
СВОЙСТВАХ ТВЕРДЫХ ТОПЛИВ. КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
ДЛЯ СМЕСЕВЫХ ТВЕРДЫХ ТОПЛИВТипичные композиции твердых топлив, которые применяются в
ракетной технике, представляют собой либо концентрированные
твердые растворы нитратов целлюлозы в труднолетучих раствори-ч
телях—баллиститные пороха, либо гетерогенную смесь горюче¬
связующего с кристаллическим окислителем — смесевые твердые
топлива.Оба вида твердых топлив представляют собой полимеры и об¬
щие закономерности поведения их механических свойств анало¬
гичны поведению механических свойств полимерных пластмасс
[40], [96].Так, механические свойства твердых топлив на основе балли-
ститных порохов так же, как и механические характеристики раз¬
личных смесевых твердых топлив, очень сильно зависят от темпе¬
ратуры и временнбго режима испытаний. Объясняется это тем,что166
полимеры в силу большой длины и гибкости цепей макромолекул
способны подвергаться не только обратимым деформациям тече¬
ния, но и большим высокоэластичным деформациям,- а оба
эти процесса являются реологическими временными процес¬
сами.Перед анализом физико-механических характеристик рассмо¬
трим структурно-механические особенности смесевых твердых топ¬
лив как основного вида, применяемого в ракетной технике.Смесевое твердое топливо с молекулярной точки зрения пред¬
ставляет собой полимер с высокой степенью наполнения. Напол¬
нителем является кристаллический окислитель (до 70% и более).
Молекулы горюче-связующего имеют форму цепей, образованных
повторением одной и той же группы атомов (звеньев), связанной
налентными связями. Каждая связь допускает определенную кине¬
матическую свободу, поэтому цепеобразная молекула свертывается
и клубок. Среднее расстояние между концами молекулы значи¬
тельно меньше, чем ее длина в растянутом состоянии [40]. Такое
состояние молекулы является наиболее вероятным. Между собой
отдельные молекулы имеют поперечные связи из цепей главных
химических валентностей, образуя неправильную трехмерную сетку
(сшитые полимеры). Кроме того, молекулы полимера прочно при¬
соединены к частицам окислителя, которые играют роль узлов
структурной сетки.С одной стороны, громоздкость молекул и значительные меж-
молекулярные силы обусловливают высокую вязкость и отсутствие
свободного течения топлива даже при повышенной температуре.(. другой стороны, при сравнительно высокой кинематической сво¬
боде звеньев достигается высокая эластичность и большая дефор¬
мируемость полимера. Физико-механические свойства твердого
топлива зависят не только от молекулярного строения эластомер-
иой связи, но и от регулярности, характера и прочности составляю¬
щих ее связей. В зависимости от вида связующего, степени напол¬
нения, содержания пластификатора могут получаться разные типы
структур эластомеров, отличающихся прочностными и деформа¬
ционными свойствами.В основе макроскопической деформации твердого топлива ле¬
жит сложные молекулярные процессы. Под действием напряжения
или тепла макромолекулы непрерывно изменяют свою форму. Пе¬
рераспределение локальных структур осуществляется относительно
быстро, а структур дальнего порядка (клубков)—очень медленно.I itким образом, для твердого топлива характерна запаздывающая
упругость, когда равновесное состояние, соответствующее данной
нагрузке, в результате внутренней перестройки достигается не-
ернзу, а по истечении некоторого времени. Еслй учесть все воз¬
можные процессы, то существует очень широкая и непрерывная
область времен, характеризующих реакцию такой системы на внеш¬
ние нагрузки и тепло.11звестно, что высокополимеры могут находиться в трех состоя¬
ниях: стеклообразном, высокоэластичном и вязко-текучем.167
Для топлив в стеклообразном состоянии характерно ухудшение
адгезии, уменьшение предельной деформации, увеличение модуля
упругости и предельного напряжения, замедленное тепловое дви¬
жение молекул, для топлив в высокоэластическом состоянии —
большие обратимые деформации, интенсивное тепловое движение
молекул. Большинство смесевых твердых топлив в эксплуатацион¬
ном диапазоне температур находится в высокоэластическом состоя¬
нии, а баллиститные — в стеклообразном.Это обстоятельство затрудняет использование баллиститного
топлива для скрепленных зарядов, так как при охлаждении в ме¬
сте скрепления заряда с корпусом возникают деформации, превы¬
шающие предельные, что приводит к отрыву заряда от стенки ка¬
меры.По своему механическому поведению в типичных температур¬
ных условиях эксплуатации твердое топливо — вязко-упругая сре¬
да, обладающая ярко выраженными реологическими свойствами,
т. е. сильной зависимостью физико-механических характеристик от
времени. Вязкоупругость проявляется в том, что:—	при постоянном приложенном напряжении деформация с те¬
чением времени продолжает увеличиваться (ползучесть);—	при постоянной деформации напряжение в материале посте¬
пенно уменьшается (релаксация);—	при приложении напряжения, изменяющегося по какому-
либо периодическому закону, деформация не совпадает по фазе с
напряжением и отстает от него на угол 0<<р<90°.Часть подводимой в процессе деформирования топлива энергии
накапливается и возвращается в каждом цикле деформирования,
а часть ее рассеивается в виде тепла. С этим тесно связано явление
запаздывающей упругости, которое заключается в том, что упру¬
гая часть полной деформации достигает своего значения, соответ¬
ствующего приложенной нагрузке не сразу, а с течением времени;
при снятии нагрузки упругая часть полной деформации исчезает
также с течением времени.Вязко-упругие свойства полимеров обычно выражаются в виде
функций ползучести / (t) или функций релаксации Е (t) (см. ниже).Релаксация является, по сути дела, процессом восстановления
равновесного состояния, осуществляемого благодаря тепловому
движению структурных элементов в деформированном теле.Характерной особенностью вязкоупругой среды является то,что
одна и та же нагрузка вызывает либо обратимую упругую дефор¬
мацию, либо необратимую деформацию ползучести. Степень про¬
явления свойства упругости или ползучести зависит от отношения
времени приложения нагрузки к времени релаксации. При малом
времени приложения нагрузки на первый план, естественно, высту¬
пает свойство упругости.Зависимость времени релаксации от температуры выражается
зависимостьюи0-аз
г = т0е кт >168
I	/1.0 т0—константа, характеризующая время колебания кинетиче¬
ской единицы (она равна 10~12 се/с);
а—коэффициент, учитывающий структуру полимера;
и0 — энергия активации (соответствует энергии химических свя¬
зей) ;
а— напряжение;
к—константа Больцмана;Т — абсолютная температура.Результаты экспериментальных исследований физико-механи¬
ческих характеристик твердых топлив смесевого типа показывают,
и и к это уже указывалось выше, что эти характеристики в сильной
( Iсмени зависят от температуры испытания и скорости деформиро-
шшия. Влияние изменения скорости деформирования на величину
продельной относительной деформации значительно слабее, чем
мняние скорости деформирования на величину предела прочности.
Типичная диаграмма растяжения для полиуретанового смесевогоишлива при скорости деформирования s = 10—3приведена нарис. 6.1 [45].б 10* м/м2Рис. 6.1. Диаграмма растяжения высокомодульного полиурета¬
нового твердого топливаДеформации ползучести для смесевых твердых топлив начи¬
ни ют заметно проявляться лишь при температурах выше темпера-
typ хрупкости. Типичная серия кривых ползучести для того же
ишлива приведена на рис. 6.2.Предельные деформации ползучести при всех температурах
испытания для многих топлив значительно меньше, чем предель¬
ные деформации при обычных статических испытаниях. Это обстоя¬
ли,ство должно учитываться при прочностных расчетах ракет с169
РДТТ в различных условиях хранения и боевого дежурства, т. е.
тогда, когда деформации ползучести имеют существенное значение.Скорость релаксации смесевых твердых топлив сильно зависит
от температуры испытаний и первоначальной деформации образца.Рис. 6.2. Кривые ползучести высокомодульного полиуретановоготопливаТипичные кривые релаксации для полиуретанового смесевого твер
дого топлива приведены на рис. 6.3.Оr 10S, м/м*Рис. 6.3. Кривые релаксации высокомодульного полиуретановоготопливаДля доведения результатов прочностного расчета «до числа»
исследователю необходимо знать большое количество эксперимен¬
тальных характеристик по топливу и материалу камеры сгорания.
Получение этих характеристик всегда связано с большими затра-170
Iими времени и средств, поэтому необходимо располагать мето¬
дами, позволяющими обобщать результаты экспериментальных ис¬
следований с целью сокращения их объема при применении той
или иной теории ползучести.В качес!ве обобщающей величины в опытах на ползучесть обыч-г е WНО вводят функцию ползучести / =		 . которую называют по-датливостью. Податливость возрастает во времени t от начальной
величины Ig = -^- либо до равновесного значения при t-+oо, ко-торое обозначается через 1е, либо беспредельно. В опытах на ре¬
ли ксацию в качестве обобщающей величины часто вводят понятиерелаксационного модуля Е (t) = , который, как и податли-£0шкть, является величиной переменной, уменьшающейся от началь-Иого значения Е„~ — (обычный модуль упругости) до нуля или
О	I,определенного равновесного значения Ее.Поскольку опыты на ползучесть и релаксацию обычно охваты¬
вают несколько порядков времени, при обработке их результатов
Целесообразно пользоваться не равномерной масштабной шкалой
времени, а логарифмической шкалой, применение которой помимо
практического удобства в ряде случаев имеет и принципиальное
чмачение, облегчающее подход к выбору теории ползучести.Функции ползучести и релаксации могут представлять практи¬
ческий интерес лишь в том случае, если они позволяют предсказы-
I'н п. поведение материала не только при постоянном напряжении
ИЛИ постоянной деформации, но и при произвольных режимах на-
(ружения и деформирования. Это предсказание поведения мате¬
риала твердого топлива легко осуществляется, если материал
обладает линейностью вязко-упругих свойств.Необходимым условием линейности вязко-упругих свойств яв¬
ляется независимость функции ползучести от приложенного напря¬
жения или функции релаксации от деформации./(ля материала, обнаруживающего линейность вязко-упругих
свойств справедлива зависимостьШ	Е ^ = ~Щ ’1	е. функции ползучести и релаксации являются зеркальным ото¬
бражением друг друга.На рис. 6.4 приведены зависимости податливости от напряже¬
нии для полиуретанового топлива. Рассмотрение этих кривых по-
нюляет утверждать, что смесевое топливо обладает линейностью
ни и<о-упругих свойств только до определенных нагрузок, далее оноI	шнопится более податливым, что указывает на появление эффекта
(М.'юного размягчения. Интервал нагрузок, где топливо проявляет
линейность вязко-упругих свойств, зависит от температуры и вре¬
мени нагружения.171
В пределах, при которых для топлива наблюдается линейность
его вязко-упругих свойств, к нему может быть применен принцип
суперпозиции Больцмана [40], [96], позволяющий определять пове¬
дение материала при произвольном во времени нагружении и де¬
формировании с помощью простых кривых ползучести и релакса¬
ции. Действительно, согласно принципу суперпозиции Больцмана
деформация тела в момент t при ступенчатом нагружении равна
просто сумме деформаций от нагрузки о0) аь ..., ог при их незави¬
симом действии. Применительно к релаксационным опытам прин-3-ю'9 м2/н3.07.05.03.0VV/72чVV4-+—	X—1	.х -""jLHt-j;5,0 7,5 10,0Рис. 6.4. Зависимость 1 = 1 (а)1ч10 мин1 мин
15сек15.0 <5-10, н/м*цип суперпозиции может быть сформулирован следующим обра¬
зом: если образец подвергался последовательным деформирова¬
ниям е0, si, • • •> 6;, то напряжение к моменту времени t может быть
вычислено как простая сумма напряжений, вызванных каждой де¬
формацией в отдельности.К сожалению, для нелинейных систем подобный принцип не
установлен. Однако в ряде случаев для нелинейно-вязко-упругих
систем при решении задач в приближенной постановке можно вме¬
сто уравнения Больцманаt' (0 — .f/iC*—т) {ж)dzиспользовать уравнение Ставерманагде o{t)— напряжение в момент времени t\s—деформация в этот же момент времени.Функция /2 (е), входящая в выражение релаксационного модуля
£=/i (0/2 (s), определяется для каждого материала эксперимен¬
тально.172
Замечено, что чем в большей степени твердое топливо прояв¬
ляет высокоэластичность, тем больше предел линейности , его
(пойств.При сжатии смесевые топлива ведут себя обычно как линейные
иизко-упругие системы, поэтому без большой погрешности можно
считать их имеющими линейные вязко-упругие свойства при расче-
П1Х деформированного состояния заряда при его хранении в вер¬
тикальном и горизонтальном положёниях (малые нагрузки).Вязко-упругое поведение материала может быть описано:—	интегральными функциями типа I (t) =.Atm, E(t) — Btm\—	дифференциальными временными операторамий если материал проявляет линейную вязкоупругость, то и различ¬
ного типа механическими моделями.Механические модели представляют собой обычно сочетание
пружин (упругие элементы) и демпферов (вязкие элементы). Мо-
мг/ш отражают лишь макроскопическое поведение материала. Про-
t тгпшими из них являются модели Максвелла (рис. 6.5) и Кель-111111,1	(рис. 6.6).Рис. 6.5. Модель Максвелла	Рис. 6.6. Модель Кель¬винаОтношение вязкости демпфера к жесткости пружины в модели
Мпксвелла характеризует время релаксации х1 = ~.Податливость и модуль определяются по зависимостям:/(*) = /£40 =Ete VВ модели Кельвина отношение жесткости пружины к вязкости
мгмпфера называется временем’запаздывания т,- = ~.173
Податливость и модуль, соответствующие модели Кельвина,
выражаются соотношениями:/(0 = Л G-*~ *);Ползучесть, описываемая моделью Кельвина, и релаксация на¬
пряжений, описываемая моделью Максвелла, являются экспонен¬
циальными функциями времени. Группа параллельно соединенных
элементов Максвелла приводит к дискретному спектру времен ре¬
лаксации, причем каждое время релаксации связано со спектраль¬
ной жесткостью £*.Так как при параллельном соединении напряжения склады¬
ваются, то вязко-упругие функции могут быть определены простым
суммированием. Например:П	t£'(*) = 21Группа последовательно соединенных элементов Кельвина при¬
водит к дискретному спектру времен запаздывания, причем каж¬
дое время запаздывания связано со спектральной величиной подат¬
ливости /*. Так как при последовательном соединении деформации
складываются, то податливость получается путем суммирования1Механическая реакция реальных твердых топлив точно описы¬
вается лишь непрерывным спектром времен релаксации, что соот¬
ветствует бесконечно большому числу элементов в моделях Макс¬
велла и Кельвина. Это объясняется тем, что сетка связей в сшитых
полимерных системах состоит из множества структурных элемен¬
тов с различными временами релаксации [91].На практике широко используются четырехэлементные модели
типа приведенных на рис. 6.7.Уравнение ползучести, описываемое моделью, имеет вид( --V ,/(0 = /i + /3! l-е Ч + ~,чггде 1Х — мгновенная податливость;/8 — запаздывающая обратимая податливость, соответствую¬
щая кельвиновскому элементу;
т), — вязкость демпфера.174
Зависимость релаксационного модуля от времени, описывае¬
мого моделью б, имеет видt t
Е (t) = Ехе~ + Е2е~ ^ .Константы моделей определяются из кривой ползучести (для
модели а) или из кривой релаксации (для модели б).Механические свойства вязко-упругого материала, как было
указано выше, зависят не только от времени, но и от температуры.Проанализировать температурную зависимость вязко-упругих
характеристик топлива при различных временах наблюдения не
всегда возможно. Трудно провести опыт в сотые доли секунды, а
глкже для большого времени (порядка нескольких сот часов).
Реальные же условия работы смесевого твердого топлива в ракете
с РДТТ могут охватывать более 10 порядков времени.Для получения данных по механическим характеристикам в
широком диапазоне времени можно воспользоваться методом при-
иеденных переменных, т. е. принципом температурно-временной
(кннвалентности. Он значительно облегчает разделение двух основ¬
ных переменных — времени и температуры, от которых зависят
ии.чко-упругие свойства, и позволяет выразить эти свойства как
функции температуры или как функции времени.Сущность данного принципа заключается в следующем. Если
и принятом отрезке времени (координаты логарифмические) опре¬
делить ползучесть при различных температурах, то получаются
кривые типа приведенных на рис. 6.8. При температуре хрупкости
Г,р и ниже податливость I весьма мала и практически не зависит175
от времени. При температурах между Гхр и температурой стеклова¬
ния Тс, а также несколько выше Тс податливость в процессе опыта
возрастает, причем чем выше температура, тем выше расположена
кривая ползучести. При температурах, значительно превышающих
Тс, мы попадаем в высокоэластичную область, характеризуемую
чисто равномерной податливостью с малой зависимостью ее от вре¬
мени. Если выбрать в качестве основы одну из кривых (например,
температуру 298° К), а остальные сдвигать параллельно оси вре¬
мени, то обнаружится, что при определенных смещениях отдель¬
ные кривые совпадают, образуя единую плавную линию типа по¬
казанной на рис. 6.9.Таким образом, появляется возможность вычисления механиче¬
ских характеристик при малых и больших временах и без поста¬
новки прямых экспериментов, что значительно сокращает объем
необходимых экспериментальных исследований и может плодо¬
творно использоваться при определении реологических свойств но¬
вых топлив, особенно при температурах, отличных от нормальных,
т. е. как раз в тех случаях, когда обычный эксперимент оказывает¬
ся наиболее трудоемким. Принцип температурно-временной экви¬
валентности может быть успешно использован не только для по¬
строения обобщенных кривых податливости (а следовательно, кри¬
вых ползучести), но и для построения обобщенных кривых релак¬
сационного модуля (а следовательно, и кривых релаксации).Теоретические основы принципа температурно-временной супер¬
позиции вытекают из теории гибких цепей Рауза [40]. Согласно
этой теории температурная зависимость определяется в основном
коэффициентом трения (jo- Отношение времен релаксации при раз¬
личных температурах будет равноV	1«2?о]г/,V,176
где а—характеристический размер;$0—мономерный коэффициент трения;—	время релаксации при какой-то стандартной темпера¬
туре Ts.Коэффициент ат является безразмерным температурным коэф¬
фициентом смещения.Коэффициент ат имеет одно и то же значение для всех времен
релаксации, поэтому при возрастании температуры от Т8 до Т ло¬
гарифмические кривые релаксации смещаются вверх-на величинуlg-^£ и влево на величину 1 gaT. В работе [96] показано, чтоР* Sтемпературная зависимость механических свойств и времен релак¬
сации выше температуры структурного стеклования описывается
универсальной функцией вида\ва _-Ь(Т-Та)Ig ит г + Т$) ■На основе принципа температурно-временной эквивалентности
в реальных условиях, когда с течением времени изменяется темпе¬
ратура, зависимость между напряжением и деформацией выра¬
жают через «обобщенное» времяIТогдаWа (w) — | Е (w — т) е (т) dz.оОпределив физико-механические характеристики твердого топ¬
лива, можно произвести расчет напряженно-деформированного со¬
стояния заряда ракеты. Для этой цели могут быть применены вза-
висимости от условий нагружения все теории ползучести, которые
в настоящее время можно разбить на три большие группы:—	теории упрочения;—	теории старения;—	теории предшествующих влияний (наследственные теории).Наиболее простыми в математическом отношении являются тео¬
рии старения.Теории упрочения могут найти применение для уточненных рас¬
четов напряженно-деформированного состояния зарядов твердого
топлива, однако в математическом отношении их расчетный аппа¬
рат сложнее и более трудоемкий, чем при применении теорий ста¬
рения. Кроме того, в них велико количество зависимостей, подле¬
жащих экспериментальному определению.Значительный интерес представляют наследственные теории
ползучести, но для их использования необходимо знать всю преды¬
сторию эксплуатации до данного момента и напряженно-деформи¬
рованное состояние шашки твердого топлива после ее изготовле¬177
ния. Использование этих теорий позволит получить наиболее точ¬
ные результаты, однако основная трудность заключается в восста¬
новлении всей предыстории эксплуатации и точном предугадыва¬
нии дальнейшей истории эксплуатации.В дальнейших расчетах будем использовать лишь нелинейную
теорию старения, которая хотя и обладает недостатками, однако
дает возможность рассчитать напряженно-деформированное со¬
стояние заряда ракеты с РДТТ в различных условиях эксплуата¬
ции с проведением приемлемого для настоящего времени мини¬
мума экспериментальных исследований.Известно, что определением напряженно-деформированного со¬
стояния конструкции задача прочностного расчета не исчерпы¬
вается. Важно знать запас прочности конструкции в различных
условиях эксплуатации, а для этого необходимо вводить соответ¬
ствующий критерий прочности. В качестве критерия прочности для
зарядов ракет с РДТТ в настоящее время чаще всего применяют
величину предельной деформации еПред [45].Использование в качестве критерия прочности предельной де¬
формации, а не предела прочности, как в сопротивлении материа¬
лов, более удобно, ибо эта характеристика меньше зависит от тем¬
пературного и от скоростного режимов нагружения. Использование
в качестве критерия прочности величины ёпред тем более естествен¬
но, что скрепленный заряд не является несущим элементом кон¬
струкции и, будучи жестко скреплен с камерой, вынужден «приспо¬
сабливаться» к той деформации, которая возникает в камере под
действием внутреннего давления продуктов сгорания или от неоди¬
наковых тепловых усадок при изменении температуры системы.
По сути дела, заряду навязывается принудительно деформация,
определяемая жесткостью оболочки камеры сгорания, которую он
должен выдержать. Однако критерий прочности еПред лишь каче¬
ственно учитывает временной характер разрушения смесевых твер¬
дых топлив, которые, как и другие полимерные материалы, разру¬
шаются под действием нагрузок не мгновенно, а постепенно в те¬
чение определенного промежутка времени.Основываясь на том, что процесс разрушения полимера яв¬
ляется в значительной мере необратимым временным процессом,
можно использовать для установления единого критерия для всех
расчетных случаев эксплуатации ракеты с РДТТ своеобразную ги¬
потезу о «накопленной усталости».Для нашего случая этот критерий прочности может быть запи¬
сан следующим образом:е!'расч		где */Расч—расчетная обобщенная деформация в соответствую¬
щем слое заряда твердого топлива при определенном
нагружении ракеты с РДТТ;®/пред—предельная допустимая деформация при температуре
этого же слоя.178
Суммирование величин «накопленной усталости» производится
по всем случаям эксплуатации ракеты с РДТТ.Так как предельные деформации ползучести при всех темпера¬
турах испытания твердого топлива в некоторых случаях значи¬
тельно меньше, чем предельные деформации при обычных стати¬
ческих испытаниях, при вычислении «накопленной усталости» це¬
лесообразно из общей деформации Е<расч упруго-пластическую
часть отнести к предельной деформации, полученной в результате
статических испытаний, а «пластическую» часть деформации
*< расч. полз, к предельно допустимой, определяемой в процессе экс¬
периментов на ползучесть, т. е.vj £/ расч. упр.-пл. | £/расч. полз. ^ |	(6 1)J/шт \ е/ пред. стат.	е/пред. полз. /В последнее выражение должна быть внесена поправка на ве¬
личины разброса ег пред. стати ei пред. полз. Если рассматривать в вы¬
ражении (6.1) г. пред. стат и бг пред. полз как среднеарифметические ве¬
личины по результатам обработки серии однотипных эксперимен¬
тов, а предельный разброс этих величин в процентах от средне¬
арифметических значений обозначать соответственно через а и Ь,
то, желая получить надежность расчета, близкую к единице (учи¬
тываем предельные отклонения полностью), вместо выражения(6.1)	можно записать»=2М + й)<1,	(6.2)100 е; расч. упр.-пл..гдеА =
В-100 —апред. стат.100	Е/ расч. полз.Ю0 Ь t'i пред. полз.Уточненный критерий прочности должен учитывать факт от¬
дыха и старения материала заряда.Величина «накопленной усталости», получаемая зарядом при
транспортировке, должна учитываться отдельным членом с помо¬
щью экспериментально определяемого количества циклов, доводя¬
щего образец до разрушения при заданных частоте и амплитуде
нагружения. Если обозначить пц. раСч — расчетное количество цик¬
лов при заданной амплитуде, а через «ц. пред— предельное допусти¬
мое количество циклов при этой же амплитуде колебаний, то от¬
ношение 'ц;Расч. будет характеризовать величину «накопленнойц.предусталости», получаемой при данной амплитуде и частоте цикла.Суммируем эту величину для случаев транспортировки с раз¬
личными амплитудами и частотами циклов; результирующая вели¬
чина «накопленной усталости», реализуемая в заряде в процессе179
различных случаев транспортировки, может быть определена по
выражениюс/ _	Па- РасчL ~ 2и~г*ц. предили с учетом разброса величин лц. предg100 пп. расч100 е па Предгде е — максимальное отклонение величины яц. пред от среднего зна¬
чения в %.Итоговая величина «накопленной усталости», получаемая скреп¬
ленным зарядом в процессе различных случаев эксплуатации, с
учетом коэффициента запаса прочности г] определится из выра¬
жения+ + • (6'3)Факт концентрации деформаций и напряжений в заряде слож¬
ной формы и конечной длины должен учитываться соответствую¬
щими методами расчета величин е(.расч упр.пл , е;Расч.полз. и лц. расч
или коэффициентами концентрации.В качестве другого варианта критерия прочности может ис¬
пользоваться «долговечность» ракеты, определяемая напряже¬
ниями (деформациями), возникающими в ракете с твердым топ¬
ливом при ее изготовлении, транспортировке, хранении и полете
на траектории.Долговременная прочность заряда СТТ является в этом случае
отражением температурно-временной зависимости прочности мате¬
риала и может быть представлена какU— Ь rJlT	/ л * \х = со е ,	(6.4)где с и b —константы, не зависящие от температуры;
и—энергия активации;
k — константа Больцмана;Т — абсолютная температура;о	— напряжение.К долговечности в первом приближении также можно приме¬
нить принципы температурно-временной эквивалентности. В усло¬
виях переменной температуры определение долговечности можно
произвести по зависимости:(6-5)6где — долговечность, соответствующая расчетному напряжению
в слое при температуре слоя;
ат—температурный коэффициент смещения.180
/В этом случае долговечность определяется как время, при ко¬
тором площадь под кривой а7.т*=/(т) становится равной еди¬
нице. При разбивании общей долговечности по этапам эксплуата¬
ции можно пользоваться своеобразной гипотезой «накопления дол¬
говечности» и действовать аналогично тому, как это описывалось
для случая применения гипотезы «накопления усталости».В заключение заметим, что при выборе той или иной гипотезы
для единого критерия прочности и назначении запасов прочности
необходимо иметь в виду, что разброс экспериментальных данных
но долговечности для некоторых типов смесевых твердых топлив
охватывает два порядка времени и более, в то время как разброс
(кспериментально определяемых предельных статических дефор¬
маций не превосходит 50%, а предельных деформаций ползучести
50—70%.§ 6.3. МАТЕРИАЛЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ РАКЕТ С РДТТ,И ИХ КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИСтремление к снижению пассивного веса конструкции привело
к тому, что для изготовления элементов ракет с РДТТ приме¬
няются материалы лишь с большой удельной прочностью. К этим
материалам прежде всего относятся конструкционные легирован¬
ные стали, алюминиевые, магниевые и титановые сплавы, а также
различного рода стеклопластики.Легированные стали применяются, как правило, в термически
обработанном состоянии для изготовления ответственных деталей,
II также для ответственных сварных конструкций (фермы, переход¬
ники и т. п.). Для изготовления сварных конструкций в отожжен¬
ном или нормализованном состоянии часто применяются малоугле¬
родистые марганцовистые стали, обладающие хорошими техноло-
пиескими свойствами и имеющие по сравнению с углеродистыми
| талями при одинаковом содержании углерода более высокую
удельную прочность и несколько повышенную жаропрочность.Алюминиевые деформируемые сплавы по отношению к терми¬
ческой обработке подразделяются на две группы: не упрочняемые
кармической обработкой и упрочняемые термической обработкой.К сплавам, не упрочняемым термической обработкой, относятся
| плавы низкой и средней прочности: технический алюминий, сплав
алюминия с марганцем, сплавы типа магналий алюминия с маг¬
нием. Эти сплавы применяются в горячекатаном, горячепрессован¬
ном или отожженном состоянии. Дополнительно сплавы упроч¬
няются нагартовкой. Характерными свойствами этих сплавов яв¬
ляются сравнительно невысокая прочность, повышенная пластич¬
ность, хорошая свариваемость и высокая коррозионная стойкость.К сплавам, упрочняемым термической обработкой, относятся
сплавы типа дуралюмин, ковочные сплавы, свариваемые сплавы,181
авиаль АВ, высокопрочные сплавы. Все эти сплавы подвергаются
упрочняющей термической обработке: закалке с последующим
естественным или искусственным старением, обеспечивающей отно¬
сительно высокую удельную прочность сплавов. Дополнительное
упрочнение сплавов может быть достигнуто нагартовкой. Наряду
с высокой прочностью термически обработанные алюминиевые
сплавы обладают удовлетворительной пластичностью, обеспечиваю¬
щей нормальную работу конструкций, а также технологическую об¬
работку сплавов.Все термически упрочняемые алюминиевые сплавы имеют от¬
носительно невысокую теплопрочность по сравнению со многими
другими конструкционными материалами (конструкционные, жа¬
ропрочные стали, титановые сплавы и др.). Максимально допу¬
стимая рабочая температура для наиболее теплопрочных алюми¬
ниевых сплавов не превышает 300—350° С. Дополнительное упроч¬
нение сплавов нагартовкой практическй снимается при нагреве их
до 200° С и более.Существенным недостатком' большинства наиболее прочных
алюминиевых сплавов является их плохая свариваемость.Магниевые деформируемые и литейные сплавы широко приме¬
няются для изготовления деталей и элементов конструкций (пане¬
лей, листов, обшивок, штампованных деталей, отливок и т. д.).Деформируемые магниевые сплавы по прочности значительно
уступают многим конструкционным материалам (алюминиевым
сплавам типа дуралюмин, конструкционным сталям и др.), но бла¬
годаря малой плотности обладают высокой удельной прочностью.
Упрочнение некоторых сплавов обеспечивается искусственным ста¬
рением. Несмотря на низкий модуль нормальной упругости Е —
= (4100—4400) 107 н/м2, магниевые сплавы по жесткости (критерий
Е \—J — практически равноценны конструкционным сталям, алю¬
миниевым и титановым сплавам и значительно превосходят этизматериалы по устойчивости (критерий |/ —, ]/"-Р \Титан (и сплавы на его основе)—сравнительно новый кон¬
струкционный материал, получивший применение в машинострое¬
нии лишь в последние годы. Благодаря комплексу высоких физико-
механических свойств титан и его сплавы относятся к числу весьма
перспективных конструкционных материалов. Важнейшими пре¬
имуществами титана по сравнению с другими конструкционными
металлическими материалами являются: небольшая плотность (р =
= 4,5 г/смъ)\ возможность получения на основе титана сплавов вы¬
сокой прочности [ов = (80—140) • 107 н/м2]-, высокая коррозионная
стойкость (подобная стойкости нержавеющей стали).Благодаря сочетанию высокой прочности с небольшой плотно¬
стью титановые сплавы обладают наиболее высокой удельной
прочностью и высокой жаропрочностью. Предельно допустимая ра¬
бочая температура титановых сплавов достигает 600—650° С, таким182
образом, по своей жаропрочности эти сплавы намного превосходят
другие легкие сплавы.Титан и титановые сплавы имеют хорошую пластичность в го¬
рячем состоянии и успешно подвергаются ковке, штамповке, про¬
катке; некоторые из них удовлетворительно штампуются в холод¬
ном состоянии.Многие титановые сплавы обладают и хорошей свариваемостью.Стеклопластик состоит из наполнителя и связующего.Наполнитель является основным, несущим элементом компо¬
зиции и выполняет роль упрочняющего компонента. Связующее
обеспечивает более равномерное распределение нагрузки между
волокнами (нитями) наполнителя и, придает композиции жест¬
кость.В качестве наполнителя в конструкционном стеклопластике ис¬
пользуется стекловолокно, обладающее ценными свойствами: вы¬
сокой механической прочностью, термостойкостью, небольшим
удельным весом, хорошими адгезионными свойствами и т. д.В большинстве случаев в качестве связующего применяются
полимерные материалы.Наиболее распространены связующие на основе полиэфирных,
формальдегидных, эпоксидных и кремнийорганических смол.В настоящее время уже разработано большое количество мето¬
дов изготовления изделий из стеклопластиков. Так, при изготовле¬
нии стеклопластиковых цилиндрических труб (оболочек) приме¬
няют метод прямой намотки стеклоткани, метод комбинированной
намотки стеклоткани и стеклоленты и метод перекрестной намотки
стеклонити или стеклоленты.При оценке какого-либо технологического метода необходимо
учитывать получаемую прочность изделия, стабильность свойств,
возможность механизации и автоматизации процесса, экономич¬
ность и производительность процесса и др.Два последних метода позволяют более полно использовать
прочность стекловолокон и регулировать анизотропию свойств.Современная ракетная техника ставит все более жесткие тре¬
бования перед конструкторами в области изыскания оптимальных
методов проектирования конструкции. Оптимальной считается
конструкция, которая при заданной системе нагрузок обладает
наименьшей массой, сохраняя при этом свою работоспособ¬
ность.В последнее время появилось немало новых методов расчета
на прочность, позволяющих проектировать оптимальные конструк¬
ции. Особый интерес представляют те из них, которые предлагают
использовать несущий материал конструкции таким образом,
чтобы повсеместно и одновременно напряжения в нем достигали
величин, равных пределу прочности.Известно, например, что оболочка, нагруженная только вну¬
тренним избыточным давлением, рвется всегда по образующей.
Поэтому оболочку следует упрочнять в кольцевом направлении183
путем намотки на трубы слоя проволоки, стеклопластика или дру¬
гого упрочняющего материала. Оболочка с намотанным слоем мо¬
жет разрываться уже не по образующей, а по кольцу. Лимитирую¬
щим в смысле прочности становится другое направление, что по¬
зволяет значительно уменьшить массу конструкции или при той же
массе повысить рабочее давление.Наиболее близок к идее равнопрочности метод намотки стекло¬
волокна на трубы с начальными напряжениями в стеклопластике.
Варьируя предварительный натяг стекловолокна, можно добиться
такого положения, когда при расчетных, заранее выбранных на¬
грузках напряжения в металле и стеклопластике достигают пре¬
дельных значений одновременно.Не развивая дальше идею создания равнопрочной конструкции,
заметим, что оптимальное распределение анизотропии механиче¬
ских свойств в материале должно стать одной из целей проекти¬
рования.Как уже указывалось выше, независимо от того, насколько
удачно проведен анализ упругих или неупругих деформаций в кон¬
струкции, анализ ее прочности не может быть завершен, пока не
установлен критерий прочности.Для изотропных материалов наибольшее распространение по¬
лучили критерий наибольших касательных напряжений и энерге¬
тические критерии.Основная расчетная формула при использовании критерия наи¬
больших касательных напряжений имеет вид' CTi — сгз<[а1»	(6.6)где 01 и оз — главные напряжения, а [а] — предельно допустимое
напряжение для данного металла.По результатам экспериментов на двухосное напряженное со¬
стояние для меди, никеля, алюминиевых сплавов и большинства
сталей можно утверждать [37], что аппроксимация эксперименталь¬
ных данных лучше происходит при использовании энергетического
критерия формоизменения, чем критерия наибольших касательных
напряжений.Рабочая зависимость при использовании критерия формоизме¬
нения имеет видyfV(а*—'3*)*+(»,—'*,)* + («,—'3Л2 + 6(х^ + г2г4-х2гу)<[0]. (6.7)Для двухосного напряженного состояния в главных осях этот
критерий может быть записан следующим образом:У of — o,(j2 + o* < [о].	(6.8)В качестве критерия прочности для изотропной среды, имею¬
щей различные пределы прочности на растяжение и сжатие, целе-184
сообразно использовать обобщенный критерий Гольденблата
Копнова [37]:(ах + сту + °г) +++ 2x.tv + 2xxz + 2xyz+_J	|	L4)2	L<rc / 2t?+/2(°ДГ + °y + OH ' < !.(6.9)где a —предел прочности при растяжении;
ac —предел прочности при сжатии;
тА —предел прочности при сдвиге.Если в выражении (6.9) принять ap = ac=oA и т6 = ~=,го придем к обычному условию прочности по теории энергии фор¬
моизменения.В качестве критерия прочности для анизотропных материалов
(стеклопластики) целесообразно воспользоваться критерием проч¬
ности [37], справедливым для тех типов стеклопластиков, констан¬
ты прочности которых удовлетворяют условию совместности:111,1	1 1—L + _L = .Г I с2(6.10)где оРXи2	'■Ьм—	предел прочности при растяжении для анизотропного
материала, неодинаково сопротивляющегося растяже¬
нию и сжатию;—	предел прочности при сжатии для того же материала;—	предел прочности на сдвиг по площадкам, наклонен¬
ным под углом 45° к основным направлениям.
Глава 7РАСЧЕТ КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТ
НА ПРОЧНОСТЬ§ 7.1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ
НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
ВРАЩЕНИЯВ качестве расчетной схемы корпуса ракеты с РДТТ примем
цилиндрическую упругую тонкостенную оболочку, находящуюся в
общем случае в моментном напряженном состоянии. Материал обо¬
лочки считаем изотропным, однородным и подчиняющимся закону
Гука. Перемещения оболочки предполагаем малыми по сравнению
с ее толщиной. Будем также полагать справедливыми гипотезу о
неизменности нормали и гипотезу об отсутствии надавливания
слоев оболочки друг на друга.В этом случае, как показано в работах [16], [17], в результате
рассмотрения геометрических, физических и статических соотно-Рис. 7.1. Цилиндриче¬
ская оболочкашений решение задачи можно свести к системе двух дифферен¬
циальных уравнений относительно двух функций, с помощью кото¬
рых определятся напряжения и деформации в оболочке. Для осе¬
симметричной деформации неравномерно нагретой по толщине и
длине цилиндрической оболочки (рис. 7.1), находящейся под дей¬
ствием радиального давления р и осевой силы Nx, разрешающее
уравнение задачи упрощается и имеет вид [13]:186
(7.1)где w — радиальное перемещение оболочки;Е—модуль упругости;р. — коэффициент Пуассона материала оболочки;
а — коэффициент линейного расширения;Т — температура;Практически можно полагать, что нейтральная поверхность
близка к срединной, поэтому будем считать, чтоВ том случае, если температура нагрева не настолько велика,
чтобы механические и физические характеристики материала обо¬
лочки заметно изменились по сравнению со своими обычными зна¬
чениями, или если требуемая точность расчета позволяет вместо
них характеристик ввести некоторые постоянные значения, отве¬
чающие средней величине их в рассматриваемом интервале темпе¬
ратур, то приведенное выше уравнение значительно упростится.В самом деле, если считать модуль упругости и коэффициент
линейного расширения материала оболочки постоянными величи-h_?Е<р (х) = j Е (х, z) z‘ dz, i = 0, 1,2;А2h_221L221LтJ Е (х, z) zdz = 0.A2187
нами и ввести в расчет их некоторые средние значения, то функ¬
ции Еф (х), Nt (х) и Мт (х) примут вид:_л_2Еф (х) =' f Е О, z) dz = E'.ph)_ h_2Еф (л) = j Е (х, z) z2dz =Ezvh?12_/z_2h_2N;, (a-) = j* a (z,x)E (x, z) T (x, z) dz =—	acp£"cp J* ^ U *) dz,Mi(x) — j a (л:, z) E (x, z) Г (л, z) zdz =_ h_2h_2= acp£'cp j T(x,z)zdz.
h(7.2)Тогда уравнение (7.1) может быть записано в следующем виде:
rfiw Ecph	м.дгD— + -ш-w = — р +яср^срj T- (x, z)dz+ j _ ^,2. (7.3)При рассмотрении тонкостенных оболочек часто принимают,
что температура по толщине стенки изменяется по линейному за¬
кону от значения Тв на внутренней поверхности оболочки до зна¬
чения Гн на наружной.Т 4- ТОбозначим через Т0 = —^—— среднюю температуру стенки, а
через ДТ=ТИ—Ть — перепад температуры, тогда температура в183
произвольной точке оболочки, отстоящей на расстоянии z от сре¬
динной поверхности, определится выражением:(7.4)ДГT(z) = TQ + -г-г.В общем случае величины Т0 и АТ переменны по длине обо¬
лочки.Разрешающее уравнение задачи (7.3) для общего случая рас¬
пределения температур примет вид:NrEcphD—— H	~ZV ■■dx1
°cp^cp^RR2D(\ +p) acp d2Го+ 	h	fW,(7.5)nгде L) — Г2-(]2 — цилиндрическая жесткость оболочки.Если функция w (х), удовлетворяющая уравнению (7.5), най¬
дена, то' внутренние силовые факторы (рис. 7.2) можно вычислить
по следующим зависимостям:Hydx^ (Q+dQ)Rd<phJ^x+dMx)Ra(f
’T1Kd<j>I Xlu /// r/Рис. 7.2. Силовые факторы,
возникающие в сечениях
цилиндрической оболочки
при осесимметричной де¬
формацииNy = \xNx
Мх =—D
МРис. 7.3. Напряжения, возникаю¬
щие в сечениях цилиндрической
оболочки при осесимметричной
деформацииECDhуQ=inr = -DRГ d2w- W
(L dx2VГ d2wiL^ dx*Г d%w1L dx3О + р) асР^];44 р|,(А7’)](7.6))Зная внутренние силовые факторы, можно подсчитать возни¬
кающие в оболочке напряжения (рис. 7.3):a - N*12 Mxx hh3NvMv12-rr;У hЛ3•г;z.(7.7)189
Так как значение максимального касательного напряжения, как
правило, значительно меньше максимального нормального напря¬
жения, то наиболее напряженными точками всегда будут наруж¬
ные или внутренние точки стенки, в которых нормальные напря¬
жения равны:, ч Nr 6М
(а,) = —-1	:4 -T/max hh?Ny 6Му(7.8)(а^)тах Л — Л2Эти напряжения и являются расчетными.Рассмотрим один из возможных путей конкретного решения
поставленной задачи.Для большинства практических случаев законы изменения дав¬
ления и температуры можно аппроксимировать полиномом не выше
третьей степени так, чтобы обращались в нуль следующие произ¬
водные:*Р _	n	f7q.dx* dx* ~ dx2 '	1 >При выполнении этих условий уравнение (7.5) решается сравни¬
тельно просто.В зависимости от длины оболочки (длинная или короткая) ре¬
шение исходного уравнения (7.5) целесообразно искать в различ¬
ных формах.Длинная оболочкаПри значительной длине оболочки функцию w целесообразно
представить в видеw (х) — е~кх (С1! sin kx + С2 cos kx) -f ekx (C3 sin kx ++ C4 cos kx) - 0 (1 - ,* - R<*cpTt0>	(7.10)где Cj — C4 — постоянные интегрирования;4 	k= j/~^ — параметр, зависящий от размеров оболочки.Сделав подстановку, нетрудно убедиться в том, что выражение
(7.10) удовлетворяет дифференциальному уравнению (7.5). По¬
следние два слагаемых в правой части равенства (7.10) представ¬
ляют собой частное решение уравнения (7.5). Эти слагаемые
имеют такой вид только в том случае, когда выполняются усло¬
вия (7.9).Учитывая, что радиальное перемещение w при больших значе¬
ниях координаты х должно оставаться ограниченным и малым, а
величина екх может достигать любых больших значений, заклю¬
чаем, что постоянные С3 и С4 должны быть очень малыми.Следовательно, вблизи начала координат второе слагаемое бу¬
дет ничтожно малой величиной по сравнению с первым слагаемым.190
Поэтому для области, близкой к той части оболочки, на которой
расположено начало координат, можно принять С3 = С4 = 0.Тогда получимw (а) ь= e~kx (Cj sin kx + С2 cos kx) —В таком виде функция w пригодна только для части (края)
оболочки, близкой к началу координат. Если рассматривать уда¬
ленную от начала координат часть оболочки, то слагаемое, содер¬
жащее постоянные С3 и С4, несмотря на малость последних, не мо¬
жет быть отброшено, так как множитель екх сильно возрастает.Выражение (7.11) будет также пригодно вблизи второго торца
оболочки, если начало координат выбрать на нем, а ось х напра-
нить в противоположную сторону. Постоянные С, и С2 всякий раз
определяют из соответствующих граничных условий.Описанный способ можно применять, если длина оболочки удо-
илетворяет следующему условию [20]:При этом погрешность вычислений не выйдет за пределы, обус¬
ловленные исходными допущениями.Решение дифференциального уравнения (7.5), представленное
и виде выражения (7.10) для случая короткой оболочки, не удоб¬
но, так как постоянные интегрирования приходится определять с
помощью сложной системы четырех уравнений с четырьмя неиз-
нестными. Но если общее решение уравнения (7.5) представить в
функциях, предложенных А. Н. Крыловым, то определение по¬
стоянных можно значительно упростить. Примем перемещение в
ииде|де А\—А4 — постоянные, определяемые из граничных условий;
Г, (kx) — ch kx cos kx,/>2,5 J/Ж(7.12)Короткая оболочкаw (a) == AXVX (kx) -f A2V2 (kx) + A3V3 (kx) +1 \ (kx) = (ch kx sin kx + sh kx cos kx);
\(kx) = sh kx sin kx;\ \ (kx) = (ch kx sin kx — sh kx cos kx)—	функции Крылова
(таблицы этих функ¬
ций даны в приложе¬нии работы [13])191
Рассмотрим, например, случай, когда давление постоянно, а
температура меняется только по толщине оболочки. Тогда, исполь¬
зуя свойства функций Крылова:kVx, ~jjr — kV2;- ikV-dVidx *	dx= kV* vi (0) = i; ^2 (0) = vs (0) == vt (0) = ои учитывая соотношения:dw- = - 4M[V4 + kA2V, + kAtV.г + kAtK3;dxM =z — D^~
1 X	^ dx2Q = — Dd3wdx3_ VD (- 4A!V3 - 4A2V4 + ASV} + A4V2y,
k3D (— 4A va - 4A2 V3 - 4Л3l/4 + КО,получим следующие выражения для постоянных интегрирования.
Л] — w |и-оECphА.1dw I~ kdx |.1Z3£2(7.14)Dk3Qlx-0 ■Найденные зависимости позволяют определить только две по¬
стоянные, так как для каждого края оболочки (в том числе и для
края *=0) можно составить только два граничных условия. Для
определения остальных постоянных необходимо использовать гра¬
ничные условия на противоположном краю оболочки (при х = 1).
На основании этих условий составляют два уравнения с двумя не¬
известными постоянными и решают полученную систему уравне¬
ний. После того как функция w получена, определить внутренние
силовые факторы и напряжения не представит затруднений.§ 7.2. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
НЕРАВНОМЕРНО НАГРЕТОЙ ТОНКОСТЕННОЙ ОБОЛОЧКИ,
РАБОТАЮЩЕЙ В ОБЛАСТИ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ
ДЕФОРМАЦИЙКорпус ракеты с РДТТ, выполненный из металла, при работе
двигателя на траектории очень часто оказывается в условиях упру¬
го-пластического деформирования. Естественно, что методики рас¬
чета его напряженно-деформированного состояния, приведенные в
предыдущем параграфе, оказываются в этом случае несостоятель¬
ными. В гл. 11 (при расчете напряженно-деформированного состоя¬
ния скрепленного заряда в полете) приведена одна из возможных
инженерных методик расчета прочности корпуса, работающего в
области упруго-пластических деформаций, с использованием номо-192
грамм. В данном параграфе изложим более общую методику, пре¬
дусматривающую возможность определения коэффициента запаса
прочности корпуса по общей несущей способности.Предполагаем, что оболочка находится под действием равно¬
мерно распределенного давления р и осевой силы N0 в безмомент-
пом состоянии (краевые эффекты не учитываются). Температурное
поле изменяется только по толщине оболочки; закон изменения
температуры известен. Величина продольной силы пропорциональ¬
на внутреннему давлению, т. е. N0=kp. Последнее допущение сле¬
дует рассматривать как облегчение математической формулировки
задачи, ни в коей мере не снижающее общности решения.Направим ось х вдоль образующей оболочки, ось 2—по ра¬
диусу цилиндра, ось у— перпендикулярно первым двум осям. Если
радиальное перемещение w направлено вдоль оси г, будем считать
его положительным.Принимаем материал оболочки несжимаемым, тогда физические
соотношения задачи можно записать в виде:°х = -уЕс (£/. *) [®* +-j-“ ira(z)T («)];су(7.15)Поскольку мы не учитываем деформации, возникающие при из-WI ибе, величины w, ех и е ==-=;- можно считать постоянными. Уси¬лия в оболочке можно определить из выраженийА	А2 2= j °xdz\ Ny= \ oydz.	(7.16)К-h h
2 2Используя соотношения (7.15) и (7.16), осевую относительную
деформацию &х можно выразить через тангенциальную деформа¬
цию ву = w/R:_ h_W 3 22j a(z)T (z) Ec (e,, z) dz2R 1 2	ft.2+j Ec (e/, z) dz_ h24	N+ ТГ-Г			,	(7-17)2(' Ec (e,. z) dz
h
27 573	1 93
Из условия равновесияNy = pR,	(7.20)а^ = (7-21)
Радиальную деформацию можно найти из условия•, + •, + «, = 3 *{z)T(z).	(7.22)С учетом выражений (7.18), (7.22) и того, что sy = w/R, интен¬
сивность деформаций можно записать следующим образом:•/ = V[t - « Т ^7 + 3[a-a(z)T (z)P . (7.23)Усилие на единицу длины в окружном направлении будет равноh_ ft
2 2,= J а у dz = -g- sy J Ec (sh z) dz 4*Ny-h h
2 "“2+ X J ^ (s‘> z) ^ — 2 J « (2) 71 (г) Ec (sit z) dz.ft_ h2 2Если подставить в это уравнение выражение для относительных
продольных и поперечных деформаций, то выражение усилия в
окружном направлении можно записать так:194
JL2Ny = (тг ~ a) I E< (s‘>dz + N*- <7-24)_ Jl
2Из уравнений (7.20) и (7.21) следует, чтоNy = 2iz + Nx.	(7.25)Этих уравнений достаточно для решения задачи. Однако непо-<	родственное их решение невозможно, так как нельзя определить
радиальные деформации, которые зависят от величины а. Вели¬
чина а в свою'очередь зависит от секущего модуля, являющегося
функцией интенсивности деформации, а следовательно, и от иско¬
мых радиальных перемещений.Возможен следующий порядок расчета. Задаемся величиной до
и для различных значений а вычисляем интенсивность деформаций
и нескольких слоях оболочки. По найденным s* с учетом темпера-
I уры нагрева данного слоя определяем по соответствующей диа-I	рамке oi~si секущий модуль и подсчитываем величину р для
каждой принятой величины а. Внутреннее давление, соответствую¬
щее каждому параметру а, можно найти следующим образом. Под¬
ставив зависимость (7.20) в выражение (7.24) и решив его относи-
и-льно Nx, получимJL2Nx=pR— (-Ц- — a) J Ec(sh z) dz.	(7.26)_ _л
2Подставив выражение (7.26) в формулу (7.19), найдемJL	JL2 , 2Ec *)dz ^a + -~j —2 J a(z)T (z) Ec (e,-, z) dz
P = —	£-=:I	. (7.27)По найденным значениям p и формулам (7.20) и (7.26) нахо-
лнм окружное Ny и продольное Nx усилия. Далее строим графикиN,^-fi(a) и 2^— ■ Nx—f2(a), находим точку их пересечения и полу¬
чаем значение а, по которому находим действительную величину
ниутреннего давления р. Затем по формулам (7.20), (7.26) опреде¬
ляем окончательные значения внутренних усилий Nx и Ny.Г	195
При вычислении интегралов:А	А2 2f Ec(t„z)dz., J o.(z)T (z)Ec{si,z)dzл	_ A2 2можно воспользоваться, например, формулой Чебышева. При этом
следует иметь в виду, что если, например, по толщине оболочки
брагь пять расчетных точек, то a(z)T(z) и Ес(ы,г) следует вычис¬
лять при 2! = —0,416 h, z2 = —0,187 h, z3 = 0, z4 = 0,187 h, z5 =
= 0,416 h.Расчетные формулы при этом будут иметь следующий вид:h5a (z) Т {Z) Ес («„	№),;h	г=\22	5(«,, г) = -i- h V (Я,),,_ JL	r“12где индекс г — точка, в которой берут значение подынтегральной
функции.Задаваясь новым значением радиального перемещения, повто¬
ряем расчет. Строим график до=/ (р). Предельным значением ве¬
личины до будет такое радиальное перемещение, при котором хотя
бы в одном расчетном слое величина а достигнет предела проч¬
ности материала оь при температуре слоя. Соответствующее этому
значению до внутреннее давление является предельным, опреде¬
ляющим .несущу-ю способность оболочки. Отношение /?пРед к рабо¬
чему давлению определит запас прочности корпуса из расчета
оболочки на несущую способность. Снимая с графика до=/ (р) ра¬
диальное перемещение, соответствующее рабочему давлению, и
повторяя расчет для этого до, находим по зависимостям (7.23) и
(7.15) истинные напряженное и деформированное состояния в каж¬
дом слое оболочки.Остановимся коротко еще на одном методе решения рассматри¬
ваемой задачи, связанном с прямой линеаризацией решения диф¬
ференциальных уравнений термо-упруго-пластических деформаций
цилиндрической оболочки [13].Запишем физические соотношения задачи в виде:4	„ Г du	d2w w 3 , . ^/_ЧП°х— 3 [ dx г dx2 2R 2 “ (2) r(z) J;4	„ Г w . 1 du z d2w . 3 , , т,.Л
°У ~ Т с L R ~~dx T~dx5 2”а (z) .(7.28)где и — смещение точки срединной поверхности в продольном на¬
правлении.196
Внутренние усилия и моменты на единицу длины с учетом вы-
рпжений (7.28) запишем следующим образом:л_24 / du w \| Г~ Т [Их ~ ~W) jErdz4 d'2w
ТГ ~dWf2Eczdz2	U (г) T (г) Ecdz\N,4 f 1 du tf'N С p~ T V~2" ~d7 ~ ~R J Jdz2 d2w
~3 dx*~Erzdz —■2 j a (г) T (z) Ecdz\vMv =+ -§■ I £>2й?,г -f 2 \ *{z)T (z) Eczdz.(7.29)Секущий, или пластический, модуль зависит от интенсивности
деформаций и некоторых величин, которые являются функциями
температуры или, что то же самое, координаты г, т. е.ЕС = ЕС{^, г).197
Область деформаций не будем делить на упругую и пластиче¬
скую зоны, так как всякую реальную кривую деформации на всем
ее протяжении всегда можно с той или иной степенью точности
аппроксимировать единым выражением; поэтому положим£,(.„г)=£й-Р(|, Ц, -i, z).(7.30)где F — известная функция.Введем следующие обозначения:
h_2du d2w w
dx ’ dx2 ’ R~h_2И-\ j	! du d*w w \' z)dz~ Ф1 yjx ' ~dxJ ’ ~Rj'’№d*w wdx2 ’ R, zdz = Ф2 ^du d*w w
dx ’ dx2 ’ Rh_2d2w wdx2 > 7Г.*)= Ф,du d2w w
s I ~dx ’ dx* ’)■2 §a(z)F(£>i5-’Jw>z)T(z)dz=sdu d2w wdx ' dx* ' RJ«(z)du d2w: ФflU' ’ a?A’2 ’ j, zjT (z) zdz =dx ’ dj:2 ’ /?)Так как F—известная функция четырех аргументовdu d7w
dx ' dx2-о-, г, то и все пять функций (Dj—Ф5 будут известными функциями
du d2w w '
трех аргументов	.Рассмотрим случай, когда осевая сила отсутствует. Тогда урав¬
нения равновесия элемента оболочки запишутся в виде:(7.32)198
Если подставить сюда выражения (7.29) и учесть выражения
(7.30) и (7.31), то получим исходные уравнения задачи в виде:где f 1 и f2— неизвестные нелинейные функции.Несмотря на то что мы приняли Nx=0, по торцам оболочки
будут действовать нормальные напряжения ах, которые вызовут
торцевые моменты. Если напряжения фактически будут отсутство¬
вать, возникает краевой эффект, зона распространения которого
как в упругом, так и в пластическом состоянии весьма мала. Сущ¬
ность решения исходных уравнений задачи (7.33) методом прямой
линеаризации состоит в следующем.Предположим, что функции fi и f2 изменяются достаточно
плавно. Тогда, разбив оболочку на п участков, функции и f2
можно считать постоянными в пределах каждого из них.Можно, например, считать, что в пределах каждого участка эти
функции равны своему действительному значению в средней точке.
Обозначим эти постоянные значения функций fx и f2 в пределах
каждого участка следующим образом:Введение величин /[к) и равносильно тому, что мы к факти¬
чески действующей на оболочку нагрузке р прибавили еще некото¬
рую ступенчатую нагрузку.Решение уравнений (7.34) при постоянных /{к} и не пред¬
ставляет особых трудностей, так как оно сводится к решению ли¬
нейных уравнений с постоянными коэффициентами.Обозначим решение на k-ы участке следующим образом:Имея решение (7.35), можно вычислить значения Д и /2 в сере¬
дине каждого участка оболочки и получить систему уравнений
вида:(7.34)wk = wk [х, ЯД..., /£">].(7.35)(7.36)199
Из этой системы уравнений могут быть найдены постоянные
Дг). Так как система уравнений (7.36) нелинейна, то ее решение
возможно только численными методами.При этом целесообразно для следующих интегралов заранее
получить аналитические выраженияЕ^ = j Е (z) dz\ Еф = J Е (2) zdz; Ер = \ Е (г) г2 dz.Для решения этой системы могут быть использованы электрон¬
ные счетные машины.§ 7.3. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТ, ИЗГОТОВЛЕННОГО
ИЗ СТЕКЛОПЛАСТИКАПредставим корпус ракеты с РДТТ в виде цилиндрической обо¬
лочки из стеклопластика, изготовленной прямой или продольно¬
поперечной намоткой и нагруженной внутренним давлением интен¬
сивностью р и осевым усилием Nx. Напряженно-деформированное
состояние корпуса вначале рассмотрим вне зоны влияния краевого
эффекта. Обозначим тангенциальное, осевое и радиальное направ¬
ление соответственно индексами х, у и z.Если рассматривать достаточно удаленные от концов участки
оболочки, то можно оперировать с осредненными величинами на¬
пряжений, действующими на элементы срединной поверхности обо¬
лочки.Напряженное состояние в рассматриваемом случае, следова¬
тельно, определяется системой:°х 0; ау 7^ 0; аг — гху — ххг ~ хуг ~	(7.37)Задача статически определима; напряжения будут зависеть
лишь от внешних усилий, действующих на оболочку.Обозначим через rj отношение осевого погонного усилия к тан¬
генциальному:ч-та&г.	<7-38)В дальнейшем под R понимаем радиус срединной поверхности
оболочки, под h — толщину стенки оболочки.Безмоментная теория оболочек дает следующие формулы для
определения напряжений:pR	pR°* = -V; ay = Yia^ = yi—•Согласно [37] для рассматриваемого случая (7.37) условие пре¬
дельного напряженного состояния запишетсяАл + к*у + УЩ?\ + + [Ч + К ~k\) V, = 2. (7-39)200
Из выражения (7.39) в зависимости от знаков ах и ау получаем
условия прочности ортотропной оболочки, изготовленной из стек¬
лопластика для различных напряженных состояний:—	внутреннее давление и осевое растяжение:К + ч* 2 +	-Ц-; (7.41)—	внутреннее давление и осевое сжатие:К - У1*2 + Уг?Ъ + ЦЪ + Щ-Щ) + к\ =	(7.42)—	внешнее давление и осевое растяжение:-	К + + УгрЩ-ч(Щ + %-Щ) + к1 = -Ц-; (7.43)—	внешнее давление и осевое сжатие:-	К- *1*2 + У'ПгЩ + V) (Щ + k\ - Щ) + щ =	(7.44)II	т. д.Для дальнейшего исследования ограничимся условием (7.41).
Из него как частный случай получается условие прочности для
изотропной цилиндрической оболочки, находящейся под действием
внутреннего давления и осевой силы:1*. ]/yi2+(2-£2)v) + 1< V	(7.45)Для стали 5 = V~3.Рассмотрим некоторые частные случаи нагружения ортотроп-
ных цилиндрических оболочек [37].Случай 1. Отсутствует осевая сила (оболочка с открытыми кон¬
цами) .В этом случае rj == 0. Приходим к обычной формуле безмомент-
иой теории оболочекoR	в? Ла? = — или ррюр = —,	(7.46)и, следовательно, анизотропия материала оболочки не имеет зна-
Случай 2. Оболочка с закрытыми концами находится под вну¬
тренним давлением. В этом случае г] = 1/2- Из условия (7.41) полу¬
чаем расчетную зависимость для разрушающего давления^раар 2ki +k2 + V&k\ + Zk\ — 2k\ '	(7-47)Наконец, в общем случае действия на ортотропную цилиндри¬
ческую оболочку равномерного поперечного давления	(внутрен¬
него или внешнего) и осевого усилия (растягивающего	или сжи¬
мающего) в условиях простого нагружения расчетная	формула
для /?разр будет иметь вид=		± ^1 ± "Фъ + Уk\rf + (k\ + k\— k\) V) + k\	^ ^где знаки плюс и минус устанавливаются из соотношений (7.41—
7.44), а величина rj берется по модулю.Рассмотрим в качестве примера расчет на прочность цилиндрической стек¬
лопластиковой оболочки с Dcр = 800 мм и h—10 мм. Оболочка подвергается
простому нагружению внутренним давлением и осевым сжатием.Требуется определить величины разрушающих внутреннего давления Рразр
и осевого усилия Nx разр, если rj=0,2.Для заданного материала трубы прочностные константы имеют значения:сР = 55,0-107 н/м2; аР = 30,5-107 н/м2; sjf = 27,0-107 н/м2\= 24,0-107 н/м2; т+,5 = 30,0-107 н/м2; т^45 = 23,0-Ю7 н/м2.По зависимостям (7.40) определяем величины А,-:kx — — 1,92-10-» м2/н\ k% = -0,87-10-» м2/н\ кг = 5,52-10—9 м?/н\
kt = 7,43 • 10~» м2/и; К = 7,7-10~» м*/н.Используя зависимость (7.42), определяем2— •И)9
40Рразр - 02 + 0 2_0 87 + у 0 04,55 _ 0 2 (30,4 + 55 - 59) + 30,4 ^яг 140-106 н/м2.Суммарное осевое усилие в момент разрушения оболочки определяется по
формуле (7.38). Оно равноNx разр = к]2гс£!2/7разр = 0,2-2-3,14-160-140-10» = 2810 кн.Если корпус ракеты заканчивается достаточно жестким днищем
(край оболочки можно считать защемленным), для расчета изги¬
бающего момента и поперечной силы в защемленном краю в слу¬
чае действия на оболочку равномерного внутреннего давления
можно воспользоваться известным методом сил [9].Выберем основную систему в виде оболочки со свободным
краем. Отделим мысленно защемленный край от днища и действие
отброшенной части на край заменим неизвестным моментом и202
поперечной силой Х2 (рис. 7.4). Для определения Хх и Х2 составим
ки конические уравнения перемещений:х 1^п + ^2^12 + ^\р — 0;^1^21 “Ь -^2^22 ~Ь А2р = 0.Найдем коэффициенты этих уравнений. Коэффициент 8ц — пе¬
ремещение по направлению Х\ от действия Xj = l; это есть уголРис. 7.4. Силовые граничные условия
для оболочки с жестким днищемповорота края оболочки от воздействия единичного момента. Он
равен [9]»и—Йг-	<7-49>где'I /_£i_ 3 (1 — р.1р.2) _У е2 rwD.ЕЛ*'2= ~f2~^ _ )—цилиндрическая жесткость в осевом направ¬
лении;Е\, В2, fii, р2 — соответственно модули упругости и коэффи¬
циенты Пуассона в направлениях у их (в глав¬
ных направлениях упругости).Коэффициент &12 — перемещение по направлению Х\ от действия
Х2=1, т. е. угол поворота края оболочки от действия Х2=\, нахо¬
дится по выражению [9]:1	(7.50)812 — 821 :2 kW,Коэффициент 822—радиальное смещение от действия Х2=1,
определяется зависимостью [9]:°22~"2ЩГ'	(7-51)Грузовой коэффициент AiP — перемещение края по направле¬
нию Xj от действия заданной нагрузки, т. е. угол поворота свобод¬
ного края оболочки от действия внутреннего давления. Очевидно,
чтор'■0.(7.52)203
Грузовой коэффициент Д2РПеремещение края по направле*
нию Х2 от действия нагрузки, т. е. увеличение радиуса свободного
края оболочки от действия внутреннего давления р. Если оболочка
не подвергается действию растягивающих сил, тоЧ--ЙГ-	Р'53>Если растягивающие силы Nx не равны нулю, тод _ Р* ц NJi •	f754.Подставив в систему канонических уравнений найденные значе¬
ния коэффициентов, получим.	I ^ — Q	-^1 1 ^2 | А 	 Г)kD2 ^ 2kW2	2k2D2 2k3D2 «P~U'Решение этой системы относительно Х{ п Х2 приводит к следую¬
щим значениям:Хг — 2k2D2A2p\Х2 = — \kbD2k2p.В частном случае, при отсутствии осевой силы,
у __ pRh l/ ~Ei	р .1	.2 У 3iE, (1 — H-iH-a) 2*2 ’kМаксимальное осевое напряжение в защемлении вследствие
изгибао_ 3pR л Г
h У 3£,3 ру max h У ЗЕ, (1 — |х,[а2) 62Л2 'В частности, если оболочка изотропная, то (полагая ^=0,3)
- — 	3pR =1,81-^-.шах hV 3(1 — н-2)Эта величина в три с половиной раза больше, чем осевое мем-*	0,5pRбранное напряжение, равное -—Если оболочка ортотропна (в ней обычно ЕХ>Е2), влияние из-
гибной составляющей будет еще существеннее. Так, для случая
£2 = 2£i и 1 —рцл2 = 0,96 получим“„«-'.25^.Как видим, в ортотропной оболочке жесткое защемление может
менее существенно увеличить осевое напряжение, чем в обычной
изотропной оболочке.Выше, при расчете краевого эффекта, предполагалось, что в
другом направлении оболочка является бесконечно длинной.204
В реальных условиях длина оболочки всегда ограничена. Нетруд¬
но показать [9], что уже при /=-|- влияние краевого эффекта прак¬
тически ничтожно и оно может не учитываться. Например, для
оболочки, у которой = 10; ~ = 2 и 1 — = 0,96, k = .Следовательно, если ее длина /> -j- = 0,643/?, вышеприведен¬
ные формулы для нее справедливы.§ 7.4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ДНИЩ И СОПЛОВЫХ КРЫШЕКРасчет на прочность днищ и сопловых крышек ракеты с РДТТ
может быть сведен к расчету напряженно-деформированного со¬
стояния эллиптических оболочек, как правило, с нецентральными
отверстиями. Поскольку днище и сопловые крышки несут на себе
элементы теплозащиты, будем предполагать, что температурное
воздействие на эти детали ракеты в первом приближении отсут¬
ствует, а силовое воздействие осуществляется лишь внутренним
давлением газов.Строгого решения сформулированной задачи в настоящее время
не существует, идея же приближенного решения может быть пред¬
ставлена следующим образом.Для точек контура отверстия рассчитывается напряженное со¬
стояние в сплошной эллиптической оболочке, находящейся под
действием равномерного внутреннего давления, а затем получен¬
ные усилия с обратным знаком прикладываются к контуру отвер¬
стия рассматриваемой оболочки и рассчитывается ее напряженно-
деформированное состояние от приложенной контурной нагрузки.Наложив затем рассчитанное поле напряжений на напряжен¬
ное состояние сплошной оболочки, сообщенное ей в результате
воздействия заданного внутреннего давления, получим искомое на¬
пряженное состояние эллиптической оболочки с неподкрепленным
отверстием, находящейся под действием равномерного внутреннего
давления. Оставаясь в рамках безмоментной теории оболочек, обо¬
значим через Т\ и Т2 нормальные силы, а через и S’* сдви¬
гающие силы, характеризующие напряженное состояние оболочки
с заданным отверстием и находящейся под действием внутреннего
давления при вполне определенных граничных условиях.Напряженное состояние той же, но сплошной (не ослабленной
отверстием) оболочки, находящейся под действием такого же дав¬
ления и подчиненной тем же граничным условиям, будем называть
основным, а его компоненты обозначим через Т\, Т\, SJ и S$.Т\, Т2, SI и ^ можно представить в следующем виде:Т\ = 7° + Т{, Г2 = Г2 + Т2; 1s; = + st\ s; = s°+s2. j	(7-55)Из выражения (7.55) видно, что Ти Т2, Sy и S2 представляют
собой дополнительные компоненты усилий в оболочке, вызванные205
наличием отверстия в ней и характеризующие «концентрацию на¬
пряжений» в данной оболочке возле рассматриваемого отверстия.Многочисленные эксперименты показывают, что возмущения в
напряженном состоянии возле отверстия в оболочке имеют мест¬
ный характер и по мере удаления от контура отверстия быстро за¬
тухают.Практически возмущенная зона заканчивается на удалении не
более одного диаметра патрубка.Для расчета контурной нагрузки в эллиптической оболочке под
действием равномерного внутреннего давления воспользуемся про¬
екцией оболочки на плоскость, перпендикулярную оси ракеты (го¬
ризонтальную плоскость).Поскольку сопловые крышки имеют патрубки, параллельные
оси ракеты, то на горизонтальную плоскость контуры отверстий
будут проектироваться в окружность (рис. 7.5).Контур отверстия можно выразить через горизонтальный ра¬
диус оболочки г. Из рисунка получаемг = Vr\ + r\ — 2r0rK cos а,	(7.56)где г0 — расстояние от оси крышки (днища) до центра отверстия;
гк — радиус контура отверстия;а — угол между линией, соединяющей центры крышки и отвер¬
стия, и радиусом отверстия, проведенным через рассма¬
триваемую точку контура.Так как крышка находится под действием равномерного вну¬
треннего давления, то ее напряженное состояние будет симметрич¬
ным относительно линии, соединяющей центры крышки и отвер¬
стия. .Это обстоятельство позволяет рассчитывать напряженное
состояние крышки при изменении угла от нуля лишь до 180°. Для
определения Г® и Т$ воспользуемся зависимостями, приведен¬
ными в работе [30]:Vb2 (2bz - z2) + аЦЬ- zf-
Т0 = JJL 2 [Ь* (2bz — г2) + а2 (Ь — г)2[ — аЧ*	(7.57)2 262 у Ь2 (2bz — г1) + я2 (Ь — г)2 ’206
где z — расстояние по вертикали от вершины крышки до рассма¬
триваемой точки;
q — внутреннее давление;
а и b — соответствующие полуоси эллипса.Подставляя в зависимость (7.57) вместо переменной z пара-метр г = Y^-bz — z2 и учитывая выражение (7.56), получим:
q V2 (а2 — Ь2) г0гкто .
1 1к '2 Ьто1 2к■ VА + cos а;q J/^2 (а2 — b2),r0rK 2А — В + cos а26COS а(7.58)где
Л =В =а* — (а2 Ь2) (г02 + гк2)
2 (a2—62) г0гк2 (а2 — 62) г0гк■	постоянные коэффициенты для рассчитывае¬
мой нами крышки.На контуре отверстия нормальные Т°нк и касательные 5® со¬
ставляющие усилий определятся по зависимостям:Т°т = К cos2 (а + 6) + Т°к sin2 (а + 8);Т°ок. к = 7-«к Sin2 (а + 0) + cos2 (а + 0);(7.59)где 0 — угол между линией, соединяющей центр крышки и отвер¬
стия, и радиусом, проведенным из оси крышки в рассматриваемую
точку контура:(7.60)Sin о = —— sin а.
гПодставляя в зависимости (7.59) значения Т°1к и	из вы¬ражений (7.58), получаем нормальные и тангенциальные усилия
на контуре отверстия:
гдеу2 (а2 — 62)4*-^-Го/Укпостоянный коэффициент для рассматрива-■	емои крышки.Контурная нагрузка численно равна усилиям 7^ки 5°, но
противоположная им по знаку:№ = — Г° :НК	НКkq ■2 —■— (Л + cos а) — sin2 а
ГоVa^T№кас.кsin а ( COS а	— )= — S0 = kq 	>к	У А + CO S а(7.62))Для удобства расчетов контурную нагрузку иногда целесооб¬
разно представлять в виде тригонометрического ряда№ик = — kq ^ a,i cos /га;п =0
00^кас. „-*2*. Sil1и=-1(7.63)Для практического использования, как показывают расчеты,
обычно оказывается достаточным удержание первых трех — четы¬
рех членов бесконечного ряда.Дальнейшее точное решение поставленной задачи оказывается
очень сложным. Одним из возможных методов приближенного на¬
хождения напряженно-деформированного состояния эллиптической
оболочки с центральным отверстием является метод замены эл¬
липтической оболочки сферой.Оставаясь по-прежнему в рамках безмоментной теории оболо¬
чек и принимая контурную нагрузку согласно выражению (7.63),
прикладываем ее к заданному контуру отверстия, но уже на сфе¬
рической оболочке.Принятое допущение не изменяет величин напряжений на краю
контура. Поскольку исследователя обычно интересуют максималь¬
ные напряжения, а они реализуются именно на краю контура от¬
верстия, принятое допущение существенно искомое решение не
огрубляет, необходимо лишь правильно задать радиус сферы, за¬
меняющей эллипсоид.В эллиптической оболочке имеются два радиуса кривизны, ко¬
торые меняются по-разному по мере удаления от центра оболочки.
Естественно возникает вопрос, как выбрать радиус сферической
оболочки, с тем чтобы получить напряженное состояние, наиболее
близкое к действительному? Доказано [90], что при определении
напряженно-деформированного состояния сферической оболочки208
под действием заданной контурной нагрузки радиус оболочки
влияет в основном на зону затухания напряженного состояния
оболочки; сама же зона краевого эффекта не превышает одного
диаметра отверстия.Таким образом, при замене эллиптической оболочки сфериче¬
ской радиус сферы необходимо брать равным большему радиусу
кривизны эллиптической оболочки для точки пересечения оси от¬
верстия со срединной поверхностью оболочки.Рассмотрим методику определения напряженного состояния эл¬
липтической оболочки с нецентральным отверстием без подкреп¬
ления как наиболее простую.Если силы приложены к краю оболочки так, что X = Y=Z=0,
то уравнения равновесия оболочки, имеющей в общем случае фор¬
му поверхности вращения, имеют вид [90]:ддудdyI/S, -Id0дТ2ддT2RX cos ® = 0;
Rx + SRX cos ® = 0;(7.64)Txr + ТУ?! sin ф = 0,)где г — радиус параллельного круга;Rx — радиус кривизны оболочки;®— угол, определяющий положение параллельного круга.
Наша задача удовлетворяет этим условиям. Ее решение можно
записать в виде:7\ = Fln cos m\T2 = F2„cosm;	(7.65)51 = Fx2n sin m,где Fln, F2n, FX2n — функции одного аргумента q>, a n — целое число.
Подставив выражения (7.65) в зависимости (7.64), получим:(r/7i«) + n^iF\m ~ RxF,„ cos ? = 0;dy(rFX2n) - nRxF2n + RxFl2n cos 9 = 0;
RiF in +R-.F,2/2 '= 0.(7.66)Здесь R2 — второй главный радиус кривизны оболочки.С помощью третьего уравнения системы (7.66) можно исклю¬
чить функцию F2n, после исключения получим:dydFjindy++drdydrd<t+ Ctg <?}Fln + nR, Г
R12 ПF I2n +2 Sin <fnF insin 9: 0;
:0.(7.67)209
Так какдля сферы Ri
стей (7.67) имеем:dF'n 1 2 ctg yF\n -f-rfcfdl'i'indyR2 — R, a r=./?sincp, то вместо зависимо-~ ^i2n — 0;2ctgtpF12„ +FIn ■■0.Решение системы (7.68) будет:_ InFin =ctg',n2C212rt 'Ctg'n У
2(7.68)(7.69)sin? <fПодставляя уравнения (7.69) в соответствующие зависимости
(7.65), получаем окончательные выражения для усилий в любой
точке оболочки от действия заданной контурной нагрузки:у 	 С1я2 sin2'2пCtg'ctg"4COS яа;sin яа.(7.70)Зная усилия, вызванные в сферической оболочке нормальными
и касательными силами, приложенными по контуру отверстия и
пропорциональными соответственно cos па и sinna, можем решить
задачу при любом распределении сил по контуру отверстия, пред¬
ставив это распределение тригонометрическим рядом, каждый член
которого есть решение, представленное уравнениями (7.70).В общем случае зависимости (7.70) принимают вид:ЛТп =1sin2 fп-оС\п ctg” 4- COS m;S =sirr00^Sfi>„ctgn-f-sin/za.n—0(7.71)Значения постоянных интегрирования Cln и С2п определяем из
граничных условий.Накладывая это решение на решение по выражениям (7.57), по¬
лученным для сплошной эллиптической оболочки под действием
равномерного внутреннего давления, получим напряженное состоя¬
ние в эллиптической оболочке с нецентральным отверстием без
подкрепления. При наложении необходимо учитывать различные
направления Г| и TJ, ^ и S и 5°.Учет наличия патрубка в значительной степени усложняет рас¬
сматриваемую задачу.Определим в качестве примера напряженное состояние эллиптической обо¬
лочки со следующими параметрами:а=47,5 см; 6 = 21,0 см; г0=29,5 см; гк — 9,5 см; толщина' оболочки Лк = 0,3 см\
q=50 бар.210
Усилия на контуре отверстия, определенные по выражениям (7.61), приве¬
дены на рис. 7.6. Сплошными линиями на нем нанесено точное решение, а точ¬
ками— решение по формулам разложения в тригонометрический ряд с л = 0, 1,2.
