Эффективность и надежность сложных систем - Соколов Ю.А., Плетнев И.Л., Рембеза А.И., Чалый-Прилуцкий В.А.

Автор: Соколов Ю.А. Плетнев И.Л. Рембеза А.И. Чалый-Прилуцкий В.А.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника технические системы издательство машиностроение
Год: 1977
Похожие
Комбинаторные задачи: олимпиады по программированию
Магнитные карты и ПК
Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию
Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс
Текст
                    ЭФФЕКТИВНОСТЬ
И НАДЕЖНОСТЬ
СЛОЖНЫХ
СИСТЕМ
ЭФФЕКТИВНОСТЬ
И НАДЕЖНОСТЬ
СЛОЖНЫХ
СИСТЕМ
ИНФОРМАЦИЯ, ОПТИМАЛЬНОСТЬ,
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1977
УДК 629.7.019.3 : 62-505.001
Авторы: И. Л. Плетнев, А. И. Ремббза, Ю. А. Соколов, В» А. Чалый-
Прилуцкий.
Рецензент А. Д. Епифанов
Эффективность и надежность сложных систем. М., «Машиностроение», 1977,
216 с.
В книге изложен подход к решению задач эффективности и надежности, воз-
никающих в процессе создания сложных технических систем. Рассмотрена проб-
лема обеспечения надежности как проблема принятия решений в условиях не-
определенности. Приведены задачи и результаты исследования эффективности
различных стратегий обеспечения и контроля надежности.
Основное внимание уделено рассмотрению ситуаций с малым количеством
входной информации. Исследованы задачи выбора решений в условиях пара-
метрической неопределенности, приведена методика упорядочения параметров за-
дач оптимизации по их критичности. Изложен подход к решению задач надеж-
ности на основе меры различающей информации. Рассмотрены модели оценки
результатов испытаний. Приведены алгоритмы и программы для ЭВМ, которые
могут быть использованы в качестве стандартных.
Книга рассчитана на широкий круг специалистов, занимающихся проекти-
рованием и испытанием технических систем. Книга может быть также полезна
преподавателям, аспирантам и студентам старших курсов вузов.
Табл. 13, ил. 21, список лит. 70 назв.
Э
30501-59
59-77
© Издательство «Машиностроение», 1977 г.
038(01)-77
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория создания сложных технических систем не является в
настоящее время строгой и законченной. Хотя в ряде направлений
достигнуты существенные успехи, многие принципиальные методо-
логические проблемы этой теории еще далеки от завершения.
В частности, задачи оптимизации эффективности надежности мо-
жно обоснованно решать лишь при соответствующей формализа-
ции таких категорий, как цель, полезность, потери, неопределен-
ность, информация, принятие решений в процессе создания каждой
конкретной системы. Следует также учитывать серьезность пос-
ледствий ошибочных решений, принимаемых на всех стадиях соз-
дания и эксплуатации системы.
Рассматриваемые в книге вопросы пока не нашли достаточно
последовательного отражения в литературе, а такие важные зада-
чи, как, например, формирование критериев оптимизации, эффек-
тивные способы описания состояния систем и протекающих в них
процессов, классификация ограничений и их влияние на свойства
и характеристики во многих случаях еще не только не решены, но
даже не сформулированы с достаточной определенностью.
Проблема обеспечения эффективности и надежности трактует-
ся в книге как проблема принятия решений в условиях неопреде-
ленности с целью реализации рационального способа обеспечения
гарантированного результата и в том числе как установление ра-
зумного компромисса между основными категориями, присущими
техническим системам. К ним можно отнести:
—	необходимое разнообразие задач, решаемых системой;
—	высокую стоимость и напряженные сроки создания системы.
В первой главе приводится описание системы обеспечения на-
дежности сложных систем как пример многоуровневой и многоцеле-
вой системы принятия решений в условиях неопределенности. До-
стигнутый уровень надежности сложных систем, эффективность их
3
применения, т. е. результативность системы обеспечения надежнос-
ти, зависят как от обоснованности, рациональности принимаемых
решений на различных иерархических уровнях, так и от согласо-
ванности этих решений между собой. Однако выбор того или иного
способа согласования решений — это тоже решение, которое может
и должно быть обосновано. Не переоценивая практической пользы
от изложенного в первой главе описания, определяющего, «что де-
лать» и не поясняющего, «как и сколько делать», можно, однако,
надеяться, что первая глава послужит источником содержатель-
ных примеров и аналогий для формализуемых понятий, исследо-
ванию которых посвящены все следующие главы.
Во второй главе рассмотрены наиболее общие моменты и поня-
тия, необходимые для исследования вопросов обоснования реше-
ний. В соответствии с предложенной схемой исследования осу-
ществляется ’переход от интуитивных понятий к их конкретным
уточнениям (экспликациям). На основе точно определенных мате-
матических понятий приводится строгое изложение принципов, по-
ложенных в основу современной методологии исследования и обес-
печения надежности сложных систем.
Выбор оптимального варианта системы, программы или круга
решаемых задач равносилен (если отвлечься от конкретного содер-
жания рассматриваемых объектов) установлению какого-либо от-
ношения предпочтения на рассматриваемом множестве. Природа
выбираемого отношения в конечном итоге определяется тем со-
держанием понятия «оптимальность», которое вкладывается в него
лицом, принимающим решение.
В третьей главе книги рассматриваются весьма часто встреча-
ющиеся задачи принятия решений, которые содержат неопределен-
ные и случайные параметры и сводятся к оптимизации целевого
функционала при наличии ограничений в форме неравенств. Такие
задачи классифицируются на задачи с неопределенностью и зада-
чи с риском. Для задач первого класса распределение параметров
задачи считается либо неизвестным, либо вообще не существует.
Для задач второго класса на множестве возможных значений па-
раметров определена вероятностная мера. Наличие неопределен-
ности в пространстве параметров целевого и ограничивающих
функционалов определенным образом деформирует процедуру вы-
бора наилучшего решения и ставит перед исследователем ряд спе-
цифических проблем, обусловленных характером этой неопределен-
ности. Проблемы отыскания оптимальных решений в условиях не-
определенности, возникающие «около» и «над» собственно задача-
4
ми математического программирования, объединяются в книге в
общую проблему так называемой «эпиоптимизации» (от греческо-
го epi, означающего «над», «возле», «около»).
На основе эпиоптимизации решаются задачи чувствительности
оптимальных решений и эффективного уточнения исходной инфор-
мации. Этим вопросам в книге уделено значительное место, и тем
самым авторы надеются в какой-то мере заполнить имеющийся
ь литературе пробел.
Содержание четвертой и пятой глав книги посвящено исследо-
ванию информационно-поведенческих аспектов, возникающих при
изучении статистических характеристик систем, в том числе при
решении задач теории и практики надежности. При создании
сложных технических систем информация на первой стадии про
цесса проектирования создает необходимое разнообразие способов
поведения, а на последующих стадиях позволяет разумно умень-
шить это разнообразие выбором наиболее полезных способов. И
хотя в различных конкретных процессах проектирования способы
поиска, извлечения, переработки и использования информации
глубоко индивидуальны, сама необходимость присутствия и исполь-
зования информации является общей для всех этих процессов.
Другой стороной, присущей всем процессам проектирования, явля-
ется их целенаправленность. Поиск и использование информации
направлены на достижение поставленной цели. В этом смысле ин-
формация является лишь средством принятия решений: она подго-
тавливает и обосновывает решения, но не заменяет их. Таким
образом, информация —не самоцель, а средство, позволяющее
построить более или менее разумную последовательность реше-
ний.
На основе предложенной в книге меры различающей информа-
ции рассматривается достаточно универсальный критерий для раз-
личения гипотез и дается единая информационная интерпретация
известных в литературе критериев принятия решений.
Приводятся приложения меры различающей информации к за-
дачам оптимального представления результатов экспериментов и за-
дачам выделения наиболее информативных признаков. Рассмотре-
ны вопросы количества информации в результатах эксперимента,
способы построения оптимальных доверительных интервалов, ин-
формационные задачи последовательного статистического анализа,
вопросы рационального задания априорной информации, анализа и
оценки статистических параметров при малом количестве экспери-
ментальных данных.
5
Смысл основных результатов, изложенных в книге, проиллюст-
рирован на многих примерах.
Составленные на языке АЛГОЛ-60 программы для ЭВМ вполне
могут быть использованы в качестве стандартных при исследовании
надежности систем на различных этапах их создания.
В книге не нашли отражения так называемые классические во-
просы надежности, поскольку в этой области имеется обширная
литература.
Авторы пользуются возможностью выразить свою признатель-
ность Я. А. Рипсу за обсуждение и позитивную критику методов,
изложенных в двух последних главах.
Авторы благодарны А. Д. Епифанову за ценные замечания, сде-
ланные им при рецензировании рукописи.
Авторы считают своим приятным долгом выразить также при-
знательность Л. А. Петрачковой, Г. П. Шамрицкой, Е. Е. Шилиной,
которые принимали участие в разработке алгоритмов и проведении
расчетов.
Все критические замечания и пожелания по содержанию книги
следует направлять по адресу: Москва, Б-78, 1-й Басманный nep.F
3, издательство «Машиностроение».
ГЛАВА 1
ЗАДАЧИ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ ОБЕСПЕЧЕНИЯ
И ИССЛЕДОВАНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ
1.1. РЕТРОСПЕКТИВНЫЙ АНАЛИЗ РАЗВИТИЯ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО НАПРАВЛЕНИЯ
«НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИКИ»
Обеспечение качества и надежности техники на современном
этапе является важнейшей проблемой, от успешного решения кото-
рой во многом зависит научно-технический и социальный прогресс.
Есть все основания полагать, что случаи отказов (поломок, раз-
рушений, износа) орудий труда, оружия, средств передвижения
были известны еще значительно раньше, много веков назад, однако
именно развитие промышленного производства на пороге первой
технической революции, изменившей, по словам Н. Н. Моисеева
[39], энергетическую основу существования человечества, положило
начало коллективному опыту массового изготовления и применения
техники и привлекло внимание общества к практическим вопросам
обеспечения надежности.
Технический прогресс первой половины 20-го века последова-
тельно ставит все более сложные задачи обеспечения прочности
строительных конструкции и машин, надежной передачи электро-
энергии и т. п.
Естественным путем обеспечения надежности, который исполь-
зовался уже в то время, является введение запасов прочности. Из-
вестный каждому инженеру расчет конструкций по допускаемым
напряжениям и коэффициентам запаса представляет собой полуэм-
пирический способ оценки (обеспечения) механической надежности.
Введение запасов «прочности» (в обобщенном смысле, т. е. не
только механической), с одной стороны, приводило к увеличению
габаритов и массы оборудования, дополнительному расходованию
материалов, с другой стороны, стимулировало изучение реальных
нагрузок эксплуатации и несущих способностей материалов и кон-
струкций, а также процессов изменения несущей способности вслед-
ствие усталости и (или) старения материалов. Все это в конечном
счете стимулировало все более широкое использование методов воз-
никшей еще в XVII веке теории вероятностей, а также создание
математической статистики. Определяющее значение в этом про-
цессе имел вклад русской, а позднее, советской математической
школы (например, работы А. А. Маркова,* П. Л. Чебышева,
А. М. Ляпунова, С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хин-
чина, В. И. Гливенко).
В конце 20-х — начале 30-х годов в работах М. Майера,
Н. Ф. Хоциалова и Н. С. Стрелецкого был впервые четко постав-
7
лен вопрос о статистической природе коэффициентов запаса проч-
ности. В этих работах уже были сформулированы некоторые поня-
тия, ставшие впоследствии одними из основных в теории надеж-
ности, например, понятие отказа как выход конструкции из строя,
понятие меры надежности и понятие резервирования (в связи
с оценкой надежности статически неопределимых систем).
В конце 30-х годов В. Вейбулл, Э. Гумбель и др., работая над
проблемой усталости материалов, заложили основы теории экстре-
мальных значений. В 1939 г. Вейбулл предложил распределение,
удобное для описания длительности жизни материалов, названное
его именем. Он и не подозревал тогда, что это и есть распределение
экстремальных значений (доказательство этого факта принадлежит
Б. В. Гнеденко). Позже были предложены математические модели,
соответствующие гипотезам о нормальном и гамма-распределениях.
С развитием электрификации значительные усилия были прило-
жены к тому, чтобы обеспечить надежную передачу электроэнергии.
Параллельное использование генераторов, трансформаторов, объе-
динение отдельных электростанций в энергосистемы, а отдельных
энергосистём с помощью высоковольтных линий в общенациональ-
ную сеть — все это служит главным целям: сделать снабжение
электроэнергией возможно более надежным и дешевым.
Новые трудности возникли с появлением и развитием автомати-
ки и электроники. С развитием авиации, и особенно с появлением
реактивной авиации, возникла проблема надежности бортовой ап-
паратуры.
В начале 50-х годов задачи обеспечения надежности переросли
рамки отдельных фирм и отраслей. Так, например, в 1951 г. про-
блемы надежности получили официальное признание конгресса Со-
единенных Штатов Америки.
Тем не менее острота проблемы надежности из года в год воз-
растала. Одновременно со стремительным развитием электроники,
авиационной и других видов техники росли требования уменьше-
ния массы и габаритов аппаратуры, требования к сокращению сро-
ков проектирования и внедрения новых образцов. Интуитивный и
эмпирический подходы не удовлетворяли более требованиям прак-
тики. Возникли предпосылки для. создания новой научной дисципли-
ны— теории надежности, которая исследует и научно обосновывает
общие методы и приемы, которых следует придерживаться при
проектировании, изготовлении, приемке и эксплуатации изделий
для обеспечения максимальной эффективности от их использования.
В 50-е годы окончательно получило признание новое научно-тех-
ническое направление «надежность техники». В нашей стране выда-
ющаяся роль в этом принадлежит А. И. Бергу, Н. Г. Бруевичу,
Б. В. Гнеденко, В. И. Сифорову, Б. С. Сотскову. Основные факторы,
характеризующие специфику этапов этого направления, условно
можно разбить на три группы.
К факторам первой группы, которые характеризуют исход-
ные условия развития на каждом этапе, а следовательно, и актуаль-
ность (потребности) развития направления, относятся:
8
—	уровень сложности создаваемых систем;
—	уровень надежности используемых готовых элементов и изу-
ченность характеристик материалов и элементов;
—	изменчивость и изученность условий эксплуатации;
—	объем производства создаваемых изделий и ответственность
решаемых ими задач.
В первом приближении сложность системы может быть охарак-
теризована минимальным числом элементов, принципиально позво-
ляющим системе выполнять все возложенные на нее функции. Для
одного класса систем, т. е. при сохранении примерно постоянного
соотношения между числом элементов, массой, габаритами, энерго-
потреблением, производительностью, любой из этих параметров мо-
жет быть использован для сравнения сложности систем. При этом
необходимо рассматривать минимизированную структуру системы,
лишенную всех видов избыточности. Для систем с избыточностью
необходимым дополнительным показателем является коэффициент
избыточности. Для структурной избыточности он характеризуется
отношением общего числа элементов к числу элементов минимизи-
рованной структуры (усредненная кратность резервирования), для
функциональной избыточности — отношением номинальной произ-
водительности к минимально необходимой и т. п. Оценка и сравне-
ние сложности создаваемых систем будут неполными, если не учесть
заданный срок функционирования.
Надежность элементов характеризуется одним или несколькими
количественными показателями, являющимися мерой основных со-
ставляющих надежности: безотказности, ремонтопригодности, дол-
говечности и сохраняемости.
Трудности обеспечения надежности конкретной создаваемой сис-
темы в первую очередь определяются сложностью системы и уров-
нем безотказности элементов, из которых она создается. Для вос-
станавливаемых систем существенными являются также характе-
ристики ремонтопригодности. Так, для многих типичных случаев
радиоэлементов безотказность их характеризуется интенсивностью
отказов (^-характеристикой), а ремонтопригодность — интенсив-
ностью восстановлений (^-характеристикой). Характеристики ре-
монтопригодности определяются как свойствами самих элементов,
так и уровнем организации системы, в которой они применяются
(об уровне организации см. ниже). В свою очередь, возможности
применения элементов и материалов в системах с различными уров-
нями организации во многом зависят от степени изученности харак-
теристик элементов и материалов. Общеизвестен факт, что для эле-
ментов, вероятность безотказной работы которых подчиняется экс-
поненциальному закону, теряют смысл профилактические замены,
так как надежность исправного в данный момент элемента в этом
случае не зависит от предыстории, т. е. от предыдущей наработки.
Но, во-атервых, это положение верно для интервала функционирова-
ния, меньшего долговечности элемента, во-вторых, картина меня-
ется, если для элементов изучены и установлены признаки прибли-
жения отказового состояния, даже если они (эти признаки) позво-
9
ляют предсказывать не все виды возможных отказов и время
уверенного предсказания мало. Следовательно, дополнительная
информация о долговечности элементов или признаках приближе-
ния отказовых состояний позволяет более эффективно (с меньшим
риском и большей отдачей) использовать эти элементы в системах
с обслуживанием.
Так как информация о воздействующих факторах необходима
разработчику для выбора мер защиты аппаратуры, человека и т. п.,
определяющими являются не абсолютные значения величин этих
факторов, а их соотношения с несущими способностями элементов
или средств защиты. Более того, для средств пассивной и постоян-
ной защиты определяющими могут быть: максимально достижимое
значение нагрузки, среднее значение и т. п., а скорость изменения
фактора может не оказывать влияния на решение задачи. При ис-
пользовании более гибких активных средств защиты расходование
энергии (или других ресурсов) на регулирование, стабилизацию
условий эксплуатации связано с текущим уровнем воздействий, а
следовательно, существенное значение приобретает динамическая
изменчивость факторов.
В процессе создания системы изученность воздействующих на ее
элементы факторов возрастает за счет экспериментальной проверки
взаимного влияния элементов и эффективности средств защиты,,
уточнения технологических воздействий на элементы при изготовле-
нии, технологическом контроле. В процессе применения уточняются
характеристики воздействий на систему.
Как правило, степень ответственности задач, решаемых система-
ми, может быть оценена величиной ущерба из-за невыполнения
системой своих задач. В ряде случаев, когда дело касается мораль-
ного ущерба или безопасности людей, количественная оценка за-
труднена. Ответственность решаемых системами задач определяет
уровень целесообразных (обоснованных) требований к надежности
систем, а следовательно, требований к развитию направления «на-
дежность систем».
Всеми этими факторами по существу определяется уровень на-
чальной неопределенности, с которой встречается разработчик но-
вой системы, а также необходимый уровень надежности, гарантиру-
ющий успешную и своевременную реализацию программы создания
и применения системы.
К факторам второй группы, характеризующим возможности
развития научно-технического направления, следует отнести органи-
зационное, техническое, информационное и методическое обеспе-
чение.
Организационное обеспечение включает в себя установленный
порядок планирования и реализации работ по обеспечению надеж-
ности, организацию служб надежности, существующие экономичес-
кие, административные и правовые отношения между потребителя-
ми, разработчиками и изготовителями продукции.
Техническое обеспечение определяется оснащением отраслей,
участвующих в создании и применении систем, вычислительной тех-
10
никой, экспериментальной и производственной базой, уровнем тех-
нологии й метрологии.
Информационное обеспечение включает в себя средства и спо-
собы сбора, накопления, обработки и использования данных о про:
цессе создания и результатах применения систем, данных по резуль-
татам анализа отказов, неисправностей, дефектов, замечаний, от-
ступлений, изменений документации, нарушений стабильности про-
изводства, срывов сроков и других фактов отклонений от заплани-
рованного хода создания и применения техники, а также данных по
принимаемым мерам предупреждения, контроля и защиты от пос-
ледствий этих отклонений.
Методическое обеспечение включает в себя естественно-научный
фундамент и специальные технические науки как теоретическую
базу направления, а также инженерные методы анализа надежности
систем на различных стадиях создания, методы синтеза рациональ-
ных программ обеспечения надежности, а также методы и алгорит-
мы, используемые /при реализации и анализе результатов реализа-
ции программ обеспечения надежности.
Факторами второй группы определяются условия, в которых соз-
давалось направление или начинался очередной этап его развития.
В то же время научно-техническое направление в процессе своего
развития оказывает влияние на эти условия (факторы) и соответ-
ственно на развитие других направлений.
К факторам третьей группы относят основные результаты
развития направления на данном этапе. С помощью этих результа-
тов на каждом этапе формируются начальные условия для следую-
щего этапа, т. е. определяются значения ряда факторов из первых
двух групп, Для направления «надежность техники» наиболее по-
казательным является изменение стандартов в области качества и
надежности, взаимоотношений поставщиков и потребителей про-
дукции, методологии исследования надежности. Однако главной
характеристикой развития направления является уровень организа-
ции структуры создаваемых систем и самого процесса создания и
применения техники.
Понятие организация (в смысле организованность) является
основным в кибернетике. Наличие организации между частями це-
лого эквивалентно, по словам Эшби [70], существованию ограниче-
ний в пространстве возможных состояний целого. Организация
структуры системы определяет наличие упорядоченности, обмена
информацией /между ее элементами и, как результат, гибкость и
динамическую устойчивость поведения, возможности системы эф-
фективно парировать возмущения. Организация процесса, в нашем
понимании, определяет гибкость управления процессом создания и
применения систем и возможности использования при этом управ-
лении дополнительной полезной информации, получаемой опера-
тивно.
И в том и в другом случае более высокому уровню организации
соответствует более экономичное расходование ресурсов (избыточ-
ности, заложенной в структуру системы) при одном и том же на-
11
чальном уровне неопределенности. При одном и том же уровне из-
быточности (коэффициенте полезного действия относительно веще-
ства и энергии) и уровне начальной неопределенности системы с бо-
лее высоким уровнем организации обладают большей эффектив-
ностью. Таким образом, уровень организации по смыслу близок к
информационному коэффициенту полезного действия.
Анализ указанных факторов позволил выделить три этапа раз-
вития научно-технического направления «надежность техники»:
1-й этап — 50-е годы — становление направления;
2-й этап —60-е годы — этап классической теории надежности;
3-й этап —70-е годы — современный этап («третье поколение в
надежности»).
Первый шаг в решении проблемы надежности был направлен на
выяснение причин отказов оборудования. В декабре 1950 г. Военно-
воздушные силы США организовали группу по надежности радио-
электронного оборудования для изучения проблемы и выработки
мер по повышению надежности и сокращению эксплуатационных
затрат.
В конце 1952 г. Министерство обороны США образовало кон-
сультативную группу по надежности, цель которой состояла в томг
чтобы «давать советы, стимулировать интерес к вопросам надеж-
ности и рекомендовать меры, которые привели бы к повышению на-
дежности электронного оборудования». В 1957 г. эта группа, со-
ставленная из представителей правительственных организаций и
промышленности, опубликовала доклад со своими рекомендациями.
Позднее многие из этих рекомендаций появились в военных стан-
дартах на электронное оборудование и системы. Основной причиной
возникновения проблемы надежности радиоэлектронной аппарату-
ры была низкая надежность комплектующих элементов. Поэтому
при более подробном рассмотрении перед разработчиками и иссле-
дователями встали следующие вопросы:
— каковы основные причины ненадежности элементов и пути их
устранения?
— существуют ли возможности создания надежных систем из
элементов ограниченной надежности?
— можно ли прогнозировать надежность создаваемой системы
на этапе проектирования?
Значительные успехи в деле повышения надежности элементов
были достигнуты благодаря изучению влияния на отказы таких
факторов, как температура окружающей среды, вибрации, электри-
ческая нагрузка и т.п.,и в большей мере благодаря совершенство-
ванию процесса разработки, технологии изготовления и контроля
готовой продукции. При этом был собран богатый статистический
материал для получения оценок характеристик надежности радио-
элементов в виде ^-характеристик, а также для оценки зависимости
Л-характеристик от электрических, механических и тепловых на-
грузок.
На второй вопрос тоже был найден положительный ответ: резер-
вирование ненадежных элементов и схем. Использование схем с из-
12
быточностью дало толчок к дальнейшему развитию методов анали-
за надежности, а также теоретических методов синтеза надежных
схем из ненадежных элементов [66].
Использование вероятностных моделей, основанных на гипотезе
об экспоненциальном законе распределения времени до отказа
электронного оборудования, дало положительные результаты. Та-
ким образом, появились возможности прогнозирования надежности
создаваемых систем.
Одновременно с существенным повышением надежности элект-
ронного оборудования происходит перераспределение значимости
источников ненадежности. Центр тяжести перемещается на механи-
ческое и электромеханическое оборудование, на конструкцию при-
боров и агрегатов, на стыки систем, на обеспечение работы обору-
дования в новых, порой недостаточно хорошо известных условиях.
Осознается важность экспериментальных работ для обеспечения
надежности. Переход ко второму этапу начался в 1958 г., когда
появились первые контракты, требовавшие экспериментального под-
тверждения надежности аппаратуры.
Возрастающее количество испытаний на надежность и критичес-
кий анализ причин отказов показали существование зависимости
между конструкцией приборов, технологией производства, испыта-
ниями, эксплуатационными условиями, с одной стороны, и отказами
элементов, с другой. Было осознано, что отказы имеют причины,
которые следует обнаружить и устранить. Наиболее наглядно во-
площение требований американских стандартов этого времени про-
иллюстрировано программой «Аполлон», реализация которой по
времени совпадает со вторым этапом. Обширная программа обеспе-
чения надежности в процессе производства и наземной отработки
на уникальной экспериментальной базе позволила выявить много-
численные конструктивные и технологические дефекты, которые
привели бы к отказам оборудования в полете со 100%-ной вероят-
ностью. Одновременно предусматриваются возможности гибкого
использования структурной и функциональной избыточности обору-
дования в полете.
В процессе работы на втором этапе была отмечена недостаточ-
ная эффективность прямых статистических испытаний на надеж-
ность в сочетании с последующим выборочным производственным
контролем работоспособности элементов и систем, не исключающим
отказов техники при эксплуатации.
Появились новые вопросы: как определить на самых ранних
стадиях создания системы пути и возможности обеспечения надеж-
ности? Как соразмерить программу обеспечения надежности со
степенью ответственности решаемых задач и ожидаемым от реше-
ния этих задач эффектом?
В период с 1968 г. отмечается переход к третьему этапу. К этому
времени был накоплен большой объем экспериментальных данных
и богатый опыт изготовления высоконадежных систем. Вместе с
тем не всегда обоснованное применение моделей и оценок надеж-
ности, основанных только на экспоненциальном законе, стало тор-
13
мозом в обеспечении надежности. В связи с этим НАСА был опуб-
ликован новый вариант требований по надежности:
—	четкое планирование и эффективное руководство всеми ра-
ботами в области надежности;
—	определение специальных задач в области надежности и их
роли и места в процессе проектирования и разработки;
—	оценка надежности оборудования (с учетом взаимного влия-
ния документального и математического обеспечения) путем ис-
пользования инженерного анализа, испытаний, экспертных оценок
и прогнозирования;
—	регулярная и своевременная информация о состоянии дел в
области надежности разрабатываемой системы.
Рассмотрев этапы научно-технического направления «надеж-
ность систем», можно выделить наиболее показательные для них
характеристики.
Первый этап:
а)	постановка задач, стимулирование внимания к вопросам на-
дежности; систематическое изучение и обеспечение надежности эле-
ментов;
б)	задание требований к количественным показателям надеж-
ности изделий и проверка выполнения требований путем расчетного
определения надежности при проектировании.
Второй этап:
а)	изучение надежности систем на всех стадиях их создания;
усиление внимания к экспериментальной отработке техники;
б)	задание требований к количественным показателям надеж-
ности и достоверности их определения; указание в контрактах на
необходимость экспериментального подтверждения (демонстрации)
выполнения требований по надежности.
Третий этап:
а)	использование всех практически целесообразных средств для
достижения высокой надежности изделия на возможно более ран-
ней стадии проекта;
б)	установление требований, анализ полученных и уточнение
ожидаемых результатов по основным мероприятиям обеспечения и
контроля надежности в рамках «Программ обеспечения надеж-
ности» на всех стадиях создания и применения систем.
1.2.	ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ОСНОВЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
Анализ основных этапов развития научно-технического направ-
ления «надежность техники» позволяет сформулировать основные
проблемы обеспечения надежности сложных систем на современ-
ном этапе.
Обеспечение надежности связано с реализацией многочисленных
организационных и технических мероприятий, а порой и фундамен-
тальных исследований, требующих затрат времени и средств и ка-
сающихся различных отраслей науки, техники и народного хозяй-
ства (от высококачественного сырья и до внедрения эффективных
методов эксплуатации).
Д4
Установление уровней эффективности отдельных мероприятий и
зависимостей эффективности мероприятий от затрат времени и
средств затруднено тем, что:
—	множество потенциальных источников отказов многообразно
и распределено по всем стадиям создания и применения систем,
имеет различную природу и различную статистическую устойчи-
вость;
—	отсутствуют методы и средства непосредственного измерения
надежности и, следовательно, затруднено установление строгих за-
висимостей достигнутой надежности от затраченных на это усилий;
—	экспериментальная проверка результативности отдельных
мероприятий выходит за рамки технических исследований и связа-
на с социально-экономическим экспериментированием;
—	влияние надежности (отказов) элементов на эффективность
сложной системы зависит от ее структуры и порядка применения и
может быть определено на основе соответствующей модели функ-
ционирования, трудности создания которой сопряжены с необходи-
мостью учета других свойств систем, таких, как производитель-
ность, помехоустойчивость, управляемость, а также с необходи-
мостью формализации причин, вызывающих отказы элементов.
Принятие решений в процессе создания и применения сложных
систем, в том числе и решений, связанных с обеспечением надеж-
ности, происходит в условиях существенной неопределенности. Не-
определенные факторы различаются как по своей природе (непол-
нота знаний условий эксплуатации, нечеткость знания и изменение
во времени задач, стоящих перед системой, и соответствующих по-
казателей эффективности, возможные дефекты, отказы и сбои ап-
паратуры и т. п.), так и по статистической устойчивости и по полно-
те имеющейся о них информации.
Обеспечение надежности, как одна из основных задач процесса
реализации программ создания и применения сложных систем, про-
водится в рамках организационной структуры, существующей в ос-
новных отраслях народного хозяйства, а также в соответствии с ко-
операцией предприятий и отраслей, участвующих в создании данной
системы. Поэтому одно из направлений в обеспечении надежности
заключается в совершенствовании этих организационных структур,
а также в разработке, обосновании и реализации дополнительных
организационных и экономических мероприятий, стимулирующих
повышение надежности.
С помощью организационных документов в области надежности
устанавливается единый порядок создания (модернизации) техни-
ки, определяются основные требования к службам надежности
предприятий и организаций, устанавливаются права, обязанности и
задачи подразделений надежности и других структурных подразде-
лений, вырабатываются общие правила организации обмена инфор-
мацией, ведения рекламационной работы, работ по выявлению и
устранению дефектов, организации входного контроля и т. п.
В связи с тем, что надежность является одним из наиболее су-
щественных свойств, определяющих качество продукции, а управ-
15
ление объемом производства и качеством продукции представляет
собой единый процесс управления общественным производством,
система обеспечения надежности функционально реализуется от-
раслевыми автоматизированными системами управления и автома-
тизированными системами управления предприятий в составе сис-
темы государственного управления качеством продукции.
Предварительные результаты, содержащиеся в рекомендациях
по построению и функционированию системы управления качест-
вом продукции [46], вскрывают политический, социальный, экономи-
ческий, научный и организационно-технический аспекты проблемы.
Качество продукции обусловливает пригодность ее для удовлет-
ворения определенных потребностей в соответствии с назначением.
Кроме надежности, включающей безотказность, долговечность,
ремонтопригодность и сохраняемость, качество продукции опреде-
ляется производительностью, эргономичностью (включая безопас-
ность эксплуатации), конструктивным совершенством (в том числе
степенью унификации и агрегирования узлов), технологичностью,
экономичностью, транспортабельностью, эстетичностью.
Применительно к конкретным видам продукции эти свойства
характеризуются различными показателями (единичными или ком-
плексными), которые могут быть объединены в более обобщенные
или расчленены на ряд более частных. При исследовании надеж-
ности сложных систем характеристику производительности, называ*
емую выходным эффектом системы, рассматривают в виде случай-
ной величины или функции, конкретная реализация которой насту-
пает вследствие отказов изделий, входящих в систему. Здесь воз^
можны два случая. В первом случае удается однозначно сформули-
ровать критерий отказа сложной системы в терминах выходного
эффекта. Тогда классические по форме показатели надежности
применимы и на уровне сложной системы. Во втором случае мате-
матическое ожидание выходного эффекта используют в качестве
показателя технической эффективности (эффективности функцио-
нирования) как меры качества собственно функционирования объ*
екта. Дополнительный учет экономичности продукции, т. е. затрат
на разработку, изготовление, обращение и эксплуатацию, связан с
введением показателей экономической эффективности.
Для отраслей с массовым производством, малым и стабильным
асортиментом продукции оптимально сбалансированная система
управления качеством обеспечивает стабильные характеристики ка-
чества продукции, установленные государственными и отраслевыми
стандартами. Однако такая система была бы недостаточно гибкой
для отраслей, участвующих в создании сложных систем, отличаю-
щихся большими и напряженными сроками разработки, мелкосе-
рийным производством, большими потребными капитальными вло-
жениями и кооперацией отраслей, организаций и предприятий,
участвующих в обеспечении процесса и непосредственно в самом
процессе создания и применения техники. Поэтому для решения
задач обеспечения надежности сложных систем предусматривается
использование программно-целевого метода управления процессом
16
создания и применения. На основе этого метода для реализации
единичной программы разрабатывается Единый сквозной план соз-
дания системы, который увязывает и координирует затраты, сроки
и трудоемкость всех основных работ,’проводимых кооперацией. Так
как работы, связанные с обеспечением надежности, определяют
существенную часть затрат средств и времени, а это, в свою оче-
редь, зависит от специфики создаваемой системы, то для каждой
вновь создаваемой системы предусмотрена разработка программы
обеспечения надежности (ПОН) как научно-технической основы
для составления Единого сквозного плана создания системы.
Таким образом, для каждой вновь создаваемой сложной систе-
мы необходимость и достаточность мер и средств, направленных на
обеспечение надежности, а также координация и контроль их ре-
ализации проводятся в рамках программы обеспечения надежности.
С другой стороны, результаты апробирования но1вых мер и средств
обеспечения надежности в рамках конкретной ПОН используются
для принятия решения о применении их при создании других систем,
т. е. о включении их в арсенал действующей в отрасли системы
обеспечения надежности.
Основной задачей разработки ПОН является определение обос-
нованного перечня работ и мероприятий, проводимых на всех ста-
диях жизненного цикла системы и входящих в нее изделий с целью
достижения требуемого уровня надежности. Одновременно ПОН
служит целям обоснования возможности создания системы с требу-
емой надежностью, разработки документов по надежности, плани-
рования и руководства всеми работами в области надежности, обес-
печения контроля за выполнением и оценки результатов выполне-
ния работ. Этому должны способствовать единая типовая структу-
ра ПОН, форма изложения, требования к обоснованию, порядку
разработки и рализации. В качестве типовой может быть рекомен-
дована следующая структура ПОН.
Раздел 1 «Общие положения» содержит: а) исходные данные
для разработки ПОН:
—	основные сведения по значению и структуре сложной системы
(изделия);
—	эксплуатационно-технические характеристики, в том числе
требования по надежности;
—	общие принципы и используемые пути обеспечения надеж-
ности;
—	перечень предполагаемых условий эксплуатации сложцой си-
стемы с определением совокупности внешних воздействующих фак-
торов и факторов, обусловленных взаимодействием ’подсистем;
—	способы применения, хранения, обслуживания сложной сис-
темы и составляющих изделий;
б)	перечень ПОН изделий более низких уровней структуры
сложной системы с указанием требований, предъявляемых к их
надежности;
в)	перечень научно-технических проблем, которые должны быть
решены при создании сложной системы.
17
Раздел 2 «Работы и мероприятия по обеспечению надежно-
сти» составляется в виде таблиц, в них входят:
—	перечисление работ и мероприятий по обеспечению надежно-
сти с развертыванием их по этапам и стадиям создания;
—	сроки начала и конца выполнения каждой работы (меропри-
ятия), приведенные к этапам и стадиям;
—	состав исполнителей по каждой работе (мероприятию);
—	ссылки на нормативно-технические и методические докумен-
ты, используемые при выполнении каждой работы.
Перечень работ и мероприятий, приводимых в разд. 2, рекомен-
дуется группировать по следующим основным направлениям:
а)	организационно-технические мероприятия;
б)	расчетно-теоретические работы;
в)	исследовательские, экспериментальные и испытательные ра-
боты:
г)	производственно-технологические работы;
д)	мероприятия по совершенствованию и подготовке испыта-
тельной и производственной базы.
Представляется, целесообразным включать в разд. 2 также до-
полнительные таблицы, содержащие:
— перечень потенциальных источников отказов изделия, состав-
ляемый при обосновании ПОН, с указанием ссылок на те работы?
и мероприятия ПОН, которые направлены на предотвращение,
контроль или защиту от последствий этих отказов;
— перечень подразделений и смежных предприятий, которые
являются исполнителями работ и мероприятий по данной ПОН, с
указанием ссылок на те работы и мероприятия, в исполнении кото-
рых они участвуют.
Раздел 3 «Методическое обеспечение» содержит полный пе-
речень нормативно-технических и методических документов, кото-
рыми необходимо руководствоваться при выполнении работ и меро-
приятий, предусмотренных в разд. 2. Для документов, разработка
которых предусматривается на последующих стадиях, указывается
срок разработки ((приведенный к стадиям и этапам), а также кем
разрабатывается, согласовывается и утверждается документ.
Раздел 4 «Порядок контроля выполнения и корректировки
ПОН» устанавливает:
—	контрольные точки рассмотрения хода выполнения ПОН и
возможные сроки корректировки, приведенные к стадиям и этапам;
—	порядок рассмотрения и согласования отчетных докумен-
тов по выполнению ПОН;
—	порядок принятия решений о переходе к выполнению после-
дующих задач ПОН;
—	основания для проведения корректировки;
—	порядок внесения и согласования корректировки.
Контрольные точки, как правило, привязываются к моментам
реализации отдельных стадий и этапов, результаты работ на кото-
рых оформляются в виде законченных документов и образцов.
Оформление основного содержания разд. 2, 3, 4 в виде таблиц
18
вместе с наглядностью и удобством при обосновании, составлении,
реализации и контроле, выполнения конкретной ПОН обеспечивает
возможность кодирования и использования при машинной обработ-
ке, обобщении опыта реализации ПОН в рамках автоматизирован-
ных отраслевых и межотраслевой систем информации о надежности
техники. Рекомендуемые формы приведены «в табл. 1.2.1—1.2.5.
Программа обеспечения надежности изделия разрабатывается
поэтапно. На каждой стадии создания изделия разрабатываемая
ПОН содержит полный перечень работ и мероприятий по обеспече-
нию надежности, проводимых на следующей стадии, и предвари-
тельный перечень работ и мероприятий для более поздних стадий в
том объеме и степени проработки, которые возможно осуществить
на текущей стадии. Так, программа обеспечения надежности, раз-
рабатываемая на стадии «Технические предложения», содержит
следующий полный и окончательный перечень работ, планируемых
на стадию «Эскизный проект»:
—	детальный анализ процесса функционирования системы;
—	уточнение функционально-элементной структуры системы;
—	анализ требований по надежности, оценку их выполнимости
и выбор стратегии нормирования и подтверждения требований с
учетом результатов Планируемых экспериментальных работ и сро-
ков;
—	разработку математических моделей для нормирования тре-
бований и оценки надежности;
—	выбор элементной базы и выявление изделий, лимитирующих
надежность системы;
—	анализ различных видов избыточности и режимов использо-
вания изделий системы;
—	выбор изделий аналогов, оценка уровня преемственности,
унификации и стандартизации изделий;
—	составление перечней возможных видов отказов изделий как
на основе анализа результатов эксплуатации аналогов и прототи-
пов, так и на основе экспертного анализа принципиально новых
узлов, агрегатов, изделий;
—	анализ влияния последствий отказов на функционирование
элементов более высокого уровня структуры системы и анализ вза-
имовлияния отказов изделий;
—	уточнение перечня проверенных мер и средств по борьбе с
отказами с оценкой их эффективности по результатам реализации
в составе программ обеспечения надежности изделий — аналогов и
прототипов, планирование разработки дополнительных мероприя-
тий и проверки их эффективности;
—	анализ нештатных ситуаций и путей выхода из них, обосно-
вание состава средств контроля, обнаружения нештатных ситуаций
и управления функционированием;
—	анализ технологичности конструктивно-схемных решений и
оценку ее влияния на надежность изделий;
—	планирование экспериментальной отработки, перечня мето-
дик проведения испытаний и оценки их результатов;
19
to
о
Работы и мероприятия по обеспечению надежности
Таблица 1.2.1
Работы Шифр	и мероприятия Формулировка	Характер	Действенность	Отказ	Исполнитель	Методическое обеспечение	Срок	Отчетность	Примечание
				Шифр ИЗ табл. 1.2.2	Шифр из табл. 1.2.3	Шифр ИЗ табл. 1.2.4	Шифр из табл. 1.2.5		
Распределение работ и мероприятий по типовым отказам
Таблица 1.2.2
Типовой отказ		Изделие	Период эксплуатации	Опасность появления	Опасность последствий	Мероприятия			Примечание
Шифр	Формулировка					Предупре- дительные	Контрольные	Защитные	
						Шифр из табл. 1.2.1	Шифр из табл. 1.2.1	Шифр из табл. 1.2.1	
Исполнители работ, мероприятий и методического обеспечения
Таблица 1.2.3
Исполнитель				Работы и мероприятия			Методические документы		Примечание
Шифр	Подразде- ление	Предприятие	Ведомство	Контроль	Исполнитель	Соисполни- тель	Исполнитель	Соисполни- тель	
				Шифр из табл. 1.2.1	Шифр ИЗ табл. 1.2.1	Шифр из табл. 1.2.1	Шифр из табл. 1.2.4	Шифр ИЗ табл. 1.2.4	
Таблица 1.2.4
Методическое обеспечение
Документ		Исполнители	Утверждение	Согласование	Мероприятия	Срок	Примечание
Шифр	Название						
		Шифр из табл. 1.2.3	Шифр из табл. 1.2.3 Контрольные	Шифр из табл. 1.2.3 ! точки ПОН	Шифр из табл. 1.2.1	Шифр из табл. 1.2.5 Т	а блица 1.2.5
Событие				Контрольные мероприятия	Отчетность	Контролер	Примечание
Шифр	Стадия	Этап	Формулировка				
кэ				Шифр из табл. 1.2.1		Шифр из табл. 1.2.3	
—	уточнение состава и характеристик необходимой эксперимен-
тальной и производственной базы и обоснование их достаточности.
Все эти мероприятия направлены на детальное обоснование пе-
речня мер и средств, составляющих основу ПОН на более поздних
стадиях создания. Этот перечень на стадии «Технические предло-
жения» имеет предварительный характер, и сама программа обес-
печения надежности называется (предварительной.
Программа обеспечения надежности, разрабатываемая на ста-
дии «Эскизный проект», содержит полный перечень мер и средств,
направленных на борьбу с отказами в процессе создания и эксплу-
атации. На последующих стадиях она может уточняться и коррек-
тироваться с учетом полученных результатов, но эти изменения уже
не могут носить принципиального характера. В этом смысле начи-
ная со стадии «Эскизный проект» ПОН является окончательной.
Программа обеспечения надежности обосновывается с точки
зрения полноты и достаточности перечня работ и мероприятий по
обеспечению надежности, включаемых в разд. 2, как для достиже-
ния необходимого уровня надежности, так и для установления соот-
ветствия достигнутого уровня надежности заданным требованиям в
соответствии с выбранной стратегией подтверждения.
Обоснование полноты и достаточности работ и мероприятий,
предусмотренных ПОН для достижения необходимого уровня на-
дежности, проводится с учетом выполнения организационно-техни-
ческих требований, заданных в ТТЗ (ТЗ), а также на основе прог-
нозирования возможности появления отказов и их последствий
с учетом оценки эффективности всех предусмотренных мероприя-
тий, направленных на предупреждение причин, выявление источни-
ков отказов изделий и защиту от последствий каждого типа отказов.
Основой для оценки полноты и эффективности запланированных
мер является проведение анализа типовых отказов, проявившихся
в процессе отработки, изготовления и эксплуатации изделий-анало-
гов, и получение оценок их надежности. Эти оценки используются
при прогнозе надежности изделий-аналогов в составе новой разра-
ботки с учетом эффективности предупредительных, контрольных и
защитных мероприятий. С учетом ожидаемого уровня надежности
могут быть спрогнозированы результаты испытаний, использование
которых с целью подтверждения надежности оговорено заранее.
Работы и мероприятия, предусмотренные ПОН, можно* считать
достаточными для подтверждения надежности, если прогнозируе-
мый уровень надежности превышает требуемый, а ожидаемые ре-
зультаты испытаний позволяют подтвердить заданные значения
показателей надежности с требуемой точностью.
В качестве исходной информации используются данные о заре-
гистрированных отказах, имевших место при выходном и входном
контроле штатных изделий на заводах-изготовителях и в процессе
поставки, при контроле в процессе регламентных работ, перед при-
менением и в процессе применения.
При составлении перечня типовых отказов изделий важен вы-
бор перечня изделий-аналогов, информация о которых может быть
22
использована. Однозначных рекомендаций здесь быть не может,
однако следует учитывать две тенденции:
—	чем большее количество испытаний изделий-аналогов приня-
то во внимание, тем выше гарантия, что перечень типовых отказов
включает все наиболее вероятные отказы;
—	чем более далекие аналоги изделий учитываются при ана-
лизе, тем больше возможность включения в перечень типа отказов,
не характерного для нового изделия.
Кроме того, перечень типовых отказов может быть выполнен
путем проведения экспертиз вновь разрабатываемой проектной, тех-
нологической и эксплуатационной документации специалистами
различных профилей с упорядочиванием гипотетических источников
отказов в рамках всего перечня.
При соответствующей обработке информации об отказах долж-
ны быть получены ответы на следующие вопросы:
—	на какой стадии создания изделия заложен потенциальный
источник отказа;
—	что является материальным носителем источника отказа;
—	сколько источников отказа данного типа в изделиях-ана-
логах;
—	какие предупредительные, контрольные и защитные меры ис-
пользовались на изделиях-аналогах;
—	каковы возможные последствия отказа данного типа;
—	каковы возможности предупреждения, выявления и защиты
от последствий отказа данного типа существующими методами и
средствами.
. В результате предварительного анализа выделяются группы от-
казов, по которым известны или предлагаются новые мероприятия
предупредительного характера, гарантирующие исключение воз-
можности их появления в дальнейшем. Оставшиеся в перечне отка-
зы систематизируются с точки зрения возможности использования
контрольных мер и средств для выявления их в процессе создания
изделия, а также защиты от последствий этих отказов в процессе
эксплуатации.
С этой целью анализируются причины несвоевременного обнару-
жения отказов на изделиях-аналогах, выделяются признаки подо-
бия этих отказов, выявляются и проверяются возможности прогно-
зирования времени появления отказов с помощью универсальных
или специализированных (встроенных) средств диагностики и не-
разрушающего контроля.
На основе анализа возможностей своевременного выявления от-
казов изделий выделяется группа типовых отказов, выявление
которых до начала применения изделия невозможно или нецелесо-
образно. Для этой группы отказов уточняется эффективность за-
планированных предупредительных и контрольных мероприятий и
прогнозируется вероятность появления этих отказов при эксплуата-
ции. Эти исходные данные учитываются при предъявлении требо-
ваний к средствам оперативного контроля состояния и управления
функционированием изделия.
2а
1.3. МЕРЫ И СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ
Как уже было сказано, программа обеспечения надежности из-
делий любого уровня содержит планируемые мероприятия обеспе-
чения надежности на этом уровне, перечень программ обеспечения
надежности изделий следующего иерархического уровня, требова-
ния по надежности, предъявляемые к этим изделиям, как в форме
количественных значений показателей безотказности, долговечно-
сти, ремонтопригодности и сохраняемости, так и в форме организа-
ционно-технических мер и средств (требований), обязательных для
включения в ПОН изделий нижнего уровня.
Для изделий следующего иерархического уровня, созданных и
применяемых в других реализованных программах, общие положе-
ния ПОН содержат оценки количественных показателей надежно-
сти, исходные официальные данные, на основе которых эти оценки
получены, и дополнительные требования к условиям контроля, по-
ставки и эксплуатации готовых образцов этих изделий, включая
вопросы накопления информации о надежности по результатам
применения всех или подконтрольных групп изделий данного типа.
Для уровней и типов изделий, состоящих из конструктивно са-
мостоятельных и относительно автономных изделий следующего
уровня, специфика мероприятий по обеспечению надежности заклю-
чается в том, что они довольно четко могут быть разделены на две
части. Первая из них реализуется на ранних стадиях опытно-конст-
рукторских работ, когда определяются главные задачи и необходи-
мые уровни надежности изделий нижнего уровня. С этой целью
в процессе исследований, связанных с определением возможностей
вновь создаваемого изделия, систематизируются данные о структу-
ре и процессе применения, о характерных условиях применения, об
использовании информации о результатах применения одних изде-
лий для принятия решений о способах использования других и т. д.
Вторая часть мероприятий планируется на заключительных ста-
диях опытно-конструкторских работ и направлена на отработку и
проверку взаимодействия изделий нижнего уровня. В тех случаях,
когда изделие состоит из функционально самостоятельных, но кон-
структивно связанных частей, не удается обеспечить и подтвердить
надежность изделий следующего уровня независимо друг от друга.
В этом случае исследование надежности и анализ достаточности
-запланированной ПОН в большей степени базируется на оценке на-
дежности изделия-аналога и анализа перечней типовых отказов и
мероприятий.
Для удобства и полноты планирования и контроля работ по
обеспечению надежности вводится классификация отказов и меро-
приятий, позволяющая указать, на какой стадии создания или при-
менения изделия может быть заложен в техническую документацию
или материальную часть потенциальный источник отказов опреде-
ленного типа (конструкционный, производственный, эксплуатаци-
онный) и когда по отношению к нему может быть применено соот-
ветствующее мероприятие (предупредительное, контрольное, защит-
24
ное). Такая привязка позволяет планировать распределение меро-
приятий по всем стадиям создания изделия.
Оценка полноты и достаточности программы обеспечения надеж-
ности может быть проведена при наличии информации о возможно-
сти (вероятности) появления потенциального источника отказа, об
эффективности предусмотренных мероприятий и о критичности дан-
ного отказа на стадии применения изделия.
При абсолютной эффективности мероприятий для каждого воз-
можного отказа достаточно применение хотя бы одного мероприя-
тия. Из статистических данных следует, что уровень затрат на реа-
лизацию мероприятий на более поздней стадии создания возраста-
ет примерно на порядок. Из мероприятий, применяемых на одной
и той же стадии, как правило, целесообразнее использовать более
универсальное, так как при этом уменьшается необходимая номен-
клатура методов, технических средств, повышается их унификация.
Оценка эффективности отдельных мероприятий может произво-
диться на основе специально поставленного эксперимента (при
имитации отказов), а также на основе обработки информации о де-
фектах и отказах, выявленных в процессе создания и применения.
Рассмотрим несколько подробнее различные типы мероприятий.
Предупредительные мероприятия по отношению к отказам кон-
струкционного и производственного характера базируются на ис-
пользовании опыта, накопленного при разработке аналогичных из-
делий. Это касается конструкторских и технологических решений,
перспективных элементов, прогрессивных технологических процес-
сов, запасов по энергетике, массе, габаритам и т. п.
Для обеспечения наиболее рационального использования ресур-
сов, выделенных на создание изделия, разработчику необходимо
рассмотреть очень большое число вариантов, что связано с много-
численным (повторением сложных расчетов, запоминанием больших
массивов исходных данных и результатов, наконец, систематизаци-
ей и наглядным представлением всей этой информации для исполь-
зования при принятии решений, что может быть реализовано только
путем внедрения в практику создания изделий методов машинного
проектирования.
Машинное проектирование призвано значительно повысить про-
изводительность разработчика (конструктора, технолога) за счет*
рационального распределения функций, выполняемых в процессе
проектирования, между человеком и вычислительной машиной в
соответствии с их способностями и возможностями.
Уже при современном уровне развития вычислительной техники
и математического обеспечения автоматизации подлежит:
—	систематизация, хранение и выдача по запросу всех справоч-
ных, нормативных и других данных;
—	проведение расчетов по типовым методикам;
—	моделирование процесса функционирования системы;
—	обработка, документирование и отображение результатов
расчетов и моделирования;
25
—	разработка технологических процессов для отдельных видов
обработки материалов;
—	разработка алгоритмов и схем контроля состояния аппара-
туры;
—	отработка алгоритмов управления для систем с вычислитель-
ными машинами в контуре управления и т. д.
При этом за человеком остаются творческие задачи, связанные
с применением новых идей, осмысливанием результатов, принятием
решений.
Выявление потенциальных источников отказов, заложенных в
конструкторскую документацию, производится путем изготовления
опытных образцов (в строгом соответствии с этой документацией)
и проверки их работоспособности и всех основных технических ха-
рактеристик. С целью экономии времени и средств отдельные про-
ектные решения могут быть проверены на макетах, сохраняющих
подобие только для исследуемого свойства, но при’этом необходи-
мы гарантии действительного обеспечения подобия.
Работоспособность системы проверяется последовательно, начи-
ная с автономной проверки приборов и агрегатов и заканчивая
комплексной проверкой системы в целом, с учетом взаимодействия
и взаимовлияния составляющих элементов. Достаточность раздель-
ной имитации воздействующих факторов также должна быть под-
тверждена комплексными испытаниями или результатами эксплуа-
тации систем-аналогов.
Так как часть конструкторских отказов проявляется только при
определенных сочетаниях технических характеристик и воздейству-
ющих факторов, их выявление требует большого числа испытаний
либо проверки запасов работоспособности.
Одной из задач экспериментальной отработки является провер-
ка эффективности методов и технических средств диагностики и за-
щиты от вредных последствий отказов, впервые используемых или
недостаточно проверенных ранее.
Развитие средств диагностики и неразрушающего контроля поз-
воляет повысить эффективность контрольных мероприятий за счет:
—	обеспечения полноты проверки параметров;
—	использования многократного контроля различными метода-
ми и средствами;
—	снижения вредных воздействий на аппаратуру во время
контроля;
—	распознавания сочетаний параметров, потенциально опасных
для работы аппаратуры;
—	прогнозирования поведения определяющих параметров.
Большое значение имеет обеспечение рационального распреде-
ления контрольных операций по технологическим циклам производ-
ства и сборки.
Ограниченнная эффективность предупредительных и контроль-
ных мероприятий по отношению ко всему множеству потенциальных
источников отказов приводит к тому, что в процессе применения из-
делия происходят отказы элементов систем.
26
Как уже говорилось выше, введение различных видов избыточ-
ности позволяет системе выполнить задачу даже после отказов от-
дельных элементов. При этом необходимо свести к минимуму вред-
ные последствия отказов: локализовать отказ, предотвратить взры-
вы, пожары, короткие замыкания и т. п. Необходимо, наконец, на-
илучшим образом использовать имеющуюся избыточность. Другими
словами, для систем, применяемых в условиях высокой начальной
неопределенности, необходимо обеспечить соответствующий уровень
организации процесса применения введением обслуживания аппа-
ратуры, контроля состояния, сигнализации об отказах и т. п.
1.4.	ЗАДАЧИ РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ
ЭФФЕКТИВНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
В результате беглого обзора основных этапов развития научно-
технического направления «надежность техники», описания органи-
зационных основ, а также рассмотрения мер и средств обеспечения
надежности можно представить себе широкий круг проблем, с ко-
торым сталкивается современная теория надежности.
Ретроспективный анализ развития направления не был бы
оправдан и полезен, если бы не позволял выявить и с какой-то сте-
пенью уверенности прогнозировать основные тенденции дальнейше-
го развития направления. Эти тенденции таковы, что вместе с рос-
том начальною уровня неопределенности, при котором начинается
разработка новой системы, растут требуемые гарантии успешной
реализации программы создания системы при возрастании напря-
женности сроков разработки и изготовления. Все это происходит в
условиях дальнейшей интеграции отдельных отраслей и даже госу-
дарств, т. е. усиления взаимовлияния программ друг на друга и
централизации управления.
Естественный выход из положения состоит в неуклонном росте
уровня организации структуры создаваемых систем, а также уров-
ня организации процессов их создания и применения. Материаль-
ной базой такого выхода является современная техническая рево-
люция, которая меняет информационную основу существования че-
ловеческого общества. Ясно, что это требует создания новой мето-
дологии, адекватной сложности решаемой проблемы.
На втором этапе развития научно-технического направления
«надежность техники» (к 1965 г.) было по существу завершено соз-
дание классической теории надежности, основой которой являлась
теория вероятностей и математической статистики, а в качестве на-
учного метода использовались аналитический и методологический
фундамент статистического экспериментирования [16, 34]. Основа-
ния этого научного метода сводятся к следующему:
а)	выдвигается гипотеза, основанная на теории или опыте;
б)	предлагается метод испытаний и производятся наблюдения;
в)	наблюдения сравниваются с ожидаемым поведением, соответ-
ствующим принятой гипотезе;
г)	подытоживается полученная информация и делаются выводы;
д) вырабатывается более усовершенствованная гипотеза;
27
е) цикл от выдвижения до усовершенствования гипотезы (пп.
б—д) будет продолжаться до тех пор, пока гипотеза не будет доста-
точно усовершенствована и подтверждена.
Например, в рамках программы создания конкретного изделия
разработку проекта можно считать выдвижением начальной гипо-
тезы. Изготовление и испытание опытных образцов с корректиров-
кой документации замыкают цикл совершенствования и проверки
гипотезы, который повторяется до тех пор, пока изделие не будет
удовлетворять поставленным требованиям. Кстати, на первом этапе
развития направления «надежность техники» экспериментальные
данные о соответствии (или несоответствии) изделия заданным
требованиям по надежности можно было получить только при экс-
плуатации изделий и использовать при разработке нового аналогич-
ного изделия. В этом смысле уровень организации процесса созда-
ния изделия на втором этапе (при классическом подходе) уже вы-
ше, чем на первом, так как информация, полученная в процессе
экспериментальной отработки, используется для управления ходом
создания изделия.
Особенности исследования и обеспечения надежности систем на
современном этапе накладывают существенные ограничения на
возможности применения статистического экспериментирования в
качестве единственной основы научного метода. Приходится ис-
пользовать и специфические черты социально-экономического экс-
периментирования и управления, к ним относят:
—	невозможность постановки реального эксперимента, позволя-
ющего проверить гипотезу в целом (подтверждаются или опро-
вергаются лишь некоторые частные выводы, полученные на основе
исходной гипотезы);
—	социальные и экономические механизмы ряда явлений не
поддаются полной формализации;
—	нестационарные изменения ряда существенных факторов,
связанные с прогрессом общества, экономики, техники и науки,
включающие в себя и медленную эволюцию и быстрые скачки.
Таким образом, речь идет о формулировании и использовании в
качестве научного метода исследования и обеспечения надежности
сложных систем аналитических и методологических основ статисти-
ческого и социально-экономического экспериментирования и управ-
ления.
Новая методология реализуется многоуровневой и многоцелевой
системой принятия решений, обеспечивающих выбор, оперативное
уточнение и реализацию рациональных путей достижения гаран-
тированного результата при применении систем. В основе этой ме-
тодологии лежат следующие общие принципы.
Принцип гарантированного результата. В тер-
минах теории исследования операций этот принцип был сформули-
рован Ю. Б. Гермейером следующим образом [13]: «... при данном
критерии эффективности оценка эффективности стратегий (и вы-
бор их) должна происходить на основе получения гарантированной
(максимально гарантированной) величины критерия эффективно-
28
сти при данной информированности исследователя операции и пред-
полагающейся при формировании рассматриваемых стратегий
информированности оперирующей стороны об обстановке опера-
ции».
Другими словами, сравнение стратегий (решений) может про-
изводиться только на основе гарантированных значений показате-
ля эффективности (надежности) системы с учетом всей неопреде-
ленности, при которой принимается решение (выбирается страте-
гия). Общность и конструктивность этого принципа заключается
в том, что его последовательное применение позволяет увязать (со-
отнести) уровень и форму требуемых гарантий с различными фор-
мами задания неопределенности, включая случайные события, ве-
личины, процессы, а также области возможных значений неизвест-
ных детерминированных величин и параметров распределений.
Нетрудно заметить, что принцип гарантированного результата
применительно к классической теории надежности позволяет оце-
нить гарантии относительно заданного показателя надежности.