Нетрудно убедиться, что удержание трех членов ряда дало удовлетворительную
сходимость к точному решению.Для расчета напряженно-деформированного состояния оболочки от действия
контурной нагрузки заменим эллипсоид сферой с R—82,2 см; <ро=6°6' = 0,1065 рад.+T;S, п/смРис. 7.6. Эпюра усилий на контуре отверстияО	О/ — нормальные усилия Тнк\ 2 — окружные усилия TQK к; з — танген-Оциальные усилия SK\ • — значения усилий, рассчитанных по форму¬
лам разложения нагрузки в тригонометрический ряд с /2—0, 1, 2.Расчет напряженно-деформированного состояния сферы от действия контур¬
ной нагрузки ведем по выражениям (7.71), удерживая в решении три члена
ряда.Значения коэффициентов С\п и С2п определяем из граничных условий, кото¬
рые для нашего случая запишутся в следующем виде:271 = Cln Ctg" ~2~ C0S
л—0m= — № =
НКkqCOS па;^ У) C2nctgn -f sin mИ-1= — №кас. к== — kqt-ъbn sin m.211
Рис. 7.8. Эпюра расчетных мембранных напряже¬
ний (качественная картина)212Рис. 7.7. Эпюры напряжений на кон¬
туре отверстия от действия контурной
нагрузки1 — напряжения <*2 от симметричной нагруз¬
ки; 2 — напряжения з2 от несимметричной
нагрузки; 3 — напряжения з, от несимме¬
тричной нагрузки; 4 — напряжения з, от симме¬
тричной нагрузки
Окончательно получим: Сю= 18,23 • 103 н/м-, Сп“0,207 • 103 н/м-, Сц*
—0,0167 • 103 н/м-, Сл = —0,367 • 103 к/ж; С!а=0,0124 . 103 н/м.Эпюры напряжений на контуре отверстия от действия контурной нагрузки
приведены на рис. 7.7.Полное напряженное состояние получаем после добавления к напряжениям
от контурной нагрузки напряжений, рассчитанных по безмоментной теории обо¬
лочек от действия внутреннего давления в эллиптической оболочке. Суммарные
эпюры окружных и радиальных напряжений приведены на рис. 7.8. Зная их
и выбрав соответствующую теорию прочности, несложно подсчитать коэффи¬
циент запаса прочности рассчитываемой сопловой крышки или днища.
Глава 8ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ КОРПУСА И ЗАРЯДА РАКЕТЫ С РДТТ
ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ§ 8.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИСреди эксплуатационных нагрузок, действующих на корпус и
заряд ракеты с РДТТ, тепловые воздействия занимают особое ме¬
сто. Являясь нестационарными нагрузками, они существуют в тече¬
ние всего периода эксплуатации ракеты, начиная с момента ее
изготовления и кончая работой двигателя на траектории. Приме¬
рами, характеризующими многообразие проявления этих нагрузок,
являются полимеризация зарядов, их послеполимеризациоиное
охлаждение, воздействие температуры окружающей среды при
хранении, термостатировании, аэродинамическом нагреве ракеты
и т. п. По своему характеру и интенсивности тепловые нагрузки
существенно влияют на работоспособность конструкции в целом и
прочностные свойства ее отдельных элементов. Не случайно по¬
этому определение температурных напряжений, возникающих в
РДТТ, является важнейшим этапом прочностного расчета.Математические и вычислительные трудности при решении тем¬
пературной задачи связаны с тем, что заряд с корпусом является
сложной пространственной конструкцией, а твердое топливо реоло¬
гически сложной средой. Заметим, что неравномерное температур¬
ное поле в заряде придает ему неоднородность, обусловленную
существенным влиянием температуры на физико-механические
свойства твердых топлив (см. гл. 7). С учетом всех отмеченных
факторов, т. е. в самом общем случае, температурная контактная
задача еще не имеет своего инженерного решения.Введение упрощающих допущений позволило довести решение
до численных результатов. Эти допущения относятся или непосред¬
ственно к конструкции РДТТ, или к свойствам твердого топлива.
Так, рассмотрение модели бесконечно Длинного заряда сводит ре¬
шение пространственной задачи к плоской и позволяет оценить
напряженное состояние заряда на достаточном удалении от торцов.
Решение плоской задачи не вызывает больших вычислительных214
трудностей, поэтому можно наиболее полно учесть специфические
свойства твердых топлив (зависимость от температуры, реологиче¬
ские свойства, нелинейность) или сложную форму внутренней по¬
лости (звездообразный капал, щели и т. п.). При решении темпе¬
ратурной задачи с учетом конечности длины зарядов приходится
ограничиваться рассмотрением твердого топлива как линейно¬
упругой, в лучшем случае неоднородной среды и рассматривать
осесимметричную задачу (гладкий канал). Таким образом, реше¬
ния и плоских и пространственных задач приобретают вполне са¬
мостоятельное значение и в определенной мере дополняют друг
друга.Ниже излагаются решения задач термоупругости применитель¬
но к твердому топливу, рассматриваемому как линейно-упругое
неоднородное тело. Эта неоднородность в частном случае может
быть обусловлена зависимостью модуля упругости и коэффициен¬
та Пуассона твердого топлива от температуры. Хотя это решение
для упругого неоднородного тела непосредственно и не учитывает
вязко-упругих свойств твердых топлив, оно имеет важное само¬
стоятельное значение. На его основе представляется возможным
учесть реологические свойства твердого топлива как приближен¬
но— на основе теории старения (см. гл. 9), так и более строго —
с помощью теории наследственности. В обоих случаях это решение
для неоднородной упругой среды, а также при анализе нелинейных
эффектов, которые могут быть учтены на его основе с помощью
метода последовательных приближений, является необходимым
отправным этапом.Прежде чем перейти к математической формулировке и реше¬
нию поставленных задач, сформулируем основные допущения, при¬
нятые в данной главе. Так, распределение температуры в корпусе
и заряде будем считать заданным из решения соответствующей
задачи теплопроводности, причем обратным влиянием напряжен¬
ного состояния на температурное поле ввиду его малости будем
пренебрегать.Твердое топливо будем рассматривать как линейно-упругое
неоднородное тело в пределах малых деформаций. Заряд представ¬
ляем в виде круглого полого цилиндра с гладким каналом, скреп¬
ленным по внешней боковой поверхности с податливым корпусом,
рассматриваемым с позиций безмомеитной теории тонких оболо¬
чек. Торцы заряда — свободные и плоские. Предполагается полная
симметрия нагрузки и геометрии РДТТ относительно его оси и
средней плоскости, перпендикулярной этой оси и проходящей через
центр масс.Изложенные в § 8.2 и 8.3 решения контактных задач термоупру-
I ости для неоднородных цилиндров * основаны на применении ме¬
тода коллокации, который использовался и при расчете напряже¬
ний в свободных цилиндрах [81], [82].*	Эти решения предложены Э. П. Огановым.215
§ 8.2. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИОсновные уравнения линейной теории упругости в случае обоб¬
щенной плоской деформации (ez — const) имеют вид:—	физические уравнения, связывающие деформации с напря¬
жениями:р — относительный текущий радиус, р = —;г\ — наружный радиус цилиндрического заряда;Т = Т(р); Е=Е(р)\ р, = р.(р)—соответственно температура, от¬
считываемая от ненапряженного состояния; модуль упругости и
коэффициент Пуассона топлива;тЕт = ег(р) — чисто температурная деформация; ег = J adT\
а — коэффициент линейного расширения.Систему уравнений (8.1) — (8.5) можно свести к одному урав¬
нению относительно ог. Для этого подставим выражения г, и е9 из
уравнений (8.1) и (8.2) в уравнение совместности деформаций.
Проведя далее необходимые операции, связанные с дифференци¬
рованием и исключением аг и с помощью уравнений (8.3),(8.4), получим:[«, — Iх К + а*)1 + ег>6е=-£ К~ 1*(®, + 0,)Ц-вП
К — Iх О, + аб)] +£Г-(8.1)(8.2)(8.3)—	уравнение равновесия:(8.4)—	уравнение совместности деформаций:(8.5)(8.6)гдеР — 1 + ^ I 1 ~2l* _L dE ■
2	1 — p.2 dp 1—(j. E dp '216
Дополнительно к уравнению (8.6) должны быть заданы гра¬
ничные условия. Таким образом, решение системы сводится к ре¬
шению краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Точ¬
ное решение этой задачи получено Хилтоном лишь для несжимае¬
мого тела [129] при постоянном коэффициенте Пуассона, про¬
извольном законе изменения температуры, модуля упругости и
коэффициента линейного расширения от радиуса, однако твердое
топливо является сжимаемой средой, коэффициент Пуассона кото¬
рого лежит в широких пределах (0,25<[л<0,5) и может изменять¬
ся в зависимости от температуры.Ниже излагается приближенное решение задачи, позволяющее
учесть общий случай неоднородности, включая и переменность по
своду коэффициента Пуассона. Рассмотрим сначала заряд, проч-
ноокрепленный с ортотропным (стеклопластиковым) корпусом ра¬
кеты и подверженный воздействию неравномерного температур¬
ного поля. Для общности решения учтем и влияние давления р0
в канале заряда. В дальнейшем это позволит при необходимости
использовать полученное решение для расчета напряжений при
работе двигателя на траектории. Граничные условия в этом слу¬
чае имеют следующий вид:при р = р0 °г = — Ро;	(8.7)прир=1 ее = s6K (s2 = 8гК = const).	(8.8)Граничное условие (8.8) эквивалентно равенству радиальных
перемещений заряда и корпуса. В уравнении (8.8) и в дальней¬
шем индекс «к» относится к корпусу.Приближенное решение краевой задачи для исходного диффе¬
ренциального уравнения (8.6) можно записать в виде5--PoFo (р) + ЯЯо(р) + 2 CnRn (р).	(8.9)п =-1В этом уравнении F0(p), R0(p), R„(р) (n=l, 2, ..., s) — зада¬
ваемые функции радиуса, а В и С„ — неизвестные пока постоян¬
ные коэффициенты. Что касается значения целого числа s, то
подробнее об этом будет сказано несколько позже.Функцию, состоящую из двух первых членов правой части ра¬
венства (8.9), подчиним конкретным граничным условиям, зада¬
ваемым в напряжениях, а полную систему линейно-независимых
базисных функций — соответствующим однородным граничным
условиям.Положим, чтоМр) = -г^4-; Яо(р) = ^Р4-; ЯДр) = (1--^-)(1-рп). (8.10)1 — Ро	1 — Р0	V	Р /Анализируя соотношения (8.7), (8.9) и (8.10), убеждаемся, что
граничные условия задачи на внутренней боковой поверхности за¬
ряда удовлетворены. На внешней боковой поверхности, как это217
следует из выражений (8.9) и (8.10), аг\Р~\ ~В. Найдем выра¬
жение для этой величины В, используя второе граничное условие
(8.8). Поскольку в плоской задаче осевая деформация является
постоянной величиной, необходимое выражение получим из ра¬
венства тангенциальных деформаций заряда и корпуса.Для заряда имеем®в = “Г Ь — V" (аг + аг)] + 8г-	(8.11)Используя выражения для из уравнения равновесия (8.4),
а для Ог из уравнения (8.3), окончательно получим*9 = 4- [(1 - (I - 2|х2) а, + (1 — |Х2) р j + (1 + (X) _ (хег, (8.12)Составим теперь выражение для тангенциальной деформации
корпуса. Последний будем рассматривать как тонкую ортогроп-
ную оболочку с постоянной по толщине температурой. В соответ¬
ствии с безмоментной теорией тонких анизотропных цилиндриче¬
ских оболочек имеем:18ек £j аек"®гк = ®г = -Щ- °Z■ -ГГ ^ + ®п;(8.13)— if- авк + £г2;(8.14)*Г |р-1
8 ’(8.15)гдеЕ\, р.12, гп — механические константы и тепловая деформация
корпуса в тангенциальном направлении;£2, fi2i. ST2—механические константы и тепловая деформация
корпуса в осевом направлении;8 — безразмерная толщина корпуса (толщина, отнесенная к
внешнему радиусу заряда).Выразив ож из уравнения (8.14) и подставив его вместе с а„к
из уравнения (8.15) в уравнение (8.13), получимаг\8вк ^ *71	!А21 (®*	STi) ' ff [ t —	(8.16)Условие равенства тангенциальных деформаций заряда и кор¬
пуса на основании выражений (8.12) и (8.16) примет вид:[(1 ~ V- ~ 2|i2) а, + (1 - JJ-2) р -%f] -Ь (1 + Ц) «7. - F= е7п'£,82181*21 (ег — егг)	1 P'12lJ‘2l]«	(8.17)
Это равенство имеет место в зоне контакта заряда и корпуса
(р=1). Подставив в него значения ог и , найденные по урав¬
нению (8.9), найдем выражение для искомой постоянной В:S£ = PiO) + 2 С„М1),	(8.18)п -1гдео /1\ Го [I—Р-2(1)] ^оО) i £(1){V, + lJ-2lsr2— t1 + Vl ^ +	—M-ai]} _rl v )	'	■	£ И)	’1 _|л (1)_ 2(**<1) + (1 — |*а(1)]Л0(1) + ~~=~ (1-1*1**.)р (1) _	— [1 — (*20)J (1)	1 — ^(1) — V 0) + [1 -1*2 (1)1 R’o О) + -ВД- -1*121*21) 'Е,5В выражениях для j3i(l), Р™(1) и в дальнейших выкладках
знаки штрих при функциях F0(p), Ro(p) и Л!п(р) означают опера¬
цию дифференцирования, а единица в скобках при функциях ра¬
диуса— аргумент, при котором они вычисляются. После того как
точно удовлетворены все граничные условия, перейдем к отыска¬
нию постоянных С„, определяя их из условия приближенного
удовлетворения исходного дифференциального уравнения с по¬
мощью известного метода коллокацви. Подставим для этого вг в
соответствии с уравнением (8.9) [с учетом полученного выраже¬
ния для постоянной В (8.18)] в исходное дифференциальное урав¬
нение (8.6) и потребуем его тождественного удовлетворения на
s радиусах коллокации р,-(*=1, 2, ..., s). В результате придем к
следующей линейной алгебраической системе s уравнений относи¬
тельно искомых постоянных Сп:S2'Ся {— р2 (Р/) Rn (Pi) + р1 (рЛ К (р/) + PiK (рг) ++\п (1) [- Р2 (р/) Р0 (Pi) + Л (р,.) R'0 (Р|) + PtJ?Q (р,)] } == Ро [- Р2 (р,) F0 (pi) + Л (Р/) F' (Pi) + Р(р,)1 -—	$1 (О [— р2 (Р;) Ro (pi) + Л (Pi) К (Р») + Pi^o (Pi)] —-PApi), (* = 1, 2.....S).	(8.19)После отыскания постоянных Сп краевая задача решела: ог в
виде (8.9) удовлетворяет и дифференциальному уравнению и кон¬
кретным граничным условиям; находится без труда из уравне¬
ния равновесия с использованием выражения для ог> полученного
выше:ав = —Ро о (р) + Р^о (р)] + & \ро (р) + pR'o (р)] +S+ 2<ЧЯЛ(Р) + Р*Я(Р)1-	(8.20)D ■" 1219
Заметим, что расчетные соотношения для вкладных зарядов
автоматически получаются при 8 = 0. Если вкладной заряд являет¬
ся сплошным, то справедливы те же формулы при ро = /?о = 0. Для
сплошного заряда в качестве базисной функции можно принять
выражениеЯЛр)=(1-р"+‘).	(8.21)В этом случае соблюдается условие симметрии
diirа рр=о= 0 (см. уравнение (8.9)).Необходимее для расчета выражения первых и вторых произ¬
водных от функций /•'о(р), /?0(р), Rn{р) ради краткости изложения
здесь опущены и легко могут быть найдены с помощью простого
дифференцирования-	'Естественно, что во все расчетные соотношения будет входить
величина постоянной осевой деформации е2. В случае достаточно
длинных зарядов в средней их части реализуется плоско-деформи¬
рованное состояние и sz можно принять равным нулю.В более строгой постановке, соответствующей обобщенной пло¬
ской деформации, постоянную в2 следует определить из- условия
отсутствия продольной силы, действующей на заряд.Покажем, к#к это осуществляется на примере заряда, прочно
скрепленного по внещней боковой,поверхности с изотропным кор¬
пусом и подверженного одному лишь тепловому воздействию.Условие отсутствия продольной силы при свободных от на¬
грузки торцах можно записать в виде12те8ог1£ + 2-гс j a2pdp = 0,	(8.22)й>где р0 — относительный радиус канала, р0 = ~.. Из выражения (8.3) получим, что
°г=-Р'(аг + °е) +£Ч—	(8.23)На основе теории тонких оболочек с учетом равенства осевых
деформаций заряда и оболочки выражение для огк принимает вид= Ек (s, - 6ГК) - — г |р-( .	(8.24)ОПодставим значения аг и огк из соотношений (8.23), (8.24) в
уравнение (8.22). После несложных преобразований найдем ис¬
комую величину £2;J [£ег _ (Д, (cr + 39^j prfp + ЕкЫТк + (Лкил |р_1
. = 					(8.25)J Efdp + £к8е-220
Выражение е2 для вкладного заряда автоматически получается,
если в формуле (8.25) принять 8 = аг | = 0. Естественно, что в
случае обобщенной плоской деформации величину &г можно найти
лишь методом последовательных приближений. Это объясняется
тем, что сама осевая деформация выражается через искомые на¬
пряжения (см. выражение (8.25).В качестве примера рассмотрим случай послеполимеризацион-
ного охлаждения заряда с иглой при заливке массы в корпус,
когда охлаждение может происходить как с внешней боковой поверх¬
ности, так и со стороны иглы. Расчетная схема в этом случае
представляется следующим образом. Заряд, находящийся в усло¬
виях неравномерного по своду температурного поля, скреплен по
внешней боковой поверхности с ортотропным корпусом, а по вну¬
тренней насажен на иглу, представляющую собой изотропный
металлический полый цилиндр, с малым радиусом и большой от¬
носительной толщиной, ее можно рассматривать как жесткую тон¬
кую оболочку и учитывать лишь ее деформацию от теплового
расширения. Таким образом, по сравнению с рассмотренным слу¬
чаем имеем лишь другие "граничные условия, а исходное диффе¬
ренциальное уравнение (8.6) остается без изменения.Граничные условия для рассматриваемого примера можно за¬
писать в виде:где индекс и относится к игле, а индекс к — к корпусу.Будем искать решение краевой задачи (8.6) с граничными
условиями (8.26), (8.27) в видеЗдесь /о, В, Сп — постоянные величины, a F0(p), R0(p) и
Rn(p)—введенные ранее функции радиуса.Найдем сначала выражения для постоянных /0 и В из условия
удовлетворения граничных условий. На внешнем радиусе заряда
(в зоне контакта с корпусом) граничное условие получено ранее
в виде выражения (8.17). Учитывая, что все входящие в него
функции должны быть взяты с аргументом р— 1, это равенство
можно представить в следующем виде:р = 1 вв = евк (ег = егК = const);
Р = Ро 80 == ееи <Л = £ги = const),(8.26)(8.27)S°r = foFo (?) + BRa (р) + 2 CnRn (р).	(8.28)([1 Iх (1) 2р.2 (1)] 5 + [1 [а2 (1)] /о^о (1) ++ [1 + Ml)] е7-(1) --р(1)ег==ел — Р*2Х (®г— еГ2) —В Г,1 1*121*21 ]■Е jo(8.29)221
Другое граничное условие, соответствующее равенству кольце-
оых деформаций заряда и иглы, представится выражением— Р-(Ро)—V(po)]/o+ [1—I*2 (Ро)]Ро/о^о(Ро) +Ч- [1 	Н-2 (ро) ] Ро5/?о (Ро) + [1 — (Ро) 1 Ро 2 СпР'п (Ро) I +п -1	j+ [! +[А(Ро)]®г(Ро) — [А(Ро)ег = (1 + Меги —	(8-30)В уравнении (8.30) все величины, являющиеся функциями ра¬
диуса, берутся при его значении, равном радиусу канала. Решая
теперь систему двух уравнений (8.29) — (8.30) относительно /0 и В,
получим следующие выражения для этих величин:S/о = ^о“1—“ + Сп (~ Ъп + ^2я);	(8.31)/!=■ 155	= -5-+У)ся^,	(8.32)0 п-1гдеК — Е (ро) {(1 + ^и) еТи	 [1 4-11 (ро)] ВГ (Ро) + ®г [н* (Ро) ft,]} Г1;1*1-1* (ро) — 2р-2 (Ро) + [ 1 — н-2 (ро)] Ро^о (ро)»Xj = — [ 1 — jx2 (р0) ] р0/?0 (р0) т-1;К = — [ 1 — ^ (ро) ] роК (ро) т-1;Хо==1_!А(1)_2^(1) +[1-^(1)] ^(1) + АШ-(1_|х1#21)-- [1 - и2 (Ро)] Ро^о (Ро) 11 - (1)] П (Ь • г1;х1=£'(1){е7,1 + р-21ег? [ 1 + |i(l)J«n + Ег [Р-(1) — И-21J} —— £(ро){0 +^и)«г-и— [1 + f*(Po)] v(Po) + 6ЛР-(Ро) — **■]> XX [1—^(l)]/7^!)-!-1;х2я= —[1 — Г2(1)] /?;(1) + [1 —р-2(ро)] Ро/?;(Ро) [1—^(1)] /"'(l)-T-1-Подставим or в соответствии с уравнением (8.28) и учетом по¬
лученных рыражений для /о и В (8.31) и (8.32) в исходное диф¬
ференциальное уравнение (8.9) и потребуем его тождественного
удовлетворения на s радиусах коллокации рл (£ = 1, 2	s). В ре¬
зультате придем к следующей линейной алгебраической системе
относительно искомых постоянных С„;m
"S Cn [ Pi (P/) Pn (Pi) + P\ (P/) Pn (pi) + PtPn (Pi) +Л-1+ ~[~P2 (P,) P0 Ы + Л (Pi) P'o (P0 + PiP'o (P/)] ++ *2л + *2«) [ Р% (P/)^o(P/) + Л (Pi)^o (P/) + PlF0 (P/)]} == ~ V [- (Pi) «0 (p<) + л (pf) /?’ (Pi) 4 ?iRl (Pi)3 --	(*0 + ~) f- P* (Р/) F0 (P,) + Л (Pl) F0 (Pi) + PiF"0 (P/)l ~ Pz (P/),(*=1, 2,..., s). (8.33)
После определения постоянных Cn все напряжения и деформа¬
ции выражаются через известные постоянные величины и функции
координат. В частности ог находится по уравнению (8.28), а ав по
соотношению:' = /о [F0 (Р) + РF'0 (р)] + В [Я0 (р) + рR'0 (р) j +S+ 2С«[^ (Р) + Р^(Р)]-	(8-34)П =1Остальные компоненты напряжений и деформаций определя¬
ются по о, и о0 аналогично тому, как это указано выше.При заливке массы в изложницу внешнюю поверхность заряда
можно считать свободной и в расчетных соотношениях принятьГ-о;Перейдем теперь к оценке точности вычислений, которая может
быть достигнута при использовании полученного выше решения.
Такая оценка, как известно, является необходимым дополнением
ко всякому приближенному решению. Применительно к нашему
случаю вопрос практически сводится к выбору положения и коли¬
чества точек коллокации, обеспечивающих необходимую точность
расчета.Сравнение с результатами точных решений Тимошенко и Хил¬
тона, а также приближенных решений между собой показывает,
что во многих случаях уже пять точек коллокации обеспечивают
удовлетворительную точность расчета. Дальнейшее увеличение
числа точек коллокации практически не -изменяет результата, что
свидетельствует об устойчивости решения (см. табл. 8.1).Результаты расчета, приведенные в табл. 8.1, получены при
следующих исходных данных:Ро = 0,2; Т — — 71,66 (р — 0,2)1,в, °С; {* = 0,5; s, = 0;Е = 103 ехр (— 0,04605Г) • 10», н/м2; а = 10~4 1/град.
Количество (s) и расположение радиусов (точек) коллокации
было следующим:s = 3: Р1 = 0,3 Р2 = 0,6 р3 = 0,9;s = 5: pi = 0,3 р2 = 0,4 р3 = 0,6 р4 = 0,8 р5 = 0,9;s = 7: пять предыдущих радиусов и еще рв = 0,5 р7 = 0,7;223
5	= 11: семь предыдущих радиусов и еще р8 = 0,25 р9 = 0,35 р10 =
= 0,85 ри = 0,95.Таблица 8.1рсуЮ5 н/л«3Приближенное решение с числом радиусов коллокации sТочноерешение[129]s - 3J - 55 = 7S =* 110.2000000.3—4,1056-4,2510—4,2661—4,29137—4,29250,4—5,6261—5,8172—5,8327—5,8497—5,84980,5—6,435—6,47511—6,4917—6,5045-6,50530,6—6,8506—6,6163—6,6375—6,6474-6,64820,7—6,743—6,2885—6,31289—6,3204—6,32220,8—5,8179—5,35788—5,3781—5,3835—5,38390,9—3,7056—3,4781-3,49401—3,4971-3,50071,000000Что касается расположения точек коллокации, то оказывается,
что при изменении температуры по всему своду заряда их целе¬
сообразно располагать внутри интервала интегрирования с неко¬
торым сгущением у границ. Применительно к пяти точкам этот
принцип сводится к следующему: первая точка в середине интер¬
вала интегрирования, две других — в серединах образовавшихся
интервалов и две последних —в серединах новых интервалов, не¬
посредственно примыкающих к границам. При резком изменении
параметров в небольшой зоне, как это наблюдается, например,
при аэродинамическом нагреве, точки коллокации необходимо рас¬
полагать и в этой зоне резкого изменения параметров.В качестве иллюстрации метода на рис. 8.1 и 8.2 сплошными
линиями приведены результаты расчета напряжений, которые мо¬
гут возникнуть в скрепленном с корпусом заряде при его охла¬
ждении в условиях отрицательных температур. Расчет выполнен
при условиях, когда температура по своду изменяется на 50°, а
модуль — на порядок:Ро = 0,2; 8 = 6- 10-8; Е = 103 ехр (— 0.04605Г) • 10», н/м2;Г = -71,66(р—0.2)1'6, °С; [1 = 0,495; а=10~< 1/град;£^ = 2,1- 10е, н/м2; ]хк = 0,3; ак = 10~5 1/град; ег = 0.Пунктиром на этих же рисунках показаны кривые, соответст¬
вующие указанным выше условиям расчета, кроме модуля упру¬
гости, который принят постоянным и равным среднеарифметиче¬
скому значению между максимальным и минимальным значения¬
ми (Е = 5,5-108 н/м2).Как следует из этих результатов учет переменности модуля
упругости существенно и неодинаковым образом сказывается на
всех компонентах напряженно-деформированного состояния за¬
ряда.224
ОдЮ^/М2110100soво70605040302010О--Ws'—отfaг/У1У—•<6, 70, п/п2
40
30
20
Ю
О0,2 0J 0,4 0.5 0,6 0.7 0,8 0,91,0Рис. 8.1. Напряжения в скрепленном за¬
ряде при охлаждении в условиях отрица¬
тельных температурРис.8.2. Деформации в скрепленном
заряде8-573225
§ 8.3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЪЕМНОЙ
ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
В НЕОДНОРОДНЫХ ЦИЛИНДРАХ, ПОДКРЕПЛЕННЫХ
ТОНКОЙ ОБОЛОЧКОЙРассмотрим цилиндрический заряд с плоскими торцами, проч¬
но скрепленный по внешней боковой поверхности с корпусом,
представляющим тонкую податливую изотропную оболочку. Заряд
подвергается воздействию в общем случае неравномерного, но сим¬
метричного относительно оси (5) и средней плоскости, проходящей
через центр масс, температурного поля. Как и прежде, предпола¬
гается, что модуль упругости, коэффициенты Пуассона и линейного
расширения твердого топлива являются произвольными функциями
координат. Эта неоднородность заряда в частном случае может
быть вызвана зависимостью механических констант твердого топ¬
лива от температуры. Определение напряжений в заряде при этих
условиях сводится к решению задачи термоупругости для неодно¬
родного цилиндра. Эту задачу будем решать в напряжениях, по¬
этому дополнительно к двум известным уравнениям равновесия
необходимо вывести два независимых уравнения совместности де¬
формации в напряжениях. Воспользуемся для этого физическими
уравнениями связи между напряжениями и деформациями и урав¬
нениями Коши, связывающими деформации с перемещениями.
Физические уравнения:£г — 4~ Or — — lxoz) +	(8-35)в 1Г (ств ~ ~ Р»*) +	(8-36)= 4" (о, - F, - рт6) + ег;	(8.37)т„=-^5рЧ,.	(8.38)Уравнения Коши:ди>и8ЙТ’dw1Г:ди. dw(8.39)(8.40)(8.41)ТЭГ + ТГ-	(8'42)В этих зависимостях р, 5 — безразмерные радиальная и осевая
координаты (отнесенные к внешнему радиусу цилиндра); ниш-226
соответственно безразмерные радиальное и осевое перемещения
(также отнесенные к внешнему радиусу заряда).Исключая из уравнений (8.39) и (8.40) радиальное перемеще¬
ние и, получим первое уравнение совместности, связывающее де¬
формации, действующие в одной плоскости:|rW=°-	(8-«)Второе уравнение совместности деформаций, связывающее ком¬
поненты, действующие в различных плоскостях, получим, исклю¬
чая Из уравнений (8.41) и (8.42) осевое перемещение w. Для
этого продифференцируем уравнение (8.41) по р, а уравнение(8.42)	— по координате 5:(8-44)<М5>Учитывая, что ^г = -рт(рг0) (см. выражение (8.40), и прирав¬
нивая выражения -щ;- из уравнений (8.44) и (8.45), представим
второе уравнение совместности в виде:' (8-46>Таким образом, получены два независимых уравнения совме¬
стности деформаций в цилиндрических координатах. В справочной
литературе обычно приводят для случая осевой симметрии четыре
уравнения совместности. Однако нетрудно убедиться в том, что
независимыми уравнениями являются только два, так как другие
дна — уравнения совместности [77]:г |	д2ч,г .дР + аР2р-ЦЧ-^ю]30удовлетворяются тождественно и вытекают из уравнений (8.43)
и (8.46).Выведенные уравнения совместности необходимо теперь пред¬
ставить в напряжениях. Воспользуемся для этого физическими
уравнениями (8:35) — (8.38). В уравнение (8.43) подставим выра¬
жения е, и е9 через напряжения из выражений (8.35) и (8.36).а*	227
Проведя необходимые операции дифференцирования, получим пер¬
вое уравнение совместности деформаций в напряжениях:dp
+ №du.p-ajr
ф_-|
dp J+ P^’j°, + IAP— -Pda.dnr~dfp dE
“ ^P
dH ,
dp +dP(8.47)Аналогично, подставив в уравнение (8.46) выражения дефор¬
маций е0, ег, jrz через -напряжения из зависимостей (8.36), (8.37)
и (8.38), после соответствующих промежуточных выкладок (ко¬
торые ради краткости изложения опущены) окончательно полу¬
чим второе уравнение совместности деформаций в напряжениях:дтГ2 , г | /Л С Г 1 \ д\	^ 50'АКГ7 i)pV_p_apЪ-
+ (0,5F’j •dt+ Г2 + (0,5Fi ■+1) Р -щг+ (0,5 Гг-дагдр+ Fi-%- + 2PFs1)-^ + (0,5 Fvда1)с^±dpdi+ F730 + F 6 °zdi+ Fi -gf- + Fb°r += 0.	(8.48)Здесь Fi-bFs являются известными функциями координат и
определяются выражениями:dE ,
dZ 'dt E asd2|j. 2p dE 5(j. p(i d2E . 2p(i { dE \* . дц jj. dE ,
Гц — Р-Щ! E d£ d$ E d4 £2 V (J6 / d? £ di ’F — a ^ 	Г6 P2p dE d|J.
~E~W~df<32 £PH- d2£ I 2pjj.£ dE2P— £ d£2Fe=EV ae / + £2p / a£ у d(i (J. d£ .£2 V ^ J dp E dp 'dE ,
£ dp ’a^ a^
as2 a?Дополнительно к выведенным выше двум независимым урав¬
нениям совместности деформаций в напряжениях (8.47) и (8.48)
имеем два уравнения равновесия в проекциях на радиальную и
осевую координаты:а<тга?+д*Г2as+р1 д / ч . да^г(рт«) + -: 0;р дрд5= 0.(8.49)(8.50)228
Таким образом пришли к замкнутой системе четырех диффе¬
ренциальных уравнений с переменными коэффициентами в част¬
ных производных относительно четырех неизвестных компонент
напряжений тгг> or, °а, В таком виде эта система приведена вI	щ боте [82].Помимо выведенной выше системы уравнений необходимо<	формулировать еще и граничные условия этой краевой задачи.
Ч'1И заряда, прочно скрепленного с изотропным податливым кор¬
пусом, граничные условия можно записать в следующем виде:*« =0; ^ = 0 (р = р0);	(8.51)и = ик; да = ®к(р = 1);	(8,52)
= 0; w = 0 (5 = 0);	(8.53)
хгг — 0; сг = О (£= ±Z).	(8.54)15 этих уравнениях / = -р-—половина длины заряда, отнесен-iKiti к его внешнему радиусу, индекс к относится к параметрам
корпуса двигателя.Итак, для решения поставленной краевой задачи необходимо
отыскать хrz, or, oe, oz, удовлетворяющие внутри цилиндра системе
четырех уравнений в частных производных (8.47) — (8.50), а на
« к» границах — в общем случае смешанным граничным условиям
(8.51) — (8.54). Из литературы известны несколько работ, посвя¬
щенных решению осесимметричных пространственных задач для
неоднородных упругих сред, но лишь для случая цилиндра с за¬
чин ными нагрузками на его границах. При этом точные аналити¬
ческие решения [89], [101] справедливы при постоянном коэффи¬
циенте Пуассона и экспоненциальном законе изменения модуля
\ нругости от координат. Приближенные же решения, основанные
н/I методе конечных разностей [4] и методе коллокации [82], сво-
Гмхдны от этих ограничений.Важной особенностью исследуемой задачи является то, что рас¬
пределение напряжений на границе цилиндр — оболочка ввиду по¬
ни ливости оболочки заранее неизвестно и само зависит от иско¬
мых напряжений в цилиндре.	^Ниже излагается приближенное аналитическое решение этой
.тлями. Решение для %Гг запишется в виде:р	М NЪ = 2 KmZm (6) V0 (р) + 2 2 (О Уп (р), (8.55)т =-1	т — 1 п — 1I	чр группа членов с неизвестными постоянными Кт отвечает
мжкретным граничным условиям задачи, а с постоянными Атп —	ветствующим однородным условиям. В дальнейшем Кт и Атпопределяются из условия приближенного удовлетворения соответ-•	I мепно одного из граничных условий на внешнем радиусе ци-
мнидра и уравнения совместности. Входящие в выражение (8.55)
функция радиуса Уо(р) и полные системы линейно-независимых229
г:базисных функций координат Zm($), У„(р) (и их производные, обо¬
значаемые знаками штрих) приняты в виде:^й-рттг(‘—1-р I (8 56)25 (' —§■)’■• l/»(p)=(-B^)(i-p“)- jПри этих условиях хгг (8.55) точно отвечает граничным усло¬
виям на внутреннем радиусе и торцах цилиндра. После интегри¬
рования уравнения равновесия (8.50) с учетом выражения (8.55)
для хп получаем и выражение для az:рV= ~ 2 К»Z* ® + ^0 (Р)] ~m =• 1
М N_Уя(р)-SSAmaZa(i)[-^M-+Va (р)].	(8.57)т=1 п~1Как следует из зависимостей (8.57) и (8.54), точно удовлетво¬
рены граничные условия и по аг, а также выполняется условие
при $ = 0, вытекающее из симметрии задачи. Используя приведен¬
ные выше зависимости для %rz, az с учетом выражения для ae (по¬
лученного из уравнения равновесия (8.49), первое уравнение сов¬
местности деформаций (8.47) приведем к дифференциальному
уравнению второго порядка с переменными коэффициентами отно¬
сительно ог и аргумента р (координата 5 здесь играет роль пара¬
метра) :Plj|f + Pi(p,	Е)«,= -Л(Р, Е), (8.58)а(р,о=р[з—£-£];рлр.«)=р[-т^4г+ж];Рг (р. ч=S к- {z- «> [(—г	•т)(р)+т-1+ ^"ЭТ" + р + i1) ^0 (р) + №V0 (р)] +
+ («) [р (2 + ц ■—-f-) Vo (?) + Р2К (Р)]} ++ 2 S Лтл{Zm ® [(— "е ^7 + "р") Уп^ +от—1 п-1+ (“ ТГ + Р "37 + р) V'n (р) + №Vn (р)] ++ К* («) [Р (2 + р f -f-) Vn (р) + (Р)]} + Е? д?230д'Г
Поскольку в общем случае точно выразить аг из уравнения
(Н,Г>8) не удается, для его решения можно использовать прибли¬
женный метод—метод коллокации. Решение для аг в этом случае
ишшется в видеt/u-cb функция радиуса Ro(p), а также базисные функции Rn(p)
(н их производные) имеют вид приведенных ранее выражений при
решении плоской задачи. В то же время здесь В и Сп уже не по-■	гопнные величины (как в плоской задаче), а неизвестные пока
функции координат 5. Таким образом, как и в случае плоской за¬
йми, ог в выражении (8.59) точно удовлетворяет граничному ус-
|1 пнIю на канале (р = ро), содержит произвольную функцию В(£)
/I Iя удовлетворения одного граничного условия на внешнем ра¬
диусе, а также функции Сп(£)—для приближенного удовлетво¬
рения исходного дифференциального уравнения (8.47) с помощью
метода коллокации.Функция В (5) находится из условия равенства радиальных пе¬
ремещений заряда и корпуса, что соответствует равенству их тан-
I унциальных деформаций:Выражение для ов, входящее в формулу (8.60), можно полу-чип, из уравнения равновесия (8.49) с учетом зависимостей (8.55) 4
и (8,59):о,, и oz известны из формул (8.59) и (8.57), а зависимости для
напряжений в корпусе а0к и огк можно записать, используя два
\ 1>ммнения равновесия тонкой цилиндрической оболочки конечной
1 inни по безмоментной теории:Здесь В($) и Trz(1, 5) —соответственно радиальное и сдвиговое
инпряжения на внешнем радиусе цилиндра. Заменив теперь в ра-
иемнчве (8.60) напряжения в цилиндре и корпусе соответствую¬
щими выражениями (8,57), (8.59), (8.61) и (8.62) при р = 1, послеS°г = В (5) R0 (Р) + 2 Сп (6) Rn (р).	(8.59)п -1_ [ае — раг — ца,] + ег = — [а6к — F,K] + $п. (8.60)Sов = в (9 [R0 (р) + ?R'0 (р)] + 2ся (9 [Ra (р) + Ря; (Р)] ++ 2 KmZ'm (6) РП (Р) + 2 2 AmnZ"m (6) ?V„ (р). (8.61)т—1л—1В (6) ■
в ’I(8.62)231
несложных выкладок получим следующую зависимость для функ¬
ции В (5):где &1ш.Ш—bn(i-)—известные функции координат, определяемые
в ходе промежуточных выкладок (для краткости изложения выра¬
жения, однозначно получаемые в ходе промежуточных выкладок,
здесь и в дальнейшем не приводятся). Подставив ат в виде (8.59)
с учетом выражения для В(£) (8.63) в исходное дифференциаль¬
ное уравнение (8.58) и требуя его тождественного удовлетворения
на s радиусах коллокации, получим следующую алгебраическую
систему s линейных алгебраических уравнений, однозначно опре¬
деляющих функции С„(£):где Фщ — Ф4 — известные функции координат р и ?.Искомые выражения для функций bn{V) найдем из решения
этой алгебраической системы с помощью правила Крамера и ис¬
пользования разложения определителя по столбцу свободных чле¬
нов (правая часть равенства (8.64):где рь ps — задаваемые радиусы коллокации, на которых удов¬
летворяется уравнение совместности (8.58).Кроме того, в равенстве (8.65) Д(5)—функциональный опре¬
делитель, элементы которого зависящие от координаты 5, опре¬
деляются выражением = (pi, $), (г, /= 1, 2	 s), где / — но¬
мер строки, /— номер столбца, а функция Фц введена ранее в
уравнение (8.64) при /=л; Ац — функциональные алгебраические
дополнения, определяемые равенством Д,-3(0 =* (—1)»+*£>^($), где
Du (5) — минор, образованный’из оставшихся элементов определи-Sп =“1М N(8.63)SР2 сп оо ф1»(р/. *)'= 2 кт%т (р „ 6) +М N+ 22 Ая»ФЗтл (Р/. Ю + Ф4 (Р/. £)>	(8.64)m —I п «1Рр	М NМ N232
юля Л (5) (см. выше) после вычеркивания в нем I строки /-го
столбца.Таким образом, все четыре компоненты напряжений представ¬
лены через известные функции координат и неизвестные постоян¬
ные коэффициенты Атп и Кт- Выражения последних (Кт) через
постоянные Атп найдены исходя из удовлетворения условия ра-
меиства осевых деформаций заряда и корпуса, которые эквива¬
лентны равенству соответствующих перемещений. Действительно,если во всем интервале производные двух функций =лишь отличаться на постоянную величину, которая в нашем слу¬
чае равна нулю (при $ = 0 w — wK). Записав это равенство осевых
информаций заряда и корпуса в напряжениях, представленных
через базисные функции координат, и тождественно удовлетворив
его в р точках контакта по внешней поверхности заряда, получим
систему алгебраических уравнений, однозначно определяющих по¬
стоянные Кт- Последние находятся из решения этой системы с по¬
мощью правила Крамера, причем каждый из найденных коэффи¬
циентов Кт{т = 1,..., р) оказывается линейно зависящим от по¬
стоянных Атп- Несложные, но громоздкие выкладки, включающие
операции, аналогичные ранее приведенным, для краткости изло¬
жения здесь опущены.Теперь все компоненты напряжений, выраженные через неизве¬
стные постоянные Атп и известные функции координат, подстав-
| и юте я во второе уравнение совместности (8.48), которое тожде-
| тиенно удовлетворяется в S3 (Q = M-jV) точках коллокации, ле¬
жащих внутри заряда. Из этих условий формулируется система
U линейных алгебраических уравнений, решение которых одно-
шлчно определяет постоянные Атп. После отыскания коэффи¬
циентов Атп краевая задача решена, так как напряжения, пред-■	тлвленные как известные функции координат, удовлетворяют всем
исходным уравнениям и граничным условиям задачи. В частности,
дна уравнения равновесия и семь из восьми условий, включая ус¬
ловия на торцах, удовлетворены точно, а два уравнения совмест¬
ности и граничное условие по равенству осевых перемещений за¬
ряда и корпуса — приближенно на основе коллокационного мето-
|.|. Следует отметить, что первое уравнение совместности (8.47)
удовлетворяется на s радиусах коллокации, второе уравнение со-
нместности (8.48)—в Я точках коллокации, лежащих внутри ци¬
линдра, а граничное условие — а р точках контакта заряда и кор¬
пуса.Частный случай вкладного заряда автоматически получается,■	елп во всех приведенных выше соотношениях принять функции ра-
ЧИуса ^о(р) = /?о(р) =0. Для этого случая все без исключения гра¬
ничные условия удовлетворяются точно. Заметим, что радиусы
н точки коллокации целесообразно располагать в соответствии с
eci селенным требованием охвата наибольшего интервала инте¬dwравны между собой, то сами функции (w, wK) могут233
грирования (не включая граничных точек) при некотором сгуще¬
нии точек у границ. Например, для пяти радиусов (точек) колло¬
кации этот принцип приводит к следующему: первая точка распо¬
лагается в середине интервала интегрирования, две последую¬
щие— в серединах образовавшихся интервалов и, наконец, две
последние — в серединах новых интервалов, непосредственно при¬
мыкающих к границам.В качестве примера ниже рассмотрены результаты одного из
расчетов напряжений, возникающих в заряде РДТТ при его охла¬
ждении.Обычно максимальные напряжения в заряде возникают в конце нестацио¬
нарного процесса охлаждения после выравнивания температур. Эти напряжения
обусловлены различием коэффициентов линейного расширения заряда и кор¬
пуса.Расчет проведен при следующих исходных данных: Т — — 44° С; р0 = 0,25;
I = 2,0; ~Ъ = 3,9 • Ю-a; £ = 7 . Ю« н/м\ (* = 0.5; а = 1,1 • 10-* 1 /град] Ек =’
= 2,1 -1011 н/м2; |ак = 0,3; ак = 1,06-10—» 1/град.При расчете удержано 30 членов в решении для тгг (р— 5, М=Л/=5), при¬
чем первое уравнение совместности (8.47) удовлетворено на пяти радиусах кол¬
локации (pi=0,34375; рг=0,4375; рз=0,625; р4=0,8125; ps=0,90625), а второе урав¬
нение совместности (8.48) — в 25 точках коллокации, расположенных на этих
пяти радиусах (по пять точек на каждом) при значениях осевой координаты
равных 0,25; 0,5; 1,0; 1,5; 1,75. При этих же значениях осевой координаты
приближенно удовлетворено равенство осевых перемещений заряда и корпуса.Особенностью краевого эффекта в этом примере является наличие неболь¬
шой зоны на внешней поверхности контакта заряда и корпуса, непосредственно
примыкающей к торцу, где имеют место максимальные сдвиговые и нормальные
отрывные напряжения в заряде (см. рис. 8.3 и 8.4). На рис. 8.5 показаны на-Рис. 8.3. Сдвиговое напряжение в заряде в зоне
его контакта с корпусомпряжения на канале заряда, где по компоненте я8 достигается величина наи¬
большего нормального растягивающего напряжения. Что касается деформаций,
то их максимальное (положительное) значение имеет место на канале заряда
по тангенциальной компоненте которая и показана на рис. 8.6. Расчетное
исследование влияния механических характеристик твердого топлива на напря¬
женное состояние заряда при етой нагрузке показывает, что при увеличении
модуля топлива в 10 раз напряжения возрастают не пропорционально модулю,
а всего лишь в 7—8 раз, что свидетельствует о заметном влиянии податливо¬
сти корпуса. Еще более существенное влияние на напряженное состояние заряда
оказывает сжимаемость твердого топлива. Так, снижение коэффициента Пуас¬
сона от 0,5 до 0,3 при прочих равных условиях рассмотренного примера при¬
водит к уменьшению всех компонент напряжений примерно в 3—4 раза,234
Рис. 8.4. Радиальное контактное напряжение в за*
рядеРис. 8.5. Тангенциальное и осевое напряжения наканале зарядаРис. 8.6, Тангенциальная деформация на канале
заряда235
§ 8.4. К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
С УЧЕТОМ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДОГО ТОПЛИВАУчет реологических свойств смесевых твердых топлив сущест¬
венным образом сказывается на. решении температурной задачи.
Хотя вид исходных уравнений равновесия и совместности (в де¬
формациях) остается таким же, как и в теории упругости, однако
изменение связи между напряжениями и деформациями (за счет
влияния временных факторов) приводит к заметному усложнению
задачи. В этом случае напряжения становятся функцией коорди¬
нат и времени, а исходная система уравнений в плоской задаче из
обыкновенных дифференциальных уравнений преобразуется в
уравнения в частных производных.В самом общем случае решение этой задачи может быть полу¬
чено только с помощью численных методов. Различие в теориях,
объясняющих неупругое поведение твердого топлива, проявляется
в фо-рме записи связи между напряжениями и деформациями. Не
останавливаясь на всех теориях ползучести, отметим лишь те из
них, которые позволяют получить в настоящее время конкретные
результаты.Наиболее простой и доступной в инженерных приложениях яв¬
ляется теория старения и ее многочисленные модификации. Тео¬
рия старения предполагает однозначную постоянную зависимость
между напряжениями, деформациями и временем. Недостатки тео¬
рии старения заключаются в том, что уравнения этой теории
(связь между напряжениями, деформациями и временем), содер¬
жащие время явным образом, не инвариантны относительно изме¬
нения начала отсчета. Применение теории старения при резко ме¬
няющихся нагрузках может привести к заметным ошибкам, в то
же время при постоянных или слабо меняющихся нагрузках
она дает удовлетворительное совпадение с экспериментом
[(см. гл. 9).Расчет напряжений по теориям старения достаточно прост. Он,
по существу, сводится к решению соответствующей задачи теории
упругости для нескольких моментов времени, для каждого из ко¬
торых имеет место определенная зависимость модуля от темпе¬
ратуры и деформации (при нелинейной теории). Обычно в инже¬
нерных расчетах применяется теория старения, предполагающая
использование в уравнениях теории упругости релаксационного
модуля. В перечисленных теориях старения при переходе к про¬
странственному напряженному состоянию ввиду недостаточности
опытных данных постулируется применимость к задачам ползуче¬
сти теории малых упруго-пластических деформаций. Как показано
А. А. Ильюшиным [44], эта теория в случае простого нагружения
заключает в себе другие теории и подтверждается экспериментом.
С некоторым приближением можно полагать, что при одном лишь
тепловом воздействии в зарядах РДТТ имеет место нагружение,
близкое к простому, когда нагрузки изменяются пропорционально
одному параметру, зависящему от закона изменения температуры236
мо времени. В этом случае запись связи между напряжениями и
деформациями по теории старения имеет видгде olt ег — соответственно интенсивности напряжения и дефор-Более строгой и свободной от недостатков теории старения яв¬
ляется теория наследственной упругости Вольтерра-Работнова. Со¬
отношения теории наследственности между напряжениями и де¬
формациями (в пределах линейности, и одноосном напряженном
состоянии) имеют следующий вид:где R—функция релаксации.Применение этой теории даже в плоских задачах в общем слу¬
чае приводит к большим математическим и вычислительным труд¬
ностям. Поэтому на ее основе были получены практические ре¬
зультаты лишь после ряда дополнительных упрощающих предпо¬
ложений относительно реологической модели материала твердого
топлива.Важным этапом в этом отношении является введение понятия
термореологически простых тел. Последние в рамках, малых де¬
формаций подчиняются закону температурно-временной эквива¬
лентности Каргина-Слонимского, Вильямса-Ландела-Ферри, обла¬
дают линейностью вязко-упругих свойств, объемного последейст-
ини у этих тел нет (объемная деформация чисто упруга). Связь
между напряжениями оц и деформациями в линейном вязко-
упругом теле, допускающем только упругое изменение объема, мо¬
жет быть записана в видеК — модуль объемной деформации;Т — температура, отсчитываемая от начального ненапряжен-
1нно состояния;о,= ?(«/, О»(8.66)мации;
t — время.(8.67)оtоч _ о8г, = J R (t< - х') d [e,j (т) - е (х) 8;/], (i, /= 1, 2, 3);оО = 3/с (<? — ег); Зз = 8lJaij, Ъе = Ъ1)еч\(8.68)го.Чдесь? — символ Кронекера;
а — коэффициент линейного расширения;R—функция релаксации;ат — коэффициент температурного смещения, входящий в урав¬
нение закона температурно-временной эквивалентности.С достаточным основанием можно считать, что твердое смесе-
вое топливо является термореологически простым телом. Много¬
численными экспериментами подтверждено, что твердое топливо
подчиняется принципу температурно-временной эквивалентности,
а его объемная деформация является упругой.. Что касается допу¬
щения о линейности вязко-упругих свойств, то оно является менее
обоснованным и справедливо лишь в определенных пределах. Од¬
нако для инженерных приложений применение теории линейной
вязко-упругости, по-видимому, является достаточно оправданным,
поскольку представляется возможным довести решение задачи до
численных результатов.Применительно к термореологически простым телам решение
температурной задачи в общем случае нестационарного теплового
воздействия, когда температура является функцией времени и ко¬
ординат, а вязко-упругие свойства зависят от температуры, яв¬
ляется достаточно сложным. Отметим в качестве примера работу
[24J, в которой построено решение плоской задачи (sz = 0), для
заряда, скрепленного с податливой упругой оболочкой. Это реше¬
ние получено с помощью метода возмущений относительно несжи¬
маемого состояния. Аналитическое решение представлено в виде
бесконечных рядов по отрицательным степеням объемного мо¬
дуля деформации. Сложность вычислений заключается не только
в том, что необходимо строить несколько последовательных при¬
ближений, но и в определении произвольной функции, получаю¬
щейся при интегрировании уравнений в частных производных. На¬
хождение этой функции сводится к решению уравнения Вольтерра
второго рода, для которых даются верхняя и нижняя оценки.По-видимому, для этого общего случая целесообразно исполь¬
зовать не аналитические, а численные методы. При этом весь не¬
стационарный процесс разбивается на ряд шагов по времени, вну¬
три которых температура и компоненты напряженно-деформиро¬
ванного состояния предполагаются неизменными.В связи с изложенными трудностями применения теории на¬
следственности следует упомянуть о классе задач с дополнитель¬
ными допущениями (по сравнению с рассмотренным выше общим
случаем), позволившими свести решение задачи теории линейной
вязко-упругости к решению соответствующих задач теории упруго¬
сти. Прежде всего этот закон соответствия, первоначально пред¬
ложенный Алфреем [106] и основанный на применении преобразо¬
вания Лапласа по времени к основным уравнениям вязко-упруго¬
сти, для того, чтобы получить в преобразованных переменных (в
изображениях) соответствующую задачу теории упругости. Реше¬
ние этой задачи после обратного преобразования, обычно состав¬
ляющего основную трудность, дает решение искомой вязко-упругой
задачи. Трудность состоит в отыскании временных операторов, ко¬238
торые затем подставляются вместо модуля упругости и коэффи¬
циента Пуассона в известное аналитическое решение соответст¬
вующей задачи теории упругости.Как следует из изложенного выше, закон соответствия не при¬
меним в том общем случае, когда температура является функцией
времени и координат, а вязко-упругие свойства зависят от темпе¬
ратуры, а также при переменной границе (например, выгорание).Отметим три класса задач вязко-упругости, для которых спра¬
ведлив закон соответствия:—	температура является функцией времени и не зависит от ко¬
ординат;—	температура является функцией координат, но не зависят
от времени;—	температура является функцией координат и времени, но
вязко-упругие свойства материала не зависят от температуры.Применительно к РДТТ эти случаи, включающие дополнитель¬
ные допущения, могут с некоторым приближением отражать ре¬
альные условия эксплуатации. Например, случай третий может
наблюдаться при эксплуатации зарядов в области положительных
температур, где зависимость свойств твердого топлива от темпера¬
туры проявляется слабо. Случай первый соответствует, например,
интенсивному охлаждению заряда (с канала и внешней боковой
поверхности), когда влиянием температурного градиента по своду
заряда можно пренебречь. И, наконец, случай второй соответст¬
вует совместному действию (на небольшом отрезке времени) вну¬
треннего давления при работе двигателя на траектории и нерав¬
номерного поля температур по своду заряда (без учета выгора¬
ния). Рассмотренные выше случаи лишь в первом приближении
отражают реальные условия эксплуатации, но позволяют получить
важные качественные выводы. Так, было установлено, что простая
подстановка релаксационного модуля в решение теории упругости
приводит к заметному занижению температурных напряжений по
сравнению с данными, полученными на основе теории наследст¬
венности. Еще более эффективным является применение закона
соответствия к изотермическим задачам. В связи с этим можно
отметить метод определения напряжений в линейных вязко-упру-
гпх телах [23], основанный на применении закона соответствия,
когда используется решение соответствующей задачи теории упру¬
гости не в аналитической форме, а полученное с помощью чис¬
ленных методов или из эксперимента. В этом случае область при¬
менения этого метода существенно расширяется.
Глава 9НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
ЗАРЯДА И КОРПУСА РДТТ ПРИ ХРАНЕНИИ§ 9.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫБОР РАСЧЕТНЫХ СХЕМПосле изготовления ракегы с РДТТ, как правило, будут хра¬
ниться до запуска в течение нескольких лет в горизонтальном
(на базе) или в вертикальном (в подземных или подводных стар¬
товых установках) положении. Естественно, что за столь длитель¬
ное время силовое и температурное воздействия на ракету самые
разнообразные. Они могут вызвать недопустимые деформации
контура заряда твердого топлиза или такое напряженно-деформи¬
рованное состояние, которое в свою очередь приведет к возникно¬
вению трещин, выколов, отслоения скрепляющего слоя и т. п.
В связи с этим важнейшей задачей прочностного расчета на этапе
хранения является выявление случаев нагружения, могущих впо¬
следствии привести к аварийному пуску ракеты, и формулирова¬
ние рекомендаций по условиям и возможным срокам хранения.
Задача определения изменения контура внутреннего канала за¬
ряда в процессе хранения ракеты в горизонтальном и вертикаль¬
ном положениях должна решаться для случая хранения заряда
при максимально возможной постоянной температуре, когда ско¬
рости ползучести и релаксации для материала заряда будут наи¬
большими. Задача определения прочности скрепленного заряда в
различных условиях хранения должна решаться для случая, когда
температура окружающей среды будет минимальной, а градиент
температур — наибольшим (см. гл. 8). При решении задачи проч¬
ности заряда во время хранения необходимо определять «накоп¬
ленную усталость» во всех характерных слоях заряда твердого
топлива с учетом изменения схемы и условий хранения (горизон¬
тальное или вертикальное положение корпуса, изменение темпера¬
турного воздействия на ракету и т. п.).При хранении ракеты в постоянных температурных условиях
оболочку двигателя в первом приближении можно считать абсо¬
лютно жесткой. Это допущение остается в силе для случая верти¬
кального хранения ракеты и при уточненных расчетах. Для слу¬
чая горизонтального хранения оно спразедливо лишь для оболо-240
чек’ двигателей, обладающих значительной жесткостью на изгиб
и кольцевом направлении. Заметим, что допущение об абсолютной
жесткости оболочки двигателя обычно не приводит к значитель¬
ному снижению точности расчета, т. к. действующие на оболочку
массовые силы достаточно малы.Ниже будем полагать, что напряжения, появившиеся в заряде
на предыдущих этапах эксплуатации (изготовление, транспорти¬
ровка), успели отрелаксировать, а вызванная ими «усталость»
учтена соответствующими членами в условии прочности (см. гл. 6).Наличием щелей, галтелей, проточек и прочих концентраторов
напряжений пренебрежем, вводя в рассмотрение эквивалентный
цилиндр с гладким каналом. Случаи учета торцевого эффекта бу¬
дут в каждом расчетном случае оговариваться особо.Ввиду того что расчетные схемы при горизонтальном и верти¬
кальном хранении ракеты резко отличаются друг от друга, воз¬
можные методики расчета напряженно-деформированного состоя¬
ния заряда для этих случаев хранения должны быть рассмотрены
отдельно. Задачи должны решаться как в перемещениях, так и а
деформациях, поскольку помимо расчета чистой прочности заряда
необходимо определять и деформирование (заплывание) контура•	аряда и т. п. Дополнительные рабочие гипотезы будут приведены
при изложении соответствующих методик.§ 9.2. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ЗАРЯДА И КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТ
ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМ ХРАНЕНИИПолагая при вертикальном хранении ракеты оболочку двига¬
теля абсолютно жесткой, а температурные условия постоянными,
сведем исходную задачу к расчету напряженно-деформированного
состояния тела вращения под действием массовых сил, симметрич¬
ных относительно оси этого тела. Длину заряда обозначим че¬
рез L, а наружный и внутренний радиусы заряда — через г2 и Г\.ось вращения примем ось z, а перпендикулярную ей ось обо¬
значим через г. В силу геометрической симметрии заряда и сим¬
метричности распределения поверхностных и массовых сил опре¬
деляемое напряженно-деформированное состояние заряда будет
осесимметричным. Главное напряжение, действующее в меридио¬
нальной плоскости, обозначим через а6, нормальные напряжения,
действующие в секущих плоскостях, обозначим через ог и зг, ка¬
сательные — через тгг и тгг. Обозначив через f объемную силу, от¬
несенную к единице объема и действующую в нашем случае
только в осевом направлении, уравнения равновесия можем пред¬
ставить в виде [14]:ri£ + '.r + r&-v-0;'(9.1)241
Обозначая перемещения точки (г, г) в направлении оси г че¬
рез w, в направлении радиуса через и (в тангенциальном направ¬
лении перемещение отсутствует) геометрические уравнения для
данного случая запишем в виде:dw 	 да 	 ие* — ~дГ: er~~dF> ®е Т	 dw . ди^гг дг ' дг(9.2)Решение поставленной задачи с учетом реальных физико-меха¬
нических свойств топлива в аналитической форме в настоящее
время получить очень трудно. При упрощении задачи возможны
различные подходы. Так, в самом первом приближении, рассма¬
тривая хранение скрепленного с камерой заряда, имеющего сво¬
бодные торцы, можно исходить из того, что вся деформация пол¬
зучести является деформацией сдвига [29]. В этом случае уравне¬
ния равновесия (9.1) примут вид(9.3)а физическое уравнение запишется следующим образом:=	(9.4)гдеЛгг .Кз ’V3Так как в рассматриваемом случае предполагается, что sz — ег =
= г0 = О, то из выражений (9.2) следует, чтоп. dw п dw	,п= ; ~дг~ ~ Т« ~ •	(9-5)Из последнего выражения видно, что величина w не зависит откоординаты z. Подставляя в формулу (9.4) значения	и irz из
выражений (9.3) и (9.5), получимо»- t[r-4-).	(9.6)дг	2<г iОтсюдазw —	j" 7Sf(r~4)dr- <9-7)Полагая, что из эксперимента на ползучесть для любого мо¬
мента времени известен коэффициент ползучести lx (t) — ~, ко¬
торый не зависит от геометрии образца, из выражения (9,7) по¬
лучимw (0 = — -§- т[1Х (0 — r\ In г) + С.	(9.8)242
Так как при г—г2 величина w = 0, то из выражения (9.8) сле-I уст, чтоС = — Tf/j (/) |~ — r\ In г2rZ — r*и окончательноw(t)= — 4-тА (О И1п-гПоскольку, согласно выражению (9.5)	0гполучим, что1 dwdwа е,(9.9)ЛггУд, '-1-угзг.	(9Л°)Подставив выражение (9.9) в зависимость (9.10), находим вы-
цпжение для определения обобщенной деформации в любом слоеin рядаНГ-Л(0т1/■(9.11)По выражениям (9.9) и (9.11) могут быть найдены для любого
момента времени и для любого слоя заряда величина провисанияРис. 9.1. Трехэлементная
механическая модель,
изображающая реакцию
материала на сдвигшряда и величина «накопленной усталости» в первом приближе¬
нии Данное решение может быть несколько уточнено.Если реакцию материала на сдвиг представить трехэлементной
Механической упруго-пластической моделью (рис. 9.1) и предпо¬
ложить, что коэффициент поперечной деформации топлива ц = 0,5,
го иместо выражения (9,9) получим [29]w (0Ат(9.12)1 +гдеI,- У] (■t — время;(-?)—|- J — постоянная времени для постоянного напря¬
жения;7j, т.\ и т2 — коэффициенты демпфера и двух пружин.243
Оба приведенных решения достаточно грубы и могут быть ис¬
пользованы лишь в сугубо приближенных инженерных расчетах.
Уточнение расчетов может быть произведено на базе общего ре¬
шения теории упругости. Полагая, как и раньше, что коэффициент
поперечной деформации [л есть величина постоянная (но не рав¬
ная 0,5), будем считать, что поведение материала описывается
линейными вязко-упругими соотношениями. Имея для каждого мо¬
мента времени вполне определенную зависимость напряжений от
деформаций, полученную в результате обработки кривых ползуче¬
сти, исходную задачу сведем к расчету толстостенной трубы в
рамках чистой теории упругости. Так как силовое воздействие на
заряд в случае вертикального хранения ограничивается действием
массовых сил, которые малы, пренебрежем упругой частью дефор¬
мации, возникающей в момент постановки ракеты в вертикальное
положение. В этом случае физический закон представляется в
видеПоскольку для данного момента времени величина /i(/)=const,
то обозначив	—Еф, выражение (9.13) может быть перепи¬сано в видеТаким образом, исходная задача действительно свелась к упру¬
гой задаче, где фиктивный модуль упругости материала Еф опре¬
деляется из эксперимента для каждого момента времени. Введя
для учета явления ползучести в рассмотрение фиктивный модуль
упругости, мы предположили, что будем использовать для решения
поставленной задачи теорию старения в форме, предложенной
Ю. Н. Работновым. Известно, что теория старения, как одна из
вариантов общей теории ползучести, обладает принципиальным
недостатком, поскольку ее уравнения неинвариантны относитель¬
но отсчета времени. Однако при плавно или слабо изменяющейся
нагрузке эта теория хорошо согласуется с результатами опытов.
При вертикальном хранении ракеты нагрузка в виде массовых сил
практически остается постоянной и, таким образом, теория старе¬
ния может быть использована как рабочая гипотеза.Используя обычную запись для обобщенного закона Гука, фи¬
зические уравнения задачи можно записать в виде [14]:(9.14)(9.15)244
где0 = S, + «* +. 2(лОфо*1 — 2{*
Еф■объемное расширение;
■коэффициент Лямэ;2 (1 + ,А)' модуль сдвига;[д — коэффициент поперечной деформации при пол¬
зучести.Преобразовывая уравнения равновесия (9.1) с помощью гео¬
метрических соотношений (9.2) и физических уравнений (9.15),
получим исходную систему в виде, когда неизвестными будут пе¬
ремещения w и и, изменяющиеся по координатам г и г\d-w
~дгГ
д2и
~дг2+ Кг+ к,д2и'1ди	,	, К2dz2 1 дг дг г дг г дгд2и+ к2d2w+Ki диК1■ о.(9.16)+ К\ дг2 “Г /Ч2 дгдг I г дг
где Ki, К2 и Кг — коэффициенты, определяемые выражениями:=	К3 = -Й-0 + Ю- (9-!7)1 — 2а ’'ФПри условии абсолютной жесткости поверхности закрепления
•арядов граничными условиями будут:—	нулевые перемещения по поверхности закрепления;—	нулевые напряжения на, свободной поверхности.В соответствии с этим выражения для граничных условий не¬
грудно получить из зависимостей (9.15). Например, для случая
ш крепления заряда, представленного на рис. 9.2,
получим—	для нижней границы z=0; гг<^г<^г2“ 0;Х'^+(2Сф + А)-5- + ^dw . ди~дГ + ~дг; 0;///////— для левой границы г—г\\ди , , dw , * и; 0;dw . ди
дг ' ~дгО z, г2Рис. 9.2. К форму¬
лированию гранич¬
ных условий; 0;—	для верхней границы z = L; гх <г<г2; « = о и w = 0;—	для правой границы 0<^.z<^L; r=r2\ и = 0 и до = 0.В целях исключения из рассмотрения конкретных геометриче-■	них размеров заряда и физико-механических характеристик твер¬
дого топлива целесообразно искать решение задачи в безразмер-245
ных перемещениях w и и в безразмерных же координатах р и 5:Р =2;ФИО, «>).(9.18)Максимальные значения безразмерных координат обозначим че¬реза == ~r~ == Р шах И(9.19)Теперь с помощью выражений (9.18) уравнения (9.16) могут
быть приведены к виду:d*w .
-7Г + Х1dp2d2udi2d2w~dF+ *д2ид2и+ *1 -JJT + *22 dp а?d2W+ди1 dw
р dp р d£ди-Г		Ц- и — О,dp р dp ра(9.20)где xi = /(i; %2 = К2\ хз = 4(1 + ^i).Граничные условия для ранее рассмотренного случая закрепле¬
ния заряда (рис. 9.3) запишутся теперь в виде:—	для нижней границы 5 = 0; 1<р<«;(/////лО 1ди0-^ ++ w = 0'9■0;ди~жОСдля левой границы 0<^<|>=1Рис. 9.3. К записи
граничных усло¬
вий в безразмер¬
ных координатахп \ ди I dwO-ri-sr + P'fa+d5dwdp+ ^«=0;= 0;—	для верхней границы £ = р; 1<^р<|а; и== 0; ш = 0;—	для правой границы 0^Е<р; р = а; и = 0; w = 0.Полученными зависимостями исчерпывается исходная системауравнений для поставленной задачи. Однако если иметь в виду
использование деформационного критерия прочности и численное
решение исходной системы дифференциальных уравнений, то не¬
обходимо учесть, что последующее численное дифференцирование
выражений для безразмерных перемещений в целях получения де¬
формационных зависимостей неизбежно приведет к потере точно¬
сти решения. В целях избежания потери точности целесообразно
записать исходную систему уравнений не только в перемещениях,
но и в деформациях, для чего вначале с помощью выражения
(9.18) запишем геометрические соотношения (9.2) в безразмерных
переменных:da	dw	и	dw . du	/о о i \= —; Т* =-ЗГ +-ЗГ . (9i21)dpd?di246
где2 Erh(еР> ее> s&> TPj) — yt (£г> ®г» ®е> Гг(У	(9.22)Для нахождения четырех искомых функций sp, е£, е8 и
необходимо иметь систему из четырех уравнений. Два уравнения
представляют собой уравнения равновесия, записанные в дефор¬
мациях. Недостающие два уравнения (отражающие тот факт, что
четыре искомые функции sp, е5, еа и выражаются через два
перемещения и и w) могут быть получены следующим образом:,,	ди	ииз выражений ep = "djT > = —имеем% = W-	(9-23)Далее из зависимостей (9.21) можно получитьЖ<Р'»>+4г = ТГ-	<9-24>Таким образом, исходная система уравнений оказывается замк¬
нутой и имеет следующий вид:dp 2' д; + 1 d£ ' 2' d? ~ 3 р :-^L + x А.-П		е V<36 1 dp '	2' dp p ' # p)>, __ dtp , d% .~ dp	+ P d$a ’___ 1	/ _s V
dp p ' p(9.25)Граничные условия для ранее рассмотренного случая закреп¬
ления заряда (рис. 9.3) запишутся следующим образом:—	для нижней границы 5 = 0; 1<рО+ (1 — Ю = 0; тр£ =—	для левой границы	р=1О	— Ю еР + lxs£ + = 0 и Тр£ = 0;—	для верхней границы Е = 1<[р<>еэ = о и ®Р = °;—	для правой границы 0^5^ (3, р = ае д = 0 и = 0.Полученные системы исходных дифференциальных уравнений
(9.20) и (9.25) могут быть использованы и для решения в первом
приближении задач определения напряженно-деформированного
состояния зарядов вторых и последующих ступеней многоступен¬
чатых ракет при работе двигателей первой ступени. В этом случае,247
беря за отправную систему, например, выражения (9.16), гме
сто Кг надо подставить в них значение(1 + Ю-где пг — коэффициент осевой перегрузки.Если перейти к безразмерным координатам р и £ (9.18), а под
перемещениями понимать безразмерные «идо, связанные с обыч¬
ными перемещениями и и до выражением(и, w) = (и, w),	(9.26)nzY iто с помощью выражений (9.18) и (9.26) система (9.16) может
быть приведена к виду (9.20).Исходной системой в деформациях, записанной в безразмер¬
ных перемещениях и соответствующей системе (9.16), будут выра¬
жения (9.25), причем связь между размерными и безразмерными
переменными будет иметь видЩ,Тр{)«2Г1Оr< z' “e| Тгг)-(9.27)Граничные условия имеют прежние выражения. Естественно,
что при пг= 1, мы вернемся к исходной системе дифференциаль¬
ных уравнений (9.20) и (9.25).Решение полученных систем дифференциальных уравнений,
как уже указывалось, в замкнутом виде в настоящее время по¬
лучить невозможно, и оно может быть найдено только численно,
конечно-разностными методами, например, методом матричной
прогонки или методом прямых [42], [53]. На рис. 9.4 показана ка-Рис. 9.4. Качественная картина решения задачи о вертикальном хра¬
нении (в перемещениях) для пяти случаев граничных условий248.
Чественная картина решения задачи о вертикальном хранении в
перемещениях для пяти различных случаев граничных условии,
м па рис. 9.5 —для граничных условий, соответствующих рис. 9.2,
помещены картины изменений компонент тензора деформации по
телу заряда.ог=»3,5	р =18	)1=0,Ч1Рис. 9.5, Картина изменения компонент тензора деформации по телузаряда249
Известно, что на окончательное напряженно-деформированное
состояние заряда, так же как и на перемещения его контура,
очень большое влияние оказывает величина коэффициента попе¬
речной деформации. Это положение хорошо иллюстрируется гра¬
фиками зависимости перемещений от величины коэффициента
Пуассона, приведенными на рис. 9.6, анализ которых должен по¬
буждать исследователя вводить в расчет коэффициент попереч¬
ной деформации возможно более точным значением, особенно
при |л, близком к 0,5.а =3,5; [3 = 18Рис. 9.6. Графики зависимости максимальных перемещений
точек заряда (А, Б, С) от величины коэффициента попе¬
речной деформацииЗаметим, что в последнее время предпринимались неоднократ¬
ные попытки создать замкнутое аналитическое решение для опре¬
деления напряженно-деформированного состояния в цилиндре под
действием собственного веса. Однако по своей громоздкости, даже
для простейшего случая скрепления цилиндра лишь по боковой
поверхности, эти решения мало отличаются от численных. Так, в
работе [86] исходные, дифференциальные уравнения (9.1) или250
(П.16) при граничных условиях и | = w j = 0 и | г_и =—	= °*|г = 0 = Х«|г»0 = а* |,-L = Т«|г-^ = 0 реШЭЮТСЯс помощью бигармонической функции перемещений Лява. Общее
решение складывается из общего решения однородных уравнений
и частного решения неоднородного уравнения.Частное 'решение неоднородного уравнения отыскивается в виде:ц_ а-ади — 2G
® =	(I-2!?).. Jgj	i_r2w	4(2 —p.) G 4G ‘(9.28)Непосредственной подстановкой u и ay из выражений (9.28) в
уравнения (9.16) нетрудно убедиться в том, что найденные зна¬
чения и и w обращают уравнения равновесия в тождество; они
же удовлетворяют и уравнениям совместности деформацийГ дг ~s' s0;. д\г __ дЧг dhz
дг дг дг1 "r ’(9.29)С помощью функции Лява ищется общее решение однородных
уравнений, удовлетворяющее исходным уравнениям неразрывно¬
сти и граничным условиям на боковых поверхностях. В качестве
функции Лява принимаются объемные зональные сферические
функции. Входящие в них четыре неизвестных коэффициента опре¬
деляются из граничных условий, которые дают для их определе¬
ния систему из четырех уравнений, каждое уравнение записы¬
вается в виде конечного ряда, количество членов в которых за¬
висит от требуемой точности удовлетворения граничных условий.
Для полного решения поставленной задачи необходимо еще удов¬
летворить граничные условия по торцам цилиндра. С этой целью
привлекаются к рассмотрению еще две функции Лява, которые
определяются таким образом, что с их помощью можно сиять
напряжения на торцах, не изменив граничные условия по боковым
поверхностям цилиндра. Коэффициенты этих функций также опре¬
деляются из граничных условий, но уже на торцах цилиндра.
Удовлетворение граничных условий по торцам цилиндра произво¬
дится не сразу для всех г, а дискретно.по слоям r=rj. Для каж¬
дого из значений r = rj получают систему из четырех уравнений.
Количество значений г,- зависит от требуемой точности решения.
Полные напряжения, перемещения и относительные дефорхмации
находятся с помощью принципа суперпозиции для всех трех по¬
лученных решений. Совокупная система уравнений в зависимости
от точности удовлетворения граничных условий может содержать
десятки неизвестных и ее решение потребует привлечения ЭЦВМ.
В этом смысле полученное аналитическое решение даже для про¬
стейшего случая граничных условий по трудоемкости мало чем от¬
личается от численного решения исходных дифференциальных
уравнений конечно-разностными методами.251
252Рис. 9.7. Возможный вид номограммы для одной из характерных точек заряда
С помощью приведенных решений могут быть построены номо¬
граммы для определения перемещений, деформаций или напряже¬
нии в особо опасных точках заряда. Одна из них показана на
рис, 9.7 (для граничных условий, приведенных на рис. 9.2). Та¬
кого вида номограммы могут резко сократить время на сравнитель¬
ный анализ конструктивных схем и зарядов из различных топлив.13 заключение заметим, что полученные упругие решения могут
oi.i 11, использованы при исследовании задач вертикального хране¬
нии не только на базе теории старения. Так, в работе [23] приве-
н н метод использования решений задач теории упругости, полу¬
ченных не в аналитической форме, для исследования напряженно-
Иеформированного состояния в линейно-вязко-упругих телах. Сущ¬
ность метода состоит в аппроксимации выражений для напряже¬
ний, деформаций и перемещений в упругих телах, полученных
численными методами или экспериментальным путем, при помощи
Изображений по Лапласу-Карсону функций ползучести и релакса¬
нт! линейно-вязко-упругих тел. Метод применим и тогда, когда
учитываются параметрическое и термодинамическое влияние тем¬
пературы на процессы деформирования в линейно-вязко-упругом
Iеле. В последнем случае в рассмотрение вводится коэффициент
I Мещения, входящий в формулировку принципа температурно-
мременной аналогии.§ 9.3. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГОСОСТОЯНИЯ ЗАРЯДА И КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТ
ПРИ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ХРАНЕНИИПредполагая, что ракеты хранятся в горизонтальном положе¬
нии в специальном термостатированном помещении, будем считать,
чю за время хранения температура заряда не изменяется. Считая
"Пилочку камеры сгорания абсолютно жесткой, определим изме¬
нение контура внутреннего канала заряда в процессе хранения, а
иноке величину «накопленной усталости» по слоям. В качестве
мерного приближения рассмотрим заряд бесконечной длины, что
амег возможность ограничиться рассмотрением только плоской за-
щчи. Приведенные ниже расчетные зависимости [56] могут быть
использованы для топлив с широким диапазоном изменения вязко-
упругих свойств и носят довольно общий характер. Использование
и процессе их получения модельного представления свойств ли¬
нейного вязко-упругого материала не является слишком грубым,
mu как расчет ведется на действие массовых сил, когда напряже¬
нии малы. Рассматривая твердое топливо как изотропный мате¬
риал, зависимость напряжений от деформаций во времени (с уче-
I ОМ указанных допущений) можно свести в конечном счете к двумI	руппам линейных операторов: одной — для приращений напряже¬
ний и деформаций, другой — для гидростатического растяжения.