Так, гарантированная оценка в виде двухчасового среднего времени
работы прибора (при показателе — среднее время безотказной ра-
боты— Тср) ничего не гарантирует в смысле самого времени без-
отказной работы конкретного образца, последнее случайно и может
оказаться как угодно малым.
Принцип стохастического детерминизма. Обес-
печение гарантированного результата при воздействии на систему
случайных воздействий опирается на устойчивость результатов мас-
совых случайных явлений. Общие формы такой устойчивости зало-
жены в закон больших чисел и предельные теоремы теории вероят-
ностей. Это явление названо стохастическим детерминизмом впер-
вые, по-видимому, в работах Ю. В. Чуева [65].
Явление стохастического детерминизма во многих случаях об-
легчает построение и изучение моделей сложных массовых явлений,
позволяя легко учесть или пренебречь, когда это допустимо, элемен-
тами случайности. Однако сам принцип стохастического детерми-
низма состоит в активном, целенаправленном использовании этого
явления путем введения в процесс создания и применения систем
повторяющихся или различных, но многочисленных операций и ре-
шений, дающих случайный в каждом отдельном случае, но устойчи-
вый в совокупности результат. Принцип стохастического детерми-
низма позволяет обеспечить и использовать гарантии относительно
результата случайного массового явления. Так, если вернуться к
рассмотрению вышеупомянутого прибора с гарантированной оцен-
кой среднего времени безотказной работы Тср, не имея высоких га-
рантий относительно времени безотказной работы каждого образца,
можно получить суммарное время Та работы N приборов сколь
угодно близким к ТСр XN при увеличении N.
Принцип последовательного снятия неопреде-
ленности на основе обучения и повышения уров-
ня организации. В условиях, когда нет полной информации о
случайных механизмах, лежащих в основе явления, когда ряд явле-
29
н'ий не обладает свойствами статистической устойчивости и, нако-
нец, когда отсутствует естественный фактор массовости, в нашем
распоряжении нет решения, приняв которое мы могли бы снять
(компенсировать) всю неопределенность относительно результатов
применения системы (т. е. обеспечить гарантии только на основе
двух первых принципов).	t
Выход состоит в поэтапном последовательном снятии неопреде-
ленности. Однако для этого нужна принципиальная возможность
получения и использования получаемой дополнительной информа-
ции для последовательного улучшения стратегий поведения, нужна
избыточность ресурсов и возможность их гибкого расходования.
Этот принцип, по своей идее, восходит к закону необходимого раз-
нообразия У. Р. Эшби [70]: только разнообразие регулятора может
уменьшить разнообразие исходов, создаваемое средой, и критерию
свободы выбора Д. Габора [70]: управлять в данный момент време-
ни нужно так, чтобы осталась свобода выбора решений в последу-
ющий момент времени, когда будет приниматься следующее ре-
шение.
Однако мы идем дальше и говорим, что при заданном уровне
избыточности (коэффициенте полезного действия относительно
энергии и/или вещества) возможности (разнообразие) регулятора
могут быть увеличены путем повышения уровня организации (ин-
формационного коэффициента полезного действия) системы или
процесса. Кроме потерь, связанных с использованием неидеальных
преобразователей энергии и вещества, мы вынуждены планировать
потери на компенсацию нашего незнания (неопределенности). Эти
потери можно снизить, получив необходимую информацию до при-
нятия решения о распределении ресурсов на компенсацию неопре-
деленности. Если же такую информацию можно получить только
в процессе создания или применения системы, речь идет о выборе
и использовании последовательности решений, т. е. гибкой страте-
гии. Гибкость стратегии связана с тем, насколько часто могут при-
ниматься решения и насколько точно и оперативно они могут ис-
полняться: естественным образом приходим к понятию информаци-
онной мощности стратегии и к гипотезе о существовании оптималь-
ного уровня информационной мощности, связанного с уровнем на-
чальной неопределенности и с уровнем избыточности, т. е. КПД
относительно энергии и вещества.
Из сказанного вытекает, что на современном этапе перед теори-
ей надежности встала задача развития методологических основ.
Вполне возможно, что задачи принятия решений в условиях высо-
кой начальной неопределенности, столь характерные для проблемы
обеспечения надежности сложных технических систем, проблемы
повышения эффективности процессов создания и применения слож-
ных систем, выходят за рамки предмета теории надежности и яв-
ляются общими для теории систем [37, 38, 40] и методологии
исследования операций [1, 10, 13]. Тем не менее предлагаемые
ниже постановки задач, методы и алгоритмы их решения родились
именно в процессе исследования задач надежности. Предлагаемые
30
в следующей главе общая 'схема проведения исследования задач
с высокой начальной неопределенностью, экспликации основных
понятий, используемых в процессе обоснования решений, варианты
строгого формулирования основных принципов и иллюстрации
использования указанных принципов на примерах задачи оценки
надежности систем по результатам испытаний и задачи сравнения
стратегий обеспечения и подтверждения надежности — это все
только первые шаги в направлении формирования новой методо-
логии.
Необходимость постановки новых задач исследования эффектив-
ности и надежности вытекает из характера основных качественных
изменений, происходящих в сфере проектирования, изготовления
и применения сложных систем в процессе научно-технической ре-
волюции. Интеграция различных научно-технических направлений
и отраслей на первый план выдвигает проблему планирования и
управления процессом создания и применения различных классов
сложных технических систем как единой иерархической многоуров-
невой человеко-машинной -системы.
Для решения этой проблемы в первую очередь необходимо фор-
мирование системы понятий и способов измерений, учитывающих
специфику индивидуального и общественного поведения человека,
определяющего способность системы к самоотображению, адапта-
ции, целеустремленности. Необходима разработка многоуровневой
системы координируемых относительно главной цели показателей
для оценки эффективности и обоснования решений на каждом уров-
не. Возникает задача проведения исследований в процессе пла-
нирования и управления. Эти исследования должны обеспечи-
вать многоэтапное уточнение модели всего процесса, прогнозирова-
ние отдельных факторов и тенденций, выбор рациональных и гаран-
тированных стратегий, адекватных по своей гибкости (информаци-
онной мощности) текущему уровню неопределенности решаемой
задачи.
Решение названных задач требует соответствующего информа-
ционного и математического обеспечения. Возникает задача разра-
ботки комплекса стандартных программ, обеспечивающих решение
задач исследования, а также накопление и обработку больших мас-
сивов цифровой и символьной информации. Стандартные програм-
мы должны иметь возможность реализовать целый спектр (ряд)
моделей, методов прогнозирования и оптимизации с различными
характеристиками точности, быстродействия и т. п.
Естественно, что для реализации многих алгоритмов и программ
потребуется разработка новых методов и аппарата решения. В пер-
вую очередь это будут рекуррентные методы последовательного на-
копления информации, обучения и самоконтроля. Используемый
математический аппарат все в большей степени будет соответство-
вать одному из трех типов задач обоснования решения: задач клас-
сификации с ответом «да» — «нет», задач упорядочения с ответом
«больше» — «меньше» и задач измерения с ответом «столько-то».
ГЛАВА 2
МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
2.1. ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
Под принятием решения обычно понимается выбор одной аль-
тернативы (единственное решение) или подмножества альтернатив
из некоторого множества способов поведения (стратегий), направ-
ленных на достижение определенной цели. Результаты применения
рассматриваемых стратегий характеризуются множеством исходов,
различаемых нами с точки зрения достижения поставленной цели.
Именно достижение (приближение) цели является побудительным
мотивом любой сознательной деятельности. Поэтому в качестве пер-
вого этапа исследования предлагается описание множества исходов
и переход от понятия цели к его экспликации в виде показателя
эффективности, определенного на множестве исходов.
Следует сразу заметить, что степень категоричности суждений,
использованных при описании цели, может оказаться неоправданно
высока. Это в первую очередь касается так называемых «качествен-
ных целей», которые могут быть только или достигнуты, или не
достигнуты, особенно если принятие решения производится в усло-
виях существенной неопределенности. После того как в процессе
обоснования решения выявляется недостижимость поставленной це-
ли, возможна корректировка понимания цели и соответствующее
уточнение показателя эффективности. Этот этап является заключи-
тельным для всего проведенного цикла исследования, логическая
схема которого изображена на рис. 2.1, и исходным для нового
цикла.
Любой способ поведения в нашем представлении связан с про-
ведением (или непроведением) определенных мероприятий, расхо-
дованием ресурсов времени, средств производства, рабочей силы,
сырья и т. п. Все расходуемые расурсы, принимаемые в расчет при
данном исследовании, описываются в виде множества активных
средств. Задание стратегий заключается в указании количества,
состава и динамики расходования активных средств в процессе до-
стижения цели. В общем случае разработка (формирование) стра-
тегий может быть совмещена со вторым этапом исследования, на
котором производится описание способов действия. Если же при
дальнейшем исследовании окажется, что среди рассмотренных
стратегий не оказалось удовлетворительных, т. е. позволяющих
достигнуть цели в рамках заданных ограничений на активные сред-
ства, возможно уточнение исследуемых альтернатив как за счет
32
снятия некоторых ограничений на активные средства, так и за счет
разработки более совершенных способов действий.
Существенным является и тот факт, что при разработке (описа-
нии) способов действий, как правило, в первую очередь выбира-
ются и исследуются наиболее простые стратегии в смысле исполь-
зования минимума из имеющейся или ожидаемой информации о
реальных условиях. Поэтому может возникнуть необходимость пов-
Рис. 2.1.
торения цикла исследований для описания и анализа более слож-
ных стратегий, в том числе предусматривающих расходование ак-
тивных средств на получение и использование дополнительной ин-
формации.
Дальнейшее исследование предполагает построение (использо-
вание) модели, позволяющей связать множество стратегий с мно-
жеством исходов, с тем чтобы перенести неравнозначность, задан-
ную на множестве исходов и являющуюся единственной информа-
цией для обоснования (осуществления) выбора, на множество стра-
тегий.
На результаты применения стратегий может влиять бесконечное
множество факторов, не зависящих от выбранной стратегии, так
называемые «условия реализации стратегий». Предполагается, что
имеется возможность при построении модели учесть все наиболее
существенные условия и оценить возможные погрешности исполь-
зуемой модели. Учитывая, что любая мыслимая математическая
или физическая модель отражает лишь часть факторов реальных
условий, вопрос выбора модели с учетом оценки ее адекватности и
2	2239
33
точности является центральным вопросом методологии исследо-
вания.
Требования к модели определяются:
—	смыслом решаемой задачи, т. е. структурой множеств стра-
тегий и исходов, а также характером соответствия, которое необхо-
димо установить между этими множествами;
—	имеющейся информацией о условиях реализации стратегий,
которая включает данные о всех существенных для данной задачи
факторах, множествах их возможных значений, характере их изме-
нения, взаимодействия и т. д.
Следует различать составляющие погрешности модели, вызван-
ные неполнотой и/или ошибочностью исходной информации об усло-
виях реализации стратегий и допущениями и упрощениями, вводи-
мыми исследователем при построении модели. Первую составляю-
щую погрешности принципиально невозможно оценить в рамках
теоретического исследования, она может быть обнаружена только в
процессе или после реализации принятых решений. Вторая состав-
ляющая может и должна быть учтена в процессе исследования.
Только об этой составляющей погрешности модели в дальнейшем
и будет идти речь.
Для обоснования выбора на множестве стратегий, как правило,
нет необходимости построения абсолютно точной модели в смысле
использования всей исходной информации. Так, например, при
оценке приемлемости решения, заключающегося в выборе запаса
прочности, бывает достаточно проведения детерминированного рас-
чета на «наихудший случай» или в нескольких крайних точках ди-
апазона изменения нагрузки. Однако если обоснованное таким
образом решение неприемлемо по другим соображениям, например,
по массе изделия, то требуется создание статистической модели или
проведение вероятностного расчета с учетом имеющейся информа-
ции о распределении нагрузок в заданном диапазоне. Далее при
проведении статистического моделирования могут быть сформули-
рованы условия оценки приемлемости решения с учетом получаемой
в процессе моделирования оценки величины интересующего нас
параметра и текущей погрешности модели, определяемой конечным
числом реализаций. Можно определить оптимальную периодичность
проверки этих условий по критерию минимума затрат машинного
времени и т. д.
Таким образом, третий этап исследования — создание модели —
можно считать завершенным, если задан (описан, сформулирован)
способ построения необходимого соответствия на декартовом про-
изведении множеств исходов и стратегий с учетом неопределенно-
сти, имеющейся на момент проведения исследования. При этом мы
либо наперед знаем и учитываем погрешность используемой модели,
либо, используя метод статистического моделирования, имеем за-
висимость погрешности модели от планируемого числа реализаций.
Наконец, можем предусмотреть текущую оценку погрешности моде-
ли на четвертом этапе исследования и сформулировать условия
окончания исследования по обоснованию решения, а ^акже перехо-
34
да при необходимости к одному из новых циклов исследования,
принимая одно из следующих промежуточных решений (см.
рис. 2.1):
—	продолжить анализ на модели;
—	уточнить модель;
—	уточнить альтернативы;
—	скорректировать цель.
В следующих пунктах данной главы в соответствии с логической
схемой для каждого этапа дается краткий обзор типичных подхо-
дов с позиций общей теории систем [37, 38, 40] и методологии иссле-
дования операций [1, 10, 13], а также вводятся основные опреде-
ления.
2.2.	ОПИСАНИЕ ЦЕЛИ
2.2.1.	Анализ требований
Понятие цели является одним из первичных в исследовании опе-
раций. Оно используется уже в определении операции: «... совокуп-
ность действий, мероприятий, направленных на достижение неко-
торой цели, т. е. совокупность целенаправленных действий» [13];
<-... любое мероприятие (или система действий), объединенное еди-
ным замыслом и направленное к достижению некоторой цели» [10]
и более того: «Пока не задана цель, не существует и операции» [13].
Выбор цели и ее математического эквивалента — критерия эф-
фективности— является сутью постановки задачи обоснования ре-
шений. «Незнание или недостаточно точное знание критерия эффек-
тивности есть прямое следствие недостаточно четкого понимания
цели операции... Это незнание может лишить какого-то ни было
смысла исследования операции и само проведение ее» [13].
В чем же заключается свобода воли и зависимость от требова-
ний объективного мира при выборе (описании) цели?
Конечно же речь не идет о произвольном пересмотре дерева це-
лей, соответствующего всем уровням иерархии, изучаемой исследо-
вателем. Не вызывает сомнения и однозначность понимания пред-
мета исследования, например, того, что речь идет о повышении на-
дежности конкретного вида продукции. Тем не менее, когда мы
ставим перед собой задачу конкретного уточнения понятия цели,
остается большая неоднозначность, связанная с произвольностью
выбора уровня рассмотрения, а также с субъективностью разделе-
ния учитываемых факторов на «существенные» и «несуществен-
ные».
Попробуем пояснить это на примере. Пусть речь идет о выборе
одного из трех возможных путей повышения надежности электрон-
ного прибора:
1)	резервирование ненадежного элемента;
2)	введением операции отбраковки ненадежных элементов;
3)	доработка ненадежного элемента.
Кроме выбора показателя надежности рассматриваемого при-
бора, для принятия окончательного решения могут оказать сущест-
венное влияние: ограничение на массу и габариты прибора, стадия
2*
35
создания прибора, объем применения приборов, объем применения
ненадежных элементов помимо данного прибора и многое другое.
При этом может возникнуть ситуация, когда векторный показатель
эффективности, учитывающий одновременно массу и надежность
прибора, не позволяет принять однозначного решения. Или может
оказаться, что менее выгодная для данного прибора доработка эле-
мента оправдывает себя с учетом всего объема производства и при-
менения ненадежного элемента.
Требования к показателю (критерию) эффективности можно
условно разбить на две группы:
1) требования «снизу», идущие от специфики задачи обоснова-
ния решения;
2) требования «сверху», накладываемые целевой направлен-
ностью рассматриваемой операции.
Для уточнения первой группы требований вновь обратимся к ме-
тодологии исследования операций. «Чтобы судить об эффективности
операции (т. е. степени ее приспособленности к выполнению стоя-
щей задачи) и сравнивать между собой по эффективности различно
организованные операции, нужно иметь некоторый численный кри-
терий оценки или показатель эффективности» [10]. «В данной опе-
рации цель единственна. Степень соответствия хода операции
поставленной цели характеризуется достигаемым значением функ-
ционала, именуемым критерием эффективности. Так же, как и цель,
критерий эффективности единственен» [13].
Следствием неопределенных ситуаций часто являются непол-
ностью сформулированные модели операции, в которых нет едино-
го критерия эффективности. Вместо этого появляется вектор-функ-
ция контролируемых и неконтролируемых факторов, состоящая
обычно просто из всех фазовых координат или их части. Очевидно,
каждую координату вектора следует увеличивать (илиуменьшать),
но остается неясным, какие именно комбинации значений коорди-
нат вектора следует предпочитать другим, когда нет возможности
(а это обычно) увеличивать или уменьшать их одновременно [13].
«Крайне желательно, чтобы критерий был единственным (и,
следовательно, включал в себя результаты всех остальных процес-
сов), так как в случае, двух критериев и 'более исследование значи-
тельно усложняется, а в некоторых случаях становится просто не-
возможным» [65].
«Целевая функция является математическим выражением ре-
зультата действия, процесса. Ее также называют критериальной
функцией или показателем качества. Должна максимизироваться
или минимизироваться одна и только одна целевая функция. Це-
левая функция должна быть выражена через переменные управ-
ления. Желательно пользоваться целевой функцией, имеющей экс-
тремум. К нежелательным формам целевой функции относятся
функции, имеющие разрыв, локальные экстремумы, и неоднознач-
ные функции» [32].
Аналогично в общей теории систем имеем: «Абстрактной систе-
мой называется некоторое собственное подмножество Ха множества
36
X. Введение функционала качества с технической точки зрения
означает, что вводится некоторое отображение на множество дей-
ствительных чисел» [37]. «Целевой функцией g называется функция
g: X—отображающая множество решений X в множество пла-
тежей V, частично или полностью упорядоченное отношением
[38].
Требования «сверху», накладываемые спецификой рассматрива-
емой операции, ее целевой направленностью иногда формируют как
требование представительности критерия: «Представительность
критерия означает оценку основной (а не второстепенных) задачи
операции» [65]. Объективность требований, накладываемых целевой
направленностью операций, связанных с созданием и применением
технических систем, следует из того, что любая техническая систе-
ма разрабатывается для удовлетворения конкретных потребностей
и эффективность операции не может не зависеть от степени удов-
летворения этих потребностей. «Для уяснения цели необходимо
определить внешние по отношению к рассматриваемой организации
(оперирующей стороне) потребности или желания, которые она
стремится удовлетворить» [1].
Из основных положений теории координации многоуровневых
иерархических систем для критериев всех уровней автоматически
вытекает требование учета целесообразности наших действий с бо-
лее общих позиций [38]. Но любая реальная постановка задачи
предполагает заданной глобальную цель (цель верхнего уровня).
При этом гарантией правильной формулировки цели могут быть
опыт и интуиция исследователя либо проведение дополнительного
исследования на более высоком уровне с целью проверки коорди-
нируемости показателей эффективности. Последний выход тоже не
может дать полных гарантий, так как ошибку можно повторить и
на более высоком уровне. Однако, как правило, для объединенных
операций (на более высоком уровне) цель и критерий эффектив-
ности формулируются проще.
Попробуем проиллюстрировать это на примере. Целевым назна-
чением метеорологической системы является сбор нескольких видов
информации о состоянии атмосферы и ее энергетическом балансе с
учетом лучистой энергии Солнца и Земной поверхности. Формиро-
вание информационного показателя эффективности метёосистемы
затруднено тем, что на данном уровне нет однозначной оценки
вклада различных видов информации в суммарную полезность сис-
темы. На следующем иерархическом уровне (метеослужбы) инфор-
мация используется для долгосрочных и краткосрочных прогнозов
погоды. Для каждого вида прогноза количество, полнота и опера-
тивность получаемой информации влияют на качество (достовер-
ность) прогноза в разной степени. На этом уровне согласование
информационного показателя метеосистемы может быть проведено
с показателями качества прогноза каждого вида. Сохраняющаяся
и в этом случае неоднозначность может быть устранена при согла-
оовании с критерием эффективности использования прогнозов в
народном хозяйстве. В качестве такого критерия используется сум-
37
марный предотвращенный (на основе прогнозов) ущерб или раз-
ность между предотвращенным ущербом и затратами на получение
и использование прогнозов. Правильность выбора критерия эффек-
тивности на данном уровне не вызывает сомнения.
Подводя итог обзору требований к описанию цели и показателю
эффективности, можно сделать следующие выводы.
1.	Перед формальным описанием цели, т. е. перед заданием по-
казателя эффективности, должно быть определено пространство
цели, т. е. множество всех мыслимых исходов (результатов) реали-
зации рассматриваемых альтернатив (решений).
2.	Пространство цели (множество исходов) должно учитывать
(содержать) все существенные для данной задачи составляющие
выходного эффекта (полезности) принимаемых решений.
3.	Показатель эффективности должен устанавливать на мно-
жестве исходов отношения (соотношения), используемые при осу-
ществлении выбора на множестве решений (стратегий).
4.	Показатель эффективности должен отражать имеющуюся
информацию об объективной полезности принимаемых решений
(стратегий), оценивающей целесообразность наших действий с бо-
лее общих позиций.
Возможность формального построения множества исходов и за-
дания показателя эффективности рассмотрены для трех типов за-
дач обоснования решений.
2.2.2. Задачи классификации
Приведем некоторые характерные формулировки задач этого
типа.
1. Определена потребность применения данного типа изде-
лий разового применения. Необходимо оценить достаточность за-
планированной программы выпуска изделий Nnn. <с учетом извест-
ной характеристики надежности.
2. Проверка исправного состояния прибора основывается на до-
пусковом контроле N рабочих параметров. Необходимо:
а)	дать заключение о состоянии данного конкретного прибора;
б)	расклассифицировать партию М приборов на «исправные» и
«неисправные».
3. Варианты построения проектируемого изделия задаются па-
раллельно-последовательными структурными схемами, включаю-
щими Af элементов, каждый из которых может находиться в рабо-
тоспособном или неработоспособном состоянии.
Множество состояний, в котором может находиться изделие,,
созданное в соответствии с данной структурной схемой, необходимо-
расклассифицировать на два подмножества: «работоспособные» и
«неработоспособные».
Любая из этих задач сводится, по существу, к разбиению мно-
жества решений (стратегий) на непересекающиеся подмножества
(классы) либо к отнесению исследуемого решения (стратегии) к
одному из заданных классов. Решение задач данного типа связана
38
с введением на множестве исходов номинальной шкалы. При этом
предполагается, что результаты (исходы) решений могут быть
представлены элементами v некоторого множества V.
Определение 1. Номинальной шкалой называется некоторое мно-
жество V с заданным разбиением на классы Vi(i^N={l,..., п})
такие, что:
V=\jVh	(2.2.1)
N
V (/, J$N)	П Vj= 0).	(2.2.2)
Для осуществления такого разбиения достаточно установить
признаки, по которым элементы v множества V объединяются в не-
пересекающиеся классы V,. Однако всякое разбиение данного мно-
жества на непересекающиеся классы определяет между элемента-
ми этого множества некоторое отношение эквивалентности.
Определение 2. Номинальной шкалой называется некоторое мно-
жество V=	{1...т}}	с заданным на нем отношением
эквивалентности (_ ~ _), таким, что
V (Z б М)	(2.2.3)
V (Л J € М) “>	(2.2.4)
V (/, J, k^M)	Л (vp^j) ~> (nz~i>ft).	(2.2.5)
Задание отношения эквивалентности co свойствами рефлексив-
ности (2.2.3), симметричности (2.2.4) и транзитивности (2.2.5)
однозначно задает разбиение на непересекающиеся классы эквива-
лентности (2.2.1) и (2.2.2). Из сказанного следует, что оба опреде-
ления номинальной шкалы равносильны.
Естественной формой задания множества исходов, удовлетворя-
ющей требованиям данных определений, является описание мно-
жества исходов в виде пространства элементарных событий.
Проиллюстрируем возможные варианты содержательной интер-
претации элементарного события для приведенных выше формули-
ровок задач:
1) В результате применения N изделий произошло ровно N?
успехов, где
2а) Из N рабочих параметров ровно NR находится в допуске.
26) Все N рабочих параметров пг-го прибора находятся в допус-
ке, где т=1,..., М.
3) Из N элементов структурной схемы 1-й, ..., t'-й находятся в
работоспособном состоянии, остальные — в неработоспособном, где
Значения, принимаемые показателем эффективности, и являют-
ся тем признаком, по которому формируются классы эквивалент-
ности на множестве исходов. Так, в случае, соответствующем ис-
пользованию в исследовании операций «качественных целей» и
критериев эффективности, принимающих два значения, все прост-
ранство элементарных событий делится на два непересекающихся
класса.
39
Требования к соответствию, устанавливаемому между множест-
вом стратегий и множеством исходов с помощью модели, могут
быть сформулированы в этом случае как требования к корреспон-
денции отношений, сохраняющей эквивалентность.
2.2.3.	Задачи упорядочения
К характерным формулировкам задач этого типа относятся:
1.	Условие первой задачи из подразд. 2.2.2. Из нескольких стра-
тегий применения изделий выбрать гарантирующую получение
Л^у^Л/^тр с у%-ным доверием при наименьшем объеме программы
изготовления #пл.
2.	Сравнить две стратегии поиска неисправности в схеме из
последовательно соединенных элементов по необходимому числу
контрольных тестов.
3.	На основе данных о результатах испытаний упорядочить пе-
речень типовых отказов по возможности их появления.
4.	Условия третьей задачи из подразд. 2.2.2. Из нескольких
структурных схем найти схему, обеспечивающую работоспособность
при наибольшем числе отказов любых из ее элементов.
Решение задач данного типа связано с введением на множестве
исходов порядковой шкалы.
Определение 3. Порядковой шкалой называется некоторое мно-
жество	{1,..., т}} с заданным в нем отношением со-
вершенного нестрогого порядка (_	_)
(2.2.6)
V (Л(2.2.7)
V (Л J € Л4) Л —у (г»,=г»у);	(2.2.8)
V (Л J, k е М) (z>i < Vf) Д (Vj < vk) (v{ < vk). (2. 2.9
Способ задания порядковой шкалы на множестве исходов выби-)
рается с учетом структуры самого множества исходов. Так, в ка-
честве множества исходов может быть использовано множество
подмножеств рассмотренного ранее пространства элементарных со-
бытий, упорядоченных с помощью отношения включения
(_	_). В более частном случае, когда при описании исходов
реализации стратегий достаточно различать подмножества, состоя-
щие из различного числа элементарных событий (особенности кон-
кретных элементарных событий не существенны), порядок вводится
по числу входящих в каждое подмножество элементарных событий:
если где i и / — число входящих в Vi и Vj элементарных
событий. Элементами множества исходов для сформулированных
выше задач могут быть:
1)	для выполнения программы изготовлено Упл изделий, где
TpJ
2)	для обнаружения неисправного блока понадобилось М тес-
3)	отказ появился М раз, где М^^исп;
40
4)	схема обеспечивает работоспособность при i отказах любых
ее элементов.
Если не удается упорядочить множество исходов естественным
образом, построение порядковой шкалы требует использования ото-
бражения множества исходов V на некоторый отрезок натурально-
го ряда. Требования к свойствам этого отображения аналогичны
требованиям к используемой при исследовании модели, т. е. к ото-
бражению множества стратегий S на порядковую шкалу. Достаточ-
ным свойством такой модели является инъективность отображения
множества стратегий на порядковую шкалу исходов. Если инъек-
тивность отображения не обеспечена, можем не получить упорядо-
чения всех стратегий, некоторые из них будут эквивалентны друг
другу. Тем не менее получим упорядочение классов стратегий и
сможем сконструировать нестрогий порядок, «склеив» некоторые
стратегии из S. Этим обеспечивается поиск оптимальной стратегии
с точностью до класса эквивалентности.
2.2.4.	Задачи измерения
Рассмотренные выше два типа задач исчерпывают основные ва-
рианты обоснования удовлетворительных или оптимальных реше-
ний. Однако при проведении каждого замкнутого цикла исследова-
ний (см. рис. 2.1) бывает полезна, а порой и необходима оценка
степени достижения поставленной цели (удовлетворения потребнос-
ти) или оценка количества дополнительных средств, необходимых
для достижения заданной цели. Основную априорную информацию
об активных средствах, условиях реализации стратегий и апосте-
риорную информацию о результатах их реализации получаем, как
правило, в количественной форме, т. е. путем выражения результа-
тов измерения относительно некоторого масштаба.
Поэтому даже при решении задач первых двух типов в процессе
построения множества стратегий и множества исходов с номиналь-
ной или порядковой шкалами, изоморфными конечному пространст-
ву элементарных событий или отрезку натурального ряда, соответ-
ственно в качестве исходных зачастую используются существенно
более бегатые множества значений физически или статистически
измеримых параметров, изоморфные полю действительных чисел.
В связи с этим представляется целесообразным рассмотреть и
третий тип задач, условно называемых задачами оценки или изме-
рения. Приведенные ниже примеры формулировки задач третьего
типа, естественно, не могут составлять задачу всего цикла исследо-
ваний, приведенного па рис. 2.1, но могут решаться в качестве вспо-
могательных на отдельных этапах исследования.
1)	Условия первой задачи из подразд. 2.2.2. Оценить необходи-
мое число изделий для удовлетворения потребности при r-й реали-
зации данной стратегии применения.
2)	На основе данных по результатам испытаний оценить час-
тость появления /-го типа отказа при одном испытании.
41
3)	Условия третьей задачи из подразд. 2.2.2. Известны характе-
ристики стоимости и надежности элементов, входящих в изделие.
Оценить минимальную суммарную стоимость элементов, использу-
емых для резервирования для обеспечения заданного уровня на-
дежности изделия.
Решение задач данного типа связано с использованием коли-
чественной шкалы.
Определение 4. Количественной шкалой называется некоторое
множество V= {иг-|/еЛ1= {1,..., i,...}} с заданной в нем одной би-
нарной операцией, например, сложением (_+_=_) .такой, что
у(^,	(2.2.ю>
¥(»„ vJt	+ +	(2.2.11}
V(f.	(2.2.12}
V (®/ € V) а(г»о €И(®|+’о=<’о+®1=»/);	(2-2.13}
¥(!»,€ ЮЕ(®у€Ю(®/+®/в®/+®*=^о)	(2-2.14)
В соответствии с классификацией алгебраических структур ко-
личественная шкала образует коммутативную или абелеву группу
(в данном случае по операции сложения).
Из определения 4 (2.2.10) — (2.2.14) следует единственность
нейтрального и противоположного элементов. Естественно вводятся
обратная операция — вычитание (_“_ = _), отношения эквивалент-
ности и порядка, расстояние e(t>i, 0j) = |t>i—используемое при
построении метрики.
Примерами естественных количественных шкал являются: N —
группа целых чисел по сложению с нулем; Q — группа рациональ-
ных чисел по сложению с нулем; R — группа действительных чисел
по сложению с нулем.
Для приведенных выше постановок задач количественная шкала
каждый раз вводится естественным образом: N— число изделий,
Q — частость появления отказа; R— суммарная стоимость элемен-
тов, входящих в изделие.
Для введения количественной шкалы на множестве исходов, от-
личном от приведенных выше примеров, приходится использовать
отображение множества исходов на одну из естественных количест-
венных шкал. При этом к множеству исходов предъявляются требо-
вания, аналогичные требованиям к области определения аддитив-
но-скалярной величины.
Определение 5. Областью определения аддитивно-скалярной ве-
личины называется множество Й== {уг |/еЛ4== {1,...,/п}}, если в нем
определены два отношения: бинарное отношение эквивалентности
со свойствами (2.2.3) — (2.2.5); тернарное отношение композиции
(_ + _ = _) со свойствами (2.2.10) —(2.2.12), причем выполняются
условия:
42
а)	существует хотя бы одно отображение f множества V в мно-
жество положительных действительных чисел R+, такое что
V(-nz,	(2.2.15)
V(x»z, v},	>/(^z)+/(•»;)=^; (2.2.16)
б)	если g — другое отображение V в R+ со свойствами (2.2.15) —
<2.2.16), то существует положительное число а, такое что
V(Tiz€^)g(^)=a/(^)-	(2.2.17)
Отображение f: V—>-/?+ со свойствами (2.2.15) — (2.2.16) назы-
вается измерением величины, а число f(vi)—значением величины
для элемента Vi при данном измерении или мерой о,-.
Условие (2.2.17) показывает, что если при каком-нибудь изме-
рении для элементов Vi и v3- из V выполняется равенство f(v») =
—f(vi)< то эт0 же равенство выполняется и при любом ином изме-
рении этой величины. Отсюда вытекает, что в множестве V зада-
ется новое отношение эквивалентности: и v3 имеют равные меры.
Если это отношение совпадает с исходным, то соответствующая
величина называется простой. Классическим примером простой
аддитивно-скалярной величины является масса, для которрй исход-
ное отношение эквивалентности означает: оставлять весы в равно-
весии, а тернарное отношение композиции (а»фц,=ол) означает,
что тело t’k состоит из тел vt и и3.
Для задач оценки эффективности стратегий условия определе-
ния 5 позволяют рассматривать исход реализации стратегии в виде
композиции исходов отдельных последовательных решений, состав-
ляющих стратегию, суммируя как полученный полезный выходной
эффект, так и затраченные средства.
2.2.5. Вероятностная шкала
Частным случаем задания количественной шкалы на множестве
исходов является построение вероятностной меры [24]. В качестве
исходного вновь берем пространство элементарных событий V=
= {Vi|iеЛ4= {1,..., m}}. Пусть A= {a,j\j^N={l,..., n}} —
множество подмножеств из V.
Определение 6. Полем вероятности называется совокупность
объектов (V, А, Р), удовлетворяющая следующим аксиомам.
I.	А является алгеброй множеств, т. е.
V£A-,	(2.2.18)
V(az, ay€-4)(azUay€A);	(2.2.19)
V (az, aj € A) (az П а} в А);	(2.2.20)
V (az, € A) (az/ay € А)	(2.2.21)
II.	Каждому множеству at- из А поставлено в соответствие не-
отрицательное действительное число P(ai). Это число называется
вероятностью события сц.
III.	Р(1/)=1.	(2.2.22)
43
IV. V(ao ау€Д)(а/ПЛ/=0)—>P{diUa})=P(a,)4-P(ay).
(2.2.23)
Таким образом, мы получили еще один способ количественной
оценки (и сравнения на ее основе) возможных исходов реализации
наших решений. Для этого необходимо всем элементарным собы-
тиям Vi конечного множества V присвоить вероятности Р(у$ такие,
т
что ^Р(т><)=1. Тогда для любого может быть определена
I-1
его вероятность Р (аД.
Для бесконечных пространств элементарных событий определе-
ние поля вероятностей связано с введением еще одной аксиомы.
V. Для убывающей последовательности ах 2^2.. • ЕДлЗ • • •
событий из А такой, что Пая=0, имеет место равенство
11тР(ал)=0.	(2.2.24)
п
Этого оказывается достаточным, чтобы доказать, что вероятность Р
является на А счетно-аддитивной функцией множеств, сохраняю-
щей свою неотрицательность и счетную аддитивность на алгебре,
замкнутой относительно взятия дополнений и счетных объединений,
т. е. являющейся борелевской. Соответствующее поле вероятностей
(V, А, Р) тоже вызывается борелевским.
Определение 7. Случайной величиной называется отображение
g : V—>/? пространства элементарных событий на множество всех
действительных чисел:
V (х с	а (а е Д) v (-Vi с а) ($ (%»,) < х).	(2.2.25)
Другими словами, при любом х событие а, состоящее из всех точек
Vi пространства элементарных событий, для которых справедливо
неравенство £(иг)<х, принадлежит борелевской алгебре А. Отобра-
жение |: V—порождает на Р борелевскую алгебру Д£ и соот-
ветствующую меру Р(, (ле).
Определение 8. Функцией распределения случайной величины £
называется функция
F£(x)=P£( —оо, х)=Р{Цт»)<х},	(2.2.26)
где —оо и +оо допускаются в качестве значений х:
Л£(-оо)=0, Fe(4-oo)=l.	(2.2.27)
Если функция распределения (х) дифференцируема, то ее про-
изводную по х
(2.2.28)
называют плотностью вероятности в точке х.
Введение вероятностей меры на пространстве элементарных со-
бытий, определение ее для любого исхода — события, а также воз-
можность ее переноса на другую количественную шкалу (2.2.25) —
44
(2.2.26) могут быть использованы как для непосредственного опи-
сания цели на языке вероятностей, так и при определении уровня
гарантии, который дает использование той или иной стратегии.
Заканчивая анализ требований к показателю эффективности,
следует еще раз остановиться на представительности показателя.
Представительность показателя, грубо говоря, означает оценку
основной (а не второстепенных) цели. В этом смысле значение по-
казателя должно зависеть от степени удовлетворения конечных
потребностей, как правило, внешних по отношению к исследуемой
задаче.
Таким образом, приходим к выводу о необходимости учета це-
лей и потребностей задач более высокого уровня. Тогда свойство
представительности показателя эффективности задачи данного
уровня вытекает из условия координируемости по отношению к вы-
шестоящим задачам, или, по-другому, из условия согласуемости
цели данной задачи с глобальной целью. Современная теория опти-
мальных систем [38] дает инструмент такого исследования и опре-
деляет варианты условий (например, монотонность показателей
эффективности), необходимые и достаточные для координируемости
задач.
2.3. ОПИСАНИЕ СТРАТЕГИЙ И УСЛОВИЙ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ
Основой для формирования (описания) возможных способов
действия, т. е. решений или стратегий, является информация о рас-
полагаемых активных средствах (их количестве, качестве, распре-
делении во времени и пространстве). Если характеристики актив-
ных средств существенно зависят от способов и условий их исполь-
зования и эти способы и условия не фиксированы в данной задаче,
то информация о их распределении также является необходимой
для проведения исследования.
Каждое решение по существу сводится к указанию количества,
места и времени расходования активных средств всех видов для
достижения цели. Так как при этом мы ограничены, как правило,
рамками существующих технологий и средств, то выбор наш каса-
ется ограниченного числа параметров.
Множество исследуемых решений описывается как упорядочен-
ное множество по какому-либо естественному признаку, либо при-
сваиваются порядковые номера различным способам действия.
Второй способ применим, когда число решений конечно. В простей-
шем случае, когда рассматривается один способ действия, решений
может быть два: одобрить его или отклонить.
Если решение заключается в одновременном выборе нескольких
параметров, то естественный порядок на множестве решений S, по-
строенном как декартово произведение подмножеств решений Sy,
даже упорядоченных по каждому параметру, отсутствует. Иногда
все-таки удается ввести искусственное упорядочение, например, на
основе стоимостного эквивалента расходуемых активных средств,
если решение заключается в выборе вектора, i-я координата кото-
рого суть количество расходуемых средств r-го вида. Другими при-
45
мерами «эквивалентов» являются время, масса, энергопотребление,
энерговыделение, габариты и т. п.
Последовательность решений, принимаемых в процессе достиже-
ния поставленной цели, разрешенная ожидаемой информацией о
ходе и/или результатах реализации предыдущих решений, называ-
ется стратегией. Из определения ясно, что любое отдельное решение
является стратегией. Если в процессе достижения цели дополни-
тельной информации не ожидается или ее не предполагается ис-
пользовать, то все решения, составляющие стратегию, принимаются
при одном и том же уровне информированности и, следовательно,
могут быть приняты до начала реализации первого решения. Такая
стратегия называется жесткой.
Стратегия, использующая дополнительную информацию о ходе
и/или результатах реализации предыдущих решений, называется
гибкой. При этом важно подчеркнуть, что речь идет об информации,
используемой для принятия решений на данном иерархическом
уровне, а не об информации, используемой на низших уровнях в
процессе реализации принятых решений.
Поясним это на нескольких примерах. В задаче 1 подразд. 2.2.2.
решением является «выпуск Мгл изделий». В задаче 1 подразд. 2.2.3
в качестве стратегий могут быть использованы следующие: «после-
довательно применить все изготовленные изделия», «последователь-
но применять изделия до выполнения условия Afy^WTp или израс-
ходования всех изготовленных изделий».
Первая из стратегий является жесткой независимо от того, что
в процессе применения каждого изделия используется дополнитель-
ная информация о воздействующих факторах и принимаются (ав-
томатикой или людьми) другие решения. Эффективность этих ре-
шений для нас оценена известной характеристикой надежности.
Структура множества исследуемых стратегий, возможности его раз-
биения на упорядоченные классы эквивалентных стратегий опреде-
ляют сложности дальнейшего исследования. Нас в первую очередь
интересуют вопросы обоснования решений и стратегий в условиях
неопределенности именно в тех ситуациях, когда результаты отдель-
ных решений не могут быть однозначно предсказаны.
Не останавливаясь подробно на источниках появления неопре-
деленности в задачах, связанных с обеспечением надежности, сле-
дует отметить, что это могут быть как факторы, составляющие
условия реализации решений, так и неопределенности, отражающие
нечеткость знания цели, потребности, относительной полезности
различных составляющих выходного эффекта и т. п.
Для оценки уровня неопределенности решаемой задачи исходя
из информации, располагаемой в момент проведения исследования
и ожидаемой в процессе реализации стратегии, может быть полез-
на следующая качественная классификация факторов.
Детерминированные факторы. Это могут быть кон-
станты, функции координат и времени и т. п. При проведении ис-
следования располагаемая информация может содержать область
возможных значений константы или функции, данные о монотонно-
46
сти и непрерывности, области значений для производных от функ-
ции и т. п.
Случайные события. Могут быть известны вероятности
наступления событий, данные об их независимости, области значе-
ний, в которых могут находиться неизвестные вероятности и услов-
ные вероятности и т. д.
Случайные величины. Могут быть известны совместные
законы распределения групп зависимых случайных величин или
только вид закона и области возможных значений параметров, об-
ласти возможных значений, данные о независимости, дискретности,
непрерывности и т. п.
Случайные процессы. Могут быть полностью известны
законы распределений, данные о стационарности и вид закона рас-
пределения с областями возможных значений параметров, вид воз-
можной нестационарное™ и области возможных значений пара-
метров для всех или некоторых моментов времени.
Сочетания тех или иных факторов и известных данных об их
природе создают конкретные условия для реализации решений и
стратегий, порождают возможную неоднозначность выводов относи-
тельно результатов реализации исследуемых решений и стратегий.
Таким образом, подмножество исходов V(s/seS), соответствующее
выбранной стратегии s, становится зависимым и от значений не-
определенного фактора хеХ, где X — множество возможных значе-
ний фактора х.
Определение 9. Абсолютной гарантией называется гарантия,
обеспеченная оценкой аа.г($) показателя эффективности стратегии
s в условиях имеющейся неопределенности х^Х:
V(x€*)(^s)=infl/(s, х)).,	(2.3.1)
Стратегия s, удовлетворительная в смысле обеспечения абсо-
лютной гарантии, называется абсолютно гарантирующей страте-
гией. Оптимальная стратегия среди абсолютно гарантирующих стра-
тегий называется оптимальной абсолютно гарантирующей страте-
гией.
Пусть P={Ft (х); х^Х}—однопараметрическое семейство
функций распределения случайной величины g; X — интервал на
вещественной прямой. Интервал [х(£), х(£)], принадлежащий X,
границы которого зависят от наблюдаемой случайной величины g,
называют у-доверительным интервалом, 0<у<1, если [17]
(Рл {х €[*(£), л O>Y).	(2.3.2)
Заранее заданную величину у называют доверительным уровнем
(уровнем доверия). Если положитьх (|) =оо .в неравенстве (2.3.2),
получим ^определение для нижнего доверительного интервала.
Определение 10. Практической гарантией с уровнем доверия у
называется гарантия, обеспеченная оценкой оп.г(«) показателя эф-
фективности стратегии $ при имеющейся неопределенности
ле(х(с), оо] такой, что:
V (х£ [x(E),oo])(z>n.r(s)=inf И($, л)),	(2.3.3)
41
где [%(£), оо] — нижний у-доверительный интервал, определенный в
соответствии с (2.3.2).
Стратегия <$п.г, удовлетворительная в смысле обеспечения прак-
тической гарантии, называется практически гарантирующей стра-
тегией. Оптимальная стратегия среди практически гарантирующих
стратегий называется оптимальной практически гарантирующей
стратегией.
Строгое определение понятия «гарантия» дано для одномерного
случая и является одним из возможных вариантов, поясняющих
принципиальную постановку вопроса. Возможно обобщение на п-
мерный доверительный интервал или доверительную область [28].
Можно говорить о критерии значимости D (мере отклонения) для
любой конкретной гипотезы, связывающем вероятность 1—у (уро-
вень значимости) с пределом значимости Dq. Даже если гипотеза
верна, событие D>D0, имеющее малую вероятность 1—у, может
произойти в отдельном исключительном случае. Однако если 1—у
достаточно мало, мы вправе на практике исключать такую возмож-
ность. В качестве примера построения доверительного множества
в разд. 2.5 дано описание и обоснование нового алгоритма для рас-
чета нижней доверительной границы вероятности безотказной ра-
боты системы по результатам испытаний составляющих ее эле-
ментов.
В большинстве практических задач имеем дело каке параметра-
ми, о которых, кроме области возможных значений, не имеем дру-
гой информации, так и с параметрами, о которых есть априорный
статистический материал. Говорить об абсолютной гарантии в
смысле определения 9 можно только при условии, что решение
(стратегия) гарантирует достижение цели при любом сочетании
неопределенных параметров в пределах заданных областей возмож-
ных значений. Как только мы хотя бы по одному из параметров
ограничиваем область возможных значений на основе статистичес-
ких данных, можно говорить только о практической гарантии в
смысле определения 10.	-1
Смысл введенных гарантий совершенно ясен, когда речь идет
о физически измеримых параметрах, характеризующих ход и ре-
зультаты реализации стратегий. Формально гарантированные оцен-
ки применимы и к показателям эффективности стратегий, имею-
щим вероятностный смысл.
Как уже отмечалось выше, такие показатели (а следовательно,
и их гарантированные оценки) не дают никаких абсолютных га-
рантий относительно исхода каждой конкретной реализации при-
нятого решения или 'стратегии. Можно говорить только о практи-
ческих гарантиях (2.3.2) — (2.3.3) результатов многократного
применения (одновременного или последовательного) реше-
ний и стратегий, дающих случайный результат в каждом конкретном
случае. Однако должно быть ясно и обратное: если гарантирован-
ная оценка вероятности осуществления необходимого события в ре-
зультате реализации принятого решения является величиной доста-
точно близкой к единице, то она (оценка) может быть истолкована
48
как уровень практической гарантии относительно однократного
применения этого решения.
Таким образом, в качестве формальной основы принципа гаран-
тированного результата могут быть использованы определения га-
рантий (2.3.1) — (2.3.3) при заданном показателе эффективности и
заданной информированности исследователя при обосновании ре-
шения.
Как уже сказано в первой главе, основу второго принципа (прин-
ципа стохастического детерминизма) составляет явление устойчи-
вости результатов массовых случайных событий. Различные формы
этого явления, составляющего основное содержательное своеобра-
зие теории вероятностей, выражены в законе больших чисел и цент-
ральной предельной теореме.
Определение И. Две случайные величины gi(t>) и £2(0) назы-
ваются равными почти наверное (gi(у) = Ыу))» если вероятность
соотношения gi(<?) =^=£2(0 равна нулю, т. е.
P{a|V (x^)(®€a)<ZZ/ft(®)=x) Л(fe(®)-#^)}=0. (2.3.4)
Отношение (—п.н—), которое является, очевидно, отношением
эквивалентности (см. определения 1 и 2), определяет непересекаю-
щиеся классы эквивалентных случайных величин. Эквивалентные в
смысле (2.3.4) случайные величины имеют одну и ту же вероят-
ностную функцию Pgt (—oo,x)=Pga(—оо,х) и совпадающие функции
распределения Pg и Pg .
Определение 12. Последовательность случайных величин gb ...
сходится почти наверное (с вероятностью 1) к некоторой случайной
величине g, если $ =lim $л.
П.Н п
Определение 13. Последовательность случайных величин gb g2,...
сходится по вероятности к случайной величине ($я—♦$), если
р
V (е > 0) lim Р{|-е| > е}=0.	(2.3.5)
п
Различные формы закона больших чисел определяют условия схо-
димости почти наверное или по вероятности. Напомним соотноше-
ние между этими видами сходимости [26, 41]:
1)	если последовательность случайных величин gb g2,... сходит-
ся 'почти наверное к g, то она сходится к g и ло вероятности;
2)	из всякой последовательности gb g2,..., сходящейся по веро-
ятности к g, можно выбрать подпоследовательность, почти наверное
сходящуюся к g;
3)	если последовательность gb g2,... сходится по вероятности к g,
то последовательность соответствующих функций распределения
Fn(x) сходится к функции распределения Р(х) случайной величины
g в каждой точке непрерывности Р(х);
4)	для сходимости по вероятности последовательности gb g2, —
необходимо и достаточно следующее условие:
V (8 > 0) v (т > 1) а (« € N) р {| tn+m - В„|	®; (2.3.6)
49
5)	для сходимости почти наверное последовательности gi, £2, —
необходимо и достаточно следующее условие:
У (е > 0) V (/п> 1) а (п е N) р {а 1(1» € а) <=> (|$я+л1 (ф)—
-ея(®)1>е)}=0. •	(2.3.7)
Для лучшего уяснения смысла этих предложений рассмотрим
пример из теории меры {41], так как сходимости по вероятности и
почти наверное являются частными случаями сходимости по мере
и почти всюду.
Пусть на полусегменте (0, 1] для каждого натурального «опре-
делены функции /V0, Дя>,..., /дЯ):
/jB)(x)=
z—l	i
1 при----< X < — ,
п, ‘ п
0 при остальных значениях х.
(2.3.8)
Занумеровав все эти функции подряд, получим последователь-
ность, которая сходится по мере к нулю, но в то же время не схо-
дится ни в одной точке хе(0, 1]. На рис. 2.2. изображены первые
десять членов этой последовательности. Из рисунка наглядно вид-
но, что мера точек хе (0, 1], для которых значение функций /|я) (х)
отлично от нуля, убывает обратно пропорционально п, т. е. начиная
с n=entier[— j будет меньше любого е>0.
Последовательность функций /^я) (х) («= 1, 2,...), выделенная
из предыдущей вычеркиванием всех членов //а)(х) при явля-
ется примером последовательности, сходящейся почти всюду. (Этой
новой последовательности соответствуют нижние графики в каждом
столбце). Действительно, для любого хе (0,1] (кроме точки х=1)
можно найти такое п, начиная с которого /£л)(х) становится рав-
ной нулю.
Таким образом, сходимости по вероятности оказывается доста-
точно, если мы наблюдаем случайные величины с точностью до
функции распределения Fj (х), не интересуясь отдельными элемен-
тарными событиями исходного пространства V. С другой стороны,
если сходимость по вероятности обеспечивает меру практической
гарантии, то условие, выполняющееся почти наверное, обеспечивает
переход к абсолютной гарантии в смысле определения 9.
Простейшим примером проявления закона больших чисел явля-
ется последовательность независимых испытаний, в которых веро-
ятность успеха р не меняется. Отношение числа успехов р к общему
числу испытаний п почти наверное сходится к вероятности р:
11m —=р.
п п п.н
(2.3. 9)
Существование (конечность) математического ожидания явля-
ется необходимым и достаточным условием для применимости уси-
ленного закона больших чисел к последовательности одинаково
50
распределенных и взаимно независимых случайных величин. Таким
образом, при некоторых условиях суммарный результат достаточ-
но большого числа случайных событий может быть как угодно бли-
зок к ожидаемому среднему эффекту.
Конкретные формы статистической устойчивости повторяющихся
случайных явлений могут быть учтены моделью, однако уже при
Рис. 2.2.
формировании стратегий бывает полезно оценить степень этой ус-
тойчивости и возможность ее использования для обеспечения гаран-
тированного результата. В случае, когда исследуемая стратегия
зависит от случайного процесса или случайного поля, заданного,
например, распределением во времени и пространстве, оценка числа
независимых случайных компонент связана с использованием эф-
фективного корреляционного интервала или объема.
До сих пор речь шла о выборе решений и стратегий на основе
информации, имеющейся в наличии к моменту исследования. Смысл
этого обоснования (но отнюдь не последовательность) заключается
в том, что выбираем самый рациональный способ расходования
51
активных средств для достижения заданной цели, а количество не-
обходимых активных средств определяем исходя из требуемых га-
рантий с учетом неопределенности задачи. Если сумму активных
средств представить в виде двух слагаемых Cj = Со + Сх, где Со —
количество активных средств для достижения цели при отсутствии
неопределенности; Сх — дополнительные затраты средств на обес-
печение гарантии в условиях неопределенности, то коэффициент
т] = С0/Са имеет смысл информационного коэффициента полезного
действия стратегии. Малый информационный коэффициент полез-
ного действия показывает актуальность использования дополни-
тельной информации, т. е. актуальность задачи разработки и ис-
пользования более эффективной стратегии с целью экономии актив-
ных средств.
Нас в первую очередь интересуют возможности повышения эф-
фективности стратегий за счет получения и использования опера-
тивной информации о текущих и прогнозируемых условиях, достиг-
нутом результате и т. п. Таким образом, стоит задача выражения
информационной эффективности той или иной стратегии через ко-
личество информации, используемой при принятии решений, и чис-
ло самих решений.
Рассмотрим простейшую процедуру принятия решений, сформу-
лированную в терминах решающей функции, т. е. отображения
S(x): V—>S, где S={sJ, i=l, 2 — пространство решений. Это
отображение обеспечивает разбиение пространства V на классы
эквивалентности Vi и V2 такие, что для любого v^Vi принимается
решение Si. Пусть при обосновании конкретного решения использу-
ются вероятностные меры г=1, 2, определенные на борелевской
алгебре А подмножеств пространства элементарных событий V,
и соответствующие плотности вероятности Z= 1, 2, v^V.
Обозначим через 0;, f=l, 2 гипотезу о том, что наблюдаемое зна-
чение v принадлежит статистической совокупности с вероятностной
мерой Pit т. е. 6i\— / (ие 7г).
Определение 14. Мерой различающей информации в точке v^V
в пользу гипотезы 01 против 02 называется мера /(0i->02i ^), опре-
деляемая выражением
/(01-.02;	(2.3.10)
f (v/92)	/2 (»)
/
Информационная трактовка логарифма отношения правдоподобия
logl/i(х)//И*)] использовалась еще Кульбаком {29] при построении
меры «средней информации для различения».
Полная группа возможных исходов процедуры принятия реше-
ния приведена в табл. 2.3.1.
Средний расход средств может быть вычислен по формуле
(2.3.11)
Если наблюдение v^V снимает всю неопределенность, т. е. ошибки
первого и второго рода (pi2 и p2i) равны нулю, то средний расход
Го=Р(01)Сц+Р(02)С22 не содержит потерь из-за неопределенности
52
различения гипотез. С учетом этого средние потери из-за недостат-
ка различающей информации при принятии решения можно выра-
зить следующим образом:
Сп=С, - Со=Р (0,) [Си ( f f (®/9,) dv - 1)+
+Cn\f (®/02)	= Р (01) (Си - Сй) [ 1 - J f (vfo) X
xfe/(e.-e,; о)_ ^(ДгХСгг —С21)	/2.3.12)
Г	P(6i)(Cn-C12)J	J 1
Таблица 2.3.1
Гипотеза		Расход средств, соответствую- щий исходу	Вероятность исхода
Справедливая	Принимаемая		
«1	61	Си	Ai=^(6i)^/(v/6i)rfv
61	62	С12	А2=^(61)Д(«/61)^
•2	61	С21	^i=P(92)^7(v/e2)rfv
62	62	С 22	Р22=Р (62)J f (v/62) dv
С учетом того, что для любой разумной процедуры принятия реше-
ния Си—С12>0 и С22—C2i>0, можно говорить об оптимальном
разбиении пространства V на области Vi и V2 в смысле минимиза-
ции средних потерь.
Определение 15. Стратегией с оптимальной информационной
мощностью называется стратегия, использующая процедуру приня-
тия решений, минимизирующую средние потери на основе решаю-
щей функции donr(fl) такой, что:
V ПИз(ИS V)dom(®):(V€ V\)<~>(/(0,-02; о)>h), (2. 3.13)
где	й=In ( .p<92)(c22-C2i)\ #	(2.3.14)
\Р(Ы (Си-Сп))	k
Стратегия с оптимальной информационной мощностью обеспечива-
ет максимум информационного коэффициента полезного действия
при заданных вероятностях гипотез и матрице расходов при усло-
вии обеспеченности стратегии ожидаемой оперативной информаци-
ей. Дальнейшее повышение эффективности стратегий связано с
возможностями влияния на априорные вероятности гипотез и из-
менение матрицы расходов.
На этом заканчивается формализация основных принципов, по-
ложенных в основу современной методологии исследования и обес-
печения надежности. Предложенные определения основных исполь-
зуемых понятий являются лишь возможными вариантами и предпо-
лагают их дальнейшее исследование и развитие. Ниже на конкрет-
ном примере будет исследована одна из форм явления стохастичес-
кого детерминизма. Более подробно устойчивость решений в усло-
виях неопределенности исследуется в третьей главе.
2.4.	СОЗДАНИЕ МОДЕЛИ И ПРОВЕДЕНИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.4.1.	Требования к модели
Как это следует из логической схемы исследования, для выбора
•стратегии $ из заданного множества S необходимо установить соот-
ветствие между этим множеством и множеством исходов V. Свойст-
ва, которыми должно обладать искомое соответствие, определяются
как структурой множеств S и V, так и видами отношений, которые
заданы на множествах и которые требуется установить по смыслу
решаемой задачи. Такое соответствие в каждой конкретной задаче
может быть установлено с помощью явной аналитической зависи-
мости либо с помощью вычислительного или моделирующего алго-
ритма.
В дальнейшем под моделью будем понимать как само соответ-
ствие с необходимыми свойствами, так и способ установления это-
го соответствия, не оговаривая специально, если это не ведет к не-
доразумению.
В общем случае всякое подмножество G=SxV декартова про-
изведения SXV называется бинарным соответствием из S в V.
Соответствие (DsSxV из S в V называется функциональным соот-
ветствием или отображением <р: S->-V, если для любого s&S су-
ществует не более одного элемента v^V, для которого выполнено
г-—<p(s), т. е.
(«/=?(«)) А (®/=?(«))=>(®/=®/)- (2.4.1)
Для уточнения требований к моделям, следуя [68], введем опре-
деления для соответствий между множествами S и V с заданными
на них отношениями RssSxS и R^sVxV.
Определение. Отображение <р : S—называется гомоморфным
отображением (или гомоморфизмом) отношения ( Rs, S ) в отноше-
ние (/?„, V ), если
V(sb Sy^S)а(t>z=?(st), ‘ny=<p(sy))[szRJs/]=>['0/Ro-0/]. (2.4.2)
Иначе говоря, из того, что отношение Rs выполнено для страте-
гий, следует, что выполнено отношение Rb для исходов.
Определение. Отображение <р: S—>-У называется корреспон-
денцией отношения ( Rs, S ) в отношение ( R®, V ) , если
¥(«/»«/€-S)a (»/=¥ («Л	KR^]— >[szRs^L
(2.4.3)
Если отображение <р : S—> V биективно, то оно является коррес-
понденцией тогда и только тогда, когда обратное отображение
чр-1: V—является гомоморфизмом.
54
С другой стороны, произвольное отображение <р : S—естест-
венным образом определяет такую эквивалентность [_____I____|
на множестве S [68], что
V (s„ Sj € 5) [$,—sy] <=> [ср (S/)=f (Sy)].	(2. 4.4}
Классы этой эквивалентности представляют собой прообразы эле-
ментов v^V.
Фактормножество S/ф по отношению эквивалентности, соответ-
ствующему отображению ф, называется ядром отображения ф.
Если обозначить через ф сюръективное отображение ф : S—*3, со-
поставляющее каждому seS его класс эквивалентности s по отно-
шению [__£___], то отображение ф:	такое, что
V(s^5) V(s€^)(?(s)=,o)=>(t(®)=‘o)	(2.4.5)
будет инъекцией.
Тогда произвольное отображение ф : S—представимо в виде
композиции сюръективного отображения ф: S—и инъективного
отображения <р : £—по схеме:
Теперь можно описать последовательность построения коррес-
понденции произвольного отношения [68].
Пусть на множестве S задано отношение (Rs, S) и имеется ото-
бражение <р: S—>-V. Тогда на множестве V однозначно определяет-
ся минимальный образ отношения Rs. Иными словами, по отно-
шению Rs и отображению ф строится отношение на V, так что
отображение
V}	(2.4.7)
оказывается гомоморфизмом, обладающим следующим свойством:
если Rv — некоторое отношение на V, то отображение ф:	бу-
дет гомоморфизмом ф:( Rs, S )—>-( RvV ) в том и только в том
случае, когда
Гомоморфизм (2.4.7), вообще говоря, не является корреспонден-
цией. Однако существует единственное каноническое пополнение
Rsf отношения Rs такое, что
] Rs [—],	(2.4.8}
для которого отображение
£)-</?:, V)	(2.4.9)
является корреспонденцией.
55-
Иными словами, отображение <р : S—>-V для каждого отношения
Rt на S «вкладывается» в схему
Здесь e:S—hS — тождественное отображение, задающее гомо-
морфизм (Rs, S) -*• (7?^, S).
При этом существуют необходимые и достаточные условия для
того, чтобы отношения 7?6Т и 7?s (2.4.8) были отношениями одного
класса.
Пусть R -2 = [_Z___]—эквивалентность, индуцированная ото-
бражением <р. Если Rs — эквивалентность, то RFf=R~RsR~
будет эквивалентностью в том и только в том случае, когда
(2.4.11)
Если /?s — строгий порядок, то	будет строгим по-
рядком в том и только в том случае, когда
(2.4.12)
еП/?.=0.	(2.4.13)
Рассмотрим конкретные требования к отображению <р : S—
применительно к каждому типу решаемых задач и соответствующих
шкал, заданных на множествах стратегий s и исходов V.
Для первого типа задач (см. разд. 2.2) на множестве исходов
V задано отношение эквивалентности (2.2.3) — (2.2.5), что соответ-
ствует разбиению множества V на непересекающиеся классы Vi
(i^N= {1, ...,n}) (2.2.1) — (2.2.2). Для случая качественного опи-
сания цели таких классов два: к первому классу относятся все
удовлетворительные исходы, ко второму — неудовлетворительные.
Если отображение ф: S—— корреспонденция, то множество
стратегий S разбивается на два класса — удовлетворительных и не-
удовлетворительных стратегий.
В случае формирования стратегий из последовательности реше-
ний, принимаемых в форме «да» — «нет», т. е. сводящихся к дихо-
томическому выбору, задачи первого типа не требуют использова-
ния моделей, выходящих за рамки исчисления высказываний или
алгебры логических графов [3]. К такому типу относится, например,
задача 3 из подразд. 2.2.2.
В случае, когда параметры, используемые для принятия реше-
ний, могут принимать значения из некоторой предметной области,
содержащей больше двух различных элементов, в качестве адек-
ватной математической модели необходимо использовать пропози-
56
ционные функции или n-местные предикаты [14, 15]. Напомним, что
при п=0, предикат оказывается высказыванием, при п=\—свой-
ством, при п=2— бинарным отношением и т. д. В случае предмет-
ной области, состоящей из конечного числа элементов, есть принци-
пиальная возможность остаться в рамках исчисления высказываний
за счет введения дополнительных переменных, принимающих толь-
ко по два возможных значения. Для множества исходов V с числом
классов эквивалентности больше двух можно говорить о моделях
многозначной логики [15] или о проверке сложных гипотез.
При решении задач второго типа на множестве исходов V пред-
полагается заданной порядковая шкала (2.2.6) — (2.2.9), которую
необходимо использовать для упорядочения множества решений
(стратегий) S. Таким образом, на V задано отношение совершенно-
го нестрогого порядка Rv. Соотношения (2.4.12) и (2.4.13) дают
условия использования соответствия ф:5—в качестве коррес-
понденции строгого порядка (Rs, S), заданного на множестве стра-
тегий, через каноническое пополнение	в его мини-
мальный образ V}. Если соответствие ф сюръективно, то
/Й сохраняет свойства строгого порядка. Следовательно, должно
быть выполнено условие R^sE Rv-
Основной практический вывод из проведенных рассуждений со-
стоит в том, что они дают условия, когда при отыскании наилучшей
стратегии можно использовать естественную упорядоченность, за-
данную на множестве S.
Если при обосновании стратегий решаются задачи третьего ти-
па и используются соответствующие количественные шкалы, требо-
вания к моделям могут быть сформулированы, как требования к
морфизмам групп [68].
Пусть в соответствии с определением 4 на множестве исходов
задана бинарная операция Т (например, сложение (Vi + Vj=Vk){~}
(Vi | Vj=Vk), отображающая 7XV в V и удовлетворяющая тре-
бованиям (2.2.10) — (2.2.14). На множестве стратегий S задана ана-
логичная операция I .
Отображение ф:5—называется гомоморфизмом ( S, I ) в
(V, । ), если
s}£S) <р (szJ_s,-)=<р($,•)Т?(«/)•	(2.4.14)
Взаимно однозначный, или инъективный, гомоморфизм ( S, J.)
в ( V, | ) называется изоморфизмом.
2.4.2.	Пример проведения исследования
В качестве примера, иллюстрирующего использование основных
введенных понятий и возможности обеспечения гарантий на основе
вероятностных показателей надежности, рассмотрим следующую
постановку задачи.
Пусть целью единичной программы создания и применения из-
делий одноразового использования является удовлетворение пот-
ребности в ЛГтр таких изделий. Необходимое время работы изделий
57
задано, и в качестве показателя надежности изделия используется
вероятность безотказной работы R.
Известна зависимость уровня надежности изделия от затрат в
рамках программы обеспечения надежности:
J?=^lT?2/?3,	(2.4.15)
где 7?i = l—(1—/?ю)ехр[—ai(Ci—Сю)] — составляющая надежнос-
ти, учитывающая влияние отказов комплектующих изделий с уче-
том резервирования; Т?2=1—(1—/?2о)ехр[—а2(С2—С2о)]— состав-
ляющая надежности, учитывающая уровень производства и контро-
ля готовой продукции; £3=1—(1—У30)ехр[—а3(Уотр—Уотро)]—
составляющая надежности, учитывающая уровень отработанности;
/?ю, R20, Кзо — начальные (минимальные) уровни составляющих
Ri, R2, R3, соответствующие минимальным реализуемым затратам
Сю, С2о, Уотро средств Ci, С2 и изделий Nojp, затраченных на экспе-
риментальную отработку; си, а2, а3 — параметры, определяющие
темп роста составляющих показателя R при увеличении затрат.
Возможные варианты решений и стратегий строятся с учетом то-
ю, что обеспечить достижение поставленной цели можно как за
счет увеличения расхода средств на обеспечение более высокого
уровня надежности, так и за счет расширения программы изготов-
ления изделий.
Так как при изготовлении У изделий число изделий, успешно
выполнивших свою задачу Уу, случайно, речь может идти об обес-
печении практической гарантии с уровнем у, где
у=вер{Лгу>7Утр}.	(2.4.16)
Каждое решение задается вектором составляющих Rlt R2, R3
или соответствующих затрат Сь С2, У0Тр, что однозначно определя-
ет уровень R. Для заданных у и Утр с учетом известного R одно-
значно можно определить число изготавливаемых изделий Nr=
У, R), гарантирующих успешную реализацию программы.
Суммарные затраты на реализацию программы Св могут быть
определены на основе зависимости
Св=(С1+С2)^отр + ^).	(2.4.17)
Смысл рациональности (оптимальности) принимаемого реше-
ния при задании необходимого уровня надежности изделия и выде-
лении ассигнований на обеспечение надежности заключается в ми-
нимизации суммарных затрат на разработку и изготовление необ-
ходимого количества изделий, гарантирующего успешную работу
Уу>Утр изделий.
Теперь рассмотрим некоторые возможные пути формализации
изложенной выше постановки задачи.
В качестве множества исходов используем пространство эле-
ментарных событий, описанное в подразд. 2.2.2. Каждое из элемен-
тарных событий Vi состоит в том, что в результате применения У
изделий произошло ровно Ny=i успехов. С точки зрения достиже-
ния поставленной цели все множество исходов V, состоящее из
58
N+l элементарных событий, можно разделить на два подмножест-
ва Vi и V2, такие, что
V (*=0,1,..., N) Со, € И) <=>(/>ЛГтр);
V (i=o, 1,.. ,,w)(^nX=>(*<wTP).
Следует заметить, что события Vt, рассматриваемые в данной
постановке элементарными, при другом подходе могут оказаться
сложными событиями. Например, если бы нас интересовал порядок
наступления успехов и отказов отдельных изделий при последова-
тельном применении, то в качестве элементарных мы должны были
бы рассматривать события, заключающиеся в том, что успешно вы-
полнили задачу ровно Wy изделий с наперед заданными порядковы-
ми номерами. Объединение всех С& новых элементарных событий
для одного составляет одно «элементарное» событие, опреде-
ленное выше. С учетом этого вероятность события Vi
при известной вероятности безотказной работы изделия опреде-
ляется по формуле
Эта формула задает вероятностную меру на пространстве V. Со-
бытие Vi является объединением всех Vi при	поэтому его
вероятность определяется как сумма вероятностей этих элементар-
ных событий:
w
P{Vi}= 2
/-Лтр+1
Эта вероятность и дает нам уровень практической гарантии у
успешного выполнения программы.
Для обеспечения заданного уровня гарантии у при известных
значениях R и мы можем увеличивать N и этим самым заново
определять пространство V до тех пор, пока не добьемся выполне-
ния условия Р{ Vi} ^у. При этом величина N и будет равна искомому
значению NT. Для ;VTp<20 решение этой задачи легко реализуется
на ЭЦВМ с помощью уравнения марковской цепи с поглощением,
имеющей вектор начальных вероятностей состояний размерности
(Л/тр+ 1)
л(0)={1,0,...,0}
и матрицу переходов размерности
1-/? R 0 ... О
О 1-RR...0
Ptf, /)=
0	0	0	1
59
Вектор текущих вероятностей л (ДО) вычисляется с помощью рекур-
рентной формулы
n(N)=x(N— 1)ДО,
причем i-я составляющая л, (ДО) дает значение вероятности события
{Ny=i}, а последняя составляющая n^+j (ЛГ) — вероятность собы-
тия {ДОу ДОТ р}.
Для упрощения расчетов по ДО>0,5 и ДОтр>10 можно использо-
вать нормальную аппроксимацию биномиального распределения:
- /т Гад (1-ДО),
где t-f — квантиль нормального распределения.
Двойным рекуррентным применением выражения получаем об-
ратную зависимость с точностью до долей процента:
ДО,р + Г+ *т (1 - Я) /ДОтрЛ (1 - /?))
д---------------.	(2.4.18)
Таким образом мы получили возможные пути построения функци-
онального соответствия ср : R—>W. Если множество R принять за
пространство стратегий (решений), среди которых необходимо
выбрать значение 7?0Пт, обеспечивающее минимум суммарных за-
трат на реализацию программы (2.4.17), соответствие ф решает
только часть задачи: для каждого R определяет NT, гарантирующее
условие (2.4.18). Решение усложняется тем, что надежность R мо-
жет быть обеспечена различными сочетаниями составляющих /?ь
/?2, R3- В каждом частном случае может быть поставлена и решена
задача вспомогательной оптимизации, например, найти вектор
Т?2, обеспечивающий R'=RiR2 при минимуме стоимости С=С1 + Сг.
С уровнем /?з дело обстоит сложнее, так как затраты на отработку
носят разовый характер и не повышают стоимость изготовления
каждого изделия, причем удельный вес их меньше при больших
значениях NTp. В этом и подобных случаях может оказаться полез-
ной процедура непосредственного поиска оптимального значения
векторов /?2, Rz, использующая наличие однозначных соответст-
вий fi: Ri-+Ci (f= 1, 2) и f3 : /?3~>М>тр.
С этой целью была разработана процедура unimin (f,fi, fisx, х,
xmin, х max, dx, eps, n), обеспечивающая поиск оптимального век-
тора х в области, ограниченной значениями х min и х max, размер-
ности N с абсолютной ошибкой меньше чем dx и относительной по-
грешностью, не превышающей eps. Вычисления значений целевой
функции производятся с помощью процедуры-функции f. Проверка
выполнения дополнительных ограничений осуществляется логичес-
кой процедурой-функцией fi. Описание процедуры поиска экстрему-
ма помещено в приложении, в составе алгол-программы, определя-
ющей зависимость удельных затрат Суд=Съ/^тр и удельных нор-
мированных затрат Суд.н=Суд/Со, где Со=Сю + С2о, от объема пот-
ребности Мтр для конкретных вариантов исходных данных.
60
Кроме этого, по результатам вычислений может быть определе-
на доля затрат на компенсацию статистической неустойчивости ре-
зультата относительна математического ожидания
ДСт=-£/у
С Л г Я / ’
а также доля затрат на обеспечение надежности
ДСЛ=1-ДСт-^-(ДГтр + ^отро).
1 пличные зависимости СуД.н, ЛСц и ДСТ> полученные для
исходных данных: у=0,99; /?ю=0,8; С10=1,0; 5,0; ^=0,8;
Рис. 2.4.
С20=1,0; 10,0; /?зо=О,6; ЛГОтР=5, ai = a3=l, a2 = 2, представлены на
рис. 2.3 и 2.4.
Анализ приведенных зависимостей позволяет выделить области
значений массовости продукции с различными возможностями ис-
пользования вероятностных показателей надежности в качестве
единственной основы для обеспечения гарантии успеха.
Для изделий массовости применения (AfTp> Ю3) дополнительные
затраты на обеспечение гарантированного результата, компенсиру-
ющие статистическую неустойчивость случайных явлений относи-
тельно средних, составляют единицы процентов от суммарной сто-
имости программы и незначительную часть суммарных расходов
на программу обеспечения надежности.
Для изделий серийного производства (ЛАгр> Ю2) затраты на
компенсацию неустойчивости составляют до 10% от суммарных
расходов и порядка 20% от расходов по программе обеспечения на-
дежности.
Для изделий мелкосерийного производства (ЛАгр — десятки) за-
траты на компенсацию неустойчивости составляют до 25% от сум-
марных расходов и до 50% от стоимости ПОН.
Наконец, для уникальных изделий (AfTp— единицы) затраты на
компенсацию статистической неустойчивости путем увеличения объ-
ема программы изготовления могут в несколько раз превышать
61
первоначально планируемую стоимость программы, что является
явно неприемлемым путем обеспечения гарантированного резуль-
тата.
Результаты анализа ярко демонстрируют возможности исполь-
зования явления стохастического детерминизма для обеспечения
гарантий на уровне изделия.
В условиях рассмотренного выше примера зависимость достиг-
нутого уровня надежности изделия от затрачиваемых средств пред-
полагается заданной в виде функционального соответствия <р : С—>*
—>-7? со свойствами (2.4.3), что позволяет однозначно находить на-
илучшую стратегию распределения затрат, обеспечивающую мак-
симум показателя R, с точностью до задаваемой допустимой ошиб-
ки процедуры поиска экстремума.
Единственный вид учитываемой неопределенности заключен в
неоднозначности функционального соответствия f:RxN—*-7Vy, т. е.
в случайности числа успехов. Принцип гарантированного результа-
та позволяет устранить эту неоднозначность путем введения уровня
практической гарантии у и построения корреспонденции f : RXN—>
—*~Nr, например, в виде соотношения (2.4.18).
Следующий шаг приближения постановки задачи к реальной
жизни состоит в учете неоднозначности соответствия <р: С—>-/?, ко-
торое в достаточно общем случае может быть задано совместным
распределением констант, входящих в соотношение (2.4.15). После-
довательное применение принципа гарантированного результата
требует построения доверительного интервала [/?(С), 1] с уровнем
практической гарантии обеспечения уОб. Причем практическая га-
рантия успешной реализации программы у зависит теперь как от
гарантии обеспечения уОб, так и от гарантии успешного примене-
ния упр:
Y=Yo6-YnP.
При такой постановке задачи становится актуальным исследование
вопроса о целесообразности использования стратегии эксперимен-
тального подтверждения достигнутого уровня надежности.
Пусть с целью подтверждения некоторого уровня надежности Ro
планируется испытать п изделий. Результаты каждого исхода испы-
таний {л, т}, где т— число успешных испытаний, случайны и в
предположении независимости исходов имеют вероятности:
Р{п, /n}=('/’)/?Xm(l-7?o6)’n,	(2.4.19)
где 7?об — уровень обеспеченной надежности.
Для каждого исхода {п, т} можно построить апостериорную
(условную) плотность байесовской оценки подтвержденного уровня
надежности Rn:
,D,	.	ЛГЯ’(1-^п)ОТ?ап15(Лп)	. rn.
Tan ост (Яп/».™)— i	•	(2.4. 20)
f R"~m (1 - Лп)” <?апр (Яп) dRa
62
Если для простоты предположить, что при подтверждении ис-
пользуется гипотеза о равномерном распределении на интервале
[О, 1] оценки /?п до начала подтверждения, что, кстати, часто встре-
чается на практике, имеем
пП—т /1   г> \тп
?а,.осТ№/«, /») = ! П	*--- ;	(2-4.21)
средневзвешенная (усредненная по всем возможным исходам) апос-
териорная плотность распределения оценки подтвержденного
уровня надежности, с учетом (2.4.19) и (2.4.21) будет
Тапост (Яи) = («+ D1 П1V	. (2> 4 22)
(«1)2 ((П — л>)1)2
Используя эту зависимость, можно получить функциональное соот-
ветствие (р:#обХпХ/?п—>уп для подтверждения уровня /?п при ис-
пытании п изделий с уровнем надежности Rm'-
п	1
Y„=(« +1)^ R^m(1 -Ra6y	5	zn~m
т-0	Лп
(2.4.23)
Пример -процедуры-функции podgam 1, реализующей вычисле-
ние уп, приведен в приложении 2 (пояснения к программе ПрО).
Ограничения использования этого алгоритма связаны с большим
временем численного интегрирования при вычислении интеграла в
(2.4.23) и переполнением арифметического устройства в связи с
вычислением факториалов при больших п. Однако при больших п
(порядка 20 и более и т^1 вычисление уп можно успростить, ис-
пользуя нормальную аппроксимацию апостериорной плотности рас-
пределения с дисперсией
О2 =	.	(2.4.23а)
п
Вариант соответствующей процедуры-функции podgam 2 приведен
в том же приложении.
С использованием указанных алгоритмов проведено решение
задачи выбора оптимальных значений /?Об, п, уп, С, NT для уровней
гарантии у=0,9 для различных объемов программы применения
изделий. Результаты расчетов, приведенные в табл. 2.4.1, еще более
подчеркивают неэффективность использования вероятностных по-
казателей для планирования программ создания уникальных изде-
лий. В то же время для программ с объемом применения изделий
более сотни для обеспечения гарантии 0,9 оптимальная доля за-
трат на подтверждение надежности составляет 10, 5, 2 и 1 % от пол-
ных затрат для объема применения 100, 500, 2000 и 10000 штук
соответственно, при этом разница между обеспеченным и под-
твержденным уровнем снижается от 0,15 до 0,04.
63
Таблица 2.4.1
Требу- емый объем Л^тр» шт.	Расход на от- работку W0Tp> шт.	Расход на под- тверж- дение ^п> шт.	Гаран- тирую- щий объем к т, шт.	Уровень на- дежности		Гаран* тия Тп	Распределение относительных затрат				
				*об			^ид	С об		.^отк	Сог
10	13	11	32	0,67	0,46	0,93	0,23	0,18	0,19	0,21	0,19
20	15	14	52	0,69	0,50	0,93	0,27	0,16	0,17	0,24	0,15
50	18	19	113	0,69	0,53	0,92	0,33	0,12	0,13	0,29	0,13
100	21	24	194	0,71	0,58	0,92	0,38	0,12	0,10	0,30	0,10
200	24	29	375	0,70	0,58	0,92	0,43	0,10	0,07	0,33	0,08
500	27	61	958	0,64	0,55	0,92	0,48	0,02	0,06	0,38	0,05
1000	29	75	1860	0,64	0,56	0,92	0,51	0,01	0,04	0,40	0,04
2000	31	ПО	3187	0,71	0,65	0,91	0,54	0,07	0,03	0,33	0,03
5000	36	145	7236	0,75	0,70	0,91	0,56	0,12	0,02	0,28	0,02
10000	40	228	13814	0,77	0,73	0,91	0,57	0,14	0,02	0,26	0,01
Приведенные результаты все еще не отвечают на вопрос: что
можно противопоставить стратегии подтверждения заданного уров-
ня надежности, так как вместо построения доверительного интерва-
ла для /?об мы получили оценку 7?п в предположении, что 7?Об одно-
значно определяется средствами, заложенными в программу обес-
печения надежности.
Полная постановка задачи требует поиска оптимальной страте-
гии с распределением гарантии на все три этапа: обеспечения, под-
тверждения и применения:
Y=max{Y06Y»P, YnYnp}.	(2.4.24)
Ясно, однако, что подтверждение надежности требует едино-
временных затрат на стадии создания изделий, удельный вес кото-
рых уменьшается при одном уровне у с ростом 7VTp, т. е. более эф-
фективно при больших объемах программы применения. При ма-
лых объемах программы эффективнее расходование средств на
обеспечение, но вид зависимости /?Об=/(С) определяется на основе
априорной информации, на основе опыта реализации ПОН изделий
аналогов, что вызывает опасения из-за возможности появления
новых непредвиденных проблем, типов отказов и т. п. Выходом из
этого положения является разработка в составе ПОН эффективных
защитных мероприятий, которые за счет повышения уровня органи-
зации процесса применения изделия могут обеспечить решение
задачи при большем уровне начальной неопределенности.
Для осуществления выбора оптимальной стратегии в соответст-
вии с. соотношением (2.4.24) в качестве исходного использовалось
64
априорное распределение для /?Об вида
,.D . ( О при 7?об<^о6;
( 1 при /?об>/?об,
где (1-^об)=2(1-/?об).
Б зависимости от заложенных величин констант в (2.4.15) страте-
гия без подтверждения при Утр=10...20 шт., предпочтительнее.
2.5.	ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ
ИСПЫТАНИЙ ИХ ВЫСОКОНАДЕЖНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.5.1.	Описание алгоритма построения доверительной границы
для вероятности безотказной работы системы
Принятые допущения. Д1. Рассматривается класс сис-
тем, представимых в виде многоуровневых последовательно-парал-
лельных структурных схем надежности (ССН).
Д2. Принятое в ССН резервирование предполагается горячим.
ДЗ. Компоненты ССН считаются статистически независимыми.
Д4. Показателем надежности системы выбрана вероятность без-
отказной работы в течение фиксированного интервала времени.
Рис. 2.5.
Д5. Информация о компонентах системы задается числом ис-
пытаний п и числом отказов d; при этом предполагается, что d!n<£.
<1.
Горячее резервирование (Д2) является в определенном смысле
наихудшим и, следовательно, полученные с помощью разработанно-
го алгоритма оценки надежности могут интерпретироваться как
гарантированные.
Сложность системы. Наряду с традиционным представ-
лением систем в виде ССН дадим изоморфное представление систем
в виде специального кодового дерева. Принцип построения такого
дерева по ССН удобнее всего проиллюстрировать на простом при-
мере.
На рис. 2.5 и 2.6 даны традиционное и древесное представления
соответственно для одной конкретной системы.
Все кодовое дерево, изображенное на рис. 2.6, обозначим сим-
волом Мо. Нижний индекс этого символа идентифицирует корень
3	2239	65
дерева системы. Символом 2Ио,1 обозначим дерево, начинающееся
из узла 0,1, расположенного на первом уровне дерева Л40. Вообще,
символом	мы будем обозначать поддерево, начинающе-
еся из узла 0, и, i2,...»6t, расположенного на 6-м уровне дерева Мо-
Здесь группа нижних индексов также является идентификатором
корня этого поддерева. Концевые элементы различных поддеревьев
обозначают первичные элементы системы, некоторые из которых
Рис. 2.6.
могут быть однотипными. Точнее однотипными могут быть только
те первичные элементы одного уровня, кодовые слова (идентифика-
торы) которых отличаются лишь последними символами. Множест-
во кодовых слоев (идентификаторов) концевых элементов дерева
обозначим через Е(М0). Через /(е), где 8gE(M0), обозначим длину
(количество кодовых символов) кодового слова е. Уровнем слож-
ности системы назовем величину
5 (7И0) = max {Z (е)} — 1.
eGE(Afo)
Для системы, представленной на рис. 2.6, уровень сложности
определяется следующим образом:
S=max{ Z(e)}-l=Z(e1)-l=Z(e2)-l = 6-l=5.
в6Е(7И0)
Доверительные множества. Идея решения. В
работе [4] дано описание методики построения доверительных ин-
тервалов для функции от многих неизвестных параметров. В общем
плане сущность этой методики в следующем. Пусть заданы Х=
= {х}, П= {р} и Вр —пространство исходов испытаний, пространство
параметров и семейство вероятностных мер соответственно. Счита-
ется известным правило р—>Нр<=Ху для которого Вр{х^Нр} ру-
чнело у, 0<у< 1 называется коэффициентом или уровнем до-
верия. Если фиксировать результат испытаний х^Х и в простран-
стве П выделить подмножество Gx точек р таких, что х^Нр, то
66
высказывания {х^Нр} и	станут эквивалентными. Поэтому
при любом реП
Bp{peG-}^y.	(2.5.1)
Множество Gxt удовлетворяющее (2.5.1), называется доверитель-
ным множеством для параметра р с коэффициентом доверия не
меньше у.
Если f(p)—функция, выражающая зависимость вероятности
безотказной работы системы от вероятностей безотказной работы
ее элементов, то оценить нижнюю границу этой функции позволяет
следующая теорема [4].
Пусть f(p) :П—a G* — система доверительных множеств с
уровнем доверия не меньше у. Тогда интервал (/(х), /(х)), где
f(x)=inf P^Gx. /(x)=sup {f(p)}> p^Gx является довери-
тельным с уровнем доверия не меньше у.
Именно этот принцип будет использован нами для построения
нижней границы. Построение будем осуществлять следующим об-
разом.
В соответствии с допущением (Д5) для каждого из элементов
системы имеем
xz=^,
где Xi — параметр пуассоновского распределения; qi — ненадеж-
ность элемента, а п, — общее количество испытаний i-ro типа эле-
ментов. Роль пространства будет играть целочисленная решетка,
элементами которой являются точки d = (d\, где N — размер-
ность системы (число типов элементов), a di — количество отказов
для элементов i-iro типа. Роль пространства П играет Л^-мерное про-
странство точек Х= (Хь.... Xn), Xi>0, где Хг- — параметр пуассо-
новского распределения.
В работе [5] показано, что величина
ЛГ
d^dt
Z — 1
имеет пуассоновское распределение с параметром
N
х=2х,.
Z —1
В этой же работе показывается, что для X может быть построен
доверительный интервал
0<X<Ai^(rf).	(2.5.2)
Следовательно, в качестве доверительного «интервала» для век-
торного (параметра может ‘быть 'выбрано множество
{n	1
X|0<2X/<	•	(2.5.3)
Z-*l	J
3*
67
Величина Ai-T(af) в выражениях (2.5.2) и (2.5.3) является кор-
нем уравнения
d
(2.5.4)
i—О
Таким образом, если f(X)—функция, выражающая зависимость
надежности всей системы от надежностей первичных элементов, то
формальная постановка задачи отыскания нижней границы назна-
чения надежности сводится к виду, как непосредственно следует
из теоремы [4],
f (X) min при X € Oj.	(2.5.5)
Качество результатов. Качество полученных в работах
[4, 5, 34, 43] и в данном разделе результатов будем оценивать по не-
скольким показателям:
1)	уровню сложности систем (УСС), на которые можно распро-
странить полученный результат;
2)	фиксированности уровня доверия (ФУД). Не для всех из-
вестных результатов выполняется условие (2.5.1). Из-за этого по-
лученная оценка не всегда обеспечивает заданные гарантии по
уровню доверия;
3)	качеству Ршш- По результатам сравнения оценок, осуществ-
ленного в работе [5], эти оценки могут быть ранжированы (весьма
условно) по трехбалльной системе: самая худшая оценка — 1, самая
лучшая — 3, промежуточный результат оценивается оценкой 2.
Имеется в виду, что мы оцениваем Pmm (Ml) (нижняя граница на-
дежности, полученная по любой методике Ml) выше, чем Pmin (М2)
(нижняя граница надежности, полученная по любой методике М2),
если Pajn (МВ>Ртш (М2). Сокращенно этот показатель обозна-
чим через СК (среднее качество);
4)	относительной трудоемкости (ОТ). Вычисление нижней гра-
ницы вероятности безотказной работы осуществляется с помощью
различных средств. Иногда допускается ручная реализация (РР),
иногда требуется однократное использование вычислительной про-
граммы для ЦВМ, т. е. один раз строится таблица, а затем допус-
кается ручная реализация. Этот способ вычисления назовем таб-
личной реализацией (ТР). Наконец, для некоторых методик тре-
буется вычислительная процедура (программа). Этот метод сокра-
щенно обозначим (ВП).
Табл. 2.5.1 построена для сравнения результатов по приведен-
ной группе показателей. Анализ таблицы показывает, что главным
недостатком приведенных методов [4, 34, 43] является либо ограни-
ченность в смысле уровня сложности систем, либо чрезмерная за-
ниженность получаемой оценки надежности.
Полученный в данной работе результат, давая оценки удовлет-
ворительного качества, практически не имеет ограничений по слож-
ности исследуемой системы.
68
Таблица 2.5.1
Условное наименование метода	УСС	ФУД	CK	ОТ
Метод прямоугольника :з4]	Не огра- ничен		1	PP, ВП
Метод Ллойда и Липо- ва [34]	s<2	Bp{Gd)>y	2	pp
Метод Мирного [43]	5=1		2	PP
Метод плоскости Беля- ева [4]	s<3	Bp{Gd}>4	2	TP
Приближенный метод «Беляева [5]	s<2	Вр{Оа}>У	2	TP
Метод усеченного пря- моугольника Беляева [5]	s<3	Bp{Gd}>y	3	ВП
Полученный в данной .работе результат	He огра- ничен	Bp{O^]>y	2	ВП
Блок-схема вычислительного алгоритма. Основ-
ные этапы схемы будут проиллюстрированы на конкретном при-
мере. Пусть вычисляется нижняя граница для вероятности без-
отказной работы системы, изображенной на рис. 2.7.
Описание исходных данных. Все исходные данные
оформляются в виде так называемой расширенной кодовой матри-
цы. В этой матрице для каждого элемента ej (t=l, 2,..., 15) отведв'
но четыре клетки для записи кодового слова, соответствующего
этому элементу, и три клетки для записи числа испытаний, числа
отказов и индекса типа соответственно. Если элементы являются
однотипными, то индексы типа у них совпадают, а клетки с числом
испытаний и числом отказов заполняются абсолютно одинаково.
Упорядочивание кодовой матрицы. С помощью
анализа кодовых слов устанавливается иерархия (древесный по-
рядок) .
Свертывание кодовой матрицы. На этом этапе уста-
навливается последовательность расчета нижних границ вероятнос-
ти безотказной работы. Удобнее всего изобразить эту процедуру с
помощью кодового дерева (рис. 2.8).
Сначала должны быть вычислены нижние значения вероятности
для поддеревьев Afo.i.i; Мод,з; Модд; Мо,2д; Afo.2,3. После этого дере-
во будет иметь только два уровня.
Затем вычисляются нижние значения надежности для подде-
ревьев Мод и Л1о,2. После этого дерево системы приобретает еще
6»
более простой вид (рис. 2.9). Наконец, рассчитывается нижняя
граница для всей системы (дерева) Мо.
Расширенная кодовая матрица
£1	0	1	1	1	11	0	1
е2	0	1	1	2	12	0	2
£з	0	1	1	3	14	1	3
£4	0	1	2	—	30	1	4
«5	0	1	3	1	20	0	5
«6	0	1	3	2	40	0	6
«7	0	1	4	1	100	2	7
«8	0	1	4	2	80	1	8
«9	0	1	4	3	60	0	9
010	0	2	1	1	70	* 0	10
«11	0	2	1	2	65	1	11
£12	0	2	2	1	40	0	12
£13	0	2	3	1	20	0	13
«14	0	2	3	2	15	1	14
«15	0	3 1		- 1	30	0	15

Рис. 2.7.
Суммирование количества отказов. Подсчитывает-
ся общее количество отказов для системы. Для этого производится
суммирование элементов предпоследнего столбца расширенной ко-
довой матрицы. Группа элементов одного типа при суммировании
должна учитываться как один элемент.
70
Решение уравнения. Имея суммарное количество отказов,
можно, решив уравнение (2.5.4), отыскать величину Ai_T(rf
(d—суммарное количество отказов). В нашем примере d=7; у=
=0,9; Д1-О.9 (7) = 11,77.
Рис. 2.8.
Расчет последовательного соединения. Для при-
мера рассмотрим свертывание поддерева Afoj i. Надежность этой
подсистемы выражается функцией
\	п1 / \ п2 / \ п3 /
В данном случае П\ = 11, И2=12, из=14,	—параметр пуассонов-
ского распределения для элементов	2, 3). На параметры
Ль Х2 и %з наложено ограничение
Xz^O;
0<х<д1_0,9.
Задача состоит в построении функции
д
<Р (Ды,1)= min /(ЛГ0,1.1)-
3
°<2 \<х
1
Как будет показано в подразд. 2.5.2,
min {«/)
г = 1,2,3.
Тогда
0<Х< Д1_т(7)= 11,77 при y=0,9.
Аналогичным образом свертываются поддеревья Afo.i.a; Afo,i,4; ЛГодГ,
Мо.2,3-
Расчет параллельного соединения. Рассмотрим
свертывание поддерева ЛГо.ь В данном случае задача состоит в вы-
числении функции
<Р(Дм)= mln (1 —П (1—?(Мы,/))|; 0<Х<11,77.
4	'	Z —1	'
1
71
В общем случае такая задача может быть решена методом ди-
намического программирования. В данном конкретном случае зада-
ча может быть решена аналитически. Используя выражения для
функций ф (/И0»1,г), вычисленных раньше, получаем
?CAfo,i)=.mln h	О <Х < 11 77
Л. Д 11 30 20 60 Г	’
2j
1
Решив эту задачу методом множителей Лагранжа, будем иметь.
?(Л101)=1-£1 —; 0<Х<11,77.
TV 0,17	256 396000
Аналогичным образом может быть найдена функция ф (Л1о,2)
<Р(ЛГО(2)=1-— ——, 0<Х< 11,77.
TV 0,27	27 39000
После этого остается еще раз вернуться к расчету последова-
тельного соединения и отыскать функцию ф (Л40):
А	/	X4	\	/	I3	\ /	1 S
Ф(ЛТо)=	mln 11	Л1	| 1	2	Hl	М
з V 256-396000 / \	27-39000 / \	30 / '
°<2
1
Для произведения вогнутых функций, стоящих в правой части, ре-
шение задачи дается выражением
«(ЛТо)=1 - max (----------, —-—, —L 0 < X < 11,77.
/-1,2,31 256-396000	27-39000	30 J
При Х= 11,77 <р(Л10)=0,6076.
Для—автоматизации подобных расчетов была разработана, со-
ставлена и отлажена алгол-процедура (применительно к системе-
ЛЛГОЛ-БЭСМ-6) securitecod (Ь, Ы, Ь2, ЬЗ, n, k, gamma). Это про-
цедура-функция, дающая значение нижней границы вероятности*
безотказной работы системы, описанной с помощью кодовой матри-
цы Ь, вектора Ы (количество испытаний элементов), вектора Ь2
(количество отказов при испытаниях элементов) и вектора ЬЗ
(признаки типов). Уровень доверия задается с помощью формаль-
ного параметра gamma. Формальные параметры пик имеют смысл
количества элементов и уровня сложности системы соответственно.
Кроме расчета только что разобранного примера, где точный (ана-
литический) результат совпал с результатом, полученным на ма-
шине, нами был рассчитан пример системы седьмого уровня слож-
ности с числом элементов 50. Время расчета на ЭЦВМ БЭСМ-б-
составило 51 секунду. Алгол-текст процедуры функции securitecod
вместе с соответствующими разъяснениями приведен в приложе-
нии 2.
2.5.2. Обоснование вычислительного алгоритма
В этом пункте собраны все необходимые результаты для разра-
ботки вычислительного алгоритма.
72
Вспомогательные обоснования. Кодовое дерево, со-
ответствующее системе, обозначим символом /Ио. Все это дерево
образовано композицией поддеревьев, начинающихся с первого
уровня. Эти поддеревья обозначим символами
Каждое из этих поддеревьев (если только оно не является первич-
ным элементом) образовано композицией поддеревьев, начинаю-
щихся со второго уровня.
^^од,д.» Z— 1» 2,...,/qJ Zj — 1,2,..., Zq, Zj.
Условимся символами Е(/Ио), Е(/Иод,), Е(Л4од,д.) обозначать те
подмножества множества Е, элементы которых являются кодовыми
словами первичных элементов деревьев /Ио, /Иод, и /Иод,д,. На-
дежность каждого первичного элемента является функцией аргу-
мента Л», где е—кодовое слово, соответствующее этому элементу.
Обозначим
2 *.4; 2 х‘=х'’ z=1’2’-’
•6Е(ЛГ0)
^»=^z„z.» /2= 1» 2,..., Zq, i\.
•ещ.Мо,»,,/.)
Вследствие того, что поддеревья /Ио; /Иод,; /Иод.д представля-
ют соответствующие подсистемы, имеет смысл говорить о надежно-
сти этих подсистем: f(zM0)—надежность всей подсистемы /Ио;
/(/Иод,) — надежность подсистемы с деревом/Иод,; /(/Иод,д,) —на-
дежность подсистемы с деревом Afo,z„z,.
Формальные результаты. Лемма 1. Построение функ-
ции
?(ko)=min/(Afo) при 0< 2	О<Х0<Д
.ев<ж0)
может быть сведено к решению последовательности экстремальных
задач, размерность которых г удовлетворяет условию
г<тах{£1(Л10) + 1, ^(Мо)+1),	(2.5.6)
где L](Afo) — максимальное число ветвей, исходящих из узлов, рас-
положенных на четных уровнях дерева /Ио; Li(Mo) —максимальное
число ветвей, исходящих из узлов, расположенных на нечетных
уровнях дерева /Ио.
Доказательство. Пусть оценка (2.5.6) справедлива для
систем сложности не более $—2, где $—уровень сложности систе-
мы, представленной деревом /Ио. При доказательстве леммы 1 всег-
да имеем в виду, что
о< 2	<2-5-7)
Отметим, что ln/(Af0)^=2	(2.5.8)
<1-1
73
Для любого набора чисел, удовлетворяющих условию (2.5.7), спра-
ведливо неравенство
2 ь/(Л10)/.)> 2	(2-5-9>
1-1	1,-1
где
<p(Afo,z,)=  min ln/(Afo,i,).
s х.-хй
Ясно, что
У Ф/i (№,/,)> min 2<|>(M0,fl).	(2.5.10)
hii	o<sxZi<x0
Таким образом, для любых наборов чисел к, , удовлетворяющих
условию (2.5.7), из (2.5.9) и (2.5.10) следует, что
21п/(Ж0Л)> min 54(^0,;.)•	(2.5.11)
Д	o<2xZi<x0£
Минимизируя левую часть неравенства (2.5.11), получаем
lo min yin/(Af01Z1) o<s.x, <x. •6Е(Л10)	min Zo 0< X. <;Xo *i=l ll	2 ф * 1—1	(2.5.12)
Вместе с тем очевидно, что			
min V ln/(Af01(I) 0-^2 Хе -<Xq *1 — 1 e6E(Jf0)	< ^min 2 /1-1		(2.5.13)
Из (2.5.12) и (2.5.13) следует, что
/°	1р
min V tn/(Af0>Z1)= min V Ф(ЛГо,ь). (2.5.14)
0<2Xt<XoJ^	lo	.
<£Е(Л0)	1-	°< 2 X*i<X°
Из (2.5.8), (2.5.14) с учетом перестановочности операций In и min
получаем
	min /(Af0)= mln П ?(Af0,z,),	(2.5.15) Zo	* —1 •eE(Jfo)	0<^Х/<Хо * —1
где	<f(Motil)= min /(Mo,/,).	(2.5.16) Sxe-xZ, «6E(M0iZ1)
74
Если функции (Afo,/J уже построены, то из (2.5.15) следует, что
для построения функции <р(%0) в одной точке требуется решить
экстремальную задачу размерности lQ. Для построения функции
<р(%о) на всем отрезке (О, А] требуется решить экстремальную зада-
чу размерности /0+1. Далее заметим, что
1
?(Mo,z,) = min /(M>,z,)=l- max R (1—Z(Af0,/../.))• (2.5.17)
«^E(Af0/i)	в6Е(Л0>/1)
Задача максимизации в правой части (2.5.17) с помощью операции
логарифмирования может быть приведена к аддитивной форме
2 1п[1 —/(Afo,z„z.)]ZZ/maxnpH	х» = хь-	(2.5.18)
z.-i	«еЕ(л0>п)
С помощью рассуждений, аналогичных выше приведенным, можно
показать, что
max У ln[l — /(Afo,(1Iz2)]= max У In[1 — <?(Afo,z.,z.)],
2Х‘“Х/>
x’i—1
(2.5.19)
где	?(^o,z„z,)= min / (Af0,zltz,).	(2.5.20)
sx,-xz.,z.
Возвращаясь от (2.5.19) снова к мультипликативной форме, полу-
чаем (с учетом перестановочности операций In и max)
max П [1 —/(Af0,z„z,)] = max П * [1 —<PCMo,z„z.)]» (2.5.21)
Xg — Xf I 2™ 1	Idyl 1	11
•£E(jMqz )	S XZi,Zt —X/i
«а-t
Если считать, что функции <p(Afo,Zi,z,) уже вычислены, то для по-
строения функций ?(Л1оД1)>как это следует из (2.5.17) и (2.5.21), на
всем отрезке [0, Д] требуется решить последовательность экстре-
мальных задач с размерностью, не превышающей величины
max (Z0>h) + l-	(2.5.22)
Вычисление функций <? (М>,м,) в (2.5.21) в соответствии с ин-
дуктивным предположением требует решения экстремальных задач
с размерностью, не превышающей величины
max [max {Lr (Af0,z „zj +1, Z2 (Af0)z ,,z,) +1}] •
i i, J i
Непосредственной проверкой можно установить справедливость
леммы 1 для s= 1 и $=2.
Замечание 1. Смысл оценки (2.5.6) состоит в том, что она дает
нам максимальное значение размерности экстремальных задач, ре-
75
шаемых для отыскания нужной нам оценки. Например, если вся
система образована из разнотипных элементов, то значение надеж-
ности является функцией п аргументов, где п — число элементов,,
образующих систему. Лемма 1 позволяет в ряде случаев свести за-
дачу минимизации этой функции от п аргументов к последователь-
ности задач существенно меньшей размерности.
Замечание 2. Результат леммы 1 позволяет обосновать вычисли-
тельный алгоритм. Вычислительный алгоритм имеет рекуррентную
структуру. Действительно, пусть решены задачи для системы уров-
ня s—2, т. е. вычислены функции <р /,) (2.5.18), которые явля-
ются оценками снизу надежности подсистем Afoj.j,. После это-
го, решая задачи (2.5.15), можем вычислить функции <р(УИо,/,), ко-
торые задают нижние значения надежности для подсистем Afo)Z1»
которые имеют уровень сложности $—1. Имея функции <p(Afo,zj»-
можем отыскать искомую функцию ф(Хо), которая дает нижнее
значение надежности при условии	Таким образом,
начиная от систем минимального уровня сложности, постепенно’
«поднимаемся» к корню кодового дерева.
Замечание 3. Оценка (2.5.6) не всегда позволяет сократить раз-
мерность экстремальной задачи. Например, если система образова-
на последовательным соединением п разнотипных элементов, то»
для построения функции <р(%о) требуется решить задачу размернос-
ти п+1. Подобные задачи возникают при «свертывании» последо-
вательно соединенных подсистем в одну систему. Например, из ра-
венства (2.5.13) следует, что для вычисления функции ф(Ао) в од-
ной точке требуется решить экстремальную задачу размерности /о-
Однако эта задача существенно упрощается в тех случаях, когда
функции <?(-Mo,Z1>Z1.<А), определенные как
д
'P(^o,z„Z1,...,zJ = min f (Af0,Z1,z,..I.),
2 х»-х/ьй.tk
‘6Е(Л0(/1>;.,ZJ
являются вогнутыми.
Лемма 2. Пусть ^,(х»), i=l, 2,..., п суть выпуклые функции на
множестве xt^0, для которых ^»(0)=0 и <7i(Xi)^0. В этих усло-
виях функция
Д	п
fn(x)= max П
Z-l
определенная на множестве x^O, является выпуклой.
Доказательство. Для п=1 справедливость утверждения
леммы очевидна. Образуем функцию
0 при л<О,
I/Д*) при х>0.
Допустим, что уже доказана выпуклость функции /«-1 (х) на
множестве (—оо, 4-оо).
76
Образуем функцию двух аргументов
Фл (*, Хл)=Л-1 (X- х„) q\ (хя),
определенную на всей плоскости Л®ХП. В этой функции по опре-
делению
°, "р"
ПРИ *л>0.
Заметим,^что	f*n (л)=max <|»я (±, л„).	(2.5.23)
хп
Покажем теперь, что функция фп (*» хп) является выпуклой по ар-
гументу х при любом хп. Действительно,
фя[(1-Х)хХ + ^,Хд]^/;_1[(1-к)(^-Хя) + Х(х2-Хя)]^(Хл)<
< (1 - М /л-1 (-*1 - Х„) q*n (л„)+X/ „_1 (л2 - л„) q*n (ля)=
=(1 -X)Фл (х1,х„)+Х-}>я(х2, ля).	(2.5.24)
Выберем хп так, чтобы максимизировать левую часть неравенства
(2.5.24). Тогда в силу (2.5.23) и (2.5.24) получаем
Л [(1 -X) лх-{-Хл2] < (1 -X) Фя (лх, х°НХфя (*2,4), (2.5.25)
где хп° — точка, максимизирующая левую часть (2.5.24). Неравен-
ство (2.5.25) можно усилить за счет максимизации членов правой
части. Таким образом,
Л [(1 -X) л*+Хл2] < (1 -X) Л (х2)+Х/;(л2).	(2.5.26)
Результат (2.5.26) содержит утверждение леммы.
Теорема (о максимальной разномерности).	•
Построение функции
Ф(Х0)= min /(Af0)
О < 2 X, < х,
«еЕ(ж,)
сводится к решению последовательности экстремальных задач,
размерность которых г удовлетворяет условию
r<Z2(M0)+l.
Доказательство. Рассмотрим некоторое поддерево
И4о,1„1„...,/4, начинающееся с Л-го уровня кодового дерева ЛГо- Если
это поддерево является первичным элементом системы, то надеж-
ность его является вогнутой функцией соответствующего аргумен-
та X.
Если Moilu...ik не является первичным элементом, то оно (подде-
рево) образовано композицией поддеревьев Afo,z>,/„...,/г/А+1, ift+i=l;
2;...; /о,/, ik. Допустим, что все функции <р (A4o,z	являются
вогнутыми. Если при этом Л-|-1 является четным числом, то систе-
ма	образована параллельным соединением подсистем
^од„...,,й+1, /к+1=1; 2;...;	.tk-
77
В этом случае в соответствии с формулами типа (2.5.17), (2.5.18),
(2.5.19), (2.5.20), (2.5.21) получаем
f(M>(<1,.,zJ=l-max	П [1-.............., )]. (2.5.27)
Ч/...ik Ч+1-1	+
‘ft+1
В силу допущения о вогнутости функций ср (Мо, ik+\) выраже-
ния (2.5.27) и леммы 2 ^(ЛГо,/,,/,.lft) являются выпуклой функцией
аргумента .........,/ft. Если же &+1 является нечетным числом, то
в соответствии с формулами типа (2.5.8), (2.5.15)
Tt'Woj../../,)= mln П	...i ).	(2.5.28)
’“y	- ‘“l".
.	1   ‘ft+1 X/,,‘S 4
‘Л+1-1
Нетрудно показать, что из (2.5.28) следует (в случае вогнутости
функций <р, стоящих в правой части (2.5.28))
ТСЛГод,.../д)= min {<р(Л1о,/,.....zft+1)).	(2.5.29)
‘А+1-1,... ,1к
Из (2.5.29) следует, что в том случае, когда каждая из функций
ф (Afo,/,.i ) является вогнутой, функция <р(УИ0,ik) также явля-
ется вогнутой.
Таким образом, при переходе с k+ 1-уровня дерева Мо на £-уро-
вень вогнутость функции <р сохраняется. В силу этого при «сверты-
вании» последовательно соединенных подсистем можно всегда за-
менить задачу минимизации типа (2.5.28) задачей выбора
минимального числа из некоторой последовательности чисел (см.
результат 2.5.29). Таким образом, можно было бы применить метод
рассуждения, использованный при доказательстве леммы 1, огово-
рив лишь то обстоятельство, что экстремальной задачи (2.5.15) по
существу нет. Размерность экстремальных задач в этом случае
полностью оценивается величиной Л2 (Afo) + 1.
Замечание. Если учесть, что практически кратность резервиро-
вания сложных систем не превышает трех, то результат теоремы
означает, что при оценке нижней границы надёжности приходится
решать экстремальные задачи размерности не выше четырех. Это
практически полностью снимает ограничения по уровню сложности
исследуемых систем.
ГЛАВА 3
ЭПИОПТИМИЗАЦИЯ
3.1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В технике, экономике и военном деле весьма часто встречаются
задачи принятия решения, которые содержат неопределенные и
случайные параметры и сводятся к оптимизации целевого функцио-
нала при наличии ограничений в форме неравенств. Такие задачи
классифицируются на задачи с неопределенностью и задачи с рис-
ком. Для задач первого класса распределение параметров задачи
считается либо неизвестным, либо вообще не существует. Для задач
второго класса на множестве возможных значений параметров
определена вероятностная мера. Наличие неопределенности в про-
странстве параметров целевого и ограничивающих функционалов
определенным образом деформирует процедуру выбора «наилучше-
го» решения и ставит перед исследователем ряд специфических
проблем, к которым можно отнести следующие.
1.	Проблема уточнения понятия «наилучшее» решение. Эта
проблема возникает из-за того, что обычная процедура оптимиза-
ции не позволяет в условиях неопределенности выделить единствен-
ное решение, а позволяет во множестве допустимых решений по-
строить лишь более или менее емкое подмножество, элементы кото-
рого уже не упорядочены с помощью целевого функционала. В этих
условиях, когда целевой функционал как способ упорядочения уже
не работает, возникает потребность построения какого-либо иного
способа упорядочения на полученном подмножестве.
2.	Проблема устойчивости оптимального решения. Допустим,
что параметры целевого и ограничивающего функционалов извест-
ны. Известен также метод решения, реализованный в виде проце-
дуры оптимизации.
Тогда может быть найдено соответствующее оптимальное ре-
шение. Задача анализа устойчивости этого решения сводится к
определению «критичных направлений» в пространстве параметров.
Критичные направления дают возможность оценить такие измене-
ния параметров задачи, которые приводят к потере оптимальности
исследуемого решения.
3.	Проблема эффективного уточнения исходных данных. В тех
случаях, когда имеется возможность уточнения исходных данных,
возникает необходимость указания наиболее эффективных парамет-
ров, уточнение которых наилучшим образом уменьшает мощность
множества неупорядоченных решений.
79
16
14
12
10
8
6
4
 2
4. Иногда процедура оптимизации в условиях неопределенности
оказывается весьма удобным инструментом для существенного со-
кращения числа конкурирующих решений. Хотя это не решает пол-
ностью проблемы оптимизации (кроме случая, когда остает-
ся только одно решение), сокращение числа конкурирующих
вариантов в ряде случаев позволяет существенно упростить
исходную постановку зада-
чи оптимизации за счет
уменьшения количества вы-
бора.
Здесь мы перечислили
лишь главные, на наш
взгляд, проблемы, которые
возникают при отыскании
«оптимальных» решений в
условиях неопределенности.
Эти и некоторые другие про-
блемы, возникающие «око-
ло» или «над» собственно
задачами математического
программирования при фик-
сированных параметрах це-
J	левых и ограничивающих
 д- функционалов, объединяем в
0 5	15	25	35	45 лкв’А общую проблему «эпиопти-
мизации» (греческое «epi»
Рис. 3.1.	означает сверх, над, возле,
около).
Актуальность проблемы эпиоптимизации обусловлена хотя бы
тем, что постановка и решение громадного большинства задач опти-
мизации в условиях неопределенности является скорее правилом,
чем исключением. Далее, обычно оптимальное решение противопос-
тавляется «здравому» (с точки зрения интуиции) решению и срав-
нивается именно с ним. Хотя мы не располагаем сколь-нибудь
полной информацией о величине «разности между оптимальным и
здравым» (сама эта постановка выглядит весьма некорректной и
нуждается в многочисленных уточнениях), можно все-таки отме-
тить, что величина этой разности не является очень большой.
С целью определения порядка этой величины был проведен экс-
пертный опрос специалистов. Вопрос формулировался следующим
образом: на сколько процентов можно увеличить обобщенный коэф-
фициент эффективности системы с помощью применения методов
оптимизации, если эта система ранее была спроектирована и изго-
товлена специалистами, использующими традиционные методы?
Было опрошено всего 27 человек.
Отвечающие имели право выбирать любую конкретную модель
системы (радиоэлектронная схема, автомобиль, автохозяйство,
стройка, колхоз, народное хозяйство и др.). При этом делалась ого-
ворка для отвечающих: оптимизация системы должна осуществ-
80
ляться по обобщенному (комплексному) критерию за приемлемое
время и деньги.
Структура вопроса содержит значительную неопределенность,
но опрос все же указал на определенный диапазон исследуемой
величины.
Результаты опроса, оформленные в виде гистограммы, приведе-
ны на рис. 3.1. Приблизительно 90% отвечающих дали свои ответы
в диапазоне ст 0 до 35%; примерно 63% отвечающих в диапазоне
от 0 до 15%. Если теперь учесть, что потери от неточности исход-
ных данных (параметров функционалов) могут иметь такой же по-
рядок по величине, то становится совершенно очевидной важность
исследований для анализа процессов оптимизации в условиях не-
определенности.
Прежде чем переходить к более или менее формальной схеме
анализа задач эпиоптимизации, рассмотрим три простых примера,
иллюстрирующих влияние точности исходных данных на результа-
ты оптимизации.
Пример 1. Этот пример заимствован нами из работы [16]. Авторы статьи,
демонстрируя преимущества методов оптимизации перед интуицией разработчи-
ка, не подкрепленной математическим анализом, рассматривают задачу опти-
мального резервирования простейшей системы, состоящей из четырех последова-
тельно соединенных подсистем. Заданы следующие характер истикл этих подсис-
тем: /71=0,5, /72=0,4,./7з=0,1, /74=0,05; mi=5 кг, т2=2 кг, т$=2 кг, т4=1 кг,
где qi и m<( i=l, 2, 3, 4) ненадежность и масса t-й подсистемы соответствен-
но. Допускается в условиях поставленной задачи увеличение массы всей систе-
мы па 5 кг. Результаты решения этой задачи, «подсказанные интуицией», имеют
следующий вид:
Хи1 = (2,1,1,1),Х1в = (1,2,2,2),
т. е. согласно первому варианту следует задублировать первую подсистему, а
согласно второму варианту — вторую, третью и четвертую подгиетгмы. Для та-
ких вариантов (полученных интуитивно) имеем соответственно дли значений
надежности
Р (ХИ1) = 0,38; Р(Хи2) = 0,41.
Результаты расчета_ показывают, что оптимальным будет вариант Хо— (1,
3, 1,2), для которого Р(Ло) =0,42.
Любопытно отметить, что, сравнивая оптимальное решение с полученным с
помощью «здравого смысла», получаем
/’Ио)  0>42  ! !
/’Ии1)	0,38
т. е. приращение величины критерия эффективности (в данном случае — надеж-
ности) составляет около 10%.
Представим, что величины qi являются точечными оценками, полученными
по результатам испытаний соответствующих подсистем с истинными значениями
ненадежностей, равными q^. Допустим, что для /7»° (i=l, 2, 3, 4) имеются чис-
ловые значения ^i°=0,54; /7г°=0,36; ^3°=0,14; /74°=0,025 и каждая подсистема
испытывается 100 раз.
Выписанные значения для q^ (г=1, 2, 3, 4) выбраны таким образом, чтобы
выполнялись условия
Р {!?/ — ??!»/}>*>о,
где i=l,2, 3, 4, 61=0,04, 62 = 0,04, б3=0,04, б4=0,025, а е — не очень малая ве-
личина.
81
Смысл приведенных условий заключается, грубо говоря, в том, что при за-
данных значениях qtQ (i=l, 2, 3, 4) наблюдаемые значения qi для этих пара-
метров не являются слишком редким событием.	__
Оказывается, что для qi° интуитивно выбранный вариант Хи1=(2, 1, 1, 1)
оказывается предпочтительнее варианта Хо=(1, 3, 1, 2), который раньше клас-
сифицировали как оптимальный.
Таким образом, даже относительно небольшое изменение пара-
метров целевого функционала может привести к существенной
деформации отношения предпочтения на множестве допустимых
вариантов.
Пример 2. В этом примере проиллюстрируем влияние неточностей в задании
исходных данных на результат оптимизации. Пусть задана система, состоящая
из пяти последовательно соединенных подсистем. Исходные данные о системе
приведены ниже.
Номер подсистемы.............................1	2	3	4	5
Масса подсистемы.............................8	9	6	7	8
Надежность................................... 0,90	0,75	0,65	0,80	0,85
Требуется отыскать оптимальные кратности резервирования подсистем, учиты-
вая ограничение на суммарную массуs резервированной системы
5
2 т1*1 <104,
i «I
где Xi — число дополнительных (резервных) подсистем с номером i, масса ко-
торых равна mi.
Точным решением поставленной задачи является вектор
Х0=(2., 3, 4, 3, 2).
Мы смоделировали ситуацию, в которой вместо точных значений надежностей в
алгоритм оптимизации подставляются их статистические оценки, полученные по
результатам испытаний. Моделирование заключалось в следующем.
1)	Каждая подсистема системы «испытывалась» с помощью датчика случай-
ных чисел rtj раз (/— номер этапа), а результаты этих испытаний—оценки pi
параметров pi по> частоте —подставлялись в алгоритм оптимизации.
2)	Для каждого генерированного таким образом варианта вычислялись по-
тери от его возможной неоптимальности (разность между оптимальным и по-
лученным значением надежности).
3)	Вычисленные потери усреднялись за счет повторения пп. 1 и 2 в течение
10 раз.
4)	Эксперимент, описанный в пп. 1, 2, 3, повторялся на нескольких этапах
(/=1, 2,..., 10); характеристикой этих этапов являются объемы испытаний под-
систем nj: 10, 20, 40, 60, 80, 100, 150, 200, 250, 300.
Результаты обработки полученных результатов моделирования изображе-
ны на рис. 3.2:
—	изображена зависимость числа различимых вариантов решения задачи
оптимизации пр.в от объемов испытаний п подсистем, т. е. от уровня неопреде-
ленности в задании исходных данных;
—	изображена зависимость частоты появления истинного варианта оптими-
зации резервирования от объемов испытаний подсистем и;
—	изображена усредненная зависимость уровня потерь S (абсолютное
уменьшение значения надежности от максимального уровня) от объемов испы-
таний и.
Приведенный пример указывает на то, что даже весьма точные статисти-
ческие оценки (полученные при объемах испытаний л= 100 ...150) не обеспечи-
вают надежных гарантий против появления ошибочных решений.
Пример 3. Рассмотрим одну из моделей процесса отработки изделия. Про-
цесс предполагает состоящим из нескольких этапов (в дальнейшем рассмот-
рение ведется на примере трех этапов). Каждый этап сопоставляется с опреде-
82
ленным классом «кривых роста», характеризующих степень отработанности от-
дельных составных частей изделия и изделия в целом.
В качестве количественной меры, характеризующей отработанность изделия,
принимается вероятность Р нормального функционирования в условиях соответ-
ствующего этапа. В конце последнего этапа значение этой вероятности может
рассматриваться как характеристика надежности’ изделия.
Каждому классу «кривых роста» соответствует «трубка» значений, отража-
ющая уровень неопределенности моделей отработки.
Рис. 3.2.
Осью абсцисс для «кривых роста» являются некоторые целые числа п<, ко-
торые соответствуют обобщенному количеству испытанных на i-м этапе образцов
изделий. Предполагается, что известна стоимость Сг- испытания на f-м этапе
каждого образца изделий.
В таком случае естественным образом возникают следующие две задачи на
оптимизацию.