•' помощью преобразования Лапласа исходная задача ползучести•	ведется к эквивалентной ей упругой задаче, которая должна ре¬
ши и.ся в функции преобразованных упругих констант (модуля253
упругости и коэффициента поперечной деформации). Предпола¬
гаем, что наружная поверхность заряда (г=г2) закреплена и не
имеет перемещений, в то время как на внутренней поверхности
заряда (г—Г\) отсутствуют напряжения. Как и в предыдущем
параграфе считаем, что массовые силы (f — удельный вес мате¬
риала) прилагаются в момент времени N0 и далее остаются по¬
стоянными. Сформулированная упругая задача является плоской
задачей с граничными условиями смешанного (и в напряжениях и
в перемещениях) типа и при ее решении вводится потенциальная
функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, и используется
теорема Био и общая комплексная теория плоской задачи упру¬
гости с граничными условиями первого рода, разработаннаяН.	И. Мусхелишвили [66].Поскольку деформации ползучести в пределах малых пласти¬
ческих деформаций реализуются с незначительным изменением
объема, без большой погрешности примем коэффициент попереч¬
ной деформации |л=0,5. В этом случае зависимости перемещений
точек заряда во времени могут быть представлены в виде [56]:w (t) =v(t) =з-'АInIn1	/Р4-М I2	^+1 I Р2 У"2 «41 I Р“X sin 0 • /j (t);1 а» / 3Р4 + 1а4—1
2 (а4 + 1)X°2 ( Зр4 + \\ ,
а4 + 1 V Р3 / ‘1_2 а4 + 1 V 9‘
X COS 0/j (t),За4 + 1
2 (а4 + 1) .X(9.30)гдеГ ’ Р 	 г ’Л	'1w — радиальное смещение точки;
v — тангенциальное смещение точки;0	— полярный угол, отсчитываемый от горизонтальной оси
симметрии поперечного сечения заряда;А (0—как и в § 9.2, коэффициент ползучести при чистом рас¬
тяжении (деформация ползучести при единичном по¬
стоянном напряжении, определяемая из эксперимента
на чистое растяжение).Для точек, лежащих на внутренней поверхности заряда (р=1),
из выражений (9.30) получимw(Ori3 г\3 VI1па +
1па +а4— 12(^ + 1)
За4 — 4а3 + 1
2Й+ 1)sin бД (0;
cos 0/х (t).(9.31)Заметим, что члены, входящие в квадратные скобки выраже¬
ния (9.31), зависят только от геометрии заряда и не зависят от
времени и типа рассматриваемого топлива.254
Для определения величины «накопленной усталости», по слоям
i.iпишем деформационные уравнения плоской задачи в полярных
Координатах [14]:•о — г + гдЬ ’ 1гЬ ~ г HIT + дг г 'дгВведя обозначениеА =3	v\h (О4	4 + г\(9.33)и подставив величины w(t) и v(t) из выражения (9.30) в зависи¬
мости (9.32), получим:.,__Лзтей + ^ + ^-);
=.=Лаш «{гг’-ЦА + ф.);(9.34)Для случая плоской задачи при [л = 0,5 величину обобщенной
деформации можно записать каке/ = Т У £г ~ е'-еб + £& + Т f■или с учетом выражений (9.34)«, = ~ А2 {З [2ab + а2г2 ++ [6-^+2^-Ь2 — 2adbd_
г1
1sin2 0j 2~(9.35)1' 2-Полученные зависимости (9.30) и г(9.35) позволяют определить
тмеиение контура заряда для любого момента времени и вели¬
чину «накопленной усталости» при горизонтальном хранении ра¬
ним для любой точки заряда твердого топлива при заданных■	роках и температуре хранения. Как и при вертикальном хране¬
нии, при вычислении предельно допустимой деформации здесь не¬
обходимо исходить не из величины £ПРед, полученной во время ис¬
пытаний твердого топлива в обычных условиях растяжения, а из
«•личины еПред) полученной при испытаниях на ползучесть.Из анализа приведенных зависимостей нетрудно заметить, что
величину предельной деформации контура заряда можно сделать
сколь угодно малой, введя при хранении ракеты в горизонтальном
Положении операцию проворачивания ракеты вокруг продольной
осн. Частота проведения этой операции и определит величину ма¬
ксимальной деформации контура. Однако величина «накопленной
усталости» этой операцией не может быть существенно умень¬255
шена, а следовательно, допустимые сроки хранения ракеты при за¬
данных условиях не увеличатся.Известно, что в связи с изменением физико-механических
свойств топлива при хранении может произойти растрескивание
заряда. Это обстоятельство приведенными зависимостями не учи¬
тывается. В литературе появлялись сообщения, что вероятность
появления трещин, отслоения и т. п. в результате физико-химиче¬
ской нестабильности топлива можно снизить чисто механическим
путем. Здесь имеется в виду предложение Е. Г. Ли [57], предусма¬
тривающее хранение заряда под давлением, близким к рабочему,
что препятствует раскрытию пор и трещин, появляющихся при
разложении топлива.Хранение заряда под давлением не исключает явления ползу¬
чести под действием массовых сил. Поэтому расчет «накопленной
усталости» и деформации контура может быть проведен и в этом
случае по изложенной выше методике. Наличие предварительного
напряженно-деформированного состояния учитывается при этом
коэффициентом ползучести, который должен определяться в усло¬
виях соответственно измененного эксперимента (в условиях всесто¬
роннего гидростатического давления).Решение плоской задачи в целях определения напряженно-де¬
формированного состояния заряда при горизонтальном хранении
(в предположении, что оболочка камеры сгорания абсолютно
жесткая) применимо только в прикидочных расчетах. Уточнен¬
ная расчетная схема должна предусматривать введение в рассмо¬
трение заряда конечной длины и снятие допущения об абсолютной
жесткости оболочки в кольцевом направлении. Естественно, что
замкнутое аналитическое решение такой задачи в настоящее время
практически невозможно. Ниже излагается методика определения
напряженно-деформированного состояния заряда конечной длины
в условиях горизонтального хранения, построенная на комбинации
аналитического и численного методов [34].Заряд предполагается плотно скрепленным с упругой орто-
тропной оболочкой, что позволяет решать задачи и для горизон¬
тального хранения ракет со стеклопластиковыми корпусами. В об¬
щем случае торцы заряда могут быть как плоскими, так и закруг¬
ленными, а скрепление заряда с обшивкой может быть осущест¬
влено произвольным способом. Как и в предыдущем случае, анализ
вязко-упругой конструкции сведется к анализу соответствующей
упругой конструкции путем применения преобразования Лапласа,
чем устраняется зависимость от времени. Таким образом, исход¬
ная задача сводится к решению задачи об изотропном упругом
заряде, скрепленном с ортотропной упругой оболочкой и подвер¬
женном действию поперечных массовых сил. В сформулирован¬
ном виде это трехмерная краевая задача, описываемая тремя диф¬
ференциальными уравнениями второго порядка в частных произ¬
водных относительно трех функций трех независимых переменных.
Принципиально эта система может быть решена методом конеч-
ных разностей, как это было сделано при рассмотрении напряжен-256
iii) деформированного состояния заряда при вертикальном хране*
мни. Однако даже с применением электронных машин с большой
ми мятью можно решать систему совместных линейных алгебраи¬
ческих уравнений ограниченного порядка, что в свою очередь ли¬
митирует выбор числа точек сетки в теле. Получить удовлетвори-
к'льную точность решения объемной задачи конечно-разностными
методами на существующих ЭЦВМ в настоящее время не пред-
| пшляется возможным и указанный комбинированный метод яв¬
ляется хорошим выходом из создавшихся трудностей.Исходная задача при решении этим методом разбивается на
| ерию двухмерных задач, каждая из которых может быть решена
гем или иным конечйо-разност-
HI.IM методом. Сведение трехмер¬
ной краевой задачи к серии двух¬
мерных краевых задач достигает-
ен исключением зависимости от
окружной координаты с помощью
|шсложения в ряды Фурье. Ко- ~
чффициенты в этих рядах Фурье
определяются из решения двух¬
мерных краевых задач.Упругие уравнения для за-
рнда, полученные из вязко-упру-
гнх уравнений при помощи пре¬
образования Лапласа, выража¬
ются через функции перемещений11лнковича-Нейбера [68] и могут быть записаны в цилиндрических
координатах (рис. 9.8) в виде [34]:ОболочкаЗарядРис. 9.8. Поперечный разрез ракет¬
ного двигателя. Продольная ось —
ось г. 1 дВг
ТЛ ' ГдгЛ_« 4-2гг /• ,2 Э0а	дг2дВпdsp 1 дВ,
дг3 +"дгг*L R ■ 1 (12В"Г2 "Г r'i Й02+ £ = 0; (9.36)дЬ 1 О
д2В„+ -Э53- +2 дВг= 0;(9.37)I 1дг2 гдВ,дг+д№а(9.38)а*Р I 1 ар . 1дг2 'г дг г2д2Рдв2<52Рдг2ZQ ~ 0-(9.39)Функции перемещения Папковича-Нейбера обозначены через
//,, Нр Вг, (3; массовые силы — через Fп Fb и Fz) а модуль сдви¬
ги • через G. Функция |3 может быть найдена из выражения
(11.39), а остальные три функции Вп Вь и Вх — из зависимостей—	(9.38).и -673257
Перемещения выражаются через функции перемещений сле¬
дующим образом:»,=я,--т^[^ + в'+г1г+-г-]; <9-40’“.”^-Т(ГГД-№ + 7-^ + -Гж]; <9-41>^B-^^\r^- + B, + z%- + ^]. (9.42)В последних выражениях ип ufj и uz — компоненты перемеще¬
ний, а [л — коэффициент Пуассона.Массовые силы в соответствии с рис. 9.8 могут быть записаны
в видеFr = 7 cos 6; Fb = — т sin 0; Fz = О,где у— весовая плотность топлива.С учетом последних выражений зависимость (9.39) примет вид5- + ^l + ^-S- + -S--^TCOS0^O. (9.43)
Частным решением выражения (9.43) является функцияр= (-JL.) r3cos0.	(9.44)Для тел с осесимметричной геометрией и симметричными отно¬
сительно оси у нагрузками (рис. 9.8) функции перемещений могут
быть разложены в следующие ряды Фурье:NВ, = 2 Ап (Г> Z) C0S л9:(9.45)п =0
N= 2)sin/z0;п =0(9.46)NВг = У^ Сп (г, z) cos /г0.л—0(9.47)Число членов в рядах (9.45) — (9.47) будетзависеть от числа чле-нов, необходимых для удовлетворительной аппроксимации внеш¬
них окружных опорных реакций. Подстановка выражений (9.44) —
(9.47) в зависимости (9.36) — (9.38) приводит к системе уравнений
для коэффициентов Ап, Вп, Сп рядов Фурье:РАп , 1 дАп \ л я* „ , 9*АЯ
д*Вп 1 дВп 1 д Я» д д*В„
дг2 ' г г)г га " г2 л + г)г2=	(9.49)d2C„ . 1 дС„ л2 ,, d2C„ q	/п сп\^7^ + г Л-	г2" я "dF- -и-	(у-ьи)Чдесь0,	га=^11,	п = 1.Таким образом, трехмерные уравнения (9.36) — (9.38), завися¬
щие от г, 0 и г, заменены серией систем (одна система для каж¬
дого п) двухмерных уравнений (9.48) — (9.50), зависящих от г и г,
которые и могут быть решены конечно-разностными методами.Для записи граничных условий, необходимых для решения за¬
тми, предварительно разложим перемещения и -напряжения в
ряды Фурье:NИ, = 2 и а (г, г) cos Ф,	(9.51)и-О
N«„ = 2 V„ (г, г) sin /20;	(9.52)Л —1Nиг = 2 Wn (г, z) cos л0;	(9.53)л—0
N°г = ^КгП{г, z)cos/z0;	(9.54)я-о
Nаг = 2 Кгп (г, z) cos /z0;	(9.55)и=07V	•хи = 2*#»(г> гг) COS /20;	(9.56)л=0Лхлв2*лл(г. г) sin/20;	(9.57)Л —17VTe, = 2^«(r> sin	(9.58)я-1Подставляя выражения (9.44), (9.45) — (9.47), (9.51) — (9.53)
и шписимости (9.40) — (9.42), получим
1U =А			-п п 4 (J — ц)['#- + А. + *Т*- + т£С]; (9.59)
V° = B.+ -<(iL,) ["Л, + т-С,+ -&8,,]; (9.60)259
W'. = C.-TTTJrrt[r-& + C. + z%.]. (9.61)Применяя закон Гука и используя связь деформаций с переме¬
щениями, получимК,= [2(1 -rt ^+ > (■^ + 41 + Щг) -|i	(9.62)~ТО^Д- [*-Чг'+ ТГ'в- + ^ ++	(9.63)к» = то^д-' [о—ЭД (-т^-+4г) —(«4)^	п А— В"	П ( * п дАпЛГ0« ^ Л- г п г 2(1— [*) V г* " *•*!„)];	(9.65)г Эг ^0Кш“I*№■-TRI^r[O'-■2rt 4"С-'~-тг—гтЮ}-	<9-6в>Используя эти соотношения, истинные условия на поверхности мо¬
гут быть записаны как граничные условия для А„, Вп и С„.Пусть, например, на поверхности г=г2 задано следующее
условие:ъО>, е, *)“/(», г).	(9.67)Разложим функции f(0, z) в ряд Фурье:л?/(6, z) = 2^n(z)cos"6.	(9.68)л-01 -где верхний предел суммирования N должен быть достаточно ве¬
лик для представления функции f(6,z) с желаемой точностью.
Комбинируя выражения (9.67), (9.68) с зависимостями (9.56) и(9.64), можно получить следующие граничные условия для Л„,
Вт Сп'КПП (^2> ^0 ^ ^"л (^0>Т(!^н [С-« (^ + т)-(9.69)260
Таким образом, уравнения (9.48) — (9.50) вместе с соответству¬
ющими граничными условиями могут быть решены конечно-раз-
Иостными методами и тем самым будут определены значения неиз¬
вестных в любой точке заряда с координатами (г,-, zj).В заключение параграфа заметим, что изложенный способ не
исключает применения равновесных значений для вязко-упругих
||ОЙств материала и не требует в этом случае преобразований Ла-
цлпса. Это замечание важно особенно тем, что в задачах о реаль¬
ных зарядах обычно невозможно найти точное обратное преобра-
«онание и поэтому приходится применять различные приближен¬
ии!) методы отыскания оригинал'а по изображению, например, ме¬
тл Шепери [152].К последнему решению полностью относится заключительное
шмечание § 9.2 о возможности использования полученного числен¬
ного решения задачи теории упругости для исследования напря¬
женно-деформированного состояния в линейно-вязко-упругих те¬
лах [23]. На рис. 9.9 и 9.11 приведены графики, иллюстрирующие
мжность учета краевых эффектов при анализе напряженно-де-
фпрмированного состояния заряда твердого топлива двигателя,
находящегося в условиях горизонтального хранения [34]. В обоихслучаях рассматривался заряд, скрепленный с абсолютно жесткой
оболочкой по боковой поверхности заряда. Из рис. 9.9 нетрудно
«in мстить, что максимальное нормальное контактное напряжение
in 1ается в соответствии с решением плоской задачи постоянным
(штриховая линия), однако из рис. 9.10 и 9.11 следует, что сущест-
|уют значительно большие сдвигающие контактные напряжения
(чем предсказываются приближенным решением в предположении
плоской деформации), которые и могут быть причиной отслоения
нщцевых частей заряда от оболочки. Последнее обстоятельство
и подчеркивает необходимость учета краевых эффектов в точном
решении задачи о горизонтальном хранении двигателя со скреп¬
ленным зарядом.решение Jsi* плоскси
деформации0 0,2 0,4 0.6 0,8 1,0
JzssQfi координата zlLРис. 9.9. График нормального контактного напря¬
жения261
•lСредняя плоскость двигателя0,2 ОМ 0,в 0,8
Оседая координата z/L
График продольного сдвигающего кон¬
тактного напряжениявgi-Ь?^3
s ? г
|t* <42§s
Is
*
о;о, I1&
£ §is\г-г- 11' ч,Ro 			__ 1— L —'"‘Решение дляРшепие для плоской деформации ,	I_ J-	L -1	10,2 в,и 0,6 0,8
Осевая коордипата z/i>.0Рис. 9.11. График окружного сдвигающего кон¬
тактного напряжения
§ 9.4. ВОЗМОЖНЫЕ МЕТОДЫ УЧЕТА ТЕПЛОВОГО
ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ЗАРЯД РАКЕТЫ С РДТТ
ПРИ ХРАНЕНИИПри хранении ракеты с двигателями на твердом топливе всегда
^ремятся к уменьшению на нее температурного воздействия, ко-
■foc на этом этапе эксплуатации ракеты будет, как правило,
Ввтковременным (временный выход из строя системы термоста-
ЯЦюмакия и т, п.). Это позволяет привлечь к анализу напряжен-
(НИК'формированного состояния заряда ракеты под тепловым воз-
4#Лстнием при хранении приближенные методы расчета и не учи-
гынн гь в процессе кратковременного теплового воздействия массо-
1н,м' силы. Рассмотрим методику расчета напряженно-деформиро-
Ийниого состояния заряда и корпуса РДТТ при изменении темпе-
Щтурных условий в процессе эксплуатации, базирующуюся на тео-
1Шн старения Ю. Н. Работнова для нелинейных вязко-упругих сред
|М| При выводе расчетных зависимостей температурные напряже¬
нии пс делятся на напряжения, вызванные градиентом температур
НО толщине заряда и имеющие место при его охлаждении и нагре-
МЙНПП, и на напряжения, вызванные различной величиной коэффи¬
циентов линейного расширения материалов камеры сгорания и
юн,'шва.\ Последнее обстоятельство позволяет более точно вычислить
•инкоиленную усталость», которая должна вводиться в последую¬
щие расчеты напряженно-деформированного состояния зарядов
при хранении и при работе двигателя на траектории.При расчете напряженно-деформированного состояния скреп-
IPипых зарядов в различных температурных условиях будем пола-
i ии., что температурное поле заряда и камеры нам известны для
дебого рассматриваемого момента времени. С очень большой точ-
IIIH 1Ы0 всегда можно полагать, что температура металлическойI	Н'нки не зависит от того,-какой слой по ее толщине рассматри-
iint'iTH и что она равна температуре на внешней поверхности за-
1>н/|л [13].II	дальнейших расчетах будем также полагать заданной тол¬
щину стенки камеры сгорания, ибо она определяется в основном
рйЛотой двигателя на траектории. Для общности выводов будут
Иитываться зависимости коэффициентов линейного расширения от
(Рмиературы для материалов заряда и оболочки камеры сгорания.Таким образом, в качестве расчетной схемы принимается бес-
мвнечио длинная оболочка с нелинейно-вязко-упругим наполне¬
нием, находящаяся в неравномерном и переменном во времени
(имт-ратурном поле.Взаимодействие оболочки камеры сгорания со скрепленным•	iirCi зарядом твердого топлива учитываем введением контактного
ммйлспия <7, которое подлежит определению в процессе расчета;11п,питаем, что оболочка камеры сгорания может деформироваться
IfflbKO упруго, поскольку появление в ней пластических деформа-
Mlifl и процессе хранения двигателя маловероятно, а точнее даже263
невозможно. Поле напряжений в зарядах твердого топлива в мо¬
мент начала теплового воздействия полагаем нулевым.Задачу расчета напряженно-деформированного состояния скре¬
пленных зарядов твердотопливных ракет при изменении темпера¬
турных условий можно условно разбить на две задачи.Первая задача — задача об упругом деформировании тонко¬
стенной оболочки камеры сгорания под действием изменяющегося
температурного поля и переменного контактного давления — до¬
статочно проста. Действительно, начальное состояние оболочки нам
известно. При изменении температуры на величину Дt = t0 — t, где
t — текущая температура оболочки, относительная окружная де¬
формация оболочки е“= —a At. Влияние осевой деформации за¬
ряда на величину окружной деформации оболочки может не учи¬
тываться по малости в связи с огромной разницей в величинах мо¬
дулей упругости материалов оболочки и заряда. Таким образом,
можно полагать, что воздействия осевой силы на оболочку каме¬
ры сгорания нет. Задача расчета бесконечно длинной оболочки
свелась к расчету тонкостенного кольца, работающего в пределах
упругости. В связи с малым изменением модуля упругости метал¬
ла в диапазоне возможного изменения температур будем полагать
в дальнейшем величину Е металла не зависящей от температуры.
Действие контактного давления q на оболочку равносильно воз¬
действию на нее внешнего давления такой же величины. Из усло¬
вия равновесия имеем<wo>где R — радиус оболочки;8	— толщина оболочки;
еел — силовая относительная деформация кольца.Общая деформация оболочки<9-71)Из условия совместности деформации эта же величина е6 дол¬
жна быть у внешней поверхности заряда твердого топлива. Из
этого условия и найдем далее величину контактного давления и
произвольный момент времени.Вторая задача — задача о деформированном состоянии твер¬
дого топлива — сводится к расчету осесимметричной деформации
толстостенного бесконечно длинного цилиндра, находящегося и
неравномерном поле и нагруженного внешним растягивающим
давлением q. Материал твердого топлива обладает свойствами
нелинейно-вязко-упругой среды. Будем считать, что нелинейный
зависимости между Напряжениями и деформациями для различ¬
ных температур заданы или графиками, или аппроксимирующими
зависимостями. Методика расчета с учетом влияния ползучести
строится, как уже указывалось выше, на основе гипотезы старе-264
пии Ю. Н. Работнова, имея в виду правомочность ее применения
для тех случаев, когда внешние нагрузки (в нашем случае кон-
тпктное давление q) изменяются во времени достаточно плавно.Для расчетов принимаем прямоугольную систему координат
с осями: z — вдоль оси оболочки; г — по радиусу заряда; 0 — по
писательной к поверхности цилиндра (заряда). Внутренний радиус
цилиндра обозначим через ги а наружный — через г2. Зависимости
окружной и радиальной &т деформаций от радиального переме¬
щения до и радиуса г в нашем случае имеют видw .	dw	__ев= —: *r=~dF-	(9.72)В данной задаче без особой погрешности можем полагать, что
| иловое деформирование заряда твердого топлива в процессе осты-
нмния (нагрева) происходит без изменения объема. В этом случае“* + «, +«, = 30,	(9.73)где е* — осевая деформация; 0 = аД/ — температурная деформация;
«-—коэффициент температурного расширения материала заряда;
\/ t0 —1\ t — текущая температура рассматриваемого слоя.Заметим, что при охлаждении величина At должна браться
ш рицательной, а при нагревании — положительной. Предполагая,
что оболочка находится в условиях плоского деформированного
Достояния, осевую деформацию заряда считаем постоянной по
длине, т. е. е2 = const. В этом случае из выражений (9.72) и (9.73)
ПолучаемI	тг + т--30—••	(9-74)Проинтегрировав выражение (9.74), получимГw = -£- + ± Jerdr-Jf.,	(9.75)I	r‘Где С — постоянная интегрирования.Подставляя значение до из выражения (9.75) в зависимости
(11,72), имеемfir dr-j* Шг + 39 —(9.76)Введем безразмерные величины:265
Подставив выражения (9.77) в выражения (9.76), получим:(9.78)_С_se Р2 Р2 2 ’		 С ЗТ- . OB гге,=	J	^ + 30- -гИнтенсивность деформаций для нашей задачи определяется
выражениемвг = 1/(в, -М2+К-зг)2 + К-ее)2. (9.79)Подставив в зависимость (9.79) значения г0 и гг из выражений(9.78), получим•/=■ /т(т7+ 2e)’ + (*.-9i’- W.80)Уравнения равновесия элемента цилиндра имеют вид:—	в проекциях на радиус-^т + —р—1 = 0;	(9.81)—	в проекциях на ось трубыг22г j С/dr = Р.	(9.82)Г,Интенсивность контурной нагрузки р на внутренней поверхно¬
сти равна рi = 0, а на наружной — P2 = Q- Таким образом,(аг\=гг ~ а--При введении безразмерных величин согласно выражениям
(9.77) зависимости (9.81) и (9.82) запишутся следующим образом:+ о==°;
12кг\ j агрй?р = Р.(9.83)Из первого уравнения (9.83) с учетом того, что (аг)г-г, ~ 0>
следуета, = |-^р^Р.	0.84)аЗависимости компонентов деформаций от компонентов напря¬
жений в нашем случае имеют вид [14]:ee=-Sr(a8“°) + 6;
ГДР аг — осевое напряжение;°1 = YY У (а9 — Сг )2 + (аг — аг)2 + К — °9)2 (9.86)
напряжений;(Гл 4- Г7. + (Т.(9.87)интенсивность напряжении;50 +—	среднее нормальное напряжение.Из выражений (9.85), используя соотношения (9.78), получимI - «.—, = 7К-Г"?- + f--2*)' (9'88>Подставляя последнее выражение в зависимость (9.84), нахо-
дпм уравнение для определения радиальных напряженийр	р	р4СI-S-TL+4.fvf	(989)Из выражения (9.88) получаем уравнение для определения
■Кружных напряжений= аг + ~ (Xут + -20) = 4-с Iта? +р+ А1^т“г-2)iT^+tdf+T-2') (9'90)а	аИз третьего уравнения (9.85) с учетом выражения (9.87) мо¬
жем получить уравнение для определения осевого напряжения о*.
Действительно, из уравнения (9.85) имеемаг — о=	—6).	(9.91)Подставив в выражение (9.91) зависимость (9.87), получим
В	(9.92)И уравнениях (9.89), (9.90) и (9.92) величина С осталась неиз-
Ирпиой, но определить ее можно, используя второе граничное
у» . к>мие, согласно которому {аг)г_Гг = q.11	этом случае из выражения (9.89) получим2 f !L±.dр-4 f ^-Z-dp + qУ ч р • J !/ |>!С = -2	j—Z	.	(9.93)«267
Подставляя во второе уравнение (9.83) выражение Для о2, со-*
гласно уравнению (9.92) получимр e j + - J - 0)] prfpилиJ-S-м рJ 7Г(9.94)Подставляя в выражение (9.94) значения а0 и аг из уравнений
(9.89) и (9.90), а также пренебрегая для рассматриваемого случая
величиной силы Р, получим:\\-TctJTrrd^>l^--TdtJ ti р»рйГр+-ы01 8	1 01	ар + -оЧ р	2££.Л1
ч UС 4Г
Р2 Р2х-2в) prfp + j-^flprfp+(9.95)Используя для преобразования интегралов, входящих в числи¬
тель выражения (9.95), правило Дирихле, получим11—Tq + Jv0pdpJ тгprfpУ(9.96)Таким образом, мы располагаем всеми необходимыми зависи¬
мостями для решения поставленной задачи.Собственно методика расчета напряженно-деформированного
состояния системы «камера сгорания — заряд твердого топлива»
при изменении температуры может быть представлена такой по¬
следовательностью операций [62].Пусть для каждого момента времени нам известны темпера¬
тура оболочки камеры сгорания и распределение температур по
толщине заряда твердого топлива. Для нахождения истинной ве¬
личины контактного давления в расчетный момент времени необ¬
ходимо иметь две кривые еак==£б(<7) и =:г£(?)> пере-Г —Г 2268
сечение которых определит искомую величину контактного дав¬
ления qacr, одновременно являющегося отрывным напряжением
наряда твердого топлива в месте скрепления его с оболочкой ка¬
меры сгорания. Имея в виду проведение расчетов для различных
моментов времени, по зависимости (9.71) строится серия кривых
'J - (q) с шагом At, определяемым необходимой точностью
расчета. Зависимость г" ==£«(^) для заряда твердого топ-Г=»Г2лива для каждого расчетного момента времени строится отдельно.
Предельно необходимое значение q легко определяется в процессе
расчета. Задаваясь рядом значений q для каждого из них, зная
иоле температур по толщине заряда твердого топлива в расчет¬
ный момент времени, методом последовательных приближений по
формулам (9.93) и (9.96) с использованием зависимостей (9.77)
определяем величины С и е2.В качестве первого приближения величины	необходимойпри вычислении соответствующих интегралов в выражениях (9.93)
и (9.96), можно брать значения условного модуля упругости при
средней-температуре заряда. Дальнейший расчет ведется следую¬
щим образом. Определив константы С и ez в первом приближении,
но формуле (9.80) рассчитывается величина обобщенной деформа¬
ции для ряда слоев по толщине заряда. По зависимостям напря¬
жений от деформаций для заданного момента времени при темпе¬
ратуре слоя по найденным величинам s, определяются соответ-
ииующие величины обобщенных напряжений, которые и использу¬
ются для нахождения константы С и ег во втором приближении.Расчеты повторяются до нахождения величин С и гг с заданной
1'очностью, после чего по выражению (9.78) определяется п^и
Р*~г2. Меняя значение q, расчет повторяется до построения зави¬
симости s" — Ее (<?) в требуемом диапазоне изменения q. Пересе¬
чение графика е" (q) для расчетного момента времени с гра¬
фиком s* = e*(<7)> построенным при температуре оболочки камеры
Сгорания в тот же момент времени, определяет величину истин¬
ного контактного давления q„CT.Повторяя приведенный расчет для найденного q„ст, по выра¬
жению (9.80) находится величина щ в каждом слое оболочки. По
•той же методике, но используя уже обычные диаграммы растя¬
жения, определяется для каждого слоя оболочки величина е{ без
учета ползучести. Выделяется собственно деформация ползучести
но зависимостям, приведенным в гл. 6 и находится «накопленная
усталость» в слое в течение принятого шага времени. Суммируя•	накопленную усталость» за рассматриваемый отрезок времени,
нпкодим общую «накопленную усталость», которую и необходимо
учитывать в расчетах других случаев эксплуатации (обычное хра¬
нение, работа на траектории и Др.).При желании по зависимостям (9.89), (9.90) и (9.92) можно оп¬
ределить компоненты напряженного состояния заряда в рассма-I	рннаемый момент времени в каждой точке заряда.
Глава 10НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ЗАРЯДА
И КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТ В УСЛОВИЯХ
ДИНАМИЧЕСКОГО НАГРУЖЕНИЯ§ 10.1. ЗАДАЧИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ.РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫИзвестно, что при действии динамических нагрузок на ракету
в ее корпусе возникают колебательные процессы, которые в слу¬
чае неблагоприятного сочетания факторов могут оказаться опреде¬
ляющими для прочности и надежности конструкции.Основными задачами динамического расчета обычно являются:—	определение максимальных внутренних динамических уси¬
лий и сравнение их с предельными или разрушающими;—	расчет динамической устойчивости элементов конструкции
ракеты и ракеты в целом.Главнейшими динамическими характеристиками конструкции яв¬
ляются собственные частоты (или периоды свободных колебаний)
и формы колебаний. Если нагрузка нарастает или вообще претер¬
певает изменения в течение времени, не превышающего два-три
периода свободных колебаний, то такая нагрузка по отношению
к конструкции может считаться динамической и быстро изменяю¬
щейся.Если продолжительность изменения нагрузки велика и превы¬
шает три — пять периодов свободных колебаний, то влияние такой
нагрузки близко к статическому. Отсюда следует первостепенное
значение определения низших частот свободных колебаний, по¬
скольку продолжительность изменения нагрузки, соизмеримая с
периодом свободных колебаний первого-второго тонов, оказы¬
вается значительно больше периодов колебаний высших тонов.Стремление к уменьшению пассивной массы ракеты привело
к широкому использованию тонкостенных конструкций, к сниже¬
нию жесткости корпуса, что вызвало увеличение его свободных
колебаний. Последнее сделало корпус ракеты более чувствитель¬
ным к внешним нагрузкам, так как расширило диапазон нагрузок,
которые создают заметный динамический эффект.270
При воздействии динамических нагрузок в корпусе могут воз¬
никнуть упругие колебания трех видов:—	продольные;—	крутильные;—	изгибные.Продольные колебания вызываются быстрыми изменениями
Осе ной нагрузки, такими, например, как нарастание или спад тяги
дипгателя, пульсация тяги, осевые силы при разделении ступеней
И т. д.Крутильные колебания ввиду малости соответствующих возму¬
щений в проектных расчетах во внимание обычно не принимаются.
Н случае принудительного разворота ракеты в полете по крену
Крутильные колебания могут оказаться опасными для конст¬
рукции.Большая длина при относительно малой изгибной жесткости
Дел,чет конструкцию ракеты чрезвычайно чувствительной к изгиб-
ill,im колебаниям. В полете изгибные колебания могут вызываться
(Тмосферной турбулентностью, порывами ветра, толчками при раз-
Лелении ступеней, автоколебаниями системы управления и т. д.
При наземной эксплуатации изгибные колебания возникают вслед-
П'нпс толчков и ударов при транспортировке и такелажных рабо-
Т«х. Толчки и удары, являющиеся источником изгибных колеба¬
ний, возникают также при старте из шахтного сооружения как в
дппжении, так и в момент схода с направляющих, если они име¬
ются.Кроме того, следует учитывать упругие колебания ракеты, рас¬
положенной в шахтном сооружении, при действии на нее сейсмо-
Ифывных нагрузок. Исследование перечисленных вопросов услож¬
няется случайным характером значительной части возмущающих
ИИгрузок, что требует привлечения статистических методов иссле-
допания.При расчете вынужденных колебаний определяются макси-
м ил иные перемещения частей конструкции или коэффициенты ди¬
намичности. Затем находятся деформации и напряжения и прове¬
рнется прочность.При оценке динамической устойчивости элементов конструкции
Определяются значения частот и амплитуд возмущающих нагру-
|0К, при которых амплитуды колебаний могут неограниченно воз-
ристать (резонанс) и вычисляются границы зон этой неустой-
N И пости.В рационально спроектированной конструкции эксплуатацион¬
ные параметры нагрузки должны находиться вне пределов зон
неустойчивости.В заключение заметим, что задачи динамического расчета не
исчерпываются перечисленными выше. При детальном анализе
Конструкции необходимо исследовать динамические характери-
пмки большинства систем, агрегатов, узлов и деталей ракеты, на-
Нрнмер, подвески приборов, отбросных элементов (обтекателей,
Штепсельных разъемов) и т. п. Остановимся на вопросах, связан¬271
ных лишь с динамическими расчетами собственно корпуса ра¬
кеты.Естественно, что решению любой задачи динамики предшест¬
вует анализ работы конструкции и построение системы гипотез и
допущений, позволяющих правильно выбрать расчетную схему и
упростить математическую формулировку задачи.При решении задачи динамики необходимо правильно соста¬
вить математическое описание движения исследуемой системы в
зависимости от ее параметров, действующих сил и расчетных воз¬
можностей. Очень важно предельно упростить задачу, выбрав та¬
кую расчетную схему, которая позволит решить данную задачу с
достаточной точностью имеющимися в распоряжении вычисли¬
тельными средствами. При этом приходится принимать целый ряд
допущений, упрощающих решение. Прежде всего это относится
к выбору числа степеней свободы. Строго говоря, корпус ракеты
представляет собой конструкцию с бесконечно большим числом
степеней свободы, но при изучении продольных колебаний иногда
вполне допустимо представление ракеты в виде системы с конеч¬
ным числом степеней свободы, т. е. приведение реальной конструк¬
ции к системе с сосредоточенными параметрами. Такая схема ха¬
рактеризуется наличием недеформируемых масс и невесомых
жесткостей.Ниже в качестве расчетной схемы первого приближения мы бу¬
дем представлять ракету в виде стержня переменного сечения и
переменной массы. В случае уточнения этой схемы соответствую¬
щие оговорки будут приведены в тексте.§ 10.2. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОРПУСА РАКЕТЫПродольные колебания могут возникнуть:—	при резком нарастании тяги в период запуска двигателя;—	при резком спаде тяги в момент выключения двигателя;—	в результате осевых возмущений при разделении ступеней и
от других факторов.Рассмотрим физическую сторону вопроса возникновения про¬
дольных колебаний [80].Известно, что перед запуском двигателя ракета стоит верти¬
кально на пусковом столе. Ее корпус нагружен силами веса и ре¬
акций опор. При запуске двигателя вследствие нарастания тяги во
времени возбуждается колебательный процесс, который наклады¬
вается на статическое действие тяги. В результате этого происхо¬
дит увеличение сжимающих усилий в отдельных частях корпуса.Выключение двигателя предшествует либо отделению первой
ступени, либо отделению боевой части. Топливо соответствующей
ступени в значительной части (или полностью) к этому моменту
уже израсходовано.При резком спаде тяги соответствующие усилия в сечениях
корпуса начинают изменяться. Подобно пружине элементы кор¬
пуса по инерции проходят равновесное положение, осевые усилия272
Меняют знак, возникают напряжения растяжения (сжатия). За¬
чем колебания более или менее быстро затухают. Опасной яв¬
ляется лишь первая волна растяжения, ибо вторая и последующие
имеют значительно меньшие амплитуды. Заметим, что не все эле¬
менты корпуса чувствительны к растяжению. Так, очень хорошо
сопротивляются растяжению тонкостенные элементы, например,
иЛолочки. Для этих элементов более опасной является волна сжа-
1ИН, но и она в данном случае не может довести эти элементы до
|щ фушения, ибо, как показывают расчеты, динамическая нагрузка
jut модулю при выключении двигателя оказывается меньше сжи-
Миющих статических нагрузок. Динамическое растяжение при
спиде тяги двигателя оказывается расчетным в основном для бол-
tnnux соединений, так как при этом нагружаются разрывные и
и ыковочные болты отсеков и ступеней, соответствующие фитинги
и г п., в результате чего возможно раскрытие стыков.При использовании стержневой схемы (в качестве расчетной)
будем предполагать, что погонная масса т'(х) и жесткость EF(x)
Переменны по длине, т. е. являются функцией х. Уравнение выну¬
жденных продольных колебаний для нашего случая запишется
It иидеI	(10Л>171 с и — продольное перемещение;/I (x,t)—погонная продольная возмущающая сила.Уравнение свободных колебаний получим, положив в уравне¬
нии (10.1) правую часть, равной нулю:I	(Ю.2)Представим решение уравнения (10.2) для s-ro тона колебаний
и ииде(х> 0 = Ъ (х) sin (и, + «,).	(10.3)Подставив решение (10.3) в уравнение (10.2), получимЧх [EF W ~ТхХ) J = ~ (х) Ъ (*)• (10-4)Функции <р3(х) определяются частотой (тоном) колебаний и но-I	m i название собственных форм колебаний. Искомые собственные
формы колебаний, естественно, должны удовлетворять соответ-
ииующим граничным условиям. Так, в случае свободных концов
Стержня—	0 ПРИ л = 0 и х = 1	(10.5)(|де / — длина ракеты) усилий на конце стержня-ракеты нет.Точное решение системы уравнений (10.4) и (10.5) известно
лини» для нескольких частных случаев распределения массы и же¬27 3
сткости. Наиболее эффективным приближенным методом решения
данной задачи является метод последовательных приближений.
С помощью этого метода можно вычислить частоту собственных
колебаний с любой желаемой точностью, а по разности результа¬
тов последовательных приближений легко оценить имеющую ме¬
сто погрешность. Применим этот метод к решению нашей задачи,
для чего проинтегрируем уравнение (10.4), считая cps(x) известной
функцией:d'fs М
dxEF (х)л|' т,'(х) <?s (х) dx.	(Ю.6)Постоянную интегрирования не выписываем, так как из усло¬
вия (10.5) следует, что она равна нулю. Интегрируя выражение
(10.6), получим?,(*) = -Ф, + Я„	(10.7)где(10.8)Постоянную Ds находим из условия (10.5), которое с учетом
выражения (10.6) молено записать в видеi[ т! (х) <os (л:) dx — 0.	(Ю.9)оПосле подстановки выражения (10.7) в выражение (10.9) и эле¬
ментарных преобразований получаемj tri (х) Ф , dxs i	>j m' (x) dx(10.10)Обозначимтогда274Ф,+f m‘ (x) Ф? dxJ m' (x) dx)j" tri (x) Ф5 dxm' (л:) dx(■*) = “2?, (*).(10.11)(10.12)(10.13)
Поскольку при определении частоты форма колебания опреде¬
ляется с точностью до постоянного множителя, постольку вели-
чи им частоты, полученная на предыдущем этапе, не имеет значе¬
нии для определения os в последующем приближении. Это сообра¬
жение позволяет несколько упростить порядок вычислений, кото¬
рый будет выглядеть следующим образом.Для нахождения низшей частоты coi произвольно задаемся ве¬
роятной формой колебаний ср\,\{х). Обычно в качестве первого
приближения принимают форму колебаний стержня постоянного
сечения со свободными концами:г*. 1SKX
COS—г—ГД('s — порядковый номер тона колебаний.Затем по выражению (10.8) вычисляют первое приближение
функцииX	XФЫ= f	т'(х)ъ.\ (x)dx.	(10.14)о	w оПодставляя полученное значение в выражение (10.12), по¬
мчим 9i, 2(х), а из выражения (10.13)л/ !1-1 {х)	(10.15)V	<Р.,2 (X)Это и будет первым приближением собственной частоты перво¬
го тона. Подставив 91,2(*) в выражение (10.8), получим значе¬
ние <Di,2, с помощью которого находим третье приближение формы
колебания 91, з(*) и второе приближение частоты«,= 1/4^J-.	(10.16)Повторяя, этот процесс, получим последовательности 91, г(х) и
Vi.'»1 (х), отношение которых стремится к квадрату собственной
Круговой частоты первого тона■	= 1/ Jur(x)_.	(10.17)I ?u+.M	’Частота первого тона, очевидно, равнаВ f'-±V££k- (10Л8)При расчете второй формы колебаний должно вычисляться ус-
Лоппе ее ортогональности с первой:I| rri (х) ®1 (л:) 92 (л:) dx = 0.	(10.19)275
(10.20)Для удовлетворения этому условию к выражению формы коле¬
баний второго тона по формуле (10.11) добавляется член 8<pi(*),
т. е.<Р2 (■*) = ?2 О) + 8(Pl С*)»гдеiГ т' (х)Ф2 dx
_ф2+ о 	j" т' (х) dx(10.21)Подставив выражение (10.20) в уравнение (-10.19), получим зна¬
чение искомого коэффициента 8:j т' (х) tfj (х) <р2 (х) dxоI[ т' {х) tf j {х) dx(10.22)В дальнейшем расчет круговой частоты второго тона щ произ¬
водится аналогично расчету частоты первого тона o>i. На этом ча¬
сто и ограничивают расчет свободных форм и частот продоль¬
ных колебаний.Решение уравнения вынужденных колебаний (10.1) отыски¬
ваем в виде разложения по собственным формам колебаний:(*>(10.23)5=1где Ts — искомая функция времени.Вместо бесконечной суммы обычно ограничиваются одним или
двумя членами разложения, что практически обеспечивает доста¬
точную точность. Подставляя решение (10.23) в исходное диффе¬
ренциальное уравнение вынужденных колебаний (10.1), получим\Т„■	[EF (х) ~а^х) ■] - tri (х) у, (х) ~f \ =p(x,t). (10,24)Исключая с помощью уравнения (10.4) производные по х, при¬
дем к более простому уравнению:-2 ifs + «W m! (х) ь (х) =р{х, t).	(10.25)Написанное уравнение можно упростить, так как левая часть
выражения (10.25) представляет собой разложение возмущающем
нагрузки по собственным формам колебаний cps(x). Для отыскания
коэффициентов разложения умножаем левую и правую части
уравнения (10.25) на срr(x)dx и интегрируем по всей длине ракеты.276
Вследствие ортогональности собственных форм колебаний в ле-
Mihi части из суммы сохранится лишь один член:i i—	[f, + j т' (х)ср2 (х) dx — \ р (х, t) 9, (х) dx
о	оп in окончательноi\р(х< 0 4s(x)dx'fs + со]TS = - \	,	(10.26)j т' (х) (л) dx0Где .s=l, 2 ...Мели возмущающая нагрузка известна, то вычисление правой
Чвсти выражения (10.26) не вызывает затруднений. Так, например,
Пусть нас по-прежнему интересует деформация корпуса, вызван-
Itmi изменением тяги при запуске или выключении двигателя. Обо-
Цшчим тягу через P(t).Координата сечения корпуса, в котором приложена тяга, —хду.I	01 •да, очевидно, уравнение (10.26) после элементарного предель¬
ного перехода можно переписать в видеI	?s + = - /J(° ‘АХяу)—.	(10.27)J т’ (х) 4% (х) dxо/Величину fmr (х) dx по внешней аналогии с массой иногда
Иичывают приведенной массой и обозначаютi*	™Пр. s=\m' (х) € (х)dx-	(10.28)оОчевидно, что каждой частоте ш3 соответствует своя приведен¬
ием масса.11осле введения понятия приведенной массы получаем уравне¬
ние для определения функции Ts:+	?,(*,,).	(10.29)"1пр, SУравнение (10.29) является хорошо изученным линейным диф¬
ференциальным уравнением второго порядка с постоянными ко¬
эффициентами, решение которого может быть записано следую¬
щим образом:tI	, — 4 cos <*>st + sin mat +	f P (<i) sill 0), (/—1{) dtb (10.30)rnnp. S^S J
F 0277
а продольные перемещения корпуса при вынужденных колебаниях
находятся в виде суммы
00— 25*=1t	чX j* р (м Sin ms (t — tx) dt\ys О),	(10.31)о	>где As и Bs находятся из начальных условий.Рассмотрим в качестве примера случай спада тяги при выклю¬
чении двигателя.Закон изменения тяги во времени будем считать линейным.
Предположим, что в момент, предшествующий выключению I
двигателя, корпус сжат массовыми силами и тягой Рп, колебания
корпуса отсутствуют, сопротивлением воздуха пренебрегаем.Осевые усилия в произвольном сечении корпуса находятся со¬
гласно выражению для определения нормальной силы в произ¬
вольном сечении.Соответствующие этим усилиям начальные перемещения иа по¬
лучаем интегрированием известного дифференциального урав¬
ненияEF(x)^- = N(x),	(10.32)1откудаГ М(х) ,u» = \inhkdx-0	' 'Начальные скорости равны нулю, т. е. ин = 0.Подставляя / = 0 в уравнение (10.31), получаем00«н=-2 (■*)•	(10.33) |5 = 1Условие нулевых начальных скоростей удовлетворяется при
Bs = 0.Коэффициенты Лs в выражении (10.33) теперь можно опреде¬
лить, используя свойство ортогональности функций у8(я). Для j
этого умножаем левую и правую части выражения (10.33) на
<p, (x)dx и интегрируем по всей длине ракеты, после чего получаем1j «н ъ W dx~А, = 	•	(Ю.34)| <Р ] W dx2781A, cos со t + Bs sin (о < +*Ps (*^Ду)X
Перемещения могут быть найдены с учетом того, что Bs = 0, из
следующего уравнения:м = 2 {4 cos со^ +(lили»=2•S-1Аmnp. s^s_ , *УР. (-*ду)
COSco^	г Xтпр, s wssin -f-x—-^j cos(eo^-^l) ?,.(*)■	(10.35)2	IАмплитудное значение первого члена оказывается значительно
меньше второго и поэтому при отыскании максимальных переме¬
щений им можно пренебречь. Тогда(й?Т„ , V Ро?Л*ду) Sm ~2~ / ^	/1ЛОЛЧmax	w2 ^ ?*(■*)•	(10.36)шпр. S Ws	—Соответствующие этим перемещениям максимальные продольные
динамические усилия определяются по известным формулам со¬
противления материалов:|	Nmax(x) = EF(x)^p~iosx~ 2	-%l£L ef (x).i m „ <oz «ct dx	4 '5=»1 тПр. 5	Л—Производные	заменяем с помощью соотношения (10.6),Тогдаi' »*., w “ 2	1 * w». w ** о»-3?)оВ заключение еще раз заметим, что для тонкостенных элемен-
Iон корпуса сл<атие является более неблагоприятным случаем на¬
гружения, чем растяжение. Поскольку динамические нагрузки при
спиде тяги оказываются по модулю меньше максимальных сжи-
М/пощих статических нагрузок, то они не могут быть определяю¬
щими для прочности корпуса. Вследствие этого, как уже указыва¬
лись, на практике в этом случае ограничиваются динамическим
рисчетом стыковочных болтов, крепящих ступени, отсеки и боевую
чисть.т
§ 10.3. СОБСТВЕННЫЕ ФОРМЫ И ЧАСТОТЫ ИЗГИБНЫХ
КОЛЕБАНИЙ КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТНаряду с определением частот и форм продольных колебаний
корпуса ракеты в динамических расчетах всегда необходимо опре¬
делять частоты и формы изгибных колебаний. Для ракеты с РДТТ
эта задача в первом приближении может быть решена путем пред¬
ставления корпуса ракеты в виде упруго-изгибаемого стержня пе¬
ременного сечения и с переменным распределением массы по его
длине.Считаем, что:—	упругая ось корпуса ракеты в недеформнрованном состоя¬
нии прямолинейна и совпадает с линией центров тяжести попереч¬
ных его сечений; при этом под упругой осью понимаем геометриче¬
ское место точек, к которым должны быть приложены внешние
силы, чтобы вызвать изгиб корпуса без кручения;—	отклонения точек оси при поперечных колебаниях не выво¬
дят деформации корпуса за предел пропорциональности и лежат
в одной плоскости (плоскости колебаний).Совместим начало отсчета с вершиной боевой части, а ось ох
направим по упругой оси корпуса от вершины к донному срезу.
Тогда отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях
однозначно определяются функцией координаты х и времени t:w = w(x,t).	(10.38)Эта функция определяется линейным дифференциальным урав¬
нением четвертого порядка в частных производных, которое мо¬
жет быть получено следующим образом. Известно, что прибли¬
женное уравнение изогнутой оси корпуса при принятых допуще¬
ниях имеет видЕ/*1г£ = М>	(10-39)где Е1Х — изгибная жесткость;Е—модуль упругости;1Х— момент инерции сечения относительно нейтральной
оси, его величина в нашем случае зависит от х.
Дифференцируя уравнение (10.39) дважды по х и учитывая, чтод3М ,—	ч (•*-> 0>где q(x, t)—интенсивность поперечной нагрузки, получимда= »<*, О-	(Ю.40)В последнем уравнении, так как w является функцией двух
переменных, вместо обыкновенных производных использованы обо¬
значения частных производных.230
Интенсивность поперечной нагрузки q{x,t) может быть пред¬
ставлена в виде суммы двух составляющих. Первая из них qi
сеть интенсивность сил инерции, обусловленных ускорением попе¬
речных колебаний элементов корпуса ракеты. Вторая — q2 — яв¬
ляется интенсивностью внешней поперечной нагрузки. Очевидно,/ j.\	d2wqi(x, t) = -mx-w-,где mx — линейная массовая плотность стержня.Используя выражения для qi(x,t), из уравнения (10.40) по¬
лучимд2 / гг, d2w \ . d2w	, ,,	/1 п л 1 \fix'2 ) дГ2 ^2 (•*-> О-	(10.41)Если q2(x,t)=0, получим уравнение свободных поперечных ко¬
лебаний стержняд2	Л \	d2w Л	мп ло\дх2 \E jc дх2 J + тх dt* ~ •	(10.42)Для определения произвольных постоянных, появляющихся при
интегрировании уравнений (10.41) и (10.42), необходимо задать
граничные (или краевые) и начальные условия.Граничные условия определяются способом закрепления кон¬
цов. В простейших случаях граничные условия определяются сле¬
дующими соотношениями:а)	конец корпуса свободен (ракета в полете); на этом конце
и нибающий момент и перерезывающая сила равны нулю, следо-
нательно:d^w~bx?б)	конец корпуса жестко закреплен, на этом конце равны нулю
ирогиб и угол поворота поперечного сечения стержня, т. е.a	dw п® = ° и U^0-’в)	конец корпуса свободно опирается (или закрепляется шар¬
нирно); на этой опоре равны нулю прогиб и изгибающий момент,
г, е.W = 0 и -^г = 0.В других случаях, например при опирании на упругую опору,
циничные условия выражаются сложнее и должны учитывать ка‘к
Мфактер возможных смещений опоры конца стержня, так и воз¬
никающие упругие восстанавливающие силы.Начальные условия выражаются соотношениями:( п\ -. ( \	dw(x, 0)	, ч
где функции и и у (.г) определяют начальные отклонения и ско¬
рости точек упругой оси стержня.Положим, что корпус совершает свободные гармонические ко¬
лебания с частотой со. В этом случае прогиб w(x, t) можно пред¬
ставить в видеW (_х, t)=® (х) COS -J- е).	(10.43)Функция ср(х), выражающая распределение амплитуд отклоне¬
ний точек упругой оси от равновесного положения, является соб¬
ственной формой. Каждой собственной форме колебаний соответ¬
ствует своя собственная частота со. Так как при изгибных колеба¬
ниях корпус ракеты аппроксимируется балкой с распределенными
параметрами, т. е. системой с бесконечным числом степеней сво¬
боды, то собственных частот и форм колебаний также бесконечное
множество. Для определения собственных форм используем урав¬
нение свободных колебаний (10.42), в которое подставляем выра¬
жение прогиба (10.43). При этом получим(£7,?")" - ш2тх<? = 0.	(10.44)Это уравнение исчерпывает все множество собственных форм и
частот, поэтому его записывают для s-й формы и частоты(едГ-«^яЛ = 0.	(10.45)К уравнению (10.45) необходимо добавить граничные условия
для функции cfs(x), которые получаются из граничных условий для
w(x, t) с помощью выражения (10.44). Для определенности рас¬
смотрим случай полета, когда корпус ракеты может быть пред¬
ставлен как балка со свободными концами. В этом случае гранич¬
ные условия записываются в виде-9>»=0; ^К-з^)к-.=0- (10'4б>\х=1	I*-./Задача отыскания функций срДл:), удовлетворяющих уравне¬
нию (10.45) и заданным граничным условиям, например (10.46),
называется краевой задачей.Собственные функции краевой задачи образуют систему орто¬
гональных с «весом» тх функций. Свойство ортогональности запи¬
сывается следующим образом:[m^dx (s = f) _	(10 47)0	{s=£r)В расчетах можно пользоваться так называемыми нормирован¬
ными собственными формамиЛ И = ■ t 9я(х) _Г .	(10.48)2J Шх ЪЬ dx =282
Для нормированных форм справедливоi(mxf2sdx= 1.	(10.49)оЗаметим, что в отличие от продольных колебаний количество
узлов при изгибных колебаниях на единицу превышает порядко-
iii.iii номер тона.В целях дальнейшего упрощения задачи представим корпус
ракеты в виде стержня постоянного сечения.Для стержня постоянного сечения уравнение (10.44) (индексы s
опущены) можно записать следующим образом:®1V —£4 9 = 0,	(10.50)гдеEIОбщий интеграл этого уравнения имеет вид<Р (*) = AS (х) + ВТ (х) + CU(x) + DV(x), (10.52)гдеS(x), Т(х), U (х) и V(x) — функции А. Н. Крылова;1,	В, С, 6А, В, С, D— постоянные интегрирования
S (х) = (ch kx -f cos kx);T (x) = -j- (sh kx + sin kx)\U (д:) = -i- (ch kx — cos kx);V (x) = 4- (sh kx — sin kx).(10.53)Функции Крылова позволяют сразу написать общий интеграл,
удовлетворяющий граничным условиям на конце л: = 0. Так, на-
нр имер, имея в виду граничные условия (10.46), общий интеграл
уравнения (10.50) получим в виде<Р (х) = Л5' (х) + ВТ (а-),	(10.54)который, как нетрудно убедиться, удовлетворяет всем граничным
условиям при х=0:[?"(■*)],-о = 1?'" Wk-o^0-Постоянные А и В найдутся из условий на конце х—1:<?" (0 = &1AU (kl) + BV (kl)] — 0;ср"' (/) = k3 [AT (kl) + BU (kl) ] = 0.	( ■' >Система уравнений (10.55) является однородной относительно
неизвестных А и В. Чтобы эта система имела отличные от нуля
решения, необходимо равенство нулю ее детерминанта. Составим283
определитель системы (10.55) и приравнивая его нулю, получим
так называемое уравнение частот:cos kl ch kl= 1,
которое имеет бесконечное множество корней:kxl = 4,73; k2l = 7,85 ksl=-^-~-n. (10.56)'Этой последовательности значений корней соответствует после¬
довательность частот(10-57>и собственных форм.Уравнение соответствующей собственной формы составляем
следующим образом. Из первого или второго уравнения системы
(10.55) определяем отношениеВ _ T(kl) __ U(kl)	(А — U(ki) — ЩИ) ■	ии.о»)Подставляя отношение (10.58) в уравнение форм колебаний
(10.54), получим^ (*) =A[S (ksx) - Т (V)] •	(Ю.59)Отсюда следует, что собственная форма колебаний определяется
с точностью до постоянного множителя.Если поперечное сечение стержня-ракеты переменно, то в об¬
щем случае аналитическое решение уравнения (10.45) не суще¬
ствует и его находят численными методами. Рассмотрим один из
таких методов — метод последовательных приближений. Для опре¬
деленности будем рассматривать случай полета ракеты, которому
соответствуют граничные условия в виде выражения (10.54).
Из уравнения (10.45) четырехкратным интегрированием находимО) = а* + cs (х — хт) +SX X(10.60)где	хт—абсцисса центра тяжести стержня;as, bs, cs, ds—произвольные постоянные, определяемые из гра¬
ничных условий.Используя условия (10.46) на конце *=0, получаем as=bs = 0.
Граничные условия на конце х—1 эквивалентны следующим
условиям:j mx%dx = 0; f (х — хт) mx<?s dx=0.	(10.61)284
Действительно, интегрируя уравнение (10.45) почленно по дли-
1И' стержня с учетом условий на конце х=1, получим первое соот¬
ношение (10.61). Далее, умножая уравнение (10.45) на {х—хт) и
Повторяя интегрирование, получим второе условие (10.61).Подставляя выражение (10.60) в выражение (10.61), опреде¬
лит постоянные ds и cs:1	i
j тхФа dx	j' (х — хТ) mx<bsdx; 	7	* (10.62)гдемф-=Иж^тл‘1х0	0 0 0(10.63)М = [ mxdx, I = f (х — х,)2 тх dxо	оСоответственно масса и момент инерции стержня относительно его
центра тяжести.ОбозначимЬ (Х) = ds + Cs(X~ Хт) + Ts (*).Тогда из уравнения (10.60)0)2= ^ W
ъ W '(10.64)(10.65)Формулы (10.62) — (10.65) используем при определении соб-•	I пенных частот и форм. Расчет ведется по схемеtl)~*(10.63)(10.62)сМ->(10.64)—>(10.65)-(2)
■У, ■В прямоугольниках указаны номера расчетных формул. Индек-
СПМИ сверху помечен номер приближения. Первое приближение
собственной формы определяется каким-либо приближенным спо¬
собом, например, путем осреднения жесткости Е1Х и погонной
массы тх по длине балки с последующим расчетом по изложен¬
ной выше методике. Заметим, что в качестве второго приближения
принимается что оказывается возможным ввиду определения
формы собственных колебаний с точностью до постоянного мно¬
жителя. Повторяя несколько раз процесс приближения, получаем
рнд собственных форм <?[п\ отношение двух последовательных зна¬
мений которых стремится к квадрату собственной частоты:?iB)(10.66)285
v приближений. Можно также дли
Обычно достаточно трех-четыре^	рэлеЯ) приведенной ниже,расчета частоты пользоваться фор	определении собственныхПриведенная схема расчета 10В дополняется операцией ор-
форм второго и более высокого т каждого приближения. В про»
тогонализации, выполняемой посЛ чИСЛе сближений всегда будем
тивном случае при достаточном ерВого тона. Ортогонализацпн
приходить к собственной форме
производится по формуле,ri==2^+ir' (1(Ш)где1	, "(л)/=1Г	dXrrtxьff dx(10.68),0	_еМ ранее вычисленным функ-
Функция <р<л) ортогональна ^циям (fu т. е.f ~~ °'U	заставляя сюда <р<я) из форму-В этом нетрудно убедиться,лы (10.67) и вычисляя интеграл. явЛяется поведение последова-
Критерием окончания расчета кОТорая своим пределом имеет I
трльнпсти частот	• • ”точное значение частоты.	вестен ряд приближенных мето-В теории колебаний балок из яМЬ!Х вариационных или энер-
дов, которые получили названиегетических методов.	Ритца. Сущность его состоитРассмотрим один из них мет энерГИЯ при свободных колеба-
в следующем. Предполагается, чт Му потенциальная энергия, на¬
циях балки не рассеивается, поэ прогибе, равна кинетической
копленная балкой при максималЫ^л0ЖенИЯ равновесия. Составим
энергии в момент прохождения о и кинетической (Т) энергий
выражения для потенциальной I
ба“И: лпall = "5где d<$ = -jr dx,
тогдагде 	кривизна.dn=4- ^ dx'286
Проинтегрировав это выражение, полх( УчимК	П=1/М222774М.. M = E/x^- = Elxw".(Следовательно,I	n=^iEix^"ydx.Кинетическая энергия равнаТ=--МimxWdx.Предположим, что из каких-либо
Приближенно установить форму свобп с0°бражений ^нам удалось
Тогда прогиб балки при свободных ^ных колебаний балки
пин. в виде	колебаниях можно предста-W = Г (х) cos (ш+ е).Подставив выражение прогиба бал>
цоЛ и кинетической энергий, получим- в выРажения потенциаль-I	п=4-cos"(*'+*) | Etx wy ах.Уу dx;iТ = -~-0)2 sin2 (wt + s)' I	т 1 2 Г о yV0	’ Tmax = ^)mx^dx.0Согласно сделанному предположен
Отсюда	ь^max 2 J (<j/'(10.69)Зададим форму прогиба для колек^ний первого тона в виде9	(л:) = С, + С, -i. . пх2^ + sin-^y-.	(10.70)I	'	#При использовании метода Ритца
ие очень жесткие. Она даже может н требования к функции ф(х)
ным условиям, так как под интеграл^ УД°влетв0Рять всем гранич¬
им ошибки сглаживаются.287
Для нашего случая:/ / \ С 2 1 тс	tzX?(•*)= -f + — cos —;?"U)=-4sinJf;= cosJf-
Если балка свободная, «р*-0. ^_г == 0,	1 ф 0, т. е. гранич¬ные условия полностью не удовлетворены.Кинетическая энергия равна/Т = со2 sin2 (соt + е) j m,<p2 dx = -Y<o2 sin2 (со/ -f- e) xXC\ j mxdx-f 2CXC2 -г- f nixx dx+C2-— J mxx2 dx -f-о	о	02	I+ 2Cj j /га, sin ~~ dx + 2C2 j /га, - j- sin -y- +г-j- j" tnx sin2 -y- fikcОбозначим:iAx = j /и, c/a;;Ab=]mx-j- sin^j-dx)iA* = -7“ j mxx dx;01A* = ~t\ mx^dx\0iAi = J /га, sin -y^- rfx;Л*I■ j /И, sin2 -y-с/л*.ТогдаT = -g- со2 sin2 (ш/ + e) [ЛХС^ + 2Л2С1С2 ++ АЪС\ -f- 2A4Ci -f- 2С2Лб At\.Ищем постоянные Сi и С2 из условия Tminj
дт п от п
1с7 = ° и -асг^0-(10.71)288
О	t сюда:2Л1С2 + 2 А?С2 + 2Ai = О
2/42Cj + 2Л3С2 + 2Л5 = О
А\, А2илиАп. А»— —
Ль Л4■^2» ^5Л^! -(- Л2С2 — —Л4
Л2С1 -f- Л3С2 = —Л5
Л4, Ло= Л3Л4 + Л2ЛВ;д2 —[так,Сг^2^6 + ^3^4Л,Л3	 Л2С,=Л5Л4 — AiAr.At А3А'1л?(10.72)Если известно распределение масс вдоль балки тх, можно вы¬
числить коэффициенты Ль Лв> найти Сх и С2 и далее по выра¬
жению (10.70) определить форму колебаний. Так как:	-р sin-wy■ sm-fO частота колебаний—	f EIX sin2 — dx
I* J * I(0 —s(10.73)iliC? + 2j42CiC2 + Л3С1 + 2j44Ci + 2^4SC2 +При практических расчетах балку разбивают на участки и пн-
нчрирование заменяют суммированием.В этом случае, если известна упругая линия балки, можно за¬
писать уравнение для ш таким образом:i[ р (х) w dx«.—rJ	,j mxw dx + 2 miwf0Где p(x)— нагрузка, вызывающая прогиб балки (распределенная
или сосредоточенная);
w— статический прогиб балки;
т1—сосредоточенные массы.§ 10.4. К РАСЧЕТУ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ЗАРЯДА И КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТ
ПРИ ТРАНСПОРТИРОВКЕДля ракет на твердом топливе транспортировка снаряженной
ракеты является одним из основных расчетных случаев. Действи¬
тельно, в результате действия сил, зависящих от конструктивных
параметров транспортных средств (массы тележки и ее распреде¬
ления по длине и ширине, жесткости рессор и баллонов колес,10-573289
числа осей и их расположения относи'Гельно центра тяжести) и or
других факторов, не зависящих от транспортных средств (неров¬
ности дороги, жесткость дорожного покрытия, скорость движения
и др.), заряд получает некоторую величину «накопленной уста¬
лости», которая должна быть обязательно учтена при дальнейшем
эксплуатации ракеты (см. § 6.2). Рассмотрим возможные методы
ее учета.Колебательные процессы, вызываемые указанными силами,
определяют динамическую нагруженность ракеты в целом, кото¬
рая зависит от качества дороги, и от скорости передвижения. Пре¬
дельная величина динамических нагрузок, воздействующих на ра¬
кету, обычно снижается до необходимого уровня путем ограниче¬
ния скорости передвижения и соответствующим подбором рессор
и амортизаторов.При точных динамических расчетах ракеты и транспортных
средств с их амортизаторами необходимо иметь в виду, что возму¬
щения, возникающие при транспортировке ракеты по полевым до¬
рогам или по пересеченной местности, являются случайными. Эти
возмущения можно описать случайными функциями. Известно, что
случайной называется такая функция, которая в результате опыта
может принять тот или иной заранее неизвестный конкретный вид.
Графические записи случайных процессов являются отдельными
реализациями случайной функции. Сама случайная функция опре¬
деляется множеством конкретных реализаций. Зная эти реализа¬
ции и используя аппарат статистической динамики, можно опре¬
делить максимальные значения перегрузок и вероятность их появ¬
ления, а следовательно, и рассчитать корпус ракеты и заряд
твердого топлива на эти воздействия. Полный динамический рас¬
чет с учетом отмеченных особенностей в настоящее время трудно
осуществим как из-за математических трудностей, с ним связан¬
ных, так и из-за недостатка необходимых статистических данных.
Действительно, в качестве исходных данных для такого расчета
необходимо взять профиль реальной дороги, который является
одной конкретной реализацией случайной функции.Движение транспортной тележки по дорожному профилю дол¬
жно рассматриваться как стационарный случайный процесс, т. е.
процесс, не зависящий от начала отсчета времени.Для качественной и количественной оценки возникающих ко¬
лебательных процессов необходимо знать не только характери¬
стики динамической системы, но и характеристики источника воз¬
мущений, т. е. необходимо знать спектр возмущений, который за¬
висит от профиля дороги и от скорости движения. Зная дорожный
профиль, можно построить спектр возмущений при заданной ско¬
рости движения, используя который можно рассчитать характери¬
стики колебательного процесса.На различных участках дороги имеются неровности самой раз¬
нообразной формы и размеров. В чередованиях неровностей
нельзя установить какой-либо определенной закономерности, сле¬
довательно, и спектр возмущений на тележку носит случайный290
характер, и амплитуды колебаний тележки с ракетой будут слу¬
чайными величинами. Это обстоятельство подтверждается экспе¬
риментальными записями вынужденных колебаний (рис. 10.1).Из графика видно, что колебания не имеют ни постоянных ам¬
плитуд, ни постоянных периодов, т. е. носят случайный характер.
Поэтому любой дорожный профиль можно описать только случай¬
ном функцией.Для использования детерминистской теории, которая может
уже в настоящее время использоваться в инженерной практике,
Необходимо установить наиболее часто встречающиеся неровно¬
сти, принимаемые в дальнейшем как типичные. Проведенный ста¬
тистический анализ профилей различных дорог [79] позволяет про¬
вести их классификацию по средней квадратичной высоте неровно¬
стей. Общие характеристики дороги в этом случае .выражаются
математическим ожиданием, дисперсией и средним квадратичнымРис. 10.1. Запись вынужденных колебаний ракеты с РДТТнысоты неровностей. Определив эти характеристики по статисти¬
ческой теории, можно рассчитать типичные возмущающие усилия,
действующие на ракету при транспортировке, и вводить их в обыч¬
ный динамический расчет.Расчет корпуса ракеты с двигателем на твердом топливе прин¬
ципиально ничем не отличается от аналогичного расчета корпуса
|>М кеты с ЖРД, однако наличие в корпусе заряда твердого топ-
липа накладывает на этот расчет свои особенности. Так, например,
Км к уже указывалось в § 6.2, для определения величины «накоп¬
ленной усталости», появляющейся в заряде при транспортировке,
необходимо знать не только амплитуды колебаний, но и их часто-
11,1, причем для каждого типичного участка дороги отдельно. По¬
следнее обстоятельство объясняется тем, что предельное число
циклов, выдерживаемое зарядом твердого топлива при цикличе-
t ком нагружении, зависит не только от амплитуды колебания, на¬
низываемого заряду корпусом, но и от частоты, с которой эти ко¬
лебания происходят.Естественно, что при расчетах колебаний ракеты на твердом
топливе необходимо учитывать способ размещения заряда в кор-.
Нусе. Так, при применении заряда, свободно размещенного в ка¬
мере сгорания, имеющей термоизоляционный слой, расчет корпуса
тиердотопливной ракеты, как уже указывалось выше, принципи¬Ю*291
ально ничем не отличается от соответствующего расчета ракеты
с жидкостным ракетным двигателем. В случае применения в ка¬
мере сгорания хрупкого термоизоляционного покрытия необхо¬
димо определить деформации поверхностного слоя при макси¬
мальных прогибах в целях выяснения, не превышают ли они допу¬
стимых с точки зрения отслаивания и растрескивания самого по¬
крытия. Заряд твердого топлива проверяется на прочность в этом
случае отдельно.При применении скрепленного заряда, особенно при изготов¬
лении корпуса ракеты из стеклопластика, целесообразно при рас¬
чете корпуса ракеты на случай транспортировки учитывать нали¬
чие заряда, ибо при применении скрепленного заряда создается
более жесткая система (камера сгорания двигателя — заряд твер¬
дого топлива), способная противостоять большим нагрузкам, чем
в случае, когда заряд свободно размещен в корпусе двигателя.
Этот учет позволяет более точно определять «накопленную уста¬
лость» заряда, а также более обоснованно назначать оптималь¬
ные толщины стенок корпуса ракеты и снижать требования по ме¬
ханическим характеристикам твердого топлива. Как показали
эксперименты [116], заряд твердого топлива, изготовленного на
основе перхлората и тиокола, прочно скрепленный с камерой сго¬
рания, может выдерживать перегрузки до 100. Заряд, прочно
скрепленный с камерой двигателя, увеличивает жесткость камеры
сгорания и тем самым позволяет в некоторых случаях сохранять
малую толщину корпуса ракеты, выбранную из условия работы
двигателя на траектории. Роль заряда в увеличении жесткости
конструкции различна для различных типов ракет. Так, для ракет,
корпус которых изготовлен из стали, роль заряда в увеличении
жесткости корпуса практически ничтожна; для корпусов ракет,
изготовленных из стеклопластика, для отдельных видов твердого
топлива эта роль может быть существенна.При учете влияния заряда на жесткость конструкции расчет
может быть произведен по следующей методике. Определяется
тем или иным способом кривая прогиба корпуса ракеты без учета
заряда и, полагая заряд плотноскрепленным со стенкой камеры
сгорания, находится нагрузка, воспринимаемая зарядом. Величина
этой нагрузки вычитается из заданной и расчет повторяется до
получения удовлетворительного сближения.Обычно влияние жесткости заряда на жесткость корпуса ра¬
кеты учитывают автоматически в процессе основного расчета по
определению амплитуды при заданной частоте, колебаний (или ве¬
личине перегрузки). Рассмотрим методику расчета на примере.Пусть необходимо определить амплитуду прогиба корпуса (а следовательно,
и скрепленного с ним заряда), исходя из заданных условий транспортировки
твердотопливной ракеты длиной L=9 м и диаметром rf=0,29 м при толщине
стенки камеры сгорания 3=0,004 м. Корпус изготовлен из стали. Эпюра
нагрузок и схема транспортировки ракеты показаны на рис. 10.2. На этом же
рисунке приведены эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов для
рассматриваемого случая нагружения. Максимальную динамическую нагрузку,292
действующую при транспортировке в поперечном направлении, учитываем коэф-
||||ЩИеНТ0М динамичности П„.тах=Ю.Полагаем, что пластические деформации корпуса ракеты во время транспор.
тнровки недопустимы.Эпюра нагрузокЭпюр а перерезывающих силЧ/	тон.м2и о о кмРис. 10.2. К расчету коэффициента запаса проч¬
ности5650н1960н52 90»Эпюра изгибающих моментов
7435 кмТак как предел текучести от для стали 35ХМА равен 9-108 н/м2, том минимально допустимый момент сопротивления сеченияIV7	_ "^шах	7435 __^тш. стат. пред. ~ _	—'qirw- •	м'“стат. пред. а-ш293
Для оболочки без учета заряда топливаW =7cd23,14-0,292-0,004= 2,67-10~> м\и,	следовательно, запас прочностиVI/Ч = 'min. стат. пред.2,67-10-*
8,25-10-6: 3,24.Находим далее кривую прогиба в предположении, что заряд твердого топ¬
лива не воспринимает нагрузку. Попутно рассмотрим, в какой степени заряд
твердого топлива будет увеличивать жесткость корпуса ракеты.Влияние заряда твердого топлива на жесткость конструкции, как указы¬
валось выше, будем учитывать методом последовательных приближений.Кривую прогиба проще искать методом начальных параметров (рис. 10.3).Граничные условия при выборе начала координат на левой опоре запи¬
шутся следующим образом:v0 — 0; tp0 = ?; М0 = —2400 нм\ Q0 = 5650 н\?0 = -юзо JL; 1^ = 0.С другой стороны,1 Г Ьг	Ь3	~1vx=b	М0 -gj 1- Q0 |- q0 -щ-J = 0;1Ъ =ElbГb2 „ Ьъ bl ЛL^o ~2f + Q° ir + q° тг J •Прогиб в любом сечении между точками 2 и 3v - «ро* + ~ [М0 -у- + Q0 + q0 — j.Для рассматриваемого случая:£ = 2,1-10» -V; W= 2.67-10л3;-и2/=	= 1.37-10-5 л4; 6 = 6.7л; ¥о = —0,0017.294
Данные расчета кривой прогиба помещены в табл. 10.1, а кривая прогиба
Построена на рис. 10.4.Таблица 10.1
Зависимость величины прогиба v от координаты хX, м00,511.52.03.04.05,06,06.71/-10-3, м00,871,732.533,23,983,892,931,320Кривая прогибов практически соответствует эпюре прогибов балки на двух
Опорах под равномерной нагрузкой. Известно, что для такой балки5qbli>m„v = • '	шах ~ ШЕ1
илия =384Elvma5 **Зная максимальный прогиб, полученный конструкцией, и полагая, что заряд
Тиердого топлива следит за кривой прогиба корпуса, можно определить ту на¬
грузку, которую воспринимает на себя заряд твердого топлива.Для рассматриваемого случая внутренний радиус заряда /?в=0,03 м; на-ежный — WH = 0,I45 м\ момент инерции /х=3,56 • Ю-4 мА. Считая модуль упру¬
ги твердого топлива £т=4 • 10э н/м2, получимЭту нагрузку необходимо вычесть из заданной (1630 н/м) и повторять рас-
41-1 до тех пор, пока не получим удовлетворительного сближения по распреде¬
лению удельной нагрузки между камерой и топливом. Сближения проверяются
По значениям максимального момента от нагрузок. Проведенные сближения,
Которые ввиду их элементарности здесь опускаем, показывают, что при изго-Рис. 10.4. Кривая прогиба295
^овлении камер сгоранйя из металла й прй МоДулях упругйстй существующих
твердых топлив существенного выигрыша в запасе прочности за счет учета J
сопротивления заряда твердого топлива получить практически нельзя. Так, для
рассматриваемого примера коэффициент запаса прочности системы за счет учета
влияния твердого топлива повышается всего на 1,67%.Определив указанным выше или каким-либо иным способом
амплитуду колебания заряда при заданной частоте (или коэффи¬
циенте перегрузки) и зная экспериментально определенное про¬
дельное число циклов при определенной амплитуде и частоте коле¬
баний, а также количество циклов колебаний, сообщенное ракеге
на данном участке транспортировки, можно определить «накоплен¬
ную усталость»Суммируя величины «накопленной усталости» по различным!