1) При заданных ограничениях на требуемое значение Ртр надежности из-
делий в конце последнего этапа (Р^РТр) необходимо выбрать такие объемы
отработки на каждом этапе (ni, п2, л3), которые минимизируют общую стои-
мость процесса отработки.
2) При заданном ограничении на стоимость необходимо максимизировать
значение надежности изделия в конце последнего этапа обработки и определить
соответствующую тройку чисел («1, п2, п3).
Более формальная постановка задачи для одного из конкретных вариантов
выглядит следующим образом. Рассматривается изделие, состоящее из трех сос-
тавных частей, отказы которых на каждом этапе отработки статистически не-
зависимы.
Каждому этапу отработки соответствует определенный комплекс внешних
условий, воздействующих на испытываемую составную часть изделия. При этом
на каждом последующем этапе отработки воспроизводятся условия, характер-
ные для предыдущих этапов, и накладываются добавочные условия, свойствен-
ные только данному этапу. Поэтому может быть введена характеристика рабо-
тоспособности каждой из составных частей — вероятность безотказного функцио-
нирования при условии, что дефекты, которые могут быть выявлены и устране-
ны на предыдущих этапах отработки, отсутствуют. Это позволяет работать с
условными вероятностями и считать, что для каждой составной части результи-
рующая вероятность безотказного функционирования есть произведение вероят-
ностей, соответствующих каждому этапу.
«Кривые роста» для &-й составной части (6=1, 2, 3) на f-м этапе (i=l, 2,
3) аппроксимируются экспонентами вида
Рм = 1 — exp (—
где qki — начальные «ненадежности», — значения так называемого «темпа
роста».
83
Общая стоимость всех испытаний является аддитивной функцией стоимостей
на отдельных этапах:
з
с = 2 С/п/.
i-1
Номинальные значения параметров модели приведены в табл. 3.1.1.
Таблица 3.1.1
Этапы отработки
1	2	з J
^п=0,95	012=О,ОО65	Я 1з=0>0097
рп=0,005	012=О,ОО8	013=0,0167
^21=0,002	</22=0,0032	^2з=0,0001
021=0,001	р22=0,00004	023=0,00001
^31=0,0001	032=0,01	4'зз=0,034
031=О,00001	0з2=О ,003	033=0,026
Ci=0,l	С2=2	С3=3,5
Результатом решения задачи минимизации суммарной стоимости отработки
для РТр = 0,95 и номинальных значений qtk и 0м (£=1, 2, 3) является тройка
чисел (П1, л2, Пз) = (920, 2, 10).
Проводилось также исследование чувствительности оптимального решения
к отклонению параметров и 0<л. Если в качестве критерия влияния отдель-
ных параметров на оптимальное решение принять величину уменьшения значения
Сила, то параметры распределяются по уровню влияния следующим образом:
Р11» 033» 013» 012» 022» ?13» 032» ₽12» ?33» ?32» ₽31*
При отклонении параметров на 30% от своих номиналов оказалось, что
«наилучшему» из оптимальных вариантов соответствует тройка (710, 0, 1), а
соответствующая стоимость значительно меньше стоимости для номинального
варианта (75 ед. против 131 ед.). Поиск «наихудшего» оптимального варианта
при отклонениях параметров на 30% дал тройку (1450, 2, 20) и стоимость от-
работки С=219 ед.
Этот пример достаточно выразительно иллюстрирует диапазон неблагопри-
ятных последствий, могущих возникнуть при недооценке точности исходных дан-
ных: в одном случае можно очень «переплатить» за отработку, а в другом слу-
чае закончить процесс отработки, не доведя надежность системы до требуемого
уровня.
Прежде чем переходить к более или менее систематическому
анализу проблемы эпиоптимизации для сформулированного класса
задач, введем в рассмотрение формальную модель задачи исследо-
вания оптимума в условиях параметрической неопределенности.
.Модель интерпретируется как упорядоченный набор объектов
/1,..., f', algo, хс, А, В},	(3.1.1)
где хс—Всп—целочисленная решетка в неотрицательном ортанте
«-мерного линейного пространства Rn; А—множество возможных
значений параметров целевого функционала }°; В—В1ХВ2Х ... X,
ХВТ — множество возможных значений параметров ограничиваю-
щих функционалов; В,г)—множество возможных значений
84
параметров ограничивающего функционала f°:RnXA—►А!1—
отображение, задающее целевой функционал; : RnXBi—(i=
= 1,...,г)—отображения, задающие ограничивающие функциона-
лы; algo:AxB—^Rc'XR1 — отображение, заданное алгоритмом
оптимизации.
Предполагается, что множества А и Bi (i=l..г) имеют струк-
туру замкнутых ограниченных параллелепипедов с заданными ве-
роятностными мерами (задачи с риском) или без них (задачи с
неопределенностью). Такая структура задания множеств А и В»
соответствует случаю, когда на каждый параметр функционалов
f<(i=0...г) задается «трубка точности».
Все дополнительные требования к объектам модели (3.1.1) по»
мере надобности будут оговорены особо.
3.2. ЗАДАЧИ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ
Рассмотрим модель (3.1.1), у которой на параллелепипеде АХВ
не задана вероятностная мера. Если возникающий уровень неопре-
деленности достаточно велик в том смысле, что существует несколь-
ко допустимых вариантов, претендующих на оптимальность, то-
естественнее всего попытаться осуществлять выбор из оставшегося^
множества с позиции обеспечения каких-либо гарантий. Такой под-
ход, если перефразировать известное высказывание Саати [50Jr
дает плохие результаты там, где другие подходы дают еще более
плохие результаты.
Одним из главных вопросов, требующих решения, является воп-
рос о построении множества всегда допустимых вариантов реше-
ния. Множеством всегда допустимых вариантов (по определению)
будем называть множество
Отш=П П {х€^:/Чх,?)<0}.	(3.2.1>
‘~г ь‘ев1
Включение (3.2.1), основанное на независимости величин 6/ и
Ьр, для которых не выполняется одновременно система равенств.
k—l и j=l, позволяет разбить задачу о построении множества
Gmin на две аналогичные более простые задачи, так как
^m|n= П
/1
где Gmin(t)—множество всегда допустимых вариантов с однии-
ограничением fl(x, Ъ*) ^0.
Воспользоваться для построения множества Gmm (t) непосредст-
венно его определением в ряде случаев оказывается весьма слож-
ным делом. Задача существенно облегчается, когда существует
Ъ- Bt такое, что
(/)= П {*€/??: /' (х,	< 0} = {х € %: /' (х, 9*) < 0). (3.2.2)-
85-
$-=
Оказывается, что можно сформулировать достаточные условия,
обеспечивающие выполнение условия (3.2.2).
Теорема 1.Для существования	Вt, для которого выполня-
ется условие (3.2.2), достаточно, чтобы частные производные
д/дЬ^р(х, для и fr^Bi не претерпевали бы изменения
.знака.
Доказательство. Выберем точку Ь'еВ,, в которой произ-
водные, указанные в условиях теоремы, имеют фиксированные зна-
ки (ни одна из производных не обращается в нуль). Образуем век-
тор
ё=(ег...edImBz),	(3.2.3)
где	ey=slgn^- /'• (х, Ь,).
С помощью вектора (3.2.3) образуем вектор
^ = (С,..., ^ПпД/-),	(3.2.4)
где
б/.тах, если е}=1;
^7 mln, еСЛИ —	1 •
Покажем, что вектор ,(3.2.4) является искомым, т. е.
|х€^:/'СО-)<0}=П |х€Ясв:/'СО')<0}. . (3.2.5)
Ъ‘ев{
Для этого требуется доказать, что любой элемент левой части
(3.2.5) содержится в каждом из множеств	fl(x, bl) 0} .
Пусть х£{х(;/?": /*’(х, 3?f) <0. Покажем, что для любого Ь1 б
справедливо неравенство (х, Ь‘) < 0. Используя формулу Лангран-
.жа, получаем
dim Bi
//(X, ^/‘(х, dol + 8d')=/‘ (x,	+ 2 ^г/'Х
Х(х, д^ + 653)8^,	7 1	(3.2.6)
где 0< |6|<1.
Из выпуклости Bi следует, что
Bt.
Знак каждой из производных, расположенных под знаком суммы в
.правой части (3.2.6), может быть восстановлен с помощью вектора
ё. Для любого фиксированного /=1,..., dim В,, если
ТО 8^=^-d°L=^-djmax<0.
00 j
Аналогично, если (х, Й1+88&')<0, то 8^=6)—$_=£/—d)min>0.
до г
«6
Таким образом, в условиях теоремы 1 выражение суммы в (3.2.6)
всегда имеет неположительное значение, т. е. справедливо соотно-
шение (3.2.5).
Доказанная теорема дает способ построения множества всегда
допустимых вариантов решения (минимального допустимого мно-
жества). С помощью этой же теоремы может быть построено макси-
мальное допустимое множество вариантов решения (Gmax).
Если множество Gmm уже построено, то следующим этапом
является этап построения гарантированного целевого функционала.
Обозначим гарантированное значение функционала /*(х):
для задачи максимизации
(х)=inf /° (х, а)	(3.2.7)
а£А
и для задачи минимизации
/° (x)=sup /° (х, а).	(3. 2.8}
а£А
Теперь сформулируем достаточные условия для существования
такого, что
/° (х)=/° (х, а°), а° е А.	(3.2.9)
Теорема 2. Для существования а°еЛ, для которого выполнено
условие (3.2.9), достаточно, чтобы все частные производные
-— /° (•*, а)для x^Rcn и яеЛ не претерпевали изменения знака.
да)
Доказательство. Выберем точку аеЛ, в которой все част-
ные производные, указанные в условии теоремы, имеют фиксиро-
ванные знаки (ни одна из производных в этой точке не обращается
в нуль). Образуем вектор
е—(eu...,edlmA),	(3.2.10)
где <?,=sign -— /° (х, а).
да)
С помощью вектора (3.2.10) образуем вектор
ао=(а?,...,4тд),	(3.2.11)
где а°=/ ajmln' если е>=1;
I 0/тах> если ^=—1
для задачи максимизации целевого функционала и
_0_____________________( &)тах> еСЛИ 1,
I a?min, если еу= —1
для минимизации целевого функционала.
Покажем, что вектор ай является искомым. Пусть решается задача
максимизации целевого функционала. Требуется доказать, что
/о(*,я°)</о(*.я)	(3.2.12)
для всех хе^ся и а^А.
87
Используя формулу Лагранжа, получаем соотношение
/° (х, а) = f° (х, а°+8а)—/°(х, а0) -f-
+ У] f° (х, а°+08Н) Ъа},	(3.2.13)
/-1
где 0< [О1 <1. Отсюда, в частности, следует, что
dimA
/О (х, а) - f° (х, а0) = V-A- /о (х, а° + й) toy.
daJ
(3.2. 14)
Для любого фиксированного /=1,..., dim А
^-/°(х, а°+йв)>0, то 8a,ssay—а?=а,—аут|п>
Аналогично, если — /°(х, а04-O8a)<0,
де;
то 8a;say—а;=ау—аущах^О.
имеем:
0.
если
Таким образом, в условиях теоремы 2 правая часть выражения
'(3.2.14) неотрицательна и, следовательно, справедливо неравенство
(3.2.12). Совершенно аналогично рассматривается случай с мини-
мизацией целевого функционала.
Замечание. Достаточные условия, сформулированные в теоре-
мах 1 и 2, не являются слишком ограничительными или трудно про-
веряемыми и имеют простую инженерную интерпретацию. В част-
ности, если значения функционалов f’(i= 1,..., г) имеют смысл рас-
хода ресурсов г-го типа, то условия теоремы 1 означают, что при
увеличении любого из параметров 6,’ происходит либо увеличение
расхода, либо уменьшение его, и характер этого изменения остается
тем же самым для всех и
Имея гарантированные функционалы /2 и минимальное допус-
тимое множество вариантов Gmin, можно сформулировать задачи
«стохастического программирования:
для задачи максимизации
(x)=inf/°(х, а)—/°(х, a0)—»max ,
(3.2.15)
для задачи минимизации
(x)=sup /° (х, а)=/° (х, а0) —» min .	(3.2.16)
“еЛ	7б°т1п
< помощью алгоритма оптимизации algo:AxB—^"Х/?1 могут
быть решены задачи (3.2.15) и (3.2.16).
В частности, для задачи максимизации (3.2.15) применение ал-
горитма оптимизации
algo (а0 X ДО) —► *° X max
•*£0111111
88
должно давать вариант решения из числа всегда допустимых (х°е’
который доставляет максимальное зиачение_(тах) гаранти-
’’^mln
рованному целевому функционалу /°. Аналогичные результаты,
дает применение алгоритма algo в задачах минимизации.
Рассмотрим подход, который позволяет изучать проблему выбо-
ра с других позиций. Дело в том, что решение задачи оптимизации
целевого функционала на множестве Omin сводится к проблеме вы-
бора элемента из континуального множества А. Предлагаемый под-
ход позволяет перенести этот выбор на некоторое конечное мно-
жество и ввести в рассмотрение целую группу стратегий для этого-
выбора. Введем в рассмотрение конечное множество Gm\n. опреде-
лив его как множество тех x^Ren,_которые получаются в результа-
те применения алгоритма algo (а, Ь°) при а, пробегающем множест-
во А.
Формально это равносильно тому, что
&mm={^€^:H«€A:algo(a, 6°) —хХ(-)},	(3.2.17>
гдед—квантор существования; (•) —шах /% или min /%в зависи-
мости от характера поставленной задачи.
Определение множества G^min в форме (3.2.17) не является кон-
структивным, так как мы не располагаем «алгоритмом пробега-
пия континуума». Можно, конечно, пробегать не все множество Аг
а лишь узлы достаточно мелкой решетки, образующей в А «прием-
лемо плотное подмножество». Но в этом случае следует иметь в ви-
ду очень быстрый рост числа этих узлов с ростом размерности А.
В частности, справедлива оценка для числа узлов
dim АХ1П (m,n
лу>е Ь А/ А	(3.2.18)
где i=l,...,dim A; di — величина диапазона (ширина «трубки») для
i-й координаты вектора a; hi — величина шага разбиения для диа-
пазона di. Например, для dim Д=5 и шага разбиения 7if=0,01 чис-
ло узлов решетки превысит величину 1010. При этом даже для очень
мелкой сетки не получаем твердых гарантий того, что будут извле-
чены все элементы множества gmi». Самая крупная сеть (измере-
ние каждого а» на двух уровнях) требует измерений в2а1тА узлах,
т. е. число узлов-измерений быстро возрастает. Если же воспользо-
ваться случайной сетью (процедура Монте-Карло), то число узлов
может быть существенно уменьшено без потери эффективности се-
ти. Число реализаций в процедуре Монте-Карло не зависит от раз-
мерности множества А, а определяется лишь числом элементов
множества £min и соответствующими этим элементам лебеговыми
мерами (в процедуре Монте-Карло реализации генерируются рав-
номерно в параллелепипеде А). Другим важным преимуществом
случайной процедуры построения множества <Jmin является ее отно-
сительная простота. Здесь, правда, возникает проблема остановки
этого процесса. Интуитивно ясно, что процесс следует останавли-
89
вать тогда, когда появляющиеся варианты лишь повторяют уже
наблюдавшиеся ранее.
Рассмотрим упрощенную модель прогнозирования числа элемен-
тов множества бшш с целью получения рациональной продолжи-
тельности процедуры Монте-Карло. Пусть максимальное число эле-
ментов множества &min равно N, а лебеговы меры, соответствую-
щие этим элементам, равны pi,...,piV. Обозначим через <р(п) сред-
нее количество различных элементов множества Cmin, наблюдав-
шихся после п «бросаний». Справедливо следующее рекурретное
соотношение:
Т(д+1) = ?(«) + 2рД1-Р/)п.	(3.2.19)
7-1
Для второго члена правой части (3.2.19) справедлива оценка
(1 — max />;)" < 2 Pj (1 ~ РУ < О ~ min РУ-	(3-2- 2°)
1 j-i	}
Подберем параметр 6^[ш1пру, max/? J	так, чтобы выполнялось
равенство
(3.2.21)
7-1
Подставляя (3.2.21) в (3.2.19), получаем
Т(Л+1)=?(Л)+(1-0)«.	(3.2.22)
Свертывая (3.2.22), получаем
?(n)=_L(l_e«in(I-9)).	(3.2.23)
6
Параметр 6 имеет простую интерпретацию, так как
lim ?(«)=— =N.	(3.2.24)
П-.О.	6
Обозначив наблюдаемую в процедуре последовательность через
<р*(п), можно с помощью условия
У (<?(/) — <p*(z))2 —min	(3.2.25)
й	9
оценить параметр 0 зависимости (3.2.23) и тем самым оценить ве-
личину Л/’:
&=4--	(3.2.26)
Правило остановки процедуры Монте-Карло сформулируем в
виде
1/0-<Р*(/)<е,	(3.2.27)
где е — наперед заданная малая величина.
«О
Построив таким способом конечное множество Спин, вместе с
возможностью использования формализма теории игр против при-
роды получаем оценку степени некорректности задачи оптимизации
(мощность множества Сшш). Особенность этого формализма для
данного случая заключается в полубесконечности игры (число стро-
чек-стратегий конечно, а число столбцов-состояний природы беско-
нечно).
Рассмотрим для определенности задачу максимизации целевого-
функционала /° в условиях, когда конечное множество Слип Уже
построено. Занумеруем элементы этого множества х01,..., xw.
Рассмотрим теперь группу возможных подходов к выбору «наилуч-
шего» из оставшихся элементов. Понятно, что подмножество Стш
образовано «конкурентами, прошедшими первый тур отбора» (ког-
да отношение предпочтения, построенное с помощью /°, позволяло
однозначно выбрать элементы подмножества), и внутри самого
себя требует отличного от /° способа упорядочения. Некоторые из
способов упорядочения, опирающиеся на дополнительные постула-
ты выбора, приведены здесь.
1. Критерий Лапласа. Принимая во внимание, что
хо/=х°/(а), а€Л, J= 1, 2,..., АГ,	(3.2.28)
в которых координаты cii(i= 1,..., dim А) неизвестны, следуя Лап-
ласу, можно допустить, что все векторы а^А равновероятны, а эф-
фективность каждой из стратегий (3.2.28) оценивается средним
значением целевого функционала на параллелепипеде А. Наиболее
эффективным будет тот элемент множества ffmin, для которого
</°(х%, а)> > </°(х% а))	(3. 2. 29)
для любых
В формуле (3.2.29) скобки О означают операцию усред-
нения.
В большинстве случаев отыскание оптимальной (по Лапласу)
стратегии может быть выполнено с помощью процедуры Монте-
Карло. Если целевой функционал относительно своих параметров
имеет линейное или близкое к квадратическому строение, то срав-
нение (упорядочение) элементов множества Gmin может быть вы-
полнено аналитически.
Представим для этого значения целевого функционала в виде
dimA	dimA
/° а) /о (£>', а‘) + ^at + Д-	(3. 2. 30)
где ± ft (х°А ^),	^),
oaj	oai.oajt
iat=ai-aeh 4=afm,n4--a<,nax7a<mln ,
i,k=l,..., сПтЛ.
91
Усредняя обе части (3.2.30) по лебеговой мере множества А, полу-
чаем
dim А
</°(^.«)> ~/°(ЭДа<9+^	(3.2.31)
zW
Теперь выбор оптимальной (по Лапласу) стратегии сводится
к нахождению максимального числа среди (3.2.31).
2.	Критерий А. Вальда. Следуя А. Вальду, для каждого
x^'eSniin находим величину
min/0 (ЭД, а), /= 1,..., АГ.	(3.2.32)
а£А
Выбирая индекс / из условия
min /° (хУ, а) —» max,	(3,2.33)
вел
находим оптимальную (в смысле А. Вальда) стратегию, которая,
кстати говоря, совпадает со стратегией стохастического программи-
рования (3.2.7). Если выполнены условия теоремы 2, то максималь-
ный элемент следует выбирать из чисел
/°(ЭДа°), (/=1,..., N).
3.	Критерий Л. Г у р в и ц а. Согласно Л. Гурвицу для каждо-
го /= 1,.... N следует построить числа
a max /° (х°А а)+(1 — а) min /° (x% а),	(3.2.34)
а£А	а£А
где а — субъективным образом введенный коэффициент оптимизма.
Числа (3.2.34) являются показателями эффективности стратегий
Выбирая тот из элементов x^^Gmin, который максимизирует
(3.2.34), получаем оптимальную по Л. Гурвицу стратегию. Заметим,
что при а=0 снова получается пессимистический критерий А. Валь-
да, а при а= 1 критерий превращается в критерий абсолютного оп-
тимиста (авантюриста).
4.	Критерий Л. Сэвиджа. Для каждого а^А выбирается
элемент	из условия
max /° (&, а).
7-1.zv
Строится функция
<|»у (а) = max /° (ЭД а)—/° (ЭД а),	(3.2.35)
имеющая смысл величины возможного уклонения от максимума
для варианта хЧ Максимизируя каждую из функций (3.2.35) по
оеА, получаем величины максимальных возможных «штрафов»,
присущих стратегиям из множества Gmm. После этого, выбирая ми-
нимальное из получившихся чисел, находим оптимальную в смысле
Л. Сэвиджа стратегию. При построении такой стратегии возникают
92
определенные вычислительные трудности, связанные с построением
функций фДа). В связи с этим в такой ситуации наиболее естест-
венно воспользоваться для построения минимаксной стратегии
(оптимальной по Л. Сэвиджу) процедурой случайного поиска.
Замечание. Четыре описанных подхода дают, вообще говоря,
различные стратегии в качестве оптимальных. Собраны вместе они
для того, чтобы обеспечить большую свободу выбора за счет удов-
летворения более или. менее широкого диапазона оптимизма лиц,
принимающих решения. Рассмотренные подходы распространяются
и на случай задачи минимизации целевого функционала.
3.3. ЗАДАЧИ С РИСКОМ
Рассмотрим модель (3.1.1), у которой на множестве АХВ зада-
на вероятностная мера, построенная как произведение мер, задан-
ных на множествах Л, Bi,.... Вг. На каждом из перечисленных мно-
жеств вероятностная мера построена снова как произведение мер,
заданных на координатах элементов.
Для рассмотрения задачи с риском построим конечное множест-
во 5rte{x°0/Lj, которое определим как
О1Вах={А:6^?:а(аХ^)€ЛХВ:а1ио(аХ*)-»л:Х(-)}. (3.3.1)
Построение этого множества (см. разд. 3.2) выполним с по-
мощью процедуры Монте-Карло с условием остановки в виде
(3.2.27).
Степень некорректности постановки задачи оптимизации с рис-
ком можем характеризовать как величиной мощности твтел это-
го множества, так и величиной его энтропии Я((7тах) (в смысле
К. Шеннона). Исчерпывающими характеристиками некорректности
постановки задачи для нас являются следующие величины:
^^шах’ Н (Фпах)>
(3.3. 2)
max min f° (х, а);
хб0щ1п в®А
max max /° (х, а),
х^®тах ®^А
min max/° (х, а);
^°min “еА
i	—	—
min min /° (х, а).
^°тах
—для задачи максимизации (3.3.3)
— для задачи минимизации (3.3.4)
Построив конечное множество бщах^бтах, переносим задачу выбо-
ра с континуального множества АхВ на конечное множество (7тах-
Теперь получаем возможность построить для каждого элемента
а^'е&пах с помощью процедуры Монте-Карло его полное вероят-
ностное описание, понимая под этим упорядоченный набор
*'=(?% 0"), i= 1,.... г; /= К-.	(3.3.5)
93
где POj (t/)—функция плотности распределения значений целевого
функционала а);	(у) (i= 1,г) — функции плотности рас-
пределения значений ограничивающих функционалов /г(х0-’, £>’) (ре-
сурсов i-го типа).
Выбор наилучшего решения из элементов множества мо-
жет быть подготовлен, например, с помощью моментов этих распре-
делений. Введем обозначения
(а<Нтд))> Dak= {(ак	>
=	ПЬ1и=^-{Ь^,	(3.3.6)
Z=l,..., г; Jt= 1,..., dimBt.
Заменим теперь каждый из функционалов f1' (i=0,..., г) его при-
ближенной квадратичной моделью. Здесь принимаем допущение,
что функционалы f* имеют близкие к квадратической структуре
строения относительно вариации значений параметров, т. е. хорошо
аппроксимируются тремя первыми членами формулы Тейлора. Для
каждого	получаем
dim A	dim А
(&, а) (J^, ас)+2	2 S (3-3- 7>
где Х°у=-^-/О(х°Л^), h*z7 = 7-^-/0(^°A af);
ocik	oa^oai
Ъа^-аЦ, a?=aimin+ .a'^x.-aZmln ,
/'	b!)	b") + У	+7 V У	(3.3.8)
jJTi	1^1
где
5'c)'
uufe	ub^ub^
de iJc iA I ^Лтах ^Лт1п ; i
^bk = bk — bk , bk=bkm{nA---------,	=
Усредняя обе части написанных приближенных формул, получаем
средние значения целевого и ограничивающих функционалов:
__	dim А
й)) =/0(^, а‘)+ 2	-а») +
dimA	dimA
+ -7 У?	+ 7- V^kjDab,	(3. 3. 9)
IS?
где Ъ*ак=а1— {ак);
94
_	_	_ _ dimBj
</'• (x% »')} =f>(x% ^)+2 ^((H)-bk)4-
Л-1
dimB;	dim В
+тУУ,ннХ^’4-4-У (з.з.io)
Л-l Z-l	Л-1
где 8дГ=^-(д1>, 1=1,2,...,г.
Если ориентироваться только на моментную информацию о пара-
метрах а и 5, то качество элементов xoje&max естественнее всего
оценивать средними значениями целевых и ограничивающих функ-
ционалов, соответствующими этим элементам.
Процедура выбора наилучшего варианта, каждый из которых
характеризуется векторным критерием
k’=({f0^, а)),	-</'(*0/. *')» (3-3.11)
(здесь рассмотрение проводится на примере задачи максимизации),
может быть построена, например, с помощью метода последова-
тельных уступок [10], когда лицо, принимающее решение, оценивая
относительную полезность частных критериев в (3.3.11), приходит
к устраивающему его компромиссу.
Более точные оценки вариантов из множества Стах могут быть
получены с помощью полных вероятностных описаний и аппарата
теории полезности.
3.4. ЭФФЕКТИВНОЕ УТОЧНЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
В этом разделе рассмотрим один из подходов к эффективному
уточнению исходных данных. Этот подход основан на использова-
нии информации о дисперсиях параметров функционалов. Рассмот-
рение задачи выбора осуществляется при допущении о том, что ли-
нейные формы в правых частях выражений (3.3.7) и (3.3.8) хорошо
аппроксимируют выбор в том_смысле, что:
1) если ДЛЯ XOjeCmax и b^Bi 1,..., г) выполняются условия
/'(*%*')<0 (/=1,..., г),
то всегда или с достаточно большой вероятностью выполняются ус-
ловия
dim
/С?'. btc)+ 2	(*=!>•••> г-, /=1,..., тО^)
Л-1
(3.4.1)
и наоборот;	_
2) если_для х^^О^ и а£А выполняется условие /°(х°4
а) лля любых /=1,..., тО^, то всегда или с доста-
точно большой вероятностью выполняется условие
dim A	dim А
/° (л0/, ас) 4- 2	> /°	+ 2	(3-4-2)
S-1	£-1
для любых 1=4,..., N и наоборот.
95
Замечание. Условия 2 сформулированы для задачи максимиза-
ции целевого функционала.
Сформулированное допущение может быть сравнительно легко
проверено экспериментально с помощью процедуры Монте-Карло.
Природа трудностей, возникающих при попытке упорядочения
элементов множества Gmax, состоит в следующем. Зафиксируем ка-
кой-либо элемент из Gmax- Трудность попытки ответить на вопрос о
принадлежности этого элемента множеству допустимых вариантов
решений связана с тем, что левые части условий (3.4.1) являются
случайными числами и говорить о выполнении условий имеет смысл
лишь с вероятностных позиций. Аналогичная картина имеет место
и для других элементов множества Gmax- Введем обозначения:
Т)?=/О(^, а) /=1,..., N,	(3 4 3)
(х°;, b‘) 1 = 1,..., е; j=l,..., тО^.
Нетрудно заметить, что при прочих равных условиях неопреде-
ленность выполнения условий (3.4.1) определяется «шириной» плот-
ности для величины т)/. Несмотря на то, что для плотностей разной
«ширины» могут возникнуть такие положения, когда неопределен-
ность выполнения условий (3.4.1) будет максимальной, для «узких
плотностей» такие положения встречаются реже. Поясним эту
мысль на гипотетическом примере. Рассмотрим для этого две плот-
ности:

<Р2Е (*) =
0	при
ад	при
0	при
0	при
1	
10	при
.0	при
л<—10
х>10
х <—5
-5<х<+5
x"> 5
— .широкая плотность*,
— .узкая плотность*.
Сдвигая центры этих плотностей относительно нуля, изучим измене-
ние уровня неопределенности относительно выполнения условия
Уровень неопределенности измеряем величиной энтропии.
На рис. 3.3 изображены в одинаковом масштабе зависимости
значений энтропии от положения центров плотностей. Легко ви-
деть, что зона существенной неопределенности, соответствующая
плотности фц (х), гораздо больше соответствующей зоны для плот-
ности фге (х).
Таким образом, эффективное уточнение исходных данных для
параметров (1=1,..., г), а также для аеЛ означает эффек-
тивное уменьшение «ширины плотностей» распределения случайных
величин т]/ (i=0, 1,...,г; /=1.N). Основной моментной характе-
ристикой, связанной с «шириной плотностей», является дисперсия
распределения и среднее квадратическое отклонение. Зафиксируем
какой-либо номер ограничивающего функционала и рассмотрим,
96
как образуется его дисперсия, т. е. дисперсия случайной величины
rfj. Используя допущение об аппроксимируемости величины
-q/ выражением (3.4.1), получаем для дисперсии величины т)/ вы-
ражение
dImB|
12
£И])= V X f (х0', bic) Db‘k.
44 dbk	J
(3.4.4)
k=l
Качество задания параметра относительно элемента
Gmax измеряем величиной его «вклада» в суммарную дисперсию:
Среднее значение «вклада» для параметра Ьк1 можно характеризо-
вать величиной Д(6д*):
=	ЛТ, 1=1,..., г. (3.4.6)
Аналогичные характеристики можно ввести для параметров це-
левого функционала. В частности,
л(«,)=-^У [£/”(*”'• *')Г-	|3-4-7>
TV {pak	J
Имея величины Д(6&г) и Д(а&), можно сравнивать различные
параметры целевого и ограничивающего функционалов по качеству
их задания, сравнивая соответствующие этим параметрам средние
значения «вкладов».
Знание набора величин Д(&/?) и Д(а*.) позволяет сформулиро-
вать конкретные рекомендации по порядку уточнения исходных
данных:
а)	при уточнении исходных данных по параметрам ограничива-
ющих функционалов следует принять во внимание величины «вкла-
дов» для параметров и возможности уточняющего эксперимента
(апостериорные значения дисперсий);
4	2239
97
б)	при уточнении исходных данных по параметрам целевого
функционала следует принять во внимание величины «вкладов»
Д(ал) и возможности уточняющих экспериментов в смысле умень-
шения дисперсий;
в)	при выборе эксперимента нужно иметь в виду лишь те груп-
пы параметров 5’= (di*,..., ddin£{)> для которых вероятность выпол-
нения условий (3.4.1) не очень близка к единице или к нулю.
Замечание. Пункт «в» рекомендаций посвящен пассивным огра-
ничениям, т. е. ограничениям, которые не участвуют всегда (или с
.достаточно большой вероятностью) в формировании искомой вер-
шины криволинейного многогранника, где целевой функционал дос-
тигает экстремального значения.
Эффективность процедур уточнения исходных данных определя-
ется изменением величин (3.3.2), (3.3.3) и (3.3.4).
3.5. АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА
ДЛЯ ЭПИОПТИМАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ
В этом разделе излагаются результаты разработки алгол-про-
цедуры analis 1, предназначенной для комплексного исследования
задач оптимизации в условиях неопределенности. Укрупненная
блок-схема процедуры показана на рис. 3.4 и 3.5.
Список формальных параметров процедуры analis 1 содержит
следующие объекты:
п — размерность пространства аргументов х;
nl—объем испытаний в процедурах Монте-Карло (случайный
поиск, построение распределений и т. д.);
п2 — целое положительное число, задающее границу для рабо-
чих массивов; выбирается достаточно большим для покрытия не-
определенности от незнания верхней границы массивов;
т — количество ограничивающих функционалов;
k max—max {dim A, dim/?!,..., dim5yM};
dim [0: tn] — массив, элементами которого являются целые
числа ’
dim Л, dim Ви..., dim Вм;
gr[Q:nv, 1 :kmax, 1 :2]—массив граничных значений для пара-
метров целевых и ограничивающих функционалов;
sap(l : tn]— массив, элементами которого являются допустимые
затраты по ресурсам i-ro вида;
ika (i, х, а) —реальная процедура-функция для вычисления
значений целевого и ограничивающих функционалов (Z — верхний
индекс функционала, х — аргумент, а — параметр);
algo (а, х, у) —процедура оптимизации (а — массив, элемента-
ми которого являются параметры целевого и ограничивающих
функционалов, х — точка оптимума, у — значение оптимума;
wer[Q : m, 1 :kmax, 1:12] — массив, ставящий в соответствие
каждому из параметров задачи 12-разрядную гистограмму;
98'
el—эта величина принимается равной единице, если исследу-
ется задача на максимум, и равной нулю, если исследуется задача
на минимум;
ш
ИЛа ____
| 10 ^Останов \
—77 j—
— лНет
Рис. 3.4.
Рис. 3.5.
е2 — эта величина принимается равной единице, если исследу-
ется задача с риском, и равной нулю, если исследуется задача с не-
определенностью;
еЗ — если надо вычислить энтропию множества Стах, то величи-
на еЗ берется равной единице, а в противном случае еЗ = 0;
indo — целая величина, ограничивающая процесс построения
множеств Cmin или Стах, когда число элементов этого множества
велико (если окажется, что число элементов одного из названных
множеств больше indo, то процедура analis 1 напечатает коммен-
тарий «сильная некорректность задачи оптимизации»);
eps — величина, задаваемая для проверки условий (3.2.27);
4*
9»
res — элементы этого массива содержат следующую информа-
цию:
res 1 (1] — число конкурирующих вариантов (мощность мно-
жества бшп или Gmax), res 1 (2] — прогнозируемое количество ва-
риантов, res 1 [3] — энтропия множества Gmax,
res 1 [4], res 1 [5], res 1 [6], res 1 [7] — величины, получаемые от
применения алгоритма algo, когда задаются «граничные» значения
параметров а<=А и б'еВ;;
res 2 [0 : m; 1 : k max] — параметры, задающие минимальное зна-
чение для всех x^Rcn целевому функционалу /°(х, а), и параметры,
соответствующие ограничивающим функционалам /г(х, Ь*), образу-
ющим множество Gmm;
res3[0:m; 1 :kmax] — параметры, задающие максимальное
значение для всех x^Rcn целевому функционалу f°(x, а), и пара-
метры, соответствующие ограничивающим функционалам /’(х, &),
образующим множество Gmaxi
res 4 [1 :п2; 1 :п+2]— для задач с риском этот массив задает
элементы множества Gmax (первые п элементов в каждой строке),
их вероятности (п+1—элемент каждой строки) и накопленную
вероятность (п+2 — элемент каждой строки);
res 5[0 : 12] — массив границ разрядов у гистограмм распреде-
лений;
res 6{1 : 12] — массив вероятностей для гистограмм распреде-
лений.
Ниже приводится расшифровка блоков 1—19 процедуры analis
I, показанных на рис. 3.4 и 3.5. Рассмотрение ведется на примере
максимизации целевого функционала.
Блок 1. Ввод исходных данных: n, nl, n2, tn, k max, dim, gr, sap,
ika, algo, wer, el, e2, e3, indo, eps.
Вычисление параметров, минимизирующих целевой функционал
/°(х, а) при любом x^Rcn, и запись их в масбив res 2(0, j], J= 1,....
dim A.
Вычисление параметров, максимизирующих целевой функцио-
нал f°(x, а) при любом x^Rcn, и запись их в массив res 3(0, /], / =
= 1,..., dimA.
Блок 2. Вычисление параметров функционала ^(х, Ъ'), соответ-
ствующих минимальному допустимому множеству, и запись их в
массив res 2 [i, /]; вычисление параметров функционала }Чх, Ъ*),
соответствующих максимальному допустимому множеству Gmax, и
запись их в массив res 3 [t, /].
Блок 3. Печать res 2 и res 3.
Блок 4. Решение задачи стохастического программирования
(критерий Вальда):
min /°(х, a)~/max, res 1 [4]:= _тах min /° (х, а);
*6 °тт	хеотт °£А
печать res 1 [4];
max /°(х, а)_> max , resl[5]:= max max /°(х, a);
Ъл	IeomlII	*еот111«;А
100
min /°(х, a)___У max , res 1 [6]:= max min f°(x, a);
max/°(x, а)—У max, res 1 [7]:= max max f°(x, a);
«6А	^^max	a£A
печать res 1 [4], res 1 [5], res 1 [6], res 1 [7].
Блок 5. Решение задачи стохастического программирования
(критерий Вальда):
max f°(x, a) ZZ/ min , res 1 [4] :=gmin max /° (x, a);
печать res 1 [4];
min f°(x, a)~/>_min, res 1 [5] := min min /°(x, a);
e€A	^^mln	^®mln
max/°(x, a)~/ _min, res 1 [6] := min max/°(xj a);
Лб-А	^^тяу	Х^П1ах
min/°(x, a)—)> min, res 1 [7]:= min min/°(x, a);
л€-А	-^^max	x^max
печать res 1 [4], res 1 [5], res 1 [6], res 1 [7].
Блок 6. Генерация методом Монте-Карло параметра а<=А и вы-
числение соответствующего варианта оптимизации	коли-
чество различимых вариантов а4 [1].
Блок 7. Расчет прогнозируемого количества элементов множест-
ва Gmln—•
Блок 8. Запись накопленного количества различимых вариантов
res 1[1]:=а4[1]; запись прогнозируемого количества вариантов
res 1 [2]:=Л
Блок 9. Формирование массива а5; этот массив состоит только
из различимых вар1И1антО|В из числа наблюдавшихся.
Блок 10. Отыскание среди строк массива «5 минимаксной стра-
тегии (критерий Л. Севиджа); вывод на печать минимаксного ре-
шения.
Блок 11. Отыскание среди строк массива а5 минимаксной стра-
тегии для задачи минимизации (критерий Л. Сэвиджа); вывод на
печать минимаксного решения для задачи минимизации.
Блок 12. Генерация методом Монте-Карло параметров а^А,
#eBi(i= 1,2,..., т), вычисление соответствующего варианта опти-
мизации хеттах и запись его в массив res 4; количество различи-
мых вариантов аД [1J.
Блок 13. Расчет величины q — прогнозируемого количества эле-
ментов множества б^ах-
Блок 14. Запись накопленного количества различимых вариан-
тов res 1[1]: = а4[1]; запись прогнозируемого количества вариантов
res 1 [2]: = q\ печать res 1 [1]; res 1 [2].
Блок 15. Вычисление значения энтропии множества (Jmax и
запись его в res 1 [3]; печать res 1 [3].
101
Блок 16. Упорядочение строк массива res 1 [4] по вероятностям;
вывод на печать элементов множества ffmax с их вероятностями и
вероятностями групп (массив res 4).
Блок 17. Формирование гистограмм для распределения значений
целевого функционала для элементов множества ffmax, вычисление
первых моментов этих распределений; вывод на печать гистограмм
для значений целевого функционала /°(х, а) (для xEGmax) и пер-
вых двух моментов.
Блок 18. Формирование гистограмм для распределений значений
целевого функционала /°(х, а) для	вычисление первых
двух моментов; вывод на печать гистограмм и значений моментов.
Блок 19. Формирование гистограммы распределения для вели-
чины /*(х, 5г) (zeffmax), расчет первых двух моментов; вывод на
печать гистограммы и моментов.
Для того чтобы осуществить конкретное эпиоптимальное иссле-
дование с помощью процедуры analis 1, необходимо:
1)	оформить алгоритм оптимизации для конкретно поставлен-
ной задачи в виде алгол-процедуры algo (а, х, у), где а[0:т,
l:kmax] (т — число ограничивающих функционалов, &шах=
= max {dim Л, dim Bi,..., dim Вм}) —массив, у которого строка с
нулевым индексом предназначена для записи значений параметров
целевого функционала, а остальные строки предназначены для за-
писи значений параметров ограничивающих функционалов в соот-
ветствии с их номерами (п—размерность пространства аргумен-
тов); х[1 : п] — вектор, соответствующий точке оптимума (является
одним из выходных параметров процедуры); у — выходной пара-
метр процедуры, соответствующий значению целевого функционала
в точке оптимума;
2)	оформить в виде процедуры-функции процесс вычисления це-
левого и ограничивающих функционалов real procedure ika (Z, x, a),
где i — номер функционала (его верхний индекс); х — значение
векторного аргумента, в котором вычисляется функционал; а —
массив, элементами которого являются значения параметров соот-
ветствующего функционала;
3)	сформировать массив размерностей параметров (integer
array dim (0 : т]);
4)	сформировать массив граничных значений для параметров
целевого и ограничивающих функционалов array gr[0 :/и, 1:ктах^
1 :2] (единица для третьего индекса соответствует минимальному
значению параметра);
5)	для задач с риском сформировать массив 12-разрядных гисто-
грамм (array wer [0 : /и, 1 : k max, 1 :12]).
Замечание. Для тех случаев, когда информация о вероятностной
мере для одного или нескольких параметров задана в виде анали-
тического выражения для плотности распределения, разработана
алгол-процедура rang (f, a, b, eps, у) позволяющая сформировать
границы (1—eps)-вероятного интервала для параметра (у[1], гД2])
и 12-разрядную гистограмму (у[3],..., у[14]). Входными данными
является real procedure f, задающая выражение для плотности; а, b—
102
начальные границы для случайной величины, заведомо удовлетво-
ряющие условию
ь
jF(x)tfx> 1—eps.
а
Процедура analis 1 позволяет автоматизировать достаточно ши-
рокий класс эпиоптимальных исследований. Рассмотренная здесь
алгол-процедура была составлена, отлажена и проверена в систе-
ме АЛГОЛ БЭСМ-6. В следующем разделе будет рассмотрен при-
мер использования этой процедуры для конкретного эпиоптималь-
ного исследования. Текст алгол-программы (ее существенной
частью является процедура analis 1), с помощью которой было вы-
полнено это исследование, приведен в приложении Прб.
3.6. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАЗРАБОТАННОЙ ПРОЦЕДУРЫ
ДЛЯ КОНКРЕТНОГО ЭПИОПТИМАЛЬНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
3.6.1.	Изложение задачи
В этом разделе рассмотрен пример конкретного эпиоптимально-
го исследования, выполненного с помощью процедуры analis 1. В ка-
честве объекта исследования выбрана система С, образованная из
четырех последовательно соединенных подсистем (i=l,...,4).
С каждой из подсистем связано три параметра: а,,- (/=0, 1, 2).
Эти параметры имеют следующий физический смысл: а,о — пока-
затель надежности i-й подсистемы, ац — значение стоимости i-й
подсистемы, ац— значение массы i-й подсистемы. Задача состояла
в нахождении такого способа резервирования подсистем (кратности
резервирования), который обеспечил бы достижение максимальной
надежности системой С при наличии ограничений на суммарную
массу и суммарную стоимость.
Обозначим через а\ и а2 предельную стоимость и предельную
массу системы С соответственно. Если бы значения перечисленных
величин были известны точно, то решение задачи сравнительно лег-
ко могло быть получено с помощью какой-либо вычислительной
процедуры для ЭВМ. Специфика нашей постановки заключается
в том, что параметры задачи ац заданы не точными своими значе-
ниями, а возможными диапазонами для этих значений (эти диапа-
зоны заданы в табл. 3.6.1 параметров задачи).
Таблица 3.6.1
Номер подсистемы	Надежность	Стоимость	Масса
1	0,79—0,81	1,15—1,25	0,95—0,99
2	0,69—0,71	2,25—2,35	0,95—1,05
3	0,74—0,76	3,30—3,50	0,95—1,00
4	0,84—0,86	4,40—4,60	1,00—1,05
103
Вектор решения (оптимизирующая точка) обозначен через Х°=
= (Х1°, *2°, xj, Х40), где Хг — кратность резервирования i-й подсис-
темы. Общая надежность всей системы С обозначена через Р(Х°).
Ограничения. Суммарная стоимость не более 47,0; суммарная
масса не более 20,0.
3.6.2.	Решение задачи с неопределенностью
1)	Диапазон для величины Р(Х°) описывается неравенствами
0,9885 ^Р(Х°)^ 0,9941.
2)	Решение, соответствующее формализму стохастического про-
граммирования (критерий Вальда), имеет вид
Х°= (4, 6, 4, 3).
Для такого решения
0, 9885 sC Р(Х°) sC 0,9920.
Главным достоинством этого решения является тот факт, что
оно всегда является допустимым в смысле условий
4	4
апх: 47,0; aaxi 20,0.
i-l	i-l
Впрочем, это же обстоятельство может привести к тому, что
этот «застрахованный» вариант будет уступать более «рискованно-
му». Например, вариант Х= (5, 6, 4, 3) во всех случаях обеспечи-
вает большее значение надежности, чем Х°, но при некоторых зна-
чениях масс и стоимостей для подсистем (в пределах заданных
диапазонов) он может оказаться недопустимым.
3)	Множество ffmin в данном случае состоит из одного элемента
Х°=(4, 6, 4, 3), т. е. получившееся решение устойчиво по отноше-
нию к возможным вариациям параметров целевого функционала.
3.6.3.	Решение задачи с риском
Предполагаем, что параметры задачи распределены равномерна
в своих диапазонах.
1)	Основные результаты решения задачи в такой постановке
(элементы множества бтах) собраны в табл. 3.6.2.
Таблица 3.6.2
Номер варианта	Вероятность варианта	। Среднее значение | целевого функцио- ।	нала	Средняя стоимость	Средняя масса
1	0,455	0,9916	46,836	16,847
2	0,182	0,9903	45,704	16,831
3	0,182	0,9916	46,913	17,816
4	0/182	0,9902	45,853	17,783
104
2)	Множество £max образовано следующими элементами: Х01 =
= (4, 5, 5, 3), Х02=(4, 6, 4, 3), Х03= (5, 6, 4, 3), Xм = (6, 5, 4, 3).
Для оценки энтропии множества (7тах имеем
Я(б1Вах) = 1,859.
Рис. 3.6.
Рис. 3.7.
п
16J0 16; 3 Ш
Вариант 1 ——
Вари ант2 -х—х—
_ ВариантЗ----------
_Вариант4~°—°~ _
18; 1961
Рис. 3.8.
3)	Вероятностные описания получившихся вариантов, оформ-
ленные в виде гистограмм, приведены на рис. 3.6 (распределение
экстремальных значений целевого функционала), рис. 3.7 (распре-
деление значений стоимости) и рис. 3.8 (распределение значений
масс системы).
Текст алгол-программы, с помощью которой было выполнено
это исследование, приведен в приложении 2 (см. программу Прб).
ГЛАВА 4
ИНФОРМАЦИЯ В ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ
С ПРИНЯТИЕМ РЕШЕНИИ
4.1.	ТЕОРЕТИКО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ПОДХОД
Широкое внедрение идей теории вероятностей в теорию надеж-
ности обусловлено существом задач этой теории, их вероятностной
природой. Математическая статистика как прикладная дисциплина
является средством связи абстрактной теоретико-вероятностной
постановки задачи с интуитивно-физической постановкой. Как от-
метил А. Н. Колмогоров в предисловии к работе [29], «центральной
задачей математической статистики является разработка методов,
позволяющих извлекать возможно более полную информацию об
интересующих нас явлениях из ограниченного запаса наблюдатель-
ных данных». Поэтому в различных статистических задачах при-
сутствие теоретико-информационного аспекта выражается в боль-
шей или меньшей степени, однако присутствие его несомненно и
обязательно. Далее модели теории вероятностей и математической
статистики используются для переработки информации. При этом
объем информации никогда не увеличивается. В этом усматри-
вается проявление глобальных принципов сохранения, сфор-
мулированных в физике. Наряду с принципами сохранения энергии
и материи уместно говорить о принципе сохранения информации,
который по своей общности и содержательности не уступает, веро-
ятно, своим физическим аналогам.
К настоящему времени известно довольно много подходов к
определению как самого понятия «информация», так и всевозмож-
ных качественных и количественных аспектов ее исследования [25,
52, 55].
Из всех описанных в литературе подходов наиболее привлека-
тельным и общим нам представляется подход (концепция)
У. Р. Эшби [69]. Основополагающим понятием в этой концепции
является понятие разнообразия: согласно Эшби, понятие информа-
ции неотделимо от понятия разнообразия, другими словами, при-
рода информации заключается в разнообразии, а количество ин-
формации выражает количество разнообразия. Видимо, именно ра-
боты Эшби позволили в дальнейшем трактовать информацию как
отраженное разнообразие.
Несмотря на то, что изложение своей концепции Эшби иллю-
стрировал на примере статистической информации Шеннона, его
подход не противоречит и нестатистическим подходам к теории ин-
формации.
106
Так, комбинаторное количество информации [62] определяет ко-
личественное разнообразие элементов конечного множества, т. е.
некоторый определенный вид математических совокупностей, где
даны отношения различия элементов и некоторые простейшие от-
ношения порядка.
Топологическое количество информации [55] возникло как по-
пытка определения топологического различия (например, различия
вершин графов по степеням, по ориентации ребер и т. д.).
Динамические системы [55] также являются определенными мно-
жествами, где имеется свое разнообразие (например, разнообразие
координат, скоростей, ускорений и т. д.).
В алгоритмическом подходе А. Н. Колмогорова [25] исходным
считается понятие условной энтропии Н(х!у) объекта х при задан-
ном объекте у, которая определяется как минимальная длина I
«программы» Р (записанной в виде последовательности нулей и
единиц), позволяющей построить объект х, когда в распоряжении
имеется объект у
Н (х[у}= min Z(P),
<Р(Р,У)-Ж
где ф — некоторый «универсальный» метод программирования.
Эта энтропия интерпретируется как количество информации, не-
обходимое для задания объекта х в обстановке, когда объект у уже
задан.
Алгоритмический подход является свидетельством того, что ос-
новные понятия теории информации могут быть обоснованы без по-
мощи обращения к теории вероятностей, а такие понятия, как «энт-
ропия» и «количество информации», оказываются применимыми к
индивидуальным объектам.
Новая схема построения теории вероятностей (вытекающая из
алгоритмического подхода и основанная на естественной мысли о
том, что случайность есть отсутствие закономерности) подчеркивает
равносильность различных подходов к определению понятия коли-
чества информации и показывает, что ни информация, ни вероят-
ность не являются первичными понятиями — на них естественно
смотреть как на «равноправные» понятия, отображающие взаимо-
связанные между собой свойства объективной реальности [18, 55].
В дальнейшем нами будут использованы количественные меры
статистической информации. Поэтому приведем краткий обзор этих
мер.
1)	По Р. Фишеру информация задается выражением
/ (»)=£„ [Z„ (*/©)] 2=j [L' (х/%,)]2 g (л/®) dx,
где v— оцениваемый параметр; g(x/v) —условное выборочное рас-
пределение (функция правдоподобия); Lv(x/v) = g — лога-
g {xjv)
107
рифмическая производная функции правдоподобия; Ev — символ
математического ожидания.
Итак, информация по Р. Фишеру есть результат усреднения
квадрата логарифмической производной функции правдоподобия по
всем точкам выборочного пространства £2.
2)	В работе К. Э. Шеннона [66], ставшей ныне классической,
первичным является понятие «энтропии», значение которой для ис-
точника сообщений вычисляется по формуле
i—1
где функция Н выступает как мера неопределенности вероятност-
ного ансамбля (pi,...,pn). При p<=l/n(i=l,...,n). Эта функция
достигает своего максимума
Hmax=log2/I,
причем в этом случае функция Н соответствует мере информации,
предложенной Р. Хартли [62].
Отклонение распределения от равномерного увеличивает разно-
образие, проявляющееся через изменение вероятностей состояний,
и тем самым увеличивает количество информации 1=Н$—Н*, да-
ваемое наблюдением события, переводящего ансамбль из состояния
с энтропией Hq в состояние с энтропией /7*.
3)	В работе [56] Р. Фано предложил меру количества информа-
ции в виде
Цхк, p/) = log P(JW<) ,
где Хь и У1 — элементы ансамблей соответственно X и У; Р(хк) —
вероятность элемента хк^Х\ P(Xklyi) —условная вероятность эле-
мента Xh^X при условии Уг.
По Р. Фано число I означает количество информации в Уг отно-
сительно Хл, т. е. информацию доставляет все то, что меняет вероят-
ность элемента х^Х.
4)	Еще одна количественная мера информации была предложе-
на в работе [29] С. Кульбаком:
/(1:2)='i log^
J /2 W
fi
Z(2:l)=( log^ ^2(x),
J /iW
fi
где I (1:2) —среднее количество информации для различения в
пользу Н\ против Н2 по мере щ; I (2:1) —среднее количество ин-
формации для различения в пользу Н2 против Нх по мере цг-
108
Числа I (1:2) и I (2:1) называют также направленными рас-
хождениями в отличие от меры
J(1,2)=Z(1:2) + /(2:1),
называемой С. Кульбаком расхождением. Если представить себе
множество, образованное двумя точками на прямой, то естествен-
ной мерой отраженного разнообразия для элементов такого мно-
жества становится каким-либо способом введенная метрика (рас-
стояние), задаваемая функцией q(xi, Х2).
В этом смысле меры / (1:2) и I (2:1) представляют собой спе-
циальный вид информационных «расстояний» между проверяемыми
гипотезами. Своеобразие этих «расстояний» проявляется в том, что
для них не выполнена первая аксиома метрики: р(хь Х2) =#q(x2, Xi).
Этот недостаток устраняется для расхождения / (1, 2)=/ (1:2) +
+1 (2:1).
5)	Весьма своеобразный подход к построению меры количества
информации предложен Я. А. Рипсом [47]. По его мнению, представ-
ляется допустимым подход к определению количества информации
на основе использования весьма широкого понятия правдоподобия
(илинеправдоподобия). Аналогично шенноновской неопределеннос-
ти в концепции Я. А. Рйпса первичное понятие правдоподобия пред-
полагается интуитивно данным. Количественная мера, которую
предложил Я« А. Рипе, имеет вид
/ (*/> ^)=[ - in Z (#*)] - [ - In L (*,///*)].
Здесь X={xf}—дискретный ансамбль; Y={yk}—дискретный ан-
самбль;—In L (уь)—неправдоподобие следствия yk\ —In Ь(хг!ук)—
неправдоподобие причины Xt с точки зрения наблюдаемого следст-
вия yk; I(xit yk) —информация о причине Хг в наблюдаемом след-
ствии yk.
Формально вся его теория может быть построена без привлече-
ния вероятностей, на основе только двух функций: L(yk) и L(xilyk)
(правда, придется ввести тогда операцию усреднения).
6)	Кроме рассмотренных мер количества информации, можно
упомянуть и об информационной мере Д. Линдли. О сущности его
подхода [33] и о некоторых практических результатах будет доста-
точно подробно рассказано несколько ниже.
Остановимся на тех предпосылках, которые делают применение
информационных методов в статистических исследованиях жела-
тельным. С этой целью сформулируем ряд задач, решение которых,
по нашему мнению, делает использование информационных мер
желательным, а в целом ряде случаев — необходимым.
1) Оценка информативности результатов эксперимента. Макси-
мально возможное количество информации.
2) Оценка эффективности эксперимента по схеме «Затраты —
информация».
109
~3) Редукция информации в преобразованиях статистического
материала.
4)	Оптимальное планирование экспериментов по критерию мак-
симума информативности.
5)	Оценка семантического содержания информации, даваемой
экспериментом.
6)	Прагматическое содержание результатов эксперимента.
Остановимся очень кратко на каждой из этих задач.
1)	В математической статистике оценки неизвестных парамет-
ров являются носителями информации, но не количествами ее. Та-
ким образом, традиционный аппарат статистики не дает эффектив-
ного инструмента для измерения диапазона информативности вы-
борки и сравнения по информативности двух выборок.
2)	При постановке статистических экспериментов обычно до-
вольно просто оцениваются затраты (потому, видимо, что затраты
имеют ярко выраженную аддитивную природу). В то же время ре-
зультат эксперимента чаще всего не имеет аналогичного универ-
сального содержания и формулируется на языке конкретного экспе-
римента, что существенно затрудняет формирование достаточно
общего критерия эффективности. Однако весьма общей выходной
характеристикой эксперимента может служить количество инфор-
мации, а критерием эффективности
либо sup — , либо inf — .
е£Е Sg	е^Е Jg
Здесь Е={е}—множество возможных экспериментов; Se—стои-
мость эксперимента е; Je — количество информации, даваемое экс-
периментом в.
3)	Обработка статистического материала в задачах математи-
ческой статистики — это преобразование информации. Наличие ин-
формационной меры позволяет вычислить своеобразный коэффици-
ент полезного действия этого преобразования. Например, можно
вычислить эффект перехода от марковских достаточных статистик
к более «простым» (52], вычислив соответствующую потерю инфор-
мации.
4)	Опыт использования информационных мер в задачах плани-
рования экспериментов достаточно полно изложен в работе [57].
5)	Что касается семантического содержания информации, то
этот вопрос еще находится на уровне лишь теоретических прора-
боток.
Например, в модели семантической информации, предложенной
Ю. Шрейдером (67], информацией обладают не только гипотезы, но
и вообще любые сведения, которые изменяют запас знаний прием-
ника информации (этот запас знаний называется тезаурусом). По-
видимому, такой подход обладает определенными преимуществами,
так как предполагает существование индивидуального тезауруса
(в отличие от «общего тезауруса» теории Карнапа — Бар-Хиллела).
Концепция тезауруса очень богата содержанием и заслуживает са-
мого пристального внимания.
110
Однако практическая оценка семантического содержания ин-
формации, даваемой экспериментом в каждом конкретном случае»
весьма затруднительна на современном этапе развития информа-
ционного подхода.
6)	Прагматическое отношение — это отношение между инфор-
мацией, приемником информации и целью, которую ставит прием-
ник информации. Одним из наиболее известных прагматических
свойств информации является ее ценность.
Ценность информации, в понимании А. А. Харкевича [61], выра-
жается через приращение вероятности достижения цели. Такой
подход к определению ценности .информации в своей основе исхо-
дит из того, что для получателя информации вероятность осуществ-
ления какого-либо определенного события из некоторой их группы
будет иметь преимущественное значение.
Кроме подхода А. А. Харкевича, можно специально отметить ра-
боты Р. Л. Стратоновича [52], М. К. Гавурина [12], в которых опре-
деление ценности информации осуществляется на основе теории
статистических решений и теоретико-игрового подхода, и работу
М. М. Бонгарда [8] с так называемым «алгоритмическим» подходом
к определению ценности.
Так или иначе, но ценностный аспект информации выступает
тогда, когда:
—	имеется источник информации;
—	имеется получатель информации;
—	получатель информации использует ее как инструмент для
достижения заранее определенной цели;
—	из двух одинаковых количеств информации более ценным
будет то, использование которого приводит к цели более эффек-
тивно.
Таким образом, прямое вычисление ценности информации или
косвенный учет ее необходим там, где информация используется в.
целенаправленной деятельности. В частности, одно из центральных
мест ценность информации занимает в задачах принятия решения.
В этой связи заслуживает внимания концепция Я. А. Рипса, од-
ним из принципов которой является принятие решения в соответст-
вии с максимумом ценности информации. Интересным представля-
ется также следующий результат, вытекающий из этой концеп-
ции: средняя ценность информации измеряется не уменьшением
средних потерь, а средним уменьшением потерь, что позволяет оце-
нивать принимаемые решения при каждом конкретном исходе.
В общем случае сформулировать сравнительные преимущества
такого подхода в конкретном виде пока весьма затруднительно. Ре-
зультаты проведенного нами сравнительного анализа эффективнос-
ти этого подхода для одного из частных случаев помещены в при-
ложении 1.
4.2. МЕРА РАЗЛИЧАЮЩЕЙ ИНФОРМАЦИИ
Подавляющее большинство задач математической статистики
может быть отнесено к одному из трех классов:
111
I)	оценка неизвестных параметров;
2)	проверка гипотез;
3)	принятие решений.
Необходимо отметить, что если первый класс задач имеет ярко
выраженную специфику, то второй и третий — не отличаются (или
почти не отличаются) один от другого из-за того, что по существу
имеют общую логическую структуру решения. Почти очевидно, что
класс задач, посвященных проверке гипотез, целиком содержится
в классе задач на принятие решений. Действительно, этап принятия
решений содержится и в задачах по проверке гипотез, и в задачах,
посвященных собственно принятию решения. Дело лишь в том, что
оценка эффективности принятых решений осуществляется в этих
задачах различным образом.
Методы теории принятия решений представляются более содер-
жательными не только из-за своей относительной общности, но так-
же из-за своей четко выраженной позитивной направленности, обус-
ловленной наличием цели у исследователя.
По-видимому, подавляющему большинству инженерных задач,
решение которых предполагает использование статистической ин-
формации, присуща позитивная направленность решения. Действи-
тельно, извлеченная из эксперимента информация не нужна инже-
неру сама по себе, информация для него — лишь средство для осу-
ществления разумного выбора. Методология теории допускает сис-
темное решение проблемы, т. е. решение, правильно учитывающее
всевозможные соотношения между такими категориями, как про-
цедура выбора, цель процедуры, информация, потери. Это можно
условно отобразить следующей схемой.
Несмотря на то, что решение проблемы достаточно полно пред-
ставлено в литературе [9, 17, 30], работа с предлагаемыми там про-
цедурами вызывает чувство неудовлетворенности из-за их разно-
родности. По существу каждый из предложенных там критериев
является оптимальным в весьма узком смысле, а предлагаемый для
практического использования метод максимального правдоподобия,
хотя и имеет некоторые причины, оправдывающие его применение,
не получил к настоящему времени убедительных доводов для ис-
пользования его в качестве научного принципа различения гипотез
(54]. Указанные предпосылки сформировали естественное желание
построить более или менее универсальную точку зрения, которая
указывала бы область оптимальности каждого из известных крите-
риев и тем самым обосновывала бы их применение.
В этом направлении наиболее перспективным представляется
теоретико-информационный подход. Этот подход в конечном итоге
112
дает единую интерпретацию большей части основных результатов,
полученных при рассмотрении проблемы принятия решений. В осно-
ве этого подхода лежит предложенная в данной работе количест-
венная мера так называемой различающей информации.
4.2.1.	Используемый формализм
Пространство причин, гипотез. В рассмотрение вво-
дится пространство гипотез 0. Элементами этого пространства явля-
ются гипотезы 01 и 02. В объективно-логическом плане это прост-
ранство уместно назвать пространством причин, так как эти эле-
менты порождают соответствующие наблюдаемые следствия. На-
блюдая фиксированное следствие, в общем случае нельзя однознач-
но установить причину, порождающую это следствие, но можно
сформулировать систему гипотез о причинах. Формально простран-
ство причин и пространство гипотез в задачах принятия решений
совпадают и обозначаются единым символом 0. Рассмотрение про-
странства в качестве пространства причин дает естественное ос-
нование считать его пространством входа для некоторого абстракт-
ного звена причина—вследствие. Пространство 0 вместе с распре-
делением вероятностей {P(0i)}i=i,2 будем называть входным ан-
самблем.
Выборочное пространство, пространство след-
ствий. Каждый элемент входного ансамбля порождает следствие
(0i—>х). Множество следствий образует пространство следствий
X, называемое выборочным пространством. Название «выборочное
пространство» возникло из-за того, что элементом х^Х является
последовательность наблюдений — выборка. Если размерность
dim Х—п, то выборочное пространство является конечномерным и
имеет ясную геометрическую интерпретацию — n-мерное евклидово
пространство. В этом случае имеет место обозначение Х=Хп. Отоб-
ражение 0->Х неоднозначно (в общем случае) и носит вероятност-
ный характер в том смысле, что определены условные вероятности
Р(х/0г.) (i=l,2).
На самом пространстве X считается заданной вероятностная ме-
ра Р(х). В случае дискретного пространства X задание меры вопло-
щается б задании набора вероятностей Р(х), а в случае непрерыв-
ного пространства предполагается существование плотности и тог-
да
Р(л)= /(л) Дл,
Дх= Дхх... Дхя, n=dimAr.
По аналогии с входным ансамблем определим выходной ан-
самбль как упорядоченную пару (X, р), где X — выборочное прост-
ранство, а р— вероятностная мера, введенная одним из описанных
способов. В дальнейшем символы 0 и X по договоренности будем
воспринимать как обозначения соответствующих ансамблей, а не
ИЗ
(4.2.5)
пространств. Основные соотношения для вероятностей, которые
потребуются в дальнейшем:
р(	р (х/01)+Р(е2)Р (х/е2)-	(4.2.1)
— формула полной вероятности.
Р(б{/х) =	—формула Байеса. (4.2.2)
Р(бД)Р(х)=Р(х/61)Р(61) (/=1,2).	(4.2.3)
В дальнейшем понадобится следующая интерпретация ансамб-
лей 0 и X.	_
Если есть основания рассматривать элементы х^Х как сложные
объекты (вся последовательность х может рассматриваться как со-
вокупность более коротких подпоследовательностей), то уместно
представить выборочное пространство в виде прямого произведения
А'(2).	(4.2.4)
Запись х^Х(1)®Х(2) означает, что объект должен восприни-
маться нами состоящим из двух частей:
х=х(1)х(2,=(х1,..., хЯ1+Я1);
х(1)==(Л1,..хЯ1), х(2)= (x„l+i,..., хЯ1+я,),
где n1=dlmA’(1); /i2=dimA'(2); х^х (для ^простоты обозначе-
ний).
Аналогичным образом могут быть определены произведения ан-
самблей
Х(1)® Х(2) ®Х(3), 0(1)®0(2), 0® X.
4.2.2.	Системы аксиом
Количество информации /(0i-*-02; х) в наблюдении х^Х в поль-
зу гипотезы 01 против 02 может быть построено аксиоматически.
Ниже будет сформулирована одна из возможных систем посту-
латов.
Первая система аксиом
Постулат 1. При заданном произведении ансамблей 0®Х коли-
чество /(01—>-02; х) информации для различения в пользу 01 против
02, содержащееся в последовательности х, подчиняется соотноше-
нию
/(01 — 02; x)=/(0i; х)-/(02; х),	(4.2.6)
где /(0«; х) —количество информации в последовательности х за
гипотезу 0,-.
Постулат 2. При заданном произведении ансамблей 0®Х коли-
чество /(0,-; х) информации в х^Х за гипотезу 0ie0 (i=l, 2) яв-
114
ляется дифференцируемой функцией Г(<р, ф) двух переменных:
<p=P(9z) и <|»=P(0z/x).
Постулат 3. При заданном произведении ансамблей. 6 0 А"(1)0 Х<2)
количество I (0Z; х(2)/х(1)) информации за гипотезу 0,- в после-
довательности х(2)€Аг<2)	при условий, что последователь-
ность xw—X(i) известна, является той же функцией F(<p, ф), в ко-
торой, однако,
T=p(0z/x(1)), <|»=P(0z/x(1)x(2)), (/=1, 2).
Постулат4. (Внутренняя аддитивность). Количество/ (0Z; х(1)х(2))
информации в последовательности х(1)-х'2) за гипотезу 0Z удовлет-
воряет соотношению
/ (0Z; x(1)x(2)) = /(0z; х(1>) + / (0z; х(2)/х(1)). '	(4.2.7)
Постулат 5. (Внешняя аддитивность). При заданных независи-
мых произведениях ансамблей 0(1) 0 АГ<1> и 0<2> 0Аг(2\ для которых
^(0Р, х(1), 0}2), х(2))=Р(011); х(1))Р(0/2); х(2)), (4.2.8)
количество информации / (0}1)0у2); х(1) х(2)) за сложную гипотезу
0Z1)0;2) в сложном наблюдении х(1,-х(2) равно
/	х(1)х(2))=/(0Р; х(1)) + /(0$2); х(2)).	(4.2.9)
Теорема 4.2.1. Существует единственная (с точностью до посто-
янного множителя) функция для количества /(0i-*-02;x) информа-
ции для различения в пользу 0Z против 02 в наблюдении х, удовлет-
воряющая сформулированной системе постулатов. Эта функция
имеет вид
/(01-02; х)=k In	(4.2.10)
Доказательство этой теоремы вынесено в приложение 1.
Вторая система аксиом
В основу второго способа аксиоматического построения меры раз-
личающей информации положена концепция неожиданности наблю-
даемого следствия. Во многом характерный для физических иссле-
дований метод состоит в том, что правильность испытываемой ги-
потезы оценивается по непротиворечивости ее следствий. В рамках
такого подхода из двух конкурирующих гипотез предпочтение отда-
ется той, с точки зрения которой наблюдаемое следствие менее не-
ожиданно.
Постулат 1, При заданном произведении ансамблей 0®Х коли-
чество /(-01—й)2; х) информации для различения в пользу 01 про-
тив 02 в последовательности х^Х подчиняется соотношению
/(61—*62; x)=^/V(02; х) — N(91, х).	(4.2.11)
115
Здесь N(Gi; х)—мера неожиданности наблюдения х^Х с точки
зрения гипотезы 0, (i=l, 2).
Постулат 2. Х(0<; х) есть дифференцируемая функция F(<p), где
Ф=Р(х/0{).	2
Постулат 3. При заданном произведении ансамблей в ® Х(	>
мера неожиданности следствия аддитивна в смысле
7V(9Z; х(1)х(2))=ЛГ(9,.; х(1)) + ЛГ(9,; х(2)).	(4.. 2. 12)
Постулат 4.
х)>0,
ЛГ(9,; х)=0<=>Р(х/9,)=1 (Z=1.2)
Теорема 4.2.2. Существует единственная (с точностью до посто-
янного множителя) мера различающей информации /(0г->02; х).
удовлетворяющая сформулированной системе постулатов. Функци-
ональное выражение этой меры имеет вид
/(9^02; х) = Мп4^-	(4.2.13)
Р (х/в2)
Доказательство теоремы приведено в приложении 1.
Третья система аксиом
Этот способ аксиоматического построения меры не перегружен
(как первый способ) присутствием лишних вероятностных мер.
В первой системе аксиом присутствуют априорные и апостериорные
вероятности гипотез, а в функциональном выражении меры их нет.
Первая система аксиом, являясь более выразительной с точки зре-
ния конструкции меры, перенасыщена исходными требованиями.
Предлагаемая система постулатов является более компактной.
Постулат 1. Количество /(01—х) (при заданном произведе-
нии ансамблей 0®Х) информации для различения в пользу 01 про-
тив 02 в последовательности х^Х есть дифференцируемая функция
F(<p, ф), где
<f = P(X/61), ф=Р(х/02).
Постулат 2. При заданном (произведении ансамблей 9 0 Х(1) 0Х(2>
количество /(01->0г; х) информации в пользу 01 против 02 адди-
тивно в смысле
/ (9j—»92; x(1)x(2))=/(9i-»9j; х(1)) + /(9,->х(2)) (4.2.14)
Постулат 3. При заданном произведении ансамблей 00Х
F (?» Ф) > О ПРИ <Р > Ф;	(4. 2.15)
F(<p, ф)=0 <~> <р=ф.	(4.2.16)
Теорема 4.2.3. Существует единственная (с точностью до посто-
янного множителя) функция, удовлетворяющая сформулированным
постулатам. Эта функция имеет вид
х)_41„ДИД.	(4.2.17)
116
Доказательство этой теоремы приведено в приложении 1.
Таким образом, три относительно самостоятельные концепции
позволяют аксиоматически построить функциональное выражение
меры различающей информации. Аксиоматическое построение меры
(если отвлечься от чисто технических трудностей) представляется
оправданным по той причине, что сразу указывает на те существен-
нее свойства меры, которые представляются наиболее естественны-
ми и оправданными. Аксиоматическое построение удобно и потому,
что позволяет анализировать правомерность использования меры
на уровне ее «фундамента».
4.2.3.	Основные свойства меры различающей информации
Коэффициент k в функциональном выражении для меры опреде-
ляется исключительно из соображений удобств и всюду в дальней-
шем полагается равным k=\.
Теорема 4.2.4. Для различающей информации/ (61—Ч)г; х) спра-
ведливо представление
/(01 — 02; x)=J(01, x)-J(02, х),	(4.2.18)
где J(6i, х) и /(02, х) —информационные меры Фано [56].
Доказательство:
/(в,^; Х)=1п	(4.2.19)
* W®2)
С другой стороны, из (2.2) и определения информации по Фано
следует
/(fy, »)—-/(02, Х) =
= in р<№ - In PWx} г In p<xM
/>(91)	/>(62)	P(x/02) 
Замечание. Если вероятностная мера ансамбля X задается плот-
ностью f(x) (пространство X— непрерывно), то
/ (8 _ 9 ; x)=ln Л-кАМх =in-W!ll
1	/(х/92)Дх	/(х/62)
Теорема 4.2.5. Усредненное количество различающей информа-
ции /(Qi—>02; х) связано с мерой Кульбака соотношениями
Д/(./В1)/ (91 — 02; x)=nl (1:2);	(4.2.22)
Д/(./е.)/ (02— 015 х)=п!(2:1).	(4.2.23)
(4.2.20)
(4.2.21)
Здесь —символ усреднения по ансамблю (Хп, f(x/Qi)t а
/(1:2) и / (2 :1) —меры Кульбака [29].
Доказательство:
^(./e.)/(0i-02;x)=^ /(x/9i)ln L^-dx=
хп	2
117
— J П f (^//81)^2 I x^dx—
*n1-1	'-1
= УД f M) In ^^-dx^nl (1:2).	(4.2.24)
/(x,/92)
Аналогичным образом
Ef(.M /(02-еь х)==л/(2:1).
Следствие теоремы:
^/(•/eo^C®!-*А> х)^0,	.. n OKI
^/<•/..>/(02-01; *)>о.
Сд./»,>/(01—Hh; х)=0 тогда и только тогда, когда fi=f2 почти
всюду. Аналогичное утверждение выполняется и для
^/(•/8.) 7 (02“* 0ь х).
Теорема 4.2.6. Количество различающей информации Z(0i—>-62;
х) полностью определяется значением достаточной (в смысле Р. Фи-
шера) статистики.
Доказательство. Применяя критерий факторизации для
достаточных статистик, имеем [20]
/(x/01)=g.,(r(x))A(x),	(4.2.26)
f(x^)=gt,(T(x))h(x\	(4.2.27)
/(0^^; л) = 1п -2^=1п-£1^ит(Г). (4.2.28)
Таким образом, «достаточность» статистики у=Т(х) приобре-
тает весьма ясное толкование.
Следуя Кульбаку [29], введем в рассмотрение так называемое
расхождение
7(1, 2)=Е/(./,,)/(01^вг; л) + ^/(./в,)/(02-01; х). (4.2.29)
Эта мера является аналогом метрики в ансамбле 0, отличаясь от
метрики лишь тем, что для нее не выполняется неравенство тре-
угольника.
Рассмотрим теперь случай, когда f (x/0i) =f(x/0i), где 0i — век-
торный параметр распределения, a f(х/0г) =f(x/0i+A0), т. е.
/(x/Oi) и f(xl$2) принадлежат одному семейству и имеют различ-
ные, но близкие значения во множестве своих параметров. Мно-
жество значений параметров этого семейства будем считать откры-
тым и выпуклым. Размерность пространства параметров обозначим
через k.
Теперь может быть сформулирована теорема (доказательство
ее вынесено в приложение 1), которая укажет на связь меры разли-
чающей информации с мерой Фишера.
118
Теорема 4.2.7. При некоторых условиях регулярности f (х/0)

п
x)=vS т"49'49'’
(4.2.30)
п
J (®Ь ®1 +	)=
Ф=1М.
Ф — информационная матрица Фишера
? = \ /(х/$) (—Ху- а/(//Т1Ц ( X. Э/(*/Г1) dx. (4.2.31)
7 J Чг(х/в!) dbt )\f(xlh) )
лп
В частности, когда k= 1, то
Х/Т.)7 (М+•*)=£,/(./ёГ) {^-}2=/(0i).(4.2.32)
Это равенство дает достаточно строгое обоснование толкованию
информации по Р. Фишеру.
Кратко подводя итоги, можно сказать, что установленные свой-
ства меры различающей информации позволяют с единых позиций
интерпретировать многие результаты, изложенные в литературе по
математической статистике (в частности, по теории планирования
эксперимента).
4.3. ПРОЦЕДУРЫ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ
4.3.1. Процедуры с фиксированным Миелом наблюдений
Здесь будет рассмотрен случай, когда результатом эксперимента
является выборка объема п. Формально это соответствует тому,
что dim Х=п.
Процедура принятия решений. Процедура принятия
решения формулируется в терминах решающей функции, т. е. отоб-
ражения
d(x):Xa^D.
Здесь d(x) — решающая функция; D — пространство решений.
Всюду дальше рассматриваются только нерандомизированные
отображения такого рода. Геометрический смысл такого отображе-
ния заключается в разбиении выборочного пространства Хп на под-
множества Е\ и Е2 такие, что
£IUA=^n, ЕгПЕ2=0г
d(x)=di£D—принять гипотезу
d(x)=d2£D—принять гипотезу в2-
11»
Если справедлива гипотеза 0Ь то
a=J* f (x/9x) dx —	(4. 3.1)
вероятность ошибки 1-го рода. В литературе эту величину называ-
ют еще вероятностью ложной тревоги, риском поставщика, уровнем
значимости.
Если справедлива гипотеза 02, то
P=J/(x/e2)rfx-	(4.3.2)
вероятность ошибки 2-го рода. В литературе эту величину называ-
ют еще риском заказчика, вероятностью пропуска сигнала.
Средние потери. Потери от реализации процедуры опреде-
ляются заданием стоимости одного наблюдения С и средними по-
терями от ошибок 1 и 2-го рода.
Потери от ошибки 1 и 2-го рода целиком определяются заданием
матрицы потерь
изд
где Сц — потери, возникающие от принятия гипотезы flj, когда спра-
ведлива гипотеза 0, (», / = 1, 2).
Средние суммарные потери могут быть вычислены из выражения
(для случая Сц = С22=0)
С*=Сп + [Р (01) C12a+Р (02) СмИ -	(4.3.3)
Минимизация средних суммарных потерь достигается за счет
минимизации второго члена правой части равенства (4.3.3):
inf С*=Сп 4- inf [Р (01) С12а 4- Р (02) С21₽ 1.	(4.3.4)
</(r)	d(x)
Цель процедуры. По результатам эксперимента х^Хп не-
обходимо принять одну из конкурирующих альтернатив с наимень-
шими потерями. Таким образом, задача выбора оптимального реше-
ния формулируется как вариационная задача относительно решаю-
щей функции d (х).
Минимизация средних суммарных потерь. Как
следует из (4.3.4), минимизация средних суммарных потерь С* сво-
дится к минимизации выражения
C=P(0i)C12a+P(02)C2iP	(4.3.5)
по всевозможным решающим функциям d(x).
Любая решающая функция d(x) реализует разбиение выбороч-
ного пространства на два подмножества Ei и Е2. Таким образом,
существование. оптимальной решающей функции равносильно су-
ществованию оптимального (в оговоренном смысле) разбиения.
После подстановки (4.3.1) и (4.3.2) в (4.3.5) и преобразований
получим
5=P(e1)c12J/(x/e1)^4-P(e2)c21J/(x/92)rfx=
120
=-Р(01)С12 I j f(xl^}dx- у ftx^dx j+PW C21 [/(x/a,)
U„	/	£,
X dx==P (OJ C12 (1 - f f (x/OJ dx}+P (02) C21J f (x/a,) dx=
= P (0i) C12 + f [P (О,) C21/ (x/02) - P (0,) Cl2f (x/0,)] dx=
hi
X
= p (6x) c12 - j P (0,) Caf (xfy) {&	X) _ h'} dx.
Fi
Таким образом,
c=P (01) C12 Г1 - f f (x/02) (ez - h'} dx~\ ,	(4.3.6)
L Fl	J
где
_P
P (01) C12
Полученное выражение удобно тем, что средние потери С выра-
жены в нем как функция подмножества Еъ Минимизация С равно-
сильна максимизации интеграла по области £ь стоящего в правой
части. Максимизация этого интеграла достигается за счет выбора
Ei такого, чтобы выполнялось условие
£’1опт={X: I (01-А; х)>йь h=In Л'.	(4.3.7)
При выполнении условия (4.3.7) в область £юпт включаются толь-
ко те выборочные точки, в которых подынтегральное выражение
(4.3.6) неотрицательно. Таким образом, оптимальная процедура
принятия решений весьма просто выразилась в терминах различа-
ющей информации.
Итак, гипотеза 01 принимается с наименьшими средними сум-
марными потерями в том и только в том случае, когда количество
/(01—>0о; х) информации для различения в пользу гипотезы 01 про-
тив гипотезы 02 в выборке х превысит некоторый уровень (порог).
Метод максимального правдоподобия. Известный
в литературе [30] метод максимального правдоподобия, рекоменду-
ющий принимать гипотезу 01 при выполнении условия
/WQi)
f(M
1,
(4. 3.8)
является частным случаем универсального информационного крите-
рия (4.3.7).
Действительно, в том случае, когда
Л=О<~>й'=1,
т. е. элементы матрицы потерь удовлетворяют условию
Р(61) ___С21
£ (ег)	С12 *
(4.3.9)
информационный критерий (4.3.7) приобретает вид критерия макси-
мального правдоподобия (4.3.8).
121
Тем самым одновременно получаем и обоснование этого крите-
рия, и условия его оптимальности (4.3.9).
Метод максимума апостериорной вероятности.
Критерий максимума апостериорной вероятности называют в лите-
ратуре еше критерием Котельникова, критерием идеального наблю-
дателя, критерием Зигерта, критерием минимума безусловной
ошибки.
Пусть принятие решений осуществляется в условиях, когда
ошибки 1 и 2-го рода одинаково опасны, т. е. элементы матрицы
подчиняются условию
С12=С21.	(4.3.10)
Тогда информационный критерий (4.3.7) приобретает вид критерия
Котельникова (Зигерта)
р(8г)
/(х/в2)	Р(е,)'
Условие (4.3.10) может быть записано в виде отношения
^1=1.	(4.3.11)
Ь12
Сравнивая (4.3.11) с (4.3.9), можно обнаружить, что критерий Ко-
тельникова вырождается в критерий максимального правдоподо-
бия, когда гипотезы 01 и 02 имеют одинаковые априорные вероят-
ности
P(fll)=P(62)=0,5
Критерий Неймана — Пирсона. Критерий Неймана —
Пирсона [30]
(4 з 12)
/(х/92)	P(6t)	v
максимизирует мощность критерия при заданном размере крити-
ческой области, т. е.
( тах(1 —₽)	(4.3.13)
[ при а=а0.
Множитель X, участвующий в записи критерия (4.3.12), имеет
смысл множителя Лагранжа в вариационной задаче (4.3.13).
Покажем, что процедура Неймана — Пирсона может быть пред-
ставлена как частный случай универсального информационного
критерия (4.3.7). Изменяя величину отношения элементов матрицы
потерь, можно добиться выполнения условия
62i __
Си
при котором выполняется условие а=ао. В то же время размер
критической области (1—0) примет свое максимальное значение в
силу оптимальности универсального критерия (4.3.7).
122'
Таким образом, критерий Неймана — Пирсона является част-
ным случаем критерия (4.3.7), когда значение множителя Лагран-
жа подчиняется условию
С12
Произвольный критерий. Рассмотренные в предыдущих
пунктах процедуры отличаются одна от другой только значением
порога для различающей информации /(fli—>-02, х). Если порог вы-
бирается произвольно, то задача оценки потерь для полученного
критерия сводится к оценке величин аир. Когда такие оценки по-
лучены, то можно воспользоваться выражением (4.3.5).
Пусть зафиксирован порог Ао, т. е.
/ (е,—е2; x)=h0.
Тогда	£1={х:/(х/01)>ел«/(х/02)}; 1	(4 3 14)
Е2=Хя]Ех.	j
Соотношения (4.3.14) полностью определяют выбор подмножеств
£1 и £2.
Далее нам понадобится неравенство (29]
,	н тч	„ IfWJdx
\ f (л/Oj In { *7'	£ f (x/flj) dx In f.	(4.3.15)
j	/(x/e2)	j J/(x/02)rfx
Обозначим для краткости
Ef{.^I(№2, x)=/(l:2; Хя)\ j
x)=I (2:1; XJ. J
Пусть координаты выборочного пространства Хп суть независимые
наблюдения. Тогда
/(1:2; Хп)=п1 (1:2); /(2:1; Х„)=Л/(2:1).
Имея выражение для / (1 :2; Хп), 1(2: 1; Хп) и неравенство (4.3.15),
можно получить следующее оценочное неравенство:
Л/ (1:2) = \ /(X/0J In	dx=
J	/ WO2)
= \ / №) In dx+ \ f (х/0.) In l^^rdx >
J	f (*/И2) i	f (X/92)
> \/(x/01)d*ln-^----------(-
Et	^fW^dX
.	LfWddX
+ \ / (-^/61) dx In £--=(1 - a) In —- 4-<a In	.
i	1/(х/в2Их	₽
128
Таким образом,
(1 - а) 1п1^- + а In -5—	(1:2).
i?	1 — ?
Далее
л/ (2:1)=$ / (х/92) in JJ^-dx=
ха
= / №) In /(х/6г)- dx-\- f (х/02) In /(х/\)- dx
Г 1	2'	/(x/Bj)	' Гк	Z(at/6i)
Ex	E*
.	J/(X/02)rfX	j/(W<«*
> \ f (x/62) dx In У------1- \ f (x/92) dx ln^----=
£	j/(x/0i)dx	J/(x/0i)rfx
=pin-L-+(l-P)ln-^i.
1 — а	а
Следовательно,
pin—?---------------h(l-p) ln^-=l<«/(2:1).
1 — а	а
Такого рода оценки весьма полезны для определения минимально
возможного а, если фиксировано р, или для определения минималь-
но возможного р, если фиксировано значение а (например, для слу-
чая, когда а — это доверительный интервал, р — доверительная ве-
роятность) .
Пусть фиксировано значение а=<хо (О<ао<1). Нижняя гра-
ница минимума всех возможных р (обозначим ее рп*) получается
из формулы
(1 - а0) 1п1^-°+«о In п1 (1:2).
Рд	1 гп
Пусть фиксировано значение Р = Ро (О<Ро<1). Нижняя граница
минимума всех возможных а (обозначим ее ап*) получается из
формулы
(1 - ?0' 1а ?о In < п/ (2:1).
аг.
Отсюда, в частности, следует, что не существует процедур с фик-
сированным числом наблюдений и с произвольно назначаемой си-
лой критерия (а, р). Такие критерии могут быть получены лишь в
последовательных процедурах.
4.3.2. Последовательные процедуры принятия решений
Информационная интерпретация. Пусть f(x/Q)—
условная плотность распределения наблюдаемой величины х. Про-
странство гипотез состоит из двух элементов 0={6i, 02}. Пусть ко-
124
ординаты выборочного пространства суть независимые наблюдения.
Для такой ситуации
/(x/0i)=/(Xi/0i). ../(xm/0i) для 6,;
/(х/02) = / (АГ1/02). . ./(лот/02) для 02.
Последовательный критерий для проверки 91 против 02 определя-
ется следующим образом. Выбираются два числа Л и В (Л>0, В>
>0). На каждой стадии эксперимента вычисляется отношение
/(-«/81)
/(*/«2)
Если выполняется условие
Z(-*/o2)
(4. 3.16)
то принимается решение продолжить эксперимент и осуществляется
еще одно наблюдение.
При первом выполнении условия
/(кА) >А	(4.3.17)
/0«/82)
эксперимент заканчивается принятием 0ь При первом выполнении
условия
-^-^-<В	(4.3.18)
/(х/е2)
эксперимент заканчивается принятием гипотезы 02. Константы А и
В выбираются так, чтобы критерий имел наперед заданную силу
(а. ₽)•
Прологарифмировав (4.3.16), (4.3.17) и (4.3.18), получаем ус-
ловия последовательного ана!лиза в терминах различающей инфор-
мации.
Продолжение эксперимента:
1пВ</(01---->-02; х)г£Г1пЛ.
Принятие гипотезы 0ь
/(02-02; х)>1пЛ.
Принятие гипотезы 02:
/(02—х)> — 1пВ.
Таким образом, процедура последовательного анализа приобре-
тает четко выраженный информационный характер: эксперимент
продолжается до тех пор, пока информации для различения ока-
жется достаточно, а сам процесс наблюдения есть процесс последо-
вательного накопления информации.
Основные соотношения между параметрами.
Будем называть выборками 1-го типа такие последовательности
(%1,..., хп), для которых
125
B X(-*i/0iX •• f
/(xi/02).../(x„/e2)
и	/(xi/61). ../(x„+i/0!) A	(4.3.19)
Выборками 2-го типа будем называть последовательности
(%1,хп), для которых
g f С*1/в1)« * *f ^п/^) д
/(Xi/62).../(Xn/02)
и	7(*17в1)---/(-Гд+1/Д1) в	/4. з. 20 у
Проинтегрируем условие (4.3.19) по всем выборкам 1-го типа
(множество выборок 1-го типа совпадает со множеством Е\, где
принимается гипотеза 01). Таким образом,
j f (*/0i) fif* > A J / (х/62) dx
или 1 — а Др.
Проинтегрируем теперь условие (4.3.20) по всем выборкам 2-го ти-
па, т. е. по множеству Е2:
С f (x/SJ dx < В j / (х/92) dx
Е.	Ei
или а^В (1—р).
Таким образом, А, В, а и р связаны между собой соотношениями
А< —В^-^—.	(4.3.21)
0	1 — ₽
В работе [9] показано, что замена неравенств (4.3.21) равенства-
ми (в расчет не принимаются перескоки границ принятия гипотез)
не приводит к существенным искажениям силы критерия (а, р).
Итак, для приближенных, но достаточно точных расчетов в ка-
честве порогов для количества различающей информации можно
брать величины
In А = In—lnZ?=ln——— ,	(4.3.22)
р	1 — р
причем ранее уже было показано, что In Л и In В выступают как по-
роговые количества информации I (01—>02; х) для принятия гипотез
01 или 02 соответственно.
Среднее число наблюдений. Пусть справедлива гипо-
теза 01. В этих условиях процесс наблюдения продолжается до тех
пор, пока выборка х «накопит» либо количество различающей ин-
формации In A (xeBi), либо количество различающей информации
in В (хеЕ2) '•
х) = 1пД/01}=1 —а,
/>{/(01 — 62; х) = 1пВ/01}=а.
126
Таким образом, среднее количество информации для различе-
ния, необходимое для остановки процесса, при 01 равно
Среднее количество информации для различения на каждом шаге
наблюдения равно
\/(x'/01)ln777ZT^=/(1:2)-
J	a*? J \xi/^2)
Тогда среднее число наблюдений до остановки процесса (обозна-
чим эту величину через £(n/0i) может быть вычислено по формуле
v 17	/(1:2)
или, что то же самое
1 — а	а
(1 — а) In—— + а In ---
Е (Щ^=----------5-------.
1	/(1:2)'
Аналогичные выражения могут быть получены, если справедли-
ва гипотеза 02. В этих условиях процесс наблюдения продолжается
до тех пор, пока х «накопит» либо количество различающей инфор-
мации /(02—>0i; х), равное In 1/В (хеЕг), либо количество инфор-
мации / (02—x0i; х) равное
lnJ_(x€£i).
А
p(/(02-»6i; Х)=1п—/02]=1-р,
Р /(02 — 91); x)=ln
Среднее количество различающей информации /(02—>-0i; х) в
выборке х к моменту остановки процесса составит
pin±+(i_?)in2..
Среднее количество /(02—*0i; Xi), приобретаемое на каждом
шагу, будет равно
\/(хЛ2)1п'-^4^ = /(2:1).
J	J (*//01)
Таким образом, среднее число наблюдений до остановки процесса,
когда справедлива гипотеза 02, может быть вычислено по Формуле
(1_?)1п±- + ?1п4
Е (п1в2)=---------------—,
1	’	/(2:1)
или, что то же самое
(1-₽)1п-^4- + Р1п-Ц-
Е (п162)=------------------——
1	/(2:1)
127
Суммарные средние потери могут быть вычислены по формуле
С=с [£ (д/вх) Р	Р (в2)1 + Р (91) С12а + Р (02) С21₽.
(4.3.23)
Можно показать, что суммарные средние потери целиком опреде-
ляются информационными порогами. Действительно, обозначим эти
пороги следующим образом:
1пЛ=/(91) — количество различающей информации [7(01—»02), необ-
ходимое для принятия гипотезы 0t;
1пВ=/(02)— количество различающей информации / (0j—»02), необ-
ходимое для принятия гипотезы 02.
С учетом этих обозначений и (4.3.22)
_ eHea)(e/(»x)_i)	1_е'<»,)
а е/(в>)_е/(б.) ’ Р— e/(et)_e/(M •
Таким образом, можно определить суммарные средние потери через
значения информационных порогов /(01) и 7(02):
С [/(91), /(02)] =
с (Р (91) [/ (9Q ez (61)(1 — ez (81)) + / (62) ez (е>) (ez (>«> — 1)] 
/(9i)-/(02) I	7(1:2)	’’’
। Т3(62)[ —/(62)(ez^61) —1) —/(80(1 — ez ^9а1)] ) 
‘	Z(2:l)	J’1’
+,	* ,,fl (Pl) C12 ez (°»> (ez (°> -1)4- Р (02) С21 (1 — ez <«»>)}.
/ (th) —
(4.3. 24)
Минимизируя правые части (4.3.23) и (4.3.24), получаем либо оп-
тимальную силу критерия (а0Пт, Ропт), либо оптимальные информа-
ционные пороги (I (01) опт, /(02) Опт).
Среди процедур принятия решений несколько особняком стоит
минимаксный критерий. Это специальный случай байесовского кри-
терия для наименее благоприятного априорного распределения со-
стояний изучаемого явления, когда априорные вероятности P(0i)
и Р(02) неизвестны. Для случая двух альтернатив достаточно за-
дать значение только P('0i)=P, которое и определит величину оп-
тимального порога
1п (1-Р)С21^
РС12
Ао.
Минимальные средние потери могут быть представлены как
функция только вероятности
С[Р, h0 (Р)] = С0(Р).
Функция Со(Р) непрерывна на отрезке [0, 1] и, следовательно,
достигает своего максимального значения, которому соответствует
некоторая точка P(0i) = Ро-
128
В условиях, когда точка (Ро, й0) является седловой для функции
С(Р, h0), правило /(01—>02i x)^hQ представляет собой правило
минимакса.
Систематизация остальных критериев, рассмотренных выше,
приведена в табл. 4.3.1.
Таблица 4.3.1
Критерий	Условие
Байесовский	Р (62) Сц •	Л—1п _	_ Р(е1)Сй
Максимум апостериорной вероят- ности Критерий Котельникова Критерий идеального наблюдателя (критерий Зигерта) Минимум априорной вероятности ошибок	С12= C21 (а 4- p)-Mnin
Максимум правдоподобия	/>(01)С21=Р(в2)С12 / (61—02: *)>о
Неймана — Пирсона	( max (1—₽) ( при а=а0
4.4. ИССЛЕДОВАНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ПРИ ОГРАНИЧЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ
4.4.1. Экстремальные распределения
При использовании статистического подхода для оценки свойств
системы и для принятия решения исследователь располагает, как
правило, неполной информацией (с точки зрения теории вероятнос-
тей), например, средними характеристиками. Поскольку обычно
предполагается, что всю информацию об объекте исследования со-
держат плотности распределения вероятностей, то задание тех или
иных плотностей должно проводиться в соответствии с имеющейся
информацией, другими словами, корректным считается такой выбор
плотности, который не приносит дополнительной (субъективной)
информации.
В этом по существу и состоит смысл так называемого форма-
лизма Джейнса [53]. В литературе по статистике эта концепция
имеет и другие названия: наименее благоприятствующие распреде-
ления (20], максимум энтропии [2], принцип минимума информации
[44]. Общим во всех этих подходах является тезис о возможности
выбора в качестве априорной функции такой, которая содержит ин-
5	2239
129
формации не больше того количества, которым располагает для
опыта исследователь.
Если оказывается, что существует множество распределений,
эквивалентных исходной информации, то возникает естественный
вопрос, какой именно плотности отдать предпочтение. Принципы и
условия выбора такой предпочтительной плотности и являются
предметом рассмотрения излагаемого ниже материала.
Рассмотрим дискретную случайную величину £, которая мо-
жет находиться в состояниях 0, 1, 2, ...,п соответственно с вероят-
ностями ро,..., рп'.
pk=p<A=k}.
Кроме выполнения естественных условий
(4.4.1)
Л=и
наиболее распространенным дополнительным условием является
задание исходной информации в виде некоторого числа степенных
моментов:
V/= J^/M/=0,...,/n),	(4.4.2)
Л=0
где 0°= 1 —по определению, причем случай /=0 соответствует ус-
ловию нормировки, поэтому v0 = 1.
Задача нахождения ансамбля (ро,	удовлетворяющего
условиям (4.4.1) и (4.4.2), является по существу дискретным ана-
логом классической проблемы моментов в анализе. Для удобства
дальнейших рассмотрений введем понятия формального и коррект-
ного решения такой проблемы моментов. Формальным решением
назовем ансамбль (ро, ...,Рп), удовлетворяющий условиям (4.4.2).
Корректным решением будем называть формальное решение,
удовлетворяющее условиям
1, (Л=0,..., п),
В следующих четырех теоремах рассмотрены все логические воз-
можности, возникающие при рассмотрении проблемы моментов
(дискретный вариант). Доказательства теорем приведены в прило-
жении 1.
Теорема. 4.4.1. Не существует формального решения тогда и
только тогда, когда
a) б) г(Д*)=/г4~2,
где Д* — расширенная матрица системы (4.4.2); г(Д*) —ранг рас-
ширенной матрицы.
Теорема 4.4.2. Формальные решения существуют тогда и только
тогда, когда
г(Д*) = ш1п(/п, п)+1.
130
Теорема 4.4.3. В случае т^п формальное решение является
корректным тогда и только тогда, когда
0<Ж	= °’1 ’ • • • ’ п\,
где
11 ... 1
0 1 ... п
= п\ (л—1)!.. .2!>0;
0 1 ... пп
11 ... vQ
.. 1
0 1 ... \п ... нп
т. е. Wj является определителем, в котором j-й столбец заменен
столбцом из моментов.
Теорема 4.4.4. В случае т<п среди формальных решений су-
ществуют корректные тогда и только тогда, когда
(РТЕ (P0))>vT [(ЯД)-1]1* ДТД (ЯД)-1 v,
где	Р0=Д (ЯД)”1 v;
i— индекс строки; j— индекс столбца; т — символ транспониро-
вания; Е(Р0) —вектор, образованный из Ро заменой его неотрица-
тельных координат единицами, а отрицательных — нулями.
К рассмотренной схеме могут быть сведены и непрерывные слу-
чайные величины. Некоторые из этих теорем имеют смысл лишь
тогда, когда числа vi, ...,vn задаются произвольно и возникает воп-
рос о существовании ансамбля (р0,..., р?,), для которого эти числа
являются моментами. Когда же эти числа действительно являются
моментами, теоремы дают некоторую информацию о многообразии
возможных ансамблей.
При существовании целого множества корректных решений
предпочтение надо отдать, по-видимому, тому распределению, кото-
рое добавляет минимум информации к уже имеющейся. Другими
словами, должна оставаться максимальная неопределенность при
учете всех заданных ограничений. В качестве меры неопределенно-
сти может быть выбрана, например, энтропия Шеннона:
п
H=~L^pk\n pk.
Л=0
Это обусловлено тем, что она однозначно (с точностью до кон-
станты L) определяется при задании вполне естественных постула-
тов [53].
5*
131
Тогда отыскание наименее предвзятого распределения сводится
к вариационной задаче определения такого ансамбля (рс,
который максимизирует энтропию Н при заданных ограничениях
(4.4.1) и (4.4.2).
Предположим теперь, что непрерывная случайная величи-
на имеет плотность /(х) хе[а, Ь]. Известными считаются средние
значения некоторых функций gr-
(gr) = ^gr(x}f(x)dx.	(4.4.3)
а
В качестве меры неопределенности используется дифференциальная
энтропия:
ь
h= — J/ln fdx.
а
Вариационная задача для нахождения наименее предвзятого
распределения может быть сформулирована так:
{ь	)	ь
— j/ln/rfx , (gr) = §gr(x)f (x)dx.
a	J	a
Иногда требуется определить безусловный экстремум функционала
J — У (—/ Ь/ +W + W1/ + • • • ~WnS,mf}dX.
а
Решение уравнения Эйлера для экстремалей имеет вид
f (x) = e-1+Xo+X1*,(x)+"’+Xm?'n(x),	(4.4.4)
где Хо, ...,г\;п — множители Лагранжа. Энтропия для экстремальной
плотности вычисляется по формуле
maxA=l-X0-X1 <gi)-...-Xm(gm).
Частные случаи исследования условий получения равномерного,
экспоненциального и нормального распределений подробно рас-
смотрены в [20].
Следует отметить, что широко используемый в теории надеж-
ности так называемый «экспоненциальный закон» в рассматривае-
мом аспекте однозначно определяется, когда исследователь знает
только математическое ожидание случайной величины.
Знание первых двух степенных моментов дает нормальное рас-
пределение, что является наиболее типичной ситуацией, например,
в теории ошибок измерения. Представляет интерес дополнительно
исследовать два частных случая.
Пример 4.4.1. Поскольку наименее предвзятые распределения при выполне-
нии условий (4.4.3) имеют вид (4.4.4), естественно возникает вопрос, знание ка-
ких функций <£г(0> приводит к распределениям Х’кваДРат» Релея, Максвел-
ла, Вейбулла, гамма-распределения, т. е. к распределениям, являющимся произ-
132
ведением экспоненты на некоторую степенную функцию х. Оказывается, что
определенный тип гамма-распределения получается, если известны
• <gi(•*)> = <*>; <£2(*)> = <lnx>.	(4.4.5)
Действительно, для этого случая уравнение Эйлера имеет решение
f = схх* еХ1Х, (Х1 < 0; Х2 > — 1),
где с, Хь Хд определяются из условий нормировки и (4.4.5)
а = х2 + 1;
|Xilg
С Г (а) 9
а
<х>= IM :
<1пх> = ггЗ "~|п |Х11,
Г(a) da
где Г (а) - гамма-функция.
Интересно отметить, что знание <1п равносильно знанию среднего гео-
метрического.
Пример 4.4.2. Пусть £е[а, 6] и, кроме того, известно, что
р {ее [с,	= у; р {ее [а, <?]} = i - у. '	(4.4.6)
Подобная ситуация возникает, например, когда оперируют интервальными
оценками надежности и задают требования на надежность при помощи нижней
границы с и соответствующей доверительной вероятности у. Если исследователь
не располагает никакой дополнительной информацией, то наименее предвзятое
распределение f случайной величины £ с учетом (4.4.6) отнюдь не оказывается
равномерным на отрезке [а, Ь]. Действительно, в соответствии с постулатами
Шеннона имеем
ь
А (/) = — J / In fdx = — у In у — (1 — у) In (1 — у) + уЯ [с, £] +
а
+ [1-У]Я[а, с].
Максимальное значение h(f) достигается, когда Н[с, 6] и Н[а, с] максимальны,
что соответствует равномерным распределениям на [с, 6] и [а, с]. Условие нор-
мировки позволяет записать искомую плотность
— ,х6[а.с]
гЧ"’ж6[с’
о — с
Пусть на множестве [а, &] значений х случайной величины |
определена функция штрафа
5(х)>0, х£[а, 6],
понимаемая в том смысле, что каждому состоянию, которое может
принять случайная величина в результате эксперимента, ставится
в соответствие определенный эффект, действие которого оценива-
ется некоторым неотрицательным числом 5(х). По аналогии с ме-
рой неопределенности h для (распределений f случайной величины £
5*	2239
133
можно ввести меру неоцененности штрафа Af[(p(S)]:
S(xa)
j <р (S) In ср (S) х, xb x2C[a, 6].	(4.4.7)
$Ui)
Эта мера может быть получена из постулатов, аналогичных посту-
латам Шеннона для энтропии. Введенная мера неоцененности штра-
фа (4.4.7) удобна для сравнения решений, каждое из которых ха-
рактеризуется некоторым разнообразием потерь. На этой основе
может быть предложен один из возможных принципов принятия
решений: сначала множество всех решений разбивается на классы
одинаково неоцененных, а затем в классе минимально неоцененных
выбирается лучшее с точки зрения какого-либо частного критерия..
В условиях значительной неопределенности самостоятельный,
интерес представляет следующая задача: найти решения, позволя-
ющие построить верхние 'границы неоцененности штрафов. Тем са-
мым исследователь определяет эффективность информации, кото-
рой он располагает.
Для этого целесообразно использовать обобщение формализма
Джейнса на случай непрерывных распределений с заданной функ-
цией штрафа. В дальнейшем для определенности функция штрафа
полагается монотонно возрастающей.
Тогда	?(•$)=/ (S-1 (5))-------,
Тк У У к к » S/(S-x(S))
где Se[S(a), S(&)]; S-1(S) —функция, обратная к функции штра-
фов; S'— производная функции штрафов.
В этом случае
$((>)	ь
<Р (5) In <р (S) dS= — \f (х)
5(a)	а
b	ь
f (х) In	dx=h (/)+(/ In S' (x) dx=h (/) + (In S' (x))
о (X)	J
(4.4.8)
где h(f)—дифференциальная энтропия случайной величины g,
(In S'(x) ) —математическое ожидание функции In S'(x).
Отметим следующие два частных случая.
1) Если S(x)= const, то Лфр]=—00, т. е* разнообразие штра-
фов имеет минимальную неоцененность, чего и следовало ожидать,
так как в этом случае величина штрафа фиксирована.
2) Если SZ(%) = 1, то неопределенность значений штрафов вся
содержится в неопределенности величины g. В этом случае
N(S)=h(f).
По аналогии с наименее предвзятыми распределениями право-
мерно поставить вопрос об отыскании таких наиболее неблагопри-
ятных распределений, которые максимизировали бы функционал!
_J_ln-ZW S’(x)dx=
S'М S’(х) k

134
(4.4.8) при условии, что известны некоторые степенные моменты
случайной величины |, т. е. при ограничениях типа
»
^xif{x)dx=Vj (/=0,..., т; v0=l).
в
Для случая, когда никакой информации относительно /, кроме
условия нормировки, не имеется, решение вариационной задачи на
отыскание условного экстремума функционала (4.4.8) дает следу-
ющее выражение для наиболее неблагоприятного распределения:
S (о) — S (а)
Если, кроме условия нормировки, исследователь располагает
знанием математического ожидания vi, то наиболее неблагоприят-
ное распределение будет иметь вид
f (x)=cxS' (х)ес«х, х£[а, Ь\.
Очевидна аналогия с результатами применения обычного фор-
мализма Джейнса. В общем случае, когда информация относитель-
но f задана в виде последовательности моментов vi,...»vm, мера не-
оцененное™ штрафов для наиболее неблагоприятного распределе-
ния записывается в виде
7=1
где Kj — множители Лангранжа.
Пример 4.4.3. Пусть а = 0, b = + оо , S (х) = х2, j xf (x)dx = vx; тог-
да для наиболее неблагоприятного распределения имеем
_ 2х
/(х) = А_хе
Метод упорядочивания множества плотностей по критерию сред-
него штрафа позволяет разбить все множество плотностей на клас-
сы по величине функционала
_ ь
S (х) = J / (х) 5 (х) dx.	(4.4.9)
» а
Пусть функция штрафа S(x) достаточно точно аппроксимируется
многочленом некоторой степени т:
S (х)=2	(0) хS * 7,	(4.4.10)
/-о
где 3(;) (0)—значение /-й производной при х=0. Подстановка
(4.4.10) в (4.4.9) дает
5**
135
5=2 S</) (°)vr	(4.4.11)
H
b
где	vy= J x*f (x)dx, (/=1,..., tn; v0=l)	(4.4.12)
a
Из формулы (4.4.11) видно, что при «гладких» функциях штра-
фа, аппроксимируемых многочленом, имеет значение не сам вид
плотности, а ее степенные моменты, что дает относительно простой
способ сравнения плотностей по критерию среднего штрафа.
Рассмотрим, например, случай, когда 5 аппроксимируется
квадратичной параболой а=6, Ь=Х, а информация о плотности
распределения задается всего двумя моментами:
7И [$]=£; Л4[(е—E)2] = D.
Тогда из (4.4.11) и (4.4.12) следует
5=5 (0)4-5' (0) ^4-у 5"(0)£>4—5"(0) Е2.
Если задан диапазон для моментов и для среднего штрафа
0<£<X;	; ш!п5<5<шах5,
4
то получается однопараметрическое семейство парабол
£>=-Е'2-аЕ-р4-у(5),
2S'(0) й 25(0)	25
где	а=-----— ; р=—— ; у (5)=----------.
S" (0) S" (0)	’ ' S" (0)
Все точки фиксированной параболы дают плотности, доставляющие
одинаковый средний штраф. Самым неблагоприятным распределе-
нием формально является то, для которого Е и D удовлетворяют
условию
£>= — Е2 — аЕ — Р4-у(шах5).
Примечания. 1. Для случайной величины с конечным числом п значе-
ний при заданном математическом ожидании т наименее предвзятым распреде-
лением оказывается распределение Паскаля:
1	( т \ь
Ри = —— —ГТ 1 • (k -• - «)•
т 4-1 \т 4-1/
2. Оценку среднего значения In х на основе реализаций Xi,..., хп можно
представить в виде
т. е. знание <1п х> равносильно знанию среднего геометрического случайной
величины.
136
Если каждой реализации х» придать смысл надежности i-го элемента, вклю-
«
ценного в последовательную цепочку из п элементов, то выражение |/ Их/
будет означать надежность некоторого «усредненного» типичного элемента. Та-
кая трактовка может оказаться полезной в задачах нормирования надежности.
3. Необходимо отметить, что отыскание наименее предвзятого распределе-
ния в явном виде связано подчас с чисто техническими трудностями. Например,
даже в простом случае, когда случайная величина задана на конечном интервале
и известны первые два момента, приходится решать довольно сложную систему
трансцендентных уравнений.
Для случаев, когда плотность может быть записана в явном ви-
де, некоторые наименее предвзятые распределения приведены в
табл. 4.4.1.
Таблица 4.4.1
Ограничения	Плотность распределения
*6(0, 1)	/(*)=!
х 6 (0, °°) Е [№] = $	/W~ (aS)1/ar(l/a) "P{-«S}
* 6 (0, со) Е [X] = S	/(x) = aexp( — ax)
X 6 ( — оо, + оо) £[|X|] = S	/(*) = -^-exp{— a 1*1}
X 6 (— оо, + оо) £ [X] = Si; Е [Х2] = S2	/(*) —(/2nS2) *exp|—	| I	J
х 6 {а, Ь) Е [X] = S	/(X,~ S<!-.-•'») "p{ - s)
х е [о, 1] ^/(х)е/х = р	p/a X e [0, a) 1 — a
*6(0, сю) £[X] = S! £[logX] = S2	/(*)- T,*P *exP ( — <»*} Г(Р)
*6(0, 1) £[logX] = S! £ [log (1 - X)] = S2	f(x)	^(l-*)""1 B(m, n)
137
4.4.2. Оценка статистических параметров
при малом ;числе экспериментов
При малом количестве экспериментальных данных (число испы-
таний порядка единиц) классические методы математической ста-
тистики часто не дают эффективного приближения к истинному
распределению неизвестного параметра. Это объясняется тем, что
классическая статистика придает слишком большое значение от-
дельному результату эксперимента. Сгладить влияние отдельных
результатов на вид функции распределения можно путем использо-
вания априорных данных (прогноз) при помощи байесовских мето-
дов, а также процедур, предложенных в работах [49, 63]. Очевидно,
при малом количестве данных использование этих методов тем эф-
фективнее, чем более точен прогноз. Однако эти методы дают удов-
летворительные результаты даже в случае, когда прогноз не очень
точен. Возникает естественный вопрос: до каких пор даже не очень
точный прогноз дает еще преимущество (байесовских процедур пе-
ред классическими) и от чего оно зависит в первую очередь.
В излагаемом ниже материале сделана попытка ответить на та-
кой вопрос.
1. Пусть случайная величина g распределена на отрезке [а, &].
Плотность распределения случайной величины в дальнейшем ап-
проксимируется ступенчатой функцией, сохраняющей постоянные
значения на полуинтервалах х*),	х0=а; хп=Ь.
Каждая такая ступенчатая функция полностью определяется за-
данием вектора
рт=(А,..., рп),
где т — символ транспонирования,
pz=P{H[X/-i, xz)}.
Понятно, что
п
2^=1, 0<р,<1
>-1
Пусть на множестве Мп всех векторов-распределений определена
функция
<Р1 (?) = ?!> Р^Мп,
имеющая смысл априорной плотности распределения на множестве
всех ступенчатых аппроксимаций исследуемой плотности. Тогда,
если dP0—(п—1)-мерная окрестность точки PQ^Mn, то величина
?1 (Po)f(^o)
приобретает смысл вероятности того, что случайная величина g
имеет в качестве вектора-распределения вектор Р такой, что
Р € dP^
где p(dPo) — (п—1)-мерная мера Лебега окрестности dPa точки Pq.
138
Пусть в эксперименте произведено k замеров случайной величи-
ны и эти замеры распределились по полуинтервалам следующим
образом:
г„; 2 ri = k-
i “1
Обозначим Rk,n= (О,..., гп). Тогда
Г(^.л/Я=/
будет означать в дальнейшем плотность распределения исходов
Rk,n при условии, что распределение величины g фиксировано и
определяется вектором Р. Пусть
?2(^Л,Л)
означает апостериорную плотность распределения векторов Р при
условии, что в эксперименте наблюдался исход Rh,n. Тогда связь
между фь ф2, f может быть выражена с помощью известной форму-
лы Байеса
%= с	(4.4.13)
J /w(^)
Л
Рассмотрим сначала случай, когда до эксперимента всем возмож-
ным распределениям величины £ приписывается одинаковый «вес»:
=___1 _(п-1)1
1 “(Ж) Vn
где |л(Мп) — мера Лебега множества Мп-
После подстановки в (4.4.13) выражений для <pi и f формула
(4.4.13) примет вид
?2=С(г1,..., г„) П X*.
гле	С (г,...г„)_<Г1 + - + г" + " -1)1 .
у ПГ1!...гп !
Используя принцип максимального правдоподобия (функция L=
In ф2 максимизируется на том же аргументе, что и функция правдо-
подобия), устанавливаем, что соответствующая оценка имеет вид
9	\ k k /
Этот результат совпадает с экспериментальной гистограммой, ис-
пользуемой в настоящее время.
139
Вычисление апостериорного среднего для вектора-распределе-
ния дает
К + п
Таким образом, байесовская конструкция экспериментальной
гистограммы имеет вид
рт  /г 1-ь 1
л Э.б““1	» • • • »	I •
\Л + п k+ п )
(4.4.14)
Интересно, что до начала эксперимента, когда 6=0, п=0 (i= 1,...,
..., п), оценка (4.4.14) имеет; вид
2.	Пусть априорное распределение для ступенчатых аппрокси-
маций имеет вид
= C (и,...,
Л	~	/ л	Л
Ю П
/- 1	\Х—1
Даже если <pi задано иначе, желательно подбором соответствующих
параметров свести его к написанному виду (так как в такой форме
существенно облегчается отыскание функции фг), формула для ко-
торого в таком случае имеет вид
<р2 = С(Г1-(-Р1.г„4-гя)
х — 1
Аналогичная оценка максимального правдоподобия дает
РТ = ( Г1	rn 4~ гл
\ k -J- k	k -J- k
Апостериорное среднее (байесовская конструкция) дает следу-
ющую оценку:
рт — ( ri + ri + 1	гл + гя +1
э‘б \ п + £ 4- k	n^.k + k
В начале эксперимента эта оценка будет иметь вид
Г1 4- 1 Gx +
п 4-Л ’	’ п + k)
3. Рассмотрим некоторые особенности байесовских оценок рас-
пределений. Разберем сначала случай равномерного априорного
распределения на множестве плотностей. В этом случае экспери-
ментальную плотность предлагается строить в виде
АТ.6=/П±1,...,£«±_Ц.	(4.4.16)
\n+k n+k)	k
(4.4.15)
140
Будем говорить, что эта оценка покоординатно сходится к плотнос-
ти Р, если r-я координата (f=l,...,п) вектора (4.4.16) сходится па
вероятности к i-й координате вектора Р, Представим i-ю координа-
ту вектора (4.4.16) в виде
*__CL + ^L__L.	(4.4.17)
П -\-k П + k k п + k п
Приведенная формула показывает, что i-я координата (4.4.16)
представляет собой взвешенную сумму оценки максимального прав-
доподобия (rjk) и прогнозируемой оценки (1/п) r-й координаты
n*	k	п
вектора Р, которые взяты с весами----- и -----соответственно.
r	k+n k+n
Из соотношений
THp-+1 l = f—— pt-\---------—при k—*оо (4.4. 18}
\p + k 1 n+k п)	н	k 7
видно, что ri + 1 является состоятельной оценкой координаты рг-.
k + п
Из (4.4.18) следует также, что
Л/f \ri +11	п I 1 \
[и -М J 1 n+k \ 1 п)
т. е. ri -- является, вообще говоря, смещенной оценкой для pi (ис-
п + k
ключение составляет случай pi=\/n, когда прогнозируемое значе-
ние координаты совпадает с истинным значением). Далее нетруд-
но установить, что
а
а
где
[n +k J (п +Л)
Г/ ~|____ а
a=VPi(l—Pi)-
Графики зависимостей	и °(~"j представлены на
рис. 4.1. Из графика следует, что в асимптотике средние квадратич-
ные отклонения для обеих оценок совпадают, а для малых k, когда
фактор несмещенности в ряде случаев играет несущественную роль,
/*/ 1
среднее квадратичное отклонение оценки —— существенно мень-
ше, чем а — .
L k J
4.	Если имеются основания для выбора <рх в виде
г„)Пр?.
то i-я координата апостериорного среднего (4.4.15) имеет вид
141
k
k
k ri J п 1
k + k k n + k + k n
(4.4. 19)
Эту оценку можно трактовать как взвешенную сумму оценки
’максимального правдоподобия I Ь «тривиального прогноза» (—j
и «коррекции тривиального прогноза» (-4т-)
\ k /
п
----------- и
п 4- k 4- k
стоятельность
но величине
k
с .весами" —=---------.
n -\-k-\~k
k
——a—- соответственно. Нетрудно установить co-
этой оценки. Начальное смещение этой оценки рав-
k
n + fe
k
п г 1 I
п 4-l 1 п J
Величина смещения монотонно убывает с ростом объема экспери-
мента. Среднее квадратичное отклонение оценки (4.4.19) равно
ri 4-7/ 4-1 \
k п 4- k 4- k /
У ka
п 4- k 4- k ’
что значительно меньше, чем
/ г/ \ а
а — =-т=- .
\ k )
Таким образом, оценка (4.4.19) имеет еще меньший разброс.
5.	Довольно неудобная на первый взгляд оценка Рэ.б обладает
во многих случаях преимуществом по сравнению с несмещенной
оценкой Pl. Действительно, f-ю координату Рэ.б можно предста-
вить в виде (4.4.74)
__ k Г[ । п 1
9,6 п 4- k k п + k п
При k—>6© «веса» оценок максимального правдоподобия и
Рис. 4.1.
прогноза перераспределяются, и
при достаточно большом k оценка
максимального правдоподобия
доминирует над прогнозом. Одна-
ко, как это следует из приведен-
ной формулы, скорость перерас-
пределения зависит от п. Прогноз
1/п получается из условия, что до
эксперимента все плотности для
случайной величины g равнове-
роятны. Однако от того, на какое
число частей п был разбит отре-
зок [а, 6], зависит скорость пере-
распределения весов.
142
Наиболее естественным представляется такое правило для вы-
бора п: чеАм большей информацией о равномерности распределения
величины | располагаем до эксперимента, тем на большее число
отрезков можно разбить отрезок [a, ft] и тем более «весомым» сде-
лать прогноз. Наоборот, не располагая сведениями о каких-либо
особенностях плотности, нельзя злоупотреблять прогнозом, так как
это может привести к устойчивым систематическим ошибкам.
6.	Оценка выигрыша от применения байесовских оценок для
простых случаев проводилась на основе математического экспери-
мента. Некоторые результаты обработки статистических испытаний
собраны в табл. 4.4.2.