Этапам транспортировки, получим величину «накопленной ' уста¬
лости»Которую и надо учитывать в расчетах общей величины «накоплен¬
ной усталости», определяемой на протяжении всего времени служ¬
бы твердотопливной ракеты (см. § 6.2). Естественно, что в этих
расчетах, как и раньше, при определении величины пц. пред, г необ¬
ходимо учитывать влияние отдыха и разброса экспериментальных
данных.§ J0.5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЗАРЯДА И КОРПУСА
РАКЕТЫ С РДТТ ПРИ ИЗМЕНЯЮЩЕМСЯ ВО ВРЕМЕНИ ДАВЛЕНИИПредставим заряд ракеты с РДТТ в виде длинного, скреплен*
ного с корпусом цилиндра, подверженного действию изменяюще¬
гося во времени внутреннего и наружного давления. Материал за¬
ряда будем считать несжимаемым.Рассмотрим как смещения, так и тангенциальные и радиальные
напряжения в заряде. Особенно подробно рассмотрим радиальные
напряжения, так как они дают возможность определить напряже¬
ния отрыва на поверхности контакта между зарядом и оболочкой
камеры сгорания.Нетрудно себе представить, что если давление внезапно прикла¬
дывается на внутренней поверхности заряда, то радиальные напря¬
жения на поверхности контакта цилиндра с корпусом будут перио¬
дическими, но всегда сжимающими. Если давление прикладывает¬
ся по наружной поверхности оболочки, то для радиальных кон¬
тактных напряжений возможны максимумы растяжений, хотя при
статическом расчете в обоих случаях воздействия на систему дан-
ления контактные напряжения будут всегда сжимающими. Второй
случай нагружения характерен для запуска многоступенчатой ра¬
кеты с РДТТ из шахты [8].296
Обозначим внутренний радиус скрепленного заряда через а,
Наружный через Ъ, толщину стенки камеры сгорания через к. На
систему «заряд—корпус» воздействует переменное во времени и
1>.микшерное по длине давление quИ условиях осевой симметрии и плоской деформации уравнение
движения для цилиндра запишется следующим образом [8]:I	+ ^ = Ттт£.	(10-74)Где и — радиальное перемещение точки;YT — плотность материала топлива;
t — время.Учитывая зависимости между относительными деформациями и
Смещениямида	и	Л*г = ~дГ> е6=— и S = °.кловие несжимаемости материала заряда представим в виде■/	-|- + -f = 0.	(10.75)Решение уравнения (10.75) будетu==z±p_' (10.76)
ВС k(t)—функция только времени t.Если обозначить через stj и ец соответственно компоненты де-
мпаторов напряжений и деформаций, то зависимость между напря¬
жениями и деформациями для несжимаемого вязко-упругого мате¬
риала, которым моделируем физико-механические характеристики
Исрдого топлива, можно представить в виде [8]tsij (r> 0 — 2 f G (t — s) dei} (r, s) ds,	(10.77)oMe G (t) —функция релаксации при сдвиге (см. гл. 6).Из выражения (10.77) с помощью зависимости (10.76) получим
t t
», — ae=2 fG(f —s)d(*,— •,) = (—-i-) \G(t — s)dk{s). (10.78)I	о	4 ' оПодставив уравнения (10.78) и (10.76) в уравнение движения
(10.74) и проинтегрировав полученное разрешающее уравнение для
«, по г, получимIО, = bk (t) \nr—(~)$G(t — s) dk (s) + A (t). (10.79)' ' 0Функции A (t) и k (t) подлежат определению из начальных и
1||/шичных условий при г = а и г=Ь.2 97
Предположим, что в момент t = 0 система находилась в состоя¬
нии покоя. Отсюда следует, чтоk(t) = k(t) = 0 при <<0.	(10.80)Из уравнения движения скрепляющей заряд тонкой оболочки при
г = Ь следуеттЬт-Ч,.,- (Щ81>где af/	и <7н — соответственно радиальное напряжение в за¬ряде при г—Ь, тангенциальное напряжение в оболочке корпуса и
нормальное наружное давление;Ун — плотность материала корпуса.Используя связь между тангенциальными напряжением и де¬
формацией корпуса, а также условие непрерывности этой дефор
мации на границе заряд —корпус (заряд прочно скреплен с кор¬
пусом), получима'!г-ь= (х) (£)к ю -1* (т) * w- <ia82>гдеЯ' — £к—	модуль упругости материала корпуса;[лк—коэффициент Пуассона материала корпуса.Если давление прикладывается только к внутренней поверхно¬
сти заряда, а снаружи корпуса давление отсутствует, то граничные
условия имеют вид:при r = a	аг = —qB(t);при г = Ь а, = -(А) &(/) — Тк(10.83)Если давление прикладывается на поверхности корпуса, а вну¬
три цилиндра давление отсутствует (рассматриваются вторая и по¬
следующие ступени), то граничные условия приобретают следую¬
щий вид:при г = а	ог = 0;	|при г = b vr = — qH(t)—(	k (^ — ^(А) k(t). j ‘ *Подстановка граничных условий (10.83) и (10.84) в исходное
уравнение (10.79) даетТтМ(0 + (т) (4)^0 +
t+ 2 (-1-	1-) j G (f -s) (S) = q (0, (10.85)'	о298
гдеI	ж=|пШ + (тг)(т)'	(ю.вв)n q (t) =—qB (t)—для граничных условий (10.83);
q (t) = +qB (t)—для граничных условий (10.84).Решение интегро-дифференциального уравнения (10.85) должно
Гн.пъ подчинено начальным условиям (10.80). Устраняя разрыв
при / = 0 и интегрируя по частям, уравнение (10.85) перепишем в
ииде [8]I • ТтМ (0 + (-§-) Nk (0 + 2 [(-^£)] XtX$0(t — s)dk(s)=*—q{t),	(10.87)оГде «штрих» означает дифференцирование по аргументу;Gо — модуль сдвига в застеклованпом состоянии материала за¬
ряда (см. гл. 6);I	"=1^+(D(-§r)(£)-Если материал заряда считать не вязко-упругим, а упругим с
модулем сдвига G, то уравнение (10.87) сводится к обыкновенному
дифференциальному уравнению. Введем в рассмотрение безраз¬
мерное время т) по зависимости(Ю.88)где с2 = —.ITПодставив выражение (10.88) в уравнение (10.87), получим [8]
Mk (Ч) + Nk (n) = -q (п) (£) .	(10.89)Решением уравнения (10.89) является выражениеvА(у]) = — (-Jffiz) j Я (ч — S) sin (®j) ds, (10.90)гдеm2 —I 	M<02=4.	(10.91)Анализируя выражение (10.91), нетрудно убедиться, что дина¬
мическое поведение рассматриваемой конструкции зависит от гео¬
метрических параметров (^- и —j и от физико-механических па-рнметров заряда и корпуса	и , Влияет на него и харак¬тер внешнего приложенного давления (см. выражение (10.90).299
Чтобы выяснить зависимость решения от параметров конструк¬
ции и материалов, предположим, что внешнее давление приклады¬
вается мгновенно и затем поддерживается постоянным [8]. В этом
случае функцию k (y]) можно определить в явном виде. Подставив
k (у]) в формулу для радиального напряжения, получимar — Р—[cos щ In + -Jr(l — тг)(1— cosu)yj)J Q, (10.92)где для граничных условий (10.83)P = Q=—q*H (то),
а для граничных условий (10.84)Р = 0; Q = qaH(n).Тангенциальное напряжение о9 нетрудно получить из зависи¬
мости (10.78) с помощью выражения (10.92):°0 —i[COSo)Y)ln + + тг) (1 —cos«)yi)]Q. (10.93)Как уже указывалось выше, в рассматриваемых задачах наи¬
больший интерес представляет радиальное контактное напряжение
or при г = Ь. Это радиальное контактное напряжение является сжи¬
мающим, если цилиндр нагружает¬
ся изнутри и может быть растя¬
гивающим, если внешнее давление
прикладывается к корпусу и жест¬
кость корпуса заметно больше, чем
жесткость материала заряда на
сдвиг. Такая ситуация может воз¬
никнуть в скрепленном с- корпусомзаряде, для которого -q- = 104, чтоявляется вполне реальным [8]. Ра¬
диальное контактное напряжениедля различных поданным работы[8] для граничных условий (10.84)ffZ/0eи= 0-2;Ткприведено на рис. 10.5. Из рассмо¬
трения рис. 10.5 нетрудно заклю¬
чить, что максимумы растягиваю¬
щих контактных напряжений могут
вызвать нарушение скрепления за¬
ряда с корпусом и потребовать при¬
нятия соответствующих конструк¬
тивных мероприятий.Если считать материал заряда не
упругим, а вязко-упругим, то исход¬
ная задача сведется к интеграль¬
ному уравнению Вольтерра второго-г - Ю-2ОИ— = з,а ’—e'/g = ю■E/G=!0Рис. 10.5. Отношение егг/яв при
г=Ь для скрепленного заряда при
различных величинах E'/G300
рода, решение которого в общем случае может быть получено
лишь численными методами [8].Если функция релаксации при сдвиге (см. гл. 6) является про¬
стой аналитической функцией, то решение задачи можно получить
и н замкнутом виде, воспользовавшись преобразованием Лапласа.§ 10.6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЗАРЯДА,
СКРЕПЛЕННОГО С КОРПУСОМ РАКЕТЫ, В ПРОЦЕССЕ
ТРАНСПОРТИРОВКИ. УТОЧНЕННОЕ РЕШЕНИЕПредполагая, как и раньше, материал заряда однородным и
изотропным, будем считать, что твердое топливо является линейно-
упругим твердым телом, динамический модуль упругости которого
йпнисит в основном от частоты колебаний и определяется опытной
вависимостьюГде Е°, k— постоянные величины;т—коэффициент, зависящий от материала топлива;
со—круговая частота колебаний. *При определении частот собственных поперечных колебаний
Корпуса с зарядом топливо предполагаем несжимаемым (А = 0) и,
следовательно, его коэффициент поперечной деформации [л=0,5.Введя в рассмотрение цилиндрическую систему координат
[(рис. 10.6), уравнения колебаний заряда можем записать в виде:(10.94)(10.95)где и, v, w — компоненту перемещения по осям х, <р, г;
р — плотность заряда;
t — время;тор Лапласа;Р — ХА — неопределенная функция.
Объемное расширение(10.98)
В соответствии с принятыми допущениями произведение [лА,
естественно, равно нулю.Нетрудно заметить, что использование искусственного приема,
связанного с введением неизвестной функции Р, дает возможность
раскрыть неопределенность произведения ХА, так как продиффе¬
ренцировав уравнения (10.95) по х, (10.96) — по ср, а (10.97) —
по г и сложив их с учетом выражения (10.98), получимV2/3 = 0.	(10.99)Рис. 10.6. К выбору системы координатДля определения частот собственных колебаний рассматривае¬
мой системы необходимо проинтегрировать уравнения (10.95),
(10.97)—(10.99), в результате чего будут найдены в общем виде
(с точностью до постоянных разделения) перемещения в заряде
и, v и w.Далее, удовлетворив условиям скрепления заряда с корпусом
на внешней цилиндрической поверхности при г = Ь:и = и0; v = Vq, w = w0; }(10.100)°r— хг<?—	xrX— Jусловиям на внутренней поверхности заряда при г=а:о	г = х^ = v = 0	(10.101)и краевым условиям в торцовых сечениях двигателя (в зависимо¬
сти от схемы его опирания), получим систему однородных алге¬
браических уравнений (относительно неизвестных интегрирования
С{), которая имеет нетривиальное решение (отличное от нуля),
если определитель, составленный из коэффициентов при этих по¬
стоянных интегрирования, равен нулю. Здесь и ниже параметры,
относящиеся к оболочке корпуса, имеют индекс 0. Раскрывая опре¬
делитель (трансцендентное уравнение), найдем корни ki и соответ¬
ственно частоты собственных колебаний рассматриваемой системы.302
канди-Реализация указанного плана общего решения заД:а .ешении
дотом технических наук В. И. Чечиным показала, что пр:^тодоы
уравнений движения заряда проще всего воспользоваться 0Изве_
"Фурье, для чего представить искомую функцию Р в виде Пере-
депня функций, каждая из которых зависит только от оД11
минной х, ф, г и t:	/Ю100\Р-Ыг)РЛ*)РЛ*).Щ.Уравнение (10.99) допускает бесконечное множествомИнда (10.102).	перенесяПодставив зависимость (10.102) в уравнение (10.99) улучим
функцию, зависящую от переменной <р, в правую часть.Р\ (г) Р\ (г)	Pj(?) (Ю.103)Г Рх (г) + Г Рх (г) + г Р2 (X)	Р3 (if) 'лцные поВ выражении (10.103) штрихами обозначены про®*1"
Соответствующей координате.	м полу-Вследствие независимости переменных г, х и <р обе ч?с(|0СТоя^ь
•И'нного уравнения (10.103) должны равняться некоторой
Цой, которую обозначим х2. Таким образом, получаем ,iqЯЛ<р) + х2Я5(ф)=0	1 •IIP'lir) 1 P\(r)	Р'Ах) (10.105)A W + г А (г) /* А (х) ■ (10СТОян_
Приравнивая левую и правую части уравнения (10.105)Ной разделения а2, найдем	mq iqR4РЦх) + ^Р2(х) = 0	1 • Ub)К	Р\ (О +-гяКг) —(а2 + -£) р\ (0 =«• (10ЛО7)й СОВОКуп-Процесс разделения переменных привел к бесконечно* разделе¬
ние™ решений вида (10.102), зависящих от параметр0®^ Ком_
Ним а и х, которые могут принимать любые вещественны6
Илексные значения.	оДится кОпределение множителей в произведении (10.102) Сравнений
интегрированию обыкновенных дифференциальных бЬ1т.
(10.104), (10.106) и (10.107), первые два из которых N,eilHe gec.
решены в элементарных функциях, а последнее — ура01!
ссля — интегрируется в цилиндрических функциях. (10.104")
Изгибные колебания, как следует из решения уравнен11*1 ^ ‘ ’p,w=£>, cos»f,	Полно>характеризуются произвольным значением х=1, 2, 3, •••
решение уравнения (10.104)А, (?) = A sin щ + D, cos х, „ебованию
принимает вид решения (10.108), если удовлетворить
периодичности полученной функции, чему соответствует303
Ограничивая решение рассмотрением только поперечных (ба¬
лочных) колебаний, которым соответствует одна волна в попереч¬
ном сечении, т. е. *= 1, окончательно найдем[СЬ1Х (аг) + CekJ (а/-)] (sin ах— В COS ах) COS <?Т (t). (10.109)
Подставив значение Р из выражения (10.109) в неоднородное
дифференциальное уравнение (10.95), после его интегрирования
получими == {[C8/i (kr) + С±УХ (kr)] (cos sx + С sin sx) ++ -^3- [CJX (ar) + Ce/Ci (ar)] (cos ax-f 5 sin a x)} cos ?7'(/)> (Ю.110)где5, С, Cs -г- Ce — постоянные интегрирования;a, 5, —постоянные разделения;Л (ar)> (ar) ~~ функции Бесселяпервого и второго рода, первого
порядка, мнимого аргумента;Ix (kr), Yx (kr) — функции Бесселя первого и второго рода, пер¬
вого порядка, действительного аргумента;= /72 — S2.Аналогично из уравнений (10.97) и (10.98) найдем:
w = {-у- [СХ1 х (Хг) + С2УХ (Хг) ] (sin рх — L cos рх) ++	- 7° + с* [тг ^ М - К° (Лг)]} XX (sin 5Х — С cos sx) + -pjr {с5 [/0 (ar) — — Ix (ar)] ——	C„ [/Co (ar) + -^r Kl (ar) } (sin ax — 5COS ax)} COS <p7 (/); (10.111)
v = {{cx [x/0 (Xr) -4-Ix (Xr)] + C2 [XK0 (Xr) -±YX (Xr)]} X
X (Sin Px — L cos Рх) + -&Г [Cj/j (kr) + CJX (kr)\ X
X (sin sx — С cos sx) + [СЪ1Х (ar) + Cj/fi (ar) ] XX (sin ax — В cos ax)} sin yT (t),	(10.112)гдеX2 = p2— (32(|3 — постоянная разделения);L, Cx, C2 — постоянные интегрирования;
/0(Хг), У0(Хг), /„(ar), /Со(<*г) — функции Бесселя первого и вто¬
рого рода, нулевого порядка, действительного и мнимого аргумен¬
тов;Т (t)—гармоническая функция времени с частотой ш;
си2 = с2»2; с2 = ,
г рНиже даны решения для некоторых частных схем опирании
РДТТ в процессе транспортировки, выполненные В. И. Чечиным.304
Двигатель длиною I шарнирно опирается
на жесткие концевые шпангоутыКраевые условия — равенство нулю продольных напряжений и
радиальных перемещений в торцовых плоскостяхx-0 = W
х~ I,„о-°	(Ю.113)г- Iдают уравнения для определения постоянных разделения:С = В = L = 0;	уs = а = р, k2 = № = рг — 52 и sins/ = 0. ) (10.114)Из выражений (10.114) находим, что sl = nv:, т. е. s = .Теперь необходимо удовлетворить условиям скрепления
(10.100) и условиям на внутренней поверхности заряда (10.101).Погонное контактное напряжение qt, возникающее в месте
скрепления заряда с корпусом, найдем в общем виде из уравнений
колебаний тонкостенной оболочки [30]:^ д2"о , 1 — 1% д2«о , 1 + |л0 А d2v0 ,
дх*	2 д?	2 dxdy +.	, 0^0 ,	Й2	— 62 Й2К0	/1Л , , Г-ч+	+	(Ю.115)1 + N и д2и0 , д%0 , 1 —1*0 ,2 d2v0 dw02	дхду dtp2	2	д.*2 d<p, 62 — 62 d2V0 .	/1 п 1 1 й\+ <72 Во — Ро Во др .	(10.116), dU0 . dV0 ,	, и О 9	*2	- 62 <Э2®>о / 1 П 1 1 -7 v+ + ®o+^2v4-(Ю.117)г) Е0Ъ0Где £>о = -	о	жесткость на растяжение;1	— .1*080 — толщина оболочки корпуса;Ро= Ро8о — масса оболочки, отнесенная к площади сре¬
динной поверхности;ь0= W —параметр, характеризующий изгиб оболочки;b — наружный радиус заряда.В результате решения зависимостей (10.115) — (10.117) полу¬
чим систему однородных алгебраических уравнений. Приравняв
Нулю ее детерминант, найдем корни ki характеристического урав¬
нения и определим частоту свободных поперечных колебаний по
формулеj • = = (10118>305
Двухпролетный двигатель
с жесткими шайбами на концахДля него (расстояние между опорными шпангоутами 1\ и /2)
кроме условий в торцовых сеченияхнеобходимо обеспечить и условия сопряжения на промежуточной
опоре:Отсчет продольной координаты Хг в каждом пролете ведется от
левой опоры.В результате ряда несложных преобразований получим урав¬
нения для определения постоянной разделения:Для нахождения частоты собственных поперечных колебаний в
этом случае необходимо воспользоваться полученным в процессе
решения транбцендентным уравнением и формулой (10.118) с под¬
становкой в нее величины s, определенной из системы (10.120).Двухопорный двигатель со свисающей
правой частьюДля него (расстояние между опорами /ь длина консоли I2) крае¬
вые условия и условия сопряжения участков на правой опоре дают:Определив s из системы (10.121), ki из характеристического
уравнения, найдем частоту по формуле (10.118). Из выражении(10.120)	и (10.121) легко получить выражение для определения s
в случае опирания двигателя на концевые шпангоуты (/2 = 0).Использовав рассмотренный метод, можно найти частоту сво¬
бодных балочных колебаний РДТТ, имеющего любое произвольной
количество опор.Если рассматривать вместо колебаний двигателя колебания
ступени ракеты, то переходники, хвостовые отсеки, сопловые
блоки и т. п. приближенно можно представить жесткими элемен¬
тами с массами, сосредоточенными в центре тяжести. В этом слу¬
чае из граничных условий в торцовых сечениях можно получить(10.119)5 = <х = Р;k2 = 72 = p2 — s2;(10.120)В1 — Cj — Lx — 0;S = а = Р; k2 = X2 = р2 — S2;(10.121)306
Ныражение, связывающее s и w. Оно будет иметь следующий вид:ig sinsE0b0b3т{тг1х1ъ— nsE0b0b3+■OtpS)= m2l2 ± mylu (10.122)171 c mh lx— масса и плечо приложения левого отсека;
т2> /2—масса и плечо приложения правого отсека.Решая совместно уравнения (10.122), (10.118) и соответствую¬
щее трансцендентное уравнение, найдем частоту собственных ко¬
лебаний ступени.Результаты расчета частот собственных поперечных колебаний
Отсеков гипотетических РДТТ, шарнирно опертых концевыми шпан-
Юутами, представлены на рис. 10.7 и 10.8. Сплошной -линией науточненная методикабалочная теория с учетом
поправок	балочная теорияРис. 10.7. Графики частот колебаний гипотетического РДТТ307
рисунке 10.7 изобра>
ных колебаний двцг 11при		-)Д,%40-30-20-10-0	изменение частоты собственных попероч-
в Зав^	(найденное по формуле (10.118), т. с.СИм0сти от относительной длины Т—~тРис. 10.8. Ощи&Для сравнения10	, I
1~вКи^ определении частот колебаний в зависи¬
мости от параметров / и 8ная по зависимости же пунктиром приведена кривая, получен-
к расчету РДТТ ка^ ^^ментарной балочной теории, примененной
вид	Составному стержню. Эта зависимость имеет
Где D — EJ + EJ0—приведенная изгибная жесткость двигателя;
тпр— погонная масса двигателя.Кривая, обозначенная штрихпунктирной линией, получена по
нншсимости балочной теории, учитывающей влияние сдвига и
Инерции вращения поперечного сечения:/■«	1-, 	 „	(Ю.124)А)Ро + /р |Ро/-'о + Р^ k (F0Gq + ГО) jГде F и F0— площадь поперечного сечения заряда и корпуса;G и G0 — модуль упругости второго рода для материала за¬
ряда и корпуса;
k' — коэффициент, зависящий от формы поперечного се¬
чения. Для круглого сечения /г' = 0,9.Анализ приведенных расчетных данных показывает, что часто-
Тм, определенные по зависимостям (10.118), (10.123), (10Л24),
М|)актически совпадают при относительной длине двигателя />12.
Г, уменьшением / ошибка в определении частот, найденных по фор¬
муле (10.124), в сравнении с /, определенной по (10.118),/б -/I	А~~ "/Возрастает и при /<5,5 превышает 15% (см. рис. 10.8).При дальнейшем уменьшении относительной длины двигателя
ошибка А резко увеличивается и при / = 4 она становится более
'Л)%. На основании этого можно утверждать, что на практикеполь-
иоваться зависимостями типа (10.124) можно лишь для двигате¬
лей с />9-*-10. В остальных случаях ошибка достаточно велика и
определение частот собственных поперечных колебаний двигателей
на твердом топливе необходимо производить, пользуясь более точ¬
ными зависимостями (например, типа (10.118).Завышение частоты собственных балочных колебаний двига-
Н’ля, определенной по формуле (10.124), можно объяснить тем, что
н балочной теории не учитываются особенности движения заряда
и оболочки корпуса, различие в перемещениях слоев толстого ци¬
линдра и искажение формы поперечного сечения.На рис. 10.9 показано изменение перемещений по радиусу за-
инда в двух двигателях, отличающихся только длиной (TN2=21n\)-
нетрудно заметить, что характер изменения перемещений по ра¬
диусу заряда в коротком двигателе существенно отличается от
принятых законов изменения и, v и до в балочной теории.В длинном же двигателе (модель № 2) осевые перемещения
iaряда изменяются по радиусу уже почти линейно. Амплитуды
окружных и радиальных перемещений v и до в данном двигателе
становятся сравнимыми (балочная теория предполагает их равен¬
ство) и ошибка А с 10% (рис. 10.7) уменьшается до 4,3%.Рис. 10.10 и 10.11 дают представление об изменении внешнего
И внутреннего контуров заряда при колебаниях двигателя. Ось ка¬
нала заряда при колебаниях смещается относительно горизон-309
Х.сн15Ю5■	0,1 .		Q3	иЦ65	OJ	CJ5	o!s	u,|Wj.Рис, 10.9. Изменение перемещений по радиусу заряда
Модель -V- /		 модель №1	модель N‘2Рис. 10.10. Изменение контуров заряда. Модель № 1
тнльной оси корпуса в направлении движения двигателя. Канал
наряда как бы «плавает» внутри корпуса в вертикальной плоско¬
сти, изменяя свою форму.В коротком двигателе (модель № 1) контур внутреннего каналаII	наружная поверхность заряда деформируются неодинаково.
И длинном же двигателе (рис. 10.11) эти поверхности изменяются
одинаковым образом и контур внутреннего канала почти не отли¬
чается от окружности.Модель А1-2Второй частоте собственных балочных колебаний двигателя при
одной полуволне по длине п = 1 соответствует еще более сложное
тменение перемещений по радиусу (рис. 10.12).Увеличение толщины оболочки корпуса 8о или уменьшение тол¬
щины заряда приводит к росту частоты собственных поперечных
Колебаний.На величине поправки несущественно сказывается изменение
рпдиуса внутреннего канала заряда.Во всех предыдущих расчетах материал заряда принимался
идеально упругим. Реальные же топлива, как отмечалось выше,
Проявляют вязко-упругий характер.Для учета внутреннего трения в топливе можно воспользо-
ипться теорией Фохта; способом А. П. Филиппова; методами ли¬
нейной вязко-упругости; теорией неоднородного упруго-пластиче¬
ского тела А. Ю. Ишлинского; комплексной теорией внутреннего
Трения Е. С. Сорокина и др.311
-0,30 -0,36’ v,wРис. 10.12. Изменение перемещений по радиусу заряда при второй ча¬
стоте балочных колебанийПервые три теории для описания «упругих несовершенств» ма¬
териала (последействие, ползучесть, релаксация) используют раз
личные упруго-вязкие модели, считая внутреннее трение одной из
форм проявления наследственных свойств материала.Последние две теории основаны на использовании упруго-пла-
.стических моделей.Необходимо отметить, что единого, установившегося взгляда на
природу и законы проявления вязкости еще нет, и в практике, как
правило, применяются простейшие методы Фохта или Е. С. Соро¬
кина.ч,см	Модель №1Согласно теории Фохта напряжения в заряде связаны с дефор¬
мациями зависимостью	 jr* I	rf®0==£-s+a —,где а — коэффициент вязкости топлива, определяемый эксперимен¬
тально.Модель Фохта можно получить последовательным соединением
упругого и вязкого элементов.Комплексная теория Е. С. Сорокина предполагает связь между
напряжением и деформацией в видеО* = Z?0e* (z + iv),
где значком * обозначены комплексные величины;312
у =	-коэффициент внутреннего трения;о—логарифмический декремент затухания.Зависимости для определения частоты собственных поперечных
колебаний РДТТ с учетом внутреннего трения будут иметь вид:
по Фохту(■>e=yV — т2,	(10.125)где0)2=с2р2 — квадрат круговой частоты без учета вязкости;по Е. С. Сорокину“т"	(10Л26)V1Учет вязкости, естественно, приводит к некоторому уменьшению
чистоты свободных колебаний.В заключение заметим, что решение задачи о вынужденных ко¬
лебаниях РДТТ сопряжено с большими математическими трудно¬
стями. Однако путем введения некоторых допущений задачу можно
шачительно упростить и методом последовательных приближений
Найти перемещения, напряжения и деформации в заряде и корпусе
и при вынужденных поперечных колебаниях.Рассмотрим вынужденные поперечные колебания твердотоплив¬
ного двигателя под воздействием детерминированных усилий и
'/'2 с частотой возбуждения £2, действующих со стороны опор на
Жесткие шпангоуты (в реальных условиях от неровностей дороги
через транспортирующее средство на опоры ракеты передаются
случайные нагрузки).Определим ускорение сечений двигателя под действием прило¬
женных сил. Для этого заменим действие сил Т, и Т2 усилием
7’i -t- Т’г, приложенным к центру тяжести двигателя, и вращающим
моментом. Считая в первом приближении (при определении уско¬
рений) двигатель абсолютно жестким, находим, что он движется
поступательно с ускорением„ _ т‘ + т*и вращается вокруг центра тяжести с угловым ускорением,• _ Tt-rtI № + Ро^о): У
■LЗдесь2lm — 2 | (рF + P0F0) х2 dx — массовый момент инерции двига*оТеля относительно горизонтальной оси, перпендикулярной к оси х
и проходящей через его центр тяжести.I313
Полное ускорение любого сечения двигателя определится вы¬
ражениема инерционная нагрузка при этом на заряд и корпус будет:Разлагая выражения (10.127) в ряд Фурье по собственным фор¬
мам колебаний и подставляя их в правые части уравнений(10.95)	-f- (10.97), найдем перемещения их, vu 'Wt первого прибли¬
жения.Полученное неточное решение теперь может быть использовано
для определения ускорений в сечениях двигателя, а следователь¬
но, и перемещений и2, v2, w2 второго приближения. Повторением
процесса приближений находятся с необходимой точностью пере¬
мещения Ui, Vi, Wi и определяется напряженно-деформированное
состояние заряда и корпуса.Ро, = — РоУ sin ср;Рог ~ Po/c°S ?;
Р, — ру* sin «р;Рг = ру cos ср.(10.127)
Глава 11РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ ЗАРЯДА И КОРПУСА РАКЕТЫ С РДТТВ ПОЛЕТЕ§ 11.1. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КОРПУСА РАКЕТЫ.РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ЗАРЯДА ТВЕРДОГО ТОПЛИВА
ПРИ РАБОТЕ ДВИГАТЕЛЯ НА ТРАЕКТОРИИ. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА.Будем рассматривать корпус ракеты с РДТТ как скрепленную
с зарядом оболочку бесконечной длины, находящуюся под дей-
ггпием внутреннего давления продуктов сгорания топлива. Пред¬
полагаем, что нагружение давлением вызывает в заряде упруго-
мластические деформации, а оболочка работает в пределах упру-
I их деформаций, хотя в отдельных случаях возможно появление и
и ней упруго-пластических деформаций. При расчетах будем пола¬
ми ь известными геометрические размеры оболочки и заряда, од¬
ин ко это не исключает в случае необходимости определения этих
размеров по заданному коэффициенту запаса прочности системы
-камера сгорания — заряд твердого топлива». Кроме того, пола-
||СМ, что известны аналитические выражения, аппроксимирующие
тнграммы растяжения материала заряда, модуль упругости ма¬
й-риала оболочки, закон горения твердого топлива и закон изме-
мгпия перегрузок на активном участке траектории.Вследствие большой скорости горения топлива и малой егопрогрев только очень тонкого слоя, уже вступившего в химическую
реакцию, и температура топлива в процессе работы двигателя
1ается практически постоянной. Оболочка камеры сгорания за¬
щищена от воздействия высокой температуры продуктов горения
| ймим зарядом, поэтому при расчете напряженно-деформирован-
• «»го состояния оболочки камеры сгорания и заряда влияние тем¬
пературы учитываться не будет.Влиянием объемных сил заряда на его напряженно-деформиро-
ийнное состояние ввиду их малости будем пренебрегать. Действиепроцессе горения происходит315
инерционных сил заряда на оболочку камеры сгорания будем учи- ]
тывать суммарно, полагая эти силы приложенными не по всей j
длине оболочки, а к сопловому блоку, что идет в запас прочности
оболочки камеры сгорания. Для вывода расчетных зависимостей j
введем следующие обозначения:р — давление в камере сгорания;
г]0—внутренний радиус заряда до начала горения;■	Г\ — текущий внутренний радиус при горении заряда;
г— радиус произвольной точки по толщине заряда;
г2—наружный радиус заряда;
гй — средний радиус оболочки камеры сгорания;Ьт = г2 — гу — толщина горящего свода заряда в произвольный 1
момент времени;8К — толщина стенки камеры сгорания;AfT—масса топлива в рассматриваемый момент времени;
п—коэффициент перегрузки;q—контактное давление, возникающее в процессе ра¬
боты между стенкой камеры сгорания и зарядом,Таким образом, расчет напряженно-деформированного состоя¬
ния заряда сводится к расчету симметричной деформации толсто¬
стенной трубы, находящейся под действием внутреннего (р) и на¬
ружного (q) давлений при наличии осевой силы, возникающей от
действия на торец заряда давления р. Расчет камеры сгорания
сводится к расчету тонкостенной оболочки, находящейся под дей¬
ствием внутреннего давления q и осевой силы, возникающей от
действия давления продуктов горения на сопловой блок, а также
осевых сил инерции, переданных на него со стороны заряда. Кон¬
тактное давление q в процессе расчета подлежит определению.Вначале рассмотрим напряженно-деформированное состояние
оболочки камеры сгорания, обозначив ось координат, параллель¬
ную оси оболочки, через z, а касательную к окружности — через 0.Уравнения равновесия для собственно камеры сгорания по без-
моментной теории запишутся:—	на ось г:„ _ N2	2кгЗьк *где N = kp + MTgRn;k—коэффициент пропорциональности, постоянный для дай¬
ной геометрии оболочки;
gR—ускорение силы тяжести;—	на ось 0:Величины sj и sj, в пределах упругости связаны с напряже¬
ниями оКг и при условии изотропности материала оболочки за¬
висимостями:(П.2)(П.1)316
- Ек re fvzK);	(и.3)•г “-g-(»."+»;)•Таким образом, зная геометрию и материал оболочки (гъ, 8К,
|i„, Ек) для данного момента времени (известны величины р, k,
Mr, п), а также величину контактного давления q, найденную из
дополнительных условий, можно определить напряженное и де¬
формированное состояние оболочки камеры сгорания.Для оценки прочности целесообразно вычислять обобщенное
напряжение о;, которое и сравнивать с допускаемым напряже¬
нием [а]:°<=1Ла“)2-ах + К)2-	си-4)В случае если оболочка камеры сгорания работает за пределом
упругости, вместо уравнений (11.3) имеют место выражения:f(•;+т*г);Как и обычно,°i = У (°£)2 — (°г°е) + К )2;=	^)2 + ^£е) + (6в)2(П.5)(11.6)Полагая осевую силу N = kxq,
| деи _ kp + MTgRn—	— ~ .(П.7)вместо уравнений равновесия (11.1) и (1.1.2) можем записать:(П.8)(11.9)где а2тг/-38к *а0 =Связь между величинами ог и е, определяется диаграммой рас¬
тяжения металла при соответствующей температуре или аппрокси¬
мирующей диаграмму растяжения аналитической зависимостью.
Исключая из выражений (11.8) и (11.9) давление q, получим(11.10)где *s==“.317
Подставляя выражение (11.5) в зависимость (11.10), имеемек + 4-ек = *3(Ек + _1.6к)	(1111)ИЛИ(11.12)где(11.13)Выражение (11.6) для обобщенной деформации г; после подста¬
новки в него выражения (11.12) может быть записано следующим
образом:для данного момента времени и принятого значения q.Подставляя выражение (11.12) в первое уравнение система
(11.5), получимТаким образом, при изменении давления q величины о, и si яп-
ляются для данного момента времени функциями только .Собственно методика расчета складывается из следующих one*
раций. Зная толщину оболочки камеры сгорания 8К и ее темпера¬
туру, а также величины Мт и п для каждого момента времени,
задаемся рядом значений Аг3, для каждого из которых определяемПо номограммам (речь о них идет ниже) или по формуле(11.14)	и зависимости ai = a,(si) с помощью выражения (11.15)
определяем для каждой принятой величины величину о* .Далее по выражению (11.9) находим величину q, соответствую¬
щую принятому Аг3. Строим график q — q (Дг3), на который нано!
сим рабочее давление, исходя из предельной величины , интенсип-
ности напряжений (о,- = оь).Коэффициент запаса прочности оболочки в данный момент вре¬
мениПовторяя расчет для различных моментов времени, находим
зависимость г]3=г,3 (т) и по ней величину Yjsmin, которую и сравни(11.14)гдеЯ пред318
наем с потребной величиной запаса прочности. В случае необхо¬
димости изменяем толщину стенки камеры сгорания и, повторяя
расчеты, добиваемся получения заданной величины запаса проч¬
ности.Как указывалось выше, для определения величины а* при вы¬
бранном значении могут быть построены номограммы, крайне
упрощающие расчет особенно в том случае, когда необходимо про-
ьссти серию расчетов для одного материала. Такая система номо¬
грамм должна состоять из четырех графиков:а)	график для определения в» по выбранному ПрИ известном
значении В; график строится на основе зависимости sl = Се*
п не зависит от физических свойств материала оболочки;б)	график для определения вспомогательной функции[	? (Е' = ее) = Не¬который является обычным графиком для умножения двух ве¬
личин;в)	график для определения1-	ае = 4" 17 е" (1 + "Г В) = 9 ^ e?)^(fts)-Все эти графики могут быть использованы при построении их в
соответствующих пределах для любого конструкционного мате¬
риала. Четвертый график представляет собой зависимость секу¬
щего модуля от обобщенной деформации при различных темпера¬
турах и должен строиться для каждого конструкционного мате¬
риала отдельно. Для наиболее распространенных конструкционных
материалов эти зависимости приведены в работе [13].Объединив графики (а, б, в) и график зависимости Е' (е,) для
Iаиного материала, получим искомую номограмму, приведенную
на рис. 11.1. Ход вычислений показан на номограмме стрелками.
Общий порядок расчета при пользовании номограммами указан
Нише.Теперь, оставляя в силе все упрощающие предположения по
расчету системы «заряд — камера сгорания», отмеченные в начале
параграфа, рассчитаем напряженно-деформированное состояние
наряда с приближенным учетом реологических свойств материала
топлива. Будем предполагать, что в момент пуска температурное
иоле заряда равномерное. В основу расчета положим методику,
предполагающую, что между напряжениями и деформациями
имеют место известные из эксперимента нелинейные связи, которые
чаданы для различных температур либо графиками, либо аппро¬
ксимирующими их функциями. Считая, что в начальный момент
времени поле напряжений в заряде и оболочке камеры сгорания
равно нулю, а напряжения, возникающие в процессе изготовления
и хранения, успели отрелаксировать, в основу учета явления пол-
(учести в процессе работы двигателя положим гипотезу Ю. Н. Ра-319
ботнова [74]. Накопившуюся за счет релаксации напряжений, воз¬
никших в процессе хранения заряда, «усталость» будем учитывать
снижением предельно допустимых относительных деформаций.Оставляя без изменения идею нахождения контактного давле¬
ния методом последовательных приближений или методом графи¬
ческого построения (см. § 9.4), получаем возможность при расчете
напряженно-деформированного состояния системы «заряд твердого
топлива — камера сгорания» с учетом реологических явлений
оставлять без изменений изложенную выше методику расчета на¬
пряженно-деформированного состояния собственно камеры сгора-Е-Г0:,н/м2Рис. 11.1. Номограмма для определения величины при выбранном значе¬
нииния. Методика же расчета напряженно-деформированного состоя¬
ния заряда твердого топлива может быть представлена следующим
образом. Ведем расчет для фиксированного момента времени, ис¬
пользуя в каждом случае соответствующие зависимости Oj ~ si, по¬
лученные обработкой кривых ползучести для этого же момента
времени; Зависимости окружной ее и радиальной ег деформации
от радиального перемещения w и радиуса г имеют вид:w	dw	/11 ir\h = T’ tr==~dF-	(11Л6)Полагаем, что деформирование материала заряда происходит
без изменения объема. Отсюда следует, чтоs*+ee + er = 0-	(Н-17)Поскольку заряд плотно скреплен с камерой сгорания, а осевые
деформации оболочки камеры сгорания незначительны, величину s,320
для заряда можно полагать равной нулю. Однако более общим
случаем будет случай, когда скрепляющий слой плохо восприни¬
мает сдвиговые деформации и допускает осевое деформирование
наряда под действием сил давления, приложенных к его торцу.
Изложим методику расчета напряженно-деформированного состоя¬
ния для второго случая (s2 = const); полагая в ней е2=0, получим
Dee необходимые зависимости для условий, когда скрепляющий
слой ведет себя одинаково как в радиальном, так и в осевом на¬
правлениях.Итак, полагая sz = const (плоское деформированное состояние
заряда), из выражений (11.16) и (11.17), имеемrlvot	цу+ —Интегрируя это выражение с учетом того, что s2 = const, полу¬
чим=	О1-18)где С — постоянная интегрирования.Подставляя значение w из выражения (11.18) в формулы
(11.16), получим:С	 _С_ег~ Г1 2Введем безразмерные величины(11.19)P =	(П-2°)Подставив обозначения (11.20) в выражение (11.19), получим:
£ _ С_®в — ра 2 ’. _ с «г(11.21)Интенсивность деформаций для нашей задачи определяется
выражениемI;	si = У (ео—О2+(«,—ггУ+(ег—ев)2или после педстановки сюда зависимостей (11.21)I	''-V-t--£■+•;•	(ц-22)При плоской осесимметричной деформации уравнения равнове¬
сия имеют вид:—	в проекции на радиус:I	^+-^^- = 0;	(11.23)11—573	321
—	в проекции на ось трубы:и2tz J аггйг — Р.Интенсивность контурной нагрузки на внутреннем радиусе р, ;i
на наружном радиусе г2 величина контурной нагрузки равна q.
Таким образом(11.24)(«,),-г, = -Р, (°г)г-г, = —Ч-При введении безразмерных величин (11.20) зависимости
(11.23) запишутся следующим образом:dcr .+ аг-а« = °!2ткг\ \oz?d? = P.(11.25)Из первого уравнения системы (11.25) с учетом того, что
(рг)г=г=—р, следуета г + р =РА— dp.(11.26)Зависимости компонентов деформаций от компонентов напря¬
жений в рассматриваемом случае имеют вид:3	ej , .~ 2аI	°)’(о, —«);3s,е'-~ 2а,где ог — осевое напряжение;(11.27)а/ = yf V(°в — аг)2 + (а, — °гУ + (а, — а6интенсивность напряжений;®0 + + ®Г(11.28)(11.29)—	среднее напряжение (нормальное).Из выражений (11.27), используя соотношения (11.21), поел»-
несложных преобразований получим■ кг,4 Са'~~ 3 и f ■(11.30)322
Подставляя уравнение (11.30) в выражение (11.26), получим
уравнение для определения радиальных напряжений:аИз выражения (11.30) получаем зависимость для определения
окружных напряжений:Г ». = 4 +	(П-32>аИз третьего уравнения системы (11.27) с учетом выражения
(11.29) получаем зависимость для определения осевого напряже¬
ния az:с() + <sr с,-(11.33)В выражениях (11.31) — (11.33) величины &г и С остались неизвест¬
ными. Определим постоянную С, используя второе граничное усло-
вие, согласно которому (л)Р-1 =—Ч- Из выражения (11.31)
имеемаИЛИp — qС=		.	(11.34)•flv-F"Подставляя во второе уравнение системы (11.25) зависимость
для ог из выражения (11.33), получим11 /1 -24 Г ~°r S
—ТР( l-*2)-J —2— prfp~ 	I	2	 -	(Н.35)IS*Подставляя в выражение (11.35) значения ог и ов из уравне¬
ний (11.31) и (11.32), имеем
Последнее выражение может быть сведено к виду1_ 2 С3	J е/ р3аа(11.37)аПодставив в выражение (11.37) значение С из зависимости
(11.34), окончательно получимПолученная совокупность уравнений обеспечивает решение по¬
ставленной задачи. Для вычисления постоянных гг й С можно вос¬
пользоваться методом последовательных приближений, полагая,
что в первом приближении существует линейная зависимость ме¬
жду интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций
ai = E$i, где модуль упругости Е является известной функцией бел
размерного радиуса.Заметим, что полученной совокупностью зависимостей можно
воспользоваться и для расчета напряженно-деформированного со¬
стояния системы «заряд твердого топлива — камера сгорания» 6e:i
учета реологических характеристик твердого топлива. В этом слу¬
чае, имея зависимости одля определенной скорости деформи¬
рования, методику расчета зависимости ее = е9 (?) можно по¬
строить следующим образом [13].Задаваясь определенным значением контактного давления ч
для принятого момента времени по выражениям (11.38) и (11.34),
находим величины е* и С в первом приближении, полагая, что ог
= Ее{. Затем по формуле (11.22) вычисляем интенсивность дефор¬
мации в зависимости от радиуса. По графику зависимости oi=oi( е,)
или аппроксимирующему его выражению находим интенсивность
напряжений в функции радиуса. Вновь подсчитываем интегралы и
выражениях (11.38) и (11.34) и находим постоянные sz и С во вто¬
ром приближении. Повторяем расчет до получения &z и С с требуе¬
мой точностью.По первому уравнению системы (11.19) находим величину *ч
при принятом значении q. Расчет повторяем для других значений q
и других времен. Дальнейшая последовательность расчета не отли¬
чается от принятой в § 9.4. После определения истинного значения
контактного давления q и постоянных е2 и С для найденного q с
заданной точностью по формуле (11.22) вновь устанавливаем за¬
висимость интенсивности деформации от радиуса, а с помощью
зависимости э<=/ (s<) — зависимость интенсивности напряжений—д-CР-Ч)(11.38)s.'га324
т радиуса. Разрушение материала заряда наступает при дости-
;еиии г г значения £Пред в каком-либо месте заряда.При учете реологических характеристик материала заряда по
гипотезе старения Ю. Н. Работнова методика расчета отличается
От вышеизложенной только тем, что для каждого расчетного мо-
!■ ‘Монта времени необходимо пользоваться каждый раз своей, полу¬
ченной в результате обработки кривых ползучести, зависимостью
Напряжений от деформаций. Естественно, что в предположении
[только упругих деформаций заряда все приведенные выше зависи¬
мости значительно упрощаются. Плохо отражая количественную
картину деформирования заряда, они незаменимы для качествен-
i иого анализа его напряженно-деформированного состояния. Этот
: [Ома л из позволяет утверждать, что определяющее влияние на проч¬
ность заряда имеют тангенциальные напряжения а0, которые до¬
стигают своего максимального значения на внутренней поверхно¬
сти канала шашки. Радиальные напряжения ог всегда являются
сжимающими, а тангенциальные о9 — растягивающими. Посколь¬
ку параметр а принципиально может изменяться в пределах от О1 , / «до 1, величина напряжения в9 может изменяться от р до оо.Это накладывает ограничение на относительную толщину свода за¬
ряда, скрепленного со стенками камеры сгорания. При идеальном
скреплении корпуса с зарядом и упругой постановке задачи можно
принять равными на поверхности скрепления (г—г2) тангенциаль-
,ные и осевые деформации в заряде и в камере:е0 = 4" [99 ~ I* (аг + а*)] = 1Г- [V — he (агк + а*К)]; (11 -39)6,=jK~p 0, + ае)] = ^ Ы—^ (v + %)] > (п .40)где Е, Ек, р. и [Лк — модули упругости и коэффициенты Пуассона
соответственно топлива и камеры.Если считать оболочку абсолютно жесткой, то вместо выраже¬
ний (11.39) и (11.40) имеемI:	S—g-I»,-!*(«,+ •,)]-<*	(11.41)
К	•, - 4- [»,-1* (•, + «,)]-0.	(11-42)Исключив из зависимостей (11.41) и (11.42) oz, получим°9 — Iх Ол — ав) — °-	(11.43)Подставляя в выражение (11.43) значения сг и а найденные
по формулам Лямэ-Гадолина [13], получим значение контактного
давления q равным:2? (1-р)
С помощью зависимости (11.44) и выражений для радиальных
и тангенциальных напряжений по Лямэ-Гадолину [100]:рг\— Чг\ (д-р) г\г\
rl-r\ + r>{rl-r\y2	2	2 2	(П-45)pr 1 — qrl (9 — Р) Г\г2можно определить значения этих напряжений как функции пара¬
метров а, р и [j.. Так, при а близком к нулю (ce)max становится ран¬
ным давлению в камере, а такая величина ае недопустима для
смесевых твердых топлив, скрепленных со стенками камеры. Боль¬
шое влияние на величину напряжений в заряде оказывает и коэф¬
фициент Пуассона р. При jj. = 0,5 тангенциальные деформации ста¬
новятся незначительными, при других значениях [л они достаточно
велики. Если топливо чувствительно к деформациям, то, стремяа,
к их уменьшению, мы приходим к схеме ракетного двигателя со
свободно вложенной шашкой, где обеспечен проход газов к внеш¬
ней поверхности заряда и шашка твердого топлива находится и
условиях равномерного \ гидростатического давления (ог = се=згг:
= р). Аналогично можно проанализировать влияние на напряжен¬
но-деформированное состояние заряда и других параметров.§ 11.2. ВОЗМОЖНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
В УПРУГОЙ ПОСТАНОВКЕ И С УЧЕТОМ РЕОЛОГИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ТВЕРДОГО ТОПЛИВАВ предыдущих главах нагружения заряда давлением и темпе¬
ратурным перепадом рассматривались отдельно.Если принять, что:—	заряд и действующие на него усилия симметричны относи¬
тельно плоскости среднего сечения, действие наружного давления
на оболочку отсутствует;—	топливо и материал оболочки однородны, изотропны, подчи¬
няются закону Гука, а относительные деформации пренебрежимы
по сравнению с единицей;—. упругие и теплофизические характеристики заряда не зави¬
сят от температуры;—	температура является функцией одного лишь радиуса; рас¬
пределение температур заранее определено; в частном случае тем¬
пературное иоле может быть равномерным;—	на заряд действует только осевая сила тяжести (инерции),
то при применении излагаемой ниже методики обе эти задачи
можно объединить,-326
Вначале рассмотрим только заряд, а силовое воздействие обо¬
лочки на него заменим нормальными и касательными напряжения¬
ми, которые из физических соображений являются непрерывными
функциями- от продольной координаты.Воспользовавшись теоремой Вейерштрасса о приближении не¬
прерывной функции полиномом с любой степенью точности, реше¬
ние будем искать в полиномах. Решив первую краевую задачу
теории упругости для конечного полого цилиндра, определим пе¬
ремещения с точностью до постоянных коэффициентов указанных
полиномов.Из условия неразрывности радиального и касательного напря¬
жений на поверхности раздела деформации оболочки аналогичным
образом будут определены через коэффициенты полиномов.На втором этапе для определения
неизвестных постоянных коэффициентов
потребуем минимума квадратичного от¬
клонения деформаций заряда и оболочки
по всей поверхности их контакта.Таким образом задача окажется замк¬
нутой.Итак, имеется вертикально располо¬
женный полый изотропный цилиндр, ог¬
раниченный коаксиальными круговыми
цилиндрическими поверхностями радиу¬
сами Г! и г0 и плоскостями Z = L И 2 = —L.Ось z совпадает с осью боковых поверх¬
ностей и направлена по восходящей вер¬
тикали, а начало координат совпадает с
центром тяжести цилиндра (рис. 11.2).К боковой и торцевой поверхностям ци¬
линдра приложены нормальные и каса¬
тельные усилия или же заданы перемеще¬
ния. Кроме того, на цилиндр действует
сила тяжести, величина которой, приходящаяся на единицу объе¬
ма, равна у.Будем считать, что температура Т внутри цилиндра, отсчиты¬
ваемая от начальной (равновесной), меняется вдоль радиуса и
распределение ее заранее определено.Для упрощения дальнейших выкладок введем вместо коорди¬
нат г и г безразмерные координатыР =г~лГ« =г~Гакоторые будут изменяться в интервалеPi<P< 1;
Исходные дифференциальные уравнения равновесия в переме¬
щениях в рассматриваемом случае имеют вид1 dv .	и 2 (1 + (i) д , тпчT^^r + v«~-^=Tb2r^-K);1	dv .	2 (1 + u.)(11.46)где и, w — перемещения в радиальном и осевом направлениях,
деленные на гь;Е, [1 — модуль упругости и коэффициент Пуассона топлива;
а —коэффициент линейного расширения топлива;V —оператор Лапласа второго порядка;
v — объемное расширение.Общий интеграл этих уравнений по П. Ф, Папковичу [70] выра
жается равенствамии = и0 -j- и1 -f- м2;
w = w0 + w1 + w2,(11.47)где и0, Wq — частные решения уравнений Дюгамеля-Неймама
(11.46), учитывающие объемные силы;
ui> — общие решения однородных уравнений, получаю
щихся из уравнений (11.46), при 7’=у=0;«2, — частные решения, учитывающие неравномерность на¬
грева тела, если нагрев этот не столь велик, чтобы
отражаться на качествах материала.Если объемная сила имеет потенциал, т. е. ее проекции на оси
координат являются производными от одной и той же функции Ф,
то нахождение частных решений Uo и w0 сравнительно просто. Они
определяются выражениями [70]:w.1	—- 2(j. дф0 .
“ 2(1—},)' д? ’
1 — 2(1 (fy02	(1 —V)' dt ’о ■(11.48)где фо — есть любое частное решение уравненияVto = — -■■■■■ / ■|Л"- ф-	(11.49)В нашем случае только одна производная отлична от нуля:
Отсюда следует, чтоФ = —(11.51)328
Подставляя выражение (11.51) в уравнение (11.49) и дважды
интегрируя, найдем. Фо	(П-52)Следовательно, частные решения от объемных сил имеют видк0 = 0;„ - (П-53)
wo — 2(1-1») ^ -I-Величины и\ и W\ при отсутствии кручения цилиндра опреде¬
ляются равенствами [60]:ui = 4 (1 — [j.) 5р —(рВр + + В0)\
wx = 4 (1 — р.) ^ (р5р + + В0),(11.54)где В0 и В£ —гармонические функции, удовлетворяющие урав¬
нениюI	^ + т^ + #=°- (11-55>а функция Bpel'f (е — основание натурального логарифма, <р —
угловая координата) удовлетворяет гармоническому уравнению<э2 , 1 д , 1 д* ; д* п	/,1 гдч^ + Т^р' + ^^Г + Ж==	( ^Таким образом, задача срелась к определению функций, гармони¬
ческих в заданной области и удовлетворяющих на ее границе за¬
данным условиям.Общий прием решения краевых задач теории потенциала со¬
стоит в выборе такой системы криволинейных координат, для ко¬
торой граничная поверхность является одной из координатных по¬
верхностей и уравнение Лапласа допускает разделение перемен¬
ных [2].В нашем случае выбранная система цилиндрических координат
(р, <р, 5) позволяет осуществить такое разделение и получить ме¬
тодом частных решений аналитические решения. Однако на этом
пути исследователя ждут серьезные вычислительные трудности, ко¬
торые можно в значительной степени преодолеть, если при реше¬
нии краевой задачи для цилиндра ввести в рассмотрение класс
сферических функций.Оставшиеся неопределенными в общем интеграле (11.47) неиз¬
вестные слагаемые, учитывающие неравномерность нагрева, могут
быть определены по следующим зависимостям [70]:
где со — любое частное непрерывное до своих вторых производных
решение уравненияуш = а.Т.	(11.58)Поскольку температура не -зависит от £, это уравнение перси
дет в обыкновенное дифференциальное уравнение, которое легко
интегрируется.Возвращаясь к перемещениям, имеемЩ~ ~ \Т {х) xdx\ ®>2 = 0,	(11.50)Р*где х — переменная интегрирования.Таким образом могут быть найдены все три слагаемых, состав¬
ляющих общий интеграл уравнений Дюгамеля-Неймана. Зная пе¬
ремещения, нетрудно определить деформации, а далее и напряже¬
ния в любой точке заряда. Решение задач о деформированном со¬
стоянии корпуса и днищ можно искать в рамках безмоментном
теории оболочек и учитывать смещения от изгибных напряжений
лишь в местах сочленения цилиндрической оболочки и днищ. За
метим, что при расчетах напряженно-деформированного состоянии
заряда под действием массовых сил и в ряде случаев при темпе¬
ратурных воздействиях с достаточной степенью точности можно
считать корпус двигателя абсолютно жестким.Реологические свойства топлива 'в первом приближении могут
быть учтены путем введения релаксационного модуля.§ 11.3. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ЗАРЯДЕ
ТВЕРДОГО ТОПЛИВА СО СЛОЖНОЙ ПЕРФОРАЦИЕЙ
ВНУТРЕННЕГО КАНАЛА ШАШКИКак известно, выбор той или иной формы заряда обусловли¬
вается назначением ракеты, ее типом, а также топливом. Так на¬
зываемая «оптимальная форма» геометрии заряда РДТТ выби¬
рается из внутрибаллистических расчетов (обеспечения постоянно
го давления внутри камеры сгорания двигателя) и условия полу¬
чения максимальной скорости ракеты в конце активного участка
траектории. С точки зрения обеспечения прочности заряда РДТТ
в различных условиях нагружения наиболее рациональным (кроме
вкладного) является заряд с торцевым горением или телескопиче¬
ский заряд, в которых отсутствие резких переходов исключает кон¬
центрацию напряжений и деформаций. Однако по ряду других со¬
ображений (технологическим, 'конструктивным и т. п.) на практике
нашли наибольшее распространение другие формы зарядов (щеле¬
вые, оо звездчатым каналом и т. п.), в которых местные напряже¬
ния в вершинах лучей звезды или щелей ослабляют заряд но
сравнению с аналогичным телескопическим или торцевым.Явление концентрации напряжений в зарядах со сложной пер¬
форацией внутреннего канала шашки должно учитываться в проч¬
ностных расчетах, при оценке механической надежности заряда
и т. п.330
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние заряда
РДТТ с звездообразной и щелевой формой внутреннего канала
мри действии «а них только равномерного внутреннего давления и
температурных нагрузок.Раньше было показано (в предыдущих главах второго разде¬
ла), что при действии постоянного внутреннего давления в камере
сгорания РДТТ со скрепленным зарядом (имеющим круговой ка¬
нал) на корпус двигателя также действует постоянное давление,
составляющее вполне определенную, обусловленную соотношением
модулей упругости топлира и оболочки, часть внутреннего дав¬
ления.Наличие канала сложной формы приводит к тому, что на обо¬
лочку действуют нормальные и тангенциальные усилия, которые
можно представить в виде тригонометрических рядов.Нормальные усилия00N— 2 (/?KSin&0 + p'Kcoskft).	(11.60)ОКасательные усилия00Т = ^ (тк sin -f- cos ^0).	(11.61)оЗдесь рк, р'к, тк и т'. — соответствующие коэффициенты разло¬
жения.Эти нагрузки при определенных условиях могут привести к по¬
тере устойчивости оболочки, что в свою очередь может вызвать
разрушение заряда.Первые работы по учету эффекта концентрации напряжений з
зарядах твердого топлива носили экспериментальный характер.
Так, в работах Д. Ордала, М. Вильямса, М. Форнея и Р. Пармер-
тера [29], [97] на основе метода фотоупругости были получены поля
напряжений в моделях зарядов РДТТ со звездчатым внутренним
каналом, вызванные равномерным давлением и радиальным напря¬
жением, имитирующим температурную нагрузку по внешнему кон¬
туру. Исследования были проведены для целого ряда моделей с
различным числом лучей звезды при различных их формах и раз¬
мерах. Характеристики найденных полей напряжений представлены
в виде графиков коэффициентов концентрации напряжений в за¬
висимости от геометрических параметров сечений моделей и числа
лучей звезды (см., например, рис. 11.3).Под коэффициентом концентрации принималось отношениегде оь и аг—действительные величины тангенциальных и ради¬
альных напряжений;
ав и ог0—напряжения, которые возникли бы в эквивалентном
заряде в виде толстостенного цилиндра.331
Эти графики представляют несомненный интерес, особенно для
расчетов вкладных зарядов. Пользуясь ими, можно определит'..,
хотя и весьма приближенно, напряжения в вершинах луча звезды
для внешней и внутренней поверхностей заряда конкретной конфи¬
гурации при действии внутреннего давления и перепада темпера¬
тур. Однако эти данные дают в лучшем случае только качествен¬
ную картину поля напряжений в скрепленном заряде-РДТТ и
пользоваться ими в инженерных расчетах надо весьма осторожно,
на что указывают и сами авторы [29], [97]. Это объясняется тем,Рис. 11.3. Зависимость коэффициента концентрации напряжений от гео¬
метрических размеров зарядачто эти результаты получены при довольно грубом допущении ана¬
логии между полем напряжений, возникающем во вкладном заря-
де при действии внешнего равномерного давления, и полем напря¬
жений, вызываемым в скрепленном заряде внутренним равномер¬
ным давлением или различием коэффициентов линейного термичс
ского расширения материалов камеры сгорания и топлива при in-
менении температуры РДТТ.Другими словами, в этих работах предполагается, что между
оболочкой и зарядом действуют только равномерно распределен¬
ные нормальные контактные усилия, что в первом приближении
можно принять для зарядов с достаточно большими сводами и до¬
статочно жесткой оболочкой. В современной же конструкции РДТГ
со скрепленным зарядом, где применяется, как правило, низкомо
дульное эластичное топливо и тонкостенный, весьма податлииый
упругий корпус, на контактной поверхности «заряд—оболочка» б у ■
дет иметь место неравномерное распределение нормальных и ка¬
сательных усилий (см. формулы (11.60) и (11.61) [29].Тем не менее надо иметь в виду, что конкретные результаты,
полученные в указанных выше работах, очень хорошо иллюстри
руют качественную картину напряженного состояния звездообра i
ных зарядов. Они также позволяют сформулировать конкретные
рекомендации конструктору о путях уменьшения концентрации на
пряжений!332
—	уменьшение толщины горящего свода;'— увеличение радиуса закругления в вершинах лучей звезды,
увеличение угла раствора и числа лучей звезды и т. д.В теоретическом плане при решении задач, связанных с концен¬
трацией напряжений, обычный подход также состоит во введении
коэффициентов концентрации напряжений или деформаций в эле¬
ментарное решение, получаемое обычными методами сопротивле¬
ния материалов или теории упругости.В общем случае за коэффициент концентрации напряжений
(деформаций) принимается отношение максимального или истин¬
ного напряжения (деформации) в данной точке к напряжению (де¬
формации), полученному для той же точки элементарным методом
(это напряжение или деформацию обычно называют номиналь¬
ными) :Так, при исследовании зарядов РДТТ с внутренним каналом
f сложной формы за истинное напряжение в рассматриваемой точке
контура по предложению Ордаля и Вильямса принята разность
главных напряжений, т. е.стист ~ ар а0-За номинальное напряжение в той же точке принята разность
главных напряжений в соответствующей точке эквивалентного кру¬
гового цилиндра, толщина стенки которого равна величине свода
'рассматриваемого заряда, т. е.а = аэкв — оэкв
ином р	е •При этом Ордаль и Вильямс исходили из возможности упроще¬
ния вычислений при проведении экспериментов на фотоупругих мо¬
делях.Таким образом, чтобы определить аналитическим путем коэф¬
фициент концентрации напряжений или деформаций, необходимо
иметь решение задачи о напряженном (деформированном) состоя¬
нии кругового толстостенного цилиндра и толстостенного цилиндра
со сложной внутренней конфигурацией (как свободного, так и
скрепленного с упругой оболочкой) под действием различных си¬
ловых и температурных нагрузок.Определение напряженно-деформированного состояния в случае
первой задачи достаточно подробно рассмотрено в предыдущих
главах. Здесь же остановимся на определении напряженно-дефор-
мированного состояния для заряда сложной конфигурации.Последняя задача ввиду своей сложности до сих пор решена
лишь для случая идеального упругого материала деформируемого
тела и лишь для простейших геометрических форм.Решение может быть найдено как на базе зависимостей теории
сопротивления материалов, теории упругости и строительной меха¬£ _ дист^ном(11.63)333
ники, так и с использованием теории функций комплексных пере¬
менных.Так, исследуя прочность вкладных и скрепленных зарядов
РДТТ со сквозными щелями (пропилами) при действии внутрен¬
него давления, можно определять напряжения в основании щелей,
используя теорию балок, лежащих на упругом основании.Сектор заряда между щелями в случае вкладного заряда надо
рассматривать как консольную балку, а в случае скрепленного —
как составную балку, лежащую на упругом основании, за которое
принимается упругая оболочка РДТТ. Сплошную цилиндрическую
часть заряда в этом случае также следует рассматривать как со¬
ставную балку на упругом основании. Конечно, такое решение
(хотя и простое) будет достаточно грубым и давать в Основном
лишь качественную картину, ибо оно не учитывает объемное на¬
пряженное состояние, которое реализуется в основании щелей.Температурную задачу можно срести к смешанной задаче тео¬
рии упругости, когда на одной части границы будут заданы напря¬
жения, а на другой — перемещения.Уточнение для заряда в форме звездки можно искать, рассмат¬
ривая сектор заряда как кривой брус с выточкой соответствующего
радиуса закругления под действием продольных растягивающих
сил и изгибающих моментов. Однако и это решение будет оста¬
ваться Достаточно грубым.Дальнейшее уточнение лежит в решении плоской задачи теории
упругости в условиях плоской деформации или обобщенного пло¬
ского напряженного состояния.Наиболее распространенным методом решения этого класса за¬
дач является метод Г. Колосова [52], развитый Н. Мусхелишвили
[65]. Теория функций комплексных переменных для исследования
зарядов РДТТ впервые была применена Г'. Вильсоном [28]. Он по¬
казал, что для заряда в форме звездки радиальные перемещения
и напряжения на контактной поверхности заряда распределены по
закону, близкому к косинусоидальному, а касательные напряжения
и тангенциальные перемещения — по закону, близкому к синусо¬
идальному. Им же доказано, что величина касательных напряже¬
ний и тангенциальных перемещений значительно меньше радиаль
ных напряжений и перемещений. Неравномерное распределение
контактных усилий приводит к возникновению в оболочке значп
тельных напряжений от изгиба, что необходимо учитывать при
проектировании корпусов ракет с РДТТ.Методика, разработанная Вильсоном, является приближенной,
ибо удовлетворение граничных условий в ней производится не¬
точно и не позволяет определять напряженно-деформированное со¬
стояние скрепленного заряда при произвольных размерах РДТТ и
произвольных упругих характеристиках корпуса и заряда.Более точное решение задачи, приведенное ниже, строится и
предположении, что:—	заряд изотропен и является линейным упругим материалом;—	ввиду значительной длины заряда (щелей) считается, что и334
среднем сечении заряда (щелей) реализуется плоское напряжен¬
ное (или деформированное) состояние;—	массовые силы отсутствуют.При этих допущениях задача определения напряженно-дефор-
мированного состояния заряда сводится к плоской задаче теории
упругости для двусвязной области с заданными на границе уси¬
лиями.Решение этой задачи заключается в отыскании бигармониче-
ских функций в занимаемой поперечным сечением заряда области
по значениям их производных на контурах, ограничивающих эту
область.Решение ищется в рамках теории функций комплексного пере¬
менного с использованием метода Д. Шермана [ЮЗ].Итак, в терминах теории функций комплексного переменного
задача свелась к отысканию двух аналитических Функций, регуляр¬
ных в заданной двусвязной области, cpi (г) и фч (г) из условий на
границах (рис. 11.4);где t — аффикс точек контура Li;f (t)—заданные на границах с точностью до постоянных не¬прерывные функции.р„ cos пудРнс. 11.4. Поперечное сечение заряд.а335
Решить уравнения (11.64) при сложных границах области, за¬
нятой телом, практически невозможно, поэтому Н. Мусхелишвили
[65] предложил конформно отображать кольцо на заданную дву¬
связную область. Сама по себе задача отображения двусвязных
областей является весьма сложной, отображающие функции полу¬
чаются очень громоздкими (по 20-^50 членов), и для получения
достаточно точных результатов в искомых функциях необходимо
удерживать до 40ч-50 членов. Значительно проще решаются за¬
дачи для ©днесвязных областей.Для приближенного решения плоских задач теории упругости
Д. Шерман [103] предложил очень эффективный метод, суть
которого заключается в том, что с помощью вспомогательной
функции, вводимой на одном из контуров (в данном случае па
внешнем круговом контуре L2) в виде двустороннего ряда Фурье“(0 е 2 ®к—	00задача теории упругости для двусвязной области сводится к ана¬
логичной же задаче для одно-связной области, которая решается
значительно проще методом, детально разработанным академиком
Мусхелишвили [65].В этом случае граничное условие (11.64) принимает вид<р (t) + ti (0 + <1> (t) = Q (t).	(11.65)Функции ш и ф имеют вид'! С*) = -Р, (г) - т~ J' dt - ~	dt-l21 f /.(Q-f/iw diШ J t — Z
hiД. Шерманом доказано, что эти функции аналитически продол-
жимы через контур Ь2 и, следовательно, они регулярны всюду вне
контура L\. Интегралы типа Коши, входящие в потенциалы <р(z)
и ф(г), при круговом внешнем контуре ( |R| =oonst) берутся эле¬
ментарно. В случае вкладного заряда контурная нагрузка прини¬
мается в виде2/[ (0 *** —Р& 2/г (0 “ PiP‘Тогда правая часть граничного условия (11.65) будет выра¬
жена через коэффициенты вспомогательной функции аа<336(11.66)
Q (t) = — (рг —p2) t — 2a,х[х]1+" + (1+^('ж)ai+kq XJ\kqRJ■2k-i-(1 + kg) Xxi^"1+Ix)(11.67):,где q — число осей симметрии поперечного сечения заряда.В случае скрепленного заряда нагрузка на контуре Ь2 может
быть принята в виде тригонометрических рядов:СО	00N = —	^	xKsinkqb.fe«0 fe=-l
В этом случае правая часть граничного условия (11.65) будет
иметь вида (0 = — (Л — Рп)1 - 2»1 (4") — 2 V»» [(тг)+ (! + <•«) (4)(4r-(I-*9>1-f-kq+\kq+1(kqkq — 1Pk-kq -~Ь ( Рк "'к)kq— 17 \”9
~Rkq—l-hr) +*)](11.68)В конечном счете решение задачи сводится к квазирегулярным
бесконечным системам линейных алгебраических уравнений для
определения коэффициентов вспомогательной функции ш(t) и
коэффициентов разложений контактной нагрузки. Анализ расчет¬
ных данных, проведенный кандидатом технических наук В. П. Ко-
рягиным, показывает, что коэффициенты разложений вспомога¬
тельной функции и контактной нагрузки по модулю быстро убы¬
вают и стремятся каждый к своему пределу. Для реальных заря¬
дов РДТТ, толщина сводов которых лежит в пределах 25 ч-35%,
удержание уже четвертой пары членов в разложении со(/) дает
очень незначительное уточнение величины напряжений в верши¬
нах канала. Для практических расчетов таких зарядов вполне до¬
статочно трех пар коэффициентов в разложении функции ш(t)
При уменьшении толщины свода й радиуса закругления в верши¬
нах канала значения коэффициентов растут, и для получения до¬
статочно точных значений напряжений необходимо брать уже
большее количество коэффициентов в ы(/) (5-т-10 пар).Первые приближения значений напряжений в вершинах лучей
внутреннего канала отличаются от конечных на 10 -г-25 %, так как337
последние определяются главным образом величиной первых коэф
фициентов в разложениях вспомогательной функции и контактной
нагрузки. Это обстоятельство дает возможность получить приблп
женные формулы, которые позволяют с точностью до 25-ь30%
определять напряжения в вершинах лучей внутреннего канала и
зависимости от параметров РДТТ.Так, для вкладных зарядов можно получить, что4т (q — 1) 2 (?—1)р	1 _v^_v2 (9-1) (1 _чЧ*)Для скрепленных зарядоввклН_	 Q~р~ р ~~(11.60)ЪГ-Ь (1— (*■)Ггс-'! “-■>) +,4?^]1l-P* E ( R\
[ l+|x£K V » )I (1	V26) +V26+-1	| [1_V26_V2(?-D(1—^6*)](11.70)где Ь = 1 + т? (q — 1); b* = 1 —от2 (q — 1);q — число осей симметрии поперечного сечения заряда;р., Е, [!к, Ек — упругие константы материала корпуса и заряда;В — толщина корпуса двигателя;+ Т/4(?-1)(^2-1)+?ф1 q'yY 4(q — 1)^--^ —— 1 ) + ?2 —т —q- 12	(?-!)* - -l)г—радиус закругления в вершине луча в долях R;
w — толщина свода в районе луча в долях R;R — радиус внешнего контура поперечного сечения заряда.
Заметим, что в зависимости (11.70) постоянная составляющая
контактной нагрузки (см. формулу (11.60) определена из условия
<xi-3 = 0. С учетом коэффициента он, ^ и последнего замечания
формулу (11.70) можно записать в ином виде2	Cl	n2(^-1)4 , 4 т (д-\)=Р^ [b — v2 (g-1) + (1 — 2;х) (b — у2 (g~1} b*)}X, 21 — he E1 + (л£[1——v***)] ++ (b - v2 (»-4) + (1 - 2p) (1 - v2 W-1») •(11.71)338
Результаты расчетов по этим приближенным формулам при¬
целены на рис. 11.5.На основе того же метода Д. Шермана можно разработать ме¬
тодику определения напряженного состояния скрепленных заря¬
дов РДТТ при термических нагрузках, обусловленных разностью
коэффициентов линейного расширения материала топлива и кор¬
пуса двигателя. Эта задача также в настоящее время может быть
решена только в рамках теории упругости. Приближенные фор¬
мулы для определения напряжений в вершинах лучей внутреннего
канала РДТТ, а также для определения радиальных напряжений
на контактной поверхности заряда в районе лучей канала имеют
видРезультаты некоторых расчетов по зависимости (11.72) при¬
ведены на рис. 11.6. Сравнение этих расчетных значений напря¬
жений с известными экспериментами М. Вильямса показывают
вполне удовлетворительную сходимость расчета и эксперимента.гдех = 3 — 4|л — в случае плоской деформации;
к = — в случае обобщенного плоского напряженного со¬
стояния.о(а — ак) Е\Т°С1	+ [J.•п (? — 1) Pi — 1рЧ [1—ш (0 — 1) pi чу ,
q{q— 1) Mx_q 1 + трГ*7 — РГ2 (l + m?i)
pi	1 — m (q— 1) ?T4(11.73)где2v* [b + *v2 f»-1) b*] + (* — 1) (l + ,v2 (?-I)) ’1 +2v* [6 + XV2 («-1) 6*] -1- (v. — l)(l + *v2 (?-1)) ’m(l_xv2(g-D)339
Рис. 11.5. Напряжения в вершинах лучей внутреннего ка¬
нала вкладного заряда—— по формуле (11. 72)
л д Экспериментальные данные ВильямсаРис, 11.6. Термические напряжения в вершинах лучей внутреннего каналаскрепленного заряда340*>1е
341Рис. 11.7. Отрывные напряжения на внешнем контуре в районах лучей внутреннего канала
pi— определяется Из уравненияv(pi + Щ\а~ч)) — !•Результаты расчетов по зависимости (11.73) приведены на
рис. 11.7. Эти результаты показывают, что контактные напряли
ния при больших значениях модуля упругости топлива становятся
опасными и возможность местного отрыва заряда от корпуса уве
личивается.
РАЗДЕЛ IIIНАДЕЖНОСТЬ И ИСПЫТАНИЯ РАКЕТ С РДТТм	Гл а в а 12НАДЕЖНОСТЬ РАКЕТЫ С РДТТ§ 12.1. НАДЕЖНОСТЬ КАК СВОЙСТВО РАКЕТЫ. ОТКАЗЫ
ЭЛЕМЕНТОВ РАКЕТЫ С РДТТГ Понятие «надежность» ракеты, как впрочем и любого другого
I 'Технического устройства, можно трактовать двояко: в узком смыс-
N ле слова как безотказность, и в широком смысле слова как сово-
1 купность свойств, обеспечивающих сохранение эксплуатационных
показателей в требуемых пределах. Под безотказностью понимают
| свойство изделия (системы, узла, агрегата, детали) сохранять ра-
[ ботоспособность в пределах заданной наработки в определенных1	условиях эксплуатации. Определение безотказности приобретает
[ конкретный смысл лишь с раскрытием содержания понятия «рабо-.
тоопособность».Баллистическая ракета предназначена в конечном счете для
К доставки боевой части к цели с заданной точностью. Этим основ-
le ным требованием и определяется ее работоспособность. Ракета
Г безотказна в полете, если все ее элементы (двигатели, системаI	управления, системы разделения ступеней и отделения боевой ча-I	сти и др.) функционируют нормально, без существенных наруше-I	ний, которые могли бы привести к невыполнению задачи, а всеI	основные параметры, определяющие рассеивание точек падения■	боевой части, лежат в установленных пределах. Понятие «безот-
К казность» распространяется не только на этап полета ракеты, ноI	и на этапы наземной эксплуатации, предшествующие пуску: транс-I	портировку, погрузочно-разгрузочные работы, хранение и т. п. Ра-
1;ботоспособность ракеты на этих этапах означает пригодность ее
f к пуску, отсутствие неисправностей, вследствие которых пуск был
бы невозможен.Надежность в широком смысле слова характеризует помимо
безотказности такие свойства изделия, как долговечность, ремон-I	^пригодность и сохраняемость. Под долговечностью понимают
; свойство изделия сохранять работоспособность в течение длитель-I	ного времени (до предельного состояния в определенных режимах
К и условиях эксплуатации с возможными перерывами для техни-343
ческого обслуживания и ремонта). Работоспособность изделия,
утраченная в процессе эксплуатации, нередко может восстанавлп
ваться путем устранения неисправностей. Приспособленность iu
делия к предупреждению, обнаружению и устранению неисправно
стей проведением технического обслуживания и ремонтов назы
вают ремонтопригодностью. Сохраняемость изделия определяется
как свойство сохранять эксплуатационные показатели, предусмо
тренные технической документацией, после транспортировки и и
процессе хранения. Перечисленные свойства характеризуют на
дежность изделия с различных сторон. Далее под термином «на¬
дежность» будем понимать только безотказность.Безотказность изделия может быть определена лишь для коп
кретных условий (полета, хранения и т. п.) и заданной наработ
ки, т. е. продолжительности или объема работы. В зависимостл
от характера функционирования изделия, системы, агрегата нара¬
ботка измеряется в часах, циклах или других единицах.Одним из важнейших понятий в теории надежности является
понятие «отказа». «Отказом» называют событие, заключающееся
в нарушении работоспособности. Понятия «безотказность» и «от
каз» противоположны. Они характеризуют два возможных состоя
ния изделия: работоспособное и неработоспособное. Появление
отказов связано с возникновением неисправностей. Однако было
бы неправильно отождествлять понятия «отказ» и «неиспраь
ность», работоспособное и исправное состояния. Следует разли
чать неисправности, вызывающие отказы и не приводящие к от-
казам. Неисправным считается состояние изделия, при котором
оно не соответствует хотя бы одному из требований технической
документации. Очевидно, что невыполнение какого-либо из второ
степенных требований, например повреждение окраски или появ
ление небольших забоин на внешней поверхности корпуса РДТТ,
не повлечет за собой нарушение работоспособности. С другой сто¬
роны, появление отказа всегда обусловлено какими-либо неис-
правностями.Неисправности возникают как следствие множества разнооб
разных причин, подавляющее большинство которых нельзя преду¬
гадать. Поэтому появление отказов носит случайный характер.
Предвидеть отказ в конкретном единичном изделии, а тем более
определить точно момент его наступления не представляется воз
можным. Однако, характеризуя совокупность однотипных изделий,
можно оценить з среднем вероятность перехода изделия из рабо
тоспособного состояния в состояние отказа, можно гарантировать
с некоторой вероятностью безотказность изделия в заданных уело
виях. Иначе говоря, отказы относятся к категории случайных со¬
бытий, а количественные характеристики надежности являются
вероятностными.С точки зрения методики расчетов надежности целесообразно
подразделять отказы на две категории: внезапные или конструк¬
ционные и параметрические. К категории внезапных относят от
казы типа несрабатывания, выхода элементов из строя, заклипи344
вания подвижных деталей, появления негерметичности и других
подобных неисправностей, механизм возникновения которых в на¬
стоящее время не удается сколько-нибудь удовлетворительно опи¬
сать математически. Такие отказы обнаруживаются в процессе
испытаний или эксплуатации неожиданно, внезапно. Количествен¬
ные характеристики надежности при наличии таких отказов опре¬
деляются статистическими методами по числу и времени появле¬
ния отказов при испытаниях.Параметрическими отказами называют явления, заключающие¬
ся в уходе основных или критических параметров, определяющих
качество функционирования системы или изделия, за допустимые
пределы. При параметрическом отказе изделие может внешне ка¬
заться исправным, хотя работоспособность его будет нарушена.
Параметры некоторых элементов ракеты с РДТТ, влияющие на
надежность, имеют склонность к постепенному изменению во вре¬
мени. Так, в зарядах твердого топлива во время полимеризации,
хранения, транспортировки и работы двигателей постепенно накап¬
ливаются повреждения. В блоках системы управления имеют ме¬
сто явления дрейфа, изменения электрических характеристик эле¬
ментов во времени. В связи с этим параметрические отказы в от¬
личие от внезапных иногда называют постепенными. Определение
количественных характеристик надежности по критическим пара¬
метрам связано с расчетами на точность и основывается на уста¬
новлении зависимости критических параметров от других физиче¬
ских параметров, например размеров, механических свойств кон¬
струкционных материалов и т. п., вероятностные характеристики
которых известны.Кроме указанного деления отказов на внезапные и параме¬
трические следует различать зависимые и независимые отказы.В сложных электронных схемах системы управления иногда
наблюдается самопроизвольное восстановление схемы после от¬
каза. В связи с этим отказы иногда разделяют на несамовосста-
навливающиеся, временные или самовосстанавливающиеся и пере¬
межающиеся. По степени влияния на ракету отказы элементов
можно подразделять на полные и частичные. По происхождению
выделяют отказы конструктивные, производственные и эксплуата¬
ционные. Заметим, что помимо отказов «эмбриональных», свойст¬
венных данному типу конструкции, возможны отказы, обусловлен¬
ные субъективными ошибками. Так, вследствие неправильной ор¬
ганизации испытаний некоторые дефекты могут остаться необна¬
руженными, а при доработке конструкции не исключено внесение
дефектов, которые затем могут явиться причинами отказов.Рассмотрим характерные отказы элементов ракеты с РДТТ.