Таблица 4.4.2
Число применяе- мых зна- чений	Биномиальные распределения						Непрерывные распреде- ления			
	п=3			п=4			п=10 ?=1		и=10 <Р=2	
Размер серии (А?)	3	5	10	3	5	10	3	5	3	5
DK	0,3	0,12	0,095	0,224	0,187	0,170	0,338	0,261	0,430	0,371
D6	0,10	0,07	0,080	0,140	0,121	0,128	0,082	0,088	0,171	0,152
Для каждой серии испытаний двумя способами были построены
гистограммы и эмпирические интегральные функции распределения.
После построения эмпирических интегральных функций опреде-
лялась их мера уклонения от истинной интегральной функции
которая была известна уже до эксперимента. Мера уклонения была
выбрана в виде
£>=шах|/?и — F9|.
Значения 25к*и25б являются усредненными (по множеству серий)
максимальными уклонениями эмпирических интегральных функций
ют истинной FH, построенных соответственно с помощью классичес-
кой и байесовской процедуры.
Следует отметить, что для получения предложенных байесов-
ских оценок можно было бы использовать рассмотренный’ ранее
обобщенный информационный критерий. Если не касаться чисто
технических трудностей вывода соответствующих формул, то прин-
цип максимального правдоподобия (как частный случай информа-
ционного критерия) был использован нами в этом разделе с целью
демонстрации эффективности предложенных здесь процедур по
«сравнению с классическими.
ГЛАВА 5
ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ
5.1.	ОПТИМАЛЬНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ
Существует большое количество подходов и вычислительных
приемов для построения точечных значений изучаемых параметров..
Однако какими бы хорошими свойствами эти оценки не обладали,,
например несмещенностью и эффективностью, все же в ряде слу-
чаев, представляющих большой практический интерес, оказывается
недостаточным характеризовать качество и надежность изделий
только с помощью точечных оценок. Вообще сравнение точечных и
интервальных оценок можно проводить по двум каналам: можно
акцентировать внимание на плохих свойствах точечных оценок (не
всегда удается отыскать несмещенную, эффективную оценку; часто*
точечная оценка оказывается вырожденной; при малом объеме ста-
тистики даже эффективная оценка оказывается весьма неустойчи-
вой), а можно подчеркнуть удобство интервальных оценок, основ-
ное достоинство которых заключается в том, что они создают обоз-
римую форму представления результатов эксперимента, и, что са-
мое главное, в чисто психологическом плане эта форма ближе ин-
женерному восприятию, так как в конечном итоге дает меру дости-
жения цели, поставленной перед экспериментом, и эффективность,
этого эксперимента.
Основной задачей статистического эксперимента является сня-
тие неопределенности, существующей до его проведения. Если под-
разумевать под мерой надежности или эффективности вероятность,
достижения цели, поставленной перед системой, то неопределен-
ность перед экспериментом формируется тем, что на множестве-
гипотез (о величине искомой вероятности) не определена достаточ-
но содержательная система предпочтений. Если постулировать су-
ществование априорной вероятностной меры на множестве гипотез,
(отрезок [0,1]), то максимальная неопределенность формируется
равномерной априорной плотностью. Это интуитивно оправданное
предположение может быть обосновано, как было показано выше,,
с помощью принципа максимума энтропии.
В предельном случае можно указать действительное значение р,
однако при проведении конечного эксперимента удается снять лишь,
часть начальной неопределенности.
Остановимся на одном из возможных подходов к оптимальной,
интерпретации результатов эксперимента в терминах доверитель-
ных интервалов.
144	‘
Рассмотрим для примера простейший план статистических испы-
таний, при котором испытывается п однородных систем и отказав-
шие элементы не заменяются. Пусть т — число отказавших систем.
Необходимо свернуть результаты эксперимента в форму довери-
тельного интервала и сделать это в некотором определенном смыс-
ле наилучшим образом.
Содержательность такой постановки задачи на интуитивном
уровне можно подкрепить следующими соображениями. Допустим,
что получатель информации о ре-
зультатах эксперимента (а полу-
чает он только доверительный ин-
тервал с соответствующей довери-
тельной вероятностью) примет со-
общение: «искомая вероятность р
с доверительной вероятностью 0=1
расположена на отрезке [0,1]». По-
нятно, что такое сообщение не не-
сет никакой содержательной ин-
формации. Таким же несодержа-
тельным было бы сообщение о том,
что искомая вероятность р с дове-
рительной вероятностью 0 = 0 рас-
положена в какой-либо точке от-
резка [0, 1].
Итак, необходимо построить раз-	Рис-
биение отрезка £=[0,1] на два не-
пересекающих-ся подмножества £i и £2, для которых
1)	EiU Е2 = Е\
2)	ц(£1 П£2) =0 (|i — мера Лебега);
3)	£1 — доверительный интервал или отрезок.
В работе [47] показано, что условное среднее значение частной
информации в результате эксперимента может быть представлено в
виде (см. также предыдущую главу)
J=piog -£- + (l-P)log^ ,	(5.1.1)
а	1 —а
где Р=£ф2 (р) dp — доверительная вероятность; a=^pi(p)dp— ве-
личина (размер) доверительного интервала или отрезка (<pi (р)
= 1), epi(р), фа(р) —априорная и апостериорная плотности.
Из структуры (5.1.1) следует, что одно из разбиений является
оптимальным, т. е. доставляющим максимум информации J
(рис. 5.1).
Пусть испытано п объектов и при этом оказалось, что т—0.
Для того чтобы воспользоваться в этой ситуации формулой (5.1.1),
необходимо получить выражение Р(а). Тогда задача сведется к
поиску максимума функции /(а). При такой постановке задачи
правая граница доверительного отрезка фиксируется и равна еди-
нице, а апостериорная плотность ф2 (р) может быть записана в виде
%(р)=(л+1)/.	(5.1.2)
145
Доверительная вероятность может быть вычислена следующим об-
разом:
1
р(а)= [ («+1)рл^=1-(1-а)л+1.	(5.1.3>
1—а
Используя (5.1.3), можно выразить а через р и преобразовать
выражение (5.1.1) к виду
/(?)=?log—/--------+(1-P)log-^Z1 . (5.1.4)
1_л+]/ТТГр	Vi-Р
Зависимость (5.1.4) и обращение формулы (5.1.3) позволяют по-
строить графики, с помощью которых можно определить оптималь-
ный доверительный интервал, оптимальную доверительную вероят-
ность и значение частной информации (см. рис. 5.1).
Пример. Пусть /г=2Ю|» /п=(к Вычисления дают рОпт=0,93; аОПт=0,12г
(pH=W).
Допустим, что значение доверительной вероятности выбрано равным р = 0,7.
Тогда а=0,06 и рн=О,94. Количество информации в таком доверительном от-
резке равно /=Ю1,61 [Хартли]. Однако это количество частной информации можно
было бы получить при оптимальной оценке эксперимента п=<14, т=0.
Практика вычислений доверительных интервалов для разных
(л, т) с помощью указанного формализма позволила обнаружить
интересное обстоятельство: во всех случаях расчета оптимальных
доверительных интервалов соответствующая доверительная веро-
ятность не получилась меньше 0,85. Это обстоятельство можно ин-
терпретировать как весьма слабое необходимое условие оптималь-
ности интервальной оценки, т. е. если оценка оптимальна, то
^0,85. Такой результат заставляет критически относиться к недос-
таточно обоснованному назначению уровней доверительной вероят-
ности во многих документах (например, в некоторых ГОСТах фи-
гурирует величина р = 0,8).
5.2.	ИНФОРМАЦИОННАЯ ЕМКОСТЬ
РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Одной из возможностей оценки информационной емкости выбор-
ки является соответствие числа /Шах каждой выборке (п, т). Хотя
/max является в известном смысле оптимальной оценкой, но эта
оценка содержит не всю информацию эксперимента, так как часть
ее теряется из-за выражения информации в виде доверительного
интервала. Действительно, полная информация в эксперименте в
соответствии с принципом Д. Линдли [33] измеряется величиной
1
•/*=[% (/>) log % (р) dp.	(5. 2.1)
о
Нетрудно установить, чгго (п|ри <рг(р) si
1
J*=\ ?2(р) log	(5.2.2)
J	<Р1 (p)
о
146
Используя следствия из теоремы о выпуклости мер Кульбака, мож-
но показать, что
(5.2.3)
Равенство в оценке (5.2.3) достигается тогда и только тогда, когда
	-1 а	
?2 (/>) = '	1 — ?	г. .	Р € ^2- 1 —а	(5.2.4)
Отсюда следует, что равенство (5.2.3) не может быть достигну-
то (за счет потерь информации при осреднениях внутри множества
£*1 и Е2). Таким образом, оценка J* хотя и не интерпретируется так
просто, как оценка /max, является более содержательной, чем Лпах-
Взяв в качестве априорной и апостериорной плотностей выра-
жения
<p2^)=(«+l)C^B-m(l-/?r,	(5.2.5}
подставляем их в (5.2.2) и после интегрирования получаем
/*(«, т)=1п(л+1)С;Г +(«-т) f V 1—с|-
Кий? /
-п ( V -— cV/n (V -— С>1 ’ Сп =----------------, (5.2. 6)
\ k I \ k I	(n — m)\m\
где C = 0,577216 — постоянная Эйлера.
Формула (5.2.6) позволяет разбить все множество исходов экс-
перимента (множество различных пар (п, m)) на классы равноин-
формативных (со) исходов.
В качестве примера можно указать следующие выборки:
(я=6, /и=0) со (п= 12, т— 1) со (п= 16, /п = 2) со (n=21, т=4).
Приведенные выборки содержат одно и то же количество информа-
ции об искомом параметре р. Необходимо обратить внимание на
то, что все выборки этой группы имеют различные частоты. На рис.
5.2 представлено двухпараметрическое семейство 7* (и, т), иллю-
стрирующее динамику накопления информации в эксперименте.
Пусть случайной величиной, наблюдаемой в эксперименте, яв-
ляется число успехов в схеме биномиальных испытаний
P&=k}=Cnp\\-p')n~\ k=0, 1,...,га,	(5.2.7)
где р — вероятность успеха в единичном испытании.
Изучаемым параметром является параметр р. Если на множест-
ве Е= {р : pge[0,1]} определена априорная плотность <ро(р), то с
помощью теоремы Байеса можно установить соотношение типа
(е. %(/>))-
147
где (ft (р) — апостериорная плотность на множестве Е. Конкретный
.вид этого соотношения определяется равенством
Т£(р)=^-.^о(Р)„
J РК (1 — Р)" 5 ?о (Р) dp
О
(5.2.8)
Использование байесовских методов во многом упрощается, если
априорная плотность принадлежит классу так называемых сопря-
женных плотностей. Мы говорим, что <ро(р) сопряжено с
Cknpk	если Фе (р) имеет такое же функциональное выра-
жение, что и фо(р), но другие значения своих параметров. Приме-
ром сопряженной плотности для биномиальной схемы испытаний
является двухпараметрическая плотность вида
<Ро(А а», po)=Z_, р^Е, а°>0, р°>0, (5.2.9)
где p-табличная бэта-функция. Эта плотность часто называется
еще (3-распределением. Непосредственной проверкой можно уста-
новить, что
где
Р (О. Р)
а=ао+$, Р=₽о+« — 5.
(5. 2.10)
p-распределение удобно еще и потому, что образует достаточно
богатое подмножество во множестве допустимых априорных плот-
ностей; это возможно из-за наличия двух параметров. Конечно, с
помощью p-распределения нельзя аппроксимировать априорные
плотности, у которых первая производная имеет более одной пере-
мены знака, а вторая — более двух; но для тех ситуаций, когда
априорная плотность имеет довольно простой вид, класс р-распре-
деления представляет исследователю достаточно богатый выбор
сопряженных плотностей.
Свойством сопряженности для нормальной совокупности обла-
дает нормальная плотность в качестве априорной плотности распре-
деления математического
ожидания. Наличие двух
параметров у этой плотно-
сти делает этот класс так-
же достаточно содержатель-
ным и удобным для приме-
нения.
Более подробно рассмот-
рим случай, «когда времена
отказов объектов образуют
пуассоновскую совокуп-
ность. Пусть % — параметр
этой совокупности. В ряде
случаев возникает такое по-
148
ложение, когда мы располагаем лишь частичными знаниями о па-
раметре %, выраженными в знании априорного распределения. Для
оценки уровня исходной (априорной) информации и скорости ее
накопления в эксперименте может быть использован подход, ана-
логичный изложенному выше. В качестве априорной плотности
для параметра X может быть выбрана одна из функций класса
П *)} = {-^xe-le~w; а>0. *>о}- (5.2.11)
Этот класс замкнут относительно пересчета на апостериорную
плотность, т. е. апостериорная плотность содержится в том же
классе.
Последнее высказывание означает следующее. Пусть в испыта-
ниях получена выборка /2,tn- В силу того, что выборка эта
извлечена из генеральной совокупности, ее элементы распределены
с плотностью
/(/, k)=ke-x', Х>0, />0.	(5.2.12)
Если априорная плотность для параметра % задана фиксацией па-
раметров a=aQl b = bQ, то выражение для этой плотности будет
Ьа
?(Х,	*0)=—(5.2.13)
а выражение для апостериорной плотности будет выглядеть так:
ср / X,	+	) =
\	i “1 /
/ п \а0+п
I + 2	V
= ----ехр - Ро + V 6 • (5. 2. 14)
г(а04-и)	I \	Л
В соответствии с принципом Д. Линдли [33] количество инфор-
мации, которым располагает экспериментатор, определяется выра-
жением
= J	logCf>| Х’ ао+га> M*2Z<'PX- (5-2-15)
0	\	i-1 /	\	/-1 /
Мера У* включает в себя и априорную информацию, и информацию,
даваемую экспериментом с результатом 6, /2, —Дп. Вычисление
этого интеграла дает следующий результат:
/* = (а-1)ЦГ(а)-а-1п	,	(5.2.16)
ь
где Г (а)—гамма-функция Эйлера; Т(а)—пси-функция Эйлера.
В целом ряде случаев нас может интересовать не только инфор-
мация о значении параметра Л, но и информация о значениях неко-
торых монотонных функций от этого параметра. Например, важно
149
знать количество информации о величине 7=1/А, (среднее время
безотказной работы) и о величине Р=е~и (вероятность безот-
казной работы за время /). В работе [33] показано, что такая ин-
формация связана с информацией об аргументе следующим об-
разом:
<р (Л, a, b) In I — |<Д,	(5.2.17)
J	I d\ I
о
где Ф(Х)—функция, информация о значении которой нас интере-
сует.
Для случая Ф=— имеем
X
In |—|= - 21пХ.
I d'K |
Для случая Ф = е-Х< имеем
(5. 2. 18)
In
I
= In t — \t.
(5. 2. 19)
для них co-
После усреднения этих функций по плотности ф(А, а, Ь) и подста-
новки этих усредненных значений в (5.2.17) получаем
ответственно
/(1> = (а+1)Т(а)-а-1п6Г(а);
/2) = (а- 1) V{а)-\-а(— - Й-In .
\ b ) ь
(5. 2. 20)
(5. 2.21)
Для того чтобы вычислить теперь количество информации в экс-
перименте о значениях X (интенсивность отказов), Т (среднее время
безотказной работы) и е-х/ (вероятность безотказной работы за
время /), достаточно подставить в формулы (5.2.16), (5.2.20) и
(5.2.21) значения
п
а — ай-\-п, b=b0-Y^ti.
i = 1
Изложенный подход позволяет упорядочить множество всех экс-
периментов по уровню их информативной емкости. В тех случаях,
когда экспериментатор намерен принять решение на основе имею-
щихся экспериментов, очень важно, чтобы имеющиеся результаты
были бы согласованы по своему информационному содержанию.
Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Пусть сравниваются
два объекта, один из которых испытан один раз и в этом испытании
был зафиксирован успех, а другой объект испытан 100 раз и успех
был зафиксирован в 98 испытаниях. Понятно, что, хотя по частоте
первый объект имеет некоторое преимущество, считать его более
надежным, чем второй объект, было бы опрометчиво, так как оцен-
ка для второго объекта подтверждена гораздо большим количест-
вом информации.
150
5.3.	НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ
РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ
5.3.1.	Последовательный анализ одного класса процессов
В статистических исследованиях вероятностные характеристики
объектов получаются на основе обработки ансамбля реализаций с
помощью известных статистических методов. Такой подход к реше-
нию инженерных задач предполагает наличие трех (условно) пос-
ледовательных этапов деятельности: получение информации, рас-
шифровка информации, использование расшифрованной информа-
ции. В целом ряде задач последовательное выполнение этих этапов
недопустимо: может оказаться, что расшифрованная информация
потеряет свою ценность к моменту расшифровки и станет ненужной
или непозволительно устаревшей. Для таких задач желательно
иметь возможность текущего анализа управляемого объекта. Такая
возможность возникает, когда известна структура объекта и частич-
но известны параметры этой структуры. В этих условиях текущий
анализ информации направлен на улучшение работы объекта.
Пусть поведение исследуемого параметра описывается много-
членом
5(/) = (яМ<
где а — вектор-столбец размерности п; ф— вектор-столбец извест-
ных функций, имеющий размерность п; т — символ транспонирова-
ния.
Координаты вектора ф — базисные функции многочлена. Коор-
динаты вектора а — неизвестные коэффициенты многочлена. Час-
тичность знаний об этом процессе проявляется в том, что предпола-
гается заданным априорное распределение в пространстве векторов
а. Это пространство обозначим через А. Далее наблюдение этого
процесса осуществляется с ошибкой, т. е.
Здесь r(t)—наблюдаемая реализация; тД/)—аддитивная случай-
ная погрешность измерения.
В дальнейшем априорное распределение на пространстве А и
распределение погрешности будем считать нормальными. Текущий
анализ такого процесса подразумевает вычисление апостериорной
плотности для вектора коэффициентов многочлена. Это позволяет
уточнить прогноз поведения исследуемого параметра. Рассмотрим
сначала случаи дискретного режима наблюдений.
Пусть tQ, — моменты наблюдений процесса; W (a; t-i) —
априорная плотность на A, a W (a; th)—апостериорная плотность
на А после &-го наблюдения. Обозначим наблюдаемые значения
процесса через г(/0),. а через P{r(to),..., r(tk)/ao}—условную
плотность для выборки {r(to),	при условии а=ао.
Используя формулу Байеса, получаем
цу /а.	= Р .., г (tk)/a] W (д; l-Q
k	j’P {г(/0)г • ->r(tk)/a} W (a\t_{)da
. 151
Предположим теперь, что значения погрешностей ц (4) независимы
и имеют плотность q(t], 4)-
Тогда	Р{г(/0),...,г(и/а} = Пе^(4)—50	(5.3.1)
Л-О
Рассматривая формулу для th и th-\ и учитывая (5.3.1), получаем
следующее рекуррентное соотношение:
Ж (а; 4.м)= ув (г О-i) —S(4+i); 4+1} ^(д;4)—	3 2)
(е(г(4+1)-3(/й+1); ^+i}r(a;Zft)rfa k
А
С помощью (5.3.2) может быть получено выражение для апосте-
риорной плотности распределения вектора а. Для гауссовских
априорных мер и гауссовой погрешности эта плотность имеет вид
Wfa /ft)=(2n)~^(det||AJ|-ipL х
х ехр {—г _ т (/^)тIIМ («—т (z*))[ ’
где m(tk) —вектор-столбец апостериорных средних для координат
вектора а\ detH/z^H-1— определитель апостериорной корреляцион-
ной матрицы.
Вектор m(th) является наилучшей оценкой вектора а в рамках
байесовского подхода. Значения диагональных элементов матрицы
\\hij||~1 характеризуют дисперсии этих оценок. Корреляционную мат-
рицу обозначим
ikdMlM"1-
Вывод рекуррентных соотношений для апостериорных средних и
для корреляционных матриц приводит к следующим выражениям:
/п (/ft+i)=m (4Н— 1	H~l (1к+х) {r(t„ 1) <р (4+1) — Ф (/Л+1) т О;
а2(4+1)
IkM^II^-^+i).
где	^(4+1) = -;-1 <Ф&+1) + //&);	(5.3.3)
°2 (4+1)
tf(4)=IIMz»)ll> Ф(^) = 1!Т/(^)Ту(^)Н-	(5.3.4)
Приведенные рекуррентные соотношения оказываются чрезвы-
чайно полезными при обработке на ЭВМ результатов наблюдений,
так как позволяют существенно сократить объем необходимой па-
мяти.
Если наблюдения осуществляются в дискретные моменты време-
ни с шагом А, т. е.
q(t],/Л) = (2лАГ/Д) 2 ехр{ — т]2А/2ЛО,	(5.3.5)
то при А—>0 гауссовский процесс т](/) переходит в белый шум
152
уровня У; корреляционная функция такого процесса имеет вид
K{t, /+т)=№(т).	(5.3.6)
Дифференциальные уравнения для текущих апостериорных
средних и апостериорных корреляционных моментов записываются
в виде	.	|
т (fl =	D (I) ? (fl - -L D (fl Ф (fl т (fl;
A.O-4fl=i®(fl.	(5.3.7)
Здесь D(f) — корреляционная матрица.
Уравнение (5.3.7) может быть проинтегрировано
t
D-i(/)=i\Q(t)^ + Z)-i(0).
N J
О
Замечательным в этом решении является отсутствие наблюдае-
мой реализации. Это обстоятельство позволяет оценить сходимость
процесса наблюдения независимо от конкретной реализации функ-
ции г(0-
В реальной ситуации может возникнуть следующая задача. Тре-
буется оптимальным образом разместить сеансы измерений процес-
са S(t) в условиях, когда время наблюдения ограничено: /е[0, Т],
а число сеансов наблюдения конечно и равно п.
Будем полагать, что априорная плотность для вектора а и плот-
ность для ошибки измерения являются гауссовскими. По-видимому,
процесс S(t) можно считать тем более изученным, чем меньше ос-
тавшаяся неопределенность относительно вектора коэффициентов.
Естественно в этой связи воспользоваться критерием минимума
энтропии Н(а). Пусть T={tj}in — набор моментов измерений
Оптимальным будем называть такой набор То, относительно ко-
торого для любого Т справедливо Н(а; То)^Н(а\ Т), Для гауссо-
вой плотности выражение для энтропии имеет вид
Н (а)=log ]/(2ле)п det ||dzy||.
Таким образом, в силу монотонной зависимости Я от det|ldij|| кри-
терий min Н эквивалентен критерию min det||cfij||. Для случая
aT=(au а2); <рт=(1, t)
задача может быть рассмотрена до конца. Из (5.3.3) и (5.3.4) сле-
дует выражение для detllrfiji после осуществления п измерений:
det||i//y||= det
Л	X
6	2239
153
Преобразуя это выражение с учетом того, что
flfio О
О Д?20
получаем выражение для det||dfj|| в виде
где
В этих случаях задача сводится к отысканию максимума положи-
тельно определенной квадратичной формы в знаменателе выраже-
ния (5.3.8). Положительная определенность влечет за собой вогну-
тость квадратичной формы, а у вогнутой формы, определенной на
гиперкубе	максимум достигается в одной из его вершин.
Из (5.3.8) следует, что в наборе {vj}in существенно лишь число еди-
ниц, а не их расположение. С учетом сделанных замечаний
k ~2L_|__2L,
опт 2 ^2d10
где ^опт — оптимальное число измерений в конце интервала наблю-
дения (в точке t=T). Таким образом, для процессов такого типа
могут быть сформулированы простые рекомендации:
1)	если погрешность измерений мала или полностью отсутству-
ет информация о свободном члене процесса, то половину всех из-
мерений следует осуществлять в момент t=0, а другую половину —
в момент t=T\
2)	во всех остальных случаях в момент t=T выполняется боль-
ше половины измерений. В частности, при выполнении условия
g2
^10
все измерения следует осуществлять в момент t=T.
5.3.2.	Анализ параметрической надежности
Предполагаются выполненными следующие положения.
1)	Надежность устройства в достаточной мере характеризуется
каким-либо одним определяющим параметром. Будем интерпрети-
ровать этот параметр как степень износа в момент t.
2)	Степень износа в процессе нормальной эксплуатации моно-
тонно возрастает со временем. Эту монотонную зависимость можно
154
достаточно точно аппроксимировать полиномом
л
Z-1
3)	Принцип наследственности для производства обеспечивает
устойчивость закономерности
S(/)^a/-\
i =1
от партии к партии меняются лишь параметры распределения для
вектора а, но не сам вид распределения.
4)	Определяющий параметр может быть измерен, а точность
измерения может быть оценена.
5)	Надежность устройства определяется как вероятность того,
что износ S(t) к моменту t—T не превысит некоторый фиксирован-
ный уровень Н.
В условиях, когда выполнены сформулированные постулаты,
объем испытаний таких устройств может быть существенно сокра-
щен без потери статистической информации. Рассмотрим для при-
мера один частный случай, когда
(/)=£Zj —|- Cl2t.
Метод изучения этого частного случая без особого труда пере-
носится на случай полиномов достаточно высокого порядка. Как
правило, процесс производства таких устройств обеспечивает нали-
чие априорных гауссовских мер для ai и а2. Наблюдаемым пара-
метром в этом случае является функция
г (/) = ai -j- a2t Я (^),
где т] (/) — гауссовский белый шум уровня N.
Уравнения (5.3.5) и (5.3.6) дают апостериорные оценки m(t)
для вектора а и апостериорную корреляционную матрицу D(t).
С помощью вектора m(t) можно строить прогноз для износа на
момент t=T. Обозначим через л(0 прогнозируемое значение из-
носа.
Тогда	л (/) = (тт(/)Х),
где	Х*=(1, Т).
Дисперсия прогноза может быть вычислена по формуле
Оя(/)=Х^>(/)7,
а средняя квадратичная ошибка прогноза по формуле
ая(о= f^Z>(^)k.	(5.3.9)
Процедура испытаний организуется следующим образом:
1) если выполняется условие
Л (/) + аак(0<//,	(5.3.10)
то испытание считается успешным и заканчивается;
6*
155
2) если выполняется условие
л(/) — аоте(/)>Я,	(5.3. 11)
то испытание считается неуспешным и заканчивается.
Если эти условия не выполняются, то процесс испытаний про-
должается. При такой организации испытаний риск от принятия
решения не превышает величины
6=1 — 2Ф0(а),
где Фо (а) — нормированная функция Лапласа.
Из (5.3.10) получается урав-
нение линии приемки
?пРЮ=^ —<»«(/)•
t = r
iPhc. 5.3.
Из (5.3.11) получается урав-
нение линии браковки
?бр (/) = //Ч-аак(0.
Примерный характер линий
фпр и фбр изображен на рис. 5.3.
Из графика следует, что процеду-
ра тем эффективнее, чем уже
«горловина» между фпр(0 и
ФбР(О в момент t=T. Ширина
этой «горловины» равна
А=2аат(т).
Используя выражение
для анализа выражение
(5.3.9), можно получить более удобное
4'4а'|/ т-
Если а — вектор коэффициентов полинома 5(f), то обозначим через
t(a) среднее время продолжительности испытаний соответствую-
щего устройства. Среднее время продолжительности испытания лю-
бого устройства обозначим Т:
Т = У t (а) <р (a) da.
А
Коэффициент ускорения испытаний равен
т
Y = —.
Т
Приближенное выражение для у может быть получено в форме
оценки сверху:	_
v==—gl° fl2Q^
у т и
Здесь «ю, Яго — априорные оценки для начального износа и скорос-
ти износа.
156
Предлагаемая процедура по форме напоминает процедуру по-
следовательного анализа А. Вальда, но в его процедуре продолжи-
тельность испытаний определяется средним размером выборки,
каждый элемент которой испытывается в течение времени Т. В
предлагаемой процедуре выигрыш достигается за счет сокращения
времени Т. Таким образом, совмещение этих процедур (когда это
возможно) обещает существенный эффект.
Результаты статистического моделирования для некоторых кон-
кретных изделий подтвердили эффективность предложенной здесь
процедуры.
5.3.3. Совместная оценка результатов испытаний изделий
до разрушения и безотказных неполноресурсных испытаний
В практике испытаний изделий встречаются случаи, когда про-
водятся ресурсные испытания до износа малого числа изделий, и,
кроме того, имеется большое количество испытаний без отказов (но
прекращенных по тем или иным причинам) таких, что, во-первых,
численные значения времени их работы одного порядка и даже, как
правило, превышают требуемое по ТЗ время работы и, во-вторых,
они значительно меньше по величине наименьшего из результатов
испытаний до износа. Наличие такой дополнительной статистики,
должно, видимо, увеличивать уверенность в значении времени рабо-
ты изделия до разрушения. Дополнительные предположения об од-
нородности результатов испытаний (отказы только износового ти-
па) и о виде плотности распределения вероятностей для времени
работы до износа позволяют получить соотношения для проведения
количественных оценок надежности на основе всей имеющейся ста-
тистики. Формально постановка задачи сводится к следующему.
Пусть поставлено на испытания N изделий. До разрушения ис-
пытано k(k<N) изделий — это порождает «основной» статистичес-
кий материал с соответствующими значениями времени работы до
отказа:
Л,...,
Про остальные испытания известно следующее.
Группа из пх изделий была снята с испытаний через время 6';
группа из п2 изделий была снята с испытаний через время и т. д.
... <^2Z; П1+... +ni=N—k). Этот статистический мате-
риал условно назовем «добавочным». Предполагается, что в допол-
нительной статистике нет отказавших изделий.
Задача состоит в разумном присоединении «добавочной» статис-
тики к «основной» и в проведении на основе этого оценок надежно-
сти изделий.
Исходя из практики испытаний определенного класса изделий
принята следующая система допущений.
1.	Значения времени работы до разрушения слабейшего звена
подчиняются нормальному закону с параметрами ш и с.
157
2.	Длительность искусственно прерванных испытаний, как пра-
вило, значительно меньше времени работы изделий до разрушения,,
т. е.
min
3.	Оценка, учитывающая всю статистику, незначительно отли-
чается от оценки, полученной по «основной» статистике.
Как известно, вероятность события, состоящего в наблюдении
результатов испытания после наблюдения этих результатов (апос-
териорная вероятность), равна единице, т. е. Рапост=1.
Априорная вероятность наблюдаемого события (результатов ис-
пытания) равна
(^-т)2	-1 ь
2а2 ы* П 1
- /=1 -
1
У2ла
(z—m)2
е 2а2 dz
ni
(5.3.12)
Количество информации в смысле Фано может быть вычислена
по формуле J — 1п	По-видимому, наиболее естественными
^апр
оценками для тиа будут’ те, которые минимизируют выражение
(5.3.12). Здесь используется общее для всех разумно построенных
информационных мер свойство: чем событие естественнее, тем оно-
менее информативно.
После соответствующих преобразований выражение для J запи-
шется в виде
где приближенность равенства вызвана следующей заменой:
1
У 2ла
?-т)2	1
ь2а1 dzy С=1п--г------
Пд^
р.-1
(на основании допущения 2).
Раскладывая выражение для Z(m, а) в точке (т0, ао) —оценка
максимального правдоподобия для «основной» статистики — имеем:
с точностью до членов типа квадрат
J (т, o) = J(m0, о0) —
4- (т - /П0)2 - Ст (т - /П0)1 - [ (а - а0)2 + Са (а - а0)
ао	.1 L ао
158

где

Минимизация выражения для J(m, а) по переменным Ст и С9
дает решение задачи в виде
Дальнейшие вычисления, в том числе и оценки надежности, про-
водятся обычными методами.
На основе использования изложенного подхода при решении од-
ной конкретной практической задачи удалось подтвердить возмож-
ность увеличения суммарного времени функционирования изделия
почти в 2,5 раза.
5.4. УПОРЯДОЧЕНИЕ И ОТБОР
ИНФОРМАТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Целью процедур отбора и упорядочения параметров (призна-
ков) является рационализация задачи распознавания образов в ее
общей постановке. Конкретное содержание термина «рационализа-
ция» во всех случаях определяется конкретной постановкой задачи
и ее целями. Рассмотрим основные этапы решения задачи распоз-
навания и остановимся на месте и роли процедур отбора и упоря-
дочения признаков в рамках этой структуры.
По-видимому, самым первым этапом решения задач распознава-
ния является этап формирования пространства исходного описания.
Элементами этого пространства являются векторы, координатами
которых служат вполне конкретные физические параметры изучае-
мых объектов. Здесь возникает вполне естественный конфликт
между:
1) желанием выбрать это пространство достаточным (в инфор-
мационном смысле) и, следовательно, высокой размерности;
2) желанием не выбирать эту размерность слишком высокой с
целью сохранения обозримости исходного описания.
Следующим этапом решения задачи распознавания является
этап измерения признаков из пространства исходного описания.
Если измерение признаков осуществляется с затратами, величина
которых может существенно повлиять на общий показатель эффек-
тивности, то возникает задача выбора оптимального подпространст-
ва в пространстве исходного описания. Оптимальность здесь пони-
мается в том смысле, что информация, извлекаемая из искомого
подпространства, еще остается «рентабельной».
159
Возможным следующим этапом решения является этап хране-
ния и (или) передачи полученной информации. Ограничения, нала-
гаемые на объем памяти и (или) пропускную способность переда-
ющего канала, могут и в данном случае поставить перед исследо-
вателем задачу разумной минимизации пространства исходного
описания в смысле минимизации его объема (уменьшения размер-
ности и числа градаций для отдельных параметров).
Следующим этапом является этап формирования пространства
абстрактных признаков. Этот этап не является обязательным, но
появляется в весьма широком классе задач.
Математически он эквивалентен осуществлению однозначного
отображения пространства исходного описания в пространство*
абстрактных признаков. Если это преобразование взаимно одно-
значно, то с информационной точки зрения оба этих пространства,
изоморфны, а сам процесс перехода к новому пространству оправ-
дан лишь получением более удобного представления решающего*
правила. Чаще всего это преобразование связано с понижением
размерности и осуществляется либо без потери информации (пере-
ход к достаточным статистикам), либо с ее оправданным уменьше-
нием.
Итак, можно сказать, что задача выбора и упорядочения приз-
наков по их ценности или по их информативности возникает там,,
где ставится вопрос об оценке эффективности распознавания, о по-
строении достаточного описания, о сжатии информации для ее хра-
нения и передачи и где ставится вопрос о «рентабельности» инфор-
мации.
Поскольку к настоящему времени не разработано единой общей-
теории выбора и упорядочения признаков, ниже основное внимание?
уделено вопросам выбора наиболее ценных признаков в рамках:
статистической теории распознавания на основе использования ме-
ры различающей информации.
Во многих случаях измеренные признаки образцов одного и то-
го же класса объектов могут претерпевать большие изменения и,
кроме того, нельзя (пренебрегать помехами, возникающими при из-
мерениях. При этих условиях можно рассматривать измеренные
признаки Xi,..., хп как случайные величины. Будем считать, что для
каждого класса образов 1,..., т) известны многомерная п-
мерная) функция /(x/(Dj) плотности вероятности (или распределе-
ния) вектора признаков и априорная вероятность Р(ю^) класса
Будем считать, что величина потерь задается матрицей потерь
1|С(®о ®/)|1’
где С(о)г, o)j) —потери, возникающие от отнесения классу cdj объек-
та из класса а)г-. Допустим, что нами выбрано решающее правило
z/(x), определенное следующим образом;
сЦ — отнести наблюдаемый объект классу если;
х^Е^Хп\
d(x)= . „	.
4 Хп — выборочное пространство;
, 2:, —подмножество отнесения к классу
160
Величина условных потерь (для объектов из класса (ог) задает-
ся выражением
r(<DZ, ^) = J C(<oz, d) f (x^dx.
xn
Суммарные средние потери вычисляются как взвешенная сумма по-
терь:
d}=^P(^r^h d).	(5.4.1)
Z-l
В дальнейшем более подробно остановимся на случае /п=2. К это-
му случаю может быть сведен довольно большой класс задач рас-
познавания. В этом случае соотношение (5:4.1) после несложных
преобразований может быть приведено к виду
(5.4.2)
где И=1п—величина различающей информации; Л' =
Р С (too. ^1) г?
= —'£'—Е, — подмножество отнесения к классу
P^)C^,d2)'	3
Замечание. Формула (5.4.2) получена в предположении, что ди-
агональные элементы матрицы штрафов ||С(о)г, Jj)|| равны нулю.
Минимизация (5.4.2) приводит к условию
^1опт=• И (х)^-й},	(5	2^
где	Л = 1пй'.
Оценка «добротности» признака может быть выполнена с по-
мощью функции, являющейся энтропией или средней информацией.
Положим, что каждый признак хД/ = 1,..., п) может принимать О,
возможных значений. Частное значение Xj обозначим Xj(k), k=
= 1,...,^).
Соответствующее каждому Xj некоторое число Gj,. являющееся
мерой «добротности» признака .tj, должно быть определено экспери-
ментально. Для выбора Gj были предложены следующие соотноше-
ния, связывающие Gj и процент правильного распознавания.
1)	Если Gj>Gi, то процент правильного распознавания при ис-
пользовании только Xj должен быть больше процента правильных
распознаваний при использовании только х^
2)	Если Gj>G{t то для любого множества признаков F процент
правильного распознавания при использовании Xj и F должен быть
больше процента правильного распознавания при использовании
Xi и F.
3)	Процент правильного распознавания при использовании F
является линейной функцией суммы значений Gj для признаков в F.
161
В качестве одной из функций, удовлетворяющих поставленным
требованиям, в случае статистически независимых признаков может
быть выбрана функция вида
Z-T
В работе [27] эта величина трактуется как взаимная информа-
ция признака xj и классов образов wi,
Интересно отметить, что это выражение совпадает со значением
скорости передачи информации. Действительно, скорость передачи
информации, согласно определению К. Шеннона, измеряется чис-
лом [66]
V [{Р Wtf, {Р (*А)}Г=Н (О)) - Н (<о/хД
т
Здесь //(<»)= —	Z3 (“/) log Р («>,) —априорная неопределенность на
Z — 1
множестве классов {wz}”;//(о>/Ху) —апостериорная неопределенность
на множестве классов.
Согласно определению Шеннона,
Н (®/ху)= - 2 Р W Р Iog Р
Xj Z-1
= -2 Р («>,) log Р (ш,) + 2 2 Р W Р	log Р
£-1	i-1 xj
=22pwp wiogp№)-25 (^)iog/>w=
Z—1 Xj	Z — 1 Xj
Z-1 Xj
Так как выражение для «добротности» G$ удовлетворяет условию,
то выбор подсистемы k наиболее информативных признаков выпол-
няется выбором k наиболее «добротных» признаков из п имеющих-
ся. Для реализации алгоритмов, основанных на выборе подсистемы
признаков с максимальной суммарной «добротностью», следует по-
лучить статистические оценки коэффициентов «добротности» Gj:
°'= SSР х‘™ 108	•
Л-1
162
где	Р[шо x;(^)] = P(<oz)P[xy(^)/<uz];
р км, (*)] =	.
2 P[x/(*)/»Z]P (<>/)
i-l
В качестве критерия для отбора признаков и их упорядочения
можно использовать так называемое «расхождение».
Пусть для 6)i распределение соответствует многомерной гауссо-
вой функции плотности со средним вектором М{ и ковариационной
матрицей К, т. е.
/(x/<oz)=(2n)"2'||/C|F2"exp[-^-(x-Mz)^-x(x-Mz)]. (5.4.4)
Можно ввести понятие различающей информации для случая, когда
число классов больше двух
I (ю, -><!>,; х)=log	•	(5-4-5)
Подставляя (5.4.4) в (5.4.5), получим
/ (<oz — х)=х'К-'	- Mj) —Ь. (Mi + М^К-1 (Mt - Mj),
(5.4.6)
Е [/ (<dz -	х)/<о,]=-1 (Mt - М,)т К-1 (Mi - Mj}, (5.4.7)
где Е — символ усреднения.
Величину (5.4.7) согласно [29] можно называть направленным
расхождением между классами о)г- и со;. Для рассматриваемого
здесь случая (5.4.15) есть метрика в пространстве М (в работе [29]
эту величину называют еще метрикой Махалонобиса).
Расхождением (в отличие от направленного расхождения) бу-
дем называть величину
J((DZ,	= E [/ (<dz —>(Dy; x)/(dz]4"^ [/ («>;—х)/о)у]. (5.4.8)
Из (5.4.7) и (5.4.8) следует, что
J((dz, шу) = (Л1/~Л17)^-1(ЛГ/^Л17).
Рассмотрим случай, когда классификация формулируется как
дихотомия с равными априорными вероятностями.
Вероятность ложного распознавания в этом случае
р=^-р[/(«>1 —«>2; х)>0/%]4—|-Р[/ («>! —	х)<о/»й1].
Из (5.4.4) и (5.4.6) следует, что величина /(coi—ког; х) явля-
ется гауссовой случайной величиной при условиях (oz(t=l, 2). С
учетом этого можно написать
во	1	во	1
1 р	__ г 1/	7\21	1 р	__Л.
/>=-М(2л/) 2ехр—\(2nJ) * х
J	I Z \	~ / J	V
0	0
ХехрГ-^-(?-
163
Выполним теперь замену переменных
2
У=-^г
Тогда
(5.4.9)
Из (5.4.9) следует, что р представляет собой монотонную зави-
симость р от J. Для числа классов образов, большего двух, крите-
рий максимизации минимума расхождения или среднего расхожде-
ния между любыми двумя классами был предложен в [59].
Среднее расхождение между двумя любыми классами определя-
ется следующим выражением:
J (<й)=2
i -1 7-1
Для распределений, данных в (5.4.4),
7 2 2 р р (м^ - ^)т	“ м
Обозначим
Тогда
следовательно,
7-1
(5.4.10)
Ближайшая верхняя граница соответствует максимуму знаменате-
ля в (5.4.10), равного (1------):
\ /п /
(5.4.11)
/в —1	k '
Из (5.4.11) следует, что границу можно достичь, беря различные
комбинации признаков или путем постепенного увеличения числа
признаков п, таким образом, что отобранное подмножество призна-
ков будет соответствовать случаю, когда d2 является значением,
ближайшим к
т—1
Интересно отметить связь между «добротностью» Gj признака
и расхождением J для случая, когда число классов равно двум.
В работе [59] дается неравенство
164
из которого следует, что, выбирая в случае дихотомии признаки с
максимальным расхождением, тем самым выбираем потенциально
более «добротные» признаки. Итак, рассмотрен следующий диапа-
зон случаев.
Случай нескольких классов {coji"1/и>2. Алгоритмы в
этом случае конструируются на основе принципа максимизации
среднего расхождения /(со) или максимизации минимального рас-
хождения d2.
Случай дихотомии (zn=2). Наиболее распространен
здесь случай независимых (в статистическом смысле) признаков.
В этом случае наиболее информативная подсистема из k признаков
получается выбором k первых признаков с максимальными рас-
хождениями.
Для зависимых нормальных признаков с одинаковой корреляци-
онной матрицей дается зависимость процента ложных распознава-
ний от величины расхождения. Это выражение и является основ-
ным соотношением для построения алгоритма выделения информа-
тивного пространства.
5.4.1.	Реализация алгоритмов
В качестве условных распределений признаков имеется в виду
использование гистограмм, построенных по результатам испытаний
объектов, подлежащих классификации.
Рассматривается случай, когда признаки распределены не обя-
зательно по нормальному закону, а в качестве критерия эффектив-
ности распознавания выбрана не вероятность правильной классифи-
кации, а уровень средних потерь.
# С учетом статистической независимости условие (5.4.3) может
быть переписано в виде
IК-<о2; х;)>Ип, Ил= Рр^\^~Сс^. , (5.4.12)
Р(а>1)(С21 —Сц)
здесь Сц— элементы матрицы потерь. Нами рассматривается слу-
чай, когда число признаков удовлетворяет условию п^ЗО.
Предполагаются выполненными условия Линдеберга
п
lim-4- V ( [dy)-1 (1:2; Z)P dF\n=0,	(5.4.13)
Bntj J
|dn-Z(l:2; Z)|>r, 7=1,2,
где	xt распределено с плотностью /(^Mi),
f
E*2)=In 'f , Xi распределено с плотностью f (х^). Добавим к
этому, что
п
^z=£>[eP],	(5.4.14)
1=1
где D — символ дисперсии.
165
Учитывая (5.4.12), (5.4.13), (5.4.14) и вытекающую отсюда воз-
можность использования теоремы Ляпунова, получаем после не-
сложных преобразований оценку для уровня средних потерь, соот-
ветствующих байесовскому решающему правилу (5.4.3):
Р [(РМ)?]=р («1) сп+р ь) с22+
+ Р(Ш1)(С21-Сп)Ф(г1)+Р(ш2)(С12-С22)Ф(-г2), (5.4.15)
п	п
Ип-2/(1:2;0	Ии-2/(2:1;0
_i_х tt>
Ф(х)=(2л) 2 j е 2 da.
— оо
Выражение (5.4.15) дает эффективный способ оценки так называе-
мой различающей способности выбранной подсистемы признаков
путем назначения оптимального порога, минимизирующего средние
потери. Входом этого алгоритма является статистический массив,
строками которого являются измеренные признаки объекта.
Алгоритм состоит в следующем.
1.	Для каждого столбца исходного массива строится пара гис-
тограмм. Одна гистограмма задает распределение соответствующе-
го признака для класса соь а другая — распределение для класса
(02-
2.	Для каждой пары гистограмм вычисляются величины
7(1:2; Z), 7(2:1; /), Du й D2l.
3.	Вычисляются аргументы Z\ и Z2 для определения уровня сред-
них потерь по формуле (5.4.15).
4.	Поочередным исследованием каждого из п признаков опреде-
ляется «наиболее ценная» подсистема из п—1 признака.
5.	Для оставшейся подсистемы признаков повторяется выполне-
ние шагов 3, 4 и 5 до тех пор, пока не останется искомая подсис-
тема.
Для реализации этого алгоритма, а также для преодоления
трудностей, возникающих при реализации процедур байесовской
классификации, был разработан комплекс алгол-программ, позво-
ляющих автоматизировать наиболее трудоемкие фрагменты вычис-
лений.
Все эти программы составлены, отлажены и проверены приме-
нительно к системе АЛГОЛ-БЭСМ-6 при решении задачи классифи-
кации качественных состояний одного типа прецизионных приборов
с числом контролируемых параметров около 140.
Конкретно задача была поставлена следующим Образом. Рас-
сматривалось серийное производство одного класса прецизионный
приборов. В процессе производства этих приборов и их приемо-сда-
точных испытаний каждый прибор контролировался по 136 пара-
166
метрам. Правило приемки заключалось в том, что каждый из при-
боров, все контролируемые параметры которого находились в поле
допуска, принимался в эксплуатацию. В том случае, когда один
или несколько параметров выходили из поля допусков контролиру-
емых параметров, соответствующий прибор браковался. Недоста-
точность такой организации приемки выражалась прежде всего в
том, что несмотря на сплошной жесткий контроль по большому
числу параметров, на этап эксплуатации «просачивался» довольно
значительный процент (от 10 до 15) некачественных приборов.
В рассматриваемом случае понятие («качество» отождествлялось с
понятием «точность». Это обусловлено тем, что подавляющее число
рекламаций на эти приборы с этапа эксплуатации предъявлялось
именно по недопустимому изменению точностных параметров. Ана-
лиз результатов эксплуатации большой партии приборов (до не-
скольких сотен) позволил разбить эти приборы на два класса <х>1
И (А>2-
Прибор л считался принадлежащим классу coi, если по резуль-
татам эксплуатации он был зарегистрирован как точный. Неточ-
ный (по результатам эксплуатации) прибор л причислялся классу
со2- По этим же результатам эксплуатации были оценены вероят-
ности классов Р(Ш1) и Р(со2). На этапе производства и приемо-сда-
точных испытаний каждому прибору л был поставлен в соответст-
вие вектор Лк = (%ь %2, ...,л\), координаты которого были значени-
ями измеренных контрольных параметров этого прибора. После
проверки гипотезы о независимости координат векторов хп все эти
векторы были разбиты на два подмножества:
Аг2 = {Хк/л^(п2}-
После этого строились оценки условных плотностей распределения
(гистограммы распределения контрольных параметров):
/ (Хк/л € «>1), f € <02)-
Две группы гистограмм для классов coi и о)2 являются «статистичес-
кими эталонами» классов сод и о)2-
После окончания построения гистограмм каждый вновь изготов-
ленный и проконтролированный прибор проверялся по условию
(5.4.12).
При выполнении этого условия прибор л классифицировался
как «потенциально точный» и пропускался на этап эксплуатации.
В противном случае прибор л классифицировался как «потенциаль-
но неточный» и : одерживался в производстве на пересборку или
регулировку.
Подключение к процедуре байесовской классификации комплек-
са вычислительных программ (программы Пр1, Пр2, ПрЗ, Пр4 и
Пр5 вместе с описанием их управляющих параметров и особеннос-
тей работы приведены в приложении) осуществляется следующим
образом.
Запись информации и обучение. На этом этапе каждому вновь
изготовленному прибору присваивается порядковый номер и ста-
167
внтся в соответствие вектор х, координаты которого образованы
значениями его контрольных параметров. Этот этап обслуживается
программой Пр1 (см. приложение), с помощью которой на магнит-
ную ленту вводится информация о значениях контрольных парамет-
ров одного или нескольких проконтролированных приборов.
По мере поступления результатов эксплуатации множество но-
меров записанных векторов (приборов) распадается на три под-
множества. Номера из 1-го подмножества соответствуют приборам
из класса соь Номера из 2-го подмножества соответствуют прибо-
рам из класса юг- Номера из 3-го подмножества соответствуют
приборам, которые не удалось пока причислить к классу <x>i
или со2-
Первичный анализ записанных параметров. На этом этапе мо-
жет быть проанализировано содержание накопленной и записанной
таблицы значений контрольных параметров. Этот этап обслужива-
ется программой Пр2 (см. приложение), которая позволяет постро-
ить гистограмму распределения одного или нескольких параметров
контроля по заранее взятой последовательности номеров приборов.
Например, с помощью этой программы можно построить гистограм-
мы распределения параметров х3 и х$ для первой сотни записан-
ных приборов.
Проверка различающей способности. На этом этапе, когда объ-
емы подмножеств, соответствующих классам coi и (о2, становятся
больше нескольких десятков, может быть включена программа ПрЗ
(см. приложение). С помощью этой программы вычисляется уро-
вень средних потерь процедуры байесовой классификации как функ-
ция накопленной информации. При достижении приемлемого уров-
ня средних потерь можно переходить к этапу классификации вновь
изготовленных и проконтролированных приборов.
Классификация. На этом этапе каждый вновь изготовленный
и проконтролированный прибор проверяется по критерию (5.4.12).
Программа Пр4 (см. приложение) позволяет по вектору хтс=(хь
х2, ...,хп) отнести вновь изготовленный прибор л к одному из клас-
сов (01 ИЛИ (02.
Минимизация числа контролируемых параметров. Такая задача
может возникнуть, если появится необходимость уменьшить число
контролируемых параметров, участвующих в процедуре классифи-
кации. Конечнр, это приведет, вообще говоря, к некоторому увели-
чению уровня средних потерь. Однако в ряде случаев некоторое
незначительное увеличение уровня средних потерь вполне компенси-
руется существенным упрощением вычислительного процесса. Упо-
рядочение параметров контроля по их ценности осуществляется с
помощью программы Пр5 (см. приложение 2). Алгоритм, положен-
ный в основу этой программы, рассмотрен выше.
Эффективность внедрения и эксплуатации автоматизированно-
го классификатора определяется следующими требования-
м и:
— система должна быть максимально проработана в части уст-
ранения слабейших звеньев, т. е. пропускные способности основных
168
этапов прохождения информации должны быть соизмеримы меж-
ду собой;
—	процесс внедрения и эксплуатации системы должен быть мак-
симально организационно и административно централизован; край-
не нежелательно, если внедрение системы осуществляется силами
нескольких подразделений, подчиненных различным руководи-
телям;
—	этапы прохождения информации, на которых человек-опера-
тор может серьезно повлиять на достоверность этой информации,
должны быть максимально сокращены или эффективно контроли-
руемы.
Таким образом, практическое решение задачи классификации
приборов конкретного типа позволяет сделать следующие выводы:
_ — применение предложенной процедуры распознавания сни-
жает в широком диапазоне условий уровень средних потерь в 4—
10 раз при учете имеющейся информации;
—	имеющаяся информация и результаты ее обработки застав-
ляют критически отнестись к постулируемому в условиях производ-
ства положению о том, что приборы с высокими точностными ха-
рактеристиками группируются в достаточно малой окрестности но-
миналов своих параметров. Такой постулат в ряде случаев оказыва-
ется не только неверным, но и вредным при оценке качества при-
боров;
—	разработанная программа упорядочения параметров по их
ценности позволяет отобрать для анализа наиболее ценные пара-
метры из числа всех имеющихся;
—	рассмотренная здесь модель классификации может лечь в
основу автоматизированной системы оценки и индивидуального
прогнозирования качества достаточно широкого класса приборов.
169
Приложение 1
Исследуем вопрос об эффективности использования оценок, соответствую-
щих максимальной ценности информации, получающейся в результате проведе-
ния испытаний и обработки их результатов (такую процедуру назовем Р-про-
цедурой). В качестве эталонов для сравнения используем «классические» оценки
максимального правдоподобия (К-процедура) и байесовские оценки, соответст-
вующие минимуму средних потерь (С-процедура).
Сравнение проводится на примере биномиальной схемы испытаний. Предпо-
лагается, что априорные сведения о значении параметра р биномиального рас-
пределения (р — вероятность успеха в одном испытании) задаются в форме сле-
дующего распределения:
То (Р) = («о + ?о + 1) С£+₽0Р‘° (1 - Р)Ро-
Априорные сведения в такой форме задания интерпретируются как инфор-
мация, выраженная в результатах «предварительных» (ао + (3о) испытаний с а<>
количеством успешных исходов. Это сделано для того, чтобы при использовании
байесовской процедуры объединения априорной и апостериорной информации
всегда можно было исходить из предположения о равномерном «самом априор-
ном» распределении параметра р на< отрезке [О, 1]. О форме задания потерь
будет сказано ниже в связи с каждой из трех сравниваемых процедур.
К-п роцедура. Пусть осуществлен эксперимент, состоящий из п испыта-
ний и т отказов. Данная процедура предполагает в качестве оценки р брать
- п — т
величину Pk =---------> т. е. по существу игнорирует априорную информацию
п
о параметре р и доверяет только эксперименту.
Потери от замены р его оценкой будем определять с помощью квадратич-
ной функции потерь (штрафов):
- _	/	п— /п\2
(р — РиУ2= р —-------- •
\ и /
При фиксированном условном значении р (истинное значение неизвестно и
задано лишь с помощью априорного распределения) значение штрафа, усред-
ненное по различным исходам, может быть вычислено по формуле
_	= У сг.^«	_ eV-Л.
п /	\ п	п
ГП=0
После этого осуществляется усреднение по различным значениям парамет-
ра р на основе его априорного распределения
1 1
< (р —	?0 rfP = (“о + ?о +1) С«о°+₽о~ ^а°+1 с1 — P)₽’+lrfP =
0 . ,Q
_______(ао + 1) (Ро + 1)____
п («о + ?о + 3) (ад + ро + 2)
В частности, для равномерного априорного распределения параметра р
формула для средних потерь имеет вид
С-п роцедура. Пусть снова п, т — результаты эксперимента. Оценка для
параметра р в С-процедуре получается из значения и, минимизирующего функ-
цию:
1
Я 2 (и, Р*) = — j ? {Р/Р*) In L (p/и) dp,
о
17 0
где L(p!u)—функция правдоподобия; р* =---------— «результат» эксперимен-
та
та; ср (р/р*) —апостериорная плотность распределения.
k
Для «целочисленных» значений н =— (#£[0,1], & = 0,1,... ,п)] выражение
п
для /?2 приобретает достаточно простой вид. Действительно, в этом случае
l щр*) = су (1 - рУ-*‘, т (р/р*) = (N +1) c^-ZfZ"jM<1 -
где N = п 4- <Zq 4- Ро; М = т 4-
После соответствующих преобразований получаем
{R2(k,p*) = -\nC*-k <lnp>-(n — k) <1п(1 — р)>.
Путем минимизации этого выражения по k получаем оценку Pc=k\]nt кото-
рая в конечном итоге является функцией лишь параметров ао, 0о, п> т (через
k\ обозначено минимизирующее значение k). Тогда1 штраф от замены параметра
р его оценкой рс с дальнейшим усреднением по всевозможным исходам можно
определить с помощью выражения
1
— "т)2/ dp'
о
P-процедура. Пусть и, т — результаты эксперимента. Оценка для р в
Р-процедуре получается из значения k, максимизирующего функцию {/?i (k) —
— $2(6)}. где Ri(k)—та же самая функция, что и ib С-процедуре, a Ri(k) оцреде-
1
-ляется в виде (k) = —In L (plk)^ (р) dp , где £ (pfe) = С\рк (1 — Р)п~*.
После соответствующих преобразований можно получить
Л1 (k) - R2 (k) = In C*+?e+₽# + In
и 4- Qp 4~ Po + 1
(“o + Po + DCSj+p,
+ k <lnp> 4-(n — k) <ln(l — p)>.
Максимизация этой разности no k дает оценку pp = k2!n (k2— максимизи-
рующее значение). Штраф от замены истинного- значения р его- оценкой рр вы-
числяется по формуле (р — РрУ = (р — ~, а дальнейшее усреднение
\ и /
штрафа по различным исходам эксперимента и по априорной плотности приво-
дит к выражению
1
<?о (Р)#А
Основные результаты. Сравнительный анализ трех приведенных про-
цедур проводился численным путем с использованием ЦВМ. В качестве входных
параметров для сравнения оценок задавались cio, Ро, п> tn. Результатом расчетов
являлось ожидаемое среднее значение штрафа от использования оценок
(л — rn)/nt ki]nt k^n.
Анализ результатов расчетов показывает, что P-процедура оказывается по
•крайней мере не ху^е классической процедуры даже в предположении лишь цело-
численности k2.
171
Доказательство теоремы 4.2.1.
Положим для сокращения записи Р(М = ро; P^ilx^) = pr, P(6z/I<1)^<2)) = p2.	(П.1>
Из постулатов 2, 3 и 4 следует, что функция F (ср, ф) должна удовлетворять
соотношению
F (Ро, Р2> = F (Po.Pi) + F (pi,p2).	(П.2)
Дифференцирование тождества (П.2) по pi дает ^(у,ф) 1	I (У.Ф) 1	_ 0 дч> k-pi	дф kePo	(П.
Написанное тождество справедливо для всех ро, Рь рг- В этих условиях 1-й
член в левой части не должен зависеть от рг, а 2-й член в левой части — от ро.
При <р=ф обе величины равны и противоположны по знаку. Из (П.З) следует, что
дР	дР = g^’ “лГ = f	= — /(+)• Of	Оф Таким образом,	F (f, ф) = G (f) — G (ф) 4- k. Из (П. 5) и (П. 2) следует, что k = 0. Итак,	F (f, ф) = G (f) — G (ф). Снова полагаем для кратности ?o = ^(0z(1). 41 = P(tf>jx™). Из постулата 5 следует, что р («Р; ер) = р (о(/>)-р (ер) = poqo; р(еР; ер/^п *(2)) = р(вр)р(1)).р <9рД(2)); I(«Р, ер; *(1)-х(2)) = р(poqo,Piqi)- Тогда	F(poqo, Piqi) = G (poqo) — G (р^). Из (П. 11) и (П. 6) следует 0 (/Wo) — G (/Wi) = G (Ро) + G (?о>— G (Pi) — G (01)- Дифференцируя (П.12) по р0, имеем dG I	dG I ——	qQ = 	 аУ П-<7оРо	П-Ро Дифференцируя (П.12) по qQ, имеем J ^1	• ll-tfopo	ay |7e<7o Сравнивая (ПЛЗ) и (П.14), обнаруживаем, что dG(p0) _ Pq dpQ Решая уравнение (ПЛ5), получаем G (?) = ^1 In f 4- ^2*	(П.4) (П.5> (П.6) (П.7) (П.8) (П.9) (П. 10) (П. 11> (П. 12) (П. 13> (П. 14> (П. 15> (П. 16)
Коэффициент k2 определяется исключительно выбором начальных условий и
может быть взят равным нулю. Таким образом, G (f) = ki In f.	(П. 17>
172
Присоединяя 1-й постулат, получаем
я -	, ГР(91/х) Р(в2) I (01 -* 02; х) = —Л11п 	. (Р^х) P(0i)	(П. 18>
Полагая &i<0 и используя (4.2.2), получаем окончательно	
I (01 - о2; х) -1^| in	, F (*/02)	
что и требовалось доказать.	
Доказательство теоремы 4.2.2.	