В системах управления наиболее часто встречаются три вида от¬
казов: изменение со временем электрических характеристик эле¬
ментов, короткие замыкания и обрывы соединений. Последние не¬
редко относятся к типу скрытых перемежающихся отказов.Отказы системы управления вектором тяги (СУВ'Г) приводят,
как правило, к нарушению управляемости ракеты, что в свою345
очередь вызывает недопустимое отклонение ракеты от расчетном
траектории. По характеру вносимых возмущений отказы СУВТ
разделяют на нейтральные и тяжелые. Нейтральным считается от¬
каз, при котором угол отклонения реактивной струи становится
равным нулю, или имеется возможность свести его к нулю. Про¬
чие отказы, например заклинивание привода в крайнем положе¬
нии поворотного сопла, относят к тяжелым. Отказ СУВТ оцени¬
вается как частичный, если органы управления, оставшиеся ис¬
правными, обеспечивают управляемость ракеты.Отказами силовых элементов конструкции являются потеря
прочности или появление недопустимых деформаций, в частном
случае — потеря устойчивости.Рис. 12.1. РДТТ третьей ступени ракеты
«Минитмен»Полным отказом РДТТ является его разрушение вследствие
резкого повышения давления или прогара корпуса, а также преж¬
девременное срабатывание или отказ воспламенительных устройств
и устройств, предусмотренных для выключения. Повышение дав¬
ления может быть вызвано увеличением поверхности горения
вследствие отслоения бронировки, наличия пустот в своде заряда
и появления трещин на его поверхности или внутри свода. Рас¬
трескивание заряда может явиться следствием концентрации на¬
пряжений на отдельных участках, в частности в основаниях ще¬
лей.На рис. 12.1 показаны мелкой штриховкой области образо¬
вания трещин в заряде РДТТ третьей ступени ракеты «Минн г-
мен» [87].Трещины и отслоения являются обычно результатом повреждс
ний, накопленных зарядом на различных этапах эксплуатации
вследствие механических и тепловых нагрузок. Опасность раз¬
рушения РДТТ с началом его работы усугубляется тем, что под
давлением трещины могут развиваться.В РДТТ со скрепленным зарядом может иметь место разру¬
шение адгезионного слоя, обусловленное так же, как и трещины
в заряде, накоплением повреждений. Иллюстрацией аварии из-за
отказов такого типа может служить следующее происшествие:
17 июня 1967 г. при огневых испытаниях РДТТ SL-3 оторвалась
закритическая часть сопла. Как выяснилось, причиной этого было
недостаточное сцепление заряда с корпусом. Несколько кусков за¬
ряда оторвались и были вынесены струей газов через сопло, что346
вызвало резкие колебания давления [141]. Процесс накопления
повреждений в адгезионном слое показан на рис. 12.2.Причиной разрушения корпуса может быть не только возраста¬
ние давления, но и потеря прочности днищ и обечайки вследствие
повышенного нагрева, а также концентрация напряжений, напри¬
мер, в соединении стеклопластиковой обечайки со стальными дни¬
щами. Перегрев конструкции обычно вызывается отслаиванием
теплозащитного покрытия вследствие плохой адгезии или разру¬
шением его (в первую очередь на днищах) в результате усилен-Рис. 12.2. Процесс накопления поврежде¬
ний в адгезионном слое на различных эта¬
пах эксплуатации:I полимеризация; II — охлаждение; III — пе¬
риодические изменения температуры; IV — погру¬
зочно-разгрузочные работы; V — хранение; VI —
работа двигателя в полетеного эрозионного воздействия продуктов сгорания. В качестве ха¬
рактерных видов отказов сопел можно указать на разрушение
раструба, вызванное повышенной эрозией, и растрескивание вкла¬
дышей критического сечения сопла. По сообщениям зарубежной
печати [154], разрушение графитового соплового вкладыша яви¬
лось причиной взрыва в полете РДТТ FW-4 последней ступени ра¬
кеты «Скаут» 31 января 1967 г. Осколки вкладыша мешали про¬
хождению газов через критическое сечение сопла, что и привело
к резкому возрастанию давления.Некоторое количественное представление о фактическом рас¬
пределении причин отказов РДТТ может дать табл. 12.1, в кото¬
рой указано относительное число двигателей, разрушившихся по
той или иной причине. Эти данные собраны по результатам испы¬
таний 15 000 РДТТ различных типов в связи с разработкой систе¬
мы предупреждения отказов крупногабаритных РДТТ [75]. В пер¬
вой колонке таблицы помещены результаты всех испытаний; во вто¬
рой исключены из общего числа те РДТТ, которые не были дове¬
дены до летных испытаний; в третьей оставлены данные только
по тем двигателям, конструкция и условия испытаний которых со¬
ответствуют крупногабаритным РДТТ; наконец, в четвертую ко-347
Таблица 12.1Вид нарушения
работоспособ¬
ностиПричин»1234Нерасчетное
повышение да¬Отрыв покрытия от стенки
в районе днищ0,00610,00410,00090,0003вления в ка¬
мереОтделение покрытия от за¬
ряда0,00600,00390,00130,0013Чрезмерный начальный на¬
грев или охлаждение РДТТ
при термостатировании0,00280,0001Эрозионное или нестабиль¬
ное горение0,00160,0015	Дефекты в топливе0,00190,00150,00220,0007Появление трещин в заря¬
де при воспламенении0,00390,00300,00260,002(1Ошибки при изготовлении0,00190,00120,00110,0011Неизвестные причины0,01320,00160,00090,0007Итого:. . .0,03740,01690,00900,0067Прогар
стенки камерыНеудовлетворительное ка¬
чество или малая толщина
теплозащиты0,01290,00290,00230,0007Отрыв теплозащитного по¬
крытия0,00690,00220,00080,0005Чрезмерный начальный на¬
грев или охлаждение РДТТ0,00020,0004		Ошибки при изготовлении0,00650,00530,00480,004,4Неизвестные причины0,00440,00070,00050,0004Итого:. . .0,03090,01150,00840,0064ПониженнаяпрочностьНеудовлетворительные ха¬
рактеристики сварных швов,
адгезии и материалов0,00430,00690,00040,0004Нарушения соединений0,00730,01030,00140,00170,0014Нарушения герметизации0,00760,00480,0017Ошибки при изготовлении0,00640,00130,00120,0004Неизвестные причины0,00630,00400,00200,0016Итого:. . .0,03190,02730,00670.005ДПолное относительное число неудачных
испытаний, сопровождавшихся разрушением
РДТТ0,10020,05570,02410,018(1349
ланку включены данные лишь о тех двигателях, которые перед
испытаниями подвергались рентгеноскопии.Помимо рассмотренных причин отказы РДТТ могут быть вы¬
званы неблагоприятным сочетанием случайных значений возму¬
щающих параметров: скорости горения, площади поверхности го¬
рения, плотности топлива и др.В качестве основного критерия надежности отдельных узлов,
агрегатов и систем ракеты с РДТТ, а также ракеты в целом
обычно принимают вероятность безотказной работы. В соответ¬
ствии с делением, отказов на две категории под вероятностью
безотказной работы на основании изложенного следует теперь по¬
нимать вероятность того, что в пределах заданной наработки в
определенных условиях эксплуатации не возникнут ни внезапные,
пи параметрические отказы.§ 12.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВДля расчета надежности в настоящее время широко исполь¬
зуются понятия системы как совокупности элементов, предназна¬
ченных для самостоятельного выполнения определенных функций,
и элемента как составной части системы. Необходимость расчле¬
нения изделия (ракеты, двигателя и т. п.) как системы на от¬
дельные элементы вызвана тем, что до начала испытаний изделия
оценить его надежность в целом не представляется возможным,
тогда как характеристики надежности элементов, использованных
ранее в аналогичных изделиях или подвергающихся в большом
объеме лабораторным испытаниям, могут быть известны доста¬
точно достоверно.Степень детализации системы при расчленении ее на элемен¬
ты в зависимости от цели расчета может быть различной. Если
системой считается ракета в целом, то в качестве элементов обыч¬
но выделяются: боевая часть, двигатели, система, управления или
ее основные подсистемы, системы разделения ступеней и отделе¬
ния боевой части и т. п. Если же в качестве системы рассматри¬
вается, например, какой-либо из РДТТ, то элементами являются:
[корпус, заряд твердого топлива, система воспламенения, система
[управления вектором тяги и др. Понятно, что каждый из этих
элементов, например, корпус или систему управления вектором
[тяги, можно в свою очередь рассматривать как систему с соответ¬
ствующим делением на элементы.L В конечном итоге анализируемую систему следует подразде¬
лить на такие элементы, характеристики надежности которых
либо известны по аналогичным образцам, либо найдены по ре¬
зультатам испытаний, либо, наконец, могут быть рассчитаны по
' тем или иным известным параметрам. С другой стороны, чем по-
jдробнее деление системы на элементы, тем сильнее сказывается
взаимосвязь между ними. Зачастую это учитывать нежелательно,
поскольку расчеты надежности, как правило, основываются на до¬
пущении независимости отказов элементов системы.349
При определении характеристик надежности необходимо раз¬
личать три типа элементов:—	элементы одноразового действия, срабатывающие практи¬
чески мгновенно, например пиропатроны, разрывные болты;—	элементы, функционирующие непрерывно, в течение некото¬
рого промежутка времени, например уплотнения поворотных со¬
пел, конденсаторы и сопротивления электронных блоков системы
управления;—	элементы, функционирующие циклически, например клап i
ны для впрыска жидкости в закритическую часть сопла в системе
управления вектором тяги.Характеристикой надежности элементов одноразового дейст¬
вия является вероятность безотказного срабатывания. Статистиче
ская оценка Р* вероятности безотказного срабатывания находит
ся по результатам испытаний. Если из п элементов, взятых для
испытаний, не сработали т элементов, тоМожет оказаться, что при испытаниях сработали все п элемен¬
тов. Однако это не означает, что вероятность безотказного ср i
батывания равна единице. Следует иметь в виду, что объем вы
борки п элементов ограничен. Как известно из математической
статистики, оценка Р* параметра, определяемого опытным путем,
является случайной величиной. Истинное значение оцениваемо]'!
параметра может находиться в пределах некоторого доверитель
ного интервала [Я* — 8; Я*+ 8], ширина которого 28 зависит от
числа испытаний и выбранной доверительной вероятности у.
Иначе говоря, при ограниченном числе испытаний истинное зна¬
чение характеристик надежности определить не удается; можно
лишь с некоторой доверительной вероятностью у гарантирован,
пределы изменения этих характеристик. В рассматриваемом слу¬
чае т = О нижний предел оценки вероятности безотказного сраба¬
тыванияХарактеристики надежности элементов непрерывного действии
определяются по времени появления внезапных отказов или по
критическим параметрам при наличии параметрических отказов.
В данном параграфе ограничимся рассмотрением случая внезап¬
ных отказов, характерного для подавляющего большинства эле
ментов радиоэлектронной аппаратуры системы управления раке¬
ты, а также тех механических элементов, физика возникновении
отказов которых пока недостаточно изучена.Известно, что во время эксплуатации ракеты с РДТТ перио¬
дически проводятся регламентные работы, отдельные неисправные
элементы восстанавливаются или заменяются. Однако в межрег
ламентные периоды ракета, находящаяся в боевой готовности, ян(12.1)р* = 1 М1 —тг)
tl(12.2)350
ляется невосстанавливаемои системой и остается таковой в наи¬
более ответственный период своего функционирования — период
полета. Поэтому ограничимся рассмотрением характеристик на¬
дежности невосстанавливаемых элементен?.Невосстанавливаемые, непрерывно функционирующие элемен¬
ты обычно испытываются по так называемому плану [jV, Б, Т],
состоящему в том, что N элементов испытываются в течение Бре¬
мени Т без замены элементов, отказавших в ходе испытаний, ис¬
правными. Время t безотказной работы элемента от момента его
включения до наступления отказа представляет собой случайную
величину. В качестве характеристик надежности элемента прини¬
маются:—	вероятность безотказной работыР (0 = вер {t> Т}-,	(12,3)—	вероятность отказаQ (t) — вер	(12.4)—	плотность вероятности отказа<7(0 = ^-;	(12.5)—	интенсивность отказов, определяемая как условная плот¬
ность вероятности отказов,k(0 = ~pw>	(12-6)—	среднее время безотказной работы, определяемое как мате¬
матическое ожидание времени безотказной работы,соTct = M[t] = $P{t)dt.	(12.7)оОчевидно, чтоP(0 + Q(*) = 1-	(12.8)Из выражений (12.5), (12.6) и (12.8) нетрудно получить важ¬
ную для практики зависимость между двумя основными харак¬
теристиками надежности — вероятностью безотказной работы и
интенсивностью отказов:t-	/я (о atP(t) — e 0 .	(12.9)Статистические оценки плотности вероятности отказов, интен¬
сивности отказов и среднего времени безотказной работы опреде¬
ляются по следующим выражениям:(|2'ю)= <12'п>351
к p=c,|'<.	(ш2>где Am{t)—число элементов, отказавших за интервал време¬
ни А^;N0— число элементов, взятых для испытаний;N(t)—число элементов, оставшихся исправными к рас¬
сматриваемому моменту времени;
t,— времена работы элементов от момента включения
до отказа.В работе любого технического устройства можно выделим,
следующие три периода:—	период приработки, в течение которого по мере «выжига¬
ния» более слабых элементов интенсивность отказов уменьшается;—	период нормальной работы, для которого характерно по¬
стоянство интенсивности отказов;—	период старения и повышенного износа, сопровождающийся
ростом интенсивности отказов.В разные периоды распределение времени безотказной работы
подчиняется различным законам. Характеристики некоторых из
них, часто встречающихся на практике, приведены в табл. 12.2.Для описания изменения характеристик надежности элемен¬
тов в процессах старения и повышенного износа обычно приме¬
няют распределение Релея и усеченное нормальное распределение.
Последнее используется также при обработке опытных данных об
усталостной долговечности и прочности конструкций. Возникнове¬
ние внезапных отказов в период приработки удовлетворительно
описывается гамма-распределением и распределением Вейбулла с
параметром &<1. Распределение Вейбулла используется также
при обработке результатов ускоренных испытаний элементов в
форсированных режимах.Наибольший практический интерес представляет экспоненци¬
альный закон, поскольку он справедлив для периода нормальной
работы элементов. Отметим, что из условия Х = const следует:P(t) = e~u .	(12.13)Выражение (12.13) фактически является основным в расчетах
надежности по внезапным отказам.Статистическая оценка X* интенсивности отказов, определяе¬
мая согласно выражению (12.11) по ограниченному числу испы
таний N, случайна. Ее нижний и верхний пределы находятся как=	=	(12.14)где A(d) и A (d)—квантили распределения Пуассона, определяе¬
мые при заданной доверительной вероятности по числу отказов d
за время Т и числу элементов М, взятых для испытаний. Таблицы
величин A (d) и A (d) имеются в литературе (см. например [35],
стр. 486, табл. 8). Нижний доверительный предел оценки верояг-
352
гtsкпVD§ ад-
<УФ
Sя£ §1
S.со сЯо. Я Ч)О*Ио.X<и<ип к
0J о
О.Ч
со Си
озCL OJяяl£к+EсЗCLИ<uexо\&\3* £ <L>
0» «3 CL£ 5 cP*i CL O
О со
К CL>1sC-.CO	<us	^~	<u-5	CL,СО	дC-H	ОCO+"4t■°чr<Iа ЩО) чElS'SQ^Si- <DoC212—573оЯЛ5COsCLОS3кяCf«я>>*0*HяsCL)яясо353
ности безотказной работы элемента в течение времени I опредо-
ляется выражениемp*(t) = e~*u.	(12.15)В настоящее время по результатам лабораторных испытаний
многих типовых комплектующих элементов накоплен обширным
статистический материал, позволяющий ориентировочно оценить
интенсивности отказов. В качестве иллюстрации в табл. 12.3 при¬
ведены наибольшие, средние и наименьшие значения интенсивно¬
стей отказов некоторых радиоэлектронных и механических эле¬
ментов по данным доклада Д. Р. Эрлес на VII симпозиуме США
по надежности и контролю качества.Таблица 12.ltЭлементыИнтенсивности отказов Л^ХЮ*«наибольшийсредний.наименьшийСопротивления постоянные0,070,030,01Потенциометры12.53,00,70Конденсаторы постоянной емкости0,0180,010,001Конденсаторы переменной емкости0,280,1620,09Катушки индуктивности0,0310,020,011Диоды0,440,200,16Транзисторы1,020,610,38Изоляция0,720,500,011Штепсельные разъемы0,700,1750,10Реле электромагнитные0,5*0,3*0,11*Акселерометры7,52,80,35Клапаны8,05,12,0Соединения механические1,960,020,011Шарниры универсальные12,02,51.12Подшипники качения1,00,50,02Разрывные болты400*40*10*Все значения Хо* указаны в размерности 1,за исключениемотмеченных звездочкой, последние представляют собой отношение
числа отказов к числу срабатываний. Величины Хо» характеризуют
интенсивность отказов в лабораторных условиях при номинальных
нагрузках. Для перехода к реальным эксплуатационным условиям
их следует пересчитать по формулеХг =	(12.1(1)где ki и аг' — коэффициенты, учитывающие условия работы (тем
пературу, вибрации и т. п.) и характер нагружения; например,
для бортовой аппаратуры управления современных ракет в усло¬
виях испытательных стендов следует принимать ki зг 200, а н ус¬
ловиях полета ki ss 2000.Характеристики надежности элементов, функционирующих цнк
лически, аналогичны рассматриваемым выше с той лишь разни354
цей, что в качестве наработки выступает число циклов срабаты¬
вания г.Характеристики P(t), X(t) и другие используются в тех слу¬
чаях, когда отказы элементов относятся к категории внезапных.
При наличии параметрических отказов вероятность безотказной
работы определяется как вероятность невыхода критических пара¬
метров за допустимые пределы, т. е.Р*пар == Вер { Rzi Z <С Rz2> Rill и < • • • >
RwX<w<Rw2),	(12.17)где ztu,...,w — критические параметры;RzU R2		^w2—соответствующие ограничения.Вероятность Рпар назовем параметрической надежностью.Если элементу свойственны и внезапные, и параметрические
отказы, то вероятности отсутствия тех и других (P(t) и РПар) сле¬
дует перемножить, полагая появления внезапных и параметриче¬
ских отказов независимыми случайными событиями.§ 12.3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ НАДЕЖНОСТИОпределение надежности системы по известным характеристи¬
кам надежности ее элементов начинается с составления струк¬
турной схемы надежности (ССН)—условной схемы, показываю¬
щей выбранное деление системы на элементы и влияние отказов
элементов на надежность системы. ССН составляются в аналити¬
ческой или графической форме. Аналитические ССН строятся на
основе логических понятий «И», «ИЛИ», теорем умножения и сло¬
жения вероятностей, а также формулы полной вероятности. Со¬
стояния элементов и системы обозначаются как случайные собы¬
тия. Например, событие означает безотказное состояние i-ro
элемента, а событие — его отказ. В графических ССН элементы
обычно обозначаются прямоуголь¬
никами, соединяемыми последова¬
тельно или параллельно (рис. 12.3).Заметим, что параллельное соедине¬
ние элементов конструкции далеко
не всегда означает их параллель¬
ность в ССН. Примером этому
может служить пакет из нескольких
РДТТ.При составлении ССН необходи¬
мо рассмотреть возможные состоя¬
ния системы. Отказы элементов бу¬
дем считать независимыми события¬
ми. Предположим, что отказ любого из п элементов вызывает от¬
каз системы. Возможные состояния элементов и системы показаны
в табл. 12.4.Система безотказна, если безотказны и первый, и второй, ...,
н п-й элемент. Графически такому условию соответствует последо-I..1 HjJ-CD	Е>'-CD-4jltРис. 12.3. Соединения элементов
в ССН12*355
нательное соединение элементов. Вероятность безотказной работы
системы в этом случае равна произведению вероятностей безот¬
казной работы элементов:Р(Л) = Пя(Л).1-1(12.18)
Таблица 12.4№ элементов12...пСистемаСостояния эле¬л,А,АпАментовА%А2АпАAiа2А„А. . .а2АпАССН с последовательным соединением элементов наиболее ча¬
сто используются в расчетах надежности ракет, поскольку они со¬
ответствуют нерезервированным системам. Если, в частности, си-
стема представляет собой последовательное соединение т элемен¬
тов, каждый из которых работает непрерывно в течение т* часов,
и s элементов с циклической наработкой гj для каждого, то на
основании выражения (12.13)Г т	а	\Р {А) = ехр { — ^ 2 + 2 Xirl)(12.19)где Xi и Xj — соответствующие интенсивности отказов.Параллельные соединения элементов означают дублирование
(резервирование). Пусть, например, система состоит всего лишь
из двух элементов и безотказна, если безотказен любой из них,
основной или резервный, или оба. Возможные состояния элемен¬
тов и системы показаны в табл. 12.5.Таблица 12.5ЭлементыОсновнойРезервныйСистемаСостоянияAiЛ2АА,а2АА,а2АAtа2А356
Очевидно, что в этом случае вероятность безотказной работы
системыР(Л) = 1-[1-Л(Л)] [1-т2)].	(12.20)Заметим, что правильность составления графической ССН
легко проверить по принципу «прохождения сигнала», считая, что
отказавший элемент не пропускает сигнал. Действительно, через
цепочку последовательно соединенных элементов сигнал не прохо¬
дит при отказе любого из них, тогда как в параллельном соеди¬
нении для прохождения сигнала достаточно одной исправной
ветви.Заметим, что резервирование применяется как способ повыше¬
ния надежности системы наряду с другими способами (заменой
элементоз более надежными и облегчением режима работы).Так,
если система состоит из двух элементов с одинаковой надежно¬
стью Р{А\) —Р(.М) =0,9, то в случае последовательного их соеди¬
нения надежность системы согласно выражению (12.18) состав¬
ляет 0,81, а при параллельном соединении согласно выражению
(12.20) увеличивается до 0,99. Резервирование наиболее широко
применяется в сложных радиоэлектронных системах. По статистиче¬
ским данным известно, что около 40% отказов ракет с РДТТ про¬
исходило в результате отказов электронных блоков системы упра¬
вления, систем отсечки тяги двигателей и аварийного подрыва в
случае отсутствия резервирования [7]. Из выражения (12.18) вид¬
но, что надежность нерезервированной системы не может быть
выше надежности ее элементов. Чем сложнее система, чем больше
в ней элементов, тем выше требования к их надежности. Так, в
бортовой ЭЦВМ и других устройствах системы управления ра¬
кеты «Минитмен» использовано около 3100 интегральных схем
(модулей), каждая из которых содержит от 12 до 40 элементоз.
Поэтому для обеспечения трехлетнего безотказного функциони¬
рования ракетной системы к интегральным схемам были предъ¬
явлены высокие требования по надежности: интенсивность их от¬
казов должна была составлять не более 8ХЮ-9ч-2Х 10~8 отказов
в час.В РДТТ резервирование может иметь место в системах воспла¬
менения и системах управления вектором тяги. Вполне естествен¬
но стремление применять резервирование в наименее надежной
системе при условии, что добавление резервных элементов не при¬
водит к существенному увеличению веса системы. Система вос¬
пламенения в ракете с РДТТ оказывается одной из ненадежных.
Анализ большого числа программ отработки РДТТ в США [7]
показал, что доля отказов в результате отказов системы воспла¬
менения колебалась в пределах 5^-70% общего числа отказов.
Например, при пусках ракеты «Скаут» около 50% отказов проис¬
ходило по этой причине. Процент отказов в результате неисправ¬
ностей системы воспламенения увеличивался в период летных ис¬
пытаний и особенно при испытаниях РДТТ пакетной схемы. На
рис. 12.4 показано, как изменяется надежность Рт одного РДТТ357
и пакета на т двигателей при повышении надежности РВосп систе¬
мы воспламенения путем ее резервирования в предположении, что
на долю этой системы приходится 33% отказов. Как видно из гра¬
фиков, при РВосп=0,97 и отсутствии резервирования надежность
одного, четырех и восьми двигателей составляет 0,97; 0,886 и 0,784
соответственно, а при введении резервирования повышается до 0,98
для одиночного двигателя, до 0,923 для пакета из четырех двига¬
телей и до 0,850 для пакета из восьми двигателей*Условные' обозначения	 Резервированная система воспламенения •	Нерезервированная система воспламененияРис. 12.4. Надежность одного РДТТ и пакета
двигателей с резервированной и нерезервирован¬
ной системой воспламененияДублирование пиротехнических средств на ракете одновремен¬
но с повышением надежности срабатывания их по команде увели¬
чивает вероятность случайного самопроизвольного срабатывания.
В связи с этим при обсуждении на одной из конференций США
вопроса о целесообразности дублирования пиротехнических
средств специалисты указывали в качестве примеров на то, что
на ракете «Поларис» пиротехнические средства в системах вос¬
пламенения зарядов твердого топлива, разделения ступеней и са¬
моликвидации не дублированы, тогда как в системах воспламене¬
ния и отсечки тяги ракеты «Першинг» применено дублирование
[142], В системах предупреждения надежность срабатывания дат¬
чиков, сигнализирующих о повышении давления, нарушении гер¬
метизации ИЛИ перегреве конструкции, составляет 0,980, а надеж«358
ность отсутствия ложного сигнала — 0,991. Если же применять
вместо одного три параллельных датчика и считать сигнал дей¬
ствительным при срабатывании не менее чем двух датчиков, то
надежность обнаружения дефектов повышается до 0,995, а надеж¬
ность отсутствия ложных сигналов — до 0,999 [75].Резервированная система управления вектором тяги должна
иметь устройство, обнаруживающее отказ и включающее резерв¬
ный элемент. Подобные переключатели могут быть и в других
системах. В расчетах надежности такой системы необходимо учи¬
тывать надежность переключателя. На рис. 12.5 показана надеж¬
ность Рсв пакета из четырех РДТТ в зависимости от надежностирсвлей от надежности РДТТ и надежности переклю¬
чателяодного двигателя Л при различной надежности переключателя Рл
[7]. Как видно из рис. 12.5, при Л = 0,98 и понижении надежности
переключателя до 0,8 надежность пакета РДТТ уменьшается от
0,996 до 0,982.'Естественно, что резервирование в такой сложной системе, как
ракета, носит локальный характер. Поэтому резервированные^ уча¬
стки ССН целесообразно включать в виде элементов общей по¬
следовательной цепочки.Таким образом, вероятность безотказной работы ракеты с
РДТТ можно представить в общем виде как/-1 ь 1В этом выражении характеристики надежности Pi отдельных
элементов определяются в зависимости от их типа как вероят¬
ности безотказного срабатывания (см. выражение (12.1), вероят-359
«ости безотказной работы в течение заданного времени или в
пределах определенного числа циклов срабатывания (см. выра¬
жение (12.19), вероятности невыхода критических параметров за
допустимые пределы (см. выражение (12.17) иди, наконец, могут
представлять собой вероятности безотказной работы не отдель¬
ных элементов, а целых участков схемы, имеющих резервирование
(см., например, выражение (12.20). Вторым членом правой части
выражения (12.21) учитывается то обстоятельство, что отказы от¬
дельных элементов могут и не вызвать отказ системы. Здесь фj —
вероятность безотказной работы системы при условии отказа /-го
элемента. К числу таких элементов в ракете с РДТТ можно от¬
нести, например, датчики системы аварийного предупреждения,
переключатели этой системы, а также устройства, предназначен¬
ные для ликвидации ракеты при недопустимых отклонениях ее от
курса.	vРассмотрим в качестве примеров СОН гипотетической трехсту¬
пенчатой ракеты с РДТТ и ее отдельных подсистехМ, используя
в качестве аналога конструктивную схему ракеты «Минитмен»,
описанную в гл. 2, ССН ракеты приведена на рис. 12.6, ССН си-Ш. нттрттагщ-ЕзздРис. 12.6. ССН трехступенчатой ракеты
с РДТТстемы управления, системы отделения боевой части, системы упра¬
вления вектором тяги и РДТТ —на рис. 12.7, 12.8, 12.9, 12.10 и
12.11 соответственно. В качестве элементов ракеты выделены: бое-Рис. 12.7. ССН системы управления ракетывая часть (БЧ), система управления (СУ), система отделения бое¬
вой части (СО), системы разделения ступеней (СР), двигатели,
системы управления вектором тяги (СУВТ) и корпуса (К) сило-Рис. 12.8. ССН си-стемы отделения бое¬
вой частивых отсеков ступеней, а также система ликвидации (Л). Система
управления включает: гиростабилизированную платформу (ГСП),
бортовую вычислительную машину (ЭЦВМ), акселерометры ка¬
налов тангажа (АТ) и рыскания (АР), усилительно-преобразова¬
тельную аппаратуру (УП), источник питания (ИП) и кабельную
сеть (КАБ).360
Система отделения боевой части, использованная в качестве
примера, состоит из шести разрывных болтов (РБ), скрепляю¬
щих боевую часть с корпусом третьей ступени, и четырех сопёл
противотяги, вскрываемых с помощью кумулятивных зарядов
(КЗ) с электродетонаторами. На ССН (рис. 12.8) число однотип¬
ных элементов в системе указано цифрами над соответствующими
обозначениями.6“N2 - Ред. - 6-N2O4- OK - ТР - гп -}тр Рег. к л [~| 35 Н6V ~ ПеР- " Ка<5.Рис. 12.9. ССН системы управления вектором тяги путем впрыска N2O4в соплоНа рис. 12.9 приведена ССН системы управления вектором тяги
путем впрыска N204 в сопло [75]. В ее составе: баки со сжатым азо¬
том (Б— N2) и N204 (Б — N204), редуктор (Ред), отсечный клапан
(ОК), трубопроводы (ТР), гидравлический сервопривод (ГП), ре¬
гулировочный клапан (Per. кл.), электробатарея (ЭБ), блок упра¬
вления (БУ), переключатель питания (Пер.) и кабели (Каб.).Налс - гпгнга - змк - Эб - Тр - nad.Рис. 12.10. ССН системы управления векто¬
ром тяги поворотными сопламирис. 12.10 изображена ССН системы управления вектором тяги
поворотными соплами. Она включает: четыре поворотных сопла
(ПС), четыре гидропривода (ГП), блок управления гидропривода¬
ми, состоящий из гидронасоса (ГН), гидроаккумулятора (ГА),
электромеханических клапанов (ЭМК), электробатареи (ЭБ), тру¬
бопроводы и кабели. Аналогичная система, как известно, приме¬
нена на ракете «Минитмен».кор. п 3°Р П SPТЗП - воспл.л&ПЧ лп НРис. 12.11. ССН РДТТРДТТ, структурная схема надежности которого показана на
рис. 12.11, состоит из корпуса (Кор.), заряда (Зар.), адгезион¬
ного слоя, бронирующего заряд и скрепляющего его с корпусом
(Бр.), теплозащитного покрытия (ТЗП), воспламенителя (Воспл.)
и двух пиропатронов (ПП). Поворотные сопла в эту ССН не
включены, поскольку они учтены в ССН системы управления век¬
тором тяти. При необходимости ССН может быть и более подроб¬
ной. Так, корпус можно подразделить на обечайку, переднее и
заднее днища, в связи с тем что Модели этих элементов, исполь¬
зуемые в расчете надежности по критическим параметрам, раз¬
личны.361
§ 12.4. МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО КРИТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРАМСуществует несколько методов определения параметрической
надежности. Наиболее простой из них применим в тех случаях,
когда имеются опытные данные — реализации критического пара¬
метра. Если установлено, что т реализаций из общего числа п не
укладываются в допустимые пределы, то параметрическая надеж¬
ность оценивается по зависимости (12.1).На этапе проектирования, до проведения натурных испытаний
РДТТ или других элементов ракеты, наиболее широко применя¬
ются следующие методы определения параметрической надеж¬
ности:—	метод малых возмущений;—	корреляционный метод;—	метод статистических испытаний. ,Рассмотрим кратко сущность и области применения этих ме¬
тодов.Метод малых возмущений (метод линеаризации) применяется
в тех случаях, когда критический параметр Z является случай¬
ной величиной, зависимость которой от случайных возмущающих
параметров Х2, ..., Хи с известными законами распределения
может быть представлена аналитически некоторой функциейZ = <?(XUX2	Xk).	(12.22)Обычно при использовании метода малых возмущений считают
распределение параметров нормальным. Плотность f(z) распреде¬
ления критического параметра Z
показана на рис. 12.12. В силу
принятого допущения для вычис¬
ленияРпар = вер (/?! < Z < R2} (12.23)достаточно знать математическое
ожидание mz и среднее квадрати¬
ческое отклонение оz критического
параметра. Искомая вероятность,Рис. 12.12. Плотность распреде- ““j—i—
ления критического параметра как видно из рис. 12.12,пар 'Р1 Г л 2где Ф(л;) = г/= | е 2 dt — табличная функция нормального рас-у 271 — оопределёния. При одностороннем ограничении критического пара¬
метра е выражении (12.24) остается только один из членов. Если
пределы R\ и R2 симметричны\R2 — rnz\ = \R1 — mz\ = R — mz,
тоР„аР*2Ф^р)-1.	(12.25)При проектировании числовые характеристики mz и оz крити¬
ческого параметра, как правило, неизвестны, но на основании фи¬
зических закономерностей можно установить зависимость (12.22)
критического параметра от таких возмущений Х2, ..., Хи, чис¬
ловые характеристики которых известны или могут быть оценены
по каким-либо соображениям. Тогда для вычисления Р1Гар необхо¬
димо выразить числовые характеристики критического параметра
через известные числовые характеристики возмущений.Зависимость (12.22) критического параметра от возмущений
в общем случае нелинейна. Разложим функцию (12.22) в ряд Тей¬
лора в окрестности математического ожидания. Полагая случай¬
ные отклонения возмущающих параметров от их математических
ожиданий малыми, ограничимся в разложении линейными чле¬
намииZ^ f(mxt, тх2	rnxk) +	(12-26)где ЬХ{ — центрированные случайные величины возмущающих па¬
раметров.Индекс т при частных производных означает, что при их вы¬
числении следует подставлять в соответствующие выражения вме¬
сто Xi математические ожидания mXi. В качестве последних обыч¬
но используют номинальные значения параметров Xi.Нетрудно видеть, чтоmz = «р (тхЬ тхЪ . .., тхк).	(12.27)'Применив к выражению (12.26) теорему о дисперсии линейной
функции, находим+ . (12-28)\да2*\тт\щ)тхгчх*1I <*Jгде гх.х. —коэффициенты корреляции параметров Xi и Xj.Нередко вместо средних квадратических отклонений <зх, бы¬
вают известны величины Ах — предельные отклонения (допу¬
ски) параметров Xi. В этих случаях пересчет исходных данных
производится на основании выражения^Xi = ^aXi>	(12.29)где k — число средних квадратических отклонений, соответствую¬
щее вероятности у, с которой отклонения параметра Xi более пре¬
дельных считаются практически невозможными событиями. Напри¬
мер, при нормальном распределении значению k — З соответствует
вероятность у — 0,9986.363
В качестве иллюстрации метода малых возмущений рассмо¬
трим следующий пример. Пусть давление р в камере РДТТ как
критический параметр ограничено пределами ртах и pmin- Из вну¬
тренней баллистики РДТТ известно, что на основании равенства
секундного газообразования при горении заряда и секундного рас¬
хода продуктов сгорания можно получить выражение1у^кр у-1
su? VW /где FKр —площадь критического сечения сопла;
s —площадь поверхности горения;
и —скорость горения при стандартном давлении;
р —плотность топлива;/ —приведенная сила пороха;<р —коэффициент, учитывающий сужение струи в критиче¬
ском сечении сопла;1 — коэффициент, учитывающий понижение температуры
газов вследствие теплоотдачи от газов к корпусу дви¬
гателя;b —некоторая функция показателя политропы продуктов
сгорания;v — показатель степени в зависимости скорости горения от
давления.Случайный характер параметров FKP, s, и, р, f обусловлен про¬
изводственными погрешностями, флуктуациями температуры и т. п.
Величины Ь, у, % и ср будем считать неслучайными. На основании
выражения (12.27)1/ <fbmp у-1
тр=(	^=- .	(12.31)\msmum^V ХЩ 1Прологарифмируем и продифференцируем выражение (12.30).
Переходя от дифференциалов к конечным вариациям, имеемbs , Ъи . 8р . 8/ 8-^1+ ^ + Т- + #-70- <12'32)р 1 — v^s и р 2/крЗаметим, что параметры FKp, s, и, р и / можно считать независи¬
мыми. Тогда в соответствии с зависимостью (12.28)Выражения такого вида часто встречаются на практике. В этих
случаях удобно пользоваться коэффициентами вариации
В нашем примереf	vp=T^Y v* + v2 + ®? + T- v) + v2f^ . (12.35)Применение коэффициентов вариации позволяет оценить, сколь
велик относительный случайный разброс параметра Xi в сравне¬
нии с другими возмущающими параметрами, и сделать вывод о
том, учитывать ли случайный характер этого параметра или прене¬
бречь им.Определив числовые характеристики тр и оР по зависимостям
(12.31) и (12.33), вычислим с помощью табличной функции Ф(х)
вероятность того, что давление в камере РДТТ не выйдет за допу¬
стимые пределы:' т I а»<хл« |	• (12'36)В некоторых задачах расчета параметрической надежности
приходится считаться с зависимостью критического параметра от
времени. Изменения давления в камере РДТТ, секундного расхода
продуктов сгорания и многих других физических параметров но¬
сят характер случайного процесса. На рис. 12.13 изображено не-Рис. 12.13. Случайный процесс изменения
критического параметра во временисколько реализаций случайного процесса Z(t) изменения крити¬
ческого параметра в течеиие заданного времени Т функционирова¬
ния устройства. Выход какой-либо из реализаций Zv (t) за уста¬
новленный уровень R расценивается как отказ. Ограничение кри¬
тического параметра может быть не только односторонним, как
показано на рис. 12.13, но и двусторонним. Распределение f(Z/tj)
реализаций в каждом сечении t = tj случайного процесса обычно
считают нормальным.Если критический параметр представляется как случайная
функция Z(t) с известными математическим ожиданием tnz(t) и
корреляционной функцией Kz(t, t'), то для расчета параметричс-365
ской надежности может быть использован корреляционный метод.
Известно, что в теории выбросов случайных функций [78] наибо¬
лее разработаны методы определения вероятности выброса ста¬
ционарных случайных процессов. С другой стороны, процессы из¬
менения большинства критических параметров ракеты с РДТТ
можно считать с той или иной степенью точности стационарными.
Отметим также, что при достаточно высокой надежности системы
выбросы критических параметров можно отнести к категории ред¬
ких случайных событий, вероятность появления которых подчи¬
няется закону Пуассона.Если Z(t) представляет собой стационарную,, нормальную в се¬
чении случайную функцию, выбросы которой за уровень R мало¬
вероятны, то вероятность отсутствия выбросов в течение вре¬
мени Твер {Z(t)<R}^e~"T,	(12.37)где п — среднее число выбросов в единицу времени. При матема¬
тическом ожидании mz, дисперсии о| и нормированной корреля¬
ционной функции pz(t) критического параметра Z(t) оно опреде¬
ляется выражением(R-nzY'•“Т8Г* 4 -/-да'2#;	<12-38>Рассмотренный случай аналитического определения вероятное™
отсутствия выброса является наиболее простым. В других случаях
можно прибегнуть к общим методам, изложенным в работе [78].Представить в явном виде критический параметр аналитиче¬
ской функцией возмущений нередко бывает трудно. Математиче¬
ская модель процесса функционирования системы может быть
также достаточно сложной, представляющей собой систему диф¬
ференциальных и алгебраических уравнений с ограничениями на
переменные в форме равенств или неравенств, может содержать
не один, а несколько критических параметров. В этих условиях
для расчета параметрической надежности может быть применен
метод статистических испытаний (метод статистического модели¬
рования, называемый также методом Монте-Карло).Сущность метода статистических испытаний состоит в следую¬
щем. Процесс функционирования системы многократно проигры¬
вается на математической модели. При этом каждый раз значения
возмущающих параметров задаются случайным образом, а следо¬
вательно, получаются случайные реализации критических параме¬
тров, которые затем обрабатываются как результаты испытаний
методами математической статистики.Исходную математическую модель обычно удается привести пу¬
тем преобразований к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка и алгебраических уравнений. К числу
таких преобразований относятся: понижение порядка производ¬366
ных, замена ограничений в форме неравенств строгими равенства¬
ми, представление возмущающих параметров — случайных функ¬
ций методом канонического разложения в виде системы случайных
величин.После преобразований математическая модель имеет вид:I £=/,(*,.*„0;'b(Zj,Xhf) = о,i=l, 2,т\ v=l, 2	k;j= 1, 2,..., п; l = k+ 1	п,где Zj — выходные или критические параметры;Xt — входные или возмущающие параметры, представляю¬
щие собой центрированные случайные величины с из¬
вестными законами распределения;U и 'h—известные функции.Моделирование заключается в многократном решении системы
уравнений (12.39) при случайных значениях возмущений Xi, ос¬
нову формирования которых составляет получение случайных чи¬
сел. Для этого используются специальные таблицы случайных
чисел, генераторы случайных чисел либо метод псевдослучайных
чисел. Таблицы случайных чисел применяют только при расчетах
вручную, в связи с ограниченностью объема оперативной памяти
ЭЦВМ. В генераторах случайных чисел чаще всего используют
шумы электронных ламп: если к данному моменту времени уро¬
вень шума превысил заданный порог четное число раз, то записы¬
вается нуль, а если нечетное число раз, то единица. Имея п таких
генераторов, можно сформировать случайную величину£ = ax2~l -f + .. . + ал2 ,	(12.40)где сц, «2. •••, «я — числа 0 или 1, получаемые с равной вероят¬
ностью с помощью генераторов. При достаточно большом п ве¬
личина 5 имеет равномерное распределение в интервале (0, 1).
В практике статистического моделирования наибольшее распро¬
странение получил метод псевдослучайных чисел. Псевдослучай¬
ными называют числа, имитирующие на ЭЦВМ значения случай¬
ной величины. Эти числа формируются по специальным алгорит¬
мам. Один из способов получения псевдослучайных чисел будет
указан в § 13.4.При моделировании некоторого случайного события А, напри¬
мер отказа какого-либо элемента, следует сравнить случайную
величину 5 с вероятностью Р(А) этого события и считать, что со¬
бытие А имеет место ,если Р(А). Используя теоремы сложе¬
ния и умножения вероятностей, можно аналогичным образом мо¬
делировать сложные случайные события.Случайная величина 5, как отмечалось выше, распределена
равномерно. На практике же возмущения Xt могут иметь различ¬(12.39)367
ные законы распределения. Для их формирования можно исполь¬
зовать свойство интегральной функции распределения, состоящее
в том, .что распределение случайной величиныл6 = j f(x)dx	(12.41)—- соравномерно в интервале (0,1).Решая уравнение (12.41) относительно х, получаем с помощью
равномерно распределенной случайной величины £ случайную ве¬
личину X, распределенную по закону /(.*). На основании этого
свойства можно сформировать, например, случайную величину=	Г In02.42)имеющую экспоненциальное распределение. Соотношение (12.42)
имеет важное значение для моделирования безотказной работы
элементов.В основу моделирования случайных величин с заданными за¬
конами распределения могут быть положены и некоторые другие
закономерности. Так, на основании центральной предельной тео¬
ремы сумма достаточно большого числа равномерно распределен¬
ных в интервале (0,1) случайных величинП(12.43)Г-1имеет нормальное распределение с математическим ожиданиемпV птх — и средним квадратическим отклонением ах — --у.^ .На практике приходится моделировать случайные величины,
имеющие не только определенный закон распределения, но и за¬
данные числовые характеристики. Если получена случайная ве¬
личина X с математическим ожиданием тх и средним квадрати¬
ческим отклонением ож, а требуется сформировать случайную ве¬
личину Y с тем же законом распределения и числовыми характе¬
ристиками ту и оу, то можно воспользоваться соотношениемтг	. (X тх)суY	— т -\			(12.44)У	ихВ рамках данного параграфа не представляется возможным
изложить полностью технику статистического моделирования слу¬
чайных величин. Подробные сведения по этому вопросу читатель
найдет в специальной литературе [21].Практически метод статистических испытаний применяется сле¬
дующим образом. Случайные значения возмущений Xi, сформиро¬
ванные тем или иным из рассмотренных способов по исходным
данным (законам и числовым характеристикам распределений),368
подставляются в систему уравнений (12.39). В результате ее ре¬
шения находятся случайные реализации выходных (критических)
параметров Zj(t). Затем снова формируются случайные значения
возмущений и вновь решается система уравнений (12.39), нахо¬
дятся другие случайные реализации выходных параметров и т. д.
Каждое такое решение называют пробой. В результате N проб
получают совокупность реализаций каждого выходного параметра.
Обрабатывая эти данные методами математической статистики,
находят законы распределения выходных параметров или, в част¬
ном случае, при известном, например, нормальном законе распре¬
деления только числовые характеристики.В зависимости от постановки задачи реализации каждого вы¬
ходного параметра Zj(t) обрабатывают как реализации случай¬
ного процесса или только как значения случайной величины Zj(ts)
в фиксированном сечении t = ts. По этим данным в первом случае
вероятность невыхода параметра Zj(t) из допусков можно рассчи¬
тать корреляционным методом, во втором случае для этой цели
следует воспользоваться выражением (12.24), понимая под Ф(л)
интегральную функцию распределения выходного параметра Zj(ts).
Наконец, в простейшем случае можно подсчитать число реализа¬
ций критического параметра, вышедших за допустимые пределы,
и воспользоваться для определения параметрической надежности
выражением (12.1).Основным достоинством метода -статистического моделирова¬
ния является его универсальность. Этот метод оказывается осо¬
бенно эффективным в тех случаях, когда модель сложна, содер¬
жит много возмущений, а следовательно, трудности аналитиче¬
ского решения особенно велики. Точность статистического
моделирования повышается с увеличением числа проб, но при
этом одновременно возрастают затраты машинного времени, что
является главным недостатком метода.Статистическое моделирование широко применяется в расче¬
тах надежности различных элементов ракеты с РДТТ по крити¬
ческим параметрам, в особенности таких элементов, как заряд,
корпус, теплозащитное покрытие. Пример расчета надежности за¬
ряда с использованием статистического моделирования будет рас¬
смотрен в § 13.4.В заключение отметим, что в каждом конкретном случае на
основании физических соображений следует выделить те парамет¬
ры, которые должны быть приняты в качестве критических. На¬
пример, для заряда твердого топлива и адгезионного слоя, скреп¬
ляющего заряд с корпусом, таким параметром является величина,
характеризующая накопленное повреждение; для теплозащитного
покрытия — температура на поверхности защищаемой конструкции
или толщина покрытия, оставшаяся к моменту полного выгорания
заряда; для системы отделения боевой части — относительный путь
или относительная скорость в момент окончания процесса отде¬
ления и т. п. Некоторые примеры критических параметров приво¬
дятся ниже, в соответствующих главах и параграфах.369
§ 12.5. НОРМИРОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИРасчеты надежности носят, как правило, проверочный харак¬
тер, но определение величин Р; вероятностей безотказной работы
элементоз ракеты — не самоцель. Для того чтобы установить, в
какой мере надежность спроектированных элементов ракеты со¬
ответствует требованиям эксплуатации, необходимо сопоставить
эти величины с какими-либо нормами. Возникает задача норми¬
рования, т. е. назначения рациональных величин РТр.г, требуемых
уровней надежности элементов. Для ракеты в целом подобной
нормой является требуемый уровень Р t надежности, которую
должна иметь ракета в момент боевого применения. Оптималь¬
ная величина Ртр s может быть найдена по заданной боевой эф¬
фективности (надежности поражения целей) путем минимизации
затрат средств на разработку проекта, производство, стендовую
и летную отработку и эксплуатацию ракет. Подробнее этот вопрос
освещается ниже, здесь же рассмотрим несколько возможных ме¬
тодов нормирования надежности.Пусть ракету в целом или какую-либо ее подсистему, напри¬
мер РДТТ, можно представить как систему с последовательным
в смысле надежности соединением k элементов. Уровень надеж¬
ности системы должен быть не ниже требуемого. Это означает, что
должно выполняться условиеsп Z3/ > РТр. z.	(12.45)i=* 1Имея в виду, что фактические уровни надежности элементов Pj
должны быть не ниже соответствующих норм Ртр.,, перейдем в вы¬
ражении (12.45) к строгому равенствуkП Ртр. / = Ртр 2.	(12.46)/ — 1Если не предусмотреть каких-либо дополнительных условий, то
величины Ртрл не удается определить однозначно, поскольку ра¬
венству (12.46) удовлетворяет бесчисленное множество различных
комбинаций возможных значений РТр.г.Наиболее простой метод однозначного решения задачи норми¬
рования основывается на допущении ожидаемой равнонадежно-
сти элементов. Полагая РТрл = Ртр.2 = - • . = Ртр.ь, в соответствии с
выражением (12.46) находимPrp.i = VP^-	(12.47)Пусть, например, РДТТ, требуемая надежность которого
Р-тр s	подразделен на четыре элемента: корпус, заряд,бронировку и теплозащиту. Тогда уровень надежности каждого
из элементов должен быть не ниже чем4Ртр. i = Ко,97 = 0,9925.	(12.48)370
Заметим, что в действительности элементы различны по сте¬
пени сложности конструкции и происходящих в них процессов,
следовательно, и по надежности. Это видно, например, по
табл. 12.6, в которой приведены вероятности безотказной ра¬
боты подсистем РДТТ [75].Таблица 12.6ПодсистемаР1Корпус, топливо, теплозащита0,9985Сопло0,9926Система воспламенения0,9956Система управления вектором тяги0,9710Достижение одинаковых высоких уровней надежности элемен¬
тов, как правило, сопряжено с существенно различными затрата¬
ми средств, а в некоторых случаях просто невозможно. Влияние
отказов отдельных элементов на надежность системы может быть
далеко не одинаковым, а это не учтено рассмотренным методом.
Следовательно, описанный метод может дать лишь весьма ориен¬
тировочное, грубое представление о требуемых уровнях надежно¬
сти элементов, и применение его допустимо в тех случаях, когда
для нормирования иными методами нет исходных данных, кроме
величины Ртр j,Различие элементов по степени сложности, «чувствительности»
к возможным неисправностям, а следовательно, и по надежности
учитывается при назначении требуемых уровней надежности по
аналогам. Сущность метода нормирования по аналогам заклю¬
чается в том, что величины допустимой ненадежности элементовраспределяются пропорционально удельным весам Q, отказов ана¬
логичных элементов в существующей системе, однотипной с проек¬
тируемой. Требуемые уровни надежности элементов проектируе¬
мой системы определяются как^тр. I = 1 — (1 — Л-р. z)Qi>	(12.49)1=1, 2,. .., k.Удельный вес отказов /-го элемента составляетQ. = l^t	(12.50)1 ~ иаТ.где Я j и Ра1 — вероятности безотказной работы системы, при¬
нятой за прототип, и ее г-го элемента, аналогичного рассматривае¬
мому.Решим этим методом приведенный выше пример, используя а
качестве данных по аналогам относительное число отказов, при¬
веденное в первом столбце табл. 12.1. Исключим из рассмотрения
отказы, вызванные начальным нагревом или охлаждением РДТТ,371
ошибками при изготовлении и неизвестными причинами. Сумми¬
руя остальные значения, относящиеся к выделенным элементам
РДТТ, получаем частоты Q„i их отказов. Вычитая Qai из едини¬
цы, находим вероятности Ра%, а перемножив последние,— вероят¬
ность PaV Указанные величины, а также значения Q* и РТрл, рас¬
считанные по зависимостям (12.50), (12.49), приведены в
табл. 12.7.Таблица 12.7ЭлементQaiPalQa,Pтр. 1Корпус0,01920,98080,3350,98995Заряд0,00740,99260,1290,99613Бронировка0,01210,98790,2110,99367Теплозащита0,01980,98020,3460,98962Pal0,9427*Сопоставление данных табл. 12.7 со значениями (12.48) пока¬
зывает, как изменяются требуемые уровни надежности элементов
с учетом данных по аналогам. Основной недостаток нормированиясостоит в том, что с величинами Qt на проектируемую систему пе¬
реносятся в неявном виде причины отказов, присущие системе,
принятой за прототип.Нормирование надежности элементов системы можно выпол¬
нить также, исходя из минимума затрат средств, которыми обес¬
печивается уровень Ятр s. Для этого необходимо использовать за¬
висимости между стоимостью и надежностью элементов.На рис. 12.14 показано изменение по годам интенсивности от¬
казов электронных деталей, применяемых в системе управления
ракеты «Минитмен», а в табл. 12.8 даны значения стоимости тех
же деталей в долларах [121]. Сопоставляя данные рис. 12.14 и
табл. 12.8, нетрудно получить зависимость стоимости электронных
деталей от их надежности.Т а б л и ц а 12.8~~—Г оды
Элемент195919611962196-1Транзистор17,7312,417,975,86Диод5,394,914,182,21Конденсатор7,817,815,283,95Сопротивление2,011,791,701.46Аналогичные зависимости могут быть найдены и для других
элементов ракеты с РДТТ. Полученные зависимости следует далее
аппроксимировать какими-либо аналитическими выражениями
Ci = Ci(Pi). Стоимость системыкСГ = 2СДЛ)-	(12,51)i~l372
Задача нормирования надежности по стоимости решается ме¬
тодом условного экстремума. В качестве целевой функции ис¬
пользуется выражение (12.51), а в качестве добавочного усло¬
вия— выражение (12.46). Если необходимо учесть ТО обстоятель¬
ство, что отказы некоторых элементов не обязательно влекут за, ,„5,1Рис. 12.14. Изменение интенсивности
отказов электронных деталей по
годамсобой отказ системы, то добавочное условие формируется по ана¬
логии с выражением (12.46) на основе зависимости (12.21). Функ¬
ция Лагранжа составляется в видеФ(Ятр./; ч) = 2с<(/>тр.|). + ч(пятр.|-ятрД (12.52)1-1где т] — неопределенный множитель.Необходимые условия минимума функции ЛагранжаЙФ :0/тр. Ii= 1,2,.:., ли добавочное условиеП ятр., = р.i-iтр. sобразуют систему (&-И) уравнений для исключения неопределен¬
ного множителя и нахождения оптимальных уровней Рхр.< надеж¬
ности элементоз, отвечающих минимуму суммарных затрат на
обеспечение требуемого уровня надежности системы.
Глава 13НАДЕЖНОСТЬ КОНСТРУКЦИИ, ДВИГАТЕЛЕЙ
И СИСТЕМ РАЗДЕЛЕНИЯ РАКЕТЫ С РДТТ§ 13.1. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НАДЕЖНОСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИОтказом конструкции считают наступление хотя бы одного из
возможных предельных состояний: потеря прочности, потеря устой¬
чивости, появление недопустимых упругих или пластических де¬
формаций. При этом под предельным состоянием понимают такое,
при котором нагрузка, действующая на конструкцию, становится
равной нагрузке, соответствующей исчерпанию несущей способно¬
сти конструкции. Вероятность отсутствия предельных состояний
(вероятность неразрушения) является критерием надежности кон¬
струкции.Близость состояния конструкции к предельным можно характе¬
ризовать критическими параметрами, поэтому вероятность нераз¬
рушения в принципе рассчитывается как параметрическая надеж¬
ность. В отличие от критических параметров других элементов,
представляющих собой те или иные физические параметры (дав¬
ления, относительные скорости и перемещения, напряжения в элек¬
трической цепи и т. п.), критические параметры конструкции зави¬
сят одновременно от двух групп случайных факторов: факторов,
определяющих нагрузку, и факторов, определяющих несущую спо¬
собность. Случайный характер несущей способности обусловлен
разбросом физико-механических свойств конструкционных мате¬
риалов и погрешностями изготовления, в частности наличием до¬
пусков на размеры. Нагрузки, действующие на конструкцию, также
случайны по природе. Например, флуктуации плотности атмосферы
и скорости ракеты вызывают случайные изменения аэродинамиче¬
ского сопротивления.Случайные вариации большинства возмущающих факторов про¬
исходят во времени, поэтому нагрузки, а иногда и несущая способ¬
ность конструкции имеют характер случайных процессов. Однако
этой зависимостью нагрузок и несущей способности от времени
нередко можно пренебрегать, полагая их случайными величинами.
На этом допущении и основаны квазистатические методы расчета374
надежности конструкций, рассматриваемые в данном пара¬
графе. Широкое применение квазистатических методов в инженер¬
ной практике расчетов надежности объясняется отчасти тем, что
детерминированные расчеты конструкции ракеты на прочность и
устойчивость проводятся для определенных моментов времени
(расчетных случаев).В качестве критического параметра, характеризующего бли¬
зость конструкции к тому или иному предельному состоянию,
обычно принимают либо разность между несущей способностью R
и нагрузкой S, либо их отношение К, либо, наконец, некоторый кри¬
терий прочности Z. В первом случае вероятность неразрушенияЯ=вер{/?—S>0}.	(13.1)Геометрическая интерпретация выражения (13.1) дана на рис. 13.1
и 13.2. На рис. 13.1 по оси абсцисс отложены случайные значения
нагрузки и несущей способности, а по оси ординат — плотностиРис. 13.1. Плотность распределения нагрузки и
несущей способностираспределения нагрузки f (S) и несущей способности f (R). Об¬
ласть Д, в которой не выполняется условие R — S>0, есть область
отказов. На рис. 13.2 показана плотность / (V) распределения кри¬
тического параметраU — R — S,	(13.2)полученная в результате композиции законов распределения несу¬
щей способности и нагрузки. Областью отказов является областьРис. 13.2. Плотность распределения критиче¬
ского параметра375
U 0. В соответствии с выражением (13.1) вероятность неразру¬
шения численно равна незаштрихованной площади под кривой
/ (U), ограниченной слева началом координат. Во втором случае
критическим параметром является коэффициент запасак=4,а вероятность неразрушенияР= вер {ЛГ> 1}.	(13.3)Плотность распределения коэффициента запаса показана на
рис. 13.3. Область отказов (/(<^ 1) заштрихована. В третьем слу¬
чаеР = вер (Z < [Z]},	(13.4)где [Z] — допустимое значение критерия прочности. Геометриче¬
скую интерпретацию вероятности неразрушения в этом случаенетрудно дать по аналогии с
рис. 13.2 и 13.3.Рассмотрим методику расчета
надежности конструкции по пре¬
дельным состояниям, используя в
качестве критических параметров
разности между несущими способ-
К ностями и нагрузками. Если в каче¬
стве критических параметров приня¬
ты коэффициенты запаса или крите-
Рис. 13.3. Плотность распределе- „ии прочности, сформулированные
ния коэффициента запаса	r r	I ‘ J гна основе какои-либо из существую¬
щих теорий прочности, то задача
решается в принципе аналогично, хотя и более сложно с точки зре¬
ния математических преобразований.В общем случае статического нагружения возможны три пре¬
дельных состояния. Введем соответствующие критические пара¬
метры:—	по прочности—	по устойчивости—	по жесткостиU = Rx — Si;	(13.5)V	= R2-S2;	(13.6)W = Ra — Ss.	(13.7)Здесь Si — нагрузка, при возрастании которой возможно раз¬
рушение конструкции в результате потери прочности. Примером
такой нагрузки может быть- избыточное внутреннее давление;Ri — несущая способность конструкции по.прочности, т. е. раз¬
рушающая нагрузка, вызывающая потерю прочности. Очевидно,
что величины нагрузки и несущей способности следует принимать
в одной и той же размерности (давления, погонные усилия, силы376
или моменты). Так, если S| — рабочее давление в корпусе РДТТ,
то R1 — давление, вызывающее разрушение корпуса. Аналогично
>S2 — нагрузка, способная привести к потере устойчивости конструк¬
ции, например осевая сжимающая сила;R2 — несущая способность конструкции по устойчивости, напри¬
мер критическая сила. Тот же смысл имеют нагрузка S3 и несущая
способность R3 по упругим или пластическим деформациям. Ко¬
нечно, возможны и другие виды предельных состояний, например
предельное состояние по выносливости в случае действия на кон¬
струкцию циклической нагрузки, но при статическом нагружении
основными возможными предельными состояниями являются пере¬
численные выше.В общем случае вероятность неразрушения конструкции как
вероятность отсутствия всех указанных предельных состоянийНа практике маловероятны случаи нагружения конструкции, для
которых все три предельных состояния были бы в равной степени
опасны. Как правило, достаточно ограничиться рассмотрением
двух возможных предельных состояний, а чаще — одного. Напри¬
мер, для корпуса РДТТ, как правило, возможно одно предельное
состояние — потеря прочности под действием внутреннего давле¬
ния. Для силовых отсеков (приборных и хвостовых отсеков и пере¬
ходников), нагруженных осевой сжимающей силой, перерезываю¬
щей силой и изгибающим моментом, возможны два предельных
состояния — потеря прочности и потеря устойчивости. Однако опас¬
ность представляет, чаще всего, второе предельное состояние.Для случая двух возможных предельных состояний вероят¬
ность неразрушениягде f (U,V) —плотность совместного распределения случайных ве¬
личин U и V.Исследования показывают, что в большинстве случаев законы
распределения случайных величин U и V близки к нормальному.
Заметим, что критические параметры в общем случае могут быть
коррелированными.Для нормального распределенияМатематические ожидания ти, mv, средние квадратические откло¬
нения oUt av критических параметров и коэффициент корреляции
ruv можно выразить через соответствующие числовые характери¬Я = вер { £/>0, К>0, W>0).(13.8)00 осР = вер { £/> О, V > 0} = j* j /(£/, V) dUdV, (13.9)о	о(13.10)377
стики нагрузок и несущих способностей. На основании выражений
(13.5), (13.6) и теорем о математических ожиданиях и дисперсиях:rrijj = tnR i —Коэффициент корреляцииВ свою очередь корреляционный момент Kuv по определению ра¬
вен:Допущение о нормальности распределения критических парамет¬
ров дает возможность использовать для расчета вероятности не¬
разрушения табличные функции Ф (х) и T(h,a), имеющиеся в
справочной литературе [1], [84], [102]. Произведем в выражениях
(13.9) и (13.10) замену переменныхТогда в новых переменныхrtlv — ttlR 2 — mS2>°г/ = °Л1 + asi ~ 2rRlSi °Rl a5b
°v — ада + °!s2 — ^rRlS2 aR2aS2-(13.11)Kuv — M \U • ]/] — Шц • Шу —= M [(/?i — ^0 (/?2 — 5г)] — (mRl — msl) {тю — ms2) === ГR\R2 aR\aR2 + Г51S2 aSlaS2 rR\S2 a«laS2rR2S\ °R2°S\-(13.13)a (3P= j j /(*, y)dxdy(13.15)— 00 	00где(13.16)(13.17)(13.18)А вероятность неразрушенияЯ==^_ф(а) 4- -г|гФ(Р) — T (a, a) — 7' (P, b).(13.19)378
ЗдесьП = . _	--u-v-; Ь =	(13.20)a Vl — Г2,,v Р V1UV	Р у 1 — r'uvТаким образом, для расчета вероятности неразрушения в слу¬
чае двух возможных предельных состояний необходимо знать
следующие числовые характеристики нагрузок и несущих способ¬
ностей конструкции:—	математические ожидания msl, mS2, mRl, mR2;—	средние квадратические отклонения asu aS2, aRlt аД2;—	коэффициенты корреляции rRiS1, ^252,	rsis2< rRis2, rmsi-Если критические параметры U и V некоррелированы, то ве¬
роятность неразрушенияР = вер { U > 0} • вер { V> 0} = Ф (а) • Ф (р), (13.21)Выражение (13.21) можно использовать и при наличии корре¬
ляции критических параметров, если надежность конструкции
достаточно велика (вероятность Р близка к 1). В этом случае
влияние коэффициента корреляции ruv невелико и выражения(13.19)	и (13.21) дают почти одинаковые результаты.Для одного возможного предельного состояния вероятность
неразрушенияР = вер (£/>0} = Ф(а).	(13.22)В расчетах надежности конструкций удобно использовать без¬
размерные параметры:—	коэффициент надежности (запаса)(13.23)—	коэффициент вариаций несущей способностиVr = ^T->	(13-24)R—	коэффициент вариаций нагрузкиVs = -±.	1	(13.25)sФизический смысл этих коэффициентов нетрудно уяснить по
рис. 13.1. Коэффициент надежности показывает, насколько смеще¬
но математическое ожидание несущей способности относительно
математического ожидания нагрузки. Коэффициенты вариаций ха¬
рактеризуют рассеяние случайных значений несущей способности
и нагрузки относительно их математических ожиданий. Па
рис. 13.1 показаны также предельные отклонения нагрузки As =
= 3as и несущей способности Ar=3or в соответствии с зависимо¬
стью (12.29). Вместо выражений для коэффициентов вариаций
j( 13.24) и (13.25) можно использовать соответственно относитель¬
ные предельные отклонения несущей способности(13-26)а379
и нагрузки(13.27)В случае одного предельного состояния при отсутствии корре¬
ляционной связи между несущей способностью конструкции и на¬
грузкой аргументт R т SV4+'может быть преобразован по видуУ)— 1п 			L(13.28)(13.29)VfV*t + V* 'Таким образом, вероятность неразрушения есть функция трех
параметров:Я = Я(ч, VR, Vs).	(13.30)Для расчетов надежности конструкции по одному предельному
состоянию можно воспользоваться вместо таблиц функции Ф(*)
номограммой (рис. 13.4), построенной-на основании зависимости(13.30). Входами в номограмму являются значения г\ и1v=~VWf+ V2S .(13.31)0,9399990,3399950,993330,99998°т0.99970,99950,9990,9980,9950,991.3 1.4 1,5 Г,6 1.7 1,8 1.9 2.0 2.2 2.4 2.6Рис. 13.4. Номограмма для расчета вероятности неразрушения конструкции
квазистатическим методом в случае одного предельного состояния380
Для анализа влияния на надежность конструкции вариаций на¬
грузки и несущей способности в отдельности и для расчетов на¬
дежности по относительным предельным отклонениям и при
фиксированном значении т] можно воспользоваться графиками
[51], приведенными на рис. 13.5. Уместно отметить, что для ракеты
«Минитмен 1А» коэффициент надежности т] прййят равным 1,25
[109], [125], [126], [130].Р1,00000,9998
0,9996
0,9994-
0,99924*1.4t Рis Ю000.05Уо.юУ’5 0,998]
'0200,9960,9940,992-Рис. 13.5. Зависимость надежности конструкции от относитель¬
ных предельных отклонений нагрузки и несущей способностиПредыдущие рассуждения основывались на допущении нор¬
мального распределения нагрузки и несущей способности. Нестро-
гость этого допущения проявляется в следующем. Ветви кривой
нормального распределения устремлены в бесконечность, одна из
ветвей частично находится в области отрицательных значений ар¬
гумента. В то же время возможные значения нагрузки и несущей
способности ограничены некоторыми пределами. Многие пара¬
метры, такие, как предел прочности, диаметр и др., определяющие
несущую способность и некоторые нагрузки, не могут быть отри¬
цательными по физическому смыслу. Поэтому реальные распреде¬
ления этих параметров иногда заметно отличаются от нормального,381
асимметричны и усечены. Для описания таких распределений ча¬
сто используются усеченный нормальный и логарифмически-нор-
мальный законы.Универсальным методом расчета надежности в случае замет¬
ных отличий распределений от нормального является метод стати¬
стических испытаний. Однако есть и упрощенные методы. Сущность
одного из них состоит в следующем. Пусть известны выражения
несущей способности R и нагрузки S как функции случайных ар¬
гументовR = <?(ХЬХ2	Вероятность /v (R) того, что несущая способность примет опре¬
деленное значение в интервале RW_X<R^R4 определяется про¬
изведением вероятностей того, что аргументы Хи Х2, ..., Хи ока¬
жутся в соответствующих пределахвер { К-i <R<R.)\=B?p{X1 (v_u <Xl<Xl (v)} X
X вер {X, (V_1} < X < X (v)} x
X ... X вер {Хк (v_1} < < X^} .	(13.33)Вероятности заменяются частотами gt/ (a*i), gw (x2),..., g., {xk),которые определяются для соответствующего v-ro интервала по
гистограммам распределения аргументов, и равенство (13.33) при¬
нимает вид£v (Я) =& (*i) х g,\x2) X ... X £v (**)•	(13.34)Группируя значения R по удобным интервалам, можно по¬
строить гистограмму распределения величины R и найти прибли¬
женно функцию распределения/?v V
(R) — вер{R<^R,,} — \ g(R)dR^2g,(R). (13.35)0	v=lАналогично находятся плотность распределения f (S) и инте¬
гральная функция распределения F (S) нагрузки по гистограммам
аргументов Гь Y2, Yn. Вероятность неразрушения определяется
интегрированием плотности совместного распределения несущей
способности и нагрузки, представляющей собой произведение плот¬
ностей распределения g {R) и f (S)СО RР = вер ( /? > 5} = Т f f(S)g(R)dSdR =F(R)g(R)dR,	(13.36)382
Таким образом, вероятность неразрушения можно получить
суммированием произведений накопленных частостей нагрузки и
частостей несущей способности, взятых для тех же интерваловОСР = вер { R> S} - 2 F. (Я) (Я).	О3-37)V-1Условия нагружения и напряженно-деформированное состояние
отдельных элементов конструкции ракеты с РДТТ существенно
различаются. Соответственно различны функции <р и ф, представ¬
ляющие несущие способности и нагрузки. Из этого вытекает необ¬
ходимость проведения расчетов надежности каждого элемента
конструкции в отдельности с учетом особенностей его работы. Ве¬
роятности Pi неразрушения отдельных элементов можно затем
перемножить для вычисления общей надежности конструкции, но
при этом следует помнить о том, что деление конструкции на эле¬
менты должно сохранять в силе принцип независимости их отка¬
зов.По способу получения исходных данных для расчетов надежно¬
сти конструкции можно выделить следующие три этапа. На первом
этапе при проектировании несущая способность и нагрузка прини¬
маются известными функциями случайных аргументов (13.32).
Функциональные зависимости ср и ф заимствуются из детерминиро¬
ванных прочностных расчетов. В .разд. II приведены подобные
зависимости для различных элементов конструкции ракеты (кор¬
пусов РДТТ, переходников, хвостовых отсеков и др.) и для разных
условий нагружения. В ряДе случаев такие зависимости могут
представлять собой системы сложных дифференциальных уравне¬
ний. В качестве аргументов Xi принимаются предел прочности, мо¬
дуль упругости и другие физико-механические характеристики, а
также толщины стенки, диаметры и другие геометрические харак¬
теристики конструкции, в качестве аргументов У,- — массы, давле¬
ния, коэффициенты перегрузки и другие параметры, определяющие
нагрузку. Аргументы Х{ и Yj иногда называют возмущающими па¬
раметрами.Для расчета надежности конструкции в предположении нор¬
мального распределения всех возмущающих параметров необхо¬
димо найти числовые характеристики нагрузки и несущей способ¬
ности по известным числовым характеристикам возмущающих па¬
раметров. В простейших случаях эта задача решается методом ма¬
лых возмущений, а в более сложных — методом статистических
испытаний (см. § 12.4). Метод статистических испытаний прихо¬
дится применять и в тех случаях, когда в качестве критических
параметров принимают коэффициенты запаса или критерии проч¬
ности, ибо законы их распределения обычно отличаются от нор¬
мального.В качестве математических ожиданий возмущающих парамет¬
ров обычно принимают их номинальные расчетные значения, а
средние квадратические отклонения находят либо по известным383
предельным отклонениям (см. выражение 12.29), либо по номи¬
нальным значениям с помощью коэффициентов вариаций, приня¬
тых на основе опыта отработки аналогичных образцов.На втором этапе после проведения стендовых испытаний отсе¬
ков ракеты числовые характеристики несущей способности можно
оценить непосредственно по результатам испытаний. Характери¬
стики же нагрузки рассчитываются по тем же ориентировочным
проектным данным, что и на первом этапе. На третьем этапе после
проведения летных испытаний представляется возможность исполь¬
зовать в расчетах надежности конструкции характеристики нагру¬
зок, найденные по опытным данным.§ 13.2. ПРИМЕР РАСЧЕТАРассмотрим в качестве простейшего примера расчет надежно¬
сти обечайки корпуса РДТТ диаметром D = 800±l мм, толщиной
8 = 2,5±0,2 мм, изготовленной из стали с пределом прочности
аь — 90 • 108 н/ж2 [94], нагруженной внутренним давлением S =45 бар.
Примем коэффициенты вариаций предела прочности К, =0,05 [127]
и давления Vs = 0,04. Несущая способность определяется разрушаю¬
щим давлениемR =	(13.38)Подставляя в выражение (13.38) номинальные значения, находим
mR =	-107== 56,3 • 105 HjM%ти = mR— ms — 56,3 — 45 = 11,3-105 н/м2.Линеаризируя выражение (13.38) и используя зависимость (12.29),
имеем= V 0,052 + 0.02772 + 0,000422 = 0,0516.	(13.39) ’Заметим, что вариация диаметра настолько меньше вариаций
остальных параметров, что величину D можно считать неслучай¬
ной. Среднее квадратическое отклонение критического параметрааи — У Rmrd1 (УsmsY ~= V (0,0516 • 56,3)2 + (0,04 • 45)2 = 3,43 • 10® и/ж2. (13.40)Вероятность -неразрушенияЯ = Ф — ф (3_29) = 0,9995.В некоторых задачах расчета надежности конструкции возни¬
кают трудности оценки коэффициентов корреляции нагрузок и не¬384
сущих способностей. Нагрузки можно считать независимыми, если
соответствующие напряженные состояния возникают в разные пе¬
риоды времени работы конструкции. При деформировании кон¬
струкции в упругой области нагрузка и соответствующая ей несу¬
щая способность могут быть приняты независимыми. Коэффициен¬
ты корреляции несущих способностей Ri и R2 молено оценить, ис¬
пользуя их зависимости от возмущающих параметров. Наличие в
обеих зависимостях одного и того же параметра указывает на то,
что коэффициент корреляции Гщн2 может быть отличен от нуля.Найдем в качестве примера корреляционный момент несущих
способностей по прочности и по устойчивости для цилиндрической
оболочки, нагруженной осевой сжимающей силой и изгибающим
моментом. Несущая способность по прочности равна разрушаю¬
щему изгибающему моменту=	(13.41)Несущая способность по устойчивости равна критической силе [80]^2 = 0,4uifS2.	(13.42)Корреляционный момент как математическое ожидание произведе¬
ния центрированных случайных величин, полученных линеариза¬
цией выражений (13.41) и (13.42) в окрестности их математиче¬
ских ожиданий, равентп, _ тп,2	-^88 +
mD	т&т„л \ тпс.	т^г,*11 тЕ	ть(13.43)где 8D, 88, Ъаь, ЬЕ — центрированные случайные величины (вариа¬
ции'возмущающих параметров). Имея в виду, что математическое
ожидание произведения независимых случайных величин равно
нулю, а математическое ожидание квадрата центрированной слу¬
чайной величины есть дисперсия, получаемKitm — %i% тЕ + ^ ^-) .	(13.44)§ 13.3. РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ
КОРРЕЛЯЦИОННЫМ МЕТОДОМВ квазистатической постановке и нагрузка, и несущая способ¬
ность конструкции считаются случайными величинами. Ввиду не¬
значительности изменения несущей способности во времени (в пре¬
делах одной реализации) ее с достаточной для практики точно¬
стью можно считать не зависящей от времени. Нагрузки же в по¬
давляющем большинстве носят явно выраженный характер случай¬
ных процессов. При испытаниях ракет основные параметры (коэф¬13—573385
фициенты перегрузки, давление в камере РДТТ и т. п.) можно ре*
гистрировать непрерывно и обработать полученные осциллограммы
методами математической статистики как реализации случайного
процесса.Если известны математическое ожидание и корреляционная
функция нагрузки S (/) как случайного процесса, то, по-видимому,
нет достаточных оснований для того, чтобы не использовать эти
данные в расчете надежности конструкции. Аналогично задаче о
выбросе случайной реализации критического параметра Z (t) за
фиксированный уровень R, изложенной в § 12.4, надежность кон¬
струкции в рассматриваемом случае определится как вероятность
того, что за время функционирования Т не произойдет ни одноговыброса реализации нагрузки
S(t) как случайной функции за
уровень R несущей способности.
Отличие заключается в том, что
уровень R по природе случаен. За¬
дача решается корреляционным
методом: искомая вероятность на¬
ходится по характеристикам рас¬
пределений случайной величины R
и случайной функции S(t) в се¬
чениях, а также по корреляцион¬
ной функции последней.Геометрическая интерпретация
постановки задачи дана на
рис. 13.6, где показаны математи¬
ческие ожидания несущей способ¬
ности tnR и нагрузки ms(t), плот¬
ности распределения несущей способности f(R) и нагрузки f(S/tj)
в сечении t = tj, а также несколько реализаций Si(t) нагрузки и
уровней R{ несущей способности. Точка А соответствует выбросу
одной из реализаций нагрузки за один из уровней несущей спо¬
собности, означающему отказ.Будем считать нагрузку стационарной нормальной случайной
функцией, несущую способность — нормально распределенной слу¬
чайной величиной, выбросы —редкими событиями. При этих допу¬
щениях вероятность неразрушенияРис. 13.6. Выброс случайной реа¬
лизации нагрузки за случайный
уровень несущей способностиР - вер { R — 5 (0 > 0} = J / {R) e~nrdR,(13.45)где f(R)—плотность распределения несущей способности;п— среднее число выбросов случайной функции 5 (t) за
уровень R, зависящее от ее нормированной корреля¬
ционной функции ps(x).Величину п удобно представить в виде(R-msy
где согласно выражению (12.38)““TSrV'-FW'^-	03.47)Обычно нормированные корреляционные функции стационарных
случайных процессов имеют вид, показанный на рис. 13.7 [27].
Кривую 1 можно аппроксимиро¬
вать выражениемр(т) =»е-\ (13.48)кривую 2 — выражениемр (х) — е~ах cos fte, (13.49)
где а и р — некоторые параметры.Тогда«“is- ^13-5°)в случае аппроксимации по зави¬
симости (13.48) .илиа =*-%(13.51)в случае аппроксимации по зависимости (13.49).Из рассмотрения выражений (13.45), (13.46), (13.47) и функ¬
ции f (R) нормального распределения можно заключить, что ве¬
роятность неразрушения в нашем случае представляется функцией
пяти параметров: коэффициента надежности т], коэффициента ва¬
риаций нагрузки 1/s, коэффициента вариаций несущей способности
VR, параметра а, зависящего от корреляционной функции ps (т) и
времени функционирования Т.Для удобства расчетов вероятности неразрушения функцияР = Р(У1, VR, Vs, а,Т)	(13.52)представлена на рис. 13.8 в форме номограммы.Номограмма состоит из четырех квадрантов, оцифрованных по
часовой стрелке и содержащих семь групп кривых. Входными ве¬
личинами являются значения параметров, перечисленных в выра¬
жении (13.52).Для использования указанной номограммы необходимо:—	вычислить значения входных величин tj, VR, Vs и а по зави¬
симостям (13.23), (13.24), (13.25), (13.50) или (13.51);—	войти в I квадрант значением Vr до точки А на кривой 1,
отвечающей значению rj;—	перейти от точки А по горизонтали до оси X и далее по соот¬
ветствующей кривой 4 во II квадранте до точки В, отвечающей
значению Vs;—	пройти по горизонтали от точки В до точки С на кривой 3,
отвечающей значению %Рис. 13.7. Нормированные корре¬
ляционные функции13*387
—	отметить по вертикали от точки С точку G на оси X;—	перейти от точки С по горизонтали в I квадрант до точки D
на кривой 2, отвечающей значению Vs;—	перейти от точки D по вертикали в IV квадрант до точки Е
на прямой 7, отвечающей значению а;—	пройти по горизонтали от точки Е до оси Z и далее перейти
в III квадрант по соответствующей прямой 6 до точки F, лежащей
на пересечении прямой б с вертикалью, проведенной через точку G;—	перейти от точки F по горизонтали до точки L на оси Z и
далее от нее по соответствующей прямой 5 до точки М, отвечаю¬
щей значению Г;—	выйти по горизонтали от точки М до точки N на оси Р.Значение N есть искомая вероятность неразрушения. Порядокпереходов показан на рис. 13.8 пунктиром.Приближенное аналитическое решение задачи можно получить,
полагая, кроме указанных выше допущений, что пТ <С 1. После
ряда преобразований имеемаТъ	[ (mD — тЛ% 1—exp —•Vfio—, (13.53)V4 + 4 i 2.(4+ <4)г	'где tnR, mSt a os—математические ожидания и средние квадра¬
тические отклонения несущей способности и нагрузки.В качестве примера определим вероятность неразрушения обе¬
чайки корпуса РДТТ, используя исходные данные первого примера
§ 13.2 и приняв нормированную корреляционную функцию давле¬
ния (13.49) с параметрами а = 0,05, (3 = 0,1, время работы двигателя
Т = 40 сек. Подставляя исходные данные в выражение (13.53),
имеем1	КОД2 — 0,052-40-0,04-45 v2-3,14 ]/'(0,0516-56,3)2 + (0,04-45)29658./	(56,3—45)2	\_пХ ехР | 2 [(0,0516-56,3)2 + (0.04-45)2] / ’Сравнивая этот результат с полученным в § 13.2, видим, что
если не учитывать характер изменения давления в камере РДТТ
как случайного процесса, то оценка надежности корпуса может
сказаться несколько завышенной.§ 13.4. НАДЕЖНОСТЬ ЗАРЯДА ТВЕРДОГО ТОПЛИВА
И АДГЕЗИОННОГО СЛОЯДля заряда твердого топлива критическим параметром яв¬
ляется коэффициент поврежденийNА = 2 А,	(13.54)i-1представляющий собой суммарное повреждение, накопленное за¬
рядом на всех N этапах эксплуатации РДТТ: при отверждении за-388
ряда в процессе изготовления, под действием динамических нагру¬
зок во время транспортировки и погрузочно-разгрузочных работ,
вследствие воздействия массовых сил и колебаний температуры
при хранении в горизонтальном и вертикальном положении, при
тепловом воздействии, нагружении давлением в процессе запуска
двигателя и работы его в полете и т. п.Величины D,, характеризующие повреждения на i-ом этапе экс¬
плуатации РДТТ, находятся как отношения деформаций, получен¬
ных зарядом на этом этапе, к соответствующим допустимым де¬
формациям, а для случаев циклического нагружения, например
для этапа транспортировки ракеты,— как отношения фактического
числа циклов нагружения к допустимому (см. разд. II).Вследствие случайных вариаций физико-механических свойств
твердого топлива, а также механических и тепловых нагрузок, дей¬
ствующих на заряд в различных условиях, величины Dt являются
случайными. Равенство Dz == I означает, что накопленные повре¬
ждения достигли недопустимого уровня — наступил отказ РДТТ.
Поэтому надежность заряда можно определить как вероятность
того, что повреждения, накопленные за время эксплуатации, не пре¬
высят допустимых, т. е.Р = вер {ZJj. < 1 }.	(13.55)Для вычисления вероятности (13.55) необходимо знать распре¬
деление случайной величины Dz, которое в свою очередь является
композицией распределений случайных величин Di. Для нахожде¬
ния последних необходимо провести статистическое моделирование
напряженно-деформированного состояния заряда последовательно
на всех этапах эксплуатации. При этом в качестве математической
модели могут быть использованы расчетные схемы напряженно-де¬
формированного состояния, рассмотре^ые в разд. II. В соответ¬
ствии с изложенным в § 12.4 статистическое моделирование заклю¬
чается в том, что в математическую модель закладываются вы¬
бранные случайным образом характеристики жесткости и прочно¬
сти заряда, жесткости корпуса, а также реализации изменения на¬
грузки и после многократных вычислений находится закон распре¬
деления коэффициента повреждений.Рассмотрим некоторые особенности методики расчета надеж¬
ности заряда на примере статистического прогнозирования гаран¬
тийных сроков эксплуатации заряда РДТТ третьей ступени ракеты
«Минитмен» в предположении, что физико-механические свойства
топлива изменяются в процессе хранения и заряд при работе двиг а¬
теля на траектории нагружен только внутренним давлением [87].
Выше было отмечено, что в этом двигателе наиболее опасной зо¬
ной с точки зрения возможного растрескивания заряда является
область вершин щелей (см. рис. 12.1). Поэтому для статистических
испытаний использована модель плоско-деформируемого изотроп¬
ного вязко-упругого цилиндрического заряда с учетом концентра¬
ции напряжений в вершинах щелей. В качестве наиболее опасного389
сечения на основании результатов статических испытаний натур¬
ных двигателей внутренним давлением выбрано поперечное сече¬
ние АЛ (рис. 12.1), в котором расстояние от оси двигателя до вер¬
шины щели составляет 94 мм. Коэффициент концентрации напря¬
жений определялся как отношение максимальных тангенциальных
напряжений в вершине щели и на поверхности канала заряда.В качестве исходных данных приняты:—	внутренний диаметр корпуса 947,4 мм\—	диаметр канала заряда 188 мм;—	толщина стенки корпуса 3,3 мм;—	объемный модуль упругости топлива 24600-105 н/м2;—	коэффициент концентрации напряжений 2,55;—	математическое ожидание модуля упругости материала кор¬
пуса 4,15-1010 н/м2, среднее квадратическое отклонение0,288 • 1010 н/м2-,—	математическое ожидание коэффициента Пуассона 0,15,
среднее квадратическое отклонение 0,018.Реализации нарастания давления в процессе запуска двигателя
выбирались при моделировании случайным образом из числа
осциллограмм давления, полученных во время огневых испытаний
РДТТ и введенных в запоминающее устройство ЭЦВМ.Как известно, допустимые деформации обычно определяются
по результатам испытаний образцов на одноосное растяжение.
В то же время напряженное состояние на поверхности канала за¬
ряда в рассматриваемом случае обусловлено сочетанием двух¬
осного растяжения (в тангенциальном и осевом направлениях) и
трехосного сжатия вследствие внутреннего давления и сопротивле¬
ния корпуса, причем двухосное растяжение приводит к уменьше¬
нию допустимых деформаций, а трехосное сжатие — к их увеличе¬
нию. Это обстоятельство учитывалось умножением значений допу¬
стимых деформаций при одноосном растяжении на 1,06.Равенство Dz = 1 как определение отказа зарядах оказывается
справедливым только в условиях монотонного возрастания скоро¬
сти деформации во времени. Если же скорость деформации умень¬
шается, то значения Д. могут быть и больше единицы. Именно
такой характер имеет поведение топлива при запуске двигателя.
Исследования [87] показали, что с некоторого момента времени 1\
в результате понижения давления скорость деформации становится
отрицательной. При этом, по-видимому, величина	будет не¬сколько уменьшаться, что соответствует частичному восстановле¬
нию поврежденных участков заряда. Спустя некоторое время де¬
формация вновь начинает возрастать, но разгар щели способствует
существенному уменьшению концентрации напряжений. Поэтому в
расчетах следует принимать максимальное значение Dv соответ¬
ствующее моменту времени t\. В рассматриваемом примере tx =
= 0,35 сек, считая от начала процесса нарастания давления.Известно, что механические характеристики топлива взаимо¬
связаны. В частности, между модулем упругости Е и допустимой390
деформацией s существует отрицательная корреляционная зависи¬
мость. Например, при скорости деформации 1 = 0,8 минкоэффи¬
циент корреляции гЕ,= — 0,6. Наличие корреляции приводит к
тому, что при статистическом моделировании только один из кор¬
релированных параметров выбирается произвольно, тогда как дру¬
гой должен быть определен на основании корреляционной зависи¬
мости. Однако в рассматриваемом примере модуль упругости и
допустимая деформация приняты независимыми. Следствием этого
в конечном счете является несколько заниженное значение вероят¬
ности неразрушения.Для случайного выбора исходных данных при статистическом
моделировании на ЭЦВМ в рассматриваемом примере использован
метод псевдослучайных чисел, сущность которого состоит в сле¬
дующем. Ряд равномерно распределенных десятиразрядных слу¬
чайных чисел с периодичностью 5 • 108 вырабатывается на основа¬
нии рекуррентной формулы6, = 862773865 g(_lt	(13.56)причем для образования £г случайного числа из полученного про¬
изведения используются только первые десять разрядов. Для на¬
чала расчетов также требуется десятиразрядное случайное число.С помощью чисел £,• на основании центральной предельной тео¬
ремы формируются случайные числа Xj, имеющие нормальное рас¬
пределение с параметрами mXj — 0 й o*j=l. Используя числа Xj,
нетрудно получить случайные значения любого нормально распре¬
деленного параметра У (модуля упругости, коэффициента Пуас¬
сона и др.) по зависимостиY} = my + XjOy,	(13.57)где ту и оу — соответственно математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение величины У.Если У есть модуль релаксации напряжений, то значения ту и
оы принимаются по опытным зависимостям этих параметров от вре¬
мени. Аналогично формируются и реализации допустимой дефор¬
мации, математическое ожидание и среднее квадратическое откло¬
нение которой представляются функциями скорости деформации
по опытным данным.Результатом рассмотренного примера является зависимость
коэффициента повреждений Ds от срока эксплуатации ракеты1,	показанная на рис. 13.9.По расчетным данным, отмеченным светлыми кружками, про¬
ведена экстраполяция этой зависимости на срок эксплуатации бо¬
лее семи лет. Пунктиром отмечены возможные пределы изменения
величины отвечающие вероятности 0,95. Допущение о нормаль¬
ном распределении величины D^ позволяет рассчитать надежность
заряда в зависимости от срока эксплуатации с помощью табличной
функции Ф (х) на основании выражений (13.55) и (12.24).Расчет надежности адгезионного слоя, скрепляющего заряд с
корпусом двигателя, в принципе аналогичен рассмотренному. В ка¬391
честве критического параметра принимается коэффициент повре¬
ждений (13.54). Заметим, что при этом каждую величину ха¬
рактеризующую повреждения адгезионного слоя, накопленные на
г-ом этапе эксплуатации, можно определить как отношение интер¬
вала времени AU, в течение которого адгезионный слой подвергал¬
ся воздействию напряжений о* рассматриваемого i-го типа (темпе¬
ратурных напряжений, знакопеременных напряжений вибрацион¬
ного характера и др.), к среднему времени /рг-, необходимому для
разрушения адгезионного слоя под действием этих напряжений.Рис. 13.9. Зависимость коэффициента по¬
вреждений от срока эксплуатации ракетыВ табл. 13.1 представлены результаты расчета повреждений,
накапливаемых в адгезионном слое РДТТ второй ступени ракеты
«Минитмен» в течение пяти лет эксплуатации [134]. Гипотетическая
совокупность внешних воздействий, принятая в расчете, указана в
той же таблице.Из табл. 13.1 видно, что наибольшие по величине периодические
напряжения, действующие при транспортировке в течение длитель¬
ного времени, опасности практически не представляют. В подтвер¬
ждение этого можно, привести следующий пример [87]. При транс¬
портных испытаниях РДТТ третьей ступени ракеты «Минитмен» на
расстояние 16 000 км на штатном транспортировщике зарегистри¬
ровано менее 1 • 104 циклов нагружения с амплитудой от 0 до 0,75 g
и 200 циклов с амплитудой от 0,75 до 1 g, причем последние вызы¬
вали максимальную относительную деформацию топлива до 0,2%.
В то же время установлено, что топливо выдерживает подобную
деформацию без разрушений b течение 1,5-10° циклов.Наибольшую опасность для адгезионного слоя представляют
неустановившиеся динамические напряжения, возникающие при
переходных процессах во время транспортировки и погрузочно-раз¬
грузочных работ. Так, если эти напряжения, равные 2,8 • 105 н/м2,
действуют в течение 3,6 сек, то вероятность разрушения составляет
0,237, а при уменьшении их вдвое — снижается до 1 • 10~12.Следует отметить, что при проверках 150 серийных РДТТ ра¬
кеты «Минитмен» в период хранения в течение трех лет ни в одном
из двигателей не было обнаружено нарушения скрепления заряда
с корпусом, которое не было бы замечено при первом заводском392
Таблица 13.1Условия эксплуатацииAt у ЧТемпера¬
тура, °С<уЮ»,н/-и3'рг 4iD.l-lЗаливка и полиме¬
ризация в верти¬
кальном положении36043,50,0411,21 • 1012З.о-Ш-1»0,0000Монтаж и провер¬
ка в горизонтальном
положении72026,70,284.04- 10в1.8-10-*0,0002Транспортировка
па стартовую пло¬
щадку в горизон¬
тальном положении0,0010,010,11,011926.726.726.726.726.72,82,11,40,70,291.08-10—1
7,86-10-1
1,3-10
1,53-10
4,01-10в9,1-10-»
1,3-ю-2
7,9-10—37.0-Ю-43.0-ю-50,00930,02230,03000,03070,0307Сборка ракеты в
горизонтальном по¬
ложении12026,70,294,04-10°З.о-Ю-60,0307Хранение в шахте
в вертикальном по¬
ложении423026,70,303,44- 10е1.3-10-»0,0320Разборка ракеты в
горизонтальном по¬
ложении12015,50,402,07-10S5.8-10—60,0320Транспортировка
на завод для про¬
верки в горизонталь¬
ном положении0,0010,010,11,011915.515.515.515.515.52,82,11.40.70.403,64-10-1
3,02
4,57-10
5,14-Ю3
2,07-1002.8-	10-з3.2-10-»2.2-10-»1.9-10—4
5.8 • 10-е0,03480,03800,04020,04040,0404Проверка в гори¬
зонтальном положе¬
нии72015,50.402,07-10«3.5-10_40,0407Возвращение на
стартовую площадку
и т. д.Итого. . .372300,6619393
контроле. В целом дефекты адгезионного слоя далее при длитель¬
ной эксплуатации сравнительно невелики — примерно 8 см2 [134].Заметим, что наличие поврежденных участков заряда или адге¬
зионного слоя нельзя однозначно расценивать как отказ РДТТ.Например, исследования возможных последствий таких дефек¬
тов, проведенные применительно к стартовому РДТТ ракеты «Ти-
тан-ЗС», показали, что методы изготовления заряда и производ¬
ственный контроль практически исключают возможность образова¬
ния дефектов диаметром более 0,23 м и длиной более 0,1 м при
общей длине заряда около 20 м, диаметре 4 ж и массе 316 т. По¬
этому даже при одновременном пересечении фронтом пламени
сразу нескольких таких дефектов, имеющих суммарную площадь
поверхности 4,5 м2, давление в камере РДТТ повысится не более
чем на 3,4 бар, что не представляет опасности [75].§ 13.5. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ РАЗДЕЛЕНИЯРасчеты структурной надежности систем разделения ступеней
и отделения боевой части ракеты с РДТТ не представляют трудно¬
стей. Структурные схемы надежности этих систем имеют вид по¬
следовательного соединения элементов: устройств, обеспечивающих
состыкованное положение ступеней и боевой части до команды на
разделение и разрыв механической связи по этой команде, а также
устройств, создающих усилия, необходимые для разделения.По характеру функционирования стыковочные разрывные бол¬
ты, линейные детонирующие заряды, предназначенные для раз¬
резки переходников, и другие подобные устройства являются эле¬
ментами одноразового действия, срабатывающими практически
мгновенно. Известно, например, что время вскрытия зарядом
взрывчатого вещества заглушек, используемых в аварийной ситуа¬
ции на стартовых РДТТ ракеты «Титан-ЗС», составляет около
4 мсек [75]. Характеристикой надежности таких элементов, как
указывалось в гл. 12, является вероятность безотказного срабаты¬
вания.Надежность устройств, обеспечивающих создание усилий, необ¬
ходимых для разделения (сопел противотяги, тормозных двигате¬
лей, пружинных толкателей и т. п.), молено также характеризовать
вероятностью безотказного срабатывания в смысле отсутствия вне¬
запных отказов, хотя эти устройства, вообще говоря, и не отно¬
сятся к указанному типу элементов. В такой постановке расчет
структурной наделсности системы разделения заключается в пере¬
множении вероятностей Я,- безотказного срабатывания всех ее эле¬
ментов. В произведение величин Я; следует включать также ве¬
роятность того, что до момента подачи команды на разделение не
произойдет самопроизвольного срабатывания элементов (разрыв¬
ных болтов, детонирующих зарядов и т. п.).Специфические особенности систем разделения проявляются в
расчете их параметрической надежности. Система разделения дол¬
жна обеспечить удаление разделяемых ступеней на безопасное394
расстояние, исключающее возможность их последующего соударе¬
ния. Здесь и далее для краткости изложения боевая часть счи¬
тается одной из ступеней ракеты. Соударений не должно быть и в
самом процессе разделения. Наконец, возмущения параметров дви¬
жения последующей ступени, полученные при разделении, должны
укладываться в допустимые пределы. По этим соображениям пред¬
ставляется целесообразным принимать в качестве критических па¬
раметров системы разделения относительные линейные и угловые
перемещения разделяемых ступеней.Процесс разделения носит случайный характер в силу возму¬
щающих воздействий различных факторов, которые можно подраз¬
делить на две группы. Возмущающие факторы первой группы соз¬
дают опасность догона и соударения ступеней в продольном на¬
правлении. Такими факторами являются случайные отклонения
масс ступеней, их аэродинамического сопротивления, усилий, обес¬
печивающих разделение ступеней, импульса последействия тяги, а
также запаздывание срабатывания разрывных болтов или линей¬
ных детонирующих зарядов. В результате этих возмущений про¬
дольное относительное ускорение ступеней х (/) является случай¬
ной функцией времени, а относительный путь ступеней к моменту
времени tK окончания процесса разделения‘кхк = fj х (t) dt	(13.58)' о—	случайной величиной.В ракетах с последовательным соединением ступеней разделе¬
ние обычно происходит в продольном направлении. Расчетные ве¬
личины усилий, необходимых для разделения, находятся по задан¬
ному безопасному расстоянию L, при удалении на которое исклю¬
чается возможность догона последующей ступени отделившейся
предыдущей Ступенью. Однако в действительности вследствие воз¬
мущений догон как случайное событие может иметь место. Иначе
говоря, если расчетом невозмущенного движения найдено значение
xi{ относительного пути к концу процесса разделения и обеспечено
выполнение условия хк>Ь, то это еще не означает, что догон невоз¬
можен; следует рассчитать вероятность выполнения указанного
неравенства, имея в виду, что хк — случайная величина.Таким образом, в простейшем случае продольного разделения
параметрическую надежность системы разделения как вероятность
несоударения вследствие догона можно представить в видеЯпар = вер { хк > L > .	(13.59)Полагая распределение величины хк нормальным, имеемр„г = ф(^),	(13.60)где Ф—табличная функция;
тг и чх—соответственно математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение величины хк.395
Возмущающие факторы второй группы придают процессу раз¬
деления пространственный характер, вызывая поперечные и угло¬
вые относительные перемещения ступеней в процессе их разделе¬
ния, и могут явиться причиной поперечных соударений ступеней.
К этим факторам можно отнести неодновременность срабатывания
разрывных болтов, эксцентриситеты тяги последействия и усилий,
создаваемых соплами противотяги, толкателями и т. п., а также
упругие колебания корпуса ракеты перед разделением. Известно,
например, что во время летных испытаний ракеты «Посейдон» в
августе 1968 года при отделении боевой части вследствие несин¬
хронное™ вскрытия заглушек, установленных на соплах противо¬
тяги, возник крутящий момент [112].Вследствие возмущений второй группы относительные линейные
перемещения ступеней в нормальном у (t) и боковом z (/) направ¬
лениях, а также относительные угловые перемещения в плоско¬
стях тангажа б (t) и рыскания ф (t) являются случайными функ¬
циями времени. Исходя из конструктивных соображений и геомет¬
рических построений, можно назначить допустимые величины этих
перемещений Ry, Rz, и R^, которые исключили бы опасность
поперечных соударений.Тогда в общем случае параметрическая надежность системы
разделения представляет собой вероятность совместного выполне¬
ния пяти неравенств, а именно:ЯПар = вер {хк >L; у (t) < Ry\ z (/) < Rz;e(0<Я,; Ф(0<ЯФ).	(13.61)Если в первом приближении считать относительные перемещения
независимыми, то выражение (13.61) можно заменить произведе¬
нием вероятностей выполнения указанных неравенствРпар = РхРАрА’	О3-62)причем составляющая Рх находится по зависимости (13.60), а
остальные составляющие —корреляционным методом как вероят¬
ности отсутствия выбросов реализаций случайных функций у (t),
z (t), 6 (t) и ф (t) за соответствующие уровни Ry, Rz, и /?ф.Заметам, что при назначении ограничений Rv, Rz, Rb и R^
накладываемых на параметры относительного движения ступеней,
следует иметь в виду не только опасность соударений, но и возму¬
щения, получаемые последующей ступенью при разделении. Оче¬
видно, что ограничения не должны превышать соответствующих
допустимых возмущений. Последние определяются в случае разде¬
ления ступеней ракеты возможностями системы управления после¬
дующей ступени «справиться» с этими возмущениями после разде¬
ления, а в случае отделения боевой части — допустимым рассеива¬
нием точек падения.Для вычисления вероятностей Рх, Ру и др. в общем случае не¬
обходимо знать законы распределения относительных координат
хк, у (/) и др., а при допущении нормального распределения — их396
статистические характеристики. На этапе проектирования эти дан¬
ные можно получить методом статистических испытаний. При этом
математической моделью [выражение (12.39)] процесса разделения
является система дифференциальных уравнений относительного
пространственного движения ступеней, а исходными данными —
законы распределения возмущенных параметров: масс ступеней,
тяги последействия, сил аэродинамического сопротивления, усилий,
создаваемых соплами противотяги и т. д.В простейшей постановке параметрическую надежность системы
разделения можно вычислить, используя метод малых возмущений.
Покажем это на следующем примере. Рассмотрим процесс отде¬
ления боевой части ракеты с РДТТ способом торможения корпуса
последней ступени с помощью сопел противотяги. Ограничимся
определением вероятности продольного несоударения и прене¬
брежем аэродинамическим сопротивлением, полагая, что разделе¬
ние происходит на достаточно большой высоте. Тогда относитель¬
ное ускорение можно представить очевидным равенствомгде F — усилие, создаваемое соплами противотяги;Р— тяга последействия;М—масса ступени.Заметим, что в рассматриваемом случае для надежного разде¬
ления достаточно, чтобы в момент tK относительная скорость VK
ступени и боевой части была положительна. Интегрируя уравнение(13.63), находимИнтегралы в выражении (13.64) представляют собой импульсы
противотягиБудем считать распределение случайных величин М, Q и I нор¬
мальным. Примем в качестве математических ожиданий тм,
mQ и mi расчетные проектные значения этих величин. Назначая по
опыту отработки аналогичных систем возможные предельные от¬
клонения величин М, Q и /, найдем по зависимости (12.29) их Сред¬
ние квадратические отклонения °м, о ог Тогда числовые харак¬(13.63)(13.64)к(13.65)и тяги последействияК(13.66)о397
теристики относительной скорости VK, принятой в качестве крити¬
ческого параметра, определяются выражениями(13.67)а параметрическая надежность — выражениемРпар = вер { VK > 0} = Ф(13.68)Существенную особенность систем разделения составляет труд¬
ность их автономной отработки в наземных условиях. Лаборатор¬
ные и стендовые испытания отдельных устройств, применяемых в
системах разделения (толкателей, сопел противотяги и др.), пред¬
ставляют некоторую возможность определения статистических ха¬
рактеристик усилий, создаваемых этими устройствами. Указанные
характеристики необходимы в качестве исходных данных для ста¬
тистического моделирования процесса разделения.Заметим, что математические модели, которые можно исполь¬
зовать для статистических испытаний, лишь с той или иной сте¬
пенью приближения отображают действительную физическую кар¬
тину процессов разделения. Например, при огневом разделении
ступеней одним из основных возмущений является воздействие про¬
дуктов сгорания, истекающих из сопел двигателя последующей
ступени, на корпус отделяемой ступени. Определение расчетным
путем с достаточной точностью силы этого воздействия, завися¬
щей, кроме всего прочего, от расстояния между ступенями, пред¬
ставляет значительные трудности.По этим причинам наряду со статистическим моделированием
находит применение физическое моделирование процессов разде¬
ления. Так, например, при отработке разделения первой и второй
ступеней ракеты «Минитмен» профилированным разрывным заря¬
дом проводились наземные испытания с использованием натурной
второй ступени и макета первой ступени, заполненного водой [ПО].
Известны также примеры физического моделирования процесса
разделения в барокамерах с использованием моделей, выполнен¬
ных в масштабах 1 :20, 1 : 10 и 1 :4,575, с имитацией работы дви¬
гателей с помощью сопел, работающих на сжатом газе, и «горячих»
газогенераторов [111], [119], [122].Однако наиболее полную оценку надежности систем разделения
могут дать только летные испытания ракеты. При этом, по-ви¬
димому, достаточно зафиксировать, что разделение произошло без
соударений и не повлияло на характеристики рассеивания точек
падения.
Глава 14ИСПЫТАНИЯ КОНСТРУКЦИИ И ДВИГАТЕЛЕЙ РАКЕТЫ§ 14.1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ
СВОЙСТВ КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВСтатистические характеристики несущей способности конструк¬
ции, необходимые для расчета ее надежности, могут быть опреде¬
лены расчетным и опытным путем. На этапе проектирования до
тех пор, пока корпуса двигателей, приборные и хвостовые отсеки
и другие элементы конструкции еще не выполнены в металле, их
несущая способность представляется на основании детерминиро¬
ванных моделей напряженно-деформированного состояния функ¬
цией случайных аргументов: геометрических размеров конструкции
и механических характеристик конструкционных материалов. Ста¬
тистические характеристики последних определяются по результа¬
там лабораторных испытаний образцов на растяжение, сжатие и
другие виды деформации (нагружения).Механические характеристики конструкционных материалов
(пределы прочности, пределы текучести, модули упругости и др.)
являются, как правило, случайными величинами. Их разброс обу¬
словлен неоднородностью внутреннего строения, погрешностями
технологических процессов, неодинаковостью напряженного состоя¬
ния при испытаниях и т. п.В процессе лабораторных испытаний образцов обычно накапли¬
вается достаточно большое число результатов, что дает возмож¬
ность построить гистограммы, а следовательно, получить законы
распределения механических характеристик материалов. В каче¬
стве примера на рис. 14.1 показана плотность распределения пре¬
дела текучести стали марки Ст.З по данным работы [18]. Как пра¬
вило, распределение механических характеристик материалов
близко к нормальному.Если расчеты по тому или иному выбранному критерию согла¬
сия, например, критерию Пирсона, показывают, что гипотеза о
нормальном законе распределения не противоречит опытным дан¬
ным, то достаточно ограничиться нахождением оценок математиче¬
ского ожидания и среднего квадратического отклонения определяе¬те)
мой механической характеристики. В табл. 14.1 указаны математи¬
ческие ожидания mz и коэффициенты вариаций V\ предела проч¬
ности и предела текучести некоторых конструкционных материа¬
лов, применяемых в ракетостроении США [127].Из табл. 14.1 видно, что коэффициенты вариаций механиче¬
ских характеристик металлических материалов составляют в основ¬
ном 4-*-6%. Для стеклопластиков как конструкционных материа¬
лов, обладающих повышенным разбросом свойств, следует ожидать
больших значений коэффициентов вариации Va.Таблица 14.1ПределПредел текучестиМатериалТолщина,ммпрочности
при растяже¬
ниипри растяже¬
ниипри сжатиит 5-105,
я/л«аV,mr 105,
н/м*V,та-10».,
к/л2V,Алюминиевые сплавы2014 Тб лист плакиро¬До 1,051,30,0545,70,0645,70.06ванный
лист плакиро¬1,0—12,750,60,0447,40,0547,40,05ванный
стержень прес¬	;47,80,0544,30,0747,40,07сованный
изделие штам¬	50,60,0443,60,0543,60,05пованное (до
100X100 мм)
2024 ТЗ лист плакиро¬0,25—2,547,80,0536,60,0630,20,06ванный
Т4 лист плакиро¬6,35—12,549,20,0436,60,0530,20,05ванный
Т36 лист плакиро¬0,5—1,549,90,0545,00,0637,90,06ванный
Т4 изделие прес¬1,0—6,345,70,0535,10,0730,90,07сованное6,35—12,547,80,0537,20,0733,00,077075-Т6 лист неплаки-0,4—1,060,40,0554,10,0654,80,06рованный
лист неплаки-1,0—6,359,70,0453,40,0554,10,05рованный
лист плакиро¬До 1,055,50,0549,90,0650,60,06ванный
лист плакиро¬1,0—1.655,50,0449,90,0551,30,05ванныйМагниевые сплавыAZ-91-T4 отливка27,40,058,40,078.40,07AZ-91-T6 отливка—27,40,0513,40,0713,40,07СталиQQ-S-68lb, класс 4С41120,041050,051050,05отливка
ASTM А-7 профиль46,40,0528,10,1028,10,1017-4-РН нержавеющая	1510,051400,061400,06400
Заметим, что гипотеза о нормальном распределении механиче¬
ских характеристик материалов, принимаемая обычно в расчетах
надежности и подтверждаемая экспериментально, является нестро¬
гой, поскольку указанные характеристики не могут иметь отрица¬
тельные значения, а нормальное распределение снизу не ограни¬
чено. В связи с этим иногда аппроксимируют гистограммы механи¬
ческих характеристик материалов другими законами распределе¬
ния, например, усеченным нормальным (см. табл. 12.2). Это же за¬
мечание относится и к распределению несущей способности кон¬
струкции в целом./ (®т)Рис. 14.1. Плотность распределения предела текучести
стали марки Ст. 3В практике статистической обработки результатов испытаний
образцов иногда возникает трудность. Эмпирические распределе¬
ния механических характеристик удовлетворительно аппроксими¬
руются нормальным законом в некоторой окрестности центра рас¬
пределения. В то же время для расчетов надежности конструкции
больший интерес представляют возможные низкие значения меха¬
нических характеристик. Вероятность появления этих значений при
испытаниях настолько мала, что для их выявления потребовалось
бы провести огромное число испытаний, во много раз превышаю¬
щее реальные возможности. По этой причине приходится экстра¬
полировать распределение в область низких значений механиче¬
ских характеристик, неизбежно внося тем самым дополнительные
погрешности в расчет.§ 14.2. СТАТИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ ОТСЕКОВ КОРПУСА РАКЕТЫНа этапе опытной отработки, когда отдельные отсеки корпуса
ракеты уже выполнены в металле, появляется возможность найти
статистические характеристики их несущей способности по резуль¬401
татам статических испытаний. Опытное определение статисти¬
ческих характеристик несущей способности представляется более
объективным, нежели их расчет, поскольку детерминированные мо¬
дели напряженно-деформированного состояния, используемые при
проектировании,-базируются на допущениях и в большей или мень¬
шей степени являются идеализированным представлением реаль¬
ного напряженно-деформированного состояния конструкции. Кроме
того, расчетные методы определения несущей способности не дают
возможности учесть все многообразие факторов, которыми обуслов¬
лен ее случайный характер.С другой стороны, объем испытаний натурных образцов отсеков
корпуса ракеты ограничен их высокой стоимостью. Следствием этого
является сравнительно низкая точность оценки статистических ха¬
рактеристик несущей способности по результатам статических
испытаний. В ряде работ утверждается [127], что увеличение числа
испытаний более 30 уже не оправдывает увеличения затрат уточ¬
нением надежности конструкции.Статические испытания отсеков корпуса ракеты проводятся в
целях определения действительного напряженно-деформирован¬
ного состояния, реальных характеристик жесткости, действитель¬
ных запасов прочности и устойчивости при действии на конструк¬
цию расчетных нагрузок и оценки несущей способности конструк¬
ции по величине нагрузок, вызывающих ее разрушение.Нагрузки, воспроизводимые при статических испытаниях, дол¬
жны соответствовать расчетным случаям, рассмотренным в
разд. II.Заметим, что введение расчетных случаев существенно сокра¬
щает программу испытаний конструкции.Из анализа расчетных случаев, определяющих появление наи¬
более опасной для конструкции ракеты комбинации нагрузок, сле¬
дует, что устройство стендов для статических испытаний должно
обеспечивать создание внутреннего избыточного давления, внеш¬
него давления, неравномерного по длине образующей корпуса, про¬
дольных и поперечных сосредоточенных сил и изгибающих момен¬
тов, а также определенных температурных режимов. Величины на-
1рузок, воспроизводимых при испытаниях, задаются на основании
проектных расчетов, при этом учитывается опыт отработки анало¬
гичных изделий.Испытания внутренним избыточным давлением, например,
опрессовка корпусов РДТТ, проводятся обычно гидравлическим
способом, заключающимся в том, что во внутреннюю полость
испытываемого объекта подается жидкость под давлением до тех
пор, пока внутреннее давление не достигнет заданного или пока
конструкция не разрушится. Равномерное внешнее давление
можно создать погружением испытываемого объекта в емкость, за¬
полненную жидкостью под заданным давлением, а при небольших
испытательных давлениях — вакуумным способом, создавая во вну¬
тренней полости испытываемого объекта соответствующее разре¬
жение.402
Сосредоточенные силы и изгибающие моменты, величины и ха¬
рактер приложения которых заданы, могут быть созданы, напри¬
мер, с помощью системы рычагов, соединенных с силовыми гидро¬
цилиндрами. Аналогично можно более или менее точно воспроиз¬
вести заданную эпюру неравномерного внешнего давления, исполь¬
зуя стяжные ленты, соединяемые с гидроцилиндрами рычажной
системой. При создании сил и моментов, необходимо, чтобы жест¬
кость оснастки, с помощью которой эти нагрузки прикладываются,
соответствовала жесткости отсеков, смежных с испытываемым. Де¬
формации элементов конструкции при статических испытаниях
обычно измеряются тензометрическими датчиками.Естественно, что в каждом конкретном случае программа ста¬
тических испытаний имеет свои особенности, включает некоторые
частные задачи. Рассмотрим в качестве примера программу испы¬
таний четырех корпусов РДТТ ракеты «Минитмен», изготовленных
из стеклопластика методом намотки [161]. В ходе испытаний кор¬
пуса доводились до разрушения. Помимо определения разрушаю¬
щего давления в процессе испытания решались еще три за¬
дачи:—	определение влияния изгибающих и сжимающих нагрузок
на предел прочности материала корпуса;—	экспериментальное определение модуля упругости при сжа¬
тии;—	измерение в реальных условиях жесткости корпуса на изгиб
и сжатие.Комплексное нагружение корпуса РДТТ проводилось на гидро¬
стенде; сжимающие и изгибающие нагрузки передавались на кор¬
пус через кольцо, прикрепленное к его переднему торцу. Измери¬
тельная аппаратура состояла из датчиков линейных перемещений
и тензометров. Результаты измерений передавались по 96 каналам
телеметрической системы и регистрировались.Испытания проводились по следующей программе.1.	Гидроиспытание. Повышение давления со скоростью 1% в
минуту с выдержкой 1,5 мин.2.	Испытание на осевое сжатие. Приложение нагрузки, состав¬
ляющей 60% максимальной расчетной на продольный изгиб и 30%
расчетного максимального изгибающего момента. Выдержка в те¬
чение 1 мин.3.	Испытание на изгиб. Создание изгибающего момента, состав¬
ляющего 60% максимального расчетного. Выдержка в течение
1 мин и повторение испытания со скоростью приложения нагрузки
5%) в минуту.4.	Гидроиспытание до разрушения путем повышения давления
со скоростью 1 % в минуту.По результатам испытаний найдена общая жесткость корпуса,
равная 14,5 • 1012 н/м2, тогда как по расчету она составляла13.5	- 1012 н/м2. Разрушение корпусов произошло при давлениях 60,
51, 49 и 51 бар. Расчетное разрушающее давление составляло51.6	бар.403
Заметим, что в ходе статических испытаний ракетных конструк¬
ций, кроме решения указанных выше задач применительно к кон¬
кретному объекту, иногда получаются результаты, имеющие до¬
статочно общий характер. Установлено, например, ч'то неподкреп-
ленные оболочки с большим отношением радиуса кривизны к тол¬
щине имеют высокий коэффициент вариаций VR несущей способно¬
сти [127]. С уменьшением толщины оболочки коэффициент вариа¬
ций VR увеличивается. Коэффициент вариаций несущей способно¬
сти конструкции по устойчивости зависит от критического напря¬
жения потери устойчивости. Эта зависимость [127] величины Vr отV*Рис. 14.2. Зависимость коэффициента вариаций несущей
способности по устойчивости от отношения средних зна¬
чений критического напряжения и предела текучестиотношения средних значений критического напряжения сткр и пре¬
дела текучести ат. сж при сжатии показана на рис. 14.2. Из
рис. 14.2 видно, что разброс несущей способности конструкции по
устойчивости может быть весьма значительным.Выше отмечалось, что в целях экономии средств статическим
испытаниям подвергается сравнительно небольшое число натур¬
ных образцов отсеков корпуса ракеты. Поэтому статистическая
обработка полученных при испытаниях случайных значений /?ь R2,
..., Rn несущей способности дает не истинные значения ее матема¬404
тического ожидания tnR и среднего квадратического отклонения oRt
и статистические оценки m*R и oR. Рассеяние случайных значений
оценок m*R и а* относительно истинных значений этих парамет¬
ров зависит от числа испытаний nR (оценки полагаем несмещен¬
ными) .Предположим, что математическое ожидание и среднее квадра¬
тическое отклонение нагрузки также найдены по ограниченному
числу испытаний ns, отличному от nR, т. е. получены случайные
статистические оценки m*s и о* . Тогда для случая одного возмож¬
ного предельного состояния оценка надежности конструкции как
вероятности неразрушения определится выражениемоценки m*R, m*s, oR, о*. Ее распределение зависит от истинных зна¬
чений параметров несущей способности и нагрузки, а также от
числа испытаний. Выражение (14.1) не дает прямого ответа на во¬
прос, какую надежность конструкции можно гарантировать. Для
этого следует указать доверительный интервал Р*±ЬР, в пределах
которого с принятой доверительной вероятностью у лежит истинное
значение вероятности неразрушения Р. Очевидно, чтогде f (Р*, /Пн, т8, or, os, «я, «s) — плотность распределения случай¬
ной величины оценки надежности.По зависимости (14.2), задаваясь доверительной вероятностью
у, при фиксированном числе испытаний можно определить ширину
доверительного интервала, характеризующую точность полученной
оценки, и указать нижний предел оценки надежности, гарантируе¬
мый со степенью достоверности у. Можно решить и другую задачу:
определить число испытаний, необходимое для подтверждения га¬
рантированного уровня надежности с принятой доверительной ве¬
роятностью.Аналитическое решение указанных задач сопряжено с больши¬
ми трудностями, так как зависимость оценки надежности Р* от
оценок m*R, m*s, о*, о* существенно нелинейна и законы распре¬
деления оценок различны. В частности, если R — нормально рас¬
пределенная случайная величина, то, как известно, оценка m'R
имеет нормальное распределение, а оценка а* — распределение х2.
Поэтому представляется целесообразным использовать для реше¬
ния названных задач метод статических испытаний.Оценка Р* является случайной величиной, поскольку случайныY	= вер (Я* —8Р<Р<Р* + ЪР) =Р*+ЬРf{P*, mR, ms, aR, as, nR, ns)dP*,	(14,2)P*—6P405
§ 14.3. ВЛИЯНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ НА НАДЕЖНОСТЬ
РАКЕТЫ С РДТТ. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
ПРИ ИСПЫТАНИЯХ РАКЕТИзменения температуры в процессе полимеризации твердого
топлива при изготовлении зарядов, а также в процессе последую¬
щего хранения РДТТ, аэродинамический нагрев и нагрев корпуса
ракеты продуктами сгорания топлива в полете оказывают весьма
существенное влияние на надежность ракет с РДТТ.Интенсивность отказов элементов при повышении температуры
возрастает. На рис. 14.3 приведена зависимость интенсивности от¬
казов X элементов радиоэлектронной аппаратуры от температуры Т
окружающей среды при различных уровнях нагрузки, указанныхв процентах от номинального уровня [10]. По рис. 14.3 видно, на¬
сколько можно повысить надежность аппаратуры, облегчая режим
работы элементов введением принудительного охлаждения. В от¬
дельных работах указывается, что интенсивность отказов элемен¬
тов удваивается при увеличении температуры на каждые 10°, од¬
нако более правильным считается предположение [10], чтоk—величина, характеризующая изменение интенсивности от¬
казов при изменении температуры на 1°.Значения k определяются экспериментально; обычно они лежат
в пределах 1,02—1,15.Влияние температуры на параметрическую надежность ракеты
как вероятность доставки боевой части к цели с заданными харак¬Нпминально
напряжение
ипи мощное/О 20 ^0 60 80 100 120 W0
Температура, °С (или нагрузка)Рис. 14.3. Зависимость интенсивности отказов элемен¬
тов радиоэлектронной аппаратуры от температуры
окружающей среды(14.3)40G
теристиками точности определяется, главным образом, тем, что
случайные вариации температуры сказываются па скорости горе¬
ния топлива, вариации которой в свою очередь вызывают измене¬
ния давления в камере РДТТ, что приводит к соответствующим
случайным изменениям секундного расхода топлива и тяги дви¬
гателей.Влияние нагрева на конструкцию ракеты проявляется в пони¬
жении характеристик прочности конструкционных материалов.Рис. 14.4. Зависимость относительного среднего значения
и коэффициента вариаций предела текучести алюминиевого
сплава 7075—Тб от температурыОдновременно с этим отмечается повышенный разброс значений
механических характеристик материалов. На рис. 14.4 показано
относительное снижение среднего значения предела прочности на
растяжение алюминиевого сплава 7075-Т6 и соответствующее уве¬
личение коэффициента вариаций предела прочности Va в зависи¬
мости от температуры [127]. Подобные зависимости могут быть407
получены для различных конструкционных материалов по данным
лабораторных испытаний образцов на растяжение и другие виды
деформации при различных температурах. В целях использования
этих зависимостей для расчетов надежности конструкции методом
малых возмущений необходимо иметь их аналитические выраже¬
ния. Исследования показывают, что зависимость предела прочно¬
сти материала от температуры с приемлемой точностью аппрокси¬
мируется выражением(Т) = (0) ехр { - а2 (Г - р)2},	(14.4)где а и (3 — величины, постоянные для данного материала. Напри¬
мер, для дуралюмина Д16-АТ получены а = 0 ,0025 ~-д, {3=0° С;для стали 30ХГСНА соответственно а = 0,0035	$ = Т в диа¬пазоне 0<Г^300°С и j3 = 300°C при Г>300°С.Прогар стенки корпуса вследствие высокой температуры про¬
дуктов сгорания и недостаточной надежности теплоизоляции яв¬
ляется одним из наиболее распространенных видов отказов РДТТ.
Из общей вероятности разрушения РДТТ, равной 0,0128, на долю
прогара приходится 0,0081 [75]. Прогар может быть следствием
отслоения теплозащитного покрытия от корпуса или разрушения
адгезионного слоя. Причиной последнего в свою очередь могут
явиться колебания температуры в процессе эксплуатации РДТТ.О	влиянии температуры на надежность адгезионного слоя можно
судить по рис. 14.5, на котором показано время х испытаний до раз-I<3-10® н/м20-25.04 0-65,6 °СРис. 14.5. Влияние температуры на разрушение
адгезионного слоя под действием постоянного
напряжениярушения адгезионного слоя под действием постоянного напряже¬
ния а при различных температурах [132].Опасность прогара корпуса РДТТ столь велика, что для круп¬
ногабаритных РДТТ в США разрабатываются специальные си¬
стемы сигнализации о местном перегреве конструкции [75], которые
должны осуществлять контроль всей поверхности корпуса с разре¬
шающей способностью около 20 см2. Подача сигнала должна опе¬408
режать повышение температуры стенки корпуса до 205° С. У станов»
леио, что при отслоении теплозащитного покрытия на заднем днище
корпуса минимальное время до момента разрушения составляет
около 3 сек.Вероятность прогара корпуса в значительной мере зависит от
надежности теплозащитного покрытия, которую можно определить
какЯ„п = вер{Гдоп-7’>0},	(14.5)где Т—фактическая температура стенки как случайная величина;-	Т'доп — допустимое по условиям прочности значение температуры
стенки.На этапе проектирования можно рассчитать вероятность (14.5)
методом статистического моделирования, используя в качестве ма¬
тематической модели детерминированные зависимости, описываю¬
щие процесс прогрева и уноса массы покрытия. Однако этот про¬
цесс, сопровождающийся физико-химическими превращениями
(оплавлением', сублимацией), настолько сложен, что модель его не¬
избежно будет более или менее неточна в результате принятия
допущений, использования приближенных зависимостей и эмпири¬
ческих коэффициентов. Кроме того, в настоящее время имеются
весьма скудные сведения о вероятностных характеристиках тепло¬
физических параметров материалов (теплопроводности, удельной
теплоемкости и др.).Из сказанного следует необходимость определения теплового
состояния конструкции опытным путем. Это требуется как для
расчета надежности теплозащитного покрытия в соответствии с
выражением (14.5), так и для установления степени соответствия
расчетных зависимостей, принятых при проектировании, действи¬
тельной картине нагрева.Заметим, что из всех параметров, используемых в тепловых
расчетах, можно измерить непосредственно только один — темпе¬
ратуру. Для расчета надежности корпуса ракеты температура дол¬
жна быть определена с точностью, соответствующей точности экс¬
периментальных зависимостей прочностных характеристик мате¬
риалов от температуры. Следует иметь в виду, что при располо¬
жении датчика температуры на стенке корпуса появляется систе¬
матическая ошибка, обусловленная термической инерцией и зави¬
сящая от способа крепления датчика к стенке (со стороны источ¬
ника тепла или с противоположной стороны). Датчики темпера¬
туры должны размещаться на поверхности обечаек, днищ и сопел
РДТТ, а так-же корпусов силовых отсеков в местах, наиболее опас¬
ных с точки зрения нагрева. В приборных и хвостовых отсеках
целесообразно измерять также температуру воздуха вблизи руле¬
вых приводов и приборов системы управления, чувствительных к
нагреву. Такие измерения необходимы как в процессе огневых стен¬
довых испытаний РДТТ, так и при летных испытаниях ракет.При хранении необходимо постоянное измерение температуры
в целях контроля теплового состояния и обеспечения надлежащего409
температурного режима хранения РДТТ. При неравномерном про¬
греве заряда по толщине возникают температурные напряжения,
которые могут вызвать растрескивание заряда и нарушение цело¬
сти адгезионного слоя. Для нахождения поля температур в заряде
достаточно определить градиенты температуры по толщине свода
и длине заряда по показаниям датчиков, размещенных на наруж¬
ных поверхностях заряда. Введение датчиков в толщу заряда пред¬
ставляется нецелесообразным, так как это нарушает его целость.§ 14.4. ОГНЕВЫЕ СТЕНДОВЫЕ ИСПЫТАНИЯ РДТТПри проектировании невозможно полностью учесть многообра¬
зие реальных условий работы РДТТ и предусмотреть все возмож¬
ные причины отказов. Объективная оценка надежности может быть
получена лишь в период опытной отработки ракеты, значительную
часть которого составляют огневые испытания РДТТ и ступеней
ракеты, заключающиеся в запуске двигателя, неподвижно закреп¬
ленного на стенде, и измерении ряда
параметров (тяги, давления в камере,
температур, виброускорений и др.) в
процессе его работы.Огневые испытания проводятся в
целях:—	оценки надежности двигателя и
ступени;—	определения основных тяговых
характеристик (тяги, удельной тяги,
секундного расхода топлива, полного
времени работы), характера выхода
двигателя на режим и выключения,
импульса последействия тяги, а так¬
же внутрибаллистических характери¬
стик РДТТ;—	проверки качества функциониро¬
вания системы управления вектором
тяги, правильности прохождения
команд на запуск и выключение дви¬
гателя в заданной временной последо¬
вательности;—	определения температурных и
вибрационных режимов работы РДТТ,
а при испытаниях ступени ракеты —
влияния нагрева и вибраций на кон¬
струкцию и аппаратуру управления;—	оценки качества работы измери¬
тельной аппаратуры, которая будет ис¬
пользована в.дальнейшем при летных
испытаниях ракеты;Рис. 14.6. Стенд с вертикаль¬
ным расположением РДТТ410
—	проверки правильности технологических процессов сборки и
снаряжения двигателя;—	оценки безопасности эксплуатации ракеты и т. п.За годы интенсивного развития ракетостроения создано боль¬
шое число разнообразных по конструкции стендов для огневых
испытаний РДТТ. Некоторые типы зарубежных стендов показаны
па рис. 14.6, 14.7 [137]. Стенд для огневых испытаний РДТТ обычно
включает открытый или закрытый бокс с силовым станком для
крепления двигателя, огневой двор или лоток, в который направ¬
ляется факел пламени, системы дистанционного управления, теле¬
метрических измерений, тарировки, пожаротушения и др.Для защиты сооружений, расположенных вблизи стенда, от раз¬
рушений в случае взрыва или пожара бокс может иметь железо¬
бетонную стену.Двигатель устанавливается на стенде вертикально (рис. 14.6)
пли горизонтально (рис. 14.7). Например, стартовый РДТТ ракеты
«.Титан 3-С» испытывается на вертикальном стенде, огражденном
с трех сторон железобетонной стеной высотой 2,7 м, облицованной
стальными листами толщиной 32 мм [123], [124].Конструкция стенда определяется в основном принятой схемой
измерения сил и моментов. Наиболее просты по конструкции стен¬
ды с одной степенью свободы, на которых измеряется только про¬
дольная составляющая тяги двигателя. На рис. 14.8 показаны
схемы измерения тяги [46] с использованием тензометрических дат¬
чиков (рис. 14.8,а), манометрических датчиков (рис. 14.8,в,г) и
гидравлических динамометров — месдоз (рис. 14.8, д, е).Для измерения составляющих тяги и моментов в плоскостях
тангажа, рыскания и крена и для последующей оценки эффектив¬
ности системы управления вектором тяги стенд должен иметь
шесть степеней свободы (рис. 14.8,6). Однако создание таких стен¬
дов связано с трудностями, главной из которых является неодина¬
ковая точность измерения усилий в разных плоскостях. На верти¬
кальном стенде (рис. 14.6) усилия в плоскостях тангажа и рыска¬
ния измеряются точно, но датчик продольной составляющей тяги
нее время находится под действием веса двигателя, который ме¬
няется в процессе работы РДТТ. Это вносит погрешность в опре¬
деление величины тяги. На рис. 14.7, а изображен горизонталь¬
ный стенд со станком лоткового типа. Двигатель может переме¬
щаться в лотке в продольном направлении. Лоток поддерживается
датчиками вертикальных и боковых усилий. Погрешности измере¬
ния боковых усилий на таком стенде зависят от точности выравни¬
вания лотка на датчиках усилий. Кроме того, центр масс системы
«двигатель —лоток» смещен вниз от продольной оси двигателя,
вследствие чего боковая составляющая тяги создает момент в
плоскости крена. Общий недостаток горизонтальных стендов, на¬
кладывающий серьезные ограничения на измерения составляющей
вектора тяги в плоскости тангажа, состоит в том,' что датчики уси¬
лий должны обладать способностью измерять одновременно боль¬
шие усилия, обусловленные весом двигателя, и малые усилия, воз-411
412
тильным расположением РДТТг413
Направляющиесисте
ма тарированиятягиДвигательДатчикИзмерение
.величины N
Измерение
величин X.XLM
Измерение
wvAwb/bwвеличины I
6Двигатель Вращающийся/стержень тягаНожевые опорыТ арировочныи
приборУпругое
соединениеДатчикОсьвращениястержня/Тарировочныи
g прибортягиРис. 14.8. Схемы измерения тяги
пикающие При изменений направления вектора тяги. Дополнитель¬
ные погрешности вносятся изменениями массы и положения центра
масс по мере выгорания топлива. В табл. 14.2 указаны средние
квадратические ошибки измерений усилий в процентах для гори¬
зонтального и вертикального стендов, рассчитанных па испытания
РДТТ массой 4,5 т, развивающего тягу 18 т [137].Т а б л и ц а 14.2СоставляющаяГоризонтальныйстендВертикальныйстендК50,01.61К5,250,42Гу0,130,24к1,611,61к0,420,40Обозначения F'x, F'z соответствуют составляющим, равным 1 %
тяги, обозначения F’x, F"z—составляющим, равным 10% тяги.Дальнейшее развитие конструкции стендов пошло по пути от¬
каза от лотков. На рис. 14.7,6 изображен стенд с передним и зад¬
ним разгружающими крепежными кольцами, предназначенный для
определения внутрибаллистических характеристик РДТТ. Оценка
эффективности системы управления вектором тяги на таком стенде
не предусматривается. Усовершенствованный вариант этого стенда
(рис. 14.7, в) позволяет свести к минимуму погрешности измерений,
обусловленные смещениями точки крепления двигателя к датчику
продольных усилий. Это достигается перемещением датчиков веса
Fx2 и боковой силы F23 в узел шарнирного крепления РДТТ к дат¬
чику усилий Fy и применением концентрических опор с буферными
механизмами. Размещение датчиков усилий FxU Fzь Fz2 позволяет
с достаточной точностью измерять управляющие силы. Конструк¬
тивной особенностью стенда, показанного на рис. 14.7, г, является
наличие разгружающей системы. Двигатель вывешен внутри сило¬
вого станка на датчиках усилий Fxi и Fx2, что обеспечивает его
центровку перед запуском. Для сглаживания переходных процес¬
сов на стендах устанавливаются буферные устройства, работающие
на изгиб или на сжатие.Высотные характеристики РДТТ нижних ступеней ракеты, а
также тяговые характеристики двигателей верхних ступеней опре¬
деляются на высотном стенде (рис. 14.9). Для имитации высотных
условий РДТТ помещается в барокамеру, оборудованную вытяж¬
кой системой. По сообщениям зарубежной печати [113] огневые
испытания двигателей второй и третьей ступеней ракеты «Минит-415
мен» проводились в барокамере длиной 18 м, диаметром 6 м, прй
давлении, соответствующем высоте 40 км, и температуре до
—85° С. Стенд оборудован двумя вытяжными системами эжектор¬
ного типа: основной —для отвода продуктов сгорания и вспомога¬
тельной — для вакуумирования барокамеры перед запуском дви¬
гателя.Если продукты сгорания твердого топлива токсичны, то огневые
испытания РДТТ проводятся в герметичной камере, а продуктысгорания отводятся в адсорбер
и нейтрализуются [146].Стенды для огневых испыта¬
ний РДТТ оборудуются многока¬
нальной телеметрической систе¬
мой, предназначенной для изме¬
рений усилий, давлений, темпера¬
туры элементов конструкции и
продуктов сгорания, виброускоре¬
ний, деформаций элементов кон¬
струкции, а также для передачи и
регистрации полученной опытной
информации. Ввиду кратковре¬
менности процесса огневых испы¬
таний применяются, как правило,
малоинерционные датчики (пьезоэлектрические, тензометрические
и др.) и регистрирующая аппаратура с малой постоянной времени.
Так как температура продуктов сгорания твердого топлива дости¬
гает 2500° С и более, для температурных измерений широко исполь¬
зуются термопары и пирометры, В случае прогара корпуса РДТТ
малоинерционные измерения дают возможность правильно опреде¬
лить момейт времени прогара и температуру, при которой он про¬
изошел»Показания датчиков обычно записываются на магнитную ленту
или регистрируются с помощью шлейфовых осциллографов. При
необходимости применяются фотографирование и автоматическая
скоростная киносъемка. По фотографиям факела пламени можно
судить о полноте сгорания топлива. Регистрирующая аппаратура
обычно размещается в нескольких десятках метров от РДТТ в хо¬
рошо защищенном помещении на фундаменте, предотвращающем
вибрацию приборов. Количество измеряемых параметров нередко
достигает нескольких сот. Например, при огневых испытаниях
РДТТ второй и третьей ступеней ракеты «Минитмен» запись пока¬
заний датчиков на магнитную ленту производилась по 400 кана¬
лам [113]. При огневых стендовых испытаниях ступени ракеты с
РДТТ объем измерений заметно возрастает за счет виброизмере-
нйй и температурных измерений в отсеках, смежных с РДТТ, и ме¬
стах крепления приборов системы управления. В этих условиях
ручное управление регистрирующей аппаратурой было бы нена¬
дежным и трудоемким. Поэтому стенды оборудуются системой
автоматического программного управления аппаратурой.416»Рис. 14.9. Принципиальная схема
высотного стенда:1 — барокамера; 2 — основная вытяжная
система; 3 — вакуумметр; 4 — вспомога¬
тельная вытяжная система
Заметим, что в ходе испытаний необходимо синхронизировать
измерения и привязывать их результаты к единому началу отсчета
времени. Для принятия мер при возникновении аварийных режи¬
мов проводится дистанционный визуальный контроль за ходом
испытаний.Основной информацией, получаемой при огневых стендовых
испытаниях, являются осциллограммы давления в камере РДТТ
и тяги. По ним судят об устойчивости процесса горения, характере
выхода двигателя на режим и выключения и величине импульса
последействия. Величина полного импульса давления (тяги) нахо¬
дится по осциллограмме графическим интегрированием. Осцилло¬
граммы дешифрируются с помощью тарировочных графиков, пред¬
ставляющих собой зависимости между величинами измеряемых
параметров и соответствующих электрических сигналов.При измерении могут появиться ошибки, обусловленные по-I	решностями датчиков и регистрирующей системы, ошибками де¬
шифрирования, а при . измерениях усилий, кроме того, погрешно¬
стями установки двигателя на стенде. В целях повышения точно¬
сти измерений большое внимание уделяется калибровке измери¬
тельной аппаратуры.§ 14.5. ИСПЫТАНИЯ РДТТ ДЛИТЕЛЬНЫМ ХРАНЕНИЕМ
И ВОЗДЕЙСТВИЕМ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫНадежность зарядов твердого топлива зависит от времени и
условий хранения РДТТ. Удлинение гарантийного срока хранения
ракеты с РДТТ существенно сокращает затраты па ракетное во¬
оружение. Считается, что продление срока хранения ракеты «Ми-
нитмен» на один год может дать экономию примерно 240 млн. дол¬
ларов [157]. В связи с этим в программах опытной отработки РДТТ
уделяется большое внимание испытаниям длительным хранением.В процессе длительного хранения проявляются такие факторы,
как ползучесть и старение твердого топлива, температурные дефор¬
мации и др. Рис. 14.10 и 14.11 иллюстрируют зависимость механи¬
ческих характеристик топлива от его возраста. Эта зависимость
найдена методом регрессии по опытным данным, полученным при
четырех сроках хранения двигателей [87]. Сплошными линиями по¬
казаны средние значения, пунктиром — доверительные границы,
соответствующие одному среднему квадратическому отклонению
оценки. Температура топлива при хранении составляла 15—27° С,
а при испытаниях 21° С.Для выявления влияния длительного хранения на работоспо¬
собность заряда по истечении определенного срока хранения про¬
водятся огневые стендовые испытания. В табл. 14.3 приведен мак¬
симальный срок хранения, по истечении которого были успешно
проведены огневые испытания [157].Программы испытаний длительным хранением предусматри¬
вают не только срок, но и условия хранения (температурно-влаж¬
ностный режим, положение РДТТ при хранении). Так, РДТТ пер¬14—573417
вой ступени ракеты «Поларис А-2» успешно прошел огневые стен¬
довые испытания после двух лет хранения в горизонтальном поло¬
жении при температуре 43° С и относительной влажности воздуха
в пределах 5—30%, а затем еще двух лет хранения в вертикальном
положении [155]. Заметим, что перед закладкой на хранение и noj
еле взятия со склада РДТТ целесообразно подвергать рентгеноде-
фектоскопии.Таблица 14.3РакетаРасчетный допустимый
срок хранения, летМаксимальный срок хране¬
ния, по истечении которого
проведены успешные огне¬
вые испытания, лет«Минитмен», первая сту¬106,0пень«Минитмен». третья сту¬104,75пень«Поларис А-2»Более 54,5«Поларис А-3»Более 52,75=:В5зUаSi0,60,5Ц4= 5
Ей" аза з5.2IScSg-CU§sзс
ш
с;ОэЕ
5со
О
Saа»'2168
Возраст топлива, пет
Время релаксации:
о - 0,01 сек
□- 0,1 сек
А-10,0 секРис. 14.10. Зависимость моду¬
ля релаксации напряжений от
возраста топлива012!щ) 0
□Л j|v-дг 4 в в
Возраст топлива, лет
Скорость деформации:
о- 0,8 мин
О-80,0мин
Д - 800 мин '*Рис. 14.11. Зависимость деформа¬
ции разрушения от возраста топ¬
лива418
Наряду с длительным хранением РДТТ подвергаются также
температурным испытаниям, в ходе которых температура окру¬
жающей среды изменяется по программе, отражающей наиболее
неблагоприятные возможные эксплуатационные условия. Напри¬
мер, программа температурных испытаний одного из серийных
РДТТ включала циклические изменения температуры в диапазоне
от —62 до +71° С в течение 40 суток, затем охлаждение до —73°С,
выдержку в течение суток при этой температуре, последующее по¬
вышение температуры до —62° С и проведение огневых испытаний
1120], [150].В целях проверки вибронадежности огневым стендовым испы¬
таниям нередко предшествуют динамические испытания: транспор¬
тировка ступени ракеты с РДТТ в реальных условиях либо имита¬
ция на вибростенде динамических нагрузок, действующих на раке¬
ту при транспортировке и в полете. Таким испытаниям с имита¬
цией нагрузок, возникающих при транспортировке на боевые по¬
зиции, был подвергнут РДТТ третьей ступени ракеты , «Минитмен»
после четырех лет хранения [145].Наиболее полно воспроизводятся условия эксплуатации в тех
случаях, когда в программе испытаний предусматривается ком¬
плексное воздействие различных факторов: длительности хране¬
ния, температурно-влажностного режима и динамических нагрузок.
Три РДТТ перед огневыми испытаниями подвергались в течение
двух недель циклическим изменениям температуры (охлаждению
до —54° С и нагреву до +74° С), а затем в течение двух суток
вибрациям в продольном и поперечном направлениях [148], [156].
При этом виброиспытания и последующие огневые испытания пер¬
вого двигателя проводились при температуре окружающей среды,
второй двигатель подвергался вибрациям при температуре —54° С,
а перед пуском был нагрет до +93° С, третий подвергался вибра¬
циям при температуре +71° С, а перед пуском охлажден до —54° С.РДТТ первой ступени ракеты «Минитмен» испытывался дли¬
тельным хранением в течение 37 месяцев при температуре
21 ±5°С и относительной влажности в пределах 0—45%, а затем
транспортировался к месту проведения огневых испытаний на рас¬
стояние 2400 км и подвергался испытаниям на вибростенде [114].
Рентгеноскопический контроль, проведенный по окончании хране¬
ния и после транспортировки, показал целость заряда. Ком¬
плексные испытания этого РДТТ завершились успешным пуском
на стенде.С точки зрения безопасности при эксплуатации важно устано¬
вить, какие факторы могут вызвать взрыв РДТТ. Для этой цели
иногда проводятся детонационные испытания. Например, старто¬
вый РДТТ ракеты «Титан 3-С» испытывался на удар с помощью
рельсовых салазок [147], [144]. Двигатель, закрепленный на салаз¬
ках, был включен, развил скорость 194 м/сек, ударился о железо¬
бетонную преграду и разрушился, однако взрыва не произошло,
несмотря на то, что в момент удара в РДТТ еще оставалось 36 т
топлива из 42 т начальной массы заряда.и*410
§ 14.6. ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДНЫХ И ТЯГОВЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК РДТТ И СТАТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК,
ДЕЙСТВУЮЩИХ НА РАКЕТУ В ПОЛЕТЕВ процессе полета ракеты проявляются различные возмущаю¬
щие факторы (технологические погрешности производства и сбор¬
ки ракеты, случайные отклонения энергетических характеристик
топлива); процесс горения топлива и истечения продуктов сгора¬
ния носит случайный характер, движение ракеты происходит в воз¬
мущенной атмосфере и т. п. Вследствие этого секундный расход
топлива, тяга РДТТ, силы аэродинамического сопротивления и
управляющие силы представляют собой случайные функции.Непосредственное измерение сил, действующих на ракету/в по¬
лете, невозможно. Секундный расход топлива в РДТТ не может
быть определен прямым измерением не только в полете, но и в
стендовых условиях. С другой стороны, статистические характери¬
стики секундного расхода топлива и сил, действующих на ракету
в полете, необходимо знать для определения гарантированной даль¬
ности пуска и характеристик рассеивания, а также для расчетов
надежности конструкции и систем разделения ракеты. Таким об¬
разом, полетные нагрузки, расходные и тяговые характеристики
двигателей необходимо определить косвенным путем по таким па¬
раметрам, которые могут быть измерены в полете.Из внутренней баллистики РДТТ известно, что секундный рас¬
ход продуктов сгорания m(t) можно считать пропорциональным
давлению p(t) в камере РДТТ:rn(t) = Ap(t).	(14.6)Коэффициент пропорциональности<147>где FKp—площадь критического сечения сопла;/— приведенная сила пороха;х— коэффициент, учитывающий понижение температуры
газов вследствие теплоотдачи от газов к корпусу дви¬
гателя;<р — коэффициент, учитывающий сужение струи в критиче¬
ском сечении сопла;
b—некоторая функция показателя политропы продуктов
сгорания.Вследствие случайных отклонений параметров, входящих в вы¬
ражение (14.7), коэффициент А является случайной величиной.Тяга РДТТ в полете является случайной функцией не только
времени t, но и высоты полета h, поскольку она зависит от атмо¬
сферного давления pn(h). Выразим тягу P(t, h) через давле¬
ние p{t) в камере двигателя, используя зависимостьP = mWa + Fa(pa-PfJ),	(14.8)420
где Wa—скорость истечения продуктов сгорания;Fa—площадь выходного сечения сопла;
ра — давление продуктов сгорания в этом сечении.
Как известно, скорость истечения(14.9)где k—показатель политропы продуктов сгорания;<)> — коэффициент, учитывающий непараллельность потока в
выходном сечении сопла.После несложных преобразований можно записать, чтоАналогично величине А коэффициент пропорциональности В
является случайной величиной.Будем считать, что коэффициенты А и В имеют нормальное
распределение и некоррелированы с давлением p(i). Математиче¬
ские ожидания и средние квадратические отклонения величин А
и В можно определить расчетным или опытным путем. Расчетный
путь состоит в нахождении указанных числовых характеристик
методом малых возмущений по выражениям (14.7) и (14.11). Приэтом отношение -у-, зависящее только от геометрии сопла, и ве¬
личину Fa можно считать неслучайными в силу малости допу¬
сков.Опытный путь заключается в статистической обработке случай¬
ных значений Л,- и S;, рассчитанных по стендовым реализациям
тяги и давления в камере двигателя. Пусть в результате /-го огне¬
вого испытания РДТТ получены осциллограммы тяги PKT.i(t) и
давления />Ст.<(0- Тогда на основании выражения (14.10)где pHOi — атмосферное давление у поверхности Земли.Из выражения (14.12) видно, что коэффициент В является слу¬
чайной функцией времени, но в дальнейшем его числовые харак¬
теристики осредним по времени.Как уже упоминалось выше, секундный расход топлива изме¬
рить невозможно, зато масса заряда /пт известна по результатам
взвешивания и по осциллограмме давления в камере нетрудно
определить полное время работы двигателя тп. ПосколькуP(t, h) = Bp (t) — FapH (h),(14.10)где+ Faf. (14.11)Per. i (0 + FapHо ((14.12)(14.13)421
величина Bi в i-м огневом испытании определяется по зависимостиBi — ———	■	(14.14)П[рст./(0 dtоОсновное допущение, принимаемое при опытном определении
тяги и секундного расхода косвенным методом, состоит в том, что
числовые характеристики коэффициентов пропорциональности А и
В в условиях огневых стендовых испытаний РДТТ и полета раке
ты считаются идентичными. На основании этого допущения можно
рассчитать секундный расход топлива и тягу РДТТ для летных
условий по выражениям (14.6) и (14.10) соответственно, используя
реализации давления в камере двигателя, измеренного в полете,
коэффициенты А и В, найденные при стендовых испытаниях или "
расчетным путем, а также реализации атмосферного давления
pH(h), полученные при метеорологическом зондировании атмосфе¬
ры. Считается, что при наличии данных наземных испытаний ха¬
рактеристики двигателей в летных условиях могут быть определе¬
ны с точностью до 2% [133].Известно, что существенное влияние на характер изменения
давления в камере РДТТ оказывает скорость горения топлива, за¬
висящая в свою очередь от начальной температуры заряда и при¬
роды топлива. Чтобы использовать при обработке результатов лет¬
ных испытаний коэффициенты А и В, найденные по данным стен¬
довых испытаний, следует приводить реализации давления pCi.i{t)
и тяги Pci.i(t) к номинальным скорости горения Un и начальной
температуре заряда t3N. Для этого необходимо вычесть из изме¬
ренных значений давления и тяги соответственно следующие по¬
правки:8/>ст.i(t)=[ («- *») + -st ('■ - *»») ] ; (14-1S)Wcr.i(t) =	[ («- uN) + (t9 - tsN) ] , (14.16)где v — ооказатель степени в законе скорости горения;
ti — скорость горения, измеренная на образцах;
t,—измеренная начальная температура заряда;Pn> —номинальные давление и тяга.Величина производной 4^- определяется природой топлива.Т-.	3Рассмотрим теперь определение статических нагрузок, дей¬
ствующих на ракету в полете, косвенным методом.Как известно, осевая сила Т (х\) в сечении корпуса РДТТ, опреде¬
ляемом координатой Х\, как показано на рис. 14.12, может быть
найдена для любого момента времени полета по зависимостих\	у2 х\Т (Xl) —pF — g0nxlj m (xt) dx, -~FU J ^ dxb (14.17)422
где т{хх) — погонная масса ракеты;«г1 — коэффициент продольной перегрузки;
р— давление в камере РДТТ;F — площадь поперечного сечения камеры РДТТ;
g0 —ускорение силы тяжести у поверхности Земли;р — плотность воздуха;Vw—скорость обтекания корпуса ракеты набегающим по¬
током воздуха;Fu — площадь миделя ракеты;схj — аэродинамический коэффициент.Рис. 14.12. К определению статических нагрузок,
действующих на ракету в полетеДля сечений корпуса, расположенных впереди работающего
РДТТ, следует положить р — 0.Перерезывающая сила Q(xj) и изгибающий момент М(хх)
и рассматриваемом сечении определяются зависимостями:Q (*i) = j Я (*i) dxu	(14.18)0М(хх) = f Q(xx)dxx,	(14.19)окоторые рассчитываются по результирующей поперечной распре¬
деленной нагрузке? (хо = Vq] (*j) + q\ (*,) ,	(14.20)где qv(xi) и qz(xi) — нормальная и боковая распределенные попе¬
речные нагрузки.Последние в свою очередь находятся по зависимостям:Я у Oi) = £о ™ (хх) пуХ (*,) + ^	(14.21)Ас? Р V2Яг C*i) = Я0т (хх) пгХ (хх) -f ~ ~?FU , (14.22)где пуХ и пг1—коэффициенты нормальной и боковой перегрузки;
o-w и К — углы атаки и скольжения с учетом действия ветра;
су\ и c'zi—аэродинамические коэффициенты.423
Таким образом, для определения статических нагрузок, дей¬
ствующих на ракету в полете, необходимо, знать: распределение
массы ракеты по длине, давление в камере РДТТ, аэродинамиче¬
ские коэффициенты, коэффициенты перегрузки, плотность воздуха,
углы атаки и скольжения, скорость обтекания корпуса ракеты на¬
бегающим потоком воздуха, а также площади поперечного сечения
камеры РДТТ и миделя ракеты.Начальное распределение массы, площадь сечения камеры
РДТТ и площадь миделя ракеты известны из проектных расчетов.
Изменение массы ракеты и ее распределение по координате Х\ не¬
трудно найти, зная секундный расход m(t), метод определения ко¬
торого по давлению p(t) изложен выше.Аэродинамические коэффициенты обычно определяются при
продувках модели ракеты в аэродинамической трубе. Давление в
камера РДТТ и коэффициенты перегрузки могут быть измерены в
полете соответствующими датчиками. По измеренным углам от¬
клонения органов управления ракеты в полете можно определить
углы атаки и скольжения. При этом следует учитывать программ¬
ное изменение угла атаки. Скорость обтекания корпуса ракеты на¬
бегающим потоком воздуха определяется скоростью ракеты, на¬
правлением и скоростью ветра. Текущие значения высоты и ско¬
рости ракеты можно получить внешнетраекторными измерениями.
Направление и скорость ветра, а также плотность воздуха как
функции высоты определяются по данным метеорологического зон¬
дирования атмосферы.Зондирование атмосферы обычно проводится перед пуско,м ра¬
кеты, иногда неоднократно (за 12, 6 и 3 ч до пуска [160]). Пара¬
метры атмосферы, определяемые зондированием, являются случай-h [х305лДРис. 14.13. Вариации
плотности атмосферы
относительно значений
плотности стандартной
атмосферы США 1962 г.
на широте космодромов
(30° С Ш)ными функциями высоты, однако в целях упрощения расчетов
можно ограничиться рассмотрением их как случайных величин для
фиксированных высот, принимая при этом в качестве математиче¬
ских ожиданий соответствующие значения стандартной атмосферы.
На рис. 14.13 показаны вариации плотности атмосферы относи¬
тельно значений плотности ps стандартной атмосферы по высо-424
те [139]. Из рисунка видно, что предельные отклонения плотности
воздуха от стандартной на некоторых высотах могут достигать
30%.Ветровое поле обычно характеризуется следующими параметра¬
ми: максимальной скоростью ветра WKV\ критической высотой /гкр,
на которой достигается эта скорость; критическим азимутом ветра
Л1ф, соответствующим высоте hKр; площадью измеренного Пет¬
ра Qw- Последняя определяется какЛкрQw == f Wdh,	(14.23)где W — скорость ветра. Величина Gw является мерой среднего
«ветрового сдвига», т. е. градиента скорости ветра по высоте. В каче¬
стве примера на рис. 14.14 приведены данные измерений ветра при
зондировании атмосферы 26 марта 1958 года над центром косми¬
ческих полетов им. Маршалла [160]. Подобные реализации под-Рис. 14.14. Данные измерений ветра
26 марта 1958 годавергаются статистической обработке, в результате которой в на¬
стоящее время уже имеются вероятностные характеристики пара¬
метров ветра в зависимости от высот и времени года [160]. На
рис. 14.15 показан профиль ветра Сиесенвайна [138], представляю¬
щий собой зависимость предельных значений скорости ветра от вы¬
соты для широты американских космодромов. Считается, что ско¬
рости ветра, соответствующие этому профилю, в указанных рай¬
онах могут быть превышены не более чем в 1 % всех случаев.