Из постулатов 2 и 3 следует основное рабочее тождество	
F (Pi-Pi) = Р (Pi) + Р(Рг),	(П. 19>
где	
Pi = P(x(1)/ez); P2 = P(x™/9i), PiP2 = р (Х(1)-x(2)/6z).	(П. 20>
Дифференцируя (П.19) по pi, получаем	
d	‘	d	
F (Y)It-p.₽j Pi s ^7 F Щ-р,-	(П.21>
Дифференцируя (П.20) по р2, получаем	
d	d dy F ^l-piPiP1 - dy F	(П. 22>
Сравнивая (П.21) и (П.22), получаем	
d	v k — F(y)=i—.	(П. 23).
dy .	у	
Отсюда	F (y) = k In у + ky	(П. 24>
С учетом постулата 4	
F (Y) = k In у = Ы In’—. Y	(П.25>
Присоединяя постулат 1, заключаем	
/ (01	02; x) — |Л) In p	.	(П. 26>
Доказательство теоремы 4.2.3.	
Из постулатов 1 и 2 следует	
F{PiP'n Р2Рг) = Р{Р1> Рг) + Р{р'1> Р2)'	(П.27>
p\ = P(x^lbi),	(П. 28}
p2 = P(x(l'4%2), Р’2 = Р (х(2)/б2)-	(П. 29}
Дифференцируя (П.27) по р/, имеем	
dF	, . _ dF_	
т-РГ	(П. 30}
Ф-Р2Р2	Ф-Р2	
Дифференцируя тождество (П.27) по р/', имеем	
dF t „ t _ dF_	
f-PiPi = dy	‘	(П. 31}
Ф-Р2Р2	Ф-Р2	
17&
Из (П.30) и (П.31) следует, что
, dF t _
<Р-Р1 = ду <Р-Р1
Ф-Р2	+-Р2
Из (11.32) следует, что
dF „ dF ki
<P	T“ = —•
dy	к ?
Интегрируя (П.ЗЗ), получаем
Cb Ф) = М» <р 4- а (ф) 4- ^2-
(П. 32)
(П. 33)
(П.34)
Проводя соответствующие дифференцирования тождества (П.27), получаем
утверждение, аналогичное (П.ЗЗ):
dF С_
дф	ф
(П. 35)
Дифференцируя (П.34) по ф и используя (П.35), получаем
Ci = *х(Ф)
ф dty
Интегрируя (П.36), получаем
а (ф) = Ci In ф 4- С2
Из (П.34) и (П.37) имеем
F (ср, ф) = kx Inf 4- Ci In ф 4- (/<2 + C2).
(П. 36)
(П.37)
(П.38)
Полагая в (П.38) (р=ф и используя постулат 3, получаем, что
/<24-С2 = 0; /<i4-Ci = 0: Ci= — Кх.	(П.39)
€ учетом (П.39) выражение (П.38) примет вид
F&, ф) = К11п-*-
Доказательство теоремы 4.2.7.
Обозначим для кратности
Ef(-fi) I (91 -*«I + :д5; ~Х) = / (61:01 + Д0).
Нам уже известно, что
/ (в1:81 + Д6) = - J / (х/80 Д In / (x/0z) dx,
хп
где
(П.40)
(П.41)
(П.42)
А/ WOj) = f (х/614-Дб)—/ (x/0z), Д In f (x/0z) = log f (x /0j + Д0) — log f (x/Oj);
(П.43)
/ (0b 0! + Д0) = \ (/ (x/0r) - f (x/01 + Д0)) In /,-^^dx =
j	/(*/014-Д0)
xn
= f (*/01)	A In f (x/Oj) dx.	(П.44)
xn
Предположим, что функция f(x/0i) удовлетворяет следующим условиям:
1) для всех х частные производные
din/	02 f	03 in/
ddt ’ <?0zd0m’ <)0zd0md0„	(Г145)
существуют по всем /, m, n=l,...,k в каждой точке 0'= (0/,...,6/) невырож-
денного интервала Д— (0<, 0 1+Д0);
174
2) для У 0'еД
Ml |	[00/00^1	I Mm Mn
<H(x)
(П.46>
для всех /, m, n=l,...,k. G(x),F(x) иН(х) интегрируемы по всему пространству
X**
J f (*/01) H(x)dx < М < 4- оо;
3) для всех I, т = 1,..., k
(* df _ с d*f
i dOz dX ’ J d0Zd0OT
xn	*n
(П.46}
(П.47>
Разлагая в ряд Тейлора по 0, получаем
к	к
in f (x/9i + д91) - in / (х/91) = V ^2- д9/ + -L v	де, деот+
о9[	2	» <70{ а9т
1-1	1,т—1
VI <ЭЗ In fW) кл
2i «,»»<;•. д,,4‘"д’"'
l,m,n—1
9' = 91 + Ш, |q<i.
[(П.48>
Кроме того,
din/
d0z
Подставляя в (П.42)
получаем
df d2tnf _ 1 d2f	1 df df
d«i ’ dbtd6m ~ f dt>idf)m~ f2 d9t d6m
выражение (П.48), после несложных преобразований
(П.49>
/(61:91 + Д8) =
С / d2f
J \dezdeOT
Хп
к
_ a9,HbX
^-1 хп	I, /П-1
k
V дб/дещдблх
df df
d8i d9m
1
1
к
Г 7 d*f
X J Л
*n
, в'=0! 4-ШеЛ(6ьв1 + Д«).	(П.50>
Учитывая в (П.50) условия регулярности и пренебрегая членами выше вто-
рого порядка, получаем
к
7(9i:ei + Ae)=^-V	(П.51>
1,т—1
где	ti,rn=\ /W6i)(v7r) (“7	<n-52>
J \ f Ml / \ f J
хп
т. е. Ф=||(р/, mil — положительно определенная информационная матрица Фишера.
17S
Доказательство соответствующего результата для /(0 i, 014-ДО) осуществля-
ется аналогично.
Доказательство теоремы 4.4.1.
Лемма 1. Ранг г матрицы А системы линейных неоднородных уравнений
п
=	(П.53)
*-о
ъгожет быть вычислен по формуле
r(A) = min(m, л) 4-1.	(П.54)
Доказательство. Пусть т<л. В основной матрице А рассмотрим минор
порядка т 4-1, стоящий слева. Обозначим его М.
А4 =	1 ... 0 1 ..	1 . m	=	— 1)1...21 > 0.	(П.55)
	0 1..	. mm		
Таким образом, г(А)=Л14-1.
Аналогичным образом происходит рассмотрение случаев т=п и лг>и. Для
этих случаев получаем
г(Д) = т 4-1= л+ 1 (т = л):|
г (Л) = л 4-1	(/и > л). J
Доказательство теоремы.
Достаточность. Пусть лг>л. Тогда из леммы 1 следует, что
г (Л) = п +1.	(П.57)
При этом г(Л*)=л4-2.
В силу критерия Кронекера — Капелли система несовместна; формальных ре-
шений нет и, следовательно, проблема поставлена не корректно даже формально.
Необходимость. Пусть проблема поставлена формально некорректно. Тогда не
существует решений у системы (П.53) и в силу теоремы Кронекера — Капелли
г(Л)^г(Л*).	(П.58)
Из леммы 1 следует, что г (Л) = min (л, /л) 4- 1	(П.59)
и, следовательно, при лг^л г (Л) = пг -4-1.	(П.60)
С другой стороны, г (Л*) > г (Л) = «4-1: max г(Лф) < m 4- 1.	(П.61)
Таким образом, во всех случаях /л^л г (Л) = г (Л*).	(П.62)
Следовательно, система может оказаться несовместной только	при т>л. Для
несовместности необходимо, чтобы г (Л*) > л + 1,	(П.63)
с другой стороны, max г (Л*) = л 4- 2.	(П.64)
Следовательно, г (Л*) = л 4- 2.	(П.65)
Доказательство теоремы 4.4.2.
Достаточность. Пусть г(Л*) =min(m, п) 4-1.
176
Из леммы следует, что
г(Л) = ш;п(/п, л) 4-1.'	(П.66>
Следовательно, система совместна по критерию Кронекера — Капелли.
Необходимость. Из того, что проблема поставлена формально корректно, сле-
дует, что
г (Л*) = г (Л).	(П.67}
По лемме 1	
г (Л) = min (т, п) 4- 1.	(П.68)
Отсюда следует, что	
г(Л*) = min(m, п)4-1.	(И. 69}
Доказательство теоремы 4.4.3.
В случае пг^п формальное решение, если оно существует, представимо в виде
(правило Крамера)
_ Wjtyi)
Pl	W—о = °.........•	<п-70>
После этого остается проверить р} на условия
О	(П.71}
Эти условия равносильны условиям
0 <	(v/) < W.	(П.72>
Доказательство теоремы 4.4.4.
Доказательство этой теоремы требует вспомогательных построений.
а) Построим вектор нормали от начала координат до гиперплоскости Г фор-
мальных решений:
Г=|(Ро.....=	=	т)1.	(П.73>
Координаты искомой нормали являются решением системы уравнений
dF
-г- = о О = о......п),
др,
(П.74)
(1.-0
где I — единичная матрица; рт = (ро,....Рп); Ар,—множители Лагранжа;
п
^ = 5 ^Pl — V (р. = 0.....т).
Z-0
Решение системы (П.74) представимо в виде
Р0=-А-ЛХ,	(П.75>
7	Лв||г7С = о’’.'.’’ mV
X — вектор-столбец множителей Лагранжа.
Неопределенные множители Лагранжа определяются из условий
v = BP0,	(П.76}
। .. fi = 0,..., т \
ги	s-|i/||G_o........„)
177
Подставим (П.75) в (П.76):
v«=-yB^T.	(П.77)
Пользуясь тем, что ВА — невырожденная квадратная матрица, получаем
для X
Г=2(ВЛ)-1^.	(П.78)
Подставляя (П.78) в (П.75), получаем
Р0 = Л	(П.79)
б) Гиперплоскость формальных решений Г может быть задана теперь усло-
вием
Г={р:(Ро-7)=|ро12}-	(П.80)
Отметим попутно,	что из (П.79) следует
1Л|2= ^[(ВЛ)-1]^	(П.81)
Введем в рассмотрение два непересекаюшихся множества
Г(+)= {р:	(ро-р) > |р0|2); г(_)=	{р:(лгР) < 1р0|2}.	(П.82)
В рассмотрение вводится гиперкуб Kn+i
Ка+1={р-.0<Рь<1 (fe = 0.......л)}.	(П.83)
Если { ej} о — стандартный базис, т. е.
W
е$ = (0,..., 1»..., 0), (Л = 0,..., п),	(П. 84)
то любая точка гиперкуба Kn+i может быть представлена в виде линейной ком-
бинации
> =	(П.85)
*-0
Введем в рассмотрение линейный функционал
Ср-?о), РЬКп+1-
Гиперкуб Kn+i — замкнутое ограниченное множество и .следовательно, непре-
рывный линейный функционал (Р' Ро) достигает на Kn+i своего максимального
и минимального значения (предложение Вейерштраоса).
Лемма 2 (о максимальном значении функционала).
max Ср А) = А • Е (^о)).	(П. 86)
PG Кп+1
Доказательство:
(Р-Ло) = 2 й(¥**)> k = О............п.	(П. 87)
й-0
Для того чтобы максимизировать правую часть (П.87), необходимо взять ръ.
равным единице, если (Р0-£л) Если (Ро-ел)<О, то pk надо взять равным ну-
лю. Таким образом, сформированный вектор обозначим (Е-Ро). Лемма доказана.
Доказательство теоремы.
Необходимость. Пусть существует хотя бы одно корректное решение, т. е.
г П ^л+1^0*	(П.88
178
Покажем, что
	(?o-B(Po))>lAl2-	(П.89)
Допустим, что	(Ро.£(Ло))<|£о12	(П. 90)
и рассмотрим точку Pi	Р\ 6Г.Р1 6 Ка+1.	(П.91)
Тогда в силу Р^Г	(Po-Pi) = |Pol2.	(П. 92)
а в силу леммы 2		
(Ро-Ах	Лах (P0.p) = (P0.g(P0))<|P0|2.	(П. 93)
Р G Кп+1
Условия (П.92) и (П.93) дают противоречие относительно допущения (П.90).
Достаточность. Пусть выполнено условие теоремы 4.4.4, т. е.
(f>0-E (Л))>*т [(ВЛ)-1 ]т ЛТЛ (ВЛ)-1 v = |?о|2.	(П. 94)
Покажем, что в этом случае ОеП-), т. е. нулевой вектор содержится во мно-
жестве
Действительно,
(РоО) =О<|Ро|2, так как нулевой вектор не содержится среди формальных ре-
шений.
Пусть Pi — точка Kn+i, в которой функционал (Ро * Р) достигает своего мак-
симального значения, т. е.
(Ро-?1) = (Ро-^(А))-	(П. 95>
Следовательно,
Р16Г< + >.	(П. 96)
Рассмотрим отрезок [0, Pi] Kn+i. Принадлежность отрезка гиперкубу следу-
ет из выпуклости Kn+i. Далее отрезок может быть представлен в виде
[б,	=	0<Х<1.	(П.97)
Понятно, что
(?0-хА) = Х(Р0-^(^о)).	(П.98)
Выберем для % значение Хс такое, что
0<Х0 = . ,	<1.	(П.99)
(Р0-£(Р0))
Для точки ХоР1 имеем
(Ро-\А) = (?о.1^0|(2^о)) <? Ъ (А)) = |?о!2»	(П. 100)
т. е. bBjG=r.
Таким образом, доказано, что пересечение множеств Г и Kn+i не является
пустым.
179
Приложение 2
В данном приложении приведены программы ПрО—Пр7 на языке АЛГОЛ-60
(версия АЛГОЛ-БЭСМ-6), реализующие методы исследования надежности, изло-
женные в гл. 2—5. В пояснениях к каждой программе рассмотрены: назначение,
входные и выходные параметры, особенности использования.
Программа ПрО
1°. Программа ПрО предназначен а для отыскания оптимального распределения
затрат в рамках ПОН в соответствии с методами, излагаемыми во второй главе.
2°. Основу программы составляет процедура unimin поиска минимума функ-
ционала f по параметрам х в диапазоне (х min, х max) при ограничениях fi с
исходной точкой fisx, с абсолютной погрешностью пе более dx, относительной по-
грешностью eps, размерностью результата п.
3°. В программе используются следующие вспомогательные процедуры функ-
ции:
sum (i, m, n, a) — для суммирования элементов at по i от т до п\ garant (nt,
т, tgm) —реализует соотношение (2.4.18);
rost (г 1, с 1, с 11, d 1) и tsor (х, х 1, с 1, а 1) —для вычисления зависи-
мостей Ri — f(a) и d = 4(Ri) в соответствии с (2.4.15);
cmin(x), cminim (х) —для вычисления затрат на всю программу для выбран-
ных значений вектора х, причем первая для JVTp^8, а вторая — для VTp^8.
4°. При решении задачи с учётом подтверждения надежности используются
два варианта процедуры-функции podgam 1 и podgam 2, реализующие точный и
приближенный алгоритмы в соответствии с соотношениями (2.4.23) и (2.4.23а)
соответственно.
5°. В процедуре-функции podgam 1 использована стандартная программа чис-
ленного интегрирования функции f по х от а до с с погрешностью eps, оформлен-
ная в виде процедуры-функции simpsonf (х, a, b, f, eps).
6°. В процедуре-функции podgam 2 использована стандартная программа вы-
числения функции нормального распределения gauss (х).
BEGIN INTEGER NT, NG, NR, NR1, NV:
REAL CS, TGM, GAMMA, DELTA;
REAL ARRAY R, Rl, R2, C, Cl, C2, EPS, DR, A[1 : 2];
REAL PROCEDURE SUM (I, M, N, A);
VALUE M, N, REAL A; INTEGER I, M, N;
BEGIN REAL S;
S: =0,
FOR I : =M STEP 1 UNTIL N DO S : =S+A;
SUM : =S
END SUM;
REAL PROCEDURE GARANT (NT, R, TGM);
VALUE NT, R, TGM; INTEGER NT;
REAL R, TGM;
GARANT : = (NT—TGMXSQRT((NT—TGMxSQRT(NTxR(l—R)))
X(l—R)))/R;
REAL PROCEDURE ROST (Rl, Cl, Cl 1, Al);
VALUE Rl, Cl, CH, Al; REAL Rl, Cl, Cl 1, Al;
ROST: = 1—(1—R1)XEXP(—A1X(C1—CH));
REAL PROCEDURE TSOR(X, XI, Cl, Al);
VALUE X. XI, Cl, Al; REAL X, XI, Cl, Al;
TSOR: =A1XLN((1—X1)/(1-X))+C1;
BOOLEAN PROCEDURE Fl;
Fl : — TRUE;
PROCEDURE UNIMIN (F) ОГРАНИЧЕНИЯ: (Fl) ИСХОДНОЕ
ЗНАЧЕНИЕ F: (FISX) РЕЗУЛЬТАТ: (X) НИЖНЯЯ ГРАНИЦА:
(XMIN) ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА: (ХМАХ)
АБСОЛЮТНАЯ ТОЧНОСТЬ X: (DX) ОТНОСИТЕЛЬНАЯ
ТОЧНОСТЬ: (EPS) РАЗМЕРНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА: (N);
VALUE N, FISX, DX, EPS, XMIN, XMAX; INTEGER N;
REAL FISX; ARRAY X, XMIN, XMAX, DX, EPS; REAL
180
PROCEDURE F; BOOLEAN PROCEDURE FI;
BEGIN INTEGER I, J; REAL FMIN, FMINI; ARRAY
XI, DELTA [1 : N];
FMINI : = FISX;
Ml : FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
BEGIN DELTA[J]: = (XMAX[J]—XMIN[J]/4;
X[J]: =XMIN[J]—DELTA[J]; END;
I : =0;
М2: 1 : =1 + 1;
М3 : FOR X[I]: = X[I]+DELTA[I] WHILE X[I]
<XMAX[I] DO
BEGIN IF I = N THEN BEGIN IF FI THEN
BEGIN
FMIN : = F(X); IF FMIN<FMINI THEN BEGIN
FMINI : =FMIN; FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N
DO XI[J]: =X[J],
END END END ELSE GOTO М2;
END;
X[I]: =XMIN[I]—DELTA[I]; I : =1—1; IF I>0
THEN GOTO М3;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
IF (DELTA[J]/X1[J]>EPS[JJ) V (DELTA[J]>
DX[J] THEN GOTO M4; GOTO M5;
M4 : FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N-DO
BEGIN
IF (X1[J]—DELTA[J])> XMIN[J] THEN XMIN
[J]: =X1[J]—DELTA [J];
IF (X1[J]+DELTA[J])<XMAX[J] THEN XMAX
[J]: = X1[J]+DELTA[J];
END;
GOTO Ml;
M5 : FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO X[J]: =X1[J];
END UNIMIN;
REAL PROCEDURE CMIN(X);
VALUE X; ARRAY X;
BEGIN FOR NR: = 5, NR+1 WHILE
(TSOR(X[1], Rl[l], Cl[l], Afl])+TSOR(X[2],
Rl[2], Cl[2], A[2]))X(NR+
GARANT (NT, X[1]XX[2]XROST (0.6, NR, 5.0,
1.0	), TGM))<CS DO BEGIN
CMIN : =CS(TSOR(X[1], Rl[l], Cl[ll, A[l]) +
TROS(X[2], Rl[2], Cl[2], A[2]))X(NR +
GARANT(NT, X[1]XX[2]X ROST (0.6, NR, 5.0,
1.0	), TGM)); NR1: = NR END;
END CMIN ;
REAL PROCEDURE CMINIM(X); VALUE X, ARRAY X;
BEGIN INTEGER I, J; ARRAY PP, PI[1 : NT+1],
P[1 : NT+1,1 : NT+1];
INTEGER K;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL NT + 1 DO BEGIN
PI[I]: =PP[I]: =0;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL NT+J1 DO P[I, J]: =0 END;
PI[1]: =P[NT+1, NT+l]: = 1.0;
FOR NR : =5, NR+1 WHILE
PP[NT+1]<GAMMA DO
BEGIN
FOR I: = l STEP 1 UNTIL NT DO
BEGIN
P[I, I]: =1— X[1]XX[2]XROST(0.6, NR, 5.0, 1.0);
P(I, 1 + 1]: =X[1]XX[2]XROST(0.6, NR, 5.0, 1.0);
181
END;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL NT+1 DO
PP[I]: =SUM(K, I, NT+1, PI[K]XP[K, I]);
FOR I: = l STEP 1 UNTIL NT + 1 DO
PI[I]: =PP[I];
NR1 : = NR;
CMINIM: = (TSOR(X[1], Rl[l], Cl[l], A[l]) +
TSOR(X[2], Rl[2], Cl[2], A[2]))XNR1;
END;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL NT+1 DO PP{I]: =
PI[I]: =0
PI[1]: =1;
END CMINIM;
START 1:
Rl[l]: =Rl[2i]: =0Ц8; R2[l]: = R2[2]: =il—10—5; A[l]: =
1; A[2]: =2; NV: =0;
EPS(1]: =EPS[2] : =DR[1]: =DR[2]: =ю—3;
MARG (4. 120, 4, 4, 60, 5, 1);
TGM : = — 1.65; GAMMA: =0.95;
BEGIN NV: =NV+<1;
OUTPUT (‘X’);
OUTPUT (*T, ‘ВАРИАНТ’, ‘Z—2Д’, NV, ‘2/’);
OUTPUT (‘T’, ‘ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ’, ‘2/’);
OUTPUT (‘T’, ‘РЕШЕНИЕ’, ‘/’); •
OUTPUT (‘T’, ‘NT NR NG Rl R2 R3 R Cl C2 C
CS СУД’, ‘2/’);
FOR NT : = 1 STEP 1 UNTIL 4, 6, 8 DO
BEGIN
UNIMIN (CMINIM, FI, CMINIM (Rl), R, Rl, R2,
DR, EPS, 2);
OUTPUT ‘Z—4Д.4Д’, NT, NR1, R[l], R[2], ROST
(0.6, NR1, 5.0, 1.0), R[1]XR[2]XROST (0.6,
NR1, 5.0, 1.0), TSOR(R[1], Rl[l], Cl[l],
A[l]), TSOR(R[2], Rl[2], Cl[2], A[2]),
(TSOR(R[1], Rl[l], Cl[il], A[1])+TSOR(R[2],
Rl[2], Cl[2], A[2])), CMINIM(R), CMINIM(R)/NT, ‘2/’);
END;
FOR NT. = 8 STEP NT UNTIL 5100 DO
BEGIN
UNIMIN (CMIN, FI, CMIN(Rl), R, Rl, R2, DR,
EPS, 2);
OUTPUT(‘Z—4D.4D’, NT, NR1, GARANT(NT, R[l]
XR[2]XROST(0.6, NR1, 5.0, 1.0), TGM), R[l],
R[2], ROST(0.6, NR1, 5.0, 1.0), R[1]XR[2]X
ROST(0.6, NR1, 5.0, 1.0), TSOR(R[1], Rl[l],
Cl[l], A[tl]), TSOR (R[2], Rl[2], Cl[2], A[2])
,(TSOR(R[1], Rl[l], Cl[l], A[1])+TSOR(R
[2], Rl[2], Cl[2], A[2])), CMIN(R), CMIN(R)/NT, ‘2/’);
END;
END ВАРИАНТ;
TGM; = —2.33; GAMMA: = 0.99;
FOR Cl[l]: =1.0, 1.6, 3.0 DO
FOR C 1(2]: =0.5, 0.8, 1.0 DO
BEGIN NV: =NV+1;
OUTPUT(‘X’);
OUTPUT (‘T’, ‘ВАРИАНТ’, ‘Z—2D’, NV, ‘2/’);
OUTPUT(‘T’, ‘ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ’, ‘2/’);
OUTPUT(‘T’, ‘TGM = ’, ‘Z’, TGM, ‘T’, ‘Rl[l]=’, ‘Z’,
Rl[l], ‘T’, ‘Cl[l]=’, ‘Z’, Cl[l], ‘T’, ‘Rl[2]=’,
182
4Z’, Rl[2], T, ‘Cl[2]=’, ‘Z’, Cl[2], T, ‘ОТРА-
БОТКА И ЭКСПЛУАТАЦИЯ РАЗДЕЛЕНЫ’, ‘2/’);
OUTPUT (‘Т, ‘РЕШЕНИЕ’, ‘/’);
OUTPUT(T, ‘NT NR NG R1 R2 R3 R Cl C2 C CS
СУД’, ‘2/’);
FOR NT : =8 STEP NT UNTIL 5100 DO
BEGIN
UNIMIN (CMIN, FI, CMIN(Rl), R, Rl, R2, DR,
EPS,2);
OUTPUT (‘Z—4D.4D’, NT, NR1, GARANT(NT, R[l]
XR[2]X ROST (0.6, NR1, 5.0, 1.0), TGM), R[l],
R{2], ROST(0.6, NR1, 5.0, 1.0), RI1]XR[2]X
ROST(0.6, NR1, 5.0, 1.0), TSOR(R[1], Rl[l],
Cl[l], A[l]), TSOR(R[2], Rl[2], Cl[2], A{2]
), (TSOR(R[1J, Rl[l], Cl[l], A[1])+TSOR
(R[2], Rl[2], Cl[2], A[2])), САДТ\(Р), CMIN
(R)/NT, ‘2/’);
END;
END ВАРИАНТ;
END
REAL PROCEDURE PODGAM1 (N, UAPR, RPOD);
VALUE N, RAPR, RPOD; INTEGER N; REAL RAPR, RPOD;
BEGIN INTEGER J, K; REAL X, Y, Z;
REAL PROCEDURE PROISV(X, N);
VALUE N, X: INTEGER N; REAL X;
BEGIN REAL Y; Y : = 1; IF 1 THEN Y : =XfN;
PROISV: =Y
END;
X: = PROISV(RAPR, N);
Y : =X; Z : =XxSIMPSONF(RI OD, 1, Y, PROISV (Y, N), io—8);
FOR К : -1 STEP 1 UNTIL ND)
BEGIN
X : =XX <N-K+ 1)/KX (1—RAPR)/RAPRX (N—K+'l)/K;
Z : =Z +
XXSIMPSONF(RPOD, 1, Y, PROISV(Y, N—K) XPROISV(1—Y,
PODGAM: =(N+1)XZ;
END PODGAM;
REAL PROCEDURE PODGAM2 (N, RAPR, RPOD);
VALUE N, RAPR, RPOD; INTEGER N; REAL RAPR, RPOD;
BEGIN PODGAM: = GAUSS (SQRT(N/RAPR/(1—RAPR)) X (RAPR-
RPOD));
END PODGAM
Программа Пр1
1°. Программа Пр1 предназначена для записи на внешнее запоминающее уст-
ройство (на магнитную ленту) информации о значениях контрольных параметров
классифицируемых объектов (приборов).
2°. Значения контрольных параметров задаются в виде элементов некоторой
прямоугольной матрицы. При этом имеется в виду, что вводимая часть матрицы
задается номером первой (вводимой) строки, номером последней (вводимой) стро-
ки и элементами этих строк.
3°. С точки зрения технической постановки задачи программа Пр1 использу-
ется всякий раз, когда возникает необходимость записать на ленту информацию о
значениях контрольных параметров вновь изготовленных и проконтролированных
объектов (приборов).
4°. Входом в программу Пр1 являются следующие параметры программы:
п— количество контрольных параметров;
kl—номер первой (из вводимых) строки — порядковый номер пер-
вого из партии вновь изготовленных и проконтролированных
приборов;
183
к2— номер последней (из вводимых) строки — порядковый номер.
’	последнего из партии вновь изготовленных и проконтролирован-
ных приборов;
кЗ—максимально возможное количество строк, вводимых на маг-
нитную ленту: обычно достаточно большое целое число. После
задания этого параметра при первом обращении к программе
Пр1 при всех последующих обращениях его значение следует
сохранять;
к4— математический номер направления, на которое поставлена ин-
дивидуальная магнитная лента;
к5— математический номер магнитофона, на который поставлена
индивидуальная магнитная лента;
a[kl : k2, 1 : n]—двумерный массив, строки которого являются последователь-
ностью значений контрольных параметров.
5°. Пунктиром в тексте программы Пр1 отмечены ес технологические фраг-
менты, которые использовались при отладке программы. При практической ра-
боте с этой программой технологические фрагменты из текста изымаются. Вмес-
то технологического фрагмента 3 записывается оператор in put (а); назначение
этого оператора — ввод с перфокарт содержимого массива а.
6°. С перфокарт вводятся и значения параметров n, kl, k2, кЗ, к4, к5 — опе-
ратор input (n, kl, к2, кЗ, к4, к5). Значения вводимых с перфокарт величин дол-
жны образовывать следующую последовательность: n; kl; к2; кЗ; к4; кб; а..
BEGIN INTEGER J, N, Kl, K2, КЗ, K4, K5; INTEGER XSTART;
REAL S*
INPUT(N, Kl, K2, КЗ, K4, K5);
BEGIN INTEGER I; ARRAY A[K1 : K2, 1 : N];
REAL PROCEDURE NORMRAND (M, SIGMA);
VALUE M, SIGMA; REAL M, SIGMA;
BEGIN INTEGER I; REAL SUM;
REAL PROCEDURE OMEGA;/*
OMEGA : =2XSQRT(3/5) XUNIFORM—SQRT(3/5);
SUM : =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 5 DO SUM : =SUM+
OMEGA;
NORMRAND : =M+ (SUM4-0.01 X (SUMXSUMXSUM—3X
SUM))XSIGMA;
END NORMRAND;
REAL PROCEDURE UNIFORM;
BEGIN OWN REAL XX; INTEGER R, С, M;
C: =2|13—3; M: =2|27;
IF XSTART=0 THEN XX: =XSTART/M;
XX : = XXXC; XX : =XX—ENTIER(XX); UNIFORM : =
END UNIFORM;
PROCEDURE ЗАПИСЬ (А, В, C, D, E, F, G);
ARRAY A; INTEGER В, C, D, E, F, G;
BEGIN ARRAY МЛ(1 : C—B-f-l]; INTEGER I, K,
FOR I: = l STEP 1 UNTIL C-B-H DO
МЛ[1]: =A[B—1+1, D]; К : = (D—1) XE-f-B— 1;
WRITE(МЛ, F, G, ENTIER(K/1024), K—1024X
ENTIER(K/1024))
END ЗАПИСЬ;
XSTART: =1; S : = UNIFORM;
XSTART '__Q-
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 60 DO
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL. N DO A[I, J]: =NORMRAND
(0, 1);
FOR 1 : =61 STEP 1 UNTIL 100 DO
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO A[I, J]: = NORMRAND
(2, 1);
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
184
ЗАПИСЬ (A, KI, К2, J, КЗ, К4, К5)
END;
END
Программа Пр2
1°. Программа Пр2 предназначена для первичного анализа записанных на
магнитную ленту значений контрольных параметров объектов (приборов).
2°. Программа Пр2 осуществляет следующие операции:
—	из ранее записанной на магнитную ленту матрицы извлекается указанная
последовательность столбцов (каждый столбец такой матрицы соответствует
некоторому контрольному параметру);
—	для каждого извлеченного столбца извлекается некоторая подпоследова-
тельность его значений;
— для каждого извлеченного столбца по извлеченной из него подпоследо-
вательности значений строится гистограмма распределения, вычисляются среднее
арифметическое и среднее квадратическое значения.
3°. Входом в программу Пр2 являются следующие параметры:
nl — объем выборки (длина извлекаемой из столбца подпоследовательнос-
ти значений);
п2 — количество вызываемых для анализа контрольных параметров (ко-
личество столбцов матрицы);
kl — фактическое количество строк, записанных на магнитную ленту;
к2 — максимально возможное количество строк записанной па магнитную
ленту матрицы; этот параметр совпадает по смыслу и по величине
с параметром кЗ в программе Пр1;
кЗ — математический номер направления, на которое поставлена индиви-
дуальная лента с записанной матрицей;
к4 — математический номер магнитофона, на который поставлена индиви-
дуальная лента с записанной матрицей;
ql[l : nl] — массив, элементами которого являются номера столбцов, извлекае-
мых для анализа;
q2[l : п2] — массив, элементами которого являются номера элементов подпоследо-
вательности (номера строк — приборов), значения которых подлежат
анализу.
4°. Выходом этой программы является распечатанная на АЦПУ информа-
ция, оформленная следующим образом:
Б	CD
Б [1,1] Б [2* 1] Б [3,1) С [1] D [1]
Б [1, N2] Б [2, N2] Б [3, N2] С [N2] D [N2]
э
Э [1,1] Э [2,1]..............Э[12,1]
Э [1,N2] Э [2, N2]..............Э	[12, N2].
Здесь Б[1, /]— минимальное значение /-го контрольного^ параметра; Б[2, /] —
максимальное значение /-го контрольного параметра; Б[3, /]—размер разряда
гистограммы распределения /-го параметра; С[/] — значение среднего арифмети-
ческого /-го контрольного параметра; [/] — значение среднего квадратичного /-го
контрольного параметра; Э|7, /] — частость, соответствующая t-му разряду гис-
тограммы /-го контрольного параметра.
5°. При практической работе с программой Пр2 технологический фрагмент,
очерченный в тексте программы пунктиром, изымается с заменой на оператор
input (ql, q2). Этот оператор вводит с перфокарт в МОЗУ содержимое масси-
вов ql и q2.
6°. С перфокарт в МОЗУ вводятся и параметры nl, n2, kl, k2, кЗ, к4, к5.
Значения вводимых с перфокарт величин должны образовывать следующую
последовательность: nl, п2, kl, к2, кЗ, к4, к5.
7	2239	185
BEGIN INTEGER M, I, J, Nl, N2, KI, K2, КЗ, K4;
INPUT (Nl, N2, KI, K2, КЗ, K4);
BEGIN INTEGER ARRAY Ql[l : Nl], Q2[l : N2];
PROCEDURE СЧИТЫВАНИЕ (А, В, C, D, E, F);
ARRAY A; INTEGER В, C, D, E, F;
BEGIN ARRAY МЛ[1 : В]; INTEGER I, K;
K: =(C—1)XD;
READ (МЛ, E, F, ENTIER(K/1024),
K—1024XENTIER(K/1024));
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL В DO A[I]: =МЛ[1]
END СЧИТЫВАНИЯ;
PROCEDURE MAXMIN (А, В, C, D, E);
INTEGER A, B; REAL D, E; ARRAY C;
BEGIN INTEGER J;
FOR J: = A STEP 1 UNTIL В DO
IF C[J]<D THEN D : =C[J] ELSE
IF C[J]>E THEN E: =C[J]
END MAXMIN;
PROCEDURE FILTR (А, В, C, D);
COMMENT ПРОЦЕДУРА ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ A
ОБРАЗУЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ D ДЛИНЫ С С
НОМЕРАМИ, ОБРАЗУЮЩИМИ МАССИВ В;
INTEGER С; ARRAY A, D; INTEGER ARRAY В;
BEGIN INTEGER J;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL C DO D[J]: = A[B[J]]
END FILTR;
REAL PROCEDURE S(A, В, C, D);
COMMENT ПРОЦЕДУРА ПОЗВОЛЯЕТ ВЫЧИСЛИТЬ
ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНЕГО АРИФМЕТИЧЕСКОГО И СРЕДНЕГО
КВАДРАТИЧНОГО;
INTEGER В, D; REAL С; ARRAY А;
BEGIN INTEGER J; REAL SI;
SI : =0;
FOR J: = l STEP 1 UNTIL В DO
SI : =S1 + (1/B)X(A[J]—C)fD; S : =S1
END S;
ARRAY A[ili: KI], B[1 : Nl], C, D[1 : N2], Б[1 : 3, 1 : N2],
<9[1 : 12, 1 : N2];
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL Nl DO Q 1[I]: =1;
FOR 1 : =1 STEP 1 UNTIL N2 DO Q2[I]: =1;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N2 DO
BEGIN
СЧИТЫВАНИЕ (A, KI, Q2[J], K2, КЗ, K4);
OUTPUT (T, ‘A’, ‘Z’, A,
FILTR (A, QI, Nl, B); C[J]: = S(B, Nl, 0, 1);
D[J]: = SQRT(S(B, Nl, C[J], 2));
Б[1, J]: =Б[2, J]: =B[1];
MAXMIN(2, Nl, В, Б[1, J], Б[2, J]);
Б[3, J]: = (Б[2, J]—Б[1, J])/12;
FOR I: = 1 STEP 1 UNTIL 12 DO Э[1, J]: =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
M : =ENTIER((B[I]—B[l, J])/B[3, J]) 4-1;
IFM>12THENM: =12;
Э[М, J]: =Э[М, J]+ 1/N1
END;
END,
OUTPUT (‘26В’, ‘Г, ‘Б’, ‘35B’, ‘Г, ‘C’, ‘17B\ T\
186
•D’, ‘2/’)
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N2 DO
OUTPUTfZ’, Б[1, J], Б[2, J], Б[3, J], C[J], D[J],
output (•/’, т, ‘э\ 7’);
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N2 DO
BEGIN
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL 12 DO OUTPUT (‘E’,
Э[1, J]);
output (7’);
END;
output (7’);
END
END
Программа ПрЗ
1°. Программа ПрЗ предназначена для оценки уровня средних потерь, кото-
рый имел бы место в случае применения процедуры байесовской классификации
с применением уже накопленной статистики результатов эксплуатации.
2°. Программа ПрЗ позволяет вычислить значение переменного коэффициен-
та k в выражении для уровня средних потерь. Значение этого коэффициента k
определяется по формуле
k = Ф (Zj) — е*1” (1 — Ф (z2)),
где Иа — пороговое количество информации,
п	п
Яп-2/(1:2,0	Ип+2^(2:1, О
Ф(г) =
3°. Входом в программу ПрЗ являются следующие параметры:
п — количество контрольных параметров;
nl—количество записанных на магнитную ленту объектов (приборов),
отнесенных по результатам эксплуатации к классу ©г,
п2 — количество записанных на магнитную ленту объектов (приборов),
отнесенных по результатам эксплуатации к классу со2;
h — пороговое количество различающей информации;
kl—общее количество записанных на магнитную ленту строк-приборов;
к2 — максимально возможное количество строк записанной на магнит-
ную ленту матрицы; по смыслу и по значению этот параметр совпа-
дает с параметром к2 программы Пр2 и кЗ программы Пр1;
кЗ — математический номер направления, на котором установлена инди-
видуальная магнитная лента;
к4 — математический номер магнитофона, на котором установлена ин-
дивидуальная магнитная лента;
erf[0 : 40] — одномерный массив, получающийся табулированием функцир
х _*2
2 d\ от х » 0 до х » 4 с шагом Д = 0,1;
о*
ql[l : N1] — массив, элементами которого являются номера приборов из класса
©Г,
q2[l : N2] — массив, элементами которого являются номера приборов из класса
©2.
187
4°. Выходом программы является напечатанное на АЦПУ значение перемен-
ного коэффициента к.
5°. При практической работе с программой ПрЗ технологический фрагмент,
очерченный в тексте программы пунктиром, изымается с заменой его на опера-
тор input (ql, q2). Этот оператор вводит с перфокарт в МОЗУ содержимое мас-
сивов ql и q2.
6°. С перфокарт в МОЗУ вводятся и параметры n, nl, п2, kl, k2, k3, к4, h
и erf. Порядок ввода задается следующей последовательностью: erf, n, nl, п2,
kl, к2, кЗ, к4, ql,q2.
BEGIN INTEGER I, J, M, N, Nl, N2, Kl, K2, КЗ, K4, LI, L2;
REAL К, H, W, Yl, Y2, Y3, Y4, И1, И2, DI, D2, XI, X2;
ARRAY ERF[0 : 40], SI, S2[l : 12], Ф[1 : 2];
PROCEDURE СЧИТЫВАНИЕ (А, В, C, D, E, F);
ARRAY A; INTEGER В, C, D, E, F;
BEGIN ARRAY МЛ[1 : В]; INTEGER I, K;
K: =(C— 1)XD;
READ (МЛ, E, F, ENTIER (K/1024),
K—1024XENTIER (K/1024));
FOR I : =il STEP 1 UNTIL В DO A[I]: =МЛ[1]
END СЧИТЫВАНИЯ;
PROCEDURE MAXMIN (А, В, C, D, E);
INTEGER A, B; REAL D, E; ARRAY C;
BEGIN INTEGER J;
FOR J : = A STEP 1 UNTIL В DO
IF C[J]<D THEN D : = C[J] ELSE
IF C[J]>E THEN E : =C[J]
END MAXMIN;
PROCEDURE FILTR (А, В. C, D);
COMMENT ПРОЦЕДУРА ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ A
ОБРАЗУЕТ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ D ДЛИНЫ С
С НОМЕРАМИ, ОБРАЗУЮЩИМИ МАССИВ В;
INTEGER С; ARRAY A, D; INTEGER ARRAY В;
BEGIN INTEGER J;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL C DO D[J]: = A[B[J]]
END FILTR;
INPUT (N, Nl, N2, Kl, K2, КЗ, K4, H);
INPUT (ERF);
BEGIN INTEGER ARRAY Ql[l : Nl], Q2[l : N2];
ARRAY A[1 : Kl], В 1[1 : Nl], B2[l : N2], Б[ 1 :3,1 : N],
Э1, Э2[1 : 12, 1 : N];
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 60 DO Q1[I]: =1;
FOR I : =61 STEP 1 UNTIL 100 DO Q2[I]: =1;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
BEGIN
СЧИТЫВАНИЕ (A, Kl, J, K2, КЗ, K4);
FILTR(A, Ql, Nl, Bl); FILTR(A, Q2, N2, B2);
Б[1, J]: = Б[2, J]: =B1[1];
MAXMIN(2, Nl, Bl, Б[1, J], Б[2, J]);
MAXMIN(1, N2, B2, Б[1, J], Б[2, J]);
Б[3, J]: =(Б[2, J]—Б[1, J])/12;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
Э1[1, J]: =Э2[1, J]: = 0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
M: =ENTIER((B1[I]—Б[1, J])/B[3, J])4-1;
IF M>12 THEN M : =12;
91[M, J]: =Э1[М, J]+ 1/N1
END;
FOR 1 : =1 STEP 1 UNTIL N2 DO
188
BEGIN
M: = ENTIER( (В2[Ц—Б[1, J])/Б[3, J]) 4-1;
IF M>12 THEN M: =12;
Э2[М, J]: = Э2[М, J]+l/N2
END;
END;
Y1 : =Y2 : =Y3 : =Y4 : = 0;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
BEGIN M : =0; И1 : = И2 : = D1 : = D2 : =0;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
IF ЭЦ1, J]=#0A Э2[1, J]#=0 THEN
BEGIN M: =M+1; SJ[M]: =Э1[1, J];
S2[M]: = Э2[1, J]
END;
XI • =X2 •__Q-
FOR 1 : =1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN XI : =X1 + S1[I]; X2 : =X2+S2[I] END;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN
W : LN (S 1[I]XX2/(S2[I]XX1));
И1 : =H1+WXS,1[I]/X1; И2: =H&-WXS'2[I]/X2
END;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN
W: = LN(S1[I]XX2/(S2[I]XX1));
DI : = D1 +(W—И1) |2XS1[I]/X1;
D2 : =D2+ (W—И2) t2xS2[I]/X2
Y1 : =Y1+H1; Y2 : = Y2 + H2;
Y3 : = Y3 + D1; Y4 : = Y4+D2
END;
XI : = (H—Y1)/SQRT(Y3);
X2: =(A+Y2)/SQRT(Y4);
L2: =0;
FOR W : =X1, X2 DO
BEGIN L2: = L2 + 1;
IF W<0 THEN
BEGIN LI : = ENTIER(—WX10);
Ф[Ь2]: =0.5—ERF[LI]—(ERFJL1 + 1]—ERF[L1])
X (—WX10-L1)
END ELSE
BEGIN LI : =ENTIER(WX10);
O[L2]: =O.5+ERF[L1]+(ERF[L1 + 1]
—ERF[LI]) X (WX 10—LI)
END;
END;
К: =Ф[1]+ЕХР(Н) X (1—Ф[2]);
OUTPUT (T, ‘К’, ‘Z\ К, ‘2/’);
END
END
Программа Пр4
1°. Программа Пр4 предназначена непосредственно для классификации
вновь изготовленных объектов (приборов) по результатам измерения их конт-
рольных параметров и сравнения доставляемого этими параметрами количества
различающей информации с пороговым количеством информации.
2°. Программа Пр4 реализует байесовское решающее правило (5.4.12).
3°. Входом в программу являются параметры:
kl—количество записанных строк матрицы (количество записанных
на магнитную ленту строк-приборов);
к2— максимально возможное количество строк записываемой на
магнитную ленту матрицы (см. k2 программы ПрЗ);
189
кЗ—математический номер направления, на которое поставлена ин-
дивидуальная магнитная лента с записанной матрицей;
к4—математический номер магнитофона, на который поставлена
индивидуальная МЛ с записанной матрицей;
nl — количество объектов (приборов) из класса ей;
п2— количество объектов (приборов) из класса со2;
пЗ— количество объектов, предъявленных к классификации;
pl и р2—пороговые значения различающей информации;
п— количество контрольных параметров;
D[1 : пЗ,	1 : п]— массив, строки которого образованы значениями контрольных
параметров приборов, предъявленных к классификации.
4°. В формулировке решающего правила (5.4.12) участвует одно значение
порогового количества информации Яп, а в программе Пр4 таких значений два
pl и р2:
р1<Яп<р2.
Наличие двух порогов предусмотрено для уменьшения ошибок первого и второ-
го рода (быть может, за счет увеличения случаев «неопознания» приборов). Для
реализации решающего правила в виде (5.4J12) достаточно взять р1 = р2=Яп-
5°. Выходом программы Пр4. является система текстовых комментариев.
Для пояснения смысла некоторых из них обратимся к виду решающего пра-
вила:
«г = 2 Z(l:2,
i-1
где
/(1:2, Z) = In
f [xiM
f(*i№ *
Дополнительно введем в рассмотрение величину Di — минимальный диапазон,,
из которого не выходило ни одно из значений для всех представителей из
классов со* и (02-
В процессе классификации могут возникнуть следующие ситуации:
д Zo 6 (1» 2„.., п)/х/0 <В £>/0 — .Прибор не опознан, параметр вышел за границу
гистограммы*;
а 1о е (1, 2и.n)/xi0 е Dto, / {хф$ = / (х^) = о
—	«Прибор не опознан из-за неполноты информации»;
а'обО. 2..... Л)/Х,ое	£>/0,/(Х/0/о>1) = О, /(xZo/a>2)¥=O
—	«Прибор является потенциально неточным»;
а «о6 (1, 2,-.zi)/xZo 6 Di0, f	/ (xZq/<02) = О
— «Прибор является потенциально точным»; w^pl— «Прибор является потен-
циально неточным»; w^p2 — «Прибор является потенциально точным»; pl^
^w<p2 — «Прибор не опознан».
6°. При практической работе с программой Пр4 технологические фрагменты,,
очерченные в тексте пунктиром, изымаются. Вместо технологического фрагмен-
та 3 в текст программы следует вписать операторы input (ql, q2, q3) и input (d).
Эти операторы вводят в МОЗУ с перфокарт содержимое массивов ql, q2, q3, d.
Порядок ввода с помощью операторов input следующий: pl, р2, n, nl, п2, пЗ₽
kl, k2, k4, ql, q2, q3, d.
BEGIN INTEGER I, J, M, N, Nl, N2, N3, Kl, K2, КЗ, K4, LI, L2;
REAL W, Pl, P2; INTEGER XSTART; REAL S;
REAL PROCEDURE NORMRAND(M, SIGMA);
VALUE M, SIGMA; REAL M, SIGMA;
BEGIN INTEGER I; REAL SUM;
REAL PROCEDURE OMEGA;
OMEGA: =2xSQRT(3/5) XUNIFORM—SQRT(3/5);
190
SUM : =0;
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL 5 DO SUM : =SUM+
OMEGA;
NORMRAND : =M+(SUM 4-0.01 X (SUMXSUMXSUM—3X
SUM))XSIGMA;
END NORMRAND;
REAL PROCEDURE UNIFORM;
BEGIN OWN REAL XX; INTEGER R, С, M;
C: =2113—3; M: =2127;
IF XSTART #=0 THEN XX : =XSTART/M;
XX : =ХХхС; XX : = XX—ENTIER (XX); UNIFORM : =
XX
END UNIFORM;
PROCEDURE СЧИТЫВАНИЕ (А, В, C, D, E, F);
ARRAY A; INTEGER В, C, D, E, F;
BEGIN ARRAY МЛ[1 : В], INTEGER I, K;
K: =(C— 1)XD;
READ(MJI, E, F, ENTIER(K/1024),
К— Ю24Х ENTIER (K/1024));
FOR I: = 1 STEP 1 UNTIL В DO A[I]: =МЛ[1]
END СЧИТЫВАНИЯ
PROCEDURE MAXMIN (А, В, C, D, E);
INTEGER A, B; REAL D, E; ARRAY C;
BEGIN INTEGER J;
FOR J : = A STEP 1 UNTIL В DO
IF C[J]<D THEN D : =C[J] ELSE
IF C[J]>E THEN E: =C[J]
END MAXMIN;
PROCEDURE FILTR(А, В, C, D);
COMMENT ПРОЦЕДУРА ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ A
ОБРАЗУЕТ ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ D ДЛИНЫ С
С НОМЕРАМИ, ОБРАЗУЮЩИМИ МАССИВ В;
INTEGER С; ARRAY A, D; INTEGER ARRAY В;
BEGIN INTEGER J;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL C DO D[J]: =A[B[J]]
END FILTR;
XSTART : =1; S : =UNIFORM;
XSTART : =0; INPUT (Pl, P2);
INPUT(N, Nl, N2, N3, Kl, K2, КЗ, K4);
BEGIN INTEGER ARRAY Ql[l : Nl], Q2[l : N2], Q3[l : N3];
ARRAY A[1 : Kl], В 1[1 : Nl], B2[l : N2], Б[1 : 3, 1 : N],
Э1, Э2[1 : 12,, 1 : N], D[1 : N3, 1 : N];
FOR I: = 1 STEP 1 UNTIL 60 DO Q1[I]: =1;
FOR I : =61 STEP 1 UNTIL 100 DO Q2[I]: =1;
FOR I : =101 STEP 1 UNTIL 140 DO Q3[I] : =1;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N DO
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL 30 DO
D[J, I]: = NORMRAND (0, 1);
FOR J : =31 STEP 1 UNTIL 40 DO
D[J, I]: = NORMRAND (2, 1);
END;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
BEGIN
СЧИТЫВАНИЕ (A, Kl, J, K2, КЗ, K4);
FILTR(A, Ql, Nl, Bl); FILTR(A, Q2, N2, B2);
Б[1, J]: =Б[2, J]: =B1[1];
MAXMIN(2, Nl, Bl, Б[1, J], Б[2, J]);
MAXMIN(1, N2, B2, Б[1, J], Б[2, J]);
Б[3, J]: = (Б[2, J]—Б[1, J])/12;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
191
Э1[1, J]: = Э2[1, J]: =0;
FOR 1 : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
M: = ENTIER((Bl[Ij—Б[1, J])/B[3, J]) 4-1;
IF M>12 THEN M: =12;
Э1[М, J]: = Э1[М, J]+1/N1
END;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N2 DO
BEGIN
M : = ENTIER ((B2[I]~Б[1, J]) /Б[3, J]) + l;
IF M>12 THEN M: =12;
Э2[М, J]: = Э2[М, J]+ 1/N2
END;
END ФОРМИРОВАНИЯ ГИСТОГРАММ
COMMENT
ПРИ НАЛИЧИИ ВВОДА INPUT (D) ПОСЛЕДНИЙ
ОПЕРАТОР ЦИКЛА ИСКЛЮЧАЕТСЯ ИЗ ПРОГРАММЫ;
FOR I :=l STEP 1 UNTIL N3 DO
BEGIN W : =0; LI : =L2 : =0;
OUTPUT (‘Z—8Д.1ЮВ’, Q3[I]);
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO
BEGIN
M : = ENTIER((D[I, J]—Б[1, J]) /Б[3, J]) + l;
IF M>12 VM<1 THEN
BEGIN
OUTPUT(‘T’, ‘ ПРИБОР HE ОПОЗНАН, ПАРА-
МЕТР ВЫШЕЛ ЗА ГРАНИЦУ ГИСТОГРАММЫ, 7);
GO ТО МЕТКА
END;
IF Э1[М, J]=0 THEN LI : =1 ELSE
IF Э2[М, J]=0 THEN L2 : =1 ELSE
W : =W+LN(31[M, J]/32[M, J])
END ПОЛ;
OUTPUT (‘T’, ‘W’, ‘Z’, W);
IF L1 = 1A L2=l THEN
BEGIN
OUTPUT(T, ‘ ПРИБОР HE ОПОЗНАН ИЗ-ЗА
НЕПОЛНОТЫ ИНФОРМАЦИИ’,
GO ТО МЕТКА
END;
IF Ll = l THEN
BEGIN
OUTPUT(T, ‘ ПРИБОР ЯВЛЯЕТСЯ ПОТЕНЦИ-
АЛЬНО НЕТОЧНЫМ’,
GO ТО МЕТКА
END;
IF L2= 1 THEN
BEGIN
OUTPUT(‘T’, ‘ ПРИБОР ЯВЛЯЕТСЯ ПОТЕНЦИ-
АЛЬНО ТОЧНЫМ’, 7’);
GO ТО МЕТКА
END;
IF W<P1 THEN
BEGIN
OUTPUT(‘T’, ‘ ПРИБОР ЯВЛЯЕТСЯ ПОТЕНЦИ-
АЛЬНО НЕТОЧНЫМ ИЗ-ЗА W<P1’, 7’);
GO ТО МЕТКА
END;
IF W>P2 THEN
BEGIN
OUTPUT(‘T’, ‘ ПРИБОР ЯВЛЯЕТСЯ ПОТЕНЦИ-
АЛЬНО ТОЧНЫМ, W>P2\ 7’):
192
GO TO МЕТКА
END;
OUTPUT(T, ‘ ПРИБОР HE ОПОЗНАН, ТАК КАК
P1<W<P2’,
МЕТКА;
END ПО1;
END;
END
Программа Пр5
1°. Программа Пр5 предназначена для упорядочения контрольных парамет-
ров по «ценности», т. е. по тому вкладу, который они вносят в величину пере-
менного коэффициента в выражении для уровня средних потерь.
2°. С вычислительной точки зрения назначение программы Пр5 состоит в
том, чтобы среди всех подмножеств, состоящих из П номеров контрольных па-
раметров, найти такое подмножество, элементы которого образуют номера «ма-
лоценных» параметров. Выбрасывание из рассмотрения (из процедуры байесов-
ской классификации) именно этих П контрольных параметров хотя и повышает
уровень средних потерь, но повышает на самую доступно малую величину: вы-
брасывание любой другой комбинации было бы менее предпочтительным. Оцен-
ка вклада каждого из контрольных параметров осуществляется с помощью ана-
лиза переменного коэффициента k в выражении для уровня средних потерь:
Л = Ф(г-!) — еИ"(1 — Ф(г2)),
ИП-^Г(1:2, :)	//„ + 27(2:1, /)
где	zi =------'-1	----; z2 =-----f~‘	---
/ n	/ n
1/ S DU	1/ 2
V Z-l	* l-l
— 00
Здесь аргументы Zi и z2 сами являются функциями числа контрольных парамет-
ров и их «ценностного» веса.
3°. Входом в программу Пр5 являются следующие параметры:
п— максимальное количество контрольных параметров у классифицируе-
мых объектов (приборов);
n 1 т—количество объектов (приборов) из класса <о±;
п2— количество объектов (приборов) из класса со2;
kl—накопленное на магнитной ленте количество строк матрицы;
к2— максимально возможное количество строк в записанной на МЛ матрице;
кЗ— математический номер направления, на которое поставлена индиви-
дуальная МЛ с записанной матрицей;
к4— математический номер магнитофона, на который поставлена индиви-
дуальная МЛ с записанной матрицей;
ql[l : nlj—массив, элементы которого образованы номерами приборов из класса
со г,
q2[l : п2]—массив, элементы которого образованы номерами объектов ( приборов)
из класса со2;
П— количество «выбрасываемых» параметров;
р — пороговое количество информации;
erf[O : 40] — массив, получаемый табулированием функции:
1 Х? --
\ е 2 d\
/2л J
о
при изменении х от 0 до 4 с шагом 0,1.
193
4°. Выходом этой программы является распечатанная на АЦПУ информа-
ция, оформленная следующим образом:
г [1,0] г [2,0] г [3,0]
г [1,1] г [2,1] г [3,1]
г [1,П] г[2,П] г [3, П].
Здесь г[1, /]=/ — количество «выброшенных» контрольных параметров; г[2, /]—*
номера «выбрасываемых» контрольных параметров; г[3, /]— значение переменно*
го коэффициента в выражении для уровня средних потерь. В данном случае
г[3, /] выступает как функция от числа и веса выброшенных параметров конт-
роля.
5°. При практической работе с программой Пр5 технологический фрагмент,
очерченный в тексте программы пунктиром, изымается с заменой на оператор
input (ql, q2); этот оператор вводит в МОЗУ содержимое массивов ql и q2 с
перфокарт. В программе несколько раз используется оператор ввода с перфо-
карт— input. Порядок ввода следующий: и, nl, n2, kl, k2, кЗ, к4, П, р, erf,
ql, q2.
BEGIN INTEGER I, J, M, N, Nl, N2, Kl, K2, КЗ, K4, Ml, М2, П;
REAL P; Z; ARRAY ERF[0 : 40];
PROCEDURE СЧИТЫВАНИЕ (А, В, C, D, E, F);
ARRAY A; INTEGER В, C, D, E, F;
BEGIN ARRAY МЛ[1 : В], INTEGER I, K;
K: =(C—1)XD;
READ(MJI, E, F, ENTIER(K/1024),
K—1024XENTIER (K/1024));
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL В DO A[I]: =МЛ[1]
END СЧИТЫВАНИЯ;
PROCEDURE MAXMIN(A, В, C, D, E);
INTEGER A, B; REAL D, E; ARRAY C;
BEGIN INTEGER J;
FOR J : =A STEP 1 UNTIL В DO
IF C[J]<D THEN D : =C[J] ELSE
IF C[J]>E THEN E : =C[J]
END MAXMIN;
PROCEDURE FILTR(A, В, C, D);
COMMENT ПРОЦЕДУРА ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ A
ОБРАЗУЕТ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ D ДЛИНЫ С
С НОМЕРАМИ, ОБРАЗУЮЩИМИ МАССИВ В;
INTEGER С; ARRAY A, D; INTEGER ARRAY В;
BEGIN INTEGER J;
£OR J : = 1 STEP 1 UNTIL C DO D[J]: = A[B[J]]
END FILTR;
REAL PROCEDURE K(A1, A2, Q, N, N3, H, D);
INTEGER N, N3;
REAL H; ARRAY Al, A2, D; INTEGER ARRAY Q;
BEGIN INTEGER I, J, M, LI, L2;
REAL W, И1, И2, DI, D2, XI, X2, Yl, Y2, Y3, Y4;
ARRAY SI, S2[l : 12], Ф[1 :2];
Yl : =Y2: =Y3: =Y4 : =0;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N3 DO
BEGIN M : =0; И1 : =И2 : =D1 : =D2 : =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
IF A1[I, Q[J]]=#=O A A2[I, Q[J]]=/=0 THEN
BEGIN M: =M+1; S1[M]: =A1[I, Q[J]];
S2[M]: =A2[I, Q[J]]
194
END;
XI  =X2 • _Q-
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN XI : = X1 + S1[I]; X2 : =X2+S2[I] END;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN
W: = LN(S1[I]XX2/(S2[I]XX1));
И1 : =M1+WXS1[I]/X1; И2:: =И2—WXS2[I]/X2
END;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN
W: =LN(S1[I]XX2/(S2[I]XX1));
DI : =D1 + (W—Hl)f2XSl[I]/Xl;
D2 : =D2,+ (W+H2) - 2XS2[I]/X2
END;
Y1 : =Y1 + H1; Y2 : =Y2+H2;
Y3: =Y3+D1; Y4 : = Y4 + D2
END;
XI : = (H—Y1)/SQRT(Y3);
X2 : =(H+Y2)/SQRT(Y4);
L2 : =0;
FOR W: = X1, X2 DO
BEGIN L2: =L2+1;
IF W<0 THEN
BEGIN LI : = ENTIER(—Wx 10);
<D[L2]: =0.5—E>[L1]— (D[L14-1]—D[L1J) X (—WX10—LI)
END ELSE
BEGIN LI : =ENTIER(Wx 10);
<D[L2]: =O.5 + D[L1]+(D[L1 + 1]—D[Ll])X (WX10—LI)
END;
END;
К: =Ф[1]+ЕХР(Н)Х(1-Ф[2])
END K;
INPUT (N, Nl, N2, KL K2, КЗ, K4, П, P);
INPUT(ERF);
BEGIN INTEGER ARRAY Ql[l : Nl], Q2[l : N2], C, D [1 : N];
ARRAY A[ 1 : Kl], В 1[1 : Nl]. B2[l : N2], B[1 :3, 1 : N], R
[1 : 3, 0 : П], B[1 : N], Э1, Э2[ 1 : 12, 1 : Nj;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL 60 DO Q1[I]: =1;
FOR I : =61 STEP 1 UNTIL 100 DO Q2[I]: =1;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
BEGIN
СЧИТЫВАНИЕ (A, KL J, K2, K4);
FILTR(A, Ql, Nl, Bl); FILTR(A, Q2, N2, B2);
B[l, J]: =B[2, J]: =B1[1];
MAXMIN(2, Nl, Bl, Б[1, J], B[2, J]);
MAXMIN(1, N2, B2, b[l, J], B[2, J]);
B[3, J]: = (B[2, J]—Б[1, Л)/12;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
Э1[1, J]: =Э2[1, J]: =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
M: =ENTIER((B1[I]—B[l, J])/B[3, J])4-1;
IF M>12 THEN M : =12;
Э1[М, J]: =Э1[М, J]+1/N1
END;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N2 DO
BEGIN
M : =ENTIER((B2[I]—B[l, J])/Б[3, J]) 4-1;
IFM>12 THEN M: =12;
195
Э2[М, J]: =Э2[М, JJ+1/N2
END;
END ФОРМИРОВАНИЯ ГИСТОГРАММ;
R[l, 0]: =R[2, 0]: =0;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO B[J]: =J;
R{3, 0]: =К(Э1, Э2, В, N, N, P, ERF);
FOR M : = 1 STEP 1 UNTIL П DO
BEGIN R[l, MJ: =M; Z: =10;
М2 : =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N—M+l DO
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N—M DO
C[J]: =IF J>I THEN B[J—1 + 1] ELSE
B[N—(M—1) (I—J)4-l];
IF KOI, Э2, C, N, N—M, P, ERF)<Z THEN
BEGIN
Z : =К(Э1, Э2, C, N, N—M, P, ERF);
М2 : =M2+il; Ml : = C[N—(M—1)]
END
END;
R[2, M]: =M1; R[3, M]: =Z;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N—M DO
B[J]: =IF J>M2 THEN B[J—M2+1] ELSE
B[N—(M—1)—(М2—J) +1]
END;
OUTPUT (‘T, ‘R’, 7’);
FOR I : =0 STEP 1 UNTIL П DO
END
END
OUTPUT (‘Z—6Д.6В’, Rfl, I], ‘Z’, R[2, I], R[3, I],
7’);
Программа Прб
1°. Программа Прб предназначена для выполнения эпиоптимальных иссле-
дований с помощью специальной алгол-процедуры analis. Направление и со-
держание такого рода исследований изложены в гл. 3.