Установлено, что между параметрами ветра в большинстве случаевКм/секРис. 14.15. Профиль ветра
Сиесенвайна425
существует значительная корреляционная зависимость. Типичные
значения коэффициентов корреляции параметров ветра по сезонам
для Атлантического (в числителе) и Тихоокеанского ракетных по¬
лигонов США (в знаменателе) приведены в табл. 14.4 [160].Таблица 14.4ПараметрыЯнварь — мартАпрель — июньИюль — сентябрьОктябрь — декабрьUVGw0,866/0,8230.864/0,8340,659/0,7490,876/0,844WKp,^кр0,169/0,162—0,078/0,7730,483/0,1610,057/0,119wKp.^кр—0.068/0,1070,378/0,109—0,159/0,3320,145/0,153^кр.Gw0,434/0,4640,281/0,4510,900/0,6640,305/0,435^кр.^кр0,166/0,045—0,314/—0,069-0,381/-0.2740,038/0,169■^кр ГGw—0,086/0,1050,205/0,057—0,332/0,0300,095/0,164На рис. 14.16 приведена огибающая значений максимальной
скорости ветра и критической высоты для первого квартала года;
пунктиром изображены соответствующие линии регрессии. НаМаксимапьная скоросшь.м/секРис. 14.16. Огибающая значений макси¬
мальной скорости ветра и критической
высоты для первого квартала годарис. 14.17 показано влияние времени года на огибающую значений
критического азимута и максимальной скорости ветра. Для опре¬
деления скорости ветра как случайной величины можно использо¬
вать следующую функцию распределения, апробированную на бо¬
гатом статистическом материале [5])тF(W)= 1—е ,	(14.24)где Э = 3—10 и у — 1 >0—2,0 — параметры, зависящие от ветрового
режима района.—— I квартал года Шквартал года
		Л квартал года	Худший месяцРис. 14.17. Огибающая значений критического
азимута и максимальной скорости ветраРассматриваемые полетные нагрузки Т(х{), Q(a:i) и M(xi) явля¬
ются случайными функциями времени, но для расчетов надежно¬
сти конструкции целесообразно ограничиться представлением их
случайными величинами—сечениями соответствующих случайных
процессов в фиксированные моменты времени, отвечающим приня¬
тым расчетным случаям. Тогда статистические характеристики на¬
грузок нетрудно найти методом малых возмущений по статистиче¬
ским характеристикам параметров р, сжЬ с*1( nxU nv\, nzU aw,fiw,
р, V, W, m(xi), используя зависимости (14.17), (14.18), (14.19),
(14.20), (14.21) и (14.22). Причем в выражениях (14.17), (14.18)
и (14.19) следует заменить интегрирование суммированием по от¬
дельным участкам длины корпуса ракеты. Помимо рассмотренного
косвенного метода определения статистических характеристик ста¬
тических нагрузок возможны непосредственные измерения дефор¬
маций конструкции как результата действия этих нагрузок. На¬
пример, при летных испытаниях ракеты «Минитмен» деформации,427
вызванные осевыми силами и изгибающими моментами, измеря¬
лись в четырех точках каждого из трех выбранных контрольных
сечений корпуса тензометрическими датчиками [64],Отметим, что для корпуса РДТТ определяющей нагрузкой яв
ляется давление р в камере двигателя. В подтверждение этого
соображения оценим давление рх на корпус, вызванное аэродина¬
мическим сопротивлением. Ориентируясь по данным, опубликован¬
ным в работе [95], примем аэродинамический коэффициент
cxi = 0,5, скорость, при которой достигается максимум лобового со¬
противления У=700 м/сек, плотность атмосферы р = 0,65 кг/м3, что
соответствует высоте 6 км. Тогда рх = 0,8 бар. Если принять давле¬
ние в камере двигателя /? = 40 бар, то оказывается, что неучет
внешних сил в расчете осевой нагрузки Т(хх) для РДТТ приводит
к ошибке примерно 2%.Заряд твердого топлива нагружен в полете давлением продук¬
тов сгорания и массовыми силами. Оценим давление рт от массо¬
вых сил, принимая плотность топлива р = 1,8 г/см3, величину
пх 1 = 6 и рассматривая сечение заряда, удаленное на расстояние
5 м от переднего торца. При этих данных величина рт = 5,4 бар,
что составляет 13,5% указанного выше давления в камере двига¬
теля. Приведенная ориентировочная оценка показывает, что в рас¬
четах надежности заряда твердого топлива следует учитывать и
массовые силы.§ 14.7. ВЛИЯНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК НА НАДЕЖНОСТЬ
РАКЕТЫ С РДТТ. ДИНАМИЧЕСКИЕ ИСПЫТАНИЯ РАКЕТПри наземной эксплуатации и в полете на ракету с РДТТ по¬
мимо статических действуют многочисленные динамические на¬
грузки ударного и вибрационного характера, вызванные неровно¬
стями дороги при транспортировке, толчками при перегрузках, на¬
растанием и спадом тяги при запуске и выключении двигателей,
пульсациями давления в камере РДТТ, автоколебаниями органоз
управления, порывами ветра, турбулентностью пограничного слоя,
акустическим давлением, создаваемым продуктами сгорания, исте¬
кающими из сопел РДТТ, и т. п.Вибрации способны нарушить нормальное функционирование
механизмов и приборов, вызвать разрушение конструкции. Они
могут оказаться своеобразным «катализатором» процессов, проте¬
кающих и при отсутствии динамических нагрузок. В частности, это
проявляется в увеличении интенсивности отказов аппаратуры под
действием ,вибраций. Можно выделить две группы дефектов, обу¬
словленных вибрациями:—	дефекты, связанные с нарушением целости элементов: обры¬
вы проводов в местах пайки, поломки и трещины, разрушение
уплотнений и др.;—	дефекты, не связанные явно с разрушением, но способствую¬
щие нарушению нормального функционирования: ослабление разъ¬
емных соединений, самоотвинчивание крепежных деталей, наруше-428
50гоиие герметичности, появление люфтов,- переменный контакт в по¬
тенциометрах и т. п.В конструкции под действием вибраций могут наблюдаться от¬
казы двух типов:—	случайные выбросы нагрузки за уровень несущей способно¬
сти, вызывающие недопустимые
деформации или хрупкое разру¬
шение;—	постепенное накопление по¬
вреждений, приводящее к образо¬
ванию и развитию усталостных
трещин под действием напряже¬
ний, по уровню не превышающих-
допустимые, но действующих цик¬
лически в течение длительного
времени.Примерами последнего могут
быть накопление повреждений в
заряде твердого топлива (рис.14.18) и разрушение адгезионного
слоя (рис. 14.19) под действием
вибраций [87], [132]. Ориентиро¬
вочные значения возможных цик¬
лических нагрузок при эксплуа¬
тации РДТТ указаны в табл. 14.5
[158], из которой следует, что наиболее опасными этапами эксплуа¬
тации являются транспортировка и полет ракеты.§3*01- кок ^«5 5©I3с;I §I-XЕ2010fI£.Дз	дА\д	пL	\\> 0,2 ОМ 0,0 0,8 1,0
Относительная деформация,%Количество циклов
нагружения:
а-1,5■ /О6Д-1,0' ГО. Температура +24°СРис. 14.18. Влияние синусоидальных
вибрационных нагрузок на деформа¬
цию разрушения зарядаРис, 14.19. Разрушение адгезионного слоя под действием периоди¬
ческих напряжений частотой 5 гц при температуре +25° СТаблица 14.5Условия эксплуатациихарактерная частота циклопМаксимальное
число циклопКантовки при хранении1 цикл в месяц50Изменения температуры1 цикл в сутки2X103Транспортировка10—500 циклов в секунду5ХЮ’Вибрации в полете100—500 циклов в секунду5ХЮ7429
При оценке надежности ракеты в условиях вибраций иногда
пользуются понятиями «вибропрочность» и «виброустойчивость»,
характеризуя в отдельности влияние вибраций на конструкцию и
аппаратуру. Под вибропрочностью понимают вероятность неразру¬
шения конструкции, под виброустойчивостью — вероятность нор¬
мального функционирования аппаратуры в условиях вибраций.Динамические нагрузки по своей природе являются случайны¬
ми функциями времени, а иногда и координат (например, нагруз¬
ки, вызванные турбулентностью атмосферы или акустическим дав¬
лением и представляющие собой пульсирующее давление, распре¬
деленное по поверхности корпуса ракеты). Некоторые динамиче¬
ские нагрузки, такие, как нарастание и спад тяги, толчки при раз¬
делении ступеней, существенно нестационарны, но время их дей¬
ствия мало, конструкция фактически совершает свободные зату¬
хающие колебания уже после снятия такой нагрузки. Обычно
вибрации считаются стационарными случайными процессами.Конструкция ракеты с РДТТ представляет собой сложную ди¬
намическую систему с широким спектром собственных частот ко¬
лебаний. Реакцию такой системы на случайные динамические на¬
грузки чрезвычайно трудно определять аналитически. Поэтому
объективное суждение о вибропрочности конструкции может быть
основано лишь на результатах динамических испытаний: стендо¬
вых испытаний отдельных отсеков корпуса и ступеней ракеты в
целом, транспортировочных и летных испытаний ракеты. На ста¬
дии проектирования возможны также испытания динамически по¬
добных моделей р'акеты.При испытаниях реакция конструкции на динамическое воздей¬
ствие фиксируется датчиками s -виде виброускорений (вибропере¬
грузок) как функций времени. Поскольку во многих случаях виб¬
рации имеют пространственный характер, целесообразно измерять
составляющие виброускорения в направлениях трех взаимно пер¬
пендикулярных осей. Помимо основной цели —оценки вибропроч¬
ности—динамические испытания дают возможность эксперименталь¬
но определить частоты и формы собственных колебаний конструк¬
ции, декременты затухания колебаний, а также оценить правиль¬
ность расчетных динамических схем, принятых при проектирова¬
нии, расчетных случаев, коэффициентов безопасности и т. д.При транспортировочных и летных испытаниях ракеты на 'ее
конструкцию действуют реальные динамические нагрузки, при
стендовых же испытаниях вопрос соответствия воспроизводимых
нагрузок реальным занимает центральное место. Если стендовые
динамические испытания совмещены с огневыми испытаниями
РДТТ или ступени ракеты, то конструкция подвергается, как и в
летных условиях, реальным динамическим нагрузкам, но не пол¬
ной их совокупности, а только тем, которые обусловлены работой
двигателя (пульсации давления в камере, акустическое давление).
Если стендовые динамические испытания конструкции проводятся
отдельно, то нагрузки имитируются обычно с помощью вибростен¬
дов. Таким испытаниям подвергались, в частности, РДТТ ракеты430
«Поларис» на вибростенде, создающем усилие до 2,25 т частотой
20—1500 гц [143]. РДТТ первой ступени ракеты «Минитмен» так¬
же был подвергнут виброиспытаниям на стенде, рассчитанном на
создание усилий 27—90 т в диапазоне частот 25—400 гц с ампли¬
тудой 12,7—127 мм. При этом виброускорения измерялись в грех
взаимно перпендикулярных направлениях 24 пьезоэлектрическими
датчиками, из которых 14 были вмонтированы в заряд в процессе
его изготовления, а остальные приклеены к поверхности за¬
ряда [161].При стендовых испытаниях неизбежно розникают ошибки,
основными источниками которых являются колебания конструк¬
ции стенда и ограничение перемещений корпуса РДТТ или ступе¬
ни ракеты. Во избежание резонанса собственные частоты колеба¬
ний стендов должны быть заметно ниже частот воспроизводимых
вибраций, например, для некоторых американских стендов они со¬
ставляют 15—25 гц [136]. Насколько существенны указанные ошиб¬
ки, можно судить по рис. 14.20, на котором представлены некото¬
рые результаты наземных и летных динамических испытаний ра¬
кеты «Поларис» [136]. Как показано на рис. 14.20, а, продольные
виброускорения /, измеренные в хвостовом отсеке при запуске дви¬
гателя первой ступени, оказались почти во всем диапазоне частот /
при наземных испытаниях меньше, чем в полете, вследствие того,
что кольцевая опора стенда несколько ограничивала перемещения
РДТТ. На рис. 14.20,6 наблюдается хорошее совпадение результа¬
тов до частоты /=400 гц. При более высоких частотах имеется за¬
метное расхождение, объясняемое резонансом, причиной которого,
по-видимому, ярились колебания основания датчика.Помимо отмеченных источников ошибок имеются и другие. При
огневых стендовых испытаниях большое влияние на результаты
оказывает акустическое давление. Если между источником вибра¬
ций и датчиком расположен слой топлива, то результаты заметно
искажаются. На вибрации оказывают влияние и высотные условия.
Так, при уменьшении атмосферного давления до 0,18—0,21 бар
вибрации в диапазоне 400—600 гц усиливаются, а в диапазоне
800—2000 гц ослабляются [136]. Кроме того, с уменьшением дав¬
ления увеличивается влияние акустического поля.Аналитическое описание вибраций, необходимое как для расче¬
тов вибропрочности, так и для имитации вибрационных нагрузок
в стендовых условиях, производится методами теории случайных
функций на основании данных статистической обработки результа¬
тов летных и транспортировочных испытаний ракет. Для стацио¬
нарного случайного вибрационного процесса достаточно опреде¬
лить корреляционную функцию. Например, корреляционная функ¬
ция вибраций при транспортировке может быть представлена ввиде [79]	/С, (х) = oje—1 V| т I C0S Pj х|,	(14.25)где о* —дисперсия высот неровностей микропрофиля дороги;V— скорость движения;
а} и — постоянные параметры.431
В частности для случая транспортировки по асфальтированному
шоссе сг = 12 мм, «1=0,22, pi = 0,44.Часто вместо корреляционной .функции используют спектраль¬
ную плотностьсоS' (ш) = -Z- f Kz (х) cos cot dx,	(14.26)71 охарактеризующую распределение дисперсий амплитуд виброуско¬
рений по частотам непрерывного спектра.аг	Летные испытания•	-Наземные испытанияОРис. 14.20. Сравнительные данные наземных и летных дина-
'	мических испытаний ракеты «Поларис»Корреляционные функции и соответствующие им спектральные
плотности не только полностью описывают характер случайного
процесса, но и удобны с точки зрения практики измерений, по-432
скольку разработаны специальные приборы (корреляторы, спек¬
тральные анализаторы), позволяющие находить эти характери¬
стики в ходе измерений или по записанным реализациям процесса.
Степень совпадения спектральных плотностей виброускорений при
стендовых и летных испытаниях может явиться критерием эквива¬
лентности динамических нагрузок, создаваемых на стенде, полет¬
ным нагрузкам. На рис. 14.21 приведены спектральные плотности
продольных вибраций в хвостовом отсеке первой ступени ракеты$щуг/гиУсловные обозначения	Летные испытания——Наземные испытанияРис. 14.21. Спектральная плотность продольных вибраций в хвостовом
отсеке первой ступени ракеты «Поларис»«Поларис» при стендовых и летных испытаниях. Расхождение ре¬
зультатов свидетельствует о том, что при стендовых испытаниях не
удалось в достаточной мере имитировать реальные полетные на¬
грузки. Знание спектральной плотности S2(ш) виброускорений по¬
зволяет найти распределение амплитуд напряжений, вызванных в
конструкции вибрациями, и определить вероятность того, что под
действием вибраций в течение заданного времени не будет ни од¬
ного выброса напряжений за допустимые уровни и не наступит уста¬
лостного разрушения вследствие накопления повреждений. Мате¬
матический аппарат для решения этих задач читатель при необ¬
ходимости сможет найти в монографии В. В. Болотина [18].433
Глава 15СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ РАКЕТЫ
С РДТТ ПРИ ОПЫТНОЙ ОТРАБОТКЕ§ 15.1. ЗАДАЧИ ОПЫТНОЙ ОТРАБОТКИ РАКЕТЫ
И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯОсновными этапами опытной отработки являются стендовые ис¬
пытания агрегатов и систем, а также полигонные испытания ра¬
кеты. Последовательность отработки была кратко описана в § 1.3,
в этой же главе рассматриваются вопросы обеспечения высокой
(требуемой) надежности ракеты на этом этапе ее создания.В процессе опытной отработки РК и ракеты параллельно реша¬
ются две задачи:—	дорабатываются конструкция, технология производства и
эксплуатации ракеты, а также составных частей РК с целью обе¬
спечения требуемых значений их параметров;—	устанавливается соответствие между ТТТ к РК и достигну¬
тыми значениями его параметров на основании результатов испы¬
таний.Таким образом, при опытной отработке целенаправленно улуч¬
шаются основные характеристики РК и одновременно проверяются
их численные значения.Важно отметить, что в ходе опытной отработки РК затрачи¬
вается значительно больше средств и времени, чем при его проек¬
тировании. Разработка проекта РК с твердотопливными МКР или
БРСД занимает обычно около одного года, в то время как стендо¬
вые, и в особенности летные, испытания могут продолжаться не¬
сколько лет. В полигонных испытаниях РК участвует большее ко¬
личество персонала, чем при разработке проекта, так как в этог
период кроме сотрудников промышленных организаций ведет опыт¬
ную отработку многочисленный персонал испытательного полигона.
Затраты на разработку ТТЗ, выполнение аванпроекта и эскизное
проектирование составляют всего 5—10% от средств, отпускаемых
на научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы по
созданию РК, и около 0,5—3,0% от затрат на создание и эксплуа¬
тацию в течение ряда лет всей ракетной системы. Таким образом,
в период стендовых и полигонных испытаний расходуется434
10—35% средств, отпущенных на всю программу по разработке,
введению в строй и эксплуатации новой ракетной системы [32],
[48], [58], [99]. Большие затраты сил и средств при опытной отра¬
ботке связаны не только с высокой стоимостью стендовых и лет¬
ных испытаний, но и с тем, что в настоящее время статистические
методы обработки и анализа опытной информации развиты сла¬
бее, чем методы проектных расчетов.В процессе опытной отработки ракеты необходимо достигнуть
требуемых значений ряда важнейших параметров: дальности, на¬
дежности в полете, среднего квадратического отклонения точки
падения, надежности преодоления ПРО противника и т. д. (см.
§ 1.4). Продолжительность стендовых и летных испытаний ракеты,
как правило, определяется необходимостью обеспечить высокую
требуемую надежность ракеты в полете, так как эта характеристи¬
ка является как бы интегральным количественным показателем ка¬
чества ракеты. Напомним, что под надежностью ракеты е полете
понимают вероятность ее безотказной работы в течение полного
времени пуска и полета при стрельбе на максимальную прицель¬
ную дальность. Поскольку в понятие отказа включают не только
внезапную потерю работоспособности, но и выход основных пара¬
метров ракеты за установленные допуски, то высокая надежность
(безотказность) может быть достигнута только при тщательной
отработке всех агрегатов и систем. Таким образом, еысокэя на¬
дежность ракеты обеспечивается лишь на завершающем этане
опытной отработки, а следовательно, и определяет его продолжи¬
тельность.Проблема обеспечения надежности в ходе опытной отработки
любого изделия может решаться с позиций исследования физиче¬
ских процессов, определяющих возможные причины отказов, или
статистических методов, базирующихся на результатах испытаний.
Аналитическое описание причин возникновения отказов и расчет
на этой основе надежности изделия позволяет сравнивать различ¬
ные варианты конструкции, выявлять ее слабые звенья. Однако до¬
стоверность такого расчета надежности ограничивается точностью
используемых расчетных зависимостей и входных данных.Статистические методы определения надежности базируются на
результатах испытаний изделия и поэтому более полно отражают
процесс его работы. Однако недостатками таких методов являются
некоторая неопределенность получаемых результатов из-за ограни¬
ченности объема испытаний, а также возможное несоответствие
условий испытаний реальным условиям работы изделия при его
эксплуатации.В процессе опытной отработки изделия так называемый физи¬
ческий подход является мощным средством, позволяющим целена¬
правленно проводить те или иные мероприятия по изменению (уве¬
личению) надежности. Статистические же методы дают возмож¬
ность с определенной точностью оценить достигнутые значения на¬
дежности и тем самым количественно проконтролировать эффек¬
тивность принятых мер. Совершенно очевидно, что только разум¬435
ное сочетание этих двух подходов позволяет решать задачу обес¬
печения высокой надежности ракеты в процессе опытной отрм
ботки.При боевом применении РК необходимо знать надежность ра
кеты, изготовленной на серийном заводе и находившейся до мо
мента пуска в эксплуатации. Такая истинная надежность Р,,,,
в процессе создания РК постепенно возрастает, так как на каж¬
дом последующем этапе отработка ракеты проводится при усло¬
виях, все более приближающихся к условиям боевого применении
Качественный характер изменения РИст показан на рис. 15.1, гдеh — этап стендовых испытаний; /2. h — этап летных испытаний;
h, h — этап серийного производства; tit /5 — этап эксплуатации РК.Рис. 15.1. Изменение надежности ракеты в процессе создания и экс¬
плуатацииВ процессе проектирования, после окончания стендовых испыта¬
ний, а также после проведения летных испытаний, определяется
расчетная надежность ракеты Ррасч, характеризующая надежность
в данных условиях. Получаемые при этом величины Рпр, Рс, Рл
обычно близки к высоким требуемым значениям надежности, одна¬
ко если рассчитать надежность ракеты Рсо по данным первых стен¬
довых испытаний ее агрегатов, то она окажется существенно ниже
значения Рпр, полученного при проектировании. Аналогичное рез¬
кое изменение расчетной надежности наблюдается при переходе
от стендовых испытаний к летным. Заметное изменение расчетной
надежности возможно также при переходе от летных испытаний
опытных образцов к пускам серийных ракет.Скачки функции надежности Ррасч обусловлены утяжелением
режимов работы, усложнением условий испытаний, т. е. переходом436
к новому уровню моделирования реального процесса боевого при¬
менения ракеты. Действительно, при проектировании имеются ре¬
зультаты лабораторных испытаний комплектующих элементов, а
условия их взаимодействия в агрегатах ракеты, агрегатов в соста-
не ракеты, режимы работы в условиях полета, технология серий¬
ного производства, процессы старения при боевом дежурстве, осо¬
бенности эксплуатации — все эго обилие факторов и связей учиты-
пается разработчиками на основе интуиции и опыта, а также более
или менее точными расчетными зависимостями, моделирующими
сложнейший процесс.Скачок функции Ррасч количественно характеризует, насколько
предыдущий уровень моделирования по сравнению с последующим
грубее отражает реальный процесс изменения Рист- Так, изменение
расчетной надежности ракеты при переходе к стендовым испыта¬
ниям ее агрегатов от величины ЯПр до Рсо характеризует полноту
учета режимов работы и взаимодействия комплектующих элемен¬
тов в составе корпуса, двигателей, системы управления, а также
отработанность технологии их изготовления, т. е. качество проек¬
тирования и опытного производства основных агрегатов и кон¬
струкции ракеты.Изменение расчетной надежности ракеты при переходе к лет¬
ным испытаниям от величины Рс до Рло характеризует совершен¬
ство технологии сборки ракеты, степень учета полетных режимов
работы агрегатов при их стендовых испытаниях, а также степень
их взаимодействия в составе ракеты. Разность значений Рл и Рп0
отражает отличия технологий опытного и серийного производства.
Надежность ракеты в процессе эксплуатации (интервал t.u t5 на
рис. 15.1) уменьшается в результате старения и повышается после
проведения регламентных работ.Если в произвольный момент времени t прекратить отработку
ракеты, перейти к ее серийному производству, поставить изготов¬
ленные ракеты на дежурство в составе РК, а затем провести пу¬
ски, то надежность таких ракет будет РИст(0- Другими словами,
функция Рис.ч(t) характеризует достигнутый к данному моменту
опытной отработки уровень надежности, который будет иметь ра¬
кета при боевом применении. Разность РпР—Рсо или отношение
этих величин характеризует степень соответствия с точки зрения
обеспечения надежности условий боевого применения и условий
данного этапа отработки.Как уже было сказано, разность Рпр—Рсо отражает качество
проектирования и технологию опытного производства ракеты с за¬
данной надежностью. В случае если эта разность равна нулю, про¬
ведение стендовых испытаний для обеспечения надежности ракеты
бесполезно. При этом в ходе проектирования абсолютно точно учи¬
тываются все факторы, которые могут быть отработаны на стендах.Аналогично разность Рс—Рло характеризует эффективность лет¬
ных испытаний для повышения надежности ракеты. Если эта раз¬
ность равна нулю, то целесообразно переходить к серийному про¬
изводству ракеты, минуя летные испытания опытных образцов.437
В принципе, в ходе стендовой отработки можно создавать заве¬
домо утяжеленные режимы испытаний отдельных агрегатов и си¬
стем. Достигнутая в этих условиях сравнительно невысокая на¬
дежность каждого агрегата может соответствовать требуемой вы¬
сокой надежности в реальных условиях полета. В этом случае в
ходе летных испытаний останется устранить только некоторые, как
правило, малочисленные дефекты общей сборки ракеты и возмож¬
ную несогласованность взаимодействия агрегатов.Тенденция к утяжелению режимов и усложнению программ
стендовых испытаний особенно характерна для крупных ракет-но¬
сителей, возможности летных испытаний которых весьма ограни¬
чены.В том случае, когда РПр—Рсо<Рс—Ряо, можно считать, что
большая часть факторов, не учитываемых в расчетах надежности,
относится к общей сборке ракеты, взаимодействию ее систем и
агрегатов, а также условиям полета (например, структурная схема
надежности грубо моделирует возникновение отказов ракеты).
Если же РцР—Рсо>Рс—Рио, то это означает, что хуже обстоит
дело с проектированием и опытным производством отдельных си¬
стем и агрегатов, в то время как связи между ними и условия по¬
лета учитываются точнее (например, структурная схема надежно¬
сти хорошо отражает формирование отказов ракеты).Рассмотренный выше процесс изменения надежности характе¬
рен не только для ракеты, но и для надежности всего РК. Надеж¬
ность ракеты Р непосредственно связана с критериями эффектив¬
ности РК (1.3), (1.7) и (1.16), поэтому можно считать, что они
претерпевают в процессе создания РК качественно такие же изме¬
нения.Процесс опытной отработки проводится целенаправленно, но он
не может быть заранее точно определен и регламентирован, так
как не существует пока строгих детерминированных зависимостей
между проводимыми в этот период мероприятиями и их след¬
ствиями, приводящими к изменению надежности ракеты и эффек¬
тивности РК. Таким образом, надежность ракеты и критерии
эффективности РК в период опытной отработки могут рассматри¬
ваться как случайные функции или функции случайных аргументов.Введем некоторые понятия и обозначения, которые будут ис¬
пользованы ниже. В математической статистике обычно под оцен¬
кой 0* того или иного параметра 8 понимают случайную величину,
зависящую от наблюдаемых в опыте значений (выборки) оцени¬
ваемого параметра. Процесс нахождения наилучшего, в некотором
смысле, правила (формулы) для определения фиксированной то-/ччечной оценки 0 по результатам конкретных наблюдений, а такжеАанализ точности отражения этой фиксированной оценкой 0 неслу¬
чайного истинного значения 9, характеризующего генеральную со¬
вокупность, называют статистическим оцениванием параметра. При¬
нятые выше символы для фиксированной и случайной оценок со¬
храняются далее всюду.438
Оценизание надежности ракеты и эффективности РК по резуль¬
татам стендовых и летных испытаний имеет целый ряд особенно¬
стей. Из-за большой стоимости испытаний и сложности их органи¬
зации обычно имеются выборки малого объема. Наиболее распро¬
страненные оценки максимального правдоподобия [49], [54], [85],
[92] при малых выборках имеют существенные смещения, поэтому
возникает необходимость в отыскании вида закона распределения
оценки.Поскольку в ходе испытаний проводятся доработки изделий, то
оцениваемый параметр (генеральная характеристика) претерпе¬
вает изменения, которые необходимо как-то учитывать. Внесение
изменений в конструкцию, технологию производства и эксплуата¬
ции проводится на основании результатов наблюдений, поэтому
случайный исход последующих испытаний может зависеть от пре¬
дыдущих результатов. Другими словами, результаты наблюдений,
получаемых в ходе стендовых или летных испытаний, в общем слу¬
чае зависимы. Иногда эти наблюдения к тому же и непрямые (кос¬
венные). Так, например, при полигонных испытаниях невозможно
непосредственно измерить критерий эффективности РК, а можно
только фиксировать значения некоторых входящих в него величин.В силу рассмотренных выше особенностей для определения на¬
дежности ракеты по данным стендовых и летных испытаний
нельзя непосредственно использовать широко известный аппарат
математической статистики. Для решения сформулированных в на¬
чале этого параграфа задач опытной отработки в первую очередь
необходимо уметь определять изменение надежности ракеты на
основе всего опытного и теоретического материала, накапливае¬
мого к этому моменту.Знание функции ЯраСч или ее статистических характеристик
позволяет оценить весь ход опытной отработки ракеты. Такие дан¬
ные можно использовать для оперативного контроля и для ана¬
лиза процесса создания РК как разработчиками, так и заказчика¬
ми, а также заложить в перспективные планы создания новых ра¬
кетных систем.В свою очередь, для оценивания изменения надежности ракеты
необходимо уметь описать этот процесс и разработать соответ¬
ствующие статистические методы. Только на этой основе может
быть поставлена и решена задача оптимизации объемов стендовых
и летных испытаний, задача оптимизации процесса опытной отра¬
ботки, т. е. того этапа, на котором расходуется до одной трети
всех средств, необходимых для создания и эксплуатации в тече¬
ние длительного срока новой ракетной системы.§ 15.2. МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ РАКЕТЫ В ПРОЦЕССЕ
ОПЫТНОЙ ОТРАБОТКИВ предыдущем параграфе был рассмотрен характер изменения
расчетной надежности Ярасч(0> а также показана необходимость
определения этой функции. Из рис. 15.1 видно, что функция на¬439
дежности ракеты P(t) (здесь и далее для простоты написания ин¬
декс в обозначении этой функции опущен) на этапе опытной отра¬
ботки полностью определяется двумя кривыми, заданными на ин
тервалах (tu t2) и (t2, 4)- Для нахождения функции надежности
ракеты на интервале (tu t2) необходимо знать изменение надеж¬
ности отдельных агрегатов и систем при их стендовых испытаниях,
а на интервале (t2, 13)—функции изменения надежности ракеты
в ходе летной отработки. Таким образом, в первую очередь необ¬
ходимо найти статистические методы, позволяющие по результа¬
там испытаний, проводимых при опытной отработке изделия (ра¬
кеты или ее агрегата), определять функцию изменения его надеж¬
ности. Поставленную задачу можно свести к статистическому оце¬
ниванию функции изменения надежности изделия, зависящей от
числа испытаний /, т. е. функции P(j)—Pj.В соответствии с высказанными в § 15.1 соображениями о не¬
обходимости при различных испытаниях'РК наиболее полно учи¬
тывать условия его боевого применения целесообразно рассматри¬
вать в качестве результатов наблюдений исход испытания (успех
или отказ). Следовательно, задача заключается в нахождении наи¬
лучших, в некотором смысле, оценок функции Р, по результатам
наблюдений, каждое из которых может принимать два значения.Поскольку в нашем распоряжении нет серии реализаций Pj, по¬
лученных из опыта, то непосредственная оценка Pj невозможна.
Поэтому сначала необходимо найти аналитическую зависимость
оцениваемой функции Pj от каких-либо параметров, а затем опре¬
делить оценки этих параметров по результатам наблюдений.Начнем с поисков аналитического выражения Pj через пара¬
метры, т. е. с построения модели изменения надежности изделия
при его опытной отработке.На основе анализа сложившейся практики опытной отработки
ракетной техники можно сформулировать следующие свойства
этого процесса:—	изменение надежности может происходить лишь в резуль¬
тате доработок конструкции изделия, технологии его изготовления
и эксплуатации;—	в некоторые периоды (одно или серия испытаний) доработки
могут не проводиться из-за неустановления предполагаемых при¬
чин отказов или нецелесообразности (невозможности) их устра¬
нения;—	проведение доработки не обязательно природит к устране¬
нию истинных причин отказов, а имеет место случайное обнаруже¬
ние и случайное устранение причин отказов;—	внесение доработок может увеличить, уменьшить или оста¬
вить без изменений надежность изделия.Процесс изменения надежности изделия, формализованный в
этих пяти свойствах, имеет самый общий характер. Истинность
этих свойств не вызывает сомнений, и, несмотря на некоторую их
тривиальность, они могут быть учтены при построении модели как
ценная дополнительная информация.440
Далее для решения задачи имеет смысл использовать положе¬
ния теории стохастических моделей обучаемости [22]. Действитель¬
но, принцип «обучения изделия надежности» за счет проведения
доработок имеет много общего с процессами обучения биологиче¬
ских объектов под воздействием экспериментатора. Поэтому в
дальнейших выводах будут использованы терминология, некоторые
понятия и обозначения, установившиеся в этой области. Построе¬
ние моделей роста надежности ракеты в процессе летных испыта¬
ний на основе принципов, изложенных в труде [22], проводилось
в ряде работ (например, [58], [149], [115], [151]), однако полученные
в них результаты могут использоваться лишь для ориентировоч¬
ных расчетов.Рассмотрим две задачи, которые возникают при определении
функции надежности. Если нас интересует изменение надежности
изделия, испытания которого проведены, то возникает задача оце¬
нивания реализации процесса. Если же нас интересует, как может
пойти процесс изменения.надежности изделия в будущем или как
он пойдет далее после проведения серии испытаний, то возникает
задача прогнозирования функции надежности.При решении первой задачи известны не только число отказов
и их место в ходе отработки, но и моменты внесения изменений в
конструкцию и технологию, а также число этих изменений. В ра¬
ботах, посвященных построению моделей надежности, не разделя¬
лись задачи оценивания и прогнозирования, а потому и не исполь¬
зовались данные о вносимых доработках.Перейдем к выводу модели изменения надежности, в которой
бы учитывалась информация о доработках изделия.Пусть в ходе п испытаний проводятся vдоработок (v<^«). Обо¬
значим номера испытаний (рис. 15.2)/=1,2,3	п	(15.1)и номера доработок*-l,2,3,...,v.	(15.2)В конечном счете нас интересует вероятность безотказной ра¬
боты изделия после любЬго /-го испытания, т. е. вероятность Р,
успеха в (/+1)-ом испытании. Вероятность успеха Pj изменяется
от некоторого начального значения Р0, которое является вероятно¬
стью успеха в первом испытании. В соответствии с первым свой¬
ством процесса надежность изделия изменяется лишь после дора¬
ботки, следовательно,/Л = Л + 2лЯг,	(15.3)i=iгде i— количество доработок, проведенных в ходе / испытаний;—	изменение надежности в результате i-ой доработки.Попутно заметим, что в ряде работ, посвященных моделям ро¬
ста, необоснованно делается достаточно грубое допущение о том,441
что изменение надежности следует обязательно только после на¬
блюдения отказа.Далее попробуем получить выражение для величины АР,- В ре¬
зультате /-го испытания возможны два исхода: успех (событиеЛ1;)
или отказ (событие Ац). В соответствии со вторым свойством про¬
цесса как после успеха, так и после отказа возможны два след¬
ствия: проведение i-ой доработки (событие Он) или отсутствие до¬
работки (событие 02j). Следствие Ои- изменяет надежность на ве¬
личину APi, а следствие 02j оставляет надежность прежней. Ясно,Р0-гГК, К2L-1 I	.1, , 	Лттш4-1i+1..■ —Ki+in-i п jLКVРис. 15.2. Функция изменения надежности изделиячто, чем выше надежность изделия, тем труднее ее увеличивать за
счет доработок, не меняя коренным образом технологию и кон¬
струкцию. Поэтому естественно считать, что приращение надежно¬
сти за счет удачной (эффективной) доработки пропорционально
ненадежности 1—Pj_i = l—Р,_ь которая имеется перед /-ым испы¬
танием после (/—1)-ой доработки. Кроме того, не исключено, что
доработка может ухудшить надежность (неправильно установлена
причина отказа или неправильно назначены и внесены изменения).
Можно считать, что такая негативная доработка уменьшает на¬
дежность на величину, пропорциональную достигнутому уровню
= Следовательно, при проведении t-ой доработки после
/-го испытания изменение надежности можно описать операторомАР< = а/ (1 — Рi—i)	(15.4)где он и р; — коэффициенты, характеризующие эффективность и
негативность г-ой доработки.442	*
Для того чтобы получить модель, которую можно использовать
практически, сделаем следующее допущение. Пусть эффективность
или негативность внесения одного изменения в ходе испытаний из¬
делий данного типа остается постоянной, а эффективность или ие-I	ативность i-ой доработки, состоящей из одного или нескольких из¬
менений, пропорциональна количеству &,• изменений, вносимых в
этой доработке, то есть примем:д.. = nkf,=	(15.5)где а и р — постоянные коэффициенты эффективности и негатив¬
ности одного изменения в любой доработке.Допущение (15.5) предполагает, что эффективность воздей¬
ствия на надежность каждого изменения, вносимого в ходе дора¬
ботки, примерно одинакова. Для выполнения этого условия на
практике необходимо иметь документально закрепленное определе¬
ние понятия «изменение», так же как это делается для понятий
«успех» и «отказ». Принятие допущения (15.5) о постоянстве ко¬
эффициентов а и J3 можно обосновать следующими соображения¬
ми. Величины аир характеризуют в среднем возможности пра¬
вильного обнаружения причин отказов и правильного их устране¬
ния. Эти возможности определяются квалификацией персонала,
ведущего отработку изделия, и имеющимися в его распоряжении
измерительными средствами. Как правило, состав персонала и из¬
мерительный комплекс не изменяются при отработке изделий
одного типа.Таким образом, в соответствии с зависимостями (15.3) — (15.5)
функция надежности может быть записана в виде рекуррентного
выраженияPj = Pi = Я,._! + «А,(1 - />_,) - Щ Pt_v	(15.6)Логическая схема этой модели изменения надежности пред¬
ставлена в табл. 15.1.Таблица 15.1Исход j-ro
испытанияСледствиеНадежность после j-ro испытанияУспех (Aij)Доработка (Оц)Pj = Р,_, + akt (1 - Pi-i) - ад-.Нет доработки (02у)41II>£Отказ (Лу)Доработка (Ои)Pj = Р/—1 + a*t (1 - />,_,) - Р*/Р|-|Нет доработки (02j)Pj = Pl-1443
После преобразований без дополнительных упрощений можно
перейти от рекуррентной зависимости (15.6) к явному выражению
функции надежности через параметры:Iр. = рг = Х-(Х —Я0) П (l —-f £|),	(15.7)Выражение (15.7) и является искомой моделью изменения на¬
дежности, связывающей функцию надежности с постоянными па¬
раметрами а, Ро и X.Функция (15.7) меняется скачками в известные моменты вне¬
сения доработок г, которые сеязэны с номером испытания /
(рис. 15.2), Эта функция, если потребуется, может быть аппрокси¬
мирована кривой с большим числом перегибов (в общем случае
v—1 перегиб), так как доработки обычно следуют не через рав¬
ное число испытаний.Физический смысл параметра Ро был выяснен ранее. Пара¬
метр X представляет собой то предельное значение надежности,
которое может быть достигнуто при /—>-оо. Если доработки не
ухудшают надежность изделия ((3 = 0), то Х = 1. Чем больше ве¬
личина а, тем эффективнее доработки и, следовательно, быстрее
растет функция Pj.Из табл. 15.1 видно, что процесс изменения надежности яв¬
ляется ветвящимся и случайным. СледоЕательно, при опытной от¬
работке возможно большое число реализаций этого ветвящегося
процесса. Однако после проведения испытаний нас обычно интере¬
сует одна реализация, которая имела место. Она определяется до¬
стоверно известными моментами внесения доработок и описывает¬
ся формулой (15.7).Моделирование на ЭЦВМ случайного ветвящегося процесса,
логическая схема которого представлена в табл. 15.1, при раз¬
личных фиксированных значениях параметров а, Ро и X показы¬
вает, что реализации процесса при / = 20-ь50 практически сходят¬
ся к математическому ожиданию. При этом дисперсия D[P}] про¬
цесса сначала возрастает, а затем стремится к нулю, а ее вели¬
чина существенно зависит от разности X—Ро, определяющей по¬
лосу, в которой могут рассеиваться истинные значения реализа¬
ций от начального значения Ро до величийы X при /->оо.Таким образом, при сравнительно небольшом числе испыта¬
ний (/’^>20-^50) модель (15.7), описывающая реализацию про¬
цесса, может быть успешно использована для прогнозирования
дальнейшего изменения математического ожидания, однако в этом
случае она должна быть огрублена допущением о постоянном
темпе внесения доработок и одинаковом количестве изменений в
каждой доработке.При решении второй задачи это допущение, по существу, рав¬
носильно предположению о проведении безусловных доработок
после испытаний с определенными номерами. В этих условиях444
выражение (15.7) после преобразований может быть приведено
и видуP/==X-(X-P0)(l--f	(16.8)где kv—постоянное (среднее) число изменений, вносимых в
каждой доработке;£<1 — постоянное (среднее) число доработок, приходящихся
на одно испытание.Заметим, что выражение (15.8) соответствует более грубой
модели, но в то же время является более сложным для статисти¬
ческого оценивания, так как зависит уже не от трех,, а от пяти
параметров. Если же предположить, что количество испытаний ме¬
жду доработками стремится к нулю (Д/~>0), то на основании за¬
висимости (15.6) после решения дифференциального уравнения
(вместо разностного) при дополнительном допущении о том, чтоln(l--f —атК,	(15.9)можно получить известную экспоненциальную трехпараметриче-
скую модель изменения надежностиPj = \-{\-P0)e-3i,	(15.10)где Э = kn\ k„ — постоянное (среднее) количество изменений,приходящихся на одно испытание.В конечном счете при прогнозировании процесса нас обычно
интересует возможный ход его реализации, поэтому при исполь¬
зовании любой модели, описывающей математическое ожидание,
необходимо учитывать не только ошибки в определении постоян¬
ных параметров, искажающие функцию математического ожида¬
ния, но и возможное рассеивание реализаций относительно истин¬
ного математического ожидания. Таким образом, прогнозирование
процесса изменения надежности ракеты может быть проведено
всегда менее точно, чем оценивание уже осуществленной реали¬
зации.Полученная выше модель (15.7) может быть использована для
оценивания реализации процесса, однако предварительно необхо¬
димо установить независимость или меру статистической зависи¬
мости результатов испытаний. Как уже отмечалось, статистиче¬
ская независимость исходов испытаний совершенно не очевидна
при использовании любой модели изменения надежности, так как
внесение доработок сказывается на результатах последующих ис¬
пытаний.В соответствии с логикой модели [см. рис. 15.2, табл. 15.1, а
также выражения (15.1) и (15.2)] все результаты п испытаний мо¬
гут быть разбиты на v групп. Внутри каждой группы не прово¬
дится доработок и условия испытаний одинаковы, а результаты
испытаний независимы. Зависимость результатов двух произволь¬445
ных испытаний /-го и (j+k)-го, проведенных соответственно после
г-ой и (/ + г)-ой доработок может характеризоваться коэффициен¬
том корреляции. Для широкого класса моделей, в которых исполь
зуются результаты испытаний, принимающие значения «нуль» (от¬
каз) и 1 (успех), и операторы типа (15.6), коэффициент корре¬
ляции дискретных случайных наблюдений в /-м и (j+k)-u испы
таниях можно представить в видеpju+m =	— pj+JAij) ]/ ^ (1 —Pjrb) ~- (Р,+,/Л; - P.+JA,,) |■ C1S.11)где Pj+kIA2j — Pi+rIA2j — условная вероятность успеха в (j+k) -м
испытании после (i+r)-й доработки, если в /-м испытании был
отказ;Pj+kIA1j = Pi+rIAlj—условная вероятность успеха в (j+k) -м
испытании после (i + r)-й доработки, если в /-м испытании был
успех.Для модели (15.7) в общем случае вероятность успеха в
(j+k) -м испытании не зависит от результата /-го испытания. Дей¬
ствительно, изменение вероятности от Pj до Pj+k происходит
из-за внесения доработок. Доработки же возможны как после
успешных испытаний, так и после отказов, причем внесение до¬
работок не связывается с исходом испытаний. Следовательно, в
модели (15.7) результаты испытаний являются статистически не¬
зависимыми. Попутно заметим, что на основании выражения
(15.11) можно проверить выполнение необходимого условия
(pj (j+k) = 0) независимости результатов испытаний. Действи¬
тельно, в силу сказанного выше вероятности Pj+klA2j и Р^/А^
являются безусловными и равны между собой, т. е. в этом случае
pj (/+*> = °'Если в модели предполагаются безусловные доработки только
после отказов, то коэффициент корреляции становится отрица¬
тельным, а при безусловных доработках только после успехов —
положительным. Можно показать, что, чем эффективнее доработ¬
ки (больше коэффициент а), тем больше по модулю коэффициент
корреляции. Если предположить, что доработки следуют после
каждого испытания, то вероятность успеха в любом сечении про¬
цесса зависит только от номера испытания, а не от предыдущих
исходов. В этом случае также p;(y+s)=0. К такому же резуль¬
тату можно прийти и е том случае, когда доработка как после
успеха, так и после отказа равновероятна.446
Следует также заметить, что абсолютная величина коэффи¬
циента корреляции во всех случаях невелика. Поэтому при нахо¬
ждении оценок параметров моделей по данным испытаний (по не
их дисперсий) можно пренебрегать зависимостью наблюдений.
При использовании модели (15.7) такое дополнительное допуще¬
ние не требуется, что существенно облегчает и уточняет расчет
дисперсий оценок параметров.§ 15.3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИПереходя к статистическому оцениванию реализации процесса
изменения надежности изделия по данным его испытаний с дора¬
ботками, заметим, что при использовании модели (15.7) эта за¬
дача сводится к нахождению статистических оценок а*, Я0", X* па¬
раметров а, Ро, X, входящих в выражение для функции надежно¬
сти. Входными данными для получения оценок являются резуль¬
таты наблюдений (успех, отказ) в каждом /-м испытании, момен¬
ты доработок i и количество изменений ki в i-й доработке.Существует целый ряд статистических методов, позволяющих
в данных условиях найти оценки параметров функции (15.7).
В сформулированных условиях целесообразно использовать метод
максимума правдоподобия, который дает возможность получить
состоятельные асимптотически несмещенные нормальные эффек¬
тивные оценки максимального правдоподобия [49], [54], [85], [92].
Этот метод в силу указанных свойств оценок предпочтителен при
обработке дорогостоящей опытной информации перед методами,
обладающими более простыми вычислительными схемами, но даю¬
щими менее эффективные оценки. Некоторые дополнительные
трудности отыскания оценок максимального правдоподобия могут
быть успешно преодолены при использовании ЭЦВМ.Для определения оценок составим функцию правдоподобия L,
связывающую распределенные по биномиальному закону резуль¬
таты наблюдений:где ni—число испытаний между l-й и (t-H)-ft доработками;
mi — число отказов в tii испытаниях.Подставляя выражение (15.7) в зависимость (15.12), получимVX (1 — Pv)mv P"v~mv = П (1 - Pt)miP?rmit (15.12)1 = п i-* + (Х-Я0) n(i--f *,) X(15.13)447
Удобнее использовать отрицательную логарифмическую функ
цию правдоподобия — In L, которая после преобразований выра
жения (15.13) может быть записана в виде— In L = — ^ | rrii In
i-0 I+ (п, — m,) In1_Х + (Х-Я0) П (i-i-t-1(X P0) n (1		 k,i-1+(15.14)Для удобства дальнейших преобразований запишем функцию(15.14)	в виде—	In Z. (/7, А'),	(15.15)а.где П =■ вектор параметров;X —вектор выборочных значений я*, т{, ki.Для определения оценок максимального правдоподобия необ¬
ходимо найти такое значение вектора параметровГ1:Xпри котором функция (15.15) обращается в минимум.Множество, на котором задана функция (15.15) является вы
пуклым [38], [98], так как в соответствии с логикой модели0<а <1;0<Я0<1;	(15.16)0<Х <1.Из этого следует, что если функция (15.15) выпуклая, то, как
заданная на выпуклом множестве, она имеет минимум, причем
единственный, в точке, гдеV[— \nL(n, А’)] =0.	(15.17)Функция (15.15) дважды дифференцируема по вектору П, в чем
можно убедиться, взяв вторые производные от зависимости(15.14). Для дважды дифференцируемой функции необходимым
и достаточным условием выпуклости является положительная по
луопределенность матрицы вторых производных этой функции, т. с.
в нашем случае матрицыЛ -= v2 [— In L(/7, X)]	(15.18)по вектору параметров Я. Известно, что матрица положительно
полуопределена, если соответствующая этой матрице квадратичная448
форма неотрицательна. По определению квадратичная форма мо¬
жет быть записана в следующем виде [33]:Q = /7Т АП,	(15.19)где Ят — транспонированная матрица П.Раскроем выражение (15.19):<Э21п L d4nL d4nLQ = ||aP0X|да2дадР0дадХдЧп Lд2 In Lд2 In Lд Р0дадР\дР0д\d2ln LдЧп Ld2\nLдХдад\дР0д\2После очевидных преобразований получимQ, д2 In Lда2■2 аЯ,д2 In Lд2 In Z.°дадР0-2aAV^ —.	— 2Pn\?4nLdPi'dP0dXX*dad\
d2\nLax2 ((15.20)(15.21)Расчеты показывают, что все члены матрицы А (15.18) поло¬
жительны на всем множестве (15.16) значений вектора П. Из
этого следует, что квадратичная форма (15.21) положительна, а
следовательно, матрица А положительно определена. Таким обра¬
зом, доказано, что функция —In L (П, X) выпукла и имеет един¬
ственный минимум в точке, являющейся решением системы урав¬
нений правдоподобияV	[— In L (/7, X)] = 0.Аналогично можно показать, что функция правдоподобия
L(fI,X) имеет единственный максимум в той же точке, гдеV[£(/7, -ДО] =0.АСледовательно, искомый вектор П в принципе может быть най¬
ден методами выпуклого программирования [39], [98].В связи с ограниченностью используемой выборки искомые
оценки параметров являются случайными величинами, поэтому с
учетом выражения (15.7) оценка надежности в сечении п может
быть представлена как известная нелинейная функция трех слу¬
чайных величин а*К и X*:Я* = Х*V.(Х*-Я0*) П(1-(15.22)
/=» 1Обычно число наблюдений, по которым оцениваются параме¬
тры а, Ро и X, не менее 10—20, поэтому на основании асимптоти¬
ческих свойств оценок максимального правдоподобия можно пола¬
гать, что законы распределения случайных величин а*, Я* и X* нор¬15-573449
мальные, а сами оценки — несмещенные. Поскольку параметры а, Р»
и X определены лишь в интервале. (0,1), то, строго говоря, оценки
а*, Р* и X* имеют усеченные границами этого интервала нормаль¬
ные законы распределения. Моделируя случайные величины а*,
Рд, X*, распределенные но усеченным нормальным законам, в со¬
ответствии с зависимостью (15.22) можно методом Монте-Карло
[21], [105] получить гистограмму закона распределения оценки Р'п.Расчеты показывают, что функция надежности практически ли¬
нейно зависит от параметров X и Р0. При значениях (0,05 :
-ь0,08), что характерно для процессов изменения надежности эле¬
ментов ракет и РК, зависимость функции Рп от а также близка
к линейной. Кроме того, при п ^(10-^-20) дисперсии случайных оце¬
нок а*, Я*, X* относительно невелики. Эти соображения позволяют
при определении точности оценивания в произвольном сечении н
рассматривать линеаризованную относительно случайных аргу¬
ментов функцию оценки надежности8P* = ^ga* a- dJ-!kbP* j_ dJ-"bX*
da ^ дР0 0 + дх ■(15.23)Поскольку линейная функция от оценок максимального прав¬
доподобия также является оценкой максимального правдоподобия
функции, то с точностью до линеаризации асимптотически эф¬
фективная и несмещенная фиксированная оценка функции надеж¬
ности может быть найдена по формулеРп = х-(х-Р0)П 1■ kt(15.24)1где a, Я0, X —оценки максимального правдоподобия, определяе¬
мые решением системы уравнений (15.17).Закон распределения оценки Я* на основании сказанного выше
можно считать нормальным, однако известно, что величина оце¬
ниваемой надежности может быть близка к единице, а значения
случайной величины Р'п ограничены интервалом (0,1). Следова¬
тельно, оценка Я* имеет усеченное нормальное распределение
с параметрами исходного неусеченного нормального закона: мате¬
матическим ожиданием Л<Г[Я*| — Рп и дисперсией D [Я*] . В силу
сказанного плотность вероятности оценки Я* определяется оче¬
видной зависимостьюfpn[Pn) Y^D[Pl]expгдеВ =1/2nD [Р*п]{к-м[р: ]уар;-1(15.25)параметрусечения.450
Используя табличную функцию [19]V	2uпараметр усечения можно представить в видеВ=>I у от! W°{kv(15.26)(15.27)Для определения дисперсии D [Р*] оценки надежности на
основании допущения о линеаризации функции (15.7) можно ис¬
пользовать выражение (15.23). Входящие в него частные произ¬
водные являются постоянными величинами, так как вычисляются
в точкеП —которая практически близка к точке, соответствующей искомому
истинному значению векторааМ[ а*]/7 =Ро= М[П*) =М[р;\XМ [X*](15.28)Используя модель (15.7), нетрудно определить выражения для
частных производных:
На основании известной теоремы дисперсия линейной функции
(15.23), т. е. дисперсия линеаризованной функции надежности,
имеет видD lp;i=(МD [**) + (зй)!° [р3 + (ж)‘D ix'i ++ 2<%%VD K10[Pf] f.,,++	(15.30)где раРо, раХ, рРоЛ — коэффициенты корреляции соответствующих пар
оценок.Заметим, что коэффициенты корреляции оценок не равны нулю,
так как оценки определяются по данным одних и тех же наблю¬
дений.Таким образом, для определения оценки надежности и ее дис¬
персии необходимо найти оценки максимального правдоподобия
параметров, а также их дисперсии и коэффициенты корреляции.Система уравнений правдоподобия для получения оценок легко
находится из общего выражения (15.17). Остается найти ковариа¬
ционную матрицу, членами которой являются искомые дисперсии
и коэффициенты корреляции оценок параметров. Составим для
этого симметрическую матрицу информации [54], [92],Мммд2 In L' дадРоa2 In L
' дР]]"[Мa2 In Ldadla2 inz.г a2inz.iL dP0d\ JMdP0d\.
a2 In Lг a2 in z. lL j(15.31)Отрицательная обратная матрицаявляется искомой ковариационной матрицей, т. е.D[a*] VD[o*]D[Pl] раРо vD[b*]D[l*) РаD [Я*] У D[P'0\D[\*}?Pa,D [X*]В практических расчетах обычно при выборке 10-*-20 ма¬
тематические ожидания вторых частных производных отрицатель¬
ной логарифмической функции правдоподобия, составляющих ма¬452
трицу информации (15.31), заменяют значениями этих производ¬
ных в точкеП =Следовательно, решение системы уравнений (15.17) и получение
матрицыВ = — А~\гдеa2 inz.да3(я)дадР0d4nL\n)dPlдадХд2 In LдР0дХдЧпЬдХ2(п)(15.32)позволяют найти оценку и дисперсию оценки функции надежности.
Закон распределения оценки описывается выражением (15.25).Использование матрицы А вместо Ат позволяет, по существу,
найти только оценки дисперсий и коэффициентов корреляций, а
не их истинные значения, однако это вносит в расчеты погрешно¬
сти второго порядка малости, которыми можно пренебречь.Система уравнений (15.17) является нелинейной, поэтому она
может быть решена численными методами. В частности, может
быть использован метод невязок Ньютона, однако при его прак¬
тической реализации возникают трудности в выборе нулевого при¬
ближения. В принципе область возможных решений ограничена
выпуклым множеством (15.16), однако предварительный анализ
опытных данных позволяет его существенно ограничить. Практика
показывает, что предельная надежность изделия, определяемая
параметром X, обычно лежит в интервале 0,5-г-1,0 и чаще всего
весьма близка к единице. Далее, по результатам первых I испыта¬
ний (/ = 5-4-10), пренебрегая возможными изменениями надежности,
можно найти для параметра Р0 оценкуЩ(15.33)где /П; — число отказов в / первых испытаниях.По последним г испытаниям можно найти аналогичную оценку
для конечного в данной выборке объемом п значения надежностиР = 1 — -J ПГ 1(15.34)где tnr — число отказов в г испытаниях,453
Тогда после очевидных преобразований выражения (15.8) при
&v = l, и Х = 1 получим оценку параметра а:Оценка (15.33), как правило, является несколько завышенной,
а оценки (15.34) и (15.35)—заниженными.В ряде случаев полученные таким путем начальные приближе
ния для параметров а, Ро, X позволяют далее найти устойчивые
решения системы (15.17) методом Ньютона, однако чаще всего
требуется более точное нулевое приближение, которое может быть
найдено методом Монте-Карло. Суть этого приема сводится к сле¬
дующему. Датчиком случайных равномерно распределенных на
интервале (0,1) чисел задаются произвольные значения параме¬
тров а, Р0, X, которые затем подставляются в отрицательную ло¬
гарифмическую функцию правдоподобия (15.14). После каждой
пробы определяется значение этой функции, а затем из большого
числа вычисленных значений выбирается минимальное. Отвечаю
щие ему значения параметров а, Ро, X используются в качестве
нулевого приближения. Описанный метод весьма прост, но требует
проведения большого числа проб. Так, приближенно можно найти,
что при требуемой точности определения оценок порядка 0,01, по¬
лагая, что датчик случайных чисел за 100 проб выдает все значе¬
ния интервала (0,1) со средним шагом 0,01, для нахождения оце¬
нок трех параметров потребуется провести около 10б проб. Однако
по опытным данным всегда можно найти более узкие интервалы
распределения возможных значений искомых параметров. В част¬
ности, для получения по выражениям (15.33) и (15.35) оценок
можно найти доверительные интервалы с высокой доверительной
вероятностью. Полагая, что истинные значения параметров не вы¬
ходят за доверительный интервал, можно сократить число проб,
необходимых для поиска нулевого приближения. Для этого реали¬
зации датчика случайных чисел, равномерно распределенных на
интервале (0,1), трансформируются в числа, равномерно распреде¬
ленные на доверительном интервале. При удачном выборе такихАЛ	Линтервалов искомые оценки а, Ро, X находятся методом Монте-
Карло.Необходимые для вычисления ковариационной матрицы значе¬
ния вторых частных производных отрицательной логарифмической
функции правдоподобия могут быть найдены с использованием
аппроксимирующих полиномов Стирлинга с центральными разно¬
стями, так как непосредственные аналитические выражения для
вторых производных функции (15.14) достаточно громоздки.В заключение следует отметить, что рассмотренные модели из¬
менения надежности, и в частности выражение (15.7), являются
не единственно возможными. Так, для изделий, в ходе испытаний
которых определяется наработка на отказ, целесообразно в каче¬454
стве исходов испытаний рассматривать значения наработки (или
относительной наработки). Такая выборка содержит больше ин¬
формации, чем выборка, в которой фиксируется только количество
и последовательность успехов или отказов.Можно также при построении модели перейти от линейного
оператора (15.6) к нелинейному, однако все эти уточнения и ус¬
ложнения модели приводят к весьма сложно реализуемым алго¬
ритмам определения оценок надежности и их дисперсий, а также
не позволяют получить конечное нерекуррентное выражение для
функции изменения надежности.§ 15.4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ
ИЗМЕНЕНИЯ НАДЕЖНОСТИРассмотренная в двух предыдущих параграфах модель изме¬
нения надежности изделия может быть использована для количе¬
ственного определения надежности агрегатов и систем ракеты, и в
частности РДТТ, по данным их стендовых испытаний. Кроме того,
эта же модель может быть применена для определения надежно¬
сти всей ракеты в ходе ее летных испытаний.Входными данными для решения задачи статистического оце¬
нивания функции изменения надежности изделия являются ре¬
зультаты испытаний, моменты внесения доработок и количество
вносимых изменений. Общий подход к классификации результатов
испытаний на успешные и неуспешные (отказы) был рассмотрен
в § 15.1, поэтому далее остановимся на особенностях сбора данных
о вносимых доработках и изменениях.Моменты внесения доработок, точнее, номера опытов, начиная
с которых испытывались изделия с теми или иными изменениями,
легко установить на основании документации. Сложнее обстоит
дело с определением величин &г-.В начале этой главы было показано, что только объединение
физических и статистических методов исследования позволяет
обеспечить высокую (требуемую) надежность ракет или их агре¬
гатов и систем. В рассмотренной модели изменения надежности
органически сочетаются эти два подхода к оценке надежности.
До сих пор подробно были рассмотрены статистические аспекты
количественного определения надежности по опытным данным,
накапливаемым в ходе испытаний, однако в этом процессе есть и
другая сторона — это установление возможных причин отказов по
данным испытаний и внесение соответствующих изменений в кон¬
струкцию изделия и технологию его изготовления. Именно в этой
работе заложен физический подход к обеспечению надежности
изделия. Статистически усилия специалистов по устранению при¬
чин отказов представлены частотой доработок (моментами /(/) и
количеством изменений k{ в них. Эффективность проводимых ме¬
роприятий статистически отражается в объективных результатах
испытаний (например, в уменьшении частоты отказов после вне¬
сения изменений).455
По данным телеметрических и внешнетраекторных измерений,
а также на основе изучения конструкции изделия после испытания
могут быть установлены возможные причины отказа или сделаны
замечания после успешно закончившегося опыта. Обычно при на¬
личии телеметрических измерений всегда удается установить ха
рактерное проявление отказа (например, нерасчетное увеличение
тяги РДТТ). Значительно труднее найти непосредственный источ¬
ник или причину отказа (например, отслоение бронировки заряда
твердого топлива). Иногда для выяснения истинных причин отка¬
зов или замечаний прибегают к специальным исследованиям, мо¬
делированию хода испытания на аналоговых или цифровых ЭВМ.Как уже указывалось в гл. 12, для РДТТ характерными причи¬
нами отказов, приводящими к неудачному пуску ракеты, яв¬
ляются:	,—	разрушение обечайки корпуса двигателя из-за нерасчетных
значений физико-механических и теплофизических характеристик
заряда;—	разрушения днищ и сопловых блоков двигателя из-за недо¬
статочной эрозионной и тепловой стойкости защитных покрытий;—	обрывы днищ и сопловых блоков из-за недостаточной проч¬
ности соединений;—	разрушение или разгерметизация подвижных соединений
в сопловых блоках и т. д.В системах управления ракетой отказы чаще всего возникают,—	из-за повышенных ошибок или поломки гироскопических
приборов и интеграторов;—	из-за несвоевременного срабатывания временных мехм
низмов;—	из-за прекращения или нарушения питания отдельных при¬
боров;—	из-за заклинивания подвижных элементов рулевых машин,
из-за нарушения работы реле, магнитных переключателейи т, д.Однако часть причин отказов не удается отнести к определен
ному элементу. Так, например, нерасчетные вибрационные режп
мы, которые приводят к отказам, характерны для ракеты в целом,
так как параметры колебаний определяются совокупностью харан
теристик: внешних нагрузок, двигателя, системы управления, кор¬
пуса. Часть отказов может быть вызвана неправильной настрой
кой и регулировкой тех или иных элементов, а также ошибки ми
персонала при подготовке испытания.Для проведения доработок необходимо знать непосредственный
причины отказов, чтобы выработать конкретные изменения. При
ведем пример.Установлено, что причиной разрыва РДТТ могло явиться от¬
слоение заряда. Принимается изменение — более жесткие треГш
вания выходного контроля на заводе — изготовителе заряда.Установлено, что возможной причиной отказа автомата стнПн
лизации ракеты является прогорание штепсельного разъема мс456
жду ступенями. Принято изменение — усиление теплозащиты
разъема.Подобные примеры можно было бы продолжить. Следует толь¬
ко заметить, что в начальные периоды стендовых испытаний РДТТ
и летных испытаний твердотопливных ракет большая часть дора¬
боток, повышающих надежность, связана с изменениями конструк¬
ции, а не технологии изготовления изделия.В качестве примера применения модели рассмотрим определе¬
ние оценки функции надежности РДТТ по данным его стендовых
испытаний.Пусть в ходе стендовой отработки гипотетического твердотоп¬
ливного двигателя было проведено 81 огневое испытание. Полу¬
ченные при этом исходные опытные данные могут быть представ¬
лены табл. 15.2, обозначения в которой соответствуют принятым
в выражении (15.12).Таблица 15.21012345678910111213141516171819п13152111431118618221731nil11311110002222000120ki01111111111111112112Предварительный анализ этих данных показывает, что дора¬
ботки проводились не через равное число испытаний. Сначала до¬
работки следовали сравнительно часто, но после первых 22 испы¬
таний стали появляться целые серии опытов без доработок. Из
табл. 15.2 видно, что доработки проводились как после отказов,
так и после успешных испытаний, в которых были замечены неко¬
торые недостатки в работе двигателя. Из 20 отказов, проявив¬
шихся в 81 испытании, девять приходятся на первые четырнадцать
испытаний, а остальные одиннадцать — на 67 испытаний, что сви¬
детельствует об увеличении надежности в процессе доработки из¬
делия.В соответствии с зависимостями (15.14), (15.17) и (15.32) на
ЭЦВМ были рассчитаны оценки параметров функции изменения
надежности и их ковариационная матрица. По формулам (15.24),(15.25), (15.29) и (15.30) были найдены: оценка функции, ее дис¬
персия и закон распределения в каждом сечении. В соответствии
с полученными данными был построен доверительный интервал
для искомой оценки функции изменения надежности. График
оценки функции на рис. 15.3 представлен сплошной линией, а дву¬
сторонний 95-процентный доверительный интервал — пунктирными
линиями. На рис. 15.3 показаны также плотности вероятности
fpn (PqJ распределения оценки в начальном и конечном сечениях457
процесса. Величины оценок параметров функции и ее конечное зна¬
чение представлены в табл. 15.3.Таблица 15.3ААаРоXРп0,0710,3680.9930,850Р0,80,60,4о,гО	го	40	SO	80> ■ ■ ‘III ■	U	I -t	i			I—I—U	L.	I —Рис. 15.3, Оценка функции надежности РДТТС увеличением объема выборки, используемой для определения
оценки функции надежности, увеличивается точность оценивании
(уменьшается дисперсия оценки), однако для фиксированной вы¬
борки величина дисперсии оценки функции, определяемая по фор¬
муле (15.30), не остается постоянной в каждом сечении процесса.
На рис. 15.4 представлен график изменения среднего квадратиче¬
ского отклонения о [Я*] оценки Р*, определенный в условиях
данного примера как функция номера доработки. В начальном се¬
чении дисперсия оценки Р* равна дисперсии оценки параме¬
тра Р0. Затем дисперсия уменьшается до минимального значения и
в конце процесса несколько возрастает. В каждом сечении диспер¬
сия оценки надежности рассчитывается с использованием всей
выборки, так как оценки параметров модели и их ковариацни
определяются одновременно по всем опытным данным. Поэтому
изменение точности оценивания надежности в произвольном сече
нии полностью определяется видом самой функции Pj, т. е. значе¬
ниями частных производных (15.29), входящих в выражение458
(15.30). Для выборки, содержащей результаты большого числа ис¬
пытаний, изменение среднего квадратического отклонения оценки
надежности будет иметь такой же характер, как и на рис. 15.4, но
весь график будет расположен ниже.G[Pn']дежностиЕсли не применять модель и тем самым не учитывать измене¬
ние надежности, то в качестве оценки можно использовать ча-Асто'сть успешных пусков (биномиальная оценка Рпб), определяе¬
мую по выражениюр _ 1	'IL(15.36)где т — число отказов в п испытаниях.Среднее квадратическое отклонение этой оценки может быть
найдено по формуле° га =	~Яя)« ]/Рпб(17Рпб), (15.37)Лгде Рп и Рпб—истинное значение и биномиальная оценка надеж¬
ности изделия.Многочисленные расчеты показали, что при использовании мо¬
дели (15.7) эффективность оценивания надежности существенно
выше. Так, оказалось, что среднее квадратическое отклонение
оценки Я; получаемой с использованием модели (15.7), хорошо
аппроксимируется выражением[р;\ » (0,7 -г- 0,9) ]/~А,0-Л) ((15.38)459
где Рп — фиксированная оценка функции в соответствующем (и
частности, в конечном) сечении процесса.Следует заметить, что биномиальная оценка отражает сред¬
нюю надежность процесса и, следовательно, занижает наиболее
важное конечное значение надежности, т. е.К<Рп.	(15.39)В связи с этим для случая, когда надежность выше 0,5, имеем|/ 1Ж=Ы >|/ЩШ_, (15.40)Таким образом, из выражений (15.37), (15.38) и (15.40) видно,
что дисперсия биномиальной оценки всегда больше, чем диспер¬
сия оценки, полученной с использованием модели (15.7), не только
из-за низкой эффективности оценивания по частости, но и за счет
смещения самой оценки.Поскольку уменьшение дисперсии оценки эквивалентно увели
чению объема выборки, то в соответствий с выражениями
(15.37) — (15.40) использование модели надежности эквивалентно
увеличению числа используемых испытаний более чем на 20—60и/о-
Высокая эффективность оценки надежности при применении мо¬
дели (15.7) объясняется учетом дополнительной информации, за¬
ключенной в достоверно известных моментах и количестве вноси¬
мых изменений, а также в аналитической форме функции надеж¬
ности. Естественно, что все сказанное об эффективности примене¬
ния моделей надежности относится только к тем случаям, когда
действительно имеет место процесс изменения надежности.Для рассматриваемого примера в табл. 15.4 приведены бино¬
миальная оценка надежности Рпб и ее среднее квадратическое от-Аклонение сг [Я]0], оценка Рп надежности в сечении п, полученная
с использованием модели (15.7), ее среднее квадратическое откло
нение а[Я*], а также среднее квадратическое отклонение а[Я^1Л|А	*биномиальной оценки с величиной Pni = Pn-Чтобы для биномиальной оценки Ря1б =0,85 получить среднее
квадратическое отклонение не 0,040, а 0,036, как при использова
нии модели (15.7), потребовалось бы не 81, а 99 испытаний, т. с.
на 22% больше.Таблица 15.4АрпЪ• ыАРп■К]а Ki6 ]АРп\0,7530,0480,8500,0360,0400,850460
Использование модели (15.7) позволяет не только оперативно
контролировать изменение надежности ракеты в ходе летных ис¬
пытаний, но и количественно характеризовать уровень опытной
отработки. Для этого могут быть использованы данные, получае¬
мые в процессе решения задачи статистического оценивания функ¬
ции надежности.Важнейшей характеристикой, определяющей качество обеспе¬
чения надежности ракеты при ее стендовой отработке, является
начальная надежность на этапе летных испытаний. Следовательно,Аоценка Р0, определяемая для ракеты по данным ее летной отра¬
ботки, является критерием, позволяющим судить о том, насколько
было подготовлено изделие к новому виду испытаний. Аналогично
оценка начальной надежности по данным стендовых испытаний
агрегата (например, РДТТ) характеризует качество его проекти¬
рования и производства первых опытных образцов.Однако для разработчиков и заказчика важно оценить и каче¬
ство мероприятий, проводимых с целью увеличения надежности на
данном этапе отработки. Для этого может быть использован пара¬
метр Э [см. выражение (15.10)]. Этот параметр определяет, на¬
сколько в среднем уменьшается величина ненадежности изделия
(точнее разность X— Р0) в ходе одного испытания. Следует заме¬
тить, что эффективность использования результатов одного испы¬
тания для повышения надежности, определяемая параметром Э,
существенно зависит от начального уровня надежности Ро. При
одинаковых значениях Р0 функция надежности растет тем быстрее,
чем больше величина Э. Однако для эквидистантных функций
параметр Э тем меньше, чем выше начальная надежность.Таким образом, величины Ро и Э могут использоваться как
критерии, характеризующие опытную отработку надежности ра¬
кеты или ее агрегата.Выражение (15.10), как уже говорилось выше, можно приме¬
нять только при прогнозировании процесса изменения надежности,
в том числе и для прогнозирования дальнейшего хода отработки
после проведенной серии испытаний. Для ориентировочных расче¬
тов изменения надежности РДТТ в ходе его стендовой отработки
можно принимать Яо = 0,Оч-0,4 и Э = 0,01 ч-0,08, а для летной от¬
работки твердотопливной ракеты соответственно Р0 = 0,4-ь0,6 и
3 = 0,02-4-0,08. В том и в другом случае в первом приближении
значение X можно считать близким к единице [58], [115], [149], [151].§ 15.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ РАКЕТЫ И ЕЕ АГРЕГАТОВ
ПО ДАННЫМ ЗАЧЕТНЫХ СТЕНДОВЫХ И ЛЕТНЫХ
ИСПЫТАНИЙПосле летных испытаний ракеты или стендовых испытаний ее
агрегата (системы), в ходе которых проводились доработки,
обычно следует серия зачетных испытаний. Во время таких испы¬401
таний не вносятся изменения и оцениваемый параметр, как пра¬
вило, остается неизменным. В этом случае для получения оценки
вероятности безотказной работы (надежности) изделия и ее за¬
кона распределения могут быть использованы классические ме¬
тоды математической статистики. Для решения такой задачи не¬
обходимо:—	выбрать статистический план [35] зачетных стендовых или
летных испытаний, который наилучшим образом отражает работу
изделия в полете и соответствует практическим возможностям
разработчика;—	определить вид закона распределения времени возникнове¬
ния отказов изделия (исходный закон надежности), связывающего
вероятность безотказной работы с теми же или иными параме¬
трами;—	найти выражения для наилучших в данном случае
оценок параметров этого закона при выбранном плане испы¬
таний;—	получить законы распределения оценок указанных параме¬
тров;—	найти оценку вероятности безотказной работы изделия и ее
закон распределения.Так, например, пусть для изделия выбран план (N = n, Б, Т) ',
заключающийся в испытании п изделий до фиксированного вре¬
мени Г без замены в ходе опыта. На основании теоретических или
экспериментальных данных установлено, что для этого изделия
характерен закон надежности ВейбуллаР(Т) = е~'*т\	(15.41)где Р{Т)—вероятность безотказной работы изделия в течение
времени Г;Х0, k— параметры закона надежности.Тогда необходимо найти наилучшие оценкиХо = Хо(^> ^2 > •■■■> *«) ’
k* => [t'v t'2	Г),где t\, t*2,, t*n—случайные моменты возникновения отказов в
испытаниях.В соответствии с видом выражений (15.41), (15.42), а также
планом испытаний должна быть найдена совместная плотность
вероятности оценокД (*;, **, *0, К п) =Д [К, Р, п),	(15.43)зависящая в общем от истинных значений Х0, k или Р и объема
выборки п. На основании плотности вероятности (15.43) и вида
функции (15.41) может быть найдена несмещенная состоятельная(15.42)Далее объем выборки будем обозначать символом п.462
эффективная оценка Р*(Т) и ее закон распределения с интеграль¬
ной функцией распределенияFP (Р) = Вер {Р* < Р) = j j Д (X; А*, Л и) dl'Qdk\ (15.44)(Q)где Q — определяемая функцией (15.41) область возможных зна¬
чений оценки Р*.Плотность вероятности оценки изделия на основании выраже¬
ния (15.44) определяется соотношениемfp{P*)=-^prL.	(15.45)Для ряда элементов ракеты, которые срабатывают практически
мгновенно (разрывные болты, отсечки РДТТ, системы разделения
и т. п.), наилучшей оценкой непосредственно вероятности безот¬
казной работы является частость успешных испытаний= 1 —~ ,	(15.46)где т* — случайное число отказов в п испытаниях.Эта оценка имеет биномиальный закон распределенияВер (Р* < Р) — Вер (т* т) == 1] „чу!,,-)!ро -р)“'• (15-47)т* —-inгде Р — истинное значение оцениваемой надежности;
т—фиксированное число отказов.Однако РДТТ, система управления, органы управления ракеты
должны работать в течение заданного времени. Для таких агрега¬
тов и систем целесообразно проводить испытания по плану (п, Б,
Т), который наиболее полно отражает условия их работы в по¬
лете. Заметим также, что при этом плане возникают особые за¬
труднения в получении выражений для статистических оценок и их
законов распределений. При плане (п, Б, Т) результаты испыта¬
ний содержат большее количество опытной информации (количе¬
ство отказов и моменты их возникновения tj), чем при биномиаль¬
ном, когда фиксируются только количество отказов. Наблюденные
значения tj позволяют более эффективно оценить вероятность без¬
отказной работы, но только в том случае, когда известен вид за¬
кона распределения моментов возникновения отказов (исходный
закон надежности). Как правило, ограниченное число испытаний
без доработок не позволяет построить гистограммы, характери¬
зующие этот закон. Практикой и теорией установлено, что чаще
всего РДТТ, органы управления и система управления ракеты
имеют экспоненциальный закон надежности или закон Вейбулла
[35], [43], [58], [72]. Поэтому по результатам испытаний без дорабо¬
ток можно, вообще говоря, получить биномиальную оценку веро¬463
ятности безотказной работы, а также найти оценки параметров
закона Вейбулла или экспоненциального закона и уже по ним по¬
лучить другие оценки вероятности безотказной работы за фикси¬
рованное время Т. Таким образом, результатам одних и тех же
испытаний будут соответствовать три случайные оценки:РЦТ) =Р'2(Т) = е-х'т-,	(15.48)Р*з (7) = e~X°T>	(15.49)Зная законы распределения этих оценок, можно сравнить их
эффективности. Наиболее эффективная из них должна быть при¬
нята в качестве основной для данного изделия. Заметим также,
что по эффективности оценки может быть установлен и вид того
исходного закона надежности, который лучше описывает реальный
процесс возникновения отказов.Таким образом, возникает следующая задача. Для изделий
с экспоненциальным законом надежности или законом Вейбулла, ис¬
пытываемых по плану (п, Б, Т), найти наилучшие оценки Р* (Т)
вероятности безотказной работы за время Т и их плотности веро¬
ятности fP(P*,P,n).Для случая, когда исходный закон надежности экспоненци¬
альный, при выбранном плане испытаний отрицательная логариф¬
мическая функция правдоподобия имеет вид [104]ТП—	In L — — m In X -f X 2 */ + х (я — пг)Т. (15,50)/-1АЗначение параметра X, обращающее функцию (15.50) в минимум,
является оценкой максимального правдоподобия:Х = -		,	(15.51)m2+ тгде от — наблюденное число отказов в п испытаниях.В работе [128] показано, что случайная величина z* —
имеет плотность вероятности/«(*)= г (/я*) ехР(—гХ).	О5-52)где X— истинное значение оцениваемого параметра;Т(т*)— гамма-функция от от*.На основании теоремы о законе распределения монотонной
функции случайного аргумента с заданной плотностью вероятцо-464
сти [73] и в соответствии с выражением (15.52) после преобразо¬
ваний можно получить плотность вероятности оценки X*U (х*.т•) = (л^)т wWexP ( т*~) ■ (15-53)Как и следовало ожидать, закон распределения оценки зависит
от истинного значения, а также от числа отказов, что является не¬
сколько нетрадиционным. Для нормированной величины У — j*плотность вероятности в соответствии с упомянутой теоремой и
выражением (15.53) имеет вид (рис. 15.5)fy(yl>n) = У"*"1 ехр (— т*у).	(15.54)Рис. 15.5. Плотность вероятности оценки
параметра экспоненциального закона при
плане (п, Б, Т)Для сравнения на рис. 15.5 пунктирной линией показана плот¬
ность нормального распределения.Для проверки возможного смещения оценки максимального
правдоподобия (15.51) воспользуемся плотностью вероятности
(15.53). Найдем математическое ожидание случайной величины X*
00 00ЛГ[Х*] = |х*/л(Х*, X, да*)Л.=р-1_ j (^)m*exp
Введя новую переменнуюm*\х~ \* 'после преобразований можно получитьм Iх*] =	'	(15.55)Таким образом, оценка максимального правдоподобия (15.51)
является смещенной, причем это смещение существенно при ма¬465
лом числе отказов (высокой надежности и малом числе испыта¬
ний). При т* = \ математическое ожидание оценки равно беско¬
нечности. Подобный результат, но для других планов испытаний,Аполучен в работе [35]. Несмещенная оценка Хо параметра экспо¬
ненциального закона при плане (п, Б, Т) на основании выражения
(15.55) имеет вид*.=-———■Хч I М	О5-56)j-iСмещение оценки имеет смысл учитывать лишь при m> 1, апри т=1 целесообразно пользоваться формулой (15.51). При от
сутствии отказов нет информации о моментах времени tj и в этом
случае можно оценить непосредственно вероятность безотказной
работы по частости.Далее можно получить выражение для плотности вероятности
искомой оценки Р'2 вероятности безотказной работы. На основа
нии уже использовавшейся выше теоремы в соответствии с видом
функции (15.48) и плотности вероятности оценки X* (15.53) после
преобразований можно записать* (р»* т'У- r<„W(--p;) ("Sf)"“? (-vf) • (l5-57>Эта плотность вероятности также зависит от истинного значе
ния Р и числа отказов т*. На рис. 15.6 представлены характерные
графики плотности вероятности оценки надежности Р'2 при экспо¬
ненциальном исходном законе и плане испытаний (п, Б, Т). Как и
следовало ожидать, полученные законы несимметричны (рис. 15.Г)
и 15.6), особенно при малом числе отказов (высокая надежное п.