2°. Список формальных параметров процедуры analis приведен и проком-
ментирован в разд. 3.5. Программа Прб предназначена по существу для задания
фактических параметров процедуре analis. Выходные параметры процедуры
analis и характер выводимой на печать информации о результатах эпиоптималь-
ного исследования перечислены и прокомментированы в разд. 3.5.
3°. Текст программы Прб конкретизирован в том смысле, что в него вложе-
ны конкретные тела процедур ika и algo. В приведенном случае, когда иссле-
дование проводилось на примере задачи максимизации надежности при наличии
линейных ограничений на суммарные массу и стоимость, процедура ika (i, х, а)
предназначена (в зависимости от значения t=0, 1, 2) для вычисления значения
надежности всей системы, массы и стоимости всей системы соответственно, а
процедура algo (а, х, у) предназначена для нахождения оптимального способа
резервирования х, величины оптимума у при значениях параметров а целевого
и ограничивающих функционалов.
4°. Параметры вложенных процедур (ika и algo) должны быть согласованы
с глобальными управляющими переменными т, л и к шах программы Прб:
для процедуры ika (i, х, а):
i = 0,1,2,.. .,т;
х[1 : п] — целочисленный массив,
а[1 : ктах];
для процедуры algo (а, х, у):
а [0: mt 1: ктах], а [0: т, 1 : ктах],
х[1 : п] — целочисленный массив.
196
BEGIN INTEGER I, J, K; INTEGER ARRAY DIM [0 :2];
ARRAY GR[O: 2, 1 : 4, 1 : 2], WER[0 : 2, 1 : 4, 1 : 12],
RES2, RES3[0 : 2, 1 : 4], RES4[1 : 150, 1 : 6], SAP[1 : 2],
RES 1 [1 : 7], RES5[0 : 12], RES6[1 : 12];
REAL PROCEDURE IKA(I, X, A);
INTEGER I; ARRAY X, A;
BEGIN INTEGER J; REAL S; SWITCH P : =0, 1, 2;
GOTO P[I + 1];
0: S : =1;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL 4 DO
S : =SX (1—(1—A[J]) t X[J]);
IKA: = S;
GOTO FIN;
1	: S : =0;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL 4 DO S : = S + A[J]XX[J];
IKA: = S;
GOTO FIN;
2	: S : = 0;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL 4 DO S : = S + A[J]XX[J];
IKA : = S;
GOTO FIN;
FIN : END IKA;
PROCEDURE ALGO (A, X, Y) ;
ARRAY A, X, REAL Y;
BEGIN INTEGER I, J, REAL S; ARRAY Cl[l : 2];
ARRAY R[1 : 4]; ARRAY C2[l : 4, 1 : 2];
ARRAY ER, EPS[1 : 2];
PROCEDURE KETTEL(K, M, Cl, C2, R, EPSQ, EPS, E, ER, P);
INTEGER К, M; REAL EPSQ, P;
ARRAY Cl, C2, R, EPS, ER; INTEGER ARRAY E;
BEGIN INTEGER I, J, L; REAL М2, М3,
ARRAY Q[1 : K], G[ 1 : M];
INTEGER ARRAY S[1 : K], H[1 : K];
REAL PROCEDURE MAX(A, B);
INTEGER A; ARRAY B;
BEGIN INTEGER I; REAL S;
S: =B[1];
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL A DO
IF S<B[I] THEN S : = B[I];
MAX: = S
END MAX;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL К DO
BEGIN Q[I]: = 1—R[I]; S[I]: = 1 END;
DI : I : =0;
D2: I : =1 + 1; S[I]: = S[I] +1;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN М2 : =0;
FOR L : =1 STEP 1 UNTIL К DO
М2: =M2+S[L]XC2[L, J];
IF M2>C1[J] THEN GOTO D3
END;
IF I = K THEN GOTO DI ELSE
GOTO D2;
D3: S[I]: =S[I]— 1; М2: =1;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL К DO
М2: =M2X(1—Q[I]tS[I]);
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL К DO S[I]: =0;
I : =0;
D4 : I: =1 + 1;
D5: S[I]: =S[I]+1;
IF 1—Q[I]t S[I]<M2 THEN GOTO D5;
197
IF I = K THEN GOTO D6 ELSE
GOTO D4;
D6: FOR I : = 1 STEP 1 UNTIL К DO
BEGIN
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
G[J]: = C1[J]/C2[I, J];
H[I]: = ENTIER(MAX(M, G))
END;
BEGIN ARRAY NC[1 : K, 1 :200];
INTEGER JI, Ml, Hl;
FOR Hl : = S[1] STEP 1 UNTIL H[l] DO
NC[1, Hl—S[l]4-1]: =H1;
JI : = 2; Ml : =H[1]—S[l]+1;
D7: BEGIN
ARRAY QCH[1 : Ml], CCH[1 : M, 1 : Ml],
QRH[1 : H[J 1]], CRH[1 : M, 1 : H[J1]];
INTEGER X, Y, Pl;
INTEGER ARRAY TE[ 1 : H[J1], 1 : Ml], TNC[1 : K,
1 :M1];
FOR Hl : =1 STEP 1 UNTIL Ml DO
BEGIN М2 : =0;
FOR I : = 1 STEP 1 UNTIL JI—1 DO
М2 : =M2+Q[I]t NC[I, Hl]; QCH[H1]: =M2
END;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
FOR Hl : = 1 STEP -1 UNTIL Ml DO
BEGIN М2: =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL JI—1 DO
М2 : =M2+NC[I, H1]XC2[I, J];
CCH[J, Hl]: =M2
END;
FOR Hl : = 1 STEP 1 UNTIL H [JI] DO
QRH[H1]: =Q[Jl]f(Hl+S[Jl]-l);
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL M DO
FOR Hl : =1 STEP 1 UNTIL H[J1] DO
CRH[J, Hl]: = (Hl+ S[J1]—1) XC2[J1, J];
I : =0;
D8: I: =1 + 1; J: =0;
D9: J: = J + 1; TE[I, J]: =0;
FOR Hl : =1 STEP 1 UNTIL M DO
IF CRH[H1, I]+CCH[H1, J]>C1[H1] THEN
TE[I, J]: =1;
IF J<M1 THEN GOTO D9;
IF I<H[J1] THEN GOTO D8;
I : =0;
D10: I : =1 + 1; J: =0;
Dll : J : =J+1;
IF TE[I, J]=0 THEN GOTO D12 ELSE
GOTO D13;
D13 : IF J = M1 THEN GOTO D14 ELSE
GOTO Dll;
D14 : IF I = H[J1] THEN GOTO D21 ELSE
GOTO D10;
D12: X: =0;
D15: X: =X+1; Y: =0;
D16: Y: =Y+1;
IF I=XA J=Y THEN GOTO D17 ELSE
GOTO D19;
D17: IF Y=M1 THEN GOTO D18 ELSE
GOTO D16;
D18: IF X=H[J1] THEN GOTO D13 ELSE
198
GOTO D15;
D19:
IF -ABS (QRH[I]+QCH[J]—QRH[X]—QCH[Y]) <EPSQ
THEN GOTO D20 ELSE
GOTO D17;
D20: FOR Hl : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
IF ABS(CRH[H1, I]+CCH[H1, J]—CRH[H1, X]
—CCH[H1, Y])>EPS[H1] THEN GOTO D17;
TE[X, Y]: =1;
GOTO D17;
D21 : I : =0;
D22: I : =1 + 1; J: =0;
D23: J: =J+1;
IF TE[I, J] = 0 THEN GOTO D24 ELSE
GOTO D25;
D25: IF J=M1 THEN GOTO D26 ELSE
GOTO D23;
D26 : IF I = H[J1] THEN GOTO D34 ELSE
GOTO D22;
D24: X: =0;
D27: X : =X+1; Y: =0;
D28: Y: =Y+1;
IF I=X A J = Y THEN GOTO D29 ELSE
GOTO D31;
D29: IF Y=M1 THEN GOTO D30 ELSE
GOTO D28;
D30 : IF X = H[J1] THEN GOTO D25 ELSE
GOTO D27;
D31 : IF TE[X, Y]=0 THEN GOTO D32 ELSE
GOTO D29;
D32: IF (QRH[X]+QCH[Y]—QRH[I]-QCH[J])>0
THEN GOTO D33 ELSE
GOTO D29;
D33 : FOR Hl : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
IF (CRH[H1, X]+CCH[H1, Y]—CRH[H1,
I]—CCH[H1, JI]) CO THEN GOTO D29;
TE[X, Y]: =1;
GOTO D29;
D34 : FOR I : = 1 STEP 1 UNTIL JI—1 DO
FOR Hl : =1 STEP 1 UNTIL Ml DO
TNC[I, Hl]: =NC[I, Hl];
Pl : =0; X: =0;
D35: X: =X+1; Y: =0;
D36: Y: =Y+1;
IF TE[X, Y]=0 THEN GOTO D37 ESLE
GOTO D38;
D37: Pl : =P1 + 1;
FOR I : = 1 STEP 1 UNTIL JI—1 DO
NC[I, Pl]: =TNC[I, Y];
NC[J1, Pl]: =S[J1]—1-t-X;
D38 : IF Y=M1 THEN GOTO D39 ELSE
GOTO D36;
D39 : IF X=H[JJ THEN GOTO D40 ELSE
GOTO D35;
D40: IF J1 = K THEN
GOTO D41;
Ml : =P1; JI : =J1+1;
GOTO P7;
D41 : P : =0;
FOR Hl : =1 STEP 1 UNTIL Pl DO
BEGIN М3: =1;
199
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL К DO
М3 : =M3X (d—Q[I]fNC[I, Hl]);
IFM3^P THEN
BEGIN P : =M3; J : =H1 END
END;
FOR I : = 1 STEP 1 UNTIL К DO E[I]: = NC[I, J];
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL M DO
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL К DO
BEGIN ER[J]: =0;
ER[J]: =ER[J]+E[I]XC2[I, J]
END
END
END
END;
EPS[1]: =EPS[2]: =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 4 DO R[I]: = A[0, I];
FOR I : = 1 STEP 1 UNTIL 4 DO
BEGIN C2[I, 1]: =A[1, I]; C2[I, 2]: =A[2, I] END;
Cl[l] : =47.0; Cl[2]: =20.0;
KETTEL(4, 2, Cl, C2, R, O, EPS, X, ER, S); Y : =S;
END;
PROCEDURE ANALIS 1 (N, Nl, N2, M, KMAX, DIM, GR, SAP, IKA,
ALGO, WER, El, E2, E3, INDO, EPS, RES1, RES2, RES3,
RES4, RES5, RES6);
INTEGER N, Nl, N2, M, KMAX, El, E2, E3, INDO; REAL
EPS; ARRAY GR, SAP, WER, RES1, RES2, RES3, RES4,
RES5, RES6;
INTEGER ARRAY DIM; PROCEDURE ALGO;
REAL PROCEDURE IKA;
BEGIN INTEGER I, J, K, L, XSTART, В, C;
REAL S, P, Q, R;
ARRAY X, Y[1 : N], Al, A2[l : KMAX], GP[1 :2,
1 : KMAX], A6[il : N2], A7[l : N2];
INTEGER ARRAY A3[l : N2, 1 : N], A4[l : N2],
A5[l : N2, 1 : N];
REAL PROCEDURE UNIFORM;
BEGIN OWN REAL XX; INTEGER R, С, M;
C : =2t 13—3; M: =2 t 27;
IF XSTART#=0 THEN XX : =XSTART/M;
XX : =XXXC; XX : =XX—ENTIER(XX); UNIFORM : =
XX END UNIFORM;
PROCEDURE GWP(A, В, C);
INTEGER A; ARRAY В, C;
BEGIN INTEGER I;
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL A DO
C[I] : =B[1, I] + UNIFORMX(B[2, I]—B[4, I]);
END GWP;
REAL PROCEDURE SW(N, А, В, C);
INTEGER N; REAL A, B; ARRAY C;
BEGIN INTEGER I; REAL S; ARRAY P[0 : N];
P[0]: =0;
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL N DO P[I]: =
P[I—U+C[I];
D: S : = UNIFORM;
IF S=0 THEN GOTO D;
FOR 1 : =1 STEP 1 UNTIL N DO
IF S>P[I— 1] AS^P[I] THEN
BEGIN
SW : = A+ (В—A) XI/N—UNIFORMX (B—A)/N;
GOTO DI
END;
200
DI : END SW;
REAL PROCEDURE SUM(N, А, К, M);
INTEGER N, K; REAL M; ARRAY A;
BEGIN INTEGER I; REAL R;
R : =0;
FOR 1 : =1 STEP 1 UNTIL N DO
R:	=R+((A[I]-MtK)/N;
IF K=1 THEN SUM: = R ELSE SUM: =SQRT(R);
END SUM;
PROCEDURE MAX(N, A, M);
INTEGER N, M; ARRAY A;
BEGIN INTEGER I; REAL S;
S:	=A[1];
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N DO
IF A[I]^S THEN
BEGIN S': =A[I]; M: =1 END
END MAX;
PROCEDURE MIN(N, A, M);
INTEGER N, M; ARRAY A;
BEGIN INTEGER I; REAL S;
S : = A[1];
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N DO
IF A[I]<S THEN
BEGIN S : =A[I], M: =1 END
END MIN;
REAL PROCEDURE DIA(A, В, C);
INTEGER A, B; ARRAY C;
BEGIN INTEGER I, J;
IF A=1 THEN GOTO DI;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL В DO
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL A—1 DO
IF C[A, J]#=C[I, J] THEN GOTO DI;
DIA: =0;
GOTO D2;
DI : DIA: =1;
D2 : END DIA;
REAL PROCEDURE PROGNOS (A, B);
INTEGER A; INTEGER ARRAY B;
BEGIN INTEGER I, J; REAL X, Y, P, R, S;
R: =1/B[A];
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL 100 DO
BEGIN P : = UNIFORMXR;
IF P = 0 THEN GOTO D;
S : =0;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL A DO
S : =S+ (B[J]—(1—(1—P) t J)/P) f 2;
IF 1=1 THEN X: =S;
IF S<X THEN
BEGIN X: =S; Y: =P END;
D: END;
PROGNOS : = 1/Y;
END PROGNOS;
XSTART : =1; S : = UNIFORM;
XSTART • —0-
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N DO X[IJ: =1;
FOR I : =0 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL DIM[I] DO
A1[J]: =GR[I, J, 1]; S : =IKA(I, X, Al);
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL DIM[I] DO
BEGIN
201
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL DIM[I] DO
A2[K]: = A1[K]; A2[J]: = GR[I, J, 2];
P : =IKA(I, X, A2)— S;
RES2[I, J]: = IF 1 = 0ЛР>0 V 1=/=0лР<0 THEN
GR[I, J, 1] ELSE GR[I, J, 2];
RES3[I, J]: =IF I=0AP>0 V I^OAP^O THEN
GR[I, J, 2] ELSE GR[I, J, 1];
END;
END;
OUTPUT (‘T’, ‘ПАРАМЕТРЫ, МИНИМИЗИРУЮЩИЕ
ЦЕЛЕВУЮ ФУНКЦИЮ, И ПАРАМЕТРЫ ЖЕСТКИХ ОГРАНИЧЬ^
НИЙ’,
FOR I : =0 STEP 1 UNTIL М DO
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL DIM[I] DO
OUTPUT(‘Z—ЗД.ЗД2В’, RES2[I, J]);
OUTPUT (7’)
END;
OUTPUT (T, ‘ПАРАМЕТРЫ, МАКСИМИЗИРУЮЩИЕ
ЦЕЛЕВУЮ ФУНКЦИЮ, И ПАРАМЕТРЫ МЯГКИХ
ОГРАНИЧЕНИЙ’, ‘/’);
FOR I : =0 STEP 1 UNTIL М DO
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL DIM[I] DO
OUTPUT(‘Z—ЗД.2В’, RES3[I, J]);
OUTPUT (7’)
END;
OUTPUT (‘/’);
FOR К : =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
BEGIN A1[K]: =RES2[0, K];
A2[K]: =RES3[0, K]
END;
IF El = l THEN
BEGIN
ALGO(RES2, X, RES1[4]);
OUTPUT (‘2/’);
OUTPUT (‘24B’, ‘T’,
‘РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТОХАСТИЧЕСКОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА МАКСИМУМ’, ‘2/’);
OUTPUT (Т, ‘ОПТИМИЗИРУЮЩАЯ ТОЧКА’,
‘Z—ЗД.ЗД2В’, X, ‘2/’);
FOR К: =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
RES2[0, К]: =A2[K];
ALGO(RES2, X, RES1[5]);
ALGO(RES3, X, RES1[7]);
FOR К : =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
RES3[0, K]: =A1[K];
ALGO(RES3, X, RES1[6J);
FOR K: =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
BEGIN RES2[0, K]: =A1[K];
RES3[0, K]: =A2[K]
END;
OUTPUT(‘T’, ‘НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
МАКСИМУМА НА МИНИМАЛЬНОМ МНОЖЕСТВЕ
= ’, ‘Z—ЗД.6Д’, RES1[4], 7’);
OUTPUT(‘T’, ‘НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
МАКСИМУМА НА МИНИМАЛЬНОМ ДОПУСТИМОМ ’
МНОЖЕСТВЕ^, ‘Z—ЗД.6Д’, RES1[5], ‘/’);
OUTPUT (‘Т’, ‘НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
МАКСИМУМА НА МАКСИМАЛЬНОМ ДОПУСТИМОМ
МНОЖЕСТВЕ^, ‘Z—ЗД.бД’, RES1[6], 7’);
202
OUTPUT (T, ‘НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ МАКСИМУМА
НА МАКСИМАЛЬНОМ ДОПУСТИМОМ МНОЖЕСТВЕ = ’,
‘Z-ЗД.бД’, RES1[7], ‘2/’);
END ELSE
BEGIN
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
RES2[0, K]: = A2[K];
ALGO(RES2, X, RES1[4]);
OUTPUT(‘2/’);
OUTPUT (‘24B’, ‘T’, ‘РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
НА МИНИМУМ’, ‘2/’);
OUTPUTfT’, ‘ОПТИМИЗИРУЮЩАЯ ТОЧКА’,
‘Z—ЗД.ЗД2В’, X, ‘2/’);
FOR К: =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
RES2[0, К]: =A1[K];
ALGO(RES2, X, RES1[5J);
ALGO(RES3, X, RES1[6]);
FOR К : =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
RES3[0, K]: =A1[K];
ALGO(RES3, X, RES1[7]);
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
RES3[0, K]: =A2[K];
OUTPUT (T, ‘НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
МИНИМУМА НА МИНИМАЛЬНОМ ДОПУСТИМОМ
МНОЖЕСТВЕ = ’, ‘Z—ЗД.6Д’, RES1[4], */’);
OUTPUT(‘Т‘, ’НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
МИНИМУМА НА МИНИМАЛЬНОМ ДОПУСТИМОМ
МНОЖЕСТВЕ^, ‘Z—ЗД.6Д’, RES1[5], ‘/’);
OUTPUT(‘Т’, ‘НАИБОЛЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
МИНИМУМА НА МАКСИМАЛЬНОМ ДОПУСТИМОМ
МНОЖЕСТВЕ^, ‘Z—ЗД.6Д’, RES1[6], ‘/’);
OUTPUT (‘Т‘, ’НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
МИНИМУМА НА МАКСИМАЛЬНОМ ДОПУСТИМОМ
МНОЖЕСТВЕ^, ‘Z—ЗД.6Д’, RES1[7], ‘2/’);
END;
IF Е2 = 0 THEN
BEGIN
FOR К : =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
BEGIN
GR[1, K]: = GR[0, К, 1];
GR[2, K]: =GR[0, K, 2]
END;
OUTPUT (‘T’, ‘НОМЕР РЕАЛИЗАЦИИ’, ‘4B’,
‘T’, ‘НАКОПЛЕНИЕ ВАРИАНТОВ’, ‘4В’> ‘Т’,
‘ЗНАЧЕНИЕ ПРОГНОЗА’, ‘/’);
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL N2 DO А4[К]: =0;
I : =0;
DI : 1 : =14-1;
BEGIN GWP(DIM[0], GR, Al);
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL DIM[Q] DO
RES2[0, K]: =A1[K]; ALGO(RES2, X, S);
FOR к : =1 STEP 1 UNTIL N DO A3[I, K]: =
X[K];
IF 1=1 THEN A4[l]: =1 ELSE
A4[I]: =A4[I—11+DIA(I, N, A3);
OUTPUT(‘6B’, ‘Z—4Д17В’, I, A4[I]);
IF 1^10 THEN
BEGIN P : =PROGNOS(I, A4);
OUTPUT(‘Z—ЗД.ЗД’, P);
IF P—A4[1]<EPS THEN
203
BEGIN RES1[1]: =A4[I];
RES1[2]: =P; K: =1;
GOTO D2
END
END:
OUTPUT (7*);
IF A4[I]>INDO THEN GOTO D3;
GOTO DI
END;
D2: OUTPUT (7’, ‘ЧИСЛО КОНКУРИРУЮЩИХ
ВАРИАНТОВ = ’, ‘Z—ЗД.ЗД’, RESlfl], ‘/’);
OUTPUT (‘T’, ‘ПРОГНОЗИРУЕМОЕ ЧИСЛО ВАРИАНТОВ
= ‘Z-ЗД.ЗД’, RES1[2], 7’);
В : =1;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL К DO
BEGIN
IF 1=1 THEN
BEGIN
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
A5[l, J]: =A3[1, J];
END ELSE
BEGIN
IF (A4[I]—A4[I—1]) = 1 THEN
BEGIN В : =B + 1;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO
A5[B, J]: = A3[B, J]
END
END
END;
OUTPUT (‘T’, ‘МИНИМАЛЬНОЕ ДОПУСТИМОЕ
множество’, 7’);
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL В DO
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO
OUTPUT(‘Z—ЗД.ЗД2В’, A5[I, J]);
OUTPUT (‘/’);
END;
OUTPUT (‘/’);
IF El = 1 THEN
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL В DO A7[J]: =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN GWP(DIM[0], GP, Al);
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL В DO
BEGIN
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
X[K]: =A5[J, K];
A6[J]: =IKA(0, X, Al)
END;
MAX(B, A6, L);
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL В DO
BEGIN S : =A6[L]—A6[J];
IF S>A7[J] THEN A7[J]: =S
END
END;
MIN(B, A7, L);
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO X[J]: =
A5[L, J];
OUTPUT (‘T*, ‘МИНИМАКСНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДА-
ЧИ МАКСИМИЗАЦИИ’, ‘Z—ЗД.ЗД2В*, X, 7);
201
END ELSE
BEGIN
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL В DO A7[J]: =0;
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN GWP(DIM[0], GP, Al);
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL В DO
BEGIN
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
X[K]: =A5[J, K];
A6[J]: =IKA(0, X, Al);
END;
MIN(B, A6, L) ;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL В DO
BEGIN S : =A6[J]—A6[L];
IF S>A7[J] THEN A7[J]: =S
END
END;
MIN(B, A7, L);
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO X[J]: =
A5[L, J];
OUTPUT(‘T’, ‘МИНИМАКСНОЕ РЕШЕНИЕ
ЗАДАЧИ МИНИМИЗАЦИИ’, 7’, ‘Z—ЗД.ЗД2В’, X, 7’);
END;
GOTO FINISH;
END ELSE
BEGIN
FOR К : =1 STEP 1 UNTIL N2 DO
A4[K]: = RES4[K, N+ 1]: =0;
C: =1 : =0;
OUTPUT (‘T’, ‘НОМЕР РЕАЛИЗАЦИИ’, ‘4B’,
‘T’, ‘НАКОПЛЕНИЕ ВАРИАНТОВ’, ‘4В’, ‘Т’,
‘ЗНАЧЕНИЕ ПРОГНОЗА’, */’);
D4: I : =1 + 1;
BEGIN
FOR J : =0 STEP 1 UNTIL M DO
FOR В : =1 STEP 1 UNTIL DIM[J] DO
BEGIN
FOR L : = 1 STEP 1 UNTIL 12 DO
A6[L]: =WER[J, B, L];
RES2[J, B]: =SW(12, GR[J, В, 1],
GR[J, B, 2], A6)
END;
ALGO(RES2, X, S);
IF 1=1 THEN
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO
RES4[1, J]: =X[J]; A4[il]: =1;
RES4[1, N+ 1]: =1;
OUTPUT	‘6B’, ‘Z—4Д17В’, I, A4[IJ);
C: =C+1;
GOTO D4
END ELSE
BEGIN
FOR L : = 1 STEP 1 UNTIL C DO
BEGIN P : =0;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
P : =P+(X[J]—RES4[L, J])|2;
IF P = 0 THEN
BEGIN
205
RES4[L, N+l]: = RES4[L, N+l]+l;
A4[I]: =A4[I—1];
OUTPUT (*/’, ‘6B’, ‘Z—4Д17В’, I, A4[I]) ;
IF I>10 THEN
BEGIN Q : =PROGNOS(1, A4);
OUTPUT (‘Z—ЗД.ЗД’, Q);
IF Q—A4[I]^EPS THEN
BEGIN RESlfl]: =A4[I]; RES 1[2]: =Q;
OUTPUT (*/’, ‘T’, ‘КОЛИЧЕСТВО КОНКУРИ-
РУЮЩИХ ВАРИАНТОВ = ’, ‘Z—ЗД.ЗД’,
RESlfl], 7’);
OUTPUT (‘T’, ‘ПРОГНОЗИРУЕМОЕ КОЛИЧЕСТВО
ВАРИАНТОВ = ’, ‘Z—ЗД.ЗД’, RES1[2], 7’);
IF E3=l THEN
BEGIN RES1[3]: =0;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL C DO
RES1[3]: = RES1[3]+(RES4[J, N + 1]XLN
(RES4[J, N +1]/I)/I)/LN(2);
RES 1[3] • =_RES 1[3]’
OUTPUT(‘T’, ‘ЭНТРОПИЙНАЯ ОЦЕНКА НЕЕ-
ДИНСТВЕННОСТИ’, ‘Z—ЭВЗД.ЗД’, RES1[3], 7’)
END;
GOTO D5
END,
END;
GOTO D4
END
END;
A4[I]: =A4[I—1]+1; C : C-bl;
OUTPUT (*/’, ‘6B’, ‘Z—4Д17В’, I, A4[I]);
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
RES4[C, J]: =X[J]; RES4[C, N+l]: =1;
END;
IF A4[I]>INDO THEN GOTO D3;
GOTO D4
END;
D5 : FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL C DO
RES4[K, N + l] : =RES4[K, N+ 1]/I;
FOR К : =1 STEP 1 UNTIL С—1 DO
FOR J : =K+1 STEP 1 UNTIL C DO
BEGIN
IF RES4[J, N+1]>RES4[K, N+l] THEN
BEGIN R: =RES4[J, N+l];
RES4[J, N + l]: =RES4[K, N+l];
Y[L]: =RES4[J, L];
FOR L : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
RES4[J, L]: =RES4[K, L];
FOR L : == 1 STEP 1 UNTIL N DO
RES4[K, L]: =Y[L];
END;
END;
RES4[1, N + 2]: =RES4[1, N+l];
FOR J : = 2 STEP 1 UNTIL C DO
RES4[J, N+2]: =RES4[J—1, N+2]+RES4[J,
N+l];
BEGIN ARRAY A9[l : C, 1 : N + 2];
OUTPUTC/’, ‘T’, ‘КОНКУРИРУЮЩИЕ ВАРИАН-
ТЫ, ИХ ВЕРОЯТНОСТИ И ВЕРОЯТНОСТИ ГРУПП’,
7’);
FOR К : =1 STEP 1 UNTIL С DO
206
BEGIN
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N+2 DO
BEGIN
A9[K, J]: = RES4[K, J];
OUTPUT (‘Z—ЗД.ЗДВ’, A9[K, J])
END;
output (7*)
END;
OUTPUT (7’);
END;
BEGIN ARRAY A8[l : Nl, 1 : M], A10[l : Nl,
1 : C];
IF El = l THEN
OUTPUT (‘T’, ‘РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬ-
НЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВАРИАНТОВ И ИХ МО-
МЕНТЫ’, ‘2/’) ELSE
OUTPUT (‘Г, ‘РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МИНИМАЛЬ-
НЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ВАРИАНТОВ И ИХ МО-
МЕНТЫ’, ‘2/’);
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL С DO
BEGIN
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
X[J]: = RES4[I, J];
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
FOR В : =1 STEP 1 UNTIL DIM[0] DO
BEGIN
FOR L : = 1 STEP 1 UNTIL 12 DO
A6[L]: WER[0, B, L];
A7[B]: =SW(12, GR[0, B, 1], GR[0, B, 2], A6)
END;
A10[J, I]: =IKA(0, X, A7)
END;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
A7[J]: =A10[J, I];
S : =SUM(N1, A7, 1, 0);
P : =SUM(N1, A7, 2, S); MIN(N1, A7, B);
MAX(N1, A7, L);
FOR К: =0 STEP 1 UNTIL 12 DO
RES5[K]: =A7[B]+KX(A7[L]—A7[B])/12;
FOR К: =1 STEP 1 UNTIL 12 DO RES6[K]: =0;
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
FOR К: = 1 STEP 1 UNTIL 12 DO
IF A7[J]>RES5[K—1]A A7[J]<RES5[K] THEN
BEGIN
RES6[K]: =RES6[K]+1;
GOTO D6
END;
IF A7[J]=RES5[12] THEN
RES6[12]: =RES6[12]+1;
06: END;
FOR К: = 1 STEP 1 UNTIL 12 DO
RES6[K]: =RES6[K]/N1;
OUTPUT(‘2/’, T, ‘ВАРИАНТ НОМЕР’,
‘Z—ЗД’, I,
OUTPUT (‘T’, ‘СЕТКА’, 7’, ‘Z—ЗД.4Д’,
RES5, 7’);
OUTPUT (‘T’, ‘ГИСТОГРАММА’, 7’, ‘4B’,
‘Z—ЗД.4Д’, RES6, 7’);
207
OUTPUT(T, ‘СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЕ = ’,
‘z-зд.бД’, s, 7’);
OUTPUT(‘Т’, ‘СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
УКЛОНЕНИЕ = ’, ‘Z—ЗД.6Д’, Р, ‘/’);
END;
OUTPUT (‘Д ‘Т’, ‘РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ
РЕСУРСОВ КОНКУРИРУЮЩИХ ВАРИАНТОВ’, */’);
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL С DO
BEGIN
FOR J : = 1 STEP 1 UNTIL N DO
X[J]: = RES4[I, J];
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN
FOR В : =1 STEP 1 UNTIL DIM[K] DO
BEGIN
FOR L : = 1 STEP 1 UNTIL 12 DO
A6[L]: = WER[K, B, L];
A7[B]: = SW(12, GR[K, B, 1], GR [К, B, 2], A6)
END;
A8[J, K]: =IKA(K, X, A7)
END;
END;
OUTPUT (‘2/’, ‘T’, ‘ВАРИАНТ НОМЕР’,
‘Z—ЗД’, I, 7’);
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL M DO
BEGIN
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
A7[J]: = A8[J, K];
S : =SUM(N1, A7, 1, 0);
P : =SUM(N1, A7, 2, S); MIN(N1, A7, B);
MAX(N1, A7, L);
FOR J : =0 STEP 1 UNTIL 12 DO
RES5[J]: =A7[B]+JX(A7[L]—A7[B])/12;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
RES6[J]: =0;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL Nl DO
BEGIN
FOR L : =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
IF A7[J]^RES5[L—1] A A7[J]<RES5[L] THEN
BEGIN
RES6[L] : =RES6[L]+1;
GOTO D8
END;
IF A7[J]=RES5[12] THEN
RES6[12]: =RES6[12]+1;
D8 : END;
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL 12 DO
RES6[J]: =RES6[J]/N1;
OUTPUT (T, ‘ЗАТРАТЫ ПО ОГРАНИЧЕНИЮ
НОМЕР’, ‘Z—2Д’, к, 7’);
OUTPUT(‘Т’, ‘СЕТКА’, 7’, ‘Z—ЗД.4Д’,
RES5, 7’);
OUTPUT (‘Т’, ‘ГИСТОГРАММА’, ‘Д ‘4В’,
‘Z—ЗД.4Д’, RES6,
OUTPUTCT’, ‘СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЗАТРАТ=’,
‘Z-ЗД.бД’, S, ‘/’);
OUTPUT (‘Т’, ‘СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ
УКЛОНЕНИЕ^, ‘Z—ЗД.6Д’, Р,
END;
2U8
END;
END;
END;
GOTO FINISH;
D3 : OUTPUT(T, ‘СИЛЬНАЯ НЕКОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ’, 7’);
FINISH: END;
INPUT(GR, DIM);
MARG (4, 120, 4, 2, 60, 0);
OUTPUT(‘X’);
FOR I : =0 STEP 1 UNTIL 2 DO
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL 4 DO
FOR К : = 1 STEP 1 UNTIL 12 DO WER[I, J, K]: = 1 /12;
SAP[1] : =47.0; SAP[2]: =20.0;
I: =J: =K: =1; J: =0;
ANALIS1(4, 100, 150, 2, 4, DIM, GR, SAP, IKA, ALGO, WER, I,
J, K, 30, 0.1, RES1, RES2, RES3, RES4, RES5, RES6) ;
END
Процедура Пр7
1°. Процедура-функция securitecod (b, bl, Ь2, b3, n, k, gamma) предназна-
чена для вычисления нижней границы вероятности безотказной работы для систе-
мы, заданной своей структурой, числом испытаний составляющих ее элементов,
числом отказов этих элементов в испытаниях и индексами типов элементов. Ус-
ловия, при которых правомерно использование алгоритма, реализованного в
указанной процедуре-функции, приведены и прокомментированы во второй главе.
2°. Приведенный здесь алгол-текст процедуры-функции securitecod написан
на минимальном подмножестве языка и поэтому может быть реализован прак-
тически с помощью любого алгол-транслятора.
3°. Входными параметрами процедуры-функции являются; b[l : n, 1 : к] —
целочисленная матрица, строками которой являются коды элементов; первый
символ в коде всегда отличен от нуля, а коды, длина которых меньше k, допи-
сываются справа нулями до длины к;
Ы[1 : и]— вектор, координатами которого являются целые числа, означающие
количества испытаний элементов системы;
Ь2[1 : и] — целочисленный вектор, координатами которого являются числа отка-
зов в испытаниях;
Ь3[1 : п]— целочисленный вектор, координатами которого являются числа, озна-
чающие тип элемента.
Замечание. Если для какого-либо элемента задано число испытаний и число
отказов, то для всех элементов того же типа эти числа задаются такими же;
п — количество элементов в системе;
к — уровень сложности системы;
gamma — уровень доверия.
REAL PROCEDURE SECURITECOD(В, Bl, В2, ВЗ, N, К, GAMMA);
VALUE В, Bl, В2, ВЗ, N, К, GAMMA;
INTEGER N, К; INTEGER ARRAY В, Bl, B2, ВЗ;
REAL GAMMA;
BEGIN INTEGER ARRAY Д[1 : 6, 1 : N], UI(1 :4, 1 : N];
INTEGER I, J, С, T, D, Rl, R2, R3, R4, R5, R6, П, СЧ;
REAL R7, R8, R9; INTEGER ARRAY A[1 : N, 1 : K + 3];
ARRAY X, XI[1 : N, 0 : 100]; INTEGER E; REAL H, PM;
PROCEDURE ORDN(A, N, C);
BEGIN INTEGER I, J, К, B;
INTEGER ARRAY L[1 : N];
FOR I : =1 STEP 1 UNTIL N DO BEGIN L[I]: =
A[I]; C[I]: =1 END; FOR I : =N STEP—1
UNTIL 2 DO BEGIN K . =1; В : = L[I];
FOR J : =1—1 STEP—1 UNTIL 1 DO IF L[J]>
В THEN BEGIN К: =1; В : =L[J] END; L[K]: =
L[I]; L[I]: =C[I]; C[I]: =C[K]; C[K]: =
209
L[I] END
END ORDN;
PROCEDURE TRANSORDN(A, N, K, Kl); INTEGER N, K, Kl;
ARRAY A;
BEGIN INTEGER I, J, E, СЧ, M, T, II, JI;
INTEGER ARRAY Ф, C[1 : N], B[1 : N, 1 : K];
FOR J : =1 STEP 1 UNTIL N DO ФЩ: =A[J, 1];
ORDN^, N, C);
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL N DO BEGIN FOR J : =
1 STEP 1 UNTIL К DO
B[I, J]: = A[I, J] END;
FOR 1 : = 1 STEP 1 UNTIL N DO BEGIN FOR J: =
1 STEP 1 UNTIL К DO
A[I, J]: =B[C[I], J] END;
FOR I : =2 STEP 1 UNTIL Kl DO BEGIN СЧ : = 1;
T:	=0; E: = A[1, I—1];
FOR J : =2 STEP 1 UNTIL N DO IF A[J, I—1]#=
E THEN BEGIN II : =0;
FOR M : =1. STEP 1 UNTIL СЧ DO BEGIN Ф[М]: = A[M+T, I];
IF Ф[М]=0 THEN II : =11 + 1 END;
IF I1=C4 THEN GOTO МЕТКА;
ORDN (Ф, СЧ, C);
FOR II : = 1 STEP 1 UNTIL К DO FOR JI : =
1 STEP 1 UNTIL СЧ DO B[J1, II]: =A[J1+T, II];
FOR II : =1 STEP 1 UNTIL К DO FOR JI : =
1 STEP 1 UNTIL СЧ DO A[J1+T, II]: =B[C[J1], II];
МЕТКА : E : = A[J, I—1]; T : =Т+СЧ; СЧ : = 1 END
ELSE СЧ: =C4+1 END;
END TRANSORDN;
REAL PROCEDURE PMIN (I, LAMBDA);
BEGIN INTEGER L;
REAL J;
IF Д[1, I]/2=~ENTIER(fl[l, I]/2) THEN BEGIN
PMIN : =IF Д[4, I]=0 THEN
1—(LAMBDA/А[Д[2, I], К+1])|Д[3, I] ELSE 1—
(LAMBDA/fl[3, I]) |Д[3, 1]/Д[6, I]
END ELSE IF Д[4, I]=0 THEN BEGIN
J : = LAMBDA/А[Д[2, I], K+l]: PMIN : =IF J>V
THEN 0 ELSE (1— J)ffl[3, I] END
ELSE BEGIN J: =А[Д[2, I], K+l]; FOR L: =1
STEP 1 UNTIL Д[3, I]—1 DO
IF А[Д[2, I] + L, K+1]<J THEN J : =А[Д[2, I]+L, K+l];
J:	=LAMBDA/J; PMIN : =IF J>1 THEN 0 ELSE
1—J END
END PMIN;
REAL PROCEDURE DEL(D, A); INTEGER D; REAL A;
BEGIN INTEGER I; REAL X, Y;
REAL PROCEDURE F(K, Z);
INTEGER K, REAL Z;
BEGIN INTEGER J; REAL C, R;
C:	=R: =1; FOR J : =1 STEP 1 UNTIL К DO
BEGIN R : = (RXZ)/J; C : =C+R END;
F:	=LN(C);
END F;
X: =0; I : =0; M: I ; =1+1 : Y: =F(D, X)— LN (A);
IF Y—X>10f(—5) THEN BEGIN X: =Y; GOTO M
END; DEL : =F(D, X)— LN (A); END;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL N DO BEGIN FOR J : =
1 STEP 1 UNTIL К DO
A[I, J]: =B[I, J];
A[I, K+l]: =B1[I]; A[I, K+2]: =B2[I]; A[I, K+3] : =B3[I];
210
END;
TRANSORDN(A, N, K+3, K);
H:	=0;
СЧ : =0;
FOR I : = 1 STEP 1 UNTIL N DO BEGIN СЧ : = C4 + 1;
T: =0;
FOR J : = K STEP —1 UNTIL 1 DO IF A[I, J]=^=0 THEN
BEGIN D : = A[I, K+3]; RI : =R2 : =0;
Д[1, СЧ]: =J; C: =A[I, J—1]; Ml : I : = 1 + 1;
IF I+T>N THEN GOTO М2 ELSE IF J = K THEN GOTO
LI ELSE
IF A[I+T, J+l]#=0 THEN GOTO М2 ELSE
LI : IF J= 1 THEN GOTO М3 ELSE IF A[I+T, J—1]¥=C
THEN GOTO М2 ELSE М3 . IF A[I + T, K+3]=D THEN
BEGIN IF R2=0 THEN BEGIN RI : =R1 + 1; GOTO Ml
END ELSE GOTO М2 END ELSE IF Rl=^0 THEN GOTO М2
ELSE BEGIN R2 : =R2+1; D: =A[I+T, K+3]; GOTO Ml
END END ПО J; М2 : Д[2, СЧ]: = 1; Д[3, СЧ]: =Т;
Д[4, СЧ]: = IF R2=0 THEN 0 ELSE 1; Д[5, СЧ]: =
Д[6, СЧ]: =А[Д[2, СЧ], К+1]; R2 : =А[Д[2, СЧ], К+3];
Н : = Н+А[Д[2, СЧ], К+2]; FOR J : =Д[2, СЧ]+1 STEP 1
UNTIL Д[2, СЧ]+Д[3, СЧ]—1 DO
IF R2¥= A[J, K+3] THEN BEGIN R2: =A[J, K+3]; H : = H+A[J, K+2];
Д[5, СЧ]: =Д[5, C4]+A[J, К+1]; Д[6, СЧ]: =Д]6, СЧ]Х
A[J, К+1] END;
I:	=I+T—1 END ПО I;
R1 : =Н;
Н: =DEL(R1, 1—GAMMA);
Н : = Н/100;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL СЧ DO
FOR J : =0 STEP 1 UNTIL 100 DO BEGIN R7 : =PMIN
(I, JXH); X[I, J]: =IF R7<0 THEN 0 ELSE R7;
END;
FOR I: =K STEP —1 UNTIL 2 DO BEGIN E : =C4;
СЧ : =0;
FOR I: =1 STEP 1 UNTIL E DO BEGIN T: =0; IF
Д[1, IJ+0.1 >J THEN BEGIN
Д[1, I]: =Д[1, I]—1; Nl :T: = T+1; IF I+T>E THEN
GOTO N2; IF Д[7, I+T]+0.1 >J THEN BEGIN
IF А[Д[2, I], Д[1, I]]= А[Д[2, I+T], Д[1, I]] THEN
BEGIN
Д[1, I+T]: =0; GOTO Nl END;
END;
N2 : IF T=0 THEN GOTO КОНЕЦ;
IF J/2<ENTlER(J/2)+0.1 THEN BEGIN FOR RI : =
I STEP 1 UNTIL I+T—2 DO
BEGIN FOR R2 : =0 STEP 1 UNTIL 100 DO BEGIN
PM: =1;
FOR R3 : =0 STEP 1 UNTIL R2 DO BEGIN R9 : =1—
(1—X[R1, R3])X(1-X[R1 + 1, R2—R3]);
IF R9<PM THEN PM : =R9 END; X1[R 1, R2]: =PM END;
X1[R1, !]: = X1[R1, 2]+(l—X1[R1, 3])/3;
FOR R2 : =0 STEP 1 UNTIL 100 DO X[R1 +1, R2]: =
X1[R1, R2]; END;
FOR R2: =0 STEP 1 UNTIL 100 DO X[I, R2]: =X[I+T —1, R2]; END
ELSE BEGIN FOR R2 : =0 STEP 1 UNTIL 100 DO
BEGIN X1[I, R2]: =1;
FOR RI: =1 STEP 1 UNTIL I+T—1 DO IF X[R1, R2]<
X1[I, R2] THEN X1[I, R2]: =X[R1, R2] END;
211
FOR R2 : =0 STEP 1 UNTIL 100 DO X[I, R2]: =X1
[I, R2] END;
END ELSE GOTO КОНЕЦ;
I : =I+T— 1; КОНЕЦ: END ПО I;
СЧ : =0; FOR I : =1 STEP 1 UNTIL E DO IF Д[1, I]>
0.5 THEN BEGIN СЧ : =C4+1;
FOR T : = 1 STEP 1 UNTIL 6 DO Д[Т, СЧ]: = Д[Т, I];
FOR T: =0 STEP 1 UNTIL 100 DO Х[СЧ, T]: =X{I, T]
END;
END;
FORR2: =0 STEP 1 UNTIL 100 DO BEGIN Xl[l, R2] : =1;
FOR Rl : =1 STEP 1 UNTIL СЧ DO IF X[R1, R2]<
Xl[l, R2] THEN Xl[l, R2]: =X[R1, R2] END;
FOR J : =0 STEP 1 UNTIL 100 DO X[l, J]: =X1[1, J];
SECURITECOD : =X[1, 100];
END SECURITECOD;
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. (Пер. с англ.). Под
ред. И. А. Ушакова. М., «Мир.», 1971, 534 с.
2.	Баранцев Р. Г, Мурзов Н. В., Собченко Л. П. О принципе максимальной
энтропии. — «Вестник Ленинградского университета», 1969, № 13, с. 83—87.
3.	Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. М., «Высшая
школа», 1976, 392 с.
4.	Беляев Ю. К. Построение нижней доверительной границы для вероятнос-
ти безотказной работы системы по результатам испытаний ее компонент. — В
кн.: О надежности сложных технических систем. М., «Советское р.адио», 1966,
с. 276—287.
5.	Беляев Ю. К-, Дугина Т. Н., Чепурин Е. В. Вычисление нижней довери-
тельной границы для вероятности безотказной работы сложных систем. — «Из-
вестия АН СССР. Техническая кибернетика», 1967, № 2, 3, с. 52—59, с. 67—78.
6.	Бердичевский Б. Е. Оценка надежности аппаратуры автоматики. М., «Ма-
шиностроение», 1966, 276 с.
7.	Болл Л. Проблемы надежности в США. — В кн.: Методы количественной
оценки и обеспечения надежности. — «Материалы XV конференции ЕОКК. Сес-
сия IV». М., Издательство стандартов, 1972, 320 с.
8.	Бонгард М. М. О понятии «полезная информация». — В кн.: Проблемы
кибернетики. [Сборник статей]. Под ред. А. А. Ляпунова. М., «Наука», 1963, вып.
9, с. 71—102.
9.	Вальд А. Последовательный анализ. Под ред. Б. А. Севастьянова. М.,
Физм.атгиз, 1960, 328 с.
10.	Вентцель Е. С. Исследование операций. М., «Советское радио». 1972,
551 с.
11.	Виленкин Н. Я. О понятии величины. — «Математика в школе», 1973,
№ 4, с. 24—27.
12.	Гавурин М. К. О планировании разведочных опытов. — «Кибернетика»,
1969, АН УССР, № 5, с. 90—94.
13.	Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М., «Наука»,
1973, 384 с.
14.	Глушков В. М. Введение в кибернетику. Киев, АН УССР, 1964, 324 с.
15.	Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1963, 400 с.
16.	Гнеденко Б. В., Ушаков Й. А., Козлов Б. А. О роли и месте теории на-
дежности в процессе создания сложных систем. — В кн.: Теория надежности и
массовое обслуживание. М., «Наука», 1969, с. 14—32.
17.	Закс Ш. Теория статистических выводов. (Пер. с англ.). Под ред.
Ю. К. Беляева. М., «/Мир», 1975, 776 с.
18.	Звонкин А. К., Левин Л. А. Сложность конечных объектов и обоснование
понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов. — «Успехи
математических наук», т. XXV, 1970, вып. 6, с. 85—127.
19.	Ивахненко А. Г., Зайченко Ю. П., Димитров В. Д. Принятие решений
на основе самоорганизации. М., «Советское радио», 1976, с. 11—22.
20.	Каган А. М., Линник Ю. В., Рао С. Р. Характеризационные задачи ма-
тематической статистики. М., «Наука», 1972, 656 с.
21.	Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. М., «Наука», 1973, 447 с.
213
22.	Клини С. К. Математическая логика. (Пер. с англ.). Под ред. Г. Е. Мин-
ца. М., «Мир», 1973, 480 с.
23.	Козлов Б. А., Ушаков И. А. Справочник по расчету надежности аппара-
туры радиоэлектроники и автоматики. М., «Советское радио», 1975, 471 с.
24.	Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., «Наука»,
1974, 119 с.
25.	Колмогоров А. Н. К логическим основам теории информации и теории
вероятностей. — «Проблемы передачи информации», 1969, № 3, с. 3—7.
26.	Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-
нального анализа. М., «Наука», 1972, 496 с.
27.	Коэн Дж. Применение систем отображения информации. — В сб.: Элект-
ронные системы отображения информации. (Пер. с англ.). Под ред. Дж. Ховар-
да. М., Воениздат, 1966, с. 176—387.
28.	Крамер Г. Математические методы статистики. (Пер. с англ.). М., «Мир»,
1975, 648 с.
29.	Кульбак С. Теории информации и статистика. (Пер. с англ.). Под ред.
А. Н. Колмогорова. М., «Наука», 1967, 408 с.
30.	Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 2.
М., «Советское радио», 1975, 391 с.
31.	Левин Л. А. Законы сохранения (невозрастания) информации и вопро-
сы обоснования теории вероятностей. — «Проблемы передачи информации»,
1974, № 3, с. 30—35.
32.	Ли Т. Г., Адамс Г. Э., Гейнз У. М. Управление процессами с помощью
вычислительных машин. (Пер. с англ.). Под ред. В. И. Мудрова. М., «Советское
радио», 1972, 312 с.
33.	Линдли Д. В. О мере информации, даваемой экспериментом. — «Матема-
тика». Периодический сборник переводов иностранных статей. М., ИЛ, 1959,
№ 3, с. 87—104.
34.	Ллойд Д., Липов М. Надежность. Организация исследования, методы,
математический аппарат. (Пер. с англ.). Под ред. Н. П. Бусленко. М., «Советс-
кое радио», 1964, 686 с.
35.	Льюис Р. Д. Райфа X. Игры и решения. (Пер. с англ.). Под ред.
Д. Б. Юдина. М., ИЛ, 1961, 642 с.
36.	Мангейм М. Л. Иерархические структуры. Модель процессов проектиро-
вания и планирования. (Пер. с англ.). М., «Мир», 1970, 180 с.
37.	Месарович М. Основания общей теории систем. — В сб.: Общая теория
систем. (Пер. с англ.). М., «Мир», 1966, с. 15—48.
.	38. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуров-
невых систем. (Пер. с англ.). Под ред. И. Ф. Шахнова. М., «Мир», 1973, 344 с
39.	Моисеев Н. Н. Математик задает вопросы. М., «Знание», 1974, 190 с.
40.	Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. М., «Наука», 1975,
526 с.
41.	Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. (Пер. с франц.).
М., «Мир», 1969, 310 с.
42.	Озерной В. М. Принятие решений (обзор). — «Автоматика и телемехани-
ка», 1971, № 11, с. 106—121.
43.	Основные вопросы теории и практики надежности. Сборник трудов семи-
нара секции надежности научного совета по комплексной проблеме «Кибернети-
ка» при Президиуме АН СССР. М., «Советское радио», 1971, 432 с.
44.	Принцип минимума информации. — «Экспресс-информация. Надежность
и контроль качества». Под ред. Б. Е. Бердичевского, 1970, № 12, с. 1—11.
45.	Пушкин В. Г. Проблема надежности. М., «Наука», 1971, 190 с.
46.	Рекомендации по построению и функционированию системы государст-
венного управления качеством продукции на базе стандартизации (проект). М.,
Издательство стандартов, 1975, 40 с.
47.	Рипе Я. А. Оптимизация планирования и оценки результатов испытаний
аппаратуры управления на надежность. М., «Информэлектро» (Отделение
ВНИИЭМ по научно-технической информации в электротехнике), 1976, 80 с.
48.	Романенко А. Ф., Сергеев Г. А. Вопросы прикладного анализа случайных
процессов. М., «Советское радио», 1968, 256 с.
214
49.	Рябинин И. А. Основы теории и расчета надежности судовых электро-
энергетических систем. Изд. 2-е. Л., «Судостроение», 1971, с. 245—260.
50.	Саати Т. Л. Математические методы исследования операций. (Пер. с
англ.). Под ред. А. П. Гришина. М., Воениздат, 1963, 420 с.
51.	Соколов Ю. А. Подтверждение и замечания к алгоритмам 247 и 294.—
В сб.: Библиотека алгоритмов 16—506. М., «Советское радио», 1975, с. 141—144.
52.	Стратонович Р. Л. Теория информации. М., «Советское радио», 1975,
424 с.
53.	Трайбус М. Термостатика и термодинамика. (Пер. с англ.). Под ред.
А. В. Лыкова. М., «Энергия», 1970, 502 с.
54.	Уилкс С. Математическая статистика. (Пер. с англ.). Под ред. Ю. В. Лин-
ника. М., «Наука», 1967, 632 с.
55.	Урсул А. Д. Проблема информации в современной науке. М., «Наука»,
1975, 287 с.
56.	Фано Р. Передача информации. Статистическая теория связи. (Пер. с
англ.). Под ред. Р. Л. Добрушина. М., «Мир», 1965, 438 с.
57.	Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента. М., «Наука», 1971,
312 с.
58.	Фор Р-, Корман А., Дени-Папен М. Современная математика. (Пер. с
фраиц.). Под ред. А. Н. Колмогорова. М., «Мир», 1966, 2’71 с.
59.	Фу К. Последовательные методы в распознавании образов и обучении
машин. (Пер. с англ.). М., «Наука», 1971, 255 с.
60.	Хазен Э. М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оп-
тимального управления. М., «Советское радио», 1968, 256 с.
61.	Харкевич А. А. О ценности информации. — В сб.: Проблемы кибернети-
ки, вып. 4. [Сборник статей]. Под ред. А. А. Ляпунова. М., Физматгиз, 1960,
с. 53—57.
62.	Хартли Р. Передача информации.— В сб.: Теория информации и ее
приложения. Под ред. А. А. Харкевича. М., Физматгиз, 1959, с. 5—35.
63.	Чавчанидзе В. В., Кумсишвили В. А. Об определении законов распреде-
ления на основе малого числа наблюдений. — В сб.: Применение вычислительной
техники для автоматизации производства. (Труды совещания 1959 г.). М., Маш-
гиз, 1961. с. 129—139.
64.	Черч А. Введение в математическую логику. (Пер. с англ.). Под ред.
В. А. Успенского. М., ИЛ, 1960, 484 с.
65.	Чуев Ю. В., Спехова Г. П. Технические задачи исследования операций.
М., «Советское радио», 1971, 244 с.
66.	Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. (Пер. с англ.).
Под ред. Р. Л. Добрушина и О. Б. Лупанова. М., ИЛ, 1963, с. 243—668.
67.	Шрейдер Ю. А. Об одной модели семантической теории информации. —
В сб.: Проблемы кибернетики, вып. 13. Под ред. А. А. Ляпунова. М., «Наука»,
1965, с. 233—240.
68.	Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., «Наука», 1971, 254 с.
69.	Эшби У. Р. Введение в кибернетику. (Пер. с англ.). Под ред. В. А. Ус-
пенского. М., ИЛ, 1959, 432 с.
70.	Эшби У. Р. Принципы самоорганизации. — В сб.: Принципы самооргани-
зации. (Пер. с англ.). Под ред. А. Я. Лернера. М., «Мир», 1966, с. 314—343.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр,
Предисловие.........................................................   3
Глава 1. Задачи развития методов обеспечения и исследования эффек-
тивности и надежности ................................................. 7
1.1.	Ретроспективный анализ развития научно-технического направле-
ния «надежность техники».......................................... 7
1.2.	Организационные основы обеспечения	надежности.............. 14
1.3.	Меры и средства обеспечения	надежности.................... 24
1.4.	Задачи развития методов исследования эффективности и надеж-
ности сложных систем............................................. 27
Глдва 2. Методические основы принятия решений в условиях неопреде-
ленности ............................................................. 32
2.1.	Общая схема проведения	исследования......................... 32
2.2.	Описание цели............................................... 35
2.3.	Описание стратегий и условий	их	реализации............. 45
2.4.	Создание модели и проведение	исследования................... 54
2.5.	Оценка надежности систем по результатам испытаний их высоко-
надежных элементов............................................... 65
Глава 3. Эпиоптимизация.............................................. 79
3.1.	Постановка задачи.......................................... 79
3.2.	Задачи с неопределенностью................................  35
3.3.	Задачи с риском............................................ 93
3.4,	Эффективное уточнение исходных	данных...................... 95
3.5.	Автоматизированная система для эпиоптимальных исследований .	98
3.6.	Пример использования разработанной процедуры для конкретного
эпиоптимального исследования.................................... 103
Глава 4. Информация в задачах, связанных с принятием решений	106
4.1.	Теоретико-информационный подход............................ 106
4.2.	Мера различающей информации................................ 111
4.3.	Процедуры принятия решений................................. 119
4.4.	Исследование распределений при ограниченной информации . .	129
Глава 5. Информационный анализ результатов испытаний................ 144
5.1.	Оптимальные доверительные интервалы.........................144
5.2.	Информационная емкость результатов эксперимента.............146
5.3.	Некоторые модели оценки результатов испытаний...............151
5.4.	Упорядочение и отбор информативных параметров.............. 159
Приложение!..........................................   170
П р и л о ж е н и е 2................................   180
Список литературы........,..........................  .	213
ИБ № 121
Игорь Львович Плетнев, Анатолий Иванович Рембеза,
Юрий Александрович Соколов, Виктор Александрович Чалый-Прилуцкий
ЭФФЕКТИВНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Редактор издательства И. А. Суворова
Технический редактор Т. С. Старых
Художник Е. В. Бекетов
Корректор В. Е. Блохина
Сдано в набор 22/11-1977 г.	Подписано к печати 6/VII-1977 г.	Т-09860
Формат 60Х90*/1в	Бумага № 2	Печ. л. 13,5	Уч.-изд. л. 14,98
Цена 9^) коп.	Тираж 7900 экз.	Изд. зак. 815
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Хохловский пер., 7. Тип. зак. 2239