и малый объем выборки). Существенное искажение формы закон;:
по сравнению с обычными представлениями о нем вносит и при¬
нятый план испытаний.Выражение (15.57) является исчерпывающей характеристикой
оценки надежности Р'2. Для предварительных расчетов можно,
пренебрегая смещением, найти оценку надежности в видеР2{Т)^еЛг,	(15.58)л	лгде X определяется зависимостями (15.51) при т = \ или (15.50)Апри т> 1.Линеаризуя функцию (15.48), можно найти и приближен мор
значение дисперсии оценки Р2*. -466
Для определения дисперсии оценки X* используем выражение
функции правдоподобия (15.50). В соответствии с рассмотренным
в § 15.3 приемом [см. зависимость (15.32)] можно записатьо	1**1-[-^(Х)]-.	(15.00)Рис. 15.6. Плотность вероятности оценки надеж¬
ности при экспоненциальном законе и плане
(п, Б, Т)Дважды дифференцируя выражение (15.50), после очевидных
преобразований получимЯ[Х*]«-?-.	(15.61)mВ соответствии с зависимостями (15.61) и (15.59) среднее ква¬
дратическое отклонение оценки надежности имеет вид’Ю-ЦЯг-	(15.62)У mДля двухпараметрического закона Вейбулла (15.49) можно
получить аналогичные результаты. Однако из-за громоздкости
преобразований и конечных выражений эти данные здесь не при¬
водятся.467
В практике испытаний агрегатов и систем ракеты как при ctcil
довой, так и летной отработке в распоряжении экспериментатора
часто оказывается дополнительная опытная информация по так
называемым неполным испытаниям. Поясним это на примере.Пусть при стендовых испытаниях РДТТ одновременно с отка
зами самого двигателя фиксируются отказы органов управления,
Если испытания заканчиваются отказом двигателя в момент Л, то
для органов управления известно, что они работали безотказно до
этого времени. Однако такое испытание для ррганов управления
в рамках плана (п, Б, Т) не может рассматриваться как успех,
так как неизвестно поведение агрегата в интервале времени (tu Т),
Подобная картина характерна и для оценивания надежности си
стемы управления ракеты при отказах двигателей в полете.Таким образом, возникает задача учета при оценивании ни
дежности дополнительной информации о безотказной работе эле
мента до произвольного момента ti<T. Строгое решение при про
извольном исходном законе надежности приводит к громоздким
результатам, которые трудно использовать в практике. Однако
для случая, когда объект имеет экспоненциальный закон возникно¬
вения отказов и испытывается по плану (п, Б, Т), можно полу¬
чить удовлетворяющее практиков решение. В рамки такой поста
новки укладывается большинство задач, возникающих при стен
довой и летной отработке ракеты.Всю полученную в ходе испытаний информацию можно разде
лить на две составляющие:—	от отказов в фиксированные моменты tj<T при п испыта¬
ниях;—	безотказная работа до моментов ti<T в П\ испытаниях.Будем рассматривать результаты каждого из п, испытаний какуспешную работу до момента Т, но с некоторым весовым коэффп
циентом шг, меньшим единицы. В качестве такого весового коэффи¬
циента целесообразно принять отношение вероятности отказа ап
время ti к вероятности отказа за время ТИдея введения таких весовых коэффициентов использована и
работе [58], однако полученные в ней решения относятся лини,
к биномиальному плану оценивания.С учетом выражения (15.63) общее количество успешных йены
таний составит эквивалентную величину«1п+ —от = яэ —от.	(15.G-1)1-1При таком подходе могут быть использованы полученные выше
зависимости применительно к плану (я, Б, Т), однако задача еще
не решена, так как неясно, каким образом определить весовые
коэффициенты ш* и, следовательно, величину пэ. Поскольку закон468
надежности испытываемого объекта известен, то в соответствии
с выражениями (15.48) и (15.63) можно записать1 — e~ltl(15,65)откуда на основании зависимости (15.64) имеемпэ==п+ j	•	(15.66)В соответствии с условиями задачи для оценивания может
быть использована функция правдоподобия (15.50) при замене
величины п на пэ, определяемую выражением (15.66):— In Z, = — т In X + Х_^^ tj + \ п 4	;—_>7,	т )\Т. (15.67)у-i	4	1~е	'Оценка максимального правдоподобия параметра X является
решением уравнения правдоподобияд In L 	qдХОтбрасывая член1Т Ж V— ['-«■ !•	05.68)■ еП1-Л/;екоторый при р = е а7,^0,8 не оказывает влияния даже на ве-/\личину третьей значащей цифры оценки X, получим следующее
уравнение правдоподобия:/V { “■-2'~Т + j^‘, + T\n-m+	t 1=0. (15.69)j—1 ^ еЭто уравнение является трансцендентным, однако можно заме¬
тить, что последний член в скобке значительно меньше величи¬
ны п — т. Исходя из этого, решение уравнения (15.69) может
быть получено методом последовательных приближений по сле¬
дующей рекуррентной зависимости:V(15.70)где Xs — s-oe приближение решения уравнения.469
В качестве нулевого приближения естественно взять Х = 0, что
соответствует исключению из выборки результатов ti\ неполных
испытаний, при этом выражение (15.70) полностью совпадает с
формулой (15.51). Расчеты показывают, что для определенияАоценки X достаточно проделать только два приближения.Рассмотрим пример решения такой задачи. Пусть проведено
30 испытаний до времени Г=40 сек, пять из которых закончились
отказом. Суммарная наработка до отказа в этих испытанияхАт2*7 = 80 сек. Кроме того, в трех испытаниях (ni = 3), которые
j-iдлились соответственно 24, 13 и 37 сек, отказы не были зафикси¬
рованы.На основании зависимости (15.70) получим первое прибли¬
жение^ = 80 + 40 (30 — 5)55 °>00462-
Второе приближение^ = 80 + 40 (30 — 5 + 1,89) * °>00432-
Третье приближение= 80 + 40(30 — 5 + 1,90) Ж °>00432-
Таким образом, учет только трех неполных испытаний увели¬
чил оценку надежности с 0,831 (X = 0,00462) до 0,841 (Х = 0,00432).§ 15.6. ОБЪЕДИНЕНИЕ ОПЫТНОЙ ИНФОРМАЦИИ, ПОЛУЧЕННОЙ
ПО ДАННЫМ ЗАЧЕТНЫХ ИСПЫТАНИЙ И ИСПЫТАНИЙ
С ДОРАБОТКАМИПосле проведения зачетных испытаний возникает задача оба,
единения накопленной информации о надежности изделия. В со¬
ответствии с зависимостями, рассмотренными в § 15.3, после про¬
ведения испытаний с доработками определяются: величина /’„
оценки надежности Р*, ее дисперсия D [Я*] и плотность вероят
ности fPn (/>;).Поскольку при переходе к зачетным испытаниям не изменяется
уровень моделирования реальных условий работы ракеты в полете
(все обрабатываемые испытания или летные или стендовые), и
также не проводится доработок (не изменяется надежность), mАвеличины Pn, D [Я*] , плотность вероятности/^ (Я*) и число откаАзов та в п3 зачетных испытаниях составляют информацию об одной
и той же генеральной совокупности с генеральной характеристикой
Р = Рп. Поэтому результаты зачетных испытаний и испытаний с до¬
работками можно рассматривать как две независимые выборки m470
одной и той же генеральной совокупности. Для одной выборки (за¬
четные испытания) известны результаты наблюдений (успех, от-Аказ), величина биномиальной оценки Р3 (15.46), дисперсия этой
оценки D [Я*] - (15.37) и интегральный закон распределения оцен¬
ки (15.47), а для другой — оценка Рп, дисперсия оценки ZD I/J*|
и вид плотности вероятности оценки /р(; (Я‘), по неизвестны на¬
блюдения, соответствующие неизменным условиям испытаний, и
их число.Для объединения этой опытной информации можно предло¬
жить различные приемы. Рассмотрим некоторые из них.Если бы можно было пренебречь изменением генеральной ха¬
рактеристики Р в ходе проведения доработок, то результаты всех
испытаний представляли бы одну однородную выборку, по которойЛ. можно найти биномиальную оценку Р надежности изделия, дис¬
персию такой оценки D [Я*] и интегральный закон распределе¬
ния. Однако пренебречь изменением оцениваемого параметра не¬
возможно. Для того чтобы учесть этот факт, выборку по испыта¬
ниям с доработками, описываемую параметрами Рп, DyP'n\ и
плотностью вероятности f?n (Я‘)> можно заменить эквивалент¬
ной выборкой, полученной при условии Рп = const.Таким статистическим эквивалентом может служить выборкаЛобъемом пэ, в которой наблюдалось тэ отказов. Для полученияАэквивалентной выборки с величиной оценки Яэ и дисперсией
оценки D [Я^] наложим следующие условия:Я га = D [р;] •	(15J1)При этом выборка, полученная по п наблюдениям при изме¬
няющемся оцениваемом параметре Р, характеризуемая параме-Атрами Я„, D [Я’] и усеченным нормальным законом распределе¬
ния (15.25), заменяется выборкой независимых наблюдений при-	неизменном оцениваемом параметре с той же величиной оценки,
той же дисперсией, но с биномиальным законом распределения
оценки.На основании условия (15.71) можно найти число эквивалент-Лных испытаний пэ и число отказов в них тэ, которые определяют
новую выборку. В соответствии с выражениями (15.46), (15.37) и(15.71)	можно записать:л*	Cl	„я„ = я„ = 1 —£;э	пэ471
откуда(15.72)тэ^пэ{\ -Рп).Искомые объединённая оценка Р, ее дисперсия D[P*] и закон
распределения оценки могут быть представлены в видеЛ	А	Л(15.73)Вер (Р* < Р) = Вер /те* ;>/«) =(15.74)*т^=>тПри тех объемах выборок, которые накапливаются в ходе стен¬
довых или летных испытаний, нормальный (или усеченный нор¬
мальный) закон достаточно близок к биномиальному при выполне¬
нии условия (15.71). В данном случае речь идет о замене усечем
ного нормального распределения биномиальным. Рассмотренным
прием объединения информации, по-видимому, целесообразно ис¬
пользовать для предварительных расчетов. Вольное оперирование
с законами распределения может сказаться на величине довери¬
тельного интервала или точности проведения проверки статисти¬
ческих гипотез.В примере, рассмотренном в § 15.4, по данным 81 испытания
с доработками, в ходе которых было 20 отказов, при использова¬
нии модели (15.7) была получена оценка надежности Рп = 0,850
со средним квадратическим отклонением о Г/3*! =0,036. В этих
условиях в соответствии с выражениями (15.72) полученную ин¬
формацию можно заменить эквивалентной выборкой объемом
пэ «99, в которой содержится «15 отказов. Как и следовало
ожидать, использование модели изменения надежности для испы¬
таний с доработками повышает эффективность оценивания. Ис¬
ходная выборка, полученная по 81 испытанию, эквивалентна ужо
99 испытаниям в неизменных условиях. Аналогичные результаты
получаются практически всегда при использовании модели надеж¬
ности (15.7).Для получения объединенной оценки надежности ракеты и се
закона распределения по результатам зачетных испытаний и ис¬
пытаний с доработками можно использовать также теорему Байеса.
В этом случае целесообразно рассматривать статистические дан-47?
ные о надежности, полученные после п испытаний с доработками,
как априорную информацию. Однако по поводу возможности ее
применения для объединения опытной информации имеется целый
ряд противоречивых мнений [49], [54], [92]. Строго говоря, приме¬
нение теоремы Байеса возможно лишь в том случае, если оцени¬
ваемая величина является случайной, причем априорное распре¬
деление должно являться частным распределением самого случай¬
ного параметра в совместном распределении параметра и его
оценки.Случайный или детерминированный характер оцениваемого па¬
раметра определяется физическими особенностями той генераль¬
ной совокупности, которую он представляет. Как правило, когда
речь идет о надежности ракеты, генеральная характеристика яв¬
ляется постоянной и параметр Р может трактоваться как частость
успешных пусков всех ракет, составляющих генеральную совокуп¬
ность (например, всёх РК с ракетами данного типа). Если же Р —
величина постоянная, то вероятность ее пребывания на любом не¬
случайном интервале (Pi, Pi + dP) равна единице, если P=(Pit
Pi + dP), или нулю, если это условие не выполняется.В нашем случае известно распределение оценки Р'п постоян¬
ного параметра Р, полученной по данным п испытаний с доработ¬
ками. Это распределение определяется плотностью вероятности(15.25)г^=уШЩе ^ (15J5)В соответствии с процедурой определения доверительного ин¬
тервала на основании плотности (15.75) можно найти вероят¬
ность, с которой случайная оценка Р'п попадает на неслучайный
интервал (Ри Pi+dP):Вер (Я,<Я;<Р, + ^),	(15.76)или вероятность покрытия истинного значения Р случайным интер¬
валом [РЦР'п, Pi), Р](Р*п, Pi)-\-dP}, зависящим от оцен¬
ки Р'п:Вер [Я; [Р'п , Pi)<P<P;(P'n, Pi) + dP) . (15.77)Получим выражение для вероятности (15.76)Pi+dPВер {Pl<P'n<Pt + dP)= j fPn (Р'п) dP'n . (15.78)piИспользуя предельный переход при dP'n — dP, на основании
зависимостей (15.75) и (15.78) можно записать(Pi-PY 1Вер {Р, <,P'„<Pi + dP) = В ■ ехрdP. (15.79)473
Можно показать, что выражения (15.76) и (15.77) эквивалент¬
ны, так как при любом фиксированном значении оцениваемого
параметра Р каждое из этих соотношений одновременно удовле¬
творяется для произвольной выборки объемом п в пространстве
выборок. Следовательно, можно записатьВеР [pi [р'п > Pt)<P<P;(P'a, Pi] + dP] =(Pi - P)V 2nD [P*Вexp2D [P'n\dP.	(15.80)При получении конкретного значения Рп оценки Р* по вы¬
борке объемом п выражение (15.80) принимает видВер [/> (Рп, Р1)<Р<Р1 (Рп, />) +dP\ =(Pt-Pn)'вexpV**D[P'n\2D [Р'п\dP — fPn (Pi) dP. (15.81)Отсюда следует, что та априорная информация (15.81), кото
рая имеется в нашем распоряжении, строго говоря, характеризует
не вероятность нахождения истинного значения Р на неслучайном
интервале (Pi, Pi+dP), а вероятность покрытия истинного значеАния Р случайным интервалом, зависящим от оценки Р„. Таким
образом, выше показано, что сомнения, высказываемые, например,
в работе [54], небезосновательны и для нашего случая. Однако
практика показывает, что при использовании выражения (15.81)
в качестве априорного распределения получаются результаты, не
противоречащие здравому смыслу. Заметим также, что подобные
проблемы возникают всякий раз в хорошо известных урновых за¬
дачах. Приведем пример.Пусть в урне имеется фиксированное число шаров двух цветов
О количестве шаров того или иного цвета делаются предположе¬
ния (выдвигаются гипотезы), которые играют роль априорной
информации, а затем производится опыт (вынимается шар). Одна
ко реально в урне имеется строго определенное количество шарон
того и другого цвета. Поэтому можно считать, что одно предполо
жение достоверно, а .другие невозможны, однако этот очевидный
факт не заставляет нас отказаться от использования теоремы
Байеса для определения апостериорной вероятности гипотез. Ана¬
логично можно рассматривать плотность вероятности (15.81) как
характеристику гипотез об истинном положении оцениваемой на
дежности Р, в то время как реально Р находится на выбранном
интервале с вероятностью 1 или 0.Пусть в результате п3 зачетных испытаний, проведенных пос¬
ле п испытаний с доработками, получена биномиальная оценка А,
Тогда вероятность получения этой оценки при истинном значении474
оцениваемого параметра Pt на основании зависимости (15.47)
определяется выражениемВер (Д/Л) = А у Пз-! ,-Г Л"3-"'5 (1-ЛГ—,я (Д/Л)- (15.82)/я3! (л3 — /я3/!На основании теоремы Байеса апостериорная вероятность
того, что истинное значение Р попадает на интервал (Pi, Pi + dP)после получения оценки Ра, может быть в соответствии с выраже¬
ниями (15.81) и (15.82) найдена по следующей формуле:Л* А fP (Pi) dPPn. т (Рэ/Pl)Вер (Л < Р< Л + dP/Pn, Р3) = 	. (15.83)/Р СP)Pn,m(P3IP)dPО	"В соответствии с зависимостью (15.83) апостериорная плот¬
ность вероятности принимает вида л /р (Р) Р/t, т {Рз/Pi)/(Р/Рп> Р,) = т^	• (15.84)|/pn (Р) Рп, т {рз/р) dP
На рис. 15.7 приведен характерный график апостериорнойЛ	Аплотности f(P/Pn, Ра), вычисленной по формуле (15.84) при сле¬
дующих условиях: Рп = 0,850; о \Рг\ — 0,050; пь — 20; та=2. Из ри¬
сунка видно, что апостериорная плотность вероятности хорошоЛ	Аучитывает как положение оценок Рп и Ра, так и объем выборок,
pnjfyp) fp„(p>	.	ЦР/РпЛ)Рис. 15,7. Объединение опытной информации о надежности по теоремеБайеса475
по которым они получены. Интеграл, входящий в выражение
(15.84), к сожалению, не берется, однако, используя таблицы нор¬
мального и биномиального распределений [19], нетрудно найти
апостериорную плотность вероятности даже графическими по¬
строениями. При использовании ЭЦВМ подобная задача стано¬
вится элементарной.Л	л	fНаличие распределения f(P/Pn, Р3) позволяет вычислить по-Акомую апостериорную оценку надежности Р. Обычно в качестве
такой оценки используют абсциссу, отвечающую максимуму апо¬
стериорной плотности вероятности, однако при существенной не¬
симметричности этого распределения целесообразно в качестве
апостериорной оценки использовать математическое ожидание1P=[pf(PIP„,Pa)dP	(15.85)0с дисперсией1D[P*} f P2f(P/Pn, P3)dP — P\	(15.80)оРешение задачи объединения опытной информации о надежно¬
сти изделия, полученной в ходе зачетных испытаний и испытании
с доработками, может быть найдено и в рамках разработанной и
этой главе модели. Еще раз вернемся к предложенной модели и i
менения надежности (выражение 15.7). В соответствии с выраже¬
ниями (15.1) и (15.2) модель предполагает, что после последней
v-ой доработки может быть произвольное число испытаний, в ко¬
торых не вводятся изменения в конструкцию и технологию. Одна¬
ко при статистическом оценивании надежности по этой модели
предполагается некоторая стабильность процесса внесения дора
боток. Если же после окончания доработок проводится большое
число испытаний, в ходе которых не вносятся изменения, то это
может исказить получаемую оценку реализации процесса. Возни¬
кает вопрос об объеме зачетных испытаний (без доработок), кото¬
рые могут быть включены в общую выборку.Поскольку число испытаний п{ между соседними доработками
является случайной величиной, то можно обычными приемами
найти оценку среднего значения и дисперсию(15.87)2 (■<-*)■V	}	•	(15.88)Закон распределения случайной величины nt асимметричен,
так как по логике tii ^ 1. Например, для условий стендовой отра¬
ботки крупных РДТТ вероятности ЯСр(«г) наблюдения случайных476
| дискретных значений n,-= 1, 2, 3, ... определяются следующим за-
i коном:Вер («;) = 0,55ехр [—0,85 (л7 — 1)].	(15.89)С учетом асимметричности закона распределения, как показы-I	пают практические расчеты, можно считать предельно возможным
: (максимальным) значением числа испытаний между соседними
| доработками величинуI	(«,) та, = -^ + ЗаК].	(15.90)Для этапов стендовых испытаний РДТТ и летных испытаний
твердотопливных ракет (п»)тах колеблется в пределах от 5 до 15.
Естественно, что при выполнении условия(п,)3 ^ v I' maxможно включить результаты п3 зачетных испытаний в выборку для
определения общей оценки реализации функции надежности из¬
делия. В этом случае результаты зачетных испытаний позволяютопределить последнюю ступеньку длиной tt3 = пv ломаной Рп
(рис. 15.2).^Таким образом, в том случае, когда число зачетных испыта¬
ний после последней доработки не превышает величины (яг)тах,Аможно способами, описанными в § 15.3, получить оценку Р функ¬
ции надежности изделия по данным всех испытаний с законом рас¬
пределения, характеризуемым плотностью вероятности (15.25).
Если же число зачетных испытаний, проведенных без доработок,
велико, то по формулам (15.84) — (15.86) могут быть найдены:лапостериорная плотность вероятности, байесовская оценка Р и ее
дисперсия, которые достаточно полно представляют опытную ин¬
формацию, полученную в процессе отработки изделия.§ 15.7. ОПТИМИЗАЦИЯ ОБЪЕМОВ ИСПЫТАНИЙ ПРИ СТЕНДОВОЙ
И ЛЕТНОЙ ОТРАБОТКЕ РАКЕТЫПродолжительность стендовой и летной отработки ракеты за¬
висит от целого ряда факторов, определяющим среди которых яв¬
ляется обеспечение высокой надежности за счет проведения дора¬
боток конструкции и технологии при ограничениях накладывае¬
мых на сроки создания новой ракетной системы.Рост надежности ракеты при ее опытной отработке приводит
к увеличению вероятности выполнения боевой задачи одним Р1<
или к уменьшению требуемого числа комплексов для поражения
заданного числа типовых целей. При этом возникает задача опти¬
мизации числа стендовых и летных испытаний по критерию мини¬
мума затрат на проведение опытной отработки, производство, вве¬
дение в строй и эксплуатацию ракетной системы при заданном
Объеме боевых задач и ограничениях на время ее создания. Такая477
задача может быть решена в процессе проведения испытании,
когда определяется реальный ход отработки изделия, который ино¬
гда значительно отличается от прогнозов. В этом случае опреде¬
ление оптимальных объемов стендовых и в особенности летпы\
испытаний позволяет существенно уточнить и целесообразнее пере¬
распределить еще в основном неиспользованные средства. При
решении задачи наряду с результатами испытаний входными дан
ными являются параметры Р3, /?ц, Рж, Кг, РПро’ Р*> (пли
МСр, г), входящие в выражения (1.3) и (1.7) для критериев эффек¬
тивности РК. Эти величины не могут быть непосредственно опре¬
делены в ходе стендовых и летных испытаний, поэтому сформули
рованная задача не является частной.В соответствии с моделью (15.7) можно получить функцию /’и
изменения надежности ракеты в ходе /л летных испытанийP.nj = РЛ1 {ПЛ) ул),Л](15.91)гдеП.“л
РлОX.—	вектор параметров, входящих в модель изме.нения надежности.Аналогично на стадии стендовых испытаний для s-ro элемент
структурной схемы надежности ракетыPsj = Psj	(1W')гдеП,=4'0—	вектор параметров, характеризующих моде iЛизменения надежности s-ro элемента при ею
стендовых испытаниях;■ номер стендового испытания s-ro элемента.
При известном виде функции, связывающей надежности »и-
ментов PSj с надежностью ракеты Рс, определяемой по данным п\
стендовых испытаний, можно записать(15.93)Pc = PA\\Psjl Или,где [|PSj||—вектор (надежности элементов, входящих в структур¬
ную схему надежности ракеты;H/j||—вектор числа испытаний элементов ракеты, проведен*
ных до фиксированного момента стендовой отра¬
ботки.В общем случае параметры функции надежности ракеты при
летных испытаниях зависят от стендовой отработанности отдель¬
ных элементов, т, е.Пл = Пя[РЛ\Р'А, II/J)].	(15.94)478
На основании выражения (15.94) функция (15.91) принимаетвидРл] = Рч{ПЛРЛ\Р,]111л11)],Ул}.	(15.95)В соответствии с зависимостью (1.7) количество пусковых
установок Na}, необходимое для поражения г целей, зависит от
надежности ракеты, достигнутой к моменту окончания /л летных
испытаний, а также от характеристики рассеивания точек паде¬
ния о^, определяемой по данным летных испытаний, т. е.МЛ] = ЫЛ1{{РЛ]{ПЛ [/>С(||Я,Д ИЛИ), у;]}, с*}}. (15.96)Это выражение связывает число стендовых испытаний каждого
элемента и число летных испытаний ракеты с необходимым коли¬
чеством комплексов, которые должны быть введены в строй с па¬
раметрами Pnj и oj, достигнутыми в ходе летной отработки.При использовании модели (выражение 15.7) можно достаточ¬
но строго учесть затраты на производство и испытания определен¬
ного количества изделий, после доработки которых повышается
надежность. Следовательно, могут быть получены зависимости ме¬
жду объемом испытаний и затратами на их проведение. Для этого
нужно использовать выражения типа (1.13). и (1.14), которые в
общем виде представим следующим образом:С„ = Сли(Л);	(15.97)Сс„ = Сси(Ш|),	(15.98)где Сли— затраты на проведение /л летных испытаний;ССи — затраты на проведение стендовых испытаний k эле¬
ментов ракеты, соответствующие вектору ||/Д
Аналогично количество комплексов Naj, которое необходимо для
.выполнения совокупности боевых задач, определяет суммарные
затраты Ст на их производство, постановку на боевое дежур¬
ство и эксплуатацию в течение определенного срока, т. е.Ст = Ст(Мл]).	(15.99)В соответствии с выражением (15.96) целевая функция, опре¬
деляющая затраты на стендовые и летные испытания, а также на
производство и эксплуатацию ракетной системы принимает видQ (НУ; Ц, Л) = Сси (ПУЛ) + Сли (/,) ++ Ст {{(N4 {{ рч {ПЛ[РС (I! PSJ И, !|лII)], Л), о»}}}}}. (15.100)Для выражения ее составляющих (15.97) — (15.99) можно
использовать зависимости (1.13) и (1.14). ГТри практических рас¬
четах целесообразно заменять сумму приближенным соотноше¬
нием типасли = с1л^ j-a » Си V»+ 0.5)'-'’-0.5'-° (15 Ю1)I	;'л“‘! Затраты Ст на производство и эксплуатацию Ыщ ракетных
комплексов можно принять в виде (1.9) — (1.11). Для того чтобы479
уменьшить ошибки, связанные е неточностью прогнозирования аб¬
солютных величин, входящих в выражения (1.9) — (1.14), можно
рассматривать все затраты в единицах стоимости изготовления
первого комплекса (Сш).Решение поставленной выше задачи заключается в отыскании
таких значений вектора ||ys|| и параметра /л, которые обращают
функцию (15.100) в минимум, если, конечно, таковой имеется,
Поскольку отыскание экстремума должно проводиться при рядо
ограничений, а функция (15.100) нелинейна, то задача может быть
решена методами нелинейного программирования.Целевая функция (15.100) является детерминированной. Од¬
нако по результатам испытаний могут быть найдены лишь оценкиI ЯРл/, большими или меньшими, чем полученные точечные оцеп-
Величина этого риска зависит как от объемов испы-sj ||, ^ Л;. и о‘л.. Точность их определения зависит от объемом
выборок, т. е. от параметров ||у^|| и /л. Следовательно, задача
является не только нелинейной, но и стохастической.Неточность сведений об истинных значениях оцениваемых па¬
раметров приводит к дополнительным затратам (или риску), ко¬
торые являются платой за возможность принять РК с истинными
э - -
п)ки Рл], =%.таний, так и от принятого метода статистического оценивания,
Таким образом, величина ряска может быть представлена допол¬
нительным членом Сн (||/Д ул, s), в котором принятый метод оце¬
нивания обозначен символом s. С учетом этого стохастическая
целевая функция имеет видС (Ш1, Ул, S) = Со (Пли, уЛ) + tH (||у;«, ул, S) = Сси (|л1!) ++ +	(ltd'll, «Л»), 4- >.}}}}} ++ СН(Щ, /д> s).	(15.102)Для решения стохастической задачи предварительно необхо¬
димо найти законы распределения оценок критериев эффективно¬
сти РК по данным летных испытаний.При фиксированных значениях, не определяемых в ходе испы¬
таний параметров R3, Rn и Ni или Мор, г, а также Q = PxKtPnP0l\
после проведения /л летных испытаний оценки	и N*териев эффективности РК [см. выражения (1.3) и
известными нелинейными функциями случайных величин Я*, иЛ] “ " ’ л; КР"-(1.7)] являютсяnjyа именно:№л;1-\l-QPл;ехрК + °’5К.N,Nг In (1 — мср)njInл;1 — exp |К&* + 0,5Д2Ц,(15.103)(15.104)480
В ходе летных испытаний е основном изменяется (повышается)
надежность системы управления ракеты, а ее точность практиче¬
ски остается постоянной (заданной). Поэтому оценка дисперсии
нормального распределения отклонения точки падения а*', имеет
Х2-распределение [54].Поскольку причины, вызывающие отказы ракеты, практически
не зависят от случайных причин, вызывающих рассеивание точки
падения, то можно было бы считать оценки Р'л) и а" независи¬
мыми, однако отказ ракеты приводит к уменьшению числа испы¬
таний, по которым может быть оценено рассеивание. Для учета
этой принципиальной связи можно считать, что число испытаний,
по которым определяется оценка является случайной или на¬
блюденной величинойА-к	(15.105)лгде т — зафиксированное число отказов ракеты при /л летных ис¬
пытаниях.В соответствии с этими соображениями при использовании
закона распределения оценки в форме (15.25) можно найти
аналитическое выражение для плотности вероятности fw„(W’n^
оценки W'nj, получаемой по данным /л летных испытаний с дора¬
ботками. Для решения такой задачи нужно использовать теоремуо	законе распределения нелинейной функции от двух случайных
аргументов [73]. После ряда преобразований искомая плотность
вероятности может быть представлена в видеВ [аСкУX«?г(л) У2nD [Р;у] М, (1 -W\j)AjvJ ХР’-'ехр.</)*-■ expгде— In20 К;] (У
■аМу ~d)]dP:jtГI '(15.106)k =1-(!-<;)■
QpljУл — т—\22а2 >d~R*-d~wVD [Р*;] —дисперсия оценки
16-573ph-481
На рис. 15.8 в качестве примера показан вид плотности вероят
пости оценки W* , рассчитанной при следующих условиях: /л — 31;т—12; Ni=2; ]/D [Р;;] = 0,03; ах = 2,3; я! = 0; 0 = 1;	о,9.Из графика видно, что даже при сравнительно большом числе лет¬
ных испытаний (/л = 31) распределение асимметрично.Рис. 15.8. Плотность вероятности оценки W^Если в ходе летных испытаний доработки не проводятся (за-
четные испытания), то несмещенная состоятельная эффективная
оценка Я*3 может быть определена как частость успешных пу¬
сков с биномиальным законом распределения. После преодолении
некоторых трудностей, связанных с тем, что оценка Я*3 дискрет
на, а о'л\ непрерывна, можно получить для этого случая также
аналитическое выражение для плотности вероятности fwM(WлЛ
оценки W*3 критерия эффективности РК в виде—«а 2 (»'».<). <15-|07>
М1-<з) т*~°гдея3! (aik*fPnfm3 (\-Рлз)т*А{<) =	 / 	в (- К) = у\ (Ух - df~x ехР [- а'к* (yi ~ d)l •1 -1 _ (1 _ W* )— In1 \ л?// * \«(•-*) .482
k*n3 — m.тз — случайное число отказов в п3 зачетных испытаниях;Ялз —истинное значение надежности ракеты при зачетных ис¬
пытаниях.На рис. 15.9 представлена в качестве примера плотность ве¬
роятности оценки IF*3, рассчитанная при следующих условиях:
«3=10; iVi = l; Q=l; Ялз = 0,9; aj = 2,3; d=0. Пики плотности ве¬
роятности вызваны тем, что в примере было принято п3=10, и,
следовательно, оценка надежности Я*3 могла принимать дискрет¬
ные значения: 0; 0,1; 0,2; ...; 1. Поэтому оценка в этих точ¬
ках имеет увеличенную плотность.Рис. 15.9. Плотность вероятности оценки А7ЛЗЗаконы (15.106) и (15.107) позволяют, в частности, получить
доверительные пределы для оценок критерия эффективности РК,
что представляет важную самостоятельную задачу. Сравнение
рис. 15.8 и 15.9 показывает, как существенно сказывается стати¬
стический план испытаний на форме закона распределения и, сле¬
довательно, на величине доверительного интервала.На основании выражений (15.104) — (15.106) и (15.25) можно
найти выражение для плотности вероятности	оценки /Vтребуемого числа РК, определяемой по данным /л летных испы¬
таний с доработками, которое принимает видг I In (1 — AfCp) h-Bqy{%)Y^d [p\j]С Р'-1N'\ J Л]expd)k 1 exp [~-Q2DKj]XJi{x-d)\dP'n], (15.108)16*483
гдег*У)=(1-Мср)^;V — Г_ in ! 1 _ IzziM-1На рис. 15.10 приведен график плотности вероятности оценки
1V*;., рассчитанный при следующих условиях: г = 400; Мср = 0,9;
/л = 31; Ял,- = 0,9; Q = 1,0. Из рисунка видно, что закон распределе¬
ния имеет положительные асимметрию и эксцесс.Полученное выражение для плотности вероятности f(N\) осо¬
бенно наглядно отражает влияние точности оценивания надеж¬
ности ракеты на возможные затраты по созданию ракетной си¬
стемы. Так, например, после проведения 31 летного испытания
(рис. 15.10) может быть получена оценка N'^, которая с довери¬
тельной вероятностью у = 0,9 попадает на интервал (240, 1000), вто время как истинное значение оцениваемого параметра = 587.
Следовательно, риск принятия неверного решения о требуемом
числе РК соизмерим с затратами на производство и последую¬
щую эксплуатацию в течение ряда лет сотен комплексов. Отсюда
становится понятным стремление точнее описать распределения
целого ряда оценок, а также выбрать наиболее эффективные ста¬
тистические методы их расчета.Полученные выше соотношения и зависимости в принципе поз¬
воляют решить поставленные задачи оптимизации объемов летных
и стендовых испытаний ракеты.484
Рассмотрим сначала решение задачи оптимизации числа лет¬
ных испытаний. Для этого случая предполагается, что стендовые
испытания уже проведены и возникает задача определения такого
объема летных испытаний ракеты, при котором суммарные за¬
траты на продолжающуюся опытную отработку, а также на про¬
изводство и эксплуатацию ракетной системы, создаваемой в огра¬
ниченные сроки, будут минимальны. При этом в соответствии с за¬
висимостями (15.100), (15.102) и (1.9) — (1-14) простейшая детер¬
минированная непрерывная целевая функция, выраженная в еди¬
ницах Cin, после преобразований может быть записана в виде-	_ 4	)Со (Ул) = Си v J~a + У г (1 + с;э*7э)> (15.109)гдеС" 	 си1л с ’При решении конкретной задачи в целевой функции можно до¬
полнительно учесть неодинаковые общие объемы производства
ракет, головных частей, боевых зарядов и элементов РК, необхо¬
димых как для опытной отработки, так и для создания ракетной
системы.Нетрудно доказать, что при выполнении условийМер > 0;4<У;<°°;	(15.110)/л — т > О,Л	Аопределяющих получение оценки Naj (15.104) по оценкам Рл] иА°лр Функция (15.109) является выпуклой.Ограничения, необходимые для решения задачи, могут быть
также представлены в виде выпуклых функций. Например, одна
из возможных функций ограничений на время Гтр [год] создания
ракетной системы может быть записана в видеj^A + -jrrKjUn)-TTP< о,	(15.111)гДе Лг — количество опытных пусков, которые могут быть прове¬
дены в течение одного года;Nr — количество РК, которые могут быть введены в строй в
течение одного года после окончания /л летных испы¬
таний.АПри выполнении условий (15.110) функция Л/лН/л), опреде¬
ляемая выражением (15.104), является выпуклой, поэтому и огра¬
ничение (15.111) как линейная функция от выпуклой функции яв¬
ляется выпуклой по аргументу /л.485
Таким образом, функция (15.109) имеет единственный мини¬
мум в области, определяемой ограничениями (15.110) и (15.111).Полученная целевая функция включает фиксированные оценки
А ( А А _ \Мл] \РЯ], alj) и поэтому рассматривается как детерминированная.Для получения стохастической целевой функции (15.102), вклю¬
чающей в себя затраты Сн, должны быть определены возможные
потери, отражающие последствия ошибок в определении парамет-а /а	а _ \ра Кл] [Рл], o2J.По данным /л летных испытаний могут быть получены такие
точечные оценки надежности и рассеивания, а следовательно, иАтребуемого состава N„j ракетной системы, которые будут больше
или меньше истинного значения Nnj, требуемого при достигнутыхАвеличинах PnJ и о^. По полученной оценке Nnj необходимо при¬
нять решение о вводимом в строй числе РК= +	(15.112)где -—oo<cS<oo — произвольная постоянная величина.Выражение (15.112), по существу, является правилом принятия
решения или в терминах теории статистических решений — решаю¬
щей функцией. Задача заключается в выборе оптимального, в не¬
котором смысле, правила принятия решения. Для получения такой
оптимальной решающей функции нужно построить функцию по¬
терь, вызываемых принятием различных решений. Например, еслиА	Авсегда принимать решение Аглур>Лглу, то можно понести по¬
тери, связанные с необходимостью производить и эксплуатировать
лишние РК, ненужные для выполнения установленных боевых за-А	Адач. Если же всегда выбирать Ато это может привести
к невыполнению задач, для решения которых создается система.Функция потерь связывает дополнительные затраты, вызывае
мые принятием по определенному решающему правилу случайного
решения, несовпадающего с неизвестным истинным значением Л^.
Обычно функции потерь нелинейны и несимметричны. В качестге
примера для нашего случая можно рассмотреть функцию относи
тельных потерь в виде11	— е-11"1 при £* < 0;»(«*) =	_|t*n	(15-113)I	А (1 — е 1 ') при 5* ^ 0;е* = 1пАГл, —lnA^;	(15.114)lnAT^lnA^ + s;	(15.116)А~§±> 1,Iгде CNZ —суммарные затраты на производство и эксплуатацию
ракетной системы, предназначенной для поражения
заданного количества типовых целей;486
Сц —суммарные затраты на поражение этих же целен дру¬
гими средствами (авиацией, подводным флотом
И т. д.);s —произвольное число, определяющее правило принятия
решения In Л^;-р после получения оценки N'nj.Используя полученное ранее выражение (15.108) для плотно¬
сти вероятности оценки Nnj, а также зависимости (15.114) и
(15.115), можно найти закон распределения случайной величи¬
ны 5*. Расчеты показывают, что плотность вероятности /£ (5*) ве¬
личины 5* весьма близка к нормальной с математическим ожида¬
нием —s и дисперсиейАQWi\D га ++где1^ = 1exp(15.116)В нашем распоряжении теперь имеются плотность вероятности
случайной оценки 5*. зависящая от величины s, определяющей
правило принятия решения (15.115), а также функция относитель¬
ных потерь для этой величины. Естественно, что любое принимав-Амое решение NnjP как несовпадающее с истинным значением
приводит к потерям. Оптимальным можно считать такое решаю¬
щее правило, при использовании которого минимально математи¬
ческое ожидание потерь.В соответствии с полученными выше результатами после ряда
преобразований математическое ожидание от функции относитель¬
ных потерь (функция относительного риска) для рассматриваемого
примера может быть представлена в виде<Р (Ул, s)«О (!•)/. («•)<«*ехр [—|VDX [t—s)|])x00Xexp (—	J {1—exp[—\y~Dy[t—s)|]jexp^— (15.117)где s-Vd~> 'Ha_ рис. 15.11 показаны две ветви функции относительных по¬
терь ш(5*) в зависимости от случайной нормированной величины5*УЖ'487
а также вид плотности /£(5*). Перемещая палатку плотности
/$ (£*) вдоль функции	можно на(йти такое значение s=s0,при кетором функция относительного риска (15.117) минимальна,
т. е. определить искомое оптимальное решение^nN.tjo — 1° -^лу + so>	(15.118)где ? (Л, s0) — min.Рис. 15.11. Построение функции рискаПри этом оказывается, что оптимальное значение s0 практи¬
чески зависит только от коэффициента А, а оптимальное решениеАNnj0 идентично верхнему одностороннему доверительному пределу
оценкил	Г In (1 — Мгп)= - ср>In 1 -QPnj1 — exp I0.5*2,с законом распределения (15.108) при доверительной вероятностиТ0 = Ф[50(Л)],XГде Ф (х) — уг=1 J exp ^	^-) dt—табличная функция [19].— 00Для принятой функции потерь (рис. 15.11) величина оптималь¬
ной доверительной вероятности То(^4) оказывается сравнительно
невысокой (0,65—0,85),488
Принцип решения стохастической задачи оптимизации числа
летных испытаний показан на рис. 15.12._Для каждого значения /л
необходимо минимизировать функцию <р (/л, s) и определить s0.
Для этого можно использовать обычные градиентные методы, так
как функция <р (/л = const, s) выпуклая. В соответствии с пай-Аденным значением s0 нужно найти целевую функцию Сф(/Л, s„),
отражающую фактические затраты на летные испытания, созданиеАи эксплуатацию ракетной системы, состоящей из МЛ}0 комплексов
Сф (Ул, ^с) = Слн (А) + Ст (NJlj0).	(15.119)Рис. 15.12. Принцип оптимизации числа летных испытанийракетыАДля получения величины Сф(/л, s0) в зависимость (15.109)А	Лвместо величины N„j необходимо поставить значение Nnj0. В этом
случае затраты па компенсацию риска отражаются разностьюЬф(Ул,50)-С0(Ул).	(15.120)Таким образом, на определяемых в каждом сечении /л опти¬
мальных решениях s0 строится целевая функция фактических за-'-Атрат Сф (/л, s0) . При получении ее минимума внутри интервала,489
ограниченного условиями (15.110) «и (15.111), находится оптималь¬
ное значение /л. В связи с наличием единственного минимума
функции суммарных затрат па создание ракетной системы имеет
смысл после каждого или группы летных испытаний в соответст¬
вии с уже полученными опытными данными определять значения
целевой функции. На практике обычно важно знать не единствен¬
ную точку, отвечающую минимуму фактических затрат, а вид всей
целевой функции. Прослеживая в динамике изменение затрат,
можно с учетом целого ряда факторов, которые не поддаются
формализации, принять решение об окончании опытной отработки
ракетной системы.Естественно, что при таком подходе возникает необходимостьАв прогнозе функции Сф (ул, s0), однако в этом случае по мере
увеличения числа проведенных летных испытаний прогнозируемые
ранее значения целевой функции заменяются величинами, полу¬
ченными на основании статистических данных. Кроме того, по
мере приближения функции затрат к минимуму прогнозируемый
участок все время сокращается. Важно также заметить, что по
окончании опытных пусков могут быть получены все интересую¬
щие нас характеристики ракетной системы только по реальным
статистическим данным.В связи с этими особенностями решения задачи целесообразно
строить алгоритм по принципу разделения множества /л на два
интервала. На правом из них искомые характеристики определя¬
ются по конкретным статистическим данным, полученным в ходе
п летных испытаний, а на втором — по характеристикам, прогно¬
зируемым на А/л последующих испытаний. Для прогнозирования
оценки надежности ракеты и ее дисперсии в Д/л испытаниях мож¬
но в соответствии с выражениями (15.10) и (15.38) использовать
следующие зависимости:Рч~1- (Х-Рло)	(15.121)А /	А \D [Р'я]\ = (0,7 -г- 0,9) л-у- ~ nj).	(15.122)АПрогнозируемое количество отказов Ат в (/л — п) испытаниях
определяется в видеА&—/л — п- У Рл].	(15.123)j-n+lСумма, входящая в выражение (15.123), является математиче¬
ским ожиданием числа успехов в ходе (/л— п) испытаний, поАэтому прогнозируемая оценка Ат является несмещенной.На рис. 15.13 показаны рассчитанные в качестве примераА	Аграфики целевых функций C0(/,),	s0) и определяющихих функции МЛ; (Ул), NnJ0 (Ул). Из графиков видно, что сум
490
марные затраты на проведение летных испытаний, создание и экс¬
плуатацию ракетной системы убывают с увеличением количества
опытных пусков. Этот парадоксальный, на первый взгляд, вывод
можно объяснить следующим образом. С увеличением числа лег-
ных испытаний растет надежность ракеты и увеличивается точ¬
ность ее определения, что приводит к уменьшению требуемого
количества РК. Этот фактор является определяющим для сум¬
марных затрат, так как относительные затраты на проведение од-^	д	л	АРис. 15.13. Графики функций С0, Сф, Nnj, Nni0 и Рщного опытного пуска сравнительно невелики (см. выражение
(1.15)). Поэтому даже небольшое изменение надежности и повы¬
шение точности ее определения существенно сказывается на тре¬
буемом количестве комплексов и суммарных затратах. Таким об¬
разом, область принятия решений об окончании летной отработки
ракеты, по существу, определяется ограничением по времени
(15.111) и продолжительностью периода интенсивного роста на¬
дежности.С увеличением количества целей, для поражения которых соз¬
дается новая ракетная система, а следовательно, и с увеличением
требуемого числа РК целесообразнее проводить большее количе¬
ство опытных пускор.Как и следозало ожидать, учет неопределенности наших све¬
дений об истинных значениях Pnj и о2 отражается в дополни-А	Дательных затратах. Сравнение разностей значений Сф и С0, Л/л;0Аи Nnj показывает, что по мере увеличения числа испытаний
(объема выборки) риск принятия неверных решений уменьшается.
Важно отметить, что интересующая нас область принятия реше¬491
ний об окончании опытной отработки с учетом стохастичности сме¬
щается в сторону большего числа испытаний. Следовательно, ре¬
шение детерминированной задачи может дать представление о
нижней границе искомой области, в которой фактические затраты
минимальны или приемлемы.В принципе и после окончания опытной отработки основные
характеристики РК претерпевают изменения, поэтому подход, ос¬
нованный на постоянной корректировке возможностей создавае¬
мой системы, позволяет количественно обосновать и планы изъя¬
тия из эксплуатации устаревших или отслуживших установленный
срок комплексов.В заключение перейдем к рассмотрению задачи оптимизации
объема стендовых испытаний агрегатов и систем ракеты. Эта за¬
дача в принципе может быть решена для каждого элемента ра¬
кеты так же, как задача оптимизации числа летных испытаний,
однако не исключены и другие постановки задачи. Эту задачу
можно сформулировать следующим образом: требуется найти та¬
кие объемы стендовых испытаний каждого агрегата и системы,
при которых общие затраты на стендовую отработку ракеты с
надежностью не менее заданной Рс были бы минимальны.Такая задача является частной, по сравнению с той, что была
сформулирована в общем виде в начале этого параграфа, так как
в ней не учитывается влияние величины надежности ракеты Р,,
достигнутой в стендовых условиях (рис. 15.1), на объем летных
испытаний, и, следовательно, на суммарные затраты по созданию
всей ракетной системы, однако для решения общей задачи необ¬
ходимо прогнозировать несоответствие условий стендовых и лет¬
ных испытаний, а также весь ход летной отработки ракеты. При
достаточно обоснованном назначении требования к надежности Р0
частная задача приведет к решению, практически совпадающему
с решением общей задачи.Детерминированная целевая функция, определяющая суммар¬
ные затраты на проведение стендовых испытаний, в соответствии
с выражениями (1.13) и (15.10) может быть представлена в видеC-Vc^u^r. (15.124,jzг’ id. Vэ? —Psi /Jsгде Cu — затраты на проведение первого испытания s-ro эле¬
мента структурной схемы надежности ракеты;3s,Ps0,is —параметры модели надежности (15.7) для s-ro эле¬
мента, полученные по данным первых испытаний;Psj —достигнутая после js испытаний надежности s-ro
элемента.Функции ограничений, определяющие область допустимых зил-Лчений PSj, могут быть записаны в каноническом виде
kРс_ПЯ4,<0;(15.125)J-lA(15.126)(15.127)Нетрудно показать, что целевая функция (15.124) имеет един¬
ственный минимум в заданной выражениями (15.125) — (15.127)
квазивыпуклой области. По ряду соображений можно полагать,
что минимум целевой функции весьма близок к границе этой об¬
ласти, определяемой равенствомПри замене ограничения (15.125) условием (15.128) поставлен¬
ная задача сводится к обобщенной задаче Лагранжа, так как не¬
равенства (15.126) и (15.127) учитываются аналитической формой
целевой функции. В соответствии с выражениями (15.124) и(15.128)	по известным правилам [98] можно получить систему
трансцендентных уравненийгде h — неопределенный множитель Лагранжа.Для решения такой системы необходимо разработать сходя¬
щийся двойной итерационный процесс по величинам h и Paj. При
использовании ЭЦВМ эта задача решается достаточно устойчиво,
В качестве нулевых решений целесообразно принимать корни бо¬
лее простой системыВ качестве примера приведем результаты решения этой задачи
применительно к отработке ракеты с РДТТ, представленной струк¬
турной схемой надежности, состоящей из восьми элементов. В ре¬
зультате расчетов, которые проводились при двух значениях коэф-(15.128)1		С \ sЭ shPc 3shPc(15.130)493
494
Рис. 15.15. Оптимальные количества стендовых испытаний
элементов ракеты495
фициента a (aj и an), построены графики оптимальных оценокнадежности элементов Psj0 в зависимости от требуемой надежности
гипотетической ракеты, а также соответствующие им значения ми¬
нимальных суммарных затрат С0 (рис. 15.14). На рис. 15.15 даны
графики оптимального числа }s0 стендовых испытаний элементов
в зависимости от требуемой надежности Рс. Опыт показывает,
что интуитивно принимаемые объемы испытаний отличаются от
оптимальных на 10—20% по критерию суммарных затрат.
ПРИЛОЖЕНИЯ
h мО200400600800100012001400160018002000220024002600280030003200340036003800400042004400460048005000520054005600580060006200640066006800700072007400ФУНКЦИЯ л (Л)ПРИЛОЖЕНИЕ 1«(А)h м71 (Л)Л м* (Л)1,00090000,299180000,7420,97692000,291190000,6350,95394000,282200000,5430,93096000,274210000,4650,90798000,266220000,3980,885100000,258230000,3410,863102000,250240000,2990,842104000,243250000,2510,821106000,235260000,2160,800108000,228270000,1850,780110000,221280000,1590,761112000,214290000,1370,742114000,207300000,1180,723116000,201310000,1020,705118000,195320000.876-10-20,687120000,189330000,7560,670122000,183340000,6520,653124000,178350000,5630,636126000,172360000,4870.,619128000,167370000,4230,603130000,162380000,3690,587132000,157390000.3220.572134000,152400000.2830,557136000,148410000.2490,542138000,143420000,2190,527140000,139430000.1940,513142000,135440000,1720,499144000,130450000,1530,486146000,126460000,1360,473148000,122470000,1220,460150000,118480000,1090,448152000,114490000,977- И)-30,435154000,111500000,8780,423156000,107550000,5080,412158000,104600000.2840,400160000,101650000,1520,389162000,980-10-1700000,774-10-80,378164000,950750000.372499
П родолжениеh мтс (Л)h мк (Л)h мя (К)76000,367166000.923800000,16778000,356168000,895850000,721-10-580000,346170000,867900000,31082000,336172000,841950000,13484000,327174000,8151000000,580 -10—686000,317176000,79088000,308178000,766
ПРИЛОЖЕНИЕ 2ФУНКЦИИ Ц, (JI) и Ц12 (it)V-Ц| мНи М0,100,10540,0050,200,22320,0220,300,35670,0500,400,51090,0970,500,69320,1530,550,79850,1900,600,91630,2380,651,04990,2820,701,20420,3380,721,27320,3630,741,34730,3890,761,42740,4170,781,51440,4460,801,60970,4780,811,66100,4940,821,71510,5110,831,77230,5280,841,83290,5460,851,89750,5650,861,96650,5840,872,04060,6040,882,12060,6250,892,20770,6470,902,30300,669501
ЛИТЕРАТУРА1.	Абезгауз Г. Г., Тронь А. П., Копен кин Ю. Н., Корови¬
на И. А. Справочник по вероятностным расчетам. Воениздаг, 1966.2.	Абрамян А. И. Известия АН Арм. ССР. Серия физ. мат. наук, том 15,
№ 12, 1962.3.	Алешков М. Н„ Жуков И. И. Физические основы ракетного оружия.
Воениздат, 1965.4.	А м е л ь я и ч и к А. В., Лаптева В. Т., С т р у н и н а Е. П. Решение
двумерных осесимметричных температурных задач теории упругости, упруго-
пластических деформации и ползучести на ЭВМ «Урал-2». В сб. «Тепловые
напряжения в элементах конструкций», вып. 7, Киев, «Наукова думка», 1967.5.	А и а п о л ь с к а я Л. Е. Режим скоростей ветра на территории СССР.
Л., Гидрометеоиздат, 1961.6.	А п п а з о в Р. Ф., Лавров С. С. и Мишин В. П. Баллистика управ¬
ляемых ракет дальнего действия. «Наука», 1966.7.	Аспекты надежности при проектировании мощных ступеней с РДТТ
«Астронавтика и ракетодинамика». Экспресс-информация. ВИНИТИ, 1964, № 47,
реферат 217.8.	Ахенбах Ю. Д. Динамическое поведение длинного скрепленного с кор¬
пусом вязко-упругого цилиндра. Ракетная техника и космонавтика. Русский
перевод, № 4, 1965.9.	Б а ж а н о в В. Л., Г о л ь д е н б л а т И. И., Коннов В. А., Поспе¬
лов А. Д., С и н ю к о в А. М. Сопротивление стеклопластиков, М., Машино¬
строение, 1968.10.	Базовский И. Надежность. Теория и практика. «Мир», 1965.11.	Б а л а б у х Л. И., Колесников К. С., 3 а р у б и н В. С., Алфу-
т о в А. А., Усюкин В. И., Ч и ж о в В. Ф. Основы строительной механики
ракет. М., Высшая школа, 1969.12.	Баррер М., Жомотт А., Вебех Б. Ф., Ванденкеркхове Ж.
Ракетные двигатели. Оборонгиз, 1962.13.	Б е з у х о в Н. И., Бажанов В. Л., Г о л ь д е н б л а т И. И., Нико¬
лаенко Н. А., С и и ю к о в А. М. Расчеты на прочность, устойчивость и ко¬
лебания в условиях высоких температур. М., Машиностроение, 1965.14.	Безухов Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползуче¬
сти. М., Высшая школа, 1961.15.	Бессерер К- У. Инженерный справочник по управляемым снарядам.
Воениздат, 1962.16.	Биргер И. А. Круглые пластинки и оболочки вращения. М., Оборон¬
гиз, 1961.17.	Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженер¬
ных задач. М., Оборонгиз, 1956.502
18.	Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике.
Стройиздат, 19G5.19.	Большев Л. Н. и Смирнов Н. В. Таблицы математической стати
стики. Наука, 1965.20.	Бояршинов С. В. Некоторые технические приложения теории осеснм-
метрической деформации тонкостенной цилиндрической оболочки. В сб. Расчеты
на прочность. Вып. 6. М., Машгиз, 1960.21.	Бусленко Н. П., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний
(Монте-Карло) и его реализация в цифровых машинах. Физматгиз, 1961.22.	Б у ш Р. и Мосте л л ер Ф. Стохастические модели обучаемости. Фил-
матгиз, 1962.23.	Быков Д. Л. Об одном методе определения напряжений и деформаций
в линейно-вязко-упругих телах. Инженерный журнал «Механика твердого тела»,
Kt 2, 1968.24.	Вал-анис, Л и а и и с. Метод исследования неустановнвшихся темпера¬
турных напряжений в термореологически простых вязко-упругих телах. При¬
кладная механика, № 1, 1964 (русский перевод).25.	Варфоломеев В. И. и Копы то в М. И. (ред.). Проектирование и
испытания баллистических ракет. Воениздат, 1969.26.	Вентце ль Е. С. Введение в исследование операций. «Сов. радио»,
1964.27.	Вентце ль Е. С. Теория вероятностей. «Наука», 1964.28.	Вильсон Г. «Ракетная техника и космонавтика», 1961, № 6 и 196-1,
№ 7.29.	Вильямс М. Л. Влияние механических свойств на конструкцию дви
гателей на твердом топливе. Изд. иностр. лит., 196.3.30.	В л а с о в В. 3. Общая теория оболочек. Гостехиздат, 1919.31.	Вопросы ракетной техники № 6, 1963; № 1, 6, 1964; № 1, 5, 1966; № 2,
1967; № 2, 3, 7, 9, 1968.32.	«Вопросы ракетной техники», 1969, № 9.33.	Гант махе р Ф. Р. Теория матриц. Изд. 3. Наука, 1967.34.	Г е р м а н Л. Р., Т амекуни М. Усадка двигателей на твердом топливе
при горизонтальном хранении. «Ракетная техника», 1964, № 4.35.	Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические
методы в теории надежности. «Наука», 1965.36.	Г о л ь д е н б л а т И. И., Николаенко Н. А. Теория ползучести строи¬
тельных материалов и ее приложения. Гос. изд. лит. по строительству, архитек¬
туре и строительным материалам, 1960.37.	Гол ьден блат И. П., Коп но в В. А. Критерии прочности и пластич¬
ности конструкционных материалов. М., Машиностроение, 1968.38.	Гольдштейн Е. Г. и Юдин Д. Б. Новые направления в линейном
программировании. «Сов. радио», 1966.39.	Гр ад штейн И. С. и Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, ря¬
дов и произведений. Изд. 4. Физматгиз, 1962.40.	Гуль В. Е. Прочность полимеров. Химиздат, 1964.41.	Д е м и д о в и ч Б. П., Марой И. А.. Шувалов а Э. 3. Численные
методы анализа. Изд. 2. Физматгиз, 1963.42.	Демидович Б. II и Марон И. А. Основы вычислительной матема¬
тики. Физматгиз, 1960.43.	Д р у ж и н и н Г. В. Надежность систем автоматики. «Энергия», 1967.44.	Ильюшин А. А. Некоторые вопросы теории пластических деформаций.
ПММ, VIII, вып. 4, 1944.45.	Исследование ракетных двигателей на твердом топливе. М., ИИЛ, 1903.46.	Кантор А. В. Аппаратура и методы измерений при испытаниях ракет.
М., Оборонгиз, 1963.47.	Канторович 3. Б. Основы расчета химических машин и аппаратов.
Машгиз, 1952.48.	К а с т Ф. н РозенцвейгД. (ред.). Наука — техника — управление,
«Сов. радно», 1966.49.	Кендалл М. Дж. и Стыоарт А. Теория распределений. «Наука»,
1966.603
50.	Клюге р П. Предвычисление надежности конструкции очень больших
ракетных двигателей на твердом топливе. «Вопросы ракетной техники», ИИЛ,
№ I, 1965.51.	К л юге р П. Оценка надежности при проектировании больших РД'ГТ.
«Астронавтика и ракетодинамика». Экспресс-информация. ВИНИТИ, 1965, № 2,
реферат 7.52.	К о л о с о в Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного
переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, 1909.53.	Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работни¬
ков и инженеров. М., «Наука», 1968.54.	Крамер Г. Математические методы статистики. ИЛ, 1948.55.	К у р а и т Р. и Г и л ь б е р т. Методы математической физики, т. I,
ОНТИ, 1933.56.	Л а й а н и с Ж. Напряжения и деформации, возникающие в твердых
топливах при хранении. «Ракетная техника», 1962, № 4.57.	Л и Е. Г. Подавление растрескивания бронированных ракетных поро¬
ховых шашек. «Ракетная техника», 1962, № 6.58.	Ллойд Д., Л н по в М. Надежность. Организация, исследования, ме¬
тоды, математический аппарат. «Сов. радио», 1964.59.	Л л о й д Д., Германн, К о р к о р а н. Методы оценки и повышения
надежности больших РДТТ на этапе разработки. «Вопросы ракетной техники»,
№ 3, 1968.60.	Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. ГИТТЛ, М.,
1955.61.	Максвелл, Юнг. Большие ракетные двигатели на твердом топливе.
«Вопросы ракетной техники», ИИЛ, 1962, № I.62.	Малинин Н. И. Пластические деформации и ползучесть цельнокова
ных роторов турбомашин. Расчеты на прочность № 6, Машгиз, 1960.63.	Межконтинентальный баллистический снаряд «Минитмен» фирмы
«Боинг». «Вопросы ракетной техники». ИЛ, № 6, 1963.64.	Миллз У. Р., Хаас Ж- Р. Динамика ракеты «Минитмен» при старте
из шахты и в полете. «Вопросы ракетной техники». ИЛ, 1967, № 2.65.	М у с х е л и ш в и л и Н. И. Некоторые основные задачи математической
теории упругости. «Наука». М., 1966.66.	М у с х е л и ш в и л и Н. И. Некоторые основные проблемы математиче¬
ской теории упругости. Г1ММ, 1952, № 8.67.	Нейбер Г. Концентрация напряжений. М., 1947.68.	Новожилов В. В. Теория упругости. М., Гостехиздат, 1950.69.	О р л о в Б. В., М аз инг Г. 10. Термодинамические и баллистические
основы проектирования ракетных двигателей на твердом топливе Машинострог
ние, 1968.70.	Папкович П. Ф. Теория упругости. Оборонгиз, 1939.71.	Погорелов Д. А. Теория кеплеровых движений летательных аппара¬
тов. Физматгиз, 1961.72.	По ловко А. М. Основы теории надежности. «Наука», 1965.73.	Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления. Изд. 2. Физматгиз, 1960.74.	Работн’ов Ю. Н. Некоторые вопросы теории ползучести. Вестник
МГУ. 1948, № 10.75.	Разработка крупных РДТТ в США. «Вопросы ракетной техники». И М1966,	№ 3.76.	«Ракетная техника и космонавтика», 1964, № 4.77.	Р е к а ч В. Г. Руководство к решению задач по теории упругое i и,
М., «Высшая школа», 1966.78.	Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функции
«Наука», 1968.79.	Силаев А. А. Спектральная теория подрессоривания транспортных мм
шин. Машгиз, 1963.80.	Синюков А. М., Морозов Н. И. (ред.). Конструкция управляемый
баллистических ракет. Воениздат, 1969.504
81.	Ситонов А. М., Ога нов,Э. П. Термоупругие напряжения в неодно¬
родных цилиндрах и дисках постоянной толщины. Тезисы докладов VIII науч¬
ного совещания но тепловым напряжениям в элементах конструкций. Кие»,
«Наукова думка», 1967.82.	С и н ю к о в А. М., О г а н о в Э. П. Температурные напряжения в не¬
однородном цилиндре конечной длины. «Механика полимеров», 1968, № 4.83.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том III. ОНТИ, М.— Л.,
1939.84.	Смирнов Н. В., Большев Л. Н. Таблицы для вычисления функций
двумерного нормального распределения. Изд-во АН СССР, 1962.85.	Смирнов II. В. и Д у н и и - Б а р к о в с к и й И. В. Курс теории ве¬
роятностей и математической статистики для технических приложений. Изд-не 2.
Наука, 1965.86.	Соломин П. С. Напряженно-деформированное состояние в цилиндре,
закрепленном по боковой поверхности, под действием собственного веса. Сбор¬
ник работ по гидромеханике и теории упругости. Ученые записки Томского
университета, № 68, 1967.87.	Статистическое прогнозирование гарантийных сроков эксплуатации топ¬
ливного заряда третьей ступени ракеты «Минитмен». «Вопросы ракетной тех¬
ники», ИИЛ, 1968, № 9.88.	Таблицы присоединенных функций Лежандра. В. Ц. Изд-во АН СССР,
1962.89.	Тер-Мкртичьян Л. И. Некоторые задачи теории упругости неодно¬
родных упругих сред. ПММ, том XXV, вып. 6, 1961.90.	Тимошенко С. П., В о й к о в с к и й - К р и г е р С. Пластинки и обо¬
лочки. Физматгиз, 1963.91.	Тобольский А. И. Свойства и структура полимеров. М., «Химия»,
1964.92.	Уилкс С. Математическая статистика. «Наука», 1967.93.	Уитфилд X. К. Конструирование металлических корпусов РД'ГТ. «Во¬
просы ракетной техники», 1969, № 3.94.	Ф е до тиков А. П. Краткий справочник технолога-машиностроителя,
М., Оборонгиз, 1960.95.	Феодосьев В. И., С и н я р е в Г. Б. Введение в ракетную технику,
М., Оборонгиз, 1961.96.	Ферри Дж. Вязко-упругне свойства полимеров. ИИЛ, М., 1963.97.	Ф о р н е й М. Е., Пармертер Р. Р. «Ракетная техника и космонав¬
тика». № 3, 1965.98.	Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. «Мир»,1967.99.	Чуев Ю. В. (ред.). Основы исследования операций в военной технике.
«Сов. радио», 1965.100.	Шапиро Я. М., М а з и н г Г. Ю., Прудников Н. Е. Основы проек¬
тирования ракет на твердом топливе. Воениздат, 1968.101.	Шевченко Ю. Н. Осесимметричная задача о тепловых напряжениях
при переменном модуле упругости. Кандидатская диссертация. Киев, 1958.102.	Шор Я. Б., Кузьмин Ф. И. Таблицы для анализа и контроля на¬
дежности. «Сов. радио», 1968.103.	Шерман Д. И. ПММ, XV, вып. 3, 1951.104.	Шор Я. Б. Статистические методы анализа контроля качества и на¬
дежности. «Сов. радио», 1962.105.	Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний (метод Монте-
Карло). Физматгиз, 1962.106.	Aifreu Т. Non-homogeneous stresses in visco elastic media. “Quart-
Appl. Math., II, 113—119, 1944.107.	Andreosky E. Functional Design of the Minuteman Flight Control Si-
stem. SAE/NASA Aerospace Vehicle Flight Control Conference; Inly, 13—15, 1965.108.	Aviation Week, 1964, vol. 81, N 12.109.	Aviation Week, 1962, vol. 77, N 18.110.	Aviation Week, 1963, vol. 79, N 22.111.	Aviation Week, 1967, vol. 87, N 23,112.	Aviation Week, 1968, vol. 89, N 9.505
113.	Aviation Week, 1962, vol. 77, N 26.114.	Aviation Week, 1963, vol. 79, N 10.115.	Barlow R. F. Proschan F., Scheuer E. Estimation under reliability
growth. 125-th annial meeting of the ASA. Philadelphia, Sep. 8—11, 1965.116.	Bills K. W„ Svob G. I., Plank R. W„ Eriksson T. L. A Gumulative —
Damage Concept for Propellant — Liner Bonds and Its Application to Solid Roc¬
ket Motors. “AIAA 9-th Solid Propellant Rocket Conference”, Paper N 65—191,
1—13.117.	Bolls K. W., Svob Q. I., Planck R. W., Eriksson T. L. A Gumulative-Da-
mage Concept for Propellant-Liner Bonds and Its Application to Solid Rocket
Motors “AIAA 6th Solid Propellant Rocket Conference”, Paper N 65—191.118.	Chemical Engineering News, 1963, v. 41, N 39.119.	Daniel М., Pletin M. Simulation de separation d’etages de fusee, “La
Recherche Aeroapatiale", 1965, N 107.120.	Design News, 1963, vol. 18, N 4.121.	Electronic News, 1965, vol. 10, N 473.122.	Electronic News, 1966, vol. 11, N 534.123.	Engineering News-Record, 1963, vol. 170, N 12.124.	Flight, 1963, vol. 83, N 2820.125.	Flight, 1961, vol. 80, N 2735.126.	Flight, 1961, vol. 80, N 2747.127.	Haire E. T. Titan 11 structures reliability analysis. Proceedings of the
sixth symposium on ballistic missile and aerospace technology, v. 1, N 9, Lon¬
don, Academic Press, 1961.128- Halperin M. Annals of Mathem. Statistics, 1952, vol. 23, N 2.129.	Hilton H. H. Thermal stresses in bodies exhibiting temperature — de¬
pendent elastic properties. “Journal of Appl. Meek.”, vol. 19, Sept., 1952.130.	Interavia Air Letter, 1964, N 5421.131.	L.N.st. lames Economics Dictates Reliability IEEE Transactions on
Aerospace, 1964, IV, N 2, vol. AS-2.132.	Journal of Spacecraft and Rockets, 1966, 3, N 3.133.	Journal of Spacecraft and Rockets, 1966, 3, N, 9.134.	Journal of Spacecraft and Rockets, 1966, 3, N 8.135.	Iron and Steel Engineer, 1965, vol. 42, N 10.136.	Kertesz T. Correlation between Polaris Grund and Flight Test Shock and
Vibration Data. “AIAA Paper” N 65—206.137.	Langill A. W., Kapandritis G. N. Multi — Component Test Fixtures For
Solid Rocket Motor Testing. “IEEE Transactions on Aerospace", 1963, 1, N 2.138.	Luftfahrttechnik Raumfahrttechnik, 1968, N 10.139.	Me Carthy I. F., Hanley G. M. Earth entry at Hyperbolic velocities.
“AIAA Paper" , 1968, N 153.140.	Missiles and Rockets, 1964, vol. 15, N 24.141.	Missile/Space Daily, 1967, vol. 26, N 9.142.	Missiles and Rockets, 1964, vol. 14, N 12.143.	Missiles and Rockets, 1963, vol. 12, N 14.144.	Missiles and Rockets, 1964, vol. 14, N 26.145.	Missiles and Rockets, 1965, vol. 16, N 2.146.	Missile/Space Daily, 1963, vol. 12, N 21.147.	Missile/Space Daily, 1964, vol. 7, N 36.148.	Missile/Space Daily, 1966, vol. 19, N 36.149.	Pieruschka E. Principles of Reliability. Prentice — Hall. Inc. 1964,150.	Science New Letter, 1963, vol. 83, N 4.151.	Scheuer E. М., Barlow R. E. Reliability grouth during a development
testing program. Techuometdcs, vol. 8, N 1, 1966.152.	Shapery R. A. Approximate methods of transform inversion for viscoela¬
stic stress analysis. Graguate Aeronautical Lab, California Institute of Techno¬
logy SM62-2 (January, 1962).153.	Space/Aeronauties, 1966, vol. 46, N 1.154.	Technology Week, 1967, vol. 20, N. 7.155.	Technology Week, 1966, vol, 19, N 3,506
156.	Technology Week, 1966, vol. 18, N 26.157.	Technology Week, 1967, vol. 20, N 17.158.	Tormey I. F., Britlon S. C. Effect of Cyclic Loading on Solid Propel¬
lant Grain Structures. “AIAA Journal”, 1963, 1, N 8.159.	Ubrich I. R., Photographic Strain—Measurement Technique. “Л1ЛЛ 91 h
Solid Propellant Rocket Conference”; Paper N 65—170, 1—20.160.	Van Der Maas С. I. Mujtivariate Statistical Analysis of Wind Sounding
Data. Journal of Spacecraft and Rockets, 1967, N 1.161.	Wilks W. E. A—G finds filament — Wound Minuteman cases would be
lighter than expected. Missiles and Rockets", 1964, 15, N 2,
ОГЛАВЛЕНИЕСтр.Введение 					3РАЗДЕЛ IБАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАКЕТ НА ТВЕРДОМТОПЛИВЕГлава 1. Задачи проектирования ракегы			5§ 1.1. Требования, предъявляемые к управляемым баллистическим
ракетам на твердом топливе, ракетным комплексам и систе¬
мам . 			 	§ 1.2. Критерии эффективности и экономичности применения УБРС РДТТ	 10§ 1.3. Последовательность создания УБР с РДТТ	 I I§ 1.4. Задачи, решаемые при проектировании УБР с РДТТ .... 17Глава 2. Конструктивные схемы управляемых баллистических ракет сРДТТ			21§ 2.1. Краткие сведения о твердых топливах		§ 2.2. Формы зарядов твердого топлива				26§ 2.3. Конструкции двигателей на твердом топливе		3,4§ 2.4. Органы управления ракет с РДТТ		3!)§ 2.5. Конструктивно-компоновочные схемы ракет с РДТТ		4.1§ 2.6. Перспективы развития ракет с РДТТ		60Глава 3. Траектория полета ракеты		 . 54§ 3.1. Уравнения движения ракеты на активном участке траекто¬
рии 			§ 3.2. Программа движения ракеты на активном участке траекто¬
рии 	 (>1§ 3.3 Уравнения движения головной части ракеты на пассивном уча¬
стке траектории		 07§ 3.4. Приближенный метод расчета скорости и координат центрамасс ракеты на активном участке траектории	 У'.!Глава 4. Весовой анализ и проектные параметры ракете РДТТ .... 7М§ 4.1. Весовой анализ ракет с РДТТ		§ 4.2. Проектные параметры ракет с РДТТ		§ 4.3. Выбор числа ступеней ракеты с РДТТ		 0:1§ 4.4. Определение оптимального соотношения масс ступеней ... Ю1
§ 4.5. Выбор давлений в камерах сгорания и на срезе сопла дви¬
гателей 	 ЮЧ§ 4.6. Выбор формы и относительной длины заряда. Оптимизацияскорости горения топлива 	 . 	 Ill508
Стр.Глава 5. Методы баллистического проектирования ракет с РДТТ ... 120§ 5.1. Общая постановка задачи баллистического проектирования
§ 5.2. Приближенное баллистическое проектирование ракеты .... 134
§ 5.3. Гарантированная дальность пуска и расчет гарантийных за¬
пасов топлива			 141§ 5.4. Рассеивание точек падения головной части ракеты . ... ... 150РАЗДЕЛ II
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ РАКЕТ С РДТТГлава 6. Особенности прочностного расчета ракет с РДТТ	 164§ 6.1. Расчетные случаи	 —§ 6.2. Краткие сведения о физико-механических свойствах твердыхтоплив. Критерии прочности для смесевых твердых топлив 166
§ 6.3. Материалы, применяемые для изготовления элементов кон¬
струкции ракет с РДТТ, и их критерии прочности	 181Глава 7. Расчет корпуса ракеты с РДТТ на прочность	 186§ 7.1. Осесимметричные упругие деформации неравномерно нагре¬
тых тонкостенных оболочек вращения	> —§ 7.2. Напряженно-деформированное состояние неравномерно на¬
гретой тонкостенной оболочки, работающей в области упруго¬
пластических деформаций	 192§ 7.3. Напряженно-деформированное состояние корпуса ракеты сРДТТ, изготовленного из стеклопластика	 200§ 7.4. Расчет на прочность днищ и сопловых крышек	 205Глава 8. Определение напряженно-деформированного состояния корпу¬
са и заряда ракеты с РДТТ при изменении температуры	 214§ 8.1. Предварительные замечания. Постановка задачи	§ 8.2. Плоская задача термоупругости	 216§ 8.3. Аналитические методы решения объемной задачи о темпера¬
турных напряжениях в неоднородных цилиндрах, подкреплен¬
ных тонкой оболочкой 	 226§ 8.4. К решению задачи о температурных напряжениях с учетомреологических свойств твердого топлива 	 236Глава 9. Напряженно-деформированное состояние заряда и корпусаРДТТ при хранении	:	 240§ 9.1. Постановка задачи и выбор расчетных схем	 —§ 9.2. Расчет напряженно-деформированного состояния заряда икорпуса ракеты с РДТТ при вертикальном хранении .... 241
§ 9.3. Расчет напряженно-деформированного состояния заряда икорпуса ракеты с РДТТ при горизонтальном хранении .... 253
§ 9.4. Возможные методы учета теплового воздействия на зарядракеты с РДТТ при хранении	 263Глава 10. Напряженно-деформированное состояние заряда и корпусаракеты с РД'ГТ в условиях динамического нагружения	 270§ 10.1. Задачи динамического расчета конструкции. Расчетные схемы§ 10.2. Продольные колебания корпуса ракеты	 272§ 10.3. Собственные формы и частоты изгибиых колебаний корпусаракеты с РДТТ . . 			 , 280§ 10.4. К расчету напряженно-деформйрованного состояния зарядаи корпуса ракеты с РДТТ при транспортировке ....... 289609
Стр.§ 10.5. Динамическое поведение заряда и корпуса ракеты с РДТТпри изменяющемся во времени давлении	 296§ 10.6. Динамическое поведение заряда, скрепленного с корпусомракеты, в процессе транспортировки. Уточненное решение . . 301Глава 11. Расчет напряженно-деформированного состояния заряда икорпуса ракеты с РДТТ в полете	 315§ 11.1. Приближенный расчет напряженно-деформированного со¬
стояния корпуса ракеты. Расчет на прочность заряда твер¬
дого топлива при работе двигателя па траектории. Плоскаязадача 	 —§ 11.2. Возможные методы решения краевой задачи в упругой по¬
становке и с учетом реологических характеристик твердоготоплива	 326§ 11.3. Концентрация напряжений в заряде твердого топлива сосложной перфорацией внутреннего канала шашки	 330РАЗДЕЛ шНАДЕЖНОСТЬ И ИСПЫТАНИЯ РАКЕТ С РДТТГлава 12. Надежность ракеты с РДТТ			 311§ 12.1. Надежность как свойство ракеты. Отказы элементов ракетыс РДТТ	§ 12.2. Характеристики надежности элементов	 31!)§ 12.3. Структурные схемы надежности	 355§ 12.4. Методы расчета надежности элементов, по критическим па¬
раметрам 		 362§ 12.5. Нормирование надежности 		 370Глава 13. Надежность конструкции, двигателей и систем разделенияракеты с РДТТ	 371§ 13.1. Квазистатические методы расчета надежности элементовконструкции			§ 13.2. Пример расчета	 38*1§ 13.3. Расчет надежности элементов конструкции корреляционнымметодом	 ;|н ’§ 13.4. Надежность заряда твердого топлива и адгезионного слоя ЗИМ
§ 13.5. Надежность систем разделения	 301Глава 14. Испытания конструкции и двигателей ракеты ....... 39!)§ 14.1. Статистические характеристики механических свойств кон¬
струкционных материалов			§ 14.2. Статические испытания отсеков корпуса ракеты	 '1<Ч§ 14.3. Влияние температуры на надежность ракеты с РДТТ. Тем¬
пературные измерения при испытаниях ракет	 '1(H)§ 14.4. Огневые стендовые испытания РДТТ	 'ПО§ 14.5. Испытания РДТТ длительным хранением и воздействиемокружающей среды	 “И 7§ 14.6. Опытное определение расходных и тяговых характеристик
РДТТ и статических нагрузок, действующих на ракету в по¬
лете 		 420§ 14.7. Влияние динамических нагрузок на надежность ракеты сРДТТ. Динамические испытания ракет			4JM510
Стр.Глава 16. Статистическая оценка надежности ракеты с РД'ГТ при опыт¬
ной отработке		434§ 15.1. Задачи опытной отработки ракеты и пути их решения ...	—
§ 15.2. Модели изменения надежности ракеты в процессе опытнойотработки		'139§ 15.3. Статистическое определение функции изменения надеж¬
ности 		447§ 15.4. Практическое использование моделей изменения надежности	455
§ 15.5. Определение надежности ракеты и ее агрегатов по даннымзачетных стендовых и летных испытаний		461§ 15.6. Объединение опытной информации, полученной по даннымзачетных испытаний и испытаний с доработками		47')§ 15.7. Оптимизация объемов испытаний при стендовой и летнойотработке ракеты				477Приложение 1		499Приложение 2		501Литература	,. ....... . w.,	502